Предисловие
Глава VII. Тригонометрические функции
§ 39. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
§ 40. Свойства функции y = cosx и ее график
§ 41. Свойства функции y = sinx и ее график
§ 42. Свойства функции y = tgx и ее график
§ 43. Обратные тригонометрические функции
Задания для подготовки к экзамену
Задания для интересующихся математикой
Глава VIII. Производная и ее геометрический смысл
§ 45. Производная степенной функции
§ 46. Правила дифференцирования
§ 47. Производные некоторых элементарных функций
§ 48. Геометрический смысл производной
Задания для подготовки к экзамену
Глава IX. Применение производной к исследованию функций
§ 50. Экстремумы функции
§ 51. Применение производной к построению графиков функций
§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 53. Выпуклость графика функции, точки перегиба
Задания для подготовки к экзамену
Глава X. Интеграл
§ 55. Правила нахождения первообразных
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл
§ 57. Вычисление интегралов
§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов
Задания для подготовки к экзамену
Приложения
Ответы
Оглавление
Текст
                    и начала
математичесЯШ!4'
анализа
дактические
териалы


Алгебра и начала математического анализа Дидактические материалы •4 1 + 11 класс Базовый уровень 4-е издание Москва •Просвещение- 2009
УДК 372.8:[512 + 517] ББК 74.262.21 Д44 Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, Р. Г. Газарян Алгебра и начала математического анализа. Дидакти- Д44 ческие материалы. 11 класс. Базовый уровень / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, Р. Г. Газарян].—4-е изд.— М. : Просвещение, 2009.—142 с. : ил.— ISBN 978-5-09-022160-3. Дидактические материалы составлены к каждой теме курса алгебры и начал математического анализа и опираются на учебник Ш. А. Алимова и др. Книга содержит задания ко всем параграфам, контрольные работы, задания для подготовки к экзамену и для интересующихся математикой, а также справочные сведения и примеры с подробными решениями. УДК 372.8:[512 + 517] ББК 74.262.21 ISBN 978-5-09-022160-3 © Издательство «Просвещение», 2005 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2005 Все права защищены
Предисловие Основная цель пособия — дополнить систему упражнений учебника заданиями, позволяющими учителю организовать дифференцированную и индивидуальную работу учащихся на всех этапах урока. Дидактические материалы составлены к каждой теме курса алгебры и начал математического анализа, а также к основным темам курса алгебры основной школы. Все предложенные в пособии задания снабжены либо ответами в конце книги, либо ответами, решениями или указаниями сразу после их формулировки. В каждой главе пособия содержатся: 1) дидактические материалы к каждому параграфу учебника; 2) контрольная работа по теме; 3) задания для подготовки к экзамену по изучаемой теме (большинство из предложенных заданий давалось на выпускных экзаменах в школах России начиная с 1991 г.); 4) задания для учащихся, интересующихся математикой (одна из целей этих заданий — подготовка к поступлению в вуз). Каждый параграф пособия включает: 1) справочные сведения; 2) примеры и задачи с подробными решениями; 3) разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах (каждое задание имеет условную балловую оценку степени его сложности). Материалы пособия могут служить основной частью учебно-методического комплекта по алгебре и началам анализа для учащихся 10—11 классов: • общеобразовательных; • гуманитарных; • с естественно-научным, техническим и математическим уклонами, в которых математика изучается в объеме до 6 часов в неделю. Используя балловую оценку заданий, учитель может: • организовать «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы
каждому учащемуся предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений; • предложить разнообразные виды частично-самостоятельных, самостоятельных и проверочных работ, например выполнить больший объем заданий разной степени сложности, и указать, сколько баллов нужно набрать для получения той или иной оценки («3», «4» или «5»). Следует заметить, что обязательному уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии в основном баллами 1, 2, 3, 4. Учащиеся, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 6—7 баллов. Контрольные работы по темам состоят из двух частей. Выполнение первой части работы (до черты) позволяет учащемуся получить оценку «3». Для получения оценки «4» учащийся должен справиться с первой частью работы и верно решить одну из задач второй части (за чертой). Чтобы получить оценку «5», помимо выполнения первой части работы, учащийся должен решить не менее двух любых заданий из второй части работы. Заметим, что в разделах «Задания для подготовки к экзамену» вместо балловой оценки для ряда задач, предлагавшихся в экспериментальной проверке системы Единых государственных экзаменов, указан их уровень сложности (А, В или С). Расположение материала в пособии соответствует учебнику алгебры и начал анализа авторов Ш. А. Алимова и др. (2000 г. и последующие годы издания). Однако содержание и структура пособия позволяют с успехом использовать его и при работе по другим учебникам.
Глава VII Тригонометрические функции § 381. Область определения и множество значений тригонометрических функций Справочные сведения Функция у = sin х у = cos х y=tg x у = ctg х Область определения R R х?£ ^г + ппу nez x^nn, n€Z Множество значений [-i; i] [-1; i] R R Примеры с решениями 1. Найти область определения функции: "П 17 — sin \/2- г2* 2^ 77— 2 COS Решение. 1) Выражение sin yj2-x2 имеет смысл, если 2-л;2>0, т. е. если -V2"<jc<V2. 2) Выражение не имеет смысла при всех таких значениях л:, что cos 2jc + cos jc = O. Так как cos 2jc = 2 cos2 x- 1, то нужно решить уравнение 2 cos2 jc + cos л;-1 = 0, корни которого х= n + 2nn, л:=±^+2яп, n€Z. Поэтому областью з определения данной функции является множество всех действительных чисел, за исключением чисел х= n + 2nn, £ neZ. 2. Найти множество значений функции z/ = 2 sin 3jc+1. Решение. Так как -Кsin Зх< 1, то -2<2 sin Зл:<2, откуда -1<2 sin Злг+КЗ, причем функция у = 2 sin Злг+1 принимает все значения из отрезка [-1; 3]. Следовательно, множество значений этой функции — отрезок [-1; 3]. 1 Нумерация параграфов в пособии полностью соответствует учебнику алгебры и начал анализа авторов Ш. А. Алимова и др.
3. Найти наибольшее и наменьшее значения функции: 1) z/ = 24 cos x+1 sin л:+ 5; 2) у = 5 sin2 х + 4 sin л: cos л: + cos2 x. Решение. 1) Воспользуемся методом введения вспомогательного угла при преобразовании выражения вида a cos x + b sin x. Умножив и разделив выражение 24 cos x + 1 sin x на число V242 + 72 = 25, получим (О А. Ч \ — cos л: + — sin jc ) = 25 sin (л: + ф), Аэ 25 / 24 7 где sin ф = —, cos ф = —. Тогда у = 24 cos л: + 7 sin Jt + 5 = 25 sin (x + q>) + 5. Так как -Ksin(* + (p)< 1, то -25<25 8т(л: + ф)<25, откуда следует, что -20<z/<30. Следовательно, наибольшее значение функции равно 30, а наименьшее равно -20. 2) Используя формулы sin2 х = ~ c^s *, cos2 x = +C^S x, 2 sin jc cos ^ = sin 2x, получаем = 5 sin2 л:+ 4 sin л: cos x + cos2 x = т. e. j/ = 3 + 2 sin 2л:-2 cos 2x. Так как sin 2jc-cos 2jc = V2^ sinf 2x- -j ), то г/ = 3 + + 2 V2 sin(2x-^\ откуда следует, что 3-2 V2<y< 3 + 2 V2. Следовательно, наибольшее значение функции равно 3 + 2 V2, а наименьшее значение равно 3-2 \[2. Замечание. В общем случае нахождение множества значений функции y = f(x) сводится к тому, чтобы найти все значения а, при которых уравнение f(x) = a имеет действительные корни. 4. Найти множество значений функции у=^ Решение. Найдем все значения а, при которых уравнение х+ о =а имеет действительные корни. При лг^-1 (* + 1)2 это уравнение равносильно каждому из уравнений
Полученное уравнение при а = 0 имеет корень х = -2, a при а/0 является квадратным и имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант D неотрицателен, т. е. £> = (2а-1)2-4а(а-2)>0, откуда а>- — . Ответ. Множество значений функции — промежуток ) Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти область определения функции (1—4). х-2 1- UJ у= Найти область определения и множество значений функции, график которой изображен на рисунке (5—7). 5. [21 Рис 1. 6. ЦП Рис 2. 7. ЦП Рис 3. Рис. 1 (JC-1) О Рис. 2 Рис. 3
Найти область определения и множество значений функции = f(x), заданной графически на рисунке (8—9). 8. [21 Рис 4. 9. |Т| Рис 5. Рис. 4 Рис. 5 Найти множество значений функции на заданном отрезке (Ю-11). 10. [3] у = 2х2, [0; 3]. 11. [3] i/ = \/3^T, [1; 3]. Найти область определения и множество значений функции (12-14). \i = — —. Хо. о у== ос -Ь 1« Х4. <j у == Vос — Л» 12. Найти область определения функции (15—29). 15. [2] z/ = -sin л:. 3 17. [3J !/ = sin|-. 19. Щ z/ = sin V^-l. 21. [I] z/=—1—. 1—' cos x - 1 23. Ц] j/ = tgf. 16. |_2_ 18. [з] 20. [з 1— 22. [4] 24. Щ / = -cos tgx sin х + 2 cos x у = Vcos х. 26. [б] z/ = 2sin x-tg 3jc. 28. [7] z/ = lntg jc. 25. [5J i/ = 27. П 29. [8] z/ = Vlnsin x. Найти множество значений функции (30—39). 30. |1Г| z/ = cos 2л:. 31. \b\ z/ = sini 32. Гб1 1/= "" 34. 8 / = 2-2 sin21-. 33. [б] z/ = 2 cos 35. [б] z/ = cos 2x-2 sin2jc.
37. |_6j z/ = sin x + cos x. 36. [6J i/ = cos 2x-4 cos2*. 38. [T] i/ = 5 cos 2* + 12 sin 2x. 39. [§] у = 3 sin2 Jt + 4 sin л: cos jc + cos2 x. Найти наибольшее и наименьшее значения функции (40—44). 40. [б] у = 5 sin jc cos x. 41. []з] z/ = 3-4 sin x cos jc. 42. [T] z/ = \^2 sin jc + cos jc. 43. [в] 1/ = 9 sin2 x + 3 sin jc cos jc + 5 cos2 x. 44. [в] 1/ = 13 sin2 x + 5 sin jc cos x + cos2 x. Вариант II Найти область определения функции (1—4). з. 4. [2] y = lg(3-x2). Найти область определения и множество значений функции, график которой изображен на рисунке (5—7). 5. ГЦ Рис 6. 6. ГЦ Рис 7. 7. [г! Рис 8. Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8
Найти область определения и множество значений функции y = f(x), заданной графически на рисунке (8—9). 8. \t\ Рис 9. 9. ПП Рис 10. Рис. 9 Рис. 10 Найти множество значений функции на заданном отрезке (10—11). 11. [3] y = V2x+5, [-1; 2]. 10. [3J у=^-, [-2;0]. Найти область определения и множество значений функции (12-14). 12. =-|. 13. [У] у = 3-х2. Найти область определения функции (15—29). 15. [2] 17. [з] 19. [з] 21. [7] 23. [1] 25. ПП r = -cos х. 2 y = cos VI -х. 1 - sin x' y = tg Zx. y= § 3 sin x - cos x у = Vsin x. 27. [6J 29. [8] z/ = Vln cos x. 16. \2\ 18. \Z\ 20. 0 1— 22. 0 24. |T| 26. [| 28. = -sin tg -f-3 cos x. Li 7] »-ln( Jj). Найти множество значений функции (30—39). 30. Гз1 i/ = sin4. 31. Гб1 и = 32. [б] i/ = sin-|-l. 10 33. [б] z/ = 3 sin |--
35. |_5J у = 2 cos2 x + cos 2x. 37. [б] z/ = cos *-sin *. 34. [б] i/ = 2cos2|--l. 36. [б] z/ = cos 2л:+ 6 sin2 л:. 38. |Т] z/ = 6 sin л:-8 cos л:. 39. ЦТ] i/ = 9 sin2 л: + 6 sin л: cos x + cos2 л:. Найти наибольшее и наименьшее значения функции (40—44). 40. [б] у = 3 sin 4 cos 4 . 41. [б] i/ = 6 sin 2x cos 2* + 5. 42. Щ z/ = sin л:+ 2 cos x. 43. [в] г/ = 7 sin2 х + 8 sin л: cos л: 4- cos2 л:. 44. [в] z/ = 5 sin2 л: + 2 sin л: cos л: + cos2 x. § 39. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций Справочные сведения Функция y = f(x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). Функция y = f(x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число Г^О, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f(x-T) = f(x) = = f(x + T). Число Т называется периодом функции y = f(x). Если функция y = f(x) периодическая с периодом Г, то функция y = cf(ax + b), где а, Ъ и с — постоянные и т также периодическая с периодом t = —. \a\ Функция sin x COS X tgx ctg x Четность, нечетность Нечетная Четная Нечетная Нечетная Наименьший положительный период 2я 2тг к п 11
Примеры с решениями 1. Выяснить, является ли четной или нечетной функция: 1) у = х3-^ + sin x; 2) y = xs-sin х+1; 3) y = x2 + cos Зх; ^ч дг + sin jc а кч _ 1 + sin jc + 2 sin2 jc + 3 sin3 jc + cos3 x ' ^~~ x-sin * ' ^~ sinx+1 Решение. 1) Функция определена на множестве действительных чисел. Найдем Так как выполняется равенство у(-х) = -у(х), то функция нечетная. 2) Область определения функции — множество R. Сравним у(-х) и у(х), у(-х) и -у(х): у(-х) = (- х)3 - sin (- х) + 1 = - х3 + sin л: + 1 ^ i/ (x), -^3 + sin jc+ 1 ^ — i/(л:). Функция не является ни четной, ни нечетной. 3) Для каждого х из области определения R выполняется равенство y(-x) = (-x)2 + cos 3 (- х) = х2 + cos 3x = y(x). Функция четная. 4) Область определения функции — множество чисел, для которых sin хфх (хт^О). Имеем (-x) + 8in(-x) -дг-sin х У(~Х>= (-x)-sin(-x) = -jc + sinjc Функция четная. 5) Заметим, что в некоторых случаях исследование функции на четность можно упростить. Например, если функция определена в точке х0 и не определена в точке -#0, то она не может быть ни четной, ни нечетной. В данном случае у(^) имеет смысл, а */(-^) смысла не имеет, т. е. функция не является ни четной, ни нечетной. 2. Доказать, что функция y = cos (5х+ j ) является перио- дической с периодом Т=—-. 5 Решение. Функция определена на всей числовой оси. Докажем, что для любого лгЕЙ верно равенство f(x + T) = = f(x), т.е. cos( 5(jt + T)+ j j = cos( Ьх+ j J. Действительно, (b(x+^\ + \ cos(bx + 2n + ^\ = cos[5x+^\ посколь- VV 5/4/ V 4/ V 4/ ку период функции z/ = cos jc равен 2тг. 12
Итак, равенство f(x + T) = f(x) выполняется для любого х из области определения, т. е. -^ — период данной функ- 5 ции. 3. Найти наименьший положительный период Т функции: ^; 2) # = tg|-; 3) z/ = sin Зх + cos Зх. Решение. 1) Функция определена на всей числовой оси. По определению периодической функции выполняется равенство = sin 4*> или sin( т*+ т Г I = sin 4*- Так как 4 \ 4 4 / 4 наименьший положительный период функции z/ = sin jc pa- 3 8 вен 2л, то -Г=2я, следовательно, Г=-я. 2) По определению периодической функции tg —^— =tg x, о или tg(^- + -] = tg jc. Наименьший положительный период тангенса равен я, следовательно, — = п и Г=3я. о 3) После преобразования sin Зх + cos 3x = sin 3x + sin( -^ -Sx ) = Имеем V2cosf3(^ + r)-^)=V^cosf3x-4V откуда V 4 / V Наименьший положительный период косинуса равен 2я, о следовательно, ЗГ = 2я, Т= — п. о Задания для самостоятельной работы Вариант I Выяснить, является ли четной или нечетной функция (1—8). 3. \Т\ у = 3 + х2-2х4. 4. [г] у = х3 cos x. 5. [2] i/ = jc2 + cos х. 6. [2] z/= 2 sin jc+ 1 7. [3] у = 1 sin x . 8. Щ z/ 1—' у 1 + cos х '—' ^ 13
9. [_4j Четная функция y = f(x) определена на всей числовой оси. Достроить график этой функции, если его часть при х>0 изображена на рисунке 11. 10. [Т| Достроить график нечетной функции, определенной на всей числовой оси (рис. 12). У-fix) Рис. 11 11. |_4j Функция y = f(x) определена на всей числовой оси. Достроить ее график на промежутке [-я; 0], если часть ее графика на отрезке [0; я] изображена на рисунке 13 и известно, что функция y = f(x) четная. У1 О У / Рис. = /(*) 12 X Рис. 13 Выяснить, является ли функция g(x) четной или нечетной (12—13). 12. [б] g(x) = f(x) + <p(x), где f(x) и ф(л:) — четные функции. 13. [б] g(x) = f(x) -ф(л:), где f(x) и ф(х) — нечетные функции. Изобразить схематически график периодической функции, если на рисунке изображена часть графика на промежутке, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции (14—15). 14. ПЛ Рис 14. 15. [б! Рис 15. Рис. 14 Рис. 15 14
16. [б] Какие из функций y = cos 2x, у = х2, y = sin Vx, j/ = |tg x\ являются периодическими? Доказать, что функция является периодической с периодом Т (17—20). 17. = sin f, T = 4n. 18. = cos | -^), Г=|. 19. [б] j/ = cos(2*+j), Г-я. 20. [б] y-t Найти наименьший положительный период функции (21—24). 21. = cos Зх. 23. L6J y = tg f. Вариант II 22. [б] i/ = sin §. О 24. |Т| i/ = sin 2л: + cos 2jc. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (1—8). I—I х х^ | | -у-3 3. \1_ 5. [2 7. ГЗ x. 4. 8. = sin л: • х3. = t -1 . • 1-V2 sin x = l-cos лг + sin л:. 1 - cos х 9. [Т] Четная функция y = f(x) определена на всей числовой оси. Достроить график этой функции, если его часть при х>0 изображена на рисунке 16. 10. Щ Достроить график нечетной функции, определенной на всей числовой оси (рис. 17). Vh О Рис. 16 о У-fix) Рис. 17 15
11. |_4J Функция y = f(x) определена на всей числовой оси. Достроить ее график на промежутке [-я; 0], если часть ее графика на отрезке [0; я] изображена на рисунке 18 и известно, что функция y = f(x) нечетная. Выяснить, является ли функция g(x) четной или нечетной (12—13). 12. ПЛ *(х) = /(х)-ф(х), где f(x) и ф(х) — нечетные функции. Рис. 18 13. 15] g(x) = f(x).q>(x), где f(x) и ф (jc) — четные функции. Изобразить схематически график периодической функции, если на рисунке изображена часть графика на промежутке, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции (14—15). 14. [б! Рис 19. 15. ПЛ Рис 20. 1- Н h -1 -1 Рис. 19 Рис. 20 16. [б] Какие из функций z/ = sin Зх, у = х3, y = cos V*-l, z/ = cos|x| являются периодическими? Доказать, что функция является периодической с периодом Т (17—20). 17. |Т| y = cos 2x, Т = п. 19. \b\ y 18. 4 и = Jx, Г=^. 20. [5J у Найти наименьший положительный период функции (21—24). 21. [б] z/ = sin 4x. 22. [б] z/ = cos ^. 23. Щ z/ = tg у. 24. |Т] z/ = sin 5x-cos Ьх. 16
§ 40. Свойства функции y=cos x и ее график Справочные сведения Свойства функции у = cos x Область определения: Множество значений: [-1; 1]. Функция периодическая; наименьший положительный период Т = 2п. Функция четная: cos(-*) = cos x. Функция принимает значения (рис. 21): равные нулю при х=^г + nny n€Z; положительные при - -jj- + 2nn<x< ■£ + 2яп, neZ; отрицательные при -£ + 2nn<x< -£ + 2nn> n€Z; наибольшее, равное 1, при x = 2nn, n€Z; наименьшее, равное -1, при x = n + 2nn, у = cos x Функция (рис. 22): возрастает при я убывает при я/г < <2я(тг + 1), n£Z; Рис. 22 17 е полщ1 сообщества
Примеры с решениями 1. Найти все корни уравнения отрезку [-2л; -|]. у = cos х -1—, принадлежащие Рис. 23 Решение. Построим график функции y = cosx и пря- у/о мую У = \- (рис. 23). На заданном отрезке прямая и график функции y = cosx пересекаются в трех точках, имеющих следующие абсциссы: хх = arccos -^- = ^ (a^GfO; я]), V3 я / х2 = - arccos — = - — (симметрична точке хх относительно оси Оу), #з = -2л+ -^ = —т^ (#3 находится на том же расстоя- о о нии от -2л, что и хх от точки 0, так как период функции z/ = cosa: равен 2л). Следовательно, на заданном отрезке 1 1 7Г уравнение имеет три корня: хх = —> х2 = --^, х3 = ——. л тт « V3 2. Найти решения неравенства cos ж—, принадлежащие отрезку 0; -у- . _5тг. -2я _ЗтгХ -п Ул Решение. Построим график функции y = cosx и прямую У=^§- (рис. 24). На заданном отрезке график функции y = cosx лежит ниже прямой у=^г- при всех хх<х<х29 х3<х<-^, где Z Z Xj = arccos -у- = ^> *2 = 2л-^ = ^, 18 2л + £ = -^. Решения- О О
ми неравенства на заданном отрезке являются промежутки о о о 2 3. Сравнить числа: 1) cos£ и cosf; 2) cos-| и cos ^-; 3) cos^f и sin^. 6 1 О О 0 0 Решение. 1) Так как на промежутке [0; я] функция z/ = cos^ убывает, то cos f < cos Щ . 6 1 к / \ 2) По формуле приведения cos -£- = cos( 2я- -^ ) = cos ^. 3 у 3 J 3 На отрезке [0; я] функция i/ = cosjc убывает, и, значит, ^>cos^, откуда cos ^> cos -£-. О О О О 3) По формулам приведения cos -£- = cos (n + ^ ) = - cos -^. о \ 5 / о Так как на отрезке [0; я] функция убывает, то COS -—■ > COS -^- , - COS 77Г < - COS - Я. 1U о 1и о Следовательно, sin -^ < cos -£-. о о 2o,osx\ 2) j/ = |cosx|. 4. Построить график функции: 1) Решение. 1) Сначала построим график функции i/ = cosa:, а затем удвоим ординаты всех его точек (рис. 25). Действительно, например, если * = 2я, то соз2я = 1, а 2соэ2я = 2; если * = я, то со8я = -1, а 2сов2я = -2; если х=^, то cos ^ = У Рис. 25 19
Рис. 26 2) При всех значениях х функция y = \vosx\ принимает неотрицательные значения. График функции y = \o,osx\ можно получить из графика функции z/ = cosx симметричным отражением относительно оси Ох той его части, где cosx<0 (рис. 26). Задания для самостоятельной работы Вариант I 1. С помощью графика функции y = o,osx выяснить, при ка- Г з 1 ких значениях х из промежутка — — 7t; n : 1) [Т] функция возрастает, убывает; 2) \Y\ значение функции равно нулю; 3) [Т] функция принимает наибольшее, наименьшее значения; 4) [Т] функция принимает положительные, отрицательные значения. 2. [Т| Ответить на те же вопросы, используя график функции, изображенный на рисунке 27. У у = cos х Рис. 27 3. |_3_| Является ли функция y = cosx возрастающей на от- резке [-■§*; -f 20
Сравнить числа (4 — 6). 4. [2] сов(-|я) и cos(-|\ 5. [2] cos(-j) и cos(-|A 6. cos я и cos 1U С помощью графика функции */ = cosjc найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (7 — 8). 7. 8. =|, [0; ^ С помощью графика функции y = cosx найти решения неравенства, принадлежащие данному промежутку (9 —11). 9. [|] cosx>^, [-|; 2я]. 10. 0 cosx<-|, [О; ^J. 11. [Ц cos^<-l, Г-2л; ^1. Сравнить числа (12 —15). 12. [3 cos (--у) и cos^. 13. [Tl cos ^ и sin -^ 1 4 о 14. [б] cos 0,8 и cos 2,8. 15. [б] cos(-2) и cos(-0,2). Построить график функции (16 —17). 16. [б] z/ = cos*-l,5. 17. [б] z/ = Построить график функции и найти значения х> при которых функция: 1) принимает отрицательные значения; 2) убывает (18 — 20). 18. \ъ\ y = -cosx. 19. [б] i/ = 3cosjc. 20. [У] y = \4cosx\. С помощью графиков функций выяснить, сколько корней имеет данное уравнение (21 — 22). 21. 22. \s] 23. [в] Исследовать функцию z/ = 2 cos ( тг + 77 ) и построить ее график. ^ ' 21
Вариант II 1. С помощью графика функции y = cosx выяснить, при каких значениях х из промежутка -2л; —п \: 1) [Т] функция возрастает, убывает; 2) [Т] значение функции равно нулю; 3) |Т] функция принимает наибольшее, наименьшее значения; 4) [1J функция принимает положительные, отрицательные значения. 2. [Т] Ответить на те же вопросы, используя график функции, изображенный на рисунке 28. cos х 3. Рис. 28 Является ли функция y = cosx возрастающей на от- резке [-|я; |]? Сравнить числа (4 — 6). 4. @ 5. |Т| cos(--y) и cos(-^ V 6. cos(-k) и С помощью графика функции y = cosx найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (7 — 8). 7. = -{, [-f; я]. 8. V2 I Зя л С помощью графика функции y = cosx найти решения неравенства, принадлежащие данному промежутку (9 —11). 9. [б] ^ 11. [|] cosx>l, Г--у; 2я1 Сравнить числа (12 —15). 10. -^-, Г-f; 2я]. & |_ & j 12. 22 и 13. [4j cos| и
14. [б] cos6,5 и cos7,5. 15. ЦТ) cos(-3) и cos(-2,5). Построить график функции (16 —17). 16. 17. Построить график функции и найти значения х, при которых функция: 1) принимает отрицательные значения; 2) убывает (18 — 20). 18. = cos(-x). 19. = 4cosх. 20. = \3cosx\. С помощью графиков функций выяснить, сколько корней имеет данное уравнение (21 — 22). 21. |_5j cos*=|. 22. cos 2* = 23. [в] Исследовать функцию у = 3 cos ( 4 - т ) и построить ее график. ^ ' § 41. Свойства функции y=sinx и ее график Справочные сведения Свойства функции y = sinx Область определения: xeR. Множество значений: [-1; 1]. Функция периодическая; наименьший положительный период Г = 2я. Функция нечетная: sin(-#) = -sin*. Функция принимает значения (рис. 29): равные нулю при x = nn, n£Z; положительные при 2nn<x<n(2n + I), n£Z; отрицательные при n(2n- l)<x<2nn, neZ; наибольшее, равное 1, при #=^ + 2лп, n€Z; наименьшее, равное -1, при * = -^ + 2лп, n€Z. Рис. 29 у = sin x 23
Функция (рис. 30): возрастает при - ^ + 2яп<лг< |- + 2пп, n£Z; убывает при -| + 2пп<х< -у + 2лп, 1- I/ = Sin ? f Рис. 30 Примеры с решениями 1. Найти решения неравенства sina:<-—, принадлежащие отрезку Г-|-; 2л 1. Решение. Построим графики функций y = sinx и у = - — (рис. 31). На заданном промежутке прямая у = - — и синусоида пересекаются в трех точках, имеющих следующие абсциссы: x1 = arcsin^- |) = - f (~f G[~f ; f ])' л:2 = я+^- = -^ и х3 = 2п-^г = —т^ (х3 находится на том же о о о о расстоянии от 2я, что и хх от точки 0, так как период функции z/ = sinjc равен 2тг). При этом синусоида лежит ниже прямой у = --^ при --^ Z Z х2<х<х3, т. е. -- ^ -^ < х < —т^. Эти промежутки и являются решением нера- 6 о венства на отрезке [-!■•*]■ Рис. 31 24
2. Сравнить числа: 1)а1п(-£)ив1п(-£); 2) sinf и sin(-) 3) sin^ и cos^. О О Решение. 1) Так как на промежутке -^; |- функция y = sinx возрастает, то sin(--^r) >sin(--y ). 2) Воспользуемся нечетностью функции y = sinx и формулами приведения: Так как на промежутке -у; у функция y = sinx возрастает, то sin-^>sin^ и, следовательно, sin-|<sinf—^ ). о о о у о у 3) По формулам приведения sin -£- =sin( n- -J ) = sin ^-; о \ о ) о Так как на отрезке \-\\ \\ функция y = sinx возрастает, то sin о sin ^ и, следовательно, sin-^ о о о 3. Построить график функции: | 2) y ( 3) j/ = si Решение. 1) Для построения графика функции y= — sinx (рис. 32) сначала построим график функции y = sinx, а затем ордина- у = sin х 25
ты всех его точек разделим на 2 (умножим на - ). Действительно, например, если х=^г, то sin^ = l, a -sin^ = -; ее- Li Li Li Li Li ли x = -—, то sinf--|) = -l, a |sin(-f ) = --|5 5 если x = 0, то sin 0 = - sin 0=0. £i 2) Для построения графика функции i/ = sin(^- -j) нужно график функции z/ = sin* сдвинуть на -j вправо (рис. 33). Действительно, например, sin* = 0 при x = n, a sin (л:- 7]=0 при л:-^ = я, т.е. при х = п+^г; sin^ = l при х==^> a sin (х - -j j =1 при ^ ~ т = f' т- е- ПРИ Х=~Г> s^n ^ = ~ 1 ПРИ л:=-^, a sin(x-j) =-1 при x-j = ^, т. е. при х=Ц-. у = sin л: Рис. 33 3) Согласно правилу построения графика функции y = f(\x\) нужно сохранить часть графика для х)0и отразить ее симметрично относительно оси Оу (часть графика для *<0 отбрасывается). Получим график, изображенный на рисунке 34. Рис. 34 26
Действительно, например, при * = -у имеем sin =sin -j = —-; при х = - -^ имеем sin имеем sin 2 = Sinf=-l. Задания для самостоятельной работы Вариант I 1. С помощью графика функции z/ = sin^ выяснить, при каких значениях х из промежутка -у; 2я : 1) [Т] функция возрастает, убывает; 2) \\\ функция принимает значения, равные нулю; 3) \Yj функция принимает положительные, отрицательные значения; 4) [jj функция принимает наибольшее, наименьшее значения. 2. Щ Ответить на те же вопросы, используя график функции, изображенный на рисунке 35. у = sin х Рис. 35 3. [з] Является ли функция z/ = sina: возрастающей на от- резке [-f;f]? Найти все решения неравенства на заданном промежутке (4-6). 4. |_5J 5. [б] sinx> -у-, [-я; 2л]. 6. \b\ sin^<-l, [-2я; 2я]. 27
Сравнить числа (7 —14). 7. [Ц sin| и 8. и ^ 9. ЦТ] sinTi и sin^ 4 11. \b\ sin^ и ^ 13. [б] sin (-2) и sin(-5). 10. [2] sinf-^M и sin^. у 1U J ID 12. ПП sin0,3 и sin3,4. T-——1 14. [б] sin(-0,5) и cos (-6). Расположить числа в порядке возрастания (15 —16). 15. [б] sinl; sin(--|); sin 1,5. 16. [б] sin3; cosO,l; Построить график функции (17 —18). 17. [б] y = sinx + 2. 18. [К] z/ = sin*-0,5. Построить график функции и найти значения х> при которых функция: 1) принимает положительные значения; 2) возрастает (19 — 22). 19. 21. [б] z/ = II У 20. \ъ\ 22. [б] I—I У \ 3 Построить график функции (23 — 26). 23. [б] z/ = 0,5sin|х|. 24. |Т] z/ = |2sinjc|. 25. |Т] i/ = 2sin^jc- ^V 26. С помощью графика функции выяснить, сколько корней имеет уравнение (27 — 28). 27. 28. Вариант II 1. С помощью графика функции y = sinx выяснить, при каких значениях х из промежутка -2л; ^ : 1) [Т] функция возрастает, убывает; 2) [Т] функция принимает значения, равные нулю; 3) [Т] функция принимает положительные, отрицательные значения; 4) |Т] функция принимает наибольшее, наименьшее значения. 28
2. [4J Ответить на те же вопросы, используя график функции, изображенный на рисунке 36. Рис. 36 3. [з] Является ли функция z/ = sinjc убывающей на от- резке [-f;f]? Найти все решения неравенства на заданном промежутке (4-6). 4. Ц^ к rz~i . \[2 Г Зя 1 5. 5 sin х > ^т-, —— ; тт . 6. [б] sinjc>l, [-2я; 2я]. Сравнить числа (7 — 14). 7. [2] sinO,2K и sin^pj-rc. 9. [г! sin2K и sin^?. 8. [2 10. [4] sin И. и in J и sin (--у V 12. [б] sin 4 и sin 6,5. 14. [б] cos(-0,7) и sin(-0,8). 13. [5J sin(-l) и sin(-4). Расположить числа в порядке возрастания (15 —16). 15. [б] sin 6; sin (-4,5); sin-^7. 16. [б] sinl; cos3; sin(-0,l). Построить график функции (17 —18). 17. [б] z/ = sinx-l. 18. [б] z/ = si Построить график функции и найти значения х, при которых функция: 1) принимает положительные значения; 2) возрастает (19 — 22). 19. \5\ y = -sinx. 20. [б] j/= -sinл:. о 29
21. [6] y = 8inlx+± . 22. [6J y = -2sinx. Построить график функции (23 — 26). 23. Ш z/ = 3sin|*|. 24. [У| z/= |-sin^ . о 25. ГУ! i/ = -i-sin^+^-V 26. [в] г/ = sinx-cosx. С помощью графика функции выяснить, сколько корней имеет уравнение (27 — 28). 27. [5j sin*=f. 28. § 42. Свойства функции y=tgx и ее график Справочные сведения Свойства функций y = tgx и y = ctgx Рис. 37 Рис. 38 30
Свойство Область определения Множество значений Периодичность Четность, нечетность Функция принимает значения: равные нулю при положительные при отрицательные при Функция возрастает при Функция убывает при y=tg х (рис. 37) **§ + ». »€* R Наименьший положительный период Т= п Нечетная X = 7171, 7l€Z Я/1 < X < —- + Я/1, 7l€Z 2 Я Я Я — i/= ctg л: (рис. 38) х^я/1, п€Z R Наименьший положительный период Т= я Нечетная д:= у + яп, /i€Z ™<*<f+ яп, n€Z - ^ + nn<x<nnf n€Z — кп<х<к(п+1)> n€Z Примеры с решениями 1. Найти все корни уравнения tg* = -3, принадлежащие отрезку Г-2л; |1. О -2- Рис. 39 Решение. Построим графики функций y = tgxny = -3 (рис. 39). На заданном отрезке тангенсоида и прямая имеют две точки пересечения с абсциссами ^! = arctg(-3) = = -arctg3 (tfxef-^-; £ )) и ^2 = -^-arctg3. Следовательно, 31
на данном отрезке уравнение имеет два корня: ^1 = -arctg3, 2. Найти все решения неравенства tgx>-3, принадлежащие отрезку --^; л • Рис. 40 Решение. Построим графики функций y = tgx, г/=-3 (рис. 40). На заданном отрезке прямая пересекает тангенсоиду в трех точках с абсциссами jc1 = arctg(-3) = -arctg3, Jt2 = -arctg3-rc, Jt3 = arctg(-3) + rc = -arctg3 + rc. При этом график функции y = tgx лежит выше прямой у = -3 при х2<х<- ^, хх<х<^, х3<х^п. Следовательно, решения- Z Z ми неравенства tg х > - 3 на отрезке —у; я являются следующие промежутки: -arctg3-^<x<-^, -arctg3< jc<^, K-arctg3 f 3. Сравнить числа: l)tg(-f)Htg(-|j); 2)tgfHtg6 3) ctg(-^-) и ctg^. Решение. 1) Так как функция y = tgx возрастает на промежутке (-I'D ■-!»-»• «•*•(-!)>•«(-£)• 2) По формуле приведения tg -^- = tg(n+ ^} = tg^. Поскольку функция y = tgx возрастает при хе(-^; ^\ имеем tg -| > tg |-, и, следовательно, tg |- > tg ^. о о о о 32
3) По формулам приведения и свойству нечетности функции у = ctgх запишем ctg\-~г) = -c*g~]Г = ~c*&(я ~ ~<Г )= =ctg-y; ctg-y-=ctg^7c+-|^=ctg-|. Так как функция y = ctgx убывает на промежутке (0; я), то ctg -^< ctg £, а значит, 4. Построить график функции z/ = tg(jc-j)+l. ,г*, ,;='«*-1> Рис. 41 Решение. Для построения графика заданной функции сдвинем график функции y = tgx на у вправо и полученный график перенесем на 1 вверх (рис. 41). Область определения функции — множество всех значений х, при которых cosfjc-— 1^0, т.е. х^ — + пп9 n€Z. Так как период заданной функции равен я, то можно найти несколько контрольных точек на промежутке - -т; -т- • Например, если # = 0, то tg(-^) + l = O; если х=^, tg(f-j)+l = 2 и т.д. то = l; если х=|, то Задания для самостоятельной работы Вариант I 1. С помощью графика функции у= tg x выяснить, при каких значениях х из промежутка [-я; 2я]: 2 Шабунин 33
2) 3) 111 функция возрастает, убывает; jj функция принимает значения, равные нулю; [Т| функция принимает положительные, отрицательные значения. 2. [з] С помощью графика функции у = ctg x ответить на те [371 \ Найти все решения уравнения на заданном промежутке (3-4). 3. g] tg*=^, [-я; я]. 4. g] tgx=-l, [0; 2я]. Найти все решения неравенства на заданном промежутке (5-7). 5. [б] tg jc<V3, [-я; я]. 6. [б] ctgx>-l, Г--^; 2 А 7. [б] tg jc>3, [0; 2я]. Найти все решения неравенства (8—9). 8. [б] tgx>^p 9. [б] ctg л:<1. Сравнить числа (10—14). 10. [2] tg f и tg |. 12. I tgf ntgf . 11. [2] 13. S ctg^ и ctg^. 14. |_5J tg 1,8 и tg(-2). Расположить числа в порядке убывания (15—16). 15. () 16. J5J tg 3; tg 1,8; tg 2; tg 1,5. Выяснить, является ли функция четной или нечетной, и построить ее график (17—18). П y=tg х-0,5. 18. [б] у=\ tgx. 17. Построить график функции и найти значения х, при которых функция: 1) принимает положительные значения; 2) возрастает (19—20). 19. [б] у = -ctg х. 20. |Т] i/ = tg Построить график функции (21—22). 21. 0 j/ = tg|*|. 22. [] 34
Вариант II 1. С помощью графика функции y = tg x выяснить, при каких значениях х из промежутка ( —£-; я : I—I V ^ J 1) \1\ функция возрастает, убывает; 2) \\\ функция принимает значения, равные нулю; 3) \\\ функция принимает положительные, отрицательные значения. 2. [з] С помощью графика функции у = ctg x ответить на те же вопросы для всех х из промежутка (-я; 2я). Найти все решения уравнения на заданном промежутке (3-4). 3. Щ tg jc=1, [0; 2я]. 4. [4J ; = -^f, [-2я; 0]. Найти все решения неравенства на заданном промежутке (5-7). 5. ПГ] tgx>-V3, (—^; п\. 6. ПГ] ctg х<1, (-я; -^Ч. 7. [|] tj Найти все решения неравенства (8—9). 8. [б] tg x< —-. 9. [б] ctg х>1. 11. [2] ctg -5- и ctg £. 1 ' О о 13. S tgf£ tgf£ и tg(-^). Сравнить числа (10—14). 10. \2\ tg-^ и tg|j. 12. 0tgf Htg^. 14. [5j tg (- 0,7) и tg 4. Расположить числа в порядке убывания (15—16). 16. [б] tg 3; tg 4; tg 0,5; tg 1,49. Выяснить, является ли функция четной или нечетной, и построить ее график (17—18). 17. \b\ y = tg х + 0,5. 18. [б] y = 2tgx. 35
Построить график функции и найти значения х, при которых функция: 1) принимает положительные значения; 2) возрастает (19—20). 19. [б] y=-tgx. 20. [Т\ y=tg(x-±). Построить график функции (21—22). 21. [б] y=ctg\x\. 22. [У| 0=|t § 43*. Обратные тригонометрические функции Справочные сведения Свойства функции y=arcsina: (рис. 42) 1. Область определения [-1; 1]. 2. Множество значений \-i>\ \ • 3. Функция возрастает. 4. Функция является нечетной. Свойства функции i/=arccosa: (рис. 43) 1. Область определения [-1; 1]. 2. Множество значений [0; я]. 3. Функция убывает. arcsin х У\ -1 у = arccos х я Рис. 43 Рис. 42 Свойства функции j/=arctgjc (рис. 44) 1. Область определения R. 2. Множество значений 36
Рис. 44 3. Функция возрастает. 4. Функция является нечетной. Примеры с решениями 1. Сравнить числа: 1) arcsin 0,7 и arcsin 0,85; 2) arccos 0,01 и arccos 0,011; 3) arctg (- 1,3) и arctg (-1,03). Решение: 1) Функция у= arcsin x возрастает на области определения, а 0,7 < 0,85, следовательно, arcsin 0,7 < arcsin 0,85. 2) arccos 0,01 >arccos 0,011, так как 0,01<0,011 и функция у = arccos x является убывающей. 3) arctg (-1,3)<arctg (- 1,03), так как -1,3<-1,03 и функция у= arctg x возрастающая. 2. Найти область определения функции у = arccos *~ . э Решение. Областью определения функции у= arccos х является отрезок [-1; 1], т. е. -К х~ < 1. Решая это двойное неравенство, получаем -5<2х-1<5, -4<2х<6, -2<jc<3. Ответ. [-2; 3]. Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти значение функции z/ = arcsin х при х = х0 (1—3). Найти значение функции у = arccos х при х = х0 (4—6). 4. [Т] хо=1. 5. Ц] хо = О. 6. [2] *о = -^г. 37
Найти значение функции у = arctg x при х = х0 (7—9). Сравнить числа (10—14). 10. ПГ1 arcsin -= и arcsin -. — I О 11. [2] arcsin(-0,7) и arcsin f- у j. 12. Г2| arccos(-■=-) и arccos(- — ). 1—' V 5 / \ 3 / 13. Г2| arccos -F? и arccos -?=. 1—' V2 V3 14. [2] arctg V5 и arctg V6. Решить уравнение (15—20). 15. [з] arcsin #=т# 16. [з] arccos jc = -^. 17. [3] arctg x=^. 18. [б] arcsin (3jc-1)= 4 19. \b\ arccos ^i~^ = ^r. 20. [5] arctg 2д: + 1 я Найти область определения функции (21—22). 21. [б] z/ = arcsin ^^. 22. [б] 1/ = arccos -^^. Варианта II Найти значение функции у = arcsin х при х = х0 (1—3). Найти значение функции у = arccos х при х = х0 (4—6). Найти значение функции у = arctg л: при х = х0 (7—9). Сравнить числа (10—14). 10. [2] arcsin(-0,5) и arcsin (-0,1). 11. [2] arcsin— и arcsin (0,13). 12. [2] arccos 0,18 и arccos 0,21. 13. [2] arccos (--= ) и arccos [--=). 38
14. |_2J arctg -±= и arctg -±=. Решить уравнение (15—20). 15. [з] arccos*=^. 16. \b\ arcsin x = -^. 17. [з] arctg х = -^. 18. [б] arccos (1 + 2jc)=-^ 19. \b\ arcsin ^ = |. 20. [б] arctg ^ Найти область определения функции (21—22). 21. [б1 j/ = arccos ^. 22. [б] i/ = arcsin Щ — 4 у2 Контрольная работа № 4 Вариант I 1. Найти область определения и множество значений функции у = 2 cos х. 2. Выяснить, является ли функция i/ = sin x-tg x четной или нечетной. 3. Изобразить схематически график функции у = sin x +1 на отрезке - -|; 2л . 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции i/ = 3sin jccos x+ 1. 5. Построить график функции z/ = 0,5cos х-2. При каких значениях л: функция возрастает? убывает? Вариант II 1. Найти область определения и множество значений функции у = 0,5 cos х. 2. Выяснить, является ли функция z/ = cos х-х2 четной или нечетной. 3. Изобразить схематически график функции у = cos x -1 на отрезке \~\\ 2я . 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=Tcos2 х- -^-sin2 х+1. о о о 5. Построить график функции z/ = 2sin^+l. При каких значениях х функция возрастает? убывает? 39
Задания для подготовки к экзамену cos 0,2* 1. [AJ Найти множество значений функции у = - Ответ. -0,5<z/<0,5. 2. [А] Найти множество значений функции z/ = sin лг + 2. Ответ. [1; 3]. 3. [А] Найти множество значений функции у = 2-sin2 х. Ответ. [1; 2]. 4. \в\ Найти множество значений функции у=- arccos (V0,125 (cos Jt-sin x)). Ответ. [1; 2]. 5. [с] Найти множество значений функции z/ = sin 2я, если jc£[arctgO,5; arctg3]. Ответ. [0,6; 1]. 6. [с] Найти множество значений функции i/ = cos 2x> если jcGf-arctg^; arctg2|. Ответ. [-0,6; 1]. 7. [с] Найти множество значений функции z/ = sin 2я, если xG[arccos^; ||]. Ответ. [о,5; jg]. 8. [с] При каких значениях а сумма выражений loga(sin х + 2) и loga(sin x + 3) равна 1 хотя бы при одном значении х? Ответ. 2<а<12. Задания для интересующихся математикой Примеры с решениями Найти наибольшее и наименьшее значения функции (1—2). 1. f(x) = sin2* + cos x+2 Решение. Пусть t = cos x> тогда 1*1<1 и /(jc)=^y, где -И)- На рисунке 45, где изображен график функции у = ц> (t), 40
на отрезке [-1; 1] видно, что ф (- ^. Следовательно, -±-<__i_ (-о )» т.е. , т. е. ± Ответ. Наименьшее значение функции f (х) равно ^-z-, а наибольшее значение равно 1. sin jc + cos x Решение. Воспользуемся тождествами sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x - - 2 sin2 x cos2 x = 1 - -g sin2 2jc , sin6 я + cos6 x = (sin2 x + cos2 jc ) x x(sin4x + cos4 x- sin2 jccos2 x) = = 1-4 sin2 2x. 4 Положим £ = sin22;t. Тогда f(x)- -i- У Рис. 46 St-4 (St-6) + 2 2(t-2) 2(t-2) f-2 где 0<^<1. Функция y = q> (t)= -—r, график которой изоб- ражен на рисунке 46, убывает на отрезке [0; 1], и потому ф(1)<ф(0<ф(0), т.е. -1<ф(0<-"2, откуда следует, что Ответ. Наименьшее значение функции f (х) равно -^, а наибольшее равно 1. Задания для самостоятельной работы Найти наибольшее и наименьшее значения функции (1—3). l.A*)=29sin4r3cof*. (Ответ, f и|.) 2 + ( z 9rf 2 cos дг + sin х 2- 3 • (Ответ. | и £.) sin jc + cos x 41
Исследовать функцию и построить ее график (4—34). 4. y = cos Зх. 5. z/ = sin 2x. 6. z/ = 2sin 3*. 7. z/ = 3cos 2x. 8. z/ = 2cos(3*- |). 9. i/=|sin(§+-|). 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 32. 34. 35. y = sin * + |sin х\. y = Vl-sin2*. i/ = cos22jc. у — | sin дг-cos л:| COS X " |sin x| • sin x I/= Sin |*|. y = log2cos*. i/ = arcsin*. i/ = arctgjc. у = arcsin (sin x). у = arccos (cos x). Доказать, что функция у ческой. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. = sin x y = sin jcctg x. y = \Jcos x. i/= sin4* + cos4*. |sin x\ " COS X ' " COS X ' у X oi.ll JC. !f = |sin|x||. z/ = Vlog2sin^. z/ = arccos jc. i/ = sin (arcsin x). у = cos (arccos (- x)). 2 не является пер* 36. Доказать, что при всех x€R справедливо неравенство 4тг < sin10 х + cos10 x < 1. lo 37. Доказать, что при всех х€[-1; 1] справедливы равенства: 1) cos (2arccos x) = 2x2-l; 2) sin (3arcsin x) = 3x- 38. Доказать, что при всех xeR справедливо равенство arccos 1 - 1 + х
Глава VIII Производная и ее геометрический смысл § 44. Производная Справочные сведения Производная функции f(x) в точке х обозначается f'{x) и определяется формулой Если функция f(x) имеет в точке х0 производную, то эта функция называется дифференцируемой в точке х0. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Если С — заданное число, то С' = 0. Формула производной линейной функции: Примеры с решениями 1. Найти /(jc + Л), если: 1) /(*) = v£; 2) f(x) = x* + l; 3) Решение. 2) 3) 2. Используя определение производной, найти производную функции f(x) = x2-3x. Решение. Составим разностное отношение 1 п для заданной функции: 2 )-(x2-3x) h 2-3x-3h-x2 2xh + h2-3h h(2x + h-3) o Q , . = = = ZX — о + /I. n n 43
Если Л—»0, то 2дг-3 + Л—>2д:-3, следовательно, f'(x) = h Л —О Ответ. (х2-3х)=2х-3. айти производную фун Решение. По формуле производной линейной функ- 3. Найти производную функции f(x) = - — х + 2. 4. Точка движется по закону s(t) = t2 + t. Найти: 1) среднюю скорость движения точки за промежуток времени от t = 2 до £ + Л = 6; 2) мгновенную скорость движения; 3) скорость движения в момент времени t = 7. Решение. 1) Средняя скорость за промежуток времени от t до t + h (от tx до t2) находится по формуле )-s(t) m m *>ср- h • UJ По условию s(t) = t2 + t9 t = 2, t + h = 6, откуда Л = 6-2 = 4, = 22 + 2 = 6, s(6) = 62 + 6 = 42. По формуле (1) получим vcp=—-—=9. 2) Мгновенная скорость движения в момент времени t находится по формуле а« + »-Ю . (2) u(Olim . Л->0 а Поскольку s(t) = t2 + t9 имеем s(t + h) = ( + h. По формуле (2) получим m Л — 0 h-+ 0 h Л —О 3) Так как v(t) = 2t + l9 то у(7) = 2 • 7 + 1 = 15. Задания для самостоятельной работы Вариант I Для заданной функции f(x) найти f(x + h) (1 — 2). 1. [2] /(jc) = lg(3jc-l). 2. [3] 44
Используя определение производной, найти производную заданной функции (3 — 4). 3. Ц] f(x) = 4x-l. 4. Щ Найти f'(x), используя формулу производной линейной функции (5 — 7). 5. \\\ 6. \2\ 7. [2] 8. [Т| Точка движется по закону s(t) = 3t2. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от £ = 3 до i^-^ 2 9. [5j Точка движется по закону s(t)= — . Найти мгновен- о ную скорость движения и скорость движения в момент времени t = 15. Вариант II Для заданной функции f(x) найти f(x + h) (1 — 2). 1. [2] f(x) = e2x+1. 2. \з\ ^ Используя определение производной, найти производную заданной функции (3 — 4). 3. [з] /(jc) = 5jc-2. 4. |Т] /(jc) = 2jc Найти f'(x), используя формулу производной линейной функции (5 — 7). 6. [2] 7- [I] . . i^-^-i 2 8. Щ Точка движется по закону s(£)=4-. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от t = 1 до 9. [б] Точка движется по закону s(t) = O9lt2. Найти мгновенную скорость движения и скорость движения в момент времени £ = 20.
§ 45. Производная степенной функции Справочные сведения Производная степенной функции находится по формуле1 (хРу В частности, Производная функции вида f(x) = (kx + b)p находится по формуле Пример с решением Найти производную функции: 1) х12; 2) . Решение. 1) (x12)'=12xl21 = Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти производную функции (1 —12). 2 4. 1 I I I v8 9 I 9 I ал-И Q I 9 I v3 A I 9 I v 5 5 I q I -1 ft I q I л/ТГб" 7 I a I -^ Q I q I /'i • | О | —— . O. | О | \X . /. | ft | Q . o. | О | \± — x Vp 9. [з] (-5л:)3. 10. [3] (4jc-3)"6. 11. Ш V-5+2x. 12. [б! fX n\3 1 Все приведенные в данной главе формулы справедливы при тех значениях входящих в них букв, при которых и левая, и правая части этих формул имеют смысл. 46
Найти f'(x0) (13 — 14). 13. (Т| 15. [T| При каких значениях х производная функции f(x) = x3 равна 3? 16. [б] Решить уравнение f'(x) = f(x), если f(x) l)2. Найти такие значения х, при которых производная функции f(x) принимает указанное значение (17 — 20). 17. [з] f(x) = x\ /'(*) = 3. 18. g] /(*) = (2* + 3)2, /'(ж) = 3. 19. g] /(ж)-ж"1, /'(«) —4. 20. [б] /(ж)-ж*-6ж + 9, /'(ж) = 0. Указать те функции, производные которых можно найти, пользуясь формулами (хр)'=рхр~1 и ((kx + b)")' = pk (kx + Ъ)р~1 (21-23). Вариант II Найти производную функции (1 —12). 1. 4. х9. ж"1 1 2. 7- LU IT- • 8' 10. Щ (7х-1)'4. 11. -12 (2-5л:)4. ю V-3 12. [б 47
Найти f'(x0) (13 — 14). 13. Щ 15. [T] При каких значениях х производная функции f(x) = x5 равна 5? 16. [б] Решить уравнение f(x) = f'(x), если /(jc) = (1-jc)2. Найти такие значения х, при которых производная функции f(x) принимает указанное значение (17 — 20). 17. [3] 18. 0 19. Щ 20. [б] f (*) = - f'(x) = Указать те функции, производные которых можно найти по 1 1 формулам (хР)'=рхР-1 и )' =pk{kx 1 (21 — 23). 3) f(x) = x2-6x +10; § 46. Правила дифференцирования Справочные сведения (Cf(x))' = Cf'(x), (fix) ■ g(x)Y-f'(x)g(x) + f(x)g' Производная сложной функции F(x) = f(g(x)) находится по формуле F'(x) = f'(y) • g'(x), где y = g(x), т. е. по формуле (f(g(x)))'~f(g(x)) ■ g'(x). 48
Примеры с решениями 1. Найти производную функции: 3-5; 2) 18х~3; 3) 5х2(х-1); 4) — X Решение. - 3; 2) \\Ъх 3) =18- (-|) х 3 = -12* 3; 3) I способ. (5лг2(;с-1))' = 5((л:2)'(д:- =5(2:<:(л;-l)+л:2 • 1) = 5(2jc2-2x + x2) II способ. (5*2 (*-!))' = (5 ( \ 2-х ) (2-^)2 (2-jc)2 2. Найти /'(3), если /(л:) = (4-х)5У2л;-2. Решение. /'(л:) = ((4-л:)5(2л:-2)2 )' = ((4-л:)5)'(2х-2)2 + // \ 1 у I _I I -I х2(2лг-2)"2=-5(4-лг)4(2х-2)2+(4-х)5(2л:-2)"2; I _1 Г(3) = -5(4-3)4(2 • 3-2)2+(4-3)5 • (2 • 3-2)"2 = I .1 = -5-42+4~2=-10 + 0,5 = -9,5. 3. Найти производную функции Решение. Пусть f(y) = \fy, a z/ = jc3 + 5, тогда по формуле производной сложной функции находим 2 Va:3 + 5 2\/*3+ 5 49
Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти производную функции (1 —15). 1. *3 + --1. 3. Щ 16VJc-4jc2. 5. Ш (х+7)х2. 2. \2] -0,5*12. 2 11. |_5_ 13. Гб~ 2-Зх хъ-х х- 5*3 3 + 1 1 (4-х) 2 * 4- В f+ 6. |_5J 8. [б] 10. [|] 12. [|] 14. Гб1 V? Зж + 2 ' 15. [7} (4 16. (У) Найти f'(^r), если /(л;)=-^-: V 4 / \[х 17. [б] Найти /'(1), если f (х) = 5(*2-3)V*'. Найти значения *, при которых значение производной функции f(x) равно нулю (18—19). f(x) = (x-4)2\fx. 18. 19. Выяснить, при каких значениях х производная функции f(x) принимает положительные значения (20—21). 20. 21. Выяснить, при каких значениях х производная функции f(x) принимает отрицательные значения (22—24). X 22. 23. 24. [8J /(*) = *(* + 5)2. Найти производную сложной функции (25—26). 25. IT] (6*-2)2-3(6*-2). 26. {8} \J(l + x3)2, где хф-1. 50
Вариант II Найти производную функции (1 — 15). X 1. [з] 2. [2j-f 3. -6)л3. (л:4-5). 3-2*' 11. 5 х+1 5х3 \2 ' 13. [6 15. [7 16. \К\ Найти f(±\ 4. [4j 6. [|] 8. (У) 10. [|] 12. [б] 14. [б! ^(f+l)' 2x-3 ' 3*-2 если 17. [б] Найти f(l), если Найти значения jc, при которых значение производной функции f(x) равно нулю (18—19). 18. [б] /(x) = (jc + 5)4(5-2jc). 19. [б] Выяснить, при каких значениях х производная функции {(х) принимает положительные значения (20—21). = (x-14)3\fx. 20. 21. Выяснить, при каких значениях х производная функции f(x) принимает отрицательные значения (22—24). /м--!*-. 22. \j 24. \s = x3-12x. = (x2-21)x2. 23. Найти производную сложной функции (25—26). 25. 0 (5ж + 4)2-2(5* + 4). 26. [|] V(«2- где 51
§ 47. Производные некоторых элементарных функций Справочные сведения 1. (ех)' = ех. 2. (ax)f = ax In а, а>0, а*1. 3. (1пх)'=±, *>0. 4. ^ , а>0, 5. (sin х)' = cos х. 6. 7. (tgjc)'= —^—, cos*^0. 8. cos jc sin jc При замене аргумента х на kx + b в каждой из формул 1 — 8 нужно правую часть формулы умножить на k. Например, из формулы 4 можно получить следующую формулу: (kx + b)\na Примеры с решениями 1. Найти производную функции: 1) 5х; 2) б3*"1; 3) sin x cos2 х - | sin x. Решение. 1) (5*)'= 5*In 5; 2) (53jcl)' = 3 • 53*-1 • In5; 3) sinxcos2х- — sinjc = sinx(cos2jc- — ] = _ . / l+cos2jt 1 \ _ . 1+cos2jc-1 _ 1 ~\2 2/~ 2 ~2 поэтому (sin x cos2 jc - — sin x\ = ( — sin x cos 2xV = = — ((sin x У cos 2jc + sin x (cos 2л:)') = = - (cos jc cos 2jc - 2 sin jc sin 2x) = — cos jc cos 2x - sin jc sin 2x. Li Li 2. Найти значение производной функции Ь 1 j в точке хо = 2. Решение. /?/(л:) = (^5~2х) ■ 52
= -2e5~2x+ ж + 2 ' 3. Найти производную функции F(x) = sin3(5x + 1). Решение. Пусть F(x) = y3, где z/ = sin(5x +1), тогда F'(jt) = 3sin2(5jt + l)(sin(5x + 1))' = = 3sin2(5x+l) • 5 cos (5л:+1) = 15 sin2 (5л:+ 1) • cos(5x + l). Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти производную функции (1 — 14). 2. [з] cosx-\ogbx. 4. [I] tg3x. о. I 5 I 3 8. [б] Iog7(12x i i 10. —' V ° / 11. [б] Зе2х- ^ 13. Гб1 е*(х2 3. [4] л:6 In л:. 5. [T] е5"3д:. 7. [б] In (2-3*). O.[4]ein(f-x Найти производную функции (15 —19). 15. [Т] sin2x + cos2x. 16. [б] (sin* + cos*)2. 18. jT] sin2*. sin4* + cos4*-2sin2*cos2*. 17. \b\ cos2*-sin2*. 19. Найти значение производной функции f(x) в точке *0 (20 — 22). 20. Щ 21. [б] 22. [Т] 2*-3), *0 = 2. = eSx(S-2x), *0 = 0. Выяснить, при каких значениях * значение производной функции /(*) равно нулю (23 — 26). 23. = x2ex. 24. /(*)=f-cosf. 53
25. \f\ /(*) = V* + 4-21n(* + 7). 26. \Y\ /(*) = 2V* + 2-ln(*-4). Решить неравенство /'(*)> О для функции /(*) (27 — 30). 27. [б] f(x) = exx~2. 28. [б] /(*) = (* +l)V* + l-3x. 29. [б] f(x) = sin2x-2x. 30. [У] /4*) = ln(3*)-V3*. 34. I 71 sin3*2. Найти производную сложной функции (31 — 40). 31. [У] cos(*2-3). 32. [У| cos3*. 33. [в] sin2(4*-3). 35. [У| In*4. 37. [7] 4'2. 39. Ц] Iog2(sin*). Вариант II Найти производную функции (1 —14). 1. [IF] cos* + 3x. 2. [з] In*-sin*. 3. ГЦ *5ln*. 5. [4] е1"7*. 7. [б] In (4 + 3*). 9. И ein(f-x). 4. 6. tg4*. 23 :дг-1 8. [_5J log4(10* 10. [T] cos(0,2*-5). 12. [б] е2"31*4. 14. [Tl e*V4-2*. 11. [б] 2e"2l+V*. 13. [б] е2х(х2-3х). __ Найти производную функции (15 —19). 15. \T\ tg*ctg*. 16. [б] (cos*-sin*)2. 17. ЦТ] sin2*-cos2*. 18. \Y\ cos2*. 19. Гв! sin4* + cos4*. Найти значение производной функции /(*) в точке *0 (20- 22). 20. Щ — 54
21. [б] 22. \j] 1. Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f(x) равно нулю (23 — 26). /(*)=§ + sin|. 23. [5] f(x) = exx~2. 24. 25. 0 /(x) = 2Vx-31n(x + 2). Решить неравенство /'(*)> О для функции f(x) (27 — 30). 27. [б] f(x) = x2e~x. 28. [б] /(*) = 6:x:-:x:\/jt. 29. [б] /(jc) = cos3:x:-3:x:. 30. \Т\ f(x) = Найти производную сложной функции (31 — 40). 31. \j] sin(*3 + 2). 33. \s\ cos2(3x + 2). 35. 0 lnx3. 37. 0 5^3. 39. [в] Iog5(cos^). 32. 34. 36. 38. 40. Ш И И [8] sin4*. COS3 Л2. e3*2. 0,23+lnI 5 /^— Vlog^. § 48. Геометрический смысл производной Справочные сведения 0 0<a<f V 0 У I \ 0 jy==b/y*-|-f) Ь <C \ \ -y <a<0 0 л: а) Рис. 47 а — угол между прямой y = kx + b и осью Ох; k=tga — угловой коэффициент прямой y = kx + b (рис. 47). 55
Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x) в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке (рис. 48): f(xo)=k= tga. Уравнение касательной к графику функции */=/(*) в точке х0 (рис. 49): У 1 У= у = kx + b (1) У i f(x0) / ° и = / д -fix) / :о ; Л^о)) X Рис. 48 У = f(x0) + f (xo)(x - х0) Рис. 49 Примеры с решениями 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 3) и образующей с осью Ох угол -^. Решение. Искомое уравнение имеет вид у = kx + b. Найдем угловой коэффициент прямой: k = tg(-^r) =-l. Так как точка (-2; 3) принадлежит данной прямой и ft = -l, то 3 = -1-(-2) + Ь, откуда 6 = 1. Итак, у = -х+1 — искомое уравнение прямой. 2. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = х3 - х в точке с абсциссой хо = 2. Решение. Сначала находим /(2)= 23-2 = 6, далее f'(x) = (xs-x)' = 3x2-l, Г(2)=3 • 22-1=11. По формуле (1) уравнение касательной г/ = 6 + 11 (х-2), откуда у = Их-16. 3. Найти точки графика функции f(x)=-x3--x2 + 3-£, в которых касательная к нему параллельна прямой у = 2х. Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен 2. Параллельные ей прямые имеют такой же угловой коэффициент. Абсциссы точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) либо параллельна прямой у = 2х, 56
либо совпадает с ней, найдем из уравнения f (х)=2, или д- -Зг2-^ • 2х=2, откуда х2-х-2 = 0, т.е. х1=-1, л:2=2. Далее находим: Точка (-1; 2,5) не лежит на прямой у = 2х (действительно, 2,5^2 • (-1)), поэтому касательная в этой точке параллельна прямой у = 2х. Точка (2; 4) лежит на прямой у = 2х (действительно, 4 = 2-2), поэтому касательная в этой точке — сама прямая у=2х. Таким образом, точка (2; 4) не удовлетворяет условию задачи. Ответ. (-1; 2,5). Задания для самостоятельной работы Вариант I Записать уравнение прямой, проходящей через точку (х0; у0) и образующей с осью Ох угол а (1—2). 1. Щ а = -^, хо = -1, г/0=3. 2. [б] a = arctg3, хо = 2, уо=-1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 (3—5). 3. [з] f(x) = 3x2, xo=l. 4. Щ f(x) = ln{2x+l), xo = O. sin3x 5. \б Найти угол между касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 и осью Ох (6—8). 6. Щ f(x) = \x\ *0=1. 7. В ^ 8. 0 Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой хо = О (9—12). 9. ГЦ f(x) = x5-x3+3x-l. 10. ПЛ П. [б] /(jc) = cos|. 12. [б] /(х) = 1п(Зл:+1). 57
Записать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 (13—18). 13. П[] f{x) = xz-2xy xo = 2. 14. ПП /(*) = 4л:2+1, *0 = -2. 15. [б] 17. [б] 16. [6j 18. Гб1 Найти точки графика функции y = f(x), в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффициент k (19—22). 19. |_5J 21. Гт1 , ft=l. 20. [6] ; = |. 22. [7 = sin2*, ft = 2. Вариант II Записать уравнение прямой, проходящей через точку (х0; у0) и образующей с осью Ох угол а (1—2). 2. [б] a = arctg(-2), л:0 = 3, уо=2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 (3—5). 3. [3] f(x) = 2x3, xo=l. 4. |1] /(ж)-в2', л:0 = 0. 5. [б] Найти угол между касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 и осью Ох (6—8). 7. \б\ Записать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой #0 = 0 (9—12). 9. ГГ ~ * 11. [б] /(x)-sinf. 58 10. [5] 12. [б] /(x)-ln(-2x+l).
Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 (13—18). 13. g] f(x) = x2 + 3x, xo = 2. 14. [1] 15. [5j 17. [б] /(*) = е*, *0 = 0. 18. _ . . Найти точки графика функции y = f(x), в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффициент k (19-22). 19. \b\ f(x)=x(x-l), *=3. ZU. | О | 1\Х)^='~7^Х ~\~Х ыХу К == J.• 21. |Т] /(x)=V3x+l, fe = -|. 22. \j] f(x)=sinx + x, ft = 0. Контрольная работа № 5 Вариант I 1. Найти производную функции: 1)3*2-1; 2)(f + 7)6; 3) e'cos*; 4) -| х 3Г~ 2. Найти значение производной функции f(x) = l-6yx в точке *0 = 8. 3. Записать уравнение касательной к графику функции f{x) = sinx-3x + 2 в точке *0 = 0. 4. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)= x2+ положительны. 5. Найти точки графика функции f(x) = xs-3x2, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс. 6. Найти производную функции Вариант II 1. Найти производную функции: 1) 2х3-\; 2) (4-3*)6; 3) e*sinx; 4) ±; ) (); ) ; ) хг cos х 2. Найти значение производной функции f(x) = 2—— 1 >fc в точке х0 = j. 3. Записать уравнение касательной к графику функции /() 4i l в точке *0 = 0. 59
4. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)= —-0— отрицательны. х +8 5. Найти точки графика функции f(x) = x3 + 3x2, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс. 6. Найти производную функции F(jt) = cos(log2x). Задания для подготовки к экзамену 1. Найти производную функции: m sin2 x+cos2 x- 3) 4) Ответ. 1) -—s^^; 2) — — ; 3) 4) sin2jc-tg2jc ' 7 l + sinjc ' ' jc+1 1 4 2V2jc-16 1-х" 2. Вычислить значение производной функции: 1) Щ y = elAx + &\Jbx + \ в точке хо = О,25; 2) |Т| z/ = 51n(9jc + 2)+Vll-6jc в точке *0=|. Ответ. 1) 6; 2) 8. 3. Записать уравнение касательной к графику функции: 1) |_4j y = x3-3x2 в точке с абсциссой хо = -1; 2) Щ у = -х3 + х2-1 в точке с абсциссой хо = -2. Ответ. 1) z/ = 9x + 5; 2) у = -16х-21. 4. Записать уравнение касательной к графику функции: 2 1) Щ у = Ьх~ъ + 21 в точке с ординатой i/0 = 32; 4 2) Щ z/ = 11-3jc з в точке с ординатой уо = 8. Ответ. 1) у = -2х + 34; 2) z/ = 4x + 4. 5. Найти: 1) [б] абсциссы всех таких точек графика функции у = 0,5 sin 2jc - cos jc + x> в которых угловой коэффициент касательной равен 1; 60
2) \5j абсциссы всех таких точек графика функции у = 0,5 sin 2х + 3sin x + х, в которых угловой коэффициент касательной равен -1. Указание. Решить уравнение: 1) у'(х) = 1; 2) у'(х) = -1. Ответ. 1) |-(4/г + 1), neZ; ^(4fe + 3), keZ; 2) л + 2лп, neZ; l keZ. о 6. Найти: E^x _2X+1 все такие точки графика функции у = ——— , в которых касательная к нему параллельна прямой у = 2х + 5; Е9Х — 2 • 3* все такие точки графика функции у= —=—-—, в ко- In 9 торых касательная к нему параллельна прямой у = 6х-5. Указание. 1) Абсциссы точек графика функции, в которых касательная параллельна прямой у = 2х + Ь или совпадает с ней, найти из уравнения у'(х) = 2. Из полученных точек искомыми будут те, которые не лежат на прямой у=2х + 5. Ответ. 1) (1; 0); 2) (1; 0). 7. Найти: 1) [б] расстояние от начала координат до той касательной к графику функции у = х\пх, которая параллельна оси абсцисс; 2) [б] расстояние от оси абсцисс до той касательной к графику функции z/ = 41n(jc- 1) — jc2, которая параллельна оси абсцисс. Указание. 1) Угловой коэффициент касательной, параллельной оси абсцисс, равен нулю. Абсцисса точки касания находится из уравнения у'(х) = 0. Ответ. 1) j; 2) 4. 8. Найти: 1) Щ точку пересечения касательных, проведенных к графику функции у = х2-\5х + 9\ через точки этого графика с абсциссами 4 и -4; 2) \Т\ точку пересечения касательных, проведенных к графику функции у = х2 + \7-4х\ через точки этого графика с абсциссами 3 и -3. Указание. 1) Рассмотреть функцию и ее производную на .9 9 промежутках х> - — и х<- —. о о Ответ. 1) (3; -16); 2) (0,7; -9). 61
9. Найти все значения параметра а, при которых уравнение f(x) = 0 не имеет действительных корней, если: 1) [б] f(x) = ax*-±; 2) [б] /(*)-*»+f; 3) [б] f(x) = ax4^; 4) [б] /?(л:) 5) [б] /?(л:) = х3 + Зл:2 + ал:. Ответ. 1) а>0; 2) а<0; 3) а = 0; 4) -3<а<3; 5) а>3. 10. Выяснить: 1) \7_\ при каких значениях р касательная, проведенная к графику функции у = х3-рх в его точке с абсциссой хо = 1, проходит через точку М(2; 3); 2) [У] при каких значениях а касательная, проведенная к графику функции у = х3+ах в его точке с абсциссой хо = -1, проходит через точку N(3; 2). Указание. 1) Записать уравнение касательной к графику функции в точке х0 = 1 и подставить в него вместо х и у соответствующие координаты точки М. g Ответ. 1) При р = 0,5; 2) при я = у- 11. Выяснить: 1) Щ при каких значениях параметра а прямая г/ = ал:-2 касается графика функции у=1 + 1пх; 2) \Y\ при каких значениях параметра Ъ прямая y = bx + l касается графика функции у = 2-1пх. Указание. 1) Если х0 — абсцисса точки касания, то: а) значение производной функции 1 + 1пл: в точке х0 равно а — угловому коэффициенту касательной; 6) точка касания — это общая точка графика функции и касательной, поэтому 1 + 1пл:0 = ал:0-2. Ответ. 1) а = е2; 2) Ь = -—. е2 12. Щ Найти значение производной функции f(x) = 2л:7 + 4cosх в точке *0 = 0. Ответ. 0. 13. Щ Найти значение производной функции у = хех в точке хо = 1. Ответ. 2е. 14. Ml] При движении тела по прямой расстояние s (в ме- трах)от начальной точки движения изменяется по закону s(t)= — -t2 + t- I (t — время движения в секундах). Найти о скорость (в метрах в секунду) тела через 4 с после начала движения. Ответ. 9. 62
Задания для интересующихся математикой 1. Найти общие касательные к графикам функций = x2-4x+3 и Ответ. Две касательные: у = -1 и у = 2х-6. 2. Две параллельные касательные к графику функции y = f(x) пересекают оси координат: одна — в точках А и В, другая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD. Решить задачу для функции: = x*-6; 2) З Ответ. 1) —; 2) два решения: — и ——
Глава IX Применение производной к исследованию функций § 49. Возрастание и убывание функции Справочные сведения Если /'(*)> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке (рис. 50, а). Если /'(*)< 0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке (рис. 50, б). У f(x) > 0 /'(*)< о4 о а) о Рис. 50 б) Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции. Пример с решением Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2; 2) ) = (х4-8х2У= f(x) Решение. 1) Находим С помощью метода интервалов установим (рис. 51), что f'(x) = 4x(x-2)(x + 2)>0 при -2<х<0, х>2 — это интервалы возрастания функции f(x); f'(x)<0 при jc<-2, 0<x<2 — это интервалы убывания функции f(x). 64
2) Так как V3x-l>0 при любом х из области определения функции, то f'(x) = может принимать только положительные значения при х > —, следова- тельно, функция возрастает при -. Заметим, о что функция j/=V3*-l (рис. 52) возрастает не только на интервале х > -, но и на промежутке х > —. о Рис. 52 Задания для самостоятельной работы Вариант I 1. Среди промежутков х<-1, х>2, 0<х<2, х>2у , 3<jc<4 указать те, которые являются отрезками, и те, которые являются интервалами. Найти интервалы возрастания и убывания функции (2 —18). 19. |_5j Доказать, что функция f(x) = x2-\ возрастает на промежутке х>2у убывает на промежутках х<0 и 0<#<2. 20. Щ При каких значениях а функция y = xs + 3ax возрастает на всей числовой прямой? 3 Шабунин 65
Вариант II 1. |~2] Среди промежутков *<0, 2<*<5, х>-3, х<-8, -1<х<1, -5<лг<-3 указать те, которые являются отрезками, и те, которые являются интервалами. Найти интервалы возрастания и убывания функции (2 —18). Доказать, что функция возрастает на X промежутках -1<д:<0 и х>0, убывает на промежутке 20. \Y\ При каких значениях Ъ функция у = хъ + ЪЪх возрастает на всей числовой прямой? § 50. Экстремумы функции Справочные сведения Точка х0 называется точкой максимума функции f(x) (рис. 53, а), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х^х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0). Точка х0 называется точкой минимума функции f(x) (рис. 53, б), если существует такая окрестность точки *0, что для всех х = х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x0). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. 66
У\< О У = fix), У-fix) a) Рис. 53 6) Теорема Ферма. Если х0 — точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то /'(л:0) = 0. В точке экстремума касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рис. 54). Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками (например, точки х0, *!, х2 на рисунке 55 стационарные). У\ / / о fixQ) X \ ■о y-fi кУпхл 1 х) ) = о X У\ / 1 о Vyf(^)=o Т 1 ^ л:0 лсх х2 х Рис. 54 Рис. 55 Точки, в которых функция либо недифференцируема (т. е. не имеет в них производной), либо имеет производную, равную нулю, называют критическими точками этой функции (например, точки хо> х19 х2 на рисунке 56 критические, из них стационарной является только точка х2). У\ \ \ 0 У У-fix) I /\ №,)-0 Xq X^ Х2 X Рис. 56 Рис. 57 67
Сформулируем достаточные условия экстремума. Пусть функции f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 (кроме, быть может, самой точки х0) и непрерывна в точке х0. Тогда: 1) если производная функции f(x) при переходе через точку х0 меняет знак с « + » на «-», то эта точка является точкой максимума (на рисунке 57 точка х0 — точка максимума); 2) если производная функции f(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на « + », то эта точка является точкой минимума (на рисунке 57 точка хх — точка минимума). 3) если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, то эта точка не является точкой экстремума. Примеры с решениями 1. Найти критические точки функции y = f(x), график которой изображен на рисунке 58. Выявить среди них точки экстремума. Решение. В точке х0 производная не определена, в точке хх производная существует и отлична от нуля; в точках х2, х3, х4 и хъ производная не существует; в точках х6 и х7 производная равна нулю. Таким образом, критическими являются точки х2, х3, хАУ хЪУ х& и х7 (среди них стационарными являются точки х6 и х7). Производная меняет свой знак при переходе через точки л:4, х5 и х6 — они являются точками экстремума (хА и х6 — точки максимума, хь — точка минимума). о 2. Найти стационарные точки функции f(x) = xs-\—. Решение. Стационарные точки функции f(x) — это корни уравнения f'(x) = 0. Находим f'(x) = 3x2—- = ~ \ х2 х2 Рис. 58 68
Решим уравнение =0, =0, откуда *i = -l, х2=1. 3. Найти значения функции f(x) = ^- - — х3 в точках экстре- 5 о мума. Решение. 1) Найдем производную функции: Производная существует при всех х> поэтому точки экстремума находим среди стационарных точек: 2) Теперь проверим, какие из найденных стационарных точек являются точками экстремума. Методом интервалов определяем знаки производной функции на промежутках х<-2, -2<х<0, 0<х<2, х>2 (рис. 59). При переходе через точку хх = -2 производная меняет знак с « + » на «-», поэтому хх = -2 — точка максимума. При переходе через точку *2 = 0 производная не меняет знак, значит, эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку х3 = 2 производная меняет знак с «-» на « + », т. е. х3 = 2 — точка минимума. Находим значения функции в точках эстремума: Задания для самостоятельной работы Вариант I 1. |_2j По заданному графику функции y = f(x) (рис. 60) назвать критические, стационарные точки и точки экстремума. Найти стационарные точки функции (2—11). 2. \2\ у = 2х2-1. 3. \з\ у = - Рис. 60 69
4. [З] у = х3 + 6. [Г) у = х3- 8. Щ j/ = e3*- 10. ПП j/ = 5. |_3j у = *3- 7. |1] у = 2е3* 9. [3 y = sin|. 11. [б] j/ = 2cos2*-2sin2x. Найти точки экстремума функции (12 —18). 12. ПП у = -Зж+1. 13. [Л и 14. 16. 18. 5 V=i + 4. У Зж + 2* 15. [4j 17. ПЛ 2-3* ' Найти точки экстремума и значения функции в этих точках (19 — 26). 19. [4j y = 3x2-2x. 21. [3 У = х4-4х3 + 20. 23. [б] j/=|-V2jc-3. 25. ГЦ у = е2*-2е*. 20. [5J у = 6л:- 22. [б] у = 24. [^] j/ = 26. \б = х2ех. Вариант II 1. [2] По заданному графику функции y = f(x) (рис. 61) назвать критические, стационарные точки и точки экстремума. Найти стационарные точки функции (2—11). 2. \2\ у = -х2 + 1. 6. |~4~| у 10. [3 1 70 РИС. 61 5. [з] 7. Щ 9. [Т] 11. Щ = cos|. COSX.
Найти точки экстремума функции (12 —18). 12. Ц] у = 5х-2. 13. [З] у = -4*2 14. [I] у = х3 + 6х2. 15. [1] i/ = 6x-x 18. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках (19 — 26). = Зх-Ьх2. 20. [б] y = xs-9x. 22. [б] z/ 24. [б] z/ 26. [б] y § 51. Применение производной к построению графиков функций Справочные сведения Чтобы построить график функции, обычно предварительно исследуют функцию, для чего находят: 1) область определения; 2) производную; 3) критические точки; 4) промежутки возрастания и убывания; 5) точки экстремума и значения функции в этих точках. Для более точного построения графика находят точки его пересечения с осями координат (а иногда еще несколько точек). Чтобы построить график четной (нечетной) функции, достаточно исследовать ее свойства и построить график при х>0 (или при х>0), а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Пример с решением Построить график функции f(x) = 3x5-5x3. Решение. 1) Область определения функции — множество R всех действительных чисел. 2) Г(х) = (Зх5-5х3)'=15х*-15х2 = 15х2(х-1)(х + 1). 71
3) Производная существует при всех х. Решив уравнение 1Ъх2(х- 1) • (х + 1) = 0, находим стационарные точки: *i = -l, *2 = 0, *з = 1- 4) Решив неравенства /'(*)> О и /'(*:)< 0, находим промежутки возрастания функции: х<-\, х>1 — и промежутки убывания функции: -1<л:<0, 0<х<1 (рис. 62). 5) Стационарная точка хх = -1 является точкой максимума, поскольку при переходе через нее производная меняет знак с « + » на «-»; /(-1) = 2. Стационарная точка х2 = 0 не является точкой экстремума. Стационарная точка х3 = 1 является точкой минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на « + »; /(1) = -2. По результатам исследования составим таблицу: X х<-1 + -1 0 2 -1<*<0 - 0 0 0 0<*<1 - 1 0 -2 х>\ + -fl У U 2- 1" -1 О Дополнительно найдем абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого решим уравнение /(*) = (), т.е. уравнение Зх5-5х3 = 0. Его корнями являются числа - - 0 - Используя результаты исследования, строим график функции у = 3х5-5х3 (рис. 63). —9-\- VJ/ Замечание. Для построения Рис. 63 графика функции /(л:) = Зл:5-5л:3 можно было, воспользовавшись тем, что функция f(x) нечетная (f(-x) = -f(x))> построить график функции на промежутке х>0 и отразить его симметрично относительно начала координат.
Задания для самостоятельной работы Вариант I 1. [з] На отрезке [-4; 3] построить график непрерывной функции y = f(x), пользуясь данными, приведенными в таблице. Учесть, что /(0) = 2. X fix) -4 5 -4<jc<-2 - -2 0 -3 -2<*<1 + 1 0 4 1<*<3 - 3 0 Построить график функции (2 — 9). 2. 0 /(x) = x3-3x2 + 4. 3. Щ 4. [i] /(jc) = x4-8^2. 5. Щ 6. [б] /(jc)=|-2Vx на отрезке [0; 16]. 7. [б] f{x) = x+- на отрезке Г^; 91. 8. /(*)=■ - на отрезке [-1; 3]. 9. [б] f(x)= y-sinjc на отрезке [-я; я]. Вариант II 1. [з] На отрезке [-3; 4] построить график непрерывной функции y = f(x), пользуясь данными, приведенными в таблице. Учесть, что /(0) = -2. X Г(х) fix) -3 -5 -3<jc<-1 + -1 0 1 -\<х<2 - 2 0 -4 2<*<4 + 4 2 Построить график функции (2 — 9). 6. \Щ f(x) = 3\fx- ^ на отрезке [1; 16]. 73
7. [б] f(x) = x + — на отрезке —; 8 . 2 8. \6\ f(x) = — на отрезке [-1; 3]. х ех 9. [б] /(*)= ^-cos* на отрезке [-я; я]. § 52. Наибольшее и наименьшее значения функции Справочные сведения Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет производную в каждой его внутренней точке, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке [а; Ь] нужно: 1) найти значения функции на концах отрезка, т. е. f(a) и f(b); 2) найти значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу (а; Ь); 3) из найденных в пп. 1 и 2 значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Если дифференцируемая на интервале (а; Ъ) функция f(x) имеет на этом интервале только одну стационарную точку х0, причем /'(#)> 0 на одном из интервалов (а; х0), (*0; Ъ) и /'(*)<() на другом интервале, то f(x0) является наибольшим или наименьшим значением функции f(x) на этом интервале. Пусть функция f(x) неотрицательна на некотором промежутке. Тогда если в точке х0 этого промежутка одна из функций f(x) или (f(x))n принимает наибольшее (наименьшее) значение, то и другая принимает в точке х0 наибольшее (наименьшее) значение. Примеры с решениями 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(tf) = V* + 3 на отрезке [-2; 6]. Решение. 1) Находим значения функции на концах отрезка: 2) Критических точек на интервале (-2; 6) функция не имеет, так как производная f'(x)=— >0 при всех зна- 2\3 чениях х из этого интервала. 3) Из чисел 1 и 3 наибольшим является 3, а наименьшим — число 1. 74
Итак, наибольшее значение функции f(x) = отрезке [-2; 6] равно 3, а наименьшее равно 1. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции x + 3x + 5x на отрезке [-3; 0]. о Решение. 1) /(_3)=| • (-27) + 3 • 9 + 5 • (-3) = -9 + 27-15 = 2) /'(я) = л:2 + 6л: + 5 существует при всех х; при х1 = -19 х2 = -Ь. Интервалу (-3; 0) принадлежит только одна стационарная точка хг = -19 /(-1) = -- + 3-5 = 1 " 3) Из чисел 3, 0, -2— наибольшее равно 3, наименьшее равно - 2 -i-. о 3. Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник с наименьшей диагональю. Решение. Под словами «найти прямоугольник» традиционно понимается задача нахождения сторон прямоугольника. Пусть в прямоугольнике ABCD с В заданным периметром р (рис. 64) AD = x, тогда DC=^r-x. Очевидно, что 0 < х < тг. Диагональ АС найдем из A D 2 Рис. 64 треугольника ACD по теореме Пифагора: АС = \1х2+(2г-х\ , откуда AC = V2x2-px+?-. Задача сводится к нахождению такого значения х, при котором функция f(x) = \]2х2-рх+ ^т- принимает наименьшее значение на интервале V2 2х2-рх+ y > 0 на интервале 0 < х < &■, то f{x) и (f(x))2 принимают наименьшее значение на этом интервале в одной и той же точке. Поэтому теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения 2 функции (f(x))2 = 2x2-px+ y на интервале 0<л:<|-. Имеем ^\ =4х-р, 4х-р = 0 при х=^. 75
Таким образом х = ^ — единственная на интервале 0<х< р 65 < — стационарная точка, являющаяся точкой минимума (рис. 65). При этом вторая сторона прямоугольника равна \-\ = 7« Итак, при заданном периметре р наименьшую диагональ имеет квадрат со стороной ^. 4 4. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус с высотой Н (оси цилиндра и конуса совпадают). Решение. Конусы с высотой Н могут иметь различные радиусы основания. Поэтому сначала рассмотрим частный случай: конус с высотой Н и радиусом основания R. На рисунке 66 изображено осевое сечение фигуры. Обозначим искомую высоту цилиндра ООХ через х. Тогда объем цилиндра будет равен п*АхО\-х. Из прямоугольных треугольников SM0 и SAlOl имеем ^^ |£ откуда ^=f, А.О линдра выразится формулой Поэтому объем циГл. х. С учетом геометрического смысла задачи нужно найти наибольшее значение этой функции на интервале Имеем V (х) = ^L (Н2х - 2Нх2 + х3)' =^ - 4Нх + Sx2). Стационарные точки найдем из уравнения Зх2-4Нх+ тт = 0, откуда х1 = —, х2 = Н. Рассматриваемому интерва- о тт лу принадлежит только точка хх = —, которая является о точкой максимума. Следовательно, цилиндр наибольшего объема, вписанный в рассматриваемый конус, имеет высоту, равную у. Поскольку результат решения не зависит от радиуса основания конуса i?, можно сделать вывод, что он получен для всех конусов с высотой Н. Итак, искомая высота ци- линдра равна —. 76
Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти наибольшее и наименьшее значения функции (1 —12). 1) Щ на отрезке 0; — ; 2) Щ на отрезке [0; 3]. 2. [з] f(x) = 5x + l на отрезке [-1; 1]. 3. [з] /(jc) = -| + 3 на отрезке [-2; 1]. 4. [з] f(x) = x2 + l на отрезке [-1; 2]. 5. [з] /(х) = -^- + 2 на отрезке [-2; 3]. 6. Щ /(jc) = (2jc-1)2 на отрезке [0; 1]. 7. Щ /(jc) = 2jc3-9jc2 на отрезке [1; 4]. 8. [Т| f(x) = 2x3-9x2 на отрезке [-1; 4]. 9. [б] /(jt) = x4-8x2 + 5 на отрезке [-3; 2]. 10. [б] /(л:) = л: н— на отрезке [1; 4]. 11. [б] /(л:) = л:-4\/х на отрезке [0; 9]. 12. [б] /4*)=^- на отрезке [-1; 3]. е 13. [б] Найти наибольшее значение функции f(x) = -x—- на интервале (0; 3). 14. |_5J Найти наименьшее значение функции /(*)=-—г на интервале х> 1. 15. |Т| Открытая сверху коробка объемом 36 дм3 имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания 1:2. Какой должна быть меньшая сторона основания коробки, чтобы на изготовление коробки ушло наименьшее количество материала? 16. [б] В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 10 см вписан имеющий с ним общий угол прямоугольник наибольшей площади. Найти площадь прямоугольника. 17. Щ Точки М и N перемещаются по разным сторонам угла А, равного 30°, так, что площадь треугольника AMN остается постоянной и равной S. При каких AM и AN величина MN будет наименьшей? 18. \т] Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R. 77
19. [Т] Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около сферы радиуса R. 20. |8| Найти высоту правильной четырехугольной призмы наибольшего объема, вписанной в конус с высотой Л (плоскости оснований призмы и конуса совпадают). Вариант II Найти наибольшее и наименьшее значения функции (1 —12). 1. /(л:) = л:3-6л:2 + 9л:-4: 1) [Т] на отрезке [0; 2]; 2) [Т] на отрезке [0; 5]. 2. [з] /(л:)=|+ 1 на отрезке [-2; 2]. Li 3. [з] /(л:) = -Зл:-2 на отрезке [-1; 2]. 4. \b\ /(л:) = л:2 + 2 на отрезке [-2; 1]. 5. [з] /(л:) = -у-1 на отрезке [-1; 3]. 6. [Т] /(л:) = (Зл:-1)2 на отрезке [0; 1]. 7. Щ f(x)=12x-x3 на отрезке [-3; -1]. 8. [Т] f(x) = 12л:-л:3 на отрезке [-3; 1]. 9. [б] f(x) = л:4 -18л:2 + 30 на отрезке [-4; 3]. 10. [б] /(л:) = л:+- на отрезке [1; 3]. 11. [б] fix) = 6\fx-x на отрезке [0; 25]. 12. [б] /(л:)= ^у на отрезке [0; 2]. 13. [б] Найти наименьшее значение функции /(л:)=^- + - на интервале (0; 3). I——1 2 14. [б] Найти наибольшее значение функции /(л:)=— на _ е интервале х>0. 15. [б] Отливка объемом 72 дм3 имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания 1:2. При каких размерах отливки площадь ее полной поверхности будет наименьшей? 16. [б] В треугольник ABC со сторонами АВ и АС, равными 4 см и 10 см, и углом А, равным 30°, вписан имеющий с ним общий угол параллелограмм наибольшей площади. Найти площадь параллелограмма. 78
17. |_7_j Точки М и N перемещаются по разным сторонам угла А, равного 60°, так, что AM+AN = а. При каких AM и AN величина MN будет наименьшей? 18. \j] Найти высоту конуса наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R. 19. Щ Найти высоту конуса с образующей Z, имеющего наибольший объем. 20. \Sj Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около цилиндра с высотой Н (оси цилиндра и конуса совпадают). § 53*. Выпуклость графика функции, точки перегиба Справочные сведения Производную f'(x) дифференцируемой на интервале (а; Ъ) функции f(x) называют также первой производной или производной первого порядка функции f(x). Если функция f'(x) имеет на интервале (а; Ъ) производную, то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) и обозначают f"(x)y т. е. /"(*) = (/'(*))'. Функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (а; Ь), называется выпуклой вниз на этом интервале, если ее производная f'(x) возрастает на (а; Ь), и поэтому /"(*)>() на этом интервале (рис. 67). f (*i) = tg ax < tg a2 = f (x2) Рис. 67 Функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (a; b), называется выпуклой вверх на этом интервале, если ее про- 79
хг<х2 f (*i) = tg ax > tg а2 = f (x2) Рис. 68 изводная f'(x) убывает на (а; Ь), и поэтому /"(*:)< О (рис. 68). При построении графика функции y = f(x), имеющей на интервале (а; Ъ) вторую производную, учитывают следующий факт: если /"(*:)< 0 для всех х€(а; Ь), то на этом интервале функция f(x), выпукла вверх; если f"(x)>0 для всех х 6 (а; Ь), то на этом интервале функция f(x) выпукла вниз. Точка х0 дифференцируемой функции f(x) называется точкой перегиба этой функции, если х0 является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции f(x). Таким образом, в точке перегиба дифференцируемая функция меняет направление выпуклости. Примеры с решениями 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции f(x) = x2e*. Решение. Найдем первую и вторую производные функции f(x). Г (х) = (х2ех)' = 2хех + х2ех = ех (2х + х2), Г (х) = ех (2х + х2) + ех(2 + 2х) = ех (х2 + 4х + 2). Так как ех>0 при всех х> то f"(x)>0 тогда, когда х2 + 4л: + 2 > 0, т. е. при х<-2-\/^и х>-2 + \[2. На этих интервалах функция f(x) = x2ex выпукла вниз. f"(x)<0 на интервале -2-\2<д;<2 + v2, на нем функция выпукла вверх. При переходе через точки jc1 = -2-v2 и лг2 = -2 + У2 вторая производная функции f(x) меняет знак, значит, эти точки — точки перегиба. 80
2. Построить график функции f(x) = ^- -х2. о Решение. Функция f(x) дифференцируема на всей числовой оси и имеет на ней вторую производную. Найдем ее: () f'(x) = O при х = и Г(х) = (х2-2х)' = 2х- f"(x) = 0 при х = 1. Результаты исследования функции с помощью первой и второй производных показаны в таблице. X № Г(х) № х<0 + - г * = 0 0 - 0 0< х < 1 - - х = 1 - 0 2 3 К х < 2 - + х = 2 0 + 4 " 3 х>2 + + точка максимума точка перегиба точка минимума Для построения графика функции y = f(x) (рис. 69) были найдены координаты дополнительных точек, принадлежащих этому графику: Рис. 69 Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти f"(x) (1 — 4). 2. 4. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции f(x) (5 — 6). 5. f(x) = -x3 + 5x2. 6. f(x) = x4-2x3. 4 Шабунин 81
Найти точки перегиба функции (7—8). 7. /(jc) = sin х на интервале 0<х<2п. 8. ± 20 Построить график функции (9—10). 9-f { у\ % О -j (\ f / \ 3 -, • / \Х) — ~z с*Х* ±\J. I I XI — — X — Д Вариант II Найти f"(x) (1—4). -x3 + 6x2-2x-5. 2. 3. /(*) = (3* + 2)6. 4. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции (5—6). 5. f(x) = 2x3-4x2. 6. f 4 s Найти точки перегиба функции (7—8). 7. /(л:) = со8л: на интервале 8. ^ Построить график функции (9—10). 9. /(*) = -^ + 4*. 10. f(x) = х3 -2х2 -4х. о Контрольная работа № 9 Вариант I 1. Найти стационарные точки функции f(x) = x3-2x2 + x + $. 2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = x3-2x2 + x + 3; 2) f(x) = ex(2x-3). 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции 32 4. Построить график функции f(x) = x3-2x2 + x + 3 на отрезке [-1; 2]. 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Го; -| 6. Среди прямоугольников, сумма длин трех сторон которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади. 82
Вариант II 1. Найти стационарные точки функции f(x) = х3 -х2 -х + 2. 2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = x3-x2-x + 2; 2) f(x) = (5-4x)ex. 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции 32 4. Построить график функции f(x) = x3-x2-x + 2 на отрезке [-1; 2]. 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции = хъ-х2-х + 2 на отрезке -1; — . 6. Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10. Задания для подготовки к экзамену 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2) Ш Ответ. 1) Функция возрастает на интервалах х<-2, х>2, убывает на интервалах -2<*<0, 0<л:<2; 2) функция возрастает на интервалах #<-3, #>3, убывает на интервалах -3<х<0, 0<л:<3. 2. Найти промежутки: 1) |Т| возрастания функции f(x) = x-7-yj2x + 3; 2) |Т| убывания функции f(x) = b-x + 2 \lx + 2. Ответ. 1) Промежуток возрастания: х>-1; 2) промежуток убывания: х>-1. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции: 1) [4] f(x) = 2x2-\nx; 2) [Т] f(x) = ln x-4,5x2. Ответ. 1) Промежуток убывания: 0<#<—, промежуток возрастания: х>—; 2) промежуток возрастания: 0<#<—, 2 о промежуток убывания: х>—. о 4. Исследовать на монотонность функцию: 1) [Г] f(x) = 3-x + ex + 2; 2) Щ f(x) = e3~x+ X + 2. Ответ. 1) Промежуток убывания: #<-2, промежуток возрастания: х>-2; 2) промежуток убывания: л:<3, промежуток возрастания: х>3. 83
5. Доказать, что функция f(x) монотонна на всей области определения, если: 1) \t] f(x) = e~x-5x; 2) |Т| f(x) = 3x-ex. 6. Исследовать на монотонность функцию f(x), если: 1) И /(*) = х+4; 2) И f(x) = x2-^. х Ответ. 1) Промежутки возрастания: х<0, х>2, промежуток убывания: 0<х<2; 2) промежутки возрастания: -2< <х<0, jc>0; промежуток убывания: х<-2. 7. Найти все такие положительные значения параметра а, что функция: 1) \Т_\ у = ах2-In х убывает на интервале 0<х<5; 2) \Т_\ г/ = 1п х-ах2 убывает на интервале х>2. Указание. 1) Интервал убывания: 0<лг<-7=. Чтобы функ- ция убывала на интервале 0<х<5, должно выполняться неравенство 5 < -^=. \[2а Ответ. 1) 0<а<^-; 2) а>\. 50 о 8. Найти: 1) [в] все значения t> такие, что функция f(x) = 2xs-3x2+ + 7 возрастает на интервале t-l<x<t + l; 2) [в] все значения р, такие, что функция f(x) = -xs + 3x2+ + 5 убывает на интервале р<х<р+ —. Указание. 1) Интервалы возрастания: х<0, х>1. Чтобы функция возрастала на заданном интервале, должно выполняться одно из двух неравенств: £ + 1<0, t-l>l. Ответ. 1) *<-1, t>2; 2) р<-1,5, р>1. 9. При каких значениях а функция f(x) имеет одну стационарную точку, если: 1) \j] f{x) = ax*-Qx2 + ±x + l\ 2) \Т\ f(x) Ответ. 1) а = 0, а = 3; 2) а = 0, а = -6. 10. Найти точки экстремумов функции: 1) [Т| f(x) = x + \'l-x; 2) Ответ. 1) Точка максимума х = 0,75; 2) точка минимума х = 0. 11. Найти точки экстремумов функции: 1) [б] /(jc) = ^ + ^-3jc + 2; 2) [б] 84
Ответ. 1) х = О — точка минимума; 2) х = 0 — точка максимума. 12. Найти стационарные точки функции: 1) Щ f(x) = x+— и среди них указать точку максимума; 2) Щ f(x) = 9x+— и среди них указать точку минимума; Ответ. 1) # = 2, х = -2; х = -2 — точка максимума; 2) х = - —, х=—; х=— — точка минимума. о о о 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) [5\ f(x)=—7 + тг на промежутке 0<х<2,5; х +1 2 2) \5\ f(x) = x-\ на промежутке -2<лг<0. X — L Ответ. 1) Наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно 1,5; 2) наибольшее значение функции равно -3, наименьшее значение равно -4. 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) [5] f(x) = x4-2x2 + l на отрезке -\ — z 2) \b\ f(x) = x*-±x3 на отрезке -|| Определить, какие целые значения принимает функция на заданном отрезке. Ответ. 1) Наибольшее значение функции равно 1 —, наи- 16 меньшее значение равно -2, целые значения: -2; -1; 0; 1; 2) наибольшее значение функции равно —, наименьшее значение равно --, целое значение 0. о 15. Найти: 1) щ максимумы функции /(a:) = cos 2x cos x на интерва- 2) \Т\ минимумы функции /(jc) = cos 2x sin x на интерва- Указание. 1) Задача сводится к нахождению максимумов функции g(t) = 2t3-t, где £ = cos х, на интервале - — <t<—. V6 Ответ. 1) Максимум функции равен —; 2) минимум функ- У ции равен ——. У 85
16. При каких значениях х каждое из заданных выражений принимает наибольшее значение? Найти это значение: 1) \8\ 3 + —— ; 2) \s\ \ 2. 1—' |2л:2 -hJC-31-h 1 '—' 5 + |32 + 2| о Ответ. 1) При х = -— и при х=1 выражение принимает наи- 2 большее значение, равное 6; 2) при х = -1и при х=- вы- о ражение принимает наибольшее значение, равное -1,6. 17. Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции: 1) \Т\ f(x) = x + ea~x равно 4; 2) \Т\ f(x) = ex~a-x равно -3. Указание. 1) Исследуя функцию f(x) на Л, установить, что наименьшее значение функции равно а + 1 (при х = а). Ответ. 1) а = 3; 2) а = 4. 18. Выяснить: 1) \Y\ при каких положительных значениях а наименьшее значение функции у = х V*+ а равно - 6 V3; 2) [У] при каких положительных значениях Ъ наибольшее значение функции у = {Ъ-х)\[х равно 10 V5. Указание. 1) При исследовании функции учесть, что а>0, х>-а. Ответ. 1) При а = 9; 2) при Ь = 15. 19. Найти значение а и все экстремумы функции, если: 1) [в] функция /(л:) = 1пл: + ал:2-5л: имеет экстремум в точке * = 0,5; 2) [в] известно, что л:=1 — одна из точек экстремума функции / (х) = In л: + х2 + ал:. Ответ. 1) а = 3, л:=— — точка максимума, х=— — точка о & минимума; 2)а = -3, х=— — точка максимума, х=1 — точка минимума. 20. Выяснить: 1) щ при каких значениях а наибольшее значение функции у = х3-3х + а на отрезке -2<*<0 равно 5; 2) [в] при каких значениях Ъ наименьшее значение функции у = хв-12х + Ь на отрезке 1<л:<3 равно 0. Указание. 1) На заданном отрезке функция имеет только одну критическую точку хо = -1. Среди значений у (-2), 86
j/(-l), y(0) нужно выбрать наибольшее и установить, при каких а оно равно 5. Ответ. 1) При а = 3; 2) при Ь = 16. 21. Выяснить: 1) [э] при каких значениях а точка хо = а является точкой минимума функции у = 2х3-3(а + 1)х2 + 6ах- 1; 2) [э] при каких значениях Ъ точка хо = Ь является точкой максимума функции у= — x3-(b-2)x2-4bx + 3. о Указание. 1) Корнями уравнения z/'(0) = 0 являются хх = 19 х2 = а. Поэтому необходимо исследовать функцию на экстремум трижды: при а<1, при а = 1, при а>1. Ответ. 1) При а>1; 2) при Ъ<-2. 22. Записать уравнение касательной к графику функции: 1) [б] f(x) = 4x-2x + 1 в точке ее минимума; 2) [б] f(x) = 3x + 1-27x в точке ее максимума. Ответ. 1) i/ = -l; 2) i/ = 2. 23. Щ Число 6 разложить на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наибольшей. Ответ. 6 = 3 + 3. 24. [б] В треугольник с основанием 4 см и высотой 2 см вписан прямоугольник наибольшей площади с вершинами на сторонах треугольника. Найти площадь прямоугольника. Ответ. 2 см2. 25. [Y] Внутри угла, величина которого 30°, взята точка А, находящаяся на расстояниях 2 и 3 см от сторон угла. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник, отсекаемый от этого угла прямой, проходящей через точку А? Указание. Для решения задачи использовать два способа подсчета площади отсекаемого треугольника. Ответ. 24 см2. 26. \Т\ На гипотенузе АВ данного прямоугольного треугольника ABC взята точка Р. Какой должна быть величина угла АСР, чтобы произведение расстояний от точек А и В до прямой СР было наибольшим? Ответ. 45°. 27. Щ Улитка выползает из вершины С равностороннего треугольника ABC со стороной а и ползет по направлению к вершине А. Одновременно из А выползает с вдвое большей скоростью гусеница и ползет к В. На каком расстоянии от В будет гусеница, когда расстояние между ней и о улиткой станет наименьшим? Ответ. — а. 87
28. [в] Рассматриваются всевозможные правильные треугольные призмы, у которых каждая боковая грань имеет периметр, равный а. Найти среди них призму с наибольшим объемом. (В ответе указать боковое ребро такой призмы.) Ответ. ^-. о 29. [§] Рассматриваются всевозможные правильные четырехугольные призмы, сумма длин всех ребер каждой из которых равна Ъ. Найти среди них призму с наибольшим объемом. (В ответе указать сторону основания такой призмы.) Ответ. —. 30. [в] Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. Найти длину бокового ребра, при которой призма имеет наибольший объем. Ответ. ——. з 31. [в] Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна р. Найти высоту пирамиды наибольшего объема. Ответ. В^К. 3 32. [в] Найти радиус основания цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую площадь полной поверхнос- 3 Гу~ ти. Ответ, у —. 33. [з] Функция y = f(x) задана на промежутке [-6; 4] (рис. 70). Выбрать промежуток, которому принадлежат все точки экстремума функции: 1) [-6; 0]; 2) [0; 4]; 3) [-2; 3]; 4) [-3; 1]. Ответ. [-3; 1]. 34. [б] Функция y = f(x) задана на отрезке [а; Ь]. На рисунке 71 изображен график ее производной y = f'(x). Исследовать функцию y = f(x) на монотонность. В ответе указать количество промежутков, на которых функция возрастает. Ответ. 3. У Ьх Рис. 70 Рис. 71 88
I—I x3 x2 1 35. |6J Найти максимум функции у = -— + — +6*-4 — . О Li £ Ответ. 9. 36. [б] Найти наименьшее значение функции g(x) = log1(9-x2). Ответ. -2. 37. m Найти наименьшее значение функции у = Vsin 2х • cos х + cos 2x • sin x-7. Ответ. -2. 38. [в] При каком наибольшем целом значении m функция f(x) = -x8 + - тх2-Ьх + 2 убывает на всей числовой прямой? Ответ. 7. 7 39. |_8j При каком значении а функция у=—— имеет максимум при л: = 4? Ответ. При а = 8. Задания для интересующихся математикой 1. Фигура Ф ограничена параболой у = х2 + 1 и прямыми х = 0, у = 0, х=1. В какой точке параболы следует провести касательную к ней, чтобы эта касательная отсекала от фигуры Ф трапецию наибольшей площади? Ответ. В точке (-; - J. 2. 1) Среди всех прямых, касающихся графика функции у = х3 + 6х2 + — х + \ в точке с положительной абсциссой, вы- 4 брана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату. 2) Среди всех прямых, касающихся графика функции о у = -хг-2х2+ — х + 2 в точке с отрицательной абсциссой, выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату. Ответ. 1) 9; 2) Щ. 3. Рассматриваются прямоугольные параллелепипеды с отношением сторон т:п и суммой всех измерений, равной а. Требуется: 1) найти высоту параллелепипеда, имеющего наибольший объем; 2) установить, при каком отношении т: п объем этого параллелепипеда будет наибольшим. Ответ. 1) %\ 2) 1. о 89
Глава X Интеграл § 54. Первообразная Справочные сведения Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x). Если F(x) — первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то функция F(x) + C, где С — любое число, также является первообразной функции f(x) на этом промежутке. Если функция f(x) имеет на некотором промежутке первообразную F(x), то любая первообразная Ф(х) функции f(x) на промежутке имеет вид Рис. 72 где С — некоторое число. Графики любых двух первообразных Fi(x) и F2(x) функции f(x) получаются один из другого сдвигом вдоль оси Оу (рис. 72). Для того чтобы выделить из совокупности первообразных функции f(x) какую-либо первообразную Fx(x), достаточно указать точку М0(х0; уо)9 принадлежащую графику функции у = Рг(х). Примеры с решениями 1. Показать, что функция F(x) — первообразная функции f(x) на всей числовой прямой, если: x2; 2) ^ 3) 4) F(*) = -3 cos x, f(x) = 3 sin x. Решение. 1) Применяя правила дифференцирования и учитывая, что (xn)' = nxn-l9 n€N, получаем 90
2) (^ + 4)'= у - 3) (2x5-l)' = 2- 5*4=10*4. 4) (- 3 cos x)' = - 3 (cos *)' = (- 3) (- sin *) = 3 sin *. 2. Для функции f(x) найти такую первообразную F(x), график которой проходит через точку М: 1) /(*)= А, М(-1; 3); 2) f(x) = y/x9 M(4; 5). Решение. 1) Функция —т — первообразная функции хр для любого р^-1 при *>0. В частности, для функции — = х~2 первообразная F(x) имеет вид F(x) = - — + C. д: х По условию F(-l) = 3, т.е. 3 = 1 + С, откуда С = 2 и 2) Одной из первообразных функции \fx = x2 является JC 9 — функция =— х , а искомая первообразная F(x) имеет Так как F(4) = 5, то 5 = - • 42 + С, т. е. 5 = —+ С, откуда о о Ответ. 1) 2-^; 2) f Задания для самостоятельной работы Вариант I Показать, что функция F(x) — первообразная функция f(x) на всей числовой прямой (1—6). 1. [8J F(jc)= y> f(x) = x3. 2. |_3j 3. Ц] 91
5. \3j 6. [71 + 5, /(*) = -«*. -^cos2x, f(x) = el Вариант II Показать, что функция F(x) — первообразная функция f(x) на всей числовой прямой (1—6). 2. [з] . | О | Г \Х) = — Z COS X ■+■ 1, /(xj = ZSinx. к I о I F (х\ = 2^>Л: 4- 3 f (х\ = 2^>*с —I ~ 1 4| 6. § 55. Правила нахождения первообразных Справочные сведения Таблица первообразных Функция хр, р* 1 sin jc COS X Первообразная xP+1 +с Р + 1 ln|x +C -cos jc + C sin x + C Правила нахождения первообразных (правила интегрирования) Если F(x) и G(x) — первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке, то функция: 1) F(x) + G(x) — первообразная функции f(x) + g(x); 2) aF(x) — первообразная функции af(x)> a — постоянная; 3) —F(kx + b)> где ky b — постоянные, ft^O, является первообразной функции f(kx + b). 92
Примеры с решениями 1. Найти все первообразные данной функции: 2) sm2x-e~ 3) 4) -^—; 5) sin2 2*. x - x - 2 Решение. 1) По таблице первообразных и правилам интегрирования для функции хр при р = 2 ир = -1 находим все первообразные данной функции: 2) Первообразными функций sin 2х и е~х являются со- , cos2x ответственно функции -—^— и -е х, а совокупность всех первообразных данной функции записывается в виде 3) Первообразными функций cos(3x + 2), (*-1)3 и (х+4) 2 являются соответственно функции — sin(3x + 2), (jc-1)4 / и 2V# + 4, а совокупность всех первообразных данной функции имеет вид 4) Так как то совокупность всех первообразных данной функции можно записать в виде с\ тт • 9 о 1 -cos4л: 5) Используя равенство siir2jt= ^ , находим искомое множество всех первообразных данной функции: 93
Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти все первообразные данной функции (1—17). " 4*2. 2. ID --Л. 1. LL 3. Гз1 х5-2х. * х3 5. i i 7. Щ 11. [б] 13. [б] 2 sin л: + л:2. + л:3. + x 15. |_7J cos«sin3jc. 17. Гв! 6. [5J Vx--f. \х 10. [б] 12. [б] 2cos2|. 14. [Ц ' 16. Г71 x+1 ' Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М (18 — 21). 18. [3 Пх) = -±9 М(1; -2). х3 19. [б] /(х) = sin х- cos л:, м(|; l). ±, M(l; -2). л* 20. [б] 21. [б] г, М(0; 2). 1 Найти первообразную F(x) функции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке (22 — 24). 22. |_5J 23. [б] 24. [Т] 94 JC+1 (х-2)3 '
Вариант II Найти все первообразные данной функции (1 —17). 1. [з1 2x4-5x. 2 [з] J__A. х2 х4 з. \г\ х6 5. |Т| 3 cos л:-л:. 7. fil 5ex-2x\ 9. Щ и. U 13. Гв" - cos 6x -4 sin 4л\ \lx-l х-1 х + 2 ' 15. Щ sin х cos Зх. 17. [в! 6. [5j 8. [Г] 10. [б] 12. [б] 14. [Т] 16. ГУ! Vx 2sin'f. x-1 ' Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М (18 — 21). is. щ 19. [б] 20. [б] 21. Щ Ух я; -2). ; -3). ' М(0; ~2)- Найти первообразную F(x) функции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке (22—24). 22. [б] 23. [б] 24. ГЛ -1)5, JF"(O) = 1. /(*) = ж-2 (х + З)3' 95
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл Справочные сведения 1. Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная отрезком [а; Ь] оси Оху отрезками прямых х = а и х = Ъ (рис. 73) и графиком непрерывной на отрезке [а; Ь] функции y = f(x)y где f(x)>0 при хе[а; Ь]. 2. Если S — площадь криволинейной трапеции, F(x) — некоторая первообразная функции f(x) на [а; Ь], то F(b)-F(a). (1) а О Рис. 73 Формулу (1) называют формулой Ньютона — Лейбница, Примеры с решениями 1. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную: осью Ох и прямыми 1) графиком функции z/ = sin 571 = п и х= —; о |, осью Ол: и прямыми 2) графиком функции z/=l х = -1 и х = 2; 3) графиком функции у = -х2 + 2х и осью Ох. Решение. Криволинейные трапеции изображены на рисунках 74—76. У\ 1_ о у = sin y 3 -1О Рис. 74 Рис. 75 У 1 _ о : 2 ~~ JC i £Х L 2 * Рис. 76 96
2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками х = а, х = Ь, осью Ох и графиком функции 1) о = 1, Ь = 3 2) а = - — у b=-, 3) а = -2, 6 = 2, Решение. 1) Применяя формулу (1), получаем где F(x) — одна из первообразных функции. Так как Зх2 и хз — — первообразные функций 6х и х2, то в качестве F(x) можно взять функцию 2± = 18, = 3x2-±r. Тогда F(3) = 27-9 = о = 3-| = |, откуда S=18-f = ^ = 1б{. X 2) Функция F(x) = 2sin— является первообразной функ- ции = 2sinf |^. По формуле (1) находим S = 2л 3) Функция у = х2-2\х\ + 2 является четной, ее график симметричен относительно оси Оу (рис. 77); при х>0 функция принимает вид у = х2-2х + 2 = = (х-1)2 + 1. Кроме того, прямая х=1 — ось симметрии параболы 1/ = (л:-1)2 + 1, а точки 2n " 3 У\ 2- Г^ у = х -2IjcI+2 Рис. 77 (0; 0) и (2; 0) симметричны относительно прямой х = \. Поэтому S = 4SU где Sx — площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми лг = О, х=19 у = 0 и графиком функции у = (х- 1)2 + 1. Так как Ответ. 1) |; 2) V2~+\/3; 3) 5-|. О О 97
Задания для самостоятельной работы Вариант I Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, прямыми х = ау х = Ь и графиком функции y = f(x) (1—4). [Т| 6x-x2. 2. \Т\ а = -4, b = -2, 3. [б] а=^, b=^, 4. [б] а = -2, b = 4 5. [б] Выяснить, какая из криволинейных трапеций, изображенных на рисунках 78—80, имеет площадь S = 6. У -1 О 12 3 Рис. 78 -1 О У I 12 3 Рис. 79 Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = Ъ, графиком функции y = f(x) и осью Ох (6-16). 6. [4] а — 1, Ъ = 2, 7. (Т| а = 0, & = 2, 8. |_4_] а = 3, & = 5, 9. \б\ а = 1, Ь = 2, /(*) = 10. Ц] а = -4, Ь I, 11. Ll| о-1, 6 = 27 12. [|] а = 1, Ь = 4, 13. [Т] а = 0, Ь = 3, 14. [Т] а = -1, ft=l, 98
15. Щ 16. [71 ■■ sin2 x. , f(x) 1+х Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x) и осью Ох (17 — 20). 17. Щ 18. [I] 19. [б] 2О.[б] = l-x2. Вариант II Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, прямыми х = а, х = Ь и графиком функции y = f(x) (1—4). 1. [4] 2.(4] 2, 3. [б] а = я, b="^"» 4. [б] а = -6, & = 3, 5. [б] Выяснить, какая из криволинейных трапеций, изображенных на рисунках 81—83, имеет площадь S = 5. 2 У 2- 1- 0 ri. 12 3^ -2-1° Рис. 81 Рис. 82 1 2 Рис. 83 Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = Ь, графиком функции y = f(x) и осью Ох (6-16). 6. [I] а = -2, 6-1, 7. 0 а = 1, & = 3, /(л:) = л:2-4* + 5. 8. [I] о-2, 6 = 6, /(ж) = 8*-ж2. 99
9. [51 а = 0, 6 = 3, f(x) = х + 2 ' 10. Щ а=± 6 = 1, f(x)=\. X 11. [1] а = 1, 6 = 64, 12. 0 а = 2, 6 = 5, /(*) = *-^-. 13. Щ а = 0, 6 = 2, f(x)-^f. 14. [71 а = -1, 6=1, 371 15. Щ а = -^, 6 = Л, /(х) = 16. [71 а = 2, 6 = 4, /(л 2хг Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x) и осью Ох (17 — 20). 17. |Т| Нх) = 4-х2. 18. [Т| 19. [б] 20. [б] § 57. Вычисление интегралов Справочные сведения Если F(x) — первообразная функции f(x) на промежутке [а; Ь], то по формуле Ньютона — Лейбница Примеры с решениями Вычислить интеграл (1—4). 1. \ cos 2xdx. Решение. Так как sm — первообразная функции cos 2x, то sin 2x ^(sin гя-sin 0) = 0. 100
2. J ((*+l)2 + 2(x-2)3) dx. 3. ( -*_ dx. 3 J (л:+1)3 l _ л: (x+l)-l 1 1 о Решение. = = . В качестве (*+1)3 (*+1)3 (х+1)2 (x + lf первообразной для функции f(x) можно взять функцию ± 1. Поэтому F(3)-F(l), где j 2 =4 + i=-f Итак' hh = h- I 4. \ cos4 xdx. о Решение. Применяя формулу понижения степени, получаем cos4x = f—C^S * J =— (1 + 2 cos 2x + cos2 2x) = = - f--h2 cos 2x+- cos 4xj, а в качестве первообразной 1/3 для функции cos4x можно взять функцию F(x) = — 1-х + + sin 2x -f - sin 4xj. Так как F(0) = 0, f(f )=g, то f(| )-F(0)= fj. Задания для самостоятельной работы Вариант I Вычислить интеграл (1—18). -1 1. Щ [ 0 1 [ —. 2. 0 ( \x2 + (x-3)s]dx. J2 x* о L J 2 4 3. Щ [ sin 2x dx. 4. ПП \ f \[х + — ) dx. О О 1 In 2 О 5. ПН \ е2х dx. 6. [б] о 101
7. Ш ( ^-^dx. i Vx 8. [б] J dx -2 9. [б] С -4 2 1' 11. 0 \ £l±* Ac. 1—' J * + 2 2 13. [8] \ \x-l\dx. 0 3 1Э. I о I \ X 0 17. [9j J (cos8x-sin8x)dx. о Вариант II Вычислить интеграл (1—18). 1. [4l Г *?. 12. dx 2 14. (jT| \ sin x sin Зл: dx. 16. [9j J (sin4 лг + cos2 2 ~2 1ft I Q I \ ain3 v Wv XO. | %7 I \ Sin X ИХ» 0 3. |4| \ cos 2x i 1 2. [б] С 7 4. [T| 1' In 3 5. [5] J e3jf dx. 0 7. re] (-*±idx. 6. [б] J (x-2)(x2-4x + 5)dx. 9. 6 -3 \ -5 3 d* 8. [б] 10. [7] ( 1—' J 11. Ш \ *i±!«te. 1 ' J ЛС4-1 x + Z 12. [в] 102
13. \x+l\dx. 14. [в] \ cos jc cos 3jc dx. 0 71 16. [jf| jj (cos4 ;t + sin2 x)dx. 17. [9] ] (sin6 x + cos6 x)dx. о 18. [9] J cos3 x dx. § 58. Вычисление площадей с помощью интефалов Справочные сведения Если фигура Ф ограничена отрезками прямых x = a, x = b и графиками непрерывных на отрезке [а; Ь] функций y = f1(x)9 y=f2(x), таких, что f2(х)>fx(x) при ж€[а, b] (рис. 84), то пло- _ щадь S фигуры Ф выражается формулой (1) Ь х Рис. 84 Примеры с решениями 1. Найти площадь фигуры Ф, ограниченной параболой у=— и прямой j/ = 3~x. Решение. Парабола и прямая пересекаются в точках А и В (рис. 85), абсциссы которых являются кор- х2 нями уравнения — = 3 - х> откуда после преобразований получим я2 + 4л;-12 = О, т. е. лг1 = — 6, х2 = 2. У Рис. 85 103
Искомую площадь вычислим по формуле (1), где а = -6, х2 6 = 2, f2(x) = 3-x, fi(x)= —. Следовательно, 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой jc = 1, параболой у = х2-2х-\-2 и касательной, проведенной к этой параболе в точке ее пересечения с осью ординат. Решение. Парабола пересекает ось Оу в точке А(0;2) (рис. 86), а уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид y-2 = kx> где k — значение производной функции f(x) = x2-2x + 2 при х = 0. f'(x) = 2x-2, т. е. k = f'(O) = = 2 0-2 = -2. Итак, касательная задается уравнением у = 2-2х и пересекает ось Ох в точке В(1; 0). Поэтому 1 S= [ (x2-2x + 2-(2-2x)\dx = = \x2dx=±. Задания для самостоятельной работы Вариант I Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1-16). 1. Щ у = Зх + 18-х2у у = 0. 2. |Т| i/=l+x2, у = 2. 3. [б] у = х2-х, у = 3х. 4. \Е] у = х2у у = х + 2. 5. [Е\ у=±х2-2х + 4:у у = 10-х. з 6. [б] у = 8х-х2-7, у = х + 3. 7. [б] у = х2, у = 2х-х2. 8. [б] у = 2 + 4х-х2, у = х2-2х + 2. 9. Ну-!, ir-*^. 104
10. [б] 11. [б] 12. [б] 13. [б] 14. [б] = х\ = хг, = \fx. -1. х = 15. [б] u = sin л:, где 0<лс< -J, и w= f x. 16. [б] z/ = x2-4x, г/ = -4, х = О. 17. [ZJ Найти площадь фигуры, ограниченной параболой i/=jt2+12 и касательными к ней, проведенными из точки А(0; 3). 18. Щ Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, параболой у = х2 + 3 и касательной к ней в точке А(2; 7). Вариант II Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1-16). = 0. 2. [i] i/ = 3. [б] i/ = 4. [б] i/ = = 2-х. 5. [б] z/=|x2-h2x-h4, i/=10-hx. з 6. Щ 7. [б] 8. [б] 9.0 Ю. [б] 11. [б] г——1 12. [б] 13. [б] , у=1+у/х. = 0. 105
14. [б] */=4' */=-!-*. *=-i. 2 15. [б] j/ = sin x, где -^<х<0 и г/=^х. 16. 0 г/ = 4х-л;2, i/ = 4, х = 0. 17. Щ Найти площадь фигуры, ограниченной параболой х2 + 11 и касательными к ней, проведенными из точки 2 у А(0; 2). 18. Найти площадь фигуры, ограниченной осями ко2 [] ординат, параболой А(-2; 7). и касательной к ней в точке Контрольная работа № 7 Вариант I 1. Доказать, что функция F(x) = = Зх + sin х - е2х является первообразной функции /(;*;) = З + cos х- -2е2х на всей числовой оси. 2. Найти первообразную F функции f(x) = 2\fx9 график которой проходит через точку АуО; -j. 3. Вычислить площадь фигуры F> изображенной на рисунке 87. у = х - 2х + 2 4. Вычислить интеграл: 1) ^ (x+^jdx; 2) j cos2 xdx. i о 5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой г/= 1-2* и графиком функции j/ = x2-5x-3. Вариант II 1. Доказать, что функция F(x) = e3x + cos jc + x является первообразной функции f(x) = 3eSx-sinx+l на всей числовой оси. 3 у 2. Найти первообразную F функции f(x) = -3 yx> график которой проходит через точку А(0; — J. 106
3. Вычислить площадь фигуры F> изображенной на рисунке 88. 4. Вычислить интеграл: 2) \ sin2 xdx. 5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3-2х и графиком функции у = х2 + Зх - 3. -х+6х-5 Задания для подготовки к экзамену 1. [I] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=\/х и У=^х. Ответ. |. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями е2-3 и = е. Ответ. у , j/ x и х е. Ответ. 3. [4J Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=х2 + 6х + 9 и осями координат. Ответ. 9. 4. [4J Найти площадь фигуры, ограниченной параболой j/=(*-2)(2jc-3) и осью Ох. Ответ. ^-. 5. Щ Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х-х2-4 и осями координат. Ответ. —. — о 6. [4] Найти площадь фигуры, ограниченной осями коор- динат, графиком функции г/=д;2 + 3 и прямой х = 2. Ответ. —. з 7. [i] Найти площадь фигуры, ограниченной графиками I— 7 функций у=\х, у = 2-х и осью абсцисс. Ответ. —. 8. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной графиком о функции у=—-, осью абсцисс и прямыми х=1 и х = 3. Ответ. 2 In 3. 9. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-zXs, у = 3-х и у = -4х. Ответ. 5. о 107
10. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х-х2 и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат. Ответ. —. з 11. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = (1-х)(х-5), у = 4 и х=1. Ответ. -. о 12. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=-х3 и у = \[2х. Ответ. —. 13. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями I— 99 у=\х, у = 6-х и г/ = 0. Ответ. —-. о 14. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = \/х9 у = (х + 2)\ у = \ и у = 0. Ответ, g. 15. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями t/ = V4-x, г/ = 2 + (х-4)3 и г/ = 3. Ответ. ^. з 16. [б] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = Vx, y=\ и г/ = 2. Ответ. |-1п 2. 17. [в] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х\у\ = 2, х=1, х = 3. Ответ. 4 In 3. 18. Щ Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = - 1, параболой у = х2 - 2х + 3 и касательной к ней в точке с абсциссой 2. Ответ. 9. 19. Щ Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin xy касательной к нему в точке с абсциссой я 2 и прямой х=^-. Ответ. -^--1- Z о 20. [в] Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у-х2 = 0 и у2-х = О. Ответ. -. о 21. [в] Фигура Ф ограничена линиями г/ = -х2 + 2л; + 3 и у = 0. Найти отношение площадей фигур, на которые фигура Ф делится графиком функции у = (х+ I)2. Ответ. 1:3. 22. [Т\ Найти площадь фигуры, ограниченной осью Оу, параболой у = 2х-х2 и касательной к ней в точке с абсцис- сой 2. Ответ. —. о 108
23. [в] В каком отношении делится параболой у = ^— + 2 площадь четырехугольника ABCD, где А(-4; 0), В(-2; 4), С(2; 4), £>(4; 0)? Ответ. 2:7. 24. [в] Для каждого а<0 найти площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = 2а, х = а, у = 0 и графиком функции !/ = --§. Сравнить площадь S с числом 3. Ответ. S = 3 In 2, S<3. 25. Щ Найти первообразную функции f(x) = e2x-cos x, график которой проходит через начало координат. Ответ. — e2x-sin х-—. 26. \S] Найти ту первообразную F(x) функции f(x) = 2x + 4, график которой касается прямой у = 6х + 3. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = 6х + 3 и у = 0. Ответ. F(x) = x2 + 4x + 4, S=—. 4 27. [А] Для функции у = 2 cos x найти первообразную, график которой проходит через точку Мf-|; 24J. Ответ. г/ = 2 sin х + 22. 28. [а] Указать первообразную функции /(х) = ех-2х. Ответ. F(x) = ex-x2. 29. [в] Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и = 3 \[х и у= — х + 2—. Ответ. 32. ^ » и п су
Приложения Тест для проверки обязательных результатов обучения за курс алгебры и начал анализа 1. 2. Вычислить а) 8; Вычислить а) 8; Vie. б) V2-V б) ±8; 'зг ±8; в) в) 4; 16; г) г) ±4. ±64. 3. Вычислить \ 1-АА 144 4. Найти V^24, если а>0. а) а20; б) а6; в) ±а20; г) ±а6. 6 г-р 5. Упростить Vva> если а>0. а) ^ ; б) Va; в) Va; г) Va; 6. Вынести множитель из-под знака корня: V54. а) 2^3; б) 3\/2; в) 18; г) 5^4. 7. Извлечь корень: у(2 — VJ)2. а) V5-2; б) 2-V5; в) 1-V5; г) 1-д/5. 8. Найти значение выражения 5° + (-1—) . а)3|; б)-1; в)-2|; г)-з|. 9. Найти значение выражения f-j~2-h(-3)2. а) -9^; 6)8J|; в) -25; г) 25. 10. Представить выражение уа?, где а>0, в виде степени. 1 А а) а5; б) а4; в) а9; г) а20. 110
11. Выполнить деление: 4 :46. а) 1; б) 2; в) 42; г) 4 12. Возвести в степень: (-= \а6 а) б) 4; в) 13. Сравнить числа (0,35)* и (0,35)3. а) (0,35)*<(0,35)3; б) (0,35)*= (0,35)3; в) (0,35)* > (0,35)3; 14. Упростить выражение а~Ъ а)а2+Ь2; б)а2-Ь2; в) а + b; г) а-Ъ. 15. Решить уравнение V2x2-3 = x. а) х = -3; б) х^-3, х2 = 3; в) x = V 16. Решить уравнение 2х = -4. г) нет корней, г) нет корней. а)* —2; б)х = -|; в) х = 2; 17. Решить неравенство f — Г >25. а) х<-2; б) х>-2; в) х<2; г) х = 2. 18. Указать уравнение, корнем которого является логарифм числа 5 по основанию 3. а) 5Х = 3; б) х5 = 3; в) Зх = 5; 19. Найти log! 8. а) 3; б) -3; в) 4; 20. Вычислить 41+log43. а) 7; б) 8; в) 12; 21. Упростить разность Iog672-log62. a) Iog670; б) ^^; в) 2; 22. Найти lga3, если lga = m. а) Щ-; б) 3 + т; в) Зт; г) х3 = 5. г) -4. г) 256. г) 6. г) т3. 23. Выразить log5e через натуральный логарифм. a> 6) B> ^ Г 111
24. Решить уравнение log5x = -2. а) х = -2; б) х = 0,1; в) х = 0,04; г) нет корней. 25. Решить неравенство Iog0,3^>l- а) х>1; б) х>0,3; в) х<0,3; г) 0<х<0,3. 26. Найти радианную меру угла 240°. а) |тг; б) |тг; в) |тг; г) |тг; 27. Найти значение выражения sinf-^j -hcosf-^j. v V2-V3. fi. -V2+V3. . -V2 + 1. v -V2-1 5 3 28. Найти sin а, если cosa = — и — я<а<2тг. а) 13' 0) 13' в) 13' г) 13* 2 29. Найти tga, если ctga=—. о 30. Найти sin2a, если sina=—, cosa = --. о о ч 24 Лч 12 ч 1 &)-25; б)-25; В) 55 Г id Q 31. Найти cos2a, если sina = --, cosa = --. о о 32. Записать cos 580° с помощью наименьшего положительного угла. а) sin50°; б) -sin50°; в) -cos40°; г) cos40°; 33. Упростить выражение cosf-l + aj •sin(7r-a)-htgf|7r-aj. а) cos a sin a-tga; 6) cos2 a + tga; в) cos2a-ctga; r) -sin2a + ctga. 34. Указать выражение, которое не имеет смысла. а) arccos^; б) arcsinl; в) arctgl5; г) arccosV3. 35. Решить уравнение cosx = -l (в ответах k€Z). а) х = к + кк; б) х = к + 2кк; в) x=^+2nk; г) x = -^ 112
36. Решить уравнение sinx = O (в ответах k€Z). a) *=-| + яЛ; б) х= ^ + 2nk; в) x = nk; г) x = 2nk. 37. Найти arcsinf--). 38. Найти arccos V 2 /• а) ?я; б) -тг; в)--; г)--. 39. Найти производную функции х5, где х>0. I _1 _1 а) -|*5; б) 5х"5; в) |х"5; г) |х5. 40. Найти производную функции 3cosx + 5. a) 3sinx; б) -3sinx; в) 2cosx + 4; г) -3sinx + 41. Найти производную функции xlog2x. ^ б> 1^2' В^ ^ 42. Найти точку (точки) экстремума функции у = 2х3-3х2. а) ^=|; б) Xj = O, л:2=|; в) х1 = 0, х2=1; г) г/х = 0, г/2 = -1- 43. Найти промежуток убывания функции у = -х2 + 4х-3. а) [2; +оо); б) (-оо; 2]; в) [1; +оо); г) (-оо; 1]. 44. Найти все первообразные функции у = х6. а) 6х5 + С; б) ^ + С; в) ^ + С; г) ^ + С. 45. Найти первообразную функции f(x) = sinx, если F(-| 1 = a) cosx + 2-h-5^-; б) -cosx + 2-h-^—; в) cosx-hl; г) -cosx+1. & 2 5 Шабунин
Варианты экзаменационных работ для общеобразовательных классов Вариант 1 (1991 г.) 1. Сравнить значения выражений 1 + cos 40° + cos 80° cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85° sin 80° + sin 40° sin 95° cos 5° - cos 95° sin 185° 2. Найти промежутки возрастания функции 3. Решить уравнение 4. Найти натуральные значения х, удовлетворяющие (/1\-2х+1 [ — 1 >32, Iog4(x-6)2<1. 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у =-— х2 + 1 и касательными, проведенными к этому графику в точках его пересечения с осью абсцисс. 6. Сколько корней имеет уравнение Зх2-х3 = а при 0<а<4? Вариант 2 (1991 г.) 1. Сравнить значения выражений sin 50°- sin 25° cos 25° cos 5° - cos 25° cos 85° 1 - cos 25° + cos 50° sin 375° cos 5° - sin 15° sin 5° 2. Найти промежутки убывания функции 3. Решить уравнение 2x-2-\jx- I = 15. 4. Найти целые решения системы неравенств 27' Iog3(l-x)2<2. 114
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -х2 + 4х и касательными, проведенными к этому графику в точках его пересечения с осью абсцисс. 6. Сколько корней имеет уравнение х3-Зх2-\-2 = а при а>2? Вариант 3 (1992 г.) 1. Решить уравнение log2 (х - 3) = 2 - log2 х. 2. Решить неравенство ф" 3. Вычислить абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций y = 2sin(x + -jj- j и j/ = V^cosx. 4. Найти расстояние от начала координат до касательной к графику функции у = х\пх> параллельной оси абсцисс. 5. При каких значениях а график функции у = 3х-4х3 и прямая у = а имеют одну общую точку? 6. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=—— и прямыми у = 0у х = 4, х=р (при ,. л хУх р>4), меньше 1. Вариант 4 (1992 г.) 1. Решить уравнение log4(x + 4) = 2-log4(x-2). 2. Решить неравенство 3. Вычислить абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций y = -sinx и y = \[2o,os(x+ -j j. 4. Найти расстояние от оси абсцисс до касательной к графику функции г/= 4 In (х- 1)-х2, параллельной оси абсцисс. 5. При каких значениях Ъ прямая у = Ь пересекает график функции у = х3 + 3х2 более чем в двух различных точках? 6. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 22х и прямыми у = 0у х = -0,5, x = t (при £<-0,5), меньше 1. 115
Вариант 5 (1993 г.) 1. Решить уравнение sin 2x + cos (тс - х) = 0. л т^ / 3 V2 / 9 \*+1.5 2. Решить неравенство ( — 1 > I — 1 3. Найти стационарные точки функции f(x) = x+— и указать среди них точку максимума. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями S/ = V* и У=\х. 5. Найти точку пересечения касательных, проведенных к графику функции у = х2-\Ьх + 9\ в точках с абсциссами 4 и -4. 6. Решить систему уравнений Вариант 6 (1993 г.) 1. Решить уравнение sin (тс + х) - sin 2х = 0. 2. Решить неравенство 3. Найти стационарные точки функции f(x) = 9x + - и указать среди них точку минимума. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 и у = у/х. 5. Найти точку пересечения касательных, проведенных к графику функции у = х2 +1 7 - 4х \ в точках с абсциссами 3 и -3. 6. Решить систему уравнений = x 5 ^ 116
Вариант 7 (1994 г.) 1. Решить уравнение 6cos2x-5sinx + 5 = 0. 2. Найти точки экстремумов функции у = х + Vl -x. х — 1 3. Решить неравенство logj ->-2. х + З 4. Фигура ограничена линиями у = 0 и у = -х2 + 2х + 3. Найти отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком функции у = (х+1)2. 5. Решить неравенство x2 + 25>8V5-x + 10х. 6. Найти все такие значения а, при которых функция у = (х2-3)е1~х возрастает на интервале (а; а + 2). Вариант 8 (1994 г.) 1. Решить уравнение 7sin2x-6cosx + 6 = 2. Найти точки экстремумов функции у = х-\2х + 2х-\ х + 1 2х — 1 3. Решить неравенство logj — >-2. 2 4. Фигура ограничена линиями у = 0 и у = -х2 + 6х-5. Найти отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком функции у = (х-Ъ)2. 5. Решить неравенство 27V4-X- 16<х2-8х. 6. Найти все такие значения Ь, при которых функция y = (8-x2)ex+l убывает на интервале (&; & + 3). Вариант 9 (1995 г.) 1. Решить неравенство 1оё3х>1оё3(5-л:) и указать все его целочисленные решения. 2. Сравнить значение функции у = cos Зх - 2 sin ^ + 2 In (1 + х) в точке хо = О со значением производной этой функции в той же точке. 3. Решить уравнение sin2x + sinx = 2cosx +1. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = \[х9 у=\ и у = 2. 5. Решить уравнение 3х • 2х =24. 117
6. Найти те первообразные функции f(x) = 3x2-2x + 3, графики которых имеют с графиком функции f(x) ровно две общие точки. Вариант 10 (1995 г.) 1. Решить неравенство logj {2x-\-S)<\ogx (Зх-2) и ука- "7 7 зать все его целочисленные решения. 2. Сравнить значение функции у = cos f - 2 sin Зх + 4 In (1 + х) в точке хо = О со значением производной этой функции в той же точке. 3. Решить уравнение sin 2x - cos x = 2 sin x - 1. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = \[х, у=\ и у=\. 5. Решить уравнение 2х • 3х = 18. 6. Найти те первообразные функции f(x) = 6x2 + 2x-2, графики которых имеют с графиком функции f(x) ровно две общие точки. Вариант 11 (1996 г.) 1. Решить неравенство 2logo.7(1+2x)>4. 2. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x2-xs9 проходящей через точку графика с абсциссой хо = -1. 3. Решить уравнение ух4-Зх-1=х2-1. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=^х и у= — х. 5. При каких значениях а функция у = х3-Зах2 + 27х-Ь имеет единственную критическую (стационарную) точку? 6. Решить уравнение sin -^ х = х2-4х + 5. 4 Вариант 12 (1996 г.) 1. Решить неравенство 31ово,з<2'3-2х>>9. 2. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = xs + x, проходящей через точку графика с абсциссой хо = 2. 118
3. Решить уравнение V*4 + х-9 = х2-1. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = \[х 5. При каких значениях а функция у = х3 + 3ах2 + 1Ъх-13 имеет единственную критическую (стационарную) точку? 6. Решить уравнение cos 7кх = х2-6х + 10. Варианты экзаменационных работ для гуманитарных классов Вариант 1 (1994 г.) 1. Решить уравнение cos(3x- -jj = — и указать любой его положительный корень. 2. Решить неравенство log2 (3 - 2х) < - 1. 3. Найти все числа а, для которых выполняется условие 4 • 23а = 0,252 . 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4-х) и осью абсцисс. 5. Найти область определения функции х + 1^ х-*' 6. При каком значении а наибольшее значение функции у = х3-Зх-\-а на отрезке [-2; 0] равно 5? Вариант 2 (1994 г.) 1. Решить уравнение sin(2x-^ ) =-^- и указать любой его отрицательный корень. 2. Решить неравенство logj (Зх- 1)>- 1. 3. Найти все числа Ь, для которых выполняется условие 0,236"5 = 2562. 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -х(х + 2) и осью абсцисс. 119
5. Найти область определения функции * V *+6 *-2 6. При каких значениях Ъ наименьшее значение функции у = х3-12х + Ъ на отрезке [1; 3] равно нулю? Вариант 3 (1995 г.) 1. Решить неравенство 27 3 2. Решить уравнение у 4 sin ^ -1 = 1. 3. При каких значениях а выражения (а + 1) • lg(2a + 3) и а+1 принимают одинаковые значения? 4. Найти промежутки возрастания и убывания функ- 4 ции у = х-\—. 5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = \[х> у = 2-х и осью абсцисс. 6. Найти общие точки графика функции у = х3-4х2+ + 2х+1 и прямой у = 1-2х и определить, есть ли среди них точки касания. Вариант 4 (1995 г.) 4 1 1. Решить неравенство 16 <-. 2. Решить уравнение v2cos3x + 2 = l. 3. При каких значениях Ъ выражения (3&+1) • lg(l-ft) и 36+1 принимают одинаковые значения? 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 4х+ —. 5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х2, у=— и прямыми у = 0 и х = 2. 6. Найти общие точки графика функции у = х3 + 2х2- -5х + 1 и прямой у=1-7х и определить, есть ли среди них точки касания. 120
Вариант 5 (1996 г.) 1 1. Решить уравнение (V2)* =32. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2-х2 и у=1. 3. Без использования таблиц и микрокалькулятора найти значение выражения 11 cos 287° -25 sin 557° sin 17° А о „ [log2(x + 2)-log4*/=l, 4. Решить систему уравнении _~ 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=2xs-3x2-12x + 24 на отрезке [-2; 1]. 6. Доказать, что уравнение х5 + 3х3 + 7х-11 = 0 имеет единственный корень. Найти этот корень.
Ответы Глава VII. Тригонометрические функции § 38 Вариант I . jc^-3. 2. jc>2,5. 3. x€R. 4. jc<-V2, jc>V2. 5. i/ = x2: y=-^x2:xeR, y>0. 6. y = x2:xeR, y>0; y = (x-l)2: y>0. 7. y = Vx: x>09 y>0, y = Vx-l: x>0, y>-l. 8. x€[-2; 3], y£[-2; 1]. 9. *<E[-3; 2], z/<E[-3; 2]. 10. i/<E[0; 18]. 11. i/<E[V2; 2V2]. 12. jc^O, i/*0. 13. х^Д, i/>l. 14. jc>2, i/>0. 15. jc6B. 16. 17. jc^O. 18. jc6B, 19. x>l. 20. лг^тт, n^Z. 21. x*2nn, 22. Jc^-^+тт, neZ. 23. x*n(2n+1), /i6Z. 24. 25. jc^-arctg2 + ;m, n£Z. 26. л:^^ + ^г, n^Z. 27. о 3 Z. 28. xelnn; - + 7Ш , n€Z. 29. 30. [-1; 1]. 31. [-1; 1]. 32. [0; 2]. 33. [-1; 3]. 34. [0; 2]. 35. [-3; 1]. 36. [-3; -1]. 37. [-V2; V£]. 38. [-13; 13]. 39. [2-V5; 2 + V5]. 40. i/ = 2,5, i/ = -2,5. 41. z/ = 5, y = l. 42. y = -y/3, y = y/3. 43. i/ = 4,5, i/ = 9,5. 44. i/ = 0,5, i/ = 13,5. Вариант II . 2. jc<2-. 3. jc6B. 4. -V3<jc<V3. 5. i/ = jc2: о y>0; y = 2x2: xeR, y>0. 6. y = x2: xeR, y>0; y = x2-l: y>-l. 7. y = Vx: x>09 y>0, y = yjx-l: x>l, y>0. 8. xe[-2; 3], ye[-2; 2]. 9. xe[-l; 2], ye[l; 3]. 10. 1/б[0; l|]. 11. ye[V3; 3]. 12. jc^O, i/*0. 13. хбй, i/<3. 14. x>-2, y>0. 15. хбй, 16. xtR. 17. jc^O. 18. jc6B, 19. jc<1. 20. x*^+nn, n€Z. 21. ^ ntZ. 22. jc^-^+jun, n£Z. 23. x^f + -^-, n^Z. 24. О DO 25. Jt*arctg^-+7m, n£Z. 26. x*n + 2nn, n£Z. 27. . 28. xt(nn\ |- + 7un), n^Z.29. jc = 2;m, n€Z.3O. [-1; 1]. 31. [-1; 1]. 32. [-2; 0]. 33. [-4; 2]. 34. [-1; 1]. 35. [-1; 3]. 36. [1; 5]. 37. [-V2; V£]. 38. [-10; 10]. 39. [0; 10]. 40. у =1,5, у = -1,5. 41. i/ = 8, y = 2. 42. i/ = -V5, i/ = V5. 43. y = -l, y = 9. 44. i/ = 3±V5. 122
§ 39 Вариант I 1. Нечетная. 2. Нечетная. 3. Четная. 4. Нечетная. 5. Четная. 6. Ни четная, ни нечетная. 7. Нечетная. 8. Ни четная, ни нечетная. 12. Четная. 13. Четная. 21. Т=^. 22. Т=^. 23. Т=^. О D Z 24. Г = тг. Вариант II 1. Нечетная. 2. Нечетная. 3. Четная. 4. Четная. 5. Нечетная. 6. Ни четная, ни нечетная. 7. Нечетная. 8. Ни четная, ни нечетная. 12. Нечетная. 13. Четная. 21. Т=^. 22. Т=Ц?-. 23. Т=^. 24. Г=-^. § 40 Вариант I 1. 1) Возрастает при х€[-п; 0], убывает при х€ --jr; -я> [0; тс]; 2) i/ = 0 при * = --тр ~f > f 5 3) i/=l при х = 0, у = -1 при ж=-ти, п; 4) i/>0 при «€^--; -J; i/<0 при «€^-—; --J, ^-; ttJ. 2. 1) Возрастает при ^€|-"y"5 ~л » [~f"; ^ ' | "f» я ' убывает при _ Г я 1 Гл я 1 оч л 5я Зя я я Зя Гл: "^J* [ ; 2У 2) у=0 при ^=~Т' ~Т' "I' I' Т; 3) у=1 при х = -л, 0, л, у = -1 при ^ = -"^> -f» f 5 4) J/>° ПРИ -J), (f; S). З.Не,. 4.co8(-f)<co8(-f). •. /Зя\л Зя- 5яояЛ/яя\/7яо1 <сов(-т). 6. совжсов-. 7. -т. 8. д. 9. (-^ 7); (т; 2л] 10. Г^1; ^1. п. -я; л. 12. cos(--^)>cos^. 13. Cos^<sin^. L о 3 J \8/ 4 4 8 14. cos 0,8 > cos 2,8. 15. cos (-2) < cos (-0,2). 21. 5. 22. 7. Вариант II 1. 1) Возрастает при х€[-п; 0], Гтг; -^Ч, убывает при х€[-2л; -л], [0; л]; 2) </ = 0 при *—-у, -f, f, у; 3) у-1 при 123
jc = -2tc, 0; y = -\ при jc = -tc, тс; 4) y>0 при jc€ -2тс; -~^~); (-f; f); У<0 при Ц-f; -f), (|; ^]. 2. 1) Возрастает при jc€[-2tc; 0], убывает при лгбГО; -у- ; 2) i/ = 0 при лг = -тг, я; 3) у=1 при л: = 0; у = -1 при х = -2п; 4) i/>0 при лг€(-л; те); i/<0 при х€[-2к; -те), тс; "у • 3. Нет. 4. cosf -^4>cos(- -^j. 5. cos!—T-j>cos(——I. о. costkcos—. 7. —. 8. --. 9- (-^ -¥> ("f: !)-10- [т; т} "•0; 2*-12- C08(-f ^ 5 >cos—. 13. cos -^ > sin —. 14. cos 6,5 > cos 7,5. 15. cos(-3)< 4 5 4 <cos(-2,5). 21. 5. 22. 5. § 41 Вариант I 1. 1) Возрастает при jc€|-^-; ^-1, f-^-; 2тс , убывает при xe[i>; т]; 2) ^=0 при x=0'7lj 2n; 3) ^>0 при x6(0; K); y<0 при x€[-f5 0J, (тс; 2tc); 4) y=l при х=^; у = -1 при ^ = ~f» y. 2. 1) Возрастает при jc€ -^-; тс , убывает при jc6[tc; 2tc]; 2) y = 0 при jc = O, 2tc; 3) y>0 при jc6(0; 2tc); i/<0 при - n Л xx ^ Зя при jc = tc; y = -l при jc = - —. 3. Нет. 4. -—- 5. f —, "!" f • 6. -f. f. 7. sinf <sinf. 8. Sin(-^)>sin(-f). in^. 11. sin^>cos^. 12.sinO,3> >sin3,4. 13. sin(-2)<sin(-5). 14. sin(-0,5)<cos(-6). 15. sin(-|), sinl, sin 1,5. 16. sin(-l,5), sin3, cosO,l. 27. 7. 28. 3. Вариант II 1. 1) Возрастает при jc€|-2tc; --^Ч> |~7» \ \ убывает при ПрИ x==-2n> ~n> 0; 3) ^>0 при х£(~2п> -*)> при х€(-тс; 0); 4) i/=l при * = "4f> f; У = -1 при "T; "f j; 2) У = 124
Я о 1 \ т» _ Г 57Г Зя 1 Г Я Я 1 - * = - —• 2. 1) Возрастает при х€\——; —— , --г» т > убывает 2 L44JL44J A 7 я 5я1 Г Зл я "I Г я 71 "I оч ~ Зя при «[-т; -TJf [-—; --\ [-; -J; 2) */ = 0 при * = "Т, -я, ±|,0, 2я; 3) 1/>0при *е(-2тг; -^), (-я; - |), (о; |); i/<0 при Зл: \ / л л\ .ч - 7тс Зя тс ^j ( 5 °j 4> i/1 ПРИ Х "1 ПРИ 5тс тс о хх ^ 2я тс 4тс . Зтс е Зя . . 5тс =-Т' " 4- 3< Нет> 4 --з<х< <х< 5 <д:< ^<^<^.6. -^, ^.7. sin 0,2л < sin |^.8. sin(--^)> sin (-■?£). 4 4 Z Z 11 \ 7 / \ 5 / п.о .Зя ^л .я ./9я\ лл 5я . 13я 9. sin 2тс< sin-—. 10. sin-< sin -—- . 11. cos—- < sin —— 4 9 \ 8 / 6 10 5я . 13я < sin 12. sin4<sin6,5. 13. sin(-l)<sin(-4). 14. cos(-0,7)> sin(-0,8). 15. sin6, sin^-, sin(-4,5). 16. cos3, sin(-0,l), sinl. 27. 7. 28. 3. § 42 Вариант I 1. 1) Возрастает при ж6[-я;-|), (-f;f). (f 5 ^). y; 2rtj; 2) y = 0 при ж = -я, 0, л, 2я; 3) j/>0 при д:е(-я; -|), 0; |), д:€(я; ^); j/<0 при *е(-|;()), хб(|; я), ^; 2я). 2. 1) Убывает при *е[--^;-я), (-я; 0), (0; я); 2) у-0 при х—-^, -f, f; 3) j/>0 при хе(-я; -f), (О; |), ,<0 при *€(-£;-«), (-f;0), (f; я). 3. «,-i, *,—f. 4. х,-т, д:2=т. 5. |_—«, -TJ, (-¥. т]- (г' Kh 6' [~ 2' "ij' (О; f ], (я; ^]. 7. (arctg 3; |), (arctg 3 + я; ^). 8. [i+яп; f+яп), . 9. (^+яп;ял), n€Z. 10. tg|>tg|. 11. ctg-^>ctg -у. 12. tg^>tg^. 13. tg(-^)>tg ^. 14. tg l,8<tg(-2). 15. tg |, tg(-^), tg ^. 16. tg 1,5, tg 3, tg 2, tg 1,8. Вариант II 1. 1) Возрастает при хб(--^; -f), (-|; f), (f; я]; 2) j/ = 0 при х = -п, 0, я; 3) j/>0 при Хб(-л;-|), (о; |); у<0 при 125
ж€(-т; "")• (~f; °)* (f; л)- 2> Х) Убывает при *е(-*; о). (0; *). (л; 2л); 2) j/ = 0 при х—•£, §, -f; 3) </>0 при *е(-я; -|), : f > "<° "*» Х<~Ь °)«(I; *)• (т; 43- Ь т• - ["f' "I)' ["I' f)' [Ь 4 6' ["?' 0). [|; я), т; I1}7* (f: arctg 3 + л), (^; arctg 3 + 2я). 8. [-f+яп; f + яп], 9. (лп; т + яп)> neZ- 10- *g ^>*е If- 1Х- cte T 4 У11 О 12. tg ^ >tg ±JE. 13. tg g <tg(- ^). 14. tg(-0,7)<tg 4. 15. tg Щ, tg(- f), tg ^ . 16. tg 1,49, tg 4, tg 0,5, tg 3. § 43 Вариант I 1. JL. 2. --. 3. --. 4. 0. 5. -. 6. —. 7. -. 8. --. 9. --. 632 24346 4 10. arcsin - > arcsin —. 11. arcsin (-0,7) < arcsin (- — J. 12. arccos (— ) < arccos (- — ). 13. arccos — < arccos —. 14. arctg V5 < V 5 / V 3 / \)2 \/3 <arctgV6. 15. х=Ц. 16. х=Ц. 17. jc = V3. 18. х=Щ^. 19. jc= = 4~3V^. 20. x = -2. 21. -|<л:<|. 22. -V3- 2 2 2 Вариант II 1. £. 2. --. 3. 0. 4. я. 5. £. 6. —. 7. |. 8. |. 9. -£. 4 6 о 6 6 4 3 f. 7. i. 8. |. 9.-f 10. arcsin (-0,5) < arcsin (-0,1). 11. arcsin — < arcsin 0,13. lo (о \ / о \ —— I > arccos ( —— 1. V5 / V V7/ 14. arctg-^>arctg-p. 15. x=\. 16. jc = -1. 17. * = -^. у5 V6 ^ « 18. x = -f. 19. jc = V2-5. 20. jc= 6~2^з 21 _7<JC<1 22. -V2- 4 У 126
Глава VIII. Производная и ее геометрический смысл § 44 Вариант I -l). 2. з 3. f(*) = 4. 4. f (jc)=1Ojc-3. 5. /'(*)= 18. 6. /'(*) = -1. 7. /'(*) = -V2. 8. ycp = 24. 9. Вариант II = e2x+2h+1. 2. 3. f'W = 5. 4. f(*) = 2-6*. 5. f (ж)-0,1. 6. f (*)-•§• 7. f (ar) = 8. ycp = 3. 9. y(t) = 0,2t, у(20) = 4. § 45 Вариант I 1. 8х7. 2. -lljt"12. 3. 4*~3. 4. -i*"1 ». 5. -i£. 6. -|-. 7. —|—. 8. -12(1-3jc)3. 9. -375jc2. 10. -24(4*-3)"7. 11.— . 12. 3 13. - —. 14.-0,2. 4VT-5+2,)7 8(f-8)V(f"8) 15. хг = -1, х2 = 1. 16. *i = -l, jc2 = 1. 17. jc=1,5. 18. jc = -1J 19. JCi = -0,5, jc2 = 0,5. 20. jc = 3. 21. Функции 1, 3, 4. 22. Функции 2, 4. 23. Функции 1, 2, 3, 4. Вариант II 1. 9jc8. 2. - 12лг13. 3. - х 5 . 4. - - jc 3 . 5. - —. 6. —-— . 5 3 х19 1/~5" 7. —. 8. -20(2-5х)3. 9. -160jc4. 10. -28(7jc-1)"5. 127
11. 15. х1 = -1, . 12. . 16. 13. -|. 14. -|. . 17. jc= 1,5. 18. хх = -у л:2 = |. У У 19. Таких значений нет. 20. jc = -0,5. 21. Функции 1, 3. 22. Функции 1, 2, 4. 23. Функции 1, 2, 3, 4. § 46 Вариант I 1. 3*2-4. 2. -б*11. 3. -|r-8jc. 4. -Л • 5. 13 7 (2-Зл:)2 - 5д:4 - 2xs 60л:2- (2л: +1)2 . 16. -9,5. 17. б|. (4-л:)* (x* + \f 3 18. jc1 = 3, х2 = -2. 19. jc! = 0,8, х2 = 4. 20. -2<jc<3, jc>3. 21. 0<jc<0,8, jc>4. 22. -4<jc<0. 23. -2<jc<2. 24. -I 25. 72*-42. 26. -x- . Вариант II 1. 2jc+—. 2. -5jc14. 3. -6x2+—. 4. - 1 / 4 + —. 5. 4jc3-18jc2. 12 4л:3-9л:2 (2л: -З)2 11. Зл:4 + 4л:3 + x2 + 2л: -1 13. . 14. . 15. - 3 (3-2*)2' iO 5л:6-4л:5-6 1Z. — . (Зл:-2)2 . 16. -2,1. 17. 10,5. 20. л:<-5, л:>1. (*-4) 1ft -v _ R -y _1 1Q -v —9 21. 2<jc<14, jc>14. 22. -2<jc<2. 23. jc<-1, jc>1. 24. 0<jc<3 25. 50jc + 30. 26. , 6x . 2 оч4 7V(^-8)' 128
§ 47 Вариант I 3 1. ex + cosjt. 2. -sin* 1—. 3. Jt5(61njt +1). 4. cos23* 5. -3e5"3*. 6. 2-32*+1ln3. 7. - _* 8. ^-—.9. -cosf--A 2-3* (12*+5)ln7 \6 / 10. 6sin(-6jc+7). 11. 6e2x-—. 12. jcV"x(8-jc). 13. ех(х2-Зх-2). 2^ 14. g*(4* 5). 15. 0. 16. 2cos2jc. 17. -2sin2jc. 18. sin2jc. V2*-3 19. -2sin4jc. 20. -3. 21. -e+-^-. 22. 7. 23. jc1=0, jc2 = 2. 1П Lt 24. Jt = -7t + 47tfc, keZ. 25. JCj = -3, jc2 = 5. 26. jc = 7. 27. jc<0, jc>2. 28. jc>3. 29. Нет решений. 30. 0<jc<-. 31. -2jcsin(jc2-3). 3 32. -3cos2jcsinjc. 33. 4sin(8jc-6). 34. 6jcsin2jc2 • cosjc2. 35. -. 36. 6jcVx3. 37. 2jc • 4x2 • In4. 38. - • 0,3lnx+5 • In0,3. 39. ^^. x In 2 40. . з , 3*ln0,l Вариант II 1. 3xln3-sinjc. 2. —-cosjc. 3. jc4(51njc+ 1). 4. —-—. x cos2 4x 5. -7ex-7x. 6. 3-23x-4n2. 7. -r\-. 8. /iA ™ A . 9. -cosf-^-jeV 4 + Зл: (10*+3)ln4 \8 / 10. -0,2sin(0,2jc-5). 11. -4*r2x+ -^— . 12. jc3 • e23x(4-3jc). 33V? 13. e2x(2x2-4x-3). 14. eX^~2x\ i5# 0. 16. -2cos2jc. 17. 2sin2jc. 18. -sin2jc. 19. -sin4jc. 20. -4. 21. 3 + 181n3. 22. 7. 23. jc = 2. 24. jc = 37r + 67iAj, k£Z. 25. jc^I, jc2 = 4. 26. jc = 8. 27. 0<jc<2. 28. 0<jc<16. 29. Нет решений. 30. jc>2. 31. 3jc2cos(jc3 + 2). 32. 4 sin3 jc cosjc. 33. -3sin(6jc + 4). 34. -6jccos2jc2 • sinjc2. 35. —. 36. 6xe3x\ 37. 3jc25*3ln5. 38. - • 0,23+lnx • In0,2. 39. -^-. x In 5 40. - 5/—~r~ ylog^x 129
§ 48 Вариант I 1. у = -х + 2. 2. y = 3x-7. 3. 6. 4. 2. 5. ^. 6. |. 7. -|. 8. I-. 9. y = 3x-l. 10. i/=-jJc + 2. 11. y = l. 12. i/ = 3jc. 13. i/=10jc-16. 14. y = -16x-lb. 15. # = --^*+^ + -V *6. у = *- —+ -. ^ ^ О О 1 О ^ Oft 17. y=-x. 18. i/ = 3jc+1. 19. M(2; 2). 20. Aff-1; 3|V iV(3; 5). e \ 3 / 21. Af(3; 4). 22. (ttAj; 0), где k€Z,— координаты всех искомых точек. Вариант II }. 2. i/ = -2x + 8. 3. 6. 4. 2. 5. -2V3. 6. ^. 7. -■£. 8. f. 9. z/ = -4jc + 2. 10. i/=^-jc+1. 11. y=\x. 12. y = -2j о 3 2 13. 0-7ж-4. 14. j/ = 24a; + 27. 15. y_Ix+^-|. 16. у = л:+^ + j£. 17. z/ = jc+1. 18. y=\*. 19. M(l;2). 20. M(l; -1), N(-S; 6). 21. Af(l; 2). 22. (7H-2ttAj; 7H-2ttAj), где k€Z,— координаты всех искомых точек. Глава IX. Применение производной к исследованию функций § 49 Вариант I 1. 3<jc<4 — отрезок; х< — 1, 0<jc<2, x>2 — интервалы. 2. Возрастает на Д. 3. Убывает на R. 4. Возрастает на интервале х > 1 —, убывает на интервале х < 1 —. 5. Возрастает на интерва- 4 4 лах х < 0 и jc > —, убывает на интервале 0 < х < —. 6. Возрастает на 3 3 интервале 0<jc<2, убывает на интервалах jc<0, x>2. 7. Возрастает на интервалах х<-\2 и jc>v2, убывает на интервале -\[2<х<\[2. 8. Возрастает на интервалах -3<jc<0 и jc>3, убывает на интервалах jc<-3 и 0<jc<3. 9. Возрастает на интервале 130
х>-1, убывает на интервале х<-1. 10. Возрастает на интервалах х<-4 и х>2, убывает на интервале -4<л:<2. 11. Убывает на интервалах х<3 и х>3. 12. Убывает на интервалах х<2 и х>2. 13. Возрастает на интервале х>2. 14. Убывает на интервале х>-4. 15. Возрастает на интервалах д:<0 и jc>6, убывает на интервале 0<jc<6. 16. Возрастает на интервале jc>1,8, убывает на интервале jc<1,8. 17. Убывает на R. 18. Возрастает на интервалах -n + 2nk<x<2nk, k€Z, убывает на интервалах 2nk<x<n + 2nk, keZ. 20. При а>0. Вариант II 1. -Kjc<1 — отрезок; jc>-3, -5<jc<-3, jc<-8 — интервалы. 2. Возрастает на R. 3. Убывает на R. 4. Возрастает на интер- 7 7 вале х > —, убывает на интервале х < —. 5. Возрастает на интерва- о 8 ле 0<х< 1 —, убывает на интервалах jc < 0 и х>1 —. 6. Возраста- 3 3 ет на интервалах х<0 и jc>4, убывает на интервале 0<jc<4. 7. Возрастает на интервалах х<-\[ъ и л:>VK, убывает на интервале -V5<jc<v5. 8. Возрастает на интервалах -1<jc<0 и jc>1, убывает на интервалах х<-\ и 0<jc<1. 9. Возрастает на интервале jc> — 2, убывает на интервале х<-2. 10. Возрастает на интервалах х<-1 и jc>3, убывает на интервале -1<jc<3. 11. Убывает на интервалах jc<4 и jc>4. 12. Убывает на интервалах х<1 и х>1. 13. Возрастает на интервале х>Ь. 14. Убывает на интервале х>-1. 15. Возрастает на интервале 0<jc<8, убывает на интервалах jc<0 и jc>8. 16. Возрастает на интервале jc>-2,25, убывает на интервале jc<-2,25. 17. Возрастает на R. 18. Возрастает на интервалах - — + 2nk<x< — +2nk, k€Z; убывает на интервалах 2 2 ?- + 2nk<x<^+2nk, k€Z. 20. При Ъ>0. 2 2 § 50 Вариант I 1. jc = -2,5, jc = — 1, jc = 2, jc = 4, jc = 6,7 — критические точки; jc = -1, jc = 2, jc = 4, x = 6,7 — стационарные точки; jc = -2,5, jc = -1, A x = 29 jc = 6,7 — точки экстремума. 2. x = 0. 3. jc=1. 4. ^i = -—, jc2 = O. 5. jd = --^, jc2 = -^. 6. *! = 1, jc2 = 3. 7. jc = O. 8. jc = 9. x = n + 2nk, keZ. 10. Функция не имеет стационарных точек. 11. х=^—9 k€Z. 12. Функция не имеет точек экстремума. 13. х = -2 — точка минимума. 14. х = -2 — точка максимума; jc = 0 — точка минимума. 15. jc = -V3 — точка минимума; х=\3 — точка максимума. 16. х = -][2 — точка минимума; х = у/2 — точка 131
максимума. 17. Функция не имеет точек эстремума. 18. х = — 6 точка минимума. 19. х=— —точка минимума; У\ — )= — • 3 \ 3 / 3 20. х = -\)2 — точка минимума, jc=v2 — точка максимума; -4\/2, i/(V2) = 4V2. 21. jc = 3 — точка минимума; i/(3) = -7. 22. jc = — 2, jc = 1 — точки минимума, jc = O — точка максимума; i/(-2) = -15, i/(l) = 12, i/(0)=17. 23. jc = 6 — точка минимума; i/(6) = — 1. 24. jt = 7t&, &€Z,— точки максимума; x=^+nk, k€Z,— точки минимума; значения функции во всех точках максимума равны 1, значения функции во всех точках минимума равны -1. 25. х = 0 — точка минимума; у(0) = -1. 26. х = -2 — точка максимума, jc = O — точка минимума; у (-2)=—, у(0) = 0. е2 Вариант II 1. jc = -3, jc = — 1, jc = 1, jc = 4, jc = 5, jc=7,5 — критические точки; jc = -3, jc = -1, jc=1, jc = 4 — стационарные точки; jc = -3, jc = -1, jc = 4, jc=7,5 —точки экстремума. 2. jc = O. 3. x = 2. 4. jc1=-2, jc2 = O. 5. jc1=-^, х2 = Щ-. 6. jc1 = -1, jc2 = 2. 7. x = 0. 3 3 8. jc = ln4. 9. jc = 3tiAj, k€Z. 10. Функция не имеет стационарных точек. 11. х= — + —, k€Z. 12. Функция не имеет точек экстремума. 13. jc = 3 — точка максимума. 14. jc = -4 — точка максимума; jc = O — точка минимума. 15. jc = —V2* — точка минимума; jc = V2 — точка максимума. 16. х = -у6 — точка минимума; х=у6 — точка максимума. 17. Функция не имеет точек эстремума. 18. jc = 2,25 — точка минимума. 19. jc = 0,3 — точка максимума; у (0,3) = 0,45. 20. jc = -V^ — точка максимума, jc = V^ — точка минимума; у(-\[3) = 6^/з> у(\[3) = -6\[з. 21. jc = 2 — точка максимума; 1/(2) = 9. 22. jc = — 1, jc = 2 — точки минимума, jc = O — точка максимума; i/(-l) = 14, i/(2) = -13, i/(0)= 19. 23. jc=10 —точка макси- 9 мума; 1/(10) = 3. 24. jc= — + — nk, k€Z>— точки максимума, о 3 9 jc = - — + — nk, k€Z,— точки минимума; значения функции во всех о 3 точках максимума равны 1, значения функции во всех точках минимума равны -1. 25. jc = O — точка максимума; у(0) = 1. 27 26. jc = -3 — точка минимума; i/(-3)=—. _з 132
§ 51 Вариант I 2. См. рис. 89. 3. См. рис. 90. 4. См. рис. 91. 5. См. рис. 92. 6. См. рис. 93. 7. См. рис. 94. 8. См. рис. 95. 9. См. рис. 96. -2 -2 Рис. 89 Рис. 90 У\ -7 Рис. 92 8 12 16 Рис. 93 133
У, 1-1 -71 L y{ ,5 О —1 h-1 / 3 ,5 Рис. 95 Рис. 96 Вариант II 2. См. рис. 97. 3. См. рис. 98. 4. См. рис. 99. 5. См. рис. 100 6. См. рис. 101. 7. См. рис. 102. 8. См. рис. 103. 9. См. рис. 104, -3 Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 134 Рис. 100
4,5- 4" 2,5-{ О Н Н 14 8 9 12 16 Рис. 101 6 8 Рис. 102 Рис. 103 § 52 Вариант I 1. 1) 3 — наибольшее, -2 — наименьшее значение функции; 2) 7 — наибольшее, -2 — наименьшее значение функции. 2. 6 —наибольшее, -4 — наименьшее значение функции. 3. 4 — наибольшее, 2,5 — наименьшее значение функции. 4. 5 — наибольшее, 1 — наименьшее значение функции. 5. 2 — наибольшее, -2,5 — наименьшее значение функции. 6. 1 — наибольшее, 0 — наименьшее значение функции. 7. -7 — наибольшее, -27 — наименьшее значение функции. 8. 0 — наибольшее, -27 — наименьшее значение функции. 9. 14 — наибольшее, -11 — наименьшее значение функции. 10. 10 — наибольшее, 6 — наименьшее значение функции. 11. 0 — наибольшее, -4 — наименьшее значение функции. 12. е — наибольшее, 0 — наименьшее значение функции. 13. -3. 14. е2. 15. 3 дм. 16. 15 см2. 17. AM=AN = 2\[s. 18. Д\/|. 19. 4Д. 20. \. V 3 3 135
Вариант II 1. 1) 0 — наибольшее, -4 — наименьшее значение функции; 2) 16 — наибольшее, -4 — наименьшее значение функции. 2. 2 — наибольшее, 0 — наименьшее значение функции. 3. 1 — наибольшее, -8 — наименьшее значение функции. 4. 6 — наибольшее, 2 — наименьшее значение функции. 5.-1 — наибольшее, -5,5 — наименьшее значение функции. 6. 4 — наибольшее, 0 — наименьшее значение функции. 7.-9 — наибольшее, -16 — наименьшее значение функции. 8. 11 — наибольшее, -16 — наименьшее значение функции. 9. 30 — наибольшее, -51 — наименьшее значение функции. 10. 5 — наибольшее, 4 — наименьшее значение функции. 11. 9 — наибольшее, 0 — наименьшее значение функции. 12. 0,2е2 — наибольшее, 1 — наименьшее значение функции. 13. 6. 14. —. 15. 3 дм, 6 дм, 4 дм. 16. 5 см2. 17. AM=AN=-. 2 2 18. ^. 19. ^-. 20. ЗЯ. 3 3 § 53 Вариант I 1. блг-14. 2. -36jc2 + 4jc. 3. 168(2х-1)5. 4. 56sin6x • cos2*- 9 9 -8sin8jc. 5. Выпукла вверх при х>1 —, выпукла вниз при х<1 —. 3 о 6. Выпукла вниз при *<0 и х>19 выпукла вверх при 0<jc<1. 7. х = п. 8. х = -2. Вариант II 1. -бх+12. 2. 6jc2-30jc. 3. 270(3jc + 2)4. 4. 42cos5jc • sin2*- -7cos7jc. 5. Выпукла вверх при х<—, выпукла вниз при *>—. 3 3 3 3 6. Выпукла вниз при х<-— и jc>0, выпукла вверх при - — <х< Li Li <0. 7. ^=-. 8. х-2.
Глава X. Интеграл § 55 Вариант I . 2. 1п|*|+-А- + С. 3. ^!-x2 + C. 4. -- —+С. 2 6 2 4 „ 3 „ , _. _. „.,_, ■ 2л.2 ^' ^' 6 "^ ' ~' " х Q 3 3 5. -2cosjc+ — +C. 6. -Jt2-4V*+C. 7. 4ex+ — +C. 8. - х 2 + 3 3 4 3 9. - — cos2jc + sin3jc + C. 10. -\ |*+С. 9. cos2jc + sin3jc + C. 10. 2е + 7 2 4 11. 4V* + 3 + ^-sin4jt-^+C. 12. jt + sinx + C. 13. jc- 8 2 14. ln|jc-3|-ln|jc-2| + C. 15. -|cos4jc--cos2jc + C. 16. ^ - ^ + 8 4 3 2 + x-ln|:c+l| + C. 17. ln|jt + 4| + ln|jt+l| + C. 18. ^--|. 19. -sinjc- 2л:2 2 Q -cosjc + 2. 20. |jc2+ln|jc|-|. 21. ^ + ln|l + x|+ |. 22. -ICos3jc- о 3 2 2 3 ^4- 23. --J- + i(jc4-l)4+i 24. - ± ^^ 3 l+ 2V 7 2 4- 23. + (jc4l)+ 24. +^ 3 l+л: 2V 7 2 л:-2 2(л:-2)2 2 Вариант II |^|^ + C. 2. -A + -2- + C. 3. ^+jc3 + C. 4. --L + 1+C. 5 2 * Зл.з 7 ^2 * 2 5. 3sinjc-^+C. 6. |jc2-8VJc+C. 7. 5^--jc5 + C. 8. - 2 5 5 5 9. J-sin6jt + cos4jt + C. 10. 3e2x+ ^(jt + l)5 + C. 11. 6]/xl + 18 5 sin6jt + cos4jt + C. 10. 3e+ ^(jt + l) + C. 11. 6]/xl + 18 5 2 . 14. |ln|jc-4 5 ||| . 15. ^cos2jc-|-cos4jc + C. 16. — + — 5 4 8 3 2 + C. 17. ln|jc + 5|+ln|jc+l| + C. 18. -—— —. 19. sinjc-cosjc-3. Зд:3 12 20. 2Vx-21n|jc|-5. 21. 2e2 +ln|jc + 2|-4-ln2. 22. |si 5 Lf . 23. -lI + i(,-i^_|. 24. -1 J 137
§ 56 Вариант I 1. См. рис. 105. 2. См. рис. 106. 3. См. рис. 107. у = 6х - х Рис. 105 y = \sinx\ я ZlL 5lL 2л • 6 2 Рис. 107 | 4. См. рис. 108. 5. Вторая. 6. 3. 7. |. 8. ^. 9. 21п|. 10. 1. 11. 120. 12. ^ 2 . 13. 3 + 1п4. 14. -^. 15. -(тг 3 8 . 16. -^ 2 17. |. 18. -у. 19. |. 20. 2. Вариант II 1. См. рис. 109. 2. См. рис. 110. 3. См. рис. 111. 4. См. рис. 112. 5. Первая. 6. 6. 7. |. 8. ^. 9. 31п|. 10. 4. 4 5 3 J -4 '- -3 -2 -1 2 г/, ■4 •3 1 о * Рис. 109 Рис. 110 138
10 Рис. 111 11. -^5. 12. Щ-+\п^. 13. 4 + 1пЗ. 14. 6. 15. -(я + 2). 16. 2(4+1п|Л 4 2 5 8 \ 3 / 17. Щ-. 18. |. 19. ^Р. 20. 2. О О О § 57 Вариант I ,.±. 2.-f. 3... 4.M | | | 8. -jln|. 9. |. 10. l-ln|. 11. 81n|-i 12. ln|. 13. 1. 14. 0. 2 7 3 2 3 2 3 Вариант II i 242 о 45 q n л 38 1^9 * 26 а а п * ilnf •9- f l+41nf 12- ilnf- 14. 0. 15. if. 16. £. 17. §. 18. f § 58 Вариант I 1. 123,5. 2. f. 3. -f. 4. |. 5. ^. 6. f. 7. |. 8. 9. 9. M_ -41n2. 10. A. 11. |. 12. 1. 13. f 14. f. 15. 1-J. 16. f. 17. 18. 18. |^. 24 139
Вариант II 1. 121,5. 2. |. 3. f. 4. |. 5. Ц-. 6. |. 7. I. 8. 9. 9. ^- -41п2. 10. А. П. |. 12. |. 13. |. 14. §. 15. 1-J. 16. |. 17. 18. 18. |i. Верные ответы к заданиям тестовой проверки обязательных результатов обучения 1. в). 2. а). 3. б). 4. б). 5. г). 6. б). 7. а). 13. а). 19. б). 25. г). 31. б). 37. г). 43. а). 8. в). 14. а). 20. в). 26. в). 32. в). 38. а). 44. б). 9. г). 15. в). 21. в). 27. б). 33. г). 39. в). 45. г). 10. б). 16. г). 22. в). 28. г). 34. г). 40. б). 11. г). 17. а). 23. а). 29. а). 35. б). 41. а). 12. б) 18. в) 24. в) 30. а) 36. в) 42. в)
Оглавление Предисловие 3 Глава VII. Тригонометрические функции § 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций 5 § 39. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций 11 § 40. Свойства функции y = cosx и ее график 17 § 41. Свойства функции y = sinx и ее график 23 § 42. Свойства функции y = tgx и ее график 30 § 43. Обратные тригонометрические функции 36 Задания для подготовки к экзамену 40 Задания для интересующихся математикой 40 Глава VIII. Производная и ее геометрический смысл § 44. Производная 43 § 45. Производная степенной функции 46 § 46. Правила дифференцирования 48 § 47. Производные некоторых элементарных функций ... 52 § 48. Геометрический смысл производной 55 Задания для подготовки к экзамену 60 Глава IX. Применение производной к исследованию функций § 49. Возрастание и убывание функции 64 § 50. Экстремумы функции 66 § 51. Применение производной к построению графиков функций 71 § 52. Наибольшее и наименьшее значения функции .... 74 141
§ 53. Выпуклость графика функции, точки перегиба .... 79 Задания для подготовки к экзамену 83 Глава X. Интеграл § 54. Первообразная 90 § 55. Правила нахождения первообразных 92 § 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл .... 96 § 57. Вычисление интегралов 100 § 58. Вычисление площадей с помощью интегралов .... 103 Задания для подготовки к экзамену 107 Приложения 110 Ответы 122
Учебное издание Шабунин Михаил Иванович Ткачева Мария Владимировна Федорова Надежда Евгеньевна Газарян Рубен Гургенович Алгебра и начала математического анализа Дидактические материалы 11 класс Базовый уровень Зав. редакцией Т. А. Бурмистпрова Редактор Л. Н. Белоновская Младший редактор Н. В. Ноговицына Художник Е. В. Соганова Художественный редактор О. П. Богомолова Технические редакторы Г. В. Субочева, Р. С. Еникеева Корректоры О. Н. Леонова, Н. А. Смирнова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 27.07.09. Формат 60x90Vie. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5,83. Тираж 3000 экз. Заказ № 28729. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Выпускаем ► Учебники ► Методическую литературу ► Научно-познавательную литературу ► Словари и справочную литературу ► Наглядные пособия и карты ► Учебные мультимедийные пособия Обучаем Интернет-школа «Просвещение.ги» 125315, Москва, ул. Балтийская, 14 Тел. (495) 155-4403, 729-3522, 729-3533 E-mail:office@internet-school.ru Представляем На сайте издательства для наших партнеров, учителей и родителей ► Каталог выпускаемой продукции ► Методические пособия, презентации, программы повышения квалификации, поурочные разработки, аулиокурсы трЗ ► Информационно-публицистический бюллетень «Просвещение» ► Форумы «Просвещение», «Спрашивайте! Отвечаем!» ► Ссылки на образовательные Интернет-ресурсы ► Адреса региональных книготорговых структур Приглашаем к сотрудничеству ► Учреждения дополнительного педагогического образования и библиотеки с целью проведения авторских и методических семинаров ► Книготорговые структуры лля сотрудничества по продвижению литературы издательства Издательство «Просвещение» 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (495) 789-3041 e-mail: prosv@prosv.ru www.prosv.ru Интернет-магазин Umlit.ru Доставка почтой по России, курьером по Москве 129075, Москва, ул. Калибровская, 31А 000 «Абрис Д» Тел.:(495)981-1039 e-mail: zakaz@umlit.ru www.umlit.ru
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ Учебно-методический комплект по алгебре и началам математического анализа содержит: Изучение алгебры и начал анализа в 10 -11 классах Учебник для 10-11 классов авторы Ш. А. Алимов и др. авторы Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева Задачи по алгебре и начала математического анализа Дидактические материалы для 10 и 11 классов и началам анализа авторы С. М. Саакян и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа автор А. П. Карп авторы М. И. Шабунин и др. ISBN 978-5-09-022160-3 9"785090"221603