ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ»
А. С. МИЩЕНКО Ю.П. СОЛОВЬЕВ А. Т. ФОМЕНКО
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
Я
Москва
Физматлит, 2001
ББК 22.151 М 57
УДК 513
Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «.Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки»
Рецензенты:
профессор А. Н. Паршин
профессор И. X. Сабитов
МИЩЕНКО А. С., СОЛОВЬЕВ Ю. П., ФОМЕНКО А. Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: Учеб, пособие для вузов.— М.: Издательство физико-математической литературы, 2001.—352 с.— ISBN 5-94052-047-2.
Сборник состоит из двух частей. Часть первая содержит задачи по дифференциальной геометрии. Во вторую часть включены задачи по топологии. Подавляющее большинство вошедших в сборник задач снабжены либо подробными решениями и указаниями, либо ответами. Многие задачи иллюстрированы.
Для студентов математических специальностей университетов. Сборник может быть использован преподавателями вузов.
ISBN 5-94052-047-2
© Центр «Интеграция», 2001
© Коллектив авторов, 2001
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .................................................. 5
Часть 1
§ 1.	Системы координат..................................... 9
§ 2.	Уравнения кривых и поверхностей...................... 17
§ 3.	Классические метрики на сфере и плоскости Лобачевского, их свойства............................... 19
§ 4.	Теория кривых........................................ 24
§5.	Риманова метрика..................................... 32
§ 6.	Вторая квадратичная форма, гауссова и средняя кривизны................................................ 40
§ 7.	Многообразия......................................... 44
§ 8.	Тензоры.............................................. 47
§ 9.	Связности и параллельный перенос..................... 50
§ 10.	Геодезические на двумерных поверхностях............. 55
§ 11.	Тензор кривизны..................................... 59
§ 12.	Дифференциальные формы.............................. 62
§ 13.	Топология........................................... 67
Часть 2
§ 14.	Системы координат (дополнительные задачи)........... 70
§ 15.	Уравнения кривых и поверхностей..................... 71
§ 16.	Теория кривых (дополнительные задачи)............... 82
§ 17.	Риманова метрика (дополнительные задачи)............ 98
§ 18.	Гауссова и средняя кривизны........................ 102
§ 19.	Параметризации известных двумерных поверхностей . .	105
§ 20.	Поверхности в К3 ................................... ПО
§ 21.	Топология двумерных поверхностей................... 112
§ 22.	Линии на поверхностях.............................. 115
§ 23.	Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи)................................ 119
§ 24.	Многообразия (дополнительные задачи)............... 136
§ 25.	Тензорный анализ................................... 141
4	Содержание
§ 26.	Геодезические на многообразиях............... 143
§ 27.	Тензор кривизны.............................. 146
§ 28.	Векторные поля............................... 149
§ 29.	Группы преобразований ....................... 157
§ 30.	Дифференциальные формы....................... 163
§31.	Теория гомотопий............................. 166
§ 32.	Накрытия и расслоения........................ 177
§33.	Степень отображения.......................... 183
§ 34.	Простейшие вариационные задачи............... 186
§ 35.	Общая топология.............................. 189
Ответы и решения ..................................... 195
Списоклитературы ..................................... 350
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий «Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии» предназначен для обеспечения учебного процесса по курсам дифференциальной геометрии и топологии на механикоматематических специальностях университетов и педагогических вузов. «Сборник» призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так и со стороны других курсов математики, физики, механики. Кроме того, издание «Сборника» сделает доступными для широкой математической общественности новые научно-методические разработки ведущих ученых в области дифференциальной геометрии, топологии, алгебры и механики.
«Сборник» может служить основой для практических занятий по курсам дифференциальной геометрии и топологии на математических и механических специальностях университетов и педагогических вузов как российских, так и стран СНГ — таких, как Белоруссия, Украина, Грузия, Казахстан, Туркменистан, Литва, — откуда в последние годы неоднократно поступали заявки на сборник задач такого рода.
Он может быть также использован для поддержки разнообразных специальных курсов по различным разделам современной геометрии и ее приложениям к механике и математической физике.
«Сборник» состоит из двух частей. Первая часть содержит задачи по стандартным разделам дифференциальной геометрии и топологии. Этот материал перекрывает необходимый минимум задач по стандартным курсам геометрии и топологии. Вторая часть содержит задачи, предназначенные для более глубокого усвоения современной геометрии и ее приложений.
В книге представлены следующие темы: теория кривых (включая эволюты и эвольвенты), теория поверхностей, системы координат, риманова геометрия, классические метрики (на сфере, плоскости Лобачевского и т. п.), топологические пространства, многообразия (включая элементы расслоенных пространств, фазовые и конфигурационные пространства), топология двумерных поверхностей, двумерные поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, группы и алгебры Ли (включая маломерные группы Ли, их параметризации, часто используемые в механике), векторные поля и тензоры, дифференциальные формы (включая интегрирование и теорию де Рама и т.п.), связности и параллельный пе
6
Предисловие
ренос, геодезические, тензор кривизны, элементы алгебраической топологии (эйлерова характеристика, индекс векторного поля, индекс пересечения и т.п.), связности и группы Ли.
Книга также содержит как дополнительные задачи по темам, отраженным в первой части, так и задачи по некоторым новым темам, затрагивающие более глубокие вопросы дифференциальной геометрии и топологии. Среди новых тем, представленных во второй части, следует отметить компьютерную геометрию и топологию, кинематику и геометрию, геометрические конструкции (такие, как джеты, многообразия Штифеля и Грассмана и т.п.), производная Ли, задачи на упаковку, комбинаторная геометрия на плоскости и в пространстве, элементы гамильтоновой механики.
Настоящий сборник задач является естественным дополнением к учебнику А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко «Курс дифференциальной геометрии и топологии», переизданному в 2000 г. В значительной степени настоящий «Сборник» базируется на книге А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьева, А. Т. Фоменко «Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии», вышедшей в Издательстве Московского университета в 1981 г. Здесь следует отметить, что по истечении многих лет, в 1998г., электронная версия этого предыдущего задачника была создана А. А. Ошемковым. Затем в 1998-1999 гг. на механико-математическом факультете МГУ по инициативе кафедры дифференциальной геометрии и приложений был организован специальный научно-методический семинар по составлению нового «Сборника задач по дифференциальной геометрии и топологии». Семинаром руководили профессора А. С. Мищенко и Ю. П. Соловьев и академик А. Т. Фоменко. В силу перечисленных обстоятельств в качестве авторов на обложке книги указаны именно эти три фамилии. Однако фактически в создании «Сборника» принимал участие большой коллектив известных ученых, выдающихся специалистов в области современной геометрии, топологии, алгебры, механики и приложений: академик РАН В. В. Козлов, проф. В. В. Федорчук, проф. А. В. Болейнов, проф. Э. Р. Розендорн, проф. В. В. Трофимов, проф. А. А. Борисенко (Харьков), проф. И. X. Сабитов, проф. Е. В. Троицкий, проф. А. О. Иванов, проф. А. А. Тужилин, ст.н.с. Г. В. Носовский, н.с. А. И. Шафаревич, доцент А. А. Ошемков, м.н.с. Ф. Ю. Попеленский, асе. Е. А. Кудрявцева.
Самое активное участие в работе семинара, составлении задач и их решении принимали практически все студенты и аспиранты кафедры дифференциальной геометрии и приложений механикоматематического факультета МГУ. Всем им выражаем глубокую благодарность.
В области дифференциальной геометрии и топологии существует несколько сборников задач, учебников и учебных пособий.
Предисловие
7
Небольшой список наиболее известных изданий мы приводим в конце книги.
Следует заметить, что сборники задач по дифференциальной геометрии и топологии, изданные в последнее время, выходили малыми тиражами и поэтому практически недоступны. Книги же, изданные ранее и более крупными тиражами, уже разошлись, стали редкостью. Кроме того, материал некоторых книг в значительной мере устарел и нуждается в обновлении. Это связано как с совершенствованием программ математических курсов, так и с тем, что со стороны других курсов, использующих или опирающихся на методы дифференциальной геометрии и топологии, значительно изменились и усилились требования к геометрическим курсам. Все это сделало издание «Сборника задач по дифференциальной геометрии и топологии» особенно актуальным.
Мы собрали большой научно-методический материал, по большей части неизвестный широкой математической общественности. Неизвестный в силу нескольких причин, основными из которых являются следующие. Во-первых, многие задачи возникли во время собственных научных исследований участников упомянутого выше семинара. Во-вторых, некоторые задачи появились в результате дискуссий на заседаниях семинара. Наконец, достаточно большое количество задач было извлечено из старой математической литературы, уже давно ставшей библиографической редкостью и поэтому недоступной современным студентам и преподавателям.
Из собранного таким образом научно-методического материала и сформировался настоящий «Сборник задач по дифференциальной геметрии и топологии».
Особо отметим абсолютно неоценимую роль Ф.Ю.Попеленского при подготовке к изданию настоящей книги. Объем выполненной им работы по упорядочиванию задач, по организации проверки их условий и решений, а также по набору текста и т.п. был настолько велик, что лишь благодаря его неутомимым усилиям эта книга, наконец, увидела свет.
Москва, МГУ, май 2000 г.
А. С. Мищенко Ю. П. Соловьев
А. Т. Фоменко
Сфера Александера: топологическое вложение двумерной сферы в R3, при котором образ сферы разделяет R3 на две открытые области. Одна из них — шар, а вторая — неодносвязна (рисунок А. Т. Фоменко)
Часть 1
§ 1. Системы координат
Набор из чисел g1, д2, qn, задающих положение точки в про-' странстве К", называется ее криволинейными координатами. Связь декартовых координат xi, %2>  , хп этой точки с криволинейными выражается соотношениями
Xi =xi(q1, q2, ... , qn),	(*)
или, в векторной записи,
г = г(91, q2, ... , qn),
где г — радиус-вектор. Функции (*) предполагаются в области их задания непрерывными и имеющими непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Они должны быть единственным образом разрешимы относительно q\ q2, ..., qn; это условие равносильно требованию необращения в нуль якобиана:
f~)rr 
J =	^0-	(**)
Преобразование (*) определяет п семейств координатных гиперповерхностей ql = const. Координатные гиперповерхности одного и того же семейства при условии (**) не пересекаются.
В силу условия (**) любые п—1 координатных гиперплоскостей, принадлежащих различным семействам, пересекаются по некоторой кривой. Такие кривые называются координатными кривыми или координатными линиями.
дг
Векторы Tk = -Q~j; имеют направления касательных к координатным линиям. Они определяют в окрестности некоторой точки M(q1, q2, ... ..., qn) бесконечно малый вектор
п
dr =
i=i
10
Часть 1
Квадрат его длины, выраженный через криволинейные координаты, определяется из равенства
ds2 = (dr, dr) = / J^TjdQ’, J^rjd^A = Sijdq^qi, \i=l 3=1	/	i,3=l
где (,) — скалярное произведение в К".
Величины gij = др = (г,, гД определяют метрику в принятой системе координат.
Ортогональной криволинейной системой координат называется такая система, для которой
9ij — (ri, Tj) —
0, i + 3, i=3-
Величины Hi называются коэффициентами Ламе. Они равны модулям векторов г,:
dq1 /
Квадрат линейного элемента в ортогональных криволинейных координатах задается выражением
ds2 = Н2№)2 + H2(dq2)2 + ... + H2(dqnY.
В задачах 1.1-1.5:
а)	установите формулы, выражающие криволинейные координаты точки плоскости R2 через прямоугольные декартовы и обратно;
б)	найдите координатные линии;
в)	подсчитайте определители
dxi	dxi		дщ	ди
дщ	дщ		dxi	дх
9X2	дх2	5	дщ	ди
дщ	дщ		дху	дх
и выясните, в каких точках плоскости R2 нарушается взаимная однозначность соответствия между криволинейными и прямоугольными декартовыми координатами точки на плоскости для следующих криволинейных координат (щ, щ)-
1.1. Для обобщенной полярной системы координат, определяемой равенством — + г— = щеги2, где 0 щ < оо, —тг < щ тг,
Щ 02
«1 >0, аг > 0.
§ 1. Системы координат
11 '
1.2.	Для эллиптической системы координат, определяемой равенством Xi + ix2 = ch(wi + Ш2), где 0 и\ < оо, —л < л.
1.3.	Для параболической системы координат, определяемой равенством + 1x2 = (щ + iu2)2, где —оо < Щ < 00, 0 < U2 < 00.
1.4.	Для биполярной системы координат, определяемой равен-, •	4.V (“1 + ”i2 \
ством з?1 + 1x2 = th I  7)  I > гДе —00 < и1 < оо, — л < ^2 л, без точек = О, U2 = л) = (х — у = оо), {п2 = +оо} = (х = = 1, У = 0), {и2 = -оо} = (ж = -1, у = 0).
1.5.	Для системы координат, определяемой равенством з?1 + + ix2 = (Hi + ш2)3, где и2 0, щ + п2\/3 > 0.
В задачах 1.6-1.12 найдите координатные поверхности и коор-
динатные линии,
а) подсчитайте определители
dxj Эиз
Эщ dxj
и установите, в ка-
ких точках пространства R3 нарушается взаимная однозначность
соответствия между криволинейными и прямоугольными декартовыми координатами для следующих криволинейных систем координат щ, U2, из пространства R3;
б) являются ли эти системы координат ортогональными?
1.6. Для обобщенной цилиндрической системы координат, определяемой равенствами х± = C0SU2, Х2 = «2^1 sinii2, Х3 =
Рис. 1. Цилиндрическая система координат, 01=02 = !
12
Часть 1
= из, где щ О, О < U2 2л, —оо < из < оо, сц >0, а2 > 0. См. рис. 1.
1.7. Для обобщенной сферической системы координат, определяемой равенствами xi = а1Щ sina2 соваз, х? = a2ai sin аг sin аз,
Рис. 2. Сферическая система координат, oi = аг = аз = 1
хз = asaicosaz, где ai 0, 0 аг л, 0 из < 2л,	> 0,
аг >0, аз > 0. См. рис. 2.
1.8. Для эллипсоидальной системы координат, определяемой равенствами:
2 _ (ai - ai)(ai - a2)(ai ~ и3)
1	(°г — ai)(a3 -ai)
2	_ (а2 - ai)(a2 ~ Цг)(«2 ~ ^з)
2	(а3 — a2)(aj — а2)
2	= (а3 - ai)(a3 - а2)(аз ~ «з)
3	(«1 -а3)(а2 — а3)
где ai > а2 > аз > 0, ai < аз < а2 < а2 < из < сц. См. рис. 3, 4.
1.9. Для параболической системы координат, определяемой равенствами xi = aia2cosa3, ж2 = aia2sina3, хз = -(a2 — а2), где JU
0 ai < оо, 0 a2 < оо, —л < из л.
§ 1. Системы координат
13
Рис. 3. Эллипсоидальная система координат
Рис. 4. Эллипсоидальная система координат
1.10. Для системы вырожденных эллипсоидальных координат, определяемых равенствами = shu, sinii2 cosu.3, т2 = shui x x sinu2 sinu.3, 2:3 = chiiicosii2, где 0	14 < 00, 0 u? л,
—тг < us тг. См. рис. 5.
1.11.	Для системы вырожденных эллипсоидальных координат, определяемых равенствами ху = chui sinzz2 cos U3, x? = chui x x sinn2sinn3, X3 — shnicosn2, где 0 ni < 00, 0 U2 л, —л < U3 л. См. рис. 6.
14
Часть 1
Рис 5. Вырожденная эллипсоидальная система координат
Z
Рис. 6. Вырожденная эллипсоидальная система координат
§ 1. Системы координат
15
1.12.	Для системы тороидальных координат, определяемых равенствами
sh^i cos U3 xi = —------------, ж2 =
СП Щ — COS U2
sh щ sin U3	sin u2
”7"	j *3	—7"
СП Ui — COS U2	СП Ui — COS U2
где
О щ < oo,
См. рис. 7..
— 7Г < U2 7Г,	— 7Г < US 7Г.
Рис. 7. Тороидальная система координат
, тт	dz dz
1.13.	Преобразовать выражение у—-х— к новым коорди-
дх оу
натам и, и, связаным с х, у соотношениями и = х, и = х2 + у2. Проверьте, действительно ли предложенная система и, и является криволинейной системой координат. Укажите ее область определения и область значений.
1.14.	Преобразовать к полярным координатам х = г cos tp, у = = г sin у? выражение:
. ди ди ди ди
^xai~yai- в}х^-у&и' в)
d2V d2V
г) -—г- 4- -~-г (оператор Лапласа). дхг дуг
2
2
16
Часть 1
д2 z	d2z
1.15.	Преобразовать выражение —-х- — a2—-z к новым коорди-da:2	ду2
натам и, и, где и = у + ах, и = у — ах. При каких а предложенная
замена дает криволинейную систему координат?
д2 z d2z
1.16.	Преобразовать выражение ——+ k2z = 0 к новым дх2 ду2
координатам и, и, где х = ~(и2 — и2), у = ии.
1.17.	Преобразовать к сферическим координатам г, в, р, связанным с х, у, z равенствами х — rsin0sin</?, у = rsin0cos</?, z = г cos в, следующие выражения:
fdv\2	&v d2v	&v
\ дх) + у ду )	\ dz / ’ дх2	ду2	dz2
1.18.	Пусть х = f(u, и), у — р(и, и) — такая система коду	др df	др
ординат, что — = —, —— = ——. Докажите, что выполнено ди	ди ди	ди
соотношение
д2У д2У
ди2 ди2
д2У d2V\ (fdf\2
дх2 ду2 / у у дп / + у ди) J
д2У	д2У	д2У
Лапласа	т + —z- в ци-
дх2	ду2	dz2
1.19.	Вычислите оператор линдрической системе координат г, р, z такой, что х — г cos у = г sin ср, z = z.
1.20.	Покажите, что при переходе от декартовых координат х, ди ди у к полярным координатам р, р условия Коши-Римана — = —, дх ду ди	ди	ди	1 ди	ди	1 ди
— = - — принимают вид — =	, — = ——.
ду	дх	др	р др	др	р др
д2У д2У
1.21.	Вычислите оператор Лапласа —в системе коор-дх1 ду2
динат и, и такой, что w = z2, где w = х + iy, z = и + iu.
d2V d2V
1.22.	Вычислите оператор Лапласа	в системе коор-
дх2 ду2
динат (п, п) такой, что w = achz, где w — х + iy, z = и + iu.
d2V д2У
1.23.	Вычислите оператор Лапласа - о + ~а~~т в системе кода:2 ду2
ординат и, и такой, что w = ez, где w = х + iy, z = и + iu.
§ 2. Уравнения кривых и поверхностей 17
§ 2.	Уравнения кривых и поверхностей
2.1.	Точка М равномерно движется по прямой ON, равномерно вращающейся вокруг точки О. Составить уравнение траектории точки М (спираль Архимеда).
2.2.	Прямая OL вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ш. Точка М движется по прямой OL со скоростью, пропорциональной расстоянию |ОМ|. Составить уравнение траектории, описываемой точкой М (логарифмическая спираль).
2.3.	Крут радиуса а катится по прямой без скольжения. Составить уравнение траектории точки М, жестко связанной с кругом и находящейся на расстоянии d от его центра. Кривая, полученная при d = а, называется циклоидой, при d < a — укороченной циклоидой, при d > a — удлиненной циклоидой.
2.4.	Окружность радиуса г катится без скольжения по окружности радиуса R, оставаясь вне ее. Составить уравнение траектории точки М катящейся окружности (эпициклоида).
2.5.	Окружность радиуса г катится без скольжения по окружности радиуса R, оставаясь внутри ее. Составить уравнение траектории точки М катящейся окружности (гипоциклоида).
2.6.	Найти кривую, задаваемую уравнением г = r(i), с < t < d, зная, что г'(/) = А(/)а, где А(£) >0 — непрерывная функция, а — постоянный ненулевой вектор.
2.7.	Найти кривую, задаваемую уравнением г = г(/), —оо < < t < оо, если г"(/) = а — постоянный ненулевой вектор.
2.8.	Пусть вектор-функция г(£) удовлетворяет дифференциальному уравнению г" = г'ха, где а—постоянный вектор. Выразить через а и г' следующие величины: а) |г' х г"|2; б) (г7,г",г"').
2.9.	Плоская кривая задана уравнением r(£) =
При каком условии это уравнение определяет прямую линию?
2.10.	Найти функцию г = г(<^), зная, что это уравнение в полярных координатах на плоскости определяет прямую линию.
2.11.	а) Доказать, что материальная точка М под действием центральной силы F = Fr описывает траекторию, лежащую в некоторой фиксированной плоскости, проходящей через начало координат. Отметим, что функция F может зависеть как от длины вектора г, так и от его направления.
б)	Составить уравнение движения точки М в этой плоскости в полярных координатах.
в)	Показать, что для центральной силы F, задаваемой формулой
движение точки М происходит по кривой второго порядка. Здесь через г обозначена длина вектора г.
18
Часть 1
2.12.	Движение электрона в постоянном магнитном поле определяется следующим дифференциальным уравнением:
г" = г' х Н, Н = const.
Доказать, что траектория электрона является винтовой линией.
2.13.	Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением
г1 = Ш X г.
2.14.	Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением
г' = е х (г х е),
где е — фиксированный вектор единичной длины.
2.15.	Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением
г' = ае + е х г,
где число а и вектор е постоянны.
2.16.	Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением	1
г' = 2lr|2e-r<r’ е>’
где е — фиксированный вектор единичной длины.
2.17.	Под каким углом пересекаются кривые
х2 + у2 = 8, у2 = 2т?
2.18.	Под каким углом пересекаются кривые
т3
т2 + у2 = 8т, у2 = -----?
2 — х
2.19.	Под каким углом пересекаются кривые
2 И	8	7
х = 4у, у =	.?
хл + 4
2.20.	Найти натуральный параметр (длину) следующих кривых:
а)	у = a ch (х/а) — цепная линия; б) у = ж3/2; в) у = х2;
г) у = in т; д) г = а(1 + cos 92);
е)	r(/) = (a(t — sin/), а(1 — cos/));
ж)	r(/) = (a(cos/+/sin/), a(sin/—/cos/));
3)	r(/) =	(2 cost + cos2/), ^(2sin/ + sin2/));
и)	r(t) = (a cos3/, a sin3/); к) у = ex;
л) г (t) = (a (In ctg — cos /) , a sin t).
\	\	"	z	z
§ 3. Классические метрики на сфере и плоскости Лобачевского 19
2.21.	Найти длину дуги кривой х = sina — f"(oi) cos a, у = f(a) cos a — f"(a) sina.
2.22.	Вокруг оси Oz вращается окружность x = a + bcos v, z = = bsiiw (0<6<a). Составить уравнение поверхности вращения.
2.23.	Прямая движется поступательно с постоянной скоростью, пересекая другую прямую под прямым углом, и одновременно равномерно вращается вокруг этой прямой. Составить уравнение поверхности, которую описывает движущаяся прямая. Эта поверхность называется прямым геликоидом.
2.24.	Составить уравнение поверхности, образованной враще-
X
нием цепной линии у = a ch — вокруг оси Ох. Эта поверхность называется катеноидом.
2.25.	Составить уравнение поверхности, образованной вращением трактрисы
Р =
a In tg
— asini, a cost
вокруг ее асимптоты. Эта поверхность называется псевдосферой.
2.26.	На круговом торе вращения, кроме параллелей и меридианов, являющихся плоскими окружностями, существует еще два
семейства плоских окружностей, называемых окружностями Ви-ларсо. Они получаются пересечением тора его касательной плоскостью, касающейся тора в двух точках. Получить уравнения этих окружностей, проверить, что все они имеют один и тот же радиус и пересекают все параллели тора под постоянным углом. См. рис. 8.
§ 3.	Классические метрики на сфере и плоскости Лобачевского, их свойства
3.1.	Вычислить метрики на стандартной единичной сфере в R3 в следующих координатах:
а)	в декартовых координатах к, у,
б)	в сферических координатах 0,
з*
20
Часть 1
в)	в декартовых координатах и, v на плоскости z — 0, являющейся образом сферы при стереографической проекции из северного полюса сферы. См. рис. 9;
Рис. 9. Стереографическая проекция
г)	в полярных координатах р, </? на плоскости z = 0, являющейся образом сферы при стереографической проекции (см. предыдущий пункт);
д)	в комплексных координатах z = х + iy, z = х — iy на плоскости z = 0, являющейся образом сферы при стереографической
проекции.
3.	2. Вычислить метрику единичной псевдосферы t2—x2—y2 = 1
в 2 с координатами I, х, у в следующих координатах: а) в декартовых координатах х, у,
б)	в координатах <р, х, где р, <р, х — псев-досферические координаты в Rj 2;
в)	в декартовых координатах и, v на плоскости t — 0, являющейся образом стереографической проекции псевдосферы из ее южного полюса (0, 0, —1). См. рис. 10;
г)	в полярных координатах г, ip на плоскости t = 0, являющейся образом стереографической проекции псевдосферы из ее южного полюса (0, 0, —1); ь-; .
д)	в комплексных- координатах z = x + iy, z — х — iy на плоскости t = 0, являющейся образом стереографической проекции псевдосферы;
е)	от комплексных координат предыдущего пункта перейти к новым комплексным координатам в верхней полуплоскости при помощи дробно-линейного преобразования, переводя-
Рис. 10. Стереографи- щего круг единичного радиуса в верхнюю по-
ческая проекция
луплоскость;
§3. Классические метрики на сфере и плоскости Лобачевского 21
ж) для предыдущих двух пунктов нарисовать образы обеих компонент связности псевдосферы при ее указанных проекциях на плоскость.
3.3.	В моделях метрики Лобачевского в единичном круге (модель Пуанкаре) и на верхней полуплоскости показать, что угол между пересекающимися кривыми равен углу между теми же кривыми в евклидовой метрике.
3.4.	Покажите что группа дробно-линейных преобразований, являющихся движениями метрики:
а)	пункта д) задачи 3.1 — изоморфна SU(2) / {±Е}-,
б)	пункта д) задачи 3.2 — изоморфна SU(1, 1)/{±F};
в)	пункта е) задачи 3.2 — изоморфна SL(2, К)/{±Е}.
3.5.	Показать, что длина прямолинейного отрезка, соединяющего две любые фиксированные точки на плоскости Лобачевского, меньше длины любой другой кривой, соединяющей эти точки. См. рис. 11.
3.6.	Доказать, что через любые две точки плоскости Лобачевского проходит единственная прямая. См. рис. 11.
Рис. 11. Прямые на плоскости Лобачевского (модели в единичном круге и на верхней полуплоскости)
3.7.	Докажите, что в моделях метрики Лобачевского в единичном круге и на верхней полуплоскости окружности изображаются обычными окружностями.
3.8.	Найдите длину окружности и площадь круга радиуса R на: а) плоскости Лобачевского; б) сфере радиуса 1. Сравните с формулами на плоскости.
3.9.	а) Найти центр окружности в метрике Лобачевского на верхней полуплоскости, которая задается уравнением
х2 + (у - 2)2 = 1.
б)	Докажите, что при стереографической проекции сферы на плоскость окружности на сфере переходят в окружности или прямые.
в)	Рассмотрим окружность х2 + (у—2)2 = 1, являющуюся образом некоторой окружности на сфере при стереографической про
22
Часть 1
екции (см. выше). Возьмем центр этой сферической окружности, лежащий на сфере. Найти его образ на плоскости.
3.10.	Найдите середину отрезка АВ на плоскости, где А =
= (- ), В = (0,9; 0,3), в следующих метриках:
V 2 2 /
а)	метрике плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости;
б)	метрике сферы (при стереографической проекции).
Рис. 12. Треугольники на плоскости Лобачевского и на сфере
3.11.	Выразить площадь треугольника (см. рис. 12) через его углы: а) на сфере единичного радиуса; б) на плоскости Лобачевского.
3.12.	Докажите теоремы косинусов для треугольников на плоскости Лобачевского:
a)	sin (3 sin 7 ch а = cos а + cos [3 cos 7;
6)	cos a sh b sh c = ch b ch c — ch a.
3.13.	Докажите теоремы косинусов для сферы единичного радиуса:
a)	cos а = cos b cos с + sin b sin с cos а;
б)	cos а = — cos (3 cos 7 + sin (3 sin 7 cos a.
3.14.	Докажите теоремы синусов для:
а)	плоскости Лобачевского:
sha _ shfe _ she _
sin a sin/? sin 7 sin a sin /3 sin 7 ’
где Q — cos2 a + cos2 [3 + cos2 7 + 2 cos a cos (3 cos 7 — 1;
.	sin a	sin b	sin c
б)	сферы радиуса 1: —---= ——- — —------.
sino sin/?	sin 7
3.15.	При каких целых n существуют правильные многоуголь-2тг
ники с углом —: а) на сфере; б) на плоскости Лобачевского?
§ 3. Классические метрики на сфере и плоскости Лобачевского 23
3.16.	Докажите, что на комплексной плоскости точки z^, z%, z^, z^ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда двойное
Z3 - Z]_ z±- Z\
отношение w = ------:------ является вещественным числом.
Z2 - z3 Z2 - Z4
3.17.	Докажите, что на плоскости Лобачевского синус угла а в прямоугольном треугольнике равен отношению длины окружности радиуса, равного противолежащему катету, к длине окружности с радиусом, равным гипотенузе. То же самое для сферы.
3.18.	Докажите, что в треугольнике с равными сторонами все углы: а) на плоскости Лобачевского меньше л/З; б) на сфере больше 7г/3.
3.19.	Докажите следующие формулы для расстояния между точками А и В (см. рис. 13) в метрике плоскости Лобачевского на верхней полуплоскости:
ч	_	, .	.	, ОВ
а)	если они имеют одинаковую абсциссу, то р(А, В) = In , где О — точка пересечения соединяющей их прямой с абсолютом;
б)	если они имеют разные абсциссы, при О — точке пересечения абсолюта с прямой в смысле плоскости Лобачевского, проходя-
щей через Л и В, то р(А, В) =
1п^, tg/3
где а и /3 — углы между
положительным направлением действительной оси и лучами ОА и ОВ соответственно;
в)	в общей ситуации: если zi, Z2 произвольные собственные
точки верхней полуплоскости, то
/ ч , ( 1 + fa - ^2)/(^l - Z2) \ p(zi, z2) = In — -	——---------L. .
\-l + 1(^1 - Z2)/(z1 - Z2)|/
3.20.	Верно ли, что вокруг любого треугольника можно описать окружность: а) на сфере; б) на плоскости Лобачевского?
3.21.	Покажите, что на плоскости Лобачевского через точку, лежащую внутри угла, не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла.
24
Часть 1
3.22.	Сравните сторону правильного шестиугольника с радиусом описанной около него окружности: а) на сфере; б) на плоскости Лобачевского.
3.23.	Найдите площадь правильного треугольника со стороной а: а) на плоскости Лобачевского (см. рис. 14); б) на сфере.
3.24.	Найдите площадь круга и длину окружности, задаваемой уравнением (х + I)2 + (у - 5)2 = 1 на:
а)	плоскости Лобачевского в ее модели в верхней полуплоскости;
б)	сфере в координатах стереографической проекции.
3.25.	Рассмотрим изометрии на плоскости Лобачевского и на сфере.
а) Докажите, что любое движение первого рода раскладывается в композицию четного числа симметрий, а второго рода — в композицию нечетного
Рис. 14. Правильный треуголь- числа симметрий;
ник на плоскости Лобачев-	с
ского	б) покажите, что при любом движе-
нии (изометрии) окружности и прямые снова переходят в окружности или в прямые. При этом окружность может перейти в прямую, и наоборот.
3.26. Покажите, что в модели метрики Лобачевского на верхней полуплоскости группа движений порождается преобразованиями
z t-у z + a, z i-> -, где a, b 6 R, b > 0.
z
§ 4.	Теория кривых
4.1.	Вычислить кривизну следующих кривых:
а)	у = sin ж в вершине (синусоида);
б)	у = ach(a;/a) (цепная линия);
в)	г2 = a2cos2</> (лемниската);
г)	г = а(1 + cos<£>) (кардиоида, см. рис. 15);
д)	г = шр (спираль Архимеда, см. рис. 16);
е)	r(t) = (acos3t, asin3t) (астроида, см. рис. 17);
ж)	r(t) = (a(t — sint), а(1 — cost)) (циклоида, см. рис. 18).
4.2.	Найти кривизну эллипса с полуосями а и b в его вершинах.
4.3.	Найти кривизну кривой, заданной уравнением F(x, у) = 0.
4.4.	Кривые заданы своим дифференциальным уравнением Р(х, у) dx + Q(x, у) dy — 0. Найти их кривизну.
4.5.	Вывести формулу для кривизны плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = г(<р).
§ 4. Теория кривых
25
2 Зак. 359
26
Часть 1
4.6.	Заменить параметр t на винтовой линии (см. рис. 19) r(t) = (a cost, a sin/, bt), b > О,
на натуральный параметр s.
4.7.	Заменить параметр t на кривой
r(t) = (е4 cos t, е* sint, е4) на натуральный.
4.8.	Заменить параметр t на кривой
r(t) — (cht, sht, t)
на натуральный.
4.9.	Найти кривизну и кручение в произвольной точке следующих линий:
а)	r(t) = (е4, е-4, ty/2\,	б) r(t) = (2/, Int, t2);
в)	r(t) = (е4sint,е4cost, е4); г) r(t) = (3t — t3, 3t2, 3t + t3);
д)	r(t) — (cos3t, sin3t, cos2t).
4.10.	Найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнениями
X2 + Z2 — у2 = 1, у2 — 2х + z = 0,
в точке М(1, 1, 1).
4.11.	Найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнениями
х + shrc = siny + у,
z + ez = х + In (1 + х) + 1,
в точке М(0, 0, 0).
4.12.	Вывести формулы для вычисления кривизны и кручения кривой, заданной уравнениями у = у(х), z = = z(x), и найти репер Френе этой кривой.
4.13.	Дана кривая
r(t) = (t2, 1 — t, t3).
Найти репер Френе. Вычислить кри-
Рис. 20. Репер Френе винто- визну и кручение этой кривой.
вой линии	4.14. а) Доказать, что кривизна и кру-
чение винтовой линии постоянны;
б)	определить, при каком значении h винтовая линия х — a cos t, у = a sin t, z = ht
имеет наибольшее кручение;
§ 4, Теория кривых
27
в)	найти репер Френе для винтовой линии (см. рис. 20) r(t) = (a cost, asint, ht).
4.15.	Доказать, что оператор Y : х у х х, действующий на векторах К'3, записывается кососимметрической матрицей. Напомним, что у х х — векторное произведение векторов х и у. Найти связь коэффициентов этой матрицы с координатами вектора у. Показать, что для любой кососимметрической матрицы найдется вектор у, что ее действие как линейного оператора в К'3 представится в виде х >4 у х х. Вектор у называется вектором Дарбу кососимметрической матрицы.
4.16.	Пусть Y, Z — матрицы операторов векторного умножения на векторы у, z. Доказать, что матрица оператора векторного умножения на у х z равна [У, Z] = YZ — ZY.
Натуральными уравнениями плоской кривой называются уравнения одного из следующих видов:
1)	k = fc(s),
2)	F(fc, s) = 0,
3)	к = k(t), s = s(t).
Если заданы натуральные уравнения кривой, то параметризация кривой может быть задана в виде
где a(s) = / fc(s) ds.
4.17.	Составить натуральные уравнения кривых: а) х = a cos3 t, у = a sin3 t;
б)	у = ж3/2;
в)	у = а;2;
г)	у = Ina;;
д)	у = a ch ( -\а
е)	у = ех\
ж) х = а
, t \
In tg - + cos t I,
у = asint;
з) г = a(l + cost/?);
и) x = a(cost + tsint), у = a(sint — tcost);
к) r(t) = (a(t — sint), a(l — cost)).
2*
28
Часть 1
4.18.	Найти параметрические уравнения кривых, зная их натуральные уравнения (здесь R = 1/к):
s2 R2
a) R. = as-, б) -х + —5- = 1: в) Rs = а2;
az oz
s2
г) R = а Н---; д) R2 = 2as.
а
4.19.	В каких случаях кривая имеет следующие параметрические уравнения: х = s, у — y(s), z = z(s), где s — натуральный параметр?
4.20.	Найти плоскую кривую, у которой касательная образует постоянный угол а с радиус-вектором кривой.
4.21.	Пусть р — расстояние от начала радиус-векторов до касательной к кривой 7 в точке М, а I — расстояние от точки О до точки М (см. рис. 21). Доказать, что
dp Tdl
4.22.	В некоторой точке го = r(so) кривой г = r(s) имеем: fco = k(so) 7^ 0, fc(so) 0. Рассмотрим уравнение соприкасающейся окружности |р — го — А)По| = Ro в этой точке исходной кривой, Ro = —. Здесь р — радиус-вектор точки на соприкаса-ко
ющейся окружности. Доказать, что соприкасающаяся окружность пересекает данную кривую в окрестности указанной точки, т.е. малая дуга кривой, соответствующая значениям параметра из интервала (sq — £, so), и малая дуга кривой, соответствующая значениям параметра из интервала (sq, sq+e), лежат по разные стороны от соприкасающейся окружности (см. рис. 22).
Пояснение. Порядок касания кривой и ее соприкасающейся окружности равен 3. Наложенные на кривую условия гарантируют, что в данной точке порядок касания в точности равен 3, а не выше.
§ 4. Теория кривых
29
4.23.	В некоторой точке кривой выполнены условия: ко О, ко = 0, ко 0 0. Доказать, что соприкасающаяся окружность кривой в этой точке не пересекает кривой в достаточно малой окрестности этой точки (см. рис. 23).
Рис. 22. Кривая и соприкасающаяся окружность
Рис. 23. Кривая и соприкасающаяся окружность
4.24.	Пусть а — угол между постоянным вектором а и касательным вектором v к кривой (см. рис. 24). Составить параметрическое уравнение кривой, если известна зависимость:
a) R = /(ст), где R — радиус кривизны кривой; б) а = f(R);
в) s = f(a), где s — дуга кривой; г) а = f(s).
Рис. 24
Рис. 25. Кривая Вивиани
4.25.	Кривая, по которой сфера пересекается с круглым цилиндром в два раза меньшего радиуса, причем цилиндр проходит через центр сферы, называется кривой Вивиани (см. рис. 25). Составить уравнение кривой Вивиани в неявной и параметрической форме. Найти уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, главной нормали и соприкасающейся плоскости.
30
Часть 1
4.26.	Доказать, что линия
ж2 = 2az,
у2 = 2bz
является плоской.
4.27.	Доказать, что если в некоторой точке М кривой С кривизна и кручение отличны от нуля, то части кривой, близкие к точке М, лежат по разные стороны от соприкасающейся плоско
сти.
4.28.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости кривой проходят через одну и ту же точку, то кривая плоская на каждом участке бирегулярности.
d	d2	d3
4.29.	Выразить —г, -r-zT, —через v, п, Ь, к и х.
ds	dsz	dsA
4.30. Доказать, что
= х, где (,,) обозначает
смешанное произведение трех векторов. fd d2 d3
4.31.	Вычислить — b, -—т-b, —rb
\as dsz dsA
(d dP d3 \ c d (yt\
—Чу Vqv = л ~T I T J-ds ds£ dsA ) ds \k /
4.33.	Доказать, что если главные нормали кривой образуют постоянный угол с направлением вектора е, то
d / к2 + х2 \ ds \fc(d/ds)(x/fc)/
и обратно, если выполнено последнее соотношение, то главные нормали кривой образуют постоянный угол с направлением некоторого вектора. Найти этот вектор.
4.34.	Доказать, что если кривая бирегулярна (т. е. fc(.s) 0 при всех s) и все нормальные плоскости кривой содержат вектор е, то данная кривая плоская.
4.35.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости кривой 7, не являющейся прямой линией, содержат один и тот же вектор, то кривая плоская (на любом связном участке бирегулярности кривой).
4.36.	а) Доказать, что если кривая регулярна и к — 0, то это — прямая линия.
б)	Доказать, что если b = const, то кривая плоская. Напишите ’ уравнение этой плоскости.
в)	Доказать, что если кривая бирегулярна и х = 0, то кривая плоская. Напишите уравнение этой плоскости.
4.37.	Доказать, что если соприкасающиеся плоскости кривой имеют один и тот же наклон, то кривая плоская.
§ 4. Теория кривых
31
4.38.	Пусть s — длина касательного сферического образа кривой г = г(з) (см. рис. 26):
5
О
ds доказать, что — = к;
ds
а)
б)	найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы касательный сферический образ был регулярной кривой;
Рис. 26. Касательный сферический образ кривой
в)	доказать, что для замкнутой кривой выполняется неравенство к ds 2тг.
4.39.	Пусть s* — длина вдоль нормального (соответственно, бинормального) сферического образа кривой г = г(з). Доказать, что ds* /------------------------
—— = уА;2 + х2 (соответственно, |х|). ds
Сферическая кривая — это кривая г = r(t), для которой существует постоянный вектор m и действительное число R такие, что
(r(t) — m, r(t) — m) - R2.
4.40.	Доказать, что если г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром, к 0, х 0, то г(з) — сферическая кривая тогда и только тогда, когда
х	d / dk/ds
к	ds \ хА;2
32
Часть 1
4.41.	Пусть неплоская кривая 7 имеет постоянную отличную от нуля кривизну и х 5^ 0. Рассмотрим 7* — множество центров ее кривизны. Доказать, что кривизна 7* также постоянна. Найти кручение 7*.
Пусть m — постоянный вектор, г = r(s) — некоторая кривая, c(s) = = |r(s) — m|2 и а — некоторое положительное число. Говорят, что кривая r(s) имеет в точке s = sq сферический контакт j-ro порядка со сферой радиуса а в центре т, если
c(s0) = a2, c'(s0) = c"(so) =    = cw(s0) = 0, cw+1)(so)/O.
4.42.	Если к 7^ 0, выразить первые три производные функции c(s) (определение см. выше) через v, п, Ь, к, х и их производные.
4.43.	Доказать, что кривая г = r(s) имеет сферический контакт второго или более высокого порядка в точке s = so тогда и только тогда, когда k(s0) > 0 и m = r(s0) + (1/A:(so))n(so) + Ab(s0), где A — произвольное число.
4.44.	Пусть k(so) 0, x(sq) 0. Доказать, что кривая г = ф) имеет сферический контакт третьего или более высокого порядка тогда и только тогда, когда центр сферы задается формулой
m = r(s0) + ттЦфо) -	чЬ(5о),
Фо) Афо)х(зо)
а ее радиус
R*
к2 к^ ж2
4.45.	Доказать, что для любой замкнутой кривой на сфере существует точка, в которой кручение кривой равно 0.
§ 5.	Пиманова метрика
5.1.	Вычислить первую квадратичную форму следующих поверхностей:
а)	г = (a cos и cos v, asinucosv, asinw) (сфера, см. рис. 27);
б)	г = (a cos и cos v, b sin и cos v, csinw) (эллипсоид, см. рис. 28);
в)	г = (cwcosu, bvsinu, cv) (конус, см. рис. 29);
г)	г = (a cos w, bsinw, cv) (цилиндр, см. рис. 30).
5.2.	Вычислить первую квадратичную форму следующих поверхностей:
а)	г = p(s) + Ае, е = const (цилиндрическая поверхность, см. рис. 31);
§ 5. Риманова метрика
33
Рис. 27. Сфера
Рис. 28. Эллипсоид
Рис. 32. Линейчатая поверхность
Рис. 31. Цилиндрическая поверхность
б)	г = vp(s) (коническая поверхность);
в)	г = p(s) + Ae(s) (|e(s)| = 1) (линейчатая поверхность, см. рис. 32);
34
Часть 1
Рис. 33. Каналовая поверхность
Рис. 34. Катеноид
Рис. 35. Псевдосфера Бельтрами
г)	г = p(s) + n(s)cos</> 4- b(s)sin</? (каналовая поверхность, см. рис. 33);
д)	г = (</?(«?) cos и, <p(v) sin w, V’(w)) (поверхность вращения);
е)	г = ((а + b cos v) cos и, (а + Ь cos и) sin г/, b sin г?) (тор);
ж)	г = (v cos и, v sin и, ки) (геликоид);
з)	г = р(з) + Ап(з) (поверхность главных нормалей);
§ 5. Риманова метрика
35
и)	г = p(s) + Ab(s) (поверхность бинормалей);
к)	г — (a ch - cos </?, ci ch - sin <^, z) (катеноид, см. рис. 34). a	a
5.3.	Найдите первую квадратичную форму поверхности (псевдосферы Бельтрами)
х = a shim cos г>, у = cz sin iz sin и, z = a (in tg — + cos tz) , где u тг/2, a = const (см. рис. 35).
5.4.	Найдите угол между линиями г? = «+1ищ = 3- и на поверхности
a? = izcosv, y = tzsini>, z — u2.
5.5.	На плоскости с координатами (u, v) дана метрика ds2 = = du2 + 2dv2. Найдите угол между линиями v = 2и и v = —2и.
Рис. 36. Две линии на геликоиде
5.6.	На поверхности
(u cos v, usinv, av)
найти угол между пересекающимися кривыми (см. рис. 36)
« + и = 0, u — v = 0.
5.7.	Найдите угол между линиями v — 2u + 1 и v — —2u + 1 на плоскости с координатами (iz, v), если метрика задается матричнозначной функцией
36
Часть 1
5.8.	Проверьте, что на плоскости с координатами (и, к) матрично-значная функция
(1 + и2 + V2)2
1 + v2 —uv
—UV 1 + и2
задает метрику. Найдите длину кривой и — v.
5.9.	Проверить, что матрично-значная функция
Л R2 — v2 uv \
1 — U2 — V2
UV 1 — и2
задает некоторую метрику в единичном круге на плоскости с координатами (u, v):
а)	в этой метрике найти длину кривой — 1 < и < 1, v = 0;
б)	в этой же метрике найти длину кривой Sa: и2 + v2 = а = = const. Найти угол, под которым кривая v = ки пересекает кривые Sa.
5.10.	Проверить, что матрично-значная функция
1 — и2 — V2
1 — v2 —uv —uv 1 — и2
на плоскости с координатами (и, v) задает некоторую метрику в единичном круге. В этой метрике найти длину кривой — 1 < и < 1, v = 0.
5.11.	Проверить, что на плоскости с координатами (х, у) матрично-значная функция
(х2 + у2)4
4а;2 + (ж2 + у2)4 4а;у
4ху 4у2 + (т2 + у2)4
задает метрику. Вычислите длину кривой х2 + у2 = а, где а — некоторое фиксированное число. Вычислить, под каким углом эти линии пересекаются с кривыми у = кх.
5.12.	Найдите, под каким углом пересекаются линии u+2v = 0 и 4и — v = 0 на прямом геликоиде
a; = ucosw, y = usinv, z = av.
5.13.	Найти уравнения кривых, которые делят пополам углы между координатными линиями параболоида вращения (см. рис. 37, 38)
§ 5. Риманова метрика
37
Рис. 37
Рис. 38. Линии на параболоиде вращения
5.14.	Найти на поверхности
ж = u cos и, у = ?/sinw, z = a In (u + yu2 — a2) кривые, пересекающие кривые v = const под постоянным углом в (см. рис. 39).
Рис. 39. Локсодромии
5.15.	Найти кривые, пересекающие прямолинейные образующие гиперболического параболоида ху = az под прямыми углами.
5.16.	Кривая, расположенная на сфере и пересекающая все меридианы сферы под данным углом, называется локсодромией (см. рис. 40, 41). Составить уравнение локсодромии. Найти векторы v, n, b репера Френе этой кривой в произвольной точке, вычислить ее кривизну и кручение.
5.17.	Пусть первая квадратичная форма поверхности имеет вид ds2 = du2 + (u2 + a2) dv2;
38
Часть 1
Рис. 41. Локсодромия на сфере
а)	найти периметр криволинейного треугольника, образованного пересечением кривых
и = ±—ап2, v = 1;
2	’
б)	найти углы этого криволинейного треугольника;
в)	вычислить площадь треугольника, образованного пересечением кривых
и = ±ап, v = 1.
5.18.	Дана поверхность
г = (u sin и, и cos и, и).
Найти:
а)	площадь криволинейного треугольника 0 и	sh v, 0
v С по (см. рис. 42);
б)	длины сторон этого треугольника;
в)	углы этого треугольника.
5.19.	Сферический двуугольник — это фигура, образованная двумя большими полуокружностями, имеющими общие концы (см. рис. 43). Вычислить площадь S сферического двуугольника с углом а при вершине.
5.20.	Вращением окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности, образован тор. Радиус окружности г, расстояние от прямой до центра окружности R, R > г. Найти площадь тора в индуцированной метрике.
5.21.	Доказать, что отображение, являющееся конформным и сохраняющим площадь, является локальной изометрией.
§ 5. Риманова метрика
39
Рис. 43. Сферический двуугольник
Рис. 42. Треугольник на геликоиде
5.22.	Доказать, что деформация гиперболического параболоида, определяемая следующими формулами, сохраняет площадь:
' х = и,
y = v,
z= |(м2-и2),
' X = u, y = v, sin t. Q 9.
z = —— \u — V ) + uv cos t.
5.23.	Доказать, что поверхностью вращения, локально изоме-тричной геликоиду
г = (w sin v, u cos v, av),
является катеноид.
Пояснение. На самом деле, верен более общий факт. А именно, после разрезания катеноида по меридиану полученная поверхность мо-
Рис. 44. Изгибание катеноида на часть геликоида
жет быть изогнута, как показано на рис. 44, так, что получится часть геликоида.
40
Часть 1
5.24.	Показать, что винтовая поверхность (коноид) х = pcosv, y — psinv, z = p + v локально изометрично отображается на гиперболоид вращения
х = г cosy?, у = rsiny>, z — ут2 — 1, если соответствие точек устанавливается уравнениями у> = v + arctg р, т1 — р2 + 1.
5.25.	Показать, что винтовая поверхность
х = pcosv, y = psinv, z = a (in— +v) локально изометрично отображается на поверхность вращения х = г cosy?, y — rsinip, z — ал/21п(г + yr^ — а2).
5.26.	Показать, что всякая винтовая поверхность
a? = wcosi>, y — usinv, z — F(u) + av локально изометрично отображается на поверхность вращения так, что винтовые линии переходят в параллели.
5.27.	Доказать, что любая цилиндрическая поверхность локально изометрична плоскости.
5.28.	Доказать, что любая коническая поверхность локально изометрична плоскости.
§ 6.	Вторая квадратичная форма, гауссова и средняя кривизны
В этом параграфе средней кривизной называется сумма главных кривизн.
6.1.	Вычислить вторую квадратичную форму следующих поверхностей:
а)	г = (R cos и cos v, Rcosusmv, 7?sinw) (сфера);
б)	г = (a cos и cos v, a cos и sin v,с sin и) (эллипсоид вращения);
в)	г = ((а + bcosrz) cosw, (а + bcos и) sin v, bsinu) (тор);
г)	г = (a ch — cos v, a ch — sin v, w) (катеноид); \ a	a )
д)	r = (a sin и cos v, a sin и sin v, a (in tg — + cos w) );
e)	r = («cos!?, wsinw, av) (прямой геликоид);
ж)	xyz — a3.
6.2.	Доказать, что при каждой параметризации плоскости ее вторая квадратичная форма равна нулю.
§ 6. Вторая квадратичная форма, гауссова и средняя кривизны 41
6.3.	Доказать, что при любой параметризации сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй.
6.4.	Дана поверхность вращения
r(u, ф) = (s(u), p(u)cos</>, p(u) sin</>).
а)	Найти вторую квадратичную форму.
б)	Найти гауссову кривизну К в произвольной точке поверхности. Выяснить зависимость знака К от направления выпуклости меридиана.
в)	Вычислить кривизну К в частном случае р(и) = и,
х(и) = ± fain a + y/a2~ и2 _ y/a2 _	, a > о
\	и	)
(псевдосфера). Эта поверхность называется также поверхностью Бельтрами.
Доказать, что поверхность Бельтрами локально изометрична плоскости Лобачевского.
г)	Найти среднюю кривизну Н в произвольной точке поверхности вращения.
д)	В частном случае х(и) = и выбрать функцию р = р(и) так, чтобы Н — 0 на всей поверхности.
6.5.	Доказать, что если у поверхности тождественно равны нулю гауссова и средняя кривизны, то это поверхность является плоскостью или ее частью.
6.6.	Дана кривая р = p(s) с натуральным параметром s, кривизной k — k(s) 0 и кручением х —	0. Пусть v = v(u) —
орт касательной к этой кривой. Для поверхности, образованной касательными к данной кривой, т. е.
r(s, и) = p(s) + uv(s), и > 0,
найти кривизны К и Н.
6.7.	Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности z — =	у).
6.8.	Найти гауссову и среднюю кривизну поверхности, заданной уравнением
F(x, у, z) = 0.
z
6.9.	Найти главные радиусы кривизны поверхности у — rctg —.
a
6.10.	Найти главные радиусы кривизны поверхности
х = cos v — и sin v, у = sinv + a cos v, z = u + v.
6.11.	Вычислить гауссову и среднюю кривизны винтовой поверхности
Ж = 14 COS V, у = usinv, Z = и + V.
42
Часть 1
6.12.	Вычислить гауссову и среднюю кривизны поверхности
х = Зи + Зии2 — и3, у = v3 — 3v — 3u2v, z — 3(u2 — w2).
6.13.	Пусть поверхность в R3 задана функцией г(ц, и). Рассмотрим выражение dn2 = (dn, dn), где n(u, и) — вектор единичной нормали к поверхности. Проверить, что это выражение является квадратичной формой относительно дифференциалов du, dv. Эта форма называется третьей квадратичной формой поверхности. Выразить ее через первую и вторую формы поверхности, а также через гауссову и среднюю кривизны.
6.14.	Показать, что средняя кривизна геликоида (задача 6.1) равна нулю.
6.15.	Пусть S — некоторая заданная поверхность. Отложим на нормалях к поверхности S в одном направлении отрезки постоянной длины. Концы отложенных отрезков описывают поверхность
Рис. 45. Параллельные поверхности
S*, «параллельную» поверхности S (см. рис. 45). Если поверхность S задана в виде г = г(ц, ц), то поверхность S* задается в виде
р = r(u, и) + ап(и, и),
где n(u, v) — единичный вектор нормали к S.
Выразить коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности S* через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности S. Доказать, что свойство параллельности двух поверхностей взаимно.
6.16.	При каких длинах отрезков, отложенных по нормалям, поверхность, параллельная данной, будет регулярной?
6.17.	Выразить гауссову кривизну К* поверхности S*, «параллельной» поверхности S, через гауссову и среднюю кривизны поверхности.
§ 6. Вторая квадратичная форма, гауссова и средняя кривизны 43
6.18.	Выразить среднюю кривизну Н* поверхности S*, «параллельной» поверхности S, через гауссову и среднюю кривизны поверхности.
6.19.	а) Доказать, что у параллельных поверхностей гауссовы и средние кривизны связаны соотношением
Я2 - 4К _ Я*2 - 4Я*
К2 ~	К*2	'
б)	Составить уравнение минимальной поверхности S*, «параллельной» поверхности S, если для поверхности S отношение Н/К — const.
в)	Дана поверхность постоянной средней кривизны Я. На всех ее нормалях отложены отрезки длиной 1/Я. Доказать, что у построенной таким образом поверхности, «параллельной» данной, гауссова кривизна постоянна.
г)	На всех нормалях поверхности постоянной положительной гауссовой кривизны К отложены отрезки длиной Х/у/К. Доказать, что средняя кривизна построенной таким образом поверхности постоянна. Вычислить эту среднюю кривизну.
6.20.	Доказать, что Я2 4Я. Когда достигается равенство?
6.21.	Пусть ei и е2 — ортогональные касательные векторы единичной длины, приложенные к некоторой точке поверхности. Доказать, что
Я = II(ei, ej + П(е2, е2),
где II(,) — вторая квадратичная форма поверхности.
6.22.	Предположим, что две поверхности Mi и ТИ2 пересекаются по кривой С. Пусть к — кривизна С, А, — нормальные кривизны С в М{ и в — угол между нормалями М\ и М2. Доказать, что
к2 sin2 в = А2 + А2 — 2Ai А2 cos в.
6.23.	Исходя из того, что эллипс можно спроектировать в окружность, с помощью теоремы Менье и формулы Эйлера найти кривизны эллипса в его вершинах.
6.24.	Доказать, что для того чтобы точка на поверхности была сферической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия К ± 0, 4Я = Я2.
6.25.	Определить тип точек тора.
6.26.	Определить тип точек на поверхностях:
a) z = а2ж4 + Ь2у4; б) z = х4 + у4 + х2у2-, в) у = х4.
6.27.	Доказать, что если метрика поверхности в R3 записана в изотермических координатах, т.е. ds2 = Л2 (du2 + dv2), то Дг = = — ЯЛ2п, где п — нормаль к поверхности, а Я— средняя кривизна.
44
Часть 1
6.28.	Доказать, что если поверхность в R3 минимальна, то ее радиус вектор — гармоническая функция относительно конформных координат.
6.29.	Если гауссовы кривизны двух поверхностей постоянны и равны, то эти поверхности локально изометричны.
6.30.	Показать, что существуют аналитически диффеоморфные аналитические поверхности, которые не изометричны, и тем не менее, их гауссовы кривизны в соответствующих точках равны. Другими словами, равенства гауссовых кривизн двух поверхностей в соответствующих точках недостаточно даже для их локальной изометричности.
6.31.	Что представляет собой поверхность, для которой gklbik = = «!?
6.32.	а) Показать, что коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности равны bikbjigkl.
б)	Доказать, что = Н2 — 2К, где Н — средняя, К — гауссова кривизна поверхности, а 7гу — коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности.
6.33.	Что представляют собой поверхности, на которых первая и третья квадратичная форма пропорциональны?
6.34.	Доказать, что средняя кривизна поверхности определяется формулой Н — g^bij.
6.35.	Пусть А?1, ..., кт — нормальные кривизны поверхности в направлениях, разбивающие плоскость на углы я/т. Доказать, что к\ + ... + кт = тН/2.
§ 7.	Многообразия
7.1.	Доказать, что n-мерная сфера Sn, задаваемая в R"+1 уравнением Xq + х2 + ... + х2 = 1, является гладким многообразием. Построить атлас карт для Sn. Построить атлас из минимального числа карт. Здесь каждая карта должна быть гомеоморфна открытому диску.
7.2.	Доказать, что 2-мерный тор Т2 как поверхность вращения вокруг оси Oz окружности, лежащей в плоскости Oxz и не пересекающейся с осью Oz, является гладким многообразием. Построить атлас карт. Найти атлас из минимального числа карт. Здесь каждая карта должна быть гомеоморфна открытому диску.
7.3.	Доказать, что п-мерное проективное пространство RFn является гладким (и вещественно-аналитическим) многообразием.
7.4.	Доказать, что n-мерное комплексное проективное пространство СРп является гладким (и комплексно-аналитическим) многообр азием.
§7. Многообразия
45
7.5.	Доказать, что:
а)	график непрерывной функции xn+i = f(xi, хп) является гладким многообразием;
б)	график гладкой функции xn+i = f(xi, ...,хп) является гладким подмногообразием в Rn+1;
в)	привести пример непрерывной функции хп+\ = /(si,..хп), график которой не является гладким подмногообразием в Rn+1.
7.6.	Ввести структуру гладкого многообразия на множестве всех прямых R2. Доказать, что полученное многообразие гомеоморфно листу Мёбиуса.
7.7.	Отождествить S2 и СР1.
7.8.	Доказать, что из гладкости функции в некоторой карте следует ее гладкость в произвольной системе координат.
7.9.	Доказать, что формулы
хк
ук = --.	, к = 1,..., п,
^/е2 — (ж1)2 — ... — (®n)2 vk
хк = —.	 	—	- к = 1,..., п,
х/& + (у1)2 -	- (уп)2
задают взаимно обратные диффеоморфизмы и шара радиуса е с центром в начале координат пространства Rn.
7.10.	Пусть тор Т2 С R3 образован вращением окружности вокруг оси (стандартное вложение). Доказать, что координаты х, у, z — гладкие функции на торе Т2.
7.11.	Доказать, что у композиции гладких отображений матрица Якоби является произведением матриц Якоби сомножителей.
7.12.	Доказать, что ранг матрицы Якоби не зависит от выбора локальной системы координат.
7.13.	Вычислить ранг матрицы Якоби отображения
/(ж, у) = (ж, 0):R2—>R2.
7.14.	Пусть тор Т2 С R3 стандартно вложен в R3, функция /: Т2 —> S2 сопоставляет каждой точке р Е Т2 вектор единичной длины, нормальный к тору Т2 в точке р. Доказать, что f — гладкое отображение.
7.15.	Доказать, что отображение /: S2 -> RP2, сопоставляющее точке р на сфере S2 прямую, проходящую через начало координат и точку р, является гладким отображением.
7.16.	Показать, что стереографическая проекция сферы на касательную плоскость из полюса, противоположного точке касания, является диффеоморфизмом всюду, за исключением полюса проекции.
46
Часть 1
7.17.	Доказать, что группа 5'0(2) диффеоморфна окружности. Какому многообразию диффеоморфна группа 0(2)?
7.18.	Доказать, что группа 5'0(3) гомеоморфна проективному пространству RF3.
7.19.	Доказать, что {(a?i, ..., жп) G Сп:^з;2 = О, $2 |a?i|2 = 2} есть множество единичных касательных векторов к сфере единичного радиуса.
7.20.	Доказать, что множество единичных касательных векторов к S2 гомеоморфно 5'0(3).
7.21.	Рассмотрим в 5'0(3) подмножество матриц А = («у) таких, что
«11 + 1
«21
«31
«12
«22 + 1
«32
«13
«23
«зз +1
= 0.
Доказать, что это подмножество гомеоморфно RP2.
7.22.	Доказать, что уравнение х2 + х2 + х2 = 0 задает в СР2 подмногобразие гомеоморфное S2.
7.23.	Доказать, что группа SU(2) гомеоморфна сфере S3.
7.24.	Доказать, что группы GL(n, R), GL(n, С) являются гладкими многообразиями.
7.25.	Группу О(п) можно рассматривать как подмножество Rn . Доказать, что 0(п) лежит в сфере 5'n -1 радиуса у/п.
7.26.	Рассмотрим «комплексную окружность» X — {(zi, Z2) Е Е С2 : z2 + z2 = 1}. Доказать, что пространство X гомеоморфно цилиндру без границы.
7.27.	Доказать, что объединение двух координатных осей в R2 не является многообразием.
7.28.	Являются ли гладкими многообразиями следующие кривые на плоскости: а) треугольник; б) два треугольника, имеющие только одну общую точку — вершину?
7.29.	Показать, что на сфере Sn С Rn+1 нельзя ввести атлас, состоящий из одной карты.
7.30.	а) Доказать, что при п т пространства Rn и Rm не диффеоморфны;
б)	доказать, что гладкие многообразия разных размерностей не диффеоморфны.
7.31.	Привести пример гладкого гомеоморфизма, не являющегося диффеоморфизмом.
7.32.	Привести пример нехаусдорфова многообразия.
7.33.	Привести пример многообразия с двумя несогласованными гладкими структурами.
§8. Тензоры
47
7.34.	Будут ли гладкими подмногообразиями граница квадрата и восьмерка в R2?
7.35.	Две гладкие структуры (два гладких атласа) на многообразии называются эквивалентными, если каждая карта одного атласа согласована со всеми картами другого атласа, и наоборот. Доказать, что две гладкие структуры на многообразии эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают пространства гладких функций для этих гладких структур.
7.36.	Доказать, что любое гладкое многообразие имеет такой атлас, что каждая карта гомеоморфна евклидовому пространству.
7.37.	Показать, что на плоскости R2 можно ввести такую структуру гладкого двумерного многобразия, что кривая у = х2 перестает быть гладкой.
7.38.	Доказать, что произведение гладких многообразий является гладким многообразим, причем проекции — гладкие регулярные отображения.
7.39.	Доказать, что овеществление тг-мерного комплексного многообразия является гладким вещественным ориентируемым многообразием размерности 2п.
7.40.	Доказать, что край гладкого многообразия Мп является гладким (п — 1)-мерным многообразием. При этом в качестве гладкого атласа края многообразия можно взять ограничения карт многобразия на его край.
7.41.	Показать, что окружность, двумерная сфера, тор — ориентируемые многообразия.
7.42.	Проверить, ориентируемы ли следующие многообразия: а) сфера Sn; б) тор Тп.
7.43.	Доказать, что лист Мёбиуса, проективная плоскость, бутылка Клейна — неориентируемые многообразия.
7.44.	Доказать, что двумерное многообразие тогда и только тогда ориентируемо, когда оно не содержит в себе листа Мёбиуса.
7.45.	Доказать, что декартово произведение двух многообразий тогда и только тогда ориентируемо, когда ориентируемы сомножители.
7.46.	Доказать теорему о существовании римановой метрики на любом гладком многообразии: а) с помощью разбиения единицы; б) с помощью теоремы Уитни.
§ 8.	Тензоры
8.1.	Определить валентность следующих тензоров:
.	_ d2f
a)li~dxi' b)lij~dx*dXi
в точках, где градиент функции / равен нулю;
в)	TJ — компоненты матрицы линейного оператора векторного пространства;
48
Часть 1
г)	T{j — компоненты матрицы билинейной формы на векторном пространстве.
8.2.	Пусть	(.
I 0, если г / 7, о,- — < .
3	[ 1, если г = ].
Показать, что {<5j} образует тензор валентности (1, 1).
8.3.	Пусть {£у} — тензор валентности (2, 0). Показать, что числа r]ij, удовлетворяющие условию C^jk = образуют тензор валентности (0, 2).
8.4.	Пусть матрица — симметрическая невырожденная положительно определенная в некоторой системе координат х = — (ж1, ..., хп). Доказать, что все эти ее свойства сохраняются при любой регулярной замене координат.
8.5.	Пусть V™ — пространство всех тензоров типа (т, п). Показать, что если /: V™ i-> V? — линейное отображение тензорных пространств, то компоненты отображения образуют тензор. Определить его валентность.
8.6.	Определить размерность тензорного пространства
8.7.	Показать, что любой тензор валентности (2, 0) однозначно разлагается в сумму симметрического и кососимметрического слагаемых. Привести пример тензора валентности (3, 0), для которого это не верно.
8.8.	Доказать, что операторы альтернирования и симметрирования являются проекторами в пространстве тензоров. Доказать, что если п > 2, то сумма этих операторов не равна 1. Привести пример тензора (при п > 2), лежащего в ядрах операторов альтернирования и симметрирования.
8.9.	Пусть размерность пространства V равна п. Определить размерность пространства AkV кососимметрических тензоров.
8.10.	Пусть размерность пространства V равна п. Определить размерность пространства SkV симметрических тензоров.
8.11.	Описать все инвариантные тензоры рангов 0, 1, 2, 3, 4. Здесь тензор называется инвариантным, если его компоненты не меняются ни при каких заменах координат.
8.12.	Показать, что смешанное и векторное произведения в Ж3 задаются тензорами типа (0, 3) и (1, 2) соответственно. Выписать их компоненты в произвольном базисе. Показать, что компоненты этих тензоров связаны операцией опускания и поднимания индексов.
8.13.	Выразить через коэффициенты характеристического многочлена оператора (с’) величины det с, с^, с?с’-, с?сксгк и т. д.
8.14.	Представить определитель линейного оператора как результат выполнения последовательности элементарных тензорных операций.
§8. Тензоры
49
8.15.	Пусть дан набор величин S11''Лр. Доказать, что если при некотором фиксированном q набор величин
q < Р,
является тензором при любом выборе тензора , то и S11"*? также тензор.
8.16.	Если vij — тензор и в некоторой системе координат имеет место уравнение avij + bvji = 0 (а и b — числа), то это уравнение справедливо в любой другой системе координат. Кроме того, если
7^ 0, то или а = Ь, или а = — Ь.
8.17.	Пусть gij — метрический тензор. Доказать, что если тензоры gijP^ и gijQ3k симметричны, то после опускания верхнего индекса тензор PQ + QP симметричен, a PQ — QP антисимметричен.
Если дан оператор А: V —> V, то определены операторы . y®fc } y®fc
Д®£у^ .	у
8.18.	Найти trA9A через коэффициенты характеристического многочлена А в n-мерном пространстве V.
8.19.	Выразить через след и определитель оператора А величины tr А® А, trA®fc, det А® А.
8.20.	Доказать, что для £ Е ЛР(Н), iv Е Л1(Н) равенство £ Л Л и = 0 выполняется тогда и только тогда, когда £ = а> Л т] для некоторого г] Е Лр-1(Н).
8.21.	Доказать, что если тензор Тцк симметричен по первым двум индексам и кососимметричен по второму и третьему, то он равен нулю.
8.22.	Доказать, что если Пу — симметрический, № — кососимметрический тензоры, то aijbtJ — 0.
8.23.	Найти значение тензора е? ® е1 + (ei + Зез) ® е2 на паре е1 + е2 + е3, ei + бег + 4ез-
8.24.	Найти значение тензора
(е1 ® е2 + е2 ® е3 + е2 ® е2) ® (е1 ® е1 ® (е1 — е3)) —
— (е1 ® е1 ® (е1 — е3)) ® (е1 ® е2 + е2 ® е3 + е2 ® е2) на наборе ei, ej + е2, е2 + ез, е2, е2.
8.25.	Все координаты тензора Т типа (2, 3) в базисе (ei, е2, ез) равны 1. Найти координату Т^з этого тензора в базисе
/1 2 3\
(ei, ё2, ё3) = (ei, е2, е3) 0 1 2 .
\0 0 1/
5 Зак. 359
50
Часть 1
8.26.	Найти координаты:
а)	Т2\ тензора е.] ® е1 ® е2 +	® е1 ® е2 в базисе
(ei, е2) = (ei, е2)
1 Ц
2 3/
б)	7312 тензора ез ® ei ® е2 ® е1 + ei ® е2 ® е3 ® е3 в базисе
/1 о 0\
(ei, е2, ез) = (ei, е2, ез) I 2 1 О I .
\з 2 1/
8.27.	Найти координаты тензоров:
a)	(ei + е2) ® (ei - е2);
б)	(ei + 2е2) ® (ei + е2) - (ei + е2) ® (ei + 2е2).
8.28.	Найти свертку тензоров:
a) (ei + Зе2 — ез) ® (е1 — 2е3 + Зе4) — (ei + ез) ® (е1 — Зе3 + е4); б) ei ® (е1 + е2 + е3 + Зе4) + е2 ® (е1 + 2е2 + Зе3 + 4е4) + 2ез ® ® (е1 — е2 — е4).
8.29.	Применить линейный оператор, заданный тензором ез ® ® е1, к вектору ei + е2 + ез + е4.
8.30.	Тензор (ei + е2) ® (2с1 — е3) задает линейный оператор А. Какой тензор задает оператор Л2?
8.31.	Скалярное произведение задано матрицей /2 1 0 0\ 110 0 0 0 11' \0 0 1 2/ Поднять и опустить индекс у тензоров: а) ез ® е1 + е4 ® е2;
б) (е3 + е4) ® (е1 + е2) — е3 ® (е1 + е3).
в) Tj = ^2i +	•
§ 9.	Связности и параллельный перенос
9.1.	Доказать, что:
а)	если и — связности, то и аГ^ + /Зу^ тоже связность, если а + /3 = 1;
б)	если связности Г^. и имеют одинаковые геодезические, то те же геодезические имеет связность аГ^- + /З'уЛ, а + /3 = 1;
в)	доказать, что разности Г*) — Г^- двух связностей V и V образуют тензор типа (1, 2) и что любой тензор типа (1, 2) можно
§ 9. Связности и параллельный перенос
51
представить в таком виде. Доказать, что если к коэффициентам связности прибавить тензор типа (1, 2), то получатся коэффициенты связности.
9.2.	Показать, что ковариантная производная вдоль кривой зависит только от значения коэффициентов связности на этой кривой.
9.3.	Доказать, что при одновременном параллельном перенесении нескольких тензоров вдоль данной кривой параллельно переносятся и тензоры, полученные из исходных операциями тензорной алгебры.
9.4.	Дано векторное поле, векторы которого имеют одну и ту же длину. Пусть многообразие снабжено симметричной римано-вой связностью. Доказать, что ковариантная производная этого векторного поля в произвольном направлении ортогональна векторам поля.
9.5.	Пусть N — гладкое подмногообразие в М, 7 — гладкая кривая на N, £ — векторное поле вдоль кривой 7, касательное к N. Доказать формулу ~
V7£ = pr(V7£), где V, V — симметрические римановы связности на многообразиях М и N соответственно (на N рассматривается индуцированная метрика), рг — ортогональная проекция на касательное пространство к N.
9.6.	Показать, что если два подмногообразия
а)	евклидова пространства;
б)	произвольного риманова многообразия
соприкасаются вдоль некоторой кривой 7, то результаты параллельного перенесения вектора вдоль этой кривой на одном под-
многообразии и вдоль этой же кривой на другом многообразии совпадают. См. рис. 46.
5*
52
Часть 1
9.7.	Вычислить символы Кристоффеля евклидовой метрики плоскости в полярных координатах.
9.8.	Вычислить символы Кристоффеля метрики
ds2 = A (u, v)(du2 + dv2).
9.9.	Вычислить явно символы Кристоффеля на сфере, если метрика задана в виде:
a)	ds2 = d62 + sin2 6dip2', 6) ds2 = — -X—
(1 + x1 + y2)2
2	4(t/r2 + r2 dip2)
b)	ds ~	(1 + r2)2	'
9.10.	Вычислить явно символы Кристоффеля на плоскости Лобачевского, если метрика имеет вид:
2 dx2 + dy2	2	4(dx2 + dy2)
a) dsz =----5----;	6) ds = ——-7——^;
y2	(1 1“Т2 •'Ту2)2
2	4(t/r2 + r2dip2)
G’ds =------(1 - r2)’2-‘
9.11.	Вычислить явно символы Кристоффеля в сферической системе координат в К3.
9.12.	Вычислить символы Кристоффеля на поверхности вращения в К3, заданной в виде r(n, v) = (f(u) cosv, f(u) sinn, y(n)).
9.13.	Вычислить символы Кристоффеля псевдосферы Бельтра-ми, заданной в виде
r(n, «) = (asinttcosw, asinnsinn, a (intg — + cos.
9.14.	Найти символы Кристоффеля метрики ds2 = du2+shudv2.
9.15.	Вычислить символы Кристоффеля на катеноиде
(х(и, w), y(n, v), z(u, n)) = («ch — cosw, a ch — sinn, u) .
9.16.	Вычислить символы Кристоффеля на геликоиде
(х(и, v), у(и, v), z(u, n)) = (ncosn, nsinw, hv).
9.17.	Вычислить, на какой угол повернется касательный вектор на прямом круговом цилиндре в К3 в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой. Зависит ли результат от вида кривой?
9.18.	Вычислить, на какой угол повернется касательный вектор на прямом круговом конусе в К3 в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой. Установить зависимость от вида кривой.
§ 9. Связности и параллельный перенос
53
9.19.	Выписать в явном виде и решить уравнения параллельного переноса на сфере с метрикой ds2 = dO2 + sin2 6dip2:
а)	вдоль кривой 0 = во = const, т. е. вдоль параллели;
б)	вдоль кривой = const, т. е. вдоль меридиана.
9.20.	Выяснить, на какой угол повернется касательный вектор на сфере в результате перенесения вдоль параллели.
9.21.	На поверхности вращения перенести касательный вектор вдоль параллели. Найти угол между начальным и конечным положением вектора.
9:22. а) Доказать, что при параллельном перенесении вдоль меридиана поверхности вращения вектора, касающегося параллели, результат перенесения будет параллелен исходному вектору в объемлющем евклидовом пространстве (см. рис. 47);
б)	перенести по поверхности вращения вектор, касательный к меридиану, вдоль этого меридиана.
9.23.	Перенести параллельно по прямому геликоиду
(ucosw, nsinw, hv)
вектор, касательный к поверхности. Перенос осуществить вдоль витка винтовой линии (acosn, asinn, hv), a = const, 0 C v
2тт. Найти угол (в пространстве) между исходным и конечным вектором.
9.24.	Выписать в явном виде и решить уравнения параллельного переноса на плоскости Лобачевского в модели на верхней полуплоскости:
а)	вдоль кривой х = то = const;
б)	вдоль кривой у = уо = const.
9.25.	Вычислить, на какой угол повернется касательный вектор к сфере в результате параллельного перенесения вдоль кривой 7, если:
а)	7 — параллель;
б)	7 составлена из двух меридианов и части экватора, заключенного между ними;
в)	7 составлена из двух меридианов и части параллели, заключенной между ними.
9.26.	Найти ковариантные производные вдоль координатных линий г = const и tp = const следующих векторных полей, заданных в полярных системах координатах:
vj = (cosy?, —sin у? J , V2 = (0, 1), v3 = (г, 1).
\ r /
Все вычисления выполнить в полярной системе координат.
54
Часть 1
9.27.	На плоскости заданы полярные координаты (г, <£>). Перенести параллельно вектор vg = (wq, t>g) вдоль кривой г = 2 из точки <р — 0 в точку <р — тг/2. Все вычисления выполнить в полярной систме координат.
9.28.	а) Написать и решить уравнения параллельного переноса векора по кривой в = const для метрики ds2 — dO2 + sh2 0d<p2\
б)	вычислить угол, на который повернется вектор при однократном перенесении вдоль кривой в — const для метрики ds2 = = d62 + sh2 Odip2.
9.29.	Найти формулу, устанавливающую зависимость между углом поворота а касательного вектора к сфере единичного радиуса в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой 7 и S — площадью области, ограниченной кривой 7.
9.30.	Найти формулу, устанавливающую зависимость между углом поворота а касательного вектора к плоскости Лобачевского в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой 7 и S — площадью области, ограниченной кривой 7.
9.31.	Найти все связности на окружности. Установить формулу для параллельного переноса для произвольной связности на окружности.
9.32.	На плоскости с координатами и1, и2 найти аффинную связность, относительно которой векторные поля £ = (eu , 1), ту = = (0, е“2) ковариантно постоянны.
9.33.	Оператором Лапласа -Бельтрами на римановом многообразии называется оператор Д/ =	где V — симметрическая
риманова связность, V1 = gl^j- Найти явную формулу для этого оператора на поверхности вращения.
9.34.	Определим на римановом многообразии градиент функции f как векторное поле grad/ =	Определим на ри-
мановом многобразии дивергенцию divt> векторного поля vl как свертку ковариантной производной векторного поля v (она имеет валентность (1, 1)): divw =
а)	Доказать, что в евклидовом пространстве так определенные операции градиента и дивергенции совпадают с обычными;
б)	доказать, что на римановом многообразии оператор Лапласа div grad / совпадает с оператором Лапласа-Бельтрами Д/.
9.35.	Пусть на многообразии, снабженном аффинной связностью без кручения, заданы два ковариантно постоянных векторных поля. Доказать, что они коммутируют.
9.36.	Доказать следующие равенства:
. 	15,	1 д	_
а)	Г7 = ДД~71п5 = Т:7Г7111У^;
J	2 дхз	y£g охз
§ 10. Геодезические на двумерных поверхностях
55
б)	= -^/?(^);
у/ддх!)
-| Q
в)	+rjklTkl-,
y/g дх1 v	Kl
г) если А” = -А*, то
y/g охг v
9.37.	На плоскости даны два линейно независимых векторных поля. Доказать, что существует единственная связность, относительно которой эти два векторных поля ковариантно постоянны.
9.38.	Найти в R2 с координатами (х, у) область, в которой линейно независимы следующие векторные поля:
а)	и = (—у, х), v = (1, 0);
б)	u — (cost, sins), v = (—sins, cost);
ч	(x	y\ ( у	x\	/-=-—?
в)	u =	I	- I,	v = I —,	- I, где r =	+ У 
\r т/ \ r rz
Найти коэффициенты связности, относительно которой эти поля ковариантно постоянны.
9.39.	Рассмотрим пространство R3 с координатами т1, т2, т3. Найти область в К3, в которой линейно независимы векторные поля
и = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0, т1, 1).
Найти коэффициенты связности, относительно которой эти поля ковариантно постоянны.
§ 10. Геодезические на двумерных поверхностях
10.1.	Доказать, что геодезическая линия на двумерной поверхности в евклидовом пространстве К3 вполне характеризуется одним из следующих свойств:
а)	в каждой точке линии, где ее кривизна отлична от нуля, нормаль к поверхности является главной нормалью кривой;
б)	в каждой точке линии ее геодезическая кривизна равна нулю;
в)	в каждой точке линии ее кривизна равна абсолютной величине нормальной кривизны в направлении касательной к этой кривой.
10.2.	Пусть поверхность в R3 такова, что на ней лежит некоторая прямая линия. Доказать, что эта прямая является геодезической линией на поверхности.
10.3.	Две поверхности в R3 касаются по линии I. Доказать, что если I — геодезическая лицря на одной поверхности, то она должна быть геодезической и на другой поверхности.
10.4.	На поверхности в К3 находится материальная точка, которая может свободно двигаться по поверхности. Точка приведена
56
Часть 1
в движение. Доказать, что точка будет двигаться по геодезической линии поверхности.
10.5.	На поверхности в R3 лежит невесомая нить, причем эта нить не может оторваться от поверхности, но может по ней свободно скользить. Доказать, что если натянуть нить между двумя точками поверхности, то нить пройдет по геодезической. (На нить действуют только силы натяжения и реакции поверхности.)
10.6.	Доказать, что геодезическая кривизна линии и = tt(s), v = v{s) на поверхности г = r(u, «), лежащей в К3, может быть вычислена по формуле
кд =
d d2 ' m’ dsV' ds2r
где m — единичный вектор нормали к поверхности.
10.7.	а) Доказать, что дифференциальное уравнение геодезических линий и = u(s), v = t>(.s) поверхности г = г ('tz, v), лежащей
ч	( d cP \
в R , можно представить в виде Im, —г, ^-^-гу = ’ где 111 — вектор нормали поверхности;
б)	вывести отсюда, что через каждую точку в каждом направлении на поверхности проходит ровно одна геодезическая.
10.8.	Доказать, что геодезическими линиями плоскости являются прямые и только они.
10.9.	Доказать, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями.
10.10.	Доказать, что параллель поверхности вращения будет геодезической тогда и только тогда, когда касательная к меридиану в ее точках параллельна оси вращения.
10.11.	Найти геодезические линии двумерной сферы.
10.12.	Найти геодезические линии цилиндрической поверхности в IR3 (см. задачу 5.2 а)).
10.13.	Найти геодезические линии круглого конуса х2+у2 = z2.
10.14.	Найти геодезические линии произвольной конической поверхности в R3 (см. задачу 5.2 б)).
10.15.	Показать, что геодезические линии поверхности с первой квадратичной формой
ds2 = v(du2 + dv2) изображаются на плоскости и, v параболами.
10.16.	Найти геодезические линии геликоида r(u, v) = (цсобц, rtsinw, hv).
10.17.	Показать, что на поверхности с первой квадратичной формой
ds2 = (</?(п) + ip(v))(du2 + dv2)
§ 10. Геодезические на двумерных поверхностях
57
(поверхность Лиувилля) геодезические определяются уравнением du ± dv _
y/<p(u) +а \Ztp(v) - а где а — произвольная постоянная.
10.18.	На поверхности с метрикой
ds2 = (u2 + cos v + 2) (du2 + dv2)
найти геодезическую кривизну линии v = л.
10.19.	Т еорема Клер о. Доказать, что радиус геодезической кривизны параллели поверхности вращения (величина обратная геодезической кривизне) равен отрезку касательной к меридиану, заключенному между точкой касания и осью поверхности
10.20.	(Другая формулировка теоремы Клеро.) Доказать, что на поверхности вращения вдоль каждой геодезической линии произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической линией и меридианом постоянно (см. рис. 49).
10.21.	Доказать, что если геодезическая на поверхности вращения пересекает все встречающиеся параллели под постоянным углом, то она является или меридианом, или параллелью, или же поверхность является прямым круговым цилиндром.
10.22.	Рассмотрим на римановом многообразии пучок геодезических, исходящих из некоторой фиксированной точки О, т. е. в каждом направлении в точке О выпустим геодезическую. Отметим
4 Зак. 359
58
Часть 1
на каждой из них точку, удаленную от точки О вдоль этой геодезической на одно и то же расстояние R. Получившееся множество точек называется геодезической сферой радиуса R. Доказать, что геодезическая сфера ортогональна ко всем геодезическим радиусам, т. е. ко всем геодезическим указанного пучка.
10.23.	Найти геодезическую кривизну винтовой линии
I
r(/) = (a cost, a sin/,
а) на геликоиде (ж(п, v),y(u, v),z(u, г?)) = (ucosv, usinv,hv); б) на цилиндре (т(н, г>), у(и, v), z(u, г>)) = (acosw, asinw, и). 10.24. Вычислить геодезическую кривизну линии и = sh 0
v vq на геликоиде х = ucosv, у = izsinv, z — v.
10.25.	На поверхности с метрикой ds2 = du2 + ch2 и dv2 найти геодезическую кривизну линии v = In ch и.
10.26.	Доказать, что если линии однопараметрического семейства линий на поверхности таковы, что длины дуг ортогональных траекторий между любыми двумя кривыми семейства равны между собой, то ортогональные траектории являются геодезическими.
10.27.	Пусть две поверхности пересекаются трансверсально по линии I, причем линия I является геодезической на каждой из этих поверхностей. Доказать, что эта линия — прямая.
10.28.	Доказать, что кручение х геодезической линии, опреде-леяемой направлением du:dv, находится по формуле
(LF - ME) du2 + (LG - NE) dudv + (MG - NF) dv2 (EG — F2)(E du2+ 2Fdudv + G dv2)
10.29.	Определить геодезическую кривизну параллелей и меридианов поверхности вращения (f(u)cosv, f(u)s'mv, и).
10.30.	Найти геодезические кривизны координатных линий поверхности с метрикой ds2 = Edu2 + G dv2.
10.31.	Пусть поверхность образована касательными к линии с кривизной k(s). Отложим на касательных от точки касания в обе стороны отрезки длиной I. Определить геодезическую кривизну линий, образованных концами этих отрезков на поверхности касательных (см. задачу 6.6).
10.32.	Показать, что на любом компактном римановом многообразии любые две достаточно близкие точки можно соединить геодезической, причем имеется единственная геодезическая наименьшей длины.
10.33.	Доказать, что гладкая кривая, совпадающая со связной компонентой множества неподвижных точек некоторой изометрии риманова многообразия, является геодезической.
§11. Тензор кривизны
59
10.34.	а) Описать геодезические тора Т2 в плоской метрике;
б)	описать все плоские метрики на торе Т2.
10.35.	Показать, что геодезическими на открытом круге с метрикой Лобачевского (модель Пуанкаре) являются диаметры круга и дуги окружностей, пересекающие границу круга под прямым углом.
10.36.	Показать, что геодезические на верхней полуплоскости в метрике Лобачевского — это вертикальные полупрямые и дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту, т. е. оси абсцисс.
10.37.	Найти римановы метрики вида
ds2 = e2^u’v’w\du2 + dv2 + dw2)
у которых v = const и w = const — геодезические (при надлежащей параметризации).
10.38.	Привести пример:
а)	метрики на евклидовой плоскости, не являющейся геодезически полной;
б)	метрики в открытом круге, являющейся геодезически полной.
10.39.	Пусть дана поверхность постоянной гауссовой кривизны. Найти формулу, устанавливающую зависимость между углом поворота а касательного вектора к поверхности в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой у и S — площадью области, ограниченной кривой у.
10.40.	При каком условии симметрическая связность V является римановой, т. е. существует риманова метрика такая, что ^k9ij = 0?
§ 11. Тензор кривизны
11.1.	Вычислить скалярную кривизну следующих римановых многообразий:
а)	сферы S2 радиуса R в К3;
б)	тор Т2, вложенный в R3 как поверхность вращения (см. задачу 6.1 в));
в)	тор Т2 вложенный в К4 = С2 (г, w), задаваемый уравнениями |г|2 + |w|2 = 1 и \z\ = |w|;
г)	плоскость Лобачевского (см. задачи 3.2 и 3.3);
д)	прямой круговой конус в К3;
е)	цилиндрическая поверхность в К3;
ж)	сфера Sn радиуса R в Rn+1;
з)	поверхность Бельтрами (см. задачу 6.4. в)).
11.2.	Доказать, что риманова метрика двумерного многообразия является локально евклидовой тогда и только тогда, когда ее тензор кривизны тождественно равен нулю.
4*
60
Часть 1
11.3.	Вычислить тензор кривизны на сфере S2 в сферических координатах.
11.4.	Пусть ds2 = Х(х, y)(dx2 + dy2). Выразить в явном виде скалярную этой метрики через функцию Х(х, у) и ее производные.
11.5.	Пусть М — многообразие в Кп (п > 2). Пусть х G М, а Р — двумерное подпространство ТХМ. Определим число сг(Р) формулой
<т(Р) = {R(ei, е2)е2, ei),
где ei, е2 — ортонормальный базис плоскости Р.
Число <т(Р) называется секционной кривизной поверхности М в направлении двумерной плоскости Р, или, как еще говорят, в двумерном направлении Р.
а)	Доказать, что сг(Р) не зависит от выбора ортонормального базиса Р;
б)	доказать, что если п = 2, то секционная кривизна <т(Р) совпадает с гауссовой кривизной поверхности М2 в точке х;
в)	пусть Р — двумерное подпространство TXS. Доказать формулу
а(Р) = Ж),
где R(V} — гауссова кривизна двумерной поверхности V, образованной геодезическими, касательные векторы которых лежат в плоскости Р.
11.6.	Пусть Sn — п-мерная сфера х2 + ... + х2+1 = г2 с индуцированной метрикой:
а)	показать, что тензор кривизны сферы Sn вычисляется по формуле
Р(Х, Y)Z = ^«Y, Z)X - (X, Z)Y),
где X, Y, Z — векторы, касательные к сфере;
б)	показать, что секционная кривизна сферы Sn постоянна:
сг(Р) = для всех точек х.
11.7.	а) Найти символы Кристоффеля для поверхности с метрикой ds2 = du2 + G(u, и) dv2;
б) найти гауссову кривизну поверхности с метрикой ds2 = du2 + + G(u, v) dv2.
11.8. Найти гауссову кривизну поверхности с метрикой ds2 = = du2 + 2 cos ю(ц, v) du dv + dv2.
11.9. а) Доказать, что у двумерной поверхности тензор Риччи пропорционален метрическому. Найти коэффициент пропорциональности;
§11. Тензор кривизны
61
б) доказать, что на трехмерном многообразии справедливо равенство
Rlmnk = ginR-mk 9lk^mn~9тп^1к^~9тк^-11г ~^9ln9mk ~ 9lk9mn)R-Здесь Rim — тензор Риччи, R — скалярная кривизна.
11.10	. Доказать равенства:
а)	V1 ^Rij - ^Rgij
б)	для двумерного многообразия Rij — -Rgij = 0.
11.11	. Пусть V — каноническая связность в R3 со стандартной евклидовой метрикой. Рассмотрим новую операцию Vrw = =	X w. Доказать, что это — связность. Найти ее тензоры
= 0;
кручения и кривизны.
11.12	. Пусть М — многообразие, снабженное связностью, ах — некоторая фиксированная точка М. Пусть Q = {—1 < «, v < 1} — квадрат, X, Y, Z G ТХМ. Далее, пусть /: Q М — такое гладкое отоображение, что /(0, 0) = х, df(d/du) = X, df(d/dv) — = Y. Для |t| < 1 рассмотрим параллельный перенос т по пути х f(t, 0) —> /(t, t) —> /(0, t) —> х. Доказать, что
Я(Х, Y)Z = lira-^-(r^Z — Z).
t->o
11.13	. Найти компоненту К1212 тензора кривизны следующих метрик:
a) ds2 = du2 + и2 dv2-, б) ds2 — du2 — и2 dv2-,
в) ds2 = a2(d02 -f- cos20d</?2), a = const.
11.14	. Риманово многообразие, в котором Rij = Х(х)дг] называется пространством Эйнштейна. Доказать, что:
а)	для пространства Эйнштейна выполняется равенство Л(ж) = = Н(а?)/п, где R — скалярная кривизна, ап — размерность многообразия;
б)	любое двумерное риманово многообразие является пространством Эйнштейна.
11.15	. Доказать, что при п > 2 скалярная кривизна пространства Эйнштейна постоянна.
11.16	. Тензор Эйнштейна на римановом многообразии опреде-R
ляется формулой Сг] — Rij — ^gij- Доказать, что VfcG^ — 0, где Gki = gklGu.
11.17	. Доказать, что связность на n-мерном многообразии, допускающая п ковариантно постоянных линейно независимых в каждой точке векторных полей, имеет нулевой тензор кривизны.
62
Часть 1
11.18	. Пусть секционная кривизна риманова многообразия постоянна. Такие многообразия обычно называются пространствами постоянной кривизны. Показать, что в пространстве постоянной кривизны секционная кривизна К связана со скалярной соотно-
„ R
шением К = —-------г.
п\п — 1)
11.19	. Показать, что пространство постоянной кривизны является пространством Эйнштейна.
11.20	. Доказать, что в пространстве постоянной кривизны любой симметричный, невырожденный, ковариантно постоянный тензор типа (0,2) имеет вид atj = Xgij, А = const.
11.21	. Доказать, что на четырехмерном многообразии с метрикой ds2 = 2du} du4 + (w4)2(du2)2 + 2 du2 du^ тензор кривизны ковариантно постоянен, а тензор Риччи нулевой.
11.22	. Доказать, что если тензор кривизны риманова многообразия ковариантно постоянен и размерность многообразия больше 2, то пространство имеет постоянную кривизну.
11.23	. Показать, что на двумерной поверхности в IR3 компоненты тензора кривизны представляются в виде
Rijkl = К (9il9jk 9ik9jl')i
где К — гауссова кривизна.
11.24	. Доказать, что символы Кристоффеля в некоторой системе координат равны 0 тогда и только тогда, когда тензор кручения связности S^j и тензор кривизны В^-к тождественно равны нулю.
§ 12.	Дифференциальные формы
В этом параграфе внешним произведением векторов vj, ..., vp 6 V, dim V = п, называется тензор
Vi А ... A Vy = 57	®	® vap,
ctESp
где Sp — группа перестановок на р элементах, а (—1)ст — знак перестановки о.
При таком определении значение внешней формы е1 А ... А е" на наборе векторов vi, ..., vn равно объему параллелепипеда, натянутого на векторы vj, ..., vn. Здесь е1, ..., е" — базис сопряженного пространства V*.
12.1.	Доказать, что если векторы vj, ..., vp G V линейно зависимы, то
T(vb ... , vp) = 0
для любой формы Т G AP(V*).
§12. Дифференциальные формы 63
12.2.	Доказать, что если формы фу, ..фр G V* линейно зависимы, то фу Л ... Л фр = 0.
12.3.	а) Записать линейную форму ш = /(ж2 + y2)(xdx + ydy) в полярных координатах; _________
б)	записать форму = у/х2 + у2 dx Ady в полярных координатах;
в)	записать форму ш = xdx + ydy + zdz в сферических координатах;
г)	записать форму
xdy Adz + у dz Adx + zdx Ady (ж2 + y2 + z2)3/2
в сферических координатах;
д)	форму предыдущего пункта записать в цилиндрических координатах;
е)	записать форму w = dx Ady Adz в сферических координатах.
12.4.	Пусть фу, ..., фп G V*; Vi, ..., vn 6 V. Доказать, что
(951 Л ... Л ¥>n)(vi, ... , Vn) = det II||^.
12.5.	Доказать, что на ориентируемом многообразии с римано-вой метрикой, задающейся в локальных координатах (ж1, ..., ж") набором функций gij, выражение вида л/det dx} Л ... Л dxn является дифференциальной формой, корректно определенной на всем многообразии. Эта форма называется формой объема.
12.6.	Показать, что операцию внешнего дифференцирования дифференциальной формы можно представить как композицию операции ковариантного градиента и альтернирования для произвольной симметрической связности на многообразии.
12.7.	Вычислить внешний дифференциал следующих дифференциальных форм:
a)	z2 dx Ady + (z2 + 2у) dx Л dz;
б)	13ж dx + у2 dy + xyz dz;
в)	(ж + 2у3) (dz Л dx + - dy Л dx'j;
г)	(xdx+ ydy)/(x2+у2);
д)	(у dx — ж dy)/(ж2 + у2);
е)	/(ж2 + у2)(жdx + ydy);
ж)	fdg, где fug — гладкие функции;
з)	/(^(ж1, ..., жп))^(ж1, ..., хп).
12.8.	Доказать формулу Картана
(dw)(X, Y) = X(w(Y)) - Y(w(X)) - w([X, Y]),
64
Часть 1
где w — одномерная дифференциальная форма; X, Y — векторные поля.
12.9.	Обобщить формулу задачи 12.8 на случай дифференциальных форм произвольной степени.
Пусть в векторном пространстве IR" задано скалярное произведение. Введем следующие две операции. Первая сопоставляет каждому вектору X такую линейную форму ш — Г(Х), что (X, Y) = V(X)(Y). Вторая операция каждой полилинейной кососимметрической форме w степени р ставит в соответствие форму *(о>) степени п — р следующим образом. Пусть Wi, ..., шп — ортонормированный базис линейных форм, ц> = = /ол, Л... Л . Тогда *(w) = (—Л... Л, где <т — четность перестановки
1	...	р	р+1	... п
21	...	ip ji	...	jn—p
Эта операция обычно называется «операцией звездочка».
Заметим, что первая операция задает хорошо известный линейный изоморфизм между пространством V и пространством V* Вторая операция устанавливает изоморфизм между пространством внешних форм степени р и пространством внешних форм степени п — р.
12.10.	Выписать в явном виде результат применения операции * к дифференциальным A-формам (к = 0, 1, 2, 3), заданным в R3 с метрикой ds2 — X^dx2 + X?dy2 + Аз с/д:2, где Aj — гладкие функции.
12.11.	Доказать, что *(*Т) —
12.12.	Показать, что в пространстве R3 выполнены следующие формулы для векторных полей:
a) gradF = V~l(dF); б) divX = *d * V-1(X);
в) rot X = V * dV-1(X).
12.13.	Показать, что формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остро-градского являются частными случаями общей формулы Стокса для дифференциальных форм.
12.14.	Вывести формулу интегрирования по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S:
а)	УУУ + (grady?, grad VO) dv = Ц
V	s
6)	///(^A^ “ V’A'/O dv = f [	~ da-
V	s
Здесь д/дп — производная вдоль нормали к поверхности S.
12.15.	Найти градиенты функций в сферических координатах:
a)	u(r, 0, р) = г2 cos 0;
б)	и(г, в, р) = Зг2 sin в + ег cos р — г;
в)	и(г, 0, р) = cos0/r2.
§ 12. Дифференциальные формы
65
12.16.	Доказать, что
div ш = дццг + шгдг In х/Т&Г = —у= <Эг(-УЫи’1)-vlsl
12.17.	Вычислить дивергенцию векторного поля на плоскости в: а) полярных координатах; б) эллиптических координатах; в) параболических координатах (см. задачи 1.1, 1.2, 1.3).
12.18.	Вычислить дивергенцию векторного поля в трехмерном пространстве в: а) сферических координатах; б) цилиндрических координатах.
12.19.	Найти закон преобразования форм связности
при переходе от одной карты к другой.
12.20.	Пусть F — векторное поле в 3-мерной области W с гладкой границей dW, п — единичный нормальный вектор к BW. Доказать, что
(div F) dx dydz—	(n, F) dA,
W	dW
где dA — элемент площади на dW, a (n, F) — скалярное произведение.
12.21.	В условиях предыдущей задачи доказать, что
У (rot F, n) dA = У (Л dxi + /2 dx? + /3 dx3), . s	as
где S — гладкая поверхность с гладкой границей dS.
12.22.	Вывести из формулы Стокса теорему Коши о вычетах.
12.23.	Пусть р и q — произвольные многочлены от переменных г1, ..., zn-, а, к — вещественные числа. Пусть существует такая дифференциальная форма w, что dp/\w = pdz, dw = adz, dq/\w = = kdz. Доказать, что d(p~k~aqw) = 0. Здесь dz — dz1 A ... A dzn.
12.24.	Пусть ш — ujij dx1 f\ dx3 — невырожденная 2-форма на многообразии, akl — обратный тензор, т. е. ак1шц = ёк. Доказать, что два следующих условия эквивалентны:
а)	форма а> замкнута;
$ f 9g
б)	операция {/, о} = ак1——г——:, задаваемая на пространстве охК ох1
гладких функций тензором akl, удовлетворяет тождеству Якоби.
66
Часть 1
12.25.	Пусть Xi, Хп — линейно независимые векторные поля на n-мерном многообразии, и1, шп — двойственные 1-формы, т. е. шг(Ху) = Доказать формулу
dwk = Ас?,
где гладкие функции определяются из соотношения PQ, Ху] = = <$Хк.
12.26.	Доказать, что если на многообразии существует невырожденная форма максимального ранга, то многообразие ориентируемо.
12.27.	Пусть а> — dx1 /\ dx3 — невырожденная 2-форма на многообразии М. Доказать, что размерность многообразия М четна и справедлива следующая формула
о; Л    Acj = ± —^/det (u>v) dx1 Л ... Л dx2n.
п раз
Здесь dim М = 2п.
12.28.	Пусть на многообразии существует невырожденная 2-форма. Доказать, что многообразие ориентируемо.
12.29.	Пусть G, <р> — стандартные координаты на сфере. Являются ли гладкими дифференциальными формами на сфере следующие формы:
d6, dtp, cos в d6, de A dtp2
В каких случаях можно к этим формам применять формулу Стокса?
12.30.	Пусть Q — дифференциальная р-форма, — дифференциальная 1-форма, не равная нулю. Показать, что Q представляется в виде Q = 0 Л uj тогда и только тогда, когда Q Л ш = 0.
12.31.	Показать, что ограничение формы
xdy — у dx
на любой конус с центром в начале координат является замкнутой формой.
12.32.	Вычислить интеграл от формы Q = х2 dy Л dz + у2 dz Л Л dx + z2 dx Л dy по области D(—l < и < 1, — 1 < v < 1) на поверхности х = и + v, у = и — v, z = uv. Система координат и, v считается положительно ориентированной.
12.33.	Записать внешнюю дифференциальную форму в R3\0:
xdy /\dz + у dz Л dx + zdx /\dy
(x2 + y2 + z2)3/2
§ 13. Топология
67
в цилиндрических и сферических координатах. Показать, что интеграл от этой формы по гладкой поверхности, взаимно-однозначно и гладко проектирующейся из начала координат на единичную сферу, равен площади проекции.
12.34.	Привести пример замкнутой, но не точной 1-формы на R2\{0}.
§ 13.	Топология
13.1.	Построить пример топологического пространства, не удовлетворяющего: а) первой аксиоме счетности; б) второй аксиоме счетности.
13.2.	На 2-мерной сфере S2 заданы непрерывные функции / (ж) и д(х), такие, что f(x) =	д(х) = —д(тх), где г — отра-
жение относительно центра сферы. Доказать, что эти функции имеют общий нуль.
13.3.	Построить пример топологического пространства X, такого, что его некоторое подмножесво Y С X (указать У) замкнуто, ограниченно, не является компактном.
13.4.	Пусть отображение f:E—^F является непрерывным отображением «на» и пусть Е компактно. Доказать, что F компактно.
13.5.	Пусть X — метрическое пространство. Доказать, что каждое одноточечное множество замкнуто.
13.6.	Доказать, что метрическое топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.
13.7.	Верно ли, что расстояние между двумя непересекающи-мися, замкнутыми множествами на плоскости (на прямой) всегда больше О?
13.8.	Доказать, что множество, точками которого являются замкнутые подмножества метрического пространства, само естественным образом может быть превращено в метрическое пространство.
Отображение /: X —> У метрического пространства X в себя называется сжимающим, если существует вещественная постоянная Л < 1, такая, что р(/(т), /(?/)) Ар(т, у) для любых двух точек х, у G X.
13.9.	Доказать, что любое сжимающее отображение метрического пространства непрерывно.
13.10.	Доказать, что любое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя всегда имеет неподвижную точку, причем эта точка единственна.
13.11.	Привести пример, показывающий, что от условия полноты метрического пространства в задаче 13.10 отказаться нельзя.
13.12.	Доказать, что для любого компакта К С существует гладкая вещественнозначная функция /, такая, что К = /-1(0).
68
Часть 1
13.13.	Пусть G С Z1 — открытое множество на отрезке. Доказать, что G — объединение непересекаюшихся интервалов.
13.14.	Привести пример двух метрических пространств X и У и отображений ft X —> Y и д: Y -э X таких, что /ид взаимно однозначны и непрерывны, и тем не менее X и У не гомеоморфны.
Напомним, что взаимная однозначность означает одновременную сюръективность и инъективность отображения.
13.15.	Пусть /: Е -> F, Е = A U В, А = А, В = В. Тогда / непрерывно тогда и только тогда, когда /|д и /|д непрерывны. Если А А то это, вообще говоря, неверно. Привести пример.
13.16.	Доказать, что ft Е -Э F непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого подмножества U С F, открыто.
13.17.	Пусть ft X —> У. Доказать, что / непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества замкнут.
13.18.	Пусть X — компактное, У — метрическое пространства, /: X —> У — непрерывное отображение. Доказать, что / — равномерно-непрерывное отображение.
13.19.	Доказать, что если /: X -э Y — последовательность непрерывных отображений и fn равномерно сходятся к f (У — метрическое пространство), то / непрерывно.
13.20.	Доказать, что AU В = AU В; АП В = АП В.
13.21.	Пусть Int (А) = U{G С А : G — открыто}. Тогда р Е Е Int (А) тогда и только тогда, когда существует окрестность U точки р, такая, что U С Int (А); р Е А = n{F D А: F замкнуто} тогда_и только тогда, когда для любой окрестности U Эр имеем UQA^ 0.
13.22.	Доказать, что открытый диск (|х| < 1) в евклидовом пространстве является открытым множеством.
13.23.	Доказать, что открытый диск х2 + у2 < 1 и плоскость R2(t, у) гомеоморфны. Доказать, что открытый квадрат {|.т| < 1, |у| < 1} и плоскость К2(т, у) гомеоморфны. Доказать, что интервал 0 < х < 1 и открытый квадрат {|т| < 1, |у| < 1} не гомеоморфны.
13.24.	Доказать, что куб {|a?i|	1, i = 1, 2, ..., п} и шар
г п	"]
) 52 Х1 1 f гомеоморфны. Доказать, что открытый куб и от-li=l	J
крытый шар диффеоморфны.
13.25.	Доказать, что шар < 52 х2 1 > и верхнее полушарие I i=1	J
сферы < 52 xi = 1, хп+1 0 f гомеоморфны.
I i=i	J
§13. Топология
69
f п+1 д.2	'i
13.26.	Доказать, что эллипсоид <	= 1 г гомеоморфен
li=l <	J
сфере Sn.
13.27.	Гомеоморфны ли отрезок 0 < г < 1 и буква Т?
13.28.	Доказать, что интервал (—1, 1) гомеоморфен прямой (—оо, оо). Доказать, что любые два интервала гомеоморфны.
13.29.	Гомеоморфны ли шар и сфера?
13.30.	Доказать, что куб 1П — компактное пространство.
13.31.	Доказать, что n-мерная сфера (п < оо) компактна. Верно ли это для п = оо?
13.32.	Пусть X С Y и Y — компактное пространство. Доказать, что X — компактное пространство тогда и только тогда, когда X — замкнутое пространство.
13.33.	Показать, что группа ортогональных матриц размера 3x3 — компактное топологическое пространство.
13.34.	Доказать, что группа ортогональных преобразований n-мерного евклидова пространства — компактное топологическое пространство.
13.35.	Пусть А и В — связные подмножества некоторого топологического пространства, причем ДАВ 0. Доказать, что АиВ связно.
13.36.	Доказать, что если Е, F связны, то и Е х F связно.
13.37.	Пусть /: Е —> F — непрерывное отображение «на» и Е связно. Доказать, что F связно.
13.38.	Доказать, что:
а)	интервалы 0 < х < 1, 0 х 1, 0 я < 1 связны;
б)	если А С R1 связно, то А имеет вид: а < х < Ь, а х Ь, а < х Ь, а х < Ь, где а, b могут принимать значения ±оо.
13.39.	Доказать, что куб 1П и сфера Sn связны.
13.40.	Пусть X — метрическое компактное связное пространство. Можно ли две его точки соединить непрерывным путем?
13.41.	Доказать, что SO(n) — связное топологическое пространство; О(п) состоит из двух компонент связности. Доказать, что U(n), SU(n) — связные топологические пространства.
13.42.	Доказать, что группа GL(n, С), рассматриваемая как подмножество в пространстве всех комплексных матриц размера п х п, — открытое и связное подмножество.
13.43.	Доказать, что группа GL+(n, R) вещественных матриц размера n х п с положительным определителем — связное топологическое пространство.
13.44.	Доказать, что группа GL(n, R) вещественных невырожденных матриц размера n х п — топологическое пространство, состоящее из двух связных компонент.
Ч а с т ь 2
§ 14.	Системы координат (дополнительные задачи)
В задачах 14.1-14.4:
а)	найдите координатные поверхности и координатные линии;
б)	вычислите определители
dxj duj
дщ дх^
и установите, в каких точках пространства R3 нарушается взаимная однозначность соответствия между криволинейными и прямоугольными декартовыми координатами для перечисленных ниже криволинейных систем координат из пространства R3;
в)	являются ли эти системы координат ортогональными?
14.1.	Для биполярной системы координат, определяемой равенствами
ashrzi	я sin «2
,	э Х“2	,	’	, Х3 И3,
СПП1 — COSU2	chill — COS 112
где а — масштабный множитель.
14.2.	Для бисферической системы координат, определяемых равенствами
с sin щ cos из	с sin щ sin 113	с sh 112
= -г-----------, х2 = —-----------, хз = —-------------,
ch 112 — COS 111	СП П2 — cos 111	Ch 112 — COS 111
где c — постоянный множитель, 0 Hi < 112, —00 < 112 < 00, —7Г < Из	7Г.
14.3.	Для системы вытянутых сфероидальных координат, определяемых равенствами
Ж1 = CU1H2, Ж2 = С\/(111 — 1)(1 — П2) COSII3,
Хз = су (ul - 1)(1 - и^) sin Из, где |ni |	1, —1	«2	1, 0	113 2тг, с — постоянный мно-
житель.
§15. Уравнения кривых и поверхностей
71
14.4.	Для системы сплюснутых сфероидальных координат, определяемых равенствами
Х1 = CUil42Sinii3, Ж2 = CyJ (u2 — 1)(1 — U?), Х3 = CU]U2 COS U3,
где |tzi |	1, — 1 < u2 < 1, 0 < U3 < 2л.
14.5.	Преобразовать выражение
2d2z n d2z 2d2z dz dz
y d^~ xydxdy +x d^~xd^~yd^ + z
к полярным координатам г, <р, т. е. х = г cos <р, у = rsintp.
14.6.	Преобразовать выражение
d2Z	г, 2&Z п/ 3x^Z	2 2 л
— 4- 2ху2— 4- 2(у - У3)— 4- X2y2z = О
дх/ dx	dy
1 тт
к новым координатам u, v таким, что х = uv, у — Найти v
область определения и область значения этой системы координат.
tfzV d2V
14.7.	Вычислите оператор Лапласа „ 4- _ » в системе коор-dxz dyz
динат (и, v) такой, что w = Inlnz, где w — х + iy, z = и + iv.
„ d2v d2V
14.8.	Вычислите оператор Лапласа ——у 4-	0 в системе коор-
dxz dyz
z — Zi
динат (и, v) такой, что w = Inin--, где w = x + iy, z — u+iv.
z- z2
„	„ d2V d2V
14.9.	Вычислите оператор Лапласа -- „ 4- „ o в системе коор-dxz dyz
динат (и, v) такой, что w = z3 — Зг2 + 1, где w — x+iy, z = u + iv.
§ 15.	Уравнения кривых и поверхностей
15.1.	Пусть С — некоторая плоская кривая, М — точка кривой С, хОу — заданная в плоскости кривой прямоугольная система координат. Обозначим через Т и N точки пересечения касательной и нормали к этой кривой с осью Ох, и пусть Р — проекция точки М на ось Ох (см. рис. 50).
а)	Найти уравнение кривой С, если отрезок PN постоянен и равен а;
б)	найти уравнение кривой С, если отрезок РТ постоянен и равен а;
в)	найти уравнение кривой С, если отрезок MN = а и равен а.
72
Часть 2
15.2.	Найти уравнение кривой С с постоянной длиной касательной МТ = а (см. рис. 51). Такая кривая называется трактрисой.
15.3. Произвольный луч ОЕ пересекает в точке D окружность
а в точке Е — касательную к ней, проходящую через точку С, диаметрально противоположную О. Через точки D и Е проведены прямые, параллельные соответственно осям Ох и Оу, до пе-
Рис. 52. Локон Аньези
ресечения в точке М. Составить уравнение кривой, образованной точками М {локон Аньези). См. рис. 52.
15.4.	Пусть 7 — замкнутая гладкая кривая. Доказать, что для любого вектора а найдется точка х Е 7, в которой касательная к 7 ортогональна а.
15.5.	Пусть две точки движутся в пространстве так, что расстояние между ними остается постоянным. Доказать, что проекции
§15. Уравнения кривых и поверхностей
73
их скоростей на направление прямой, соединяющей эти точки, равны между собой.
15.6.	Доказать, что, если на некотором сегменте [а, 5] вектор-функция r(i) непрерывна вместе со своей производной г', причем вектор г параллелен г', и при этом г' 0 и г 0, то годограф вектор-функции г = r(i) есть отрезок прямой линии.
15.7.	Пусть на некотором отрезке [а, 5] задана гладкая вектор-функция r(f), причем производные г' и г" отличны от нуля при всех t Е [а, Ь], и, кроме того, они коллинеарны, т.е. вектор г' параллелен г" при всех t G [а, 5]. Доказать, что годографом такой вектор-функции г = r(f) является отрезок прямой линии.
15.8.	Пусть по плоскости движется твердый стержень, причем его концы описывают кривые ri(f) и гг(4). Найти уравнение неподвижной центроиды. Неподвижной центроидой называется
множество точек пересечения прямых, проходящих через концы стержня перпендикулярно направлениям скоростей его концов.
15.9.	Рассмотрим движение стержня, описанное в предыдущей задаче. Подвижной центроидой называется множество мгновен-
ных центров вращения относительно движущегося стержня. Составить уравнение подвижной центроиды, если заданы законы движения концов стержня ri(£) и Гг(£).
15.10.	Пусть движение плоскости (т.е. изометрия) задано движением по плоскости жесткого стержня. Доказать, что тогда линейная скорость v точки определяется соотношением v = сс[г], где г — радиус-вектор рассматриваемой точки M(R) относительно мгновенного центра вращения (см. задачи 15.8, 15.9), а [г] —вектор,
Рис. 53. Движение твердого стержня
полученный из г поворотом на +тг/2. Выразить и> через ri и Гг, а
также найти скорость v точки M(R). См. рис. 53.
15.11. Составить уравнения касательной и нормали к следую-
щим кривым:
a)	r(f) = (a cos/, bsinf) (эллипс);
б)	r(i) =
в)	r(f) = (a cos3/, a sin3/) (астроида);
г)	r(/) = (а(/ — sin/), a(l — cos/)) (циклоида);
74
Часть 2
«(гм=(|«244- Ij2+H
в точке t = 0;
е) r(Z) = (ар cos р, ар sin 99) (спираль Архимеда).
5.12. Доказать, что длина отрезка касател!,ной к астроиде
3;2/3 + y2/3 = G2/3)
заключенного между
осями координат, равна а (см. рис. 54). 15.13. Доказать, что кардиоиды, заданные в полярных координатах уравнениями
г = а(1 + cos</>), г = а(1 — cos р), ортогональны в точках пересечения, отличных от начала координат.
15.14.	Найти огибающую семейства прямых, соединяющих концы пар сопряжен-
Рис. 54. Астроида ных диаметров эллипса.
15.15.	Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от сторон прямого угла треугольник постоянной
площади.
15.16.	Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от данной параболы сегменты данной площади.
15.17.	Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от сторон данного угла треугольник данного периметра.
15.18.	Найти огибающую семейства окружностей, построенных, как на диаметрах, на параллельных хордах некоторой окружности.
15.19.	Найти огибающую семейства эллипсов, имеющих общие главные оси и заданную сумму полуосей.
15.20.	На плоскости расположено зеркало, имеющее форму окружности. На него падает пучок параллельных лучей. Найти огибающую отраженных лучей. Эта кривая называется каустикой.
15.21.	Найти огибающую семейства эллипсов, имеющих заданную площадь и общие главные оси.
15.22.	Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на эллипсе и проходящих через один из его фокусов.
15.23.	Найти огибающую семейства окружностей радиуса а с центрами на кривой г = г(£).
15.24.	Пусть вектор-функция r(t) определена, непрерывна и дважды дифференцируема на сегменте [а, 6]. Далее, пусть в каждой точке этого сегмента векторы г' и г" неколлинеарны. Найти огибающую нормалей кривой г = г(£).
15.25.	Найти огибающую лучей, отраженных от окружности, если светящаяся точка находится на окружности.
§15. Уравнения кривых и поверхностей
75
15.26.	Для кривой
r(f) = (t3 — f2 — 5, 3i2 4-1, 2f3 - 16)
написать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости в точке, для которой t = 2.
15.27.	Найти касательную прямую и нормальную плоскость в точке А(3, —7, 2) кривой
r(i) = (i4 +t2 + 1, 4f3 + 5i + 2, f4 - t3).
15.28.	Найти касательную прямую и нормальную плоскость в точке А(2, 0, —2) кривой
r(t) = (i2 - 2t + 3, t3 - 2f2 +t, 2t3 - 6i + 2).
15.29.	Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для кривой, заданной в R3 трансверсальным пересечением двух поверхностей:
^1(ж, у, г) = 0, Р2(х, у, z) = 0.
15.30.	Найти длину дуги винтовой линии
х = За cos t, у = За sin t, z = 4а/
от точки пересечения с плоскостью хОу до произвольной точки
15.31.	Найти длину дуги одного витка между двумя точками пересечения с плоскостью хОу кривой
х — a(t — sin/), у = а(1 — cos/),
t z ' 4а cos -.
2
15.32.	Найти длину дуги кривой х3 — 3a2y, 2xz = а2 между плоскостями у — а/3 и у — 9а.
15.33.	Найти длину замкнутой кривой
х = cos31, у = sin31, z — cos 2t.
15.34.	В каждой точке кривой г = г(/) задан касательный вектор Т = Т(/) 7^ 0. Функция г(/) определена, непрерывна и имеет непрерывную производную г'(/) на сегменте [а, Ь]. Функция Т(<) непрерывна на сегменте [а, Ь]. Доказать, что на данной dr _ кривой можно ввести такую параметризацию, при которой — = Т.
at
Иными словами, всякое достаточно хорошее векторное поле, касательное к кривой, можно сделать полем ее скорости при подходящем выборе параметра вдоль кривой.
76
Часть 2
15.35.	Найти необходимое и достаточное условие, при котором данное семейство прямых
г = р(ц) + Ае(и) (|е| = 1)
в пространстве R3 имеет огибающую. Найти эту огибающую.
15.36.	Составить параметрическое уравнение цилиндра, для которого кривая р = р(и) является направляющей, а образующие параллельны вектору е.
15.37.	Составить параметрическое уравнение конуса с вершиной в начале радиуса-вектора р(£), для которого кривая р = p(f) является направляющей.
15.38.	Составить параметрическое уравнение поверхности, образованной касательными к данной кривой р = p(f). Такая поверхность называется развертывающейся поверхностью.
15.39.	Окружность радиуса а перемещается так, что ее центр движется по заданной кривой р = p(s), а плоскость, в которой она расположена, является в каждый момент нормальной плоскостью к данной кривой. Здесь для простоты записи ответа параметр s на кривой взят натуральным. Составить параметрическое уравнение поверхности, описываемой окружностью.
15.40.	Вокруг оси Oz вращается плоская кривая х = </?(«), z = 'ф('и). Составить параметрические уравнения поверхности вращения. Рассмотреть частный случай, когда меридиан задан уравнением х = f(z).
15.41.	Составить уравнение поверхности, образованной главными нормалями винтовой линии.
15.42.	Составить уравнение поверхности, образованной семейством главных нормалей данной кривой р = pts').
15.43.	Прямая движется так, что точка М пересечения ее с окружностью движется по данной окружности, причем эта прямая остается в нормальной плоскости к окружности в соответствующей точке и поворачивается на угол, равный углу МОМ о, который прошла точка, двигаясь по окружности. Составить уравнение поверхности, описываемой движущейся прямой, считая, что начальным положением движущейся прямой была ось Ох, а окружность задана уравнениями х2 + у2 = a2, z = 0.
15.44.	Даны две кривые г = г(и) пр = р(ц). Составить уравнение поверхности, описываемой серединой отрезка, концы которого лежат на данных кривых. Такая поверхность называется поверхностью переноса.
15.45.	Пусть даны: плоскость (направляющая плоскость), непараллельная ей прямая (направляющая прямая) и некоторая кривая (направлящая кривая). Через каждую точку направляющей кривой проведем прямую I параллельную направляющей плоскости и пересекающую прямую. Рассмотрим поверхность, заметаемую прямой I при ее движении. Такая поверхность называется
§15. Уравнения кривых и поверхностей
77
коноидом. См. рис. 55. Составить уравнение коноида, если даны: направляющая плоскость yOz, направляющая прямая у = О, д;2 у2
z = h, и направляющая кривая — + -z- = 1, z — 0 (эллипс).
а2 о2
Рис. 55. Коноид
15.46.	Составить уравнение коноида, для которого направляющие прямая, плоскость и кривая заданы соответственно уравнениями:
а) х = а, у = 0; б) z = 0; в) у2 = 2pz, х = 0.
15.47.	Цилиндроидом называется поверхность, образованная прямыми, параллельными некоторой плоскости. См. рис. 56. Цилиндроид может быть задан двумя направляющими кривыми
Рис. 56. Пересечение коноида и цилиндроида
(лежащими на нем) и направляющей плоскостью (которой параллельны образующие цилиндроида). Частным случаем цилиндроида является коноид, описанный в задачах 15.45 и 15.46. Цилиндроид превращается в коноид, если одна из двух направляющих
7&
Часть 2
кривых является прямой линией. Составить уравнение цилиндроида, если его направляющими являются окружности т2 + z2 — — 2ах = 0, у = 0 и у2 + z2 — 2ау = 0, х = 0, а направляющей плоскостью является плоскость хОу.
15.48.	Пусть в R3 задана кривая р — р(и) и в каждой ее точке задан вектор а(н). Линейчатой называется поверхность, задаваемая параметрическим уравнением
г(н, «) = р(и) + t?a(u).
Прямые, проходящие через точки кривой р(и) в направлении вектора а(н), называются прямолинейными образующими линейчатой поверхности. Отметим, что коноид и цилиндроид являются линейчатыми поверхностями.
Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой параллельны плоскости у — z = 0 и пересекают параболы у2 = 2рх, z = 0 и д2 = — 2рх, у = 0.
15.49.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой пересекают ось Oz, параллельны плоскости хОу и пересекают линию xyz — а3, х2 + у2 = Ь2.
15.50.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой пересекают прямую г — а + ub, кривую р = р(ц) и перпендикулярны вектору п.
15.51.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой параллельны плоскости хОу и пересекают два эллипса
У2 z2
77 + -у = 1, х = а\
о2 с2
У2 z2
^2 +	= 11 х = ~а-
15.52.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образованной прямыми, пересекающими кривую р = {и, и2,.и3), параллельными плоскости хОу и пересекающими ось Oz.
15.53.	Составить уравнение поверхности, образованной прямыми, параллельными плоскости х + у + z = 0, пересекающими ось Oz и окружность р = (Ь, a cos u, a sin и).
15.54.	Составить параметрические уравнения поверхности, образованной прямыми, пересекающими окружность х2 + z2 = 1, и = 0 и прямые у = 1, z = 1 их = 1, z = 0.
15.55.	Составить уравнение поверхности, образованной касательными к винтовой линии p(v) = (acost;, asint>, bv). Такая поверхность называется развертывающимся геликоидом.
15.56.	Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке (0, 0, —с) и направляющей — кривой (я2 + у2)2 = а2(ж2 — у2), лежащей в плоскости 2 = 0.
§15. Уравнения кривых и поверхностей 79
15.57.	В плоскости тг дана прямая АВ и кривая р = р(и). Кривая р равномерно перемещается в плоскости л так, что каждая ее точка движется параллельно АВ. В то же время плоскость л равномерно вращается вокруг АВ. Составить уравнение поверхности, описываемой кривой р. Эта поверхность называется винтовой поверхностью. Частным случаем винтовой поверхности является прямой геликоид. В этом случае р = р(и) — прямая, ортогональная АВ.
15.58.	Пусть г = г(н) — кривая с отличной от нуля кривизной к. Через каждую ее точку проведена нормальная плоскость, и в этой плоскости построена окружность с центром на кривой г = г(н) и заданным радиусом а, причем а > 0, ок < 1. Эти окружности заметают в пространстве трубкообразную поверхность S. Такие поверхности называются трубками или каналовыми поверхностями.
а)	Составить уравнение поверхности S';
б)	доказать, что любая нормаль поверхности S пересекает кривую г — г(и) и перпендикулярна вектору скорости этой кривой.
15.59.	Найти поверхность S', зная, что все ее нормали пересекаются в одной точке О.
15.60.	Показать, что объем тетраэдра, образованного пересечением координатных плоскостей и касательной плоскости поверхности
а3
х = и, у = и, z = —, uv
не зависит от выбора точки касания на поверхности.
15.61.	Показать, что сумма квадратов длин отрезков, отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности
т = гГ3 sin3 г>, у = н3 cos3 v, z = (а2 — н2)3/2, постоянна.
15.62.	Показать, что касательная плоскость к коноиду
T = ucost?, y = usinv, z = asin2v
пересекает коноид по эллипсу.
15.63.	Доказать, что плоскости, касательные к поверхности z = xf(y/x), проходят через одну и ту же точку.
15.64.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали к геликоиду
г (и, и) = (v cos и, vsinu, ku).
15.65.	Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
Q xyz = а .
80
Часть 2
15.66.	Пусть поверхность образована касательными к кривой С. Доказать, что эта поверхность во всех точках одной и той же касательной к кривой С имеет одну и ту же касательную плоскость.
15.67.	Пусть поверхность образована главными нормалями кривой С. Составить уравнение касательной плоскости и нормали в производной точке этой поверхности.
15.68.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, образованной бинормалями кривой С.
15.69.	Доказать, что нормаль поверхности вращения совпадает с главной нормалью меридиана и пересекает ось вращения.
15.70.	Доказать, что если все нормали поверхности пересекают одну и ту же прямую, то поверхность будет поверхностью вращения.
15.71.	Линейчатая поверхность (см. определение в задаче 15.48) называется развертывающейся, если во всех точках произвольной прямолинейной образующей касательная плоскость к поверхности одна и та же. Докажите, что линейчатая поверхность r(u, v) = p(u) + va.(u)
является развертывающейся тогда и только тогда, когда
(г', а, а') = 0.
15.72.	Докажите, что любая развертывающаяся поверхность может быть разбита на следующие части: 1) часть плоскости; 2) часть цилиндра; 3) часть конуса; 4) часть фигуры, состоящей из касательных к некоторой неплоской линии. В последнем случае указанная линия называется ребром возврата.
15.73.	Найти огибающую и ребро возврата семейства эллипсоидов
z2 ,
Н---2 —
С2
а2
а2 + Ь2
z = 0,
где а — параметр семейства.
15.74.	Найти огибающую семейства сфер, построенных на хордах, параллельных большой оси эллипса
е! , у! а2 Ь2 как на диаметрах.
15.75.	Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер, диа-। метрами которых служат хорды окружности
х2 + у2 — 2х = 0, z - 0, проходящие через начало координат.
15.76.	Две параболы расположены в перпендикулярных плоскостях и имеют общую вершину и общую касательную в вершине.
§15. Уравнения кривых и поверхностей 81
Найти огибающую семейства плоскостей, касательных к обеим параболам.
15.77.	Найти огибающую семейства сфер постоянного радиуса, центры которых расположены на данной кривой р = p(s) (кана-ловая поверхность).
15.78.	Найти ребро возврата семейства сфер постоянного радиуса а, центры которых расположены на кривой р = p(.s).
15.79.	Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер радиуса а, центры которых расположены на окружности
х2 + у2 = b2, z = 0.
15.80.	Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер, проходящих через начало координат, центры которых расположены на кривой
г = (и3, и2, и).
15.81.	Найти огибающую семейства эллипсоидов
2	2	2
•£	У-	£_	= 1
а2	&2	с2
с заданной суммой полуосей
а + b + с = I.
15.82.	Найти поверхность, касательные плоскости которой отсекают на осях координат отрезки, сумма квадратов длин которых 2 равна а .
15.83.	Найти поверхность, касательные плоскости которой отсекают от координатного угла тетраэдр постоянного объема а3.
15.84.	Найти огибающую и ребро возврата семейства плоскостей	2 ,	, п
ха + ya + z — 0, где а — параметр семейства.
15.85.	Найти огибающую и ребро возврата семейства плоскостей		,	х-,
х sin а — у cos а + z — аС, где а — параметр семейства.
15.86.	Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства соприкасающихся плоскостей данной кривой.
15.87.	Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства нормальных плоскостей данной кривой.
15.88.	Найти характеристики, огибающую и ребро возврата семейства плоскостей
(г, n) + D = 0, п = п(п), D - D(u), |n| = 1, и — параметр семейства.
7 Зак. 359
82
Часть 2
15.89.	Найти развертывающуюся поверхность, проходящую через две параболы:
у2 — 4ах, z — О
и
х2 = 4ау, z = Ь.
15.90.	Показать, что поверхность
х = cosv — (tt + v) sint;, у — sin v + (и + v) cos v, z — и + 2t>
является развертывающейся.
15.91.	Показать, что поверхность х — и2 + п/З, у = 2и3 + uv, z = tz4 + 2tz2v/3 является развертывающейся.
15.92.	Дан параболоид
£ = 2atzcost), у = 2bu sin v, z = 2u2(acos2v + bsin2v),
где а и b — постоянные. Определить уравнение кривых на поверхности так, чтобы касательные плоскости к поверхности образовывали с плоскостью хОу постоянный угол вдоль кривой.
Показать, что характеристики этого семейства касательных плоскостей образуют постоянный угол с осью z. Найти ребро возврата огибающей.
15.93.	Найти ребро возврата развертывающейся поверхности, которая касается поверхности az — ху вдоль линии пересечения ее с цилиндром х2 = by.
15.94.	Показать, что развертывающаяся поверхность, проходящая через окружности х2 + у2 = a2, z = 0 и х2 + z2 — b2, у = 0, пересекает плоскость х = 0 по равносторонней гиперболе.
§ 16. Теория кривых (дополнительные задачи)
16.1.	Вычислить кривизну кривых:
{x(t) - aCl + т) cos mt — am cos (1 + m)t, .	.
'	,	/, (эпициклоида);
y\t) = a(l + mjsmmt — am sin (1 + m)t
6) x2y2 = (a2 - y2)(b + у)2 (конхоида);
16.2.	Вычислить кривизну следующих кривых:
а)	у = — In cost;
б)	х — “it2, у = 3t — t3 при t = 1;
в)	х = a(cosf + tsint), у = a(sint — t cost) при t = 7r/2;
r)	x = a(2cost — cos2t), у = a(2sint - sin2t).
§ 16. Теория кривых (дополнительные задачи)83
16.3.	Найти кривизну следующих кривых, заданных в полярных координатах:
а) г = а<р\ б) г — а<рк-, в) г = av в точке р — 0.
16.4.	Найти кривизну следующих кривых:
а)	у = sina:;
б)	у = а(1 + m) sin mt — от sin (1 + m)t;
X
в)	у = a ch —;
а
г)	х2у2 = (а2 -у2)(Ь + у)2;
д)	у = — in cos ж;
е)	х = o(2cost — cos2t), у = o(2sint — sin2t).
16.5.	Определить кривизну кривой:
t
x = t — sint, у=1—cost, 2 = 4 sin-. y	2
16.6.	Найти параметрическое уравнение кривой:
a) s2 + 97?2 = 16а2; б) s2 + R2 = 16а2; в) R2 + а2 = a2e~2s~a.
16.7.	Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой г (и) = (и2, и, и3 — 20)
в точке А(9, 3, 7).
16.8.	Показать, что кривая
г(п) = (аи + b, си + d, и2)
имеет во всех точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость.
16.9.	Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали кривой
2	2
У — X, X = Z
в точке (1, 1, 1).
16.10.	В каждой точке кривой
x(t) = t — sint, y(t) = 1 — cost, z(t) = 4sin
в положительном направлении главной нормали отложен отрезок, равный учетверенной кривизне кривой в этой точке. Найти уравнение соприкасающейся плоскости кривой, описанной концом отрезка.
16.11.	Дана винтовая линия
r(f) = (acost, asint, 6t).
Составить уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали.
16.12.	Дана кривая
r(t) = (t2, 1 — t, t3).
7*
84
Часть 2
Составить уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали в точке t = 1.
16.13.	Доказать, что если:
а)	все соприкасающиеся плоскости регулярной гладкой кривой параллельны между собой, то кривая плоская;
б)	все соприкасающиеся плоскости регулярной гладкой кривой имеют общую точку, то кривая плоская;
в)	все касательные к кривой перпендикулярны одному направлению, то кривая плоская;
г)	все нормальные плоскости параллельны одному и тому же направлению, то кривая плоская;
д)	касательный сферический образ гладкой кривой является дугой большой окружности, то кривая плоская.
16.14.	Найти векторы v, n, b репера Френе, кривизну к и кручение х кривой Вивиани.
16.15.	Вычислить радиусы кривизны и кручения кривой
х3 = За2?/, 2.тг = а2.
16.16.	Дана кривая
r(u) = (vcos?z, vsinn, kv),
где v = v(a). Доказать, что эта кривая расположена на конусе. Определить функцию v(?z) так, чтобы эта кривая пересекала образующие конуса под постоянным углом 6.
16.17.	Обобщенной винтовой линией или линией откоса называется пространственная линия, касательные которой образуют постоянный угол с фиксированным направлением. Доказать, что линия будет обобщенной винтовой тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
а)	главные нормали перпендикулярны фиксированному направлению;
б)	бинормали образуют постоянный угол с фиксированным направлением;
в)	отношение кривизны к кручению постоянно.
г)	все спрямляющие плоскости кривой параллельны некоторой прямой (напомним, что спрямляющая плоскость в данной точке кривой проходит через эту точку перпендикулярно главной нормали);
( d d2 d3 \	(d d2 d3 \
-д) ^r-	=0; e) A d^13) = °'
ж) вектор
t/к + Ь/х _ xi + kb
\/l/k + 1/x	\/A:2 + x2
постоянный.
§ 16. Теория кривых (дополнительные задачи)85
16.18.	Доказать, что кривая
х = а sina(t)dt, y — af cos a(t)dt, z = ht.
является обобщенной винтовой линией.
16.19.	Доказать, что кривая ж2 = Зу, 2ху — 9z является обобщенной винтовой линией. Найти вектор, с которым касательные к линии образуют постоянный угол.
Пусть задана кривая г = r(s), где s — натуральный параметр. Кривая р = r(s) лежит на сфере единичного радиуса с центром в начале координат и называется касательным сферическим образом кривой. Аналогично определяются нормальный и бинормальный сферические образы.
16.20.	Доказать, что бинормальный сферический образ обобщенной винтовой линии является окружностью.
16.21.	Найти касательный, нормальный и бинормальный сферический образы винтовой линии
r(t) = (acost, asint, bt).
16.22.	Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром:
а)	доказать, что касательный сферический образ кривой г = = r(.s) вырождается в точку тогда и только тогда, когда г = r(s) — прямая линия;
б)	доказать, что бинормальный сферический образ кривой г = = r(s) вырождается в точку тогда и только тогда, когда г = r(s) — плоская кривая;
в)	доказать, что нормальный сферический образ кривой не может быть точкой.
16.23.	Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром, причем кх 0. Доказать, что касательная к касательному сферическому образу параллельна касательной к бинормальному сферическому образу в соответствующих точках.
16.24.	Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром. Доказать, что если касательный сферический образ этой кривой лежит в плоскости, проходящей через начало координат, то кривая г = r(s) — плоская.
16.25.	Доказать, что кривая г = r(s) является винтовой линией тогда и только тогда, когда касательный сферический образ является дугой окружности.
16.26.	Показать, что при инверсии плоскости соприкасающаяся окружность к данной кривой переходит в соприкасающуюся окружность образа этой кривой. При этом предполагается, что центр инверсии не лежит на кривой в точке соприкосновения с окружностью.
86
Часть 2
Напомним, что сферическая кривая — это кривая г = r(t), для которой существуют такой постоянный вектор m и такое постоянное вещественное число R, что |r(t) — m| = R.
16.27.	Пусть г = r(t) — регулярная кривая, и пусть существует точка а, лежащая во всех нормальных плоскостях кривой г = r(t). Доказать, что г = r(t) — сферическая кривая.
16.28.	Доказать, что
r(t) = (—cos2t, —2 cost, sin2t)
— сферическая кривая.
Указание. Показать, что точка (—1, 0, 0) лежит в каждой нормальной плоскости рассматриваемой кривой. См. задачу 16.27.
16.29.	Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром, к 0, х 0 и р = 1/к, ст — 1/ и. Предположим, что р1 2 3 + (/ozcr)2 = а2 = const, а > 0. Доказать, что образ кривой г = r(s) лежит на сфере радиуса а.
16.30.	Используя результаты предыдущих задач, доказать, что кривая г = r(s) лежит на сфере тогда и только тогда, когда су-
ществуют такие постоянные вещественные числа А и В, что
Рис. 57. Кривые Бертрана
16.31.	Кривые 7 и 7* называются кривыми Бертрана, если между точками этих кривых можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором главные нормали (как аффинные прямые) в соответствующих точках кривых совпадают (см. рис. 57). Это означает, что отрезок, соединяющий соответствующие точки кривых, является отрез-
ком главной нормали для обеих кривых.
Доказать следующие свойства кривых Бертрана 7 и 7*.
1) Расстояние между соответствующими точками кривых по
стоянно.
2) Кривизна и кручение каждой из кривых Бертрана связаны соотношением ак +	= 1, где а и Ь — некоторые постоянные
числа. При этом числа а и Ь для каждой кривой — свои.
3) Касательные к кривым 7 и 7* в соответствующих точках образуют постоянный угол.
16.32. а) Доказать, что две произвольные концентрические окружности в плоскости образуют пару кривых Бертрана.
§16. Теория кривых (дополнительные задачи)87
б) Пусть
п(«) = | (—Ц - tVi-t2,1 -t2, о) ,
2	\ COS I	}
Гг(<) = Д (~7 ~ <л/1 - t2 ~t, 1 - t2 + t\/l - t2, (A .
2	\ cos t	)
Доказать, что ri(t) и гг(4) образуют пару кривых Бертрана.
16.33	. Показать, что если кривизна и кручение кривой 7 связаны линейной зависимостью ak + bx — 1, где а и Ь — числа, отличные от 0, то существует кривая 7* такая, что кривые 7 и 7* образуют пару кривых Бертрана.
16.34	. Доказать, что кривая с постоянной кривизной является кривой Бертрана.
16.35	. Пусть г = r(t) — регулярная гладкая кривая, причем х 0. Доказать, что r(t) является обычной винтовой линией тогда и только тогда, когда r(t) имеет по крайней мере две различные родственные по Бертрану кривые.
16.36	. Доказать, что если между точками двух кривых 7 и 7* установлено взаимно однозначное соответствие, при котором бинормали кривых в соответствующих точках совпадают (как аффинные прямые), то кривые плоские.
16.37	. Пусть для гладкой кривой 7 существует такая кривая 7*, что главные нормали 7 являются бинормалями к 7* в соответствующих точках. Доказать, что кривизна и кручение кривой 7 удовлетворяют соотношению к = Х(к2 + х2), где А — некоторое постоянное число.
16.38	. Пусть между точками кривых 71 и 72 можно установить такое соответствие, при котором касательные в соответствующих точках параллельны. Доказать, что отношения кручения к кривизне в соответствующих точках кривых равны по абсолютной величине.
Овалом называется регулярная простая замкнутая плоская кривая с к > 0. Вершина регулярной плоской кривой — это точка, где кривизна к имеет относительный максимум или минимум.
Пусть r(.s) — овал и Р — точка на r(.s). Тогда существует точка Р', где касательный вектор v к овалу противоположен касательному вектору в точке Р, т. е. v(F') = —v(F). Касательные в точках Р и Р' параллельны. Ясно, что такая точка Р' единственна. Она называется противоположной точкой к точке Р.
Шириной w(s) овала в точке Р= r(s) называется расстояние между касательными прямыми к овалу в противоположных точках в Р и Р'.
Говорят, что овал имеет постоянную ширину, если его ширина в точке Р не зависит от выбора Р.
16.39	. Доказать, что понятие вершины кривой не зависит от выбора параметризации.
88
Часть 2
16.40	. Если г = r(s) — овал, доказать, что вектор v" параллелен вектору v по крайней мере в четырех точках.
16.41	. Теорема о четырех вершинах. Доказать, что любой овал имеет по меньшей мере четыре вершины.
16.42	. Показать, что теорема о четырех вершинах (см. задачу 16.41) не верна, если опустить условие замкнутости.
16.43	. Доказать, что если r(.s) — овал постоянной ширины w, то его длина равна mv.
16.44	. Пусть г = r(s) — овал постоянной ширины. Доказать, что прямая, соединяющая пару противоположных точек Р и Р' овала ортогональна к касательным в точках Р и Р'.
16.45	. Пусть r(.s) — плоская кривая постоянной ширины. Показать, что сумма радиусов кривизны 1/к в противоположных точках является постоянной, не зависящей от выбора точек.
16.46	. Пусть r(s) — овал длины L, заданный в натуральном параметре. Обозначим через 0 угол между горизонталью и касательным вектором v(s).
а)	Доказать, что отображение 0: [0, Z] -> [0, 2тг] является взаимно однозначным. Показать, что отображение г о 0~г является гладкой регулярной параметризацией овала;
б)	пусть р($) — параметризация овала такая, что r(s) = p(0(s)) (см. предыдущий пункт). Доказать, что противоположная точка к r(s) есть R(s) = p(0(s) + тг);
в)	доказать, что кривая R(s) регулярна.
16.47	. Пусть р(0) — овал, параметризованный углом 0, как в предыдущей задаче. Пусть w(0) — ширина овала в точке р(0)-Доказать, что
2тг
f wd0 = 2L, о
где L — длина овала.
16.48	. Пусть р(0) — овал, параметризованный углом 0; к(0) и w(0) соответственно его кривизна и ширина. Доказать, что
dPw 1	1
ч	~d&+W~k(0) + к(0 + 7Г) ’
16.49	. Доказать, что кривизна кривой 7 в точке М равна кривизне проекции 7 на соприкасающуюся плоскость в точке М.
16.50	. Выразить кривизну и кручение эвольвенты кривой через кривизну и кручение исходной кривой.
16.51	. Доказать, что эвольвента линии откоса — плоская кривая. Определение линии откоса см. выше.
§16. Теория кривых (дополнительные задачи)89
Подерой пространственной кривой по отношению к точке О называется множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на касательные к данной кривой.
16.52	. Найти уравнение подеры линии г = r(t).
16.53	. Найти подеру винтовой линии г = (a cost, a sint, ht) относительно начала координат. Доказать, что она лежит на однополостном гиперболоиде
2	2	2
X 11 Z а2	а2	а4	х-
16.54	. При каком условии центр кривизны винтовой линии лежит на том же цилиндре, что и сама линия?
16.55	. Пусть кривая г — r(s) имеет постоянную кривизну. Доказать, что соприкасающаяся сфера и окружность имеют один и тот же радиус.
16.56	. Доказать, что радиус кривизны кривой на сфере радиуса R не больше, чем R.
16.57	. Доказать, что на сфере неплоская регулярная гладкая кривая не может иметь постоянную кривизну.
16.58	. Найти общий вид кривизны сферической кривой с постоянным кручением.
16.59	. Доказать, что кривая на сфере определяется заданием своей кривизны или кручения как функции длины дуги.
16.60	. Доказать, что если кривая задана уравнением г — r(s) в натуральном параметре s, то радиус-вектор центра соприкасаю-
шейся сферы задается формулой р = г + Rv -|----р, а радиус со-
прикасающейся сферы —
Rs = \R? + у
16.61	. Найти соприкасающуюся окружность кривой:
a)	r(t) = (t — sint, 1 — cost, sint) при t = 0;
6)	r(t) = (2t, inf, t2) при t = 1.
16.62	. Найти радиус соприкасающейся сферы кривой r(t) = = (t, t2, t3) в точке t = 0.
16.63	. Найти радиус соприкасающейся сферы в произвольной точке следующих кривых:
a) r(t) = (acost, asint, /it);	6) r(t) = (e*, e-i, t\/2);
в) r(t) = (e^int, efcost, ef).
16.64	. Доказать, что соприкасающаяся плоскость кривой пересекает соприкасающуюся сферу по соприкасающейся окружности в той же точке.
6 Зак. 359
90
Часть 2
16.65	. Найти геометрическое место центров соприкасающихся сфер винтовой линии r(t) = («cost, asint, ht).
16.66	. Доказать, что если радиус соприкасающейся сферы постоянен, то кривая либо лежит на сфере, либо имеет постоянную кривизну.
16.67	. Доказать, что если в каждой своей точке кривая имеет со своей соприкасающейся плоскостью касание третьего порядка, то эта кривая плоская.
16.68	. Из начала радиус-векторов на плоскую кривую г = r(s) падает пучок лучей. Составить уравнение огибающей отраженных лучей (каустика).
16.69	. Какой вид примет уравнение каустики плоской кривой относительно начала радиус-векторов, если уравнение кривой задано в виде г = r(f) в произвольном параметре?
16.70	. На плоскую кривую, заданную уравнением г = r(.s), падает пучок параллельных лучей, имеющих направление вектора е (|е| = 1). Составить уравнение огибающей лучей, отраженных от данной кривой (каустика). Рассмотреть случаи, когда кривая задана уравнением г = r(t) в произвольном параметре, а также, когда она задана уравнением у = f(x).
16.71	. Пусть ri: [0, я] —> К2 — сегмент кривой, параметризованной натуральным параметром, и P2(s) — кривая
r2(s) = ri(s) + (я0 - s)v(s),
где v(s) — касательный вектор к ri(s), а® > а — некоторая константа. Показать, что единичная касательная к ^(.s) в каждой точке ортогональна к v(s).
Заметим, что кривая ri является эволютой кривой Г2, а кривая Г2 является эвольвентой кривой гр
16.72	. Найти эволюты, эвольвенты и радиусы кривизны следующих кривых:
т2 н2	т2	н2
a)	-j- +	= 1; б) ~2 ~	= 1; в) ж2 - 2ру = 0;
№	аг	tr
. ( х — a(t — sint),
г) <
( у = я(1 — cost);
д)	г = я(1 + cos</>) (в полярной системе координат);
е)	у = a ch —;
„ °
ж)	г = Ау? (в полярной системе координат);
з)	г2 = 2а2 cos 2у? (в полярной системе координат);
и)	rm = ат cosnup (в полярной системе координат), где т — некоторая целая положительная постоянная;
к)	г — a ctg
§16. Теория кривых (дополнительные задачи)
91
16.73	. Найти эволюту логарифмической спирали г = av. Доказать, что это — та же самая спираль, но повернутая вокруг начала координат на некоторый угол. Найти этот угол.
16.74	. Найти особые точки эволюты эллипса. Сколько нормалей можно провести к эллипсу через произвольную точку плоскости?
16.75	. Найти эвольвенту окружности.
16.76	. Найти радиус кривизны кривой Штейнера
£	2t	„ .	t	. 2t
х = 2r	cos	- 4- r cos —,	у	= 2r sin -	— r sin —-
О	О	О	О
в произвольной	точке.	Кривая Штейнера	—	это	гипоциклоида,
образованная в результате качения окружности радиуса г по окружности радиуса Зг.
16.77	. Доказать, что эволютой кривой Штейнера является кривая Штейнера, подобная исходной, причем коэффициент подобия равен 3. При этом эволюта повернута относительно исходной кри-7Г
вой на угол —.
16.78	. Найти эволюту астроиды. Доказать, что ее эволютой является астроида, подобная исходной с коэффициентом подобия, д
равным 2, и повернутая относительно исходной на угол —. Заметим, что астроида является гипоциклоидой, образованной в результате качения окружности радиуса г по окружности радиуса 4г. Далее, свойства эволюты астроиды, описанные в этой задаче, аналогичны свойствам эволюты кривой Штейнера (см. предыдущую задачу).
16.79	. Исследовать эволюты гипоциклоид, образованных в результате качения окружности радиуса г по окружности радиуса R для различных отношений R/r.
16.80	. Найти эволюту листа Декарта
За£	За£2
Ж = У=Т^
16.81	. Найти кривизну плоской кривой, у которой кривизна равна кривизне ее эволюты (в соответствующих точках).
16.82	. Пусть неплоская кривая имеет постоянную отличную от нуля кривизну, и пусть ее кручение отлично от нуля. Рассмотрим множество центров кривизн этой кривой. Полученную кривую обозначим 7*. Доказать, что кривизна кривой 7* постоянна. Найти кручение 7*.
16.83	. Пусть гладкая кривая С задана уравнением г = г(£), где функция г(£) определена на отрезке [а, Ь]. Пусть в некоторой точке М производные г', г", г'" некомпланарны. Доказать, что соприкасающаяся плоскость кривой С в точке М пересекает кривую С.
6*
92
Часть 2
16.84	. Пусть гладкая кривая С задана уравнением г = r(t), где функция r(t) определена на отрезке [а, Ь]. Пусть в некоторой точке M(t) вектор г' не параллелен вектору г". Вычислить предел
Г d д™о |At|3’
где d — расстояние от точки M(t + At) до соприкасающейся плоскости кривой С в точке M(t). Рассмотреть частный случай, когда кривая задана уравнением г = r(s) в натуральном параметре.
16.85	. Доказать, что кручение асимптотической линии на поверхности с К < 0 равно ±у/—~К.
16.86	. Пусть кривизна поверхности вращения строго отрицательна. Существуют ли на ней замкнутые асимптотические линии?
Пусть г = r(s), s G [0, а], — плоская кусочно-регулярная класса С2 кривая, параметризованная натуральным параметром. Индексом вращения jr(sj этой кривой называется число
a	n—1
fkds+ 52
О	i=0
4(s) -	2я.
где к — кривизна кривой, а, (0 г п — 1) — точки нерегулярности, v_(s,) = lim v(s), v+(s,) = lim v(s),	— угол между векторами 
s—s—
v~(sj) и v+(sj). См. рис. 58.
16.87	. Вычислить индексы вращения кривых, заданных следующими уравнениями:
a) r(t) = (а + pcost, psint),	0 <	t S	S 2л,	|а| <	: р;	
б) r(t) = (а + pcost, psint),	0 <	t s	: 2л,	0 <	' Р <	' |а|;
в) r(t) = (pcos2t, —psin2t),	0	t s	S 2л,		р '	> 0;
г) r(t) = ((1/2) cos t, sint),	0 <	t«	% 2л;			
д) r(t) — (2cost, — sint),	0 <	t 5	% 6л;			
e) r(t) = (1, sin2t),	0 <	t ;	$ 2л.			
16.88. Доказать, что если r(s) —		- простая		замкнутая регуляр-		
ная плоская кривая, то касательный круговой образ v. [О, L] —> S1 этой кривой является отображением «на».
16.89.	Доказать, что если г = r(s) — регулярная замкнутая кривая, то ее касательный сферический образ не может лежать ни в какой открытой полусфере.
16.90.	Доказать, что касательный сферический образ регулярной замкнутой кривой не может лежать ни в какой замкнутой полусфере, за исключением случая, когда он является большой окружностью, ограничивающей полусферу.
§16. Теория кривых (дополнительные задачи)
93
16.91.	Пусть 7 — гладкая замкнутая кривая на единичной сфере S2. Доказать, что она содержится в открытой полусфере, если:
а)	длина I кривой 7 строго меньше 2тг;
б)	длина I кривой 7 равна 2тг, но кривая не является объединением двух больших полуокружностей.
Тотальным кручением регулярной пространственной кривой г = = r(s) длины L, параметризованной натуральным параметром, называ-
L
ется число J к ds. Заметим, что тотальные кривизна и кручение кривой о
в НЕ3, определенные выше для натурального параметра s вдоль кривой, можно вычислять в произвольном параметре t = t(s). При этом соответствующее выражение, например, для кручения имеет вид
ъ
x(t)dt,
VRea = t(0), b = t(L).	а
16.92.	Используя результаты задач 16.89-16.91, доказать следующее утверждение: тотальная кривизна замкнутой пространственной кривой 7 не меньше 2тг, причем она равна 2л тогда и только тогда, когда 7 — плоская выпуклая кривая (теорема Фен-шеля).
16.93.	Пусть 7 — пространственная замкнутая кривая. Предположим, что 0 k 1/R для некоторого вещественного числа
94
Часть 2
R > 0. Доказать, что длина I кривой 7 удовлетворяет неравенству I 2-nR.
16.94.	Вычислить касательный сферический образ для эллипса
r(t) = (2cosi, sinf, 0), 0 t < 2тг.
Что можно сказать об этом образе с помощью теоремы Феншеля?
Рассмотрим стандартную единичную двумерную сферу S2 в R3. Тогда множество ориентированных больших окружностей сферы находится
во взаимно-однозначном соответствии с точками самой сферы S2. Это соответствие устанавливается следующим образом. Каждой большой окружности нужно сопоставить конец единичной положительной нормали, которая перпендикулярна плоскости окружности и выходит из начала координат. При этом нормаль называется положительной, если именно вдоль нее перемещается правый штопор, вращаемый в направлении, указанном на большой окружности. См. рис. 59.
Мерой множества ориентированных больших окружностей будем называть меру соответствующего множества точек S2.
Если г € S2, то через w = х2- обознача-
ется соответствующая точке х большая ориентированная окружность. Для регулярной кривой 7 на сфере через п7(т)
обозначается число точек в 7Пт1- (которое может быть бесконечно). За-
метим, что число п7(т) не зависит от параметризации кривой 7.
16.95.	Пусть 7 — регулярная кривая длины I на сфере S'2. Доказать, что мера множества ориентированных больших окружностей, которые пересекают 7 (с учетом кратностей), равна 4/. Дру-
гими словами, ny(w)do = 4/ (формула Крофтона).
s2
Замкнутая простая кривая 7 в К3 называется незаузленной, если существует взаимно-однозначная непрерывная функция д-. D2 —> Ж3 (£)2 — единичный диск),'которая отображает границу S1 диска D2 на образ кривой 7. В противном случае кривая называется заузленной.
16.96.	Доказать, что если 7 — простая заузленная регулярная кривая, то ее тотальная кривизна больше или равна 4л.
16.97.	Используя формулу Крофтона, доказать, что для любой замкнутой пространственной регулярной кривой ее тотальная кривизна / к ds не меньше 2л.
§ 16. Теория кривых (дополнительные задачи)
95
16.98.	Доказать, что для любого вещественного числа г суще-
L
такая замкнутая кривая 7, что ее тягальное «Руление / я dS
О равно г.
16.99.	Доказать, что для замкнутой кривой 7, заданной в виде г = r(t) и расположенной на сфере S2, ее тотальное кручение J x(t) dt равно нулю.
7
16.100.	Пусть М — такая поверхность в R3, что J я ds — 0 для 7
всех замкнутых кривых 7, расположенных на М. Доказать, что М есть часть плоскости или сферы.
16.101.	Доказать, что для любой замкнутой сферической кри-f х
вой 7 интеграл —ds равен нулю.
J к
16.102.	Найти геодезическую кривизну линии u — const на поверхности г = (vcosv, vsinw, av).
16.103.	Найти геодезическую кривизну линии ax + by + с = 0 dx2 ~|“ dy2
в верхней полуплоскости с метрикой ds2 =--------.
У2
16.104.	По натуральному уравнению кривой R = tp(s) соста
вить натуральное уравнение эволюты.
16.105.	Написать натуральное уравнение эвольвенты по натуральному уравнению кривой.
16.106.	Доказать следующие утверждения:
а)	касательные к эволюте являются нормалями к исходной кривой;
б)	любая ортогональная кривая семейства касательных к кривой является эвольвентой исходной кривой;
в)	длина дуги эволюты равна абсолютному значению разности радиусов кривизны в соответствующих точках исходной кривой;
1 d(R2)
-—5—, где R — радиус
2 as
кривизны самой кривой.
16.107.	Доказать, что если каждая нормаль плоской замкнутой регулярной кривой делит ее на две равные части, то эта кривая —
г) радиус кривизны эволюты равен
окружность.
16.108.	Доказать следующее утверждение: периодическая с периодом S функция k(s) является функцией кривизны некоторой плоской замкнутой кривой тогда и только тогда, когда выполни-
96
Часть 2
ются следующие два равенства:
k(t) dt + С Ids = О,
k(t) dt + С }ds = О,
где С — некоторая константа.
16.109.	Для замкнутой регулярной плоской кривой 7 доказать следующее равенство Фенхеля:
J k(s) ds = 2тг.
7
Опорной функцией h(t) плоской кривой г = r(t) называется расстояние от фиксированной точки О до переменной касательной к кривой в точке r(t).
16.110.	Пусть дана плоская выпуклая кривая. Тогда в качестве параметра на кривой можно взять угол а, который составляет касательная в точке кривой с фиксированным направлением на плоскости. Доказать, что для радиуса кривизны этой кривой имеет место формула R(a) = h(a) + h'\a), где h(a) — опорная функция
кривой.
16.111.	Доказать, что площадь области, ограниченной плоской
регулярной замкнутой кривой 7, равна
h(t) dt, где h(t) —
у
опорная функция данной кривой.
16.112.	Пусть замкнутая плоская выпуклая регулярная кривая длины L ограничивает область площади S. Пусть R — радиус описанной окружности, аг — вписанной. Доказать следующие
неравенства:
a)	L2 — 4ttS 0;
б)	L2 — 4715	7г2(Т? — г)2;
/1 1 \2
в)	L2 — 4irS S2 (-------— ) ;
у г R )
( R — г \ 2
L - л/L2 - 4тг5	L + х/£2 - 4л5
---------------С г < R <-------------------
§ 16. Теория кривых (дополнительные задачи)
97
причем равенства достигаются только в том случае, если кривая является окружностью.
16.113.	Доказать, что овал, имеющий четыре вершины, пересекается с произвольной окружностью самое большее в четырех точках.
16.114.	Доказать, что если овал пересекается с некоторой окружностью в 2п точках, то у него по меньшей мере 2п вершин.
16.115.	Доказать, что если для замкнутой регулярной кривой
7 выполняется равенство
k(s) ds — 0, то кривая плоская.
16.116.	Пусть 7 — пространственная кривая постоянной кривизны, а кривая 7* — множество ее центров кривизны. Доказать, что кривая 7* имеет ту же кривизну, что и 7. Доказать, что кривая 7 является множеством центров кривизны кривой 7*.
16.117.	Доказать, что соприкасающаяся сфера имеет постоянный радиус тогда и только тогда, когда кривая либо является окружностью, либо имеет постоянную кривизну.
16.118.	Доказать, что пространственная кривая, заданная в следующем виде:
/ х 77	d<’
имеет постоянное кручение х. Здесь Ь(£) — произвольная кривая на единичной сфере, ах — произвольное ненулевое вешественное число.
И обратно, любая пространственная кривая с постоянным отличным от нуля кручением х может быть представлена в таком виде для подходящей кривой Ь(£).
16.119. Доказать, что всякая кривая непостоянной кривизны, для которой выполняется соотношение
лежит на сфере радиуса R.
16.120.	Доказать, что если кривая лежит на сфере, то ее кривизна и кручение удовлетворяют соотношению
х d
~---1”
k ds
d /1 ds \k
= 0.
И обратно, если кривизна и кручение некоторой кривой удовлетворяют этому соотношению, что кривая лежит на сфере.
98
Часть 2
16.121.	Если кривизна и кручение пространственной кривой не обращаются в нуль, то кривая сферическая тогда и только тогда, когда
х _ d / 1 d \
к ds \ мк2 ds J
Если положить р = —, к сать в следующем виде:
ст = / и ds, то уравнение можно перепи-
16.122.	Доказать, что для произвольного числа А существует регулярная замкнутая кривая такая, что и ds А.
7
16.123.	Если плоская кривая вместе с хордой, стягивающей ее концы, ограничивает выпуклую область, то при скручивании кривой, т. е. при замене ее на пространственную кривую с тем же кручением, длина хорды увеличивается.
§ 17. Риманова метрика (дополнительные задачи)
17.1.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике на плоскости Лобачевского перпендикуляр, опущенный из середины гипотенузы на один из катетов, меньше половины другого катета.
Рис. 60
17.2.	Пусть три точки А, В, С принадлежат одной прямой, а точка D ей не принадлежит. Докажите, что середины отрезков DA, DB и DC не лежат на одной прямой:
а) на сфере; б) на плоскости Лобачевского.
Напомним, что на евклидовой плоскости этот факт неверен (см. рис. 60).
§17. Риманова метрика (дополнительные задачи)99
17.3.	Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площади треугольников, ограниченных прямыми:
а)	х = —а, х = а, х2 4- у2 = а2;
б)	х — а, х — 2а, (х — а)2 4- у2 = а2;
в)	х = 0, х = а/2, х2 4- у2 = 4а2;
г)	х = 0, х — а/2, х2 + у2 = а2;
д)	х = —а, х — а, х2 4- у2 = 4а2;
е)	х = —а, х = а, х2 4- у2 = 2а2;
ж)	х = а, х = Ъ, (х — а)2 + у2 = 2Ь2.
17.4.	Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площадь треугольника с вершинами (—2, 2), (0, 2), (2, 2).
17.5.	Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площадь четырехугольника, ограниченного прямыми х — 0, х — а, у = а/2, у = а.
17.6.	Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площадь четырехугольника с вершинами в точках (О, а\/12), (0, 2а), (а, а), (а, а\/3).
17.7.	Вычислить первую квадратичную форму следующих поверхностей в К3:
(а /	1\	b	f 1\ .	с	(	1\\
-	I v 4— I cos u,	-	v -I— sin u,	-	v-) J
2\ v J	2	\ v J	2	\	v))
(однополостный гиперболоид);
(auv + 1 ,v — u uv — 1 \	.
-------, о----, c--- (однополостный
2 v + u v + u v + u J гиперболоид);
.	.	. (a [	1\	b /	1\.	c /	1\\
\2\	v)	2 V	vj	2 \	v)J
(двуполостный гиперболоид);
(эллиптический пара-
г) r(a, v) = болоид);
д)	r(u, v) = ((«4- и)д/p, (u — v)y/q, 2w) (гиперболический параболоид);
e)	r(a, и) = (a cos a, bsinu, v) (эллиптический цилиндр);
xz x fa (	1 \ b (	1\	\
ж)	r(a, v) = [ — l u 4— I , - I u-I , v I (гиперболический
цилиндр).
100
Часть 2
В следующих задачах 17.8. и 17.9 доказать, что рассматриваемые поверхности являются поверхностями второго порядка (иногда их называют квадриками), и установить их тип.
17.8.	Найдите первую квадратичную форму поверхности
х = a ch v cos w, у = a ch и sin v, z = cshu, а, с = const.
17.9.	Найдите первую квадратичную форму поверхности
х = ashizcosv, у = ashusinv, z = cchv, а, с = const.
17.10.	Доказать, что при соответствующем выборе криволинейных координат на поверхности вращения ее первая квадратичная форма может быть приведена к виду
ds2 = du2 + G(u) dv2.
17.11.	Привести первую квадратичную форму сферы, тора, катеноида и псевдосферы Бельтрами к виду
ds2 = du2 + G(u) dv2.
17.12.	Система криволинейных координат на поверхности называется изотермической (иногда ее называют конформной), если первая квадратичная форма поверхности в этих координатах имеет вид
ds2 = A(u, v)(du2 + dv2).
Найти изотермические координаты на псевдосфере Бельтрами.
17.13.	Поверхностью Лиувилля называется поверхность, пер-, вая квадратичная форма которой может быть приведена к виду
ds2 = (/(v) + g(v)) (du2 +dv2).
Доказать, что поверхность, локально изометричная поверхности вращения, есть поверхность Лиувилля.
17.14.	Доказать, что любун? поверхность вращения можно локально конформо отобразить на плоскость.
17.15.	Доказать, что метрика ds2 = dx2 + f(x) dy2, 0 < f(x) < < оо, приводится к виду ds2 = g(u,v)(du2 +dv2) (изотермические координаты).
17.16.	Для поверхности вращения
x = f(r) cosip, y = f(r)sinip, z = g(r),
где и E (a, b), ip E [0, 2тг], найти изотермические координаты (и, v), в которых р = a/w-2 + г;2 является функцией от г. В частности, найти для катеноида
х = ch z cos ip, у = ch z sin ip, z = z
§17. Риманова метрика (дополнительные задачи)101
4ту 1 + 2у2/ 1 + 16т2 (х2 + у2)2 16ту(т2 + у2)2
представление его радиус-вектора в таких изотермических координатах.
17.17.	На плоскости с координатами х, у задана матричнозначная функция F(x, у). Проверить, что функция F определяет риманову метрику. Найти координаты, в которых метрика имеет вид du2 + G(u) dv2:
\	и/ \ fl + 2x2 4ху
16ту(т2 + у2)2 \
1 + 16у2(т2 4- у2)2/ ’
1	/1 — У2 %У \
в) в единичном круге F(x, у) —  --9---д	,	9 ;
1 — х£ — у£ \ ху 1 — х )
. х____________1	/4т2 + (т2 + у2)4 4ту \
Х' (т2 + у2)4 у 4ту 4у2 + (х2 + у2)4/
17.18. Доказать, что на всякой вещественно-аналитической поверхности М2 можно ввести локальные изотермические координаты.
17.19. Проекция Меркатора поверхности земного шара определяется следующим образом. На карте вводятся прямоугольные координаты (х, у), такие что любой прямой на карте соответствует
Рис. 61. Проекция Меркатора
линия постоянного азимута (фиксированного положения стрелки компаса) на поверхности земного шара (см. рис. 61).
а)	Доказать, что в проекции Меркатора точке на поверхности земного шара со сферическими координатами (0, <р) на карте соответствует точка с координатами т = у>, у = In ctg 0/2;
102
Часть 2
б)	записать метрику сферы в координатах х, у проекции Меркатора?
17.20	. Найти метрику в двумерном пространстве скоростей в специальной теории относительности.
17.21	. В предыдущей задаче произвести замену координат v -> -4 thy (г; — скорость движущейся точки).
17.22	. Записать метрику предыдущей задачи в полярных координатах единичного круга.
§ 18.	Гауссова и средняя кривизны
В задачах 18.1-18.4 требуется найти вторую квадратичную форму поверхностей.
18.1.	r(u, v) = (achucosu, achusinu, cshu).
18.2.	r(u, v) = (ucosu, usinu, u2).
18.3.	r(u, u) = (Pcosu, .Rsinu, u).
18.4.	r(u, v) = (ucosu, usinu, ku).
18.5.	Показать, что главные кривизны прямого коноида
rc = ucosu, y = usinu, z = f(y),
где f(u) — произвольная гладкая функция с отличной от нуля производной, имеют разные знаки.
18.6.	Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности, образованной бинормалями данной кривой.
18.7.	Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности, образованной главными нормалями данной кривой.
18.8.	Найти линии кривизны на поверхности
а .	. b.	. uv
x = -(u-v), y=^(u + v), z=—.
18.9.	Найти линии кривизны геликоида
t = ucosu, у = usinv, z = av. X
18.10.	Доказать, что при локально изометричном наложении геликоида
ж = u cos u, y = usinu, z — av.
на катеноид
х = уи2 + а2 cosu, у = v u2 + а2 sinu, z = a In (и + yu2 + a2 )
линии кривизны переходят в асимптотические линии.
18.11.	Найти линии кривизны поверхности r(s, и) = p(s) + y(u)a + y(u)(v(s) х а),
§18. Гауссова и средняя кривизны
103
где v(s) = p(s), |v(s)| = 1, (v(s), a) = 0, |a| = 1, a — постоянный вектор.
18.12.	Плоская кривая 7 задана уравнением р = p(s), где s — натуральный параметр; k = k(s) — ее кривизна, 0 < к < 1/о; п — главная нормаль к 7, b — орт нормали к плоскости кривой 7. Поверхность S задана уравнением
r(s, <р) = p(s) + an(s) cos <p + ab sin <p.
а)	Найти гауссову кривизну поверхности S';
б)	найти среднюю кривизну поверхности S';
в)	найти линии кривизны поверхности S.
18.13.	Найти линии кривизны поверхности
r(s, ip) ~ p(s) + an(s) cos ip + ab(s) sin<p, здесь n и b — орты главной нормали и бинормали кривой р = = p(s), имеющей натуральный параметр s, кривизну k(s) < 1/a и кручение x(s).
18.14.	Найти линии кривизны поверхности
г(п, v) = (u [3v2 — и2 — ] , v (зи2 — v2 — - j , 2uv ] .
18.15.	Предположим, что первая квадратичная форма поверхности имеет вид
ds2 = Edu2 + Gdv2.
Доказать, что
К 1	( d (dE/dv\ d PdG/du\}
~ ~ 2\TeG V^G ) + ди \ y/EG / J ‘
18.16.	Найти выражение для гауссовой кривизны поверхности, отнесенной к таким координатам, в которых первая квадратичная форма имеет вид
ds2 = du2 + G(u, v) dv2.
18.17.	Найти кривизну поверхности, первая квадратичная форма которой имеет вид
ds2 = du2 + е2и dv2.
18.18.	Доказать, что гауссова кривизна К двумерной поверхности выражается только через метрику, т.е. через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Отсюда следует, что гауссова кривизна не меняется при изометриях поверхности.
18.19.	Можно ли подобрать A, tp, ip так, чтобы поверхность
г(п, в) = cos А0, <^(u)sinA0, V>(u))
104
Часть 2
имела гауссову кривизну 1? Отметим, что, помимо сферы, таких поверхностей вращения много.
18.20.	Можно ли подобрать А, <р, гр так, чтобы поверхность
г(и, в) = (</’(^) cos Х0, ip(u) sin Хв, ^(м))
имела гауссову кривизну —1?
18.21.	Доказать, что среди поверхностей вращения постоянной отрицательной кривизны есть три типа:
1)	Катушка Миндинга (выглядит как китайские фонарики).
2)	Волчок Миндинга, т. е. поверхность с острием на оси вращения.
3)	Псевдосфера Бельтрами.
Графики образующих, соответствующих этим трем типам поверхностей, приведены на рис. 62, 63.
Рис. 63. Катушка Миндинга, волчок Миндинга, псевдосфера Бельтрами
§ 19. Параметризации известных двумерных поверхностей 105
18.22.	Доказать, что при проективном преобразовании пространства R3 сохраняется свойство точки поверхности быть эллиптической, параболической или точкой уплощения.
18.23.	Пусть дана поверхность с метрикой gjj. Положим по определению = glJVЦр^j<p, V(<£, ip) = g^VupVjip. Доказать, что угол 6 между кривыми ip = const и ip = const на поверхности определяется равенством
cos в =
y/X/ip^lp
§ 19.	Параметризации известных двумерных поверхностей
В этом параграфе требуется проверить, что указанные в задачах формулы задают параметризации вложений или погружений известных поверхностей.
19.1.	Поверхность с особенностями, параметрически задаваемая в R3 следующими уравнениями:
г(0, Ч>) — ((1 + cos 20) cos 2уэ, (1 + cos 20) sin2^7, sin20sin</>), л „ л
-2^2’
является одной из моделей (см. рис. 64) проективной плоскости RF2. Описать особые точки этой поверхности.
Доказать, что сфера
r(0, <0) — (cos 0 cos <^, cos0sin</>, sin0)
двулистно накрывает эту поверхность. Найти соответствие между парами точек сферы и точками RF2 в терминах параметров 0, <р.
Рис. 64. Склейка проективной плоскости из квадрата
Отметим, что если от описанной модели проективной плоскости отрезать плоскостью небольшой диск, то оставшаяся часть является моделью листа Мёбиуса. Она называется скрещенным
106
Часть 2
колпаком (см. рис. 65). Линия самопересечения колпака соответствует (р = 0. Точками пинча (см. рис. 66) являются (#, ip) = = (0, 0) и в = тг/2.
Рис. 67. Поверхность Боя — погружение проективной плоскости в R3
Рис. 68. «Прозрачная» поверхность Боя. Здесь хорошо видно, как устроено ее множество точек самопересечения
19.2.	Напомним, что одной из моделей проективной плоскости является поверхность Боя в R3 (см. рис. 67, 68).
Параметризация Апери поверхности Боя:
Г2 cos ip
—Т2 sin <р 0
_____cos2#______	_	sin0cos0
1 — b sin 3tp sin 20 ’	1 — b sin 3(p sin 20
Здесь и = л/2/З, r? = 2/3. При 1/л/б < b < 1 точек пинча на поверхности нет.
§ 19. Параметризации известных двумерных поверхностей 107
Доказать, что стандартная сфера накрывает эту параметризованную поверхность двулистно.
Структура поверхности Боя показана на рис. 69, 70.
Рис. 69. Начало процесса построения поверхности Боя из листа Мёбиуса
Рис. 70. Завершение процесса построения поверхности Боя из листа Мёбиуса
19.3.	Доказать, что следующие формулы задают вложение проективной плоскости в R4:
r(iz, v) = (w, х, у, z),
где
w(u, v) = (cos ?z)2 cos 2w, x(u, v) = sin2wcosn, y(u, v) = sin2usinn, z(u, v) = (cos tz)2 sin 2v.
19.4.	Доказать, что следующие вектор-функции задают погружения бутылки Клейна в R3 (см. рис. 71).
108
Часть 2
Рис. 71. Погружение бутылки Клейна
а)	т(и, v) = (Rx, Ry, Rz), где Rx, Ry, Rz — компоненты в декартовых координатах следующей вектор-функции:
R(u, и) = Ro (tj) + р(и) (ei (и) cos v + ег sinw).
Здесь
(asin2u \
° / ’
b cos и /
(&sinu \	1	/ 0 \
0 I ’ в2 =	1 Г
acos2u / 1Ло1	\ 0 /
Иными словами, еу и ег — единичные векторы, ортогональные Rq, Р - Р0 + Pl sin2” (н - но).
Здесь, например, можно положить
а = -, b = 1, ро — 0,1, pi = 0,6, но = 0,3, п — 4.
б)	Еще одна параметризация, где а — вещественное число:
/ ( и .	. н .	>
а + cos — sin v — sm — sm 2v
\	2	2	>
z	\	/"	u	•	.	и	.	„	'
ra(u,	v) =	(	a + cos — smw — sm — sin2n
.	и	.	и	.
.	sm — sm v 4- cos — sm 2v
19.5	. Доказать, что следующая вектор-функция задает параметризацию листа Мёбиуса в R3
cos и
smu
cos 99.
sm
—J sin tp, tcos
§ 19. Параметризации известных двумерных поверхностей 109
1 1
4’ 4
это отображение является вло-
Доказать, что для t G жением.
19.6	. Зададим открытый лист Мёбиуса как косое (скрученное) произведение окружности на интервал. Окружность назовем осевой, а длину интервала — шириной листа Мёбиуса. См. рис. 72.
Рис. 72. Лист Мёбиуса в R3
а)	Доказать, что лист Мёбиуса бесконечной ширины с плоской метрикой в R3 не вкладывается;
б)	найти максимальное отношение длины осевой окружности к ширине листа Мёбиуса, при котором существует изометричное вложение плоского листа Мёбиуса в R3.
19.7	. Доказать, что следующая алгебраическая поверхность в R3 является скрещенным колпаком, т. е. моделью листа Мёбиуса: (kix2 + kzy2)(x2 + у2 + z2) - 2z(x2 + у2) = 0,
где ki кч- Доказать, что эту поверхность можно параметризовать следующим образом:
cos в cos	cos в sin <р
ki cos2 <р + к-2, sin2	fci cos2 ip + k-2 sin2 <p ’
1 + sin e
Z — — g ~	7 2	
ki COS2 4- fc2 Sin (p
а)	При этом требуется доказать, что первое уравнение (алгебраическое) задает поверхность, т. е. указанная выше параметризация действительно задает множество всех решений этого уравнения.
б)	Доказать, что указанные формулы задают гладкую регулярную параметризацию вне особых точек. Найти особые точки.
в)	Проверить, что при этой параметризации квадрат — тг/2 SC в SC тт/2, 0 <р я склеивается в лист Мёбиуса.
по
Часть 2
19.8	. Доказать, что формулы х = и2 — v2, у = uv, z = uw, t = vw задают регулярное погружение u2 + v2 + w2 = 1 в IK'1. Заметим, что при этом отображении противоположные точки сферы переходят в одну точку, поэтому возникает регулярное отображение RF2 в R4. Доказать, что при этом получается вложение проективной плоскости в R4.
§ 20.	Поверхности в R3
20.1.	Доказать, что если в некоторой точке поверхности в R3 гауссова кривизна К > 0, то поверхность локально лежит по одну сторону от касательной плоскости в этой точке.
20.2.	Пусть две поверхности М\ и М-2 касаются одной и той же плоскости в некоторой общей точке. При этом в некоторой окрестности этой точки обе поверхности находятся по одну сторону от плоскости, причем поверхность М\ целиком лежит внутри поверхности М2 (см. рис. 73). Доказать, что для гауссовых кривизн справедливо строгое неравенство Ку > К%-Этот факт является локальным.
20.3.	Можно ли реализовать лист Мёбиуса в R3 в виде гладкой поверхности всюду положительной кривизны?
20.4.	Можно ли вложить лист Мёбиуса в R3 в виде гладкой поверхности, однозначно проектирующейся на какую-либо плоскость?
20.5.	а) Доказать, что неориентированную поверхность (замкнутую или с границей) нельзя погрузить в R3 так, чтобы в каждой ее точке либо гауссова кривизна К была строго положительна, либо гауссова кривизна К была нулевой, но средняя кривизна Н отлична от нуля.
б)	Построить вложение плоского листа Мебиуса (т. е. с локально евклидовой метрикой) в R3. Объяснить почему наличие такого вложения не противоречит предыдущему пункту.
20.6.	Доказать, что замкнутая гладкая поверхность в R3 всегда имеет точку, в которой: а) гауссова кривизна не меньше 0; б) гауссова кривизна строго больше 0.
20.7.	а) Доказать, что гладкая замкнутая поверхность отрицательной гауссовой кривизны не погружается в R3.
§ 20. Поверхности в И3
111
б)	Доказать, что гладкая замкнутая поверхность неположительной гауссовой кривизны не погружается в R3.
в)	Доказать, что плоский тор нельзя гладко и изометрично погрузить в R3.
20.8.	а) Доказать, что на гладкой ориентированной погруженной в 1R3 поверхности рода не меньшего, чем 2, обязательно найдется точка, в которой гауссова кривизна К строго меньше 0.
б)	Пусть тор (или бутылка Клейна) гладко погружен в R3. Доказать, что тогда обязательно существует точка, в которой К < 0.
20.9.	Доказать, что сферическое отображение минимальной поверхности в окрестности каждой точки, не являющейся точкой уплощения, конформно.
20.10.	Доказать, что:
а)	на листе Мёбиуса существует метрика постоянной положительной кривизны. Это пример метрики, которая не погружается изометрично в R3;
б)	на листе Мёбиуса можно ввести метрику постоянной отрицательной кривизны.
20.11.	Можно ли изометрично вложить в R3 лист Мёбиуса с метрикой постоянной отрицательной кривизны?
20.12.	Можно ли реализовать лист Мёбиуса в R3 как область на некоторой поверхности вращения?
20.13.	Рассмотрим поверхность вращения относительно оси z и введем на ней действие группы Z/2: (ж, у, г) —> (—ж, —у, z). Про факторизуем поверхность по этому действию. Получим новую поверхность с метрикой.
Расмотреть пример однополостного гиперболоида вращения и полученную описанным образом фактор-поверхность изометрически реализовать в R3 как поверхность вращения.
20.14.	Найти площадь сферического образа поверхности г = = r(u, v), щ < u < U2,	< v < V2, с первой квадратичной
формой ds2 = du2 + G dv2.
20.15.	Найти площадь сферического образа эллиптического параболоида.
20.16.	Найти сферический образ тора реализованного в R3 стандартным образом как поверхность вращения.
20.17.	Доказать, что площадь сферического образа одной полости двуполостного гиперболоида меньше 2тг.
20.18.	Доказать, что существует конформное отображение поверхности вращения на плоскость, при котором меридианы и параллели поверхности переходят в прямые линии плоскости.
20.19.	Доказать, что существует конформное отображение поверхности вращения на плоскость, при котором меридианы переходят в прямые, проходящие через начало координат, а параллели — в окружности с центром в начале координат.
112
Часть 2
20.20. Вычислить интеграл
jf 17<| dS, где К — гауссова м
кривизна поверхности Ф, если М:
а) эллипсоид; б) эллиптический параболоид; в) тор.
§ 21.	Топология двумерных поверхностей
В этом параграфе мы будем рассматривать разбиения поверхности на конечное число замкнутых треугольников, где любые два треугольника либо не пересекаются, либо пересекаются по нескольким общим ребрам, либо по некоторым своим вершинам, либо по общему ребру и противоположной вершине. Такое разбиение назовем триангуляцией. Триангуляция, в которой любые два треугольника, пересекающиеся только по своим вершинам, имеют ровно одну общую вершину, называется правильной. Далее в этом параграфе через V обозначается число вершин, через Е — число ребер, а через F — число треугольников триангуляции поверхности. Число V — E+F называется эйлеровой характеристикой х(М) поверхности М. Это число не зависит от выбора триангуляции поверхности и, следовательно, является топологическим инвариантом поверхности.
21.1.	Построить какие-нибудь триангуляции сферы, тора, проективной плоскости и найти эйлеровы характеристики этих поверхностей.
21.2.	Из того факта, что эйлерова характеристика сферы X(S2) — 2, вывести существование ровно 5 комбинаторно пра-
Рис. 74. Тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр
вильных многогранников (см. рис. 74). Напомним, что разбиение поверхности называется комбинаторно правильным, если у всех
§21. Топология двумерных поверхностей 113
граней одинаковое число ребер и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.
21.3.	Доказать, что число вершин правильной триангуляции двумерной замкнутой поверхности удовлетворяет оценке
7+у/49 - 24Х(М)
2
В частности, правильная триангуляция тора содержит не менее 7 вершин, а правильная триангуляция RP2 — не менее 6.
21.4.	Привести пример правильной триангуляции: а) тора с 7-ю вершинами; б) проективной плоскости с 6-ю вершинами.
21.5.	Доказать, что минимальное число треугольников правильной триангуляции тора равно 14. Построить пример такой минимальной трингуляции. Сравнить с примером из предыдущей задачи.
21.6.	а) Выяснить, сколько существует правильных триангуляций тора с минимальным числом вершин. Сколько существует правильных триангуляций тора с наименьшим числом треугольников? Существуют ли правильные триангуляции тора, минимальные в одном смысле, но не минимальные в другом?
б)	Ответить на все эти вопросы для проективной плоскости.
21.7.	Доказать неравенство Хивуда
еокмк7^9;24^)
для всех замкнутых двумерных поверхностей за исключением бутылки Клейна. Здесь через col(M) обозначено хроматическое число поверхности М, т. е. минимальное число красок, необходимое для раскраски триангуляции таким образом, чтобы треугольники с общим ребром имели разные цвета.
21.8.	Доказать, что col (Mg) = со!(М^), col(?VQ) = coI(IVq). Здесь Mg — сфера с g ручками, Na — сфера с а пленками Мёбиуса, Мд — сфера с д ручками, из которой выброшено к непересекаю-щихся дисков, a N& — сфера с а пленками Мёбиуса, из которой выброшено к непересекающихся дисков. См. рис. 75.
21.9.	Привести пример карты на проективной плоскости, которая не допускает раскраски в 5 цветов.
21.10.	Доказать, что операция связной суммы поверхностей не зависит от способа склейки граничных окружностей, т. е. от выбора их ориентации при склейке.
21.11.	Доказать, что T2#RP2 = RP2#RP2#RP2. Здесь через Х#У обозначена связная сумма поверхностей X и У.
21.12.	Разрезать бутылку Клейна на два листа Мёбиуса.
21.13.	Разрезать крендель (сферу с двумя ручками) так, чтобы получился плоский связный восьмиугольник.
9 Зак. 359
114
Часть 2
Рис. 75. Двумерные поверхности
21.14.	Разрезать сферу с тремя ручками так, чтобы получился плоский связный двенадцатиугольник, все вершины которого представляют одну точку поверхности.
21.15.	Доказать, что связная сумма Х#У поверхностей X и Y ориентируема тогда и только тогда, когда обе поверхности ориентируемы.
21.16.	Доказать, что х(Х#У) = х(Х) + х(У) ~ 2.
21.17.	Доказать, что х(Мд) = 2 — 2д, Х(^а) = 2 — а.
21.18.	Доказать, что x(S2 \ kD2) = 2 — к. Здесь из сферы выброшено к непересекающихся дисков.
21.19.	Если сфера разбита на n-угольники и в каждой вершине встречаются ровно к ребер, то
1 1 _ 1 £ п + к ~ 2 + Е'
Графом «п домиков и т колодцев» будем называть граф, у которого п+т вершин разбиты на две непересекающиеся группы из п и т элемен-
§ 22. Линии на поверхностях
115
тов соответственно, причем каждая вершина из одной группы соединена единственным ребром с каждой вершиной другой группы. Других ребер у графа нет.
21.20.	Доказать, что на сфере (плоскости) нельзя разместить следующие графы так, чтобы любые два различных ребра пересекались самое большее по общей вершине:
а)	граф «3 домика и 3 колодца»;
б)	граф с пятью вершинами, у которого каждая пара различных вершин соединяется единственным ребром.
21.21.	Доказать, что граф «3 домика и 3 колодца» можно без самопересечений разместить на проективной плоскости (листе Мёбиуса).
21.22.	Доказать, что комбинаторно правильное разбиение тора состоит из треугольников, четырехугольников или шестиугольников (определение комбинаторно правильного разбиения см. в задаче 21.2).
21.23.	Пусть замкнутая поверхность Q комбинаторно правильно разбита на шестиугольники, причем в каждой вершине сходятся четыре грани. Доказать, что если число граней F не делится на число ребер Е, то Q неориентируема.
21.24.	Пусть на замкнутой поверхности проведены три линии р, q и г с общими концами и не имеющие попарно общих внутренних точек. Если разрез по одной из линий р U q, q U г или г U р оставляет поверхность Q связной, то таким же свойством обладает по крайней мере одна из двух оставшихся линий.
21.25.	Показать, что если в замкнутой неориентируемой поверхности Na вырезать дырку, то полученная поверхность может быть расположена в пространстве R3 без самопересечений.
21.26.	Доказать, что граф «4 домика и 4 колодца» нельзя расположить на проективной плоскости, но можно расположить на торе.
21.27.	Доказать, что если граф «т домиков и п колодцев» можно тпп расположить на поверхности CJ, то x(Q) m + п-----
§ 22.	Линии на поверхностях
22.1.	Дана поверхность х = u + v, у = и2 + v2, z = 2uv и семейство линий на ней и2 — cv2 = с. Найти дифференциальное уравнение сопряженного ему семейства.
22.2.	Пусть ст — поверхность, I — прямая, {71} — семейство сечений поверхности плоскостями, проходящими через прямую линию Z, а {72} — семейство линий, в которых конусы, имеющие вершины на Z, касаются поверхности. Показать, что семейства {71} и {72} образуют сопряженную сеть.
9*
116
Часть 2
22.3.	На поверхности х — ucosv, у = rt2sinw, z = hv задано семейство линий v. Найти сопряженное семейство.
22.4.	Найти поверхности z = f(x, у) с такой сопряженной сетью, которая проектируется в сеть координатных линий прямоугольной декартовой координатной системы на плоскости хОу.
22.5.	Показать, что отображение двух поверхностей друг на друга, при котором каждая сопряженная сеть одной поверхности переходит в ортогональную сеть другой, переводит вторую квадратичную форму одной поверхности в форму, пропорциональную первой квадратичной форме первой поверхности.
22.6.	Найти асимптотические линии однополостного гиперболоида
х2 у2	z2 _
а2 + б2	с2
22.7.	Найти асимптотические линии поверхности
= /(ж) - /(у)
и определить функцию / таким образом, чтобы линии одного асим-тотического семейства были ортогональны асимптотическим линиям другого семейства.
22.8.	Найти асимптотические линии поверхности z = жу3—ух3, которые проходят через точку (1, 2, 6).
22.9.	Найти асимптотические линии катеноида.
22.10.	Показать, что на прямом геликоиде одно семейство асимптотических линий состоит из прямых, а другое — из винтовых линий.
22.11.	Доказать, что:
а)	координатные линии и = const являются асимптотическими тогда и только тогда, когда коэффициент N второй квадратичной формы равен 0;
б)	для того чтобы координатная сеть состояла из асимптотических линий, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты L и N второй квадратичной формы были равны 0.
22.12.	Доказать, что на плоскости любая линия является асимптотической, и наоборот, поверхность, на которой любая линия является асимптотической, является частью плоскости.
22.13.	Найти асимптотические линии поверхности, которая составлена из точек, являющихся серединами хорд винтовой линии.
22.14.	Пусть поверхность образована главными нормалями линии 7. Доказать, что линия 7 является асимптотической линией этой поверхности.
22.15.	Доказать, что если асимптотические линии поверхности пересекаются под постоянным углом, то гауссова кривизна поверхности пропорциональна квадрату средней кривизны.
§ 22. Линии на поверхностях 117
22.16.	Доказать, что если координатная сеть на поверхности асимптотическая, то имеют место равенства
Э1п|К| = FEV - EGU gln|K| = FGU - GEV du EG-F2 , dv EG-F2 '
где К — гауссова кривизна поверхности.
22.17.	Доказать, что асимптотические линии на поверхности постоянной отрицательной кривизны образуют сеть Чебышева, и обратно, если асимптотическая сеть на поверхности чебышевская, то гауссова кривизна поверхности постоянна. Сеть называется чебышевской, если у любого четырехугольника, образованного линиями сети, длины противоположных сторон равны.
22.18.	Т еорема Бельтрами-Эннепера. Доказать, что если асимптотические линии различных семейств имеют в их общей точке отличные от нуля кривизны, то они имеют равные по модулю, но противоположные по знаку кручения. Кроме того, квадрат кручения асимптотической линии равен модулю гауссовой кривизны в этой точке.
22.19.	Две поверхности пересекаются под прямым углом. Доказать, что если на одной поверхности линия пересечения является асимптотической, то она является геодезической на другой, и наоборот.
22.20.	Найти линии кривизны прямого геликоида.
22.21.	Найти линии кривизны на произвольной цилиндрической поверхности.
22.22.	Найти линии кривизны на произвольной конической поверхности.	*
22.23.	Доказать, что на плоскости и на сфере любая линия является линией кривизны. Наоборот, если на поверхности любая линия является линией кривизны, то такая поверхность является плоскостью или сферой (или их частью).
22.24.	Теорема Лиувилля. Доказать, что при конформном отображении пространства на себя сфера (плоскость) переходит в сферу или плоскость.
22.25.	Доказать, что если координатная сеть состоит из линий кривизны, то главные кривизны поверхности задаются формулами
. L , N
к1 = Е’ к2=О-
22.26.	Т еорема Родрига. Доказать, что для того чтобы линия 7 на поверхности г = r(u, v) была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы вдоль кривой выполнялось равенство
dm = —к dr, где m — единичный вектор нормали к поверхности, а к — нормальная кривизна поверхности вдоль кривой 7.
118
Часть 2
22.27.	Доказать, что:
а)	если две поверхности пересекаются вдоль некоторой линии под постоянным углом и эта линия является линией кривизны на одной поверхности, то она является линией кривизны и на другой поверхности;
б)	если две поверхности пересекаются по линии, являющейся линией кривизны на каждой из поверхностей, то поверхности пересекаются под постоянным углом.
22.28.	Теорема Дюпена. Даны три семейства поверхностей
/1(ж, у, z) = const, f2(x, у, z) = const, f3(x, у, z) = const,
причем якобиан
£*(/1; fz, /з) , p y, z)
Пусть поверхности пересекаются попарно под прямым углом. Это — так называемая триортогональная система поверхностей. Доказать, что линии пересечения поверхностей из различных семейств являются линиями кривизны на каждой поверхности.
22.29.	Доказать, что каждую поверхность в R3 можно включить в триортогональное семейство поверхностей.
22.30.	Поверхности М\ и М2 называются параллельными, если нормали одной поверхности, как аффинные прямые, являются нормалями другой поверхности. Точки поверхностей М\ и М2, лежащие на общих нормалях, назовем соответствующими. Доказать, что при таком соответствии линии кривизны переходят в линии кривизны.
22.31.	Доказать, что при конформном отображении пространства на себя линии кривизны исходной поверхности преобразуются в линии кривизны преобразованной поверхности.
22.32.	Пусть 7 — линия кривизны поверхности М, причем нормальная кривизна кп линии у постоянна и отлична от нуля. Доказать, что поверхность М касается по линии у некоторой сферы радиуса V/kn.
22.33.	а) Доказать, что существует изометрическое отображение геликоида х — и cos?;, у = wsin?;, z = kv на катеноид
, , s	, , .s .
х = к ch -cost, у — к ch -sint z = s;
к	к
б)	доказать, что при наложении геликоида на катеноид его асимптотические линии переходят в линии кривизны, а линии кривизны — в асимптотические линии.
22.34.	Доказать, что геодезическая линия является линией кривизны тогда и только тогда, когда она плоская.
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 119
§ 23.	Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи)
Кривые
Кривая называется регулярной класса Сп, если она допускает параметризацию х = x(t), у = y(t) класса Сп с условием x'2(t) + y'2(t)	0.
23.1.	а) Привести примеры нерегулярных кривых, допускающих аналитическую параметризацию;
б)	доказать, что кривая, допускающая аналитическую параметризацию, может иметь только такие точки излома, в которых вектор скорости скачком поворачивается на угол тг;
в)	доказать, что если гладкая кривая не допускает аналитической параметризации, то в ее особых точках угол поворота вектора скорости может быть любым. Построить примеры.
23.2.	Доказать, что если кривая определена аналитическим отображением окружности в Rn, п 2, то ее регулярность может нарушаться только в конечном числе точек.
23.3.	Представить график функции у = |ж| как кривую следующего типа:
а)	с Сп-гладкой параметризацией для любого натурального п, но не являющуюся Cn+1-гладкой;
б)	с С00-гладкой параметризацией;
в)	показать, что для нее не существует аналитической параметризации.
23.4.	Пусть плоская кривая задана отображением х = tk, у — = tn, к < п, где кип — натуральные числа, t Е (—1, 1). Исследовать, при каких кип кривая является:
а)	регулярной, но неаналитической в любой регулярной параметризации;
б)	регулярной аналитической;
в)	нерегулярной в любой гладкой параметризации.
В пунктах а) и б) привести соответствующие регулярные параметризации. Во всех трех случаях нарисовать качественный вид кривых в окрестности начала координат.
23.5.	Пусть пространственная кусочно-регулярная кривая состоит из двух плоских дуг. Какая возможна максимальная гладкость кривой в целом?
23.6.	Найти регулярную аналитическую параметризацию лемнискаты Бернулли (х2 + у2)2 — а2(х2 — у2).
23.7.	Можно ли продеформировать лемнискату в классе регулярных кривых в кривую без самопересечений?
23.8.	Может ли точка двигаться так, что величина скорости движения пропорциональна длине пройденного с начала движения пути?	,, .
120
Часть 2
23.9.	Расположенный на плоскости Оху луч равномерно вращается в плоскости вокруг своей начальной точки О. Точка М на луче движется по лучу со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ-.
а)	вывести уравнение траектории движения точки в полярных координатах с полюсом в О;
б)	показать, что на полученной кривой (называемой логарифмической спиралью Бернулли) касательные образуют с радиус-вектором кривой постоянный угол;
в)	это свойство логарифмических спиралей является для них характеристическим;
г)	спираль стремится к своему полюсу г = 0, имея конечную длину;
д)	выписать натуральные уравнения логарифмической спирали;
е)	радиус кривизны спирали пропорционален длине ее дуги, отсчитываемой от полюса, и это свойство тоже является характеристическим свойством логарифмических спиралей;
ж)	эволюта данной логарифмической спирали конгруентна самой спирали;
з)	указать значение параметра а, для которого эволюта спирали совпадает с ней самой, т. е. когда спираль является огибающей своих нормалей;
и)	каждая логарифмическая спираль является орбитой действия группы G линейных преобразований плоскости, которое состоит в преобразовании подобия с коэффициентом подобия t > 0 с последующим поворотом плоскости на угол а = In t (центр подобия и центр вращения — в общем полюсе спиралей);
к)	для дуги спирали г = ev, уч у> у>2> указать элемент группы G, который переводит ее в дугу этой же спирали, начинающуюся в точке с полярными координатами у> = тг + уч, г — будет ли образ дуги иметь такой же угловой раствор величиной у>2 — УЧ 1 что и исходная дуга?
23.10.	Пусть L — замкнутая регулярная гладкая кривая. Доказать, что множество направлений, по которым касательные прямые касаются кривой в точках с нулевой кривизной, имеет нулевую угловую меру. Доказать, что направлений, по которым касательные касаются кривой более чем в одной точке с ненулевой кривизной, может быть только конечное число.
23.11.	Пусть гладкая регулярная кривая касается в точке М некоторой окружности Г, центр которой расположен на том же нормальном к кривой луче, что и центр круга кривизны. Показать:
а)	если кривая в окрестности точки М расположена вне (внутри) окружности Г, то радиус кривизны кривой не меньше (не больше) радиуса R окружности Г;
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 121
б)	если радиус кривизны кривой больше (меньше) R, то кривая в окрестности М лежит вне (внутри) Г;
в)	пусть окружность Г совпадает с окружностью кривизны, тогда если в точке М радиус кривизны кривой имеет локальный максимум (минимум), то кривая в окрестности М лежит внутри (вне) окружности Г.
23.12.	Пусть регулярная гладкая простая замкнутая кривая L на плоскости всюду имеет положительную кривизну. Доказать, что L является выпуклой в целом. Получить то же самое утверждение в предположении неотрицательности кривизны.
23.13.	(.Вычислить для лемнискаты Бернулли, заданной в полярных координатах (г, <р) уравнением г2 = 2а2 cos 2<р, интегралы
I	f k(s)ds и J\k(s)\ds,
I	У	7
где s — длина дуги, a k(s) — кривизна кривой.
23.14.	Доказать, что для длины L плоской выпуклой в целом кривой справедлива формула Коши: L — j> l(w) dw, где интегри-s1
рование проводится по единичной окружности S1, а /(<т) означает ширину кривой в направлении ш е S1. Ширина кривой в данном направлении определяется как расстояние между касательными к кривой, перпендикулярными к этому направлению.
23.15.	Доказать, что в окрестности точки, где кручение кривой отлично от нуля, выполняются нижеследующие свойства. В обоих случаях определить, каковы при этом главные члены отклонения d кривой от этих плоскостей по сравнению с длиной дуги, отсчитываемой от рассматриваемой точки:
а)	кривая пересекает свою соприкасающуюся плоскость, рас-полагаясь по разные ее стороны;
б)	кривая располагается по одну сторону от своей спрямляющей плоскости.
23.16.	а) Доказать, что на сфере имеются кривые с постоянным кручением;
б)	доказать, что на сфере нет замкнутой регулярной кривой со знакопостоянным кручением, отличным от 0;
в)	из предыдущих пунктов вытекает, что на сфере кривая с постоянным кручением не может быть замкнутой. Вопрос — как «далеко» простирается сферическая кривая с постоянным кручением: обязательно ли она имеет конечную длины или же она бесконечной длины и обматывает сферу плотно?
23.17.	Пусть кривизна к регулярной пространственной кривой r(s) обращается в нуль в конечном числе точек и пусть в каждой ее 8 Зак. 359
122
Часть 2
точке, где к 0, определена бинормаль b(s), которая допускает непрерывное продолжение на точки с к = 0, так что на всей кривой получается гладкое векторное поле b(s). Доказать, что если определить главную нормаль n(s) равенством n = bx v, а кривизну к и кручение х из формул v = кп, b = —хп (где v = f(s)), то формулы Френе будут верны и в точках к = 0, но при этом кривизна пространственной кривой может оказаться знакопеременной.
23.18.	Доказать теорему Якоби: если сферическая индикатриса главных нормалей замкнутой кривой не имеет самопересечений, то она делит сферу на две равновеликие части.
23.19.	Пусть плоская выпуклая дуга L\ касается плоской строго выпуклой дуги L2j оставаясь по одну сторону от нее. Доказать, что в точке касания кривизна кривой Li не меньше, чем кривизна кривой
23.20.	Показать, что для того чтобы прямая у = Ах + В, z = Сх + D была асимптотой пространственной кривой х = x(t), У ~ ?/(0> z — z(t) ПРИ I *0, необходимо и достаточно, чтобы существовали следующие пределы:
lim = А, t->t0 x(t)
,. z(t) г, lim —— = С, t->t0 x(t)
lim (y(t) — Ax(t)) = B, lim (г(<) — C's(t)) = D.
Поверхности
23.21.	Доказать, что если на гладкой регулярной поверхности есть три различных семейства прямолинейных образующих, то эта поверхность является плоскостью или областью на ней.
23.22.	Доказать, что если на гладкой регулярной поверхности есть два различных семейства прямолинейных образующих, то эта поверхность является поверхностью 2-го порядка.
23.23.	а) Пусть области на двух поверхностях 2-го порядка склеены вдоль общей дуги границы так, что в целом получилась С''-гладкая поверхность. Показать, что тогда линия склеивания является плоской кривой. Всякие ли две поверхности 2-го порядка допускают такое склеивание?
б)	Пусть области на двух поверхностях 2-го порядка Si и Sj склеены вдоль общей дуги границы, образуя в целом С'2-гладкую поверхность S. Тогда Si и $2 как поверхности 2-го порядка совпадают. Другими словами, склеиваемые области являются смежными областями на одной и той же поверхности 2-го порядка, так что S на самом деле будет аналитической.
23.24.	Если неразвертывающаяся линейчатая поверхность имеет гладкость класса Сп, п 2, то на ней можно ввести асимптотическую параметризацию (когда образующие являются одним
§ 23.	Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 123 из семейств координатных линий), в которой поверхность имеет гладкость класса С"1-1.
23.25.	Пусть линейчатая поверхность является С^-гладкой в некоторой асимптотической параметризации. Показать, что на ней можно ввести С*1-гладкую асимптотическую параметризацию, в которой направляющая линия ортогональна к пересекающим ее образующим.
23.26.	Описать метрики поверхностей, на которых внутренние координаты и и v являются натуральными параметрами на координатных линиях.
23.27.	Описать поверхности, на которых координаты в линиях кривизны одновременно являются натуральными параметрами линий кривизны.
23.28.	Описать поверхности, на которых линии кривизны являются геодезическими.
23.29.	Если на гладкой регулярной неразвертывающейся линейчатой поверхности М есть прямолинейный отрезок, пересекающий все образующие, то на М можно ввести внутренние координаты, в которых асимптотические линии можно найти в квадратурах.
23.30.	Доказать, что неразвертывающаяся линейчатая гладкая регулярная поверхность не может иметь постоянную гауссову кривизну.
23.31.	Пусть в изотермических координатах (и, ц) поверхность имеет координаты
a? = ReFi(w), y = ReF2(w), z = R.eFz(w),
где F^(w), k = 1, 2, 3, — аналитические функции комплексного аргумента w = и + iv. Такое представление называется представлением Вейерштрасса:
а)	какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять эти функции, чтобы поверхность была минимальной?
б)	вычислить метрическую форму этой минимальной поверхности.
23.32.	Пусть минимальная поверхность М, заданная представлением Вейерштрасса (см. задачу 23.31), подвергается деформации Mt вида
х = Re (Г1(ш)е^), у = Re (Е2(ш)е!'‘), z = Re (F3(w)e,()
с параметром деформации t. Доказать следующие утверждения:
а)	эта деформация является изгибанием поверхности М. В частности, все поверхности Mt изометричны друг другу;
б)	изгибания происходят в классе минимальных поверхностей;
в)	все поверхности Mt имеют параллельные нормали в соответствующих по изометрии точках.
8*
124
Часть 2
23.33.	Минимальные поверхности, определяемые формулами из задачи 23.32, называются ассоциированными. Показать, что изгибание минимальной поверхности в классе минимальных поверхностей происходит только в семействе ассоциированных минимальных поверхностей.
23.34.	Рассмотрим поверхность М:
x — u— |n3 + 4?w2, у = v — ~v3 + 4u2t>, z - 2(iz2 — и2) Л	о
и ее деформацию Mt:
4 о
—и — чин I cos 2t +
О	.
4 „
9	4
4iz v — -o'5 ) sin 2/, О
^u3 — 4ги? ) sin 2t + ( 4ц2г> — v2) cos t — 4iw sin t.
х = и —
cos 2t,
3	,
z = 2(и2 -
Доказать, что эта деформация является изгибанием и что исходная поверхность М и все ее деформации Mt являются минимальными поверхностями. При каком значении параметра поверхность Mt является зеркальным образом поверхности ?
23.35.	Пусть поверхность М такова, что существует ее непрерывное изгибание на ее центрально-симметрический образ М*. В таких случаях говорят, что М наложима на М*. Доказать, что М также наложима на свой зеркальный образ (отражение в плоскости).
23.36.	Доказать, что минимальная поверхность наложима на свой зеркальный образ.
23.37.	Написать общий вид конформного отображения сферы S: х2 + у2 + z2 = 1 на себя с условием сохранения ориентации и неподвижности северного и южного полюсов.
23.38.	Показать, что среди линейчатых поверхностей минимальной поверхностью, кроме плоскости, является только прямой геликоид.
23.39.	Показать, что линейчатые поверхности, за исключением плоскости и геликоида, не могут иметь постоянную среднюю кривизну.
23.40.	Показать, что единственной минимальной поверхностью с постоянной гауссовой кривизной является плоскость.
23.41.	Будем говорить, что поверхность в Rn, п 3, имеет постоянную внешнюю геометрию, если любые две ее точки имеют конгруентные в R" окрестности:
а)	показать, что в R3 поверхностями с постоянной внешней геометрией являются только плоскость, сфера и прямой круговой цилиндр (или области на них);
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 125
б)	показать, что поверхность в R4:
xi — Ri cos u, 3?2 = /?isiniz, а?з = T?2 cos T4 = T?2 sirw,
где 0 it, v 2ir, a 7?i и T?2 — постоянные числа, гомеоморфна тору, имеет нулевую гауссову кривизну и ее внешняя геометрия в R4 постоянна. Эта поверхность называется обобщенным тором Клиффорда. Ее можно задать еще одним способом. Отождествим R4 с комплексным пространством С2 с координатами z, w. Тогда тор Клиффорда получается как пересечение трехмерной сферы |z|2 + |w|2 = 1 с конусом |z| = |w|. Отметим, что индуцированная метрика на торе Клиффорда является плоской;
в)	показать, что поверхность в R5:
ху	yz	XZ
= ~Ъ' Х2 = Хз = ~7ч> V	V *5	V
х2 - у2	х2 + у2 - 2z2
Х4 =	~ —
Ж5 =
2^/3 ’
6
с условием х2 4- у2 + z2 = 1 является гомеоморфным вложением в R5 проективной плоскости, имеющим постоянную внешнюю геометрию. Эта поверхность называется поверхностью Веронезе.
23.42.	Показать, что сферическое отображение минимальной поверхности является конформным, и обратно, если сферическое отображение некоторой гладкой регулярной поверхности является конформным, то эта поверхность либо минимальная, либо является сферой (частью сферы).
23.43.	Проверить, что для тора вращения интегральная гаус-
сова кривизна равна нулю, а интегральная средняя кривизна
отлична от нуля, т.е.
jI Kds = o, JН dS =4 0. Заметим, что
равенство К dS = 0 выполняется для любого тора.
23.44.	Доказать, что все точки любой поверхности 2-го порядка имеют один и тот же тип (эллиптический, гиперболический или
параболический).
23.45. Доказать, что на линейчатой поверхности или всюду К = 0, или всюду К < 0.
23.46. Доказать, что на поверхности постоянной кривизны
окрестности двух любых точек имеют трехпараметрическое семейство изометрических отображений друг на друга. Отметим, что при этом центры этих окрестностей не обязаны переходить друг в
друга.
23.47.	Доказать, что не существует поверхности, на которой окрестности двух любых точек имели бы в точности двупараметрическое семейство изометрических отображений друг на друга
126
Часть 2
(см. предыдущую задачу). Отметим, что поверхности, имеющие в точности однопараметрическое семейство изометрий, существуют. Ими являются поверхности вращения, не являющиеся поверхностями постоянной кривизны.
23.48.	Доказать, что на параллельных поверхностях точки, соответствующие друг другу вдоль нормалей, одновременно являются или не являются омбилическими.
23.49.	Доказать, что если замкнутая поверхность имеет неравную нулю постоянную среднюю кривизну и положительную гауссову кривизну, то она сфера.
23.50.	Доказать, поверхность, параллельная поверхности вращения, тоже является поверхностью вращения.
23.51.	Доказать, что если асимптотическая линия на поверхности одновременно является геодезической, то она будет прямой.
23.52.	Доказать, что свойство линии на поверхности быть асимптотической инвариантно при проективных преобразованиях объемлющего пространства.
23.53.	Доказать, что если поверхность содержит прямую линию, то эта линия будет асимптотической линией поверхности.
23.54.	Доказать, что асимптотические линии поверхности составляют ортогональную сеть тогда и только тогда, когда поверхность минимальная.
23.55.	Доказать, что если асимптотическая кривая на поверхности состоит из параболических точек, то эта кривая плоская и ее плоскость является касательной плоскостью к поверхности во всех точках кривой. Верно и обратное, — если плоскость плоской кривой на поверхности является касательной к поверхности во всех точках кривой, то эта кривая асимптотическая, состоящая из параболических точек.
23.56.	Доказать, что если линия кривизны L является асимптотической, то гауссова кривизны поверхности вдоль L равна нулю и кривая L — плоская.
23.57.	Доказать, что в классе поверхностей 2-го порядка любая поверхность 2-го порядка ненулевой кривизны однозначно определена своей метрикой, даже локально. Говорят, что поверхность S определена однозначно своей метрикой, если любая изометричная ей поверхность получается из S движением с возможным добавлением зеркального отражения.
23.58.	а) Показать, что омбилическая точка, в которой гауссова кривизна равна нулю, обязательно является точкой уплощения;
б)	показать, что на поверхностях отрицательной кривизны нет омбилических точек.
23.59.	Показать, что среднюю кривизну Н поверхности можно рассматривать как интегральное среднее всех нормальных кри-
§ 23.	Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 127 ।
визн, т.е. j
'	2тг
Н = — f fc(<p) dtp,
о
где к(р>) — нормальная кривизна в направлении </?, отсчитываемом от одного из главных направлений.
23.60.	Показать, что на поверхности отрицательной кривизны бинормаль к асимптотической линии совпадает с нормалью к поверхности.
23.61.	Доказать, что если при изгибании поверхности, отличной от линейчатой, все асимптотические линии одного семейства переходят снова в асимптотические линии, то поверхность остается конгруентной самой себе.
23.62.	Показать, что неразвертывающаяся линейчатая поверхность не допускает изометрических преобразований, при которых все асимптотические линии исходной поверхности переходят в асимптотические линии преобразованной поверхности.
23.63.	Доказать, что если на поверхности постоянной гауссовой кривизны К = — 1 координатные линии u = const и v = const являются асимпотическими линиями поверхности, то в этих координатах первая форма имеет вид ds2 — du2 + 2 cos ш du dv + dv2, где uj — угол между асимптотическими линиями.
23.64.	Показать, что в условиях предыдущей задачи угол w(u, v) удовлетворяет уравнению «sin-Гордона» cv"v — since.
23.65.	Показать, что если на поверхности отрицательной кривизны изометрические координаты (и, v) являются одновременно асимптотическими, то поверхность является минимальной с условием М = const.
23.66.	Доказать, что кривизна кривой на поверхности положительной кривизны нигде не обращается в нуль.
23.67.	Пусть для замкнутой гладкой регулярной кривой L сферическая индикатриса ее бинормалей не имеет самопересечений. Доказать, что тогда для кривизны к кривой L выполняется неравенство	i
—2д < ! k(s) ds < 2тг,
о
где I — длина L. Вывести отсюда, что кривизна кривой L обязана изменять свой знак.
23.68.	Доказать, что каждая поверхность вращения (замкнутая или с краем по параллели) допускает изгибание в классе поверхностей вращения с отображением параллелей в параллели и с сохранением формы площади.
23.69.	Вычислить геодезическую кривизну кд кривой х = x(s), У — z — ^(s), расположенной на сфере радиуса R, и вывести
128	Часть 2
отсюда следующую формулу для нахождения Длощади S области на сфере, ограниченной замкнутой линией L:
Здесь к — кривизна кривой. Обратим внимание, что при интегрировании следует учитывать знак геодезической кривизны кд =
= \ к2 ——. А именно, если вектор геодезической кривизны на-
V R2
правлен внутрь области, то берется знак «—»; в противном случае берется знак «+». Впрочем, это правило автоматически учитыва-(г', г", л)
ется формулой для геодезической кривизны кд —--1—.
23.70.	Доказать, что если две изометричные поверхности в соответствующих по изометрии точках имеют параллельные нормали, то их средние кривизны или равны или отличаются знаком.
23.71.	Доказать, что если две изометричные поверхности в соответствующих по изометрии точках имеют параллельные нормали и средняя кривизна хотя бы одной из них не равна нулю, то эти поверхности конгруентны. Если же обе поверхности минимальные, то они могут быть неконгруентными. Более того, любая минимальная поверхность допускает изгибание с сохранением направления нормалей в соответсвующих по изометрии точках.
23.72.	Пусть на плоскости заданы две изометричные области. Показать, что они конгруентны.
23.73.	Доказать, что две изометричные области на сфере всегда могут быть получены одна из другой вращением пространства, т. е. они конгруентны.
23.74.	Пусть на цилиндрической поверхности заданы две изометричные области. Будут ли они обязательно конгруентными в R3 ? Указать условия, при выполнении которых любые две изометричные области на цилиндрической поверхности являются конгруентными в R3.
23.75.	Рассмотрим на псевдосфере Бельтрами всевозможные круги одного и того же внутреннего радиуса г. Выяснить, какие из этих кругов конгруентны в К3, а какие нет.
23.76.	Доказать, что на неразвертывающейся линейчатой поверхности кривизна поверхности при уходе точки в бесконечность вдоль любой образующей стремится к нулю.
23.77.	Доказать, что кривизна поверхности вращения в полюсе не может быть отрицательной.
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 129
23.78.	Пусть известно, что две метрики ds2 = gij du1 did и dcr2 = 'Yijd^d^3, 1 г, у n, локально изометричны. Вывести систему уравнений, которым должна удовлетворять изометрия /: (и) —> (£), где через (и) и (£) обозначены окрестности соответствующих точек в двух областях задания метрик. Рассмотреть отдельно случай п — 2 и показать, что в этом случае нахождение искомого отображения может быть сведено к решению квазилинейной системы.
23.79. Изометричны ли метрики ds2 = ^(dx2 + dy2) и ds2 = = ~^(dx2+dy2), a b, 0 < r2 = x2 + y2 < оо? Найти реализацию каждой из них в R3 на поверхности цилиндра.
23.80.	Существует ли изометрическое отображение области на прямом круговом цилиндре, заданной в виде х2+у2 = R2, 0 z Н, на какую-либо область на выпуклой конической поверхности?
23.81.	Показать, что любая поверхность трехмерного пространства изгибается с «выходом» в четырехмерное пространство.
23.82.	Доказать, что на односвязной поверхности отрицательной кривизны нет замкнутой асимптотической линии.
23.83.	а) Доказать, что на линейчатой поверхности любой отрезок образующей является кратчайшей между его конечными точками.
б)	Доказать более общий факт: на полной односвязной поверхности отрицательной кривизны дуга любой геодезической является кратчайшей между своими концевыми точками.
23.84.	Исследовать сферические образы следующих выпуклых поверхностей:
а)	овалоид, т. е. гладкая замкнутая выпуклая поверхность. Доказать, что его сферический образ покрывает всю сферу и что, если овалоид строго выпуклый, то сферическое отображение взаимнооднозначно;
б)	параболоид z = х2 + у2;
в)	поверхность, полученная вращением вокруг оси Oz кривой z = х2, z а, гладко продолженной до бесконечности касательной. Показать, что за счет выбора а > 0 сферический образ такой поверхности может заполнять область на сфере с любой площадью S < 2%.
23.85.	Построить пример полной поверхности строго положительной кривизны, сферический образ которой имеет площадь меньше 2тг.
23.86.	а) Найти все замкнутые геодезические на бесконечном цилиндре с замкнутой направляющей;
130
Часть 2
б)	для двух данных точек найти соединяющую их кратчайшую;
в)	в каком случае любая дуга геодезической на цилиндре является кратчайшей между своими концевыми точками?
23.87.	Исследовать поведение кратчайших на конической поверхности в зависимости от значения полного угла при вершине конуса. Существуют ли кратчайшие, проходящие через вершину конуса?
23.88.	Пусть замкнутая поверхность представляет собой прямой круговой конус с круговым основанием. Эта поверхность имеет особую линию — окружность, в которой склеены конус и его плоское основание. Описать кратчайшие, соединяющие две данные точки, в зависимости от расположения этих точек: обе они расположены на боковой поверхности конуса, обе на основании, одна на боковой поверхности, другая — на основании.
23.89.	Описать кратчайшие на кубе и на тетраэдре, соединяющие две точки. Исследовать зависимость от расположения точек на поверхности.
23.90.	Доказать, что две поверхности положительной кривизны с разной ориентацией не наложимы друг на друга.
23.91.	Пусть поверхность М в Rn, п 3 (например, п = 3), задана уравнением f(xi, ..., хп) — с, где с является регулярным значением гладкой функции f. Доказать, что тогда М является ориентируемой поверхностью.
23.92.	На сфере вырезан прямоугольник Р, ограниченный двумя параллелями и двумя меридианами. Края, соответствующие меридианам, отождествлены по равенству длин склеиваемых отрезков, так что получается многообразие М, гомеоморфное кольцу. Проверить, что метрика на М является аналитической, и получить вложение М в R3 в виде поверхности вращения.
23.93.	В условиях предыдущей задачи отождествление дуг меридианов проводится так, что топологически получается лист Мёбиуса. Показать, что полученная метрика постоянной положительной кривизны на листе Мёбиуса будет гладкой.
23.94.	Найти все поверхности вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны К = — 1. Они называются поверхностями Миндинга. Указать в единичном круге с метрикой Лобачевского (модель Пуанкаре) области, изометричные поверхностям Миндинга и их универсальным накрывающим.
23.95.	Найти все поверхности вращения постоянной средней кривизны.
23.96.	На плоскости переменных (и, v) задана метрика ds2 — = е~2и (du2 + dv2). Убедиться, что эта метрика положительной кривизны, что она неполная и что она не может быть реализована ни на какой выпуклой поверхности в R3.
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 131
23.97.	а) Проверить, что метрика
2 du2 + dv2 dS = -Kr2(A + ln(l/r))2’
где г2 = u2 + и2, имеет постоянную кривизну К < 0;
б)	является ли эта метрика в кольце 0 < г < еА полной?
23.98.	а) Проверить, что метрика
„2 2а-2
= TI--. 2аА2^ц2 + С?г’2)’
(1-Аг2“)2
где г2 = u2 + v2 и А =
, имеет постоянную кривизну К < 0.
б) Пусть a > 0. Является ли тогда метрика пункта а) в кольце
(I \ 1/2в
— I полной?
А /
в) Рассмотрим две метрики из пункта а): одну при a > 0, другую при a < 0. Определить максимальные области существования обеих метрик и проверить, являются ли эти метрики изометрич-ными в этих областях.
23.99. а) Проверить, что метрика
ds2 =----——----------------------------% (du2 + dv2),
(r\/—K(A sin (о in г) + В cos (о in г)))
где г2 = u2+v2 и А2+В2 — 1, имеет постоянную кривизну К < 0;
б)	определить максимальные области существования метрики пункта а) и проверить, является ли она в этих областях полной.
23.100.	Найти для метрик из предыдущих трех задач их изометрические погружения в R3 в виде поверхностей вращения вида ж = f (г) cos тнр, у = f(r) sin nip, z = g(r), где u = r cos ip, v = r sin ip. Описать области погружения этих метрик в зависимости от значений целочисленного параметра п.
23.101.	Какой области в круге с метрикой Лобачевского (модели Пуанкаре) изометрична псевдосфера Бельтрами с разрезом по меридиану? Какой области изометрично универсальное накрытие над псевдосферой Бельтрами (без разреза)?
Пояснение. После разрезания по меридиану псевдосфера Бельтрами оказывается изометрична области на плоскости Лобачевского, ограниченной так называемым орициклом. См. рис. 76.
23.102.	Дать пример двух неизометричных римановых многообразий с общими геодезическими.
23.103.	Доказать, что две полные цилиндрические поверхности, гомеоморфные кольцу, изометричны тогда и только тогда, когда
132
Часть 2
Рис. 76
их перпендикулярные образующим плоские сечения имеют одинаковую длину.
23.104.	Построить изометрическое отображение области
<р «/’г, zi z Z2 на цилиндре х = Rcosip, у ~ Rsinip, z = z, 0 (р 2д, —оо z +оо на какую-либо изометричную область на поверхности прямого кругового конуса с известными параметрами.
23.105.	Доказать, что все компактные замкнутые поверхности геодезически полные.
23.106.	Пусть /: М —> М' — изометрия римановых многообразий, х1 = f{x), х G М, х’ G М'. Доказать, что индуцированное отображение /*: ТХМ —> TxiM' перестановочно с параллельными переносами т и т' на М и М' соответственно.
23.107.	Дать пример полной евклидовой метрики в открытом единичном круге.
23.108.	Доказать, что компактная полная локально выпуклая поверхность является выпуклой в целом.
23.109.	Доказать, что односвязное полное локально евклидовое двумерное многообразие изометрично в целом евклидовой плоскости со стандартной метрикой dx2 + dy2.
23.110.	Доказать, что в круге нельзя задать полную евклидову метрику в изотермическом виде.
23.111.	В некоторой области изменения переменных (я, у) дана метрика ds2 = Е(х) dx2 + G(y) dy2 с непрерывными коэффициентами Е(х) > 0, G(y) > 0. Доказать, что:
а)	эта метрика является локально евклидовой;
б)	если эта метрика задана в замкнутой односвязной области, то ее можно непрерывно продолжить на внутренность выпуклой оболочки области;
в)	если эта метрика задана в многосвязной области, то ее можно непрерывно продолжить на область, ограниченную выпуклой оболочкой внешней границы области;
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 133
г)	эта метрика в целом является евклидовой, т. е. область ее задания в целом можно изометрически отобразить в евклидову плоскость со стандартной метрикой du2 + dv2.
При каких условиях на область и коэффициенты эта метрика является полной?
23.112.	Дана метрика
1	г2
ds2 = —----— dr2 + —----— dtp2 :
(1 - r)P (1 - r)9
а)	считая г и tp полярными координатами на плоскости х, у, показать, что эта метрика является невырожденной во всем круге D: х2 +у2 = г2 < 1;
б)	найти все геодезические линии, выходящие из начала координат, и определить значения р и q, при которых эта метрика является полной в круге D;
в)	убедиться, что эта метрика является локально евклидовой только при р = 4, q = 2 и найти при этих р и q ее изометрическое отображение на евклидову плоскость со стандартной метрикой.
23.113.	Доказать, что если асимптотическая линия на поверхности плоская, то она является или параболической или прямой линией.
23.114.	Доказать, что любое конформное отображение сферы на плоскость является композицией некоторого движения сферы по себе и стереографической проекцией сферы на эту плоскость. См. рис. 77.
23.115.	Поверхности с радиус-вектором х = u cos v, у = u sin и, z = hv + f(u) называются общими винтовыми поверхностями:
а)	проверить, что на участке, где v изменяется в некотором интервале длины 2тг, сечения общей винтовой поверхности плоскостями, проходящими через ось Oz, состоят из кривых, каждая из которых конгруентна кривой z = f(x), у = 0;
б)	убедиться, что при h — 0 общая винтовая поверхность превращается в поверхность вращения и что при f (и) = const общая винтовая поверхность превращается в геликоид;
в)	доказать теорему Бура: метрика общей винтовой поверхности изометрична метрике вида ds2 — dU2 + G(U) dtp2, реализуемой на поверхности вращения, т. е. любая общая винтовая поверхность локально изометрична некоторой поверхности вращения, и обратно, любая поверхность вращения в окрестности любой своей точки, кроме полюса, локально изометрична некоторой общей винтовой поверхности;
г)	теорему Бура можно уточнить: общая винтовая поверхность локально допускает наложение на некоторую поверхность вращения, т. е. она непрерывно деформируется с сохранением метрики или, по-другому, изгибается на поверхность вращения;
134
Часть 2
Рис. 77. Стереографическая проекция сферы на плоскости
д)	общая винтовая поверхность S допускает изгибание скольжения по себе, а именно, существует деформация S St, выражаемая через радиус-векторы по закону St'. r(u, и; t) = r(u, v + t), которая переводит точки поверхности S в другие точки той же поверхности с сохранением метрики. При этом расстояния между точками на S равны расстояниям между их образами на St- Покажите, что это изгибание является тривиальным, т. е. оно получается движением всей поверхности в пространстве как твердого тела.
23.116.	Доказать, что если поверхность допускает изгибание скольжения по себе, то ее метрика изометрична метрике вращения.
23.117.	Доказать, что если на поверхности все геодезические являются плоскими линиями, то поверхность или плоскость, или сфера.
23.118.	Доказать, что через каждую точку цилиндра (необязательно прямого кругового) проходит только одна замкнутая геодезическая.
§ 23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) 135
23.119.	Доказать, что на бесконечном конусе (без границы) с углом развертки при вершине се < тг единственной самопересека-ющейся геодезической, исходящей из данной точки образующей,
Рис. 78. Геодезическая на конусе
Я	Я	v-a
будет та, которая пересекает эту образующую под углом ——— (см.
рис. 78). Найти угол, под которым эта геодезическая пересекает саму себя. Если же а тг, то на таком конусе нет самопересекаю-щихся геодезических.
2	2	2
х у* Z*
23.120.	Эллипсоид —у + ту + -у = 1 представлен в параметри-tr сг
ческом виде х = uf(v) cost;, у = uf(v) sint), z — g(u), где
f(v) =	.	=, g(u) = c\/l — u2.
у/a2 sin21; + b2 cos2 v
Подобрать функцию ip(v) таким образом, чтобы деформация с параметром t
х = иу/f2 — t2 cos V», у — и\/f2 — t2 sin	z = f
была изгибанием некоторой части эллипсоида. На какую часть эллипсоида распространяется эта деформация при малых t?
23.121.	Рассмотрим плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре на открытом круге радиуса 1 с метрикой
ds2 = —-----------хтх (du2 + dv2).
—(1 — и — tr)z
Рассмотрим диаметр круга, задаваемый уравнением v = 0. Как известно он является прямой плоскости Лобачевского. Найти эквидистанту этой прямой.
136
Часть 2
§ 24.	Многообразия (дополнительные задачи)
24.1.	Доказать, что группы SL(n, R) и SL(n, С) являются гладкими подмногообразиями в пространствах соответственно вещественных и комплексных квадратных матриц порядка п. Найти их размерности. Выяснить число компонент связности этих матричных групп.
24.2.	Доказать, что группа SO(n) является гладким подмногообразием в пространстве R” всех квадратных матриц порядка п. Найти размерность и число компонент связности этой группы.
24.3.	Доказать, что группы U(n), SU(n) являются гладкими подмногообразиями в пространстве Сп комплексных квадратных матриц порядка п. Найти размерность и число компонент связности этих групп.
24.4.	Показать, что отображение матриц А •-> еА является гладким гомеоморфизмом в окрестности нулевой матрицы в прообразе и окрестности единичной матрицы в образе. Показать, что обратное отображение задается соответствием В —> In (В).
24.5.	Доказать, что на каждой из групп, перечисленных в задачах 24.1-24.3, в качестве локальных систем координат в окрестности UA матрицы А можно взять некоторые из декартовых координат матрицы 1п(Д-1А’). Показать, что в указанных координатах функции замены координат являются гладкими функциями класса С°°.
24.6.	Построить в R” гладкую (класса (7°°) функцию f, такую, что У = 1 на шаре радиуса 1, f = 0 вне шара радиуса 2 и 0 С f < 1.
24.7.	Пусть М — многообразие, р Е U С М — окрестность точки р. Доказать, что существует такая гладкая функция f, что О < f 1, f(p) = 1 и f(x) = 0 на M\U. _
24.8.	Пусть М — многообразие, А = А — замкнутое множество, U D А — открытая область. Доказать, что существует такая гладкая функция /, что 0 < f < 1, f\A = 1 и f= 0.
24.9.	(Слабый вариант теоремы Уитни.) Доказать, что компактное гладкое многообразие Мп вкладывается в евклидово пространство для подходящей размерности N < оо.
24.10.	Доказать, что гладкая функция на гладком компактном многообразии М может быть представлена как координата при некотором вложении М С
24.11.	Доказать, что произведение сфер вкладывается в как подмногообразие коразмерности один.
24.12.	Доказать, что если dimX < dim У, a ft X —> У — гладкое отображение, то образ отображения f не совпадает с У.
24.13.	а) Доказать, что 2-мерное гладкое компактное замкнутое многообразие погружается в R3;
§ 24. Многообразия (дополнительные задачи)
137
б)	доказать, что 2-мерное гладкое компактное замкнутое ориентируемое многообразие вкладывается в R3;
в)	доказать, что 2-мерное гладкое компактное замкнутое не-ориентируемое многообразие вкладывается в К4 и не вкладывается в R3.
24.14.	Теорема Уитни. Доказать, что компактное гладкое замкнутое многообразие Мп можно вложить в евклидово пространство и погрузить в R2n.
Примечание. Воспользоваться задачей 24.9. После этого подобрать направление проектирования таким образом, чтобы избежать появления самопересечений и особых точек на проекции. См. рис. 79.
Рис. 79
24.15.	Привести пример погружения многообразия в R”, взаимно однозначного с образом, но не являющегося вложением.
24.16.	Доказать, что для компактных многообразий вложение всегда является гомеоморфизмом на образ.
24.17.	Привести пример такого вложения, что образ не является подмногообразием.
24.18.	Пусть М — многообразие с границей дМ. Доказать, что многообразие М можно так вложить в полупространство (л'л’+i
0) евклидова пространства RN+1, что дМ лежит в подпространстве (гЕлт-!-! — 0).
24.19.	Пусть граница дМ состоит из двух компонент связности дМ = Mi U М2, Mi П М2 = 0. Доказать, что многообразие М можно вложить в F х [0, 1], причем Mi лежит в Р/ х 0, а М2 лежит в х 1.
138
Часть 2
Пусть f: X —$ Y — гладкое отображение гладких многообразий, М С Y — гладкое подмногообразие. Отображение f называется трансверсальным вдоль подмногообразия М, если для любой точки х € /-1(М) касательное пространство 7у(ж)(У) к многообразию Y есть сумма (вообще говоря, не прямая) касательного пространства	к
многообразию М и образа df(Tx(X)) касательного пространства к многообразию X. Два подмногообразия и М% в многообразии X пере
Трансверсальные пересечения
Рис. 80
Нетрансверсальные пересечения
секаются трансверсально, если вложение одного из них является трансверсальным вдоль другого подмногообразия. См. рис. 80.
24.20.	Пусть f: Хп —> Yn — гладкое отображение компактного замкнутого многообразия X в многообразие Y той же самой размерности п. Пусть уо — регулярное значение отображения f. Доказать, что /-1(уо) состоит из конечного числа точек.
24.21.	Доказать, что если у £ Y — регулярная точка отображения f: X —> Y, то f — трансверсальное вдоль у отображение.
24.22.	Доказать, что определение трансверсального пересечения не зависит от выбора порядка в паре и М2.
24.23.	Доказать, что если /: X —> Y — трансверсальное отображение вдоль подмногообразия М С Y, то прообраз является подмногообразием в многообразии X. Вычислить размерность /-1(М).
24.24.	Доказать, что любая простая замкнутая дуга с самопересечениями в R2 малым движением превращается в простую замкнутую дугу в R3 без самопересечений.
24.25.	Выяснить, трансверсально ли пересекаются следующие подмногообразия:
а)	плоскость ху и ось z в R3;
б)	плоскость ху и плоскость, натянутая на вектора (3, 2, 0) и (0, 4, -1) в R3;
в)	подпространство V х {0} и диагональ в произведении V х V;
г)	пространства симметрических и кососимметрических матриц в пространстве всех матриц.
§ 24. Многообразия (дополнительные задачи)139
24.26.	Выяснить, для каких значений а поверхности ж2 + у2 — — z2 = 1 и х2 + у2 + z2 = а пересекаются трансверсально.
24.27.	Показать, что множество Vn>к всех ортонормированных систем из к векторов в евклидовом пространстве Rn допускает структуру гладкого многообразия. Найти его размерность. Показать, что Упд = Sn~\ Vn>n = O(n).
24.28.	Показать, что множество Gn,k всех /с-мерных подпространств в евклидовом пространстве Rn допускает структуру гладкого многообразия. Найти его размерность. Показать, что Спд = = КР””1.
24.29.	Пусть ft Sn —> RPn — отображение, сопоставляющее точке х G Sn прямую, проходящую через точку х и начало координат в Rn+1. Доказать, что / гладкое и что у него все точки регулярны.
24.30.	Пусть /: SO(n) Sn~l сопоставляет каждой ортогональной матрице ее первый столбец. Доказать, что отображение / гладкое и что у него все точки регулярны. Найти прообраз /-1(у).
24.31.	Пусть ft U(n) —> S'2”-1 сопоставляет каждой унитарной матрице ее первый столбец. Доказать, что отображение f гладкое и что у f все точки регулярны. Найти прообраз У-1 (у).
24.32.	Пусть ft Vn.k —> Vn,s, s к, — отображение, сопоставляющее ортонормированной системе из к векторов первые s ее векторов. Показать, что каждая точка является регулярной для отображения f. Показать, что прообраз /-1(у) гомеоморфен многообразию Vn_S)fc_s.
24.33.	Пусть ft O(n) —> Gn>k — отображение, сопоставляющее каждой ортогональной матрице подпространство, порожденное первыми к столбцами. Показать, что у отображения f все точки регулярны. Показать, что прообраз /-1(у) гомеоморфен многообразию О(п — к) х О (к).
24.34.	Пусть f: X х Y —> М — гладкое отображение, mo 6 М — регулярная точка. Рассмотрим семейство отображений fyt X —> —> М, fy(x) = f(x, у). Доказать, что точка то регулярна для отображений fy почти для всех значений параметра у, т. е. когда у пробегает открытое всюду плотное подмножество в У.
24.35.	Решить задачу 24.34 с заменой точки то на подмногообразие N сМи условия регулярности на условие трансверсальности отображений вдоль подмногообразия N.
24.36.	Проверить, ориентируемы ли следующие многообразия: а) группа GZ(n,R); б) группа U(n); в) группа SO(n).
24.37.	Доказать, что проективное пространство ориентируемо в точности для нечетных п.
24.38.	Показать, что комплексное проективное пространство СР11 ориентируемо.
140
Часть 2
24.39.	Доказать, что произвольное комплексно-аналитическое многообразие ориентируемо.
24.40.	Доказать, что пространство касательного расслоения многообразия является многообразием, причем всегда ориентируемым.
24.41.	Доказать, что объединение единичных сфер слоев касательного расслоения риманова тг-мерного многообразия М является гладким многообразием размерности (2п — 1). Доказать, что это многообразие расслаивается над М со слоем S'”-1.
24.42.	Доказать, что плоское кольпо, бутылка Клейна и тор являются расслоенными пространствами.
24.43.	Доказать, что расслоение над стягиваемой базой тривиально, т. е. является прямым произведением базы на слой.
24.44.	Показать, что окружность, евклидово пространство и тор — параллелизуемые многообразия.
24.45.	Доказать, что параллелизуемые многообразия ориентируемы. В частности, касательные расслоения проективной плоскости и бутылки Клейна нетривиальны.
24.46.	Доказать, что если из двумерной замкнутой компактной ориентированной поверхности выколоть точку, то полученное многообразие является параллелизуемым.
24.47.	Показать, что 5'0(3) гомеоморфно многообразию единичных векторов в касательном расслоении к S'2.
24.48.	Доказать, что многообразие размерности п тогда и только тогда параллелизуемо, когда на нем имеется п линейно независимых гладких векторных полей.
24.49.	Доказать, что многообразие, на котором определена структура группы Ли, параллелизуемо.
24.50.	Доказать, что сфера S2 не параллелизуема.
24.51.	Привести пример гладкого отображения многообразий, при котором образ гладкой кривой перестает быть гладким в некоторых точках.
24.52.	Доказать, что линейно независимые векторы ai, ..., а& в точке А Е Мп, к п, можно считать базисными векторами некоторой карты многообразия.
24.53.	Доказать,что векторное поле а на многообразии, не обращающееся в нуль в точке А, является базисным для некоторой карты, содержащей точку А.
24.54.	Доказать, что векторные поля ai, ..., а& на многообразии Мп, для которых fc пи [а„ aj] = 0, можно считать базисными векторами некоторой карты многообразия.
24.55.	Доказать, что ориентируемая 2-мерная поверхность имеет комплексную структуру.
24.56.	Доказать, что многообразия S1 х S'2”-1, S'2”-1 х S'2”-1 имеют комплексную структуру.
§ 25. Тензорный анализ
141
24.57.	Доказать, что компактное замкнутое нечетномерное риманово многообразие положительной кривизны ориентируемо.
Функция w = f (z1, ..., zn), zk = хк + iyk называется голоморфной, если она непрерывно дифференцируема, а ее дифференциал является комплексной линейной формой в каждой точке (z1, ..., zn).
24.58.	Показать, что если / — голоморфная функция, то
д Re f	д Im f	д Im / _ д Re f
дхк yk ’ дхк дук
24.59.	Пусть w3 = /^(z1, ..., z") — голоморфная вектор-функция, отображающая Сп в Ст. Найти соотношение между вещественной матрицей Якоби этого отображения и его комплексной матрицей Якоби.
24.60.	Доказать, что голоморфная вектор-функция /: С" —> С" образует локальную систему координат тогда и только тогда, когда ее комплексный якобиан отличен от нуля.
24.61.	Показать, что S’2 допускает комплексно-аналитическую структуру. Описать в явном виде простейший атлас карт.
24.62.	Показать, что комплексные проективные пространства СР2 допускают комплексно-аналитическую структуру. Описать в явном виде простейший атлас карт.
§ 25.	Тензорный анализ
25.1.	Пусть Vi и V2 — линейные пространства. Доказать изоморфизмы
Afc(Vi Ф V2) = Ф А*(Ц) ® Л>(У2), i+j=k
Sk(Vx ф V2) = Ф 5г(Ц) ® Sj(V2).
i+j=k
25.2.	Доказать, что
- 1[j1	- 1[ji •••чг
25.3.	Доказать, что если гД*1’2’3^1^].?3 _ q, т0 щЕйггадщлЬадз — q
25.4.	Показать, что если трехвалентный ковариантный тензор удовлетворяет условиям
Tijk — Tjkii TijkUlu^uk — О
при любом выборе контравариантного вектора г/, то компоненты тензора удовлетворяют условию
Tijfc + Tjki + Tkij = 0.
142
Часть 2
25.5.	Доказать, что если соотношение
= О
справедливо при любом выборе векторов v“, wQ, удовлетворяющих условию v“wQ = 0, то
U(a/3) = 5 («%’
где sa — некоторый тензор.
25.6.	Доказать, что если размерность пространства V больше 2, то Л2(Л2У) A4V.
25.7.	Доказать, что если tr Л7 A = 0 для всех q > 0, то оператор А нильпотентен.
25.8.	Пусть в пространстве V задан линейный оператор А. Если оператор Л71-1 А в пространстве Л71”1 V ненулевой, то он либо невырожден, либо имеет ранг 1.
25.9.	Доказать, что если оператор А диагонализуем, то оператор А®к также диагонализуем.
25.10.	Доказать, что ранг тензора Ац = aibj равен единице, а ранг тензора aibj + ajbi равен 2.
25.11.	Какому условию должен удовлетворять тензор Ац, чтобы он имел вид Aij — a^j?
25.12.	Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам, то
'^'(ijk) = 2 C^ijk 4" Tjki + Tkij) .
25.13.	Доказать, что если тензор Т^к кососимметричен по первым двум индексам, то
= 2 (Tijk + Tjki + TkijY
25.14.	Даны тензоры и bklm. Построить из них путем одного умножения и свертывания тензоры первой, третьей и пятой валентностей. Сколько их будет?
25.15.	Пусть тензор Tijki обладает свойствами
Thijk + Thikj = 0, Thijk + Tfajki + Thkij = 0 :
а)	доказать, что если Thijk - Thjik = 0, то Thijk = 0;
б)	доказать, что если Thijk + Thjik = 0, то TMjk = 0.
25.16.	Показать, что если трехвалентный тензор T-j удовлетворяет условиям
T.hi = Т%, ifivW = 0 lJ JL
для любого вектора uJ, то тензор T[lj нулевой.
§ 26. Геодезические на многообразиях 143
25.17.	Показать, что если тензор удовлетворяет условиям
Th,.,imull...ul-=0
при любом выборе вектора иг, то im) = 0.
§ 26.	Геодезические на многообразиях
26.1.	Доказать, что геодезическое кручение линии u = u(s), v — v(s), расположенной на поверхности г = г(н, w), вычисляется по формуле
*д = (г, rh, m),
где m — единичный вектор нормали поверхности.
26.2.	Доказать следующее утверждение: для того чтобы линия на поверхности была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы в каждой ее точке геодезическое кручение равнялось нулю.
26.3.	Найти геодезические линии развертывающейся поверхности.
26.4.	Доказать, что кручение геодезической линии, касающейся линии кривизны поверхности, равно нулю.
26.5.	Доказать, что каждая плоская геодезическая линия, отличная от прямой, есть линия кривизны поверхности.
26.6.	Рассмотрим поверхность с римановой метрикой. На ней имеются два типа кривых: окружности Дарбу и окружности Гаусса. Геодезической окружностью кривизны (окружностью Дарбу) называется линия на поверхности, имеющая постоянную геодезическую кривизну. Окружностью Гаусса называется множество точек, отстоящих от одной фиксированной точки на одно и то же расстояние, измеренное вдоль геодезических радиусов. Доказать, что множество окружностей Дарбу совпадает с множеством окружностей Гаусса тогда и только тогда, когда поверхность является поверхностью постоянной кривизны.
26.7.	а) Доказать, что на компактном односвязном многообразии Мп всегда существует пара сопряженных точек.
б)	Что будет, если Мп неодносвязно?
в)	Рассмотрим на многообразии пучок геодезических, исходящих из одной точки. На каждой ли из них найдется сопряженная точка?
26.8.	Описать все поверхности вращения, на которых все геодезические замкнуты.
Следующие задачи посвящены матричным группам Ли. В дальнейшем, в одном из следующих параграфов, трупы Ли будут рассматриваться в полной общности, т. е. как гладкие многобразия, снабженные структурой группы в гладкой категории.
В этом параграфе в целях упрощения изложения мы ограничимся рассмотрением лишь тех групп Ли, которые реализуются в виде тех или
144
Часть 2
иных групп матриц. Такие группы Ли называются матричными. Рассмотрим полную линейную группу GL(n, IR) — группу невырожденных матриц размера п х п с вещественными элементами. Она является от-
2
крытой областью в евклидовом пространстве IR” всех вещественных 2
матриц размера п х п. Рассмотрим на IRn обычную евклидову метрику, заданную в следующем виде:
{X, У) =trX -Ут,
где Ут — транспонированная матрица. Эта метрика индуцирует на группе GL(n, IR) и на всех ее подгруппах риманову метрику. Такая метрика на матричной группе G называется метрикой Хиллинга. Можно также рассматривать случай GL(n, С), где риманова метрика задается формулой
(X, У) = RetrX-yT.
Однопараметрическими (одномерными) подгруппами матричной группы G являются в точности подгруппы вида {etx : t € IR}, где X — произвольная матрица из касательного пространства к группе G в ее единице Е.
Напомним, что касательное пространство L к матричной группе G в единице, снабженное билинейной кососимметрической операцией [X, У] = XY — YX, является алгеброй Ли, в частности, выполняется тождество Якоби
[[X, Y],Z] + [[Z, X],У] + [[У, Z],X] = 0.
Здесь XY — обычное произведение матриц. Операция [X, У] называется коммутатором. На алгебре Ли L матричной группы G определены линейные операторы Ads и adx, задаваемые формулами
Ads(X) = дХд-1, аЛх(У) = [X, У],
где д е G, X, У е L.
Векторное поле V на группе G называется левоинвариантным (правоинвариантным), если оно переходит в себя при всех левых (правых) сдвигах группы. Такое поле однозначно определяется своим значением в единице группы, т. е. некоторым вектором X из алгебры Ли L. Такое поле обозначается Lx (соответственно /?х).
26.9.	а) Доказать, что оператор ad% является дифференцированием алгебры Ли L, т. е.
а<1х([У, Z]) = [adx(y), Z] + [У, adx(Z)].
Показать, что эта формула эквивалентна тождеству Якоби;
б)	доказать, что определенная выше риманова метрика на произвольной подгруппе G группы GL(n, R) является биинвариант-ной, т. е. правые и левые сдвиги на G являются ее изометриями;
§ 26. Геодезические на многообразиях 145
в)	доказать аналогичное предыдущему пункту утверждение для подгрупп группы GL(n, С);
г)	доказать, что для любого X G L оператор adx кососимметричен относительно метрики Киллинга: (adx (У), Z) =—(У, adx(Z));
д)	доказать, что для любого д € G оператор Ad9 сохраняет метрику Киллинга, т. е. (Ad9(X), Ad9(y)) = (X, У).
26.10.	Пусть G — матричная группа, L — ее алгебра Ли. Введем связность V на группе G, полагая для левоинвариантных полей Lx у
VlxLy = -L[X'Y] = -[Дх,
Отметим, что эта формула однозначно определяет связность не только на левоинвариантных, но и на произвольных векторных полях на группе G. Дело в том, что приведенная выше формула однозначно определяет символы Кристоффеля Г^к:
а)	доказать, что эта связность на группе G симметрична и согласованна с метрикой Киллинга;
б)	доказать, что геодезическими матричной группы G с описанной выше римановой метрикой, проходящими через единицу, являются все ее однопараметрические подгруппы и только они. Доказать, что все остальные геодезические на G получаются правыми (левыми) сдвигами однопараметрических подгрупп;
в)	доказать, что тензор кривизны R описанной в этой задаче связности на матричной группе G задается на левоинвариантных векторных полях Lx, LY и Lz формулами
R{LXy LY)LZ = —-L[[x y]iZ],
(R(LX, Ly)Lz, Lw) = -|([X, У], [Z, W]).
Отметим, что этих формул достаточно для задания тензора кривизны R на произвольных векторных полях на группе G. Дело в том, что из указанных соотношений однозначно восстанавливаются компоненты тензора кривизны Rjw
26.11.	Доказать, что экспоненциальное отображение exp : L —> —> G является диффеоморфизмом некоторой окрестности нулевой матрицы в алгебре Ли L на некоторую окрестность единичной матрицы в группе G.
26.12.	а) Вывести для группы SL(2, R) явную формулу для экспоненциального отображения;
б)	показать, что для группы SL(2, R) экспоненциальное отображение не является отображением «на»;
11 Зак. 359
146
Часть 2
в)	исследовать случай группы 5Z/(2, С);
г)	доказать, что экспоненциальное отображение для связной компактной группы G всегда является отображеним «на».
§ 27.	Тензор кривизны
27.1.	Вычислить скалярную кривизну группы SO(n) с двусторонней инвариантной метрикой.
27.2.	Для симметричной связности, согласованной с римановой метрикой gij, доказать следующие равенства:
а)	гь = 5й?1п9=;ы?1п'/5;
в)	V<7« =	+П,Т«;
г)	если Alj = -Alj, то = -^-^-Ay/gAzj)-, у/д охг
где д = det д^.
27.3.	Доказать, что тензор кривизны тг-мерного многообразия 71^(т2^ — 1)
имеет -———   алгебраически независимых компонент. Иными словами, у тензора кривизны общего вида нет других симметрий, кроме «известных».
27.4.	а) Доказать, что на n-мерном многообразии набор величин
C'zmnfc — Rlmnk r.{.9lnRmk 9lk^mn 9тп^1к d" 9mk^ln) 4"
71 — 2
В !	4
d“ 7 7w X\\9ln9mk	9lk9mn)
(n — l)(n — 2)
является тензором. Тензор С^1к называется тензором Вейля-, б) доказать, что он имеет те же алгебраические свойства, что и
п(п -I- 1) тензор кривизны, и, кроме того, удовлетворяет------условиям
^mlk = °;
в) доказать, что две римановы метрики с одинаковыми тензорами Вейля конформно эквивалентны.
27.5.	Доказать, что если тензор кривизны риманова многообразия тождественно равен 0, то результат параллельного перенесения вдоль кривой 7 не зависит от гомотопии пути 7 при условии, что концы пути неподвижны.
§ 27. Тензор кривизны
147
27.6.	а) Если у риманова односвязного многообразия R}kl = О, то ТМп = Мп х Rn, где ТМ — касательное расслоение многобразия М. Иными словами, в этом случае касательное расслоение тривиально, а само многообразие параллелизуемо;
б)	выяснить, что происходит в неодносвязном случае.
27.7.	Доказать, что любое направление в ТХМ в произвольной точке риманова многообразия М является главным направлением тензора Риччи в том и только в том случае, когда М является пространством Эйнштейна.
27.8.	Показать, что следующие метрики имеют постоянную кривизну. Найти эту кривизну:
a) ds2 = du2 + dv2', б) ds2 = du2 + cos2 — dv2-, u	a
в) ds2 = du2 + ch2 — dv2, a = const 0.
a
27.9.	Доказать, что аффинная связность общего вида удовлетворяет тождеству Бьянки
27.10.	Пусть cv} =	 duk — формы связности,
ty = ±Rimj.duk/\dum
— формы кривизны связности. Доказать, что выполняются структурные уравнения Картана
= dev} + 4 A evk.
27.11.	Показать, что формулу Бьянки можно записать в виде
dfl} = А - 4 А Q*.
27.12.	Пусть фиксирована произвольная аффинная связность без кручения. Пусть в окрестности U некоторой точки О выбраны координаты sj, ..., Xq. Введем новые координаты в U, полагая
хк = (хк - хк) + |г^(Жг -	- xi).
Доказать, что в новой системе координат точка О имеет нулевые координаты и что символы Кристоффеля обращаются в точке О в нуль. Такая система координат называется геодезической.
27.13.	Проверить, что в геодезической системе координат в точке О значения компонент тензора кривизны и его ковариантных производных задаются формулами
(<?1
- Qxj	Qxk '
„Rh ^(О) а2г*(0)
VkRij k ~
дх^дх1 дхкдх1
11*
148
Часть 2
27.14.	Учитывая предыдущую задачу, проверить справедливость формул Бьянки.
27.15.	Пусть Hi, Н2, Н3 — коэффициенты Ламе некоторой криволинейной системы координат в JR3. Доказать соотношения:
д 11	( 1 дн? Л	9 2	( 1 dHi у	\	1 dHi 3dH2 3
Д“9	<Я1 dsq )	+ Д~9 OS	\H2 d s	+ „2o 9 о 9-0; / H3 d s d s
d 21	( 1 дН3 Л	, , д 3	( 1 dH2 3	\	1 dih idH3
д-9 OS 1	\Н2 dsq )	+ Д-9 OS	\H3 d s	Hl ds q ds q
d 31	(1 л	, д 1	( 1 ЭН3 г	\	1 dH3 2dHi 2
os ’	<Я3 ds q )	|+&9	\Я1 ds 4	J 1 яГа»9 a»9 "0;
	d2Hi	1 дН3	2 dHi 3	1 dHi 2dH2 3
	dq^dq3	Н3 d s	’ "aZ9 +	H2 ds Q ds q ’
	д2н2	1 dHi	3^2	1 dH2 3dH3 x
	dq3dql	Hi ds	9 “ar9 +	rr я 9 я 9 ; H3 ds ds
	д2Н3	1 dH2	idH3 2	1 dH3 xdHi 2
	dq1dq'2	H2 d s	9 "aT9 +	Hi ds q ds q
27.16.	Доказать, что гладкие функции
Hi(qW,93), W, 92, 93), H3(q\q2,q3),
удовлетворяющие соотношениям предыдущей задачи, являются коэффициентами Ламе для некоторого преобразования
xs = xs(q\ q2, q3), s = 1, 2, 3.
27.17.	Доказать, что фундаментальная группа полного рима-нова многообразия неположительной кривизны не содержит элементов конечного порядка. Доказать, что тгДМ), где М — полное риманово многообразие строго отрицательной кривизны, обладает следующим свойством: если два элемента коммутируют (т. е. ab = = Ьа, где а, b е 7Г1(М)), то а и b принадлежат одной циклической подгруппе.
.	27.18. Доказать, что замкнутое ориентируемое риманово мно-
гообразие Мп строго положительной кривизны и четной размерности односвязно.
27.19.	а) Доказать, что любое компактное замкнутое риманово многообразие постоянной кривизны 7 изометрично либо сфере Sn, либо RP" (радиуса 1/^/7)-
б)	Пусть Мп — компактное замкнутое односвязное полное риманово многообразие и пусть C(Z) — множество первых сопряженных точек для некоторой точки I G Мп. Доказать, что если
§ 28. Векторные поля
149
Мп — симметрическое пространство, то дополнение МП\С(1) гомеоморфно открытому диску.
27.20.	Доказать, что полное некомпактное риманово многообразия положительной кривизны и размерности т, где либо т = 2, либо т 5, диффеоморфно Rm.
27.21.	Пусть х, у — две близкие точки на стандартной сфере S2 и пусть функция /(z) — площадь геодезического треугольника с вершинами в точках х, у, z.
а)	Является ли функция /(z) гармонической функцией на сфере S2?
б)	исследовать случай n-мерной сферы (здесь /(z) — объем геодезического симплекса, одна грань которого фиксирована, az — свободная вершина);
в)	исследовать тот же самый вопрос на плоскости Лобачевского.
27.22.	Доказать, что если Мп — полное односвязное риманово многообразие, такое, что п — нечетно и на Мп существует точка р, такая, что множество первых сопряженных с р точек регулярно и имеет постоянный порядок к, то к = п — 1 и Мп гомеоморфно сфере Sn (под порядком точки понимается ее кратность).
27.23.	Пусть 7 С Е2 — простая замкнутая кривая длины I, ограничивающая область G площади S (на плоскости). Доказать, что I2 4ttS и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда 7 — окружность.
27.24.	Пусть 7 С R2 — замкнутая кривая (не обязательно простая, т. е. в отличие от предыдущей задачи допускаются самопересечения). Доказать, что I2 4л f а>(х) ds, где функция ш(х) есть
R2
число вращений кривой 7 вокруг точки х € В2.
27.25.	Верно ли, что если п(х, у) — показатель преломления плоского прозрачного, изотропного, но неоднородного вещества, заполняющего 2-мерную плоскость, то интегральные траектории векторного поля gracing, у), где п = c/v, являются траекториями световых лучей?
§ 28.	Векторные поля
28.1.	Доказать эквивалентность трех определений касательного вектора в точке Р к многообразию:
а)	тензор валентности (1, 0);
б)	дифференцирование гладких функций в точке Р;
в)	класс соприкасающихся в точке Р кривых.
28.2.	Найти производную функции f в точке Р по направлению вектора
a)	f = y/x2+y2 + z2-, Р = (1, 1, 1), £ = (2, 1, 0);
150
Часть 2
б)	f = х2у + xz2 - 2; Р = (1, 1, -1), е = (1, -2, 4);
в)	/ = хеУ + уех - z2; Р = (3, 0, 2), 4 = (1, 1, 1);
г)	f = - - У-, Р = (1, 1), 4 = (3, 4).
У X
28.3.	Найти производную функции f = In (ж2 + у2) в точке Р = = (1, 2) по направлению кривой у2 = 4®.
28.4.	Найти производную функции f = arctg (у/х) в точке Р = = (2, —2) по направлению кривой х2 + у2 — 4х = 0.
28.5.	Найти производную функции / в точке Р по направлению
кривой 7:
a)	f = х2 + у2, Р = (1, 2), 7: ®2 + у2 = 5; 3	2
б)	f = 2ху + у2, Р = (V2, 1), 7: у 4- у = 1;
в)	f = х2 - у2, Р = (5, 4), 7: х2 - у2 = 9;
г)	f = 1п(жу + yz + xz), Р = (0, 1, 1), 7: х = cost, у = sint, 2 = 1;
д)	f = In (ж2 +у2 + 22), Р = (о, R,	7:® = R cost,
у2 z2
у = R sin t, z = at. x2 y
28.6.	Найти производную функции J = —z + to4-—^& произ-tzz (г cz
вольной точке Р = (®, у, z) по направлению радиус-вектора этой
точки.	___________
28.7.	Найти производную функции f = 1/г, Г = \Jx2 +у2 + Z2, по направлению ее градиента.
28.8.	Найти производную функции f = yzex по направлению
ее градиента.
28.9.	Найти производную функции f = /(®, у, z) по направлению градиента функции д.
28.10.	Пусть V — векторный дифференциальный оператор в (d д д\ „
R , компоненты которого равны V =	—, —, — . Пока-
\ дх ду dz)
зать, что:
a)gradF = VF; б) divX = (V, X); B)rotX = VxX.
28.11.	Доказать формулу
div (пХ) = и  div X + (X, gradrt), где X — векторное поле, а и — функция в R3.
28.12.	Доказать формулу
rot (wX) = и  rot X — X х grad и.
28.13.	Доказать, что вектор х = и grad v ортогонален к rotX.
28.14.	Показать, что:
a)	div (rot X) = 0;
§ 28. Векторные поля
151
д2	д2	д2
б)	rot rot X = grad div X - ДХ, где Д = —г + — + —г.
oxz	оуЛ	oz*
28.15.	Пусть X = (т, у, z). Показать, что:
(X \
——г ) = 0;
1ХГ/
,)r'"(wY"’ д)8гаай = -й5-
Найти такую функцию </?, что X = grad <р.
28.16.	Пусть v(t, у, z) — поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси. Показать, что:
a)	div (v) = 0;
б)	rot (v) = 2w, где w — вектор угловой скорости.
28.17.	Пусть X = (т, у, z), Y — постоянное векторное поле. Показать, что rot (Y х X) — 2Y.
28.18.	Показать, что rot grad F — 0.
28.19.	Доказать формулу
Д(ГС) = ГДС + СДГ + 2(grad Г, grad G).
28.20.	Решить уравнение rot X = Y:
a)	Y = (1, 1, 1);	б) Y = (2у, 2z, 0);
в)	Y = (0, 0, ех - е^У, г) Y = (бу2, 6z, 6т);
д)	Y = (Зу2, -За;2, -(у2 + 2т));
е)	Y = (0, 2costz, 0);
_Л xz _ ( У	Х п\
\ т2 + у2 ’ т2 + у2' }'
з)	Y = (уех2, 2yz, — (2xyzex2 +z2)).
28.21.	Доказать, что каждому гладкому векторному полю на компактном многообразии соответствует однопараметрическая группа диффеоморфизмов </>t, траектории которой касаются данного векторного поля.
28.22.	Показать, что коммутатор векторных полей, рассматриваемых как операторы дифференцирования гладких функций, является векторным полем.
28.23.	Пусть tpt — однопараметрическая группа диффеоморфизмов, соответствующая векторному полю £. Показать, что
б] =	~ч)-
28.24.	Пусть £, т] — векторные поля, f.g — гладкие функции. Доказать формулу
[f(, 9У] = fg[£, r]]+g7)(f)C - fC(g)v-
152
Часть 2
28.25.	Пусть %, г) — векторные поля, ipt — соответствующие им однопараметрические группы преобразований. Показать, что если [£, ту] = 0, то преобразования коммутируют с преобразованиями ipt-
28.26.	Пусть V — линейное конечномерное пространство векторных полей, замкнутое относительно коммутатора, т.е. [£, ту] 6 G V при £, ту 6 У. Показать, что V является алгеброй Ли.
28.27.	В предыдущей задаче показать, что соответствующая алгебре V группа Ли G действует на многообразии, причем каждое поле £ G V задает одномерную подгруппу в группе G, орбиты действия которой касаются векторного поля 4-
28.28.	Пусть Р, Q — две произвольные точки в диске Dn С Ж". Найти такой диффеоморфизм на Жп, чтобы: <р(Р) = Q, <р(х) = = х, если х € Dn.
28.29.	а) Построить на стандартной сфере S3 три линейно независимых в каждой точке гладких векторных поля;
б)	найти в явном виде интегральные траектории полей, получающихся умножением радиус-вектора точки сферы на мнимые кватернионы г, j, к. Здесь сфера S3 реализована как множество кватернионов единичной длины.
28.30.	Построить интегральные траектории следующих векторных полей на плоскости:
. _ д д	. д д
'> f = xai +	=
д д	j. .	. д д
д )( = (х-у)— + х—-,	е)£ = х—+у—.
дх ду	Ох оу
28.31.	Доказать, что на многообразии каждой однопараметрической группе гладких гомеоморфизмов соответствует гладкое векторное поле скоростей траекторий точек.
28.32.	Привести пример векторного поля на некомпактном многообразии, траектории которого не порождаются действием какой-либо однопараметрической группы преобразований.
28.33.	Пусть X — гладкое связное многообразие, то, Ж1 — две произвольные точки. Найти такую однопараметрическую группу гладких преобразований <^t, чтобы 921 (то) = ®1- Показать, что без ограничения общности можно считать, что все преобразования <pt тождественны вне некоторого компакта.
28.34.	Пусть £ — постоянное векторное поле в угловых координатах двумерного тора Г2. Выяснить, при каких условиях на координаты поля £ интегральные траектории будут замкнутыми кривыми.
§ 28. Векторные поля
153
28.35.	Обобщить предыдущую задачу на случай тора Тп. А именно, пусть £ = (£\ ..£") — постоянное векторное поле в угловых координатах на торе Тп. Доказать, что замыкание любой траектории гомеоморфно тору Tk, где к — число линейно независимых чисел £х, ..., £" наД полем рациональных чисел.
28.36.	Пусть конечная группа G гладко действует на гладком многообразии X. Доказать, что если действие группы G свободно (т. е. каждая точка х Е X остается на месте только при действии единицы группы G), то фактор-пространство XfG является многообразием.
28.37.	Показать, что проективное пространство RP” является фактор-пространством Sn/^2 при некотором действии группы Z2 на сфере Sn. Найти это действие.
28.38.	Показать, что комплексное проективное пространство СР” является фактор-пространством S2”+1 /S'1 при некотором действии группы S1 на сфере S2”+1. Найти это действие.
28.39.	Пусть /(z) — комплексно-аналитическая функция одной переменной. Доказать, что особые точки (нули) векторных полей grad Re У (z), grad Im f(z) совпадают с нулями производной
28.40.	Найти интегральные траектории потока гч(.т), ортогонального потоку ц2(т), где v^^x) = grad/(a;), х Е К2, /(ж) — значение угла Ах В. Здесь А, В — фиксированные точки плоскости R2, х — переменная точка.
28.41.	Изобразить на плоскости R2 качественную картину распределения интегральных траекторий потоков
vi = grad Re f (z), ц2 = grad Im f(z)
для перечисленных ниже комплексно-аналитических функций/(г).
Найти особые точки потоков vi, г>2.
Исследовать устойчивость особых точек.
Изобразить качественную картину поведения траекторий потоков vi, V2 на сфере S2 (пополненная плоскость R2: S2 = R2U(oo)).
Изобразить процесс распада особенности z = 0 этих векторных полей при малом возмущении исходной функции f(z), при котором получается функция g(z), для которой все особые точки потоков vi, V2 невырождены:
а)	/(г) = zn (п — целое число);
б)	= z Ч— (функция Жуковсого);
в)	у(г) = Z +	г) /(z) =
Z — (1
д) = Inz;	e)/(z) = ln----
10 Зак. 359
154
Часть 2
ж)	f(z) = z4(2(7—5)2 + 12z6) (исследовать в окрестности точки z = 0);
з)	J(z) = z3(z — I)100(z — 2)900;
и)	f(z) = 2г: — Inz;
к)	f(z) = 1 + zi(zi — 4)44  (z44 — 44)444 (исследовать в окрестности точки z — 0);
1 (z — 2?\3	1
л) /(z) = йо ln (ttz) ;	*•) м = Z2+2z_f
2
H) “ + 211n(z2);	o) f(z) — z5 + 21n;z;
z
4
n) /(z) = 2 In (z - I)2 - - In (z + 10г)3;
P)/(Z) z3 (z-г)3’
c) =
t) f(z) =
4z-2
64z + i ’ / 18z — г
I lOz + 1
2
28.42.	Найти индекс особых точек векторных полей grad Re f (z)
и grad Im J (z), где:
a) y(z) = zn-, б) y(z) = z "; в) y(z) = Inz;
1	(1
v)f{z)=z + - fl)y(z) = ln——.
z	z — 0
28.43.	Доказать, что на всяком связном компактном замкнутом многообразии существует гладкое векторное поле ровно с одной особой точкой. Найти индекс этой точки как особой точки
векторного поля.
28.44.	Пусть некомпактное многообразие М является открытой областью в некотором компактном замкнутом многообразии. Доказать, что на М существует векторное поле без особых точек.
28.45.	Построить гладкое векторное поле ровно с двумя особенностями на следующих ориентированных поверхностях:
а) на сфере; б) на торе; в) на сфере с д ручками.
28.46.	Построить гладкое векторное поле с одной особой точкой на следующих поверхностях: а) на сфере; б) на торе; в) на кренделе; г) на сфере с д ручками; д) на проективной плоскости; е) на бутылке Клейна; ж) на сфере с к листами Мебиуса. Найти индексы этих особых точек.
28.47.	Доказать, что безвихревой поток v = (Р, Q), где Р, Q — копоненты потока на плоскости К2(.т, у), потенциален, т. е. v — — grad J(т, у) для некоторой гладкой функции f. Что можно сказать о потенциале f, если поток еще и несжимаем, т. е. div(w) = 0?
§ 28. Векторные поля
155
28.48.	Пусть векторное поле £ удовлетворяет условию div (£) = = 0. Показать, что оператор сдвига вдоль интегральных траекторий унитарен.
28.49.	Найти все гомотопические классы векторных полей на торе Т2.
28.50.	Доказать, что если векторное поле X на 2-мерном торе гомотопно dipi, то оно имеет периодическую траекторию.
28.51.	Найти наибольшее число линейно независимых касательных векторных полей на гладкой замкнутой поверхности М"2.
28.52.	Доказать, что индексы двух векторных полей на произвольной 2-мерной замкнутой поверхности равны. Верно ли это утверждение для многообразия любой размерности?
28.53.	Пусть m, п — числа вращений векторного поля на торе Т2, А = (т, п). Доказать, что у этого поля существует А периодических решений (замкнутых траекторий).
28.54.	Т еорема Пуанкаре-Бендиксона. Доказать, что если произвольное решение некоторго векторного поля на плоскости компактно и не содержит особых точек, то оно периодическое.
28.55.	Доказать, что если точка Р на плоскости является предельной для некоторой траектории векторного поля, то и траектория, проходящая через Р, является предельной для исходной траектории.
28.56.	Доказать, что множество векторных полей, обладающих только изолированными особенностями, связно.
28.57.	Доказать, что сумма индексов особенностей векторного поля на компактном замкнутом многообразии не меняется при гладких деформациях.
28.58.	Доказать, что множество всех интегральных траекторий векторного поля и(х) = (ж1, — х°, х3, —ж2), где
х = (т°, х1, х2, х3) G S3: (|т| = 1) С R4,
гомеоморфно сфере S2. Найти связь с расслоением Хопфа S3 —> -» S2. Как связно это векторное поле с квартенионами?
28.59.	Пусть v(t) — гладкое векторное поле на плоскости R2; L — гладкий самопересекающийся контур на плоскости К2; jL — индекс контура L в векторном поле v(.t); j — число точек внутреннего касания поля v и контура L; Е — число точек внешнего касания. Доказать, что если число всех точек касания поля и кон-
тура конечно, то jL -(2 + J — Е).
28.60.	Сколько решений имеет уравнение sinz = z над полем комплексных чисел?
ю*
156
Часть 2
д	д	д д	д	д
28.61.	Положим — = —-----г—; — = ——h —. Показать, что
oz	их	Оу oz	ох оу
д
функция f голоморфна тогда и только тогда, когда ~гт(/) = 0 для dzK
всех к.
28.62.	Показать, что векторное поле £ голоморфно тогда и только тогда, когда в локальной системе координат (z1, ..., zn)
д
оно имеет вид £ = £аг—-г, где аг — голоморфные функции.
oz1
28.63.	а) Доказать, что произвольное двумерное ориентированное многообразие после выбрасывания одной точки становится па-
раллелизуемым;
б)	верно ли это утверждение для неориентируемых поверхностей?
в)	можно ли сделать неориентируемую поверхность (с краем или без) параллелизуемой, выбрасывая из нее точки и вложенные окружности?
28.64.	а) Построить на замкнутой двумерной поверхности гладкую функцию ровно с тремя критическими точками;
Рис. 81
б) в каком случае эта функция является функцией Морса (это означает, что все ее критические точки невырождены)? См. рис. 81.
§ 29. Группы преобразований
157
28.65.	а) Построить на замкнутой двумерной поверхности гладкую функцию ровно с четырьмя критическими точками;
Рис. 82
б) в каком случае эта функция является функцией Морса (это означает, что все ее критические точки невырождены)? См. рис. 82.
§ 29.	Группы преобразований
29.1	Пусть конечная группа G гладко действует на многообразии X и хо £ X — неподвижная точка для действия любого элемента группы G. Доказать, что в окрестности точки xq найдется локальная система координат, в которой действие группы G линейно.
29.2.	Обобщить предыдущую задачу на случай произвольной компактной группы Ли.
29.3.	Доказать, что множество всех неподвижных точек действия конечной группы G на гладком многообразии является объединением гладких подмногообразий (вообще говоря, различных размерностей).
29.4.	Пусть G — группа Ли. Показать, что действие группы G на себе с помощью левых (правых) сдвигов является гладким.
29.5.	Пусть группа Ли G действует на себе с помощью внутренних автоморфизмов. Доказать, что множество неподвижных точек совпадает с центром группы G.
29.6.	Доказать, что группа изометрий евклидового пространства порождается ортогональными преобразованиями и параллельными переносами. См. рис. 83. На этом рисунке репер Oxyz — фиксированный, а репер О'х'у'z', жестко связанный с самолетом, получается из репера Oxyz с помощью изометрии евклидова пространства.
29.7.	Доказать, что группа изометрий стандартной п-мерной сферы изоморфна группе ортогональных преобразований (zi + 1)-мерного евклидового пространства.
158
Часть 2
29.8.	Доказать,что группы Ли S'p(l) и SU(2) изоморфны. Доказать, что они диффеоморфны сфере S'3. Установить связь с кватернионами.
29.9.	а) Доказать,что умножение на кватернион А: х Ах в алгебре кватернионов порождает группу преобразований SU(2);
б)	доказать, что преобразования вида х АхВ, где А, В — кватернионы, порождают группу SO(4);
в)	доказать, что SO(4) изоморфна фактор-группе S3 х 53/2^, где S3 снабжена структурой группы SU(2) = Sp(l);
г)	найти фундаментальную группу 5'0(4) и SO(n) для любого п.
29.10.	Обозначим через Az (99), Ау((р), Аг (99) соответственно следующие матрицы:
COS 99	sin 99	0\	/ cos 99	0	sin</?
— sin 99	cos 99	0 , 1	°	1	0
0	0	1/	\ — sin 99	0	cos 99
	/1	0	° \		
	I 0	cos 99	sin 99 I .		
	\°	— sin 99	cos 99/		
Ясно, что это матрицы поворотов относительно соответствующих осей координат. Любую матрицу А Е S0(‘3) можно представить в
§ 29. Группы преобразований
159
виде
А = А^)А^А^
трех вращений относительно двух осей координат. Здесь индексы г и у принимают значения в множестве {х, у, z}, причем i j.
Рис. 84. Углы Эйлера, ось и является пересечением плоскостей Оху и Ох'у
Рис. 84 соответствует представлению матрицы А в виде произведения Az\tp)Ax(6)Az{^).
Углы </?, 0, чр называются углами Эйлера.
а)	Сколько различных вариантов имеется для выбора углов Эйлера?
б)	Доказать, что углы Эйлера являются локальными регулярными координатами почти на всей группе 50(3). Найти множество матриц из 50(3), для которых углы Эйлера не являются регулярными координатами.
в)	Найти выражение для метрики Киллинга на 50(3) в углах Эйлера.
г)	Найти объем группы 50(3).
29.11.	Не только углы Эйлера могут служить координатами на группе 50(3). В самом деле, произвольная матрица A G S0(3) представляется в виде
А = Ai(<p)Aj(0)Ak('ip),
где индексы г, j, к принимают различные значения в множестве {ж, у, z}. В этом случае углы </?, О и чр называются навигационными углами. См. рис. 85.
160
Часть 2
а)	Сколько различных вариантов имеется для выбора навигационных углов?
б)	Доказать, что навигационные углы являются локальными регулярными координатами почти на всей группе SO(3). Найти
Рис. 85. Навигационные углы — углы поворотов относительно указанных осей множество матриц из SO(3), для которых навигационные углы не являются регулярными координатами.
в)	Найти выражение для метрики Киллинга на ,8'0(3) в навигационных углах.
29.12.	а) Доказать, что группы Ли SO(n), SU(n), U(n), Sp(n) связны:
б)	доказать, что в группе О(п) две связные компоненты;
в)	найти число связных компонент группы движений псевдо-евклидова пространства К";
г)	доказать, что группа SL(2, R)/{±E'} связна.
29.13.	Реализуем группу <7(п) и ее алгебру Ли и(п) подмногообразиями в евклидовом пространстве всех квадратных комплексных матриц размера п х п (естественное вложение унитарных и косоэрмитовых матриц в это пространство).
а)	Доказать, что U(n) С S'2”2-1, где сфера S'2"2-1 вложена стандартно в R2”2=C” и имеет радиус у/п\
б)	доказать, что риманова метрика, индуцированная на группе SU(ri), рассматриваемой как подмногообразие в S'2” -1, совпадает с двусторонне инвариантной метрикой Киллинга на группе St/(n);
§ 29. Группы преобразований
161
в)	найти пересечение U{n) Clu(n) как подмногообразие в пространстве С"2.
29.14.	Сформулировать и решить аналогичные задачи для групп <9(п) и Sp(n).
29.15.	Доказать, что группа всех изометрий риманового многообразия является гладким многообразием, т. е. является группой Ли. Оценить сверху ее размерность через размерность риманова многообразия.
29.16.	Перечислить все конечномерные группы Ли преобразований прямой К1.
29.17.	Найти группу всех дробно-линейных преобразований, сохраняющих диск |z|	1 в комплексной плоскости. Доказать,
что эта группа изоморфна группе SL(2, R)/Z2, а также группе всех преобразований, сохраняющих форму dx2 + dy2 — dt2 в В3 (ж, у, £). Установить связь с геометрией Лобачевского.
29.18.	Доказать, что связная компонента единицы группы изометрией плоскости Лобачевского (в стандартной метрике постоянной кривизны) изоморфна SL(2, К)/Жг. Найти полное число компонент в группе движений плоскости Лобачевского.
29.19.	Материальный шар зажат между двумя параллельными плоскостями, касательными к нему. При движении плоскостей, сохраняющем параллельность плоскостей и расстояние между ними, шар вращается без скольжения в точках контакта. Рассмотрим все такие перемещения шара, индуцированные движением верхней плоскости, при которых нижняя точка контакта шара описывает замкнутую траекторию на нижней плоскости, т. е. точка контакта возвращается на прежнее место. Какая часть группы 50(3) может быть получена такими вращениями шара (фиксируются повороты шара после возвращения в исходную точку)?
29.20.	Найти фактор-группу G/G^ где G — группа движений плоскости Лобачевского со стандартной метрикой, Gq — связная компонента единицы. Указать все конформные преобразования этой стандартной метрики.
29.21.	Найти все дискретные подгруппы в группе G аффинных преобразований прямой В1.
29.22.	Доказать, что левоинвариантные векторные поля на группе Ли G находятся во взаимно-однозначном соответствии с векторами касательного пространства Te(G) в единице группы G.
29.23.	Доказать, что коммутатор двух левоинвариантных векторных полей на группе Ли G снова является левоинвариантным векторным полем, т. е. операция коммутирования превращает пространство Te(G) в алгебру Ли.
29.24.	Пусть £ — левоинвариантное векторное поле, <pt — соответствующая ему однопараметрическая группа преобразований.
162
Часть 2
Доказать, что <pt является правым сдвигом при любом t, т.е. <pt(.g) = ght, где ht — некоторый элемент группы G.
Пусть G — группа Ли, х1, ..., хп — локальная система координат в окрестности единицы (координаты которой будем считать нулевыми). Тогда операция умножения индуцирует векторнозначную функцию q = = q(.r, у) = хух~1у~1, х = (ж1, ..., хп), у = (у1уп). Если функцию q = q(z, у) разложить по формуле Эйлера, то она имеет вид
5* = ^c}kxjyk +£^,
где е13 — величина третьего порядка малости относительно координат х1, уг. Билинейное выражение
С =
j,k
определяет некоторую операцию над касательными векторами в единице группы G. Эта операция обозначается ф = [£, д], а С называется коммутатором векторов £ и г/. Таким образом, касательное пространство Te(G) превращается в алгебру, которая называется алгеброй Ли группы Ли G.
29.25.	Показать, что в алгебре Ли L выполнены следующие свойства:
а)	[С, »?] = -[»?, €];
б)	тождество Якоби
[К, *?], <] + [[*7, С], С] + [К, £], *?] = 0.
29.26. Проверить, что операция в алгебре Ли L переходит в коммутатор векторных полей на группе Ли G, если вектору £ сопоставляется (право-) левоинвариантное векторное поле.
29.27	. Пусть х(£), y(f) — две кривые, проходящие через еди-(/х	dy
ницу группы (7, причем £ = — (0), 7] = — (0). Показать, что dt	at
К, »?] = ^(x(\/f)y(\/i)x \Vt)y
29.28	. Пусть 7(£) — однопараметрическая подгруппа группы Ли. Предположим, что 7 пересекает сама себя. Показать, что существует такое число L > 0, что + L) = 7(f) для всех t € Й. Отсюда, в частности, следует, что любая однопараметрическая подгруппа группы Ли, рассматриваемая как одномерная группа Ли, гомеоморфна либо прямой, либо окружности.
Примечание. Некомпактная однопараметрическая подгруппа может быть вложена в группу Ли довольно сложно, например в виде так
§ 30. Дифференциальные формы 163
называемой иррациональной или плотной обмотки тора некоторой размерности.
29.29	. Пусть G — компактная связная группа Ли. Показать, что каждая точка х G G принадлежит некоторой однопараметрической подгруппе.
29.30	. Пусть G — компактная группа, гладко действующая на многообразии М. Показать, что на М имеется такая риманова метрика, для которой G — группа изометрий.
29.31	. Показать, что коммутативная связная группа Ли локально изоморфна конечномерному векторному пространству.
29.32	. Показать, что компактная коммутативная связная группа Ли изоморфна тору.
29.33	. Показать, что коммутативная связная группа Ли изоморфна произведению тора на векторное пространство.
29.34	. Пусть группа Ли G — подгруппа в группе матриц GL(n, С) С Cn = End(n, С). Показать, что в алгебре Ли L группы G, понимаемой как подпространство в End (и, С), операция коммутирования совпадает с обычным коммутатором матриц, т. е. [£, п]= С.г] - где £, 7] <Е L.
29.35	. Описать алгебры Ли следующих матричных групп Ли:
SL(n, С), SL(n, R), U(n), О(п), О(п, т), Sp(n).
29.36	. Доказать, что конечная группа не может эффективно действовать на Кп.
§ 30.	Дифференциальные формы
30.1.	Вычислить поверхностный интеграл дующих замкнутых поверхностей Е:
л
Ф~ц— do для сле-оп
а)	для ф — г2, ip = х2 + у2 — г2, если Е ограничивает область ж2 + у2 + z2 1 и у 0;
б)	для ф = 2х2, ip = х2 + г2, если Е ограничивает область х2 + у2 С 1 и 0 z С 1;
.	, X + у + Z	_	9	9	9	9
в)	для ф = чр =--2=—, если Е есть сфера х + у + z = г ;
г)	для ф = 1, чр = ех sin?/ + еу sin ж + z, если Е есть трехосный ж2	у2	z2
эллипсоид — + — + — = 1.
az	//	cz
п	д
Здесь через -ц- обозначена производная в направлении внеш-оп
ней нормали к поверхности.
Часть 2
164
30.2.	Найти следующих градиенты функций в цилиндрических координатах:
а) и = р2 + 2pcos<,o — ez sin 99; б) и = р cos 97 + zsin2 99 — ер.
30.3.	Найти divX в цилиндрических координатах для следующих векторных полей:
а) X = (р, zsin97, ecpcosz); б) X — (9oarctgp, 2, — z2ez).
30.4.	Найти дивергенцию векторного поля
X = I г2, -2 cos2 97, \	rz + 1
в сферических координатах.
30.5.	Найти ротор следующих векторных полей в сферических координатах:
а)	X = (2г + a cos <р, —a sin в, г cos 0), а = const;
б)	X = (г2, 2cos0, —9:).
30.6.	Проверить, что следующие векторные поля в сферических координатах (г, 0, 97) являются потенциальными:
а) X = (2cos0/r3, sin0/r3, 0); б) X = (/(г), 0, 0).
30.7.	Найти потенциалы следующих векторных полей в цилиндрических координатах (р, 9?, z):
(г, 0, 9?):
б) X = (2г, -, - sin0 );
(ер cos <р \ sin 97, ------, 2zj ;
д) X = (97 cos z, cosz, —pip sin z).
30.8.	Найти потенциалы следующих векторных полей в сфери-
ческих координатах
а) X = (0, 1, 0);
. х = (<£
\ 2 ’ г ’ sin 0 У ’
г) X = (cos 99 sin 0, cos 99 cos 0, — sin 97);
.	(	„ er cos 0 2ip \
д) X = i er sin0, --, -z--zr—:—7 ) •
' у	r (1 + 9O2)r sin0/
30.9.	Вычислить циркуляцию векторного поля

X = (г, 0, (R + г) sin 0)
в сферических координатах по окружности {г = R, в = тг/2}.
30.10.	Вычислить линейный интеграл векторного поля X вдоль линии L, заданного в цилиндрических координатах, если:
а)	X = (z, pip, cos 99), L — отрезок прямой: {р = а, р> = 0, 0 z 1};
§ 30. Дифференциальные формы
165
б)	X = (р, 2р<р, z), L — полуокружность: {р = 1, z = 0, 0 ф С тг};
в)	X = (ер cosip, psinip, р), L — винтовая линия: {р — R, z = <р, 0 <р 2-тг};
г)	X = (z, pz, р), L — окружность: {р = 1, z = 0};
д)	X = (psinip, —p2z, р2), L — окружность: {р = R, z = /?};
е)	X = (zcostp, р, <р2), L: {р = sin<p, z = 1}.
30.11.	Вычислить линейный интеграл векторного поля X вдоль линии L, заданного в сферических координатах, если:
а)	X = (4r3tg<p/2, 0<р, cos2<p), L = {<р = тг/2, в = тг/4, 0
г 1};
б)	X = (sin20, sin0, r<p0), L = {<p = тг/2, г = 1/sin0, тг/4
< тг/2};
в)	X = (rd, 0, rsinfl), L = {r = 1, в = тг/4, 0 < <p < 2тг};
г)	X — (rsinfl, вев, 0), L = {г — sin<p, в = тг/2, 0 <p тг};
д)	X = (0, 0, r<p0), L — контур, ограничивающий полудиск: {г R, <р = тг/4}.
30.12.	Найти поток векторного поля X через поверхность S, заданного в цилиндрических координатах, если:
а)	X = (р, — cosip, z), S ограничивает область {р 2, 0
Z 2};
б)	X = (р, pip, —2z), S ограничивает область {р 1, 0 <р < тг/2, -1 < z < 1}.
30.13.	Найти поток векторного поля X через поверхность 6', заданного в сферических координатах, если:
а)	X = (1/г2, 0, 0), S окружает начало координат;
б)	X = (г, rsin0, —3r<psin0), S ограничивает область {г
R, 0 < тг/2};
в)	X = (г2, 0, R? cosip), S = {г = R}-,
г)	X = (г, 0, 0), S ограничивает область {г R, в тг/2};
д)	X = (г2, 0, R2rsin0cosip), S ограничивает область {г R, 0 <р тг/2, в я/2}.
30.14.	Пусть ft'. X х [0, 1] —> Y — гладкое отображение, w — дифференциальная форма на У, dw = 0. Доказать, что /q(w) — — /i(w) = для подходящей формы Q на X.
30.15.	Доказать, что если многообразие X стягиваемо, то для любой замкнутой формы w (т. е. dw = 0) разрешимо уравнение c?Q = w.
30.16.	Пусть на многообразии задана невырожденная дифференциальная 2-форма. Доказать, что на этом многообразии существует почти комплексная структура.
30.17.	Пусть М — замкнутое компактное симплектическое многообразие, т. е. на нем существует невырожденная замкнутая
166
Часть 2
2-форма ш = a>ijdxl Л dx3. Доказать, что вторая группа когомологий многообразия М нетривиальна.
30.18.	Вычислить 0-мерные когомологии де Рама для произвольного гладкого многобразия.
30.19.	Доказать, что n-мерные когомологии гладкого замкнутого zz-мерного ориентируемого многообразия нетривиальны.
30.20.	Вычислить когомологии де Рама следующих многообразий: a) Rn; б) S1; в) S2; г) Sn; д) тор Т2; е) проективная плоскость RP2; ж) плоскость без п точек.
§ 31.	Теория гомотопий
31.1.	Представить в виде клеточного комплекса: а) тор; б) бутылку Клейна; в) надстройку над клеточным комплексом К.
31.2.	Доказать, что сфера S°° и шар Р°° являются клеточными пространствами.
31.3.	Доказать, что топология СДР-комплекса является слабейшей среди топологий, в которых все характеристические отображения непрерывны.
31.4.	Доказать, что на СДР-комплексе функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна на каждом конечном подкомплексе.
31.5.	Доказать, что тор с диском, натянутым на меридиан, гомотопически эквивалентен букету S1 V S2.
31.6.	Доказать, что тор с диском, натянутым на меридиан и параллель, гомотопически эквивалентны сфере S2.
31.7.	Обобщить задачи 31.5 и 31.6 на случай произведения Sk х х Sn~k.
31.8.	Доказать гомотопическую эквивалентность пространств: (Xx5")/(XVS") = M.
31.9.	Доказать гомотопическую эквивалентность:
а)	Е(Х V У) ~ EX V ЕУ;
б)	Е(Х Л У) ~ Е(Х х У)/(ЕХ V ЕУ).
31.10.	Пусть Р(Х; А, В) — пространство путей с началом в А и конпом в В. Пусть А С В. Доказать, что Р(Х- А, В) содержит подпространство, гомеоморфное А.
31.11.	Пусть /: X —> Е — непрерывное отображение симпли-циальных комплексов, У С X — подкомплекс, на котором отображение f симплициально. Доказать, что существует такое подразбиение комплекса X, тождественное на У, что отображение f гомотопно некоторому симплициальному отображению д, причем гомотопия постоянна на У.
31.12.	Пусть X — симплициальный комплекс, Sx — звезда вершины х G X. Доказать, что любые два симплекса звезды Sx пересекаются по некоторой грани.
§31. Теория гомотопий
167
31.13.	Доказать, что симплициальное отображение симплици-альных комплексов непрерывно.
31.14.	Пусть X — симплициальный комплекс и е > 0. Доказать, что существует такое подразбиение комплекса X, что диаметр каждого нового симплекса меньше е.
31.15.	Пусть f — отображение единичного отрезка [0, 1] в себя, причем /(0) = 0, /(1) = 1. Доказать, что существует гомотопия, неподвижная в концах отрезка и деформирующая отображение f к тождественному отображению.
31.16.	Стягивается ли по себе в точку векторное пространство R71?
31.17.	Пусть пространство X стягивается по себе в точку. Доказать, что любые два пути с одинаковыми концами гомопотны между собой (гомотопия неподвижна на концах).
31.18.	Доказать, что одномерный клеточный комплекс есть пространство типа К(тг, 1), где я — свободная группа.
31.19.	Доказать, что стягиваемое пространство гомотопически эквивалентно точке.
31.20.	Доказать, что любые два пространства типа К(тг, 1) слабо гомотопически эквивалентны.
31.21.	Доказать:
a)	Sn Л Sk = Sn+k-
б)	Sn/Sk гомотопически эквивалентно SnV Sk+1; Sn\Sk гомотопически эквивалентно	Sn~k диффеоморфно Sn~k~x x
x Rfc+1, если Sk G Sn — стандартное вложение.
31.22.	Доказать, что на CW-комплексе функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна на каждом конечном подкомплексе.
31.23.	Доказать, что если произведение двух топологических пространств гомеоморфно надстройке над каким-нибудь топологическим пространством, то либо оба сомножителя стягиваемы, либо один из них сводится к точке.
31.24.	Пусть пространство X стягивается к подпространству Y, причем гомотопия неподвижна (постоянна) на Y. Доказать, что любой путь в X с концами в Y гомотопен пути, полностью лежащему в Y (гомотопия неподвижна в концах).
31.25.	Доказать, что на сфере Sn, n > 1, всякие два пути гомотопны (концы одинаковы, гомотопия неподвижна на концах).
31.26.	Доказать, что всякий связный клеточный комплекс гомотопически эквивалентен клеточному комплексу с одной вершиной.
31.27.	Доказать, что сферу S’71-1 можно представить в виде объединения (Sr х Dn~T) U (Pr+1 х Sn~T~х) с общей границей ST х S'"-7-1.
168
Часть 2
31.28.	Рассмотрим в евклидовом пространстве Rn стандартную сферу Sn~l и две вложенные в нее сферы
Sr~l = {жг+1 = ... = хп — 0},	=	= ... = хт = 0}.
Доказать, что любая пара точек у Е S’7--1, х Е gn-r-i соединяется большой дугой без общих точек вне этих сфер.
31.29.	Найти топологический тип замкнутого однополостного гиперболоида Г = {х2 + у2 — z2 = 1} в проективном пространстве RF3.
31.30.	Разрезать вложенный в R3 лист Мёбиуса по средней линии. Ориентируемо ли получившееся многообразие? Повторить процесс разрезания несколько раз. Описать получившееся несвяз-
Лист Мебиуса
Разрез
Кольцо
Рис. 86
ное многообразие и найти индекс зацепления произвольных двух компонент связности. См. рис. 86.
31.31.	Доказать, что пространство многочленов степени 3 без кратных корней гомотопически эквивалентно дополнению к трилистнику в сфере S3. Построить явную деформацию.
31.32.	Рассмотрим множество точек С71 с попарно-различными координатами. Показать, что полученное пространство имеет тип комплекса Эйленберга-Маклейна К(тг, 1).
31.33.	Построить пример двух гомотопически не эквивалентных пространств Xi, X? и взаимно-однозначных непрерывных отображений f: Xi Х2, д: X? Х±.
31.34.	Обозначим через (X, У} множество всех непрерывных отображений из пространства X в пространство У. Пусть h: X —> —> X' — непрерывное отображение, и соответствие Ф: {X1, У} —> —> (X, У} определяется формулой Ф(а) = ah. Доказать, что соответствие Ф переводит гомотопные отображения в гомопотные.
31.35.	Доказать, что имеет место гомотопическая эквивалентность S(Sn х Sm) ~ S7l+1 V S'm+1 V Sn+m+1.
31.36.	Доказать, что бесконечномерная сфера S'00 стягиваема по себе в точку.
31.37.	Доказать, что связный конечный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей VS11.
§31. Теория гомотопий
169
31.38.	Пусть отображение р: X Y удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии. Доказать, что прообразы точек гомотопически эквивалентны.
31.39.	Пусть пространство X стягивается к своему линейносвязному подпространству А. Доказать, что пространство X линейно связно.
31.40.	Фиксируем в пространстве X точки хд и х^. Пусть Y — пространство путей с началом в точке жо и проходящих через точку Ж1. Доказать, что пространство Y стягиваемо.
31.41.	Доказать, что пространство всех путей Р(Х; X, X} стягивается к X С Р{Х\ X, X) неподвижно на X.
31.42.	Пусть задана последовательность пространств Xn С С Xn+i, причем Xn+i стягивается к Хп неподвижно на Хп. Доказать, что пространство X = стягивается к Хд неподвижно
п
на Хд.
31.43.	Доказать, что всякое открытое эт-мерное многообразие гомотопически эквивалентно (и — 1)-мерному комплексу.
31.44.	Доказать, что если пространство X стягивается по себе к подпространству А неподвижно на А, то А гомотопически эквивалентно X.
31.45.	Вычислить множества 7r(S1 xS1, S2) и ir(Sk xSn~~k, Sn).
31.46.	Найти Cati (RFn) и Cat2 (RFn), где символами Cati (RFn) и Cat2 (RF71) обозначено минимальное число замкнутых подпространств Х* таких, что X = (J Xj и вложения Xi С X гомопотны постоянным отображениям.
31.47.	Вычислить Cati (К) и Cat2 {К) для сферы с тремя отождествленными точками.
31.48.	Пусть М2 — компактное замкнутое ориентированное 2-мерное многообразия рода А, т. е. М2 — сфера S2 с h ручками. Найти Y2M2 (двухкратная надстройка) с точностью до гомотопического типа.
31.49.	Рассмотрим в KF71 какую-либо стандартную карту с неоднородными координатами Ж1, ..., хп. Найти гомотопический тип следующих множеств:
a)	KFn\Sfc, где Sk = {ж^ + .. .+ж£+1 = 1, хк+2 = ... = хп = 0};
б)	№Рп\Мк, где Мк = {xl + ... + x2k- ж2+1 - ... - ж2+1 - 1 = = 0; ^fc+2 = . •  — хп = 0};
в)	Sk; г) Мк.
31.50.	Рассмотрим в открытом многообразии Rn х Sn~k малый шар Dn и вклеим вместо него проективное пространство RFn, т. е. отождествим точки х и —х на границе шара Sn-1 = dDn. Дока
170
Часть 2
зать, что полученное пространство гомотопически эквивалентно RP”-1 v gn-k.
31.51.	Дано топологическое многообразие Мп, край которого есть топологическое многообразие Рп~1. Известно, что край Рп~1 стягивается по многообразию Мп в точку.
а)	Доказать, что многообразие стягивается в точку;
б)	доказать, что если многообразие Рп-1 односвязно, то многообразие Мп гомеоморфно диску Dn (в предположении, что Рп-1 стягивается по Мп в точку);
в)	построить пример такой пары (Мп, Р”"1), что многообразие Р71-1 стягивается по многообразию Мп в точку, но Мп не гомеоморфно диску Dn. В качестве следствия доказать, что tti (Рп-1) 0.
31.52.	Найти гомотопический тип пространства С” \ Д, где Д = U	= {ж G C"|Xj = Xj}.
ij
31.53.	Вычислить, сколько имеется отображений (с точностью до гомотопии):
a) RPn -> RPn;	б) СРп -> СРп;	в) RPn+1 -> RPn;
г) CPn+1 -> СРп;	д) MP" -> RPn;	е) SCPn -> СРП;
ж) ХЖРП -> RP’1+1; з) SCPn -> CP"+1.
31.54.	а) Пусть пространства X и Y связны. Доказать, что Cat (join (X, У)) = min (Cat (X), Cat (У)), где символом Cat обозначена категория Люстерника-Шнирель-мана;
б) найти Cat (S1 х S2).
31.55.	Пусть пространства Xj, 1 i N, линейно-связны и X = Xi х Х2 х •  • х XN. Доказать, что
2V
[Cat (Xj)] Cat (X)	1 + J2[Cat (Xj) - 1].
2=1
31.56.	а) Вычислить Cat (KPn), Cat(T"), Cat (Srn x Sn);
б)	доказать, что если сфера Sn покрыта q замкнутыми множествами (не обязательно связными) Vi, V2,  Vq, где q п, то всегда существует хотя бы одно множество Vi, такое, что оно содержит две диаметрально противоположные точки —х и х сферы Sn.
31.57.	Пусть М С — произвольное подмножество в евклидовом пространстве (например, гладкое подмногообразие) и пусть Rn С Rn+1 — стандартное вложение. Доказать, что имеет
§31. Теория гомотопий
171
место следующая гомотопическая эквивалентность: Rn+1\M ~ ~ S(Rn\M).
31.58.	Связь между категорией Люстерника-Шнирельмана и так называемой когомологической длиной комплекса {или многообразия). Пусть Мп — гладкое, компактное, связное, замкнутое многообразие. Рассмотрим кольцо Н*(Мп, G), где G = = Z, если Мп ориентируемо, и G = Z2, если Мп неориентируемо. Обозначим через 1{Мп', G) наибольшее целое число, для которого существует последовательность элементов xi, х?, ..., Х[ кольца Н*(Мп; G) (degxa > 0, 1 < а < /), таких, что их произведение в Х1/\х?/\.. ./\xi {Мп\ G) 0 в кольце Н*{Мп\ G). Число 1{Мп; G) называется когомологической длиной многообразия Мп. Доказать, что
Cat {Мп) > [{М11-, G).
31.59.	Доказать, что для любого линейно-связного топологического пространства X и любой его точки xq группа 7Ti(QX, xq) — абелева.
31.60.	Доказать, что всякое стягиваемое пространство односвязно.
31.61.	Доказать, что группа 7Г1(\/ S'1) — свободная группа с А А
образующими.
31.62.	Доказать, что если X и Y гомотопически эквивалентны, то имеют место изоморфизмы: ?Г|(Х) = яу(У) и Kk{X) = я>(У), к 2.
31.63.	Доказать, что 7Г1 (X V У) = 7Г1(Х) * 7г(У), где 7Г1 (X) * * 7Г1(У) — свободное произведение групп к\{Х) и 7Г1(У).
31.64.	Найти фундаментальную группу дополнения к узлу-трилистнику в R3 (а также в сфере S'3) и доказать, что трилистник «не развязывается», т. е. не существует гомеоморфизма евклидова пространства (или сферу) на себя, который переводил бы трилистник в стандартно вложенную незаузленную окружность, т. е. в тривиальный узел.
31.65.	Найти фундаментальную группу дополнения к узлу Г в R3, задаваемому так: окружность, изображающая узел, расположена на двумерном, стандартно вложенном торе Т2 С R3, на котором она обходит р раз параллель тора и q раз его меридиан, причем числа р и q взаимно просты. (Узел-трилистник из задачи 12.56 может быть представлен как такой узел Г, где р = 2, q = 3.) Разберитесь, в чем роль условия взаимной простоты двух чисел: Р и Q-
31.66.	Пусть X = y(jZ, где У, Z, W — конечные CW-kom-w
плексы, W = У A Z, W линейно-связно, через X = У (J Z обо-
W
172
Часть 2
значен комплекс, получающийся при склейке У и Z по общему подмножеству W. Вычислить группу лДХ), если группы лДУ), 7Ti(Z), 7Г1(1У) известны. Особо рассмотреть тот случай, когда W несвязно.
31.67.	Задана произвольная группа G с конечным числом образующих и соотношений. Доказать, что существует конечный комплекс X, фундаментальная группа которого изоморфна G. Можно ли выбрать в качестве такого комплекса X конечномерное многообразие, например четырехмерное?
31.68.	Вычислить группу 7Ti (X), где X — букет трех окружностей.
31.69.	Построить двумерный комплекс X, фундаментальная группа которого равнялась бы Z/pZ. Для каких р в качестве такого комплекса можно выбрать двумерное гладкое замкнутое компактное многообразие?
31.70.	Вычислить фундаментальную группу двумерной сферы с тремя ручками. Выяснить, коммутативна ли эта группа, и найти ее коммутант. Вычислить фундаментальную группу двумерного тора.
31.71.	Пусть симплициальный коплекс X имеет N одномерных симплексов. Доказать, что его фундаментальная группа имеет не более чем N образующих.
31.72.	Доказать, что 7Г1 (X) = яу (Л2), где X — CW-комплекс, а Х2 — его двумерный остов, т. е. объединение всех клеток размерностей 1 и 2.
31.73.	Найти 7Г2(Х), где X = S1 V S2. Будет ли эта группа конечнор ожденной?
31.74.	Найти фундаментальную группу «восьмерки» (букета двух окружностей).
31.75.	Пусть / — путь в X; a G я^ (X, хц), /(0) = хц. Доказать, что существует путь д, такой, что р(0) = то, g(l) = /(1), и fg~l е а.
31.76.	Пусть X — линейно-связное пространство. Доказать, что группа 7Г1 (X, то) изоморфна группе 7Гх (X, у) для любых двух точек х, у е X.
31.77.	Вычислить, tvi(X) и тгп(Х), где X — букет S1 V Sn.
31.78.	Доказать, что если X — одномерный CW-комплекс, то 7Г1 (X) — свободная группа.
31.79.	Доказать, что группа G = Z(BZoZoZHe может быть фундаментальной группой никакого 3-мерного многообразия.
31.80.	Вычислить 7Ti(Ps), где Рд — 2-мерная компактная, замкнутая, ориентируемая поверхность рода д.
31.81.	Вычислить KxiTPg), где ТРд — многообразие линейных элементов поверхности рода д.
§ 31. Теория гомотопий
173
31.82.	Вычислить фундаментальную группу «бутылки Клейна», построив накрывающее пространство с действием дискретной группы.
31.83.	Пусть Р — 2-мерная поверхность с непустым краем (открытая поверхность). Доказать, что 7Ti(F) — свободная группа.
31.84.	Доказать, что если X — CW-комплекс, то 7Г1(Х) — группа, образующие которой являются одномерными клетками, а полный набор соотношений определяется границами 2-мерных клеток.
31.85.	Пусть G — непрерывный группоид с единицей. Доказать, что G гомотопически прост во всех размерностях и как следствие, что 7Ti(G) — абелева группа.
31.86.	Пусть X — непрерывный группоид с единицей, G С С 7Г1 (X) — подгруппа. Доказать, что:
а)	в Xq можно ввести умножение так, что pG-. Xg -> X (где рс — проекция накрытия Xg на X) станет гомоморфизмом;
б)	если X — группа, то Xg (накрытие по подгруппе G) — тоже группа. Разобрать пример Z2 -> Spin(n) -> SO(n), n> 2.
31.87.	Доказать, что имеет место изоморфизм
7Г„ (S"V. УУ1) = 7гп(5п)ф.^.ф7гп(5п). к раз	к раз
31.88.	Доказать, что группы tti(A’) коммутативны при i > 1 для любого CW-комплекса X.
31.89.	Показать на примере, что для группы дДХ, У) неверна аксиома вырезания (которая выполняется для обычных теорий (ко)гомологий), т. е. существуют такие пары (X, У), что
7ГДХ, У) + 7гДХ/У).
31.90.	Доказать, что для любого линейно-связного пространства У и любой точки то G У имеет место изоморфизм тг5(У, то) = = 7rff_i(fia;oy, шЖо), где wl0 — постоянная петля в точке xq.
31.91.	Доказать, что 7Ti(RF") = Z2, n > 1, и 7Tfc(R.P") — = 7Vk(Sn), n 1, к > 1, где RP" — вещественное проективное пространство.
31.92.	Доказать следующие утверждения:
а)	если А — стягиваемое пространство в пространстве X (X и А — СW-комплексы) в точке xq € А, то при n 1 гомоморфизм i*: Кп^А, то) —> тгп(Х, то) тривиален и при п 3 имеет место разложение
7ГП(Х, А, то) = 7ГП(Х, то) Ф 7ГП-1(Д т0);
б)	если г: X VY —> X х У — вложение, то имеет место точная последовательность 7гд(Х УУ) 4 tts(X х У) -> 0.
174
Часть 2
31.93.	Доказать, что 7Г1(СРП) = 0; тг2 = (CPn) = Z, п > 0; тгк = (СРП) = 7rfc(52n+1), к > 2.
31.94.	Доказать, что если CW-комплекс X не имеет клеток размерностей от 1 до А включительно, то 7Ti(X) = 0 при i к.
31.95.	Пусть X, Y — CW-комплексы. Доказать, что
7гДХ ХУ) = 7гДХ)ф7гДУ).
Вычислить действие tti(X х У) на 7Ti{X х У). Построить универсальное накрытие над X х У.
31.96.	Найти гомотопические группы irg(Sn), 0 < q п, и доказать, что irn(Sn) = Z, где Sn — сфера.
31.97.	Доказать, что тгДР3) = 7r»(S2) при г 3, и как следствие доказать, что тг3(52) — Z.
31.98.	Доказать, что:
a)	7Ti(5O(3)) = Z2, 7Г2(^О(3)) - тг2(5О) = 0, где SO = = lim 50(71);
б)	тг3(5С>(4)) = Z, 7Ti(P) = Z, 7г2(Р) = 0, где U = limP(n) (вложения и(п) С U(n + 1) и SO(n) С SO(n + 1) стандартные);
в)	7Гз(5О(5)) = Z.
31.99.	Найти группы ^(S1 V S'1), д 0.
31.100.	Вычислить группы 7Г1(Х), 7ГП(Х) и действие группы 7Г1(Х) на группе тгп(Х) в случаях:
а) X = RPn; б) X = S1 V Sn;
в) X = dB(£n+1), где В(£"+1) — пространство нетривиального О(п + 1) расслоения дисков на S1.
31.101.	Если отображение f(X, А) -> (У, В) для всех д устанавливает изоморфизм ТГд(Х) Ri И ТГд(А) ~ 7TS(B)> ТО оно устанавливает для всех д изоморфизмы 7rs(X, А) ~ 7rs(X, В).
31.102.	Вычислить группы 7rn_fc(V^fc), где V*k — вещественное многообразие Штифеля.
31.103.	Доказать, что группы ivk(Sn) с ростом к не могут стать тривиальными, начиная с некоторого номера к.
31.104.	Доказать, что 7Г3 (S'2) = Z и 7rn+i(Sn) — Z2 при п 3.
31.105.	Найти: тг3(52 V S'2); ^(S1 V S'2); тг3(52 V S2 V S2).
31.106.	Вычислить первые относительные гомотопические группы пары (СР2, S2), где вложение S2 = СР1 С СР2 стандартно.
31.107.	Доказать следующие утверждения:
а)	если 3-мерное компактное замкнутое многообразие М3 односвязно, то М гомотопически эквивалентно сфере (т. е. М3 — гомотопическая сфера);
§31. Теория гомотопий
175
б)	если Мп — гладкое, компактное, замкнутое многообразие,
причем Лг (Мп) — 0 при i С
то Мп гомотопически эквива-
лентно сфере STl.
31.108.	Построить пример 3-мерного замкнутого компактного многообразия М3, такого, что М3 — гомологическая сфера (т.е. имеет такие же целочисленные гомологии, что и S3), однако 7Г1(М3)	0. Построить пример конечнопорожденной группы G,
совпадающей со своим первым коммутантом.
31.109.	Доказать, что множество гомотопических классов отображений [S'”, X] изоморфно множеству классов сопряженных элементов ГРУППЫ 7ГП(Х, Хд) при деЙСТВИИ TTj (X, то) (X — связный комплекс).
31.110.	Вычислить 7Г2(К2, X), где R2 — плоскость, X — «восьмерка», вложенная в 2-мерную плоскость.
31.111.	Вычислить тгДСР2) при i < 2n + 1.
31.112.	Пусть 1гп(Х) = 0, и пусть на X и Y действует без неподвижных точек конечная группа G. Доказать, что существует и единственно с точностью до гомотопии отображение f: Y —> X, перестановочное с действием группы G.
31.113.	Доказать, что [СР2, S'2] = жДб'2), где [X, У] — множество гомотопических классов отображений X в У.
31.114.	Пусть (X, А)Х D А — пара топологических пространств, где X линейно-связно. Пусть Л — множество путей в пространстве X, начинающихся в фиксированной точке то и кончающихся в точках подпространства А. Доказать, что тгд(Х, А, а) = = 7г9-1(Л, Аа), где Ла — произвольный путь из то в а € А.
31.115.	Доказать, что следующие условия эквивалентны п-связ-
ности:
a)	tto(<S'9, X) состоит из одного элемента при q < п (пунктированные отображения);
б)	любое непрерывное отображение Sq -> X продолжается до непрерывного отображения диска Dq+} X, q С п.
31.116.	Доказать, что 7Го(Х, ГШ£) — абелева группа, где X, Z — топологические пространства, ИХ — пространство петель. Доказать, что QX является //-пространством.
31.117.	Пусть А — ретракт X. Доказать, что при n 1 для любой точки то G А гомоморфизм, индуцированный вложением
г*: 7гп(А, т0) 7ГП(Х, т0),
является мономорфизмом и при п 2 определяет следующее разложение в прямую сумму:
(X, Т0) = 7ГП(Д, Т0) Ф 7ГП(Х, А, То).
176
Часть 2
31.118.	Доказать, что 7To(SSZ, X) — абелева группа. Установить СВЯЗЬ С 7Го(-2?, QQX).
31.119.	Пусть TSn -> Sn — стандартное касательное расслоение над сферой Sn. Вычислить гомоморфизм д*: тгп(5'п) -> —> 7гп_1(5'п“1) в точной гомотопической последовательности этого расслоения.
31.120.	Пусть /: X —> Y — непрерывное отображение (/(жо) = — уо). Доказать, что индуцированное отображение /*: 7ГП(Х, то) —> —> 7гп(У, уо) является гомоморфизмом групп.
31.121.	Пусть Y -> X — расслоение с фиксированными точками х0, уо и слоем F, причем Fq — слой над точкой xq и уо € Fq. Доказать, что 7ГП(У, Fo; уо) - тгп(Х, т0).
31.122.	Пусть Е, X — топологические пространства, X линейно-связно, р: Е —> X — непрерывное отображение, такое, что для любых точек х Е X, у Е имеет место изоморфизм
р* : 1ч(Е, р~1(х), у) -> 7Ti(X, х), i 0
(для i = 0, 1 имеет место изоморфизм множеств без дополнительной структуры групп). Доказать, что для любых точек xi и х% топологические пространства p-1(xi) ир-1(а:2) слабо гомотопически эквивалентны.
31.123.	Доказать точную последовательность для гомотопических групп пары (X, Л):
• - - -> ТгДА) -> 7Tj(X) -> 7Гг(Х, А) -> 7Tj_l(A) -> . . .
31.124.	Доказать, что если X — гладкое компактное замкнутое подмногообразие коразмерности один в евклидовом пространстве, то X — ориентируемо.
31.125.	Доказать, что если фундаментальная группа компактного замкнутого многообразия тривиальна, то многообразие ориентируемо. Доказать, что если многообразие X не ориентируемо, то в 7Г1(Х) имеется подгруппа индекса 2.
31.126.	Доказать, что если X — не ориентируемое пространство, то надстройка YX не является многообразием.
31.127.	Доказать, что эйлерова характеристика Х(Х) любого компактного замкнутого многообразия тривиальна.
31.128.	Привести примеры:
а)	неориентируемого многообразия, вложенного двусторонне в некоторое другое многообразие (на единицу большей размерности);
б)	ориентируемого многообразия, вложенного односторонне в некоторое другое многообразие.
31.129.	Пусть Xi и Х% — два полнотория, /: дХ\ -> 8X2 — диффеоморфизм, Mj — Xi Uy Х2. Предъявить такие диффеомор-
§ 32. Накрытия и расслоения
177
физмы /, для которых многообразие Mj диффеоморфно:
а) S3; б) S2 х S1; в) RF3.
31.130.	В терминах предыдущей задачи рассмотрим отображение
f* : 7ri(aXi) -» 7ri(5X2), т.е. /* :
индуцированное диффеоморфизмом полноторий Xi и Х%- Гомоморфизм /* задается, очевидно, целочисленной матрицей
(a b \
с d J '
Доказать, что эта матрица унимодулярна и вычислить фундаментальную группу многообразия Mj в терминах матрицы f*.
31.131.	Пусть Хп — пространство полиномов fn(z) (от одной комплексной переменной) без кратных корней. Найти группы 7Г*(Х„).
31.132.	Доказать, что конечный CW-комплекс гомотопически эквивалентен многообразию с краем.
§ 32.	Накрытия и расслоения
32.1.	Пусть р: X -> Y — такое накрытие, что (tti (X, жо)) — нормальный делитель группы 7Г1(У, уо), р(жо) — Уо- Доказать, что всякий элемент а Е 7Г1(У, уо) порождает гомеоморфизм накрытия tp, т. е. р<^(ж) = р{х).
32.2.	Пусть р: X -> Y — накрытие, р(жо) = Уо- Доказать, что рр. 7Г1(Х, то) —> 7Г1(У, уо) является гомоморфизмом.
32.3.	Пусть pi X -> Y — накрытие, р(хо) = Уо- Доказать, что индуцированное отображение у*: 7Г1 (X, xq) -> 7Г1(У, уо) является мономорфизмом.
32.4.	Пусть р: X -> Y — накрытие, 7Г1(У) = 0. Доказать, что каждый элемент a G tti (X) определяется гомеоморфизмом пространства У на себя, а: У —> У, таким что диаграмма
У	У
Р \	ZP
X коммутативна.
32.5.	Пусть р: X —> У — связное накрытие, F — р~г(уо) — прообраз точки уо € У, %о G F. Доказать, что между F и 7Г1(У, уо) имеется взаимно-однозначное соответствие, если tti (X, жо) = 0.
32.6.	Пусть р: X -» У — накрытие, F: I2 -> У — непрерывная функция, где I2 — квадрат, /: I1 -> X также непрерывно, причем p/(t) = F(t, 0).
13 Зак. 359
178
Часть 2
32.7.	Пусть р: X -> Y — накрытие, /, д — пути на X, /(0) = = р(0). Пусть р/(1) = 7x7(1), и пути pf и рд гомотопны. Доказать, что /(1) = j?(l).
32.8.	Пусть р: X -> Y — накрытие, /, д — пути на X, f (0) = = <?(0). Обязательно ли /(1) = #(1), если р/(1) = р<7(1)?
32.9.	Пусть р: X -> Y_ — накрытие,^, д — пути на У, /, д — пути на X, такие, что pf = f, pg = д, /(0) = <?(0). Доказать, что если f и д гомотопны, то гомотопны fug.
32.10.	Пусть р: X Y — накрытие, f — путь в У, xq — точка в X, такая, что р(хо) = /(0). Доказать, что существует единственный путь д в X, такой, что pg = f.
32.11.	Доказать, что любое накрытие является расслоением в смысле Серра.
32.12.	Доказать, что всякое 2-листное накрытие регулярно. Какой чисто алгебраический факт соответствует этому утверждению?
32.13.	Доказать, что 3-листное накрытие кренделя (сферы с двумя ручками) нерегулярно.
32.14.	Пусть М2 — неориентируемое, компактное, гладкое, замкнутое многообразие. Доказать существование 2-листного накрытия р:	-> М2, где М2 — ориентируемое многообразие, и
предъявить	в явном виде. Каким свойством обладает фунда-
ментальная группа не ориентируемого многообразия?
32.15.	Построить накрытие Sn —> IRP” со слоем Z2 и доказать:
a)	RPn ориентируемо при п = 2к — 1 и не ориентируемо при п = 2&;
б)	7Г1(КРП) = Z2, 7Гг(КРП) = ^i(Sn) при П > 1, i > 1.
32.16.	Доказать, что накрытие будет регулярно тогда и только тогда, когда либо все его пути, лежащие над одним и тем же путем в базисе, одновременно замкнуты, либо все одновременно не замкнуты.
32.17.	Пусть р: X -> X — накрытие. Доказать, что всякий путь в X накрывается в X однозначно с точностью до выбора начала пути в прообразе и кратность проекции р одинакова во всех точках базы.
32.18.	Построить все накрытия над окружностью и доказать, что 7Т1 (S1) = Z, тгДб*1) = 0 при г 2.
32.19.	Построить регулярное накрытие р: If -> Р2 со слоем Zfc_i, где к > 2, а Рь — сфера с к ручками.
32.20.	Построить универсальное накрытие над \/ S1 и доказать, А
что жг(\/ S'1) = 0 при i > 1. Найти Ж1(\/ S'1)-
А	А
§ 32. Накрытия и расслоения 179
32.21.	Построить накрытие <р: X —>	(крендель), такое, что
X стягивается к графу и как следствие доказать:
а)	универсальное накрытие над Р% стягиваемо, Р% ~ К (к, 1);
б)	если М2 — 2-мерное замкнутое многообразие и 7Г|(М2) — бесконечная группа, то М2 ~ K(ir, 1) (гомотопически эквивалентно).
32.22.	Установить связь между универсальными накрытиями над Pfc (сферы с к ручками) и плоскостью Лобачевского.
32.23.	Доказать, что все накрытия тора Т2 регулярны, и найти их. Постоить пример двух неэквивалентных, но гомеоморфных накрытий тора Т2.
32.24.	Пусть X — конечный комплекс. Найти связь между произвольной подгруппой G С 7Г1 (X), эйлеровой характеристикой х(Х) и х(Хс), где Хс, — накрытие, построенное по подгруппе СС7Г1(Х).
32.25.	Построить универсальное покрытие тора Pi (сфера с ручкой) и бутылки Клейна N? (сфера с двумя пленками Мёбиуса); вычислить гомотопические группы Р\ и N^. Может ли тор Р\ 2-листно и регулярно накрывать бутылку Клейна? Если да, то предъявить накрытие и вычислить в лу (Л^) образ яу(Р1) при мономорфизме накрытия.
32.26.	Доказать, что если лу (Мп) = 0 или лу (Мп) — простая или конечная группа порядка р 2 (р — простое), то многообразие Мп ориентируемо.
32.27.	Построить в явном виде семь гладких линейно независимых векторных полей на сфере S7. Использовать алгебру октав (чисел Грэвса-Кэли). Построить интегральные траектории этих векторных полей.
32.28.	Доказать, что если в R" заданы к линейных операторов Ai, ..., А/., таких, что А2 — ~Е и AtAj + AjAi = 0 (для всех г, у), то на сфере S’”-1 С R” можно задать к линейно независимых векторных полей.
32.29.	Если гомотопические группы базы и слоя расслоения имеют конечный ранг, то гомотопические группы пространства расслоения также имеют конечный ранг, причем ранг (/-мерной группы пространства расслоения не превосходит суммы рангов (/-мерных гомотопических групп базы и слоя.
32.30.	Доказать, что универсальное накрывающее пространство над X является накрывающим для всякого другого накрывающего пространства.
32.31.	Доказать, что стандартное расслоение ЕХ —> X (расслоение Серра), где X — многообразие, является локально-тривиальным расслоением.
13*
180
Часть 2
32.32.	Пусть расслоение р: Е —> В допускает секущую поверхность у: В -> Е, причем ео = х(Ьо)- Доказать, что при п 1 отображение р* — эпиморфизм, а при п 2 определяет разложение в прямую сумму 7Tn(F, ео) = ЯтАВ, Ьо) Ф "n{F, ео)-
32.33.	Доказать, что если все гомотопические-группы базы и слоя конечны, то гомотопические группы пространства расслоения также конечны и порядки не превышают произведения порядков гомотопических групп базы и слоя той же размерности.
32.34.	Пусть ЕХ — пространство всех путей на X, исходящих из фиксированной точки, a QX — пространство петель на X. Определим отображение р: EX -> X как отображение, сопоставляющее пути его конечную точку. Доказать, что р: ЕХ X удовлетворяет аксиоме накрывающей гомотопии, т. е. является расслоением в смысле Серра, причем его слоем является Qx. Описанное расслоение иногда называют расслоением Серра.
32.35.	Доказать, что если ру?-Ху^-уХ— накрытия и Im(pi)* — = ТпДрг)*, то (Xi, ру, X) и (JG, р2, X) послойно гомеоморфны. Здесь Im(p,)* С тгДХ).
32.36.	Доказать, что над всяким связным комплексом X существует накрытие р: X -> X, такое, что tti(JC) = 0. Такое накрытие называется универсальным.
32.37.	Доказать, что множество векторных расслоений с линейно-связной структурной группой G над сферой Sn изоморфно 7ГП-1(С).
32.38.	Показать на примере, что не существует «точной гомологической последовательности расслоения».
32.39.	Пусть р: Е —> В — локально-тривиальное расслоение со слоем F и базой В, причем F и В — конечные комплексы. Тогда x(F) < у(В) -x(F).
32.40.	Материальная точка движется с постоянной по модулю скоростью: а) по тору Тп; б) по сфере 5”. Найти фазовое пространство этой системы.
32.41.	Пусть р: Е -> В — расслоение с линейно-связными базой В и слоем F. Пусть Cat = Cat —1 — приведенная категория Люстерника- Шнирельмана, т. е. Cat (точки) = 0. Доказать, что Cat(F) < CatE(F) • Cat(F) + Cat(F) + CatB(F), где CatE(F) — относительная категория слоя F по отношению к Е.
32.42.	Доказать, что если р: X -> Y — расслоение в смысле Серра, то р — отображение «на».
32.43.	Доказать, что если р: X -> Y — расслоение в смысле Серра, то p-1(yi) и р-1(у2) гомотопически эквивалентны для любых у\, у2 € Y.
32.44.	Доказать, что многообразие линейных элементов многообразия М является расслоением с базой М.
§ 32. Накрытия и расслоения
181
32.45.	Доказать, что любое локально-тривиальное расслоение (косое произведение) является расслоением в смысле Серра.
32.46.	Доказать, что пространство путей ЕХ с фиксированной начальной точкой пространства X является расслоением в смысле Серра с базой X.
32.47.	Доказать, что прямое произведение топологических пространств X х Y с проекцией на один из сомножителей является расслоением в смысле Серра.
32.48.	Пусть р: X -> Y — накрытие, p(xq) — уо, f,g — пути, такие, что /(0) = j?(0) = у0; /(1) = #(1). Пусть fg~l € €	^о)). Пусть /, д — накрытия этих путей. Доказать,
что /(1) = <Д1).
32.49.	Представим тор Т2 в виде Т2 = {<;}, где
_ / е^1	0 \
9 ~ V 0 е^2 /
Рассмотрим следующие отношения эквивалентности R:
a)	(e^i, е^г)Я(-е^1, е-^2);
б)	(e^i, eiV2)R(—eivi, -e~iV2);
в)	(e^i, eiV2)7?(e-^i, е“^2).
Найти пространство X = T2/R и вычислить образ /*(я‘|('Г2)) С С Tri (JC), где /: Т2 -> X = Т2/X — проекция, связанная с отношением R. Является ли f накрытием?
32.50.	Сколько существует расслоений вида:
а)	Т3 -> S1, где Т3 — 3-мерный тор;
б)	Тп -> S1, где Т” — тг-мерный тор (расслоения рассматриваются с точностью до гомотопической эквивалентности)?
32.51.	Пусть С = А * В — свободное произведение произвольных групп А и В. Доказать, что для любой подгруппы М С С выполнено равенство М = Ai* Bi* F, где Aj С A, Bi С В, F — свободная группа. Дать топологическое доказательство, используя накрытия.
32.52.	Пусть G — односвязная компактная группа Ли и a: G -> —> G — произвольный инволютивный автоморфизм (т. е. ст2 = 1). Положим Н = {д € G|cr(0) =5}; V = {д € G'|cr(^) = g-1}. Доказать, что G — VHV, т.е. любой элемент д € G допускает представление в виде
д = vhv, v Е V, h Е Н.
Доказать, что V = G/Н (однородное пространство).
32.53.	Известна следующая конструкция (Картана). Пусть а: G -> G — произвольный инволютивный автоморфизм компактной
182
Часть 2
связной группы Ли. Положим
Н = {д& G\a(g) = g}:V = {д е G|o-(g) = £-1}.
Тогда V = G/Н и V С G — вполне геодезическое подмногообразие, а потому К — симметрическое пространство. Подмногообразие V называется картановской моделью симметрического пространства G/Н. Любое симметрическое пространство допускает (причем почти всегда однозначно определенную) картанов-скую модель.
а)	Доказать, что проекция р. G —> V, определяемая формулой р(р) = <дт(д-1), задает главное расслоение 0 —> Н —> G —> G/Н —> —> 0;
б)	пусть V — картановская модель и пусть tti(V) = 0, е G G G, е е V, е — единица в G. Доказать, что если точка х е V сопряжена с е вдоль геодезической 7(/) С И в группе G, то точка х сопряжена с е вдоль 7 и в самом многообразии V С G.
32.54.	Вычислить гомотопические группы тц(Тд), г 1, 2-мер-ного многообразия Тд рода д.
32.55.	Пусть М2 — компактное замкнутое ориентированное 2-мерное многообразие рода д. Найти гомотопический тип Y2M2.
32.56.	Пусть S1 х S1 С К3 — стандартное вложение тора в евклидово пространство. Доказать, что не существует гомеоморфизма пары (R3, S1 х S1) на себя, ограничение которого на тор определяется матрицей
/ ° 1 \
\ 0 /
32.57.	Пусть л — фундаментальная группа 2-мерной поверхности, /: я —> 7г — эпиморфизм. Доказать, что f является изоморфизмом.
32.58.	Доказать тремя существенно различными способами, что на сфере S2 не существует непрерывного векторного поля без особых точек (т. е. отличного от нуля в каждой точке).
32.59.	Пусть р: X —> Y — двулистное накрытие. Доказать, что тогда любой путь в Y накрывается в точности двумя путями.
32.60.	Построить универсальное накрывающее пространство для ортогональной группы SO(n).
32.61.	Доказать, что любое двумерное замкнутое ориентированное гладкое многообразие может быть локально изометрично накрыто плоскостью Лобачевского (снабженной стандартной метрикой постоянной отрицательной кривизны). Другими словами, доказать, что фундаментальная группа поверхности указанного вида может быть представлена как дискретная подгруппа в группе изометрий плоскости Лобачевского, действующая эффективно.
§ 33. Степень отображения
183
Отсюда, в частности, следует, что двумерное компактное замкнутое ориентируемое гладкое многообразие может быть снабжено римановой метрикой постоянной отрицательной кривизны.
32.62.	Какие пространства могут накрывать бутылку Клейна?
32.63.	Пусть Sg — сфера с д ручками. Какие Sh могут накрывать Sg?
32.64.	Доказать, что для любого компактного неориентируемого двумерного многообразия имеется ровно одно компактное двумерное ориентируемое многообразие, накрывающее его двулистно.
32.65.	Доказать, что поверхность Бельтрами (поверхность постоянной отрицательной кривизны, стандартно вложенная в R3) может быть бесконечно-листно и локально изометрично накрыта некоторой областью, лежащей в плоскости Лобачевского. Найти эту область. Доказать, что она гомеоморфна двумерному диску. Найти соответствующую группу этого накрытия.
32.66.	Может ли двумерный тор двулистно накрывать бутылку Клейна?
32.67.	Вычислить группу перестановок листов римановой поверхности агебраической функции w — возникающую при обходах вокруг точки ветвления этой функции (точки 0).
§ 33.	Степень отображения
33.1.	Вычислить степень отображения f(z)-. S1 —> S'1, где /(д) = zk, |z| = 1.
33.2.	Вычислить степень отображения /: S2 —> S2, где f(z) = = zkz е CU {оо}.
33.3.	Пусть Мп — ориентируемое гладкое компактное многообразие. Доказать, что гомотопический класс отображения Мп —> —> Sn полностью определяется степенью отображения.
33.4.	Пусть /: S2n —> S2n — непрерывное отображение. Доказать, что найдется точка, для которой либо f(x) — х, либо f(x) = -х.
33.5.	Пусть степень отображения /: Sn -» Sn равна 2к + 1. Доказать, что существует такая точка х, что У (ж) = —У(—а;). Доказать, что на сфере не существует четного касательного векторного поля v(t) без особенностей (т. е. v(—х) = v(a;) не имеет нулей).
33.6.	Пусть /, д\ Sn —> Sn — симплициальные отображения. Доказать, что:
а)	прообраз каждой внутренней точки состоит из одного и того же числа точек, взятых со знаком ориентации;
б)	если У, д гомотопны, то числа точек прообраза, взятых с ориентацией, совпадут;
184
Часть 2
в)	если числа точек прообраза с ориентациями совпадут, то отображения f, д гомотопны.
33.7.	Пусть /: М —> S2 — отображение нормалей замкнутой поверхности в R3. Доказать, что f*(w) = где ш, w' — элементы площади, К — гауссова кривизна. Доказать, что 2 deg f = = J k dw и равно эйлеровой характеристике поверхности.
33.8.	Доказать, что каждое непрерывное отображение шара Dn в себя имеет всегда неподвижную точку.
33.9.	Пусть /: SU(n) —> SU(n) —гладкое отображение, /(g) = = дА. Найти deg/.
33.10.	Пусть /: Мп —> Rp — гладкое отображение связного компактного ориентируемого замкнутого n-мерного (п < р) многообразия в Rp. Пусть г>(/) — нормальный пучок этого погружения и Sv(f) — ассоциированный пучок сфер, т. е. Sv(J) = <9v(/) — граница некоторой, достаточно малой трубчатой окрестности подмногообразия f(Mn') С Rp. Пусть Т: Sv(f) —> Sp~l — обычное гауссово отображение (сферическое).
Найти степень degT (dimSv(/) = р — 1), если известна эйлерова характеристика многообразия Мп. Зависит ли degT от способа погружения Мп в R3? Что происходит, если Мп неориен-тируемо? Особо разобрать случай, когда р = п 4- 1.
33.11.	Известно, что 2-мерное ориентируемое замкнутое компактное многообразие М2 рода д можно вложить в евклидово пространство IR3(.r, у, z). Найти минимальное число седловых точек (вообще говоря, вырожденных) у функции /(р) = z, р € г(М2), i — вложение, где / — функция высоты.
33.12.	Доказать, что невырожденные критические точки гладкой функции на гладком многообразии изолированы.
33.13.	Пусть /(х) — функция на 2-мерной компактной ориентируемой поверхности рода д (сфера с д ручками), имеющая конечное число критических точек, причем все они не невырождены. Доказать, что число минимумов минус число седел плюс число максимумов равно 2д — 2.
33.14.	Пусть /: Мп —> R — гладкая функция на гладком многообразии. Доказать, что почти каждое значение функции / регулярно.
33.15.	Доказать, что альтернированная сумма особых (критических) точек гладкой функции /(ж) (в предположении, что все ее особенности невырождены), заданной на гладком компактном многообразии, не зависит от функции (под альтернированной сум
§ 33. Степень отображения
185
мой точек понимается
п
1)Атпд, где п = dim Л/, л=о
А — индекс критической точки, тпд — число критических точек индекса X).
33.16.	Пусть f(x) — комплексно-аналитическая функция одного переменного х. Доказать, что множество критических значений функции /(т): S2 —> S2 имеет меру нуль.
33.17.	Пусть Мсп = {т|/(т) = с}. Доказать, что если Мсп не содержит критических точек функции /, то Мсп — подмногообразие и codim Мсп — 1 в Мп.
33.18.	Доказать, что понятие невырожденной критической точки гладкой функции не зависит от выбора локальной карты, содержащей эту точку.
33.19.	Показать, что для стандартного вложения тора Т2 С R3 (поверхность вращения вокруг оси Oz) координата х, ортогональная оси вращения тора Т2, имеет только невырожденные критические точки.
33.20.	а) Построить на RPn и <СРп функции только невырожденными критическими точками так, что во всех критических точках их значения различны;
б)	построить на RP" и СРп функции, для которых f(x\) = = А = ind(x>), где х\ — невырожденные критические точки индекса А.
33.21.	Пусть F(x, у) — невырожденная билинейная форма на R”. Рассмотрим гладкую функцию f(x) = f(x, х), где |з;| = 1, т.е. F(x, х) функция на сфере S”1 С R". Пусть Ao Ai < ... ... ^ Ап_1 — все собственные числа формы F (напомним, что все Ai,	1, вещественны).
Доказать, что А, являются критическими значениями функции F(x, х) на сфере S71-1. Найти все критические точки функции F(x, т). Доказать, что Aj = inf {max/(ж)}, где S1 — стандартные S' xES{
г-мерные экваторы в сфере S'”-1.
33.22.	Доказать, что если точка р является критической невырожденной точкой для гладкой функции f(x) на гладком многообразии, то тогда существует такая локальная система координат, в которой функция /(ж) в окрестности точки р представляется в виде квадратичной невырожденной формы.
33.23.	Доказать, что если Мс — некритический уровень для функции f(x) на многообразии М (т. е. гиперповерхность уровня /(ж) = с = const, не содержащая критических точек для /(ж)), то окрестность Мс диффеоморфна Мс х I.
12 Зак. 359
186
Часть 2
33.24.	Если МС1 и МС2 — последовательные критические уровни, то промежуток между ними диффеоморфен Мс х /, где С1 < с < с2.
33.25.	Если между МС1 и МС2 нет критических уровней (т.е. гиперповерхностей уровня /(ж) = const с критическими точками) и МС1, МС2 — также некритические, то они диффеоморфны.
33.26.	а) Построить на произвольном компактном ориентируемом 2-мерном гладком многообразии М2 гладкую функцию /(ж), имеющую одну точку минимума, одну точку максимума (невырожденные точки) и еще одну критическую точку, быть может, вырожденную. Найти связь между такой функцией и представлением М2 в виде римановой поверхности некоторой многозначной аналитической функции. Выяснить ситуацию для случая неори-ентируемого 2-мерное многообразия М2 (например, случай проективной плоскости КР2);
б)	построить на произвольном компактном многообразии М2 гладкую функцию /(а?), имеющую: только невырожденные критические точки; ровно одну точку максимума, ровно одну точку минимума и s седловых точек (найти число s). Построить функцию так, что f(x) принимает одно и то же значение во всех седловых точках. Изучить неориентируемый случай. Указать связь с задачей пункта а), построить слияние всех седловых точек в одну вырожденную критическую точку.
§ 34.	Простейшие вариационные задачи
34.1.	Доказать, что экстремальными траекториями для функ-1
ционала действия £[7] = J |'7'|2 dt на гладком римановом много-о
образии Мп (где 7(f) — гладкие траектории на Мп, 0 С t 1, 7(f) — вектор скорости 7(f)) являются геодезические.
34.2.	Установить связь между экстремальными траекториями 1
функционала длины £[7] = J I7I dt и функционала действия о
1
£[7] =	|7|2£Й. Доказать, что любая экстремаль 70(t) для £[7]
о
является экстремалью для £[7]. Доказать, что если so(t) — экстремаль для £[7], то путем замены параметра t = <(т) на so(t) можно превратить эту траекторию в экстремаль для £[7].
§ 34. Простейшие вариационные задачи
187
34.3.	Пусть S(J) = f у/EG — F2 du dv — функционал, сопо-D
ставляющий каждой гладкой функции z = /(т, у), определенной на ограниченной области D = D(x, у) С R2(x, у) (здесь х, у, z — декартовы координаты в В3), площадь графика функции z — /(ж, у)- Доказать, что экстремальность функции /о относительно функционала S эквивалентна условию: Н = 0, где через Н обозначена средняя кривизна графика z = fo(x, у), рассматриваемого как двумерное гладкое подмногообразие в К3.
34.4.	Доказать утверждение, сформулированное в предыдущей задаче, для случая (п — 1)-мерных графиков хп = /(ж1, ..т""1) в R".
34.5.	Доказать,что функционалы действия £[7] и длины £[7] связаны соотношением (£[7])2 < ^[7], причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 7(f) — геодезическая.
34.6.	Доказать, что функционал площади
S[r] = I у/EG - F2dudv
D
(где г = r(u, v) — радиус-вектор в IR3, гладко зависящий от (и, ц)) и функционал Дирихле
Р[г] = У ^~ — dudv
D
связаны соотношением S'[r] < Р[г].
34.7.	Радиус-вектор r(tz, v), задающий двумерную поверхность М2 в трехмерном евклидовом пространстве, называется гармоническим, если r(n, v) является экстремалью функционала Дирихле D[r] = J(Е + G)dudv. Доказать, что если средняя кри-D
визна Н поверхности М2, задаваемой некоторым радиус-вектором г(ц, ц), равна 0, то тогда в окрестности каждой точки на поверхности можно ввести такие локальные координаты (р, q), в которых радиус-вектор r(p, q) станет гармоническим.
34.8.	Построить пример такого гармонического радиус-вектора r(u, v), чтобы описываемая им поверхность М2 С R3 не была минимальной (т.е. чтобы Н 0).
34.9.	Неравенство Виртингера. Пусть Н — эрмитова, симметричная, положительно определенная форма в С", пусть а: С" —>
12*
188 Часть 2
IR2’1 — овеществление С", тогда
тг  ttR _ (	8 А
Н^Н - < -A S )’
где Н — S + iA\ S, А — вещественные матрицы; ST = S', Ar = = - А- НТ = Н.
Форма S задает в R2" евклидово скалярное произведение; форма А задает в R2" внешнюю 2-форму ь/2). Для простоты можно п
считать, что = 52 dzk Л ^к- Рассмотрим форму
fc=i
Q(2r) = — wA... Aw, r^n.
г! '--*----'
т
а)	Если a>i, Ш2г — произвольный ортонормированный базис в R2n = С" относительно скалярного произведения S — = ReH, то
...,U>2r)|^l И |fi<2r\W1, ...,Щ2г)| = 1
тогда и только тогда, когда плоскость L(o>i, Ы2Г), порожденная векторами wj, ..., является комплексным подпространством в R2n = С”.
б)	Пусть Wr С С", г < п (г — комплексная размерность) — комплексное подмногообразие в Сп (если Wr — алгебраическое подмногообразие, то допускаются особые точки на lVr). Пусть V2r — вещественное подмногообразие в С", такое, что V U W = = dZ2r+l, где Z2r+1 — вещественное (2г + 1)-мерное подмногообразие в Сп, имеющее своим краем V U W. Пусть К = V П W, тогда vol2r (V\K) vol2r (W\K).
Замечание. Это утверждение означает, что комплексные подмногообразия W в комплексном пространстве С” являются минимальными подмногообразиями, т. е. при любом «возмущении» V 2г-мерный объем (vobr) не уменьшается.
в)	Доказать, что утверждение задачи б) остается справедливым, если заменить Сп на любое кэлерово многообразие, т. е. на комплексное многообразие, снабженное внешней 2-формой п/2\ невырожденной и замкнутой.
34.10.	Рассмотрим на К’Дт1,.. .,хп) функции вида F(xl,.. .,хп)
и функционал J[F] =	| grad F| d<jTl, где D — область определе-
D
ния функций F. Пусть Fq — экстремаль функционала J. Доказать, что поверхности уровня Fo^r1, ..., хп) = const, рассматриваемые как гиперповерхности в К’Дж1, ..., хп), являются локально минимальными поверхностями.
§35. Общая топология
189
§ 35.	Общая топология
35.1.	Пусть М = X х Y, где X, Y — топологические пространства. Пусть множество из М открыто, если оно является произведением открытых множеств из X и Y или объединением таких множеств в любом числе. Доказать, что такая система удовлетворяет всем аксиомам, определяющим топологию на множестве М.
35.2.	Доказать, что если пространства X и Y хаусдорфовы, а X, кроме того, еще и локально-компактно, то для любого пространства Т пространства //(ХхУ, Т) и Н(У, Н(Х, Т)) гомеоморфны, где Н(Х, У) = Yx.
35.3.	Доказать, что существует гомеоморфизм канторова дисконтинуума на себя, переставляющий две заданные точки.
35.4.	Пусть X — локально-линейно-связное метрическое пространство. Доказать, что если X — связно, то X — линейносвязно.
35.5.	Пусть АПВ / 0, X = A U В. Доказать, что если А и В — связные пространства, то X — связное пространство.
35.6.	Доказать, что хеммингова метрика в тг-мерном кубе не вкладывается ни в какое R", т. е. не существует такого вложения, что хеммингова метрика индуцирована стандартной евклидовой метрикой (куб рассматривается только как набор своих вершин, т. е. как дискретное множество, и тогда расстояние р(а, Ь), где a и b — вершины куба, равно числу координат, в которых различаются две вершины).
35.7.	Доказать, что группа унитарных матриц U(n), рассматриваемая как топологическое пространство, гомеоморфна прямому произведению S1 xSU(n) (как топологических пространств).
35.8.	Доказать, что группа GL(n, R) вещественных невырожденных матриц размера n х п — топологическое пространство, состоящее из двух связных компонент.
35.9.	Доказать, что лист Мёбиуса не гомеоморфен прямому произведению отрезка на окружность.
35.10.	Доказать, что любой конечный CW-комплекс можно вложить в конечномерное евклидово пространство Rw (достаточно большой размерности).
35.11.	Если в качестве С TV-комплекса взять компактное гладкое замкнутое многообразие Мп, то результат, сформулированный в предыдущей задаче, может быть уточнен.
а)	Доказать, что Мп можно вложить в евклидово пространство R2nfc,
где к — число открытых шаров Dn, образующих покры тис Мп-
б)	доказать, что Мп можно вложить в евклидово пространство где число к определено в пункте а).
190
Часть 2
35.12.	Доказать, что любое компактное гладкое замкнутое многообразие Мп можно:
а)	вложить в евклидово пространство R2n+1;
б)	погрузить в евклидово пространство R2".
35.13.	Построить погружение проективной плоскости RP2 в евклидово пространство R3.
35.14.	Описать множество точек самопересечения построенного в задаче 35.13 погружения RP2 в R3. Указать кратности этих точек, т. е. указать, сколько листов поверхности пересекается в этой точке самопересечения поверхности.
35.15.	Рассмотрим описанное в задаче погружение RP2 в R3. Обозначим через «(RP2) образ RP2 в R3. Рассмотрим в каждой точке х € z(RP2) и не являющейся точкой самопересечения поверхности, отрезок длины 2е, ортогональный с z(RP2) центром в точке х, где е — достаточно мало. Поскольку i — гладкое отображение, то полученый пучок ортогональных отрезков можно до-опредилить и в каждой точке самопересечения. При этом в каждой точке получится ровно столько отрезков, какова кратность точки. Рассмотрим в R3 множество, состоящее из концов всех ортогональных отрезков. Доказать, что это — образ двумерной сферы при некотором гладком погружении в R3.
35.16.	Доказать, что всякий конечный симплициальный комплекс является подкомплексом симплекса достаточно большой размерности. В частности, он может быть вложен в евклидово пространство так, что вложение линейно на каждом симпликсе.
35.17.	Пусть /: М2 —> S2 — отображение класса С2 замкнутого гладкого компактного многообразия М2 на 52, причем f открыто (образ любого открытого множества открыт) и конечно-кратно (прообраз каждой точки х G S2 есть конечное число точек). Доказать, что М2 — диффеоморфно сфере S2. Что можно сказать об аналогичном отображении /: Мп -> Sn?
35.18.	Построить такое погружение листа Мёбиуса в трехмерное евклидово пространство, чтобы его граничная окружность была стандартно вложена в двумерную евклидову плоскость.
35.19.	Группа 50(3) естественным образом вкладывается в евклидово пространство R9 (каждый элемент из 50(3) — это вещественная матрица 3 х 3). Доказать, что в действительности 50(3) С 58 С R9, где 58 — стандартно вложенная в R9 сфера радиуса 3.
Пусть X — топологическое пространство. Через ехрХ обозначим множество всех непустых замкнутых подмножеств пространства X. Для
§ 35. Общая топология
191
открытых множеств Ui, Uk С X положим
k
0{Ui, ... , Uk) = {FeexpX|Fc (J Uit FOUi^Wi}.
i=l
35.20.	Доказать, что множества вида О	Uk) образуют
базу некоторой топологии. Эта топология называется топологией Въеториса, а множество exp X, наделенное топологией Вье-ториса, называется гиперпространством (замкнутых множеств) пространства X.
35.21.	Пусть X есть Ti-пространство. Доказать, что тождественное вложение X С expJf, переводящее точку х в множество {ж}, является топологическим.
35.22.	Пусть X есть Ti-пространство. Тогда X регулярно в том и только том случае, когда ехрА” хаусдорфово.
35.23.	Доказать, что для 71-пространства X следующие условия эквивалентны: а) X нормально; б) expjf вполне регулярно; в) ехрХ регулярно.
Пусть п — натуральное число. Обозначим через expn X множество всех непустых замкнутых подмножеств X, состоящих из не более чем я точек. Будем считать тождественное вложение expn X С exp X топологическим, т. е. наделим expn X топологией Вьеториса.
35.24.	Доказать, что если X хаусдорфово, то expn X замкнуто в exp X.
35.25.	Доказать, что если X является 71-пространством и ехрг X замкнуто в ехр2 X, то X хаусдорфово.
Обозначим через тгп: Хп —> expn X отображение, переводящее точку (тх, ..., хп) 6 Хп в множество {ti, ..., тп} ее координат (предполагается, что X является Т)-пространством).
35.26.	Доказать, что отображение тг?1 непрерывно. Более того, оно факторно, т. е. множество V С expn X открыто тогда и только тогда, когда 7г“1(У) открыто.
Таким образом, гиперпространство expn X получается из n-й степени пространства X посредством факторизации, определяемой следующим отношением эквивалентности: точка (xi, ..., хп) эквивалентна точке (аф, ..., х'п) тогда и только тогда, когда множества {ari, ..., агп} и {аф, ..., х'п} совпадают.
Это является основанием того, что гиперпространство expn X называется гиперсимметрической п-й степенью пространства X.
Наряду с только что описанным отношением эквивалентности на произведении Хп естественным образом возникают и другие симметрии. На Хп действует свободная группа Sn как группа перестановок координат. Более общим образом, пусть G — подгруппа группы Sn. Определим на Хп отношение эквивалентности ~g следующим образом: (а?1, ..., хп) (аф ,..., х'п) тогда и только тогда, когда существует подстановка а € G, для которой х, — х'а^.
192
Часть 2
Фактор-пространство Xn/G обозначается SPqX и называется G-симметрической степенью пространства X.
Если G = {е}, то SP£X = Хп.
Если G = Sn, то SPGX обозначается через SPnX и называется симметрической п-степенью пространства X.
Естественную проекцию Хп —> Хп/G будем обозначать через vrg. Если G — Sn, то vrg -- тг".
35.27.	Доказать, что если G1 С G, то существует единственное отображение SPq,X -a SPqX, удовлетворяющее условию
it ^.п ___ п
^G'G °	— ^G-
35.28.	Доказать, что отображение 7rg открыто и замкнуто.
35.29.	Доказать, что отображение ttG'G открыто и замкнуто.
Поскольку отношение гиперсимметричности сильнее отношения симметричности, существует единственное отображение
qn: SPnX -> ехр„ X
такое, что
Кп = Qn
35.30.	Доказать, что отображение qn факторно.
Вернемся к гиперпространствам. Компактом будем называть бикомпактное хаусдорфово пространство.
35.31.	Доказать, что если X — компакт, то expJf — также компакт.
35.32.	Доказать, что если X — компакт, то expn X — также компакт.
35.33.	Доказать, что если X — компакт, то SPGX — компакт.
35.34.	Доказать, что в определении топологии Вьеториса (в случае компактного X) в качестве базисных множеств можно брать множества вида О {Ui, ..., Uk), где Ui, ..., Uk пробегают некоторую базу пространства X.
Через wX будем обозначать вес пространства X, т. е. наименьшую из мощностей баз пространства X.
35.35.	Доказать, что если X — бесконечный компакт, то
wX = w exp X = w ехр„ X = wSPGX.
Пусть (X, р) — ограниченное метрическое пространство. Через рн обозначим следующую функцию расстояния на exp X:
Ph(Fi, ЕЬ) = inf {е > 01ft С ОеР2, ft С
где ОеА обозначает открытый е-шар вокруг множества А.
§ 35. Общая топология
193
35.36.	Доказать, что функция рн является метрикой на множестве ехрХ, совпадающей с метрикой р на X = expj X.
Функция рн называется метрикой Хаусдорфа, порожденной метрикой р.
35.37.	Доказать, что метрика Хаусдорфа на expn X порождает топологию Вьеториса.
35.38.	Доказать, что если пространство X метризуемо, то SPqX также метризуемо.
35.39.	Доказать, что если (X, р) — метрический компакт, то метрика Хаусдорфа на ехрХГ порождает топологию Вьеториса.
35.40.	Доказать, что если X — метризуемый компакт, то exp X, expn X, SPqX также являются метризуемыми компактами.
Через Нп обозначим n-мерное замкнутое полупространство Rn, т.е. Hn = {t|ti > 0}. Через Х(п) обозначим циклическую п-степенъ пространства X, т.е.
Х(п) = SP^X, где — свободная циклическая подгруппа Sn с образующей
В задачах 35.41-35.53 установить гомеоморфность топологических пространств:
35.41.	ехр21 « I2.	35.42. ехр2 Я1 « Я2.
35.43.	ехр2 R ~ Я2.
35.44.	ехр2 S1 гомеоморфно листу Мёбиуса.
35.45.	1(3) « I3.	35.46. SP3(J) » J3.
35.47.	ехр31 и I3.	35.48. Ях(3) и Я3.
35.49.	SP3(Hl) « Я3.	35.50. ехр3 Я1 « Я3.
35.51.	R(3) « R3.	35.52. SP3(R) « Я3.
35.53.	ехрз (R) ~ R3.
35.54.	Доказать, что пространство ехр3 (S'1) односвязно.
35.55.	Доказать, что пространство SP3(Sr) неодносвязно.
35.56.	Доказать, что пространство S'1(3) неодносвязно.
В задачах 35.57-35.65 установить гомеоморфность топологических пространств:
35.57.	&х(3) w S1 х S2. 35.58. 5Р3(5Х) « S1 х I2.
35.59.	exp3(S'1) ~ S3.	35.60. exp4Z R4.
35.61.	ехр41 не является топологическим многообразием.
35.62.	SPnI » Г, п > 4.
194
Часть 2
35.63.	SPnlP
35.64.	SPnR s
35.65.	SPnSl
tHn, n>4.
Hn, n > 4.
( S1 tx I71-1, n — четно
( S1 x In~\ n — нечетно.
Здесь через S1 ex I"-1 обозначено единственное нетривиальное расслоение над S1 со слоем 1п~1.
35.66.	Доказать, что пространство М(4) не является топологическим многообразием ни для какого топологического многообразия М.
35.67.	Показать, что пространство ехр37И2 не является топологическим многообразием.
В задачах 35.68-35.73 установить гомеоморфность топологических пространств:
35.68.	SPnI2 « 12п. 35.69. SPnH2 « Н2п.
35.70.	SP”R2 « R2n. 35.71. SPnS2 « СРп.
35.72.	SPn(R2\{0}) к (R2\{0}) х R2n~2.
35.73.	SP^S1	x 72”-1.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Часть 1
1.1.	a) xi = ахщ cosu2, х2 = a2ui sinu2; б) см. рис. 87; в) aja2ui,
------, взаимная однозначность нарушается в начале координат xi = aia2ui
= х2 = 0.
Рис. 87. Полярная система координат, ai = а2 — 1, xi = х, х2 = у, Ui = г, 112 — <р
1.2.	a) xi = cosu2chui, а;2 = sinu2shwi; б) см. рис. 88; в) sh2«i +  2	1
+ sin U2, —2----------5 •
sh щ + sin и2
1.3.	a) xi = U1—U2, х2 = 2щи2; б) см. рис. 89; в) 4(ui+u2)> 77*2---м-
,4(и1 + и2)
. \	shui	sinu2 .
1.4.	a) x-l = --------:----, rr2 = --------------; б) см. рис. 90;
cos и2 + ch ui	cos и2 + ch Ui
в) 7------ГТ—V9> (cosu2+chui)2.
(cosu2 + chui)2
196
Ответы и решения
Рис. 89. Параболическая система координат
Ответы и решения
197
Рис. 90. Биполярная система координат
1.5. a) Xi = uf — Зщи£, х2 = 3u2u2 — u|; в) 9(г/2 + u£)2,	---5V2.
9(U1 4- u2)
1.6. a) a!a2ui, -----, взаимная однозначность нарушается при Xi =
aia2ui
= x2 — 0; б) нет при aj a2, да при cii = a2.
1.7. а) a\a2a3ul sin u2, ----5—;----, взаимная однозначность нару-
0102^3^1 Sin «2
шается при xi = х2 = 0; б) нет при 7^ а2, да при aj = а2.
I з
®1/ — П (ai — Ч?)
, о («I - Ц2)(МЗ ~ Ш)(м2 ~ Цз)	V М=1_______________. пи
/	3	’ (Щ -U2)(U3 -Ui)(lt2 - U3)’
8j- П (ai-Uj)
У i,i=l
1.9.	a) ufu2 +U2H1, -3———3—, взаимная однозначность нарушается
при Xi = х2 = 0; б) да.
1.10.	a) shui sinu2(sh2 ur +sin2u2), --------7—2-------5—да-
shiti smu2(sh iti+sin u2)
sh ui
— COSl/2)3 ’
(ch zzi — cos г/г)3
--------r----------; б) да. sh?/i
1.11.	a) ch tti sinu2(sh2 щ — sin2 u2}, --------—5-------2б) да.
chui sinw2(sh wi — sin u2)
1.12.	a) ——
(chuj dz
1.13.	\/v — u2 —. Область определения: у > 0; область значений: v > u2. du
198
Ответы и решения
, , . . ди	ди	ди	( ди\2 1 ( ди\2
1.14.	а)—; б) rcos2y>— -sm2y>—; в) —	+-7 -5- ;
dip	dr	dip	\dr)	r2 \ dip)
d2V	1 d2V	IdV
dr2	r2 dip2	r dr
z
1.15.	-4a2 a^O.
OU ov
z z
ouz ov*
, A (dv\2	1 (dV\2	1	(dv\2
1.17.	a) I —— I + — I —— I +	2 I —- I ;
\ dr ) r2 \ d(j ) r2 sin f) \ dip J
d2V 1 d2V 1 d2V ctgfldV 2dV dr2 r2 dS2 r2 sin2 0 dip2 r2 дв r dr
1.18.
W _ a2v (df\ du2 dx2 \ du)
2 d2V (df\ dy2 \ dv )
2 d2v df df dv d2f dv d2f dx dy du dv dx du2 dy dv du ’
d2v d2v
dv2 dx2
df\ dv J
2 d2v 4" ’ 7Г' o dy2
df\ du J
2 2 g2y	dv d2f
+ dx dy du dv dx dv2 dy du dv ’
du2 dv2
d2V 1 d2V d2V IdV dr2 r2 dip2 dz2 + r dr
1.20.	Указание. Воспользоваться формулами
ди	ди	sin ip	ди	ди	ди	.	cos <р ди
«~=o-cos<*9--------л-’	я_=я-81пУ’+---------я-»
дх	dp	р	dip	dy	др	р	dip
dv	dv	sin ip	dv	dv	dv	.	cos tp dv
— = —cosip---------—,	— = — sm<,p+--------—.
dx	dp	p	dip	dy	dp	p	dip
,	1 (d2V	d2v\
4(a2 + a2) \ du2	dv2 J
1.22.________!________+
a2 (sh2 и + sin2 v) \ du2	dv2 )
1.23. e-2u
d2V d2V\
du2 + dv2 J
Ответы и решения
199
2.1.	г = ар.
2.2.	г = roekv>, где р — wt.
2.3.	х = at — dsint, у = a — dcost.
„ . m \ rt (R + r)t	. . rt . (R + r)t
2.4.	x = (R + r) cos — — r cos ——---, у = (R+r) sm — — r sm ---~.
it	R	R	R
2.5.	x = (/? — mR) cos mt + mRcos (t — mt),
у = (R — mR) sin mt — mRsin (t — mt), m = r/R. Ср. с задачей 2.4.
2.6.	Уравнение искомой кривой
r(t) = p(t)a + b,
где b — постоянный вектор, p(t) — первообразная для функции A(t), с < t < d.
Геометрически возможны следующие случаи: d
—	прямая, коллинеарная а, если A(t) dt расходится при t = с и при t = d;	с
d
—	луч, имеющий направление вектора а, если j A(t) dt сходится при t = с, но расходится при t = d;	с
d
—	луч, имеющий направление вектора —а, если J A(t) dt расходится при t = с, но сходится при t = d;	с
d
—	открытый отрезок, коллинеарный а, если A(t) dt сходится.
С
2.7.	Уравнение искомой кривой
t2
r(t) = —а + tb + с,
где b и с — произвольные постоянные векторы. Если а и b линейно независимы, то это уравнение (при фиксированных Ь, с) задает параболу с осью, имеющей направление вектора а. Если а и b линейно зависимы,
то получим дважды взятый луч, параллельный а.
2.8. а) |г'|2|г' х а|2; б) —(г', а)|г' х а|2.
2.9.	г' = (99', р + tp'), г" = (у/', 2р' + tp"), |г' х г"| - 29У2 - рр". Данное уравнение определяет прямую тогда и только тогда, когда 2<//2 — а
— ^92" — 0. Решая это уравнение, находим	, где а и b —
константы.
200
Ответы и решения
2.10.	Здесь через г будем обозначать длину вектора г. Пусть вектор m dr . de
е определяется формулой г = те. Тогда — = г е + г—. Гак как dtp	dtp
.	.	de .	. de
e = (COS99, sintp), to — — (—sintp, costp), т.e. — получается из e dtp	dtp
поворотом на угол тг/2. Обозначим вектор, получающийся из е поворотом с?г
на угол тг/2, через f. Следовательно, — = r'e + rf. Далее, dtp
d?r
—— = r"e + 2r'f — re = (r" — r)e + 2r'f, dtp2
dr d2r
dtp dtp2
r' r
r" — r 2r'
— 2r'2 — rr" + r2 — 0.
Полагая r' = w, находим
,,	dw	dw ,	dw
r =	—	=	—r	=	w—.
dtp	dr	dr
„ „ dw „	2w2	wdw
2w2 - wr— + r2 = 0, —z----------— + 1 = 0.
dr	r2 r dr
Положим w2 = p, r2 = q, тогда dp/dq = 2p/q + 1. Решая это уравнение, найдем р = aq2 — q или w2 = ar4 — г2, г' = г у/ar2 — 1. Производя здесь подстановку 1/г = £, легко получаем
- = sin {<р + С2), г
где Су, Сг — произвольные числа.
2.11.	а) Рассмотрим вектор r(t) х r'(t). Его производная равняется r(t) х х г"((). Согласно второму закону Ньютона, F = mr"(t), где тп — масса материальной точки М. Отсюда
d	F
^т(г(() xr'(t)) =г(() х —. at	m
По условию F = Fr и, следовательно, ^(г(() х ГХО = 0- Таким образом, вектор r(t) х r'(t) — постоянный. Тем самым, движение матери
альной точки М происходит в неподвижной плоскости, ортогональной вектору r(t) х r'(t);
. 2 / d?u	\	F	1
б)	u2 + u =-------------, u = -, c = const;
\ dtp2	)	me2	r
Ответы и решения
201
Здесь через г
замечая, что
в)	обозначим постоянный вектор r(t) х r'(t) через а. обозначена длина вектора г. Имеем
„ F к к / ,ч , гт' - г'г ах г = ах — = —га х г = —(г х г ) х г = —к----------
тп г6	г6	rz
Итак,
(а х г' + к-\ = 0. at \	г)
Интегрируя, получаем
I .г
ахг + к- = b = const. г
Скалярно умножая обе части этого равенства на г и
(а х г', г) = (а, г' х г) = — |а|2, имеем — |а|2 + fc|r| = (b, г). Напомним, что движение происходит в фиксированной плоскости, перпендикулярной вектору а (так как из соотношения г х г' = а следует (а, г) = 0). Введем в этой плоскости полярную систему координат, совмещая ее начало координат с началом радиус-векторов и направляя полярную ось по вектору Ь. Получим — |а|2 + fc|r| = |b| • |г| cos</j, откуда |г| = |a|2/(fc — |b| cos<^) — кривая второго порядка. Отсюда, в частности, следует, что вектор b направлен по оси найденной кривой второго порядка.
2.12.	Введем декартову прямоугольную систему координат, располагая ось Oz коллинеарно вектору Н. Тогда г = ж! + yj + zk, и данное дифференциальное уравнение принимает следующий вид:
х" = ау', у" — —ax', z" — 0, где а = |Н|.
Из соотношения z" = 0 находим z = Cit + C^; из соотношений х" = ау1, у" = —ах' находим
х = Сз cosat + С4 sin at + C5, у = —Сз sin at + C4 cosat + Ce-
При Ci 7^ 0 это — семейство винтовых линий, оси которых коллинеарны вектору Н; при Ci = 0 получаем семейство окружностей, лежащих в плоскостях, ортогональных вектору Н.
2.13.	Окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через начало радиус-векторов коллинеарно вектору а>, а плоскости этих окружностей перпендикулярны к указанной прямой.
202	Ответы и решения
2.14.	Прямые, по которым пересекаются плоскости, перпендикулярные вектору е, с плоскостями, проходящими через прямую, проведенную через начало координат коллинеарно вектору е.
2.15.	Введем декартову прямоугольную систему координат, располагая ось Oz коллинеарно вектору е. Тогда ае + е х г = — yi + ay + ае, и данное дифференциальное уравнение принимает следующий вид: х' = = — У, у' = х, z' = а. Из соотношений х' — —у, у' = х находим х2 + у2 = Су — семейство круглых цилиндров, оси которых совпадают с прямой, проходящей через начало радиус-векторов коллинеарно вектору е. Далее:	у dy х
dz a	dz	а’
откуда
xdy — ydx х2+у2 xdy — ydx /	у2\ ,
----3------=---------» а-----5"—— ~ 1 + J
dz	а	х1 \ х1)
adly/x) ,	~	у
-----=-у-=- = dz, z + С2 — a arctg -
1 + у*/х*	X
— семейство прямых геликоидов, для которых осью является упомянутая выше ось цилиндров. Интегральные линии — винтовые. Наконец, z = at + Сз- Из полученных соотношений легко выразить х, у, z через t. 2.16. Окружности, касающиеся оси Oz (коллинеарной вектору е) в начале координат.
2.17.	arctg 3.
2.18.	тг/4 и тг/2.
2.19.	arctg 3.
X
2.20.	a) s = I yjl. + y'2dx = ^(еж/° - е~х!а)-, О х
б)	8= У + у'2 dx =	((4 + 9а?)3/2 - в);
О х
в)	s = У \j\ + y'2 dx = д/1 + 4х2 + In (2 - х 4- \/1 4- 4х2); о
х ________ _________________________
г)	s = f yj\ + yt2 dx —	+ я2 -b In —Ж-----V5 ~ I*1	"" 1);
1
д)	s = f \/r2 + {dr/dip)2 dip = 4а sin о
Ответы и решения
203
t
е)	s = У yjx'2 + у'2 dt = 4а(1 — cost2);
о t
ж)	s — У Ух'2 +У12 dt = о
t
з)	s = У yjx*2 + у’2 dt = у sin о
t
и)	S — У у/х’2 + у2 dt = sin2 t;
о
х ______
к)	s = J \Д + у'2 dx = \/1 + е2ж+ о
1 In + е2ж ~ 1
2 П у/1 + е2х + 1 t
л)	s = j yjх’2 + у'2 dt = a In (sin t).
тт/2
2.21.	/(а) + f"(a), если /'(а) + f"'(a) > 0.
л/2 —in (ч/2 — 1);
2.22.	r(u, и) = ((а + Ь cos t?) cos и, (а + bcosv) sinu, bsinu).
2.23.	Пусть в начальный момент движущаяся прямая совпадает с осью
Ох, вторая прямая, о которой говорится в условии, — с осью Oz. Тогда
уравнение прямого геликоида имеет вид
г = (и cos u, и sin u, ku).
Здесь v — расстояние от точки геликоида до его оси (ось Oz), и —
долгота точки. (V	V
v, a cos и ch -, a sin и сп -а	а
, где и — долгота, v — ориентированное расстояние от точки поверхности до горлового сечения катеноида.
2.25. г =
’	/7Г t\ .	. .	\
alntg I — + - 1 — a sint, acostcosu, a cos t sin u I.
2.26. Пусть
х = (а + Rcos6) cos<р, у = (а + Rcos6) sintp, z = Rsin0
— параметрическое представление тора. Здесь R — радиус меридиана, т. е. вращаемой окружности, а > R — расстояние от центра меридиана до оси вращения, идущей вдоль Oz. Пары точек, в которых
204
Ответы и решения
кривизна тора отрицательна (в точках К > 0 касательная плоскость не пересекается с тором) и касательные плоскости совпадают, имеют внутренние координаты (<ро> $о) и (<ро + л, тг + #о) с cos0q = —R/а. Для получения этих точек нужно воспользоваться тем, что эта касательная плоскость пересекает плоскость xOz по прямой, касающейся двух диаметрально противоположных меридианов тора. Дальше прямыми вычислениями получаем, что касательная плоскость имеет уравнение —R(x cosipo+y sin <po) + vo2 — R2z = 0, а пересечение этой плоскости с тором дает объединение двух пересекающихся кривых с уравнениями
х = Va2 - R2 sin В cos <р0 =р (a cos в + R) sin <ро > у = Va2 - R2 sin В sin <р0 ± (a cos В + R) cos <р0, z = RsinB.
Отсюда легко получить радиус окружности Виларсо (он равен а) и угол между этой окружностью и параллелью тора: arcsin(jR/a).
3.1.	а) Уравнение сферы единичного радиуса х2 + у2 + z2 — 1: z = ±\/1 — а:2 — у2, г(а?, у) = (х, у, ±\/1 — х2 — у2),
< = (1, 0, Т = Л , г'„ = (0, 1,
\	у/1 - х2 - у2 J	\	\/1 - а:2 - у2
Отсюда (при любом выборе знака координаты z) .	х?	1 — у2
ди - (гж, Гх) - 1 + _ 2	2 - _ 2 _ 2,
Л- Jj	(у	X Jj	(J
.	ху
912 - 921 — {гх, Ту) - 1_а;2_г/2> 1-а:2
922 = (iy, Гу) = 1_х2_у2,
2	(1 — У2) dx2 + 2ху dx dy + (1 — a:2) dy2
ds = ——————— -------—— --------------.
1 — х2 — у2
б) Рассмотрим следующую параметризацию сферы:
х = sin в sin ip, у = sin в cos tp, z ~ cos В.
Ответы и решения
205
Отсюда
г = (х(е, р), у(е, р), z(e, <^)),
Гр — (cos 0 sin р, cos в cos р, — sin 6),
г1 — (sin#cosp, — sin#sinp, 0),
Sn = (re, r'e) = 1, <z12 = 521 = (re, r'v) = 0, <722 = {r'v, rv) = sin2#, ds2 = dO2 + sin2 в dp2;
x , 9	4(du2 4- dv2) 4 9	4(dr2 4- r2 dp2)
B ds = /1 	2 i" 212r) ds = ---212------;
(1 4- w2 4- vzp	(14-rr
, , 9 4dwdw
д> * =
3.2.	a) t2 — x2 — y2 = 1, ds2 — dx2 4- dy2 — dt2,
, 9	(y2 4-1) dx2 - 2xy dx dy 4- (x2 4-1) dy2
=------------1+^+!?-------------;
б)	г = (x, y, t), t = chx, x = shxcos<£>, у = shxsini/?, ds2 = = dx2 4- sh2xdy>2;
2	4(du2 4- dv2) 2	4(dr2 4- r2 dp2)
’) *2 = (1 _ „2 Г „2)2 ' Г>*!=-	’
д) ds2 = ddz^_. e) dg2 = dz&
a) (1-zz)2’	’	(Imz)2’
3.3.	Указание. Докажите более общее утверждение — о совпадении углов в метриках ds2 — dx2 4- dy2 и dl2 = G{x, y)(dx2 4- dy2).
3.8.	а) Будем решать задачу в модели Пуанкаре. Воспользуемся результатами пункта г) задачи 3.2.
— In
1 4- г
1 — г ’
eR — 1 откуда г = - - •, ея 4-1
- 4л (еЛ ~ 1)/(е” + Х)
1 - ((е« - 1)/(е« 4-1))2
e2R — 1
= 2тг----=— = 2Trsh/?,
2ел
206
Ответы и решения
ьэ| &
s - / / (1 -г’)’ dvdT “ 4,г / (1 -«)’ -0 0	о
1 — г2	4ея
б)	I = 2wsin/Z, S = 4wsin2 у.
3.9.	а) Выведем формулу расстояния для точек (0, yi), (0, уг)
Ответ: (0, у/3).
в) Используя соображения симметрии, заключаем, что прямая х = = 0 пересекает нашу окружность по диаметру. Осталось найти середину этого диаметра:
Г2 I---------
[	4 j п . Г2 п . г2 - Г1
/ 1 / Л.|~712 dr = 2arctgr = 2 arctg —--------.
J V(l + r2)2	In	1 + Г1Г2
ri ’
.	3 — r	r — 1
2 arctg 1 , о = 2 arctg ——,
1 4- or	i 4- r
—r2 + 3r — r + 3 = 3r2 — 3r + r — 1,
4r2 — 4r — 4 = 0, ri>2 = *
Центр окружности имеет координаты
3.10. а) Воспользуемся тем, что в данной модели прямыми являются полуокружности с центром на действительной прямой:
3
2х + 4у — 3 = 0, х = -2у + -,
^(22 4- 12) dy = y/51nJ =y/51n —
2	12/1	У1
0,5	уо	0,5	уо	2
In — = In	—,	—	= —,	у^	= 0,5 • 0,3 = 0,15, уо
Уо	0,3	уо	0,3
Ответ: (-27^/20 + 3/2; у/3/20).
Ответы и решения
207
[ I 4(22 + 12)	_ /г Г dy _
J \ (1 + (—2у + |)2 4- у2)2	J 5у2 - бт/ 4- ™
У1 ’	У1
_ 4^5 t Юу-б^2	4х/5 t 10(7/2 ~ j/i)y/29
x/29arCg у/29	х/29 afCtS 29 4-(Ют/i — 6)(10т/2 — 6)’
2/1
10(0,5-т/о)х/29	10(7/о-0,3)^9
g 29 4- (Ют/о - 6)(Ю • 0,5 - 6) аГ g 29 4- (10 • 0,3 - 6)(10т/о - 6) ’
0,5 - т/о _ т/о - 0,3
35 -Ют/о ~ 47-ЗОт/о’
(0,5 - т/0)(47 - 30уо) = (35 - 10т/о)(т/о - 0,3),
30т/2 - 62т/о 4- 23,5 = - 10j/g 4- 38?/0 - 10,5, 40т/2 - ЮОт/о 4- 34 = 0, 201/2 _ 50уо + 17 = о, __ 25 ± 7625 - 340 _ 5	>/285
Уо~ 20	“ 4 ± 20 ’
Центр окружности имеет координаты
1+ 10 ’4	20 ) ’
3.11. Пусть углы треугольника равны а, (3 и 7.
а) Ь'а = -л 4- а 4- /3 4- 7; б) 5д = л - а - /3 - 7.
3.15.	а) При п 2 (существует правильный двуугольник, который при п = 2 является окружностью); б) при п 2 (существует правильный 2tz
к-угольник при любом к > ----при п = 2 — это окружность).
п —2
3.16.	Указание. Воспользоваться геометрическим критерием существования описанной окружности для четырехугольника и выражением для аргумента частного двух комплексных чисел.
3.17.	Указание. Воспользоваться формулой синусов и выражениями для длины окружности из задачи 3.8.
3.18.	Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 3.11.
3.19.	а) Пусть т/1 = ОА, у2 = ОБ. Тогда
Р(А, Б) =
1 0В
1П ОА
208
Ответы и решения
б)	пусть О и 01 — точки пересечения вещественной оси с полуокружностью, проходящей через Л и В и лежащей на вещественной оси как на диаметре, причем 01 лежит левее О. Проведя инверсию I с центром в О и радиусом 001, мы отобразим нашу окружность на вертикальную прямую, причем ординаты образов А и В при этом будут равны 001 • |tga| и | tg далее воспользуемся результатом пункта а) и тем, что I — движение метрики плоскости Лобачевского;
в)	переведем прямую, соединяющую точки Л и В, в вертикальную прямую с помощью подходящего дробно-линейного преобразования из задачи 3.4.
3.20.	а) Да, верно; б) нет, неверно. Рассмотрим в модели в верхней полуплоскости точки 1 + г, 1 — г, 2г. Тогда, с одной стороны, мы знаем, что в данной модели окружности в метрике Лобачевского совпадают с «обычными»; с другой стороны, окружность, проходящая через рассматриваемые три точки, имеет «точку касания» на абсолюте и, следовательно, не является окружностью в смысле метрики плоскости Лобачевского.
3.21.	Например, можно рассмотреть в модели на верхней полуплоскости прямые Rez = 0 и zz = 1 и точку 5 + i вместе с пучком прямых, проходящих через нее.
3.22.	а) Пусть а — сторона правильного шестиугольника, a R — радиус описанной около него окружности. Тогда по задаче 3.12
ch а = ch2 R — cos sh2 R,
2 ch a = 2 ch2 R — sh2 R = 1 + ch2 R, ch a — Ф.Л >chR (R^O), a>R;
б) решение аналогично пункту а). Ответ: a < R.
3.23. а) По 3.126), косинус угла треугольника равен
3.11 б), Зд = тг — 3 arccos ——;
14-cha
ch а
ch а + 1 ’
По
cos а
б) решение аналогично. Ответ: 5д = —тг + 3 arccos----------
'	cos а + 1
3.24. а) Ясно, что центр окружности лежит на прямой х — — 1. Пусть он
имеет координаты (—1, 4+а). Так как расстояние от центра окружности
Ответы и решения
209
до точек (—1, 4) и (—1, 6) должны быть равны, то получаем уравнение
1	6	1 4+а
In --= In —-—
4 + а 4
Решим его:
(4 +а)2 = 24, а = 2ч/б-4.
Таким образом, центр окружности имеет координаты (—1, 2 Тб). Отсюда легко найти радиус окружности в смысле метрики Лобачевского. Остается воспользоваться задачей 3.8 а).
п п А 12 Ml 3\	( 5 А	, „ , /1, 3\ Л
Ответ: 5 = 4л sh - In — = —= — 2 л, / = 2л sh - In - I = —=: <4 2/ VV6 )	\2 2/ Тб
б) используя соображения симметрии, заключаем, что прямая 5а; + + у — 0 пересекает нашу окружность по диаметру, длина которого равна (а 1 г	5 \ /	1 „	5 \
расстоянию между точками —1+—==,5------== и —1-----=,5+—==
\	726	726/ \	726	726/
в смысле метрики из задачи 3.1 в), т. е. равна
(l+&+^)2tfa = 2 arctg(^v/26)|
^26
13
'по
S = 4л sin2 — = 2л I 1 —
2	\
„ х 1-726+1 + 726 о х 1 = 2 arctg-----т==------==- = 2 arctg —.
1 - (1 + 726)(1 - 726)	13
Итак, окружность имеет радиус R — arctg По задаче 3.8б), получаем J.O
О ТТ 2л
= 2л8шд = ------
7170
3.25. а) Указание. Покажите, что любая симметрия переводит прямые метрики в прямые. При помощи композиции четного числа симметрий переведите любую точку в заданную точку, так что любой единичный вектор в первой точке перейдет в заданный единичный вектор во второй точке;
б) следует из а) и того, что симметрии переводят прямые метрики в прямые.
3.26. Симметрия относительно прямой, изображающейся полуокружностью, имеет вид z >4 —=--а, где а, b 6 К. Симметрия относительно
z + a
вертикальной прямой имеет вид z Н — z + а = ipi о о (z) + а, где — 1, ipz : z + 1. Следовательно, любая симметрия есть
15 Зак. 359
210
Ответы и решения
композиция движений вида zHz+g, z . Осталось воспользоваться z
результатом задачи 3.25 а).
4.1. В задачах а), б), е), ж) докажите и используйте формулу кривизны кривой г = r(t):
. _ ||г|2?-(г,г)г| _ |[r,f]|
™ -- I • tA	-- I • 1Q •
В задачах в), г), д) докажите и используйте общую формулу для кривизны кривой, заданной в полярных координатах уравнением г ~ = г(^):
г2 + 2г'
1
= (r’+r^ 
2 + ^	 e)__________,
a(l + <^2)3/2 ’	3a| sin t cost]
а) 1; б) в) г) —.—--	д)
у2 a2 4a| cos (<р/2)|
ч 1
7 4a|sin(t/2)|’ а
4.2.	и
4.3.	к =
4.4.	к =
b о?' \F2Fyy—2FxFyFxy + F2FXX\ (F2 + F2)3/2
\P(Q(dQ/dx) - Р(дСЦду)) + Q(P(dP/dy) - Q(dP/fo)) |
(Р2 + Q2J3/2 лч ш \_ 12(г')2 -r"r + r2l 4.5. к(<р)	((г')2 + г2)3/2 •
4.6.	r(s) — ( a cos . ------ а
cos I In
Л гт I X S + * 3
4.7.	r(s) = -~уз~
2 + s2 s .
—•75’to
4.9. а) к = —-х = -7-7-—-пж; oj к =	- , х =
(е4 + e-t)2	(е4 + е-4)2	(1 + 212)2
2/ х ,	х/2	1	. ,	1
= - (TTW; в) ‘ = з?’ х = - г> к = х = З(?пр’
ч,3	4
Д Ь ——	-    	- -—    '
25| sin t cos t| ’	25 sin! cost
4.8. D
Ответы и решения
211
4.10. к = —7=, х = 1.
ч/б
4.11. к — х = —
9 ’	2
к _ у/у"2 + z"2 + (y'z" - y"z')2	yllzIH _ y>"z"
(1 + у'2 + z'2)3/2	’ X ~ y"2 + z"2 + (y'z" - y"z'Y'
v - C1’ y’’ z') b _	(y'z" ~ y"z'’ ~z"' У")
y' + z'	y"2 + z"2 + (y'z" — y"z'Y
_	(—z'z" - y'y", y" - z'(y'z" - y"z'), z" + y'(y'z" - y"z'))
71 —	.	 -		..	- ~	.
у (z'z" + y'y")2 + (y" - z'(y'z" - y"z'))2 + (z" + y'(y'z" - z'y"))2
(2*,-1, 3*2)	(1 — 9*4, 2* + 9*3, 3* + 6*3)
VI + 4t2 + 9t4	У(1 - 9t4)2 + (2t + 9t3)2 + (3t + 6t3)2
(~3t, -it2, 1)	_ 2(1 + 9t2 + 9t4)4/2	_	3
,/1+9*2+9<4 ’	(1 + 4*2 + 9*4)3/2 ’ x ~ 1 + 9*2 + Qt4 ’
4.14. a) к =	°	, x = —	; б) при h = a;
a2 + h2 a2 + n2
в) v = . _—. =(—a sin*, acos*, *1), n = (—cos*, —sin*, 0),
V a2 + h2
b =	(hsin*, — hcost, a).
V a2 + h2
4.15.	Указание.
поэтому оператор Y представляется кососимметрической матрицей
0	-у3	у2
У2 0	-у1
-У2 У1 0 /
15’
212
Ответы и решения
4.16.	Указание. Проверьте тождество Якоби:
X X (у X z) + у X (z X х) + Z X (х X у) = 0. Выведите отсюда, что
(у х z) X X = у х (z х х) - Z х (у х х).
4.17.	a) R2 + 4s2 — баз = 0 при 0 С t ;
(Ч6/?2	\ 3
4+9'Ww);
в)	S =	1 + x/2R + |In (aA/Jk2 - 1 + х/2я);
г)	параметрические натуральные уравнения:
Л 2 , , л/1 +ж2 - 1	х
s = VI + х2 + In------, к = —-—
х	(1 + х2у/2
д)	R = а + s2/a;
е)	параметрические натуральные уравнения:
г-----—	+ е2х - 1	ех
s = V1 + е2х + In------~, к = —------------	;
ех	(l+e2®)3/2
ж)	R2 + а2 — а2е 2s/a-, з) s2 + 9R2 = 16а2 при 0
и) R2 = 2as; к) R2 + s2 — 8as = 0 при 0 < t 2ж. Здесь R =
К
4.18.	а) г — Ceav — логарифмическая спираль, где r,ip — полярные аеа arctg а
координаты, С = —,	;
( b . (a + b)t b ------7 sm---------
\a + b b
b (a + b)t
----7 cos--------- a + b
s
. (a — b)t rsm-------1---
a — b b b (a — b)ty
------1cos —Г a — b b
s
при 0
n>|
b
— клотида;
о
.	. .	, ( ТГ t
г) a:(t) =aln I tg - + -
о
а	тг
(t) =-------цепная линия: 0 t < —;
cost	2
д) r(t) = (a(cost + tsint), a(sint —icost)) — эвольвента окружности.
Ответы и решения
213
4.19.	y(s) = const, z(s) = const. Указание. y/x'(s)2+y'(s)2+z'(s)2 = 1.
4.20.	г = Ce±kv, к — ctga, С — const, г, — полярные координаты.
4.21.	р = |(г, п)|. Предположим, что (г, п) > 0; тогда р = (г, п). Отсюда
= (г, п) + (г, n) = —fc(r, v) = —k(r, г). as
Заметим, что (г, г) = I2. Отсюда (г, г) = И. Таким образом,
dp	dl
ds	ds’
откуда и получается требуемое соотношение.
4.22.	Уравнение соприкасающейся окружности запишем в виде (р - г0 - /?опо)2 - R$. Отсюда (р - г0, р - г0) - 2/?0(n0, р - г0) = 0. Рассмотрим функцию
</?(s) = (г - го, г - го) - 2Я0(п0, г - го).
Имеем:
<р'(«) = 2(г - г0, v) - 2Ло(по, v),
<p"(s) = 2 + 2fc(n, г — го) — 2/?ofc(no, n),
<//"(s) = 2fc(n, г - r0) - 2fc2(v, г — r0) - 27?оЦпо, п) + 2/?0Л2(по, v).
Таким образом,
¥>'(а0) = 0, <р"(а0) = 0, </'(s0) = -2/?ofc(s0) 0
и, значит, ip(s) меняет знак при переходе s через so, что и доказывает утверждение.	I
4.23.	См. решение задачи 4.22. Имеем:
V?'(so) = ф>"(«о) = ^'"(«о) = 0,
(s)	= 2fc(n, г — го) — 2fcfc(v, г — r0) — 4kk(v, г — го) — 2fc3 (п, г — го) — - 2к2 — 2йок(по,п) + +2/?onofcA:n + 4R0kk(n0, v) + 2/?0fc3(no,n),
<p(4\so) = —2&o — 2Ro’ko + 2fcg — —2Ro‘ko 0,
значит, степень точки кривой относительно соприкасающейся окружности не меняет знака при переходе s через «о-
214
Ответы и решения
4.24.	Будем считать, что вектор а имеет единичную длину и b другой постоянный вектор, так что а и b образуют положительно ориентированный ортонормальный базис в плоскости. Пусть х, у — координаты точки относительно базиса а, Ь. В пунктах а), б) предполагается, что da
*>0-
а)£ = ‘ = 75)' * = /<«)*>,
х = j" f(a)cosada, y = /(a) sin a da;
.	da	1	.,,„.dR	1	,
6)	-7-	=	fW-j: =	p>	ds = Rf (R)dR,
ds	It	ds	it
x = Rf(R) cos (/(/?)) dR, y=	Rf'(R) sin (f(R)) dR;
S).=J	1 /'(a) cos a da, y — j f {a) sin a da;
г) ж =	1 cos (/(«)) ds, у = sin (/(«)) ds.
4.25.	Выбирая соответствующим образом систему координат, запишем
уравнения кривой Вивиани в виде
ж2 + у2 + z2 = а2,
2	2 а2
Для составления параметрических уравнений положим
а а	а .
х — — = — cos t, у = — sin t.
2	2 У 2
а2	а2	t
Тогда —(1 + cosf)2 4—-sin2t 4- z2 = а2. Отсюда z = asin- (знак 4	4	2
можно опустить, так как, если к t прибавить 2тг, то х и у не изменятся, a z изменит знак). Итак:
|(1 -|-COSt),
а .	.
- sm t, a sm — I .
Касательная:
, О . v	. t , t
-(14- cos t) — A sin t, - sin t 4- A cos t, a sm - 4- A cos -
t
Нормальная плоскость: x sin t — у cos t — z cos - = 0.
Ответы и решения
215
Бинормаль:
г = (;j(l 4- cost) 4- A(2 + cost) sin /
a .	. t . t
- sint — A(1 4- cost) cos -, asm - 4-
Главная нормаль:
А \2 cost + (1 + cost) cos2 j ,
a . A	. t . . tA
- sint — — (6 4- cost) sint, asm - — Asin - I .
L	£	L	L J
Соприкасающаяся плоскость:
ж(2 + cos t) sin — j/(l + cos t) cos | 4- 2z — ^(5 + cos t) sin = 0.
4.26.	Параметризация уравнения кривой: r(t) = (/2at, \/2dt, t2). Значит, кривая лежит в плоскости x\/b — уу/а.
4.27.	Рассмотрим функцию
</>(«) = (b(s0),r(s) — r(s0)), где r(so) = М. Имеем:
/(«) = (b(s0), v(s)), /'(s) = (b(s0),fc(s)n(s)),
ip (s) = (b(s0), к (s)n(s) - fc(s)(-fc(s)v(s) + x(s)b(s))).
Таким образом,
</j(s0) = / (so) = /(so) = 0, /"(so) = —fc(s0)x(s0)	0
и, значит, </j(s) меняет знак при переходе s через so, что и доказывает утверждение.
4.28.	Пусть к 0, т. е. кривая бирегулярна. Пусть все соприкасающиеся плоскости проходят через точку го- Имеем:
(Ь, го — г) = 0, (—хп, го — г) — (b, v) = 0, х(п, го — г) = 0.
Если х 0, то
(п, го — г) = 0,	(—kv + xb, г0 — г) — (п, v) = 0,
(v,ro-r)=O, (fcn, r0 - г) - (v, v) = 0, (fcn, r0 — r) = 1.
Противоречие. Значит, x = 0 — кривая плоская, см. задачу 4.36.
216
Ответы и решения
d	cP	d3	2
4.29.	—г = v, -—г = кп, —ы = — к v + кп + кхЪ. ds	ds2	dsA
4.30.	b = —хп, откуда следует требуемое равенство.
. ... г d f к\
4.31.	х5 — ( — ).
ds \хJ
4.32.	См. ответ к задаче 4.29. Имеем:
v = г = /сп, v = г = — к v 4- к п 4- АхЬ,
v =	= —“2кк v — к3п + к п + к (—kv + хЪ) + к хЪ + кх b — кх2п,
откуда получаем искомый ответ.
4.33.	(е,п) = С, (е, — kv + хЪ) = 0, (e,v) — у-(е, b) = 0, (е,п)к = к
f	м?"	к% 4-
= ( - ) (е,Ь) — — (е,п) = 0, (е,Ь) = С	Дифференцируя еще
\к/	к	к(х/к)'
раз, получаем требуемое соотношение. Отметим, что в силу приведенных выше соотношений можно считать, что
х к2 4- х2	к2 + х2
р —-----------v 4- п 4--------о.
к к{х/к)'	klx/k')'
+ х2 \ '
+ х — 0, то этот вектор посто-
Если выполнено соотношение  , . .,., \к(х/к)' янный. Этот постоянный вектор е образует с вектором п угол, косинус которого равен 1/|е| = const.
4.34.	Пусть кривая бирегулярна. Тогда (e,v) = 0, А:(е,п) = 0, откуда (е,п) = 0. Если (е,п) = 0, то (е, — kv + xb) = 0, откуда х = 0 (линия плоская).
4.35.	Пусть кривая бирегулярна. Тогда (е, Ь) = 0, х(е,п) = 0; откуда х — 0. Так как если бы было х 0, то (е, п) = 0, (е, — kv + хЪ} = 0, &(е, v) = 0, но (е, v) ф 0, значит, к = 0 — прямая линия.
4.36.	a) v = кп = 0, v = const, г = г0 + vs — прямая линия;
б)	(г, Ь)' = (v,b) — 0, (г, Ь) = (го,Ь) — плоская линия;
в)	b = — хп = 0, b = const.
4.37.	(b, е3) = const, х(е,п) = 0. Далее см. решение задачи 4.35.
, ds dv .
4.38.	а) — = — = fcn = к-, ds ds
б)	к 0 — бирегулярная кривая;
в)	пустьг = r(s) = v(s) — касательный сферический образ замкнутой кривой г = r(s). Тогда г = r(s) — замкнутая кривая длины J |v'(s)| ds — J kds, лежащая на сфере единичного радиуса.
dv
Ответы и решения
217
Способ I. Предположим, что f к ds < 2тг, т. е. кривая г имеет длину, меньшую длины большой окружности. Можно показать, что такая кривая г целиком лежит в некоторой полусфере. Значит, для подходящего ненулевого вектора е имеем (r(s),e) > 0. Так как кривая r(s) замкнута, то f r(s) ds = f r(s) ds = 0, откуда J(r(s), e) ds — 0 — противоречие.
Способ II. Так как f r(s) ds = 0 и кривая r(s) компактна, точка О прирнадлежит выпуклой оболочке conv(r) кривой r(s). Покажем, что J |r'(s)| ds 2тг для любой замкнутой кусочно-регулярной кривой r(s), лежащей на сфере радиуса 1 и такой, что О Е conv(r). Если О является внутренней точкой этой выпуклой оболочки, нетрудно построить новую кусочно-регулярную замкнутую кривую r(s), длина которой меньше длины r(s) такую, что О Е conv(r), но О не является внутренней точкой conv(r). Если О не является внутренней точкой conv(r), положим г = г. Покажем, что длина кривой г не меньше 2тг. Так как О Е conv(r), найдутся 0 s0 < si < S2 < s3 l такие, что О € Д = = conv(f(s0),r(si),f(s2),r(s3)). Так как точка О не является внутренней точкой тетраэдра Д, она принадлежит одной из граней Д, скажем, грани До = conv(r(si),r(s2),г(а3)). Рассмотрим плоскость, проходящую через точки r(si), r(s2), r(s3) и О. Она пересекает сферу по большой окружности и, значит, длина ее дуги, заключенной между точками r(sj) и r(sj), не больше, чем длина любой кривой, соединяющей эти точки. В частности, сумма длин всех трех дуг не больше длины кривой r(s). Это доказывает неравенство J |r'(s)| ds 2тг.
4.39.
= |—fcv + xb| = \Д:2 4- №,
4.40.	Пусть r(s) — сферическая кривая. Имеем:
(г — т, г — т) = R2, (v, г — т) = 0, (А:п, г — т) — (v, v) - 0, значит,
(п, г — т) = ——, (кп — k2v + кхЪ, г — т) + (кп, v) = 0, к
i-	d ( k \
(b,r-m) = —, (-zn,r-m) +{b,v) = — I —- ) .
ds \ A/x /
14 Зак. 359
218
Ответы и решения
к
Отсюда получаем требуемое соотношение — = гС
1
к
d
ds
к
соотношение выполнено, то вектор m = г + тп — —b постоянный. Так к к2
как вектор г—m ортогонален вектору v, его длина постоянна, т. е. — сферическая кривая.
4.41.	Пусть r(s) — кривая 7, параметризованая натуральным параметром. Параметризация кривой 7* имеет вид г* (s) =r(s)+—n(s).
К
- I. Если это /с2х I
Имеем:
d ds
1 . ,	, . x cP , x x2
= v +-(-fcv + xb) = —b, 77г = —b — n, к	к	ds2 к	к
значит,
, dP_ ds ’ ds2
d3 ds3
к2
it\ \ йз<
l)b“ V—
.2
X2
п---—fcv + xb).
к
к
Получаем
d	dP	d3 \	x3
—r*, -r-r-r*,	I = Кривизна и кручение:
ds	ds2	ds2 )	k2
к* =
A *
ds* ' ds2
IL
ds3
— к, и'
d , dP * cP , —r .------r*.----r
ds ds2 ds3
2"
[A .
ds* ’ ds2
к2
з
4.42.	c(s) = (r(s) — m,r(s) — m), c'(s) = (v(s),r(s) — m), c"(s) = A:(s)(n(s),r(s) — m) + 1, c"'(s) = (k'(s)n(s) - fc(s)2v(s) + A:(s)x(s)b(s),r(s) — m).
4.43.	См. решение задачи 4.42. Условие c'(sq) — c"(so) = 0 равносильно
следующему:
r0(s) - m = -где Л — произвольное число.
1 fc(s0)
n(s0) - Ab(s0),
4.44.	См. решение задачи 4.43. Условие c'(s0) = c"(so) — c'"(so) = О
равносильно следующему:
r0(s) - m = -T-^-n(so) -	,b(.s0).
fc(s0) k2(s0)x(s0)
Из условия ^/c(so) = R* следует соотношение для радиуса R*.
Ответы и решения
219
4.45.	Пусть г = r(s) — замкнутая кривая на сфере. В силу задачи 4.43, кривизна кривой всюду положительна. Если х 0, то функция —7-^ fc(s)
л лп	1 dk
не меняет знака, а значит, по задаче 4.40 функция —- — строго моно-хк2 ds
тонна, что противоречит замкнутости кривой г = r(s). Таким образом, существует точка кривой, в которой кручение равно 0.
5.1. a) a2(cos2 vdu2 + dv2);
б) (a2 sin2 u + b2 cos2 u) cos2 v du2 + 2 (a2 - b2) sin u cos u sin v cos v du dv + + ((a2 cos2 u + b2 sin2 u) sin2 v 4- <? cos2 v) dv2;
в) v2(a2 sin2 u + b2 cos2 u) du2 + 2(b2 — a2) sin u cos ududv +
+ (a2 cos2 u + b2 sin2 u + c2) dv2;
r) (a2 sin2 u + b2 cos2 u)du2 + <?dv2.
5.2. a) ds2 +2(v, e) dsdX + (e, e)t/A2; 6) v2 ds2 + 2v{v, p)dsdv + {p, p)dv2;
2
ds2 + 2(e, v)dsdX + dX2;
:2) ds2 + 2xdsdtp + dtp2;
.	, de
B)	v + A— ds r) ((1 — fccos^)2 д) tp2 du2 + (tp'2 + ip'2) dv2; e) (a+ b cost;)2 du2 + b2 dv2; ж) (a2 + k2) du2 + dv2; з) ((1 — Xk)2 + x2A2) ds2 + dX2; и) (1 + A2x2) ds2 + dX2. к) ach2 -dtp2 + ch2 — dz2.
a	a
5.3.	a2ctg2uda2 + a2sin2udv2.
2
5.4.	cos 6 =
3
7
5.5.	cos 6 = —.
9
5.6.	cos 6 = -—^7.
1 + a2
5.7.	cos 0 =
5.8.	I = TrR.
5.9.	a) I = ttR; 6) la = 2irRy/^; 8=^.
5.10.1 = nR.
5.11.1 = 27га;
7Г
2'
2-4а2
5.12.	cos6 =
У(4 + а2)(1 + 16а2)
14*
220
Ответы и решения
( г~^---- x/tt2 4" 1 — 1 \
5.13.	t> = ± I vu2 + 1 + In------------ I + const.
\ u /
5.14.	v =	 In (w 4- x/tt2 — a2) 4- const.
a
5.15.	Два семейства кривых: а) у2 4- z2 = const, xy = az;
6)	x2 + z2 = const, xy — az.
5.16.	Пусть уравнение сферы имеет вид
г = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sint;).
Уравнение локсодромии: угол,
u
где в — данный
v — cos0(— sinwcosu — sinutg#, — siniisinu 4- cosiztg/7, cost;),
COS0 n = —.	 '	:
x/1 + tg2 0/ COS2 V
/	„ cos u 7 n
I — cos it cost; + tgnsmiitg#----tg 0 ,
\	cost»
sin u 2 „	.	\
— sin u cos и — tgwcosntg#-----tg 0, —sint; I ,
cost;	j
(sin?;, — cosu, tg#/cosi>) b =-------		=---;
V1 + tg2 #/ cos2 v
, cos 0 Гtg2 0	tg 0
к —----\ 1 4----j—, x — ~i 2------ 9	•
a V cos2 v a(cos2 v 4- tg2 0)
5.17.	а) Кривые u = av2/2, u — —av2/1 и v — 1 пересекаются в точках
A (it = 0, v = 0), В (u = a/2, v = 1), C (tz — —a/2, v — 1). При
этом дифференциалы криволинейных координат на этих кривых связаны следующими соотношениями: du — av dv, du = —av dv, dv = 0
на кривой AB	(	av2 \ 1 уравнение и =	j ;
на кривой AC	/	2 \ (	av \ 1 уравнение и = —— j
на кривой ВС	(уравнение v = 1).
Подставляя эти соотношения в первую квадратичную форму, получаем:
на кривой АВ
на кривой АС
на кривой ВС
ds2 = а2 ( — +1>24-1 I dv2, \ 4	/
ds2 = а2 (----h v2 4-1 I dv2,
\ 4	/
ds2 = du2,
ds =
ds =
dv;
dv;
ds = du.
Ответы и решения
221
Остается взять интеграл в пределах, определяемых координатами точек А, В, С:
du = а.
тг	Юа
Итак, периметр треугольника равен ——; 2	2
б)	cos А = 1, cos В = cos С =-, т.е. А - 0, В = С — arccos
|-^+1п(1 + ч/2)\
5.18.	а) (vg +sh2v0)/4; б) о0, sh??o, x/2shf0; в) тг/2, эт/4, тг/4.
5.19.	S = 2aR2, где R — радиус сферы.
в) S = а2
5.20.	4тг2гй.
5.21.	Пусть отображение f : X —> Y задано в локальных координатах уравнениями у1 = у1 (ж1,х2),у2 = у2(хг,х2). Пусть квадратичные формы д — gijdxtdx^ uh — hijdx'dx-1 определяют римановы метрики в X и ¥ соответственно. Отображение f индуцирует в X риманову метрику
h = h'ij(x)dxidx^ = Иы(д(х))	dxldxi.
Конформность отображения f равносильна тому, что метрики д и h в X конформно эквивалентны, т.е. угол между пересекающимися кривыми по отношению к метрике д равен углу между ними по отношению к метрике h . Отсюда следует существование конформного множителя А(ж) > 0, гладко зависящего от точки и связывающего коэффициенты метрик равенством Ь^(х) = Х(х)д^(х). Форма площади в X равна da = ^/det h' (x)dx1 A dx2 — X(x)da. Так как f сохраняет площадь, da = da , откуда Л = 1. Следовательно, h = д, т.е. f является локальной изометрией.
5.22.	Метрика гиперболического парабалоида задается матричнозначной функцией
( 1 + u2 —uv \
Ci I	2 I ’
\ — uv	1 + гг /
поэтому форма площади равна
dcr = л/det G du Л dv = д/1 + w2 4- v2 du Adv.
222
Ответы и решения
Деформация индуцирует метрику, задаваемую матрицей
G=
1 + (iz sin t 4- v cos t)2 (u sin t4-v cos t) (u cos t — v sin t)
(u sin t+v cos t) (u cos t—v sin t) 1 4- (iz cost — vsin t)2
индуцированная форма площади равна
da' = \/det G' du Л dv = y/1 + u2 +v2 du A dv.
Таким образом, da = da', т.е. данная деформация сохраняет площадь.
5.23.	R(u, v) — ^х/а2 + u2 cos и, \/а2 4- tz2 sin и, a In —^Q-	, или
(Z	Z	\
a ch - cos 99, ch-sin 99, z). Это катеноид (поверхность вра-а	а	)
z щения цепной линии х = a ch —).
а
5.24.	Метрика коноида: 2d/?2 +2dpdv + (p2 4- l)dw2; метрика гиперболоида 2г2 — 1
вращения: —------dr2 4- г2 dtp1. Остается проверить, что при указанном
г2 — 1
соответствии точек вторая метрика принимает вид первой метрики.
5.25.	Указание. Первое из уравнений, определяющих соответствие точек, имеет вид г2 = р2 + а2.
5.26.	Метрика винтовой поверхности:
(1 + F'(u)2)du2 4- 2aF'dudv 4- (u2 4- a2)dv2.
Метрика поверхности вращения г = (г cos 99, г sin <р>, G(r)) равна
(1 4- G'(r)2)dr2 4- r2d(p2.
Пусть соответствие точек устанавливается уравнениями г2 = и2 4- а2, <р — v + H(u). Оно определяет локальную изометрию, если в координатах (zz, v) вторая метрика принимает вид первой. Отсюда получаем условие на функции G и Н:
2
С'(г)2=Г(И)2 + д, H\u) = -^-1F\u). и2	и2 4- а
5.27.	Указание. Взять уравнение цилиндрической поверхности в виде г = 7 4 z?e, где е — постоянный вектор единичной длины, 7(5) — кривая, параметризованная натуральным параметром и лежащая в плоскости, ортогональной вектору е. Сравните первую квадратичную форму этой поверхности с квадратичной формой плоскости.
Ответы и решения
223
5.28.	Указание. Взять уравнение конической поверхности в виде г = = ve(u), где |e(u)| = 1, и сравнить ее первую квадратичную форму с квадратичной формой плоскости в полярных координатах.
6.1. а) Имеем:
ru = (—7?, sin ucosv, —Rsinusinn, flcosu),
rv = (—7? cosusinv, 7?cosucosv, 0),
raxr„ = (—R2 cos2 ucosv, — R2 cos2 u sin v, — R2 cos u sin u),
|r„ x r„| = R2 cosu,
П — ---------- = (—cosu cos v, — cosusinv, — smu),
Ir^xr^l
r« = (—7? cos ucosv, —7?cosusinv, —7?sinu),
ruv = (Rsinusinv, —J?sinucosu, 0),
rTO = (—Rcosucosv, — Rcosusinv, 0),
L = (ruu, n) = 7?(cos2 u cos2 v 4- cos2 u sin2 v 4- sin2 u) = R,
M = (ruv, n) = R(— cosu cosv sin u sin v 4- (— cos u sin v)(— sin u cosv) = 0,
N = (rvv, n) = R((— cosucosv)(— cosucosv) 4-
4- (— cosusinv)(— cosusinv)) = 7? cos2 u.
Ответ: R cP'a 4- R cos2 u cPv.
б) Имеем:
ru = (—a sin ucosv, —a sinusin v, ccosu),
rv = (—acosusinv, acosucosv, 0),
rBxrt = (—асcos2 ucosv, —accos2usinv, —a2 cosusinu),
|ru x rr | = a cos u\/c2 cos2 u 4- a2 sin2 u,
r„ x rv	1	.	. ,
n = т-----r = . = ’ . —	= : (—c cos u cos v, — c cos u sm v, — a sin u’
lr« x I vc2 cos2 u 4- a2 sin2 u
ГцН = (—acosucosv, —a cosusinv, —csinu),
Гщ, — (asinusinv, —asinucosv, 0),
^vv — (—acosucosv, —acosusinv, 0),
r ,	v	1
b = (ruu, n) =	.	- -	- x
V c2 cos2 u 4- a2 sin2 u
x ac(cos2 u cos2 v 4- cos2 u sin2 v 4- sin2 u) =	. QC -----,
V c2 cos2 u 4- a2 sin2 u
224
Ответы и решения
М = {ruv, п) =	.	=(—с cos u cos ug sin u sin и 4-
V с2 cos2 u + a2 sin2 и
4-	(—ccosusinu)(—gsinucosu)) = О,
N = (rTO, n) = . —	1	= ((—ccosucosu)(—gcosucosu) +
V c2 cos2 и 4- a2 sin2 и
о .	..	.	ас cos и
4-	(—ccosusmu)(—gcosusinu)) =	. 	==.
V c2 cos2 и 4- g2 sin2 u
Ответ: . QC == (d2u 4- cos2 и d2u).
V c2 cos2 и 4- g2 sin2 u
в)	Имеем:
ru — (—bsinucosu, —bsinusinu, bcosu),
r„ = (—(g 4- bcosu) sinu, (g 4-bcosu) cosu, 0),
ru x rv — b(a 4- bcosu)(— cosucosu, — cosusinu, —sinu),
|r„ x rj = b{a 4- bcosu),
Ту. X Tv .	.	.	\
n= ;--------r = I— COSUCOSU, — COSUSH1U, — Sinu),
|ru X rj
r,;„ = (—bcosucosu, —bcosusinu, —bsinu),
rur = (bsinusinu, —bsinucosu, 0),
rTO = (—(g 4- bcosu) cosu, — (g 4- bcosu) sinu, 0),
L = {ruu, n) = b(cos2 u cos2 и 4- cos2 и sin2 и 4- sin2 u) = b,
M = (rut), n) = — cosucosubsinusinu4-(—cosusinu)(—bsinucosu) = 0,
TV = {rvv, n) = (— cosucosu)(—(g 4- bcosu) cosu) 4-
4-	(— cosusinu)(—(g 4- bcosu) sinu) = (g 4- bcosu) cosu. Ответ: bd2u 4- (g 4- bcosu) cosud2u.
г)	Имеем:
( , u ,u. A
ru = I sh — cos u, sh — sin u, 1 , \ a 'a ) /	и	и	\
rv = I — a ch — sin u, g ch — cos u, 0 1, \	g	g	/
Гц x rv = I —g ch — cos u, — a ch — sin u, a ch — sh — I, \	a_________a_______ a	a f
i	i i I о . 2	* 2	12^
x rv = a ch — A / cos2 v 4- sin v 4- sh —=ach —, a\	a	a
ru x rv 1	/	. u\
П = ;------- = -7——— I — COSU, — Sinu, sh — ),
|гИ x rv| ch(u/g) \	g/
/1 , и	1 , и .
ruu = I - ch — cos u, - ch — sin u, 0 \a a	a a
Ответы и решения
225
(	, U .	, U	\
ruv = I — sh — sm v, sh — cos v, 01, \ a	a >
/	i u	, u 
rvv — I —a ch — cos v, —a ch — sm v, 0 \ a	a 
r i	v	1 f , u 2 i u  2 \	1
L = (ruu, n) = ——. ( - ch - cos'* v - ch - sin v = —, a ch (u/a) V a	a ) a
M = (ruv, n) =
= , / , . ((-cosu) (- sh - sin v) 4- (- sin v) (sh — cosi/Й = 0, ch (u/a) \	\ a J	\ a / /
N = (r„v, n) =
= -г-.—7-7 ((-cosn) (-ach-cosul 4-(—sinu) (—a ch — sinn^ = a. ch (u/a) X \ a /	X a / J
Ответ:----d2u 4- a d~v.
a
д)	Имеем:
ги = (a cos u cos v, acosusinu, — a sin u 4- —-),
V	sm uz
rv = (—asinusmu, a sin u cos v, 0),
ru x rv = (a2 sin2 u cos v—a2 cos v, a2 sin2 u sin v—a2 sin v, a2 cos u sin u) =
= (—a2 cos2ucosw, —a2 cos2 wsini), a2 cosusinu),
|ru x rv I = a2 cos u v cos2 u cos2 u + cos2 u sin2 u + sin2 u = a2 cos u,
Tn*!»	,	.	.	,
n = ---------- - (— cosucosv, — cosusini), smu),
I .	.	acosu\
fuu — I — asm u cos v, —asmusmv, —a cos a — ——5— ), \	sin u /
rui> — (—acosusinn, acosucosn, 0),
— (—a sin a cos w, —a sin u sin v, 0),
L = (rUu, n) = a cos u sin u cos2 v +
. 9	.	a cos it sin a
4- a cos it sm u sm v — a sm u cos u--x-----= — a ctg u,
sin u
M = {ruv, n) = (— cosu cost;)(—a cosu sin v) +
+ (— cos u sin v)a cos u cosv = 0,
N = (rvv, n) = (—cosucostt)(—asinitcostt) +
4- (— cos u sin v) (—a sinusin v) = a cos u sin u.
Ответ: — a ctg ud2u 4- a cos u sin ucPv.
226
Ответы и решения
е)	Имеем:
ru = (cost;, sin и, 0), rv = (—tzsint;, tzcost;, а),
ru х rv = (asinw, -acosv, u), |ru x rv| = y/u2 4- a2,
ru x r„ _ (asint;, —acosv, u)
|r„ x г„|	y/u2 -f- g2
ruu — (0, 0, 0), ruv — (—sint;, cost;, 0), xvv = (—ucosv, —usint;, 0),
L = {ruu, n) = 0, a sin t?(— sint;) 4- (—a cost;) cost;	a
M = {ruv, n) =---------------------------------= —/ 2:~ 2>
V« + a2	y/u2 4- a2
,	,	asinv(—ucosv) + (—acosv)(—usinv)
N = (rvv, n) =----------------/—	----------------- 0.
—2adudv
Ответ: . „ -=-
2
ж)	Выражая z через остальные переменные, имеем z — f(x, у), где а3	а3	а3	2а3	а3
Дж, У) = —• Тогда fx =-------5-, fy =---2, Jxx = Jxy = “гч,
' xy	x2y	xy2	x3y	x2y2
2a3
f = —- По формулам для второй квадратичной формы поверхности ху3
z = f(x, у) получаем:
Л . г > у/х4у4 + аех2 + аеу2
V + Jx Jy	х2у2
__ ____fxx_____ __	______2g у_________
+ у 2 у2 ху/х4у4 aGx2 + a6?/2 ’
М =	Ъу... _ =	-q3
^/1 + J2 + /2	а/ж42/4 + арх2 + G6t/2
_ _____fyy________ _______2а3х_________
^1 + /2 4- f2	Уу/х4у4 4- а6х2 4- аеу2
2a3	/ у	, .т \
Ответ: —.	— — d2x + dxdy 4— а у I.
у/х4у4 4- авх2 4- а6у2 \х	У /
6.4. а) ru = (я/, p'cos</>, p'sin</>), rv = (0, — psiny?, pcostp). Здесь штрих означает дифференцирование по и. Матрица первой квадратичной формы
! = [ (^')2 + (Р')2 0 \
\ о р2 /
ги х rv = (рр', -рх' cosip, -рх' sin ip), |ru X r„| = Py/{x')2 4- (p')2,
Ответы и решения
227
_ гц х г„ _ (р', —x'costp, —x'sintp) ku X Гу | ~ vW +G/F ’
ruu = (x", p" cos <p, p"sin<p), ruip = (0, -p' sin <p, p'costp),
rvv = (0, -pcoscp, -psm<p), L = (ruu, n) = -	.    =,
V(x) + (p)
M = (гИ¥,, n) = 0, N = (rw, n) = - .	=.
V (x'r + (/')
(x" p' — x'p")d2u + px'tfttp
Вторая квадратичная форма: ----------7  -=----------.
x/(^')2 + (p')2
б)	Найдем гауссову кривизну поверхности вращения:
LN — М2 _ рх' {х"р' — х'р")	х1 (х" р'— х'р")
~ EG- F2 " р2((а.,)2 + (р/)2)2 “ р((ж,)2 7 (р/)2)2'
Направление выпуклости меридиана определяется знаком выражения </2р
—г. Вычисляя его по формулам для производной неявной функции, ах2 получаем
d2p _ d /dp\ __ d Рр'\ du	р"х' — р'х" 1	р"х' — р'х"
dx2	dx \dxJ du \x' J dx (%')2 x' (a:')3
Сравнивая полученное выражение с формулой для К, находим К = (ж')4 d?p	гх ^2Р
=----------—у. Отсюда имеем, что К > 0, когда < 0, т.е. когда
р dx2	dx2
выпуклость меридиана направлена от оси вращения; К < 0, когда вы-
пуклость направлена в сторону оси вращения; К = 0, если меридиан
имеет точку перегиба или ортогонален оси вращения (а:' = 0).
в)	Пусть р(и) = и,
228
Ответы и решения
х"-±( 1 +
Л/	—1— I	-----— I	Г}	I 1
Va2 — u2 w2	у
-- 9/2	д2
(т')2 + (р')2 = СИ2 + 1 =	+ 1 =
х'х" _ —a2/u2 _	1
~ u((x')2 + I)2 - u(a4/u4) ~ а2’
г)	Вычислим среднюю кривизну поверхности вращения
EN + GL- 2FM _ рх'((х')2 + (р')2) + р2(ж"р' - х'р") _ EG-F2 ~	р2((ж')2 + (р')2)3/2
_ ж'((ж')2 + (р')2) + р(.х"р' ~ х'р") р((т')2 + (р')2)3/2
д)	Найдем решение уравнения Н = 0, когда х = и. Подставляя
выражение х в формулу для Н, получаем Н =
1 + (р'У-рр" р(1 + (р')2)3/2 •
Из усло-
вия Н = 0 получим дифференциальное уравнение р"р — (р')2 — 1=0.
Так как р > 0, то р" > 0. После дифференцирования уравнения по-р'" Р' лучим р"'р + р"р' — 2р"р' = 0. Отсюда р"'р — р"р' — 0, — = —, (1пр")' = (1пр)'. Таким образом, задача свелась к решению дифференциального уравнения р" = Ср, где С = к2 > 0, к > 0 — некоторая
постоянная. Общее решение полученного дифференциального уравнения
имеет вид
р(и) = A ch ки + В sh ки.
Подставляя это решение в исходное уравнение и приводя подобные члены, получаем условие на коэффициенты
1 = р"р - (р')2 = к2 ((Л2 - В2) ch2 ки + (В2 - Л2) sh2 ки),
откуда к2(А2 — В2) = 1. Поскольку р(и) > 0 для всех и, то Л > 0. Тогда
Л и В можно представить в виде
Л=т-сЬА:ио, В = — yshfci/o; к	к
р(и) = у (ch ки0 ch ки — sh ки0 sh ки) = у ch (к(и — и0)). К	К
Таким образом, решением уравнения Н = 0, когда х = и, являются функции р{и) = — ch (к(и — ио)), где к > 0, зд произвольное.
Ответы и решения
229
6.6.	В этой задаче через m будем обозначать нормаль к поверхности. Пусть v, п, Ь — репер Френе данной кривой. Тогда rs = v + kun, ru — v. Матрица первой квадратичной формы
( 1 + k2u2 1 \
1 =	;
\ 1	1 J
rs х ru = кип х v - — киЪ, lru х г J = ки, m =	= —Ь,
|г« х г„|
rss = кп + ksun + ku(-kv + xb) = — k2uv + (1 + ksu)n + икяЪ,
^sii — /?и, тии — О,
L — (rss, m) = — kvx,
M = {rsu, m) = 0, N = (ruu, m) = 0, где m — нормаль к поверхности. Отсюда
LN-М2 EG-F2
= 0,
EN + GL-2FM _ -kvx x EG-F2 ~ k2v2 + 1 - 1 “ kv'
6.7.	Поверхность, определяемая уравнением z = f(x, у), может быть задана параметрически в виде г(ж, у) = (ж, у, f(x, у)), г;г = (1, 0, /х), гу = (0, 1, fy). Матрица первой квадратичной формы имеет вид
1+fz
I =
у
у
f2
Jy
У
1
У
п =
( Ai fyj 1),
— (0» 0) fax')] ^xy — (0j fxy)i ^yy — (0, 0, fyy), L = (rxx, n) =	, M = (rxy, n) =
fyy

Матрица второй квадратичной формы имеет вид
XX
а/! + Л2 + 42
fxy
fxy fyy
230
Ответы и решения
det II___ LN — М2 _ fxxfyy fxy
det I ~ EG — F2 ~ (1 + /2 + /2)2 ’
H = tr (II  Г1) = EN + <^Lp2FM =
_ (1 + ffifyy + (1 + ffiA* - Zfxfyfxy (i+ft + f2)3'2
6.8.	Пусть Fz 0. Тогда по теореме о неявной функции в некоторой
окрестности поверхность можно задать уравнением z = f(x, у), причем
F	F
— z = f = Fz’ y Jv Fz
%Х - fx
ции f:
Найдем вторые производные функ-
д (Fx\ Fxx + Fxzzx FX(FXZ + Fzzzx) fxx~~te\Fj ~ Fz + F2 =
Fxx ~ FXZ(FX/FJ Fx(Fxz - Fzz(Fx/Fzf) =
Fx +	F2
FXXF2 - 2FXZFXFZ + FZZF2
F3
_ FxyF2 - FxzFyFz - FyzFxFz + FzzFxFy
?ху ~	p3	’
_ FyyFz2-2FyZFyFz+FzzF2 Jyy ~	рз
x z
Воспользуемся результатами задачи 6.7 для нахождения гауссовой и средней кривизны:
TS _ fxxfyy ~ fxy	_ (1 + fl)fyy + (1 + fy)fxx ~ fxfyfxy
~(i + fl + f2)2’	~	(1 + Л2 + Л2)3/2
= ^((FxxFl - 2FXZFXFZ + FzzFl)(FyyF2 - 2FyzFyFz + FZZF2) -
- {FxyF2 - FxzFyFz - FyzFxFz + FzzFxFy)2) =
~ Fb((FxxFyyFz + kFxzFyZFxFyF2 + F^F^F2 — 2FxxFyzFyFz — r z
- 2FxzFyyFxFl + FxxFzzF2Fl + FyyFzzFlF? - 2FXZFZZFXF2FZ -
Ответы и решения	231
-2Р F jfipp}-(F2Fi + F2F2F2 + F2F2F2 + F2F2F2-zzrxrVrz) \rxyrz ~ rxz-ry± z ~ ± yz* x± z ‘ ± zz* x± у
- 2FxyFxzFyFz - 2FxyFyzFxFl + 2FxyFzzF^F2z -
- 2FxzFzzFxFyFz - 2FyzFzzF*FyF2 + 2FxzFyzFxFyFz)') =
= ji(FxxFyyF* + FXXFZZF% + FyyFzzF2 - F2yFz - F^F* - FyzF2 +
+ 2FxzFyzFxFy + 2FxyFxzFvFz + 2FxyFxzFxFz -
— 2FxxFyzFyFz — 2FxzFyyFxFz — 2FxyFzzFxFy) —
____1_ ^z
Fxx ^xy Fxz Fx Fxy Fyy Fyz Fy FXz Fyz Fzz Fz Fx Fy Fz 0
FXy Fyy Fyz Fy Fxz Fyz Fzz Fz 0 (^+F2+F2)2 Пусть Fz > 0:
(1 + fx'ifnv + (1 + fy^fxx ~ fxf-yfxy —
=	+ F*)(FyyF* - 2FyzFyFz + FzzFy) +
+ (F* + FZ)(FXXFZ - 2FXZFXFZ + FZZF?) -
- 2FxFy(FxyFz - FxzFyFz - FyzFxFz + FzzFxFy)) =
= ~^(FyyF*F? - 2FyzF*FyFz + FZZF*F* +
+ FxxF%F2z - 2FXZFXF*FZ + FZZF*F* +
+ {Fxx + Fw)F24 - 2{FXZFX + FyzFy)Fl + FZZ{F* + F^F2Z -- 2{FxyFxFyF2z - FXZFXF*FZ - FyzF?FyFz + FZZF^)} =
= -^3 ((Fyy + FZZ)F* + (Fxx + FZZ)F* + (Fxx + Fyy)F* -- 2FxyFxFy - 2FXZFXFZ - 2FyzFyFz) =
= ~~((FXX + Fyy + FZZ)(F? + F* + F22) - (FXXF* + FyyF* +
+ FZZF^ + 2FxyFxFy + 2FXZFXFZ + 2FyzFyFz)),
232
Ответы и решения
pj — ^хх + ^уу + ^zz ।
FcxF2 + FyyF2 + FZZF2 + +2FxyFxFy + “^FXZFXFZ + 2FyzFyFz +	(F2+F2 + F2)3/2	
Среднюю кривизну можно также записать в виде
_ H(gradF, gradF) trH |gradF|3	|gradF|’
где gradF = (Fx, Fy, Fz) — градиент функции F, буквой H обозначена матрица вторых производных (гессиан), а также соответствующая ей билинейная форма. Если Fz < 0, то выражение для Н просто меняет знак.
6.9.	Перейдем к цилиндрическим координатам х = ucosv, у = usinv, z = z. Тогда уравнение поверхности можно записать в следующем пара-у
метрическом виде: х = ucosv, у = usinv, z = aarctg — = av. Таким x
образом, поверхность представляет собой прямой геликоид. Воспользовавшись результатами задачи 6.1, получаем
г = (ucosv, usinv, av), ru = (cosv, sinv, 0), rv — (—usinv, ucosv, a), E=l, F = 0, G = a2+u2, L = 0, M =---------°.,	, N = 0.
\/u2 + a2
Тогда
_ LN - M2 _ a2	EN + GL - 2FM
“ EG-F2 ~~(u2+ a2)2 ’	“ EG-F2 “°
Главные кривизны Alt2 являются решениями уравнения А2—НА+К = 0. Так как Н = 0, то
Ац2 = ±у/-К = ± ° 2, uz + az 1 и2 + а2 х2 + у2 + а2
Л-1,2 — Т  = ±----- — ±-----------•
Ai,2	а	а
Ответ: Rr = х2+У2 + а\ д2 = ^2+У2+а\ а	а
6.10.	Имеем:
т(и, v) = (cosv — vsinv, sinv + ncosv, и + v),
ru = (— sinv, cosv, 1), r„ = (—ucosv — sinv, —vsinv + cosv, 1), E = (ru, ru) = 2, F = (ru, rv) =2, G = (r„, r„) = 2 + u2,
Ответы и решения
233
ruxr„ = (USinV, — UCOSV, U), |Г„ ХГ„| = Uy/2,
Ги X Г„ 1 , .	1 \
и = -------- = —— cost;, 1),
|ru xr„| V2
yuu = (0, 0, 0), rul) = (- cosu, — sinu, 0),
rvv = (usinv — cost;, — ucosv — sinu, 0),
L = {ruu, n) = 0, M = {ruv, n) = 0, N = {rvv, n) = -^u, K=LN~Ml =
EG - F2 ’
EN + GL - 2FM _ uy/2 _ 1
EG - F2 ~ 2(2+ u2) — 4 “ ^2u
Главные кривизны Aj^ являются решениями уравнения А2—НХ+К = 0.
Тогда
А2---т=-А ~ 0> ТГ — Ai — 0, ТГ — Аг — f- 
y2u Ri	R? V2tz
„ 1 „ 1 1
Ответ: —- = 0, —- = —7=—.
-Ri Дг \2u
6.11.	Имеем:
r = (tzcosv, usinv, u + v), ru = (cost;, sinu, 1),
rv = (—usinv, ucosv, 1),
E = (r„, r„) = 2, F = (r„, rv) = 1, G = (r„, r„) = 1 + u2, ru x r„ = (sin v — u cos v, — cosv — usin v, u), |r„ x r„| - л/l + 2u2,
Г X Г	1
n = — -----—	= (sin v — u cos v, — cos v — u sin v, u),
|r„ X r„|	y/1 4- 2u2
ruu = (0, 0, 0), ruv = (—sinv, cosv, 0), rvv = (—ucosv, -usinv, 0),
L = {ruu, n) = 0, M = (r„„, n) = —.	,
Vl + 2u2
u2	LN-M2	1
N - {rvv, n) -	K~ EG-F2 - "(1 + 2u2)2’
EN + GL - 2FM _	2u2 + 2 _ 2(1 + u2)
H ~ EG-F2	~ (1+ 2u2)3/2 ~ (1 + 2u2)3/2 ’
n r< 1 и 2<1+ц2>
Ответ. К (1 + 2u2)2 ,	(1 + 2ы2)3/2 •
6.12. Имеем:
г = (3u + 3uv2 — и3, v3 — 3v — 3u2v, 3(и2 — v2)),
ru = (3 + 3v2 — Зи2, —6uv, 6u), rv = (6uv, 3v3 — 3u2 — 3, —6v),
E - {ru, ru) — 9((1 + v2 - u2)2 + 4u2v2 + 4u2) = 9(u2 + v2 + I)2,
F = {ru, rv) = 9((1 — u2 + v2)2uv + (—2uv)(v2 — u2 — 1) — 4uv) = 0,
234
Ответы и решения
G = (rv, г„) — 9(4u2v2 + (u2 — v2 4- I)2 + 4v2) = 9(и2 4- v2 + I)2,
ru х г„ = 9(2u(u2 4- v2 4- 1), 2v(u2 + v2 + 1), (и2 + v2)1 — 1),
V
П =
—~(2u, 2v, u2 4- v2 — 1),
Tuu — (~6u, ~6v, 6), rUv ~ (6v, —6u, 0), Tvv = (6u, 6v, —6),
T _ /	.	2u(—u) + 2v(—v) + (u2 + v2 - 1)1
L ~ \Yuw> П)— б	о 2	1	—6,
..	.	. 2uv + 2v(-u)
M = {ruv, n) = 6 -	= 0,
u2 4- v2 + 1
2uu + 2vv 4- (u2 + v2 - 1)(-1) N = (rvv, n) = 6---------2 ; ni2 , ,— -------= 6,
LN -M2
~ EG-F2 ~ ~81(u2 + v2 + I)4 - “ 9(u2 + v2 + I)4 ’
4
36
EG-F2
4 Ответ: К — —----;
81(u2 4- v2 4- I)4 , H = 0.
= 0.
6.13.	HU — KI. См. решение задачи 6.15.
6.14.	Параметрическое уравнение геликоида имеет вид х — ucosv, у = = usinv, z = av. Тогда
r(u, v) = {u cos v, usinv, av),
ru = (cost;, sint;, 0), r„ = (—itsint;, ucosv, a),
E = l, F = 0, G = a2 + u2,
< rv = (asint;, —acosv, u), |r„ x r^l = y/u2 + a2, ru x rv (asinv, —acosv, u) |r« X r„|	ч/u2 + a2
^uu = (0, 0, 0), rul? = (—sinv, cosv, 0), rvv = (—ucosv, —usinv, 0),
L = (ruu, n) = 0, a sin v(—sin v) + (—acosv) cosv	a
y/u2 + a2	y/u2 + a2 ’
asinv(—ucosv) + (—a cos v)(—usinv)
— (rw> n) =	/ 9	— о*
n =
Л/ — (ruv,
_	TT EN + GL- 2FM n
Отсюда получаем H =-————------= 0.
EQ —
Ответы и решения
235
6.15.	Имеем:
pu=ru + anu, pv = г„ + an.v,
Е* = <PU, Ри) = (г«, г«) + 2a(ru, nu) + a2(n„, n„) -
= E—2aL+a2(nu, nu). Аналогично,
F* = {Pu, Pv)=F - 2aM + a2(n„, nv),
G* = (p„, pv) = G - 2aN + a2(n„, nr).
Для дальнейших вычислений нам понадобится явное выражение для
п„ и п„. Найдем его. Так как |п| = 1, то nu -Ln, п„ ± п. Тогда
nu = bru + crv, n„ = dru + er„,
-L = — (n, ruu} = {nu, ru) = b(ru, ru) + c(rv, ru} = bE + cF,
-M = -(n, ruv) = {nu, r„) = b(ru, rv) + c(rv, rv) = bF + cG,
где I=|	I — матрица первой квадратичной формы;
(nu, n„) = (b, c)I ( Ь ) = (L, M)!-1!!-1 (	) =
\ c /	\ M /
zr 1 ( L \ EM2 -2FLM + GL2
= (L, M)I 1	= -----— —;-----,
v 1 \M J EG — F2
, v	1 ( M \ EMN - FLN - FM2+ GLM
(nu, nv) = (L, M)!-1 n J =------------------,
, v /.z ЛПТ 1 ( M \ EN2 -2FMN + GM2
(nv, nv} = (M, N)!-1 n j =--.
236
Ответы и решения
С другой стороны,
, х ЕМ2 - 2FLM + GL2
(n„, nJ - EG - F2
_ GL2 + ELN - 2FLM + ЕМ2 - ELN EG - F2
_ L(GL + EN- 2FM) - E(LN - М2) _ LH - EK
EG-F2	EG-F2 ’
.	. EMN - FLN - FM2 + GLM
”•> =-------BG^Fi---------=
_ M(GL + EN- 2FM) - F(LN - M2) _ MH - FK
EG-F2	EG-F2 ’
,	, EN2 - 2FMN + GM2
”•>=—— =
_ N(GL + EN- 2FM) - G(LN - M2) _ NH -GK
EG-F2	EG-F2 ’
что соответствует задаче 6.13.
Следовательно,
Е* = (pu, PU)=E- 2aL + a2(LH - EK) =
= (1 - a2K)E + a(aH - 2)L,
F* = (pu, pv) = F — 2aM + a2(MH - FK) =
= (1 - a2K)F + a(aH - 2)M,
G* = (p„, pv) = G - 2aN + a2(NH - GK) =
= (1 - a2K)G + a(aH - 2)N. Так как векторы ru, rr, nu, n„ ортогональны вектору n, то pu, pv ортогональны n и n* = n.
= (Puu, n) = (ruu, n) + a{nuu, n) = L- a(nu, nu) =
= L- a(LH - EK) = aKE + (1 - aH)L,
M* = (Puv> n> = (r^, n) - a(n«, n«) -
= M - a{MH - FK) = aKF + (1 - aH)M, N* = (Pw> n) = (Tw, n) - a(n„, nv) =
= N- a(NH - GK) = aKG + (1 - aH)N.
Ответ: E* = (1 - a2K)E + a(aH - 2)L,
Ответы и решения
237
F* = (1 - a2K)F + а(аЯ - 2)М, G* = (1 - a2K)G + а(аЯ - 2)Я, L* = аКЕ + (1 - аЯ)£, М* = aKF + (1 - аН)М, N* = aKG + (1 - aH)N.
L*N* - М*2
6.17.	Как известно, К* =	----—у Подставляя в эту формулу явные
E*G* — F*
выражения для Е*, F*, G*, L*, М*, N* из задачи 6.15 и производя элементарные вычисления, получаем ответ: К* = --—-
E*N* + G*L* -2F*M* Z
6.18.	Как известно, Н = -----  -----------. Подставляя в эту
Ь’и* — г £
формулу явные выражения для Е*, F*, G”, L*, М*, N* из задачи 6.15 и производя элементарные вычисления, получаем ответ:
_ Н - 2аК ~ 1-аН + а2К'
6.19.	а) Пусть данные параллельные поверхности S и S* задаются уравнениями: г = г(н, и), г* = г(н, v) + ап(н, и). Тогда согласно задачам К ггж Н - 2аК
6.17	и 6.18 имеем К =  --—---z—, Н =  -----—----Отсюда
1-аН + а2К 1-аН + а2К
получаем
Н*2 - 4К* _(Н- 2аК)2 - 4Я(1 - аН + а2К) _
К*2	Я2
_ и2 ~ 4аКН + 4a2j<2 ~ 4(к ~ аКН + а2/<2) - н2~4К
К2	К2 ’
б) минимальная поверхность задается уравнением Н* = 0. Согласно Н - 2аК
задаче 6.18 имеем Н = ----—---Отсюда видно, что уравнение
1 — аН + а2К
Н* = 0 равносильно выполнению равенства 2а = Н/К. Так как отно-
шение кривизн постоянно, то поверхность S*, задаваемая уравнением
. 2Н .
р(и, V) = r(u, v) + —— п(н, v),
будет минимальной поверхностью; в) согласно задаче 6.18 имеем
_ _______ff______ _	_ гг2 _ rnn4t.
1—аН + а2К 1-Н/Н + К/Н2 К/Н2
г) согласно задаче 6.18 имеем
_ Н — 2аК _ Н-у/К
~ 1 - аЯ + а2 К ~ 1 - Н/^К + КЦу/K)2 Ответ: Н* = —у/К.
238
Ответы и решения
6.20.	Напомним, что если Ai и Аг — главные кривизны поверхности и Н = Ai + Аг, К = AjAz, то А, являются корнями уравнения А2 — — НА + К = 0. Так как А; — вещественные числа, то дискриминант уравнения неотрицателен: D = Н2 — 4.К 0. Равенство Н2 = 4К (т. е. D = 0) равносильно равенству Ai = А2. Таким образом, квадрат средней кривизны равняется учетверенной гауссовой кривизне в омбилических точках, т. е. в точках, где Ai = Аг (см. рис. 91).
Рис. 91. Омбилические точки на	Рис. 92
эллипсоиде
6.21.	Согласно известной формуле Н = trll • I-1, где I — первая квадратичная форма, а след берется от произведения соответствующих матриц. Тогда средняя кривизна равняется следу оператора А, канонически сопряженного форме II относительно метрики, задаваемой формой I. Оператор А и форма II связаны соотношением II(ei, е2) = (Аеь е2), где скалярное произведение (•, ) задается симметрической матрицей I. След оператора в произвольном ортонормированном базисе ej, е2 вычисляется по формуле tr А = (Aej, ei) + (Ае2, е2). Тогда
H = ((Aej, ei) + (Ae2, e2)) = II(ei, ei) +II(e2, e2), что и требовалось доказать.
6.22.	Пусть v(s) — вектор касательной к кривой С, a n(s) — единичный dv
вектор нормали к кривой С (см. рис. 92). Тогда — = kn, Xi = fc(n, щ), as
где п, — нормаль к поверхности Mi, и v 1 п. Так как v — вектор, касательный к поверхностям М\ и Л/2, то v ± щ, v ± п2. Следовательно, ni, п2, п лежат в одной плоскости.
1)	6 — 0. Тогда tit = n2, Ai = А2 и
А2 -4- А2 — 2Ai А2 cos$ = (Aj — A2)2 = 0 — к2 sin2
Ответы и решения
239
2)	6 = тг. Тогда П1 = — П2, Ai = —Аг и приходим к тождеству 0 = 0; 3) 0 < 6 < я. Тогда nj и пг образуют базис пространства, ортогонального v, и n = ani + Ъгт>. Следовательно,
Aj = Л:а(п1, П1) + 1-Ь(пг, щ) = ка + kbcosO, Аг = A:a(ni, Пг) + кЬ(п2, пг) = ка cos в + kb, А2 + А| — 2А1Аг cos# = (ка + kb cos#)2 + (ка cos в + kb)2 — — 2(ка + kb cos в)(ка cos # + kb) cos # = к2 (а2 (1 + cos2 # — 2 cos2 #) + + 2ab(2 cos# — (1 + cos2 #) cos#) + 62(1 + cos2# — 2 cos2 #)) = = k2 sin2 #(a2 + 2a#cos# + b2) = k2 sin2 #, так как 1 = (n, n) = (ani + #пг, ani + Ьпг) = a2 + 2a#cos# + b2.
6.29. Указание. Считая, что метрика поверхности имеет вид du2 + + G dv2, выразить G через гауссову кривизну К..
6.30. Рассмотрим следующие поверхности вращения: х = г cos <р, у = г sin ср, 1 /	/ 1 j. oz"’ _l ог _____________________
Z = и arctg J-	—(С+ 2т){\.+2С+ 2r)
I \ у С + zr
У этих поверхностей К = ds2 = — dr2 +r2 dtp2. Отсюда видно, что, меняя число С, мы получаем однопараметрическое семейство попарно неизометричных поверхностей с одинаковой гауссовой кривизной в соответствующих точках.
7.1.	В качестве карт можно взять множества U±, к = 0, ..., п, задаваемые следующими неравенствами: U+ = {хк > 0}, L/f = {хк < 0}. В качестве координатных функций в карте U± следует взять все декартовы координаты за исключением хк. Минимальный атлас содержит две карты.
7.2.	Воспользоваться тем, что тор Т2 гомеоморфен декартову произведению S1 х S1 и свести задачу к предыдущей при п = 1.
7.3.	Проективное пространство IRFn есть множество классов эквивалентности наборов (гго : Ж1 :	: хп), где Xi G Ж, 5ZХ1 / 0, а отношение
эквивалентности задано следующим образом:
(тц . *Г1 ..... хп) (Ая/О * А.т i ..... Ат:^),
240
Ответы и решения
где А € R, А 0. Введем на RP71 вещественно-аналитическую структуру. Для этого покроем RPn набором из (п 4- 1) карты. Рассмотрим наборы (жо : Ж1 :... : хп), для которых ж, 0. Множество таких наборов естественно отождествляется сКп, а именно:
/	\	(^0	1 *^«4-1	^п\
: ... . xnj i—> I , • •  j >	, • •  j I •
\ /
Легко видеть, что это соответствие корректно определено. Осталось рас-смотреть функции перехода от i-й карты к у-й карте. Пусть х^ — к-я координата набора (Ао : А] : ... : Ап) в г-й карте, а — l-я координата в у’-й карте (пусть для простоты г < у). Тогда
...	т0) (г) _ £1_	... хЬ) (г) _ 4		_ 4+2	T(i)	Tb) - J+1
1	“ X{j) ’ 4+1	 1 Xi ~ _(Я ' Х1+1	> 4+1	~ Tb) ’ • хг+1	• • ’ xi	Ai) 4+1
т(<) •5+1	_ _L т« -“ Ai) ’ J'+2 “	Ai) 4+2 (i) ’	т(») . . . ,	Ai) " Aft '	
	Хг+1	4+1		*^г+1	
Таким образом, функции перехода не только гладкие, но и вещественноаналитические.
7.4.	См. задачу 7.3.
7.5.	а) Атлас состоит из одной карты с координатными функциями , ..., Хп).
7.10.	Указание. Композиция гладких отображений является гладким отображением.
7.11.	Указание. Воспользоваться правилом дифференцирования сложных функций.
7.13.	Ранг равен 1.
7.14.	Указание. Написать формулы, явно выражающие координаты нормали в локальных координатах тора.
7.15.	Однородные координаты прямой гладко зависят от локальных координат на сфере, а локальные координаты на RP2, в свою очередь, выражаются через однородные координаты.
7.16.	Используя локальные координаты, вычислить ранг матрицы Якоби отображения.
7.17.	Представить элементы группы 50(2) как повороты плоскости на некоторый угол вокруг начала координат. Группа 0(2) гомеоморфна объединению двух экземпляров S1.
Ответы и решения
241
7.18.	Представить элементы группы 50(3) как повороты пространства вокруг некоторой оси на некоторый угол.
7.24.	Группы GL(n, R) и GL(n, С) являются открытыми множествами в пространствах соответственно всех вещественных и всех комплексных матриц.
7.27.	Любая окрестность начала координат распадается не менее чем на 4 компоненты связности при выбрасывании начала координат, чего не может быть на многообразии.
7.28.	а) Да; б) нет.
7.29.	Сфера Sn — компактное пространство.
7.30.	Указание. Использовать свойства ранга произведения двух матриц.
7.31.	/: Ж1 -> Ж1, f(x) = х3.
7.35. Координатные функции являются частным случаем гладкой функции на многообразии.
7.36. Воспользоваться задачей 7.9.
8.1 а) (О, 1); б) (0, 2); в) (1, 1); г) (0, 2).
8.6. Если dim V = к, то dim V™ = k<-n+m\
9.6.	Указание. См. задачу 9.5.
9.7.	Будем считать координату г первой, а координату ср —- второй. Тогда
Г}1 = Г}2 = Г21 = О, Г*2 = -г, Г?! = г22 = О, г22 = г
9.8.	Будем считать, что координата и — первая, а координата v — вторая, ™ ц, = £ г;2 = г;, = У е22 =	г?, = -У, г?2 = i* =
_ р2 _
~ 2А ’ 122 ~ 2А'
9.9.	а) Г*! = Г}2 =	= О, Г^2 = - sin О cos 0, Г?х = Г|2 = О, =
= Г22 = ctg в. Здесь координата в считается первой, а координата р> —
второй;
б)Г}1 = -2?/
2 37	pi _ pi  _______^У pi _ %х
х2+у2’ 12	21	1 + х2+у2’ 22	1+х2+г/2’
р2 _ “У	р2 _ р2 _________^Х	р2 ________
11	1+х2+7/2’	12	21	1 + х2+у2'	22	\+х2+у2'
Здесь координата х считается первой, а координата у — второй;
17 Зак. 359
242
Ответы и решения
.з _ „
	 р2 _ А р2 ,	2 ’ 1 11 — и> 1 12
-4-
2г
в) ~ + г2> Пг - Г21 = 0, г22
1 - Г2
— Пи =	^22 — 0. Здесь координата г считается первой, а
г(1 + г2)
координата — второй.
_ pl —	1р2	_ р2 _	1 pl _ pl _ р2 _
— Х21 —	L11 —	l22 — ~~i Г11 — l22 — г12 —
Здесь координата х считается первой, а координата у —
9.10. а) Г}2 = г221 = 0. второй;
б) Г}х =
Г2 - -i и —
%x	pi _ pi _	pi _______^x
1 — x2 — y2 ’ 12	21	1 — x2 — y2 ’ 22	1 — x2 — y2 ’
—	Г2 — Г2 —	Г2 — ^У Здесь
~~1-X2~y2’ 112-121- l-T2-!/2’ 22 ~ l-X2-y2' ” координата x считается первой, а координата у — второй;
в) Гн = j _ г2 ’ ^12 — ^21 = О, Г22 = — _ ^2, rfj = О, Г22 = 1 + г2
= Г21 = —- ---—, Г22 = 0. Здесь координата г считается первой, а
г(1 — Г2)
координата <р — второй.
9.12.	Будем считать координату и первой, а и — второй. Тогда ГХ1 = — f f + 99 pl _ pl _ л pl _____________f f р2 — А р2 _
-(/')2 + (У)2’ 12	21	’ 22	(/')2 + (я')2’ 11	’ 12
= Г21 = 4> Г^2 = °-
9.13.	Будем считать координату и первой, а координату v — второй.
Тогда TJj =-------ГХ2 = Г21 = О, Г|2 = - —, ГХ1 = О,
cosusinu	cosu
Tj2 = T21 = ctgu, Г22 = 0.
9.14.	Будем считать координату и первой, а координату v — второй. Тогда ГХ1 = Г}2 = Г‘х = Г2! = Г22 = О, Г|2 = -shuchu, Г22 = Г2Х = = cthw.
9.15.	Будем считать координату и первой, а координату v — второй. Тогда Th = - th-, Г22 = Г221 = -th-, Г}2 = Г», = Г‘2 = Г2Х = а а	а а
= г22 = 0.
9.16.	Будем считать, что координата и — первая, a v — вторая. Метрика имеет вид ds2 = du2 + (и2 + h2)dv2. Символы Кристоффеля равны Г11 = Г12 — r2i = г2х = г22 = о, г22 = — и, г22 = г21 =	.
9.19.	а) Параметризация линии в = во, <р = t. Уравнения параллельного переноса:
dE1	dE2
—----sin во cos воЕ2 = 0, -j- + ctg воЕ1 = 0.
dt	dt
Общее решение уравнений:
Е1 = — Ci sin во cos (t cos во + C2), £2 = Ci sin (t cos во + Сг);
б) параметризация линии в = t, ip = <д>. Уравнения параллельного переноса:
dC	dE2	,
4- = °, 4- = -e2ctgt. dt	dt
Общее решение уравнений: E1 = Ci~—, £2 = C2. sint
9.20.	Указание. См. задачу 9.18, см. также рис. 93; либо воспользоваться результатом предыдущей задачи.
Рис. 93
9.21.	Пусть поверхность образована вращением графика функции f. То-
гда угол а между начальным и конечным векторами определяется ра-2тг
венством cos а — cos —...... .
л/1 + Г2
9.22.	а) Указание. Ковариантно продифференцировать векторное поле, состоящее из векторов, касательных к параллелям. 2тг
9.23.	Угол поворота равен -/====.
9.24.	а) Параметризация кривой: x(t) = а?о, y(t) = t, t G (0, +00). dE1	1	dE2	1
Уравнения параллельного переноса: —------E1 = 0,	-----E2 = 0.
dt	t	dt	t
Общее решение уравнений: E1 = Cit, E2 = Cat;
17*
244
Ответы и решения
б)	параметризация кривой: x(t) = t, y{t) = уо, t € (—00, +00). d?	1 Л2	n d?	1 cl n
Уравнения параллельного переноса: —---------f = 0, —------1--= 0.
dt	уо	dt	y0
Общее решение уравнений:
= Ci sin (— + С'2^, С2 = Ci cos (— + С2^. \?/о	)	\Уо )
9.25.	а) Указание. Заменить сферу на конус и воспользоваться результатом задачи 9.17. б) Указание. Заменить сферу на цилиндр, в) Воспользоваться результатами предыдущих двух пунктов.
9.29.	тг + S = а.
9.30.	тг - S = а.
10.6.	По теореме Менье радиус кривизны R кривой 7 в некоторой точке равен проекции радиуса геодезической кривизны Rg = l/fcs на соприкасающуюся плоскость кривой 7, т. е. R = |7?s cos0|. Вектор е = v х m — единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности и ортогональный к кривой 7, вектор п — единичный вектор главной нормали кривой 7. Отсюда | cos0| = |(е, п)| и, следовательно,
кд = к\ cos#| = fc|(е, n)| = |(е, v)| = |(v х m, v)| = |(m x f, f)|.
10.12.	Предположим, что прямолинейные образующие параллельны оси Oz. Тогда уравнение поверхности можно взять в виде
г(п, ц) =	+ у>(п)е2 + пез,
где и — натуральный параметр направляющей линии. Будем искать уравнение геодезической в виде
v = v(u).	(*)
Тогда	m = [ги х г„] = y/ej - /'е2,
dr = (/'ej + ip'e2 + v'e2) du, d?r = (/"ej + <p"e2 + ц"ез) du2, и уравнение для определения геодезических линий имеет вид (см. за-
дачу 10.7)	о	
	Г	v'	= 0,
	f" <р" v"	
Ответы и решения
245
или
(<p'2 + /'V-W'+ /'/>' = о.
Но ip'2 + f'2 — 1, следовательно,
vV" +/7" = |(¥>'2 +/,2)'= о.
Таким образом, v" = 0, т. е. v = ciu+cz- Векторное уравнение семейства геодезических имеет вид
p(u) = /(«)е1 + <^(u)e2 + (ci« + с2)е3.
Заметим, что cos в - cos(p^eb) =	.
хЛ + ч
Следовательно, найденные геодезические являются обобщенными винтовыми линиями. Кроме того, геодезическими являются прямолинейные образующие. Они не вошли в найденное семейство геодезических, поскольку уравнения прямолинейных образующих нельзя представить в виде (*).
10.13.	Уравнения геодезических имеют вид
г(ц) =
С cosv	Csinv	С \
sin ((Ci ± v)/\/2) ’ sin ((Ci ± tj)/a/2) ’ sin ((Ci ± v)/\/2) J
10.14.	Рассмотрим параметрическое уравнение конуса в виде r(w, v) = up(v) и будем считать, что |р| = 1, |р'| = 1. Тогда уравнения С
геодезических будут иметь вид г(и) = ———-----р(ц).
sin (С — и)
С du
y/(u? + h2)(u2 + h2- С2) ’
10.17.	Рассматривая v как функцию от и вдоль геодезической, получаем дифференциальное уравнение геодезических:
10.16. v = Ci ±
,^dPv dip
ЛА’3 dip / dv\ 2 du) du \duJ
dip dv dip du du du ’
или
(ip + ip) du2 d(dv2) = (du2 + dv2)(dipdu2 — dipdv2),
(ip du2 — ip dv2 \	„
——------—— | = 0. Интегрируя это соотношение, получаем
duz + dv^ )
искомые уравнения.
246
Ответы и решения
10.24.
10.21.	Указание. Воспользоваться теоремой Клеро.
10.23.	а) — — б) 0.
' а2 + h2 sh г?
\/2ch2 v
10.25.	Геодезическая кривизна равна 1.
10.29.	Геодезическая кривизна меридианов равна 0, а параллелей равна
f(U)y/l + f'2(U)
1 ду/Ё
10.30.	Геодезическая кривизна линий v = const равна	, а
1 dy/G линий u = const равна —==—-—.
Veg dv
11.4. R = — In А. А
11.7. а) г;, = г;2 = Г’, = 0, Г|2 = ^,	= -&, Г"2 =
Z(jr	Z	ZCr
б) =
Vg
11.8. К = -^-.
sin о?
12.7.	a) 2(z — VfdxAdyAdz; 6) yzdxAdz + xzdyAdz; в) 6y2dxAdyAdz;
г) 0; д) 0; е) 0; ж) df A dg; з) 0.
12.8.	Свести задачу к случаю постоянных коэффициентов.
12.15.	а) (2г cos в, —г sin#, 0);
б)	(6г sin в + er sin ipr sin 0);
( 2 cos# sin# \
B) ----’ -75-’ °J-
13.1. Рассмотрим векторное пространство над IR с базисом мощности континуум. Введем в нем следующую топологию. Рассмотрим куб В = = {ж : — 1 < ха < 1 для всех а}, где ха — координаты вектора х, и сечение В конечной коразмерности:
Вар_ ^ — В Q (tq — 0, хр — 0, ... , х$ С}.
Ответы и решения
247
Множества назовем окрестностями точки 0. Очевидно, что в такой топологии точка 0 не имеет счетной базы окрестностей, т. е. построенное пространство не удовлетворяет первой аксиоме счетности, а значит, автоматически и второй аксиоме, так как первая аксиома есть следствие второй.
13.3. В качестве пространства X возьмем пространство I2, элементами которого являются последовательности действительных чисел х — ОО
= (a:i, атг,  • •> хп,   •), удовлетворяющих условию ||ж2|| =	|^п|2 < 00.
П”1
В качестве пространства Y С X возьмем сферу в X, т. е. множество таких х, для которых ||а;||2 = 1. Рассмотрим в Y последовательность точек Xi, у которых на г-м месте стоит 1, а на остальных — 0. Эта бесконечная последовательность не имеет предельной точки, поскольку ||аг<—XjH = х/2 для любых г, j. Следовательно, Y не является компактом.
13.14. Пример см. на рис. 94.
X
f. X-»Y
Рис. 94
13.40.	Нет. Если топологическое метрическое компактное пространство связно, оно не обязательно линейно связно. Известный пример: множество точек на плоскости (х, у), задаваемые так:
Г -1]
< у = sin — > U
I х J
{0 = 0; -1 < у < 1)}.
248
Ответы и решения
Часть 2
14.1.	а)
—а2
14.2.	а)
14.3.	а)
(chui — COSU2)2 ’ с3 sin щ
(сЬиг — cosui)3 ’
c3(u2 - «?),
—(chui — COSU2)2
—'-------5------б) да.
а2
(chug — COSU1)3 ----------------; б) да.
с3 sin Hi
c2(u2-u2y 6)Д0-4/2 _ .2
14.4.	a) ePu^—r 	2— » —ч-------7~2---2V
У(1 - ul)(ul - 1) c?uiu2(ul - u%) d2z 14.5.	+ z.
drp2 d2z „ 9dz n 9.dz 9 9 n „ 14.6. —- + 2uv -—I- 2v(l — v )— + uvz = 0, область определения du2 du	dv
у 0, область значения v 0.
In2 (u2 + v2) + arctg2
ЛЕЗЕЕЛ. б)да.
14.7.
d2v dv2
1
14.8.
1 ln2 (u~m)2 + (^-V1)2
4 (u — U2)2 + (v — v2)2
*)
+ arctg
(u - u2)(v — t>i) - (u - И1)(г> - v2) (u — Uj)(u — u2) + (v — «i)(v — г»г)
x
((u - u2}2 + (и - г>2)2) ((ц ~ ui)2 + (t> - t>i)2) /d2V	92V\
(u2 — ui)2 + (v2 — vi)2	\ du2 + dv2 )
__________1__________/e2v d2v\
9(u2 + v2) ((u — 2)2 + v2) \ du2 + dv2 J
15.1.	a) y2 = 2ax — 2C — парабола с осью OX и параметром p = |a|. Кривая обращена вогнутостью влево в случае а < 0 и вправо в случае а > 0; б) у = Се~х/а-, в) (а: — С)2 + у2 = а2 — окружность радиуса а с центром на оси ОХ.
15.2.	Условие постоянства длины касательной записывается в виде
I (dx\2
УХ /1 + I	I —а. Мы будем рассматривать кривую лишь в верх-
V Уау/
ней полуплоскости и поэтому положим |j/| = у > 0. Рассмотрим угол
ip, 0 < ip < тг, определяемый из условия tg</? = dy/dx. Заменяя
Ответы и решения
249
dx/dy через ctg<p, получим у/sini/i = а или у — asin<p. Отсюда dy = = a cos <pdip. Но из условия, определяющего угол tp, следует, что dx — = ctg <pdy. Подставив сюда полученное для dy выражение, получим dx =
cos2 я я ( 1	• А Я ы
= а------dp, или dx = а I —-------sin р dtp. Интегрируя почленно,
sin<p	\sin<p J
найдем х = a (in tg + cos + С. Уравнение этой кривой можно записать иначе:
15.3.	у = а3/(ж2 + a2); х = actgt, у = asin21.
15.4.	Указание. Применить теорему Ролля к функции (a, r(t) — r(to))-
15.5.	Использовать тот факт, что |r2(t) — гг(£)|2 = const, где rj, г2 — радиус-векторы движущихся точек, t — время.
Г#
15.6.	Положим — = A; X(t) — непрерывная на сегменте [а, Ь] функция, г
сохраняющая определенный знак. Имеем г' —Аг — 0, откуда г = aef xdt. Так как производная от функции e-fxdl равна Xe-Ixdt, то она сохраняет знак на сегменте [а, Ь], т. е. e-f xdt — монотонная и непрерывная функция t.
15.7.	Применяя метод решения предыдущей задачи, будем иметь г' = = aef А dt, откуда
г = a f А dt dt + b.
Производная от j e^Xdtdt равна сД Xdt > 0; значит, f e?Xdt dt — монотонно возрастающая функция от t € [а, Ь].
Примечание. Через [г] будем обозначать вектор, полученный из г 7Г поворотом на угол + —.
15.8.	Радиус-вектор р произвольной точки неподвижной пентроиды мо-
жет быть определен одним из соотношений: р =	+ А^] = г2 + р[г2],
Г! - г2 + A[ri] = р[г2], (г! - г2, r'2) + <A[r'i], т'2) = 0, А =
Следовательно, р = ri +
(r2 - ri, г'2) |Г'1 Х Г2|
[г'1].
<Г2 - Г!, т'2} |r'i х Гг1
16 Зак. 359
250
Ответы и решения
В координатах:
(х2 - Х1)х'2 + (г/2 - yi)y'2 , С = Х1--------------------L7T7-----------&1’
- Х2.У\.
(х2 - х^х^ + (г/2 - yi)y2 т} = У1---------------------------
АУ2-Х2У1 1
15.9.	Рассмотрим вектор A[ri], где А = -Г^ ,	если этот вектор от-
1Г1 х Г21
дожить от конца М\ стержня, то его конец попадет в мгновенный центр вращения. Проекции вектора А [г J] на векторы г2 — ri и [г2 — ri] соответственно равны:
(A[rj], r2 - n) <A[rj], [r2 - и])
|Г2-Г1|	|г2-Г!|
Поэтому уравнения подвижной центроиды:
_ <г2 - ri, ri) |rj х (r2 - Г1)|	~ (r2 - ri, rj) (rj, r2 -n)
x~ |rixr!>| |г2-Г!|	’ y IriXT^I |г2-Г!|
или
((х2 -xiX + (y2-yi)y'j) х =----------------------------
x'i У'1
Х2 - Xi у2- г/1
х\ у'1
х2 У2
л/(ж2 - Х1)2 + (^2 - z/l)2
((x2 - a?i)4 + (г/2 - yi)y2) ((x2 - Xi)x\ + (г/2 - ?/1)г/() у - -----------------------------------------------------------------------------
у/(х2 - ГЕ1)2 + (г/2 - Z/1)2
У'1 х2 У2
15.10.	R — п + £а + где а = г2 - n, £ = const, 7] = const (точка М жестко связана со стержнем); R' = г, + £а' + г/[а']. Так как |а| = |г2 — ri| — const, то а' ± а; значит, а' = s[a], r^ — r'j = = s[r2 -Г1], (r'2 -r't, [ri]) = s([r2 -Г1], [ri]), ([ri], r'2) = (s(r2 -Г1), ri), s = /• X Г?~7\ = T- Итак: a' = la'] = -Ta> R/ = Г1 + f[al ~ (r2 — Г1, ri) A	A	A	A
- r)Xa = - (Ari + £[a] - rja). С другой стороны,
г = R - p = ri + ^a + г/[а] - ri - A[ri] = £a + т/[а] - A[ri],
[r] = Ari “ СЫ - ya,
lrl	1
значит, R = y[r], w = —. Л	Л
Ответы и решения
251
х2 у2
15.14.	-——7=— 4-------= 1, где а и Ъ — полуоси данного эллипса.
(а/\/2)2	ь/у/2
15.15.	ху = ±s/2, где s — данная площадь.
-. к «	2 । 3 /	_	о
15.1b. у = ах + \ где парабола задается уравнением у — ах, а V 1Ь
s — площадь сегмента.
2
д. „2
15.17.
I х —---------
cos (а/2) I — полупериметр треугольника.
х2 у2
15.18.	— +	— 1, где а — радиус данной окружности.
15.19.	г = (/ cos3 v, I sin3 о), где I — заданная сумма полуосей.
15.20.	х = -(3cosv — cos3v), у = ^(3sinv — sin3i>) — гипоциклоида.
15.21.	ху - ±^у/с, где с — заданная площадь.
15.22.	(аг—с)2 +у2 = 4а2, где а — большая полуось эллипса, с = у/а2 — Ь2.
2
, где а — данный угол,
15.23.	р = г ± flj—J
|г,|2
15.24.	р — г + [г'] —-—; в координатах:
.'2 ,,'2
,2 , ,2
,	! ~	 а	, I X' + у'
Е = х — г/----------------,	7) — И + X----------------.
х'у" — х"у'	х'у" — х"у'
15.25.	Кардиоида.
15.26.	(х + 1)/2 = (у - 13)/3 = г/6; 2х + Зу + 6г - 37 = 0.
15.27.	Для указанной точки А имеем: t — — 1.
Касательная прямая: (х — 3)/6 = (у + 7)/(—17) = (г — 2)/7.
Нормальная плоскость: Gx — 17у + 7z — 151 = 0.
15.28.	Для указанной точки А имеем: t = 1. Так как г'(1) = 0, а г"(1) = (2, 2, 12)	0, то направление касательной определяется этим
последним вектором или коллинеарным ему (1, 1, 6).
Касательная прямая: (х — 2)/1 = у/1 — (z + 2)/6.
Нормальная плоскость: х + у + 6z + 10 = 0.
16-
252
Ответы и решения
15.29.	Уравнение касательной:
	dF1	dFr		dFj	dFi
	dy	dz		dz	dx
X = х + А			, Y = у + A		
	dF2	dF2		dF2	dF2
		1 1				- 
	dy	dz		dz	dx
			dp dF}		
			dx dy		
	Z =	z A	dF2 dF2		
			dx dy		
Нормальная плоскость:
X—x	У-у	Z-z
dFi	dFi	dFi
			-
dx	dy	dz
dF2	dF2	dF2
			 -
dx	dy	dz
15.30.	s — 5at.
15.31.	s = 8ау/2.
15.32.	s = 9а.
15.33.	s = 10. Кривая имеет четыре точки возврата с изменением знака
ds/dt в точках 1 = 0, тг/2, тг, Зтг/2.
15.35.	Необходимое и достаточное условие: е' / О, (р', е, е') = 0. Урав-(р', е')
нение огибающей: г = р--------g-е.
|е'|
15.36.	г = р + ve.
15.37.	г = up.
15.38.	г = р + vp'.
15.39.	r(s, tp) — p(s) + n(s) cos 95 + b(s) sin 95, где n(s) и b(s) — главная нормаль и бинормаль соответственно.
15.40.	r(u, v) = (95(a) cos u, 95(a) sinu, ^(u)). В частном случае: г = = (/(a)cosu, f(a)sinu, a).
15.41.	Если уравнение винтовой линии задано в виде р = (acosu, аsinu, bu),
то n = (— cosu, — sinu, 0) — вектор главной нормали. Отсюда искомое
уравнение
г = р - An = ((а + A)cosu, (а + A)sinu, bu) = (ucosu, usinu, bu) задает прямой геликоид.
Ответы и решения
253
15.42.	г = p(s) + A(n(s) cos </t(s)+b(s) sin </t(s)), где^(в) — произвольная функция переменной s.
15.43.	Векторы n — (cos u, sin it, 0) и k = (0, 0, 1) определяют нормальную плоскость к окружности р = (acosit, asinit, 0). Вектор, лежащий в нормальной плоскости и наклоненный под углом и к вектору п, есть вектор а = n cos и + k sin it. Поэтому уравнение искомой поверхности
г = р + va = (acosit + it cos2 u, a sin и + v sin и cos it, v sin it).
Исключая параметры и и v, находим х = ctgit(asinit + z cos и), у = x	f x^ \
— (asin u + г cosh), - = ctgit, —5— = (a + zctgu)2, y2 I 1 4—- I = у	sin it	\ y2 J
( xz\2
= I a -I--I . Итак, y2(x2 +y2) = (ay + xz)2 — поверхность четвертого
\ У J
порядка.
15.44.	R = ^(r(u) + p(it)).
15.45.	Уравнение данной прямой ri = (it, 0, h). Уравнение эллипса г2 = = (acosit, dsinit, 0). Далее, Г! — г2 = (u — acosit, —dsinit, h). Отсюда при it — acosit = 0 имеем ri — r2 = (0, —b sin it, h). Искомое уравнение коноида:
г = (acosit, dsinit, 0) + A(0, — 5 sin it, h) = (acosit, b(l — A)sinit, Xh).
Исключая параметры А и it, получим уравнение коноида в неявном виде:
f	V \	[	V \
15.46.	ri = (а, 0, и), г2 =	I 0,	it,	— I,	Г! — г2 =	I a,	—it, и — — I.	Если
\	2р)	у	2р)
V2
и — — = 0, то Г! — г2 = (a, —it, 0). Отсюда 2р
/	v2 \
г — ( 0, it, — ) + А(а, —it, 0) =
\	2Р/
или с?у2 = 2pz{x — а)2.
15.47. Параметрические уравнения данных окружностей:
ri — (a(l + cosit), 0, asinit), г2 = (0, а(1 + cosit), asinit).
Находим: rj — г2 — (а(1 + cosu), —а(1 + cosit), a(sinit — sin it)). Имеем sin u — sin it = 0, откуда: 1) it = и + 2ктг, 2) it = тг — it + 2kir. В первом
254
Ответы и решения
случае гх — г2 = (а(1 + cosit), —а(1 + cosit), 0) параллелен (1, —1, 0). Таким образом, получаем эллиптический цилиндр
р = (а(14- cos it), 0, а sin it) + A(l, -1, 0) = (а(1 + cos и) + А, -А, а sin и).
Во втором случае ri — г2 = (а(1 + cosu), —а(1 — cosu), 0) параллелен (1, —1, 0), и вторая поверхность, составляющая данный цилиндроид, определится уравнением
R = (а(1 + cosu), 0, asinu) + А(а(1 + cosu), —а(1 — cosu), 0) =
= (а(1 + А)(1 + cosu) + А, —аА(1 — cosu), asinu).
Исключая параметры Айи, получим: z4 + г2((т — у)2 — 2а (х + г/)) + + 4а2ху = 0.
/и2	\	/ —и2	\	/и2 + v2	\
15.48.	п = —, и, 0 ), г2 = ——, 0, v , и - г2 = —т-------, и, -и .
\2р	/	\ 2р	J	\ 2р	/
Условие коллинеарности вектора и — г2 и плоскости у — z = 0 дает /и2	\
и + v = 0, v — —и, ri — г2 = I —, и, и ). Искомое уравнение:
\ Р	/
/ и2	\	(и2	\	(и2	\
г = I —, и, 0 ) + и I —, и, и = —(1 + 2и), и(1 + и), ии I . \2р	)	\р	)	\2р	/
Исключая параметры и и и, получим у2 — z2 — 2рх — гиперболический параболоид.
15.49.	Уравнение оси Oz имеет вид щ = (0, 0, и); уравнение данной кривой —
Л , . а3 \
г2 = I о cos u, osmu, —---;----u 1 .
\	oJcosusinv /
Отсюда
Л i •	°3 А	а3
r2 - ri = ocosu, osmu,	;---и], и = -т------:—,
\	Ъ2 cosvsinv ) Ь2cosusmu
г2 — ri = (bcosu, bsinu, 0),
тогда
0,0, „	.
tr COS V sin V
+ A(6cosu, b sin и, 0) =
a3 A
Adcosu, Ao sin u, 5-5---:— .
b2 cos и sin и /
Исключая параметры А и и, получим: b2xyz = а3(х2 + у2).
Ответы и решения
255
15.50.	Из условия (а + ub — р, п) = 0 находим и =
Отсюда
(п, Ь)
R = р + А(а + ub — р) = (1 - А)р + А I а +
(п, р - а) (п, Ь)
15.51.	Возьмем уравнения данных эллипсов в виде
ri = (a, bcosu, csinu), г2 = (—а, ccosu, bsinu).
Векторг!—г2 = (2а, bcosu—ccosu, csinu—bsinu) параллелен плоскости хОу, поэтому csinu — bsinu = 0. Отсюда
sin u = 7 sin u, cos u = ± 7 \/b2 — c2 sin2 u, b	b
ri — r2 = (2a, b cos и ± y/b2 — <? sin2 u, o) .
Искомое уравнение:
R = (a, bcosu, csinu) + u (2a, bcosu ± ^\/b2 — c2sin2u, o)
или
R = (a + 2au, bcosu + u (bcosu ± \/b2 — c2sin2u) , csinu) .
15.52.	Уравнение оси Oz: p = (0, 0, u). Находим:
p — p = (u, u2,u3 — u), u3 — u = 0, p = (0, 0, u3).
Искомое уравнение:
г = p + u(p — p) = (0, 0, u3) + u(u, u2, 0) = (uu, u2u, u3).
15.53.	г — (bu, aucosu, (b + acosu)(l - u) + asinu).
15.54.	Уравнения данных прямых: p = (u, 1, 1) и p = (1, u, 0). Уравнение прямой, проходящей через две произвольные точки этих прямых, имеет вид г = (1, и, 0) + А(и, 1, 1). Для точки пересечения этой прямой с плоскостью xOz имеем: и 4- А — 0, г = (1, и, 0) — и(и, 1, 1) = = (1 — ии, 0, —и). Эта точка должна лежать на окружности х = cost/?, у = 0, z — sin<р. Следовательно, 1 — ии — cosy?, и = — sinот-1 — cos	w _
куда и = -----;—— = — tg—. Остается составить уравнения прямой,
— sin <р	2
проходящей через точки (—	1, 1) и (1, — simp, 0). В результате
256
Ответы и решения
получаем:
г = (1, -siny>, 0) + 4> ((1, -sinyi, 0) -	1, 1)) =
= (1 + -ф ^1 + tg , - sin <р - V>(1 + sin y>), —V') •
15.55.	г = (a(cosv — usinv), «(sinv + ucosv), b(u + v)).
15.56.	c2(x2 + у2)2 = а2(ж2 — y2)(z + c)2.
15.57.	Булем считать, что в плоскости л заданы прямоугольные декартовы координаты (£, г/). Тогда уравнение кривой р — р(и) можно записать в координатной форме: £ = £(и), т/ = т?(и). Кроме того, предположим, что прямая АВ представляет собой ось z в пространстве и что по ней скользит ось у движущейся плоскости л. При надлежащем выборе осей х, у и положительных направлений на координатных осях имеем:
R(u, v) = (C(u) cosv, C(u)sinv, t?(u) + av).
15.58.	R(u, v) = r(u) + an(u) cosv + ab(u) sinv, где n и b — главная нормаль и бинормаль кривой г = г(и); точки (и, и) и (и, v + 2л) отождествляются.
15.59.	Возьмем точку пересечения нормалей за начало отсчета радиус-векторов. Тогда (г, ги) = 0, (г, г„) = 0, откуда |r|2 = const. Следовательно, данная поверхность — сфера или часть сферы.
15.60.	Объем тетраэдра равен 9а3/2.
15.61.	Касательная плоскость: ——----1------b _ Z. ..= = а2. Искомая
usinv ucosv y/a2—u2
сумма равна a6.
15.62.	Уравнения линии пересечения в криволинейных координатах: и = = ui cos(v + vj)/cos2vi (кроме образующей v = vi), где ui, Vi — координаты точки касания; параметрические уравнения той же линии в декартовых координатах:
cos(v-f-vi)	cos(v+vi) .	. _
х = щ-----5------- cos v, у = и,---------sin v, z = a sin 2v.
cos 2vi	cos 2vi
Уравнение ее проекции на плоскость ху:
х2 + у2 — ——— (х cos Vj — у sin vi).
cos 2vi
Поскольку проекция есть окружность, то сама линия (плоская линия)
есть эллипс.
Ответы и решения
257
15.63.	Уравнение касательной плоскости:
или Z =
через одну точку — начало координат. Впрочем, это ясно и из того, что данное уравнение определяет конус с вершиной в начале координат (г — однородная функция от х и у).
15.64.	Касательная плоскость: kxsinu — kycosu + vz — kuv = 0; нормаль: г = (u cos и + Afcsinu, vsinu — Afccosu, ku + Au).
l5.e5.*+^+*=3. x у z
15.66.	Пусть уравнение кривой С имеет вид р = p(s). Уравнение поверхности: г = р + Av, где v — единичный вектор, касательный к кривой С. Находим:
dr	dr	dr	dr
— = v +	Afcn,	—	= v,	—	x	—	= AA:b;
ds	dX	dX	ds
при s = const (т.е. в точках одной и той же касательной) этот вектор имеет неизменное направление (ибо тогда b = const). Отсюда также следует, что касательной плоскостью к такой поверхности во всех точках кривой С является соприкасаюшаяся плоскость этой кривой.
15.67.	Уравнение поверхности: г = р + Ап.
9г ...	dr	dr	dr
— =	v + X(—kv	+ xb),	—	= n,	— x	—	= (1 - AA:)b - Axv.
ds	dX	ds	dX
Уравнение касательной плоскости: (R — p — An, b — A/cb — Axv) или (R, b — Azv) — (p, b — Axv) + A2x = 0. Уравнение нормали: = p + An + £(b - Azv).
15.68.	Уравнение поверхности: г = p + Ab.
dr	dr dr dr
S = v-A«n, ^=b,
Уравнение касательной плоскости: (R — p — Ab, n + Axv) = 0,
(R — p, n + Axv) = 0. Уравнение нормали: R = p + Ab + £(n + Axv).
15.70. Если a — направляющий вектор заданной прямой и начало радиус-dr dr
векторов взято на этой прямой, то векторы г, а и — х — лежат в одной du dv
плоскости и
', т. е. все касательные плоскости проходят
= О,
R =
или
г, а х
dr
du х
258
Ответы и решения
Отсюда
г’?)Мг)-(г'1£Х»'1Е)=о
ди / \ ди /	\ ди / \ ди /
Но это равенство можно записать в виде равенства нулю функциональ
ного определителя:
3|г|2 д(а, г)	3|г|2 <Э(а, г) _
ди ди dv ди
Отсюда следует, что между величинами |г|2 и (а, г) существует функциональная зависимость |г|2 = /((а, г)). Выбирая ось Oz вдоль вектора а, получаем поверхность вращения х2 4- у2 = f(z).
/ #2 у2 \
15.73.	Огибающая: 4г2 I ~7 + тт I =1; ребро возврата мнимо.
\ а2 о2 у а2
15.74.	Огибающая: х2 4—-—т^у2 4- z2 — а2. а2 4- о2
15.75.	Огибающая: (х2 +у2 + z2 — х)2 = х2 + у2; ребро возврата вырождается в точку (0, 0, 0).
15.76.	Взяв уравнения парабол в виде у2 = 2рх, z = 0 и у2 = 2qz, х = 0, получим уравнение огибающей в виде у2 = 2рх 4- 2qz — параболический цилиндр с параметром д/р2 4- q2-
15.77.	Дифференцируя выражение |R — р|2 = а2 по s, получим (R — р, v) = 0. Отсюда R — р = ЛЬ 4- рп. Так как |R — р\2 = а2, то А2 4- р2 = а2 и можно положить А = a cos <р, р = a sin <р. Таким образом, уравнение огибающей:
R = р 4- a(bcos9? 4- nsincp).
15.78.	Ребро возврата представляет собой кривую, точки которой получаются при пересечении осей кривизны кривой р = p(s) с соответствующими сферами данного семейства сфер.
15.79.	Уравнение семейства: (х — bcoscp)2 4- у — bsin2 tp 4- z2 — а2 = 0. Огибающая — тор (поверхность четвертого порядка):
(х2 +y2+z2+b2- а2)2 - 4Ь2(х2 4- у2) = 0.
Это уравнение получается при исключении <р из уравнений F = 0 и
9F п
= °'
Ребро возврата в случае а > b вырождается в две точки
(0, 0, ±д/а2 — Ь2), а в случае а = b вырождается в одну точку (0, 0, 0).
Ответы и решения
259
15.80.	Уравнение семейства: x2+y2+z2—2u3x—2u2y—2uz = 0. Исключая и из этого уравнения и уравнения 3u2x+2uy+z — 0, найдем огибающую:
Зх(9х(х2 + у2 + z2) — 2zy)2 + 2т/(9х(х2 + у2 + г2) — 2zy) -
— (12ягг — 4 т/2) + г(12хг — 4 т/2)2 = 0.
Ребро возврата найдем, присоединяя к двум указанным выше уравнениям еще уравнение бих + 2у = 0. Отсюда и = —у/Зх, и уравнение ребра возврата:
21 х2(т2 + у2 + z2) - 4т/3 + 18xyz = 0, у2 — 3xz = 0.
Ребро возврата можно получить и в параметрической форме: /	2и3	—би4	би5 \
\ 9и4 + 9и2 4-1 ’ 9u4 + 9и2 + 1 ’ 9it4 + 9и2 + 1 /
15.81.	х2/3 + у2!3 + z2*3 = I2!3.
15.82.	х2!3 + у2!3 + z2!3 = а2/3.
15.83.	xyz — 2а3/9.
15.84.	Огибающая: у2 = 4arz; ребро возврата вырождается в точку, совпадающую с началом координат.
15.85.	Характеристика:
х = C(cosa + asina) — zsina, у — C(sina — acosa) + zcosa.
Ребро возврата — винтовая линия:
x — Ccosa, у = С sin a, z — Са.
15.86.	Пусть р — p(s) — уравнение данной кривой. Уравнение семейства соприкасающихся плоскостей (г — р, Ь) = 0. Дифференцируя по s, получим (г — р, v) = 0. Характеристикой является касательная: (г — р, Ь) = 0, (г — р, п) — 0. Огибающая: г = р + Av — поверхность, образованная касательными к данной кривой. Дифференцируя соотношение (г — р, п) = 0 еще раз, получим (г — р, Ь) = 0. Отсюда и из соотношений (г — р, Ь) = 0, (г — р, п) = 0 имеем г = р, т. е. ребром возврата является данная кривая.
15.87.	Характеристики — оси кривизны данной кривой. Огибающая — поверхность, образованная осями кривизны. Ребро возврата — кривая, описываемая центрами соприкасающихся сфер данной кривой.
260
Ответы и решения
15.88.	(г, n') + D' = 0, г = ап + /Зп' 4- Ап х п', а = (г, п) = —D,
(3 =	. Уравнение огибающей: г = —On —	4- Ап х
|п'|2	|п'|2	|п'|2
х п' (параметры и и А). Характеристики — прямые и — const. Ребро возврата определим, разрешая уравнения (г, п)+О = 0, (г, п') + О' = 0, (г, n") 4- D" = 0 относительно г:
— (г’ n)(n> х n") + (r> п')(п" х п) + (г, п")(п х п') _
Г ~	(п, п', п")
_ On' х n" + D'n" х n + D"n х п' -	(п, п', п")	
15.89.	Огибающая семейства плоскостей, касательных к обеим параболам. Уравнение семейства:
/а2	4а3 \	4а3
Аа — 2а У — । — -	—— | Z 4---— 0,
\2о	Ьа)	а
где а — параметр семейства.
15.90.	Вектор нормали п = (и 4- v)(isinw — jcosv 4- к) параллелен вектору isinjj — j cosv4-k, который не меняется, если параметр v сохраняет постоянное значение. Отсюда линии v = const — прямолинейные образующие поверхности, а линия и 4- v = 0 — ребро возврата, так как во всякой ее точке модуль вектора п обращается в нуль.
15.92.	Уравнение кривой: и — const; ребро возврата:
х = 2(а — b}u cos2 v, у — 2(a — b)u sin3 v, z — 2и2 ((а — 2b} cos2 v 4- (b — 2а) sin2 v).
15.93.	x — St, у — —3t2/b, z — —t3/ab.
15.94.	Искомая развертывающаяся поверхность огибает семейство плоскостей
Хх 4- Y\/а2 — z2 + Z\/^ —х2 = а2,
V Ь2 где х — параметр семейства.
а(у4 — 2Ьу3 4- а2д2)3/2 2/3|2а2Ь — у3 — ЗЬу21 3
\ 4ат(1+т) . t
16.1.	а) —---------sin-; б)
’	14- 2т 2	7
1	2
16.2.	a) I cosrrl; б) в) —; г) , .—у
71	” 7 6’ ал 7 8а|sin(t/2)|
Ответы и решения
261
к(к + 1) + у>2
2 + <£2
16,3'а) О(1+№; б) a^-l(fc2+V>2)3/2; В) yi + (lnO)2' . |sinrc|	______1 +2m__________ 1
''а (1 + cos2 а:)3/2 ’ 4am(l + m) sin (t/2)’ a ch2 (a;/a)’ y3|2a26 — y3 — 36y2|	. .	.	3
Г) а(у* - 2by2 + a2tP)3/2’ д) |C°S3:1; e) 8a|sin(t/2)|’
16.5. k = 71/1 + sin2
4 у 2
16.6. a) r = (^(sin4t + 2sin2t), — |(cos4t + 2cos2f
6)	r = (a(2t + sin2t), a(2 - cos2t)) — циклоида;
.	(	, f	t \	-A
в)	r =	I a cost,	am I tg	— +	- 1	— asm 11	— трактриса.
\	\	*	J	J
16.7.	9а; - 27 г/ - z + 7 = 0.
16.8.	Для соприкасающейся плоскости находим уравнение сх — ау = = be — ad, не содержащее параметра и. Подставляя в это уравнение выражение для х, у через и, получаем тождество, откуда заключаем, что кривая действительно лежит в своей соприкасающейся плоскости.
16.9.	Соприкасающаяся плоскость: 6а: — 8у — z + З = 0. Главная нормаль: х — 1 —31А, у - 1 —26А, z — 1 + 22А. Бинормаль: х — 1+6А, у = 1 —8А, z = 1 — А.
16.10.	у = 1.
16.11.	Касательная: г = (acost — aAsint, asint + aAcost, 6(A + t)). Нормальная плоскость: ax sin t — ay cost — bz + b2t = 0. Бинормаль: r = — (acost+bAsint, asint—bXcost, bt+aX). Соприкасающаяся плоскость: 6а: sin t — by cost + az — abt = 0. Главная нормаль: г = ((a + A) cost, (a + A) sin t, bt).
16.12.	Касательная: x = 1 + 2A, у = —A, z = 1 + ЗА. Нормальная плоскость: 2а: — у + 3z — 5 = 0. Бинормаль: х = 1 — ЗА, у = —ЗА, z = 1 + А. Соприкасающаяся плоскость: Зх + Зу — z — 2 = 0. Главная нормаль: х = 1 — 8А, у = НА, z = 1 + 9А.
6.14. v =
— sin t, cos t, cos
-i/l + cos2 (t/2)
(— cos21 — 6cost - 1, - sint(6 + cost), —2sin(t/2))
yj(cos21 + 6 cos t + I)2 + sin2t(6 + cos t)2 + 4 sin2 (t/2)
262
Ответы и решения
13 + 3 cos t
I 13 + 3 cos t
— (14- cos t) cos 2 j;
12 cos (t/2) a(13 + 3cost)’
а У 2(1 + cos2 (t/2))3 ’
2
2
x2 a2 a2 + 2x2 u ctg 0
16.16.	v = Сеу/1+iP.
16.17.	а) Пусть a — единичный вектор фиксированного направления.
Тогда (a, v) = cosv (v = const). Так как —(a, v) = (a, v) = О, cts
то к (а, п) = 0. Исключая случай, когда к = 0 (прямые), получаем (а, п) = 0. Следовательно, нормали перпендикулярны фиксированному направлению. Обратно, если п перпендикулярен фиксированному направлению, то (a, v) = const;
б)	пусть ж 0. Из (а, п) = 0 с помощью третьей формулы Френе вытекает (а, Ь) = 0, откуда (a, b) = const. Обратно, дифференцируя эту формулу, получаем (а, п) = 0;
в)	дифференцируя равенство (а, п) = 0, получаем /с (a, v) = х(а, b), fc (а Ь)
откуда — = у2—- = const. Обратно, из первой и третьей формул Френе х (a, v)
следует ~ + — = 0, откуда ~у + b = 0, vv + b = const = а. Умножая к х	к	к
скалярно на п, получаем (а, п) = 0.
к
16.18.	Показать, что для этой кривой — = const и воспользоваться задачей 16.17.
к
16.19.	Показать, что — = 1 и воспользоваться задачей 16.17. Искомый вектор е = v + b = (1, 0, 1).
/л	д2	гр \
16.20.	Согласно задаче 16.17, ( — /?, —г/?,	)
\as	as2	as2 )
ческая индикатриса является плоской кривой. А так как она лежит на сфере, то она является окружностью.
16.31. а) Пусть г = r(s) — уравнение кривой 7 в натуральном параметре. Тогда кривую 7* можно задать в виде г* = r(s) + a(s)n(s), где n(s) — главная нормаль к кривой 7, a a(s) — некоторая скалярная функция. Ясно, что, вообще говоря, s не является натуральным параметром на кривой 7*. Имеем —г* = v + л-г-а + а(—fcv + xb). Далее, из условия as	as
16.15. R = |
X
2
x2 a2
Z2 +2^
= 0, поэтому сфери-
Ответы и решения
263
/d	. \	/d	. Л	т	d	*
вытекает, что ( —г , п > = ( —г , п ). 1ак как вектор —г паралле-\ as /	\ as /	as
I d	\	/ d	\
лен вектору v*, то ( —г*, n* ) = 0. Итак, доказано, что ( —г , п ) = 0. \ ds	/	\ as	/
d ,	d
Подставляя выражение для — г , получаем, что —а = 0, т. е. а = const; ds	ds
б)	из решения предыдущего пункта следует, что — г* = v(l — ак) + ds
+ аяЪ. Продифференцируем это равенство по s и воспользуемся форму
лой Френе. Получим
d	1 /t	, \ d .	, (d \	, о
——г	= кп( 1 —	ак) + V—(1	— ак) + а I х I	b — ахчь
as2	ds	\ds /
Заметим, что в соприкасающейся плоскости кривой у* лежат векторы d с? , „	,	(d X
—г, —г, п . Но по условию п = ±п , поэтому векторы ( —г хп = ds dsA	yds )
= (1 —afc)b —axv, (xn = fv-(l — afc)^ b — a (v~x^ v коллине-\ds1 /	\ds J \ds )
арны. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. (cJ/ds)(l — °k)	a(d/ds)x	d (1 — ak\
—-—— --------=-----------, что эквивалентно равенству —- ( --] =
а — ак	о.х	ds \ я }
1 __
= 0. Отсюда------- — b = const, т. е. ак + Ья — 1, где а и b — некоторые
я
постоянные.
16.33.	Пусть исходная кривая задана в виде г = r(s). Покажем, что в качестве кривой, составляющей с исходной пару Бертрана, можно взять кривую p(s) = r(s) + an(s), где n(s) — вектор нормали к исходной
кривой.
Легко показать, что —р = (1 — a/c)v(s) + axb(s) перпендикулярен as
n(s). Далее, легко проверить, что
-гтр = (1 — ak)kv + а ( —к ds2	\ ds
v + а—яЪ — азРп. ds
Для доказательства того факта, что p(s) = r(s) + an(s) составляет с ис-d ходной кривой пару Бертрана, достаточно показать, что векторы
d2
-r-zp и п компланарны, т. е. параллельны одной плоскости. Для этого as2
(d \	( d? \
достаточно проверить, что векторы ( —р 1 х п и I -г-?р I х п пропор-\as )	\dsz )
264
Ответы и решения
циональны. Легко показать, что
хп = (\—ак)Ъ—аху,
d2 А	/ d А, ( d \
~—^р I хп = —а —-к I b— I —ж ] av, as2 j	\ds j	\ds )
__	d 11 ~~~ ськ \
Так как ------ = b = const, то — I--------) = 0. Это равенство
x	ds \ x J
—a(d/ds)k a(d/ds)x можно переписать в виде —-------— = ---------. Отсюда следует, что
1 — ак	ах
fd \	(d? \
векторы I — р I х п и I -гуР I х п пропорциональны.
\ds /	yds2 J
16.34.	Воспользоваться задачей 16.33. Положить b = 0, а = 1/к.
16.36. Пусть кривая у задана в натуральной параметризации г = r(s). Тогда кривая у* задается в виде p(s) = r(s) + Ab(s). Так как бинормаль кривой 7* параллельна Ь, то
d '
тт	d
постоянная величина. Поэтому —р = v — Ахп и ds
— Ахп + Xxkv — Ах2Ь. Заметим теперь, что
Ах2 = 0. Так как кривые 7 и 7* различны, то х = 0-
= 0. Отсюда -у-А = 0, т.е. А — ds
<Р , i
——р = кп — Ахп — ds2
d к
= 0, поэтому
16.37.	Пусть г = r(s) — натуральная параметризация кривой у. Запишем уравнение кривой у* в виде p(s) = r(s) + A(s)n(s), где n(s) —
d
d к* 7-Р, Ь* ds
= 0, то
вектор главной нормали кривой у, а A(s) — некоторая скалярная функция. Имеем ~р = v + А(—fcv + xb) + Ап. Так как / d	\
\ J~P' п / \ds	/
<Р
вектор —-р = —Xxv + (к — Хк2 — Ах2)п + АхЬ ортогонален вектору ds2
b* = п. Следовательно, к — Хк2 — Хх = 0, т. е. к — A(fc2 + х2).
ds’
= 0. Отсюда А — const и -^-р = v + А(—fcv + xb). Далее, ds
16.50.	Пусть к и х — соответственно кривизна и кручение исходной кривой, параметризованной натуральным параметром s, а к* и х* — соответственно кривизна и кручение ее эволюты. Тогда
у/к2 + х2 , х2 d / к\ |sfc| ’ Х sfc(fc2 + х2) ds \х/
16.51.	У линий откоса отношение — постоянно. Отсюда по задаче 16.50 х
получаем требуемое.
Ответы и решения
265
16.52.	Уравнение подери будем искать в виде p(t) = r(t) + A(t)r'(t). Скалярную функцию А найдем из условия (р, г') = 0. Имеем А = (г, г')	(г, г')
= - Отсюда p(t) = г - r'-V-T2-
1Г1	1гг
( h2t . \	. h2t \
16.53.	х -- a I cost + —--— sint , у = a sint 4- ——— cost , z =
\ a2 + h2 /	\ a? + h2 )
_ a2ht
a2 + h2
16.54.	Если длина окружности цилиндра равна шагу винтовой линии.
16.61.	а) Единичный вектор бинормали b = (—1, 0, 0) параллелен оси Ох. Соприкасающаяся плоскость кривой в рассматриваемой точке совпадает с плоскостью хОу. Центр соприкасающейся окружности находится в точке (0, 1, 0). Радиус этой окружности равен 1. Соприкасающуюся окружность можно задать уравнениями (у — I)2 + z2 = 1, х — 0;
/	1 \ 2	Й1
б) fх - - ] + (у + З)2 + (z - 4)2 — —, 2х - 2у - z - 3 = 0.
16.62.	Воспользуемся задачей 16.61. Радиус кривизны кривой равен
(1+ 4t2 + 9t4)3/2
~ (36t4 + 36t2+4)!/2-
Далее,
ds dt ds ’
= (i + 4t2 + 9t4)1/2. dt
+ (el — e-t)2! в) 3\/2е4-
Отсюда получаем, что радиус соприкасающейся сферы равен
16.63.	а) 21+^ а
h4
16.65. Винтовая линия, которая лежит на цилиндре х2 +у2 = и имеет а2
шаг 1.
16.67.	Пусть рассматриваемая кривая имеет параметризацию х = x(t), У = у($, z = z(t). Рассмотрим функцию
V?(t) =
x(t) - z(t0) y(t) - y(t0) z{t) - z(t0) z'(^o) y'(to) z'(t0) ^"(to)	z"(t0)
Разложим a:(t), y(t) и z(t) в ряды Тейлора и в выражении для функции
266
Ответы и решения
tp(t) коэффициент при (t — to)3 приравняем к нулю. Получим
z"'(t0)	y"'(t0)	z"'(t0)
x"(t0)	y"(io)	z"(t0)
z'(to)	y'(t0)	z'(t0)
= 0.
Следовательно, кручение рассматриваемой кривой равно 0.
1М8'R =г + ацДП^п>((г’ ”>п “<Г| v,v)'
16.69.	R - г +  ——-* Х Т, ,--—Г-7 (1г' х rlfr'l - (г,
16.70.	R = r+^Ь—(n(e, n)— v(e, v)). Если кривая задана уравнением г = r(t), то
R = г + ^7Р7(1Г' х е1Н - <г'> ВН-
ЕСЛИ кривая задана уравнением у = /(т), то
v _	(m-Z/'(a:))2	_ (m - //'(т)) (t + т/'(ж))
2/"(т) J (Х)
(m-lf'(x))2 2/"(а:)
2/"(т) (m - lf'(x)) (I + 2f"(x)
у = f(x) +
где е = (/, т).
16.72.	а) Пусть эллипс задан в параметрическом виде: x(t) = a cost, y(t) = bsmt. Тогда эволюта эллипса задается в виде
. . а2 - Ь2 3	Ь2 — а2 . 3
x(t) =-------cos31, y(t) = —-— sin31.
a	b
(a2 sin21 + b2 cos21)3/2
Радиус кривизны равен----------------------. Чтобы найти уравне-
ab
ние эвольвенты эллипса, запишем выражение для длины дуги эллипса:
si
a2 sin2 t + b2 cos21 dt.
Заметим, что этот интеграл в элементарных функциях не берется. Отсюда получаем уравнение эвольвенты:
. . . asint , .	... bcost
х = a cost + ls{t) — С) , у = bsmt — (s(t) — С) ут- .
s (t)	s (t)
Здесь С — произвольная постоянная;
Ответы и решения
267
ется в виде
б)	пусть гипербола параметризована следующим образом: x(t) = = a ch t, y(t) = b sh t. Тогда уравнение эволюты имеет вид
а2 + б2 з	а2 + Ь2 3
х =---------ch3 у _-----------sh3 t
а	Ъ
D	(а2 sh21 + b2 ch21)3/2
Радиус кривизны гиперболы равен  ------------------—;
ab
в)	параметризуем параболу следующим образом: x(t) = t, y(t) =
t2	x3	St2
= — • Эволюта задается в виде х = —у = p-f-------. Радиус кривизны
2р	р2	2р
/ t2 ч 3/2 параболы равен р ( 1 + — )	;
\ Р J
г)	эволюта этой кривой задается в виде х = — атг + a(t' — sin f), у = = — 2а + а(1 — cos /'), t' = t = тг. Радиус кривизны данной кривой равен R = 4а sin х ;
2
д)	Указание. Перейти к декартовым координатам.
Уравнение эволюты имеет следующий вид: х = -(cos^ — cos2 / + 2), а
у — -(1 — cos р) sin р. Эта кривая является кардиоидой. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену р = тг — t и произвести замену координат X = —
4 I ¥>| равен -a cos ;
е)	эволюта: х = х — ash —ch—, у = 2ach—. Радиус кривизны: „	а а	а
г\
a ch —. Эвольвента цепной линии, проходящая через ее вершину, зада-a
Л t \	. \
a I In tg - + cos t \ , a sm t j, т. e. является трактрисой;
ж)	эволюта:
2 \
х — -а I, Y = у. Радиус кривизны исходной кривой О /
ар cos р
Х= р2+2
Радиус кривизны:
Эвольвенты:
а(р2) .	ар sin р	а(р2 + 1)
----sin у>, У =	—ТГ + -^5—п cos р. р2 + 2	<г2 + 2 р2 + 2
а(1 + v>2)3/2
2 + ^2	'
. cos р — р sin p x = cup cos <p — (C + s)-.	—
V1 + V>2
. sin p + p cos p у = apsmp - (C + s)------,	—.
yl + pi2
268
Ответы и решения
где s =	+ <р2 + In (<р + у/1 + <р2)), а С — произвольная по-
стоянная.
16.73.	Эволюта логарифмической спирали задается в виде
х — — av In a sin <p, у = a^lnacosip.
Легко проверить, что эти формулы можно переписать следующим образом:
/21па)а7Г/2+*’ cos
у — (а lna)a”/2+v> sin
Теперь легко проверить, что эти уравнения задают логарифмическую
спираль с тем же самым параметром а, повернутую относительно исход-7Г
ной на угол —.
16.75.	х = a cos t + {at — С) sin t, у — a sin t — {at — C) cos t, где C — произвольная постоянная.
16.76.	8г sin -.
2	t
16.78.	Зададим астроиду параметрически: x = 7? cos3 —, у =l?sin3 —.
Эволюта:
, t ( nt 0*2^1 x = R cos - I cosz - + 3 sin - , 4 \	4	2/
f £ . о 7	*'	9^1
у = jRsm- (sin - + 3cos - 1 .
Ортогональным преобразованием X =	~У), Y =	+ ^)> T’e‘
7Г поворотом на угол —, уравнения эволюты приводятся к виду
__ о (t 7Г \	. о ( t	7Г
х = 2Rcos3 ( - + — ) , у = 2jRsin3 ( - + -\4	4/	\4	4
16.81.	Натуральные уравнения таких кривых: к = ----где С —
—8 О произвольная постоянная.
16.82.	Пусть кривая 7 задана в натуральном параметре уравнением г = = r(s). В этом случае кривая 7* задается уравнением p(s) = r(s) + + —n(s), где n(s) — вектор главной нормали к кривой 7. Заметим, что, вообще говоря, s не является натуральным параметром на кривой 7 .
Ответы и решения
269
Имеем:
р' = Гь’
к
„ d (х\ х2 *
Р *Р = 7^-V. fc2
к2
Отсюда к* = к, я* = —.
1 (г', г", г'")	1
16.84. - ——-----г~; в частном случае: -fclxl.
6 |г' х г"|	6
16.86. Показать, что асимптотическое направление не может быть пер
пендикулярно оси вращения.
16.98. Надо взять произвольную дугу винтовой линии с параллельными касательными в концевых течках и соединить эти точки плоской кривой. Концы дуги винтовой линии, конечно, сначала надо немного продлить так, чтобы кручение непрерывно перешло в нуль.
16.104. р = ip(s)<p'(s) и <7 = y>(s) + const.
17.1.	Пусть a, b, с, x и (3 — катеты, гипотенуза, перпендикуляр на катет а и угол, противолежащий стороне b соответственно. Тогда по теореме Q
синусов: shx = sh - sin/?, а с другой стороны,
Ь Ь с с sh6 = shesin/?, 2sh - ch - = 2sh - ch - sin/?.
ch |
—Остается заметить, что функции ch и sh Ch2
Таким образом, -—г = sh2 возрастают на R+.
17.3.	а) тг; б) тг/2; в) тг/2; г) тг/6; д) тг/2; е) тг/2; ж) тг/4.
17.4.	4arcsin — —. у/5	2
17.6. тг/2.
1Г.7. a) 1
2
+ (Ь2 — a2) sin u cos u
1
v- —
V6
dudv +
1
4
sin2 u) + c2
dv2',
'27U
Ответы и решения
б) , 2 4 4 (°2(v2 _ -1)2 + 4&2г;2 +	+ i)2)гй/2) +
^7/ i- V)
+ 2(a2(u2 - l)(v2 - 1) - 462ua + c2(u2 + l)(t>2 + 1)) dudv +
+ 7-Г-^(°2(и2 - !)2 + 4b2«2 +	+ !)2)
(u + v)4	7
1 / 1\ 2
в) - I v--I (a2 sin2 u + b2 cos2 u) du2 +
4 \ v J
+ ~(b2 — a2)sinucosu (v —dudv +
2	\ vA J
+ - \ (1 + -7^ (a2 cos2 u + b2 sin2 u) + c2 fl —di>2;
4 \ \ v^ j	\ v2 J I
r) (psin2 u + q cos2 u)v2 du2 + 2(q - p) sinu cosududv +
+ (p cos2 u + qsin2 u + v2) dv2-,
д) (P + 4 + 4v2)du2 + 2(p — q + 4uv)dudv + (p + q + 4it2)dv2-,
e) (a2 sin2 u + b2 cos2 u) du2 + dv2-,
. (a2 (	1 \2 Ь2 /	1\2V, о
®) 7 ( 1-----7)	+ T ( * +	“7 I I	du2 + dv2.
1 4 \	u2y 4 \	v2 J	)
17.11. Сфера: ds2 = du2 + R2 cos2(u/R) dv2.
Top: ds2 = du2 + fa + bcos dv2.
Катеноид: ds2 = du2 + (a2 + a2) dv2.
Псевдосфера: ds2 = du2 + e-2u/Q dv2.
Указание, u — натуральный параметр меридиана.
17.12. ds2 — du2 + e~2u^adv2. Полагая u — v, v = aeu!a, получаем ds2 = ^r(du2 + dv2).
v1
17.16. Пусть r = F(p) — искомая зависимость. Имеем:
ds2 = (/'2 + g'2) dr2 + f2 d<p2 = (f'2 + g'2)F'2 dp2 + f d?2 =
= 1S.2(du2 + dv2) — IS.2(dp2 + p2 dtp2),
P f
откуда получаем уравнение —— =	. д =, решая которое, полу-
Р(г) \/f'2 + д'2
чаем искомую связь
1П'>=/—7н------------*'
Ответы и решения
271
Применение к катеноиду этой формулы дает р = ez и, положив и = = pcostp, v = psintp, получаем
1
Х 2
и
U2 + V2
1 ( 1
= - Re I w + — 2	\	w
1 ( v \ z = i In (и2 + v2) = Relnw,
1	„ f . г \
= - Ke I — iw + — I,
2	\ w J
w = u + iv, 0 < |w| < oo.
17.18. Пусть поверхность M2 С К3 задана уравнениями Xi = Xi(p, q), i = 1, 2, 3, а переменные p и q изменяются в некоторой области на плоскости. Пусть функции хг = х,(р, q) — вещественно-аналитические. Пару (р, q) можно рассматривать как координаты точки на поверхности М2. Кривая С на М2 задается уравнениями
p = p(t), q = q(t), a^t^b.
Элемент длины дуги выражается через вектор х = (»i, Х2, жз):
ds2 = (dx, dx) = (хр dp + х,; dq, xp dp + xQ dq),
или
ds2 = (xp, xp) dp2 + 2(xp, xQ) dpdq + (xQ, xQ) dq2 =
= E dp2 + 2F dpdq + G dq2,
где E = (xp, Xp), F = (xp, x,), G = (x„ x,).
В силу того, что элемент длины ds2 всегда положителен, W2 = EG — — F2 также положителен. Найдем систему координат (п, г;) с элементом дуги ds2 = Х(и, v)(du2 + dv2). Имеем:
F-iW у/Ё
dq I .
+
Предположим, что мы можем найти такой интегрирующий множитель о = <71 4- г<72, что
= du + i dv.
Тогда
F-ilVA ,	.,
__— do I = du — г dv
Ve )
272
Ответы и решения
и, наконец, |<т|2 ds2 = du2+dv2. Полагая а2 = 1/А, мы получаем искомые изотермические координаты (и, и). Таким образом, мы получили изотермические координаты, найдя интегрирующий множитель, который .—	F + iW
превращает выражение x(Edp-\-j=—dq в полный дифференциал.
V Е
Дифференциал du + i dv	может	быть	записан в виде
,	. ,	(ди	.dv\	,	(ди ,dv\	,
аи + гаи —	I ——(-17— I	dp +	I — + ITT" I	dq.
\dp	dp)	\dq dq)
Далее, du .dv /-= du dv (F + iW) - + i-=aVE, +г --------------------------^-2.
dp dp	dq dq y/E
Исключая ст, получим
(du ,dv\	/ri ,Tin (du .dv\
+ г = (F + iW) x I — +z— , dq dq;	\op	op J
или
E—^w— + f-
dq dp dp’ dq dp dp'
Разрешая эту систему относительно неизвестных ди/др и dv/dq, получим
dv _ F(du/dp) - E(du/dq)
др ~	у/EG - F2 ’
Аналогично,
ди _ E(dv/dq) — F(dv/dp)
~ ~ x/EG - F2
dv _ G(du/dp) — F(du/dq) dq ~	у/EG - F2
д ( F(du/dq) - G{du/dp) di> \ W
du _ F(dv/dq) — G(dv/dp) др ~	у/EG - F2 ’ dq ~ x/EG - F2
Следовательно, и удовлетворяет уравнению
д ( F(du/dp) — E(du/dq)
dq V W
которое называется уравнением Бельтрами-Лапласа. Если известно второе семейство изотермических координат (х, у) в окрестности точки, то ds2 = p(dx2 + dy2). Используя координаты (х, у) вместо координат . .	„ _	„	dv ди dv ди
(р, 9), получаем В = G = р, F =
Итак, получены уравнения Коши-Римана, откуда видно, что функции иии являются сопряженными гармоническими функциями, а функция f = и + iv — аналитической от z = х + iy. Уравнение Бельтрами
Ответы и решения
273
принимает вид известного уравнения Лапласа d2u/dx2 + d2u/dy2 = 0. Говорят, что комплекснозначная функция /(р, q), определенная на М2, называется комплексным потенциалом на М2, если ее действительная и мнимая части удовлетворяют уравнениям (*). Таким образом, действительная и мнимая части комплексного потенциала на многообразии М2 дают изотермические координаты в окрестности каждой точки на М2. Отметим, что эти координаты — локальные: они не обслуживают, вообще говоря, все 2-мерное многообразие; при переходе от одной точки к другой комплексный потенциал будет меняться.
17.19. а) Рассмотрим на поверхности сферы некоторую кривую tp = <р(0). При движении по этой кривой стрелка компаса образует с направлением dw
движения угол чр, определяемый соотношениями tg^ = sin О—. Здесь UU
угол чр измеряется от оси у по часовой стрелке. На карте мы получим dy	. ! , тг\ 1
— = tg I чр + — I =---Из этих двух соотношений следует
ах \	tg^y
	_ dx/dS _ dx/dO + (dx/dp) (dtp/dO)
dO dy/dO dy/dO + (dy/dtp)(dtp/df)) ’ (dy„ dy d<p\ dtp . „ dx n	dx dtp
---	---Sin0 = — — 6 — — tp —. dO	ds	ds dO
ds Q + ds^ dO
Поскольку это соотношение должно выполняться в рассматриваемой точке при любом значении dtp/dO, то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях производной dtp/df) в правой и левой частях, получим
ду П
—tp = 0, у = у(0),
дх
—0 = 0, х = x(tp), ds
. dy	dx
-smo—e = —tp. ds	ds
Из двух предпоследних соотношений следует, что левая часть последнего зависит только от 0, в то время как правая зависит только от tp, поэтому обе части этого соотношения должны быть постоянными. Эту постоянную мы положим равной единице. Таким образом, в проекции Меркатора отображение задается формулами
Г dO	0
x=tp, у = - / —— = In ctg-;
J sm 6	2
19 Зак. 359
274
Ответы и решения
б)	ds2 = d62 + sin2 f) dip2 = sin2 0{dx2 + dy2) =
ch у
j 2 dv2 v2 dp2
17.20.	ds2 = —--- 2 + ---------yry.
(1 — v^c2)2	\ — v2/c+
17.21.	ds2 — dy2 + sh2
_ „„ ,2 dp2 + p2 dip2
17.22.	ds2 = ;
(i-p2)2
18.1. Имеем:
r„ = (ashucosv, ashusinv, cchu),
r„ = (—a ch u sin v, a ch ucosv, 0),
r„ x rv = (—acch2 ucosv, —acch2usinv, a2chushu),
|ги x Гц | = a ch u\/c2 ch2 u + a2 sh2 u,
r„ x r„
11 = 1------Г =
|ru X г„|
=	-1	. =(—cchucosv, —cchusinv, ashu),
Vc2 ch2 u + a2 sh2 u
ruu = (a ch ucosv, a ch u sin v, cshu),
ruv — (—ashusinv, ashucosv, 0),
rvv = (—a ch ucosv, —a ch usinv, 0),
L = (r„u, n) = .	—	ac(— ch2 u cos2 v -
yj c2 ch2 u + a2 sh u
i 2	-2	i 2	\
— ch u sin v 4- sh u) =-
V c2 ch2 u + a2 sh2 u
M = {ruv, n) =	-	((—cchucosn)(—ashusinn) +
V	c2 ch2 u + a2 sh2 u
+ (—cchusinn)(ashucosw)) = 0,
N = (rvv, n) = .	I—; . cchttcosn)(—achncosn) +
V	c2 ch2 u + a2 sh2 u
+ (—cchwsinw)(—achu sinw)) =	. . :-==	- ==.
у/c2 ch2 u + a2 sh2 u
Ответ: . 	-	..~{—dPu + ch2 udPv).
yj c2 ch2 it + a2 sh2 u
18.2.	Пусть для определенности u > 0. Имеем:
ru — {cosv, sinn, 2u), r„ = (—usinv, ucosv, 0),
ru x r„ = (—2u2cosv, —2u2sinv, u), |ru x rv| = ил/l + 4u2,
Ответы и решения
275
г«хг,	1	/ о	о •
П = :-------7 = .	—ZUCOSV, — 2usinv, 1),
|г„ х г„|	у/1 + 4и2
ru„ = (0, 0, 2), г„„ = (-sinv, cosv, 0), rm = (-ucosv, —usinv, 0), L = (r„„, n) =
M — (ruv, n) = .	-((—2ucosv)(—sinv) + (—2usinv)cosv) = 0,
Vl + 4u2
N = (?vv, n) =	((—2u COS v) (—U COS v) +
V1 + 4u2
2u2
+ (—2usinv)(-usinv)) = . ..... :.
V1 + 4u2
2
Ответ: ........(cPu + u2 d2v).
Vl + 4u2
18.3.	Имеем:
Гц = (0, 0, 1), r„ = (—.Rsinv, Rcosv, 0),
ru x Гц — (—Rcosv, -Rsinv, 0), |r„ x rw| = R,
Ги X Tv .	•	r\\
n = --------7 = (— cosv, — sinv, 0),
|r„ X r„|
ruu = (0, 0, 0), ruv = (0, 0, 0), rvv = {-Rcosv, —Rsinv, 0),
L = (ruu, n) = 0, M - (ru„, n) = 0,
N — (rvv, n) = ((—cos v)(—Rcosv) + (-sinv)(—Rsinv)) = R. Ответ: RcPv.
18.4.	Пусть для определенности u > 0. Имеем:
ru = (cosv, sinv, k), rv = (—usinv, ucosv, 0),
r„ x rv = (—kucosv, —kusinv, u), |r„ x г„| = uVl + k2,
n = -Гц X Г’'- =  ..	(—fccosv, — /г sinv, 1),
|гихГ1,| Vl + F
r«u = (0, 0, 0), ruv = (-sinv, cosv, 0),
= (—ucosv, —usinv, 0), L — {ruu, n) = 0,
M = (rutl, n) = ------- ((-fccosv)(-sinv) + (—кsinv)cosv) = 0,
Vlj+ k2
N = {rv„, n) = .	((—fccosv)(—ucosv) +
Vl + fc2
Ответ:
kucPv y/l + k2'
+ (—к sin v)(—usinv))
ku
Vl + k2
18.5.	Имеем:
г = (ucosv, usinv, /(v)), ru = (cosv, sinv, 0), i\, = (—usinv, ucosv, /')>
19’
276
Ответы и решения
Е = {ru, ru) = 1, F - (г„, rv) = о, G = (г„, r„) = u2 + (/')2, гахг1; = (/'sinV, -/'cosv, u), |ru xrt| = y/u2 + (/')2, n = r" x r*. =	*	(/'ant;, —/'cost;, u), r„„ = (0, 0, 0),
|ruxr,;| 0? + (/')2
ruv — (—sint;, cost;, 0), rvv = (—ucosv, — usinw, /"),
-/'
L = (r„u, n) = 0, M = {ruv, n) =	,
y/U2 + (/')2
АГ , V	’V" T, LN-M2	(/')2
_ {rvv,n) _ ^2+-^, л — EG-F2 “	(u2 + (/')2)2’
Таким образом, К = A1A2 < 0 и, следовательно, главные кривизны Ai и А2 имеют разные знаки.
18.6.	Пусть v, n, b — репер Френе данной кривой. Тогда поверхность задается уравнением r(s, u) = p(s) + ttb(s), где s — натуральный параметр кривой р. Тогда rg = v — имп, г„ = b, Е = (г5, rs) = 1 + и2*2, F = (гя, г„) ~ 0, G = (г„, ги) = 1, rs х г„ = —n - tizv, |rs х rj = = л/1 + U2X2,
rs X г„	1 z
m _ -------- —------ Aumv + n),
|rg X ru| %/l + U2X2
rss = кп — uxn — ux(-kv + xb) = uktcv + (k — uk)n — ux2b,
,	T .	. ku2x2 + k — ui<
rSu = —kn, r„„ = 0, L = (rss, m) =----A „ _—,
Vi + u2>c2
M = (rs„, m) = —, X —, N = (ruu, m) = 0, V1 + и2я2
LN- M2	x2
~ EG-F2 “ (l+u2x2)2’
EN + GL - 2MF к + fctz2x2 - ux EG-F2 ~~ (l+u2x2)3/2 ‘ x2	к + Ы2х2 — их
Ответ: К = - +	,	=	(1 + м2х2)з/2 •
18.7.	Пусть v, n, b — репер Френе данной кривой. Тогда поверхность задается уравнением r(s, u) = p(s) + tin(s), где s — натуральный параметр кривой р. Тогда гя = v — kuv + uxb = (1 — ku)v + uxb, ги = n, E = (rs, rs) = (1 - ku)2 + u2x2, F = (rs, ru) = 0, G = (ru, ru) = 1,
rs x ru = —uxv + (1 — Aru)b, |rg x ru| = \/(l — ku)2 + u2x2,
Ответы и решения
277
m =
rs х гц _____________1_________
|rs х Г„|	^/(1 — ^U)2 + W2X2
(—uxv + (1 — ки)Ъ),
rss = —ukv + A:(l — ku)n + ui<b — ux2n =
= —kuv + (k — k2u — x2u)n + xttb,
,	,	,	nr/ \ (br ~ fcx)u2 + xu
rsu = —kv + xb, r„„ = 0, L - (r„, m) =
V(1 — kti)2 + u2x2
M - (rsu, m) =	* ;	=;, N = (r„„, m) = 0,
у (1 — ku)2 + u2x2
_ LN-M2 __________________x^________
EG — F2 ((1 — Ы)2 + u2x2)2
H _ EN + GL- 2MF _ (fcx - fcx)u2 + xu
EG — F2 ((1 — ku)2 + iz2x2)3^2
_	x2	rT (fcx — fcx)u2 + xu
Ответ: К —----------------------H = —---------------------
((1 - ku)2 + u2x2)	((1 - ku)2 + u2x2) '
„	(a,	\ b, . uv\ fa b v\
18.8.	Имеем: r = -(u - v), -(u + v), — , r«=	,
-d	X J	Lt t. I
(Cl Ъ \	f-, i	«	1 r q ,9	9»
~2’ 2’ 2)’ E = (Tu’ = j(fl +b +v )’
F = (ru, rv) = ~(b2 - a2 + uv), G - (tv, rv) = ^(a2 + b2 + u2),
ru x rv = ~{b(u — v), -a(u + v), 2ab),
_ ru x Гц _ (b(u — v),—a(u + v), 2ab)
|r„ x r„| i/a2(u + v)2 + b2(u — v)2 + 4a2d2 ’
ruu = (0, 0, 0), ruv = ^0, 0, 0, г1>г, = (0, 0, 0), L = (rutl, n) = 0,
M = (ruv, n) =	.	, N = (rOT, n) = 0.
\/a2(u + v)2 + b2(u — v)2 + 4a2b2
Запишем дифференциальное уравнение, определяющее линии кривизны
поверхности:
dv2
—du dv du2
F	G
M	N
= -M(Gdv2 -Edu2) =
ab((a2 + b2 + v2) du2 — (a2 + b2 + u2) dv2) 4y/a2(u + v)2 + b2(u — v)2 + 4a2b2
278
Ответы и решения
Отсюда получаем
du2 а2 + Ь2 + и2
dv2
a2 + b2 + v2’	^a2 d
arsh . U 	= ±arsh
du
\-b2+u2 v
dv
sh I arsh . U - d2 arsh . V-—.... ) = sh C, к y/a2 + b2 y/a2 + b2J
u у/a2 +b2 + v2 y/a2 + b2 + u2 v y/a2 + b2 y/a2 + b2 y/a2 +b2 y/a2 + b2
тан как sh (x ± y) = shxchy ± ch т shy и ch ж = vl + sh2 x. Таким образом, линии кривизны данной поверхности задаются уравнением
u\/a2 + b2 + v2 ± vy/a2 + b2 + v2 = const.
18.9.	Как известно (см. соответствующие задачи для геликоида в первой части книги), имеем Е — (ru, ru) = 1г F = (гп, г„) = О, G = (rv, г„) = а2 + u2, L = (г„„, п) = О, М = (ruv, п) = —-====, у/а2 + и2
N = (rvv, п) = 0. Запишем дифференциальное уравнение, определяющее линии кривизны поверхности:
	dv2	—dudv	du2	
0 =	Е	F	G	= -M(Gdv2 -Edu2) =
	L	М	N	
a(du2 — (а2 + u2)dv2) у/а2 + и2
J 2	du2 J	du	П
Отсюда получаем dv2 = —х------~, dv — ± .	-=. Следовательно,
а2 + и2	у/а2 + и2
v = ± In (и + у/а2 + и2) + С.
18.10.	Согласно задаче 18.9, линии кривизны геликоида задаются уравнениями v = ± In (и + у/а2 + и2) + С. Как известно, вторая квадратич-ad2u Л
ная форма катеноида имеет вид —z----х +ad v. 1огда значение второй
и2 + а2
квадратичной формы на касательных векторах к кривым, являющимися образами линий кривизны при изометрии, равно
а	(	1
---2 ।	+а (	/ 2	'? и2 + а2	\ у/а2 + и2
2
= 0.
Ответы и решения
279
Таким образом, линии кривизны при наложении переходят в асимптотические линии катеноида.
18.11.	Из условия следует, что p(s) — плоская кривая. Пусть n, b — векторы нормали и бинормали кривой p(s). Тогда а = ±Ь. Будем считать, что а = Ь. Отсюда следует, что v х n = a, v ха = —n, n х а = v. rs = v + kgv = (1 + kg)v, ru = fa - g'n,
E = (rg, rg) = (1 + kg)2, F = (rg, ru) = 0,
G = (ru, r„) = (f')2 + (д')2, rg x r„ = -(1 + kg)g'a - (1 + kg)f'n,
m =	=----/ --'1 ==(/'n + <fa),
|ГЯ X	y/(f)2 + (д')2"
rss = k'gv + fc(l + kg)n, rgu = kg'v, ruu = fa - g"n,
L = (r„, m) =------+ M = (r m) = 0
a/(/')2 + (s')2
f'n" _ f"Q'
N = (r„„, m) = -f9 =1 =, ?(D2 + (</)2
Уравнения линий кривизны имеют вид
du2 —ds du ds2
0 =
E
L
F	G
M	N
= (EN -GL) duds.
Отсюда видно, что линиями кривизны являются кривые, определяемые уравнениями s = const, и = const.
18.12.	Имеем: а, б) rg = v — а cos <pkv = v(l — ак cos <p),
rv = —a sin + a cos <pb,
E — (rg, rg) = (1 - afccosip)2, F — (rg, r^,) = 0, G - (r^,, rv) = a2, rs x rv = —a(l — ак cos <p) sin ^>b — a(l — ак cos <p) cos^>n,
Г X г
lr5 x rv| = a(l — akcostp), m = f------— = — bsin</? — ncos<p,
|rg x rj
rgg = nfc(l — ak cos tp) — vak cos <p, rsv = vak sin <p, rw = — nncos<p — basing, L = (rgg, m) = — k(l — akcosp) costp, M = (rsv>, m) = 0, N = {rvv, m) = a,
LN — M2	kcos<p
~ EG-F2 ~ “a(l-afccos^)’
280
Ответы и решения
EN + GL- 2MF _
EG - F2
(1 — ак cos р)2а + а2(—А:(1 — ак cos р) cos 99) _ 1 — 2ак cos р а2(1 — ак cos р)2	а(1 — ак cos р) ’
в) запишем уравнение на линии кривизны:				
	dp2	—dsdp	ds2	
0 =	Е	F	G	= (EN — GL) ds dp = a(l — ak cos 99) ds dp.
	L	М	N	
Так как 1 —		ак cos 99	> 0,	to dsdp = 0 и линии кривизны имеют вид
s = const, р = const.
18.13. Имеем:
rs = v + а(—fcv + xb) cos99 — axnsinp =
= v(l — ак cos р) — пах sin p + box cos 9?,
rv = —па sin 9? + ba cos p, E — (rs, rs) = (1 — afccos^)2 + a2x2,
F = (rs, rv) = a2x, G = (rv, rv) = a2,
rs x rv = v(—a2x sin 9? cos 9? + a2 x cos 9> sin 99) +
+ n(afc cos p — l)a cos p + b(aA: cos p — l)a sin p =
= —a(l — afccos9?)(ncos9> + b sin 99),
rs x rv
in = -----------*— = —n cos 99 — b sm 99,
rss = v(—akcosp + аки sin p) +
+ n(—axsin99 + fc(l — akcosp) — аи2 cos99) 4- b(axcos99 — ax2 sin99),
rsv> = vafc sin p — naxcos p — baxsin p,
rvv = — na cos p — basing, L = (rss, m) = ая2 — к cos p + ak2 cos2 p, M = (rgv>, m) = ax, N = m) = a.
Запишем уравнение на линии кривизны:
dp2
0= Е
—ds dp ds2
F	G
M	N
Ответы и решения
281
dip2
=	(1 — ак cos ip)2 + <?х2
ах2 - к cos ip + ак2 cos2 ip dip2	—ds dip ds2
(1 — ak cos ip)2 + d2x2	<?x a2
к cos ip — —	0	0
a
—ds dip ds2 a2x	a2	=
ax	a
= a(l—ak cos ip) (dip+x ds) ds.
Так как 1 - ak cos ip > 0, то имеем ds = 0 или — = —x. Следовательно, ds
линии кривизны имеют вид s — const, ip = — f xds + const.
18.14.	Имеем:
Tv =
E = (ru,
F = (r„,
Зг? — i Guv, 2v ), r, О
Зг? - 3г? - i
3г;2 — 3u2 — i
2
+ 36г?г? + 4u2 =
Guv, 3u2 — 3v2 —	2u^,
3u2 + 3г;2 + i О /
2
Guv + Guv (3г? — 3г;2 ~	+ 2v2u = 0,
\	Of
G = {rv, rv) = 36 г? г? + Ah? — Зг;2 —
2
+ 4г? =
3u2 + 3г?
-V
3/ ’
ru x r„ =
2	2
6 г? г; + 6г;3 + -г;, 6г/3 + 6г/г? + -
|ru X г„| =
Зг/2 + Зг;2 +
О
2
G+3“2+^)G
— Зг?
гц х rv = (2г;, 2и, 1/3 - Зг? - Зг;2) |ru х г^| Зг? + Зг? + 1/3
fuu = (—Gu, Gv, 0), rut) = (6г;, Gu, 2), rvv = (би, —6г;, 0),
r .	.	— 6u2v + 6г;2гг
L = <Г““’ "> = 3«» + 3^ 4-1/3 = °’
м = {ruv, n) =
6г/2г/ 4- 6г/2гг + 2(1/3 — Зг/2 — Зг?) Зг? + Зг? + 1/3
= 2,
N = {rvv, п) =
6гг2г; — 6г/2гг Зг? + Зг? + 1/3
18 Зак. 359
282
Ответы и решения
Запишем уравнение на линии кривизны:
dv2
Е
L
—dudv du2
F	G
M	N
/	1 \
= 2 I 3u2 + 3v2 + - j (d2u — d2v). \	О /
Отсюда получаем
d2u — d2v - (du + dv)(du — dv) = 0 => u ± v — const.
Ответ: u ± v = const.
18.15.	Так как E = (ru, ru), to ru — у/Ё1, |1| = 1. Аналогично, rv = y/Gm, |m| = 1. Гауссова кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой и второй квадратичных форм следующим обра-LN - М2
зом: К = ------——, где L = (ruu, n), М — (ruv, n), N = (rvv, п);
Е
ruu = ~ч=1 + Так как (ги, п) = 0, то L = у/Ё(^и, п). Так как V Е
(1, 1) = 1, то (lu, 1) — 0 и отсюда lu = pirn + gin.
Аналогично, N — y/G(mv, п), my = р21 + ?2П-
Тогда LN = y/EG(Lu, n)(mv, n) = y/EGqyq^ — y/EG(lu, mv).
Точно так же показывается, что
(Iu, Hly) (ly, ГПу)
M2 = VEG{lv, mu)
EG
(lu, mv) = (lu, m)v - (lut), m), (ly, mu) = (ly, m)u -	m).
Тогда К = (1ц’~
EG
д .   д f (гцц, rv)\   д f rut>)\  0v'Iu’ т' ~ dv\ y/EG ) ~ dv V y/EG J ~
_ Id f (d/dv){ru, ru)\ _ Id / dE/dv\ --2дгД y/EG J ~ ~2dv \ y/EG J '
В этой выкладке мы два раза воспользовались тем, что (ги, г/) — 0. Аналогично, д .	.	1 d /dG/du\
— (к, m) -	J •
В итоге получаем
к -	1 Г д (dE/dv\ + d fdG/du\ I
2y/EG t dv V y/l/G J du \ y/j/G J J '
Ответы и решения
283
18.16.	Воспользуемся формулой для гауссовой кривизны поверхности с квадратичной формой ds2 = Edu2 + Fdv2 (см. задачу 18.15). Гауссова кривизна такой поверхности равна
к_ 1	(д_ fdE/dvX д (dG/du\]
2y/EG I dv V yfEG ) + du \	) J ’
Полагая в выражении для кривизны Е = 1, получаем
к ______\_d_ fdG/du\ _____l__d_ (2dVG\ _ (tf/du^y/G
2y/G du y/G J 2y/G du { du J	y/G
n	(d2/du2) y/G
Ответ: К =--------т=----.
Vg
18.17.	Для вычисления кривизны можно воспользоваться формулой, выведенной в задаче 18.16. Имеем G(u, v) = e2u, откуда
1 д2е “ du2
18.18.	Показать, что через метрику выражаются скалярные произведения (г0-, rfc) и разности (гу, гы) - (rik, г-ц).
20.3.	Нет, так как в противном случае на листе Мёбиуса существовало бы непрерывное поле нормалей. В самом деле, так как гауссова кривизна положительна, то поверхность локально лежит по одну сторону от касательной плоскости. Поэтому можно определить гладкое поле «внешних нормалей», что противоречит неориентируемости листа Мёбиуса.
20.5.	а) При указанных условиях можно определить гладкое поле «внешних нормалей» (см. задачу 20.3), что противоречит неориентируемости поверхности.
20.6.	а) У к а з а н и е. Из бесконечности придвигать плоскость до момента соприкосновения с поверхностью. Рассмотреть гауссову кривизну поверхности в точке касания.
б)	Указание. Выбрать сферу достаточно большого радиуса так, чтобы она содержала поверхность внутри. Затем непрерывно уменьшать радиус сферы до момента соприкосновения с поверхностью. Рассмотреть гауссову кривизну поверхности в точке касания.
20.7.	Указание. См. задачу 20.6.
18*
284
Ответы и решения
20.8.	Указание. Применить теорему Гаусса-Бонне.
20.10.	а) Рассмотреть часть сферы х2 + у2 + z2 — R2, |z| а, а < R. Отождествить противоположные точки.
б) Указание. Найти поверхность вращения постоянной отрицательной кривизны, инвариантную при центральной симметрии относительно начала координат (см. задачу 18.21). Отождествить по подходящему действию группы Z/2.
Другой вариант решения. Рассмотрим на прямоугольнике П: —а и а, —метрику, ds2 = ch2 vdu2 + dv2. Отождествим теперь стороны и — —а и и = а по равенству длин склеиваемых отрезков так, чтобы получился лист Мёбиуса. Легко показать, что на листе Мёбиуса получится аналитическая метрика кривизны —1. При достаточно малых b эта метрика реализуется на «катушке» Миндинга, имеющей уравнение
V
х = chvcosu, у = chvsinu, z =	\/l — sh21dt.
о
V2 U2
20.14.	j dv f{'/G)uu du.
Vl «1
20.15.	2tt.
20.16.	Двукратно покрытая сфера.
20.18.	Пусть поверхность вращения параметризована следующим образом: (ucosv, usinv, f(u)). Ее параллели задаются уравнениями u = const, а меридианы — уравнениями v = const. Первая квадратичная форма этой поверхности имеет вид ds2 = (1 + (/z(u))2) du2 + u2 dv2. Сделаем замену переменной и на переменную U, где
тг г \/i+ (/'(и))2 J и
Обратную зависимость и от U обозначим и = А(/7). Первая квадратичная форма при такой замене переменных принимает вид ds2 = Л2 (Z7) х x(dU2 + dv2). Заметим, что параллели поверхности задаются уравнениями U = const, а меридианы — прежними уравнениями v = const.
Рассмотрим евклидову плоскость с координатами (х, у) и метрикой dx2 + dy2. Нетрудно проверить, что отображение, задаваемое в координатах формулой (U, v) (х, у), обладает необходимыми свойствами. 20.20. а) 4тг; б) 2тг; в) 4тг.
Ответы и решения
285
21.1. Разбиения показаны на рис. 95.
Рис. 95. Триангуляции тора, сферы, бутылки Клейна и проективной плоскости
21.3.	У к а з а н и е. Требуемая оценка следует из системы неравенств
V(V - 1) 2Е, V-E+F = x(M), 3F = 2Е.
21.4.	См. а) рис. 96, 97; б) рис. 98.
21.5.	Минимальная триангуляция тора может быть построена путем рассмотрения плоской решетки, состоящей из правильных треугольников (см. рис. 99). Следует взять
b 4	15	4
4	1.5	4
о
Рис. 96. Триангуляция тора
Рис. 97. Триангуляция тора — другой вариант
Рис. 98. Триангуляция проективной плоскости
вторую решетку, порожденную векторами ei, ег, указанными на рисунке. Фундаментальной областью этой второй решетки, является па-
286
Ответы и решения
7 вершин, 14 треугольников
Рис. 99. Решетки, порождающие триангуляцию тора
раллелограмм со сторонами ei, ег. Отождествляя его противоположные стороны, получим тор, на котором треугольники исходной правильной
Рис. 100. Карта на проективной плоскости
решетки задают искомую триангуляцию.
21.9.	См. рис. 100.
21.11.	Указание. Построить гомеоморфизмы, показанные на рис. 101.
21.12.	См. рис. 102.
21.13.	См. рис. 103.
21.14.	См. рис. 104.
21.21.	См. рис. 105. В более симметричном виде искомое вложение изо
бражено на рис. 106 21.25. См. рис. 107. 21.26. См. рис. 108.
Рис. 101
22.1. Продифференцируем уравнение, задающее данное семейство ли-„	udu „
ний. Получим с = ——. Подставим это выражение для с в уравне-vdv
ние семейства. Получим дифференциальное уравнение линий семейства: dv 1 4- v2
— =-------. Подставляя в дифференциальное уравнение, определяющее
Ответы и решения
287
Рис. 102. Склейка бутылки Клейна из двух листов Мёбиуса
Рис. 103
288
Ответы и решения
Рис. 105. Граф «3 домика и 3 колодца» на листе Мёбиуса
Рис. 106. Граф «3 домика и 3 колодца» на листе Мёбиуса
Рис. 107
Ответы и решения
289
Рис. 108. Граф «4 домика и 4 колодца» на торе
сопряженное семейство
LduSu + М (du Sv + dv Su) + N du Su = 0, Sv
получим — = —1. Здесь L, M и N — коэффициенты второй квадра-ozz
тичной формы поверхности, (du, dv) — направление вектора скорости
линии исходного семейства, a (ёи, Sv) — направление вектора скорости линии сопряженного семейства. Следовательно, сопряженное семейство
состоит из линий и + v = Ci, где Ci — произвольная постоянная.
22.3.	Дифференциальное уравнение линий сопряженного семейства имеет du 1 . „ , „
вид — = — - sin 2v dv. Интегрируя, получаем уравнения линий сопряженного семейства и — Ce^^cos2v, где С — произвольная постоянная.
22.4.	Условие сопряженности указанных в условии задачи семейств линий легко сводится к дифференциальному уравнению fxy = 0. Отсюда f (х, у) = д(х) 4- h(y), где д и h — произвольные гладкие функции одной
переменной.
22.5.	Введем на поверхностях координаты так, чтобы соответствующие точки на поверхностях задавались одной и той же парой чисел. Из усло
вия задачи получаем
L du Su + М (du Sv dv ёи) + N dvSv —
= X(Ei du Su + Fi (du 6v dv Su) + Gi dv Sv),
Li du Su + Mi (du Sv dv Su) + Ni dv Sv =
= p(E du Su + F(du Sv dv Su) +Gdv 6v). <
290
Ответы и решения
Здесь А и р — некоторые множители пропорциональности. Отсюда получаем, что
Ь1_М1_М
Ei ~ Fi ~ Gi ’ Е ~ F ~ G ’
22.6.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
2 п_ dy 2 f dy\ ,2 , „2 (dy\ у - 2ху— + х ( — 1 =ь +а 1 — 1 • dx \ах J	\ахj
dy	I	(dy \ 2
Отсюда у = х— ± \ Ь2 + а2 \ — I . Легко видеть, что полученное диф-dx	у	\dx)
ференпиальное уравнение является уравнением Клеро. Решая его, получаем	________ ______________________
у = С\Х + \jb2 + a2Cl, у = С2Х — \Jb2 + а2С2,
где С\ и С2 — произвольные постоянные. Заметим, что асимптотическими линиями однополостного гиперболоида являются его прямолинейные образующие.
22.7.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
f'(x)dx2 — f"(x)dy2 = 0. Условие ортогональности асимптотической f"(x)	f"(y)
сети записывается в виде равенства------~ =---------7. Отсюда
1 + (/'(^)) 1+ (/'(?/))
немедленно получаем, что
ГЫ _ п Г(у)	_ п
l+(/'(z))2	1+(/'И
где а — некоторая постоянная. Решая эти уравнения, получаем
f'(x) = tg (ах 4- 6), f(x) = —- In I cos (ax + b)| + c,
/'(?/) = tg (ay + b), f(y) - ~ In I cos (ay + 6)| + c.
Отсюда получаем уравнение искомой поверхности:
1, I cos (аж+ 6)1 Z — - In 7---;-----777 .
a I cos (ay + 0)|
22.8.	Легко показать, что дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид xydx2 + (х2 — y2)dxdy — xydy2 = 0. Это уравнение распадается: (xdx — ydy)(xdy+ydx) =0. Отсюда немедленно получаем,
Ответы и решения
291
что асимптотическими линиями являются х2 — у2 = Ci, ху = Сг, где Ci и Сг — произвольные постоянные. Асимптотические линии, проходящие через точку Mq, имеют уравнения х2 — у2 — —3, ху = 2.
22.9.	u = v = Ci, u - v = С2, где Ci и С2 — произвольные постоянные.
22.10.	Параметризовать геликоид следующим образом:
(u cos u, u sin u, av).
Показать, что асимптотические линии задаются уравнениями и = С\ и v = С2, где Ci и С2 — произвольные постоянные.
22.13.	Параметризуем поверхность следующим образом: а.	, а. .	. b,	.
х = —(cosu + cos v), у = -(smu 4- smu), z — —(u + v).
Тогда дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид du2 — dv2 — 0. Отсюда получаем уравнения асимптотических линий: и + v = Ci, и — v = С2, где Ci и С2 — произвольные постоянные.
22.14.	Заметим, что касательная плоскость к поверхности в точках кривой совпадает с соприкасающейся плоскостью этой кривой. Отсюда немедленно вытекает требуемое утверждение.
22.15.	Примем за координатную сеть на поверхности сеть, состоящую из асимптотических линий. Тогда косинус угла между асимптотическими F тр
линиями равен cos 95 = ---Кроме того,
v EG
к_ -М2	-FM
EG-F2’	EG-F2'
Отсюда получаем, что cos2 <р = —z-—. Следовательно, К — —Н2 tg2 ip.
— к
22.16.	Если координатная сеть является асимптотической, то L = N = 0.
-М2
В этом случае К = ————, а уравнения Петер сона-Кодацци прини-EG — г 2 мают вид
2(EG - F2)MU - (2F(EV - Fu) - (EGU - GEU))M = 0, 2(EG - F2)MV - (2F(FV - Gu) - (EGV - GEV))M = 0.
Отсюда легко получить требуемые формулы.
22.17.	Заметим, что сеть, состоящая из координатных линий, является чебышевской тогда и только тогда, когда Еи = Gv = 0. Примем за
292
Ответы и решения
координатные линии поверхности ее асимптотические линии и воспользуемся результатом задачи 22.16.
22.18.	Легко показать, что касательная плоскость к поверхности в некоторой точке является соприкасающейся для каждой из асимптотических линий, проходящих через эту точку. Следовательно, бинормали к асимптотическим линиям в точке их пересечения являются нормалями к поверхности, т. е. т = ±Ь, где b — вектор бинормали к асимптотическим линиям, ат — вектор нормали к поверхности. Продифференцируем это равенство по дуге асимптотической линии и, используя формулы Френе, d , d,
получим —m = zb-—b = }zn. Здесь n — вектор главной нормали as	ds
асимптотической кривой. Отсюда получаем, что
d	d \	III
—m, j-m) = —. ds	ds / I
Здесь через I и III обозначены значения первой и, соответственно, третьей квадратичной форм на векторе скорости асимптотической кривой. Из соотношения между квадратичными формами поверхностей III = = НИ — КТ и того факта, что в асимптотическом направлении II = О, получаем -— = —К. Отсюда х2 = — К = |/С|.
22.20.	Дифференциальное уравнение линий кривизны, как легко проверить, имеет вид du2 - (u2 + a2) dv2 = 0. Интегрируя находим
v = Ci — In (и + \/и2 + a2), v = Сг + In (и + Vu2 4- а2),
где Ci и Сг — произвольные постоянные.
22.21.	Линиями кривизны цилиндрической поверхности, отличной от плоскости, являются ее прямолинейные образующие и линии, по которым пересекают поверхность плоскости, ортогональные образующим поверхности.
22.22.	Линиями кривизны конической поверхности, отличной от плоскости, являются ее прямолинейные образующие и линии, по которым пересекают поверхность всевозможные сферы с центром в вершине конической поверхности.
22.23.	Воспользоваться тем, что только у сферы и плоскости соответствующие коэффициенты первой и второй квадратичных форм пропор
циональны.
Ответы и решения
293
23.1.	Например: х = t2, у — t3. См. рис. 109.
Рис. 109. Нерегулярная кривая с аналитической параметризацией
tn	lt|n
23.3.	а) Например: х	у =
23.4.	а) к — нечетно и п ф тк, m € N; б) к — нечетно и п = кт, т е N; в) к — четно.
23.5.	Если кривизна в точке перехода кривой из одной плоскости в другую отлична от нуля, то гладкость не выше С1; если же кривизна в этой точке может равняться нулю, то С°°.
23.6.	Один из возможных ответов для аналитической параметризации:
\/1 +cos2<p	sin	,
х = acosip—----------, у = a cos ip	-, ip 6 [0, 2тг].
23.7.	Нет. Препятствием является число вращения регулярной замкнутой кривой.
23.15.	a) d ~ ^koxos3, s —> 0; б) d ~ ^k2s2, s —> 0.
23.18.	Воспользоваться формулой Гаусса-Бонне и формулой для прообраза формы площади сферы при гауссовом отображении.
23.21.	Показать, что каждая точка поверхности является точкой уплощения. Иными словами, в каждой точке обе главные кривизны равны нулю.
23.25.	Пусть r(s) + tl(s) — радиус-вектор линейчатой поверхности в некоторой асимптотической параметризации. Введем новые координаты
S
s,	т, где т = t + t(s), t(s) = j(1, r') ds. Тогда получаем требуемую о
параметризацию R(s) + rl(s), в которой новая образующая имеет вид R(s) = r(s) - t(s)l(s).
294
Ответы и решения
23.26.	ds2 = du2 + 2F du dv + dv2.
23.27.	Прямой круговой цилиндр или область на нем.
23.30.	Вывести формулу для гауссовой кривизны в асимптотических координатах.
23.31.	a) F'i(w) + F'%(w) + F'^(w) = 0; б) ds2 = A2(w)(du2 4- dv2}, где Л? _ |F^(w)|+ |F'22(w)|+ |F^(w)|
2
23.33. Указание. Использовать связь между тремя квадратичными формами поверхности.
23.37. Пусть S 9 (х, у, z) -> (a:i, yi, Zi) € S. При стереографической проекции с северного полюса на экваториальную плоскость Р с коорди-х	у
натами Е, п имеем: Е = --, н = ----и
1-z	1-z
__ 2б , _	2?Л	~ _ Ci + ??1 ~ 1
Х1 “ i + tf + tf’ 2/1 "1 + £? + %2’	1 + 62 + %2’
Так как конформное отображение сферы на себя порождает конформное отображение плоскости Р на себя с сохранением нуля и бесконечности, то £] = 6 +	= а( = а(Е + it]}. Остается подставить в вышеприведенную
формулу вместо и t]i их значения через £(х, у} и г}(х, у}.
23.41. а) Очевидно, любая поверхность с постоянной внешней геометрией имеет постоянные гауссову и среднюю кривизны. Рассмотрим два случая.
1) К = 0. Поверхность развертывающаяся. Если на ней Н = 0, то это плоскость. Пусть Н 0. Напишем уравнение поверхности в ортогональной асимптотической параметризации r(s) + tl(s), в которой средняя кривизна вычисляется по формуле (в обозначениях Рашевского)
_ A(s}t2 + B(s}t + C(s}
0 l + 2t<r', 1') +i2<l', 1')’
Так как при фиксированном s на это равенство можно смотреть как на алгебраическое относительно t, то имеем (при t -> оо), что (!', 1') = 0, т. е. вектор 1 постоянный. И так как (1, г') = 0 в силу ортогональности параметризации, то направляющая — плоская. Далее получаем, что A(s) = (г", г', 1) = const, следовательно, кривизна плоской кривой r(s)
постоянна, т. е. она является окружностью.
Ответы и решения
295
2) К = const = С; 0. Введем на поверхности координаты в
линиях кривизны. Тогда Е = М = 0 и 2Н = — + — = 2С2, К =
LN	G Е
—	= С\. Решив эту систему алгебраических уравнений, получаем
L = Е(С2 т \/Н2 - К), N = G(C2 ± л/Я2 - К).
Теперь из одного из уравнений Петерсона-Кодацци, например, из Lv = = C2Ev, получаем: EV(C2 т у/Н2 - К) = C2EV, т.е. Я2 - К = 0. Если Ev = 0, то применим другое из уравнений Петерсона-Кодацци. Следовательно, все точки поверхности омбилические, т. е. поверхность —
сфера;
б) поворот пространства К4 с матрицей
cos а	sin а	0	0
— sin а	cos а	0	0
0	0	cos/?	sin/?
1 0	0	— sin/?	cos/? у
где а = Ui — и2, (3 = щ — v2, переводит окрестность точки
(Я1 cos ui, Я1 sin щ, R2 cos vi , R2 sin vi)
в окрестность точки (Я1 cos г/г, Я1 sin г/г, Яг cost>2, Яг sin v2).
23.48.	Указание. Согласно задаче 6.19, для параллельных поверхно-Я2 - 4К Н*2 - 4К* „
стей выполняется следующее соотношение: --—— =-------—г-----. За-
К2	К*2
метим, что точка является омбилической тогда и только тогда, когда в этой точке Я2 — 4К = 0. Отсюда очевидным образом вытекает решение. 23.49. Воспользуемся задачей 6.19. Она известна как теорема Бонне. Запишем для простоты метрику заданной поверхности в изотермических координатах. Отложим по нормалям к поверхности отрезки длины а = —. Тогда для параллельной поверхности имеем неравенство
EG - F2 =	> 0, E + G= (l-g|jA2>0,
где Л — конформный множитель метрики. Получается регулярная поверхность с постоянной гауссовой кривизной. Известно, что такая поверхность изометрична стандартной сфере. Отметим, что если бы поверхность была незамкнутой, то она могла бы быть изометричной части
296
Ответы и решения
сферы, но не совмещаться с ней движением объемлющего пространства. Дело в том, что, например, часть сферы допускает нетривиальные изгибания.
23.61.	Воспользоваться теоремой Бельтрами-Эннепера о кручении асим-тотической линии на поверхности отрицательной кривизны.
23.62.	См. предыдущую задачу.
23.64. Применить формулу для гауссовой кривизны К.
23.68. Рассмотрим поверхность вращения М с уравнением
х = r(u) cos р, у = r(u) sin p, z = h(u),
где a u b, 0 p 2тг. Элемент площади этой поверхности равен da = r(u)\/rl2 + z'2 dudp. Будем искать деформацию поверхности вращения в виде
х = R(u, е) cos р, у = R(u, е) sin р, z = H(u, s)
с условием равенства элементов площади
гл/г'2 -I- h'2 du dp = R\/R'2 + H'2 du dp.
Положим R(u, e) — er(u), s -> 1—0. Тогда это уравнение допускает решение
U ____________________
Я(и, е) = /г(0) + | У ^(1 -s4)r'2(t) + /i'2(t)d*, о
которое и определяет искомое семейство поверхностей вращения, удовлетворяющих условию задачи.
23.76.	Воспользоваться явной формулой для гауссовой кривизны поверхности в асимптотических координатах.
23.80.	Нет, так как краям цилиндрической поверхности и соответствующей области D на конической поверхности на их развертке на плоскость должны соответствовать отрезки кривых одинаковой длины, что невозможно осуществить для развертки конуса.
23.81.	Указание. Построить изометрическое отображение трехмерного пространства в четырехмерное в виде трехмерной цилиндрической поверхности.
Ответы и решения
297
23.85. Поверхность вращения кривой z =
8
23.90.	Вторые формы этих поверхностей имеют коэффициенты L разных знаков, а по ходу деформации L не может обратиться в нуль.
23.92.	Пусть в сферических координатах 99, ф прямоугольник Р задан не-7Г	7Г
равенствами —а 99 тг, — — <Ь^.ф^.с<—. Тогда изометрическое вложение Р в К3 дается следующим образом:
а	тг	а . л
х = — cos —рсояф, у = —sin —99 cos ф, л	а	тг а
а2 о
1------- sin ф dф,
тг2
z
откуда легко установить аналитичность и погружения, и метрики.
23.93.	Метрика единичной сферы в сферических координатах имеет вид ds2 = cos2 ф dtp2 -Ь di^. Отождествление производится по отображению (—а, ф) —> (а, Ь -Ь с — ф). Остальное очевидно.
1	2
23.96.	Кривизну К считаем по формуле К — — — Д1пЛ, где Л = е~2и , и находим, что К = 2е2и > 0. Неполнота метрики следует из существования уходящего в бесконечность пути конечной длины L : и = 0. Изометрическое вложение метрики в К3 в виде выпуклой поверхности невозможно, так как интегральная кривизна
= 2e2u dudv = оо,
а интегральная кривизна выпуклой поверхности, равная площади ее сферического изображения, не превышает 4тг.
23.115.	г) Указание. Лучше доказывать обратный ход изгибания: поверхность вращения S вида
х = д(и) cos 99, у = д(и) sin 99, z =
— д'2 du
с метрикой ds2 = du2 + g2(u)dip2 изгибать в винтовые поверхности Sh вида х — \/д2 — h2 cos (99 -I- hF(u}}, у = \/g2 — h2 sin (99 +	z =
— hip -I- h2F{u) -I- G(u, h).
Решение. Пункты а) и б) очевидны. Для доказательства пункта в) вычислим сначала метрику общей винтовой поверхности. Получим
298	Ответы и решения
ds2 = (1 + /,2(и)) du2 + 2hf'(u) dudv + (h2 + u2) dv2. Сделаем замену переменных u = u(r), v = H(r) + tp. В новых переменных метрика представится в виде
ds2 = (1 + f'2(u(r))u'2(r) + 2hf(r)u'(r)H'(r) + (h2 + u2(r))H'2(r)) dr2 + + 2(/i/'(r)u'(r) + (h2 + п2(г))Я'(т)) dr d<p + ((/i2 + u2(r)) dtp2.
Чтобы прийти к метрике вращения, достаточно потребовать, чтобы h/'(r)u'(r) + (/г2 +п2(г))Л'(г) = 0 и (l + /'2(u(r))u,2(r) + 2hf'(r)u'(r)x xH'(r) + (h2 + ?z2(r))/F2(r)) = 1. Получим требуемые замены:
, X f . L U*f'2(u) ,	f hf'(u)du
r{u) = J V ’ (r) = J = ”<r)’
приводящие к метрике вращения вида ds2 = dr2 + G2(r)dtp2, где О2 = = h2 + u2(r).
Обратно, имея метрику вида ds2 = dr2 4- G2 (г) dtp2, легко так подобрать замены г = г{u), <р = v — Н(т), чтобы получилась метрика общей винтовой поверхности с соответствующей функпией f(u);
г) требуемое изгибание дается формулами
х = \/д2(и) - h2 cos (tp + hF(u)),
у = y/g2(u) — h2 sin (tp + 7iF(u)),
z = htp + h2F(u) -I- G(u, I),
где
. Г hRdu	Г gRdu
134 о
и R2 = g2 — h2 — g2g'2, a h — числовой параметр;
д) так как х(и, v, t) = ucos(v +t), у(и, v, t) = usin(v + t), z(u, v; t) = h(v + t) -I- f(u), то изгибание скольжения порождается винтовым движением всего пространства, состоящим из поступательного движения параллельно оси Oz с постоянным вектором скорости v — — (О, 0, h) и вращательного движения вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью 1. Выпишите закон перехода от точки (х, у, z) к ее положению в момент t, выделив в нем поступательную и вращательную
части.
Ответы и решения
299
23.116.	Пусть 70: u = u(t; и0, зд), v = v(t; и0, v0) — траектория точки (и0, г>о) при изгибании скольжения. Пусть точка (и0> ,;о) соответствует значению t = 0. При изометрии, порожденной изгибанием скольжения
при данном значении параметра t, каждая дуга кривой у, начинающаяся
в (uq, vfl), переходит в дугу той же кривой, начинающейся в ее точке, соответствующей значению t. Проведем через точки кривой 7о ортогональ-
ные к ней геодезические и отметим на каждой из них точку Mt(d) на некотором одинаковом расстоянии d от соответствующей точки на 7о- Так как окрестность точки (u0, v0) изометрична окрестности точки u = u(t; u0, v0), v = v(i; u0, v0) при любом малом t, то при этой изометрии геодезической Го, выходящей из точки (по, ^о) ортогонально к 70, соответствует геодезическая rt, тоже выходящая ортогонально к 70 в соответствующей точке, и в силу сохранения расстояний, точке Mo(d) € Го окажется соответствующей точка	Следовательно, при разных d
точки Mt(d) будут траекториями точек	которые мы обозначим
через yd- В силу соответствия дуг на yd по изометрии, геодезическая кривизна каждой кривой yd постоянна. Введем полугеодезическую систему
координат, взяв за семейство параллельных геодезических линии 1Д и за
ортогональные к ним линии — кривые 7<ь Для удобства записи оставим за новыми координатами прежние обозначения (и, и). Форма длины в полугеодезических координатах имеет вид ds2 — du2 + G(u, v)dv2, при-
так как она по-
чем кривым 7t соответствуют линии и — const. Вычисляя геодезическую , , 1 dG тт кривизну кд этих линий, получаем, что кд =	Но
(JU
стоянна вдоль каждой линии и = const, то выражение зависит, следовательно, на самом деле G(u, v) = G(u), а
51nG
—--— от v не ои
это и означает,
что метрика ds2 является метрикой вращения.
23.117.	Указание. Показать, что все геодезические являются линиями кривизны. Воспользоваться тем, что если на поверхности в каждом направлении проходит линия кривизны, то все точки омбилические.
23.119.	Доказательство получается из рассмотрения развертки конуса, на которой геодезические являются отрезками прямых. Замкнутые геодезические на конусе имеют вид, показанный на рис. 78. В точке самопересечения геодезическая пересекает саму себя под углом, отличным от 0 и тг. Этот угол зависит только от угла при вершине конуса.
300
Ответы и решения
24.15. См. рис. 110.
Рис. 110
24.17. См. рис. 111.
Рис. 111
24.42. Структуры расслоенных пространств показаны на рис. 112, 113.
Жирной линией показана база расслоения, а тонкими линиями — слои.
Рис. 112. Тор, кольцо, бутылка Клейна
Ответы и решения
301
Рис. 113. Бутылка Клейна
24.51. Рассмотрим отображение R2 в R2, которое задается формулами (х, у) н» (х2, у3). При этом отображении прямая х = у переходит в полуку биче скую параболу у3 = х2.
3	—7	е3 9
28.2. а) -?= б) -т==; в) -^=; г) -±.
л/15	\/21	л/З ' 5
28.3. Зх/2/5.
28.4. 1/4.
28.5. а) 0; б) ^(а/2 + 3); в) 0; г) -2; д)
3	v а + л2
28.7. 1/г2.
28.8. 1.
28.9. (grad/, grad у).
28.20. а) (0, х, у — ж); б) (0, 0, у2 — 2xz); в) (0, ех — хеу, 0);
г) (0, За;2, 2у3 — 6a;z); д) (0, — х(х + у2), х3 +у3)',
е) (0, xz2 + yzex\ —2xyz); ж) (sinxz/x, 0, — sinxz/y);
з) (xz/(x2 + у2), yz/(x2 +z2), -1).
28.21. Использовать теорему о существовании и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
302
Ответы и решения
28.22. Проверить действие коммутатора на произведение двух гладких функций.
28.25. Рассмотреть случай, когда £ = д/дх1.
28.29.	Сферу S3 представить как группу кватернионов единичного мо
дуля.
28.39.	Пусть zo = то + гуо — особая точка векторного поля grad (Re/), где f(z) = u(z) + w(z), т. e.
du
dsx
du
(го, Уо)
= d~sy
(яо.г/о)
= 0.
Поскольку
du _ dv du " dsy' &y
dv
—x.
du
to f'z(zo) = 0. Обратно, пусть /'(zo) = 0. Так как /^ = 0, то — t(zo) = du	dS
= —y(zo) = 0, т. e. grad(Re/)(z0) = 0. Для поля grad (Im /) доказательство аналогично.
28.40.	Будем искать интегральные траектории только в полуплоскости, лежащей выше прямой АВ. Линии уровня для функции /(т) — это дуги окружностей, для которых отрезок АВ является хордой. Вектор grad /(т) ортогонален линии уровня. Следовательно, ортогональный ему вектор является касательным к линии уровня, т. е. к окружности, и все описанные дуги окружностей являются интегральными траекториями потока vi{x).
28.41.	а) Интегральными траекториями векторного поля grad (Re zn} являются линии уровня сопряженной функции Im zn = rn sinny?. Единственной особой точкой поля grad (Re zn) является z — 0, так как только в этой точке f'(z) = 0. Точка z — 0 — вырожденное седло. См. рис. 114. п
Сделаем малое возмущение функции zn -> П (z ~ е»)- Тогда особая г=1
точка распадается на п — 1 невырожденных седел 2-го порядка. Рассмотрим поведение интегральных траекторий вблизи одной из особых точек. Разложим функцию в ряд Тейлора:
/(*) = /(«0 + /'(<*<)(* - <Ч) + =^^(z - at)2 + ...
Разложение начинается с члена 2-го порядка, так как /'(nJ = 0. При этом /"(а,)	0 (невырожденная критическая точка), поскольку /"(а») =
Ответы и решения
303
gradRe(z "),п>0 (п-3)
grad Re (z"), п>0
(п-3)
gradlm(z "),п>0 (п-3)
Кратный полюс
Рис. 114
grad Im(z"), и > О (п-3)
Кратный ноль
= 0 тогда и только тогда, когда а; является кратным корнем для f(z). См. также рис. 117, 118;
б)	для функции /(z) = z Ч—, переходя к полярным координатам Z
(z = peiv), имеем:
В начале координат — особая точка, так как функция — разрывна. Про-Z
изводная функции f(z) равна 1--z-, т.е. особые точки — это z = 1 и
z*
z = — 1. Обе точки невырождены. Рассмотрим интегральные траекто-
рии поля grad (Re/(z)). Они задаются уравнениями ( р-I sin о = с.
\ PJ
Для интегральных траекторий, входящих в особые точки и выходящих
1
Р
304
Ответы и решения
из особых точек, т. е. для сепаратрис, с — 0. Отсюда получаем, что сепаратрисы задаются уравнениями tp = ±тг (единичная окружность, состоящая из двух сепаратрис) и р — 1 (вещественная ось, состоящая из четырех сепаратрис). Аналогичным образом можно построить сепаратрисы поля grad (Im/(z)), которые задаются уравнением (р + ~ ) costp = 2
полюса первого порядка
Рис. 115
и имеют вид двух касающихся петель. См. рис. 115, 116. См. также рис. 117;
в)	f(z) = z+~. Рассмотрим grad Re/(z). Инегральные траектории zz
этого потока являются линиями уровня функции Im/(z):
v ч	2a:w	. sin2o
= v -
cos2o?
Аналогично ищем линии уровня функции Re/(z) = г cos tp----j—;
Ответы и решения
305
Обтекание диска (шара) в потоке жидкости
/(z) - z + (функция Жуковского) Нарисуйте второй, сопряженный поток
21 Зак. 359
/(z) - In z "Параллели" и "меридианы"
306
Ответы и решения
grad Re (|)
Невырожденное седло
Полюс 1-го порядка
118
Нарисуйте распад кратного полюся на простые полюсы
Распад нуля кратности и в объединение простых нулей
г)	особые точки функции f(z) = z Ч----- — это z = 2 (полюс) и
z = 1, z = 3 (нули функции /'(z)). Особые точки z = 1 и z = 3 являются невырожденными седлами, так как /"(1)	0 и /"(3)	0. В окрестности
точки z = 2 интегральные траектории векторных полей grad (Re/(z)) и grad (Im /(z)) качественно устроены так же, как и соответствующие ,, ч 1 траектории для функции f(z) = - в окрестности нуля.
Z
Особые точки функции /(z) = z3(z — l)100(z — 2)900, т.е. нули производной f'(z), следующие: zj = О — седло второго порядка, Z2 = 1 — седло 99-го порядка, z3 = 2 — седло 899-го порядка, Z4 » 0,005 и zj й 1,1 (это корни квадратного уравнения 1003z2—1109z+6 = 0) — невырожденные седла. Локально в окрестности каждой особой точки интегральные траектории ведут себя так же, как в окрестности седел соответствующего порядка;
д)	см. рис. 119;
е)	см. рис. 120;
Ответы и решения
307
Рис. 119
/(z> “ in (frf) Нарисуйте второй, сопряженный поток
Рис. 120
к) функцию f(z) — 1 + 24(z4 — 4)44(z44 — 44)444 в окрестности точки z = 0 можно заменить на f(z) = 1 + 4444444424. От этого качественная картина поведения линий в окрестности точки z = 0 не изменится. Но добавление постоянной не изменяет вид траекторий, поэтому можно рассматривать функцию /1(2) = cz4 в окрестности нуля, где с = 44444444. Точка z = 0 является вырожденной особой точкой для функции fi(z) (а значит, и для функции f (2)). При подходящем малом возмущении эта особая точка распадется на три невырожденные особые точки;
.	.	1 f z — 2i\3
л) функция f(z) = —— In I ——— I имеет логарифмические особен-100	\ z — 4 /
ности в точках z = 2г и z = 4. Кроме них особых точек нет;
м) для упрощения записи функции /(z) = ———- сделаем сдвиг 24 + 2z — 1
w = z + 1. Тогда g(w) = f(w — 1) = —-—Точки w = ±\/2 — w4 — 2
особые точки (полюса) функции g(w). Особые точки векторных полей grad (Re/(г)) и grad (Im /(2)) совпадают с нулями функции f'(z). Отсюда w = 0 — особая точка, причем невырожденная, поскольку 5"(0) / 0;
2
н) точка 2 = 0 является особой точкой для функции /(2) = — + Z + 211nz2. Кроме того, 2 = 1/21— особая точка векторных полей grad (Re/(2)) и grad (Im/(2)), поскольку /'(1/21) = 0. Сепаратрисы;
21*
308
Ответы и решения
о) точка z = 0 является особой точкой для функции /(z) = z5 + 2 In z. Нули производной f'(z) — это корни уравнения z5 = —2/5 (вершины пятиугольника). В этих точках zi, z5 имеем: /(z) ~ f(zi)+ +ki(z — Zi)2 + ..., где ki 0, i = 1, ..5;
п) точки z = 1 и z = —10г — особые точки функции
/(z) = 2 In (z - I)2 - - In (z + 10г)3.
3
При этом f'(z) =/ 0 для всех значений z;
р) точки z = 0 и z = г являются особыми точками функции f(z) = = — — ------77 (полюса третьего порядка). Дифференцируем: f'(z) =
zA (z — г)л
3	1
=------ + ------у = 0. Получаем четыре точки, в которых f'(z) = 0:
z4 (z — г)4
г>/3 г^З гл/3+ ^3 г>/3- -УЗ
>/3-1’ >/3 + 1’	л/3 + 1 ’	л/3 + 1
Интегральные траектории векторных полей
grad (Re/(z)) и grad (Im/(z))
на бесконечности ведут себя так же, как и интегральные траектории соответствующих векторных полей для функции 1/z4.
28.42.	а, б) См. рис. 121.
28.45.	а) См. рис. 122.
28.46.	См. а) рис. 123,124; б) рис. 125; в) рис. 126; г) рис. 127; д) рис. 128, 129; е) рис. 130, 131; ж) рис. 132.
28.47.	Пусть поток v = (F, Q) — безвихревой, т. е.
t др dQ
rot v = —у - —х - 0 os OS
Найдем такую функцию /, что Р = df /дх, Q = df/ду. Для этого проинтегрируем первое соотношение по а: от 0 до х:
X
у) = У Pdx+g(y).
О
Ответы и решения
309
f(z) -z п	f(z) = z"
Полюс порядка п	Ноль порядка п
Рис. 122
Рис. 121
Векторное поле на S2 с одной особенностью S2- аЫОсГ1
Рис. 123
310
Ответы и решения
Рис. 124. Векторное поле на сфере с одной особенностью S2 = abb га 1
Рис. 125. Векторное поле на торе с одной особенностью Т2 = aba ХЬ 1
Рис. 126. Векторное поле на кренделе aba 1b 1с 1d 1cd
Ответы и решения
311
Рис. 127. Векторное поле с одной особой точкой на ориентированной поверхности рода д-. aibiaf'bf1 .. .agbga^bg1
Рис. 130. Векторное поле на бутылке Клейна с одной особенностью KL = aba Lb
312
Ответы и решения
Рис. 131. Поле с одной особенностью на KL = aabb (бутылка Клейна)
Найти индекс
Рис. 132. Поле с одной особой точкой на неориентиуемой поверхности общего вида
Для того чтобы найти д(у), продифференцируем последнее соотношение по у:
X
d f	f dP
Q(x, у) = у) = I -Q^ydx + у'(у) =
о
х
= [ ~xdx + д'(у) = Q(x, у) - Q(0, у) + д'(у).
J 08
О
Ответы и решения
313
Таким образом, Q(x, у) — Q(x, у) - Q(0, у) + д'(у). Поэтому д'(у) = = <Ж у), т.е.	у
д(у) = У <2(0, у) dy + С. О
Следовательно,
х	у
у) = У Р{х, y)dy + у <2(0, у) dy + С. о	о
Пусть 71 и 72 — два пути из (0, 0) в точку (ж, у) в плоскости (х, у). Тогда, если rot v = 0, то
У (Pdx + Q dy) = j\p dx + Q dy). 71	72
Следовательно,
f(x, у) = j (P dx + Q dy) + C,
7
где 7 — произвольный путь из (0, 0) в (х, у).
„	dP BQ п „
Пусть поток еще и несжимаем, т.е. —----Ь —— = 0. Рассмотрим
ох оу
поток vz = (—Q, Р). Очевидно, rotv' = 0, следовательно, поле v' потенциально. Таким образом, существуют такие функции а(х, у) и Ь(х, у), что v = grad а(гс, у), vz = gradb(x, у). Ввиду того, что divv = = divv' = 0, получаем, что а(х, у) и Ь(х, у) — гармонические функции, т. е. Да = ДЬ = 0. Рассмотрим функцию / — а + ib. Она комплексноаналитическая, так как имеют место уравнения Коши-Римана:
да 9Ь	\ да дЬ г( \
-х = gjS = Р(г, у),	- = -_1 = в(1,9).
Такая функция / называется комплексным потенциалом потока.
28.50. Указание. dtp2 гомотопно dtpi.
28.58. Рассмотрим в R4 линейное дифференциальное уравнение х = Ах, где
-1 \
0
0 -1
1 о/
20 Зак. 359
314
Ответы и решения
и х = (жо, Ж1, ж2, хз). Интегральные траектории этого уравнения, принадлежащие сфере S3 = {х : |ж| = 1}, и есть искомое множество. Ясно, что x(t) = eAtx(0). Если рассматривать R4 как C2(zi, z2), где zi = Ж1 + ixo, Z2 = хз + ix2, то интегральная траектория, проходящая через точку (zj, z2) € S3, имеет вид eltz2), поскольку eAt ( ег* 0 \
имеет комплексную запись I u Г “оставим в соответствие этой траектории точку (zi :z2), принадлежащую пространству СР1 (которое гомеоморфно 52). Соответствие корректно, поскольку любая другая пара (z( : z0, лежащая на той же траектории, отличается от (zi : z2) лишь множителем е11 и, следовательно, задает ту же точку в СР1. Остается заметить, что построенное отображение взаимно-однозначно и непрерывно.
29.19. Зафиксируем ортонормированный репер {ej, е2, е.;} в R3. Произвольное состояние описанной системы однозначно задается точкой х € € S2 и вектором скорости v(x) € TX(S2), где |v(rr)| = с = const 0. Отображение х —> х, v(rc) —> v(x)/c, очевидно, является гомеоморфизмом; х — единичный вектор в R3, выходящий из точки 0, v(x) — единичный вектор в R3 (начало v(x) перенесем в точку 0). Это преобразование тождественно на векторах х и v(rc); х и v ортогональны. Пусть у g R3 — такой вектор, что |у| = 1, он ортогонален векторам х и V, и система {е15 е2, ез} одинаково ориентирована с системой {х, v, у}. Отображение (х, v) —> {х, v, у}, очевидно, гомеоморфизм. Каждая система {х, v, у} взаимно-однозначно и непрерывно задается матрицей, соответствующей линейному преобразованию в R3, переводящему ортонормированный репер {в!, е2, ез} в ортонормированный репер {х, v, у}. Эти матрицы образуют группу 50(3) = {А : ААТ = Е, det А = 1}. Таким образом, пространство состояний нашей системы гомеоморфно многообразию 50(3). Любое ортогональное преобразование R3, сохраняющее ориентацию, есть вращение вокруг некоторой оси на угол <р, где —тг <	< тг.
29.36. Пусть G — конечная группа, действующая эффективно на R”, т. е. если дх = х дли некоторого х € Rn, то д = е. Группа Z*,, порожденная
Ответы и решения
315
некоторым элементом д е, тоже эффективно действует на R". Рассмотрим пространство X = где х ~ у, если у = д1х. Так как Kn -> X является накрытием, то лДХ) = %к, лДХ) = тгДК”) = 0 при г > 1. Значит, пространство X гомотопически-эквивалентно пространству 1), т.е. линзовому пространству. Но гомологии 1) нетривиальны в бесконечном числе размерностей, в то время как X не имеет клеток размерностей больше п. Таким образом, для завершения доказательства необходимо лишь обосновать следующие утверждения: а) если на Rn действует без неподвижных точек дискретная группа G и Xg — ®n/G — пространство орбит, то естественное отображение р: Rn -> Xg является накрытием; б) tti(A'g) = G. Доказательство этих утверждений остается читателю.
31.3. Напомним определение топологии CW-комплекса. Если К есть CW-комплекс, то множество F С К замкнуто тогда и только тогда, когда для всех клеток е’ полный прообраз (/’)-1(Д1) С Bq замкнут в В9. Будем обозначать эту топологию символом (IV).
Предположим, что в пространстве X есть две топологии {Ua } и {1/э} -Скажем, что {1р}	{f7Q} (сильнее), если для каждой точки х е X и
для каждого Vp0 Э х найдется такое Uao Э х, что Uao С Рд0.
Предположим, что в CW-комплексе, помимо топологии (IV), есть еще некоторая топология {{/«}. Возьмем произвольную точку х G К, т.е. точку, принадлежащую dV-комплексу и Uao Э х. Окрестность является объединением попарно-непересекающихся открытых пересечений (е? П Uao). Рассмотрим полный образ (/’)-1(^а0)- Он открыт в В4 (это следует из непрерывности отображений /?). Значит, для дополнения (K\Uao) полный прообраз (/f)-1(BT\l7Q0) замкнут в В9 для всех е?. По аксиоме (IV) следует, что (X\Z7ao) замкнуто в К, значит, Uao открыто в топологии (IV), т.е. Uao принадлежит системе открытых множеств (IV).
31.29. Бутылка Клейна.
31.34. Пусть аъ а2 € Н(Х', У), aj ~ а2. Это значит, что существует гомотопия F: X' х I —> Y, такая, что F(x, 0) = ai(x), F(x, 1) = а2(х). Положим F' = F о ip. Тогда F': X х I —> Y, F'(x, 0) = F(h(x), 0) =
20*
316
Ответы и решения
= ai (/i(x)), F'(x, 1) = F(h(x), 1) = a2(/i(rc)). Следовательно, ay о h ~ ~ «2 ° h.
31.36. Пусть 5°° = lim Sn, где Sn+1 является надстройкой над Sn. п—>оо
Так определенная сфера S°° является CW-комплексом. Рассмотрим а ё 7Гг(5°°) и / ё a: f : Sl —> S°°, и f переводит отмеченную точку в S1 в отмеченную точку S°°. Пусть /: К —> L — непрерывное отображение комплекса К в комплексе L, причем на подкомплексе Ку С К отображение клеточно. Тогда существует такое отображение д: К —> L, что: a) f гомотопно р; б) д клеточно на К; в) /Д, = г) гомотопия, соединяющая f й д, тождественна на Ку. Этот факт означает, что для f существует гомотопное ему отображение, которое S1 переводит в г-мерный. остов S°°, т.е. в S\ но S' С S’+1 С S°°. Значит, д: S' —> S'+1-.' Поскольку 7Tj(Sn) = 0 при г < тг, то любое отображение г ё а ё 717 (S°°) гомотопно отображению, переводящему всю S' в отмеченную точку Sn (постоянному отображению). Это и означает, что отображение /: S' -» S°° гомотопно постоянному. Отображение f выбиралось произвольно, следовательно, тгД^00) = 0.
Если X и Y — клеточные комплексы и отображение /: X —> Y индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп, то f — гомотопическая эквивалентность. В качестве f возьмем отображение S°° —> *. Изоморфизм гомотопических групп индуцируется, так как все они равны нулю. Значит, сфера S°° гомотопически эквивалентна точке. Следовательно, S°° стягивается к точке.
31.38. Пусть р-1(х0) = Fo, p~r(xy) = Fy. Пусть ip0: Fo -> X — вложение. Тогда ро <р0: Fo -> хо С Y. Соединим хо и Ху путем, т.е. устроим гомотопию между отображением Fo в х0 и Ху, а именно: Vt: Fo —> Y, ipt(F0) = 7(Z), где 7 — наш путь. Тогда из аксиомы о накрывающей гомотопии следует, что существует накрывающая гомотопия (семейство отображений <pt: Fo -» X), такая, что (poy?t)(F)) = 7(f), т.е. (p<Pi)(Fo) = 7(1) = ху. Отсюда следует, что 921(F)) С Fy. Итак, по пути 7 мы построили отображение 7<pi: Fo Fy. Докажем, что 7<pi зависит только от гомотопического класса пути 7, т.е. если 71 гомотопно 72, то 71<Р1 гомотопно 72<pi - Заметим, что построенное нами отображение F) —> Fy не зависит от выбора накрывающей гомотопии в том смысле, что любые два таких отображения гомотопны. Действительно, пусть tpt
Ответы и решения
317
и накрывают ф^ Тогда отображение <pi: Fq -> Fi гомотопно </>о: Fo —> Fo, tpo = Фо, а последнее, в свою очередь, гомотопно фр Fq —> Fi. Пусть теперь дано семейство yt путей. Покажем, что 70991 гомотопно 71931- Имеем отображение
7о9?: Fo х I -4 X; (р о y0<p)(F0 х I) = 70.
В Y существует гомотопия 70 в 71, которую можно накрыть таким отображением Ф: (Fo х I) х I -> X, что Ф(РоХ,)хо = 70<р и Ф|(РоХ/)Х1 = ft так, что (p/)(F0 х I) =7i- Следовательно, отображение ft можно взять в качестве накрытия для всех 71, Д = 7193(. Тогда Ф|(Рохi)xz является гомотопией между 719J1 и 7о 9З1. Заметим далее, что аналогично можно построить по пути (—7) отображение (_7)ХГ- Fi —> Fo. Осталось доказать, что отображение ((-7)Х1 ‘7</’1): Л) —> Fo гомотопно тождественному. Но это отображение можно рассматривать как отображение, индуцированное путем 7 + (—7), который, очевидно, гомотопен отображению в точку.
31.45. Пусть Sk х Sn~k — клеточный комплекс, у которого имеются лишь четыре клетки: е°, ек, еп~к, еп. Рассмотрим отображение f: Sk х Sn~k —> Sn, /(e°) — * — некоторая точка в Sn; возьмем ее за нульмерную клетку в Sn.
По теореме о клеточной аппроксимации существует отображение д: Sk х Sn~k —> Sn, которое уже является клеточным и которое гомотопно /, причем на е° /(е°) = д(е°) и вся гомотопия, соединяющая f и д, совпадает на е° С Д Поскольку Sn состоит лишь из двух клеток: нульмерной (*) и n-мерной, то при отображении д клетки ек и еп~к переходят в точку на Sn. Получаем, что отображение д может быть не равным постоянному лишь на n-мерной клетке. Значит, все отображения Sk х Sn~k —> Sn отличны лишь на некоторое отображение п-мерной клетки в Sk х Sn~k, а затем в Sn, приводящее всю границу в точку на Sn (из-за линейной связности Sn выбор точки не играет роли). Но эти отображения являются отображениями Sn —> Sn (точнее можно установить взаимно-однозначное соответствие между 7r(Sk х Sn~k, Sn) и 7r(Sn, S”). 31.57. Пусть (х1,..., хп) —> (ж1,..., хп, 0) — стандартное вложение R” —> -> Kn+1 в виде гиперплоскости. Рассмотрим две точки А = (0, ..., 0, 1), В = (0, ..., 0, — 1) в К”+1 и построим конусы САМ и СВМ с вершинами в точках А и В соответственно и с общим основанием Н С R"-После этого любая деформация подмножества	в R" может быть
продолжена до деформации подмножества S(Rn\H) в Кл+1.
318
Ответы и решения
31.58.	Предположим противное: пусть Cat(Мп) < l(Mn\ G), т.е. существует покрытие Мп замкнутыми множествами Xi, ..., Хк, к < < l(Mn; G), каждое из которых стягивает по Мп в точку. В силу двойственности Пуанкаре Нк(Мп', G) = Нп~к(Мп', G), коциклам ц, ...,xi соответствуют циклы j/i, ..., уг, при этом произведению h = Х\ Л... f\xi (коциклов Ti, ..., xi соответствует цикл а = у\ П ... П у±, являющийся пересечением всех циклов у±, ..., yi- Так как оператор D двойственности Пункаре является изоморфизмом, то пересечение Г)... П j/i = а отлично от нуля (т.е. цикл а не гомологичен нулю). Так как каждое подмножество Xi (1 i к) стягивается по Мп в точку, то Н*{Мп-, Х^ = Н*(Мп) (где * > 0). Поэтому можно считать, что цикл yi G Н*(Мп) гомологичен циклу yi G Н*(Мп; Xi), т.е. носитель цикла лежит в Mn\Xi, 1 i к. Отсюда следует, что пересечение ^П.. ,С\ук (гомологичное пересечению ?/1П.. -Сгук) лежит в дополнении к (объединению) XiU.. .UXjt; тем более, j/jD.. -Ну*.П.. ХУу[ С Mn\(XiU.. .UX*) — 0, так как Хк, ..., Xk образует покрытие Мп. Так как пересечение носителей циклов уг П... C\yi = 0, то соответствующее произведение коциклов Xi Л ... Л xi =0, что противоречит условию: Xi Л ... Л xi 0. Теорема доказана.
31.59.	Рассмотрим расслоение (Е, р, X), где Е — пространство всех путей пространства X, начинающихся в точке хо, гр — отображение, сопоставляющее каждому пути его концевую точку. Пространство Е рассматривается при этом к компактно-открытой топологии. Слоем этого расслоения является пространство Г2Х = ПА-0 всех петель пространства X в точке хо- Легко видеть, что пространство Е стягивыается по себе в точку (каждый путь стягивается по себе в точку гео). Поэтому яп(Е) = 0, и, следовательно, гомотопическая последовательность этого расслоения
. . . -> 7Гп+1(Е) -» 7Гп+1(Л') -» 7tn(flXo) -> яп(Е) -^ ...
порождает изоморфизм тгп(ПХо) ~ тгп+1(Х), в частности тг1(Пх0) ~ » тг2(Х). Группа тгп(Х) абелева при п 2.
31.60.	Напомним два определения.
Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение X -> X гомотопно отображению X —> X, приводящему все X в точку.
Связное пространство X называется односвязным, если <Ti(X) — 0.
Ответы и решения
319
Так как X стягиваемо, то существует X X, ipo — тождественное отображение X -> X, tpi — отображение X —> ат0 € X. Так как определение фундаментальной группы не зависит от отмеченной точки (с точностью до изоморфизма), то пусть 7: I —> X — производительный путь на X, 7(0) = 7(1) = то; <5(т) = х0, 5: I —> X. Та же гомотопия ipt.: X —> X устанавливает гомотопность петель 7 и 6. Таким образом, любые два пути на X гомотопны, т. е. 717 (X) = 0.
31.61.	Утверждение задачи вытекает из следующих двух утверждений:
а)	всякий элемент из 717 (В*)	— букет окружностей) представим
в виде конечного произведения элементов и г)а, где т]о G 717 (В*) — класс отображения ia, являющегося стандартным вложением;
б)	такое представление единственно с точностью до сокращения идущих подряд сомножетелей т)а и т/”1.
Утверждение а) равносильно тому, что 717 (В*) является свободной группой с образующими т]а, а е А. Рассмотрим отображение /: В1 —> —> В]. Представим каждую окружность В1 в В* G В\ в виде суммы трех одномерных симплексов Р, Q, R и Ра, Qa, Ra. По теореме о симплексальной аппроксимации, отображение / гомотопно симпликци-альному отображению F некоторого подразделения комплекса В1 в В\. Отображения F умножим справа на гомотопию ipt, где — тождественное отображение, <^i переводит Ра, Ra в отмеченную точку и растягивает Qo на всю Sa- Получим отображение F, гомотопное исходному. Отображение F переводит каждую из равных частей, на которые разделена В1, либо в точку, либо наматывает на одну из В*, a G А. Класс такого отображения в 7Г1(Вд) представляет собой произведение элементов вида т]а, т]-1, е — единицы фундаментальной группы, т.е. класса постоянного отображения.
Перейдем к утверждению б). Произведение .. .rtf* (es = ±1), к 1, в котором не встречаются подряд т]а и т?^1, не равно единице в 717 (В^), т.е. не существует никаких соотношений в тг1(В*). При накрытии тг: Т —> X прообраз каждой точки тг-1* = D находим во взаимно однозначном соответствии с классами смежности группы 717 (X) по подгруппе тг,(7Tj(T)). В частности, если 27, х2 € Т, х G X и 77(27) = — д(жг) = х, S — любой путь из xi в х2, то петля тг(В) с вершиной
320
Ответы и решения
в точке х не гомотопна нулю, так как в противном случае xi = х%-Пусть г) —	. .т]^, rf^. — петля, проходимая в направлении окруж-
ности букета в зависимости от знака е,-. Возьмем к + 1 экземпляров букета и расположим их друг над другом. Берем r)ai в первом и втором букетах, вырежем из обоих экземпляров по отрезку, а концы соединим «крест-накрест», продолжив на них проекцию тг. Аналогично соединим второй букет с третьим, используя rfa2 и т.д. Если в слове т/ идут подряд две одинаковые буквы, то надо вырезать два отрезка из одной и той же окружности. При этом вторая операция предшествует первой, если Ej = 1, и следует за ней в противном случае. Получим (к + 1)-листное накрытие над В\. При этом путь т] накрывается путем, начинающимся в нижней точке и кончающимся в верхней. Эта петля не гомотопна нулю. 31.62. Пусть /: У —> У2 и д: У2 —> У — гомотопические эквивалентности, т.е. д о f ~ МУ1; f о д ~ 1с1У2. Определим отображение /*: 7Г1(У) -> тггОг) и д*- Я1(У2) -> ^(У). (Если a: S1 -> Уъ a G а G 7Г1(У1), то /“ — класс петли /* о a: S1 —> У.) Так как /* • 9» = (/ ° д'), т° fg*- ^(У) -> 7Гх(У2) и g^f,: ^(У) -> яЦУ) — изоморфизмы. Отсюда 7Г1(У) = ТГ1(У2)-
31.63.	Пусть tti(A') * 7Г1(У) — свободное произведение tti(A') и ?Г1(У). Пусть XY — универсальные накрытия над X и У соответственно. Пусть Хо — отмеченная точка X, У и букета X V У. Построим следующее накрытие: возьмем X, рассмотрим p-1(zo), гдер: X —> X — накрытие, и в каждой точке хг0 G р-1(:со) приклеим У. Отождествим Xq с х^, где Xq — некоторая точка из pf1(a:o)> Pi- Y Y — накрытие. В каждой оставшейся точке из pf1(^o) в каждом экземпляре «приклеенного» У приклеим таким образом X и т.д. Проекцию р": (X V У) -> X V У определяем естественным образом: каждый экземпляр У посредством р' отображается в У и каждый экземпляр X посредством р отображается в X. Очевидно, что полученное пространство является накрытием над X V У. Рассмотрим фундаментальную группу X V У, точки У, t2 из X V У такие, что У, t2 С	и путь а. При проекции р" этот
путь перейдет в некоторую петлю а, представляющую класс а в tti(X V V У). Заметим, что из конструкции накрытия и из односвязности X и У следует, что путь из У в t2 единственный с точностью до гомотопии.
Пусть a G ТТ1(АГ V У) разлагается по образующим с, С и bj G £ 7Г1 (У), т. е. а =	Ь"'CQ.. .Ь?". Тогда это представление однозначно
Ответы и решения
321
с точностью до соотношений в 7Г1(Х) и 7Г1(К). Действительно, пусть /3 = cf * №...(%" b?n ~ 1, где 1 — постоянная петля в точке ж0 и не все Ek и &s равны нулю (мы берем редуцированное слово). Тогда /3 можно реализовать путем в X V У, который, как очевидно следует из вида накрытия, не будет замкнутым, и, следовательно, Д ~ 1. Итак, мы получили, что 7Ti(X V У) = 7Г1 (X) * 7п(У). Этот же результат следует из теоремы Ван-Кампена о выражении фундаментальной группы комплекса через фундаментальные группы его подкомплексов и пересечений.
31.64.	Опр еделение. Если К — узел, то фундаментальная группа 7Г1(К3\Х) называется группой узла.
Найдем копредставление этой группы. Рассмотрим верхнее (нижнее) копредставление трилистника. Пусть РК — его проекция. Точки Ki (г = 1, ..., 6) делят узел на два класса замкнутых связных дуг — класс переходов и класс проходов, чередующихся друг с другом. Пусть Д1, А2, Аз — переходы, В\, В2, Вз — проходы, F3 — свободная группа с образующими х, у, z. Назовем путь ив К2 простым, если он является объединением конечного числа замкнутых прямолинейных отрезков, его начальная и конечная точки не принадлежат РК, он пересекает РК в конечном числе точек, не являющихся вершинами РК или v. Каждому пути v сопоставим v# € F3: v# — ж|)... х^‘, Xjk — образующие свободной группы, б* = 1 или —1, в зависимости от того, как v проходит под Aik. Верхнее копредставление группы ttj (В3 \ К) имеет вид (ж, у, z\ ri, г2, гз), где гi = vf — соотношения. Известно, что верхнее копредставление, задаваемое этой формулой, является копредставлением 7Г1(В3\Х). Петли щ, v2, V3 вокруг переходов (ж, у, z — образующие) удовлетворяют равенствам:
V# = x~1yzy~\ v# =y~xzxz~\ v# = z~xxyx~x.
Получаем копредставление (xyz\ ж = yzy~l, у = zxz~\ z = xyx~l). Подставим z — xyx~x. Получим
7Г1(К3\Х) = (ж, y\ x = yxyx^y-1, у ~ xyx).
Итак, 7г1(К3\Х) = (ж, у; xyx = уху). Трилистник нельза развязать, так как его тип отличен от типа тривиального узла. Если узлы К' и К" имеют один и тот же тип, то их дополнительные пространства обладают
322
Ответы и решения
совпадающими фундаментальными группами. Группа G = (х, у, хух = — уху) не является бесконечной циклической групой Z. Действитьльно, можно построить гомоморфизм в: G —> S3, где S3 порождается циклами (12), (23).
Пусть К' и К" — связные подкомплексы связного n-мерного симпли-циального комплекса К, причем каждый симплекс из К принадлежит по крайней мере одому из этих подкомплексов. Пусть D — К' П К" — пересечение, которое не пусто и не связно. Пусть F, F', F", Fq — фундаментальные группы комплексов К, К', К", D. В качестве начальной точки замкнутых путей возьмем 0 € D. Тогда каждый замкнутый путь подкомплекса D является одновременно путем комплексов К' и К". Сошлемся здесь на неизвестную теорему Ван-Канпена. Группа F получается из свободного произведения F' х F", если отождествить каждые два элемента F' и F", соответствующие одному и тому же элементу F&, т. е. полагая эти элементы равными, добавим тем самым соотношения между образующими групп F' и F".
Найдем фундаментальную группу винтового узла, определенного следующим образом: на боковой поверхности кругового цилиндра проведем образующие на расстоянии 2тг/т друг от друга, а затем повернем верхнее и нижнее основания друг относительно друга на 2тгтг/т. После этого отождествим основания. Присоединим к К3 одну несобственную точку (оо), превратив R3 в S3. Удалим из S3 все точки, принадлежащие трубчатой окрестности узла. Получим полиэдр К, являющийся дополнением узла. Разобьем S3 на две части тором, на котором лежит винтовой узел. Комплескс К распадается на два полнотория, у каждого из которых на поверхности выброшена трубчатая окрестность узла. Одно полноторие возьмем в качестве К1, другое (с несобственной точкой) — в качестве К". Фундаментальная группа F'(F") полиэдра К'{К") есть свободная группа с одной образующей А(В). Образующую А можно представить средней линией полнотория полиэдра К (аналогично поступим с В). Пересечение D обоих полноторий представляет собой закрученное кольцо. Фундаментальная группа D также является свободной с одной образующей, в качестве которой возьмем среднюю линию кругового кольца. Группа F' ф F" есть свободная группа от образующих А и В. При надлежащей ориентации путей А и В путь С, рассматриваемый как элемент группы F', равен Ат, а как элемент группы F" он равен Вп. Получаем соотношение Ат = Вп. Итак, копредставление группы tti(53\7) = {А, В; А2 = В3}, где 7 — трилистник.
Ответы и решения
323
Два полученных непредставления фундаментальной группы трилистника эквивалентны. Проверку этого мы предоставляем читателю.
31.66.	Выберем в качестве начальной точки замкнутых путей точку О, принадлежащую W. Тогда каждый замкнутый путь комплекса W является одновременно путем комплексов Z, Y, т. е. каждому элементу группы 7Г1 (IV) соответствует элемент группы Л1(А) и элемент группы тг1(У). Представим Z, Y, W в виде симплициальных комплексов. Соединим каждую вершину X путем с 0. Если вершина лежит в W, то путь целиком провести в W в силу связности. Симплекс поизвольной размерности комплекса X принадлежит либо Z (но не У), либо Y\Z, либо YOZ. Множество всех симплексов разбивается на три непересекающихся подмножества Z, Y, W. Образующие а, группы Л1(АГ) могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с ребрами комплекса X. В зависимости от того, какому симплициальному комплексу принадлежит это ребро (Z, У или IE), переименуем а, в z,, у? или W{. Таким образом, Л1(А) имеет своими образующими фудаментальные группы Л1(У) и Tri (Z) (образующие лу (IV) входят в число образующих тгг (Z) и Л] (У)). Соотношения в группе Л] (А') взаимно-однозначно соответствуют ребрам и треугольникам комплекса А. Вследствие разбиения комплекса X на три подмножества эти соотношения также разбиваются на три класса. Запишем соотношения:
zi) = \ (в Z),	yt) = 1 (в У),	= 1 ( в TV).
Соотношения третьего типа являются определяющими для группы Л1(1У); соотношения второго и третьего типов определяют группы Л1(У) и Л1(1У); соотношения первого и третьего типов определяют группы Л1(£) и Л](1У); и, наконец, сотношения всех трех типов определяют группу Л1(А). Эти соотношения можно переписать следующим образом:
Zi) - 1, V’j(^i) = 1,	Vi) = 1,	= 1> w- = w".
Соотношения первых двух типов определяют свободное произведение групп Л1 (Z) и Л! (У). Последнее соотношение означает, что эти элементы групп лх(^) и Л1(У), соответствующие одному и тому же элементу Wi группы Л] (IV), должны быть отождествлены. В доказательстве использован тот факт, что IV связно, так как в противном случае полученное утверждение о группе Л1 (А) неверно.
Пример. Z = Y = I — отрезок, W — S°, X = S1, лх(А) — Z, л1(7)=л1(У)=е.
324
Ответы и решения
31.86.	Как известно, для любой подгруппы G С Д1(Х) существует накрытие р-. Xg —» X, такое, что 1ттг, (tti(Xg)) = G. Введем на Xg умножение. Пусть е 6 р-1(е), где е — единица в X, х, у е. Xg- Соединим е с х и у путями xt и yt: Xq = е, Xi — х, уо — е, yi = у. Пусть р(х) — х, р(у) = у. Тогда х и у соединены с е путями p(xt) = xt и р(у) = Vt соответственно. Эти два пути мы можем умножить в X, т.е. рассмотреть путь zt = xtxyt, который соединяет е с точкой Zi = z = xy. Пусть Zt можно поднять в Xg в путь Zt- Пусть х х у = Zi- Остается проверить корректность определения. Можно доказать утверждение. Пусть X — группоид с единицей, а, (3 е Л) (А', е). Тогда сф = а х /3, где слева — умножение в tti (.¥, е), а справа — умножение в X.
Доказательство мы опускаем, предоставляя его читателю. Корректность определения следует непосредственно из этого утверждения.
31.87.	При р > 0 и q > 0 для любого п < р + q — 1 имеет место изоморфизм nn(Sp V S9) и тгп(5р) + 7rn(S9). Поскольку пара (Sp х S9, Sp V S9) является относительной (р + д)-мерной клеткой, то из предложения 1 (см. ниже) следует, что 7rm(Sp х S9, SpvS9) = 0 при m < p + q. Следовательно, 7rm(Sp V S9) = nm(Sp') + 7rm(S9).
Если для тройки (X, А, .то) пара (X, А) является относительной n-мерной клеткой, то irm(X, А, хо) = 0 при 0 < m < п. Доказательство предоставляется читателю.
31.89.	Из теоремы Фройденталя следует утверждение: гомоморфизм вырезания тгт([7, Sn) —> 7rm(Sn+1, V) является изоморфизмом при m < 2п и эпиморфизмом при m = 2п, где U и V — северная и южная полусферы S"+1. Найдем тгз(Е>2, 8D2):
... -4 7ГП(51?2)	7ГП(Р2) -4 тгп(Л2, aP2)7rn_!(9D2) -> ...
При п = 3 имеем тгз(Э£>2) = тг-^б'1) = 0, тгз(Л2) = 0, i^dD2) = 0. Отсюда тгз(Е>2) rs тгз(Г>2, BD2) = 0. Из точной последовательности тгз(52) = 7T3(S2, Р2) = Z.
31.90.	Доказательство следует из точной гомотопической последовательности расслоения Серра.
31.91.	Доказательство следует из клеточного представления проективного пространства и из рассмотрения стандартного накрытия.
31.93.	Докажем, что 7Г|(С/”‘) = 0. Здесь СРп — клеточный комплекс, который имеет по одной клетке в каждой четной размерности, т.е. одно
Ответы и решения
325
мерных клеток у него нет. По теореме о фундаментальной группе клеточного комплекса с одной нульмерной клеткой получаем, что tti(CF") = 0. Далее, сфера S'2"+1 расслаивается над СР" со слоем S1. Действительно, пусть 52"+1 с С"+1 (стандартное вложение). Точка (zi, ..., zn+1) принадлежит S2"+1 тогда и только тогда, когда ^2 lz*|2 = 1- Далее,
СР" = {(zi, ... , zn+i) с точностью до умножения на А},
т. е. A(zi, ..., zn+i) и (zi, ..., zn+i) определяют одну и ту же точку в СР". Устроим отображение р: S2n+1 —> СР", p(zlt ...) = (zi, ...). Оно непрерывно и его образ — все пространство СР". Над точкой из СР" «висит» следующее множество точек из S'2"+1: пусть (zi, ..., zn+i) € е СР", тогда /-1(zi, ... , zn+i) = {e’v(zi, ... , zn+1)} c S2"+1, где f-1 — полный прообраз, 0 tp 2тг. Действительно, e’V1 (zj, ..., zn+i) и elv,2(zi, ..., zn+1) — одна и та же точка в СР", но если pi Д <р2, то в S2n+1 являются расслоением. Осталось применить точную гомотопическою последовательность расслоения.
31.94.	Утверждения следуют из теоремы о клеточной аппроксимации.
31.95.	Пусть Рх: X х Y -> У, PY: X х У -> У — проекции. Устроим гомоморфизм tp: лДХ х У) —> 7гг(Х) Ф дДУ), а именно: tp(a) — = (Px-oi, Pv-ct). Докажем, что tp — гомоморфизм;
tp{a + 0) - (рх-(а + /3), рх.(а + /3)) =
= (Рх*а, pY.a) ф (рл-Д, Py-0) = <р(«) Ф<р(Д)-
Докажем, что tp — мономорфизм. Пусть tp(a) = 0, т.е. Px-ot — 0, PY, а = 0. Следовательно, -фх — Рхоа: Sn —> X гомотопно постоянному, т.е. существует X, такое, что -фхо = -фх, уфх1 = *. Тогда устроим гомотопию Ф/ следующим образом: ФДа) = (Дх<(а), pY-a) при t = 0; ФДа) = а при t = 1. ФДа) — отображение Sn в (*) х У С X х У, (*, Рг-(а)) € 7Гп((*)х) = тгп(У). Но Ру (а) — стягиваемый сфероид, т. е. а — стягиваем.
Докажем, что tp — эпиморфизм. Пусть /3 € тгп(Х), у € тгп(У). Тогда а = (Д, 7) при <р переходит в (3 ф 7.
Пусть есть универсальные накрытия: Е\ X, Р2	У- Рас-
смотрим отображение р\ х р2: Е± х —> X : У, (pi х p2)(ei х е2) = = (piei х р2е2). Утверждается, что это — накрытие. Доказательство мы опускаем, предоставляя его читателю.	.
326
Ответы и решения
Пусть 71 € тгДХ.хо), 72 € тгДУуо), од е тг„(Х, х0), а2 G 714 (У, у0), и пусть задана некоторая гомотопия Ft вдоль пути 71 сфероида ад так, что F0(o:i) = ai, Fi(ai) = 71 [од], Ft(ai) € 7rn(X, 7i(t)). Аналогично Ф(£): Фо(аг) = «2, $1(02) = 72[а2], $t(a2) € 7г„(V, 72(f))- Определим гомотопию вдоль петли 7 = (7Х ф72)(t) в X хУ сфероида а = (ах фа2) как Ft(at) х Ф4(а2). Тогда F1(al) х Ф1(а2) = 7[°д] Ф 72(0:2] • Итак, [71 Ф 7г][о1 Ф «2] = 71[од] Ф 72(02], но так как любая петля 7 и любой сфероид из X х Y имеют вид 71 ф 72 и од ф а2 для некоторых 71 € € Tri(X), 72 € 7ГП(У), ai € тгп(Х), а2 G тгп(У), то действие 7Ti(X х Y) на тгп(Х х У) полностью определено.
31.97.	Воспользуемся расслоением Хопфа S3 —> S2. Оно устроено следующим образом:
S3 = {(*!, г2): Ы2 + |z2|2 = 1} G С2, S2 = СР1, т.е. S2 = {(/Д, z2): (А/Д, Xz2) ~ (zi, z2)}. Получаем расслоение S3 —> —> S2. Для этого расслоения напишем точную последовательность
... -> TTjfS1) 7Ti(S3) -» Kj-itS1) -> ...
Из свойства последовательности яД.?3) = 7<i(S2) при i 3. По теореме Фрейденталя, гомоморфизм 7Tj_i(Sn-1) —> 77 (.Sn) является эпиморфизмом при г 2п — 2 и изоморфизмом при г < 2п — 2, т. е. гомоморфизмы 7Г1 (S'1) —> tt2(S2) -> 7Гз(53) являются изоморфизмами. Следовательно, ттз(S3) = Z. Так как тгД.?3) — 7Г»(52), г 3, то ^(S2) — Z.
34.1.	Достаточно рассмотреть уравнения Эйлера функционала действия и записать эти уравнения в локальных координатах. При этом следует использовать явные формулы для символов Кристоффеля.
34.2.	Следует выписать уравнения Эйлера для обоих функционалов, затем рассмотреть, что происходит с функционалами при замене параметра (времени) на экстремалях-решениях. Искомое утверждение следует из того, что функционал длины инвариантен при замене параметра, а функционал действия — не инвариантен.
34.3.	Доказательство сводится к прямому вычислению. Следует записать уравнение Эйлера в декартовых координатах и воспользоваться явными формулами для средней кривизны, подсчитанной для графика гладкой функции.
Ответы и решения
327
34.4.	Доказательство аналогично доказательству предыдущей задачи. Эта аналогия основана на том, что в обеих задачах коразмерность графика функции равна единице, поэтому тензор средней кривизны задается одной функцией — а именно, средней кривизной.
34.5.	Использовать классическое неравенство ь „ ь	ь
(J fgdtj	(J f2dt^ (J g2dt^.
а	а	а
34.6.	Возвести в квадрат подынтегральные выражения и сравнить их.
34.7.	Использовать локальную теорию уравнения Бельтрами- Лапласа, записанного в криволинейной системе координат. Из этой теории следует, что на двумерной поверхности, заданной аналитическими функциями, локально всегда можно ввести конформные координаты. Добавление условия, что средняя кривизна равна 0, превращает эти координаты в гармонические.
34.8.	Например, функция г(и, ц) = (и, ц, и2 — и2).
34.9.	а) Указание. Пусть г = 1, on, ю2 — ортонормированная пара векторов. Надо доказать, чтоо?(ш1, <д2)	1, гдеад(о>1, о>2) = А(ол, одг)-
Рассмотрим
Н =(u?i, ю2) = (S + iA)(од 1, од2) =S(wi, од2) + *Д(цД1, од2)	ид2).
Отсюда |Н(о>1,ад2)| = |Л(оД1, од2)| < |^г| • |w2| = 1. Пусть теперь Л(о>1, од2) = 1. Тогда Я(«1, ш2) = г, т.е. S(iwi, од2) = 1. Так как |ш2| — |го>1| = 1, то отсюда следует, что од2 = годх, т.е. двумерная плоскость, натянутая на Wj, од2, является комплексной прямой. Для г > 1 нужно воспользоваться соотношением: Н(2г)(оД1 -од2) = ydetgij, где gij — кососимметрическое скалярное произведение, определяемое 2-формой си^2\
б) Указание. Утверждение вытекает из неравенства Виртингера (см. выше) и из формулы Стокса. В самом деле, рассмотрим внешнюю 2-форму
" 1
ш = V dzk Л dzk и П^2г^ = —ш Л ... Л ш (г раз).
«У‘1
*=1
328
Ответы и решения
Так как dw = 0, то и dfl(2r) = 0. Из формулы Стокса следует:
w
При интегрировании формулы по 2г-мерному подмногообразию следует рассмотреть (в локальных координатах х1,..., х2г) выражение вида H(2r)(w1, W2r) dx1A.. .Adx2r, где w1;...,	— ортонормированный
базис касательной плоскости к подмногообразию (в римановой метрике, индуцированной объемлющей евклидовой метрикой вСп = К2п). Если подмногообразие W — комплексное, то
... , Ц>2г) = 1 и vol (IV) = f Q(2r\
w
Если подмногообразие V — общего вида (т.е. вещественно), то fi(2r)(wi, ..., w2r) 1, т.е. У^2г) vol(V), что и доказывает утвер-v
ждение;
в) вычисления, проведенные в пункте б), носят локальный характер, что позволяет провести их в окрестности каждой точки на кэлеровом многообразии. Формула Стокса, напротив, имеет место на любом гладком многообразии. Напомним, что кэлерова внешняя 2-форма замкнута. 34.10. По теореме о неявной функции, одну из координат, например хп, можно выразить (на поверхности уровня Fo = const) как гладкую функцию от остальных координат. После этого следует подставить эту функцию в уравнение Эйлера для эктремали функционала J.
35.10. Заметим, что открытый шар Вп и сфера Sn с выколотой точкой гомеоморфны. Докажем наше утверждение индукцией по размерности комплекса. Если размерность п = 0, то утверждение очевидно. Пусть утверждение верно для всех чисел, меньших п. Тогда по предложении индукции (п — 1)-мерный остов Кп~1 нашего комплекса вкладывается в евклидово пространство R'v. Это значит, что на Кп~г заданы непрерывные вещественные функции /1(х),..., fN(x), такие, что (/i(x), ..., /л(х)) / (/1(з/)> • • •> /г(у)) при х у. Пусть е", j = 1, ..., к, — все п-мерные клетки нашего комплекса. Тогда функции /,(х) определены на границе
Ответы и решения
329
каждой клетки е" (обозначим ее через е"). Пусть е” гомеоморфна внутренности Вп замнутого шара Dn. Тогда можно считать, что функции fi(x) заданы на Dn\Bn. Непрерывность их при этом сохраняется, взаимная однозначность может быть потеряна. Продолжим эти функции с Dn \ Вп на Вп (т. е. с е" на е") следующим образом. Пусть z G Вп и z 0. Полагаем /,(г) = |-г|Л(^/И). Если z = 0, то полагаем fi(z) = 0. Итак, мы продолжили функции fi до непрерывных функций на всем комплексе К. Теперь определим функции д{(х), ... ..., <7п+1(я). Вне е<* положим дЦх) =0, в = 1,..., n + 1, на е" полагаем
••• ,	4^+1(ж)) =
(•	। I	•	|| I । I чА
= I — 8Ш7Г Ж . .... т-7 81П7Г Ж , COS7T ж + 1	.
к И	И	)
Определим F: К RN+*(n+1) равенством
F(x) =	, fN(x); д}(х), ... , д„+1(х), gf (ж), ... , ^+1(ж)).
Отображение F взаимно-однозначно. Утверждение доказано.
35.13.	Следует рассмотреть сечение бутылки Клейна плоскостью так, чтобы получилось два листа Мёбиуса. Затем следует поднимать эту плоскость (отбросив один лист Мёбиуса), осуществляя в процессе подъема изображенную деформацию граничной окружности. В тот момент, когда эта окружность освободится от самопересечений и превратится в стандартно вложенную окружность, ее следует заклеить двумерным диском. Рассмотрев поверхность, получившуюся в процессе подъема плоскости и являющуюся следом деформировавшейся окружности, получаем погружение RF2 в R3.
35.14.	Множество точек самопересечения гомеоморфно букету из трех окружностей: S1 V S1 V S1. Вершина этого букета — трехкратная точка самопересечения, а любая точка букета, отличная от вершины, — двухкратная.
35.15.	Граница М2 построенной нормальной трубчатой окрестности радиуса е, очевидно, проектируется на RF2 (две концевые точки нормального отрезка переходят в его центр, лежащий на RF2). Таким образом, М2 является гладким думерным компактным замкнутым многообразием, двулистно накрывающим проективную плоскость. Если мы
330
Ответы и решения
докажем, что это многообразие связно, то тем самым будет доказано, что это — двумерная сфера, так как S2 — единственное двулистное связное накрытие над RF2.
Для установления связности достаточно рассмотреть две точки на М2, являющиеся концами одного и того же нормального отрезка, и предъявить на М2 путь, соединяющий эти две точки. Для построения такого пути достаточно рассмотреть точку Т на RF2, являющуюся центром рассматриваемого отрезка, и взять на RF2 замкнутый путь, начинающийся и заканчивающийся в точке Т и при передвижении вдоль которого меняется ориентация двуместного репера, скользящего вдоль пути и остающегося все время касательным к RF2. Тогда, дополнив этот репер третьим вектором, ортогональным к RF2, и рассмотрев след этого вектора, высекаемый им при непрерывном передвижении репера по замкнутому пути, мы и получаем на М2 непрерывный путь, соединяющий две выбранные нами точки.
Дополнительное замечание. Построенное погружение двумерной сферы в трехмерное евклидово пространство позволяет доказать замечательный топологический факт — возможность «выворачивания наизнанку» двумерной сферы в R3. Эта задача находится за пределами нашего курса, поэтому ограничимся только кратким пояснением. Указанное погружение S2 таково, что позволяет, оставаясь в классе регулярных погружений, поменять местами внешность и внутренность двумерной сферы. В самом деле, достаточно рассмотреть гладкую деформацию двумерной сферы вдоль нормального векторного поля, определяемого описанными выше нормальными отрезками. При этом внутренняя и внешняя поверхности сферы поменяются местами.
35.16.	Пусть ei,..., es — вершины комплекса К. Возьмем в R2n+1 точки е'1; ..., e's в общем положении, т.е. при j 2п + 2 любые j точки будут линейно независимы. Каждому остову Т = |е,0.. .eir | € К поставим в соответствие симплекс Т' = |e'n.. .e' J € R2n+1. Этот симплекс существует, так как в силу общего положения точек е{, ..., e's в R2n+1 и неравенства г п точки ei0, eir линейно независимы. Симплексы образуют комплекс, изоморфный комплексу Т', так как каждой вершине соответствует одна и только одна вершина из К.
Комплекс К — триангуляция. Для доказательства этого достаточно показать, что никакие два симплекса Т-, Tj € К' не пересекаются. Пусть е<0, • •e'ip — вершины I?; e'j0, ..., е'^ — вершины TJ (некоторые вер
Ответы и решения
331
шины могут быть общими). Пусть е'кс,..екг — все точки, являющиеся вершинами хотя бы одного из симплексов Т{ и Tj. Число т +1 этих точек удовлетворяет неравенству
т + 1 (р + 1) + (<1 + 1) (я + 1) 4- (п + 1) = 2п + 2.
В силу общего положения точек ej, ..e's в R2n+' точки ek0, , е.'к являются вершинами некоторого вырожденного симплекса То размерности не выше 2п +1. Симплексы Т- и Tj являются гранями Tq, а значит, не пересекаются, если они различны.
35.20.	Проверим, что для любого F G ехрА найдется множество вида О ((71, ..., Un) такое, что F € О (Ui, . -., Un). Это очевидно: F € О {X). Проверим теперь, что для любых 01 = О {Uy,.. .,Un),O2 = О(И, ..., Vk) таких, что Oi Г|О2 # 0, и для любого F € exp X такого, что F € 01Г)О2, найдется Оз = О (И], ..., Wm) такое, что О3 С OiOO2, причем F € О3.
Пусть F Е Oi П О2. Для любого i = 1,..., п рассмотрим множество Fi = Ui О F. Так как F € Oi, Fi ф 0. Так как F Е О2, най-i
дутся • ••, Y)t(i) такие, что J) С U У)р(*)- Можно считать, что р=1
{Т)р(1}} — все те из множеств Ц, ..., И, которые пересекаются с F,. Пусть Wi, ..., Wm — нумерация множеств {Vjp(i)} по всем г. По построению множеств Wt, F Е О (Ж1,  ., И'т). Кроме того, нетрудно видеть, что O(Wi, ..., Wm) С Oi П02. Итак, проверено, что множества вида О ((71, ..., Un) образуют базу некоторой топологии, что и требовалось доказать.
35.21.	Поскольку X — 7)-пространство, все его одноточечные подмножества замкнуты, следовательно, отображение f определено корректно. Ясно, что f — биекция на свой образ f(X) = ехрхА. Далее, пусть п
О {Ui, ..., Un) — окрестность точки {ж} в ехр А. Положим (7 = Q (71.
«=1
Множество U непусто, так как х Е Ui для всех г. Множество О ((7) является окрестностью точки {ге} в пространстве ехр А, причем О (U) С С О (171, •  (7„). Очевидно, что /-1(0((7)) = U, следовательно, f — непрерывно, так как (7 = /-1(О((7)) С f~l(O{U\, ..., (7П)). Открытость f очевидна, так как f(U) = О (17) П ехр2 X для любого открытого U в А'.
35.22.	а) Пусть X — регулярно. Пусть Fi Е ехрА, F2 Е ехрХ и М 7^ F2- Можно считать, что F2\Fi 0. В силу регулярности пространства
332
Ответы и решения
X найдутся такие окрестности U точки х и V множества F,, что U П П V = 0. Если Fa = {ж}, то О (F) и О {V) являются дизъюнктными окрестностями точек F| и F2 в пространстве ехрХ. Если Fj {ж}, то О (U, Хг\{ж}) и О (V) являются требуемыми окрестностями. Таким образом, ехрХ хаусдорфово;
б)	пусть ехрХ хаусдорфово. Пусть х Е X, F— замкнутое подмножество X такое, что х F. Точки F и F U {ж} являются различными точками в пространстве ехрХ. Следовательно, найдутся непересекаю-щиеся окрестности О {Ui, ..., Un) и О (Ц, ..., 14) точек F и F U {ж} (п \
U Ui) = /
(п \
U Ui I. Тогда у Е i=l J
€ Q Ui. Следовательно, {у} U F € О (Fi, ..., Un) Л О (И, ..., 14)> что г=1
противоречит выбору множеств О (Fi, ..., Un) и О (Ц, ..., 14)- Итак, / 71	\	71
V П I U	кроме того, х € V и F С U Следовательно,
М=1 /	i=l
п
V и U = (J Ui — дизъюнктные окрестности точки х и множества F t=i
соответственно, поэтому X — регулярно.
35.23.	Докажем эквивалентность условий а) и б). Пусть X нормально, F — замкнутое подмно?кество X, O(Ui, ..., Fn) — его окрестность в пространстве ехрХ. Заметим, что семейство {F,, ..., F„, X\F} является открытым покрытием X. Так как X нормально, по лемме об ужатии конечного открытого покрытия существует замкнутое конечное покрытие {Fi, ..., Fn, Fn+i} пространства X, причем Fi С Ui, г = 1, ..., п, Fn+i С X\F. Заметим, что F можно дополнить одной точкой так, чтобы выполнялось условие F, Л F / 0 (точку можно выбрать из множества U,; П F Д 0), поэтому можно считать, что условие F, П F 0 выполняется.
Так как X нормально, по лемме Урысона найдутся непрерывные на X функции fp X -4 [0, 1], г = 1,..., п+1, причем /f|Fj = 0, fi\x\Vi = 1-Для произвольного t > 0, i — 1,..., п положим
Vi,t = {ж I /Дж) <0 Wt = О (Ум, ... , V„>t).
Для любых q и г из отрезка [0, 1] таких, что q < г, верно условие С С Vj,r (где через А здесь и далее обозначается замыкание множества А).
Ответы и решения
333
Для дальнейших рассуждений нам понадобятся две вспомогательные леммы. Для подмножества Хо пространства X обозначим через ехр (Л'о, X) множество всех F С Л'о таких, что F 0 и F замкнуто в X.
Лемма 1. Пусть Xq С X, где X — Ti-пространство. Тогда
ехр (Хо, Х)е Р = exp (Xq , X).
Доказательство. Очевидно, что ехр(Хо, X-) С ехр(Хо, -У)- Заметим, что ехр (Хо, X) замкнуто в ехрХ, следовательно, ехр (Хо, X) С С ехр(Хо, X). Проверим обратное включение. Пусть Fq — произвольная точка из ехр(Хо, X), О (Ui, ..., Un) — произвольная окрестность этой точки. Имеем До С Хо и для всех г = 1,..., п Ui Г\ Fo 0. Следовательно, Ui П Хо 0, поэтому Ui П Хо # 0 для всех г.
Выберем Xi G Ui О Хо. Положим F = {я?!, ..., Хп}. Тогда F е € ехр (Хо, X) А О (J71, ..., Un), т. е. ехр (Хо, X) А О (Ui, ..., Un) 0. Итак, включение ехр(Х'о, Xr) С ехр(Х0, Хг) проверено, что и доказывает лемму.
Лемма 2. Пусть {14, ..., Un} и {Ц, ..., Vn} — два семейства открытых в Ту-пространстве X множеств и для любого i = 1, ..., п верно, что Vi С Ui, тогда
О (И, ..., K)expX С О (С/1, ... , ип) .
Доказательство:
O(Vi, ... , Vn) = ехр (|J V, х) A ^Q(expX\exp(X\Vi, X))) С так как замыкание пересечения содержится в пересечении замыканий
С ехр ((J Vi , х\ А (Р] (ехрХ\ехр(Х\И, Х)Й С 4=1	7 4=1	7
по лемме 1
С ехр (и Vi, х) А ^П(ехрХ\ехр(Х\Уй X))) С
334
Ответы и решения
по условию леммы
С ехр (|J Ui, Л (П (ехрХ\ехр (X\Ui, Х))^ = О (Ut, ... , Un).
Лемма 2 доказана.
По лемме 2 выполняется включение [W9] С Wr. Это означает, что пространство ехрАг допускает плотное дробление между произвольной точкой F и произвольным замкнутым множеством
Fi=expX\O(Fi,..., Fn),
следовательно, ехр X вполне регулярно.
То, что из условия б) вытекает в), — очевидно.
Докажем, что из в) вытекает а). Пусть Fq и Fy — непустые замкнутые непересекающиеся подмножества X. Рассмотрим
W = exp(Ar\Fi, ХУ,
W открыто в ехр А-, причем Fq G W. В силу регулярности пространства ехр А найдется окрестность O(Fi, ..., Un) точки Fo такая, что O(Ui, ..., Un) Р С W. Следовательно, Fq С |J Fj. Покажем, что 		i~l п_________________________________________п  	п  
U UiFFi = 0. Предположим противное. Тогда (J (F,0Fi) = (J (F,) Л i=i 	i=i	г=1
п
Г) Fj = |J Ui Г) Fi 0 и найдется по крайней мере один индекс j —
= 1, ..., п такой, что Uj П Fi 0. Для каждого i = 1, ..., п выберем по точке Xi G Ui, если г	j, и Xi G F, Л Fi, если г = j. Пусть
F = {xi | г = 1, ..., тг}. Легко видеть, что любая окрестность точки F в пространстве ехрX содержит точки из множества О (Ui, ..., Un), поэтому F G О(Fj, ..., Fn)exp% С W = ехр(X\Fb X). Но F Л Fi 0. Противоречие. п
Итак, (J Ui Л Fi — 0. Ввиду произвольности Fo и Fj это означает i=i
нормальность пространства X.
35.24.	Покажем, что ехрХ\ехрпХ открыто в ехрХ. Пусть F € G ехрХ \ ехрпАг. Тогда |F| > тг. Пусть xi, ..., xn+i — различные точки, принадлежащие F. Так как X хаусдорфово, для любого i найдется окрестность F, точки ж, такая, что UiCtfJj = 0 при i j. Положим
Ответы и решения
335
W = О (X, Ui, ..., Un+i). Тогда F G W. Кроме того, W П expn X = 0, так как если G 6 W, то |G| > п по построению множеств Ui, ..Un+1. Итак, expAr\expn X открыто, следовательно, ехрпАг замкнуто.
35.25.	Пусть х и у — две различные точки в пространстве X. Положим F = {ж, г/}. Тогда F € ехр2 Ar\expj X. Поскольку expi X замкнуто в ехр2А', то ехр2А’\ехр1А открыто. Следовательно, для F найдется W = О ((71, ..., (7П) — окрестность F в пространстве ехр2 X такая, что W П expj X = 0.
Положим Ох = F{U, | х € Ui}, Оу — С1{(7, | у € (7j). Нетрудно видеть, что х € Ох, у 6 Оу и Ох Л Оу = 0. Итак, X хаусдорфово, что и требовалось доказать.
35.26.	а) Пусть V — О (Ц, - -., Vk}, где Vi открыты в X. Докажем, что 7t~1V открыто в Хп. Пусть х = (®i, ..., хп) € тГп1^- Так как тгп® € V, не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что ц, ..., х^ € € Vi, ..., ®Jfc_1+i, ..., Xjk £ Vk- Положим
О = У, x ,.. x Vi x ... x Vk x ... x Vk .
31	Зк—Зк-1
Тогда О — окрестность точки х в Хп такая, что О С тг”1!/. Следовательно, тг”1!/ открыто;
б) пусть тг”1 V открыто. Докажем, что V открыто. Пусть х = (®i, ... ..., xm} € V, т п, где ц, ..., хт — различные точки в X. Пусть у € тг”1®. Тогда у = (у{), где j = 1, ..., т, у{ = Хр Так как тг”1!/ открыто, то для любого у € тг”1® найдется окрестность Оу = П О1 (у) г=1
такая, что Оу С тг”1!/. Положим
уетгп1^ г
Тогда W = 0(01, •••> От) — открытая окрестность точки ®, причем тг”1!!" С тг”1!/, следовательно, W С V, поэтому V открыто в expn X.
'35.27. Пусть [®] е SP&X = Хп/С. Рассмотрим точку (®i,-.-..., ®п) — любой представитель класса эквивалентности [®]. Для выполнения условия (1) необходимо, чтобы выполнялось тг£, G([®]) = [®]g, где [®]G = {(^cr(i)j жст(п])|сг € G}. Таким образом, единственность
336
Ответы и решения
отображения ttg,g проверена. Остается доказать независимость от выбора представителя (я^, ..хп). Пусть (ж9(1), ..я9(п)) —другой представитель класса [ж], где д G G'. Поскольку G' С G, то д € G, откуда Us(i), жд(п)) € {(я<7(1), •••» £<z(n))|cr € G}, что и требовалось доказать.
п
35.28. Пусть О С Хп открыто, О = И О,. Докажем, что 7TgO от-i=i
крыто. Для этого, согласно определению топологии в фактор-простран-стве Хп /G, достаточно проверить, что (7rG)-1(7rGO) открыто в Хп. В самом деле,
71
= J Ост(1) х ... х OCT(n) = J П°-(0-aEG	о EG i—1
Итак, открытость отображения ?rG проверена.
Пусть F С Хп замкнуто. Необходимо проверить, что 7TgF замкнуто. Пусть [ж] € SPgX \ttgF. Тогда [ж] = [(rr^i), ..., ж0-(п))], где (a;i, ..., хп) — какой-нибудь представитель класса [ж], причем (жст(1), ... ..., ха(п)) i F Для любого о € G. Так как F замкнуто, для любого д € G найдется множество Охд — окрестность точки хд = (ж9ц), • •., хд(п)) та~ п
кая, что Охд nF = 0. Можно считать, что Охд = П Of, причем ХдЩ € i=i
п
G Of для всех г = 1, .. .п. Положим Vi = Q Of, V = Г1 И- Тогда для 9gg	г=1
п
любой д £ G имеем f] Vg(i) Л F = 0. Следовательно, ttgV П irgF = 0. i=l
Кроме того, по доказанному, ttgV открыто в SPq(X), и, по построению, [ж] £ jrgV. Итак, SPq(X)\k^F открыто, следовательно, irgF замкнуто. 35.29. Докажем следующий общий факт:
Лемма. Пусть X, Y, Z — топологические пространства, f: X —> Y, д-. Y —> Z, h: X —> Z — непрерывные отображения, причем Д = д о f, и отображение f сюръективно. Тогда, если h открыто (замкнуто), то и д открыто (замкнуто).
Доказательство. Пусть h открыто. Докажем, что q открыто. Пусть V — открытое подмножество в Y. Тогда /-1И открыто в силу непрерывности /. Кроме того, g(f(f~1V)) = g(V), так как f сюръективно. С другой стороны, g(f(f~1V)) = б(/~хУ) открыто, так как h открыто. В случае, когда h замкнуто, доказательство аналогично. Лемма
доказана.
Ответы и решения
337
В нашем случае f = тг£,, д = ttg,g, h = тг£, где irG,G — отображение, существующее в силу задачи 35.27. Открытость и замкнутость отображений ttg, и ttg следует из задачи 35.28. Применяя лемму, получаем, что ttg,g открыто и замкнуто.
35.30.	Необходимо проверить, что V С expn X открыто тогда и только тогда, когда q~1V открыто в SPnX. Пусть V открыто в expn X. Проверим, что q^lV открыто в SPnX. Для этого, согласно определению фактор-топологии в SPnX, необходимо доказать, что (тгп)-1(д“ТИ) открыто в Хп. Но (тгп)-1(д“1V) = тг~1V, так как тгп = qn ° тг”, а множество тг“1V открыто в силу факторности отображения тгп. Так как q„1V открыто в SPnX, то (тгп)-1(д“1И) открыто в X. Но (тг”)~1(9~1У) = 7T“1V’, поэтому в силу факторности отображения 7ГП, V открыто в ехрпХ.
35.31.	Указание. Применить лемму Александера.
Решение. Пусть X — компакт. Тогда X регулярно, следовательно, ехр Л-хаусдорфово (см. задачу 35.22). Нам потребуется следующая вспомогательная лемма (лемма Александера): пусть в пространстве X существует такая предбаза В, что из любого покрытия пространства X элементами этой предбазы можно выбрать конечное подпокрытие, то X бикомпактно.
Заметим, что множества вида О (U) и О {X, U) образуют предбазу топологии Вьеториса. Пусть Р> — покрытие, состоящее из элементов этой предбазы. Покажем, что Т> содержит конечное подпокрытие. Положим W — Ar\Ufi, где fi = {V | О (X, V) G Т>}. Если W = 0, то fi является открытым покрытием X. Поскольку X бикомпакт, fi содержит конечное подпокрытие {Ц, ..., Иг}- Тогда семейство {О (X, И), ..., О {X, Иг)} является покрытием пространства ехрХ, поскольку для любой точки F € ехрАг соответствующее замкнутое множество F пространства X пересекается с каким-либо И, следовательно, F 6 О(Х, Vi).
Если же W не пусто, то W не пересекается ни с одним элементом семейства fi. Следовательно, найдется открытое множество U такое, что О (U) € Т), причем W С U.
Заметим, что fi является покрытием компакта X\U. Выберем из него конечное подпокрытие {Vi,..., Vn}. Тогда семейство {О (U), О {X, Ц), ..., О (А', И„)} является покрытием пространства ехр X, поскольку для любой точки F € ехр X либо F € О {X, И) для некоторого (п \
(J И ) = 0, а тогда F с U и, следовательно, F € О (U).
«=1 /
22 Зак. 359
338
Ответы и решения
Итак, из Т> можно выбрать конечное подпокрытие, следовательно, по лемме Александера, ехр Аг — компакт.
35.32.	Согласно задаче 35.31, ехр А — компакт. Согласно задаче 35.24, ехрпА замкнуто в ехр А. Следовательно, ехрпАг — компакт как замкнутое подмножество компакта.
35.33.	Так как X — компакт, то по теореме Тихонова Хп — компакт. Заметим, что SPgX является образом Хп при непрерывном отображении 7Г§. Итак, SPqX — компакт как непрерывный образ компакта Хп. 35.34. Пусть В — база топологии пространства X, F — замкнутое подмножество X. Пусть F € О {Vi, ..., Vn}, где множества V,, i = 1, ..., п, открыты в X. Для каждого г = 1, ..., п найдутся € В, a, € Ai (где Ai — некоторое множество индексов) такие, что V, — |J 17“' (по а.еЛ;
определению базы топологии). Тогда {17“' | г = 1, ..., п, G Аг} — открытое покрытие компакта F. Выберем из него конечное подпокрытие IV1, ..., Wm. Без ограничения общности рассуждений можно считать, что Wi	для любого г = 1, ..., т.
Очевидно, что F € O(Wi, ..., Wm} С О (Vi, ..., Vn). Таким образом, для любой точки пространства ехр Аг и для любой ее окрестности существует лежащая внутри нее другая окрестность вида О (Ui, ..., Un), где Ui € В, а В — база пространства X, что и требовальсь доказать.
35.35.	Поскольку компакт ехр X содержит expn X и, в частности, подпространство expj X, гомеоморфное X, выполняются неравенства w ехр X
wexpnA wX. Пусть wX = т. Согласно задаче 35.34, на ехрА-существует база топологии мощности т. Следовательно, wexp X wX, откуда мы заключаем, что wexpА” = wexpnX = wX.
Наконец, SP£X является непрерывным образом Хп и содержит X, следовательно, wX = wXn wSPgX wX, что и требовалось доказать.
35.36.	1) Неравенство рн(В\, Fj) О очевидно. Пусть pH(F\, F2} > 0. Предположим, что Fi F2. Можно считать, что Fa\Fi 0. Пусть х е F2\Fi. Положим d = inf р(х, у). Так как Fj замкнуто и х е F2, yeFi
то d > 0. Но F2 С OeFi для любого е > 0, в частности, F2 С O^F^.
Значит, найдется точка х' € Fj такая, что р(х, х') < Противоречие с выбором d, следовательно, Fi = F2.
Ответы и решения
339
2)	Очевидно, что Pn(F\, F2) - pH{F2, Fr).
3)	Проверим неравенство треугольника pH(J<\, F3) pH(Fi, F2) + + p„(F2, F3). Множество F2 содержится в (p„(Fi, F2) + е)-окрестности множества Fi. Множество F3 содержится в (p„(Fi, F2) + е)-окрестности множества F2. Из аксиомы треугольника для р следует, что любая точка из F3 удалена от Fi не более, чем на рн(F1; F2) + е + pH(F2, F3) +е. Так как е произвольно, отсюда следует неравенство треугольника для рн.
4)	Наконец, очевидно, что р(х, у) = рн ({ж}, {«/}).
35.37.	Пусть S = {Si, ..., Sm} € ехрХ-, тп п.
а)	Покажем, что каждая окрестность точки S в смысле топологии Вьеториса содержит окрестность этой же точки в смысле метрики Хаус-дорфа. Пусть О (Fi, ..., Uk) — окрестность точки S. Выберем е > О так, что для всех i = 1, ..., m и j = 1, ..., к из Si С Uj следует включение OE(Si) С Uj. Пусть Т Е ехрпХ — такая точка, что Pn(S, Т) < е. Тогда для всех t € Т существует Si € S такая, что p(s;, t) < е, т.е.
к
t € OE(si) С Uj для некоторого j. Следовательно, Т С |J Uj. Кроме 2=1
того, для каждого Uj можно выбрать точку s; € Uj такую, что найдется t € Т, удовлетворяющая условию p(sj, t) < е. Тогда t € Oe(sj) С Uj. Поэтому Т П Uj d для каждого j = 1, ..., к. Следовательно, Т € € О {Ui, ..., Uk). Итак, е-окрестность (в смысле метрики рн) точки S содержится в О {Ui, ..., Uk)',
б)	покажем, что каждая окрестность точки S в смысле метрики Хаус-дорфа содержит окрестность этой же точки в смысле топологии Вьеториса. Пусть е > 0. Положим Ui — OE(si), i = 1, ..., m. Тогда из условия Т е О (Fj, ..., Um) следует, что pH{S, Т) < е, т.е. О (Fi, ..., Um) содержится в е-окрестности точки S. W = О (Fi, ..., Un).
35.38.	Пусть (X, р) — метрическое пространство. Для точек [ж] и [у] из SPqX положим
Рс([ж],[«/]) = minmaxp(xi, ya{i)), trgG 2
где (iEi, ..., xn), («/1, ..., yn) — представители классов [ж] и [у] соответственно. Очевидно, что ре не зависит от выбора представителей классов И и [«/].
а) Проверим, что ре — метрика.
1)	Pg 0 — очевидно. Докажем, что условие Pg ([ж], [у]) = 0 равносильно совпадению классов [ж] и [у]. Действительно, если [ж] = [у], то для
22*
340
Ответы и решения
ст — е имеем тахр(ж£, рст(а) = тахр(ж£, yi) = тахр(ж£, х^ = 0 (можно i	' ' i	i
считать, что для совпадающих классов [ж] и [у] выбраны одинаковые представители, т.е. xt = yi). Обратно, пусть Pg([3;], [р]) = 0. Тогда найдется такая перестановка a € G, что х^ = уар) для всех г = 1, ..., п, откуда следует совпадение классов [ж] и [у].
2)	Докажем, что рс([ж], [р]) — Pg ([р], И). Действительно,
Рс(И, [у]) = тттахр(ж£, рст(£)) = min max р(рст(£), ж£) =
= min тахр(ру, ceG j
^->(») = ““jmaxpto- xa(j)) = Pg([p], И).
StCr J
3) Проверим неравенство треугольника pc (И, [p]) + Pg ([p], И)
Pg([z], M). Пусть pG(M, [2/]) = Pg(xs, ym), pG([p], M) = Рс(ур, zi),
Pg(M, И) = PG^'k, Zj). Пусть далее р(ж4, zi) = тахр(ж£, zi). Тогда,
согласно определению pc, выполняется следующее неравенство:
Р(хк, Zj) p(xt, zi).
Аналогично имеем р(ур, zi) p(ym, zi), p(xs, ут) p(xt, ут). Исходя из этих трех неравенств, имеем цепочку неравенств
Pg(W, [р]) + Pg([p], М) = p(xs, ут)+р(ур, zi)
> P(xt, Ут) + р(Ут, Zi) > p(xt, Z[) р(хк, Zj) = Pg(M, И), что и требовалось доказать.
Проверим, что рс порождает фактор-топологию в SPfiX. Пусть [ж] € € SPgX, Ое[ж] — открытая е-окрестность точки [ж] в метрике рс-Покажем, что Ое[ж] открыто в SP£X. Для этого нужно показать, что (7Гс)1^М открыто в Хп. Пусть у — (pi, ..., уп) € (7rg)-1O£[a;]. Тогда minmaxp^i, P<z(a) = Ei < £ Положим е2 — £ — £т >0. Пусть V = {z G € Xn\p(yi, Zi) < £2}- Заметим, что V является открытой окрестностью точки у в пространстве Хп. Легко проверить, что V С (irg)- 1Ое[ж].
Пусть теперь U — открытое подмножество в SPgX и точка [ж] лежит в U. Так как (Trg)-1{7 открыто в Хп, для любой подстановки о € G найдется ест > 0 такое, что
{Р € Агп |р(жст(£), yi) < Еа} С (7rg)-1{7.
Положим е = minECT. Тогда ОЕ[ж] С U. Итак, pg — метрика, порожда-a^.G
ющая топологию на SPgX, определяемую факторизацией Xn/G, что и требовалось доказать.
Ответы и решения
341
35.39*	Проверим, что тождественное отображение г: ехрХ -> (ехр X, рн) непрерывно. Из этого будет следовать утверждение задачи, так как непрерывная биекция компактов является гомеоморфизмом (напомним, что ехрХ — компакт по задаче 35.31).
Пусть точка F лежит в (ехрХ, рн). Рассмотрим произвольное е > 0. Для каждой точки х € Fo фиксируем Ое/2 (х) — открытую --окрестность точки х в метрике р. Семейство {Ое/2 (х) | х € Fo} является открытым покрытием компакта Fo- Выберем из него конечное подпокрытие {J71, ..., Un}. Заметим, что Fo € О (Fi, ..., Un). Пусть F — произвольная точка из О (Ui, ..., Un). Если у € F, то у € Uj для некоторого/ Заметим теперь, что FjC'Uj ф 0 при всех j и diamF? = -. Следовательно, р(у, Fo) < —. Поскольку точка у была выбрана произвольно, а также из компактности множества F следует, что F С Oe,2(Fo). Аналогично, Fo С <9e(F). Следовательно, Ph(Fq, F) < е. Таким образом, множество i(O (Fi, ..., Fn)) содержится в е-окрестности точки Fo, следовательно, отображение г непрерывно в точке Fo. В силу произвольности точки Fo отсюда следует непрерывность отображения г, что и требовалось до
казать.
35.40.	Это утверждение следует из задач 35.31-35.33 и 35.36-35.39.
35.41.	Пусть I = [0, 1]. Заметим, что отображение тг2: I2 —> ехр27 отождествляет точки квадрата /2, симметричные относительно диагонали Д = {(.т, х) |х 6 /}. В результате такого отождествления получается треугольник, который, очевидно, гомеоморфен I2.
35.42.	Отображение тг2: Н1 х Н1 —> ехр2 Hi отождествляет точки первой четверти плоскости IR2, симметричные относительно луча х = у. В результате этого отождествления получается пространство, состоящее из тех точек (х, у) Ей2, что х 0 и х у, которое, очевидно, гомеоморфно Н2.
35.43.	Отображение тг2: RxIR2 = к2 ч ехр2 IR отождествляет точки плоскости IR2, симметричные относительно прямой х — у. В результате получается полуплоскость, состоящая из тех точек (ж, у) 6 R2, что х у. Эта полуплоскость гомеоморфна Н2.
35.44.	Реализуем окружность как отрезок I = [0, 1] с отождествленными концами. Легко видеть, что Sl х S1 получается из квадрата I х I отождествлением точек вида (0, х) с точками вида (1, х) и точек вида {х, 0) с
342
Ответы и решения
точками вида (х, 1). Обозначим это отождествление через р. Проекция тгг: S1 х 51 —> expSi реализуется как композиция отождествления р и проекции ТГ2’. I х I —> ехр2 I.
Пусть Т = {(ж, у) € I2 | у х}. Легко видеть, что л 2 реализуется как отождествление точек множества Т, имеющих вид (ж, 1), с точками того же множества вида (0, х). Обозначим это отождествление через ~. Итак, ехр2 S1 гомеоморфно Т/ ~. Нетрудно проверить, что пространство Т/ гомеоморфно листу Мёбиуса.
35.45.	Пусть Т — множество точек куба I3, координаты которых удовлетворяют условию xi Х2 и Xi хз. Легко видеть, что 1(3) получается из множества Т отождествлением точек, лежащих на гранях множества Т, удовлетворяющих условиям ii = 12 и г, = а?3 и переходящих друг в друга при повороте вокруг прямой a?i — а?2 = х3 на угол 2тг/3. Заметим, что результат этого отождествления гомеоморфен конусу над квадратом I2, а этот конус в свою очередь гомеоморфен I3, что и требовалось доказать.
35.46.	См. решение задачи 35.62.
35.47.	Пусть Т — множество точек куба I3, координаты которых удовлетворяют условию Х2 Х3. Очевидно, что Т — трехмерный симплекс. Заметим, что ехр3 I получается из Т отождествлением точек, лежащих на гранях xi = а?2 и а?2 = х3 этого симплекса, при котором точка (t, t, z) переходит в точку (z, z,t). В результате этого отождествления получается конус, который гомеоморфен I3.
35.48.	Заметим, что Hi гомеоморфно полуинтервалу [0, 1). Положим Т = {(xi,X2, х3) € [0, l)3|a?i	а?2, a?i ж3}. Заметим, что йг1(3)
получается из Т отождествлением точек граней xi = Х2 и xi = х3 множества Т, переходящих друг в друга при повороте на угол 2л/3 вокруг прямой xi = Х2 = х3. В результате такого отождествления получается множество, гомеоморфное конусу без точек основания. Легко видеть, что такой конус гомеоморфен Н3.
35.49.	Заметим, что Hi гомеоморфно полуинтервалу [0, 1). Положим Т — {(a?i, а?2, ж3) € [О, I)3 |Xi а?2	х3}. Легко видеть, что Т го-
меоморфно SF3(№). С другой стороны, Т — трехмерный симплекс, у которого выброшены точки одной из граней, следовательно, Т гомеоморфен Н3.
Ответы и решения
343
35.50.	Заметим, что Hi гомеоморфно полуинтервалу [0, 1). Положим Т = {(ж1,Т2,Хз) £ [0, I)3 | xi а?2 > х3]. Тогда ехр3 (Я1) получается из Т отождествлением точек граней a?i = х% и а?2 = х3 множества Т, при котором полуинтервал {х3 = х3 = 0} переходит в полуинтервал {a?i = Х2, х3 = 0}, интервал {х3 = ^31 Ж1 = 0}в интервал {xj = x2 = 1}-В результате такого отождествления получается множество, гомеоморфное конусу без точек основания, а оно в свою очередь гомеоморфно Н3, что и требовалось доказать.
35.51.	Заметим, что К гомеоморфно (0, 1). Далее, аналогично решению задачи 35.48, получаем, что R(3) гомеоморфно конусу без точек границы, т.е. открытому шару, который, очевидно, гомеоморфен R3.
35.52.	Заметим, что R гомеоморфно (0, 1). Далее, дословно повторяя рассуждения из задачи 35.49, видим, что S'F3(K) гомеоморфно трехмерному симплексу, у которого выброшены точки двух граней, а такой симплекс гомеоморфен Н3.
35.53.	Заметим, что R гомеоморфно (0, 1). Далее, аналогично решению задачи 35.50, получаем, что ехр3 (R) гомеоморфно конусу, у которого выброшены точки основания и боковой поверхности. Это множество гомеоморфно открытому шару, который в свою очередь гомеоморфен R3.
35.54.	Пусть X — клеточное пространство. Через Хп будем обозначать n-мерный остов X. Нам потребуется следующее вспомогательное предложение.
Теорема о фундаментальной группе клеточного пространства. Пусть X — клеточное пространство с единственной нульмерной клеткой е°, одномерными клетками	и двумерными
клетками	Пусть flj € тг^Х1) — элемент группы тг^Х1),
порожденный «приклеивающим» отображением gi : S1 —> X1 (j = = 1, ..., М). Тогда fti(X, е°) есть группа с системой образующих {е|} и системой определяющих соотношений Pj = 1 (j = 1, ..., М).
Доказательство этой теоремы можно найти в стандартных руководствах по гомотопической топологии.
Реализуем окружность как отрезок J = [0, 1] с отождествленными концами. Тогда (S'1)3 получается из I3 отождествлением точек противоположных граней куба I3.
Пусть Т = {(a?i, Х2, х3) 6 I3 |з?1 ж2 а?з}- Легко видеть, что Т — трехмерный симплекс. Положим А = (0, 0, 0), В = (1, 0, 0), С = = (1, 1, 0), D = (1, 1, 1). Тогда А, В, С и D — вершины симплекса Т.
344
Ответы и решения
Легко видеть, что ехр3 (S1) получается из Т отождествлением точек граней АВС и BCD, причем точка В отождествляется с точкой А, точка D отождествляется с С, точка С отождествляется с В, а также отождествлением точек граней ADC и ABD, причем точка В отождествляется с точкой С. Заметим, что при таком отождествлении точки А, В, С, D переходят в одну точку. Обозначим ее через е°. Кроме того, ребра АВ, ВС, CD, АС и BD переходят в окружность, которую обозначим через а, а ребро BD переходит в окружность, которую мы обозначим через (3. Теперь нетрудно заметить, что ехр3 (S1) является клеточным пространством с нульмерной клеткой е° и одномерными клетками а и /3. Согласно теореме о фундаментальной группе клеточного пространства, 7Г1(ехр3 (S'1), е°) есть группа с системой образующих {а, /3} и определяющими соотношениями а2 о а-1 = 1, а2 о = 1. Отсюда мы заключаем, что а — [3 = 1, следовательно, группа 7Г1(ехр3 (S'1), е°) тривиальна. Остается только заметить, что в силу связности ехр3 (S1) фундаментальная группа не зависит от выбора отмеченной точки е°. Итак, ехр3 (S1) односвязно, что и требовалось доказать.
35.55.	Как и в решении задачи 35.54, реализуем S1 как отрезок I = = [0, 1] с отождествленными концами и полагаем Т = {(^i, а?2, а?з) € € I3 |a?i а?2	а?3} — симплекс с вершинами А = (0, 0, 0), В =
= (1, 0, 0), С — (1, 1, 0), D = (1, 1, 1). Нетрудно видеть, что SF3(5'1) получается из Т отождествлением точек граней АВС и BCD, причем ребро АВ отождествляется с ребром ВС, ребро ВС — с ребром DC, а ребро АС — с ребром BD. При этом, как легко заметить, все точки А, В, С, D переходят в одну, которую мы обозначим через е°. Далее, окружность, в которую переходят ребра АВ, ВС и CD, обозначим через а, окружность, в которую переходят ребра АС и BD, обозначим через [3, и, наконец, окружность, в которую переходит ребро AD, обозначим через 7-
Легко видеть, что 5Р3(5г) является клеточным пространством с вершиной е° и одномерными клетками а, [3, 7. Согласно теореме о фундаментальной группе клеточного пространства (см. решение задачи 35.54), tti(SF3(S1), е°) является группой с образующими а, /3, 7 и с определяющими соотношениями а2(3~г — 1, (ЗагС1 = 1. Легко видеть, что система определяющих соотношений равносильна системе а2 = (3, а3 ~ 'у. Таким образом, любой элемент группы tti(SF3(S1), е°) представим (при
Ответы и решения
345
чем единственным образом) в виде а11, п € Z, откуда мы заключаем что тг1(5'Р3(5'1), е°) w Z. Следовательно, SP^S1) неодносвнзно.
35.56.	Полагаем Т = {(a?i, ж2, жз) 6 I3 | Яд ж2, Х1 ж3}. Нетрудно видеть, что Т — многогранник с вершинами А = (0, 0, 0), В = (1, о, 0), С = (1, 1, 0), D = (1, 1, 1), Е = (1, 0, 1). Заметим, что 5'1(3) получается из Т отождествлением граней AED и ACD, при котором «скле
иваются» точки, получающиеся друг из друга поворотом на угол 2тг/3, в частности, точка Е отождествляется с точкой С, а также отождествлением точек треугольников ABE, BED, АВС и BCD. Обозначим это отождествление через ~. Тогда АВ~ВС~CD ~BE~ED, AC ~ BD.
Обозначим окружности, в которые переходят при таком отождествлении ребра АВ, АС и AD, через а, (3 и 7 соответственно, через е° обозначим точку, в которую переходят вершины Т. Нетрудно видеть, что S1 (3) является клеточным пространством с вершиной е° и одномерными клетками а, (3 и 7. По теореме о фундаментальной группе клеточного пространства (см. решение задачи 35.54), группа tti(5'1(3), е°) является группой с образующими а, /3, 7 и определяющими соотношениями а2/?-1 = 1, /Зегу-1 = 1. Эта система определяющих соотношений равносильна системе а2 = (3 и а3 = 7, следовательно, любой элемент группы tti(S'1(3), е°) однозначно представим в виде а11, п G Z. Итак, ТГ1(5'1(3), е°) и Z, в частности, 5'1(3) неодносвнзно.
35.60.	Предположим противное: пусть существует вложение прост-.	/	1\	/1	2\	/2	\
ранства ехр41 в R. Пусть	Ui =	I1,	- I,	U3 =	I -,	- I,	U3 =	I -,	1 I	—
\	/	\ ’J	о J	\	/
открытые дизъюнктные подмножества отрезка I. Пусть
V = {х € ехр4 11 х = {a?i, ж2, ж3) и Xi G Ui для i — 1, 2, 3}.
Нетрудно видеть, что V гомеоморфно IR3. Пусть О = (Ui, U2, U3). Положим Wi = {х е ехр411 х € О, |а?| = 4 и |ж П [7j| = 2}. Нетрудно заметить, что Wi гомеоморфно IR4 для каждого i и Wi П Wj = 0 Vz j. Кроме того, очевидно, что множество V является общей границей для множеств Wi, i = 1,2, 3. Следовательно, в В4 нашлось множество, гомеоморфное R3 и являющееся общей границей для трех непересекаю-щихся множеств, каждое из которых гомеоморфно R4, что противоречит теореме Жордана. Итак, ехр4/ R4, что и требовалось доказать.
35.61.	Предположим противное: пусть ехр41 является 4-многообразием. Рассмотрим произвольную точку х = {27, х2, а:3} € ехр4/, где 0 < a?i < ж2 < хз <1. Согласно нашему предположению, у точки х
346
Ответы и решения
найдется окрестность, гомеоморфная R4. Можно считать, что эта окрестность имеет вид О = О {Ui, U2, U3), где Ui, U2 и U3 — дизъюнктные окрестности точек жх, Ж2 и ж3 соответственно, причем 0 £ U\ и 1 0 U3. Пусть V = {ж € О | |а?| = 3}. Легко видеть, что Wi П И-j = 0 Vi j.
з
Пусть W = O\V. Нетрудно заметить, что W = |J Wi, причем W} — г=1
открыто-замкнуты в W. Таким образом, W имеет по крайней мере три компоненты связности, откуда следует, что множество, гомеоморфное R3, разбивает пространство R4 более чем на две компоненты связности, что противоречит теореме Жордана. Полученное противоречие показывает, что ехр41 не многообразие, что и требовалось доказать.
35.62.	Построим отображение h: SPnI —> 1п следующим образом. Пусть [ж] G SPnI. Тогда полагаем Д([ж]) = (жх, ..., жп), где (жх, ..., жп) — такой представитель класса [ж], что жх жг ^ ... ^ жп. Пусть Тп — {ж € Хп | Ж! жг ... жп}. Заметим, что Тп — n-мерный замкнутый симплекс. Таким образом, h отображает SPnI на Тп.
Очевидно, Тп гомеоморфно «-мерному кубу 1п. Следовательно, нам достаточно проверить, что h — гомеоморфизм. Инъективность и сюръективность отображения h очевидны. Заметим, что Л.'1 непрерывно, так как h"1 = тгп|тп. Кроме того, согласно задаче 35.33, SPnI — компакт. Следовательно, /г-1 — гомеоморфизм (как непрерывная биекция компактов), поэтому и h — гомеоморфизм.
35.63.	Заметим, что Hi гомеоморфно полуинтервалу [0, 1). Пусть [ж] G SpnH1, (жх, ..., жп) G [О, 1)п — такой представитель класса [ж], что Ж1 жг ^ ... ^ жп. Положим 7г([ж]) = (жх, ..., жп). Тогда h является биекцией пространства SPnH1 на пространство Y — {ж € [О, 1)п| Ж1
жг ... 4$ жп). Покажем, что h — гомеоморфизм. Действительно, /1-1 непрерывно, так как /i-1 = тгп|у. Проверим, что h непрерывно. Пусть U — открытое подмножество в Y. Тогда й-1(С/) = тгг'([/) открыто, поскольку отображение тг" открыто. Итак, h — гомеоморфизм.
Далее, легко видеть, что Y является «-мерным симплексом, у которого выброшены точки грани хп = 1, а такой симплекс гомеоморфен Нп, что и требовалось доказать.
35.64.	Заметим, что R гомеоморфно (0, 1). Так же, как и при решении задачи 35.63, строим гомеоморфизм h: SPnR -> Y, где Y = {ж G G (0, l)n IЖ1 Ж2 ^ ... ^ жп}. Легко видеть, что Y является «-мерным
Ответы и решения
347
симплексом, у которого выброшены точки граней хп = 1 и xi — 0; следовательно, Y гомеоморфен Нп, что и требовалось доказать.
35.66.	Пусть М — произвольное «-многообразие, п 1. Предположим противное, а именно, что М (4) является 4«-многообразием. Пусть а — произвольная точка многообразия М, U(a) — окрестность этой точки, гомеоморфная IR4. Обозначим через М' множество точек [ж] € М(4), у которых найдется представитель (ж1, ж2, х3, ж4) класса [ж] такой, что Xi G U(a) для всех г. Заметим, что по определению топологии в М(4) подпространство М' открыто в Л£(4) и, в частности, также является многообразием. С другой стороны, по выбору окрестности [7(a), имеем М' = IRn(4). Таким образом, нам достаточно свести к противоречию предположение о том, что IRn(4) — многообразие.
35.67.	Предположим противное. Рассмотрим любые различные точки х, у € М2. Тогда {ж, у} G ехр3№. По нашему предположению, найдется окрестность этих точек в пространстве ехр3Л72, гомеоморфная IR6. Можем считать, что эта окрестность имеет вид О {U, V), где U и V — дизъюнктные окрестности точек ж и у соответственно. Более того, поскольку М2 — двумерное многообразие, можно считать, что U и V гомеоморфны IR2. Так как [7ПУ = 0, то ехрх М2ПО ([7, V) = 0. Положим А = ехр2 М2 П О (U, V), В = {z G ехр3 М2 | \z\ = 3} П О {U, V). Тогда нетрудно видеть, что А гомеоморфно IR4. Кроме того, О (U, У)\А несвязно. Действительно, 0{U,V)\A = Bi UB2, где Bi = {z = = {sei, ж2, ж3} € В | Ж] € U, ж2 € U, х3 G V}, В2 = B\Bi и точку из Bi нельзя соединить с точкой из В2 путем, лежащим в В.
Будем говорить, что пространство X разбивается своим подпространством У, если АЛ\У несвязно. Тогда из сказанного выше следует, что О {U, V) разбивается множеством А. Напомним, что 0{U, V) « IR6, А гомеоморфно IR4. Следовательно, пространство IR6 разбивается множеством, гомеоморфным IR4, что противоречит следующей известной теореме:
Теорема. Пространство IRn не разбивается никаким лежащим в нем множеством размерностью, не превосходящей п — 2.
Из полученного противоречия мы заключаем, что ехр3 М2 — не многообразие, что и требовалось доказать.
35.70.	Пусть (ж, у) G IR2. Полагая z = ж 4- гу, отождествляем IR2 с комплексной плоскостью С. Таким образом, надо показать, что SPnC = = Сп. Пусть [(z4, ..., zn)] G SPnC. Поставим в соответствие классу
348
Ответы и решения
[(zj, ..zn)] набор коэффициентов многочлена P(z) = (z—zi).. .(z—zn):
[01, • • • , zn)] I-» (an_i, ... , я0) G Cn.
Легко видеть, что полученное отображение ft SPn<C —> Сп является сюръективным и инъективным (действительно, любой многочлен над полем комплексных чисел имеет ровно п корней, которые однозначно определяются его коэффициентами). Кроме того, коэффициенты многочлена непрерывно зависят от его корней и обратно, корни многочлена являются непрерывными функциями его коэффициентов, откуда мы заключаем, что построенное отображение f является гомеоморфизмом, что и требовалось доказать.
35.71.	Обозначим через С расширенную комплексную плоскость. Заметим, что сфера S2 гомеоморфна С, следовательно, SPnS2 гомеоморфно SPn<C. Построим отображение f: С” —> <СРп, ставящее в соответствие вектору (zi, ..., zn) G С” класс эквивалентности [яо, , ап] = = {(сяо, .., сяп) | с G С\{0}} G СРп таким образом, что zi, ..., zn — корни многочлена F(z) = ao + ajz + .. . + anzn, а вектору вида (zi, Z2,    ..., Zk, сю, ..., сю) — класс эквивалентности [яо, ..., ak, 0, ..., 0], при-
n—k
чем zi, ..., Zk — корни многочлена F(z) — яо + a±z + ... 4- akZk.
Докажем, что отображение h непрерывно, замкнуто и сюръективно. Сюръективность f очевидна, так как любой многочлен степени п имеет ровно п корней над полем С. Непрерывность f в точках (zj, ..., zn), где Zi сю для всех г, следует из того, что вектор (яо, ..., an_j, 1), составленный из коэффициентов многочлена F(z) = (z — zi).. .(z — zn) и рассматриваемый как функция от набора zj, ..., zn, непрерывен по совокупности переменных (zi, ..., zn}.
Покажем на примере С , что f непрерывна в точке (zi, сю). Пусть z2 сю, z2 Ф 0. Тогда
/(zi, z2) = [Z!Z2, -(zi + z2), 1] =
lim /(zi, z2) ~ [zr, -1, 0] = /(zi, co), 22^00
t.e. f непрерывна в точке (zi, сю) G С . В случае произвольного п непрерывность доказывается аналогично.
Отображение f порождает на С” = (S2)n естественное отношение эквивалентности х ~ у О f(x) = f(y)- Легко видеть, что это отно
Ответы и решения
349
шение совпадает с отношением эквивалентности, порожденным отображением тг”: С” = (S2)n —> SPnC. Напомним, что образом / является <СРп. Итак,
SPnS2 = SPnC “ С"/ Сп/ СРп, что и требовалось доказать.
35.72.	Как и при решении задачи 35.70, отождествляем К2\{0} с С\{0) и строим отображение /: 5'Fn(lR2 \{0}) —> Сп. Образом этого отображения являются векторы (яп_!, ..., яо), удовлетворяющие условию яо 0, и только они. Множество этих векторов естественным образом гомеоморфно произведению Сп-1 х (С\{0}), которое в свою очередь гомеоморфно (R2\{0}) х К2п“2, что и требовалось доказать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии.—М.: Изд-во Моск, ун-та, 1981.
2.	Кованцов Н.И. и др. Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ.—Киев, 1989.
3.	Васильев А.М., Соловьев Ю. П. Дифференциальная геометрия (методические указания).—М.: Изд-во Моск, ун-та, 1988.
4.	Трофимов В. В. Задачи по теории групп и алгебр Ли.—М.: Изд-во Моск, ун-та, 1990.
5.	Рохлин В. А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии (геометрические главы).—М.: Наука, 1977.
6.	Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии.—М.: Наука, 1971.
7.	Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.—М.: Наука, 1986.
8.	Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии.—М.: Наука, 1987.
9.	Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.—М.: Изд-во Моск, ун-та, 1980.
10.	Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология.—М: Мир, 1970.
11.	Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию.—М: Мир, 1957.
12.	Р а ш е в с к и й П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.—М.: Наука, 1967.
13.	Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии.—М.: Го-стехиздат, 1956.
14.	Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1982.
15.	Мантуров О.В. Элементы тензорного анализа.—М.: Просвещение, 1991.
16.	Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1970.
17.	Буземан Г. Геометрия геодезических.—М.: Физматгиз, 1962.
18.	Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия.—М.: Наука, 1974.
Список литературы	351
19.	Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей.— М.: Наука, 1969.
20.	Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей.—М.: Гостехиздат, 1948.
21.	Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии.—М.: Гостехиздат, 1952.
22.	Гр омол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом.—М.: Мир, 1971.
23.	Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.—М.: Гостехиздат, 1961.
24.	Gerd Fischer Mathematical Models. В 2-х томах.— Draunschweig/Weisbaden (Germany): Friedr. Vieweg & Sohn.
Учебное издание
МИЩЕНКО Александр Сергеевич СОЛОВЬЕВ Юрий Петрович ФОМЕНКО Анатолий Тимофеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
Редактор Л.А. Панюшкина
Компьютерная графика М.В. Ивановского Компьютерная верстка А.С. Фурсова
ИД №01389 от 30.03.2000 Гигиеническое заключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01 от 05.07.2001 г.
Подписано в печать 18.12.2001. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 24,2. Тираж 1000 экз.
Издательство Физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с готовых диапозитивов ГУП «Облиздат»
248640 Калуга, пл. Старый торг, 5
Заказ №359