/
Автор: Фролов Н.А.
Теги: математика теория множеств естественные науки учебное пособие теория функций точные науки
Год: 1961
Текст
Ф Р о л о в
ТЕОРИЯ
ФУНКЦИЙ
Д Е ЙС ТВИТЕ Л ЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Н. А. ФРОЛОВ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
Утверждено
Министерством просвещения РСФСР
У&МШ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1961
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Теория функций действительного переменного является одним из
наиболее важных предметов, изучаемых на физико-математических
факультетах высших педагогических учебных заведений. С понятиями
множества, действительного числа, функции, предела, непрерывности
функции, измерения множеств, которые составляют содержание этого
предмета, учитель постоянно встречается в своей работе. Нельзя вести
преподавание школьного курса математики на необходимом научном
уровне, не зная основ теории функций действительного переменного,
идеями которой теперь пронизаны все области математики.
При составлении настоящего учебника автор придерживался су-
ществующей программы курса, однако имеются и некоторые отступ-
ления. В главу, посвященную теории точечных множеств, включены
понятие точки конденсации и относящиеся к нему теоремы. Все это
было в программе курса до недавнего времени. В главе о функции
рассматриваются некоторые свойства непрерывных функций на ограни-
ченном замкнутом множестве. Эти вопросы содержатся в программе
государственных экзаменов по математике, хотя в программе курса
теории функций действительного переменного прямо и не указаны.
В главе об измерении множеств вместо меры множества по Жордану
более подробно рассматривается мера множества по Лебегу. Это дало
возможность включить в учебник понятие интеграла Лебега, что
существенно обогащает курс, увеличивая его объем весьма незначи-
тельно. Кроме того, без понятий меры и интеграла по Лебегу трудно
дать сколько-нибудь ясное представление о результатах исследований
ученых нашей страны, трудами которых главным образом и создана
теория функций действительного переменного.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность про-
фессорам П. С. Новикову и Н. В. Смирнову и доцентам
В. Н. Молодшему и А. Г. Школьнику за просмотр руко-
писи и ряд ценных замечаний и советов.
Н. Фролов
1*
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
По объему материала второе издание книги мало отличается от
первого издания. Глава II дополнена параграфом, в котором рассмат-
риваются операции над действительными числами. В главе V вместо
сложной теоремы о кривых Пеано дан пример построения таких
кривых. Там же приводится канторово определение кривой. Подверг-
лись переработке и доказательства некоторых теорем.
Автор
ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 1. Понятие множества
При определении какого-либо понятия нам приходится пользоваться
другим, более простым понятием, которое было уже дано раньше.
Так, комплексное число a4“^Z MbI определяем как пару (а, Ь) дей-
ствительных чисел а и Ь. Здесь при определении нового понятия —
комплексного числа — мы опираемся на более простое понятие дей-
ствительного числа, которое предполагается уже известным.
В этом смысле дать определение понятия множество мы не мо-
жем, так как нет более простого понятия, при помощи которого можно
было бы определить, что такое множество. Само понятие множества
является первичным, и можно только объяснить смысл этого понятия,
прибегнув к различным примерам. Мы можем говорить о множестве
сторон данного многоугольника, о множестве горошин в мешке го-
роха, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех рацио-
нальных чисел и т. д.
Таким образом, говоря о множестве, мы говорим о собрании каких-
либо вещей. ЭтЪ[ вещи, из которых составлено множество, мы будем
называть элементами множества. Понятие множество объединяет
многое в. единое, различные вещи — элементы — объединяются в еди-
ное целое—в множество.
Если А обозначает некоторое множество, то запись
х£А
означает, что х является элементом множества А (принадлежит мно-
жеству А, содержится в А), если же х множеству А не принадлежит,
то пишут:
х£А.
Каждая вещь либо принадлежит, либо не принадлежит данному
множеству.
В том случае, когда х является общим обозначением любого
элемента множества А, пишут:
А — {х}.
5
Так, если г означает дюбое рациональное число, a R — множество
всех рациональных чисел, то можно написать:
Если можно выписать обозначения всех элементов множества, то
в фигурных скобках перечисляют все элементы множества, записывая
их обозначения подряд. Так, если Ж есть множество сторон треуголь-
ника и эти стороны обозначены соответственно а, b и с, то можно
написать:
М— {а, Ь, с}.
В некоторых случаях, когда перечислить все элементы множества
нельзя, в фигурных скобках выписывают несколько элементов так,
чтобы указать закон, по которому получаются все остальные эле-
менты множества. Например, если N—множество всех натуральных
чисел, то можно написать:
М={1, 2, 3,..., л,
Множества бывают конечные и бесконечные. Множество конечное,
если имеет смысл ставить вопрос о том, сколько элементов содер-
жится в этом множестве, т. е. когда существует число, которым
можно выразить количество элементов данного множества, при этом
не важно, известно или нет это число, важно только, чтобы это число
существовало. Так, ранее приведенный пример — множество горошин
в мешке гороха — есть пример конечного множества, так как совер-
шенно ясно, что число, выражающее количество горошин в мешке,
существует, и нет никакой надобности считать горошины, чтобы
убедиться в этом. Если данное множество не является конечным,
т. е., взяв любое натуральное число л, можно в данном множестве^
найти элементов больше, чем л, то данное множество называется
бесконечным. Так, множество всех натуральных чисел* есть бесконеч-
ное множество.
К конечным множествам относятся, в частности, одноэлементные
множества, т. е. множества, состоящие только из одного элемента.
Нельзя смешивать одноэлементное множество с его единственным
элементом. Поясним это примером.
Пусть есть множество целых положительных чисел первого
десятка, М2 — множество целых положительных чисел второго десятка.
Тогда множество
Д = Ш., ЛО
состоит из двух элементов — множеств и Множество
одноэлементное, так как содержит только один элемент — множе-
ство 41^
Если не делать различия между одноэлементным множеством В
и его единственным элементом то мы придем к противоречию:
6
с одной стороны, В, как одноэлементное множество, имеет один
элемент, а с другой стороны, раз мы его отождествляем с Жх, В имеет
десять элементов.
В целях общности и простоты формулировок рассматривается так-
же пустое множество, т. е. множество, которое не имеет ни одного
элемента. Для обозначения пустого множества мы будем пользоваться
символом 0. Иногда мы образуем множество, объединяя в нем вещи,
обладающие некоторым свойством, не зная, существуют ли такие
вещи. Если окажется в дальнейшем, что таких вещей нет, то рас-
сматриваемое множество пустое.
Пусть, например, М есть множество решений некоторого уравне-
ния F(jO = 0. Если окажется, что при выполнении одних условий
множество -Ж одноэлементное, а при выполнении других условий —
пустое, то это будет означать, что в первом случае данное уравнение
имеет единственное решение, а во втором случае — не имеет решения.
§ 2. Операции над множествами
Часть множества, или подмножество. Если каждый элемент мно-
жества А содержится во множестве В, то А называется частью, или
подмножеством, множества В. В этом случае мы будем писать:
А с: В или BzdA.
Соотношение, выраженное знаком с, называется включением.
Следует заметить, что между соотношениями, выражаемыми знаками
С ис, существует принципиальное отличие. Если соотношение
х£А означает факт принадлежности элемента х множеству А и по-
этому выражает первичное понятие, каким является и понятие мно-
жества, то соотношение АсВ выражает понятие части „множества,
или подмножества, которое вводится путем определения.
Если не делать различия в соотношениях, выраженных знаками
С и с, то легко можно прийти к противоречию. Достаточно ука-
зать на уже рассмотренный выше пример множества
где Ж, есть множество натуральных чисел первого десятка.
Соотношение Ж1 С В означает, что Ж1 есть элемент множества В,
причем, как мы йидим, единственный в данном примере.
Соотношение же Ж, с В означало бы, что Ж, есть часть множе-
ства В, г. е. числа 1, 2, ..., 10 представляли бы десять элементов
множества В.
Из определения следует, в частности, что Л с: Л, т. е. часть
множества может оказаться совпадающей со всем (целым) множеством.
Когда множества А и В совпадают, т. е. представляют одно и то же
множество, состоят из одних и тех же элементов, мы будем писать:
Л = В.
Следовательно, А —В означает, что Л с: В и Вс Л.
7
Если ЛсгВ, но А^В (А не совпадает с В), то Я будем назы-
* вать правильной частью множества В.
Очевидно, что каждый элемент множества, имеющего более одного
элемента, образует правильную часть этого множества.
Пустое множество есть часть любого множества. Действительно,
если А — данное множество, а 0 — пустое, то Ос Л, так как в про-
тивном случае в 0 должен был бы быть по крайней мере один эле-
мент, не содержащийся в Л, но в 0 такого элемента нет, ибо 0—►
пустое множество.
Сложение. Множество всех таких элементов, которые содержат-
ся хотя бы в одном из данных множеств, называется суммой дан-
ных множеств,
д о
Это определение означает, что
сложение данных множеств есть
объединение всех элементов,, прина-
‘————* длежащих данным множествам, в
+ одно множество, которое и назы-
ЧеРт- вается суммой данных множеств.
Если один и тот же элемент содер-
жится в нескольких из данных множеств, то в сумму этот элемент
включается один раз (черт. 1).
Сумма данных множеств Л и В обозначается
л+в.
Если данных множеств (слагаемых) много, то пользуются знаком
суммирования 2* Так, если имеем множество множеств {Лв}, которые
отмечены значком а, принимающим различные значения, то сумма
данных множеств Ля Обозначается
2 л,-
а
Приведем примеры сложения множеств.
1. Пусть
Л = {1,3, 5, ...,2л—1, ...} и В={2,4, 6, ...,2л, ...}.
Тогда
Л-]-В={1, 2, 3, 4, ..., л, ...}.
2. Пусть
Л'={а}. где 0^а=<2, и В={8}. где 1^8^3.
Тогда
Л -|~В= {х}, где О^х^З.
Из определения понятия суммы множеств следует, что сложение
множеств обладает теми же свойствами, какими обладает сложение
чисел, а именно*/
1. Свойством переместительности:
лц-в=в+л.
8
2. Свойством сочетательности:
И4-В)4-С=л+(В+О.
Этим и оправдывается название сумма для обозначения множе-
ства, полученного объединением элементов данных множеств.
Однако сложение множеств обладает и такими свойствами, какие
операции сложения чисел уже не присущи.
Если А есть часть В, т. е. ЛсВ, то
А-\-В=В>
в частности,
л+л=л.
Это в случае сложения чисел, вообще говоря, неверно.
Пересечение. Множество всех таких элементов, которые содер-
жатся в каждом из данных множеств, называется пересечением данных
множеств.
Из этого определения следует, д в
что пересечение данных множеств
есть вся общая часть данных мно- / f
жеств (черт. 2). -------s'
Пересечение множеств Л и В АВ
обозначается АВ. Черт. 2.
Если данных множеств много, то пользуются знаком JJ. Так,
если имеем множество множеств {Ла}, которые отмечены значком а,
принимающим различные значения, то пересечение данных множеств
Лв обозначается
Па
а
Рассмотрим пример. Пусть имеем множества
А, л2, ...,лп, ...,
где Ап = {х}, причем О х ~ . Тогда
о = Па = {о},
п=1
т. е. одноэлементное множество, содержащее только число 0. Дей-
ствительно, если £<0, то %£Ап и Z&D; если же £>0, то для
1 — _______________________
Достаточно большого п будет — <£, а поэтому ££Лпи$£О. Сле-
довательно, число 0, принадлежащее всем данным множествам Лп,
будет единственным элементом пересечения D.
9
Если предыдущий пример изменим, положив
»„ = {*}, 0<х<у,
то “
о=П^„=о,
П = 1
т. е. пересечение данных множеств будет пустое множество. Действи-
тельно, в этом случае 0£Лп и 0 £ D, & для чисел £=^=0 верны
прежние рассуждения и вывод, что$££).
Операция пересечения множеств обладает следующими свойствами
операции умножения чисел:
1. Свойством переместительности:
АВ — ВА.
2. Свойством сочетательности:
(АВ)С-А(ВС).
3. Свойством распределительности:
(А^В)С=АС^ВС.
Этим объясняется, что для обозначения пересечения множеств
пользуются знаком умножения. (В последнее время в литературе часто
стали пользоваться новыми обозначениями теоретико-множественных опе-
раций: вместо Д-|-В и 2 А пишут A (J В и JJA» а пересечения АВ и
а а
JJ А обозначают соответственно через А П В и П А-)
а «
Переместительность и сочетательность пересечения множеств оче-
видны; эти свойства непосредственно вытекают из определения пере-
сечения. Чтобы убедиться, что пересечение обладает и свойством
распределительности, положим
Мх = (Л + В)С, УИ2 = ЛС+ ВС
и докажем, что и т. е. = Л42.
Пусть x£Mv или х £(А-\-В)С. Это означает, что х£А-\-В
и х£С. *
Из того, что х£А-\-В) следует х£А или х£В.
Если х£А, то х£АС и тем более х£АС-}~ВС, т. е. М2.
Точно так же, если х£В, то х£ВС и x£AC-}~BCt т. е. х£М2.
Итак, если x£Mv то х£Л/2, т. е.
Пусть теперь x£Mgt или х£АС-}-ВС. Тогда или х£АС, или
х^ВС.
10
Если х С АС, то х £ А и х £ С. Но из х С А следует, что х £ А -|~ В,
поэтому х будет общим элементом для А-\-В и С. Следовательно,
х £(А-\- В)С, или x^Mt.
Точно так же, если х£ВС, то х^Вил:^С;но из х£ В следует,
что х£А-\-В, поэтому х£(А~уВ)С, или х £МХ.
Итак, если х£М2, то х£Мх, т. е.
Из полученных соотношений Mxc:Mt и М1с:М1 ,следует, как
уже было указано, или
(Л4~В)С=ЛС+ВС.
В этом равенстве вместо суммы Л-[-В можно было бы взять
сумму любого множества множеств, т. е. имеет место равенство:
(£Л)С=£лас.
а а
Кроме того, пересечение множеств обладает и такими свойствами,
каких операция умножения чисел не имеет. Действительно, из опре-
деления пересечения множеств следует, что если А с: В, т. е. Л —
часть В, то
ЛВ=Л,
в частности,
лл = л.
Это вообще не верно в случае умножения чисел.
Вычитание. Множество всех таких элементов множества Л, кото-
рые не содержатся в множестве В,
называется разностью А — В.
(В новых обозначениях вместо Л — В
пишут Л\В.)
Определение вычитания не тре- а—в
бует, чтобы обязательно было Вс Л Черт. 3.
(черт. 3). Например, если Л = {а},
где 0<а^2, В= {р}, где 1 р 3, то
Л — В={х}, где
Так же, как было доказано свойство распределительности пересе-
чения относительно сложения, можно доказать распределительность
пересечения относительно вычитания^ т. е. доказать справедливость
равенства
(Л — В) С—АС—ВС.
Заметим, наконец, что в алгебраической сумме множеств переста-
новка слагаемых может привести к изменению суммы. Так, например,
множество (Л — В) С, вообще говоря, не совпадает с множеством
(Л4-С) — В. Действительно, если х£А, х£С, то х(~А— В,
но х£(А — В)-}-С; с другой стороны, в этом случае х£Л-|-С и
х£В, поэтому х£(Л-1~О — В. Следовательно,
(Л — В)4-С=£(Л4-С) — В.
11
Очевидно, здесь дело в том, что когда за операцией вычитания
следует операция сложения, то элемент, ушедший при вычитании,
может вернуться при сложении и будет входить в алгебраическую
сумму. Если же операция вычитания завершает операции, указанные
в алгебраической сумме, то элементы, ушедшие при вычитании, уже
не могут вернуться в данную сумму. Отсюда следует, что
(Л — + — В
и
(А — В)4-С=И + С) — Bv
где Вха.В.
Точно так же можно убедиться, что
(Д_В) + (С—О) = И4-С) —
где EczB-\-D.
Дополнение. Если ВсгЛ, то разность А—В называется допол-
нением к множеству В во множестве А (черт. 4).
В этом случае мы будем писать:
Л —В=СЛВ.
Пусть, например,
А — {1, 2, 3, ... , л, ..В— {2, 4, 6, ... , 2л, ..тогда
СлВ=Л —В={1, 3, 5, ... , 2л—1, ...}.
а Если множества АЛ являются
подмножествами одного и того же
множества В, то можно доказать
..^-^Х/ следующие два соотношения, изве-
С В g—— стные под названием соотношений
двойственности.
Черт. 4. 1. Дополнение в Е к пересечению
множеств Ла совпадает с суммой
дополнений в Е к каждому из Ла:
слПа=2свл. in
а а
2. Дополнение в Е к сумме множеств Лв совпадает с пересе-
чением дополнений в Е к каждому из Ла:
Сг24.«ПСА (2)
а а
Для доказательства первого соотношения обозначим
= и Mt^CEAa.
а а
Пусть х£Мг, или Тогда х g ТТ Л., поэтому х не
а а
будет общим элементом для всех Ла и среди данных множеств Ла
12
найдется по крайней мере одно такое множество Аао, что х С
а значит x^CqA^ но тогда и подавно х£^£СЕАаУ т. е. х£Ме
Итак, если х£М1У то х$М2, следовательно,
Пусть теперь х£ЛГ2, т. е. х£^СЕА*. Тогда среди множеств
а
СяАа найдется по крайней мере одно такое множество СяАво, что
х£С£Ав0, откуда следует, чтохЕА<0» т. е. х не будет общим эле-
ментом для всех Ал и поэтому а значит x£CFJlAa, т. е.
а а
х£Мг
Итак, если х£ЛГ2, то х£2Ир следовательно, Л12с:Л11.
Таким образом, и Mgc:Mlt откуда и следует, что ==Afg.
Этим самым соотношение (1) доказано.
Для доказательства соотношения (2) заметим прежде всего, что
если СЕАЛ есть дополнение к Ав, то и А* есть дополнение’к СЕАЛ,
так как Ал^-СЕАа = Е.
Учитывая это замечание и уже доказанное соотношение (1),
можно написать:
сяП<^«=Зл«.
а а
Так как равные множества имеют и равные дополнения, а дополне-
нием к СЕ JJ СеАл будет Ц СЕАлУ то имеем:
а я
Пси«=св2а-
а а -
Этим соотношение (2) доказано.
Наконец, можно доказать, что если А и В суть подмножества
множества Е, то имеет место равенство:
сЕ{А—в)=сна+в, (3)
где Се(А — В) есть дополнение в Е к множеству А — В, а СЯА —-
дополнение в Е к А.
Действительно, пусть х£СЕ(А — В), тогда х£ (А — В). Отсюда
следует, что или х£Аих£В, и тогда х£СЕА-\- Ву или же х£А,
но тогда х £ СеА и тем более х £ СЕА В. Следовательно, каждый
элемент левой части равенства (3) содержится и в правой части.
Пусть теперь х£СЕА-\- В. Тогда или х£СяА, или х£В. Если
х£СеАу то х£А, и поэтому х£А— В, т. е. х£Св[А — В). Если
же х£В, то х£А— В, независимо от того, содержится х в А или
нет, поэтому х£СЕ\А — 'В}. Следовательно, каждый элемент правой
части равенства (3) содержится и в левой части.
Итак,
СВ(А — В)с.СвА-\-В и СЕ(Л — B^CeA-YB,
т. е. равенство (3) верно.
13
§ 3. Мощность множества. Кардинальные числа
Когда мы имеем два конечных множества, то их можно сравнивать
по числу элементов. Если множество А имеет пх элементов, а мно-
жество В имеет л2 элементов, то будет иметь место одно и только
одно из трех соотношений:
= nl<^nv п^п2.
Если данные множества бесконечные, то сравнивать их по числу
элементов уже нельзя, так как в этом случае не имеет смысла го-
ворить о числе их элементов. Так, если Л = {1, 2, ..., /г, ...},
а В={2, 4, .. . , 2/z, .. то хотя и есть искушение считать, что
элементов А вдвое больше, чем элементов В, мы этого сказать не
можем, такое утверждение не имеет смысла. Действительно, если
говорят: элементов А вдвое больше элементов В, то это значит, что
есть число пх элементов А и число л2 элементов В и что лх = 2л2.
Но в нашем примере множества А и В бесконечные, поэтому не
имеет смысла говорить о числе элементов этих множеств (нет числа
элементов А, нет числа элементов В) и не к чему отнести слова
„вдвое больше*. Следовательно, сравнивать по числу элементов можно
только конечные множества, а для бесконечных множеств этот
способ сравнения не годится.
Но конечные множества можно сравнивать и другим способом:
Пусть А и В—конечные множества, и пусть по некоторому правилу
удалось каждому элементу а£А поставить в соответствие один и
только один элемент Ь^В, причем каждый элемент Ь£В оказался
поставленным в соответствие одному и только одному элементу а£А.
В этом случае мы будем говорить, что между элементами мно-
жеств А и В удалось установить взаимно однозначное соответствие,
а множества А и В будем называть эквивалентными, записывая это
в виде; А^-В. Совершенно ясно, что взаимно однозначное соответ-
ствие между элементами конечных множеств А и В можно установить
в том и только в том случае, когда число элементов А равно числу
элементов В. Следовательно, для конечных множеств А и В понятия
эквивалентность и равночисленность совпадают. Ясно также, что
если лх— число элементов А, а л2— число элементов В, то при
будем иметь Л^ВХ, где Вг — часть В, а при имеем
А^В, где At — часть А.
Если сравнивать по числу элементов можно только конечные
множества, то сравнивать путем приведения элементов во взаимно
однозначное соответствие можно и бесконечные множества.
Так, например, между множествами А = {1, 2, 3, ... , п, ...} и
В={—1, —2, —3, ... , — л, ...} можно установить взаимно одно-
значное соответствие, если считать взаимно соответствующими п € А
и — п£В. Таким образом, А^-В.
Так же можно заметить, что множества Л={1, 2,..., л, ...}
и В={2, 4, ... , 2л, ...} эквивалентны; здесь достаточно считать
взаимно соответствующими элементы л £ А и 2л £ В.
14
Отсюда видно, что понятие эквивалентность, которое в случае
конечных множеств сводится к понятию равночисленность, имеет
смысл и в случае бесконечных множеств, когда смысл понятия рав-
ночисленное™ теряется.
Исходя из этих соображений, >примем следующее определение:
Определение. Если между элементами множеств А и В можно
установить взаимно однозначное соответствие, т. е. можно по не-
которому правилу каждому элементу а из множества А поставить в
соответствие один и только один элемент Ъ из множества В, так что
каждый элемент Ь£В окажется поставленным в соответствие одному
и только одному элементу а£А, то множества А и В называются
эквивалентными или имеющими одинаковую мощность.
Эквивалентность А и В выражаем символом:
Л-В.
Понятие эквивалентности обладает следующими свойствами:
тождественности9.
симметричности9.
если Л^В, то В^Л;
транзитивности9.
если Л^В и В^С, то А^С.
Так как понятие равной мощности (эквивалентности) сводится в
случае конечных множеств к понятию равного числа элементов, то
понятие мощность множества надо ввести как обобщение понятия
число элементов.
Для выражения мощности множеств мы создаем так называемые
кардинальные числа, вводя их следующим определением.
Определение. Пусть М—бесконечное множество. Возьмем класс
всевозможных множеств, эквивалентных множеству М, а значит, и
эквивалентных между собой, и этому классу поставим в соответствие
некоторый символ р, который будем называть мощностью или кар-
динальным числом любого множества рассматриваемого класса, в
частности множества М.
Таким образом, мощность — это то, что является общим у всех
эквивалентных между собой множеств.
Так как у конечных эквивалентных между собой множеств общим
является число элементов, из которых состоит каждое множество,
и при этом неэквивалентные между собой конечные множества состоят
из различного числа элементов, то естественно понимать под мощ-
ностью конечного множества число элементов этого множества, т. е.
классу конечных эквивалентных множеств, состоящих из п элементов,
поставить в соответствие число п.
Следовательно, понятие кардинального числа сводится к понятию
числа элементов в случае конечного множества и является обобще-
нием понятия числа элементов на случай бесконечных множеств.
15
§ 4. Сравнение мощностей
Чтобы кардинальные числа были полезным обобщением понятия
числа (числа элементов), надо, чтобы их можно было сравнивать
между собой, т. е. должна быть возможность сравнивать множества
по мощности.
Если мощность множества есть а мощность множества
Л12 есть g2, то смысл равенства — pt2 заключается в самом опре-
делении понятия мощности, а именно — множества Af, и эквива-
лентны. Какое отношение между множествами и /И2 естественно
выразить неравенством < р2? Чтобы ответить на этот вопрос, за-
метим, что когда множества и М2 будут конечными, а, следова-
тельно, Цц и р2 будут выражать соответственно число элементов
и Л42, то неравенство <С И2 будет означать, что эквивалентны
Л/j и некоторая правильная часть Л/2 (часть, составленная из любых
Pj элементов множества Af2). Это приводит к следующему естествен-
ному определению неравенств между мощностями множеств.
Пусть ji1— мощность множества Afp а р2 — мощность множества
Л42 и пусть g1=^=g2, т. е. множества и М2 не эквивалентны. Если
в множестве есть правильная часть, эквивалентная множеству Afp
но в Afx нет части, эквивалентной Af2, то будем говорить, что мощ-
ность множества 714 х меньше мощности множества Af2, или
что мощность Af2 больше мощности А1Р |i2>|i1.
Следует заметить, что в этом определении не охватывается тот
случай, невозможный для конечных множеств, но возможный для бес-
конечных множеств, когда множество Afx имеет правильную часть,
эквивалентную множеству 2И2, и множество имеет правильную
часть, эквивалентную множеству Af.
Пусть, например, Afx есть множество всех чисел а, удовлетво-
ряющих условию О «С а 2, а Мг — множество всех чисел р, удов-
летворяющих условию О^р*сЗ. Множество Af* всех чисел х,
удовлетворяющих неравенствам О х 1, будет правильной частью
как Mv так и Af2. Формула х = ~-^~ устанавливает взаимно одно-
значное соответствие между множеством Af* и множеством всех чи-
сел х', удовлетворяющих неравенствам а^х'^Ь. Отсюда, полагая
а = 0 и £ = 2, получим полагая же а = 0, Z> = 3, получим
A4*^Af2.
Однако такой случай, возможный для бесконечных множеств, не
наносит ущерба определению неравенств между мощностями множеств,
потому что, как будет доказано ниже, в таком случае данные мно-
жества эквивалентны, т. е. имеет место равенство мощностей. Так,
в нашем примере множества Afx и эквивалентны, потому что ока-
зались эквивалентными одному и тому же множеству Af*, а понятие
эквивалентности, как указывалось выше, транзитивно.
Итак, докажем следующую теорему, известную под названием
теоремы эквивалентности, или теоремы Кантора — Бернштейна.
16
Теорема. Если каждое из двух данных множеств эквивалентна
части другого, то данные множества эквивалентны.
Доказательство. Пусть имеем множества А и Ви пусть
одновременно А^-Вх и B~^AV где Ага:А и B^czB. Докажем, что
А^В. При этом мы можем считать, что Л1 и — правильные части
А и В, так как в противном случае нечего было бы доказывать.
В силу условия B^AV можно установить взаимно однозначное
соответствие между элементами В и Л15 при этом Вр как правиль-
ная часть В, окажется во взаимно однозначном соответствии с неко-
торой правильной частью At множества Лг Тогда будем иметь Л^В,
по условию, В,^-Л2 по построению Л2, поэтому Л^Л2, причем
ЛоЛ1Г)Л2. Если бы теперь удалось доказать, что A^AV то, учи-
тывая условие В^Лр мы и получили бы требуемое Л-^-В.
Таким образом, доказательство теоремы сводится к доказатель-
ству утверждения:
Если ЛГ)Л1^>Л2 и Л^Л2, то и Л-^ЛР т. е. множество, со-
держащееся в одном из двух эквивалентных множеств и содержа-
щее другое из них, само эквивалентно этим, множествам.
Установим взаимно однозначное соответствие между эквивалент-
ными множествами Л и Л2. Тогда Лр как правильная часть Л, ока-
жется во взаимно однозначном соответствии с некоторой правильной
частью Л8 множества Л2. Следовательно, А^А3 и Л3сЛ2. Уста-
навливая теперь взаимно однозначное соответствие между Л, и Л2
и замечая, что A2aAv мы будем иметь взаимно однозначное соот-
ветствие между Л2 и частью Л4 множества Л2. Следовательно, Л2^Л4
и Л4с:Л,. Совершенно таким же образом можно построить множество
Л5сЛ4, которое окажется во взаимно однозначном соответствии с
Л3сЛ2, когда установим взаимно однозначное соответствие между
эквивалентными Л2 и Л4. Продолжая этот процесс, мы получим по-
следовательность множеств:
ЛгэЛ,^)Л4оЛ_Г)Л.гэЛ5Г).. .зэЛ„Г)... ,
1 2 2 ♦ О
причем, в силу построения множеств этой последовательности, будут
иметь место соотношения:
Л'^-Л2, Л1''х-Л3, Л2^Л4, Л2'^-Л|, .«. , ЛП*%~ЛП_|.2, .... (1)
Кроме того, можно заметить, что справедливы и следующие со-
отношения:
Л Л1">~Л2 Л3
Л1— Л2^лз — Л4
^2 ^З^^Л ^5
...................................... (2)
^и-з
Действительно, чтобы убедиться в справедливости этих соотно-
шений, например соотношения Л — Л^Л2 — Л3, вспомним, как было
построено Л3. Установив взаимно однозначное соответствие между
17
А и At, через At мы обозначили ту часть Л8, которая оказалась во
взаимно однозначном соответствии с A^czA, а, следовательно, осталь-
ная часть Д, т. е. А — Дх, будет находиться во взаимно однознач-
ном соответствии с той частью Л2, которая останется при удалении
Д8 из Д8, т. е. с At — А3. Итак, между А—Дх и Д8— Д8 сущест-
вует взаимно однозначное соответствие, поэтому А — А^А*— At.
Таким же образом из построения Д4 следует, что Дх — Д2^Л8 — Д4
и т. д. Вообще из построения Ап следует, что Дп_3— Дп_2^-
Теперь заметим, что для множеств А и Дх, эквивалентность ко-
торых мы хотим доказать, имеют место следующие соотношения:
Л D + (Д - Дх) + (Дх - Д8) + (Д8 - Д2) + (Д, - Д4) + ... (3)
ДХ = Р + (ДХ-Д2) + (Д2-Д,) + (Д8-Д4) + (Д4-Д5)+ . . (4)
где D = ДДХД8...
Докажем хотя бы равенство (3). Пусть х — элемент левой части
равенства (3), т. е. х£А. Тогда либо х содержится во всех множе-
ствах Д, Дх, Д2, ...» Дп, ... , а значит и в D, и поэтому х вхо-
дит в правую часть равенства (3), либо среди этих множеств есть
последнее множество, например Дл, содержащее х, но в этом случае
х£Ап— Дп+Х, так как х£Ап и х£Дл + 1, и поэтому опять х будет
содержаться в правой части равенства (3). Пусть теперь х есть эле-
мент правой части равенства (3). Тогда либо х содержится в D, а
значит и в Д, т. е. в левой части равенства (3), либо х содержится
в одном из слагаемых вида Ап — Ап+Х*, но если х£Ап— An+V то
х£Д„, а так как Дпс:Д, то опять х£Д. Итак, любой элемент левой
части равенства (3) содержится в правой части, и каждый элемент
правой части содержится в левой, что и доказывает справедливость
равенства (3). Точно так же можно доказать справедливость ра-
венства (4).
Докажем, наконец, что между элементами правых частей равенств
(3) и (4) можно установить взаимно однозначное соответствие. Дей-
ствительно, так как в каждой из рассматриваемых сумм слагаемые не
имеют попарно общих элементов, то достаточно каждое слагаемое
одной суммы поставить во взаимно однозначное соответствие с опре-
деленным слагаемым другой суммы. Но это можно сделать так: вто-
рое, четвертое, шестое и т. д. слагаемые из (3) поставим во взаимно
однозначное соответствие с третьим, пятым, седьмым и т. д. слагаемыми
из (4), учитывая, что они попарно эквивалентны в силу соотноше-
ний (2). а остальные слагаемые в (3) и (4) одинаковые, поэтому до-
статочно каждое из этих слагаемых суммы (3) поставить во взаимно
однозначное соответствие с таким же слагаемым из суммы (4). Отсюда
следует, что правые части равенств (3) и (4) эквивалентны, а значит,
эквивалентны и левые части, т. е. A^AV что и требовалось доказать.
Из теоремы эквивалентности вытекает;
Следствие. Если pix мощность множества Л4Х, a g2 —
мощность Л48, то соотношения р,х = |л2, ^<1^, ^>14 несовме-
стимы.
18
В самом деле, между множествами и ЛГ2 возможны соотношения:
1) Mt и М2 эквивалентны.
2) В 2ИХ есть правильная расть, эквивалентная Л/2, и в /И2 есть
правильная часть, эквивалентная Мг
3) В Mt есть правильная часть, эквивалентная Л42, но в М2 нет
части, эквивалентной Мг
4) В М2 есть правильная часть, эквивалентная Л4Р но в Mt нет
части, эквивалентной Л42.
Так как по теореме эквивалентности из второго случая следует
первый, а первый, третий и четвертый случаи, очевидно, несовместимы»
то несовместимы и соотношения |i1 = g2, и Их^Нг*
Таким образом, для кардинальных чисел р.2 и pt2 из соотношений
У1 = Н2> И,>Н2 (5)
возможно только одно.
Заметим, что из соотношения М^М2а:М2 следует либо р.2 = ц2,
либо В этом случае пишут: pt1 |Л2. Учитывая это, теорему
эквивалентности можно формулировать так:
Если и то 11, = ^.
Чтобы убедиться, что для кардинальных чисел jx2 и р2 одно из
трех соотношений (5) обязательно имеет место, надо было бы дока-
зать, что между множествами Мх и М2 невозможно никакого иного
соотношения, кроме указанных выше четырех соотношений. Однако
логически допустимо еще одно соотношение, а именно:
5) В множестве /И1 нет части, эквивалентной множеству ТИ2, и
в Л42 нет части, эквивалентной Мг.
В действительности оказывается такое соотношение невозможно
не только между конечными множествами, что очевидно, но и между
бесконечными множествами, поэтому кардинальные числа всегда срав-
нимы,— для любых кардинальных чисел и pt2 обязательно имеет
место одно и только одно из трех соотношений:
Нх = Н2> ^>^2-
§ 5. Существование различных мощностей
Определения неравенств между мощностями множеств были бы
беспредметными, если бы не было доказано существование бесконеч-
ных множеств различных мощностей. Ряд примеров, рассмотренных
раньше, может создать впечатление, что все бесконечные множества
эквивалентны между собой, имеют одну и ту же мощность. Так. на-
пример, мы замечали, что эквивалентны множество всех натуральных
чисел и множество всех положительных четных чисел. Но оказывается,
как это будет видно из теоремы, которую сейчас докажем, что, имея
множество некоторой мощности, можно построить новое множе-
ство большей мощности, т. е. существуют множества различных
мощностей.
Теорема. Множество всех частей любого непустого множества
М имеет мощность, большую, чем мощность данного множества М.
19
Доказательство. Пусть имеем множество Af = {х}. Составим
из всех частей Af* множествами новое множество Е= {Af*}. Следует
обратить внимание на то, что Е содержит в качестве элементов все
части множества Af. Любая часть, которая может быть выделена из М
каким-либо способом, является одним из элементов Е. В частности,
содержатся в Е все одноэлементные подмножества Af, составленные
из отдельных элементов Af, пустое множество и также само мно-
жество Af.
Докажем, что мощность множества Е больше мощности множе-
ства Af. Для этого надо доказать, что множества Е и М не эквива-
лентны и что множество АГ эквивалентно части множества Е.
Допустим, что Е^М. Тогда между элементами М* множества Е
и элементами х множества М можно установить взаимно однозначное
соответствие, т. е. все элементы М*£Е и х£М можно считать свя-
занными в пары Af* *—► х. Возьмем определенную пару Af* х. Здесь
возможны два случая: либо Af*, как часть Af, содержит элемент х£ Af,
стоящий в паре с А!*, либо М* образован из других элементов Af,
и элемент х£А!, стоящий с Af* в паре, не содержится в Af*. В пер-
вом случае элемент х £ Af мы будем называть элементом первого
класса, а во втором — элементом второго класса. Ясно, что так дело
обстоит в каждой паре ЛГ*«~>х и каждый элемент х$М будет
в одном и только в одном классе — либо в первом, либо во втором.
Второй класс представляет некоторую часть множества АГ. Обозначим
ее Af*.
Так как Е содержит все части Af, то Af0 £ Е, а поэтому среди пар
Af**-->х будёт пара Af**-->х0, где x0£Af. Элемент х0, как и каждый
элемент х£А1, должен содержаться либо в первом, либо во втором
классе. В каком же именно? Допустим, что х0 содержится в первом
классе. Это означает, что х0 содержится в той части Af, с которой
находится в паре, т. е. х0£ Af*, а так как М* есть множество, состоя-
щее из элементов второго класса множества АГ, то, следовательно,
х0 содержится во втором классе, что противоречит допущению. По-
этому допущение, что х0 содержится в первом классе, не верно.
Допустим в таком случае, что х0 содержится во втором классе, т. е.
х0 6 АГ0, так как второй класс и есть АГ0. Но это означает, что х0
содержится в той части множества Af, с которой находится в паре,
а такие элементы были отнесены в первый класс. Следовательно, х0
содержится в первом классе, что противоречит допущению. Поэтому
допущение, что х0 содержится во втором классе, также не верно.
Итак, элемент x0£Af не содержится ни в первом, ни во втором
классе, тогда как каждый элемент множества Af должен находиться
либо в первом, либо во втором классе. Полученное противоречие
доказывает, что наше допущение: Е^~М—не верно. Следовательно,
множества Е и Af не эквивалентны.
Остается заметить, что часть Е, состоящая из одноэлементных
подмножеств Af, очевидно, эквивалентна Af.
20
Итак, Е и М не эквивалентны, но Е имеет правильную часть,
эквивалентную Ж, следовательно, согласно определению неравенств
между мощностями, мощность Е больше мощности М.,
Заметим, наконец, что из всех частей множества Е опять можно
образовать множество, мощность которого будет еще больше (больше
мощности множества £), и т. д. Следовательно, существует беско-
нечное множество множеств различных мощностей, т. е. существует
бесконечное множество кардинальных чисел и среди них нет наи-
большего.
§ 6. Сложение и умножение мощностей
Пусть А и В—конечные множества без общих элементов. Если
п — число элементов множества Л, т— число элементов множества В,
то число элементов множества Л-|-£ будет равно п-\~т. Учитывая,
что понятию числа элементов, в случае конечных множеств, соответ-
ствует понятие мощности, в случае бесконечных множеств, мы при-
ходим к следующему естественному определению:
Определение. Пусть множества и Л12 не имеют общих элемен-
тов. Если дх— мощность множества д2— мощность /И2, то мощ-
ность jjl множества 2И=Л114"^а называется суммой мощностей
дх и д2 и обозначается
Аналогично определяется сумма любого числа мощностей.
Вводится также понятие произведения мощностей.
Пусть А и В—конечные множества с числом элементов соответ-
ственно п и т. Из элементов а£А и Ь£В составим всевозможные
пары (а, Ь\ присоединяя к любому элементу из А любой элемент
из В. Число элементов множества М={(а, Ь)} всех этих пар, оче-
видно, будет равно произведению пт числа п элементов А и числа т
элементов В. Следуя этому, мы придем, в случае бесконечных мно-
жеств, к такому определению понятия произведение мощностей:
Определение. Пусть /И1 = {х} и Mt = {y}— любые множества,
a gj и р2— их мощности. Из элементов и составим
всевозможные пары (х, у), взяв один элемент из а другой —
из ТИ2. Мощность д множества М— {(х, у)} всех этих пар назы-
вается произведением мощностей дх и д2 и обозначается
Аналогично определяется произведение любого числа мощностей.
Вернемся теперь к вопросу о мощности множества Е всех частей
данного множества Л4. Если мощность множества М есть д, а мощ-
ность множества Е есть ij, то как наиболее естественным образом
выразить т) через д? Рассмотрим сначала конечное множество.
Пусть М—множество, состоящее из п элементов. Тогда множе-
ство Е всех частей М содержит одно пустое множество, одноэле-
ментных подмножеств, С\ двухэлементных подмножеств и т. д., на-
21
конец, С”, или одно подмножество, совпадающее со всем множеством Af.
Следовательно, число элементов множества Е будет равно
1+с‘+с:+...+^=(1+1г=2\
Если М — одноэлементное множество, то множество Е состоит из
двух элементов — пустого множества и самого Af, что и получается
из нашей формулы при л=1. Формула верна и при л = 0, т. е.
когда множество Af пустое, так как тогда Е состоит из одного эле-
мента — самого^ М.
Это приводит к следующему естественному определению:
Если множество Af имеет мощность pt, а множество Е всех частей
множества Af имеет мощность 7], то т] = 2{\
Теорема о мощности множества всех частей данного непустого
множества теперь может быть выражена неравенством 2H'^>PL-
Заметим, наконец, что понятие разность мощностей не существует.
Было бы бесполезно пытаться ввести такое понятие исходя из поня-
тия разности множеств. Действительно, если есть мощность мно-
жества А4Р — мощность множества Aft, то разность Л!1 — Af±
может оказаться как бесконечным множеством, так и конечным,
в частности пустым, поэтому ничего нельзя сказать о мощности
Afj — Af2 и в символ pij — р2 нельзя вложить определенный есте-
ственный смысл.
§ 7. Счетные множества
Среди бесконечных множеств важную роль играет множество всех
натуральных чисел
W={1, 2, 3, ... ,л, ...}.
Все множества, которые эквивалентны множеству N, а значит, и
эквивалентны между собой, т. е. такие множества, у<которых мощ-
ность равна мощности N, выделяются в особый класс множеств сле-
дующим определением:
Определение. Всякое множество, эквивалентное множеству всех
натуральных чисел, называется счетным.
Мощность множества натуральных чисел и, следовательно, мощ-
ность всякого счетного множества обозначается символом К0(Х —
первая буква древнееврейского алфавита, называется „алеф®;
читается „алеф-нуль®).
Можно дать другое определение понятия счетного множества,
равносильное первоначальному определению. Так как по определению
счетное множество эквивалентно множеству к0 всех натуральных
чисел, то можно установить взаимно однозначное соответствие между
элементами любого счетного множества А и элементами множества к0.
Пусть такое соответствие установлено и пусть в результате этого
некоторый элемент А и натуральное число п оказались во взаимном
соответствии. Этот элемент множества А мы обозначим ап. Очевидно,
22
что каждый элемент множества А теперь будет иметь свой номер
(натуральное число) и каждое натуральное число будет номером
определенного элемента множества А. Следовательно, всякое счетное
множество можно представить в виде бесконечной последовательности
ах, ait ... ,ап, ... различных элементов.
Обратно, если некоторое множество А можно представить в виде
бесконечной последовательности а19 а2> ..., ап , ... , в которой нет
одинаковых членов, то множество А счетное, так как нумерация
элементов А есть, как мы видели, приведение элементов А и N во
взаимно однозначное соответствие, что и показывает эквивалентность
А и N.
Все это приводит к такому определению:
Определение. Множество А называется счетным, если его эле-
менты можно занумеровать в бесконечную последовательность
A = {alt а„, , ап, ...},
члены которой попарно различны.
Теперь докажем ряд теорем, характеризующих счетные множества.
Теорема 1. Всякое бесконечное множество М содержит счет-
ное подмножество D, причем D можно считать таким, что
М — D есть бесконечное множество.
Доказательство. Пусть дано бесконечное множество М.
Выделим из М два различных элемента аг и bv Это можно сделать,
так как в противном случае множество М было бы одноэлементное
или пустое. Оставшееся множество Мг — М—{ар Ьг} опять будет
бесконечным, так как если бы было конечное множество, то и М,
содержащее, кроме Mv два элемента аг и bv также было бы конечное
множество, что противоречит условию. Из выделим опять два
различных элемента а2 и Ь2. Это можно сделать, так как множество Л4Х
бесконечное. В силу этого же, оставшееся множество = —
— {^2» снова будет бесконечным. Продолжая этот процесс, мы
выделим из множества М два счетных множества:
A = {at, аг, ... ,ап, ...}
И
Если .бы мы выделили из М только одно счетное множество Д,
то оставшееся при этом множество содержало бы другое счетное
множество В и поэтому было бы бесконечным. Это и доказывает
теорему.
Следствие. Среди различных мощностей бесконечных мно-
жесте наименьшей является мощность счетного множества.
В самом деле, если К есть мощность бесконечного множества Л/,
— мощность счетного множества D, то соотношение DcM озна-
чает, что
23
Теорема 2. Всякое бесконечное подмножество счетного множе-
ства счетно.
Доказательство. Пусть А — счетное множество, а Дх — лю-
бая бесконечная часть Д.
Если X есть мощность Дх, то, в силу следствия из теоремы 1,
так как At—бесконечное множество. Но Ага:А, поэтому
Х^К0. 'Итак, и откуда, по теореме эквивалент-
ности, имеем к = к0, т. е. Дх счетно.
Теорема 3. Если бесконечное множество А состоит из элемен-
тов ak различаемых двумя значками k и Z, принимающими в
качестве значений натуральные числа, то данное множество
A = {ak i} счетно.
Доказательство. Пусть имеем множество Д = {аЛ|/},где k
и i— любые натуральные числа. Обозначим n — k-\-i. Очевидно,
что только конечное число элементов ак . имеет суммой k-\~iгзначков
k и i одно и то же число п.
Пусть наименьшее значение п есть л0. Тогда можно занумеровать
все элементы ak Д, у которых ^-j-Z = n0, так как таких элементов
конечное число.’ После этого можйо занумеровать все элементы
ak ^А, имеющие — zz0 —|— 1, которых также конечное число,
и т. д. Таким путем мы занумеруем в бесконечную последовательность
все элементы множества Д, ибо до любого элемента ak ^А, имею-
щего сумму значков придется занумеровать конечное
число элементов, а затем дади^ номер и этому элементу ak ^А.
Это и доказывает счетность множества A — {ak J.
Из этой теоремы можно вывести ряд следствий.
Следствие 1. Сумма конечного множества и счетного мно-
жества есть счетное множество.
Следствие 2. Сумма конечного множества счетных мно-
жеств есть счетное множество.
Следствие 3. Сумма счетного множества попарно не пере-
секающихся конечных множеств есть счетное множество.
Следствие 4. Сумма счетного множества счетных мно-
жеств есть счетное множество.
Рассмотрим подробнее хотя бы следствие 4.
Пусть имеем счетное множество множеств Др Д2, ... , ДЛ, ... ,
каждое из которых счетно, а поэтому может быть представлено
в виде бесконечной последовательности. Пусть
Д1 = {^1. 1> ^1. 2’ • • • » . /» • • • }
Д2 = {аг* х; at* 2, ... , а%* . ..}
Ak — {ak> о ak. v • • • ! ak zj • • •}
Пусть данные множества попарно не имеют общих элементов,
хотя это и не существенно.
24
Тогда бесконечное множество
У h
будет иметь вид:
Л = {аА)/},
где значения k и I— натуральные числа. Следовательно, в силу тео-
ремы 3, множество А счетно.
Так же устанавливается правильность остальных трех следствий.
Теорема 4. Множество R всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. /? = /?+ Ц-/?_ 4~Я0, где /?+— множество
всех положительных рациональных чисел,/?_—множество всех отри-
цательных рациональных чисел, a Ro содержит только один эле-
мент—число 0. Всякое положительное рациональное число, которое
можно представить в виде несократимой дроби ,' мы можем рас-
сматривать как элемент хр> различаемый двумя значками р и q,
принимающими в качестве своих значений натуральные числа. Откуда
и следует, что/?+ = {хр* счетно. Очевидно, что R_^R+- Поэтому/?,
как сумма двух счетных множеств и одного конечного множества,
счетно.
Теорема 5. Если к бесконечному множеству М прибавить
конечное или счетное множество D, то получим множество
эквивалентное данному множеству М.
Прежде чем доказать теорему, заметим, что если данное множе-
ство М счетно, то теорема будет простым повторением первых двух
следствий теоремы 3.
Но здесь М—любое, не обязательно счетное, множество, по-
этому теорема содержит новое утверждение и требует доказательства.
Доказательство. Выделим из данного бесконечного множе-
ства М счетное подмножество Л, что возможно, в силу теоремы 1, и
оставшееся множество обозначим В, Тогда М=В-\-А и M-\-D =
= 2?4*“И4~^)- Множество Л-f-D счетно, ибо конечное или счет-
ное множество D прибавляется к счетному множеству Л. Поэтому
множества АЛ-D и Л эквивалентны и между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие. Наконец, поставим
во взаимное соответствие каждый элемент множества В из суммы
^-{-(Л-j-D) с тем же элементом В из суммы В-|-Л и тогда будем
иметь взаимно однозначное соответствие между элементами двух мно-
жеств В~Ь(Л + D) и В-\~ Л, поэтому В-\~(А-^~ D)^B-\- А, т. е.
M-}-D^M.
Теорема 6. Если из несчетного множества М удалить конеч-
ное или счетное подмножество D, то останется множество
М—D, эквивалентное данному множеству М.
Доказательство. Удалим из несчетного множества М конеч-
ное или счетное подмножество О. Оставшееся при этом множество
М-—D будет бесконечным, так как в противном случае множество М
представляло бы сумму конечного множества М—D и конечного
25
или счетного множества £>, поэтому было бы конечным или счетным,
что противоречит условию.
Замечая, что М=(М — /?)-}-£), где множество Л4—D беско-
нечное, a D конечное или счетное, имеем, в силу теоремы 5:
Теорема 7. Всякое бесконечное множество М содержит пра-
вильную часть эквивалентную всему множеству М (причем мно-
жество М — /И1 можно считать бесконечным).
Доказательство. Если данное множество М счетно, то, со-
гласно теореме 1, 7И, как всякое бесконечное множество, содержит
такую счетную часть A4lt что Л1 — Л/11 бесконечно. Так как
ибо 7ИХ и М оба счетные, то в этом случае теорема доказана. Если
же данное множество М несчетно, то, выделив из М любое счетное
подмножество О, получим часть М1==М — D, эквивалентную
множеству Л!“по теореме 6. Следовательно, теорема верна и^ в этом
случае.
Эта теорема -выражает характеристическое свойство бесконечных
множеств, так как очевидно, что таким свойством конечные множе-
ства не обладают. Поэтому теорема 7 приводит к следующему поло-
жительному определению бесконечного множества:
Множество М называется бесконечным, если оно содержит пра-
вильную часть эквивалентную всему множеству М.
Докажем теперь теорему, являющуюся обобщением теоремы 3,
которая позволит установить счетность ряда важных множеств.
Теорема 8. Если множество А состоит из элементов аХх Х2..., хп,
различаемых п значками xlt х2, ... , хп, каждый из которых»
независимо от других» принимает счетное множество значений,
то данное множество
A {#*1, х2, ..., XzJ
счетно.
Доказательство. Применим метод математической индукции.
Прежде всего заметим, что теорема очевидна, если п == 1, так как
в этом случае элементы множества А различаются одним значком,
принимающим счетное множество значений. Допустим, что теорема
верна для n = k, и докажем, что она верна и для n = k-\~\.
Пусть значения хА+1, которых счетное множество, занумерованы
в последовательность
44-п 4%,... ,4+п • • • •
Обозначим
А; — {а^ * „ 1
Это множество состоит из элементов, различаемых только k знач-
ками х2, ... , xki каждый из которых принимает счетное множе-
ство значений, так как последний значок x*4-i является общим для
26
всех элементов множества Д-. Поэтому, в силу допущения, что тео-
рема для n = k верна, множество At счетно. Очевидно, что
00
2 Д..
1 = 1
Следовательно, множество А счетно, как сумма счетного множе-
ства счетных множеств.
Следующие утверждения, доказательства которых основаны на
теореме 8, дают примеры счетных множеств.
Теорема 9. Множество всех многочленов
^J*) = V” + aX"’+ •••+««-!* + ««
с рациональными коэффициентами счетно.
Доказательство. В самом деле, множество многочленов
Р„(х) какой-либо определенной степени п можно рассматривать как
множество элементов, различаемых лЦ-1 значками а0, . ..,ап,
каждый из которых, будучи рациональным, принимает счетное множе-
ство значений, а такое множество счетно по теореме 8.
Но п также принимает счетное множество значений, поэтому
данное множество счетно, как сумма счетного множества счетных
множеств. Теорема доказана.
До того как формулировать следующее утверждение, напомним,
что число $ называется алгебраическим, если оно является корнем
какого-либо многочлена с целыми коэффициентами, в противном слу-
чае число £ называется трансцендентным.
Теорема 10. Множество всех алгебраических чисел счетно.
Доказательство. Всех многочленов с целыми коэффициен-
тами счетное множество, а корней каждого из них конечное число.
Поэтому множество всех алгебраических чисел есть сумма счетного
множества конечных множеств, откуда и следует, что оно счетно,
так как, очевидно, является бесконечным.
В заключение параграфа о счетных множествах укажем на соот-
ношения, характеризующие мощность счетного множества, которые
легко могут быть получены из теоремы 3 и следствий из нее.
Если данные множества не пересекаются, то, по определению,
мощность суммы данных множеств есть сумма мощностей данных
множеств.
Поэтому, если множества М и А не пересекаются и М состоит
из п элементов, а А — счетное, т. £. имеет мощность Ко, то из
факта, что М-[-А — счетное множество, следует
л-|-х0=ж0.
Счетность суммы конечного множества попарно не пересекаю-
щихся счетных множеств дает
«.+ *.+ •
27
а счетность суммы счетного множества попарно не пересекающихся
счетных множеств означает, что
К0 + + • • • + «о + • • " *0-
Рассматривая множество М — {ak J в теореме 3, счетное по этой
теореме, как множество пар (£, /) натуральных чисел k и /, замечаем,
что мощность М есть произведение мощностей множеств
W={1, 2, и N=, {1, 2, ... , /, ...},
т. е. коко. Кроме того, очевидно, что если один из значков,
например k, принимает конечное множество п значений, то множе-
ство М счетно и в этом случае, но мощность М в этом случае есть
произведение лк*. Отсюда имеем
лв0 = К0,
Мо = ко-
Заметим, наконец, что из теоремы 5 имеем:
К-|“Л= К,
*+*0=*.
где к есть мощность любого бесконечного множества.
ГЛАВА II
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Иррациональные числа
Множество /? всех рациональных чисел, состоящее из всех целых
положительных и отрицательных чисел, нуля и положительных и от-
рицательных дробей, имеет следующие свойства:
1. Свойство упорядоченности, которое заключается в том, что
для любых рациональных чисел а и b имеет место одно и только
одно из трех соотношений:
a = b.
причем, если а<^Ь и то а<с.
2. Свойство плотности, выражающееся в том, что между любой
парой рациональных чисел а и b содержится рациональное число,
а значит и бесконечное множество рациональных чисел. Так, если
а<^Ь, то для г =имеем а<г<Ь. Также можно было бы
указать рациональные числа, содержащиеся между а и г, г и b и т. д.
Все рациональные числа изображаются точками прямой. Это де-
лается так. На прямой берем произвольную точку и считаем ее изоб-
ражением числа 0. Получаем нулевую точку, или начало. Для изоб-
ражения числа 1 берем также произвольную точку правее начала.
Этим устанавливается единица длины — отрезок с концами в точках
0 и 1. Откладывая теперь единицу длины п раз направо от начала,
получим точку, изображающую число и, а налево от начала — точку,
изображающую число — п. Так получим все целые точки. Для изоб-
ражения дробного числа 4z~ делим единицу длины на q равных частей,
затем одну часть откладываем р раз направо от начала, для изобра-
жения и налево от начала, для изображения — -у* Таким обра-
зом получим на прямой множество рациональных точек, причем рас-
стояние каждой из них от начала выражается абсолютной величиной
(модулем) того рационального числа, которое изображается этой
точкой.
Можно заметить, что для изображения рациональных чисел исполь-
зованы не все точки прямой, т. е. не все точки прямой рациональные.
29
Чтобы убедиться в этом, построим квадрат, стороны которого
равны единице длины, и диагональ квадрата отложим на прямой
направо от начала. Получим некоторую точку а. Докажем, что а не
будет рациональной точкой. В самом деле, пусть точка а рациональ-
ная, т. е. расстояние а от начала равно некоторому рациональ-
ному числу г. Но так как это расстояние равно длине диагонали
квадрата со стороной 1, то должно быть г2 = 2. Следовательно, допуще-
ние, что точка а рациональная, равносильно допущению, что есть
рациональное число, квадрат которого равняется 2. Покажем, что та-
кое допущение приводит к противоречию. Пусть г2 = 2, где г — ра-
циональное число, и, значит, может быть представлено в виде несокра-
тимой дроби г = ^-. Отсюда =2 и p2 = 2q2, поэтому р2—
четное число. Но тогда и р должно быть четным числом, так как
если бы р не было четным, то и р2 также не было, бы четным.
Следовательно, р = 2р' и поэтому (2р')2 — 2q2, или 2р'2 — q*, откуда
>q2) а значит, и q — четное число, т. е. q — 2q’. Получили, что дробь
р ~р’
— = и, значит, сократимая, тогда как для выражения числа г мы
Я
взяли несократимую дробь — . Полученное противоречие доказывает,
Q
что не существует рационального числа, квадрат которого равняется 2,
и вместе с этим доказывает, что точка а не является рациональной,
Таким образом, множества R рациональных чисел недостаточно,
чтобы каждой точке прямой поставить в соответствие число. Для
того чтобы можно было установить взаимно однозначное соответ-
ствие между множеством чисел и множеством точек прямой, необхо-
димо множество чисел пополнить новыми элементами, т. е. расши-
рить понятие числа. Задача эта решается введением так называемых
иррациональных чисел.
Следуя Дедекинду, иррациональные числа вводим при помощи
понятия сечения множества рациональных чисел, которое опреде-
ляется так:
Сечением множества R всех рациональных чисел называется всякое
разбиение этого множества на два подмножества А и В, удовлетво-
ряющие условиям:
1. Ни одно из множеств А и В не пустое.
2. Каждое рациональное число содержится в одном и только в
одном из множеств А или В.
3. Каждое число, содержащееся в множестве А, меньше каждого
числа, содержащегося в множестве В.
Множество А называется нижним, а множество В—верхним классом.
Сечение множества R обозначается символом
(А В).
Очевидно, что в нижнем классе А нет наименьшего, а в верхнем
классе В нет наибольшего числа. Что же касается наибольшего числа
30
в классе А и наименьшего числа в классе В, то здесь логически
возможны следующие четыре случая:
1. В нижнем классе А есть наибольшее число, а в верхнем
классе В нет наименьшего числа.
2. В верхнем классе В есть наименьшее число, а в нижнем
классе А нет наибольшего числа.
3. В нижнем классе А нет наибольшего числа и в верхнем классе В
нет наименьшего числа.
4. В нижнем классе А есть наибольшее число и в верхнем классе В
есть наименьшее число.
В действительности четвертый случай невозможен.
В самом* деле, пусть сечение (Д, В) четвертого вида, т. е. в
классе А есть наибольшее число aQ и в классе В есть наименьшее
число bQ. Так как всякое число класса А меньше каждого числа
класса В, то я0 <^0. Но для рационального числа г — — имеем
&
a*<Zr поэтому г не содержится ни в классе А, так как оно
больше наибольшего числа а0 в этом классе, ни в классе В, так как
оно меньше наименьшего числа bQ в этом классе. Это противоречит
определению сечения множества всех рациональных чисел, ибо, по
определению сечения, каждое рациональное число должно содержаться
либо в Д, либо в В, Полученное противоречие и доказывает, что
сечения (Д, В) четвертого вида не существует. Чтобы доказать, что
сечения первого, второго и третьего вида существуют, достаточно
привести соответствующие примеры.
Пример 1. Возьмем какое-либо рациональное число г и все
рациональные числа а, меньшие г, отнесем к классу Д, а рациональные
числа Ь, большие г, отнесем к классу В. Число г отнесем к классу Д.
Очевидно, получим сечение (Д, В) первого вида. В самом деле,
в классе А число г является наибольшим, а в классе В наименьшего
числа нет, иначе получили бы сечение четвертого вида, что не-
возможно.
Пример 2. Изменим предыдущий пример только тем, что число
г отнесем к классу В. Очевидно, получим сечение второго вида.
Пример 3. Отнесем к классу Д все отрицательные рациональные
числа, число 0 и все положительные рациональные числа, квадрат ко-
торых меньше 2. Все остальные рациональные числа отнесем к классу В.
Так как рационального числа, квадрат которого равняется 2, не сущест-
вует, как было доказано раньше, то класс В состоит из всех поло-
жительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Очевидно,
что множества Д и В не пустые, каждое рациональное числи содер-
жится в одном из классов А или В и каждое число класса А меньше
любого числа класса В. Следовательно, имеем сечение (Д, В). До-
кажем, что это сечение третьего вида, т. е. в классе А нет наиболь-
шего, а в классе В нет наименьшего числа.
В самом деле, пусть а0 — наибольшее из всех рациональных чисел,
содержащихся в Д. Ясно, что а0 не может быть ни отрицательным,
ни нулем, так как А содержит и положительные числа. Поэтому
31
и a2 <2. Поставим теперь задачей найти
такое натуральное
число /г, чтобы
или
Но последнее неравенство и подавно будет выполнено, если п удов-
летворит неравенству
или
—o +J < 2 — а2.
п о
Откуда, учитывая, что 2 — а2^>0, имеем:
2а04-1
п> -т°-г = р-
2 — а2 г
о
/ 1 \ 2
Итак, при любом п^>р справедливо неравенство 1 <2,
. 1 ' . . . 1 7
т. е. а0-|-~ содержится в классе Л, а так как а0 < а0-j-~ > то это
противоречит допущению, что а0 — наибольшее из чисел в А. Сле-
довательно, в классе А наибольшего числа не существует.
' Допустим теперь, что среди чисел класса В есть наименьшее число
bQ. Поставим целью найти такое натуральное число п, чтобы
или
Но последнее неравенство и подавно будет выполнено, если только
п удовлетворит неравенству
— —°>2,
О П
или
д2 —2
о
2*о.
п
Откуда, учитывая, что Ьг — 2 0, имеем:
. 2£0
и — 2
о
f 1 4 2
Итак, при любом л>р' справедливо неравенство — ~j>2,
т. е. bQ — ~ содержится в классе В, атак как bQ— то это
32
противоречит допущению, что Ьй есть наименьшее из всех чисел
класса В. Следовательно, в классе В. наименьшего числа не су-
ществует.
Таким образом, мы имеем пример сечения (Л, В) множества всех
рациональных чисел, когда среди чисел нижнего класса А нет наиболь-
шего, а среди чисел верхнего класса В нет наименьшего числа, т. е.
пример сечения третьего вида.
Невозможность четвертого случая и рассмотренные здесь при-
меры позволяют формулировать следующую теорему:
Теорема. Сечения множества всех рациональных чисел могут
быть трех видов:
1) либо в нижнем классе А есть наибольшее число г, но нет
наименьшего числа в верхнем классе В;
2) либо в верхнем классе В есть наименьшее число г, но нет
наибольшего числа в нижнем классе А;
3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего, ни в
верхнем классе нет наименьшего числа.
Если сечение (Л, В) первого или второго вида, то существует
рациональное число г, которое является пограничным между классами
Л и В. В случае сечения (Л, В) третьего вида такого рационального
пограничного числа не существует, поэтому мы создаем новое иррацио~
нальное число, которое и считаем содержащимся между классами Л и
В. Таким образом, иррациональные числа мы вводим при помощи
следующего определения:
Определение. Если сечение (Л, В) первого или второго вида, то
говорят, что сечение производится рациональным числом г или что
сечение определяет рациональное число г (наибольшее в Л или наи-
меньшее в В). Если же сечение (Л, В) третьего вида, то говорят,
что это сечение определяет некоторое иррациональное число а, и
пишут: а = (Л, В).
Все рациональные и иррациональные числа вместе составляют мно-
жество всех действительных (или вещественных) чисел. Это множество
будем обозначать буквой Z.
§ 2. Упорядоченность множества всех действительных чисел
Множество R всех рациональных чисел обладает свойством упоря-
доченности. Нам надо позаботиться о том, чтобы и новое, расширен-
ное множество чисел, т. е. множество Z всех действительных чисел,
также было упорядоченным. Для этого мы должны установить способ
сравнения действительных чисел, ввести понятия равно, больше,
меньше, причем так, чтобы из неравенств а < р, р < у следовало бы
неравенство а<у.
Эти понятия мы вводим следующими определениями:
Если рациональное число г содержится в нижнем классе А сечения
(Л, В), определяющего иррациональное число а, то скажем, что г а,
если же г содержится в верхнем классе В, то скажем, что а<г.
2 Н. А. Фролов
33
Пусть имеем два иррациональных числа а = (Д, Б)иа' = (Д',В').
Здесь возможны три случая:
1. Множества А и Д' совпадают, а следовательно, совпадают и
множества В и В, т. е. (Д, В) и (Д', В') представляют одно и то
же сечение. В этом случае мы примем а = а'.
2. Множество А составляет правильную часть множества Д', т. е.
Дез Д', но Д=^=Д' (тогда В'аВ, но В'^=В). В этом случае мы при-
мем а<^а'.
3. Множество Д' составляет правильную часть множества Д, т. е.
Д'с:Д, но Д'^Д (тогда В с: В, но В^В). В этом случае мы при-
мем а^>а'.
Эти определения позволяют высказать следующую теорему:
Теорема. Для любых двух действительных чисел а и и! имеет
место одно и только одно из трех соотношений:
а = а', а<а', а2>а'.
Определение неравенства между иррациональными числами можно
распространить на случай, когда одно или оба числа рациональные,
выражая рациональные числа сечением одного вида, например пер-
вого, когда в нижнем классе есть наибольшее число.
Учитывая это,- можно показать, что если а<р и р<Су»тоа<у.
В самом деле, пусть
а = (Д, В), р==(Л„ В.) и Т=<Л„ Bt).
Из неравенства а<р следует, что Да:Др но’Д^Д,; из р<у имеем
Д1сД2, но Д1^=Д2; следовательно, Да:Д2, но т. е. а<у
по определению неравенства между действительными числами.
Таким образом, мы множество Z всех действительных чисел
упорядочили,
§ 3. Плотность множества действительных чисел
Множество всех действительных чисел обладает свойством плот-
ности, которое заключается в том, что между любой парой действи-
тельных чисел содержится действительное число, а значит и беско-
нечное множество таких чисел.
Чтобы убедиться в этом, докажем следующую теорему, представ-
ляющую более сильное утверждение.
Теорема. Каковы бы ни были два действительных числа а и
Р>а, всегда найдется рациональное число г, заключенное между
4 Ш 1t<4 i Вл --*’***"’ О ГЪЛ Л Л t 44 ЛЛД 44 £ 1441ПЛ/ЛА* ЛЛЛ Л ЛАЛ вл Л Л 44 л Л
р, u * u v/<*o<y ньилил
рациональных чисел.
Доказательство. Так как множество всех рациональных чисел
обладает свойством плотности, то теорема очевидна, когда оба чи-
сла аир рациональные. '
Если одно число, например а, рациональное, а другое р иррацио-
нальное, то из неравенства а р следует, что а содержится в
нижнем классе сечения, определяющего р. Это сечение третьего вида,
34
ибо число р иррациональное, и нижний класс сечения не имеет
наибольшего числа; поэтому там найдется рациональное число г > а.
При этом будет г < р, так как г содержится в нижнем классе сече-
ния, определяющего р. Следовательно, а<г<р.
Если окажется, что число а иррациональное, а р рациональное,
то теорема доказывается аналогично: р>а содержится в верхнем
классе сечения, определяющего а, в котором найдется г <р, ибо в
этом классе нет наименьшего числа; кроме того, г>а, как число
верхнего класса; поэтому опять имеем a<r<p.
Если оба числа а = (Д В) и р = (Д', В) иррациональные, то
неравенство а<р означает, что Л с: Д', но Д=^Д', поэтому имеет-
ся рациональное число г, содержащееся в Д', но не содержащееся
в Д, т. е. принадлежащее В. Из г£ Д' следует, что г<^р, а из
г£В следует, что а г. Таким образом, опять имеем а г <р.
§ 4. Непрерывность множества всех действительных чисел
Аналогично понятию сечения множества R всех рациональных
чисел мы вводим понятие сечения множества Z всех действительных
чисел следующим определением.
Сечением множества Z всех действительных чисел называется
всякое, разбиение этого множества на два подмножества X и У, удов-
летворяющие условиям;
1. Ни одно из множеств X и Y не пустое.
2. Каждое действительное число содержится в одном и только
в одном из множеств X или Y.
3. Каждое число, содержащееся в множестве X, меньше каждого
числа, содержащегося в множестве У.
Множество Xназывается нижним, а множество У—верхним классом.
Сечение множества Z обозначается символом
И, Г).
Докажем теорему, устанавливающую, какого вида могут быть эти
сечения.
Теорема (Дедекинда). Сечения (X, У) множества Z всех дейст-
вительных чисел могут быть двух видов:
1) либо в нижнем классе X есть наибольшее число, но нет на-
именьшего числа в верхнем классе Y;
2) либо в верхнем классе У есть наименьшее число, но нет наи-
большего числа в нижнем классе X.
Это свойство множества всех действительных чисел называется
свойством непрерывности.
Доказательства. Прежде всего заметим, что не может быть
такого сечения, когда и в нижнем классе X есть наибольшее число а,
и в верхнем классе У есть наименьшее число р. В самом деле, пусть
такое сечение (X, У) есть и число a — наибольшее в X, а р — наи-
меньшее в У. Тогда а<р, так как а р € У. Но в силу плот-
ности множества всех действительных чисел найдется такое число г?
2*
35
что будет а <^г р. Число г не может содержаться в X, так как оно
больше наибольшего из чисел класса X, но г не может содержаться и
в К, так как оно меньше наименьшего из чисел класса У. Это про-
тиворечит тому, что, по определению сечения, каждое число г должно
содержаться или в X, или в Y.
Возьмем произвольное сечение (X, Y) множества Z. Обозначим
через А множество рациональных чисел, содержащихся в классе X,
и через В—множество рациональных чисел, содержащихся в классе У.
Так как каждое рациональное число содержится либо в/, а значит
и в Л, либо в У, а значит и в В, и, кроме того, любое число множе-
ства AczX меньше каждого числа множества В с: У, то имеем сече-
ние (Д, В) множества R всех рациональных чисел. Нам известно, что
для сечения (Д, В) возможны три случая. Если теперь докажем, что
в каждом из этих трех возможных для (Д, В) случаев сечение (X, У)
будет либо первого, либо второго вида, то теорема будет доказана.
Пусть сечение (X, У) таково, что соответствующее сечение (Д, В) —
первого вида, т. е. в классе А есть наибольшее число а0. Докажем,
что aQ будет наибольшим и в классе X. Прежде всего заметим, что
ай£Х, так как АаХ. Допустим, что в классе X найдется число
а^>а0. Тогда найдется рациональное число г, заключенное между а9
и а, т. е. а0<г<а. Из aQ<^r следует, что г не содержится в Д,
потому что а0 — наибольшее в Д. Из неравенства г<^а, где а £Х,
следует, что г не содержится в классе У, а значит, г не содержится
в классе В. Это противоречит тому, что каждое рациональное число г
обязательно содержится либо в Д, либо в В. Поэтому допущение,
что в классе X есть число а >а0, неверно. Следовательно, в классе Л'
есть наибольшее число — а0, а так как одновременно с этим не может
быть наименьшего числа в У, как было доказано вначале, то сечение
(АГ, У) — первого вида.
Аналогично можно доказать, что если сечение (АГ, У) таково, что
соответствующее сечение (Д, В) — второго вида, т. е. в классе В
есть наименьшее число #0, то это же число Ьо будет наименьшим и
в классе У, а следовательно, сечение (АГ, У) будет второго вида.
Пусть, наконец, сечение (А”, У) таково, что соответствующее се-
чение (Д, В) — третьего вида и, следовательно, определяет некоторое
иррациональное число £ = (Д, В). Число £, как и любое действитель-
ное число, содержится либо в X, либо в У. Пусть %£Х. Докажем,
что число $ — наибольшее среди чисел класса X. Допустим, что это
не так, что в классе X найдется число а^>£. Тогда можно найти
такое рациональное число г, что будет £<г<а. Из неравенства
следует, что г£В, а неравенство где а£Аг, показывает,
что г£Х, а значит, и г£А. Это противоречит тому, что каждое
рациональное число г содержится только в одном классе: либо в Д,
либо в В. Поэтому допущение, что в классе АГ есть число а не
верно. Следовательно, если то в нижнем классе X есть наи-
большее число £, а так как одновременно с этим не может быть наи-
меньшего числа в верхнем классе У, то сечение (АГ, У) — первого
вида.
36
Аналогично доказывается, что если $ € то число $ — наименьшее
среди чисел верхнего класса У, а следовательно, сечение (X, У) —
второго вида.
Итак, сечение (Л\ Y) всегда будет либо первого, либо второго
вида.
Таким образом, всякое сечение (X У) множества Z всех действи-
тельных чисел всегда определяет одно и только одно действительное
число, являющееся пограничным между классами X и У.
§ 5. Соответствие между действительными числами
и точками прямой
Изображая рациональные числа точками прямой так, как было
показано в начале этой главы, мы получим взаимно однозначное со-
ответствие между множеством рациональных чисел и некоторым мно-
жеством точек прямоймножеством рациональных точек. Соответ-
ствие это сохраняет порядок, т. е. если точки at и az соответствуют
числам и г2, то из неравенства 1\<^г2 следует, что ах<^а2
левее а2).
Теперь надо выяснить, нельзя ли установить взаимно однозначное
соответствие между множеством всех иррациональных чисел и множе-
ством всех точек прямой, не являющихся рациональными. При реше-
нии этого вопроса мы будем предполагать относительно прямой, что
между любыми двумя точками а и b содержится рациональная точка.
Это равносильно тому, что можно принять за очевидный геометриче-
ский факт, а именно: каким бы ни был отрезок прямой с концами
в точках а и Ь, всегда можно разделить единицу длины на такое
число q равных частей, что одна часть будет короче этого отрезка.
В самом деле, если это положение принято и если точки'а и b для
определенности находятся справа от начала, то, откладывая одну #-ю
часть единицы длины достаточно большое число р раз направо от
начала, получим рациональную точку
а и Ь.
£
Q '
которая окажется между
Кроме того, относительно прямой мы примем следующую аксиому,
выражающую свойство непрерывности прямой:
Аксиома. Если мы разобьем множество всех точек прямой на
два класса X и Y так, чтобы каждая точка класса X была ле-
вее каждой точки класса У, то либо в классе X будет самая
правая точка, но не будет самой левой точки в классе Y, либо
будет самая левая точка в классе Y, но не будет самой правой
точки в классе X.
Приступим к изображению иррациональных чисел точками пря-
мой, считая, что рациональные числа уже изображены. Пусть имеем
иррациональное число а==(А, В). Обозначим через А' множество
рациональных точек, соответствующих числам класса А, через В—
множество рациональных точек, соответствующих числам класса В.
Разобьем множество всех точек прямой на два класса X и У, отнеся
37
к классу X все точки множества Д', а также любую точку, правее
которой есть хотя бы одна точка множества А', все остальные точки
отнесем к классу , /. В частности, все точки множества В' будут
содержаться в Y. Ясно, что каждая точка класса X находится левее
каждой точки класса У. Вследствие свойства непрерывности прямой
существует одна точка Е, которая является либо самой правой в классе X,
либо самой левой в классе Y. Точка $ не может быть рациональной.
В самом деле, если бы точка £ была рациональной и самой правой
в классе X, то она была бы и самой правой в Д', а это означает,
что в классе А есть наибольшее число, чего не может быть, так как
сечение (Д, В) определяет иррациональное число. Так же можно за-
метить, что если точка $ будет рациональной и самой левой в У, то
в классе В будет наименьшее число, что опять невозможно в силу
иррациональности а = (Д, В). Этой точкой Е, не являющейся рацио-
нальной, т. е. оставшейся свободной после изображения рациональ-
ных чисел точками прямой, мы и изобразим данное иррациональное
число а. Заметим, что точка Е содержится между классами А' и В'.
Пусть мы так изобразили все иррациональные числа точками пря-
мой, не являющимися рациональными. Докажем, что в результате этого
каждая нерациональная точка оказалась изображением некоторого
иррационального числа. С этой целью возьмем произвольную нерацио-
нальную точку Е* Обозначим через А' множество всех рациональных
точек, находящихся слева от Е, а В' — множество рациональных
точек, находящихся справа от £. Легко заметить, что в классе Дгнет
самой правой, а в классе В' нет самой левой точки. В самом деле,
если а'£Д', то а лежит левее Е. Но.между а и Е есть рациональные
точки. Они содержатся в Д' и лежат правее а', поэтому никакая
точка а £Д' не является самой правой в классе Д'. Точно так же,
если У £ В', то Е<С^' и все рациональные точки промежутка (Е, Ь')
содержатся в классе В' и лежат левее Ь'. Поэтому никакая точка
Ь'£В’ не есть самая левая в классе В'. Обозначим затем через А
множество рациональных чисел, соответствующих точкам класса Д',
и через В — множество рациональных чисел, соотвётствующих точ-
кам класса В'. Получим сечение (Д, В), в котором А не имеет наи-
большего числа, так как нет самой правой точки в Д', В не имеет
наименьшего числа, так как нет самой левой точки в В'. Следова-
тельно, сечение (Д, В) определяет некоторое иррациональное число а.
Все иррациональные числа уже изображены точками прямой. Поэтому
и число а = (Д, В) также изображено некоторой нерациональной точ-
кой Е\ которая должна находиться между классами Д' и В'. Докажем,
что точка Е' совпадает с Е- Допустим, что точки Е и Е' разные, для
определенности будем считать Е<С^'. Так как и Е и Е' находятся
между классами Д' и В', то все рациональные точки класса Д' будут
левее Е, а все рациональные точки класса В'— правее Е', т. е.
Д' <Е<Е' <СВ'. Поэтому между Е и Е' нет ни одной рациональной
точки. Это противоречит тому, что между любыми двумя точками пря-
мой есть рациональная точка. Следовательно, допущение, что Е' и
£ не совпадают, не верно, т. е. £'=£• Это и доказывает, что лю-
38
бая нерациональная точка £ является изображением некоторого ир-
рационального числа а.
Остается показать, что если и а2 — два различных иррацио-
нальных числа, то они изображены различными точками и $2, при-
чем если 04 < а2, то левее S2). В самом деле, пусть 04 =
= a2 = (A2, В2) и at<a2. Это означает, что AtczA2, но
А А2, т. е. существует рациональное число г, содержащееся од-
новременно в А2 и в Обозначим через Аи Ви Л2, В2 множества
рациональных точек, соответствующие множествам Ар Bv Л2, В2.
Точка $р изображающая число ар находится между классами Ах и
Ви т. е. Ai <Z точно так же для $2, изображающей число а2,
имеем А2<Е2<^В2. Обозначим через г'точку, соответствующую ра-
циональному числу г. Так как г£А2, то r'£A2f поэтому г
(г' левее $2). Но также r^Bv а значит, г' £Ви откуда имеем <г'
(г' правее Следовательно, ^<^гг <$2, т. е. $2.
Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между
множеством всех действительных чисел и множеством всех точек пря-
мой. Соответствие это сохраняет порядок, т. е. если число меньше
числа а2, то точка $р соответствующая числу ар расположена левце
точки S2, соответствующей числу а2.
§ 6. Арифметические операции над действительными числами
При введении иррациональных чисел мы считали исходным мно-
жеством чисел — множество рациональных чисел, поэтому четыре основ-
ных арифметических действия определены пока только для рацио-
нальных чисел. (Мы полагаем, что с этими действиями и их свойст-
вами читатель знаком.) Что же касается сложения, вычитания, умножения
и деления вообще действительных чисел, то они еще должны быть
определены.
До определения этих операций остановимся на понятиях симме-
тричных чисел и обратных чисел, а также докажем одну лемму.
Симметричные числа. Если число г рациональное, то сим-
метричным ему называется рациональное число — г.
Пусть
а = (А, В)
есть иррациональное число.
Обозначим через — А множество рациональных чисел, симметрич-
ных числам класса А, а через — В — множество рациональных чисел,
симметричных числам класса В. Так как каждое рациональное число
является симметричным некоторому рациональному числу, то — А
и — В охватывают все множество рациональных чисел. Очевидно, что
ни одно из этих множеств не будет пустым. Кроме того, любое чи-
сло из —В меньше каждого числа из —А, ибо если
то ——А и —b £— В и из неравенства а<^Ь следует нера-
венство— — Ь. Следовательно, мы получили сечение (—В, — А)
39
множества всех рациональных чисел. Так как сечение (Л, В), опре-
деляющее иррациональное число а, третьего вида, то сечение
(— В, — А) также третьего вида и определяет некоторое иррацио-
нальное число, которое мы обозначим через —а:
— а = (— В,— А)
и будем называть симметричным числу а.
Из этого определения следует, что всегда —(—а) = а.
Обратные числа. Если число г0 рациональное, то обрат-
ным ему называется рациональное число —.
Пусть
а —(Л, В)
есть иррациональное число.
Если а>0, то, удалив из класса А все рациональные числа
а^О, мы получим сечение множества положительных рациональных
чисел, которое вполне будет определять число а, как и первоначаль-
ное сечение множества всех рациональных чисел. При а<0 можно
удалить из В все рациональные числа и определить а сече-
нием множества отрицательных рациональных чисел. Поэтому число а
всегда можно определить сечением множества рациональных чисел
одинакового с а знака.
Итак, пусть сечение (Л, В), определяющее число а, есть сечение
множества рациональных чисел того же знака, что и а.
Обозначим через Л”1 множество рациональных чисел, обратных
числам класса Л, а через В'1— множество рациональных чисел, об-
ратных числам класса В. Так как для каждого рационального числа г,
отличного от нуля, имеется обратное рациональное число i того
же знака, что и г, то множества Л“1 и В-1 охватывают то же са-
мое множество рациональных чисел, что и классы Л и В. Очевидно,
что Л"1 и В'1 не пустые, причем любое число из В*"1 меньше каж-
дого числа из Л”1. Следовательно, (В"1, Л-1) есть сечение множе-
ства рациональных чисел одинакового с числом а знака. Так как
сечение (Л, В) третьего вида, то сечение (В"1, Л“1) также третьего
вида и определяет некоторое иррациональное число того же знака,
о л 1
что и число а. Это число мы обозначим через
- = Д-‘)
а
п будем называть обратным числу а.
Из этого определения следует, что всегда
а
40
Лемма. Пусть а — любое действительное число. Каково бы ни
было е>0, найдутся рациональные числа а и bt удовлетворяющие
неравенствам
a<^a<^bt b — а<^е.
Доказательство. Возьмем любое е>0 и выберем положи-
тельное рациональное число Л<е.
г? й
Если число а рациональное, то достаточно взять а = а — ,
, I А
*=а+у.
Пусть а — иррациональное число, определенное сечением (А, В).
Возьмем какие-нибудь рациональные числа а6£А Тогда бу-
дем иметь я0<а</>0. Если bQ— aQ^h, то лемма доказана. Если
же bQ — а0> h, то возьмем
г —До + ^О
0 2
и тогда будем иметь либо ав<а<г0, либо г0<а<#0, т. е. полу-
чим такие два рациональных числа at и bv что
аг
причем
Далее, взяв среднее арифметическое между ах и bv получим такие
рациональные числа а* и bv что
Продолжая идти по этому пути, мы найдем рациональные числа ап
и Ьп, удовлетворяющие условиям
ап <Са <С ап — 2й ’
Так как при достаточно большом п
А
то лемма доказана.
Сложение. Пусть а и-а' — два каких-нибудь действительных
числа.
Обозначим через а, Ь, а! и Ь’ произвольные рациональные числа,
удовлетворяющие неравенствам
и докажем, что существует единственное действительное число, ко-
торое больше всех сумм вида а-\-а' и меньше всех сумм вида b-\-b’.
С этой целью разобьем множество Z всех действительных чисел на
41
два класса X и У, включив в класс X всякое число, которое меньше
каждого числа вида b-\-b\ а в класс Y—все остальные числа. По-
строенное разбиение множества Z есть сечение (Л”, У) множества всех
действительных чисел. В силу свойства непрерывности множества
действительных чисел, это сечение определяет некоторое действи-
тельное число. Обозначим его через о. Так как, очевидно, а~\~а £АГ,
то для всех чисел вида а-^-а' и b-\-b' имеем:
^g b-\-b'.
Число о, являющееся либо наибольшим в классе X, либо наименьшим
в классе У, не может равняться ни одному из чисел вида
среди которых нет наибольшего, и ни одному из чисел вида b-\-b\
среди которых нет наименьшего. Следовательно, число а удовлетво-
ряет неравенствам
и —-|— а g b —|— b
для любых а-\-а и b-\-b'. Остается доказать, что а — единствен-
ное число, обладающее этим свойством. Допустим, что есть число
g't^g, для которого также имеем:
а + а1 < g' <Z b 4~ Ь'
при любых аа' и b-\-b'. Положим для определенности g'>g и
возьмем два рациональных числа г и г' так, чтобы было
о г < г' <С g'
(такие гиг' существуют на основании теоремы о плотности мно-
жества действительных чисел). Так как
то
а 4- а' < о < г < г' < а' < &
(Ь £') — (я 4- а) > г' — г
для всех а-\-а и b-\-b'. Но, согласно доказанной выше лемме, при
любом е^>0 рациональные числа а, Ьу ау Ь', удовлетворяющие усло-
виям а<^а<^Ьу а <а' <&', можно выбрать так, чтобы были верны
неравенства b—и Ь' — а'<е, поэтому, взяв е = г-> иай-
дем такие а-]-а' и Ь-[~Ь’> что будем иметь:
(Ь 4- Ь') — (а+а') = (b — a) -J- (Ь' — а') < — г' — г.
Полученное противоречие доказывает, что
« = (*, Г)
есть единственное число, большее всех чисел вида а 4~л' и меньшее
всех чисел вида b-^-b'. Это число и называется суммой данных чи-
сел а и а'.
Этим самым сумма а-|-а' любых действительных чисел а и а'
определена однозначно.
Можно заметить, что если данные числа а и а' рациональные, то
на основе общего определения суммы действительных чисел мы по-
лучим для а 4“ то же самое, что и по обычному правилу сложе-
ния рациональных чисел.
Операция сложения действительных чисел обладает свойствами
переместительности:
а4"^' = аг 4~а,
сочетательности:
(а'4-а')4~а^= а 4“(a' 4"а*)*
Наличие этих свойств сложения действительных чисел можно за-
метить из определения суммы, если, как мы полагаем, они уже уста-
новлены для сложения рациональных чисел.
Легко доказываются также свойства сложения, выражаемые ра-
венствами:
a4”0 = a,
a4"(—a) = 0.
Вычитание. Вычитание есть действие, обратное сложению.
Разность действительных чисел определяется так:
Разностью' a — а' действительных чисел а и а' называется такое
действительное число р, что сумма р и а* равна а.
Можно заметить, что под определение разности a — а' подходит
число а-|-(—а'). В самом деле,
[а 4“ (— а)] 4- а' = а 4~ [(—<*') 4“ *] “ а ® = а<
С другой стороны, можно заметить, что под определение разно-
сти a — а' подходит только число a4“(—а'). Действительно,
пусть некоторое число р является разностью a — a':
р = a — a'.
Тогда, в силу определения разности, имеем:
p4~a' = a.
Прибавляя к обеим частям этого равенства число —а', симметричное
числу а', получим:
р+а'Ч-(— а')=а+(— <*')•
Откуда, учитывая, что
р 4*а> 4~ (—я)=р 4~ [а> 4~ (—а')]=р 4- о—р»
находим:
р=я4-(— «')•
Итак,
a — ar = a 4- (— a').
Это равенство сводит вычитание к сложению, которое определено
однозначно, поэтому и задача вычитания имеет единственное реше-
ние: для любых двух действительных чисел а и а' существует един-
43
ственное действительное число р, являющееся разностью а — а',
причем это число может быть получено сложением числа а с числом
—>а', симметричным по отношению к числу а'.
Умножение. Пусть а и а' — любые положительные действи-
тельные числа.
Обозначим через а, &, a. Ь' произвольные положительные рацио-
нальные числа, удовлетворяющие неравенствам:
а<^а<^Л, а <Ь',
и докажем, что существует единственное действительное число, ко-
торое больше всех чисел вида аа' и меньше всех чисел вида bb'.
С этой целью составим сечение У) множества всех действитель-
ных чисел, включив. в класс X всякое действительное число, которое
меньше каждого числа вида bb\ а в класс Y—все остальные дей-
ствительные числа. Сечение (X, Y) определяет некоторое положитель-
ное действительное число р. Так как аа £Х и среди чисел аа' нет
наибольшего, a bb' £ Y и среди чисел bb' нет наименьшего, то число р
удовлетворяет неравенствам
аа' < р < bb'
для всех аа' и bb'. Можно убедиться, что р — единственное число,
обладающее этим свойством. Допустим, что для р' 7^ р также имеем:
аа' < р' < bb'
при любых ad и bb'. Пусть, для определенности р<Ср'. Выберем ра-
циональные числа г и г* так, чтобы было
₽<г<г'<Р'.
Тогда для всех аа' и bb* будем иметь:
bb* — аа* > г' — г.
Но при любом как угодно малом среди чисел а, Ь, а', Ь' най-
дутся такие, для которых будут верны неравенства
b — Ь'— а'<е,
причем эти числа можно считать меньшими некоторого рационального
числа с. Следовательно, взяв г — - , найдем такие a. Ь. а' Ь'.
что будем иметь:
bb’ — аа = Ь' (Ь — а)-\-а(Ь' — а) <^г' — г.
Полученное противоречие доказывает, что
Г)
есть единственное число, большее всех чисел вида аа и меньшее
всех чисел вида bb'. Это число р и называется произведением дан-
ных чисел а и а\
44
Определение произведения в случае, когда один из сомножителей
или оба сомножителя отрицательны, приводится к предыдущему при
помощи следующего правила знаков:
Если а>0, а'<^0, то аа'=— [а(—а')].
Если а<^0, а'<0, то аа' = (—а)(—а').
Наконец, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то
произведение полагаем равным нулю:
а-0 = 0-а'=0.
Таким образом, произведение аа' любых действительных чисел а
и а' определено однозначно.
Можно заметить, что если данные числа а и а' рациональные,
то на основе общего определения произведения действительных чи-
сел мы получим для аа' то же самое, что и по обычному правилу
умножения рациональных чисел.
Операция умножения действительных чисел обладает свойствами
переместительности:
а •л —л *а,
сочетательности:
(аа') а* = а (а'а*),
распределительности:
(а -J- а') а" = аа* а'а*«
Наличие этих свойств умножения действительных чисел можно
заметить из определения произведения, 'если, как мы считаем, они
уже установлены для умножения рациональных чисел.
Легко доказываются и свойства умножения, выражаемые равенст-
вами:
а -1 =а,
Деление. Деление является действием, обратным умножению
Понятие частного действительных чисел определяется так:
Частным от деления действительного числа а на действи-
ях
тельное число а' 0 называется такое действительное число у,
что произведение у и а' равно а.
„ а
Прежде всего заметим, что определению частного у удовлетво-
ряет число Действительно
45
С другой стороны, можно заметить, что под определение част-
а 1
ного р- подходит только число а*^7. В самом деле, пусть не-
„ а
которое действительное число у является частным
Тогда, в силу определения частного, имеем:
уа' = а.
Умножая обе части этого равенства на число обратное числу
а'7^ О, получим:
, 1 1
уа . —= а-—.
’ а а
Отсюда, учитывая, что
7а Vх v;=t-1=T’
имеем:
1
у = а-—.
4 а
Итак,
Это равенство сводит деление к умножению, которое определено
однозначно, поэтому и задача деления действительного числа на
действительное число, отличное от нуля, имеет единственное реше-
ние: для любых двух действительных чисел а и а' 7^= О существует
единственное действительное число у, являющееся частным дан-
ных чисел, причем это число может быть получено умножением
числа а на число , обратное по отношению к а «
§ 7. Представление действительных чисел бесконечными дробями
Всякое действительное число можно представить в виде беско-
нечной десятичной дроби. При этом десятичная система счисления
не является единственной. Действительное число можно разложить
и в бесконечную двоичную, троичную и т. д. дроби.
Покажем, как разлагаются действительные числа в бесконечные
двоичные дроби.
Возьмем действительное число а. Всегда можно найти такие
целые числа лил-|-1, что п<а ^п-\-
46
Положим для простоты л = 0, т. е.
0<а^ 1.
Разделим промежуток между числами 0 и 1 пополам. Тогда по-
лучим либо
0<asSy,
либо
т. е.
О, а,<а<0, ,
где равняется либо 0, либо 1 и символ 0, обозначает число
Разделим пополам промежуток между числами 0, и 0, -]~ у •
Тогда получим:
О, at0t<a<O, +
где аг равно 0 или 1 и символ 0, обозначает число •
В некоторый момент получим:
О, . ak < a < 0, ахаг ... ak 4~ , (1)
где ak либо 0, либо 1 и
л I л, । cl. t I ctt»
О, ...яЛ — 0-|-у + 2^• • • 4“5^•
Продолжая этот процесс дальше, получим бесконечную последо-
вательность цифр av at, .. .,afc, ... . Составленную из них беско-
нечную двоичную дробь, т. е. символ 0, ага2 ... .,., можно рас-
сматривать как двоичное обозначение действительного числа а:
а = 0, ... ak ... . (2)
Очевидно, что
а^ = 0, ...а„
являющееся приближенным значением числа а по недостатку, с воз-
растанием k не убывает:
а^^а/г + Р
причем ад, = а^+1 при условии, если аЛ+1 = 0. Наоборот, прибли-
женные значения числа а по избытку
а; = 0, «А
47
с возрастанием k не возрастают:
причем а^ = а^х при условии, если аЛ+1 = 1.
Так как в соотношениях (1) знак равенства включается только
справа; то в дроби (2) нуль не может быть в периоде.
В самом деле, если бы после ak все двоичные знаки в дроби (2)
были равны нулю, то имели бы аЛ = аЛ+1 = аЛ+± ===..., или, обозна-
чая рациональное число ай через с:
с = ап для n^k.
Ясно, что с<а, так как аЛ—»• приближенные значения а по недо-
статку. Между числами с и а всегда можно найти рациональное
число с':
<а.
Принимая во внимание, что
_ , , 1 . 1
а ^== аЛ — а« । 2п — С » 2п *
получим:
/ I 1
< с <с + 2П •
Откуда для положительного рационального числа г=с' — с имеем:
2.
г 2" ’
что не верно, так как п можно взять как угодно большим, а значит,
i может быть как угодно малым. Полученное противоречие и дока-
зывает, что нуль не может быть в периоде в дроби (2).
Итак, всякое действительное число можно представить в виде
определенной существенно ,бесконечной (т. е. без нуля в периоде)
двоичной дроби.
Обратно, пусть дана произвольная существенно бесконечная
двоичная дробь (2). Тогда можно построить действительное число а,
для которого данная дробь является двоичным обозначением. Для
этого составим сечение (Л, В) множества всех рациональных чисел,
отнеся к нижнему классу А все рациональные числа, которые меньше
всех чисел вида а^, « все остальные рациональные числа отнесем
к классу В. Очевидно, что все а Сечение (Л, В)
определяет некоторое действительное число а, причем
аА а .
Так как по допущению дробь (2) является существенно бесконеч-
ной, т. е. нуль не может быть в периоде, то числа ал не перестают
48
возрастать при возрастании k, поэтому среди ал нет наибольшего
и равенство аА=а невозможно. Следовательно,
Но это означает, что целая часть 0 и двоичные знаки а2, ... ,
ak, ... взятой дроби по отношению к числу а удовлетворяют нера-
венствам (1), а поэтому, разлагая построенное число а в бесконечную
двоичную дробь, мы получим данную дробь. Таким образом, каждая
существенно бесконечная двоичная дробь определяет единственное
действительное число.
Итак, каждое действительное число разлагается в существенно
бесконечную двоичную дробь одним способом, и, обратно, каждая
существенно бесконечная двоичная дробь, определяет единственное
действительное число.
Заметим, наконец, что если бы в неравенствах (1) мы допускали
равенство слева, то в дроби (2) не могла бы быть в периоде еди-
ница.
Очевидно, что только лишь конечные двоичные дроби дают
разложение в бесконечную двоичную дробь с единицей в периоде,
если в неравенствах (1) равенство допускаем справа, и с нулем в пе-
риоде, если в неравенствах (1) равенство допускаем слева. Например,
число у может быть представлено так:
4 = 0,0111... и 4=0,1000....
Ji J
Из этих двух дробей существенно бесконечной является первая.
Если бы мы промежуток между числами 0 и 1 делили не попо-
лам, а на три равные части, то таким же образом получили бы раз-
ложение действительного числа в бесконечную троичную дробь,
й т. д. Путем деления промежутка между 0 и 1 на десять равных
частей аналогичным образом получим единственное разложение дей-^
ствительного числа в существенно бесконечную десятичную дробь
а = 0, atat ... ак ... ,
где каждое ak может быть одним из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, причем 0 не может быть в периоде. Каждой такой дроби будет
соответствовать единственное действительное число.
§ 8. Мощность множества всех действительных чисел
До сих пор мы встречали только счетные множества, хотя и было
доказано существование множеств сколь угодно больших мощностей.
Можно убедиться, что с образованием множества всех действительных
чисел мы получили множество мощности выше счетного.
Теорема L Множество всех действительных чисел» содержа-
щихся между 0 и 1, есть несчетное множество.
Доказательство. Допустим, что множество М всех чисел а,
удовлетворяющих неравенству 0<^а<Ч, счетно. Это означает, что
49
все числа, содержащиеся между 0 и 1, можно занумеровать в беско-
нечную последовательность
Af={ai, а2, (1)
Каждое число этой последовательности можно представить един-
ственным способом в виде существенно бесконечной десятичной
дроби. Построим такое разложение для каждого
а, = 0,
аг = 0, а21а22 ... агп ...
.......................................... (2)
®в О, <2П1^П2 • • • ®пп • • •
Здесь место десятичного знака в дроби указывается вторым значком,
а первый значок — это номер разлагаемого числа в последователь-
ности (1).
Выделим десятичные знаки, стоящие на диагонали таблицы (2):
аи» а22» • • • > апп,> • • • •
Каждое из апп есть одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Составим бесконечную десятичную дробь:
о, ь^...ьп...,
выбрав b2^=aiV .. .tbn^ann, .положив
Ьп—1, если
^ = 2, если a„„=l.
Составленная дробь определяет действительное число
₽ = 0, btbt...b„...,
.причем, очевидно, 0<{3<1. Отсюда^ следует, что число р должно
содержаться в последовательности (1), так как в этой последователь-
ности, по допущению, содержатся все числа промежутка (0,1). Таким
образом, должно быть p = aff для некоторого п, но это невозможно.
В самом деле, так как каждое число разлагается в существенно бес-
конечную десятичную дробь единственным способом, то равенство
Р —означает, что Ь. = а„л. Ь9 — а„^ в частности.
bn anni
но при составлении В мы выбрали
^п^апп*
Полученное противоречие и доказывает, что множество всех чи-
сел, содержащихся между 0 и 1, несчетно.
Оказывается, что множество всех чисел, содержащихся между
числами а и Ь, всегда имеет одну и ту же мощность при любых
значениях а и
60
Теорема 2. Все конечные интервалы, полуинтервалы и сег-
менты эквивалентны между собой.
Под интервалом (а, Ь) (сегментом [я, ftj) мы понимаем множество
всех чисел а, удовлетворяющих неравенствам
Неравенства а<а.^Ь и а^ь<Ь определяют полуинтервалы (а, &]
и [а, Ь).
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
показать, что любой интервал (а, Ь), полуинтервал (а, Ь] или [а, Ь)
и сегмент [а, 6] эквивалентны интервалу (0, 1).
Возьмем формулу
, х — а
Она устанавливает взаимно однозначное соответствие между множе-
ством всех чисел х интервала и множеством всех чисел х'
интервала 0 < х' < 1, поэтому
(a, Z>)-(0, 1).
Учитывая затем, что прибавление одного или двух элементов
(конечного множества) к бесконечному множеству не меняет мощности
множества, имеем:
[a, fe)^(0, 1), (а, Л] ^(0, 1) и [а, й] (0, 1).
Теорема 3. Множество всех действительных чисел эквивалентно
множеству всех чисел любого интервала, полуинтервала и сег-
мента.
Доказательство. Для доказательства
теоремы достаточно установить взаимно одно-
значное соответствие между множеством всех
действительных чисел у и множеством всех
чисел х какого-либо конечного интервала. Но
это можно сделать При помощи формулы
_y = tgx,
где
— у О<у (черт. 5).
Таким образом, мы убедились, что множество всех действитель-
ных чисел и множество всех чисел любого конечного промежутка
являются эквивалентными между собой и несчетными, поэтому они
имеют мощность, ббльшую мощности счетных множеств, так как
среди бесконечных множеств счетные множества имеют наименьшую
мощность.
Это приводит нас к следующему определению новой ступени
мощности.
51
Определение. Множество, эквивалентное множеству всех действи-
тельных чисел, называется множеством мощности континуума. Мощ-
ность континуума обозначается символом с.
Теорема 3 означает, что всякий интервал, полуинтервал и сегмент
имеют мощность с. Следующие теоремы приводят к новым множе-
ствам мощности с.
Теорема 4. Множество всех иррациональных чисел имеет
мощность континуума.
Доказательство. Множество I всех иррациональных чисел
есть результат вычитания из множества Z всех действительных
чисел множества R всех рациональных чисел
I = Z — R»
но так как R счетно, a Z несчетно, то
Z—R^Z,
т. е.
I^Z.
Теорема 5. Множество Т всех трансцендентных чисел имеет
мощность континуума» а значит не пустое» т. е. трансцендент-
ные числа существуют.
Доказательство. Обозначим через А множество всех алгеб-
раических чисел. Тогда
t=z—д.
Но, как было доказано раньше, множество А счетно, а поэтому
Z —A--Z,
т. е.
T^Z.
Докажем еще ряд теорем, характеризующих множества мощности
континуума.
Теорема 6. Сумма конечного или счетного множества мно-
жеств» имеющих мощность континуума» имеет мощность кон-
тинуума.
Доказательство. Пусть имеем счетное множество множеств
мощности с:
Mv Mv ...,Mk, ... .
Без ущерба для общности доказательства можно считать данные мно-
жества попарно не имеющими общих элементов.
Свяжем взаимно однозначным соответствием множества
являющиеся эквивалентными, как множества мощности с. Тогда будет
установлено взаимно однозначное соответствие между множествами
® “ /й-1 k -1
M=^Mk й (О, 1) = 1д—’-ГНГ
Л=1 Л=1
52
Следовательно,
Af^(O, 1).
В случае- конечного множества п слагаемых установим взаимно
однозначное соответствие между
Мк и ’ для А==1> 2> 1)»
и между
Мп И , 1Y.
\ п )
Тогда опять получим взаимно однозначное соответствие между мно-
жествами
П П~Х /1.1 АП / 1 х
vn /я— 1 « I (п — I < \
M=T^Mk и (0. + 9 ’
k-1 k—1
Следовательно,
Л4^(0, 1).
Так как интервал (0, 1) имеет мощность с, то теорема доказана.
Если учесть определение суммы мощностей, то из этой теоремы
имеем:
с-|- с 4“ • • • с — с»
с4-с+...4-с+... = с.
Теорема 7. Множество Е всех последовательностей
nv п2, .. .,/zz, ... натуральных чисел имеет мощность континуума.
Доказательство. Для доказательства теоремы установим
взаимно однозначное соответствие между данным множеством
£={(«„ Пг, .. .,П;, ...)}
и множеством всех чисел а полуинтервала 0 а 1.
Как уже известно, каждое число а из полуинтервала (0, 1] можно
разложить единственным способом в существенно бесконечную двоич-
ную дробь:
а = 0, ata2 ... а* ..., (1)
и, обратно, каждая существенно бесконечная двоичная дробь (1) опре-
деляет единственное число а из полуинтервала (0, 1]. Заметим, что
так как у существенно бесконечной дроби не может быть в периоде
0, то при любом N найдутся такие что ak=\. Кроме того,
задание двоичной дроби (1) равносильно заданию последовательности
^2 < • • • (2)
тех значений £, для которых ал=1, ибо все остальные двоичные
знаки равны нулю. Таким образом, существует взаимно однозначное
соответствие между множеством- всех чисел полуинтервала (0, 1]
и множеством
53
всех последовательностей (2), поэтому множество К имеет мощность
континуума. Заметим, наконец, что формулы
л1=А1, n9 = k9 — k., ..п> = к;— kf ...
1 д Z Z д Д € I I г
устанавливают взаимно однозначное соответствие между множествами
Е и К, и, следовательно, множество Е имеет мощность континуума.
Теорема 8. Если множество М состоит из элементов
тХи . .;хп> различаемых друг от друга п значками xv х2, ..х„,
каждый из которых независимо от других принимает континуум
значений, то данное множество
М — {тХи xit..*п}
имеет мощность континуума.
Доказательство. Обозначим через Xv Xt, ...,Хп множе-
ства значений соответственно значков хр х2, . ..,хп. Затем устано-
вим взаимно однозначное соответствие между каждым из Xk и мно-
жеством
Е={(Р1> Pt, ‘“,Pi> • •.•)}
всех последовательностей натуральных чисел, что возможно, так как
множества Xk и Е имеют одну и ту же мощность с. *
Возьмем произвольный элемент т<£\ •••»!„ данного мно-
жества М.
Пусть х$ £ Xk находится во взаимном соответствии с р^\,...,
...)££• Свяжем взаимным соответствием У, ..., G Л4
И(p£>,.Р$, ....Р^,Р<’>,Р$, ....Р$. ....Р$,Р$,.....Р$, ...)€£•
Тогда будет установлено взаимно однозначное соответствие между
множествами М и Е. Поэтому
M^Ei
откуда и следует, что данное множество 2И имеет мощность конти-
нуума.
Прежде чем сформулировать следствие, вытекающее из доказанной
теоремы, остановимся на понятии л-мерного евклидова пространства.
Установив взаимно однозначное соответствие между действитель-
ными числами и точками прямой, мы получили числовую прямую,
или числовую ось, после чего каждое действительное число х мы
могли' называть точкой х.
Можно установить взаимно однозначное соответствие между
множеством пар (х, у) действительных чисел х и у и множеством
точек плоскости. Поэтому каждую пару действительных чисел (х, у)
мы можем называть точкой плоскости. Точно так же тройку (х, J, z)
действительных чисел, взятых в % определенном порядке, мы будем
называть точкой трехмерного пространства.
Вполне естественно идти по этому пути дальше и последова-
тельность (хр х2, ...,хп) п действительных чисел назвать точкой
л-мерного пространства.
54
Таким образом, путем естественного обобщения мы приходим
к понятию л-мерного евклидова пространства.
Определение, п-мерным евклидовым пространством называется
множество всевозможных последовательностей из л действительных
чисел (хр х2, х5, . ..,хл), называемых точками л-мерного евклидова
пространства.
Расстояние р (х, х') между двумя точками: х = (хр х2, ...,хп)
и х' = (х', х'2, х'п) л-мерного евклидова пространства определяется
формулой:
р(х, х') =У(Х1 — х'р + (х2 — х'2)2 + ... + (х„ — х'п)\
Отсюда, полагая п = 1, получим, в частности, формулу расстояния
между двумя точками х и х' прямой
р(х, х') = ]/(х— х')2, т. е. р(х, х') = |х— х'|.
Понятие расстояния между точками л-мерного пространства обла-
дает следующими свойствами:
1) свойством тождества*. р(х, х') = 0 тогда и только тогда,
когда точки х и х' совпадают;
2) свойством симметрии*. р{х, х') = р (х', х);
3) свойством треугольника*, для любых трех точек х, х' и х*
л-мерного ^евклидова пространства имеет место:
р(х, х')4-р« х")>р(х, х").
Первые два свойства очевидны, а третье свойство, которое в слу-
чае двухмерной области означает, что сумма двух-сторон треуголь-
ника не меньше третьей стороны, может быть доказано.
Такие понятия, как окрестность точки л-мерного евклидова про-
странства, л-мерные интервал и сегмент и другие понятия, связанные
с л-мерным евклидовым пространством, определяются в следующей
главе, посвященной теории точечных множеств.
Из теоремы 8 вытекает следствие, которое решает вопрос о мощ-
ности множества всех точек пространства любого числа л измерений.
Следствие. Множество всех точек п-мерного евклидова про-
странства имеет мощность континуума.
В справедливости утверждения убеждаемся, заметив, что множе-
ство всех точек л-мерного пространства представляет множество
элементов, различаемых л значками (л координатами точки), при-
нимающими по отдельности континуум значений (множество всех
действительных чисел).
В заключение докажем формулу, устанавливающую зависимость
между мощностью континуума с и мощностью счетных множеств к0.
Теорема 9. Множество всех частей множества всех натураль-
ных чисел имеет мощность континуума.
55
Доказательство. Обозначим через Е множество всех ча-
стей N* множества N всех натуральных чисел, а Н—множество
всех последовательностей
а2, ..., ak, ..
где каждое ak независимо от других принимает значение либо О,
либо 1.
Чтобы выяснить мощность множества
Я={(а1, «......
представим его в виде суммы:
где D состоит из всех тех последовательностей /У, в которых все
члены, начиная с некоторого номера, равны 0. Можно заметить, что
н,-(0, 1].
Для этого достаточно связать взаимным соответствием элемент
(Лр«2, а*, •••)€#» и то число а' из (0, 1], которое выражается
существенно бесконечной двоичной дробью 0, аг а*.. . я*..
f t г /
а =0, а2.. .а*... .
Заметим также, что множество D эквивалентно множеству тех беско-
нечных двоичных дробей 0, axaz.. .ak..которые имеют в периоде 0.
Но такое разложение возможно только для конечных двоичных дро-
бей , т. е. рациональных чисел, а их счетное множество. Следова-
тельно, и множество D счетно. Отсюда имеем:
и, значит,
я-(О, I],
т. е. множество Н имеет мощность с.
Докажем, наконец, что множества Е={Л/*} и Н эквивалентны.
Так как каждое 2V* есть множество некоторых натуральных чисел,
то, взяв произвольный элемент N* £ Е, для каждого натурального
числа k будем иметь либо k£N*> либо k£N*. Учитывая это, мы
можем связать взаимным соответствием элемент N* g Е и ту после-
довательность («р а2, ..., ak, ...) £/У, где ak=\, если &£Л/*,
и ^ = 0, если Этим самым будет установлено взаимноодно-
значное соответствие между множествами Е и Н, поэтому
Е^Н,
т. е. множество Е имеет мощность континуума.
Так как мощность Е есть 2^°, как мощность множества всех
частей счетного множества, то полученный результат означает, что
с = 2К°.
Из полученной формулы снова следует, что так как
2*‘>М. .
56
Г Л A В A HI
ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
§ 1. Простейшие множества точек
В этой главе мы будем рассматривать различные множества точек,
т. е. такие множества, элементами которых являются точки либо чи-
словой прямой, либо точки любого л-мерного евклидова пространства.
Так как установлено взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех действительных чисел и множеством всех точек число-
вой прямой, то изучение линейных точечных множеств, т. е. множеств
точек прямой, тождественно изучению множеств, состоящих из дейст-
вительных чисел.
Прежде всего установим определения простейших и наиболее
часто встречающихся точечных множеств.
Сегментом [а, £] называется множество всех точек х числовой
прямой, удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь.
Интервалом (а, Ь) называется множество всех точех х, удовлет-
воряющих неравенствам а<х</>.
Таким образом, интервал отличается от сегмента тем, что в сег-
менте [а, &] содержатся и концы — точки а и Ь, а в [интервал (а, Ь)
концы не включаются. В силу этого сегмент называют также замкну-
тым отрезком, а интервал — открытым отрезком. Различие между
сегментом и интервалом, которое кажется на первый взгляд несуще-
ственным, имеет огромное значение во многих вопросах.
Полуинтервалом (а, называется множество всех точек х, для
которых верны неравенства а<^х^Ь. Полуинтервал [а, Ь) опреде-
ляется неравенствами а^х<^Ь.
В силу взаимно однозначного'соответствия между множеством всех
действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой, дан-
ные здесь определения сегмента, интервала и полуинтервала тожде-
ственны с определениями соответствующих понятий, которые были
даны ранее (стр. 51) для числовых множеств.
Интервалы и полуинтервалы могут быть и бесконечными. Так,
интервал (—оо, -}-оо) есть множество всех точек числовой прямой;
полуинтервал-[а, -4~оо)— множество всех точек х, удовлетворяющих
неравенству а^х; интервал (—оо, а) есть множество всех точек х,
для которых х<а.
57
Последовательность сегментов
к> М=> • • • =>1к. • • • >
из которых каждый содержится в предыдущем, а длина сегмента
[ап, Ьп] стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает, назы-
вается стягивающейся последовательностью сегментов. В этом же
смысле можно говорить о стягивающейся последовательности интер-
валов или полуинтервалов.
Понятия сегмент и интервал распространяются и на многомерные
пространства. Так, под сегментом двухмерного пространства, т. е.
плоскости, будем понимать множество всех тех точек плоско-
сти, значения каждой из координат которых образуют линейный
сегмент, например и а2^у Таким образом, двух-
мерный сегмент есть множество всех точек плоскости, находящихся
внутри и на сторонах некоторого прямоугольника. Под интервалом
трехмерного пространства будем понимать множество всех таких точек
(х,>, Д для которых имеем: а2<у a,
т; е. трехмерный интервал есть множество всех точек, содержащихся
внутри некоторого параллелепипеда.
Вообще п-мерным сегментом будем называть множество всех
точек (хр х2, . ..,хл) л-мерного пространства, для которых имеем;
an^xn^bn
п-мерным интервалом называем множество всех точек (хр х2, ..., хп)
л-мерного пространства, для которых:
Последовательность n-мерных сегментов Дг (/=1,2,3, ...), где
сегмент Д,- определяется неравенствами:
а® xt
а® < xt < b®
$ ^хп^Ь<1п},
будем называть стягивающейся, если будут стягивающимися последо-
вательности линейных сегментов
(i=l, 2, 3, ...)
для всех Л=1, 2, ..., л.
Теорема, Если последовательность сегментов стягивающаяся,
то существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам,
58
Доказательство. Пусть дана стягивающаяся последователь-
ность линейных сегментов [ар о [я2, />2] z> ... z> [а„,
Составим сечение (ЛГ, У) множества всех действительных чисел»
при этом к классу X отнесем все ап и каждое число, больше которого
найдется хотя бы одно число вида ап, а все остальные числа отнесем
к классу У. В частности, все числа Ьп будут содержаться в классе У.
Совершенно очевидно, что это разбиение множества всех дейст-
вительных чисел подходит под определение сечения. Но всякое сече-
ние множества всех действительных чисел определяет некоторое дей-
ствительное число. Пусть
а = (Х У).
Докажем, что точка а принадлежит всем сегментам [ап, ЬД данной
последовательности.
Допустим, что имеется сегмент [ап, не содержащий точку а.
Тогда а будет либо левее, либо правее сегмента [art, Пусть а
левее [ап, Ьп]. Тогда и ап С У, ибо а — пограничное число
между классами X и У. В то же время ап£Х по построению сече-
ния. Но ап не может содержаться в обоих классах X и У. Получен-
ное противоречие показывает, что точка а не может быть левее
сегмента [ап, &п]. Пусть теперь а будет правее сегмента [ant &rt].
Тогда имеем но это невозможно, так как bn^Y не может
быть меньше пограничного числа а. Полученное противоречие пока-
зывает, что точка а не может быть и правее сегмента [ага, Ь„\. Сле-
довательно, любой сегмент [аЛ, содержит точку а.
Остается заметить, что точка а, принадлежащая всем сегментам
данной последовательности, единственная. В самом деле, если бы две
точки а и а' принадлежали всем сегментам [ani £rt], то длина этих
сегментов оставалась бы не меньше расстояния между а и а', тогда
как по условию при неограниченном возрастании п длина [ая, ЬД
стремится к нулю и, значит, может стать сколь угодно малой, в
частности меньше расстояния между а и а'.
Таким образом, теорема в случае линейных сегментов доказана.
Пусть дана стягивающаяся последовательность «-мерных сегмен-
тов Az:
(/=1,2,3,...).
Тогда при любом fc=l, 2, ..., п будет стягивающейся и последо-
вательность линейных сегментов
[4°, [42), 42)]=... =>[4°, 4’]=>....
поэтому существует единственная точка aft, принадлежащая всем сег-
ментам этой последовательности. Ясно, что точка (ар а2, ..., а„) //-мер-
ного пространства есть единственная точка, принадлежащая всем
n-мерным сегментам Az. Этим теорема доказана в общем случае.
59
Следует обратить внимание на то, что в теореме говорится о по-
следовательности сегментов. Это является существенным условием.
Так, например, последовательность линейных полуинтервалов
8t = (0<xs£l], 52=(o<x<-i-j,
хотя и стягивающаяся, не имеет общей точки.
В самом деле, любая точка а не только не может быть об-
щей, но даже не принадлежит ни одному из данных полуинтервалов.
Возьмем точку а^>0. Тогда можно выбрать достаточно большое п,
что будет — <уа, а так как содержит только те точки х, для
которых 0<х^~, то а не содержится в Следовательно, точки,
принадлежащей всем полуинтервалам дп данной последовательности,
не существует.
§ 2. Основные понятия теории точечных множеств
Введем определения ряда основных понятий теории точечных
множеств.
1. Множество точек «-мерного пространства называется ограни-
ценным, если существует «-мерный сегмент, содержащий все точки
данного множества.
2. Любой «-мерный интервал 5, содержащий данную точку «-мер-
ного пространства, называется окрестностью данной точки.
Окрестность точки х числовой прямой, представляющую линейный
интервал (х — е, %4“е) с ^центром в точке х, мы будем обозначать
через U(x, е). Если х обозначает точку (хр х2, ..., хп) л-мерного про-
странства, то под окрестностью (7(х, е) точки х будем понимать
«-мерный интервал (xk — е,хл4“е) (Л =1,2, ...,«).
3. Точка Е называется предельной точкой множества Е, если
любая окрестность £ содержит бесконечное множество точек мно-
жества Е.
При этом точка $ может содержаться в Е, а может и не при-
надлежать Е.
Можно формулировать понятие предельной точки и следующим
образом:
3*. Точка Е называется предельной точкой множества Е, если
любая окрестность £ содержит по крайней мере одну точку мно-
жества Е, отличную от
Действительно, если окрестность точки £ содержит бесконечное
множество точек Е, то среди них найдется точка, отличная от g.
Поэтому точка, удовлетворяющая первому определению предельной
точки, удовлетворяет и второму определению. Верно и обратно. Пусть
Е удовлетворяет второму определению, т. е. в любой окрестности 5
60
точки $ есть точка е £ Е, отличная отЕ (черт. 6). Тогда можно взять такую
окрестность 8t точки £, которая содержалась бы в 8 и не содержала
точку е. Это можно сделать, так как е не совпадает с точкой £.
Но и в окрестности 8t есть точка ех отличная от £. Точка £8р
но 8^8, поэтому причем не совпадает с точкой е, ибо
г£8г Следовательно, в окрестности 8 мы нашли уже две точки
множества Е. Продолжая эти рассу- g
ждения, в окрестности 8 найдем
бесконечное множество точек, при- e
надлежащих Е. х*-----,
Этим установлена равносильность ________
первого и второго определения по- Ъ
нятия предельной точки множества. Черт. 6.
4. Если существует такая окре-
стность точки Е множества F, которая не содержит ни одной точки
множества Е,кроме Е, то Е называется изолированной точкой мно-
жества Е.
Очевидно, что каждая точка множества Е есть либо изолирован-
ная, либо предельная точка Е.
Из определения предельной точки следует, что конечные множе-
ства предельных точек не имеют. Бесконечное же множество предель-
ные точки может иметь или не иметь. Так, множество
/V={1,2, 3, ..., л, ...}
бесконечное, но не имеет ни одной предельной точки, а множество
£=/1, 1, ..Л
| ’ 2 ’ ’ п f
имеет одну предельную точку 0, причем она множеству Е не при-
надлежит, все точки Е — изолированные.
Следующая теорема дает достаточные условия существования
предельной точки множества.
Теорема, (Больцано — Вейерштрасса). Всякое ограниченное бес-
конечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Доказательство. Сначала докажем теорему для линейных
множеств.
Пусть имеем ограниченное бесконечное множество Е точек х
числовой прямой. Ограниченность Е означает, что существует сег-
мент [а, Ь], содержащий все множество Е. Разделим сегмент [а,
пополам. Тогда по крайней мере одна половина сегмента [а, Ь] будет
содержать бесконечное множество точек множества Е, Действительно,
если бы каждая половина содержала только конечное множество
точек Е, то и весь сегмент [а, Ь] тоже содержал бы конечное мно-
жество точек Е, а так как сегмент [а, /?] содержит все множество Е,
то это означало бы, что множество Е конечное, тогда как по усло-
вию множество Е бесконечное.
Пусть сегмент [at, Z\] есть та половина [а, 6], которая содержит
бесконечное множество точек Е. Если обе половины содержат беско-
61
нечное ^множество точек £, то за [ар ZjJ возьмем любую из них. Раз-
делим этот сегмент [ар пополам. Рассуждая по-прежнему, замеча-
ем, что опять хотя бы одна половина сегмента [ар будет содер-
жать бесконечное множество точек Е. Пусть это будет сегмент [а2, #2].
Продолжая этот процесс дальше, мы получим последовательность
сегментов содержащих бесконечное множество точек Е. В этой
последовательности каждый сегмент содержится в предыдущем, а
длина сегмента [ап, #„] стремится к нулю при неограниченном воз-
растании л, так как
- b — а
Ьп ап — -yi •
Следовательно, полученная последовательность сегментов
[а, *]=>[ар *>,]=... =[а„, .
стягивающаяся. Поэтому существует единственная точка $, принад-
лежащая всем сегментам [ап, Ьп].
Покажем, что $ и будет предельной точкой множества Е. В са-
мом деле, возьмем сколь угодно малую окрестность точки $, т. е.
_,__ любой как угодно малый интервал
(а, р), содержащий $ (черт. 7). При
................. > ‘достаточно большом п сегмент
°n £ n ₽ [ап, Ьп] будет содержаться внутри
Черт. 7. интервала (а, р), так как
и Ьп — ап—>0, когда п—>оо. Но
сегмент [ап, £п], а значит и интервал (a, p)z>[an, 6Л], содержит
бесконечное множество точек множества Е.
Итак, в любой окрестности точки $ содержится бесконечное мно-
жество точек множества Е. Следовательно, $ есть предельная точка
множества Е. Таким образом, для линейных точечных множеств
теорема доказана.
Пусть теперь данное ограниченное бесконечное множество Е со-
стоит из точек л-мерного пространства. Ограниченность означает,
что есть л-мерный сегмент Д:
ak^xk^bk (£=h 2, .л),
содержащий Е. Разделим пополам все линейные сегменты ak xk bk
(&=1,2, ...,л). Тогда л-мерный сегмент Д разобьется на конечное
число частей (л-мерных сегментов). По крайней мере одна часть бу-
дет содержать бесконечное множество точек множества Е. Пусть
это будет л-мерный сегмент Дх. Таким же образом делим сегмент Д,.
Продолжая этот процесс, опять получим стягивающуюся последова-
тельность сегментов (л-мерных):
ДзэД^...
которые имеют одну общую точку £. Совершенно такими же рассуж-
дениями, как в случае линейных множеств, убеждаемся, что $ есть
предельная точка множества Е.
62
Условие ограниченности данного множества Е является суще-
ственным, без этого условия теорема не верна. Так, мы уже видели,
что бесконечное неограниченное множество
2V = {1,2, ..., л, ...}
не имеет ни одной предельной точки.
В то же время существуют неограниченные бесконечные множе-
ства, имеющие предельные точки. Таким будет, например, множество
всех точек прямой. Следовательно, ограниченность бесконечного мно-
жества является достаточным, но не необходимым условием суще-
ствования предельной точки множества.
Из теоремы Больцано — Вейерштрасса вытекает справедливость
утверждения, касающегося бесконечных последовательностей. Понятие
последовательности определяется следующим образом.
Если каждому натуральному числу k по какому-либо правилу по-
ставлена в соответствие определенная точка ek л-мерного простран-
ства, то мы имеем последовательность
ei> е2, ..., ek, ...
точек л-мерного пространства.
Эта последовательность называется сходящейся к точке е л-мер-
ного пространства, если для любого как угодно малого е>0 най-
дется такое натуральное число Л/, что для всех k^> N точки ek
будут содержаться в окрестности U (е, е) точки е.
Если из последовательности
е2» • • •» ek'> • • •
выделить часть членов с номерами
то получится новая последовательность
eks ek2> •••»
которая называется подпоследовательностью данной последователь-
ности.
Теперь докажем утверждение, которое является следствием теоре-
мы Больцано — Вейерштрасса.
Следствие. Из всякой ограниченной последовательности
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Если данная последовательность
ev ег.......... (1)
образована из конечного множества точек, то в этой последователь-
ности одна и та же точка е необходимо повторяется бесконечное
множество раз, т. е. имеем:
* = % = ...=<ч=... .
63
Тогда последовательность
Ч’ •••• •••- (2)
сходящаяся к е, и будет требуемой подпоследовательностью. Если же
множество точек, из которых образована данная последовательность
(1), бесконечное, то; по теореме Больцано — Вейерштрасса, это мно-
жество имеет предельную точку $.
Возьмем последовательность окрестностей точки $
£7(g, !)=>...=>:/(е.Дзз...,
стягивающихся к точке Е. Соглас-
но определению предельной точки,
любая из этих окрестностей со-
держит бесконечное множество точек
последовательности {ek}. Пусть пер-
вый член последовательности {ek},
содержащийся в U (Е, 1), есть
первый член последовательности
yk}, стоящий за ekt и содержащийся в U , есть eka и т. д.
Тогда очевидно, что подпоследовательность
eks • • • > • • •
сходится к Е.
§ 3. Основные понятия теории точечных множеств
(Продолжение)
Введем определения еще ряда важных понятий теории точечных
множеств.
1. Множество всех предельных точек множества Е называется
производным множеством множества Е и обозначается через Е'.
Так как конечные множества не имеют предельных точек, то про-
изводное множество любого конечного множества есть пустое мно-
жество.
Множество
имеет производным множеством одноэлементное множество, состоящее
из точки 0:
£' = {0}.
Если множество Е есть сегмент ak^xk^bk (k— 1, 2, .п)
или интервал dk<Zxk<^f)k (^=1, 2, ..., л), то Е' есть сегмент
ak^xk^bk (k — l, 2, л).
2. Множество F называется замкнутым, если оно содержит свое
производное множество F'*,
FzdF'.
64
Очевидно, что эта формулировка может быть заменена следующей:
Множество F называется замкнутым, если нет предельных точек
множества Е, не принадлежащих F.
Всякое конечное множество D замкнуто: D' = 0 и D'cD.
Пустое множество замкнуто: Е = 0, Е' = 0 и условие Е'сЕ вы-
полнено.
Множество
не замкнуто: Е' — {0}, но 0£Е, следовательно, Е' не содержится в Е.
Всякий сегмент — замкнутое множество, а интервал — не замкну-
тое множество.
3. Множество Е называется плотным в себе, если оно содер-
жится в своем производном множестве Е':
ЕаЕ'.
Эта формулировка может быть заменена следующей:
Множество Е называется плотным в себе, если оно не имеет ни
одной изолированной точки.
Конечное не пустое множество D не есть плотное в себе, так как
все точки D изолированные.
Пустое множество Е—плотное в себе: Е=0 и Е' = 0; условие
ЕаЕ’ выполнено.
Множество R всех рациональных точек л-мерного пространства—
плотное в себе. Действительно, любая точка этого пространства
есть предельная для R, поэтому R' есть множество всех точек
л-мерного пространства; следовательно, RaRf.
Всякий сегмент и интервал являются множествами, плотными в
себе. Если Е—сегмент, то Ег — тот же сегмент, поэтому EczE'.
Если Е—интервал \k — 1, 2, ..., л), то Е'— сегмент
(Л = 1»2, ..., л), поэтому EczE'.
4. Множество Р называется совершенным, если оно совпадает
со своим производным множеством Р':
Р=Р.
Так как Р = Р' означает, что Р czP и РсзЛ, то понятие со-
вершенного множества можно сформулировать так:
Множество Р называется совершенным, если оно и замкнутое, и
плотное в себе.
Пустое множество Е—совершенное: Е = 0 и Е' = 0, следова-
тельно, Е = Е'.
Всякий сегмент — совершенное множество: мы видели, что сегмент
является множеством и замкнутым, и плотным в себе.
Интервал не есть совершенное множество, так как оно не замкнуто.
Множество всех точек л-мерного евклидова пространства — совер-
шенное множество.
5. Точка £ называется внутренней точкой множества Е, если она
содержится в множестве Е вместе с некоторой своей окрестностью.
3 Н. А. Фролов 65
6. Если все точки множества Q — внутренние точки, то множе-
ство G называется открытым.
Всякий интервал есть открытое множество.
Сегмент не есть открытое множество, так как граничные точки
не являются внутренними.
Конечное не пустое множество D не есть открытое множество,
ибо ни одна точка D не является внутренней.
Может создаться представление, что открытым является то мно-
жество, которое не замкнуто. Приведенные примеры с этим со-
гласуются. Однако такое противопоставление понятий замкнутого
и открытого множеств не верно. Это видно из следующих примеров.
Множество всех точек л-мерного евклидова пространства есть откры-
тое множество. В то же время мы видели, что это множество — со-
вершенное, а значит, и замкнутое.
Пустое множество — открыто: Чтобы в этом убедиться, доста-
точно заметить, что понятие открытого множества может быть
формулировано так:
Множество G называется открытым, если оно не имеет точек,
не являющихся внутренними.
Пустое множество не имеет точек, не являющихся внутренними,
так как вообще не имеет никаких точек. Итак, пустое множество
одновременно открытое и, как уже было показано, замкнутое.
Множество
£=!'' т.........V' •••}
как мы видели раньше, не замкнуто. Но Е также и не открытое
множество, так как для каждой точки € Е нельзя указать окре-
стность, целиком принадлежащую Е, т. е. ни одна точка данного
множества Е не является для Е внутренней.
Следовательно, множество может быть Одновременно и замкнутым,
и открытым, а также может оказаться одновременно и не замкнутым,
и не открытым.
Мы дальше увидим, что понятия замкнутого и открытого множе-
ства действительно связаны между собой, но совершенно в другом
смысле.
§ 4. Замкнутые множества
Докажем теорему, выясняющую характер производного множества
всякого множества точек.
Теорема I. Производное множество Е любого множества Е
есть замкнутое множество.
Доказательство. Чтобы доказать теорему, надо показать,
что Е не имеет предельных точек, не принадлежащих Е'.
Пусть $ — предельная точка Е (черт. 9); докажем, что ^Е.
В самом деле, обозначим через 8 любую окрестность точки $, т. е. лю-
бой интервал (вообще многомерный), содержащий точку £. По опре-
делению предельной точки, в § найдется точка е' £Е. Поэтому 8
66
e' e %
Черт. 9.
можно рассматривать как окрестность точки е'. Но точка е'£Е'
является предельной точкой множества Еу и поэтому в S содержится
бесконечное множество точек е множества Е. Таким образом, любая
окрестность 5 точки $ содержит бесконечное множество точек е g Е.
Следовательно, $ есть предельная точка множества Е. и поэтому
%£Е'. Итак, если Е имеет пре-
дельные точки, то все они содер-
жатся в Е', поэтому Е' замкнуто.
Следстви е. Множество Е-^-Е'
замкнуто.
В самом деле, если $ есть пре-
дельная точка множества Е-\-Е\
то очевидно, что £ есть или предельная точка Е, тогда а
значит Ъ$.Е~\-Е\ или же $ есть предельная точка Е\ но тогда,
в силу доказанной теоремы, ^£Е\ а вместе с тем Е-\-Е'.
Множество Е-\-Е' называется замыканием множества Е.
Следующие две теоремы показывают, в каких случаях операции
сложения и пересечения множеств не выводят из класса замкнутых
множеств. Причем множества, о которых идет речь в этих теоремах,
состоят из точек л-мерного евклидова пространства и, в частности,
могут быть линейными.
Теорема 2. Сумма конечного множества замкнутых множеств
есть замкнутое множество.
Доказательство. Пусть имеем замкнутые множества
Fv Fv .... Fn-
Составим сумму этих множеств:
п
А = 1
и докажем, что F—замкнутое множество.
Прежде всего заметим, что любая предельная точка F будет пре-
дельной точкой хотя бы одного из данных множеств Fk. В самом
деле, пусть $ — предельная точка F, но не является предельной точ-
кой ни для одного из данных множеств Fk. Тогда найдется окрест-
ность U (S, Sfc) точки $, не содержащая ни одной точки множества Fki
отличной от $.
Полагая в этих рассуждениях k=\, 2, ..., л, мы получим ко-
нечное множество интервалов U($, Зх), £7(£, 8t), .Ьп). Среди
них есть наименьший. Обозначим его через UyZ, 3). Очевидно,
что Ь) не содержит ни одной точки множества F, отличной
от £, что невозможно, так как $ есть предельная точка F.
Итак, любая предельная точка $ множества F является в то же
время и предельной точкой хотя бы для одного из данных множеств
Fk, а так как по условию все Fk замкнутые, то £ £ Fk, а значит
Следовательно, если множество F имеет предельную точку, то
она содержится в F, т. е. F — замкнутое множество.
3*
67
Следует обратить внимание на то, что сумма бесконечного мно-
жества замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством.
Так, например, множества 5,= [о, yj , f2 = [у, -|].....Fn=
\п — 1 п 1
= I ——, > ••• являются замкнутыми, как сегменты, но их
сумма есть полуинтервал [0, 1) (точка 1 не содержится ни в одном
из слагаемых, а значит и в сумме):
[О, 1)=[о,4] + [у, I] + ... + [^, 7Т1]+---
т. е. не замкнутое множество.
Относительно пересечения замкнутых множеств справедливо сле-
дующее утверждение.
Теорема 3. Пересечение любого множества замкнутых мно-
жеств есть замкнутое множество.
Доказательство. Пусть имеем какое угодно множество
Е={РЛ\
замкнутых множеств Fe, различаемых друг от друга значком а. Обо-
значим через F пересечение всех данных множеств Fa:
a
и докажем, что F— замкнутое множество.
Пусть $ — предельная точка множества F. Возьмем любую окрест-
ность 8 точки £. По определению предельной точки, й содержит
бесконечное множество точек множества F. Но все точки F принад-
лежат любому из данных множеств Fa, так как F есть общая часть
данных множеств. Следовательно, в 8 содержится бесконечное множе-
ство точек каждого из данных множеств Fa, и поэтому $ является
предельной точкой каждого из Fa. Но так как все множества Fa
замкнутые, то ££Fa. Итак, если £ есть предельная точка множества
F, то £ содержится в каждом из данных множеств Fa, а значит, содер-
жится и в их пересечении, т. е. ££F. Это и доказывает, что мно-
жество F замкнуто.
Заметим, что пересечение замкнутых множеств может быть и
пустым. Так, например, два сегмента могут оказаться не имеющими
ни одной общей точки. Это не противоречит доказанной теореме, так
как пустое множество замкнуто.
Теорема 4 (Бореля). Из всякой бесконечной системы 2 интер-
валов а, покрывающей ограниченное замкнутое множество F, можно
выделить конечную систему S интервалов <з, также покрывающую
множество F. (Если F состоит из точек п-мерного пространства,
то интервалы а п-мерные.)
Доказательство. Если данное множество F конечное, то
теорема очевидна.
68
Пусть множество F бесконечное. Докажем теорему в этом случае
методом от противного. Допустим, что F нельзя покрыть никакой
конечной системой Sa 2.
Так как по условию множество F ограниченное, то существует
сегмент Л (л-мерный), содержащий все бесконечное множество F.
Разделим сегмент Д так, как это делали при доказательстве тео-
ремы Больцано — Вейерштрасса. Тогда хотя бы в одной части Д
будет содержаться такое бесконечное подмножество множества F9
которое не покрывается конечной системой Sc2. Действительно,
если бы в каждой части сегмента Д точки F покрывались конечной
системой интервалов, содержащихся в 2, то, так как Д разбито на
конечное число частей, мы имели бы конечную систему Sa 2, по-
крывающую все множество F, что противоречит допущению. Пусть
сегмент есть та часть сегмента Д (или одна из таких частей),
где содержится подмножество множества F, которое нельзя покрыть
конечной системой интервалов из системы 2. Таким же образом делим
сегмент и получим сегмент Д2, содержащий такое бесконечное
подмножество множества F, которое нельзя покрыть конечной систе-
мой интервалов из 2. Продолжая этот процесс, получим стягиваю-
щуюся последовательность сегментов:
Дzz>zd ... оД„о..
где каждый сегмент Дп содержит такую бесконечную часть множе-
ства F, которую нельзя покрыть конечной системой интервалов, взя-
тых из системы 2. Так как последовательность сегментов Дл стяги-
вающаяся, то существует единственная точка £, принадлежащая всем
сегментам Дй. Учитывая, что в каждом из Дд содержится точек F
бесконечное множество, можно доказать, что $ есть предельная точка
множества F. Для этого надо было бы слово в слово повторить за-
ключительную часть доказательства теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Но по условию множество F замкнутое, поэтому £ £ F.
Так как интервалы а системы 2 покрывают все множество F, то
и точка %£F покрыта некоторым интервалом с0 из 2, т. е.
Из того, что последовательность сегментов ДЛ стягивается к
точке £, следует, что при достаточно большом п будем иметь:
Д aa .
Это означает, что то подмножество множества F, которое содер-
жится в Дп, покрывается одним интервалом a0 £ 2, тогда как по
построению Дп есть такой сегмент, в котором точки F нельзя по-
крыть конечной системой интервалов, взятых из 2. Полученное про-
тиворечие и доказывает теорему.
Можно заметить, что условия теоремы — замкнутость и ограни-
ченность данного множества — являются существенными.
Пусть, например, имеем замкнутое, но не ограниченное множество
2V={1, 2, л,
3* Н. А. Фролов
69
Каждую точку n£N покроем таким интервалом ап, который не будет
содержать других точек N. Очевидно, что это возможно, так как
все точки W изолированные. Тогда получим бесконечную систему
интервалов:
2=={®i. •••. •••}»
покрывающую все множество N. Ясно, что конечная часть S не
может покрыть все бесконечное множество 2V, так как в каждом
интервале ая содержится только одна точка множества М
Все это же можно повторить для ограниченного, но не замкну-
того множества
§ 5. Открытые множества
Докажем две теоремы, которые устанавливают связь между замк-
нутыми и открытыми множествами. Причем в этих теоремах, как и
в предыдущих, речь идет о множествах точек пространства любого
числа л-измерений.
Если Е— множество точек л-мерного евклидова пространства, то
через СЕ будем обозначать дополнение к множеству Е, т. е. мно-
жество всех точек л-мерного пространства, не принадлежащих Е.
Теорема 1. Если множество F замкнуто, то его дополне-
ние CF открыто.
Доказательство. Пусть точка ^£CF. Тогда и, зна-
чит, £ не может быть предельной точкой множества F, так как F
замкнуто и содержит все свои предельные точки. Поэтому суще-
ствует окрестность 8 точки £, не содержащая ни одной точки мно-
жества F. Следовательно, любая точка £ £ CF содержится в CF вместе
с некоторой своей окрестностью 8 и тем самым является внутренней
точкой множества CF. Это и доказывает, что множество CF открыто.
Теорема 2. Если множество G открыто, то его дополне-
ние CG замкнуто.
Доказательство. Пусть точка $ £ G. Это означает, что £ есть
внутренняя точка О, и поэтому существует такая окрестность 8 точки Е,
которая целиком принадлежит G. Но если так, то 8 не содержит
ни одной точки множества CG и £ не может быть предельной точ-
кой CG. Итак, ни одна точка £ £ G не является предельной для мно-
жества CG. Следовательно, если есть предельные точки множества
CG, то все они содержатся в CG, т. е. множество CG замкнуто.
Пользуясь доказанными здесь теоремами, легко можно выяснить,
в каких случаях операции сложения и пересечения не выводят из
класса открытых множеств.
Теорема 3. Сумма любого множества открытых множеств
есть открытое множество.
70
Доказательство. Пусть имеем какое угодно множество
£={О«}
открытых множеств Оа, различаемых значком а.
Пусть
о«.
а
Тогда, согласно соотношению двойственности (гл. I, § 2), имеем:
со=Псов.
а
Но С(?в, как дополнение к открытому множеству замкнуто, а
значит и CG замкнуто, как пересечение замкнутых множеств. Так
как G в свою очередь есть дополнение к замкнутому множеству СО,
то множество О открыто.
Следствие. Сумма интервалов есть открытое множество.
Справедливость этого вытекает из того, что всякий интервал есть
открытое множество.
Теорема 4. Пересечение конечного множества открытых мно-
жеств есть открытое множество.
Доказательство. Пусть имеем открытые множества
• • • * &п*
Положим
0= П Or
Тогда, согласно соотношению двойственности, имеем:
CG = ^CQk.
Но CGk, как дополнение к открытому множеству Gk, замкнуто, а
значит и CG замкнуто, как конечная сумма замкнутых множеств. Так
как G есть дополнение к замкнутому множеству CG, то множество G
открыто.
Заметим, что пересечение бесконечного множества открытых мно-
жеств может и не быть открытым множеством. Так, например, если
п \ п * 'nJ'
то как интервал, при любом л= 1,2,3, ... есть открытое мно-
жество. Но пересечение
П ов=[0, 1]
есть сегмент [О, 1], что не является открытым множеством.
з»»
71
§ 6. Верхняя и нижняя грани линейного множества точек
Здесь введем определения некоторых понятий и докажем ряд
утверждений, относящихся к множествам точек числовой прямой.
1. Линейное точечное множество Е называется ограниченным снизу,
если на прямой существует такая точка а, что для каждой точки
х £ Е справедливо а х.
2. Множество Е называется ограниченным сверху, если суще-
ствует такая точка Ь, что для каждой точки х £ Е справедливо х Ь.
3. Множество Е называется ограниченным, если оно ограничено
снизу и сверху, т. е. существуют такие точки а и bt что для каж-
дого х£Е имеем:
а х Ь.
Как видно, определение ограниченности множества, данное здесь,
совпадает с тем определением этого понятия, которое уже было дано
в начале главы: множество Е ограничено, если содержится на не-
котором сегменте [я, &].
4. Точка т называется нижней гранью линейного точечного мно-
жества £*, если:
1) левее т нет ни одной точки множества Е и 2) при любом как
угодно малом е > 0 найдется хотя бы одна точка х множества Е, ко-
торая будет левее точки
5. Точка М называется верхней гранью множества £*, если:
1) правее М нет ни одной точки множества Е и 2) при любом
как угодно малом е>0 найдется хотя бы одна точка х множества Е,
которая будет правее точки М—е.
Для сегмента [а, &] и интервала (а, Ь) гранями служат их концы:
точка а — нижняя грань, а точка b — верхняя грань. Множество
имеетл нижней гранью 0, а верхней гранью 1. Множество
W={1, 2, ..., л, ...}
имеет нижней гранью 1, а верхнюю грань не имеет.
Докажем следующую теорему относительно существования ниж-
ней и верхней граней множества.
Теорема 1. Если множество Е ограничено сверху, то оно имеет
верхнюю грань, если множество Е ограничено снизу, то оно имеет
нижнюю грань.
Доказательство. Пусть множество
Е = {е}
ограничено сверху, т. е. существует такая точка Ь, что для всех
е£Е справедливо е^Ь. Докажем, что множество Е имеет верхнюю
грань. С этой целью составим сечение множества всех действитель-
ных чисел. При этом в нижний класс X включим все числа е^Е,
72
а также каждое число х, больше которого есть по крайней’’ мере
одно число е£Е. Остальные числа у включим в верхний класс К
Множества X и У не пустые. Так, например, все числа е£Е содер-
жатся в X, а У содержит все числа, большие />. Кроме того, очевидно,
что х<^.у. Построенное сечение определяет некоторое число Af:
М=(Х, У).
Покажем, что точка М есть верхняя грань множества Е. Прежде
всего заметим, что первое условие в определении верхней грани:
е Af— выполнено, так как все элементы е g Е содержатся в X. Возь-
мем сколь угодно малое е>0 и составим число Af — e<Af. Всегда
найдется такое число а, что М—e<a<^Af. Так как a<^Af, то
agX, и поэтому а^е0, где ей — некоторый элемент множества Е.
Таким образом, имеем М — 8<агСе0, т. е. Af — е<е0. Это означает,
что Af удовлетворяет и второму условию, содержащемуся в опреде-
лении верхней грани. Следовательно, М есть верхняя грань множе-
ства Е. Доказательство существования нижней грани множества,
ограниченного снизу, аналогично.
Следствие. Если множество Е ограничено, то существует
наименьший сегмент, содержащий все множество JE, именно сег-
мент \т, AfJ, где т есть нижняя, а М — верхняя грань множества Е.
Действительно, если множество Е—{е] ограничено, то оно огра-
ничено и снизу, и сверху, а поэтому имеет нижнюю грань и верхнюю
грань. Обозначим их соответственно т и Af. Из определения верхней
и нижней граней следует, что сегмент [/n, Af] содержит Е'.
т^е^М,
но найдутся точки е£Е, которые будут вне сегмента \т -|-е, Af—е],
каким бы малым е > 0 ни было. Следовательно, \т> А1] есть наименьший
сегмент, содержащий множество Е.
Теорема 2. Если нижняя или
верхняя грань множества Е суще- ___ __
ствует, но не принадлежит мно- м-е 6 м
жеству Е, то она является пре- Черт. 10.
дельной точкой множества Е.
Доказательство. Пусть М есть верхняя грань множества Е
и М£Е. Возьмем любую окрестность § точки Af (черт. 10). Тогда
при достаточно малом е>0 точка Af — е будет содержаться в 8.
Из определения верхней грани следует, что найдется точка е£Е,
которая будет правее А1—е, но не правее Af. т. е. Af — e<^g^cAL
Но по условию Afg£, поэтому для указанной точки е£Е имеем
строгие неравенства М—e<^e<^Af. Так как Af — е £ 5, то тем более
Это означает, что в любой окрестности 8 точки М содержится
точка е£Е, отличная от Af. Следовательно, Af есть предельная точка
множества Е.
Следствие 1. Замкнутое ограниченное сверху (снизу) мно-
жество F имеет самую правую (левую) точку.
73
В самом деле, пусть множество F замкнуто и ограничено сверху.
Множество F имеет верхнюю грань Af, так как, по условию, огра-
ничено сверху. Заметим, что M£F\ Действительно, если бы Af g Ft
то точка Af была бы предельной точкой F, но F замкнуто и содержит
все свои предельные точки, поэтому Af£F. Так как, по определению
верхней грани множества, правее Af нет точек F, a Af gF, то Af есть
самая правая точка F. Точно так же убеждаемся, что если F замк-
нуто и ограничено снизу, то F имеет нижнюю грань т, причем т
содержится в F и является самой левой точкой F.
Следствие 2., Концы наименьшего сегмента» содержащего
ограниченное замкнутое множество F, принадлежат множеству F.
§ 7. Строение линейных замкнутых и открытых множеств
Прежде всего здесь докажем следующее утверждение, которым
воспользуемся в дальнейшем.
Теорема /. Всякое множество попарно неперекрывающихся
интервалов на числовой прямой есть или конечное, или счетное
множество.
Доказательство. Пусть имеем множество
неперекрывающихся интервалов S. Возьмем -множество R всех рацио-
нальных точек прямой. Это множество счетное, поэтому все рацио-
нальные точки можно занумеровать в бесконечную последовательность:
^={g. G. •••• г„. •••}•
Возьмем произвольный интервал S £ А. Он содержит бесконечное мно-
жество рациональных точек гп. Пусть одна из них будет точка гЛ1.
Обозначим этот интервал через §П1. В другом интервале также най-
дется рациональная точка г„2. Обозначим этот интервал через
Ясно, что nx^nv так как равенство пг = пх означало бы и равен-
ство гп% — гп^ т. е. два интервала содержали бы одну и ту же точку
гЛ1, а по условию это невозможно.
Продолжая этот процесс дальше, мы занумеруем все интервалы
S б А различными натуральными числами:
Л = ...» биА, г..}.
А так как часть множества натуральных чисел может быть либо ко-
нечным, либо счетным множеством, то, следовательно, и множество А
или конечное, или счетное. Теорема доказана.
Приступим теперь к выяснению строения замкнутых линейных мно-
жеств.
Возьмем какое-нибудь замкнутое множество F. Здесь возможны
два случая: либо F совпадает с числовой прямой, либо есть точки
прямой, не принадлежащие множеству F.
Пусть точка х не принадлежит F. Обозначим через множество
тех точек F, которые находятся левее точки х, а через F2 — множе-
74
ство точек F, находящихся правее точки х. Можно убедиться, что
оба множества Ft и F*— замкнутые.
Действительно, пусть £ есть предельная точка множества Fr Но
Fxa:F, поэтому $ является предельной точкой и множества F, а так
как F замкнуто, то $ g F. Кроме того, $ содержится в полуинтервале
(— оо, х], ибо множество Ft находится в интервале (— оо, х). Так как
x^F, a EgF, то $т^х, поэтому —оо<$<х. Итак, $ принадлежит
F и находится левее точки х, значит, $^Ft. Следовательно, любая
предельная точка Fr содержится в Ft, т. е. Ft — замкнуто. Точно
так же можно доказать, что множество F2 замкнуто.
Множество Fv как замкнутое и ограниченное сверху, имеет самую
правую точку а<^х, а множество F2, как замкнутое и ограниченное
снизу, имеет самую левую точку р>х. В интервале 3 = (а, р) нет ни
одной точки множества F, так как этот интервал не содержит ни то-
чек Fx, ни точек F2, а концы интервала — точки а и р— содержатся
в F вследствие того, что a£Fx, a p£F2.f
Таким образом, если точка х не принадлежит данному замкнутому
множеству F, то она содержится в некотором интервале § = (а, р):
а<х<р, все точки которого также не принадлежат множеству/*,
но концы которого содержатся в F. Такой интервал $ = (а, р),
который не содержит ни одной точки замкнутого множества F, но
концы которого содержатся в F, называется смежным интервалом
к замкнутому множеству F.
Заметим, что если множество F ограничено справа и точка х
взята правее всех точек F, то множество F2 пустое, aFx = FHMeeT
самую правую точку а. Тогда вместе с точкой х не принадлежит
множеству F бесконечный интервал (a, 4~оо), причем конец интер-
вала— точка a — содержится в F. Такой бесконечный интервал мы так-
же относим к интервалам, смежным к множеству F. Если F будет
ограничено снизу, то таким же образом получим бесконечный интер-
вал (— оо, р), смежный к множеству F. Когда же замкнутое мно-
жество F ограничено (т. е. ограничено снизу и сверху), то имеем
два бесконечных интервала, смежных к F: (—оо, а) и (ft, -|-оо),
причем а есть самая левая точка F, а b — самая правая точка F.
Остальные интервалы, смежные к F, конечные и содержатся на сег-
менте [a, ft], который является наименьшим сегментом, содержащим
множество F. Наконец, если F пустое, то смежным к F интервалом
будет вся прямая (—оо, -J-оо). Так как наши рассуждения применимы
к любой точке х £ F, то можно сделать такой вывод:
Всякая точка х. не принадлежащая замкнутому множеству F, со-
держится в некотором смежном к множеству F интервале 5.
Легко заметить, что никакие два интервала, смежные к замкну-
тому множеству F, не имеют ни одной общей точки. В самом деле,
пусть точка х0 принадлежит двум смежным интервалам §х = (ах, рх)
и §2 = (а2, р2) (черт. 11).
Допустим, что ах<а2. Так как х0£§х и х0£82, тоа2<х0<рх.
Поэтому ах<^а2<^рх, т. е. а2^8х, но это противоречит тому, что
75
a2gp. Допустим, что а2<аг Так как а, <х0 < р2, то, а2 < р2,
т. е. оц £ 82. Это противоречит тому, что a^F. Следовательно,
а1 = а2. Такие же рассуждения дают =
Таким образом, если смежные интервалы и 82 имеют общую
точку, то они совпадают, т. е. не может быть двух различных смеж-
g ных интервалов, имеющих, общую
точку. Отсюда, по теореме 1,
J следует, что смежных к замкну-
Г ?2 тому множеству F интервалов
может быть или конечное, или
счетное множество.
ЧеРт* Все эти результаты, получен-
ные при изучении строения зам-
кнутых множеств, позволяют формулировать следующие теоремы.
Теорема 2. Всякое замкнутое множество F либо совпадает с
числовой прямой, либо получается удалением из прямой конечного
или счетного множества попарно неперекрывающихся интервалов,
смежных к множеству F.
Теорема 3. Всякое ограниченное замкнутое множество F есть
или сегмент, или получается удалением из наименьшего сегмента
[a, ft], содержащего F, конечного или счетного множества попарно
неперекрывающихся интервалов, смежных к множеству F.
Строение замкнутого множества будет вполне уяснено, когда дока-
жем следующую теорему, являющуюся обратной к предыдущим двум.
Теорема 4. Всякое множество F, которое получено удалением
из числовой прямой или из какого-либо сегмента [a, ft] конечного
или счетного множества попарно неперекрывающихся интервалов,
есть замкнутое множество, а удаленные интервалы являются
смежными интервалами к множеству F.
Доказательство. Удалим из прямой конечное или счетное
множество попарно неперекрывающихся интервалов 82, ..., ... .
Оставшееся при этом множество обозначим через F. Пусть точка
g £F. Тогда а так как ft* не содержит ни одной точки F,
то £ не может быть предельной точкой F. Следовательно, F не имеет
ни одной предельной точки, не принадлежащей F, т. е. F замкнуто.
Если F построено на сегменте [a, ft], то точка g, не принадлежа-
щая F, или находится вне сегмента [a, ft], или принадлежит одному
из удаленных из [a, ft] интервалов, поэтому она опять не может быть
предельной точкой множества F, содержащегося на сегменте [a, ft].
Следовательно, и в этом случае множество F замкнуто. То что уда-
ленные интервалы являются смежными интервалами к F, видно из того,
что интервал не содержит ни одной точки F, ибо он удаляется при
построении F, а концы 5* не удаляются, что следует из самого поня-
тия интервал*, кроме того, концы не будут удалены и другими
интервалами, так как интервалы 8* попарно не перекрываются.
Теорема доказана и строение замкнутых множеств изучено пол-
ностью.
76
Чтобы выяснить строение совершенных множеств, обратим вни-
мание прежде^ всего на то, что всякое совершенное множество
замкнуто, поэтому все сказанное о замкнутых множествах относится
и к множествам совершенным. Заметим также, что смежные интер-
валы не перекрываются, но могут иметь общие концы. Совершенно
ясно, что общий конец х0 двух смежных к замкнутому множеству F
интервалов 5Х и 82 есть изолированная точка F, так как х0 g F, а
интервалы и 52 вместе образуют окрестность точки х0, не содер-
жащую ни одной точки F, отличной от х0.
Следовательно, при наличии хотя бы двух смежных к замкнутому
множеству F интервалов, имеющих общий конец, множество F не
совершенное.
Пусть ни одна пара смежных к замкнутому множеству F интерва
лов не имеет общего конца. Докажем, что F — совершенное множество
Допустим обратное, т. е. что
F имеет изолированную точку х9
(черт. 12). Обозначим через Fx
множество точек F, находящихся
слева от х0, а через F2— мно-
жество точек F, находящихся справа
от х0. Убедимся, что Fx и F2— Черт. 12.
замкнутые. В самом деле, пусть £
есть предельная точка Fv а значит и F, но F замкнуто, поэтому
££F. Так как Fx содержится в интервале (—оо, х0) и £=^=х0, ибо
х0 — изолированная точка F, то Итак, ££F и Z<^x9i сле-
довательно, Z^FV что и доказывает замкнутость Fx. Так же дока-
зывается, что F2 замкнуто. Множество Fx, как замкнутое и ограни-
ченное сверху, имеет самую правую точку хс Точка л:х<^х0, так
как x0£Fx. Замкнутое и ограниченное снизу множество F2 имеет
самую левую точку х2, причем х0<^х2, ибо x0gF2. Но таким путем
мы получили два интервала: Зх = (хх, х0) и 52 = (х0, х2), которые
имеют общий конец х0 и являются смежными к F. Действительно,
интервалы §х и 52 не содержат ни одной точки ни Fx, ни F2, а значит
и F, так как F = FX +F2 + {х0 }♦ а концы 8Х и 82, т. е. точки
хх, х0, х2, содержатся в F, ибо xx^Fv x2£F2, а через х0 была
обозначена изолированная точка F, существование которой мы до-
пустили. Таким образом, пришли к противоречию с условием, что
ни одна пара смежных к множеству F интервалов не имеет общего
конца. Следовательно, допущение не верно, т. е. F не имеет ни одной
изолированной точки и поэтому совершенное.
Заметим, наконец, что если замкнутое множество F ограничено и
[a, Ь] есть наименьший сегмент, содержащий F, то точка а является
правым концом смежного к F бесконечного интервала (—оо, а).
Поэтому а будет изолированной точкой множества F тогда и только
тогда, когда а будет левым концом одного из смежных к F интер-
валов, содержащихся на сегменте [а, &]. Точно так же b будет
изолированной точкой F в том и только в том случае, если она
77
окажется правым концом смежного к F интервала, содержащегося
на сегменте [а, Ь].
Все это позволяет сформулировать следующие теоремы.
Теорема 5. Всякое совершенное множество Р есть либо вся
числовая прямая, либо получается удалением из числовой прямой
конечного или счетного множества интервалов, попарно неперекры-
вающихся и не имеющих общих концов. Эти интервалы являются
смежными интервалами к совершенному множеству Р.
Обратно, всякое множество Р, которое получено удалением
из прямой конечного или счетного множества интервалов, попарно
неперекрывающихся и не имеющих общих концов, есть совершенное
множество, а удаленные интервалы являются смежными интер-
валами к множеству Р.
Теорема 6. Всякое ограниченное совершенное множество Р есть
либо сегмент, либо получается удалением из наименьшего сегмента
[а, />], содержащего множество Р, конечного или счетного мно-
жества интервалов, попарно неперекрывающихся и не имеющих
общих концов ни друг с другом, ни с сегментом [а, Ь]; эти интер-
валы являются смежными интервалами к совершенному мно-
жеству Р.
Обратно, всякое множество Р, которое получено удалением из
сегмента [а, 6] конечного или счетного множества интервалов,
попарно неперекрывающихся и не имеющих общих концов ни* друг
с другом, ни с исходным сегментом [а, Л], есть совершенное мно-
жество, а удаленные интервалы являются смежными интервалами
к множеству Р.
После того как уже изучено строение линейных замкнутых мно-
жеств, можно без труда выяснить и строение открытых множеств,
пользуясь той связью, которая существует между открытыми и замк-
нутыми множествами.
Известно, что если О — линейное открытое множество, a CG —
дополнение к множеству Е, т. е. множество всех точек числовой
прямой, не принадлежащих G, то CG—замкнутое множество.
Если теперь учесть, что G в свою очередь является дополнением
к замкнутому множеству CG, а дополнение замкнутого множества
состоит из смежных интервалов к этому множеству, то имеем, что G
является суммой попарно неперекрывающихся интервалов, концы
которых не принадлежат G.
С другой стороны, так как сумма интервалов есть открытое мно-
жество, то любое множество, представимое в виде суммы интерва-
лов, открыто.
Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 7. Всякое непустое открытое множество G есть
сумма конечного или счетного множества попарно неперекрываю-
щихся интервалов, концы которых множеству G не принадлежат.
Обратно, всякое множество G, которое можно представить
в виде суммы интервалов, есть открытое множество.
78
§ 8. Множество Кантора
Возьмем сегмент [0, 1], разделим его на три равные части и уда-
лим средний интервал 81 = fy, -|Л (черт. 13). Каждый из остав-
[(! 1 | 2 ]
О, у и у, 1 опять разделим на три равные
1 2\ fl Я\
, ТГ ) и — ( "о"» o') •
У J у У У ]
Получим сегменты: £о, у], £у, у j , [тр у] и [у > 1] • Каж"
дый из этих сегментов опять разделим на три равные части и из
каждого удалим средний интервал. Продолжая этот процесс неогра-
ниченно, мы построим на сегменте
[О, 1] совершенное множество Ро.
В самом деле,, интервалы 5з
52, ... , которые мы удалили п J|
из сегмента [0, 1], попарно не 9 9 з 3 9 9
перекрываются и не имеют общих
концов ни друг с другом, ни с еРт*
сегментом [0, 1], так как удаляется
каждый раз средний интервал. Следовательно, по теореме 6 § 7,
множество Ро совершенное. Удаленные интервалы ... являются
смежными интервалами к множеству Ро.
Множество Ро называется совершенным множеством Кантора.
Характерной особенностью построенного совершенного множе-
ства Ро является то, что ни один как угодно малый сегмент [а, р]
не содержится в Ро целиком. Действительно, если бы сегмент [а, р]
целиком содержался в Ро, то он должен был бы все время быть
внутри одного сегмента из числа тех, которые получаются при пост-
роении Ро. Первый шаг при построении Ро — удаление интервала
— дает сегменты длиной у, второй шаг — удаление и — при-
1
водит к сегментам, длина каждого из которых равна у, и т. д.
На л-ом этапе построения множества Ро получим сегменты, из кото-
я х 1
рых каждый будет иметь длину, равную > причем натуральное
о
число п можно считать сколь угодно большим, так как процесс
удаления средних интервалов идет неограниченно. Но тогда при
достаточно большом п получим Следовательно, сегмент
[а, р] не может все время содержаться в одном сегменте из числа
тех, которые получаются при построении Ро, и, значит, не может
целиком принадлежать множеству Ро. В силу этого свойства, совер-
шенное канторово множество Ро называется нигде неплотным.
Выясним, какова мощность множества Рв. Для этого воспользу-
емся разложением действительных чисел сегмента [0, 1] в бесконечные
79
троичные дроби, т. е. в дроби вида
а=^ + ^+---+вг+--- <«л = 0, 1, 2),
что кратко записывают так:
« = .,ak, .. .
Если число а представляет конечную троичную дробь
п। ak
а з “Г З2 • • • 3* ’
то это число может быть разложено в бесконечную троичную дробь
двумя способами:
а = 0,«1а±.. .а^^ООО...
и
a. — Q,alat...ak_l(ak— 1)22... ,
остальные же числа разлагаются в бесконечные троичные дроби
единственным способом.
Заметим теперь, что любая точка х интервала = у),
который мы удалили из сегмента [0, 1] при первом шаге построения
множества Ро, будет выражаться только такой бесконечной троичной
дробью, у которой первый знак после запятой равняется 1:
Х'=0,\а2а*.. .ak... .
исключая числа
Все же числа а сегментов
2
и , будут выражаться троичными дробями вида
3
2
з
где
а = 0,^^...аЛ...
а1 = 0 или ^ = 2.
Что же касается чисел и -я-, то каждое из них имеет два разло-
о о
жения:
4 = 0,100... и 4 = 0,022...
о О
4 = 0,122... и 4=0,200...
О о
Следовательно, все точки сегментов [о, и Г— » 1 I могут быть
„ l °J L° j
разложены в троичные дроби, у которых первый знак после запятой
будет или 0, или 2.
Совершенно так же замечаем, что любая точка интервалов
> f* 2 \ > f7 8\
62=(-g > у) и 9/’ которые удаляются вторым шагом
при построении Ро, выражается только такой троичной дробью,
У которой второй знак после запятой равняется 1.
80
Каждая же точка оставшихся сегментов может быть представлена
троичной дробью, в которой первые два знака после запятой будут
выражены числами 0 и 2.
Такие рассуждения применимы к каждому шагу при построении Ро.
Поэтому ясно, что в Р9 останутся те и только те точки сегмента
[О, 1], которые разлагаются в троичные дроби, содержащие в качестве
троичных знаков только 0 и 2.
Таким образом,
Р, = {0,
где
ak = 0 или ak = 2.
Теперь можно установить взаимно однозначное соответствие
между множеством Ро и множеством
Е= {Л/*}
всех частей N* множества всех натуральных чисел.
Действительно, возьмем произвольный элемент N*£E. N* есть
множество некоторых натуральных чисел. Этот элемент N* свяжем
взаимным соответствием с тем элементом 0, ага2.. .ak... £ Рв, в котором
аЛ = 0, если и ak = 2t если k£ N*. Этим будет установлено
взаимно однозначное соответствие между множествами Е и Ро,
поэтому
Е-Р,.
Раньше было доказано, что множество Е имеет мощность конти-
нуума? следовательно, и Рв имеет мощность континуума. Таким
образом, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Канторово нигде неплотное совершенное множество
имеет мощность континуума.
Следствие. Канторово множество Р9 содержит точки, ко-
торые не являются концами смежных интервалов к множеству Ро.
Действительно, смежных интервалов, а следовательно и их кон-
цов, счетное множество. Поэтому, если бы в Ро не было иных точек,
кроме концов смежных интервалов, то Ро не имело бы мощности
континуума.
§ 9, Мощность совершенного множества
Установив, что канторово множество Ро имеет мощность конти-
нуума, естественно думать, что и любое нигде неплотное совершен-
ное множество, а вместе с тем и всякое совершенное множество,
кроме пустого, имеет мощность континуума. Следующая теорема под-
тверждает это.
Теорема. Всякое линейное непустое совершенное множество име-
ет мощность континуума.
Доказательство. Так как любое линейное совершенное мно-
жество Ресть либо вся числовая прямая, либо часть множества всех точек
прямой, а прямая имеет мощность континуума, то ясно, что мощность
81
совершенного множества не больше мощности континуума. С другой
стороны, если совершенное множество Р содержит целиком как
угодно малый отрезок, то мощность Р и не меньше мощности конти-
нуума, ибо мощность любого отрезка есть континуум. Следовательно,
теорема очевидна для любого совершенного множества, содержащего
целиком какой-нибудь отрезок. Таким образом, теорема должна быть
доказана только для ограниченных нигде неплотных совершенных
множеств.
Пусть имеем нигде неплотное совершенное множество Р, и пусть
[о, £] есть наименьший сегмент, содержащий Р. Следовательно,
Р построено удалением из сегмента [а, счетного множества интер-
валов, которые попарно не пересекаются и не имеют общих концов
ни друг с другом, ни с сегментом [а, #]. Из Р удалим правые концы
смежных интервалов к множеству Р и оставшееся множество обозна-
чим через Р*. Так как правых концов смежных интервалов счетное
множество и множество Р* бесконечно, то Р*^.Р. Докажем, что Р*
имеет мощность континуума. Для этого установим взаимно однозначное
1 1 3
2^ *2 22
соответствие между Р* и сег-
ментом [0, 1]. Прежде всего
поставим во взаимно однознач-
ное соответствие множество
всех левых концов смежных ин-
тервалов (они содержатся в
Р*) и множество всех конечных
двоичных дробей сегмента [0,1].
Сделаем это следующим обра-
зом.
Черт. 14. Левый конец наибольшего
смежного интервала (такой ин-
тервал очевидно есть, а если их несколько, то воспользуемся любым
из них) поставим во взаимное соответствие с точкой у (черт. 14).
Среди смежных интервалов, находящихся левее есть также наиболь-
ший интервал. Обозначим его 8t. Его левый конец поставим во взаимное
соответствие с точкой Так же найдем наибольший интервал Ъ9
среди смежных интервалов, находящихся справа от 8 . Его левый
конец поставим во взаимное соответствие с точкой . Затем нахо-
дим наибольшие смежные интервалы на участках левее между
и L между 8, и правее L и их левые концы свяжем взаимным
13 5 7
соответствием с точками > от» от •
Продолжая таким образом, получим взаимно однозначное соот-
ветствие между множеством {а} всех левых концов смежных интер-
валов к множеству Р и множеством {г} всех конечных двоичных
дробей, т. е. дробей вида
г = ^, т—1, 3, 5....2*—1; Л=1, 2, 3, ... ;
82
причем в этом соответствии порядок левых концов а смежных интер-
валов совпадает с порядком двоичных дробей г: если левым концам
смежных интервалов а и а' соответствуют двоичные дроби г и/, то
неравенства а<а' и г<^г* верны или не верны одновременно.
Убедимся теперь, что в Р* есть точки, не являющиеся левыми
концами смежных интервалов, и что их можно поставить во взаимно
однозначное соответствие с множеством тех точек [0, 1], которые
не выражаются конечными двоичными дробями. С этой целью возьмем
произвольную точку х сегмента [0, 1], которая не выражается конеч-
ной двоичной дробью, и построим из конечных двоичных дробей моно-
тонно возрастающую последовательность, сходящуюся к х'.
«->00
(1)
Последовательности (1) соответствует последовательность левых
концов смежных интервалов
(2)
Последовательность (2) монотонно возрастающая, ибо из rn<rn+1
следует ап<аЛ+1, и ограничена сверху, поэтому сходится к неко-
торому пределу £. Точка S, как предельная точка Р, содержится
в совершенном множестве Р, а так как возрастающая последователь-
ность левых концов смежных интервалов не может иметь своим пре-
делом правый конец какого-либо смежного интервала, то S £ Р*.
Докажем, что $ не есть левый конец какого-нибудь смежного
интервала.
Допустим обратное, т. е. что $ — левый конец смежного интер-
вала. Тогда S находится в соответствии с некоторой конечной
двоичной дробью г. Так как S = limaw, то |$ — an|, а следовательно,
«->00
и [г — гп| будет сколь угодно мало для всех достаточно больших и,
т. е. r = limrn. Откуда имеем х = г, что не верно, так как х
П-*(Х>
не есть конечная двоичная дробь. Полученное противоречие дока-
зывает, что $ не есть .левый конец ни одного из смежных интер-
валов.
Точке х поставим в соответствие точку £.
Этим способом каждой определенной точке х£[0, 1], не выра-
жающейся конечной двоичной дробью, будет поставлена в соответ-
ствие одна определенная точка $£Р*, не являющаяся левым концом
смежного интервала. В этом убедимся, если заметим, что различным
последовательностям вида (1), сходящимся к одной и той же точке
х£[0, 1], соответствуют хотя и тоже различные последовательности
вида (2), но сходящиеся также к одной точке Е£Р*.
Действительно, пусть, кроме последовательности (1), имеем дру-
гую последовательность конечных двоичных дробей:
(Г)
также сходящуюся к х. Этой последовательности (Г) соответствует
отличная от (2) последовательность левых концов смежных интер-
валов:
а' < а' < ... < а* < ... —> £'. (2')
Пусть предел последовательности (2'), который существует в силу
ограниченности и монотонности этой последовательности, есть Е'.
Докажем, что Е' = Е.
Допустим, что Е'<£. Тогда для достаточно большого л = /г0
имеем £'<аПо, ибо 1ипага = Е. Но ал<СЕ', поэтому для
п-»оо
всех &, а значит, и г&<Гг„ для всех k. Следовательно, x = limrn=C
«-►ОО
гЛо < гПо+1, что не верно в силу того, что последовательность (1)
монотонно возрастающая, а х есть предел этой последовательности.
Итак, допущение £'<С? приводит к противоречию. Совершенно так
же, меняя роли последовательностей (1) и (Iх), убеждаемся, что до-
пущение Е'^>Е не верно. Следовательно, Е' = Е.
Возьмем теперь точку Е£Р*, которая не есть левый конец смеж-
ного интервала. Так как $ не есть и правый конец смежного интер-
вала (правых концов в Р* нет), то в любой близости слева от £ есть
левые концы смежных интервалов. Действительно, если точка Т| сколь
угодно близка к Е и /)<£> то интервал (ц, Е) не мог быть целиком
удаленным при построении Р, ибо тогда точка £ была бы правым
концом смежного интервала, но (ц, Е) не мог и остаться целиком в Р,
так как Р нигде неплотно. Поэтому на сегменте [г], £] есть смежный
интервал, а значит и левый конец смежного интервала. Следовательно,
можно построить монотонно возрастающую последовательность (2)
левых концов смежных интервалов, сходящуюся к выбранной точке
Е£Р*. Этой последовательности соответствует последовательность (1)
конечных двоичных дробей. Предел х последовательности (1) будет
точкой сегмента [0, 1], причем точкой, не выражающейся конечной
двоичной дробью. Действительно,* пусть x = limrn есть конечная
И->ОО
двоичная дробь. Тогда точке х соответствует левый конец а смежного
интервала. Так как для достаточно больших п\х — г„| сколь угодно
мало, то для всех достаточно больших я|а — ап| будет сколь угодно
мало, а это означает, что a = liman, т. е. сх = £, что невозможно,
«~>оо
так как Е не есть левый конец смежного интервала. Рассуждениями,
аналогичными тем, которые уже здесь применялись, можно доказать,
что разным последовательностям вида (2), сходящимся к взятой
точке £, будут соответствовать разные, но сходящиеся к одной и
той же точке х последовательности вида (1). Поставим в соответствие
взятой точке EgP* построенную точку х£[0, 1]. Так как, в силу
предыдущего, точке х£[0, 1] была поставлена в соответствие как
раз точка £, являющаяся пределом последовательности (2), то соответ-
ствие между х€[0, 1] и Е£Р* взаимное.
84
Этим самым мы установили взаимно однозначное соответствие
между Р* и сигментом [0, 1]. Следовательно, Р*, а значит и Р,
имеет мощность континуума. Теорема доказана.
§ 10. Точки конденсации
Дадим определение еще одного понятия теории точечных мно-
жеств.
Точка £ называется точкой конденсации множества/:, если любая
окрестность точки Е содержит несчетное множество точек множества Е.
Из этого определения следует, что всякая точка конденсации
множества Е есть вместе с тем и предельная точка Е, но не всякая
предельная точка Е есть точка конденсации Е. Так, если в любой
окрестности точки Е содержится бесконечное, но счетное множество
точек множества Е, то Е есть предельная точка Е, но не точка кон-
денсации Е.
Очевидно также, что точки конденсации могут быть только
у несчетных множеств. Конечные и счетные множества не имеют
ни одной точки конденсации.
Следующая теорема показывает, что у всякого несчетного множе-
ства Е не только существуют точки конденсации, но что их несчет-
ное множество содержится в Е. Кроме того, могут быть точки кон-
денсации Е, не принадлежащие Е.
Теорема /. Точек несчетного множества Е, не являющихся
точками конденсации Е, может быть не более чем счетное мно*
жество.
Доказательство. Пусть х есть точка несчетного множества Е,
не являющаяся его точкой конденсации. Тогда существует такой
интервал 5, содержащий точку х, в котором содержится не более
счетного множества точек множества Е. Интервал 5 можно считать
рациональным, т. е. таким, что если х — точка л-мерного евклидова
пространства и, значит, § есть л-мерный интервал
£=1, 2, ... л, то все ak и bk рациональные. Этого всегда можно
добиться сужением линейных интервалов (лЛ, Ь^.
Множество всех рациональных интервалов счетно, так как его
можно рассматривать как множество элементов, различаемых 2л
значками av av ... , ani bv bit ... , bni каждый из которых,
всегда будучи рациональным числом, принимает счетное множество
значений.
Всякая точка х множества Е, не являющаяся точкой конденсации Е,
принадлежит некоторому рациональному интервалу §, содержащему
не более счетного множества точек множества Е, которые также не
могут быть точками конденсации Е, так как для каждой из них
интервал § есть окрестность, содержащая точек Е не более счетного
множества.
Выделим из счетного множества
Л=Р,. 8.........
85
всех рациональных интервалов подмножество
бй.,.... 6т{,...}
тех интервалов 8W/, которые содержат не более счетного множества
точек данного множества Е.
Очевидно, множество В охватывает не более счетного множества
точек, принадлежащих Е, но каждая точка х множества Е, не являю-
щаяся точкой конденсации Е, содержится в каком-нибудь интервале
Ътг£В.
Следовательно, точек множества Е, не являющихся точками кон-
денсации Е, не более счетного множества.
Теорема 2. Всякое несчетное множество имеет точек кон-
денсации, содержащихся в этом множестве, также несчетное
множество.
Доказательство. Пусть Е — несчетное множество. Обозна-
чим через D множество всех точек Е,» которые не являются точками
конденсации Е. По доказанному, D есть либо конечное, либо счетное
множество. Множество Е — D состоит только из точек конденсации
множества Е. Но по теореме 6, § 7, главы I:
Е —О^-Е,
откуда и следует, что множество Е — D, т. е. множество точек кон-
денсации Е, содержащихся в Е, несчетно, как и исходное множество Е.
Следующая теорема выясняет строение множества всех точек
конденсации данного множества.
Теорема 3. Множество всех точек конденсации данного мно-
жества есть совершенное множество.
Доказательство. Обозначим через Е* множество всех точек
конденсации данного несчетного множества Е. Докажем, что Е* зам-
кнуто. Пусть $ предельная точка множества Е*. Возьмем любую
окрестность 8 точки Е. По определению предельной точки, в 8 най-
дется точка х, принадлежащая множеству Е*. Так как х£Е* есть
точка конденсации множества Е, а интервал 8, содержащий точку х,
есть окрестность этой точки х, то, по определению точки конденса-
ции, в 8 содержится несчетное множество точек множества Е.
Таким образом, любая окрестность 8 точки £ содержит несчетное
множество точек Е. Следовательно, $ есть точка конденсации мно-
жества Е, т. е. £gE*.
Итак, если Е какая угодно предельная точка множества Е*,
то Е£Е*, а это означает, что Е* замкнуто.
Докажем, что множество Е*— плотное в себе. Пусть х есть
произвольная точка множества Е*. Так как х£Е* есть точка кон-
денсации множества Е, то в любой окрестности 8 точки х содер-
жится несчетное множество точек Е. По теореме 2, у несчет-
ного множества точек, принадлежащих Е и содержащихся в 8,
имеется несчетная часть, состоящая из точек конденсации мно-
жества Е. Следовательно, любая окрестность 8 точки х£Е* содер-
жит несчетное множество точек множества Е*, поэтому х есть точка
86
конденсации множества Е*, тем более х есть предельная точка Е*.
Таким образом, любая точка есть предельная точка Е*, т. е.
множество £* — плотное в себе.
Итак, множество Е* — замкнутое и плотное в себе, т. е. совер-
шенное.
Заметим, что если данное множество Е — конечное или счетное, то
множество точек конденсации Е есть пустое множество, что опять
согласуется с теоремой, так как пустое множество есть множество
совершенное.
Из доказанной теоремы вытекает справедливость следующего
утверждения, которое известно под названием теоремы Кантора — Бен-
диксона.
Теорема (Кантора — Бендиксона). Всякое замкнутое мно-
жество может быть представлено в виде суммы совершенного
множества и множества не более счетного.
Доказательство. Пусть имеем замкнутое множество Е. Обо-
значим через Р множество всех точек конденсации множества F.
Доказано, что Р есть совершенное множество. Кроме того, PczF,
так как точки конденсации F являются одновременно и предельными
точками F, а множество F — замкнуто и поэтому содержит все свои
предельные точки. Пусть D—F—Р. Это множество не более чем
счетное, так как состоит только из тех точек F, которые не являются
точками конденсации F, а таких точек не более счетного множества.
Наконец, остается заметить, что
F=P+D,
и теорема доказана.
Следствие. Всякое несчетное замкнутое множество имеет
мощность континуума.
Действительно, если замкнутое множество F несчетное, то множе*
ство Р точек конденсации F есть не пустое совершенное множество,
а такое множество имеет мощность континуума. Следовательно, и
F—P-\-D, где множество D не более счетного, также имеет мощ-
ность континуума.
ГЛАВА IV
ФУНКЦИИ
§ 1. Общее понятие функции
Введем наиболее общее определение понятия функции, а затем
дадим определение действительной функции от одной или нескольких
действительных переменных.
1. Если по некоторому закону каждому элементу £ множества Л4
поставлен в соответствие определенный элемент т] множества N, то
мы говорим, что на множестве Ж определена функция /(£), и пишем:
ч =/(£).
Здесь множества ЛТ и N могут быть любыми, состоящими из ка-
ких угодно элементов. Существо определения понятия функции заклю-
чается в том соответствии, о котором говорится в определении.
Функция будет дана, если дан закон, устанавливающий соответствие
между $ £ /И и т; С Nt т. е. установлено некоторое правило, зная ко-
торое можно по элементу $ £ М найти ему соответствующий элемент
Tj g N. Следует заметить, что различным элементам £ £ Л! может ока-
заться соответствующим один и тот же элемент r^N.
Такое общее определение функции впервые было дано гениаль-
ным русским математиком Н. И. Лобачевским, создателем неевкли-
довой геометрии, который работал в различных областях математики,
в том числе и в области математического анализа.
2. Если по некоторому закону каждой точке множества Е, состоя-
щего из точек л-мерного евклидова пространства (xp х2, ... , хл),
поставлено в соответствие определенное действительное число п, то
мы говорим, что на множестве Е определена действительная функция
(или просто функция) f{xv х2, ... , х„) от п действительных пере-
менных х,, х2, ... , хп, и при этом пишем:
“=/(*Р xt, ... хп).
В частности, когда л=1, т. е. множество Е состоит из точек
числовой прямой, мы получим следующее определение функции одного
действительного переменного.
3. Если по некоторому закону каждой точке х множества Е,
состоящего из точек числовой прямой, поставлено в соответствие
88
определенное действительное число у. то мы говорим, что на мно-
жестве Е определена функция /(х) от одного действительного пере-
менного х, и при этом пишем:
Хотя мы всегда пишем равенство у = /(х) или и=/(х1, х2, ... , х„),
когда желаем выразить, что у есть функция от х или что и есть
функция от хх, х2, ... , хп, однако это вовсе не означает, что функ-
ция всегда определяется формулой, указывающей те действия над
аргументом х или аргументами хр х2, ... , хп, которые надо выпол-
нить, чтобы получить соответствующее значение функции у или и.
Так, например, функция, известная под названием „функции Дирихле",
определяется правилом:
/(х)=1, если точка х рациональная,
/(х) = 0, если точка х иррациональная.
Эта функция определена на всей числовой прямой, так как каждой
точке х числовой прямой соответствует определенное действительное
число, хотя формулы, выражающей эту функцию, мы не имеем. Чтобы
функция была определена, надо, чтобы существовало то соответствие,
о котором говорится в понятии х функции, а выражено это соответ-
ствие аналитически (формулой) или нет, это не существенно. Нельзя
смешивать функцию с аналитическим выражением этой функции, кото-
рого может и не быть, хотя функция определена. Кстати заметим,
что и для функции Дирихле найдено аналитическое выражение, но
это вовсе не требовалось для того, чтобы функцию Дирихле считать
действительно функцией.
§ 2. Непрерывность функции в точке и на множестве
Точку (хр х2, ... , хп) ^-мерного евклидова пространства будем
обозначать для простоты одной буквой х. Таким образом, точка х’
есть либо точка числовой прямой, либо точка двухмерного про-
странства (хр х2), либо точка трехмерного пространства (хр х2, х3)
и т. д. Это позволит нам изображать функции любого числа п пере-
менных Хр х2, ... , хп одним и тем же символом /(х).
Важнейшим понятием, связанным с изучением функций, является
понятие непрерывности функции. Дадим определение этого понятия.
Пусть на множестве Е, состоящем из точек х л-мерного простран-
ства, определена функция /(х).
Функция /(х) называется непрерывной в точке х0£Е (б смысле
Коши), если для любого как угодно малого 8>0 существует такое
число что для всех х£Е, содержащихся в окрестности U(xQ, 5)
точки х0, справедливо неравенство
Ч/(Х)—/(Хо)|<е.
Из этого определения непрерывности следует, что если в точке
х^Е функция /(х) не непрерывна, то существует такое е^>0, что
89
при любом как угодно малом 5>0 в окрестности С7(х0, 8) точки х0
найдется по крайней мере одна точка х£Е, для которой неравен-
ство |/(х)—/(х0)|<е не верно, т. е. |/(х) — /(х0)| >е.
Пусть f(x) в точке х0 не непрерывна.Тогда для некоторого
е^>0 в окрестности точки х0 найдется такая точка хп£Е,
что
1Ж)—
Полагая последовательно п равным 1,2,3,... и тем самым стягивая
интервалы > U ^х0, к точке х0, мы получим последовательность
точек
xt, ... , хп, ... , (1)
сходящуюся к то^ке х0, причем соответствующая последовательность
Г(*Л /(х2), ... , f(xn)t ... (2)
значений функции f(x) не может иметь пределом /(х0), ибо
!/(•*„)— /<^0)1>е
для всех п по самому выбору точек хп.
Итак, если функция /(х) в точке х0^Е не непрерывна, то суще-
ствует такая последовательность точек хп множества £*, сходящаяся
к точке х0, что соответствующая последовательность значений /(хя)
функции /(х) не может иметь своим пределом /(х0).
Наоборрт, если /(х) непрерывна в точке х0^В, то из сходимости
последовательности точек множества Е
*1» • • • ♦ • • •
к точке х0 вытекает сходимость последовательности
f(xt}.............................../(*„), . ..
К /(Хо).
В самом деле, так как /(х) непрерывна в точке х0, то для лю-
бого е > О найдется такое число 5 > 0, что для всех х С Е, содер-
жащихся в 67(х0, S), будет верно неравенство
I/W—/(хв)|<е.
Но, в силу сходимости последовательности { хп } к точке х0, найдется
такое Л/, что для всех n>N будем иметь xn£U(xoi §). Следова-
тельно, для всех N
|/(*Л)-/(*0)|<е,
т. е. последовательность {f(x^} сходится к /(х0).
Это позволяет дать следующее определение непрерывности функции
в точке, эквивалентное непрерывности в смысле Коши.
Пусть на множестве Е определена функция /(х).
90
Функция f(x) называется непрерывной в точке хь^Е (в смысле
Гейне), если из сходимости любой последовательности точек множе-
ства Е
xt, ... , хп, ...
к точке вытекает сходимость последовательности
/(х2), ... , /(х„), . . .
К /(*«):
lira /(хп)==/(х0).
Функция /(х), непрерывная в каждой точке множества Е, назы-
вается непрерывной на множестве Е.
§ 3. Свойства непрерывных функций на ограниченных замкнутых
множествах
Функция /(х), определенная на множестве Е точек х л-мерного
евклидова пространства, называется ограниченной на этом множестве,
если множество всех значений /(х), принимаемых в точках В, есть
ограниченное множество, т. е. существуют такие числа А и В, что
для каждого х£Е имеют место неравенства
Д </(х)«СВ.
Ясно, что всегда можно найти такое положительное число Л/,,
что сегмент [Д, В] будет содержаться в сегменте [ — Л4, Ж], поэтому
мы можем определить ограниченность функции следующим образом:
функция /(х) называется ограниченной на множестве В, если суще-
ствует такое число Л4>0, что для всех х£Е справедливо не-
равенство
|/(х)|<Л/.
Теорема 1. Всякая функция /(х), непрерывная на ограниченном
замкнутом множестве F, ограничена на этом множестве F.
Доказательство. Теорему докажем методом рассуждений
от противного. Допустим, что функция /(х) на множестве F не
ограничена. Это означает, что для любого натурального числа п
найдется в множестве F такая точка х„, для которой справедливо
неравенство
Беря за п числа 1,2,3,..., мы получим последовательность
точек множества В:
••• > ••• • U)
Последовательность (1) ограничена, так как содержится в огра-
ниченном множестве В, поэтому, согласно следствию из теоремы
9J
Больцано — Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследова-
тельность
^/11» Xfl2, • • • > • • • 9 (2)
сходящуюся к некоторой точке х9. По условию F замкнуто, и по-
этому x0£F. Так как функция f(x) непрерывна на множестве F,
то она непрерывна, в частности, и в точке x0£F. Поэтому из сходи-
мости последовательности (2) кх0 вытекает сходимость последова-
тельности
f{xn,), ... , f(x„k) ... (3)
к пределу /(х0), т. е. к конечному пределу. Но по выбору точек хп
имеем:
\f{Xnk)\>nk,
т. е. все члены последовательности (3), начиная с достаточно боль-
шого номера kf будут по Абсолютному значению больше любого как
угодно большого положительного числа откуда следует, что по-
следовательность (3) конечного предела не имеет. Полученное про-
тиворечие и доказывает теорему.
Условия теоремы — ограниченность и замкнутость множества F,
где данная функция f(x) непрерывна, существенны. Так, например,
функция одной переменной
f{x) = X
непрерывна на всей числовой прямой, но не ограничена на этой
прямой. Точно так же функция
непрерывна, но не ограничена в полуинтервале 0 < х 1.
В первом примере не выполнено условие ограниченности, а во
втором — замкнутости множества, где данная функция непрерывна.
Теорема 2. Всякая функция /(х), непрерывная на ограничен-
ном замкну том множестве Ft имеет на этом множестве наиболь-
шее и наименьшее значения.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы,/(х) огра-
ничена, поэтому множество всех значений /(х), соответствующих
всем точкам х множества F, имеет как верхнюю, так и нижнюю грань.
Обозначим эти грани соответственно через М и т и будем их на-
зывать верхней и нижней гранями функции /(х) на множестве F.
Докажем, что во множестве F найдется точка а, в которой зна-
чение /(х) равно М
В самом деле, по определению верхней грани, для всех x£F
имеем:
/(*)<<
но при любом как угодно малом е>0 найдется такая точка x0^F,
что будут справедливы неравенства
М — 8 </(*,)< М
92
Беря за е числа 1, у, » получим последовательность
таких точек множества F
•^1» • • • » • • • » (1)
для которых имеют место неравенства
м—4- </(*„)< м
и, значит,
1/(х„)-ЛГ|<4-. (2)
Последовательность (1) ограничена, так как содержится в огра-
ниченном множестве F, поэтому из нее можно выделить подпо-
следовательность
X/it, Хд2, • • • , Хд* , . • . ,
сходящуюся к некоторой точке а. В силу замкнутости множества F,
а содержится в Л, а так как функция /(х) непрерывна на множестве Л,
то она непрерывна и в точке а. Из этого следует, что последова-
тельность
/(*»>), /(*».)» • • • » f(xnk), ... (3)
сходится к числу /(а):
lim f(xni) =/(а). (4)
Но, с другой стороны, из неравенства (2) имеем:
1/(хд*) <Z~f
поэтому
Пт f(Xnk) — M. (5)
«*-►00
Следовательно,
/(а) = М
Аналогично можно доказать, что в множестве F существует та-
кая точка р, в которой значение функции /(х) равно тх
Функция /(х) не имеет значений, меньших своей нижней грани т,
а также и больших своей верхней грани Ж, а эти грани, как мы
доказали, функцией /(х) принимаются на множестве F\ поэтому М
и т и являются соответственно наибольшим и наименьшим значе-
ниями /(х) на множестве F, Этим теорема доказана.
Условия теоремы — ограниченность и замкнутость множества Л,
где данная функция /(х) непрерывна, являются существенными.
Так, например, функция одной переменной
Дх) = г*
93
непрерывна на множестве —' оо < х 0, имеет на этом множестве
верхней гранью 1, а нижней гранью 0, причем верхняя грань, 1,
функцией f(x) на (— оо, 0] принимается, так как е° = 1, а нижняя
грань, 0, не принимается, ибо ни при каком х из (— оо, 0]
Здесь нарушено условие теоремы — полуинтервал (— оо, 0] есть зам-
кнутое, но не ограниченное множество.
Другой пример. В интервале 0<х<1 функция
Дх) = Х
непрерывна, но ни в одной точке этого интервала функция f(x) не
равна 1, своей верхней грани, а также и не равна 0, своей нижней
грани. Здесь опять нарушено условие теоремы, — интервал (0, 1) есть
ограниченное, но не замкнутое множество.
В курсе математического анализа относительно функций одной
переменной доказываются следующие теоремы.
Теорема 3. Если функция /(х) непрерывна на сегменте [а, Ь]
и в концах его имеет значения, противоположные по знаку, то
она равна нулю по крайней мере в одной точке интервала (а, Ь).
Заметим, что в условии этой теоремы нельзя заменить сегмент
произвольным замкнутым множеством. Это видно хотя бы из следую-
щего простого примера.
Пусть a<b<с <d. Положим
/(х) ——1, если а^х^Ь,
/(х) = 1, если c^x^d.
Как видно, функция /(х) определена и непрерывна на совершенном
множестве
Р=[а, &]-(--[/, d\,
меняет свой знак на этом множестве, но ни в одной точке множе-
ства Р не обращается в нуль.
Теорема 4. Функция, f(x), непрерывная на сегменте [а, £],
имеет на нем своими значениями все числа, содержащиеся между
наименьшим и наибольшим значениями /(х) на этом сегменте.
Заметим, что в условии этой теоремы, как и в предыдущей,
нельзя заменить сегмент произвольным замкнутым или совершенным
множеством.
§ 4. Равномерная непрерывность
Если функция /(х) определена и непрерывна на множестве Е
точек х «-мерного евклидова пространства, то это означает, что
в любой точке х£Е для как угодно малого е^>0 можно найти
такое число 8 > 0, что для всех х' £ Е, содержащихся в окрестности
U(x, 8) точки х, справедливо неравенство
1ЛИ— /(*)|<е«
Здесь очевидно, что число 5 зависит от е. Но следует заметить
и то, что при одном и том же е в разных точках х множества Е
94
число 5 может быть также разным. Для непрерывности функции /(х)
в данной точке х надо, чтобы для £^>0 существовало соответст-
вующее 8, но это число 8 может быть меньшим, чем то, которое
соответствует тому же е в какой-либо другой точке множества Е.
Вполне может оказаться, что среди значений 8 для различных точек х
множества Е, соответствующих одному и тому же е, нет наимень-
шего значения 8.
Требование, чтобы такое наименьшее значение 8 существовало,
означает наложение на функцию /(х) более сильного условия, чем
непрерывность. Если это более сильное условие для /(х) выполнено,
то будем говорить, что функция /(х) на множестве Е равномерно
непрерывна.
Определение. Функция /(х), определенная на множестве £, назы-
вается равномерно непрерывной на этом множестве, если для любого
е>0 существует такое 8>0, что для любых двух точек x'gF
и х'^Е, удовлетворяющих условию р(х', х")<^> справедливо нера-
венство
|/(У)-/(*') |<е.
Таким образом, если свойство непрерывности функции связано
с данной точкой, то равномерная непрерывность характеризует пове-
дение функции на всем множестве Е. В случае равномерной непре-
рывности неравенство |/(х')—/(я*)|<С8 верно, лишь бы точки х'
и х' были достаточно близки между собой, а какие именно это точки
множества £, не является существенным.
Примером равномерно непрерывной функции может служить
функция
f(x) = x
на множестве всех действительных чисел. В самом деле, пусть
е — любое положительное число. Возьмем 8 = е. Тогда для любых
х' и х", удовлетворяющих условию
р (х , х") = | х' — х" К 8,
справедливо неравенство
|/(x') I = I х’ - х" | < « = 8.
Если функция /(х) равномерно непрерывна' на множестве Е, то
она непрерывна в каждой точке х£Е, т. е. непрерывна на множе-
стве Е. В самом деле, в силу равномерной непрерывности /(х), для
любого е>0 существует такое 8>0, что для х £Е из условия
р(х, х')<8, и, значит, из условия
/СУ(х, 8)
следует неравенство |/(х')—/(х)|<е, а это и означает, по опре-
делению, непрерывность /(х) в точке х.
Обратное утверждение не верно. Функция /(х) может быть не-
прерывной на множестве Е и вместе с тем не быть на этом множестве
равномерно непрерывной.
95
Так, например, функция
непрерывная в полуинтервале (0, 1], не равномерно непрерывна в этом
полуинтервале.
В самом деле, возьмем из (0, 1] точки х' и х” = х' Ьх. Тогда
1Ж) -f(x”) I = I 1 —* I = I - | .
Iх X фАХ I I х' 4-х Дх I
Если Дх по абсолютной величине как угодно мало, но фиксирован-
ное, то при х'—>0 величина
Дх
х'а + х'Дх
неограниченно возрастает. Поэтому для е>0, каким бы §^>0 ни
было, в полуинтервале (0, 1] всегда, можно найти точки х' и
х" = х'4"Ая, настолько близкие к 0, что хотя и будет
р (х\ х") = | х' — х" | = | Дх К 8,
тем не менее окажется, что
|/(х')-Ж)| = |^-\Л 1>е.
I х -|-х Дх I
Это и доказывает, что функция f(x) = — в полуинтервале (0, 1]
не равномерно непрерывна.
Другой пример. Рассмотрим функцию
f(x) — xi,
непрерывную на множестве всех действительных чисел. Докажем, что
она в интервале (— оо, -]-оо) не равномерно непрерывна.
Действительно, возьмем точки х и х" = х кх. Тогда
|/(х') —/(*") I = IX'2 — (х'+'Дх)21 = 12х'Дх + (Дх)21.
При фиксированном Дх, хотя бы и как угодно малом по абсо-
лютной величине, | 2х'Дх(Дх)21 неограниченно возрастает при воз-
растании |х'|. Поэтому для 8^>0, каким бы малым 8^>0 мы ни
выбрали, найдутся такие (достаточно далекие от 0) точки х' и
х" = х'4~Дх, что хотя и будет
р (х , х") = | х — х" | = | Дх | < 8,
тем не менее окажется
|/(х') —/(х") | = 12х'Дх-|- (Дх)21 > е.
Это означает, что в интервале (— оо, -[-оо) непрерывная функция
/(х) = х2 не равномерно непрерывна.
Следующая теорема показывает, что если функция /(х) непре-
рывна на замкнутом ограниченном множестве, то она на этом мно-
96
жестве, наряду с замечательными свойствами» установленными выше,
обладает и свойством равномерной непрерывности.
Теорема (Кантора). Если функция /(х) непрерывна на замк-
нутом ограниченном множестве F, то она равномерно непрерывна
на этом множестве.
Доказательство. Воспользуемся методом рассуждений от
противного. Допустим, что /(х) на множестве F не равномерно
непрерывна. Это означает, что не для любого е>0 можно найти
такое чтобы из неравенства
р(х', х*)<5
вытекало неравенство
Поэтому существует такое е^>0, что каким бы малым мы ни
выбрали, всегда найдутся такие точки x'gF и x*£F, что хотя и
будет
?(*'. -г") <5.
тем не менее окажется, что
Зафиксируем это е. Если теперь брать в качестве 5 последовательно
числа
1,1 - ,
то для каждого 5 = -i- найдутся такие точки х'п С F и х" £ F, для
которых хотя и будет
р«. о<|. <’>
однако окажется, что
1Ж)-Ж)>8. (2)
Рассмотрим последовательность
х', х', ... , х'........................
1’ ± 7 п
Она ограничена, так как содержится в ограниченном множестве F,
поэтому из нее можно выделить подпоследовательность
х' , х' ... , х' , ... , (3)
Пх1 п27 п^7 ’ '
сходящуюся к некоторому пределу а. Точка а содержится в F
в силу замкнутости F, а значит, /(х) определена и непрерывна
в точке а. Отсюда следует, учитывая определение непрерывности
функции по Гейне, что последовательность
жл ж;...........ЖЛ ••• w
сходится к пределу /(а), как соответствующая последователь-
ности (3), сходящейся к а.
97
Из неравенства (1) видно, что вместе с последовательностью (3)
будет сходиться к а и последовательность
«1 «2 «Л ’
откуда вытекает, что последовательность
/«,)- /(<,). •••. /к*). •••
сходится тоже к /(а), как и последовательность (4). Но тогда най-
дется такой номер ЛГ, что для всех nk>N' будет верно неравенство
|/(4)-/(а)1<|, (5)
и номер АГ, что для всех будет
1/(«)-/(4)|<|. (6)
Если обозначим через N то из двух чисел ЛГ и ЛГ, которое из них
больше, то для nk>N будут верны оба неравенства (5) и (6). Учи-
тывая это, для nk>N получим:
1/(4) -/«? I=11/(4) -/(*)]+!/(*) -/(4ИI
< 1/(4) -/(*> 1+I/W -/(4) I < т+1=’•
Итак, для nk>N имеем:
1/(4)-/(4)1<е’
тогда как по самому выбору точек хп и х", как показывает нера-
венство (2), должно быть
1/(4)-/(4) >е-
Полученное противоречие показывает, что наше допущение, будто
/(х) на F не равномерно непрерывна, не верно. Следовательно,
функция /(х) на множестве F равномерно непрерывна.
Условия теоремы — замкнутость и ограниченность множества F,
на котором рассматривается данная непрерывная функция /(х),
являются существенными. Так, например, рассмотренная выше функ-
ция /(х) = — непрерывна, но не равномерно непрерывна в полуин-
тервале (0, 1], представляющем ограниченное, но не замкнутое множе-
ство. Функция /(х) = х* непрерывна, но не равномерно непрерывна
на числовой оси, которая является замкнутым, но не ограниченным
множеством.
§ 5. Колебание функции на множестве и в точке
Пусть функция /(х) определена на множестве Е. Если /(х) огра-
ниченная функция, то она на множестве Е имеет верхнюю грань Мв
и нижнюю грань тв. Разность
= Мв ™е
называется колебанием функции /(х) на множестве Е.
98
Если f(x) не ограничена сверху, то мы будем говорить, что верх-
няя грань функции f (х) на множестве Е равна -|-оо, если /(*) не
ограничена снизу, то скажем, что нижняя грань /(х) на множестве
Е равна —оо. Когда функция /(х) не ограничена хотя бы с одной
стороны, мы полагаем колебание/(х) на множестве Е равным -|-оо.
Очевидно, что Мв^тв и
Пусть точка х0 принадлежит множеству Е. Возьмем окрестность
£7(х0, S) точки х0.
Если функция /(х) ограничена на множестве Е, то она тем более
ограничена на той части Еь множества Е, которая содержится в ок-
рестности i/(xe, 5), поэтому существует верхняя грань Мв^ нижняя
грань тв* и колебание = функции /(х) на подмно-
жестве Е*.
Можно заметить, что если 8—► (), т. е. интервал £7(х0, 3) стяги-
вается в точку х0, то и a)F8 стремятся к определенным пре-
делам МХо, тХо и соХо.
В самом деле, пусть последовательность
......(1)
сходится к нулю, т. е. последовательность интервалов
Щх0,§2), ... , 47(х0, 5П), ... (2)
стягивается в точку х0. Последовательности (1) или (2) соответствуют
монотонные последовательности:
> ... Мр (3)
даг61 <%<••• (4)
Так как (Ор 0>р . я«. ч ^tnE, тЕ : Мр и (ор ^0, (5)
то последовательности (3), (4) и (5) сходятся, как монотонные и огра-
ниченные. Обозначим
lim МЕ — МХо, lim тЕ =т и Пт <о£ = <6)
Пусть £7(х0, 5)— сколь угодно малая окрестность точки х0. Оче-
видно, что для некоторого р и достаточно большого q имеем:
{/(Хо, 9 о С7(х0, §) о С7(х0,
поэтому справедливы неравенства:
Мр Мр Мр , Шр Шр^ , Оо (1)₽ .
% Еь Еья Еьр Еъ %’ % %
99
Когда 3-г* 0, т. е. окрестность {7(х0, 8) стягивается в точку х0,
тогда натуральные числа р и q можно считать неограниченно воз-
растающими. Но тогда, в силу равенств (6),
ИшЛ4£ = ИтЛ4я — Мх, lim тЕ =lim тЕ =тХп
р-МХ> ^->00 Ъд 0 Ър ^г->00
и lim = lim<o£= <о .
р->оо °р <?->оо
Поэтому при любом способе стремления 8 к нулю имеем;
lim ЛЦ. = МХе, limmEs~mXl> и lim а>д8 = в>Ха. (7)
б->0 8->0 6->0
Числа МХо, тХо и соХо называются соответственно верхней гранью,
нижней гранью и колебанием функции /(х) в точке х0.
Хак как при любом 8 верны неравенства Ме^ш^. и а)£8^0, то
имеем:
т, и cov 0.
ЛО Xq Ло
Совершенно так же можно определить Мхе тХо и соХо и для точки х0,
которая не принадлежит множеству Е, где определена функция /(х),
но является предельной точкой множества Е.
Если x0£Z:, т. е. в точке х0 функция /(х) определена, то спра-
ведливы неравенства
Действительно, на подмножестве Ebi содержащемся в окрестности
U(х0, 3) точки х0, очевидно, имеем:
mEi </(*„) < MEv
Отсюда при § —>• 0, т. е. при стягивании интервала U(х0, 8) к точке
х0, получим неравенства (8).
Заметим, что если х0 есть изолированная точка множества Е, то
Л4 — т* =/(хп) и = 0.
Это видно из того, что для достаточно малой окрестности L/(x0, 3)
точки х0 множество Еъ состоит из одной точки х0, а следовательно,
и множество значений функции /(х) на Еъ также состоит из одного
числа /(х0).
Теперь докажем теорему, которая позволит выразить непрерыв-
ность функции при помощи понятия колебания функции в точке.
Теорема. Для того чтобы функция fix). определенная на мно-
жестве Е, была непрерывной в точке х0 множества Е, необходимо
и достаточно, чтобы колебание функции f(x) в точке х0 равня-
лось нулю.
Необходимость. Пусть в точке х0€^ /(х) непрерывна
в смысле Коши. Докажем, что колебание /(х) в этой точке равно нулю.
Действительно, так как /(х) непрерывна в точке x0£Z? в смысле
Коши, то при любом е>0 найдется такая окрестность £7(х0, 8) точки
100
х0, что для всех точек х множества Е, содержащихся в С/(х0, 8),
имеет место неравенство
I/W—/(Х0)|<8,
которое можно представить так:
Ж)-е</(х)</(х0) + 8.
Отсюда видно, что верхняя грань и нижняя грань Ше^ функ-
ции /(х) на той части множества £*, которая содержится в интер-
вале £7(х0, 6), удовлетворяют неравенствам
/(х0) —<Af£5</(x0)-|-s.
Но так как
тЕ^тХа^МХа^МЕъ,
где тХо и MXq — нижняя и верхняя грани функции /(х) в точке х0,
то и подавно верны неравенства
/(х0) —e</wXo^AfXosS/(xo)4-s. (1)
Здесь число е произвольно малое, а тХо и AfXo вполне определенные
числа, поэтому
т =MY ,
Хо Хо1
иначе неравенства (1) при достаточно малом s были бы не верны.
Следовательно,
со = ML —mY =0.
Итак, из непрерывности /(х) в точке х0 следует, что колебание
/(х) в этой точке равно 0.
Достаточность. Пусть колебание функции /(х) в точке
х0££* равно нулю. Докажем, что /(х) в точке х0 непрерывна в смысле
Коши.
Действительно, если для функции /(х) а)Хо = 0, то это означает,
что /(х) в точке х0 имеет конечные нижнюю и верхнюю грани, mX(i
и МХо, причем
m = 7И
Хо хо
Поэтому при как угодно малом е>0 найдется достаточно малая
окрестность U(xQ, 8) точки х0, что для части множества Е, содер-
жащейся в U(xQ, 8), будем иметь:
— /п^5<е. (2)
Если в неравенствах (2) и ms~ заменить значениями функции
/(х) в любых двух точках множества Е, содержащихся в £7(х0, 8), то,
очевидно, неравенства не нарушатся. Поэтому справедливо неравенство
I/W—/(*„) I <s
для любого х£Е, содержащегося в окрестности U(xQi 8) точки х0,
а это означает, что функция /(х) непрерывна в точке х0££ в смы-
сле Коши.
101
Итак, если колебание функции /(х) в точке х^£Е равно нулю,
то /(х) в этой точке непрерывна.
Теорема доказана полностью.
Пользуясь доказанной теоремой, можно дать следующее определе-
ние непрерывности функции в точке, эквивалентное прежним форму-
лировкам непрерывности:
Функция /(х), определенная на множестве F, называется непре-
рывной в точке х0£Е (в смысле Бера), если колебание функции
/(х) в этой точке равно нулю.
§ 6. Строение множества точек разрыва функции
Если функция /(х), определенная на множестве Е, в точке xQ£E
не непрерывна, то точка х0 называется точкой разрыва функции f (х).
Так как, по определению, функция непрерывна в тех и только
в тех точках, в которых колебание функции равно нулю, то, следо-
вательно, точки разрыва функции /(х), определенной на множестве Е,
это точки F, в которых колебание /(х) не равно нулю, т. е.
больше нуля.
Докажем теорему, выражающую строение множества точек раз-
рыва функции.
Теорема. Множество всех точек разрыва любой функции f(x),
определенной на каком-либо замкнутом множестве F, есть сумма
счетного множества замкнутых множеств.
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть функция f(x) определена на замкнутом мно-
жестве F. Тогда при любом е>0 множество F& точек x£F,
в которых колебание функции /(х) не меньше е, есть замкнутое
множество.
Доказательство леммы. Пусть $ — предельная точка мно-
жества Fe. Очевидно, что $£F, так как F замкнуто. Возьмем как
угодно малую окрестность U(£, 8) точки $.
В силу определения предельной точки, в окрестности С7($, 8) со-
держится бесконечное множество точек х, принадлежащих множеству
Fe. Так как в каждой точке x£Fg имеем o)x^e, то тем более в ин-
тервале f7(S, 8) колебание функции /(х) не меньше е. Но если в лю-
бой как угодно малой окрестности £7(5,8) точки $ колебание /(х)
не меньше е, то и в точке $ колебание /(х) также не меньше е:
со? е; поэтому £ принадлежит множеству Fe.
Итак, если множество F6 имеет предельные точки, то они содер-
жатся в Fe, т. е. множество Fs замкнуто. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Обозначим через Fn множество
всех точек x£F, в которых колебание функции /(х) не меньше -i :
—. Тогда множество Е всех точек разрыва функции /(х), т. е.
всех точек х, в которых q)x>0, можно представить в виде суммы
£=/г1+л+---+'т«+--- •
102
В самом деле, 2 ?п не содержит ни одной точки х, в которой
п=1
=0, ибо ни одно слагаемое Fn не содержит таких точек. С дру-
. 00
гой стороны, каждая точка х, в которой a)x^>0, содержится в 2 Л».
И = 1
так как если а)у = й'>0, то, взяв п таким, чтобы — <^/г, будем
х п
оо
иметь хС^п, значит х£ 2
п=1
В силу леммы, каждое множество Fn замкнуто. Отсюда следует,
что множество Е всех точек разрыва функции /(х) есть сумма счет-
ного множества замкнутых множеств.
Заметим, что если замкнутые множества Fn совпадают между собой
' 00 По
при всех то тогда множество £= 2 £*„= 2 замкнуто.
п=1 п = 1
§ 7. Классификация точек разрыва функции
одного переменного
Здесь мы будем рассматривать только функции одного действи-
тельного переменного, т. е. функции, определенные на множествах
точек числовой прямой. Введем несколько определений.
1. Пусть функция /(х) определена на множестве Е. Пусть х0
— предельная точка множества Е, которая может и не принадле-
жать Е.
Число А называют пределом функции /(х) в точке х0, если для
любого е>0 существует такое §}>0, что для всех х££, удов-
летворяющих условию
х0 — 8<Сх<х04~^ н0 х=?Ах0,
справедливо неравенство
|/(х) —Л]<е,
и пишут:
Л = Иш /(х). *
Х-*Хо
2. Число А называют правым пределом функции /(х) в точке
х0, если для любого е > 0 существует такое 5 0, что для всех х £ £\
удовлетворяющих условию
Ха < X < х„ +
справедливо неравенство
|/(Х) —Л|<8,
и пишут:
Л=/(х. + 0).
3. Число А называют левым пределом функции /(х) в точке х0,
если для любого е > 0 существует такое 8 > О, что для всех х € Е,
103
удовлетворяющих условию
Хл —
справедливо неравенство
— Л |<е,
и пишут:
Л=/(х,-0).
Очевидно, что тогда и только тогда
Д = 1ш1 /(х),
х ->х0
когда
Л=Ж-0)=/(хо + 0).
Из определений предела функции и непрерывности функции в точке
в смысле Коши вытекает справедливость следующего утверждения:
Если х0££—предельная точка множества £, то, для того чтобы
функция /(х), определенная на множестве была непрерывна в
точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке
левый и правый пределы и чтобы эти пределы были равны /(х0):
/(хо-О)=/(хо4-О)==/(хо).
Если же пределы /(х0— 0) и /(хоЦ-О) существуют, но по край-
ней мере один из них не равен /(х0), или же не существует хотя
бы один из этих пределов, то точка х0 есть точка разрыва функции
/(х).
Если в точке разрыва х0 функции /(х)
/(хо-О)=/(хо + О)^/(хо),
то х0 называется точкой устранимого разрыва.
Такое название оправдывается тем, что в этом случае достаточ-
но изменить значение функции лишь в одной точке х0, именно вместо
истинного значения /(х0) взять /(х0 — 0)=/(хо-|-0), чтобы полу-
чить функцию, непрерывную в точке х0.
Если в точке разрыва х0 функции /(х) существуют /(х0 — 0),
/(*.4"°) и
/К-о)^/К4-о),
причем безразлично, совпадает или нет /(х0) с одним из пределов,
то х0 называется точкой разрыва с конечным скачком функции
/(х), а число
|/(х,-0)-/(х, 4-0)1
называется скачком функции /(х) в точке х0.
Такое название оправдывается тем, что число ]/(х0 — 0) — /(хо-]-0) |
выражает величину изменения функции /(х) при переходе через
точку ~х0.
Точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком
функции называются точками разрыва первого рода.
104
Все другие точки разрыва называются точками разрыва второго
рода.
Таким образом, по крайней мере при одном из двух способов
стремления х к точке разрыва второго рода х0— или слева, или
справа — либо f(x) стремится к бес-
конечности, т. е. во всех доста-
точно близких к х0 точках значения
|/(х) | сколь угодно большие, либо
f(x) не имеет ни конечного, ни бес-
конечного предела.
Пример 1.
/(х)=зх|х[, если х=7^0, /(0) = 1.
Для /(х) точка хо = О является
точкой устранимого разрыва, так как
/(О — 0)=/(0+0) = 0, а
Пример 2.
f(x) — —1, если х<0,
/(0) = 0,
/(х) = 1, если х>0.
Точка хо = О есть точка разрыва /(х) с конечным скачком функции
/(х) (черт. 16).
Пример 3.
/(х) = ^-, если x=j^0,
/(0)=1.
Для /(х) точка хо = О есть точка разрыва второго рода (черт. 17).
Пример 4. Для функции Дирихле
f(x)= 1, если х рационально,
/(х) = 0, если х иррационально,
каждая точка х0 числовой прямой есть точка разрыва второго рода.
4 и. А. Фролов 105
Действительно, в любой как угодно малой окрестности точки х9
и слева, и справа от х0 есть как рациональные точки х, в которых
/(х)=1Л так и иррациональные точки х, в которых /(х) = 0, по-
этому при х—>х0 слева или
справа /(х) не стремится ни к
конечному, ни к бесконечному
пределу.
Пример 5.
/(x) = sin-^-, если х7^О,
/(0) =0.
Точка хо = О есть точка разрыва
второго рода, так как в любой
Черт. 18. близости от хо = О и слева, и
справа от нее /(х) принимает все
значения от —1 до 1, поэтому при х—>0 (слева или справа)/(х),
колеблясь между —1 и 1, не стремится ни к конечному, ни к бес-
конечному пределу (черт. 18).
§ 8. Монотонные функции
Функция /(х), определенная на сегменте [а, £] числовой прямой,
называется неубывающей на [а, £], если для любых точек х' и х"
сегмента [а, £] из х'<х" следует /(х') ^/(х"). Причем если из
х'<х" всегда следует /(х')<^/(х"), то функция /(х) называется
возрастающей.
Если из х' <^х" следует /(х')^/(х"), то функция /(х) назы-
вается невозрастающей. Причем если из х'<х" всегда вытекает
/(х')>/(х"), то функция /(х) называется убывающей.
Неубывающие и невозрастающие (в том числе и возрастающие, и
убывающие) на сегменте [а, функции называются монотонными
на [я, Ь].
Ясно, что всякая монотонная на сегменте [а, &] функции /(х)
есть функция, ограниченная на этом сегменте, причем наименьшим и
наибольшим значениями функции /(х) являются ее значения на концах
сегмента, т. е. числа f (а) и f(b).
Замечая, что если /(х) — невозрастающая функция, то—/(х) есть
функция неубывающая, мы можем при доказательстве характерных
особенностей монотонных функций ограничиваться рассмотрением
только неубывающих функций.
Теорема 1. Всякая точка разрыва монотонной функции есть
точка разрыва первого рода.
Доказательство. Пусть функция /(х) на сегменте [а, Ь]
неубывающая. Пусть х0 — любая точка сегмента, не совпадающая
с а. На множестве точек х<х0 функция /(х) ограничена сверху,
так как для таких значений х /(х)^/(х0), поэтому/(х) на этом
106
множестве имеет верхнюю грань. Обозначим ее через Мо. Очевидно,
что ЛТО^/(ХО).
По определению- верхней грани, для любого е > 0 найдется та-
кая точка х'<х0, что
Ч-*</(*')< ^0-
Но так как функция /(х) неубывающая, то для всех х, для кото-
рых xf <х<^х0, тем более будет верно
Л40-е</(х)<Ж0.
Отсюда следует, что 7И0 есть левый предел функции /(х) в точ-
ке>х0.
Таким образом, функция /(х) в точке х0 имеет левый предел,
причем
/(Х„ —О) = Л1о</(Хо).
Аналогичным путем доказывается, что /(х) в точке xQ=^b имеет
правый предел и что
/(хо)</(хо + О).
Следовательно, /(х) в любой внутренней точке х0 отрезка [a, ft]
имеет и левый, и правый пределы, причем
Ж-О)=С/(хв)</(хо + О).
Поэтому либо /(х) непрерывна в точке х0, что будет в том случае,
когда
/(х#-О)=/(хо + О),
либо х0 есть точка разрыва с конечным скачком функции, т. е.
точка разрыва первого рода, если окажется, что
/<х0-0)</(хо + 0).
Так как функция /(х) в точке а имеет правый предел, а в точке
ft— левый предел, то она и на концах сегмента [a, ft] либо непре-
рывна, либо имеет разрыв первого рода.
Теорема 2. Если функция /(х) на сегменте [a, ft] монотонна,
то она может иметь на этом сегменте лишь конечное число точек,
в которых ее колебание не меньше данного положительного числа е.
Доказательство. Пусть функция /(х) на сегменте [a, ft]
неубывающая. Пусть хх <х± <\ .. <^хп есть произвольное и конеч-
ное подмножество множества тех точек сегмента [a,.ft], в которых
колебание /(х) не меньше данного положительного числа е. Возьмем
число S^>0 настолько малым, чтобы имело место
a<xt —a<xt4-s<xt—.<х„_1+8<хв—а<
(черт. 19).
Такое можно найти, так как точек хр xt, хп конечное
число.
107
Очевидно, что
f(b) —f(a)=[f(b)—f(x„ + 8)] + [/(*„ + 8) .-/(x„ - 8)] +
4- !/(*„ - +»)] 4-[/(^->+*)-/(*»-,- 8)] +... +
+[/(X, + 8) -f(xt - 8)]+ [/(*, - 8) -/(a)]. (1)
xt-8 x,+6 *2-6 x2+6 xn-6 xn+6
Черт. 19.
В правой части равенства (1) все слагаемые неотрицательны,
поэтому если там оставить только те, которые стоят на четных местах,
а остальные удалить, то получим неравенство
/(*) -/(<*) S [/+ 8) -f(xk - §)]. (2)
Так как, по условию, колебание функции f(x) в точках xk не меньше
е, то колебание f(x) на отрезках [хЛ— 8, x^-j-S] и подавно не
меньше е. Но колебание/(х) на \xk— 5, xk -|- 5] равно /(xft4“8)—
—f{xk — 3), ибо функция /(х) неубывающая. Поэтому для всех
k = 1, 2, ..., п имеем:
/(xft4-8)-/(xft-8)^e. (3)
Из неравенств (2) и (3) получим:
(a) ^ns.
Следовательно,
(4)
Для данного е правая часть неравенства^) есть определенное число,
которое не может быть как угодно большим.
Следовательно, точек, в которых колебание функции /(х) не
меньше е, конечное множество, так как из бесконечного множества
можно выделить конечную часть со сколь угодно большим числом
элементов.
Следствие. Если функция f (х) на сегменте [а, #] монотонна*
то она на этом сегменте может иметь точек разрыва не более
счетного множества.
В самом деле, обозначим через Еп множество всех точек [я, Ь],
в которых колебание /(х) не меньше, чем —. Очевидно, что мно-
жество Е всех точек разрыва функции /(х), т. е. всех точек, в ко-
торых колебание /(х) не равно нулю, можно представить в виде
суммы:
00
S Е„.
п=1
108
Так как, в силу доказанной теоремы, каждое множество Еп конеч-
ное, то множество Е, как сумма счетного множества конечных мно-
жеств, не может быть более чем счетно.
§ 9. Функции с ограниченным изменением
Пусть функция f(x) определена на сегменте [a, ft] числовой пря-
мой. Разобьем сегмент [a, ft] на части произвольной возрастающей
последовательностью точек
« = л:0<х1<х><... <хл<хл+1 = й (1)
и составим сумму
|/(xft+I)-/(xft)|. (2)
*=0
Различным дроблениям сегмента [a, ft], т. е. различным последова-
тельностям вида (1), которые могут отличаться не только членами,
но и числом членов, соответствуют, вообще говоря, различные зна-
чения суммы
Если множество всевозможных значений ограничено, то его
верхняя грань называется полным изменением (или полной вариа-
цией] функции f(x) на сегменте [a, ft] и обозначается через У*(/),
а функция _/(х) называется функцией с ограниченным изменением
(или с ограниченной вариацией).
Если множество всевозможных значений Va не ограничено, то по-
лагают
V«(/) = 4-oo.
Теорема 1. Всякая функция /(х), монотонная на сегменте
[a, ft], есть функция с ограниченным изменением на [а, ft].
Доказательство. Пусть для определенности /(х) — неубы-
вающая функция. Тогда при любом дроблении сегмента [a, ft] имеем:
^=2 l/(*ft+l)-№)l=2 -/(«).
А==0 Л=0
т. е. множество всех значений состоит из одного числа
/(ft)— /(а). Отсюда следует, что
^(/)
т. е. /(х) есть функция с ограниченным изменением.
Теорема 2. Сумма двух функций f(x) и <р(х) с ограниченным
изменением на сегменте [a, ft] есть функция с ограниченным из-
менением на [а, ft].
4* Н* А. Фролов
109
Доказательство. Для произвольного разбиения сегмента
[а, ft] имеем:
va </+ <?) = 2 I U (**+1) + ? (*ft+1)} — {/ (**) + <? (**)} 1 =
£=0
= 2 1{/<Х4+1)— №)} + {? (*А+1) — ?(**)} 1<2 + —
Л=0 А=0
—/(^l + lT^A+l)— <Р(*л)|}= 2 |/(ХА + 1)— /(**)!+
£=0
+ 2 I <Р <хл+|) — ? (ха) 1 = + ^(<р) ^ (/) + (<f).
Л—О
Итак, при любом дроблении сегмента [a, ft] имеем:
Это означает, что множество всевозможных значений vba огра-
ничено, т. е. /(х)4-<р(х) есть функция с ограниченным изменением
на сегменте [a, ft], причем отсюда же следует, что
Следствие 1. Разность двух функций с ограниченным изме-
нением на сегменте [a, ft] есть функция с ограниченным измене-
нием на [а, ft].
В самом деле,
/(X) — <Р (х) =/(х) + [ — <Р (х)].
Но если <р (х) — функция с ограниченным изменением, то, очевидно,
и —ср (х) есть функция с ограниченным изменением.
Следствие 2. Сумма и разность двух монотонных на сег-
менте [a, ft] функций есть функции с ограниченным изменением
на [a, ft].
Справедливость этого утверждения вытекает из доказанной
теоремы, если учесть, что всякая монотонная функция есть функция
с ограниченным изменением.
Теорема 3. Для того чтобы функция f(x) была функцией
с ограниченным изменением на сегменте [a, ft], необходимо и до-
статочно, чтобы ее можно было представить в виде разности
двух неубывающих на [а, ft] функций.
Доказательство. Теорема выражает необходимое и доста-
точное условие, чтобы /(х) была функцией с ограниченным измене-
нием. Достаточность условия видна из следствия 2 предыдущей
теоремы. Докажем необходимость этого условия.
Пусть /(х) есть функция с ограниченным изменением на сегменте
[a, ft]. Возьмем произвольную точку х, а<х^Ь и составим раз-
биение сегмента [а, х]:
а = х0<х1<х1<...<хт<х|Я+1=х.
110
Очевидно, что имеют место равенства:
/(х)-/(л)= S {/(хА+1)-/(хй)}=р*-л* (1)
А=0
где р* есть сумма всех положительных слагаемых — разностей
/(хл+1)—/(хл)» а Ла — сумма абсолютных величин всех остальных
слагаемых, и
<= S |/(xft+l)—/(хй)[=р*-|-л*. (2)
&=0
Так как /(х) есть функция с ограниченным изменением на [а, 6],
то множество всевозможных значений суммы
—/(**) I
6=0
ограничено. Тем более ограничено множество значений
Действительно, каждому разбиению
а = х0<х1<х±<....<х/я+1 = х
сегмента [а, х] соответствует разбиение
а = х0<х1<х1<...<хи+1 = х<хт+1<...<хй+1 = &
сегмента [а, Л]. Поэтому любое значение v*a не больше некоторого
значения а значит, и подавно
Из.равенства (2) следует, что вместе *с ограничены р* и л*.
Обозначим верхние грани сумм р* и пха соответственно через
^(/) и ^(/).
Из равенства (1) имеем:
p:=«:+/(x)
Так как всегда
то
Р:<^(/)+/(х)-/(а)
для любого разбиения сегмента [а, х], а поэтому и
—^(/)^/(х)-/(а). (3)
Но из того же равенства (1) имеем:
nXa=Pxa—f{x) +/(а).
Так как всегда
4**
ш
то
(/)—/(*)+/(«)
для любого разбиения сегмента [а, х], а поэтому и
+/(«).
или
— /(«)• (4)
Из неравенств (3) и (4) следует равенство
или
/(*)«[^(Л+/(в)]-Л^(Л. (5)
Положим
<?(х) = ^ (/)+/(«). если х>а, и <р(а)=/(в),
ф(х) = ЛГ*(/), если х>д, и ф(а) = О.
Тогда, как это видно из равенства (5), на всем сегменте [а, &] будей
иметь:
/(х) = <₽(х) — ф(х). (6)
Остается убедиться, что функции <р(х) и ф(х) на [а, &] неубываю-
щие, а для этого достаточно заметить, что если х<^х\ то и
(7)
Л£(/)^Л£'(Л (8)
Действительно, каждому разбиению сегмента [а, х]
а=х0<х1<ха<...<хл+1 = х
соответствует разбиение сегмента [а, х']
а = хе<х1<х1<...<хя|+1==х<хл+1<...<хя+1 = х\
поэтому любое значение рха не больше некоторого значения р*. Тем
более верно
Так как последнее неравенство верно для всех значений р*, то оно
останется верным, если вместо рха возьмем PJ(/), т. е. верно нера-
венство (7).
Аналогично доказывается справедливость неравенства (8). Этим
теорема доказана полностью.
Следствие 1. Всякая точка разрыва функции с ограничен-
ным изменением есть точка разрыва первого рода.
Следствие 2. Всякая функция с ограниченным изменением
может иметь не более счетного множества точек разрыва.
112
ГЛАВА V
НЕПРЕРЫВНЫЕ КРИВЫЕ
§ 1. Кривые Жордана
Кривую на плоскости мы представляем себе как след, который
оставляет движущаяся на плоскости точка. Таким образом, кривая
на плоскости нами мыслится в виде некоторого множества точек
плоскости, именно множества тех точек, в которых побывала дви-<
жущаяся точка, начертившая данную кривую. В этих словах, конечно,
не содержится никакого определения понятия кривой. Это интуитивное
представление кривой служит только указанием на то, что кривую
надо определить как некоторое точечное множество. Но какое именно
множество точек плоскости нам следует назвать кривой, лежащей
на плоскости? Вот одно из определений плоской кривой.
Плоской кривой называется множество точек плоскости, коорди-
наты которых определяются уравнениями
х = ф(0, (1)
где (р(/) и <!>(/)— непрерывные функции на некотором сегменте
Это определение кривой было сформулировано во второй поло-
вине XIX века французским математиком Жорданом. Поэтому кривая
в этом смысле называется кривой Жордана.
Кривая Жордана, заданная уравнениями (1), называется простой
дугой или кривой Жордана без кратных точек, если любым двум
различным значениям t из сегмента [f0, 7] соответствуют различные
точки плоскости.
Если при t = T уравнения (1) определяют ту же точку плоскости,
что и при / = /0, т. е. начальная точка 7И0 {ср (£0), ф(/0)} и конечная
точка 2И{<р (Г), ф (Т)} кривой Жордана совпадают, то кривая Жордана
называется замкнутой. Если, кроме и Т, нет другой пары раз-
личных значений t на сегменте [f0, 7], которым соответствует одна
и та же точка плоскости, то замкнутая кривая Жордана называется
простым замкнутым контуром или замкнутой кривой Жордана
без кратных точек.
Всякая замкнутая кривая Жордана без кратных точек делит пло-
скость на две области, из которых одна — внутренняя по отношению
к этой кривой, а другая — внешняя.
113
Здесь область понимается в смысле открытого множества.
Если уравнения (1), выражающие кривую Жордана, определяют
одну и ту же точку при двух или более различных значениях пере-
менного /, то такая точка называется кратной точкой кривой
Жордана.
§ 2. Кривые Пеано. Канторово определение кривой
Задание линии в параметрической форме уравнениями х = <р(/),
= соответствует нашему представлению линии как траектории
движущейся точки. Все кривые, которые изучаются в аналитической
геометрии, могут быть заданы в этой форме и подходят под опре-
деление кривой Жордана. Так, например, окружность радиуса г
можно определить уравнениями
х = г cos у — г sin f, 0 I 2к.
Однако оказалось, что жорданово определение кривой является
чересчур широким. В конце XIX века итальянский математик Пеано
показал, что непрерывные функции (/) и ф (/) можно подобрать так,
что точки (х, jz), определенные уравнениями x = за-
полнят целый кусок плоскости, который никак не согласуется с на-
шим представлением линии.
Покажем, как можно построить „кривую" Пеано.
Возьмем какой-нибудь сегмент, например [0,1]» и произвольный
квадрат Q.
Разобьем сегмент [0»1] на четыре равные части, которые будем
называть сегментами первого ранга.
Квадрат Q разобьем на четыре четверти — квадраты первого ранга.
Сегменты первого ранга занумеруем в порядке слева направо,
а квадраты первого ранга — в порядке, указанном на чертеже 20а.
1 1 1 сч (3 1
1 1 1 1 1 4
Черт. 20а.
6Г- -п7 10г
1 51 81-- -J9 Ц2 •
4L. —13 14г. -J13
Г' 1 15~ ~|6
Черт.20б.
Каждый сегмент первого ранга разобьем на четыре равные части —
сегменты второго ранга. Каждый квадрат первого ранга разобьем на
четыре четверти — квадраты второго ранга. Сегменты второго ранга
занумеруем слева направо, а квадраты второго ранга — в порядке,
указанном на чертеже 206.
Сегменты и квадраты второго ранга разбиваем на сегменты и
квадраты третьего ранга и т. д. Сегменты всегда нумеруем хлева
114
направо, а порядок нумерации квадратов выбираем так, чтобы квад-
раты с соседними номерами имели по крайней мере одну общую
точку (черт. 20в).
Поставив сегменту л-го ранга с номером т квадрат того же
ранга п с тем же номером лг, мы установим взаимно однозначное
соответствие между сегментами и квадратами одного и того же
ранга.
Теперь построим отображение сегмента [0,1] на квадрат Q.
Пусть i — какая угодно точка сегмента [0,1]. Она содержится
в одном или Гв двух сегментах каждого ранга. Возьмем последова-
тельность квадратов первого ранга, второго ранга и т. д., соответ-
ствующих сегментам, содержащим точку Мы получим стягиваю-
щиеся квадраты, имеющие единственную общую точку М. Точку
поставим в соответствие нашей точке [0,1].
Покажем, что, поставив таким образом в соответствие каждой
точке сегмента [0,1] точку квадрата Q, мы исчерпаем весь квадрат,
т. е. каждая точка будет поставлена в соответствие по край-
ней мере одной точке ^€[0,1].
В самом деле, пусть Л4 — какая угодно точка квадрата Q. Она
содержится по крайней мере в одном квадрате каждого ранга. Возь-
мем последовательность сегментов первого ранга, второго ранга
и т. д., соответствующих квадратам, содержащим точку AL Мы по-
лучим стягивающиеся сегменты, имеющие единственную общую точку /.
Этой точке t €[0,1] и соответствует данная точка М € Q-
Докажем непрерывность построенного отображения сегмента [0,1]
на квадрат Q.
Пусть /0— какая-нибудь точка сегмента [0,1]. Возьмем любую
точку t £ [0,1], лежащую либо на том же сегменте л-го ранга, что
и /0, либо на соседнем сегменте этого ранга. Тогда точка Af £ Q,
соответствующая точке будет содержаться либо в том же квад-
рате л-го ранга, что и g Q, соответствующая точке tQf либо
в каком-нибудь соседнем квадрате того же ранга. Поэтому,* если л
достаточно велико, т. е. если t достаточно близко к /0, то точка М
будет сколь угодно близкой к точке Af0. Это и означает непрерыв-
ность отображения сегмента [0,1] на квадрат Q.
Пользуясь построенным здесь непрерывным отображением сег-
мента [0,1] на квадрат Q, определим на сегменте [0,1] две непре-
рывные функции <р(/) и ф(/).
Пусть точке /6 [0,1] соответствует точка М(х, у) квадрата Q.
Тогда, поставив точке i в соответствие абсциссу х точки ЛГ, мы
получим функцию х = ср(/), определенную и непрерывную на сег-
менте [0,1]. Затем, поставив точке t в соответствие ординату у
точки 7И, мы получим на сегменте [0,1] еще одну непрерывную
функцию = <!)(/).
Теперь замечаем, что множество точек плоскости, координаты
которых определяются уравнениями
х = (£(/), ^ = ф(/), 0^f«Cl,
115
подходит под определение кривой Жордана, но это множество точек
есть квадрат Q.
Такие „кривые* получили название кривых Пеано.
Пример, построенный Пеано, показал, что жорданово определение
кривой требует уточнения. Если на функции ^(/).и ф(0 не наклады-
ваются никакие другие ограничения, кроме условия непрерывности,
то кривая Жордана при изменении параметра t может пройти через
все точки некоторого куска плоскости.
Пользуясь понятиями теории множеств, Кантор усовершенствовал
определение плоской кривой.
Плоской кривой по Кантору называется всякое связное компакт-
ное множество точек плоскости, не имеющее ни одной внутренней
точки.
(Множество называется связным» если при любом разбиении его
на две части по крайней мере в одной части есть предельная точка
другой части. Множество М называется компактным, если всякое
его бесконечное подмножество имеет предельную точку, содержа-
щуюся в 2И.)
Все простые дуги, представляющие взаимно однозначное и не-
прерывное отображение отрезков прямой, и все кривые, составленные
из простых дуг, подходят под канторово определение кривой, а кривые
Пеано уже не являются кривыми в смысле Кантора.
§ 3. Спрямляемые кривые
Пусть имеем кривую Жордана, заданную уравнениями
где ф(0 и ф(/) — непрерывные функции на сегменте р0, Г].
Разобьем сегмент р0, Т] на произвольное число п частей точками
Положим
•**=<№)»
л=ф(и-
Образуем вписанную в кривую ломаную, вершинами которой будут
точки кривой:
Ч(*.. Л)» Л)> •••• Mn_t(xn_v yn_t), Мп(хп,уп).
Обозначим через ck длину звена ломаной, соединяющего точки
и Л1Л+1. Периметр р построенной ломаной равен
W— 1
р= 2 с*-
4=0
Но
ck=V(xk+i—xk?+(л+. —л)’.
не
поэтому
Р = 2|/(*й+1 — •**)*+(Л-н— У/У- (2)
&=о <
Будем неограниченно увеличивать число п элементарных частей
сегмента [70, Г], а тем самым и число звеньев ломаной так, чтобы
длины = — fk всех отрезков /Л+1], а значит и всех звеньев
ломаной, стремились к нулю. Если при этом окажется, что пери-
метр р вписанной в данную кривую ломаной стремится к опреде-
ленному конечному пределу, не зависящему от способа дробления
сегмента [f0, Г], то будем называть этот предел длиной данной кри-
вой, а кривую спрямляемой.
Следующая теорема выражает необходимое и достаточное условие
спрямляемости кривой.
Теорема. Для того чтобы кривая Жордана
_У=Ф(О.
ада t <; 7, была спрямляемой, необходимо и достаточно,
чтобы каждая из непрерывных функций <р (/) и ф (/) была функцией
с ограниченным изменением на сегменте [/0, 7].
Необходимость. Пусть данная кривая — спрямляема. Это
означает, что существует определенный конечный предел периметра
и — 1
/> = 2 cv
вписанной в кривую ломаной, когда все Д/* стремятся к нулю. Из
существования предела р ищцъс ограниченность множества всевоз-
можных значений р, соответствующих всевозможным разбиениям сег-
мента [f0, 7]. Но так как, очевидно,
сй>1**+1—*й1 и с*>1Л+1—ЛЬ
то тем более будут ограниченными суммы
И —1 п — 1
и 21л+1—лЬ
А?—О £==0
т. е. каждая из функций х = ^(/) и ^ = ф(/) есть функция с огра-
ниченным изменением на сегменте |70, Г].
Достаточность. Пусть и ф(/)— функции с ограничен-
ным изменением на сегменте [f0, Г]. Это означает, что суммы
и —1 П—1
21**+»—**1 и 21/*+» — yk\
Jt=O
ограничены. Но очевидно, что
с* <!**+» — **|-Нл+1— л1.
117
поэтому будет ограниченным и периметр
и —1
р= Sс*-
л=о
Отсюда следует, что множество всевозможных значений р, как мно-
жество ограниченное, имеет верхнюю грань
Докажем, что периметр р ломандй стремится к £, когда все
а значит и длины всех звеньев ломаной, стремятся к нулю. Для
этого покажем, что для любого е>0 можно найти такое что
\р—Ц<^
если только для всех k
1410-
Действительно, по определению верхней грани, при любом раз-
биении сегмента [f0, Т] имеем:
(Л
но существует такая система точек So, разбивающая [/0, Т] на не-
которое число п частей, что для соответствующего значения пери-
метра ломаной справедливо неравенство
£-|<рв<£. (2)
Разобьем сегмент [/0, Г] системой точек S на элементарные сег-
менты [7Л, ^+1] так, чтобы
выбрав при этом число £>>0 настолько малым, чтобы колебания
<вл(ф) и функций ср(/) и в каждом из сегментов [/л, /А+1]
были меньше, чем Это* возможно в силу непрерывности и
ф(/). Обозначим через р периметр ломаной для этого второго раз-
биения сегмента [f0, 7].
Образуем теперь третье разбиение сегмента [f0, Г] системой
точек S', составленной объединением систем точек So и S. Обозначим
через р' периметр ломаной, соответствующей этому разбиению. Ясно,
что
Р'>Ро» (3)
так как S' получается присоединением к точкам системы So новых
точек, а это, очевидно, может изменить периметр ломаной только
в сторону увеличения.
Заметим затем, что если присоединим новую точку между tk и
^+1» то периметр ломаной не может увеличиться больше, чем на сумму
новых двух звеньев, которые заменят звено ск в первоначаль-
ной ломаной. Но
4 < 1 <₽ w—<р (и 1+1Ф W—Ф (<*) |.
С* < I <? — ’?('*) 1 +1Ф (**+») — Ф (та) Ь
118
Откуда получим:
Q 4- ск < 2 {<оЛ (ср) 4- <оЛ (ф)},
где <о^ (ср) и а)Л (ф)— колебания функций y{t) и ф(/) на сегменте
А» A+J-
Следовательно, если вставим новую точку деления между tk я
tk+v то периметр ломаной или останется без изменения, или увели-
чится не больше чем на удвоенную сумму колебаний <р(/) и ф(/)
на сегменте /Л+1].
Учитывая это замечание и то, что при втором дроблении сегмента
[70, Г] имеем для любого k
и МН<£’
а также принимая во внимание, что третье разбиение сегмента [/ft, Т\
можно рассматривать как присоединение к системе точек второго
разбиения п точек системы So первого разбиения, видим, что при
переходе от второго дробления к третьему увеличение периметра
ломаной будет меньше, чем
л-2б£+^=4-
\o/z * O/Z J А
Это означает, что
р'О4-у ♦
Из неравенств (2), (3) и (4) следует, что
Ь 2 2 ’
или
Из неравенств (1) и (5) получим:
и, значит,
L—
|£—р|<8.
(4)
(5)
(6)
Итак, для любого е^>0 можно найти такое 8>0, что будет
верно неравенство (6), если только [ Д| <^ S для всех /г, а это
означает, что
L = lim Р
At-* О
и данная кривая спрямляема.
ГЛАВА VI
ИЗМЕРЕНИЕ МНОЖЕСТВ
§ 1. Квадрируемые и кубируемые области
Пусть имеем на плоскости простой замкнутый контур С. Обозна-
чим через А область, внутреннюю по отношению к контуру С.
Пусть g есть площадь произвольной многоугольной области, содер-
жащейся в области А, а £— площадь произвольной многоугольной
области, которая содержит в себе область А. Таких многоугольных
областей можно образовать бесконечное множество, поэтому имеем
бесконечное множество значений как g, так и g'. Ясно, что мно-
жество {g} ограничено сверху, поэтому имеет верхнюю грань Q, а
множество {g’} ограничено снизу и имеет нижнюю грань Q\ Так как
всегда то имеем:
Если Q и Q' совпадают, то их общее значение
₽=<?=<?'
естественно назвать площадью области А. В этом случае область А
будем называть квадрируемой, подчеркивая этим термином возможность
сравнить область А с квадратом, имеющим площадь, равную Р* Если
же для области А получим Q<Q', то уже не имеет смысла говорить
о площади области А. В этом случае область А в какой-то мере
характеризуется числами Q и Q', которые мы будем называть соответ-
ственно внутренней и внешней площадью области А.
Итак, имеем следующие определения, в которых заключается
смысл измерения плоских областей:
1. Пусть область А ограничена простым замкнутым контуром.
Верхняя грань площадей многоугольных областей, содержащихся в
области А, называется внутренней площадью области А.
Нижняя грань площадей многоугольных областей, содержащих
в себе область Д, называется внешней площадью области А.
2. Если внутренняя и внешняя площади области А совпадают,
то область А называется квадрируемой, а общее значение ее внут-
ренней и внешней площади называется площадью области А.
Подобным же образом решается вопрос об измерении ограничен-
ных областей трехмерного пространства.
120
1. Верхняя грань объемов многогранных областей, содержащихся
в данной ограниченной трехмерной области А, называется внутрен-
ним объемом области А.
Нижняя грань объемов многогранных областей, содержащих в
себе данную область Л, называется внешним объемом области А.
2. Если внутренний и внешний объемы трехмерной области Л совпа-
дают, то область А называется кубируемой, а общее значение ее
внутреннего и внешнего объема называется объемом области А.
§ 2. Мера множества по Жордану
Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать только ограничен-
ные линейные множества.
Если данное множество есть сегмент или интервал, то в этом
случае мы можем говорить о длине данного множества, т. е. о длине
сегмента или интервала. Естественно желание иметь понятие „длина*
и для множества, содержащегося на некотором сегменте, но не за-
полняющего весь этот сегмент.
Понятие мера множества вводится как раз для того, чтобы
обобщить понятие длины, сегмента или интервала, распространив
его на произвольные ограниченные множества.
Одно, из определений меры ограниченного множества принадлежит
Жордану. Оно заключается в следующем:
Пусть на сегменте [a, ft] имеем множество Е. Разобьем сег-
мент [а, ft] точками
a=x0<xI О, = 6
на элементарные сегменты
ak~\.xk' х&+1]’ (^=0, 1, п 1).
Обозначим через s сумму длин всех сегментов а^, целиком принадле-
жащих множеству F, и через s' — сумму длин всех сегментов а*, со-
держащих хотя бы одну точку множества Е. Так как сегмент [a, ft]
можно разбить бесконечным множеством способов, то суммы s и s
имеют, вообще говоря, бесконечное множество значений. Множество
всевозможных значений s, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань,
а множество значений s', ограниченное снизу, имеет нижнюю грань.
Так как всегда s^s', то верхняя грань s не больше нижней грани s'.
Если эти грани совпадают, то их общее значение и естественно
принять за „длину*, или, как мы будем говорить, за меру множестваЕ.
Если же верхняя грань s не совпадает с нижней гранью s', то не
имеет смысла говорить о „длине* или мере множества Е. В этом
случае множество Е неизмеримо, его протяженность некоторым образом
характеризуется двумя числами — верхней гранью значений s, что
будем называть внутренней мерой множества Е, и нижней гранью
значений s', что будем называть внешней мерой Е.
Итак, пользуясь введенными выше суммами s и s', можем сфор-
мулировать следующие определения:
121
1. Верхняя грань множества всевозможных значений суммы s
называется внутренней мерой множества Е и обозначается симво-
лом т* (Е). Нижняя грань множества всевозможных значений суммы s'
называется внешней мерой множества £ и обозначается символом т*(Е).
2. Если внутренняя и внешняя меры множества Е совпадают, то
множество Е называется измеримым по Жордану, а общее значе-
ние внутренней и внешней меры Е
т(Е)~т* (Е) = т* (£)
называется мерой множества Е.
Заметим, что измерение площадей и объемов в том смысле, как
это было установлено в предыдущем параграфе, и измерение мно-
жеств в смысле Жордана одинаковы по своей идее.
Из определения меры по Жордану имеем:
b) = b — а,
m[a, b]~b — а.
Очевидно также, что если ограниченное множество Е представляет
сумму попарно непересекающихся интервалов или сегментов Ък
то
т(Е)=
Таким образом, определение меры множества, данное Жорданом,
представляет естественное обобщение понятия длины. Однако это
определение оказалось недостаточно удовлетворительным, так как
класс множеств, измеримых в смысле Жордана, является не достаточ-
но широким. Так, например, множество 7? всех рациональных точек
сегмента [а, 6] не измеримо по Жордану. Действительно, как бы
мы ни разбили сегмент [д, 6] на элементарные сегменты аЛ, не бу-
дет ни одного сегмента, целиком содержащегося в /?, поэтому
S-0;
в то же время каждый сегмент аЛ содержит точки множества /?,
поэтому
s' = Ь — а.
Следовательно,
т* (/?)== О,
т* (/?) = #— а.
§ 3. Мера множества по Лебегу
Определение меры множества, которое дал Лебег» оказалось
весьма плодотворным, и оно укрепилось в математике. Рассмотрим
это понятие.
Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать только ограни-
ченные множества, содержащиеся на одном и том же сегменте [а, £].
122
Причем если данное множество обозначается через £, то дополни-
тельное множество [а, ft]— Е, которое раньше обозначали симво-
лом теперь будем обозначать, ради простоты, через СЕ,
т. е. положим
СЕ=[а, Ь\ — Е.
Возьмем данное множество Е и заключим его в конечную или счет-
ную систему S интервалов ар аЛ, ..., т. е. составим эти интервалы
так, чтобы их концы не принадлежали множеству Е, но чтобы каж-
дая точка х € Е содержалась хотя бы в одном интервале этой системы S.
Сумму длин интервалов ар а±, ... обозначим
?“*’
При этом если система S такова, что длины интервалов обра-
зуют расходящийся ряд то мы положим
k
^аА=+оо.
Ясно, что существует бесконечное множество систем S интерва-
лов аЛ, содержащих множество Е. Поэтому и сумма имеет бес-
конечное множество значений, причем всегда имеем:
?а*>0-
Следовательно, ^jja* ограничена снизу и поэтому имеет нижнюю
грань.
Нижняя грань множества всевозможных значений суммы 2ал
называется внешней мерой множества Е и обозначается т* (Е).
Разность между длиной сегмента [а, ft], содержащего данное
множество £*, и внешней мерой дополнительного множества СЕ на-
зывается внутренней мерой множества Е и обозначается т* (Е):
т* (Е)~(Ь — а) — т* (СЕ).
Так как всегда то ^*(Е)^зО. Также и т*(Е)^0,
ибо СЕ содержится на сегменте [a, ft], и поэтому т*(СЕ)^Ь— а
(множество СЕ содержится в интервале при лю-
бом /г, а нижняя грань длин таких интервалов равна ft— а), а зна-
чит’ т. (Е) = (ft — а) — т* (С£)>0.
Теорема /. Внешняя мера множества Е не может быть мень-
ше внутренней меры множества Е.
Доказательство. Так как т* (Е) есть нижняя грань мно-
жества всевозможных значений суммы аЛ, то, по определению ниж-
ней грани, для любого сколь угодно малого 8 > 0 можно найти такую
систему S интервалов аЛ, содержащую множество £, что будет
123
справедливо неравенство
(1)
Из аналогичных соображений следует существование такой системы
S' интервалов содержащей множество СЕ, что будет справедливо
неравенство
(С£)+а.
Из неравенств (1) и (2) получим:
?••+?₽* О (Е) + /л*(СЕ) + 25.
Но очевидно, что
(2)
a,
так как системы S и S' интервалов аЛ и содержат Е и СЕУ т. е.
содержат в себе весь сегмент [а, 6]. Отсюда имеем:
Z> —a<w* (E)-f-m* (СЕ)-J-28,
или
(b — а) — т* (CE) — 2b<m* (Е).
Учитывая, что (Ь — а) — т* (СЕ) = т*(Е)у получим:
т* (Е)-28<т*(Е).
Причем последнее неравенство верно при любом как угодно малом
8 > 0; поэтому
«*(£)<«*(£).
Теорема доказана.
Теперь сформулируем определение меры множества по Лебегу.
Определение. Если внешняя и внутренняя меры множества Е со-
впадают, то множество Е называется измеримым (по Лебегу), а об-
щее значение внешней и внутренней меры Е называется мерой мно-
жества Е и обозначается т (Е):
/»(£) = »»* (£) = т* (£).
Очевидно, что
т\ау b] = b — а и m(ayb) = b— а.
Нетрудно доказать, что если множество Е измеримо по Жордану,
то оно измеримо и по Лебегу, причем мера множества Е по Лебегу
совпадает с мерой множества Е по Жордану.
Теорема 2. Если множество Е измеримо, то и дополнитель-
ное множество СЕ также измеримо.
Доказательство. Пусть множество Е измеримо, т. е.
т* (Е) == т* (Е) = т (Е).
Так как т*(Е) = (Ь — а) — т* (СЕ), то имеем:
т* (CE) = (b — a) — т (Е). (1)
124
Учитывая, что для множества СЕ дополнительным является мно-
жество £*, для внутренней меры множества СЕ получим:
т*(СЕ) = (Ь — а) — т(Е). (2)
Из равенств (1) и (2) видим, что
т*(СЕ} = т*(СЕ),
т. е. множество СЕ измеримо, причем имеем:
т(СЕ) = (Ь — а) — т(Е).
Пример 1. Пусть на [а,/>] дано счетное множество точек
E=>^xv х21 ..., хп, • •.}.
Возьмем произвольное число е>0. Каждую точку хп£Е заключим
в интервал аЛ, длина которого меньше, чем Тогда
00 оо
«»< Х^=е-
Я=1 П=1
Отсюда имеем:
От* (£)(£)<е,
где е>0 можно считать как угодно малым. Поэтому
т* (Е) — т* (£) = 0,
или
т (£) = 0.
Следовательно, любое счетное множество Е измеримо и его мера
равна нулю.
Пример 2. Пусть имеем замкнутое множество F и [а, />] есть
наименьший сегмент, содержащий F. Обозначим через S систему
смежных к F интервалов ..., которых будет конеч-
ное или счетное множество. Ясно, что
где есть сумма длин интервалов Так как
Г=[а, £] — S = CS,
то множество F измеримо, как дополнение к измеримому множеству S,
причем
m(F) = (b — a) — m(S).
Следовательно, любое ограниченное замкнутое (в частности, совер-
шенное) множество F измеримо и
да (F) = (b — а) — т ($k),
125
где а и Ь — концы наименьшего сегмента [а, Л], содержащего мно-
жество F, а есть сумма длин смежных к F интервалов.
Докажем теорему, которая выражает необходимое и достаточное
условие измеримости множества.
Теорема 3. Для того чтобы множество Е было измеримо,
необходимо и достаточно, чтобы для любого как угодно малого
й > 0 можно было множество Е представить в виде:
£ = 54-^ —
где S есть система конечного числа попарно неперекрывающихся
интервалов, a Mt и — любые множества, у каждого из кото-
рых внешняя мера меньше 5. При соблюдении этого условия спра-
ведливы неравенства
m(S} — b<m(E)<m(S}-\-l.
Необходимость. Пусть множество Е измеримо, т. е. т*{Е) =
= т* (Е) = т (Е). Из определения внешней меры множества следует,
что множество Е можно заключить в такую систему S' интервалов
а1» аж» •••, что будет справедливо неравенство
k
где есть сумма длин интервалов aft.
Интервалы аЛ можно считать попарно неперекрывающимися. В са-
мом деле, если ар а2, ... перекрываются, то из аЛ мы удалим те
части, которые содержатся в ар а2, ..., аЛ-1. Тогда или аЛ будет
удален полностью, или вместо получим конечное множество но-
вых интервалов а^, ..., а£>, являющихся частями аА, но уже
не имеющими общих точек с
°2 аз^ ар а2, ..., Этими новыми
______хЛ интервалами и заменим
X.У (черт. 21). Ясно, что таким
путем мы получим новое, опять
аз не более чем счетное множе-
ство S" интервалов, по-преж-
Черт. 21. нему содержащее все множест-
во Е, но эти интервалы уже
будут попарно неперекрывающимися. Причем очевидно, что сумма длин
интервалов новой системы S" будет не больше суммы длин интерва-
лов прежней системы S'. Поэтому, если в неравенстве (1) интервалы
системы S' заменим интервалами системы S", то неравенство может
только усилиться. Это и позволяет считать интервалы неперекры-
вающимися.
Если множество S' интервалов аЛ счетное, то обозначим через S
систему конечного числа п интервалов ар а2, ..., ад:
S = {at)at, .
126
выбрав число п настолько большим, чтобы было верно неравенство
00
00
что возможно в силу сходимости ряда 2 ал* Если же — конечное
множество, то за S возьмем все множество S'. Множество тех точек
£*, которые содержатся в интервалах ая+1, ая+2, ..., не вошедших
в систему S, обозначим через а множество точек S, не принад-
лежащих £, обозначим через /И2.
Из построений S, Afj и ЛГ2 следует, что
£ = $ + ^ — 4^. (2)
Действительно, прибавляя к S множество Afp мы присоединяем
к S, содержащей часть £*, все остальные точки Е, которые содер-
жатся в интервалах, не вошедших в S, а вычитанием Af2 удаляем
из S точки, не принадлежащие Е\ в итоге получим множество Е.
В правой части равенства (2) S есть система конечного числа
неперекрывающихся интервалов; внешняя мера множества Mt меньше,
чем 5, так как Л11 содержится в интервалах ая+1, ая+2, . а
00
2 Остается показать, что и m*(Af2)<^8.
С этой целью возьмем систему попарно неперекрывающихся ин-
тервалов р2, ..., ..., содержащую множество СЕ, дополни-
тельное к Е, причем так, чтобы было
£pt.<m(CE)+4. (3)
Это возможно, так как вместе с Е измеримо и множество СЕ, а зна-
чит, неравенство (3) можно обосновать так же, как и неравенство (1).
Из неравенств (1) и (3) получим:
k i
Можно заметить, что
£ Ч+£ Pz > (* - «) + g(«*Pz). (5)
где 2 («*₽/) есть сумма Длин общих частей интервалов ал и pz.
Действительно, все ал и вместе покрывают отрезок [а, Ь] — Е-\-СЕ,
причем длина общей части любой пары интервалов и рр которые
могут перекрываться, входит как в сумму 2ал> так и в СУММУ 2&‘*
Из соотношений (4) й (5) получим:
(Ь - а) + У (аАр,.) </»(£) + /» (С£) + г.
127
Ho m(E)-{-m(CE) — b— а, поэтому
§№)<«• (6)
По определению, Mf = S'CE, поэтому множество М2 содержится
как в системе интервалов ар аг ..., аЛ, ..., частью которой яв-
ляется S, так и в системе интервалов ..., содержа-
щей множество СЕ. Следовательно, Л4, содержится в общих частях
интервалов аЛ и поэтому
т* 0MtX2}(a*pz),
Л, I
откуда, учитывая неравенство (6), имеем:
w* (М2)<§.
Этим необходимость условия доказана.
Достаточность. Пусть при любом S^>0 множество Е можно
представить в виде
E = S+MX — MV (7)
где S есть система конечного числа попарно неперекрывающихся
интервалов, а для и М2 имеем:
т* (2ИЖ) < 5 и w* (М2) < 8. (8)
Возьмем систему St попарно неперекрывающихся интервалов о' , .,
содержащую множество М19 и систему St попарно неперекрывающихся
интервалов oj, ..., содержащую множество М2, так, чтобы имели:
^<8 и (9)
Это возможно, в силу определения внешней меры множества и не-
равенств (8). Из равенства (7) замечаем, что EaS -Ме Тем более
Поэтому
да*(Е)<1»(5)+^а;<да(5)4-«. (10)
Заметим теперь, что
CEaCS-]-M2, (11)
где CS есть система отрезков, дополняющая S до [а, &]. Действи-
тельно, если точка х£СЕ содержится в GS, то х содержится и в
правой части соотношения (11). Если же точка х£СЕ не содержится
в CS, то х содержится в S, а значит и в Af±, иначе она была бы
точкой Е, как это видно из равенства (7), а не точкой СЕ. Поэтому
х содержится в правой части соотношения (11) и в этом случае.
Следовательно, соотношение (11) верно. Одсюда вытекает, что
CEaCS-}- $2,
128
поэтому
m* (СЕ) ^m(CS) + ]$G*<m (CS) 4-8. (12)
I
Из определения внутренней меры множества и неравенств (12)
имеем:
т* (Е)-(Ь — а) — т*(CE)>(b — a) — m(CS) — $.
Но
(£ — a) — m(CS) — m(S),
поэтому
m*(E)>m(S) — 5. (13)
Из неравенств (10) и (13), помня, что т* (Е) т* (Е)» получим:
m(S) — (£)<w*(E) <w (5)4-8. (14)
Отсюда следует, что
0 < m* (Е) — т* (Е) < 28, (15)
а так как число 8>0 можно считать как угодно малым, то нера-
венство (15) означает, что
m* (Е) — т* (£) = 0,
или
т* (Е) — т* (Е) — т(Е),
т. е. множество Е измеримо, причем из неравенств (14) видим, что
т (5) — 8 < m (£)< m (5) 4“
Этим теорема доказана полностью.
§ 4. Операции над измеримыми множествами
Теорема 1. Сумма любого конечного числа измеримых мно-
жесте есть измеримое множество» причем если слагаемые по-
парно не имеют общих точек» то мера суммы равна сумме мер
слагаемых.
Доказательство. Пусть множества Et и Et измеримы. Тогда
при любом как угодно малом 8 > 0 можно их представить в виде
м; и E2=s2+Mt—ж; (1)
Здесь 5t и 52— системы конечного числа интервалов, причем интер-
валы одной и той же системы попарно не перекрываются, а интер-
валы разных систем могут иметь общие части; для множеств
/И,, Л4", Л4' и М2 справедлйвы неравенства
/»*(AQ<8, т*(ж;')<8, /п*(А1')<8 и т*(Л4';)<8. (2)
129
Из равенств (1) следует, принимая во внимание свойства сложе-
ния множеств, что
£i+Ex = (SI+St) + (4f1+O-Jf, (3)
где AfcrAfj
В равенстве (3) Sj-J-S, есть система конечного числа интерва-
лов, которые можно считать неперекрывающимися. Действительно,
если интервалы системы St перекрываются с интервалами си-
стемы S2, то, удаляя из всех те части* которые содержатся в аЛ,
мы получим систему неперекрывающихся интервалов, которой и можно
заменить |-S2 в равенстве (3). Нетрудно показать, пользуясь
понятием внешней меры и неравенствами (2), что
т* (2И; + AQ < 28, т* (ЛГ; + AQ < 28,
а так как то и
т* (Ж) <28.
Все это позволяет рассматривать равенство (3) как представление
множества в такой форме, из которой по теореме 3 преды-
дущего параграфа вытекает измеримость Ех-]-Е2 и справедливость
неравенств
т (S, 4-S,) - 28О (Е, +£.)</» ($,+$,) + 28. (4)
Пусть теперь измеримые множества Ег и Е2 не имеют общих
точек. Докажем, что
т (Е, +EJ = m(Et} + m(Et).
В самом деле, из неравенств (4) следует, что
«(£,+£,) = lim/»($,+«.)• (5)
8 -> О
Но, очевидно, имеем:
т (S. + S2) = т (SJ (S2) - т (StS2), (6)
где есть пересечение систем S, и S2, так как если интервалы
одной системы перекрываются с интервалами другой системы, то
длины их общих частей войдут одновременно и в /w(Sj), и в /»(S2).
Из соотношений (5) и (6) получим:
т (Е + Е2) = lim т (\) + lim т (S2) — lim т (7)
8 -> О 8-> О 6 ->0
Из равенств (1) по теореме 3 предыдущего параграфа имеем;
— %<т + S и /«(S2) —8</n(E2)</n(S2) + 8,
поэтому
limm (S1) = m(E1), lim m (S2) — m (E2). (8)
5 -> 0 8 -> 0
Остается доказать, что предел т (SjSJ равен нулю.
130
Для этого заметим, что SjCEj-t-X и поэтому
S,St С (Е, + М”) (Б. + О = EtEt + X (^+X) + *>Х-
Отсюда имеем, учитывая, что ЕХЕ2 есть пустое множество, так как
Ех и Е2 не имеют общих точек:
s.s.cX+X-
Но т * (X 4~ X) < 28, поэтому
® (•$,$») <23,
откуда и следует, что
lim т (5Д) = 0. (9)
5 -> 0
Наконец, из равенств (7), (8) и (9) имеем:
i»(E14-E#) = m(E1)4-i»(Et).
Доказательство теоремы для случая п слагаемых получим спосо-
бом математической индукции.
Теорема 2. Разность измеримых множеств есть измеримое
множество, причем если EtaEx, то
m(Ex-E2) = m(Ei)-m(E2).
Доказательство. Пусть множества Ех и Е2 измеримы. Из-
вестно, что
С(ЕХ— Е2) = СЕХ-[~Е2 (гл. 1, § 2, формула (3)).
Множество СЕХ измеримо, как дополнение к измеримому множеству Ер
поэтому С{ЕХ— Е2) измеримо, как сумма измеримых множеств CEt и
Е2. Отсюда следует, что множество Et — Е2 измеримо, как допол-
нение к измеримому множеству С(ЕХ— Е±).
Пусть теперь Ех и Е2 измеримы и Е2с:Ех. В этом случае, оче-
видно, имеем:
^=(£,-Е±)+Ех,
причем множества Ех— Е2 и Ел не имеют общих точек, поэтому,
в силу предыдущей теоремы:
т (£,) = /»(Ej — Et) -f- т (Et),
откуда следует:
т (Et — Et) = m (Е,) — т (Et).
Теорема 3. Сумма счетного множества измеримых множеств
Ех, Е2, ..., Еп> ..., содержащихся на сегменте [а, 6], есть изме-
римое множество, причем если данные множества попарно не
имеют общих точек, то
т(^ЕпУ= 2 т{Еп).
п=1 П=1
131
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда данные
измеримые множества попарно не имеют общих точек.
Положим
Mn=^EkwRn = 2 Ек.
k=i л=«4-1
Тогда сумма Е данных множеств представится в виде:
E=Mn^Rn. (1)
Так как множество Мп содержится в Е, то
т*(Е)^т*(Мп). (2)
Множество Мп, как сумма конечного числа измеримых множеств,
измеримо, поэтому
да*
И
т*(£)>/»(Л1л). (2')
Кроме того,
даш= S т\Ек), (3)
£==1
так как, по условию, данные множества попарно не имеют общих
точек. Следовательно, неравенство (2') примет вид:
да*(^)> S да(£й)- (4)
Л=1
Неравенство (4), в котором п можно считать как угодно большим, озна-
чает, что ряд
2да(£й) (5)
сходится. Действительно, частичная сумма 2 т (Pk) этого ряда мо-
Л=1
жет только возрастать при возрастании л, но остается ограниченной
сверху числом т* (Е), следовательно, она имеет предел.
Возьмем любое сколь угодно малое $>0 и в равенстве (1) по-
ложим п таким, чтобы было верно неравенство
2 «(£*)<§, (6)
что возможно в силу сходимости ряда (5).
Теперь возьмем такую систему So неперекрывающихся интерва-
лов, заключающую в себе множество 2ИЯ, чтобы было справедливо
/»($.)< «(4)+*. (7)
132
а также систему Sp(p = \, 2, 3, ...) неперекрывающихся интервалов,
содержащую множество Еп+р и удовлетворяющую условию
m(Sp)<m(Ea+p) + ±, (р= 1,2,3, ...) (8)
(существование таких систем интервалов было показано в предыду-
щем параграфе). Объединим все системы So, ..., Sp1 ... в об-
щую систему S. Очевидно, что S содержит все множество Е, поэтому
(9)
р = 9
Но, в силу неравенств (7) и (8):
GO ОО 00
Р = О р—1 p—i
откуда, учитывая неравенство (6) и замечая, что
Р=1
получим:
2 т(Sp)<m(Af„) + 3d. (10)
р=0
Неравенства (9) и (10) дают:
лх*(Е)<т(Л!Л) + 38. (11)
Помня, что всегда т* (£) т* (£), из неравенств (2') и (11) имеем:
я»(Л1п)<да*(Е)</»*(Е)</»(Л1„) + 35, (12)
откуда
ОО»* (£) — >»* (£)<38,
а так как число i>0 можно считать как угодно малым, то
/»*(£) = /»*(£) = /»(£),
т. е. множество Е измеримо, причем из неравенств (12) имеем:
|/»(Е) —/»(Af„)|<33,
или
|ОТ(£)_ 2«(^)1<зг.
Л=1
Следовательно,
т(Е)= lim 2
п -> оо Л=1
00
а это означает, что т(Е) есть сумма ряда 2 т(Ек\.
Л=1
т{Е) = %т(Ек).
Л=1
133
Этим теорема доказана для случаи, когда данные множества из-
меримы и попарно не имеют общих точек.
Если множества Ер Ег> ...» Еп» ... измеримы, но имеют общие
оо
точки, то их сумму Е— S можно представить в виде:
*=1
Е=£1+(Е2_£1) + [£1_(Е1 + Е2)]+... .
В правой части этого равенства слагаемые измеримы и попарно не
имеют общих точек, откуда и следует измеримость множества Е.
Теорема 4. Пересечение конечного или счетного множества
измеримых множеств» содержащихся на сегменте [а, ft], есть
измеримое множество.
Доказательство. Пусть имеем на сегменте [а, 6] измеримые
множества Ер Е2, ..., ЕЛ, .... Рассмотрим пересечение этих мно-
жеств
Известно, что
СЕ=^СЕЛ.
Но каждое множество CEk измеримо, как дополнение к измеримому
множеству Ek. Поэтому СЕ измеримо, как сумма конечного или счет-
ного множества измеримых множеств, содержащихся на [а, ft]. Отсюда
следует, что множество Е измеримо, как дополнение к измеримому
множеству СЕ.
Теорема 5. Если на сегменте [a, ft] дана последовательность
измеримых множеств» из которых каждое содержит все предше-
ствующие*.
Е2с:Е2с.... сЕпс...
то имеет место равенство
т{ 2 Еп) — Итт(Еп).
Л=1 п -> оо
Доказательство. Обозначим через Е сумму данных множеств
00
Е = 2 Е„-
Из условия ЕпсЕл+1 следует, что
E = Et + (Et-Et)-{-(E,-E2)+... .
В правой части этого равенства слагаемые измеримы и попарно не
имеют общих точек, поэтому
т(Е)= 2 m(En — En_J,
Л=1
134
где Fo означает пустое множество, или
т (£) — lim 2 т (Ек —
п -+QD А=1
Но, в силу теоремы 2:
т <Ek—£*-1)=т (Ek)—«(Ек-1).
поэтому
£т(Ек — Ек_1) = т(Еп).
Следовательно,
т (Е) = lim т (Еп).
Л->00
Теорема б. Если на сегменте [а, й] дана последовательность
измеримых множеств, из которых каждое содержится во всех
предшествующих:
то имеет место равенство:
«(П ^л)=1»шда(^п)-
П=1 п->оо
Доказательство. Обозначим через Е пересечение данных
множеств:
00
«=1
Тогда
СЕ — 2 ЕЕп-
п = 1
Из условия EnZ)En+1 вытекает:
ЕЕ„<=СЕп+1.
Кроме того, каждое множество СЕп измеримо, как дополнение
к измеримому множеству Еп. Следовательно, по предыдущей теореме,
имеем:
т (СЕ) = lim т (СЕп).
«->00
Вычитая из длины сегмента [а, £] сначала левую, а затем правую
часть последнего равенства, получим:
(Ь — а) — т (СЕ) = (Ь — а) — lim т (СЕп),
П-*(Х)
или
(ft _ а) — т (СЕ) = lim {(£ — а) — т (СЕ^\.
«->00
Отсюда, замечая, что
{Ь — а) — т(СЕ) — т(Е)
135
имеем
(b — а) — т (СЕп) = т (Еп),
т (Е\= lim т (Еп).
П-+<Х)
Теорема Н. Н. Лузина. Если множество Е измеримо и имеет
меру, большую нуля, то для любого как угодно малого 8>0
можно найти такое совершенное множество Р, содержащееся в
данном множестве Е, что
т(Р)>т(Е) — Ь.
Доказательство. Пусть данное множество Е содержится на
сегменте [а, ft]. Так как, по условию, множество Е измеримо, то и
дополнительное множество СЕ также измеримо. Поэтому для любого
8>0 можно найти такое конечное или счетное множество непере-
крывающихся интервалов аЛ, содержащее СЕ, что
+ (1)
Обозначим через Р замкнутое множество, которое получим уда-
лением из сегмента [а, ft] интервалов ak. Ясно, что F содержится в Е,
ибо множество интервалов аЛг смежных к F, содержит СЕ. Замкнутое
множество F измеримо, причем
m(F) = (b — а) — ^а.к.
Отсюда, в силу неравенства (1), имеем:
m(F)>(b — а) — т(СЕ) — 8.
Но
(ft — а) — т (СЕ) = т (£),
поэтому
m(F)>m(E) — 8. (2)
По теореме Кантора Бендиксона замкнутое множество F можно
представить в виде суммы совершенного множества Р, состоящего из
всех точек конденсации множества F и поэтому содержащегося в F,
и множества D всех остальных точек F, которое не более чем счетно.
Учитывая, что множества Р и D не имеют общих точек, оба изме-
римы и т (D) — 0, имеем:
m(F) = m(P^rD) = m(P)^m(D) = m(P). (3)
Из соотношений (2) и (3) получим:
т (Р) > т (Е) — 8,
причем совершенное множество Р содержится в Е, так как PczFaE.
Теорема доказана.
Теорема Н. Н. Лузина имеет важное значение, так как позво-
ляет свести/ произвольное измеримое множество положительной меры
к более простому — совершенному множеству, изменив при этом меру
множества сколь угодно мало.
136
§ 5. Измеримые функции
Определение* Функция f(x)9 определенная на измеримом мно-
жестве Е> называется измеримой, если для любого числа А измеримо
множество Е{/(х)>Л} тех точек Е, в которых справедливо нера-
венство f(x)
Можно заметить, что если функция f(x) измерима на множестве
Е9 то вместе с множеством Е{/(х)> А} измеримы и следующие
множества:
1. £{/(*)< Л}.
Это множество можно представить в виде разности двух измери-
мых множеств:
E{f(x)^A} = E-E{f(x)>A},
откуда и следует его измеримость.
2. £{Л </(*)< В}.
Здесь В, как и Л, — произвольное число. Это множество есть
пересечение измеримых множеств:
Е {A<f(x) ^В} = Е{А </ (х)}-Е {/(х) < В},
поэтому измеримо.
3. E{f(x) = A}.
Для доказательства измеримости этого множества достаточно по-
казать, что верна формула
Е{/(х) = Л} = П Еп,
П=1
где
Б.=£{л—?</«<'’+!}•
Пусть х’ £E{f(x)=A}, т. е. f(x') = A, поэтому при любом п
верны неравенства
а это означает, что х’ содержится в каждом из множеств Еп. Сле-
оо
довательно, х' С И Еп.
Л=1
оо
Пусть хп g JJ Еп> а значит х” € Еп для любого л, т. е. при
П=1
любом п верны неравенства Л — (хг) А что возможно в
том и только в том случае, когда
/(*')=л.
Поэтому х” £E{f(x) = Л}.
Следовательно, формула верна; поэтому множество Е {f(x) — A}
измеримо, как пересечение измеримых множеств.
137
4. E{f(x)^A}.
Это множество измеримо, так как оно представимо в виде суммы
измеримых множеств:
Е {/ (х) > А} = Е {/(х) > Л} + Е V (х) = А}.
5. E{f(x)<A}.
Измеримость этого множества следует из того, что оно есть
разность измеримых множеств:
Е{/(х)<Д} = Е{/(х)<Д}-Е{/(х) = Д}.
6. Подобным же образом можно показать измеримость множеств:
Е{Д</(х)<В}, Е{Д</(х)<В}, Е{Д</(х)<Е}.
Аналогичными рассуждениями можно доказать, что если измеримо
любое из множеств
Е{/(х) > А}, Е {/(х) < А}, Е {/ (х) <А},
то измеримы E{f(x)>A} и все остальные множества, рассмотрен-
ные выше. Следовательно, в определении измеримой функции вместо
множества E{f(x)>A} можно взять множество Е{/(х)^Д}, или
Е{/(х)=^Д}, или, наконец, множество E{f(x)<^A}.
Теорема 1. Если функция /(х) на множестве Е измерима, то
она измерима и на любом измеримом подмножестве Е* множе-
ства Е.
Доказательство. Обозначим через Е*{/(х)>Д} множество
тех точек х, принадлежащих Е*> в которых имеет место неравен-
ство /(х)^>Д, где А — произвольное число. Очевидно,
Я* {/(X) > А} = £* • Е {/(х) > А}.
По условию, множество Е* измеримо. Кроме того, измеримо и мно-
жество Е{/(х)>Д}, так как функция /(х) на множестве Е изме-
рима. Следовательно, множество Е*{/(х)>Д} измеримо, как пере-
сечение двух измеримых множеств, а это и означает, что /(х), если
ее рассматривать как функцию, определенную на множестве Е*, есть
измеримая функция.
Теорема 2. Если функция /(х) измерима на каждом из конеч-
ного или счетного множества множеств Ек, содержащихся на не-
котором сегменте [а, £], то она измерима и на сумме этих множеств
Е=^-
Доказательство. Прежде всего заметим, что каждое из мно-
жеств ЕЛ и Ek{f(x)^>A} при любом k измеримо, так как на любом
из множеств Ек функция /(х) измерима. Отсюда имеем, что множе-
ство Е—^Ек измеримо, как сумма измеримых множеств, содержа-
щихся на [а,#]. Остается доказать, что при любом А измеримо
множество Е{/(х)>Д}. Но это следует из того, что
E{f(x)>А} = ^Ек {/(х) > А}.
138
ГЛАВА VII
ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 1. Теорема Дарбу
Пусть на сегменте [а, Ь] задана функция /(х), относительно кото-
рой будем полагать единственно только то, что она ограниченная,
т. е. существует такое достаточно большое положительное число Л1,
что на всем сегменте [а, ft]
|/(х)|<М
В остальном же функция f(x) может быть какой угодно.
Сегмент [а, 6] разобьем на п частей точками
Положим
а = х9 < X, < xt <... < х„ = Ь.
д*й = **+! — **•
Функция /(х), ограниченная на всем сегменте [a, ft], ограничена и
на каждом из элементарных сегментов [хй, xft+j], поэтому на этих
сегментах имеет верхнюю ,и нижнюю грани. Обозначим через mk и
Mk соответственно нижнюю и верхнюю грани /(х) на сегменте
[хл, х*+1]- Составим суммы:
п— 1 п — 1
$= 2 mk^xk и s= 2
которые будем называть нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно,
что суммы Дарбу зависят от разбиения сегмента [a, ft]. Поставим
себе задачей выяснить, как будут меняться суммы s и S, когда сег-
мент [a, ft] будем делить на все более и более мелкие части. Вопрос
этот решается следующей теоремой.
Теорема (Дарбу). Верхняя и нижняя суммы Дарбу S и з, со-
ставленные для ограниченной функции (х) на сегменте [a, ft],
стремятся к определенным пределам I и I, когда число п точек
разбиения сегмента [а, ft] неограниченно возрастает так, что
длина наибольшего из элементарных сегментов [х*, хй+1] стре-
мится к нулю. Эти пределы 1 и I не зависят от способа раз-
биения сегмента [а, ft].
139
Доказательство. Подробно рассмотрим доказательство суще-
ствования предела верхней суммы Дарбу S. Докажем существование
такого числа /, чтобы для любого как угодно малого е>0 можно
было найти достаточно малое число 5^>0, что будет верно нера-
венство
|5-7|<е,
если только длина Дх наибольшего из всех сегментов [хЛ, хЛ+1]
будет меньше 8.
Это и будет означать, что
7=limS.
Дх->0
Заметим прежде всего, что любое значение S, соответствующее
какому угодно разбиению сегмента [а, ft], удовлетворяет неравенству
|S|<M(ft — а).
Действительно,
и — 1 п — 1
|S| = l5 Л*АДхА|< /И2 ^xk — M[b — а).
Следовательно, множество всевозможных значений суммы S, соот-
ветствующих всевозможным разбиениям сегмента [a, ft], есть ограни-
ченное множество, поэтому оно имеет верхнюю и нижнюю- грани.
Обозначим через I нижнюю грань множества значений верхней сум-
мы Дарбу S.
Возьмем как угодно малое 8>0.
Из определения нижней грани множества следует, что при любом
дроблении сегмента [a, ft] имеем:
7<S,
но вместе с тем можно составить такое разбиение сегмента [a, ft]:
«=<<<<<<•..<•*>=*» (1)
что соответствующее значение верхней суммы Дарбу
5'=^ М'.Лх'
удовлетворит неравенствам
r<S'<7+|. (2)
Рассмотрим произвольное разбиение сегмента [a, ft] на любое
число п элементарных частей [xfc, x^.J, удовлетворяющее только
одному условию:
Дх<8,
где Дх длина наибольшего из всех сегментов [хЛ, хЛ+>], а число
8>0 меньше длины наименьшего из сегментов [х^, xJ^J разбиения
НО
[a, b]t соответствующего значению S' верхней суммы Дарбу, и одно-
временно
Составим для этого разбиения [a, ft] верхнюю сумму Дарбу:
Л4ЛДхЛ.
Представим эту сумму S в виде суммы двух сумм:
5 = 5, + St.
включив в сумму Sx все те слагаемые из 5, которые соответствуют
сегментам [хл, хл+1], содержащим внутри себя одну из точек xj
(/=1, 2, .р—1) дробления (1) сегмента [a, ft], а в S2— все
остальные, т. е. те, которые соответствуют сегментам [х^, хл+1],
целиком содержащимся на одном каком-нибудь сегменте [х:, xj+1 ]
дробления (1).
Ясно, что в сумме Sx слагаемых меньше р, а каждое слагаемое
Mkkxk меньше так как Mk^M, а Дхл<8. Поэтому
51<Ж8р.
Откуда, в силу выбора 3 (неравенство (3)), имеем:
(4)
Сумму St представим в виде:
58 = 5^Дхл+2;^Дх,+ • • • + £ (5)
АХ Ахх ЛХр-1
где
ах;
есть сумма всех слагаемых в S2, которые соответствуют сегментам
[х*, *л+1]> содержащимся на одном и том же сегменте [х^ х;+1]
дробления (1). Можно заметить, что
2млдхл<м;дх;. (6)
ах;
Действительно, в этой сумме каждое а сумма всех
Дхл, входящих в эту сумму, не больше Дх'., поэтому
2 атлдхл м. 2 ^xk
Ах^ AXf.
Из соотношений (5) и (6) получим:
P^M'AX’=S',
5 Н. А. Фролов
141
Откуда, учитывая неравенство (4), имеем:
а в силу неравенства (2): _
/<S</4-s
и, значит,
|S—7|<в. (7)
Итак, для любого е^>0 существует такое й^>0, что будет
верно неравенство (7), если только
Дх<8.
Следовательно,
Г= limS.
Дх->0
Можно доказать, что
/ = lim 5,
Дх->о
где / есть верхняя грань множества значений нижней суммы Дарбу 5.
Так как при Дх—>0 всегда S имеет пределом строго определен-
ное число — нижнюю грань / множества значений S, а $ — верхнюю
грань / значений s, то отсюда и видно, что пределы сумм Дарбу
не зависят от способа разбиения сегмента [а, ft].
§ 2. Верхний и нижний интегралы. Интеграл Римана
Пределы / и / верхней и нижней сумм Дарбу, которые, по теореме
Дарбу, существуют для всякой ограниченной на сегменте [a,ft] функ-
ции /(х), называются соответственно верхним и нижним интегра-
лами от функции /(х) на сегменте [a,ft] и обозначаются
ь ь
/ = У /(х) dx и _/= J /(х) dx.
а а
Если верхний и нижний интегралы от функции /(х) на сегменте
[a,ft] совпадают, то функция /(х) называется интегрируемой по
Риману на этом сегменте, а общее значение верхнего и нижнего
интегралов называется интегралом Римана от функции /(х) на сег-
менте [a,ft] и обозначается символом
ь
§f(x)dx
а
или же
ь
(R) $ /(х) dx,
а
142
когда есть необходимость подчеркнуть, что в данном случае
интеграл понимается именно в смысле Римана.
Если для ограниченной функции /(х), определенной на сегменте
[a,ft], кроме сумм Дарбу, составим еще интегральную сумму
п — 1
где Zk есть произвольная точка сегмента [хЛ, xft+J, то будем иметь
неравенства
$ = 2 mjAxk S /(^л) &xk 2 Мк&хк = S.
fc=0 л=о
Ясно, что когда пределы сумм Дарбу совпадают, т. е.
1=1=1.
то и сумма а имеет тот же предел 7. Следовательно, если функ-
ция f(x) интегрируема по Риману, то при Дх—>0 интегральная
сумма g имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения
сегмента [a,ft], ни от выбора точек Zk в элементарных сегментах
пРичем
ь
lim а = (/?)( f(x)dx.
С другой стороны, если интегральная сумма а имеет предел 7,
не зависящий ни от способа дробления сегмента [a,ft], ни от выбора
точек в элементарных сегментах [хй, xft+1], то для любого е>0
можно найти такое 8>0, что при Дх<8 будет справедливо
неравенство
а значит и
|s-7|<|<s, |S-
так как mk и Мк являются соответственно нижней и верхней гра-
нями множества значений /(х) на сегменте [хЛ, хЛ+1], a может
быть любым из этого множества значений /(х). Отсюда следует, что
предел 7 интегральной суммы а есть одновременно и предел сумм
Дарбу:
7= Пт 5 и 7= limS.
Дх~>0 Д*->0
Следовательно, функция /(х) интегрируема по Риману и
ь
(/?) (/(x)tfx = lima.
а Дх-»0
5*
143
Все это позволяет определить интеграл Римана не только как
общий предел сумм Дарбу, но и как предел интегральной суммы а:
£ n—i
(Я) J/(x)rfx=lim
д Дх->0Л==0
Именно такое определение интеграла было дано Коши. Коши при-
менял это определение только к непрерывным функциям. В случае
разрывных функций данное здесь понятие интеграла изучено Риманом.
Основным вопросом здесь является выяснение условий, при которых
ограниченная функция интегрируема по Риману.
Очевидно, что если функция f(x) на сегменте [а, Z>] не ограни-
ченная, то для нее нельзя образовать суммы Дарбу, а интегральная
сумма о, которую можно составить, не будет иметь конечного пре-
дела. Следовательно, неограниченные функции не интегрируемы по
Риману.
§ 3. Условие интегрируемости по Риману
Рассмотрим ограниченные функции, которые только и могут быть
интегрируемыми по-Риману.
Пусть на сегменте [а, 6] имеем ограниченную функцию /(х), ин-
тегрируемую по Риману. Это означает, что для данной функции /(х)
существует общий предел / верхней и нижней сумм Дарбу:
/= lim S= lim
Дх->0 Дх-+0
Отсюда имеем:
limS — 11m s = 0.
Ах -> 0 Дх -> О
Но когда S и $ имеют пределы, справедливо равенство
lim S — lim s — lim (S — s),
Ax->0 Дх->0 Ax->0
поэтому
n—1 n—1
lim (2 Af* bxk — 2 tnk Ax*) = 0,
Дх->0А=0 fc=0
ИЛИ
n —1
lim 2 (Af* — /и*)Дх* = 0.
Ax->0 A=0
Итак, если ограниченная функция f(x) на сегменте [а, £] инте-
грируема по Риману, то
Пт 2 <o*A** = O, (1)
Дх->0Л=0
где = — mk есть колебание функции /(х) на сегменте [х*, хл+1].
Верно и обратное утверждение: если для ограниченной функции
/(х) на сегменте [а, Ь] имеет место равенство (1), то функция f(x)
интегрируема по Риману.
144
В самом деле, из справедливости равенства (1) следует, что
л —1 п — 1
lim (S Mk^xk— 2 да*Дхй) = 0,
Ах-»0 А=0 А=0
или
lim (S — s) = 0.
Дх->0
Но так как, по теореме Дарбу, S и $ имеют определенные пределы
/ и /, то
lim (S — 5) = lim S — lim s =7 — Z.
Ax->0 Дх->0 Дх->0 ""
Следовательно,
/ — / = 0,
т. е.
1 = 1 = 1,
а это и означает, что функция f(x) интегрируема по Риману.
Все это позволяет сформулировать условие интегрируемости функ-
ций по Риману следующим образом.
Для интегрируемости {по Риману) функции f{x) на сегменте
[а, />] необходимо и достаточно, чтобы она на этом сегменте
была ограниченной и удовлетворяла условию
п — 1
lim У со. Дхь = 0,
Д*-о"о *
Докажем, что этому условию удовлетворяет всякая непрерывная
на сегменте [а, £>] функция f{x).
Действительно, согласно теореме Вейерштрасса, функция f{x),
непрерывная на сегменте [а, Ь], ограничена на этом сегменте. Кроме
того, в силу теоремы Кантора о равномерной непрерывности, функ-
ция /(х), непрерывная на сегменте [а, £], равномерно непрерывна на
этом сегменте, т. е. для любого как угодно малого е^>0 можно
найти такое 8>0, что для любых двух точек х' и х” сегмента [а, &],
удовлетворяющих условию
\х* — х"|<§,
верно неравенство
|/(х')-/(х")|<е.
Поэтому, если сегмент [а, разбить на такие элементарные части
[хд, хЛ+1], чтобы для каждой из них было
I ^xk I — I xk+1 xk I <
то будет верно неравенство
1®л| = 1^ —WJ<8>
так как для непрерывной функции /(х)
Mk=f(xk) и mk=f{Xk),
145
где х\ и xk—некоторые точки элементарного сегмента хЛ+1].
Отсюда следует, что
л —1 л —1 Л —1
2®*д** = 2 (Mk — mk)tkxk<& 2 ДхА = е(& — а).
k=Q £=0 Л=0
Итак,
п -1
2 —а),
А=0
если
Дх<5.
Так как е сколь угодно мало, а число b — а фиксировано, то это
означает, что
Л —1
lim 2 —
Дх*=°
и поэтому функция /(х) на сегменте [a, ft] интегрируема по Риману.
Таким образом, мы доказали следующее предложение, являющееся
одной из основных теорем математического анализа.
Теорема. Всякая непрерывная на сегменте [a, ft] функция f(x)
интегрируема (по Риману) на этом сегменте.
§ 4. Класс функций,.интегрируемых по Риману
Следующее предложение, известное под названием теоремы Лебега,
выражает необходимое и достаточное условие интегрируемости по
Риману в терминах меры. Теорема эта выявляет весь класс функций,
интегрируемых по Риману.
Теорема. Для интегрируемости (по Риману) функции f(x) на
сегменте [а, ft] необходимо и достаточно, чтобы она была огра-
ниченной и чтобы мера множества ее точек разрыва на [а, ft] рав-
нялась нулю.
Необходимость. Уже было замечено, что если функция f(x)
на сегменте [а, ft] неограниченная, то она не может быть интегрируемой
на этом сегменте. Поэтому для интегрируемости функции f(x) прежде
всего необходимо, чтобы она была ограниченной.
Обозначим через Е множество точек разрыва данной ограничен-
ной функции f(x\ на сегменте [a, ft]. Было доказано (гл. IV, § 6),
что множество Е представимо в виде суммы замкнутых множеств Еп*.
^=2 Еп, (1)
где Еп есть множество всех точек х, в которых колебание функ-
ции f(x) не меньше, чем
х££я, если только
146
Так как всякое замкнутое множество измеримо, а сумма конечного
или счетного множества измеримых множеств, содержащихся на [a, ft],
есть измеримое множество, то отсюда следует, что множество Е
точек разрыва функции f(x) есть измеримое множество, т* е. суще-
ствует мера т(Е) этого множества.
Допустим, что
/п(Е)>0.
Тогда среди множеств Еп в сумме (1) найдется такое множество^,
что
т(Ер)=^0.
Действительно, если бы для всех Еп имели
т(£„) = 0,
то, учитывая, что
Et<zEtc...cEtta...,
получили бы из равенства (1):
т(Е) — lim т(Еп) = О
П-> 00
(теорема 5, § 4, гл. VI), а это противоречит нашему допущению, что
т(£)>0.
Разобьем сегмент [a, ft] на п элементарных сегментов ГхЛ, хЛ+1]и
составим сумму
2 (2)
л=о
Отбросим из этой суммы слагаемые, соответствующие тем сегментам
[xft, хА+1], которые не содержат ни одной точки множества Ер. При
этом не все слагаемые суммы (2) будут отброшены, так как множество
Ер не пустое, ибо т(Ер)>®. Оставшуюся сумму обозначим
(3)
Каждый сегмент [xft, хА+1], соответствующий любому слагаемому суммы
(3), содержит хотя бы одну точку х множества Ер, т. е. точку,
в которой колебание ®х функции / (х) не меньше, чем у, поэтому
тем более верно
(0. ~
* р
для всех слагаемых суммы (3). Отсюда имеем:
л-1 f ।
2 <•>* 2' > 7 2 ^хк.
k=0 к ? k
147
Но так как система сегментов \х& хл+1], соответствующих слагаемым
суммы (3), содержит все множество Ер, то
^'Дхй>/»(£р) = ц.
Поэтому для любого разбиения сегмента [а, Л] имеем:
п — 1
S &хк > > о,
Л=0 к Р
а это означает, что
П—1
lim 2 ®k
Дх->О£=Го
т. е. для f(x) на [а, Ь] условие интегрируемости не выполнено.
Итак, если для ограниченной функции/(х) т(Е)>0, то функция
не интегрируема по Риману.
Следовательно, для интегрируемости функции f(x) на сегменте
[a, ft] необходимо, чтобы она была ограниченной и чтобы т(Е) = 0,
где Е—множество точек разрыва /(х) на [a, ft].
Достаточность. Допустим, что ограниченная функция /(х)
на сегменте [a, ft] не интегрируема по Риману. Поэтому найдется
такое число е>0, для которого при любом разбиении сегмента
[a, ft] будет верно неравенство
^(ойДхй>е.
Возьмем натуральное число р таким, чтобы
е
р 2 (ft — а).
Докажем, что множество Ео точек сегмента [a, ft], в которых коле-
F 1
бание функции /(х) не меньше — , имеет меру, большую нуля.
С этой целью рассмотрим произвольное разбиение сегмента [a, ft]
на элементарные сегменты [xft, xft+1]. Сумму
2®*дхй,
k
соответствующую этому разбиению, представим в виде:
А** 4- Ь*к> (6)
где сумма 2* охватывает те сегменты [хл, xft+I], в которых »
а 2" — сегменты, в которых Пу сть для всех х сегмента [a, ft]
1/(х)|<М
В силу ограниченности /(х), такое число 2И>>0 существует. Тогда
для любого k имеем:
(4)
(5)
148
а значит и
О o)ft 2Л£
Обозначим через h сумму длин тех сегментов [хЛ, хЛ+1], для которых
т. е. сегментов, которые вошли в сумму 2** Учитывая все
это и неравенство (5), получим:
wk ДхЛ ==С 2М Axft = 2Afft.
Эти неравенства вместе с равенством (6) дают:
2 ю* Д^<4 +2Л4Л-
Отсюда, принимая во внимание неравенство (4), имеем:
е<у + 2Л1Л
и, следовательно,
е
4М
(7)
Рассмотрим теперь последовательность разбиений сегмента [а, ft]
на 2" равных частей (л= 1, 2, ...). Каждому такому разбиению соот-
ветствует свое число h = hn, выражающее сумму длин всех элемен-
тарных сегментов [хЛ, хЛ+1] этого разбиения [а, ft], для которых
Множество, представляющее сумму этих сегментов, сумма
длин которых есть Ля, обозначим через Нп. Так как неравенство (7)
верно при любом дроблении сегмента [a, ft], то
«(Ю = ЛП>®- (8)
Можно заметить, что множества Нп образуют последовательность
... z>/7rtz)... ,
где каждое множество содержится в предыдущем. Действительно,
пусть для некоторого сегмента [хЛ, хЛ+1] при разбиении [a, ft] на 2*
равных частей имеем Тогда этот сегмент есть половина
некоторого элементарного сегмента предыдущего разбиения [a, ft] на
2"”1 частей. Следовательно, в предыдущем разбиении есть вдвое
больший сегмент, где колебание функции /(х) тем более будет не
меньше — . Это и доказывает, что Н„
Р * п — л п
Положим
Н= П Цп.
Я = 1
149
По теореме 6,- § 4, главы VI, имеем:
т (Н) = lim т (Н„),
П-+ 00
откуда, в силу неравенства (8), получим:
т(Я)>^>°. (9)
Заметим, что в любой точке х9 множества Н колебание функ-
ции f(x) не меньше ~. Действительно, если х9 то/ £Нп для
любого л. Это означает, что точка х9 содержится в некотором сег-
менте [xft, xft+1] разбиения [а, £] на 2" равных частей при любом л,
причем для этого элементарного сегмента o)ft • Но сегмент
[хЛ, хЛ+1], содержащий точку х', можно считать как угодно малым,
так как л может быть как угодно большим, поэтому и в точке х9
колебание /(х) не меньше
Отсюда следует, что
НсЕр,
поэтому, в силу неравенства (9):
/я (£,) >-^> 0.
\ pf 4М^
Так как множество Е всех точек разрыва /(х) на сегменте [л, Й
представляет сумму
е=А£’*’
а значит Е:эЕр, то тем более верно
т(Е) Af>0.
Итак, если ограниченная функция /(х) на сегменте [л, 6] не ин-
тегрируема, то
т(£)>0.
Отсюда следует, что если функция /(х) на сегменте [л, ft] огра-
ничена и
,г,(£) = 0,
где Е—множество точек разрыва /(х) на [а, ft], то функция /(х)
на сегменте [л, ft] интегрируема по Риману.
Этим теорема доказана полностью.
Если некоторый факт имеет место для всех точек множества Е,
кроме точек такой части множества Е, мера которой равна 0, то
говорят, что данный факт имеет место почти всюду на множестве Е.
150
Так, если функция f(x) непрерывна в каждой точке множества
Et кроме точек E^a:Et и т(Ео) = О, то функция /(х) называется
почти всюду непрерывной на множестве Е.
Пользуясь этим термином, мы можем теперь сказать:
Класс функций, интегрируемых по Риману на сегменте [а, &],
совпадает с классом ограниченных почти всюду непрерывных на [a, £]
функций, куда, в частности, входят и непрерывные функции.
Пример 1. Монотонная на сегменте [д, й] функция f(x) инте-
грируема по Риману.
Действительно, монотонная функция /(х) на [а, 6] ограничена,
все ее значения содержатся между числами f(a) и f(b). Кроме того,
точек разрыва монотонной функции не более чем счетное множество.
Но мера счетного множества равна нулю. Следовательно, монотонная
функция на сегменте [а, £] ограничена и почти всюду непрерывна,
поэтому интегрируема по Риману.
Пример 2. Функция с ограниченным изменением на сегменте
[а, &] интегрируема по Риману.
Действительно, функция с ограниченным изменением может быть
представлена в виде разности двух монотонных (неубывающих) функ-
ций, откуда и следует, что она на [а, 6] ограничена и почти всюду
непрерывна, а значит интегрируема по Риману.
Пример 3. Функция Дирихле на сегменте [#,&]:
.__ (1, если х — рациональная точка,
/ \ । о, если х — иррациональная точка,
не интегрируема по Риману.
Действительно, функция Дирихле ограничена, но для нее каждая
точка сегмента [а, &] есть точка разрыва (второго рода). Поэтому
множество Е точек разрыва есть сегмент [а, Ь]пт(Е) = Ь —
Следовательно, условие интегрируемости не выполнено, и поэтому
функция Дирихле не интегрируема по Риману.
Для функции Дирихле, как для всякой ограниченной функции, су-
ществуют верхний и нижний интегралы:
~Ъ п — 1 п — 1
(/(x)djc = lim = 1-Дхй = 6 — а.
a A«-»0*=:0 4*-*»й=0
b л —1 n—1
(/(х) tfx = lim У /nftAxft = lim У, 0-ДхА = 0.
Как видим, эти интегралы не совпадают, поэтому интеграл Римана
от функции Дирихле не существует.
ГЛАВА VIII
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Различие между способами интегрирования
Римана и Лебега
При составлении интеграла Римана разбивается на элементарные
части [хл, хл+1] промежуток интегрирования [а, ft], т. е. сегмент,
содержащий значения аргумента х функции y=f(x). Затем длина
Дхл каждого элементарного сегмента [х&, хл+1] умножается на верх-
нюю грань или нижнюю грань mk функции /(х) на этом элемен-
тарном сегменте. Суммируя отдельно Mk^xk и mk&xki получим верх-
нюю и нижнюю суммы Дарбу.
Когда данная функция f(x) непрерывна, то ее значения будут
сколь угодно близкими между собой для всех х из одного и того же
сегмента [xft, х^+1] для каждого k, если только все &xk достаточно
малы, и поэтому суммы Дарбу будут отличаться между собой сколь
угодно мало при достаточно мелком разбиении сегмента [а, ft]. Следо-
вательно, при Дх—>0 суммы Дарбу будут стремиться к общему пре-
делу, который и есть интеграл Римана от /(х) на [а, Ь\. Поэтому
такой процесс интегрирования является естественным для непрерывных
функций.
Если же данная функция /(х) разрывна на [а, ft], то при любом
разбиении [а, ft] найдутся сегменты [хл, хл+1], на которых значения
/(х) не будут сколь угодно близкими между собой. (Так, функция
Дирихле на как угодно малом сегменте [хл, xft+1] имеет значения и 0,
и 1, поэтому уменьшением ДхА нельзя добиться любой близости
между значениями этой функции во всех точках одного и того же
элементарного сегмента.) В силу этого, Суммы Дарбу могут не иметь
общего предела, т. е. данная разрывная функция/(х) может не быть
интегрируемой по Риману. (Так это и оказалось для функции Ди-
рихле.) Следовательно, процесс интегрирования по Риману не соот-
ветствует характеру разрывных функций.
Если учесть, что разбиение сегмента [a, ft], т. е. множества
£*=[а} ft] всех значений независимой переменной х, на элементарные
части — сегменты [хА, хА+1] — оказалось целесообразным для непрерыв-
ных функций только потому, что в точках одной и той же части
[a, ft] значения функции близки между собой, а для разрывных фуик-
152
ций такое разбиение [а, ft] оказалось неудачным как раз потому, что
оно не гарантирует близости между значениями функции в точках
одной и той же части [а, ft], то станет ясным, в чем заключается
недостаток процесса интегрирования Римана и как его устранить.
Именно, целесообразным является такое расчленение множества Е
значений независимой переменной х на части Ek, когда в одном и том
же подмножестве Ek близки значения у данной функции, а значения
х могут отличаться как угодно.
Вот почему процесс интегрирования функции y=f(x) лучше на-
чинать не с разбиения сегмента [а, ft], содержащего все значения
независимой переменной х, как это было при интегрировании по Ри-
ману, а с разбиения сегмента [Л, В], содержащего все значения у
данной функции, на элементарные сегменты J*+1]> и только после
этого разбить множество Е, значений х на части включив в Ек
те и только те точки х, в которых значения функции содержатся
в полуинтервале yk+1), т. е. являются близкими между собой.
Теперь вместо образования сумм Дарбу, т. е. суммирования произ-
ведений Мк или тк на длину &хк элементарного сегмента [xft, xA+t],
будем суммировать произведения ук или ^л+1 на меру (длину) под-
множества Ек. В результате получим суммы s и S, напоминающие
суммы Дарбу для непрерывных функций, так как для достаточно
мелкого дробления сегмента [Л, BJ числа ук и ук+1 будут сколь
угодно близкими, как это было для тк и Мк в случае непрерывных
функций при достаточно мелком разбиении сегмента [a, ft]. Поэтому
есть основания надеяться, что суммы $ и S, построенные новым про-
цессом, будут стремиться к общему пределу, когда длина наибольшего
из сегментов ,ул+1] будет стремиться к нулю. Этот предел и
естественно принять за интеграл от функции f(x) на данном мно-
жестве Е, которое может и не быть обязательно сегментом [a, ft],
а только содержится на нем.
Этот новый процесс интегрирования и есть интегрирование по
Лебегу.
Заметим, наконец, что в этом процессе интегрирования приходится
измерять множества ВЛ = В ^/(х) откуда следует, что
введение интеграла Лебега невозможно без понятий меры множества
и измеримых функций.
§ 2. Определение интеграла Лебега
Выяснив, в чем заключается идея интегрирования по Лебегу, рас-
смотрим теперь точное определение интеграла Лебега.
Пусть на измеримом множестве Е задана ограниченная измеримая
функция /(х). Обозначим через и Мг соответственно нижнюю
и верхнюю грани функции f(x) на множестве Е, которые существуют
в силу ограниченности f(x) на Е. Возьмем числа А и В, удовлетво-
ряющие условиям А Afj и < В. Разобьем сегмент [Л, В] на
элементарные части точками:
л=л<л< ♦ • <уа=в-
153
Обозначим через Ек множество таких точек х множества Е9 для ко-
торых верны неравенства уЛ</(х)<Л+1» т. е.
£'* = £ К <№+»}•
Очевидно,
л-1
£=2а
Л=0
Ясно также, что все множества Ек измеримы, так как, по условию,
функция f(x) измерима, и попарно не имеют общих точек, поэтому
И —1
т(Е) = ^m(Ek).
k=0
Составим две суммы:
л—1 л — 1
2 Уьт (£*) и 5=2 Л+1«
Л=0 А=0
которые будем называть нижней и верхней суммами Лебега. Обо-
значим через Ду длину наибольшего из сегментов [уА, уЛ+1]. Суммы
Лебега зависят от разбиения сегмента [Д, В]. Для каждого разбиения
[Д, В] соответствуют свои определенные значения сумм s п S. Отно-
сительно этих сумм Лебега докажем следующую теорему.
Теорема. Суммы Лебега s и S стремятся к общему пределу /,
не зависящему от способа разбиения сегмента [Д, В], если только
длина Ду наибольшего из элементарных сегментов [ул, ул+1] стре-
мится к нулю.
Доказательство. Рассмотрим подробно нижнюю сумму Лебега
Пусть для некоторого разбиения сегмента [Д, В] имеем:
$= ^Укт(Еь}.
/г—О
Покажем, что если к точкам у0, yv ..., уп этого разбиения сегмента
[Д, В] присоединим новые точки деления, то значение s9 нижней
суммы Лебега для нового разбиения [Д, В] не может быть меньше
значения $, соответствующего первоначальному разбиению. Дейст-
вительно, пусть новые точки, вставленные между у*иу*+1, разбили
сегмент [ул, ул+1] на р частей:
Обозначим через Е^ множество тех точек Ek, для которых верны
неравенства у(к т. е.
Очевидно, что
Еь=₽2 и т =Р2 т (4Y
SO i=o
154
Заметим, что при переходе от s к s' слагаемое ykm(Ek) в сумме s
заменяется суммой^ у$т (Е^). Учитывая, что у№^у& имеем:
5 $ т <£Р) ^Уь2 т —Укт (£й)>
1 = 0 1=0
Это и доказывает, что
Заметим затем, что сумма $ ограничена сверху. Действительно,
и —1 я —1
2 Укт (Ek) <B^m{Ek) = Вт (Е).
Л=0 Л=0
Следовательно, если продолжать дробление сегмента [Д, Z?] путем
добавления новых точек, так что при этом Ду стремится к нулю, то
сумма $, как неубывающая и ограниченная сверху, будет стремиться
к некоторому пределу /:
lim s — I.
Ду ->о -
Подобным же образом можно убедиться, что при рассмотренном
способе дробления [Д, В] сумма S, как невозрастающая и ограни-
ченная снизу, будет стремиться к некоторому пределу /:
lim S—7.
Ду->0
Заметим, что / = /. В самом деле,
s — s = 2 Ук+1т (Ek) — 2 (Ek) =
Л=0 А=о
= 2 СУй+1 ~Ук) т (Ек) < 4? 2 т = ^Ут
k=zO Л=0
Отсюда следует, что
lim (S — s) = 0.
Ду-* 0
Ио
lim (S—s)=limS—lim s = I — I,
Ay-*0 Ay-*0 Ay-*0 ”
поэтому _
/ — / = 0,
т. e.
/=/=/.
Докажем, что предел I сумм Лебега s и S не зависит от спо-
соба дробления сегмента [Д, В].
Действительно, пусть, кроме s и S, удовлетворяющих неравенствам
ssC/sCS и S —
&
155
где е > 0 — сколь угодно мало, мы образовали суммы Лебега s' и S'-
для некоторого нового разбиения сегмента [Л, В]. Полагая при этом
втором разбиении by достаточно малым, можно считать, что
Составим теперь третье разбиение сегмента [Л, В], взяв в качестве
точек деления- все точки первого разбиения, которое привело к сум-
мам s и S, и все точки второго разбиения, соответствующего суммам
s' и S'. Суммы Лебега для третьего разбиения [Л, В] обозначим
через s" и S".
Очевидно,
s<s" <S" <S,
так как третье разбиение можно считать полученным из первого пу-
тем добавления новых точек деления — точек второго разбиения. Но
третье разбиение можно рассматривать и как результат добавления
к точкам второго разбиения новых точек — точек первого разбиения,
поэтому
s' <s"^S"<S'.
Из этих неравенств видно, что
|s'— s|<е и Js' — S|<e
и, значит,
|/ —/|<е.
Таким же образом убеждаемся, что
|S' — /<8.
Следовательно, при как угодно малом е > 0 для сумм Лебега s
и S имеем:
|s — /|<е и |S — J|<8,
каково бы ни было разбиение сегмента [Л, В], лишь бы by было до-
статочно мало. Это и означает, что
7 = lim s= lim S
Ду -> О Ду -> О
и что I не зависит от способа разбиения сегмента [Л, В].
Этим теорема доказана полностью.
Общий предел 7, к которому стремятся суммы Лебега s и S при
стремлении к нулю длины Ду наибольшего из элементарных сегмен-
тов [№> Л+1] сегмента [Л, В], называется интегралом Лебега
от функции /(х) по множеству Е и обозначается , символом
(£)$/(x)dx
в
156
или же
ь
(L)[f(x)dx,
а
если множество Е есть сегмент [а, Ь].
Заметим, что хотя суммы Лебега и связаны с числами А и В,
однако интеграл Лебега от них не зависит. А и В могут быть ка-
кими угодно, лишь бы только все значения функции /(х), соответ-
ствующие значениям х из множества В, удовлетворяли неравенствам
Действительно, возьмем вместо [Д, В] другой сегмент [Д, Я],
причем
В'<В и Д</(х)<В'.
Так как интеграл Лебега не зависит от способа разбиения сегмента
[Л, В], то точку В' будем включать в число точек деления [Д, В]
на элементарные части. Пусть
Л ~У0 < • • • <Ур=В <*Ур+\< • • • <Уп == в
и
В силу того, что /(х) содержится в [Д, В'), в множестве Е нет
точек, в которых /(х) В',, поэтому множества
^-1
пустые, а значит
= . =т (£„_,) = ().
Следовательно,
^0 Л=0
т. е. сумма Лебега построенная на сегменте [Д, В], совпадает
с суммой для сегмента [Д, В'].
Вопрос об условиях интегрируемости функции здесь не возникает;
так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема
по Лебегу.
§ 3. Некоторые свойства интеграла Лебега
Здесь остановимся только на тех свойствах интеграла Лебега,
которые потребуются для сравнения интеграла Лебега с интегралом
Римана.
Докажем предложение, которое обычно называют теоремой
о среднем значении.
157
Теорема 1. Если на множестве Е функция f(x) измерима и
44, ^f(x) 44,, то
Мгт (Е) < (L) J f(x) dx < Mtm (Е).
Е
Доказательство. Так как, по условию, функция/(х) огра-
ничена и измерима на множестве Е, то интеграл Лебега от f(x) по
множеству Е существует. Этот интеграл можно рассматривать как
предел нижней или верхней суммы Лебега, построенной на сегменте
[Afp где е>0 сколь угодно мало. Но, очевидно, для суммы
s—
Л=о
имеем:
Ч 2*«(Еь) < s < (44,4- s)“S т (Ek),
k=Q k=Q
или
MYm (E)^s< (44, + 8) m (E).
Переходя к пределу, получим:
44, от (Е) (L) $/(х)dxsS44,от(Е) 4- е от(Е).
Е
Но так как вместе с е и гт (£) как угодно мало, то из последних
неравенств имеем:
44,от (Е) < (L) J f(x) dx^Mtm (Е).
Е
Теорема 2. Если на множестве Е, представляющем сумму
конечного или счетного множества измеримых множеств
... } E(k\ ... , попарно не имеющих общих точек, задана огра-
ниченная измеримая функция /(х), то интеграл от f(x) по мно-
жеству Е равняется сумме интегралов от /(х), взятых по мно-
жествам ЕР\ Е(2\ ...»E(k\ ....
Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух слагаемых.
Пусть
E = E'~\~Erf и Е'Е’ = 0.
Составим сумму Лебега для /(х) на множестве Е:
Л=о
Так как
Ek=Е{л<л+J =£' {л</W <Ук+J +
+ Е" {yk (х) <Л+J = Е/ 4-е;
и
т (Ек) = т(Ек) 4~ т(Ек),
158
то
S=”s ykm{Ek) = 2 укт(Ек)-\- 2 (£*) = s' + s”»
A=o A=o A=a
где s' и s" — суммы Лебега для f(x) соответственно на 2Г и Е*.
Измеримая на множестве Е функция /(х) измерим^ также и на из-
меримых подмножествах Е' и Е", поэтому /(х) интегрируема по
Лебегу и на Е', и на Е". В силу этого в равенстве s =
можно перейти к пределу, в результате чего получим:
(!) J /(х)dx = (£) $ /(х) dx + (£) $ /(х) dx.
Е Е' Е"
Доказательство теоремы можно распространить на случай любого
конечного числа слагаемых методом математической индукции. Поэтому
можем считать доказанным, что если
Е = 2 и £<*> £*'> = 0
то
(L) J/(x)dx= 2 {L)\/(x)dx.
Е k=i
Пусть теперь
£=2^ и £**>£<'» = О
В этом случае имеем:
т (Е)= У т (&*>).
k=i
00
Это означает, что ряд У т (E<k)) сходится, и поэтому для любого
как угодно малого е > 0 найдется такое л, что
2 «(£***) <8.
k==?+i
Представим множество Е в виде суммы:
Е== 2 £«’ + /?„,
1
где
В силу того что для конечного числа слагаемых теорема уже дока-
зана, имеем:
(£) $/(х) dx = 2 М S _ /W dx4- (£) $ /(х) dx.
Н *=* Б{к> Un
159
Замечая, что
«(/?„) = J »(£**>) <®,
Л=л4-1
а также учитывая, что /(х) на Е ограничена, т. е.
1/МКД
по теореме о среднем получим:
(£) J f(x)dx <7Ие.
Rn
(£) J /(х) dx -JJ dx < Me.
Следовательно,
(£) $ f(x) dx = lim 2 (L) L, /(*) dx>
JJ П-* 00 A=i £
Откуда
е.
(£)J/(x)dx = 2 ^}{f(x)dx.
В *=1 в
Этим теорема доказана полностью.
§ 4. Сравнение с интегралом Римана
Теорема. Если функция f(x) на сегменте [а, ft] интегрируема
по Риману, то она интегрируема и по Лебегу, причем интегралы
Лебега и Римана от /(х) на [а, ft] совпадают.
Предварительно докажем следующее предложение.
Лемма. Если множество точек разрыва функции f(x) на сег-
менте [a, ft] имеет меру, равную нулю, то /(х)на\а,Ъ\измерима.
Доказательство леммы. Пусть £0 есть множество точек
разрыва функции /(х) на сегменте [a, ft] и пусть т(£о) = О. Рас-
смотрим множество Е тех точек сегмента [я, ft], в которых f(x)^A,
где А — произвольное число. Докажем, что если £ — предельная
точка множества Е и $ € то £ содержится в множестве точек
разрыва /(х). Действительно, допустим что /(х) непрерывна в точке g.
Так как %£Е, то /(g)<А, поэтому /(х)<Л и в некоторой доста-
точно малой окрестности C7(g, 8) точки g. Это означает, что в С/(g, 8)
нет ни одной точки множества Е, что невозможно, ибо g есть пре-
дельная точка Е. Полученное противоречие и доказывает, что в точке g
функция /(х) имеет разрыв, т. е. %£Е*. Обозначим через D мно-
жество предельных точек множества Е, не содержащихся в Е. По
доказанному, DciE^, поэтому (как легко заметить из определения
внешней меры) D измёримо и
w(D) = 0.
160
Множество
F=E-\-D
представляет замыкание множества Е и поэтому замкнуто, а значит
и измеримо. Отсюда следует, что множество Et представимое в виде
разности измеримых множеств
E—F — D,
есть измеримое множество. Это и доказывает, что функция f(x) на
сегменте [а, ft] измерима.
Доказательство теоремы. Пусть функция f(x) на сег-
менте [а, 6] интегрируема по Риману. Из этого имеем? 1) f(x) на. [а, ft]
ограничена и 2) мера множества точек разрыва f(x) на [а, Ь] равна
нулю. Из 2), в силу доказанной леммы, вытекает, что f(x) на [а, ft]
измерима. Следовательно, функция /(х) на сегменте [а, ft] интегри-
руема по Лебегу.
Разобьем сегмент [a, ft] на элементарные части \xk xft+1]. Обо-
значим через Mk и mk соответственно верхнюю и нижнюю грани
f(x) на сегменте [хл, х^+1]. Функция/(х), ограниченная и измеримая на
[a, ft], такова же и на каждом элементарном сегменте [xft xft+1],
поэтому, на каждом из них интегрируема по Лебегу, примем по тео-
реме о среднем
Хк + 1
mkbxk<^(L) $ f(x)dx^Mk^xk,
Хк
где ДхА = хА+1 — xk. Суммируя эти неравенства для всех k, получим:
п — 1 п — 1 Хк + i п — 1
2 т^х^ 2 (£) 2
А=о Л=о J
хк
ИЛИ
Ъ
s^(L)^f(x)dx^S,
а
где 5 и S—суммы Дарбу для функции /(х) на сегменте [a, ft]. Так
как /(х) на [a, ft], по условию, интегрируема в смысле Римана, то
ь
lim 5= lim S= (/?) f /(x) dx.
Дх -> о Дх -> о a
Но из последних неравенств видно, что общим пределом сумм 5 и S
ь
может быть только (L) f(x)dx. Следовательно,
а
b b
(2,) J /(х) dx = (Я) J f(x) dx.
а а
Теорема доказана.
161
Итак, если f(x) интегрируема по Риману, то интегрируема и
по Лебегу, причем в этом случае оба метода интегрирования дают
один и тот же результат. Но обратное утверждение уже не верно.
Функция /(х) может быть интегрируемой на сегменте [а, 6] по Лебегу
и не быть интегрируемой по Риману. В качестве такого примера можно
назвать функцию Дирихле. Пусть на сегменте [a, ft]
{1, если х рационально,
О, если х иррационально.
Очевидно, что f(x) на [a, ft] ограничена и измерима, поэтому
интегрируема по Лебегу. Причем
ь
(L)\f{x)dx — Q.
а
Но функция Дирихле, как видели, не интегрируема по Риману.
Следовательно, интеграл Лебега есть обобщение понятия инте-
грала. Насколько важно это обобщение, видно хотя бы из следующих
фактов, приводимых здесь без доказательств.
1. Если на измеримом множестве Е имеем последовательность
измеримых функций
Л(Х), ЛИ> (*)»•.. г
сходящуюся почти всюду на Е к функции /(х), и все функции /я(х)
равномерно ограничены, т. е. |/л(х)|<^А1, для всех п и всехх
то
lim {L) J fn (х) dx = (L) ( / (х) dx.
Я ->00 Е Е
Таким, образом, если пользоваться интегралом Лебега, то при
условиях, указанных выше, возможен переход к пределу под знаком
интеграла.
Если пользоваться интегрированием в смысле Римана, то может
оказаться, что на сегменте [a, ft] последовательность интегрируемых
и равномерно ограниченных функций сходится в каждой точке, а
предельная функция неинтегрируема.
2. Если функция /(х) в каждой точке [a, ft] имеет ограниченную
производную /' (х), то /' (х) интегрируема по Лебегу и
/(x)=/(a) + (£)J/' (i)di.
а
Следовательно, при помощи интеграла Лебега можно находить
первообразную от каждой ограниченной производной. Это не всегда
можно сделать при помощи интеграла Римана, так как существуют
ограниченные производные, не интегрируемые по Риману.
162
ГЛАВА IX
РОЛЬ СОВЕТСКОЙ МАТЕМАТИКИ В РАЗВИТИИ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Во второй половине XIX века усилия математиков были направ-
лены к достижению абсолютной строгости в своих работах. Это при-
вело к образованию в начаде XX века одного из самых молодых раз-
делов математики — теории функций действительного переменного,
где изучение функций ведется на основе теории множеств. История
теории функций действительного переменного начинается с работ
выдающихся французских ученых Бореля и Лебега, относящихся к
первым годам XX века и посвященных вопросам измерения множеств
и интегрирования функций. Но уже через десять лет центр разра-
ботки теории функций действительного переменного перемещается в
Россию. Начало работы в этой области в Москве было положено
Д. Ф. Егоровым, который в 1911 году доказал свою знаменитую тео-
рему, представляющую выдающийся результат классического периода
в развитии метрической теории функций.
Теорема Д. Ф. Егорова. Последовательность измеримых
функций, сходящаяся на множестве Е положительной меры, схо-
дится равномерно на подмножестве EtaE, имеющем меру
т(Ее)^>т (Е) — е, где е > 0 сколь угодно мало.
В 1912 году Н. Н. Лузин доказал теорему, которая является
основной в метрической теории функций.
Теорема Н. Н. Лузина. Функция /(х), измеримая на множе-
стве Е положительной меры, может быть превращена в непре-
рывную изменением ее значений на множестве сколь угодно малой
меры.
Лебег определил понятие измеримой функции так, как это ему
было необходимо для введения своего интеграла, но из формулировки
Лебега нельзя было понять, что представляет собой измеримость
функции как некоторое свойство функции. Теорема Н. Н. Лузина,
сопоставляя измеримость с непрерывностью, дает возможность
выяснить, в чем заключается сущность понятия измеримой функции.
В 1915 году была опубликована докторская диссертация Н. Н. Лу-
зина „Интеграл и тригонометрический ряд*. Эта фундаментальная
работа привлекла большую группу московских математиков к разра-
163
ботке целого ряда важнейших проблем теории функций действи-
тельного переменного.
Московские математики в этот период решили прежде всего те
проблемы, перед которыми остановились французские математики, и
тем самым открыли новый этап в развитии теории функций дей-
ствительного переменного. Чтобы охарактеризовать некоторые из
этих работ, остановимся на так называемых В-множествах. Борель
выделил важный класс множеств, дав свое определение меры мно-
жества (до соответствующих работ Лебега). Мероопределение Бо-
реля заключается в следующем:
I. Мера сегмента или интервала равна его длине.
II. Если меры ^(EJ и т(Е*) множеств Ег и Е* уже определены
и Et содержится в Е2, то т(Е2— Ej = m{E2) — /я (2^).
III. Если меры т (EJ, т (EJ,..., /и (Еп) ,... множеств Ev Eit...,
Еп,... , которые попарно не имеют общих точек, уже определены, то
т ( 2 = 2 т (Ев).
\«= 1 J п= 1
Если мера множества Е может быть определена при помощи ком-
бинирования операций II и III, отправляясь от сегментов и интер-
валов, то множество Е измеримо по Борелю, или Е есть В-множество.
В 1916 году П. С. Александров доказал, что всякое несчетное
В-множество содержит совершенную часть и, значит, имеет мощность
континуума.
Пользуясь аппаратом, созданным П. С. Александровым для дока-
зательства этой замечательной теоремы, М. Я. Суслин в 1917 году
открыл новый важный класс множеств. Суслин назвал эти множе?
ства аналитическими или А-множествами. Талантливый математик
М. Я. Суслин умер в 1919 году, когда ему было всего лишь 25 лет,
поэтому он только положил начало исследованиям А-множеств.
Дальнейшее изучение этих множеств содержится главным образом
в работах Н. Н. Лузина. Изучением A-множеств занимались также
П. С. Новиков, автор выдающихся работ в области математической
логики, и другие советские математики.
Исследования A-множеств привели к более общим теориям. Так,
П. С. Александров образовал целую последовательность расширяю-
щихся классов множеств. Н. Н. Лузин создал еще более, общую
теорию так называемых проективных множеств.
Работы П. С. Александрова, М. Я. Суслина, Н. Н. Лузина и
других советских математиков означали быстрое развитие дескрип-
тивной теории множеств и функций (т. е. направления теории функ-
ций действительного переменного, где не пользуются понятием меры
множества).
В метрической теории множеств и функций (т. е. в том направ-
лении теории функций действительного переменного, где основным по-
нятием является мера множества), в которой фундаментальные резуль-
таты были получены, как указывалось выше, нашими учеными еще
164
в самый начальный период развития этой теории, после Октябрьской
революции ведущая роль постоянно принадлежала советским ученым.
Из многочисленных работ в этой области отметим только самые
крупные.
Вопросам дифференцирования и интегрирования, а также изуче-
нию общих свойств измеримых функций была посвящена большая
работа А. Я. Хинчина. Чтобы дать некоторое представление о тех
важных результатах, которые были получены А. Я. Хинчиным, не-
обходимо предварительно остановиться на понятии плотности мно-
жества, которое в предыдущих главах не встречалось.
Пусть имеем измеримое множество Е. Положим
EXiS = £.[x-S, х-Н].
Число
DX{E}= lim
5-> О **
называется плотностью множества Е в точке х. Если Dx (Е} = 1,
то х называется точкой плотности множества Е.
А. Я. Хийчин ввел понятие асимптотической производной.
Говорят, что функция f(x) имеет асимптотическую производную
в точке х, если она имеет в этой точке обыкновенную производную
относительно некоторого множества Е, для которого х есть точка
плотности. Если функция имеет в некоторой точке асимптотическую
производную, то говорят, что она асимптотически дифференцируема
в этой точке.
Сравнивая асимптотическую производную с производной Бореля,
или средней производной, под которой понимают предел
h
1 (7(* + 0-/W ь а
\ t—J-^dt при А—*О,
о
А. Я. Хинчин доказал следующие утверждения:
1. Непрерывная функция, имеющая среднюю производную Бореля
в каждой точке некоторого измеримого множества Е положительной
меры, асимптотически дифференцируема почти всюду на множестве
£*, причем значения асимптотической и средней производных совпа-
дают почти всюду на этом множестве.
2. Существует непрерывная функция, имеющая асимптотическую
производную в каждой точке некоторого множества положительной
меры и почти всюду на этом множестве не имеющая средней про-
изводной Бореля.
Эти две теоремы показывают, что асимптотическая производная
является существенным обобщением средней производной Бореля.
Понятие производной А. Я. Хинчин обобщил еще дальше, введя
понятие так называемой общей производной.
При изучении общих свойств измеримых функций А. Я. Хинчин
вводит следующее понятие:
165
Функция f(x) называется асимптотически направленной в данной
точке х, если она становится возрастающей, убывающей или по-
стоянной по удалении множества, имеющего в данной точке плот-
ность нуль.
Функция называется асимптотически направленной на данном мно-
жестве F, если она асимптотически направлена почти всюду на мно-
жестве Е.
А. Я. Хинчин доказал теорему, сходную с теоремой Н. Н.
Лузина.
Теорема. Измеримая функция /(х), асимптотически направ-
ленная на множестве положительной меры, изменением ее значе-
ний на множестве сколь угодно малой меры может быть превра-
щена в непрерывную функцию с конечным числом экстремумов.
Отсюда вытекает, что такая функция почти всюду асимптотически
дифференцируема.
Вопросы дифференцируемости функций нескольких переменных
изучал В. В. Степанов. Он ввел понятие асимптотического полного
дифференциала и доказал, что из существования асимптотических
частных производных на каком-либо измеримом множестве следует
существование почти всюду на этом множестве асимптотического
полного дифференциала. Теорема В. В. Степанова замечательна
своей неожиданностью, так как для обычных частных производных
и полных дифференциалов аналогичное утверждение не верно.
Вопросом дифференцирования функций занимался также И. Г. Пет-
ровский, один из выдающихся советских ученых, особенно известный
своими фундаментальными работами в области дифференциальных
уравнений.
В метрической теории функций большое место занимают работы,
относящиеся к вопросам интегрирования функций, к расширению
понятия интеграла.
П. С. Александров изучал интегралы, определенные Данжуа и
Перроном, и доказал их равносильность.
А. Я. Хинчин дал определение интеграла, которое является более
общим, чем определение Данжуа, и дает возможность находить
функцию по ее асимптотической производной.
Понятие интеграла было подвергнуто глубокому исследованию
А. Н. Колмогоровым. Пользуясь понятием функции множества F(£),
А. Н. Колмогоров дал общее определение интеграла. Специализируя
функцию F(E)> из интеграла в смысле А. Н. Колмогорова полу-
чаются различные частные случаи, представляющие ранее определен-
ные интегралы. Работа А. Н. Колмогорова переносит теорию инте=
грирования в область общей теории функций любого аргумента.
Основное содержание теории тригонометрических рядов, важного
раздела теории функций действительного переменного, также в значи-
тельной мере состоит из результатов, полученных советскими учеными.
Кроме Н. Н. Лузина, фундаментальная работа которого— „Интеграл и
тригонометрический ряд" —уже упоминалась, в этой области успешно
работал целый ряд советских математиков. В вопросе о единствен-
166
ности тригонометрических рядов ценные результаты были получены
Д. Е. Меньшовым и Н. К. Бари.
Большой прогресс в вопросе об условиях сходимости почти всюду
тригонометрических рядов представляет теорема, доказанная А. Н. Кол-
могоровым и Г. А. Селиверстовым, а также, независимо от них,
А. И. Плесснером, которая формулируется так:
Для сходимости почти всюду ряда
а 00
у + 2 (а« C0S пх + sin Лх)
/1=1
достаточна сходимость ряда
2 in л-
п= 1
В 1940 году Д. Е. Меньшов решил задачу, поставленную за 25
лет до этого Н. Н. Лузиным, доказав, что для всякой измеримой
функции на [— тг» тт] существует тригонометрический ряд, сходящийся
к ней почти всюду.
Следует отметить большую работу советских математиков в при-
ложении теории функций действительного переменного к другим
областям математики. Сюда относятся работы М. А. Лаврентьева и
Л. А. Люстерника по вариационному исчислению, Д. Ф. Егорова —
по интегральным уравнениям.
Для советских математиков характерно перенесение методов тео-
рии функций действительного переменного в самые различные обла-
сти математики: в топологию, где руководящая роль принадлежит
школе П. С. Александрова; в теорию вероятностей, созданную почти
полностью русскими учеными и получившую в советский период иск-
лючительное развитие благодаря замечательным работам выдающихся
ученых нашей страны — А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и дру-
гих советских математиков; в теорию аналитических функций — в
работах крупнейших математиков И. И. Привалова, В. В. Голубева,
В. И. Смирнова, А. И. Маркушевича и других; в теорию чисел —
в работах Л. Г. Шнирельмана.
Тот объем вопросов теории функций действительного перемен-
ного, который охвачен предыдущими главами курса, не является
достаточным для сколько-нибудь ясного изложения многих важных
работ советских математиков.
Но даже из этого краткого обзора, которым заканчивается книга,
видно, что ученые нашей страны получили основополагающие ре-
зультаты еще в начале развития теории функций действительного
переменного, а затем в советский период обогатили эту важную'
область математики выдающимися трудами.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Установить взаимно однозначное соответствие между множе-
ствами А и В, если:
а) А есть множество всех точек одной стороны, а В—множе-
ство всех точек любой другой стороны данного треугольника.
б) А — множество всех точек поверхности прямого круглого
конуса, а В—множество всех точек основания этого конуса.
в) А — множество всех точек данной окружности, а В— множе-
ство всех точек другой окружности, содержащейся внутри первой и
имеющей с ней общую точку.
2. Доказать, что множество всех точек сферы эквивалентно мно-
жеству всех точек плоскости.
3. Доказать, что множество всех многоугольников на плоскости,
вершины которых имеют рациональные координаты, есть счетное
множество.
4. Какова мощность множества всех сфер в трехмерном про-
странстве, радиусы которых рациональны, а центры имеют рациональ-
ные координаты?
5. Пусть имеем последовательность множеств
Е , Et, ...,Еп, ....
Обозначим через Е множество, составленное из всех элементов,
каждый из которых принадлежит бесконечному множеству множеств
данной последовательности, а через Е—множество всех элементов,
каждый из которых принадлежит всем данным множествам Еп, начи-
ная с некоторого номера п (который может быть различным для
разных элементов).
Доказать, что
~ оо оо
£=П(2£.).
п—1 £=п
00 00
Е~= 2 (П^>
и=1 & = П
в. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, ко-
торые попарно не пересекаются и каждая из которых находится вне
остальных, есть счетное множество.
168
7. Доказать, что если к множеству всех действительных чисел Z
присоединить новое „число" g, не являющееся в Z ни наибольшим,
ни наименьшим, то расширенное множество не будет упорядоченным
и плотным.
8. Доказать, что множество всех действительных чисел, попол-
ненное двумя „бесконечными числами* -|-сю и —оо, есть множество
упорядоченное и плотное, обладающее наибольшим и наименьшим
элементами. Доказать, что к нему нельзя присоединить никакого
нового элемента так, чтобы пополненное таким образом множество
было упорядоченным и плотным.
9. Доказать, что множество I всех иррациональных чисел имеет
мощность континуума, установив для этого взаимно однозначное
соответствие между / и множеством всех действительных чисел Z.
10. Исследовать строение множества точек сегмента [0,1], в де-
сятичном разложении которых не встречается цифра 5.
11. Исследовать множество точек сегмента [0,1], в десятичном
разложении которых не встречаются цифры 4 и 7.
12. Назовем „предельной* точкой множества Е такую точку g,
что во всякой рациональной окрестности точки g содержится хоть
одна точка множества Е, отличная от g. Доказать, что таким обра-
зом определенные „предельные* точки множества совпадают с обык-
новенными предельными точками.
13. Пусть дано множество Е и не принадлежащая ему точка g.
Назовем расстоянием точки g от множества Е нижнюю грань р (g, Е)
расстояний от g до каждой из точек множества Е. Доказать, что
p(g, £) = 0 тогда и только тогда, когда g есть предельная точка
множества Е.
14. Доказать, что если g не принадлежит к замкнутому множе-
ству F, то существует такая точка что p(g, F) = p($, х).
15. Пользуясь методом, которым была доказана теорема Боль-
цано— Вейерштрасса, доказать существование хотя бы одной точки
конденсации для всякого несчетного линейного множества.
п
16. Доказать, что если Е= 2 то любая точка конденсации
множества Е будет точкой конденсации по крайней мере для одного
из множеств Ek.
17. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на сегменте
[а, ft]. Доказать, что множество всех точек xt в которых f(x)^?A,
где А — любое число, есть замкнутое множество.
18. Пусть [а, ft] есть наименьший сегмент, содержащий совер-
шенное множество Р. Положим /(х) = 0 в точках Р, а в интерва-
лах, смежных к Р, определим f(x) графически полуокружностями,
построенными на этих интервалах как на диаметрах. Доказать, что
функция f(x) непрерывна на сегменте [a, ft].
19. Выяснить, будет ли непрерывной функция
/(x) = xsin —, если
/(0) = 0.
169
Построить геометрическое изображение этой функции.
20. Пусть
f (х) = х cos у , если х
/(0) = 0.
Доказать, что VJ(/) = -|-оо.
21. Доказать, что функция с конечным числом максимумов и
минимумов на [a, ft] есть функция с ограниченным изменением на [a, ft].
22. Пусть все Еп в 5-й задаче — измеримые множества точек сег-
мента [a, ft]. Доказать:
а) если tn (Еп) ц для всех л, то tn (Е) ц;
б) если т (Еп) «С ц для всех л, то т (Е) р.
23. На множестве Е задана произвольная функция /(х), причем
Е измеримо и т(Е) = 0. Доказать, что f(x) измерима.
24. Пусть f(x) определена и непрерывна на сегменте [л, ft].
Исследовать строение множества точек, в которых /(х)>Л, где
А — произвольное число, и убедиться, что функция f(x) измерима.
25. На измеримом множестве Е задана функция /(х). Доказать,
что если измеримо множество точек, в которых /(х)^Л, где А —
произвольное число, то измеримо и множество точек, в которых
/(х) = Л.
26. Пусть Р—совершенное множество, построенное на сегменте
[a, ft] удалением интервалов ..., , смежных к Р. Поло-
жим f (х) — 0, если х £ Р, и f (х) = т (§А), если х £ Доказать,
что функция /(х) на [л, ft] интегрируема по Риману.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию................................... 3
Предисловие ко второму изданию.................................... 4
Глава I, Общая теория множеств
§ 1. Понятие множества......................................... 5
§ 2. Операции над множествами................................. 7
§ 3. Мощность множества. Кардинальные числа...................14
§ 4. Сравнение мощностей......................................16
§ 5. Существование различных мощностей........................19
§ 6. Сложение и умножение мощностей...........................21
§ 7. Счетные множества...................................... 22
Глава II. Множество действительных чисел
§ 1. Иррациональные числа.....................................29
§ 2. Упорядоченность множества всех действительных чисел .... 33
§ 3. Плотность множества действительных чисел.................34
§ 4. Непрерывность множества всех действительных чисел........35
§ 5. Соответствие между действительными числами и точками прямой 37
§ 6. Арифметические операции над действительными числами .... 39
§ 7. Представление действительных чисел бесконечными дробями . . 46
§ 8. Мощность множества всех действительных чисел.............49
Глава III. Теория точечных множеств
§ 1. Простейшие множества точек......................57
§ 2. Основные понятия теории точечных множеств.60
§ 3. Основные понятия теории точечных множеств (продолжение) . 64
§ 4. Замкнутые множества...............................66
§ 5. Открытые множества................................................70
§ 6. Верхняя и нижняя грани линейного множества точек........72
§ 7. Строение линейных замкнутых и открытых множеств.74
§ 8. Множество Кантора.г..............................................79
§ 9. Мощность совершенного множества......................81
§ 10. Точки конденсации.....................85
Глава IV. Функции
§ 1. Общее понятие функции....................................88
§ 2. Непрерывность функции в точке и на множестве........< . 89
§ 3. Свойства непрерывных функций на ограниченных замкнутых мно-
жествах ......................................................91
§ 4. Равномерная непрерывность...........................................................94
§ 5. Колебание функции на множестве и в точке . . . *....................................98
§ 6. Строение множества точек разрыва функции...........................................102
§ 7. Классификация точек разрыва функции одного переменного • • 103
§ 8. Монотонные функции.................................................................106
§ 9. Функции с ограниченным изменением .................................................109
171
Глава V. Непрерывные кривые
§ 1. Кривые Жордана........................................113
§ 2. Кривые Пеано. Канторово определение кривой............114
§ 3. Спрямляемые кривые....................................116
Глава VI. Измерение множеств
§ 1. Квадрируемые и кубируемые области.....................120
§ 2. Мера множества по Жордану.............................121
§ 3. Мера множества по Лебегу............................ 122
§ 4. Операции над измеримыми множествами...................129
§ 5. Измеримые функции.....................................137
Глава VII. Интеграл Римана
§ 1. Теорема Дарбу.........................................139
§ 2. Верхний и нижний интегралы. Интеграл Римана...........142
§ 3. Условие интегрируемости по Риману.....................144
§ 4. Класс функций, интегрируемых по Риману................146
Глава VIII. Интеграл Лебега
§ 1. Различие между способами интегрирования Римана и Лебега . . 152
§ 2. Определение интеграла Лебега..........................153
§ 3. Некоторые свойства интеграла Лебега...................157
§ 4. Сравнение с интегралом Римана.........................160
Гл а в а IX. Роль советской математики в развитии теории функций
действительного переменного....................................163
Упражнения.....................................................168
Николай Адрианович Фролов
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Редактор С. А. Пономарев
Обложка Л. Г. Кобрина
Художественный редактор Б. М. Кисин
Технический редактор Н. Н. Махова
Корректор В. И. Захарова
Сдано в набор 3/1 1961 г. Подписано к печати 27/П 1961 г. 60X921/io. Печ. л. 103/.,
Уч.-изд. л. 10,24. Тираж 33 тыс. экз. Цена без переплета 31 коп., переплет 15 ког
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
вая Образцовая типография имени А. А. Жданова Московского городского совнарх
Москва, Ж-54, Валовая, 28. Заказ № 1333