В. И. Жохов
Ю. Н. Макарычев
Н. Г. Миндюк
Дидактические
____QS______
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
В. И. Жохов Ю. Н. Макарычев И. Г. Миндюк
АЛГЕБРА
Дидактические материалы_____
g класс
17-е издание
Москва
« Просвещение » 2012
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
Ж82
Жохов В. И.
Ж82 Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк.— 17-е изд.— М. : Просвещение, 2012.— 160 с. : ил.— ISBN 978-5-09-028730-2.
Пособие содержит упражнения для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер, а также тексты контрольных работ и задания для проведения школьных математических олимпиад.
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-028730-2
© Издательство «Просвещение», 1991
© Издательство «Просвещение», 2008 с изменениями
© Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2008 Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дидактические материалы предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и для осуществления контроля за их знаниями, умениями и навыками. Они могут быть использованы как в том случае, когда преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 8» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Те-ляковского [1], так и тогда, когда преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 8» авторов Ш. А. Алимова и др. под научным руководством А. Н. Тихонова [2].
Включенные в данную книгу работы делятся на четыре группы: 1) самостоятельные работы; 2) контрольные работы; 3) итоговое повторение по темам; 4) внутри-школьные математические олимпиады.
Самостоятельные работы отмечены индексами С—1, С—2, С—3 и т. д. Одни из этих работ соответствуют обоим учебникам, другие соответствуют только одному из них. Для удобства пользования книгой приведена таблица, в которой указаны номера самостоятельных работ и соответствующие им номера пунктов из учебника [1] или номера параграфов из учебника [2]. При этом номера пунктов из учебника [1] указаны по доработанному варианту.
Самостоятельные работы носят обучающий характер. Они представлены в двух вариантах. В каждой работе выделяется два блока заданий. Первый блок, расположенный над чертой, состоит из стандартных тренировочных упражнений, второй блок, расположенный под чертой,— из заданий, более сложных по сравнению с заданиями первого блока в алгоритмическом или логическом плане и способствующих развитию учащихся. Каждое упражнение включает в себя несколько заданий, обозначенных номерами со скобками: 1), 2) и т. д., которые даны по возрастанию сложности. Близкие по тематике задания обозначены буквами а), б) и т. д.
Самостоятельные работы достаточно объемны. Они рассчитаны на неоднократное использование. Например, на одном уроке могут выполняться задания 1 и 2, на другом — задание 3, на третьем — задание 4 и т. п. В зависимости от конкретных условий работы некоторые задания могут опускаться. Наличие двух блоков заданий
3
позволяет реализовывать в процессе преподавания дифференцированный подход к обучению. Так, если класс слабо подготовлен, то задания второго блока можно опустить или использовать частично. По усмотрению учителя хорошо успевающим учащимся можно порекомендовать выполнять упражнения второго блока, минуя упражнения первого блока или часть из них.
Контрольные работы представлены в виде двух комплектов. Первый комплект ориентирован на учебник под редакцией С. А. Теляковского. Он состоит из десяти работ, обозначенных индексами К—1, К—2 и т. д. Первые девять работ относятся к конкретным темам и рассчитаны на один урок. Последняя работа, К—10, является повторительной по всему курсу и рассчитана на два урока. Второй комплект относится к учебнику под научным руководством А. Н. Тихонова. Он состоит из девяти работ, обозначенных индексами К—1А, К—2А и т. д. Первые восемь работ из них тематические и рассчитаны на один урок. Последняя работа, К—9А, повторительная, рассчитанная на два урока.
Контрольные работы даются в четырех равноценных вариантах. В каждую из них включены задания, соответствующие уровню обязательной подготовки (они отмечены знаком •), и более продвинутые по степени сложности задания. С учетом конкретных условий учитель может вносить в текст контрольных работ необходимые коррективы.
Раздел «Итоговое повторение по темам» состоит из двух частей, одна из которых относится к учебнику [1], а другая — к учебнику [2]. В нем содержатся теоретические вопросы по каждой теме и упражнения основных видов. Использование этого материала может быть организовано по-разному, например при сочетании фронтальной работы с классом и самостоятельной деятельности учащихся.
Задания олимпиадного характера предназначены для того, чтобы облегчить учителю организацию и проведение внутришкольных олимпиад как одной из форм работы с одаренными учащимися.
Таблица использования самостоятельных работ при преподавании алгебры по учебнику под редакцией С. А. Теляковского (учебник [1]) и под научным руководством А. Н. Тихонова (учебник [2])
Работа		Учебник [1] (номер пункта)	Учебник [2] (номер параграфа)
С—1	Преобразование целого выражения в многочлен (повторение)	1	—
С—2	Разложение на множители (повторение)	1	—
С—3	Целые и дробные выражения	1	—
С—4	Основное свойство дроби. Сокращение дробей	2	—
С—5	Сокращение дробей (продолжение)	2	—
С—6	Сложение и вычитание дробей с оди-		
	наковыми знаменателями	3	—
С—7	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями	4	—
С—8	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (продолжение)	4	—
С—9	Умножение дробей	5	—
С—10	Деление дробей	6	—
С—11	Все действия с дробями	7	—
С—12	Функция У = ~ и ее график	8	—
С—13	Рациональные и иррациональные		
	числа	10, 11	21
С—14	Арифметический квадратный корень	12	20
С—15	Решение уравнений вида х2 = а	13	—
С—16	Нахождение приближенных значений квадратного корня	14	21, 22
С—17	Функция у = \[х	15	—
С—18	Квадратный корень из произведения. Произведение корней	16	23
С—19	Квадратный корень из дроби. Частное корней	16	24
С—20	Квадратный корень из степени	17	22
С—21	Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня	18	23
С—22	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни	19	23, 24
С—23	Уравнения и их корни (повторение)	21	1
С—24	Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные урав-		
	нения	21	25, 26
5
Продолжение
Работа	Учебник [1] (номер пункта)	Учебник [2] (номер параграфа)
С—25 Решение квадратных уравнений С—26 Решение квадратных уравнений (продолжение) С—27 Теорема Виета С—28 Решение задач с помощью квадратных уравнений С—29 Разложение квадратного трехчлена на множители. Биквадратные уравнения С—30 Дробные рациональные уравнения С—31 Решение задач с помощью рациональных уравнений С—32 Сравнение чисел (повторение) С—33 Свойства числовых неравенств С—34 Сложение и умножение неравенств С—35 Доказательство неравенств С—36 Оценка значения выражения С—37 Оценка погрешности приближения С—38 Округление чисел С—39 Относительная погрешность С—40 Пересечение и объединение множеств С—41 Числовые промежутки С—42 Решение неравенств С—43 Решение неравенств (продолжение) С—44 Решение систем неравенств С—45 Решение двойных неравенств С—46 Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля С—47 Степень с целым показателем С—48 Преобразование выражений, содержащих степени с целым показателем С—49 Стандартный вид числа С—50 Запись приближенных значений С—51 Элементы статистики С—52 Понятие функции. График функции (повторение) С—53 Определение квадратичной функции С—54 Функция у = ах2 С—55 График функции у = ах2 + Ьх + с С—56 Решение квадратных неравенств С—57 Метод интервалов	22 22 24 23 25 26 28 29 30 28 30 31 31 32 33 34 34 35 35 37 38 39 40, 41	28 28 29 31 29, 30 30 31 1 3 2—4 12 13 14 6, 7 6, 7 8, 9 10 16 12 35 35 37 38, 39 40, 41 42
6
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант I
□ С—1. Преобразование целого выражения в многочлен (повторение)
1.	Упростите выражение:
1)	а) (За-7) + (4-а);	б) (8Ь+ 12)-(2-56);
2)	а) (6х* 1 2-1) + (2-Зх-х2);	б) (10- 12у2)-(у3-у2+ б).
2.	Представьте в виде многочлена:
1)	а) 7с2(2с-9); б) -0,5а(4-2а); в) Зх(х2-7х + 2);
2)	a) (b + 3)(b-5); б) (4а-3)(2а+1); в) (с-2)(с2-3с-1).
3.	Упростите выражение:
1)	а) 5 (2х- 3) + 2 (7- Зх);	б) бу (у2 - Зу) - Зу (у2 - бу);
2)	а) (За-1) (2а + 5)-6а2;	б) 12Ь3-(4Ь2-1)(3&-2).
4.	Представьте в виде многочлена:
1)	а) (х-8)(х + 8); б) (6 + г/) (г/- 6); в) (Зг2-5)(5 + Зг2);
2)	а) (г/ч-3)2; б) (а-5)2;	в)(2&2-1)2; г) (5 +Зе2)2;
3)	а) (с + 2) (с2-2с + 4); б) (у-3)(у2 + 3у + 9).
5. Докажите, что выражение (а-4) (а+ 8)-4 (а-9) при любом а принимает положительное значение.
6. Докажите, что при любом целом у значение выражения 32z/ + (i/-8)2- у {у-16) кратно 32.
7. При каком значении b многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (х2 + 2х-3)(х-Ь), не содержит х2?
□ С—2. Разложение на множители (повторение)
1. Представьте многочлен в виде произведения:
1) а) 12&-48; б) х2-2х; в) Зу3 + 15z/; г) 6г3-2г5;
2) а) ах-За + Ьх-ЗЬ; б) х2 -ax + bx-ab.
2. Разложите на множители:
1) a) z/2-9; б) 25с2-1; в) 0,49-а2х4;
2) a) n2-2n+l; б) 4тп2+12тп + 9; в) 4 + 0,25х2-2х;
3) а)р3+1; б) а3-8;	в)8д3 + 27; г) 0,001х6- 1000г/3.
7
3.	Разложите на множители:
1)	a)	3x2-3i/2;	б)	у3-у;	в)	а5 6-а;
2)	а)	Ъ3 - 12b2 + 36b;	б)	20а3-60а2 + 45а;
3)	а)	х2-у2 + х + у,	б)	с2-4с + 4-9х2.
4.	Докажите, что многочлен a2 + 4ab + 5b2 + 2b+1 при любых значениях а и b принимает неотрицательные значения.
5.	Разложите на множители многочлен а3 - Ь3 + 3a2b --3ab2.
6.	Представьте трехчлен х2-8х+12 в виде произведения двух двучленов.
Пс-3. Целые и дробные выражения
1. Найдите значение выражения:
а) 2х + 7 при х = 0,4; б) — ~-^+-5 при у =1,5. о	5
2. Заполните таблицу:
т	-4	-2	0,5	1	2,5	4
т-2 т						
3.	Составьте дробь:
а)	числитель которой является суммой переменных а и Ь, а знаменатель — их разностью;
б)	числитель которой является произведением переменных х и у, а знаменатель — суммой их квадратов.
4.	Велосипедист проехал по шоссе а км со скоростью 18 км/ч, по проселочной дороге b км со скоростью, на 6 км/ч меньшей, чем по шоссе. Сколько времени затратил велосипедист на всю дорогу? Составьте выражение и найдите его значение при а = 27 и Ь = 3.
5. Укажите допустимые значения переменной в вы-
ражении:		О} н I 1 со	г2 В> х + 3 =
1)	а) 2х2-8;		
2)	а) у2 ;	у2 -1 б) 2	’	в) -Ч + 1
	1/2-4	у2 +1	У-5 У
a — 5
6. При каком значении а значение дроби —г—:
О
а) равно 0; б) равно 1; в) больше 1; г) меньше 1?
я
7.	Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а)	-ГТ6>
б)	+
8. Составьте смысл при всех a) z/ = 8;
В) W-2’
г) _2х_
7 |х-5Г
дробь с переменной у, которая имеет значениях г/, кроме:
б) г/ = 0 и у = 7.
Пс—4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей
1.
1)
а)
2)
а)
3)
а)
Сократите дробь:
5а , 15& ’
Зх2 . 1х ’
а2Ь\
ab7
б)
б)
* 12& ’	'	18х ’
4г2 ч 2а5.
J г) —; а
ЗОа2с3 . 48а3с2’
2.
1)
а)
д)	е)
Ьс 4	’ 2у
-14b2 . к 27с6 .
21/ ’	’	45с ’
. 111//
37р4/ *
Д)
к знаменателю 4w3;
2у	*
2)
а)
б)
3.
1)
а)
2)
а)
Зс . 8с ’
в) 15/’	-8г3
-63х/ ч б* в)
81ху
Приведите дробь:
к знаменателю а4; б) аг
—Дг- к знаменателю 21а3Ь2;
За2Ъ
Зс
—- к знаменателю 14xz/6. 7i/5
Найдите значение 2\ 27 ’ 162 . 83 ’
б)
з3
б)
1252
выражения: к 2
В) 125’
в)
814
г)
25
4. Вычислите:
х 55-227.	215156
J ИО6 ’	310-355’
5. Найдите значение дроби 6 = 0,27.
-З(а7)4(&13)3	1 Q
—при а =1,8, 2(а9)3(& )
Q
□ с		-5. Сокращение дробей (продолжение)					
	1.	Сократите дробь:					
1)	а)	*(д + 3). «.х !/(д + 3)’	>	3 (х + 5)2 . (х + 5)3	в)	За (6-2) . 6(Ь - 2)2 ’	г)	х2(х-8)3 # х4 *(х-8)2 ’
2)	а)	За + 3b , fix 5(а + Ь)’ ’	7х- 14z/ . Зх-бу ’	в)	5а-20с . 15ас ’	г)	х- 2d , х2 - 2Ьх ’
3)	а)	2 (х - t/) . fix х{у-х) ’	3c-9d . 6d-2c ’	в)	а2 - 2аЬ . 6Ь -За ’	г)	т3 - бт2п. . к 3	„2 ’ TTtJT
4)	а)	б) х - 4	а2-9 . 15 + 5а ’	в)	х2 -4х + 4 . Зх-6 ’	г)	d2 + 6d + 9 . d2-9
5)	а)	; б) ±У -у	а2 - 2а + 1 . 1-а2	в)	иг3+ 8	. т2-2тп + 4	г)	3 + Зп + Зп2 п3-1
	2.	Приведите	дробь	К	знаменателю:		
а) 5л-10; б) 6-За; в) а2-2а; г) а2-4.
а)
б)
а)
3. Найдите значение дроби:
6а2-3а& Л 1	>	1 .
-------- при а = -, Ъ = -;
8а&-4&2	2	4
х'* +1	1
—----- при х = 0,1; при х = ——.
X + X	О
4. Сократите дробь:
У6 + У3 . дх (а + 1)2 + (а-1)2
у6-1 ’	За2 + 3
5. Докажите, что функция у = линейной.
3-2х2 + х- 2
.2
является
6. Докажите тождество 4,5а + °>5а6
40,5а2-0,5&2
9а-Ь '
а
найдите
7. Зная, что х + 3у = 8,
2х- бу
0,25х2 - 2,25у2 '
8. Зная, что 5а -10b = 18, ния:
7,2 .	46- 2а . v _____________
°) з	В) 0,9а + 1,8&’
значение дроби
найдите
а2-4Ь2
значение выраже-
а - 2Ь '
10
Пс—6. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
1)
2)
3)
4)
1)
1. Выполните сложение или вычитание дробей: х + У •	тН а + 5Ь । 2а + 4Ь.
а) 7 + 7’	Д) +
тп _ п .	ч Ь + с _ Ь-2с .
2	2’	' За За ’
в) а + 2а . ж) Зх + 2у + 2у-5х .
b b ’	ху ху ’
М Зх_^.
7 6х	6х	6х ’	' i/2-4z/ + 4 у2_4у + 4’
8У~5 _ 2У~ 1 _ 10-У . „ч 3z__________8-z .
J 7У	7У 7У ’	Д) z2-2z z2-2z’
в) +	;
х2-49	х2-49
_ \	Д + 3__а , Зх + 2у ______ х — 8у .	\ Ь2_____.	25	,
'	д-1	1-а’	' 2х-3у	3z/-2x’	f 2&-10	10-26’
х 9j/ + l _ У-8 , 1~7у .	Зх _ 4х-1 _ х2
z/2-4 4 -у2 у2 -4 ’	х3-1	1-х3	1-х3
2. Найдите значение выражения:
2u-7	w-10	о	п
п₽и г/=3Д; у=-2;
У -9 у2-9
2)	+ при с = 3; с = -3.
4-с2 с2 -4
3. Представьте в виде дроби выражение:
х 16-7х _ 13-6х . х а2-8Ь_______________2(а-ЗЬ)
' (х-3)2	(3-х)2’ J (а-2)(Ь-3)	(2-а)(3-Ь)*
б) 31£!±4) +J2e
(с-2)3	(2-с)3
4. Докажите, что выражение
а2 - 3_5а -1 । а + 6
(а-2)4	(а-2)4	(а-2)4
при всех а^2 принимает положительные значения.
5. Постройте график функции у = —.
6. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь:
a) i! + S; б) /±6У-1; в) р2 + 4р+5.
х	у + 6	р Н- 2
11
ttc—7. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
	1.	Выполните сложение или вычитание дробей:			
1)	а)	х . х-2 . 3 + 5 ’	в) Ь~7С + 3 4 5 6ыС’	д)	Зх- 5 Зу-2 , х	У ’
	б)	Зу — 2 _ У + 1 , 6	4 ’	Г) ^ + —; а2	а	е)	6 - а _ а - 6 . аб	ь2
2)	а)	(х + у)2 , (х-у) бу	12у	2 х2 — у2 *	За-г 1	7а	+ 6	6- 1 .
			4у ’	} 7а	14а6	26 ’	
3)	а)	а -1	а 2 (а-4) а -4	.	х-1	х-3 . ’	' Зх-12	2х-8’	в)	Зу + 2у . 4у - 4	5 - бу ’
4)	а)	а+1	1-6	• б) 3x2 ~8^2 _ ^ху-х2 х2 - 2ху ху - 2у2	; в)	2	1
		a2-ab Ъ2-аЬ			у2 - 4 у2 + 2у
	2.	Представьте	в виде дроби:		
1)	а)	5х + —; б) X	--2у;	в)4а--^ у	у	7	2а-	2 3 ’	г) ~-2Ь-, 3-6
2)	а)	46-5	б) Зх+ 3±4х.-^- + 1. 2х - 3		
3. Докажите тождество
(х-3)(х-7) _ (х-7)(х-1)	(х-1)(х-3) = г
12	8	+	24
4. Докажите, что при у ^2 значение выражения
Зу + 4	у + 4
*	—- не зависит от гу-
бу-10 Зу-6	*
5. Зная, что у- =10, найдите значение дроби: о
а) а+А- б) 2o^3ft в) (а-Ь? a	b	ab
6. При каком значении а выражение 3 + —— тожде-
X + э
ственно равно дроби
X + D
QC-8. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (продолжение)
1. Упростите выражение: оЧ 262 -36 + 4	Ь-2 ,
}	}	(Ь-D2	ь-1’
\ 2х — 1 . 2х+1	х + 3 ,
J ' 6-Зх ' 2х-4 ” 6х-12 ’
3) а) +
2у + 6	у2 - 9
б)
б)
1 - 2с _ с - 1	.
с3 - 1 с2 г с + 1
2а_______5	2а2 .
а-5 а + 5	2б-а2’
б)
63 4- 1
ь
Ь + 1 *
12
2.	Найдите значение выражения: х ,	Ь3-24&-5 h к к.
а) о--------- при с» = -5,5;
Ь2-25
2х2 + 7х + 9 . 4х + 3
х3 — 1 х2 + х + 1
п₽и * = М.
3.	Упростите выражение:
а\ 0*7	0,4р-1,2.
> 0,5р-1,5	р2_6р + 9’
б) Зх + 0,5г/12х Зх-0,5г/
9х2-1,5хг/	9x2-0,25z/2	9x2 + 1,5xz/
4. Представьте в виде суммы целого выражения и дроби выражение:
ч п + 9 . лг\ п2-7п + 4
7 п ’	7 п
При каком натуральном п значение данного выражения является целым числом?
5. Зная, что ~+.— — 7, найдите значение дроби: ь
а) рб) в) —•
Ос		-9. Умножение дробей				
	1.	Выполните умножение:				
1)	а)	За ь . Ь 6а *	} 12с ab2’	д)	Зх2	
	б)	2х у , Зу 6х ’	ч 18тп3	25п . 5п2	12т2 *	е)	Ту3 .,з. г2	
2)	а)	3	2х-4.	ч х2-16 4х , } 8х3 х + 4’	д)	с2 + 4с + 4	с2-9 .
		х2 - 2х	х			2с-6	5с+10 4
	б)	а-2Ь 18с2 .	ч 5-у Зг/2 .	е)	(За-6&)-	а + 2 .
		12с	2Ь-а’	’ 2У у2-25"			а2-4Ь2’
3)	а)	х2-6х + 9 х3 + 27.	х2-ах +		bx-ab х2 + 2ах		+ а2
		х2-Зх + 9	$х~	Q ’	2 у	х +ах-	bx-ab х2-2Ъх		+ Ъ2 ’
	б)		1	 5а2 + 10ab + 20b2	•(а3-8&3);			
	2.	Представьте i	в виде дроби:			
1)	а)	/ у \2	/ НО; б) - \У /	\	2а2\3.	ч /с2\3 -г) ’	в) UJ	(ь2' \с4,	\2 1 9	
2)	а)	/ 16х2\2 toy2	б) (-^4	\з _ а	2 + 2ab + b2	
		\ 27г/3/	\8х2	/	\а + Ь	/ а	2-2ab + b2	
13
3. Упростите выражение:
. 45xy 14xz3 27/.	74а3Ь
}	7z2 * 81/ ’ 5хг ’	}	/
4. Докажите тождество
0,5/-у + 2	1 _1
0,5/ + 2	2~У
л3 ------ • Зас3. 111а°
8-0,5/
4 + 0,5/
Деление дробей
1.	Выполните деление:
1)	а)	2х2 . х . J/ * / ’	в)	Д)^:(14х2) 5b 15b2	у2
	б)	За . 12а2. Ь2 ’ Ь3 ’	г)	10а2: ь
2)	а)	a2 -b2 . ab + b2 . а + ЗЬ ’ 2а + 6Ь ’	в)	/г + 4 . /г2-8/г + 16 . /г-4 ‘	/г2-16
	б)	5х-25 . х2 -25 . Зг/ + 5 бу + 10 ’	г)	c + d . с2 + 2cd + d2 . 3-2с ’	2с2-Зс
3)	а)	9 + 6у + 4у2 . 27-8/ . 2г/-1	’ 4/-1		61	8+^3 • Р2 ~	+ 4 16-р4	/ + 4
2.	Представьте в виде дроби:
а)
X \2 . / X \3.
4/ 42/ ’
б) (а-2Ь)3 . a2 -4ab + 4b2 (2а-b)3 4a2-4ab + b2
3.	Упростите выражение:
а\ 3x2 . 6^3 . 9хУ .	б1 216/ . 18/ 7/
2y2z2 lz& ' 14г2 ’	343b3 ’ 49/ 4b2 *
4.	Докажите тождество
/х2-10х + 25А3 . / х-5 У = J \ х2 - 25	/	\ х + 5 /
5.	При каких целых п значение выражения (п-2)2:п2 является целым числом?
6.	Упростите выражение 0,2у + 1,6 . 0,5/-32
0,2/ + у + 5 * 0,5/-62,5*
□ С—11. Все действия с дробями
1.	Выполните действия:
11	я} ( %а	1 V ( 1	4- 1 V	61 (	4- 1	6т-3	.
'	' [b2	2aJ'[b 2aJ’ >\2т-1+
14
в)
г)
2) а)
б)
в)
у-3
I/ + 3
у2 V
3-J’
бх + у _ 5у2 х .
Зх х2 15z/
/ _ 5х \ . х-3 .
\	х + 2/’х + 2’
а2 -х2 . Ь + 4	х ,
Ь2-16 а-х 4-b’ х-у 1	х2-у2'
2х + у х-у 2х + у 1 / 2а2-а _ 2^ • f * \а2-а+ 1	/ \ а + 1
а- 1 а2-а + 1
2.	Представьте в виде дроби:
а) + У х-у \ ху . gv / а______а
\х-у х + у/ х2_у2’ у а-5 а + 5
а + 25 \ .	а-5
25-а2/ а2 + 10а + 25*
3.	Докажите тождество
/	2а-0,5Ь_______. 24аЬ ,__1	\ . 4а-Ь _ ।
\4а2 + ab +0,25b2	64а3-b3	2а- 0,5b J 4
4.	Представьте в виде рациональной дроби:
Зх—у ,	у
---- + 1	3-^
У + _______х
Зх + у t Зх t
У ’ У
5.	Упростите выражение
/1 1 1\ _ а3 -8х3
\(а-х)(х-1)	(а-х)(а-1)	(а-1)(х-1)/ а4 + &4
О С—12. Функция У= ™ и ее график
1. Функция задана формулой i/= —. Заполните таблицу:	х
X	-16		-4	4	6		16	96
У		-6				4		
2. Постройте график функции Найдите:
а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -5; -2; 2; 5;
б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное -9; -2,3; 2,3; 9;
в) при каких значениях аргумента значение функции больше 0; меньше 0.
15
3.	Принадлежит ли графику функции у =----точка:
А(-4; 32); В(8; -16); С(2; 64); 2)(0; -128)?
4.	Сколько точек, у которых абсцисса равна ординате, имеет график функции у=—‘> Найдите координаты всех таких точек.
5.	Постройте график функции:
а) У = (х-4)2-(х + 4)2’	б)г/=1^1; в) ’“ад'
6.	Прямоугольник со сторонами а см и b см имеет площадь, равную 18 см2. Задайте формулой зависимость b от а и постройте график этой зависимости.
□ С—13. Рациональные и иррациональные числа
1.	Из данных чисел -8; 2,1; 7; 0,2020020002...;
3,(6); -л; 0; 201; 2	-1 выпишите:
а)	натуральные числа;
б)	целые отрицательные числа;
в)	рациональные положительные числа;
г)	иррациональные числа.
2. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:
1)	а)	б) 4;	в) -3,25;	Г) 1|;
2)	а)	б>^ в>£;	г>-^-
	3.	Сравните числа:	
1)	а)	0,121 и 0,038; б) 0,3 и -68;	в) -2,45 и -2,54;
2)	а)	^и0;	б)|иА.	в) 2,8 и 2|; О
3)	а)	-1,5353... и -1,3535...; в)	и 1,(39).
	б)	5,73 и 5,(73);	
	4.	Верно ли, что:	
а)	разность двух натуральных чисел — число натуральное;
б)	произведение двух рациональных чисел — число рациональное;
в)	сумма кубов двух рациональных чисел — число рациональное?
1R
5. Представьте в виде обыкновенной дроби число: а) 0,(6); б) 0,0(5); в) 0,0(45).
6. Докажите, что если а тл. b — нечетные числа, то 2а2 -Ь также нечетное число.
□ С—14. Арифметический квадратный корень
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
1)	a) \Тб;	б) У100;	в)	V49;	г) V81;
2)	а) У0,25;	б) У3600; в)	У0,09;	г) У400;
3)		б) УЦ; в)	25’	^У^Т
	2. Верно ли	равенство:		
а)	V144 = 12;	в) У0 = 0;	Д) Vo,81	= 0,9;
б)	\36 = -6;	г) Уо~4=О,2;	е) У490=	70?
Ответ объясните.
3.	Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: а) 25 дм2; б) 64 см2; в) 0,49 м2; г) м2.
16
4.	Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен:
а) 3; б) 10; в) 0; г) 0,8; д) |; е) 0,1; ж) if; з) 1,1.
5.	Вычислите:
1)	a) V25-V49; б) УТб-У9; в) ЗУ4-У36; г) Уб4:У900;
2)	а)	У'0,36+У0,01;	в)	-ЗУ0,49 + 2,6;
б)	|У0,64-1;	г)	0,4-У0,04;
3)	a)(V4)2-l,5;	в)	(У(Ц))2-0,3;
б)	7'(У1)2;	г)	| (V12)2;
4)	а) \М2 + 33;	в) \/3(0,42 + 0,11);
б) У4-52-62; г) V0>52-0,32.
6. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите:
1)	а) У169;	б)	У324;	в)	У44Т;	г)	Уб76;
2)	a) V2,25;	б)	У3,61;	в)	У5,76;	г)	У7,84;
3)	а) У11,56;	б)	V48 400;	в)	Уб8,89;	г)	У72900.
17
7.	Найдите значение выражения:
а) \37 + с при с =12; -1; 27; -28; 63;
б)	\а-Ь при а = 70, Ь = 6; а = 38, £> = — 43; а= j, = ~ us’ п = 0,93, 6 = 0,57; п = -0,29, 6 = -0,78;
в)	2\х-х при х = 0; 0,01; 900.
8.	При каком значении х верно равенство:
1)	а)	\х = 1; б)	\х = 9;	в)	5\х = 0;	г)	Vx = 0,2;
2)	а)	\х = 20; б)	\х-6 = 0;	в)	\/х = -4;	г)	6VfxT-3 = 0;
3)	а)	7\х = 1; б)	3\х + 20 = 0;	в)	4-3\х = 0;	г)	7 + 2у'х = 0?
1)
2)
1)
2)
1)
2)
9. Вычислите:
а) \ 1369-\ 1681;	в)
б) 2 \ 0,1156 - \ 0,4761;
а)	в)
б) -J=+\6,25;
\361
10. Решите уравнение: а) 6\х = 5;	б) \7х = 1;
а) \ х+ 1 = 2;	в)
б) -=== = 4;	г)
\ х- 5
11. При каких значениях
а) \3х;	б) \--2x;
а)	б) +=;
\ X	\- X
0,4\441+\2,56;
V1369-2 • 37-29 + 841.
в) -U = 3; г) (Vx)* * 2 = 9; 3 \ х
-4^- = 3; \ х - 3
2 +У^3 +\х = 2.
х имеет смысл выражение:
в) Vx2;	г) V- х3 * * б);
в) ——; г) Vx • V- х?
\ х - 2
□ С—15. Решение уравнений вида х2 = а
1.	Имеет ли корни уравнение:
а)	х2 = 16; в) х2 = 26;
б)	х2 = 0; г) х2 = -9?
Ответ объясните.
18
2.	С помощью графика функции у = х2 (рис. 1) найдите приближенные значения корней уравнения:
а) х2 = 2,5; б) х2 = 6; в) х2 = 8.
3.	Решите уравнение:
1)	а) х2 = 25; в) х2 = 169;
б)	х2 = 0,36; г) х2=^;
2)	а) х2 = 3;	в) х2 = 3,6;
б)	х2 = 12;	г) х2 = 8,1;
3)	а) х2-0,1 = 0,06; г) |а2 = 5;
б)	30 + х2 = 31;
в)	49 ч-1/2 = 0;
4)	а) (х-1)2 = 36; в) (х + 7)2 = 5;
б) (!/ + 5)2 = 4; г) (у-!)2,* у V / о 1
4.	Приведите пример уравнения вида х2 = а, которое:
1)	имеет один целый корень;
2)	не имеет корней;
3)	имеет два иррациональных корня;
4)	имеет два рациональных корня.
5.	При каких значениях х и у имеет смысл выражение:
а) VI;
в) а/-^;
V X
б)
г) \Jyx22
6.	Решите уравнение:
a) i/2 = (VlT+V2)(ViT-V2); б) (V7i/)2=14.
7.	Докажите, что значение выражения VlOzn-3, где meN, не может быть натуральным числом.
□ С—16. Нахождение приближенных значений квадратного корня
1. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:
1) a) V15;
б) V38;
в) VH0;
2) a) VO,86;
б) Vl,3;
в) — V7,3;
г) V5;
г) -V18.
19
Рис. 2
2. С помощью графика функции у = х2 (рис. 2) найдите приближенное значение выражения: 1) а) \/3;	б) \6;	в) V8;____
2) а) \'3?5; б) -\7; в) -\Ю,5.
3.	С помощью микрокалькулятора найдите значение выражения (ответ округлите до сотых): 1) a) V7;
б)	V28;
в)	V0,9;
2)	a) 3 + V5;
б)	V18-V12;
3)	a) V5+V7;
б) Vv^;
4)	V« - 3 при а = 3,5; 5,2; 26,8;
588,6.
г) -V7,5;
д) V0,4981;
е) \/487;
в) V2,7-10,1;
г) 3,8 + 5\8?5;
в) VV6-V2;
4. Составьте программу для вычисления с помощью микрокалькулятора гипотенузы с прямоугольного треугольника с катетами а и Ъ по формуле с = \а2 + Ъ2. Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 5,6 и 7,3; б) 14,7 и 25,4. Ответ округлите до десятых.
□ С—17. Функция у-\1х
1. Пользуясь графиком функции дите:
у = \х (рис. 3), най-
1)	значение \х при х = 0; 4; 6; 10;
2)	значение функции при х = 2; 3,5; 5,2; 8,5;
Рис. 3
20
3)	значение х, которому соответствует \'х, равный 1; 2;
2,5; 3,2;
4)	значение аргумента, которому соответствует значение функции 0,8; 1,6; 2,3; 2,9.
2.	С помощью графика функции у = \х сравните числа:
а) \0?7 и 1; б) 3 и <7?5; в) \3?6 и \6?5; г) \9<3 и \7?5.
3.	Пересекает ли график функции у = \х прямая:
а) i/ = 3; б) у = 8; в) у = 900; г) у = -3?
4.	Принадлежит ли графику функции у = \х точка:
1)	В(25; 5); С(81; 9); Р(1; 1); ЛЦ-16; 4); Е(3; 9);
2)	А(169; 13); £>(2500; 50); М(0,36; 0,6); If(0,8; 0,64); Н(100; -10)?
5.	Сравните числа:
1)	а) \43 и \45; б) \2?6 и \2Д; в) V48 и 7; г) \30 и 6;
2)	а> и а/Л; * б> VI,44 и 1,2; в) 2,3 и V6.25;
у 1V	у 1 &
и 5  vT-
6. Расположите в порядке убывания числа:
а) 6; \21; 5; \40 и \35,8; б) 0,25; \0?5; | и \0?2.
7. Пересекает ли график функции у = \х прямая:
a) z/ = 12,5;	в) i/ = -x-2;	д) х=10;
б) у = 8х;	г) у —5-х;	е) х = -4?
8. Какие целые числа на координатной прямой расположены между числами:
а) \ 3,5 и 5;	в) 10 и V120;	д) -4 и -V5;
б) 7 и \ 70;	г) -\ 2?9 и 0;	е) -V20 и <2?5?
а С—18. Квадратный корень из произведения. Произведение корней
1. Найдите значение корня:
1) а) \ 9 - 36; б) V25-81; в) V16-900; г) \2500-49;
2)	а)	\0,64-25;	в)	<9-1,21;
б)	\0,49-16;	г)	\400-0,36;
3)	а)	<0,09-0,25;	в)	<6,25-0,16;
б)	<0,81-0,04;	г)	<0,36-1,44;
21
4) a) \25 • 16 • 0,36; в) Vl,69 • 0,04 • 0,0001.
б) V196• 2,25• 0,09;
2.	Найдите значение выражения:
1)	а)	\ 40-490;	в) V18-32;	д)	V12-27;
б)	\ 10-640;	г) V8 -800;
2)	а)	\ 2,5 -40;	в) \/4,9 0,9;	д)	V5-45.
б)	\6,4-90;	г) V'12,1-0,4;
3.	Найдите значение произведения:
1)	а) \2\18; б) \3-V48; в) \13 • \'52; г) V12-V75;
2)	а) \4?5-\72; в) W;
б) \ 12,5 \98; г) V200-V0,18;
3)	а) \17.\2  \34; б)	в)
4.	Представьте выражение в виде произведения корней:
а) \33; б) \51; в) V13?; г) V21&.
5.	Используя свойство квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов натуральных чисел значение выражения:
а) V72 900; б) \ 547600; в) V2 890000.
6.	Вычислите:
а) \ 112 + 602; б) \ 852-842; в) V2,52-2,42.
7.	Зная, что \ 60 —7,75, найдите приближенное значение выражения:
a) V6000; б) \0?6; в) \/240; г) V960.
а С—19. Квадратный корень из дроби. Частное корней
1.	Найдите значение корня:
d а> VI; б* V> в) Vi;
2)	а)	б) ; в)
22
2. Представьте выражение в виде частного корней: а> б> в> Vi: г) VI-
1)	3. а)	Найдите vg_. V50 ’	значение		частного:		г)	V72000 . V2000
			б)	V99 . VT1 ’	в)	\7 . VH2 ’		
2)	а)	У4?8 . \ о?3 ’	б)	V54 . УМ ’	в)	VJA. \128 ’	г)	V2/7 V7?5 *
4.	Во сколько раз сторона квадрата, площадь которого 36 см2, больше стороны квадрата, площадь которого 4 см2?
5.	Представьте выражение ней, если
в виде частного кор-
а) а>0, у>0; б) а<0, у<0.
6.	Отношение площадей двух кругов равно а радиус большего круга равен 9 дм. Найдите радиус меньшего круга.
п С—20. Квадратный корень из степени
	1. Вычислите:		
1)	a) V(3,8)2; б) V(- 1,3)2	; в) V(0,4)2;	г) V(-6,19)2;
2)	а) 3\/(-17)2; в) 0,1 V(-	-73)2;	
	б) 57(4,2)2;	г) -0,4\	/221;	
3)	a) Т104;	б) Тб6;	в) V38;	г) Т2*°;
4)	a) V(-6)4; б) V(-3)8;	в) V(- ю)6;	г) V(-3)10;
5)	a) Vd.2)4; б) V(-0,2)6	; в) V34-62;	Г) 728-52.
1)	2. Замените выражение тождественно а) Vb2;	б) Тйг2;	в) 2,ЗТх2		равным: г) -0,5Va2;
2)	a) Тс4;	б) Vx6; 3. Упростите выражение:	в) Та6;	г) V(P-2)2.
1)	a) Tzn2, если /п>0;	в) Т0,81х2,	если х>0;
	б) Тс2, если с<0;	г) ТО,49а2,	если а<0;
2)	а) -ЗА/^-п2, если п<0; V У	б) Тх4;	
23
в) \ а6, если а >0;
г) \ с10, если с < 0;
Д) Vp16;
е) \пг22, если тп>0;
3)	a) -V0,64p6, если р<0; в) 2,3V100x12;
б)	10 V0,09c14, если с>0; г) -0,1\16а18, если а<0.
4. Вычислите, разложив подкоренное выражение на простые множители:
а) \ 38416; б) \ 13689; в) V104 976.
5. Упростите выражение:
1) а)	где с<0; в) т2\тп4п26, где п>0;
б) - х\'х* 1 2у16, где х<0;
2) а) \/(а-Ь)2, где Ь>а; в) V21 + 8V5;
б) Vx2-6x + 9, где х>3; г) V37-20 \ 3.
НС—21. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
1)	a)	V28;	б) \99;	в) V160;	г)	V147;
2)	а)	0,2\50;	б)-|\8;	в)|\175;	г)	- 0,01 V30 ООО;
2	5
3)	а)	У52-3;	б) \34-5;	в) У72-33;	г)	У23-35;	___
4) a) Vila2, где а>0; б) Ус3"; в) \5х4; г) УЗд5;
5) a) УЗба7;	в) УЗООтп9;
Vy„10 -g^-, гДе с>0.
2. Внесите множитель под знак корня:
1) а) 6\2;	б) 5\6;	в) -3\2;	г) -8У10;
2) а) 2\а;	б) |\8х;	в) -10\/0,2р;	г) б^^тп.
3. Сравните значения выражений:
1) а) 3\2 и \20; б) V14 и 2\/3; в) 7у'3 и зТ?;
2) а) |\63 и| V104; в) 0,7^/Г| и
б) | V75 и 10^1;
24
3) a) 3V7 и V28; 6) 2V75 и 3\48; в) 10Уб4 и зТЭб
4.	Вынесите множитель из-под знака корня:
a)	y25x2i/5, где х<0; в) V-8c7;
б)	V32a3&10, где Ь<0; г) \/27(а-ЬУ>.
5.	Внесите множитель под знак корня:
а)	х\'5, где х<0;	в) ху/х;	д) (а-ЬУуа-Ь;
б)	a3V2, где а<0;	г) уу/^у\	е) (х-уУ^у-х.
6.	Упростите выражение:
а)	(а + 2)\Г—  --, где а>-2;
V а +4а + 4
б)	(а-ЬУ\ —— ------, где а-Ъ<0.
V a2-2ab + b2
Пс—22. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
1.	Упростите выражение:
1)	а) З7ё + 8 у[с - 9 \fc;	в) V4x + Уб4х -V81x;
б)	5\^а-2\Ъ+\^; г) V27-V48 + V75;
2)	a) \/T2^-0,5V^48^+2\/108z/;
б)	2 V8a + 0,3V/45c-4V18a + 0,01 УбООс;
3)	a) \/3(\27-V48); в) 3 V2(2-5 V32)-2 V18;
б)	(5VV-V63 + V14)-V7; г) V12-(V15-3V5)V5.
2.	Выполните действия:
1)	а) (2 + V3H1-V3); в) (V7-уТ2)(V7-3Vs);
б)	(V2-V5)(2V2 + V5); г) (2V5-V18)(V18 +V5)-V90
2)	a) (а + У[сУ(а-у/сУ; г) (Ь + У/т)2;
б)	(V^-v^)(^+W)» д) (V^—Ур)2;
в)	(V14-2)(2 + V14);	е) (УЗ-Тб)2;
3)	а) (1+_Зу2)(ЗТ2-1); в) (1-2\ТЗ)2;
б)	(5V3-Vll)(V/ll + 5V/3); г) (3V5 + 2V10)2.
3.	Разложите на множители выражение:
1)	а)	с2-2; б) 11-у2;	в)	9х2-5; г) 2а2-3;
2)	а)	а-9, где а>0;	в)	х-с, где х >0 и с>0;
б)	5-Ь, где Ь>0;	г)	4а-25Ь, где а>0 и Ь>0;
25
3)	a) 7-\7;	6) 13 + 3V13; в) \>y + y;	г) \2a-V'5a.
4.	Сократите дробь:
a)	6)	в)	r)
a+\3	7-y2	\5	b~c
5.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби:			
1) а) Л;	в)	7 .	д) +;
\з		3\2	\5
б) Л;	г)	6 . — 5	е)
\У		5\3	2\ 7
2) а)	в)	а . — — >	д) -=^
\ х-а		\х + \а	\ll-\2
б)	г)	b . — ?	е) —9-=.
\ 6 +1		Ь-\с	7 + 4\3
6.	Докажите, что верно равенство:
a) V9-6X2 =\6-\3; б) V27 + 10V2 = V2 + 5.
7.	Докажите, что значение выражения:
а) \/3 + 3\5 • \ 3\5-3; б) V(V3 + 1)2V2 • V2V2(VS’- 1) есть число натуральное.
8.	Сократите дробь:
а)	\ 15-5 . б) 3\3-а\а . в) х\х+у\х-х\у
3—\15	\a-\3 ’	х\х+у\у
D С—23. Уравнения и их корни
1.	Является ли число а корнем уравнения: а) 2х-7 = 8, а = 7,5; г) х4 * б)-х3 + 2х = 12, а = 2; б) х3-2,5 = -29,5, а = -3; д) (х3 + 12)(х2-8) = 0, а=2\2? в) х2-х-20 = 0, я = 5;
2.	Найдите корни уравнения:
а) (х-3)(х+12) = 0;	в) (6х-5)(х +5) = 0;
б)	(х + 1)(х + 7)(х-9) = 0;	г) (х + 8)(2х-5)(х2 + 25) = 0.
3. Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) х2 4-10 = 0;
б) \х + 4 = 0;
в> =°=
г’ (7^Т0Л) = °-
26
4.	Равносильны ли уравнения:
а)	5х-7 = 0 и 1,4-х = 0;
б)	(6х- 18)(Vx- 11) = 0 и (121 -x)(Vx-3) = 0;
в)	х24-7 = 0 и Vx + 49 = 0?
01 С—24. Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения
1.	В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами второй и тремя — свободный член по образцу ах2 + Ъх 4-с=0:
а)	Зх24-7х-6 = 0;	д) 2х2-11 = 0;
б)	2х2-5х4-1 = 0;	е) 15х-х2 = 0;
в)	5х2-х4-9 = 0;	ж) 7х2 = 0;
г)	х24-7-4х = 0; з) Зх-х24-19 = 0.
2.	В задании 1 укажите неполные квадратные уравнения. Ответ объясните.
3.	Решите уравнение:
а)	Зх2-12 = 0;	д) 7х2-14 = 0;	и)	10х4-2х2 = 0;
б)	2х2 4-6х = 0;	е) х2-Зх = 0;	к)	уХ2+у = 0;
в)	1,8х2 = 0;	ж) -|-х2 = 0;	л)	15-5х2 = 0;
г)	х2 + 9 = 0;	з) 6х2 4-24 = 0;	м)	4,9х2 = 0.
4.	Решите уравнение и сделайте проверку:
а)	9у2-4 = 0;	в) 1 — 4г/2 = 0;	д) бу-у2 = 0;
б)	-у2 4-5 = 0;	г) 8i/24-i/ = 0;	е) 0,li/2-0,5i/ = 0.
5.	Найдите корни уравнения:
а)	(х4-1)(х-2) = 0; г) х2-16 = 0; ж) х2 = 3х;
б)	х(х4-0,5) = 0; д) 9х2-1 = 0; з) х24-2х-3 = 2х4-6;
в)	х2-2х = 0; е) Зх-2х2 = 0; и) Зх2 4-7= 12x4-7.
6. Решите уравнение:
а) (х-0,3)(х+|}(х + 2Д) = 0; г) |а2-Х=0;
б) Зх(2х-0,1) = 0;	д) l,2t/2-3,6 = 0;
в) 0,2х2- 1,8х = 0;	е) 6г-0,Зз2 = 0.
7. Какие из уравнений не имеют корней:
а) хД4-9 = 0;	в) |-3г/214-1,2 = 0;	д) (г + 4)2 = 0;
б) Va4-l = 0;	г) (i/-l)24-1 = 0;	е) (х4-3)2-4 = 0?
27
8. Произведение двух чисел равно их среднему арифметическому, а разность этих чисел равна 1. Найдите такие числа.
ПС-25. Решение квадратных уравнений
1.	Какие из чисел 0;	-1; -0,5; 2 являются корнями уравнения:	3
а)	х2-х-2 = 0; в) 2х2-Зх-2 = 0;
б)	2х24-х = 0; г) Зх24-2х-1 = 0?
2.	Найдите дискриминант квадратного уравнения:
а)	Зх2 - 5х 4-2 = 0; в) 2х-х24-3 = 0;
б)	4х2-4x4-1 = 0; г) Зх-14-6х2 = 0.
3.	Сколько корней имеет уравнение:
а)	Зх2-7х = 0; в) 2х2-1 = 0;
б)	х2-2х 4-1 = 0;	г) х2 4-Зх 4-3 = 0?
4.	Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:	_
а)	1 и 3;	в) 0 и 4;	д) \3 и -V3;
б)	-2 и 0,5;	г) | и	е) 1-\3 и 1 4-V3.
3 о
5.	При каких значениях п можно представить в виде квадрата двучлена выражение:
а)	х2-пх4-16; в) пх2-12х-|-4;
б)	х24-6х-п; г) х2 4- пх 4-	?
6.	Решите уравнение:
а)	х24-х = 0;	д) 5х = Зх2;
б)	х2-4х4-3 = 0;	е) х2-5х4-4 = 0;
в)	5х24-14х-3 = 0;	ж) 7х2-4 = 0;
г)	х2-2х-2 = 0; з) Зх2-х4-2 = 0.
7.	Найдите корни уравнения:
а)	10х24-5х-0,6 = 0; г) х24-6 = 5х;
б)	7х24-8х4-1 = 0;	д) 5г/2-4г/=1;
в)	2х2 - 3x4-2 = 0;	е) 2-Зх = 5х2.
8. Разложите на множители многочлен:
а) х2-6х4-9;	в) х2 4-5x4-6;	д) Зг/2 —5;
б) 4х2-—г) х24-х-2;	е) у2 -Зу - 4.
28
9. При каком значении а уравнение:
а) х2-ах + 9 = 0; б) х2 + Зах-|-а = 0 имеет один корень?
10. При каком значении т один из корней уравнения Зх2 -тпх-6 = 0 равен -2?
D С—26. Решение квадратных уравнений (продолжение)
1.	Найдите корни уравнения:
1)	а) (х-2)2 = Зх-8;	в) 5(х + 2)2 = -6х-44;
б) (х- 1)2 = 29-5х;	г) (х + З)2- 16 = (1 -2х)2;
2)	а) (х-2)(х +2)= 7x14; в) -х^-j--х) =(х-1)(х4-1);
б)	(-х-1)(х-4) = х(4х-11); г) 5(х-2) = (Зх + 2)(х-2); х2-х 2х-4 .	ч х2 + 2х х2 + 24.
3> а) — = —;	в) —=	,
б)	^^-6х = 5;	г)	= ^iq1'
2.	При каких значениях у:
а)	значение многочлена у2- 11у + 2,4 равно нулю;
б)	равны значения двучленов 1,5у2 + 0,5 и Зу - 2,5у2;
в)	трехчлен 2 + у-0,5у2 равен двучлену 2у2-3у?
3.	Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,001:
а) х2-6x4-4 = 0; б) 16г/2 —8г/ —31 = 0.
4. Докажите, что при любом значении k уравнение Зу2 - ky - 2 = 0 имеет два корня.
5. Докажите, что не существует такого значения т, при котором уравнение х2-тх + т-2 = 0 имело бы один корень.
6. Решите уравнение:
V3	V2
а) + х + 3 = 0; б) Зх2+^-4 = 0.
|х|	|х|
НС—27. Теорема Виета
1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 1) а) х2-16x4-28 = 0;	в) у2 4- 17у 4- 60 = 0;
б) х2-12х-45 = 0;	г) Зу - 40 + у2 = 0;
29
2)	a) x* 1 2-27x = 0;
б)	г/2-12 = 0;
3)	a) 3x2-6x-7 = 0;
6)	5z/2 + t/-3 = 0;
в) 60z + z2 = 0;
r) 4,5i/-t/2 = 0;
в) 8x-2x24-3 = 0
r) 4i/2-5t/ = 0.
2.	Запишите квадратное уравнение, корни которого равны:
а) 2 и 5; б) -1 и 3; в) 0,4 и 2|.
3.	Найдите подбором	корни уравнения:
1)	а)	х2-5x4-6 = 0;	б)	у2 4- 8у 4- 15 = 0;
2)	а)	х2-8х-9 = 0;	б)	г2-Зг-10 = 0;
3)	а)	х2-17x4-42 = 0;	б)	у2-llz/-80 = 0.
4.	Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения:
а) х24-17х-38 = 0; б) 7х2-11х-6 = 0.
5.	Определите знаки корней уравнения (если корни существуют), не решая уравнения:
1)	а) х2 4-10х 4-17 = 0; б) у2 - 13г/ - 11 = 0;
2)	а) Зг/2-23г/н-21 = 0;	б) 5х24-17х-93 = 0;
3)	а) х24-\6х4-8 = 0;	б) Зг/2-уЗу-3\2 = 0.
6. Один из корней данного квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения:
1) а) х2-5х + /? = 0;	б) х2 4- kx 4-18 = 0;
2) а) Зх2 + 8х4-k = 0;	б) 5х24-kx- 12 = 0.
7. Пусть Xi и х2 — корни уравнения х24-7х-11 = 0. Не решая уравнения:
1) найдите значение выражения:
а) -г + т-; в) (х1~х2)2'> Д) х?4-х1;
Х1 х2
б) Х24-Х2; г) — 4*—;
х2 Х1
2) запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа — и —.
Х1 х2
□ С—28. Решение задач с помощью квадратных уравнений
1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.
30
2.	Площадь прямоугольника 480 дм2. Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94 дм.
3.	Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 46 см, а гипотенуза треугольника 34 см.
4.	Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603. Найдите эти числа, если их разность равна 7.
5.	Высота h (в м), на которой через t секунд окажется брошенное вертикально вверх тело, вычисляется по формуле h = v0t-5t2, где v0 — начальная скорость (в м/с). В какой момент времени тело окажется на высоте 240 м, если за 2 с оно поднялось вверх на 120 м?
D С—29. Разложение квадратного трехчлена на множители. Биквадратные уравнения
	1.	Разложите на множители квадратный '
1)	а)	х2-6х + 8;	в) х2 + 8х + 15;
	б)	х2 + 4х-12;	г) х2 + 4х-21;
2)	а)	5х2-3х-26; в) 12х2-7х+1;
	б)	7х2-8х + 1;	г) х2-2х-1.
	2.	Сократите дробь:
1)	а)	х2 + х —12 .	х + 2	. ' х2 + 7х + ю’
2)	а)	6х2 + 29х-5 ,	х-4	. х + 5	’	' Зх2-14х + 8*
3)	а)	2х2 + 5х — 3 .	4х2 — 1 х2-9	’	2х2-7х-4
	3.	Решите уравнение:
1)	а)	х4-26х2 + 25 = 0;	в) 9х4-37х2 + 4 = 0;
	б)	х4-20х2 + 64 = 0;	г) 16х4-25х2 + 9 = 0
2)	а)	х4 + 15х2-16 = 0; б) 9х4-32х2- 16 = 0;
3)	а)	х4 - 10х2 +25 = 0; б) х4-Зх2 + 9 = 0.
	4.	Сократите дробь:
1)	а)	х2 — х — 6 .	„х 4х2-5х+1. 9	5	В) 9	5 х2-Зх-10	х2 + 5х-6
	б)	х2 -6х- 7 .	г) Зх2-7х + 2 . х2 — 9х + 14	2 - Зх2 - 7х ’
2)	а)	х3+х2-12х .	б) Зх2-16х+5 . х2-2х-3 ’	х3-4х2-5х’
3)	а)	х4 - 5х2 + 4 .	g) 9х-х3 х2 + Зх + 2 ’	' х4-7х2-18*
трехчлен:
31
D С—30. Дробные рациональные уравнения
	1.	Решите уравнение:			
1)	а)	Зх-х2 2х2-х	„ 	2	1	6	~Х’	б) ^±1-	7х-х2 _ 10	“	х2 -1 . 8 ’
2)	а)	х2 _ Зх . 2-х	2-х ’	ч 2х2 + Зх '	3-х	9 х-х . х-3 ’	
	б)	х2 - 2х _ х-4 . х + 4 х + 4 ’	Г) *2~2* = ’ 2х-1	4х-3 . 1 - 2х ’	
3)	а)	5х- 7 _ 4х- 3 . х-3	х ’	„ч 5х-2 В) х + 2 =	6х-21 . х-3 ’	
	б)	У + 4 . 2г/- 1 t У + 2	у ’	D ^4 = У + 5	Зу + 21 t 2у-1 ’	
4)	а)	Зх2-5х-2 q. в) 3j 2-х	w’	/2 + у-24 _ _ 9-у2	2; д)	4х + 2 =х-6 1 + 2х
	б)	Зх2 + 11х-4 = 3 г) _9^ = 2х~1; Зх-1	'х + 3			
	2.	Найдите корни уравнения:			
1)	а)	х- 7 . х + 4 _ -J.	В) ^5’	4 _	3	.
		х-2	х+2		х + 5	х2-25 ’
	б)	Зу- 3	6 + 2у _ g. Зу-2 Зу + 2	’	Г) у+ 3	- 18 -г/2-э	: у-6. у-3 ’
2)	а)	4	2 _ 3-у .	б) Зх-2	+ i+ = х + 3	Зх2 +1
		У-2 У у2-2у'	х-1		(х-1)(х + 3) ’
3)	а)	7 +1- 18 •	в^ 1	-+ 9	8 — ()•
		х-3	х2-6х + 9	(х-2)	2 (х + 2)	2	х2-4
	б)	1	13х-4	=4.	г)		=	4
2х-1	4х2-4х + 1	’	’ 1 - 9г/2 Зг/2 + у	9у2 + 6у + 1'
3. Решите уравнение:
а) У^± = —Л_________
у3 -8	у2 + 2у + 4 У~2
б) 8с-3	.	6	=	2	.
4с2-2с+1	8с3 +1	2с + 1’
В) — = ___________________-____;
х3 + х2-9х-9 х + 3	(х-3)(х+1)
г) -Н—+ ----------г^=0-
х -4х х3 + 4х х4 * б) * В) -16
4. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) y = Q и у= (* + 1)(Зх-2); б) y = Q и у = х2-2х-15. «V *	X “г- О
32
в) у = 2х—1 и у — 14 * ; г) у = 5х и. у = 6-\—. /у	у х + 2 > t v	я х-1
5. Найдите корни уравнения:
20 х\ 5	_ х\3	. д) х\7 + \ 2 । х V 7 - \ 2 _ х
XV5-V3 у’б-ху'з’	xV7-\2	х\7+\2	7х* 1 2-2
6. Решите уравнение:
а)	х2 + х + 1 = - 15— (подстановка у = х2 + х + 1);
х2 + х + 3
б)	х(х+1)=-----—----.
' v >	(х-1)(х + 2)
D С—31. Решение задач с помощью рациональных уравнений
1.	Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.
2.	Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?
3.	Два автомата должны были изготовить по 180 деталей. Первый автомат изготовлял в час на 2 детали больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 3 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в час каждый автомат?
4. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется столько же времени, что и при наполнении через вторую и третью трубы одновременно. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна через каждую трубу, если через первую наполняют бассейн на 16 ч быстрее, чем через третью, и на 4 ч быстрее, чем через вторую?
D С—32. Сравнение чисел (повторение)
1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:
1) а) |*{;	6)1,25*11;	в)0,6*|; г)1,08*1|;
2)	в) -|*-0,625;
б) *-0,26;	r)-0,07*-i
<	50
2 Алгебра, 8 кл.
33
2.	Из данных чисел -7; -6,5; -6; -5,7 выпишите те, при подстановке которых вместо х получается верное неравенство:
а) х>-6,3; б) х<-6.
3.	Сравните значения выражений:
1)	а) 12,08:0,04 и 101 б) 24,48:24 и 10,2 0,1; О
2)	а) -3,16-8,4 и 24,08:(-0,8);
б) 9,1:(-3,5) и 117-1).
4.	Верно ли неравенство:
а) 0,24 • 5> 111	в) 0,2 • 0,3 • (-0,4)>0,81: (-0,3);
2 О о 4	\ о /	\ Z о /	\ О /
5.	Сравните с нулем значение выражения:
1)	а)	(-6,3)3;	в)	О5;	д) (-1)°;
б)	(-2,1)’;	г)(-|)7 8;
2)	а)	2,63 • (-1,3)5;	в)	(- 11,4)4	• (-	1,2)6;
б)	(-3,8)5	О7;	г)	(-1,8)9 •	(-2,4)3.
6. Расположите в порядке возрастания числа 1,2; 11- 1	14* 11
1 3’	7’	’ ’	9'
7. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 1463 — и 1463-1; в) 5417:1 и 5417.7;
7	7	7	7	7
б) 2862 -1 и 2862:1; г) 13,64:0,5 и 13,64 0,5. о	о
8. Подберите какое-либо число, которое больше одного из данных чисел и меньше другого (результат запишите в виде двойного неравенства):
а) 15,1 и 15,2; б) 0 и 0,1; в) -2,6 и -2,5; г) 1 и 1 О А
9. Существует ли треугольник, стороны которого равны:
а) 12 см, 13 см, 18 см; б) 48 см, 49 см, 100 см?
34
D С—33. Свойства числовых неравенств
1.	Запишите верное неравенство, которое получится, если:
а)	к обеим частям неравенства -1<3 прибавить число 4; число -2;
б)	из обеих частей неравенства -15<-2 вычесть число 3; число - 5;
в)	обе части неравенства 6>-1 умножить на 8; на -5;
г)	обе части неравенства 9<27 разделить на 9; на -3; на -1.
2.	Известно, что а<Ъ. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:
1) а) а-4*&-4;	б) 10,5а*10,5&;	в) -3,2а*-3,2&;
2) а) & + 6*а + 6;	б) 12-а*12-&;	в)
о о
3.	Зная, что Ъ>ач с<а и d>b, сравните числа а и d; Ъ и с.
4.	Сравните с нулем числа а и Ь, если известно, что: а) а + 5>Ъ + 5 и &>0,5;	в) За<ЗЬ и а>1,3;
б)	а-1<Ь-1 и &<-0,1;	г) -12а> -12b и &<-1.
5.	Известно, что а>Ъ. Расположите в порядке возрастания числа: а + 8, b-4, а + 3, а, &-1, Ь.
6.	Зная, что а>Ь, сравните числа:
а) 5 + а и Ь; б) Ь-8 и а; в) -а и 8-Ь; г) -(а+ 4) и -Ь.
7.	Известно, что а>Ь>0. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:
а) 12а*10&; б) 6а*Ь; в) -15а*-14&; г) -За*-2&.
8.	Пусть аиЬ — положительные числа. Верно ли, что: а) если а>Ь, то а2>Ъ2; б) если а2>Ъ2, то а>Ь?
D С—34. Сложение и умножение неравенств
1.	Сложите почленно неравенства:
1)	а) 6>2 и 16>10;	б) 0<8 и — 1 <6;
2)	а) -1,5>-2,5 и 1,5>0,3;	б) -3 | <-2 | и - | <0.
3	6	6
2.	Перемножьте почленно неравенства:
1) а) 1б>14 и 2> 1;	б) 101 < 103 и 10<20;
2) а) |>| и |>|;	б) 1,4<1,6 и 0,01<0,1.
35
3.	Верно ли, что:
1)	если а>5 и Ь> 7, то: а) а + Ъ> 12; б) а + Ь> 10; в) а + Ь> 15;
2)	если а>4 и Ь>6, то: a) ab>24; б) аЬ>20; в) ab>22;
3)	если а<7 и Ь<3, то ab <21?
4.	Докажите, что если а>8 и Ь>2, то:
1)	а)	За + Ь>26;	б) 5а + ЗЬ>46;
2)	а)	12а + 2Ь>97;	б) 20а + 11Ь>180.
5.	Докажите, что если а>4 и Ь<-3, то:
1)	а)	2а-Ъ> 11;	б)	За-4Ь>24;	в)	5Ь-а<-19;
2)	а)	а-66>20;	б)	12а-15Ь>92;	в)	6д-11а<-60.
6.	Докажите, что если 0<а<12 и 0<д<5, то:
а) 6а + Зд<90; б) а6+11<72.
7.	Сравните, если возможно:
а)	5а + Ь и 12, если а>2 и Ь>4;
б)	b-За и 0, если а>8 и Ь<6;
в)	Ь-5а и 1, если а <11 и Ь<0;
г)	а-4Ь и 9, если а<8 и Ь>1.
Пс-35. Доказательство неравенств
1.	Пусть а>0 и Ь<0. Сравните с нулем значение выражения:
1)	2а, 3b, -5а, -4Ь, -а, -Ь;
2)	а2, Ь4, а3, b:‘, a2b, ab2, (ab)3, (аЬ)ь;
ох а _ 2 а а / Ъ_ \2
' 3 ’ b ’ b ' b2 ’k a J ’ 6з '
2.	Пусть а — положительное число. Сравните с нулем значение выражения:
1) а2, -а2, (-а)2, За2, -12а2, (-4а)2;
2) а2 + 8, -а2-6, (а-12)2, (а-3)2+1, а2-4а + 4.
3.	Из данных неравенств выпишите те, которые верны при любом значении а:
а2>0, а + 1>0, (а-5)2^0, а2 + 10>0, а>-а.
4.	Докажите неравенство:
1)	а) а(а + 10) + 2> 10а;	в) (а + 2)2>4а;
б) (Ь - 3)(Ь + 3) + 13 > 0;
2)	а) (х + 4)(х- 1)>(х-7)(х+ 10); в) х(х-12)>-36;
б) а(а-6)<(а-3)2;
3)	а) ~~>Ь;	б) (-Ц-2-^>&+1.
о	4
36
5.	Пусть а>0 и Ь<0. Сравните с нулем:
а)	а-Ъ; в) 2а-ЗЬ;	д) _ а , ;
5а - о
б)	Ъ-а; г) 7&-9а; е)
Ь-а
6.	Пусть а — произвольное число. Сравните с нулем значение выражения:
а)	11 + а2; в) -5-(а+1)2; д) (1-а)2 + (5а-II)2.
б)	-3-а2; г) (-3)6 + (а-5)2;
7.	Докажите, что при любом а значение дроби а
1	1 + а4 *
не превосходит —.
Li
8.	Докажите неравенство:
а) х2+12х + 37>0; б) а2-6а>-12; в) а2 + Ь2 + 8>4(а + &).
9.	Докажите, что правильная дробь у (а и Ъ — натуральные числа, а<Ъ) увеличится при прибавлении к ее числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.
10.	Расстояние от турбазы до станции равно 18 км. Чтобы попасть на поезд, туристы должны были пройти это расстояние с определенной скоростью. Однако половину пути они шли со скоростью на 1 км/ч меньше намеченной, а вторую половину пути — со скоростью на 1 км/ч больше намеченной. Успеют ли туристы попасть на поезд?
D С—36. Оценка значения выражения
1. Известно, что -12<а<10. Оцените значение выражения:
1) а) 2а;	б) -5а;	в) -а; г)	д) а + 5;
2) а) 8-а;	б) ±;	в)	г) 2а + 1; д) 5-За.
2. Зная, что 4<х<5 и -2<у<-1, оцените:
а) х + у; б) х- у; в) ху; г)
3. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и Ъ см, если 4,4 < а <4,5, 6,3<&<6,4.
4. Пользуясь тем, что 1,4<V2< 1,5 и 2,4<\/б<2,6,
оцените:
a) 2V2 + V6; б) VT2; в) V24 + V2;	г) V18 + V6.
37
5.	Зная, что 2,5<а<2,6 и 2,0<&<2,1, оцените значение выражения а2 + Ь2.
6.	Оцените значение выражения:
а)	2а + 3&, если 0<а<1 и - 5<&<-4;
б)	^-а-Ь, если 0<а<3 и -1<&<0;
О
в)	-а + 4Ь, если 1,5<а<3 и 0<&<4;
г)	^-За, если 1,2<а<1,3 и 0,4<&<0,5.
7.	Зная, что 3<а<5 и 1<&<4, оцените разность ab-ЗЬ и произведение Ь(а-З). Сравните результаты.
8.	Оцените величину угла С в треугольнике АВС, если известно, что 36°<ЛА<37°, 66° < АВ <67°.
9.	Оцените среднюю линию трапеции с основаниями а см и b см, если 15,2<а<15,6, 10,4<Ь<10,8.
Щс—37. Оценка погрешности приближения
1.	Найдите абсолютную погрешность приближения: а) числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;
б)	числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;
3	1
в)	числа — числом —;
22	7
г)	числа числом 0,3.
О
2.	Приближенное значение числа х равно а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:
а)	х = 3,76, а = 3,8; в) х = 9,653, а = 9,7;
б)	х = 38,1, а = 38; г) х = 26,48, а = 26.
3.	Запишите в виде двойного неравенства:
1)	а) z/ = 7±l; б) ди = 27±3; в) а = 2300±100;
2)	а) с = 23±0,1; б) х= 16,5±0,5; в)и=12±0,4;
3)	а) & = 5,82±0,01; б) и = 30,42±0,05; в) п = 6,174±0,001.
4.	Найдите приближенное значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком, если:
1)	а)	18<х<22;	б)	10<х<11;
2)	а)	5,8Сх<6;	б)	15,6<х<15,8;
3)	а)	3,58<х<3,64;	б)	24,3<х<24,8.
5. Докажите, что среднее арифметическое чисел а и Ъ является приближенным значением каждого из этих чи-а — b
сел с точностью до -у-.
38
IИ С—38. Округление чисел
1.	Округлите число:
1)	а) 35,7 до единиц;	б) 289 до десятков;
2)	а) 82,3591 до десятых;	б) 0,53748 до тысячных;
3)	а) 3847,5 до сотен;
б)	1,384795 до десятитысячных.
2.	Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите ее до тысячных:
а)|;	6)1; в) А; Г)1Х.	д)20А. е)2_Г.
Найдите абсолютную погрешность приближения.
3.	Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближенным значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближенным значением К
числа — с точностью до 0,005? 1 о
□ С—39. Относительная погрешность
1.	Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:
а) 2,1; б) 5,12; в) 9,736; г) 49,54.
5	11
2.	Представьте каждое из чисел 2 — и 14 — в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до сотых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
3.	Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближенного значения.
4. Сравните качества измерения длины L реки Волги и диаметра d мячика для настольного тенниса, если L —3530 км (с точностью до 5 км) и d — 38 мм (с точностью до 1 мм).
ПС-40. Пересечение и объединение множеств
1. Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются в записи слов «типография» и «фотография».
39
2.	Известно, что X — множество простых чисел, Y — множество однозначных чисел. Задайте путем перечисления элементов их пересечение и объединение.
3.	Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В, если А — множество чисел, кратных 24, В — множество чисел, кратных 8.
4.	Известно, что точки А, В, С и D расположены на одной прямой, причем пересечением множеств точек отрезков АВ и CD является:
а) отрезок CZ); б) отрезок СВ.
Для каждого случая сделайте чертеж.
5.	Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечетных двузначных чисел.
Цс—41. Числовые промежутки
1.	Изобразите на координатной прямой промежуток:
1)	а) (-3; 2); б) (-1; 4]; в) [-0,5; 5); г) (-2,5; 1];
2)	а) (-оо; 6); б) (-оо; 2]; в) (8; +оо); г) [-1,5; +оо).
2.	Запишите промежуток, изображенный на координатной прямой (рис. 4).
---о- ►
-54	8	12	-40
---->.	? >,'//,-Л/.
11	15
Рис. 4
3.	Изобразите на координатной прямой и запишите, используя введенные обозначения, промежуток, задаваемый условием:
1)	а) х>1,5;	б) х>3,2;	в) х<8;	г) х<7,5;
2)	а) 0<хС1; б) -1<х<4; в) 0<х<3; г) -5<х<-3.
4.	Принадлежит ли промежутку (-1,2; 1,4) число: -2; -1,5; -1,2; -1; 0; 1,3; 1,4?
5.	Какие из целых чисел принадлежат промежутку: а) (-1; 3,6); б) (-0,5; 0,5); в) [-2; 4,3]; г) [-6,5; 1]?
6.	Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:
а) (-8; 8);	б)(-14;-1); в) [-6; 0,2]; г) [-1,5; 1,5].
40
7.	Укажите два положительных и два отрицательных числа, принадлежащих промежутку (-0,1; 0,1).
8.	Принадлежит ли промежутку (1,5; 4,5] число:
a) V3; б) \Т0; в) VI2; г) \^21?
9.	Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:
а)	(-2; 10) и (0; 15);	в) (-оо; 2) и (-2; + оо);
б)	[-3; 6] и [-1; 1];	г) (5; + оо) и (1; +оо).
10.	Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:
а)	[-4; 0] и [-1; 5];	в) (-оо; 5) и (-оо; 10);
б)	(-3; 3) и (-6; 6);	г) (-оо; 4) и (6; +оо).
Пс—42. Решение неравенств
1.	Решите неравенство и укажите три каких-либо
числа, которые являются его решениями:
а) Зх<42; б) 5х>115; в) -4х<24; г) -6х>-102.
2. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) 12х>36;			б) -4х<0; в) -15х> неравенство:	45;	г) 6х	<-18.
	3. Решите					
1) 2)	а) б) а) б)	5х>35; 8х< 72; Зх>11; 6х <1,2;	в) -9х>-63; г) -х<10; в) -18х>-27; г) -15х<25;			
3)	а)	|х<3; О	В) |х>18; О			
	б)	_1х<_ 8	12;	г)-11х>42; О			
4)	а) б)	0,4х> 2; -0,Зх<	в) 0,1х < 10; -9; г) -Зх> 1,1.			
4. ния:		При каких х функция у = -3х		принимает		значе-
а) большие 21; б) меньшие -15?
5.	Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) 5х<25; б) 6х<29; в) -х>15; г) -2х>14.
6.	Составьте какое-либо неравенство вида ах>Ь, которое верно при: а) х>3; б) х<-2.
41
7.	При каких значениях а неравенство ах <8 имеет Q такое же множество решений, что и неравенство х>—?
Пс—43. Решение неравенств (продолжение)
1. Решите неравенство 2х-7>8. Является ли решением неравенства число: 7; 7,5; 8; 8,5?
2. Решите неравенство:
1)	а)	12 + х>18;	в) 0,3 + х>1;
б)	6-х<4;	г) 0,4-х<0;
2)	а)	1+Зх>10;	в) 6-5х<2;
б)	Зх + 8<0;	г) 9-12х>0;
3)	а)	6 + х<3-2х;	в)	4х+19<5х-1;
б)	4 + 12х > 7 + 13х;	г) 6х>8х+1;
4)	а) 3(2 + х)>4-х; в) 3(1 -х) + 2(2-2х)<0;
б)	-(4-х)< 2(3 + х); г) -(2-Зх) + 4(6 + х)> 1;
5)	а) ~>1;	б) ^<0;	в) ^>9;	г)^<0;
6)	а) 5^£<1; б)^—?0; в) ^<5; г)^£>0;
7)	а) ^-х>3; в) Д^-х<0;
Э	2
б)х+^>2; Г)
3.	При каких значениях Ь:
а)	двучлен 2Ь + 11 принимает положительные значения;
б)	двучлен 13 -Ь принимает отрицательные значения?
4.	При каких а значение выражения 5а~-- меньше о соответствующего значения выражения 3-2а?
5.	При каких значениях х функция i/ = 0,5x-ll принимает:
а) положительные значения; б) отрицательные значения?
6.	Решите неравенство:
а)	5(а2-1)-5а(а + 2)> 3; в)	>0;
б)	8х2-2х(4х+1)< х; г) х- х~3 + х +1 >2.
7.	При каких значениях а:
а)	уравнение 5х-2 = а имеет положительный корень;
б)	уравнение 4 + Зх = а-5 имеет отрицательный корень?
42
8.	Существует ли такое значение а, при котором неравенство ах >2х + 5 не имеет решений (при положительном ответе укажите это значение)?
Пс—44. Решение систем неравенств
1. Является ли решением системы неравенств f3x<17, 2х+1>3:
а) число 4; б) число -1; в) число 5,5?
	2. ]	эешите систему неравенств:	
1) 2) 3)	а) а) б) а) б)	х> 2,	б) fx< —1, в) х<11;	[х>0; 3х>-3,	в) -5х<10; 0,5х<2,	г) -Зх>-9; 5х<Зх4-1,	в) 0,6х> 5,2-2х; 6x4-2 > 9-х, х + 8,3<11;	х> 1,5, г) Гх<-5, х>2,7;	[х<-4; 1,5х>-3, -6х>-12; |х<2, -5х<-75; [Зх-2 < 1,5x4-1, ^4-2х>х-2;
4) 5)	а) б) а)	2(х + 3)-(х-8)<4,	в) 6х> 3(х4-1)- 1; -(х-2)-3(х-1)<2х, 5х + 4> 12-(х-3); X с.	( Зх+6 . Л 2<5,	б) g >0, в 2х > q.	—< 1 • . 5	’	1 11	’	1,6(2-х)-0,4х> 3, -3(6х- 1)-2х<х; 1 Х- —>2, х- 1 х — 2 > . . 2 + 3
3. При каких х обе функции i/ = 0,3x-3 и 1/ = -0,1х4-5 принимают положительные значения?			
4. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются ее решениями:
а) [бх-1>3-х,
б) 0,5х + 2>1,
в)
1,6х- 4 > О,
2х-4 <х;
Зх-1,6<0,8;
2-0,2х>0,3.
43
	5. Решите систему неравенств:
а)	0,2 (Зх-4) - 1,6 < 0,3 (4 - Зх), б) 0,4(1 +х)-0,Зх<0,5;	1-х>0,5х-4. 6. Решите систему неравенств:
а)	х>4,	б) Г2х>15, в) fx-4>12, х>7,	< Зх<1,	< 2х-1>3, х<15;	7х<21;	Зх + 2<56. ».	Ч	Ч 7. При каких значениях а система неравенств
Зх > 12, х < а не имеет решений?
8.	Одна сторона треугольника равна 12 м, а другая равна 16 м. Какой может быть длина третьей стороны при условии, что периметр треугольника больше 48 м?
Дс—45. Решение двойных неравенств
1.	Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:
а) -1<х<5; б) 0<х<4; в) -2<х<1,5; г) -3,5<х<0.
2.	Укажите все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:
а)	-8<х<-5;	в) -1^<х<4;
б)	-6,5<х<0;	г) -4<х<1,5.
3.	Решите двойное неравенство:
1)	а)	1,5<3х<3;	б)	-1<6х<2;	в) 4<-4х<8;
2)	а)	0<х + 1<3;	б)	1<12 + х<13;	в) -4<22 + х<-1;
3)	а)	-4<2х + 1<2;	б)	-1<5-Зх<1;	в) -4<1-х<5;
4)	а)-2<|<2;	б)0<|<1;	в)0,2<|<0,4;
5)	а) -2<-Ц±±<1; б) 1<	< 1,5; в) 2<-7х<4.
3	Z	э
4.	При каких значениях х:
а)	значения двучлена 10-2х принадлежат промежутку (-4; 4);
б)	значения дроби — принадлежат промежутку [-1; 2]?
44
5.	Решите двойное неравенство 0<1 + 4х<17 и укажите наименьшее и наибольшее целое число, которое является его решением.
6. Решите систему неравенств:
а)	Зх-2<	;о,	б)	бх> 0,	в)	4 + 3х> 10,
	1 <5х<	-5;		-2<х + 4<2;		-1<-Зх<1
7. При каких значениях а:
а) |а|<3; б) |а + 12|<5; в) |4-а|<2; г) |а-5|>2?
D С—46. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
1.	Имеет ли уравнение корни и сколько:
а) |х| = 7; б) |х| = 0; в) |х| = -4;	г) |х| = х?
2.	Решите уравнение:
1)	а) |х| = 2,6;	б)	|х| = 1,5;	в) |х| = -3;
2)	а)|х+5| = 3;	б)	|4-х| = 2,5;	в)|х-7| = 0;
3)	а) |Зх-5| = 7;	б)	|5х+1| = 4;	в) |6-2х| = 8.
3.	Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) |х|<4; б) |х|<3; в) |х|> 1; г) |х|>2,5.
4.	Решите неравенство:
1)	а)	|х|<7;	в)	|х|< 10;
б)	|х|>6;	г)	|х|>4,5;
2)	а)	|х + 5|>2;	в)	|2 + х|>0,5;
б)	|х-б|<5;	г)	|3 —х|< 1,5;
3)	а)	|6х-1|<2;	в)|2-2х|<1;
б)	|3 + 5х|>4;	г)	|1 + Зх|>2.
5.	Сравните с нулем число а, если известно, что:
а) а + |а|>0; б) а5|а|<0; в) ^<0; г) Ц^>0. ст	а'
6.	При каких значениях Ъ верно равенство:
1)	а) |Ы = -&;	б) |& + 4| = & + 4;	в) |Ь-5| = 5-Ь;
7.	Решите уравнение:
1)	а) ^^ = 5;	б) ^ = 3;	в) = 2;
2)	а) |х + 4| = |х-2|;	б) |6-х| = |2 + х|;	в) |3-х| = |х|.
45
8.	Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = |х + 21 и у = \х — 5|.
9.	Решите уравнение:
а) |х|-2х = 3;	б) |х-1| + 5х=5.
10.	Решите неравенство:
а) |2х|>х + 3; б) |х-2| + х>4.
11.	Найдите множество решений двойного неравенства: а) 3<|х|< 5; б) 0<|х|<8.
Цс—47. Степень с целым показателем
1.	Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
б)	В)	Г)	Д) 231’
2.	Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:
а) 7“3; б) 21; в) ^10; г) Ь’1; д) (За)4.
3.	Вычислите:
1)	а) З-2;	б) (-5Г2;	в) (-6)1;	г)-4(-2)-3;
2)	а) (I)’1;	б) (I)’2;	в) (-0,1)«;	г)
\о/	\ Э /	\	<5 /
3)	а) в^ + б’2; б) 2,4-1 + 5°; в) 1453-0,1 3; г) 18-fjV.
4.	Представьте в виде дроби выражение:
1)	a) 7m-6;	б)	2(аЬ)-1;	в)	11 (хн-г/)-3;	г) 9а3Ь4с°;
2)	а) а~2 + Ь~г;	б)	х° + х~3;	в)	а + Ь~3;	г) ху~3 - х~гу2.
5.	Преобразуйте в дробь выражение:
1) а) (1+ а’3)(а+I)-2; б) (х 2-у~2): (х-1-у”1);
2>а’В' + (7Г=	б)(^+Я(6 + сГ'-
□ С—48. Преобразование выражений, содержащих степени с целым показателем
1. Преобразуйте выражение:
1) а) а2-а5;	б) а 12-а7;	в) а6-а”2;
д) а3 • а • а-5;
2) а) х3:х7;	б) х10:х;	в) х8:х 4;
д) х“2: х“5;
г) а 9 • а;
г) х"3: х4;
46
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1)
2)
3)
4)
a)
б)
a)
а) (с2)3;	б) (с5)5;	в) (с-3)3;	Г) (с-2)-4;
д) (с-6)0;			
а) (ху)~3;	б) (хг/-2)'5;	в) (xyz)~2;	г) (x’Vf1;
д) (х°у~'2~	И)2;		
а> (УУ	б> (т)"	(а~3\2 в) Ы;	/ п° V5 г) (й ;
2. Вычислите:
a)	3’  3 е;	б)	7- • Г;	в)	(|f • (|)6;	г) ({)14 •
а)	25:26;	б)	5: 5~2;	в)	69
а)	(З2)*;	б)	((I)’3)’2;	в)	(О,
а) -17-341; б) -10-2 3;
г) 6-2 + 24-1;
а) 32 -2 6; б) 27 -(З 2)2;
г) 25-2.(l)-s;
а) 81-2 -272; б) 16"5:8“6;
:6 "; г)	;
L-Г; г) (({)-2)°;
в) (ff-O.Ol-1;
в) 7-8-79:49;
3. Упростите выражение:
а) 6х~5у7 • 2,5х7у~6;	б) 0,8а~6Ь4 • 5а12Ь-4;
а) 3,2а6Ь : (0,8а3Ь 3);	б) 3 ± т~8п~7:	пг^гг7^;
х 13х~4 у .	21а 4 5&~6.
J у~6 ‘ 52х-5’	' 10&6 ’ 7а’8’
a)	б) (^-Г-^уУ6.
\5п 1 /	\ уУ J
4. Упростите	выражение (п
14Л	.	х	Х6Л£/'г + 3 ,	.
2п-2.7п;	В)	х2ПуП+4^	Д)
36я1 .	х	а 2п + ап .	х
й-27.Т;	г>	е)
о	и
— целое число):
бп+1 +6п + 3 .
37
5я + 1
5л + 1*
5. Сократите дробь:
/-х х4 + 2х6 + х‘
’ 2 + х + х-2 '
47
Пс—49. Стандартный вид числа
1.	Представьте в виде степени числа 10 выражение: а) 100 10~5; б) 10810-6; в) 10 6:1012; г) (103)5.
2.	Запишите в стандартном виде число:
1)	а)	70000;	б)	240000;	в)	6050000;	г)	823;
2)	а)	60,3;	б)	509,2;	в)	14200,5;	г)	97,01;
3)	а)	0,56;	б)	0,00018;	в)	0,000008;	г)	0,0362;
4)	а) 28 • 105; в) 0,031 • 106;
б) 563-10“4; г) 0,0077-10 2.
3.	Выполните действия:
1)	а)	(2,8 • 105) • (2,5 • 107);	б)	(1,5 • 10 3) • (9,2 • 10 4);
2)	а)	(5,7 • 104): (3,8 • 10 3);	б)	(1,56 • 10"2): (2,6 • 10 6);
3)	а)	6,2 -10~2 + 4,8 -IO 2;	б)	5,1 • 105 +2,9 • 106.
4.	Сравните числа:
а)	3,7105 и 2,95 105; в) 4,9108 и 9,7107;
б)	1,1 10~7 и 3 • 10"7; г) 7,3 Ю 6 и 5,2 10-3.
5.	Порядок числа т равен -15. Каков порядок числа:
а) ЮОООтп; б) 0,01тп;	в)тп-1012; г)
io-2j
6.	Порядок числа а равен 8, а порядок числа b равен -11. Каким может быть порядок числа:
a)	ab; б) в) а + Ь?
и
Qc—50. Запись приближенных значений
1.	Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, полученного в результате округления:
а) числа 15,3 до единиц;	в) числа 496 до десятков;
б)	числа 2,45 до десятых;	г) числа 0,3618 до сотых.
2.	В каких границах заключено число г/, если:
1)	а) г/ = 46± 1;	б) г/= 384 ±10;	в) у= 1745±35;
2)	а) г/ = 8,9±0,1;	б) г/=17,8±0,5;	в) г/ = 20,6±2,7;
3)	а) у= 10,68 ± 0,15;	б) у = 0,059 ± 0,004;
в) у = 0,0711 ± 0,0095?
48
3.	Оцените абсолютную погрешность приближенного значения, записанного верными цифрами:
1)	а) 38;	б) 56,4;	в) 0,037;	г) 2,5311;
2)	а) 0,0059;	б) 204,19;	в) 32,0;	г) 0,900.
4.	Укажите точность приближенного значения величины, все цифры в котором верные:
а)	и —85 м/с; г) А—18,00 кДж;
б)	Атг — 0,674 кг; д) s-1,20 м;
в)	£7 — 6,0 В; е) тп —4,600 кг.
5.	Оцените абсолютную погрешность приближенного значения (в первом множителе записи значения х все цифры верные):
а) х~3,7’103; в) х~6,504• 10"5;
б) х-2,09 108; г) х» 1,20 ♦ 10-2.
6. Оцените относительную погрешность приближенного значения (в первом множителе все цифры верные):
а)	п~4,8 • 105; б)	п~7,1- 109;	в) п-1,356 10"4; г) тг-5,90-10 7.
7. В справочнике указано, что масса самой маленькой птицы колибри равна 1,7- 10~3 кг, а масса кита 1,45 • 105 кг. Оцените абсолютную погрешность этих приближенных значений и сравните их относительную точность.
Qc—51. Элементы статистики
1.	Подсчитывая число семян сорных растений в 15 одинаковых пакетах, получили такие данные:
3, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 2. Представьте эти данные в виде таблицы частот.
2.	Учащимся восьмых классов была предложена контрольная работа из пяти заданий. Результаты выполнения работы показаны в таблице:
Число выполненных заданий	1	2	3	4	5
Число учащихся	1	1	17	20	11
Сколько заданий в среднем выполнил один ученик?
3.	В фермерском хозяйстве площади, отведенные под зерновые, распределены следующим образом: под пшеницу — 60%, под овес — 12%, а остальное — под просо
49
и гречиху, причем под просо втрое больше, чем под гречиху. Постройте круговую диаграмму, характеризующую распределение площадей, отведенных под посевы зерновых в этом хозяйстве.
4. Имеются следующие данные о времени, которое токари цеха затрачивали на обработку одной детали:
Время, мин	18—20	20—22	22—24	24—26
Число токарей	6	8	6	2
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.
5. В таблице, где было показано, сколько орфографических ошибок допустили в диктанте восьмиклассники, одно число оказалось стертым:
Число ошибок	1	2	3	4	5
Число учащихся	10	12	18	—	2
Восстановите его, зная, что в среднем учащиеся допустили по 2,6 ошибок.
[]С—52. Понятие функции.
График функции (повторение)
1.	Функция задана формулой г/(х) = х3-5х. Найдите 1/(-5), 1/(-1), 1/(0), !/({), 1/(5).
\ о /
2.	Функция задана формулой z/ = (3x-5)(х +2).
1)	Найдите значение функции при х, равном: а) -5; б) -2,5; в) 0; г) 4.
2)	При каком значении х значение функции равно: а) -10; б) -6; в) 0; г) 4?
3.	Одна сторона прямоугольника равна х см, а другая — в 3 раза больше. Выразите через х периметр Р (в сантиметрах) и площадь S (в квадратных сантиметрах). Найдите значение каждой из функций Р от х и S от х при х, равном 12.
4. Заполните таблицу:
X	-4	- 1	0		2		6
у = 8х-5				3		15	
50
2)
X	-4		0	1		4
х + 5		-2,5			0	
5. Функция z/(x) задана графиком, где -2<х<8 (рис. 5).
б)	При каком значении х значение функции равно -1; 0; 2?
в)	При каких значениях х функция принимает положительные значения?
г)	При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
6.	Постройте график функции:
а)	в)	</==1>5х-3; д) z/ = 3;
б)	у = -±х; г) у = -2х+1; е) у = -2.
7.	Принадлежит ли графику функции z/ = 40x-75 точка: А(2; 5); В(-3; -195);	70^)?
\ о /
8.	Докажите, что графики функций z/ = 3x-l, z/ = -7x+19 и z/ = 0,5x + 4 проходят через одну и ту же точку.
9.	Найдите значения k и Ь, если известно, что график функции y = kx + b проходит через точки А(3; 7) и В(-2; -3).
10.	Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку ю) и параллельная прямой г/ = 15х-23.
Пс—53. Определение квадратичной функции
1. Найдите действительные значения х, при которых функция у = х* 1 2 -2х -8 принимает значение, равное -8; -5; 0; 7.
2. Какие из чисел -3; -V5; 0; 0,5; 5; 10 являются нулями квадратичной функции:
а)	у = х2 - 2х- 15;	в) у = 2х2-10;
б)	у = х2 + 3х;	г) у = 2х2- 11х + 5?
3.	Найдите нули квадратичной функции (если они существуют):
а)	у = х2- 12х + 32;	в) у = 6х2 + х-1;
б)	z/ = x2-9;	г) у = Зх2-4х + 2.
4. Числа х} и х2 — нули квадратичной функции у = х2 +рх + q. Найдите коэффициенты р и q, если:
a) Xj = 3, х2 = 5;	в) х1 = -\/7, х2 = \7;
б) Xj = -2, х2 = 0;	г) хг = 3-\2, х2 = 3 + \'2.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций (если они существуют):
а) г/ = х2-7х + 9 и у = -2х + 3; в) у = Зх2-х-1 и у = 5х + 6;
б) у = 2х2 - 8х + 13 и z/ = 4x-3; г) у = х2 - Зх-7 и z/ = 5x-27.
01 С—54. Функция у=ах2
1. В одной и той же системе координат постройте графики функций г/=1,5х2 и у = -^х2. Используя построенные графики:
1) выясните, какая из этих функций:
а) возрастает в промежутке х>0;
б) убывает в промежутке х<0;
2) решите неравенство
а) 1,5х2^3;	в) -|х2<2;
б) 1,5х2>6;	г) -|х2>3.
52
2.	Принадлежит ли графику функции г/ = 5х2 точка: А(-8; 320); В(3; 45); С(-5; -125)?
3.	Найдите координаты точек пересечения параболы у = 8х2 и прямой:
а)	г/ = 2х+1; в) г/ = 32;
б)	г/=16х; г) у = 0.
4.	Является ли функция у = -4х2 возрастающей (убывающей):
а)	на отрезке [-6; 0];	в) на отрезке [-5; 5];
б)	в интервале (0; 10);	г) в интервале (-1; 8)?
5.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции г/ = 0,25х2, где -4<х<2.
□ С—55. График функции у = ах2 + Ьх + с
1.	Найдите координаты вершины параболы
1) а) г/ = 2(х-4)2 + 5;
б) г/ = (х+7)2-9;
2) а) у = х2-6х + 8;
б)	г/ = -Зх2 + 4;
в)	у = - х2 + 12;
г)	г/ = -6(х-1)2;
в) у = -2х2 + х + 10;
г) г/ = 4х2-8х.
2.	Найдите координаты точек пересечения параболы с осями координат:
а)	у = х2- 5х + 6;	в) z/ = x2-4x;
б)	у = - 2х2-5х + 12;	г) z/ = -3x2 + 12.
3.	Постройте график функции у = х2-2х-8 и найдите, используя график:
а)	значение функции при х = -2,5; 1,5; 3;
б)	значения х, при которых у = 7, -3;
в)	нули функции, промежутки, в которых г/>0, г/<0;
г)	промежутки возрастания и убывания функции;
д)	значение х, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
4.	Принадлежит ли графику функции у = х2-11х + 24 точка: А(2; 6); В(-1; 36); С(-23; -278)?
5.	Не выполняя построения графика, найдите значение х, при котором функция у = 25х2 - ЗОх + 8 принимает наименьшее значение и найдите это значение.
6.	Найдите коэффициенты р и q у функции у = х2 + +px + q, зная, что ее график проходит через точки А(2; -5) и В(—1; 16).
53
Пс—56. Решение квадратных неравенств
1.	Какие из чисел -3; 0; 2 являются решениями квадратного неравенства:
а) х2-х + 2>0; б) х2-х>0; в) 4х2 + Зх - 1 < 0?
2.	Постройте график функции у = х2-3х + 2. С помощью графика решите неравенство:
а) х2-Зх + 2>0; б) х2-Зх + 2<0.
3.	Используя эскиз графика квадратичной функции, решите неравенство:
а) Зх2 + 2х-1>0; б) х2-4<0; в) х2 + 4>0.
4.	Решите неравенство:
1)	а) х2-49>0;	в) х2 + 6<0;
б) х2-25<0;	г) х2 + 12>0;
2)	а) х2-Зх>0;	в) х2 + 0,5х>0;
б) х2 + 6х<0;	г) х2 — 1,6х <0;
3)	а) х2-6х+7>0; г) 2х2-4х + 1>0;
б) 2х2-х-6>0; д) 4х2-12х + 9>0;
в) х2 + 4х+11<0;	е) 25х2-40х +16<0.
5.	Решите неравенство:
а) х2>25; б) 0,5х2<32; в) 0,Зх2<0,6х; г) -^х2>х. О
6.	Решите неравенство:
а)	(Зх-2)2>Зх(х-|);	в)^ + |-12<0;
б)	(х + 2)2>2х(х +3) + 5;	г)^ + ^>-^.
5 о 15
7.	Решите систему неравенств:
а) [х2 + 7х-8<0,
б)
2х2 + 5х-3>0,
в)
х2- 12х < 0,
х > 0;
2х-6>0;
Зх-15>0.
а)
8.	При каких значениях х имеет смысл выражение: \х2-7х + 6; б) 2	:	в) Vx2-25 + Vx-3?
V3x2-12x
Qc—57. Метод интервалов
1. Решите неравенство:
1) а) (х-9)(х- 1)>0;
б) (х + 8)(х-10)<0;
в) (х + 6)(х + 5,5)<0;
г) (х-|)(х-у)>0;
54
2)	а) (х — 2)(х — 6)(х — 11)>0; б) (х- 18)(х+ 16)(х + 15)<0;	в)	х(х- 1)(х+ 1,5) <0;
3)	а) (х-5)(х2-9)>0;	в)	х3- 16х> 0;
	б) (х2-25)(х +11)<0;	г)	х3-0,25х<0;
4)	а) (х2 + 8)(х-4)(х-2)<0; б) (х+14)(х + 12)(х2 + 49)>0; в) (х-4)(х+11)(х-7)2>0; г) (х-5)2(х-12)(х + 11)<0. 2. При каких значениях х	принимает положитель-	
ные значения функция:
а)	у = (х + 2)(х- 1,1)(х- 1,5);
б)	г/ = (х2+7)(х + 18)(х + 20)?
3. Решите неравенство:
1) а) ^±12 <0; б) > 0; в) ^±|<0; г) > 0;
7	7 х—11	7 х + 8	7 х + 6	7 х —16
2) а) (х~6)(*+12) <о; в) (х + 1,5)(х-2) < q х — 5	х — 3
б) (х-4)(х-10) >0.
f	х + 12	’
4. Решите неравенство:
1) а) (х2-9х + 14)(х-4)>0;
б) (х+ 11)(х2 + 7х- 18)<0;
в) (х2 —7х + 6)(х2- 1)>0;
г) (х2-6х + 8)(х2 + 2х-3)<0;
2)	а)	4^>°;	в)	X2 +6х Q. х2 +6	
	б)	Ф1<°: X - X	г)	Ц^<0; х2 -64	
3)	а)	х2 -9х + 8 > л х2-36	;	в)	х2 + Х-42 х2 + 2х-15	0;
	б)	х2-1	< х + 10х + 16	0; г)	х + 2х —3 х2 - 15х + 54	сО.
	5.	При каких	значениях х имеет		смысл выражение:
1)	а)	Vx3-25х;	б) Vx	2-6х + 5;	
2)	а)	л / х2 - 2х-8 .	б)	х2 - 10х + 9 у х2 + 5х- 14	
		V х2-36			
55
Вариант II
С--1. Преобразование целого выражения в многочлен (повторение)
1.	Упростите выражение:
1)	а) (5х-8) + (7-2х);	б) (бу + 9)-(5-Зг/);
2)	а) (4а* 1 2-3) + (5-а-2а2); б) (8-9&2)-(&3-6&2 +7).
2.	Представьте в виде многочлена:
1)	а) 5х2 (2х-3); б) -0,25г/(8-4г/); в) 42(22-2з + 1);
2)	а) (а-2)(а + 7); б) (3&-1)(ЗЬ + 2); в) (с-3)(с2-2с-5).
3.	Упростите выражение:
1)	а) 3(4тп- 1) + 4(7-2тп); б) бп(п2-2п)-2п(п2-бп);
2)	а) (4х-3)(Зх + 2)-12х2; б) 15г/3-(3г/2-2)(5г/- 1).
4.	Представьте в виде многочлена:
1)	а) (а-7)(а+ 7); б) (8 + Ь)(Ь-8); в) (4с2-5)(5 + 4с2);
2)	а) (х-2)2; б) (г/ + 7)2;	в)(Зр-1)2; r) (3 + 2q2)2;
3)	a) (d + 3)(d2-3d + 9); б) (с-4)(с2 + 4с+16).
5. Докажите, что выражение (b- 5)(1 -д)-3(2Ь- 1) при любом b принимает отрицательное значение.
6. Докажите, что при любом целом п значение выражения (4п + 1)2-(Зп- I)2 делится на 7.
7. При каком значении а коэффициент при у2 многочлена стандартного вида, тождественно равного произведению (у2- бу + 2) (2у -а), равен 3?
II
С—2. Разложение на множители (повторение)
1. Представьте многочлен в виде произведения:
1) а) 15х-45; б) г/2 + Зг/; в) 4а3-12а; г) 7&4-14&6;
2) а) ау - ба - бх + ху; б) у2 - ту - пу + тп.
2. Разложите на множители:
1) а) х2-25;	б) 36р2-1;	в) 0,81 -Ь2у4;
2) а) р2 + 4р + 4;	б) 9g2-12g + 4;	в) 25 + 0,36х2 + 6х;
3) а) у3 +1; б) г3-27; в) 64х3+|; г) 0,008&6-125с3.
О
3. Разложите на множители:
1)	а)	4а2-4Ь2;	б)	т3 + т;	в)	п-п3;
2)	а)	х3-10х2 + 25х;	б)	36г/3-60г/2 + 72г/;
3)	а)	a2-b2 + a-b;	б)	х2 - 10х + 25-4г/2.
56
4.	Докажите, что многочлен х2-$ху + 10 г/2 — 2у + 1 при любых значениях хну принимает неотрицательные значения.
5.	Разложите на множители многочлен а3 + Ь3-а2Ь--ab2.
6.	Представьте трехчлен у2 - 9у + 2Q в виде произведения двух двучленов.
QQc—3. Целые и дробные выражения
3.	Составьте дробь, у которой:
а)	числитель — разность переменных х и у, а знаменатель — их сумма;
б)	числитель — разность квадратов переменных а и Ь, а знаменатель — их произведение.
4.	Расстояние от А до В автобус проехал со скоростью т км/ч, а расстояние от В до С — со скоростью п км/ч. Сколько времени затратил автобус на весь путь, если известно, что АВ = 60 км, АС =70 км. Составьте выражение и найдите его значение при тп = 80, п = 60.
5.	Укажите допустимые значения переменной в выражении:
1) а) Зй2-15; б)	в)
О — О	о + 5
о\ а + 2 ,	За — 6 ,	\ 9	6
а2-9	а2+ 4	а-о а
6. При каком значении Ъ значение дроби
а) равно 0; б) равно 1; в) больше 1; г) меньше 1?
7. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
5х	1 . 8 . х 1	„х 7х
х2 - 25 ’	6 7 х-3 + х + 4’	в) |х|-5’	г) |Х + ЗГ
57
8. Составьте дробь с переменной а, которая имеет смысл при всех значениях а, кроме:
а) а = 10; б) а = 5 и а = 6.
II
1)
2)
3)
1)
С—4. Основное свойство дроби Сокращение дробей
Сократите дробь: в’
5а2	9Ь4	\
-Л- б) ---в)
6а	10&з
х^у2	_ч	16аЬ4
х4у	- 56afe3
Приведите дробь:
к знаменателю г/5; б) у'
-Л— к знаменателю 42х3г/2; 1х2у
к знаменателю 24а&5. 864
Найдите значение 2^. 25 ’ 1253 254
1.
а)
а)
а)
2.
а)
2)
а)
б)
3.
1)
а)
2)
а)
с .
8с ’
- 5с4
Юс5
г» 4^
; Г)
х3 42р4д3 .
63р3д4’
Д)
д)
в)
Ьт . ст ’
е)
-42р° ч 65а5с5
’ 13а3с3 *
е)
££.
3g’ 21г8 .
39г ’
к знаменателю 27&3; Зо
об
б)
з4
б)
1284
выражения:
в> й' г>
в)
278
4.	Вычислите:
а! 37-137.	145153
396 ’	63•354 ’
— (х17)2 (у9)7
5.	Найдите значение дроби —„ при х = 8,2, у = 0,41-	5(хп)3 (г/16)4

С—5. Сокращение дробей (продолжение)
	1.	Сократите дробь:						
1)	а)	а(х-2) .	б)	4(с + 3)2 .	в)	5р(й-7) .	г)	р3(д-1)4 .
		Ь(х - 2) ’		(с + З)3 ’		10(д-7)2 ’		р6(д-1)2 ’
2)	а)	2х- 2Ь . З(х-Ь) ’	б)	5а - Юр 2а-4у 4	в)	7х-21р . 35х/г ’	г)	т-Зп . 9	’ т - Зтп
3)	а)	З(а-д) . а(Ь - а) ’	б)	4х-8р , Зр - 6х ’	в)	Р2 ~ 5рд . 10g - 2р '	г)	с3 - lc2d . 7d3-cd2 '
58
4)
5)
a)
a)
a)
2.
3 г/+ 9 .	b2-4.	ч a2 + 10a+ 25	\ x2-8x+16.
г/2-9 ’	6 + 35’	3a + 15 ’ ' x2 —16 ’
x2-9 .	x2-8x + 16 . в) г/3+ 27 . ч 20 + 10a + 5a2
3x2 + x3	16-x2	y2-3y + 9	a3-8
Приведите дробь —к знаменателю:
36-9; б) 15-56; в) 62-36; г) 62-9.
3.	Найдите значение дроби:
а)
б)
Юху - 5х2 8г/2 - 4хг/
при Х= 4
5
?0 + 14 при a = 0,1; при а = -»lv .l
4.	Сократите дробь:
а) «7-а4. б) (5 + 2)2 - (5 - 2)2 a6 - 1 ’	325
у» 3 _ О ^^2	<у»
5.	Докажите, что функция у =---------------- является
о	х2 + 2
линеинои.
6 "гт	* ОЛ V) VU	( Л </
. Докажите тождество ---------------— =------.
3,5х2-0,5хг/ X
7. Зная, что a+ 26 = 5, найдите значение дроби
2a-45
0,2a2-0,852 ’
а)
8. Зная, что Зх-9г/=1, найдите значение выражения:
6 . б\ 12г/-4х. V х2 -9г/2 х-Зг/’	5	*	1,5х + 4,5г/’
II
С-6.
Сложение и вычитание дробей

х
2 ’
с одинаковыми знаменателями
	1. Выполните сложение		или	вычитание дробей:	
1)	-О | <0 + а|со cd	5т _ Зт . п	п ’		ж)	_ 4с + 3d . 3d-с . cd	cd ’
	б)	д)	х + 4у	2х + 5г/ 12	12		9	
	в) х + +	е) У V	а + 25 а	-45 .		
		2с	2с ’		
2)	) 4^_2у-Т + ’ 5у	5г/	Зу-1.	г)	ь2-ъ	9-5	.
		5г/ ’		52 + 65 + 9	52+65 + 9 ’
	б) ?х~3 _ х-4 _ 4х	4х ч а-8	13	5-2х . 4х ’	д)	Зс _ с2 — 5с <	10 + с . с2 - 5с
	а2-25 ' а2-25	9			
59
Q'j я\ x + 2 x . gx 4b-7c	2b + 3c . x a2	3b
}	' x-2	2-x’ f 3b-2c	2c-3b’	' 3a-18	18-3a’
x 6b -5 2b+ 9 , 5-3b. Ax c2 5c+ 1	3-3c
4) a) —-	- 4—- , o) —-	- z- .
b2-9	9-b2	b2-9	c3-8	8-c3	8-c3
2.	Найдите значение выражения:
-|	х 5b + 3	6b—1	_ ___ L л • к q.
1)		7-------- при о = 4,1 o = -3;
b2- 16 b2 - 16
2)	- 2“ : 4 + ~2q~— пРи a = ~ 2; a = 4. 1-a2 a2 -1
3.	Представьте в виде дроби выражение:
х 7 - 4г/	8 - 5г/ .	х х2-9г/________3(х-3г/)
(г/-2)2 (2-г/)2’	' (х-3)(г/-4) (3-х)(4-г/)*
б)	5x2 + 15(2х~3) .
’ (х-З)3	(З-х)3
4.	Докажите, что выражение
2-Ь2 _ 7-5Ь _ 4-Ь
(Ь-3)4	(b-З)4	(Ь-3)4
при всех bz3 принимает отрицательные значения.
х2 4
5.	Постройте график функции У=^~2—
6.	Представьте в виде суммы или разности целого вы
ражения и дроби дробь:
_ч а2 + 9. Лх b2-5b + 2 ч с2 + 6с + 10
Я)	б) 0-5	= В) с + 3
ЙЗ С-7.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
1. Выполните сложение или вычитание дробей:
1)
2)
f +	в)_£^ + 1^; д) 7-Зу_8213£
45	5	10	ух
2х- 1	_ х + 2 .	х	с + 3	_ 2..	т-п	_ п-т .
3	6 ’	'	с2 с ’	т2	’
(a-b)2 _ (a-b)2	g2-b2 . дх Зх + 2 _ 5х + 3г/ _ г/- 1 .
18b	12b + 36b ’	’ 5х Юхг/ 2г/ ’
с- 2 с .	gx b-2 _ b-1 .	х 4а . За .
3(с + 4)	с + 4’	J 2Ь-6 ЗЬ-9’	} За-6 8-4а’
4)
а)
б)
х+4	у+4 .
2 ”*	2 ’
ху - X ху - у
4
с2-9
2 с2 + 3с
За(х- 9а) _ За2 -х2 . х2-3ах	ах-За2
60
2.
1) a)
2) a)
Представьте б</+|; б) 6с2
Q 9-2С“5’ ОС — Z
3.
4.
4а-5 7а-21
5.
a)
в виде дроби:
—-2х;
6) 2y-
\	12а2 .
в) За--—-4а - 1
2-5у + Зу2 _ 1
Зг/-2
г)
Докажите тождество (х-1)(х-2)	(х-1)(х-5)	(х-5)(х-2) _ -
Н :	- •
3
4
Докажите, что при
°-1 не
2а - 6
Зная, что
зависит от
б) У
6. При каком значении ственно равно дроби ?
у-3
a # 3 значение выражения
a.
— = 5, найдите значение дроби:
Зх - 8у е
в)
(х + у)2 ху
b выражение 7 н—Ц- тожде-у - з
ГН С—8. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (продолжение)
1)
a)
2)
a)
Упростите выражение: 2а2 - 5а + 4 _ а - 3 .
(а-2)2	2’
Зх - 2 2х-6
б)
3)
a)
Зх + 2 _ Зх - 8 . Зх - 9	18 - 6х ’
х2-х-3 _
б)
2.
a)
a —
х2-4
6)
5-1 2 .
52-5+1	53 + 1 ’
2г/ У , 2у2 . у-3 у + 3 9-z/2’
1 । 2<z •+• 1 _ а
а3-1 “ а^1-
6)
2
Зх + 6
Найдите значение выражения: fl3-15a-4 при а = -4,5;
а2-16
52-165+ 12 ,	35 + 2	3	к о 1
---------------------—— при Ь = -2,1.
53 + 8	52 - 25 + 4 Ь + 2
3. Упростите выражение:
х 0,6
7 0,25х + 0,5
б) а + 0,25 4а2 - 0,8а5
0,2х + 0,4 . 0,5х2 + 2х + 2
2а
12,5а2-0,552
а - 0,25 4а2 + 0,8а5
61
4.	Представьте в виде суммы целого выражения и дроби выражение:
х п + 10 .	п2 - 5п + 6
При каком натуральном п значение данного выражения является целым числом?
5.	Зная, что -- = 12, найдите значение дроби:
у
а) б)
У	У
ч 5х-3г/
в)
IIIC—9. Умножение дробей
	1.	Выполните		умножение:					
1)	а)	2х а . а 8х ’		в)	9 т п 15р ’	5р . /пп2	д)	8&-^; 4Ь2	
	б)	_ зь 2с '	с . 9Ь ’	г)	35х4 18 г/2	9г/ . 14х2’	е)	ь2	
2)	а)	У2 + Зу 4	. У 2г/+ 6	; в)	г/2-9 27г/2	9г/ . г/-3 ’	д)	/п2 - 6/п + 9 2а - 4 . п2 — 4	8иг — 9	
	б)	За - х	14b2 .	г)	х2-49	X	е)	р-7	(2р+10д);
		21b	х - За ’		Зх3	7-х ’		р2 -25g2	
3)	а)	г/3-8	у2 +4у + 4 .			в) 4 У	-аг/	+ су-ас	у2-2су + с2
		2г/+ 4	у2+ 2у +4 '				-аг/	-су + ас	у2 - 2ау + а2
б)	(а3 + 27b3) • —-
За2-9аЬ + 27Ь2
2. Представьте в виде дроби:
1)
г)
2)
/ 25а2\3 . /	16b4 \2.
\ 8Ь2 /	\ 125а3/ ’
б)
х2 - 4ах + 4а2 х2 + 4ах + 4а2
х + 2а\з х- 2а /
3. Упростите выражение:
32ab . 52Ьс2 54а2с .	147х4г/2 . у3	Юх22
13с3 128а3 81b3 ’	z3 1О5х5г/
4. Докажите тождество
0,25а6 - 16 . 0,2а2 + а + 5 а - 5 _ ।
0,2а3-25	0,25а4 + а + 4 а2-4
62
II
С—10. Деление дробей
1. Выполните деление:			
1) а)	За2 . Ь_, b ' а3’	х 9т . 4т2 . ’ 14п*21а2’	д)	:(16(/3);
б)	2х2 . 6х3. ,,	'	, 9 ’	г) 12х2:^;	
ху + у2 . х2-у2 .	'	с2-9	. 3-с .
а - ЗЬ ’ 2а - 6b '	' с2 + 6с + 9 * с + 3 ’
г/-8	2 г/ — 16 .	ч	р2 + 4р + 4 р + 2 .
62 + 26 + 4 . 63-8 '	_	27 +а3 . а2-За+ 9
36-4	’ 962-1б’	’	81-а4 ’ а2 + 9
2.	Представьте в виде дроби:
Ъ_\2 • (М3.	61 (Зх~^3 . 9х2 -6ху + у2
3/	\9/	(х-Зу)3 х2 -6ху + 9у2
3.	Упростите выражение:
а) 2а3 4 10b2 , 4а2 ,	115х8 . 92х6 4г/2
' 25b3 Зс4 ’ 156с3’	34г/4 ’ 51^3 15х2*
4.	Докажите тождество
/	у2-49 V /у+Т? г
\ у2 - 14г/ + 49 ) ’ V У~7 /
5.	При каких целых п значение выражения (n-3)2:n2 является целым числом?
6.	Упростите выражение
т-х2-х + 3	ч
3	. х3 + 27
х-0,4	*75х2-12*
II
С—11. Все действия с дробями
1. Выполните действия:
1) a)	-1); \l/2 X) \у X) 61^9 4- т	Зтп2 + Зт . ; \	т+1) 12тп + 8 ’ 4 + 6 ( 2Ь2 в>	Г) ('-У--2иЪ 11-2у > \у-5	у-5 х а+ 86 _ За2 6 . 26	62 ба ’
63
2) а)
9 -у2 3 + У 3~У
б) а + ь ।	1	. а2 -Ь2 .
За-b а + b За - д ’
в) (^-г- --2Х-+1	:(1 + -у— Y
\х-1	х2 + х + 1/ \ х3 -1 /
2.	Представьте в виде дроби:
а) (т~^ _ га + 4\ . т2 - 16 .	/ 7	ft2+ 49 _ 7 \ . д + 1
7 \/п + 4 /п-4/	16 ’	' \6 + 7	д2-49 Ь-7Г 2 ’
3.	Докажите тождество / 1,5х-4 2х-14	1 \ х + 2 _ 1
\0,5х2-х + 2 0,5х3 + 4 x + 2J	4
4.	Представьте в виде рациональной дроби: с д	5а + д ,
а д
5.	Упростите выражение (	1_____1	1	\ д2-9г/2
\(b-y)(y-5)	(b-y)(b-5)	(Ь-5)(у-5)Г Ь4 + у4 '
II
С—12. Функция у- — и ее график
1. Функция задана формулой у= —. Заполните таблицу:	х
X	-27		- 1	6	9		27	108
У		-9				3		
д
2. Постройте график функции у = - —. Найдите:
а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -6; -2; 2; 6;
б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное -8; -2,4; 2,4; 9;
в) при каких значениях аргумента значение функции больше 0; меньше 0.
3. Принадлежит ли графику функции у = точка:
А(-6; -27); В(9; 18); С(162; 0); В(81; -2)?
64
4.	Сколько точек, у которых абсцисса и ордината — противоположные числа, имеет график функции у = —— I Найдите координаты всех таких точек.
5.	Постройте график функции:
ч	80	-6	х 2
а) У~ (x + rf-ix-tf '	б)У-|х|:	В) У 3|х|-
6.	Прямоугольник со сторонами т см и п см имеет площадь, равную 24 см2. Задайте формулой зависимость п от т и постройте график этой зависимости.
С—13. Рациональные и иррациональные числа
1.	Из данных чисел -3	-205; -4,(31); 0,0303303330...;
0
12; -5,9; 0; л; 31; -1; выпишите:
а)	натуральные числа;
б)	целые неположительные числа;
в)	рациональные отрицательные числа;
г)	иррациональные числа.
2.	Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:
1)	а) 1;	б) -10;	в) - г) 4,15;
О	00
2)	а) ~i5;	4 5 б) &	в) г) й-
3.	Сравните числа:
1)	а) 0,029 и 0,103; б) -126 и 0,8; в) -1,23 и -1,32;
2)	а) 0 и |;	б) | и |;	в) 1,6 и 1{;
О	4	О	0
3)	а) -2,4141... и -2,1414...; в) 3 и 3,(08).
б) 1,(42) и 1,42;
4. Верно ли, что:
а) разность двух целых чисел — целое число;
б) частное двух рациональных чисел — число рациональное; в) разность кубов двух рациональных чисел — число рациональное?
5. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(3); б) 0,0(6); в) 2,(03).
6. Докажите, что если а и Ь — четные числа, то а2 + Ь2 также четное число.
3 Алгебра, 8 кл.	65
ш
С—14. Арифметический квадратный корень
1.	Найдите значение арифметического квадратного корня:
1)	a)	V25;	б)	V64;	в)	\/36;	г)	V100;
2)	a)	VO,49;	б)	V1600;	в)	V0,04;	г)	V900;
з>	а>	VI=	б>	V4:	в)	V4P	г)	\[4s-
2.	Верно ли	равенство:
a)	V400-20;	в) VT=1;	д) \0,64 = 0,8;
б)	V49 = -7;	г) V0?9=0,3;	е) V250 = 50?
Ответ объясните.
3.	Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: а) 16 см2; б) 81 дм2; в) 0,25 м2; г) м2.
4.	Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен:
а) 4; б) 1; в) 100; г) 0,6; д) |; е) 1|; ж) 0,01; з) 1,2.
5.	Вычислите:
1)	a) V81-V16; б) V4-V49; в) 2V9-V64; г) V25:V400;
2)	a) V0,01-V0,36; б) |V0,81 - 1; в) -5V0,25 + 2,4;
г) 0,9 V0,09;
3)	a) (V9)2-7,5;	б) б(д/|)2;	в) (V<M)2-0,5;
г) |-(vl4)2;
4)	a) V52 + 24;	б) V102-4 -32; в) V< • (0,324-0,07);
г) V0,52-0,42.
6. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите:
1)	a) V196;	б) V289;	в) V529;	г)	V841;
2)	a) Vl,21; б) V2,56;	в) V4,84;	г)	V7.29;
3)	a) V27,04; б) V32400; в) V92,16;	г)	V78400
	7. Найдите значение выражения:		
а)	V26 + 6 при 6 = 10; -1; 23; -17; 74;		
б)	Va + c при а = 58, с = 6; а = 54, с = -18;	а = — л	
	а = 0,47, с = 0,34; а = -0,27, с = 0,63;		
в)	х-ЗУ/х при х=1; 9; 0,16; 0,01; 400.		
66
8. При каком значении у верно равенство:
1)	а)	а^/у = О;	б) \[у = ±\	в)	6\Л/ = 6;	г)	vV=0,3;
2)	а)	7? =30;	б) \[у-8 = 0;	в)	VF=-9;	г)	8^Ь/|-1 2 3 * = 0;
3)	а)	5\Л/ = 1;	б)2^+1 = 0;	в)	7 = 3 VI/5	г)	5 + 2\Л/ = 0?
1)
2)
1)
2)
9.	Вычислите:
a)	71225-72116;
б) 370,1024-70,3136;
а1 ______
’ 71089 V 121’
б)	-^= + 72,25;
V289
10.	Решите уравнение:
а) 7Тх = 4; б) 7бх = 2;
а) а7л:- 1 = 3; в) —Ц
в) 0,27676 + 723,04;
в) 7961 + 2-31.47 + 2209.
в) Ц= = 5; г)(Тх)2 = 16;
2ух
= 6;
Ve-Tx =3.
11. При каких значениях х имеет смысл выражение:
1)	а) Тбх; б) 7-Зх; в) 7х*; г) 7-х5;
2)	а)	б)	в) ; г) V'^+?
Vx	V-x	Vx-3
II
С—15. Решение уравнений
1. Имеет ли корни уравнение: а) х2 = 25;	в) х2 = 0;
б) х2 = 39;	г) х2 = -16?
Ответ объясните.
2. С помощью графика функции у = х2 (рис. 6) найдите приближенные значения корней уравнения:
а) х2 = 2; б) х2 = 7; в) х2 = 5,5.
3. Решите уравнение:
1) а) х2 = 36; в) х2 = 144;
б) х2 = 0,16; г) х2=^;
2) а) х2=5; в) х2 = 2,5;
б) х2=15; г) х2 = 0,9;
67
3)	a) x1 2 3-0,2 = 0,05;
6) 49 + x2 = 50;
4)	a) (i/ + 2)2 = 49;
6) (x-5)2 = 16;
в) 64 + i/2 = 0;
Г) |c2 = 7;
в) (x-11)2 = 81;
d (j/+d2=£-
4.	Приведите пример уравнения вида х2 = а, которое:
1)	имеет два целых корня;
2)	не имеет корней;
3)	имеет два рациональных корня;
4)	имеет два иррациональных корня.
5. При каких значениях х и у имеет смысл выражение:
а)#
б) \х2у,
в) О
г) \jx2yl
6.	Решите уравнение:
a) j/2-(V7-V3)(V7 + V3);	6)(Vty)2 = 10.
7.	Докажите, что значение выражения V3+ Ютп, где m^N, не может быть натуральным числом.
II
С—16. Нахождение приближенных значений
квадратного корня
Рис. 7
1. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:
1) a)	V17;	в)	V140;
б)	V50;	г)	\6^_
2) a)	Vo?7;	в)	-V10;
б)	V2?4;	г)	-V26,5.
2. С помощью графика функции у = х2 (рис. 7) найдите приближенное значение выражения: 1) a) V2; б) V7; в) V10;
2) a) V2?5; б) — V6; в) -у/з^.
3. С помощью микрокалькулятора найдите значение выражения (ответ округлите до сотых):
1) a) V8;
г) -V5,6;
д) V0,6425;
е) V378;
68
2)	a) 7-V10; в) V3,4-9,7;
б) V55+V27; г) 9,2 + 7a/2?5;_______
3)	a) V6-V8;	6) VW; в) VV3+V5;
4)	V9 + a при a = 0,9; 4,5; 29,1; 695,9.
4.	Составьте программу для вычисления с помощью микрокалькулятора катета а прямоугольного треуголь-ника с гипотенузой с и вторым катетом Ъ по формуле а = \с2-Ъ2. Вычислите катет а прямоугольного треугольника, если: а) с = 8,5 и 0 = 6,1; б) с = 29,7 и &=10,3. Ответ округлите до десятых.
II
С—17. Функция y=Vx
1.	Пользуясь графиком функции i/ = Vx (рис. 8), най
дите:
1)	значение \[х при х=1; 5; 7; 9;
2)	значение функции при х = 0,5; 3; 4,5; 6,3;
3)	значение х, которому соответствует V*, равный 0; 1; 5; 2,3; 3;
4)	значение аргумента, которому соответствует значение функции 0,6; 1,2; 2,7; 3,1.
2.	С помощью графика функции у = \[х сравните числа: a) V0?8 и 1; б) 2 и V'3/Z; в) У17б и V%4; г) VO и УбТб.
3.	Пересекает ли график функции у = \[х прямая:
a) z/ = 2; б) 2i/ = 7; в) i/ = 400; г) у = -2?
4.	Принадлежит ли графику функции у = \[х точка:
1)	А(16; 4); В(100; 10); 0(0; 0); М(3; 9); К{-36; 6);
2)	С(144; 12); 0(1600; 40); Е(0,81; 0,9); W(900; -30);
Р(0,5; 0,25)?
69
5.	Сравните числа:
1)	a) 731 и 732; б) 71,8 и 70,8; в) V38 и 6; г) 9 и 780;
2)	а) \Д и	б> VT69 и 1,3; в) 1,6 и V2?25;
у io у ю
г> fи VI-
6.	Расположите в порядке возрастания числа:
a) 715; 3; 716,5; 4 и 719; б) |; ТОД; 0,2 и
7.	Пересекает ли график функции y = Vx прямая:
а)	г/= 15,3;	в) у = -х-1;	д) х=7;
б)	у = 2х;	г) у = 2-х;	е) х = -1?
8.	Какие целые числа на координатной прямой расположены между числами:
а)	72,5 и 4;	в) 750 и ТбО;	д) -3 и -78;
б)	8 и 790;	г) 0 и -73,6;	е) -\fl7 и 71,5?
II
С—18. Квадратный корень из произведения. Произведение корней
1.	Найдите значение корня:
1)	а) 716-25; б) 749-64; в) 79-1600; г) 7400-36;
2)	а)	70,36-81;	в)	716-1,44;
б)	70,25-64;	г)	7900-0,49;
3)	а)	70,04-0,64;	в)	72,25-0,09;
б)	70,16-0,81;	г)	70,25-1,21;
4)	а)	716-49-0,25;	в)	71,96-0,09-0,01.
б) 7169-6,25-0,04;
2.	Найдите значение выражения:
1)	а) 790-250; б) 7360-10; в) 78-32; г) 718-200;
д) 73-48;
2)	а) 71,6-90; б) 74,9-250; в) 73,6-0,4; г) 714,4-0,9;
д) 75 125.
70
3.	Найдите значение произведения:
1)	a) V5-V45; б) V8-V50; в) VI1V99; г) V15-V60;
2)	a) V12,5 V32; б) V4T5 -V128;	b)Vo?9V4?9;
г) V300-V0,27;
3)	a) V13.V26-V2; б) • l/T.; в)
4.	Представьте выражение в виде произведения корней:
a) V26; б) V95; в) VTTx; г) \/ба.
5.	Используя свойство квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов натуральных чисел значение выражения:
a) V52 900; б) V313 600; в) V4840 000.
6.	Вычислите:
a) V82 * * * + 152; б) V612-602; в) Vl,32-1,22.
7.	Зная, что у50~7,07, найдите приближенное значение выражения:
a) V5000; б) Vo?5; в) V200; г) V800.
II
С—19. Квадратный корень из дроби. Частное корней
1.	Найдите значение	корня:
d	а> б> VB	в)	г>
2)	а)	у/Ц-, б)	в)	г)
2. Представьте выражение в виде частного корней:
3. Найдите значение частного:
1) а)	б)	в)	г)
V48	V13	V27	V500
2) а)	б)	в) ^4; г)
V0,2	V12,5	V40	V12,8
4. Во сколько раз сторона квадрата, площадь которо-
го 3 дм2, меньше стороны квадрата, площадь которого
75 дм2?
71
5. Представьте выражение в виде частного корней, если
а) Ь>0, х>0; б) д<0, х<0.
6. Отношение площадей двух кругов равно а ра-
1Ь
диус меньшего круга равен 4 см. Найдите радиус большего круга.
II
С—20. Квадратный корень из степени
1. Вычислите:		В) V(-0,7)2;	
1)	a) V(4,3)2; б) V(-3,l)2;		г) V(5,81)2;
2)	а) 2 V(—43)2; в) 0,1 V(-	-93)2;	
	б) 6\/(2,5)2;	г) -0,3V	ЗЗ2;	
			
3)	a) V84;	б) VIО6;	в) V58;	г) V2*2;
4)	a)V(-3)4; б) V(-2)8;	В) V(- 5)в;	г) V(-2)10;
5)	a)	б) V(0,3)6;	в) V26-72;	г) V38-52.
	2. Замените выражение тождественно равным:		
1)	а)	б) у/х%;	в) 0,8 V?;	г) -0,1
2)	а) \/у4;	б) \'а6;	в) \/х8;	г) \!(ь-зу.
	3. Упростите выражение:		
1)	a) VP*» если р>0;	в) \/0,64п2, если п>0;	
	б) \[а?, если а<0;	г) \/0,36Ь2, если д<0;	
2)	а) -2\/0,25с2, если с<0;	г) vp®;	
	б) у/а4;	д)	, если b	>0;
	в) yjm6, если т <0;	е) \/п18, если п	<0;
3)	а) -\/0,49х6, если х>0;	в) 5,5\Z0,04;n14	, если /п<0;
	б) 0,1\/900а12;	г) - 10\/0,81i/22	, если г/ < 0.
	4. Вычислите, разложив	подкоренное выражение на	
простые множители:			
a) V15876; б) V46 656; в) V213444.
72
5. Упростите выражение:
V*6 12
—где х<0;
т8
б) -а7а2д20, где а<0;
2)	a) V(x~!/)2’ гДе х>у;
б)	\/16 + 8а + а2, где а>-4;
, где с<0;
г)---7/п1Оп8, где ?п>0;
7m2
в)	V11 + 4V7;
г)	V59-30V2.
в
II
С—21. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
1)	а)	745; б) 752;	в) 775;	г) 7112;
2)	а)	0,17300; б) -^V27 0	; в) |V98; г) -0,0574400;
3)	а)	V72-5;	6)V54-3;	в) Уб2 • 53; г) V25 • З3;
4)	а)	713с2, где ОО;	в) У2х6, где х<0;
5)	б) а) б) 2.	Та2; V16x5; У50а2, где a<0; Внесите множитель	г) V7i/7; в) У28Ь7; под знак корня:
1)	а)	7V2;	б) ЗуТТ;	1 to с$] •d 'w' 1 1 ® сК]
2)	а)	6Vc; б) |V27a; 0	в) -0,2V10x;	г) 7^/|п.
1)	3. а)	Сравните значения 3V5 и 742; б) V	выражений: г22 и 277; в) 672 и 2Уб;
2)	а)	|V76 и| V45;	в) 0,зУз{ и 0,4^2 1;
3)	б) а)	|V147 и 4	у X а 4\/5 и 745; б) 2V98 и 3\/72; в) бУбЗ и зУ112.	
	4.	Вынесите множитель из-под знака корня:	
а) \J16ab2, где д<0; в) V- 27а5;
б) \/75x3i/6, где 0; г) \/8(х+i/)3.
73
5.	Внесите множитель под знак корня:
а)	тпУ7, где /п<0;	в) а^-а; д) (т + п)\/т + п;
б)	х3Уз, где х<0;	г)	е) (Ъ-а)^а-Ь.
6.	Упростите выражение:
а)	(Ь — 5)Л /	3	, где Ь>5;
у Ь- 106 + 25
б)	(а 4- Ъ) \ / —— ---, где а 4- Ъ < 0.
V a2 + 2ab + b2
II
С—22. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни
1. Упростите выражение:
1) a) 2Уа4-6Уа-7у'а;
б) 4Ух4-2Vx-5\[х\
2) a) \J3m -0,2\200m 4- 3 У72?п;
б)	3 У12Ь + 0,5 V 108/г - 2 V48d + 0,01 У300/г;
в) \/49с-У16с4- У25с;
г) \/32 4-УТв'-УбО;
3) а) \/б(У24-У54);
б) (7У2-У98 + У10)-а/2;
2. Выполните действия:
1) а) (1-\/2)(3 4-У2);
б) (V3 + \/7)(2V/3-V7);
2) a) (д + у£)(д-У&);
б)	+
в) (3-У15)(\Т5 + 3);
3) а) (2V34-1)(1-2Уз);
б) (6V2-У13)(У134-6V2);
3
1)	а) а2-3;
б)	13-х2;
2)	а) с-4, где с>0;
б)	7-х, где х >0;
3)	а) 5 4-Уб;
б)	11-2У11;
в) 2УЗ(3-4У75)-ЗУ12
г) У18-(У14-2У7)«У7.
в) (У5-У18)(Уб-2У2);
г) (2У7 + \/12)(\Т2-У7)-У84:
г)	(я-\с)2;
д)	(Ух + Уб)2;
е)	(У2 + У10)2;
в) (14-ЗУ2)2;
г) (5У6-6У2)2.
в)	16с2-7;
г)	Зг/2-2;
в)	a-by где а>0 и Ь>0;
г)	9x-16t/, где х>0 и г/>0;
в) Уа-а;
г) Убх4-У3х.
. Разложите на множители выражение:
74
a)
б)
4. Сократите дробь:
в) 1±£;
с-\2	V7
X + V5 .	г) а-У
х2-5 ’	Va + Vy
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)	а) 7г V7	в) 3V6	д) V3
	б) Т' \Х	г) 7V2	е) ~7=; 4\/5
2)	а) -Н=; Ус + 1/	В) Va-Ve’	д)	г—5 г; V13+V3
	б) 7б + 1	Г) х+\;	е) — 5-2V6
6. Докажите, что верно равенство:
a) V8 + 4V3=V6 + V2; б) V38-12 Т2 = 6-Т2.
7. Докажите, что значение выражения:
a) V2 V5-2-V2 + 2 Тб; б) 7(Тб-Т2)« 3 Тз • Тз ТЗ(Т2 + Тб)
есть число натуральное.
8. Сократите дробь:
a'/a-brfb a\la + b\la + а\1Ь
II
С—23. Уравнения и
их корни
1. Является ли число т корнем уравнения:
а) 9-4х = -5, тп = 3,5;
б) х4-9,5 = 6,5, т = -2;
в) х-х3+120 = 0, тп = 5;
г) х4-3х1 2 +5х = -7, тп = -1;
д) (х3-4)(х2-27) = 0, тп = зТз?
2. Найдите корни уравнения:
а) (х+2)(х-7) = 0;	в) (Зх- 1)(х + 4) = 0;
б) (х — 1)(х + 5)(х-8) = 0; г) (2х-3)(х2 + 9)(х + 5) = 0.
75
3.	Докажите, что уравнение не имеет корней:
а)х2+1 = 0; в) ^±1=0;
X ~г v у О
4. Равносильны ли уравнения:
а)	6х-5=0 и = О
б)	(Зх-12)(Vx-13) = 0 и (х- 169)(\х-2) = 0;
в)	\х + 25 = 0 и х2 + 5 = 0?
II
Неполные квадратные уравнения
1.	В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами второй и тремя — свободный член по образцу ах2 + Ьх + с =0:
а)	4х2-5х-7 = 0; д) Зх2 + 2х = 0;
б)	Зх2 + 4х+1 = 0; е) 8-9х2 = 0;
в)	7х2-х + 6 = 0;	ж) 11х2 = 0;
г)	х2 + 2-Зх = 0; з) 17-х2-х = 0.
2.	В задании 1 укажите неполные квадратные уравнения. Ответ объясните.
3.	Решите уравнение:
а)	2х2-18=0;	д) 6х2-18=0;	и)	6х-Зх2 = 0;
б)	Зх2-12х = 0;	е) х2-5х = 0;	к)	jx2-| = 0;
в)	2,7х2 = 0;	ж) -|х2 = 0;	л)	12 + 4х2 = 0;
г)	х24-16 = 0;	з) 4х2 + 36 = 0;	м)	3,6х2 = 0.
4.	Решите уравнение и сделайте проверку: a)25i/2-l = 0;	b)9-16i/2 = 0;	д) 4i/-i/2 = 0;
б)	-z/2 + 2 = 0;	г) 7z/2+i/ = 0;	е) 0,2г/2 —г/ = 0.
5.	Найдите корни уравнения:
а)	(х + 2)(х-1) = 0; г) х2-36 = 0; ж) х2=7х;
б)	(х-0,3)х = 0; д) 16х2-1 = 0; з) х2-Зх-5 = 11-Зх;
в)	х2 + 4х = 0; е) 4х-5х2 = 0; и) 5х2 6 = 15х-6.
6.	Решите уравнение:
а)	(х + 0,1)(х-|)(х + 3,9) = 0;	г)	=
б)	5х(4х-0,2) = 0;	д) 1,4а2-4,2 = 0;
в)	6,Зх-0,7х2 = 0;	е) 8г/+ 0,4г/2 = 0.
76
7.	Какие из уравнений не имеют корней:
а) х2-1 = 0;	в) |-2л2| + 0,6 = 0;	д) (т-1)2 = 0;
б) V^+2 = 0;	г) (i/-2)2 + 4 = 0;	е) (х-3)2-9 = 0?
8.	Разность двух чисел равна 2, а половина произведения этих чисел равна их среднему арифметическому. Найдите такие числа.
II
С—25. Решение квадратных уравнений
1.	Какие из чисел 0; 0,5; 1;	-3 являются корнями уравнения:	6
а) х2 + 2х-3 = 0;	в) 2х24-5х-3 = 0;
б) 6х2 + х = 0;	г) 6х2-5х-1=0?
2.	Найдите дискриминант квадратного уравнения: а) 5х2-4х-1 = 0; в) Зх-х2+ 10 = 0;
б)	х2-6x4-9 = 0;	г) 2x4-3 4-2х2 = 0.
3.	Сколько корней имеет уравнение:
а)	6х2-5х = 0;	в) Зх2-4 = 0;
б)	х2-4x4-4 = 0; г) х2-4х +5 = 0?
4.	Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:
а)	2 и 5; г) 1 и - i;
б)	-1 и 0,8; д) ?2 и -V2;
в)	0 и -3; е) 1-V2 и 14-V2.
5.	При каких значениях т можно представить в виде квадрата двучлена выражение:
а) х24-?пх4-9; в) тх2- 12x4- 9;
б) х2-2х-т; г) х2-^х + т?
6.	Решите уравнение:
а)	х2-х = 0;
б)	х2 4-5x4-6 = 0;
в)	5х24-8х-4 = 0;
г)	х2-6x4- 7 = 0;
д)	7х = 4х2;
е)	х2-6x4-5 = 0;
ж)	5х2-3 = 0;
з)	2х2 - х4-3 = 0.
7.	Найдите корни уравнения:
а)	10х2-Зх-0,4 = 0; г) х2 + 12 = 7х;
б)	7х24-6х-1 = 0;	д) 7у2 + 5у = 2;
в)	Зх2-4x4-2 = 0;	е) 14-8х = 9х2.
77
8.	Разложите на множители многочлен:
а) у2-10у + 25; г) х2-х-6;
б)9х2“^;	д) 2х2-7;
В) у2-5у + 4;	е) у2 + 7у-8.
9.	При каком значении а уравнение:
а) х2 + ах +16 = 0;	б) х2-2ах + За = 0
имеет один корень?
10.	При каком значении т один из корней уравнения 2х2 - х — т = 0 равен -3?
II
С—26. Решение квадратных уравнений (продолжение)
1.	Найдите корни уравнения:
1)	а)	(х + 3)2 = 2х + 6;	в)	4(х-1)2= 12х + 3;
б)	(х + 2)2 = 43 - 6х;	г)	(х-2)2 + 24 = (2 + Зх)2;
2)	а)	(х — 3)(х + 3) = 5х- 13;	в)	-х(4х+1) = (х +2)(х-2);
б)	7(1 -х) = (2х + 3)(1 -х);	г)	(х + 4)(2х-1) = х(3х+11);
2х2 + х 4х-2.	ч х2-11 х-х2
3)	й) ~5~ =	В)^Г- = —;
б)	^ + 4х = 3;	г)
2.	При каких значениях а:
а)	значение многочлена а2 -11а + 2,8 равно нулю;
б)	равны значения двучленов а2 -6а и 0,5а2-16;
в)	двучлен 2а2 -1,6а равен трехчлену 1,8а2 + 0,4а + 5?
3.	Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,001:
а) х2-4х-3 = 0; б) 9у2 + 6у- 17 = 0.
4.	Докажите, что при любом значении т уравнение 4у2 + ту - 5 = 0 имеет два корня.
5.	Докажите, что не существует такого значения а, при котором уравнение х2(а-2) + ах+1 = 0 имело бы один корень.
6.	Решите уравнение:
а) ^ + Зх + 2 = 0; б) х2 + ^-6 = 0.
|х|	|х|
78
II
С-27. Теорема Виета
1.	Найдите сумму и произведение корней уравнения:
1)	а)	х* 1 2 * * * б)-14x4-33 = 0;	в)	у2 + 17z/ + 52 = 0;
б)	х2 + 12х-28 = 0;	г)	35 + 12у + у2 = 0;
2)	а)	х2+17х = 0;	в)	75-i/2 = 0;
б)	z2+15 = 0;	г)	2,3z-z2 = 0;
3)	а)	7х2-2х-14 = 0;	в)	16 — 4г/2 — г/= 0;
б)	2i/2+15z/ + 3 = 0; г) Зх2-14 = 0.
2.	Запишите квадратное уравнение, корни которого равны:
а) 3 и 4; б) -2 и 5; в) 0,6 и 1
О
3.	Найдите подбором	корни уравнения:
1)	а)	х2-6х + 8 = 0;	б)	z2 + 5z + 6 = 0;
2)	а)	х2-2х-15 = 0;	б)	у2 + 7z/-8 = 0;
3)	а)	х2-15х + 36 = 0;	б)	у2- 10i/-39 = 0.
4.	Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения:
а) х2-21х + 54 = 0; б) 9х2-20х-21 = 0.
5.	Определите знаки корней уравнения (если корни существуют), не решая уравнения:
1)	а)	х2+11х + 20 = 0;	б)	у2- 15г/- 13 = 0;
2)	а)	2у2 + 19у-27 = 0;	б)	Зх2-21х+17 = 0;
3)	a)	5x2-V5x-5V3 = 0;	б)	у2 + \[1 у + 1 = 0.
6. Один из корней данного квадратного уравнения равен -2. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения:
1) а) х2 + 5х + /г = 0;	б) х2 + £х-16 = 0;
2) а) 5х2-7х + £ = 0;	б) Зх2 + £х+10 = 0.
7. Пусть хг и х2— корни уравнения х2-9х-17 = 0. Не решая уравнения:
1) найдите значение выражения:
a)	в) (xx-x2)2; д) x? + xi;
•М х2
б) х2 + х2; г) 7- + ^;
Х2 Х1
2) запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа — и —.
*1 х2
79
ЩС—28. Решение задач с помощью квадратных уравнений
1.	Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330.
2.	Площадь прямоугольного треугольника 180 см2.
Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см.
3.	Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм.
4.	Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найдите эти числа, если их сумма равна 17.
5.	Высота h (в м), на которой через t секунд окажется брошенное вертикально вверх тело, вычисляется по формуле h = v0t-5t2, где и0 — начальная скорость (в м/с). В какой момент времени тело окажется на высоте 300 м, если за 1 с оно поднялось вверх на 75 м?
II
С—29. Разложение квадратного трехчлена на множители. Биквадратные уравнения
	1.	Разложите на множители квадратный трехчлен:
1)	а)	х2-8х+15;	в) х2+7х+12;
	б)	х2 + 5х-14;	г)х2-Зх-18;
2)	а)	5х2+7х-24; в) 15х2-8х + 1;
	б)	6х2 + 5х-1;	г) х2-2х-2.
	2.	Сократите дробь:
1)	а)	х2 + 7х+12.	gx	х — 2	ф х + 4	’	’ х2 + Зх-10’
2)	а)	Зх — 16х -ь 5 .	g\	х -+- 1 ф ' 4х2 + х-з’
3)	а)	Зх2 + 5х- 2 .	б)	9х2 - 1 х2-4	7 3х2-8х-3
	3.	Решите уравнение:
1)	а)	х4-17х2 + 16 = 0;	в) 4х4-37х2 + 9 = 0;
	б)	х4-29х2 +100 = 0; г) 9х4-40х2 + 16 = 0;
2)	а)	х4 + 5х2-36 = 0;	б) 16х4 + 55х2-36 = 0;
3)	а)	х4-8х2 + 16 = 0;	б) х4 + 5х2 + 9 = 0.
4. Сократите дробь:
1) а)	х2 + X + 6 . х2 - 2х- 15 ’	в)	Зх2 + 5х-2 . х2 - Зх - 10 *
б)	х2 - 5х - 6 . х2-8х+ 12 ’	г)	4х2 - 5х + 1 . 1 - 4х2 - 5х
80
2) a)
3) a)
x3 - 5x2 - 14x . x2-2x-8 x4-10x2+9 .
x2-2x-3
6)
6)
2x2 + llx-6 . x3 + 3x2- 18x ’ x3-4x
x4-3x2-4 ’
II	|C—30. Дробные рациональные уравнения
1) 2) 3) 4) 1) 2) 3)	1.	Решите уравнение: х2 + 3х . х-Зх2	2х+1	4х-х2 х2-4, а)	2 t g =2х; б) 3	12 = в , ч х2 _ 2х .	х х2 4-Зх _ х2 -х . 7 3-х	3-х ’	7 х-4	4-х ’ х2 — 1 _ 5-х .	\ х2-6х _ Зх-4 . х+5	г+5’	Зх-1 1-Зх’ \	2х + 3	 Зх + 2	e	\	4х + 1 	 Зх — 8	в '	х + 2	х	'	°7	х-3 “ Х4-1	’ У 4- 3 	 2у 4- 3 .	х	5у — 2 	 Зу 4- 2	, ’	у-3~	у ’	’	2у + 1	у + 3	’ а) 4х2;11/~3=°; в) 2y2t8y+2 = i; д)£±1=д_7. б)	= 2;	г)Д=2х + 1; 2.	Найдите корни уравнения: _ч Зх — 9 , х4- 6  о.	ч 3	3   2 . 7	X—1	X 4-1	’	7	х 4- 2	2-х"	х2_4’ б)	4 * 6У + 7	У"3	1.	Г)	2У~8 * *	_|_ 10	_ У + 4 . 7	2у-3	2у + 3	’	7	у-5	у2_25	у + 5’ \ 5 _ 3 _ 2-у .	-ч 2х-7 _ Х4-2 _	х + 6	. у + 3 у у2 + 3у"	’ х“4	х+! (х-4)(х-ь1)’ а)	+1 =	;	в) ^-j + —9_^-_^-=0; *-2	х2-4х-|-4	(х-3)2 (Х4-3)2 х2-9 g\	1		1		g,	р\	3		4		3	 3x4-1 9х2 4-6x4-1	*	1-4у2 2у2 + у 4у2 + 4у+1
3. Решите уравнение:
a)	i-------1_;
a3 + 27	a2-3a + 9	«4-3
6) --------- + ---3--=	1 ;
9y24-3y4-l	27y3-l	3z/—1
B) ?____________________________ 1
x3-3x2-4x4-12 (x + 2)(x-3)	x-2
r) + ~r------------r~ = 0-
X - X	X + X X - 1
81
4.	Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
a)	z/ = 0 и у = (х~3)<2* + 5);	в) г/ = Зх + 1 и =
б)	у = 0 и у = —~2x~S ;	Г) z/ = 4x и y=-Z--l.
X — 4	X + 1
5.	Найдите корни уравнения:
а)	=	х\2	.	б) х\5 + \'3 + хУб-Уз = 32х
xV7-V2 V7-XV2’	хУ5-\3 хуб + Уз бх2-3’
6.	Решите уравнение:
а)	х2 + Зх = —— - (подстановка у = х2 + Зх);
х2 + Зх - 2
б)	(x-2)(x+7)=iJT^.
fflc-31. Решение задач с помощью рациональных уравнений
1.	Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель — на 21, то дробь уменьшится на Найдите эту дробь.
2.	Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?
3.	Две мастерские должны были пошить по 96 курток. Первая мастерская шила в день на 4 куртки больше, чем вторая, и потому выполнила заказ на 2 дня раньше. Сколько курток шила в день каждая мастерская?
4.	Слесарь может выполнить заказ за то же время, что и два ученика, работая вместе. За сколько часов может выполнить заказ слесарь и каждый из учеников, если слесарь может выполнить его на 2 ч скорее, чем один первый ученик, и на 8 ч скорее, чем один второй?
II
С—32. Сравнение чисел (повторение)
1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:
1) а) 4*1;	6)2^*2,125; в)0,4*|;	г)1,3*1|;
1Z о	о	(	О
82
2) a)	в) - | *-0,75;
б)-|*-0,16;	г) -0,14*-^.
2.	Из данных чисел -5; -4,7; -4,6; —4,1; -4 выпишите те, при подстановке которых вместо х получается верное неравенство:
а) х<-4,2; б) х>-4,5.
3.	Сравните значения выражений:
1)	а) 32,16:1,6 и 6,7:| ;	б) 8,165:0,5 и 163 • 0,1;
2)	а) -1,24-7,5 и 12:(-1,5);	б) 37-4) и 8,1:(-5,4).
4.	Верно ли неравенство:
а)	1,2-50>4| + 1|; в) 0,2 • (-0,3) • 0,5 <0,26:(-13);
6)	| + 7-|>4 (-3,5); г) (2f-!):(-!) >1,98:(-0,9)?
О	& К	\	О /	\ О /
5.	Сравните с нулем значение выражения:
1)	а)(-1,7)7 8; б) (—3,15)3; в) (-11)4; г) (-у)5; Д) О6;
2)	а) 5,15(-1,6)3;	в) 0’(-1,6)12;
б) (-3,8)» (-2,4)<;	г) (—1,75)10 *(-3,16)9.
6.	Расположите в порядке убывания числа 0,8; |; 0,9; |; 0,5.
7. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 1547’4 и 1547-в) 289-17 и 289:^;
б) 2187: 4 и 2187-4; г) 156,4:0,2 и 156,4-0,2. о	3
8. Подберите какое-либо число, которое больше одного из данных чисел и меньше другого (результат запишите в виде двойного неравенства):
а) 3,7 и 3,8; в) -8,6 и -8,5;
б) 0 и 0,2; г) и -1.
9. Существует ли треугольник, стороны которого
равны:
а) 45 см, 48 см, 91 см;
б) 21 см, 22 см, 54 см?
83
II
С—33. Свойства числовых неравенств
1.	Запишите верное неравенство, которое получится, если:
а)	к обеим частям неравенства - 2<3 прибавить число 2; число -1;
б)	из обеих частей неравенства -24 <-22 вычесть число 1; число -3;
в)	обе части неравенства 3>-5 умножить на 6; на -1,5; на -1;
г)	обе части неравенства -45 <-15 разделить на 15; на -5; на -1.
2.	Известно, что а>Ь. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:
1) а) а + 6*Ь + 6;	б) 7,За*7,ЗЬ;	в) - 16,2а *-16,2b;
2) а) Ь-8*а-8;	б)7-а*7-Ь;	в)-^*-|.
5	5
3.	Известно, что d>b, с<а и Ъ>а. Расположите числа a, b, d в порядке возрастания.
4.	Сравните с нулем числа а и Ъ, зная что:
а)	а + 1,2>b + 1,2 и Ь>3; в) 6а>6Ь и Ь>3,2;
б)	а-8<Ь-8 и Ь<-4; г) -4а<-4Ь и Ь>1.
5.	Известно, что а>Ь. Расположите в порядке возрастания числа: а+ 2, Ь-8, а+ 11, Ь, Ь-6, а.
6.	Зная, что а<Ь, сравните числа:
а) а и Ъ +11; б) а-4 и Ь; в) -а и -З-b; г) -(а-4) и -Ь.
7.	Известно, что а>Ь>0. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:
а) 8а*6Ь; б) 12а*Ь; в) -6а*-4Ь; г) -11а*-ЗЬ.
8.	Пусть а и Ъ — отрицательные числа. Верно ли, что: а) если а<Ъу то а2<Ь2; б) если а2<Ь2, то а<Ь?
ГПс—34. Сложение и умножение неравенств
1.	Сложите почленно неравенства:
1)	а) 2<7 и 11 < 12;	б) 0>-3 и 6>5;
2)	а) -7,3>-8 и 7,3>4;	б) - 11 <- 11 и | < 1.
О	О о
2.	Перемножьте почленно неравенства:
1)	а) 8>3 и 12> 10;	б) 100<101 и 4<5;
2)	а) |<| и |<1;	б) 0,01>0,001 и 3,6>3,2.
84
3.	Верно ли, что:
1)	если а>4 и &>6, то: а) а + &>10; б) а + &>9; в) а + &>11;
2)	если а>3 и &>9, то: a) ab>27; б) а&>26; в) ад>28;
3)	если а<4 и Ь<5, то аЬ<20?
4.	Докажите, что если а>5 и &>6, то:
1)	а)	2а + Ь>15; б) 6а+ 86 >60;
2)	а)	10а + Зд>65; б) 12а+ 46 >80.
5.	Докажите, что если а>6 и д<-1, то:
1)	а)	За-Ь>16;	б) 8а-9£>49;	в)	10Ь-6а<-46;
2)	а)	а-4Ъ>4;	б) 11а-10Ь>64;	в)	Ь-12а<-50.
6.	Докажите, что если 0<а<7 и 0<Ь<3, то:
а) 5а + 11Ь<70; б) ад + 4<30.
7.	Сравните, если возможно:
а)	За + 2Ь и 16, если а>4 и Ь>8;
б)	Ъ-4а и -40, если а>8 и &<1;
в)	5а-Ъ и 20, если а>4 и Ь<-3;
г)	а-4Ъ и 4, если а>4 и Ь>2.
II
С—35. Доказательство неравенств
1.	Пусть а<0 и Ь>0. Сравните с нулем значение выражения:
1) 5а, ЗЬ, -4а, -8Ъ, -а, -Ь;
2) а2, Ь3, а&, b4, a2b, a3b2, (ab)4, (ab)5; m	а
' 5 ’ Ь ’ & ’ b'\a)'bV
2. Пусть b — положительное число. Сравните с нулем значение выражения:
1) Ъ2, (-Ь)2, -&2, 8&2, -10&2, (-12&)2;
2) 62 + 8, (6-8)2, -62-1, (6-4)2+ 1, &2-66 + 9.
	3. Из данных неравенств выпишите те, которые вер-
ны	при любом значении Ь: &2>0, fc + 8>0, (&-6)2>0, l + b2>0, -b<b.
1)	4. Докажите неравенство: а) х(х + 4) + 6>4х;	в) (а + 6)2> 12а;
2)	б) (а-2)(а + 2)+11 >0; а) (а + 5)(а-2)>(а-5)(а + 8);	в) b(b-4)>-4;
3)	б) х(х+10)<(х + 5)2; а) (5х+1)2>2х;	б) ^Ц^>а-2. э	о
85
5.	Пусть а<0 и Ь>0. Сравните с нулем:
а)	а-b; в) 12а-5Ь;	д) п а L;
2а — о
б)	b-а; г) 3b-6a; е) •• Ъ л .
о-4а
6.	Пусть b — произвольное число. Сравните с нулем значение выражения:
а)	-62-16; в) (Ь-6)2 + 9;	д) (& + 6)2 + (1 -Ъ)2.
б)	1 + &2; г) -(&-1)2 + (-3)4 5;
7.	Докажите, что при любом а дробь а +2 принима-0,5 + а2 ет значение, большее или равное 2.
8.	Докажите неравенство:
а) а2 + 8а + 17>0; б) 62 + 9>-46; в) х2 + у2>2(х + у-1).
9.	Докажите, что неправильная дробь %- (а и b — Haft
туральные числа, а>Ь) уменьшится, если к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же положительное число.
10.	Первый велосипедист проехал из поселка в город и возвратился обратно, двигаясь с постоянной скоростью. Второй велосипедист ехал в город со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, а возвращался в поселок со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем скорость первого велосипедиста. Кто из них затратил на весь путь больше времени?
II
С—36. Оценка значения выражения
1. Известно, что -6<х<8. Оцените значение выражения:
1) а) Зх;	б) -4х;	в) -х; г)	д) х-1;
2) а) 5-х;	б) |;	в)	г) Зх-1; д) 2-5х.
2. Зная, что 3<а<4, -5<&<-4, оцените:
а) а + Ъ; б) а-Ь;	в) ab; г) у.
3. Длина прямоугольника равна а см, а ширина Ь см. Оцените периметр и площадь прямоугольника, если известно, что 4,4<а<4,5, 2,4<Ь<2,5.
4. Пользуясь тем, что 1,7<V3< 1,8 и 2,2<V5<2,3, оцените:
а) 3\ 3 - V5; б) V15; в) V20 + V3;	г) V12 + V15.
86
5. Зная, что 6,2<а<6,3 и 1,0<&<1,2 оцените значение выражения а2-Ь2.
6. Оцените значение выражения:
а)	За + 4&, если 1<а<2 и 0<Ь<4;
б)	а+^Ь, если —2<а<-1 и 0<t»<3; О
в)	-а + 3d, если -3<а<-2 и 1 <Ь<2;
г)	^-2а, если 0,5<а<1,5 и 1,2<Ь<1,6.
7. Известно, что 2<а<3 и 1<Ь<2. Оцените произве-
дение (a-b)(a + b) и разность а2-Ъ2. Сравните результаты.
8. Оцените величину угла А в треугольнике АВС, если известно, что 26° < АВ <27°, 72° < АС <73°.
9. Оцените среднюю линию треугольника с основанием а см, если 12,6<а<12,8.
II
С—37. Оценка погрешности приближения
1.	Найдите абсолютную погрешность приближения:
а)	числа 4,63 числом 4,7; числом 4,6;
б)	числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;
в)	числа ~ числом
г)	числа числом 0,2.
О
2.	Приближенное значение числа х равно а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:
а)	х = 2,85, а = 2,9; в) х = 6,748, а = 6,7;
б)	х = 26,3, а = 26; г) х=18,65, а = 19.
3.	Запишите в виде двойного неравенства:
1)	а) Ь = 6±1;	б)х=18±2; в)а = 120±10;
2)	а) ти = 15±0,1; б) с = 9,5±0,5; в) п = 30±0,5;
3)	а) и = 6,75±0,01; б) и-10,24±0,05; в) d =4,568±0,001.
4.	Найдите приближенное значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком, если:
1)	а)	27<х<33;	б)	20<х<21;
2)	а)	7,6<х<8;	б)	32,4<х<32,8;
3)	а)	2,77<х<2,81;	б)	12,7<х<13,2.
5.	Докажите, что среднее арифметическое чисел х и у является приближенным значением числа х и числа у х-у с точностью до —
87
II
С—38. Округление чисел
1.	Округлите число:
1)	а) 367 до десятков; б) 28,5 до единиц;
2)	а) 69,8349 до десятых; б) 0,73694 до тысячных;
3)	а) 58 560,4 до тысяч; б) 2,4108439 до стотысячных.
2.	Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите ее до сотых:
а)|;	б)|; в) А; г)2А; д)юА; е)1±.
Найдите абсолютную погрешность приближения.
3.	Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближенным значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближенным значени-у
ем числа — с точностью до 0,0005?
С—39. Относительная погрешность
1.	Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:
а) 1,7; б) 9,85; в) 5,314; г) 99,83.
2.	Представьте каждое из чисел 6 и 18 в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
3.	Наименьшее расстояние от Луны до Земли равно 356 400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближенного значения.
4.	Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если М ~ 184 т (с точностью до 0,5 т) и ?п~0,25 г (с точностью до 0,01 г).
С—40. Пересечение и объединение множеств
1.	Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются в записи слов «машинист» и «пианист».
2.	Известно, что А — множество простых чисел, В — множество натуральных чисел, не превосходящих 20. Задайте путем перечисления элементов их пересечение и объединение.
88
3.	Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами X и У, если X — множество чисел, кратных 15, У — множество чисел, кратных 30.
4.	Известно, что точки Е, F, К и L расположены на одной прямой, причем пересечением множеств точек отрезков EF и KL является:
а) отрезок EF; б) отрезок KF.
Для каждого случая сделайте чертеж.
5.	Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 7, и множества четных двузначных чисел.
II
1. Изобразите на координатной прямой промежуток:
1) а) (-1; 5); б) (-4; 3]; в) [-3; 1,5); г) [-1,5; 2];
2) а) (-оо; 4); б) (-оо; 10]; в) (-5; + оо); г) [-2,5; +оо).
2. Запишите промежуток, изображенный на координатной прямой (рис. 9).
___^////////Щ ж	///////////7/
-10	-5	4	15	-3	2
//Z//z<W//7///Zz////// >	//Z//Z/ZZz7z/Z/ZZ//Z/Z^_
11	-8
Рис. 9
3. Изобразите на координатной прямой и запишите, используя введенные обозначения, промежуток, задаваемый условием:
1) а) х>1;	б) х>4,5; в) х<8;	г) х<1,6;
2) а) -2<х<0; б) 5<х<7; в) -2<х<1,5; г) 0<х<6,5.
4.	Принадлежит ли промежутку [-2,5; 2,4] число: -2,6; -2,1; 0; 1; 2,3; 2,4?
5.	Какие из целых чисел принадлежат промежутку: а) (-1,5; 2,4); б) (-0,1; 0,6); в) [-3; 1,5]; г) [-3,5; 0]?
6.	Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:
а) (-4; 12); б) (-6; -2); в) [-4; 0,8]; г) [-1,6; 1,6].
7.	Укажите два положительных и два отрицательных числа, принадлежащих промежутку (-0,2; 0,2).
89
8.	Принадлежит ли промежутку [2,5; 6] число:
a) V5; б) V12; в) VI5; г) \36?
9.	Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:
а)	[-4; 5] и [0; 10];	в) (-оо; 5] и [-5; +оо);
б)	(-3; -1) и (-2; 4);	г) (3; +оо) и (0; + оо).
10.	Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:
а)	(-3; 8) и (1; 9);	в) (-оо; 1) и (-оо; 4);
б)	[-4; 4] и [-1; 1];	г) (-оо; 0) и (-2; +оо).
II
С—42. Решение
неравенств
1.	Решите неравенство и укажите три каких-либо числа, которые являются его решениями:
а) бх>54; б) Зх<108; в) -8х>32; г) -5х<-65.
2.	Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) 17х>51; б) -9х<27; в) 18х>0; г) -5х<35.
3.	Решите неравенство:
1)	а)	6х>48;	б)	7х<42;	в)	-х>-8;	г)	-12х<24;
2)	а)	6х>13;	б)	4х<1,6;	в)	12х>-18;	г)	-9х<24;
3)	а)	|х>2;	б)|х<36;	в)-|х<6;	г)-|х>21;
4)	а)	0,5х>3;	б)	-0,7х<1,4;	в) 10х<0,1;	г)	-9х>1,3.
4.	При каких х функция г/ = -6х принимает значения: а) большие -48; б) меньшие 6?
5.	Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) бх<42; б) Зх<19; в) -5х>12; г) -х>-3.
6.	Составьте какое-либо неравенство вида ах<Ь, которое верно при: а) х>1; б) х<-3.
7.	При каких значениях b неравенство Ьх>6 имеет такое же множество решении, что и неравенство х> — !
II
С—43. Решение неравенств (продолжение)
1. Решите неравенство Зх-1<11. Является ли решением неравенства число: 0; 3,9; 4; 4,1?
90
2. Решите неравенство:
1)	а)	17 + х>37;	в)	6,2 + х>10;
б)	5-х<1;	г)	0,6-2х<0;
2)	а)	1 + 6х<7;	в)	3-2х<8;
б)	6х+1>0;	г)	6-15х>0;
3)	а) 4 + х<1-2х;	в) 4х + 7<6х+1;
б) 2 + 6х>5 + 7х;	г) 9х>4х + 2;
4)	а) 4(1 + х)>х-2;	в) 6(2х-1)-(2 + х)<0;
б) -(2х+1 )<3(х + 2); г) 4(1-х) + 5(х + 8)>0;
5)	а) ^<1; б) |>0; в) ^>2; г) ^<0; Doo	О
6)	а) ^<1; б) ^>3; в) 1; г) ^>0;
7)	а) ^-х>2; в) ^-х<0;
б) 2х+4>7; г) ^i-3x>i5^ii. о	5	5
3.	При каких значениях а:
а)	двучлен 12-а принимает положительные значения;
б)	двучлен 6а+ 37 принимает отрицательные значения?
4.	При каких b значение двучлена 2Ъ -1 больше соот-
ветствующего значения дроби 4~^ЗЬ ?
5
5.	При каких значениях х функция г/=1,5х-9 принимает:
а) положительные значения; б) отрицательные значения?
6.	Решите неравенство:
а)	6х2-Зх(2х + 4)>48;	в) -||-^^ + ^р<0;
б)	(а + 6)(За-8)-3(а2-1)<20; г) х-^± + ^->1.
7.	При каких значениях Ь:
а)	уравнение Зх-4 = Ь имеет отрицательный корень;
б)	уравнение 5 - 2х = Ъ - 1 имеет положительный корень?
8.	Существует ли такое значение Ь, при котором неравенство &х<Зх-5 не имеет решений (при положительном ответе укажите это значение)?
С—44. Решение систем неравенств
1. Является ли решением системы неравенств 2х<15, Зх+1>7:
а) число 5; б) число 2; в) число 7?
91
	2.	Зешите систему неравенств:
1)	а)	х>1,5, б) Гх>4,	в) Гх>-6, г) Гх<-1,5,
		х<3;	[х<-6;	[х>-3;	[х<-2;
2)	а)	4х<12,	в) JO,6x>3,
		-х>-5;	[-10х>-70;
	б)	0,2х>2,	г) ^х>1,
		— Зх<-12;	—8х>—16;
3)	а)	Зх<х + 4,	в) [б,5х-2< 1,5х-1,
		0,5х< 1,4-0,2х;	[2-Зх<х + 6;
	б)	7х + 2 > 6х- 1,
		х + 1,6> 2;
		
4)	а)	5(х+ 1)-6<2,6 + х,	в) 1,2(3-х)-0,8х>6,
		Зх-0,5 > 2(х-0,4)-х;	[-2 (1 -4х)- 5х<х;
	б)	3(х + 1)-(х-2)<х,
		2 > 5х-(2х- 1);
5)	а)	|«12, б)	в)Г1-|>х,
		£>1;	Ь>0;	х-^>1.
		16	17’	1	5
3.	При каких х обе функции i/ = -x + 8 и i/ = 6x + 2 принимают положительные значения?
4.	Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются ее решениями:
а) [9х + 2>3 + х, б) Г1,5х + О,5>2,
в)
1,4х-7>0,
Зх-4<х;
0,7х-0,2<4;
0,9-0,1х>0.
5.	Решите систему неравенств:
а) 0,8(х-3)-3,2 <0,3(2-х),
0,2 (1 + 2х)>-(х-1,6);
2х-1 , х + 2	х-8	1
—~—I— -------— > X — 1
6	3	2
2-2х>0,5 + 0,5х.
92
6.	Решите систему неравенств:
а)
'Зх> 7, 6х<20, 5х>15;
х-8>4, 2х + 6> 1, 6 —х> 26.
7.	При каких значениях b система неравенств 6х< 36, х>Ь
не имеет решений?
8.	Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а периметр больше 48 см. Каким числом может выражаться длина боковой стороны треугольника?
QQc-45. Решение двойных неравенств
1. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:
а) -2<х<4; б) 0<х<5; в) -2<х<0; г) 1,5<х<3.
2. Укажите все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:
а)	-7,5<х<2;	в) -1<х<4у;
б)	-4<х<1,5;	г) 0<х<5,5.
3.	Решите двойное неравенство:
1)	а)	3,5<5х<10;	б) -2<3х<6;	в) 6<-6х<12;
2)	а)	3<х+1<8;	б) -2<9 + х<9;	в) -3<15 + х<3;
3)	а)	-6<5х-1<5;	6)-2<1-2х<2;	в)-9<1-х<0;
4)а)-1<|<1;	б)0<^<2;	в)0,5<|<4,5;
5)	а)	- 3 < ^2 < 1;	б) _1С бч 2х <0;	в) 3<^<7.
4.	При каких значениях х:
а)	значения двучлена 3 - 5х принадлежат промежутку (-6; 6);
б)	значения дроби 2х +1 принадлежат промежутку [-4; 0]? О
5.	Решите двойное неравенство -4<2 + Зх<7 и укажите наибольшее и наименьшее целое число, которое является его решением.
93
6.	Решите систему неравенств:
а) Зх-1<0, б) 1,5х>0,	в)
0<2х<4;
-3<х + 1<3;
2 + 8х> 10, -2 <-х<3.
7.	При каких значениях у:
a) |z/|<5; б) \у + 1|<8; в) |3-t/|<4;
г) |г/-6|>3?
II
Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком
модуля
1.	Имеет ли уравнение корни и сколько:
а) |х| = 8; б) |х| = -5;	в) |х| = 0;	г) |х| = -х?
2.	Решите уравнение:
1)	а) |х| = 3,7;	б)	|х| = -4;	в)	|х| = 100;
2)	а)|х + 15 =8;	б)	|3-х| = 4;	в)	|б-х| = 0;
3)	а) |2х + 4| = 5;	б)	|б-3х| = 2;	в)	|1 + 4х| = 5.
3.	Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) |х|< 1; б) |х|<3; в) |х|>2; г) |х|>3,5.
4.	Решите неравенство:
1)	а) |х|<2;	в) |х|>4;
б)	|хК 5;	г) |х| > 1,5;
2)	а) |х + 4|< 7; в) |х-41> 1,5;
б)	15-х|> 1;	г) 17 + х|<2;
3)	а) |Зх + 4|> 2; в) 11 -5х|>2;
б) |6 + 5х|< 1; г) |4х+1|<3.
5.	Сравните с нулем число Ь, если известно, что:
а) 2|Ь| + Ь>0; б) Ь3|Ь|<0; в) ^>0; г) ^<0.
6.	При каких значениях а верно равенство:
1)	а) \а\ = а;	б) \а + 2\ = 2 + а; в) |4-а| = а-4;
2)а)т = -1; б> ТГТ7и-1;	=
7.	Решите уравнение:
1)	a) =	б) ^ = 5;	в) ^ = 2;
2)	а) |х + 6| = |х-8|;	б) 13-х| = 16 + х|;	в) |5-х| = |х|.
8.	Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = 13 + х| и i/ = |4-x|.
94
9.	Решите уравнение:
а) |х| + 3х = 4; б) |х + 6| + 4х = 5.
10.	Решите неравенство:
а) |х|>6-2х; б) |х + 4| + 5х>6.
11.	Найдите множество решений двойного неравенства: а) 2<|х|<6; б) 0<|х|<5.
II
С—47. Степень с
целым показателем
1.	Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
а) ^4’	б)	в)	г) Т’ д) 32*
2.	Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:
а) 5-7; б) 7-1; в) а~11; г) х"1; д) (2г/)“5.
3.	Вычислите:
1)	а)	2“3;	б) (—7)-2;	в) (-5)1;	г) -З(-З)2;
2)	a)	(i)’1;	б) (|У2;	в) (0,2)~3;	г) (1|V;
3)	а)	6 х-|-2-2;	б) 10°-1,2-1; в) 247-0,1 2; г) 25-(|)"2.
4.	Представьте в виде дроби выражение:
1)	а)	6а-8;	б) 3(xz/)-1;	в) 12 (а -Ь)~2;	г) 5x2z/-3z°;
2)	а)	х~1 + у~3;	б) а°~а~2;	в) х~4-у;	г) аЬ-2 + а-1Ь3.
5.	Преобразуйте в дробь выражение:
1) а) (a~2-b~2)(a-b)~1;	б) (х-3-1)(1-х)-2х3;
2) a) ('-V-f'-V;	б) (J4+^T')(a-6)-1.
\У J \У /	Ь~х )
II	С—48. Преобразование выражений,
	содержащих степени с целым показателем 1. Преобразуйте выражение:
1)	а)	х3 • х2;	в) х8 • х~3;	д) х4 • х • х-6; б)	х-11-х5;	г) х“14-х;
2)	а) а2: а5;	в) а12: а-4;	д) а3:а6; б) а~&: а;	г) а 2: а3;
3)	a)	(z/3)2;	в) (у~6)6;	д) (у~7)°; б)	О/4)-4;	г) (z/“3)’5;
95
4) a) (ab)’2;
б) (а’х&2)’4;
5) а)
д) (а 2Ь°с 5)3;
в) (abc) 3;
г) (а“3&2)“х;
/ г“2 \2 д) НН •
\y5Z х/
2. Вычислите:
1)	а)	25 • 2’4;	>(Г-№
	б)	5’6 • 5;	«(1Г(1Г
2)	а)	36:37;	в) 4“7:4’хо;
	б)	7:7’х;	
3)	а)	(2-2)3;	в) (0,01~2)4;
	б)	(иг)"	fl (»))•
4)	а)	-13 -26 х;	в) (|)-2 + 0,1-2;
	б)	- 6 • З’3;	г) 14’х-7’2;
5)	а)	81 • З’5;	в) 5"6-58:125;
	б)	16 (2 3)2;	Г) 36- .(1)4
6)	а)	32’2-44;	7—8 в) -- 1з; (-7) 13
	б)	27’3:9’4;	v 81’5-9’8 Г) 27-‘ '
	3.	Упростите	выражение:
1)	а)	2,2а“8Ь5 • 5аХ0Ь“4;	б) 2х"	
2)	а)	2,8т8п: (0,	7дп4тг’2); б) 2|
3)
а)
4)
а)
14а Ь 2 t b~3	56а’4’
ку-2\"3
-125X-V;
ву~Ч	У
б)
б)
4у7 • 3,5х8г/ 7;
а-1вй-3.(_|а-8Ь-з).
18р’6	7g’5 .
g5 *6р’12’
2 (а~2ьу4.
\ b5 )
4. Упростите выражение (п — целое число):
а)	33п	. Зп-4.цп ’	в)	а8пЬп~1 . а2пЬп~3 ’	д)	4л + 2 -4П 15
б)	49п’х . у2п-3 ’	г)	х2п + х~3п . Х-*	’	е)	3’п + 1 3” + 1
96
5. Сократите дробь:
а)
а3 + 3а4 - а6 3 — а3 4- а
Щс—49. Стандартный вид числа
1.	Представьте в виде степени числа 10 выражение: а) 1000 • 10 6; б) 1010-10 5; в) 108:104; г) (10* 1 2)3.
2.	Запишите в стандартном виде число:
1)	а)	900000;	б)	5700;	в)	30400;	г)	526;
2)	а)	800,5;	б)	63,09;	в)	2400,8;	г)	701,1;
3)	а)	0,73;	б)	0,0025;	в)	0,000004;	г)	0,0809;
4)	а)	47 -104;	б)	672 • 10 5;	в)	0,0055 • 107;	г)	0,046 • 10"3.
3.	Выполните действия:
1)	а)	(3,6 • 103) • (1,5 • 10-5);	б)	(7,8 • 10"4) • (3,5 • 10 6);
2)	а)	(8,4 • IO 2): (2,4 • 10~4);	б)	(3,36 • 10’3): (4,8 • 10"7);
3)	а)	4,1 • 10-3 +7,9 • 10"3;	б)	5,2 • 104 + 2,8 • 105.
4.	Сравните числа:
а)	1,78-106 и 2,1 106;	в) 8,3 • 104 и 1,4 105;
б)	3,9 10-8 и 6,5 IO 8;	г) 4,7 • 10’7 и 5,8 • 10’8.
5. Порядок числа а равен -12. Каков порядок числа: а) 100а; б) 0,001а; в) а-1015; г) -£-?
ю
6. Порядок числа т равен -6, а порядок числа п равен 8. Каким может быть порядок числа: а) тп; б) —; в) т + п?
II
С—50. Запись приближенных значений
1. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, полученного в результате округления:
а) числа 3,47 до десятых;	в) числа 198 до десятков;
б) числа 25,1 до единиц;	г) числа 0,4824 до сотых.
2. В каких границах заключено число х, если:
1)	а)	х = 29±1;	б)	х = 765±10;	в)	х = 3957±29;
2)	а)	х = 6,3±0,1;	б)	х = 5,9±0,4;	в)	х=10,8±1,3;
3)	а)	х = 30,57±0,25;	в)	х = 0,0158±0,0016?
б)	х = 0,0816±0,0009;
4 Алгебра, 8 кл.
97
3. Оцените абсолютную погрешность приближенного значения, записанного верными цифрами:
1) а) 69;	б) 47,3;	в) 0,091;	г) 9,8537;
2) а) 0,00025;	б) 420,62;	в) 150,0;	г) 0,040.
4.	Укажите точность приближенного значения величины, все цифры в котором верные:
а)	дп~6,5 кг; г) F~0,70 кН;
б)	Z~0,38 м; д) т~5,20 кг;
в)	7?~12,О Ом; е) р~ 1050,0 кг/м3.
5.	Оцените абсолютную погрешность приближенного значения (в первом множителе записи значения у все цифры верные):
а)	г/~2,6-102; в) у~7,801 • 10'4;
б)	i/~l,05-106; г) г/^5,30 101.
6.	Оцените относительную погрешность приближенного значения (в первом множителе все цифры верные): а) дп~8,7103;	в) т~ 1,49• 10 3;
б) т ~ 5,8 • 108;	г) т ~ 4,600 • 1012.
7.	В справочнике указано, что масса мячика для настольного тенниса 2,4 • 10“3 кг, а масса электровоза 1,84-105 кг. Оцените абсолютную погрешность этих приближенных значений и сравните их относительную точность.
II
С—51. Элементы статистики
1.	Подсчитывая, сколько заданий теста по математике верно выполнили 12 учащихся, получили такие данные:
6, 8, 8, 10, 6, 7, 9, 10, 9, 5, 6, 7.
Представьте эти данные в виде таблицы частот.
2.	В таблице показано, сколько деталей за смену обработали токари цеха:
Число обработанных деталей	16	17	18	19	20
Число токарей	9	11	10	12	8
Сколько деталей в среднем обработал один токарь?
3.	В фермерском хозяйстве площади, отведенные под зерновые, распределены следующим образом: под пшеницу — 50%, под овес — 17%, а остальное — под просо и гречиху, причем под просо вдвое больше, чем под гре
98
чиху. Постройте круговую диаграмму, характеризующую распределение площадей, отведенных под посевы зерновых в этом хозяйстве.
4. Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:
Возраст, лет	16—22	22—28	28—34	34—42
Число участников	12	15	10	6
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.
5. Подводя итог выполнения восьмиклассниками контрольной работы по алгребре, составили таблицу, одно число в которой оказалось стертым:
Число выполненных заданий	1	2	3	4	5
Число учащихся	1	5	—	20	11
Восстановите его, зная, что в среднем учащиеся выполнили по 3,7 задания.
С—52. Понятие функции.
График функции (повторение)
1. Функция задана формулой i/(x) = -x3 + 6х. Найдите i/(—6), г/(—2), 1/(0),	1/(6).
2. Функция задана формулой z/ = (5x +7)(х-2).
1) Найдите значение функции при х, равном: а) -4; б) -1,5; в) 0; г) 5.
2) При каком значении х значение функции равно: а) -14; б) 18; в) 0; г) 22?
3. Одна сторона прямоугольника равна х см, а другая — на 5 см больше. Выразите через х периметр Р (в сантиметрах) и площадь S (в квадратных сантиметрах). Найдите значение каждой из функций Р от х и S от х при х, равном 15.
4. Заполните таблицу:
X	-3	-1	0		3		8
у = 6х-9				3		21	
99
а)	Найдите y(-l,5), г/(0), у(2), г/(6).
б)	При каком значении х значение функции равно -1; 0; 2?
в)	При каких значениях х функция принимает положительные значения?
г)	При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
6.	Постройте график функции:
а)	У=~х;	в) z/ = 2x-l;	д) у = 4;
о
б)	у = -±х;	г) у = - 1,5х + 3;	е) г/ = -1.
О
7.	Принадлежит ли графику функции i/ = -20x + 15 точка: А(1; -5); В(-3; -45); С(-4; 95)?
8.	Докажите, что графики функций z/ = 4x-35, i/ = 0,2x + 3 и г/ = -5х+55 проходят через одну и ту же точку.
9.	Найдите значения k и Ь, если известно, что график функции y = kx-\-b проходит через точки А(1; 6) и В(-2; -15).
10.	Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку Р0?; 12^ и параллельная прямой i/ = 25x-18.
100
IIIC—53. Определение квадратичной функции
1.	Найдите действительные значения х, при которых функция у = х2 + 2х-15 принимает значение, равное -15; -7; 0; 9.
2.	Какие из чисел -4; -V2; 0;	2; 5 являются ну-
лями квадратичной функции:
а)	у = х2 + 2х-8;	в) у = 3х2-6;
б)	у = х2 + 4х;	г) у = 3х2 + Их-4?
3.	Найдите нули квадратичной функции (если они существуют):
а)	у = х2- 12x4-36; в) у = 5х2-4х-Ь 1;
б)	z/ = x2-25; г) i/ = 6x2-x4-1.
4.	Числа Xi и х2 — нули квадратичной функции y = x2+px + q. Найдите коэффициенты р и д, если:
а)	хг = 2, х2 = 7;	в) xx = -V5, x2 = V5;
б)	Xi = -5, х2 = 0;	г) x1 = 2-V3, х2 = 2ч-\/3.
5.	Найдите координаты точек пересечения графиков функций (если они существуют):
а)	у = х2-Их-ь 13 и г/= -3x4-1;
б)	у = 3х2- 7x4-10 и i/ = 5x4-2;
в)	у = 5х2-2х-3 и у = 2х-7\
г)	у = х2 + 2х-1 и у = 6х + 7.
ГП С—54. Функция у=ах2
1.	В одной и той же системе координат постройте графики функций у=^х2 и i/ = -l,5x2. Используя построенные графики:
1)	выясните, какая из этих функций:
а)	возрастает в промежутке х>0;
б)	убывает в промежутке х<0;
2)	решите неравенство
а)	|х2<1;	в) -1,5х2<6;
б)	|х2>1,5;	г) -1,5х2>3.
2.	Принадлежит ли графику функции у = -8х2 точка: А(2; -32); В(-0,5; 2); С(-5; -200)?
101
3.	Найдите координаты точек пересечения параболы у = 5х2 и прямой:
а)	у = 4х + 1;	в) # = 20;
б)	#=15х; г) у = -1.
4.	Является ли функция у = 9х2 возрастающей (убывающей):
а)	на отрезке [-5; 0];
б)	на отрезке [-3; 3];
в)	в интервале (0; 23);
г)	в интервале (-9; 5)?
5.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = --^х2, где -8<х<4.
О
ш
С—55. График функции у=ах2 + Ьх+с
1.	Найдите координаты вершины параболы:
1)	а)	# = 3(х-2)2+7;	в)# = х2-10;
б)	# = -(х + 6)24-5;	г)	# = -4(х + 3)2;
2)	а)	у = х2 — 10x4-9;	в)	# = 4х2-|-Зх-10;
б)	# = 5х2-14;	г)	у = -6х2 + 18.
2.	Найдите координаты точек пересечения параболы с осями координат:
а)	у = х2 — Чх+ 12;	в) # = -х24-6х;
б)	у = -4х2-4х+ 15; г) у = 2х2-18.
3.	Постройте график функции у = -х2 + 4х + 5 и найдите, используя график:
а)	значение функции при х=1,5; -2,5; -6;
б)	значения х, при которых у = 6; -7;
в)	нули функции, промежутки, в которых #>0, у<0;
г)	промежутки возрастания и убывания функции;
д)	значение х, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
4.	Принадлежит ли графику функции у = х2- 13x4-40 точка: А(4; 4); В(-15; -460); С(-2; -70)?
5.	Не выполняя построения графика, найдите значение х, при котором функция у = - 4х2 4- 4х 4- 3 принимает наибольшее значение и найдите это значение.
6.	Известно, что график функции y = x2+px + q проходит через точки Р(-3; -5) и 0(4; -8). Найдите коэффициенты р и q.
102
ГПс—56. Решение
квадратных неравенств
1. Какие из чисел -2; 0; 1 являются решениями квадратного неравенства:
а) х2 + бх + 8 <0; б) х24-х>0; в) Зх2-х4-2>0?
2. Постройте график функции i/ = x2-7x4-6. С помощью графика решите неравество:
а) х2-7х-|-6>0; б) х2-7х4-6<0.
3. Используя эскиз графика квадратичной функции, решите неравенство:
а) Зх24-4х-4*	<0;	б)	х2-9>0;	1 н to 1 Ci Л О
4. Решите	неравенство:			
1) а) х2-16<	0;		в) х24-5>	0;
б) х2-36>	0;		г) х2 4-1 <	0;
2) а) х2-7х<	0;		в) + о	>0;
б) X2 4-Зх >	0;		г) х2-4,2х<0;	
3) а) х2-3х-	40 >	0;	г) — 4х2 4-	12х-9<0;
б) Зх2-ь5х	-2<	0;	д) х2-5х	-50<0;
в) х24- 12x4-40		>0;	е) 9х24-6х-Ь1>0.	
5.	Решите неравенство:
а) х2<16; б) 5х2<^х; в) 0,2х2>5; г) 0,8х2>х. О
6.	Решите неравенство:
а)	х(х-8)>(2х-I)2; в) ^4-^-2<0;
2 к
б)	Зх(х-2)+1 > (х-I)2; г) v + 4<V-
О О 2
7.	Решите систему неравенств:
а)
2х24- 5х- 18> 0, х<0;
в)
6х-х2<0, 2х — 9 > О.
б)
х2-10х-24<0, 2х-16> 0;
8.	При каких значениях х имеет смысл выражение:
a) V3x24-10x-8; б) - ~1=—; в) V9-x24-V*-2?
Vox2-15х
103
II
С—57. Метод интервалов
1. Решите неравенство:
1)	а) (х + 3)(х-4)<0;
б)	(х +6)(х + 8)> 0;
2)	а) (х-4)(х+1)(х-11)>0;
б)	(х-2)(х + 12)(х + 16)<0;
3)	а) (х2-25)(х-6)<0;
б)	(х + 1)(х2- 16)>0;
4)	а) (х2 + 8)(х-4)(х-2)<0;
б)	(х + 6)(х + 8)(х2 + 11)>0;
в)	(х- 1)(х-2)(х-3)2>0;
г) (х-4)(х-6)(х-5)2<0.
в) (х + 1,5)(х + 2,5)<0;
г) (x-0,5)(x-i')>0;
в) х(х-4)(х + 2)<0;
в) х3-49х>0;
г) х3-0,64х<0;
2. При каких значениях х значения функция:
принимает отрицательные
a)	i/ = (x-3,5)(x + 4)(x- 1,8);
б)	1/ = (х-2,5)(х-3)(х2 + 9)?
3.	Решите неравенство:
1)	а) ^|<0;
б) ^4>0;
х + 2
2)	а) (х~^23) <0;
б) (х~^_(5+2) >0;
3)	а)
г) >0;
х + 4
в) (х-1,5Цх-1) <0
X
X2 4~ 2 > Q х2-2х
х2 - Их < q х-10
4. Решите неравенство:
1) а) (х2 + х-6)(х-1)>0;
б) (х + 8)(х2 + Зх-4)<0;
в) (х2-5х + 6)(х2-9х + 14)>0;
г) (х2 +Зх-10)(х2-13х + 42)<0;
104
2) a)
б)
3) a)
б)
x1 2 -4x . л. x2-9
<0;
x -Зх
х2 + х-2 > л.
х2-9	’
х2-16	<
х2 - Их + 30
в)
г)
в)
г)
о X ~Х Q. х2 + 4 (х — 6}2 <0. х2-25
х2 -Зх-4 л. лг + 5х + 6 х2 + Зх —4	0
х2 - 5х - 6
5.	При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) a) Vx3- 16х;
2) а) 1/ f-1
V х2-6х + 8
б) Vx2-7x+12;
х2 -4х- 5 о
2 , а. ' X +Х-6
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1
К—1(§ 1, 2)
•	1. Сократите дробь:
„ч 14а4Ь .	Зх .
^0 о О > б) р 5 49а3Ь2	х2 + 4х
•	2. Представьте в
ч Зх-1 . х-9 .
а) —Г + ~зГ’
б)
и2-г2
в) ~-----•
’ 2у + 2г
виде дроби:
1 1 .
2а -Ь 2а+ Ь ’
В)
5с-2 с2 + Зс
5 с + 3
а2 -Ь
• 3. Найдите значение выражения -—--а при а = 0,2, и
Ь = -5.
4.	Упростите выражение
3 _ х + 15 _ 2 х — 3	_q х
5.	При каких целых значениях а является целым числом значение выражения
(а + I)2 -6а+ 4 у а
Вариант 2
К—1(§ 1, 2)
• 1. Сократите дробь:
v З9х3и	5у
а)	б) 2~»
2(зх2у2	у2 - 2у
• 2. Представьте в
ч 3-2а	1-а2
а)
б)
ч За - ЗЬ в)
а —о
виде дроби:
1______1 .
Зх + у Зх-у 1
в)
• 3. Найдите х = -8, z/ = 0,l.
4.	Упростите
значение выражения
4-3&	3
b2-2b	b-2 '
*'6у + 3 г/ при
выражение
2____х + 8 _ 1
х-4	х2-16 х'
5.	При каких целых значениях Ъ является целым числом значение выражения
(Ъ - 2)2 + 86 + 1 ? Ъ
106
Вариант 3
К—1(§ 1, 2)
•	1. Сократите дробь:
а)	б)
99р5д	а2 + 5а
в)
х2-у2 4х + 4у '
•	2. Представьте в виде дроби: a)^20+5«z2;
4z/ у	5с — d 5с+ d	а + 5 а2 + 5а
•	3. Найдите значение выражения	- 2d при
6 = 0,5, с = -14.
4.	Упростите выражение
5___2 _ Зх +	21
х-7 х х2-49	49-х2’
5.	При каких целых значениях р является целым числом значение выражения
(2р+I)2 - Зр + 2 ?
р
Вариант 4
К—1(§ 1, 2)
• 1. Сократите дробь:
X 75Ь5с3.	2b . х 7х-7у
Э) 50» V’ б) Ь^-9Ь’ В) ^-у‘-
• 2. Представьте в виде дроби: 3& + 7	ь2-5 .
}	36	д2 ’
1
б>	; в)
4р + q 4p-q
• 3. Найдите /> = -0,35, 7 = 28.
4. Упростите
значение выражения
выражение
4___2 + 2у_______10
У У~5	25-у2	у2-25
5. При каких целых значениях х числом значение выражения
(Зх-1)2-6х + 6
5-4у	4
у2~&У	у-&'
12p2-q о
-^-Зр при
является целым
107
Вариант 1
К—2(§ 3)
•	1. Представьте в виде дроби: х 42Х5. у2 .
/	14х5’
б) ^^:(18а2&);
\ 4а2 — 1 ф 6д + 3 , ’ а2_9 * а + 3 ’
график функции 1/=-^. Какова об-функции? При каких значениях х
•	2. Постройте ласть определения функция принимает отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях Ь^±1 значение выражения
b2-2b+l
ь2-1) ь+1
не зависит от Ь.
4. При каких значениях а ] 15а 3^
имеет смысл выражение - ?
Вариант 2
К—2(§ 3)
• 1. Представьте в виде дроби:
a)	.17х’у;
51х у
24&2с . 16&с.
б)
ч 5х+10
в)
. *2~1 .
х2 -4
с _ с
У У + с
график функции у = . Какова об-
• 2. Постройте
ласть определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?
3.	Докажите, что при всех значениях х^±2 значение выражения
(х-2)2 / 1	+	1
2	\х2-4	х2-4х + 4
не зависит от х.
4.	При каких значениях b имеет смысл выражение 5ft ?
2---—
3-2&
108
Вариант 3
К—2(§ 3)
• 1. Представьте
в)
ч 28&6 с5
а)
б) 30x2i/:^^;
г)
в виде дроби:
Зх + 6 х + 3
2а-Ь а
х2-9 х2 -4
а
,2а-Ь
функции у — —. Какова об-
• 2. Постройте график
ласть определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?
3.	Докажите, что при всех значениях у^ + 3 значение выражения
Л+<*-3>* 2-ЫЬ+^) не зависит от у.
4.	При каких значениях х имеет смысл выражение ____________________Зх__у 1—•_
10- 5х
Вариант 4
К—2(§ 3)
• 1. Представьте в виде дроби: 14Р4	.
q6 5вр4 '
б) 45а3д--^-;
30а4&
1 За-9 , а2 -9 . ' а + 2 ’ а2_4»
х Зх + у (у_ _ Зу у \х Зх + у
• 2. Постройте график функции У = ~~- Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях а*±5 значение выражения
/	3	+	1	\ (5-а)2 За
\25-а2 а2-10а + 25/ 2 а + 5
не зависит от а.
4. При каких значениях у имеет смысл выражение у
2----—
6 + 2i/
109
Вариант 1
К—3(§ 5, 6)
•	1. Вычислите:
а) 0,5V0,04 + |V144;	б) 2\/1 -Дг-1; в) (2V6?5)* 2.
о	у 1о
•	2. Найдите значение выражения:
а) 70,25-64; б) V56-V14; в) ^1; г) 7з4 5-26.
\2
•	3. Решите уравнение:
а) х2 = 0,49; б) х2=10.
4.	Упростите выражение:
а) х2V9x2, где х>0; б) -5fe2y^, где Ь<0.
5.	Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число 717.
6.	При каких значениях переменной а имеет смысл О выражение —?
\ а - 4
Вариант 2
К—3(§ 5, 6)
• 1. Вычислите:
a) |\/i96 + l,5V0,36;	б)1,5-7\/Ц; в) (2vTJ)2.
Л	\ 4 У
• 2. Найдите значение выражения:
а) 70,36-25; б) Тв-уТв; в)	г) V24-52.
V3
• 3. Решите уравнение:
а) х2 = 0,64; б) х2=17.
4. Упростите выражение:
а) 1/3\/4^2, где г/ >0; б) 7а где а<0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число V38\
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение	—?
\х - 5
110
Вариант 3
К—3(§ 5, 6)
•	1. Вычислите:
а) 0,8V225-0,5Vl,21;	б) 2-3\Ж; в) (0,5V20)* 2.
у оО
•	2. Найдите значение выражения:
a) 791,44; б) 7150-724; в)	г) 7б2-34 5.
Тз
•	3. Решите уравнение:
а) х2 = 0,81; б) х2 = 46.
4.	Упростите выражение:
a) b3 79&2, где Ь<0; б) 2х2\1~^, где х>0.
3	V х2
5.	Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число 728.
6.	При каких значениях переменной х имеет смысл выражение —?
Тх-2
Вариант 4
К—3(§ 5, 6)
• 1. Вычислите:
a) |v'144 + |VO^T; б) 2,1 + 1,зТЖ;
• 2. Найдите значение выражения:
a) 7225 0,04; б) 728-ТбЗ; в)
Тз
• 3. Решите уравнение:
а) х2 = 0,09;	б) х2 = 92.
в) (0,4V5)2.
г) V26 * *-72.
4. Упростите выражение:
а) х2749х6, где х>0; б) - 5t/6?\/—Ц-, где г/< 0.
1	V 811/10
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число 756.
6. При каких значениях переменной у имеет смысл
выражение ——?
TF+з
111
Вариант 1
К—4(§ 7)
•	1. Упростите выражение:
а) 10 \/3-4V48-V75;	б) (5 У2 - У18) У2; в) (3 —Уз)* 2 3 4 5 6.
•	2. Сравните 7 у у и У20.
а)
3.	Сократите дробь:
6 + Уб . б) 9-а
-- — , —
\30 + \5	3 + Va
4.	Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
5.	Докажите, что значение выражения ——------——
2\/3 + 1	2V3-1
есть число рациональное.
6.	При каких значениях а дробь	принимает
наибольшее значение?
Вариант 2	К—4(§ 7)
• 1. Упростите выражение:
a) 2V2 + V50-V98; б) (3 Уб - У20)Уб; в) (УЗ + У2)2.
• 2. Сравните уУбО и 10	.
3. Сократите дробь:
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
5. Докажите, что значение выражения ----— ч----—
1-зУб 1 + зУб есть число рациональное.
6. При каких значениях х дробь	принимает
наибольшее значение?
112
Вариант 3
К—4(§ 7)
• 1. Упростите выражение:
a) 6V3 + V27-3V75; б) (\[50-2V2)V2; в) (2 —V3)* 2 3 4 5.
• 2. Сравните -J- \fl2 и V45.
3.	Сократите дробь:
a)	б) а~^ .
V5-V15	3\/а-6
4.	Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
а) -т=; б) -=Д-=.
3V10	V6 + V2
5.	Докажите, что значение выражения 1 1
21/7-1	2\/7+1
есть число рациональное.
6.	При каких значениях х дробь	пРинимает
наибольшее значение?
Вариант 4
К—4(§ 7)
• 1. Упростите выражение:
a) 5V2 + 2V32-V98; б) (4V3 + V27)V3; в) (V5-V3)2.
• 2. Сравните -J- V28 и V54". Z	о
3. Сократите дробь:
а) Л0±5; б)
2 + ylO	2Vx-6
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
5. Докажите, что значение выражения
есть число рациональное.
6.	При каких значениях р дробь наибольшее значение?	Р
принимает
113
Вариант 1	К—5(§ 8)
• 1. Решите уравнение:
а)	2х2 + 7х-9 = 0; в) 100х2-16 = 0;
б)	Зх2=18х;	г) х2-16х + 63 = 0.
• 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.
3. В уравнении х2+рх-18 = 0 один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент р.
Вариант 2	К—5(§ 8)
• 1. Решите уравнение:
а)	Зх2 + 13х- 10 = 0; в) 16х2 = 49;
б)	2х2-Зх = 0;	г) х2-2х-35 = 0.
• 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.
3. Один из корней уравнения x2+11x + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.
Вариант 3	К—5(§ 8)
• 1. Решите уравнение:
а)	7х2-9х + 2 = 0; в) 7х2-28 = 0;
б)	5х2=12х;	г) х2 + 20х + 91 = 0.
• 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3. В уравнении х2+рх + 56 = 0 один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент р.
Вариант 4	К—5(§ 8)
• 1. Решите уравнение:
а)	9х2 —7х —2 = 0;	в) 5х2 = 45;
б)	4х2-х = 0;	г) х2 + 18х-63 = 0.
• 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3. Один из корней уравнения х2-7х + <? = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.
114
К—6(§ 9)
Вариант 1
• 1. Решите уравнение:
а) = б> -^ + - = 3-
х2-9	х2-9	х-2 х
2.	Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?
К—6(§ 9)
Вариант 2
• 1. Решите уравнение:
ч Зх + 4	х%	3 . 8 Q
а) —---= -j---; б) ------ + — = 2.
х2 —16	х2-16	х-5 X
2.	Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?
К—6(§ 9)
Вариант 3
• 1. Решите уравнение:
х2 = 4* * + 5 •	61 & _ — = я
а х2-1 X2 -1 ’	6 х-3 х 3’
2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?
К—6(§ 9)
Вариант 4
• 1. Решите уравнение:
а) = б) -S--10-2. х2-4	х2-4	х-3 х
2. Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?
115
Вариант 1
К—7(§ 10)
•	1. Докажите неравенство:
а) (х-2)* 2 3 4 5>х(х-4); б) а2+ 1 >2(За-4).
•	2. Известно, что а<Ь. Сравните:
а) 21л и 21b; б) -3,2а и -3,2b; в) 1,5b и 1,5а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3.	Известно, что 2,6<V7<2,7. Оцените:
а) 2 V7;	б) -\г7.
4.	Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и Ъ см, если известно, что 2,6<а<2,7, 1,2<Ь<1,3.
5.	К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.
Вариант 2
К—7 (§ 10)
• 1. Докажите неравенство:
а) (х + 7)2>х(х + 14); б) Ь2 + 5> 10(Ь-2).
• 2. Известно, что а>Ь. Сравните:
а) 18а и 18b; б) -6,7а и -6,7b; в) -3,7b и -3,7а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,1 < \П0 < 3,2. Оцените:
а) 3\/10; б) -V10.
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и Ъ см, если известно, что 1,5<а<1,6, 3,2<Ь<3,3.
5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Сравните произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.
116
Вариант 3
К—7(§ 10)
•	1. Докажите неравенство:
а) (х-3)* 2 3 4 5>х(х-6); б) у2 + 1 >2(5у-12).
•	2. Известно, что х<у. Сравните:
а)	8х и 8z/; б) -1,4х и - l,4z/; в) - 5,6z/ и -5,6х.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3.	Известно, что 3,6<V13<3,7. Оцените:
а) 3V13; б) -2V13.
4.	Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 <х <1,2, l,5<z/< 1,6.
5.	Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.
Вариант 4
К—7(§ 10)
• 1. Докажите неравенство:
а) (х + 1)2>х(х + 2); б) а2+ 1 >2(За-4).
• 2. Известно, что х>у. Сравните:
а) 13х и 13t/; б) -5,1х и -5,lz/; в) 2,6г/ и 2,6х.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,3<\Т1<3,4. Оцените:
a) 5VTI; б) -2VTI.
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и b см, если известно, что 4,6 < с <4,7, 6,1<Ь<6,2.
5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов получившейся последовательности с произведением крайних членов.
117
Вариант 1
К—8(§ И)
• 1. Решите неравенство: а) |х<5;
о
б)	1-Зх<0;
в)	5(у-1,2)-4,6 > 3t/ + 1.
2. При каких а значение дроби 7 + а меньше соответ-О
ствующего значения дроби 122~а ?
• 3. Решите систему неравенств:
а)
2х-3>0, 7х + 4>0;
б)
3-2х< 1,
1,6 + х<2,9.
4.	Найдите целые решения системы неравенств
6-2х<3(х- 1),
а х \
6- —>Х.
2
5.	При каких значениях х имеет смысл выражение
V3x-2 + V6-x?
6.	При каких значениях а множеством решений неравенства
Зх-7<| О
является числовой промежуток (-оо; 4)?
118
Вариант 2
К—8(§ 11)
• 1. Решите неравенство: а) |х>2;
О
б) 2-7х>0;
в) 6(1/- 1,5)-3,4 > 4z/-2,4.
2.	При каких b значение дроби ь + ± больше соответствующего значения дроби 5 ~2?
О
• 3. Решите систему неравенств:
а)
б)
4х-10>10, Зх-5>1;
1,4 + х>1,5,
5-2х>2.
4.	Найдите целые решения системы неравенств 10-4х>3(1 -х), 3,5 + 4<2х.
_	4
5.	При каких значениях а имеет смысл выражение V5a-l+Va + 8?
6.	При каких значениях Ъ множеством решений неравенства
4х + 6> 4
5
является числовой промежуток (3; + оо)?
119
Вариант 3
К—8(§ И)
• 1. Решите неравенство:
а)	— х > 1,
б)	1-6х>0;
в) 5(t/-1,4)-6<4г/-1,5.
2.	При каких т значение дроби т +1 меньше соот-О
ветствующего значения выражения т-6?
• 3. Решите систему неравенств:
а)
Зх-9
5х + 2
<0,
>0;
б)
15-х<14,
4-2х<5.
4.	Найдите целые решения системы неравенств
5(1 - 2х) <2х-4,
2,5+|>х.
5.	При каких значениях а имеет смысл выражение
V12 — Зл +	-Ь 2 ?
6.	При каких значениях а множеством решений неравенства
5х-1<4
4
является числовой промежуток (-оо; 2)?
120
Вариант 4
К—8(§ И)
• 1. Решите неравенство: а) |х<2;
О
б) 2-5х<0;
в) 3(х-1,5)-4 <4x4-1,5.
2.	При каких а значение выражения а 4-6 меньше соответствующего значения дроби ?
• 3. Решите систему неравенств:
a)	f 6х- 12 > О,
2х-3>0;
б)	(26-х<25,
2х4-7<13.
4.	Найдите целые решения системы неравенств 1 - 5х<4(1 -х), 3,5-Ь —>2х.
4
5.	При каких значениях т имеет смысл выражение V15-5m+У4 + Ш?
6.	При каких значениях Ъ множеством решений неравенства
6х4-11>4 4
является числовой промежуток (1; 4- оо)?
121
Вариант 1
К—9(§ 12)
•	1. Найдите значение выражения: а)4п-4“9 * * *;	б)6-5:63; в) (2 2)3.
•	2. Упростите выражение: а) (х“3)4-х14 *; б) 1,5а25~3 • 4а~3&4.
3.	Преобразуйте выражение:
а) (Ь-V?2: б) (^ЦГ-бх^/2.
\з )	\4y~3J
о-9 94
4.	Вычислите: ----— .
27-6
5.	Представьте произведение (4,6 • 104) • (2,5 • 10“6 * * * * *) в стандартном виде числа.
6.	Представьте выражение (а-1 + Ь-1)(а + Ь)-1 в виде рациональной дроби.
Вариант 2
К—9(§ 12)
• 1. Найдите значение выражения:
а) 5 4 -52;	б)12 3:12-4; в) (3 О"3.
• 2. Упростите выражение:
а) (а-5)4-а22; б) 0,4x6i/_8-50x~5i/9.
3. Преобразуйте выражение:
a) (Ix-vV1; б) • 10а7Ь3.
К6	/	\2Ь~3 /
•43
4. Вычислите: ----— .
8"7
5. Представьте произведение (3,5 • 10"5) • (6,4 • 102) в стандартном виде числа.
6. Представьте выражение (х-1 -	уУ1 в виде
рациональной дроби.
122
Вариант 3
К—9(§ 12)
•	1. Найдите значение выражения: а) 615 -6’13; б) 4-6:4-3; в) (51)* 3.
•	2. Упростите выражение:
а) (х-2)-4 • х"7; б) 1,2а"5&8 • 5а6Ъ~6.
3.	Преобразуйте выражение:
a) f4a-4&-2V2; б) • 10а3Ь4. /	\6Ь-1/
л -г-.	5-9  95~2
4.	Вычислите: -----.
1254
5.	Представьте произведение (6,8 • 106) • (4,5 • 10 8) в стандартном виде числа.
6.	Представьте выражение (а_14-&)(а4-6-1)-1 в виде рациональной дроби.
Вариант 4
К—9(§ 12)
• 1. Найдите значение выражения: а) 521-5~23; б) 3-8:39; в) (22) 3.
• 2. Упростите выражение:
а) (а 3)5-а18; б) 2,4x-8i/5 • 5х9^-7.
3. Преобразуйте выражение:
а) x~2y~3Y2; б) 2-15х31/.
\4	/	\3у
4-6 ie-3
4. Вычислите: ----——.
64“5
5. Представьте произведение (2,5 • 107) • (6,2 • 10 10) в стандартном виде числа.
6. Представьте выражение (х-1 -у)(х-у~1)~1 в виде
рациональной дроби.
123
Вариант 1
К—10 (итоговая)
•	1. Решите систему неравенств: 3(х-1)-2(1+ х)< 1, Зх-4>0.
•	2. Упростите выражение
(\ 6 + V3) V12 - 2 V6 • V3.
3.	Упростите выражение
( 6	1 \ у2 + бу + 9
\у2-9	3-у) '	5
4.	Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.
5.	При каких значениях х функция у = -	+ 1 при-
нимает положительные значения?
Вариант 2
К—10(итоговая)
•	1. Решите систему неравенств: 5(2х- 1)-3(Зх + 6)<2, 2х-17>0.
•	2. Упростите выражение (\Т0 + V5) V20- 5\8.
3.	Упростите выражение _____________________________1____.
\х2-4	2х-х2) х2 + 4х + 4
4.	Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагалась по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?
5.	При каких значениях х функция у =	- 2 при-
нимает отрицательные значения?
124
Вариант 3
К—10(итоговая)
•	1. Решите неравенство
4(2х-l)-3(3x + 2)> 1.
•	2. Упростите выражение
(V15 + V5)V15-4 V'27.
О
3.	Упростите выражение ( з । 1 \ • х \9-х* 2 3 4 5	х-3) ’ х2-6х + 9 ’
4.	«Ракета» на подводных крыльях имеет скорость, на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она прошла на 7 ч 30 мин быстрее, чем теплоход. Найдите скорость «Ракеты».
х — 3
5.	При каких значениях х функция у = —-—h 4 принимает отрицательные значения?
Вариант 4
К—10(итоговая)
• 1. Решите неравенство
9 (х - 2) - 3 (2х +1) > 5х.
• 2. Упростите выражение
(V18 + V3) V2-0,5V24.
3. Упростите выражение
4	1 \ х2 + 4х + 4
х2_4+2-х)’	3
4. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за ним вышла из пункта А моторная лодка, которая догнала плот на расстоянии 20 км от А. С какой скоростью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?
5. При каких значениях х функция у = —z:* +1 принимает положительные значения?
125
Вариант 1
К—1А(§ 1—5)
• 1. Пусть а<0, £>0. Сравните с нулем значение выражения:
а)	а5&6;	в) а(3&-а);
б)	г>
Ь7	Ь-а
• 2. Докажите, что при любых значениях Ъ верно неравенство:
а) (&-3)* 2>^(&-6); б) &2 +10 >2(4&-3).
3. Известно, что а<Ъ. Сравните:
а) 15а и 15&; б) -6,3а и -6,3&; в) -8& и -8а.
4. Решите уравнение:
а) (Зх- 1)(2 + 5х) = 0;	б) ^^=0.
Вариант 2
К—1А(§ 1—5)
• 1. Пусть х<0, г/ < 0. Сравните с нулем значение выражения:
a) х3 4#8; в) 3i/(2x + i/);
• 2. Докажите, что при любом а верно неравенство: а) (а - 5)2 > а (а-10);	б) а2 +12 >4(2а-1).
3. Известно, что c>d. Сравните:
а) 3,4с и 3,4d; б) -с и -d; в) -6,5d и -6,5с.
4. Решите уравнение:
а) (5х-3)(6х + 2) = 0; б)	4) = °-
126
Вариант 3	К—1А(§ 1—5)
• 1. Пусть 5>0, с<0. Сравните с нулем значение выражения:
а)	64с5; в) с(6&-2с);
б)
с8	ь~с
• 2. Докажите, что при любых значениях х верно неравенство:
а) (х + 6)* 2 3 4>х(х +12); б) х2 + 17>2(5х-4).
3. Известно, что а<с. Сравните:
а) 7,2а и 7,2с; б) -8,4а и -8,4с; в) -16с и -16а.
4. Решите уравнение:
а) (2-7х)(5 + 4х) = 0; б) + * =о.
Вариант 4
К—1А(§ 1—5)
• 1. Пусть а>0, с<0. Сравните с нулем значение выражения:
а) а7с8;	в) с(Зс-а);
б) 4;	г)
с4	а~с
• 2. Докажите, что при любых значениях а верно неравенство:
а) (2а-1)2>4а(а-1); б) а2-9> 18(а-5).
3. Известно, что х>у. Сравните:
а) 1,9х и l,9i/; б) -6,3х и -6,3i/; в) —2,9г/ и -2,9х.
4. Решите уравнение:
а) (4 + 9х)(7-2х) = 0;	б) =0.
127
Вариант 1
К—2А(§ 6—10)
• 1. Решите неравенство:
а) |х>3; б) 1-6х<0; в) 6(3,4 + х)-4,2>х + 1. О
2. При каких b значение дроби больше соответствующего значения дроби 142~Ь ?
• 3. Решите систему неравенств:
а)
5х-8<0, Зх + 4>0;
б)
7-Зх<1,
1,8-х<1,9.
4. Решите а) |2х + 3| = 7;
5. Решите а) |2х-1|<3;
Вариант 2
уравнение:
б) |1-Зх| = 37.
неравенство:
б) |6х + 2|>5.
К—2А(§ 6—10)
• 1. Решите неравенство:
а) |х<1; б) 3-5х>0; в) 5 (х-1,8)-4,6 > Зх-1,6.
2. При каких b значение дроби 4 5-^зь меньше соответствующего значения двучлена 12 + &?
•	3. Решите систему неравенств:
а)
2х + 9 >0,
б)
4-6х< 1,
9х- 1 <0;
3,6 + х > 3,8.
4. Решите уравнение:
а) |5х + 1| = 6; б) |3-7х| = 19.
5. Решите неравенство:
а) 110х + 1|>21; б) |2-6х|<4.
128
Вариант 3
К—2А(§ 6—10)
•	1. Решите неравенство:
а) |х<4; б) 5-6х>0; в) 1,7-2(Зх-1)>0,3-4х.
О
2. При каких с значение двучлена 3-4с меньше со-
ответствующего значения дроби 6 _5—?
5
•	3. Решите систему неравенств:
а)
6-2х> 1,
б)
8-4х< 3,
Зх +1 < 1 з;
4 + 6х<20.
4.	Решите уравнение:
а) |3х +11 = 7;	б) |1-2х| = 43.
5.	Решите неравенство:
а) |2х-7|<2; б) 118-х|>48. * 5
Вариант 4
К—2А(§ 6—10)
• 1. Решите неравенство:
а) |х>-1; б) 3-8х<0; в) 1,4-4(2х + 1)> 1,8-Зх.
2. При каких а значение дроби больше соответ-
О
ствующего значения дроби 5 ~ За ?
5
• 3. Решите систему неравенств:
а)
3-8х>5, х-1 <0;
б)
6х + 4 >0,
Зх-2<1.
4. Решите уравнение:
а) |11 + 10х|=1; б) |7-Зх| = 11.
5. Решите неравенство:
а) 11 + 5х|<4; б) 12-9х|> 13.
5 Алгебра, 8 кл.
129
Вариант 1	К—ЗА(§ 11—18)
•	1. Округлите число 2,53 до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности округления.
•	2. Запишите число в стандартном виде:
а) 48,16; б) 0,0184.
3.	Выполните действия (ответ дайте с точностью до 0,01):
а)	4,12 + 26,1872;	в) 37,12-19,268;
б)	3,2-21,34;	г) 9,162:3,25.
4.	Запишите программу для вычисления на микрокалькуляторе значения выражения
(1,72 • 6,3 + 8,2): 5,42-(0,16)* 3 4.
Вариант 2	К—ЗА(§ 11—18)
• 1. Округлите число 0,38 до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности округления.
• 2. Запишите число в стандартном виде:
а) 159,6; б) 0,00043.
3. Выполните действия (ответ дайте с точностью до 0,01):
а) 12,784 + 5,36;	в) 47,184-5,26;
б) 4,5 -16,64;	г) 16,45:2,51.
4. Запишите программу для вычисления на микрокалькуляторе значения выражения
(2,37 + 1,56: 3,16) - 4,81 - (3,21)5.
130
Вариант 3	К—ЗА(§ 11—18)
•	1. Округлите число 1,54 до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности округления.
•	2. Запишите число в стандартном виде:
а) 561,4; б) 0,0916.
3.	Выполните действия (ответ дайте с точностью до 0,01);
а)	1,16 + 4,8645;	в) 51,164-42,15;
б)	5,8 12,6;	г) 8,184:2,6.
4.	Запишите программу для вычисления на микрокалькуляторе значения выражения
(16,143 +8,64 • 3,2): 5,88+ (4,II)* 3 4 * *.
Вариант 4	К—ЗА(§ 11—18)
• 1. Округлите число 1,23 до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности округления.
• 2. Запишите число в стандартном виде:
а) 14,82; б) 0,00318.
3. Выполните действия (ответ дайте с точностью до 0,01):
а) 22,164 + 2,63;	в) 13,81-4,168;
б) 15,9-5,7;	г) 6,216:5,1.
4. Запишите программу для вычисления на микро-
калькуляторе значения выражения
(4,14 : 8,44 + 16,04) • 8,01 -(3,73)9.
131
Вариант 1	К—4А(§ 20—24)
• 1. Вычислите:
а) 6\/1"?-4; б) V^-VSO; в)	г) Уб4-3* 2 3 4 5 6.
V У	\/б
• 2. Упростите выражение:
a) 4V20-V125; б) (3Уб + У12)Уз;	в) (5-У2)2.
3.	Внесите множитель под знак корня:
а) 12УЗ; б) -9У2.
4.	Упростите выражение Ух2 - 6х + 9 и найдите его значение при х = 2,6.
5.	Сократите дробь:
a)	6)
V18-V3	4 + Vx
6.	Найдите значение выражения 4 4
2V3 + 1	2V3-1
Вариант 2
К—4А(§ 20—24)
• 1. Вычислите:
а) Зл/1 Л-1; б> V2Z5-V10; в) ^4^; г) V34-2e.
V 1о	\8
• 2. Упростите выражение:
а) 5У48-2У75; б) (ЗУ2 + У18)У2; в) (4-Уб)2.
3. Внесите множитель под знак корня:
а) 15У2; б) -8V3.
4. Упростите выражение У25- 10а + а2 и найдите его значение при а = 3,7.
5. Сократите дробь:
а) 4^1; б)
V6-V2	5 + \'а
6. Найдите значение выражения
2 2
3V5 + 1	3V5-1 ’
132
Вариант 3
К—4А(§ 20—24)
• 1. Вычислите:
a) 4A/2J-2; б) V0,08-V2; в)	г) V24-34.
V 9	у5
• 2. Упростите выражение:
a) 3V50-V^8; б) (2V3-V27)V3; в) (3-V?)* 2 3 4 5 6.
3.	Внесите множитель под знак корня:
а) бТб; б) -4V3.
4.	Упростите выражение vl6 + 62-86 и найдите его значение при 6 = 5,1.
5.	Сократите дробь:
а) 2 +	б)
V3 + V6	Va-3
6.	Найдите значение выражения
3________3
2\/7 + 1	2^7-1’
Вариант 4
К—4А(§ 20—24)
• 1. Вычислите:
а) 3\/1 U-1; б) V^-VO^; в) г) V54-26.
V 25	V10
• 2. Упростите выражение:
a) 2V128-V72; б) (ЗУ2 + У50)У2; в) (6-УЗ)2.
3. Внесите множитель под знак корня:
а) 12V3;	б) -8 Уб.
4. Упростите выражение Уа2- 12а + 36 и найдите его значение при а = 5,9.
5. Сократите дробь:
а)	0)
V10-2	V& + 5
6. Найдите значение выражения
133
Вариант 1	К—5А(§ 25—30)
• 1. Решите уравнение:
а)	14х* 2 3-9х = 0; в) 2х2- 11х +12 = 0; д) 2х2 + х+16 = 0;
б)	16х2 = 49;	г) х2-36х + 324 = 0; е) ^-=-^-1 = 0.
О
• 2. Решите биквадратное уравнение х4 - 13х2 + 36 = 0.
3. Сократите дробь 6х ~х-1.
9х2 -1
4. Один из корней уравнения х2 + /гх + 45 = 0 равен 5. Найдите другой корень и коэффициент k.
Вариант 2
К—5А(§ 25—30)
• 1. Решите уравнение:
а)	6х-5х2 = 0;	в) 4х2-7х-2 = 0;	д) Зх2 + 2х + 1 = 0;
б)	25х2 = 1;	г) 4х2 + 20х + 25 = 0;	е) х^^-3 = 0.
• 2. Решите биквадратное уравнение х4-29х2+ 100 = 0.
3. Сократите дробь —_+ 7х-~ - .
4-9х2
4. Один из корней уравнения х2-26х + д = 0 равен 12. Найдите другой корень и свободный член q.
Вариант 3	К—5А(§ 25—30)
• 1. Решите уравнение:
а) 21х-х2 = 0;	в) Зх2 + 8х-3 = 0;	д) 4х2 + 2х + 1 = 0;
б) 18х2 = 162;	г) х2-22х+121 = 0;	е) х2- ^х + 2 =0.
• 2. Решите биквадратное уравнение х4-35х2-36 = 0.
3. Сократите дробь 5х-+^х~-.
25х2-4
4. Один из корней уравнения х2+рх +72 = 0 равен -9. Найдите другой корень и коэффициент р.
134
Вариант 4
К—5А(§ 25—30)
• 1. Решите уравнение:
а)	6х2 3-Зх = 0;	в) Зх2-7х-6 = 0;	д) 2х2 + 6х + 7 = 0;
б)	25х2 = 81;	г) 9х2 + 24х+16 = 0;	е) х2-^-^=0.
э
• 2. Решите биквадратное уравнение х4 + х2-2 = 0.
3. Сократите дробь 2х + 1о1х~~«
4х2-9
4. Один из корней уравнения х2 + 11х + с = 0 равен -3.
Найдите другой корень и свободный член с.
x-2i/ = 4, XI/= 6.
Вариант 1	К—6А(§ 30—32)
•	1. Решите уравнение	=
•	2. Решите систему уравнений
3. Расстояние из А в В длиной 60 км мотоциклист проехал по шоссе, а обратно возвратился по проселочной дороге, которая короче шоссе на 5 км, уменьшив скорость на 10 км/ч. С какой скоростью ехал мотоциклист из А в В, если известно, что на путь по проселочной дороге он затратил на 6 мин больше, чем на путь по шоссе?
Вариант 2
К—6А(§ 30—32)
3x-z/ = l, ху = 10.
3	12
• 1. Решите уравнение-------- = 1.
X X — о
• 2. Решите систему уравнений
3. Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч?
135
Вариант 3
К—6А(§ 30—32)
14	4
•	1. Решите уравнение - - — = 3.
•	2. Решите систему уравнений
х —5у = 3, ху = 8.
3. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 20 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 2 ч 24 мин раньше второго. С какой скоростью шел первый автомобиль, если известно, что расстояние между городами равно 420 км?
7x-i/ = 5, xz/ = 18.
Вариант 4	К—6А(§ 30—32)
•	1. Решите уравнение ——^- = 1. ДС ДС о
•	2. Решите систему уравнений
3. Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?
Вариант 1
К—7А(§ 35—39)
• 1. При каких значениях х функция у = — 2х2 + 5х + 3 принимает значение, равное -4?
• 2. Постройте график функции z/ = x2-2x-8. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = -1,5;
б) значения х, при которых г/ = 3;
в) значения х, при которых г/>0;
г) промежуток, в котором функция убывает.
3. Не выполняя построения графика функции z/ = -5x2 + 6x, найдите ее наибольшее или наименьшее значение.
136
Вариант 2	К—7А(§ 35—39)
•	1. При каких значениях х функция i/ = -3x2 + 7х +1 принимает значение, равное -5?
•	2. Постройте график функции i/ = x2 + 4x-2. Найдите с помощью графика:
а)	значение у при х=1,5;
б)	значения х, при которых у = 4;
в)	значения х, при которых z/ < 0;
г)	промежуток, в котором функция возрастает.
3.	Не выполняя построения графика функции i/ = 7x2-4x, найдите ее наибольшее или наименьшее значение.
Вариант 3	К—7А(§ 35—39)
•	1. При каких значениях х функция i/ = 2x2-llx + 5 принимает значение, равное - 7?
•	2. Постройте график функции у = -х2 + 6х-4. Найдите с помощью графика:
а)	значение у при х = 4,5;
б)	значения х, при которых i/ = 3;
в)	значения х, при которых у>0;
г)	промежуток, в котором функция убывает.
3.	Не выполняя построения графика функции i/ = 3x2-4x, найдите ее наибольшее или наименьшее значение.
Вариант 4	К—7А(§ 35—39)
•	1. При каких значениях х функция i/ = 3x2-7x-8 принимает значение, равное -2?
•	2. Постройте график функции z/ = -x2-4x + 3. Найдите с помощью графика:
а)	значение у при х=1,5;
б)	значения х, при которых у = -2;
в)	значения х, при которых //<0;
г)	промежуток, в котором функция возрастает.
3.	Не выполняя построения графика функции z/ = -4x2 + 5х, найдите ее наибольшее или наименьшее значение.
137
Вариант 1	К—8А(§ 40—42)
• 1. Решите неравенство:
а) 4х* 2-4х-15<0;	в) х2<1,7х;
б) х2-81>0;	г) х(х + 3)-6<3(х+ 1).
2.	Решите неравенство методом интервалов:
а) (х + 8)(х-3)>0; б) |^у>0; в) х3-64х<0.
3.	При каких х имеет смысл выражение Vx2-2x-35?
Вариант 2	К—8А(§ 40—42)
• 1. Решите неравенство:
а)	2х2 + 5х-12>0;	в) х2>2,3х;
б)	х2-64<0;	г) х(х-5)-29>5(4-х).
2.	Решите неравенство методом интервалов:
а) (х-4)(х +7)<0;	б) >0; в) х3-49х>0.
3.	При каких х имеет смысл выражение
Vx2 + 4x-45?
Вариант 3	К—8А(§ 40—42)
• 1. Решите неравенство:
а)	Зх2 + 7х-6<0; в) х2<3,4х;
б)	х2-49>0;	г) х(х + 5)-76>5(х-8).
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х-6)(х + 9)>0;	б) ^^>0; в) х3-100х<0.
3. При каких х имеет смысл выражение
Vx2 + x-72?
Вариант 4	К—8А(§ 40—42)
• 1. Решите неравенство:
а) 5х2-17х-12>0; в) х2>4,7х;
б) х2-121<0;	г) х(х-7)—18> 7(9-х).
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х + 9)(х-3)<0; б) ^^>0; в) х3-144х>0.
3. При каких х имеет смысл выражение Vx2-3x-40?
138
Вариант 1
К—9А (итоговая)
•	1. Решите неравенство 2х* 2 3 4 5 + 7х-4>0.
•	2. Упростите выражение
V18(V6-V2)-3 V12.
3.	Решите систему уравнений
z/-5x = 1, i/2-13x = 23.
4.	Мастер должен был изготовить 72 детали, а ученик 64 детали. Изготовляя в час на 4 детали больше, чем ученик, мастер выполнил заказ на 2 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в час мастер и сколько ученик?
5.	Найдите координаты вершины параболы у = х2--4х + 3 и координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.
Вариант 2	К—9А (итоговая)
• 1. Решите неравенство 6х2-7х-24<0.
• 2. Упростите выражение
V28(V14-V7)-2\/98.
3. Решите систему уравнений
х-4у = 3, x2-21i/ = 28.
4. Две соревнующиеся бригады рабочих должны были изготовить по 240 деталей. Первая бригада изготовляла в день на 8 деталей больше, чем вторая, и в результате выполнила заказ на 1 день раньше второй. Сколько деталей изготовляла в день каждая бригада?
5. Найдите координаты вершины параболы у = -х2 + + 6х-8 и координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.
139
Вариант 3	К—9А (итоговая)
•	1. Решите неравенство Зх* 2 3 4 5-11х + 6>0.
•	2. Упростите выражение
V12(V2l+V3)-3V28.
3.	Решите систему уравнений
х- 2z/ = 6,
х2 + 6у = 10.
4.	Токарь должен был обработать 120 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 4 детали больше и поэтому выполнил задание на 1 час раньше срока. Сколько деталей в час стал обрабатывать токарь после того, как он усовершенствовал резец?
5.	Найдите координаты вершины параболы у = х2 + + 4х - 5 и координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.
Вариант 4
К—9А (итоговая)
• 1. Решите неравенство 4х2 + 5х-6<0.
• 2. Упростите выражение
V24(V30- Уб)-4 V45.
3. Решите систему уравнений
х + 2у = 8, х2-Зу = -5.
4. Бригада должна была изготовить 360 изделий к определенному сроку. Изготовляя в день на 4 изделия больше, чем полагалось по плану, бригада выполнила задание на 1 день раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада?
5. Найдите координаты вершины параболы у = -х2 + + 6х-5 и координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.
140
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМАМ
к учебнику под редакцией С. А. Теляковского
з
Рациональные дроби
1.	Приведите пример целого выражения и пример дробного выражения. Какие выражения называются рациональными?
2.	Какую дробь называют рациональной? Представьте в виде рациональной дроби выражение:
ч (х +2)2-(х-2)2 . g. a(b + 3)-b(a-4)
’ 6(у —5)-3(у—10) *	J (a-b)2 + 2ab ’
3.	Укажите допустимые значения переменной в выражении:
\ За — b	Ь — 2	\
а) Тл ;	б) ~2Г’	в)
4.	Дайте определение тождества. Какие из равенств являются тождествами:
а) 5(а-3) = 5д-15 б) “±Ь=а; в) = -? а	а	b	у(х-З) у
5.	Запишите тождество, выражающее основное свойство дроби. Сократите дробь:
s 6х + 24у .	тп2-1Отп + 25 .	ч аб-362
}	18x1/ ’ б) т2-25	’	} д2-3дб'
6.	Сформулируйте правило об изменении знака дроби. Сократите дробь:
а) ; б) -±^!_
6а2 -Зах	(2i/-x)3
7.	Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Упростите выражение:
х 5х2-2у2	2у2.	д2-47___2 .	ч б2+ 25	106
’ Зх	Зх ’	f а + 7	а + 7 1	' 26-10	10-26’
8.	Выполните сложение или вычитание дробей:
\ х — 3 . Зх+1 л
9.	Сформулируйте ] бей. Выполните ;
а) *2~д2 . ах2 . ах3	х + а ’
б)
G/ + 2)2
б)	в) _3-----2_+ 18
а	с + 3 с — 3 с2 — 9
правила умножения и деления дро-умножение или деление дробей:
\ д2-2д6 . а-26 ,
}	662	’ 36 ’
. г) ^-9е + 9.(3с_9)
141
10.	Сформулируйте правило возведения дроби в степень. Представьте в виде дроби:
(2а2\3.	f_3x3\4
\3&3/ ’	\ 2У / ’
11.	Представьте в виде рациональной дроби:
±_1
\ / Ь______а \ аЬ . a. b а,
’Х^-аЬ ab-b2) « + &	' ТД ’
b а
12.	Какая функция называется обратной пропорциональностью? Постройте график функции:
а)	б) г/ = -|.
Какова область определения функции у = где
Опишите особенности графика функции у = —, где
х
Квадратные корни
1.	Какие числа образуют множество рациональных чисел? Назовите какие-нибудь три дробных числа; целых числа; натуральных числа.
2.	Представьте в виде несократимой дроби число: а)-|;	б)2|; в) -23; г) 49; д) 8,5.
3.	Сравните числа:
а)	1,237 и 1,245; в) | и |;
б)	-1 и -0,56; г) -1 и
Z	о	э
4.	Какие числа называют иррациональными? Назовите два каких-нибудь иррациональных числа.
5.	Какие числа образуют множество действительных чисел? Какие действительные числа можно представить в виде отношения целого числа к натуральному? Какие действительные числа нельзя представить в таком виде? Приведите примеры.
6.	Дайте определение арифметического квадратного корня. Докажите, что:
а)	число 8 есть арифметический квадратный корень из 64;
б)	число -3 не является арифметическим квадратным корнем из 9;
в)	число 0,4 не является арифметическим квадратным корнем из 1,6.
142
7.	Имеет ли смысл выражение Va, если а равно: а) 81; б) 53; в) -25? При каких а выражение у/a имеет смысл?
8.	Найдите все корни уравнения:
а) х2 = 49; б) х2=7; в) х2 = 0; г) х2 = -4.
При каких значениях а уравнение х2 = а имеет корни? Укажите число его корней.
9.	Решите уравнение:
а) х2-6 = 0;	б) х2 + 9 = 0; в) х2 = 0.
10.	Начертите график функции у = \!х. Какова область определения этой функции?
11.	Принадлежит ли графику функции у = \[х точка: А(121; 11); В(-81; 9)?
12.	Сформулируйте и запишите в виде буквенного равенства теоремы:
а)	о квадратном корне из произведения;
б)	о квадратном корне из дроби.
13.	Вычислите:
a) V49-81;	6)720-75; в)	г)
V 25	V10
14.	Почему при любом х верно равенство Vx2 = |x|?
Вычислите: V(l>5)2; V(-2,l)2; 2\/(0,5)2; V2®; VF.
15.	Какое из равенств является верным: y(l--V2)2 = V2-1 или V(1 - V2)2 = 1 - V2?
16.	Вынесите множитель за знак корня:
a) Уб(); б) \/2i/2, где у >0; в) \/з&2, где &<0.
17.	Внесите множитель под знак корня:
а) 7\/2; б) аУб, где а>0; в) &Уз, где Ь<0.
18.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
a)	б) -^=; в)	г) -1±=.
V2	5V2	V3-1	5 + V2
Квадратные уравнения
1.	Дайте определение квадратного уравнения. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением? приведенным квадратным уравнением? Приведите примеры приведенного квадратного уравнения и неполных квадратных уравнений.
143
2.	Решите уравнение:
а)	2х2- 0,08 = 0;	в) 0,Зх2 = 0;	д) х2 + 6х = 0;
б)	5х2-20 = 0;	г) 9х2-2х = 0;	е) 0,2х2 = 72.
3.	Сколько корней имеет квадратное уравнение вида:
а) ах2 + с = 0, где с^О; б) ах2 + Ьх = 0, где Ь*0; в) ах2 = 0.
4.	Что называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0? Запишите формулу корней квадратного уравнения. В каком случае квадратное уравнение не имеет корней?
5.	Решите уравнение:
а)	2х2-7х + 6 = 0; в) Зх2-х + 2 = 0;
б)	9х2-6х+1 =0; г) х2-10х +16 = 0.
6.	Сформулируйте теорему Виета и теорему, ей обратную. Чему равна сумма и произведение корней уравнения:
а)	х2-59х +23 = 0; в) х2-39х = 0; д) 2х2-8х~5 = 0;
б)	х2+ 17х-108 = 0; г) х2-419 = 0; е) -Зх2 + х + 6 = 0?
7.	Найдите подбором корни уравнения:
а) х2-5х + 6 = 0; б) х2-х-6 = 0.
8.	Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.
9.	Решите уравнение:
ч 2	5	_ 1 .	1_б
х2-2х х2 + 2х х	х-3 х х2-3х
10.	Решите задачу: «Путь в 12 км один пешеход прошел на 24 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый двигался со скоростью, на 1 км/ч большей, чем второй».
Неравенства
1.	Сформулируйте определения понятий «меньше» и «больше». Сравните числа а и Ь, если:
а) а-6 = 0,016; б) а-д = 0; в) а-6 = (-0,3)7.
2.	Докажите неравенство:
а) (а+7)(а-5)>(а + 12)(а-10); б) а(44~а) <1.
3.	Сформулируйте теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
а)	Сравните числа а и с, если а>Ь и с<Ъ.
б)	Зная, что а<Ъ, сравните: а + 4 и Ь + 4; 8а и 8Ъ;
-14а и -14b; и
5	5
144
4.	Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств. Зная, что 8<а<9 и 4<&<5, оцените сумму а + b и разность а-Ь.
5.	Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств. Зная, что 11<х<12 и 2<у<3, оцените произведение ху и частное —.
6.	Изобразите на координатной прямой множество чисел х, если:
а) а<х<Ъ; б) а<х<Ь; в) х>а; г) х<Ь.
7.	Является ли число 3 решением неравенства 2х-1>3? Что называется решением неравенства? Что значит решить неравенство?
8.	Сформулируйте свойства равносильности, которые используются при решении неравенств.
Решите неравенство и укажите, какое свойство равносильности использовалось при его решении: а) х + 11>16; б) 12х<3,6; в) -15х>-45; г) ^>-2.
9.	Решите неравенство:
а) 5(х-0,2)-0,4(3-х)< 1; б) |-х<-2.
10.	Является ли число - 3 решением системы неравенств 2х +1 <0, 3-6х>20?
Что называется решением системы неравенств? Что значит решить систему неравенств?
11.	Решите систему неравенств:
а)
5(х-1)-6(3-х)>0,
6)h+f<i.
0,6х- 1 < 3,2;
3-2х>0.
12.	Решите двойное неравенство
-1<
1-2х 4
<3.
Степень с целым показателем
1.	Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем. Найдите значение выражения: а) (0,1) 3; б) (-4)“2.
2.	Сформулируйте свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями. Запишите соответствующую формулу. Упростите выражение ст1 • а5 • а~2.
145
3.	Сформулируйте свойство частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями. Запишите соответствующую формулу. Представьте в виде степени с основанием а:
l6
а) а5:а-4; б) ап:а~3; в) —.
ьп
4.	Как возвести степень с целым показателем в степень? Преобразуйте в произведение степень:
а) (а-1) 2; б) (а-3)".
5.	Как возвести произведение в степень с целым показателем? Как возвести частное в степень с целым показателем? Упростите выражение:
а) (|	б)	в) (О^а’1*2)2 • 4a 5fe.
6.	Какую запись называют стандартным видом числа? На примере чисел 12 000 и 0,0076 объясните, как представить число в стандартном виде. Выполните действия:
а) 1,84 • 10’5 • 4,2 • 106; б) (30,4 • 103): (2,5 • 10~2).
7.	Что означает запись а=1,24±0,01?
8.	Как округляют результат при сложении и вычитании чисел? Найдите приближенные значения суммы и разности чисел а и Ь, если а ~ 12,138, &~4,8.
9.	Как округляют результат при умножении и делении чисел? Найдите приближенные значения произведения и частного чисел х и у, если. х~4,16, г/ ~ 2,5.
к учебнику под научным руководством А. Н. Тихонова
Неравенства
1.	Сформулируйте определения понятий «меньше» и «больше». Сравните числа а и Ь, если:
а) а-Ь = -0,24; б) а-Ь = О;	в) а-Ь = (-0,45)6.
2.	Докажите неравенство:
а) (а-4)(а + 7)<(а + 5)(а-2); б) a(6~a)<l.
3.	Сформулируйте теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
а)	Сравните числа а и Ь, если а<с, Ь>с.
б)	Зная, что а>Ь, сравните: а-5 и Ь-5; 13а и 13b;
-9а и -9Ь; 4 и о о
4.	Сформулируйте теорему о сложении неравенств.
а)	Выполните сложение неравенств 12>-3 и -6>-18.
б)	Докажите, что если а>4 и Ь>3, то 5а + ЗЬ>29.
5.	Сформулируйте теорему об умножении неравенств.
а)	Выполните умножение неравенств 6<14 и
б)	Докажите, что если а>2, Ь>40, то а&-4>76.
6.	Какие неравенства называют строгими? нестрогими?
а)	Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству а <6; а<0.
б)	Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству а >8, а>-3.
7.	Является ли число 4 решением неравенства 5х-2>11? Что называется решением неравенства с одним неизвестным? Что значит решить неравенство?
8.	Сформулируйте свойства, которые используются при решении неравенств.
Решите неравенство и укажите, какие свойства использовались при его решении:
а) х-6>4; б) 8х>32; в) -Зх<-9; г)
9.	Решите неравенство:
а) 4(2х-1)-3(х + 2)>5;	б) ^-х<0.
147
10.	Является ли число 5 решением системы неравенств Зх + 4>11, 12-2х<5?
Что называется решением системы неравенств? Что значит решить систему неравенств?
11.	Решите систему неравенств: а) [ 2(3х-1)-(х + 8)<0, б)
3-5х<11;
х — 1 X „
4 + 3
Зх-1<5.
12.	Решите неравенство, содержащее переменную под
знаком модуля:
а) 15х- 11<4;	б) |3-2х|>7.
Приближенные вычисления
1.	Что называется абсолютной погрешностью? Найдите абсолютную погрешность приближения:
а)	числа 0,417 десятичной дробью 0,42;
б)	числа десятичной дробью 0,3.
3
2.	Что означает запись a = a±h? Известно, что х=1,24± ±0,02. Запишите это условие в виде двойного неравенства.
3.	Пусть х = 6,3 ±0,1. Может ли число х быть равным: 6,35; 6,22; 6,43?
4.	Докажите, что число 0,14 является приближенным значением дроби у с точностью до 0,01.
5.	Сформулируйте правило округления чисел. Округлите число 186,516 до сотых, десятых, единиц, десятков, сотен.
6.	Представьте в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число:
а) 8,26; б) 1,33; в) 1; г) д) 7	о	о
7.	Что называется относительной погрешностью? Округлите число до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешность округления:
а) 5,16; б) 9,731; в) 0,916.
8.	Найдите относительную погрешность приближения: а) числа числом 0,16; б) числа 4 числом 1,7.
6	3
9.	Измеряя длину некоторого стержня разными приборами, получили в первом случае, что Z = 46±l см, а во втором, что 1 = 46,1 ±0,1 см. Оцените относительную погрешность каждого результата.
148
10.	Какую запись называют стандартным видом числа? Какие из следующих чисел записаны в стандартном виде: 4,2-105; 12,6-Ю 3; 0,8-104; 1,88-1011?
11.	Запишите в стандартном виде число:
а)	12,64; б) 124,8; в) 0,276; г) 0,0144.
Квадратные корни
1.	Из рациональных чисел
-8; 26; |; 3,6; -16; 24; 1; -0,25; 0 выпишите те, которые являются: а) натуральными; б) целыми; в) дробными.
2.	а) Представьте в виде конечной или бесконечной десятичной периодической дроби число: 4;	4; 2^.
о 25 О 11
б)	Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: 0,(8); 0,(25); 4,1(6).
3.	Какие числа называются иррациональными? Какие числа образуют множество действительных чисел? Укажите два каких-либо рациональных и два каких-либо иррациональных числа.
4.	Дайте определение арифметического квадратного корня. Является ли число 7 арифметическим квадратным корнем из 49; число 0,6 арифметическим квадратным корнем из 3,6? число -9 арифметическим квадратным корнем из 81?
5.	Верно ли равенство:
a) V225 = 15; б) 714,4 = 1,2;	в)7121 = -11?
6.	Вычислите значение выражения:
а)	2736-3^121; в) 718 • 2 - зТ20 • 5.
б)	571,44 + 670,01;
7.	Имеет ли смысл выражение Та, если а = 36; 18; -4? При каких значениях а выражение Та имеет смысл?
8.	Является ли равенство 7о* = |а| тождеством? Вычислите:
a) V(3,4)2; б) V(- 1.6)2; В) 27(0,9)2; г) VF; д) V3».
9.	Какое из равенств является верным: V(2-T5)2 = 2-75, V(2-T5)2=Ti-2?
10.	Сформулируйте теорему о квадратном корне из произведения и запишите ее в виде тождества.
Вычислите:
а) 716121; б) 772-8; в) 718-72; г) 7о?з Т1?2.
149
11.	Сформулируйте теорему о квадратном корне из дроби и запишите ее в виде тождества.
Вычислите:
а) Vf =	б> в> г>
V 81	V 10	V2	\ 8
12.	Вынесите множитель из-под знака корня:
a) V72; б) V16x; в) V3a2, где а>0; г) V12a6, где а>0.
13.	Внесите множитель под знак корня:
а) 6\/5; б) 0,1 Va; в) а\/Т2, где а>0.
14.	Упростите выражение:
a)	5V128 + 3V2-6V72; в) (2\/3 + зТ5)(2\/3-3\/5).
б)	(V12 + V3)2;
15.	Исключите иррациональность в знаменателе дроби:
а) 4=; б) -Ц=; в)	г)
Vio	2V3	V5-1	3 + V2
16.	Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел а и b и запишите соотношение между ними в виде неравенства.
Квадратные уравнения
1.	Дайте определение квадратного уравнения. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением? приведенным квадратным уравнением? Приведите примеры приведенного квадратного уравнения и неполных квадратных уравнений.
2.	Решите уравнение:
а)	Зх2-0,27 = 0;	в) х2-7х = 0;	д) 4,2х2 = 0;
б)	2х2-32 = 0;	г) 7х2 + Зх = 0;	е) 9х2 + 1 = 0.
3.	Запишите формулу корней квадратного уравнения.
В каком случае квадратное уравнение:
а)	имеет два действительных корня;
б)	имеет один действительный корень;
в)	не имеет действительных корней?
4.	Решите уравнение:
а)	Зх2 + 13х-10 = 0;	в) х2-5х + 6 = 0;
б)	5х2-2х —3 = 0;	г) 2х2 + 8х+15 = 0.
5.	Сформулируйте теорему Виета и теорему, ей обратную. Чему равны сумма и произведение корней уравнения:
а)	х2-41х + 17 = 0; в) х2-17х = 0; д) 2х2-6х-3 = 0;
б)	х2 + 19х-35 = 0; г) х2-237 = 0; е) -Зх2 + х+12 = 0?
150
6.	Найдите подбором корни уравнения: а) х2-7x4-12 = 0; б) х2 + х-12 = 0.
7.	Найдите корни квадратного трехчлена:
а) 2х2-7х-|-6; б) 4х2 4-4х 4-1; в) -Зх24-5х-2.
8.	Разложите на множители квадратный трехчлен:
а)	х2-4х-5; в) 4х24-7х-2;
б)	х2 4-х-30; г) -2х2 4-х 4-1.
9.	Какое уравнение называется биквадратным? Приведите примеры.
10.	Решите биквадратное уравнение:
а) х4-17х2-ь 16 = 0;	б) х4 + 5х2-36 = 0.
11.	Решите уравнение: _ \ 2х — 1   х + 7 ,	ч 7	10   3 ,
' Зх + 4	х-1 ’	' х+ 2 х	х-2 ’
б) 2^1=Х + 3;
г)
2х-2 х + 3 _ к х + 3	х-3
12.	Решите систему уравнений:
а) | x(i/4-1) = -4,
б)
х-Ь1/ = 5,
в)
x-z/ = 6;
XI/= 6;
у2_Зхг = 52, х-у = 14.
13.	Решите задачу: «Один из пешеходов расстояние в 10 км прошел на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что один из них двигался со скоростью, на 1 км/ч большей, чем другой».
Квадратичная функция
1.	Дайте определение квадратичной функции. Приведите примеры.
2.	Найдите нули квадратичной функции:
а) у = х2-8х;	б) z/ = 3x2-27; в) у = 5х24-8х-4.
3.	Сформулируйте свойства квадратичной функции у = ах2 при а>0 и при а<0.
4.	В одной и той же системе координат постройте графики функций z/ = x2, i/ = -2x2, у=^х2.
5.	При каком значении а парабола у = ах2 проходит через точку М(-5; 200)?
6.	Найдите координаты вершины параболы:
а) у = х2-4х + 7;	б) z/ = -2x24-4x-1.
7.	Найдите координаты точек пересечения параболы z/ = 4x2-6x-18 с осями координат.
151
8.	Постройте график функции z/ = - х2 4- 2х 4- 8 и опишите ее свойства (найдите нули функции, промежутки, в которых у >6 и г/< 0, промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее или наименьшее значение функции).
9.	Принадлежит ли графику функции у = 5х2- 10x4-6 точка: А(1; 1); В(2; 6); С(-6; -126)?
10.	Не выполняя построения графика функции z/ = 3x2--30х-7, найдите наибольшее или наименьшее значение функции.
Квадратные неравенства
1.	Является ли решением неравенства 2х2- 18x4-15 >0 число:
а) -1; б) 1; в) 4; г) -0,5?
2.	На примере неравенства 2х2-7х4-6<0 объясните, как можно решить неравенство второй степени.
3.	Решите неравенство:
а)	х2-10x4-21 <0; в) 2х2-6х<0; д) 0,5х2-Зх4-4,5<0;
б)	х2 + 6х-7>0; г) 5х24-8>0; е) 8х2-32<0.
4.	На примере неравенства (х-1)(х-2)(х-5)>0 объясните, как решают неравенства методом интервалов.
5.	Решите методом интервалов неравенство:
а) (х-3)(х4-2)<0; б) (х4-6)(х-4)(х-7)<0.
6.	Решите неравенство:
а) х3-9х>0;	б)^|<0.
7 х + 4
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНЫХ ОЛИМПИАД
Осенняя олимпиада
1.	Найдите двузначное число, которое в 8 раз больше суммы его цифр.
2.	Две бригады в 30 человек и 10 человек строят два дома, расположенные на расстоянии 1 км друг от друга. На каком расстоянии от каждого дома надо расположить передвижную столовую, чтобы общее расстояние, которое придется пройти всем 40 рабочим, было наименьшим?
3.	Постройте график уравнения (х-1)2у = 0.
4.	Мне было задано пятизначное число. Если к цифровой записи данного числа справа приписать цифру 2 и полученное таким образом число разделить на число, полученное из данного приписыванием цифры 2 слева, то получится 3. Какое число мне было задано?
5.	Представьте число 2 в виде суммы четырех различных дробей, числители которых равны единице, а знаменатели — натуральные числа.
6.	Автобус первую половину пути из города А в город В прошел со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 20 км/ч. Из города В в город А автобус шел со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на всем пути.
Весенняя олимпиада
1.	Постройте график уравнения: а)	б) |z/| = x2-l.
2.	На координатной прямой отмечено несколько точек. Если каждую точку переместить влево на 3 единичных отрезка, то сумма координат этих точек станет равна - 27. Если же каждую точку переместить вправо на 4 единичных отрезка, то сумма изменится на 32. Сколько точек было отмечено на прямой и какова сумма их координат?
3.	График функции у = \kx +р\ проходит через точку А (4; 2) и часть его параллельна прямой 3z/-6x = 4. Каковы могут быть значения коэффициентов k и р?
4.	Докажите, что функция f(x) = (x+ 1)(х + 3)(х-|-5)х х (х + 7) + 20 принимает положительные значения при любых значениях переменной х.
5.	Какой цифрой заканчивается сумма x4 + z/4, если х и у принимают целые значения?
6.	В десятичной записи некоторого целого числа имеется 100 троек, 300 единиц, а остальные — нули. Может ли это число быть квадратом некоторого целого числа?
153
Ответы к контрольным роботом
К—1
о 1 1 2а 3 ч y-z п ч х2-3	2&	2
В—1. 1. а) — б) -----; в) . 2. а)----—; б) —,—г; в) -д——.
76’ ’ х + 4	'2	Зх2 4а2-&2 с2 + 3с
3. 25. 4.	. 5. -5, -1, 1, 5.
х2 + 3х
В—2. 1. а) б) -Ц; в) 2. а) б)----------------; в) —.
2у у-2 a + b	2а2	9х2-у2	Ь2-2Ь
3. -40. 4. ——. 5. -5, -1, 1, 5. х3 - 16х
В-3. 1. а) б) _J_. в) £zJ/. 2. а) б) —в> ~Г • 9р’	а + 5	4	4t/2	25с2-d2 а2 + 5а
3. 4. 4.	. 5. -3, -1, 1, 3.
х2-7х
В—4. 1. а) б) в) . 2. а) 7Ь-у~; б)-----------; в) —.
2с Ъ 9 х + у	3b	16p2-q2	у2-бу
3. 20. 4. —. 5. -7, -1, 1, 7.
5У-У2
К—2
В—1. 1. а) А; б) в) -^4-; г) 2. 4. а^-0,25 и а*1,5. ' 2 ’ ' 2с ' За-9 ' g
У
В—2. 1. а) б) в) г) -. 4. fc*0,5 и Ь*1,5.
3 2а ’ х-2	’ у
В—3. 1. а) б) в)	г) 4. х*0,8 и х*2.
В—4. 1. а) 4-; 6) в) г) . 4.	1,25 и у*-3.
4q 1 2а ’ а + 3	’ х у	у
К—3
В—1. 1. а) 2,1; б) 1,5; в) 2. 2. а) 4; б) 28; в) 2; г) 72. 3. а) -0,7; 0,7; б) -V10; Ж 4. а) Зх3; б) 106. 5. 4,1 и 4,2. 6. [0; 16) и (16; +оо).
В—2.	1.	а) 7,9;	б) -3,5; в)	6. 2.	а)	3; б) 12;	в)	3; г)	20.
3.	а) -0,8;	0,8; б) -V17;	V17. 4.	а)	2г/4; б) -28.	5.	6,1 и	6,2.
6. [0; 25) и (25; +°°).
В—3.	1.	а) 11,45; б) -0,5; в) 5. 2.	а)	3,6; б) 60;	в)	5; г)	54.
3.	а) -0,9;	0,9; б) -V46;	V46. 4.	а)	-Ь4; б) 14х.	5.	5,2 и	5,3.
6. [0; 4) U (4; 4-оо).
В—4. 1. а) 2,3; б) 3; в) 0,8. 2. а) 3; б) 42; в) 4; г) 56. 3. а) -0,3; 0,3; б) -V'oi; V92. 4. а) х5; б) |i/. 5. 7,4 и 7,5. 6. [0; +°°).
154
К—4
В—1. 1. а) - 11V3; б) 4; в) 11-6V2. 2. 7A/4>4v20. 3. а)
V ‘	2	у5
б) 3-Va. 4. а) у|; б)	6. При а = 0.
В—2.
В—3.
В—4.
1.
4.
1.
б)
1.
б)
. 3. а) 6)Vb+2.
V2
а) О; б) 5; в) 5 + 2V6. 2. -|-7б0<10^
а) б) 2VTI-6. 6. При х = О.
а) -6\/3; б) 6; в) 7-4\/з. 2. |V12<|V45. 3. &	о
4. а) б) 2V6-2V2. 6. При х = 0.
3	6
а) ~У=
a) 6V2; б) 21; в) 8-2V15. 2. ^-V28>^V54. 3. а)
2	3	V2
4. а) б) 2V13 + 2V2. 6. При р = 0. 2	о
К—5
В—1. 1. а) -4,5; 1; б) 0; 6; в) -0,4; 0,4; г) 7; 9. 2. 4 см и 6 см. 3. х2 = 2, р = 7.
В—2. 1. а) -5; б) 0; 1,5; в) -14; 14; г) -5; 7. 2. 7 см и 3	4	4
8 см. 3. х2 = -4, 9 = 28.
В—3. 1. а) |; 1; б) 0; 2,4; в) -2; 2; г) -7; -13. 2. 4 см и 9 см.
3. х2 = - 14, р = 18.
В—4. 1. а) -4; 1; б) 0; 4; в) -3; 3; г) -21; 3. 2. 3 см и 8 см.
9	4
3. х2 = -6, <у = -78.
К—6
В—1. 1. а) -4; б) |; 5. 2. 18 км/ч.
В—2. 1. а) -1; б) 2,5; 8. 2. 27 км/ч.
В—3. 1. а) 5; б) -2; 4. 2. 16 км/ч.
В—4. 1. а) 7; б) -3; 5. 2. 22 км/ч.
К—7
В—1. 2. а) 21а<21Ь; б) -3,2а>-3,2&; в) 1,5&>1,5а. 3. а) 5,2< <2\/7<5,4; б) — 2,7< —V7< —2,6. 4. 7,6<Р<8,0; 3,12<S<3,51. 5. (а + 2)(а + 5)<(а + 3)(а + 4).
В—2. 2. а) 18а >186; б) - 6,7а <-6,76; в) - 3,76 >-3,7а. 3. а) 9,3 < <3V10<9,6; б) -3,2<-\То<-3,1. 4. 9,4<Р<9,8; 4,80< <8<5,28. 5. п(п + 3)<(п+ 1)(п + 2).
В—3. 2. а) 8х<8у; б) - 1,4х>-1,4г/; в) -5,6г/<-5,6х. 3. а) 10,8< <ЗЛ/13<11,1; б) - 7,4<-2\Тз<-7,2. 4. 5,2<Р<5,6; 1,65 <8< 1,92. 5. (п + 1)2>п(п + 2).
155
В—4. 2. а) 13х>13у; б) 5,lx<-5,lt/; в) 2,Qy<2,Qx. 3. а) 16,5< <5\/Т1<17,0; б) -6,8<-2 \Т1<-6,6. 4. 21,4 < Р < 21,8; 28,06<8<29,14. 5. (m + 5)(m + 4)>(m + Q)(m + 3).
К—8
В—1. 1. а) (-оо; 30); б) Г|; + оо); в) (5,8; +оо). 2. При а<4,4. 2
3. а) (1 ,5; +°°); б) (1; 1,3). 4. 2; 3; 4. 5. При — <х<6.
6. При а = 15.
; 11; в) (-ОО; Ц,5). 2. При /П>9,5. 6 J
В—2. 1. а) [6; + °°); б) (-оо; |в) (5; +°о). 2. При Ь>-|. 3. а) (5; + оо); б) (0,1; 1,5). 4. 3; 4; 5; 6; 7. 5. При а>0,2. 6. При & = 90.
В—3. 1. а) (4; +°°); б) (-оо
3. а) (-0,4; 3); б) (1; +°о). 4. 1; 2; 3; 4; 5. 5. При -2<а<4. 6. При а = 36.
В—4. 1. а) (-оо; 16]; б) (0,4; +°о); в) (-10; 4-оо). 2. При а<-7|. 3. а) (2; + оо); б) (1; 3). 4. -2; -1; 0; 1; 2. 5. При -4</п<3. 6. При & = 68.
К—9
В—1. 1.
4.
В—2. 1.
б)
В—3. 1.
б)
В—4. 1.
б)
К—10
В—1
а) 16; б) в) А.. 2. а) х2; б) 3. а) ; б) оо 64	а	у4	У
3. 5. 1,15-10"1. 6. -А-. ab
а) 0,04; б) 12; в) 27. 2. а) а2; б) 20хг/. 3. а) -Ц-;
4. 512. 5. 2,24 10~2. 6. - —.	У
9bs	ХУ
а) 36; б) -Ь в) -1-. 2. а) х; б) Qab2. 3. а) 64	125	4
72а7&2. 4. 0,2. 5. 3,06-10" Ч 6. -. 5	а
а) 0,04; б) 3; в) ± 2. а) а3; б) 1Д£. 3. а) 16х4г/6; 64	у2
. 4. 64. 5. 1,55-10“2. 6. -^.
5г/3	х
1. (Ц; б). \ о /
2. 6. 3. - ^ + 3 . 4. 80 км/ч, 70 км/ч. 5. При
5
х<12.
В—2. 1. (8,5; 25). 2. 10. 3.	4. 50 км/ч. 5. При х>-4.
В—3. 1. (-оо; -11). 2. 15. 3. ^|. 4. 70 км/ч. 5. При х<-9.
В—4. 1. (-оо; -10,5). 2. 6. 3.	4. 3 км/ч. 5. При х<18.
О
156
К—1А
В—1. 4. а) 1; -4; б) В—3. 4. а) -1^-; б) ’ 3	5	'8	' 7	4 '	12
В-2. 4. a) |; -|; б) -4. В-4. 4. а) з|; б) О. О О	У ct
К—2А
В—1. 1. а) х>9; б) в) х>-3,04. 2. 5>26. 3. а) -1-^<х<14;
6	3	5
б) х>2. 4. а) -5; 2; б) -12; 12^. 5. а) -1<х<2; б) х<-1 3	о
В—2. 1. а) х<1; б) в) х>6. 2. Ь>-4. 3. a) -4j<x<|; б) х>|. 4. а) -1,4; 1; б) -2|; з|. 5. а) х<-2,2; х>2; б) -|<х<1.
В—3. 1. а) х<32; б) х< в) х<1,7. 2. с>0,6. 3. а) х<2,5; б) 1 -^<х<2|. 4. а) -2|; 2; б) -21; 22. 5. а) 2,5<х<4,5; б) х<-30; х>66.
В—4. 1. а) х>-9; б) х>|; в) х<-0,88. 2. а>-13. а) х<-
б) -|<х<1. 4. а) -1,2; -1; б) -1^; 6. 5. а) -1<х<0,6; о	3
б) х<-1|, х>1|. '	9	3
К—ЗА
В—1. 1.	0,03;	1,2%.	3.	а)	30,31;	б)	68,29;	в)	17,85; г) 2,82.
В—2. 1.	0,02;	5,3%.	3.	а)	18,14;	б)	74,88;	в)	41,92; г) 6,55.
В—3. 1.	0,04;	2,6%.	3.	а)	6,02; б) 73,08; в) 9,01; г) 3,15.
В—4. 1.	0,03;	2,4%.	3.	а)	24,79;	б)	90,63;	в)	9,64; г) 1,22.
К—4А
В—1. 1. а) 4; б) 12; в) 6; г) 75. 2. а) 3V5; б) 9V2 + 6; в) 27-10V2. 4. 0,4. 6. -А.
В—2. 1. а) 2|; б) 5; в) 0,3; г) 72. 2. а) 10V3; б) 12; в) 21-8V5. 4. 1,3. 6.-Х.
В—3. 1. а) 4|; б) 0,4; в) 5; г) 36. 2. a) 8V2; б) -3; в) 16-6V7. 4. 1,1. 6.
9
157
В—4. 1. а) 2,6; б) 1,5; в) 5; г) 200. 2. а) 10V2; б) 16; в) 39-12V3.
4. 0,1. 6. -4.
К—5А
В—1. 1. а) 0; б)	1у; в) 1у; 4; г) 18; д) корней нет;
е) 8; -1. 2. ±3, ±2. 3. 1^. 4. k = - 14; х2 = 9. ох — 1
В—2. 1. а) 0; 1,2; б)	в) ; 2; г) -2,5; д) корней нет;
5	5	4
е) -1; 6. 2. ±5, ±2. 3.	4. д=168; х2 = 14.
2 + Зх	4	г
В—3. 1. а) 0; 21; б) -3; 3; в) -3; г) 11; д) корней нет; О
е) -1; 2. 2. ±6. 3.	4. р = 17; х2—8.
6	5х + 2
В—4. 1. а) 0;	; б) - 1 ±; 1 ; в) - ; 3; г) - 1 ; д) корней нет;
о о	о	о
е) -1; 2. 2. ±1. 3.	. 4. с = 24; х = -8.
5	2х + 3
К—6А
В—1. 1. -1; 5. 2. хг=-2, уг = -3; х2 = 6, у2 = 1. 3. 60 км/ч. о
В—2. 1. -3. 2. х1 = -1 , г/!=-6; х2 = 2, у2 = 5. 3. 15 км/ч.
2	*
В—3. 1.	; 8. 2. хх = -5, i/1 = -l,6; х2 = 8, у2 = 1. 3. 70 км/ч.
2
В—4. 1. -18; -5. 2. хг = -1 у, у1 = ~14; х2 = 2, у2 = 9. 3. 24 км/ч.
К—7А
В—I. 1. При х = - 1 и х = 3у. 3. 1,8 — наибольшее значение.
В—2. 1. При х = -^- и х = 3. 3. - 4 — наименьшее значение. 3	7
В—3. 1. При х=1~ и х = 4. 3. -14 — наименьшее значение. н 2	3
2	9
В—4. 1. При х = ~— и х = 3. 3. 1— — наибольшее значение.
К—8А
В—1. 1. а) -1у <х<2|; б) х<-9, х>9; в) 0<х<1,7; г) -3<х<3. 2. а) х<-8; х>3; б) -7<х<5; в) х<-8; 0<х<8. 3. При х<-5 и х>7.
В—2. 1. а) х<-4, х>1 у; б) -8<х<8; в) х<0; х>2,3; г) х<-7, х>7. 2. а) -7<х<4; б) х<-3, х>8; в) -7<х<0, х>7. 3. При х<-9 и х>5.
158
В—3. 1. а) ~3<х<^; б) х<-7, х>7; в) 0<х<3,4; г) х<-6, х>6; 2. а) х<-9, х>6; б) -6<х<12; в) х<-10, 0<х<10. 3. При х<-9 и х>8.
В—4. 1. а) х<-0,6, х>4; б) -11<х<11; в) х<0, х>4,7; г) х<-9, х>9. 2. а) -9<х<3; б) х<-8, х>13; в) -12<х<0, х>12. 3. При х<-5 и х>8.
К—9А
В—1. 1. х<-4, х>-^. 2. -6. 3. х1 = -0,88, г/^-3,4; х2=1, 1/2 = 6. 4. 12 и 8 деталей. 5. (2; -1), (1; 0), (3; 0), (0; 3).
В—2. 1. -1-^<х<2|. 2.-14. 3. Xi = 7, У1 = 1; х2 = -1|, у2 — 1	4. 48 и 40 деталей. 5. (3; 1), (2; 0), (4; 0), (0; -8).
1о 9 В—3. 1. х<^, х>3. 2. 6. 3. Xj=4,	=— 1; х2 = -7, г/2 = -6,5.
4. 24 детали. 5. (-2; -9), (-5; 0), (1; 0), (0; -5).
В-4. 1. -2<х<|. 2. -12. 3. х1 = 2, У1 = 3; х2 = -з|, i/2 = 5|. 4. 36 изделий. 5. (3; 4), (1; 0), (5; 0), (0; -5).
Ответы и указания к заданиям олимпиад
У“ х=1
Осенняя олимпиада
1	у=0
—1—1—।-----1—।—1—1—>-
-3 -1	1	3 5х
1. 72. 2. У дома первой бригады.
3. См. рис. 11. 4. 85 714.
5. 2 = | + | + | + |. в. 32 км/ч.
1 i о о
Весенняя олимпиада
Рис. 11
1. а) См. рис. 12; б) см. рис. 13. 2. 8;
-3. 3. /г = 2, р = -6; /г = 2, р = -10; /г = -2, р = 10; /г = -2, р = 6. 4. Указание. Преобразуя выражение, получим ((х2 + 8х)2 + + 2 • 11 • (х2+ 8х)+112) + 4. 5. 0, 1, 2, 5, 6, 7. 6. Не может, так
как данное число делится на 3, но не делится на 9.
У“
4-------
-	I--1—I—I—I—I—
-	1 11	3	5
-	1t у—1
Рис. 12
159
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ......................................... 3
Самостоятельные работы............................... 7
Вариант I......................................... —
Вариант II ...................................... 56
Контрольные работы................................. 106
Итоговое повторение по темам
к учебнику под редакцией С. А. Теляковского .... 141
к учебнику под научным руководством А. Н. Тихонова 147
Задания для школьных олимпиад...................... 153
Ответы к контрольным работам ...................... 154
Ответы и указания к заданиям олимпиад.............. 159
Учебное издание
Жохов Владимир Иванович Макарычев Юрий Николаевич Миндюк Нора Григорьевна
АЛГЕБРА Дидактические материалы 8 класс
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Т. Г. Войлокова
Младший редактор С. В. Дубова
Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика О. Ю. Тупикиной Технический редактор Н. Т. Рудникова Корректоры О. В. Крупенко, О. Н. Леонова, А. В. Рудакова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 20.02.12. Формат бОхЭО1/^. Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookC. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 7,62. Тираж 45 000 экз. Заказ № 32524.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru