/
Автор: Рыбин Ю.И. Рудской А.И. Золотов А.М.
Теги: математика математический анализ издательство наука издательство санкт-петербург
ISBN: 5-02-025040-6
Год: 2004
Текст
Министерство образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.И. Рыбин, А.И. Рудской, А.М. Золотов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров
и магистров 553300 «Прикладная механика» по дисциплине
«Математическое моделирование технологических процессов
обработки металлов давлением»
Санкт-Петербург
«Наука»
2004
63 <73
УДК
ББК
621.771
34.5
Р93
Рецензенты:
д-р техн, наук Г.А. Агасьянц (ОАО ВНИТИ),
д-р техн, наук, проф. К.М. Иванов (ГОУ «Балтийский государственный
технический университет»),
чл.-кор. РАН В.В. Рыбин (ФГУП ЦНИИ КМ «Прометей»)
Рыбин Ю.И., Рудской А,И., Золотов А.М. Математическое моделирова-
ние и проектирование технологических процессов обработки металлов дав-
лением. — СПб.: Наука, 2004. — 644 с. 387 ил.
ISBN 5-02-025040-6
В первой части представлен анализ существующих методов решения за-
дач обработки металлов давлением. Рассмотрены методики решения задач
термоупругопластичности и упруговязкопластического течения с использо-
ванием метода конечных элементов.
Во второй части книги рассмотрены решения технологических задач обра-
ботки металлов давлением. Приведены примеры решения задач осевой и попе-
речной осадки при ковке, штамповке и горячей калибровке заготовок турбин-
ных лопаток, равноканального углового прессования, прессования порошковых
и пористых материалов, а также задачи контактного взаимодействия системы
заготовка — деформирующий инструмент.
В третьей части представлена методика проектирования многопереходных
процессов штамповки. Рассмотрены основные этапы проектирования техно-
логических процессов штамповки и процедуры, которые необходимо реализо-
вать технологу при разработке технологического процесса. Представлены ме-
тодики проектирования переходов штамповки поковок пространственной
формы. Рассмотрена методика проектирования процессов штамповки поко-
вок повышенной точности на примере процесса прецизионной штамповки
заготовок турбинных лопаток и штамповки детали типа поршня с использова-
нием математического моделирования.
Монография предназначена для инженерно-технических и научных со-
трудников, занимающихся проблемами компьютерного моделирования про-
цессов пластической обработки, вопросами технологии получения изделий по-
вышенной точности методами обработки давлением. Может быть использована
в качестве учебного пособия студентами и аспирантами при изучении курса
«Математическое моделирование технологических процессов обработки ме-
таллов давлением».
© Ю.И. Рыбин, А.И. Рудской,
А.М. Золотов, 2004
© СПбГПУ, 2004
ISBN5-02-025040-6 '/лУд/Э ©Издательство «Наука», 2004
НТБ
ОАО “Северсталь”
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.......................................10
ВВЕДЕНИЕ..........................................11
Часть 1. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ......................14
1. Развитие методов математического моделирования
термомеханических процессов.......................14
1.1. Место математического моделирования в научных
исследованиях...................................14
1.2. Теоретическая база и аналитические методы.16
1.3. Приближенные методы решения................21
1.3.1. Метод конечных разностей..............22
1.3.2. Прямые методы вариационного исчисления.... 33
1.3.3. Метод конечных элементов..............43
1.3.4. Метод граничных элементов.............51
2. Элементы тензорного исчисления.................53
2.1. Индексные обозначения......................54
2.2. Действия над тензорами.....................55
2.3. Симметричный и кососимметричный тензоры....57
2.4. Главные направления и собственные значения.57
2.5. Инварианты тензора.........................59
2.6. Шаровой тензор и девиатор..................61
2.7. Инварианты девиатора.......................62
2.8. Дифференцирование тензорного поля..........63
2.9. Метрический тензор.........................64
3. Напряженное и деформированное состояния........65
3.1. Тензор деформации и его геометрический смысл .... 66
3.2. Тензор скоростей деформации................74
3.3. Тензор напряжений..........................77
4. Определяющие уравнения.........................80
4.1. Простые реологические модели...............81
4.2. Комбинированные реологические модели.......83
3
4.3. Обобщенный закон Гука. Система уравнений линейной
теории упругости................................90
4.4. Условие пластичности......................94
4.5. Постулат Друкера и ассоциированный закон пласти-
ческого течения................................96
4.6. Условие пластичности Губера—Мизеса........101
4.7. Поверхности нагружения порошковых и пористых тел... 103
4.8. Деформационная теория пластичности........109
4.9. Теория пластического течения..............112
5. Метод конечных элементов в задачах теории упругости и
пластичности....................................113
5.1 Функции формы конечного элемента..........114
5.2. Деформации...............................119
5.3. Напряжения.............................. 120
5.4. Разрешающая система уравнений............121
5.5. Конечно-элементная аппроксимация.........124
5.6. Задача расчета концентрации напряжений и дефо-
рмаций .......................................128
5.7. Задача оптимизации формы дна баллона.....131
6. Численное решение задачи теплопроводности....139
6.1. Уравнения теплопроводности...............140
6.2. Конечно-элементная дискретизация.........142
6.3. Рекуррентные соотношения для решения задачи
Коши..........................................144
6.4. Двумерная задача теплопроводности........147
6.4.1. Декартовы координаты................147
6.4.2. Цилиндрические координаты...........149
6.5. Одномерные задачи теплопроводности.......150
6.5.1. Декартовы координаты................151
6.5.2. Цилиндрические координаты...........151
6.5.3. Сферические координаты..............152
6.6. Метод граничных элементов................152
7. Математическая постановка задач термоупругопласти-
чности..........................................164
7.1. Математическая постановка задачи теории малых
упругопластических деформаций.................167
7.2. Система уравнений нереологической теории пла-
стичности .................................. 170
7.3. Математически двумерные задачи...........175
7.3.1. Плоское напряженное состояние.......176
7.3.2. Плоское деформированное состояние....177
7.3.3. Модель обобщенной плоской деформации .... 181
7.3.4. Осесимметричное нагружение..........184
7.4. Напряжения в стенке трубы под внутренним давлением... 185
4
7.5. Кручение вала переменного диаметра в условиях
упругопластической деформации.................189
7.6. Напряжения в шпинделе прокатного стана...193
7.7. Квазистационарный процесс................196
8. Математическая постановка задачи теории упруговязко-
пластического течения...........................198
8.1. Начало виртуальных скоростей.............198
8.2. Конечно-элементная формулировка задачи теории
упруговязкопластического течения..............201
8.3. Построение разрешающей системы уравнений..204
8.4. Вязкопластическое течение в условиях обобщенной
плоской деформации............................207
8.5. Аппроксимация среднего (гидростатического)
напряжения....................................211
8.6. Граничные условия........................216
8.6.1. Граничные условия в перемещениях и напря-
жениях ....................................216
8.6.2. Раздача трубы внутренним давлением..219
8.6.3 Моделирование граничных условий на кон-
тактной поверхности........................223
8.6.4. Задача горячей калибровки поковки...229
8.6.5. Податливость по контуру.............233
Часть 2. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ........................235
9. Продольная осадка цилиндрической заготовки...235
9.1. Осадка низкого цилиндра..................236
9.2. Осадка высокого цилиндра.................251
10. Поперечная осадка цилиндрической заготовки..262
10.1. Поперечная осадка двумя плоскими плитами
(бойками).....................................263
10.2. Поперечная осадка тремя симметрично располо-
женными плоскими плитами (бойками)............268
10.3. Разработка режима ковки крупного роторного слитка ... 283
10.3.1. Влияние угла выреза нижнего бойка..285
10.3.2. Ковка с подстуживанием.............289
10.3.3. Анализ варианта ковки выпуклым и вырезным
бойками....................................292
11. Горячая объемная штамповка поковок сложной пространствен-
ной формы.......................................302
11.1. Постановка задачи.......................302
11.2. Геометрические модели заготовки и инструмента 309
5
11.3. Моделирование теплового режима, истории на-
гружения и деформирования.....................312
12. Горячая калибровка поковок турбинных лопаток.321
12.1. Постановка задачи.......................321
12.2. Моделирование напряженно-деформированного
состояния поковки в условиях жестких штампов...334
12.2.1. Анализ напряженно-деформированного
состояния поковки в изотермических условиях.334
12.2.2. Поле температур в поковке..........338
12.2.3. Напряженно-деформированное состояние
металла поковки в неизотермических условиях
калибровки.................................340
12.3. Моделирование термоупругого нагружения штам-
повых вставок.................................343
12.3.1. Температурные поля в штамповых вставках .. 343
12.3.2. Влияние жесткости упругого основания
штамповых вставок..........................346
12.3.3. Анализ напряженно-деформированного
состояния штамповых вставок................350
13. Равноканалыюе угловое прессование...........355
13.1. Аналитическое решение задачи расчета напря-
женно-деформированного состояния при РКУП......356
13.2. Цели математического моделирования процесса
РКУП и план исследования......................359
13.3. Анализ установившегося процесса течения металла
в канале с углом 120° при наличии противодавления ... 361
13.4. Исследование течения в радиальном канале с
углом 135°....................................371
13.4.1. Установившийся процесс при отсутствии
противодавления............................371
13.4.2. Влияние противодавления............381
13.4.3. Анализ течения при входе в радиальный канал .. 388
13.4.4. Оформление торцевого сечения при входе
в канал....................................391
13.5. Анализ течения в прямоугольном канале...394
13.6. Прессование в сужающийся канал..........407
14. Уплотнение пористых и порошковых материалов.418
14.1 Модель уплотнения пористого тела.........418
14.1.1. Условие пластичности пористого материала 418
14.1.2. Упругость пористых материалов......426
14.1.3. Влияние формы пор на макрохарактеристики
пористого тела.............................434
6
14.2. Упруговязкопластическое течение уплотняемых
материалов....................................446
14.3. Конечно-элементная формулировка задачи теории
течения............................................449
14.4. Алгоритм решения задачи упруговязкопластиче-
ского течения......................................454
14.5 Пример решения задачи о прессовании фланца... 457
14.6. Пример расчета уплотнения материала в закрытой
матрице............................................460
14.7. Пример решения задачи экструзии..............467
15. Контактная задача в обработке металлов давлением.471
15.1. Алгоритм решения задачи контактного упругопла-
стического взаимодействия заготовки и инструмента... 471
15.2. Контактная задача при прокатке тонкого листа ... 477
Ч а с т ь 3 . ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОПЕРЕХОДНЫХ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ШТАМПОВКИ ... 480
16. Методика проектирования многопереходных техноло-
гических процессов горячей объемной штамповки...480
16.1 . Этапы проектирования технологического процесса
многопереходной ГОШ...........................481
16.2 . Функциональный анализ этапов проектирования
технологического процесса многопереходной горячей
объемной штамповки............................484
16.2.1 . Процедура проектирования геометрии поковки ....485
16.2.2 . Проектирование геометрии поковки.......487
16.3 . Анализ процесса проектирования технологических
операций штамповки............................490
16.3.1 . Процедуры проектирования операций ГОШ 490
16.3.2 . Классификация поковок и выбор технологиче-
ских процессов на основе описания их топологии.. 493
16.3.3. Распознавание образа поковок по характери-
стикам их геометрии........................496
16.4 . Определение вида и последовательности операций
технологического процесса штамповки на основе
частных критериев сложности поковок...........498
16.4.1 . Проектирование операций штамповки поковок ...498
16.4.2 . Определение частных критериев сложности
поковок.........................................498
16.5 . Проектирование штампового инструмента.......504
7
16.6 . Методика проектирования технологических процес-
сов ГОШ.........................................509
17. Проектирование технологического процесса объемной
штамповки.........................................511
17.1. Примеры проектирования технологических процес-
сов многопереходной штамповки...................511
17.1.1. Проектирование переходов штамповки поко-
вки поворотного кулака.......................512
17.1.2. Проектирование переходов штамповки поко-
вки рычага подвески автомобиля...............517
17.2. Особенности проектирования технологических про-
цессов прецизионной штамповки...................529
17.3. Проектирование штампового инструмента для техно-
логических процессов точной и прецизионной штамповки
с использованием математического моделирования...532
18. Проектирование процесса горячей калибровки поковки
турбинной лопатки.................................535
18.1. Особенности проектирования технологических
процессов прецизионной штамповки заготовок
турбинных лопаток...............................535
18.2. Анализ результатов численного решения задачи
взаимодействия заготовки и штампов..............541
18.3. Термические деформации заготовки после калибровки
(коробление поковки при остывании)..............550
18.3.1. Кинетика формоизменения при охлаждении
поковки на воздухе после горячей калибровки...550
18.3.2. Влияние структурных превращений в металле
на кинетику формоизменения....................557
18.4. Общий алгоритм проектирования технологических
процессов с использованием математического модели-
рования ........................................562
18.5. Методика проектирования переходов штамповки
поковок повышенной точности.................... 565
18.5.1. Определение геометрии поковки после процес-
са калибровки (перед охлаждением на воздухе).. 565
18.5.2. Определение геометрии поковки перед кали-
бровкой (после последнего перехода штамповки)... 566
18.6. Проектирование геометрии штамповых вставок
с учетом их деформаций при калибровке...........566
19. Проектирование технологического процесса вытя-
жки-формовки заготовки из листового материала......568
8
19.1. Формулировка задачи конструкторско-технологи-
ческого проектирования...........................569
19.2. Моделирование операций (переходов) листовой
штамповки........................................573
19.2.1. Вытяжка..............................574
19.2.2. Вытяжка с утонением..................584
19.2.3. Формовка.............................590
19.2.4. Обжим................................598
19.3. Анализ работоспособности поршня с учетом оста-
точных напряжений и деформаций..................602
19.3.1. Моделирование циклического нагружения
поршня 0 54...................................604
19.3.2. Исследование влияния формы и размеров дна
поршня 0 48 на работоспособность изделия......606
19.4. Вариант конструкторско-технологического решения
на примере штамповки поршня 0 48................611
19.5. Проектирование поршня со сферической формой
дна 626
19.5.1. Анализ вариантов конструкции дна поршня ... 626
19.5.2. Анализ возможностей штамповки поршня
0 54 со сферической формой дна...............629
Заключение........................................637
Библиографический список..........................639
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
В технике и всей жизни человечества металлы занимают осо-
бое, ключевое место. Существуют различные способы обработки
металлов для получения промышленной продукции. Из этих спо-
собов выделяют технологические процессы обработки металлов
давлением. Сложность физико-механических явлений, лежащих
в их основе, потребовала больших усилий ученых и специалистов
для разработки математических моделей, интерпретирующих эти
процессы.
Научные исследования в указанном направлении проводятся на
кафедрах и в лабораториях Санкт-Петербургского государственного
политехнического университета. Новый импульс они получили бла-
годаря применению компьютерных технологий. Особо важно отме-
тить, что компьютерные способы применяются на всех этапах про-
ектирования и создания промышленной продукции. Математическое
описание технологических процессов обработки металлов давлени-
ем носит универсальный характер, и в этом заслуга их разработчи-
ков. В число пионеров данного направления исследований входят
профессора Ю.И. Рыбин, А.И. Рудской, А.М. Золотов и сотрудники
кафедры “Пластическая обработка металлов” СПбГПУ.
В представленной работе “Математическое моделирование и
проектирование технологических процессов обработки металлов
давлением” авторы обобщили не только свой многолетний опыт
исследований, но и других ведущих специалистов России и Гер-
мании. Ряд лет профессора А.И. Рудской и А.М. Золотов читали
лекции и вели практические занятия в Ганноверском университе-
те (ФРГ), где их курсы пользовались неизменным успехом.
Полагаю, что данная монография облегчит освоение важного
и необходимого для инженерной деятельности специального кур-
са всем студентам и аспирантам, изучающим машиностроение и
металлургию.
Академик РАН
Ю.С. Васильев
10
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование как направление в научных
исследованиях прошло сравнительно короткий путь развития. Тем-
пы этого развития определялись прогрессом вычислительной тех-
ники. Параллельно развивались два направления: одно из них было
связано с построением статистических моделей, с обработкой ре-
зультатов эксперимента, планируемого или пассивного, другое — с
построением детерминированных моделей, с решением уравнений
тепло-массопереноса, теории поля. Совершенствование вычислитель-
ной техники стимулировало развитие обоих направлений математи-
ческого моделирования. От обработки результатов конкретного экс-
перимента исследователи перешли к накоплению результатов,
созданию баз данных, обработке больших массивов данных. От ре-
шения частных задач механики, тепло-массопереноса — к построе-
нию универсальных расчетных систем, ориентированных на широ-
кий круг задач, первоначально не сформулированных.
На ранних стадиях построение детерминированных моделей
базировалось на давно известных (например, метод Эйлера) чис-
ленных методах решения дифференциальных уравнений, описы-
вающих исследуемые процессы. Дальнейшее развитие вычисли-
тельной техники привело к созданию вычислительных методов,
ориентированных исключительно на компьютерную реализацию
(методы конечных, граничных элементов).
Параллельное развитие вычислительной техники и вычисли-
тельной математики привело к тому, что компьютерное решение
задачи перешло из разряда научного достижения в разряд обыч-
ного инженерного расчета, необходимого на стадиях конструк-
торского и технологического проектирования. Наличие мощных
вычислительных систем требует высокой теоретической подготовки
специалиста, намеревающегося самостоятельно решить конкрет-
ную технологическую или конструкторскую задачу. Если на ран-
них стадиях применения вычислительной техники в инженерных
расчетах присутствовал этап разработки алгоритма и программы,
то с использованием универсальных расчетных систем этот этап
11
исчез. С одной стороны, это существенно ускоряет получение ин-
тересующего результата, с другой — создает иллюзию простоты по-
лучения результата, а иногда — мнение о возможности успешного
моделирования без знания теории и вычислительных методов.
У Эддингтона есть блестящая история о человеке, который по-
шел ловить рыбу сетью с ячейками определенного размера. Увидев
среди пойманных рыб очень маленьких, он решил, что это самые
маленькие рыбы в море. Он допустил ошибку, не учитывая, как
происходила ловля рыбы. Так же и при вычислениях; результат
зависит от того, что дано, и от того, что с этим делают. Если не
понимать промежуточные процессы, то весьма легко перепутать
эффекты использованной при вычислениях модели с эффектами
модели, принятой при формулировке задачи.
Специалистам по обработке металлов давлением, работаю-
щим на производстве, в конструкторских и технологических бюро,
в научно-исследовательских организациях, приходится решать
широкий круг задач, связанных с разработкой и оптимизацией
технологических процессов, с оценкой конструктивно-техно-
логической прочности, с обеспечением требуемых физических
и механических свойств, точности размеров, с выбором обору-
дования и расчетом мощности привода. Способы решения этих
задач излагаются в курсах “Теория упругости и пластичности”,
“Теория обработки металлов давлением”.
Технический прогресс изменил многие инженерные задачи: они
стали не только сложнее, но потребовали введения новых понятий
и новых подходов. Сейчас инженер не может исходя из рассмат-
риваемого физического явления или технической проблемы “по-
ставить” задачу и предоставить ее решение математику-вычисли-
телю. Во многих инженерных задачах построение расчетной модели
настолько тесно переплетается с процессом вычислений, что разде-
лить эти процессы порой не представляется возможным. Поэтому
успех решения инженерной задачи определяется математической
постановкой задачи, ее численной реализацией и интерпретацией
полученных результатов.
Задача конструкторско-технологического проектирования в прин-
ципе не может иметь единственного решения. Понятие “опти-
мальное решение” не следует понимать в строго математическом
смысле. Можно говорить об удачном, о приемлемом решении.
В любом случае необходимо иметь базу для сравнения, т.е. не-
сколько приемлемых вариантов, из которых можно выбрать луч-
ший. Понятно, что для сравнения проектных решений необходи-
мо видеть результаты реализации этих проектов. Математическое
12
моделирование технологического процесса и последующего эксплу-
атационного нагружения в этом плане имеет несомненные преиму-
щества (время, стоимость) по сравнению с изготовлением и испы-
танием опытных образцов.
Д. Пойа в книге “Как решать задачу” формулирует тезис: преж-
де чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением. Какие
именно величины следует получить в ходе решения задачи? Будут
ли найденные величины содержать ответ на вопрос, поставлен-
ный целью исследования? Гораздо чаще, чем можно было бы ду-
мать, результаты, которые хочет получить исследователь, не соот-
ветствуют задачам задуманного исследования.
На многих стадиях исследовательской работы не знать в точ-
ности, что ты ищешь, вполне естественно. В некотором смысле,
если получается именно ожидаемый результат, то мы не узнаем
ничего нового. Отсюда следует второй тезис: цель расчета — не
числа, а понимание.
Только после того, как становится ясно, что нам доподлин-
но известно и что мы хотим получить, следует всерьез переходить
к обдумыванию способа решения задачи. Прежде всего необходи-
мо оценить, следует ли прибегнуть к аналитическому или к ком-
пьютерному решению. Аналитическое решение часто предпочти-
тельнее. Выбирая численный метод решения задачи, необходимо
продумать те способы проверки, которые позволят убедиться, что
результат получился в необходимой степени правильным. Извес-
тно, что хороший теоретик может объяснить почти любые полу-
ченные результаты, верные или неверные.
Почти неизбежно в процессе вычислений появляется новая
информация и возникает необходимость вносить изменения в пер-
воначальный план. Как отмечено выше, если все идет как задума-
но, результаты оказываются тривиальными. Таким образом, по-
ложение, когда приходится изменять первоначальный план, следует
считать скорее счастливой возможностью, чем неудачей.
Из тезиса: цель расчетов — не числа, а понимание, следует, что
человек, который должен достичь этого понимания, обязан знать,
как происходят вычисления. Если он этого не понимает, то мало-
вероятно, чтобы он извлек из вычислений что-нибудь ценное. Он
видит голые цифры, но их истинное значение может оказаться
скрытым в вычислениях.
Девиз: понимание, а не числа определяет успех численного эк-
сперимента.
13
ЧАСТЬ 1
ТЕОРИЯ ПЛА СТИЧНОСТИ
1. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Место математического моделирования
в научных исследованиях
Разработка изделий новой техники представляет многоаспект-
ную проблему, включающую создание материала с требуемыми
эксплуатационными и технологическими свойствами, проектиро-
вание технологических процессов получения заготовок с необхо-
димыми формой, размерами и свойствами, отработку конструктор-
ско-технологических решений, учитывающих эксплуатационные
свойства материала. Сюда же входят нормирование допускаемых
дефектов, установление гарантированных сроков эксплуатации из-
делия из разработанного материала в заданных условиях нагруже-
ния и т.д. В ходе технологических операций изменяются исходные
свойства материала. Условия эксплуатации и конструктивное офор-
мление тяжело нагруженных объектов диктуют определенные тре-
бования к свойствам материала; поэтому все вопросы разработки
материала, технологии и конструкции решаются в комплексе. Кон-
струкция диктует требования к свойствам материала; существую-
щие материалы диктуют требования к конструкции.
Изделия и конструкции, работающие в сложных условиях на-
гружения, выходят из строя, разрушаясь в наиболее слабом месте
в материале, в том числе в, месте скопления дефектов. Анализ
причин разрушения включает металлографические исследования,
исследование напряженно-деформированного состояния и пред-
полагает в дальнейшем комплекс мероприятий, способствующих
увеличению работоспособности изделия.
14
Анализ и оценка конструктивно-технологической прочности
базируются на расчетно-экспериментальных методах, дающих воз-
можность проследить историю нагружения материала конструк-
ции на стадиях выполнения технологических операций и прило-
жения эксплуатационной нагрузки, с расчетом параметров
напряженно-деформированного состояния на каждом из харак-
терных этапов нагружения. Попытка отделить технологическую
разработку от конструктивного решения лишь затруднит поиск
приемлемого инженерного решения.
Существует достаточно широкая область исследований, где
расчетные методы оказываются эффективнее и целесообразнее
экспериментальных. С развитием вычислительной техники и ме-
тодов компьютерного моделирования значительную часть работ
по оценке и анализу напряженно-деформированного состояния
удается перенести в область численного эксперимента. Выбор рас-
четного или экспериментального метода исследований напряжен-
но-деформированного состояния в большинстве случаев имеет
объективный, бесспорный характер и определяется надежностью
и достоверностью результатов, получаемых расчетом или экспе-
риментом, трудоемкостью того или иного метода.
Компьютерное моделирование позволяет получить больший
объем информации, провести всестороннее исследование, рас-
смотреть и сопоставить большее количество альтернативных ва-
риантов. Натурный эксперимент, в свою очередь, позволяет ком-
пенсировать недостаточное знание природы явления, условий
выполнения технологического процесса, недостоверность тех
или иных технологических свойств материала. Сопоставление
альтернативных вариантов в натурном эксперименте является
менее надежным, поскольку не всегда возможно зафиксировать
те параметры, которые предполагаются одинаковыми в рассмат-
риваемых вариантах.
По мере совершенствования техники и методов испытания
материалов, повышения технологической дисциплины производ-
ства роль компьютерного моделирования должна возрастать, ибо
надежность его результатов при правильной постановке дела оп-
ределяется достоверностью исходных данных.
Математическое моделирование не альтернатива эксперименталь-
ным исследованиям и не предполагает какого-либо, даже частично-
го, вытеснения эксперимента из исследовательского процесса. Ма-
тематическое моделирование на базе теории теплопроводности,
Упругости и пластичности является альтернативой упрощенным ана-
литическим решениям частных задач, базирующимся на той же
15
теории. За счет отказа от допущений, обусловленных чисто мате-
матическими трудностями, математическое моделирование, осно-
ванное на численных методах решения, имеет то преимущество
перед аналитическими методами, что ни произвольность геомет-
рии области, ни сложность граничных условий, ни сложность за-
висимостей свойств материала от искомых параметров состояния
не являются препятствием для получения правильного результа-
та. Адекватное описание технологических процессов и условий
эксплуатационного нагружения изделий открывает широкие воз-
можности совершенствования технологических процессов, опти-
мизации геометрии деформирующего инструмента, анализа рабо-
тоспособности изделия с учетом технологии обработки давлением.
Совершенствование и развитие методов математического мо-
делирования приводит к расширению области их успешного ис-
пользования. Если на начальной стадии развития компьютерное
моделирование было средством решения отдельных инженерных
задач обработки давлением, то в настоящее время это — средство
конструкторско-технологического проектирования. С расширением
области применения математического моделирования возрастает
роль теории обработки давлением.
1.2. Теоретическая база и аналитические методы
Исследование термодеформационных процессов, происходя-
щих при термообработке, обработке давлением, сварке, термоме-
ханическом эксплуатационном нагружении, базируется на теории
нестационарной теплопроводности, теории упругости, теории те-
чения, теории малых упругопластических деформаций. Все эти
теории рассматривают материал как некий континуум, изотроп-
ный или анизотропный, однородный или многослойный и, есте-
ственно, не предусматривают каких-либо выводов, касающихся
реального строения материала. Поскольку конструкторские рас-
четы, построенные на базе теории упругости и сопротивления
материалов, предполагают сопоставление макрохарактеристик
напряженно-деформированного состояния с макрохарактеристи-
ками материала, исследование технологических процессов и оценку
конструктивно-технологической прочности выполняют на основе
тех же континуальных представлений.
Математический аппарат этих континуальных теорий давно
разработан, логичен и строг и представляет собой дифференци-
альные уравнения с частными производными параболического
16
и эллиптического типа и методы решения этих уравнений. На-
коплен огромный опыт решения задач теплопроводности [1], тео-
рии упругости [2] аналитическими методами, включая стандарт-
ные методы интегрирования, ряды, специальные функции. Эти
методы, именуемые в математике точными методами, имеют то
несомненное преимущество, что позволяют оперативно получить
результаты, признаваемые правильными с учетом принятых допу-
щений. Единственное ограничение этих методов — очень узкий
круг задач, имеющих практическое значение, неизбежная идеали-
зация условий протекания процесса. Однако в докомпьютерный
период аналитические методы решения задач теории упругости,
теории теплопроводности составляли основу самых сложных ин-
женерных расчетов. Широко применяя математическое модели-
рование и численные методы расчета, авторы остаются сторонни-
ками использования аналитических методов во всех случаях, где
это возможно.
Математическая теория пластичности является основой теории
обработки металлов давлением. Как отмечает Е.П. Унксов во введе-
нии к книге [3], стремление получить максимально простые ре-
шения с приемлемой для практики точностью привело к разра-
ботке нескольких методов. Унксов таковых называет четыре.
Первый предполагает совместное решение приближенных урав-
нений равновесия и условия пластичности. Вторым является ме-
тод линий скольжения или характеристик. Третий основан на ра-
венстве работ внешних и внутренних сил на возможных
перемещениях и использует вариационные принципы для отыс-
кания кинематических полей. Наконец, в качестве четвертого
метода назван метод конечных элементов.
Вряд ли можно согласиться с такой классификацией, где чис-
ленный метод — метод конечных элементов — ставится в один
ряд с принципами аналитического решения. Являясь по своей
сути вариационным, метод конечных элементов открыл принци-
пиально новые возможности решения и потребовал создания но-
вого математического аппарата. Это отметили классики теории
упругости и пластичности С.П. Тимошенко [2], Н.И. Безухов [4],
изложив в своих книгах основы метода конечных элементов.
Теория обработки металлов давлением, изложенная в работах
А.И. Целикова, В.С. Смирнова, И.Я. Тарновского [5—8], представ-
ляет собой, подобно теории упругости в изложении С.П. Тимо-
шенко, перечень классических задач на базе теории пластичнос-
ти. Независимо от того, каким способом получено решение:
интегрированием дифференциальных уравнений равновесия или
НТВ
ОАО “Северсталь”
17
методами прямого вариационного исчисления — инженерные ре-
шения задач обработки металлов давлением базируются на ряде
допущений о характере течения металла. В известной задаче Пран-
дтля о сжатии полосы двумя шероховатыми плитами делается до-
пущение о равномерном распределении напряжений по высоте
полосы, и условие пластичности используется вместо одного из
уравнений равновесия. Решение Прандтля в той или иной форме
присутствует в большинстве задач обработки металлов давлением.
Основной особенностью всех задач теории обработки давлени-
ем, решенных аналитическими методами, является последователь-
ное введение допущений, позволяющих довести решение до чис-
ленного результата. Иногда эти допущения противоречат друг другу,
и это не исключает получения качественно верного результата.
Например, для нахождения положения нейтрального сечения при
прокатке И.М. Павлов [9] исходил из предположения о равномер-
ном распределении напряжений в очаге деформации. В извест-
ных курсах теории прокатки [5,6] можно найти решения, резуль-
татом которых являются неравномерное распределение
напряжений в очаге деформации или протяженность зоны при-
липания при известном из формулы И.М. Павлова положении ней-
трального сечения. Построение компьютерного алгоритма с пос-
ледующей программной реализацией в условиях противоречащих
друг другу допущений даст непредсказуемый результат.
В большинстве аналитических решений используется гипотеза
плоских сечений, фактически обусловливающая возможность огра-
ничиться интегрированием одного дифференциального уравнения
равновесия, с нахождением остальных компонент напряженно-де-
формированного состояния из условия пластичности и предположе-
ния о плоской деформации. Такого рода допущения определяют класс
задач, решаемых в известных работах по теории обработки давлени-
ем. При прокатке в основном рассматриваются длинные очаги де-
формации, при волочении и прессовании — течение в установив-
шемся процессе, при ковке — осадка плоскими бойками.
Решения, полученные на основе сделанных допущений, дают
качественно верные результаты, необходимые для понимания и
анализа процессов, количественно верны интегральные оценки
таких параметров, как полное и среднее давление при осадке,
прокатке, волочении, прессовании, вытяжка и опережение при
прокатке, уширение при осадке и прокатке. Неизбежность пере-
численных допущений при аналитическом решении уравнений
теории пластичности привела к тому, что слабо теоретически ис-
следованными оказались процессы осадки и прокатки высоких
18
полос; описание напряженно-деформированного состояния при
поперечной осадке и прокатке носит скорее умозрительный, чем
расчетный характер.
Анализ теоретических работ по обработке металлов давлением
позволяет назвать две группы допущений, преодоление которых
возможно принципиально разными способами. К первой группе
относятся допущения, обусловленные чисто математическими ас-
пектами интегрирования дифференциальных уравнений равнове-
сия. Дискуссия В.С. Смирнова и И.Я. Тарновского на страницах
журнала “Известия вузов. Черная металлургия” в 60-х годах фак-
тически велась вокруг этой группы допущений. Рассматривался
вопрос о том, какое из решений является более корректным: ре-
шение, полученное интегрированием дифференциального урав-
нения или минимизацией функционала, описывающего энергию
системы. С математической точки зрения предмет дискуссии от-
сутствует: согласно теореме Эйлера вариационного исчисления,
минимизация функционала эквивалентна интегрированию диф-
ференциального уравнения с граничными условиями. Вопрос со-
стоит в том, удовлетворяет ли функционал дифференциальному
уравнению с граничными условиями, иными словами, являются
ли варьируемые параметры, с точностью до которых описана энер-
гия системы, теми, минимизация по которым позволит получить
исходное дифференциальное уравнение с граничными условия-
ми? Совершенно очевидно, что в записи И.Я. Тарновского функ-
ционал не удовлетворяет дифференциальному уравнению. С дру-
гой стороны, при интегрировании дифференциального уравнения
по В.С. Смирнову граничные условия задаются некорректно. Пре-
одоление противоречий между вариационной и дифференциаль-
ной формулировками возможно с позиций метода конечных эле-
ментов. Этот вопрос изложен в главе 5.
Вторая группа допущений носит физический характер. Неза-
висимо от математического способа решения задачи обработки
давлением (интегрированием, минимизацией функционала) не-
обходимо сформулировать граничные условия в любом формаль-
но допустимом виде. Для задач теории упругости и пластичнос-
ти — это граничные условия в перемещениях или напряжениях.
Эта проблема остается, разумеется, и при численном решении
задачи.
В большинстве задач обработки давлением задать граничные
условия 1-го и 2-го рода невозможно: контактные напряжения, как
правило, являются искомыми величинами; перемещения (ушире-
ние, опережение, отставание) тоже относятся к разряду искомых.
19
В отличие от задач математической физики, в задачах обработки
давлением необходимо проинтегрировать дифференциальное урав-
нение при неизвестных граничных условиях и в конечном счете
определить их. Разумеется, достижение этой цели невозможно без
каких-либо допущений о характере течения или характере рас-
пределения напряжений. Поэтому в теории обработки давлением
трудно найти (авторам такие решения неизвестны) полное реше-
ние какой-либо задачи; как правило, рассчитывается напряжен-
ное состояние при каких-либо допущениях о характере деформи-
рованного состояния и о характере распределения сил трения.
Таким образом, большая часть практически необходимых задач
обработки металлов давлением оказалась за пределами возможно-
стей теории обработки давлением, основанной на аналитических
инженерных решениях.
Дальнейший, качественно новый этап развития теории об-
работки давлением стал возможен в связи с переходом от ана-
литических методов к численным на базе современных ЭВМ.
Первыми в этом плане были работы А.К. Григорьева [10] и
В.К. Смирнова [11, 12,]. В работе [10] дан детальный обзор тех мате-
матических подходов, которые позволяли получить решение извест-
ных задач на качественно более высоком уровне с отказом от наибо-
лее грубых допущений. В разделе 1.3.1 показана постановка задачи
прокатки, выполненная с использованием идей А.К. Григорьева.
Общим в работах А.К. Григорьева и В.К. Смирнова при разли-
чии используемого математического аппарата являлось стремле-
ние развить идеи своих учителей — В.С. Смирнова и И.Я. Тар-
новского — за счет совершенствования вычислительных процедур
путем перехода к сеточным численным методам, при сохранении
физических допущений. Были сохранены разрывные решения,
представления о мощности сил трения в вариационных задачах,
интегрирование в пределах геометрического очага деформации.
На этом этапе при переходе к численным методам математичес-
кая постановка задач обработки давлением осталась неизменной.
Следующий этап решения задач теории обработки давлением
основан на вариационной постановке, численной реализации ме-
тодом конечных элементов и не сохраняет никаких признаков пре-
емственности с предшествующим этапом [13]. Математическая по-
становка задач не имеет ничего общего с постановкой задач
В.С. Смирнова и И.Я. Тарновского. Математический аппарат тео-
рии упругости и пластичности был разработан для решения задач
механики, для оценки прочности; работами К.М. Гатовского он
перенесен в сварку и рядом коллективов был развит для решения
20
задач обработки давлением. То же происходило за рубежом. Пер-
вые работы, связанные с решением задач обработки давлением
МКЭ, появились в “Трудах инженеров-механиков” [14].
Новые вычислительные возможности позволяют полностью
снять допущения первой группы. Однако сохранение допущений
второй группы пришло бы в противоречие с высокой точностью
интегрирования дифференциальных уравнений; потребовался ко-
ренной пересмотр исходных позиций. Нынешний этап решения
задач теории обработки давлением требует новой математической
формулировки, позволяющей не только точно интегрировать, но
и максимально верно описывать свойства материала, корректно
задавать граничные условия. Отличительной его чертой является
ориентация на крупные универсальные расчетные системы, вклю-
чающие очень широкие возможности как физического, так и вы-
числительного плана.
1.3. Приближенные методы решения
В отличие от аналитических методов решения дифференци-
альных уравнений, численные методы с математических позиций
считаются приближенными. Оценка точности численного реше-
ния, т.е. сравнение результатов численного решения с аналити-
ческим, является необходимой составной частью численного ре-
шения конкретной задачи.
Наибольшее распространение получили три численных мето-
да решения дифференциальных уравнений: метод конечных раз-
ностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод гранич-
ных элементов (МГЭ). Если метод конечных разностей восходит
к Л. Эйлеру, то два других названных метода получили развитие
лишь в последние десятилетия и своим появлением обязаны вне-
дрению ЭВМ в область сложных конструкторских и далее техно-
логических расчетов.
С позиций метода взвешенных остатков приближенные мето-
ды (МКР, МКЭ, МГЭ) различаются заложенными в них возмож-
ностями точного удовлетворения решаемого дифференциального
уравнения, граничных условий 1-го и 2-го рода. Если аналитичес-
кое решение предусматривает удовлетворение дифференциально-
го уравнения и граничных условий, то приближенные методы
предполагают, что либо дифференциальное уравнение, либо гра-
ничные условия будут удовлетворены приближенно. Метод ко-
нечных разностей основан на замене производных конечными
21
разностями, поэтому дифференциальное уравнение решается при-
ближенно при точном соблюдении граничных условий 1-го и 2-го
рода. Метод конечных элементов связан с переходом от дифферен-
циальных уравнений к функционалу, эквивалентному дифферен-
циальному уравнению с граничными условиями 2-го рода, поэтому
дифференциальное уравнение и граничные условия 2-го рода удов-
летворяются приближенно, граничные условия 1-го рода — точно.
Метод граничных элементов опирается на аналитические решения
(фундаментальные), поэтому решение внутри области и граничные
условия 1-го рода выполняются точно, а граничные условия 2-го
рода — приближенно. Эти исходные положения приближенных ме-
тодов следует иметь в виду при анализе и интерпретации результа-
тов численного решения. Например, при решении МКЭ задачи
теплопроводности с граничными условиями, заданными в виде
коэффициента теплоотдачи и температуры окружающей среды,
можно при охлаждении тела получить температуру несколько ниже
заданной температуры окружающей среды.
1.3.1. Метод конечных разностей
Идея метода конечных разностей [ 15—24] проста: производная
в дифференциальном уравнении заменяется разностью на конеч-
ном промежутке Дх . Замена бесконечно малого приращения на
конечное не требует никаких принципиальных изменений в ма-
тематическом аппарате решения технологических задач аналити-
ческими методами, но позволяет проинтегрировать то, что не под-
дается решению в квадратурах. Поэтому обращение к этому методу
с появлением ЭВМ представляется логичным; все то, что не мог-
ло быть решено по причинам чисто вычислительного характера,
стало возможным без глубокой теоретической переработки. Но-
визна идеи была сосредоточена в вычислительных алгоритмах и
процедурах, обеспечивающих получение решения нетривиальных
задач математической физики.
Примером использования метода конечных разностей может
служить моделирование процесса прокатки цилиндрического слит-
ка в гладких валках, выполненное на базе известного алгоритма,
предложенного А.К. Григорьевым [10] и дополненного некоторым
допущением о характере напряженного состояния в боковой
внешней зоне.
В качестве исходных допущений приняты гипотеза двусторон-
них плоских сечений и положение о постоянстве напряжений по
высоте деформируемого слоя. Такие допущения, не учитывающие
22
Рис. 1.1. Схема очага дефор-
мации при прокатке цилиндри-
ческого слитка в гладких валках
неравномерность деформации, с достаточной для инженерных
расчетов точностью позволяют определить интегральные параметры
процесса: вытяжку X, полное давление металла на валки Р, мо-
мент прокатки М. Поскольку речь шла об освоении прокатки круп-
ных цилиндрических слитков на толстый лист, минуя операцию
ковки на сляб, энергосиловые параметры процесса имели практи-
ческое значение.
Очаг деформации рассматривался состоящим из зоны А, в ко-
торой прокатываемый материал находится в соприкосновении с
инструментом, и внеконтактной зоны Б, деформирующейся за счет
течения металла зоны А. Вследствие симметрии сечений исход-
ной заготовки и прокатываемого профиля все геометрические раз-
меры отнесены к 1/4 поперечного сечения (рис. 1.1).
Деформация цилиндрическо-
го слитка осуществляется за не-
сколько проходов. Если Л() и h{ —
начальная и конечная высота за-
готовки в данном пропуске, г0 —
радиус исходного сечения слит-
ка (в первом проходе й0 = г0), то
высота полосы ву-м сечении оча-
га деформации вдоль оси х
hj = R + - ^R2 - х2 .
Здесь R — радиус валка.
Следуя [10], запишем уравне-
ние пластического течения ме-
талла в очаге деформации. В кон-
тактной зоне А к поверхности
раската со стороны валков при-
ложены силы, которые будем
учитывать в виде нормального
и касательного тк контактных
напряжений. Связь между каса-
тельной и нормальной составля-
ющими напряжений для участков скольжения принимаем в виде
закона Кулона—Амонтона, для участков торможения касательные
напряжения принимаются равными пределу текучести при чис-
том сдвиге. Таким образом,
23
т*=цст„ при |цо„| <
при
(1.1)
где ц — коэффициент трения.
При таком задании условий трения нет протяженного участ-
ка, где происходит смена направления касательных напряжений с
переходом через ноль.
Уравнение равновесия на ось х элемента объема с конечными
размерами по высоте и ширине очага деформации bj xhj хЛх 9
выделенными двумя смежными поперечными сечениями j и j— 1,
имеет вид
где F и F. — площади смежных поперечных сечений;
Л/ «V -*
Av = JAvJ + Av2 + Av2 — модуль вектора скорости течения;
— длина контактной площадки, отнесенная к Дх.
Уравнение равновесия элемента hj*bx* Дг на осях у и z для
точки с номерами / и J по осям х и у:
°nij °уу Xij^ij
^yij
(1.3)
9
_ __ , Q zij
~ ° zij + . ХУ$у . . (1.4)
''j
Уравнения (1.2)—(1.4) представляют собой конечно-разностную
форму дифференциальных уравнений равновесия с учетом приня-
тых в постановке задачи допущений. Они описывают состояние,
соответствующее установившемуся процессу прокатки. Это ква-
зистационарная задача, где фактор времени прямо не присутствует.
С учетом принятой гипотезы плоских сечений условие плас-
тичности можно представить в виде
(ах - сту)2 + (сту - стг)2 + (стг - стх)2 = 2ст52 ,
24
2
откуда
(1.5)
Преобразуем выражение (1.5) с учетом уравнений связи на-
пряжений и скоростей деформации:
2 ст. .
-°0 =^~Гех
3 в/
2 а, .
2 ст. .
(1.6)
Вычитая третье равенство из первого, получаем
2 д.
= + ~ . (1-7)
Из равенств (1.5) и (1.7) для жесткопластической среды по-
лучаем
2 ez ~ ^у
°yij=°VJ+^S —— . (1.8)
J к Jij
При заданных геометрии и кинематике процесса прокатки,
физических характеристиках п5 и ц напряжения az и ау могут
быть определены в любой точке очага деформации; напряжения
ах из равенства (1.2) определяются усредненными по сечению.
Эти усредненные по сечению напряжения ах в зоне А, подверга-
ющейся действию валков, и в зоне Б, где материал, получающий
ту же скорость продольного перемещения (в силу гипотезы плос-
ких сечений), растягивается за счет воздействия слоев зоны А, не
могут участвовать в расчете ау и .
Определим ах , усредненное по сечению j в пределах области
А, из следующих соображений. Поскольку металл в зоне Б полу-
чает ту же продольную деформацию, что и в зоне А в том же
поперечном сечении, то, не испытывая иных внешних воздей-
ствий, кроме влияния соседней зоны А, он находится в состоянии
одноосного растяжения вдоль оси прокатки. Напряжение gx^
равно пределу текучести, если продольная деформация в данном
сечении находится за пределами упругой области, или меньше
предела текучести; тогда напряжение в зоне А определяется из
условия плоской деформации (отсутствия вытяжки)
25
= {\?xjFXJ +стЛЙ-
(1.9)
Насколько правомерна гипотеза об одноосном растяжении
внеконтактной зоны Б, будет показано в главе 10.
Для решения системы уравнений (1.2)—(1.4), (1.8), (1.9), опи-
сывающей напряженное состояние в контактной зоне А, должны
быть заданы граничные условия:
ах = 0 при х = 0, х = I
az = 0 при z = bj,
(1.Ю)
где / — длина очага деформации.
Для расчета деформации материала воспользуемся выражени-
ями смещенных вдоль оси координат объемов. При перемещении
секундного объема металла вдоль оси прокатки из положения j в
положение у—1 произойдет смещение определенных объемов в
направлениях осей х, у, z , причем элементарные секундные сме-
щенные объемы составят
dVx = dF*
dVy = dF* Q-
у у dt
dVz = dF* —
1 1 dt
(l.H)
где dF', dF', dF* — элементарные смещающие площадки, пер-
х у Z
dx dy dz
пендикулярные направлению смещения; — мгновен-
ные скорости перемещений.
Секундный объем
Vc=nxFx. (1.12)
Из уравнений (1.11) и (1.12) следует
jtz л?* h dh
dV„ = dF„--------
y y dt h
(1.13)
26
Если бы весь объем, смещенный по высоте, привел к увеличе-
нию длины, то смещенный объем для прокатки без уширения
стал бы равен dVx = -dVy .
Согласно первому равенству из соотношений (1.11),
dV' = dF*N'.
Л «Д- Л
Скорость смещения при прокатке без уширения из условия
постоянства объема
где Fx* — смещающая поверхность, перпендикулярная оси х.
С учетом соотношений, полученных для прокатки без ушире-
ния, равенство (1.13) позволяет записать
♦ F v
vxFxdev = -dF* -х -х *
х х у х f - F
X X
и тем самым выразить относительную деформацию через площадь
сечения до деформации Fx и величину смещающей поверхности
г--
dey = -
dF*
Fx ~ F*
(1.14)
При перемещении рассматриваемого объема металла из поло-
жения у в положение у—1 происходит смещение по высоте объема
dV = v F - -х—
“ г V V Хл X •
Часть металла сместится вдоль оси х (обозначим ее В), часть —
вдоль оси z
dVx = -BdVv.
На основании (1.14) получаем
dF*
dex = -Bdey = B . (1-15)
^х ^х
Переходя к скорости деформации, получаем выражение, свя-
зывающее ее со скоростью перемещения и геометрическими па-
раметрами в очаге деформации:
dF*
Аг
ё =^- = В-----, ¥ (1.16)
х dt F-F
* X X
27
Для вычисления скорости течения в (/—1)-м сечении по изве-
стному в у-м сечении необходимо проинтегрировать выражение
(1.16) при граничном условии: = vXJ- при F*.! = 0.
Получим
(1.17)
Составляющая скорости течения в направлении оси у опреде-
ляется из условия совпадения вектора скорости течения в точках
контакта с валком и касательной к поверхности соприкосновения
Уу y=h Vx • (1.18)
Поперечная составляющая находится из условия несжимае-
мости
vz = Z-ez. (1.19)
Составляющие скорости точек поверхности валков в каждом
положении, характеризуемом угловой координатой а :
wx = -(DjR cos а
wy = -(DjR sin а ►
wz = 0
Здесь © — угловая скорость вращения валка.
Равенства (1.20) могут быть записаны в виде
(0
W_
— = 0
(1.20)
(1.21)
(0
Для определения кинематики процесса прокатки, описывае-
мого уравнениями (1.17)—(1.21), необходимо получить геометри-
ческие соотношения, характеризующие деформацию цилиндри-
ческого слитка в гладких валках (рис. 1.2).
28
Рис. 1.2. Геометрические соотношения в
очаге деформации
Принятая гипотеза плоских сечений требует, чтобы любая
прямая, проведенная в сечении заготовки, в процессе деформа-
ции оставалась параллельной самой себе. Естественно допустить,
что боковая поверхность слитка, описываемая радиусом г0, сохра-
няет при прокатке свои очертания, эквидистантно перемещаясь
вдоль оси Z- Площадь 1/4 части исходного (для любого прохода)
поперечного сечения заготовки при < г0 равна
Ъ = |[(А>
Л*
+ Ьо' - го )А> + arcsin у-1. (1.22)
Площадь любого поперечного сечения вдоль оси прокатки оп-
ределяется из условия постоянства объема по известной скорости
входа полосы в очаг деформации и скорости в заданном сечении:
F =
Xj N
XJ
Площадь боковой внеконтактной зоны в том же сечении
А •
где <pj = arcsin — ;
ro
29
Ширина поверхности контакта в заданном сечении
р _ р
ь =
hJ
Общая ширина полосы в следующем сечении
Величина смещающей поверхности при переходе от у-го к
(/—1)-му сечению
* *
Определив геометрию и кинематику процесса, описав напря-
женное состояние в очаге деформации, необходимо получить урав-
нение, связывающее напряжения и скорости деформации. Из ра-
венств (1.6) после деления первого из них на второе следует
ёу — стх — ог
Перейдем к средним по сечению в пределах зоны А значениям
напряжений. С учетом равенства (1.15), связывающего продольную
и вертикальную скорости деформации, для у-го сечения получаем
ст W + 5 (Я) _ 25 (Я)
Bj 25 (J) -ст (Л) -ст (Л) • О-23)
х/ xj и
Представленная здесь система уравнений предназначена для ре-
шения ее на ЭВМ методом последовательных приближений. В реа-
лизованной на ЭВМ программе очаг деформации в плане разде-
лен по длине на п равных частей, по ширине в сечении выхода из
валков — на 2п частей. Поскольку кинематика процесса описана
с точностью до двух параметров: скорости входа полосы в валки
v0 и совокупности п коэффициентов В — имеем итерационную
систему второго порядка.
При некоторой исходной совокупности коэффициентов В и
скорости v0 для каждого сечения у = и...О последовательно вычис-
ляются усредненное по сечению значение напряжения по
уравнению (1.2) и значения и ог в каждом узле сетки числен-
ного интегрирования по равенствам (1.4) и (1.8). Значения стх в
30
сечении входа и аг на боковой поверхности очага деформации
заданы граничными условиями (1.10).
Величина v0 варьируется с таким расчетом, чтобы на выходе из
очага деформации при j = 0 выполнялось граничное условие aXj = 0.
При фиксированном значении v0, удовлетворяющем условию
на выходе, вновь определяются стх, , ог, в каждом сечении вы-
числяется значение В} (1.23) и изменяется таким образом, чтобы
заданное значение мало отличалось от рассчитанного. Варьирова-
ние параметров v0 и В продолжается до достижения требуемой
точности параметров.
Систематические расчеты по программе, реализующей указан-
ный алгоритм [25], и экспериментальная проверка на лаборатор-
ном стане дуо-220 на заготовках диаметром d0 = 22 мм из стали
марки Ст.З [26] показали, что интегральные характеристики про-
цесса (вытяжка, давление на валки и момент прокатки) при такой
постановке задачи определяются достаточно правильно.
Представленная на рис. 1.3 зависимость вытяжки от обжатия
показывает определенное расхождение измеренных и вычисленных
значений; причем относительная ошибка более значима в области
малых обжатий. Это связано с тем, что, во-первых, деформация при
малых обжатиях сосредоточена лишь в небольшом подконтактном
слое, а математическая модель предполагает равномерную по высоте
деформацию; во-вторых, при малых обжатиях велико влияние пере-
дней внешней зоны, которая в расчете не учитывается. В области
средних и больших обжатий расхождение расчетных и эксперимен-
тальных значений вытяжки соизмеримо с ошибкой измерений.
Рис. 1.3. Зависимость вытяжки от обжатия
при прокатке цилиндрического слитка в
гладких валках радиуса 7?=10г0
31
Изучение очертаний боковой поверхности недокатов на инст-
рументальном микроскопе показало, что при малых обжатиях в
сечениях, близких к плоскости входа металла в валки, контур бо-
ковой поверхности отличается от радиального, но по мере увели-
чения обжатия и по мере продвижения полосы в валках форма
боковой поверхности мало отличается от окружности с радиусом,
равным радиусу исходного сечения слитка. Именно это положе-
ние, являющееся следствием принятых гипотез плоских сечений
и равномерной по высоте деформации, положено в основу описа-
ния геометрии в очаге деформации.
Представленная здесь инженерная постановка задачи характе-
ризует определенный этап работ по математическому моделиро-
ванию, отличительными чертами которого являются:
ориентация математической постановки и компьютерной
программы на узко конкретную задачу, после решения которой
программа теряет свое значение;
использование достаточно простого математического аппарата,
традиционного для теории обработки давлением, но с громоздки-
ми вычислениями;
сохранение допущений, принимаемых при аналитическом ре-
шении задач; и, как следствие,
экспериментальная проверка полученных результатов, свиде-
тельствующая о правомерности принятых допущений.
В данной работе сделаны традиционные допущения, приня-
тые для класса задач, представленных в работах [10, 27—29]. Ос-
новные из них:
граничные условия на входе и выходе, игнорирующие нали-
чие внешних зон;
граничные условия на боковой поверхности в виде нулевых
значений напряжения az вместо отсутствующих нормальных к
поверхности напряжений;
допущение о равномерной по высоте и ширине деформации;
предположение об одноосном напряженном состоянии боко-
вой контактной зоны;
допущение об отсутствии зоны прилипания.
Такой набор допущений, как показывает экспериментальная
проверка, позволяет успешно определять интегральные характе-
ристики процесса, вытяжку, опережение, энергосиловые парамет-
ры. Исследование характера распределения напряжений и дефор-
маций в очаге деформации — задача другого уровня сложности.
32
1.3.2. Прямые методы вариационного исчисления
Задача интегрирования системы дифференциальных уравне-
ний пластического течения может быть заменена равнозначной
задачей нахождения функции, сообщающей наименьшее значе-
ние некоторому интегралу [30]. Этот интеграл выражает энергию
деформации или пропорциональную ей величину. Сформулиро-
ванные подобным образом задачи называются вариационными.
Согласно положенному в основу метода принципу минимума пол-
ной энергии деформации, реальный процесс протекает таким об-
разом, что полная энергия, затрачиваемая на его осуществление,
имеет минимальное значение.
Наибольшее распространение в механике получили вариаци-
онные методы Кастильяно, Лагранжа, Треффтца, Галеркина. В те-
ории обработки металлов давлением в основном применяется ва-
риационный принцип возможных изменений деформированного
состояния. Согласно вариационному принципу Лагранжа, вариа-
ция работы внутренних сил при возможных перемещениях час-
тиц тела равна работе внешних сил на вариациях перемещений.
Для установившегося процесса прокатки возможно применение
теории пластического течения к конечным степеням деформации;
вариационный метод в таком случае можно отнести не к переме-
щениям и работам, а к скоростям перемещений и мощностям
внешних и внутренних сил. В соответствии с принципом Лагран-
жа, истинное поле скоростей в деформируемом теле объемом Vи
поверхностью контакта с инструментом S отличается от любого
другого кинематически возможного поля тем, что в истинном
J TSHdV - J + TSvJrfS = 0. 24.
Здесь Т = Т\Н) выражает кривую упрочнения;
р и т — не варьируемые нормальные и касательное напряже-
ния, действующие со стороны инструмента;
v, и vt — скорости перемещения деформируемого металла на
контактной поверхности;
Н = - ёу)2 + - ёг)2 + (ёг - ёх)2 + (Yxy + Y2Z + Y^)
— интенсивность скоростей деформации сдвига.
Преимущественное использование принципа Лагранжа связа-
но с тем, что для типовых процессов удается хотя бы приближен-
но задать составляющие скорости перемещения ур и vT и закон
33
связи нормальных и касательных сил на поверхности контакта с
инструментом. Если требуется найти распределение напряжений
внутри деформируемого тела и на поверхности контакта с инст-
рументом, то приближенное задание значения vT и граничного
условия трения оказывается слишком грубым. Здесь целесообраз-
нее применить вариационный принцип возможных изменений
напряженного состояния (начало Кастильяно). Уравнение, выра-
жающее принцип Кастильяно, имеет вид
| H5TdV - j (ур8р + vt8t)J5 = 0.
V S
Метод Треффтца состоит в требовании, чтобы взятый по всей
поверхности тела интеграл от квадратичной ошибки при удовлет-
ворении граничных условий имел наименьшее значение.
Ввиду сложности точного решения вариационной задачи на
основе уравнения Эйлера—Лагранжа приходится применять при-
ближенные методы, так называемые прямые методы вариацион-
ного исчисления, смысл которых заключается в построении пос-
ледовательности приближенных решений, дающей в пределе
решение вариационной задачи. Чаще других для построения ми-
нимизирующей последовательности применяется метод Ритца [31].
В соответствии с этим методом искомая функция, соответствую-
щая минимуму интеграла, задается в виде ряда:
п
У = Xai(Pi(x) ,
1=1
где ф,(х) — подходящие функции, удовлетворяющие граничным
условиям и требованиям полноты определения у; а — независи-
мые или варьируемые параметры.
Интеграл (полная мощность системы N) оказывается функци-
ей п независимых параметров я и, в соответствии с теорией фун-
кции многих переменных, вариационное уравнение задачи при-
водится к системе уравнений вида
ЭТУ (ч
— = 0 (/=!...«).
Решение такой системы уравнений приближенное, поскольку
приближенным является задание функции у в виде ряда весьма
ограниченной длины.
Применение метода Ритца не вносит ограничений на коли-
чество варьируемых параметров. Как показано в работе [32] на
34
примере плоской задачи, с увеличением числа членов ряда коор-
динатной функции уменьшается погрешность результата по срав-
нению с точным решением (при принятых допущениях), и более
равномерной становится близость рассчитанной из вариацион-
ных принципов и точной функций.
Предложенный И.Я. Тарновским [8] метод расчета уширения
при прокатке, предполагающий задание кинематически возмож-
ного поля скоростей с точностью до одного варьируемого пара-
метра а = — — постоянного для всего очага деформации, позволя-
ет получить аналитическое решение задачи, но отличается
чрезвычайной громоздкостью. В работе [33] излагается методика
решения задачи о формоизменении простых сортовых профилей
при прокатке, позволяющая построить непрерывное поле скорос-
тей во всем фактическом очаге деформации в зависимости от трех
варьируемых параметров, характеризующих вытяжку полосы, утяжку
полосы по высоте до входа в валки и опережение. Однако результа-
тов решения задачи в такой постановке обнаружить не удалось.
Систематические расчеты формоизменения в вытяжных калибрах,
выполненные В.К. Смирновым [11], основаны на описании кине-
матики процесса с точностью до двух варьируемых параметров (вы-
тяжка и опережение); вместо утяжки по высоте используются раз-
рыв поля скоростей на входе в геометрический очаг деформации и
учет влияния внешней зоны в виде мощности сил среза.
Особенность вариационной задачи при прокатке заключается
в том, что она является задачей с подвижными границами и при
ее решении необходимо задавать не только уравнения, описыва-
ющие поле скоростей, но и уравнение свободной поверхности очага
деформации. Уравнение для вычисления ширины полосы в очаге
деформации в зависимости от ширины начального и конечного
сечения следует задать на основе эксперимента. Заметим, что ма-
тематическая постановка, изложенная в разделе 1.3.1, давала воз-
можность рассчитать ширину в каждом сечении и, следовательно,
форму раската в плане.
Система вариационных уравнений решается методом последо-
вательных приближений; устойчивость сходимости итерационного
процесса зависит от выбора варьируемых параметров и от их ко-
личества. Численная реализация таких задач представляется де-
лом значительной сложности.
При постановке вариационных задач о прокатке степени поли-
номов, выбираемые в соответствии с методом Ритца, не превышают
35
числа граничных условий. В работе [34] предложен способ по-
вышения точности аппроксимации поля скоростей путем за-
дания его с использованием рядов с числом неизвестных коэф-
фициентов, превышающим число известных граничных условий.
Физический смысл этих “лишних” коэффициентов выяснить
невозможно и, следовательно, нельзя задать пределы их изме-
нения. Поэтому вначале необходимо получить опорное реше-
ние — первое приближение — исходя из того количества коэф-
фициентов, которое определяется заданными граничными
условиями. После этого устанавливается область возможных
изменений коэффициентов. Далее методом динамического про-
граммирования или иным путем осуществляется одношаговая
процедура построения траекторий, оптимальных в смысле ва-
риационных методов механики.
Использование предложенной в [34] постановки задачи по-
зволяет отказаться от гипотез плоских сечений и равномерной по
высоте деформации, однако компьютерная реализация этой идеи
весьма проблематична. Результатов, во всяком случае авторы [34],
не приводят.
Исследование неравномерной по высоте деформации в пер-
вом приближении было выполнено на основе математической
постановки, изложенной далее. Изучение неравномерности де-
формации было предпринято с целью установления количествен-
ных оценок, необходимых для разработки оптимальных деформа-
ционных и температурных режимов прокатки, обеспечивающих
получение требуемых свойств листового проката при высокой
производительности стана. Особое значение изучение неравно-
мерности деформации приобретает при внедрении процесса кон-
тролируемой прокатки [35].
Рассмотрим установившийся процесс прокатки заготовки пря-
моугольного сечения х Ьо в валках равного диаметра. Предста-
вим материал в геометрическом очаге деформации состоящим
из т продольных слоев (рис. 1.4). На входе в очаг деформации
, _ Н h0
(х = I) все слои имеют равную толщину n'i,k > гДе м—у —
половина высоты исходной заготовки. Здесь и далее в силу сим-
метрии относительно вертикальной и горизонтальной продольных
плоскостей рассматриваем 1 /4 часть очага деформации.
36
Уравнения линий течения (границ слоев) зададим в виде по-
линома
у = к(Оц + ахх + а2к + а3кх),
где к = 0...W — номера линий течения.
Неизвестные параметры а определим из граничных условий:
1) из условия на входе полосы в геометрический очаг дефор-
мации У x=i
получим
т
к(а§ + а{1 + а2к + a3kl2) = Н — ;
отсюда а2 = -а312.
2) из условия на поверхности контакта металла с валком
х2
у к=т=Н1 + 2R ПОЛУЧИМ
v-2
О О Jv
+ ахх + а2т + а3тх ) = Нх + —
27?
отсюда «о + а2т = — .
т
Граничные условия дают следующие связи:
ml2
--0° «о-
—’ а1 ---
т
9
т
т
37
Граничные условия в плоскости выхода металла из очага де-
Эр
формации — = 0 при х=0 и в горизонтальной плоскости симмет-
Эх
рии у = 0 при к—О удовлетворяются тождественно. Окончатель-
но имеем:
Таким образом, уравнение линий течения описаны с точнос-
(1.25)
тью до одного варьируемого параметра а0.
На основании (1.25) толщина слоя в произвольном сечении
hxk =Ук~ Ук-\ = «о +
(1.26)
После определения геометрии процесса в продольно-верти-
кальной плоскости необходимо далее описать скорость течения.
Будем искать продольную составляющую скорости течения в виде
кубической параболы вдоль длины очага деформации с линей-
ным распределением по высоте (по слоям)
ух = b0+blx + b^x1 +Ьук + Ь4кх + Ь5кх2 + Ь6кх3.
Используя граничные условия, находим часть коэффициентов
полинома:
1) из условия на выходе полосы из геометрического очага де-
формации ух = —v, при х = 0; скорость выхода из геометрического
очага деформации считаем постоянной по высоте, откуда следует:
b0 = -V, ; = 0 ;
2) из условия —- = 0 при х=0 получаем b=b= 0;
Эх
3) из условия на входе металла в геометрический очаг дефор-
мации имеем vx = — v0 при х = /, следовательно b5 = -Ь61.
После подстановки соотношений, обусловленных граничны-
ми условиями, приходим к выражению продольной составляю-
щей скорости течения:
х2
vx = "vi +(V1 -VoJ-^-^^^-x). (1.27)
Зависимость (1.27) установлена с точностью до трех варьируе-
мых параметров: v0, vp b6. Параметры v0 и v, (скорости на входе и
выходе полосы) фактически определяют вытяжку полосы при про-
катке, параметр Ь6 характеризует распределение скоростей течения.
38
Уравнения (1.25) и (1.27) полностью определяют кинематику
процесса. Остальные составляющие скоростей перемещений и
скоростей деформации могут быть получены из этих уравнений.
Вертикальная составляющая скорости течения в каждом слое на-
ходится в соответствии с соотношением
компоненты скоростей деформации — по уравнениям Коши.
Для нахождения компоненты nz необходимо использовать усло-
вие несжимаемости и равномерной по ширине деформации vz = zez.
Ширина полосы в произвольном поперечном сечении для А>го
слоя определяется из условия постоянства объема
д _ N^lk^lk
°хк ~-----1-- •
^хк кек
Таким образом, геометрия и кинематика процесса заданы урав-
нениями, включающими четыре независимые параметра:
скорость входа полосы в геометрический очаг деформации v0;
скорость выхода полосы из геометрического очага деформации;
величину а0, характеризующую неравномерность деформации
по высоте;
величину Ь6, задающую распределение скоростей течения vx
по слоям.
Представленное описание процесса предполагает, что вся де-
формация сосредоточена в геометрическом очаге, распределение
значений толщины и ширины слоев по высоте подчиняется линей-
ному закону. Поскольку не рассматривается деформация в пере-
дней и задней внешних зонах, можно получить сведения о нерав-
номерности деформации прокатанной заготовки и не следует
ожидать согласующейся с экспериментом картины течения в очаге
деформации. Влияние внешних зон следует учесть так же, как это
сделано в [8], т.е. путем введения компоненты мощности сил среза
на границе внешней зоны и геометрического очага деформации.
Мощность сил, действующих в очаге деформации, включает
три компоненты: мощность внутренних сил, мощность сил, дей-
ствующих на контактной поверхности, и мощность сил среза на
входе в геометрический очаг деформации. При использовании
модели жесткопластической среды и условия пластичности в форме
Мизеса мощность внутренних сил определится выражением
NRH = Г
ВП | О I J
V
39
мощность сил трения на контактной поверхности $к
Nx = j WsbvdSk
st
мощность сил среза на площадке входа в очаг So
^ср — J W у |x=l .
Sb
Решение задачи достигается минимизацией мощности сил,
действующих в очаге деформации, по четырем независимым па-
раметрам: v0,vb^,Zfc.
Попытка численного решения задачи в приведенной поста-
новке дает в лучшем случае некоторые оценочные характеристи-
ки, аналогичные тем, что приведены в разделе 1.3.1. Действитель-
но, рассматривая прокатываемую полосу как набор совместно
деформируемых слоев и пренебрегая неравномерностью дефор-
мации по ширине полосы, не учитывая формоизменение за гра-
ницей геометрического очага деформации, можно рассчитывать
лишь на получение интегральных значений вытяжки, обжатия,
уширения, усредненных по ширине полосы.
Правомерность принятых в постановке задачи упрощений
может быть оценена только путем сопоставления результатов рас-
чета и эксперимента. Следует отметить, что надежность экспери-
ментальных методов и корректность имеющихся в литературе дан-
ных носят далеко не бесспорный характер.
Авторы [36] провели исследования нарастающей объемной де-
формации с целью моделирования прокатки крупных слитков на
блюминге. Свинцовые образцы сечением 60x60 мм с запаянной
координатной сеткой прокатывались в валках диаметром 100 мм.
Измерялись деформации по высоте , ширине Рх и длине .
На рис. 1.5 приведены результаты расчета характеристик де-
формации по высоте полосы после прокатки со средним обжатием
13,3 %. Расчетные прямые представляют собой зависимость сред-
ней по ширине деформации от положения слоя по высоте (в рас-
чете рассматривалось количество слоев к = 20). Эксперименталь-
ные точки относятся к различным положениям по ширине
прокатанного сечения и совпадают с 1, 10, 14, 16 и 18-м расчет-
ными слоями; причем для 1-го и 16-го расчетных слоев экспери-
ментальные значения имеются как для серединной плоскости, так
и для 2—3-х положений по ширине, для остальных сечений —
только в серединной плоскости.
40
Рис. 1.5. Характеристики обжатия
и уширения 1g Рх по высоте се-
чения прокатанной полосы: * — экспери-
ментальные значения в вертикальной
плоскости симметрии; о — эксперимен-
тальные значения в различных по шири-
не сечения точках
Для 1-го и 16-го слоев, где имеется несколько эксперимен-
тальных точек, совпадение расчетных и экспериментальных дан-
ных можно считать удовлетворительным. Экспериментальные зна-
чения для 10, 14 и 18-го слоев относятся к центральной по ширине
плоскости, т.е. дают нижнюю границу значений обжатия и уши-
рения для заданного слоя. Как показывает эксперимент и как сле-
дует из теоретического анализа напряженно-деформированного
состояния при прокатке, неравномерность деформации увеличи-
вается от середины по ширине слоя к его краю.
Если проанализировать характер нарастания параметров
и по длине очага деформации, то отличия экспериментальных
41
и расчетных данных окажутся существенными. На рис. 1.6 пред-
ставлены графики нарастания коэффициентов деформации по
длине очага для 16-го слоя, близкого к контактной поверхности.
Различия экспериментальной и расчетной зависимостей макси-
мальны при входе металла в геометрический очаг деформации;
расчетные кривые начинаются с нулевого значения; эксперимент
показывает наличие деформации в передней внешней зоне. Вли-
яние задней внешней зоны, как показывает сравнение, несуще-
ственно и не превышает ошибки эксперимента.
Рис. 1.6. Кривые нарастающих коэффициентов де-
формации по длине очага деформации для 16-го слоя
Следует отметить, что для практических целей необходимы све-
дения общего характера: вытяжка, уширение, величина неравно-
мерности деформации в прокатанной полосе. Сведения о характере
42
изменения вытяжки или уширения по длине очага деформации
могут быть интересны с исследовательской точки зрения. Оче-
видно, усложнение постановки задачи, введение большего числа
независимых параметров позволит учесть неравномерность дефор-
маций по ширине слоя, обеспечит возможность построения не-
линейной по высоте эпюры скоростей течения. Однако неизбеж-
ным следствием подобного усложнения задачи должны быть
увеличение затрат машинного времени ЭВМ и неустойчивая схо-
димость итерационного процесса по большому числу независи-
мых переменных. Вероятно, областью разумного применения пря-
мых вариационных методов следует считать получение оценочных,
интегральных характеристик процессов при условии их сравни-
тельной простоты, позволяющей априори качественно верно за-
дать характер течения и формоизменения.
1.3.3. Метод конечных элементов
Метод конечных элементов является одним из вариационных
и часто трактуется как метод Ритца. Среди главных достоинств
следует отметить его универсальность по отношению к физичес-
кой природе решаемых задач. Это позволяет решать с единых по-
зиций весь класс задач механики сплошных сред, от технологи-
ческих до конструкторских, прослеживая изменение состояния
во времени. Безусловное преимущество метода конечных элемен-
тов — простота аппроксимации геометрии тела, как его наружно-
го контура, так и внутренних очертаний, без использования поня-
тия многосвязной области.
Применение метода Ритца в его обычной форме связано с пост-
роением координатных функций, удовлетворяющих условию непре-
рывности для всей области. В основу МКЭ положены те же идеи,
что и в методе Ритца, с той разницей, что координатные функции
выбираются локально в пределах малых конечных элементов. Внут-
ри конечного элемента координатные функции совпадают с функ-
циями формы, за его пределами они тождественно равны нулю.
Первое сообщение о методе конечных элементов появилось
в 1954 г. [37] . Развитый в работах штутгартской школы профес-
сора Аргириса, этот метод в последующие годы получил широ-
кое признание в практике инженерных расчетов. В течение 15—
20 лет на базе МКЭ было создано несколько мощных программ
расчета сложных континуальных систем: ASKA, NASTRAN, SAP,
SESAM-69 [38, 39]. Эти программы, которые можно назвать рас-
четными системами, объединяют конечные элементы различных
43
типов и ориентированы на мощные ЭВМ с развитыми периферий-
ными устройствами типа IBM-360, UNIVAC-1108. Они в высшей
степени унифицированы, т.е. не имеют преимущественной ори-
ентации на решение каких-либо конкретных задач, что затрудня-
ло их использование при анализе сравнительно небольших спе-
цифических проблем.
Внедрение персональных вычислительных машин стимулиро-
вало разработку программ, доступных широкому кругу пользова-
телей. Современная система ANSYS существует в вариантах, ори-
ентированных на крупные рабочие станции и на персональную
технику. Широко развиваются проблемно-ориентированные сис-
темы, реализующие МКЭ, в частности, для решения задач обра-
ботки давлением (FORGE, FORM-2D).
В нашей стране первые работы, связанные с использованием
метода конечных элементов, относились к областям гидротехники,
авиастроению, судостроению [40—42], к выполнению прочностных
расчетов на базе теории упругости. Это класс хорошо формализо-
ванных задач, где действующие нагрузки укладываются в формаль-
ные представления о граничных условиях 1-го и 2-го рода (в пере-
мещениях и в напряжениях). Решение физически нелинейных задач
относится к числу более сложных проблем в смысле как программ-
ной реализации, так и высокой сложности предметного характера.
Математическую постановку задач теории упругости, тепло-
проводности, течения жидкости, колебаний оболочек можно най-
ти в литературе по методу конечных элементов [43—51]. Цель ма-
тематической конечно-элементной постановки задачи — осуществить
переход от дифференциальных уравнений к системе линейных ал-
гебраических уравнений ленточного типа с диагонально симметрич-
ной матрицей. Для большинства дифференциальных уравнений,
описывающих процессы переноса, конечно-элементная постанов-
ка задач выполнена и представлена в монографиях и справочни-
ках. Наиболее серьезные проблемы возникают с математической
постановкой задачи пластического течения. Общий вид матрицы
жесткости в задаче пластического течения аналогичен приведенно-
му О. Зенкевичем [43] для решения уравнений Навье—Стокса.
Г.Я. Гун [52] в задаче пластического течения сохраняет математи-
ческую запись Зенкевича, принимая д ля аппроксимации поля скоро-
стей функцию формы на порядок выше, чем для аппроксимации гид-
ростатического напряжения, причем дается обоснование
необходимости введения аппроксимации разных порядков. X. Кудо и
К. Осакада [3] придерживаются точки зрения, что в зависимости от
степени свободы деформации следует смягчать условие несжимаемости.
44
Проблеме решения задачи теории упруговязкопластического
течения посвящена глава 8.
Продольная прокатка — один из наиболее сложных процес-
сов для анализа средствами математического моделирования. Ма-
тематический аппарат теории пластичности и пластического те-
чения диктует необходимость задания начальных и граничных
условий, как в любой задаче математической физики. Для процес-
са прокатки граничные условия далеко не очевидны. Как было
показано в разделе 1.3.2, решение задачи формоизменения при про-
катке требует допущений кинематического характера, и с учетом
сделанных допущений определяются, в частности, граничные ус-
ловия: контактные напряжения, скорости перемещений относительно
инструмента, опережение, отставание. И допущения, и способы ре-
шения в этом случае носят узко ориентированный характер и не
могут быть использованы для анализа какого-либо процесса, кро-
ме исследуемого (продольной прокатки).
В этом нетрудно убедиться, анализируя исходные положения
и инженерную постановку трехмерных задач о прокатке толстого
листа [53, 54]; в зависимости от целей исследования и от понима-
ния автором существа процесса решения базируются на разных
моделях среды, разных граничных условиях, разных способах про-
слеживания процесса во времени, разных аппроксимациях в пре-
делах возможностей программного обеспечения. Поэтому резуль-
таты математического моделирования одного и того же процесса,
выполненные разными авторами, различаются точно так же, как
и результаты экспериментальных исследований.
В рамках метода конечных элементов никаких кинематичес-
ких допущений, обусловленных причинами вычислительного ха-
рактера, не предусматривается (если к разряду кинематических
допущений не относить модели осесимметричной и плоской де-
формации). Можно задать граничные условия либо в напряжени-
ях, либо в перемещениях (скоростях перемещений). Постановка
задачи, выбор граничных условий зависят от точки зрения иссле-
дователя.
Нами предложен способ решения задачи о прокатке, предус-
матривающий задание граничных условий в перемещениях в нейт-
ральной точке (где скорость полосы и валков одинакова), условий
связи компонент скоростей перемещений на контактной поверх-
ности из предположения о движении точки по контактной повер-
хности и условий контактного трения: ти = ца„ < . В нейтраль-
ной точке сила трения считается равной нулю. Поиск нейтральной
45
точки осуществляется по условию отсутствия в ней продольной
составляющей узловой силы (внешние силы, действующие со сто-
роны валка, должны быть в ней уравновешены, в противном слу-
чае точка должна двигаться относительно валка в направлении силы).
Следует отметить, что крайние случаи прокатки: прокатка в
условиях длинных и очень коротких очагов деформации — доста-
точно просты для исследования. Сопоставление результатов рас-
чета контактных напряжений для длинных очагов деформации,
полученных методом конечных элементов и по формулам А.И. Це-
ликова, показывает их полную идентичность. Это связано с пра-
вомерностью гипотезы плоских сечений, принятой в расчетах
Целикова. Относительно просто решаются задачи для условий
очень коротких очагов деформации [55—57], где контактные усло-
вия можно задать в перемещениях в предположении о полном
прилипании.
Наиболее показательны возможности системы для анализа про-
цессов прокатки в промежуточных случаях, когда очаг деформации
имеет соотношение Q,3<l/h< 1; здесь гипотеза плоских сечений не-
приемлема и, следовательно, невозможно аналитическое решение;
в то же время на поверхности контакта развито скольжение, поэто-
му нельзя задать граничные условия в перемещениях.
В разделе 1.3.2 был показан вариационный подход к исследова-
нию неравномерности деформаций для таких очагов деформации.
Различие расчетных и экспериментальных данных в основном было
обусловлено предположением о том, что деформации происходят в
геометрическом очаге, а влияние внешней зоны учитывается лишь
в энергетическом плане. Поскольку метод конечных элементов не
предусматривает задания кинематически возможного поля скорос-
тей, результаты исследования неравномерности деформации долж-
ны отражать реальный характер процесса.
На рис. 1.7 представлены поля скоростей течения при прокат-
ке полосы высотой йь =60 мм с обжатием е = 13,3 % в валках
равного диаметра Ло=100 мм, что соответствует условиям экспе-
римента с координатной сеткой [36]. Гипотеза плоских сечений
здесь неприемлема, более того, центральные слои полосы получа-
ют значительную деформацию за плоскостью выхода металла из
геометрического очага. Высокая неравномерность деформации
обусловливает неравномерность напряжений по высоте прокаты-
ваемой полосы; в серединной части полосы создается область вре-
менных растягивающих напряжений (рис. 1.8).
46
их, мм/с
0.700
0.7S7
[ at: 717^
«.•»7Х‘
j 0.
! 1
е t-ixx?
uv, мм/с
’0.31*
-0,107
-О.7Т1
рО, £!£*
h<J,XM
0> ИЗ?
-Ч3.0»!
ha,«*fe«!
-о, smj
«.ом
! 0,0П11
Рис. 1.7. Распределение компонент скорос-
тей течения в очаге деформации при прокатке
полосы Ло=6О мм в валках D= 100 мм с обжати-
ем е = 13,3 %
Как показано на рис. 1.9, при входе в очаг деформации преиму-
щественное обжатие получают контактные слои; к середине геомет-
рического очага деформации обжатие контактных слоев достигает
максимума. Чем дальше слой от контактной поверхности, тем мед-
леннее нарастает деформация, и максимум высотной деформации
смещается к плоскости выхода из валков и за пределы геометричес-
кого очага.
При очень высоких и очень коротких очагах деформации макси-
мальную деформацию получают не контактные слои, прилипающие
к поверхности валков, а подконтактные. Измерение деформаций по
координатной сетке может дать представление о практически рав-
номерной по высоте деформации в готовом прокате. Однако прора-
ботанность слоев по высоте (накопленная интенсивность пласти-
ческих деформаций) различна. Это связано с неравномерным
распределением скоростей течения по вертикальным сечениям по-
лосы и с развитием сдвиговых деформаций (рис. 1.10).
47
f“-
-ЯЛЛ
i-73
4, ОП
*.25
в.ЗП
W> 73
J3 . on
Рис 1,8 Распределение компонент напряжений в
очаге деформации при прокатке полосы Ло=6О мм
в валках £>о=1ОО мм с обжатием е = 13,3 %
Рис 19 Кривые нарастающих логарифми-
ческих деформаций по длине очага деформа-
ции для серединного (h/hQ = 0), контактного
(h/hQ= 1) и промежуточного (h/hQ = 3/4) слоев
48
Р О Р р р и I
деформаций при прокатке полосы Ло=6О мм в валках
Z)o=lOO мм с обжатием е = 13,3 %
Рис 111 Распределение деформаций по
высоте прокатанной полосы
сплошная линия — расчет, МКЭ, пунк-
тирная линия — расчет, согласно разд 13 2,
*— экспериментальные данные [36]
Показанное на рис 111 распределение деформаций по высо-
те сечения прокатанной полосы дает качественно объяснимые за-
висимости, полученные решением задачи теории пластического
течения методом конечных элементов и методом Ритца (разд 13 2)
Исследование методом конечных элементов демонстрирует ин-
тенсивное нарастание деформации от центральных слоев полосы
49
к контактным. При решении задачи методом Ритца линейная за-
висимость деформации по высоте была задана кинематически воз-
можным полем скоростей. Экспериментальные данные [36] не об-
наруживают однозначной зависимости.
Несмотря на очень грубые кинематические допущения в ва-
риационной постановке задачи о неравномерной деформации при
прокатке (разд. 1.3.2), окончательное распределение деформаций
(см. рис. 1.11), достаточно правильно отражает истинное, если ис-
тинным считать результат, полученный методом конечных эле-
ментов. Это еще раз подтверждает тот факт, что вариационная
постановка задач обработки давлением интегральные характерис-
тики определяет правильно.
Этот факт обусловлен вариационной постановкой задачи, вы-
бором варьируемых параметров. В задаче, решенной методом ко-
нечных элементов, варьируемыми параметрами являлись скорос-
ти течения и гидростатическое напряжение в каждом узле сетки
конечных элементов, т.е. минимизация функционала проводилась
примерно по тысяче варьируемых параметров. В задаче, показан-
ной в разделе 1.3.2, поле скоростей описано с точностью до четы-
рех независимых параметров.
Рис. 1.12. Кривые нарастающих логарифмических
деформаций по длине очага деформации для слоя
А//Ц) = 0,8 : сплошная линия — расчет МКЭ;
пунктирная линия — расчет, согласно разд. 1.3.2;
о — экспериментальные данные [36]
Метод конечных элементов позволяет изучать тонкости и де-
тали процесса. Как было показано на рис. 1.6, расчетная кривая
50
нарастающих логарифмических деформаций по длине очага дефор-
мации обнаруживала совпадение с экспериментом только на выходе
из геометрического очага деформации. Представленная на рис. 1.12
аналогичная кривая результатов расчета методом конечных элемен-
тов гораздо лучше соответствует результатам эксперимента. Имею-
щиеся различия результатов расчета МКЭ и эксперимента можно
объяснить некоторой искусственностью эксперимента, которая при
анализе МКЭ легко обнаруживается. Как указывают авторы [36],
экспериментальные исследования проводились на свинцовых образ-
цах. При попытке смоделировать на ЭВМ этот эксперимент для свин-
ца были заданы предел текучести = 14 МПа, модуль упругости
Е— 18000 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,45, коэффициент тре-
ния ц. = 0,15. Решения получить не удалось, поскольку тангенс угла
захвата tga = ——У— = 0,43, что исключает возможность захвата, а
£)0 -Ай
в расчете — достижения условия равновесия сил в направлении про-
катки. Расчет пришлось выполнить при коэффициенте трения
ц = 0,5, что, вероятно, не соответствовало условиям эксперимента.
1.3.4. Метод граничных элементов
Метод граничных элементов, который развивался параллельно с
методом конечных элементов, также универсален по отношению к
физической природе решаемых задач. Безусловным его преимуще-
ством по сравнению с МКЭ является снижение размерности матри-
цы решаемой системы. Это связано с тем, что континуальное тело
аппроксимируется не сеткой конечных элементов, а граничными
элементами. Решение внутри области достигается использованием
так называемых фундаментальных решений — суммированием ре-
зультатов воздействия единичных источников в точке наблюдения;
фундаментальные решения — это строгие аналитические решения
задач той или иной предметной области.
В настоящее время достаточно хорошо развиты решения задач
теории теплопроводности и теории упругости [58—61]. Основным
ограничением МГЭ является его принципиальная ориентация на
области с постоянными физическими свойствами, что делает прак-
тически нецелесообразным его применение для решения физически
нелинейных задач, для анализа процессов в многослойных и анизот-
ропных материалах.
Метод граничных элементов появился в результате дальнейше-
го теоретического развития широкого класса численных методов,
объединенных общим названием “теория конечных элементов”.
51
Он базируется на понятии фундаментального решения краевой за-
дачи, которое соответствует функции источника, заданной в виде
дельта-функции Дирака. В этом случае конечные элементы исполь-
зуются для аппроксимации границы области, а аппарат классичес-
ких интегральных уравнений применяется для внутренней части
области.
Методы интегральных уравнений до недавнего времени рассмат-
ривались как некий тип аналитического метода, не связанный не-
посредственно с приближенными методами. Метод интегральных
уравнений использовался главным образом в механике жидкости и в
задачах общей теории потенциала и известен как метод источника,
который относится к непрямым методам исследования, т.е. неизве-
стные в этих задачах не являются физическими переменными. По-
этому эти методы не были популярны среди инженеров.
С “прямым” методом исследования связано приложение интег-
ральных уравнений к решению задач о напряженно-деформирован-
ном состоянии. Метод оказался удобным для решения двумерных и
трехмерных задач теории упругости, гидродинамики невязкой жид-
кости, а также для исследования динамических явлений в сплошных
средах. Метод эффективен для расчета развития трещин в телах слож-
ной формы, находящихся под действием распределенных нагрузок.
В стадии развития находятся проблемы, возникающие при решении
нелинейных и нестационарных задач упругопластической и вязко-
пластической деформации материалов.
Сейчас трудно говорить о перспективах использования метода
граничных элементов при решении технологических задач обработ-
ки давлением или сварки. Это связано с тем, что фундаментальные
решения предполагают постоянство физических свойств внутри об-
ласти. Поэтому наиболее четко изложены подходы к решению задач
теории потенциала, теории упругости, теплопроводности [58—60].
В работе [61] есть главы, посвященные решению задач теории
пластичности и вязкопластичности, приводятся результаты реше-
ния задачи о вдавливании абсолютно жесткого штампа в полуплос-
кость — линейно разупрочняющийся материал, дается сравнение с
результатами, полученными методом конечных элементов. Поскольку
в таком случае появляются области упругого и пластического состо-
яний материала, о постоянстве механических свойств внутри облас-
ти говорить не приходится. Это вынуждает рассматривать не только
граничные элементы, но вводить внутренние ячейки, очертания
которых совпадают с конечными элементами, и тогда нельзя од-
нозначно судить о преимуществах использования МГЭ по срав-
нению с МКЭ.
52
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
При описании физических явлений вводится некоторая сис-
тема координат. Это позволяет представить рассматриваемые фи-
зические объекты в виде чисел, а физические законы свести к
равенствам, связывающим эти числа или системы чисел.
Совокупность л линейно независимых векторов ё1( ё2, ё3 «-мер-
ного пространства R называется базисом в R. Например, базис
образуют три любые вектора, не лежащие в одной плоскости. Каж-
дый вектор х из «-мерного пространства R можно представить
как линейную комбинацию векторов базиса, притом единствен-
ным образом. Если е2, ё3 и ё®, ё°, ё3° — два базиса «-мерного
пространства, то каждый вектор второго базиса ё® выражается
через векторы первого базиса формулами
е,0 =«цё1 + а21ё2+... + ап1ёп
б® = + «22^2 + ••• + Лл2*71
~ ^2л^2 + • • • + ^пп^п .
Переход от первого базиса ко второму задается матрицей
Л - ау ,
определитель которой отличен от нуля.
Координаты вектора х в первом базисе выражаются через
координаты того же вектора х во втором базисе с помощью мат-
рицы Ат , транспонированной к А.
Основная задача тензорного анализа — изучить влияние вы-
бора координат на представление физических объектов, выделить
так называемые инварианты — величины, сохраняющие неизмен-
ные значения при переходе к новым координатам. Если скаляр-
ные величины (температура, плотность, масса) в любой системе
координат представляются одним и тем же числом, то векторные
величины (сила, скорость, перемещение) представляются тремя
числами — координатами вектора, изменяющимися при переходе
к новому базису. Более сложным объектом, определяемым в каж-
дом базисе своей системой чисел, является тензор (напряжения,
Деформации, скорости деформации). Понятие “тензор” включает
в себя как частные случаи скаляр (тензор нулевого ранга), вектор
(тензор первого ранга). Ранг (валентность) тензора соответствует
числу подстрочных индексов для описания объекта.
53
2.1. Ивдексные обозначения
Теорию пластичности на современном научном уровне при-
нято излагать с использованием тензорного исчисления и теории
тензорного поля. При записи формул обычно используется ин-
дексная запись и правило суммирования А. Эйнштейна. Все это
делает рассуждения и выкладки очень компактными; при этом не
теряется физический смысл описываемого объекта или явления.
Любой вектор а задается его проекциями на оси декартовой
системы координат: ах, а , аг . Подстрочный индекс проекции
вектора поочередно принимает значения х, у, z- Значит, вектор а
можно представить его проекциями а,, где / = х, у, z
Индекс i называется свободным индексом; подразумевается,
что он поочередно обязательно принимает значения х, у, z, а вы-
ражение а, означает тройку величин ах, а , аг. Для обозначения
свободных индексов используются буквы i, J, к и т.д.
В системе индексных обозначений для координат вместо обо-
значений х, у, z обычно используются обозначения хь х2, х3 или
просто X/. В этой системе компоненты перемещений обознача-
ются i/j, и2, и3 или более коротко: и,-, считается, что индекс i мо-
жет принимать значения 1, 2, 3.
Подстрочных свободных индексов у величин может быть не-
сколько. Если встретились два свободных индекса, это значит,
что имеет место набор из девяти величин (каждый индекс прини-
мает три значения). Например, записи гк соответствует набор
величин, который может быть представлен в виде матрицы
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
Первый индекс матрицы а# по строкам фиксирован и обозна-
чает номер строки, а второй — номер столбца.
Для трех свободных индексов () число компонент будет 27
и т.д. Величина g.. > определяемая равенствами
[1 при / = J
8ц = •!
J [0 при I * J,
называется симметричным символом Кронеккера; она образует
квадратную единичную матрицу
54
симметричную относительно главной диагонали. Симметричный
символ Кронеккера соответствует скалярному произведению еди-
ничных взаимно ортогональных векторов ex,ey,ez, т.е. скаляр-
ные произведения единичных векторов могут быть записаны в
виде efij = by .
В векторном и тензорном исчислениях встречаются характер-
ные суммы. Например,
Z
а ~ ах^х + ау$у ~ У ai^i ’
/=х
Z
ab=axbx+ ayby + azbz = £ а,Ь,.
i=x
z
В подобных характерных суммах знак X условились опус-
1=Х
кать и ввели соглашение о суммировании: если подстрочные ин-
дексы I, j и т.д. встречаются дважды, то это означает сумму трех
слагаемых, индексы каждого из которых фиксированы и равны
соответственно х, у, z (1, 2, 3). Повторяющиеся индексы, по кото-
рым производится суммирование, называются немыми. Приве-
денные выше выражения могут быть записаны так:
а = ,
a b = ajbj.
з
Сумму трех компонент деформаций б] । + е22 + Е33 = У, мож-
/=1
но записать кратко: е„-. На необходимость суммирования указы-
вает повторяющийся индекс. Использование индекса j или любо-
го другого буквенного индекса, который можно ввести вместо i,
не меняет смысла выражения.
2.2. Действия над тензорами
Суммой двух тензоров (обязательно одного ранга) называют тре-
тий тензор, составляющие которого подсчитываются по формуле
и и "у •
55
Произведением тензора с составляющими а- на число X на-
зывают тензор, составляющие которого находятся по формуле
(2.2)
Произведением двух тензоров с составляющими a-у и Ьк (про-
изведение тензора на вектор) называют тензор, составляющие
которого подсчитываются по формуле
Сук ~ ®ijbk' (2-3)
При умножении тензоров их ранг складывается (умножение
тензоров второго и первого порядков дает тензор третьего ранга).
При умножении тензоров каждая компонента одного тензора со-
множителя перемножается со всеми компонентами другого тен-
зора сомножителя:
Cykl ~ ^y^kl'
Скалярное произведение тензора на тензор дает тензор, ком-
поненты которого вычисляются по правилу умножения матриц:
Cik ~ aij^jk •
Левым произведением вектора b на тензор ТА называется век-
тор с =ЬТА, компоненты которого получены по правилу умно-
жения матрицы-строки вектора b на матрицу ТА:
«п
{с1с2сз} = ММ «21
«31
где с,- = bjOji.
Произведением вектора b справа на тензор ТА является век-
тор с , компоненты которого образованы по правилу умножения
матрицы А на матрицу-столбец вектора b :
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
(2.4)
где с, = а,:Ь -.
56
2.3. Симметричный и кососимметричный тензоры
можно представить, и
том единственным образом, в виде суммы двух тензоров —
метричного Тв и кососимметричного Тс:
тА=тв+тс.
Это разложение сводится к разложению матрицы А на
метричную и кососимметричную матрицы.
Для симметричного тензора Тв, компоненты которого нахо-
Произвольный тензор ТА = ад
при-
сим-
сим-
дятся по формуле Ьд = - (ад + а^),
выполняется условие симмет-
рии относительно главной диагонали by =Ъ^. Компоненты косо-
_ 1 , ч
су 2 aJ‘)
удовлетворяют
симметричного тензора
Операция построения нового тензора, симметричного по за-
данной группе индексов, называется симметрированием.
Операция построения знакопеременного тензора называется
альтернированием.
2.4. Главные направления и собственные значения
Если в результате умножения вектора b на тензор ТА
(с =ТА Ь) направление вектора Ь не меняется, а изменяется лишь
его величина, то это направление называется главным направле-
нием тензора ТА, т.е.
ТА-Ь=\Ъ. (2.5)
Вещественное число А называется собственным значением
тензора ТА.
57
Развернем формулу (2.5):
fll А + °12^2 + а13^3 ~
• О2Д + O22Z>2 + а23^3 = ^2
«3 Д + fl3262 + a33b3 = Щ
или кратко: а^Ь, = ХЬ;.
Перенесем XZ>, в левую часть:
(О| 1 X)/jj Ч- Oj2/?2 °1зД — О
' а2 Д + (°22 “ + «2зД = 0
.аз Д + °згД + (^зз -А.)Д =0
(2.6)
или в сокращенном виде: (аи - Х5.. )Ь = 0.
V V J
Поскольку вектор Ь * 0, т.е. система имеет ненулевое реше-
ние, определитель этой системы равен нулю:
011 - А. 012 °13
°21 а22 а23
а31
а32 а33 ~
Каждой матрице А = (а^) можно поставить в соответствие ха-
рактеристическую матрицу А - ХЕ - (atj - Х8у}.
Определитель характеристической матрицы называется ха-
рактеристическим многочленом. Корни характеристического
многочлена называются собственными значениями матрицы А,
а уравнение | А - Х£| = 0 — ее характеристическим уравнением.
Раскрывая определитель в этом уравнении, получаем уравне-
ние 3-го порядка вида
Л3-о/Х2+ояЛ-о"/=0, (2-7)
где
а1 = Оц + о22 + о33 (2.8)
— сумма диагональных элементов матрицы А, называемая сле-
дом матрицы;
58
а11
«11
«21
«12
«22
«22
«32
«23
«33
«зз
«13
«31 .
«и
(2.9)
а111
аУ
«11
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
(2.10)
Характеристический многочлен независим от преобразования
координат.
2.5. Инварианты тензора
Вычислив корни 11, 12,13 уравнения (2.7) или три собствен-
ных значения, можно для каждого из них определить собствен-
ные векторы. Для этого достаточно поочередно подставить 1,-
вместо значений 1 в систему уравнений (2.6) и решить их. Урав-
нения (2.6) можно дополнить условием, что длина собственного
вектора равна единице, т.е.
Собственные значения тензора и его главные направления не
зависят от преобразования координат. Из инвариантности харак-
теристического многочлена следует инвариантность его коэффи-
циентов а1, а11, а1И , которые называются инвариантами тензора
второго ранга:
а
— линеиныи инвариант;
«22
«32
ратичный инвариант;
«11 «12
«21 «22
«23
«33
«33
о)3
«31
«11
квад-
а111
«11
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
= «1«2«3
(2.12)
а
— кубический инвариант.
Здесь
А ~
о
0
0
«1
О
о
«2
О а3
— тензор диагонального вида;
59
a, — главные компоненты тензора (собственные значения).
Рассмотрим пример, когда все три корня характеристического
уравнения действительны и различны, и покажем, как поворотом
системы координат достигается переход к диагональному виду
тензора ТА.
Пусть
1 2 3
2 1 3
3 3 6
Инварианты тензора в соответствии с (2.12):
линейный а1 = 1 +1 + 6 = 8;
квадратичный а11 = -3 - 3 - 3 = -9;
кубический а,п = 6 + 18 +18 - 9 - 24 - 9 = 0.
Согласно (2.7), характеристическое уравнение имеет вид
Л3 - 8А2 — 9А = 0. Корни этого уравнения (собственные значения
тензора)
X, =0; Л2 = -1; Л3 = 9.
Пусть вектор b , длина которого равна 1, определяет главное
направление, соответствующее собственному значению = 0.
Подставляя Aq в (2.6) и присоединяя условие нормирования вектора
b (2.11), получаем систему
+ 2/>2 + ЗЬ2 — 0
• 26[ + 62 + З63 = 0
+ Ь22 + Ь2 =1
Решение этой системы дает
b, =b.=±J-. К =+4=
>/3’ 7з’
Повторив ту же операцию для второго корня Л2 = -1, полу-
чим
26| + 262 + ЗЬу — 0
ЗЬ{ +ЗЬ2+7Ь3 = 0
6,2 + b2 + Ь2 = 1
60
Решение этой системы дает
^=-62=±-i; b3 =0.
V2
Аналогично для третьего корня Х3 = 9 получаем
—+ 2Z>2 + — 0
2^-862+3^3 =0
fy2 + Ь2 + Ь2 =1
Решение этой системы дает
by = by = ±-U • b, = ±-^=
V6’ V6’
Ориентация новой координатной системы относительно ис-
ходной дается таблицей направляющих косинусов а/7
В новой системе координат
Cl = Cl -Cl -CL- '
тп mi nj ij ,
(2.13)
о
о
о
о
-1
о
о
о
9
2.6. Шаровой тензор и девиатор
Произвольный тензор ТА =
можно представить, и притом
единственным образом, в виде суммы двух тензоров — шарового
и девиатора:
та = + ОА
61
Здесь
_ aii _ а\\ +g22 +fl33
(2.14)
Тензор
fln - «о
°21
fl31
fl12
fl22 ~a0
fl32
fl13
fl23
fl33 _flb
(2.15)
сумма диагональных компонент которого равна нулю, называется
девиатором.
Формула (2.14) дает разложение произвольного тензора ТА на
сумму шарового тензора
<hE =
О
«о
О
О
О
«о
(2.16)
°0
О
О
и девиатора (2.15).
2.7. Инварианты девиатора
Тензору ТА = ау соответствует девиатор
ЕА ~ ~ «у ~
Сумма диагональных элементов девиатора равна нулю, и его
характеристическое уравнение имеет вид
^+Ь"Х-ЬШ =0
при
Ьп =
1 Г/ \2
— (ап - а22)
^22 ^32 ^33 ^3 2
(°22 “ а33 ) + (а33 ~ а11) + б(<?122 + <*13 + °312
Из равенства ТА = OqE + DA следует, что главные оси тензора
и его девиатора совпадают.
62
2.8. Дифференцирование тензорного поля
В области V задано тензорное поле, т.е. каждой точке этой
области поставлен в соответствие тензор одного и того же ранга.
Тензор и его составляющие являются функциями координат точ-
ки Л/из V(MeV):
ay = ay (M) = ab (х, у, z).
Дифференцирование тензора сводится к дифференцированию
его составляющих (компонент).
В тензорном исчислении частные производные по координа-
там принято обозначать подстрочной запятой с индексом: ау к.
и
V . и .
Двадцать семь значений д„;
и *1*
определяют поле
тензора третьего ранга, который называется тензором абсолют-
ной производной поля аи = ац (М).
Абсолютная производная скалярного поля ср z является полем
тензора первого ранга (векторным полем). Это поле называется
градиентом скалярного поля grad ср = (p,ez. Градиент скалярного
поля — это вектор, в направлении которого скалярное поле изме-
няется с наибольшей скоростью.
Абсолютная производная векторного поля (тензорного поля
первого ранга) является тензором второго ранга, матрицу компо-
нент которого можно записать в виде
дх
да*
Эу
day
Эу
Эаг
Эу
Эаг А
dz
дау
dz
да.
А»
dz
Свертку тензорного поля с компонентами аи по индексам i и
j называют дивергенцией векторного поля а
div а = а,,
dar dav да,
-~- + —- + —-
dx Эу dz
63
Эд,-
Вектор с компонентами —- называется дивергенцией тен-
Эх.
зора ТА :
ЭаЛ
div7\
А Эх. '•
2.9. Метрический тензор
Представим криволинейные координаты (₽],₽2>₽з)> в общем
случае неортогональные, и в них две близкие точки М(г) и
N(r + dr). Дифференциал радиус-вектора г равен
эр, Pl ар2 w ар, р”
где dfij — приращение координат р,- при переходе от М к N.
D Эг
Векторы —-, направленные по касательной к координатным
линиям р;, образуют в точке М локальную систему координат.
4 Квадрат расстояния между точками М и N определяется фор-
мулой
dS 2= drdr =
Эг
=gijd^d^j
где
дг дг _ Э/j di\ Эг2 Эг2 Эг3 Э/j
представляют собой
компоненты метрического тензора IgJ.
Компоненты метрического тензора gy
компоненты векторов основного базиса ё® во взаимном базисе
Sj, а именно:
ё.°
Ох „О ~ . „О х . „О X
64
3. НАПРЯЖЕННОЕ
И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
Решение конкретной задачи теории упругости или пластич-
ности производится с использованием некоторой системы коор-
динат. Только так можно получить числа, являющиеся решени-
ем задачи. Например, рассчитать напряженное состояние
деформируемого тела — значит найти девять значений компо-
нент тензора напряжений в каждой точке тела на каждой стадии
нагружения (в каждый момент времени).
Движение любого объекта в механике изучается по отноше-
нию к какой-либо системе отсчета, с помощью которой опреде-
ляют положение объекта в различные моменты времени. В меха-
нике сплошных сред нашли применение две эквивалентные друг
другу точки зрения на движение деформируемого материала: точ-
ка зрения Эйлера и точка зрения Лагранжа. Тело движется отно-
сительно системы координат, если координаты его точек меняют-
ся. В начальный момент времени /0 координаты некоторой точки
А характеризовались величинами х®, х2°, х3°; в следующий мо-
мент времени tt — соответственно величинами х/, х2’ > хз Коор-
динаты точек тела в системе отсчета называются эйлеровыми ко-
ординатами. Величины, характеризующие движение, являются
функциями трех аргументов х, и времени t (переменные Эйлера).
Например, скорость в точке пространства с радиусом-вектором х
может быть выражена как v = v(x,,r). С точки зрения Эйлера объек-
том изучения являются поля (скалярные, векторные, тензорные),
характеризующие движение сплошной среды.
Сущность точки зрения Лагранжа на изучаемое движение со-
стоит в том, что внимание концентрируется на конкретной час-
тице сплошной среды, изучается история ее деформирования.
При этом рассматривается изменение во времени некоторых ска-
лярных или векторных величин, а также изменение этих вели-
чин при переходе от одной частицы к другой. Эти величины
рассматриваются как функции от времени и координат X мате-
риальной частицы в начальный момент времени. Ее текущие
координаты х в неподвижном пространстве наблюдателя
х, =ср,(Х^/). (3.1)
Переменные Х2, Х3, t называются переменными Лагран-
жа. Зависимости (3.1) полностью определяют положение частицы
65
в пространстве. Это позволяет, помимо неподвижной системы
отсчета наблюдателя, ввести еще одну систему отсчета — подвиж-
ную деформируемую систему координат X,, Х2, Х3, которая на-
зывается сопутствующей системой координат. Если тело дефор-
мируется, вместе с ним деформируется и сопутствующая система
координат. Изучение деформации тела по сути сводится к изуче-
нию деформации сопутствующей системы координат.
Итак, с точки зрения Лагранжа имеют значение законы изме-
нения скорости, температуры, давления данной материальной
частицы; с точки зрения Эйлера — изменение этих величин в дан-
ной точке пространства. Очевидно, переход от переменных Эйле-
ра к переменным Лагранжа возможен, если решить уравнения (3.1)
относительно X:
I
X, =/,(%, ,z). (3.2)
Подчеркнем специально, что точка зрения Лагранжа на изуче-
ние движения сплошной среды лежит в основе физических зако-
нов, так как они связаны с движением индивидуальных матери-
альных частиц. Изменение параметров материальной частицы,
например, скорости, определяется следующим образом:
_dxt _d<pt(Xk,t) _ Эф, Эф, дХ{ Эф, dX2 Эф, дХ3
' dt dt dt dX, dt dX2 dt dX3 dt (3.3)
Лагранжев подход позволяет выразить координаты точек де-
формируемого тела через координаты точек до деформации, т.е.
учитываются материальные, а не с пространственные перемен-
ные, используемые в Эйлеровом подходе.
3.1. Тензор деформации и его геометрический смысл
Деформация тела заключается в изменении расстояний между
его точками. При этом в общем случае меняются размеры тела,
его форма и объем. Если при движении тела расстояние между
его точками не меняется, то оно не деформируется, а движется
как абсолютно жесткое тело.
В теории деформации сравниваются два состояния тела: на-
чальное — в начальный момент времени и конечное — в конеч-
ный момент времени tv Деформация тела известна, если известна
деформация в каждой его точке. Деформацию в точке будем ха-
рактеризовать деформацией выделенной вокруг нее бесконечно
малой частицы. Таким образом, для описания деформации в не-
которой точке М необходимо рассмотреть близкую к ней точку N',
66
в начальный момент времени t0 положение точки Мй в декартовых
координатах х характеризуется радиусом-вектором X , а точки No —
радиусом-вектором х +dX ; в момент времени положения точек
Л/и У определяются радиусами-векторами х и x + dx. Если в ко-
нечном состоянии все деформированные частицы можно совмес-
тить друг с другом путем параллельного переноса, деформация
называется однородной. Линейное отображение вида
х, =bt + а„ X,
называется аффинным, оно определено во всем пространстве
ОХ1Х2Х3. Якобиан отображения — определитель ау| — сохраняет
постоянное значение в каждой точке пространства. Аффинное
отображение обеспечивает переход прямой в прямую, плоскости —
в плоскость, окружности — в эллипс, шара — в эллипсоид. Пре-
образование сводится к растяжению (сжатию) по трем взаимно
перпендикулярным осям и к жесткому повороту в пространстве.
При движении и деформации тела каждая его бесконечно малая
частица в общем случае поступательно перемещается, растягива-
ется (сжимается) по трем взаимно ортогональным осям и повора-
чивается в пространстве как жесткое тело.
Пусть прямоугольная декартова координатная система (хрх2,х3)
фиксирована в пространстве и радиус-вектор точки Мй до дефор-
мации записан в виде
X = X(Xlt Х2,Х3). (3.4)
Будем считать координаты Xt,X2, Х3 точки Л/о до деформации
параметрами, характеризующими материальную точку в процессе
деформирования. Базисные векторы этой координатной системы
даются формулами
г,°=^-=х„ о=1,2,3). (з.5)
С/Л j
Ортонормированные базисные векторы ё(° направлены вдоль
осей координат, поэтому скалярное произведение
-о -о _ с
el ’ ej ’
где _ символы Кронеккера.
Радиус-вектор точки Na до деформации
X +dX = X +dX(Xl+dXl,X2+dX2,X3 + dX3).
67
Радиус-вектор
dX = X,I-dXl =e?-dX,. (3.7)
Расстояние между точками Мо и Na в недеформированном со-
стоянии (рис. 3.1) может быть записано в виде
(dl0 )2 = dXdX = ^jdX^Xj. (3.8)
Рис. 3.1. Геометрия элементарного параллелепипеда до и
после деформации
Здесь принято, что в теле выделен бесконечно малый прямо-
угольный параллелепипед, ограниченный шестью поверхностями
X, = const, X, + dXt = const (i = 1,2,3);
точки Мй и No находятся в противоположных углах параллеле-
пипеда.
В деформированном состоянии первоначально прямоугольный
параллелепипед в общем случае не является прямоугольным. По-
ложение точки М будем характеризовать радиусом-вектором
х = х(х1,х2,х3). (3.9)
Введем базисные векторы
=^Г = *’' (/=1,2’3)’ (3.10)
дл, ' '
Ребра параллелепипеда, пересекающиеся в точке М, равны
e2dx2, e3dx3. Следовательно, радиус-вектор dx, определя-
ющий положение точки N относительно М,
68
dx = x„dxt =etdxr (3.11)
Расстояние между точками Ми N в деформированном состоя-
нии будем характеризовать величиной dl:
(dff = dxdx = eie]dxtdx]. (3.12)
Обозначим Е,. = etej и выясним геометрический смысл этой
величины. Длины бесконечно малого линейного элемента M0R^
до деформации (см. рис. 3.1) и MR после деформации
(dstf =(dxtf, (dS)1 = Eu(dxrf .
Следовательно, относительное удлинение отрезка M0R0 со-
ставляет
dS-dS0
dS0
V^h-I-
(3.13)
Геометрический смысл величин Е22 и Е33 устанавливается
аналогично.
Рассмотрим два бесконечно малых линейных элемента M0R0 и
M0S0, образующих в недеформированном состоянии прямой угол.
В деформированном состоянии элементы MR и MS задаются век-
торами ё^ и ё2с1х2, соответственно. Если обозначить острый угол
между MR и MS через (л/2-у12), получим
eldxl • ?2<fc2 = |?!| • |ё21dxtdx2 cos(л/2-у12)
или
^12 = V^i^27's*nYi2- (3.14)
Геометрический смысл величин Е23 и E3i устанавливается
аналогично.
Бесконечно малый прямоугольный параллелепипед при дефор-
мировании превращается в скошенный параллелепипед, и дефор-
мацию можно охарактеризовать набором величин EtJ (i,j = 1,2,3).
Симметричный тензор
~^v) = E;i (3.15)
Л*
называется лагранжевым тензором конечной деформации, или
тензором Грина. Девять величин е с учетом условия симметрии
полностью характеризуют деформацию бесконечно малого па-
раллелепипеда.
69
Представим радиус-вектор точки N в виде
х = X + й, (3.16)
где й — вектор перемещения с компонентами u{iu2iu3, определя-
емыми соотношениями и = ute^.
Из (3.10) и (3.16) получим
_ дХ ди \ _0
е'=^+^=(5''+и'’'Ь- <3-17)
Из (3.15) и (3.17) получаем выражения для деформаций через
компоненты перемещения:
Здесь использованы соотношения: =ир,.; 8п/ -Зп, = 8,,;
* *•' г J у* Щ у
<г;=1.
Если вместо ир (р = 1,2,3) использовать символы и, v, w, а
вместо Xt (i = 1,2,3) — х, у, z, выражения (3.18) можно перепи-
сать в виде
(3.19)
_ ди dw ди ди dv dv dw dw
* * dz dx dz dx dz dx dz dx
70
Когда компоненты деформаций малы, выражения (3.13) и (3.14)
можно линеаризировать и получить приближенные соотношения
dS - dS{
у12 =arcsin
= 2е12
(3.20)
Аналогичные соотношения справедливы и для других компонент.
Откажемся от общего подхода и будем считать, что компонен-
ты перемещения и их градиенты малы. В частности, считая, что
uhj « 1, в формуле (3.18) можно опустить произведения этих ве-
личин. В результате получаем лагранжев тензор малой деформа-
ции с компонентами
= зу(^/?у+^у>/)• (3.21)
£
Движение сплошной среды отличается от движения абсолютно
твердого тела тем, что расстояние между соседними частицами
изменяется, среда деформируется. Если перемещение частицы
М равно “(?), перемещение соседней частицы N равно
й (Х + dX] = й + du. (3.22)
Дифференциал
dii = ^rdX =
дХ
(3.23)
ЭХ;
dUj
ЭУ?
Разлагая тензор
— производную вектора й по вектор-
ному аргументу X — на сумму симметричного и кососимметрич-
ного тензоров, получаем
u(X + dX) = a(x} +
Представим кососимметричный тензор в виде
1 ( ди, dq '
2 дХ, ~дХ\
о
со3
—со2
-(Оз со2
0 -СО]
(0| 0
71
1
где со = — rot и .
2
Получаем
dX. (3.24)
~(v ^v\ ~(v\ 1 ~ .iv 1| ^ui ^Uj
ulX + dX ] = u(X) + — rot uxdX + - —- +—-
' ) \ ) 2 |Д dXy ЭХ,-
Первые два слагаемых описывают перемещение частицы N,
вызванное движением элемента как абсолютно твердого тела с
полюсом в точке М. Относительный радиус-вектор N при этом
равен dX, а угол поворота составляет — rot и . Последнее слагае-
мое в (3.24) характеризует деформацию сплошной среды.
Симметричный тензор
(3.25)
где
_ 1 f dUj dUj '
ij 2 dxj + dXj
(3.26)
называется линейным тензором малой упругой деформации или
просто тензором малой деформации.
Компоненты ен, е22, £33 равны относительным удлинениям
материальных отрезков, параллельных соответственно осям
Боковые компоненты тензора Ei2> егз> ез1 характеризуют ис-
кажение углов первоначально прямоугольного параллелепипеда,
они называются компонентами сдвиговой деформации.
Тензор деформации Те поворотом координатных осей может
быть приведен к диагональному виду
Ei О О
О
(3.27)
е
.° 0 ез.
Главные компоненты деформации е, являются действитель-
ными корнями характеристического уравнения
е,7 - Х8у = О
или в развернутой форме
X3 - е7Х2 + е7/Х - гш = 0.
Инварианты тензора деформации
(3.28)
72
= е11 + е22 + е33 = е1 + е2 + е3 - е0>
(3.29)
е31
е11
= е(е2+ е2е3+е3е15 (3.30)
ez//=|е,7| = EjE2e3. (3.31)
Элементарный куб с гранями, перпендикулярными глав-
ным осям, и объемом V = abc в результате деформации пре-
вращается в прямоугольный параллелепипед с объемом
V + dV = а/>с(1 + Е1)(1 + Е2)(1 + Е3). С точностью до малых вели-
чин второго порядка относительное изменение объема составит
^ = е1 + е2+е, (3.32)
Физический смысл линейного инварианта г1 очевиден из со-
поставления (3.29) и (3.32).
Тензор деформации может быть представлен в виде суммы
девиатора Ре и шарового тензора ^е0£':
Te = De+^0E (3.33)
ИЛИ
По определению, первый инвариант девиатора De равен нулю.
Поэтому девиатор характеризует деформацию, не связанную с
изменением объема; он характеризует изменение формы.
Обозначим компоненты девиатора еу
= Еу ~ - ЕцЪу . ПОСКОЛЬКУ
девиатор Д - J удовлетворяет условию симметрии, он может
быть приведен к диагональному виду. Очевидно, главные направ-
ления девиатора деформации совпадают с главными направлени-
ями тензора деформации.
Характеристическое уравнение имеет вид \еи -X3J - О
I J V |
или
X3 + епк - е1" = 0.
(3.34)
73
Его инварианты:
е12 + е22
е22 е32
е31
*11
о ei)ei)
еШ = ev . (3.36)
Введем величину интенсивности деформаций е,. Это скаляр-
ная величина, характеризующая деформацию в точке:
(3.37)
Вместо этой характеристики часто используется величина ин-
тенсивности деформаций сдвига
Г = = ^2е&е& =
(3.38)
3.2. Тензор скоростей деформации
Движение и деформация сплошной среды задаются соотно-
шениями, связывающими начальные и текущие координаты ма-
териальных частиц. Скорость деформации в рассматриваемой точке
М деформируемого тела характеризуется скоростью деформации
бесконечно малой частицы, выделенной в теле вокруг этой точки,
и описывается тензором скоростей деформаций . В теории де-
формаций сравниваются два состояния: начальное в момент вре-
мени t0 и конечное в момент времени В теории скоростей де-
формации рассматривается мгновенное состояние в любой момент
времени t0 < t < .
Если в рассматриваемый момент времени тензор скоростей
деформации одинаков во всех точках, то в этот момент време-
ни тензорное поле скоростей деформации является однород-
ным. Если скорость изменения расстояния между каждыми дву-
мя точками стала равна нулю, то тело не деформируется, а
движется как абсолютно твердое.
74
Компоненты тензора скоростей деформации в точке М в мо-
мент времени t:
ДЕу dz-y
hm —- = —-r-
д/^о kt dt
(3.39)
Следовательно, в сопутствующей системе координат компо-
ненты деформации можно получить интегрированием скоростей
деформации:
h
^ij ~ J
to
(3.40)
Симметричная матрица компонент 7| имеет вид
(3.41)
В рассматриваемой точке деформируемого тела в момент вре-
мени t можно выбрать прямоугольную декартову систему коорди-
нат — главную систему координат тензора скоростей деформа-
ции, в которой матрица ky
принимает диагональный вид
(3.42)
где > £2 > £3 — главные компоненты тензора скоростей дефор-
мации, или главные скорости деформации.
За время dt элементарный кубик с гранями, параллельными
главным координатным плоскостям, превратится в прямоуголь-
ный параллелепипед с ребрами (1 + ^dt'). Относительное из-
менение объема с точностью до бесконечно малых более высоко-
го порядка, чем dt, составит
(3.43)
Главные компоненты скорости деформации являются действи-
тельными корнями характеристического уравнения
(3.44)
или в развернутой форме
л3 - ^л2 + £7/л2 - Vя = о.
75
Инварианты тензора скорости деформации:
£! = £п + £22 + £зз = £1 + £2 + £з = £о>
(3.45)
£ = £<,• = £1£г£з- (3.47)
Физический смысл линейного инварианта очевиден: это —
скорость относительного изменения объема элемента среды.
Тензор скорости деформации может быть представлен в виде
суммы девиатора и шарового тензора ^Е:
(3.48)
где
По определению первый инвариант девиатора равен нулю.
Поэтому девиатор характеризует скорости деформации элемента
среды, не связанные с изменением объема.
Формула (3.48) представляет скорости деформации бесконеч-
но малого объема среды как суперпозицию двух деформаций: пер-
вая из них, описываемая девиатором, характеризует скорость ис-
кажения формы элемента без изменения его объема; вторая
составляющая — шаровой тензор — характеризует скорость равно-
мерного всестороннего растяжения или сжатия этого элемента.
Обозначим компоненты девиатора г)// = £у - £о^у •
Поскольку девиатор скоростей деформации симметричен, он
может быть приведен к диагональному виду. Главные направле-
ния девиатора скоростей деформаций совпадают с главными на-
правлениями тензора.
Характеристическое уравнение имеет вид
т],7 -А.8^1 = О
ИЛИ
Х3+ПЯХ2_П7Я =0
(3.49)
Инварианты девиатора:
(£11 - £22 )2 + (£22 - £зз )2 + (£зз - £11 )2 + 6 (& + & + &)] ,(3.50)
76
T|//Z=|W|. (3-51)
При условии несжимаемости шаровой тензор является нуле-
вым, а девиатор совпадает с тензором скоростей деформации.
Скалярная величина, характеризующая скорость деформации
- интенсивность скоростей деформации. С точностью до посто-
янного множителя /jy она равна второму инварианту скорости
деформации:
Ё; = i Jffj = . (3.52)
у J »
Величина
Я = 2^ = .pWij (3.53)
называется интенсивностью скоростей деформации сдвига,
Я = Ё,7з. (3.54)
При описании эффектов упрочнения часто используется та-
кая характеристика, как накопленная интенсивность деформаций:
Ej = |ёу(т)Ят. (3.55)
о
Интегрирование выполняется вдоль всей траектории мате-
риальной частицы — от ее начального положения (т = 0) до те-
кущего (т = Z).
3.3 Тензор напряжений
Тело движется и деформируется под действием внешних сил,
распределенных на его поверхности (внешние поверхностные силы)
и по объему (внешние объемные или массовые силы). Если мыс-
ленно рассечь тело некоторой поверхностью S и отбросить одну
из частей, то для того, чтобы оставшаяся часть находилась в рав-
новесии, необходимо действие отброшенной части заменить внут-
ренними силами, действующими на поверхности S. Напряжен-
ное состояние точки характеризуется тензором напряжений Та и
может быть определено, если известно напряжение на любой про-
веденной через нее площадке. Напряженное состояние тела в свою
очередь характеризуется тензорным полем Тс (х,-, г). Если тензор
77
напряжении одинаков во всех точках тела, его напряженное со-
стояние называется однородным.
Напряжение на произвольной площадке, определяемой векто-
ром внешней нормали п , можно представить в виде нормальной ол
и касательной т„ составляющих. Каждое из напряжений, действую-
щих на координатных площадках, можно разложить по направлени-
ям координатных осей Xj, х2, х3. Полученные девять напряжений,
действующих на гранях элементарного куба, грани которого пер-
пендикулярны осям координат, записываются в таблицу
(3.56)
Первый индекс в обозначении о,-, означает направление норма-
ли координатной площадки, второй — направление действия на-
пряжения. На главной диагонали матрицы располагаются нормаль-
ные напряжения, остальные напряжения являются касательными.
Нормальное напряжение считается положительным, если оно
вызывает растяжение; в этом случае оно направлено по внешней
нормали к площадке, и отрицательным, если оно вызывает сжатие;
в этом случае оно направлено по внутренней нормали. Если вне-
шняя нормаль к площадке совпадает с положительным направле-
нием координатной оси, то за положительные направления состав-
ляющих касатейьных напряжений, действующих на этой площадке,
принимаются положительные направления соответствующих осей
координат. Если внешняя нормаль к площадке имеет направление,
противоположное положительному направлению некоторой оси,
то за положительные направления для составляющих касательных
напряжений на этой площадке принимаются отрицательные на-
правления соответствующих координатных осей.
Зная компоненты напряжений Оу, можно вычислить напря-
жения нй произвольной площадке.
Для приведения тензора напряжений к диагональному виду
необходимо решить характеристическое уравнение
Л3 - а7Х2 + а77Л2 - сш = 0. (3-57)
Корни этого уравнения являются собственными значениями
тензора напряжений и называются главными напряжениями. Ус-
ловились, ЧТО о, > о2 - °з-
78
В новой системе координат тензор напряжении принимает вид
(3.58)
Коэффициенты характеристического уравнения образуют си-
стему инвариантов:
О7 = О|। + Q22 + ®33 ~ + стз ~ Зсто, (3.59)
о77
°11
a2i
ст23 а33
а33 а13
а31
Он
— П|О»2 + 0*2^3 + °3°1>
(3.60)
о"7 =
- О^гОз-
(3.61)
Тензор напряжений можно представить в виде суммы девиа-
тора и шарового тензора
та = + О0£. (3.62)
Величина о0 называется средним или гидростатическим на-
пряжением.
Компоненты девиатора напряжений равны
^=о^-о05^. (3.63)
Характеристическое уравнение девиатора напряжений
X3 + Л2 - $ш = 0. (3.64)
Здесь инварианты:
///
(3.66)
Величина
= (3.67)
называется интенсивностью касательных напряжений.
79
Другой скалярной величиной, характеризующей напряженное
состояние, является интенсивность напряжений
При одноосном растяжении о,- = СГ[ j = aj, при простом сдвиге
Т - 012 .
На октаэдрических площадках, равнонаклоненных к главным
осям, действуют нормальные напряжения, равные среднему на-
пряжению о0, и касательные напряжения, равные
(3.69)
4. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения равновесия и кинематичес-
кие соотношения не дают замкнутой системы уравнений, по-
зволяющей при заданных начальных и граничных условиях опи-
сать движение сплошной среды. Полная система уравнений
должна включать так называемые определяющие уравнения,
которые характеризуют физические свойства изучаемой среды
и позволяют функционально связать напряженное и деформи-
рованное состояния. Примером определяющих уравнений мо-
жет служить закон Гука, устанавливающий зависимость напря-
жений и деформаций в классической теории упругости.
Как правило, определяющие уравнения выводятся на осно-
вании результатов экспериментальных исследований. Создание
общей теории определяющих уравнений является одной из ос-
новных задач реологии — раздела механики сплошных сред.
Реология (от греческих слов rheos — течение, поток и logos —
слово, учение) — наука о течении вещества, устанавливающая
связь между напряженным и деформированным состояниями.
Реологические модели составляются для линейного напряжен-
ного состояния на основании идеализации истинных диаграмм
80
растяжения и диаграмм деформирования с учетом эффектов,
сопровождающих пластическую деформацию, и наиболее су-
щественных свойств деформируемой среды (упругости, вязкос-
ти, пластичности).
Реология устанавливает вид функционалов Та Т
-'1
-^о
ИЛИ
описывающих термомеханические свойства сплошных
сред и изменяющихся во времени.
В отличие от классической теории упругости, теория плас-
тичности предполагает достаточно широкие возможности фор-
мулировки определяющих уравнений. Их выбор зависит от
объекта и целей исследования.
Определяющие уравнения представляют собой математичес-
кую формулировку выбранной реологической модели. При ре-
шении задач обработки металлов давлением чаще всего исполь-
зуются такие модели среды, как жесткопластическая среда
Мизеса, упругопластическая среда Прандтля, вязкопластичес-
кая среда Шведова—Бингама, упруговязкая среда Фойгта. Как
известно, в общем случае объемно-напряженного состояния
однозначная связь между напряжениями и деформациями от-
сутствует. В связи с этим уравнения состояния, описывающие
пластическую деформацию, в принципе не могут быть конеч-
ными соотношениями, связывающими напряжения и деформа-
ции (аналогично соотношениям закона Гука), а должны иметь
вид дифференциальных и неинтегрируемых соотношений.
4.1. Простые реологические модели
Особенности поведения сплошной среды под действием при-
ложенной нагрузки могут быть описаны комбинациями фунда-
ментальных свойств реальных материалов: упругости, вязкости,
пластичности. В связи с этим удобно ввести простые реологи-
ческие модели, описывающие поведение некоторых идеализи-
рованных сред, изображая их условно механическими элемен-
тами. Рассматривая линейное напряженное состояние, будем
обозначать: о — приложенное напряжение, е — относительное
Удлинение, t = dz/dt — скорость относительного удлинения.
81
Линейно-упругая среда Гука
Рис. 4.1. Реологическая модель
линейно-упругой среды
Модель изображает свойство
упругости. В соответствии с зако-
ном Гука приращение длины об-
разца при растяжении пропорци-
онально приращению нагрузки:
dl _ do
Интегрируя в пределах от /0 до
/, получим уравнение состояния
линейно упругой среды о = Ее ,
где е — логарифмическая дефор-
мация в направлении оси образца
(при малых деформациях е — от-
носительное удлинение).
Механической моделью линейно-упругой среды является пру-
жина с линейной характеристикой с жесткостью Е, а реологичес-
кой зависимостью — прямая линия как при нагружении, так и
при разгрузке (рис. 4.1.)
Жесткопластическая среда Мизеса
£
Рис. 4.2. Реологическая модель
жесткопластической среды
Модель изображает свойство
пластичности: при достижении не-
которого напряжения о = о5 по-
является остаточная пластическая
деформация. При о < os среда не
деформируется. После снятия на-
пряжения деформация среды пре-
кращается.
Механической моделью явля-
ется элемент трения (рис. 4.2), а
реологической зависимостью —
прямая, параллельная оси дефор-
мации. Здесь отсутствует одно-
значная связь между напряжени-
ем и деформацией. Сопротивление деформации не зависит ни от
степени, ни от скорости деформации.
82
Линейно-вязкая среда Ньютона
Модель изображает свойство вяз-
кости: сопротивление деформации
прямо пропорционально ее скорос-
ти. Уравнение состояния имеет вид
о = цё = цу,
if
где ц[Па-с] — коэффициент
вязкости; v — скорость растяжения
образца.
Механической моделью является
невесомый поршень (рис. 4.3), пере-
мещающийся в цилиндре, заполнен-
ном вязкой жидкостью.
Рис. 4.3. Реологическая модель
линейно-вязкой среды
Сопротивление деформации линейно-вязкой среды зависит от
скорости деформации и не зависит от степени деформации.
4.2. Комбинированные реологические модели
Соединяя упругий, вязкий и пластический элементы последо-
вательно и параллельно, можно создать реологические модели,
описывающие более сложные зависимости напряженного и де-
формированного состояний.
Упругопластическая среда Прандтля
Последовательное соединение
линейно-упругого и пластического
элементов (рис. 4.4) дает механи-
ческую модель упругопластичес-
кой среды Прандтля. Реологичес-
кая кривая состоит из двух
отрезков прямых, соответствую-
щих упругой деформации (пружи-
на Е растянута, ползунок os не-
подвижен) и упругопластической
^формации (пружина Е не рас-
тягивается, ползунок as переме-
щается).
Рис. 4.4. Реологическая модель
упругопластической среды
83
Деформация складывается из упругой ее и пластической гр:
е = ее + гр •
Линия разгрузки параллельна линии упругого нагружения.
Уравнение состояния имеет вид
а = Ее при е < е5 (о<а5)
о = as при е > е5
Здесь es = — деформационный предел текучести.
Жесткопластическая среда с линейным упрочнением
Рис. 4.5. Реологическая модель
упрочняющейся жесткопласти-
ческой среды
Механическая модель пред-
ставляет собой параллельно соеди-
ненные линейно-упругий Е и пла-
стический элементы (рис. 4.5.)
При напряжении о < о5 среда не
деформируется. При напряжении
о = о5 начинается деформация:
ползунок перемещается и пружи-
на растягивается. Для продолже-
ния деформации напряжение дол-
жно возрастать а = as + Ete.
Наклон реологической кри-
вой определяется модулем уп-
рочнения Ег
При снятии нагрузки пружи-
на останется растянутой; ползу-
нок в обратном направлении не перемещается.
Упругопластическая среда с линейным упрочнением
Механическая модель представляет собой последовательное со-
единение линейно-упругого элемента Е с блоком элементов модели
упрочняющейся жесткопластической среды (рис. 4.6).
Суммарная деформация
Е = Ее + ЕР
Уравнение состояния
о = Ее‘ при о<о5)
а = as + ДгР ПРИ ° - CTs-
84
Реологическая кривая состоит
из двух отрезков прямых: участок
е < е a <as соответствует упру-
гой деформации; участок
е > е5, о > os соответствует упру-
гопластической деформации. Ли-
ния разгрузки параллельна линии
упругого нагружения. Упругая де-
формация Ее увеличивается с воз-
растанием пластической деформа-
ции.
Вязкопластическая среда
Шведова —Бингама
Параллельное соединение
вязкого и пластического элемен-
тов (рис. 4.7) дает вязкопластичес-
кую модель Шведова—Бингама
(бингамов пластик). При о <
среда не деформируется. При
о > os уравнение состояния име-
ет вид а = as + цё , т.е. сопротив-
ление деформации зависит от ско-
рости. При очень малой скорости
среда ведет себя как жесткоплас-
тическая.
Ползуче-пластическая среда
Последовательное соединение
вязкого и пластического элемен-
тов (рис. 4.8) дает ползуче-пласти-
ческую среду. При о < as она ве-
Рис. 4.6. Реологическая модель
упрочняющейся упругопласти-
ческой среды
Рис. 4.7. Реологическая
модель Шведова—Бингама
Дет себя подобно линейно-вязкой среде (ползунок неподвижен).
При а = os она подобна жесткопластической среде. Такое состо-
яние наступает при скорости деформации ё = о5/ц.
85
Рис. 4.8. Реологическая модель
ползуче-пластической среды
Вязкий элемент модели-
рует эффект ползучести-те-
чения при напряжении
меньше предела текучести.
Вязкоупругая релаксирующая
модель Максвелла
Механическая мо-
дель — последовательно со-
единенные упругий и вяз-
кий элементы. Суммарная
деформация равна сумме
деформаций этих элемен-
тов: £ = + ЕР .
Дифференцируя по вре-
мени, получаем
de ,р
£ = — = £
dt
а_ 1 d(5 + <5
Ё j Е dt ц
Обозначив Т = — , получим уравнение состояния вязкоупру-
Е
гой релаксирующей среды Максвелла
d<3 о „ j£
— + — = Е —.
dt Т dt
(4.1)
Относительно о это линейное дифференциальное уравнение
первого порядка. Его решение при начальном условии о = о0 при
t = 0 имеет вид
о = ехр
(4.2)
Если о0 = 0 и среда деформируется с постоянной скоростью,
напряжение меняемся со временем по закону
(4.3)
Построенные по этой формуле реологические кривые показа-
ны на рис. 4.9. При / —> о —> цё. Уже при t = ЗТ о = О,95цё .
Переходный процесс объясняется наличием пружины.
86
Зафиксируем деформа-
цию, приложив в момент
t = 0 напряжение о0 и зак-
репив концы стержня. По-
скольку при этом dz/dt = 0,
напряжение в функции от
времени примет вид
а = аоехр
(4.4)
Напряжения с течением
времени стремятся к нулю по
экспоненциальному закону
(рис. 4.10), т.е. имеет место
релаксация напряжений, пор-
шень перемещается за счет
деформации пружины.
Время Т, за которое на-
пряжение о изменится в
е = 2,7183раз, называется вре-
менем релаксации.
Рис. 4.9. Реологическая модель
вязкоупругой релаксирующей среды
Максвелла
Вязкоупругая среда Фойхта
Механическая модель
представляет собой парал-
лельно соединенные упругий
и вязкий элементы (рис.
4.11). Сопротивление дефор-
мации о равно сумме сопро-
тивлений деформаций этих
элементов:
Рис. 4.10. Релаксация напряжений
в вязкоупругой среде Максвелла
о = £е + м (45)
dt
Реологические зависимости изображаются параллельными пря-
мыми линиями. При ё = 0 среда ведет себя подобно линейно-
Упругой среде.
Решим уравнение (4.5) относительно е при начальном усло-
вии е = е0 при t = 0
87
Получим закон изменения деформации со временем
(4.6)
Рис. 4.11. Реологическая
модель вязкоупругой среды
Фойхта
Приложим при t = 0 посто-
янное напряжение а0 > О по
величине такое, что если £0 > 0,
деформация будет увеличивать-
ся. Тогда
£ = е0 ехр
(4.7)
Эта зависимость показана на
рис. 4.12: участок нагружения (от
О до tt) имеет горизонтальную
асимптоту о0 /Е. Если в момент
начать разгрузку (ст = 0), де-
формация станет уменьшаться,
согласно уравнению
Рис. 4.12. Деформация вязкоуп-
ругой среды Фойхта
$ + | = °> (4-8)
at 1
Решение этого уравнения
Деформация последействия
с течением времени уменьшает-
ся по экспоненциальному зако-
ну. За время Т деформация
уменьшится в е раз.
Обратим внимание на то,
что деформация е на всем интервале времени t > 0 зависит от
деформации е0, достигнутой при t < 0. Это свойство называется
88
наследственностью. Среда “помнит” всю историю своей дефор-
мации. Нарастание деформации при о = const до значения £ =
означает ползучесть.
Упруговязкопластическая среда Перцины
Одной из наиболее общих моделей неупругого материала явля-
ется упруговязкопластическая модель Перцины. В этой модели пред-
полагается, что материал проявляет вязкие свойства только в плас-
тической области, а это означает, что при F < О (F — функция
текучести) имеет место чисто упругое состояние. Кроме того, усло-
вие текучести F - 0 в этой модели представляет собой лишь началь-
ное условие, называемое здесь статическим условием текучести. Вяз-
копластическое состояние возникает при F > 0, что невозможно
для так называемых нереологических теорий пластичности.
- Скорость нарастания неупругих деформаций является функци-
ей приращений напряже-
ний относительно статичес-
кого критерия текучести.
Эта функция приращений
напряжений определяет
скорость вязкопластичес-
ких деформаций в соответ-
ствии с предварительно
выбранным законом, опи-
сывающим вязкие свойства
материала, который пред-
ставлен реологической мо-
делью, показанной на
рис. 4.13. В этой механи-
ческой модели предполага-
ется, что узел с трением
способен выдержать на-
пряжение о вплоть до зна-
Рис. 4.13. Реологическая модель
Перцины
чении о - о5, после чего при о > os в узле возникает проскальзы-
вание. Когда это происходит, приращение напряжения о-Оу
воспринимается демпфером, что порождает вязкопластическую
Деформацию.
В общем случае демпфер и узел с трением могут обладать свой-
ствами, которые зависят от вязкопластической деформации. Та-
ким образом, спустя некоторое время при действии постоянного
89
напряжения о механизм с трением становится снова жестким и
при выполнении статического критерия текучести вновь восста-
навливается асимптотическая статическая конфигурация (ёр = 0).
Условие равновесия при о > о, имеет вид
а = F + ас,
где F— напряжение, воспринимаемое демпфером; as — часть
напряжения, относящаяся к механизму трения.
Напряжение в вязком демпфере связано со скоростью вязко-
пластической деформации
F = цер = ц(ё - ёе),
где Ц — характеристика демпфера.
При чистой пластичности критерий текучести F = 0 дает необ-
ходимое условие возникновения пластического поведения. При
о < 0 имеет место разгрузка (упругое деформирование), при о > 0 —
догружение (упругопластическое деформирование). Для вязкопла-
стических материалов критерий текучести может иметь значение
F > 0 ; при этом материал демонстрирует вязкопластическое пове-
дение независимо от условий о > 0 или о < 0 .
При медленном увеличении нагрузки скорость становится
пренебрежимо малой на пути нагружения, поэтому повсюду при-
близительно выполняется условие F = 0 .
Из представленной на рис. 4.13 механической модели видно,
что, выключив демпфер (т.е. полагая ц = 0 ), получим упругоплас-
тическую модель с мгновенной реакцией. Отсюда следует ограни-
чение а < as, необходимое для выполнения условия равновесия.
Если вместо демпфера отключить механизм с трением (т.е. считать
о5 =0), механическая модель сохраняет свои реологические свой-
ства и соответствует известной модели Максвелла, где демпфер с
линейной характеристикой соединяется с пружиной. Приняв, что
демпфер обладает нелинейной характеристикой, можно описать
вторичную или установившуюся ползучесть металлов.
4.3. Обобщенный закон Гука.
Система уравнений линейной теории упругости
Рассмотренные реологические модели устанавливают связь на-
пряжений и деформаций при линейном напряженном состоянии.
Переходя к общим зависимостям, описывающим поведение сред
90
при объемном напряженном состоянии, необходимо сформули-
ровать такую связь между напряжениями, деформациями и ско-
ростями деформаций, которая в частном случае линейного на-
пряженного состояния сводилась бы к известным соотношениям
для реологических моделей.
Обобщая реологические модели на объемное напряженное со-
стояние, целесообразно начать с упругой деформации. При обра-
ботке металлов давлением деформация начинается с упругой, ко-
торая сохраняется при появлении пластической и остается в теле
до тех пор, пока действуют внешние нагрузки. При неравномерной
деформации после снятия внешней нагрузки в теле сохраняются
остаточные напряжения и остаточные упругие деформации. В ряде
задач обработки металлов давлением (например, плющение прово-
локи) исследование остаточных напряжений является необходи-
мой частью проектирования технологического процесса.
В рамках классической линейной теории упругости деформа-
ции предполагаются малыми; логарифмическая деформация при
одноосном растяжении образца совпадает с относительным удли-
нением е = 1п(1 + е), и связь напряжений и деформаций устанав-
ливается законом Гука о = Ег.
Для объемного напряженного состояния сохраняется линей-
ный закон связи напряжений и деформаций, т.е. каждая компо-
нента тензора напряжений То линейно зависит от всех компо-
нент тензора деформации Те. Удлинение элементарного объема в
направлении оси х сопровождается сужением в поперечном на-
правлении, определяемым компонентами деформации
еу =-v^-, ег =-v^-, (4.10)
где v — коэффициент поперечной деформации (коэффициент
Пуассона).
Если рассматриваемый элементарный объем подвергается од-
новременному действию нормальных напряжений стх, ау, ог,
равномерно распределенных по его граням, то результатом этого
действия будут деформации, выражающиеся уравнениями
(4.11)
91
В линейной теории упругости метод наложения, или суперпо-
зиции, широко используется при решении задач отыскания пол-
ных напряжений и деформаций, вызываемых несколькими сила-
ми. Метод суперпозиции справедлив до тех пор, пока деформации
малы, а соответствующие им малые перемещения не вызывают за-
метного изменения первоначальных размеров деформируемого тела.
Физические константы Е и v используются и для определения
зависимости между деформацией сдвига и касательным напряже-
нием. Вместо этих двух констант обычно используется модуль сдвига
Тогда соотношение между касательным напряжением и сдви-
говой деформацией записывается в виде т = (7у. Если касатель-
ные напряжения действуют по всем граням элемента, искажение
угла между двумя пересекающимися гранями зависит только от
соответствующих компонент касательного напряжения
Yx,=^-> YK=^r, (4-12)
U Ст Ст
Компоненты деформаций, характеризующие удлинения и сдви-
ги, не зависят друг от друга.
Складывая уравнения (4.11) и обозначая
1/ \
Б0 + ^у + &Z * СТ0 + ° у + G% ),
получаем соотношения между объемной деформацией и гидро-
статическим напряжением
е0 = r2V go- (4.13)
Ху
£
Величина К = —------г называется модулем объемной де-
3(1 - 2v)
формации.
Решая уравнение (4.11) относительно компонент напряжений,
находим
(4.14)
/
92
Используя обозначение л = -г----г-7-——г, эти формулы мож-
(1 + v)(l -2v)
но привести к виду
ог = Хвл + 2(?£г
•А» \J «А»
<Уу — A,£q + 'IGZy ► (4 15)
ог = Хе0 + 2<7ег
Таким образом, зависимость между напряжениями и дефор-
мациями для линейно-упругой изотропной среды может быть за-
писана в тензорном виде:
7L — Хбл/Г + 2(771
Ал О
или в скалярной форме:
(4.16)
а,-,- = Х8(>е0 + 2<?е,у. (4.17)
В ряде случаев более удобной представляется следующая фор-
ма закона Гука:
ст0 = Ке0
Da = 2GDt
(4.18)
Замкнутая система уравнений линейной теории упругости
включает 15 уравнений:
• три уравнения равновесия стй ) / +Ь, = 0;
V J
• шесть уравнений Коши ей =
• шесть физических уравнений = Х5,уе0 + 2(7еу.
Решение указанной системы уравнений должно удовлетворять
граничным условиям.
Для решения задачи теории упругости в перемещениях необ-
ходимо в уравнения состояния подставить выражения деформа-
ций через перемещения и далее выражения напряжений подста-
вить в уравнения равновесия. Получим систему трех уравнений в
частных производных второго порядка относительно трех компо-
нент перемещений. В результате этих операций получается изве-
стное уравнение Навье, которое можно представить в форме
(Х + (7)^ + 6Дм, + Ь, = 0,
7 иХ1
где х( _ координаты (/ = 1,2,3);
и, — перемещения вдоль осей х,-;
(4.19)
93
A — оператор Лапласа;
е0 = divZZ — относительное изменение объема.
В векторной форме это уравнение имеет вид
G -*
------grad divZZ + GAZZ + 6=0.
1 - 2v
(4.20)
4.4. Условие пластичности
По мере увеличения внешних сил происходит переход из уп-
ругого состояния в упругопластическое. При одноосном растяже-
нии этому переходу соответствует условие о = as; при чистом сдви-
ге — условие т = xs, где — предел текучести на сдвиг. При
объемном напряженном состоянии переход из упругого состоя-
ния в пластическое определяется тензором напряжений и услови-
ем пластичности вида
fM = K,
где Су — компоненты тензора напряжений; К — константа, свя-
занная с механическими характеристиками материала.
В пространстве напряжений, точки которого задаются девя-
тью величинами ст/у компонент То, это уравнение поверхности
текучести S, которая является границей упругой области De. Если •
точка А, характеризующая напряженное состояние, лежит внутри
области De, состояние упругое. Если точка находится на поверх-
ности текучести Е, она характеризует возникновение остаточных
деформаций. Граница Е области De представляет собой геомет-
рическое место точек, соответствующих пределам текучести для
всевозможных напряженных состояний.
Поверхность текучести не проходит через начало координат,
так как пластические деформации не могут возникнуть, если оу = 0.
Поверхность текучести Е должна быть выпуклой, т.е. любой луч,
исходящий из начала координат, пересекает поверхность Е один
раз; в противном случае при нагружении материал переходил бы не
только из упругого состояния в пластическое, но и наоборот. Для
идеально пластической среды поверхность текучести фиксирована.
Упрочнение материала трансформирует поверхность текучести.
Поскольку свойства изотропного материала одинаковы во всех
направлениях, уравнение поверхности текучести можно выразить
94
через главные нормальные напряжения. Поскольку между инва-
риантами тензора напряжений и главными напряжениями суще-
ствует функциональная связь, уравнение поверхности текучести
можно представить в виде функции инвариантов тензора напря-
жений /(ДДгДз) - К Опыт показывает, что среднее напряже-
ние практически не влияет на возникновение пластических де-
формаций, поэтому можно принять, что поверхность текучести
зависит от инвариантов девиатора напряжений. В таком случае
поверхность текучести интерпретируется цилиндрической повер-
хностью, ось которой — прямая о, = о2 = о3, проходящая через
начало координат, равнонаклоненная к осям координат (о,, о2, о3)
и называемая гидростатической осью. Она является нормалью
девиаторной плоскости О| + о2 + о3 = 0 , которая проходит через
начало координат. Линия пересечения поверхности текучести с
девиаторной плоскостью называется кривой текучести (или кри-
вой пластичности).
В теории обработки металлов давлением обычно используются
условия пластичности Треска—Сен-Венана или условия Мизеса.
Условие пластичности Треска—Сен-Венана основано на экс-
периментально наблюдаемом факте появления линий Чернова—
Людерса при одноосном растяжении образцов. Это линии макси-
мальных касательных напряжений. Поэтому логично допустить,
что начало пластических деформаций связано с достижением мак-
симальным касательным напряжением величины предела текуче-
сти на сдвиг. Поскольку максимальное касательное напряжение
равно полуразности главных нормальных напряжений, а при од-
ноосном растяжении О] = отах = о5 (в момент начала пластичес-
кой деформации), omin = 0 , то
т _ ^max ^min _ _
lmax 2 2 *
Для объемного напряженного состояния условие Треска—Сен-
Венана записывается в виде
|°i -®г| = °s> |°2-<Ъ| = °s, |°з-°1| = <V (4-21)
Пластическая деформация возникает при выполнении любого
из этих условий. Условие Треска—Сен-Венана — это условие по-
стоянства максимального касательного напряжения.
Условие пластичности Губера—Мизеса выражается уравнени-
ем поверхности цилиндра радиусом '
95
(Q1 “ a2 )2 + (Q1 “ a2 )2 + (Q1 “ a2 )2 = 2a? • (4.22)
При чистом сдвиге (oj = т5, a2 = 0, a3 = "~b) условие пластич-
ности примет вид бт^ = , откуда связь между пределом текуче-
сти при линейном напряженном состоянии на сдвиг су5 =т5\[3 .
В обоих условиях пластичности третий инвариант девиатора
напряжений не оказывает влияния на наступление пластического
состояния.
Поскольку интенсивность касательных напряжений
то условие пластичности может быть записано в виде
Т = ~^ = Ъ, (4.23)
т.е. оно представляет собой условие постоянства интенсивности
касательных напряжений.
4.5. Постулат Друкера и ассоциированный закон
пластического течения
Пластическая деформация приводит к упрочнению металла,
его предел текучести повышается. При одноосном напряженном
состоянии пластическая деформация возникает при выполнении
условия о = Oj; дальнейшее нагружение увеличивает пластичес-
кую деформацию и вместе с ней предел текучести. Если прираще-
ние напряжения d<s таково, что о > as, происходит нагружение,
если о < as, происходит разгрузка.
В девятимерном пространстве напряжений поверхность текучес-
ти расширяется и смещается по мере развития упрочнения. Назовем
эту поверхность поверхностью нагружения. Расширение поверхнос-
ти нагружения является следствием упрочнения металла при плас-
тической деформации. Смещение поверхности нагружения относи-
тельно начала координат обусловлено эффектом Баушингера: после
пластической деформации пределы текучести при растяжении и
сжатии различны. Поэтому форма и положение поверхности нагру-
жения зависят не только от текущего напряженного состояния, но и
от всего предшествующего процесса деформирования. Поверхность
нагружения, как и поверхность текучести, является выпуклой.
96
Для неупрочняющейся упругопластической среды поверхность
нагружения фиксирована и совпадает с поверхностью текучести.
Пусть малый элемент тела находится в пластическом состоя-
нии и напряжения в его окрестностях равны <5V. Если напряже-
ния в рассматриваемом элементе получили бесконечно малые
приращения dctJ , возможны следующие варианты.
1. Вектор </о направлен наружу поверхности нагружения.
Происходит нагружение элемента тела, его пластические дефор-
мации * 0.
2. Вектор Ja направлен по касательной к поверхности на-
гружения (нейтральное нагружение). Приращение пластических
деформаций равно нулю; происходят упругие деформации, свя-
занные с напряжениями законом Гука.
3. Вектор Jo направлен внутрь поверхности нагружения. Про-
исходит разгрузка, сопровождающаяся упругой деформацией; из-
менения пластических деформаций не происходит.
Если упрочнение материала происходит одинаково во всех
направлениях, поверхность нагружения при пластической дефор-
мации испытывает равномерное (изотропное) расширение. Урав-
нение поверхности нагружения содержит уже не постоянную ве-
личину (например, о5), а возрастающую функцию параметра
упрочнения q, характеризующую пластическую деформацию.
Уравнение поверхности текучести S для изотропного матери-
, = о5). При изотроп-
ном упрочнении уравнение поверхности нагружения можно пред-
ставить в виде о, = К (qy Это уравнение круговой цилиндрической
поверхности, ось которой совпадает с гидростатической осью, а
радиус a, J- увеличивается по мере упрочнения.
Если в качестве меры упрочнения принять величину достиг-
нутой интенсивности деформации е,, получим
о, = F(e,)e,,
где Г(£/) — положительная функция, характерная для данного
материала, аналогичная модулю упругости в линейной теории
упругости.
97
Если в координатах о,-, е, строить кривую о,- = ст, (е, ), то для
различных напряженных состояний получим одну и ту же “еди-
ную” кривую. Она совпадает с диаграммой деформирования, кото-
рая строится по результатам испытаний на одноосное растяжение.
При возрастании интенсивности деформаций е, развивается
упрочнение и растет интенсивность напряжений о,. При <7ст, > О
происходит нагружение и возрастают пластические деформации.
При do, < 0 происходит упругая разгрузка. При Jct, = 0 происхо-
дят нейтральные изменения: точка, изображающая напряженное
состояние, перемещается по поверхности нагружения.
За меру упрочнения q можно принять введенный Удквис-
том параметр
(4.24)
Рис. 4.14. Иллюстрация постулата
Друкера для одноосного растяжения
характеризующий накопленную пластическую деформацию.
В основе уравнений состояния пластически деформируемого
тела лежит соотношение, называемое постулатом Друкера: в цикле
нагружения—разгрузки добавочные напряжения выполняют поло-
жительную работу, если имели место пластические деформации.
Применительно к од-
ноосному растяжению по-
стулат Друкера означает
следующее. Примем за
начальное состояние на-
пряжение о0, полученное
в результате нагружения
до точки А и разгрузки до
точки В. Произведем на-
гружение по линии ВА
(рис. 4.14). Точка А лежит <
на кривой упрочнения, .
так что ей соответствует
наступление пластическо-
го состояния.
Из точки А произведем бесконечно малое нагружение do
до точки С, вызывающее пластическую деформацию dtp. На-
конец произведем разгрузку до начального напряжения о0 в
точке D. Удельная работа пластической деформации в замкну-
том по напряжению цикле нагружения—разгрузки BACD равна
98
сумме площадей параллелограмма BAFD и треугольника ACF.
Следовательно,
(ол ~^o)dep >0
dndt.p > 0
(4.25)
За цикл нагружения—разгрузки добавочные напряжения аА - ст0
и da выполняют положительную работу на вызванных ими де-
формациях. В (4.25) входят только приращения пластических де-
формаций, так как работа на приращениях упругой деформации
dEe в замкнутом по напряжениям цикле равна нулю. Соотноше-
ния (4.25) выражают постулат Друкера для одноосного растяже-
ния. Для объемного напряженного состояния эти же выражения
можно записать в виде
-°oij)df-? >0
> 0
Из выражений (4.26) следует, что
Ме£ > о0,/е£,
(4.26)
(4.27)
т.е. работа, совершаемая напряжениями а у, удовлетворяющими
условию пластичности, на заданных приращениях пластических
деформаций dtp, больше работы, которую совершили бы любые
другие напряжения иОу из упругой области на тех же приращени-
ях пластических деформаций (принцип максимума работы плас-
тической деформации).
Ранее отмечалось, что поверхность текучести выпуклая. Рас-
сматривая выражение (4.26) как условие положительности ска-
лярного произведения векторов (ст^-о0/у) и , можно сде-
лать вывод о том, что угол а между этими векторами не должен
быть тупым. Для выпуклой поверхности нагружения, т.е. лежа-
щей по одну сторону любой касательной плоскости, это усло-
вие будет выполнено, если вектор, изображающий dep в девя-
тимерном пространстве деформаций, нормален к поверхности
нагружения (рис. 4.15)
99
Рис. 4.15. К формулировке постулата Друкера
при объемном напряженном состоянии
Если материал не упрочняется, то первое из неравенств (4.26)
сохранится, а второе обращается в равенство:
= 0,
так как вектор (см. рис. 4.15) будет направлен по каса-
тельной к поверхности 2. Вектор AF(de?) по-прежнему будет
направлен по нормали к поверхности текучести.
Согласно (4.27), функция приращения работы пластической
деформации <5ydtf при заданных приращениях пластических де-
формаций dtf, имеет минимум на действительных напряжениях
о,у. Найдем условие минимума этой функции, если соблюдается
условие пластичности
Для нахождения экстремума функции девяти переменных оу
воспользуемся методом Лагранжа, введя неопределенный множи-
тель ~dk. Рассмотрим функцию 10 переменных
Ф(о(>,= GjjdzPj - dkf (оу). (4.28)
Условия максимума или минимума функции Ф дают систему
уравнений
-i-(o,/e^-JV) = 0, /(ау) = ЛГ(9). (4.29)
100
Первое из этих уравнений позволяет получить ассоциирован-
ный (с уравнением f } = K(q) поверхности нагружения) закон
пластического течения
d£'J=dXd^' (4-30)
Этот закон отражает факт, являющийся следствием постулата
Друкера: вектор dt? направлен по нормали к поверхности нагру-
жения, уравнение которой имеет вид f (oz,) - К (#) = 0.
4.6. Условие пластичности Губера—Мизеса
В теории упругости связь напряжений и деформаций задана зако-
ном Гука, коэффициенты пропорциональности (модуль нормальной
упругости, коэффициент Пуассона) являются константами. В теории
пластического течения коэффициент, связывающий девиаторы на-
пряжений и скорости деформаций, зависит от величины прираще-
ния деформации, т. е. на момент решения задачи неизвестен. Зави-
симости, связывающие напряженное и деформированное состояния,
могут быть получены на основании уравнений ассоциированного
закона пластического течения. Коэффициент пропорциональности
(неопределенный множитель Лагранжа) должен быть подобран так,
чтобы было соблюдено условие пластичности.
Переход из упругого состояния в пластическое компактных
металлических материалов, как правило, определяется условием
Губера—Мизеса.
Условие пластичности Губера—Мизеса предполагает начало пла-
стической деформации в случае достижения равенства интенсивно-
сти напряжений и предела текучести при одноосном растяжении
= о5. В декартовых координатах условие пластичности имеет вид
/ \2 / \2
J — (Ох — Gy у + (СГу — Gz ) +
+ (о7 - )2 4- 6т™ + 6x1. + 6т™ - 2о? = 0.
\ л / ^У ^У ^У
(4.31)
Уравнения связи компонент напряжений и скоростей дефор-
мации могут быть получены из уравнения ассоциированного за-
кона течения
101
Определим их:
= 2Х(2ах - сту - стг) = 2Х(Зох - Зо0) = 6XSx.
Аналогично
ё£ = 6kSy,
Ёр = 6>А’
Уху ~ , (4.32)
fyz = 12kxyz,
ip = 12Лт_с.
‘ zx zx-
Воспользуемся гипотезой “единой кривой”: интенсивность
напряжений при активном нагружении элемента тела является
функцией интенсивности деформаций, не зависящей от вида на-
пряженного состояния. Это значит, что коэффициент пропорци-
ональности, связывающий интенсивности напряжений и дефор-
маций, для любого вида напряженного состояния может быть
определен из простейших опытов на одноосное растяжение или
на кручение:
_ ®х
&х
В общем случае
[3 . [2
Для одноосного напряженного состояния ст, = — Sx; ё,
Следовательно,
Здесь
, откуда Sx =- —
3 е,
i
т^ = -—= 2ц
6Х 3 ё,
(4.33)
Аналогично
1 1 ст, 1 ст, .
— = —- = ц т™ = —-У™
12Х Зё,- ’ Зё,
102
I
Таким образом, связь между компонентами девиаторов напря-
жений и скоростей деформации на основании (4.32) и (4.33) мо-
жет быть представлена в виде
^=2рп/7, (4.34)
где коэффициент пропорциональности ц = - -у2- является функ-
цией интенсивности скоростей деформации.
4.7. Поверхности нагружения порошковых и пористых тел
Коническая поверхность Мизеса—Шлейхера
В осях координат: гидростатическое напряжение о0 — интен-
сивность касательных напряжений Т коническое условие текуче-
сти имеет вид
У У
WS J's
Здесь и ps — пределы текучести на сдвиг и гидростатичес-
кое сжатие.
Уравнение ассоциированного закона течения:
У даУ
Из уравнения следует, что скорость объемной деформации ё0
не зависит от гидростатического давления, а компоненты девиа-
торов напряжений и скоростей деформации связаны соотноше-
нием
Обозначая ц = и принимая во внимание, что Т = ,
получаем множитель Лагранжа X = tsH . Скорость объемной де-
формации ё0 = = -Ь_ я .
Эллиптическое условие пластичности
Если пределы текучести на гидростатическое растяжение и
сжатие ps равны между собой, а предел текучести на сдвиг равен
5, то условие пластичности может быть записано в виде
103
7 = к г =L (4-35)
Уравнение ассоциированного закона течения определяется
дифференцированием функции f
df
У
Поскольку о0 = - о„
Z
Э<Т0 - 2 гг х
доу 3 0 '7 •
дау 3 7’
Интенсивность касательных напряжений
IJ^IJ
Г^\\ х У) \ У 1 7 \ z х/ v
Производные по компонентам напряжений:
ЭТ2
Эоу
2 2
yz + <
дТ
и.
Таким образом,
Ь(/
Используя известные соотношения
и
получим
2
У_
2
2ц ’
т2
ц = — .
2Х
С учетом связи инвариантов: а0 = 7Сё0; Т = \хН
условие пластичности к виду
„2
2Х ’
.2
s
(4.36)
(4.37)
(4.38)
преобразуем
и далее
2д2
s
(2Х)2 (2Х)2
J
104
откуда
2Х = yjp^Q +t?sH2 . (4.39)
Таким образом, вместо уравнений с двумя коэффициентами
связи компонент напряженного и деформированного состояний
К и Ц приходим к определяющим уравнениям с одним неизвест-
ным параметром X. Система уравнений теории пластического
течения в таком случае решается стандартным образом методом
переменной жесткости с подбором параметра X, обеспечивающе-
го выполнение условия пластичности.
Условие пластичности Друкера—Прагера
Сходные с пластичностью явления наблюдаются во многих ма-
териалах, таких как бетон, скальные породы, керамические мате-
риалы. Известный критерий Мора—Кулона определяет максималь-
ное касательное напряжение на произвольной площадке в виде
Т = С + Orttg(p,
где с — сила сцепления (Н/м2);
<зп — нормальное напряжение;
Ф — угол внутреннего трения.
Условие предельного состояния может быть приближенно за-
писано в форме, предложенной Друкером:
f = осо0 + Т - К = 0 .
Здесь
бзшф бссозф
л/З (3 - sin ф) ’ л/З (3 - sin ф)'
На основе этого выражения может быть записано уравнение
ассоциированного закона течения
£<• = X—— = -осХ3.7 +--
lJ dO'j 3 lJ 2 Т
Используя известную форму представления тензора скоростей
Деформации г? = + т]£, получаем = осХ , т. е. объемная
Деформация от гидростатического давления не зависит. Из соот-
ношения
р =
ij 2ц 2 Т
105
следует, что Ц = у.
Л
Поскольку Т = \кН = рЛ ,
то X = Н.
Таким образом, = аН.
При Т = 0 условие предельно-
го состояния приобретает вид
осо0 - К = 0. Далее преобразуя
это уравнение, получаем
Рис. 4.16. Кривая текучести 6 sin (р _ 6с cos (р
(условие Друкера—Прагера) д/з (3 - sin <р) ° л/З (3 -sincp)’
где о0 = с ctg(p (рис. 4.16).
Задача может быть решена так же, как в случае эллиптическо-
го условия пластичности.
Ассоциированный закон, как правило, не выполняется. Пове-
дение материалов Мора—Кулона описывается так называемыми
неассоциированными законами. При этом задача может быть ре-
шена методом начальных напряжений.
Поверхность вращения лемнискаты
Пбверхность нагружения порошкового материала может быть
представлена в виде тела вращения относительно гидростатичес-
кой оси, образованного лемнискатой (рис. 4.17):
(4.40)
Рис. 4.17. Кривая текучести, заданная лемнискатой
106
Кривая f пересекает гидростатическую ось в двух точках: о0 = О
и on = Ps > соответствующих пределам текучести на гидростати-
ческое растяжение (о0 = 0) и сжатие (ст0 = ps).
Решение уравнения (4.40) относительно Т2 дает
(4.41)
Решение относительно ctq дает
(4.42)
Исследуем функцию f на экстремум:
dT J
i\ --= —= 0 даст положение точки А (см. рис. 4.17):
’ do0 fr
/а0 = 4(оо + ^2)ао - Р2°о = 0, откуда Оо + Т2 = .
Подставив Т2 из (3.40), получаем oq = Ps ~0,612ps.
Далее из (4.41) находим
= 0,354р5.
Точка А может быть интерпретирована как предел текучести
на сдвиг при гидростатическом давлении о0 = PsJ$;
2) _I = -11- = о даст точку максимального гидростатического
dT А
напряжения:
ft = 4(og + Т2)Т + 2р2Т = 0 .
Подставляя ajj из (4.42), получаем о0 = Ps > т- е- кривая f пе-
ресекает гидростатическую ось под прямым углом.
Таким образом, лемниската, как и эллипс, удовлетворяет
всем формальным признакам, предъявляемым к виду поверх-
ности нагружения.
107
Уравнение ассоциированного закона течения имеет вид
Согласно уравнению (4.43), границей зон уплотнения и раз-
рыхления на кривой текучести является точка, где скорость объем-
ной деформации равна нулю (ё0 = £х + = 0) •
= X 2^Oq + Т1 j-
Ps 2о0
= 0.
Подставив сюда Т2
из (4.41), получаем о0 = ps
и далее
Т = , т. е. координаты точки А.
Интенсивность скоростей деформаций сдвига
На основании (4.43)
Поскольку 2 (Оо + Т2 j + р2 * 0, интенсивность скоростей де-
формаций сдвига равна нулю при 7 = 0.
Выразим множитель Лагранжа А через характеристики напря-
женно-деформированного состояния. Для этого сопоставим вы-
ражения (4.43):
и
108
Отсюда следует:
2Х (2ajj + 2Т2 - р]) J Ц 2Х(2о^+2Т2+л2) •
Обозначим
=______1_____ -_________1______
2оо + 2Т2 - Л2 ; 2а2 + 2Т2 + Л2 ’
В таком случае
Учитывая, что о0Л"е0 > > преобразуем (4.40):
f = (^2ёо + ц2Я2 - р2 (Лг2ёо + [i2H2) = 0 .
Далее,
откуда
_ 1 ^42ёр + В2 Н2
" А ^АЧ2-В2Н2 ’ (444)
Таким образом, как в случае использования эллиптического ус-
ловия пластичности с одинаковыми пределами текучести на гидро-
статическое растяжение и сжатие, применение кривой текучести в
форме лемнискаты позволяет прийти к определяющим уравнениям
с одним искомым в ходе итерационного процесса параметром X.
Этот параметр является функцией предела текучести материала на
гидростатическое сжатие, а также напряженно-деформированного
состояния на рассматриваемой стадии нагружения.
4.8. Деформационная теория пластичности
В деформационной теории пластичности устанавливается связь
между напряжениями и деформациями. При простом нагруже-
нии уравнения теории пластичности интегрируются. Критерий
простого нагружения
109
где ф — переменный скалярный параметр; 5° — постоянный
девиатор.
Простое нагружение возможно лишь при небольших дефор-
мациях, поэтому деформационную теорию пластичности называ-
ют теорией малых упругопластических деформаций. Деформацию
считаем состоящей из упругой и пластической:
— Яе.. 4- рР
Упругая деформация определяется законом Гука (4.15):
е?. =^L + 8..^
IJ 2G ,J ЗК ’
Приращение пластической деформации связано с девиатором
напряжений соотношением
= 5/Х,
где dk — коэффициент пропорциональности, который может
изменяться в процессе нагружения, оставаясь положительным.
Коэффициент пропорциональности dk можно выразить че-
рез вторые инварианты девиаторов напряжений и пластических
деформаций, если обе части равенства возвести в квадрат
dtfdtf = SyS.dk2
и воспользоваться выражениями интенсивности напряжений и
деформаций:
о. J- SuS,j; de? = . - de'de' .
v 2 1 у 3 ч ч
После подстановки получаем
= (c,dk)2,
откуда
Следовательно,
3
dt? = dkStj =?-—!-Sy.
J 2 oz
Заменяя при простом нагружении S. = ф Sy , получаем
о, = фо°, где о? = f(S.). Тогда
110
, „ 3 S,J з^
аг? =--аг? =—<4451
4 2 о,- ' 2 of '
Интегрируя при постоянных Sy, of , получим
e£=|4w =|jpe'-- (4.46)
Oz О/
Обозначая г? = j </ef , приходим к уравнению связи между
пластическими деформациями и напряжениями по деформаци-
онной теории пластичности:
(4.47)
Вводя интенсивность деформаций е,- = ef + ef как сумму ин-
тенсивностей упругих и пластических деформаций, получим оп-
ределяющие уравнения по деформационной теории (соотноше-
ние Г. Генки) в виде
(4.48)
По внешнему виду эти уравнения похожи на уравнения обоб-
щенного закона Гука, но, в отличие от последних, нелинейны. Из
уравнений (4.48) следует пропорциональность девиаторов напря-
жений и деформаций.
Подставив в (4.48)
3(1 - 2v) ’
^0 , (*7хх + &уу ’
после простых алгебраических преобразований получим
р =
1 - 2v
— +------
oz ЗЕ
XX
ez 1 - 2v
ЗЕ
(4.49)
Еху 2 Тху
Соотношения Генки—Ильюшина (4.49) связывают напряже-
НИя и Деформации, не разделяя девиаторную (^ ) и шаровую (о0 )
Части тензора напряжений.
111
4.9. Теория пластического течения
В основе определяющих уравнений пластически деформируе-
мой сплошной среды лежат условия пластичности, условия уп-
рочнения и ассоциированный закон течения. В теории пласти-
ческого течения устанавливается связь между приращениями
деформаций t/e , приращениями напряжений </о/7 и напряжени-
ями о(у. Приращения деформаций складываются из приращений
упругих и пластических деформаций, т.е.
de(y = de? + dtf.
В соответствии с законом Гука
е _ , е ^0
lj 2G ,J ЗК •
(4.50)
(4.51)
Выражение для приращения пластических деформаций опре-
деляется на основании ассоциированного закона течения, из ко- <
торого следует пропорциональность девиаторов напряжений и
приращения пластических деформаций. Для компонент тензора
получаем
dtf =dXSij.
(4.52)
Здесь d7, =--- — множитель Лагранжа.
2 о,
Подставляя выражения (4.51) и (4.52) в (4.50), получаем урав-
нения Прандтля—Рейсса пластически деформируемой среды по
теории течения
_ я Jg0 , 3 у
iJ 2G ,J ЗК 2 ,J'
(4.53)
В выражении (4.53) величина Si} содержится в виде функции
и ее производной (приращения).
Уравнения Прандтля—Рейсса связывают напряжения с беско-
нечно малыми приращениями деформаций и напряжений, т.е. не
являются конечными соотношениями между напряжениями и
деформациями для произвольного нагружения или пути дефор-
мирования. Этот факт отражает зависимость деформаций от пути
нагружения и напряжений — от пути деформирования.
В процессах обработки металлов давлением обычно de? » d^.
Если пренебречь упругой составляющей тензора деформаций,
приходим к уравнениям Сен-Венана—Леви—Мизеса:
112
— (4.54)
Уравнения Сен-Венана—Леви—Мизеса представляют собой
конечные зависимости между напряжениями и скоростями де-
формаций. Внешне эти уравнения аналогичны уравнениям тече-
ния вязкой жидкости.
5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Инженерные конструкции можно рассматривать как некото-
рую совокупность конструктивных элементов, соединенных в ко-
нечном числе узловых точек. Если известны соотношения между
силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то,
используя известные приемы строительной механики, можно ис-
следовать поведение конструкции в целом.
В сплошной среде число точек связи бесконечно, дифферен-
циальные уравнения равновесия предполагают наличие непрерыв-
ной функции, описывающей распределение перемещений в ана-
лизируемой области под действием приложенной нагрузки.
Использование метода конечных разностей для численного реше-
ния дифференциальных уравнений основано на замене производ-
ной конечной разностью значений функции на некотором, не
бесконечно малом, промежутке изменения аргумента Ах. Непре-
рывная, дифференцируемая функция в результате такого реше-
ния заменяется кусочно-линейной, являющейся некоторым при-
ближением искомой функции. Очевидно, чем меньше Ах, тем
выше точность численного решения. Численное интегрирование
выполняется на прямоугольной сетке конечных разностей в за-
данной дифференциальным уравнением системе координат.
Понятие конечных элементов, введенное Тернером, предус-
матривает разбиение сплошного тела на отдельные элементы,
взаимодействующие между собой только в узловых точках, в
которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные напряже-
ниям, распределенным по границам элементов. Конечные эле-
менты могут иметь произвольную форму и размеры, но стыко-
ваться между собой должны в узловых точках. Возможна следующая
еРпРетация метода: сплошная среда заменяется некоторой эк-
алентной шарнирной системой. Техника решения статически
113
неопределимых шарнирных систем хорошо известна. Необходи-
мо лишь решить вопрос о соотношениях между силами и переме-
щениями отдельных элементов.
5.1. Функции формы конечного элемента
В курсе теории упругости рассматривалось решение задачи о
нагружении бесконечной трубы внутренним или наружным давле-
нием (задача Ламэ). При решении задачи в перемещениях распре-
деление перемещений по толщине стенки трубы задавалось в виде
В
и = Ар + — , где А и В отыскивались в зависимости от внутреннего
Р
(Ь) и наружного (а) радиусов трубы. В задаче Ламэ функция и (р) —
едина для всей области b < р < а. Небольшое усложнение задачи
(например, неравномерный нагрев трубы) приведет к тому, что
общую для всей области функцию и (р) подобрать невозможно.
Метод конечных элементов предусматривает разбиение обла-
сти Ь< р <а на произвольное число элементов (в данном слу-
чае — одномерных) и задание в пределах каждого из них соб-
ственной функции м(р). На стыке элементов в узловых точках
значения и, вычисленные в соседних элементах на основании сво-
их функций м(р), должны совпадать. Вид функций и(р) и коэф-
фициенты в функциях в пределах конечных элементов различны.
В простейшем случае в пределах конечного элемента зависимость
и (р) может быть линейной, и график зависимости перемещений
по толщине стенки трубы, полученный решением задачи МКЭ,
будет представлять собой ломаную линию, аналогичную получен-
ной методом конечных разностей.
Применение метода Ритца в его обычной форме связано с
построением координатных функций, удовлетворяющих условию
непрерывности для всей области. В основу метода конечных эле-
ментов положены те же идеи, что и метода Ритца, с той лишь
разницей, что координатные функции выбираются локально в
пределах малых конечных элементов. Внутри конечного элемента
координатные функции совпадают с функциями формы, за его
пределами координатные функции тождественно равны нулю.
Выбор формы элемента и функции перемещений для конкретных
задач зависит от изобретательности инженера, и именно этим
определяется точность приближенного решения.
114
При решении задачи
о трубе под давлением
рассматриваемую область
(толщину стенки трубы
(b < р S а) необходимо
аппроксимировать неко-
торым количеством ко-
нечных элементов. Узлы
элемента г обозначены
индексами / и j (рис. 5.1),
и полиномиальная фун-
кция, описывающая рас-
пределение перемеще-
ний внутри элемента г,
имеет вид
Рис. 5.1. Распределение перемещений по
толщине стенки трубы под внутренним
давлением
Коэффициенты
узловых точках i и /:
« = а]+а2р (5.1)
и а2 могут быть определены из условий в
и = щ при р = р,,
и = Uj при р = ру .
Эти узловые условия приводят к системе уравнений
и,- = ах + д2р,-
[«У = а{ + а2ру.
Решение этой системы дает
Pj ~ Pi
a2=^L
Pj ~ Pi
Подставляя значения at и й2 в формулу (5.1), получаем
«,Ру - «/Р, «у * «<
и = —J-----— + —------р.
Pj ~ Pi Pj ~ Р‘
Последнее может быть представлено в принятой в МКЭ форме:
Pj~ Р р-р,-
р, -р, р,—о.-
115
Линейные функции р в формуле (5.2) называются функциями
формы или интерполяционными функциями. Эти функции обо-
значаются N. Каждая функция формы снабжается индексом для
обозначения узла, к которому она относится:
,v; = p- ,v
Ру-Й 0!-0,
Соотношение (5.2) принято записывать в матричном виде
и = NjUj + NjUj = [#]{w}.
Здесь [W] - NjNj — матричная строка;
(5.3)
— вектор-столбец.
При большем количестве узлов конечного элемента общий вид
Р/ ~Р
искомой функции и (5.3) сохраняется. Функция формы А,- = —------
Ру - Pi
равна единице в узле i и нулю — в узле j. При любом большем
числе узлов в конечном элементе функция формы равна единице
в одном узле и нулю — в остальных.
Очевидно, что в конечном элементе можно использовать по-
мимо линейной аппроксимации любую другую. Например, для
решения задачи типа задачи Ламэ целесообразно использовать
аппроксимацию вида
U = Д]Р +
(5.4)
точнее описывающую зависимость перемещения от координаты р.
Использование такой аппроксимации позволяет существенно
уменьшить число конечных элементов, необходимых для получе-
ния требуемой точности решения.
Функции формы в случае аппроксимации (5.4) могут быть
найдены с помощью той же процедуры вычисления узловых зна-
чений функции и:
и, = «1Р< + —
Pi
U: = OjP +
Ру
116
I
Решение этой системы дает значения коэффициентов функ-
ции (5.4):
_ uiPi - UjPj
°1 2 2’
Р/ ~Pj
Ufij - UjPi
<h =—5----i—PiPj-
Pj ~ P,
Переходя к функциям формы, получаем
(5.5)
Для простейших элементов записывается функция формы /-го
узла. Функции формы других узлов получаются перестановкой
индексов.
Следует иметь в виду, что аппроксимация функции переме-
щений в виде (5.4) получена для полого цилиндра. Попытка ис-
пользования функций формы (5.5) для решения любых задач в
цилиндрических координатах, в том числе для сплошного цилин-
дра, натолкнется на арифметическое прерывание в точке р = 0.
Простейшим элементом для аппроксимации двумерной обла-
сти является треугольный элемент. Будем характеризовать пере-
мещения узлов /, у, т треугольного элемента г вектором узловых
перемещений {и}:
^xi
Uyj
Uxj
(5.6)
[^хт
Перемещения точек внутри элемента г являются функциями
к°ординат х и у и могут быть представлены вектором
(5.7)
117
Связь между вектором перемещений точки внутри элемента
{U} и вектором перемещений узловых точек {и} устанавливается с
помощью функций формы элемента [#]. Очевидно, эти функции
должны быть выбраны так, чтобы при подстановке в уравнения
связи координат узлов i, j, т получались соответствующие узло-
вые перемещения.
Перемещения в пределах рассматриваемого конечного элемента
их и иу являются линейной функцией координат х и у.
их = + а2х + а3у
иу = а4+ а5х + а6у (5.8)
Коэффициенты аг..а6 можно определить по известным пере-
мещениям узлов из двух систем трех совместных уравнений анало-
гично тому, как это было сделано для одномерных элементов. На-
пример, для перемещений uxj, uXJ , ихт справедливы уравнения
“xi = «1 + a2xi + азУ,
' uXJ = Й! + a2Xj + a3yj
.ихт = а\ + а2хт + азУт
(5.9)
Решая полученную систему уравнений относительно ар а2, а3,
получаем
их (*, У) = (в/ + bjX + с,у)uxi + (о, + bjx + Cjy)uxj +
"* + bmx +
Здесь
( 1 / к
а, = мГ^Ут~ХтУ]>
' bi = oV (уу - Ут )
(5.11)
С: = ~=-|Хт ~Xi )
' 2/д J>
Коэффициенты aj,bj,Cj,am>bm,cm получаются круговой пере-
становкой индексов z, у, т.
Площадь треугольного элемента
118
Аналогично получается выражение для иу (х,у).
В матричной форме связь вектора перемещений в произволь-
ной точке треугольного элемента с вектором узловых перемеще-
ний записывается в виде
{tf} = [#]•{«}. (5.12)
Компоненты матрицы [7V] — функции формы — имеют вид
V. = а, + btx + Cjy . Аналогично записываются выражения функций
формы, учитывающие влияние узлов j и т.
5.2. Деформации
Если известны перемещения точек элемента в функции коор-
динат, деформации определяются из известных в теории упругос-
ти соотношений Коши. В случае решения двумерной задачи с
использованием треугольных симплекс-элементов деформации в
конечном элементе
Эмх
•А»
Эх
ди
------—
ду
дих ди
А । ✓
ду дх
Для треугольного конечного элемента на основании (5.12)
ди
£х =~
дх
е =^у
У ду
у - ди
• ух ~
dN:
^»Х,
dN,
—-uYi
дх XJ
dN,
---~Uvi
ду yJ
dNm , , ,
^xm ~ btUxi + bj^xj + bm^xm
dNm
0 Uym ^i^yi CjUyj + ^m^ym
dx
dNj
dy
duy
fiy - ~i"xi • '-J'~xj ' '-m"xm • "i^yi ' ''j'^yJ ' “m^ym
Эти соотношения могут быть записаны более компактно
Матричной форме:
Пу(-
в
(5.13)
119
где [5] — матрица производных функции формы,
г
j
[5] =
О
с<
Ь.
Если функции формы TV, N, Nm линейны, деформации посто-
янны в пределах конечного элемента.
5.3. Напряжения
При решении двумерной задачи напряжения в точке записы-
ваются в виде трех компонент
Компоненты напряжений связаны с компонентами деформа-
ций законом Гука. Эта связь может быть представлена в матрич-
ной форме:
{а} = [Z)]{e}
где [D] — матрица упругости, содержащая характеристики
материала рассматриваемого конечного элемента.
Для плоского напряженного состояния матрица упругости
имеет вид
О
О
1 - v
В общем случае материал может иметь начальные деформации,
обусловленные тепловым воздействием, усадкой, несовершенством
сборки и т.п. Если обозначить эти деформации {е0 }, то напряжения
будут определяться разностью между существующими и начальны-
ми деформациями. Кроме того, к моменту рассматриваемого этапа
нагружения в материале могут быть некоторые остаточные напряже-
ния {о0}, обусловленные предшествующим нагружением. Таким
образом, соотношение между напряжениями и деформациями в1
элементе можно представить в виде
120
{o} = [Z>]({E}-{eo}) + {CTo}-
(5.14)
5.4. Разрешающая система уравнений
В качестве обобщенных перемещений, характеризующих состоя-
ние конечного элемента, выбраны перемещения его узлов. Очевидно,
внешние силы, действующие на элемент, следует привести к обоб-
щенным силам в узлах и далее составить систему уравнений равнове-
сия для узла. Пусть к рассматриваемому конечному элементу прило-
жены внешние силы, характеризующиеся вектором объемных
(распределенных) сил. Это могут быть массовые силы, силы инерции
Gx
{°} - G,
Л
Распределенная нагрузка {G} определяется как приходящаяся
на единицу объема материала элемента и действующая в направ-
лениях, соответствующих перемещениям {(/} в этой точке. Вве-
дем вектор обобщенных сил {Р}(г в узлах элемента г, отвечаю-
щих объемным силам, и определим его из условия статической
эквивалентности вектору {G}. Приведение внешних сил к обоб-
щенным силам в узлах осуществляется путем приравнивания ра-
бот заданных внешних сил на возможных вариациях функций
перемещений и обобщенных узловых сил на возможных вариаци-
ях перемещений в узлах.
Пусть 8{и}г — виртуальное перемещение в узле. Перемеще-
ние точки элемента 6{J7} = [.У]5{и}(г).
Работа, совершаемая узловыми силами {Р}г), равна произве-
дению силы на перемещение: ЕР = (8{w}<r) I {Р}^
Работа объемных сил {G} в общем случае представляет собой
интеграл по объему конечного элемента
Eg = / (8{/7}f{G}dVr =(s{u}(r)\T J [#f{G}JKr.
Приравнивая работы внешних и внутренних сил, получаем
выражение вектора обобщенных сил в узлах элемента, отвечаю-
щих объемным силам:
121
{P}(r) = J [TV]7' {G}dVr.
(5.15)
Нетрудно убедиться, что для элементов с линейными функци-
ями формы (треугольник, четырехугольник, тетраэдр, треуголь-
ная и четырехугольная призма) объемная сила, действующая на
элемент, распределяется между узлами в равных долях. Напри-
мер, на каждый узел тетраэдра приходится 1 /4 веса элемента. Для
квадратичных элементов процедура приведения объемных сил к
узлам не содержит такого простого физического смысла. В част-
ности, для четырехугольного квадратичного элемента на долю
каждого из узлов, находящихся на серединах сторон, приходится
1/3 нагрузки, на долю угловых — по — 1/12 на каждый. Иными
словами, силы инерции в углах элемента совпадают по направле-
нию с вектором скорости, а на серединах сторон направлены про-
тив скорости движения.
Поверхностная нагрузка в общем случае может быть распреде-
ленной по поверхности и сосредоточенной. Последнее представля-
ет собой некоторую условность, принятую в сопротивлении мате-
риалов. Здесь сосредоточенная нагрузка имеет смысл лишь в случае
аппроксимации области простейшими конечными элементами.
Пусть на части поверхности тела действуют поверхностные
силы, заданные компонентами вектора
{#}= Sy
Sz.
Если элемент г является граничным и часть его поверхности Sr
совпадает с поверхностью S, где действуют поверхностные силы,
в узлах элемента необходимо ввести вектор обобщенных сил {р}г),
отвечающий заданным поверхностным силам. Величину {р}г по-
лучаем из равенства соответствующих работ, как это было сдела-
но для объемных сил:
(5.16)
сг
Суммируя узловые силы от объемных и поверхностных рас-
пределенных нагрузок, получаем вектор внешней нагрузки в уз-
лах элемента г:
{Я}(г)={Р}(г)+{р}(г).
122
Под действием этого вектора узлы элемента получают переме-
щения {«}г), которые определяют перемещения точек элемента {U}.
Найдем эквивалентные внешним силам обобщенные усилия в
узлах. Для этого запишем выражение для приращения работы де-
формации за счет вариаций перемещений (приращение потенци-
альной энергии деформации элемента):
= J (5{е})г {c}dVr.
у
Вектор напряжений в элементе может быть выражен через век-
тор приращений деформаций равенством
{о} = [/)]({Де} + {е0}).
Выражая напряжения и деформации через узловые перемеще-
ния, получаем
Введем вектор обобщенных узловых усилий {F}г), отвечаю-
щий усилиям, статически соответствующими перемещениями ко-
торых являются {w}г) • Работа усилий на возможных вари-
ациях перемещений в узлах
Ef =(5{м}(г))Г{Г}(г)
должна быть равна приращению потенциальной энергии дефор-
мации. Отсюда
{F}w = J [Sf [Р][8]<(Г {»}<" + J |йГ [D]{<„}dV’ .
vr >
Квадратная матрица
[xf>= (5.17)
Vr
определяющая вектор обобщенных узловых сил для элемента г через
Узловые перемещения {w}г , является матрицей жесткости элемента.
Обозначим узловые силы, обусловленные начальной дефор-
мацией,
(5.18)
V
123
Просуммировав силы по узлам элементов всей рассматривае-
мой области, приходим к системе разрешающих уравнений
[tf]{M} = {/f} + {F}eo, (5.19)
для решения которой необходимо задать вектор внешних сил {7?},
если требуется определить перемещение, либо перемещения, если
требуется найти внешние силы.
Матрица жесткости ансамбля конечных элементов представ-
ляет собой симметричную матрицу ленточного типа и характе-
ризует жесткость системы, обусловленную геометрией области и
упругопластическими свойствами входящих в нее конечных эле-
ментов. Решение системы (5.19) позволяет найти перемещения
узловых точек сетки конечных элементов, а далее — деформа-
ции и напряжения.
5.5. Конечно-элементная аппроксимация
Как показано в работе [50], ключ к проблеме численного ре-
шения дифференциальных уравнений лежит в возможностях по-
лучения аппроксимации функций. В методе конечных разностей
основное внимание уделяется определению значений неизвест-
ной функции <р(х) в конечном числе точек х. В методе Ритца
функция <р(х) аппроксимируется функциональным рядом с точ-
ностью до нескольких варьируемых параметров. Функцию <р(х)
можно аппроксимировать с помощью некоторой функции V,
принимающей одинаковые с <р значения на заданной системе
точек, например, по границе области; для этого надо ввести сис-
тему линейно независимых базисных функций [Nm; т = 1,2,3,...},
таких, что Nm = 0 для всех т, кроме одной. В последнем случае
аппроксимация для <р может иметь вид
м
<P = V + ^amNm,
m=l
где ат — некоторые параметры, обеспечивающие хорошее при-
ближение.
Очевидное условие подобной аппроксимации: система базис-
ных функций должна обладать тем свойством, что комбинация
м
V + У ат^т ПРИ Af —> может сколь угодно точно представлять
т-\
124
произвольную функцию. Именно такая аппроксимация предус-
матривается в методе конечных элементов и в методе гранич-
ных интегральных уравнений (метод граничных элементов).
Согласно методу конечных элементов, область, занимаемая
телом, разбивается на ряд конечных элементов произвольной
геометрической формы. Внутри каждого элемента задаются не-
которые функции формы, позволяющие определить перемеще-
ние точек внутри элемента по перемещениям в узлах, т.е. в
местах стыка элементов. Таким образом, метод конечных эле-
ментов заключается в идеализации континуального тела с бес-
конечным числом степеней свободы совокупностью элементов,
имеющих конечное число степеней свободы и взаимодейству-
ющих друг с другом. В отличие от вариационно-разностного
метода в методе конечных элементов существенную роль игра-
ют функции формы, их интерполяционные свойства.
Если известны соотношения между силами и перемещения-
ми для каждого отдельного элемента, то можно исследовать по-
ведение конструкции в целом. При этом никаких ограничений
на свойства каждого элемента нет; если все элементы, входящие
в конструкцию, состоят из разных материалов с разными свой-
ствами и разной анизотропией свойств, ни принципиальных, ни
фактических сложностей в решении задач не возникает.
Отличие метода конечных элементов от известной процеду-
ры Ритца состоит в выборе аппроксимирующих функций. Вме-
сто гладких аппроксимирующих функций, определенных внут-
ри тела в соответствии с методом Ритца, метод конечных
элементов использует набор аппроксимирующих функций, каж-
дая из которых определена в небольшой части тела (в конечном
элементе).
Для решения плоских, осесимметричных и трехмерных задач
известно несколько типов конечных элементов, которые отлича-
ются один от другого формой и количеством степеней свободы. Для
решения плоских задач используются треугольный и четырехуголь-
ный элементы; для решения трехмерных задач — тетраэдр, треу-
гольная и четырехугольная призмы, реже — четырехугольная пи-
рамида. Для практических целей, как правило, используются
квадратичные изопараметрические элементы. Выбор сложных квад-
ратичных элементов обусловлен классом решаемых задач с высо-
кими градиентами температур, деформаций, напряжений. Усред-
нение по объему элемента напряжений и деформаций, диктуемое
ором простейших элементов, может исказить физический смысл
ССЛедуемых процессов.
125
Высокие градиенты температур обусловливают различие
свойств (механических, теплофизических) в объеме конечного
элемента, что вынуждает не только приписывать разным элемен-
там различные свойства, но и учитывать их изменение в объеме
элемента. Поскольку основное достоинство простейших элемен-
тов — возможность аналитического интегрирования по объему
элемента, однородность свойств в пределах простейших элемен-
тов является необходимым условием.
Общий вид функций формы для изопараметрического квадра-
тичного элемента в виде четырехугольной призмы с узлами на
серединах ребер, согласно [43]:
для узлов в углах призмы
Ni = |(1 + х*)(1 + /)(1 + z‘)(x’ + у + z -2);
О
для узлов на серединах ребер вдоль оси х0
=|(i-xo2)(i + /)(i + *’);
то же вдоль оси yQ
Nt =|(i + x*)(i-y02)(i + z*);
то же вдоль оси
+ + /)(!- Л
Здесь х* = х,х0; у* = у,у0; z* = ;
xi>yi>Zi — локальные координаты z-ro узла; xo,yo,Zo — оси
локальной системы координат.
Использование изопараметрических конечных элементов оз-
начает, что глобальные координаты произвольной точки внутри
элемента связаны с глобальными координатами узлов элемента
посредством тех же функций формы:
т т т
X = YNixi, ? = Z = ^NiZi,
/=1 /=1 /=1
которые связывают искомые величины перемещений в произволь-
ной точке элемента с узловыми перемещениями:
их = У Nuxi
м
т
Vy^iUyi,
Z=1
126
т
uz=YN^
/=1
Здесь i = 1... т — узлы элемента.
функции формы заданы в локальных координатах xo,yo,Zo
элемента, с тем чтобы координаты узлов элемента находились в
пределах -1 < Xq < 1; -1 < Уо < 1; -1 < ^ < I.
Для вычисления деформаций в глобальной системе координат
последовательно определяются:
матрица производных функций формы в локальных коорди-
натах
эм Эх0 ... dN* Эх0
[Д)] = эм Эу0 эм Э^о ... dN- дУо ... dZo 9
якобиан преобразования от локальной системы координат к гло-
бальной в точке с заданными локальными координатами
ЭХ ЭУ ЭХ ЭМ эм
Эхо Эх0 Эх0 Эх0 дХд
и= ЭХ ЭУ эх Эу0 Эу0 Эу0 = ЭМ ... эм Эу0 Эу0 • • • • • • • • • • X Y 7 9
ЭХ ЭУ ЭХ ЭМ эм т т т
dZo dZo dZo dZo dZo
матрица производных функций формы в глобальных коорди-
натах
ЭМ
ЭХ
эм
ЭУ
эм
эх
эм,
эх
эм
ЭУ
эм
эх
= [№[*о].
Таким образом, компоненты деформации удается выразить
ЧеРез перемещение узлов элемента
127
о о
Э[#]
дХ
Э[7У] Эру]
дХ
^х
uz
dZ dY
aW „ ЭД
L az az .
Использование локальной системы координат, связанной с 1
конкретным конечным элементом, позволяет выполнить интег-
рирование по объему конечного элемента численно с использова-
нием квадратурных формул Гаусса:
1 1 1
Z = J J J Ж.Уо,^ =
-1 -1 -1
=хххадя,/(хо,,Уо/,^)-
5=1 /=1 1=1
Здесь Hs,HhHt — весовые коэффициенты;
Хо5,Уо/>^о/ — координаты точек интегрирования;
s,l, t = 1,...,3 — номера точек интегрирования по трехточеч-
ной схеме Гаусса.
Метод конечных элементов подробно изложен в работах [43—50].
5.6. Задача расчета концентрации напряжений и деформаций
В качестве первого примера использования метода конечных
элементов для решения задачи теории упругости проанализируем
распределение напряжений в продольном сечении цилиндра с
малой сферической полостью на оси цилиндра под действием рав-
номерно распределенной нагрузки в продольном направлении. Под
“малой сферической полостью” подразумевается полость диамет-
ром не более 1/10 диаметра цилиндра. Выбор этого примера рас-
чета обусловлен двумя основными причинами: во-первых, имеет-
ся точное аналитическое решение этой задачи, во-вторых,
128
представляется возможность проследить методические аспекты по-
строения сетки конечных элементов.
Аналитическое решение этой задачи принадлежит Саусвеллу
(R.V. Southwell) [2]. При коэффициенте Пуассона v = 0,3 коэф-
фициент концентрации напряжений составляет к = 2,045. Точ-
ность численного решения задачи в данном случае зависит только
от качества аппроксимации области сеткой конечных элементов.
В силу симметрии анализируемая область составляет 1/4 часть
поперечного сечения цилиндра. Эта область аппроксимируется сет-
кой 148 квадратичных изопараметрических элементов с 493 узло-
выми точками (рис. 5.2). Известно, что корректное описание райо-
на концентратора достигается использованием конечных элементов
с характеристическим размером порядка 1/10 размера концентра-
тора. Поскольку используются квадратичные элементы, можно не-
сколько увеличить размеры элементов. На рис. 5.2 показано, что
размер элемента вблизи концентратора составляет 1/6 размера по-
лости. Сопоставление результатов численного и аналитического
решений позволит оценить правомерность принятой дискретиза-
ции области. На рисунке указаны размеры области и показана
заданная равномерно распределенная нагрузка р.
Рис. 5.2. Сетка конечных элементов и фрагмент района полости
В линейной теории упругости коэффициенты концентрации
напряжений и деформаций равны между собой, поэтому резуль-
таты решения могут быть представлены в виде распределения по
129
сечению компонент напряжений. Знак нагрузки р (растягиваю-
щая или сжимающая) на коэффициент концентрации не влияет.
Для численного расчета внешняя нагрузка принята р — 100 МПа
исключительно из соображений удобства обработки результатов.
Модуль упругости материала цилиндра соответствует стали
(Е = 200 000 МПа).
Численное решение задачи на приведенной выше сетке конеч-
ных элементов дало значение концентратора напряжений (и де-
формаций) к = 1,92 вместо к — 2,045, соответствующего точному
решению. На рис. 5.3 показана эпюра распределения напряжений
по сечению z = 0, проходящему через геометрический концентра-
тор. Значения напряжений при анализе концентраторов принято
относить к номинальному напряжению — напряжению в той же
точке при отсутствии концентратора. Номинальное напряжение
равно р — внешней равномерно распределенной нагрузке.
Рис. 5.3. Эпюры напряжений по сечению z = 0
Попробуем сравнить три варианта концентраторов. Один из
них — это сферическая полость, другой — сферическое “мягкое”
включение с упругими свойствами шлака, третье — сферическое
“твердое” включение тех же размеров со свойствами вольфрама.
Модули упругости соответственно Е = 80000 и Е = 360000 МПа.{
Предполагаем, что образцы материала с тремя типами дефектов.-
испытываются в пределах упругого нагружения.
130
В случае отсутствия геометрического концентратора линии
равных продольных (вдоль оси z) перемещений были бы горизон-
тальными и равноудаленными друг от друга. В районе полости
перемещения значительно выше, чем вдали от концентратора (при
равных z)- Качественно та же картина характерна для дефекта в
виде шлакового включения, но слабее в количественном плане.
Для дефекта типа вольфрамового включения имеет место обрат-
ная зависимость. Иными словами, чем тверже включение (шлак
“тверже” пустоты), тем большую нагрузку он может на себя взять.
По мере удаления от концентратора и приближения к середине
радиуса происходит выравнивание перемещений и напряжений.
Рис. 5.4. Области равных продольных напряжений (вдоль оси г)
а, МПа
z’
«а
Рис. 5.4 иллюстрирует факт концентрации напряжений у края
полости (заполнение отсутствует). В случае шлакового включения
в точке R = 15 мм концентратора фактически нет; он смещен впра-
во (находится в стали) и составляет к = 1,16. Дефект в виде воль-
фрамового включения создает концентрацию напряжений к — 1,35
внутри включения при R = 10 мм (см. рис. 5.3).
5.7. Задача оптимизации формы дна баллона
ти ^ассмотРим методику расчетного исследования и возможнос-
нспользования метода конечных элементов на примере выбора
131
форма дна баллона, заполненного жидкостью или газом под вы-
соким давлением. Баллон может быть получен холодной фор-
мовкой из листа; при этом технология листовой штамповки по-
зволяет без особых проблем получить ту илу иную форму дна
баллона. Необходимо лишь выбрать форму из соображений проч-
ности и жесткости конструкции, с учетом дизайна и полезного
объема баллона.
Анализ прочности и жесткости конструкции баллона выпол-
няется на базе решения задачи теории упругости методом конеч-
ных элементов. '
Исследование начинается с выяснения существа проблемы.
Представим тривиальный вариант конструкции баллона, состо-
ящего из цилиндра и плоского дна. Сетка конечных элементов,
аппроксимирующая этот вариант конструкции, показана на
рис. 5.5. Указаны размеры баллона и расчетная схема нагруже-
ния. В силу осевой симметрии сетка конечных элементов апп-
роксимирует правую часть поперечного сечения баллона. По-
скольку решается задача линейной теории упругости (соблюдается
линейная зависимость параметров напряженно-деформирован-
ного состояния от внешней нагрузки), давление внутри баллона
принято р =1 МПа.
Рис. 5.5. Сетка конечных элементов баллона с плоским
дном (а) и фрагменты участка перехода от дна к цилинд-
рической стенке (б) и центральной части дна (в)
132
При выполнении расчетов примем модуль упругости алюми-
ния Е = 70 000 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,3. На рис. 5.6
показано изменение формы сечения баллона за счет внутреннего
гидростатического давления р = 1 МПа.
Л
Рис. 5.6. Форма сечения баллона: а — исходная; б —
под давлением р = 1 МПа
На рис. 5.7 и 5.8 показаны области равных уровней радиаль-
ных и осевых напряжений. Максимальный уровень растягиваю-
щих нормальных напряжений вдоль осей г и z (в концентраторе
напряжений) достигает значений соответственно 152 и 125 МПа.
Если учесть, что на внутренней стенке трубы (цилиндрической
части баллона) при внутреннем давлении р = 1 МПа, как следует
из решения задачи Ламэ, тангенциальные напряжения составля-
ют 16 МПа, концентрация напряжений на стыке донной и боко-
вой поверхностей и изгибные напряжения в центре дна почти на
порядок снижают прочность конструкции. Таким образом, про-
блема выбора формы дна связана с необходимостью снижения
концентрации напряжений. Кроме того, прогиб плоского дна во
внешнюю сторону недопустим.
Очевидно, поиск приемлемой формы дна следует вести путем
подбора численного значения стрелы прогиба дна внутрь балло-
на. При этом надо ожидать повышение прочности и жесткости
конструкции при уменьшении полезного объема.
133
Рис. 5.7. Распределение радиальных напряжений по сече-
нию баллона
Рис. 5.8. Распределение осевых (вдоль оси г) напряже-
ний по сечению баллона
1
134
На рис. 5.9 показаны пять вариантов конструктивного оформле-
ния дна баллона, отличающиеся величиной прогиба и, следователь-
но, радиусом сферы, образующей дно баллона. Представлены фраг-
менты участков сопряжения донной и боковой поверхностей баллона.
Рис. 5.9. Варианты (1—5) конструктивного оформления дна баллона
135
z
136
Hill
Окончание рис. 5.9. Варианты (1—5) конструктивного
оформления дна баллона
Небольшой прогиб дна (й = 3,7 мм), соответствующий первому
варианту конструкции, приводит к изменению величины и знака
изгибных радиальных и тангенциальных напряжений в централь-
ной части дна. Если в случае плоского дна это были растягиваю-
щие напряжения, превышающие величину напряжений в районе
геометрического концентратора (на радиусе сопряжения донной и
боковой поверхностей), то в конструкции по первому варианту это —
сжимающие напряжения, нисколько не лимитирующие прочность
конструкции. Примерно в 2 раза снизилась концентрация напря-
жений на участке сопряжения дна и боковой поверхности.
Аналогично изменилось распределение продольных напряже-
ний в районе геометрического концентратора. Уровень максималь-
ных напряжений снизился по сравнению с вариантом плоского
Дна, однако в меньшей степени по сравнению с радиальными на-
пряжениями. Увеличение стрелы прогиба дна приводит к даль-
нейшему снижению концентрации напряжений.
Зависимость величин максимальных нормальных напряжений
°т стрелы прогиба дна баллона, построенная по результатам рас-
чета шести вариантов конструктивного оформления дна баллона,
представлена на рис. 5.10.
137
ст, МПа
Рис. 5.10. Зависимость уровня максимальных напряжений от стрелы
прогиба дна баллона
Нетрудно заметить, что увеличение стрелы прогиба дна баллона
свыше 5 мм не приводит к сколько-нибудь заметному снижению кон-
центрации напряжений и лишь снижает полезный объем баллона.
Рис. 5.11. Зависимость величины прогиба дна баллона от стрелы
прогиба
138
На рис. 5.11 представлена жесткостная характеристика конст-
рукции — зависимость величины прогиба в центре дна баллона от
стрелы прогиба, построенная по результатам расчета шести про-
анализированных вариантов конструкции.
Представленные выше результаты расчетного исследования в
строгом смысле не являются решением задачи оптимизации формы
дна баллона. Это поиск приемлемого инженерного решения задачи.
6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Расчет температурных полей является составной частью реше-
ния инженерных задач обработки давлением, термообработки,
сварки, термомеханического эксплуатационного нагружения. При
решении задач термоупругости и термоупругопластичности поле
температур и изменение температуры во времени — исходная
информация, необходимая для расчета напряженно-деформиро-
ванного состояния и механических свойств материала. Измене-
ние температуры во времени определяет свободные объемные из-
менения, которые при наличии градиента температур являются
термической нагрузкой, вызывающей возникновение деформаций
и напряжений. С другой стороны, температура в каждой точке
тела определяет механические свойства материала, которые влия-
ют как на напряженно-деформированное состояние (модуль уп-
ругости, коэффициент Пуассона), так и на переход из упругого
состояния в пластическое (предел текучести).
В процессах обработки металлов давлением распределение
температур находится в зависимости не только от теплофизи-
ческих свойств материала, но и от изменения формы деформи-
руемого тела. Это требует одновременного параллельного ре-
шения задач теплопроводности и формоизменения в ходе
пластического деформирования, желательно на единой сетке
численного интегрирования (сетке конечных элементов или
граничных элементов). В ходе решения задачи теплопроводно-
сти рассчитываются температуры в объеме тела, свободные
объемные изменения (термическая нагрузка); в ходе решения
задачи теории пластичности — формоизменение и напряжен-
но-деформированное состояние с учетом поля температур. Сле-
дующий шаг решения задачи теплопроводности выполняется
Для новой области, обусловленной формоизменением за счет
пластических деформаций.
139
6.1. Уравнения теплопроводности
Квазигармоническое уравнение стационарной теплопроводно-
сти в сплошной среде имеет вид
Э
Эх
ЭТЧ
Эх
эт'
ЗУ ,
= 0.
(6.1)
Здесь Т — неизвестная однозначная в рассматриваемой облас-
ти функция Дх,у,г);
Xx,ky,kz — коэффициенты теплопроводности анизотропного
материала — известные функции координат;
Q — внутренний источник тепла, который считается положи-
тельным, если тепло подводится к телу.
Физические особенности частных задач накладывают опреде-
ленные граничные условия. Различают следующие типы гранич-
ных условий:
а) на границе или ее части заданы значения неизвестной функ-
ции Т: Т = Tb(S), где Ть — температура на границе как функция
координат точек поверхности 5;
б) на границе или ее части задан поток тепла q\ при этом вы-
полняется условие
Здесь q — поток тепла, Вт/м2; lx,ly,lz — направляющие ко-
синусы;
в) на границе или ее части заданы условия конвективного теп-
лообмена, который характеризуется величиной h(T -Tm),
где h — коэффициент теплообмена, Вт/м2 • К;
Т„ — температура окружающей среды (известная);
Т — температура на границе (неизвестная).
Если 1 = Х„ = Хт, <7 = 0, h = 0, то условие на границе сводит-
дТ
ся к условию непроницаемости границы -— = 0 •
дп
Уравнение теплопроводности вместе с граничными условия-
ми однозначно определяет задачу.
Возможна также вариационная формулировка задачи. В соот-
ветствии с теоремой Эйлера вариационного исчисления для того,
чтобы в некоторой области V интеграл
140
dxdydz
(6.2)
принимал минимальное значение, необходимо и достаточно, что-
бы неизвестная функция T(x,y,z) удовлетворяла дифференциаль-
ному уравнению
Э/
дТ
= 0
(6.3)
в той же области при условии, что Т в обоих случаях удовлетво-
ряет одинаковым граничным условиям. Это означает, что уравне-
ние (6.1) эквивалентно требованию минимизации функционала
-QT dxdydz (6.4)
по всей области при тех же граничных условиях для Т.
Вариационная постановка задачи теплопроводности лежит в
основе численного решения методом конечных элементов.
Чтобы не накладывать никаких ограничений на значения
функции на тех частях границы, где заданы граничные условия
2-го и 3-го рода (б, в), целесообразно к функционалу (6.2) доба-
вить поверхностный интеграл по границе, который после миними-
зации обеспечивает выполнение этого граничного условия. В об-
щем случае указанный интеграл в уравнении Эйлера имеет вид
При решении задачи стационарной теплопроводности пред-
полагается, что к моменту, когда предпринимается анализ, в теле
уже достигнуто установившееся состояние. Поле температур, по-
лученное в результате решения уравнения (6.1) с граничными ус-
ловиями, может быть использовано при решении квазистацио-
нарных задач теории пластичности, которые применяются для
анализа процессов прокатки, волочения, прессования длинномер-
ных заготовок.
Более распространенный класс задач связан с исследовани-
ем технологических процессов, учитывающих изменение иско-
мых величин во времени. К нестационарным задачам относят-
термодеформационные задачи анализа процессов ковки,
141
штамповки, термообработки, эксплуатационного термического и
термомеханического нагружения. Во всех этих случаях необходи-
мо решать нестационарные задачи теории поля.
Уравнение нестационарной теплопроводности отличается от
уравнения (6.1) наличием члена, который содержит частную про-
изводную по времени
ЭТ
ЭТ
z
Эу у ду
дх
Эх
Здесь су представляет собой объемную теплоемкость матери-
ала. Все коэффициенты уравнения, так же как и Q, могут изме-
няться во времени. В некоторый фиксированный момент време-
ни производные от Т по времени и все коэффициенты могут
рассматриваться как заданные функции координат. Таким обра-
зом, уравнение (6.6) идентично (6.1) с учетом того, что величина
Q в формуле (6.1) заменяется разностью У - су— .
После этой замены решение физической задачи получается
минимизацией связанного с уравнением (6.6) функционала для
каждого временного интервала. Перед каждой такой минимиза-
цией коэффициенты теплопроводности и теплоемкости, завися-
щие от температуры и изменяющиеся во времени, должны быть
вычислены заново.
Функционал, связанный с уравнением нестационарной теп-
лопроводности (6.6), имеет вид
дх
z
Эу
6.2. Конечно-элементная дискретизация
При использовании метода конечных элементов для решения
нестационарного уравнения теплопроводности член с частной >
производной по времени рассматривается как функция простран- *
ственных координат в каждый фиксированный момент времени.
После этого допущения решение физической задачи получается
минимизацией связанного с уравнением (6.1) функционала для >
каждой точки временного интервала.
142
Дифференцируя (6.7) для произвольного узла сетки конечных
элементов, запишем
Минимизация функционала может быть выполнена прибли-
женно, если определить функцию Т для каждого конечного эле-
мента в принятой для МКЭ форме
т = pV]{T}. (6.9)
Входящие в уравнение (6.8) производные от температуры на
основании (6.9) выражаются через функции формы конечного
элемента и ее производные:
дТ
дх
дТ
эт;
Э ГЭ7П
Э7] [ Эх ,
ЭТУ,-.
Эх ’
аг 1 1 Эг
Аналогично записываются производные по у и z-
С учетом принятой аппроксимации в пределах конечного эле-
мента уравнение (6.8) для конечного элемента приобретает вид
Э/
Э7]
+ /q[N]T dS+ J At#]7, ([#]{?}-7L)J5 = O.
sr
(6.10)
143
Величины Q,q,Tm,h,X,c^( — это известные теплофизические
характеристики и заданные источники тепла. Они внесены под
знак интеграла, поскольку могут изменяться внутри элемента.
Коэффициенты теплоемкости, теплопроводности, теплоотдачи
обычно находятся в зависимости от температуры в точке.
Введем обозначения:
[АГ] = f [fif [Z> ] [Б] dV + f h [7V]r [АГ]dS-, (6.11)
vr sr
[C]= f су[#]Г[ЛГр/К; (6.12)
vr
{F} = - J [#]r QdV - J [tff qdS - J [W f TJidS. (6.13)
vr sr sr
Здесь [В] — матрица производных функций формы;
о о
ху о
о \
и>]=
— матрица коэффициентов теплопровод-
ности.
С учетом этих обозначений уравнение (6.10) приобретает вид
[с]^ + [ОД+ОТ-о. («и)
Общие матрицы теплоемкости и теплопроводности для всей
области строятся из матрицы для отдельных конечных элемен-
тов суммированием компонент матриц по узлам сетки конеч-
ных элементов.
Система разрешающих уравнений стационарной теплопровод-
ности отличается от уравнений нестационарной теплопроводности
(6.14) отсутствием матрицы теплоемкости. Очевидно, при
Эт
в установившемся процессе система уравнений упрощается:
[АГ]{Т} = -{Г}. (6.15)
б.З. Рекуррентные соотношения для решения задачи Коши
Для решения уравнений (6.14) относительно {Т} в каждой
точке временного интервала существуют два распространенных
метода. Один из них заключается в замене частной производной
по времени ее конечно-разностным аналогом с применением
144
центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использо-
вании конечных элементов, определенных во временной области
аналогично тому, как это было сделано в отношении простран-
ственной. И в том и другом случае используется “шаговая” проце-
дура, основанная на применении рекуррентных соотношений.
При использовании конечно-разностной схемы на временном
промежутке Дт = - т0 производная по времени приближенно
павна — = —*----. Центральная разностная схема предполагает,
н дт Ат
что производная вычисляется в средней точке временного интер-
вала; в этой точке должны быть вычислены {Г} и {F}. Эти вели-
чины приближенно могут быть вычислены как среднеарифмети-
ческое значений функции на краях промежутка Дт, т.е.
Г}‘=|({Т,}+{70});
)+«))
дТ
Подставляя приведенные значения , {Г} , {F} в диффе-
ренциальное уравнение (6.14), получаем соотношение
[С] «71} - {?о})+1 [*] (И }+{Г»})+{F } = о,
которое может быть преобразовано к виду
IМ + лт]{7;} = (лГ ’{F)' <6J 6)
Поскольку узловые значения температур в момент времени т0
известны, узловые значения в момент времени = т0 + Дт можно
получить, решая уравнение (6.16). Матрицы [С] и [А"], содержа-
щие теплофизические характеристики, зависящие от температу-
ры, вычисляются исходя из температур на момент времени т0.
Вектор {F} содержит граничные условия, которые полагаем не-
изменными в течение промежутка Дт.
Использование конечно-элементных представлений для ин-
терполяции функции {Г} в пределах временного промежутка Дт
145
основано на применении функций формы М (т), непрерывных
для рассматриваемого интервала времени:
Т = [М(т)]{Т} = Мо {То}+ {TJ. (6.17)
Простейшая, линейная интерполяция предполагает рассмот-
рение только двух последовательных моментов времени, как и
конечно-разностная схема, т.е. Дт = Tt - т0. Функции формы в этом
случае имеют вид
Л/о=1--^; (6.18)
Дт Дт 7
При т = О Мо = 1, М{ = 0; при т = Дт Мо = 0, Мj = 1.
Производная температуры в точке по времени
</{Т} Г dM0 dMj
di L di di
pl}.'
11 , чИг»Я
— I 1 1 {
[pi}j
(6.19)
Поскольку начальное значение {To} известно, используется
только одна весовая невязка. Интегрируя уравнение (6.14), умно-
женное на Л/], получим
IvijJ L дт Эт J
После подстановки в это уравнение выражений (6.17)—(6.19)
и последующего интегрирования получаем
( 1 о \ 1 1 Ат
И |Pi}4Pi} +-L[c](-{r0}+{7i})+-L [{Л}„/Т = о.
^3 5 J Дт Дт о
Этот результат подобен полученному выше с использованием
центральной конечной разности.
Величина {7]} может быть выражена из этого уравнения фор-
мально в предположении, что граничные условия за период Дт не
меняются:
<[С] + |дг[^{7]} = Г[С]-|дт[^]К}-Аг{Г}. (6.20)
Это рекуррентное соотношение может быть использовано для
построения полей температур в последовательные моменты време-
ни. Очевидно, интервал времени Дт при пошаговом прослежива-
нии процесса должен быть относительно мал, чтобы диагональные
146
коэффициенты матрицы, умноженной на {То}> в0 всяком случае
оставались положительными.
Конечно-элементная аппроксимация функции {Г} во време-
ни допускает использование не только линейных, но и более слож-
ных функций формы. Более сложные временные элементы обес-
печивают большую устойчивость решения и при этом могут быть
использованы большие временные интервалы.
6.4. Двумерная задача теплопроводности
6.4.1. Декартовы координаты
Рассмотрим двумерную область в декартовой системе коорди-
нат. Нестационарное уравнение теплопроводности в сплошной
изотропной среде имеет вид
= cy(7’)-4-
ОТ
Для численного решения этого уравнения методом конечных
элементов используется вариационная постановка задачи; глобаль-
ные матрицы [С], [X] и вектор {/} формируются из соответствующих
матриц и вектора конечных элементов. Для конечного элемента г
[C](r) = J су[#]г [ЛГ]г7И;
vr
[tf](r) = J X[B]T[B]dV+ J h[N]T [7V]d5;
Г 53r
{F}(r) = J 9[#]r dS - J hT„ [#]r dS - J е[ЛГ]г dV,
^2 И ~ поверхности, на которых заданы граничные условия
2-го и 3-го рода; [Л] и [2?] — матрицы функций формы и их про-
изводи ых ПО X и у.
Интегралы по объему вычисляются с использованием квадра-
турных формул Гаусса:
dV = det[J]/dxodyo, (6.21)
где t — толщина элемента;
хо> Уо ~ локальные координаты конечного элемента.
147
Таким образом,
[C](r) = j J cyp^f [Wpdet[J]</x04y0;
(6.22)
’ [7?f A[5]/det[J]dr0^0;
J [У]г dV = J j [#]T /det[J]dx0</y0.
v -1-1
Интегралы по дуге имеют аналитическое решение
(6.23)
(6.24)
4 2-1
/И>]</£ = ^2 16 2
1 -12 4
(6.25)
(6.26)
Длина дуги L вычисляется как
Для
(6.27)
стороны конечного элемента, заданного тремя узловыми
J [B]rX[B]t/K =
L
точками,
dx dx 1'
Производные функций формы по глобальной координате X i
вычисляются через соответствующие производные по локальной
координате х0 и якобиан преобразования:
^L = rjr1^Lj
dx 1 J dxQ ’
Здесь
[j] =
[ Jxq
dN2
dxo
Интеграл (6.27) вычисляется с использованием квадратурной
формулы Гаусса.
148
6.4.2. Цилиндрические координаты
Если трехмерное тело обладает геометрической симметрией
относительно оси z, то это тело называют осесимметричным. Если
к тому же граничные условия не зависят от азимутального угла 0,
то и распространение тепла в таком теле не зависит от угла 0.
Распространение тепла в осесимметричном теле описывается диф-
ференциальным уравнением нестационарной теплопроводности
( д2Т 1 дТ
---5" Н------Ь
дг2 г дг
(6.28)
Для решения этого уравнения используются двумерные ко-
нечные элементы.
Функционал, связанный с уравнением (6.28), имеет вид
дг
+ гЛ(Т) -2 (2-су(Т)
(6.29)
После минимизации функционала (6.29) получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
[C]^ + W}+{F} = 0.
При интегрировании по объему
dV = 2nrdrdz,
г — + N2R2 + ВДь
г — радиальная координата точки элемента.
Таким образом,
[С](г ’ =
' I cv[)V]r [Ar]rdet[/]<fc|)rfy0;
-1-1
(6.30)
f [B}dV = J J [2?f [S]rdet[J]^Jy0;
(6.31)
vr
-1-1
f [#f dV = f f [7V]r r detf/ldxo^o-
vr -1 -1
(6.32)
Интегралы по поверхности имеют аналитическое решение
149
где
(6.33)
Al
Ai
Ai
A2 Аз
Аз Я23 ,
4?2 Аз
(6.34)
4i = 394 + 204 -3R3;
?li2 — ^21 “ +16T?2 “87?3;
Аз = 41 -34 -84 - 34>
A22 = 164+1924 +164;
^23 = Дз2 = “I" 16T?2 + 20T?3;
t433 = ~37?j + 207?2 + 397?3.
(6.35)
Площадь поверхности вращения
(6.36)
Во всех уравнениях множитель 2 л отсутствует.
6.5. Одномерные задачи теплопроводности
Для решения простейших задач теплопроводности или для
упрощения задачи часто рассматривается одномерная область с
распределением температур по толщине бесконечной пластины,
по радиусу бесконечного цилиндра, по радиусу сферы. Простей-
шим одномерным конечным элементом является линейный эле-
мент. Функции формы такого элемента
Здесь х — координата вдоль толщины пластины, радиуса ци-
линдра или сферы; L — длина конечного элемента.
При использовании простейших конечных элементов интег-
ралы при формировании матриц теплоемкости, теплопроводнос-
ти и вектора правой части вычисляются аналитически.
150
f
6.5.1- Декартовы координаты
В декартовых координатах матрица теплоемкости конечного
элемента имеет вид
х - х( dx,
Матрица теплопроводности
[АГ] = J Х[Б]Г[Я]</И+ J A [#f [#]</£ =
vr sr
Здесь [N] = Nj
— матрица функций формы;
[*] = И 7
— матрица производных функций формы;
а и Р принимают значения 0 или 1 в зависимости от того, в
каком узле (/ или J) задано граничное условие.
Вектор правой части {F} = aq включает граничные ус-
ловия 2-го или 3-го рода.
6.5.2. Цилиндрические координаты
4
Вклад каждого элемента в глобальные матрицы [С] и [А] для
бесконечного цилиндра определяется формулами
[С]= JCY[7V]r[7V]dK = ^
ргг 12
Rj + 37?z-
Rj + R.
Rj + Ri
3Rj + Rt
[AT] = J X[5f[5]JK+ J /z[^7’[^]J5 =
+ hR.
151
4
Здесь dV = 2nrdr;
R = R, или Rj в зависимости от того, в каком из узлов задя-
ны граничные условия 3-го рода;
S = 2лг •
Вектор правой части
{F}=aqR-fihTJl.
Множитель 2л в формулах для вычисления [С], [Л] и {7*} от-
сутствует.
6.5.3. Сферические координаты
Элемент объема в сферических координатах
dV = 4nr2dr
Площадь поверхности
S = 4nR2
После подстановки dV и S и интегрирования получаем
су
бот?
3R5j - 5R*R, + SRjR? - 3Rf
127?3 - 30T?4T?, + 20R]R2 - 2Rf
X,
2Л75 - 20R2R- + 30RjR? - 127?,5
3R5-SR4R, + 57?, У?,4 - ЗТ?,3
f ' J J
{F} = a?7?2 -рАТте7?2.
Во всех уравнениях множитель 4 л отсутствует.
6.6. Метод граничных элементов
Есть только один способ объективного сопоставления возмож-
ностей и удобств различных методов — это сравнение результатов >
и трудозатрат на решение однотипных задач этими методами. По- >
этому представлялось целесообразным рассмотреть подход к реше-
нию одной из задач методом граничных элементов, разработать
соответствующую компьютерную программу и тем самым оценить
возможности и перспективы практического приложения МГЭ.
Далее приводится математическая постановка задачи нестацио-
нарной теплопроводности прямым методом граничных элементов
[58—61], которая, в частности, предусматривает внутренние элемен-
ты, когда требуется задать неравномерное исходное поле температур.
152
Процесс распространения тепла в плоской области характери-
зуется температурой, являющейся функцией координат и време-
ни и удовлетворяющей уравнению
(6.38)
начальному условию T(x,t0) = Т0(х)и граничным условиям 2-го
или 3-го рода:
T(x0,t) = g(x0,t);
|^(xo,0 = ®(x0,0;
дп
дп
где Хл& S (S — граница области); Т — температура окружаю-
щей среды.
Для получения интегральных уравнений прямого МГЭ исполь-
зуется фундаментальное сингулярное решение, которое описыва-
ет температуру в произвольной точке х в момент времени t, выз-
ванную действием мгновенного единичного сосредоточенного
источника, помещенного в точку z неограниченной области в
момент времени т. Такое решение описывается при помощи им-
пульсной функции Дирака 5(х, /, z, т), являющейся оператором со
свойством “избирательности”, что выражается соотношением
J J Т(х, т)5(х, t, z, x}dAdx = aT(z,t),
О А
и имеет вид [1]
(6.39)
(6.40)
г2
4ал(1-т)
G(x,t,z,T) = -—-—-,
4cm(t - т)
где г — расстояние между точками z и х.
Соответствующая производная этой функции по направлению
нормали к площадке, проходящей через точку х, имеет вид
. .. г2
F(x, t, z, т) = - -у--у е 4а('"т),
8a2n(Z - т)2
где h — расстояние от точки z до площадки.
153
Для получения интегральных уравнений прямого метода гра-
ничных элементов применительно к плоской области А, ограни-
ченной кривой S, достаточно умножить обе части равенства (6.38)
на G и проинтегрировать по частям дважды по х и один раз по t
[59]. Вводя обозначение свертки Римана
’ Ф(х, t - т)х(х, т) s (ф* %)(х, О
о
а также учитывая (6.39), получим интегральное уравнение
aT(z,f) = a^(F *Т - G * <S>)dS + 1(67 * Q + GT 0)dA , (6.41)
s A
которое описывает температуру T(z,t) в произвольной точке z внут-
ри области А в любой момент времени t, обусловленную начальной
температурой Т0(х), зависящими от времени источниками Q(x,f) ,
внутри области и всеми (как известными, так и неизвестными) зна- .
чениями температуры и потока на границе S. Уравнение (6.41) яв- ,
ляется сингулярным, так как ядра, содержащие Gw F, имеют осо-
бенности при т -> t (z —> х). Тем не менее, в соответствии с [62]
интегралы от ядер, содержащих G, существуют в обычном смысле,
от ядер, содержащих F, — в смысле главного значения Коши.
Чтобы иметь возможность вычислить недостающие граничные
данные, получим интегральное уравнение для температуры про-
извольной граничной точки z,y Устремляя z к z^, в соответствии С
теоремой Ю.В. Сохоцкого [63], получим
aT(.Zo,f) = (l-‘—-)T(zo,t) + a$(F *Т-G *&)dS + j(G *Q+ GT0)dA. (6.42) '
S А
Здесь со — внутренний телесный угол, образуемый касатель-
ными в точке Zq-
Коэффициент а принимает значения 0, 1/2, 1 вне области, на ;
ее границе и внутри, соответственно.
В совокупности уравнения (6.41) и (6.42) составляют полную >
систему уравнений прямого МГЭ для решения нестационарной
задачи теплопроводности.
Аналитическое решение уравнений (6.41) и (6.42) для реаль-
ных технологических задач не представляется возможным, поэто-
му приходится применять приближенные методы. Использование
простейшей процедуры дискретизации рассматриваемой области t
и пошагового изменения времени позволяет получить аналити-
ческие выражения для вычисления элементов матриц алгебраи-
ческих уравнений.
154
Разобьем границу исследуемой плоской области на прямоли-
нейные отрезки, считая температуру и поток вдоль отрезка (эле-
мента) постоянными и равными их значению в центре (узле) эле-
мента, а внутреннюю область — на треугольные элементы, считая
закон изменения температуры в отдельном треугольнике линей-
ным. Поскольку реальные температуры и поток изменяются го-
раздо медленнее, чем G и F, можно предположить, что они оста-
ются постоянными внутри достаточно малых интервалов времени
Ат, и проводить интегрирование по времени шагами. Тогда для
характерной р-й узловой точки с учетом того, что со = л, можно
написать дискретный аналог уравнения (6.42), полагая в нем Q = 0 :
(FpqTq - Gpq<bq) + Y Dpj = 0, (6.43)
?=1 j=l
где Fpq =^dTjF(xq,t,zp,T)dlq-
0 Л
Ат
Gpq = J JtJ G(xq ,t,zp,x)dlq;
о /«
DpJ = J G(xJ,t,zp,O)TojdAJ .
n и m — число граничных и внутренних элементов, соответ-
ственно;
I4 — длина <?-го граничного элемента;
AJ — площадь j-ro внутреннего элемента.
Дискретный аналог уравнения (6.41) может быть записан так
же, как для уравнения (6.42).
Исходя из уравнения (6.43), для каждой граничной узловой
точки получим систему п алгебраических уравнений относитель-
но п неизвестных значений температур и потоков. В матричной
форме эта система принимает вид
Для каждой z'-й внутренней точки
(6.44)
(6.45)
155
Решение системы находим для интересующего нас временно-
го периода, который разбиваем на п интервалов времени, отсчи-
тываемых от первоначального состояния t = 0, для которого зада-
но поле температур То. Для каждого следующего интервала времени,
отстоящего на Ат, при заданных граничных условиях необходимо
решить систему (6.44) и найти тем самым температуру и поток во
всех узловых точках на границе. Подставляя полностью извест-
ные значения температуры и потока в уравнения (6.45), найдем
значения температуры во внутренних узловых точках (вершинах
треугольных элементов), которые послужат начальным условием
для решения (6.44) на следующем шаге по времени.
Вопрос об ограничениях на величину Ат, в отличие от метода
конечных разностей, для которого известно неравенство Куранта,
в МГЭ не изучен. Следует заметить, что если шаг по времени
постоянный, нет необходимости вычислять значения элементов
матриц на каждом шаге. z
Чтобы сформировать матрицы системы (6.44), необходимо вы-
числить входящие в них интегралы. В соответствии с предложен-
ной дискретизацией области можно считать, что каждая узловая
точка представляет собой непрерывный сосредоточенный источ-
ник с постоянной интенсивностью. Тогда задача сводится к опре-
делению температуры и потока, обусловленных действием каждого
такого источника во всех узловых точках и проинтегрированных по
длинам элементов, на которых они находятся, включая и сингу-
лярный случай, когда источник находится на элементе, по длине
которого производится интегрирование.
Возможные взаимные расположения источника р и граничного
элемента q сводятся к двум расчетным схемам, показанным на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Схемы относительного расположения источника р и гранич-
ного элемента с узловой точкой q
156
Применительно к этим схемам проинтегрированные темпера-
тура и поток в направлении нормали к элементу q можно найти
по формулам
^(/) = <7^(/1)±(7w(/2);
F^(/) = F/’9(/1)±F/’9(/2).
Помещая начало координат в точку р и интегрируя от 0 до I
(I — длина элемента q) функцию непрерывного единичного
источника [1], находящегося в точке р, получим
Gpq =
(6.46)
Вводя обозначения
из (6.46) найдем
/
[lE^L2 +Н2) + п1/2е~н2
еЯ£-2ЯГаЬ(ДЯ), (6.47)
где
fab(L, Я) = Не~н2 j * dX. (6.48)
О X + п
Интеграл (6.48) может быть взят в явном виде только в случае
L = Я [64]:
гт2
ГаЬ(Я, Я) = е~н
= — (1 -erf2 Я).
4
(6.49)
Если L*H, функцию fab (Z, Я) можно найти либо числен-
но, либо аналитически, используя ее представление в виде схо-
дящихся степенных рядов. Первый способ при малых
" (Я 0) неприменим, тогда как этот случай является наиболее
важным, поскольку максимальным значение температуры в узло-
вой точке будет именно при Я = 0. Поэтому остается вычисление
функции fab(Z, Я) в виде сходящихся степенных рядов [65—67].
157
Разложив в подынтегральном выражении (6.48) е х в степен-
ной ряд и проинтегрировав почленно, получим
fab(Z, Я) = arctg- 5], (6.50)
где
Функциональный ряд сходится при всех значениях L<H,
причем при L-H выражение (6.50) переходит в (6.49). Вычисле-
ния по формуле (6.50) становятся затруднительными лишь при
больших значениях Я, поскольку возникают малые разности, так
как сумма 5, по своему значению приближается к arctg —. Чтобы
Я
избавиться от малых разностей, запишем (6.48) в виде
fab( L, Н) =
и проинтегрируем второе слагаемое при значениях знаменателя
Я2 и L2+H2, что соответствует началу и концу промежутка интег- ’
рирования. В результате получим два приближенных значения >
функции:
ГаЬ(£,Я) =
erf £-----z---=- (erf L - 2л 112Le
2(Н2 + iL2) \
(6.51)
где i = 0 или 1
Фактическое значение fab(£, Я) будет находиться в проме-
жутке между ними. Легко подсчитать, что абсолютная ошибка
вычисления fab(£, Я) при Я > 3 составит не более 10 6, а относи-
тельная — не превысит 2,8 %. При L -» 0, как следует из (6.51), ’
Г
ГаЬ(ДЯ) = ^-е~нг.
11
Чтобы получить функциональный ряд, аналогичный (6.50), но
сходящийся при L> Н , запишем (6.48) в виде
fab(Z, Я) = (1 - erf2 Я) + Я • e~H'
dX.
158
1
Разложив ^2 + ^2
в ряд по степеням — и интегрируя по-
членно, получим
fab(L, Н) = (1 - erf L • erf Н) - arctg + S2 , (6.52)
2. J-j
где
Ряд S2 сходится при всех L> Н , причем при L = И выраже-
ние (6.52), так же как (6.50), переходит в (6.49). При больших
значениях L, как следует из (6.52), величина
fab(L,#) = ^(l-erf#),
что с точностью до третьего знака становится справедливым при
L > 3. Если Н -> 0, функция fab(£, Я) —> , что является макси-
мально возможным значением этой функции. Таким образом, фун-
кция fab(L, Н) может быть вычислена во всем диапазоне измене-
ния L и Н; далее не трудно рассчитать GM (6.47). Чтобы найти
величину потока Fpq, достаточно продифференцировать по пара-
метру h выражение (6.46):
dGpq 1
FPq = (6.53)
dh 2па
Если исходное поле температур — нулевое, нет источников
и стоков тепла, заданы граничные условия 1-го и 2-го рода, то
для решения задачи теплопроводности получим систему разре-
шающих уравнений
В отличие от (6.44) значения потока приведены в размернос-
тях, принятых в теплотехнических расчетах.
Здесь су
— объемная теплоемкость материала;
_ м •град
т 9 [град] — температура в элементе д;
159
— поток в элементе q.
Перенеся для каждого из элементов произведения заданных в
виде граничных условий температуры или потока на соответствую-
щую строку матрицы [F] или [G] в правую часть, получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных для
каждого граничного элемента температуры или потока. После этого
температура в произвольной внутренней точке вычисляется по изве-
стным значениям температур и потоков в граничных элементах:
I
Начальное распределение тепла в области может быть учтено
как влияние мгновенных треугольных источников в узловых точ-
ках (граничных и внутренних). В зависимости от расположения
узловой точки р относительно противоположной стороны треу-
гольника ВС температура в узловой точке р равна сумме или
разности температурных вкладов от треугольных источников pCD
и pBD (D — основание перпендикуляра, опущенного из точки р
на сторону ВС):
DPJ = Dpi + DPJ
27 UPCD ~ "PBD ’
Задаваясь линейным распределением температуры в пределах
треугольника
найдем температуру в точке р, проинтегрировав функцию (6.40)
по площади треугольника pBD:
yL х2+у2
г е е ( х V А
DPJ = [dy f ----- TD + TB-- + TD — dx.
Jo Jo 4nat p B I D h)
Окончательно получим
DPJ arctg - fab(£, H) +
2л H
TB H erf H
4л1/2 L [ H
erf(Z,2 + Я2)1/2
(L2 +Я2)1/2
TD |Z erf(L2+Я2)1/2 e'^erfL
4л1/2 Я (Л2+Я2)1/2 Я
(6.54)
160
Используя формулу (6.54) и обозначая BD = Д; DC=L2;
pj) = я, Tp, Тв, Тс — температуры в узловых точках внутреннего
треугольника в момент времени t = 0, для варианта, соответствую-
щего положению точки D в пределах отрезка ВС, получим расчет-
ную формулу, определяющую температуру в точке р в произволь-
ный момент времени:
2)/v=^{arctg±l-fab(A,#)-
2л Н
ДегДДЧя2)172 е~н2 -
+ arctg - fab(L>, Я) -
11
erf^2 + Я2)1/2 е~нг
в
(6.55)
2
erf Lq] +
2
erf L}}.
Для варианта, соответствующего расположению точки D вне
отрезка ВС, используя обозначения
161
получим расчетную формулу
DPJ = -^-{arctg^-fab(4^)-
2л Н
2ГдеЯ(Д2 + Я2)1/2 е
Н(Ц2 + Н2)42
ЛгеЯ(/22 + Я2)1/2 е
erf Ц -
— arctg + fab(Z2, И) +
2
erf Ц -
_ т i <6’56>
erf 1^} +
2
erf Lq}.
В случае, когда узловая точка р находится вне внутреннего
треугольника, учитывая незначительность температурного вклада
такого источника и малую зависимость этого вклада от геометрии
источника, целесообразно считать, что в центре температур треу-
гольника, координаты которого находятся по формулам
х = X Т‘.х‘. у = X Т,у> (/=12 3)
ЦТ ^^Т ’ ^ЦТ
помещен мгновенный сосредоточенный источник с интенсивно-
стью
УТ
Q = cyS±-J-,
где S — площадь треугольника.
Температуру в узловой точке от такого источника можно най-
ти по известной [1] формуле
162
4nat
(6.57)
где г — расстояние узловой точки от центра температур.
Особо следует отметить случай, когда начальное распределе-
ние температур является гармонической функцией и внутренних
источников нет. Тогда с помощью второго тождества Грина
(6.58)
можно преобразовать интеграл по области, входящий в (6.42), в
эквивалентный интеграл по границе.
Поскольку интеграл по области имеет вид J GTodA , функцию
U следует взять такой, чтобы выполнялось равенство
V2U = G.
1 г2
Принимая U = — Е, (—
4л v4a/
и используя (6.58), получаем
Интегрирование по отдельному граничному элементу приво-
дит к расчетной формуле
Dpq = -I {Го fab(£, Я) - (а/)17 2 \LEX (Z2 + Я2) +
2л дп
+ л,/2е-^ erf £-2ЯГаЬ(Г,Я)]}. (6‘59)
Дискретный аналог уравнения (6.42) в этом случае следует за-
писать в виде
N п 1 п
£ £ (FpqTq -—Gpq®q )s + X DP4 = °-
5=1 q=l
9=1
где N — количество интервалов времени.
Таким образом, использование второго тождества Грина по-
зволяет при решении задачи теплопроводности ограничиться дис-
кретизацией только границы рассматриваемой области, что суще-
ственно упрощает подготовку исходных данных при решении
Широкого класса задач.
163
Для учета граничных условий 3-го рода следует сделать не-
сложные преобразования, учитывая, что
Ф = а(Г-Т„),
Вт
м2•град
где а
— коэффициент теплообмена, Т„ — температу-
ра окружающей среды.
При нулевом исходном поле температур получим
[F]--[G] {Т}+- [G]7L =0.
Очевидно, при любом ненулевом, но равномерном исходном
поле температур меняется лишь точка отсчета температуры.
7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ
В зависимости от величины и характера внешней нагрузки,
механических сврйств, температуры, исходного напряженно-де-
формированного состояния материалы и изделия могут деформи-
роваться упруго или пластически. И в том и в другом случае для
описания процесса деформирования используется система урав-
нений, включающая условия статического равновесия напряже-
ний и моментов
®ij,i "* ~ О’
уравнения связи перемещений и деформаций-
17
£ij 2^U'’j +
уравнения связи напряжений и деформаций
®ij ~ Сijkfikl'
Внешние напряжения Ь,, которые могут действовать на тело,
рассматриваются как объемные и поверхностные. Объемные на-
пряжения, например, гравитационные, инерционные, центробеж-
ные, действуют на малые элементы объема или массы внутри тела
и определяются для единицы объема. Поверхностные напряже-
ния действуют на поверхность, ограничивающую тело, и соотно-
сятся с единицей площади, на которой они заданы.
164
При построении системы уравнений теории упругости пред-
полагается, что конфигурация области полностью восстанавлива-
ется после снятия нагрузки, деформации зависят только от ко-
нечных значений напряжений и не зависят от истории нагружения
и пути деформирования. В общем случае неупругого поведения
материалов эти предположения не реализуются.
Пластичность определяется как способность материала непре-
рывно и постоянно деформироваться без разрушения при воз-
никновении напряжений, превышающих предел упругости мате-
риала. Таким образом, при снятии нагрузки появляются остаточные
деформации, результирующее значение которых зависит не толь-
ко от окончательных значений напряжений, но также от всей ис-
тории изменения напряжений от момента возникновения пласти-
ческих деформаций.
Сформулировать физические соотношения, описывающие ис-
тинное поведение материала при пластическом течении, — зада-
ча очень сложная. Сложность ее связана с нелинейностью и нео-
братимостью процесса деформирования, а также с рядом явлений,
которые возникают после перехода материала в пластическое со-
стояние. Пластические характеристики многих материалов опре-
деляются скоростью деформирования, причем сопротивление де-
формированию заметно возрастает с увеличением скорости
нагружения (влияния вязкости). Ползучесть материалов является
одним из примеров, когда деформации развиваются (особенно при
повышенных температурах) с течением времени при постоянных
значениях напряжений.
Для идеально упругопластического материала пластические
деформации возникают при достижении напряжения, равного
пределу текучести, и происходят при постоянном напряжении.
После разгрузки и при последующем нагружении в противопо-
ложном направлении пластические деформации возникают при
° = ; тем самым кривая полного цикла замыкается.
В случае простейшего линейного упрочнения предел текучес-
ти при сжатии не равен пределу текучести при растяжении; при
Циклическом нагружении проявляется эффект Баушингера. Для
описания этого эффекта имеется несколько упрощенных моде-
лей. В одной из них предполагается, что диапазон упругой разгруз-
ки равен удвоенному значению предела текучести (кинематическое
Упрочнение); другая модель соответствует теории изотропного уп-
рочнения, где предполагается, что механизм упрочнения оди-
наков как при растяжении, так и при сжатии, следовательно,
165
предел текучести при сжатии по модулю равен достигнутому зна-
чению при растяжении.
Как уже упоминалось, пластическое поведение некоторых ма-
териалов зависит от скоростей деформации. Согласно классичес-
кой или нереологической теории пластичности, независимость от
времени является основным из допущений этой теории, что дела-
ет невозможным одновременное описание как пластических, так
и реологических эффектов. Подобное единообразное описание
составляет содержание теории вязкопластичности.
Каждый материал обладает более или менее выраженными
свойствами вязкости. В ряде задач этими свойствами можно пре-
небречь, что никак не скажется на результатах. Однако имеются
задачи, где их влияние может оказаться существенным, и тогда
зависимость процесса деформирования от времени станет важной
характеристикой неупругого поведения. В подобных случаях де-
формации зависят от всей истории изменения напряжений во
времени и от пути нагружения. Отсюда следует, что различным
путям нагружения и различной длительности процесса нагруже-
ния будут соответствовать различные результаты.
Различие между нереологической теорией пластичности и>
теорией пластичности вязких материалов состоит в следующем.
В случае чистой пластичности критерий текучести F = 0 дает не-‘
обходимое условие возникновения пластического поведения. При
д<0 имеет место разгрузка (упругое деформирование), при
д > 0 — догружение (упругопластическое деформирование). Для
вязкопластических материалов критерий текучести может иметь
значения F > 0 ; при этом материал демонстрирует вязкопласти^
ческое поведение независимо от условий су > О или д < 0 . t
При медленном увеличении нагрузки результаты решения за4
дачи теории пластичности, соответствующие классической тео-
рии и упруговязкопластической модели, будут одинаковыми.
Из экспериментов известно, что многие металлы, обычно при
повышенной температуре, могут с течением времени непрерывно,
деформироваться при постоянной нагрузке. Зависящая от времени^
деформация, порождаемая этим процессом, называется деформа-^
цией ползучести. На участке первичной или неустановившейся
ползучести при снятии нагрузки первоначальное состояние обыч-*
но восстанавливается. Основной участок зависимости деформа-’
ции ползучести от времени — это участок установившейся ползу-
чести с постоянной скоростью £с. На этом этапе ползучесть дает
166
остаточную деформацию. Последний этап характеризуется быст-
рым увеличением скорости ползучести и заканчивается разруше-
нием. Незначительная продолжительность первичного этапа обус-
ловливает основной интерес к вторичной ползучести. В испытаниях
при постоянном напряжении деформацию ползучести записыва-
ют в виде
ес = g(o, t, Т),
где Т — температура; t — время.
Одним из представлений скорости ползучести является закон
Нортона
ёс = Кот.
В зависимости от целей исследования, свойств материала, на-
дежности сведений о механических характеристиках материала
выбираются та или иная теория пластичности и реологическая
модель материала.
7.1. Математическая постановка задачи
теории малых упругопластических деформаций
При решении задач классической нереологической теории
пластичности будем исходить из того, что выполняется условие
текучести Мизеса
F(<jy,K) = dj-Gs =0.
Здесь К = — параметр упрочнения, представляющий
собой работу пластической деформации.
Как указывалось ранее, пластичность — это явление, характе-
ризующееся историей нагружения, поэтому дифференциалы или
приращения пластической деформации необходимо вычислять в
процессе нагружения, а затем находить суммарные деформации
путем интегрирования или сложения. Соотношениями, опреде-
ляющими приращение пластических деформаций, являются из-
вестные уравнения Прандтля—Рейсса [68]
dz^SydX, (7.1)
где d~k — коэффициент пропорциональности, который может
изменяться в процессе нагружения, оставаясь положительным.
Из уравнения (7.1) видно, что коэффициент пропорциональ-
ности t/Х можно выразить через вторые инварианты девиаторов
напряжений и пластических деформаций, если обе части равен-
ства возвести в квадрат.
167
сЩсЩ = SySydk2
и воспользоваться выражениями интенсивности напряжений и
деформаций
a,^SsSe;
После подстановки получаем
=(о,</Х)2,
откуда
(7.2)
Предположим, что найдено значение нагрузки, при которой
достигаются заданное напряженное состояние и суммарные плас-
тические деформации Еу. При малом увеличении нагрузки воз-
никают дополнительные пластические деформации Де£, так что
полные деформации будут равны
(7.3)
причем в упругой деформации учитывается текущее прираще-
ние нагрузки.
Для расчета приращения пластической деформации на оче-
редном этапе нагружения удобно ввести модифицированный тен-
зор полной деформации в виде
я'.. = £.. — я?
У У У ’
состоящий из компонент упругой й и приращения пластической
деформации
4' = е;. + Де£.
Определяя компоненты упругой деформации, в соответствии
с законом Гука, через напряжения, получим
, if V с * Z>
е,7 = - СТ;,------СТл.1.0,; +ДЕ-;.
у 2G lJ 1 + v кк lJ lJ '
Это выражение с учетом равенства Де£л = 0 можно записать в
двух девиаторных формах:
168
e'ii = -^ + ; eii = £ii - -z 3//£w .
С учетом уравнений Прандтля—Рейсса (7.1) выражение де-
виатора модифицированного тензора деформаций можно пред-
ставить в виде
(7.5)
Возводя обе части равенства (7.5) в квадрат и переходя к ин-
тенсивностям деформаций, получим
1 + ^т— = —
2(7 ДА Aef >
(7.6)
где < = A-efa , btf = .
Подставляя (7.5) в (7.4), находим
(7.7)
Из соотношений (7.7) следует, что для определения прираще-
ний пластических деформаций на очередном этапе нагружения
необходимо найти приращение интенсивности пластических де-
формаций. Поэтому из выражений (7.2) и (7.6) найдем
1 + —= -^~,
3G&.? Де?
откуда следует
(7-8)
Поскольку при пластическом деформировании должно выпол-
няться условие пластичности Мизеса, то
ЛеГ (7.9)
Отметим, что — напряжение, соответствующее пределу
текучести и достигаемое при текущем приращении нагрузки,
на момент решения задачи для очередного этапа неизвестно.
Однако это напряжение можно представить усеченным рядом
169
Тейлора при разложении в окрестностях значения os на преды-
дущем шаге в виде
ст(”) =ст(”-1) + я("-1)де/’+...
где Н — функция, характеризующая зависимость предела текуче-
сти от пластической деформации.
Из выражения (7.9) находим
Де/* =
(7.10)
Алгоритм решения задачи нереологической теории пластичнос-
ти представляется следующим. Для заданного значения ДА выпол-
няется процедура решения задачи теории упругости с нахождением
напряжений. С использованием (7.4) вычисляется модифицирован-
ный тензор полной деформации и далее — второй инвариант деви-
атора (е'). Определяется приращение интенсивности пластической
деформации (7.10) и сравнивается со значением, полученным на
предшествующем итерационном шаге. Вычисляется новое значение
Де£ (7.7). Если сходимость не достигнута, с учетом (7.2) корректиру-
ется ДА и итерационный процесс продолжается.
Этот метод последовательных упругих решений предложен
Мендельсоном [69] и является очень эффективным и устойчивым
к выбору значений приращения нагрузки.
Для решения технологических задач, связанных с анализом
кинетики сварочных напряжений и деформаций, В.И. Махненко
[70—72] применил метод переменных параметров упругости (или
переменной жесткости), введя в постановку задачи такие ком-
поненты деформации, как свободные объемные температурные
изменения и деформации установившейся ползучести. В урав-
нения классической нереологической теории пластичности ока-
зались введенными компоненты, фактически зависящие от вре-
мени. Сформулированные Махненко уравнения термоупругости
были решены им вариационно-разностным методом, но оказа-
лись очень удобными для реализации методом конечных эле-
ментов.
7.2. Система уравнений нереологической теории пластичности
Рассмотрим некоторую область в декартовых координатах x,y,z.
Пусть вдоль контура области заданы граничные условия в виде
внешней нагрузки или перемещений. За рассматриваемый малый
170
период времени Ат в общем случае происходят приращение внеш-
ней нагрузки на контуре области и изменение температуры внут-
ри области, вызывающее свободные объемные изменения в каж-
дой точке
Аф = аД Т ,
где а — коэффициент линейного расширения материала. При
наличии фазовых и структурных превращений величина Дф мо-
жет быть определена по дилатограмме.
Изменение деформации при бесконечно малом приращении
напряжений может быть представлено в виде суммы упругой, пла-
стической и температурной составляющих, а также деформации
ползучести:
df = dfe + dep + f/ф + dfc. (7.11)
Выпишем основные соотношения теории малых упругоп-
ластических деформаций для задачи термоупругопластичнос-
ти. В соответствии с законом Гука приращение упругой дефор-
мации имеет вид
de‘J = d(+ &,jK сто • (7.12)
О F 1"2v к
Здесь Л = —— — величина, обратно пропорциональная мо-
Е
дулю объемной деформации;
2(1 + v)
— модуль сдвига.
Поведение материала за пределами упругой области будем ха-
рактеризовать либо диаграммой идеальной пластичности, либо
диаграммой упрочняющегося материала. Приращение пластичес-
кой составляющей определяется на основании ассоциированного
закона пластического течения. Связь между деформациями и на-
пряжениями в зоне пластической деформации устанавливается с
помощью коэффициента пропорциональности X, имеющего тот
же физический смысл, что и модуль сдвига в упругой области, но
отличающегося тем, что он зависит от величины деформации.
Преобразуя выражение (7.1), получим
(7.13)
Деформацию ползучести будем учитывать в виде [72]
171
de.c = Ф(Т,о)(Оу - 3(>о0)4/т, (7.14)
где Ф(Г,о) — функция ползучести, характеризующая скорость
ползучести при температуре Т и напряжении о. При этом ис-
ходим из того, что ползучесть протекает на фоне только упру-
гой деформации, а при наличии пластической деформации от-
сутствует.
Подставив составляющие деформации в выражение (7.11),
получаем
= d
Здесь h — параметр, равный единице при defj = 0 и нулю при
de.? * 0 (функция Хевисайда).
Возможность пошагового прослеживания истории нагружения
при компьютерном моделировании процессов пластического де-
формирования позволяет снять ограничения, связанные с про-
стым нагружением. Дифференциалы или малые приращения пла-
стических деформаций необходимо вычислять в процессе
нагружения, а затем находить суммарные деформации путем ин-
тегрирования (сложения малых величин).
Перейдем от бесконечно малых приращений деформации к ко-
нечным, происходящим за выбранный достаточно малый промежу-
ток времени Ат.
Обозначив
V = + АЛ + h<t>(T, о)Ат (7.16)
ч
и отмечая знаком * компоненты, относящиеся к предшествующе-
му моменту времени, получим
Абу = у(о/у - 8(уо0) + 8уКа0 - Е0/у, (7.17)
где
-ЗуАф. (7.18)
Формула (7.17) имеет тот же вид, что и выражение (7.12),
представляющее зависимость приращений упругой деформации
от напряжений с той разницей, что в качестве коэффициента
172
пропорциональности здесь выступает не характеристика упругих
свойств y^G ’ а величина V, учитывающая упругие и пластические
свойства на разных этапах нагружения. Величина Чу представля-
ет собой начальную деформацию, обусловленную напряженным
состоянием материала в момент т - Ат, предшествующий рассмат-
риваемому, и объемными изменениями, вызванными прираще-
нием температуры за время Ат.
Рассматривая исследуемый процесс состоящим из большого
числа малых приращений нагрузки, обеспечивая выполнение
условия пластичности на каждом этапе нагружения, можно с
достаточной точностью любое сложное нагружение представить
в виде последовательных шагов простого нагружения.
Решив систему (7.17) относительно компонент напряжений,
получим выражения, связывающие напряжения с приращениями
деформаций за время Дт и с начальными деформациями, учиты-
вающими историю нагружения:
у + 2Х.д . у-К.к д .
\ R (Дех + е0х) + (AEj, + д£г + Чу + еог)
— о (Аву + £().у) + q (Авх + Ав^ + ^Ох + £()z)
л 3\|ГА 3\|ГА
V + 2A\ ч V-^/a а ч
°z — 2 (Авг + Soz) + q (Авх + Аву + ^Ох + Е()у)
3\|/А 3\|ГА 7 7
_ АУду + Yoxy
_ ^yz + Yoyz
к 2у
(7.19)
2у
Согласно (7.19), матрица упругопластических свойств конеч-
ного элемента имеет вид
u>]=
v - к v-к
ЗуК ЗуК ЗуК
y-К ч-к
Зу/Г ЗуК ЗуК
у-К V-К У + 2Л"
3ytf ЗуК 3ytf
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Если к этим уравнениям добавить уравнения равновесия и урав-
нения Коши, устанавливающие связь между деформациями и пе-
ремещениями, получим систему уравнений теории пластичности,
отличающуюся от системы уравнений теории упругости тем, что
связь напряжений и приращений деформации нелинейна и ко-
эффициент связи зависит от величины приращения деформа-
ций. В качестве уравнения, связывающего напряженное и де-
формированное состояния за пределами упругой области,
принимается условие текучести в форме Мизеса
(стх - CT02 + (оу - стг)2 + (ог - Стх)2 + 6(тху2 + тк2 + Tw2) = 2о/. (7.20)
Для раскрытия нелинейности системы можно воспользовать-'
ся одним из известных методов: переменной жесткости, началь-
ных напряжений, начальных деформаций [73, 74]. Наиболее удоб-
ным и логически стройным представляется алгоритм,
предложенный В.И. Махненко [72].
На каждом шаге по времени задается первое приближение фун-
кции V в каждой точке, исходя из предположения об упругой де-
формации, т.е. V = 14(7 • При заданных V (x,y,z) и граничных усло-
виях решается обычная задача теории упругости (линейная краевая <
задача). Вычисленные напряжения подставляются в условие текуче-
сти (7.20), и в случае его невыполнения назначается новое прибли-
жение для функции V с учетом условий:
174
если О/ > as, y(n+1) = рр|/л) —;
если о; < os, v(n+1) = Wn) + О - P2)
(7.21)
Здесь p, и рг — итерационные параметры, призванные уско-
рить сходимость итерационного процесса и выбираемые в зави-
симости от приращения нагрузки.
Итерационный процесс заканчивается при достижении за-
данной точности функции V, выполнении условия пластично-
сти с требуемой точностью, если анализируемая точка находит-
ся в области пластической деформации, или в случае V = y^G »
если точка находится в упругой области. Достоинством алго-
ритма В.И. Махненко является устойчивая сходимость итера-
ционного процесса как при нагружении, так и при разгрузке
материала, т.е. при переходе материала из пластической облас-
ти в упругую. Поэтому описанная постановка задачи оказалась
эффективной не только для анализа сварочных деформаций и
напряжений, но и для циклического нагружения материалов, а
также для процессов ковки при наличии недеформируемых зон
и операций кантовки, штамповки с малыми обжатиями.
Отправной точкой в алгоритме В.И. Махненко фактически
является упругое состояние (V = в алгоритме Мендель-
сона — жесткопластическое состояние, переход от которого к
состоянию разгрузки требует, по всей вероятности, некоторых
искусственных приемов. С другой стороны, идея алгоритма Мен-
дельсона оказалась очень полезной при построении итераци-
онного процесса в задачах упруговязкопластического деформи-
рования.
7.3. Математически двумерные задачи
Для решения многих задач теории обработки давлением ис-
пользуются схемы плоского напряженного, плоского деформиро-
ванного состояний и осесимметричного нагружения. Это в значи-
тельной степени упрощает и ускоряет выполнение практических
расчетов, поскольку позволяет решать не трехмерную, а матема-
тически двумерную задачу.
175
7.3.1. Плоское напряженное состояние
Для плоского наряженного состояния, характеризующегося от-
сутствием третьей составляющей напряжений (oz = txz = xyz = 0),
выражения для начальных деформаций принимают следующий вид:
(7.22)
Уравнения связи компонент приращений деформаций с ком-
понентами напряжений для плоского напряженного состояния уп-
рощаются:
. . 2ш + К ш - К
~ j °х j ^у ~ Е()х
. 2\if + К ш - К
* Аву — “ Пу - ох — ЕОу
^Уху ~ 2^рТ;су ~Y0xy
Решая эту систему уравнений относительно компонент напря-
жений, приходим к соотношениям вида 4
°х V (Z + 2^) + Е°х)+ V (V + ) (Ле^ + е°у )
°у = у(у + 2/Г) + £<Ьс)+ v(y + 2tf) + £°у )
_ ху "* YOxy
176
Матрица упругопластических характеристик для плоского на-
пряженного состояния сохраняет диагональную симметрию
2 у + К у - К _
[7)] =
у(у + 2А")
у-К
V(v + 2А")
2у + Л"
у (у + 2ЛГ)
О
v(v + 2АГ)
О
1
2у
Матрица жесткости конечного элемента г при интегрирова-
нии с использованием квадратурных формул Гаусса
аг(г)1= ГГ8(г)1 Гг’('')1Гв(г)1</к =
-1-1
5(Г) -|Г Г Л(г) 1Г5(г) 1 t(r) det prJ
Здесь t(or) — толщина конечного элемента.
Вклад начальных деформаций в вектор узловых сил
-1-1
5(г)1г Гд(г) ]{е£')}#') det[J]dro^o
7.3.2. Плоское деформированное состояние
Аналогичные выражения легко получить для плоской дефор-
мации, характеризующейся отсутствием третьей компоненты де-
формации Дег = 0 или условием Дег = const для всей области.
Для этого в соответствии с выражением (7.17) запишем составля-
ющую приращения деформации вдоль оси z:
= VOZ---— (ох + Gy + Оz) - Eqz .
После некоторых преобразований получим
. 2ш + К ш - К ( \
= —— О, - --(Ov + CL, ) - £п.
177
Решим это уравнение относительно oz:
°'-^T^+a')+2^X(,iE' + ete)- <7-24»
С учетом выражения ог преобразуем уравнения, связываю-
щие приращения деформаций с напряжениями:
• Де,
Де„
v(v + 2-AT) у (у-.АГ)
2у + К СТу 2\у + К
(7.25)
^Yxy Yflxy
Входящие в уравнения (7.25) начальные деформации опреде-
ляются в соответствии с равенствами (7.18):
где
+ Д(р.
Введем обозначения
178
(7.26)
Это позволяет представить уравнения (7.25) в виде
у(у + 2ЛГ) у(у-*)
2у + К х 2у + К у Ох
_у(у + 2*) у(у-*)
у 2у + * у 2у + К х Оу
^Уху ~ — У Оху
(7.27)
Решив уравнения (7.27) относительно компонент напряжений,
приходим к следующим уравнениям связи напряжений и прира-
щений деформаций:
(7.28)
I
Значение напряжения ог получено подстановкой значений
и оу из формул (7.28) в соотношение (7.24). Поскольку речь
идет о решении плоской задачи, из уравнений (7.26)—(7.28) не-
обходимо исключить деформации в направлении оси z, исполь-
зуя условие плоской деформации Аег = 0 или условие обобщен-
ной плоской деформации.
При Дег = О
179
♦
+ ЗуДср - (<р - Л)
Зуоо
(7.29)
и компоненты напряжений в плоскости ху вычисляются из фор-
мулы (7.28).
Матрица упругопластических характеристик конечного элемен- *
та записывается в виде
[D] =
ЗуК
у-К
ЗуК
у-К
ЗуК
у + 2К
ЗуК
О
О
1
2у
Матрица жесткости и вектор узловых сил сохраняют форму,
приведенную для плоского напряженного состояния.
При Дег = const величина приращения деформации в направ-
лении оси z может быть определена при заданном граничном ус-
ловии из уравнения равновесия
[ azdF = Рг
F ’
где F — площадь поверхности; Р — усилие вдоль оси Z-
180
Используя (7.24), приходим к уравнению равновесия в виде
(7.30)
Для численного интегрирования уравнения обозначим
С1 =
с2 =
dF
<з =
^=dF
(7.31)
и выразим Де из уравнения (7.30):
Дег
Л~с1 ~сз
(7.32)
Найденное значение ДЕг далее используется в уравнениях (7.26)—
(7.28) для вычисления компонент напряжений и деформаций в том
же итерационном процессе, где подбирается величина V.
7.3.3. Модель обобщенной плоской деформации
Рассмотрим схему обобщенной плоской деформации (рис. 7.1),
смягчающую формулировку Дег = 0 , принятую для плоского де-
формированного состояния. Будем считать, что сечения, перпен-
дикулярные оси z, оставаясь плоскими, имеют возможность пере-
мещаться. Это типичная схема деформирования при поперечной
осадке, при неравномерном по сечению нагревании и охлажде-
нии. В таком случае
ДеДх) = ДеД0) + Рх. (7.33)
Выделенный вдоль оси z двумя перпендикулярными ей сече-
ниями, отстоящими друг от друга на Д^ = 1, элемент после де-
формирования изменяет свою длину вдоль оси z на Дег(0), и его
сечения поворачиваются, образуя между собой угол р. При этом
Радиус изгиба R = 1/ „
/tgp
181
AZ=1
Рис. 7.1. Схема обобщенной
плоской деформации
Для нахождения величин ДеДО) и |3 в записи (7.33) необхо-
димо использовать два уравнения равновесия
[ о dF = Р
I
j azxdF = М
F
(7.34)
Здесь F — сечение в рассматриваемой плоскости ху,Р — уси-
лие вдоль оси z, М — изгибающий момент.
Подставляя в (7.34) выражение ог для схемы плоской дефор-
мации (7.28), получим систему уравнений
Введем обозначения
xdF = М
(7.35)
182
Решив систему (7.35) относительно искомых неизвестных,
получим
(0) = ^^хх МС^х ^2хх (^1 + ) + ^2х (^1х + Озх )
^2^2хх ~ ^2х
= рс2х - мс2 - С2х (С{ + С3) + С2 (С1Х + С3х)
С 2 - С с
у-'2х ^2^2хх
(7-36)
В отличие от общепринятой модели плоского деформиро-
ванного состояния ег = 0, модель обобщенного плоского дефор-
мированного состояния в виде (7.33) оказывается более актуаль-
ной в технологических расчетах, связанных с температурными
изменениями. Действительно, разогрев и охлаждение, в том чис-
ле неравномерное, при обработке давлением, при сварке, тер-
мообработке приводят к изменению размеров, и задание Ег = 0
обусловливает появление напряжений, пропорциональных из-
менению температуры. Очевидно, гипотеза плоской деформа-
ции, предполагающая фиксацию размера вдоль оси z при изме-
нении температуры, не может отражать реальной картины
деформирования. Анализ напряженно-деформированного состо-
яния неизотермических процессов в настоящей работе основыва-
ется на модели обобщенной плоской деформации.
183
7.3.4. Осесимметричное нагружение
Задачи расчета напряжений и деформаций в телах вращения
(осесимметричных телах) при осесимметричном нагружении с ма-
тематической точки зрения аналогичны задачам о плоском на-
пряженном и плоском деформированном состояниях. Вследствие
симметрии напряженное и деформированное состояния в любом
сечении на оси симметрии тела полностью определяются двумя
компонентами перемещений и и v. Соответствующий рассматри-
ваемому конечному элементу объем, по которому должны браться
интегралы, представляет собой тело вращения.
При осесимметричном нагружении любое радиальное переме-
щение вызывает деформацию в окружном направлении, и, так
как напряжения в этом направлении не равны нулю, в рассмотре-
ние должна быть введена четвертая компонента деформации и
соответствующее напряжение.
Компоненты вектора деформации можно выразить через пе-
ремещения с использованием известных выражений:
ди
дг
dv
dz
и
г
ди Sv
Эг дг
(737)
Матрица [В], связывающая векторы деформаций и переме-
щений в конечном элементе, имеет вид
м-
дг
О
щ
ЭМ
э?
о
ад
dz
О
Э[У]
дг
(7.38)
i
184
Матрица упругопластических характеристик конечного элемента
V - К
ЗуК
V - к
ЗуК
у + 2К
ЗуК
у-К
ЗуК
о
ЗуК
v - к
ЗуК
v + 2tf
ЗуК
о
о
о
о
1
2у
(7.39)
Начальные деформации вычисляются по формулам
^Oij ~
При вычислении матрицы жесткости элемента учитывается,
что объемный интеграл берется по кольцевой области
[tf ] = 2nf [Б]т [«£>] [В] rdrdz. (7.40)
Это относится и к вычислению узловых сил от начальных на-
пряжений
{/} = 2nj[fif [2)]{е0 }rdrdz. (7.41)
При численном интегрировании по объему конечного элемента
радиус г в точке интегрирования вычисляется через радиальные
координаты узлов элемента {Л} с использованием функций фор-
мы г = .
7.4. Напряжения в стенке трубы под внутренним давлением
В теории упругости и пластичности известны решения осе-
симметричной задачи для трубы, находящейся под действием
внутреннего и наружного давлений. Если а и b — соответствен-
но внутренний и наружный радиусы трубы, то радиальное и
тангенциальное напряжения в стенке трубы под внутренним
давлением при упругом нагружении определяются по форму-
лам (задача Ламэ):
185
1-
о0 = -р
1-
1-
(7.42)
Здесь р — давление на внутреннюю стенку трубы.
При нагружении идеально пластического материала компо-
ненты напряжений вычисляются из совместного решения уравне-
ния равновесия и условия пластичности:
ог=-1п-ст5; ст0 =-(In - - 1)о,.
(7.43)
Величины радиальных напряжений на внутренней и наружной
стенках трубы (—р и 0) обусловлены граничными условиями в на-
пряжениях; распределения радиальных напряжений по толщине стен-
ки трубы при упругом и пластическом нагружении имеют практи-
чески одинаковый характер. Распределения тангенциальных
напряжений по стенке трубы при упругом и пластическом нагруже-
ниях эпюры напряжений качественно различны. В упругой области
тангенциальные напряжения уменьшаются от внутренней стенки к
наружной, в пластической — увеличиваются. Иными словами, пе-
реход материала из упругого состояния в пластическое сопровожда-
ется изменением закономерностей напряженного состояния.
Очевидно, существует некоторая переходная область упругопла-
стического нагружения, для которой тангенциальные напряжения •
изменяются немонотонно. Расчет напряженно-деформированного
состояния в области упругопластического нагружения нельзя вы-
полнить ни с позиций теории упругости, ни с позиций теории пла-
стичности. Здесь необходима теория малых упругопластических де-
формаций.
Реальные конструкции эксплуатируются в основном в области
упругих деформаций. Процесс обработки давлением сопровождает-
ся, как правило, пластическими деформациями. Однако есть конст-
рукции, элементы которых подвергаются упругопластическому на-
гружению, в частности, циклическому механическому, термическому,
термомеханическому. Существуют процессы обработки давлением,
где роль упругих деформаций весьма значительна. Это процессы
листовой и объемной штамповки, поперечной ковки и прокатки,
продольной прокатки высоких полос, где физический очаг дефор-
мации превосходит геометрический, процессы радиальной и тор-
цевой раскатки и т.д.
Рассматриваемый здесь пример упругопластического нагруже-
ния трубы внутренним давлением носит методический характер,
186
позволяющий показать постепенный переход от упругого к пласти-
ческому деформированию и тем самым сформулировать область при-
менения теории малых упругопластических деформаций. Пусть для
определенности внутренний радиус трубы а = 500 мм, толщина стен-
ки t = 40 мм, наружный радиус b = 540 мм. Предел текучести мате-
риала о5 = 200 МПа , а модуль Юнга Е = 2 • 105 МПа, коэффициент
Пуассона v = 0,3. В условиях плоской деформации примем ег = 0.
При упругом нагружении с повышением давления внутри трубы
до р = 16 МПа распределение радиальных стг и тангенциальных
о0 напряжений соответствует решению Ламэ. При дальнейшем уве-
личении давления внутри трубы на внутренней стенке трубы, где
ог --р, а о0 максимально и положительно, начинаются пласти-
ческие деформации. По мере увеличения давления р слой материа-
ла, где выполняется условие пластичности и имеют место упругие и
пластические деформации, увеличивается. Граница упругой области
постепенно смещается к внешней поверхности трубы.
В упругой области, где коэффициент Пуассона v = 0,3 , проис-
ходит упругое увеличение объема металла, что обусловливает сниже-
ние значения о0 с увеличением текущего радиуса г, в упругопласти-
ческой области значение коэффициента Пуассона приближается к
v = 0,5, что соответствует условию постоянства объема и соотноше-
нию ог и о0, определяемому условием пластичности. При давле-
нии р -17,6 МПа зона пластических деформаций выходит на на-
ружную поверхность трубы.
На рис. 7.2 и 7.3 показаны эпюры распределения радиальных и
тангенциальных напряжений при упругом нагружении (р = 16 МПа),
на двух стадиях упругопластического нагружения (р = 17 МПа и
Р = 17,4 МПа) и в момент начала пластического деформирования
всей стенки трубы (р = 17,6 МПа). Эпюры радиальных напряже-
ний (см. рис.7.2) не имеют заметных признаков упругого или плас-
тического нагружения. Величина напряжений монотонно уменьша-
ется по абсолютной величине от внутренней стенки, где ог = -р , до
наружной (стг = 0). Эпюры тангенциальных напряжений при упру-
гопластическом нагружении имеют максимум в точке, соответству-
ющей границе раздела областей упругого и упругопластического де-
формирования (см. рис.7.3). В области упругих деформаций эпюра
сте сохраняет закономерность, характерную для упругого нагруже-
ния трубы, в области упругопластических деформаций — характер-
ную для пластического нагружения.
187
Рис. 7.2. Эпюры радиальных напряжений по толщине стенки труб при
давлениях 16; 17; 17,4; 17,6 МПа
Рис. 7.3. Эпюры тангенциальных напряжений по толщине стенки труб
при давлениях 16; 17; 17,4; 17,6 МПа
188
Очевидно, было бы некорректно получить эту эпюру расчетом
по формулам (7.42) и (7.43) до пересечения кривых, ибо эти фор-
мулы справедливы для полностью упругой и пластической облас-
тей, а не для области упругопластического нагружения.
В заключение необходимо отметить, что задача решена в пе-
ремещениях при задании граничных условий в напряжениях (дав-
ления на внутренней и наружной стенках трубы). Для области
упругого и упругопластического нагружения задача имеет одно-
значное решение. Для области пластического нагружения идеаль-
но пластического материала задача не имеет однозначного реше-
ния, т.е. полю напряжений могут соответствовать разные значения
перемещений. Расчеты в области пластического нагружения сле-
дует выполнять, задавая граничные условия на внутренней стенке
трубы в перемещениях.
7.5. Кручение вала переменного диаметра
в условиях упругопластической деформации
Использование моделей математически двумерных задач о
плоском напряженном состоянии, плоской деформации, осесим-
метричном нагружении позволяет избежать того объема работ,
который неизбежен при решении трехмерных задач. Одной из
практически необходимых является задача о кручении вала пере-
менного диаметра. Сама по себе задача о кручении в варианте
упругопластического деформирования лишена практического зна-
чения, поскольку валы, шпиндели и другие передающие крутя-
щий момент звенья конструкций работают при напряжениях,
многократно меньших предела текучести материала. Однако при
наличии остаточных напряжений технологического происхожде-
ния (сварка, сборка), соизмеримых с пределом текучести, анализ
взаимодействия эксплуатационной нагрузки (кручения) с остаточ-
ными напряжениями становится необходимым.
При этом следует иметь в виду, что в данном случае эксплуа-
тационная нагрузка действует преимущественно в плоскости, пер-
пендикулярной той, в которой рассматривается осесимметричное
напряженное состояние. Самостоятельное значение имеет расчет
на кручение в упругом состоянии приводов прокатных станов,
приводов автомобилей, судовых валов.
Классическое решение задачи о кручении вала переменного
диаметра с использованием функции Эри можно найти в рабо-
тах [2, 75].
189
С учетом обозначения функции V (7.16) компоненты каса-
тельных напряжений связаны с компонентами сдвиговых дефор-
маций соотношениями
= Yre =_Lr2_fy>
2у 2\|/ dr I г
Уег 1 Э (vA
= —£ = —г— —
(7.44)
тЙ7 =—- = —г— —
2у 2у dz г ,
Записывая выражение касательных напряжений через функ-
цию напряжений Ф
Г2 dz
1 Эср
(7.45)
на основании (7.44) имеем
Э (V
d
dz г
2у Эф
г3 dz
2у Эф
г3 dr
Продифференцировав первое из этих равенств по z, второе —
по г и приравняв правые части, получим
или
Э ( 2ф Эф'] Э (2ф Эф^
dz > г3 dz , dr г3 dr
dry г3 dr ,
(7.46)
Э ( Эф^ . 3 Эф Э ( Эф
— V— —ф — + — ф —
dr dr г dr dz dz
r dr dz dz
В соответствии с концепцией метода конечных элементов не-
обходимо перейти от дифференциального уравнения (7.46) к фун-
кционалу, минимизация которого эквивалентна решению диф-
ференциального уравнения (7.46) с заданными граничными
условиями (теорема Эйлера вариационного исчисления).
Полагая, что таким функционалом является
'Эф
dV
(7.47)
190
проверим его эквивалентность в соответствии с теоремой Эйлера.
Имея в виду, что dV = Inrdrdz и обозначая
„ 1 -з (Эю У 1 -з (Эф У
F = ^r -Г +^чг -Г ’ (7.48)
2 I dr ) 2
запишем вариацию функционала
81 = 2л f (^-5фг +^5фг)<Ы2,
у ЭФг {'Фг
где фЛ = V" > Ф? _
С учетом соотношений
8фг = — (Зф) ; 8фг = — (Зф)
представляем вариацию функционала в виде
д<рг дг
(Зф) drdz.
(7.50)
После интегрирования по частям каждого из слагаемых в (7.50)
и применения теоремы о градиенте Гаусса—Остроградского вари-
ация функционала примет вид
Э_Г ЭГ
dz Эфг
cos(nr) +
dF
Эфг
8Fdrdz +
cos(nz) 8FdS >
(7.51)
Функционал I принимает стационарное значение, если его
вариация равна нулю, что выполняется при обращении в нуль
подынтегральных выражений.
Из (7.48) находим
и подставляем их в (7.51). Получаем:
191
_ 3 cos(nr) - yr 3 cos(ziz) = 0
dr dz
или
\|гс0г cos(w) + ytpe cos(nz) = 0. (7.53)
Равенство (7.52) соответствует (7.46), a (7.53) представляет со-
бой условие на контуре. Таким образом, минимизация подобран-
ного функционала (7.47) привела к выполнению дифференциаль-
ного уравнения (7.46) и граничных условий.
Дальнейшая процедура преобразования функционала к систе-
ме разрешающих уравнений носит формализованный характер.
Минимизируем функционал (7.47) на системе узловых точек:
Для конечного элемента г устанавливается связь функции (р(г)
в пределах конечного элемента с ее узловыми значениями {<р} в
виде ф(г) = [ЛГ]{ср}. Далее получим
dN
dr ’
dN
dz '
Таким образом,
d
d^i
dN
dz
{<P}
drdz = 0
192
Обозначив [В] — матрицу производных функций формы и
вынося вектор узловых значений функции Эри {ср} за знак интег-
рала как константу, получим выражение матрицы жесткости эле-
мента г в виде
= 2т$ у г'3 [B]T[B]drdz. (7.54)
Разрешающая система уравнений
[*]{ф} = 0 (7.55)
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений
и может быть решена при известных граничных условиях:
(р = 0 при г — 0;
<р = 1 при г = R;
После расчета функции напряжений касательные напряжения по
заданному крутящему моменту М вычисляются на основании (7.45):
(7.56)
Здесь (р, — значения функции напряжений в узлах элемента;
г — радиус в точке, где вычисляются напряжения;
М — заданный крутящий момент [Ним].
Вычисленные значения касательных напряжений при круче-
нии, наряду с напряжениями от других видов нагрузки, участвуют
в определении интенсивности напряжений
и далее — в нахождении значения параметра V, связывающего
напряженное и деформированное состояние.
7.6. Напряжения в шпинделе прокатного стана
Рассмотрим решение задачи о кручении на примере шпинде-
ля стана 350 фольгопрокатного завода.
Сечение шпинделя аппроксимируется сеткой конечных элемен-
тов. Поскольку интерес представляют концентраторы напряжений,
193
аппроксимация этих двух областей делается наиболее подробно.
На рис. 7.4 показаны общая сетка конечных элементов и фраг-
менты сетки в районе двух концентраторов.
Рис 7 4 Сетка конечных элементов с фрагментами концентраторов
напряжении (12)
Ф
О QO
й. VI
Х.(М;
Рис 7 5 Распределение функции Эри по сечению шпинделя
194
T0z
0,00
Рис 7 6 Распределение касательных напряжении т0г
Рис
7 7 Распределение касательных напряжении xrz
195
Граничные условия задаются как условия 1-го рода, в виде фун-
кций Эри на оси шпинделя и на его поверхности. Результаты реше-
ния представляются в виде распределения функции напряжений по
сечению шпинделя (рис. 7.5). Касательные напряжения вычисляют-
ся дифференцированием функции Эри в пределах конечного эле-
мента (7.56). Численное значение касательных напряжений опреде-
ляется заданным крутящим моментом. На рис. 7.6 и 7.7 распределение
касательных напряжений представлено в безразмерном виде, т.е. в
виде отношения к номинальному напряжению. Номинальным на-
пряжением в данном случае является касательное напряжение т0г,
действующее на поверхности вала с минимальным диаметром. Иными
словами, это напряжение, которое рассчитывается по известным из
сопротивления материалов формулам.
Как видно по рис. 7.6, в районе концентратора 2 напряжения
т0г в 1,64 раза превышают номинальные, на основании которых
оценивается прочность шпинделя.
7.7. Квазистационарный процесс
Рассмотренное выше описание процессов формирования напря-
женно-деформированного состояния включало процедуру прослежи-
вания во времени как пошаговую процедуру; начальным состоянием
для очередного шага нагружения являлось достигнутое на предыду-
щем шаге. В обработке давлением, сварке имеют место так называе-
мые квазистационарные процессы — установившиеся в относитель-
ном движении. Это установившиеся процессы прокатки, волочения,
прессования, сварки длинных листов. Прослеживание этих процес-
сов во времени можно заменить прослеживанием в направлении
движения. Пусть исследуемый процесс описывается функцией
где х — координата вдоль направления перемещения, т — время
от момента начала отсчета установившегося процесса. Изменение
функции f во времени характеризуется ее производной
dx Л дх Л ' 1 П
Принимая во внимание, что установившийся процесс предпо-
лагает постоянную скорость перемещения анализируемой точки
вдоль оси х, запишем координату х как х = -V • т и далее dx = -vdx
и = 0. Это позволит записать выражение (7.57) в виде
dx дх
196
откуда
,, д f, , ч д f ,
df = ^~ (-vdt) = dx. (7.58)
дх дх
В выражении (7.15) в связи с этим необходимо внести измене-
ния:
dk = — dx ; h^dt^—h — dx
дх v
После этих подстановок и интегрирования выражения (7.15)
получим
е</
®ij 5//СТ0
2G
-З^СТоХх.
(7.59)
Здесь под знаком интеграла находится неупругая составляю-
щая деформации ().
Обозначив по аналогии с (7.16)
(7.60)
для вычисления неупругой части деформации имеем рекуррент-
ное соотношение
(е/С)(Л) = 1 4(n)(av -8!/<To)("~1)rf*, (7.61)
где (и) и (п— 1) — очередные последовательные приближения.
Очередное приближение функции может быть найдено
из условий
Ж(л) =—,
V
= v(-d 5_____
(л-1)
если а/ < п_;
дЭ
(л-1)
если а/ >сг_.
дЭ
(7.62)
Итерационный процесс заканчивается при достижении требу-
емой точности S :
197
8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
8.1. Начало виртуальных скоростей
Математическая постановка задачи теории течения базиру-
ется на одном из наиболее известных дифференциальных вари-
ационных принципов механики — на начале виртуальных ско-
ростей. Для любого кинематически возможного поля скоростей
8 U в произвольный момент времени справедливо условие ра-
венства мощностей внутренних и внешних сил:
[ ci.?>t.ldV = [ pSUjdS.
J J 9J J
V s
(8.1)
Здесь: о у — компоненты тензора напряжений;
ёу — компоненты тензора скоростей деформации;
р, — компоненты внешних сил на поверхности 5.
Это уравнение, называемое уравнением виртуальных мощнос-
тей, означает равенство мощностей внутренних сил (напряжений)
в объеме тела Vна произвольном (виртуальном) поле скоростей и
мощности внешних сил на том же поле скоростей. В соответствии
с основными положениями теории вязкопластического течения
напряжение оу можно представить как сумму девиаторной и ша-
ровой частей тензора:
=sij +5(/сто- (8.2)
Девиатор напряжений пропорционален девиатору скоростей
деформаций:
^ij ~ 2цт|у ,
а гидростатическое напряжение связано с изменением объема:
Oq = A:EqAt .
Здесь ё0 = ёх + + ёг — скорость объемной деформации;
Цу = ёу - |3,-,ё0 — девиатор скоростей деформации;
Ат — интервал времени, за который происходит изменение
напряженно-деформированного состояния.
Предполагается, что изменение объема носит упругий харак-
£
тер, следовательно, к =------ — модуль объемной деформации.
3(1 - 2v)
198
Мощность внутренних сил может быть представлена в виде
[ о,,3ё/,dV = [ S..?fcudV + [ 3,,o03e.,t/K . (8.3)
J J J J *J J J * *
V V V
Поскольку З^ОоЗёу = а03(ёх + гу + ёг) = о08ё0, выражение (8.1)
записывается в виде
J S^dV + J ст0Зё0<У И = JPit>U,dS . (8.4)
И И S
Левая часть равенства включает компоненты мощностей из-
менения формы и изменения объема. Мощность, расходуемая на
изменение объема, представляет собой мощность упругих дефор-
маций. За некоторый конечный промежуток времени Дт скорость
объемной деформации определяется из условия
где о0* — среднее напряжение, достигнутое на предшествующем
временном промежутке (на момент начала интервала Дт).
Проинтегрировав (8.5) по объему тела, приходим к выражению
^0--^-W = -f—dV-
k&tJ у к&т
(8.6)
С ориентацией на численное решение задачи методом конеч-
ных элементов заменим интегралы в (8.4) и (8.6) суммами интег-
ралов по конечным элементам:
В условиях упруговязкопластического неизотермического те-
чения скорость деформации представим в виде трех составляю-
щих — скоростей упругой, пластической и температурной дефор-
мации:
• • е . • о . •
е</ - e'j + е(/ + ф’
(8.9)
199
В соответствии с законом Гука
е</' 2G ,j+ iJ3k' (8Л0)
Скорость пластической деформации устанавливается соотно-
шениями Прандтля—Рейсса
2ц
Таким образом, результирующая скорость деформации
g = 1 _|_ &у + g
ij 2G dx 2ц' 3k dx lj dx
Скорость температурной деформации за интервал времени Дт
(8.Н)
(8.12)
ф = а-----= —.
Ат Ат
Знаком * обозначена температура на момент начала рассмат-
риваемого промежутка времени.
Скорость упругой деформации за тот же интервал времени
де _ $V ~ $У . с ст0 ~ст0
iJ 2СДт iJ ЗЛДт ’
Суммарная скорость деформации за рассматриваемый проме-
жуток времени
(8.13)
2(7Ат 2ц
lJ ЗкАх
$у , go х _ я
2(7 Ат ЗЛАт5'7 Ат ij (814>
Отсюда выражение девиатора напряжений в условиях упруго-
вязкого деформирования получаем в виде
2GAx 2ц
lJ 3kbxlJ
*__5. Дф
2(7Ат lJ Зк\х ij Ат
.(8.15)
Е-Р =
СУ
У •
У
у
V *
у
Выражение (8.15) может быть записано в матричной форме:
{‘5’} + ryi?" {go} _ Г/1г {Аф}
2(7Дт L J ЗЛДт L J Дт
(8.16)
200
Здесь
2ц О О О О О
2ц О О О О
2ц О О О
ц О О
ц О
(8.17)
— матрица упруговязких свойств материала.
В выражении (8.17)
(7 Ат ц',
(8.18)
I
s
В неизотермическом процессе скорость объемной деформа-
ции связана со средним давлением и свободными объемными тем-
пературными изменениями соотношением
(8.19)
Вводя произвольное поле среднего напряжения Зоц и интег-
рируя по объему конечного элемента, условие изменения объема
получим в виде
(8.20)
Уравнение виртуальных мощностей (8.7) может быть представ-
лено в матричной форме:
Ш(м) {*У}Гrfr + f=XJ(W) {P}^.(8.2i)
8.2. Конечно-элементная формулировка задачи теории
упруговязкопластического течения
Для решения методом конечных элементов уравнения (8.20),
(8.21) должны быть выражены через скорости течения и средние
201
давления. Воспользуемся соотношениями, связывающими напря-
жения и скорости деформации в конечном элементе г с узловыми
значениями скоростей перемещения {U} и гидростатического
напряжения {о0}:
Для конечного элемента г имеем соотношения:
связи скоростей деформаций и скоростей перемещений:
{ё}=[в]М
{ё0} = [/]{ё} = m[W}> где [/]=[ 1 1 1 0 0 0];
связи параметров внутри элемента с их узловыми значе-
ниями:
{U}r=[N]{U},
<*о = UW},
{5}Г=[У]{5},
Афг = [TV] {Аф}.
Здесь следует обратить внимание, что, в отличие от [52], связь
компонент скоростей перемещений и гидростатического давле-
ния внутри элемента и в узловых точках устанавливается с ис-
пользованием одних и тех же функций формы.
Выразив параметры, входящие в выражение (8.21), через скоро-
сти перемещений и гидростатическое давление, получим уравнение
dVr
£ J {5СТ}Г[5]Г|[Д][5]{£7}-1[Д][/]Г[^^
Г уг з ЛАт
+ Z J $U}T ([/][5])r [7V]{o0}Jr = £ J {8U}T[N]T{P}dSr -
Г yr
-T-Z J
Ат r yr I
1g. + [/f [tf]l^L - [Tf [ЛГ|{Дф} V'
5
{[/} и {o0 } — значения узловых скоростей и среднего давления
как константы могут быть вынесены за знак интеграла по объе-
му конечного элемента. С учетом произвольности виртуально-
го поля скоростей последнее выражение представим в оконча-
тельном виде:
202
Y J[2?f[7)][Wr {t/} +
dVr
ЗкЛх J
= Zj [Wfuw -
r sr
{<Jo} =
(8.22)
-J-zf [*]W [^]^+[/]r[^]^--m7’[^]{A<p}W'-.
Дт I 2G 3k
Аналогично преобразуется условие, связывающее скорость
объемной деформации ё0 с гидростатическим напряжением:
Z /[W][Wr {СО--М J|[tf]7Wr Ш =
Г уг Ат Л к
} } (8.23)
т{°о*}-3{Аф} •
=-Ет-|
г А'Т уг
Уравнения (8.22) и (8.23) представляют собой систему разре-
шающих уравнений относительно узловых значений скоростей
перемещений и гидростатического давления. Для каждого узла
сетки конечных элементов имеем три уравнения равновесия (8.22)
и условие изменения объема (8.23), позволяющее прослеживать
историю нагружения упруговязкопластического материала.
Рассмотренное выше описание процессов формирования на-
пряженно-деформированного состояния включало процедуру про-
слеживания во времени как пошаговую процедуру; начальным
состоянием для очередного шага нагружения являлось достигну-
тое на предыдущем шаге. В обработке давлением, сварке имеют
место так называемые квазистационарные процессы — установив-
шиеся в относительном движении. Это установившиеся процессы
прокатки, волочения, прессования, сварки длинных листов. Про-
слеживание этих процессов во времени можно заменить просле-
живанием в направлении движения.
Пусть исследуемый процесс описывается функцией Дх,у, т),
где х — координата вдоль направления перемещения, т — время
203
от момента начала отсчета установившегося процесса. Изменение
функции /во времени характеризуется ее производной
di дт дх dx ду dx (8.24)
Принимая во внимание, что для установившегося процесса
получим
— составляющие скорости течения,
df df df
— = UY + uv —— .
dx dx y dy
(8.25)
С учетом (8.25) преобразуем выражение скорости деформа-
ции, переходя от производных по времени к производным по
координатам:
8.3. Построение разрешающей системы уравнений
В соответствии с концепцией метода конечных элементов си-
стема уравнений (8.22), (8.23) в левой части должна содержать
диагонально-симметричную матрицу. Имея в виду, что матрица
производных функций формы
М о о
дх
о о
о о
[5]= dz
1 ' d[N] d[N] 0
ду дх
ад ад’
dz ду
ад 0 ад
dz дх
204
после выполнения операций в выражениях (8.22), (8.23) получим
ад] ад]
Ц дх дх
d[N] <2[2V]
—3—>
дх ду
<?[#]<?[#]
-----ТГ’
дх dz
... ^[^]... ^[ту] „адад ..ад]ад]
ду ду dz dz ’ дх ду дх dz
ад] ад ад ад ад ад] ад] ад]
2ц^Г^Г+ц^Г^Г + и dz~dT *~д7~дГ
падад П1. ад ад ... ад] ад ,.. ад] ад]
ду dz ’ dz dz дх дх ду ду
ад]
[лг]
([/][Л])7>] =
ду
dz
2ц®[^]
дх
2ц®[ЛГ]
2ЦЖ1[ЛГ]
205
[2?№][7V]
I дх
2^
ду
I
ду
ад
+ Ц-4—2
dx
ад
+ H-7—1
ад\дл1
ц-r-1 [W]
dz J
ад\дл
H~3—1 [W]
dz )
ад\дл
ц-L-l [ЛГ]
Обозначив
0 = 1-2_Н_>
3 kbx
для блока матрицы [А^], учитывающего жесткость в узле z, обус-
ловленную влиянием на него узла у, получаем
\k(2btbj +CjCj + d,dj), \kbjC„ iibjdj,
]xb,Cj, li(2CjCj + b,bj + d,dj), цс/,,
[^]= f \ib,dj, [kCjdj, ]i(2d,dj+b,bj+CjCj),
vr
bjNh CjNh djNj,
b,Nje
c,Nje
diN.e
k^i
dVr.
(8.26)
Чтобы получить диагонально симметричную матрицу жестко-
сти, четвертую строку матрицы следует умножить на 0.
Вектор правой части системы уравнений, соответствующий
блоку [ К9 ], имеет вид
206
J [<PxdSr -±(( J /Г){а0}’ +
jr Ат Зк
+(j ь w;+c,v +disx;)NJdvr -
yr
-(J 2ц/>Л/Иг){А(р}));
vr
J [TV]7’ P'ydSr --*-(( J М,^/Г){а0}* +
j, 7 AT yr 3k
{Л =
+(j ^s;+/>д;+disy;)Njdvr -
yr {j
-(f 2цс^/Г){А(р}));
rr
J [N]T PzdSr --L(( J +
ir At ,ir 3k
(8.27)
+(J £(2d,Sz* + + c^yNjdV -
vr Q
-(J 2^Л;^^){Аф}))
vr
-i-(f N^dV^}*
kAt Jr
+ 3(J N^jdW)^}.
rr
Составляя из блоков [ Ку ] глобальную матрицу жесткости,
получим диагонально симметричную матрицу левой части систе-
мы линейных алгебраических уравнений.
8.4. Вязкопластическое течение
в условиях обобщенной плоской деформации
Решение трехмерной задачи вязкопластического течения со-
пряжено с большим объемом подготовительных работ, с боль-
шими затратами машинного времени ЭВМ, требует значитель-
ной оперативной и внешней памяти. Если учесть, что каждому
207
узлу сетки конечных элементов соответствуют четыре уравнения,
то неизбежно при заданных машинных ресурсах и сроках выпол-
нения работы наступают ограничения на дискретизацию области.
В большинстве случаев более точный результат удается полу-
чить, отказавшись от трехмерной геометрии области в пользу
математически двумерной, используя модели осевой симмет-
рии, плоского деформированного состояния.
Модель плоского деформированного состояния (ег = 0) успеш-
но применяется для решения многих задач обработки давлением.
Громоздкость решения по сравнению с трехмерной задачей суще-
ственно уменьшается; в выражениях (8.26) и (8.27) в силу того,
3N
что d =---= 0 , исключается 3-я строка, а также 3-й столбец в
выражении (8.26).
Если геометрия тела и напряженно-деформированное со-
стояние соответствуют модели осесимметричного нагружения,
в выражениях (8.26) и (8.27) также исключаются 3-й столбец и
3-я строка, а в качестве производной функции формы d ис-
пользуется запись вида dt = —-, где R — радиус в точке интег-
R
рирования.
Помимо названных моделей осесимметричного нагружения
и плоской деформации (ег = 0), широкое функциональное назна-
чение имеет модель обобщенной плоской деформации (ег = const
для всего сечения), предполагающая наличие деформации в на-
правлении оси Z с соблюдением гипотезы плоских сечений.
Если в направлении оси Z выделить элемент длиной Дг = 1 с
узловыми точками i и j на его концах, так чтобы Zi , Zi = — ,
2 2
то функции формы такого трехмерного элемента единичной тол-
щины будут иметь вид
9N
Таким образом, производная функции формы по z: “т-
az
Для элемента единичной толщины иг = ег = const.
208
Вектор скоростей деформации включает четыре компоненты
Скорость объемной деформации
= [/][W}-
Матрица вязких свойств
2ц О О О
[£] =
2ц О О
2ц О
Выполняя умножение матриц, получаем подынтегральные
выражения в виде
dN, dNj dN, dNj dNt dNj
H(2 - ' „ + „ ' ~ Ц - 0
dy dx
^2^^+dN'dNj^ "
ду ду
О
дх ду ду
dN, dNj
дх ду
О
2ц/У^
([7][B,])r^
^N.
dx J
ду J
Wj
209
[5,]r[2)][Z]X
2цУ(У/
0
Сохраняя обозначения производных функций формы, сделан-
ные ранее, для блока матрицы [ Ку] в случае обобщенной плос-
кой деформации получаем
li.(2b,bj + c,Cj)
\kb.Cj
bjNi
libjCj
liilCjCj +b,bj)
CjNt
biNjO
c,N.e
k&z
(8.28)
dW.
Таким образом, матрица жесткости для обобщенной плоской
деформации имеет тот же вид, что и для плоской деформации
при ez = 0. Компоненту, включающую искомую скорость пере-
мещения uz в уравнении изменения объема (3-я строка подматри-
цы [ Ку ]), можно перенести в правую часть системы уравнений и
отыскивать в ходе итерационного процесса. Блок вектора правой
части, соответствующий подматрице [ Ку ], примет вид
-±-(J Ib.NjdV)^}*
ЗАт “г к
*
{Л
ЗАт к
*
1 'ЧДт
(8.29)
Уравнение равновесия на ось z, не включенное в систему
линейных алгебраических уравнений, преобразуем следующим
образом:
210
V((f 2nmT{N]dVr)uz +(f [yf[y](l-±-t_)</r){o0}) =
г V' V' (8.30)
= p, - £« J ^>ЙЖ»+ (J -£-[JVf -
1 " ^ЗЛАт ^GAt
-(J ^[ArfW^W).
yr AT
Обозначим:
q = £ J 2ц[ЛГ]г[У] dvr,
r vr
сг =E(J [^]г[^](1-|-^-МГ){о0},
r yr 3 кДт
C3 “(J
ЗАт .;r к
C4 =Z(J 7^-[^]r[^] dVr){Sz}*,
r yr GAt
Q^f^fW^XAq)}.
J At
г у LA'*
Вычисляя в ходе итерационного процесса Ср С2, С3, С4 и С5,
находим скорость перемещения сечения вдоль оси z
(8-31)
если вдоль оси z задано граничное условие в напряжениях (Рг)
или, наоборот, при заданном значении ёг находим Pz.
8.5. Аппроксимация среднего (гидростатического) напряжения
В основу конечно-элементной математической постановки зада-
чи пластического течения положена формулировка О. Зенкевича [43]
задачи течения жидкости (уравнения Навье—Стокса). В уравнениях
Навье—Стокса есть четыре независимых параметра: три скорости
211
течения и гидростатическое напряжение, которые в пределах ко-
нечного элемента аппроксимируются едиными функциями фор-
мы. Вводя вместо условия несжимаемости уравнение изменения
объема, Г.Я. Гун [52] обосновал необходимость аппроксимации
функциями формы разных порядков поля скоростей [2V] и сред-
него (гидростатического) давления [Я].
По мнению Г.Я. Гуна, если скорости течения {«} распределе-
ны внутри конечного элемента, например, по квадратичному за-
кону, скорости деформации
должны иметь порядок аппроксимации на единицу ниже, и, сле-
довательно, напряжения о0 = З^А'ёу-Дт должны быть распределе-
ны внутри элемента по линейному закону. Поэтому, если [7V] —
квадратичная функция формы, то [Я] — линейная.
X. Кудо и К. Осакада [3] придерживаются точки зрения, что в
зависимости от степени свободы деформации следует смягчать
условие несжимаемости.
Далее излагается подход авторов к решению вопроса о числе
степеней свободы параметра — гидростатического давления —
исходя из условия его связи со скоростями течения. В каждом
узле конечного элемента имеем четыре искомых параметра: ско-
рости течения их, и , иг и гидростатическое давление о0 . Это че-
тыре независимых, равноценных параметра, каждый из которых
внутри конечного элемента определяется исходя из узловых зна-
чений параметра в соответствии с функциями формы. Порядок
аппроксимации — это порядок функции формы. Число членов
ряда, в виде которого записана функция формы, обусловлено чис-
лом узлов конечного элемента. Например, если элемент представ-
ляет собой треугольник с узлами i, j, т, то искомый параметр
внутри элемента
U = NjUj + NjUj + Nmum = [Я]{«},
где Nj = Oj + bjX + Cjy — функция формы треугольного элемента.
Для элемента с восьмью узлами функция формы будет представ-
лять собой сумму восьми слагаемых:
Nj = Oj + bjX + qy + djXy + 6jX2 + f,y 2+gjXy2 + hjX2y .
Такая аппроксимация обеспечивает выполнение условий
7V(-(х,, у,-) = 1 (функция формы N=1 в узле I) и Nj(xj,yj) = $
212
(Х=0 во всех остальных узлах элемента). Это в равной степени
относится к скоростям течения их, и, uz и к гидростатическому
давлению ст0, когда речь идет о решении уравнения Навье—
Стокса [43].
Четырем неизвестным в каждом узле сетки конечных элемен-
тов соответствуют четыре уравнения: три уравнения равновесия
(или движения) и условие несжимаемости ёх + гу + ёг = 0 . Нетруд-
но убедиться, что для треугольного элемента
b,ux, + bjUXJ ЬтЫхт
= const
и аналогично ёу и ёг — константы внутри элемента, поскольку
скорости перемещений являлись линейными функциями коорди-
нат. Таким образом, для всех трех узлов конечного элемента име-
ем одно условие несжимаемости. Для элемента с восьмью узлами
по той же причине будем иметь шесть независимых условий не-
сжимаемости. Иными словами, при построении для каждого из
узлов сетки конечных элементов уравнений равновесия и условия
несжимаемости часть уравнений оказывается тождественными, что
исключает возможность решения системы линейных уравнений.
Следовательно, часть уравнений нужно исключить; при этом надо
исключить и часть неизвестных, в данном случае — гидростати-
ческих давлений. Очевидно, если в треугольном элементе скорос-
ти деформаций — константы, то и гидростатическое давление яв-
ляемся величиной постоянной. Если в элементе с восьмью узлами
шесть независимых условий несжимаемости, то независимых ве-
личин гидростатического давления должно быть шесть.
Чтобы не исключать тождественные уравнения и не нарушать
тем самым симметрию матрицы жесткости, по мнению авторов
целесообразно ввести некоторую симметричную матрицу, уста-
навливающую связь между гидростатическими давлениями в уз-
лах элемента.
Г.Я. Гун [52] предлагает иной путь — использовать для аппрок-
симации гидростатических давлений функции формы на порядок
ниже тех, которыми связаны компоненты скоростей перемещений.
Для треугольного симплекс-элемента, где весовая функция каждого
из трех узлов элемента равна 1/3 и, следовательно, предлагаемая ав-
тором матрица связи гидростатических давлений в узлах элемента
будет состоять из одинаковых чисел (1/3 или 1), оба способа равно-
значны. При аппроксимациях более высокого порядка различие
213
будет состоять не только в количестве независимых уравнений не-
сжимаемости (4 — по Гуну, 6 — по мнению авторов в случае квад-
ратичной аппроксимации), но и в корректности весовых функций.
По Гуну для квадратичного четырехугольного элемента весо-
вые коэффициенты четырех узлов при описании а0 с помощью
функции формы И, = at + Ь,х + с,у + d,xy одинаковы; авторами
данной работы гидростатическое давление фактически аппрокси-
мируется функцией формы вида
N: = а, + Ьх + с, у + d:xy + е.х2 + /у2
с весовыми коэффициентами узлов, соответствующими квадра-
тичной аппроксимации.
В более поздних работах Гуна авторам не удалось найти измене-
ний в постановке задачи по сравнению с изложенной в работе [52].
Матрицу, учитывающую разницу в числе степеней свободы
гидростатического давления и скоростей течения, получим из сле-
дующих очевидных соотношений. Если перемещения {U} внутри
элемента выражаются через перемещения узлов {«} с использова-
нием функции формы [Д']
{U} = [ДГ] {и} '
и функция формы представляет квадратичный полином вида (для 1
двумерной задачи)
N = а0 + а{х + а2х2 + а3у + а4у2 + а5ху + а6ху2 + а2х2у ,
то объемная деформация £о = £х + может быть записана в виде ।
полинома
е0 = ао + а1 х + °2х2 + аъУ + аьУг + азхУ-
Здесь ех
д N
Гидростатическое давление а0 = Кг0 будет аппроксимиро-
вано полиномом того же вида, что и е0 . Это значит, что в изо- •
параметрическом конечном элементе с восьмью узловыми точка-
ми (рис. 8.1) перемещение внутри элемента выражается в
зависимости от значений перемещений в узлах через функцию
формы N, включающую восемь слагаемых. Для вычисления гидро-
статического давления в каждой точке конечного элемента доста-
точно шести слагаемых; это значит, что два узловых значения оо .
не являются независимыми и, следовательно, могут быть выражены
214
через шесть остальных значений.
Для нахождения двух уравнений
связи узловых значений гидроста-
тического давления выразим, на-
пример, значения а0 в четвертом
и шестом узлах через остальные уз-
ловые значения, полагая, что ко-
ординаты элемента нормированы и
изменяются в пределах -1 < х < Г
Получили шесть уравнений для
вычисления гидростатического дав-
ления
Рис. 8.1. Изопараметричес-
кий квадратичный конечный
элемент
П01 “ Ц) ~ ~ ^2 *" ^3 + + ^5
а02 “ Ц) ~ а2 + а5
а03 “ ^0 + а\ ~ а2 ~ а3 + а4 + а5
Oq5 = Ц) + 67} + 6?2 + 6Z3 + Яд + #5
Oq7 = Qq ~ ~ + #4 +
О08 ~ а0 ~а1 +а4
Решив систему относительно , получим зависимости
1/
а04 ~ а08 + 2 'а°3 + G°5 ~ ~ а07 ) j
ст06 - <*02 + (О05 + °07 - Ooi ~ °оз )
и далее диагональную матрицу, связывающую восемь
чений о0
узловых зна-
1-1 0 1-1 1 0-1
2-10 1-2 1 0
1-10 1-1 1
2-1 0 1-2
1-10 1
2-10
1 -1
2
215
Аналогично могут быть получены матрицы связи узловых зна-
чений о0 для элементов иной формы.
8.6. Граничные условия
8.6.1. Граничные условия в перемещениях и напряжениях
С позиций математической физики существуют два типа гра-
ничных условий в задачах теории упругости: граничные условия в
перемещениях и в напряжениях (силах). Это стандартные гранич-
ные условия, учет которых предусмотрен любой компьютерной
программой общего назначения.
В большинстве задач теории обработки давлением задать гра-
ничные условия 1-го или 2-го рода практически невозможно; кон-
тактные напряжения, как правило, являются искомыми парамет-
рами; скорости или перемещения по поверхности инструмента тоже
скорее предмет исследования, чем заведомо известные параметры.
Поэтому вопрос о задании граничных условий в задачах обработки '
давлением не только актуальный, но и принципиальный, опреде-
ляющий возможности решения того или иного класса задач.
С позиций метода конечных элементов в каждом узле сетки,
находящемся на поверхности, должны быть заданы либо переме-
щения, либо силы. Задание перемещения фактически означает ис-
ключение из рассмотрения соответствующего уравнения равнове-
сия и преобразование вектора правой части системы уравнений
с учетом заданного перемещения. Задание узловой силы как сосре-
доточенной нагрузки имеет физический смысл только для симп-
лекс-элементов типа треугольника с тремя узлами, четырехуголь- ',
ника с четырьмя узлами, тетраэдра, т.е. для элементов, не имеющих,
промежуточных узлов на ребрах и гранях. Для элементов с квадра-
тичной и более высокого порядка аппроксимацией понятие со-
средоточенной узловой силы лишено смысла.
Различают два вида силовой нагрузки: поверхностную и объем-
ную. Поверхностная — это заданная внешняя нагрузка, техно- 1
логическая или эксплуатационная, действующая по грани эле-
мента. Полагая, что в пределах грани элемента нагрузка
постоянна и задана вектором
216
эта нагрузка в соответствии с функциями формы конечного эле-
мента приводится к т узлам грани конечного элемента г, образуя
компоненты узловых сил
/ dz ? dz ?
Здесь dS = 1 + (—)+(—)dxdy — элементарная площадка
У дх ду
поверхности грани.
В зависимости от ориентации грани X, Y,Z в выражении для dS
целесообразно менять местами. Если Z рассматривается как фун-
кция координат X и Y, т.е. если
т
z = ,
1=1
где X = Г = Х^Л >Т0
/=1 /=1
= dz dNj
дх •“( дх Zl’ ду ду Z‘
Производные функций форм по глобальным координатам вы-
числяются через производные по локальным координатам (х^,^),
и якобиан преобразования в расчетной точке
dNt
дх
dNj
. дУ .
dNj'
дхь
dNt
дУй .
где
217
Различают два способа задания распределенной нагрузки:
в виде компонент по осям координат {?} =
например,
сила тяжести груза, действующая вниз, независимо от ориента-
ции поверхности тела;
в виде компонент по нормали и касательной к площадке,
например, давление в трубопроводе или давление на стенки по-
гружаемого в воду аппарата.
В первом случае при расчете узловых сил постоянная в преде-
лах конечного элемента распределенная нагрузка {р} может быть
вынесена за знак интеграла:
{/} =
Далее интеграл вычисляется с использованием квадратурных
формул Гаусса.
Во втором случае распределенная нагрузка рп, перпендикуляр-
ная площадке, должна быть разложена на компоненты по осям
координат:
pz = рп cos(n,z) =
= р„ cos(n, х) =
dz
ру = рп cos(n, у) =
В таком случае
218
{/} = л J [^f
sr
dxdy\
тг = cos(t„,x)
Аналогично т? = т„ cos(T„,y);.
T., =T„ cos(t„,z).
8.6.2. Раздача трубы внутренним давлением
В теории малых упругопластических деформаций в каждой точке
имеются три неизвестных — компоненты перемещений и соответ-
ственно три уравнения — уравнения равновесия. По найденным
перемещениям определяются приращения деформаций и далее —
напряжения. Расчет заканчивается, когда компоненты напряжений
придут в соответствие с условием пластичности. При необходимо-
сти гидростатическое напряжение может быть найдено как средне-
арифметическое компонент нормальных напряжений.
При решении задачи по теории течения в каждой точке имеем
четыре неизвестных — три компоненты перемещений и гидроста-
тическое давление и соответственно четыре уравнения — три урав-
нения равновесия и условие изменения объема. Расчет заканчива-
ется, когда компоненты девиатора напряжений придут в соответствие
с условием пластичности; при этом гидростатическое напряжение
определится из известного соотношения теории упругости.
Пока доля пластической деформации сравнительно невелика и
нагружение близко к простому, различия в результатах расчета по
обеим теориям почти незаметны. Примером успешного использо-
вания теории малых упругопластических деформаций может слу-
жить приведенный в разделе 7.3 расчет напряжений в стенке трубы
под внутренним давлением. Как было показано, при давлении 16
МПа в стенке трубы имели место упругие деформации, при давле-
нии 17,6 МПа вся стенка трубы перешла в пластическое состояние.
В указанном диапазоне изменения внутреннего давления происхо-
дил переход из упругого в пластическое состояние и деформации
было принято считать малыми упругопластическими.
Рассмотрим дальнейшее изменение напряженно-деформиро-
ванного состояния стенки трубы под внутренним давлением на
219
примере радиальной раздачи части трубной заготовки из алюми-
ниевого сплава в матрице за счет создания внутри трубы давления
воды. Фрагмент сетки конечных элементов, аппроксимирую-
щей исходную трубную заготовку, и матрица показаны на рис. 8.2.
В увеличенном виде показаны фрагмент сетки и контур матрицы в
районе предполагаемого увеличения диаметра трубы. В силу осе-
вой симметрии и симметрии относительно оси z на рисунке изоб-
ражена 1/4 часть заготовки.
Рис. 8.2. Сетка конечных элементов и схема нагружения
0»
' < I
< :
О-в-000«< '
I I
< ।
•000010+0Ч I
о n Ii II
я .. b
ПУ? ’T” 'TX1 F
!! Il |: It
НН >
А
-01 I
•01 >0"
$ < s (I (: if
ИН 101 10" »♦- >
’ -0. НН ни I
< I ♦
( £
9 П Л !г
бфи HfH НН > *
$........... Q4>
9 4 &
< I I: It
9 <> <> c it
4 «• u ;
<•< '♦♦'0I »
Il II И
нН "0, >
II II II < I
I >«< ►«" и»4 I
<1 I: I»
SgS. А
За счет создания внутри трубы давления часть трубы, находяща-
яся в полости матрицы, деформируется с увеличением диаметра и
некоторым утонением стенки. По мере раздачи трубной заготовки в
очаг деформации поступает металл из цилиндрической части матри-
цы. Моделирование процесса выполнено для одного из крайних ва-
риантов — в условиях отсутствия трения между поверхностями заго-
товки и матрицы. На рис. 8.3 показана одна из начальных стадий
деформирования трубной заготовки. Горизонтальная линия в верх-
ней части рисунка — ось симметрии. Там же указано давление воды,
соответствующее изображенной стадии процесса.
При давлении воды порядка 20 МПа стенка трубной заготов-
ки касается полости матрицы (рис. 8.4). При этом толщина стенки
уменьшается от исходной t = 6 мм до t = 5,2 мм. При дальней-
шем увеличении давления на внутреннюю стенку трубы проис-
ходит постепенное заполнение полости матрицы. На стадии, со-
ответствующей давлению воды р = 50 МПа, минимальная
толщина стенки уменьшается до t= 5,1 мм. Очевидно, что в
220
зависимости от коэффициента трения между заготовкой и мат-
рицей эта величина будет изменяться.
г
♦
Рис. 8.3. Деформированная сетка конечных элементов на одной из
начальных стадий процесса
Рис. 8.4. Продеформированная сетка конечных элементов на последую-
щих стадиях процесса
221
z
Eo, %
X.
” * 4
1Я .. i’.
1 If. t,.
1*1
16. >
1?.т
it,a
Рис. 8.5. Распределение тангенциальных деформаций по сечению
заготовки
Рис. 8.6. Распределение тангенциальных напряжений по сечению
заготовки
222
На рис. 8.5, 8.6 показаны поля равных уровней деформаций и на-
пряжений для последней из изображенных на рис. 8.4 стадий про-
цесса. Часть трубной заготовки, находящаяся в пределах цилиндри-
ческой полости матрицы, не продеформирована (см. рис. 8.5) и на
рис. 8.6 не показана. Распределение тангенциальных деформаций
(см. рис. 8.5) носит легко предсказуемый характер: чем больше диа-
метр, тем больше деформация. Их максимальная величина состав-
ляет 19 %. Сдвиговые деформации обусловлены перегибами заго-
товки в полости матрицы и находятся в пределах от —33 до +42 %.
Распределение интенсивности деформаций соответствует резуль-
тирующему влиянию тангенциальных и сдвиговых деформаций. Ве-
личина интенсивности деформаций достигает 48 %. Минимумы
и максимумы в поле тангенциальных напряжений (см. рис. 8.6)
подчиняются известным из сопротивления материалов закономер-
ностям распределения напряжений при изгибе балки.
Рассмотренный процесс радиальной раздачи трубы связан с боль-
шими пластическими деформациями. Величина накопленной ин-
тенсивности деформаций 48 % в стенке трубы вряд ли может быть
отнесена к разряду малой упругопластической. Решение такой зада-
чи с позиций теории малых упругопластических деформаций прин-
ципиально возможно, но, очевидно, с очень большой вычислитель-
ной погрешностью при оценке напряженного состояния.
Чем больше этапов нагружения за пределами упругости и чем
больше шаг нагружения, тем больше ошибка вычисления среднего
(гидростатического) напряжения по теории малых упругопластичес-
ких деформаций. На каждом этапе нагружения по условию пластич-
ности проверяется разность компонент нормальных напряжений.
Поскольку условие пластичности проверяется с заданной точнос-
тью, ошибка вычисления компонент напряжений накапливается от
этапа к этапу.
Таким образом, при больших пластических деформациях гидро-
статическое напряжение (которое не приводит к пластическим де-
формациям и не влияет на их величину) необходимо рассчитывать
из условия упругого изменения объема, т. е. необходимо использо-
вать теорию течения.
8.6.3. Моделирование граничных условий на контактной поверхности
Формулирование контактных условий в задачах обработки дав-
лением представляет собой нестандартную операцию, от реализа-
ции которой во многом зависит успех математического моделиро-
вания таких процессов, как прокатка, ковка и особенно штамповка.
223
В первых технологических задачах, решенных методом конечных
элементов, граничные условия существенно упрощались; рассмат-
ривались некоторые крайние случаи: движение материала по по-
верхности контакта с инструментом при условии отсутствия тре-
ния, условие полного прилипания. И в том и другом случае можно
было задать граничные условия в перемещениях.
Реальные процессы значительно сложнее. Во-первых, многие
процессы ОМД без трения вообще невозможны; во-вторых, при
сложной форме инструмента (ковка, штамповка) точки поверх-
ности деформируемого металла могут переходить со свободной
поверхности на контактную и наоборот. Описание процессов на
контактной поверхности, выход на контактную поверхность, мо-
дели трения Кулона и Прандтля, полное прилипание, уход с кон-
тактной поверхности — все это предполагает достаточно слож-
ный алгоритм формирования граничных условий в ходе решения
задачи теории пластичности.
Наиболее простым способом задания условий, вероятно, яв-
ляется метод “тонкого” слоя [76]. Метод состоит в том, что в при-
контактной зоне вводится фиктивный слой конечных элементов
малой толщины. Скачок скоростей точек поверхности заготовки
и инструмента, в соответствии с концепцией МКЭ, аппроксими-
руется непрерывной функцией, которая в “тонком” слое имеет
значительный градиент. Касательное напряжение в “тонком” про-
межуточном слое составляет
dvn , Эу/
♦ ♦
т = ц
дт дп J
где ц* — вязкость этого промежуточного слоя.
Если положить —- = 0 , получим
Эт
где ДЛ — толщина слоя; vT и vD — скорости заготовки и инст-
румента по касательной к контактной поверхности.
Осуществляя предельный переход и учитывая, что касатель- ,
ное напряжение т является по отношению к заготовке внешней
распределенной нагрузкой т = fg (vT - vn), получим
224
Здесь f — коэффициент трения; g — некоторая функция, учи-
тывающая закон трения.
Интеграл J fg^dS; содержащий искомую скорость поверхно-
S
сти заготовки, дает вклад в матрицу жесткости; в правой части
остается [ fgV[)dS с известным значением скорости инструмента.
s
Очевидно, что точность приближения тем выше, чем мень-
ше толщина слоя ДА промежуточных элементов. Однако нали-
чие слоя конечных элементов очень малых размеров значитель-
но увеличивает размер матрицы жесткости конечных элементов.
При малых коэффициентах трения происходит значительное ис-
кривление тонкого слоя, что может привести к потере устойчи-
вости алгоритма. Таким образом, при всей простоте метода “тон-
кого” слоя, область его приложения весьма ограничена. Следует
отметить, что метод “тонкого” слоя значительно упрощает ре-
шение контактных задач и представлен в ряде крупных ком-
мерческих компьютерных программ, ориентированных на ис-
пользование сверхмощной вычислительной техники.
Другая возможность задания граничных условий, более слож-
ных в математическом и алгоритмическом плане, но с ориента-
цией на меньшие вычислительные возможности, состоит в сле-
дующем. Алгоритм задания граничных условий должен включать
такие основные процедуры:
процедуру, обеспечивающую соотношение компонент пере-
мещений или скоростей перемещений точек поверхности де-
формируемого тела, соответствующих углу наклона поверхнос-
ти деформирующего инструмента (движение вдоль контактной
поверхности);
процедуру расчета сил нормального давления;
процедуру определения величины и направления касатель-
ных напряжений;
процедуру проверки принадлежности точки поверхности де-
формируемого металла контактной поверхности или схода с нее;
процедуру учета перемещения контактной поверхности.
Условие непроницаемости контактной поверхности обеспе-
чивается путем перехода к локальной системе координат и ор-
тогональным преобразованием матрицы жесткости.
Граничные условия формируются в виде [77]
225
Здесь vz, azy — компоненты вектора скоростей и тензора на-
пряжений;
— нормальная составляющая скорости инструмента;
и, — компоненты единичного вектора, совпадающего с на-
правлением внешней нормали к поверхности скольжения.
— компоненты единичного вектора, касательного к повер-
хности и направленного в сторону, противоположную направле-
нию вектора скорости относительного скольжения металла по
инструменту Av,
Т.=__М=;
1 ^Av у Av у ’
ат — распределенные касательные силы на поверхности кон-
такта, определяемые из закона трения.
Включение условий
От ПРИ ОуЩП: < О
ЪцПЛ: = <
J J 0 при azyMzJi >0
позволяет проконтролировать отрыв металла от инструмента; при
>0 меняется тип граничных условий: они должны соот-
ветствовать условиям на свободной поверхности ozy«z =0.
Напряжения трения от зависят от нормальных напряжений,
от скорости относительного скольжения и т.п. Граничные уело- ,
вия на этапе уточняются в итерационном процессе. При этом
определяются узлы, в которых выполняется условие отрыва
> О . \
Поскольку метод конечных элементов обеспечивает получение
диагонально симметричной матрицы, желательно не нарушать эту
симметрию при описании движения точки по контактной поверх- <
ности. Если точка деформируемого металла находится на контакт-
ной поверхности и на заданном временном промежутке (этапе
нагружения) перемещается вдоль этой поверхности, отношение
компонент перемещений (или скоростей перемещений) ux/uy дол-
жно быть равно тангенсу угла наклона поверхности инструмента
226
в данной точке. Очевидно, в этой точке нельзя задать граничные
условия ни в перемещениях, ни в напряжениях; можно задать
лишь их отношение[78].
Рассмотрим алгоритм формирования контактных условий,
предусматривающий возможность задания скольжения и прили-
пания, учета выхода точки со свободной поверхности на контакт-
ную и схода с нее. В процессах прокатки, ковки и штамповки
поверхность инструмента перемещается в вертикальном направ-
лении, поэтому условие движения по контактной поверхности
должно быть записано для относительного перемещения:
* = ^а>
Ай„
Л
где Ам? = иу - иу , а — угол наклона контактной поверхности в
анализируемой точке.
Переход от переменной иу к А«у достигается преобразовани-
ем вектора правой части разрешающей системы уравнений, умно-
жением на Айу соответствующей компоненты матрицы жесткос-
ти и переносом числа в правую часть.
Диагональная симметрия матрицы [Л] обеспечивается в том
случае, если ось ^'направить по касательной к поверхности, а
ось Y' так, чтобы сохранить принятую систему координат. Для
перехода к локальной системе координат достаточно преобразо-
вать диагональный блок подматрицы
[Ку] =
XX
ух УУ
В локальной системе координат блок матрицы жесткости на-
ходится из соотношения
где
cos а
sin а
sin а
-cos а
Нулевое перемещение вдоль оси У' (непроницаемость грани-
цы) обеспечивается известным приемом — присвоением компо-
ненте Куу высокого значения жесткости. После этого осуществ-
ляется возврат к исходной системе координат
227
М = №Ж-
Сила трения как граничное условие формируется в ходе ите-
рационного процесса. На первых итерациях расчет выполняется
без учета силы трения; при этом формируется первое приближе-
ние поля скоростей и контактных напряжений. Это позволяет
построить вектор узловых сил
{Г} . JI »|' ,
V
рассчитать для контактных точек напряжения, действующие по
нормали к поверхности
о„ = оу sin2 а + ov cos2 а - 2tyv sin a cos а
ft -<V у
и на основании этих данных сделать заключение о возможных
контактных условиях.
Условие о„ > 0 дает основание судить о возможном сходе точ-
ки с контактной поверхности и о необходимости в дальнейшем
рассматривать ее как точку свободной поверхности.
При заданном коэффициенте трения / условие /о„ > сви-
детельствует о целесообразности отказа от модели трения по Ку-
лону и перехода к условию т = /о5.
Условие изменения знака мх (направления перемещения вдоль
контактной поверхности) должно привести к замене граничных
условий скольжения на условие прилипания.
Поскольку анализ выполняется в ходе итерационного процес-
са, с взаимным влиянием различных причин несходимости про-
цесса, наращивание коэффициента трения от / = 0 на первых
итерациях до заданного значения необходимо проводить посте-
пенно. В качестве очередного приближения величины силы тре-
ния в узле i принимается меньшая из узловых сил, найденных из
сопоставления величин
7]. = pF„(. и 7]. = цо J nJ1 + A2 dx,
JL V dx
но не более, чем
т W
Здесь Fni = Fv cos а - FY sin а.
r ' f tl у
228
Очевидно, существует множество вариантов формирования
граничных условий. Крупные коммерческие программы, как пра-
вило, не снабжаются подробным описанием этих специфических
алгоритмов, что затрудняет анализ и интерпретацию полученных
результатов.
В задачах математической физики и в классических задачах
обработки металлов давлением предполагается, что граничные
условия заданы. Однако очень часто интересен собственно про-
цесс формирования контактной площадки. Это относится в пер-
вую очередь к процессам прокатки в калибрах, горячей и холод-
ной объемной штамповки, где изучаются не столько энергосиловые
параметры, сколько возможность заполнения деформируемым
металлом калибра или полости штампа. Примеры анализа про-
цессов формирования контактной площадки приведены в разде-
лах 8.6.4 и 19.2.
8.6.4. Задача горячей калибровки поковки
Одной из наиболее сложных с точки зрения задания контакт-
ных условий является задача калибровки поковки в чистовом штам-
пе. На рис. 8.7 показано исходное положение верхнего и нижнего
калибровочных штампов и конечно-элементной модели поковки
турбинной лопатки. В увеличенном масштабе показаны фрагмен-
ты поковки и штампов в районах выхода металла в заусенечные
канавки.
Горячая калибровка поковки турбинной лопатки выполняется
в штампе, профиль которого соответствует профилю готового из-
делия с необходимыми припусками. Отличия в размерах чистово-
го и калибровочного штампов обусловлены разницей в прогибах
поверхности ручьев при чистовой штамповке и горячей калиб-
ровке. Стрела прогиба каждого из чистовых штампов при штам-
повке анализируемой турбинной лопатки составляет 0,9 мм. Эта
величина получена при решении задачи об упругой деформации
штампа под действием контактных напряжений.
В связи с упругой деформацией штампа поковка из чистового
ручья выходит с размерами, превышающими размеры полости
штампа на величину до 1,8 мм. При калибровке — фактически
повторной штамповке в том же штампе — сначала происходит
касание штампами утолщенной части поковки. Периферийные
части пера лопатки не касаются ручья штампа. Расчеты процесса
горячей калибровки выполнены при коэффициенте трения f = 0,3.
229
t = 4,8 мм
*«<ЦМЦ|
Рис 8 7 Исходное положение поковки и калибровочных штампов
По мере сближения штампов протяженность контактной по-
верхности увеличивается Поскольку точка максимального проги-
ба чистового штампа смещена в сторону выходной кромки (мак-
симальное утолщение поковки — правее середины профиля), на
начальной стадии левая часть профиля прижимается к верхнему
штампу, правая — к нижнему (рис 8 8) В области максимальных
деформаций происходит прилипание металла к поверхности ин-
струмента, вертикальные линии сетки конечных элементов ис-
кривляются, периферийные слои перемещаются параллельно са-
мим себе, без деформации.
При дальнейшем сближении штампов (рис. 8.9) начинается
вытекание деформируемого металла в заусенец. При этом возни-
кает участок отрыва деформируемого металла от контактной по-
верхности в районе входной кромки лопатки. Крайняя верхняя
точка сетки конечных элементов перемещается по поверхности
заусенечной канавки.
230
Рис 8 8 Положение поковки и штампов при сближении на 0 6 мм
Z= 4 мм
Рис 8 9 Положение входной и выходной кромок поковки и штампов
при сближении на 0,8 мм
231
В серединной части поковки, находящейся под давлением
штампов, контактные условия соответствуют условиям прилипа-
ния. Были проведены модельные расчеты с уменьшенным коэф-
фициентом трения, которые показали, что при высоких удельных
давлениях, характерных для штамповки и калибровки поковок
турбинных лопаток, скольжение в геометрическом очаге дефор-
мации возможно лишь при коэффициенте трения порядка f = 0,05.
Дальнейшее сближение штампов сопровождается расширени-
ем области силового контакта поковки и штампов, вытеканием
металла в заусенечную канавку (рис. 8.10). В области входной кром-
ки лопатки (слева) происходят отгиб заусенца и прижатие его к
нижнему штампу, т. е. часть точек сетки конечных элементов схо-
дит с контактной поверхности, часть — попадает на нее. На всей
контактной поверхности сетка конечных элементов искривляет-
ся — признак формирования условия прилипания.
Рис. 8.10. Положение входной и выходной кромок поковки и штампов
при сближении на 1 мм
На заключительной стадии калибровки (рис. 8.11) контактная 1
поверхность распространяется на все сечение поковки, металлом
оказывается заполненной часть заусенечной канавки. На всей
контактной поверхности действуют условия полного прилипания.
Вытекают исключительно внутренние слои. Сетка конечных эле-
ментов продеформирована настолько неравномерно, сдвиговые
деформации настолько велики, что дальнейшее решение задачи
на этой сетке становится проблематичным.
232
t= 3,6 мм
Рис. 8.11. Положение входной и выходной кромок поковки и штампов
при сближении на 1,2 мм
8.6.5. Податливость по контуру
Один из вариантов задания граничных условий смешанного
типа —задание жесткости или податливости. Коэффициент по-
датливости — это отношение величины перемещения точки на
границе к силе, вызвавшей это перемещение. Жесткость — вели-
чина обратная податливости:
К
р Ы [мм]
Граничные условия в виде податливости обычно задаются на
опорной поверхности штампов, если необходимо точно рассчи-
тать формоизменение поковки с учетом жесткости инструмента и
конструкции пресса. В этом случае некорректно считать опорную
поверхность штампа неподвижной (граничные условия 1-го рода
с нулевыми перемещениями). Необходимо учесть жесткость штам-
пового блока и всей конструкции пресса.
Разрешающая система уравнений, имеющая вид [A']{u} = {F},
Для узлов контактной поверхности должна быть записана в иной
форме:
233
[Од = -ед.
Здесь К „и — неизвестная узловая сила.
Вычислительная процедура учета жесткости проста: к диаго-
нальным компонентам матрицы жесткости добавляется величина
К, а в соответствующий член вектора правой части заносится ноль.
Далее выполняется расчет вектора перемещений.
Все это в равной степени относится к направлениям х и у при
решении двумерной задачи. В направлении z для схемы плоской
деформации податливость учитывается с помощью процедуры,
аналогичной той, что использовалась для расчета Дег в условиях
обобщенной плоской деформации.
Уравнение равновесия на ось z
/ ozdF = -Kpuz
F
Поскольку деформация на границе упругая,
j v + Оу) dxdy +(Дег + еОг) dxdy = -Кр (е* + Дег juz
Перенося Дег в левую часть, получаем
|Ete.zdxdy + Kpb£,zuz = -Kptzuz -1v(<тх + оdxdy- [Ez^dxdy,
Отсюда
Kptzuz + J v (ох + оу) dxdy + J Ez^dxdy
1 f Edxdy + K„uz
Здесь e* — деформация с предшествующего этапа.
Податливость в направлении z учитывается при расчете Дег в
ходе итерационного процесса.
234
ЧАСТЬ 2
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Система уравнений теории упругости, малых упругопластичес-
ких деформаций и теории течения носит общий характер и позво-
ляет анализировать любые процессы, связанные с нагружением
конструкций, элементов конструкций, с формоизменением и из-
менением напряженно-деформированного состояния. Первона-
чально это были задачи строительной механики, решение кото-
рых стимулировало развитие математической науки и методов
решения задач теории упругости. Далее появились задачи на сты-
ке задач теории упругости и пластичности. Это — задачи расчета
сварочных деформаций и напряжений. Решение этих задач дос-
тигалось методами, характерными для задач строительной меха-
ники. При переходе к задачам обработки металлов давлением не-
обходимо сформулировать условия перехода от традиционных для
строительной механики задач к задачам неограниченного пласти-
ческого течения. При сохранении общего математического аппа-
рата решения задач механики необходимо учесть принципиаль-
ные особенности исследуемого процесса.
9. ПРОДОЛЬНАЯ ОСАДКА
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЗАГОТОВКИ
Продольная осадка — одна из основных операций свободной
ковки и горячей объемной штамповки. Решение задачи об осадке
можно найти во многих фундаментальных работах по теории об-
работки металлов давлением [7,8]. В основном это решение задач
в напряжениях с рядом допущений о характере напряженно-де-
формированного состояния и с использованием модели жесткоп-
ластической среды.
235
Попытаемся оценить влияние основных кинематических до-
пущений на результаты расчета и сопоставить данные, получен-
ные на базе теории течения и теории малых упругопластических
деформаций. Для этого последовательно рассмотрим процесс осад-
ки низкой и высокой заготовки, вязкопластическую и упруговяз-
копластическую модели среды.
9.1. Осадка низкого цилиндра
Аналитическое решение задачи о распределении давлений на
контактной поверхности при продольной осадке низкого цилин-
дра можно получить исходя из гипотезы плоских течений, приняв
схему осесимметричного напряженного состояния. Система урав-
нений, позволяющая решить задачу в напряжениях, должна вклю-
чать уравнения равновесия на ось г, условие пластичности и вы-
ражение, связывающее нормальные и касательные напряжения
на поверхности контакта:
। дч _0
dr dz
Or ~ OL = оv ►
f t)
тк = цог
(9.1)
Полагая в низком цилиндре деформацию по высоте равно-
мерной, задавая линейное распределение касательных напряже-
ний = 2 z, из уравнения равновесия получаем
п
j dr
dor — ~2тк ——, (9.2)
где h — исходная высота заготовки (рис. 9.1).
Из условия пластичности следует, что dar = da7. Таким обра-
зом, приходим к уравнению
da7 = -2ц.о7 —
h '
Разделив переменные, получим
do, » dr
—~ =
О7 п •
Проинтегрировав равенство, находим
236
о. = Сехр -2ц- .
г я
(9.3)
Постоянную интегрирова-
ния определим из граничного
условия: при г = R (на свобод-
ной боковой поверхности ци-
линдра) аг = 0.
Из условия пластичности
следует: при г = R az=-as.
Константа интегрирования
определяется в соответствии с
равенством (9.3):
Рис. 9.1. Схема к определению кон-
тактных напряжений при осадке
цилиндрической заготовки
= -о, ехр
Таким образом, компонен-
ты напряжений распределятся вдоль радиуса заготовки в соответ-
ствии с выражениями [18]:
— = -ехр—(Л - г)
а. п
3
— = — = l-exp-y-f
а- а- п
3 3
— = ± цехр^(Л -г
о» п
3
(9.4)
В этом решении предполагалось равномерное распределение
напряжений вдоль высоты заготовки. Принципиально улучшить
решение (9.4) не удастся до тех пор, пока остается гипотеза об
однородной деформации: боковая поверхность остается цилинд-
рической, без образования бочки.
При численном решении той же задачи снимаются проблемы
интегрирования дифференциальных уравнений равновесия, по-
этому можно отказаться от гипотезы об однородной деформации
и ввести в рассмотрение уравнение равновесия на ось z- Распреде-
ление напряжений и деформаций по сечению заготовки опреде-
лится в ходе решения задачи.
Результаты численного решения проанализируем на примере
осадки цилиндра с отношением высоты заготовки к диаметру 3:10.
237
На рис. 9.2 показана сетка конечных элементов, аппроксимирую-
щая 1/4 часть диаметрального сечения, с учетом симметрии сече-
ния относительно оси цилиндра и серединной плоскости. Разме-
ры сетки конечных элементов обозначены через R и А/2.
'•Z
Рис. 9.2. Сетка конечных элементов исходной заготовки
Для сопоставления с результатами аналитического решения
(9.4) численное решение выполнено с позиций вязкопластичес-
кого течения за один этап нагружения, т.е. относительные обжа-
тия е = 10, 20 и 30 % задавались в виде перемещения инструмента
(плоского бойка) без прослеживания истории нагружения. Матери-
ал — идеально пластичный, без упрочнения. При такой постановке
задачи напряженное состояние, как и в случае аналитического ре-
шения, не зависит от степени деформации заготовки. На рис. 9.3
показаны сетки конечных элементов, соответствующие степени де-
формации е = 10 и 30 %. Несмотря на различие деформированного
состояния, эпюра контактных напряжений в обоих случаях одина-
кова, что обусловлено моделью идеально пластической среды.
е=10%
Рис. 9.3. Сетки конечных элементов при осадке цилиндрической
заготовки с относительными обжатиями е = 10 и 30 %. Коэффициент
трения на поверхности контакта ц = 0,3
На рис. 9.4 представлены эпюры контактных напряжений, полу-
ченные численным решением и по формулам (9.4) для диапазона
изменения коэффициентов трения на поверхности контакта с инст-
рументом ц = 0,1 -5- 0,4. Следует уточнить, что алгоритм численного
решения предусматривал более сложную формулировку задания
238
условии трения, соответствующую представлениям о зонах сколь-
жения, торможения и прилипания. Касательные напряжения ог-
раничивались величиной — пределом текучести при чистом
сдвиге. Поэтому результаты численного решения для коэффици-
ентов трения pi = 0,4 и 0,5 оказались полностью одинаковыми.
Рис. 9.4. Эпюры контактных напряжений при разных
коэффициентах трения: сплошные линии — численное
решение; пунктирные линии — по формуле (9.4)
При коэффициенте трения ц = 0,1 неравномерность дефор-
мации проявляется слабо, сечения остаются плоскими (правиль-
нее назвать цилиндрическими), бочка практически отсутствует.
На рис. 9.5 пунктирная и сплошная линии, характеризующие уве-
личение радиуса заготовки по мере уменьшения высоты, при
ц = 0,1 почти сливаются.
Д R/R -I-----------------------------------------------------3
16---------------------------------------------------
14--------------------------------------------—
12------------------------------------
10-------------------------------.. -/У
8-------------------------— т~---------------------------
. s s tx** цяО.З
6-------------------; /----------------------
4--------------------------------------------------------
____________________________________
о 5 10 15 20 25 Е, %
в.
* * * » * *
»
л л » л 0 *
0 л * » » л » • л ^^^7 /
* * * * • * * ? * 6,2 м= 0,3
,4^ и Ю,1
Рис. 9.5. Увеличение радиуса заготовки в зави-
симости от относительного обжатия: сплошные
линии — по контактной поверхности; пунктир-
ная линия — по серединной плоскости
239
Поскольку выполняется основное допущение, положенное в
основу аналитического решения (9.4), результаты, полученные
численным и аналитическим расчетами (см. рис. 9.4), оказывают-
ся практически одинаковыми. По мере увеличения коэффициен-
та трения гипотеза плоских сечений становится все менее прием-
лемой, распределение деформаций оказывается неравномерным,
что при прочих равных условиях требует больших энергетических
затрат на деформирование и, следовательно, больших контактных
усилий.
На части контактной поверхности при больших коэффициен-
тах трения напряжения трения достигают своего максимума —
предела текучести при чистом сдвиге; в центральной части кон-
тактной поверхности формируется зона прилипания, а в объеме
заготовки — область затрудненной деформации (рис. 9.6).
Ц=0,1 z |1=0,4
Рис. 9.6. Сетка конечных элементов при обжатии е =30 % и
коэффициентах трения ц = 0,1 и 0,4
Вследствие этого контактные напряжения в осевой части за-
готовки снижаются. Возможна ситуация, когда контактные на-
пряжения окажутся ниже предела текучести; это связано с воз-
никновением растягивающих радиальных напряжений за счет
интенсивного образования бочки. На рис. 9.7 показаны области
равных напряжений ог, соответствующие деформированному со-
стоянию, представленному на рис. 9.6.
Рис. 9.7. Области равных напряжений ог при обжатии е =30 % для
двух значений коэффициента трения
240
По мере формирования бочки увеличиваются контактные
напряжения на краю контактной поверхности. В аналитичес-
ком решении с учетом граничного условия ог = О при г = R и
условия пластичности стг - = о5 контактные напряжения у бо-
ковой поверхности должны равняться пределу текучести. Чис-
ленное решение учитывает неравномерность распределения на-
пряжений и деформаций, в том числе бочкообразность боковой
поверхности; возрастание контактных напряжений связано с
необходимостью деформирования боковой внеконтактной зоны
(бочки).
Представленные выше результаты численного и аналитичес-
кого расчетов относились к одинаковой модели материала — иде-
ально пластической несжимаемой среде. Результаты совпадали
только для тех условий осадки, где поле напряжений было одно-
родным, где соблюдались гипотезы плоских сечений и равномер-
ной по высоте деформации. Чем больше коэффициент трения,
чем больше относительное обжатие, тем менее справедливы при-
нятые кинематические гипотезы и, следовательно, результаты
аналитического решения.
Рассмотрим далее влияние выбора математической модели
среды. Идеально пластичная несжимаемая среда является бе-
зусловной идеализацией, в какой-то степени справедливой для
обработки давлением в горячем состоянии. Хотя и в этом слу-
чае вызывает сомнение тот результат, который свидетельствует
о независимости уровня контактных напряжений (и, следова-
тельно, общего усилия пресса) от величины относительного
обжатия заготовки.
На рис. 9.8 показаны эпюры контактных напряжений, полу-
ченные на той же сетке конечных элементов, при тех же коэф-
фициентах трения, при тех же обжатиях, наконец, по той же
компьютерной программе, но для модели упруговязкопластичес-
кой среды.
Наличие упругой составляющей деформации вносит серьез-
ные коррективы в результаты, показанные на рис. 9.4 и получен-
ные в предположении идеально пластического тела. Для идеально
пластического материала компоненты напряжений связаны усло-
вием пластичности, так что фактически контролируется только
девиаторная часть тензора напряжений. Объемная деформация
считается нулевой, следовательно, гидростатическое давление как
таковое в расчете не участвует, и прослеживание истории нагру-
жения не предполагается.
241
Рис. 9.8. Эпюры контактных напряжений при осадке упруговязкоплас-
тического тела при разных коэффициентах трения
Модель упруговязкопластической среды позволяет связать
объемную деформацию и гидростатическое напряжение коэффи-
циентом упругого изменения объема и тем самым проследить ис-
торию нагружения; при необходимости можно рассчитать напря-
женно-деформированное состояние материала при разгрузке
(снятии внешнего давления). Результаты, показанные на рис. 9.8,
242
представляют последовательные этапы нагружения заготовки, т.е.
эпюра, соответствующая степени деформации е = 20 %, получена
на основании результата, относящегося к обжатию е = 10 % , пу-
тем дополнительного перемещения поверхности деформирующе-
го инструмента.
Если сопоставить результаты расчетов формоизменения и на-
пряженного состояния для идеально пластического и неупрочня-
ющегося упругопластического тела, то при относительно малых
обжатиях совпадение результатов окажется практически полным,
форма боковой свободной поверхности, характеризуемая диамет-
рами контактной и серединной плоскостей, при обжатии е = 10 %
для упругопластического тела ничем не отличается от формы сво-
бодной поверхности идеально пластического тела (см. рис. 9.5).
Эпюры контактных напряжений полностью совпадают. По мере
увеличения обжатия расчеты по модели упругопластического тела
дают более высокий уровень контактных напряжений по сравне-
нию с контактными напряжениями при меньших обжатиях, т.е.
напряжения увеличиваются с ростом деформаций. Как было от-
мечено, модель идеально пластического тела не предполагает та-
кой зависимости. На рис. 9.8 эпюры контактных напряжений для
е = 10 % фактически соответствуют модели идеально пластичес-
кого тела. Таким образом, модель идеально пластического тела
дает заниженные значения напряжений по сравнению с результа-
тами расчета, учитывающими упругие деформации. Это логично,
поскольку упругие деформации требуют дополнительных энерго-
затрат и, следовательно, дополнительных усилий для того же фор-
моизменения.
Сравнивая результаты расчетов формоизменения по модели
идеально пластического и упругопластического тела, необходимо
обратить внимание на кажущееся противоречие в численных зна-
чениях диаметров контактной и серединной плоскостей, пред-
ставленных на рис. 9.9. При обжатии е = 10 % оба названных раз-
мера для упругопластического тела несколько меньше, чем для
идеально пластического. Эта незначительная разница в размерах
Двух исходно одинаковых тел легко объясняется упругим сжатием
упругопластической среды. По мере увеличения обжатия оба раз-
мера для упругопластического тела превышают соответствующие
размеры идеально пластического тела; иными словами, объем уп-
ругопластического тела оказывается больше объема несжимаемо-
го тела. Причем это изменение объема несоизмеримо больше того,
что было связано с упругим сжатием.
243
Рис. 9.9. Увеличение радиуса заготовки при расчете по моделям иде-
ально пластической (7, 2) и упругопластической (5, 4) среды: сплош-
ные линии — по контактной поверхности; пунктирные линии — по
серединной плоскости
244
При сжатии (осадке) упругопластического тела его объем
ни на какой стадии процесса не может превышать объем идеаль-
нопластического (несжимаемого) тела. Следовательно, есть дру-
гая, до сих пор не упомянутая причина, которая в численных рас-
четах, связанных с прослеживанием истории деформирования,
имеет первостепенное значение. Об этой причине в общих чертах
говорилось в главе 3.
Были введены понятия малой и конечной деформации. Малая
деформация представляет собой приращение длины некоторого
малого отрезка к его первоначальной длине. Конечная деформа-
ция могла быть представлена либо как логарифмическая, либо в
виде тензора деформаций Грина в лагранжевых координатах, либо
в виде тензора Альманси в эйлеровых координатах. Если малая
деформация является линейной функцией перемещений, конеч-
ные деформации представляют собой нелинейные функции.
Численное решение методом конечных элементов предпола-
гает вариационную постановку задачи. Функционал, выражаю-
щий энергию системы, должен быть записан в квадратичной фор-
ме, т.е. содержать искомые перемещения во второй степени.
Минимизация функционала в этом случае приводит к системе
линейных алгебраических уравнений. Такая постановка задачи
диктует запись деформаций в виде линейной функции перемеще-
ний, что соответствует представлению о малых деформациях.
Разумеется, возможна постановка геометрически нелинейных
задач, где вместо уравнений Коши используется тензор деформа-
ций Грина, но это связано с организацией итерационного про-
цесса, что целесообразно только для решения задач теории упру-
гости. В задачах теории обработки металлов давлением, где
итерационный процесс необходим для раскрытия физической не-
линейности задачи, экономичнее прослеживать историю дефор-
мирования малыми шагами по перемещениям с использованием
на каждом из них уравнений Коши для связи деформаций и пере-
мещений.
В рассматриваемой задаче история деформирования просле-
живается до обжатия е = 30 % . В рамках модели идеально пла-
стического тела, где напряженное состояние не зависит от сте-
пени обжатия, история деформирования не прослеживается, т.е.
задача решается за один этап — один шаг нагружения, которо-
му соответствует обжатие, например, е = 30 % . Модель упру-
гопластического тела ориентирована на прослеживание исто-
рии нагружения. Это значит, что на каждом шаге нагружения
245
сетка конечных элементов трансформируется и относительная
деформация отсчитывается от новых размеров тела. Обжатию
е = 30 % будет соответствовать относительная деформация, при
большом числе этапов расчета приближающаяся к
Е,=7^.1П22А.^О,357.
i * ь
В зависимости от числа шагов нагружения (количества этапов
расчета) при одном и том же обжатии е = 30 % можно получить
суммарную деформацию по высоте цилиндра от 30 до 35,7 %. Эта
разница в 5,7 % не идет ни в какое сравнение с деформацией
упругого изменения объема, определяемого модулем объемной
деформации К = . &—- = . —- = 1,667 • 105 МПа.
3(l-2v) 3(1-2-0,3)
Очевидно, большему по абсолютной величине значению вы-
сотной деформации еА соответствует большее значение ради-
альной деформации и, следовательно, большее значение радиуса
заготовки. Таким образом, больший диаметр осаженной заго-
товки из упругопластического материала по сравнению с несжи- *
маемым материалом объясняется не моделью материала, а числом
этапов расчета (числом шагов интегрирования по перемещению).
На рис. 9.10 показаны зависимости радиуса заготовки от шага на- ’
гружения (единичного обжатия) при осадке упругопластического
тела для варианта с коэффициентом трения ц = 0,3.
Поэтапному изменению размеров деформируемой заготовки .
соответствует изменение жесткости системы. С уменьшением раз-
меров по высоте жесткость в высотном направлении увеличивает-
ся, а в радиальном — уменьшается. Поэтому каждый следующий
шаг нагружения требует большего усилия, что означает увеличе-
ние контактных напряжений. При расчете за один шаг нагруже- ,
ния, независимо от выбора модели идеально пластического или '
упругопластического материала, деформируемое тело имеет ис-
ходную (минимальную) жесткость в высотном направлении, что в
результате расчета даст минимальное потребное усилие деформи-
рования. При расчете за несколько шагов нагружения на каждом
следующем шаге будем учитывать увеличение жесткости заготов-
ки в высотном направлении, что в итоге даст эпюру более высо-
ких контактных напряжений (рис. 9.11).
246
£ = 10%
е = 30%
Рис. 9.10. Увеличение радиуса заготовки при расчетах с
разными единичными обжатиями q: 7 — по контактной
поверхности; 2 — по серединной плоскости
247
a)
£ = 10%
в)
Рис. 9.11. Эпюры контактных напряжений при
разных шагах нагружения (единичных обжатиях
Ej): 1 — е1=1%;2— Ei = 2 % ; 5 — £i = 5 %;
4 — Ej = 10 %. Коэффициент трения ц = 0,3
248
Рис. 9.12. Эпюры контактных напряжений при
осадке цилиндра с отношением высоты к диаметру
3:10 (модель упругопластического тела)
249
' Представленные на рис. 9.10 и 9.11 зависимости формоизмене-
ния и напряженного состояния от величины шага нагружения, как
было показано, имеют не физический, а вычислительный смысл.
По мере уменьшения шага численного интегрирования результат
должен приближаться к точному (аналитическому) значению ин-
теграла. В данном случае аналитическое решение не может быть
получено, и при выборе шага интегрирования можно руководство-
ваться лишь соображениями достаточной инженерной точности
решения. Из данных, представленных на рис. 9.10 и 9.11, очевид-
но, что результаты, полученные с шагами нагружения Ej = 10 и 5 %,
заметно отличаются друг от друга. Различие численных результа-
тов, полученных при шагах нагружения Ej = 1 % и 2 %, много мень-
ше точности экспериментального определения предела текучести
ст; поэтому уменьшение вычислительной погрешности не даст бо-
лее точного результата. Повышение точности численного интегри-
рования в таком случае лишено смысла.
На рис. 9.12 представлены эпюры контактных напряжений при
осадке низкого цилиндра из неупрочняющегося упругопластического
материала, полученные расчетом с шагом нагружения 1 % исходной
высоты. В зависимости от условий трения на контактной поверхности
характер эпюр различен. При малых коэффициентах трения (ц = 0,1)
на всей поверхности контакта имеет место скольжение. По мере
увеличения коэффициента трения все большую часть занимает об-
ласть прилипания. Преимущественно деформируются слои металла,
удаленные от контактных площадок; в подконтактной области де-
формация затруднена; в радиальном направлении в области затруд-
ненной деформации возникают растягивающие напряжения, что
приводит к снижению уровня сжимающих контактных напряжений.
При определенных условиях контактные напряжения в центре пло-
щадки могут быть ниже предела текучести.
Таким образом, при больших коэффициентах трения в низком
цилиндре наблюдается неравномерное распределение напряжений
и деформаций. Относительное увеличение высоты цилиндра, ес-
тественно, приводит к еще большей неравномерности деформа-
ций. Значительная неравномерность деформаций осложняет вы-
числительные процедуры математического моделирования
процессов обработки металлов давлением.
Изучение напряженно-деформированного состояния при
осадке низкого цилиндра носит в основном методический ха-
рактер. В плане аналитического решения — это наиболее кор-
ректно поставленная задача. Однако ее решение дает качественно
250
весьма упрощенный результат. Количественная оценка такой ин-
тегральной характеристики, как общее усилие деформации, ока-
зывается вполне приемлемой.
Численное решение позволяет преодолеть два основных допу-
щения аналитического решения: о равномерной деформации и об
идеально пластической среде. Усложнение математической по-
становки задачи позволяет анализировать тонкости формирова-
ния напряженно-деформированного состояния, недоступные ана-
литическому подходу. Как показано выше, интерпретация
результатов численного решения не проста даже для наиболее
простого процесса — осадки низкого цилиндра и требует учета
деталей математической постановки и численной реализации.
9.2. Осадка высокого цилиндра
В процессах осадки и прокатки в зависимости от отношения
длины и высоты деформируемого тела различают низкие и высо-
кие очаги деформации. Для низких тел при аналитическом реше-
нии в определенной степени справедливы допущение о равно-
мерной по высоте деформации и гипотеза плоских сечений. Для
высоких тел деформация локализована в приконтактной области,
возможно образование двойной бочки, и, следовательно, гипоте-
за плоских сечений является очень смелым допущением.
В работе [7] приведено аналитическое решение задачи об осад-
ке высокой полосы с использованием тех же допущений, которые
были сформулированы в разделе 9.1 для низкого цилиндра. Оче-
видно, гипотеза плоских сечений в случае осадки высокой полосы
является необходимым допущением, позволяющим получить ре-
шение, полезное для понимания схемы напряженного состояния,
для объяснения причин формирования растягивающих напряже-
ний в центральной части заготовки. Не только количественных
оценок, но и качественно верных зависимостей из аналитических
решений получить не удается.
Анализируя напряженно-деформированное состояние низко-
го цилиндра, мы сопоставляли результаты численного решения
на моделях идеально пластического и упругопластического тел.
При этом не акцентировалось внимание на различиях теории ма-
лых упругопластических деформаций и теории течения. Тому есть
очень простое объяснение: различие результатов, полученных на
базе теории течения и теории малых упругих деформаций, укла-
дывалось в рамки заданной точности сходимости итерационного
251
процесса. Напряжения и деформация в теле были распределены в
определенной степени равномерно, нагружение было близко к
простому.
Рассмотрим процесс осадки цилиндра с отношением высоты
к диаметру 1:1 в исходном состоянии. Сетка конечных элементов
1/4 части цилиндра показана на рис. 9.13.
z
< > о у о о о у о а о у о у о у- о у о у о >
о о о о о о о о о о о
< не-ч 4-е-ч *-е-ч 4-е-ч *-е—• 4-е-ч 4-е-ч 4-е-* не-ч 4-е-ч»
О О О О О О О О О (4 О
< не-ч 4-е-ч *—е-* *-е-ч 4-е-ч 4-е-ч 4-еч 4-е-ч 4-е-ч 4-е—< •
о о о о о о о о о о о
( 4 О 4 4 G 4 4—G—1* G *> О 4 > О 44-G-« 4-ОН 4-G-4 4-8—* 4
4» 4» 4) 44 <4 4» <4 <4 44 44 <4
< 4-е-ч не-* 4-е-ч »-©-< 4-е-ч 4-е-ч 4-е-ч 4-е-* 4-еч *-е-< i
44 44 41 4* 41 4) 4) 14 4) 4* (I
<4-е-< 4-е-ч 4-е-ч 4-е-о-е-ч>-еч4-е-ч 4-е-ч >-е-ч4-е-<>
<4 (4 4» 41 44 <4 <4 44 44 <4 41
< 4-е—* 4-е-ч 4—е-ч 4-е-ч *—е-ч 4-e-<i 4-е-ч (—е-ч 4-е-ч 4-е-ч 4
44 44 44 41 4) <4 <4 44 44 44 44
< 4-е-ч >-е-ч 4-е-* 4-е-ч 4—е-ч 4-е-ч 4-е-ч 4—е-ч 4-е-ч 4-е-ч >
(4 44 (4 41 41 4) 4* 4) <4 <4 4*
< 4- g 4 ч>ч 4-е-ч —не-ч 4-е-ч 4-еч 4-е-ч 4-е-ч 4-е-ч»
4) 4* 41 4* 4) 4) (4 (4 44
е-ч 4-е-ч 4-е-ч >-е-ч 4-е-ч 4-е-ч 4-е-ч 4-е-ч не-*»
44 44 41 44 44 <4 44 (4 44
о-е- е-А-ов- в -е-о-е о А чэ- А е А-о-<4
е= 10%
у-о у о ф-о <j> е ф-о е о ф о
4» 4»
4 не ч > о 4> о ф о Ф е ф е ф е
4» 44
(4 6 4 44>-ф- в ф Ю-ф О ф О ф О
<4 <4
4»
4» 44
4) 4)
44
<4 <4
4) 44
° ° ° Y
ф о Ф о ф- о < । о феч > е Ф о
ф ф Ф
О ф О ф ’Я
ф 44
-е^ф оч-в-
ф
о ф о д> -о-Ф- е
<* Ф
е-ч *-е—' 4-е
44
(4 (4
4 4-е-4 4 G Ф О Ф ^
4» (4
<»-e-i 4-е-
4) 4)
(4-е-ч 4-е-
44 (4
(4-е-ч 4-е
4) 4)
I»
4Ь
44
<4
Ф--е
<4
4 4-8-44" G < 4-е-Ч4-0-44-е-ч4-О' 44—е
8
е
е
44
4*
е
у у
-е-ч —е-ч i—e
(4 <’
-е-ч 4—е-ч ►—е-ч >
<4
-е-ч 4 о Ф Q ф
41
ф-о ф е -ф-е Ф-о ф g ф о Ф о 44-
44
4) <>
<4 44
Ф 4*
4* ф
4) 4*
4) 4*
ч, о- А е -X- о А -о АоХоАоАо^ оЦйс?А А»
4 4 4 4
4 4 4 *
е = 20%
Z
е-у-е
(4
е-
-о-у о-у-о-ф е-ф-о- ф е 4j>
(4 44
-е-ч 4-еч 4-е ф о ф о ф о 4 >
ф Ф
е
4)
44 (4
е
-6-41
4*
е-ч 4-е
<4
О О О 4*4 О
е
е
е
е
е
4» (4
е = 30%
е-ч 4-е-ч 4-еч 4-е-ч *
4» <4
в "ф -О- 4 4 Оч I
О
е>
4»
<4 4»
е-е-о-4 4
Ф о
e-у о <4
Ф (4
е-фе-4>
(4
-е
Л Ф ~ <5
е-ч 4—е-ч| - е-< >
41 <4 ,
е-ч>- е-(4 е-о
4» <1
О ф- О ф' 0 (4
4*
(I
<4-е
4)
< । о ф е ф-е
<» (*
(►-е-ч > о ф-е
(I 4»
(4-е-чно Ф о о
о <>
<4 е -у о -Ф о
(4
4 4 - о- 4 4 -G-4 —е-
44 (4 (4
1—0- ф-о- ф-е
44
О ф. о е о у о е о е о о -е-е-е
е-ее е о е о А о о "у-~*
1 о Ф о-е о Ф- о
у ф Ф Ф Ф А*
е-Ф-
<4
(4 4»
<4 <|
< >--е-ч 4 -о- * 4—е
I) 4»
е—е-е
। 4
е-ч
Ф ’
44
4 > -е-ч 4—е ч 4-е-ч - е ч 4
Т 1 Л ’ ф . т
44-е-ч. о ф О Ф е-ч^е-4н-е-Ф
4 > 4 4 I 4 I 4 41 41 Ф '1 <
11 -о- 4 4-е-ч I—е—* 4- о-, 4—-е-ч > еу е-4 4- о 4- ед*
(I 4) (I (4 <4 (I Ф (I 44
<р о ф-о ф о е о е о е-о—е-е-е-е-»-е
4 4 4 4
<| 9
е
е
41
Рис. 9.13. Исходная и деформированная сетки конечных элементов
при осадке цилиндра с соотношением размеров h : d = 1:1 (коэф-
фициент трения ц = 0,2)
Размеры конечных элементов такие же, как в задаче об осадке
низкого цилиндра. Шаг нагружения составлял 0,5 % исходной
высоты цилиндра. История деформирования прослеживалась до
обжатия е = 30 % за 60 расчетных этапов. Как и в предыдущем
разделе, полагаем материал неупрочняющимся.
Сопоставление результатов, полученных на моделях жест-
копластической и упругопластической сред, было выполнено на при-
мере осадки низкого цилиндра. Поэтому нет смысла повторять тот
252
же анализ для высокого цилиндра, где роль упругих деформаций
значительно существенней. Модель жесткопластического тела, как
уже было отмечено, не позволяет прослеживать историю дефор-
мирования и кинетики формирования напряженно-деформиро-
ванного состояния.
Здесь целесообразно сопоставить результаты, полученные с
использованием теории течения и теории малых упругопласти-
ческих деформаций, выяснить причины различия результатов и
обозначить область применения теории малых упругопластичес-
ких деформаций. Представленные далее результаты получены по
теории течения.
Сетки конечных элементов, соответствующие обжатиям
е = 10, 20, 30 % (см. рис. 9.13) и коэффициенту трения на контакт-
ной поверхности ц = 0,2 , не согласуются с принятыми в аналити-
ческом решении [7] представлениями о плоских сечениях. В цен-
тре контактной зоны сетка практически не продеформирована даже
при обжатии е = 30 %. По мере удаления от контактной поверх-
ности деформации увеличиваются.
При осадке высокого цилиндра неравномерность деформации
проявляется с момента начала нагружения. На рис. 9.14 и 9.15
неравномерность проиллюстрирована распределениями радиаль-
ных перемещений и интенсивностей деформаций. В центральной
части заготовки на значительную глубину от контактной поверх-
ности распространяется зона затрудненной деформации. Нерав-
номерное по высоте распределение радиальных перемещений при-
водит к образованию бочки.
ur/R, %
Рис. 9.14. Области равных радиальных перемещений ur/R(%) при
обжатии е = 5 %
253
Рис. 9.15. Области равных интенсивностей деформации е( при
обжатии е = 5 %
Вместе с гипотезой плоских сечений в аналитических решениях
обычно предполагается, что главные напряжения действуют в на-
правлениях осей координат; это позволяет использовать условие
пластичности в виде стг - стг = os. Трение на контактной поверхно-
сти приводит к значительным сдвигам и, как следствие, к формиро-
ванию поля касательных напряжений. Сдвиговые деформации на-
растают с увеличением обжатия (рис. 9.16) и по абсолютной величине
тем больше, чем больше коэффициент контактного трения. Сдвиго-
вые деформации концентрируются вдоль конической поверхности,
образующая которой соединяет стык боковой и контактной поверх-
ности с центральной частью заготовки. При больших коэффициен-
тах трения свободная боковая поверхность переходит в контактную.
Рис. 9.16. Области равных сдвиговых деформаций (%) при
осадке цилиндра с соотношением размеров h : d = 1:1 (коэффици-
ент трения ц = 0,3)
254
Таким образом, представленные на рис. 9.13—9.16 характерис-
тики деформированного состояния свидетельствуют о неравно-
мерности и неоднородности деформации. Согласно общим пред-
ставлениям о деформационной теории и теории течения, задачи
такого класса должны решаться с позиций теории течения.
На примере осадки высокого цилиндра покажем, что при чис-
ленном решении область применения деформационной теории и
теории течения обусловлена иными по сравнению с аналитичес-
ким решением причинами. Во всяком случае, простое или слож-
ное нагружение, однородная или неоднородная деформация — не
определяют выбор между теорией малых упругопластических де-
формаций и теорией течения.
При компьютерной реализации математической формулиров-
ки задач, изложенных в главах 7 и 8, разницы между теорией ма-
лых упругопластических деформаций и теорией течения по виду
определяющих уравнений нет. В теории малых упругопластичес-
ких деформаций приращения деформаций связаны с напряжени-
ями уравнениями
dS,; dcSл
d^=-^^kSij+5v^-, (9.5)
/О' JA
в теории течения скорости деформаций связаны с напряжениями
соотношениями
1 dSy $ij г 1 da0
£,J ~ 2G dt + 2ц + 5,7 ЗК dt ' (96)
Здесь представлены выражения в исходном, не упрощенном
для аналитического решения состоянии. При численном реше-
нии и пошаговом прослеживании процесса во времени оба опре-
деляющие уравнения сводятся к одному конечно-разностному
Аеу = Л + TF (ст0 - <*о) • (9-7)
Задавая шаг по времени, от уравнения в приращениях переме-
щений (9.5) теории малых упругопластических деформаций мож-
но перейти к уравнению в скоростях и тем самым использовать
характерные для теории течения скоростные зависимости сопро-
тивления деформации. Уравнения теории течения при заданном
шаге по времени позволяют получить информацию о деформиро-
ванном состоянии.
Как было показано в главе 4, деформационная теория предпола-
гает вид определяющих уравнений, соответствующий уравнениям
теории упругости, а именно, связь компонент тензоров напряжений
255
i
и деформаций. Полагая °o = a« > Sv = °и ~ 5(/°o , уравнение (9.5)
нетрудно превратить в выражения, связывающие компоненты де-
формаций е,у с компонентами напряжений вд. При решении
задачи в перемещениях в каждой точке тела имеем в качестве ис-
комых параметров — три компоненты перемещений; после вы-
числения перемещения легко получить компоненты деформаций
и напряжений.
Теория течения предполагает вид определяющих уравнений, со-
ответствующий уравнениям Навье. В каждой точке имеем четыре
искомых параметра — три компоненты скоростей течения и гидро-
статическое напряжение ст0 . В отличие от деформационной теории
о0 вычисляется не в конце расчетной процедуры как среднеариф-
метическое найденных компонент напряжений (п0 = - он), а само-
стоятельно с использованием уравнения упругого изменения объема
. При этом компоненты напряжений складываются из
девиаторной части Sg = 2цё^ и среднего давления вд = Sg + о0.
В рамках задачи теории упругости наличие трех или четырех
независимых переменных в каждой точке — это чисто алгебраи^
ческое отличие: одна из независимых переменных выражена че-
рез три других, согласно одному из уравнений, и подставлена в
три остальные. Одним уравнением и одной переменной стало
меньше.
При решении задачи теории пластичности отличие носит принд
ципиальный характер. Задача является физически нелинейной^
поэтому в ходе итерационного процесса должен быть подобран
параметр АХ (в задаче малых упругопластических деформаций)
или Ц (в задаче теории течения). Критерием правильного выбора
АХ или Ц является выполнение условия пластичности а( = os с
заданной точностью. Точность задается, как правило, в пределах
10 + 20 % от Oj; представленные в главе 5 результаты получены <;
заданной точностью 10 % от os. Это значит, что расчет очередно-
го этапа заканчивался при ст( = (0,9-И,1)<т5.
Условие пластичности контролирует соотношение девиатор-
13 '*
ных компонент тензора напряжений, поскольку о, = J— SgSg ,
/
л
1
A
t
256
Очевидно, что неточность величин $„ и ДА приводит к неточ-
ности значений деформаций. Таким образом, гидростатическое
напряжение, которое физически связано с объемной деформа-
цией упругим модулем К (о0 = Кги), оказывается зависящим от
точности определения ДА — величины, имеющей отношение толь-
ко к пластическим деформациям.
Поскольку выполнение условия о, = (0,9 1,1)о5 в каждой
точке может дать как завышенное, так и заниженное (в пределах
±10 %) соотношение компонент Sg и, следовательно, параметра
дА , то получение заниженного или завышенного значения сред-
него давления о0 в той или другой точке непредсказуемо. Много-
этапное прослеживание процесса нагружения приводит к накоп-
лению ошибки расчета среднего давления о0 , тем более
интенсивному, чем ниже заданная точность выполнения условия
текучести. Очевидно, что накоплением ошибки сопровождается и
расчет формоизменения (рис. 9.17, 9.18).
Применение конечных элементов с параболической аппрок-
симацией (по сравнению с симплекс-элементами) имеет свою
специфику. При построении матрицы жесткости интегрирова-
ние по объему элемента выполняется численно. Перемещения
вычисляются в узлах сетки конечных элементов, деформации,
напряжения определяются в точках интегрирования. Там же про-
веряется условие пластичности, и, следовательно, в точках ин-
тегрирования подбираются параметры ДА . Таким образом, гид-
ростатическое давление фактически определяется в точках
интегрирования и является результатом аппроксимации по объе-
му конечного элемента.
При решении задачи теории течения гидростатическое напря-
жение определяется в узлах сетки конечных элементов наряду с
компонентами скоростей перемещения. Это позволяет получить
шаровую и девиаторную части тензора напряжений с одинаковой
точностью, что принципиально, если неравномерность напряжен-
ного состояния высока. И наоборот, если напряжения в объеме
Деформируемого тела распределены в достаточной степени рав-
номерно и их квадратичная аппроксимация в пределах конечного
элемента не вносит заметной ошибки, использование теории ма-
лых упругопластических деформаций может дать надежный ре-
зультат независимо от величины суммарной деформации.
257
е = 10%
а)
б)
Рис. 9.17. Эпюры контактных напряжений, рассчи-
танные по теории течения (сплошная линия) и
теории малых упругопластических деформаций
(пунктирная линия)
258
Рис. 9.18. Увеличение радиуса заготовки в зависимос-
ти от относительного обжатия. Расчет: 1 — вдоль
контактной поверхности; 2 — вдоль серединной
плоскости; сплошная линия — по теории течения;
пунктирная линия — по теории малых упругопласти-
ческих деформаций
Доля шаровой компоненты напряжений о0 /о5 в общем уров-
не напряжений для рассматриваемого процесса осадки высоко-
го цилиндра соизмерима с девиаторной. На рис. 9.19 показано,
что с увеличением контактного трения уровень гидростатичес-
ких напряжений и их градиент возрастают. В этих условиях рас-
чет с позиций теории малых упругих деформаций не может дать
надежных результатов.
259
ц = 0,2
ц = 0,3
Рис. 9.19. Области равных гидростатических напряжений о0/о5 ПРИ
осадке цилиндра с обжатием е = 10 %
Сравнение эпюр контактных напряжений, полученных чис-
ленным решением задачи упругопластического течения (рис.
9.20) и аналитическим решением задачи о деформировании же-
сткопластического тела [7], показывает их качественное и коли-
чественное несовпадение. При аналитическом решении в каче-
стве граничного условия задается аг = 0 при г = R (отсутствие
напряжений на свободной боковой поверхности). Из условия пла-
стичности ar -az = as в таком случае следует, что на периферии
контактной поверхности ог = -о,. Именно так принято изобра-
жать эпюры контактных напряжений [7]. В действительности (см.
рис. 9.19) боковая поверхность на стыке с контактной имеет нор-
маль п, далеко не совпадающую с осью г, и, следовательно, не
соблюдается условие о„ = ог (о„ = 0). Касательные напряжения,
судя по сдвиговым деформациям (см. рис. 9.16.) на границе кон-
тактной поверхности максимальны, поэтому условие пластичнос-
ти отличается от принятой в аналитических решениях формы.
Таким образом, на периферии контактной поверхности имеет
место возрастание напряжений ог, тем более значительное, чем
больше силы контактного трения. Как показано на рис. 9.19, там
же находится область высоких гидростатических напряжений. Со-
гласно аналитическому решению, область максимальных гидро-
статических напряжений находится в центре заготовки. Числен-
ное решение показывает, что гидростатические напряжения на
краю контактной поверхности могут быть соизмеримы с напря-
жениями в центральной части. Все это обусловливает достаточно
сложный характер эпюр контактных напряжений, зависящий в
первую очередь от условий контактного трения.
260
ц = 0,1
а)
Рис, 9.20. Эпюры контактных напряжений при осадке цилиндра
с соотношением размеров h : d = 1:1 на стадиях процесса
е = 10, 20, 30 % с коэффициентами контактного трения
ц = 0,1; 0,2; 0,3.
261
Приведенный в главе 9 анализ простейших задач теории обра-
ботки металлов давлением, имеющих аналитическое решение,
иллюстрирует два тезиса, сформулированные во введении. Пер-
вый из них — что делать с результатами решения задачи? — пред-
полагает, что любые сведения, полученные математическим (и в
равной степени физическим) моделированием, отражают реаль-
ные процессы лишь в той степени, в какой об этом позаботился
исследователь. Если исследователь исходил из предположения о
равномерной деформации, то не надо на основании полученных
результатов делать выводы о деформированном состоянии. Если
исследователь располагает компьютерными программами, реали-
зующими теорию малых упругопластических деформаций и тео-
рию течения, то выбор одной из них для моделирования процесса
определяется не общими соображениями относительно деформа-
ционной теории и теории течения, а необходимостью получения
конкретного результата.
Результат зависит как от постановки задачи, от выбора исход-
ных данных, модели процесса и модели материала, так и от про-
цедуры расчета. И если требуется понимание процесса деформи-
рования, а не численное значение какой-либо характеристики, то
необходимо отличать следствия постановки задачи от следствий
процедуры численного решения.
10. ПОПЕРЕЧНАЯ ОСАДКА
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЗАГОТОВКИ
Поперечная осадка цилиндрической заготовки лежит в основе
технологических операций ковки, поперечной прокатки, продоль-
ной прокатки (плющение проволоки) и является с позиций тео- \
рии одним из наиболее сложных процессов обработки давлени-
ем. Это связано, в первую очередь, с высокой неравномерностью
деформаций по сечению, с неравномерным распределением на- '•
пряжений, способным привести к разрушению в одних случаях
центральных, в других — периферийных слоев заготовки. Нерав-
номерность обусловлена наличием боковых внешних зон перво-
начально круглого сечения, в которых на начальной стадии про-
цесса развиваются упругие деформации и создаются напряжения,
соизмеримые с пределом текучести. В осевой области заготовки ;
возникает схема всестороннего неравномерного растяжения. По- ,
нятно, что исследование такого напряженно-деформированного ,
262
состояния нельзя проводить с традиционных позиций теории об-
работки давлением, включающих представление о металле как о
жесткопластической или вязкопластической среде. Математичес-
кое моделирование начальной стадии процесса может базироваться
на теории малых упругопластических деформаций, далее — толь-
ко на теории упруговязкопластического течения.
В отличие от рассмотренного в предыдущей главе процесса
продольной осадки при анализе процесса поперечной осадки не
будем сопоставлять результаты аналитического и численного ре-
шений. Аналитические решения отдельных оригинальных задач
поперечной осадки и прокатки можно найти в работе [79]. Одна-
ко общей математической постановки задач поперечной осадки с
любыми самыми смелыми допущениями сформулировать не уда-
ется. Лишь на начальной стадии процесса формируется напря-
женно-деформированное состояние, близкое к известному из ре-
шения задачи о действии сосредоточенной силы на упругую
полубесконечную плоскость (задача Фламана).
Численный анализ обладает тем преимуществом, что исклю-
чает необходимость делать какие-либо допущения и предположе-
ния о характере напряженно-деформированного состояния ради
возможности интегрирования дифференциальных уравнений рав-
новесия. Поле напряжений и деформаций можно получить в ходе
расчета при заданных граничных условиях.
10.1. Поперечная осадка двумя плоскими плитами (бойками)
Рассматривается поперечная осадка бесконечного цилиндра
двумя плоскими плитами в условиях обобщенной плоской дефор-
мации. Решение задачи выполняется с позиций теории течения и
для сравнения — с позиций теории малых упругопластических
деформаций. На рис. 10.1 показаны поперечное сечение дефор-
мируемой заготовки и сетка конечных элементов, аппроксимиру-
ющая это сечение. В силу симметрии относительно осей х и у
анализируемая область представляет 1/4 поперечного сечения.
Свойства материала заданы пределом текучести = 500 МПа,
модулем упругости Е = 2 • 105 МПа, коэффициентом Пуассона
v = 0,3 . Условия на контакте формулируются как условия сколь-
жения т„ = < т,, где ц=0,1 — коэффициент трения между де-
формируемым материалом и инструментом.
263
Рис. 10.1. Схема деформирования (д), аппроксимация исследуемой
области сеткой конечных элементов (6), смещенные объемы по высоте*
и ширине (в)
Из схемы смещенных по высоте и ширине объемов (рис. 10.1,в)
видно что привычная в условиях прокатки и осадки плоских заго-
товок характеристика обжатия (разность между высотами исход-,
ной и промежуточной заготовки) не может быть использована при •
описании исследуемых зависимостей. На разных стадиях процес- *
са одному и тому же значению обжатия V h соответствуют раз-
личные значения смещенных по высоте объемов и, следователь-
но, уширения v b и других зависящих от него факторов.
Начальная стадия процесса характеризуется локализацией де-
формаций вблизи контактной поверхности и нарастанием растя-
гивающих напряжений в центре сечения. Для заданных условий ,
процесса главное напряжение (Oj = ах) достигает максимального •
уровня при обжатии е = 2,25 %. Эта цифра варьируется в зависи-
мости от соотношения модуля упругости и предела текучести. На <
рис. 10.2 показаны распределения перемещений их и и по сече-
нию заготовки и главных напряжений О] = ох, о3 = оу.
264
Рис. 10.2. Области равных перемещений их и и и напряжений ах и <ту
при обжатии е = 2,25 %
Показанное на рис. 10.2 распределение напряжений в цент-
ральной части сечения в виде концентрических окружностей очень
хорошо согласуется с используемой В.С. Смирновым [79] схема-
тизацией заготовки и процесса.
По мере нарастания обжатия форма поперечного сечения при-
ближается к форме сечения плоской заготовки, градиент напряже-
ний уменьшается, и при обжатии в данном расчете е = 28 % в цен-
тре сечения происходит смена знака главного напряжения. В центре
сечения формируется схема всестороннего сжатия; растягивающие
напряжения остаются на боковой кромке сечения. Кинетика на-
пряжений ах показана на рис. 10.3. Там же пунктирной линией
изображена кривая вх (е) , полученная решением задачи с позиций
теории малых упругопластических деформаций.
265
Рис. 10.3. Изменение главного напряжения
(О[ = ох) в центре заготовки с нарастанием обжа-
тия (пунктирной кривой показано решение с пози-
ций теории малых упругопластических деформаций)
Эта кривая переходит через ноль при е = 20 %; далее происхо-
дит резкое нарастание сжимающих напряжений в центре за счет
как внешнего давления, так и жестких внешних зон, и лишь при
е > 30 % наступает состояние разгрузки в центральной области.
Представленный расчет, таким образом, показывает пределы ра-
зумного применения теории малых упругопластических деформа-
Рис. 10.4. Распределение интен-
сивности пластических деформа-
ций при обжатии е = 2,25 %
ции при анализе процессов
обработки давлением в усло-
виях ярко выраженной нерав-
номерности деформаций.
До момента достижения '
максимальных напряжений цен-
тральная зона сечения деформи-
руется упруго. Зона пластичес- '
ких деформаций с нарастанием
обжатия распространяется от
контактной площадки в ради-
альном направлении. При об-
жатии е = 2,25 % в центре се-
чения начинается пластическая
деформация (рис. 10.4).
266
С увеличением обжатия область пластических деформаций
охватывает все большую часть сечения, кроме боковых внекон-
тактных зон; временные напряжения, возникшие на стадии уп-
ругого деформирования центра, суммируются со сжимающими
напряжениями от внешней нагрузки, и при обжатии е = 28%
растягивающие напряжения в центре исчезают (рис. 10.5)
Рис. 10.5. Распределение напряжений по сечению при обжатии
е = 28%
Дальнейшее деформирование заготовки мало отличается от
осадки плоской заготовки. Однако неравномерность деформации,
возникшая на ранних стадиях процесса, обусловливает неравно-
мерную проработку материала в окончательном состоянии.
На рис. 10.6 представлены сведения о деформированном со-
стоянии при обжатии е = 40 %. Следует обратить внимание на
то, что в условиях очень высокой неравномерности напряжен-
но-деформированного состояния, характерной для поперечной
осадки цилиндра двумя бойками, результаты расчета деформи-
рованного состояния оказались мало зависящими от использо-
ванной модели материала, во всяком случае по сравнению с
результатами расчета напряженного состояния. Результаты рас-
чета напряжений с позиций теории малых упругопластических
Деформаций и теории упруговязкопластического*течения (см. рис.
Ю.З) можно считать совпадающими лишь до обжатий З-е-5 %. Ре-
зультаты расчета деформаций по этим теориям при обжатии е = 40 %
(см. рис. 10.6) различаются в пределах, вряд ли доступных по точ-
ности экспериментальным оценкам.
267
X
90. an
Рис. 10.6. Результаты расчета параметров деформированного состояния 1
при поперечной осадке цилиндра с обжатием е = 40 %, полученные с
позиций теории малых упругопластических деформаций (слева) и
теории упруговязкопластического течения (справа) т
if
I
f
10.2. Поперечная осадка тремя симметрично
расположенными плоскими плитами (бойками)
Поперечная ковка цилиндрической заготовки тремя бойками,
лежащими в одной плоскости и расположенными относительно друг
друга под углом 120°, нашла промышленное применение при обра- ।
ботке прутков из специальных сталей и сплавов на ротационно-ко- г
вочных машинах. Широко применяются также схемы продольной,
поперечной, поперечно-клиновой и винтовой планетарной про- ,
катки круглой заготовки тремя валками. Эти процессы, как пра-
вило, обеспечивают достижение больших вытяжек и имеют пер-
спективы дальнейшего развития и совершенствования. Их изучение
268
позволяет дать объяснение возникающим в процессе деформа-
ции разрушениям: в осевой зоне; в зонах, удаленных от нее на
значительное расстояние; на периферии поперечного сечения
заготовки.
В основе указанных процессов деформации лежит поперечная
осадка цилиндра тремя плитами. Для плоской задачи сжатия круг-
лой заготовки тремя бойками построено поле линий скольжения
[80], определены контактные напряжения и напряжения в плас-
тических областях, не распространяющиеся на осевую зону. Од-
нако получить полное решение для неограниченного пластичес-
кого течения в рамках этого метода невозможно. Использование
полей линий скольжения не позволяет анализировать напряжен-
ное состояние в упругих зонах исследуемой области. В рамках
данного метода невозможно изучение деформированного состоя-
ния при продолжающемся нагружении после наступления состо-
яния текучести; нельзя учесть деформационное упрочнение.
Анализ процесса поперечной осадки тремя бойками выпол-
нен с тех же позиций, с которых анализировался процесс осадки
двумя бойками. В этом случае несколько изменяется формули-
ровка граничных условий, так как в рассматриваемой задаче оси
симметрии поперечного сечения заготовки не совпадают с осями
ортогональной системы координат.
Анализируемая область поперечного сечения заготовки в силу
симметрии представляет собой сектор с центральным углом 60°
(рис. 10.7). Радиальные прямые, ограничивающие область, явля-
ются осями симметрии; для узловых точек должно выполняться
условие отсутствия перемещений, перпендикулярных оси симмет-
рии, т.е. должно выполняться соотношение их = и tg 60°. На оси
симметрии у перемещения их = 0.
В представленном исследовании условие на наклонном кон-
туре реализовано искусственно: рассматривается осадка в штам-
пах, одним из которых является реальный верхний боек, другим —
условный штамп, плоскость которого расположена под углом 60°
к оси у. Коэффициент трения на поверхности соприкосновения
заготовки и условного нижнего штампа задается ц = 0. Коэффи-
циент трения на контактной поверхности заготовки и верхнего
штампа ц = 0,2. Условия трения: т„ = цо„ < .
Механические свойства заготовки задавались следующими:
модуль нормальной упругости Е = 2,11 • 105МПа,
коэффициент Пуассона v = 0,33,
269
упрочнение материала
о5 = от + 1768е;
os =831 + 245е.-
(е, <0,112),
(е, >0,112),
где от = 633 МПа — предел текучести в исходном состоянии;
е, — интенсивность деформации.
Процесс нагружения прослеживался от нуля до степени обжа-
ДЛ
тия е = —
R
= 10 %, где R = 25 мм
— радиус исходной заготовки.
Рис. 10.7. Схема деформации заготовки (а) и аппроксимация исследуе-
мой области сеткой конечных элементов (б)
Одновременно был проведен специальный эксперимент, ко-
торый заключался в попёречной осадке цилиндрической разъем-
ной заготовки из технически чистого алюминия на прессе с
использованием верхнего плоского и нижнего вырезного бойка
с углом развала граней 60°. Заготовка состояла из двух цилинд-
ров диаметром 50 и длиной 50 мм, помещенных в штамп, обес-
печивающий условия плоской деформации. На торцевые по-
верхности цилиндров, находящиеся в плоскости разъема,
предварительно нанесли фотохимическим способом исходные
муаровые растры. Шаг растровых полос составлял 0,2 мм (5 ли-
ний на 1 мм). Составные части заготовки перед деформацией
устанавливали в штампе таким образом, чтобы направление од-
ной из растровых систем совпало с направлением перемещения
верхнего бойка, а вторая система растровых полос была перпен-
дикулярна первой. После обжатия заготовки деформированные
растры совмещали с эталонным растром, нанесенным на прозрач-
ную пленку, и фотографировали полученные картины муаровых
полос — линии уровня вертикальных и и горизонтальных их про-
екций перемещений. Сопоставление указанных картин с картина-
ми областей равных перемещений, полученных решением МКЭ
задачи пластического течения (рис. 10.8), свидетельствует о прак-
тически полном совпадении результатов экспериментального и те-
оретического исследований. Экспериментальная часть проводилась
в ЦНИИЧермет А.Н. Скорняковым и В.В. Стрелецким [78].
Рис. 10.8а. Картины перемещений, полученные методом муара и
методом конечных элементов. Обжатие е = 1,04 %
271
Рис 10 86 Картины перемещении полученнье методом муара и
методом конечных элементов Обжатие е 3 45 %
272
Рис 10 8в Карти ы перемещении полученнь е методом муара и
методом ко еч ь х элементов Обжатие Е 4 48 %
273
Рис 10 8 Картинь перемещении полученнь е методом муара и
методом конечнь х элементов Обжатие е 6 09 %
274
Ри 0 8д Кар инь перемещении полученнь е ме одом муара и
ме одом конечнь х элемен ов Обжа ис £ 7 81^
275
Деформированное состояние исследуемой области удобно ха-
рактеризовать с помощью такого обобщенного показателя, каким
является интенсивность деформации е( = -т=(2еуеу)/^. На рис. 10.9
показаны области уровней е, при обжатиях 2,16; 3,45; 4,48; 7,81 %.
Наибольшая деформация и максимальный градиент имеют место в
областях, прилегающих к краям бойков. С увеличением обжатия
область максимальных деформаций е( перемещается вглубь в на-
правлении радиуса, соединяющего край бойка с центром заготов-
ки. При этом существенно уменьшается неравномерность дефор-
мации по сечению заготовки. Так, при обжатии е = 1 % отношение
максимального значения Е(.тах = 4,6 % к среднему составляет 4,6; а
при е = 7,8 % отношение максимального к среднему равно 2,4.
£=2,16%
Рис. 10.9. Области равных уровней интенсивности деформации при
различных значениях обжатия е
276
Неравномерность распределения деформации в направлении
движения бойка (рис. 10.10) проявляется наиболее заметно. На
начальной стадии процесса максимум деформации находится вбли-
зи контактной поверхности: при е = 1 % положение максимума е,
характеризуется координатой p/R = 0,9. По мере нарастания об-
жатия положение максимума интенсивности деформации смеща-
ется к центру заготовки, достигая середины радиуса при обжатиях
более 8 %. Вблизи контактной поверхности формируется зона зат-
рудненной деформации, так что, несмотря на увеличение обжа-
тия, деформации в центре контактной поверхности практически
не растут. При сравнительно малых обжатиях, для которых были
выполнены расчетные исследования, не растут деформации в цен-
тральной части заготовки. Их рост может происходить только за
счет течения металла вдоль оси заготовки.
Рис. 10.10. Изменение интенсивности деформации е вдоль радиуса в
направлении на боек при различных значениях обжатия £
Рис. 10.11. Схема распространения пластической зоны в процессе
деформации
277
Процесс поперечной осадки характеризуется развитием уп-
ругопластических деформаций, причем зоны упругих деформа-
ций остаются при достаточно больших обжатиях. На рис. 10.11
показаны пластические зоны, соответствующие различным сте-
пеням обжатия заготовки.
В начале процесса пластические зоны локализуются в об-
ластях приложения нагрузок. С увеличением обжатия они вы-
тягиваются преимущественно в радиальном направлении. При
обжатиях е > 1 % рост пластических зон начинает протекать пре-
имущественно в тангенциальном направлении, причем наибо-
лее интенсивно на расстоянии (0,7 + 0,8)R от центра заготовки. •
При обжатии е = 1,5 % все три пластические зоны смыкаются .
на расстоянии (0,6 + 0,7)2? от центра заготовки. В упругом со-
стоянии остаются центральная зона и участки поперечного се- .
чения, прилегающие к свободному контуру. Последние посте-
пенно уменьшаются и при е = 1,8 % исчезают. Осевая часть
заготовки деформируется как упругий сердечник. При дальней-
шем увеличении обжатия происходит лишь уменьшение разме-
ров центральной упругой зоны. Под бойком в процессе всего
нагружения остается упругая зона, которую можно интерпре-
тировать как область затрудненной деформации. В централь-
ной части сечения пластическая деформация начинается при
обжатии выше 3 %. В качестве границы зоны принята степень
пластической деформации 0,1 %. ;
Особенности напряженного состояния при осадке тремя бой-
ками обусловлены наличием внеконтактных зон; на границе кон-
тактной поверхности нет свободного от напряжений ах края
заготовки; следовательно, напряжения на границе контактной
поверхности, которые в аналитических расчетах принимаются ,
равными пределу текучести, при поперечной осадке намного
превышают эту величину. Высокие нормальные контактные на-
пряжения вызывают большие силы трения, в результате чего
лишь на краю контактной поверхности имеет место скольже-
ние металла; остальную ее часть занимает зона прилипания.
Распределение напряжений ах и оу по сечению заготовки по-
казано на рис. 10.12.
278
Рис. 10.12. Распределение напряжений по сечению заготовки на
разных стадиях процесса
На первых стадиях процесса сжимающие напряжения дей-
ствуют только в сравнительно небольшой зоне, совпадающей с
зоной пластических деформаций, и сосредоточены в прикон-
тактной области. В остальном объеме металла возникают рас-
тягивающие напряжения, максимум которых отмечается на рас-
стоянии (1/2 -е-1/3)R от центра сечения. По мере возрастания
обжатия уровень растягивающих напряжений в кольцевой облас-
ти на расстоянии (1/2 -н 1/3)7? от центра увеличивается, достигая
при обжатии е = 4,48 % величины, равной половине предела те-
кучести.
При дальнейшем увеличении обжатия уровень главных мак-
симальных напряжений уменьшается, и область растягивающих
напряжений смещается к центру сечения. С увеличением обжа-
тия до 7 % область растягивающих напряжений практически
исчезает.
Сопоставляя напряженное состояние при поперечной осадке
тремя и двумя бойками, отметим, что во втором случае макси-
мальный уровень растягивающих напряженийщозникает в центре ,
сечения при обжатии (1,5-г-2) %, т.е. при том же обжатии, при -
котором наблюдается максимум растягивающих напряжений в слу- <
чае поперечной осадки тремя бойками. Но уровень этих напряже- ,,
ний близок к , тогда как при осадке тремя бойками он не пре- '
вышает 0,5 о5 и отмечается не в центре сечения, а на расстоянии
(1/2-s-1/3)7? от центра. »
Для анализа напряженного состояния целесообразно восполь- <
зоваться обобщенными показателями: средним (или гидростати-
ческим) давлением и максимальным касательным напряжением. »
Первый из них позволяет выявить локальные области, где дей-
ствует положительный шаровой тензор, вызывающий объемное
расширение элемента среды, второй, — характеризует области
максимальных сдвигов.
На рис. 10.13 показаны линии уровня гидростатического дав-
ления и максимальных касательных напряжений в безразмерном
виде (отнесенные к пределу текучести) для разных стадий обжа-
тия заготовки. В начальный момент, когда почти все поперечное
сечение находится в упругом состоянии, положительный шаро-
вой тензор действует лишь в небольшой зоне, прилегающей к сво-
бодной поверхности и распространяющейся в радиальном направ-
лении на глубину 0,17?. Значения среднего напряжения весьма
малы — до 0,01 от.
280
Рис. 10.13. Линии уровня гидростатического давления и максимального
касательного напряжения при обжатиях £ = 0,24 % (а), е = 2,03 % (б),
£ = 10,01 % (в)
281
При обжатиях е>0,4% указанная зона объемного растяже-
ния у свободной поверхности полностью исчезает. В остальной
части поперечного сечения имеет место гидростатическое сжатие,
достигающее величины о0 = -0,9от в приконтактной области.
Наибольшая величина максимальных касательных напряжений,
равная ттах = 0,55от , также наблюдается под бойком. Уменьше-
ние значения ттах происходит в тангенциальном направлении.
При дальнейшей деформации заготовки, начиная с обжатия
е = 0,7 %, зона объемного растяжения перемещается в центральную
часть заготовки с координатой р = 0,5/? в направлении на боек. При
обжатии порядка 1 % все три зоны растяжения, расположенные сим-
метрично относительно центра заготовки, распространяясь к центру
заготовки и в тангенциальном направлении, сливаются, охватывая
всю центральную область. Причем положительное гидростатическое
давление достигает пикового значения по-прежнему на небольшом
участке с координатой р = (0,4+ 0,5)7? ; при е=1 % максимум
о0 = 0,2от. Последующее увеличение обжатия приводит к вырав-
ниванию гидростатического давления и в зоне растяжения, к росту
его максимальных значений и к смещению этого максимума к цен-
тру заготовки. Размеры зоны растяжения сокращаются. При
е = (2 + 2,5)% гйдростатическое давление достигает величины
о0 = 0,27от и при дальнейшем увеличении обжатия уменьшается.
При е = 5 % зона растяжения в центральной части исчезает.
Другая область растяжения возникает при е = 2,7 % в середи-
не свободной поверхности. С увеличением обжатия значения гид-
ростатического давления в этой области растут, достигая при
S = 10 % величины о0 = 0,6от.
Максимальные касательные напряжения ттах по достижении
е = 2 % выравниваются по сечению и далее изменяются в сравни-
тельно узком интервале, незначительно возрастая с увеличением
обжатия. Наибольших значений ттах достигают в приконтактных
областях. Характерной особенностью полей линий уровня т при
е > 2% является их значительный градиент вдоль линии, соеди-
няющей край контактной поверхности с центром сечения. Следу-
ет отметить значительное сходство линий уровня максимальных
касательных напряжений (см. рис. 10.13) и интенсивности дефор-
маций (см. рис. 10.9).
Реальный процесс поперечной ковки выполняется не за
один ход пресса до получения высокой степени деформации,
282
а небольшими нажатиями с кантовкой заготовки на заданный
угол, чтобы сечение поковки в конечном счете осталось круглым.
Поэтому в реальном процессе ковки имеем схему напряженного
состояния, отличающуюся от изображенной на рис. 10.12 и соот-
ветствующую процессу непрерывного нагружения.
При снятии внешнего давления на той или иной стадии на-
гружения происходит перераспределение напряжений, обуслов-
ленное наличием упругих деформаций. В сечении возникает са-
моуравновешивающаяся схема напряженного состояния,
отличающаяся более высокими растягивающими напряжениями.
В анализируемом процессе поперечной осадки разгрузка приво-
дит к смещению области максимальных растягивающих напряже-
ний к центру сечения и к возрастанию уровня этих напряжений.
В процессе ковки напряжения на очередной стадии попереч-
ной осадки суммируются с остаточными напряжениями, сфор-
мировавшимися на предыдущей стадии процесса. При определен-
ном выборе единичных обжатий (до разгрузки и кантовки)
суммирование полей временных и остаточных напряжений может
создать высокий уровень напряжений, если речь идет о холодной
деформации и высокоскоростных процессах, когда напряжения не
успевают релаксировать. Поэтому при разработке технологических
процессов поперечной ковки тремя бойками целесообразно избе-
гать единичных обжатий (1,5 4- 2) %, при которых в плоскости се-
чения заготовки возникают высокие остаточные растягивающие
напряжения. Иными словами, разгрузку (и кантовку) следует про-
изводить либо при очень малых степенях обжатия (менее 1 %),
либо по достижении больших степеней деформации, когда нет
высокого градиента напряжений по объему и, следовательно, сня-
тие внешней нагрузки не влечет существенного возрастания уров-
ня растягивающих напряжений. Однако следует учитывать, что
при больших единичных обжатиях на поверхности формируются
продольные растягивающие напряжения, которые могут вызвать
образование поперечных трещин.
10.3. Разработка режима ковки крупного роторного слитка
Анализ процессов осадки двумя и тремя бойками показал за-
кономерности распределения деформаций по сечению заготовки.
Деформации локализованы. Для деформирования центральной
части сечения нужны специальные условия. В ряде реальных тех-
нологических процессов необходимо продеформировать осевую
часть слитка.
283
Одним из преимуществ математического моделирования яв-
ляется возможность проведения сравнительного анализа вариан-
тов технологического процесса с целью выбора наиболее удачно-
го и эффективного. Далее приводится пример обоснования выбора
варианта технологии ковки крупного роторного слитка.
Формирование требуемой структуры металла при ковке дос-
тигается, как правило, за счет операции осадки, обеспечивающей
необходимый уков и достаточно равномерную деформацию по
объему слитка. При ковке крупногабаритных слитков, когда опе-
рация продольной осадки невозможна, необходимо так построить
технологический процесс, чтобы обеспечить в первую очередь
проработку центральной части слитка; периферийные слои в лю-
бом случае получат достаточно высокую степень деформации на
последующих технологических переходах.
Один из потребителей крупных поковок — энергетическое
машиностроение. Мощность турбин и генераторов пропорцио- '
нальна размерам ротора и скорости его вращения. Это требует
увеличения размера роторных слитков и повышения качества ме-
талла поковки. Осевая и внецентренная ликвация, несплошности
усадочного происхождения, неметаллические включения неизбеж-
но присутствуют в слитках, поэтому основная задача ковки — обес-
печение высокой степени деформации поковки на начальной ста-
дии при высокой температуре и в первую очередь центральных
слоев слитка. Если учесть, что на всех ступенях производства за- ’
действованы предельные возможности оборудования, то понятна -
необходимость разработки специального технологического режи-
ма ковки, отличающегося от типового технологического процесса ;
ковки длинных валов, валков горячей и холодной прокатки и т.п.
Прогнозирование структуры и механических свойств матери- *
ала поковки, оценка вероятности развития дефектов, образования
трещин базируются на анализе напряженно-деформированного
состояния, характеризующего протекание процесса ковки. Далее
рассматриваются основные этапы исследований, связанные с раз-
работкой рационального технологического процесса ковки слит-
ка массой 205 т, высотой 5360 мм. Материал слитка по механи-
ческим и теплофизическим свойствам при температурах
деформации близок к стали 55.
Опыт изготовления крупных поковок в нашей стране и за ру-
бежом, анализ патентов и изобретений, предварительные иссле-
дования позволили предложить два основных возможных вариан-
та поперечной ковки. Один из них представлял процесс протяжки
284
!
в комбинированных бойках: верхний — плоский, нижний — вырез-
ной, с обжатием е = 10 % и промежуточными кантовками на 30°; в
отличие от типовой операции протяжки предусматривалось под-
стуживание поверхности слитка перед ковкой. Другой вариант
предполагал ковку выпуклым и вырезным бойками с поворотом
после каждого хода на 120° при среднем обжатии по диаметру за
проход е = 15,6%.
Задача исследования состояла в изучении характера течения
металла в альтернативных вариантах технологического процесса,
в их оптимизации и, наконец, в выяснении их преимуществ —
возможности получения максимальной деформации центральных
слоев слитка.
10.3.1. Влияние угла выреза нижнего бойка
Вырезные бойки применяют в целях ограничения ушире-
ния, а также для достижения более ярко выраженного гидро-
статического давления. При этом в качестве наиболее часто при-
меняемых разновидностей бойков называют бойки с углами
выреза 90, 105, 120, 135°. Следует иметь в виду, что теория ков-
ки-ориентирована на типовые процессы; вырезные бойки чаще
всего* используются для выполнения операции протяжки, т.е.
для получения максимальной вытяжки. В исследуемом техно-
логическом процессе стоит иная задача — обеспечение макси-
мальной интенсивности деформации осевой и околоосевой зоны
слитка.
Приведенный выше анализ процессов поперечной осадки ци-
линдра двумя и тремя симметрично расположенными бойками
показал, что в первом случае максимум интенсивности дефор-
маций достигается в центре сечения, во втором — в кольцевой
области радиуса, примерно равного половине радиуса заготов-
ки. Изменяя угол выреза нижнего бойка, можно реализовать
условия поперечной осадки от варианта ковки двумя до вари-
анта ковки тремя симметрично расположенными плоскими бой-
ками. На рис. 10.14 представлены сравнительные результаты
расчета интенсивности деформаций и напряжений ах при по-
перечной ковке с обжатием е = 10 % для вариантов угла вы-
реза бойка а = 105 и 120°. Варианты углов выреза 90 и 135° рас-
сматривались в рамках построения линий скольжения и
оказались далеки от оптимальных.
285
Рис. 10.14. Распределение накопленной интенсивности деформаций Е(-
и нормальных напряжений ох при ковке с углами выреза бойка
а=105’ (слева) и а =120° (справа) и обжатием е = 10 %
i
Угол выреза а = 120° обеспечивает максимальный уровень де-
формаций несколько ближе к центру (рис. 10.15), практически тот
же уровень напряжений, что и при угле выреза а = 105° и может
быть признан оптимальным. Очевидно, увеличением угла выреза до
а = 135° можно добиться смещения максимума деформаций еще
ближе к центру, но при одновременном возрастании уровня растяги-
вающих напряжений. В этом нет надобности, поскольку при кантов-
ках центр слитка накопит деформацию, и таким образом центр и
область вокруг центра окажутся хорошо проработаны. Угол выреза
286
a = 105° приводит к резкому падению интенсивности деформаций в
центре (см. рис. 10.15) и не обеспечивает выполнения задачи ковки.
Рис. 10.15. Распределение интенсивности
деформаций ez вдоль радиуса сечения
слитка в направлении на плоский боек при
углах выреза бойка a = 105 и 120° :
сплошная линия — обжатие £ = 10 %;
пунктирная линия — обжатие е = 5 %
Рис. 10.16. Распределение интенсивности деформаций
Ez вдоль радиуса сечения слитка в направлении на
выпуклый боек при углах выреза нижнего бойка
a = 105 и 120° : сплошная линия — обжатие Е = 16 %;
пунктирная линия — обжатие Е = 13 %
287
Рис. 10.17. Распределение компонент деформации гу и
Уху и накопленной интенсивности деформаций при
ковке * углами выреза нижнего бойка ос = 105° (слева) и
а = 120° (справа) и обжатием е = 15,6%
-65
«60
-2.0
. 17 «О
Ж. «. Л
жМй
'Т<»о
Й’аО
102.5
112<О
£,%О
1 8
16
24
288
При ковке выпуклым бойком сохраняются те же закономер-
ности, которые были отмечены для ковки плоским и вырезным
бойками. Увеличение угла выреза приводит к смещению макси-
мума интенсивности деформаций к центру (рис. 10.16), но гради-
ент этой величины в радиальном направлении существенно выше,
и, следовательно, выше значимость угла выреза.
На рис. 10.17 показано распределение компонент деформации
е и Уху и накопленной интенсивности деформаций. Смещение
максимума интенсивности деформаций к центру при а = 120°
, обусловлено нормальными компонентами деформаций (ех и ).
Сдвиговые деформации на вертикальной оси симметрии не могут
быть сколько-нибудь значительными.
10.3.2. Ковка с подстуживанием
Идея ковки с подстуживанием поверхности заключается в на-
мерении продеформировать металл в жесткой оболочке в услови-
ях гидростатического сжатия, вызванного термической усадкой
поверхностных слоев и увеличенным пределом текучести [81]. Это
понятно, если иметь в виду создание благоприятной для содержа-
щей дефекты литой среды структуры внутренних слоев схемы на-
пряженного состояния. Но основной задачей технологии ковки
< крупного слитка является достижение высокой степени деформа-
ции центральной части слитка, и в этом плане о преимуществах
t ковки с подстуживанием информации нет. Известно другое: со-
' здание благоприятной схемы напряженного состояния внутри слит-
, ка должно сопровождаться неблагоприятной схемой напряжен-
ного состояния для свободных поверхностей.
На рис. 10.18 показаны кривые распределения интенсивности
деформаций вдоль радиуса при ковке с подстуживанием поверх-
ности и без подстуживания. Последняя соответствует кривой, изоб-
' раженной на рис 10.15. Отличия в распределениях деформации
обнаруживаются в поверхностных и центральных слоях. Охлаж-
денные и, следовательно, более жесткие поверхностные слои де-
формируются в существенно меньшей степени, чем при ковке в
изотермических условиях; нет той зоны затрудненной деформа-
ции, которая вызывает спад интенсивности деформаций в подпо-
верхностных слоях; интенсивность деформаций монотонно рас-
тет от поверхности к центру, достигая максимума той же величины
, и в том же месте, что и при ковке без подстуживания.
289
Рис. 10.18. Распределение интенсивности деформаций вдоль радиуса
сечения слитка в направлении на плоский боек при ковке с подстужи-
ванием поверхности (7) и без подстуживания (2)
В центре сечения деформации при ковке с под стужи ванием ,
несколько выше, чем при
Рис. 10.19. Схематическое
представление контура
боковой поверхности при
ковке с подстуживанием
(сплошная линия) и без
подстуживания (пунктирная
линия)слитка
ковке в изотермических условиях. '
Эффект невелик, поэтому дать ему
объяснение достаточно сложно.
При ковке подстуженного слит-
ка протяженность контактных пло- ,
щадок несколько меньше, чем у бо-
лее горячих поверхностных слоев,- •
способных растекаться интенсивнее, <
чем подстуженные жесткие слои. Это’
приводит к тому, что поверхностные1
слои подстуженного слитка деформи-
руются в меньшей степени, чем го-
рячие аналогичные слои. Жесткая
подстуженная оболочка, зафиксиро-
ванная контактными площадками,
вынуждена прогибаться и, следова-
тельно, перемещаться в направле- .
нии, перпендикулярном свободной
поверхности, несколько больше,
чем контур свободной поверхнос-
ти неподстуженного слитка. Боль-
шие значения перемещений их
290
приводят к большим значениям деформаций вдоль оси х, т.е. в
центре сечения.
Поскольку различия в деформациях невелики, на рис. 10.19
схематически показаны наложенные друг на друга контуры по-
верхностей подстуженной и неподстуженной поковки и положе-
ние оси х, проходящей через центр сечения. Эта схема получена
путем наложения на экране компьютера продеформированных
сеток конечных элементов после решения задач по указанным
вариантам.
Сравнительные картины распределения накопленной интен-
сивности деформаций показаны на рис. 10.20
Рис. 10.20. Распределение накопленной интенсивности деформации по
сечению при обжатии е = 10 % для вариантов ковки с подстуживанием
и без подстуживания слитка
Как уже было отмечено, эффект влияния подстуживания на
Деформированное состояние недостаточен, чтобы идти на ус-
ложнение технологического процесса и в виде побочного эф-
фекта иметь несомненное возрастание напряжений в поверх-
ностных слоях.
291
10.3.3. Анализ варианта ковки выпуклым и вырезным бойками
Основная цель технологического процесса ковки выпуклым и
вырезным бойками — достижение возможно более высокой сте-
пени деформации в осевой части заготовки. Основная цель иссле-
дования — получение фактических сведений о напряженно-де-
формированном состоянии материала и численных оценок
параметров деформации.
Большая часть информации должна быть получена за счет ма-
тематического моделирования процесса; лабораторный экспери-
мент носил контрольный характер. В лабораторном эксперимен-
те при соблюдении геометрического подобия могут быть нарушены
условия механического подобия, а именно: за счет большей протя-
женности зоны контакта заготовки с инструментом в реальном слит-
ке по сравнению с лабораторным условия трения могут различать-
ся. В лабораторном слитке можно было ожидать скольжение металла
по контактной поверхности; в реальном крупном слитке протяжен- •
ность зоны прилипания должна быть относительно больше. Это дик-
товало необходимость сравнительного анализа результатов матема-
тического моделирования лабораторного и промышленного слитков.
Как было показано в предыдущих разделах, результаты числен-
ного эксперимента при прочих равных условиях зависят от выбора •
расчетной модели. При этом напряженные состояния существенно
различаются в расчетах по теории течения и теории малых упру-
гопластических деформаций, деформированное состояние даже при
очень больших обжатиях в этом отношении более устойчиво; одна* .
ко процесс ковки выпуклым бойком предполагает настолько высо! -
кую неравномерность деформации, что целесообразно дать верх-
нюю и нижнюю оценки параметров деформированного состояния’. ’
Все это обусловило необходимость сопоставления результатов .
трех вариантов численных расчетов: .
ковки промышленного слитка с контактными условиями пол-
ного прилипания с позиций теории малых упругопластических
деформаций;
ковки промышленного слитка с контактными условиями, за-
данными с учетом скольжения с коэффициентом трения ц = 0,5,
с позиций теории вязкопластического течения;
ковки лабораторного слитка в тех же условиях.
Следует отметить, что сопоставление этих трех вариантов не
выявило принципиальных различий в окончательных результатах
расчета деформированного состояния. Это связано с тем, что во
всех трех случаях на контактных поверхностях формировались
292
условия полного прилипания. При задании условий скольжения с
коэффициентом трения ц = 0,5 лишь на краях контактных пло-
щадок происходило движение узлов вдоль контактной поверхно-
сти. В основном контактные площадки формировались за счет
перехода на них части свободной боковой поверхности.
При математическом моделировании с учетом того, что началь-
ные операции ковки происходят при высоких температурах, при-
нимали физическую модель среды, описываемую диаграммой упру-
гопластического неупрочняющегося изотропного материала, бойки
считали жесткими, недеформируемыми. Зависимость предела теку-
чести, модуля уцругости, коэффициентов теплопроводности и тепло-
емкости от температуры соответствовали стали 55. Поскольку длина
слитка достаточно велика (более двух диаметров), при анализе напря-
женно-деформированного состояния принимали гипотезу обобщен-
ной плоской деформации (ег = const, Yxz = Yyz = 0), допуская осевое
течение металла, равномерное по сечению. Задача решалась в декар-
товых координатах для двумерной области, представляющей собой
плоскость поперечного сечения заготовки. Сетка конечных элемен-
тов, аппроксимирующая исходное сечение, показана на рис. 10.21.
Процесс ковки прослеживался во времени в виде последова-
тельных этапов нагружения — перемещений бойков. В силу чис-
то вычислительных причин задавалось перемещение не только
верхнего бойка при неподвижном нижнем, а перемещения верх-
него и нижнего бойков навстречу друг другу в соотношении 3:1
(при этом положение начала координат оставалось почти неиз-
менным). Граничные условия на каждом этапе нагружения — сме-
шанного типа: задавались перемещения контактных поверхнос-
тей в вертикальном направлении (вдоль оси у) как единого целого
и условия движения контактных точек вдоль этих поверхностей.
Последние задавались в напряжениях в виде
тл = цол, если цол < /л/З;
т„ = ц/>/3, если цол > /у/3-,
их =0, если направление движения контактной точки изменя-
лось по мере увеличения коэффициента трения в итерационном
процессе.
Здесь а„ — напряжение по нормали к контактной поверхнос-
ти в узле сетки конечных элементов; Ц — коэффициент трения,
принимался коэффициент трения ц = 0,5; тл — напряжение внеш-
него трения на контактной поверхности.
293
Рис. 10.21. Схема деформации (а), аппроксимация области сеткой
конечных элементов (б), сетка конечных элементов после деформиро-
вания с обжатием Дй = 400 мм (в)
Задание граничных условий в таком виде соответствует моде-
ли Е.П. Унксова для осадки плоской заготовки с участками сколь-
жения, торможения и застоя (их =0). Фактически при заданном
коэффициенте трения (ц = 0,5) на большей части контактной .
поверхности выполнялось условие прилипания.
Лабораторные исследования проводились на слитках с коорди-
натной решеткой. Слитки из стали 55 размером (090 105) х 180 мм1
отливали в изложницы с установленной координатной решеткой, .
выполненной из стержней диаметром 5 мм низкоуглеродистой стали.
Один стержень устанавливался по оси слитка, восемь стержней — ’ ,
равномерно по окружности радиуса, соответствующего половине
294
Рис. 10.22. Расположение девяти
стержней по сечению слитка
среднего радиуса слитка (рис. 10.22). Стержни крепили точечной
сваркой. Точность установки координатной решетки обеспечива-
лась разметкой поддона; для установки центрального стержня в
поддоне высверливали отверстие.
Обжатие слитка, нагретого до температуры 1150 °C, произво-
дили по середине длины слитка бойками: верхним — выпуклым
с радиусом рабочей части
32,5 мм и нижним — вы-
резным с углом выреза
120° . Ширина бойков
100 мм, обжатие 14 мм,
что соответствовало 16 %
среднего диаметра слитка.
После обжатия из сред-
ней по длине слитка части
был вырезан темплет. При
травлении в 10%-ном ра-
створе азотной кислоты
границы стержней отчетли-
во проявлялись, что позво-
лило определить их дефор-
мацию в вертикальном и
горизонтальном направле-
ниях. Экспериментальные исследования выполнены под руковод-
ством канд. техн, наук доцента Л.П. Беловой.
Некоторое различие расчетных и экспериментальных данных
объясняется неизбежным нарушением симметрии при ковке вы-
пуклым бойком; в результате этого экспериментальные данные о
деформации в симметрично расположенных стержнях оказались
неодинаковыми. В расчетном анализе в силу симметрии относи-
тельно вертикальной оси рассматривалась 1/2 сечения слитка.
Более существенным оказывается расхождение результатов
математического моделирования с использованием моделей уп-
ругопластической и упруговязкопластической сред. Как было по-
казано при анализе процесса поперечной осадки цилиндра двумя
плоскими бойками, влияние внешних зон для упругопластичес-
кой модели среды проявляется в большей степени.
Однако общая закономерность распределения деформаций по
сечению слитка прослеживается отчетливо, независимо от неко-
торого расхождения результатов, полученных разными путями.
Известно, что при поперечной осадке и поперечной прокатке
неравномерность деформаций при малых степенях единичных
295
обжатий сопровождается неравномерностью распределения напря-
жений. В частности, в осевой зоне заготовки при поперечной ковке
и прокатке возникают растягивающие напряжения, при определен-
ных условиях приводящие к разрушению материала. Развитие упру-
гопластических деформаций при ковке выпуклым бойком имеет рад
специфических особенностей, отличающих этот процесс от более
изученных процессов ковки плоскими бойками.
На ранних стадиях деформирования (е < 1 %) характер распрос-
транения зон пластического течения аналогичен наблюдаемому в
процессах поперечной осадки цилиндра двумя и тремя симметрич-
но расположенными плоскими бойками. Пластическая зона лока-
лизуется вблизи контакта заготовки с выпуклым бойком, затем рас-
пространяется в глубь сечения и по достижении степени обжатия
примерно 2 % практически не расширяется. В районе контакта с '
плоскостью вырезного бойка зона пластических деформаций вытя-.
нута преимущественно вдоль плоскости бойка и распространяется
сравнительно неглубоко внутрь заготовки вплоть до обжатия 2 %.
При более высоких степенях обжатия зоны пластических деформар
ций, возникшие в районах контакта с инструментом, сливаются; пред
обжатиях свыше 3 % материал слитка по всему сечению переходит ft
пластическое состояние. s
Следует отметить, что в рассматриваемой схеме ковки выпукл 1
лым бойком пластическая деформация центра сечения начинает*?
ся при обжатии 1,5 %. Таким образом, проработка материала ценл
тральной части заготовки при ковке выпуклым бойком начинается ’
на более ранних стадиях процесса, чем в случае использования»,
плоского бойка. I*
Анализ распределения накопленной интенсивности пластид
ческой деформации по сечению заготовки показал, что прора-1
ботка металла центральных слоев заготовки происходит за счет!*
распространения зоны пластической деформации со стороны
выпуклого бойка, и в значительно меньшей степени и на болев!
поздних стадиях процесса ковки сказывается роль пластичес-*
ких деформаций, развивающихся от воздействия на металл ра-
бочей поверхности вырезного бойка (рис. 10.23).
При поперечной осадке цилиндра двумя плоскими бойками
в центральной зоне наблюдается наибольшая интенсивность пла-
стических деформаций (если не считать контактного слоя); гра-
диент интенсивности деформаций в направлении свободного
уширения очень велик. При ковке тремя симметрично расположен-
ными плоскими бойками пластические деформации в центральной'
296
зоне развиваются исключительно за счет течения материала в осе-
вом направлении и, как было отмечено ранее, на более поздних
стадиях нагружения, чем при ковке выпуклым и вырезным бойка-
ми. Таким образом, рассматриваемая схема ковки выпуклым бой-
ком обеспечивает существенно меньшую неравномерность дефор-
маций по сечению.
е„ % е=4%
Рис. 10.23. Распределение накопленной интенсивности пластических
деформаций по сечению заготовки при обжатии е = 4 и 8 %
Максимальные интенсивности пластических деформаций не-
зависимо от степени обжатия отмечаются вблизи краев контакт-
ной поверхности, где велики сдвиговые деформации и происхо-
дит переход со свободной боковой поверхности на контактную.
Аналогичные области развитых сдвиговых деформаций характер-
ны также для процесса продольной прокатки высоких полос. Раз-
меры зоны затрудненной деформации при ковке выпуклым бой-
ком существенно меньше, чем при ковке плоскими бойками.
Как видно из данных рис. 10.23, по мере увеличения обжатия
степень деформации центра заготовки по величине приближается к
средней в диаметральной плоскости деформации. Однако увеличе-
ние единичного обжатия не может быть беспредельным: во-первых,
происходит резкое искажение формы поперечного сечения, которое
в конечном счете должно быть возвращено к круглому; во-вторых,
по мере внедрения выпуклого бойка в заготовку необходимое для
ковки усилие возрастает, и на какой-то стадии процесс ограничива-
ется мощностью пресса.
297
Распределение интенсивности деформации вдоль радиуса в
направлении выпуклого бойка (рис. 10.24, а) носит достаточно
сложный характер. На начальной стадии ковки под выпуклым
бойком интенсивно нарастает деформация: при обжатии е = 5 %
интенсивность деформации под бойком достигает е, = 20%. Фор-
мирующаяся зона затрудненной деформации препятствует даль-
нейшей деформации подконтактных слоев металла; начинают де-
формироваться слои, удаленные от контактной поверхности. При
обжатии е = 16 % (конец операции ковки выпуклым бойком) мак-
симум интенсивности деформации смещается на 1/3 радиуса от
поверхности контакта. Далее по направлению к центру сечения
деформации уменьшаются.
Рис. 10.24. Распределение интенсивности деформа-
ций вдоль радиуса сечения слитка в направлении
на выпуклый (а) и вырезной (б) бойки
298
Однако при обжатии е > 8 % в непосредственной близости от
оси слитка начинает формироваться еще один максимум дефор-
маций. Положение этого максимума определяется углом развала
вырезного бойка и не зависит от величины обжатия. Величина
интенсивности деформации в районе этого максимума при обжа-
тиях свыше 8 % вдвое превышает соответствующую величину в
центре сечения, ту величину, которая определялась эксперимен-
тально и была контрольной.
Деформация в направлении вырезного бойка существенно ниже
деформации в направлении выпуклого бойка. При малых обжати-
ях (е < 6 %) деформации в направлении нормали к плоскости вы-
резного бойка затухают по мере удаления от контактной поверх-
ности и на расстоянии 0,357^ интенсивно растут за счет поля
деформаций от выпуклого бойка.
Деформации в направлении на свободную поверхность ниже,
чем в других направлениях; они монотонно уменьшаются от цен-
тра заготовки к ее поверхности, где за счет тангенциального удли-
нения слоев происходит утяжка в радиальном направлении.
Таким образом, и форма сечения слитка, и распределение де-
формаций по сечению свидетельствуют о целесообразности кан-
товки слитка на 120° при обжатии е = 16 %. При этом выпуклый
боек внедряется в слиток в направлении, перпендикулярном ли-
ниям равных уровней интенсивностей деформаций, а прожатая
часть слитка оказывается частью свободной поверхности у края
вырезного бойка и во втором прожатии за счет свободного уши-
рения уменьшает вогнутость, полученную в первом прожатии.
Форма сечения слитка остается близкой к кругу.
На рис. 10.25 показано распределение интенсивности пласти-
ческих деформаций после второго и третьего прожатий. Как и в
первом прожатии, максимальное приращение накопленной ин-
тенсивности произошло вблизи края контактной поверхности за-
готовки с выпуклым бойком и в направлении действия нагрузки.
В центре заготовки приращение накопленной интенсивности пла-
стической деформации несколько меньше, чем за первое прожа-
тие. Это, вероятно, связано с образованием после первого прожа-
тия кольца растягивающих напряжений вокруг центра сечения с
максимумом на радиусе под 120° к направлению прожатия; имен-
но в этом направлении действует нагрузка при втором прожатии.
Характер распределения накопленной интенсивности пласти-
ческих деформаций при третьем прожатии сохранился таким же,
каким был в двух предшествующих; накопленная интенсивность
пластических деформаций за три прожатия составила 37 %.
299
—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—1 I I I—I—I—1—I I 1 I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I
-1,0-0,8-0,6-0,4-0.2 o 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
x/R^
Рис. 10.25. Распределение накопленной интенсивности пластических
деформаций после второго (а) и третьего (б) прожатий
Напряжецное'с$остояние при ковке выпуклым бойком харак-
теризуется высокой неравномерностью. Зоны сжимающих напря-
жений располагаются у контактных поверхностей и вытянуты к
центру заготовки. -В остальной части сечения главные напряже-
ния О] и az — растягивающие, причем своего максимума дости-
гают на расстоянии (0,3 + 0, 4)Rq в направлениях от центра к вы-
пуклому бойку и свободной поверхности. Растягивающие
напряжения на направлении к свободной поверхности объясни-
мы уширением металла в этом направлении и характерны для
поперечной ковки и прокатки. Растягивающие напряжения на
направлении к выпуклому бойку, превосходящие по величине все
остальные и локализованные, объясняются интенсивным течени-
ем металла из области, расположенной под зоной затрудненной
деформации, в сторону стыка контактной и свободной поверхно-
стей (рис. 10.26). На свободных поверхностях растягивающие на-
пряжения обусловлены продольным течением в условиях, близ-
ких к одноосному растяжению вдоль оси z-
Таким образом, при ковке выпуклым бойком на расстоянии
0,4/^ от центра к бойку возникает область положительного зна-
чения среднего (гидростатического) давления.' Наличие такой об-
ласти растягивающих напряжений фиксировалось в случаях по-
перечной осадки цилиндра двумя и тремя плоскими бойками;
максимум растягивающих напряжений достигается при обжатии
300
около 1,5 %. В анализируемом процессе ковки главное и сред-
нее о0 напряжения увеличивались во всем исследованном диапа-
зоне обжатий (0 -5-16 %) и заметно превышали значения, достига-
емые в процессах поперечной осадки плоскими бойками. Иными
словами, разгонное действие выпуклого бойка, неравномерное
обжатие по высоте и сильное уширение усиливали эффект, изве-
стный для поперечной осадки и прокатки.
Рис. 10.26. Распределение напряжений при
г
обжатиях е = 2 и 15,6 %
301
Поскольку растягивающие напряжения возникают в централь-
ной части слитка на ранних стадиях деформирования, когда со-
храняются дефекты литой структуры, необходима оптимизация
формы инструмента в направлении обеспечения высокой степени
деформации центральной зоны при сравнительно невысоком уров-
не растягивающих напряжений. Высокие растягивающие напря-
жения на свободной поверхности могут быть причиной образова-
ния поперечных трещин; и в этом отношении подстуживание
поверхности может сыграть отрицательную роль.
Снятие внешнего давления (разгрузка) сопровождается пере-
распределением напряжений, вызванным упругими деформация-
ми. Смещения зон максимальных значений остаточных напряже-
ний к центру заготовки, характерного при разгрузке для схемы
поперечной осадки тремя бойками, в данном случае не обнаруже-
но. Уровень продольных растягивающих напряжений oz в поверх-
ностных внеконтактных слоях при разгрузке несколько снижается.
Распределение полей напряжений, полученных в результате
второго и третьего ходов пресса, характеризуется теми же законо-
мерностями, которые были отмечены для первого прожатия: об-
ласть сжимающих напряжений расположена в осевой части заго-
товки и вблизи контактных поверхностей; в остальной части
действуют растягивающие напряжения с максимумом на расстоя-
нии 0,47^ от центра в направлении на выпуклый боек и к сво-
бодной поверхности; поверхностные внеконтактные слои нахо-
дятся в состоянии одноосного растяжения.
И. ГОРЯЧАЯ ОБЪЕМНАЯ ШТАМПОВКА ПОКОВОК
СЛОЖНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФОРМЫ
11.1 . Постановка задачи
В главах 9 и 10 рассмотрены типовые процессы обработки дав-
лением, продольной и поперечной осадки цилиндрической заго-
товки. Процессы анализировались с общепринятых позиций тео-
рии обработки давлением. Бойки считались плоскими, процесс —
изотермическим, материал — неупрочняющимся. Такие упроще-
ния позволяли получить некоторое общее представление о фор-
моизменении и напряженно-деформированном состоянии заго-
товки в этих процессах.
302
Анализ реального процесса ковки крупного слитка потребо-
вал учета таких факторов, как геометрия инструмента, влияние
подстуживания поверхности, угла кантовки слитка и т.д. Выбор
этих факторов в качестве анализируемых обусловлен задачами
> исследования.
В последующих двух главах рассматриваются процессы горя-
чей объемной штамповки и калибровки поковки сложной про-
странственной формы. В качестве такой поковки фигурирует за-
, готовка турбинной лопатки. В отличие от ковки крупного слитка
(массой более 200 т) при штамповке и калибровке тонкого про-
филя заготовки турбинной лопатки основную роль играют иные
факторы, которые при ковке массивного слитка вообще не при-
нимались во внимание.
Здесь в очередной раз уместно подчеркнуть, что выбор мо-
, дели материала и модели процесса при математическом моде-
лировании диктуется не столько реальными условиями процес-
са и фактическими свойствами материала, сколько задачами
исследования. При ковке крупного слитка на бойки действуют
усилия, на порядки превышающие усилия штамповки и калиб-
ровки заготовки турбинной лопатки. Однако при моделирова-
нии процесса ковки штампы принимались абсолютно жестки-
ми, недеформируемыми; в случае калибровки необходимо
учитывать прогиб рабочей поверхности штамповой вставки.
Процесс ковки крупного слитка с одного выноса длится более
получаса; процесс штамповки заготовки турбинной лопатки —
порядка двух секунд. Остыванием слитка за полчаса можно пре-
небречь; при моделировании процесса штамповки необходимо
учитывать изменение температуры в течение этих двух секунд.
При моделировании процесса ковки с большими обжатиями
результаты расчета с позиций теории малых упругопластичес-
ких деформаций и теории течения дали практически одинако-
вые оценки распределения деформаций по сечению слитка. При
горячей калибровке заготовки с очень малыми обжатиями воп-
рос о выборе теории малых упругопластических деформаций
или теории течения потребовал отдельного исследования.
После штамповки и калибровки поковка сложной простран-
ственной формы, в данном случае заготовка турбинной лопатки,
остывая, деформируется неравномерно, что приводит к ее короб-
лению. Очевидно, и этот процесс должен быть исследован и уч-
тен при проектировании технологического процесса штамповки
и калибровки.
303
Если ковка крупного слитка имеет единичный характер, то штам-
повка — серийный, что отражается на условиях деформирования.
Обычно перед началом работы штамповая вставка нагрева-
ется примерно до Т= 200 °C. Собственно процесс штамповки
длится 0,2 с. За время штамповки до момента удаления поковки
из штампа (т = 2 с) поверхность штамповой полости разогревается
до Т= 700 °C, после чего происходит ее интенсивное охлаждение.
В зависимости от ритма штамповки температура рабочей поверх-
ности штампа до момента укладки в полость штампа следующей
поковки опускается до Т= 200 °C или остается выше.
Рис. 11.1. Изменение температуры штампа за
первый (п = 1) и десятый (и = 10) циклы штампов-
ки: 1 — на поверхности гравюры; 2 — на глубине
5 мм; 3 — на глубине 15 мм
304
На рис. 11.1 показаны термические циклы, рассчитанные для
процесса штамповки турбинной лопатки из сплава ХН65ВМТЮ на
заводе турбинных лопаток. Материал штампа — сталь 45ХЗНМ2Ф,
ритм штамповки 30 секунд. Процесс циклического нагружения
прослеживался на протяжении периода штамповки первых 10 по-
ковок (10 циклов); далее цикл стабилизировался. На рисунке вид-
ны отличия в термических циклах для первой (л = 1) и десятой
(л = 10) поковок.
За время штамповки (0,2 с) давление со стороны поковки по
нормали к поверхности ручья штампа изменяется от нуля до мак-
симума. В тот момент, когда на штамп действует максимальная
сжимающая нагрузка, распределение напряжений по сечению
штампа обусловлено механической нагрузкой. Температурный
фактор несущественен; в контактной области лишь немного уве-
личиваются сжимающие напряжения, вызванные ограничением
температурного расширения. После снятия внешнего давления
начинается период разгрузки — упругопластического деформиро-
вания за счет внутренних напряжений. До тех пор, пока поковка
находится в полости штампа (до двух секунд) и продолжает ра-
зогревать контактные слои, разгрузка тормозится за счет нараста-
ния термических напряжений.
После извлечения поковки из полости штампа разгрузка оп-
ределяется выравниванием температур по сечению.
На рис. 11.2 показаны диаграммы циклического деформиро-
вания для первого и десятого циклов нагружения в точке ручья
штампа с максимальной глубиной вреза.
Диаграмма деформирования имеет типичный харак-
тер упругопластического деформирования под действием сжима-
ющей внешней нагрузки с развитием деформаций укорочения.
Вид диаграммы в осях <зх - гх свидетельствует о более сложном
характере нагружения. Возрастанию сжимающих напряжений ох
соответствует рост упругопластических деформаций удлинения.
Это вызвано распирающим действием контактных сил, направ-
ленных по нормали к стенкам полости штампа. После снятия внеш-
ней нагрузки уровень напряжений ах практически не меняется, а
деформации ех под влиянием сжимающих термических напря-
жений уменьшаются, переходят через ноль и далее продолжают
изменяться как деформации укорочения, поскольку распирающе-
го действия внешних сил больше нет. После удаления поковки из
штампа исчезает термическая нагрузка и происходит обычная уп-
ругая разгрузка.
305
Рис. 11.2. Диаграммы циклическо-
го деформирования для первого и
десятого циклов нагружения
Получение точной поковки достигается не только точностью из-
готовления штампового инструмента, но и за счет учета упругоплас-
тических деформаций на заключительных стадиях технологического
процесса штамповки, когда перемещения штампа соизмеримы с пе-
ремещениями, характеризующими его упругую деформацию. Это в
первую очередь относится к тонкостенным профилям типа пера тур-
бинной лопатки. При горячей калибровке поковки турбинной лопат-
ки проявляется влияние неравномерности деформации, обусловлен-
ной переменностью высоты профиля, температурными деформациями,
вызванными остыванием периферийных слоев в штампе, большими
различиями в пределе текучести горячих и остывших элементов сече-
ния. Все это усложняет построение эпюры контактных напряжений
и, следовательно, учет упругих деформаций штампа.
306
Поскольку штамповка заготовки турбинной лопатки происхо-
дит в условиях высоких гидростатических давлений и, следова-
тельно, сопровождается упругими деформациями, модель жест-
копластического тела, общепринятая в теории обработки металлов
давлением, представляется неприемлемой. Для анализа процесса
штамповки используется модель упруговязкопластического тела.
Процесс штамповки происходит в неизотермических услови-
ях, предполагает прослеживание во времени температурного и
напряженно-деформированного состояний, т. е. требуется реше-
ние задачи термоупругопластичности, последовательное решение
задач нестационарной теплопроводности и теории упруговязкопла-
стического течения. В ходе решения задачи теплопроводности
определяется распределение температур по объему (поковки, штам-
пов) и свободных объемных температурных изменений, соответ-
ствующих последовательным моментам времени, для которых да-
лее будут определены напряжения и деформации. Задача теории
пластичности предполагает прослеживание истории нагружения —
изменение напряженно-деформированного состояния во време-
ни под действием тепловой и механической нагрузок.
В табл. 11.1 и на рис. 11.3 приведены зависимости теплофизи-
ческих и механических характеристик материала поковки в диа-
пазоне температур штамповки.
Таблица 11.1
Зависимость теплофизических и механических свойств
стали от температуры
Т, °C X Вт ’ м • град су-10-4, Дж а-106,—!— град Е, МПа МПа
з м •град
20 18,5 395 10,1 200 500 495
100 19,5 395 10,6 194 000 495
200 21,4 411,6 11,0 188 000 490
300 23,3 424,8 11,4 179 900 485
400 24,8 440 11,6 172 000 475
500 25,3 460 11,9 162 500 465
600 25,9 503,5 Н,7 146 000 455
700 27,4 483,6 11,1 109 200 448
800 28,2 497 11,7 86 100 392
900 28,2 497 12,3 71 700 388
1000 27,5 503,5 12,4 60 000 229
1100 27,9 514 12,4 53 200 130
1200 27,9 520 19,3 50 000 60
307
Рис. 11.3. Кривые деформационного упрочнения для стали Х16Н5М4 [82]
308
11.2 . Геометрические модели заготовки и инструмента
Перо лопатки имеет тонкостенный профиль и достаточно боль-
шую длину, намного превышающую ширину. Течение металла при
штамповке происходит в направлении ширины; длины исходной
заготовки и поковки одинаковы, т.е. течения металла в направле-
нии длины не происходит. Такой характер формоизменения пол-
ностью соответствует условию плоской деформации = 0. По-
этому анализ формоизменения и напряженно-деформированного
состояния выполняется для одного из сечений заготовки турбин-
ной лопатки. На рис. 11.4 представлены контуры рабочей поверх-
ности верхней и нижней штамповых вставок в сомкнутом состоя-
нии, т.е. на момент окончания штамповки.
Рис. 11.4. Контуры сечения штамповой вставки
Для получения поковки используется цилиндрическая заго-
товка 065 мм, которая превращается в заготовку турбинной ло-
патки за один переход. На рис. 11.5 показано сечение заготовки в
штампе на момент начала процесса штамповки.
Рис. 11.5. Положение заготовки в штампе
перед штамповкой
309
Анализ формоизменения, температурного и напряженно-де-
формированного состояний заготовки выполняется на сетке ко-
нечных элементов, аппроксимирующей сечение исходной заго-
товки. Сечение исходной заготовки представляет собой круг,
поэтому исходная сетка конечных элементов (рис. 11.6) имеет
две оси симметрии (вертикальную и горизонтальную). В про-
цессе штамповки исходное круглое сечение заготовки превра-
щается в сечение лопатки, соответствующее профилю штампов
(см. рис. 11.4). Поскольку деформация заготовки носит ярко
выраженный неравномерный характер, сетка конечных элемен-
тов при прослеживании истории деформирования искажается
настолько, что продолжение расчета становится невозможным. ,
Это связано со спецификой методов численного интегрирова-
ния (метод конечных разностей, метод конечных элементов). ,
Элементы сеток, первоначально практически равновеликие,
становятся вытянутыми, изогнутыми, иногда вывернутыми. То
же можно видеть на экспериментально анализируемых коорди-
натных сетках, например, при выдавливании. Расчет на такой
сетке невозможен, поскольку изменяется топология. Сетку ко-
нечных элементов необходимо строить заново, сохраняя при
этом форму сечения, историю нагружения и деформирования.
Пересчет параметров напряженно-деформированного состояния
на новую сетку производится с учетом новых координат узлов <
сетки, если речь идет о перемещениях, температурах и гидро-
статическом давлении, или с учетом новых координат точек
интегрирования для прослеживания истории нагружения и де- '
формирования.
В данном случае сетка конечных элементов перестраивалась
трижды: на рис. 11.6 помимо исходной сетки конечных эле-
ментов, аппроксимирующей сечение круглой заготовки, пока-
заны еще три на последующих стадиях формоизменения. Сетки .*
имеют иную топологию, иную форму и ориентированы на воз-
можность продолжения расчета. На рис. 11.7 показаны проде-
формированные сетки конечных элементов на стадиях оконча-
ния расчета на сетках, изображенных на рис. 11.6. Легко
заметить, что на исходной сетке конечных элементов просле-
жен наиболее долгий период деформирования. Расчет на этой
сетке остановлен из-за резкого искажения формы центральных
элементов, которые вытянулись в направлении ширины, в то
время как поверхностные элементы находились в условиях пол-
ного прилипания.
310
Рис. 11.6. Исходные сетки конечных элементов
на различных стадиях процесса штамповки
заготовки турбинной лопатки
Рис. 11.7. Продеформированные сетки конечных элементов
311
Дальнейшие расчеты останавливались из-за резкого искаже-
ния формы поверхностных элементов на краях заготовки. По мере
заполнения полости штампа серединные слои деформировались
мало; зона прилипания охватывала почти всю контактную повер-
хность; в стороны заусенечных канавок вытекал металл горячих
серединных слоев. Этап заполнения заусенечных канавок здесь
практически не исследован. Для этого потребовалась бы еще одна
переразбивка сетки с очень подробной детализацией заготовки в
районе заусенца. В данном случае на этапе формирования заусен-
ца соответствующие конечные элементы не только вытянулись,
но и вывернулись. Поэтому на рис. 11.7 последняя сетка конеч-
ных элементов изображена без этих искаженных элементов. После-
дующие рисунки и графики в этой главе относятся к стадии штам-
повки до искажения элементов облоя. Моделирование процесса с
учетом стадии образования облоя рассмотрено в следующей главе
при анализе процесса горячей калибровки.
11.3 . Моделирование теплового режима,
истории нагружения и деформирования
История нагружения прослеживается от момента укладки за-
готовки в полость штампа до окончания рабочего хода пресса
(0,7 с). Период транспортировки нагретой заготовки от печи к
прессу (2 с), когда происходит охлаждение поверхности заготов-
ки на воздухе, в данном случае не рассматривается, поскольку
поковка имеет цилиндрическую форму, т.е. относительно малую'
поверхность охлаждения. Напротив, при анализе процесса горя-
чей калибровки, когда нагретая заготовка имеет тонкую стенку,1
особенно на кромках, этот период включен в расчет. :
Нагретая до температуры 1100 °C заготовка укладывается в ,
штамп и в течение 0,5 с охлаждается на воздухе, касаясь нижнего ,
штампа в точке (или по очень узкой площадке). Далее в течение
0,2 с происходит собственно штамповка. При этом контактная
площадка расширяется, форма заготовки изменяется. Процесс фор- .
моизменения прослеживается за 50 этапов нагружения. На на- •
чальных стадиях перемещение штампов составляет 1 мм, к концу
расчета — 0,2 мм. На каждом этапе нагружения последовательно
решается задача нестационарной теплопроводности (на сетке ко-
нечных элементов, соответствующей очередному этапу), вычис-
ляются температуры в узлах сетки и свободные объемные измене-
ния, обусловленные изменением температуры за этап расчета, и
далее решается задача теории течения.
312
Задача нестационарной теплопроводности решается при зада-
нии граничных условий 3-го рода. При этом часть поверхности
охлаждается на воздухе, часть — за счет контакта с поверхностью
штампа. Переход границы конечного элемента на контактную
поверхность (изменение условий охлаждения) отслеживается на
каждом этапе.
Зависимость коэффициента теплоотдачи от температуры ме-
талла при охлаждении на воздухе представлена в табл. 11.2. Тем-
пература воздуха принималась равной 50 °C.
Таблица 11.2
Зависимость коэффициента теплоотдачи от температуры
металла при охлаждении на воздухе
Т, °C 0 50 100 200 300 400 500 600 1100
, Вт 2 м • град 12,05 14,65 19,32 29,97 42,34 56,42 72,25 89,70 130
Коэффициент теплоотдачи при охлаждении поковки в штам-
пе во время рабочего хода (под нагрузкой) h = 8000 —г—-—. Это
м •град
значение коэффициента теплоотдачи получено последовательным
подбором и решением задачи теплопроводности до достижения
температуры поверхности поковки, известной из эксперимента.
Переход от температуры, известной на момент окончания рабоче-
го хода, к значениям коэффициента теплоотдачи необходим для
построения полей температур для нескольких моментов времени,
соответствующих этапам решения задачи термоупругопластично-
сти. Температура окружающей среды, т.е. температура поверхно-
сти штампа принималась равной 250 °C.
Задача теории течения решается с граничными условиями сме-
шанного типа: задаются перемещения рабочих поверхностей ин-
струмента и условия контактного трения. Коэффициент трения
принят f— 0,3 на обеих поверхностях. Как показали предвари-
тельные расчеты, выбор значения коэффициента трения не имеет
принципиального значения: при коэффициенте трения более
/= 0,05 практически вся контактная поверхность является зоной
прилипания (отсутствия скольжения).
Начальная стадия штамповки заготовки турбинной лопатки под-
чиняется закономерностям, рассмотренным в разделе 10.1 (попереч-
ная осадка цилиндрической заготовки двумя плоскими плитами).
313
На начальной стадии процесс можно считать изотермическим,
материал не упрочняется, касание заготовки с инструментом осу-
ществляется по узкой площадке, так что бойки можно считать
плоскими. На рис. 11.8 показано распределение гидростатичес-
ких давлений в сечении заготовки на ранней стадии процесса,
характерное для поперечной осадки. В районе контактных пло-
щадок действуют сжимающие напряжения, в центральной части
сечения — растягивающие.
CTq, МПа
Рис 11.8. Распределение гидростатических давлений по
сечению на начальной стадии процесса
~1О4
”83
К моменту, когда потребовалось первое перестроение сетки
конечных элементов, заготовка приобрела форму, в значительной
степени похожую на изображение полубесконечной полосы меж-
ду двумя плоскими плитами. Решение задачи о сжатии полосы
двумя шероховатыми плитами известно как решение задачи Пран-
дтля. На рис. 11.9-11.12 представлены результаты расчета напря-
женно-деформированного состояния на данной стадии процесса,
причем эти результаты во многом аналогичны известным класси-
ческим решениям.
314
За время порядка 0,1 с от момента начала рабочего хода прес-
са тонкий поверхностный слой в центральной части заготовки
охладился более чем на 200 °C. Низкая температура серединной
части контактной поверхности обусловлена временем контакта со
штампом. Изменение температуры поверхностей, охлаждающих-
ся на воздухе, почти незаметно (рис. 11.9).
Рис. 11.9. Области равных температур после осадки заготовки
на 25 мм
СТ , МПа
у’
Рис. 11.10. Распределение напряжений <зу по сечению заготовки
Поскольку контактная поверхность формировалась исключи-
тельно за счет перехода точек с боковой поверхности, на большей
части контактной поверхности действует условие прилипания. Рас-
пределение вертикальных напряжений оу вдоль контактной по-
верхности близко к равномерному (рис. 11.10). Напротив, рас-
пределение напряжений ау по сечению заготовки и по высоте в
315
центральной части очень неравномерно. Это значит, что в на-
правлении ширины перемещаются центральные, более нагретые
слои металла, а зона прилипания распространяется почти на всю
контактную поверхность. Область максимальных напряжений
находится не под штампами, а в центре сечения заготовки.
Характер напряженного состояния диктуется распределением
средних (гидростатических) напряжений (рис. 11.11).
Деформированное состояние наиболее полно характеризуется
распределением накопленной интенсивности деформаций (рис. 11.12).
Такое распределение деформаций носит название ковочного креста.
СГ(р МПа
Рис. 11.11. Распределение гидростатических давлений
о0 по сечению заготовки
Рис. 11.12. Распределение накопленной интенсивно-
сти деформаций
316
Дальнейшее прослеживание истории нагружения подтвержда-
ет те же закономерности. На рис. 11.13и 11.14 представлены рас-
пределения характеристик напряженно-деформированного состо-
яния заготовки перед вторым перестроением сетки конечных
элементов. Распределение гидростатических напряжений показы-
вает их максимально высокий уровень в центре заготовки, высо-
кий градиент напряжений по высоте и уменьшение до нуля на-
пряжений на боковых кромках. Распределение напряжений вдоль
контактных поверхностей носит более равномерный характер, чем
вдоль серединной (по высоте) линии заготовки. Ковочный крест
(см. рис. 11.14) проявляется еще нагляднее.
»
(70, МПа
~»*лй
Рис. 11.13. Распределение гидростатических давлений
при осадке заготовки на 35 мм
Рис. 11.14. Распределение накопленной интенсивно-
сти деформаций
в
»х
4»
$39
г-эа
Заключительная стадия штамповки характеризуется выходом
части металла в заусенец и фактическим запиранием полости
штампа. При этом резко возрастают гидростатические напряже-
ния, вызывающие упругие объемные деформации. Поскольку се-
чение поковки становится тонким, градиент напряжений по тол-
щине минимален; уменьшение давления происходит от середины
317
в направлении ширины (рис. 11.15). Распределение напряжений
фактически повторяет распределение гидростатических напря-
жений (рис. 11.16). Это значит, что напряженное состояние на
момент окончания штамповки соответствует всестороннему рав-
номерному сжатию.
C7q, МПа
Рис. 11.15. Распределение гидростатических давлений на
заключительной стадии штамповки
Рис. 11.16. Распределение напряжений ау по сечению заготовки
МПа
-714
к
Максимальный уровень накопленной интенсивности дефор-
маций на заключительной стадии штамповки (рис. 11.17) повы-
шается за счет сдвиговых деформаций в районе заусенечных ка-
навок. В остальной части заметных изменений деформированного ,
состояния на конечных стадиях процесса не происходит.
4
42
Рис. 11.17. Распределение накопленной интенсивности
деформаций
318
Показанное на рис. 11.15 и 11.16 распределение напряжений —
следствие влияния двух основных факторов: геометрического и
температурного. Контактный слой заметно подстужен, является
жесткой оболочкой, внутри которой при сближении штампов ме-
талл ведет себя как вязкая жидкость, вытекающая в узкие отвер-
стия заусенечных канавок. Области равных значений температу-
ры в конце рабочего хода, когда напряжения достигают своего
максимума, показаны на рис. 11.18. Распределение температур
вдоль контактной поверхности представлено на рис. 11.19.
«49
11OQ
Рис. 11.18. Области равных температур в конце рабочего хода
Рис. 11.19. Распределение температур вдоль контактной поверхности
Показанное на рис. 11.19 распределение температур, на пер-
вый взгляд, может показаться противоречащим наблюдаемой кар-
тине остывших краев лопатки и более нагретой центральной час-
ти заготовки. Здесь речь идет о распределении температур в конце
рабочего хода, т.е. в момент, когда достигаются интересующие
нас максимальные контактные напряжения (рис. 11.20). Централь-
ная часть поверхности заготовки длительное время находилась в
контакте с инструмента и остыла в большей мере, чем перифе-
рийная часть, контактировавшая с воздухом. Разумеется, остыл
319
лишь тонкий контактный слой, который после удаления поковки
из штампа либо быстро нагреется (речь идет о массивной сере-
динной части поковки), либо продолжит остывать, если речь идет
о тонких периферийных слоях.
Рис. 11.20. Распределение контактных напряжений в конце
рабочего хода
Показанное на рис. 11.20 распределение контактных напря-
жений имеет известную куполообразную форму, обусловленную
характером течения и напряженного состояния и распределением
температур вдоль контактной поверхности. Поскольку максимум
на эпюре контактных напряжений не совпадает с минимумом тем-
ператур, температурный фактор играет второстепенную роль.
Положение максимума на эпюре контактных напряжений смеще- s
но в сторону более тонкой задней кромки турбинной лопатки. ,
Это еще раз подтверждает правомерность использования модели
упруговязкопластического течения металла в полости штампа.
320
12. ГОРЯЧАЯ КАЛИБРОВКА ПОКОВОК
ТУРБИННЫХ ЛОПАТОК
12.1. Постановка задачи
Процесс горячей калибровки поковки турбинной лопатки в ка-
либровочном штампе сопровождается упругопластическими дефор-
мациями поковки, объемными температурными изменениями по-
» ковки и штамповых вставок, упругими деформациями верхней и
нижней штамповых вставок, упругими деформациями конструк-
ции пресса. Неравномерное остывание поковки и неравномерный
'' разогрев штамповых вставок в ходе технологической операции го-
< рячей калибровки приводят к неравномерному распределению пре-
;; дела текучести и модуля упругости по объему поковки и штампо-
, вых вставок, что в свою очередь оказывает влияние на точность
\ готовой поковки. Поскольку пластические деформации поков-
'• ки при горячей калибровке относительно малы, упругие, пласти-
ческие и температурные деформации поковки и деформации ин-
струмента соизмеримы и должны быть учтены в равной степени
корректно.
Раздельное решение задачи термоупругопластичности методом
конечных элементов для поковки и для штампов может быть вы-
полнено при условии задания граничных условий в перемещениях
или напряжениях на поверхностях контакта. В рассматриваемом
решении задачи о горячей калибровке поковки эпюры контактных
перемещений и контактных напряжений не могут быть заданы: они
являются основными искомыми параметрами и подлежат опреде-
лению в ходе решения контактной задачи — задачи о взаимодей-
ствии поковки, верхней и нижней штамповых вставок.
Математическая постановка контактной задачи формулируется
достаточно просто: при заданном перемещении верхнего бойка на
поверхностях контакта поковки с инструментом перемещения точек
поверхности поковки и штампа должны быть одинаковы, а узловые
силы — одинаковы по абсолютной величине и противоположны по
направлению. Выполнение этих условий на обеих контактных по-
верхностях соответствует точному решению контактной задачи Гер-
ца; в данном случае речь может идти о выполнении контактных
условий лишь с некоторой заданной (требуемой) точностью. Эта
точность может быть достигнута методом последовательных при-
ближений (путем поочередного численного решения задачи термо-
Упругопластичности для поковки, верхней и нижней штамповых
321
вставок) с постепенным уточнением граничных (контактных) ус-
ловий для каждого из анализируемых тел.
Каждое из трех тел, участвующих во взаимодействии: поков-
ка, верхняя и нижняя штамповые вставки — аппроксимируется
сетками конечных элементов (рис. 12.1, 12.2, 12.3). На поверхно-
стях контакта узловые точки контактирующих тел имеют одина-
ковые координаты (рис. 12.4). В этих точках контакта инструмен-
та и поковки должно быть выполнено условие равенства
перемещений и узловых сил.
Рис. 12.1. Сетка конечных элементов поковки
Рис. 12.2. Сетка конечных элементов верх-
него штампа
322
Рис. 12.3. Сетка конечных элементов
нижнего штампа
Рис. 12 4. Сечение (У= 130 мм) сеток конечных
элементов
Решение задачи термоупругопластичностт‘ в^
ватрпкип? пешение задач нестационарной теплопроводности и ic
вательное решение задачрешения задачи тепло-
ории упругости или пластичности, в д р п0 объему
проводности определяется распредел ТРМПрпятупных изме-
(поковки, штампов) и свободных объемных времени,
нений, соответствующих последовательны деформации,
для которых далее будут определены напря
323
Задача теории пластичности предполагает прослеживание ис-
тории нагружения — изменение напряженно-деформированного
состояния во времени под действием тепловой и механической
нагрузок.
Математическая модель материала
Горячая калибровка в чистовом штампе характеризуется
очень малыми обжатиями; потому на этот процесс нельзя рас-
пространять общепринятые закономерности теории обработки
металлов давлением, типичные для больших пластических де-
формаций. Это в первую очередь относится к материалу поков-
ки. Вопрос выбора модели материала штамповых вставок ре-
шается однозначно: нагружение и разгрузка сопровождаются
термоупругими деформациями. Для изучения термоупругого
поведения материала штампов достаточно располагать данными
о полях температур, изменяющихся во времени, о коэффици-
енте линейного расширения, о зависимости модуля упругости в
диапазоне температур до 600 °C, о коэффициенте Пуассона.
Для описания термоупругопластического поведения матери-
ала поковки должен быть сделан выбор между теорией течения и ;
теорией малых упругопластических деформаций. Для большин-
ства процессов обработки металлов давлением предпочтение от-
дается теории течения. Это связано с тем, что пластическое по-
ведение многих материалов зависит от скорости деформации.
Основным допущением классической, или нереологической те-
ории пластичности является независимость от времени; теория
вязкопластичности позволяет учесть и пластические и реологи-
ческие эффекты. В ряде задач вязкими свойствами металла мож-
но пренебречь; если влияние вязкости существенно, зависимость
процесса деформирования от времени становится важной ха-
рактеристикой неупругого поведения материала. В подобных
случаях неупругие деформации зависят от всей истории изме-
нения напряжений во времени и от пути нагружения. Отсюда
следует, что различным путям нагружения и различной дли-
тельности процесса нагружения будут соответствовать различ-
ные результаты.
Очевидно, ориентируясь лишь на общие соображения, невоз-
можно сделать правильный выбор между классической теорией
пластичности и теорией вязкопластичности. Далее делается по-
пытка сопоставления результатов, получаемых с использовани-
ем различных математических моделей материалов. Поскольку
324
устанавливаются качественные, а не количественные соотно-
шения результатов, получаемых на основе разных моделей ма-
териалов, рассматривается упрощенная модель — деформирование
некоторого характерного поперечного сечения поковки Y = 360 мм
(см. рис. 12.1) в условиях плоской деформации гу =0. Заметим,
что далее приведены результаты решения задачи о трехмерном фор-
моизменении поковки, которые отличаются от результатов, полу-
ченных для варианта плоской деформации. Использование ус-
ловия г = 0 приводит к завышенным оценкам контактных
напряжений; реальный процесс горячей калибровки допускает
некоторое продольное течение металла, поперечные сечения
вдоль длины поковки существенно неодинаковы и т.д.
Рассматривая процесс горячей калибровки как процесс же-
сткого нагружения поковки (перемещения верхнего штампа на
ДА = 0,3 мм), проследим историю деформирования за шесть эта-
пов, на каждом из которых поковка получает абсолютное обжа-
тие ДА = 0,05 мм. Решение получено МКЭ на сетке конечных эле-
ментов, аналогичной изображенной на рис. 12.4, по трем различным
программам, реализующим два варианта теории течения и теорию
малых упругопластических деформаций. Одна из программ соот-
ветствовала теории упруговязкопластического течения в постанов-
ке Г.Я. Гуна [52] и являлась в вычислительном плане аналогом
FORM-2D [83]. Вторая программа соответствовала теории упруго-
вязкопластического течения в постановке Ю.И. Рыбина [84]. В тре-
тьей использовался математический аппарат теории малых упру-
гопластических деформаций, сформулированный В.И. Махненко
[72] и адаптированный к МКЭ К.М. Гатовским [85, 86]. Наконец,
еще одним вариантом решения задачи является общепринятый в
теории обработки давлением подход с позиций вязкопластическо-
го течения, с использованием условия несжимаемости, без учета
упругого изменения объема. Результат такого решения должен со-
впадать, например, с решением методом характеристик, с пост-
роением полей линий скольжения.
На рис. 12.5, 12.6 и 12.7 представлены эпюры контактных на-
пряжений ог для шести этапов нагружения, полученные на основе
теории течения и теории малых упругопластических деформаций.
Для исключения влияния температурного фактора температура
поковки Т = 1100 °C принята постоянной по сечению.
325
Рис. 12.5. Эпюры контактных напряжений а7 при плоской деформа-
ции сечения Y= 360 мм по стадиям нагружения (теория упруговязко-
пластического течения)
Рис. 12.6. Эпюры контактных напряжений vz при плоской деформа-
ции сечения Y = 360 мм по стадиям нагружения (теория малых упру-
гопластических деформаций)
326
Рис. 12.7. Эпюры контактных напряжений при плоской деформа-
ции сечения К= 360 мм по стадиям нагружения (теория вязкопласти-
ческого течения)
Различие в результатах, полученных по двум программам, реа-
лизующим модель упруговязкопластического течения, не выходи-
ло за пределы погрешности вычислений, поэтому на рис. 12.5 нет
ссылки на программу. Различия в результатах, полученных исходя
из теории течения и теории малых упругих деформаций, носят прин-
ципиальный характер и должны быть прокомментированы.
На двух первых стадиях нагружения, где достигнуто обжатие
ДА = 0,1 мм, качественных различий в эпюрах контактных напря-
жений, полученных на основе теории упруговязкопластического
течения и теории малых упругопластических деформаций, нет; ка-
чественные отличия соизмеримы с точностью численных расчетов
на ЭВМ. По мере нарастания обжатия различия становятся все более
заметными, и при обжатии ДА = 0,3 мм получаем две принципи-
ально разные эпюры контактных напряжений. Эпюра напряжений,
полученная по теории течения, имеет характерный куполообраз-
ный вид, типичный для многих процессов обработки металлов дав-
лением и не нуждающийся в пояснении (см. рис. 12.5).
Эпюра напряжений, полученная по теории малых упругопла-
стических деформаций, имеет два максимума, соответствующих
(по месту) максимальным относительным деформациям. При оди-
наковых абсолютных обжатиях ДА относительное обжатие тем
больше, чем меньше высота профиля. В районах выхода металла в
заусенечную канавку напряжение от максимального резко снижа-
ется до величины, соизмеримой с пределом текучести материала
327
(см. рис. 12.6). Максимум контактных напряжений в узкой части
пера лопатки (на эпюре справа) выше значения максимума в рай-
оне передней кромки лопатки. Положение максимума напряже-
ний ог по теории течения (см. рис. 12.5) смещено в сторону зад-
ней более узкой кромки пера лопатки.
В теории малых упругопластических деформаций приращения
пластических деформаций связаны с компонентами девиатора на-
пряжений уравнениями Прандтля—Рейсса [85] = SiJd'k. В тео-
рии течения компоненты девиатора напряжений пропорциональны
компонентам девиатора скоростей деформаций Sg = 2цт](-,. В случае
использования условия несжимаемости е0 = 0 тензор деформаций
равен его девиатору.
Решение, полученное на основе модели вязкопластической среды
(модель Шведова) с соблюдением условия постоянства объема, дает
классическую для обработки давлением эпюру контактных напря-
жений (см. рис. 12.7), характер которой не зависит от величины
обжатия. Следует заметить, что и величина напряжений мало зави-
сит от обжатия, в отличие от результатов, полученных с учетом 1
упругой составляющей тензора деформаций (см. рис. 12.5 и 12.6).
Очевидно, если использовать модель жесткопластической среды, «
то уровень напряжений при отсутствии упрочнения (Т = 1100 °C) *'
вообще не должен зависеть от величины обжатия. В данном слу-
чае (см. рис. 12.7) некоторое возрастание контактных напряже-
ний с увеличением обжатия объясняется двумя причинами:
наличием вязкой составляющей деформации,
изменением высоты поковки на каждом из шести этапов нагру-
жения, что при одинаковых перемещениях контактной поверхнос- <,
ти за этап соответствует увеличению скорости деформации.
Это изменение носит условный характер, поскольку в расчете <
не ставилась задача учета реального изменения скорости хода вин-
тового пресса. Пример приведен исключительно для обоснования
несостоятельности традиционных методов при анализе процесса
горячей калибровки.
Чтобы объяснить причину сходства и различий в эпюрах кон-
тактных напряжений, показанных на рис. 12.5 и 12.6, следует иметь ‘
в виду что на ранних стадиях нагружения (АЛ < 0,1 мм) факто-
ром, определяющим характер эпюры контактных напряжений,
является упругое изменение объема. В условиях плоской дефор-
мации (£у =0), невысокого профиля, большой протяженности
вдоль оси X, наклона стенок штампа течение металла в заусенец
328
затруднено. Схема напряженного состояния, близкого к гидро-
статическому нагружению, обусловливает объемные деформации тем
большие, чем выше относительная деформация. В результате эпюра
контактных напряжений приобретает два максимума.
При расчете по теории малых упругопластических деформаций
эта причина остается доминирующей и далее. Напряжения, функ-
ционально связанные с деформациями, сохраняют прежнее рас-
пределение вдоль длины профиля (ось X). При расчете по теории
упруговязкопластического течения в соответствии с принятой рео-
логической моделью материала включается механизм демпфирова-
ния, что приводит к качественным изменениям эпюры контактных
напряжений: напряжения нарастают от свободных поверхностей
(выходов в заусенец) к середине сечения.
Парис. 12.8, 12.9 показаны распределения напряжений ог по
двум сечениям пера лопатки: Y= 130 мм и К= 360 мм при обжа-
тии Дй = 0,3 мм. И в массивном сечении Y= 130 мм, и в тонком
сечении Y= 360 мм напряжения ог по высоте слоя распределены
почти равномерно. При расчете по теории течения напряжения ог
вдоль координаты Z имеют практически постоянную величину, при
расчете по теории малых упругопластических деформаций наблю-
дается небольшой градиент напряжений вдоль оси Z.
а , МПа
z’
-904,2
По теории течения
По теории малых упругопластических
деформаций
1
-271,0
7130.3
Рис. 12.8. Распределение напряжений по сечению Y= 130 мм
329
По гворйи ГечёНиЯ
По теории малых упругопластических
деформаций
О,, МПа
-I»*».»
-7** $i
<
-Г».» •:
Рис. 12.9. Распределение напряжений &z по
сечению Y= 360 мм
Для этих же двух сечений на рис. 12.10 и 12.11 представлены
эпюры контактных напряжений при обжатии Дй = 0,3 мм, полу-
ченные по теории течения и теории малых упругопластических '
деформаций. Положения максимумов напряжений для этих двух •
сечений различны и обусловлены их профилем и ориентацией»,в '
пространстве. Это в равной степени относится к результатам, по- '
лученным на основе обеих рассматриваемых теорий. В массивном
сечении Y = 130 мм максимумы контактных напряжений смеще- ,
ны к краям сечения, где велики относительные деформации.
Эпюры напряжений ог, построенные по теории течения, для '
верхней и нижней контактной поверхностей совпадают полностью ’
(различие не более 0,1 %). Расчет по теории малых упругопласти-
ческих деформаций позволяет уловить различия эпюр напряже-
ний по верхней и нижней контактным поверхностям. Эти разли-
чия наиболее заметны в местах пиков напряжений.
Расчет по теории малых упругопластических деформаций позво-
ляет на эпюре контактных напряжений увидеть влияние сужения
канала выхода металла в заусенец (напряжения на эпюре справа выше, |
чем слева), влияние угла наклона профиля штампа (на эпюре для
сечения Y = 130 мм напряжения у передней кромки лопатки на ниж-
ней контактной поверхности выше, чем на верхней) и т.д. Расчет по
теории течения дает сглаженную эпюру контактных напряжений, ,
характерную скорее для вытекания жидкости, чем для деформиро-
вания металла. Вероятно, на базе теории течения можно было бы
330
получить эпюру контактных напряжении, похожую на эпюру, пост-
роенную на основе теории малых упругопластических деформаций,
если иметь более надежную и подробную информацию о зависимо-
сти сопротивления деформации от степени и скорости деформации.
Рис. 12.10. Эпюра контактных напряжений Qz при
плоской деформации сечения Y= 130 мм (ДЛ = 0,3 мм):
7 — по теории малых упругопластических деформаций;
2 — по теории упруговязкопластического течения; 3 — по
теории жесткопластического течения
Рис. 12.11. Эпюра контактных напряжений при
плоской деформации сечения У= 360 мм (ДЛ = 0,3 мм):
7 — по теории малых упругопластических деформаций;
2 — по теории упруговязкопластического течения; 3 — по
теории жесткопластического течения
331
На рис. 12.12 для модельного варианта: е =0;
Т = 1100 °C = const, показан характер деформированного состояния
наиболее массивного сечения пера лопатки Y= 130 мм при обжатии
Ай = 0,3 мм. В большей части сечения перемещения вдоль оси Т
отсутствуют; лишь на небольшом расстоянии от боковых кромок
происходит течение металла в направлении облойных канавок.
Именно в этих объемах металла наблюдают пластические дефор-
мации; в остальной части сечения интенсивность пластических
деформаций близка к нулю. Выход металла в облой в сторону
передней кромки пера лопатки — в пределах 1 мм, в сторону зад-
ней кромки, где относительные деформации выше из-за меньшей
толщины профиля — в пределах 2 мм.
и, мм
-0.99
-0.74
-0.49
-0.24
Перемещения вдоль оси X, мм
Интенсивность пластических деформаций , %
Рис. 12.12. Деформированное состояние сечения поковки Y= 130 мм
при обжатии ДА = 0,3 мм
В зависимости от выбранной реологической модели материа-
ла в результате решения задачи о формоизменении можно полу-
чить весьма различные распределения перемещений в попереч-
ном направлении сечения пера лопатки Y= 130 мм (рис. 12.13).
При использовании модели вязкопластического материала соблю-
дается условие постоянства объема, следовательно, объемы ме-
талла, смещенные по высоте и ширине сечения, должны быть
332
равны. Размеры облоя слева и справа от изображенного сечения
составили соответственно 10 и 16 мм. Упруговязкопластический
материал имеет возможность уменьшать свой объем, и размеры
облоя оказываются в пределах 6,5 мм на сторону. Модель упру-
гопластического материала допускает еще большее гидростати-
ческое сжатие, и в облой вытекает еще меньшее количество ме-
талла (3 и 4,5 мм).
имм
-2.72
“2.20
U , ММ
х*
По теории малых упругопластических деформаций
f .
г ' V
2.77
3.48
4.00
4.52
По теории упруговязкопластического течения
-14.90
-14. 93
-ia.9«
Рис. 12.13. Горизонтальные перемещения металла поковки в сечении
Y= 360 мм, рассчитанные с учетом упругих деформаций (шкала слева)
и с использованием условия несжимаемости (шкала справа)
Было бы неверно пытаться экспериментально (по размеру об-
лоя) проверить адекватность той или иной модели. Модельный при-
мер с одинаковыми по сечению обжатиями имеет мало общего с
реальным процессом калибровки. Далее анализ трехмерного формо-
изменения поковки показывает влияние упругих деформаций инст-
румента, полей температур, жесткости пресса и других факторов на
геометрию поковки. Модельные примеры позволяют заключить, что
рассматриваемый процесс обработки давлением целесообразно трак-
товать как процесс жесткого нагружения с малыми упругопласти-
ческими деформациями, пренебрегая вязкими свойствами материа-
ла, поскольку деформации и скорости деформаций очень малы.
333
Как показано далее, учет температурного фактора — быстрого
охлаждения тонких частей профиля — приводит к формирова-
нию эпюры с максимумами в тонких, захоложенных местах по-
ковки. Таким образом, использование модели упругопластичес-
кого материала дает, по крайней мере, качественно объяснимый
результат. Поскольку в работе ставится задача получения поковки
с размерами, максимально близкими к указанным в чертеже, при
минимальной доводке штампа по результатам пробной штампов-
ки, установление закономерностей искажения профиля поковки j
на основе качественно верной модели представляется целесооб-
разным.
12.2. Моделирование напряженно-деформированного
состояния поковки в условиях жестких штампов
Моделирование напряженно-деформированного состояния
поковки при горячей объемной штамповке обычно выполняется
в предположении жестких недеформируемых штампов. В данном
случае допущение о недеформируемом штамповом инструменте |
позволяет получить качественные зависимости распределения #
контактных напряжений и контактных перемещений, обусловлен-
ных упругопластическим характером деформаций поковки. Эпю- \
ры контактных напряжений и контактных перемещений, как бу- t
дет показано далее, существенно отличаются от тех, что известны
из решений задач теории пластичности, полученных для жест-
копластической среды. Выполняемые упрощенные расчеты необ- ,
ходимы для последующего анализа результатов, полученных с уче-
том всех перечисленных в разделе 12.1 факторов, влияния которых ।
накладываются друг на друга.
12.2.1. Анализ напряженно-деформированного состояния поковки }
в изотермических условиях \
1
Представленные далее результаты позволяют оценить распре- ;
деление перемещений, напряжений и деформаций, обусловленных '
только геометрическими факторами. Решение задачи теории ма- t
лых упругопластических деформаций выполнено с заданными гра- ,
ничными условиями в перемещениях в предположении Т = const — '
одинаковой температуры и, следовательно, одинаковых механи-
ческих свойств материала во всем объеме поковки.
Горячая калибровка выполняется в чистовом штампе; таким
образом, абсолютное обжатие оказывается одинаковым для всей ,
334
поковки. При одинаковом обжатии ДЛ = 0,Змм относительное
обжатие Ег = АЛ/\ оказывается неравномерно распределенным
по объему. Очевидно, чем тоньше сечение (меньше высота Ло),
тем больше относительное обжатие (рис. 12.14).
Рис. 12.14. Распределение относительных деформаций £г при калиб-
ровке в изотермических условиях (7’= 1100 °C, АЛ = 0,3 мм)
335
При достаточно большой длине поковки (около 500 мм) переме-
щение металла в направлении оси Y (вдоль пера лопатки) практи-
чески исключено. Течение в поперечном направлении в сужающий-
ся по краям профиль лопатки тоже затруднено. В условиях
упругопластического деформирования и затрудненного течения ме-
талла в направлениях, перпендикулярных перемещению штампа, доля
гидростатической составляющей в напряжении ог = о0 + Sz оказы-
вается весьма значительной по сравнению с девиаторной частью.
Среднее, или гидростатическое, напряжение определяется объем- -
ной деформацией е0 = е% + гу + е?, которая тем больше, чем больше '
относительное обжатие. Поэтому в тонких частях поковки гидроста-
тическое напряжение существенно выше, чем в массивных (рис. 12.15). '
О“0, МПа
Рис. 12.15. Распределение гидростатического
давления а0 по сечению поковки при штампов-
ке в изотермических условиях
(Т = 1100 °C = const) ‘
Такой же характер носит и распределение напряжений по
объему поковки (рис. 12.16); величина напряжений az пропор- J
циональна относительной деформации ez = A/z/Ло и, следователь-
но, тем больше, чем тоньше профиль поковки.
На рис. 12.17 показаны эпюры контактных напряжений ог
для нескольких сечений пера лопатки. В теории обработки метал-
лов давлением эпюры контактных напряжений обычно имеют ,
куполообразный характер с максимумом в центральной части про-
филя. Такой характер эпюр объясняется принятой в теории ОМД ‘
моделью жесткопластической среды. При этом вместо уравнения
336 :
1
равновесия вдоль вертикальной оси используется условие плас-
тичности. Таким образом, определяющей частью напряжения яв-
ляется его девиаторная составляющая; именно она контролирует-
ся условием пластичности. Упругое изменение объема, вызывающее
рост гидростатического давления, при использовании модели же-
сткопластической среды игнорируется.
Г= 250 мм
Рис. 12.16. Распределение напряжений в сечениях поковки при
горячей калибровке в изотермических условиях
ст, МПа
'’-i.saa.B
-MS* .Ж
Рис. 12.17. Эпюры контактных напряжений по сечениям пера лопатки
при Т = 1100 °C = const: X — координата вдоль ширины лопатки;
Y — координата вдоль пера лопатки
337
Как показано на рис. 12.15, в условиях затрудненного вытека-
ния металла в облой гидростатическая составляющая напряже-
ния, обусловленная упругой деформацией, несоизмеримо больше
девиаторной части. Совершенно очевидно, что пики контактных
напряжений, показанные на рис. 12.17, вызовут упругую дефор-
мацию штампа, что необходимо учесть при проектировании штам-
па, если речь идет о точной штамповке.
12.2.2. Поле температур в поковке
Нагретая до температуры Т = 1100 °C поковка переносится
из печи к прессу, укладывается в нижний штамп, и далее вы-
полняется рабочий ход пресса. Хронометрирование процесса
показывает, что в течение двух секунд поковка охлаждается на
воздухе, далее 0,5 секунды нижняя поверхность поковки отдает
тепло штампу, а верхняя охлаждается на воздухе; во время ра-
бочего хода обе поверхности охлаждаются в штампе, предвари- >
тельно подогретом до 250 °C. Таким образом, реальный про-
цесс калибровки происходит не при Т = 1100 °C, как было ,
показано в предыдущем разделе, а в условиях неравномерного t
распределения температур по объему поковки. При этом кром- '
ки поковки турбинной лопатки охлаждаются до Т = 800 °C.
Соответственно температуре распределены по объему поковки
и механические характеристики: предел текучести, модуль уп- ,<
ругости — влияющие на формирование напряженно-деформи-
рованного состояния.
Поле температур в поковке строится на основании решения
задачи нестационарной теплопроводности с граничными усло-
виями 3-го рода. Зависимость коэффициента теплоотдачи от
температуры металла при охлаждении на воздухе представлена
в табл. 11.2.
Коэффициент теплоотдачи при охлаждении поковки в штампе
без нагрузки h = 1000 . °т—; при охлаждении поковки в штампе
м2•град
Вт
во время рабочего хода (под нагрузкой) h = 8000—:-. Переход
м2•град
от температуры, известной на момент окончания рабочего хода, к
значениям коэффициента теплоотдачи необходим для построения ’
полей температур для нескольких моментов времени, соответству-
ющих этапам решения задачи термоупругопластичности.
338
В данном расчете процесс штамповки (калибровки) с общим
обжатием Ай = 0,3 мм прослеживался за шесть этапов с обжатием
на каждом из них Ай = 0,05 мм. Каждому из шести этапов нагру-
жения соответствовали поля температур в момент времени 0,5;
0,54; 0,58; 0,62; 0,66; 0,7 с, отсчитанные от момента укладки по-
ковки в нижний штамп. Моменты времени выбраны равноотсто-
ящими в предположении о постоянной скорости перемещения
верхнего штампа во время рабочего хода.
На рис. 12.18 и 12.19 показаны распределения температур по
сечению пера лопатки для двух моментов времени. Распределе-
ние температур характеризуется высокой неравномерностью как
в пределах каждого сечения, так и в различных сечениях вдоль
пера лопатки. В массивных сечениях (близких к замковой части)
основная часть металла сохраняет исходную температуру
Т = 1100 °C ; захоложен лишь тонкий поверхностный слой. Тон-
кие сечения пера лопатки к концу рабочего хода имеют темпера-
туру, близкую к 800 °C; в районе тонких кромок оказывается ос-
тывшей серединная часть.
У= 130 мм
Рис. 12.18. Распределение температур
по сечениям пера лопатки в момент
времени t = 0,58 с
339
r= 130 мм
«w
Г= 250 мм
Y= 360 мм
X«{K»
Рис. 12.19. Распределение температур по
сечениям пера лопатки в конце рабочего хода
пресса (/= 0,7 с)
i»
tw»-
12,2,3, Напряженно-деформированное состояние металла
поковки в неизотермических условиях калибровки
с
Неравномерное температурное поле вносит определенные кор-
рективы в распределение напряжений по объему поковки, пока-
занные на рис. 12.16. Влияние неравномерного поля температур
проявляется через два основных фактора:
во-первых, это изменение механических свойств материала в
зависимости от температуры в точке;
во-вторых, это свободные объемные температурные измене-
ния, приводящие к формированию растягивающих напряжений в
остывающих поверхностных слоях.
Поскольку наиболее интенсивно охлаждаются тонкие сече-
ния, именно в них повышаются механические свойства. Если
учесть, что в этих же тонких сечениях формировались высокие
напряжения, обусловленные геометрическим фактором, влияние
температурного фактора в данном случае суммируется с влия-
нием фактора геометрии. Общий уровень сжимающих напря-
жений (рис. 12.20) оказывается выше, чем при калибровке в изо-
термических условиях.
Остывающие во время штамповки контактные слои металла
создают своего рода жесткую оболочку с высоким сопротивлением
деформированию. Деформируется преимущественно центральная,
340
нагретая ДО Г = 1100 "С часть металла. Тонкие кромки поковки
успевающие охладиться ио всей очень небольшой толщине вы'
нухдены деформироваться, имея низкую температуру “высокий
предел текучести. Деформированное состояние окапается в выС
шеи степени неравномерным (рис. 12,2!). В определенных уело-'
виях цель калибровки может быть не достигнув (мал™ аста
ческие деформации, большое пружинение). пласти-
Y— 130 мм
Рис. 12.20. Распределение напряжений vz по
сечениям поковки
Рис. 12.21. Распределение пластической дефор
мации по сечениям поковки
341
Градиент напряжений в вертикальном направлении практичес-
ки отсутствует. Поэтому эпюры контактных напряжений (рис. 12.22)
полностью описывают напряженное состояние в объеме поковки.
Массивные сечения (У= 130 мм), близкие к замковой части, име-
ют высокую температуру и низкий предел текучести, следователь-
но, и относительно низкий уровень контактных напряжений.
Рис. 12.22. Эпюры контактных напряжений по сечениям пера
лопатки: X — координата вдоль ширины лопатки; У — коорди-
ната вдоль пера лопатки
Для У = 130 мм эпюра контактных напряжений почти полно-
стью совпадает с изображенной на рис. 12.8 для случая калибров-
ки при Т = 1100 °C = const. Более того, за счет охлаждения по-
верхностных слоев и наведения в них растягивающих напряжений,
пропорциональных h - &T (h— коэффициент линейного расши-
рения), в массивной (средней) части сечения сжимающие напря-
жения оказываются несколько ниже.
По мере утонения сечения (У= 250, У= 360 мм) возрастает
относительная деформация, уменьшается температура, что обус-
ловливает более высокий уровень контактных напряжений, пре-
вышающих аналогичные значения для рассмотренных ранее изо-
термических условий. Понижение контактных напряжений в
сечении У = 432 мм, более тонком, чем сечение У = 360 мм, объяс-
няется концевым эффектом — расположением сечения у края
поковки.
342
12.3. Моделирование термоупругого нагружения
штамповых вставок
Штамповые вставки работают в условиях циклического тер-
момеханического нагружения. За время пребывания горячей по-
ковки в полости штампа контактные поверхности штамповых вста-
вок разогреваются; в них возникают сжимающие напряжения
термического происхождения. Они суммируются с механически-
ми нагрузками, действующими со стороны штампуемой поковки.
Перед началом работы штамповые вставки подогреваются до
температуры 250 °C. При температуре поковки 1100 °C тонкий слой
на поверхности штампа за очень короткое время разогревается до
550 °C; свободные объемные температурные изменения, вызван-
ные повышением температуры на ДТ = 300 °C , составляют вели-
чину порядка
Д<р = ЙДТ = 12 • 10~6 • 300 = 0,36 %.
Полагая, что этот тонкий слой деформируется в жестком кон-
туре (размеры штампа с температурой 250 °C много больше раз-
меров тонкого контактного слоя), можно дать приближенную оцен-
ку уровня возникающих термических напряжений в виде
сто = q/i Е\А(р “ 700 МПа •
3(1 - 2v)
Очевидно, что для анализа напряженно-деформированного
состояния штампа, влияющего на точность горячей калибровки,
необходимо учитывать не только контактные напряжения, обус-
ловленные давлением со стороны поковки, но и термические на-
пряжения.
12.3.1. Температурные поля в штамповых вставках
Температурные режимы работы верхней и нижней вставок не-
сколько различаются. Как показало хронометрирование процесса
штамповки, поковка 0,5 с находится в нижнем штампе, далее 0,2 с
длится рабочий ход винтового пресса и следующие 0,5 с поковка
находится в нижнем штампе. Таким образом, верхний штамп со-
прикасается с поковкой только во время рабочего хода (0,2 с); ниж-
ний штамп контактирует с поковкой до ее извлечения из ручья
1,2 с. Все остальное время штампы охлаждаются на воздухе.
Построение полей температур в штамповых вставках выполня-
ется аналогично тому, как это описано в разделе 12.2.2 для полей
343
температур в поковке. Для расчета использовались граничные усло-
вия 3-го рода с теми же коэффициентами теплоотдачи на воздухе, во
время рабочего хода для верхнего и нижнего штампов и во время
нахождения в нижнем штампе без нагрузки. В качестве температуры
окружающей среды задавалась Т„ = 50 °C для охлаждения на возду-
хе и Т„ = 250 °C — во время нахождения поковки в штампе.
Принимая ритм штамповки (время между одноименными опе-
рациями с двумя поковками) А/ = 30 с, примерно к десятому цик-
лу выходим на установившийся температурный режим. При этом
на поверхностях штамповой вставки, контактирующих со штам-
повым блоком, поддерживается практически постоянная темпе-
ратура 210—220 °C; температура поверхности ручья изменяется в
пределах 280—550 °C. Термический цикл работы штампов в уста-
новившемся процессе показан на рис. 12.23.
Рис. 12.23. Термические циклы работы верхнего и нижнего
штампов — изменение температуры рабочей поверхности
штамповой вставки при ритме штамповки Т„ = 50 °C
Распределение температур по гравюрам штампов, оформляю-
щих перо лопатки, близко к равномерному, за исключением кра-
ев штамповой полости — на стыке с неконтактными поверхнос-
тями. Градиенты температур имеются в углах полости,
соответствующей замковой части лопатки. Однако в данной рабо-
те ставилась цель обеспечить точность перовой части лопатки;
сетка конечных элементов в районе замковой части была доста-
точно грубой, поэтому результаты расчета температурных полей в
замковой части не приводятся.
344
На рис. 12.24 и 12.25 показаны поля температур в нескольких
поперечных сечениях верхнего и нижнего штампов, соответствую-
щих профилю пера лопатки, на момент конца рабочего хода пресса.
Рис. 12.24. Поля температур в поперечных сечениях
верхнего штампа в момент максимального разогрева
поверхности (в установившемся процессе)
Рис. 12.25. Поля температур в поперечных
сечениях нижнего штампа в конце рабочего хода
пресса
345
Поля температур рассчитаны для шести последовательных мо-
ментов времени процесса калибровки (0,2 с); им соответствуют при-
ращения свободных объемных температурных изменений
Д<р = АДТ, которые в качестве термической нагрузки, наряду с
механической, учитывались при решении контактной задачи о вза-
имодействии поковки и штампов (рассматривалась история на-
гружения за шесть этапов).
12.3.2. Влияние жесткости упругого основания штамповых вставок
Давление со стороны поковки на штамповую вставку настоль-
ко велико, что необходимо учитывать не только упругие деформа-
ции штамповой вставки, но и прогиб ее опорной поверхности.
Предварительные расчеты показывают, что при калибровке ана-
лизируемой поковки горизонтальные составляющие напряжений
невелики, поэтому невелико и влияние податливости вертикаль-
ных опорных поверхностей штамповой вставки. При изменении
граничных условий на вертикальных опорных поверхностях от
жесткой заделки до полного освобождения не удается заметить
существенных изменений деформированного состояния. И наобо-
рот, податливость горизонтальной опорной поверхности штампо-
вой вставки оказывает значительное влияние на распределение
вертикальных перемещений по гравюре штампа.
Податливость элемента конструкции определяется его пере-
мещением под действием приложенной силы. В расчетах исполь-
зовалась величина, обратная податливости — жесткость, нагруз-
ка, вызывающая перемещение в 1 мм. Поскольку расчеты
выполнялись методом конечных элементов и использовались изо-
параметрические квадратические элементы Серендипова семей-
ства, узловые усилия не могли быть приняты для характеристики
жесткости. Жесткость фактически задавалась в МПа/мм, что с
учетом площади каждого конечного элемента, образующего гори-
зонтальную опорную поверхность, легко может быть пересчитано
в общепринятые единицы жесткости или податливости.
Для оценки влияния жесткости упругого основания штампо-
вой вставки выполнена серия расчетов, включающая решение за-
дачи термоупругости верхнего штампа при варьировании жестко-
сти опоры в пределах значений 2-103 и 2-105 МПа/мм и при
абсолютно жесткой горизонтальной опорной поверхности.
В узловых точках поверхности ручья штампа задавались узловые
силы, полученные из решения задачи о горячей калибровке поковки
в жестком штампе под максимальной нагрузкой. Температурные поля
346
и свободные объемные изменения соответствовали моменту окон-
чания штамповки (см. рис. 12.24). Таким образом, механические и
температурные нагрузки завышены относительно реальных; одна-
ко такой расчет удобен для анализа зависимости деформированно-
го состояния от жесткости опоры при сохранении остальных усло-
вий нагружения одинаковыми. В компьютерном эксперименте
сохранить одинаковые условия нагружения не представляет слож-
ности (в физическом эксперименте это, разумеется, невозможно).
На рис. 12.26 в виде областей равных перемещений uz показа-
ны прогибы опорных поверхностей при задании жесткостей 2-103
и 2-105 МПа/мм.
и, мм
0.00
О. Й7
0.1*
0.37
О.**
0.71
О.7 в
0.85
0.72
1.0й
U , ММ
zf
о.апо
о.оаз
0.00?
Рис. 12.26. Области равных вертикальных перемещений uz при термо-
механическом нагружении штампов с различными жесткостями опоры
(2-Ю3 МПа/мм — слева, 2-Ю5 МПа/мм — справа)
t 7' - ’
> ГК
J - з
0.035
| о.о^з
I 0.050
Перемещения uz отсчитаны от контура опорной поверхности,
условно принятого неподвижным.
В отличие от эпюры контактных напряжений, имеющей мак-
симумы и минимумы по сечениям, эпюра прогибов контактной
поверхности имеет один максимум, совпадающий с положением
результирующей контактных сил. На этой же вертикали находится
347
максимум контактных перемещений по ручью штампа. Видно,
что положение этого максимума не совпадает с максимумами
контактных напряжений.
На рис. 12.27—12.29 показаны области равных перемещений и
в продольном (Х= 0) и поперечном (У=360мм) вертикальных
сечениях, линия пересечения которых примерно совпадает с по-
ложением максимального прогиба штампа. Для абсолютно жест-
кой опорной поверхности штамповой вставки и при жесткости
2-105 МПа/мм различия в прогибах несущественны. Уменьшение
жесткости до 2-103 МПа/мм (на 2 порядка) приводит к увеличе-
нию прогиба штамповой вставки.
В дальнейших расчетах при решении контактной задачи при-
нято значение жесткости 2-105 МПа/мм , что в общепринятых еди-
ницах соответствует жесткости К = 6 • Ю10Н/мм . Анализ распре-
деления перемещений по поперечным сечениям штамповой
вставки позволил сделать заключение, что при меньшей жесткос-
ти пресса со штамповым блоком осуществить калибровку поков-
ки очень сложно, поскольку разница в упругих деформациях штам-
па превышает требуемые деформации поковки.
и . мм
O.OG
о.зс
Рис 12 27 Распределение перемещений uz в продоль-
ном и поперечном сечениях штампа с жесткой опорной
поверхностью
348
U . мм
z9
О. DO
D.3O
Рис. 12.28. Распределение перемещений uz в продоль-
ном и поперечном сечениях штампа с жесткостью
опорной поверхности 2-Ю5 МПа/мм
Рис 12 29 Распределение перемещений uz в продоль-
ном и поперечном сечениях штампа с жесткостью
опорной поверхности 2 103 МПа/мм
349
Очевидно, что при больших упругих деформациях штампа
профиль ручья должен заметно отличаться от профиля поковки и
быть построен с учетом реальных деформаций поковки и инстру-
мента.
12.3.3. Анализ напряженно-деформированного состояния
штамповых вставок
Проектирование большинства технологических процессов го-
рячей обработки металлов давлением выполняется в предположе-
нии о жестком недеформируемом инструменте. При холодной
прокатке, холодной объемной штамповке необходимо учитывать
деформации валков и штампов. При проектировании процесса
калибровки в чистовом штампе с малыми обжатиями и при высо-
кой температуре необходим так же, как для процессов холодной
деформации, учет упругих деформаций штампов. Более того, уп-
ругие деформации штампов могут превосходить деформации по-
ковки. Здесь нет противоречия.
Поковка при калибровке деформируется в условиях, близких
к всестороннему равномерному сжатию, фактически в замкнутом
пространстве. Небольшое обжатие АА = 0,3 мм вызывает высокие
контактные напряжения. Как было показано в разделе 12.3.2, под
действием этих контактных напряжений перемещение точек по-
верхности штампа оказывается большим, чем заданное для по-
ковки АА = 0,3 мм (с обратным знаком). В первом приближении
при среднем контактном напряжении ок0НТ = 1000 МПа переме-
щения точек контактной поверхности штамповой вставки высо-
той Яо = 250 мм должны составить
АА = Яконгя = -1220 250 = 1 мм.
Е 2 105
Иными словами, одна и та же силовая нагрузка вызывает в
штампе большие перемещения, чем в поковке. Реальные кон-
тактные перемещения могут быть определены из условия равен-
ства сил и перемещений в поверхностных точках поковки и штампа.
На рис. 12.30—12.33 показаны распределения перемещений и
напряжений в штамповой вставке для сечения Y= 130 мм при
калибровке поковки с температурой Т = 1100 °C = const, соответ-
ствующие условиям равенства сил и перемещений в контактных
точках поковки и штампа, полученные в результате решения дву-
мерной контактной задачи.
350
Рис. 12.30. Распределение вертикальных напряжений оу в верхней
штамповой вставке
и, мм
z’
-0.98
-0.91
ММ9
Рис. 12.31. Распределение вертикальных перемещений uz в верхней
штамповой вставке
-О.37
"0.3 J
-О. £5
-0.19
"0.13
351
ах? МПа
-1539
*1420
-1222
Рис. 12.32. Распределение горизонтальных напряжений вх в верхней
штамповой вставке
и , мм
х’
-О. Об
Рис. 12.33. Распределение горизонтальных перемещений их в верхней
штамповой вставке
352
Эпюра контактных напряжений в штампе качественно соот-
ветствует эпюре контактных напряжений, рассмотренной в раз-
деле 12.1.2 для поковки с жестким нагружением ДА = const (см.
рис. 12.29). При высоте штамповой вставки Но = 250 мм напря-
жения на ее опорной поверхности распределены неравномерно
и воспринимаются штамповым блоком. Штамповая вставка про-
гибается подобно толстой пластине, закрепленной по контуру,
поэтому эпюра контактных перемещений не является отмасшта-
бированной эпюрой напряжений; характер распределения вер-
тикальных перемещений в основном обусловлен общим проги-
бом штампа (см. рис. 12.31).
При большом угле закрутки пера турбинной лопатки каж-
дое из сечений неизбежно по-разному ориентировано к внеш-
нему давлению. Рациональным расположением поковки в штам-
пе можно добиться равенства нулю равнодействующей
горизонтальных сил; в каждом отдельном поперечном сечении
горизонтальные силы не могут быть уравновешены (см. рис.
12.32). Это вызывает неравномерные упругие деформации штам-
па в горизонтальном направлении и соответствующие переме-
щения (см. рис. 12.33). Здесь следует иметь в виду лишь каче-
ственно, но не количественно верный характер перемещений
их, ибо показано решение двумерной задачи.
Чтобы дать количественную оценку влияния упругих дефор-
маций штампа на напряженно-деформированное состояние по-
ковки, необходимо сопоставить эпюры контактных напряжений,
полученные исходя из представления о жестком недеформируе-
мом штампе и в результате решения задачи о взаимодействии
поковки и штампа (контактной задачи); и в том и в другом случае
необходимо решить трехмерную задачу.
На рис. 12.34 показаны эпюры контактных напряжений для
одного из характерных сечений поковки (У= 360 мм), получен-
ные на стадии процесса АА = 0,05 мм при условии абсолютно
жесткого и упругодеформирующегося штампа. Эпюры 7 и 2 полу-
чены из решения контактной задачи и относятся к первой и пос-
ледней итерации.
Нетрудно было предвидеть, что учет упругих деформаций штам-
па в тонком сечении поковки (У= 360 мм) с высокими контакт-
ными напряжениями должен привести к снижению общего уров-
ня напряжений. Здесь важна лишь количественная оценка. Однако
изменилось не только значение напряжений, но и характер рас-
пределения напряжений по ширине сечения. В районе передней
353
5
кромки лопатки положение и величина максимума напряжений
практически не изменились. В центральной части сечения за счет
общего прогиба штампа напряжения резко снизились. Ориента-
ция поковки, общий прогиб штампа и неравномерное распреде-
ление напряжений привели в районе задней кромки к значитель-
ному снижению и смещению максимума напряжений в сторону
облойной канавки.
Рис. 12.34. Эпюры контактных напряжений для сечения У= 360 мм:
1 — жесткий штамп; 2 — упругодеформирующийся штамп
Рис. 12.35. Эпюра контактных напряжений для сечения У= 130 мм:
1 — жесткий штамп; 2 — упругодеформирующийся штамп
354
Поскольку калибровка поковки выполняется на винтовом прес-
се, общее усилие (объем под поверхностью, изображающей рас-
пределение контактных напряжений) не должно зависеть от спо-
соба расчета: с учетом или без учета упругих деформаций штампа.
Для различных сечений трехмерного тела поковки эпюры контакт-
ных напряжений, полученные с учетом упругих деформаций штам-
па и для жесткого штампа, будут различаться в разной степени.
Учет упругих деформаций штампа приводит к уменьшению об-
щего уровня напряжений в тонких сечениях (У= 360 мм) и к уве-
личению в массивных (рис. 12.35).
Большой угол закрутки пера лопатки, значительная разница в
толщине и форме поперечных сечений исключают возможность
получения количественных оценок контактных условий на кон-
такте из решения двумерных задач. Факторами, определяющими
точность поковки, являются общий прогиб штампа, ориентация
поковки в штампе, положение равнодействующей контактных сил.
Положение точки максимального прогиба штампа не совпадает с
положением максимума контактных напряжений, т.е. эпюры кон-
тактных напряжений — далеко не единственный фактор, опреде-
ляющий точность поковки. Для анализа формоизменения поков-
ки при калибровке необходимо полное решение трехмерной
контактной задачи.
13. РАВНОКАНАЛЬНОЕ УГЛОВОЕ
ПРЕССОВАНИЕ
Пластическая деформация является эффективным средством
формирования структуры и свойств металлов. Основные законо-
мерности формирования структуры в процессе пластической де-
формации определяются исходным структурным состоянием ма-
териала, температурно-скоростными условиями деформирования,
а также механикой процесса деформации. Влияние схемы напря-
женного состояния на процесс структурообразования проявляет-
ся в особенностях формирования дислокационных структур. Фак-
тором, оказывающим существенное влияние на эффективность
структурообразования, особенно для малопластичных и трудно-
деформируемых материалов, является величина гидростатическо-
го давления. Наложение гидростатического давления обеспечива-
ет высокую однородность распределения напряжений, деформаций
и структурного состояния, способствует созданию благоприятных
условий контактного трения, сохранению ресурса пластичности.
355
Показателем деформированного состояния, оказывающим наи-
более существенное влияние на уровень структурных изменений,
является интенсивность накопленных деформаций сдвига. Осо-
бенности структурообразования в области больших пластических
деформаций открывают значительные перспективы для создания
материалов с мелкодисперсной структурой, обеспечивающей по-
вышенный уровень прочности при достаточно высоком уровне
пластичности. Управление пространственным развитием процес-
са деформации является эффективным средством формирования
требуемых текстур и анизотропии свойств.
Определяющую роль в формировании структуры и свойств
материалов играет механика процесса деформации. Влияние про-
цесса деформации наиболее эффективно, если его механика обес-
печивает однородность напряженного и деформированного со-
стояний по всему объему изделия. Кроме того, процесс деформации
должен удовлетворять технологическим требованиям, обеспечи-
вать экономическую эффективность и быть ориентирован на су-
ществующее оборудование. Одним из процессов, где достигается
высокая равномерность деформации и реализуется механика про-
стого сдвига, является процесс равноканального углового прессо-
вания (РКУП). Результаты теоретического и экспериментального
исследования механики этого процесса впервые были изложены в
работе В.М. Сегала [87].
13.1. Аналитическое решение задачи расчета
напряженно-деформированного состояния при РКУП
В основу теоретических построений В.М. Сегала положены
представление деформируемого материала как жесткопластичес-
кого тела и задание кинематики процесса, обеспечивающей схему
простого сдвига. Экспериментальные исследования выполнены на
свинце — материале, как нельзя более соответствующем модели
жесткопластического тела. Очевидно, при проектировании тех-
нологического процесса и оснастки для РКУ-прессования реаль-
ного труднодеформируемого материала необходимо предваритель-
но оценить правомерность принятых схем и допущений.
Следуя В.М. Сегалу, рассмотрим пластическое течение в кри-
волинейном канале постоянного поперечного сечения. Контур
канала состоит из прямолинейных участков 1 и 3 и кругового
участка их сопряжения 2 (рис.13.1). Анализируя процесс с пози-
ций течения жесткопластического тела, примем, что поле линий
356
скольжения образовано кон-
центрическими дугами ок-
ружности (а-линии сколь-
жения) и радиальными
прямыми (р -линии скольже-
ния), сходящимися в точке 0.
Объемы металла, располо-
женные в участках 1 и 3, пе-
ремещаются с постоянной
скоростью v, а деформация
сосредоточена в области цен-
трированного веера 2. В по-
лярной системе координат г,
Ф, связанной с особой точ-
кой 0, для компонент скоро-
сти пластического течения
вдоль а- и 3-линий сколь-
жения имеем = v, иг = 0.
Этому полю скоростей
Рис. 13.1. Схема продольного
сдвига при прессовании в
круговом канале
соответствует интенсивность
скоростей деформаций сдвига Н=уг.
Деформированное состояние, определяемое заданным полем
скоростей, является простым сдвигом в направлении Ф, причем
оно однородно вдоль г = const. Поскольку линии тока совпадают
с а-линиями скольжения, то приращение времени при движе-
нии каждой частицы
dt =
Поэтому накопленная интенсивность деформаций сдвига
t 29 .. _
В каждом сечении Ф =const интенсивность деформаций явля-
ется постоянной и численно равной углу поворота частицы при
ее движении в круговой части канала. После выхода материала из
геометрического очага деформации в прямолинейный канал 3 его
деформированное состояние соответствует простому сдвигу вдоль
оси материала на величину угла сдвига tgy = 20, где 20 — полный
угол разворота круговой части канала.
357
Напряженное состояние в пластической области определяется
из следующих соображений. Вдоль границ пластической области
ОА и ОВ действуют максимальные касательные напряжения к. Со
стороны жесткой части 3 за счет реакции нижней стенки канала
должен возникать момент, уравновешивающий момент напряже-
ний на разрывной границе. Отсюда гидростатическое напряже-
ние на линии скольжения о0 = к.
Согласно теореме Генки [80], вдоль прямых линий скольже-
ния (/ = const) гидростатическое давление о0 = Л(1 + 20 — <р).
На входе в очаг деформации (вдоль ОА) о0 = £(! + 20), отсюда
минимальное рабочее давление = Л(1 + 20).
На рис. 13.2 представлены графики изменения максимальных
касательных напряжений и средних (гидростатических) напряже-
к
Рис. 13.2. Распределение макси-
мальных касательных и гидроста-
тических напряжений по длине
канала, показанного на рис. 13.1
ний по длине кругового кана-
ла, согласно представлениям о
простом сдвиге и жесткоплас-
тической среде. Область плас-
тических деформаций сосредо-
точена в геометрическом очаге
деформации 2,
Линии скольжения на рис.
13.1 и графики изменения мак-
симальных касательных и гид-
ростатических напряжений на
рис. 13.2 получены из допуще-
ний о жесткопластической сре-
де при заданном характере те-
чения металла в установившемся процессе деформации. Эти
допущения позволяют получить аналитическое решение квази-
стационарной задачи расчета напряженно-деформированного со-
стояния при прессовании в круговом канале.
Для заполнения заднего угла инструмента у г ювого канала
минимально необходимая величина гидростатического давления
на выходной границе очага деформации составляет
71 71
р = к+2к—=(1 + -)к.
I1 А*
Эта величина гидростатического напряжения определяет зна-
чение осевого противодавления р0 со стороны выходного канала:
Ро = Р(ЬИ ctg0) - Л(Ц + ctg0).
Здесь Ц — коэффициент трения.
358
При отсутствии трения на нижней стенке выходного канала
рй = Р~ fcctgO.
Гидростатическое давление на линии сдвига в случае отсут-
ствия трения на нижней стенке выходного канала р = р0 + Actg0 .
Значение осевого давления в нижней части рабочего канала:
<?! = р + £ctg<I».
13.2. Цели математического моделирования процесса РКУП
и план исследования
Процесс равноканального углового прессования (РКУП) из-
вестен 30 лет. Однако в силу его специфики технологических ре-
комендаций и норм конструкторского проектирования оснастки
пока не разработано. Теоретические исследования процесса вы-
полнены исходя из умозрительных представлений жесткопласти-
ческого тела путем построения полей линий скольжения. При этом
напряженное и деформированное состояния предполагаются од-
нородными, процесс течения — квазистационарным, для постро-
ения полей напряжений использовано разрывное решение.
Для подтверждения результатов теоретических расчетов и пра-
вомерности принятых допущений выполнены [87] эксперименты
на свинце со следующими механическими характеристиками:
предел текучести — 10 МПа,
модуль нормальной упругости — 17 000 МПа,
коэффициент Пуассона — 0,36.
Целью математического моделирования процесса РКУП, вы-
полненного в настоящей работе, является исследование схемы
деформирования и напряженно-деформированного состояния при
прессовании конкретного (труднодеформируемого) материала —
алюминиево-магниевого сплава, механические свойства которого
при температуре прессования характеризуются следующими кон-
стантами:
предел текучести — 140 МПа,
модуль нормальной упругости — 70 000 МПа,
коэффициент Пуассона — 0,3.
На этапе исследования, предполагающем получение некоторой
первичной информации о процессе, не ставится цель учета упрочне-
ния металла (деформация выполняется при температуре 350—400 °C)
и скоростного фактора. Процесс является настолько мало изучен-
ным, теоретические построения — настолько схематизированными,
359
что учет всего многообразия факторов лишь затруднит анализ ре-
зультатов исследования. Здесь следует лишний раз отметить пре-
имущества математического моделирования — возможность абстра-
гирования от малозначимых факторов и последовательное изучение
влияния каждого из факторов, далее — их совместного влияния.
Очевидно, наиболее значимым фактором являются реальные
механические свойства деформируемого металла, не согласующи-
еся с представлениями жесткопластической среды. Не менее зна-
чимый фактор — неоднородность напряженно-деформированно-
го состояния. Вероятно, представление о геометрическом очаге
деформации и его отождествление с физическим очагом дефор-
мации тоже являются очень вольными допущениями. Оценка этих
допущений и есть задача математического моделирования про-
цесса. Учет таких факторов, как зависимость механических свойств
материала от температурно-скоростного режима обработки, влия-
ние внешнего трения, не является задачей исследования на пер-
вом этапе. Разумеется, для численного решения задачи термоуп-
ругопластичности никаких проблем с учетом этих факторов не
существует. На данном этапе исследования важнее получить пред-
ставление о характере течения, согласующемся или не согласую-
щемся с желаемой схемой простого сдвига, оценить влияние та-
ких факторов, как угол поворота канала, радиус перехода, т. е.
тех, которые определяют возможность обоснованного проектиро-
вания оснастки.
Для решения поставленных задач принимаются следующие
допущения: модель материала — упруговязкопластическое тело;
модель деформирования — плоская деформация.
Выбор модели материала обусловлен наличием в объеме де-
формируемого тела очень небольшой области пластического де-
формирования и основной части, где имеют место только упругие
деформации. Выбор модели деформирования основан на предпо-
ложении о деформировании заготовки квадратного сечения с от-
сутствием перемещений в поперечном направлении.
Поскольку отправной точкой исследования являются теоре-
тические и экспериментальные результаты В.М. Сегала, реально
осуществившего процесс РКУП, но не сформулировавшего чет-
ких технологических рекомендаций, моделирование процесса
предполагается выполнить в соответствии со следующим пла-
ном. Сначала необходимо смоделировать и проанализировать ус-
тановившийся процесс течения металла в канале с углом
2Ф = 120° при тех же условиях, для которых Сегалом выполне-
ны расчет и экспериментальное исследование, а именно: трение
360
отсутствует, противодавление обеспечивает заполнение угла ка-
нала. Математическое моделирование должно показать, насколь-
ко однородна деформация в этих идеализированных условиях,
каковы закономерности полей напряжений.
Далее необходимо исследовать течение в радиальном канале.
Очевидно, равномерность поля скоростей течения в радиальном
канале выше, чем в угловом. В работе Сегала приводится схема
РКУП без противодавления. Такой вариант существенно упроща-
ет технологический процесс. Необходимо оценить влияние про-
тиводавления и рассмотреть возможные варианты его создания.
Реальный процесс прессования не является квазистационар-
ным, заготовка не может быть бесконечной. Необходимо проана-
лизировать начальную стадию прессования.
Наконец, необходимо оценить возможность прессования в пря-
моугольном канале, обеспечивающем максимально высокую сте-
пень деформации.
Весь этот цикл исследований, который целесообразно выпол-
нить средствами математического моделирования, должен предше-
ствовать проектированию технологического процесса и оснастки.
13.3. Анализ установившегося процесса течения металла
в канале с углом 120° при наличии противодавления
В работе В.М. Сегала приводятся результаты аналитического
решения и экспериментального подтверждения на примере прес-
сования заготовки в канале с углом поворота 2Ф= 120°. Нами
ставится задача сопоставления результатов численного решения
той же задачи с результатами Сегала. Величина противодавления
соответствует принятой в эксперименте Сегала и составляет
р0= 2к = 160 МПа, трение считается нулевым. Ширина канала, в
данном случае 16 мм, принципиального значения не имеет, по-
скольку контактное трение не учитывается. Как и в работе Сега-
ла, не рассматривается начальная стадия процесса — стадия за-
полнения канала; предполагается, что канал каким-то образом
удалось заполнить и обеспечить приложение противодавления.
Задача течения упруговязкопластического материала решается
методом конечных элементов с использованием изопараметри-
ческих квадратичных элементов треугольной и четырехугольной
формы. На рис. 13.3 показаны профиль канала и сетка конечных
элементов в исходном состоянии на момент начала прослежива-
ния процесса течения.
361
Граничные условия заданы в перемещениях по верхнему тор-
цу заготовки и в напряжениях по нижнему торцу.
В вертикальной части канала выделены три квадратных эле-
мента, которые в случае реализации схемы простого сдвига дол-
Рис. 13.3. Исходная сетка
конечных элементов
жны превратиться в параллело-
граммы. Угол наклона ячейки
параллелограмма Y определяет
интенсивность деформаций сдвига
Г = tgy = 2ctg<D = 2ctg6O° = 1,155.
Решение задачи методом ли-
ний скольжения, выполненное
В.М. Сегалом, основано на допу-
щении об однородности деформа-
ций вдоль линий скольжения.
Линии скольжения ориентирова-
ны вдоль и поперек канала. Это
значит, что два элемента, выделен-
ные в одном поперечном сечении
канала (см. рис. 13.3), должны од-
новременно пройти геометричес-
кий очаг деформации, одинаково
продеформироваться, и напря-
женное состояние, их характери-
зующее, должно быть одинаковым. На рис. 13.4—13.8 показаны
несколько последовательных стадий прессования с указанием хода
пуансона. Параметр Ah означает перемещение верхнего торца
заготовки.
Как следует из данных, представленных на рисунках, при на-
личии противодавления рй = 2к = 160 МПа в очаге деформации
реализуется схема простого сдвига в полном соответствии с ана-
литическими расчетами В.М. Сегала, полученными методом ли-
ний скольжения. При наличии противодавления названного по-
рядка канал целиком заполнен деформируемым металлом, и в
центральной части канала имеет место однородная деформация
простого сдвига. Разумеется, даже при наличии противодавления,
рассчитанного исходя из представления о жесткопластической
среде, деформация неоднородна: два квадратных элемента, выде-
ленные по обе стороны от центрального слоя, проходят очаг де-
формации не одновременно. Формирование структуры и свойств
материала в этих условиях определяется схемой деформации про-
стого сдвига.
362
Рис. 13.4. Сетка конечных элементов на
стадии A h = 4 мм
Рис. 13.5. Сетка конечных элементов на
стадии A h = 6 мм
363
Рис 13.6 Сетка конечных элементов на
стадии A h = 7 мм
Рис 13 7. Сетка конечных элементов на стадии
Л h = 9,5 мм
364
Рис 13 8 Сетка конечных элементов на стадии
A h = 11,5 мм
На рис. 13.9 показано распределение по сечению накоплен-
ной интенсивности деформаций и максимальных сдвиговых де-
формаций. Нетрудно убедиться, что максимальные сдвиговые де-
формации достигают 120 %, интенсивность деформаций — 67 %,
что хорошо согласуется с полученной Сегалом оценкой интен-
Г
сивности деформаций сдвига Г = 1,155(е( = -= = 69 %).
Рис. 13 9. Накопленная интенсивность деформаций и максимальные
сдвиговые деформации на стадии Дй = 11,5 мм
365
Небольшие различия численного решения задачи упруговяз-
копластического течения и решения методом линий скольжения
связаны с неоднородностью деформации, а именно: вдоль наруж-
ного контура канала на некотором протяжении после его поворо-
та интенсивность деформаций ниже за счет реакции стенки, по-
этому деформированное состояние несколько отличается от
простого сдвига. И наоборот, в районе внутренней стенки канала
после его поворота максимальные сдвиговые деформации несколь-
ко выше указанных Сегалом.
Если оценки характеристик деформированного состояния,
полученные по методу линий скольжения и с позиций теории
упруговязкопластического течения, практически не различаются,
при описании напряженного состояния такого совпадения нет.
На рис. 13.10 представлены распределения двух инвариантных
характеристик напряженного состояния: среднего напряжения и
интенсивности напряжений. По оценкам Сегала, гидростатичес-
кое напряжение в очаге деформации составляет о0 = р0 + &ctg Ф =
= 207 МПа. В районе выходного сечения, где приложено напря-
жение противодавления р0= 160 МПа, гидростатические напря-
жения имеют тот же порядок. Однако далее они изменяются по
всей длине канала.
СГ0, МПа
Рис. 13.10. Гидростатические напряжения и интенсивность напряже-
-55?
Я
МПа
ний на стадии Ай = 11,5 мм
Распределение напряжений под пресс-штемпелем (рис. 13.11)
неравномерно; общее усилие пресса составляет 10,8 тс, усред-
ненное значение напряжения равно 421 МПа, что значительно
больше величины, найденной по методу линий скольжения
366
(pt = p0 + 2kctg<P = 253 МПа). Этому напряжению соответствует
общее усилие пресса = 6,5 тс.
»•
t
Рис. 13.11. Распределение напряжений под пуансоном на стадии
АЛ = 11,5 мм
Как показывает распределение интенсивности напряжений
(см. рис. 13.10), физический очаг деформации охватывает доста-
точно протяженную область. При решении задачи по методу ли-
ний скольжения предполагается, что область пластических де-
формаций — это линия, соединяющая углы канала при его
повороте. Оценка напряженного состояния дается исходя из раз-
рывного решения. Иными словами, влияние внешних зон учи-
тывается весьма условно.
На рис. 13.12 представлены графики изменения гидростати-
ческого и максимального касательного напряжений вдоль сере-
динной линии канала, где приграничные эффекты минимальны и
где деформированное состояние строго соответствует схеме про-
стого сдвига. Точками В и С отмечены границы геометрического
очага деформации (на рисунке область геометрического очага де-
формации затемнена). Согласно представлениям жесткопласти-
ческой среды, в пределах участка В—С максимальные касательные
напряжения составляют ттах=к=81 МПа, за пределами очага
деформации никаких сдвигов не происходит. Гидростатические
напряжения в рамках этого допущения на участке В—С должны
измениться от 160 до 207 МПа.
Модель упруговязкопластической среды дает в геометрическом
очаге деформации ту же величину максимального касательного на-
пряжения ттах = к = 81 МПа, но без скачкообразного изменения до
нуля на границе геометрического очага деформации. Это значит,
что область пластической деформации (где выполняется условие
367
пластичности) вдоль линии ABCD ограничена точками В и С. Одна-
ко сдвиги происходят и за пределами области пластических дефор-
маций, т.е. в упругой области, что является признаком неоднород-
ного напряженного состояния. Характер изменения гидростатического
напряжения имеет мало общего с представлениями жесткопласти-
ческой среды. Резкое увеличение гидростатического давления про-
исходит перед входом металла в геометрический очаг деформации.
Рис. 13.12. Распределение максимальных касательных и
гидростатических напряжений вдоль серединной линии
канала ABCD
368
Распределение гидростатических и нормальных контактных
напряжений еще более не соответствует поведению жесткоплас-
тической среды. Вдоль вертикальной стенки канала LM законо-
мерность изменения гидростатических напряжений такая же, как
вдоль серединной линии, т.е. имеется максимум напряжений тте-
ред входом в геометрический очаг деформации. После поворота
канала на 120° имеется область резкого падения давления. Давле-
ние на стенку канала определяется величиной внешней нагрузки
(противодавления р0). При уменьшении величины противодавле-
ния в этой области могут происходить отрыв металла от стенки
канала, незаполнение канала (рис.13.13).
Рис. 13.13. Распределение нормальных контактных и гидростатических
напряжений вдоль верхнего контура канала KLM
Область геометрического очага деформации вдоль верхней
стенки канала вырождается в линию (на рисунке отмечена уз-
кой полоской вокруг точки L). Очевидно, модель жесткоплас-
тического тела (как и вязкой жидкости) не позволяет обнару-
жить эффект повышения давления перед точкой L, связанный
с упругим изменением объема и обусловленный необходимос-
тью деформирования металла в наклонной части канала, явля-
ющейся внешней зоной по отношению к объему металла, на-
груженному внешними силами Рг
369
Распределение нормальных контактных и гидростатических
напряжений вдоль нижней стенки канала EFGH (рис. 13.14) прин-
ципиально отличается от их распределения по верхнему контуру.
Вдоль вертикальной стенки GH напряжения резко уменьшаются
в сторону точки входа в геометрический очаг деформации G, т.е.
имеет место эффект, аналогичный повышению давления в точке
L. Разница лишь в том, что приконтактный слой в данном случае
входит в очаг деформации не столько под действием внешней
нагрузки, приложенной к этому слою, сколько под влиянием пе-
ремещения соседнего слоя, который разворачивается в очаге де-
формации по меньшему радиусу и на который тоже действует
внешняя нагрузка (согласно рис. 13.9, возрастающая в сторону
внутренней стенки канала).
Рис. 13.14. Распределение нормальных контактных и гидростатических
напряжений вдоль нижнего контура канала EFGH
В геометрическом очаге деформации напряжения интенсив-
но нарастают, достигая максимума в точке F. Это точка выхода
из геометрического очага деформации, где происходит измене-
ние траектории движения контактной точки (переход с окруж-
ности на прямую). В механике это — концентратор напряже-
ний. Здесь контактные напряжения по нижней стенке канала
должны уравновесить внешнюю нагрузку.
370
Распределения напряжений вдоль наклонной части канала
после выхода из геометрического очага деформаций практически
одинаковы по поперечным сечениям.
Анализ напряженно-деформированного состояния, выполнен-
ный на модели упруговязкопластического тела, обнаруживает зна-
чительное влияние эффектов на контактных поверхностях. Усло-
вия простого сдвига достаточно близко соблюдаются в осевой части
канала. Здесь оценки с позиций метода линий скольжения в зна-
чительной степени согласуются с оценками, полученными для уп-
ругопластического тела. В большей степени это относится к дефор-
мированному состоянию, в меньшей — к напряженному состоянию.
13.4. Исследование течения в радиальном канале с углом 135°
Рассмотренный выше пример относится к угловому каналу,
контур которого состоит из прямолинейных участков. По наруж-
ному контуру был принят небольшой радиус, скорее с целью удоб-
ства проведения расчетов, чем с целью изучения течения в локаль-
ной области. Предварительное заполнение канала деформируемым
металлом и приложение противодавления позволили создать усло-
вия деформации, близкие к простому сдвигу. Таким образом, при
наличии оборудования, позволяющего осуществить необходимые
операции, процесс РКУП исследуемого алюминиево-магниевого
сплава обеспечивает требуемую схему деформирования.
Далее рассмотрим процесс прессования в радиальном канале,
внутренний контур которого состоит из двух прямолинейных уча-
стков, а наружный — из прямолинейных участков, сопряженных
радиусом, равным ширине канала (R = 16 мм). В этом случае прес-
сование в полном смысле можно считать равноканальным: попе-
речное сечение канала сохраняется постоянным по всей длине, в
том числе на стыке пересекающихся прямолинейных участков. Здесь
следует ожидать большей однородности деформации, простоты тех-
нического осуществления операции первоначального заполнения
канала и, может быть, меньшего влияния противодавления. Поэто-
му далее анализируются варианты установившегося процесса прес-
сования без противодавления, прессования с противодавлением и
неустановившегося процесса входа заготовки в канал.
13.4.1. Установившийся процесс при отсутствии противодавления
Предполагается, что металл заполнил канал и с этого момента
начинается анализ процесса. Прослеживание процесса во времени
371
Рис. 13.15. Сетка конечных
элементов для решения задачи о
прессовании в круговом канале
позволяет выйти на установившееся состояние, которое будет
определять характер деформирования.
Сетка конечных элементов
для численного решения этой
задачи показана на рис. 13.15.
Здесь угол 20= 45°. Согласно
решению В.М. Сегала, гидро-
статическое напряжение на ли-
нии скольжения ОВ о0 = к = 81
МПа (см. рис. 13.1) на входе в
очаг деформации (вдоль ОА)
о0= &(1+20) = 144,6 МПа.
Поскольку на первом этапе
исследования ставится задача
оценки правомерности допуще-
ний, принятых в аналитическом
решении, при численном реше-
нии сохраняем условие отсут-
ствия трения на контактных
поверхностях и представление
об установившемся характере
процесса. На этом этапе иссле-
дования не рассматривается
процесс входа заготовки в очаг деформации. Заготовка в исход-
ном состоянии заполнила все три части канала, торцы заготовки
перпендикулярны оси канала. С этого состояния начинается про-
слеживание процесса во времени.
Чтобы выполнить допущение о перпендикулярности торца
заготовки стенкам канала в ходе процесса прессования, нижнему
ряду конечных элементов (4 элемента) приписываем механичес-
кие свойства (модуль упругости и предел текучести) на четыре
порядка выше реальных. Иными словами, нижний ряд элементов
практически не деформируется. Это условие является необходи-
мым для создания схемы простого сдвига в геометрическом очаге
деформации.
На первой стадии исследования необходимо убедиться, на-
сколько реализуема изображенная схема деформирования при
выполнении всех заданных условий. Как показывает анализ ре-
зультатов численного решения, даже в случае создания условий
заполнения канала поддержание этого состояния в установив-
шемся процессе при заданной схеме нагружения невозможно.
372
На рис. 13.16 показана продеформированная сетка конечных
элементов, полученная после перемещения верхнего торца заго-
товки на 8 мм. При этом металл, находившийся в геометрическом
очаге деформации, переместился в прямолинейную часть канала
3 (см. рис. 13.1), и его место занял металл, ранее находившийся в
вертикальной части 1. С этого момента начинается установив-
шийся процесс прессования, соответствующий квазистационар-
ному состоянию, для которого получено аналитическое решение.
Рис. 13.16. Сетка конечных элементов в
установившемся процессе
В процессе углового прессования деформируемый металл оги-
бает угол канала (точка 0) и на всем протяжении наклонной части
канала 3 не касается его внутренней стенки. Касание на выходе из
канала носит условный характер, связанный с заданием нижним
четвертым конечным элементам механических свойств, соответству-
ющих абсолютно жесткому телу и обеспечивающих отсутствие де-
формаций и сохранение перпендикулярности торца заготовки к оси
канала. Иными словами, пройдя радиальную часть канала, дефор-
мируемый металл не заполняет прямолинейную часть канала 3.
Ситуация хорошо известна специалистам по обработке давлением:
металл не заполняет полость штампа или калибр при прокатке.
373
Рис. 13.17. Компоненты деформаций для состояния, представленного
на рис.13.14
Рис. 13.18. Сдвиговая деформация и интенсивность деформации
374
Рис. 13.16 наглядно демонстрирует неравномерность дефор-
маций и гораздо более сложный характер формоизменения, отли-
чающийся от показанного на рис. 13.1.
На рис. 13.17 показано распределение двух компонент дефор-
мации на момент начала установившегося процесса. Распределе-
ние носит неравномерный характер. Максимум деформаций нахо-
дится на вертикальной линии, являющейся продолжением левой
вертикальной стенки участка канала 7. Это легко объяснимо: ме-
талл имеет возможность вытекать в наклонную часть канала 3 по
кратчайшему пути.
На рис. 13.18 представлены распределение сдвиговой деформа-
ции и интенсивности накопленных деформаций. На рис. 13.19 по-
казаны распределения максимальных сдвиговых деформаций и мак-
симальных касательных напряжений — характеристик, которые
использует В.М. Сегал для описания схемы простого сдвига. Анали-
тическое решение Сегала дает величину интенсивности деформаций
тс
сдвига Г = 20 = — = 0,785. Эта интенсивность деформаций сдвига,
согласно численному решению (Ymax^ 79% на рис. 13.19), достига-
ется лишь в центральной части канала. То же видно на рис. 13.18:
максимум интенсивности деформаций е, = = 45,4 %.
Рис 13 19. Максимальные сдвиговые деформации и максимальные
касательные напряжения
375
Рис. 13.20. Интенсивность напря-
жений в установившемся процессе
Нетрудно заметить, что
вдоль радиальной стенки ка-
нала величина деформаций и
напряжений значительно
ниже, чем в районе внутрен-
него угла канала. Тот же факт
подтверждает распределение
интенсивности напряжений
(рис. 13.20).
Различие результатов ана-
литического и численного ре-
шений одной и той же задачи
объясняется не математичес-
кой точностью расчетов, а при-
нятыми в решении В.М. Сега-
ла допущениями о кинематике
процесса и моделью деформи-
руемого тела. Решение мето-
дом линий скольжения пред-
полагает неограниченность
пластического течения и несжимаемость материала в геометри-
ческом очаге деформации, где имеют место пластические дефор-
мации. В геометрическом очаге деформации действуют максималь-
ные касательные напряжения, в прямолинейных участках канала —
гидростатические напряжения.
Модель упруговязкопластического тела предполагает наличие
упругой составляющей деформации, неравномерные объемные
деформации, отсутствие разрывов напряжений и, следовательно,
позволяет в ходе решения задачи найти физический очаг дефор-
мации вместо заданного в аналитическом решении геометричес-
кого очага деформации и поля скоростей. На рис. 13.21 сопостав-
лены результаты расчета максимальных касательных напряжений
и гидростатических напряжений с принятыми их значениями в
аналитическом решении. Это сопоставление приведено для ли-
нии вдоль оси канала, где допущение о простом сдвиге в геомет-
рическом очаге деформации подтверждается результатами числен-
ного решения задачи.
Физический очаг деформации (ттах = к) имеет гораздо боль-
шую протяженность, чем геометрический, принятый в аналити-
ческом решении. Объяснение этому дает кривая гидростатичес-
ких напряжений, имеющая два максимума. Один максимум
376
Рис. 13.21. Распределение гидростатических и максимальных
касательных напряжений вдоль серединной линии канала АВ по
результатам численного решения (знаком * отмечены зависимос-
ти, согласно рис. 13.2)
377
1
находится в точке пересечения осевой линии АВ и продолжения
прямой GH—левой границы канала. Металл сжат в вертикаль-
ном направлении пуансоном и нижней стенкой канала; в гори-
зонтальном направлении — внутренними напряжениями вытес-
няемого из радиальной области металла. Очевидно, в случае
несжимаемого материала (например, жидкости) этого максиму-
ма быть не может. Второй максимум находится на пересечении
осевой линии АВ и прямой GE при входе в геометрический очаг
деформации. Деформируемый металл фактически входит в су-
жающийся канал. Таким образом, распределение максимальных
касательных и гидростатических напряжений вдоль осевой ли-
нии тока АВ заметно отличается от принятого в предположении
течения жесткопластического материала.
Для оценки допущения об однородности деформаций и на-
пряжений вдоль г = const на рис. 13.22 показаны распределения
нормальных контактных напряжений о„ и гидростатических на-
пряжений о0 вдоль наружного контура канала CDEF. Кривые
имеют максимум в точке D — точке выхода из радиальной части
канала и минимум в точке Е — при входе в геометрический очаг
деформации. Максимум в точке D является следствием действия
внешних сил, минимум в точке Е — следствием вытекания ме-
талла в наклонную часть канала 3 (см. рис. 13.1), вызывающего
отход металла от наружной стенки канала. Очевидно, такой от-
ход от наружной стенки возможен даже в случае вытекания жид-
кости. Гидростатические напряжения в прямолинейной части
канала 3 при принятой модели упруговязкопластического тела
не могут быть равны нулю, поскольку материал при деформации
получил упругое уменьшение объема. Упругая разгрузка ограни-
чивается стенками канала; происходит постепенное снижение
уровня контактных напряжений и гидростатического давления в
сторону свободной поверхности.
Характер изменения гидростатических и контактных нор-
мальных напряжений по высоте вдоль левой стенки канала GH
(рис. 13.23) отличается от одноименных зависимостей для пра-
вой стенки EF, показанных на рис. 13.22. По мере удаления от
рабочей поверхности пуансона напряжения увеличиваются, до-
стигая максимума при приближении к угловой точке G. Ниже
угловой точки происходит отрыв металла от стенки канала.
378
Рис. 13.22. Распределение гидростатических и контактных
нормальных напряжений вдоль наружного контура канала
CDEF по результатам численного решения (знаком * отмечена
зависимость, согласно рис. 13.2)
Рис. 13.23. Распределение гидростатических и контактных нормальных
напряжений вдоль наружного контура канала GH по результатам числен-
ного решения (знаком * отмечена зависимость, согласно рис. 13.2)
379
Соотношение между компонентами нормальных напряжений под
пуансоном подчиняется соотношениям теории упругости. В случае
плоской деформации (ег = 0) и однородной деформации в направ-
лении х компоненты напряжений связаны соотношением
V
°х ~ Gz j— Gу. Нормальные контактные напряжения в области упру-
гих деформаций ниже гидростатических напряжений. В области уг-
ловой точки имеет место концентрация напряжений и соотношение
между компонентами меняется. Модель жесткопластического тела
этих тонкостей не учитывает и в принципе не может быть распро-
странена на область упругого деформирования. Тем не менее, в ана-
литическом решении В.М. Сегала минимальное напряжение прес-
сования считается равным гидростатическому напряжению.
Распределение напряжений под пуансоном показано на рис. 13.24.
Причина неравномерности распределения напряжений фактически
объяснена ранее. Напряжения у левого края существенно выше, по-
скольку необходимо продеформировать не только металл вдоль ли-
нии действия силы, но и объем металла в наклонной части канала 3,
являющийся по принятой в обработке давлением терминологии внеш-
ней зоной по отношению к геометрическому очагу деформации.
Напряжения у левого края, напротив, значительно меньше, так как
в районе точки Е происходит отрыв металла от стенки (здесь металл
деформируется не за счет внешних сил, а за счет соседних объемов).
Рис. 13.24. Распределение напряжений под пуансоном по результатам
численного решения (пунктирная прямая — аналитическое решение)
380
Аналитическое решение Сегала дает минимальное напряже-
ние прессования (при отсутствии противодавления)
CTmin = °о - ^0 + 26) = 144,6 МПа. Усредненное давление прессо-
вания по результатам численного решения (исходя из площади
под кривой на рис. 13.24) составляет 90,7 МПа.
Напряжение прессования или общее усилие прессования —
это интегральная характеристика процесса. Различие результатов
численного и аналитического решений в отношении этой харак-
теристики имеет только одно объяснение — незаполнение канала
металлом при расчете по модели упруговязкопластического тела.
По этой же причине значение интенсивности деформаций сдвига
Г = 20 = = 0,785, рассчитанное по методике В.М. Сегала, дос-
Л
тигается лишь в сравнительно небольшой области. В остальной
части очага деформации интенсивность деформаций меньше и,
следовательно, меньше необходимое усилие прессования.
Первый этап исследования показал, что при отсутствии проти-
водавления процесс, схематически изображенный и проанализи-
рованный с позиций теории линий скольжения, имеет мало обще-
го с реальным процессом деформирования алюминиево-магниевого
сплава, обладающего упругими и пластическими свойствами.
13.4.2. Влияние противодавления
Выполненный анализ установившегося процесса РКУП про-
демонстрировал незаполнение канала даже при условии обеспе-
чения поступательного движения торцевого сечения заготовки,
которое может быть достигнуто за счет бесконечной длины заго-
товки. Для заполнения канала необходимо приложить давление к
выходящему торцу заготовки. Анализ влияния противодавления
выполнен на той же сетке конечных элементов с прослеживанием
процесса теми же шагами до установившегося состояния при ус-
ловии отсутствия контактного трения. Сетка конечных элементов
и условия нагружения показаны на рис. 13.25. Сетка конечных
элементов целиком повторяет сетку, показанную на рис. 13.15.
Процесс прослеживался теми же шагами по перемещениям пуан-
сона; по нижнему торцу заготовки задавались граничные условия
в напряжениях (величина противодавления), при этом крайнему
слою конечных элементов приписывались высокие жесткостные
свойства (сечение не искривлялось).
381
Рис. 13.25. Схема прессования с
противодавлением (начальное
состояние)
Исследование влияния проти-
водавления предусматривало ре-
шение двух задач с варьировани-
ем величины противодавления на
уровняхр0= ПО и 170 МПа. Вы-
бор этих величин продиктован ре-
шением задачи о прессовании в
угловой канал методом линий
скольжения. Согласно этому ре-
шению, для заполнения угла ка-
нала при отсутствии радиуса пе-
рехода требуется противодавление
р0= ф,57 - ctgl35°/2) = 175 МПа.
Очевидно, при прессовании в ра-
диальный канал с радиусом пере-
хода R = 16 мм эта величина пред-
ставляется несколько завышенной.
Поэтому выполнен дополнитель-
ный расчет при меньшей величи-
не противодавления р0= 110 МПа.
В том и другом случае происходит заполнение канала по всей дли-
не. Величину противодавления р0 = 110 МПа можно считать мини-
мальной, поскольку расчет при меньшей величине (ра = 100 МПа)
показал небольшой протяженности отрыв металла от стенки канала.
На рис. 13.26 показана сетка конечных элементов на этапе
перемещения пуансона от исходного положения (см. рис. 13.25)
A h = 11 мм, соответствующая установившемуся процессу прес-
сования при величине противодавления рй = 170 МПа. Уменьше-
ние величины противодавления дор0 = 110 МПа не вносит сколь-
ко-нибудь заметных изменений в картину формоизменения.
Различия в полях максимальных сдвиговых деформаций и на-
копленной интенсивности деформаций при варьировании величи-
ны противодавления в названных пределах несущественны (рис. 13.27,
13.28). Независимо от величины противодавления заметна неодно-
родность деформации: сдвиговые деформации максимальны у внут-
ренней стенки канала и резко уменьшаются в районе радиальной
стенки. Как было отмечено ранее, представленные результаты отно-
сятся к случаю отсутствия трения на контактных поверхностях. Это
значит, что неоднородность деформации является неизбежным след-
ствием геометрии канала. Можно добиться лишь большей или мень-
шей неоднородности деформации, но не деформации в точном соот-
ветствии с изображенной схемой линий скольжения (см. рис. 13.1).
382
Рис. 13.26. Сетка конечных элементов на
стадии установившегося процесса
Рис. 13.27. Накопленная интенсивность деформаций и максимальные
сдвиговые деформации в установившемся процессе при р0= ПО МПа
383
Рис 13 28 Накопленная интенсивность деформаций и максимальные
сдвиговые деформации в установившемся процессе при р0= 170 МПа
В аналитических расчетах В.М. Сегала в качестве исходного
положения принято: в каждом сечении Ф = const интенсивность
деформаций является постоянной и численно равной углу пово-
рота частицы при ее движении в круговой части канала. Числен-
ное решение свидетельствует о высокой неоднородности дефор-
мации в каждом сечении Ф = const, тем большей, чем меньше
противодавление. На выходе из геометрического очага деформа-
ции при ф = 20 при отсутствии противодавления максимальные
деформации сдвига ymdx вдоль радиуса от внутренней стенки кана-
ла к наружной изменяются от 79 до 12 %. При давлении р0= ПО
МПа максимальные деформации сдвига составляют соответственно
93 и 20 %, при давлении р0 = 170 МПа — 97 и 30 %. Эта неравно-
мерность распределения деформаций по сечению заготовки соот-
ветствует установившемуся процессу, т.е. сохраняется в готовом
изделии (за исключением переднего конца заготовки, о котором
речь пойдет далее). Таким образом, независимо от величины про-
тиводавления, неравномерность распределения деформаций по
ширине заготовки очень высока. Для получения заготовки с рав-
номерным распределением свойств по сечению необходимо вы-
полнить несколько пропусков с кантовкой после каждого из них.
Распределения интенсивностей напряжений в установившемся
процессе прессования (рис. 13.29) показывают, что физический очаг
384
деформации (область, где выполняется условие пластичности)
выходит за пределы геометрического очага. В прямолинейных
участках канала распределение напряжений неравномерно. Рас-
пределение гидростатических напряжений, приводящее к упруго-
му изменению объема, неравномерно в области как пластических,
так и упругих деформаций (рис 13.30)
Рис. 13.29. Интенсивность напряжений в установившемся процессе
(3Q, МПа
Рис. 13.30. Распределение гидростатичес-
ких напряжений прир0= 170 МПа
385
На рис. 13.31 и 13.32 представлены графики изменения гидро-
статических и нормальных контактных напряжений вдоль правой
(внутренней) и левой (наружной) стенок канала, изображенного
на рис. 13.26. На графиках затемнены области пластических де-
формаций. Зависимости относятся к варианту р0 = 170 МПа.
Рис. 13.31. Распределение гидростатических о0 и нормальных контакт-
ных о„ напряжений вдоль внутреннего контура канала (точки А, В, С,
D, Е соответствуют указанным на рис. 13.26)
о
15 20
25 30 35 40
45 ММ
Рис. 13.32. Распределение гидростатических и нормальных
контактных напряжений вдоль внешнего контура канала
(точки F, G, Н, К соответствуют указанным на рис. 13.26)
386
На внутренней стенке канала на участке CD (см. рис. 13.31)
отмечается двукратное изменение гидростатических и нормальных
контактных напряжений. В отличие от жидкости или жесткоплас-
тической среды реальный металл не передает давление одинаково
по всем направлениям. Перед участком поворота канала (точка D)
создается область высокого давления, что обеспечивает течение
металла как в направлении действия внешних сил, так и частично
в сторону поворота канала. При меньшем давлении перед участком
поворота при отсутствии противодавления (см. рис. 13.23) металл
не заполняет канал, отрывается от его внутренней стенки.
Вдоль наружной стенки канала (см. рис. 13.32) закономерность
изменения давления носит противоположный характер. На выхо-
де из вертикальной части канала давление минимально. На ради-
альном участке давление возрастает, поскольку именно этот учас-
ток воспринимает внешние силы. Аналогичные закономерности
наблюдались в угловом канале (см. рис. 13.13, 13.14). Объяснить
эти закономерности, основываясь на модели жесткопластической
среды, невозможно; с позиций механики упругопластического тела
распределение гидростатических и нормальных контактных на-
пряжений по длине канала закономерно.
А>=1 70 МПа
МПа'*'*''
я I'—— «
Р<, = 0
° 2 4 6 8 10 12 14 мм
Рис. 13.33. Распределение напряжений под пуансоном
387
На рис. 13.33 показаны графики распределения напряжений
под пуансоном при разных величинах противодавления. Во всех
случаях напряжения уменьшаются в направлении от внутреннего
контура канала к наружному.
13,4,3. Анализ течения при входе в радиальный канал
Рис. 13.34. Контуры канала и
исходная сетка конечных
элементов
Анализ установившегося процесса течения позволяет сделать
заключение о принципиальной возможности его осуществления в
заданных условиях. В сечении канала, за исключением областей
контакта со стенками, деформация близка к простому сдвигу, что
соответствует основной задаче процесса. На контактных поверхно-
стях напряженно-деформированное состояние носит более слож-
ный характер, что необходимо учитывать при проектировании тех-
нологического процесса. Далее возникают чисто технические
проблемы, связанные с оборудованием, оснасткой, разработкой ра-
циональной технологии. Одной из
таких проблем является осуществле-
ние начальной стадии прессования.
В ранее выполненных расчетах
предполагалось, что металл находит-
ся во всех частях канала, и с этого
момента начиналось прослеживание
процесса течения до достижения ус-
тановившегося состояния. Если
речь идет о исследовании не лабо-
раторного процесса, а промышлен-
ной технологии, то вопрос о пер-
воначальном заполнении канала
деформируемым металлом, обходи-
мый молчанием при теоретическом
анализе по методу линий скольже-
ния, должен быть решен на пред-
проектной стадии. Поэтому далее
рассматривается неизбежная на-
чальная стадия процесса — вход ис-
ходной заготовки в тот же радиаль-
ный канал.
Очертания канала и заготовка, ап-
проксимированная сеткой конечных
элементов, до начала прессования
показаны на рис. 13.34. Заготовка
388
высотой 40 мм находится в вертикальной части канала и далее
продавливается (трение со стенками считаем отсутствующим).
На рис. 13.35—13.38 показаны последовательные стадии прес-
сования с указанием хода пуансона от положения, изображенного
на рис. 13.34.
Рис. 13.35. Деформи-
рованная сетка
конечных элементов
(ход 8 мм)
Рис. 13.36. Деформиро-
ванная сетка конечных
элементов (ход 12 мм)
Рис. 13.37. Деформи-
рованная сетка
конечных элементов
(ход 15,5 мм)
Рис. 13.38. Деформи-
рованная сетка конеч-
ных элементов (ход
19,5 мм)
389
На рис. 13.39 представлены области равных уровней накоп-
ленной интенсивности деформаций и интенсивности напряже-
ний. Область интенсивного деформирования не сосредоточена в
секторе поворота с углом 45°, а распространяется вдоль линии
действия внешних сил.
о
1О
Рис. 13.39. Области равных уровней накопленной интенсивности
деформаций и интенсивности напряжений (ход 19,5 мм)
Рис. 13.40. Распределение напряжений под пуансоном (ход 15,5 мм)
390
На рис. 13.40 показано распределение давлений под пуансо-
ном, отнюдь не равномерное. Хорошо видна область пластичес-
кого деформирования.
Заметим, что теория В.М. Сегала оперирует только с постоян-
ными по сечению характеристиками напряженно-деформирован-
ного состояния. Согласно этой теории, рабочее давление при угле
поворота 135°, при отсутствии противодавления и при реализации
схемы простого сдвига составляет
Р= 2£Fctgl35°/2 = 2’811616 0,41 = 1,7 тс.
Здесь к — предел текучести при сдвиге.
Приведенные расчеты дали общее усилие пресса 1,86 тс (что хо-
рошо согласуется с результатом Сегала, с учетом заданной точности
численного решения 20 %), однако распределение напряжений, как
показано на графике (рис. 13.40), охватывает диапазон 45 4-140 МПа.
Заметим, что общее усилие — это интегральная характеристика про-
цесса, т.е. наименее чувствительная к принятым допущениям.
Как и в рассмотренном ранее установившемся процессе, со
стороны внутреннего контура канала напряжения под пуансоном
максимальны и уменьшаются в сторону наружного контура. По-
скольку нет противодавления, нет контакта металла с внутренней
стенкой канала.
13.4.4. Оформление торцевого сечения при входе в канал
Рассмотрим начальную стадию прессования на примере той
же заготовки в том же канале. В отличие от проанализированного
ранее установившегося процесса с противодав-
лением, пуансон, создававший противодавле-
ние, введен в канал до упора и его положение
зафиксировано. За счет давления рабочего пу-
ансона на начальной стадии необходимо запол-
нить материалом радиальную часть канала. На
рис. 13.41 показано исходное положение заго-
товки и инструмента.
Как и в предыдущих разделах, в целях уп-
рощения анализа течения трение считаем от-
сутствующим. Для разворота торцевого сече-
ния в криволинейном канале это наиболее
благоприятный вариант. Очевидно, трение о
стенки канала увеличивает искажение формы
первоначально плоского переднего торца за-
готовки. Как было отмечено ранее, по схеме
В.М. Сегала поперечные сечения заготовки
Рис. 13.41. Исход-
ное положение
заготовки в канале
391
при прохождении криволинейного участка канала остаются плос
кими и расходятся веером, заполняя канал.
Рис. 13.42. Продеформированная заготовка (ход 3 мм)
Рис. 13.43. Продеформированная заготовка (ход 5 мм)
392
Рис. 13.44. Продеформированная заготовка (ход 5,8 мм)
На рис. 13.42—13.44 показаны последовательные стадии запол
нения радиального участка канала с указанием хода рабочего пу
ансона, усилия пресса и изображение увеличенного фрагмента за
готовки в очаге деформации.
Металл заготовки постепенно
заполняет полость, образован-
ную радиальной поверхностью
канала и плоскостью непод-
вижного пуансона. Никакого
разворота сечения по радиусу
этой части канала не происхо-
дит. Усилие прессования уве-
личивается по мере сужения
заполняемой полости. Величи-
на усилия значительно превос-
ходит усилие установившего-
ся процесса.
На рис. 13.45 показаны
области равных уровней на-
копленной интенсивности де-
формаций. Концевая часть
заготовки получает деформа-
ции того же порядка, что и
е„%
Рис. 13.45. Области равных
уровней накопленной интенсив-
ности деформаций
393
остальная часть заготовки в установившемся процессе. Разумеет-
ся, схема деформирования не имеет ничего общего со схемой про-
стого сдвига. После заполнения канала может быть начат процесс
прессования с противодавлением.
13.5. Анализ течения в прямоугольном канале
Использование прямоугольного канала для достижения макси-
мальных сдвиговых деформаций наиболее эффективно. Исходя из
представлений о характере течения и однородной деформации ме-
талла в прямоугольном канале, интенсивность деформаций сдвига
должна составлять Г = 2ctg90°/2 = 2. Однако проблемы заполне-
ния канала, неоднородности напряженно-деформированного со-
стояния должны проявиться в большей степени, чем при прессова-
нии в каналах с меньшим углом поворота. При моделировании
процесса ставится задача получения некоторой информации о ре-
альном характере течения материала (алюминиево-магниевого спла-
ва), о распределении деформаций по объему заготовки, о влиянии
радиуса скругления канала, об усилии прессования.
Процесс прослежен на модельном примере прессования заго-
товки шириной 16 и высотой 40 мм; контур канала приведен на
рис. 13.46.
Рис. 13.46. Контуры углового канала
Радиусы скругления R1 имеют сугубо вычислительное назна-
чение. В работе В.М. Сегала приведены результаты эксперимента
394
в прямоугольном канале без радиусов сопряжения. Расчет течения
в канале без скругления угла, вероятно, был бы лишен смысла:
конечный элемент, помещенный в прямой угол, должен там оста-
ваться в течение всего процесса. В данном случае радиус 2 мм взят
как расстояние между соседними узлами конечного элемента.
Рис. 13.47. Сетки конечных элементов: а —исходная;
б,в,г — перестроенные
Исходная заготовка, аппроксимированная сеткой конечных эле-
ментов, показана на рис. 13.47,о. Выбор длины заготовки обуслов-
лен намерением проследить процесс прессования от момента входа
заготовки в канал до установившегося состояния. На рис. 13.48
представлено положение заготовки и инструмента перед началом
процесса (до приложения усилия прессования).
На рис. 13.49 показана начальная стадия процесса РКУП, со-
ответствующая перемещению пуансона на 2,5 мм относительно
исходного положения, представленного на рис. 13.48. Заготовка
продавлена до упора в нижнюю поверхность канала, т.е. опусти-
лась на 2 мм — на величину радиуса закругления канала и оса-
жена на 0,5 мм.
На рис. 13.50 и 13.51 показаны следующие две стадии процес-
са, соответствующие перемещению пуансона на 5 и 7,5 мм от-
носительно исходного положения (см. рис. 13.48). Процесс похож
на осадку с односторонним боковым течением. Поскольку коэф-
фициент трения принят равным нулю (ц = 0), боковая кромка
практически вертикальна; бочка не образуется. Лишь в верхней
части наблюдается закругление, связанное с огибанием радиаль-
ного участка канала.
395
Рис. 13.48. Положение
заготовки в канале перед
началом прессования
Рис. 13.49. Положение
заготовки в канале (ход
пресса 2,5 мм)
Рис. 13.50. Положение заготов-
ки в канале (ход пресса 5 мм)
Рис. 13.51. Положение заготов-
ки в канале (ход пресса 7,5 мм)
396
На рис. 13.52 представлены области равных деформаций
8Х и , соответствующие положению заготовки, показанно-
му на рис.13.51. Поскольку пластические деформации велики,
соотношение между этими компонентами деформации прак-
тически подчиняется условию постоянства объема. Максималь-
ный уровень деформаций еЛ и гу наблюдается в районе ли-
нии, соединяющей угловые точки канала. В остальной части
канала пластические деформации отсутствуют. В вертикаль-
ной части канала имеют место упругие деформации, обуслов-
ленные всесторонним почти равномерным сжатием; нижний
треугольник в горизонтальной части канала перемещается как
единое целое без заметных искажений исходной сетки конеч-
ных элементов (см. рис. 13.50 и 13.51).
Рис. 13 52. Области равных поперечных (а) и высотных (б) деформаций
(ход пресса 7,5 мм)
На рис. 13.53 изображены области равных уровней сдвиговых
деформаций у^ и накопленной интенсивности деформаций для
той же стадии процесса. Сдвиговые деформации относительно
невелики. Накопленная интенсивность деформаций, определяю-
щая проработку металла и его свойства, является следствием де-
формаций удлинения ех и укорочения Еу , как в обычном про-
цессе осадки. Никакого поворота заготовки в канале на данной
397
стадии процесса не происходит,
максимальны в углу канала.
Все компоненты деформации
Рис. 13 53. Области равных сдвиговых деформаций (а) и равных накоп-
ленных интенсивностей деформаций (6) (ход пресса 7,5 мм)
Yv %
16 2
13 2
*7 Ж
4
Рис. 13.51 наглядно демонстрирует, что конечный элемент,
находящийся в углу канала, выродился: горизонтальная и верти-
кальная стороны углового элемента исходной сетки конечных эле-
ментов образовали единую горизонтальную линию. В этом угло-
вом элементе наряду с деформациями укорочения (по вертикали)
и удлинения (в горизонтальном направлении) произошли сдвиго-
вые деформации как следствие перехода точек поверхности ме-
талла с вертикальной стенки канала на горизонтальную.
Дальнейшее прослеживание процесса РКУП потребовало пере-
строения искаженной сетки конечных элементов (с сохранением
истории нагружения и деформирования). Новая сетка конечных
элементов представлена на рис. 13.47,6. Анализ течения материала
продолжен на новой (перестроенной) сетке конечных элементов.
На рис. 13.54 и 13.55 показаны продеформированные сетки ко-
нечных элементов для двух стадий процесса, рассчитанных на сет-
ке, изображенной на рис. 13.47,6. Характер формоизменения по-
вторяет закономерности, показанные на рис. 13.50 и 13.51: конечные
элементы вытягиваются вдоль линии, соединяющей угловые точки
канала и разделяющей вертикальный и горизонтальный потоки.
398
Рис 13 54 Положение
заготовки в канале (ход
пресса 9 мм)
Рис 13 55 Положение заготовки в
канале (ход пресса 11 5 мм)
Область высокой интенсивности деформаций (рис. 13.56) по-
степенно распространяется на горизонтальный участок канала.
Основной вклад в интенсивность деформаций, как было отмече-
но ранее, вносят деформации удлинения и укорочения; изобра-
жения областей равных уровней деформаций ех и интенсивнос-
тей деформаций практически неразличимы.
Рис. 13.56. Области равных уровней деформаций 8Х (а) и накопленной
интенсивности деформаций е, (б) (ход пресса 11 мм)
399
На рис. 13.57 представлены две инвариантные характеристики
напряженного состояния: среднее, или гидростатическое напряже-
ние о0 , и интенсивность напряжений о,. Область высоких сред-
них сжимающих напряжений находится под пуансоном; в гори-
зонтальной части канала у свободной поверхности гидростатические
напряжения растягивающие. Область интенсивностей напряжений,
равных пределу текучести, или (что то же) область пластических
деформаций сосредоточена на стыке вертикальной и горизонталь-
ной частей канала.
На стадии процесса, показанной на рис. 13.55, исходно вер-
тикальная сторона углового конечного элемента перешла на го-
ризонтальную поверхность. Потребовалась очередная перераз-
бивка сетки конечных элементов. Новая сетка изображена на
рис. 13.47, в.
Рис 13 57 Области равных уровней гидростатического напряжения
о0 (а) и интенсивности напряжений от, (б) (ход пресса 11 мм)
На рис 13 58 и 13 59 показаны две стадии процесса, рассчи-
танные на сетке, изображенной на рис. 13.47,в. Закономерности
формоизменения остаются прежними.
400
w* •мм*«да. мч л*** *
Рис. 13.58. Положение заготовки в канале (ход
пресса 14 мм)
Рис 13 59 Положение заготовки в канале (ход
пресса 17 мм)
401
При положении заготовки, показанном на рис. 13.59, про-
тяженность заполненного металлом горизонтального участка ка-
нала оказывается соизмеримой с шириной канала. Величины
продольной и поперечной ех деформаций достигают пре-
дельного значения — около 150 % , величина накопленной ин-
тенсивности деформаций — 200 % (рис. 13.60 и 13.61). Начина-
ется установившийся процесс прессования. Новые порции
металла, поступающие из вертикальной части канала, вынуж-
дают продеформированный металл смещаться как единое це-
лое вдоль канала в горизонтальном направлении, в угловой об-
ласти канала они получают те же значения величин деформаций
и уходят в открытую часть канала. Область пластических де-
формаций, где интенсивность напряжений равна пределу те-
кучести материала (рис. 13.62), охватывает весь угол канала.
««о
Рис. 13.60. Области равных уровней поперечных деформаций ех
10
21
(ход пресса 17 мм)
402
39
Рис. 13.61. Области равных уровней накопленной интенсивности
деформаций (ход пресса 17 мм)
О, МПа
14
Рис. 13.62. Области равных уровней интенсивности напряжений az
(ход пресса 17 мм)
23
32
403
Продеформированный металл, перемещающийся в горизон-
тальной части канала как единое целое, имеет накопленную ин-
тенсивность деформаций около 115 %, не считая нижнего слоя,
прошедшего через угол канала, где деформация достигала 200 %.
Таким образом, если не обращать внимания на краевые эффекты
и схему деформированного состояния, то уровни деформаций, рас-
считанные по В.М. Сегалу и при прослеживании процесса тече-
ния от момента входа в прямоугольный канал, полностью совпа-
дают (интенсивность деформаций е, = 1,15 соответствует
интенсивности сдвиговых деформаций Г = е,л/3 = 1,99).
Установившийся процесс прессования прослежен на сетке,
изображенной на рис. 13.47,г. Две стадии этой части процесса
показаны на рис. 13.63, 13.64. Наибольший путь проходят точки
металла, находящиеся вдоль внешней стенки канала. Наиболь-
шие деформации получают элементы, проходя положение угла
канала. В положении, показанном на рис. 13.64, угловой конеч-
ный элемент продеформировался так, что две его грани оказались
на одной (горизонтальной) прямой. В силу этого изображенные
далее области равных уровней нанесены на сетку предыдущего
этапа нагружения (перемещение пуансона на 0,5 мм меньше).
Рис. 13.63 Положение заготовки в канале (ход пресса
19,5 мм)
404
Рис. 13.64. Положение заготовки в канале (ход пресса 22 мм)
Области равных уровней деформаций (рис. 13.65 и 13.66) на-
глядно демонстрируют установившийся характер процесса РКУП,
поэтому продолжение расчета лишено смысла. Уровень величин,
характеризующих деформированное состояние, не изменится до
тех пор, пока в вертикальной части канала останется какой-либо
объем металла.
е„%
э
20
ЗА
Рис 13 65. Области равных уровней поперечных деформаций ех
(ход пресса 22 мм)
405
Рис. 13.66. Области равных уровней накопленной
интенсивности деформаций (ход пресса 22 мм)
Область пластических деформаций, где интенсивность напряже-
ний равна пределу текучести (рис. 13.67), сохраняет свои очертания.
Рис. 13.67. Области равных уровней интенсивности
напряжений oz (ход пресса 22 мм)
406
I
s
Исследование процесса прессования в прямоугольном канале
установило далеко не ламинарный характер течения. В ходе рас-
* чета четырежды строилась новая сетка конечных элементов. Ха-
рактер распределения напряжений далеко не равномерный. На
рис. 13.68 показан график распределения напряжений под пуан-
соном. Напряжение со стороны поворота канала многократно пре-
вышает напряжение с противоположной стороны. Общее усилие
* прессования 3,5 тс; среднее давление под пуансоном 125 МПа.
* Анализ начальной стадии деформирования заготовки в прямо-
угольном канале дал те же интегральные оценки уровня деформа-
ций, которые были получены В.М. Сегалом на модели жестко-
пластического тела. Отличия состоят в схеме деформированного
состояния. Если желательно иметь схему простого сдвига, необ-
ходимо усложнить процесс.
Рис. 13.68. Распределение напряжений под пуансоном (ход
пресса 22 мм)
13.6. Прессование в сужающийся канал
Выполненные исследования показали, что независимо от угла
поворота канала достаточная однородность деформации может
быть обеспечена только в случае создания противодавления. Кро-
ме того, противодавление и, как результат, высокое гидростатичес-
кое давление необходимы для увеличения ресурса пластичности
407
труднодеформируемых сплавов. Пока лабораторные исследования
осуществляются на свинце, этой проблемы не существует. В про-
изводственном процессе незаполнение канала, возникновение
схемы растягивающих напряжений недопустимы.
Создать противодавление можно лишь на специализированном
оборудовании. Представляется логичным рассмотреть принципи-
Рис. 13.69. Геометрия канала и
исходная сетка конечных
элементов
элемента квадратного сечения,
альную возможность осуществле-
ния РКУП на универсальном прес-
се. Одним из вариантов создания
противодавления является сужение
канала на выходе заготовки. При
этом подпор будет создаваться за
счет как геометрического фактора,
так и контактного трения. Очевид-
но, изменение геометрии и нали-
чие внешнего трения должны ока-
зать влияние на характер течения.
Далее последовательно рассматри-
вается процесс прессования в су-
жающийся канал при отсутствии
трения и при заданном коэффи-
циенте трения ц = 0,15. Геометрия
канала представлена на рис. 13.69.
На сетке отмечены три конечных
изменение формы которых будет
прослежено в ходе процесса прессования с целью изучения харак-
тера течения и вида деформированного состояния. Как и в разде-
ле 13.3, рассматривается квазистационарный процесс.
Сетка конечных элементов повторяет сетку, показанную на
рис. 13.3: сохранена геометрия канала в пределах границ исход-
ной заготовки, за пределами исходной заготовки канал сужается.
Эту сужающуюся часть канала по мере перемещения пуансона
будет заполнять металл переднего конца заготовки. Необходимо
оценить возможность создания искусственного противодавления
без использования второго пуансона, гидроцилиндра или иного
источника усилия.
На рис. 13.70 показаны последовательные стадии прессования
заготовки при условии отсутствия контактного трения. Выделен-
ные три первоначально квадратных конечных элемента, проходя
поворот канала, превращаются в параллелограммы, что соответ-
ствует схеме деформации простого сдвига. Однако все это отно-
сится к слоям, удаленным от контактных поверхностей.
408
Рис. 13.70. Стадии прессования заготовки (трение отсутствует)
По мере прохождения через угол канала металл постепенно
отрывается от внутренней стенки канала при условии, что перво-
начально заготовка целиком заполняла канал. На стадии, пока-
занной на рис. 13.70,г, нет контакта металла с внутренней стенкой
канала по всей ее длине. Это значит, что процесс равноканально-
го углового прессования в заданных условиях невозможен.
Видно из распределения интенсивности деформаций (рис. 13.71)
по сечению канала, что степень деформации, соответствующая ана-
литическому решению, достигается в центральных слоях заготов-
ки. Вдоль наружной стенки канала интенсивность деформации за-
метно меньше, вдоль внутренней стенки — выше средней.
Распределение максимальных сдвиговых деформаций (рис. 13.72)
409
полностью повторяет распределение интенсивности деформаций.
Иными словами, схема деформированного состояния близка к
схеме простого сдвига.
е„%
а
*
Рис. 13.71. Распределение накопленной интенсивности
деформаций
шах*
О
*4
Рис. 13.72. Распределение максимальных сдвиговых
деформаций
410
Распределение гидростатических напряжений (рис. 13.73) сви-
детельствует о высокой неравномерности напряженного состояния:
уровень напряжений вдоль внутренней стенки канала значительно
ниже, чем вдоль наружной. Область пластических деформаций (рис.
13.74) распространяется далеко за пределы геометрического очага
деформации. Вторая область пластических деформаций, находя-
щаяся в пределах сужающейся части канала, к процессу РКУП от-
ношения не имеет.
О"0, МПа
-414
Рис. 13.73. Распределение гидростатических напряжений
Рис. 13.74. Распределение интенсивности напряжений
411
Анализ напряженно-деформированного состояния заготов-
ки при прессовании в условиях сужающегося канала (трение
считается отсутствующим) показывает, что условия простого
сдвига имеют место лишь в центральной части канала. Подпор,
создаваемый в конусной части канала, оказывается недостаточ-
ным для заполнения канала вдоль внутренней стенки. Здесь
следует иметь в виду модельный характер расчета: в начальном
состоянии металл полностью заполнял канал.
Далее оценивается влияние сил контактного трения. Рас-
сматривается тот же пример, но при условии задания трения в
виде = цоЛ, где ц= 0,15 — коэффициент трения, вп — на-
пряжение по нормали к поверхности.
Рис. 13.75. Стадии прессования заготовки (коэффициент трения
Ц= 0,15)
412
На рис. 13.75 показаны последовательные стадии процесса
прессования, рассчитанные при условии действия сил трения вдоль
стенок канала. Выделенные конечные элементы в центральной
части канала деформируются в соответствии со схемой простого
сдвига. Искажение конечных элементов вдоль стенок канала но-
сит характер, типичный для всех процессов обработки давлением
и обусловленный наличием сил трения. Противодавление в усло-
виях действия сил контактного трения оказывается достаточным
для заполнения канала на всем протяжении, однако деформиро-
ванное состояние еще более неоднородно. Это хорошо видно на
рис. 13.76, где показано распределение накопленной интенсивно-
сти деформаций.
О
IX
Рис. 13.76. Распределение накопленной интенсивности деформаций
Максимальный уровень интенсивности деформаций (—150%)
достигается на наружной стенке канала, где в предположении от-
сутствия трения деформации были минимальны. Совершенно оче-
видно, что эти деформации не имеют ничего общего с простым
сдвигом, характерным для РКУП. Это легко заметить по искаже-
нию формы конечных элементов вдоль внешней стенки в геомет-
рическом очаге деформации (см. рис. 13.75).
413
Распределение гидростатических давлений (рис. 13.77) свиде-
тельствует об их высоком градиенте вдоль оси канала и о высокой
неравномерности по сечениям в вертикальной части канала и в
геометрическом очаге деформации. Область пластических дефор-
маций (рис. 13.78) еще более обширна, чем в предположении от-
сутствия трения.
О"0, МПа
Рис. 13.77. Распределение гидростатических напряжений
О , МПа
I >
«о
Рис. 13.78. Распределение интенсивности напряжений
414
Выполнение условия простого сдвига при РКУП достигается
созданием противодавления, достаточного для обеспечения одно-
родной деформации вдоль радиальных линий скольжения и ее от-
сутствия за пределами геометрического очага деформации. Созда-
ние противодавления искусственными средствами, в частности,
введением сужающегося канала, увеличением сил контактного тре-
ния однозначно ведет к неравномерности деформаций. Даже на боль-
шом удалении от плоскости выхода из канала поперечные сечения
заготовки искривлены. Давления на стенки канала неодинаковы.
Рис. 13.79. Распределение гидростатических давлений
и максимальных касательных напряжений вдоль оси
канала ABCDE
415
На рис. 13.79 показано распределение гидростатических и мак-
симальных касательных напряжений вдоль оси канала, где дефор-
мированное состояние наиболее точно соответствует условиям про-
стого сдвига. Участок АВ — это участок сужающейся части канала,
необходимый для создания противодавления; к исследуемому про-
цессу РКУП этот участок отношения не имеет; здесь происходят
пластические деформации за счет значительного уменьшения по-
перечного сечения заготовки. За счет этого участка на границе ка-
нала с постоянным сечением создается гидростатическое давление
около 50 МПа при отсутствии трения и около 200 МПа — при
наличии трения (с заданным коэффициентом трения). Последняя
величина соизмерима с гидростатическим напряжением в случае
противодавления р0= 160 МПа. Таким образом, предварительная
оценка влияния конусности участка канала и трения на контакт-
ной поверхности свидетельствует о подавляющем влиянии сил тре-
ния по сравнению с чисто геометрическим влиянием.
Область геометрического очага деформации CD на рисунке
затемнена. Физический очаг деформаций (где тП1ах = к) простира-
ется в наклонную часть канала далеко за пределы геометрическо-
го очага деформации. Нарастание гидростатического давления при
отсутствии трения происходит не на участке CD (как предполага-
ется при решении задачи по методу линий скольжения), а вдоль
всего канала. Наличие трения лишь изменяет градиент гидроста-
тического напряжения.
Рис. 13.80. Распределение напряжений под пуансо-
ном: 1 — без трения; 2 — коэффициент трения
Ц= 0,15; 3 — противодавление pQ = 160 МПа
416
На рис. 13.80 представлены графики распределения напряже-
ний под пуансоном. Если трение не учитывается, то распределение
напряжений максимально неравномерно, уровень напряжений не-
высок. При учете сил контактного трения уровень напряжений много
выше, но распределение напряжений более равномерно. На том же
рисунке (кривая 5) представлено распределение напряжений в слу-
чае приложения противодавления р0= 160 МПа в канале постоян-
ного сечения (график перенесен с рис. 13.11). Интегральные эф-
фекты противодавления pQ = 160 МПа и использования сужающегося
канала при наличии сил трения (Ц= 0,15) соизмеримы с точки зре-
ния силовых параметров процесса.
Рис. 13.81. Распределение нормальных контактных
напряжений по внутренней стенке канала KLM
Рис. 13.82. Распределение нормальных контактных
напряжений по наружной стенке канала FGHJ
417
На рис. 13.81 и 13.82 представлены распределения нормаль-
ных контактных напряжений вдоль наружной и внутренней сте-
нок канала без учета трения и при его наличии (коэффициент
трения ц= 0,15). При прессовании без учета трения контакт ме-
талла с внутренней стенкой канала отсутствует, при учете трения
происходит заполнение канала, но контактные напряжения близ-
ки к нулю. На наружной стенке максимум контактных напряже-
ний достигается в точке Н — на выходе из геометрического очага
деформации и является следствием геометрического фактора. По
величине контактные напряжения, действующие на противопо-
ложных стенках канала, несоизмеримы.
14. УПЛОТНЕНИЕ ПОРИСТЫХ И
ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
14.1. Модель уплотнения пористого тела
14.1.1. Условие пластичности пористого материала
В отличие от компактных материалов, пористые, в частности,
спеченные порошковые материалы, деформируются с необратимым
изменением объема, увеличивая плотность за счет уменьшения объе-
ма пор. Если изменение объема при обработке давлением компак-
тных материалов носит упругий характер и характеризуется коэф-
£
фициентом объемной деформации к = ——— , постоянным во
всем диапазоне обжатий, то для пористых материалов это — ве-
личина переменная, возрастающая по мере увеличения относи-
тельной плотности. Решение технологических задач обработки
давлением пористых материалов, таким образом, предполагает
необходимость раскрытия еще одной нелинейности (помимо не-
линейной связи девиаторов напряжений и скоростей деформа-
ции) — нелинейной связи шаровых компонент тензоров напря-
жений и деформаций. Подобно тому, как для установления связи
девиаторов в систему введено условие пластичности, для нахож-
дения переменного коэффициента объемной деформации необ-
ходимо сформировать дополнительное уравнение.
Сделаем попытку анализа поведения пористого (уплотняемого)
материала с позиций классической теории пластичности, исходя
из представления поры как концентратора напряжений. Идея пред-
ставления пористого тела в виде полидисперсной среды с порами,
418
успешно использованная А.К. Григорьевым в работе [88], позво-
ляет применить математический аппарат теории пластичности к
решению технологических задач обработки давлением пористых
материалов.
Следуя А.К. Григорьеву, представим среду со сферическими
порами различного размера, выделив вокруг каждой из них сопри-
касающиеся друг с другом сферы. Если радиус поры равен а, а
радиус внешней сферы, включающей пору, обозначен 6, то порис-
тый материал представлен полидисперсной моделью из сферичес-
ких оболочек с отношением радиусов а/b. Модель в виде сферичес-
ких оболочек потребовалась Григорьеву исключительно в целях
аналитического решения задачи теории пластичности. Поскольку
данная работа ориентирована на численное решение, никаких ог-
раничений на форму пор и элементов полидисперсного тела не
существует, и предположение о сферической форме оболочек бу-
дет использовано лишь для изложения существа подхода.
В отличие от компактного материала, пористый материал мо-
жет деформироваться пластически под действием гидростатичес-
кого давления, что обусловило формулировку для него эллипти-
ческого условия пластичности. Попробуем показать, что
эллиптическое условие пластичности является логическим след-
ствием условия Губера—Мизеса без каких-либо допущений о фор-
ме и размерах пор пористого тела.
Под действием внешнего гидростатического давления (—р),
приложенного к наружной поверхности сферической оболочки, в
ее объеме возникают, в частности, тангенциальные напряжения,
определяемые известной формулой Ламе
_ 63(2г3 + а3)
2г3(а3 -Ь3)?
(14.1)
Максимума эти напряжения достигают на внутренней поверх-
ности оболочки при г = а:
(14.2)
Если учесть, что при г = а ог = О (или давлению воздуха в
поре), то максимальная интенсивность напряжений приходится
на внутреннюю поверхность сферической оболочки, где oz = ое.
В соответствии с условием Мизеса пластическая деформация
сферической оболочки начнется при oz = о5, где о5 — предел те-
кучести материала сферической оболочки, или матрицы пористого
материала. На основании (14.2) внешнее давление, при котором
419
начнется пластическая деформация внутренней поверхности сфе-
рической оболочки,
2 а3 - Ь3
Р = (U.3)
3 D
Это давление р, соответствующее началу пластической деформа-
ции сферической оболочки, может быть принято за предел текучес-
ти пористого материала и5пм. Если ввести обозначение пористости
а3 „ Ь3 - а3
материала П = — и относительной плотности р = —р—, то пре-
дел текучести пористого материала
пм = | (1 -п)05. (14.4)
Выражение, связывающее гидростатическое внешнее давление
с пределом текучести в уравнении (14.3), или, что то же, пре-
дел текучести пористого материала о„пм с пределом текучести
матрицы os в уравнении (14.4), в терминах механики есть не что
иное, как коэффициент концентрации напряжений ка0 в районе
сферического концентратора при гидростатическом давлении.
Поэтому в общем случае для пористого материала с порами про-
извольной формы уравнение (14.4) следует записать в виде
, пм
S
(14.5)
Выражение (14.5) дает нижнюю оценку величины внешнего
гидростатического давления, вызывающего начало пластической
деформации в районе концентратора. Формальный математический
переход при ПчО в уравнении (14.4) лишен физического смысла,
поскольку некорректно оперировать коэффициентом концентра-
ции при отсутствии собственно геометрического концентратора.
Представляя элемент полидисперсного тела как сферическую или
любой иной формы оболочку, имеем в виду, что в случае его нагру-
жения силами, реализующими схему чистого сдвига, касательные
напряжения в районе концентратора будут функционально связаны
с номинальными напряжениями коэффициентом концентрации ка-
сательных напряжений кх. Пластическая деформация в районе кон-
центратора при чистом сдвиге начнется тогда, когда касательное
напряжение достигнет величины . При этом номинальное
напряжение и величина связаны соотношением = тномЛт.
420
Величина тном может быть воспринята как предел текучести
пористого материала при чистом сдвиге т"м = т.е. то внешнее
касательное напряжение, которое вызовет пластическую дефор-
мацию в районе концентратора.
Величина коэффициента концентрации касательных напряже-
ний может быть определена путем решения, например, задачи о ра-
стяжении стержня со сферической полостью в одном направлении и
сжатии в другом; на площадке, равно наклоненной к действию сил,
D 15(1-v)
реализуется схема чистого сдвига. Решение дает ттах = — -.— о и
7 - 5v
известно как решение Лармора. Достоинством этого решения явля-
ется наложение концентратора на однородное поле напряжений, что
позволяет получить объективно сопоставимые результаты.
Однако решение такой задачи для сферы со сферической по-
лостью проблематично, поскольку растяжение и сжатие сферы в
двух взаимно перпендикулярных направлениях не лишено дву-
смысленности.
Поэтому ниже в качестве чистого сдвига в цилиндрических ко-
ординатах рассматривается напряженно-деформированное состоя-
ние при кручении сферы, что соответствует концентратору в поле
линейно распределенных перпендикулярно оси вращения касатель-
ных напряжений. На рис. 14.1 показано распределение касатель-
ных напряжений тг0 и^е при кручении сферической оболочки с
отношением а : b = 1: 2 вокруг оси Z моментом Мкр = 100л Нм.
Рис. 14.1. Распределение напряжений в сферической
оболочке с отношением радиусов а : b = 1 : 2 при круче-
нии моментом Мр = 100л Н м вокруг оси Z
421
Варьируя отношение внутреннего и внешнего радиусов сфе-
рической оболочки а : b, вычисляя номинальное напряжение по
известной из сопротивления материалов формуле
_ ^кр
^ном — 7
J Р
и определяя касательное напряжение в районе концентратора т0,,
находим коэффициент концентрации касательных напряжений
VHOM г-а
Зависимость коэффициента концентрации касательных напря-
жений от отношения внутреннего и внешнего радиусов сферичес-
Рис. 14.2. Зависимость
коэффициента концентра-
ции касательных напряже-
ний при кручении от
отношения внутреннего и
внешнего радиусов
сферической оболочки
кой оболочки представлена на рис. 14.2.
Таким образом, независимо от фор-
мы поры и элемента полидисперсного
тела начало пластической деформации
при гидростатическом сжатии и при чи-
стом сдвиге определяется величинами
(14.6)
где ол. и — пределы текучести мате-
риала (матрицы) при растяжении и сдви-
ге, причем o5=TsV3 .
При приложении внешней нагрузки,
обеспечивающей сжатие и сдвиг одно-
временно, пластическая деформация нач-
нется тогда, когда интенсивность напря-
жений достигнет величины предела
текучести материала, т.е.
о, = о5. Поскольку напряженное состо-
яние в районе концентратора определяется величинами о0 и тго,
а интенсивность напряжений
о, =
(14.7)
в момент начала пластической деформации в районе концентра-
тора равна ол., приходим к условию
2
(14.8)
Разделив обе части равенства на а/ . получаем
422
(14.9)
Если учесть, что в районе концентратора, где начинается пла-
стическая деформация,
^0 "^0 ^т^ном’
уравнение (14.9) запишется в виде
С учетом (14.6) последнее соотношение превращается в изве-
стное эллиптическое условие пластичности
(14.10)
В уравнении (14.10) р и тном — это внешние по отношению к
элементу (сферическому или любому другому) полидисперспого тела
нагрузки. В работе [89] они
обозначены как о0 — гидро-
статическое давление в точке
континуума (пористого тела)
и Т — интенсивность каса-
тельных напряжений. При
описании континуума (поли-
дисперсного тела) элементами,
включающими материал (мат-
рицу) и отверстие, гидроста-
тическое давление о0 (по
Б.А. Друянову) — это внешнее
давление на элемент р, кото-
рое в свою очередь порождает
внутри этого элемента (оболоч-
ки сферической или иной фор-
мы) гидростатические напря-
жения о0, отнюдь не равные
внешней гидростатической на-
грузке. На рис. 14.3 показаны
зависимости коэффициента
концентрации напряжений
Рис. 14.3. Зависимость коэффици-
ента концентрации напряжений
koQ и гидростатического напряже-
ния о0 при гидростатическом
сжатии сферической оболочки
давлением р от отношения а/Ь
423
koQ и гидростатического давления в сферической оболочке от от-
ношения радиусов сферы а/Ь.
Величины а/м и т5пм , вычисленные согласно (14.6), опреде-
ляют момент начала пластической деформации в районе концен-
тратора — поры. Однако при условии идеально пластической мат-
рицы этот предел текучести пористого материала не обусловит
нарастания пластической деформации, как это происходит при
пластическом течении компактных материалов. Пластическая де-
формация, локализованная в районе поры, прекратится за счет
изменения жесткости напряженного состояния и будет продол-
жаться только в случае увеличения внешней нагрузки.
Величину гидростатического давления, при которой весь ма-
териал сферической оболочки перейдет в пластическое состоя-
ние, можно найти из системы уравнений равновесия в сферичес-
ких координатах и условия пластичности
Эог
< дг
2
+ -(ог -о0) = О,
Решение этой системы с граничным условием ог ~ -р при
г = b дает
ог = -р + 2cf, In — ,
(14.11)
откуда следует условие перехода в пластическое состояние наруж-
ной поверхности и, следовательно, всего объема материала сфе-
пластическое состояние сфери-
ческой оболочки при гидростати-
ческом сжатии в зависимости от
относительной плотности
пористого материала: 1 — по
данным [89]; 2 — по данным [88]
рической оболочки:
-р = 2о,1п-. (14.12)
а
Значение внешнего гидроста-
тического напряжения, при кото-
ром весь объем материала перехо-
дит в состояние пластического
течения, может быть принято за
верхнюю границу предела текуче-
сти пористого материала при гид-
ростатическом нагружении. На
рис. 14.4 показан диапазон пере-
хода материала сферической обо-
лочки в пластическое состояние
424
при гидростатическом сжатии в зависимости от относительной
Ь3 -а3
плотности Р =---т.
b
На рисунке показаны также зависимости предела текучести
при всестороннем сжатии тела со сферическими порами, постро-
енные по формулам
Ps _ Р р. Q П 1 n 1
°™ V 3 п’
приведенным соответственно в работах
Б.А. Друянова [89] и А.К. Григорьева [88].
Переход в пластическое состояние при
чистом сдвиге происходит с нарастанием
внешней нагрузки, начиная с концентрато-
ра напряжений. На рис. 14.5 представлены
Рис. 14.5. Эпюры
касательных напряже-
ний вдоль линии Zp
проходящей через край
отверстия: 1 — Ь/
а= \^2-Ь/а= 1,5;
3- Ь/а = 2\ 4-Ь/а = 4
эпюры касательных напряжений тг6 при
кручении вдоль линии Z{ (рис. 14.1), соот-
ветствующей одинаковому уровню номи-
нальных напряжений и проходящей через
край отверстия (концентратор). При боль-
ших отношениях b/а, соответствующих ма-
лой пористости, на некотором расстоянии
от концентратора касательные напряжения при кручении тг6 ста-
новятся равными номинальным, и, следовательно, переход в плас-
тическое состояние всего сечения (цилиндрической поверхности
г - а) завершается при т~е = т5.
По мере увеличения пористости
в пределах выделенного сфери-
ческого элемента полидисперсно-
го тела влияние концентратора
распространяется на все сечение,
и, следовательно, переход в пла-
стическое состояние завершается
при напряжениях, меньших т5.
На рис. 14.6 показан диа-
пазон перехода в пластическое
состояние сферической обо-
лочки при кручении в зависи-
мости от относительной плот-
ности пористого материала.
Рис. 14.6. Диапазон перехода в
пластическое состояние сфери-
ческой оболочки при кручении в
зависимости от относительной
плотности пористого материала:
1 — по данным [89]; 2 — по
данным [88]
425
Там же представлены зависимости, полученные на основании
формул
¥ aT /2(1 +p)/i __ч
_А = р/2 и — = J --- - (1-П)
& ^тм ’
приведенных в работах [89] и [88].
Таким образом, развитие идеи А.К. Григорьева о модели по-
лидисперсного тела привело, во-первых, к эллиптическому усло-
вию пластичности как следствию условия Губера—Мизеса, во-вто-
рых, к описанию механических свойств тела в виде не
фиксированных величин, а диапазона их изменения.
14.1.2. Упругость пористых материалов
Решение прикладных задач теории пластичности пористых тел
предполагает наличие сведений не только о пределе текучести ма-
териала, об условии перехода в пластическое состояние, но и об
упругих характеристиках. Базирующаяся на теории пластического
течения методика решения технологических задач обработки дав-
лением, изложенная в работе [89], успешно обходит вопросы уп-
ругого поведения уплотняемых тел, однако при этом любое на-
гружение следует рассматривать как одноэтапное. Это ограничивает
применение теории классом задач, для которых монотонное на-
гружение можно считать приемлемым.
В работе [88] приведены результаты исследования упругих ха-
рактеристик пористых материалов, полученные теоретически и
экспериментально Д.Д. Эшелби, В.В. Скороходом, В.А. Кузьмен-
ко, Р. Кристенсеном и авторами [88]. Понятно, что теоретическое
исследование зависимостей упругих характеристик от пористости
и свойств матрицы в первую очередь предполагает изучение зако-
номерностей, точные численные значения изучаемых параметров
для конкретного материала определяются экспериментально. Од-
нако закономерности влияния пористости на упругие характери-
стики материала, обнаруженные разными авторами, не одинако-
вы. В работе [88] приводятся формулы, дающие при определенных
значениях пористости отрицательный модуль сдвига, экстремумы
коэффициента Пуассона. Разумеется, что в итерационном алго-
ритме решения физически нелинейных задач теории пластичнос-
ти использование таких формул недопустимо.
Представляется необходимым, несмотря на большое число
работ в этом направлении, получить такие формулы для оценки
упругих характеристик пористого материала, которые, во-пер-
вых, верно отражали бы зависимость упругих характеристик от
426
пористости и, во-вторых, не противоречили теории упругости. Для
этого необходимо отказаться от термодинамического подхода, ха-
рактерного для большинства работ в этом направлении.
Основным и единственным допущением в приведенном далее
расчете упругих параметров пористого материала является пред-
ставление о полидисперсной модели среды с некоторой характери-
стической ячейкой (элементом среды), определяющей свойства
среды в целом. В большинстве теоретических работ в качестве та-
кой характеристической ячейки выбирается сферическая оболочка
(ячейка материала со сферической порой). Начнем с оценки упру-
гих характеристик континуума, адекватно описывающего упругое
поведение сферической оболочки — ячейки полидисперсного тела.
Адекватное описание упругого поведения дисперсной среды
(пористого материала) континуальной моделью подразумевает в
данном случае одинаковое формоизменение ячейки пористого ма-
териала по наружной поверхности и ее континуального аналога,
т.е. одинаковое изменение формы наружной поверхности сфери-
ческой оболочки и поверхности сплошного шара. Это в первую
очередь при описании поведения материала в целом обеспечивает
равенство внешних напряжений, приложенных к наружной по-
верхности сферической оболочки, и напряжений в континууме
(сплошном шаре). Напряженно-деформированное состояние в
объеме ячейки с порой (сферической оболочки) в отличие от кон-
тинуума (сплошного шара) обладает ярко выраженной неравно-
мерностью. Если допустить не совсем корректную аналогию с ком-
пактным материалом, то напряжения внутри ячейки пористого
материала — это напряжения второго рода.
На рис. 14.7 показано распределение параметров напряжен-
ного состояния при приложении равномерной растягивающей
нагрузки 183 МПа вдоль оси Z (/Q и одновременном сжатии
вдоль оси г (pr = -pz), что соответствует чистому сдвигу ком-
пактного материала.
Приложение одноосной нагрузки приводит к формированию в
оболочке схемы трехосного напряженно-деформированного состоя-
ния; приложение двуосного растяжения сжатия вызывает чистый
сдвиг только на линии, одинаково наклоненной к направлениям
внешних сил (45° к осям г и Z). Поэтому нельзя согласиться с допу-
щением об однородности деформации в ячейке полидисперсной
модели при создании условий чистого сдвига двуосным растяжени-
ем — сжатием, как это сделано в работе [88] при построении зависи-
мости предела текучести от пористости. Как показано в предыду-
щем разделе, условия чистого сдвига моделировались кручением.
427
Рис. 14.7. Распределение максимальных касательных и
гидростатических напряжений по сечению оболочки при
одноосном растяжении (а) и при двуосном растяжении —
сжатии давлением рг = -рг (б)
В теории упругости для описания напряженно-деформирован-
ного состояния используются две характеристики свойств мате-
риала: модуль нормальной упругости и коэффициент Пуассона,
либо два коэффициента Ламе, либо модули объемной деформа-
ции и сдвига. Эти пары между собой однозначно функционально
связаны, поэтому можно определять любые два упругих парамет-
ра с ориентацией лишь на надежность и недвусмысленность по-
лучаемого результата. Задача формулируется следующим образом:
зная значения упругих свойств матрицы пористого материала,
428
определить параметры континуума, которые в задаче теории уп-
ругости будут адекватно характеризовать формоизменение элемента
полидисперсной модели среды. Определим модуль объемной де-
формации из условий гидростатического сжатия, а модуль нор-
мальной упругости (модуль Юнга) и коэффициент поперечной
деформации (коэффициент Пуассона) — из условий одноосного
растяжения. Модуль объемной деформации в теории упругости
представляет отношение гидростатического давления к объемной
деформации, им вызываемой. Если характерным элементом по-
лидисперсной модели среды является оболочка с внутренним и
наружным радиусами соответственно а и Ь, то под действием внеш-
него гидростатического давления р на наружной поверхности сферы
возникнут напряжения
. । 2Ь3 + а3
°г|г=д - Р, °01г=* - 2(оз _b3yP’
известные из решения Ламе.
Эти напряжения обусловливают деформацию
с _ и\г=Ь _ (1 - v)ct0 - vor
80 b~~ Е
и, следовательно, радиальное перемещение
W|r=Z>
2b3 (1 - 2v) + а3 (1 + v) р ,
а3 - b3 2Е
Последнему соответствует объемная деформация шара как
континуума
г-Ь
Таким образом, для того чтобы шар как континуум под дей-
ствием давления р изменял свой радиус так же, как изменяется
наружный радиус сферической оболочки, континуум должен ха-
рактеризоваться модулем объемной деформации
^пм _ Р — — Р?_____________________
~е0-2 2/>3(1-2v) + o3(1 + v)
Используя обозначение пористости П = , получим модуль
b
объемной деформации пористого материала, состоящего из эле-
ментов со сферическими порами:
429
-Е-------—---------.
2 2(1 - 2v) + П(1 + v)
(14.13)
Интегрируя выражение энергии упругого деформирования, для
объемно несжимаемой матрицы авторы [88] получают модуль
объемной деформации в виде
£ИМ
Для объемно несжимаемой матрицы выражение (14.13) сво-
дится к
£пм
что практически совпадает с модулем, полученным А.К. Григорь-
евым и А.И. Рудским из энергетических принципов, и полностью
совпадает с модулем, полученным Кристенсеном [90].
Таким образом, зависимости модуля объемной деформации от
пористости, полученные с принципиально разных позиций, дают
приемлемо одинаковые результаты. Это в первую очередь связано
с отсутствием математической сложности решения задачи и, сле-
довательно, с отсутствием упрощений и необходимых допущений.
Отличительная особенность многих попыток теоретическим
путем установить связь упругих характеристик с пористостью ма-
териала — ориентация на энергетические принципы, а не на урав-
нения теории упругости, которые являются критерием адекватно-
го моделирования упругого поведения пористого материала
поведением континуума. Искусственность получения упругих ха-
рактеристик приводит к потере физического смысла найденных
зависимостей. В работе [88] коэффициент поперечной деформа-
ции определялся из решений в напряжениях задач о гидростати-
ческом сжатии и чистом сдвиге. Как следует из решения Ламе о
гидростатическом сжатии сферического сосуда, напряженное со-
стояние от коэффициента Пуассона не зависит; как следует из
решения Лармора о чистом сдвиге, напряжения в районе сфери-
ческой поры от коэффициента Пуассона зависят очень мало.
По определению, коэффициент Пуассона — коэффициент
поперечной деформации — представляет собой отношение попе-
речной деформации к продольной в условиях одноосного нагру-
жения, следовательно, его нужно определять из решения задачи
об одноосном растяжении. Задача о растяжении сферической обо-
лочки (в напряжениях) может быть решена аналитически путем
430
некоторого усложнения решения Саусвелла о растяжении стерж-
ня с малой сферической порой. Вместо нулевых граничных усло-
вий на бесконечности необходимо задать граничные условия на
внешней поверхности сферической оболочки.
При растяжении сферической оболочки равномерно распре-
деленной нагрузкой рг сфера превращается в вытянутое вдоль оси
Z тело вращения типа эллипсоида. Однако форма наружной по-
верхности растянутой вдоль оси Z сферы такова, что в пересчете
на континуум деформации и ег оказываются неравномерно
распределенными по объему сплошного шара. За счет преимуще-
ственного перемещения вдоль оси Z материала оболочки, окру-
жающего ось Z, и радиальная ег и осевая деформации в обла-
сти оси Z оказываются положительными, что соответствует
отрицательному коэффициенту Пуассона. По мере удаления от
оси Z коэффициент Пуассона, рассчитанный для точки контину-
ума, увеличивается, превышая в диаметральной плоскости, пер-
пендикулярной оси Z, величину 0,5. Иными словами, в условиях
растяжения сферической оболочки равномерно распределенной
нагрузкой для адекватного описания формоизменения контину-
альной моделью потребовалось бы ввести переменный по объему
коэффициент поперечной деформации, что как характеристика
свойства материала лишено смысла.
Здесь следует сделать допущение, представляющееся прием-
лемым, о том, что ячейка полидисперсной модели среды (оболоч-
ка) в условиях одноосного нагружения получает равномерно рас-
пределенную деформацию (как континуум); при этом напряжения
на наружной поверхности оказываются распределенными нерав-
номерно (в отличие от гидростатического нагружения). Задав фик-
сированные перемещения вдоль оси Z точкам наружной поверх-
ности оболочки из расчета равномерной деформации в объеме
континуума, получаем результирующее растягивающее усилие Р7
и далее модуль нормальной упругости как частное от деления най-
денной нагрузки на заданную деформацию при одноосном растя-
жении
^пм _ z
nb1tz
Затем определяется коэффициент Пуассона
пм
431
Результаты численного решения задачи об одноосном растя-
жении сферической оболочки с граничными условиями в переме-
щениях представлены в табл. 14.1.
Таблица 14.1
Результаты расчета параметров упругости материала
со сферическими порами
Радиусы сферы, мм Ег, % Pv кН Епм. МПа £ПМ, МПа v"M G™, МПа
а ь
10 20 0,125 0,1 216 172000 121200 0,263 68000
10 15 0,296 0,133 125 133000 79200 0,220 54500
10 14 0,364 0,143 104 118000 66600 0,205 49000
На рис. 14.8 результаты расчета коэффициента Пуассона по-
казаны в сопоставлении с результатами, заимствованными из ра-
боты [88].
Рис. 14.8. Зависимость коэффициента Пуассона от
пористости: 1 — численное решение (табл. 14.1); 2-
5 — из работы [88]: 2 — Д.Д. Эшелби; 3 — В.А. -
Кузьменко; 4 — Р. Кристенсен; 5 — В.В. Скороход;
6 — эксперимент (спеченное железо)
432
Как показывают результаты численного моделирования, сфери-
ческие поры очень слабо влияют на коэффициент поперечной де-
формации. Столь же малое влияние следует из решений Д.Д. Эшел-
би для несжимаемого материала (исходный коэффициент Пуассона
v = 0,5) и В.А. Кузьменко. С решениями Р. Кристенсена и В.В.
Скорохода трудно согласиться, поскольку зависимости должны либо
содержать экстремум, либо дать отрицательное значение коэффици-
ента. И то и другое лишено физического смысла. На рис. 14.9 ре-
зультаты численного расчета модуля нормальной упругости и моду-
ля сдвига сопоставлены с экспериментальными данными [88] для
спеченного железа.
Рис. 14.9. Зависимость модуля нормаль-
ной упругости (7, 2) и модуля сдвига
(5, 4) от пористости: 7 и 3 — численное
решение (табл. 14.1); 2 и 4— экспери-
ментальные данные для спеченного
железа [88]
Сравнение расчетных и экспериментальных зависимостей сви-
детельствует о правильном описании закономерностей на базе
расчетной модели, но не о количественном совпадении упругих
характеристик материала. Во-первых, экспериментально опре-
деляются свойства реального материала, а модель предполагает
равномерное распределение пор, что может не соответствовать
исследуемому материалу. Во-вторых, условия нагружения реаль-
ного материала и модели (сферической оболочки) не совсем оди-
наковы: в модели не рассматривается взаимодействие ячеек по-
лидисперсной среды (оболочек). Однако использование
полидисперсной модели среды, во всяком случае, не лишено фи-
зического смысла.
433
При моделировании технологических процессов свойства ма-
териала должны быть известны, ибо материалы с неизвестными
или неопределенными свойствами конструктор не использует.
Расчетный метод упругих характеристик пористого материала,
разумеется, не может заменить стандартные механические испы-
тания. Но при отсутствии экспериментальных данных расчетные
характеристики упругих свойств пористого материала вполне мо-
гут быть использованы при проведении сравнительных числен-
ных экспериментов для поиска оптимального варианта техноло-
гического процесса. Более того, четкие закономерности расчетных
зависимостей свойств материалов во всем реальном диапазоне
изменения параметров гораздо важнее полного совпадения рас-
четных и экспериментальных данных в отдельных точках. В дан-
ном случае полидисперсная модель среды корректно отражает за-
кономерность поведения материала, поскольку в ходе построения
зависимостей упругих макрохарактеристик от пористости ника-
ких допущений ни математического, ни физического характера
сделано не было. Основное и единственное допущение принято
относительно модели материала, а именно: ячейка пористого ма-
териала, включающая некоторый характерный объем материала с
порой внутри, отражает свойства материала в целом.
14.1.3. Влияние формы пор на макрохарактеристики пористого тела
Основным фактором, определяющим механические свойства
пористого тела, по мнению большинства исследователей, являет-
ся его пористость. В известных фундаментальных работах по по-
нятным причинам характеристической ячейкой пористой среды
выбиралась сферическая оболочка, и пористость выступала в ка-
честве единственного параметра, связывающего свойства матри-
цы со свойствами континуума. С этим нельзя согласиться, если
рассматривать пору как концентратор напряжений; в зависимос-
ти от формы поры коэффициент концентрации изменяется в весьма
широких пределах.
Из теории оболочек известно, что сферическая оболочка в ус-
ловиях гидростатического давления обладает наибольшей жест-
костью; в процессе нагружения сферическая форма сохраняется,
а изменяются лишь радиусы внутренней и наружной поверхнос-
тей. Оболочка любой другой формы изменяет соотношение раз-
меров по направлениям. На рис. 14.10 показано формоизменение
эллипсоидной оболочки с исходным отношением осей bz : br = 1 : 2
и отношением размеров внутренней и наружной поверхностей
434
1:1,4 при гидростатическом нагружении. Для наглядности ре-
зультата задано очень большое давление р = -4000 МПа, что по-
зволяет показать характер формоизменения оболочки. Очевидно,
что эквидистантного перемещения поверхностей при гидростати-
ческом сжатии не происходит. Можно сделать заключение, что
форма пор может оказаться не менее значимым фактором, чем
объем пор (пористость).
Рис. 14.10. Формоизменение эллипсоидной оболочки при гидростати-
ческом сжатии: справа — исходное сечение; слева — под давлением
- 4000 МПа (40 000 бар)
Последовательно рассмотрим влияние формы пор на упру-
гие характеристики пористого материала и на процесс перехода
материала в пластическое состояние. В качестве ячейки поли-
дисперсной модели среды выберем эллипсоидные оболочки с
отношением осей наружной поверхности 1: 2 : 2 и 2 :1 :1, пред-
ставляющие собой сплюснутый и вытянутый эллипсоиды. По-
лагаем отношение осей внутренней поверхности (поры) тем же,
что для наружной поверхности. Сплюснутый эллипсоид прин-
ципиально возможно получить осадкой материала со сфери-
ческими порами, вытянутый — прессованием через матрицу.
Варьируя отношение размера поры к соответствующему наруж-
ному размеру, исследуем влияние пористости при заданной
форме пор.
Определим модуль нормальной упругости из решения задачи
об одноосном растяжении эллипсоидной оболочки в направлениях
длинной и короткой осей. На рис. 14.11 показан характер распре-
деления перемещений иг и uz в условиях одноосного растяжения, а
на рис. 14.12 — распределения гидростатических и максимальных
касательных напряжений.
435
Рис. 14.11. Распределение перемещений в эллипсоидных
оболочках при растяжении вдоль оси Z
Рис. 14.12. Распределение гидростатических и макси-
мальных касательных напряжений в эллипсоидных
оболочках при растяжении вдоль оси Z
436
Представленные распределения перемещений и напряжений по
сечению оболочки показывают необоснованность и неприемлемость
допущения об однородности деформаций в элементе полидиспер-
сной среды, на основании которого строятся некоторые расчеты
упругих констант пористого материала. Гидростатические напря-
жения в объеме оболочки могут изменяться в диапазоне ±а5, мак-
симальные напряжения — от нуля до предела текучести. Однород-
ным напряженно-деформированное состояние становится только
в результате перехода от оболочки к континууму; при этом ему
приписываются свойства, позволяющие в частности адекватно опи-
сать деформированное состояние элемента полидисперсной моде-
ли среды как единого целого в упругом состоянии, переход из уп-
ругого состояния в пластическое и далее проследить за уплотнением
среды в макрообъемах, превышающих размеры элемента.
Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе,
модуль упругости для материала с эллипсоидными порами опреде-
ляется исходя из рассчитанного усилия растяжения при заданной
равномерно распределенной (по континууму) деформации. Резуль-
таты расчета модуля упругости представлены в табл, 14.2.
Таблица 14.2
Результаты расчета модуля нормальной упругости материала с
эллипсоидными порами
Эллипсоид а:Ь п кН Ег, % МПа £?1М, МПа
Сплюснутый 1:2 0,125 412 0,2 328 164000
1:1,5 0,296 240 0,266 340 127500
(1:2:2) 1:1,4 0,364 201 0,286 327 114500
Вытянутый 1:2 0,125 52,3 0,1 166 166000
1:1,5 0,296 28,5 0,133 161 120000
(2:1:1) 1:1,4 0,364 23,1 0,143 150 105000
437
Рис. 14.13. Зависимость модуля
Юнга от пористости для мате-
риалов со сферическими (7) и
эллипсоидными порами при
растяжении вдоль длинной (2) и
короткой (3) осей
ти) тот же вывод можно сделать
На рис. 14.13 на основании
данных табл. 14.1 и 14.2 приведе-
ны зависимости модуля упругос-
ти от пористости для материалов
со сферическими и эллипсоидны-
ми порами (последние — при ра-
стяжении вдоль длинной и корот-
кой осей).
Различие модуля нормальной
упругости материалов со сфери-
ческими и эллипсоидными по-
рами вряд ли можно признать
значимым. На основании прин-
ципа взаимности (принцип Бет-
относительно коэффициента Пу-
ассона: если в анизотропном материале с эллипсоидными порами
модули Юнга £ и £ почти одинаковы, то коэффициенты попе-
речной деформации, связанные соотношением
жны быть примерно равными.
дол-
Таким образом, влияние формы пор на поведение материала в
упругом состоянии для модели полидисперсной среды не установ-
лено. Этот вывод является скорее неожиданным, чем закономер-
ным, поскольку в качестве характеристической ячейки полидис-
персной среды рассматривалась оболочка. Нетрудно представить,
что при нагружении оболочки (свода, арки) отношение вертикаль-
ного перемещения (стрелы прогиба арки) к горизонтальному в слу-
чае свободного перемещения опоры будет тем больше, чем ниже
свод. Иными словами, высокая арка прогибается меньше низкой.
Поэтому зависимость коэффициента поперечной деформации от
отношения осей эллипсоидной оболочки, на первый взгляд, может
показаться закономерной. Такого рода ошибочная зависимость была
установлена на начальной стадии работы.
Ошибка была устранена в результате отказа от упрощенного
расчета коэффициента поперечной деформации в виде отно-
шения деформаций, рассчитанных по максимальным величи-
нам вертикального и горизонтального перемещений (стрела
прогиба и перемещения опоры), и перехода к интегральным
оценкам. Как показано на рис. 14.10, эллипсоидная оболочка
при нагружении перестает быть эллипсоидной, приобретает
более сложную форму, далекую от канонической; это требует
более аккуратных вычислений.
438
Далее рассмотрим поведение эллипсоидной оболочки в более
сложных условиях нагружения, характерных для обработки дав-
лением, и оценим условия перехода в пластическое состояние.
Известно, что сферическая оболочка из всех геометрических
форм является наиболее прочной в условиях гидростатического
нагружения. Это связано с равномерным распределением напря-
жений и деформаций в тангенциальных направлениях. Любое от-
клонение от сферической формы вызовет неравномерность на-
пряженно-деформированного состояния и, следовательно,
дополнительную концентрацию напряжений и деформаций.
О концентрации напряжений можно судить по рис. 14.14, где
показаны распределения среднего давления о0 и интенсивности
напряжений о, в условиях гидростатического нагружения давле-
нием р = —100 МПа для оболочек с отношением внутреннего и
внешнего размеров 1:1,4; 1:1,5; 1:2, что соответствует относитель-
ным плотностям пористого тела р = 0,636; 0,704; 0,875.
Рис. 14.14. Распределения среднего давления о0 и интен-
сивности напряжений о, в эллипсоидной оболочке с
отношениями размеров по внутренней и наружной поверх-
ностям 1:1,4; 1:1,5; 1:2 в условиях гидростатического
сжатия давлением р = —100 МПа
439
Рис. 14.15. Внешнее гидроста-
тическое давление, необходи-
мое дня начала пластической
деформации в эллипсоидной
(7) и сферической (2) оболочках
По этим данным на рис. 14.15
изображена кривая (7), показываю-
щая соотношение внешнего давле-
ния и предела текучести материала
оболочки, при котором начинается
пластическая деформация в районе
концентратора. Прямая (2) перене-
сена с рис. 14.4 и относится к сфе-
рической оболочке.
Здесь не удается показать диа-
пазон перехода в пластическое со-
стояние всего объема материала эл-
липсоидной оболочки, как это сделано для сферической оболочки.
При гидростатическом сжатии эллипсоида, соответствующего вы-
сокой пористости, происходит изменение соотношения осей поры:
уменьшение размера вдоль малой оси Z (рис. 14.16) и некоторое
увеличение вдоль длинной оси. При принятом условии о равно-
мерном распределении пор в районе выхода большой полуоси эл-
липсоида на внешнюю поверхность остается область малой ин-
тенсивности напряжений (см. рис. 14.14), где пластическая
деформация может не происходить вовсе, как она не происходит
при гидростатическом сжатии компактного материала.
Рис. 14.16. Распределение перемещений при гидростатическом сжатии
эллипсоидной оболочки (р = —100 МПа)
По результатам расчета эллипсоидных оболочек на кручение
на рис. 14.17 показана область перехода пористого материала (с
равномерно распределенными эллипсоидными порами) в пласти-
ческое состояние при кручении. По сравнению со сферическими
элементами эллипсоидные элементы с эллипсоидными порами
имеют более высокую концентрацию напряжений, и, следователь-
но, переход в пластическое состояние начинается при меньших
440
номинальных напряжениях.
Верхняя граница диапазона тпм
обусловлена видом нагружения,
и не носит универсального ха-
рактера.
Распределение касательных
напряжений при кручении эл-
липсоидной оболочки (рис. 14.18)
качественно мало отличается от
соответствующих результатов для
сферических оболочек. Количе-
ственные отличия обусловлены не
столько геометрией концентрато-
ра, сколько уменьшением разме-
Рис. 14.17. Диапазон перехода в
пластическое состояние эллип-
соидной оболочки при круче-
нии (пунктир — то же для
сферической оболочки)
ра вдоль Zv что не позволяет в пределах оболочки достичь номи-
нального уровня напряжения при пористости более П = 0,1.
Рис. 14.18. Распределение напряжений при кручении эллипсоидных
оболочек с отношением размеров по внутренней и наружной поверхно-
стям 1 : 1,4 и 1 : 2
Представленные выше результаты численных экспериментов
на полидисперсной модели среды не претендуют на роль жестких
функциональных связей между макрохарактеристиками пористо-
го тела и его каркаса (матрицы). Напротив, здесь показано, что
441
пористость как отношение объема пор к объему пористого тела
является существенным, но не единственным и не самым глав-
ным фактором, обусловливающим механические свойства порис-
того тела. Рис. 14.15 и 14.16 показывают, что с изменением пори-
стости или относительной плотности пределы текучести пористого
материала на гидростатическое сжатие опм и сдвиг тпм плавно
изменяются. Изменение формы поры со сферической на эллип-
соидную с отношением осей 1:2:2 оказывает на эти макроха-
рактеристики пористого материала более заметное влияние.
Этот вывод находится в определенном противоречии с суще-
ствующими представлениями, основанными на постулате об од-
нозначности диссипативной функции
D = (1 -П)П0 ,
где индекс “0” относится к каркасу пористого тела. На основании
этого постулата В.В. Скороход [91] получил выражения для вычис-
ления размеров полуосей эллипса в эллиптическом условии плас-
тичности; в том же виде их можно найти в работе М.Б. Штерна [92]
и далее с точностью до обозначений — в работе Б.А. Друянова [89].
Несмотря на многообразие математических приемов получе-
ния уравнений связи свойств пористого тела и его каркаса, про-
сматривается единый подход к решению проблемы. В работах
[88, 92] исходной позицией является гипотеза Бельтрами о пере-
ходе материала в пластическое состояние по достижении работой
упругой деформации определенного значения. Энергетический
подход позволяет получить макрохарактеристики пористого ма-
териала как интегральные характеристики континуума, в котором
поры не нарушают однородности свойств материала и, следова-
тельно, однородности деформации.
Рассматриваемый в настоящей работе подход, основанный на
представлении пористого тела в виде компактного материала с
концентраторами напряжений, позволяет уйти от допущения об
однородности деформации и говорить о макрохарактеристиках по-
ристого материала не как о детерминированных величинах, а ско-
рее как о вероятностных, не являющихся постоянными даже в
пределах выделенного элемента полидисперсной модели. И в этом
плане трудно сопоставить представленные здесь данные с данны-
ми других авторов.
Результаты оценок предела текучести пористого тела со сфе-
рическими порами, показанные на рис. 14.4, можно считать со-
гласующимися, несмотря на использование в работе [88] допуще-
ния о несжимаемости матрицы. Это связано с однозначностью
представления о гидростатическом нагружении.
442
Результаты оценки предела текучести пористого тела в усло-
виях чистого сдвига далеки от согласованности (см. рис. 14.6). Это
закономерно, поскольку в теоретическом анализе использовались
принципиально различные схемы нагружения. В настоящей ра-
боте моделировался процесс кручения, где сферическая пора ока-
зывается в неравномерном поле напряжений. В работе [88] усло-
вия чистого сдвига создавались растяжением и сжатием квадратного
стержня во взаимно перпендикулярных направлениях. При этом
вместо сферической поры рассматривалось сквозное квадратное
отверстие.
Известно, что сквозное круглое отверстие при растяжении
пластины дает трехкратную концентрацию напряжений (решение
Кирша); сферическое отверстие при растяжении стержня — дву-
кратную (решение Саусвелла). Таким образом, сквозная пора в
решении А.К. Григорьева при прочих равных условиях должна
показать меньший уровень напряжений, необходимый для начала
пластической деформации, т.е. меньшее значение т5пм/т, , чем
рассчитанное для сферической поры (меньшего концентратора
напряжений).
Вероятно, более существенную роль играет неточность, допу-
щенная в работе [88] при оценке уровня касательных напряжений
на наклонной площадке, где реализуются условия чистого сдвига.
Величина касательного напряжения на наклонной площадке при-
нята Ту, = р безоговорочно. Появление квадратной поры в квад-
ратном сечении уменьшает величину площадки, где действуют
касательные напряжения, следовательно, при той же внешней
нагрузке р напряжения на наклонной площадке гху>р. Чем боль-
ше относительный размер поры, тем больше ошибка, тем более
будут различаться результаты, представленные на рис. 14.6.
Моделирование поведения оболочки в условиях чистого сдви-
га, выполненное с ориентацией на процесс кручения, ограничи-
вает возможность использования результатов для иных схем на-
гружения. При кручении коэффициент концентрации составил
примерно 1,25; малая сферическая пора в стержне при двусторон-
нем растяжении — сжатии на фоне однородного поля напряже-
ний чистого сдвига дает концентрацию напряжений около 1,9.
Соответственно, при меньшем уровне номинальных напряжений
начинается пластическая деформация. Поэтому нельзя говорить о
независимости предела текучести от условий нагружения.
Совершенно очевидно, что в реальном материале нет упорядо-
ченного равномерного расположения пор; поэтому теоретические
443
расчеты макрохарактеристик механических свойств пористого
материала могут носить лишь оценочный характер.
Проведенные численные эксперименты не совсем согласуют-
ся с принятыми многими авторами допущениями о том, что уп-
лотнение происходит под действием гидростатического давления,
а сдвиговые деформации изменения плотности не вызывают. Дей-
ствительно, сдвиговые деформации сами по себе не приводят к
изменению плотности; однако касательные напряжения изменя-
ют характер напряженного состояния, увеличивают интенсивность
напряжений, что вызывает большее уплотнение при том же гид-
ростатическом давлении.
На рис. 14.19 показано сужение эллипсоидной поры оболочки
с соотношением а : b = 1: 2 в
Рис. 14.19. Перемещение
берегов эллипсоидной поры
при нарастании гидростатичес-
кого давления (7); то же при
одновременном кручении (2)
зависимости от внешнего гидро-
статического давления (кривая 7);
крутящий момент, вызывающий на
начальной стадии в районе кон-
центратора касательные напряже-
ния т0г ~ 0,4т5, приводит к более
интенсивному перемещению бере-
гов поры (кривая 2).
Это связано с влиянием каса-
тельных напряжений на интенсив-
ность напряжений; переход метал-
ла в пластическое состояние в
районе концентратора ослабляет
несущую способность оболочки, и
пора схлопывается при меньшем
внешнем давлении. На рис. 14.20 показаны сравнительные карти-
ны распределения перемещений по объему эллипсоидной обо-
лочки и интенсивности напряжений, им соответствующих, для
случаев гидростатического сжатия без сдвиговых деформаций (сле-
ва) и с одновременным приложением крутящего момента.
Несмотря на многие условности описания поведения порис-
того материала исходя из деформации отдельной ячейки с порой
внутри, основные закономерности упругого и пластического по-
ведения материала описываются корректно.
Так, упругие характеристики континуума получены в строгом
соответствии с уравнениями теории упругости. В результате кон-
тинуум, обладающий рассчитанными по формулам теории упру-
гости характеристиками, при заданной внешней нагрузке примет
ту же форму, что и его дискретный прототип (оболочка).
444
г
Рис. 14.20. Распределение перемещений uz и интенсивностей напряже-
ний а, в эллипсоидной оболочке при гидростатическом сжатии (слева)
и при одновременном действии крутящего момента (справа),
а:b=1:2
Коэффициенты концентрации для ячеек с порами произволь-
ной формы корректно определяются в зависимости от вида нагруз-
ки; это позволяет по заданной внешней нагрузке рассчитать напря-
жения в концентраторе и, наоборот, по напряжениям в концентраторе
определить внешнюю нагрузку, обусловливающую начало пласти-
ческой деформации.
По заданной внешней нагрузке, решая задачу пластического те-
чения компактного материала для ячейки с порой, можно опреде-
лить ее (ячейки с порой) геометрические размеры на любой стадии
нагружения. При этом корректно рассчитываются все стадии уплот-
нения материала: стадия упругого нагружения оболочки, стадия пе-
рехода материала оболочки в пластическое состояние, стадия плас-
тического формоизменения (см. рис. 14.19).
Вторая стадия соответствует упругопластическому деформирова-
нию: пластическая деформация начинается в концентраторе и по-
степенно с увеличением внешней нагрузки распространяется на
всю оболочку. С позиций континуума — это процесс упрочнения
материала: пластическая деформация может продолжаться только за
счет нарастания внешней нагрузки.
445
Третья стадия — деформирование в пластическом состоянии, —
если не учитывать концентрацию напряжений, при идеально плас-
тической матрице должна происходить, как показано в работе [88],
практически без нарастания внешней нагрузки, что не соответ-
ствует действительности.
Учет неоднородности деформаций, сделанный в настоящей ра-
боте, позволяет моделировать упрочнение пористого материала без
упрочнения матрицы. Упрочнение пористого материала обусловле-
но двумя факторами. Во-первых, при переходе из упругого состоя-
ния в пластическое (в упругом состоянии коэффициенты концент-
рации напряжений и деформаций равны между собой) коэффициент
концентрации деформаций растет, а коэффициент концентрации
напряжений уменьшается; следовательно, необходимая для пласти-
ческого деформирования интенсивность напряжений должна быть
достигнута за счет увеличения внешней нагрузки. Во-вторых, умень-
шение относительного размера поры соответствует уменьшению
концентрации напряжений, и, следовательно, необходима дополни-
тельная внешняя нагрузка для сохранения требуемой для пластичес-
кой деформации интенсивности напряжений. С позиций континуу-
ма увеличение внешней нагрузки для продолжения пластической
деформации — это упрочнение пористого материала.
Таким образом, континуальная модель пористого материала,
построенная на основе представления о порах как о концентрато-
рах напряжений, качественно верно описывает все стадии дефор-
мирования.
14.2. Упруговязкопластическое течение уплотняемых материалов
Как показано в главе 8, пластическое формоизменение уплотня-
емых материалов определяется не только девиаторной составляю-
щей тензора деформации, как у компактных материалов, но и шаро-
вой компонентой тензора напряжений. Это означает принципиальную
невозможность использования деформационной теории для анализа
процессов обработки давлением уплотняемых материалов. Приме-
нение теории течения, где в качестве независимых параметров фигу-
рируют компоненты скорости перемещения и гидростатическое дав-
ление, необходимо именно с вычислительной точки зрения.
Поскольку уравнения Прандтля—Рейсса не являются конеч-
ными соотношениями и не интегрируются для произвольного пути
нагружения или пути деформирования, существует необходимость
пошагового прослеживания процесса. Причем на каждом шаге на-
гружения изменяется не только напряженно-деформированное
446
состояние, но и свойства материала (плотность, пределы теку-
чести).
Для упруговязкопластического неизотермического течения
представим скорость деформации в виде трех составляющих: ско-
ростей упругой, пластической и температурной деформаций:
+ ф. (14.14)
В соответствии с законом Гука скорость упругой деформации
У , я йо
+ <1415>
ZCr ЗА
Уравнение ассоциированного закона течения при квадратич-
ном условии текучести позволяет представить скорость пласти-
ческой деформации в виде
, я °0 /,л
" 2ц' у ЗКР (14.16)
В отличие от составляющей скорости упругих деформаций, здесь
(коэффициент вязкости) и Кр (скорость объемной деформа-
ции) — величины переменные, зависящие не только от механичес-
ких характеристик материала, но и от напряженно-деформирован-
ного состояния. Уравнения для их вычисления представлены в главе
4 при рассмотрении различных условий пластичности.
На основании (8.9)— (8.11) полная скорость деформации
1 ^^у Sy d&Q £ (Та £ (7ф
е'7 “ 2G~dr+2iip+JK~dx+5,J 'зКр+Ьи ~dx' (14Л7)
Прослеживание процесса течения во времени осуществляется
малыми шагами Дт; при этом производные по времени, входящие
в (14.17), должны быть представлены в виде конечных разностей
_ ао ~ ао
dx Дт
Лр _ Дф
dx Дт ’
Знаком * отмечены значения параметра, полученные на пре-
дыдущем этапе нагружения.
Результирующая скорость деформации на каждой стадии де-
формирования
(14.18)
447
Обозначив
получим
Sy = 2ц
Ёу - 8у -Э- + —+ 8у
9 ,J ЗК&х 2Gbx ,J
Рр 8 Дф
ЗЛГДт Дт
(14.19)
В соответствии с (8.15) компоненты девиатора напряжений
являются функцией скорости деформации, гидростатического дав-
ления и напряженного состояния, сформировавшегося на пред-
шествующем этапе.
Скорость объемной деформации в произвольный момент вре-
мени
и
Переходя
Ер
Отсюда
ё0 =ё§+ё^+3ф = 4г^ + —+ 3^.
0 0 0 К dx кр dx
к конечным разностям, получаем
Рр , 3 ДФ
.ЙГДт Дт
= а0 ~ а0 | а0
К\х К*
Дт
<*о
Дф
КЛх Дт
Рр _3Дф Рр
К Дт К Ах
(14.20)
(14.21)
t
(14.22) *
(14.23) s
о
♦
Уравнения (14.19), (14.23) при ё0 = ё,7 дают определяющие урав-
нения, позволяющие найти девиаторную и шаровую части тензо-
ра напряжений.
Из (14.19) и (14.21) следует
(14.24)
что позволяет определить компоненты девиатора напряжений че-
рез скорости суммарных (а не пластических) деформаций.
В случае использования эллиптического условия пластичности
448
KP ~2k,ixP = 2Х = а|М)2 • (14.25)
Таким образом, обе переменные механические характеристи-
ки цр и Кр в ходе итерационного процесса решения задачи мо-
гут быть выражены через один варьируемый параметр.
14.3. Конечно-элементная формулировка задачи теории течения
Выражение девиатора напряжений в условиях упруговязкопла-
стического течения уплотняемого материала, согласно (14.19),
может быть записано в матричной форме:
З/ГДт
{-У} , 1
2(7Дт ЗА"Дт
т {Аф}
1 Дт
(14.26)
Здесь [7] = [111000];
2ц 0 0 0 0 0
2ц 0 0 0 0
2ц 0 0 0
ц 0 0
ц 0
(14.27)
— матрица упруговязких свойств материала.
В выражении (14.27) так же, как в (14.19), обозначено
(14.28)
Ц =
бДт цр
В неизотермическом процессе скорость объемной деформа-
ции уплотняемых материалов связана со средним давлением и со
свободными объемными температурными изменениями соотно-
шением (14.20).
Вводя произвольное поле среднего напряжения, интегрируя
по объему конечного элемента и суммируя по всем конечным эле-
ментам рассматриваемого тела, условие изменения объема полу-
чаем в виде
Рр
А'Ат
До
КЬх
(14.29)
449
Уравнение виртуальных мощностей (8.4) может быть представ-
лено в матричной форме:
J {8ё}т + J 8ё0Оо</И = J {&U}T {P}dS. (14.30)
и vs
Для решения задачи методом конечных элементов уравнения
(14.29), (14.30) должны быть выражены через скорости течения и
средние давления. Воспользуемся соотношениями, связывающи-
ми напряжения и скорости деформации в конечном элементе г с
узловыми значениями скоростей перемещения {С/} и гидростати-
ческого напряжения {ст0 }:
= [^]{ё}г = [/] [W) , где [/]=[ 1 1 1 0 0 0]
{U}r =[#]{[/};
по = W{o0};
М =[7V]{5};
Афг = [7\Г]{Дф}.
Здесь следует обратить внимание на то, что связь компонент
скоростей перемещений и гидростатического давления внутри
элемента и в узловых точках устанавливается с использованием
одних и тех же функций формы.
Выразив параметры, входящие в выражение (14.30), через ско-
рости перемещений и гидростатическое давление, для ансамбля
конечных элементов приходим к уравнению виртуальных мощно-
стей в виде
dV
Y J {8tf}W [ PHWI
f у г 3 К. Дт
+ S J тт ([/][Б])г = £ f {8U}T[N]T{P}dSr -
Г vr r Sr
Ч-S J {8tf}W[4+ [if [^]Ш- -[Z]r[7VwW
Дт r 2G 3K
450
Здесь {U} и {а0} — значения узловых скоростей и среднего
давления как константы могут быть вынесены за знак интегра-
ла по объему конечного элемента. С учетом произвольности
виртуального поля скоростей последнее выражение представим в
окончательном виде:
г 1/т
г
[Д]Г[Д][/]Г[У] dV
Зл Дт J
= Е f[Aqr{7W -
{Ofl} =
(14.31)
Дт г уГ I 2G
* А
--[Zf[W]{A(p} dVr.
Аналогично преобразуется условие, связывающее скорость
объемной деформации ё0 с гидростатическим напряжением
(условие изменения объема):
X {tf}-± J {о0} =
г г Дт \},К
=-x4-l J -3W
Г уг \ у
(14.32)
Уравнения (14.31) и (14.32) представляют собой систему раз-
решающих уравнений относительно узловых значений скорос-
тей перемещений и гидростатического давления. Для каждого
узла сетки конечных элементов имеем три уравнения равнове-
сия (14.31) и условие изменения объема (14.32), позволяющее
прослеживать историю нагружения упруговязкопластического
материала.
В соответствии с концепцией метода конечных элементов
система уравнений (14.31), (14.32) в своей левой части должна
содержать диагонально-симметричную матрицу. Принимая во
внимание, что матрица производных функций формы имеет вид
451
И о о
Эх
о Ml о
ду
о о Ml
dz
ад ад 0
ду дх
0 Э[7У] ад
dz ду
Э[2У] 0 Э[#]
dz дх
после выполнения операций в выражениях (14.31), (14.32) получим
[£][£] =
-,..ЭМЭМ , ..ЭМ ЭМ , ..ЭМ ЭМ „ Э[У] Э[^ .. ЭМ ЭМ
дх дх ду ду dz dz ’ дх ду ’ Эх dz
..d[N]d[N]
Эх ду
.. эм ЭМ
Эх dz
-,..эмэм . ..эмэм . ..эмэм ..эмэм
ду ду дх дх dz dz ’ ду dz
.. эм эм п „ЭМ эм ... эм эм ,.. эм эм
ду dz ’ dz dz Эх Эх ду ду
([/][Б])ТМ]
Ии
Эх
и m
ду
dz
452
[5f[Z)][/]r[#] =
П WrAn
2ц4—![7V]
дх
2цЩ[ЛГ]
2ц^1[7У]
[В]г[7)][#]
С Э[ЛГ] Э[ЛГ]
2цЧ—1 + 1 + Ц-4—1 [N]
дх ду dz J
f Э[ЛГ] Э[ЛГ] Э[#]1
ду дх dz J
(_ d[N] d[N] Э[#ПГЛП
dz дх ду
Квадратная матрица
ЦГ’ = J[<[D][«]rfr,
vr
определяющая вектор обобщенных узловых сил для элемента г
через узловые перемещения {U}, является матрицей жесткости
элемента.
Обозначив
1 /дх9 1 /ду9
для блока матрицы [AJ, учитывающего жесткость в узле /, обус-
ловленную влиянием на него узла j, получаем:
[*</]=
1х(2Ь,Ь} +c,Cj +d,dj), [ibjCj, \ibjd„
ц/>,Cj, ц(2с,су + b,bj + dtdj), цсуd,,
= ] \xbjdj, n(2d,dj+btbj+CiCj),
vr
bjN,, CjNj, djNj,
^•(14.33)
Чтобы прийти к диагонально-симметричной матрице жестко-
сти, четвертую строку матрицы следует умножить на 0.
453
Вектор правой части системы уравнений, соответствующий
блоку [ KtJ ], имеет вид
+(f -ilb-.s* +C:S* +d:S *)N,dVr -
\ j 0/^ v » •* i xy i xz ' J
yr
-(J 2^ЛГ/Г){Д<Р}))
vr
J \N?PydSr -±(( J 2b(W/r){Q0}‘ +
er At ,zr 3k
{Л =
+(f £(2c,< + VxZ + <)*#' -
yr
-(J 2цсЛ/К'){Д<р}))
vr
(14.34)
+(j £(2d,s;+ь^*+Cisy;)N}dvr -
yr
-(J 2p4W/r){A<p}))
vr
~(J ^JV/r){G0r+3(f
/CAT .,r r,r
Составляя из блоков [ Ку ] глобальную матрицу жесткости,
приходим к диагонально симметричной матрице левой части
системы линейных алгебраических уравнений.
14.4. Алгоритм решения задачи упруговязкопластического течения
Использование модели упруговязкопластического течения по-
зволяет прослеживать процессы обработки давлением уплотняе-
мых материалов во времени, т. е. прослеживать историю дефор-
мирования малыми шагами по нагружению. Наличие упругой
составляющей скорости деформации дает возможность анализи-
ровать не только процессы прессования в закрытой матрице, но и
454
процессы, связанные с упругой разгрузкой при выходе из очага
деформации (экструзия, прокатка).
В отличие от рассмотренной в главе 4 модели вязкопластичес-
кого материала (без упругой составляющей), где деформирован-
ное состояние задано перемещением пуансона, для модели упру-
говязкопластического материала деформированное состояние не
определено, поскольку есть как обратимые, так и необратимые
деформации. Очевидно, что плотность материала зависит лишь от
необратимых (пластических) деформаций. Решение такой задачи
на каждом этапе нагружения достигается итерационным путем,
методом последовательных приближений.
На первом шаге расчета задаются начальные приближения двух
параметров, связывающих напряженное и деформированное со-
стояния. Это — коэффициент пропорциональности девиаторов
напряжений и скоростей деформации Ц и модуль объемной де-
формации К. Их аналогами в теории упругости являются модуль
i сдвига G и модуль объемной деформации К. Различие состоит в
„ Е 1
том, что Сг = —--? и К = —;----г — константы, тогда как пара-
2(l + v) 3(l-2v)
, метры Ц и К зависят не только от механических свойств материала,
но и от напряженно-деформированного состояния материала на рас-
j сматриваемой стадии нагружения; причем напряженно-деформиро-
ванное состояние еще только предстоит определить. Таким образом,
параметры связи напряженного и деформированного состояний Ц и
К необходимо определять одновременно с расчетом напряженно-
деформированного состояния. Критерием точности подбора пара-
метров Ц и К является соблюдение условия пластичности при вы-
полнении уравнений ассоциированного закона течения.
Задание в первом приближении параметров Ц и К позволяет
решить систему уравнений теории течения, включающую уравне-
ние виртуальных скоростей, в соответствии с концепцией МКЭ
распадающееся на три уравнения равновесия в каждом узле сетки
конечных элементов, и уравнение изменения объема. Решение
системы уравнений теории течения дает три компоненты вектора
скорости перемещений и гидростатическое давление в каждой
точке. Вектор скорости течения однозначно определяет деформи-
рованное состояние.
При заданном первом приближении параметра Ц и вычислен-
ных значениях скорости деформации определяются компоненты
Девиатора напряжений
455
S'J = 2ц
Интенсивность напряжений а, =
2(?Дт
При известных упругих характеристиках материала G и К и за-
данных значених Ц и К можем определить коэффициент вязкос-
ти цр и модуль необратимой объемной скорости деформации Кр:
1____LT1. ____________
^ц (7Дт} А'Дт^
Компоненты скорости пластической деформации определяются
из уравнения ассоциированного закона течения
ё£=А_ + 5 _£о_.
7 2цр v ЗКр
Далее вычисляются скорость объемных пластических дефор-
маций = 7 и интенсивность скоростей пластических дефор-
57
маций ef = J—ёрёр .
Если на момент начала очередного этапа нагружения плот-
ность материала в рассматриваемой точке составляет р * , то при
деформировании со скоростью ё^ через промежуток времени Дт
плотность достигнет величины
р *
р = —------•
ехр(ё^Дт)
По величинам плотности материала, степени, скорости дефор-
мации, температуре определяются пределы текучести пористого
материала на гидростатическое сжатие ps и сдвиг .
При известных значениях первого и второго инвариантов тен-
зора и девиатора напряжений а0 и а, и пределов текучести мате-
риала на гидростатическое сжатие и сдвиг проверяем выполнение
условия текучести
456
Если условие текучести выполнено с требуемой точностью,
будем считать, что подобранные значения ц и К дают правиль-
ный результат. Получены значения плотности материала в точке
сетки конечных элементов, компонент напряжений а у = Sy + Зуо0,
компонент приращения деформации Деу = ё^Дт.
Можно переходить к следующему этапу нагружения.
Если условие пластичности не выполнено с необходимой точ-
ностью, требуется следующее приближение с новыми значениями
параметров Ц и К .
При принятом эллиптическом условии пластичности
Новые значения коэффициента вязкости цр и модуля необра-
тимого изменения объема Кр определяются как
2 2
^ = b_; КР=—.
2Л 2Х
Параметры связи девиаторов напряжений и скоростей дефор-
маций вычисляются по формулам
( 1 И г Г 1 и
ц — т;—*---> К ~-----------'----•
GAT ЦР J ^Л'ДТ КР ;
При новых значениях параметров Ц и К вновь решается си-
стема уравнений теории течения, и расчеты выполняются в той
же последовательности, завершаясь проверкой выполнения усло-
вия пластичности.
В случае использования вместо эллиптического условия плас-
тичности, например, кривой текучести в виде лемнискаты после-
довательность расчетов сохраняется. Изменяются лишь формулы
для вычисления следующего приближения коэффициентов цр и
Кр, которые дополнительно включают компоненты напряжен-
ного состояния.
14.5 . Пример решения задачи о прессовании фланца
Модель уплотнения пористого материала, базирующаяся на
представлении монолитной среды с множеством пор — концент-
раторов напряжений и деформаций, успешно вписывается в совре-
менную теорию пластичности уплотняемых тел, рассматривающую
457
пористую среду как континуум. В соответствии с этими представ-
лениями, эллиптическое условие пластичности является следствием
условия Мизеса, примененного к конструктивному элементу—обо-
лочке. В этом случае пределы текучести пористого материала на
гидростатическое сжатие и чистый сдвиг являются частным от
деления предела текучести материала матрицы на соответствую-
щие коэффициенты концентрации напряжений. Такая модель в
любом случае не противоречит условию пластичности.
Это позволяет подойти к решению технологических задач об-
работки давлением уплотняемых тел с позиций теории течения с
теми коррективами, которые связаны с характером уплотнения и
с условиями перехода к необратимым деформациям.
В отличие от математической постановки задачи теории плас-
тичности уплотняемых тел, сформулированной в работе [89], здесь
предусмотрена возможность анализа технологических процессов об-
работки давлением без ограничений на геометрию области и харак-
тер нагружения. Это связано с учетом упругой составляющей дефор-
мации и, следовательно, с учетом упругой разгрузки. При решении
технологических задач со сколько-нибудь сложной конфигурацией
области, когда в процессе прессования изменяется направление те-
чения материала, процесс необходимо прослеживать достаточно ма-
лыми шагами нагружения во избежание потери смысла решения.
Приведенный на рис. 14.21 пример прессования заготовки типа
трубы с фланцем носит иллюстративный характер и позволяет
показать, что при двустороннем прессовании со скоростями пе-
ремещений, обратно пропорциональными длинам стержневой и
фланцевой частей, при наличии сил трения на контакте с дорном
и матрицей распределение скоростей течения неоднородно и рав-
номерное уплотнение не достигается.
На стыке стержня с фланцем нарушается равномерность тече-
ния материала, и на начальной стадии процесса сохраняется не-
уплотняемая область (область упругой деформации).
При математическом моделировании процесса прессования
были заданы следующие свойства материала:
• исходная относительная плотность р = 0,6;
• модуль нормальной упругости Е = 70490 МПа;
• коэффициент поперечной деформации v = 0,369;
• предел текучести при чистом сдвиге о"м = 200р3//2;
• предел текучести при гидростатическом сжатии
а™ - -400 In у]1 -р.
458
Трение на контактных поверхностях соответствовало коэффи-
циенту трения ц = 0,3.
Рис. 14.21. Сетка конечных элементов (а),
распределение относительной плотности р (б)
и скоростей течения (в) при обжатии Е = 10 %
Фланцевая часть уплотняется по типу одностороннего прессова-
ния с заметным градиентом плотности по высоте. В стержневой ча-
сти в связи с ее большей протяженностью и влиянием сил контакт-
ного трения неравномерность более значительна. Различие диаметров
стержневой и фланцевой частей и, следовательно, неодинаковая роль
459
сил трения вызывают сдвиговые деформации, максимум которых
наблюдается на конической поверхности с образующей на линии,
соединяющей стык боковой и горизонтальной поверхностей флан-
ца со стыком стержня и фланца. Последний является геометри-
ческим концентратором; эпюра скоростей течения в этом месте
получает резкий изгиб, что обусловливает большие сдвиговые де-
формации и касательные напряжения (рис. 14.22).
Рис. 14.22. Распределение гидростатических и максимальных касатель-
ных напряжений по сечению при обжатии е = 10 %
Представленные результаты решения задачи пластического
течения выявляют качественно объяснимые закономерности, что
позволяет давать сравнительные оценки анализируемым техноло-
гическим вариантам.
14.6 . Пример расчета уплотнения материала в закрытой матрице
Рассмотрим алгоритм расчета напряженно-деформированного
состояния уплотняемого материала на примере прессования же-
лезного порошка ПЖ4М2 в закрытой матрице. Механические свой-
ства материала (по данным В.Н. Цеменко [93]) заданы пределами
текучести на гидростатическое сжатие ps и на сдвиг в зависимо-
сти от относительной плотности (табл. 14.1, рис. 14.23); примем
модуль упругости Е = 10 000 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,3 .
460
МПа
Рис. 14.23. Зависимости пределов текучести на
гидростатическое сжатие р и на сдвиг от относи-
тельной плотности железного порошка ПЖ4М2
Таблица 14.3
Механические свойства порошка ПЖ4М2
р 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,9 0,95
Ps, МПа 8 26 47 78 123 186 272 384 750 1000
, МПа 3 6,6 17,4 31 49,1 78,1 110 143 184 277 320
Модуль объемной деформации в упругом состоянии
К = --Е = 8333 МПа.
3(1 -2v)
Модуль сдвига G = —3—- = 3846 МПа .
2(1 + v)
Кинематические краевые условия:
иг = 0 при г = 0 и г = R ;
uz = ° при z = 0 ;
uz = v при z = h.
461
J
Здесь v — заданная скорость движения пуансона.
Помимо кинематических, зададим граничные условия в на-
пряжениях. Пусть на боковой контактной поверхности действуют
силы трения Г, заданные с учетом коэффициента трения /= 0,3
(рис. 14.24). В этом случае исключаются допущения об отсутствии
радиальной составляющей скорости перемещений и о линейном
распределении вдоль оси Z вертикальной компоненты скорости.
Рис. 14.24. Схема прессования цилиндрической
заготовки в закрытой матрице
Примем, что относительная плотность порошка в исходном
состоянии распределена равномерно по объему Ро = const == 0,42.
Проследим процесс прессования от исходной высоты заготов-
ки h0 = 21,4 мм до h = 10 мм за 11 последовательных этапов (ша-
гов) нагружения. На каждом этапе нагружения задаем перемеще-
ние пуансона 1 1,2 мм. Вертикальные перемещения по дну
матрицы и радиальные перемещения на боковых стенках матри-
цы — нулевые. Помимо граничных условий в перемещениях (ус-
ловий жесткого нагружения), должны быть заданы граничные ус-
ловия в напряжениях, отражающие распределение напряжений
контактного трения по высоте заготовки.
462
Задача в такой постановке решается методом конечных эле-
ментов. Исходная сетка конечных элементов, включающая 80 че-
тырехугольных квадратичных элементов и 277 узлов, показана на
рис. 14.25. Там же представлены изображения сетки конечных
элементов на нескольких стадиях деформирования.
h = 18 мм
7 *Деееееооеоооеое< *
4.5» > о (• II о о <•
SSoe-
। »еч «е
| «Эч «е
II
еч «еч *-&
О <1 <1
чн»Ч1-еч1
h = 14 мм
о 4
04 >-Оч >обофофо< I
аооооооу» »с
ил» 4D ш ш Ф Ф 4 Ф
фО| ИО
(I
Оч *еч > О фо4 >
II И
<1 О
еч «еч «е* ’
О <1
еч «еч «Эч нОЧ 1-04*04 |
! I | II (I 4» И
О 41 1
ефефеч «он
41 4
<1 (I
о <•
h = 10 мм
< «еч «еч >е
II О (I о
еч «еч н*ч **Оч i
О О II
«еч «е
еч «еч ю-
Оч ИН «♦
II 11
(I о
«Ч >е
О ||
е« гфч «еч«е-)
II
феееб об о До о ое> о
<1 о
<1
04 И
о
о о
О о
11 4
о О
о о
II о о
I >04 1-041-
I I о
I «О-О-
ОО
I ьОч НО4 «бч «04 нОЧ но «04 НО •
II О II II
| Ю4ЮЧ *О> ►
II (I II II
I Ю4Ю4 -04 «
II <1 О II
Ч >ОФ4>ООеОб об обо 041
(I о
о
041 о оф о о< >
<1
о о
< >
о о
«еч ъ
< ।
о
О о
11
о о
| Юч Юч Ю4 *©
♦
11
4 >
I I о
о
о
еч ►ео-еч *-»ч ‘
о О
О О
। >
11
о о
о
Рис. 14.25. Сетки конечных элементов в исходном состоянии и по
стадиям процесса
С учетом осевой симметрии заготовки на рис. 14.25 и далее
показана сетка конечных элементов, аппроксимирующая правую
половину продольного сечения. Первоначально равномерная пря-
моугольная сетка искажается неравномерно, что обусловлено дей-
ствием сил трения на боковых поверхностях.
Результаты решения задачи о прессовании в закрытой матри-
це представлены в виде областей равных уровней основных пара-
метров, характеризующих процесс деформирования.
На рис. 14.26—14.28 показаны распределения сдвиговых и
объемных деформаций, а также интенсивностей деформаций.
Сдвиговые деформации концентрируются в районе боковых кон-
тактных поверхностей, где действуют силы трения. Величина сдви-
говых деформаций убывает сверху вниз, от пуансона ко дну мат-
рицы, поскольку в том же направлении убывают силы трения.
Последние пропорциональны радиальным напряжениям. На сты-
ке пуансона и боковой поверхности матрицы, где прямой угол
сетки конечных элементов не может искажаться в силу геометрии
очага деформации, сдвиговые деформации отсутствуют.
463
h = 18 мм %
a.a
3U4
Рис. 14.26. Поля сдвиговых деформаций
! J
Ly' %
ft.ft
4*4t
JWhl
Рис. 14.27. Поля равных объемных деформаций
г
464
h = 18 мм
e„%
5.4
ia.«
e„%
24.6
«S-A
4»,О
45.,
4&>*
if
a®>*
h = 10 мм
?><•
TlUS
>S0
•36,4
•6кГ
Рис. 14 28
Области равных интенсивностей деформации
Область больших объемных деформаций распространяется
от угла на стыке пуансона и матрицы. Очевидно, при малом
диаметре заготовки следует ожидать линий уровней равных
объемных деформаций, близких к горизонтальным. По мере уве-
личения диаметра прессовки послойно-горизонтальное уплот-
нение нарушается.
Распределение интенсивностей деформаций в основном от-
ражает закономерность распределения объемных деформаций.
На рис. 14.29, 14.30 представлено распределение характери-
стик напряженного состояния (первого инварианта тензора на-
пряжений и второго инварианта девиатора напряжений). В от-
личие от компактных материалов, где шаровые компоненты
тензоров напряжений и деформаций повторяют друг друга с
учетом масштабного фактора, для уплотняемого материала ха-
рактерна дилатансия— явление, обусловленное взаимным вли-
янием деформаций удлинения—укорочения и сдвиговых дефор-
маций. Поэтому области равных объемных деформаций и равных
гидростатических напряжений не повторяют друг друга. То же
относится и ко вторым инвариантам девиаторов напряжений и
деформаций.
Распределение равных гидростатических напряжений наи-
более наглядно отражает послойный характер деформирования
уплотняемых материалов.
465
(Г, МПа
мчи»
130.*
h 10 мм
244 - &
277.1
Я4зи<«
307 < 7
за&. и
34й<3-
Рис 14 29 Области равных интенсивностей напряжений
О0, МПа
А = 18 мм ст0, МПа
О0, МПа
147 3
<.141 4
~14?*<
Я»4 о
814 *
*77» О
*W®*4
£
Рис 14 30 Области равных гидростатических давлений
466
h = 18 мм
p
P
O,«5
£ ' ''7 7 |
к ' г
h ' J
tKJiltt
*ли
: *.S»
•x!i»
О.ЭЯ»
&M2«
CJ.fcll
о.*л>
h = 14 мм
j^s»
О <*&
O.S7f
• >*?*>
ол«Н
• Л9
h 10 мм
p
о.ш
O,«3#
8 Mi
0Л-УЖ
0x^0»
«.Ш
OJW
Л. >45
U.4i«3
th >7*
Рис 14 31 Распределение относительной плотности по сечению
На рис 14 31 представлено распределение плотностей по се-
чению прессовки — наиболее значимый параметр процесса обра-
ботки давлением уплотняемых материалов Это результат взаимо-
действия внешних сил, трения на контактной поверхности и
механических характеристик уплотняемого материала Очевидно,
что всякие допущения о характере течения уплотняемого матери-
ала в том или ином технологическом процессе при недостаточном
экспериментальном подтверждении сделанных допущений могут
исказить представление о результате технологического процесса
14.7 . Пример решения задачи экструзии
Рассмотрим процесс экструзии того же материала из контейне-
ра 0 16 мм через матрицу с углом 15° к направлению движения на
пруток 0 10 мм [94]. На боковой контактной поверхности действу-
ют силы трения, заданные с учетом коэффициента трения /= 0,15.
Примем, что относительная плотность порошка в исходном
состоянии распределена равномерно по объему р0 = const = 0,45.
Задача решается методом конечных элементов Исходная сет-
ка конечных элементов, включающая 208 четырехугольных квад-
ратичных элементов, соединенных в 693 узлах, показана на
467
рис. 14.32. Там же представлены сетки конечных элементов на
нескольких стадиях деформирования с указанием перемещения
пуансона и усилия пресса, соответствующие расчетной стадии.
Процесс прослеживался за 20 последовательных этапов (шагов)
нагружения. На каждом этапе нагружения перемещение пуансона
задавалось порядка 1 мм.
жтг
U* М $ ~
«ОМ »
« и в $
4
жжхжжох:
'ЖМЖЖЖЖЖЖ
^ЖЖ>ЖЖ«Ж:
;ЖМЖЖЖЖЖЖ'
жжжмнмм*
/Ж-М'ЖжЖжЖж-
<и •
жж:
____;ххх:
ЖХХЙЖХЯ!
ЖХХКХХЯ;
^жжшжж»’
’Х*5оВ
*мх*н*г
ИХМХМГ'
»
. <.
&1
. । ►
хя
“вН
Г5
к*
М
9
4<
$
4
6
>я
:ЖЖЖ<Ж1
< $
9
♦ t
ДА =6,1 мм
Р = 1,1 тс
ДА = 11,5 мм
Р = 3,7 тс
ДА =20,8 мм
Р= 15 тс
последовательных стадиях
Рис. 14.32. Сетка конечных элементов на
ш
1
процесса экструзии
Как в предыдущих примерах, в силу осевой симметрии расчет
выполнялся для половины вертикального сечения заготовки.
Результаты решения задачи об экструзии представлены в виде
областей равных уровней основных параметров, характеризующих
процесс деформирования.
На рис. 14.33, 14.34 представлены распределения сдвиговых
деформаций, а также интенсивностей деформаций. Шкалы на
468
рисунках показывают величину деформаций в процентах. Сдви-
говые деформации обусловлены как наличием сил трения вдоль
стенок контейнера и матрицы, так и геометрией очага деформа-
ции. Максимального значения сдвиговые деформации достигают
в областях перехода от цилиндрического контейнера к коничес-
кой матрице и на выходе из матрицы. В отличие от рассмотрен-
ного ранее процесса прессования в закрытой цилиндрической
матрице, в процессе экструзии основной вклад в сдвиговые де-
формации вносит не трение, а геометрия инструмента.
Рис. 14.33. Распределение сдвиговых деформаций
ДА =6,1 мм
Рис. 14.34. Распределение интенсивностей деформаций
469
Распределение интенсивностей деформаций (см. рис. 14.34)
в основном отражает закономерность распределения сдвиговых
деформаций.
Область высоких средних напряжений (рис. 14.35) концент-
рируется при входе в коническую матрицу, где суммируются вли-
яния изменения геометрии и сил контактного трения. В рассмот-
ренном ранее процессе прессования в закрытую матрицу этой
области соответствует стык пуансона и цилиндрической матри-
цы, где высокое гидростатическое напряжение вызывается только
силами контактного трения (геометрического фактора нет).
(70, МПа
Рис. 14.35. Распределение гидростатических давлений
АА = 16,8 мм
Qo, МПа
ДА = 20,8 мм
"Ж
-ям
Рис. 14.36. Распределение интенсивностей напряжений
470
ДА = 11,5 мм
Р
0.4$
и.*?
0.4*
U.&i
? А*!
- * А,
«.♦I
0.43
0.4*5
<>,<>ۥ
О.#«
«ь ?<>
АЛ = 16,8 мм
Р
Q.4&
U.4*
а.зд
ДА =20,8 мм
0.44
U. «9
о.аэ
&.**<
~ J
О. $01
о. о!
£h«?i
0.Ч>Г
i
О.
0.4*
Р
Рис 14 37 Распределение
относительной плотности по сечению
Распределение интенсивности напряжений (рис. 14.36) обус-
ловлено геометрией инструмента и почти не зависит от величи-
ны трения.
На рис. 14.37 показаны стадии уплотнения материала. При
заданной геометрии инструмента удается получить пруток с отно-
сительной плотностью 0,99.
15. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА В ОБРАБОТКЕ
МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
15.1. Алгоритм решения задачи контактного
упругопластического взаимодействия заготовки и инструмента
В условиях точной штамповки, холодной прокатки тонкой
ленты и других процессов обработки давлением необходимо учи-
тывать не только упругопластические деформации обрабатывае-
мой заготовки, но и упругие деформации инструмента. Класси-
ческой контактной задачей является задача Герца об упругой
деформации двух соприкасающихся цилиндров с параллельными
осями [2], решение которой трансформируется в задачу о выдав-
ливании цилиндра в полупространство. В определенной степени
471
это решение можно распространить на прокатку в гладких вал-
ках [5,6], но нельзя использовать при геометрических очертани-
ях произвольного вида, в частности, для штамповки.
На поверхности контакта двух тел напряжения и перемеще-
ния в каждой точке должны быть одинаковыми при рассмотре-
нии каждого из них. При аналитическом решении контактной
задачи условие равенства сил и перемещений позволяет сфор-
мировать разрешающую систему уравнений. Численное реше-
ние задачи теории упругости или теории малых упругопласти-
ческих деформаций методом конечных элементов имеет ту
особенность, что компоненты вектора перемещений, являясь
искомыми параметрами, определяются однозначно в узлах сетки
конечных элементов и могут быть легко сопоставлены в одно-
именных точках поверхности контактирующих тел. Напряжения
при этом являются результатом аппроксимации перемещений с
использованием функций формы конечных элементов (дефор-
мации) и результатом аппроксимации упругопластических свойств
материала в пределах конечного элемента. Последнее — харак-
терная особенность неизотермической упругопластической за-
дачи, где фигурируют не константы в виде модуля Юнга и коэф-
фициента Пуассона, а функция, связывающая напряжения и
деформации и зависящая от температуры и достигнутой величи-
ны деформации.
Второй причиной, не позволяющей приравнять напряжения,
возникающие в штампе и поковке на контактной поверхности,
является действие на поверхности штампа температурной нагруз-
ки. Температурная нагрузка, обусловленная изменением во вре-
мени и пространстве свободных объемных деформаций Д(р = аД Т, ’
сама по себе независимо от механической нагрузки, действую-
щей со стороны калибруемой поковки, формирует в штампе на-
пряженное состояние с достаточно высоким уровнем напряже- ,
ний (разд. 12.2) и высоким их градиентом. С точки зрения .
классической механики, напряжения по нормали к контактной
поверхности в случае отсутствия внешних сил должны быть ну-
левыми. Локально разогретый объем штампа должен либо сво-
бодно увеличить свои размеры, либо продеформироваться в ‘
меньшей степени за счет действия касательных напряжений.
При этом градиент нормальных напряжений очень высок.
При решении задачи методом конечных элементов в перемеще-
ниях в узлах сетки конечных элементов определяются перемеще-
ния. Деформации и напряжения могут быть вычислены либо
472
усредненными по объему элемента (симплекс-элементы), либо
в точках интегрирования (квадратичные и более сложные эле-
менты). В настоящем исследовании использовались квадратич-
ные элементы, позволяющие определить напряжения в любой близ-
кой к узлу элемента точке, но не в самом узле. При высоком
градиенте напряжений в точках, близких к поверхности, нормаль-
ные напряжения оказываются далеко не нулевыми.
Таким образом, было бы некорректно сопоставлять напряже-
ния, действующие по контактной поверхности взаимодействующих
тел. Здесь в качестве контактного условия принято равенство при-
веденных узловых сил в точках (узлах) конечных элементов. При-
ведение сил к узлам конечных элементов выполняется с использо-
ванием известной численной процедуры вычисления интеграла
{F} = J [В]г {оЖ
v
Вид конечных элементов и их функции формы со стороны
обоих контактирующих тел должны быть одинаковы.
Узловые силы {F} для каждого из контактирующих тел факти-
чески являются реакциями со стороны упругого тела и различа-
ются знаком (направлением).
Алгоритм поиска векторов перемещений {t/} и узловых сил
{F} строится следующим образом.
Методом конечных элементов решается задача формоизмене-
ния одного тела (поковки) при заданных граничных условиях в
перемещениях {w}(0), обусловленных перемещением другого тела
(штампа) как жесткой недеформируемой площадки. Результатом
такого решения являются, в частности, приведенные узловые силы
по контуру тела (во внутренних узлах поковки узловые силы в
соответствии с уравнениями равновесия равны нулю). Рассчитан-
ные для узлов контактной поверхности узловые силы, являющие-
ся реакцией на перемещение штампа, могут быть использованы
для расчета напряженно-деформированного состояния штампа в
качестве граничных условий силового нагружения. Результатом
решения методом конечных элементов задачи о штампе являют-
ся, в частности, перемещения узлов контактной поверхности {и}шт.
Если вычисленные перемещения узлов штампа {и}шт отличаются
от перемещений соответствующих узлов поковки, необходимо
сделать следующее приближение, задав в качестве граничных ус-
ловий для расчета поковки
{w}(1) =р{и}шт +(l-p){w}(0).
473
Здесь р < 1 — итерационный параметр, подбираемый с целью
ускорения сходимости итерационного процесса нахождения кон-
тактных перемещений.
Поскольку узловые силы передаются из решения задачи о по-
ковке в качестве граничных условий для расчета напряженно-де-
формированного состояния штампа, итерационный процесс ре-
шения контактной задачи заканчивается по условию
{«}(л) - {«}шт
<5,
где {и}(л) — «-приближение вектора перемещений, задаваемого в
качестве граничного условия при расчете поковки; 8 — требуемая
точность сходимости итерационного процесса.
При взаимодействии трех тел (поковка и два штампа) равен-
ство узловых сил и узловых перемещений контактирующих тел
должно быть соблюдено во всех дочках обеих контактных поверх-
ностей. При численном решении контактной задачи с тремя тела-
ми итерационная контактная задача для двух тел, изложенная в
предыдущем разделе, должна быть включена в итерационную схе-
му, где поочередно решаются контактные задачи взаимодействия
поковки с верхним и нижним штампами.
Анализ взаимодействия итерационных процессов на модель-
ных задачах показал целесообразность следующего алгоритма ре-
шения. Несмотря на относительно малые деформации поковки
при калибровке, допускающие одноэтапное нагружение поковки
при решении задачи МКЭ, при решении контактной задачи об-
щее перемещение верхнего штампа А //следует представить в виде
последовательности малых перемещений A h поочередно верхне-
го и нижнего штампов. Суммарное обжатие поковки А// = Е Ай .
Такая последовательность задания граничных условий в переме-
щениях позволяет поддерживать примерное равенство суммарных
узловых сил по верхней и нижней контактным поверхностям. После
достижения равенства АЯ = S Ай достаточно двух итераций при
Ай = 0 , чтобы достичь приемлемой точности выполнения усло-
вий равновесия поковки, находящейся под действием усилий —
реакций со стороны верхнего и нижнего штампов.
На рис. 15.1 показана блок-схема итерационного процесса ре-
шения задачи о взаимодействии поковки с верхним и нижним
штампами.
474
= />(«},„+ (1-р)М„
Рис. 15.1. Блок-схема решения контактной задачи для трех тел
475
Рис. 15.2. Модельный
пример одномерной
контактной задачи
Алгоритм решения и итерацион-
ный процесс сходимости показаны
на модельном примере (рис. 15.2)
одномерной упругой контактной за-
дачи — расчет стержня, состоящего
из трех частей разной длины
(/н = 10 , /п=1,/в=10)с разными
модулями упругости ( Ен = 2 • 105,
Еп = 2 • 104 , Ев = 2 • 105), нагружае-
мого вдоль оси Z перемещениями
дЛ. Ход итерационного процесса
представлен в табл. 15.1.
Таблица 15.1
Ход итерационного процесса решения задачи (рис. 15.2)
Перемещения точек
Точка стержня Номер итерации Точное решение
1 2 3 4
А АЛ = -0,005 ДА = 0 ДА = 0 ДА = 0
В иа = АЛ = -0,005 иа = -0,00125 Ав = АЛ = 0 ив = -0,00125 ц, = -0,0015625 ив =-0,00167
С ип = -0,0025 Ан = АЛ = 0,005 ип = 0,0025 wfI = 0,001875 д„ = дл = о и„ =0,001875 иц = 0,00167
D ДА = 0 АЛ = 0,005 ДА = 0 ДА = 0
Напряжения
Участок стержня Номер итерации Точное решение
1 2 3 4
АВ 0 -37,5 -37,5 -34,375 -33,3
(п) ВС -25 -37,5 -31,25 -34,375 -33,3
(н) CD -25 -25 -31,25 -31,25 -33,3
476
15.2. Контактная задача при прокатке тонкого листа
На основе рассмотренной в разделе 15.1 методики была реше-
на двумерная контактная задача прокатки тонкого листа.
На рис. 15.3 показаны распределения скоростей перемещений
и контактных напряжений при холодной прокатке ленты толщи-
ной 0,9 мм из сплава АМг2 на стане с диаметром валков 330 фоль-
гопрокатного завода (Санкт-Петербург).
X U^f мм/с
П.
О. Л*^<4
U
Рис. 15.3. Распределение напряжений в валке и в прокатываемой
полосе и скоростей течения в полосе
477
Поскольку прокатываемый материал обладает достаточно вы-
сокой прочностью и модулем упругости порядка 1 /3 модуля упру-
гости материала валков, нетрудно предположить, что формула
Хичкока не должна дать правильного ответа относительно протя-
женности очага деформации с учетом сплющивания валков. Бо-
лее точная формула, приведенная в работах [5, 6], как отмечают
авторы, дает заниженное значение протяженности зоны контак-
та, хотя учитывает упругие свойства обоих контактирующих тел.
Этому есть вполне логичное объяснение: формула А.И. Целикова,
основанная на решении Герца, предполагает упругое сплющива-
ние полосы и валка, тогда как полоса на самом деле деформиру-
ется упругопластически. Такому деформированию соответствуют
меньший модуль нормальной упругости и, следовательно, боль-
шая протяженность участка сплющивания, рассчитанная по фор-
муле
х2 =
Рис. 15.4. Эпюры нормальных и касательных напряжений при прокатке
сплава АМг2 (предел текучести as =210 МПа )
478
Показанный выше алгоритм расчета составлен для контакта
двух тел: пластически продеформированная полоса с внутренни-
ми напряжениями, обусловленными процессом прокатки, и ва-
лок, свободный от внутренних напряжений. Под действием реак-
тивных сил полосы, передаваемых через контактную поверхность,
валок, упруго деформируясь, изменяет свой контур в районе кон-
тактной поверхности. При передаче граничных условий в виде
смещения контура контактной поверхности происходит умень-
шение внутренних напряжений в полосе, и в конечном итоге по-
лоса выходит из валков несколько толще, чем было обусловлено
исходным раствором валков.
В полном соответствии с анализом А.А. Королева [95, 96] по-
ложение максимума контактных напряжений смещено относитель-
но нейтрального сечения.
479
ЧАСТЬ 3
ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОПЕРЕХОДНЫХ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ШТАМПОВКИ
16. МЕТОДИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ
МНОГОПЕРЕХОДНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
ГОРЯЧЕЙ ОБЪЕМНОЙ ШТАМПОВКИ
Разработка технологического процесса многопереходной го-
рячей объемной штамповки состоит из нескольких последователь-
ных этапов: построение чертежа поковки по заданному чертежу
детали, выбор последовательности и проектирование технологи-
ческих переходов штамповки, расчет исходной заготовки и кон-
струирование инструмента [97—102]. Если построение чертежа
поковки и расчет исходной заготовки для разработчика представ-
ляют собой хорошо формализованные процедуры проектирова-
ния, то проектирование технологических переходов штамповки,
особенно для поковок сложной формы с повышенными требова-
ниями к качеству изделий, во многих случаях носит эвристичес-
кий характер [97, 99, 100]. Процесс проектирования заметно ус-
ложняется, если к поковке предъявляются дополнительные
требования по структуре и качеству материала, по точности ее
геометрии и качеству поверхности или если разрабатывается прин-
ципиально новый технологический процесс [102]. В подобных
случаях применение традиционных методов проектирования не
позволяет получить положительные результаты [102—104]. Наи-
более эффективным методом разработки таких сложных систем,
позволяющим повысить надежность результатов проектирования,
является применение комплексных систем автоматизированного
проектирования (САПР) с использованием имитационного моде-
лирования [102—106].
Рассмотрим более подробно основные этапы проектирования
технологического процесса горячей объемной штамповки.
480
16.1. Этапы проектирования технологического
процесса многопереходной ГОШ
Технологические процессы горячей объемной штамповки пред-
ставляют собой сложные системы, определяемые большим коли-
чеством параметров [102]. При разработке таких систем широкое
применение получили методы системных исследований, в част-
ности метод системного анализа [102].
В соответствии с общими принципами системного анализа про-
ектирование технологических процессов, в том числе горячей объем-
ной штамповки, схематично может быть представлено в виде пос-
ледовательности стандартных процедур (рис. 16.1) [102]. Рассмотрим
более подробно содержание отдельных процедур проектирования.
Проектирование технологических процессов горячей объем-
ной штамповки начинается, как правило, при нечеткой формули-
ровке целей. На первом этапе производятся выбор и ранжирова-
ние критериев и показателей технологии, что предполагает
описание условий их взаимодействия и логических связей. В про-
цессе выполнения этой процедуры производится качественная и
количественная оценка различных показателей, что в конечном
итоге позволяет производить сравнение различных вариантов тех-
нологических процессов.
В общем случае рассматриваются три группы критериев оценки
проектируемой технологии [102]:
технический уровень изделия Et;
технический уровень технологии Е2;
экономические показатели Е3.
При формулировании целей проектирования на первом этапе
задача ставится следующим образом — спроектировать техноло-
гический процесс, обеспечивающий определенный уровень кри-
териев Ер Е2, Е3. При этом прямые (или непосредственные) цели
проектирования технологии:
сформировать исходные данные для проектирования
спроектировать поковку F2;
спроектировать операции технологического процесса F3;
сконструировать штамповую оснастку F4,
а также ряд других, связанных с оформлением, передачей инфор-
мации и отладкой спроектированной технологии. При этом под-
разумевается, что спроектированный процесс должен удовлетво-
рять требованиям первой группы критериев. Рассмотрим более
подробно сформулированные цели проектирования технологичес-
кого процесса горячей объемной штамповки.
481
Формирование
исходных данных (Fj)
Проектирование
поковки (/*2)
Проектирование
операций процесса
штамповки (F3)
Геометрия детали
Характеристики точности
размеров и формы детали
Характеристики качества
поверхности детали
Характеристики материала
детали
Проектирование геометрии
поковки
Определение показателей
свойств материала
Определение точностных
характеристик поковки
Определение показателей
качества поверхности поковки
Определение геометрии
поковки после штамповки
Проектирование операций обрезки
облоя и пробивки перемычек
Проектирование операций
правки и калибровки
Проектирование операций
профилирования заготовок
Проектирование геометрии
ручьев штампов
Компоновка ручьев в штампе
и во вставках
Проектирование дополнительных
элементов штампа
Конструирование штамповых
вставок и блоков
Выбор материалов и режимов
их обработки
Определение режимов работы
штампов
Рис. 16.1. Этапы проектирования технологического процесса штамповки
Конструирование
штампового
инструмента (F4)
482
Каждой из поставленных целей проектирования технологи-
ческих процессов может быть сопоставлена некоторая функция,
обеспечивающая ее выполнение или реализующая ее [102]. Тогда
проектирование технологического процесса будет представлено в
виде набора некоторых многоуровневых функций, обеспечиваю-
щих поставленные цели. Рассмотрим функциональную схему про-
ектирования технологического процесса горячей объемной штам-
повки (ГОШ) (см. рис. 16.1).
В общем виде процесс проектирования технологии ГОШ мо-
жет быть представлен в виде четырех основных последовательных
этапов разработки:
формирование исходных данных для проектирования;
проектирование поковки;
проектирование операций технологического процесса;
проектирование штампового инструмента.
Функция Ft — формирование исходных данных — включает в
себя процедуры формирования данных:
геометрии детали Flt;
точностных параметров размеров и формы Г)2;
характеристик качества поверхности Г|3;
характеристик материала детали Fi4.
Функция F2 — проектирование поковки — включает следую-
щие процедуры:
проектирование геометрии поковки F2I;
определение показателей свойств материала и методов их по-
лучения F22;
определение точностных характеристик поковки F23;
определение характеристик качества поверхности поковки F2A;
определение показателей поковки F25.
Функция F3 — проектирование технологических операций —
включает:
определение геометрии заготовки после штамповки F3I;
проектирование операций обрезки заусенцев и пробивки от-
верстий F32;
проектирование операций правки и калибровки поковок F33;
проектирование операций профилирования заготовок F34;
проектирование операций штамповки заготовок F35;
проектирование режимов нагрева и термической обработки
заготовок F36;
проектирование дополнительных (отделочных, контрольных
и др.) операций F31 .
483
Функция F4 — конструирование штампового инструмента —
включает в себя следующие процедуры проектирования:
проектирование геометрии ручьев штампа F41;
компоновка ручьев в штампе (или во вставке) F42;
проектирование дополнительных элементов штампов F43;
конструирование штамповых вставок и блоков F44;
выбор материалов и режимов их обработки F45;
определение режимов работы и прогнозирование стойкости
штампов F46.
Представленная на рис. 16.1 функциональная схема проекти-
рования технологических процессов ГОШ является укрупненной
и не позволяет раскрыть конкретное содержание отдельных про-
цедур проектирования. Для этого необходимо более подробно
проанализировать отдельные процедуры проектирования (и их
содержание), непосредственно связанные с определением геомет-
рических параметров технологических процессов, т. е. те, при ре-
ализации которых применяется геометрическое моделирование.
16.2. Функциональный анализ этапов проектирования
технологического процесса многопереходной
горячей объемной штамповки
Как уже отмечалось ранее, при разработке технологических
процессов многопереходной штамповки особое значение имеет
определение последовательности и параметров переходов штам-
повки. Вместе с тем использование традиционных методов разра-
ботки, основанных на знаниях технолога-разработчика, не позво-
ляет непосредственно включить данную методику в системы
компьютерного проектирования. Для решения этой проблемы
необходима формализация проектных процедур [106].
Цель данного раздела — анализ последовательности необходи-
мых этапов и операций проектирования, применяемых при разра-
ботке технологических процессов горячей объемной штамповки, а
также разработка системы показателей или параметров, позволяю-
щих описывать эту последовательность с учетом альтернативных
вариантов реализации технологии изготовления поковок.
Рассмотрим последовательность этапов проектирования техно-
логического процесса ГОШ, представленную на рис. 16.1. Для ее
анализа целесообразно построить фрагменты функциональной схе-
мы отдельных этапов проектирования, связанных с применением
484
геометрического моделирования, т. е. тех, в которых требуется
определение геометрических параметров [102].
Процедура формирования данных о геометрии детали пред-
ставляет собой набор аппаратных средств геометрического моде-
лирования, позволяющих сформировать пространственный образ
детали и определить необходимые для проектирования геометри-
ческие параметры. Подробно состав процедуры изложен далее.
16.2.1. Процедура проектирования геометрии поковки
Данная процедура должна реализовывать следующие функции:
1) определение поверхности разъема штампов и типа образу-
ющей; включает в себя определение:
типа штампового оборудования,
типа процесса штамповки,
типа образующей поверхности разъема;
2) назначение первичных напусков; включает в себя назначение:
напусков на отверстия, которые невозможно изготовить штам-
повкой,
напусков на боковые полости и внутренние элементы;
3) назначение припусков на обрабатываемые поверхности;
включает в себя определения:
точностных характеристик отдельных элементов поковки,
правила (стандарта или нормали) назначения припусков;
4) назначение технологических напусков; включает в себя:
определение способа получения отдельных элементов и час-
тей поковки,
определение правил назначения напусков для выбранных
частей,
процедуры назначения отдельных видов напусков;
5) определение показателей геометрии поковки; включает в себя
определение:
массы и объема поковки,
показателей и характеристик геометрии (в частности показа-
теля сложности),
КИМ и других качественных показателей геометрии поковки.
Проектирование технологических операций процесса штамповки
Процедура реализует следующие функции:
1) определение геометрии заготовки после штамповки; вклю-
чает определение следующих показателей:
количества одновременно штампуемых заготовок и их ком-
поновку,
485
типа перемычки между поковками,
вида и размеров заусенца на заготовке;
2) проектирование операций обрезки заусенцев и пробивки
отверстий; включает определение:
варианта совмещения операций обрезки и пробивки (простой
или комбинированный штамп),
количества одновременно обрабатываемых заготовок,
варианта совмещения с другими операциями процесса (напри-
мер, с правкой),
режимов операции.
Данная процедура формирует только некоторый набор логи-
ческих показателей, реализующихся в процедуре проектирования
штампового инструмента;
3) процедура проектирования операции правки и калибровки
определяет набор логических параметров из сравнительного ана-
лиза точностных характеристик получаемой поковки и требова-
ний к ней, которые впоследствии реализуются в процедуре про-
ектирования штампового инструмента;
4) процедура проектирования операций профилирования за-
готовок для штамповки; включает определение:
показателей геометрии заготовки для штамповки (эпюры пло-
щадей сечений и их характеристики),
варианта процесса профилирования и типа оборудования,
геометрии заготовки по переходам профилирования,
показателей геометрии заготовок и процесса профилирования;
5) процедура проектирования операций штамповки заготов-
ки; включает:
выбор варианта процесса штамповки и вида оборудования (ана-
логично определению параметров при проектировании геомет-
рии поковки),
определение варианта переходов штамповки и геометрии за-
готовки по переходам деформирования (с использованием по-
казателей сложности формы поковок),
определение режимов деформирования по переходам штам-
повки (например, расчет деформаций, обжатий и т.д.).
Конструирование штампового инструмента.
Процедура реализует следующие функции:
1) проектирование геометрии ручьев штампов; включает оп-
ределение:
геометрии гравюры штампа,
геометрии дополнительных элементов гравюры,
взаимного положения отдельных поверхностей штампа;
486
2) компоновка ручьев в штампе (во вставке) включает опре-
деление:
возможного количества ручьев в штампе,
минимальных габаритных размеров тела штампа с ручьем,
положения ручья в штампе (во вставке);
3) проектирование дополнительных элементов штампа; вклю-
чает определение:
количества элементов и конструкции штампа или вставки,
вида и параметров вспомогательных элементов штампа;
4) конструирование штамповых блоков и вставок; включает:
выбор типа штампового блока;
выбор типа штамповой вставки;
проверку работоспособности конструкции.
Представленные фрагменты функциональной схемы проекти-
рования технологических процессов ГОШ являются по сути фраг-
ментами дерева целей и позволяют реализовать логическую опе-
рацию «И», т. е. получить достаточно полную информацию о
перечне необходимых для проектирования операций (или функ-
ций) различного уровня и последовательность их реализации при
проектировании. Выполненный анализ операций позволяет так-
же подробно описать цели проектирования и их функциональные
зависимости. Вместе с тем для формирования альтернативных
вариантов технологических процессов необходимо, чтобы кроме
логической операции «И» была реализована операция «ИЛИ» [102].
Для реализации этих функций воспользуемся морфологическим
анализом вариантов технологических процессов ГОШ.
16.2.2. Проектирование геометрии поковки
Как видно из фрагмента морфологической матрицы проекти-
рования геометрии поковки, представленной на рис. 16.2, альтер-
нативные варианты возникают для функций третьего и четверто-
го уровней. Так, тип линии разъема штампов, определяющий
геометрию поверхности разъема и ее функциональное назначение
относительно поковки, зависит от вида штамповочного оборудова-
ния (молот, КГШП, винтовой пресс, ГКМ, горячештамповочные
автоматы), от типа процесса штамповки (облойная — в открытых
штампах, безоблойная — в закрытых), от варианта расположения
поковки относительно оси движения инструмента (вдоль оси и по-
перек). Рассматриваемое штамповочное оборудование позволяет
реализовать как процессы облойной и безоблойной штамповки,
так и вариант штамповки поковок вдоль и поперек оси (за исключе-
нием штамповки поковок поперек оси на ГКМ, которая может быть
487
использована только в отдельных случаях при завершающих опера-
циях). Таким образом, получаем полную комбинацию вариантов про-
цессов с одним частичным ограничением. При анализе совместимо-
сти вариантов типов процессов (облойная и безоблойная штамповка)
и расположения оси заготовки при штамповке возникает запрет на
реализацию варианта безоблойной штамповки поковок поперек оси.
Это утверждение справедливо для подавляющего большинства про-
цессов, хотя возможны исключения (например, штамповка загото-
вок лопаток в условиях сверхпластичности).
Возникновение альтернативных вариантов процессов в зависи-
мости от назначения припусков обусловлено особенностями техно-
логии механообработки поковок, точностными характеристиками
применяемых видов процессов штамповки и различными методами
определения припусков. В большинстве случаев для поковок исполь-
зуются единые правила назначения припусков. Вместе с тем для не-
которых видов поковок, например, для заготовок турбинных лопа-
ток, применяются уменьшенные припуски на отдельных элементах,
в частности на перовой части, а остальные элементы (замки, банда-
жи, полки и т.д.) выполняются по обычным правилам.
Для назначения припусков и напусков наряду с ГОСТ 7505-89
в России используются специальные нормали, в частности для
определения припусков на поковки, получаемые выдавливанием
в закрытых штампах, нормали министерств и предприятий [99].
Аналогичные альтернативные варианты возникают при назна-
чении технологических напусков. Во-первых, в зависимости от
способа получения отдельных элементов поковок (на различных
видах оборудования или на разных переходах штамповки) могут
действовать различные варианты назначения напусков в рамках
единых нормалей. Во-вторых, сами правила назначения напусков
могут определяться при помощи различных нормалей, как и при-
пуски. В качестве примера можно привести технологический про-
цесс штамповки фланцевой детали со стержнем, при котором стер-
жень получают прямым выдавливанием, а фланец штампуется в
торец в открытом штампе [97, 99]. При получении на ВАЗе заго-
товок задней полуоси стержневая часть изготавливается на специ-
альных вальцах, а фланец — при помощи закрытой штамповки на
ГКМ. Аналогично, как и при назначении припусков, для техно-
логических напусков могут быть использованы различные прави-
ла, в частности ГОСТ 7505-89, правила назначения напусков для
поковок, получаемых выдавливанием в закрытых штампах, нор-
мали министерств и предприятий. В качестве основных напусков
в соответствии с ГОСТ 7505-89 предписываются:
488
-W4
Вид оборудования F211 Молот КГШП Винтовой пресс ГКМ
Автомат
Определение типа про-
цесса и геометрии линии
разъема штампов 7^1 Тип процесса штампов- ки F212 Безоблойная закрытая штамповка Облойная открытая штам- повка
Расположение оси поковки относительно пресса 7*213 Штамповка вдоль оси Штамповка поперек оси
Назначение первичных Напуски на отверстия 7*221
напусков /*22
Напуски на элементы вертикальных поверхностей /*222
Назначение припусков
для механической обра-
ботки £2з
Назначение технологиче-
ских напусков /*’24
oo
\©
Точностные характери-
стики элементов поковки
Все элементы имеют
одинаковые характери-
стики
Элементы имеют
различные характеристики
Правила назна-
чения припус-
ков 7*232
ГОСТ 7505-89
Способ получения от-
дельных элементов
поковки /*241
Правила
назначения
напусков
Закрытая штамповка
выдавливанием
Одновременно в
одном штампе
ГОСТ 7505-89
— на отверстия
— штамповые уклоны
— радиусы
Отраслевые нормали
На разных пере-
ходах штамповки
На разных видах
оборудования
Штамповка выдавли-
Отраслевые нормали
ванием
— на отверстия
— торцевые уклоны
— вертикальные укло-
ны
— радиусы
— на отверстия
— штамповые уклоны
— радиусы
— полости
— выступы
Рис. 16.2. Фрагмент морфологической матрицы проектирования геометрии поковки
напуски на отверстия (перемычки и наметки);
штамповочные уклоны (внутренние и внешние);
радиусы закругления (внешние и внутренние);
размеры перемычек и габаритные размеры ребер.
В некоторых нормалях министерств кроме указанных выше
напусков предписываются напуски на толщину и высоту ребер,
на глубину и ширину полостей, толщину и геометрию перемычек,
выполняемых штамповкой и т. д.
Приведенные выше альтернативные варианты проектирова-
ния геометрии поковок могут быть систематизированы и пред-
ставлены в виде фрагмента морфологической матрицы проекти-
рования геометрии поковки.
16.3. Анализ процесса проектирования
технологических операций штамповки
16.3.1. Процедуры проектирования операций ГОШ
Как известно, поковкой по принятой в машиностроении тер-
минологии называется заготовка детали (или готовая деталь),
получаемая в результате технологического процесса штампов-
ки, которая подвергается последующей механической обработ-
ке, т. е. заготовка без заусенцев, перемычек в отверстиях и дру-
гих дополнительных технологических элементов (клещевина).
Формирование последовательности операций технологического
процесса горячей объемной штамповки в основном зависит от
геометрии получаемой в результате штамповки (формообразую-
щих операций) поковки (с учетом облоя, перемычек, клещевины
и т.д.). С одной стороны, она обусловливает необходимость при-
менения определенных видов отделочных операций (обрезка зау-
сенца, пробивки отверстий, правки и т.д.), с другой, с учетом гео-
метрии поковки и исходной заготовки, — необходимую
последовательность формообразующих операций для ее получения.
Таким образом, при проектировании технологического процесса
ГОШ необходимо иметь данные о геометрии поковки (заготовки),
получаемой в результате штамповки. Первым признаком, по кото-
рому возможны альтернативные варианты, является количество
одновременно штампуемых поковок (рис. 16.3). В практике наибо-
лее часто встречается вариант штамповки одноштучной поковки. В
некоторых случаях для снижения трудоемкости процесса и повы-
шения технологичности заготовок применяются процессы штам-
490
повки совмещенных (двухштучных) и многоштучных поковок
[97, 99, 106]. При этом варианте технологии между поковками
i образуется перемычка (с карманом или без него в зависимости
от компоновки и геометрии каждой из штампуемых поковок).
При определении геометрии облоя (или заусенца) определяет-
* ся тип облойной канавки, который будет назначаться на штам-
повом инструменте, так как геометрия облоя в значительной
степени определяется ее формой. Следует иметь в виду, что
многоштучная штамповка в подавляющем большинстве случа-
J ' ев может быть применена только при варианте облойной штам-
s повки (исключение составляют варианты штамповки совмещен-
I - ных по оси поковок, получаемых на ГКМ и ковочных вальцах
[97, 98].
> При проектировании операций обрезки облоя и пробивки
перемычек возможно применение нескольких вариантов про-
цесса вследствие различных комбинаций операций, например,
комбинированный процесс совмещенной обрезки облоя и про-
бивки перемычки в однопозиционном штампе или раздельно в
двухпозиционном, обработка одной или нескольких поковок
одновременно, при многоштучной штамповке варианта совме-
щения операций обрезки облоя и правки поковок в одном штам-
пе и другие [97—99].
В результате выбора альтернативных вариантов процесса об-
резки облоя и пробивки перемычек в отверстиях формируется
некоторый набор логических параметров, определяющий в ко-
нечном итоге вариант конструкции штампового инструмента для
реализации процесса. Аналогично формируются варианты опера-
ций правки и калибровки. Выбор необходимых операций произ-
водится по результатам сравнительного анализа характеристик
точности поковки после штамповки и требуемой точности в соот-
ветствии с техническими требованиями.
1 В основу проектирования технологических операций профи-
лирования заготовок положены значения геометрических пара-
метров поковки после штамповки (поковки с облоем), получае-
мых из эпюры площадей сечений заготовки. В зависимости от
параметров эпюры площадей сечений поковки с облоем (коэф-
фициенты подкатки, коэффициенты конусности и др.) определя-
* ется показатель необходимости профилирования заготовки (да или
нет) и производится выбор типа оборудования для реализации
процесса (ковочные вальцы, ГКМ, молот, радиально-ковочная
машина, электровысадочная машина и др.).
491
Проектирование геометрии поковки после штамповки *31 Тип поковки (количество штампуемых поковок) 7*зц Одноштучная Совмещенная Многоштучная
Тип перемычки 7*312 С магазином Без магазина
Наличие и тип заусенца 7*313 1 2 3 4 • • •
Проектирование операций обрезки облоя и пробивки перемычек 7*32 Совмещение операций 7*321 С совмещением Без совмещения
Количество обрабатываемых заготовок 7*322 1 1 2 • • •
Совмещение с другими операциями 7*323 С совмещением Без совмещения
Проектирование операций правки и калибровки /33 Операция калибровки 7*331 Да Нет
Операция правки 7*332 Да Нет
Проектирование операций профили- рования /34 Необходимость профилирования 7*341 1 Да Нет
Вариант процесса 7*342 Ковочные вальцы ГКМ Молот РКМ • • •
Проектирование переходов штам- повки 7*35 Тип процесса штамповки (положе- ние оси поковки) 7*351 Вдоль оси поковки — окончательный — предварительный — высадка — выдавливание — осадка в торец Поперек оси поковки — окончательный — предварительный — гибочный — заготовительный — поперечная осадка
Рис. 16.3. Фрагмент морфологической матрицы проектирования операций процесса штамповки
Для выбранного варианта процесса профилирования произво-
дится определение переходов формообразования, исходя из гео-
метрии выбранной исходной заготовки, эпюры диаметров профи-
лированной заготовки (полученной при расчете) и технологических
ограничений процесса. Следует отметить, что геометрия профили-
рованной заготовки всегда будет отличаться от эпюры диаметров
поковки. Это связано с технологическими ограничениями, завися-
щими от вида процесса профилирования (количество переходов
профилирования, вариант последовательности операций и пара-
метры операций). В связи с этим необходим дополнительный ана-
лиз процесса формообразования для полученной геометрии про-
филированной заготовки.
16.3.2. Классификация поковок и выбор технологических процессов
на основе описания их топологии
При проектировании технологических процессов многопере-
ходной штамповки с использованием систем автоматизированно-
го проектирования (САПР ТП ГОШ) возможны два принципи-
ально различных способа [100]:
1) синтез проектируемого объекта (технологического процес-
са) применительно к заданным конкретным требованиям и тех-
нико-экономическим условиям при крупносерийном и массовом
производстве (индивидуальное проектирование);
2) поиск с использованием информационно-поисковых сис-
тем по заданным характеристикам типового или группового объекта
из имеющейся в базе данных предприятия номенклатуры техно-
логических процессов для единичного, мелкосерийного и серий-
ного производства (групповое или типовое проектирование).
Первый способ предполагает наличие высококвалифицирован-
ных специалистов — технологов, которые имеют значительный
опыт в области проектирования, а также, что весьма актуально в
современных условиях производства, опыт работы с современны-
ми САПР ТП.
Кроме того, существует целый ряд специализированных сис-
тем автоматизированного проектирования типовых технологичес-
ких процессов ГОШ или отдельных операций. К ним относятся,
например, системы проектирования технологических процессов
штамповки поковок типа тел вращения для двух- и многопере-
ходных процессов на прессах [100, 101, 107, 108], технологичес-
ких процессов штамповки на горизонтально-ковочных машинах
[109], на ковочных вальцах и др.
493
В то же время весьма актуальным является и второй способ
проектирования, особенно для малых и средних предприятий, где
количество специалистов-технологов ограничено. При наличии
определенного опыта разработки технологических процессов штам-
повки поиск аналогов технологий в базе данных позволяет значи-
тельно сократить время проектирования. Кроме того, первичную
оценку технологии могут проводить не специалисты.
Типичный пример такой системы поиска аналогов техноло-
гии — система, разработанная в Институте процессов и машин
обработки давлением Ганноверского университета (Германия)
IFUM, Uni Hannover [110—112]. В основе этой системы лежит
методика описания видов отдельных элементов поковок, их ком-
бинаций и взаимного положения. Описание производится при по-
мощи кодировки. Таким способом можно описать практически
любую комбинацию типовых элементов, их вид и их взаимное
положение в поковке (рис. 16.4).
Каждому типу элемента или группе элементов соответствует
определенная последовательность технологических операций штам-
повки, необходимая для их получения (рис. 16.5).
Классификация
Поковка
NF9D60
Функция контроля
€ IFUM
Рис. 16.4. База данных описания топологии технологических
элементов поковок [ПО]
494
Классификация
Поковка Создание компонент NF4D34
Н№мц|4||^ИНННННННН||Б
База знаний переходов штамповки
SF = Последовательность переходов “ *им
Рис. 16.5. Пример классификации поковки, поиска анало-
га на основе ее топологии и выбора технологических
операций штамповки [НО]
Основным преимуществом этой системы является относитель-
ная простота кодирования формы изделия, так как количество
конструктивных элементов поковок ограничено. Каждому элементу
или группе элементов можно однозначно определить последова-
тельность технологических операций и их вид. С использованием
таких систем легко найти аналог технологического процесса, если
он существует в базе данных.
Главный недостаток таких систем — ограниченные возмож-
ности описания геометрии поковок с учетом многообразия их форм
и размеров, а также невозможность определения конкретных дан-
ных по геометрии перехода штамповки (геометрии полости штам-
па). Кроме того, технолог должен обладать определенным опытом
кодирования геометрии поковок, так как ошибка на этом этапе
может привести к неправильным результатам поиска.
495
Кроме того, опыт разработки технологических процессов ГОШ
свидетельствует о том, что необходимо учитывать не только фор-
му элементов, но и относительные размеры элементов в поковке
и их положение относительно какой-либо базы или исходной за-
готовки. Только при учете этих параметров может быть выбран
соответствующий технологический процесс [106].
Как будет показано далее, существуют более совершенные спо-
собы поиска аналогов поковок в базах данных технологических
процессов, а также возможен синтез проектных решений.
16.3,3, Распознавание образа поковок
по характеристикам их геометрии
Как уже отмечалось в разделе 16.3.2, весьма эффективным
приемом проектирования является поиск аналогов в базах дан-
ных технологических процессов. Ранее приводились примеры
поиска аналогов по топологическим данным геометрии поковок.
В качестве альтернативы предлагается разработанная автора-
ми система, позволяющая производить распознавание геометрии
поковок непосредственно по их геометрическим характеристикам.
Рассмотрим принципы работы системы на примере распозна-
вания двумерных объектов (контуров). В основе сравнения двух
контуров лежит не принцип наложения, который обычно исполь-
зуется при сравнении двумерных объектов, а сравнение объектов
по некоторому набору геометрических признаков.
В качестве признаков геометрии контура используются следу-
ющие показатели:
габаритные размеры контура по координатам Хи У,
площадь контура,
периметр контура,
отношение координаты центра тяжести контура к координате
геометрического центра, относительно габаритных размеров, вдоль
оси Хи У,
отношение площади контура к площади описанной фигуры
(прямоугольник или круг),
отношение площади контура к его периметру
и другие.
Всего в этот набор входит до 20 параметров, включая кроме
геометрических также номер, имя (идентификатор), материал, дату
и т.д.
Набор поисковых признаков может быть выбран из всего на-
бора идентификационных параметров. Кроме того, каждому по-
исковому признаку присваивается весовой коэффициент.
496
Как показало практическое применение разработанной систе-
мы в условиях предприятия, занимающегося производством ме-
таллических профилей, получаемых прессованием и прокаткой,
система позволяет производить выбор аналогов из базы данных,
включающих около 6 тысяч объектов. При этом она производит
при нормальной настройке поисковых параметров выбор, как
правило, не одного а нескольких (5—10). Интервал может быть
уменьшен до 2—3. На рис. 16.6 представлено рабочее окно про-
граммы поиска аналогов геометрии контуров в базе данных. Для
описания геометрия контуров в базе данных используются стан-
дартные форматы данных, например dxf, mi и др.
11 > I
. /4
-№1
г
» if
* XVO
1
*
41
~^TP
?l sdb tc
'I s |i л *
1Izfl'T
II «»•
Zi i 'JI
й I** t $>? Г * S 5^ i
: ИВФ..............
> ► *4 ” * 4 *
< *4. t*V
; ~~ к J t
: > :d?fc.xw
г/ j TH ‘a >• in
2л uuyj
b Jis X
U J
v-Ll
IBS £4
IS t,
or*
н и
1 4
I A
(
1Х
J&J
1ГИ
и )
II H I
I 4
I
I 4
1 A
I 3k
л
ж
И 1ГТЙ
1ПЙ
I p Sft
A I
ahi
Ct г
MMWMnMiliwi
UM
Рис. 16.6. База данных для поиска аналогов технологических процес-
сов на основе распознавания геометрических характеристик объектов
При использовании такой системы для технологических про-
цессов объемной штамповки пространственных поковок целе-
сообразно выбирать как идентификационные параметры трех-
мерных объектов (объем, площадь поверхности, их отношение и
т.д.), так и параметры, характеризующие их проекции (двумер-
ные объекты). Геометрические пространственные объекты в си-
стеме хранятся в стандартном формате STL. Предварительный
497
анализ такой поисковой системы показал ее высокую эффектив-
ность. Вместе с тем в настоящее время, к сожалению, даже при
наличии спроса на такие системы возникают значительные труд-
ности с созданием баз данных трехмерных объектов.
16.4. Определение вида и последовательности операций
технологического процесса штамповки
на основе частных критериев сложности поковок
16.4.1. Проектирование операций штамповки поковок
В зависимости от типа процесса штамповки, вида штампового
оборудования и варианта расположения заготовок в окончатель-
ном штампе для выбора варианта процесса используется опреде-
ленный стандартный набор технологических операций штампов-
ки. Для поковок, штампуемых поперек оси, могут быть
использованы следующие переходы (операции): окончательный
(чистовой), предварительный (черновой, предварительно-загото-
вительный), гибочный, формовочный, пережимной, поперечной
осадки и др. В некоторых случаях предусматриваются совмещен-
ные переходы (гибочный и предварительно-заготовительный,
формовочный и предварительно-заготовительный и другие вари-
анты). Выбор альтернативных вариантов последовательности фор-
мообразующих операций штамповки производится по результа-
там сравнительного анализа параметров геометрии поковки с
облоем и исходной заготовки (после профилирования), а также
по значениям критериев сложности элементов поковки и частных
коэффициентов подкатки заготовки на каждом переходе.
Для варианта процесса штамповки заготовок вдоль оси могут
использоваться следующие переходы: окончательный (чистовой),
предварительный (черновой), высадка, выдавливание (прямое,
обратное и радиальное), осадка и другие.
Рассмотренные выше возможные альтернативные варианты
формирования технологических операций штамповки системати-
зированы и представлены в виде фрагмента морфологической
матрицы проектирования технологических операций на рис. 16.3.
16.4.2. Определение частных
критериев сложности поковок
Для определения необходимых переходов штамповки приме-
няется оценка показателей сложности отдельных конструктивных
498
элементов поковки. Как правило, форму любой поковки можно
представить в виде набора стандартных конструктивных элемен-
тов: “бобышек”, “стержневых” элементов, ребер, вертикальных и
горизонтальных выступов, кольцевых элементов, “вилок” и т.д.
На рис. 16.7 представлены основные конструктивные элементы
поковки поворотного кулака, определяющие переходы штамповки.
Рис. 16.7. Основные конструктивные элементы поковки
поворотного кулака
Поковка имеет конструктивные элементы:
типа бобышек, ориентированные в поперечном направлении
(1.1- 1.3);
конические односторонние вертикальные элементы в централь-
ной части (2.1) и у края поковки (2.2—2.4);
кольцевой элемент с отверстием (3), имеющим соотношение
высоты ребра к диаметру отверстия (h/D < 0,4).
Положение этих элементов относительно оси или какой-либо
базы поковки, а также соотношения их габаритных и относитель-
ных размеров (коэффициент сложности элемента) определяют не-
обходимый минимум операций и их вид, позволяющий с высокой
499
Например, для элементов типа 2.2, имеющих отношение вы-
соты к ширине контура h/b > 2,4, необходимо использование трех
переходов: предварительного для набора металла, предваритель-
ного для формообразования и окончательного.
Для элемента 1.1 (горизонтального выступа большой длины)
должен быть обязательно использован предварительный переход
для набора металла. Далее для его формирования можно исполь-
зовать сразу окончательный переход, так как его относительные
размеры в поперечном направлении невелики (h/b < 2,0).
Оценка значений показателей сложности каждого элемента
производится по геометрии наиболее сложного контура из на-
бора сечений. В зависимости от значений данного показателя и
вида элемента, на основе данных, приведенных в справочной
литературе по проектированию ГОШ, а также собственного опы-
та технолога определяются необходимые переходы для формо-
образования этих элементов. Для этого удобнее всего восполь-
зоваться преобразованием геометрии контуров сечений для
каждой из необходимых операций (рис. 16.11 — 16.14). Затем для
создания геометрии соответствующего элемента на текущем
переходе на контуры “натягивается” сетка, состоящая из гра-
ней многоугольной или треугольной формы. Элементы разме-
щаются на своих позициях относительно оси или базы поков-
ки, а потом с использованием процедуры синтеза создаются
модели для каждого из переходов [106]. Количество необходи-
мых переходов штамповки определяется наиболее сложным эле-
ментом по трудоемкости его получения.
Рис.16.11. Положение сечения кольцевого элемента поковки
502
Контур сечения кольцевого элемен-
та поковки на втором переходе
Контур сечения кольцевого элемен-
та поковки на третьем переходе
Рис. 16.12. Контуры сечений кольцевого элемента
по переходам штамповки
Контур сечения кольцевого элемен-
та поковки на последнем переходе
Рис. 16.13. Положение сечения для большого конического выступа
503
Контур сечения большого коничес-
кого элемента поковки на втором
переходе
Контур сечения большого коничес-
кого элемента поковки на третьем
переходе
Рис. 16.14. Контуры сечений вертикального конического элемента по
переходам штамповки
Контур сечения большого коничес-
кого элемента поковки на после-
днем переходе
16.5. Проектирование штампового инструмента
На рассматриваемом этапе проектирования в соответствии со
схемой дерева целей решаются следующие задачи:
определение геометрии ручьев штампа по переходам штам-
повки;
компоновка ручьев в штампе (или во вставках) на основе дан-
ных о минимальных габаритных размерах тела штампа или встав-
ки и допустимого эксцентриситета приложения нагрузки относи-
тельно оси машины;
проектирование дополнительных элементов штампа и вставки;
конструирование штампового блока.
При проектировании геометрии ручьев штампа определяются
геометрия гравюры штампа и геометрия дополнительных элементов
504
4*
гравюры (облойной канавки, клещевины, литниковой системы для
молотовых штампов и др.)
Геометрия гравюры штампа определяется на основе геометрии
заготовки на рассматриваемом переходе и типа процесса деформи-
рования, от показателя которого зависит способ преобразования гео-
метрии заготовки в геометрию гравюры ручья. Для этого преобразо-
вания необходимо определить степень заполнения полости ручья и
признаки заполнения. Возможны три варианта:
1) полное заполнение ручья (геометрия ручья соответствует гео-
метрии заготовки с учетом необходимой коррекции), это наиболее
характерный вариант для проектирования окончательных и предва-
рительных ручьев;
2) частичное заполнение ручья в результате увеличения его раз-
меров относительно заготовки с учетом допусков на размеры загото-
вок (вариант, характерный при проектировании высадочных набор-
ных переходов на ГКМ, а также при проектировании ручьев с
компенсаторами для штамповки в закрытых штампах);
3) геометрия ручьев штампового инструмента не соответствует
геометрии поковки при частичном заполнении ручья (к этому вари-
анту относятся заготовительные ручьи молотовых штампов — про-
тяжные, подкатные, пережимные), ручьи ковочных вальцев.
Геометрия гравюры ручья штампа для варианта полного запол-
нения его полости определяется по геометрии заготовки на рассмат-
риваемом переходе деформирования с учетом ее коррекции. Кор-
рекция производится для компенсации различных отклонений,
возникающих при штамповке в геометрии формы заготовки или гра-
вюры штампа.
Как правило, для поковок обычной точности производится кор-
рекция геометрии гравюры ручья штампа с учетом так называемых
“горячих” размеров поковки, т. е. по размерам поковки с учетом
теплового расширения металла при температуре окончания штам-
повки. Для поковок повышенной точности или с уменьшенными
припусками (например, для поковок турбинных лопаток) произво-
дится коррекция геометрии гравюры штампа для компенсации уп-
ругих деформаций штампа, возникающих в результате воздействия
контактных напряжений. При производстве заготовок турбинных
лопаток повышенной точности в некоторых случаях (например, при
штамповке заготовок без припусков для механообработки) проводит-
ся коррекция, учитывающая упругие деформации поковки, а также ее
коробление, возникающее в результате неравномерной усадки мате-
риала при ее остывании. Каждый из указанных выше вариантов может
быть реализован при проектировании по логической схеме “И”.
505
Для формирования полной геометрии ручья штампа необходи-
мо гравюру ручья дополнить вспомогательными элементами гра-
вюры, к которым относятся: облойная канавка (для вариантов об-
лойной штамповки), полость для клещевины, литниковая система
для ручьев молотовых штампов и другие. Каждый из этих вариан-
тов реализуется также по логической схеме «И».
После определения геометрии полости ручья штампа необхо-
димо указать принадлежность ее поверхностей к отдельным эле-
ментам штампа или к штамповой вставке. Для большинства видов
оборудования ручей принадлежит двум частям штампа: верхней и
нижней. При этом линия раздела поверхностей проходит по гра-
ницам облойной канавки штампа. Для вариантов конструкции
штампа с разъемными матрицами или для штамповых вставок ГКМ
границы поверхностей, принадлежащих различным частям штам-
па, необходимо указать особо в соответствии с назначением линии
разъема штампов при проектировании геометрии поковки.
Следующим этапом проектирования штампового инструмента
является компоновка ручьев в штампе с учетом условий прочности
различных элементов конструкции и расположения ручьев относи-
тельно оси рабочего пространства машины.
Первым показателем, определяющим альтернативные вариан-
ты конструкции штампа, является количество ручьев, располагае-
мых в штампе (в штамповом блоке). В зависимости от вида штам-
пового оборудования количество ручьев может изменяться от одного
(для тяжелонагруженных штампов, например, для поковок турбин-
ных лопаток или для простых по форме поковок) до шести—семи
(для молотовых штампов и штампового блока ГКМ). При штам-
повке на КГШП, как правило, в стандартном штамповом блоке
располагаются три вставки, иногда дополнительно применяют встав-
ку для предварительной осадки заготовки, располагающуюся вне
блока. Выбор варианта зависит от конкретных условий производ-
ства, а также от вида и мощности штампового оборудования, кото-
рое определяет размеры рабочего пространства и штампового бло-
ка, а следовательно, количество необходимых переходов штамповки.
Размеры штамповых вставок для КГШП определяются, исходя из
минимально необходимых габаритных размеров вставки с учетом
прочности ее элементов и габаритных размеров рабочей поверхно-
сти вставки в плане для размещения ручья с облойной канавкой и
клещевины. Аналогично проектируются штамповые вставки для
ГКМ и винтовых прессов.
При компоновке ручьев молотовых штампов на первом этапе
производятся определение минимальных толщин стенок между
506
ручьями (для окончательного и чернового), их взаимная компо-
новка (с учетом минимальной толщины стенки между ними) и
относительно оси рабочего пространства молота с учетом эксцен-
триситета приложения нагрузки. Затем вокруг них располагаются
остальные ручьи (гибочный, формовочный, подкатной и другие).
На практике используются типовые варианты компоновки ручьев
в зависимости от их вида и количества [97—99].
Полученный вариант компоновки ручьев может быть исполь-
зован в качестве первого приближения к искомому, так как дает
возможность определить минимально необходимые размеры штам-
па и штамповых вставок.
Следующим этапом конструирования является проектирова-
ние дополнительных и вспомогательных элементов штампов.
Дополнительные элементы штамповых вставок применяются
в основном в сборных конструкциях для КГШП, ГКМ и автома-
тов, когда отдельные элементы гравюры штампа изготавливаются
из разных материалов, а полость ручья штампа является сборной.
Наиболее часто сборные конструкции штамповых вставок приме-
няются в процессах безоблойной штамповки в закрытых штам-
пах. К вспомогательным элементам штампов относятся выталки-
ватели, замки, бандажи и другие элементы конструкции. Для
каждого из этих параметров (функций) может быть построена своя
морфологическая матрица по вариантам их конструкций. Напри-
мер, конструкция выталкивателей определяется их количеством в
штамповой вставке (1, 2, 3 и т. д.), типом выталкивателя (стерж-
невой или кольцевой), типом конструкции и т.д. Для типов зам-
ков возможны следующие варианты конструкции в зависимости
от их функционального назначения [97—99]:
призматический односторонний (контрзамок);
цилиндрический (кольцевой);
призматический двусторонний;
крестообразный и др.
После определения дополнительных и вспомогательных эле-
ментов штампов производится окончательный выбор типов штам-
повых блоков, типов вставок и их габаритных размеров в соот-
ветствии с нормалями, определяются способ крепления штамповых
вставок в блоке и другие конструктивные параметры.
Рассмотренные выше варианты конструкции штампового ин-
струмента и этапы их проектирования представлены в виде фраг-
мента морфологической матрицы конструирования штампового
инструмента на рис. 16.15.
507
оо
Проектирование геометрии ручья штампа Лц Определение геометрии ручья Лщ Заполнение ручья при штамповке Лцц Полное заполне- ние Неполное заполне- ние
Коррекция поверхности гравюры ручья 7^4! 12 — упругое деформирование — тепловое деформирова- ние — деформация поковки
Определение дополнительных элементов ручья /412 — Облойная канавка — клещевина — литниковая система
Количество частей штампа 7*413 2 3
Компоновка ручьев в штампе F42 Определение количества ручьев 7*421 1 1 2 3
Определение min габаритных размеров Лш
Определение положения ручьев /423
Проектирование дополнительных и вспомагатель- ных элементов штампа /43 Дополнит, элементы штампа Несборный штамп Сборный штамп
Вспомогательные элементы Лш — выталкиватели — замки — бандажи • • •
Конструирование штампового бло- ка и вставок /44 Тип штампового блока 7*441 Цельный Сборный
Тип штамповой вставки 7*442 Цилиндрическая Призматическая Др. формы
Тип крепления вставки F^ Прессовое Механическое
Рис. 16.15. Фрагмент морфологической матрицы конструирования штампа
16.6. Методика проектирования технологических процессов ГОШ
Полученные в результате морфологического анализа вари-
анты реализации технологического процесса ГОШ могут быть
представлены в виде упорядоченного набора функций F, реа-
лизующих необходимые операции проектирования для различ-
ных альтернативных вариантов технологического процесса.
При построении последовательности функций F целесооб-
разно функции, реализованные по' схеме логического сложе-
ния, дополнить каждую двоичной функцией “ДА”—“НЕТ”. Если
все функции одного уровня должны быть реализованы при рас-
сматриваемом варианте технологического процесса, они полу-
чают значение “ДА”, при исключении какой-либо из варианта
технологии — “НЕТ”.
Для функций, реализуемых по логической схеме “ИЛИ”,
только одна из них для одного уровня может иметь значение
“ДА”, остальные - “НЕТ”.
Каждая из функций F морфологической матрицы техноло-
гического процесса может рассматриваться, с одной стороны,
как указатель выполнения некоторого набора определенных опе-
раций проектирования или выбора, а с другой стороны — как
указатель того, должны быть реализованы эти операции при
проектировании или нет. Таким образом, рассматриваемый ва-
риант технологии, получаемый из морфологической матрицы,
в конечном счете может быть представлен в виде последова-
тельности логических переменных, определяющих набор функ-
ций и операций проектирования.
Для полного описания варианта технологии набор логичес-
ких переменных необходимо дополнить вектором фактических
параметров, значения которых определяют конкретные харак-
теристики технологического процесса, а также матрицей совме-
стимости логических функций F, отражающих технологичес-
кие и конструктивные ограничения, существующие при
реализации вариантов технологии. Эти ограничения можно
представить в виде системы логических выражений взаимодей-
ствия функций. Например, при взаимодействии функции типа
процесса штамповки Ft (облойная штамповка — Ft, безоблой-
ная — F,) и функции Fo — расположения оси поковки относи-
тельно оси пресса (вдоль оси — Fo, поперек — Fo) данное вы-
ражение будет иметь вид
T=Fl(F0+F0) + FfFg.
509
где Т — двоичная функция возможности реализации варианта.
Если Т= TRUE — процесс реализуем, если Т = FALSE —
процесс не реализуем.
Таким образом, процесс проектирования может быть опи-
сан формально и представлен в виде некоторой последователь-
ности математических моделей, каждая из которых реализует
определенный набор проектных операций и процедур. Вход-
ными параметрами модели являются компоненты л-мерного
вектора логических и фактических параметров, а выходными —
искомые параметры технологического процесса.
Как было отмечено ранее, разработка технологического про-
цесса многопереходной горячей объемной штамповки включа-
ет в себя построение чертежа поковки по заданному чертежу
детали, выбор последовательности и определение параметров
технологических переходов штамповки, расчет исходной заго-
товки, а также проектирование штампового инструмента для
каждого из переходов. Если построение чертежа поковки и рас-
чет исходной заготовки для разработчика представляют собой
хорошо формализованные этапы проектирования, то проекти-
рование технологических переходов штамповки, особенно для
поковок сложной формы с повышенными требованиями к ка-
честву изделий, во многих случаях носит эвристический харак-
тер. Процесс проектирования заметно усложняется, если к по-
ковке предъявляются дополнительные требования по структуре
и качеству материала, по точности ее геометрии и качеству по-
верхности или если разрабатывается принципиально новый тех-
нологический процесс. В этих и в ряде других случаев приме-
нение традиционных методов проектирования не позволяет
получить положительные результаты [100—102]. Наиболее эф-
фективным методом разработки таких сложных систем, позво-
ляющим получать результаты повышенной надежности, явля-
ется применение комплексных систем автоматизированного
проектирования (САПР) с использованием имитационного мо-
делирования.
510
17. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
ОБЪЕМНОЙ ШТАМПОВКИ
17.1. Примеры проектирования технологических процессов
многопереходной штамповки
В качестве данных для этого этапа проектирования использу-
ется геометрическая модель поковки, полученная при помощи
трехмерной системы автоматизированного проектирования (3-D
CAD-системы) в каком-либо стандартном формате, например STL.
Далее процесс определения вида и последовательности пере-
ходов формообразования основывается на оценке с точки зрения
технологии штамповки, показателей сложности поковки в целом,
а также ее отдельных конструктивных элементов. Для проведения
такого анализа необходимо создать геометрическую модель по-
ковки с облоем и перемычками в отверстиях.
Затем на основе специальной системы анализа формы произ-
водится расчет эпюры площадей сечений поковки с облоем и ее
характеристик, в частности коэффициента подкатки. На основа-
нии данного параметра устанавливается необходимость предва-
рительного профилирования исходной заготовки перед штампов-
кой и производится выбор вида процесса профилирования
(вальцовка заготовок, подкатка или формовка и т.д.).
Для определения необходимых переходов штамповки оценива-
ются показатели сложности отдельных конструктивных элементов
поковки (бобышек, стержневых элементов, ребер, выступов, коль-
цевых элементов и т.д.), положение этих элементов относительно
оси или какой-либо базы поковки, а также соотношение их габа-
ритных размеров. Для такого анализа используется специализиро-
ванная система, позволяющая получать наборы сечений отдельных
элементов вдоль или поперек их локальной оси. Оценка значений
показателей сложности каждого элемента производится по геомет-
рии наиболее сложного контура из набора сечений. В зависимости
от значений данного показателя и вида элемента, на основе экспе-
риментальных данных, приведенных в справочной литературе по
проектированию ГОШ [97,100] определяются необходимые пере-
ходы для формообразования этих элементов.
Далее с использованием процедуры синтеза создаются модели
для каждого из переходов.
Необходимо иметь в виду, что приведенная выше методика
дает возможность определить, во-первых, геометрию полости
511
штампа для каждого из переходов, во-вторых, только первое при-
ближение варианта технологического процесса из множества воз-
можных. Правильность выбора варианта технологии может быть
проверена при помощи математического моделирования процес-
са течения металла при заполнении полости штампа на каждом из
переходов штамповки. Следует также отметить, что предлагаемая
методика не позволяет полностью формализовать процесс проек-
тирования и во многом зависит от опыта технолога.
17.1.1. Проектирование переходов штамповки
поковки поворотного кулака
Анализ поковки, определение трудоемкости изготовления ее
элементов описаны в разделе 16.
В настоящем разделе приводятся результаты разработки тех-
нологического процесса штамповки.
В качестве исходных данных для разработки технологического
процесса многопереходной штамповки используются результаты
проектирования геометрии поковки в одной из систем автомати-
зированного проектирования. В приведенных ниже примерах ис-
пользовалась геометрическая модель поковки, разработанная в
системе Pro-Engineer (рис. 17.1). Затем модель преобразуется в
твердотельную модель в формате STL, и далее на ее основе прово-
дятся полный анализ ее геометрии и определение параметров пе-
реходов. На рис. 17.2 и 17.3 представлены геометрическая модель
поковки с облоем и эпюра площадей сечений для нее.
Исходная заготовка из проката, размеры сечения 90x90 мм,
L = 141 мм.
По результатам анализа эпюры площадей сечений и размеров
заготовки сделан вывод о том, что профилирование заготовки
невозможно.
Для ее изготовления предлагаются следующие переходы
штамповки:
поперечная осадка заготовки в области кольцевого элемента
(рис. 17.4);
предварительно-заготовительный переход (рис. 17.5—17.7);
предварительный переход в черновом ручье (рис. 17.8);
штамповка в чистовом (окончательном) ручье (см. рис. 17.2).
Следует отметить, что геометрические модели переходов штам-
повки представляют собой геометрические модели полости штам-
пов (ручьев). Они используются в дальнейшем для проектирова-
ния штампового инструмента.
512
Рис. 17.1. Геометрическая модель поковки поворотного
кулака в системе Pro-Engineer
Рис. 17.2. Геометрическая модель поковки с облоем
513
Schnitt : |5i | ' Flaeche Ю831.14
1 О. 00 □
2 463.73
3 569.81
4 651.25
5 710.92 $
6 744.05
7 753.91
8 746.19 •5
9 810.69
1О 1587.70
11 2250.38
и 1143678 .6
Snax 10831.144
Snid 3327.459
К 1.804
Рис. 17.3. Эпюра распределения площадей сечений поковки с облоем
Рис. 17.4. Геометрическая модель заготовки после поперечной осадки
514
даня
Рис. 17.5. Геометрическая модель предварительно-заготови-
тельного ручья второго перехода
Рис. 17.6. Области предварительного ручья второго
перехода, в которых используется специальная тормоз-
ная облойная канавка
515
Рис. 17.7. Геометрия бокового горизонтального элемента в предвари-
тельном ручье
Рис. 17.8. Геометрическая модель чернового ручья предпоследнего
перехода
516
17.1.2. Проектирование переходов штамповки поковки
рычага подвески автомобиля
В качестве следующего примера проектирования технологи-
ческих переходов и штампового инструмента представлены пере-
ходы штамповки поковок рычага подвески автомобиля.
На рис. 17.9—17.11 представлены геометрические модели го-
товой поковки, облоя и поковки с облоем, а также эпюра площа-
дей сечений поковки с облоем. На основании характеристик эпю-
ры площадей сечений представлен вариант процесса
профилирования исходной заготовки на ковочных вальцах за два
прохода по схеме овал—круг [97].
Рис. 17.9. Пространственная геометрическая модель готовой
поковки рычага
517
Рис. 17.10. Геометрическая модель облоя и поковки с облоем
518
Рис. 17.11. Эпюра площадей сечений поковки с облоем и переходы
вальцовки исходной заготовки
519
На основании геометрии заготовки после вальцовки и геомет-
рии ручья окончательного перехода штамповки производится про-
ектирование заготовки после операции гибки ( рис. 17.12). Гео-
метрия ее определяется по условию размещения в ручье
окончательного перехода.
Рис. 17.12. Проектирование геометрии заготовки после гибки
520
На основании описанной выше методики производится ана-
лиз конструктивных элементов поковки и определяется элемент с
наибольшей трудоемкостью (средняя головка). По результатам
анализа формируется вариант последовательности технологичес-
ких операций штамповки (рис. 17.13).
Рис. 17.13. Вариант последовательности технологических
операций штамповки
521
Следует заметить, что представленный вариант технологии
позволяет гарантировать получение поковки, но, возможно, не
является наилучшим с учетом количества переходов. В качестве
альтернативного варианта может быть использован трехпереход-
ный процесс без операции формовки.
На рис. 17.14—17.18 представлены контуры сечений поковки
по переходам штамповки для центральной головки и стержневой
части поковки по вариантам технологии.
Рис. 17.14. Геометрическая
модель центральной головки
поковки
Рис. 17.15. Контуры сечений заготовки
в области центральной головки после
гибки, формовки на предварительном
переходе (первый вариант процесса)
522
Рис. 17.16. Контуры сечений заготовки в
области центральной головки после гибки
и на предварительном переходе (второй
вариант процесса)
Рис. 17.17. Контуры сечений
заготовки в области стержня
после гибки, формовки и на
предварительном переходе
(первый вариант процесса)
Рис. 17.18. Контуры сечений
заготовки в области стержня
для заготовки после гибки и
на предварительном переходе
(второй вариант процесса)
523
Окончательный выбор технологии может быть осуществлен
либо на основе реального опробования технологии, либо по ре-
зультатам моделирования технологического процесса штамповки.
На рис. 17.19 — 17.21 представлены геометрические модели
формообразующих инструментов: окончательного и гибочного
штампов и секторов ковочных вальцев.
Рис. 17.19. Геометрическая модель штамповой вставки для окончатель-
ного перехода штамповки
524
л
/
и
Рис. 17.20. Геометрическая модель гибочного штампа
525
Рис. 17.21. Секторы первого и второго проходов ковочных вальцев
17.1.3. Проектирование переходов штамповки поковки фланца
На рис 17.22, 17.23 представлены переходы штамповки и кон- ,
струкция штампового инструмента для выдавливания поковки
фланца.
526
А
527
Верхний штамп
Вставка верхнего
штампа
Нижний штамп
Матрица верхнего
штампа
Матрица нижнего
Вставка нижнего
штампа
штампа
Выталкиватель
Рис. 17.23. Конструкция окончательного закрытого штампа для штам-
повки фланца
528
17.2. Особенности проектирования технологических
процессов прецизионной штамповки
Детали и изделия, полученные методом горячего пластическо-
го деформирования, называются точными, или прецизионными,
если их важные функциональные элементы и поверхности готовы
к сборке или имеют припуск под финишную обработку, напри-
мер под шлифование [110—112].
Использование процессов изготовления прецизионных заго-
товок и изделий целесообразно в следующих случаях:
при изготовлении форм, которые нерационально или вообще
невозможно изготовлять обработкой резанием;
при использовании улучшенных эксплуатационных характе-
ристик заготовок и изделий, полученных в результате горячей
пластической деформации;
для сокращения стадий производства и тем самым сокраще-
ния капиталовложений;
для снижения себестоимости готовых изделий.
Наиболее широкое применение для изготовления точных и
прецизионных заготовок и изделий получили следующие техно-
логические процессы горячей пластической обработки:
горячее прессование профилей сложной формы,
горячая объемная штамповка в закрытых и открытых штампах,
горячая вальцовка заготовок сложной формы и др.
Рассмотрим наиболее широко распространенные технологи-
ческие процессы и их особенности.
Прецизионная штамповка в закрытых штампах
Прецизионная штамповка впервые была использована при
изготовлении сателлитов дифференциала в автомобилестроении.
У таких шестерен зубчатый венец изготовляется практически год-
ным к сборке, т. е. для технологически сложных поверхностей не
требуется чистовой механической обработки и используются только
финишные операции [110—112].
В настоящее время спектр деталей, получаемых прецизион-
ной штамповкой в закрытых штампах, значительно расширился и
усложнился. На рис. 17.24 представлены некоторые типы подоб-
ных деталей.
Главной особенностью технологических процессов данного
вида является специальная конструкция штампового инструмента
(рис. 17.25, 17.26).
529
Рис 17 24 Примеры деталей для автомобильной промышленности
получаемые при помощи прецизионной штамповки в закрытых
штампах [94]
Перед деформированием
После деформирования
Рис 17 25 Схема штампа для точной штамповки зубчатых колес [94]
530
тал
Рис 17 26 Деталь муфты включения и схема штампового инструмента
для прецизионной штамповки [ill]
Особые требования предъявляются к точности изготовления
гравюры штампового инструмента Доводка ее формы произво
дится в основном экспериментально с учетом жесткостных ха
рактеристик системы пресс—инструмент—деталь Нагрев и дефор
мирование заготовок производятся в нейтральной атмосфере что
позволяет значительно уменьшить дефектный слои на поверхнос
ти деталей Как показали многочисленные исследования прове
денные в Институте машин и технологии обработки давлением
(IFUM) Ганноверского университета (Германия) главным уело
вием надежности технологии являются повышенные требования
к стабильности технологических параметров процесса к точности
исходной заготовки, стабильности температуры нагрева и ко вре-
мени цикла обработки заготовки [110—112]
Прецизионная штамповка в открытых штампах
Данный вид технологического процесса изготовления прецизи-
онных заготовок получил распространение при производстве дета-
лей сложной формы, у которых практически вся поверхность должна
быть механически обработана В основном это относится к процессам
изготовления заготовок турбинных и компрессорных лопаток
Высокая стоимость материала, трудоемкость его механичес-
кой обработки и связанные с этим расходы, особенно при ис-
пользовании труднообрабатываемых материалов, дают процессам
прецизионной штамповки большие экономические преимущества
531
Это становится особенно очевидным при изготовлении лопаток с
большими углами закрутки перовой части в пространстве. Лопатки
для паровых, газовых турбин и компрессоров штампуются с такой
точностью, что практически отпадает необходимость в любом виде
чистовой обработки, связанной со снятием стружки. Обрабатывают-
ся только входная и выходная кромки. Преимуществами прецизи-
онной штамповки являются малые допуски, высокая точность фор-
мы и очень высокое качество поверхности. Замкнутый характер
расположения волокон обеспечивает хорошие показатели стойкости
против коррозии и эрозии.
17.3. Проектирование штампового инструмента
для технологических процессов точной и прецизионной штамповки
с использованием математического моделирования
После определения переходов штамповки и технологических
параметров каждой из операций производится проверка полученно-
го решения [103, 106].
На этапе математического моделирования пластического течения
в чистовом (окончательном) ручье штампа необходимо проследить за
характером заполнения полости штампа и получить численные оценки.
Как было показано ранее, операция калибровки играет определя-
ющую роль в формировании характеристик точности геометрии по-
ковок. Процессы штамповки и калибровки поковок лопаток сопро-
вождаются большими удельными усилиями, которые оказываются
одного порядка с пределом текучести и прочности материала штампа.
Процесс горячей калибровки поковки турбинной лопатки в штам-
пе сопровождается упругопластическими деформациями поковки,
объемными температурными изменениями поковки и штамповых
вставок, упругими деформациями верхней и нижней штамповых
вставок, упругими деформациями конструкции пресса. Неравномер-
ное остывание поковки и неравномерный разогрев штамповых вста-
вок в ходе технологической операции горячей калибровки приводят
к неравномерному распределению предела текучести и модуля упру-
гости по объему поковки и штамповых вставок, что в свою очередь
оказывает влияние на точность готовой поковки. Поскольку пласти-
ческие деформации поковки при горячей калибровке относительно
малы, то упругие, пластические и температурные деформации по-
ковки и деформации инструмента соизмеримы и должны быть учте-
ны в равной степени корректно [113].
Как показали результаты исследований [113], существенное
влияние на характер и значения контактных напряжений и де-
532
формаций системы штамп—заготовка при калибровке оказывает гео-
метрия заготовки после окончательной штамповки. Поэтому при
анализе процесса формообразования в окончательном штампе необ-
ходимо также решать задачу контактного взаимодействия системы
штамп—заготовка, т. е. учитывать изменение геометрии гравюры
штампа в процессе формообразования.
При решении контактной задачи использовался метод последо-
вательных приближений при поочередном численном решении за-
дачи термоупругопластичности для поковки, верхней и нижней штам-
повых вставок с постепенным уточнением граничных (контактных)
условий для каждого из анализируемых тел. Алгоритм решения кон-
тактной задачи системы поковка—штамп для процессов окончатель-
ной штамповки представлен на рис. 17.27.
Следует отметить, что сходимость итерационного процесса ре-
шения контактной задачи может быть значительно ускорена, если
учитывать упругие деформации гравюры штампа в процессе моде-
лирования формообразования.
При обычном решении контактной задачи системы штамп—за-
готовка на первом этапе производится моделирование течения ме-
талла при заполнении полости штампа. При этом штамп прини-
мается как абсолютно жесткий. После завершения моделирования
течения переходят ко второму этапу — к решению контактной
задачи. Как показали предварительные исследования, итерацион-
ный процесс сходится очень медленно. Это связано с тем, что при
моделировании течения в условиях жестких штампов значения
контактных напряжений получаются завышенными. В результа-
те после первого итерационного шага при определении напряжен-
но-деформированного состояния штамповых вставок их абсолют-
ные деформации настолько велики, что требуется вновь повторить
несколько последних шагов моделирования течения металла в штампе.
Предлагается после каждого шага моделирования процесса те-
чения металла при заполнении полости штампа определять реак-
цию инструмента на это воздействие. Таким образом, при модели-
ровании следующего шага формообразования заготовки используется
геометрия гравюры штампа, полученная на предыдущем шаге. Учи-
тывая, что изменение контактных напряжений по мере перемеще-
ния штампа при моделировании происходит постепенно, к концу
процесса моделирования получаем почти точное решение по де-
формациям инструмента. На последнем этапе требуется только его
уточнение за 1—2 итерации. На начальных этапах процесса моде-
лирования течения металла определение реакции инструмента мож-
но производить через 5—10 шагов, постепенно уменьшая этот ин-
тервал к последним этапам.
533
Рис. 17.27. Блок-схема алгоритма решения контактной задачи системы
поковка—штамп для операций окончательной штамповки и калибровки
534
18. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ
КАЛИБРОВКИ ПОКОВКИ ТУРБИННОЙ ЛОПАТКИ
18.1. Особенности проектирования технологических процессов
прецизионной штамповки заготовок турбинных лопаток
Характеристики геометрии и точности поковок
заготовок турбинных лопаток
Технологические признаки заготовок турбинных лопаток оп-
ределяются их конструкцией и назначением. К ним относятся:
габаритные размеры лопаток (длина L, ширина В и толщина пе-
ровой части), угол закрутки перовой части, форма профиля пера,
наличие дополнительных элементов конструкции (замок, бандаж
и др.), материал лопаток. Размеры штампуемых лопаток (рис. 18.1)
изменяются от 16 до 1500 мм по длине L перовой части при ши-
рине В от 8 до 400 мм и толщине пера от 1 до 80 мм. Угол закрут-
ки пера достигает 60—88° [114].
Рис. 18.1. Геометрия заготовки турбинной лопатки (а) и дефекты
формы поковок (6)
535
При определении точностных характеристик лопаток задают-
ся отклонения профиля пера лопаток от номинального размера
по толщине и по контуру о, отклонение угла закрутки пера Да ,
прогиб перовой части лопатки h, а также шероховатость поверх-
ности. В соответствии с этими параметрами определяется и точ-
ность заготовок лопаток. При этом дополнительно учитываются
размеры технологических напусков, в частности толщина выход-
ной кромки о с учетом усиления, и штамповочные уклоны на
входной кромке пера.
Трудоемкость механической обработки заготовок лопаток оп-
ределяется видом и технологическими характеристиками матери-
ала, размерами припуска и применяемыми способами обработки.
Уменьшение припусков без соблюдения дополнительных тре-
бований к их равномерности по контуру пера часто приводит к
увеличению трудоемкости обработки, так как, во-первых, требу-
ется специальное устройство для позиционирования заготовок на
станке в целях перераспределения припуска, а во-вторых, необхо-
димы дополнительные операции для выравнивания припуска на
последнем этапе обработки, например размерное шлифование.
В настоящее время используются два вида заготовок с
уменьшенными по сравнению со стандартами припусками. К пер-
вому относятся поковки лопаток, получаемые точной штампов-
кой, с припуском 0,4—1,8 мм по контуру в зависимости от габа-
ритных размеров лопаток, что составляет 30—50 % от припуска,
рекомендуемого ГОСТ 7505.89. При этом для применения безраз-
мерного шлифования перовой части значение допуска на при-
пуск не должно превышать 15—20 % припуска. В некоторых слу-
чаях при обеспечении точности геометрии пера возможно
применение размерного шлифования для обработки отдельных
элементов пера, например снятие дополнительных припусков на
входной и выходной кромках пера. Размер минимального при-
пуска определяется глубиной дефектного слоя на поверхности за-
готовки [99, ПО].
Ко второму виду относятся поковки лопаток, получаемые пре-
цизионной штамповкой, с готовыми поверхностями перовой час-
ти, для доводки которых используется только ручная зачистка
кромок и полировка. Припуски могут составлять 10—20 % от но-
минальных по ГОСТу. При получении таких заготовок обязатель-
но используются защитные покрытия поверхности стеклоэмаля-
ми или покрытия, наносимые гальваникой. После штамповки для
снижения шероховатости поверхности применяется травление или
536
дробеструйная обработка. Шероховатость поверхности готового
профиля составляет Ra 2,5 мкм.
Анализ факторов и параметров технологического процесса
штамповки, влияющих на точность поковок турбинных лопаток
Анализ факторов, определяющих минимальные размеры при-
пуска и его равномерность, показал, что они обусловлены каче-
ством проектирования технологии, совершенством конструкции
и технологией изготовления инструмента, уровнем производства
заготовок лопаток. К ним относятся износ гравюры штампового
инструмента, который составляет до 50 % припуска, глубина де-
фектного слоя поверхности, тепловые деформации заготовки (усад-
ка материала и коробление поковок), упругие деформации штам-
па, точность изготовления и шероховатость поверхности штампа,
относительное смещение частей штампа и др. (рис. 18.2) Таким
образом, размер припуска рассчитывается исходя из погрешности
определения значений перечисленных параметров, которая состоит
из систематической и случайной погрешностей.
Рис. 18.2. Влияние характеристик технологического процесса на точ-
ность поковок лопаток: а — деформация штампового инструмента: б —
термические деформации при охлаждении
537
Значение систематической погрешности определения парамет-
ров зависит от возможности прогнозирования характера влияния
различных факторов на точность поковок и от уровня методов
расчета параметров. В частности, для ее снижения широко ис-
пользуются статистические модели, полученные на базе экспери-
ментальных исследований и производственного опыта, а также
имитационные модели, основанные на решении задач математи-
ческой физики. Их используют, например, при расчете тепловых
деформаций поковок и упругих деформаций инструмента. Следу-
ет отметить, что при уменьшении размеров припусков значимость
этих факторов существенно повышается, так как они зависят от
геометрии и размеров перовой части поковок.
Значение случайных погрешностей связано с отклонением тех-
нологических параметров процесса штамповки и характеристик
материала, например: химического состава и структурных харак-
теристик материала, температуры и условий нагрева заготовок и
инструмента при штамповке и термической обработке, условий
трения, временных параметров процесса и др.
Как показал опыт изготовления заготовок лопаток с уменьшен-
ными припусками, для получения поковок с заданной точностью
необходимо обеспечить точность изготовления инструмента на один
квалитет выше. В частности, применение специальных высокообо-
ротных фрезерных станков с ЧПУ и специальных концевых фрез
со вставками из нитрида бора позволило на финишных операциях
обработки поверхности штампа после закалки достичь точности
0,02—0,05 мм и отказаться от ручной доводки поверхности, при
которой получить аналогичную точность очень трудно [114].
Уменьшение случайных погрешностей достигается стабильно-
стью значений технологических параметров, что возможно толь-
ко при строгой технологической дисциплине и специальной сис-
теме контроля качества изделий и технологии в соответствии с
ISO 9000. Так, например, при внедрении процессов прецизион-
ной штамповки на фирме “Тиссен” (ФРГ) была полностью изме-
нена система планирования и организации производства. Введе-
ние специальной системы контроля качества поковок позволило
значительно повысить качество изделий, оперативно выявлять
источники и причины брака и отклонений от требований, вно-
сить необходимые изменения в технологию. В частности, конт-
роль геометрии поковок и качества поверхности проводится на
каждом этапе технологического процесса, при этом контролиру-
ется первая поковка и выборочно 10—30 % поковок партии. Реги-
страция всех размеров и технологических параметров проводится
538
автоматически, что позволяет обеспечить достоверность и надеж-
ность результатов и снизить трудоемкость контроля [114].
Особое внимание при изготовлении поковок лопаток с умень-
шенными припусками уделяется применению специальных тех-
нологических процессов штамповки. Возможность управления
параметрами технологических процессов горячей объемной штам-
повки достаточно ограничена. В связи с этим необходимо при
выборе вариантов технологии учитывать возможность управления
ими исходя из поставленных целей. В частности, для повышения
точности поковок весьма эффективно управление температурно-
скоростным режимом деформирования. Например, применение
изотермической штамповки позволяет практически полностью
исключить температурные деформации заготовок (коробление)
вследствие снижения неравномерности температурного поля по-
ковок после деформирования.
Использование процессов штамповки поковок в режиме сверх-
пластичности позволяет, благодаря малой сопротивляемости ме-
талла пластической деформации, а следовательно, и малым зна-
чениям контактных напряжений значительно снизить упругую
деформацию штампов. Заготовки лопаток из титановых сплавов,
изготавливаемые методом штамповки в режиме сверхпластичнос-
ти, получают с минимальными припусками и не подвергают до-
полнительной обработке [114]. Однако применение этих техноло-
гических процессов для получения средних и крупных лопаток
практически невозможно из-за больших трудностей обеспечения
эффективной теплоизоляции инструмента и поддержания посто-
янной температуры. Возможность управления параметрами при
обычных режимах горячей штамповки весьма ограничена, так как
эти процессы относятся к так называемым малоуправляемым.
Поэтому наиболее целесообразно учитывать влияние технологи-
ческих параметров путем коррекции геометрии инструмента.
При получении заготовок лопаток с уменьшенными припус-
ками применяются технологические процессы многопереходной
штамповки:
— на первом этапе исходную заготовку профилируют. Для
малых типоразмеров лопаток используется выдавливание или вы-
садка на горизонтально-ковочных машинах (ГКМ). Большие за-
готовки профилируют на ковочных вальцах или радиально-ко-
вочных машинах. При необходимости производится
дополнительная высадка замковой части заготовок на ГКМ;
— на втором этапе заготовки штампуют за несколько пере-
ходов на кривошипных горячештамповочных прессах (КГШП)
539
или винтовых прессах. Крупногабаритные заготовки штампуют
на винтовых прессах, а также на бесшаботных молотах боль-
шой мощности;
— на третьем этапе проводят обрезку облоя после окончатель-
ной штамповки на обрезных прессах. В некоторых случаях перво-
начальную обрезку проводят после предварительных переходов
штамповки. Для сохранения формы поковок после штамповки
обрезку облоя в некоторых вариантах процессов производят анод-
ной или плазменной резкой;
— на четвертом этапе поковки калибруются на винтовых или
чеканочных прессах для обеспечения требуемой точности гео-
метрии.
Указанный технологический процесс используется для полу-
чения поковок лопаток повышенной точности с малыми углами
закрутки перовой части (до 30—40°).
Для получения заготовок лопаток повышенной точности с
большими углами закрутки (до 88°) используется операция зак-
рутки пера. В этом случае заготовку штампуют за несколько пере-
ходов до достижения требуемой формы профиля перовой части с
нулевым углом закрутки. Для закрутки используется цельноблоч-
ный штамп, снабженный специальным зажимным устройством,
фиксирующим заготовку. Следует отметить, что благодаря мало-
му углу закрутки перовой части заготовки профиль пера при штам-
повке получают с минимальными припусками. Это обеспечивает
высокую точность поковок после закрутки и калибровки, так как
технологические напуски на кромках практически отсутствуют.
Большое значение при проектировании технологических про-
цессов штамповки поковок с повышенной точностью имеет конст-
рукция штампа, которая должна обеспечивать высокую точность
взаимного положения частей штампа под нагрузкой и жесткость.
Для повышения точности геометрию гравюры штампа определяют
путем расчета угла разворота поковки в штампе, обеспечивающе-
го минимальные горизонтальные составляющие усилия. Кроме
того, все штампы снабжены замками с вертикальными контакт-
ными поверхностями без зазоров. При штамповке на КГШП в
штамповых вставках делаются продольные замки [97—99].
При штамповке заготовок лопаток на винтовых прессах в связи
с малой точностью и жесткостью направляющих пресса к штампам
предъявляются повышенные требования по этим характеристикам.
Замок штампа расположен в штамповом блоке, что обеспечи-
вает его высокую жесткость. Форма его позволяет обеспечивать
точность позиционирования вставок в двух направлениях. Точность
540
ч
i
размеров по высоте обеспечивается взаимным положением по-
верхностей соударения штампов. Для уменьшения износа контак-
тной поверхности замков они снабжены специальными высоко-
прочными накладками. При данной конструкции штампа точность
получаемых поковок зависит только от точности взаимного поло-
жения штамповых вставок и их жесткости. Таким образом, такая
конструкция штампа позволяет повысить точность и стабильность
размеров изготавливаемых поковок лопаток, хотя и требует высо-
кой точности его настройки.
При контроле точности получаемых заготовок используются
различные приспособления и устройства для измерения геометрии
поковок лопаток, например, с использованием шаблонов, замеров
контрольных точек поковок, а также специальные координатно-
измерительные машины с ЧПУ. Фиксация положения перовой ча-
сти производится на четырех неподвижных упорах, один из кото-
рых фиксирует положение заготовки вдоль оси на галтели, а три
других — нижнюю поверхность перовой части. Замеры произво-
дятся в пяти контрольных сечениях перовой части и в пяти конт-
рольных точках с каждой стороны. Для замеров могут быть исполь-
зованы различные конструкции измерительных устройств, например:
механические, пневматические, электромагнитные и др.
Настройка измерительного устройства проводится по контрольной
заготовке, имеющей номинальные размеры. В каждой точке опреде-
ляются относительные размеры или отклонение от номинала. Уст-
ройство является универсальным для определенного типоразмера
поковок лопаток, так как можно изменять положение отдельных
мерителей относительно базы прибора. Контроль и регистрация ре-
зультатов измерений могут быть достаточно просто автоматизирова-
ны, что обеспечивает надежность контроля качества.
Следует особо отметить, что успешное применение точной и
прецизионной штамповки возможно только при внедрении всего
комплекса мероприятий по организации производства, контролю
качества продукции и совершенствованию методов проектирова-
ния и изготовления инструмента и поковок. В противном случае
достижение положительных результатов маловероятно.
18.2. Анализ результатов численного решения задачи
взаимодействия заготовки и штампов
В данном разделе приведен пример моделирования задачи
контактного взаимодействия на основании методики, описанной
в разделе 15.
541
Расчет напряженно-деформированного состояния поковки
турбинной лопатки, верхнего и нижнего штампов выполнялся по
следующей схеме. Общее суммарное обжатие ЛЯ = 0,3 мм при
калибровке поковки прослеживалось за шесть этапов нагружения.
На каждом из них в первом приближении предполагалось обжа-
тие ДА = 0,05 мм .
На первом шаге расчета рассматривался процесс нагружения
поковки в нижнем жестком штампе за счет перемещения
ДА = -0,05 мм жесткого верхнего штампа. Поля температур и сво-
бодных объемных изменений в поковке и штампах были получены
предварительно решением задачи нестационарной теплопроводно-
сти (разд. 12.1 и 12.2). Решение задачи термоупругопластичности о
жестком нагружении поковки давало в качестве одного из резуль-
татов приведенные узловые силы. Эти узловые силы являются внеш-
ней нагрузкой при решении задачи термоупругости для верхнего
штампа. Результатом решения задачи об упругом нагружении вер-
хнего штампа являются, в частности, перемещения узлов контакт-
ной поверхности.
Учитывая заданные перемещения ДА = -0,05 мм узловых то-
чек поверхности поковки и рассчитанные перемещения соответ-
ствующих узлов контактной поверхности верхнего штампа, сле-
дует в качестве нового приближения перемещений верхней
поверхности поковки задать значения, отличающиеся от перво-
начальных ДА = -0,05 мм, соответствующих жесткому недефор-
мируемому верхнему штампу. Процесс последовательных расче-
тов поковки и верхнего штампа был выполнен три раза. При этом
заданные перемещения для поковки и рассчитанные далее для
верхнего штампа (с учетом его перемещения как единого целого)
различались максимум на 5 %.
На втором шаге расчета рассматривалось взаимодействие по-
ковки и нижнего штампа. Сначала решалась задача о термоупру-
гопластическом нагружении поковки, находящейся в верхнем
жестком штампе. В качестве граничных условий в перемещениях
следовало задать ДА = 0,05 мм перемещения нижнего жесткого
штампа. В целях ускорения сходимости итерационного процесса
решения контактной задачи вместо ДА = 0,05 мм были заданы
значения дЛ , полученные на первом шаге решения задачи (взаи-
модействия поковки с верхним штампом), с обратным знаком.
Это позволило определить приемлемую точность решения кон-
тактной задачи за две итерации. Приведенные узловые силы как
542
реакция на жесткое нагружение поковки задавались в качестве
граничных условий мягкого нагружения штампа, и далее переме-
щения точек контактной поверхности нижнего штампа были уч-
тены при корректировке граничных условий в задаче о термоуп-
ругопластическом нагружении поковки.
На третьем шаге расчета решалась задача о поковке с гранич-
ными условиями в перемещениях. В качестве таковых были назна-
чены перемещения, равные перемещениям, полученным на пер-
вом шаге расчета. По приведенным узловым силам выполнен расчет
термоупругого нагружения верхнего штампа, что позволило уточ-
нить граничные условия в перемещениях в задаче о формоизмене-
нии поковки. Второе приближение расчета термоупругопластичес-
кого нагружения поковки обеспечило требуемую точность.
На четвертом, пятом и шестом шагах была выполнена анало-
гичная итерационная процедура. После шестого шага найденные
узловые силы были использованы для повторного решения зада-
чи на пятом и далее шестом шаге нагружения, чтобы тем самым
достичь равенства сумм узловых сил по верхней и нижней кон-
тактным поверхностям. Таким образом, на обеих контактных по-
верхностях на каждом шаге расчета выполнялось условие равен-
ства узловых сил и узловых перемещений на стыках верхней части
поковки и ручья верхнего штампа и нижней части поковки и ру-
чья нижнего штампа. Поочередное решение контактных задач для
поковки и верхнего штампа и поковки и нижнего штампа с со-
хранением (в первом приближении) примерного равенства узло-
вых перемещений (с противоположными знаками) не позволяло
накапливаться ошибке в величине равнодействующей контактных
сил по верхней и нижней контактной поверхностям.
На рис. 18.3 и 18.4 показаны распределения перемещений uz
и напряжений ог в поперечных сечениях поковки и штампов
после завершения итерационного процесса решения контактной
задачи. Напряженно-деформированное состояние поковки и штам-
пов соответствует моменту окончания рабочего хода пресса — мак-
симуму напряжений и деформаций. Зазор между поковкой и штам-
пами показан на рисунках исключительно для наглядности
изображения, чтобы отделить поковку и штамп, закрашенные
одинаково в силу равенства напряжений и перемещений на по-
верхностях.
Как было отмечено при описании алгоритма решения контак-
тной задачи, поковка считалась неподвижной, верхний и нижний
штамп перемещались относительно поковки.
543
Uz, мм
а.а>аа
ЧММ»
Рис. 18.3. Области равных перемещений в
сечении Y = 130 мм поковки и штампов
Рис. 18.4. Области равных напряжений в сечении Y = 250 мм
поковки и штампов
544
Анализ распределения напряжений и перемещений
на поверхности контакта поковки и штампа
Операция калибровки поковки формирует толщину пера ло-
патки. В процессе остывания поковки происходит ее коробление,
последствия которого могут быть ликвидированы правкой. Изме-
нение толщины пера лопатки после калибровки может быть дос-
тигнуто только в результате механической обработки. Необходи-
мость высокой точности размеров пера лопатки диктуется
требованиями аэродинамики и равенства нулю равнодействую-
щей центробежных сил. Таким образом, к точности размеров пе-
ровой части лопатки предъявляются повышенные требования.
Как было показано в разделе 12.3, упругие деформации штам-
пов обусловлены как величиной контактных напряжений в каж-
дой конкретной точке, так и общим прогибом поверхности ручья
штампа под действием неравномерной нагрузки. Помимо давле-
ния со стороны поковки на величину общего прогиба штампа
оказывает влияние жесткость упругого основания — жесткость
конструкции пресса. Совместное влияние этих факторов приво-
дит к тому, что контактные перемещения центральной части по-
верхности ручья штампа оказываются существенно больше пере-
мещений периферийных частей. На рис. 18.5 показано
распределение перемещений по гравюрам верхнего и нижнего
штампов (виды на штампы снизу и сверху).
Ул о
и~. мм
Рис. 18.5. Области равных перемещений по гравюрам нижнего (слева)
и верхнего (справа) штампов
545
Общий прогиб поверхности ручья штампа вносит существен-
ные изменения в эпюру контактных напряжений, полученную в
разделе 12.2. из условия равных контактных перемещений (абсо-
лютно жестких штампов). Если при дЛ = const напряжения в мас-
сивном сечении У = 130 мм были минимальны, то в расчете, вы-
полненном с учетом упругих деформаций штампа, напряжения в
этом же сечении оказались значительно выше. Это связано с ма-
лым общим прогибом штампа и, следовательно, с большими де-
формациями (рис. 18.6, 18.7).
Рис. 18.6. Распределение напряжений по
сечениям поковки
о, МПа
.WYV.*
WIS.1
Рис. 18.7. Эпюры контактных напряжений-
546
В сечении Y = 360 мм напряжения уменьшились по сравне-
нию с теми, что получены для жестких штампов. Как было отме-
чено, общий прогиб штампа в этом сечении максимален, следова-
тельно, максимальна недоштамповка. Вследствие упругих
деформаций штампов происходят некоторое сглаживание контакт-
ных напряжений в продольных сечениях поковки (У= var) и уве-
личение неравномерности распределения напряжений в попереч-
ных сечениях пера лопатки (Х= var). В силу общего прогиба штампа
и интенсивного охлаждения тонких кромок поковки основная часть
нагрузки воспринимается продольными периферийными частями
поковки, близкими к заусенечной канавке.
Неравномерно распределенные упругие деформации штампов
формируют в каждом из сечений поковки схему внешних сил,
близкую к схеме нагружения балки двумя сосредоточенными си-
лами (см. рис. 18.7). Такой схеме нагружения соответствует опре-
деленная форма упругой линии изогнутой балки; этому сопрома-
товскому аналогу соответствует эпюра контактных перемещений
сечения поковки (рис. 18.8).
Рис. 18.8. Эпюра контактных перемещений по сечениям поковки
Показанное распределение контактных перемещений свиде-
тельствует о том, что условие ДА = const не имеет ничего общего
с реальными обжатиями при горячей калибровке. В тонком хо-
лодном сечении Y = 360 мм , в районе которого находится точка
максимального прогиба штампа, реальные обжатия составляют
547
примерно Ай = 0,03 мм на сторону. В сечении Y = 130 мм фак-
тически имеем предполагаемую величину Ай = 0,15 мм на сторо-
ну. Здесь следует отметить, что распределения перемещений по
верхней и нижней контактным поверхностям по расчету оказа-
лись почти одинаковыми, т.е. на рис. 18.8 показана фактически
величина Ай/2.
Минимальные обжатия при калибровке получают серединные
части пера лопатки в районе сечений Y = 250 мм и Y = 360 мм .
Обжатие в самых тонких сечениях (Y = 432 м) оказывается боль-
шим, чем в массивном сечении Y = 130 мм .
Выполненные расчеты не позволяют сделать каких-либо об-
щих выводов для внесения корректив в размеры полости штампа
независимо от ее размеров и формы. При проектировании техно-
логического процесса точной штамповки и инструмента необхо-
дима стадия предпроектного исследования, включающая весь ком-
плекс решения контактной задачи.
Без моделирования процесса формоизменения поковки при ка-
либровке, вероятно, нельзя предугадать даже общего характера поля
скоростей в сечении поковки. Как показано на рис. 18.9, на некото-
ром удалении от выходов штампа в облой в сторону середины сече-
ния имеются две нейтральные линии — линии нулевого перемеще-
ния их = 0. По обе стороны от этих нейтральных линий металл
перемещается в сторону свободной поверхности, формируя облой, и
в сторону центра сечения, упруго сжимая массивную среднюю часть.
Рис. 18.9. Области равных горизонтальных
перемещений их по сечениям поковки
548
Положениям этих нейтральных линий соответствуют макси-
мумы контактных напряжений (см. рис. 18.6). Понятно, что упру-
гое сжатие центральной части сечения поковки не может быть
беспредельным. Поэтому показанная на рис. 18.6 эпюра харак-
терна лишь для малых обжатий, имеющих место при калибровке.
По мере увеличения обжатия нейтральные линии должны переме-
щаться к центру сечения и на некоторой стадии процесса слиться в
одну. С перемещением нейтральных линий в центральную часть
поковки перемещается и максимум на эпюре контактных напря-
жений, как показано на рис. 12.5 для модельного примера дефор-
мирования в жестких штампах. Этому достаточно сложному и нео-
бычному полю горизонтальных перемещений соответствует
неравномерное поле вертикальных перемещений (рис. 18.10).
Uz, мм
Y= 250 мм
Рис. 18.10. Области равных вертикальных перемещений
по сечениям поковки
Ранее выполненные расчеты [113] показали, что при больших
коэффициентах трения, характерных для горячей штамповки, нет
перемещений поверхностных слоев поковки относительно повер-
хности штампов. В горизонтальном направлении с вытеканием в
облой перемещаются серединные, более горячие слои металла,
толщина которых по сечению неодинакова.
Нетрудно предположить, что поля перемещений, показанные
на рис. 18.9 и 18.10, должны зависеть от температуры нагрева по-
ковки под калибровку. Эта зависимость обусловлена изменением
549
как предела текучести (сопротивления деформированию), так и мо-
дуля упругости. Очевидно, чем выше температура нагрева, тем ниже
предел текучести, тем ниже напряжения, необходимые для переме-
щения смещенного по высоте объема металла. Влияние модуля упру-
гости без проведения численного эксперимента предсказать трудно.
18.3. Термические деформации заготовки после
калибровки (коробление поковки при остывании)
18.3.1. Кинетика формоизменения при охлаждении
поковки на воздухе после горячей калибровки
Охлаждение любого несимметричного профиля после горячей
штамповки, прокатки или прессования приводит к его искривле-
нию. Поковка турбинной лопатки отличается от прокатанного или
отпрессованного профиля тем, что несимметричным является про-
филь поперечного сечения и форма этого профиля изменяется вдоль
длины пера лопатки. Массивная замковая часть усиливает нерав-
номерность охлаждения пера лопатки, отдавая тепло в прилегаю-
щую область перовой части лопатки. В результате неравномерного
остывания отштампованная и откалиброванная поковка получает
необратимые пластические деформации, приводящие к геометри-
ческим искажениям, намного превышающим допускаемые техни-
ческими условиями отклонения. Поэтому необходимо смоделиро-
вать процесс охлаждения, рассчитать геометрические изменения и
внести упреждающие коррективы в размеры инструмента.
Моделирование термомеханических процессов охлаждения по-
ковки предполагает совместное решение уравнений нестационар-
ной теплопроводности и теории малых упругопластических дефор-
маций. Процесс прослеживается во времени от момента укладки
нагретой до 1100 °C заготовки в нижний штамп, включает ее охлаж-
дение в нижнем штампе, нагретом до 250 °C, охлаждение и дефор-
мирование при рабочем ходе пресса и охлаждение поковки на возду-
хе до полного выравнивания температуры по объему поковки, в том
числе замковой части. Расчет полей температур и формоизменения
выполнялся за 31 этап, охватывая промежуток времени в три часа.
Собственно процесс деформирования включает пять этапов: охлаж-
дение в нижнем штампе без нагрузки и четыре этапа нагружения с
суммарным обжатием ДЛ = 0,1 мм и охлаждением в верхнем и ниж-
нем штампах во время рабочего хода. Остальные 26 этапов моде-
лировали процесс охлаждения поковки на воздухе.
550
В связи с разными условиями охлаждения до рабочего хода, во
время рабочего хода пресса и при охлаждении поковки на воздухе
поле температур и его изменение во времени носят достаточно
сложный характер. До рабочего хода преимущественно охлажда-
ется нижняя поверхность поковки, находящаяся в штампе; верх-
няя поверхность, отдающая тепло в воздух, охлаждается в мень-
шей степени. За время рабочего хода происходит интенсивное
охлаждение всего поверхностного слоя; внутренние объемы ме-
талла сохраняют температуру 1100 °C (рис. 18.11 и 18.12).
К= 250 мм
К= 360 мм
Т, °C
vat
Рис. 18.11. Распределение температур на
верхней (я) и нижней (б) поверхностях
поковки к концу рабочего хода пресса
Рис. 18.12. Распределение температур в
поперечных сечениях пера лопатки к концу
рабочего хода пресса
551
Рис. 18.13. Распределе-
ние прогибов uz на
плане поковки при
извлечении из штампа
после калибровки
Наиболее высокую температуру к концу рабочего хода сохраня-
ют объемы металла массивных сечений (У= 130 мм), близкие к
замковой части; наиболее низкую температуру имеют тонкие кромки
(входная и выходная) удаленных от замка сечений (см. рис. 18.11).
Перепад температур по объему поковки к концу рабочего хода при-
ближается к Л71 = 300°.
Формоизменение во время рабочего хода происходит в условиях
неизотермического жесткого нагружения: высота пера лопатки умень-
шается на ДЛ = 0,1 мм; увеличение размеров вдоль других направ-
лений определяется частичным вытеканием металла в заусенец.
В связи с кратковременностью пребывания заготовки в штам-
пах (Дт = 0,7 с) потери тепла невелики (охлаждается только тон-
кий поверхностный слой). Поэтому влияние термической усадки
на этой стадии процесса не является определяющим или замет-
ным на фоне формоизменения, вызываемого обжатием поковки.
Снятие внешнего давления приводит к искажению формы по-
ковки. Поскольку нижняя поверхность пера лопатки, как выпуклая,
более протяженная, чем верхняя, и дольше контактировавшая со
штампом, потеряла больше тепла, после
извлечения поковки из штампа она реали-
зует свободные объемные тепловые изме-
нения (которым препятствовал штамп), и
перо лопатки прогибается вниз. Если учесть,
что выходная кромка, как более тонкая, чем
входная, остыла в большей степени, то по-
мимо изгиба продольной оси (Y) перо ло-
патки закручивается. На рис. 18.13 показа-
но поле вертикальных перемещений и (вид
на поковку сверху) при извлечении поков-
ки из штампа. Здесь и далее плоскость сты-
ка пера и замка лопатки считается непод-
вижной. Максимальный прогиб пера
лопатки, извлеченной из штампа, достига-
ет uz = 3 мм.
После извлечения поковки из штампа
за счет тепла ее внутренних слоев проис-
ходит разогрев тонкого остывшего поверх-
ностного слоя поковки. За время т = 0,5 с
температура самой холодной кромки по-
вышается на 90°; в утолщенной части сечений разогрев поверхност-
ных слоев еще более значителен. На рис. 18.14 представлены рас-
пределения температур по верхней и нижней поверхностям
552
поковки в момент максимального разогрева поверхности при ее
охлаждении на воздухе. Перепад температур по объему поковки в
этот момент снижается до ДТ = 200°.
Рис. 18.14. Распределение температур по верхней (а) и
нижней (б) поверхностям поковки в момент макси-
мального разогрева
Разогрев поверхности и связанное с этим выравнивание темпе-
ратуры по сечению приводят к уменьшению прогиба пера лопатки.
В момент времени т = 13 с максимальная и минимальная темпера-
туры поковки примерно соответствуют значениям на момент кон-
ца рабочего хода. При этом искривление продольной оси поковки
минимально. Распределение температур по верхней и нижней по-
верхностям на этот момент времени показано на рис. 18.15.
Несмотря на одинаковый диапазон температур, характер рас-
пределения температур по поверхностям, как следует из рис. 18.11
и 18.15, принципиально различен. Сечения, близкие к замковой
части, в процессе охлаждения на воздухе разогреваются, удален-
ные и более тонкие — охлаждаются. Если для поля температур,
показанного на рис. 18.11, вектор градиента температур ориенти-
рован вдоль нормали к поверхности, в процессе охлаждения гра-
диент температур направлен вдоль длины поковки (ось Y). По-
нятно, что в процессе охлаждения поковка не проходит положения,
в котором кривизна отсутствует.
553
Рис. 18.15. Распределение температур по верхней
(а) и нижней (б) поверхностям поковки в момент
т = 13 с от начала процесса (момент минимальной
кривизны поковки)
Дальнейшее охлаждение поковки приводит к нарастанию про-
дольного градиента температур. Тонкие сечения интенсивно ох-
лаждаются на воздухе. В силу этого происходит уменьшение разме-
ров удаленных от замковой части сечений вдоль оси X, при
Uz, мм
ю сю
♦ В х
к-. >а Jfc
% л.«а
i
Рис. 18.16. Распределе-
ние прогибов uz на плане
поковки при т = 80 с
(максимальный подъем
концевого сечения)
сохранении размеров вдоль оси %массив-
ных сечений. Кроме того, происходит теп-
ловое укорочение кромок вдоль оси К
Термические деформации обусловливают
изгиб пера лопатки в противоположном
направлении (подъем концевых сечений
относительно неподвижной замковой ча-
сти), увеличение угла закрутки и вогну-
тости поперечных сечений.
Максимальный прогиб продольной
оси поковки вверх (uz = +7,05 мм) дос-
тигается в момент времени т = 80 с.
Поле вертикальных перемещений, соот-
ветствующих этому моменту времени,
показано на рис. 18.16. Изгибные дефор-
мации концентрируются в концевых се-
чениях пера лопатки.
На рис. 18.17 с соблюдением масш-
таба показано искажение формы попе-
речного сечения К= 430 мм, близкого к
554
краю пера лопатки. Верхнее сечение (а) соответствует поковке,
находящейся в штампе; сечение (б), повернутое (закрученное)
относительно исходного положения (а) и имеющее большую вог-
нутость, относится к моменту времени т = 80 с, когда изгиб про-
дольной оси вверх максимален. Положение (в) характеризует се-
чение после полного остывания поковки. Изменение формы и
поворота сечения Y= 430 мм настолько значительно, что заметно
невооруженным глазом.
Рис. 18.17. Положение сечения У=430мм на разных стадиях
охлаждения поковки: а — исходная форма в полости штампа;
б — через т = 80 с; в — при полном охлаждении
Положение б иллюстрирует эффект термического укорочения
вогнутого тонкого сечения (У= 430 мм) в условиях изменения раз-
меров утолщенной части пера лопатки. Здесь не происходит про-
порционального уменьшения размеров, характерного для свобод-
ного объемного температурного изменения. Под действием
внутренних напряжений, вызывающих тепловое сокращение раз-
меров, тонкий профиль (К= 430 мм) теряет устойчивость и про-
гибается, увеличивая вогнутость.
Максимальному подъему концевого сечения вверх
(uz = +7,05 мм) соответствует градиент температур по объему по-
ковки, близкий к максимальному. В этот момент снижается тем-
пература в центре замковой части поковки турбинной лопатки;
температура на самой остывшей кромке приближается к 400 °C.
Далее перепад температур по объему поковки сохраняется на уров-
не АГ = 600°. При общем пропорциональном охлаждении по-
ковки изгиб пера лопатки уменьшается; концевое сечение, дос-
тигнув своего максимума uz =+7,05 мм, опускается. В момент
555
времени т = 400 с прогиб меняет знак, и перо лопатки прогиба-
ется вниз (относительно принятого за неподвижное сечения на
стыке пера и замка).
Кинетика изменения прогиба в точке А (см. рис. 18.16) — в
самом тонком месте поковки — представлена на рис. 18.18. На
этом же рисунке показано изменение температуры в той же точке
Лив точке В, расположенной в центре замковой части и имею-
щей максимальную в объеме поковки температуру.
-2 0 2 4 6 8 10 1пт
Рис. 18.18. Изменение прогиба и температуры поковки при остывании:
1 — минимальная температура поковки (в точке А); 2 — максимальная
температура поковки (в точке В); 3 — перемещение и точки А
Кинетика изменения прогиба продольной оси поковки опре-
деляется соотношением температур, распределенных вдоль дли-
ны, ширины и толщины поковки. В случае свободного равномер-
ного охлаждения на ДГ = 1000° полоса шириной Ьх = 200 мм и
длиной / = 440 мм (размеры пера лопатки) должна была бы умень-
шить свои размеры на \ЬХ = аЛТЬх =3,5 мм; д/ =аЛТ1у =7,7 мм.
Фактические изменения размеров поковки после полного вырав-
нивания температур в виде областей равных перемещений пред-
ставлены на рис. 18.19.
Уменьшение размера вдоль оси Xв концевом сечении составило
4 мм, вдоль оси Y — в пределах 6,8—7,4 мм. Как показано на рис.
18.17 (в), после полного остывания концевое сечение уменьшило
вогнутость и повернулось относительно исходного положения (по-
ложения в штампе). Тем самым изменился размер вдоль оси X. Уко-
рочение вдоль оси Y происходило неравномерно: сначала остывали
и укорачивались кромки; на конечной стадии остывала массивная
556
серединная часть сечения, образовав в конечном состоянии вог-
нутость поверхности. Максимальный прогиб оказался в точке А, в
самой тонкой кромке поковки, он составил uz = -5,36 мм.
ММ
Т. 53
О?
4.33
А 3*
-«.ее
I«П7
1 >&7
3 2
О.«1Э
1.4С
0,21
1.33
1 «1Т
Рис. 18.19. Области равных перемещений их (а), иу (б), uz (в) после
полного остывания поковки
-Л :М
Здесь следует обратить внимание на то, что качественные за-
кономерности кинетики коробления при остывании одинаковы
для всех лопаток. Количественные оценки определяются геомет-
рией поковки.
Легко заметить, что геометрическая модель поковки, упрощен-
но полученная для анализа влияния температуры нагрева, харак-
теризуется прогибом uz = -3 мм, мало отличаясь от модели, по-
лученной при более точном анализе.
18,3.2. Влияние структурных превращений в металле
на кинетику формоизменения
Структурные превращения в металле происходят в узком ин-
тервале температур и сопровождаются резким изменением объе-
ма. Поскольку причинами коробления поковки являются нерав-
номерное охлаждение и связанные с ним неравномерные объемные
температурные изменения, структурные превращения должны в
какой-то степени отразиться на кинетике формоизменения при
557
охлаждении поковки. Здесь ставится задача оценить качественно
и количественно влияние учета объемных температурных измене-
ний, вызванных структурными превращениями, при математичес-
ком моделировании процесса коробления поковки.
На рис. 18.20 показана типичная зависимость свободных объем-
ных температурных изменений от температуры. Это часть дила-
тограммы материала, соответствующая периоду охлаждения. Дру-
гая часть дилатограммы, соответствующая периоду нагрева и
включающая изменения объема, вызванные фазовым переходом,
на рисунке не показана. Разогрев металла, извлеченного из штам-
па, происходит при температурах, намного превышающих точку
Дсз, так что фазовые превращения на кинетику деформирования
поковки влияния не оказывают. Коэффициенты линейного рас-
ширения при температурах выше точки Лсз при нагревании и ох-
лаждении равны между собой.
Рис. 18.20. Часть дилатограммы материала поковки, соответ-
ствующая периоду охлаждения
В диапазоне температур начала (Л/) и конца (А/,) мартенсит-
ного превращения охлаждению соответствует относительное уве-
личение объема естр = 1,4-10 . В расчетной модели свободные
объемные температурные изменения учитываются с использова-
нием коэффициента линейного расширения, который в диапазо-
не температур мартенситного превращения принимается со зна-
ком минус и в данном случае равен а = -41 -Ю^град"1.
Расчет кинетики деформирования с учетом структурных пре-
вращений выполнен по той же схеме, которая изложена в разде-
ле 18.3.1. До момента т = 100 с ни одна точка в объеме поковки
не охладилась до точки Мн, и эта часть графика, изображающего
558
кинетику прогиба точки торцевого сечения поковки (рис. 18.21),
повторяет соответствующую кривую из разделе 18.3.1. Поскольку в
данном случае нет необходимости изображать кинетику формоизме-
нения в первые 100 с охлаждения поковки, время т на графике рис.
18.21 отложено не в логарифмических, а в натуральных координатах.
IV
0 \\ 10 00 20 00 30 00 40 00 т, с
Рис. 18.21. Изменение во времени величины максимального прогиба
м™ах пера лопатки. Расчет с учетом (7) и без учета (2) структурных
А*
превращений
В рассматриваемом технологическом процессе начало мартен-
ситного превращения совершенно случайно совпадает по време-
ни с моментом максимального прогиба пера лопатки вверх
(w™ax =+6,92 мм). Прогиб поковки вверх, как было показано в
разделе 18.3.1, вызван преимущественным охлаждением и, следо-
вательно, уменьшением ширины (размера вдоль оси X) тонкой тор-
цевой части пера лопатки. Одновременно происходили увеличение
кривизны профиля и разворот сечения (закрутка пера лопатки).
Структурные превращения, начавшиеся в раньше всех остывшей
торцевой части поковки, резко меняют механизм формоизмене-
ния. Торцевая часть, продолжая остывать, с момента времени
т = 100 с начинает уширяться, причем в очень значительной сте-
пени (сравните а = 17 • 10-6 и а = —4Т 10-6 град-1). В остальной ча-
сти поковки остывание вызывает деформации укорочения.
С исчезновением причины, вызывавшей прогиб продольной
оси поковки вверх, происходит резкое уменьшение прогиба (пе-
ремещение вниз торцевого сечения), гораздо более значитель-
ное, чем отсутствие структурных превращений. В период време-
ни от 100 до 700 с материал пера лопатки проходит интервал
температур мартенситного превращения. Понятно, что в этот
559
$
6
i
период времени кривые 7 и 2 (рис. 18.21), полученные с учетом и
без учета объемных изменений, вызванных структурными превра-
щениями, расходятся. Далее структурные превращения происхо-
дят в массивной замковой части поковки, начиная с поверхност-
ных слоев, где никакого влияния на формоизменение не оказывают
(слишком мала доля объема, охваченного структурными превра-
щениями, чтобы продеформировать остальную массу металла).
Кривые 7 и 2 на рисунке сближаются, и в конечном счете, после
выравнивания температур по объему поковки, величины макси-
мальных прогибов практически не различаются.
Различия в распределении вертикальных перемещений в по-
ковке после выравнивания температур, полученных с учетом и
без учета структурных превращений (рис. 18.22), несущественны
и относятся в основном к области массивных сечений в районе
замка. Для дальнейшей механической обработки отклонения раз-
меров массивной части поковки непринципиальны.
и, мм
z’
Рис. 18.22. Распределение вертикальных перемещений и по
поверхности поковки после полного остывания по данным
расчета без учета (а) и с учетом (б) структурных превращений
Помимо прогиба продольной оси поковки, структурные изме-
нения в материале влияют на формоизменение в направлении оси
X, вызывая изменение кривизны сечения лопатки и его разворот
560
(закручивание). Изменение кривизны профиля лопатки не носит
заметного характера, если речь идет о количественной оценке; это
обусловлено формой профиля с вогнутостью лишь в самых тонких
сечениях. Начало структурных превращений в торцевой части пера
лопатки вызывает кратковременное возрастание вогнутости профи-
ля, обусловленное увеличением размера вдоль оси X крайнего сече-
ния при сохранении размера ^удаленных от торца сечений. Основ-
ным же механизмом компенсации разницы в размерах, вызываемой
структурными превращениями, является разворот сечений.
Будем характеризовать закручивание профиля величиной Дйх —
уменьшением ширины горизонтальной проекции пера лопатки,
связанной с разворотом профиля. Температурное укорочение не
зависит от того, были ли учтены структурные превращения.
В момент времени т = 100 с, когда начинаются структурные пре-
вращения в торцевом сечении, величина Дбх, полученная с учетом
структурных превращений, уменьшается быстрее, чем та же характе-
ристика, рассчитанная без учета структурных превращений (рис.
18.23). Поскольку одному и тому же моменту времени соответствует
одна и та же температура, уменьшение ширины в данном случае
связано с разворотом сечения относительно горизонтальной плос-
кости — с закруткой сечения. Увеличение ширины сечения за счет
расширения материала в интервале температур 370—320 °C достигает-
ся его разворотом. По мере удаления фронта структурных превраще-
ний от торцевого сечения разворот уменьшается, и при полном вы-
равнивании температур угол закрутки, полученный расчетом с учетом
и без учета структурных превращений, оказывается одним и тем же.
Рис. 18.23. Изменение во времени размера торцевого сечения Дбх.
Расчет с учетом (/) и без учета (2) структурных превращений
Таким образом, учет структурных превращений, по данным
приведенных исследований, не отразился на окончательных ха-
561
рактеристиках формоизменения. Это, вероятно, связано с поступа-
тельным перемещением фронта объемных изменений в тонкой ча-
сти пера лопатки, где влияние структурных превращений на кине-
тику формоизменения имеет принципиальный характер. Для
массивных сечений местное увеличение объема не может повлиять
на общие закономерности формоизменения при остывании.
18.4. Общий алгоритм проектирования технологических
процессов с использованием математического моделирования
На основании проведенных исследований сформулированы и
реализованы основные функции системы проектирования техно-
логических процессов многопереходной ГПО на примере процес-
сов ГОШ для изготовления изделий повышенной точности с ис-
пользованием компьютерного моделирования, включающего
пространственное геометрическое и математическое (на базе МКЭ)
моделирование [106] (рис. 18.24).
Система выполняет необходимый набор стандартных проце-
дур анализа и синтеза проектных решений процессов горячей
объемной штамповки:
— проектирование геометрии поковки (назначение припусков
и технологических напусков на основе твердотельной геометри-
ческой модели детали);
— определение технологических параметров поковки с учетом
необходимых операций формообразования (компоновка поковок v
при многоштучной штамповке, проектирование геометрии облоя, {
определение характеристик эпюры площадей сечений поковки с
облоем и др.);
— определение параметров технологических операций, вклю- 4
чая операции предварительной штамповки, гибки, формовки, про- '
филирования заготовок на различных видах оборудования и дру- ’
гие, проектирование штампового инструмента. ;
В основе этих процедур проектирования лежит методика анализа ’
и синтеза форм на базе трехмерного геометрического моделирования.
Система позволяет также производить опробование спроекти- *
рованного технологического процесса с использованием матема-
тического моделирования и последующую корректировку парамет- '
ров технологического процесса. Математическое моделирование не
исключает необходимости некоторой доводки разработанного тех-
нологического процесса в условиях производства, однако позволяет
во многих случаях внести необходимые изменения до изготовле-
ния дорогостоящей оснастки.
562
Рис. 18.24. Блок-схема проектирования процесса многопереходной
штамповки
563
Математическое моделирование процесса формоизменения и
охлаждения поковки, а также работы штампового инструмента
является неотъемлемой частью разработки технологического про-
цесса, когда речь идет о “точной” и “прецизионной” штамповке,
т. е. о штамповке изделий с повышенными требованиями по точ-
ности и качеству поверхности поковок. При проектировании штам-
па для точной штамповки при построении гравюры штампа тре-
буется учет не только так называемых “горячих” размеров поковки,
но и изменения размеров от коробления поковки при остывании
в полости штампа и на воздухе, а также учет изменения размеров
поковки, вызванного деформациями штамповых вставок и штам-
повых блоков. При штамповке изделий ответственного назначе- (
ния, например, турбинных лопаток, необходимо получить в ре-
зультате формообразования такое распределение k
термодеформационных параметров по переходам, которое обес-
печило бы требуемые структуру и качество металла.
Таким образом, система технологического проектирования
процессов многопереходной объемной штамповки с использова-
нием компьютерного моделирования, включает программы мате-
матического моделирования пластического течения заготовки в
штампе заданной (спроектированной) конфигурации, расчета на- ;
пряженно-деформированного состояния штампа и формоизмене- *
ния поковки при ее охлаждении после штамповки и калибровки.
На этапе математического моделирования пластического те-
чения в чистовом (окончательном) ручье штампа необходимо про-
следить за характером заполнения полости штампа и получить
численные оценки.
Моделируя пластическое течение металла и анализируя распре-
деление термодеформационных параметров в поковке с учетом ха- !
рактеристик рекристаллизации материала и фазовых превращений,
можно целенаправленно корректировать технологические параметры
формообразующей операции, добиваясь требуемой проработки
материала и заполнения профиля сечения. Как показала практика,
наиболее эффективным методом управления технологическими ,
параметрами является коррекция геометрии заготовки после пред-
варительного перехода.
Анализ проектного решения средствами математического мо-
делирования на данной стадии разработки позволяет выбирать
наиболее удачное технологическое решение.
Далее рассмотрим более подробно отдельные процедуры про-
ектирования, указанные в алгоритме на рис. 18.24.
564
18.5. Методика проектирования переходов штамповки
поковок повышенной точности
В качестве исходных данных используется геометрическая
модель поковки с назначенными припусками и технологически-
ми напусками. Проектирование происходит в порядке, обратном
последовательности этапов технологического процесса.
18.5.1. Определение геометрии поковки после процесса калибровки
(перед охлаждением на воздухе)
Производим расчет размеров и геометрии поковки после на-
грева в печи (так называемые “горячие” размеры). Затем модели-
руем температурные поля и термические деформации в заготовке
в соответствии с этапами, описанными ранее, т. е. перенос заго-
товки от печи к прессу, контакт заготовки со штампом и охлажде-
ние на воздухе. Деформирование заготовки в калибровочном штам-
пе не моделируется. В результате получаем первое приближение
геометрии заготовки после калибровки (рис. 18.25), а также дан-
ные по распределению температурных полей и напряженно-де-
формированного состояния металла по шагам времени.
Рис. 18.25. Схема расчета первого приближения искомой геометрии
заготовки при определении ее параметров после калибровки:
1 — исходная геометрия; 2 — геометрия после моделирования
Для получения второго приближения искомой геометрии ре-
шается обратная (не с математической точки зрения, а по сути
процесса) задача — задача нагрева поковки в результате воздей-
ствия неравномерного температурного поля. Для этого задаем рас-
пределение температур в исходной модели поковки, полученное в
результате расчета при определении первого приближения, в об-
ратном порядке по шагам времени, т. е. от последнего — к перво-
му (аналог нагрева заготовки в условиях неравномерного темпе-
ратурного поля). Далее определяются термические деформации и
новая геометрия поковки после нагрева в печи ( рис. 18.26).
565
Рис. 18.26. Схема расчета второго приближения искомой геометрии
заготовки: 1 — исходная геометрия; 2 — геометрия после моделирования
На последующих итерациях с использованием какого-либо ите- г
рационного метода (например, метода деления отрезка пополам)
определяются новые приближения геометрии “горячей” поковки
и производится моделирование задачи охлаждения до достиже-
ния необходимой точности искомых размеров поковки, с учетом
допусков на припуск и других параметров.
s
18.5.2. Определение геометрии поковки перед калибровкой
(после последнего перехода штамповки) f
В качестве исходных данных используется геометрия поков-
ки, полученная в момент окончания процесса калибровки. На этом
шаге проектирования должен быть назначен припуск для калиб-
ровки. Предлагается для уменьшения неравномерности распреде-
ления деформаций в поковке при калибровке задавать припуск
переменным по ширине профиля пера, величина которого долж-
на зависеть от высоты профиля.
Определение геометрии заготовки на промежуточных перехо-
дах штамповки и определение геометрии исходной заготовки рас-
смотрены в разделе 16.
Там же описаны процедуры проектирования для этих этапов.
18.6. Проектирование геометрии штамповых вставок
с учетом их деформаций при калибровке
Для определения искомой геометрии штамповых вставок пред-
лагается трехшаговый алгоритм проектирования.
При расчетах принимается допущение, что штамповая вставка
при нагружении деформируется только упруго, т. е. решается за-
дача термоупругости.
В качестве исходных данных задается модель штамповой встав-
ки, геометрия гравюры которой определяется по размерам поковки
после окончания процесса калибровки (перед охлаждением поков-
ки). Расчет температурного поля во вставке производится в соответ-
ствии с описанием в разделе 12. Далее производится моделирование
566
4
напряженно-деформированного состо-
яния в поковке при калибровке в со-
ответствии с описанной ранее методи-
кой в условиях деформирования
заготовки в жестких штампах. Полу-
ченное распределение контактных на-
пряжений <зк на последнем шаге про-
цесса используется в дальнейшем в
качестве граничных условий.
На п е р в о м шаге проектирования
производится моделирование напря-
женно-деформированного состояния в
штамповой вставке при калибровке в
условиях неравномерного температур-
ного поля и заданной жесткости опор-
ной поверхности вставок. Схема зада-
ния граничных условий представлена на
рисунке 18.27а и соответствует услови-
ям при решении задачи контактного вза-
имодействия заготовки и штампового
инструмента.
В результате моделирования получа-
ем геометрию штамповой вставки под
нагрузкой с учетом податливости опор-
ной поверхности. На основании полу-
ченной новой геометрии опорной по-
верхности штамповой вставки
производится коррекция исходной мо-
дели (сетки КЭ) штамповой вставки.
На в т о р о м шаге проектирования
для новой сетки конечных элементов
производится новый расчет напряжен-
но-деформированного состояния в
штамповой вставке при калибровке.
При этом значения жесткости на опор-
ной поверхности и модуля упругости
задаются на несколько порядков боль-
ше Е*= Е • 105 и с = с • 105 (возникает так
называемый “керамический” штамп).
При заданных значениях жесткости и
модуля упругости значения деформа-
ций в штампе практически равны 0.
Рис. 18.27а. Схема задания
параметров на первом
шаге проектирования
Рис. 18.276. Геометрия
штамповой вставки
после первого шага
проектирования
Рис. 18.27в. Схема
задания параметров на
втором шаге проекти-
рования
567
Рис. 18.27г. Схема
задания параметров на
третьем шаге проекти-
рования
Рис. 18.27д. Гео-
метрия штамповой
вставки после
третьего шага
проектирования
Вместе с тем распределение напря-
жений соответствует реальному распре-
делению.
На третьем шаге производится
моделирование разгрузки штамповой
вставки после снятия контактной на-
грузки при заданном распределении на-
пряжений. Величина модуля упругости
задается для материала вставки такой же,
как и на первом шаге.
Полученная моделированием раз-
грузки новая геометрия штамповой
вставки является искомой, которая обес-
печивает требуемую геометрию и точ-
ность поковки при калибровке.
В результате последующего итераци-
онного процесса решения контактной за-
дачи для процесса калибровки получен-
ное решение проверяется и уточняется.
Представленная методика проектиро-
вания геометрии штамповых вставок ре-
ализована и прошла опробование.
Аналогично производится проектиро-
вание геометрии штамповых вставок для операции окончатель-
ной штамповки.
Разработанная методика проектирования процессов штамповки
поковок повышенной точности не позволяет получить полностью
готовый для практического использования результат проектирова-
ния. Однако с ее использованием возможно значительное снижение
трудозатрат ( в 1,5—2 раза) при запуске технологии прецизионной
штамповки в производство. Особенно эффективно ее применение
для мелкосерийного производства поковок сложной геометрии.
19. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
ВЫТЯЖКИ-ФОРМОВКИ ЗАГОТОВКИ из
ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА
Знание теории обработки металлов давлением плюс опыт тех-
нолога — вот исходная база, на которой строятся проектирование
и освоение новых технологических процессов. В любом случае спро-
ектированный опытным специалистом технологический процесс
568
проходит стадию доводки и корректировки в производственных
условиях. Эту стадию можно сократить, если апробирование
разработанного технологического процесса проводить методами
компьютерного моделирования. Иными словами, прежде чем из-
готавливать оснастку и на практике проверять результаты разра-
ботанного технологического процесса, целесообразно смоделиро-
вать технологический процесс и оценить его результаты.
Средства математического моделирования позволяют проана-
лизировать преимущества или недостатки разработанного техноло-
гического процесса, внести коррективы в разработку, рассмотреть
новый вариант технологии или прийти к выводу о бесперспектив-
ности технологического замысла.
В этой главе рассмотрен пример поиска приемлемого техно-
логического решения при проектировании многопереходной хо-
лодной штамповки изделия из листовой заготовки. Средствами
математического моделирования отрабатывался не только техно-
логический процесс, но и конструкция изделия. Пример показы-
вает подход к решению проблемы конструкторско-технологичес-
кого проектирования с позиций математического моделирования.
Специалисту в области обработки металлов давлением прихо-
дится решать не только технологические, но и конструкторские
проблемы, поскольку необходимо спроектировать то, что можно
изготовить. Или наоборот, надо изготовить то, что соответствует
требованиям конструктора. Далее эта проблема рассматривается
на примере проектирования поршня из листовой заготовки. Де-
таль (поршень) должна иметь необходимую жесткость, требуемую
статическую и циклическую прочность, технология должна обес-
печить точность размеров, высокие механические свойства (за счет
наклепа при холодной обработке) и удовлетворительное качество
поверхности. Независимая разработка конструкции и технологии,
как будет показано далее, невозможна. При математическом мо-
делировании решение вопросов оценки жесткости и прочности и
анализ процессов формовки достигаются с единых позиций тео-
рии упруговязкопластического течения. Прослеживание истории
нагружения и деформирования включает и технологический про-
цесс вытяжки—формовки, и эксплуатационное нагружение.
19.1. Формулировка задачи конструкторско-технологического
проектирования
Базовый вариант конструкции поршня представляет собой по-
лый цилиндр с плоским донышком достаточно большой толщины
569
(6 мм), что обеспечивает его высокую прочность и жесткость при
эксплуатационной нагрузке. Эксплуатационная нагрузка — это
внешнее равномерно распределенное давление по нормали к по-
верхности. Задача разработки нового варианта конструкции и, сле-
довательно, технологии состоит в том, чтобы, во-первых, умень-
шить толщину стенки при сохранении прочности и жесткости
изделия, во-вторых, свести к минимуму объем механической об-
работки, что в условиях массового производства не менее важно,
чем экономия металла.
В базовом варианте вопросы конструкторского и технологи-
ческого проектирования не взаимосвязаны. Если заготовка полу-
чена горячей объемной штамповкой, то расчет конструкции на
прочность и жесткость выполняется с позиций теории упругости
исходя из представления о равномерном распределении механи-
ческих свойств по объему материала и об отсутствии остаточных
напряжений. При холодной штамповке заготовки из листового
материала происходит наклеп, приводящий к неравномерному рас-
пределению механических свойств, в заготовке формируется поле
остаточных напряжений, что исключает возможность сколько-ни-
будь точного расчета на прочность и жесткость без учета фактора
технологии штамповки.
Таким образом, чтобы приступить к проектированию и расче-
ту конструкции поршня, необходимо знать напряженно-дефор-
мированное состояние, сформировавшееся в процессе холодной *
штамповки; чтобы спроектировать технологические переходы
штамповки, необходимо, по крайней мере, иметь чертеж заготов-
ки. Это означает необходимость поиска конструкторско-техноло-
гического решения в ходе итерационного процесса.
В качестве первого приближения конструкции поршня может
быть скопирован базовый вариант с уменьшенной толщиной стен-
ки. Были проанализированы несколько вариантов конструкции,
отличающиеся толщиной и конфигурацией дна. На рис. 19.1 пока-
заны два из рассмотренных вариантов конструкции поршня с плос-
ким дном.
Выполненный расчет на жесткость при условии равномерного
распределения механических свойств показал недопустимый про-
гиб дна при номинальной нагрузке. На рис. 19.2 показано иска-
жение формы дна для тех же двух вариантов.
Первый шаг к решению проблемы должен быть сделан по пути
изменения конструкции детали. Увеличение жесткости может быть
достигнуто за счет перехода от плоской формы дна к вогнутой (оче-
видно, выпуклая форма дна, приводящая к повышению прочности
570
и жесткости, недопустима из конструктивных соображений). При
этом необходимо выполнить два расчетных исследования: выбрать
форму дна поршня; разработать конструкцию инструмента (пуан-
сона и матрицы), позволяющего получить выбранную форму дна.
Рис.19.1. Возможные варианты конструкции поршня
Рис. 19.2. Геометрия поршня при номинальной нагруз-
ке для двух вариантов конструкции
571
Технологический процесс штамповки заготовки поршня должен
включать несколько переходов: вырубку, вытяжку, формовку, ка-
либровку. Вырубка предполагает получение плоской листовой заго-
товки требуемого диаметра и здесь не рассматривается, поскольку
задача имеет однозначное решение. Вытяжка позволяет получить
стакан требуемого диаметра с почти плоским дном. Формовка необ-
ходима для получения требуемой формы дна. Калибровка обеспечи-
вает точность размеров. Все эти процессы необходимо смоделиро-
вать, и далее на этих моделях должна быть дана окончательная оценка
качества конструкции. Неудовлетворительная оценка потребует сле-
дующего цикла конструкторско-технологического проектирования.
Анализ нескольких вариантов конструкции с вогнутым дном
включал варьирование толщины стенки, высоты поршня для раз-
ных типоразмеров (диаметров поршня). Анализ показал, что вы-
сота поршня не влияет на прочность и жесткость. По остальным
параметрам проведена оптимизация без учета влияния техноло-
гии штамповки. На рис. 19.3 и 19.4 показаны выбранные вариан-
ты конструкции для двух типоразмеров поршня.
Прогиб дна при эксплуатационных нагрузках для выбранных
вариантов конструкции составлял:
для диаметра 48 мм — 0,20 мм;
для диаметра 54 мм — 0,32 мм.
Наибольшие радиальные перемещения под нагрузкой состав-
ляют:
для диаметра 48 мм — 0,012 мм;
для диаметра 54 мм — 0,012 мм.
Рис. 19.3. Геометрия вариантов конструкции
поршня диаметром 48 мм
572
»«g *•«»- > • . * ..*.
' 0^0
Рис. 19.4. Геометрия вариантов конструкции
поршня диаметром 54 мм
Наиболее опасной при циклическом нагружении является об-
ласть перехода внутреннего радиуса на боковую поверхность.
Компоненты радиальных напряжений для цикла составляют:
для диаметра 48 мм от —172 до +54 МПа;
для диаметра 54 мм от —268 до +58 МПа.
Следует еще раз отметить, что эти результаты, приемлемые с
точки зрения конструктора, получены для спроектированной кон-
струкции при условии точного соблюдения формы и размеров и
отсутствия исходного поля напряжений.
19.2. Моделирование операций (переходов) листовой штамповки
Задачей технолога является проектирование технологического
процесса, обеспечивающего требования конструктора. Технологи-
ческое проектирование выполняется в соответствии с рекомендаци-
ями, изложенными в соответствующих справочниках и исходя из
опыта, накопленного на предприятии. Эти рекомендации предпола-
гают проектирование переходов штамповки и получение заготовки в
соответствии с чертежом. Что касается обеспечения прочности, же-
сткости и работоспособности готового изделия, то все это выходит
за рамки технологического проектирования. Для внедрения техно-
логического процесса в производство требуется соответствие отштам-
пованной заготовки функциональному назначению готового изделия.
Прежде чем приступать к оценке работоспособности готового
изделия и совершенствованию технологического процесса, необ-
ходимо смоделировать и проанализировать спроектированный
573
технологический процесс, попутно решив внутренние проблемы
математического моделирования. К ним относятся выбор модели
материала и поиск достоверных сведений о свойствах материала,
выбор модели процесса, включающий способ задания гранич-
ных условий и конкретных данных, например, об условиях дви-
жения металла по контактной поверхности, о коэффициенте тре-
ния. В отличие от строгих математических задач, технологические
задачи предполагают корректировку первоначальной формулиров-
ки на основе анализа получаемых результатов, в том числе дан-
ных о свойствах материала, считающихся надежными и много-
кратно проверенными, но таковыми являющимися лишь до тех
пор, пока не используются в конкретных расчетах.
Еще менее определенными являются исходные данные, харак-
теризующие процесс штамповки на каждом из переходов. Если тех-
нологический процесс отрабатывается в производственных или ла-
бораторных условиях, то весь перечень исходных данных о процессе
исчерпывается сведениями об усилии пресса и перемещении штампа.
Понятие “модели процесса” для разработчика технологического
процесса штамповки не имеет смысла. При компьютерном моде-
лировании, напротив, приходится иметь дело не с материалом, не
с процессом, а с моделями материала и процесса.
Типовой технологический процесс штамповки поршня из ли-
стовой заготовки в исходном варианте включает пять операций
(переходов): вырубка заготовки из листа, вытяжка, вытяжка с уто-
нением, формовка, обжим.
Первый переход не будем анализировать, поскольку не допуска-
ет никаких вариантов: размеры заготовки однозначно определяются
размерами готовой детали. Анализируются операции вытяжки, вы-
тяжки с утонением, формовки и обжима заготовки при изготовле-
нии поршней, имеющих диаметры от 40 до 54 мм. Задачей первой
стадии исследования является изучение формообразования и напря-
женно-деформированного состояния (НДС) металла заготовки по
технологическим переходам холодной листовой штамповки, в ходе
которых изменяются геометрия изделия и механические свойства
металла заготовки. Кроме этого, формируется сложное поле оста-
точных напряжений, которое наряду с изменением предела текучес-
ти материала оказывает значительное влияние на характер течения
материала и на работоспособность изделия при эксплуатации.
19.2Л. Вытяжка
Во втором переходе технологического процесса (вытяжка)
штамповки поршня 0 54 из плоской листовой заготовки
574
0111,5x3,5 мм получают стакан с наружным диаметром 0 65 и
внутренним 0 57. Заготовка для поршня 0 48 имеет меньший
диаметр (107 мм) и после вытяжки превращается в стакан того
же диаметра. Технологический процесс штамповки поршня 0 45
просчитывался в двух вариантах: из листовой заготовки толщи-
ной 3,5 и 3,1 мм. Поскольку результаты штамповки поршня 0 45
из заготовки толщиной 3,1 мм оказались приемлемыми, для пор-
шней меньшего диаметра разрабатывался технологический про-
цесс штамповки из заготовки 3,1 мм.
В ходе операции вытяжки толщина заготовки, первоначально
равная 3,5 мм, изменяется, распределяясь в радиальном направле-
нии неравномерно: уменьшается в месте максимальной кривизны
и увеличивается на периферии за счет уменьшения диаметра пер-
воначально плоской заготовки до 0 65 (диаметр стакана для пор-
шней 0 45—54). Для корректного расчета и анализа результатов
последующих переходов с выходом на оценку работоспособности
необходимо иметь сведения о распределении толщин, деформаций
и связанного с ними наклепа материала. Весь этот объем информа-
ции можно получить в результате математического моделирования
процесса штамповки и эксплуатационного нагружения.
Численное решение выполнялось методом конечных элементов
на сетке из 250 четырехугольных квадратичных изопараметрических
элементов, соединенных в 861 узловой точке. Сетка конечных эле-
ментов, соответствующая исходной заготовке номенклатурного ряда
поршней 0 40—54, показана на рис. 19.5. Различные размеры исход-
ной заготовки получены путем масштабирования представленной
на рис. 19.5 сетки. В силу осевой симметрии (симметрии относи-
тельно оси z) анализируемой заготовки на этом и последующих ри-
сунках изображена только правая часть сечения.
Рис. 19.5. Сетка конечных элементов в исходном состоянии
Процесс пластического течения при вытяжке обусловлен фор-
мой деформирующего инструмента. Модель процесса строится
на основе контуров пуансона и матрицы (рис. 19.6); в качестве
575
граничных условий на поверхностях контакта инструмента (пуансо-
на и матрицы) с заготовкой заданы условие непроницаемости гра-
ницы (движение вдоль границы) и касательные напряжения, вычис-
ляемые по заданному коэффициенту трения и силам нормального
давления на каждой итерации. За направление вектора силы в узло-
вой точке, результирующей касательные напряжения, принимается
значение, противоположное вектору скорости перемещения в той
же точке. Если задание вектора силы, результирующей касательные
напряжения, приводит к изменению направления движения точки,
в точке задается нулевое перемещение. Условием схода металла с
контактной поверхности является положительное значение нормаль-
ного контактного напряжения (растягивающее напряжение).
Расчет формоизменения и напряженно-деформированного
состояния выполняется с позиций теории течения с использова-
нием модели упруговязкопластического материала. Выбор моде-
ли упруговязкопластического течения обусловлен задачей расчета
576
поля остаточных напряжений, необходимого для анализа после-
дующих технологических переходов и условий эксплуатационно-
го нагружения.
Упругие характеристики материала заданы:
модулем упругости Е = 2 • 105 МПа,
коэффициентом поперечной деформации v = 0,3 .
За пределами упругости свойства материала при моделирова-
нии процесса штамповки поршня задавались зависимостью пре-
дела текучести от накопленной интенсивности пластических де-
формаций в виде = 200 + бООе,0,7 МПа (рис. 19.7).
Рис. 19.7. Зависимость предела текучести от степени деформации
Поскольку поле напряжений при вытяжке крайне неравномер-
но и деформация неоднородна, история деформирования просле-
живается за ряд этапов (шагов нагружения). Очевидно, чем меньше
шаг по времени (чем он ближе к dx), тем ближе решение к точно-
му. В данном случае процесс прослеживался за 82 этапа: на каждом
этапе взаимное перемещение пуансона и матрицы составляло 1 мм.
Исходя из чисто вычислительных причин, на каждом из этапов
задавались перемещения матрицы AZ= —0,5 мм и перемещение пу-
ансона AZ= —0,5 мм. В качестве 83-го этапа выступал этап разгруз-
ки, соответствующий освобождению заготовки от деформирующе-
го инструмента. При этом происходили упругопластическое
деформирование и перераспределение напряжений. Положение
заготовки и инструмента (пуансона и матрицы) перед началом вы-
тяжки показано на рис. 19.8. Некоторые характерные стадии про-
цесса формоизменения показаны на рис. 19.9.
577
Рис. 19.8. Исходное положение инстру-
мента и заготовки
Рис 19.9. Стадии процесса вытяжки
S
578
Формоизменение заготовки поршня 0 45 из листа толщиной
3,5 мм представлено на рис. 19.10 в виде областей равных ради-
альных иг и вертикальных перемещений uz. Радиальные переме-
щения по дну поршня близки к нулю. Чем дальше точка от оси
исходной листовой заготовки, тем больший путь она проходит за
время первого перехода. После первого перехода сетка конечных
элементов остается практически ортогональной.
Показанный на рис. 19.10 характер радиальных и вертикаль-
ных перемещений позволяет объяснить распределение накоплен-
ной интенсивности пластических деформаций е, = J ё,г/т.
Здесь
U , мм
г’
-а*..»
Рис. 19 10 Компоненты перемещений (мм) в результате
вытяжки при штамповке поршня 0 45
U , мм
Повышение интенсивности деформаций в районе радиуса пере-
хода обусловлено утонением заготовки и сдвиговыми деформациями
(рис. 19.11); максимальный уровень е, = 95 % при штамповке порш-
ня 0 45 достигается на периферии заготовки, где максимальны ради-
альные деформации. Очевидно, чем больше радиус исходной заготов-
ки (после вырубки), тем больше радиальные перемещения при
одинаковом диаметре пуансона, тем выше уровень максимальной
579
интенсивности деформаций. Уровень значений интенсивности де-
формаций однозначно определяет упрочнение (наклеп) — повыше-
ние сопротивления пластическому деформированию.
Yzz, %
-Л
1
е,, %
Рис. 19.11. Сдвиговая деформация (слева) и накопленная интенсив-
ность пластических деформаций (%) после вытяжки при штамповке
поршня 0 45
Одной из важнейших характеристик формоизменения является
эпюра распределения толщины заготовки. Первоначальная толщина
заготовки / = 3,5 мм практически сохраняется в районе дна поршня
и при выходе из радиальной части на вертикальную стенку. Пере-
ходный участок между стенкой и дном поршня утоняется. К пери-
ферии происходит утолщение стенки. На рис. 19.12 представлено
распределение толщины после вытяжки на развертке (вдоль радиуса
исходной заготовки) заготовок поршней 0 45—54 при штамповке из
листа толщиной 3,5 мм.
В центральной части дна заготовки толщина практически рав-
на толщине исходной заготовки. В районе точки В на радиусе
перехода от дна к стенке утонение максимально. На рис. 19.12
положения точки минимума толщины стенки для заготовок пор-
шней 0 45—54 несколько смещены относительно друг друга. Раз-
। и чаются и величины минимальной толщины стенки. Это обус-
.овлено разницей радиусов на контуре пуансонов и величин зазоров
SO
между цилиндрическими участками пуансона и матрицы при штам-
повке заготовок поршней 0 45—54. Общий характер распределе-
ния толщин стенки после вытяжки одинаков для всех заготовок.
/, мм 8 л J с D
3 — —
[А *• 1
□ 8 1 в
HiiiiHiiQiititiiiiiii э г 4
?
Q wvwvn
10
50 Г, ММ
Рис. 19.12. Распределение толщины стенки поршня
0 54 (7), 0 51 (2), 0 48 (5) и 0 45 (4) вдоль образующей
заготовки (развертка) после вытяжки
581
Утонение стенки возникает под действием сил трения со сто-
роны матрицы на начальной стадии процесса, пока не сформи-
ровалась поверхность контакта между заготовкой и пуансоном с
силами трения противоположного направления. В этот период
происходят некоторая вытяжка дна поршня (утонение с 3,5 до
3,43 мм поршня 0 48 и на 3,4 мм поршня 0 54) под действием
горизонтальной составляющей сил трения и более значительная
вытяжка радиального участка в направлении сил трения.
График, относящийся к заготовке поршня 0 54 (технологичес-
кий процесс штамповки заготовки поршня 0 54 хронологически
разрабатывался первым), представлены на рис. 19.12 исключитель-
но для иллюстрации тезиса о том, что в ходе математического мо-
делирования приходится уточнять не только постановку задачи, но
и исходные данные, на первый взгляд, не вызывающие сомнений.
В данном случае результаты моделирования процесса вытяжки для
заготовки поршня 0 54 дали заметное расхождение с результатами
эксперимента в части утонения стенки на радиусе перехода (и, сле-
довательно, высоты полученного стакана). На рис. 19.12 хорошо
видна большая протяженность утоненного участка. Прежде чем
продолжить математическое моделирование и исследовать после-
дующие переходы и штамповку поршней 0 45—51, необходимо было
выяснить причину, вызвавшую несоответствие расчетных и экспе-
риментально наблюдаемых результатов.
Причина может быть объяснена на основе анализа распределе-
ния по сечению накопленной интенсивности пластических дефор-
маций (см. рис. 19.11). При вытяжке верхней части стенки интен-
сивность деформаций достигает 90 %. Если предел текучести при
больших деформациях нарастает по той же зависимости
о5 = 200 + 6ООе;0,7 МПа , которая, вероятно, была получена на ос-
новании испытаний при ограниченных степенях деформации, то
при деформировании заготовки на заключительной стадии усилие
будет расти, что должно привести к утонению наиболее тонкого,
радиального участка. Зависимость, показанная на рис. 19.7, откор-
ректирована в области высоких деформаций. Результаты, получен-
ные при анализе технологического процесса штамповки поршня
0 48 и далее всех остальных, дали результаты, полностью согласу-
ющиеся с результатами измерений. Зависимость утонения стенки
от диаметра исходной заготовки, безусловно, существует, однако
она не настолько значительна, чтобы этим объяснять различие кри-
вой ] от трех остальных на рис. 19.12.
Утолщение до 4 мм стенки поршня объясняется радиальным тече-
нием материала и величиной зазора между пуансоном и матрицей.
582
Остаточные напряжения (напряжения после разгрузки) имеют
различный характер на участке сопряжения дна и по стенке порш-
ня. Изгиб первоначально плоской заготовки вызывает формирова-
ние напряжений растяжения и сжатия на наружной и внутренней
поверхностях изогнутой заготовки (рис. 19.13). На стенке поршня
схема остаточных напряжений определяется тем, что в процессе
вытяжки силы трения со стороны матрицы и пуансона по наруж-
ной и внутренней поверхностям заготовки направлены навстречу
друг другу. В результате в центральных слоях заготовки формиру-
ется схема растягивающих продольных напряжений, достигающих
величины ог =100 МПа , а на внутренней поверхности — сжима-
ющих наряжений сг, = -50 МПа.
Рис. 19.13. Распределение остаточных вертикальных ог и тангенциаль-
ных о0 напряжений в заготовке после вытяжки
Схема напряжений благоприятна как с позиций технологической
прочности, так и для последующего эксплуатационного нагружения.
При малой толщине стенки радиальные напряжения должны быть
близки к нулю. Тангенциальные напряжения о0 дают самоуравно-
вешенную эпюру напряжений: сжимающих о0 = -100 МПа на внут-
ренней поверхности стенки и растягивающих о0 =100 МПа — на
наружной.
583
Повышение растягивающих напряжений на периферии заго-
товки (верхняя часть стенки поршня) обусловлено иной схемой
деформирования. Если основная часть поршня, сформированная
из листовой заготовки толщиной t = 3,5 мм при зазоре между
пуансоном и матрицей в 4 мм, получена без обжатия по толщине
стенки, то по мере удаления от центра заготовки обжатие по тол-
щине возрастает. Оно максимально на верхней кромке стенки.
При разгрузке диаметр поршня по верхней кромке уменьшается,
что создает растягивающие радиальные напряжения.
19.2.2. Вытяжка с утонением
В третьем переходе технологического процесса штамповки пор-
шня 0 54 из заготовки с внешним диаметром цилиндрической час-
ти 0 65 и толщиной стенки t = 3 -ь 4 мм вытягивается заготовка с
внешним и внутренним диаметрами цилиндра соответственно 54,3
и 49,5 мм. При этом уменьшается
Рис. 19.14. Пуансон и матрица
третьего перехода при штамповке
поршня 0 54
диаметр цилиндрической части и
происходит обжатие стенки до
толщины t = 2,4 мм; радиус
сопряжения донной и цилин-
дрической частей стакана
уменьшается с 15 до 5 мм.
Контуры пуансона и матрицы
для выполнения этого перехо-
да показаны на рис. 19.14.
Поскольку усилие прес-
са приложено к дну заготов-
ки, а силы трения — к вер-
тикальной стенке, участок
сопряжения дна и стенки
воспринимает растягиваю-
щие напряжения, которые
вызывают его формоизмене-
ние. При определенных усло-
виях процесс может привести
к отрыву дна. Исследование
этого процесса выполняется
на основе математического
моделирования.
Формоизменение и на-
пряженно-деформированное
584
состояние рассчитываются с тех же
позиций, которые были приняты
при анализе процесса во втором
переходе вытяжки. История нагру-
жения прослеживается с теми же
шагами: 1 мм за каждый этап де-
формирования. При этом на каж-
дом этапе задавались перемещения
матрицы AZ= —0,5 мм и переме-
щение пуансона AZ= —0,5 мм. Об-
щее число этапов при моделиро-
вании процесса 42. В конце
процесса выполнялся этап раз-
грузки. Для численного решения
задачи использовалась продефор-
Рис. 19.15. Исходное положение
заготовки, пуансона и матрицы
перед третьим переходом
мированная на предыдущем пере-
ходе модель заготовки (с получен-
ной сеткой конечных элементов)
с остаточными напряжениями и деформациями, полученными на
последнем, 83-м этапе — этапе разгрузки. Исходное положение
заготовки и инструмента перед операцией вытяжки с утонением
стенки показано на рис. 19.15.
Задание граничных условий при вытяжке с утонением стенки
представляется не столь очевидным, как для предыдущего перехо-
да. Если на предыдущем переходе происходило скольжение метал-
ла заготовки по поверхности инструмента (и по пуансону и по
матрице), то в третьем переходе металл скользит по поверхности
матрицы в течение всего процесса (представить себе прилипание
металла к поверхности матрицы невозможно), но по поверхности
пуансона скольжение ограничено. Нетрудно представить, что ма-
териал заготовки “прилипает” к цилиндрической поверхности
пуансона и перемещается с ним без проскальзования
Расчет был произведен по трем вариантам задания гранич-
ных условий на пуансоне. Первый вариант соответствовал за-
данию на пуансоне контактных условий в том же виде, что и на
матрице, и совпадал с заданием условий во втором переходе, а имен-
но: между напряжениями контактного трения тк и напряжени-
ями по нормали к контактной поверхности ол задавалась связь
с использованием коэффициента трения ц = 0,1, т. е.
Тк=цо„. (19.1)
Рассчитанные таким образом касательные напряжения ог-
раничивались величиной предела текучести при чистом сдвиге.
585
Направление действия касательных сил противоположно вектору
скорости перемещения.
В таком виде напряжения контактного трения задавались как
по стенке матрицы, так и по горизонтальной и радиальной повер-
хностям пуансона. На вертикальной (цилиндрической) поверхно-
сти пуансона силы трения считались нулевыми.
Полученные по этому варианту данные не совпали с результа-
тами эксперимента как по высотному размеру, так и по размерам
толщины стенки.
Во втором варианте расчета условие (19.1) было задано по всей
поверхности пуансона, контактирующей с заготовкой. Однако это
практически не повлияло на конечные результаты. Утонение ра-
диального участка заготовки нарастало в течение всего процесса.
Основная часть усилия передавалась через дно заготовки. Для уве-
личения коэффициента трения, принятого равным ц = 0,1, не было
никаких оснований.
Для обоснования выбора граничных условий проведен оценоч-
ный расчет упругих радиальных деформаций пуансона. Радиальные
напряжения в очаге деформации (между пуансоном и цилиндричес-
ким пояском матрицы) составляют ог = 600 МПа (рис. 19.16); со-
(19.2)
2
ответствующие радиальные перемещения в этом месте
иг = 0,075 мм . При выходе заготовки из матрицы, т. е. при снятии
давления с наружной поверхности цилиндрической заготовки и пу-
ансона, заготовка (тонкостенный цилиндр) оказывается нагружен-
ной внутренним давлением, заданным в виде напряжения со сто-
роны разгружаемого пуансона. Тангенциальные напряжения
~ Е (ur tdur
на внутренней стенке трубы оказываются соизмеримыми с преде-
лом текучести.
Как показали результаты численного анализа, вертикальные на-
пряжения на выходе из очага деформации имеют положительное
значение (растягивающие) ог =400 МПа (см. рис. 19.16), а тан-
генциальные напряжения — отрицательные о0 = 300-н350 МПа.
Поэтому материал заготовки в этой зоне оказывается в пластичес-
ком состоянии.
Таким образом, первые два варианта расчета, выполненные,
на первый взгляд, с принципиально разными контактными усло-
виями на цилиндрической части пуансона (ц = 0 и ц = 0,1), дали
одинаковые результаты. Это связано с тем, что в обоих вариантах
586
пуансон рассматривался как абсолютно жесткий и недеформиру-
емый. Если же учесть упругую деформацию пуансона, то она ока-
зывается достаточной, чтобы пластически продеформировать тон-
костенную трубу — заготовку, вышедшую за пределы матрицы.
Рис. 19.16. Распределение напряжений ог и аг на заключительной
стадии вытяжки с утонением
Это позволяет сделать обоснованный вывод о том, что кон-
тактные условия следует задать не в виде тк = , где — на-
пряжения, вычисленные в предположении абсолютно жесткого
пуансона, а в виде
тк=цо5, (19.3)
где — предел текучести материала заготовки, найденный в
зависимости от накопленной интенсивности деформаций в дан-
ной контактной точке. Другой формой задания граничных усло-
вий может быть условие полного прилипания.
Пробные расчеты показали, что задание граничных условий
в напряжениях в виде (19.3) и задание граничных условий в пере-
мещениях (условие прилипания) дают соизмеримые результаты. Из
чисто вычислительных соображений предпочтительно задание гра-
ничных условий в перемещениях. Задание граничных условий в
напряжениях характерно для задач строительной механики, где
нагрузки имеют смысл предельных, расчетных, но не фактических.
587
В расчетах элементов конструкций прессов, прокатных станов
и другого оборудования граничные условия в напряжениях ис-
пользуются для оценки их прочности и рассматриваются как до-
пускаемые. Решение задач теории обработки металлов давлением
в напряжениях, приводимое во многих монографиях, может иметь
исключительно методическое значение; в технологических расче-
тах решение задачи в напряжениях лишено смысла, поскольку
напряжения не могут быть известны. Но если бы они даже стали
известны (получены измерением), то рассчитать по ним формо-
изменение все равно бы не удалось.
В рассматриваемом конкретном случае анализа процесса вы-
тяжки с утонением стенки задание сил трения содержит элемент
неопределенности: при большой протяженности контактной по-
верхности силы трения, рассчитанные из условия (19.3), могут
оказаться достаточно большими, чтобы вызвать перемещение де-
формируемого металла в направлении их действия, что формаль-
но (с позиций механики) верно, но противоречит физике процес-
са (силы трения — реакция на движение, а не движущая сила).
Достаточно вспомнить о противоречиях, обнаруживаемых при
анализе решения задачи Прандтля.
Далее приведены результаты решения задачи по последнему
варианту, где коэффициент трения имеет ту же величину ц = 0,1,
характерную для холодной деформации. Контактные условия на
горизонтальной и радиальной частях пуансона сохранены в том
же виде: тк = цсг„.
Рис. 19.17. Заключительные стадии процесса вытяжки в
третьем переходе
588
Положение заготовки, пуансона и матрицы на момент окон-
чания операции показано на рис. 19.17. За третий переход повы-
силась накопленная (отсчитанная от исходной заготовки) интен-
сивность деформации, определявшая упрочнение материала. Здесь
следует отметить, что дно и радиальная часть заготовки получили
незначительные деформации; преимущественно деформировалась
цилиндрическая стенка заготовки за счет уменьшения толщины
с 3,5 до 2,4 мм (рис. 19.18).
Рис. 19.18. Распределение толщины стенки вдоль образую-
щей развертки заготовки
589
Характер распределения остаточных напряжений (после раз-
грузки) примерно соответствует полученному на предыдущем пе-
реходе. Заметное отличие есть только в распределении касатель-
ных напряжений . За счет радиального обжатия заготовки на
меньший диаметр по сравнению с диаметром на втором переходе,
а также за счет меньшего радиуса сопряжения горизонтального и
вертикального участков пуансона, на соответствующем участке за-
готовки возникли значительные касательные напряжения и сдви-
говые деформации, которые внесли вклад в упрочнение металла на
радиальном участке заготовки третьего перехода.
19.2.3. Формовка
В четвертом переходе технологического процесса после вы-
тяжки с утонением происходит формирование геометрии внеш-
ней поверхности дна заготовки поршня. Основные задачи этой
операции — определение размеров внешнего радиуса перехода
донной части в цилиндрическую (г = 4 мм для поршня 0 54 или
г = 3 мм для поршня 0 48), а также получение вогнутой формы
центральной части дна (прогиб плоского дна внутрь поршня).
Контуры пуансона и матрицы для штамповки поршня 0 54 изоб-
ражены на рис. 19.19.
Рис. 19.19. Пуансон и матрица четвертого
перехода при штамповке поршня 0 54
590
Расчет формоизменения и напряженно-деформированного со-
стояния выполнялся с тех же позиций, которые были приняты при
анализе процесса на первом и втором переходах вытяжки. Исто-
рия нагружения прослеживалась с теми же шагами: 1 мм за каж-
дый этап деформирования (этапы 1—6). При этом на каждом эта-
пе задавались перемещения матрицы AZ= —0,5 мм и перемещение
пуансона AZ=—0,5 мм. На последующих этапах (7—10) шаг де-
формирования составлял 0,5 мм (0,25 мм для верхнего и нижнего
штампов). На последних этапах шаг деформирования составлял
0,005 мм. Последний 16-й этап соответствовал разгрузке.
Необходимость резкого уменьшения шага нагружения обус-
ловлена изменением характера напряженно-деформированного
состояния по мере заполнения угла матрицы. Если в начале пере-
хода заготовка изгибалась в штампе, что требовало незначительного
усилия, то в конце операции деформируемый материал оказывается
зажатым между поверхностями пуансона и матрицы, и дальней-
шая деформация оказывается возможной лишь за счет утонения
заготовки на радиальном участке. Усилие пресса нарастает, изме-
няется жесткость напряженного состояния. Немонотонный харак-
тер изменения напряженно-деформированного состояния требу-
ет уменьшения шага нагружения.
Для численного решения задачи использовалась “продефор-
мированная” на предыдущих переходах модель заготовки с оста-
точными напряжениями и деформациями, полученными на пос-
леднем этапе третьего перехода — на этапе разгрузки. Характерные
стадии этого процесса представлены на рис. 19.20.
Условия трения на контактной поверхности задавались зави-
симостью тк = цо5 со знаком, противоположным знаку скорости
течения материала по поверхности контакта, с ограничением ве-
личиной предела текучести на сдвиг.
Процесс формообразования дна заготовки имеет несколько ха-
рактерных для этой операции стадий. Вначале касание пуансона с
заготовкой происходит в точке перехода внутренней цилиндричес-
кой поверхности в радиус сопряжения с донной частью. Затем, на
первых шагах процесса, заготовка смещается в радиальном направ-
лении и прижимается к боковой поверхности нижнего штампа, при
этом на внутренней стенке заготовки перед пуансоном возникает ха-
рактерная ступенька (наплыв металла). Наличие этой ступеньки сни-
мает вопрос о задании граничных условий на цилиндрической по-
верхности пуансона, спорный в случае анализа операции вытяжки с
утонением стенки. Здесь перемещение металла вместе с пуансоном
(граничные условия в перемещениях) реализуется автоматически.
591
Рис. 19.20. Стадии процесса формовки дна поршня 0 54
на четвертом переходе (ДА = 5 мм, — 7 мм, &h = 7,6 мм)
592
По мере продвижения пуансона вниз эта ступенька увеличива-
ется, и заготовка начинает двигаться вместе с пуансоном. На этом
этапе формообразования происходит заполнение области нижне-
го штампа, в которой формируется внешний радиус дна. Одно-
временно с этим плоская донная часть заготовки начинает подни-
маться вверх, возникает изгибающий момент между ступенькой
на внутренней боковой поверхности заготовки, на которую воз-
действует пуансон, и выступом на нижнем штампе, между цент-
ральной плоской частью и полостью, формирующей внешний
радиус (стадия обжатия АЛ = 5 мм на рис. 19.20).
Следующий характерный этап — касание верхнего штампа за-
готовки левым (внутренним) краем горизонтальной площадки, на-
ходящейся у внешнего края пуансона. После касания очаг дефор-
мации в заготовке можно условно разделить на четыре области:
область контакта заготовки с пуансоном на внутренней боко-
вой поверхности; металл движется вместе с пуансоном вниз;
область, лежащая между боковой поверхностью пуансона и
внутренним краем горизонтальной площадки пуансона; заготовка
в этой части не контактирует с инструментом, а деформируется
только за счет истечения металла слева и справа из зон контакта с
инструментом;
область контакта внутреннего края горизонтального участка
верхнего штампа; происходит осадка заготовки, металл течет вле-
во и вправо от выступа;
область слева от внутреннего выступа пуансона; заготовка прак-
тически полностью отошла от горизонтальной центральной обла-
сти нижнего штампа и начинает постепенно прилегать к сфери-
ческой полости в центральной части верхнего штампа.
На последних стадиях процесса происходит формирование сна-
чала поверхности контакта заготовки и горизонтальной площадки
верхнего штампа, а затем — заготовки с нижним штампом в обла-
сти внешнего радиуса. Центральная часть заготовки увеличивает
зону контакта со сферической поверхностью верхнего штампа, но
нет полного контакта. В этот момент происходит закрытие полости
штампа между горизонтальной площадкой на верхнем штампе и
зоной формирования внешнего радиуса на нижнем штампе. Это
приводит к тому, что при дальнейшем движении верхнего штампа
вниз боковая стенка заготовки начинает сдвигаться вверх (как при
обратном выдавливании), центральная часть заготовки прогибает-
ся далее вверх и происходит значительный рост контактных напря-
жений. Контактные напряжения достигают значений 500 МПа на
боковой поверхности и —1700 -ь —1900 МПа в области левого края
горизонтальной площадки верхнего штампа.
593
При штамповке поршня 0 48 за счет наклона площадки пуан-
сона, согласованного с наклоном полости матрицы (рис. 19.21),
происходит заполнение матрицы без резкого возрастания усилия,
наблюдаемого в предшествующих вариантах контура матрицы.
Характерные стадии этого процесса с указанием усилия пресса,
соответствующего стадии процесса, представлены на рис. 19.22.
Полость матрицы заполняется за счет металла стенки стакана,
смещаемого пуансоном при его движении вниз. Поскольку отсут-
ствует скольжение по цилиндрической поверхности пуансона,
удается обеспечить заполнение полости матрицы с радиусом
R = 3 мм при усилии пресса порядка 80 тс.
Рис. 19.21. Пуансон и матрица четвертого перехо-
да при штамповке поршня 0 48
594
Р= 8 тс
Рис. 19.22. Стадии формоизменения при штамповке поршня 0 48 в
четвертом переходе (начало)
595
i
Рис 19 22 Стадии формоизменения при штамповке поршня 0 48 в
четвертом переходе (продолжение)
596
На рис. 19.23 представлено распределение интенсивности на-
копленных пластических деформаций и сдвиговых деформаций в
заготовке после окончания четвертого перехода. Большие значе-
ния накопленных деформаций (до 180 %) связаны в основном со
значительными сдвиговыми деформациями металла на внутренней
боковой поверхности заготовки, возникшими в относительно уз-
кой области при образовании уступа на начальных этапах формо-
образования. Кроме того, в этой области в трех формообразующих
переходах происходит постепенное уменьшение радиуса сопряже-
ния дна и стенки. Упрочнение этой области имеет определяющее
значение при проведении следующей операции, где необходимо
передать усилие через дно заготовки без искажения его формы.
Рис 19 23 Сдвиговая деформация (слева) и накопленная интенсив
ность пластических деформации (справа) после четвертого перехода
Локализация напряжений в области сопряжения дна и стен-
ки на заключительной стадии четвертого перехода показана на
рис 19 24 Дно заготовки воспринимает усилие пресса, и в нем воз-
никают сжимающие напряжения, зависящие от площади контакт-
ной поверхности Точка сопряжения вертикальной стенки и ра-
диуса перехода является концентратором напряжений,
коэффициент концентрации напряжений зависит как от радиуса
сопряжения, так и от толщины стенки В районе концентратора
597
напряжении возникает схема трехосного напряженного состоя-
ния с продольными растягивающими напряжениями, величина
которых превосходит 1100 МПа (см. рис. 19.24). В случае смыка-
ния штампов на поверхности заготовки в районе концентратора
могут развиваться пластические деформации.
МПа
*
Рис. 19 24 Распределение тангенциальных и вертикальных напряжений
в заготовке при усилии пресса Р = 81 тс в четвертом переходе
19.2.4. Обжим
В пятом переходе технологического процесса у заготовки пор-
шня формируются геометрия и размеры боковой стенки проис-
ходит обжим верхней конической утолщенной части заготовки;
производится калибровка цилиндрической стенки поршня по
всей длине заготовки. Обжим заготовки поршня 0 48 выполня-
ется с использованием инструмента, контуры которого изобра-
жены на рис. 19.25.
Технологический процесс имеет две характерные стадии:
на первой происходит обжим верхней конической утолщен-
ной части заготовки;
на второй производится калибровка цилиндрической стенки
поршня по всей длине заготовки.
На рис. 19.26 представлены характерные стадии процесса об-
жима цилиндрической стенки заготовки поршня.
598
Рис 19 25 Пуансон и матрица
пятого перехода
Рис. 19.26. Стадии формоизменения в пятом переходе
599
Расчет формоизменения и напряженно-деформированного со-
стояния металла заготовки производился с тех же позиций, что и
на предыдущих операциях технологического процесса. Для чис-
ленного решения задачи использовалась продеформированная на
предыдущем переходе модель заготовки (с полученной сеткой ко-
нечных элементов) с остаточными напряжениями и деформация-
ми, полученными на последнем этапе — на этапе разгрузки.
Движение заготовки в матрице осуществляется при помощи пу-
ансона, торец которого повторяет форму внутренней поверхности
донной части поршня. Пуансон при этом имеет меньший диаметр,
чем внутренний диаметр поршня у дна. Таким образом, опорная
поверхность пуансона меньше, чем на предыдущих этапах техно-
логического процесса. На первом этапе обжима конической части
заготовки пуансон в связи со значительными вертикальными со-
ставляющими усилия деформирования внедряется в дно заготовки.
Кроме того, под воздействием значительных вертикальных усилий
происходит утонение стенки поршня в районе перехода внешнего
радиуса поршня в вертикальную стенку. Величина изменения внеш-
него радиуса заготовки в этом месте составляет 0,05-^0,07 мм. Глу-
бина внедрения пуансона в дно поршня составляет около 0,01 мм.
На втором этапе технологического перехода производится до- *
полнительный обжим цилиндрической стенки по всей длине за-
готовки на 0,3 мм по диаметру. При этом место утяжки цилинд-
рической части заготовки у дна сглаживается за счет радиальной
пластической деформации. Однако при обжиме верхней части за-
готовки в матрице вертикальное усилие за счет значительных на-
копленных пластических деформаций в металле достигает значе-
ний, при которых вновь происходит утяжка цилиндрической части
заготовки у дна. Величина изменения внешнего радиуса составля-
ет 0,05^-0,06 мм.
На рис. 19.27 представлено распределение интенсивности на-
копленных пластических деформаций и сдвиговых деформаций пос-
ле разгрузки. Можно заметить, что основной вклад данной опера-
ции в распределение накопленных деформаций приходится на
верхнюю часть цилиндрической стенки поршня, а также на изме-
нение локального распределения интенсивности деформаций в об-
ласти возникшей ступеньки на дне.
На рис. 19.28 показано распределение остаточных напряже-
ний в заготовке поршня после разгрузки. В центре цилиндра — ‘
самоуравновешивающаяся эпюра напряжений, сжимающих по
внутренней поверхности и растягивающих на наружной, вызван-
ных упругими деформациями после подъема пуансона.
600
Чп>%
-13»
«120
-103
е,%
' в
21
33
120
132
1*3
13?
133
Рис. 19.27. Сдвиговая деформация и накопленная
интенсивность деформаций
Рис. 19.28. Распределение остаточных тангенциальных и
вертикальных напряжений
601
Предложенный вариант технологического процесса позволяет
получить конфигурацию изделия, согласующуюся с замыслом кон-
структора. Далее необходима проверка этого варианта на жест-
кость и прочность с учетом реальной формы, остаточных напря-
жений и распределения механических свойств по объему заготовки.
19.3. Анализ работоспособности поршня
с учетом остаточных напряжений и деформаций 1
Приведенные в разделе 19.1 результаты оценки на жесткость и
циклическую прочность относились к идеализированной конструк-
ции, с четкими геометрическими очертаниями и не имеющей ис-
ходного поля напряжений. Геометрия изделия, полученного хо-
лодной штамповкой (см. рис. 19.26), в определенной степени
обусловлена характером течения материала, и в объеме металла име-
ется поле неравномерно распределенных напряжений (см. рис. 19.28),
соизмеримых с пределом текучести. Очевидно, все это сказывает-
ся на работоспособности изделия. Здесь ставится задача оценки
жесткости и циклической прочности реального изделия с учетом
технологии штамповки.
Эксплуатационной нагрузкой является равномерно распреде-
ленное по дну и цилиндрической стенке поршня (до утолщения
стенки) давление, действующее по нормали к поверхности в каж-
дой точке (рис. 19.29). Эксплуатационная нагрузка вызывает про-
гиб дна поршня как толстостенной оболочки, закрепленной по
контуру, и циклическое деформирование, обусловливающее в ко-
нечном счете усталостное разрушение в районе концентратора ;
напряжений и деформаций (при выходе радиуса внутреннего со-
пряжения на цилиндрическую часть изделия). Лимитирующими
эксплуатационными характеристиками являются жесткость дна
поршня, характеризующаяся зависимостью величины прогиба дна х
от приложенной нагрузки, и параметры цикла деформирования в
районе концентратора напряжений и деформаций.
Циклическое нагружение поршня прослеживалось в интерва- ’
ле нагрузок от 0 до 16 МПа с шагом 1—2 МПа как на стадиях
нагружения, так и на стадиях разгрузки. Нагрузка задавалась как (
граничные условия второго рода в виде нормальной составляю-
щей напряжения р по наружному контуру сетки конечных эле-
ментов. В узлах сетки конечных элементов, принадлежащих сече-
нию А—А, заданы граничные условия первого рода — нулевые
перемещения в вертикальном направлении. Результатами расчета
602
являются изменение прогиба дна при изменении нагрузки и цик-
лическое изменение напряжений и деформаций в районе концен-
тратора, характеризующее циклическую прочность изделия. Про-
гиб дна определяется как разность вертикальных перемещений
центральной и крайней нижней точки дна.
Рис. 19.29. Схема нагружения
Нагружению подвергается заготовка после штамповки и разгруз-
ки с соответствующими полями остаточных напряжений и дефор-
маций. Поскольку заготовка проходит механическую обработку, вер-
хняя часть (выше сечения А—А) должна отсутствовать. В расчетах
эта часть неизбежно присутствует, но конечным элементам этой ча-
сти приписывается модуль упругости (характеризующий жесткость
изделия), в 200 раз меньший реального.
Согласно теории оболочек, прогиб дна поршня определяется гео-
метрией оболочки (толщиной и диаметром дна) и модулем упругос-
ти материала. Ниже дается оценка влияния конструктивно-техноло-
гических факторов на работоспособность поршня, отштампованного
из листовой заготовки толщиной 3,5 мм для поршней диаметром 48
и 54 мм. Поскольку модуль упругости материала в процессе штам-
повки не изменяется и основные размеры оболочки фиксированы,
возможности оптимизации конструкции и технологического про-
цесса ограничены сравнительно небольшим диапазоном варьирова-
ния конструктивно-технологического оформления дна поршня, что
достигается изменением формы и размеров штампов.
603
19.3.1. Моделирование циклического нагружения поршня 0 54
Заготовка тормозного поршня, имеющая поле остаточных на-
пряжений и деформаций, сформировавшееся в процессе холод-
ного формообразования, была нагружена равномерно распреде-
ленным нормальным к поверхности давлением —16 МПа. Процесс
нагружения и разгрузки прослеживался в течение трех циклов, на
каждом из которых нагрузка задавалась в виде последовательных
этапов. По окончании 3-го цикла нагружения расчет был оста-
новлен, поскольку деформационный цикл практически стабили-
зировался, т. е. кривая 3-го цикла нагружения совпадала с кривой
2-го цикла в пределах вычислительной погрешности.
На рис. 19.30 показана зависимость перемещения централь-
ной точки дна поршня от величины наружного давления в первых
двух циклах нагружения и разгрузки.
Рис. 19.30. Перемещение центральной точки (А) дна поршня в зави-
симости от внешнего давления за первые два цикла нагружения
604
Нагружение от нуля до 9 МПа — это практически упругое на-
гружение всего объема поршня (на рис. 19.30 — прямая, исходя-
щая из начала координат). Далее идет нелинейный участок жестко-
стной характеристики, обусловленный наличием поля остаточных
(после штамповки) напряжений. При первом нагружении проис-
ходит перераспределение напряжений, и в следующих циклах на-
гружения характеристика жесткости имеет линейный характер.
Величина прогиба дна при номинальной нагрузке 0,28 мм оказа-
лась ниже указанной в разделе 19.1, полученной при первичном
конструкторском расчете. Это связано с геометрическими отличи-
ями сконструированной детали и штампованной заготовки.
Концентратором напряжений, определяющим работоспособность
изделия в условиях многоциклового нагружения, является точка В
(см. рис. 19.30) на стыке вертикального и радиального участков заго-
товки — точка изменения кривизны. Число циклов до разрушения
определяется размахом напряжений и деформаций за цикл нагруже-
ние-разгрузка и средним напряжением в цикле. Необходимую ин-
формацию о работоспособности изделия дают деформационные цик-
лы, построенные в координатах ог -ег и показанные на рис. 19.31.
Рис. 19.31. Деформационный цикл: продольные напряжения и
деформации в точке В (см. рис. 19.30)
Цикл деформирования имеет в качестве точки отсчета ег = 0
(для удобства изображения накопленные в ходе пластического де-
формирования ег = —13,645 % на графике не показаны) и
az = -422 МПа , соответствующие уровню остаточных напряже-
ний. Смещение точек вдоль осей деформаций ег на размах дефор-
маций не влияет; напряжения необходимо учитывать в абсолют-
ном исчислении, т.е. с учетом среднего напряжения за цикл
605
нагружения. Размах тангенциальных деформаций составляет сотые
доли процента, поэтому деформационный цикл о0 — е0 далее не рас-
сматривается.
Начальный участок деформационного цикла изображается пря-
мой линией (упругое деформирование). Далее в первом цикле на-
гружения следует пластическое деформирование, сопровождающее-
ся упрочнением материала. После 2-го цикла нагружения материал
приспосабливается к нагрузке, и петля 3-го цикла почти полностью
совпадает с петлей 2-го: деформационный цикл стабилизируется.
Таким образом, большие пластические деформации наблюдаются
только на отнулевом цикле нагружения, когда внешняя нагрузка
накладывается на поле остаточных напряжений. Поскольку остаточ-
ные напряжения соизмеримы с пределом текучести, переход в пла-
стическое состояние возможен при относительно небольшом догру-
жении. Далее циклическое нагружение в пределах внешней нагрузки
0-5-16 МПа носит практически упругий характер.
Если прогибы дна, рассчитанные при номинальной нагрузке
в разделах 19.1 и 19.3, оказались соизмеримыми, размахи напря-
жений и деформаций в концентраторе, рассчитанные с учетом и
без учета реальной геометрии и поля остаточных напряжений,
различаются примерно в 4 раза. При этом речь идет о стабилизи-
ровавшемся цикле (а не отнулевом). Совершенно очевидно, что
последний технологический переход привел к увеличению коэф-
фициента геометрической концентрации напряжений и деформа-
ций и в какой-то мере сказалось влияние поля остаточных напря-
жений, сформировавшегося при штамповке.
19.3.2. Исследование влияния формы и размеров дна
поршня 0 48 на работоспособность изделия
При заданной толщине листовой заготовки t = 3,5 мм и диамет-
ре цилиндра 0 48 в четвертом переходе можно в определенных пре-
делах изменять толщину дна и радиус сопряжения донной и цилин-
дрической частей заготовки. Небольшие, на первый взгляд, изменения
технологического плана могут существенно повлиять на концентра-
цию напряжений и деформаций и тем самым на работоспособность
изделия в условиях циклического нагружения. Далее рассматрива-
ются и сравниваются три варианта оформления дна поршня, отли-
чающиеся друг от друга толщиной дна поршня (в обжимаемой, пе-
риферийной части дна) и, как следствие, радиусом сопряжения
с цилиндром 0 48. Эти варианты соответствуют разным стадиям фор-
мовки, показанным на рис. 19.22 с учетом остаточных напряжений
и деформаций, и давлениям при формовке дна Р = 25, 54 и 81 тс.
606
Толщины дна на участке соприкосновения с пуансоном и матри-
цей соответственно t = 3,2; 2,95; 2,8 мм. При этом радиусы со-
пряжения по наружному контуру примерно равны R = 3,5; 3,2 и
3 мм. Внутренний радиус сопряжения во всех случаях R = 1,5 мм
обусловлен формой пуансона. Очевидно, что варьирование тол-
щины дна в более широких пределах при фиксированной толщи-
не заготовки не представляется возможным. Поскольку интерва-
лы варьирования весьма ограничены, для установления
закономерностей влияния толщины и формы дна расчеты эксп-
луатационного нагружения проводились с повышенной точнос-
тью выполнения условия пластичности (5 %).
На рис. 19.32 показаны рассмотренные три варианта формы
дна (в состоянии разгрузки после приложения усилий формовки
Р= 25, 54 и 81 тс).
Рис. 19.32. Три варианта оформле-
ния дна тормозного поршня
607
Выполнены две серии расчетов: одна из них представляет цик-
лическое эксплуатационное нагружение от 0 до 16 МПа, разгруз-
ку и повторное нагружение до 16 МПа, другая — прослеживание
за 21 этап процесса нагружения от 0 до 35,2 МПа (каждого из трех
вариантов).
Рис. 19.33. Распределение тангенциальных и вертикальных
напряжений при номинальной нагрузке 16 МПа (1-й вариант)
На рис. 19.33 показано распределение тангенциальных и верти-
кальных напряжений по сечению при нагрузке 16 МПа. Концент-
ратором напряжений является точка сопряжения радиуса R = 1,5 мм
с боковой (цилиндрической) поверхностью поршня. Радиальные
деформации невелики; усталостное разрушение определяется вер-
тикальной составляющей напряжений и деформаций. На рис. 19.32—
19.34 показаны диаграммы циклического деформирования вдоль
оси Z в точке концентрации напряжений и деформаций.
В трех рассмотренных вариантах, различающихся уровнем на-
чальных напряжений (остаточных напряжений после штампов-
ки), после первого нагружения цикл стабилизируется, и даль-
нейшее деформирование происходит в области упругих
деформаций. Варианты различаются размахом напряжений и де-
формаций. В стабилизировавшемся цикле размахи деформаций
составляют по трем вариантам 0,26; 0,23 и 0,21 %; размахи на-
пряжений соответственно 550; 513 и 460 МПа. С уменьшением
толщины дна (жесткости), как и следовало ожидать, концентра-
тор работает в меньшей степени. Поскольку работа проходит в об-
ласти сжимающих напряжений и упругих деформаций укороче-
ния, концентратор не является лимитирующим фактором.
608
Рис. 19.34. Диаграмма циклического деформирования
(1-й вариант)
Рис. 19.35. Диаграмма циклического деформирования
~ (2-й вариант)
Рис. 19.36. Диаграмма циклического деформирования
az ~ (3-й вариант)
609
Нагружение от 0 до 35,2 МПа выполнялось с целью определения
величины максимального прогиба (по оси изделия) дна поршня.
Нагружение до 20 МПа сопровождается линейным нарастанием ве-
личины прогиба, с увеличением нагрузки усиливается нелинейность
зависимости величины прогиба от нагрузки. Расчеты трех вариантов
контура дна поршня не выявили сколько-нибудь заметных различий
в величине прогиба. В диапазоне нагрузок от 0 до 25 МПа различий
в величине прогиба вообще не обнаруживается. При дальнейшем
увеличении нагрузки появляются пластические деформации, и с
уменьшением толщины дна прогиб незначительно увеличивается.
Таким образом, варьирование толщины дна в пределах 2,8—3,2 мм
на величине прогиба дна практически не сказывается.
Изменением технологии штамповки можно (за счет наклепа)
попытаться несколько увеличить сопротивление деформации мате-
риала дна поршня и тем самым уменьшить прогиб дна поршня при
больших нагрузках, когда начинается пластическое деформирова-
ние. Был рассчитан вариант нагружения поршня с условно увели-
ченной на 10 % степенью деформации. Это приводит к увеличению
предела текучести (истинного сопротивления деформации) на дне
заготовки примерно в 2 раза. На рис. 19.37 представлены сравни-
тельные жесткостные характеристики дна поршня, исходного и ус-
ловно дополнительно наклепанного. В линейной области жесткост-
ной характеристики различий нет (одинаковый модуль Юнга), в
области упругопластического нагружения наклепанный материал де-
формируется в меньшей степени. Прогибы дна для этих вариантов
под нагрузкой 35,2 МПа показаны на рис. 19.38. Прогиб дна в ис-
ходной заготовке 2,64 мм, прогиб дна в дополнительно наклепанной
Рис. 19.37. Зависимость величины максимального прогиба дна поршня
по оси цилиндра от нагрузки: 1 — исходный (3-й вариант); 2 — вари-
ант с дополнительным наклепом материала дна поршня
610
Рис. 19.38. Прогиб дна поршня при нагрузке р = 35,2 МПа: слева —
после штамповки по использованной технологии; справа — после
штамповки с увеличенной на 10 % степенью деформации
Проведенные исследования влияния формы и размеров дна
цилиндра на работоспособность тормозного поршня 0 48 по-
казали прогибы дна при эксплуатационной нагрузке, соизме-
римые с рассчитанными в разделе 19.1. Нагружение до номи-
нального давления 16 МПа происходит в упругой области; при
давлениях свыше 25 МПа развиваются нелинейные процессы.
Перемещения в радиальном направлении в упругой области
малы, и прогиб дна определяется его толщиной. Радиальные
перемещения при упругопластическом нагружении от 33 до
34 МПа — на порядок больше: приращение нагрузки на 1 МПа
дает примерно такое же перемещение, что и нагружение от 0 до
10 МПа. Вертикальные перемещения центральной точки дна в
сопоставляемых условиях упругого и упругопластического на-
гружений различаются в 5 раз.
Расчеты на эксплуатационное нагружение с учетом техно-
логии штамповки (с учетом реальной геометрии, остаточных
напряжений и распределения механических свойств по объему)
обнаружили заметное расхождение с исходными конструкторс-
кими расчетами на прочность. Жесткость в области эксплуата-
ционных нагрузок 0-Н6 МПа соответствует конструкторским рас-
четам. При предельных нагрузках штампованная заготовка за
счет поля остаточных напряжений деформируется пластичес-
ки.
Потребовался следующий цикл конструкторско-технологи-
ческой проработки.
19.4. Вариант конструкторско-технологического решения
на примере штамповки поршня 0 48
Переход от плоского дна к вогнутому, согласно первоначальным
расчетам, должен был обеспечить требуемую жесткость конструкции.
611
Суммирование остаточных напряжений, соизмеримых с пределом
текучести, с напряжениями от эксплуатационной нагрузки приве-
ло к упругопластическому циклу деформирования. Таким об-
разом, встают две задачи: увеличение жесткости дна и умень-
шение коэффициента концентрации напряжений и деформаций.
Далее делаются попытки их решения технологическими и кон-
структорскими средствами.
Уменьшение толщины стенки поршня с сохранением прочнос-
тных и жесткостных характеристик изделия, как было показано
ранее, может быть достигнуто изменением конфигурации дна пор-
шня и области перехода от дна к стенке. Жесткость и прочность
цилиндрической части изделия не являются лимитирующими фак-
торами, в чем легко убедиться, решив задачу Ламэ о бесконечном
цилиндре под наружным давлением.
Как было показано ранее, после двух переходов вытяжки за-
готовка имеет известное распределение толщин и механических
свойств. Задачей формовки дна являются получение размеров
внешнего радиуса перехода г донной части в цилиндрическую,
а также получение вогнутой формы центральной части дна (про- '
гиб плоского дна внутрь поршня). '
Цель выполняемого далее исследования — оценка влияния
геометрии инструмента (пуансона и матрицы) на характер те- ,
чения металла штампуемой заготовки и поиск профиля инст-
румента, обеспечивающего заполнение полости матрицы с за-
данным радиусом перехода г донной части в цилиндрическую.
Чем меньше радиус перехода г от дна к стенке поршня, тем при
прочих равных условиях выше жесткость дна. Последовательно
проанализированы возможности получения значений радиуса »
перехода г= 4; 3,5; 3 мм. Рассмотрено семь вариантов выпол-
нения четвертого перехода штамповки, показанных на рис. 19.39
и 19.40. На каждом этапе расчета подсчитывалось общее усилие
пресса.
Выбор вариантов геометрии инструмента основывался на сле-
дующих соображениях. Чем больше радиус кромки пуансона R,
тем выше прочность готового изделия в условиях циклического
нагружения (ниже концентрация напряжений), выше стойкость
штампового инструмента (пуансона). Однако, чем больше R,
тем меньше вероятность заполнения полости матрицы с радиу- .
сом г. Это обусловлено характером течения металла при штам-
повке.
612
1 b = 3,5 мм
* R = 1 мм
। г = 4 мм
i
b = 3,5 мм
R = 2 мм
r = 4 мм
Рис. 19.39a. Взаимное положение пуансона и матрицы на
момент окончания процесса (г = 4 мм)
613
b мм
R 5 мм
5 мм
*•
b 5 8 мм
R 2 мм
3 5 мм
Рис 19 396 Взаимное положение пуансона и матрицы на
момент окончания процесса (г = 3 5 мм)
614
Ри 9 39в В аимное положение пуан она и ма риц а
мом окончания проце а 3 мм
Ь мм
R 2 мм
4 мм
b 5 мм
R мм
мм
b 3 5 мм
R 5 мм
3 5 мм
b 5 8м
R 2 мм
3 5 мм
b 3 5 мм
R 2 мм
г Змм
Рис 19 40 Фрагменты сеток конечных элементов заготовки
соответствующие состоянию разгрузки после штамповки
615
В начале процесса касание пуансона с заготовкой происходит в
точке перехода цилиндрической поверхности в радиус сопряжения с
донной частью. На внутренней стенке заготовки перед пуансоном
возникает ступенька (наплыв металла). По мере продвижения пуан-
сона вниз эта ступенька увеличивается, и заготовка начинает дви-
гаться вместе с пуансоном преимущественно за счет силы, прило-
женной в области этой ступеньки. Силы трения между
цилиндрической частью пуансона и заготовкой, способствующие дви-
жению металла заготовки вниз вместе с пуансоном, относительно
малы. На этом этапе формообразования начинается заполнение об-
ласти нижнего штампа и оформление внешнего контура дна с ради-
усом г (рис. 19.41). На некоторой стадии процесса заготовка оказы-
вается зажатой между пуансоном и матрицей; усилие, необходимое
для дальнейшего деформирования, резко возрастает, течение метал-
ла становится возможным только за счет изменения толщины заго-
товки. Процесс заканчивается в связи с ограниченным усилием пресса.
Рис. 19.41. Стадии процесса штамповки с применением пунсонов
b = 3,5 мм при R = 1 и R = 2 мм (г = 4 мм)
616
В расчетном исследовании при заданном г = 4 мм варьирова-
лись два параметра профиля пуансона: ширина выступа b и ради-
ус боковой кромки R (см. рис. 19.39). В рассмотренных трех вари-
антах профиля пуансона процесс прослеживался до заполнения
межштампового пространства (до наступления обратного выдав-
ливания). Характерные стадии заполнения межштампового про-
странства для этих вариантов показаны на рис. 19.42—19.44.
Уменьшение размера b с 5,75 до 3,5 мм при R = 1 мм привело
к заполнению полости на ранних стадиях процесса и к плотному
контакту с поверхностью матрицы в конце процесса. Увеличение
радиуса кромки пуансона Rc 1,0 до 2,0 мм вызвало больший из-
гиб дна заготовки и ухудшило заполнение по г = 4 мм.
Распределения толщин заготовки, отсчитанные по нормали к
поверхности, приведены на графиках (рис. 19.45). Очевидно, что
при общем фиксированном объеме металла заготовки объемы (пло-
щади под кривыми на графиках, умноженные на текущий радиус)
одинаковы; задача состоит в том, чтобы добиться перераспреде-
ления материала при ограниченном усилии пресса.
Параметры Ьи R оказывают существенное влияние на процесс
заполнения межштампового пространства. При R = 1 мм сначала
оформляется внешняя радиальная поверхность заготовки поршня
(г = 4 мм), ограниченная поверхностью матрицы; лишь после этого
формируется контактная поверхность со стороны пуансона — внут-
ренняя поверхность штампуемой заготовки. Чем больше Ь, тем
большее напряжение необходимо для оформления контактной
площадки. При большем радиусе кромки пуансона (R = 2 мм)
облегчается формирование внутренней поверхности заготовки;
внешняя поверхность (со стороны матрицы) формируется после
внутренней (см. рис. 19.44).
Суммарное усилие пресса, необходимое для полного заполне-
ния межштампового пространства (в области перехода боковой и
донной части), для рассматриваемых вариантов формы пуансона
составило: Р = 232 тс (Ь = 5,75; R = 1), Р = 182 тс (Ь = 3,5; R = 1),
Р = 121 тс (Ь = 3,5; R = 2). Поскольку усилие пресса ограничено
величиной 80 тс, за счет рациональной геометрии инструмента
можно обеспечить заполнение либо полости матрицы (по радиусу
г), либо контакт с поверхностью пуансона (в области />). В данном
случае уменьшение размера b позволяет сконцентрировать уси-
лие, необходимое для заполнения полости матрицы. Чем более
протяженна площадка Ь, тем выше уровень контактных напряже-
ний, тем больше суммарное усилие деформирования.
617
Ри 9 42 С адии проц а ш амповки прим нени м ма риц
4 мм и пуан она R мм и b 5 5 мм
6 8
Ри 9 43 С адии проц а ш амповки прим н ни м ма риц
4 мм и пуан она R мм и b 3 5 мм
6 9
Рис 19 44 Стадии процесса штамповки с применением матрицы с
г - 4 мм и пуансона с R — 2 мм и b = 3,5 мм
620
Ри 9 45 Ра пр д ление толщине дна заготовки вдоль ра вер ки
1 b 5 75 мм R 1 мм 2 b 3 5 мм R 1 мм
3 b 3 5 мм R 2 мм
Максимум интенсивности пластических деформации во всех
рассмотренных вариантах находится в области внутреннего ради
уса сопряжения дна и цилиндрической части поршня Величина
этого максимума фактически определяется радиусом кромки пу
ансона R Для вариантов R = 1 мм максимальный уровень интен
сивности пластических деформаций достигает 180 %, причем ос
новной вклад вносят сдвиговые деформации Для варианта
R — 2 мм максимальный уровень интенсивности пластических
деформаций составляет 120 % Если принять во внимание, что
при таком уровне деформаций упрочнение практически не нара-
стает, нет смысла уменьшать радиус сопряжения R
Если ставится задача обеспечить высокое качество наружной
поверхности поршня за счет плотного контакта с матрицей по ра-
диусу г, то оптимальным вариантом следует считать использование
621
пуансона с размерами b = 3,5 мм; R = 1 мм. В этом случае при
усилии пресса 68 тс (см. рис. 19.43) полость матрицы оказывается
заполненной и по всей контактной поверхности действуют нор-
мальные напряжения не менее 400 МПа. Очевидно, по мере из-
носа кромки пуансона ее радиус будет увеличиваться, и при дос-
тижении R = 2 мм на участке БВ (рис. 19.46) контакт металла с
поверхностью матрицы будет отсутствовать.
Рис. 19.46. Распределение нормальных контактных напряжений по
контуру заготовки (г = 4 мм, b = 3,5 мм): 1 — вариант R = 1 мм,
Р= 68 тс; 2 — вариант R = 2 мм; Р= 92 тс
622
С учетом закономерностей, обнаруженных в ходе расчетного
исследования процесса формоизменения при штамповке в мат-
рице с радиусом г = 4 мм, был смоделирован процесс течения в
матрице с радиусом г = 3,5 мм. При этом рассматривались вари-
анты кромки пуансона R = 1 мм и R = 1,5 мм при b = 3,5 мм (т.е.
с сохранением формы пуансона, выбранной при анализе течения
в матрице с радиусом г = 4 мм).
Заполнение полости матрицы достигается только при ис-
пользовании пуансона с кромкой радиуса R = 1 мм; при этом кон-
такт деформируемого материала с поверхностью матрицы на уча-
стке БВ (рис. 19.47) очень слабый (нормальные контактные
напряжения близки к нулю). Увеличение радиуса кромки до
7? = 1,5 мм, например, вследствие износа инструмента, исключа-
ет возможность заполнения полости матрицы.
Рис. 19.47. Распределение нормальных контактных напряжений по
контуру заготовки (г = 3,5 мм, b = 3,5 мм): 1 — при R = 1 мм, Р=1Э тс;
2 — при R = 1,5 мм; Р = 83 тс
623
Для создания условий течения металла в радиальную полость
матрицы был рассмотрен вариант использования пуансона с на-
клонной площадкой b (рис. 19.48). Угол наклона площадки был
выбран равным углу наклона контура полости матрицы. Это по-
зволяло в большей степени деформировать заготовку, не зажимая
ее между пуансоном и матрицей. Однако при R = 2 мм заполне-
ния полости матрицы с радиусом г = 3,5 мм не происходит.
Ь = 5,8 мм
R = 2 мм
г = 3,5 мм
Р = 11 тс
b - 5,8 мм
R = 2 мм
г = 3,5 мм
Р = 14тс
b = 5 8 мм
R= 2 мм
г-35мм
Р = 44 тс
Рис 19 48 Стадии процесса штамповки с применением
матрицы с г = 3,5 мм и пуансона с R = 2 мм
624
Анализ процесса течения металла при использовании матри-
цы с полостью радиуса г = 3 мм выполнялся с изменением гео-
метрии контуров матрицы и пуансона. Чтобы отдалить момент
смыкания на металле поверхностей пуансона и матрицы, был
уменьшен угол наклона контура матрицы (с 10 до 8 градусов);
угол наклона поверхности пуансона сохранен 10°. Одновременно
был уменьшен размер b (Ь = 3,5 мм). Стадии процесса показаны
на рис. 19.49. Заполнения полости матрицы достичь не удалось.
/> = 3,5 мм
R = 2 мм
г = 3 мм
Р - 21 тс
b = 3 5 мм
R= 2 мм
г~ 3 мм
Р = 75 тс
b = 3 5 мм
R- 2 мм
г- 3 мм
Р= 120 тс
Рис 19 49 Стадии процесса штамповки с применением
матрицы с г = 3 мм
625
Таким образом, в ходе расчетного исследования установлены
основные пути, позволяющие обеспечить формирование внешней
поверхности поршня. Это, во-первых, использование пуансона с
наклонной площадкой Ь, уменьшение размера этой площадки до
b = 3,5 мм, во-вторых, уменьшение угла наклона контура матрицы
по сравнению с углом наклона площадки b пуансона. С большой
вероятностью можно говорить, что при использовании матрицы с
радиусами г = 4 мм и г = 3,5 мм можно добиться заполнения по-
лости матрицы и достаточно больших нормальных контактных на-
пряжений. Однако однозначного гарантированного результата рас-
смотренный технологический способ решения проблемы не дает.
19.5. Проектирование поршня со сферической формой дна
Рассмотренные технологические варианты показали возмож-
ности оформления области сопряжения дна и стенки поршня —
той области, которая обеспечивает жесткость и циклическую проч-
ность при эксплуатационном нагружении. Прогиб дна позволил
резко улучшить жесткостные характеристики изделия. Однако
рассмотренные варианты оформления профиля заготовки свиде-
тельствуют о нестабильности технологического процесса. Доста-
точно небольшого износа угла пуансона, приводящего к увеличе-
нию радиуса R на 0,5-И мм, чтобы не обеспечить контакта заготовки
с полостью матрицы и тем самым не получить необходимого ка-
чества поверхности. Небольшие изменения размеров матрицы и
пуансона приводят к изменению характера течения и тем самым к
значительному изменению формы и размеров заготовки поршня.
В условиях массового производства технологический процесс дол-
жен обеспечивать стабильность результатов. Поиск приемлемого
решения следует перенести из области совершенствования техно-
логии в область совершенствования конструкции.
19.5.1. Анализ вариантов конструкции дна поршня
Известно, что наибольшей прочностью и жесткостью среди
толстостенных оболочек обладает сферическая конструкция. Если
базовый вариант поршня имел толщину стенки 6 мм и необходи-
мая жесткость достигалась при любой форме дна, выбор формы
зависел от вкусов конструктора. При переходе на штамповку из
листа толщиной 3,5 мм небольшая вогнутость дна оказалась недо-
статочной для обеспечения соизмеримой жесткости. Потребова-
лись значительные технологические доработки, чтобы снизить •
626
I
концентрацию напряжений и деформаций, обеспечить точную
геометрию изделия и распределение толщин стенки. Поиск фор-
мы дна перешел из разряда свободного выбора в разряд точных
расчетов.
Прежде чем разрабатывать технологический процесс штампов-
ки поршня с дном сферической формы, необходимо исследовать
и оценить влияние величины прогиба дна на эксплуатационные
характеристики детали. В главе 5 был приведен пример оптимиза-
ции формы баллона со сферической формой дна, нагруженного
внутренним давлением. Зависимости жесткости (прогиба дна)
и максимальных напряжений (в концентраторе) от формы дна
(см. рис. 5.10 и 5.11) носят нелинейный характер. Есть некоторое
значение стрелы прогиба (вогнутости) дна, дальнейшее увеличе-
ние которой не дает сколько-нибудь заметного выигрыша в жест-
кости и прочности. В данном случае выполнен подобный анализ
влияния величины прогиба дна и распределения пластических де-
формаций в поршне на работоспособность для варианта конст-
рукции поршня 0 54 при эксплуатационных и предельных на-
грузках (р = 10; 16; 25 и 35,2 МПа).
На рис. 19.50 представлен эскиз исследуемого варианта кон-
струкции, а в табл. 19.1 — рассмотренные четыре варианта, раз-
личающиеся толщиной дна t,
соответствующей ранее рас-
смотренным технологическим
вариантам получения заготов-
ки, и прогибом дна А, за счет
которого предполагается обес-
печить прочность и жесткость
поршня и который необходи-
мо получить в готовом изделии.
При заданной толщине листо-
вой заготовки, очевидно, име-
ются весьма узкие рамки варь-
ирования толщины дна; прогиб
дна можно изменять в более
широких пределах. Для выбора
варианта конструкции необхо-
димо получить численные
оценки влияния геометрии на
прочность и жесткость анали-
зируемого поршня.
Рис. 19.50. Эскиз варианта
конструкции поршня
627
Таблица 19.1
Варианты конструкции
Вариант /, мм А, мм
1 3,04 11
2 3,29 11
3 3,29 15
4 3,49 11
Результаты расчетов сведены в табл. 19.2. Анализируемыми
параметрами являлись Zmax — максимальный прогиб дна, т.е. про-
гиб дна в точке на оси симметрии при нагрузках 10, 16, 25, 35,2
МПа, и 7?тах — максимальный прогиб цилиндрической стенки при
тех же нагрузках.
Таблица 19.2
Результаты расчетов вариантов конструкции
Вариант Параметр 10 МПа 16 МПа 25 МПа 35,2 МПа
Вариант 1 Znax? ММ 0,038 0,067 0,108 0,160
^тах> ММ -0,009 -0,014 -0,023 -0.030
Вариант 2 ^тах> ММ 0,036 0,064 0,102 0,149
^тах> ММ -0,008 -0,013 -0,02 -0,029
Вариант 3 ^пах? ММ 0,035 0,063 0,102 0,149
^тах> ММ -0,008 -0,012 -0,019 -0,027
Вариант 4 ^тах> ММ 0,035 0,061 0,098 0,142
^тах> ММ -0,007 -0,012 -0,018 -0,025
Стандарт ^тах> ММ 0,018 0,033 0,054 0,077
^тах> ММ -0,005 -0,008 -0,012 -0,017
Сравнение Zmax из табл. 19.2 с характеристикой жесткости пре-
дыдущего варианта конструкции с малым прогибом дна демонст-
рирует принципиально иной уровень величин, бесспорное преиму-
щество всех четырех вариантов конструкции с дном сферической
формы. Различия этих четырех вариантов между собой относитель-
но невелики. Возвращаясь к графику 5.11, построенному для бал-
лона 050, жесткость дна которого мало изменяется при увеличе-
нии стрелы прогиба свыше 7 мм, можно сделать вывод, что
рассмотренные в табл. 19.2 варианты относятся к области высокой
628
жесткости конструкции. За основу может быть принят вариант 2
со стрелой прогиба 11 мм; увеличение прогиба до 15 мм дает мало
заметные преимущества в жесткости, но, вероятно, создаст про-
блемы технологического плана. Во всех четырех вариантах прогиб
Z примерно в 2 раза выше, чем в базовом варианте (в таблице
он назван стандартом). Однако это значение не только приемле-
мо, но имеет избыточный запас жесткости.
19.5.2. Анализ возможностей штамповки
поршня 0 54 со сферической формой дна
На рис. 19.50 представлен идеализированный вариант геомет-
рии поршня, который предлагает конструктор безотносительно к
технологическим возможностям получения предложенного профиля.
Расчет выполнен путем решения задачи теории упругости анало-
гично расчету баллона в главе 5. Высокая жесткость дна, как пока-
зано в разделе 19.5.1, достигается за счет сферической формы дна в
соответствии с рисунком. Задачей проектирования технологичес-
кого процесса является получение формы дна в максимально воз-
можном соответствии с чертежом готовой детали. Это значит, что
должен быть полностью оформлен переход от стенки к дну заго-
товки при сохранении сферической формы дна листовой (а не объем-
ной) штамповки. После разработки технологического процесса не-
обходимо уточнить жесткостную характеристику, т.е. получить ее с
учетом реальной формы, реального распределения механических
свойств и остаточных напряжений после листовой штамповки.
Ставится задача исследовать возможности и сравнить возмож-
ные варианты получения сферической формы дна, найти форму и
взаимное расположение пуансона и матрицы, обеспечивающие
течение металла в нужном направлении. Средства математичес-
кого моделирования оказываются весьма выигрышными для ре-
шения этой задачи. Процесс течения металла прослеживается во
времени за ряд последовательных этапов и позволяет на каждом
этапе задавать граничные условия, т.е. подбирать форму инстру-
мента, регулирующего направление движения материала.
Последовательно рассматривались три варианта получения дна
сферической формы на основе заготовки четвертого перехода с
параметрами: b = 3,5 мм, г = 3,5 мм, R = 1 мм (см. рис. 19.39 и
19.40). Не рассматривая пока способ предварительной формовки
дна, допустим, что в четвертом переходе получен необходимый
прогиб h. Как уже отмечалось, для обеспечения жесткости дна
ему необходимо придать сферическую форму, а для повышения
629
циклической прочности оформить плавный переход от дна к стен-
ке, не создавая высокой концентрации напряжений и деформаций.
Первый вариант предполагал наиболее простой и наглядный
способ получения необходимой формы дна — за счет сферичес-
кой формы рабочих поверхностей пуансона и матрицы, соответ-
ствующей требуемой форме дна заготовки (рис. 19.51). Прогиб
дна h = 10 мм, радиус перехода от стенки к сферической поверх-
ности матрицы составлял г = 3,5 мм, т. е. совпадал с соответству-
ющим размером заготовки. Пуансон сохранял размеры b = 3,5 мм,
R = 1 мм, диктуемые его прочностью.
Рис 19 51 Исходное положение заготовки и штампов перед
формовкой дна (й = 10 мм)
Результаты математического моделирования процесса показа-
ны на рис. 19.52, 19.53. На начальных стадиях сферическая повер-
хность дна заготовки оформляется пуансоном, и происходит сме-
щение металла в нижнюю часть матрицы, имеющую радиус
г = 3,5 мм. Далее купол дна опускается на сферическую поверх-
ность матрицы, и процесс заканчивается из-за смыкания пуансо-
на и матрицы на поверхностях заготовки. Сферический купол при-
обретает форму в точном соответствии с чертежом, но заполнения
матрицы по г — 3,5 мм не происходит. Увеличение давления пресса
положительного эффекта дать не может: нет металла для оформ-
ления перехода от стенки к дну поршня.
630
4
Р— 64,5 тс
Рис. 19.52. Взаимное положение заготовки и штампов на стадии
процесса Р = 64,5 тс (А = 10 мм)
Рис. 19.53. Взаимное положение заготовки и штампов на стадии
процесса Р = 83,7 тс (А = 10 мм)
631
В качестве следующего варианта выбран процесс штамповки ис-
ходной заготовки с увеличенным исходным прогибом дна (А = 15 мм)
при использовании того же инструмента. Чтобы не происходило
смыкания пуансона и матрицы на поверхностях заготовки, купол
матрицы срезан (рис. 19.54 и 19.55). Жесткость купола заготовки
высотой h = 15 мм оказывается достаточной, чтобы обеспечить те-
чение металла в район радиуса перехода г = 3,5 мм. Появляется прин-
ципиальная возможность одновременного оформления сферическо-
го купола дна и стыка стенки и дна без пережимов и утяжек.
Р= 38 тс
Рис. 19.54. Взаимное положение заготовки и
штампов на стадии процесса Р=38тс(А=15 мм)
Р= 110 тс
Рис. 19.55. Взаимное положение заготовки и
штампов на стадии процесса Р = НО тс (Л = 15 мм)
632
С учетом выявленных закономерностей было целесообразно
проверить возможность штамповки заготовки с исходным проги-
бом h = 10 мм при откорректированном профиле матрицы (срез
купола, как во втором варианте, во избежание смыкания штампов
и преждевременного прекращения процесса, уменьшение угла
наклона). Однако жесткость купола дна с исходным прогибом
h = 10 мм оказывается недостаточной; купол опускается до тех
пор, пока не происходит внедрение боковых кромок пуансона
b = 3,5 мм, R = 1 мм в заготовку (рис. 19.56).
Р= 25 тс
Рис. 19.56. Взаимное положение заготовки и штампов при
штамповке по третьему варианту
Таким образом, получить требуемую геометрию при штампов-
ке заготовки с исходным прогибом h = 10 мм не удается в связи с
недостаточной жесткостью купола.
Возможность получения поршня со сферическим дном в соот-
ветствии с рис. 19.50 по рассмотренной технологии должна быть
поставлена под сомнение. Заготовка с исходным прогибом дна
h = 10 мм не обладает жесткостью, необходимой для окончатель-
ной формовки; заготовку с исходным прогибом дна h = 15 мм,
во-первых, надо суметь получить без утонения дна, во-вторых, ее
форма по окончании процесса может отличаться от требуемой.
На рис. 19.57 представлены жесткостные характеристики дна пор-
шня при эксплуатационном нагружении, соответствующие двум
вариантам формы дна. Параметры жесткости поршня после
штамповки по этим вариантам, не позволившим получить заго-
товку в точном соответствии с чертежом, на линейном участке
633
жесткостной характеристики отличаются в 1,2 раза; при нагруз-
ках свыше 25 МПа развиваются большие пластические деформау
ции, и при максимальной нагрузке 35,2 МПа прогиб дна на поря/
док превышает значение, указанное в табл. 19.2. Здесь в очередной
раз приходится убедиться, что конструкторский расчет, выпол-
ненный без учета технологии изготовления, без учета остаточных
напряжений и неравномерного распределения механических
свойств, дает не менее чем двукратную ошибку в упругой области
и в принципе не дает оценки работоспособности изделия при
предельных нагрузках. Вариант конструкции, представленный на
рис. 19.58, как и следовало ожидать, в силу своей оптимальности,
требует точного соблюдения форм и размеров. Таким образом,
необходимо дальнейшее уточнение технологического процесса. И
так до тех пор, пока замыслы конструктора не придут в соответ-
ствие с возможностями технологии.
Рис. 19.57. Зависимость прогиба дна поршня от давления:
I — h = 10 мм; 2 — h = 15 мм
Дальнейшее совершенствование технологического процесса
в конечном счете позволило получить приемлемую жесткостную
характеристику и упругий цикл нагружения. На рис. 19.58 показан
окончательный профиль дна заготовки. Прогиб дна h = 9 мм яв-
ляется результатом последовательных приближений конструктор-
ских и технологических проработок. Эта величина несколько мень-
ше тех, которые были приведены в табл. 19.1 из чисто
конструкторских соображений, но достаточна для получения при-
емлемого результата.
634
Рис. 19.58. Профиль дна заготовки поршня 0 54
Перемещение центральной точки дна поршня (точка А) в пер-
вом цикле нагружения составило 0,092 мм, нижней точки дна (точка
В) — 0,017 мм, т.е. прогиб дна равен 0,075 мм. Во втором и после-
дующих циклах перемещение центральной точки при номиналь-
ной нагрузке 0,095 мм, перемещение нижней точки не изменяет-
ся, поскольку цилиндрическая стенка деформируется упруго.
Полученное значение прогиба дна ДА=0,75 мм при номинальной
нагрузке примерно на 0,1 мм больше, чем приведенные в таблице
19.2 для идеализированной конструкции.
На рис. 19.59 приведен график изменения прогиба дна поршня
(разность вертикальных перемещений точек А и В) при нагружении
и разгрузке в первом цикле нагружения. Кривые 2-го цикла нагруже-
ния в заданном масштабе изобразить не удалось, так как их различия
с кривой разгрузки 1-го цикла носят характер вычислительных по-
грешностей. Иными словами, жесткостной цикл быстро стабилизи-
руется.
Рис. 19.59. Прогиб дна поршня в ходе циклического
деформирования
635
Радиальные деформации точек наружной поверхности стенки
носят линейно упругий характер, величина радиальных переме-
щений при номинальной нагрузке не достигает сотой доли мм.
Максимальные изменения напряженного и деформированно-
го состояний относятся к области концентрации продольных (вдоль
оси Z) нормальных напряжений. Напряжения изменяются от ра-
стягивающих при отсутствии эксплуатационной нагрузки (оста-
точные напряжения после штамповки) до сжимающих при при-
ложении внешней нагрузки.
Рис. 19.60. Диаграмма циклического деформирования
На рис. 19.60 приведена диаграмма циклического деформиро-
вания точки в районе концентратора. После первого цикла эксп-
луатационное циклическое нагружение приводит к упругому де-
формированию изделия. Цикл несимметричен по напряжениям;
среднее напряжение в цикле — сжимающее. Таким образом, уда-
лось сконструировать вариант конструкции, приемлемый с точки
зрения работоспособности и технологически реализуемый.
636
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Появление и совершенствование вычислительной техники дало
мощный импульс развитию многих областей науки и техники, в том
числе теории пластичности и базирующейся на ней теории обработ-
ки металлов давлением. В докомпьютерный период теория и техно-
логия обработки металлов давлением представляли собой две само-
стоятельные дисциплины. В простейших технологических расчетах
использовались несложные зависимости из теории обработки ме-
таллов давлением; основная часть технологических расчетов выпол-
нялась на базе эмпирических формул и рекомендаций, обобщаю-
щих многолетний опыт технологов.
Численные методы и вычислительная техника сняли проблему
интегрирования уравнений теории пластичности и тем самым пре-
пятствия математического характера, ограничивающие область ре-
шаемых задач теории обработки металлов давлением. Возможности
классической теории обработки металлов давлением оказались пол-
ностью реализованными. Возникла необходимость развития теории,
адаптации ее к новым вычислительным возможностям, пересмотра
формы получаемых результатов. Варианты математической теории
пластичности, изложенные в главах 7 и 8, ориентированы не на по-
лучение результатов общего характера, а на решение конкретных
технологических задач. Иными словами, классическая теория плас-
тичности, предназначенная для получения общего решения с после-
дующим переходом к частному, теория, ориентированная на чис-
ленные методы, предполагает получение частного решения (решение
конкретной задачи), при этом общее решение может быть лишь ре-
зультатом решения ряда частных задач.
Численное решение с возможностью прослеживания истории
деформирования за множество этапов позволяет отказаться от при-
нятой в теории пластичности классификации: деформационная
теория пластичности и теория пластического течения. Нет смысла
говорить о простом или сложном нагружении, если условия нагру-
жения задаются на каждом этапе, а число этапов может быть сколь
637
угодно велико. Различие между теорией малых упругопластичес-
ких деформаций и теорией течения приобретает чисто вычисли-
тельный характер: изменяется формулировка разрешающей сис-
темы уравнений, изменяется число неизвестных.
Ориентация на вычислительную технику и численные методы
решения привела к созданию нового научного направления —
математического моделирования. При математическом моделиро-
вании возникают совсем иные проблемы, имеющие мало общего
с проблемами аналитического решения в рамках классической
теории обработки давлением. Математический аппарат теории
течения в равной степени относится к моделированию процессов
обработки давлением компактных, порошковых, пористых или
композиционных материалов. Основная проблема моделирования
технологического процесса обработки давлением состоит в опи-
сании модели процесса и модели материала, в задании граничных
условий и реологической модели материала, согласующихся с за-
дачей исследования.
Современная теория пластичности стала инструментом для
решения широкого круга технологических задач. Закономерным
итогом явилось включение математического моделирования в цикл
технологической подготовки производства на этапе технологичес-
кого проектирования.
638
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Карлслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.
2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
3. Теория пластических деформаций металла / Е.П. Уиксов и др. М.:
Машиностроение, 1983.
4. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости
и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высш. шк. 1974.
5. Целиков А.И. Основы теории прокатки. М.: Металлургия, 1965.
6. Смирнов В.С. Теория прокатки. М.: Металлургия, 1967.
7. Смирнов В.С. Теория обработки металлов давлением. М.: Метал-
лургия, 1973.
8. Теория обработки металлов давлением / И.Я. Тарновский и др. М.:
Металлургиздат, 1963.
9. Павлов И.М. Теория прокатки и пластической обработки метал-
лов давлением. М.: ОНТИ, 1960.
10. Смирнов В.С., Григорьев А.К. Применение ЭЦВМ для расчета
параметров прокатки. М.: Металлургия, 1970.
11. Смирнов В.К., Шилов В.А., Инатович Ю.В. Калибровка прокат-
ных валков. М.: Металлургия, 1987.
12. Смирнов В.К., Литвинов К.И., Харитонин С.В. Горячая вальцовка
заготовок. М.: Машиностроение, 1980.
13. Няшин Ю.И., Ананьев И.Н., Скороходов А.Н. Решение задач об-
работки металлов давлением методом конечного элемента // Изв. вузов.
Черная металлургия. 1974. №5.
14. Ли К., Кобояси С. Анализ осесимметричной осадки и поперечной
осадки в условиях плоской деформации сплошных цилиндрических за-
готовок методом конечных элементов // Тр. американского об-ва инже-
неров-механиков. Сер В. 1971. №2.
15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.
16. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М.:
Гостехиздат, 1953.
17. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (Введение в тео-
рию). М.: Наука, 1973.
18. Милн В.Э. Численный анализ. М.: ИЛ, 1951.
19. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972.
20. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи-
ки. М.: Наука, 1970.
639
21. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
22. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных схем.
М.: Гостехиздат, 1956.
23. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы
анализа. М.: Наука, 1967.
24. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные схемы решения дифференци-
альных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.
25. Расчет параметров прокатки круглых слитков в гладких валках/
М.М. Захаров, Ю.И. Рыбин, А.М. Тынтарев, Д.И. Чашников // Вопросы
судостроения. Серия: Металлургия. 1974. Вып.18.
26. Математическое моделирование процесса прокатки цилиндричес-
кого слитка в гладких валках / А.М. Кобец, Ю.И. Рыбин, А.М. Тынтарев,
Д.И. Чашников// Вопросы судостроения. Серия: Металлургия. 1974. Вып.17.
27. Григорьев А.К., Рыбин Ю.И. Определение с помощью численных ме-
тодов и ЭЦВМ технологических параметров горячей прокатки металла в ящич-
ных калибрах // Обработка металлов давлением: Тр. ЛПИ. № 322. Л., 1971.
28. Рыбин Ю.И., Григорьев А.К. Постановка задачи о горячей прокат-
ке в ромбических и квадратных калибрах // Там же.
29. Григорьев А.К., Воскресенский А.М. Численное решение с приме-
нением ЭЦВМ “Урал-2” и БЭСМ-2 задачи о пространственном течении
металла при горячей прокатке с уширением //Обработка металлов давле-
нием: Тр. ЛПИ. № 308. Л., 1968.
30. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.:
Наука, 1966.
31. Хайкин Б.Е., Тарновский И.Я. К вопросу использования метода Рит-
ца в вариационных задачах прокатки // Тр. УПИ. № 162. Свердловск, 1967.
32. Поздеев А.А., Тарновский И.Я. О применении метода Ритца в
теории обработки металлов давлением // Изв. вузов. Черная металлур-
гия. 1962. № 10.
33. Методика решения задач по формоизменению при прокатке про-
стых сортовых профилей / Б.Е. Хайкин и др. // Изв. вузов. Черная ме-
таллургия. 1966. № 11.
34. Тарновский И.Я., Скороходов А.Н., Илюкович Б.М. Элементы те-
ории прокатки сложных профилей. М.: Металлургия, 1972.
35. Инглиш А.Т., Бекофен У.А. Влияние технологии обработки метал-
лов на их сопротивление разрушению // Разрушение: Сб. Т. 6. М.: Ме-
таллургия, 1976.
36. Тарновский И.Я., Поздеев А.А., Ляшков В.Б. Деформация металла
при прокатке. Свердловск: ГНТИЛ по черной и цветной металлургии, 1956.
37. Argiris I.H. Energy theorems and structural analysis Aircraft
Engineering // General theory. 1954. Vol. 27.
38. ASKA — Automatic System for Kinematic Analysis // Research report.
№73. ISD, Stuttgart, 1971.
39. Araldson P.O., Holmsmark G., Rorem E.M. Analysis of oil tanker by
SESAM-69 /1 Techn. University of Norway. Jan., 1971.
40. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Ме-
тод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971.
640
41. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов в теории упруго-
сти / ЛПИ им. М.И. Калинина. Л., 1972.
42. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расче-
тах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.
43. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
44. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных
элементов: Справочник / Под общ. ред. В.И. Маченкова. М.: Машино-
строение, 1989.
45. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких поряд-
ков точности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.
46. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир,
1977.
47. ДеклуЖ. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.
48. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных
сред. М.: Мир, 1976.
49. Сегерливд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
50. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.
М.: Мир, 1986.
51. Морозов Е.М., Никишов Г.П. Метод конечных элементов в меха-
нике разрушения. М.: Наука, 1980.
52. Гун Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки
металлов давлением. М.: Металлургия, 1983.
53. Mori К., Osakada К. Simulation of Three-dimensional Deformation in
Rolling by the Finite Element Method //International Journal of Mechanical
Sciences. 1984. Vol. 26, № 9~10.
54. Рыбин Ю.И., Золотов A.M., Лоскутов B.H. Моделирование мето-
дом конечных элементов неустановившегося процесса прокатки толсто-
го листа // Современные материалы: технологии и исследования: Тр.
СПбГТУ. №463. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996.
55. Исследование напряженно-деформированного состояния при про-
катке высоких полос с помощью метода конечных элементов / Ю.И. Ня-
шин и др. // Обработка металлов давлением / УПИ им. С.М. Кирова.
Свердловск, 1974.
56. Анализ деформированного состояния для стационарного и нестацио-
нарного режимов прокатки высоких полос / П.В. Трусов и др. // Обработка
металлов давлением / УПИ им. С.М. Кирова. Свердловск, 1977.
57. Рыбин Ю.И. Применение метода конечных элементов к анализу
напряженно-деформированного состояния при прокатке высоких полос //
Вопросы судостроения. Серия: Металлургия. 1982. Вып. 33.
58. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в
технике. М.: Мир, 1982.
59. Бенер
j> 1
1 П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в при-
кладных науках. М.: Мир, 1984.
60. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике
твердого тела. М.: Мир,1987.
61. Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов.
М.: Мир, 1987.
641
62. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интеграль-
ные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.
63. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплекс-
ного переменного. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951.
64. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функци-
ям. М.: Физматгиз, 1979.
65. Барышников А.А., Рыбин Ю.И., Фастовский В.М. Метод плоских
источников в двумерной задаче теплопроводности //Инженерно-физи-
ческий журнал. 1988. Т. 54, № 4.
66. Барышников А.А., Рыбин Ю.И., Фастовский В.М. Прямой метод л
граничных элементов в нестационарной задаче теплопроводности //Ин-
женерно-физический журнал. 1988. Т. 55, № 4.
67. Барышников А.А., Рыбин Ю.И., Фастовский В.М. Плоский источ-
ник с линейно меняющейся интенсивностью //Инженерно-физический
журнал. 1989. Т. 56, № 5.
68. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Пер. с англ. М.: ’
ИИЛ, 1956. f
69. Mendelson A. Plasticity: Theory and Application. Macmillan. New-
York, 1968. *
70. Великоиваненко E.A., Махненко В.И. Вопросы расчета сварочных |
напряжений и деформаций с применением ЭЦВМ //Физика и химия
обработки материалов. 1967. № 4.
71. Великоиваненко Е.А., Махненко В.И. Численное решение плоской
задачи теории неизотермического пластического течения применительно
к сварочному нагреву //Физика и химия обработки материалов. 1968. № 4.
72. Махненко В.И. Расчетные методы исследования кинетики сва-
рочных напряжений и деформаций. Киев: Наук, думка, 1976. <
73. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нели- /
нейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.
74. Yamada Y., Yoshimura N., Socarai T. Plastic stress-strain matrix and t
its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element
method // International Journal of Mechanical Sciences. 1984. Vol. 10.
75. Демидов С.П. Теория упругости. M.: Высш. шк. 1979.
76. Zienkiewicz О.С. Numerical analysis of Forming Pronsses Swansa //
J. Wiley and Sons. 1984. P. 1-44.
77. Гун Г.Я., Лишний А.И., Садыхов О.Б. К реализации смешанных гра-
ничных условий на контактной поверхности при математическом модели-
ровании процессов ОМД // Изв. вузов. Черная металлургия. 1988. № 7.
78. Рыбин Ю.И., Скорняков А.Н., Стрелецкий В.В. Анализ попереч-
ной осадки цилиндрической заготовки тремя бойками в условиях обоб-
щенной плоской деформации // Изв. АН СССР. Металлы. 1984. № 4.
79. Смирнов В.С. Поперечная прокатка в машиностроении. М.: Ма-
шиностроение, 1965.
80. Томленое А.Д. Теория пластического деформирования материа-
лов. М.: Металлургия, 1972.
81. Охрименко Я.М., Тюрин В.А. Теория процессов ковки. М.: Высш,
шк., 1977.
642
82. Полухин П.И., Гун Г.Я., Галкин Ф.М. Сопротивление пластичес-
кой деформации металлов и сплавов: Справочник. М.: Металлургия, 1976.
83. Gese Н., Biba N. Simulation und Analyse von Gesenkschmiedenpro-
zessen mit dem FE-Programm FORM-2D // Umformtechik, 1995. Vol.29,
No 3. P. 176-177.
84. Рыбин Ю.И. Математическая модель неизотермического упруго-
вязкопластического течения // Междунар. научно-технич. конф. “Плас-
тическая и термическая обработка современных металлических материа-
лов”. СПб., 1999.
85. Оценка эффективности применения алгоритмов и программ рас-
чета кинетики сварочных деформаций и напряжений / К.М. Гатовский,
Ю.И. Рыбин, С.А. Шемелов, В.Н. Лоскутов // Автоматическая сварка.
1980. № 2.
86. Гатовский К.М., Рыбин. Ю.И., Лоскутов В.Н. Анализ напряжен-
ного состояния при многослойной сварке толстых листов с использова-
нием метода конечных элементов // Автоматическая сварка. 1980. № 8.
87. Сегал В.М., Резников В.И., Копылов В.И. Процессы пластическо-
го структурообразования металлов. Минск: Наука и техника, 1994.
88. Григорьев А.К., Рудской А.И. Деформация и уплотнение порош-
ковых материалов. М.: Металлургия, 1992.
89. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.:
Машиностроение, 1989.
90. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.
91. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания. Киев:
Наукова думка, 1972.
92. Штерн М.Б., Сердюк Г.Г., Максименко Л.А. Феноменологичес-
кие теории прессования порошков. Киев: Наукова думка, 1982.
93. Цеменко В.Н. Разработка процессов прокатки пористых изделий
на основе теоретического и экспериментального исследования уплотня-
емых порошковых сред: Дис. ...д-ра техн, наук / СПбГТУ. СПб., 2001.
94. Рыбин Ю.И., Цеменко В.Н. Предельное состояние уплотняемых
порошковых сред // Обработка сплошных и слоистых материалов: Меж-
вуз. междунар. сб. науч. тр. Магнитогорск, 2003.
95. Королев А.А. Механическое оборудование прокатных цехов. М.:
Металлургия, 1965.
96. Целиков А.И., Никитин Г.С., Рокотян С.Е. Теория продольной
прокатки. М.: Металлургия, 1980.
97. Брюханов А.Н., Ребельский А.В. Горячая штамповка. Конструиро-
вание и расчет штампов. М.: Машгиз, 1952.
98. Головнева М.А., Атрошенко А.П. Оборудование и технология го-
рячей штамповки. Л.: Машгиз, 1962.
99. Ковка и штамповка: Справочник / Под ред. Е.И. Семенова. Т. 2.
М.: Машиностроение, 1986.
100. Алиев Ч.А., Тетерин Г.П. Система автоматизированного про-
ектирования технологии горячей объемной штамповки. М.: Машино-
строение, 1987.
643
Рыбин Юрий Иванович
Рудской Андрей Иванович
Золотов Александр Максимович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Редактор А.В. Явственная
Технический редактор А.И. Колодяжная
Корректор Л.Л. Никифорова
Компьютерная верстка С.В. Горячевой
Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет.
Издательство Политехнического университета,
член Издательско-полиграфической ассоциации
университетов России.
Адрес университета и издательства:
195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.
Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97
Налоговая льгота— Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т. 2; 95 3004 — научная и производственная литература
Санкт-Петербургская издательская фирма «Наука» РАН.
199034, Санкт-Петербург, Менделеевская л ин., 1.
e-mail: main@nauka.nw.ru
Лицензия ИД № 02980 от 6.10.2000 г.
Подписано в печать 06.05.2004. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 40,25. Уч.-изд. л. 40,25. Тираж 1000. Заказ 336.
ISEN 5-02-025040-6
9
785020
250406