Текст
                    A. с. Мищенко
Ю. П. Соловьев
А. Т. Фоменко
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ТОПОЛОГИИ
Москва 2000


Сфера Александера: топологическое вложение двумерной сферы в R^, при которым образ сферы разделяет R^ на две открытые области. Одна из них — niap, а вторая — неодносвязна. (Рис. А.Т.Фоменко)
Предисловие Настоящая книга — «Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии»предназначена для обеспечения учебного процесса по курсам дифференциальной геометрии и топологии на механико-математических специальностях университетов и педагогических ВУЗов. "Сборник задач ..." призван в максимальной степени отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии, как со стороны новых программ, так и со стороны других курсов математики, физики, механики. Кроме того, издание "Сборника ..." сделает доступными для nin- рокой математической общественности новые научно-методические разработки ведущих ученых в области дифференциальной геометрии, топологии, алгебры и механики. «Сборник задач ... »может служить основой для практических занятий по курсам дифференциальной геометрии и топологии на математических и механических специальностях университетов и педагогических ВУЗов как российских, так и стран СНГ — таких, как Белоруссия, Украина, Грузия, Казахстан, Туркменистан, Литва, — откуда в последние годы неоднократно поступали прямые запросы на сборник задач такого рода. Кроме того, он может быть использован для поддержки разнообразных специальных курсов по различным разделам современной геометрии и ее приложениям к механике и математической физике. «Задачник ...»состоит из двух частей. Первая часть содержит задачи по стандартным разделам дифференциальной геометрии и топологии. Этот материал перекрывает необходимый минимум задач по стандартным курсам геометрии и топологии. Вторая часть содержит задачи, предназначенные для более глубокого усвоения современной геометрии и ее приложений. В книге представлены следующие темы: теория кривых (включая эволюты и эвольвенты), теория поверхностей, системы координат, рима- нова геометрия, классические метрики (на сфере, плоскости Лобачевского и т.п.), топологические пространства, многообразия (включая элементы расслоенных простраств, фазовые и конфигурационные пространства), топология двумерных поверхностей, двумерные поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, группы и алгебры Ли (включая маломерные группы Ли, их параметризации, часто используемые в механике) векторные поля и тензоры, дифференциальные формы (включая интегрирование и теорию де Рама, и т.п.), связности и параллельный перенос, геодезические, тензор кривизны, элементы алгебраической топологии (эйлерова характеристика, индекс векторного поля, индекс пересечения и т.п.), связ-
ности и группы Ли. Книга также содержит как дополнительные задачи по темам отраженным в первой части, так и задачи по некоторым новым темам, затрагивающие более глубокие вопросы дифференциальной геометрии и топологии. Среди новых тем, представленных во второй части, следует отметить: компьютерная геометрия и топология, кинематика и геометрия, геометрические конструкции (такие, как джеты, многообразия Штифеля и Грассмана и т.п.), производная Ли, задачи на упаковку, комбинаторная геометрия на плоскости и в пространстве, элементы ги- мильтоновой механики. Настоящий сборник задач является естественным дополнением к учебнику А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко "Курс дифференциальной геометрии и топологии", переизданному в 2000 году. В значительной степени настоящий «Сборник задач ... »базируется на книге А.С.Мищенко, Ю.П.Соловьева, А.Т.Фоменко, «Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии», вып1едп1ей в изд-ве МГУ в 1981 году. Здесь следует отметить, что потом, в 1998 году, электронная версия этого предыдущего задачника была создана А.А.0п1емковым. Затем, в 1998-1999 годах на механико-математическом ф-те МГУ по инициативе кафедры дифференциальной геометрии и приложений на факультете был организован специальный научно-методический семинар по составлению нового «Сборника задач ...». Семинаром руководили профессор А.С.Мищенко, профессор Ю.П.Соловьев и академик А.Т.Фоменко. В силу перечисленных обстоятельств в качестве авторов на обложке книги указаны именно эти три фамилии. Однако, фактически в создании «Сборника задач .. .»принимал участие больпюй коллектив известных ученых, выдающихся специалистов в области современной геометрии, топологии, алгебры, механики и приложений:В академик РАП, проф. В.В.Козлов, проф. В.В.Федорчук, проф. А.В.Болсинов, проф. Э.Р.Розендорн, проф. В.В.Трофимов, проф. А.А.Борисенко (Харьков), проф. П.Х.Сабитов, проф. Е.В.Троицкий, проф. А.О.Иванов, проф. А.А. Тужилин, ст.научн.сотр. Г.В.Носовский, п.с. А.П.Шафаревич, доцент А.А.0п1емков, м.н.с. Ф.Ю. Попе ленский, асе. Е.А.Кудрявцева. Самое активное участие в работе семинара, составлении задач и их ре- niennn, принимали практически все студенты и аспиранты кафедры дифференциальной геометрии и приложений мех.-матем.ф-та МГУ. Всем им выражаем глубокую благодарность. В области дифференциальная геметрии и топологии существует несколько сборников задач, учебников и учебных пособий. Среди них следует упомянуть следующие. 1. Мищенко А.С, Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т., "Сборник задач по
дифференциальной геометрии и топологии", изд-во МГУ, 1981 г. 2. Кованцов Н.И. и др., "Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ", Киев, 1989 г. 3. Васильев A.M., Соловьев Ю.П., "Дифференциальная геометрия (методические указания)", изд-во МГУ, 1988 г. 4. Трофимов В.В. "Задачи по теории групп и алгебр Ли", изд-во МГУ, 1990 г. 5. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. "Начальный курс топологии (геометрические главы)", Москва, Наука, 1977 г. 6. Розендорн Э.Р. "Задачи по дифференциальной геометрии". Наука, 1971 г. 7. Дубровин Б.А., Новиков С.Н., Фоменко А.Т. "Современная геометрия". Наука, 1986 г. 8. Новиков С.Н., Фоменко А.Т. "Элементы дифференциальной геометрии и топологии", Москва, Наука, 1987. 9. Мищенко А.С, Фоменко А.Т. "Курс дифференциальной геометрии и топологии", Изд-во МГУ, 1980 г. 10. Шварц Дж. "Дифференциальная геометрия и топология", М: Мир, 1970 г, 11. Бляп1ке В. "Введение в дифференциальную геометрию", М: Мир, 1957 г. 12. Рап1евский Н.К. "Риманова геометрия и тензорный анализ", Москва, Наука, 1967 г. 13. Рап1евский Н.К. "Курс дифференциальной геометрии", Москва, Гостехиздат, 1956 г, 14. Торн Дж. "Начальные главы дифференциальной геометрии". Мир, 1982 г. 15. Мантуров О.В. "Элементы тензорного анализа", Просвещение, 1991 г. 16. Стернберг С. "Лекции по дифференциальной геометрии". Мир, 1970 г. 17. Буземан Г. "Геометрия геодезических", ФизМатГИз, 1962 г. 18. Ногорелов А.В. "Дифференциальная геометрия". Наука, 1974 г. 19. Ногорелов А.В. "Внеп1няя геометрия выпуклых поверхностей". Наука, 1969 г. 20. Александров А.Д. "Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей", Гостехиздат, 1948 г. 21. Фиников С.Н. "Курс дифференциальной геометрии", Гостехиздат, 1952 г.
22. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. "Риманова геометрия в целом". Мир, 1971 г. 23. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. "Наглядная геометрия", Гостехиздат, 1961г. 24. Gerd Fischer. "Mathematical Models", 2 тома, Friedr. Vieweg & Sohn. Draunschweig/Weisbaden, Germany Следует заметить, что сборники задач но дифференциальной геометрии и топологии, изданные в последнее время, выходили малыми тиражами, и поэтому практически недоступны. Книги же, изданные ранее и более крупными тиражами, уже разоп1лись, стали антикварной редкостью. Кроме того, материал некоторых книг в значительной мере устарел и нуждается в обновлении. Это связано, с одной стороны, с соверп1енствова- пием программ математических курсов, с другой — с тем, что со стороны других курсов, использующих или опирающихся на методы дифференциальной геометрии и топологии, значительно изменились и усилились требования к геометрическим курсам. Все это сделало издание "Сборника задач по дифференциальной геометрии и топологии" особенно актуальным. Мы собрали больпюй научно-методический материал, по больп1ей части неизвестный п1ирокой математической общественности. Неизвестный в силу нескольких причин, основными из которых являются следующие. Во-первых, многие задачи возникли во время собственных научных исследований участников упомянутого вып1е семинара. Во-вторых, некоторые задачи появились в результате дискуссий на заседаниях семинара. Наконец, достаточно больпюе количество задач было извлечено из старой математической литературы, уже давно ставп1ей антикварной редкостью, и поэтому недоступной современным студентам и преподавателям. Из собранного таким образом научно-методического материала и сформировался настоящий «Сборник задач по дифференциальной геме- трии и топологии». Особо отметим абсолютно неоценимую роль Ф.Ю.Нопеленского при подготовке к изданию настоящей книги. Объем выполненной им работы по упорядочиванию задач, по организации проверки их условий и реп1ений, а также по набору текста и т.п. был настолько велик, что лип1ь благодаря его неутомимым усилиям эта книга наконец увидела свет. А.С.Мищенко Ю.Н.Соловьев А.Т.Фоменко Москва, МГУ, май 2000 года.
ЧАСТЬ 1
!• Системы координат Набор из чисел ^^, ^^, • • •, ^", задающих положение точки в пространстве R", называется ее криволинейными координатами. Связь декартовых координат xi,X2, • • • ,Хп этой точки с криволинейными выражается соотноп1ениями или, в векторной записи, где г — радиус-вектор. Функции (*) предполагаются в области их задания непрерывными и имеющими непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Они должны быть единственным образом разреп1имы относительно q^,q'^, • • • ,q^] это условие равносильно требованию необращения в нуль якобиана J ■ dxj dq^ ф{). (**) Преобразование (*) определяет п семейств координатных гиперповерхностей д* = const. Координатные гиперповерхности одного и того же семейства при условии (**) не пересекаются. В силу условия (**) любые п — 1 координатных гиперплоскостей, принадлежащих различным семействам, пересекаются по некоторой кривой. Такие кривые называются координатными кривыми или координатными линиями. Векторы Vk — -qh^ имеют направления касательных к координатным линиям. Они определяют в окрестности некоторой точки M{q^, g^,..., g") бесконечно малый вектор п dr = у. "^id^^ • i-l Квадрат его длины, выраженный через криволинейные координаты, определяется из равенства п п п ds^ — {dr,dr) = (^r,G?g*,^rjdg-^) = ^2 9ijdq^dq^ 7 i-l j-1 hj-^ где ( , ) — скалярное произведение в R".
Величины gij = gji = {ri^Vj) определяют метрику в принятой системе координат. Ортогональной криволинейной системой координат называется такая система, для которой 9гз {n.rj)- I ^2^ г' Ф h i = j. Величины Hi называются коэффициентами Ламе. Они равны модулям векторов rf. Hi \П\ Квадрат линейного элемента в ортогональных криволинейных координатах задается выражением ds-" = Hl[dqy + Hl^dq'f + . . . + Hl[dq^f . В задачах ??-?? (a) установите формулы, выражающие криволинейные координаты точки плоскости R^ через прямоугольные декартовы и обратно. (b) Найдите координатные линии. (c) Подсчитайте определители дХ2 дх\ du2 дх2 dU2 dui дх\ dU2 dxi dui дХ2 dU2 дХ2 И выясните, в каких точках плоскости R^ наруп1ается взаимная однозначность соответствия между криволинейными и прямоугольными декартовыми координатами точки на плоскости для следующих криволинейных координат (г*1,г*2). 1.1. Для обобщённой полярной системы координат, определяемой ра- щ^ги2^ где о < 1*1 < сю, —7Г < 1*2 < 7Г, ai > о, «2 > 0. венством ^ -|- г — 1.2. Для эллиптической системы координат, определяемой равенством XI + ix2 = ch{ui + Ш2), где О < i^i < сю, —тг < г*2 < тг. 1.3. Для параболической системы координат, определяемой равенством XI + ix2 = {ui + Ш2)^, где —сю < ui < сю, О < г*2 < оо.
1.4. Для биполярной системы координат, определяемой равенством xi + ix2 = th ( ^^^^^^ J, где —сю < i^i < сю, —тг < г*2 < тг. 1.5. Для системы координат, определяемой равенством xi-\-ix2 iu2Y- U/1 + в задачах ??_?? найдите координатные поверхности и координатные линии, (а) подсчитайте определители дХг duj 7 дПг dxj и установите, в каких точках пространства R^ наруп1ается взаимная однозначность соответствия между криволинейными и прямоугольными декартовыми координатами для следующих криволинейных систем координат i/i, г*2, и^ пространства (Ь) Являются ли эти системы координат ортогональными? 1.6. Для обобщённой цилиндрической системы координат, определяемой равенствами xi — aiUico^U2^ Х2 — a2Ui^\ivu2^ х^ — и^^ где i^i > О, О < 1*2 < 27Г, —сю < 1*3 < сю, «1 > О, «2 > 0. См. рис. ??. Рис. 1. Цилиндрическая система координат, cci = «2 = 1 10
1.7. Для обобщённой сферической системы координат, определяемой равенствами xi = аii*i sin 1*2 cos 1*3, Х2 = «21*1 sin 1*2 sin 1*3, X3 = 031*1 cos 1*2, где 1*1 > 0, 0 < 1*2 < 7Г, 0 < 1*3 < 27Г, ai > 0, «2 > 0, 03 > 0. См. рис. ??. Рис. 2. Сферическая система координат, cci = «2 = аз = 1 1.8. Для эллипсоидальной системы координат, определяемой равенствами: X Хг* (ai-ui)(ai-U2)(ai-U3) (a2-ai)(a3-ai) ' {a2-ui)ia2-U2)ia2-U3) {аз-а2){а1-а2) ' _ {аз-и1){аз-и2){аз-из) ~ (а1-аз)(а2-аз) ' 11
где ai > а2> аз> О, ui < аз < U2 < а2 < из < ai. См. рис. ?? и рис. ??. Рис. 3. Эллипсоидальная система координат 12
Рис. 4. Эллипсоидальная система координат 1.9. Для параболической системы координат, определяемой равен- ^ где О < 1*1 < сю. ствами XI - О < 1*2 < сю 1*11*2 cos 1*3, Х2 -7Г < 1*3 < 7Г. 1*11*2 sm 1*3, хз {ul-uD^ 1.10. Для системы вырожденных эллипсоидальных координат, определяемых равенствами xi = shi*i sini*2Cos 1*3, Х2 = sh 1*1 sin 1*2 sin 1*3, X3 = ch 1*1 cos 1*2, где 0 < 1*1 < сю, О < i*2 < тг, —тг < 1*з < тг. См. рис. ??. 13
Рис. 5. Вырожденная эллипсоидальная система координат 1.11. Для системы вырожденных эллипсоидальных координат, определяемых равенствами xi = ch.uismu2Cosus, Х2 = chi/i sinif2 sini/a, зсз = 14
sh 1*1 COS 1*2, где О < 1*1 < сю, О < г*2 < тг, —тг < г*з < тг. См. рис. ??. Рис. 6. Вырожденная эллипсоидальная система координат 1.12. Для системы тороидальных координат, определяемых равен- = sinji2 ^д^ О < i/1 < СЮ, shui cos из chUi —COSU2 * —ТГ < 1*2 < ТГ, —ТГ < 1*3 < ТГ. См. рис. ??. ствами xi Х2 shui sm из chUi—COSU2 ' chUi—COSU2 15
Рис. 7. Тороидальная система координат 1.13. Преобразовать выражение 2/ff — ^|^ к новым координатам г*, г^, связаным с х^у соотноп1ениями и = х^ v = х'^ -\- i/^. Проверьте действительно ли предложенная система u^v является криволинейной системой координат. Укажите её область определения и область значения. 1.14. Преобразовать к полярным координатам х = rcos^, у = rsin^ выражение 16
c)(|)^ + (ft)^, d) f^ + f^ (оператор Лапласа) 1.15. Преобразовать выражение -q^ — о?^ф к новым координатам и^ V, где и = у -\- ах, v = у — ах. При каких а предложенная замена даёт криволинейную систему координат? 1.16. Преобразовать выражение |^ + ^-| + A'^z = О к новым координатам и, V, где X = ^(г*^ — г^^), у = г*г^ 1.17. Преобразовать к сферическим координатам г, в, ^, связанным с 3!, у, Z равенствами х = г sin 6* sin ^, у = г sin 6* cos ^, z = rcos6'. следующие выражения: 1.18. Пусть X = f{u,v), у = ^(г*,г^) — такая система координат, что df dip df dip тт d^V , а^У at = a?' ai; = ~a^- Докажите, что выполнено соотношение ^^ + ^^ = /aV , а!1:ч//а/л2,^а/л2>| 1.19. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в цилиндрической системе координат г, ^, Z такой, что а! = г cos <р, у — г sin ^, z = z. 1.20. Покажите, что при переходе от декартовых координат х,у к полярным координатам р, ^ условия Копш-Римана §^ = f^j §^ = — ff принимают вид 1^ = if^, 1^ = -if^. ^ 1.21. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в системе координат г*, v такой, что u! = z^, где w = х -\- iy, z — и-\- iv. 1.22. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в системе координат (г*, г^) такой, что w — aclvz, где w — х -\- iy, z — и-\- iv. 1.23. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в системе координат и, v такой, что W = е^, где w = х -\- iy, z = и -\- iv. 17
2. Уравнения кривых и поверхностей 2.1. Точка М равномерно движется по прямой ON, равномерно вращающейся вокруг точки О. Составить уравнение траектории точки М (спираль Архимеда). 2.2. Прямая 0L вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью UJ. Точка М движется по прямой 0L со скоростью, пропорциональной расстоянию |0М|. Составить уравнение траектории, описываемой точкой М (логарифмическая спираль). 2.3. Круг радиуса а катится по прямой без скольжения. Составить уравнение траектории точки М, жестко связанной с кругом и находящейся на расстоянии d от его центра. Кривая, полученна при d = а, называется циклоидой^ при d -С а — укороченной циклоидой^ при d У а — удлиненной циклоидой. 2.4. Окружность радиуса г катится без скольжения по окружности радиуса Я, оставаясь вне ее. Составить уравнение траектории точки М катящейся окружности (эпициклоида). 2.5. Окружность радиуса г катится без скольжения по окружности радиуса Я, оставаясь внутри ее. Составить уравнение траектории точки М катящейся окружности (гипоциклоида). 2.6. Найти кривую, задаваемую уравнением г = г(/), с < t < d^ зная, что г'(/) = Л(/)а, где Л(/) > О — непрерывная функция, а — постоянный ненулевой вектор. 2.7. Найти кривую, задаваемую уравнением г = г(/), —сю < t < сю, если г"(/) = а — постоянный ненулевой вектор. 2.8. Пусть вектор-функция r{t) удовлетворяет дифференциальному уравнению г^^ = г^ х а, где а — постоянный вектор. Выразить через а и г' следующие величины: a) |г' X г"р; b) (г', г'', О- 2.9. Плоская кривая задана уравнением r{t) = (^(/),/^(/)). При каком условии это уравнение определяет прямую линию? 2.10. Найти функцию г = г(^), зная, что это уравнение в полярных координатах на плоскости определяет прямую линию. 2.11. а) Доказать, что материальная точка под действием центральной силы F = Ff описывает траекторию, лежащую в некоторой фиксированной плоскости, проходящей через начало координат. Отметим, что функция F может зависеть как от длины вектора г, так и от его направления. 18
b) Составить уравнение движения точки в этой плоскости в полярных координатах. c) Показать, что для центральной силы F, задаваемой формулой движение точки М происходит по кривой второго порядка. Здесь через г обозначена длина вектора г. 2.12. Движение электрона в постоянном магнитном поле определяется следующим дифференциальным уравнением: г^^ — г^хН^ Н — const . Доказать, что траектория электрона является винтовой линией. 2.13. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением 2.14. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением г" = ё'х (г X ё^ , где е— фиксированный вектор единичной длины. 2.15. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением г' = ае -\- ёX г , где число а и вектор ё" постоянны. 2.16. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением г' = -I^P's'— г{г,ё) , где ё— фиксированный вектор единичной длины. 2.17. Нод каким углом пересекаются кривые 2.18. Нод каким углом пересекаются кривые 2.19. Нод каким углом пересекаются кривые х^=4у, у = 8/{х^ + 4)? 19
2.20. Найти длину следующих кривых: а) 7/ = ach{x/a) — цепная линия; ЬJ/ = ..^/2; c) у = х^^; d) у = 1пх; e) г = аA + cos^); f) r{t) = {a{t — sin/), a(l — cos/); g) r{t) = (a(cos/+/sin/), a(sin/—/cos/)); h) r(/) = rfBcos/+cos2/), 1Bsin/+ sin2/)V i) r(/) = (acos^/, asin^/); j) y^e'^; k) r(/) = ( aflnctg I — cos/J, a sin/J. 2.21. Найти длину дуги кривой X = —/'(а) sin о; —/"(а) COS о; , у = /'(а) COS о; —/"(а) sin о; . 2.22. Вокруг оси Oz вращается окружность х = а -\- bcosv, z — 6sinij@ < 6 < а). Составить уравнение поверхности вращения. 2.23. Прямая движется поступательно с постоянной скоростью, пересекая другую прямую под прямым углом, и одновременно равномерно вращается вокруг этой прямой. Составить уравнение поверхности, которую описывает движущаяся прямая. Эта поверхность называется прямым геликоидом. 2.24. Составить уравнение поверхности, образованной вращением цепной линии у = ach^ вокруг оси Ох. Эта поверхность называется катеноидом. 2.25. Составить уравнение поверхности, образованной вращением трактрисы р = (alntg(^/4 +* /2) — а sin/, а cos/) вокруг ее асимптоты. Эта поверхность называется псевдосферой. 2.26. На круговом торе вращения, кроме параллелей и меридианов, являющихся плоскими окружностями, существует еще два семейства плоских окружностей, называемых окруэюностями Виларсо. Они получаются пересечением тора его касательной плоскостью, касающейся тора в двух точках. Получить уравнения этих окружностей, проверить, что все они имеют один и тот же радиус и пересекают все параллели тора под постоянным углом. См. рис. ??. 20
Рис. 8. 21
3. Классические метрики на сфере и плоскости Лобачевского, их свойства 3.1. Вычислить метрики на стандартной единичной сфере в R^ в следующих координатах: a) в декартовых координатах х^ у] b) в сферических координатах 6*, ^; c) в декартовых координатах и^ v на плоскости z = О, являющейся образом сферы при стереографической проекции из северного полюса сферы. См. рис. ??. d) в полярных координатах р, ^ на плоскости z = О, являющейся образом сферы при стереографической проекции (см. предыдущий пункт). e) в комплексных координатах w — х -\- iy,w = х — iy на плоскости Z = О, являющейся образом сферы при стереографической проекции. Рис. 9. Стереографическая проекция 3.2. Вычислить метрику единичной псевдосферы t^ — х^ — у^ = 1в Rf 2 с координатами t,x,y в следующих координатах: a) В декартовых координатах х, у. b) В координатах ^, Xj где р,^,х — псевдосферические координаты в c) В декартовых координатах и^ v на плоскости z = О, являющейся образом стереографической проекции псевдосферы из ее южного полюса @,0,-1). См. рис. ??. 22
d) В полярных координатах г, ^ на плоскости z = О, являющейся образом стереографической проекции псевдосферы из ее южного полюса @,0,-1). e) В комплексных координатах w = х -\- iy, w = х — iy яз. плоскости Z = О, являющейся образом стереографической проекции псевдосферы. f) От комплексных координат предыдущего пункта перейти к новым комплексным координатам в верхней полуплоскости при помощи дробно- линейного преобразования, переводящего круг единичного радиуса в верхнюю полуплоскость. g) Для предыдущих двух пунктах нарисовать образы обеих компонент связности псевдосферы при ее указанных проекциях на плоскость. Рис. 10. Стереографическая проекция 3.3. В моделях метрики Лобачевского в единичном круге (модель Пуанкаре) и на верхней полуплоскости показать, что угол между пересекающимися кривыми равен углу между теми же кривыми в евклидовой метрике. 23
3.4. Покажите что группа дробно-линейных преобразований, являющихся движениями метрики a) пункта е) задачи ?? — изоморфна SU{2)/ ± Е; b) пункта е) задачи ?? — изоморфна SU{1,1)/ ± Е; c) пункта f) задачи ?? — изоморфна SL{2, R)/ ± £". 3.5. Показать, что длина прямолинейного отрезка, соединяющего две любые фиксированные точки на плоскости Лобачевского, меньп1е длины любой другой кривой, соединяющей эти точки. См. рис. ??. 3.6. Доказать, что через любые две точки плоскости Лобачевского проходит единственная прямая. См. рис. ??. Рис. 11. Прямые на плоскости Лобачевского (модели в единичном круге и на верхней полуплоскости) 3.7. Докажите, что в моделях метрики Лобачевского в единичном круге и на верхней полуплоскости окружности изображаются обычными окружностями. 3.8. Найдите длину окружности и площадь круга радиуса R на a) плоскости Лобачевского; b) сфере радиуса 1. Сравните с формулами на плоскости. 3.9. a) Пайти центр окружности в метрике Лобачевского на верхней полуплоскости, которая задается уравнением х'^ -\- [у — 2)'^ = 1; b) Докажите, что при стереографической проекции сферы на плоскость окружности на сфере переходят в окружности или прямые. c) Рассмотрим окружность х'^ + {у — 2)^ = 1, являющуюся образом некоторой окружности на сфере при стереографической проекции (см. 24
Bbinie). Возьмем центр этой сферической окружности, лежащий на сфере. Найти его образ на плоскости. 3.10. Найдите середину отрезка АВ на плоскости, где Л = (|;|), В = @,9;0,3), в следующих метриках: a) метрике плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости. b) метрике сферы (при стереографической проекции). 3.11. Выразить площадь треугольника (см. рис. ??) через его углы a) на сфере единичного радиуса; b) на плоскости Лобачевского. lepe 3.12. Докажите теоремы косинусов для треугольников на плоскости Лобачевского: a) sin /3 sin 7 ch а = cos а + cos /3 cos 7; b) cos q; sh 6 sh с = ch 6 ch с — ch a . 3.13. Докажите теоремы косинусов для сферы единичного радиуса: a) cos а = cos b cos с + sin b sin с cos a; b) cos a = —cosf3 cos 7 + sin C sin 7 cos a. 3.14. Докажите теоремы синусов для а) плоскости Лобачевского: sh а sh6 sh с ^/Q sin а sin C sinj sin a sin C sin 7 ' cos^ a + cos^ /3 + cos^ 7 + 2 cos a cos /3 cos 7 — 1. где Q b) сферы радиуса 1: sm a sin a sin b sin 13 sm с 25
3.15. При каких целых п существуют правильные многоугольники с углом —: a) на сфере; b) на плоскости Лобачевского. 3.16. Докажите, что на комплексной плоскости точки 2^1,22,^3,^4 лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда двойное OTHonienne ^ _ Z3-ZI . Z4-ZI двJJдgrp(.д вещественным числом. Z2~Z3 Z2—Z4 3.17. Докажите, что на плоскости Лобачевского синус угла а в прямоугольном треугольнике равен отноп1ению длины окружности радиуса, равного противолежащему катету к длине окружности с радиусом, равным гипотенузе. То же самое для сферы. 3.18. Докажите, что в треугольнике с равными сторонами все углы a) на плоскости Лобачевского — меньп1е тг/З; b) на сфере — больп1е тг/З. 3.19. Докажите следующие формулы для расстояния между точками Л ж В (см. рис. ??) в метрике плоскости Лобачевского на верхней полуплоскости: a) если они имеют одинаковую абсциссу, то р{Л, В) = 1п|§^|, где О — точка пересечения соединяющей их прямой с абсолютом. b) если они имеют разные абсциссы, при О - точке пересечения абсолюта с прямой в смысле плоскости Лобачевского, проходящей через Л и Б, то р{Л, В) = In U^L где о; и /? — углы между положительным направлением абсолюта как действительной оси и О Л и ОВ соответственно; c) в общей ситуации: если zi,Z2 - произвольные собственные точки верхней полуплоскости, то p{zi,Z2) = In 1+ 1- ^1-^2 1 ^1-^2 1 ^1-^2 1 ^1-^2 1 26
Рис. 13. 3.20. Верно ли, что вокруг любого треугольника можно описать окружность a) на сфере; b) на плоскости Лобачевского. 3.21. Покажите, что на плоскости Лобачевского через точку, лежащую внутри угла, не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. 3.22. Сравните сторону правильного п1естиугольника с радиусом описанной около него окружности a) на сфере; b) на плоскости Лобачевского. 3.23. Найдите площадь правильного треугольника со стороной а a) на плоскости Лобачевского (см. рис. ??); b) на сфере. 27
Рис. 14. Правильный треугольник на плоскости Лобачевского 3.24. Найдите площадь круга и длину окружности, задаваемой уравнением [х -\- 1)^ + {у — 5)^ = 1 на: a) плоскости Лобачевского в ее модели в верхней полуплоскости; b) сфере (после стереографической проекции). 3.25. Рассматрим изометрии на плоскости Лобачевского и на сфере. a) Докажите, что любое движение первого рода раскладывается в композицию четного числа симметрии, а второго рода — в композицию нечетного числа симметрии; b) Покажите, что при любом движении (изометрии) окружности и прямые снова переходят в окружности или в прямые. При этом окружность может перейти в прямую, и наоборот. 3.26. Покажите, что в модели метрики Лобачевского на верхней полуплоскости группа движений порождается преобразованиями z \-^ z -\- 28
4. Теория кривых 4.1. Вычислить кривизну следующих кривых: a) 7/ = sin X в вершине (синусоида); b) у — ac}i[x/a) (ценная линия); c) г^ = a^cos2^ (лемниската); d) г = аA + cos^) (кардиоида, см. рис. ??); e) г — а<р (спираль Архимеда, см. рис. ??); f) г it) — (acos^/, asin^/) (астроида, см. рис. ??); g) r{i) — (аA — sin/),a(l — cos/)) (циклоида, см. рис. ??). 29
Рис. 17. Астроида 30
Рис. 18. Циклоида 4.2. Найти кривизну эллипса с полуосями а ж b в его верп1инах. 4.3. Найти кривизну кривой, заданной уравнением F{x, у) = 0. 4.4. Кривые заданы своим дифференциальным уравнением P{x,y)dx-\- Q{x, y)dy — 0. Найти их кривизну. 4.5. Вывести формулу для кривизны плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = г(^). 4.6. Заменить параметр / на винтовой линии (см. рис. ??) r[t) [а cost , а sin/ , bt) , b > О на натуральный параметр s. 31
Рис. 19. Винтовая линия 4.7. Заменить параметр / на кривой r{t) = (e^cos/ , e^sin/ , е*) на натуральный. 4.8. Заменить параметр / на кривой r{t) = {cht , sht , /) на натуральный. 4.9. Найти кривизну и кручение в произвольной точке следующих линий: a) r={e\e-\tV2); b) г= B/,In/,/2). c) г = (е* sin/, е* cos/, е*); d) г= C/-/^, 3/2,3/ + /^); e) г = (cos^/,sin /,cos2/). 4.10. Найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнениями ^2 _^ р _ у2 у^ -2х-\- Z 32
в точке МA,1,1). 4.11. Найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнениями 3! + sh 3! = sin у + у z-\-e^ = х-\-1п{1-\-х)-\-1 в точке М@,0,0). 4.12. Вывести формулы для вычисления кривизны и кручения кривой, заданной уравнениями у = у{х), z — z{x\ и найти ренер Френе этой кривой. 4.13. Дана кривая Найти ренер Френе. Вычислить кривизну и кручение этой кривой. 4.14. a) Доказать, что кривизна и кручение винтовой линии постоянны. b) Определить, при каком значении h винтовая линия X — а cost, у = а sin/, z — hi имеет наибольп1ее кручение. c) Найти репер Френе для винтовой линии (см. рис. ??) r = (acos/, asin/, hi). 33
Рис. 20. Репер Френе винтовой линии 4.15. Доказать, что оператор Y:x \-^ у х х, действующий на векторах , записывается кососимметрической матрицей. Напомним, что у х х — векторное произведение векторов х и у. Найти связь коэффициентов этой матрицы с координатами вектора у. Показать, что для любой кососимметрической матрицы найдется вектор у, что ее действие как линейного оператора в R^ представится в виде х \-^ у х х. Вектор у называется вектором Дарбу кососимметрической матрицы. 4.16. Пусть Y, Z — матрицы операторов векторного умножения на векторы i/, Z. Доказать, что матрица оператора векторного умножения на у X Z равна [У, Z\ — YZ — ZY. Натуральными уравнениями плоской кривой называются уравнения одного из следующих видов: 1) к = k{s) , 2) F{k, s) = О , А' = k{i), s = s{t) . Если заданы натуральные уравнения кривой, то параметризация кривой может быть задана в виде: jcosa{s)ds, у— jsma{s)ds, 34
где a{s) = Jk{s) ds. 4.17. Составить натуральные уравнения кривых: Si) X = а cos^ / , i/ = а sin^ / ; b) у = а;3/2 ; r.2 . c) у = х\ d) y = lnx; e) 7/ = ach.[x/a) ; f) :у = e^ ; ahntg : + cost у — a sin / : g) X: h) Г = a(l + cos^) ; \) X — a{cost + /sin/) , i/ = a(sin/ — /cos/) . j) г = a(l + cos^) k) г = (a(/ — sin/), a(l — cos/)) 4.18. Найти параметрические уравнения кривых, зная их натуральные уравнения (здесь Я = 1/к): а) R — as] c) Rs — О? ] d) Я= a + s^/a; e) Я^ = 2as . 4.19. В каких случаях кривая имеет следуюпцие натуральные уравнения: X — s^y — y{s), z — z{sYl 4.20. Найти плоскую кривую, у которой касательная образует постоянный угол а с радиус-вектором кривой. 4.21. Пусть р — расстояние от начала радиус-векторов до касательной к кривой 7 в точке М, а / — расстояние от точки О до точки М (см. рис. ??). Доказать, что dp к. Idl 35
Рис. 21. 4.22. В некоторой точке г о = r(so) кривой г = r(s) имеем: к = A'(so) 7^ О, A'(so) ф 0. Рассмотрим уравнение соприкасающейся окружности [р — Го — Ronо)'^ = Яд в этой точке исходной кривой. Здесь р — радиус-вектор точки на соприкасающейся окружности. Доказать, что соприкасающаяся окружность пересекает данную кривую в окрестности указанной точки, т. е. малая дуга кривой, соответствующая значениям параметра из интервала (sq —^? so), и малая дуга кривой, соответствующая значениям параметра из интервала (sq? "^о + ^M лежат по разные стороны от соприкасающейся окружности (см. рис. ??). Комментарий: порядок касания кривой и ее соприкасающейся окружности равен 3. Наложенные на кривую условия гарантируют, что в данной точке порядок касания ровно 3, а не вып1е. 36
Рис. 22. Кривая и соприкасающаяся окружность 4.23. В некоторой точке кривой выполнены условия: ко ф О, А'о = О, А'о 7^ 0. Доказать, что соприкасающаяся окружность кривой в этой точке не пересекает кривой в достаточно малой окрестности этой точки (см. рис. ??). Рис. 23. Кривая и соприкасающаяся окружность 4.24. Пусть а — угол между постоянным вектором а и касательным вектором к кривой (см. рис. ??). Составить параметрическое уравнение кривой, если известна зависимость а) Я = /(а), где R — радиус кривизны кривой; Ь)а = /(Л); 37
c) s = d) a /(a), где s --m. дуга кривой; Рис. 24. 4.25. Кривая, по которой сфера пересекается с круглым цилиндром в два раза меньп1его радиуса, причем цилиндр проходит через центр сферы, называется кривой Вивиани (см. рис. ??). Составить уравнение кривой Вивиани в неявной и параметрической форме. Найти уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, главной нормали и соприкасающейся плоскости. 38
Рис. 25. Кривая Вивиани 4.26. Доказать, что линия 2az, у = 2bz является плоской. 4.27. Доказать, что если в некоторой точке М кривой С кручение отлично от нуля, то части кривой, близкие к точке М лежат но разные стороны от соприкасающейся плоскости. 4.28. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости кривой проходят через одну и ту же точку, то кривая плоская. 4.29. Выразить ^г, j^r, j^r через v, п, 6, к и к. 4.30. Доказать, что {v,b,-^b) = к, где (•,-,•) обозначает CMeniannoe произведение трех векторов. 4.31. Вычислить {±Ь, ^Ь, {^ 4.32. Доказать, что (£v, £,v, £^v) = k^± (f). 4.33. Доказать, что если главные нормали кривой образуют постоянный угол с направлением вектора е, то + /^ = 0 39
и обратно, если выполнено последнее cooTHonienne, то главные нормали кривой образуют постоянный угол с направлением некоторого вектора. Найти этот вектор. 4.34. Доказать, что если все нормальные плоскости линии содержат вектор е, то данная линия или прямая, или плоская. 4.35. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости кривой 7, не являющейся прямой линией, содержат один и тот же вектор, то кривая плоская. 4.36. Доказать, что если b = const, то кривая плоская. 4.37. Доказать, что если соприкасающиеся плоскости кривой имеют один и тот же наклон, то кривая плоская. 4.38. Пусть S — длина касательного сферического образа кривой г = r(s): I do-. = f \v'{ Jo Cm. рис. ??. a) Доказать, что ^ '^^" - к. b) Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы касательный сферический образ был регулярной кривой. c) Доказать, что для замкнутой кривой выполняется неравенство Jkds >27г. вой 40
4.39. Пусть s* — длина вдоль нормального (соответственно, бинормального) сферического образа кривой г = r(s). Доказать, что —— = у/i'2 -|- /^2 (соответственно, \к\) . as Сферическая кривая — это кривая г = г(/), для которой существует постоянный вектор т и действительное число R такие, что {r{t) -т , r{t) -т) = R^. 4.40. Доказать, что если г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром, к ф О, к ф О, то r{s) — сферическая кривая тогда и только тогда, когда к ds 4.41. Пусть неплоская кривая 7 имеет постоянную отличную от нуля кривизну ж к ф {). Рассмотрим 7* — множество центров ее кривизны. Доказать, что кривизна 7* также постоянна. Пайти кручение 7*- Пусть т — постоянный вектор, г = r[s) — некоторая кривая, c(s) = \r[s) — mp и а — некоторое положительное число. Говорят, что кривая r[s) имеет в точке s = sq сферический контакт j-ro порядка со сферой радиуса а в центре т, если фо) = а2, c'(so) = c"(so) = ... = c(j)(so) = 0, c(J+i)(so) ^ О . 4.42. Если к ф 0^ выразить первые три производные функции c(s) (определение см. вып1е) через г', п, 6, А', к и их производные. 4.43. Доказать, что кривая г = r(s) имеет сферический контакт второго порядка в точке s = sq тогда и только тогда, когда т = r(so) + n{so)/k{so) + A6(so), где Л — произвольное число. 4.44. Пусть k{so) ф 0. Доказать, что кривая г = r(s) имеет сферический контакт третьего порядка тогда и только тогда, когда центр сферы задается формулой ( \ -'- ( \ к {s^\ 1 / \ A'(so) A'^(so)/^(so) а ее радиус Я* = 4.45. Доказать, что для любой замкнутой кривой на сфере существует точка в которой кручение кривой равно 0. 41
5. Риманова метрика 5.1. Вычислить первую квадратичную форму следующих поверхностей: a) г = (а cos и cos v, а sin и cos v, а sin v) (сфера, см. рис. ??); b) г = (а cos и cos v, b sin и cos v, с sin v) (эллипсоид, см. рис. ??); c) г = (at'cos If, 6t'sinif, ci') (конус, см. рис. ??); d) г = (а cos If, 6 sin If, сг') (цилиндр, см. рис. ??). 42
Рис. 29. Конус 5.2. Вычислить первую квадратичную форму следующих поверхностей: a) г = p{s) + Л(?, е = const (цилиндрическая поверхность, см. рис. ??); b) г = г'Дй) (коническая поверхность); c) г = p(s) + Xe{s) {\e{s)\ = 1) (линейчатая поверхность, см. рис. ??); d) г = p{s) + ?(s) cos ^ + 6(s) sin ^ (каналовая поверхность, см. рис. ??); e) г = (^(t;) cos i/, ^(f) sin i/, V'(t;)) (поверхность вращения); f) г = ((a + 6 cos г') cos i/, (a + 6 cos г') sin i/, 6 sin г') (тор); g) г = (г' cos If, г'sin i/, A'lf) (геликоид); h) г = Дй) + Xv{s) (поверхность главных нормалей); i) г = p{s) + A6(s) (поверхность бинормалей); 43
j) г = (ach ^cos ^, ach ^ sin ^, z) (катеноид, см. рис. ??)). Рис. 31. Цилиндрическая поверхность Рис. 32. Линейчатая поверхность 44
Рис. 33. Каналовая поверхность 45
Рис. 34. Катеноид 5.3. Найдите первую квадратичную форму поверхности (псевдосферы Бельтрами) а sin г* cos г^, а sin г* sin г^, c(lntg |- + cosif), X = У = Z = где и ф 7г/2, а — const (см. рис. 46
Рис. 35. Псевдосфера Бельтрами 5.4. Найдите угол между линиями г' = г* + 1 и г' = 3 — г* на поверхности X — и cos v^y — и sin г^, z — и^. 5.5. На плоскости с координатами (г*, г^) дана метрика ds^ — dv?-\-2dv^^ найдите угол между линиями г^ — 2и ж v — —2и. 5.6. На поверхности (ifcos г^, ifsiniJ, av) найти угол между пересекающимися кривыми (см. рис. ??) и-\- V — {)^ и — V — 0. 47
5.8. Проверьте, что на плоскости с координатами (г*,г') матрично- значная функция G: И' 1 + г;2 -UV 1 + 1/2 + .^;2J \^ -UV 1-\-и^ задает метрику. Найдите длину кривой г* = г'. 5.9. Проверить, что матрично-значная функция G \ — V? — г'2 l-v' UV 48
задает некоторую метрику в единичном круге на плоскости с координатами (г*, г^). a) В этой метрике найти длину кривой —1<х<1,у = 0. b) В этой же метрике найти длину кривой За '• х^ + iF — а — const. Найти угол, под которым кривая у — кх пересекает кривые За- 5.10. Проверить, что матрично-значная функция В? / 1 - г;2 -UV 1 — и^ — г;2 \^ —'"'^^ 1 на плоскости с координатами (г*, г^) задает некоторую метрику в единичном круге. В этой метрике найти длину кривой —1<х<1^у — {). 5.11. Проверить, что на плоскости с координатами [х^у) матрично- значная функция G Ах^ + {х^ + 2/ ) "^ху J^y^Y \ Аху V + @^2 _^ 2/^)-* задает метрику. Вычислите длину кривой х'^ -{-у'^ — а, где а — некоторое фиксированное число. Вычислить, под каким углом эти линии пересекаются с кривыми у — кх. 5.12. Найдите под каким углом пересекаются линии и -\- 2v — Он Аи — V — {) на прямом геликоиде X — и cos г^, у — и sin v^ z — av. 5.13. Найти уравнения кривых, которые делят пополам углы между координатными линиями параболоида вращения (см. рис. ?? и рис. ??) 1 2 X = и COS I', у = и sm 11, Z = -и . 49
50
Рис. 38. 5.14. Найти на поверхности X = и cos V, у = и sin г', z = а 1п(г* + л/и'^ — а^) кривые, пересекающую кривую v = const под постоянным углом О (см. рис. ??). 51
пера Френе этой кривой в произвольной точке, вычислить ее кривизну и кручение. 52
53
Рис. 41. Локсодромия на сфере 5.17. Пусть первая квадратичная форма поверхности имеет вид ds^ = du^ ^ {и^ -^a^)dv^. a) Найти периметр криволинейного треугольника, образованного пересечением кривых и — ±-аг'^, г' = 1. 2 b) Найти углы этого криволинейного треугольника. c) Вычислить площадь треугольника, образованного пересечением кривых и — ±аг^ г^ = 1. 5.18. Дана поверхность г = ifsmi^ ifcos г;, г;). Найти: а) площадь криволинейного треугольника О < г* < sh г^, О < г^ < г^о (см. рис. ??); 54
b) длины сторон этого треугольника; c) углы этого треугольника. 55
Рис. 43. Сферический двуугольник 5.20. Вращением окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности, образован тор. Радиус окружности г, расстояние от прямой до центра окружности Я, R > г. Найти площадь тора в индуцированной метрике. 5.21. Доказать, что отображение, являющееся конформным и сохраняющим площадь, является изометрией. 5.22. Доказать, что деформация гиперболического параболоида, определяемая следующими формулами сохраняет площадь: и V ^(|/2_г;2)+ш;со8/. 5.23. Доказать, что поверхностью вращения, локально изометричной геликоиду г = {и sin г^, и cos г^, г^), является катеноид. Пояснение. На самом деле, верен более общий факт. А именно, после разрезания катеноида по меридиану, полученная поверхность может быть изогнута как показано на рис. ?? так, что получится часть геликоида. X у Z ^ = = и V |(«^- -г>2) ^ X у Z 56
Рис. 44. Изгибание катеноида на честь геликоида 5.24. Показать, что винтовая поверхность (коноид) X — р cos г^, у — р sin г^, z — р -\- v налегает (локально изометрична) на поверхность вращения (гиперболоид вращения) X — г cos ^, у — г sin ^, Z = уг^ — 1, причем соответствие точек устанавливается уравнениями ^ = г; -|- arctg р, г^ = р^ + 1. 5.25. Показать, что винтовая поверхность X — р cos г^, у — рsin г^, z = а (In —\- v \ а 57
налагается (локально изометрична) на поверхность вращения x = rcos<f, i/ = rsin^, z = av21n(r + уг^ — а^). 5.26. Показать, что всякая винтовая поверхность X = и cos г^, у = и sin v, z — F{u) + av налагается (локально изометрична) на поверхность вращения так, что винтовые линии переходят в параллели. 5.27. Доказать, что любая цилиндрическая поверхность локально изометрична плоскости. 5.28. Доказать, что любая коническая поверхность локально изометрична плоскости. 58
6. Вторая квадратичная форма, гауссова и средняя кривизны в этом разделе средней кривизной называется сумма главных кривизн. 6.1. Вычислить вторую квадратичную форму следующих поверхностей: a) г = (Я cos и cos v, R cos и sin v, R sin u) (сфера), b) г = (a cos и cos v, a cos и sin v, с sin u) (эллипсоид вращения), c) г = ((a + 6cos If) cos г^, (a + 6cos If) sin г^, 6sin If) (тор), d) г = (a ch ^ cosv, ^^^^ ^i^ "^S '") (катеноид), e) г = (a sin и cos v, a sin if sin v, a(lntg |- + cos if)) f) г = (if cos i;, If sin i;, av) (прямой геликоид), g) xyz = a^. 6.2. Доказать, что при каждой параметризации плоскости ее вторая квадратичная форма равна нулю. 6.3. Доказать, что при любой параметризации сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй. 6.4. Дана поверхность вращения r(if, ip) = {х{и),р{и) cos ^, р[и) sin^). a) Найти вторую квадратичную форму. b) Найти гауссову кривизну К в произвольной точке поверхности. Выяснить зависимость знака К от направления выпуклости меридиана. c) Вычислить кривизну К в частном случае р{и) = if. х(и) = ± I а In v а^ — if^ , а > О V " У (псевдосфера). Эта поверхность называется также поверхностью Бель- трами. Доказать, что поверхность Бельтрами локально изометрична плоскости Лобачевского. d) Найти среднюю кривизну Н в произвольной точке поверхности вращения. e) В частном случае а!(if) = if выбрать функцию р = р{и) так, чтобы iJ = О на всей поверхности. 6.5. Доказать, что если у поверхности тождественно равны нулю гауссова и средняя кривизны, то это поверхность является плоскостью или ее частью. 6.6. Дана кривая р = p{s) с натуральным параметром s, кривизной к = k{s) ф О ж кручением к = k{s) ф 0. Пусть v = iJ(if) — орт касательной 59
к этой кривой. Для поверхности, образованной касательными к данной кривой, т. е. r(s, и) = p{s) + и v{s), и > о найти кривизны К и Н. 6.7. Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности z = f{x, у). 6.8. Найти гауссову и среднюю кривизну поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 6.9. Найти главные радиусы кривизны поверхности у = xtg-. 6.10. Найти главные радиусы кривизны поверхности X = COS г^ — usinv^ у = sin г^ + UCOSV, Z — и-\- V. 6.11. Вычислить гауссову и среднюю кривизны винтовой поверхности X = и cos г^, у — и sin г^, z — и-\- v. 6.12. Вычислить гауссову и среднюю кривизны поверхности X = Зи -\- 3uv^ — и^, у = г^^ — Зг^ — Зг^^г^, z = 3(i/2-i;2). 6.13. Пусть поверхность в R^ задана функцией r{u^v). Рассмотрим выражение dn^ = (dn, dn), где п{и^ v) — вектор единичной нормали к поверхности. Проверить, что это выражение является квадратичной формой относительно дифференциалов du^ dv. Эта форма называется третьей квадратичной формой поверхности. Выразить ее через первую и вторую формы поверхности, а также через гауссову и среднюю кривизны. 6.14. Показать, что средняя кривизна геликоида (задача ??) равна нулю. 6.15. Пусть S — некоторая заданная поверхность. Отложим на нормалях к поверхности S в одном направлении отрезки постоянной длины. Концы отложенных отрезков описывают поверхность 5*, "параллельную" поверхности S (см. рис. ??). Если поверхность S задана в виде г = г{и, v), то поверхность S* задается в виде р = г(г*, г^) + ап{и^ v)^ 60
где п{и, v) — единичный вектор нормали к S. Выразить коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности S* через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности S. а) Доказать, что свойство параллельности двух поверхностей взаимно. Рис. 45. Параллельные поверхности 6.16. При каких длинах отрезков, отложенных по нормалям, поверхность, параллельная данной, будет регулярной? 6.17. Выразить гауссову кривизну К* поверхности 5*, "параллельной" поверхности 5, через гауссову и среднюю кривизны поверхности. 6.18. Выразить среднюю кривизну Н* поверхности 5*, "параллельной" поверхности S, через гауссову и среднюю кривизны поверхности. 6.19. а) Доказать, что у параллельных поверхностей гауссовы и средние кривизны связаны cooTHonienneM Я2 - АК Н *2 4А^* к^2 R"*2 b) Составить уравнение минимальной поверхности S* поверхности S, если для поверхности S OTHonienne Н/К ■ параллельной : const 61
c) Дана поверхность постоянной средней кривизны Н. На всех ее нормалях отложены отрезки длиной 1/Н. Доказать, что у построенной таким образом поверхности, "параллельной" данной, гауссова кривизна постоянна. d) На всех нормалях поверхности постоянной положительной гауссовой кривизны К отложены отрезки длиной 1/л/К. Доказать, что средняя кривизна построенной таким образом поверхности постоянна. Вычислить эту среднюю кривизну. 6.20. Доказать, что Н^ > 4К. Когда достигается равенство? 6.21. Пусть ei и 62 - ортогональные касательные векторы единичной длины, приложенные к некоторой точке поверхности. Доказать, что Я = 11(е1,е1) + 11(е2,е2), где II (,) - вторая квадратичная форма поверхности. 6.22. Предположим, что две поверхности Mi и М2 пересекаются по кривой С. Пусть к - кривизна G, Л^- - нормальные кривизны С в Mi ж в - угол между нормалями Mi и М2. Доказать, что Р sin^ 0 = Xl-\-Xl- 2Л1Л2 cos в 6.23. Исходя из того, что эллипс можно спроектировать в окружность, с помощью теоремы Менье и формулы Эйлера найти кривизны эллипса в его верп1инах. 6.24. Доказать, что для того, чтобы точка на поверхности была сферической необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия К ф 0,4А" = 6.25. Определить тип точек тора. 6.26. Определить тип точек на поверхностях a) Z = а^х^ + Ь^^у^\ b) Z = х^ ^у^ ^х^у^\ c) у — х^. 6.27. а) Доказать, что если метрика поверхности в R^ записана в изотермических координатах, т. е. ds^ — Ap'idv? + dv^)^ то Аг = —НА?п^ где п — нормаль к поверхности, а iJ — средняя кривизна. 6.28. Доказать, что если поверхность в R^ минимальна, то ее радиус вектор — гармоническая функция относительно конформных координат. 6.29. Если гауссовы кривизны двух поверхностей постоянны и равны, то эти поверхности локально изометричны. 6.30. Показать, что существуют аналитически диффеоморфные аналитические поверхности, которые не изометричны, и тем не менее, их 62
гауссовы кривизны в соответствующих точках равны. Другими словами, равенства гауссовых кривизн двух поверхностей в соответствующих точках недостаточно даже для их локальной изометричности. 6.31. Что представляет собой поверхность, для которой g^^bik — 5\^. 6.32. a) Показать, что коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности равны bikbjig^K b) Доказать, что g'^^jij = Н^ — 2К, где Н — средняя, К — гауссова кривизна поверхности. 6.33. Что представляют собой поверхности, на которых первая и третья квадратичная форма пропорциональны? 6.34. Доказать, что средняя кривизна поверхности определяется формулой Н = д'^^ bij. 6.35. Пусть ki,. . . ,кт — нормальные кривизны поверхности в направлениях, разбивающие плоскость на углы тг/т. Доказать, что ki -\- . . . -\- к^ = тН/2. 63
7. Многообразия 7.1. Доказать, что п-мерная сфера 5", задаваемая в R""'"^ уравнением з?о + ^1 + • • • + ^п — 1? является гладким многообразием. Построить атлас карт для S^. Построить атлас из минимального числа карт. Здесь каждая карта должна быть гомеоморфна открытому диску. 7.2. Доказать, что 2-мерный тор Т^ как поверхность вращения вокруг оси Oz окружности, лежащей в плоскости Oxz и не пересекающейся с осью Oz, является гладким многообразием. Построить атлас карт. Пайти атлас из минимального числа карт. Здесь каждая карта должна быть гомеоморфна открытому диску. 7.3. Доказать, что п-мерное проективное пространство RP" является гладким (и вещественно-аналитическим) многообразием. 7.4. Доказать, что п-мерное комплексное проективное пространство СР" является гладким (и комплексно-аналитическим) многообразием. 7.5. Доказать, что a) график непрерывной функции Xn-\-i = f{xi,. . ., Хп) является гладким многообразием; b) график гладкой функции Xn-\-i = f{xi,. . . ,Хп) является гладким подмногообразием в R^^^. c) Привести пример непрерывной функции Xn-\-i = f{xi,. . ., Хп), график которой не является гладким подмногообразием в R^^^. 7.6. Ввести структуру гладкого многообразия на множестве всех прямых R^. Доказать, что полученное многообразие гомеоморфно листу Мебиуса. 7.7. Отождествить 5^ и СР^. 7.8. Доказать, что из гладкости функции в некоторой карте следует ее гладкость в произвольной системе координат. 7.9. Доказать, что формулы У^ = —, , А' = 1, . . . , 77 ук X — I < к — ±..... 11 задают взаимно обратные диффеоморфизмы R" и niapa радиуса s с центром в начале координат пространства R". 7.10. Пусть тор Т^ С R^ образован вращением окружности вокруг оси (стандартное вложение). Доказать, что координаты х,у, z — гладкие функции на торе Т^. 64
7.11. Доказать, что у композиции гладких отображений матрица Якоби является произведением матриц Якоби сомножителей. 7.12. Доказать, что ранг матрицы Якоби не зависит от выбора локальной системы координат. 7.13. Вычислить ранг матрицы Якоби отображения /(ж,у) = (ж,0):К2^К2. 7.14. Пусть тор Т^ С R^ стандартно вложен в Я^, функция /: Т^ -^ 5^ сопоставляет каждой точке р ^Т^ вектор единичной длины, нормальный к тору Т^ в точке р. Доказать, что / — гладкое отображение. 7.15. Доказать, что отображение /: 5^ -^ RP^, сопоставляющее точке р на сфере 5^ прямую, проходящую через начало координат и точку р, является гладким отображением. 7.16. Показать, что стереографическая проекция сферы на касательную плоскость из полюса, противоположного точке касания, является диффеоморфизмом всюду, за исключением полюса проекции. 7.17. Доказать, что группа S0{2) диффеоморфна окружности. Какому многообразию диффеоморфна группа 0B)? 7.18. Доказать, что группа 50C) гомеоморфна проективному пространству RP^. 7.19. Доказать, что {{xi,. . .,Хп) G С" : J2^1 — O^Sk^'P = 2} есть множество единичных касательных векторов к сфере единичного радиуса. 7.20. Доказать, что множество единичных касательных векторов к 5^ гомеоморфно 50C). 7.21. Рассмотрим в 50C) подмножество матриц Л = (a^j) таких, что an + 1 C12 ai3 021 022 + 1 023 аз1 аз2 азз + 1 = 0 Доказать, что это подмножество гомеоморфно RP^. 7.22. Доказать, что уравнение х^-\- Х2 -\- х^ = О задает в СР^ подмно- гобразие гомеоморфное 5^. 7.23. Доказать, что группа SU{2) гомеоморфно сфере S^. 7.24. Доказать, что группы GLG7,R), GL{n^C) являются гладкими многообразиями. 7.25. Доказать, что 0{п) лежит в сфере 5" ~^ радиуса у^. 7.26. Рассмотрим "комплексную окружность" X = {(zi,Z2) G С^ : z\-\- z^ — 1}. Доказать, что X гомеоморфно цилиндру без границы. 65
7.27. Доказать, что объединение двух координатных осей в R^ не является многообразием. 7.28. Являются ли гладкими многообразиями следующие кривые на плоскости: a) треугольник; b) два треугольника, имеющие только одну общую точку — вершину? 7.29. Показать, что на сфере S^ С R""*"^ нельзя ввести атлас, состоящий из одной карты. 7.30. a) Доказать, что при пф тп пространства R" и R"^ не диффеоморфны. b) Доказать, что гладкие многообразия разных размерностей не диффеоморфны. 7.31. Привести пример гладкого гомеоморфизма, не являющегося диффеоморфизмом . 7.32. Привести пример нехаусдорфова многообразия. 7.33. Привести пример многообразия с двумя несогласованными гладкими структурами. 7.34. Будут ли гладкими подмногообразиями граница квадрата и восьмерка в R^? 7.35. Две гладкие структуры (два гладких атласа) на многообразии называются эквивалентными, если каждая карта одного атласа согласована со всеми картами другого атласа, и наоборот. Доказать, что две гладкие структуры на многообразии эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают пространства гладких функций для этих гладких структур. 7.36. Доказать, что любое гладкое многообразие имеет такой атлас, что каждая карта гомеоморфна евклидовому пространству. 7.37. Показать, что на плоскости R^ можно ввести такую структуру гладкого двумерного многобразия, что кривая у — х^ перестает быть гладкой. 7.38. Доказать, что произведение гладких многообразий является гладким многообразим, причем проекции — гладкие регулярные отображения. 7.39. Доказать, что овеществление п-мерного комплексного многообразия является гладким вещественным ориентируемым многообразием размерности 2/7. 7.40. Доказать, что край гладкого многообразия М" является гладким (п — 1)-мерным многообразием. При этом в качестве гладкого атласа края многообразия можно взять ограничения карт многобразия на его край. т
7.41. Показать, что окружность, двумерная сфера, тор — ориентируемые многообразия. 7.42. Проверить, ориентируемы ли следующие многообразия: a) сфера S^; b) торТ"; 7.43. Доказать, что лист Мебиуса, проективная плоскость, бутылка Клейна — неориентируемые многообразия. 7.44. Доказать, что двумерное многообразие тогда и только тогда ориентируемо, когда оно не содержит в себе листа Мебиуса. 7.45. Доказать, что декартово произведение двух многообразий тогда и только тогда ориентируемо, когда ориентируемы сомножители. 7.46. Доказать теорему о существовании римановой метрики на любом гладком многообразии a) с помощью разбиения единицы; b) с помощью теоремы Уитни. 67
8. Тензоры 8.1. Определить валентность следующих тензоров: а)^- = ^; b) Tij = Q^iQ^j В точках, где градиент функции / равен нулю; c) Ту — компоненты матрицы линейного оператора векторного пространства; d) Tij — компоненты матрицы билинейной формы на векторном пространстве. 8.2. Пусть О, если i ф 3 ^ {I J II. если г — J Показать, что {E"*} образует тензор валентности A,1). 8.3. Пусть {С^} — тензор валентности B, 0). Показать, что числа T}ij^ удовлетворяющие условию C^rjjk = S^ образуют тензор валентности (О, 2). 8.4. Пусть матрица {gij{x)) — симметрическая невырожденная положительно определенная в некоторой системе координат х = (з!^,. . .,х^). Доказать, что все эти ее свойства сохраняются при любой регулярной замене координат. 8.5. Пусть V^ — пространство всех тензоров типа [т^п). Показать, что если /: V^ ^~^Уа — линейное отображение тензорных пространств, то компоненты отображения образуют тензор. Определить его валентность. 8.6. Определить размерность тензорного пространства У^. 8.7. Показать, что любой тензор валентности B, 0) однозначно разлагается в сумму симметрического и кососимметрического слагаемых. 8.8. Доказать, что операторы альтернирования и симметрирования являются проекторами в пространстве тензоров. Доказать, что если 77 > 2, то сумма этих операторов не равна 1. Привести пример тензора (при 77 > 2), лежащего в ядрах операторов альтернирования и симметрирования. 8.9. Пусть размерность пространства V равна п. Определить размерность пространства A^V кососимметрических тензоров. 8.10. Пусть размерность пространства V равна п. Определить размерность пространства S^V симметрических тензоров. 8.11. Описать все инвариантные тензоры рангов О, 1, 2, 3, 4. Здесь тензор называется инвариантным, если его компоненты не меняются ни при каких заменах координат. 8.12. Показать, что CMeniannoe и векторное произведения в R^ задаются тензорами типа @,3) и A,2) соответственно. Выписать их компо- 68
ненты в произвольном базисе. Показать, что компоненты этих тензоров связаны операцией опускания и поднимания индексов. 8.13. Выразить через коэффициенты характеристического многочлена оператора (й) величины det с, с*-, с^й, c^CjCl. и т. д. 8.14. Представить определитель линейного оператора как результат выполнения последовательности элементарных тензорных операций. 8.15. Пусть дан набор величин 5*^*"*^. Доказать, что если при некотором фиксированном q набор величин S'^-'''Ti,...i„ q<p является тензором при любом выборе тензора Ti^^^^i^^ то и 5*^*"*^ также тензор. 8.16. Если Vij — тензор и в некоторой системе координат имеет место уравнение avij + hvji = О (а и 6 — числа), то это уравнение справедливо в любой другой системе координат. Кроме того, если Vij ^ О, то или а — Ь^ или а — —Ь. 8.17. Пусть gij — метрический тензор. Доказать, что если тензоры gijP^ и gijQf. симметричны, то после опускания верхнего индекса тензор PQ -\- QP симметричен, а PQ — QP антисимметричен. 8.18. Пайти tiA^A через коэффициенты характеристического многочлена Л в 77-мерном пространстве V. Если дан оператор Л : V ^ V, то определены операторы у®к _^ у®к \®ку _^ д®А; С^®ку V С^®к 8.19. Выразить через след и определитель оператора Л величины tr Л0 8.20. Доказать, что для ^ G Л^(У), х E:V равенство <J Л а! = О выполняется тогда и только тогда, когда ^ — х /\г} для некоторого т] G М~^{у). 8.21. Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам и кососимметричен по второму и третьему, то он равен нулю. 8.22. Доказать, что если aij — симметрический, Ь^^ — кососимметри- ческий тензоры, то aijh^^ — 0. 8.23. Пайти значение тензора е2 0 е^ + (ei + Зез) 0 е^ на паре е^ + е^ + е^, е1+5е2 + 4ез. 8.24. Пайти значение тензора (е^ ® е^ + е^ ® е^ + е^ ® е^) ® (е^ ® е^ ® (е^ - е^))- 69
-(e^ 0 e^ 0 (e^ - e"^)) 0 (e^ 0 e^ + e^ 0 e"^ + e^ 0 e^) на наборе ei,ei + 62,62 + 63,62,62- 8.25. Все координаты тензора Т тина B,3) в базисе F1,62,63) равны 1. Найти координату Т/|з этого тензора в базисе /12 3 (е1,ё2,ёз) = (б1,б2,бз) 0 12 \ О О 1 8.26. Найти координаты а) Т21 тензора ei 0 е^ 0 б^ + б2 0 е^ 0 6^ в базисе (ei,e2) = F1,62) B3) b) Tgf тензора бз 0 6i 0 б^ 0 е^ + 6i 0 62 0 е^ 0 е^ в базисе /10 0 (е1,ё2,ёз) = (б1,б2,бз) 2 10 \ 3 2 1 8.27. Найти координаты тензоров a) (б1 +62) 0 (б1 -62), b) (б1 + 2б2) 0 (б1 + 62) - (б1 + 62) 0 (б1 + 2б2). 8.28. Найти свертку тензоров a) (б1 + Зб2 - бз) 0 (б1 - 26^ + Зб^) - (б1 + бз) 0 (б1 - Зб^ + 6^), b) 61 0 (б^ + б2 + е^ + Зб-*) + 62 0F^+262 + 36^+46-*)+ 263 0F1-62-6-*). 8.29. Применить линейный онератор, заданный тензором бз 0 6*, к вектору 61 + 62 + 63 + 64. 8.30. Тензор (б1 + 62) 0 Bб* — е^) задает линейный онератор Л. Какой тензор задает онератор Л^? 8.31. Скалярное произведение задано матрицей / 2 1 О О \ 110 0 0 0 11 V О О 1 2 У Поднять и опустить индекс у тензоров a) 63 0 6* + 64 0 6^, b) (бз + 64) 0 (б* + б2) - ез 0 (б* + 6^), c) Т]=^2г+^4^. 70
9. Связности и параллельный перенос 9.1. Доказать, что - rvia'^Tjr\r'~rj/t то Т/Т Гк/Т . . , ,,, - - а) если V^j и 7гЧ — связности, то и aPj'- + (З'^^л тоже связность, если а + /?=1. b) если связности Г^- и '^^- имеют одинаковые геодезические, то те же геодезические имеет связность аГ^- + j3'^^-, а -\- j3 — 1. c) Доказать, что разности Г^- — Г^- двух связностей V и V образуют тензор типа A,2), и что любой тензор типа A,2) можно представить в таком виде. Доказать, что если к коэффициентам связности прибавить тензор типа A,2), то получатся коэффициенты связности. 9.2. Показать, что ковариантная производная вдоль кривой зависит только от значения коэффициентов связности на этой кривой. 9.3. Доказать, что при одновременном параллельном перенесении нескольких тензоров вдоль данной кривой параллельно переносятся и тензоры, полученные из исходных операциями тензорной алгебры. 9.4. Дано векторное поле, вектора которого имеют одну и ту же длину. Пусть многообразие снабжено симметричной римановои связностью. Доказать, что ковариантная производная этого векторного поля в произвольном направлении ортогональна векторам поля. 9.5. Пусть N — гладкое подмногообразие в М, 7 — гладкая кривая на 7V, <J — векторное поле вдоль кривой 7? касательное к N. Доказать формулу V^^ = pr (V^O. где V, V — симметрические римановы связности на многообразиях М и N соответственно (на N рассматривается индуцированная метрика), рг — ортогональная проекция на касательное пространство к N. 9.6. Показать, что если два подмногообразия a) евклидова пространства b) произвольного риманова многообразия соприкасаются вдоль некоторой кривой 7? то результаты параллельного перенесения вектора вдоль этой кривой на одном подмногообразии и вдоль этой же кривой на другом многообразии совпадают. См. рис. ??. 71
Рис. 46. 9.7. Вычислить символы Кристоффеля евклидовой метрики плоскости в полярных координатах. 9.8. Вычислить символы Кристоффеля метрики ds^ — \(u^v)(dv?' + 9.9. Вычислить явно символы Кристоффеля на сфере, если метрика задана в виде а) ds^ = d6'2+sin2 6'V. D; as — (i_^^2+y2J, 9.10. Вычислить явно символы Кристоффеля на плоскости Лобачевского, если метрика имеет вид а) ds^ = ^^^; D; as - (^^^2+у2J , с) ds^ = '%^;:ff\ 9.11. Вычислить явно символы Кристоффеля в сферической системе координат в R^. 9.12. Вычислить символы Кристоффеля на поверхности вращения в R^, заданной в виде г{и, v) = {f{u) cos v, f(u) sin v^ g{u)). 72
9.13. Вычислить символы Кристоффеля псевдосферы Бельтрами, заданной в виде и г{и, v) = {а sin и cos V, asini/sini^, a(lntg — + cos г*)). 9.14. Найти символы Кристоффеля метрики ds'^ = du^ + sh^ dv'^. 9.15. Вычислить символы Кристоффеля на катеноиде и и {х{и, v), у{и, v), z{u, v)) = (ach — cost^, ach — sint^, z = u). 9.16. Вычислить символы Кристоффеля на геликоиде {x{u^v)^ y{u^v)^ z{u^v)) = {ucosv^usinvjiv). 9.17. Вычислить, на какой угол повернется касательный вектор на прямом круговом цилиндре в R^ в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой. Зависит ли результат от вида кривой? 9.18. Вычислить, на какой угол повернется касательный вектор на прямом круговом конусе в R^ в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой. Установить зависимость от вида кривой. 9.19. Выписать в явном виде и реп1ить уравнения параллельного переноса на сфере с метрикой ds'^ = dO'^ + sin Od^f'^ a) вдоль кривой О — 0^ — const, т. е. вдоль параллели; b) вдоль кривой ^ = ^0 = const, т. е. вдоль меридиана. 9.20. Выяснить, на какой угол повернется касательный вектор на сфере в результате перенесения вдоль параллели. 9.21. На поверхности вращения перенести касательный вектор вдоль параллели. Найти угол между начальным и конечным положением вектора. 9.22. a) Доказать, что при параллельном перенесении вдоль меридиана поверхности вращения вектора, касающегося параллели, результат перенесения будет параллелен исходному вектору в объемлющем евклидовом пространстве (см. рис. ??). b) Перенести по поверхности вращения вектор, касательный к меридиану, вдоль этого меридиана. 73
Рис. 47. 9.23. Перенести параллельно по прямому геликоиду (г* cos v, и sin v, hv) вектор, касательный к поверхности. Перенос осуществить вдоль витка винтовой линии (acos г', asini',/гг'), а — const, О < i' < 27г. Пайти угол (в пространстве) между исходным и конечным вектором. 9.24. Выписать в явном виде и репшть уравнения параллельного переноса на плоскости Лобачевского в модели на верхней полуплоскости a) вдоль кривой х — х^^ — const; b) вдоль кривой у — у^ — const. 9.25. Вычислить, на какой угол повернется касательный вектор к сфере в результате параллельного перенесения вдоль кривой 7? если: a) 7 — параллель; b) 7 составлена из двух меридианов и части экватора, заключенного между ними; c) 7 составлена из двух меридианов и части параллели, заключенной между ними. 74
9.26. Найти ковариантные производные вдоль координатных линий г = const и ^ = const следующих векторных полей, заданных в полярных системах координатах i;i = (cos^, -- sin^), V2 = (О, 1), г^з = (г, 1) Все вычисления выполнить в полярной системе координат. 9.27. На плоскости заданы полярные координаты (г, ^). Перенести параллельно вектор г^о = {'^^оЛ^о) вдоль кривой г = 2 из точки ^ = О в точку ^ = 7г/2. Все вычисления выполнить в полярной систме координат. 9.28. a) Написать и репшть уравнения параллельного переноса векора по кривой в = const для метрики b) Вычислить угол, на который повернется вектор при однократном перенесении вдоль кривой в = const для метрики ds^ = dO"^ + sh Od^f"^. 9.29. Найти формулу, устанавливающую зависимость между углом поворота а касательного вектора к сфере единичного радиуса в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой j ж S — площадью области, ограниченной кривой j. 9.30. Найти формулу, устанавливающую зависимость между углом поворота а касательного вектора к плоскости Лобачевского в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой j ж S — площадью области, ограниченной кривой 7- 9.31. Найти все связности на окружности. Установить формулу для параллельного переноса для произвольной связности на окружности. 9.32. На плоскости с координатами г*^, и^ найти аффинную связность, относительно которой векторные поля <J = (е^ , 1), ?7 = @,е^ ) ковари- антно постоянны. 9.33. Оператором Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии называется оператор А/ = V* Vj/, где V — симметрическая риманова связность, V* = g'^^Vj' Найти явную формулу для этого оператора на поверхности вращения. 9.34. Определим на римановом многообразии градиент функции / как векторное поле grad/ = g^^Vjf. Определим на римановом многобразии дивергенцию векторного поля v^ как функцию div г^ = (Vfi^)*. a) Доказать, что в евклидовом пространстве так определенные операции градиента и дивергенции совпадают с обычными. b) Доказать, что на римановом многообразии оператор Лапласа div grad / совпадает с оператором Лапласа-Бельтрами А/. 75
9.35. Пусть на многообразии, снабженном аффинной связностью без кручения, заданы два ковариантно постоянных векторных поля. Доказать, что они коммутируют. 9.36. Доказать следующие равенства: d) Если A'^ = -A'i, TO WiA'i = ^^{^A'^)- 9.37. Ha плоскости даны два линейно независимых векторных поля. Доказать, что существует единственная связность, относительно которой эти два векторных поля ковариантно постоянны. 9.38. Найти в R^ с координатами {х^ у) область, в которой линейно независимы следующие векторные поля а.) и = {-у,х), v = A,0); b) г* = (cosa!,sina!), г^ = (—sin a!,cosa!); Найти коэффициенты связности, относительно которой эти поля ковариантно постоянны. 9.39. Рассмотрим пространство R^ с координатами х-^,х'^,х^. Найти область в R^, в которой линейно независимы векторные поля и = A, О, 0), г; = @,1, 0), w = (О, х^, 1). Найти коэффициенты связности, относительно которой эти поля ковариантно постоянны. 76
10. Геодезические на двумерных поверхностях 10.1. Доказать, что геодезическая линия на двумерной поверхности в евклидовом пространстве R^ вполне характеризуется одним из следующих свойств. a) В каждой точке линии, где ее кривизна отлична от нуля, нормаль к поверхности является главной нормалью кривой. b) В каждой точке линии ее геодезическая кривизна равна нулю. c) В каждой точке линии ее кривизна равна абсолютной величине нормальной кривизны в направлении касательной кривой. 10.2. Пусть поверхность в R^ такова, что на ней лежит некоторая прямая линия. Доказать, что эта прямая является геодезической линией на поверхности. 10.3. Две поверхности в R^ касаются по линии /. Доказать, что если / — геодезическая линия на одной поверхности, то она должна быть геодезической и на другой поверхности. 10.4. На поверхности в R^ находится материальная точка, которая может свободно двигаться по поверхности. Точка приведена в движение. Доказать, что точка будет двигаться по геодезической линии поверхности. 10.5. На поверхности в R^ лежит невесомая нить, причем эта нить не может оторваться от поверхности, но может по ней свободно скользить. Доказать, что если натянуть нить между двумя точками поверхности, то нить пройдет по геодезической. (На нить действуют только силы натяжения и реакции поверхности). 10.6. Доказать, что геодезическая кривизна линии и = if(s), г^ = v{s) на поверхности г = г(г*, v)^ лежащей в R^, может быть вычислена по формуле где т — единичный вектор нормали к поверхности. 10.7. a) Доказать, что дифференциальное уравнение геодезических линий и = if(s), V = v{s) поверхности г = г(г*, г^), лежащей в Я^, можно представить в виде (т, j^r, j^r) = О, где т — вектор нормали поверхности. b) Вывести отсюда, что через каждую точку в каждом направлении на поверхности проходит ровно одна геодезическая. 10.8. Доказать, что геодезическими линиями плоскости являются прямые и только они. 77
10.9. Доказать, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями. 10.10. Доказать, что параллель поверхности вращения будет геодезической тогда и только тогда, когда касательная к меридиану в ее точках параллельна оси вращения. 10.11. Найти геодезические линии двумерной сферы. 10.12. Найти геодезические линии цилиндрической поверхности в R^ (см. задачу ?? а). 10.13. Найти геодезические линии круглого конуса х^ + у^ — z^. 10.14. Найти геодезические линии произвольной конической поверхности в R^ (см. задачу ?? Ь). 10.15. Показать, что геодезические линии поверхности с первой квадратичной формой ds^ = v{du^ + dv^) изображаются на плоскости г*, г^ параболами. 10.16. Найти геодезические линии геликоида r{u^v) — (ifcostJ, ifsintJ, hv). 10.17. Показать, что на поверхности с первой квадратичной формой ds^ = {^{и) + i{v)){du^ + d%?) (поверхность Лиувилля) геодезические определяются уравнением du . dv ^^5 где а — произвольная постоянная. 10.18. На поверхности с метрикой ds^ — {и^ + cost' + 2)(dif^ + dv^^ найти геодезическую кривизну линии г' = тг. 10.19. (Теорема Клеро) Доказать, что радиус геодезической кривизны параллели поверхности вращения (величина обратная геодезической кривизне) равен отрезку касательной к меридиану, заключенному между точкой касания и осью поверхности (см. рис. ??). 78
Рис. 48. 10.20. (Другая формулировка теоремы Клеро) Доказать, что на поверхности вращения вдоль каждой геодезической линии произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической линией и меридианом постоянно (см. рис. 77\ 79
Рис. 49. 10.21. Доказать, что если геодезическая на поверхности вращения пересекает все встречающиеся параллели под постоянным углом, то она является или меридианом, или параллелью, или же поверхность является прямым круговым цилиндром. 10.22. Рассмотрим на римановом многообразии пучок геодезических, исходящих из некоторой фиксированной точки О, т. е. в каждом направлении в точке О выпустим геодезическую. Отметим на каждой из них точку, удаленную от точки О вдоль этой геодезической на одно и то же расстояние R. Получивп1ееся множество точек называется геодезической сферой радиуса R. Доказать, что геодезическая сфера ортогональна ко всем геодезическим радиусам, т. е. ко всем геодезическим указанного пучка. 10.23. Найти геодезическую кривизну винтовой линии r{t) = (а cos/, а sin/, hv) а) на геликоиде {x{u^v)^ y{u^v)^ z{u^v)) — (i/cosi^, i/sini^, hv)^ 80
b) на цилиндре {x{u,v), y{u,v), z{u,v)) = (acosi', a sin г', г*). 10.24. Вычислить геодезическую кривизну линии и = sh г^, О ^ ^^ ^ "^^о на геликоиде х = ucosv, у = usinv, z — v. 10.25. На поверхности с метрикой ds^ = du"^ + ch^ udv"^ найти геодезическую кривизну линии г^ = Inchi/. 10.26. Доказать, что если линии однопараметрического семейства линий на поверхности таковы, что длины дуг ортогональных траекторий между любыми двумя кривыми семейства равны между собой, то ортогональные траектории являются геодезическими. 10.27. Пусть две поверхности пересекаются трансверсально по линии /, причем линия / является геодезической на каждой из этих поверхностей. Доказать, что эта линия — прямая. 10.28. Доказать, что кручение к геодезической линии, определеяемой направлением du : dv, находится по формуле _ {LF - ME) du^ + {LG - NE) dudv + {MG - NF) dv^ ~^~ {EG - F^^){Edu^ + 2Fdudv -\-Gdv^) 10.29. Определить геодезическую кривизну параллелей и меридианов поверхности вращения {f{u)cosv, f{u)smv, и). 10.30. Найти геодезические кривизны координатных линий поверхности с метрикой ds'^ = Edu^ + Gdv^. 10.31. Пусть поверхность образована касательными к линии с кривизной k[s). Отложим на касательных от точки касания в обе стороны отрезки длиной /. Определить геодезическую кривизну линий, образованных концами этих отрезков на поверхности касательных (см. задачу ??). 10.32. Показать, что на любом компактном римановом многообразии любые две достаточно близкие точки можно соединить геодезической, причем имеется единственная геодезическая наименьп1ей длины. 10.33. Доказать, что гладкая кривая, совпадающая со связной компонентой множества неподвижных точек некоторой изометрии риманова многообразия, является геодезической. 10.34. a) Описать геодезические тора Т^ в плоской метрике. b) Описать все плоские метрики на торе Т^. 10.35. Показать, что геодезическими на открытом круге с метрикой Лобачевского (модель Пуанкаре) являются диаметры круга и дуги окружностей, пересекающие границу круга под прямым углом. 10.36. Показать, что геодезические на верхней полуплоскости в метрике Лобачевского — это вертикальные полупрямые и дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту, т. е. оси абсцисс. 81
10.37. Найти римановы метрики вида ds^ — e^^^'^''^''^^\dv? + dv^ + d'uP') у которых V — const ж w — const — геодезические (при надлежащей параметризации). 10.38. Привести пример: a) метрики на евклидовой плоскости, не являющейся геодезически полной; b) метрики в открытом круге, являющейся геодезически полной. 10.39. Пусть дана поверхность постоянной гауссовой кривизны. Найти формулу, устанавливающую зависимость между углом поворота а касательного вектора к поверхности в результате параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой 7 и 5 — площадью области, ограниченной кривой 7- 10.40. При каком условии симметрическая связность V является ри- мановой, т.е. существует риманова метрика gij такая, что VkQij =0? 82
11 • Тензор кривизны 11.1. Вычислить скалярную кривизну следующих римановых многообразий: a) сферы 5^ радиуса R в R^; b) тор Т^, вложенный в R^ как поверхность вращения, см. задачу ?? с); c) Тор Т^ вложенный в R'* = C^(z, w), задаваемый уравнениями |zp + \w\'^ = 1 и |z| = lu^l. d) плоскость Лобачевского; e) прямой круговой конус в R^; f) цилиндрическая поверхность в R^; g) сфера S^ радиуса R в R^^^; h) поверхность Бельтрами (см. задачу ?? с); 11.2. Доказать, что риманова метрика двумерного многообразия является локально евклидовой тогда и только тогда, когда ее тензор кривизны тождественно равен нулю. 11.3. Вычислить тензор кривизны на сфере 5^ в сферических координатах. 11.4. Пусть ds'^ = Х{х, y)(dx^-\-dy^). Выразить в явном виде скалярную этой метрики через функцию \[х^у) и ее производные. 11.5. Пусть М — многообразие в R" (п У 2). Пусть а! G М , а Р — двумерное подпространство Т^М. Определим число сг{Р) формулой а{Р) = (^(ei,e2)e2,ei), где ei, 62 — ортонормальный базис плоскости Р. Число сг{Р) называется секционной кривизной поверхности М в направлении двумерной плоскости Р, или, как еще говорят, в двумерном направлении Р. a) Доказать, что сг{Р) не зависит от выбора ортонормального базиса Р. b) Доказать, что если п = 2, то секцоинная кривизна сг{Р) совпадает с гауссовой кривизной поверхности М^ в точке х. c) Пусть Р — двумерное подпространство T^S. Доказать формулу а{Р) = R{V) где R{V) — гауссова кривизна двумерной поверхности V, образованной геодезическими, касательные векторы которых лежат в плоскости Р. 11.6. Пусть 5" — 77-мерная сфера а!^ + . . .-\-x^_^i = г^ с индуцированной метрикой. 83
a) Показать, что тензор кривизны сферы S^ вычисляется по формуле R{X,Y)Z = ^{{Y,Z)X - {X,Z)Y), где X,Y, Z — векторы, касательные к сфере. b) Показать, что секционная кривизна сферы 5" постоянна: сг{Р) = ^ для всех точек х. 11.7. a) Пайти символы Кристоффеля для поверхности с метрикой ds'^ = du^ -\-G{u,v)dv\ b) Пайти гауссову кривизну поверхности с метрикой ds'^ = du^ + G{u,v)dv'^. 11.8. Пайти гауссову кривизну поверхности с метрикой ds'^ = du^ + 2 cosu;(if, v)dudv + dv^. 11.9. a) Доказать, что у двумерной поверхности тензор Риччи пропорционален метрическому. Пайти коэффициент пропорциональности. b) Доказать, что на трехмерном многообразии справедливо равенство Rlmnk — ginRmk — 9lkRrnn — 9гпп^1к + 9rnkRln — -^{9ln9rnk — 9lk9rnn)R- Здесь Rim — тензор Риччи, R — скалярная кривизна. 11.10. Доказать равенства: a) v'{Rij-\R9ij)^^. b) для двумерного многообразия Rij — \R9i3 — 0. 11.11. Пусть V — каноническая связность в R^ со стандартной евклидовой метрикой. Рассмотрим новую операцию VyW — VyW -\- ^v х w. Доказать, что это — связность. Пайти ее тензоры кручения и кривизны. 11.12. Пусть М — многообразие, снабженное связностью, а. х — некоторая фиксированная точка М Пусть Q — { — \ < u,v < 1} — квадрат, X,Y,Z G TjjM. Далее, пусть f : Q ^ М — такое гладкое отоображение, что /@,0) = X, df{d/du) = X, df{d/dv) = У. Для |/| < 1 рассмотрим параллельный перенос г по пути х -^ f{t, 0) -^ f{t,i) -^ /@,^) -^ х. Доказать, что R{X,Y)Z = lim^{T-'Z-Z). 11.13. Пайти компоненту Я1212 тензора кривизны следующих метрик: a) ds'^ = du'^ + u'^dv'^ b) ds'^ = du'^ — vP'dv'^ c) ds^ — o?[d9'^ + cos^ 9d<f^)^ a — const. 84
11.14. Риманово многообразие, в котором Rij = X{x)gij называется пространством Эйнп1тейна. Доказать, что a) для пространства Эйнп1тейна выполняется равенство Х{х) = R{x)/n, где R — скалярная кривизна, an — размерность многообразия. b) Любая двумерное риманово многообразие является пространством Эйнп1тейна. 11.15. Доказать, что при п > 2 скалярная кривизна пространства Эйнп1тейна постоянна. 11.16. Тензор Эйнп1тейна на римановом многообразии определяется формулой Gij = Rij - fgij. Доказать, что V/^Gj' = О, где G^ = д^^Сц. 11.17. Доказать, что связность на п-мерном многообразии, допускающая п ковариантно постоянных линейно независимых в каждой точке векторных полей, имеет нулевой тензор кривизны. 11.18. Пусть секционная кривизна риманова многообразия постоянна. Такие многообразия обычно называются пространствами постоянной кривизны. Показать, что в пространстве постоянной кривизны секционная кривизна К связана со скалярной соотноп1ением К = ^(^_i\ • 11.19. Показать, что пространство постоянной кривизны является пространством Эйнп1тейна. 11.20. Доказать, что в пространстве постоянной кривизны любой симметричный, невырожденный, ковариантно постоянный тензор типа @,2) имеет вид a^j = Xgij, Л = const. 11.21. Доказать, что на четырехмерном многообразии с метрикой ds'^ = 2du^du'^ + (if'*)^(dif^)^ + 2dv?du^ тензор кривизны ковариантно постоянен, а тензор Риччи нулевой. 11.22. Доказать, что если тензор кривизны риманова многообразия ковариантно постоянен и размерность многообразия больп1е 2, то пространство имеет постоянную кривизну. 11.23. Показать, что на двумерной поверхности в R^ компоненты тензора кривизны представляются в виде Rijkl — К{9и9зк — 9ik9jl), где К — гауссова кривизна. 11.24. Доказать, что символы Кристоффеля в некоторой системе координат равны О тогда и только тогда, когда тензор кручения связности Sij и тензор кривизны Я^- ^. тождественно равны нулю. 85
12. Дифференциальные формы. в этом разделе внеп1ним произведением векторов vi^...^Vp G V, dimV = 77, называется тензор l^i Л . . . Л Vp = ^ (-1)"^ Val 0 • • • 0 Vap, где Sp — группа перестановок на р элементах, а (—1)"^ — знак перестановки (Т. При таком определении значение внеп1ней формы е^ Л . . . Л е" на наборе векторов I'l,. . ., v^ равно объему параллелепипеда натянутого на векторы г^1,. . ., Vn- Здесь е^,. . ., е" — базис сопряженного пространства 12.1. Доказать, что если векторы Vi,. . . ,Vp £ V линейно-зависимы, то T{vi,...,Vp) = О для любой формы Т G Л^(У*). 12.2. Доказать, что если формы ^i,. . ., ^^ G V* линейно зависимы, то ^1 Л ... Л ^р = 0. 12.3. a) Записать линейную форму си = f{x'^ + у'^) [xdx + ydy) в полярных координатах. b) Записать форму uj — \Jx^ + у^ dx А dy в полярных координатах. c) Записать форму си = xdx + ydy + zdz в сферических координатах. d) Записать форму xdy Adz -\- ydz Adx -\- zdx А dy си = [х- + 2/2 + z2K/2 В сферических координатах. e) Форму предыдущего пункта записать в цилиндрических координатах. f) Записать форму uj — dx А dy А dz ъ сферических координатах. 12.4. Пусть ^1,. . ., ^п G V*; г^1,. . ., г^п G V. Доказать, что (^1 Л ...A^n)(:i^i,---,Vn) = det ||^,-(i;j)||-'j. 12.5. Доказать, что на ориентируемом многообразии с римановои метрикой, задающейся в локальных координатах [х^^. . ., х'^) набором функций gij^ выражение вида y^det [gij)dx^ А. . .Adx^ является дифференциальной формой корректно определенной на всем многообразии. Эта форма называется формой объема.
12.6. Показать, что операцию внеп1него дифференцирования дифференциальной формы можно представить как композицию операции кова- риантного градиента и альтернирования для произвольной симметрической связности на многообразии. 12.7. Вычислить внеп1ний дифференциал следующих дифференциальных форм: a) z'^dx Ady-\- (z^ + 2y)dx Л dz; b) 13xdx + y^^dy + xyzdz] c) {x + 2y^){dz /\dx -\- \dy Л dx)] d) {xdx ^ ydy)/{x^ + :у2); e) {ydx - xdy)/{x'^ ^ y'^)] f) /(^^ -^-y'^){xdx ^ ydy); g) fdg^ ^A^ f ^ 9 ^ гладкие функции; h) f{g{x\...,x^))dg{x\...,x^). 12.8. Доказать формулу Картана {dw){X,Y) = X{w{Y)) -Y{w{X)) - w{[X,Y]), где w — одномерная дифференциальная форма; X,Y — векторные поля. 12.9. Обобщить формулу задачи ?? на случай дифференциальных форм произвольной степени. Пусть в векторном пространстве R" задано скалярное произведение. Введем следующие две операции. Первая сопоставляет каждому вектору X такую линейную форму w = V{X), что {X,Y) = V{X){Y). Вторая операция каждой полилинейной кососимметрической форме w степени р ставит в соответствие форму ^{w) степени п — р следующим образом. Пусть wi,. . . ,Wn — ортонормированный базис линейных форм, W = fwi^A. . .Awi^. Тогда*(if;) = {—lYfwj^A. . •Awj^^_^, где a — четность перестановки 1 ... р р -\- 1 ... п ^1 • • • '^р Jl • • • Jn—p Эта операция обычно называется "операцией звездочка". Заметим, что первая операция задает хоропю известный линейный изоморфизм между пространством V и пространством V* Вторая операция устанавливает изоморфизм между пространством внеп1них форм степени р и пространством внеп1них форм степени п — р. 12.10. Выписать в явном виде результат применения операции * к дифференциальным /^-формам [к = 0,1,2,3), заданным в R^ с метрикой ds'^ = Ai dx'^ + Л2 dy'^ + Лз dz^, где Л^ — гладкие функции. 87
12.11. Доказать, что *(*Т) = (-1)^("-^)т. 12.12. Показать, что в пространстве R^ выполнены следующие формулы для векторных полей: a) gradF = V-^{dF); b) divX = *d* V-i(X); c) TotX = V^dV-^{X). 12.13. Показать, что формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроград- ского являются частными случаями общей формулы Стокса для дифференциальных форм. 12.14. Вывести формулу интегрирования по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью I]: ^) / / НФ'Ф + (grad ^, grad ф)) dv = / /^ ^^ ^^'^ Ь) ЦЦ^Аф - фА^) dv = //^(^11 - V'l^) da. V Здесь д/дп — производная вдоль нормали к поверхности I]. 12.15. Пайти градиенты функций в сферических координатах: a) и{г, в, ip) = г^ cos в; b) и{г, в, ^) = Зг^ sin О -\- е^ cos ^ — г; c) г*(г, 6*, <р) — cos О/г'^. 12.16. Доказать, что dive. = diUj'^uj'di\n,M^ -^4^W) 12.17. Вычислить дивергенцию векторного поля на плоскости в a) полярных координатах; b) эллиптических координатах; c) параболических координатах. 12.18. Вычислить дивергенцию векторного поля в трехмерном пространстве в a) сферических координатах; b) цилиндрических координатах. 12.19. Пайти закон преобразования форм связности cjj. = V^-j^du^ при переходе от одной карты к другой. 12.20. Пусть F — векторное поле в 3-мерной области W с гладкой границей dW^ п — единичный нормальный вектор к dW. Доказать, что hdiY F) dxdydz = {n,F)dA, w dW где dA — элемент площади на dW^ а {n^F) — скалярное произведение.
12.21. В условиях предыдущей задачи доказать, что / (rot F, n)dA= / {fidxi + f2dx2 + fsdxs), S dS где S — гладкая поверхность с гладкой границей dS. 12.22. Вывести из формулы Стокса теорему Konin о вычетах. 12.23. Пусть р ж q — произвольные многочлены от переменных z^,. . ., z"; а, к — вещественные числа. Пусть существует такая дифференциальная форма W, что dp/\w — pdz, dw = adz, dqAw = kdz. Доказать, что d{p~^~^qw) = 0. Здесь dz = dz^ Л ... Л dz" 12.24. Пусть uj = ujijdx'^ Л dx^ — невырожденная 2-форма на многообразии, а^^ — обратный тензор, т.е. а^^соц = S^. Доказать, что два следующих условия эквивалентны: 1) форма UJ замкнута; 2) операция {f,g} = ^^^а^а^' задаваемая на пространстве гладких функций тензором а^^, удовлетворяет тождеству Якоби. 12.25. Пусть Xi,. . ., Хп — линейно независимые векторные поля на п- мерном многообразии, и;^,. . . ,и;" — двойственные 1-формы, т.е. uj'^[Xj) = Sj. Доказать формулу duj^ = --Auj'' Auj^, 2 ^ где гладкие функции cjl- определяются из соотноп1ения [Xi,Xj] = АХ^. 12.26. Доказать, что если на многообразии существует невырожденная форма максимального ранга, то многообразие ориентируемо. 12.27. Пусть UJ = ujijdx'^ Л dx^ — невырожденная 2-форма на многообразии. Доказать, что размерность многообразия М четна и справедлива следующая формула )dx А . . .dx 2п Здесь dimM = 2п. 12.28. Пусть на многообразии существует невырожденная 2-форма на многообразии. Доказать, что многообразие ориентируемо. 12.29. Пусть в,^ — стандартные координаты на сфере. Являются ли гладкими дифференциальными формами на сфере следующие формы d(9, d^, cos (9d(9, dOAd^? В каких случаях можно к этим формам применять формулу Стокса? 89
12.30. Пусть SI — дифференциальная р-форма, uj — дифференциальная 1-форма, не равная нулю. Показать, что S1 представляется в виде О. — О /\uj тогда и только тогда, когда S1 Л и; = 0. 12.31. Показать, что ограничение формы xdy — ydx ^ = Y на любую коническую поверхность с центром в начале координат является замкнутой формой. 12.32. Вычислить интеграл от формы S1 = х^dy /\ dz -\- у^dz /\ dx -\- z'^dx Л dy по области D{—1 < и < 1,—1 < г' < 1) на поверхности х = и -\- v,y = и — V, Z = UV. Система координат и, v считается положительно ориентированной. 12.33. Записать внеп1нюю дифференциальную форму в R^\0 : xdy /\dz -\- ydz /\dx -\- zdx Л dy @^2 + 2/2 +^2K/2 В цилиндрических и сферических координатах. Показать, что интеграл от этой формы по гладкой поверхности, взаимно-однозначно и гладко проектирующейся из начала координат на единичную сферу, равен площади проекции. 12.34. Привести пример замкнутой, но не точной 1-формы на R^\{0}. 90
13• Топология 13.1. Построить пример топологического пространства, не удовлетворяющего a) первой аксиоме счетности; b) второй аксиомы счетности. 13.2. На 2-мерной сфере 5^ заданы непрерывные функции f{x) и д{х), такие, что f{x) = —f{TX,g{x) = —д{тх), где г — отражение относительно центра сферы. Доказать, что эти функции имеют общий нуль. 13.3. Построить пример топологического пространства X, такого, что его некоторое подмножесво Y С X (указать У) замкнуто, ограниченно, не является компактном. 13.4. Пусть отображение f : Е ^ F является непрерывным отображением "на" и пусть Е компактно. Доказать, что F компактно. 13.5. Пусть X — метрическое пространство. Доказать, что каждое одноточечное множество замкнуто. 13.6. Доказать, что метрическое топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. 13.7. Верно ли, что расстояние между двумя непересекающимися, замкнутыми множествами на плоскости (на прямой) всегда больп1е О? 13.8. Доказать, что множество, точками которого являются замкнутые подмножества метрического пространства, само естественным образом может быть превращено в метрическое пространство. 13.9. Доказать, что любое сжимающее отображение метрического пространства непрерывно. Отображение f:X^Y метрического пространства X в себя называется сэюимающим^ если существует вещественная постоянная Л < /, такая, что p[f{x)^ f{y)) ^ Ар(а!, у) для любых двух точек х^у G X. 13.10. Доказать, что любое сжимающее отображения плотного метрического пространства в себя всегда имеет неподвижную точку, причем эта точка единственна. 13.11. Привести пример, показывающий, что от условия полноты метрического пространства в задаче ?? отказаться нельзя. 13.12. Доказать, что для любого компакта К С R" существует гладкая вещественнозначная функция /, такая, что К = /~^@). 13.13. Пусть G С 1^ — открытое множество на отрезке. Доказать, что G — объединение непересекающихся интервалов. 13.14. Привести пример двух метрических пространств X и У и отображений f'.X^Yng'.Y^X таких, что / ид взаимно однозначны и непрерывны, и тем не менее X и У не гомеоморфны. 91
13.15. Пусть f:E ^ F,E = ЛиВ,Л = Л, В = В. Тогда / непрерывно тогда и только тогда, когда /|^ и /|^ непрерывны. Если ЛП Л то это, вообще говоря, неверно. Привести пример. 13.16. Доказать, что f:E^F непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого подмножества U < F, f~^(U) открыто. 13.17. Пусть f:X -^Y. Доказать, что / непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества замкнут. 13.18. Пусть X — компактное, У — метрическое пространства, f:X^Y — непрерывное отображение. Доказать, что / — равномерно- непрерывное отображение. 13.19. Доказать, что если f:X -^ Y — последовательность непрерывных отображений и /„ равномерно сходятся к / (У — метрическое пространство), то / непрерывно. 13.20. Доказать, что Л U Б = Л U Б; АГ\В ^ АГ\В. 13.21. Пусть Int(yl) = U{G С Л: G^ открыто}. Тогда р G Int(yl) тогда и только тогда, когда существует окрестность U точки р, такая, что и С Int(yl); р ^ А — Г\{Е Z) А: Е замкнуто} тогда и только тогда, когда для любой окрестности U Э р имеем U ПЛ ф 9. 13.22. Доказать, что открытый диск {\х\ < 1) в евклидовом пространстве является открытым множеством. 13.23. Доказать, что открытый диск х'^ -\- у'^ < 1 и плоскость 'R?{x^ у) гомеоморфны. Доказать, что открытый квадрат {\х\ < 1, \у\ < 1} и плоскость И?{х, у) гомеоморфны. Доказать, что интервал О < а! < 1 и открытый квадрат {\х\ < 1, \у\ < 1} не гомеоморфны. 13.24. Доказать, что куб {\xi\ < 1, i = 1, 2,...,77} и niap гомеоморфны. Доказать, что открытый куб и открытый niap диффеоморфны. 13.25. Доказать, что niap i ^"-i xf < 1^ я верхнее полуп1арие сферы {еГ.1-?<1} )фны. 1 Sr=i ^i — ^^ ^п+1 ^ О f гомеоморфны. 13.26. Доказать, что эллипсоид < Yl7^i ^ ~ ^ г гомеоморфен сфере 13.27. Гомеоморфны ли отрезок О < а! < 1 и буква Т? 13.28. Доказать, что интервал (—1,1) гомеоморфен прямой (—сю, сю). Доказать, что любые два интервала гомеоморфны. 13.29. Гомеоморфны ли niap и сфера? 13.30. Доказать, что куб /" — компактное пространство. 92
13.31. Доказать, что п-мерная сфера [п < сю) компактна. Верно ли это для п = сю? 13.32. Пусть X С Y ж Y — компактное пространство. Доказать, что X — компактное пространство тогда и только тогда, когда X — замкнутое пространство. 13.33. Показать, что группа ортогональных матриц размера 3x3 — компактное топологическое пространство. 13.34. Доказать, что группа ортогональных преобразований п- мерного евклидова пространства — компактное топологическое пространство. 13.35. Пусть Л ж В связны ж ЛП В ф 9. Доказать, что Ли В связно. 13.36. Доказать, что если Е, F связны, то ж Е х F связно. 13.37. Пусть f:E^F — непрерывное отображение "на" и Е связно. Доказать, что F связно. 13.38. Доказать, что a) интервалы 0<а!<1,0<а!<1,0<а!<1 связны; b) если Л С R^ связно, то Л имеет вид: a<x<b,a<x<b,a<x<b, а < X < b^ где а, b могут принимать значения ±сю. 13.39. Доказать, что куб /" и сфера 5"-связны. 13.40. Пусть X — метрическое компактное связное пространство. Можно ли две его точки соединить непрерывным путем? 13.41. Доказать, что SO{n) — связное топологическое пространство; 0G7) состоит из двух компонент связности. Доказать, что U{n) , SU{n) — связные топологические пространства. 13.42. Доказать, что группа GL{n,C), рассматриваемая как подмножество в пространстве всех комплексных матриц размера п х п открытое и связное подмножество. 13.43. Доказать, что группа GL'^{n,H), вещественных матриц размера 77 X 77 с положительным определителем, — связное топологическое пространство. 13.44. Доказать, что группа GL{n^ R), вещественных невырожденных матриц размера 77 х 77 — топологическое пространство, состоящее из двух связных компонент. 93
ЧАСТЬ 2 94
14. Системы координат. (Дополнительные задачи.) в задачах ??-??: (а) Найдите координатные поверхности и координатные линии. (Ь) Вычислите определители dxi duj 5 дщ dxj и установите, в каких точках пространства R^ наруп1ается взаимная однозначность соответствия между криволинейными и прямоугольными декартовыми координатами для перечисленных ниже криволинейных систем координат 1*1, 1*2, из пространства R^. (с) Являются ли эти системы координат ортогональными? 14.1. Для биполярной системы координат, определяемой равенствами ^1 = {сЪи^-cosu,)^ ^2 = (ch^rcoL.)^ ^3 = ^3, где а — масштабный множитель. 14.2. Для бисферической системы координат, определяемых равенствами хг = ^|iiii£i£2^ Х2 = ,Т"^^^^"^-\, хз = , ь^^^^^ ,, где с — постоянный множитель, О < i^i < г*2, —сю < г*2 < сю, —тг < г*з < тг. 14.3. Для системы вытянутых сфероидальных координат, определяемых равенствами х\ — cuiU2, Х2 = с\/{и1 — 1)A — 1*2) cos U3, Х3 = c\/{ul — 1)A — U2) sin 1*3, где ui > 1, —1 < 1*2 < 1, О < 1*3 < Зтг, где с — постоянный множитель. 14.4. Для системы сплюснутых сфероидальных координат, определяемых равенствами xi = сг* 11*2 sin 1*3, Х2 = сл/(г*^ — 1)A — 1*2), хз = CU1U2COSU3, где 1*1 > 1, —1 < 1*2 < 1, О < 1*3 < 27Г. 14.5. Преобразовать выражение г/^ —2ху^^-{-х'^^ — х^ — у^-\-z к полярным координатам г, ^, т. е. х = г cos ^, i/ = rsin^. 14.6. Преобразовать выражение ^-\-2ху'^^-\-2{у — у^)щ-\-x'^y'^z = О к новым координатам и, v, таким, что х = uv, у — ^. Пайти область определения и область значения этой системы координат. 14.7. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в системе координат (if, 1;) такой, что w; = Inln z, где w — х -\- iy^ z — и-\- iv. 14.8. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в системе координат [и, v) такой, что w; = Inln ^~^^, где w = х -\- iy, z — и-\- iv. 14.9. Вычислите оператор Лапласа ^^ + ^-^ в системе координат (if, 1^) такой, что W — z^ — 3z^ + 1, где w — х -\- iy^ z — и-\- iv. 95
15• Уравнения кривых и поверхностей 15.1. Пусть С — некоторая плоская кривая, М — точка кривой С, хОу — заданная в плоскости кривой прямоугольная система координат. Обозначим через Т ж N точки пересечения касательной и нормали к этой кривой с осью Ох, ж пусть Р — проекция точки М на ось Ох. См. рис. ??. a) Найти уравнение кривой С, если отрезок PN постоянен и равен а. b) Найти уравнение кривой С, если отрезок РТ постоянен и равен а. c) Найти уравнение кривой С, если если она имеет постоянную длину нормали MN — а для любой точки М на кривой. Рис. 50. 15.2. Найти уравнение кривой С с постоянной длиной касательной МТ — а (см. рис. ??). Такая кривая называется трактрисой. 96
Рис. 51. Трактриса 15.3. Произвольный луч ОЕ пересекает в точках D ж Е окружность х' + ('^"i и касательную к ней, проходящую через точку G, диаметрально противоположную О. Через точки D ж Е проведены прямые, параллельные соответственно осям Ох и Оу, до пересечения в точке М. Составить уравнение кривой, образованной точками М [локон Аньези). См. рис. ??. 97
15.4. Пусть 7 — замкнутая гладкая кривая. Доказать, что для любого вектора а найдется точка х £ j, в которой касательная к j ортогональна а. 15.5. Пусть две точки движутся в пространстве так, что расстояние между ними остается постоянным. Доказать, что проекции их скоростей на направление прямой, соединяющей эти точки, равны между собой. 15.6. Доказать, что, если на некотором сегменте [а, Ь] вектор-функция r{t) непрерывна вместе со своей производной г', причем вектор г параллелен г', и при этом г' 7^ о и г 7^ о, то годограф вектор-функции г = r{t) есть отрезок прямой линии. 15.7. Пусть на некотором отрезке [а,Ь] задана гладкая вектор-функция г(/), причем производные г' и г" отличны от нуля при всех / G [а, 6], и, кроме того, они коллинеарны, то есть вектор г' параллелен г" при всех / G [а, Ь]. Доказать, что годографом такий вектор-функции г = r{t) является отрезок прямой линии. 15.8. Пусть по плоскости движется твердый стержень, причем его концы описывают кривые ri(/) и Г2(/). Пайти уравнение неподвижной центроиды. Папомним, что неподвиэюной центроидой называется множество точек пересечения прямых, проходящих через концы стержня перпендикулярно направлениям скоростей его концов. 15.9. Рассмотрим движение стержня, описанное в предыдущей задаче. Подвиэюной центроидой называется множество мгновенных центров вращения относительно движущегося стержня. Составить уравнение подвижной центроиды, если заданы законы движения концов стержня ri(/) и Г2(/). 15.10. Пусть движение плоскости (т. е. изометрия) задано движением по плоскости жесткого стержня. Доказать, что тогда линейная скорость V точки определяется соотноп1ением v = си [г], где г — радиус-вектор рассматриваемой точки М{Я) относительно мгновенного центра вращения (см. задачи ??, ??), а [г] — вектор, полученный из г поворотом на +7г/2. Выразить и; через ri и Г2, а также найти скорость v точки M[R). См. рис. ??. 98
Рис. 53. Движение твердого стержня 15.11. Составить уравнения касательной и нормали к следующим кривым: a) r{t) = (аcos/, 6sin/) (эллине); b) r{t) = (l (i + l) , I (i - i)) (гипербола); c) r{t) = (acos^/, asin^t) (астроида); d) r{t) = {a{t — sin/), a(l — cos/)) (циклоида); e) r(/) = Г|/2 - i/-*, i/2 + 1/3") в точке / = 0; f) r(/) = (a^cos^, a^sin^) (спираль Архимеда). 15.12. Доказать, что длина отрезка касательной к астроиде а;2/з + у2/з 7.2/3 заключенного между осями координат, равна а (см. рис. ?? )• 99
Рис. 54. Астроида 15.13. Доказать, что кардиоиды г = аA + cos ^) , г = аA — cos ^) ортогональны. 15.14. Найти огибающую семейства прямых, соединяющих концы пар сопряженных диаметров эллипса. 15.15. Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от сторон прямого угла треугольник постоянной площади. 15.16. Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от данной параболы сегменты данной площади. 15.17. Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от сторон данного угла треугольник данного периметра. 15.18. Найти огибающую семейства окружностей, построенных, как на диаметрах, на параллельных хордах некоторой окружности. 15.19. Найти огибающую семейства эллипсов, имеющих общие главные оси и заданную сумму полуосей. 15.20. На плоскости на зеркало, имеющее форму окружности, падает пучок параллельных лучей. Найти огибающую отраженных лучей. Эта кривая называется каустика. 15.21. Найти огибающую семейства эллипсов, имеющих заданную площадь и общие главные оси. 15.22. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на эллипсе и проходящих через один из его фокусов. 100
15.23. Найти огибающую семейства окружностей радиуса а с центрами на кривой г = r{t). 15.24. Пусть вектор-функция r{t) определена, непрерывна и дважды дифференцируема на сегменте [а,Ь]. Далее, пусть в каждой точке этого сегмента векторы г' и г" неколлинеарны. Найти огибающую нормалей кривой г = r{t). 15.25. Найти огибающую лучей, отраженных от окружности, если светящаяся точка находится на окружности. 15.26. Для кривой r{t) = (/3 _ ^2 _ 5 3/2 + 1 ^ 2t^ - 16) написать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости в точке, для которой / = 2. 15.27. Найти касательную прямую и нормальную плоскость в точке ЛC, —7, 2) кривой r{t) = {t"^ -\-t^ -\-1 ^ At^ -\- Ы -\-2 , t"^ - t^) . 15.28. Найти касательную прямую и нормальную плоскость в точке у1B,0,-2) кривой г = (/2 _ 2/ + 3 , /^ - 2/2 + / , 2/^ - 6/ + 2) . 15.29. Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для кривой, заданной в R^ пересечением двух поверхностей: Fi(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0. 15.30. Найти длину дуги винтовой линии X = За cos/ , у = За sin/ , z = 4а/ от точки пересечения с плоскостью хОу до произвольной точки М(/). 15.31. Найти длину дуги одного витка между двумя точками пересечения с плоскостью хОу кривой X = а(/ — sin/) , у = аA — cos/) , z = 4аcos//2 . 15.32. Найти длину дуги кривой х^ = За^у , 2xz = а^ между плоскостями у = а/3 и у = 9а. 101
15.33. Найти длину замкнутой кривой X = cos^ / , у = sin / , Z = cos 2t . 15.34. В каждой точке кривой г = r{t) задан касательный вектор Т = T{t) ф 0. Функция г(/) определена, напрерывна и имеет непрерывную производную г'(/) на сегменте [а, 6]. Функция Т(/) непрерывна на сегменте [а, 6]. Доказать, что на данной кривой можно ввести такую параметризацию, при которой ^ = Т. Иными словами, всякое достаточно xoponiee векторное поле, касательное к кривой, можно сделать полем ее скорости при подходящем выборе параметра вдоль кривой. 15.35. Найти необходимое и достаточное условие, при котором данное семейство прямых г = р{и) + Лё'(г*) (|е| = 1) в пространстве R^ имеет огибающую. Найти эту огибающую. 15.36. Составить параметрическое уравнение цилиндра, для которого кривая р — р{и) является направляющей, а образующие параллельны вектору е. 15.37. Составить параметрическое уравнение конуса с верп1иной в начале радиуса-вектора я(/), для которого кривая р — p{t) является направляющей. 15.38. Составить параметрическое уравнение поверхности, образованной касательными к данной кривой р = p{t). Такая поверхность называется развертывающейся поверхностью. 15.39. Окружность радиуса а перемещается так, что ее центр движется по заданной кривой р = p{s), а плоскость, в которой она расположена, является в каждый момент нормальной плоскостью к данной кривой. Здесь для простоты записи ответа параметр s на кривой взят натуральным. Составить параметрическое уравнение поверхности, описываемой окружностью. 15.40. Вокруг оси Oz вращается плоская кривая х = ^{v), z — ф{у). Составить параметрические уравнения поверхности вращения. Рассмотреть частный случай, когда меридиан задан уравнением х — f{z). 15.41. Составить уравнение поверхности, образованной главными нормалями винтовой линии. 15.42. Составить уравнение поверхности, образованной семейством нормалей данной кривой р = p{s). 15.43. Прямая движется так, что точка М пересечения ее с окружностью движется по данной окружности, причем эта прямая остается в нормальной плоскости к окружности в соответствующей точки и поворачивается на угол, равный углу MOMq, который проп1ла точка, двигаясь 102
по окружности. Составить уравнение поверхности, описываемой движущейся прямой, считая, что начальным положением движущейся прямой была ось Ох, а окружность задана уравнениями х -\- у = а 0. 15.44. Даны две кривые г = г{и) ж р — p{v). Составить уравнение поверхности, описываемой серединой отрезка, концы которого лежат на данных кривых. Такая поверхность называется поверхностью переноса. 15.45. Пусть даны: плоскость (направляющая плоскость), непараллельная ей прямая (направляющая прямая) и некоторая кривая (напра- влящая кривая). Через каждую точку направляющей кривой проведем прямую / параллельную направляющей плоскости и пересекающую направляющую прямую. Рассмотрим поверхность, заметаемую прямой / при ее движении. Такая поверхность называется коноидом. См. рис. ??. Составить уравнение коноида, если даны: направляющая плоскость yOz, направляющая прямая i/ = О, z = /г, и направляющая кривая ^ + |2- = 1, Z = О (эллипс). Рис. 55. Коноид 15.46. Составить уравнение коноида, для которого направляющая прямая, плоскость и кривая заданы соответственно уравнениями: a) X = а, у = 0; b) z = 0; 103
с) ip — 2pz, X = 0. 15.47. Цилиндроидом называется поверхность, образованная прямыми, параллельными некоторой плоскости. См. рис. ??. Цилиндроид может быть задан двумя направляющими кривыми (лежащими на нем) и направляющей плоскостью (которой параллельны образующие цилиндроида). Частным случаем цилиндроида является коноид, описанный в задачах ?? и ??. Цилиндроид превращается в коноид, если одна из двух направляющих кривых является прямой линией. Составить уравнение цилиндроида, если его направляющими являются окружности х'^ -\- z'^ — 2ах = 0, т/ = О и у^ + z^ — 2ау = 0, 3! = О, а направляющей плоскостью является плоскость хОу. ^rfe5?5^??!?s. Рис. 56. ПереС' 15.48. Пусть в R^ задаШГ^|55вая р = р{и) и в каждой ее точке задан вектор а{и). Линейчатой называется поверхность, задаваемая параметрическим уравнением г(г*, г^) = р{и) + va{u). Прямые, проходящие через точки кривой р{и) в направлении вектора а{и) называются прямолинейными образующими линейчатой поверхности. Отметим, что коноид и цилиндроид являются линейчатыми поверхностями. 104
Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой параллельны плоскости у — z = О ж пересекают параболы у'^ = 2рх, z = О, и z^ = —2рх, у = 0. 15.49. Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой пересекают ось Oz, параллельны плоскости хОу и пересекают линию xyz = а^, х'^ -\- у^ = Р. 15.50. Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой пересекают прямую г = а-\-иЬ, кривую р = p[v) и перпендикулярны вектору п. 15.51. Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой параллельны плоскости хОу ж пересекают два эллипса 15.52. Составить уравнение линейчатой поверхности, образованной прямыми, пересекающими кривую р = (г*, и^, и^), параллельными плоскости хОу и пересекающими ось Oz. 15.53. Составить уравнение поверхности, образованной прямыми, параллельными плоскости x-\-y-\-z = О, пересекающими ось Oz и окружность р — (Ь, а cos и, asinu). 15.54. Составить параметрические уравнения поверхности, образованной прямыми, пересекающими окружность a!^ + z^ = l,i/ = On прямые i/=l,z=lna!=l,z = 0. 15.55. Составить уравнение поверхности, образованной касательными к винтовой линии р = [acosv, asinv, bv). Такая поверхность называется развертывающимся геликоидом. 15.56. Составить уравнение конической поверхности с верп1иной в точке (О, О, —с) и направляющей [х'^ + 2/^)^ = а^(а!^ — У^)- 15.57. В плоскости тг дана прямая АВ и кривая р — р(и). Кривая р равномерно помещается в плоскости тг так, что каждая ее точка движется параллельно АВ. В то же время плоскость тг равномерно вращается во- груг АВ. Составить уравнение поверхности, описываемой кривой р. Эта поверхность называется винтовой поверхностью. Частным случаем винтовой поверхности является прямой геликоид. В этом случае р — р(и) — прямая, ортогональная АВ. 15.58. Пусть г = г{и) — кривая с отличной от нуля кривизной А'. Через каждую ее точку проведена нормальная плоскость, и в этой плоскости построена окружность с центром на кривой г — г{и) ж заданным радиусом а. 105
причем а > О, аА' < 1. Эти окружности заметают в пространстве трубко- образную поверхность S. Такие поверхности называются трубками или каналовыми поверхностями. a) Составить уравнение поверхности S. b) Доказать, что любая нормаль поверхности S пересекает кривую г = г (и) и перпендикулярна вектору скорости этой кривой. 15.59. Найти поверхность 5, зная что все ее нормали пересекаются в одной точке 0. 15.60. Показать, что объем тетраэдра, образованного пересечением координатных плоскостей и касательной плоскости поверхности X — и^ у — v^ Z — а^/uv, не зависит от выбора точки касания на поверхности. 15.61. Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности 3-3 33 /2 2\3/2 X — и sm г^, у — и cos v^ z — [а — и ) ' , постоянна. 15.62. Показать, что касательная плоскость к коноиду X = и cos г^, у — и sin г^, z — а sin 2v пересекает коноид по эллипсу. 15.63. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности z — xf{y/x)^ проходят через одну и ту же точку. 15.64. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к геликоиду Г— [vcosu, г^ sin If, ки). 15.65. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности xyz = а^. 15.66. Пусть поверхность образована касательными к кривой С. Доказать, что эта поверхность во всех точках одной и той же касательной к кривой С имеет одну и ту же касательную плоскость. 15.67. Пусть поверхность образована главными нормалями кривой С. Составить уравнение касательной плоскости и нормали в производной точке этой поверхности. 15.68. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, образованной бинормалями кривой С. 106
15.69. Доказать, что нормаль поверхности вращения совпадает с главной нормалью меридиана и пересекает ось вращения. 15.70. Доказать, что если все нормали поверхности пересекают одну и ту же прямую, то поверхность будет поверхностью вращения. 15.71. Линейчатая поверхность (см. определение в задаче ??) называется развертывающейся, если во всех точках произвольной прямолинейной образующей касательная плоскость к поверхности одна и та же. Докажите, что линейчатая поверхность г(г*, г^) = р{и) + va{u) является развертывающейся тогда и только тогда, когда (г', а, а') = 0. 15.72. Докажите, что любая развертывающаяся поверхность может быть разбита на следующие части: 1) часть плоскости; 2) часть цилиндра; 3) часть конуса; 4) часть фигуры, состоящей из касательных к некоторой неплоской линии. В последнем случае указанная линия называется ребром возврата. 15.73. Найти огибающую и ребро возврата семейства эллипсоидов где а — параметр семейства. 15.74. Найти огибающую семейства сфер, построенных на хордах, параллельных больпюй оси эллипса X у а^ 6^ как на диаметрах. 15.75. Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер, диаметрами которых служат хорды окружности х'^ -{-у'^ -2х = 0, z = 0, проходящие через начало координат. 15.76. Две параболы расположены в перпендикулярных плоскостях и имеют общую верп1ину и общую касательную в верп1ине. Найти огибающую семейства плоскостей, касательных к обеим параболам. 107
15.77. Найти огибающую семейства сфер постоянного радиуса, центры которых расположены на данной кривой р — p[s) (каналовая поверхность) . 15.78. Найти ребро возврата семейства сфер постоянного радиуса а, центры которых расположены на кривой р — p{s). 15.79. Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер радиуса а, центры которых расположены на окружности 15.80. Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер, проходящих через начало координат, центры которых расположены на кривой г = (г*^, и^, и). 15.81. Найти огибающую семейства эллипсоидов 2 2 2 Х^ У^ Z^ h — Н = 1 о? Р с^ с заданной суммой полуосей а + 6 + с = /. 15.82. Найти поверхность, касательные плоскости которой отсекают на осях координат отрезки, сумма квадратов которых равна а^. 15.83. Найти поверхность, касательные плоскости которой отсекают от координатного угла тетраэдр постоянного объема а^. 15.84. Найти огибающую и ребро возврата семейства плоскостей ха^ -\- уа -\- Z = О, где а — параметр семейства. 15.85. Найти огибающую и ребро возврата семейства плоскостей X sin а — у cos а -\- z = аС, где а — параметр семейства. 15.86. Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства соприкасающихся плоскостей данной кривой. 15.87. Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства нормальных плоскостей данной кривой. 108
15.88. Найти характеристики, огибающую и ребро возврата семейства плоскостей {г,п) -\- D = О, п — п{и), D = D{u), \п\ = 1, и — параметр семейства. 15.89. Найти развертывающуюся поверхность, проходящую через две параболы: у'^ = 4ах, Z = 0; и х'^ = 4ai/, Z — Ъ. 15.90. Показать, что поверхность X — cos г^ — (г* + v) sin г^, у — sin г' + (г* + г') cos г', Z — u-\-2v является развертывающейся. 15.91. Показать, что поверхность х — v? -\- г'/З, у — 2и^ + uv^ z — и^ + ^vP'v/Z является развертывающейся. 15.92. Дан параболоид X — 2аи cos v^ у — 2bu sin г^, z — 2и (а cos v -\-bsin г^), где a ж h — постоянные. Определить уравнение кривых на поверхности так, чтобы касательные плоскости к поверхности образовывали с плоскостью хОу постоянный угол вдоль кривой. Показать, что характеристики этого семейства касательных плоскостей образуют постоянный угол с осью z. Найти ребро возврата огибающей. 15.93. Найти ребро возврата развертывающейся поверхности, которая касается поверхности az — ху вдоль линии пересечения ее с цилиндром х'^ = by. 15.94. Показать, что развертывающаяся поверхность, проходящая через окружности х'^ -\- у'^ = а^, z = О ж х'^ -\- z'^ = 6^, у = О, пересекает плоскость 3! = О по равносторонней гиперболе. 109
16. Теория кривых. (Дополнительные задачи.) 16.1. Вычислить кривизну кривых а) г x{t) = а[1-\-тп) COS rnt — атп COS[1-\-m)t \^ y(i) — аA + m) sinm/— amsin(l + m)/ (эпициклоида); b) х'^гр' — {a^ — y'^){b-\- vY (конхоида); 16.2. Вычислить кривизну следующих кривых: a) у — —\пcos X ; b) х^Ш'^ , y = 3t-t^ при / = 1; c) X = a{cost + tsint) , у = a(sin/ — tcost) при / = 7г/2 ; d) X = a{2cost — cos2/) , у = aBsin/ — sin2/) . 16.3. Найти кривизну следующих кривых, заданных в полярных координатах: a) г — a<f] b) г = а^^ ; c) г = а'^ в точке ^ = 0. 16.4. Найти кривизну следующих кривых: в) у — sin X b) у — аA -\- т) sin mi — am sin((l + m)i) c) у = a ch - d)>t/2^(a2-J,2)F + yJ e) у — —Incos X f) X — aBcosi — cos2/), у — aBsin/ — sin2/) 16.5. Определить кривизну кривой: X — i — sin /, у — \ — cos /, z — A sin -. 16.6. Найти параметрическое уравнение кривой: a) s2 + 9Я2 = 16^2 ; b) s2 + Я2 = 16^2 ; c) Я2 + а2 = а2е-2^-^ . 16.7. Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой г^{и^ , и , и^ - 20) в точке /1(9, 3, 7). 110
16.8. Показать, что кривая г = [аи + 6 , си -\- d , и^) имеет во всех точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. 16.9. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали кривой 2 2 у — X ^ X — Z В точке A, 1, 1). 16.10. В каждой точке кривой x{i) —i — sin/ , y{i) = 1 — cos/ , z{i) — 4sin//2 в положительном направлении главной нормали отложен отрезок, равный учетверенной кривизне кривой в этой точке. Найти уравнение соприкасающейся плоскости кривой, описанной концом отрезка. 16.11. Дана винтовая линия r{i) — (а cos / , а sin / , hi) . Составить уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали. 16.12. Дана кривая r[t) = {f, l-t,f'). Составить уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали в точке / = 1. 16.13. Доказать, что если a) все соприкасающиеся плоскости регулярной гладкой кривой параллельны между собой, то кривая плоская; b) если все соприкасающиеся плоскости регулярной гладкой кривой имеют общую точку, то кривая плоская; c) все касательные к кривой перпендикулярны одному направлению, то кривая плоская; d) если все нормальные плоскости параллельны одному и тому же направлению, то кривая плоская; e) если касательный сферический образ гладкой кривой является дугой больпюй окружности, то кривая плоская. 16.14. Найти векторы v^n^b репера Френе, кривизну и кручение кривой Вивиани. 111
16.15. Вычислить радиусы кривизны и кручения кривой 16.16. Дана кривая X — Za у ^ 2xz — а . г(и) — [vcosu , vsinu , kv) , где г^ = г^(г*). Доказать, что эта кривая расположена на конусе. Определить функцию г^(г*) так, чтобы эта кривая пересекала образующие конуса под постоянным углом в. 16.17. Обобщенной винтовой линией или линией откоса называется пространственная линия, касательные которой образуют постоянный угол с фиксированным направлением. Доказать, что линия будет обобщенной винтовой тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: a) главные нормали перпендикулярны фиксированному направлению; b) бинормали образуют постоянный угол с фиксированным направлением; c) OTHonienne кривизны к кручению постоянно. d) все спрямляющие плоскости кривой параллельны некоторой прямой. е) Цг, £,т, £,т) = о g) вектор к + ^ Kt-^ kb л/Р~+~^ постоянный. 16.18. Доказать, что кривая X = а 1 sinQ;(/) dt, у = а I cosq;(/) dt, z — hi. является обобщенной винтовой. 16.19. Доказать, что кривая х^ — 3i/, 1ху — 9z является линией обобщенной винтовой. Найти вектор, с которым касательные к линии образуют постоянный угол. 16.20. Доказать, что сферическая индикатриса бинормалей обобщенной винтовой линии является окружностью. 16.21. Найти касательный, нормальный и бинормальный сферический образы винтовой линии г(/) = [а cos / , а sin / , Ы) . 112
16.22. Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром. a) Доказать, что касательный сферический образ кривой г = r(s) вырождается в точку тогда и только тогда, когда г = r{s) — прямая линия. b) Доказать, что бинормальный сферический образ кривой г = r(s) вырождается в точку тогда и только тогда, когда г = r(s) — плоская кривая. c) Доказать, что нормальный сферический образ кривой не может быть точкой. 16.23. Пусть г = r{s) — кривая, параметризованная натуральным параметром, причем к к ф 0. Доказать, что касательная к касательному сферическому образу параллельна касательной к бинормальному сферическому образу в соответствующих точках. 16.24. Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром. Доказать, что если касательный сферический образ этой кривой лежит в плоскости, проходящей через начало координат, то кривая т — r{s) — плоская. 16.25. Доказать, что кривая г = r[s) является винтовой линией тогда и только тогда, когда касательный сферический образ является дугой окружности. 16.26. Показать, что при инверсии плоскости соприкасающаяся окружность к данной кривой переходит в соприкасающуюся окружность образа этой кривой. При этом предполагается, что центр инверсии не лежит на кривой в точке соприкосновения с окружностью. Папомним, что сферическая кривая — это кривая г = г(/), для которой существуют такой постоянный вектор т и такое постоянное вещественное число Я, что \r{t) — т\ = R. 16.27. Пусть г = r{t) — регулярная кривая, и пусть существует точка а, лежащая во всех нормальных плоскостях кривой г = г(/). Доказать, что г = r{t) — сферическая кривая. 16.28. Доказать, что г= (—cos 2/ , —2cos/ , sin2/) — сферическая кривая. Указание: показать, что точка (—1, О, 0) лежит в каждой нормальной плоскости рассматриваемой кривой. См. задачу ??. 16.29. Пусть г = r(s) — кривая, параметризованная натуральным параметром, к ф О, к ф Оир= 1/А', а = 1/к. Предположим, что р^ + {p^aY — а^ — const, а > 0. Доказать, что образ кривой г = r[s) лежит на сфере радиуса а. 113
16.30. Используя результаты предыдущих задач, доказать, что кривая г = r(s) лежит на сфере тогда и только тогда, когда существуют такие постоянные вещественные числа Л ж В, что ! (Л cos / Kds -\- В sin 1 Kds) 16.31. Кривые 7 и 7* называются кривыми Бертрана, если между точками этих кривых можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором главные нормали (как аффинные прямые) в соответствующих точках кривых совпадают (см. рис. ??). Это означает, что отрезок, соединяющий соответствующие точки кривых, является отрезком главной нормали для обеих кривых. Доказать следующие свойства кривых Бертрана 7 и 7* • 1) Расстояние между соответствующими точками кривых постоянно. 2) Кривизна и кручение каждой из кривых Бертрана связаны соотно- nienncM ак -\-hhi — 1, где а ж h — некоторые постоянные числа. При этом числа а ж h для каждой кривой — свои. 3) Касательные к кривым 7 и 7* в соответствующих точках образуют постоянный угол. Рис. 57. Кривые Бертрана 114
16.32. a) Доказать, что две произвольные концентрические окружности в плоскости образуют пару кривых Бертрана. b) Пусть Доказать, что ri(/) и Г2(/) образуют пару кривых Бертрана. 16.33. Показать, что если кривизна и кручение кривой j связаны линейной зависимостью ак -\- Ьк = 1, где а и b — числа, отличные от О, то существует линия 7* такая, что линии 7 и 7* образуют пару кривых Бертрана. 16.34. Доказать, линия с постоянной кривизной является кривой Бертрана. 16.35. Пусть г = r{t) —регулярная гладкая кривая, причем к ф 0. Доказать, что r{t) является обычной винтовой линией тогда и только тогда, когда r{t) имеет по крайней мере две различные родственные по Бертрану кривые. 16.36. Доказать, что если между точками точками двух кривых 7 и 7* установлено взаимно однозначное соответствие, при котором бинормали кривых в соответствующих точках совпадают (как аффинные прямые), то кривые плоские. 16.37. Пусть для гладкой кривой j существует такая линия 7*5 что главные нормали 7 являются бинормалями к 7* в соответствующих точках. Доказать, что кривизна и кручение линии 7 удовлетворяют соотно- П1ению к = Л(А'^ + к^), где Л — некоторое постоянное число. 16.38. Пусть между точками кривых 71 и 72 можно установить такое соответствие, при котором касательные в соответствующих точках параллельны. Доказать, что отноп1ения кручения к кривизне в соответствующих точках кривых равны по абсолютной величине. Овалом называется регулярная простая замкнутая плоская кривая с к > 0. Вершина регулярной плоской кривой — это точка, где кривизна к имеет относительный максимум или минимум. Пусть r(s) — овал и Р — точка на r(s). Тогда существует точка Р', где касательный вектор г^ к овалу противоположен касательному вектору в точке Р, т. е. г^(Р') = —v{P). Касательные в точках Р и Р^ параллельны. Ясно, что такая точка Р' единственна. Она называется противопояоэюной точкой к точке Р. 115
Шириной w{s) овала в точке Р — r[s) называется расстояние между касательными прямыми к овалу в противоположных точках в Р ж Р\ Говорят, что овал имеет постоянную ширину, если его ninpnna в точке Р не зависит от выбора Р. 16.39. Доказать, что понятие верп1ины кривой не зависит от выбора параметриз ации. 16.40. Если г = r(s) — овал, доказать, что вектор г/' параллелен вектору г^ по крайней мере в четырех точках. 16.41. (Теорема о четырех верп1инах) Доказать, что любой овал имеет по меньп1ей мере четыре верп1ины. 16.42. Показать, что теорема о четырех верп1инах (см. задачу ??) не верна, если опустить условие замкнутости. 16.43. Доказать, что если r(s) — овал постоянной П1ирины w, то его длина равна ttw. 16.44. Пусть г = r(s) — овал постоянной П1ирины. Доказать, что прямая, соединяющая пару противоположных точек Р и Р' овала ортогональна к касательным в точках Р и Р'. 16.45. Пусть r(s) — плоская кривая постоянной П1ирины. Показать, что сумма радиусов кривизны 1/к в противоположных точках является постоянной, не зависящей от выбора точек. 16.46. Пусть r(s) — овал длины L, заданный в натуральном параметре. Обозначим через О угол между горизонталью и касательным вектором v{s). a) Доказать, что отображение в: [О, L] -^ [О, 27г] является взаимно однозначным. Показать, что отображение гов~-^ является гладкой регулярной параметризацией овала. b) Пусть р{в) — параметризация овала такая, что r(s) = p{e{s)) (см. предыдущий пункт). Доказать, что противоположная точка к r(s) есть R{s)=p{0{s)+7t). c) Доказать, что кривая R{s) регулярна. 16.47. Пусть р{0) — овал, параметризованный углом О, как в предыдущей задаче. Пусть w{0) — ninpnna овала в точке р{0). Доказать, что / 27Г где L — длина овала. 16.48. Пусть р{0) — овал, параметризованный углом 0; к (О) и w{0) 116
соответственно его кривизна и ninpnna. Доказать, что £w 1 1 dO'^ к{в) к{в-\-7г) ' 16.49. Доказать, что кривизна кривой j в точке М равна кривизне проекции 7 на соприкасающуюся плоскость в точке М. 16.50. Выразить кривизну и кручение эвольвенты кривой через кривизну и кручение исходной кривой. 16.51. Доказать, что эвольвента линии откоса — плоская кривая. Определение линии откоса см. вып1е. 16.52. Подерой пространственной кривой по отноп1ению к точке О называется множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на касательные к данной кривой. Найти уравнение по деры линии г = т. 16.53. Найти подеру винтовой линии г = (а cos/, а sin/, hi) относительно начала координат. Доказать, что она лежит на однонолостном гиперболоиде х'^ гр z^ _ о? о? а^ 16.54. Нри каком условии центр кривизны винтовой линии лежит на том же цилиндре, что и сама линия? 16.55. Пусть кривая г = r[s) имеет постоянную кривизну. Доказать, что соприкасающаяся сфера и окружность имеют один и тот же радиус. 16.56. Доказать, что радиус кривизны кривой на сфере радиуса R не больп1е, чем R. 16.57. Доказать, что на сфере неплоская регулярная гладкая кривая не может иметь постоянную кривизну. 16.58. Найти общий вид кривизны сферической кривой с постоянным кручением. 16.59. Кривая на сфере определяется заданием своей кривизны или кручения как функции длины дуги. 16.60. Доказать, что если линия задана уравнением г = r[s) в натуральном параметре s, то радиус-вектор центра соприкасающейся сферы задается формулой р — г -\- Rv + ^/?, а радиус соприкасающейся сферы — Rs = \lR^+ ^2 Д_2 «2 16.61. Найти соприксдающуюся окружность кривой: 117
a) r{t) = {t — sin/, 1 — cos/, sin/) при / = 0; b) r{t) = B/, In/, /2) при / = 1. 16.62. Найти радиус соприкасающейся сферы линии г(/) = (/, /^, /^) в точке / = 0. 16.63. Найти радиус соприкасающейся сферы в произвольной точке следующих линий: а) г(/) = (а cos/, а sin/, hi); b)r(^) = (e*, e-*,fV2); c) г(/) = (e^sin/, e^cos/, e*). 16.64. Доказать, соприкасающаяся плоскость кривой пересекает соприкасающуюся сферу по соприкасающейся окружности в той же точке. 16.65. Найти геометрическое место центров соприкасающихся сфер винтовой линии г(/) = (а cos/, а sin/, hi). 16.66. Доказать, что если радиус соприкасающейся сферы постоянен, то кривая либо лежит на сфере, либо имеет постоянную кривизну. 16.67. Доказать, что если в каждой своей точке кривая имеет со своей соприкасающейся плоскостью касание третьего порядка, то эта кривая плоская. 16.68. Из начала радиус-векторов на плоскую кривую г = r(s), падает пучок лучей. Составить уравнение огибающей отраженных лучей (каустика). 16.69. Какой вид примет уравнение каустики плоской кривой относительно начала радиус-векторов, если уравнение кривой задано в виде г = г(/) в произвольном параметре? 16.70. На плоскую кривую, заданную уравнением г = r(s), падает пучок параллельных лучей, имеющих направление вектора е (|е| = 1). Составить уравнение огибающей лучей, отраженных от данной кривой (каустика). Рассмотреть случаи, когда кривая задана уравнением г = г(/) в произвольном параметре, а также, когда она задана уравнением у = f{x). 16.71. Пусть ri:[0,a] -^ R^ — сегмент кривой, параметризованной натуральным параметром, и r2{s) — кривая r2{s) = ri{s) + (ао - s)v{s) , где v{s) — касательный вектор к ri(s), ccq > а — некоторая константа. Показать, что единичная касательная к r2(s) в каждой точке ортогональна к v{s). Заметим, что кривая ri эволютой кривой Г2, а кривая Г2 является эвольвентой кривой ri. 16.72. Найти эволюты, эвольвенты и радиусы кривизны следующих кривых: 118
a) b) с) d) X^ a^ x^ < X^ -h 52 - 52 - -2py-- ■ 1 = 1 = 0 \ X — a(/ —sin/) 1^ у — a(l — cos/) e) r — a(\ -\- cos ^) (в полярной системе координат) f):y = achf g) г — \<f (в полярной системе координат) h) г^ = 2а^ cos 2^ (в полярной системе координат) г'^ — оГ^ cos т<р (в полярной системе координат), где т — некоторая постоянная \) г — а ctg <f 16.73. Найти эволюту логарифмической спирали г — а'^. Доказать, что это — та же самая спираль, но повернутая вокруг начала координат на некоторый угол. Найти этот угол. 16.74. Найти особые точки эволюты эллипса. Сколько нормалей можно провести к эллипсу через произвольную точку плоскости? 16.75. Найти эвольвенту окружности. 16.76. Найти радиус кривизны кривой Штейнера / 2i X — Ir COS - + г COS —, о о ^ . t . 2t у — Ir sm - — г sm — о о в произвольной точке. Кривая Штейнера — это гипоциклоида, образованная в результате качения окружности радиуса г по окружности радиуса Зг. 16.77. Доказать, что эволютой кривой Штейнера является кривая Штейнера, подобная исходной, причем коэффициент подобия равен 3. Причем эволюта повернута относительно исходной кривой на угол |-. 16.78. Найти эволюту астроиды. Доказать, что ее эволютой является астроида, подобная исходной с коэффициентом подобия, равным 2, и повернутая относительно исходной на угол |-. Заметим, что астроида является гипоциклоидой, образованной в результате качения окружности радиуса г по окружности радиуса 4г. Далее, свойства эволюты астроиды, описанные в этой задаче, аналогичны свойствам эволюты кривой Штейнера (см. предыдущую задачу). 16.79. Исследовать эволюты гипоциклоид, образованных в результате качения окружности радиуса г по окружности радиуса Я, для различных отноп1ений R/r. 119
16.80. Найти эволюту листа Декарта За/ За/ 2 У 1 + /3 ' ^ 1 + ^3 16.81. Найти кривизну плоской кривой, у которой кривизна равна кривизне ее эволюты (в соответствующих точках). 16.82. Пусть неплоская кривая имеет постоянную отличную от нуля кривизну, и пусть ее кручение отлично от нуля. Рассмотрим множество центров кривизн этой кривой. Полученную кривую обозначим 7*- Доказать, что кривизна линии 7* постоянна. Найти кручение 7* • 16.83. Пусть гладкая кривая С задана уравнением г = г(/), где функция r{i) определена на отрезке [а, Ь]. Пусть в некоторой точке М функция r{i) производные г', г", г'" некомпланарны. Доказать, что соприкасающаяся плоскость кривой с в точке М пересекает кривую С. 16.84. Пусть гладкая кривая С задана уравнением г = г(/), где функция r{i) определена на отрезке [а, Ь\. Пусть в некоторой точке M{i) вектор г' не параллелен вектору г". Вычислить предел lim At-^o |А/р ' где d — расстояние от точки M{i -\- А/) до соприкасающейся плоскости кривой С в точке М. Рассмотреть частный случай, когда кривая задана уравнением г = r(s) в натуральном параметре. 16.85. Доказать, что кручение асимптотической линии на поверхности с А" < 0. равно -^^/—К. 16.86. Пусть кривизна поверхности вращения строго отрицательна. Существуют ли на ней замкнутые асимтотические линии? Пусть г = r(s), S G [О, а], — плоская кусочно-регулярная класса С^ кривая, параметризованная натуральным параметром. Индексом вращения zV(s) этой кривой называется число п-1 _ г=0 где к — кривизна кривой, Si (О < i < п — 1) — точки нерегулярности, v~(^Si) = lim v{s)^ V^isi) = lim v{s)^ AOi — угол между векторами s -^s~ s —J-s^ v~{si) И v'^{si). Cm. рис. ??. 120
Рис. 58. Индекс вращения кривой 16.87. Вычислить индексы вращения кривых, заданных следующими уравнениями О </ < 27Г, О < / < 27Г, О </ < 27Г, О < / < 27г; О </ < бтг; a) r{t) : b) r{t) c) r{t) : d) r{t) e) r{t) : {a + pcost , psin/), : (a + pcost , psin/), (pcos 2/ , —psin2/), : (A/2) cost , sin/), Bcos/ , — sin/). \a\ <p; 0<p< Я>0; _ '^ _ ^" 5 f) r(/) = A , sin^/), 0 </< 27Г. 16.88. Доказать, что если r(s) — простая замкнутая регулярная плоская кривая, то касательный круговой образ v:[0,L] -^ 5^ этой кривой является отображением "на". 121
16.89. Доказать, что если г = r(s) — регулярная замкнутая кривая, то ее касательный сферический образ не может лежать ни в какой открытой полусфере. 16.90. Доказать, что касательный сферический образ регулярной замкнутой кривой не может лежать ни в какой замкнутой полусфере, за исключением случая, когда он является больпюй окружностью, ограничивающей полусферу. 16.91. Пусть 7 — гладкая замкнутая кривая на единичной сфере 5^. Доказать, что она содержится в открытой полусфере, если: a) длина / кривой 7 строго меньп1е 27г; b) длина / кривой 7 равна 27г, но кривая не является объединением двух больп1их полуокружностей. 16.92. Используя результаты задач ??-??, доказать следующее утверждение: тотальная кривизна замкнутой пространственной кривой 7 не меньп1е 27г, причем она равна 27г тогда и только тогда, когда 7 — плоская выпуклая кривая (теорема Фенп1еля). 16.93. Пусть 7 — пространственная замкнутая кривая. Предположим, что О < А' < 1/R для некоторого вещественного числа Я > 0. Доказать, что длина / кривой j удовлетворяет неравенству / > 27гЯ. 16.94. Вычислить касательный сферический образ для эллипса г = Bcos/ , sin/ , 0) , О < / < 27Г . Что можно сказать об этом образе с помощью теоремы Фенп1еля? Рассмотрим стандартную единичную двумерную сферу 5^ в R^. Тогда множество ориентированных больп1их окружностей сферы находится во взаимно-однозначном соответствии с точками самой сферы 5^. Это соответствие устанавливается следующим образом. Каждой больпюй окружности нужно сопоставить конец единичной положительной нормали, которая перпендикулярна плоскости окружности и выходит из начала координат. При этом нормаль называется положительной, если именно вдоль нее перемещается правый niTonop, вращаемый в направлении, указанном на больпюй окружности. См. рис. ??. Мерой множества ориентированных больп1их окружностей будем называть меру соответствующего множества точек 5^. Если 3! G 5^, то через w = х-^ обозначается соответствующая точке х больп1ая ориентированная окружность. Для регулярной кривой j на сфере через п^{х) обозначается число точек в 7 П а!"*" (которое может быть бесконечно). Заметим, что число п^{х) не зависит от параметризации кривой j. 122
Рис. 59. 16.95. Пусть 7 регулярная кривая длины / на сфере 5^. Доказать, что мера множества ориентированных больп1их окружностей, которые пересекают 7 (с учетом кратностей), равна 4/. Другими словами, J^2 n^iw) da — 4/ (формула Крофтона). Замкнутая простая кривая 7 в R^ называется незаузленной, если существует взаимно-однозначная непрерывная функция д: D^ ^ R^ [D'^ — единичный диск), которая отображает границу S^ диска D^ на образ кривой 7- В противном случае кривая называется заузленной. 16.96. Доказать, что если 7 — простая заузленная регулярная кривая, то ее тотальная кривизна больп1е или равна 47г. 16.97. Используя формулу Крофтона, доказать, что для любой замкнутой пространственной регулярной кривой ее тотальная кривизна ^k ds не меньп1е 27г. Тотальным кручением регулярной пространственной кривой г = r(s) длины L, параметризованной натуральным параметром, называется число Jq tzds. Заметим, что тотальные кривизна и кручение кривой в R^, определенные вып1е для натурального параметра s вдоль кривой, можно вычислять в произвольном параметре t = t{s). При этом соответствующее 123
выражение, например, для кручения имеет вид: гЬ I {t) dt, где а = /@), b = t{L). 16.98. Доказать, что для любого вещественного числа г существует такая замкнутая кривая j, что ее тотальное кручение f^ ^ds — г. 16.99. Доказать, что для замкнутой кривой 7, заданной в виде г = r{i) и расположенной на сфере 5^, ее тотальное кручение J к{1) dt равно нулю. 16.100. Пусть М — такая поверхность в R^, что J Kds = О для всех замкнутых кривых j, расположенных на М. Доказать, что М есть часть плоскости или сферы. 16.101. Доказать, что для любой замкнутой сферической кривой j интеграл / |- ds = 0. 16.102. Найти геодезическую кривизну линии и = const на поверхности г = [и cos 1', и sin V, av). 16.103. Найти геодезическую кривизну линии ах-\-Ьу-\-с = О в верхней полуплоскости с метрикой ds^ = ^ 2 ^ • 16.104. Но натуральному уравнению кривой Я = ^(s) составить натуральное уравнение эволюты. 16.105. Написать натуральное уравнение эвольвенты по натуральному уравнению кривой. 16.106. Доказать следующие полезные утверждения: a) Касательные к эволюте являются нормалями к исходной кривой. b) Любая ортогональная кривая семейства касательных к кривой является эвольвентой исходной кривой. c) Длина дуги эволюты равна абсолютному значению разности радиусов кривизны в соответствующих точках исходной кривой. d) Радиус кривизны эволюты равен ^ ^jg ? где R — радиус кривизны самой кривой. 16.107. Доказать, что если каждая нормаль плоской замкнутой регулярной кривой делит ее на две равные части, то эта кривая — окружность. 16.108. Доказать, что для того, чтобы периодическая с периодом S функция k{s) была функцией кривизны некоторой плоской замкнутой кривой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два равенства: / cos( / k{t)dt + C)ds : Jo Jo 0 124
/ sin(/ k{t)dt-\-C)ds Jo Jo 0 где С — некоторая константа. 16.109. Для замкнутой регулярной плоской кривой j доказать следующее равенство Фенхеля: k[s)ds = 27Г t/'Y Напомним, что опорной функцией h{i) плоской кривой г = r{i) называется расстояние от фиксированной точки О до переменной касательной к кривой в точке r{i). 16.110. Пусть дана плоская выпуклая кривая. Тогда в качестве параметра на кривой можно взять угол а, который составляет касательная в точке кривой с фиксированным направлением на плоскости. Доказать, что для радиуса кривизны этой кривой имеет место формула R(a) — h(a) + /г"(а), где h(a) — опорная функция кривой. 16.111. Доказать, что площадь области, ограниченной плоской регулярной замкнутой кривой 7 равна ^ J h{t) dt, где h{t) — опорная функция данной кривой. 16.112. Пусть замкнутая плоская выпуклая регулярная кривая длины L ограничивает область площади S. Пусть R — радиус описанной окружности, а г — вписанной. Доказать следующие полезные неравенства. а) Х2-47г5>0; Ь) с) L^ -4:7тЗ>7т^{Н-гУ; L' - AttS > S' L' - AitS > L' 1 1 г ~ Я R-r R-\-r < r < R< ; 27Г - - - 27Г причем равенства достигаются только в том случае, если кривая является окружностью. 125
16.113. Доказать, что овал, имеющий четыре верп1ины, пересекается с произвольной окружностью самое больп1ее в четырех точках. 16.114. Доказать, что если овал пересекается с некоторой окружностью в 2п точках, то у него по меньп1ей мере 2п верп1ин. 16.115. Доказать, что если для замкнутой регулярной кривой j выполняется равенство ^ J k{s)ds = О, то кривая плоская. 16.116. Пусть 7 — пространственная кривая постоянной кривизны, а кривая 7* — множество ее центров кривизны. Доказать, что кривая 7* имеет ту же кривизну, что и j. Доказать, что кривая j является множеством центров кривизны кривой 7* • 16.117. Доказать, что соприкасающаяся сфера имеет постоянный радиус тогда и только тогда, когда кривая либо является окружностью, либо имеет постоянную кривизну. 16.118. Доказать, что пространственная кривая, заданная в следующем виде: ф) = - / b{t)x^{t)dt, к Jo ds имеет постоянное кручение к. Здесь b{t) — произвольная кривая на единичной сфере, а к — произвольное ненулевое вещественное число. И обратно, любая пространственная кривая с постоянным отличным от нуля кручением к может быть представлена в таком виде для подходящей кривой b{t). 16.119. Доказать, что всякая кривая непостоянной кривизны для которой выполняется cooTHonienne \ as J к^ \ А'^у лежит на сфере радиуса R. 16.120. Доказать, что если кривая лежит на сфере, то ее кривизна и кручение удовлетворяют соотноп1ению и наоборот, если кривизна и кручение некоторой кривой удовлетворяют этому соотноп1ению, что кривая лежит на сфере. 16.121. Если кривизна и кручение пространственной кривой не обращаются в нуль, то кривая сферическая тогда и только тогда, когда к d f 1 d к ds \ кк'^ ds 126
Если положить р = ^, О" = J Kds, то уравнение можно переписать в следующем виде d^+P = ' 16.122. Доказать, что для произвольного числа Л существует регулярная замкнутая кривая такая, что f Kds > Л. 16.123. Если плоская кривая вместе с хордой, стягивающей ее концы, ограничивает выпуклую область, то при скручивании кривой, то есть при замене ее на кривую с теми же кручением и кривизной, длина хорды увеличивается. 127
17. Риманова метрика. (Дополнительные задачи.) 17.1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике на плоскости Лобачевского перпендикуляр, опущенный из середины гипотенузы на один из катетов, меньп1е половины другого катета. 17.2. Пусть три точки Л, В, С принадлежат одной прямой, а точка D ей не принадлежит. Докажите, что середины отрезков DA, DB и DC не лежат на одной прямой a) на сфере; b) на плоскости Лобачевского. Напомним, что на евклидовой плоскости этот факт неверен (см. рис. Рис. 60. 17.3. Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площади треугольников, ограниченных прямыми 3.) X = —а, X — а, х'^ -\- у^ = а^; b) X = а, X = 2а, [х — а)^ + т/^ = c) о: = О, о: = а/2, х'^ -\- у'^ = 4а^; d) о: = О, о: = а/2, х'^ -\- у'^ = о?] ,2. 128
g) X = —a, X — a^ x'^ -\- y^ = 4a^; f) X = —a, X = a, x'^ -\- y^ — 2o?] ^) X — a^ X — h^ {x — a)^ -\-y^ — 26^. 17.4. Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площадь треугольника с верп1инами (—2;2), @;2), B;2). 17.5. Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площадь четырехугольника, ограниченного прямыми а! = О, х — а, у = а/2, у = а 17.6. Для модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости найти площадь четырехугольника с верп1инами в точках @; ал/Т5), @;2а), (а;а), (а, ал/З). 17.7. Вычислить первую квадратичную форму следующих поверхностей в R^ a) г{и, v) = (| (г^ + ^) cosif, | (v + ^) sini/, | (г^ — ;^)) (однополостный гиперболоид); b) r{u,v)= (f^^, Ь^, ^ITT^j (однополостный гиперболоид); c) г{и, v) = A (г; - ^) cos 1/, I (г; - ^) sin и, § (г; + ^)) (двуполостный гиперболоид); d) r{u,v) = Iv^cosu, Vy/^sinu, ^J (эллиптический параболоид); e) r{u^v) = (('t*+tOV^' ('"~^0\/^' ^^^') (гиперболический параболоид); f) r(if, г^) = (a cos If, bsinu^ v) (эллиптический цилиндр); g) r{u, v) = (I (if + ^) , I ('" - ^) , v) (гиперболический цилиндр). В следующих задачах ?? и ?? доказать, что рассматриваемые поверхности являются поверхностями второго порядка (иногда их называют квадриками), и установить их тип. 17.8. Найдите первую квадратичную форму поверхности X = achucosV, у = аchг*sinг^, z = cshu, где а ж с — const. 17.9. Найдите первую квадратичную форму поверхности X = ashucos г^, у = аshг*sin v^ z = сchi/, а, с = const. 17.10. Доказать, что при соответствующем выборе криволинейных координат на поверхности вращения ее первая квадратичная форма может быть приведена к виду ds'^ = du'^-\-G{u)dv'^. 17.11. Привести первую квадратичную форму сферы, тора, катеноида и псевдосферы Бельтрами к виду di^ = du^-\-G{u)dv\ 129
17.12. Система криволинейных координат на поверхности называется изотермической (иногда ее называют конформной), если первая квадратичная форма поверхности в этих координатах имеет вид ds^ = \{u,v){di? -^dv^). Найти изотермические координаты на псевдосфере Бельтрами. 17.13. Поверхностью Лиувилля называется поверхность, первая квадратичная форма которой может быть приведена к виду Доказать, что поверхность, локально изометричная поверхности вращения, есть поверхность Лиувилля. 17.14. Доказать, что любую поверхность вращения можно локально конформо отобразить на плоскость. 17.15. Доказать, что метрика ds^ — dx'^ + f{x)dy'^, О < f{x) < сю, приводится к виду ds'^ = д[и, v){du'^ + dv'^) (изотермические координаты). 17.16. Для поверхности вращения X = /(г) COS ^, 2/ = f{r) sin ^, z = g{r), где и G {a,h),<f G [0,27г] найти изотермические координаты (г*, г^), в которых р — л/у? + v'^ является функцией от г. В частности, найти для катеноида X — chz cos <f, у — chz sin ^, z = z представление его радиус-вектора в таких изотермических координатах. 17.17. На плоскости с координатами х,у задана матрично-значная функция F{x,y) Проверить, что функция F определяет риманову метрику. Найти координаты, в которых метрика имеет вид du^ + G{u)di?. 1 + ^х'^ Аху Аху 1 + 2у^ Ь) J^ [X, у) - ]^ IQ^y^p + у2у2 1 ^ щ2^р ^ y2V2 а) F{x,y) -- I ^^^^ ^ ^^^^2 с) В единичном круге F{x, у) = ^_J_^, ( ^^J ^ J^2 d) ^ ^^' У) - (а;2 + у2L у 4ху 4J/2 + (а;2 + у2L 130
17.18. Доказать, что на всякой вещественно-аналитической поверхности М^ можно ввести локальные изотермические координаты. Найти конформный вид метрики ds'^. 17.19. Проекция Меркатора поверхности земного niapa определяется следующим образом. На карте вводятся прямоугольные координаты {х,у), такие что любой прямой на карте соответствует линия постоянного азимута (фиксированного положения стрелки компаса) на поверхности земного niapa (см. рис ??). a) Доказать, что в проекции Меркатора точке на поверхности земного niapa со сферическими координатами [в, ip) на карте соответствует точка с координатами х = ip, у — lnctg6'/2. b) Записать метрику сферы в координатах х^ у проекции Меркатора? Рис. 61. Проекция Меркатора 17.20. Найти метрику в двумерном пространстве скоростей в специальной теории относительности. 131
17.21. В предыдущей задаче произвести замену координат г' -^ ihx {v — скорость движущейся точки). 17.22. Записать метрику предыдущей задачи в полярных координатах единичного круга. 132
18. Гауссова и средняя кривизны в следующих задачах требуется найти вторую квадратичную форму поверхностей. 18.1. r{u,v) = [а ch и cos V, achusinv, cshu) 18.2. 18.3. 18.4. r[u,v) = [ucosv, If sin I', и ) r{u,v) = [Rcosv, Rsinv, u) r{u,v) = (if cos г^. If sin г^, ku) 18.5. Показать, что главные кривизны прямого коноида X = и cos 1', у — и sin 1', Z — f{v), где f{v) — произвольная аналитическая функция переменного г^, имеют разные знаки. 18.6. Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности, образованной бинормалями данной кривой. 18.7. Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности, образованной главными нормалями данной кривой. 18.8. Найти линии кривизны на поверхности а h UV X — —[и — v], у — -[и-\- v], Z — —. 18.9. Найти линии кривизны геликоида X — и cos 1', у — и sin г', z — av. 18.10. Доказать, что при наложении (локальной изометрии) геликоида X = и cos г^, у — и sin v^ z — av. на катеноид X — уи^ + а^ cosг^, у — уи^ + а^ sin v^ z — аЬ\{и-\- уи^ + ( линии кривизны переходят в асимптотические линии. 133
18.11. Найти линии кривизны поверхности r(s, и) = p{s) + f{u)a + g{v){T{s) х а), где ij(s) = p(s), |t;(s)| = Ij ^t;(s)j a) = О, |a| = 1, a — постоянный вектор. 18.12. Плокая кривая j задана уравнением р = p(s), где s — натуральный параметр; к = k{s) - ее кривизна, О < к < 1/а ; п — орт главной нормали к J, b — орт нормали к плоскости кривой j. Поверхность S задана уравнением r(s, ^) = p[s) + an{s) cos ^ -\- ае sin ^. a) Найти гауссову кривизну поверхности S. b) Найти среднюю кривизну поверхности S. c) Найти линии кривизны поверхности S. 18.13. Найти линии кривизны поверхности r(s, ^) = p[s) + an{s) cos ^ + a6(s) sin ^; здесь 77 и 6 — орты главной нормали и бинормали кривой р = p(s), имеющей натуральный параметр s, кривизну A'(s) < 1/а и кручение k(s). 18.14. Найти линии кривизны поверхности г[и, v) = 1 г* [ Зг^^ — г*^ — - j , v I Зи^ ~ '^^'^ ~ q ) ^ ^^^' 18.15. Предположим, что первая квадратичная форма поверхности имеет вид di^ = Edu^-\-Gdv\ Доказать, что 18.16. Найти выражение для гауссовой кривизны поверхности, отнесенной к таким координатам, в которых первая квадратичная форма имеет вид ds'^ = du'^ -\-G{u,v)dv'^. 18.17. Найти кривизну поверхности, первая квадратичная форма которой имеет вид 134
18.18. Доказать, гауссова кривизна К двумерной поверхности выражается только через метрику, т. е. через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Отсюда следует, что гауссова кривизна не меняется при изометриях поверхности. 18.19. Можно ли подобрать Х,^,'ф так, чтобы поверхность г[и,в) = {^{u)cosXe, ^{u)smXe, 'ф{и)) имела гауссову кривизну 1? Отметим, что помимо сферы, таких поверхностей вращения много. 18.20. Можно ли подобрать А, ^, ?/; так, чтобы поверхность г[и,в) = {ip{u) COS Хв, ip{u) sin Хв, 'ф{и)) имела гауссову кривизну —1? 18.21. Доказать, что среди поверхностей вращения постоянной отрицательной кривизны есть три типа: 1) Катуп1ка Миндинга, выглядит как китайские фонарики 2) Волчок Миндинга, т. е. поверхность с острием на оси вращения 3) Псевдосфера Бельтрами. Графики образующих, соответствующих этим трем типам поверхностей, приведены на рис. ?? и рис. ??. 135
136
Рис. 63. Волчок Миндинга, псевдосфера Бельтрами, катуп1ка Мин- динга 18.22. Доказать, что при проективном преобразовании пространства R^ сохраняется свойство точки поверхности быть эллиптической, параболической или точкой уплощения. 18.23. Пусть дана поверхность с метрикой gij. Положим по определению V^ = g'^^Vi^fVj(f^ V(^, 0) = 5'**^Vi^Vji/' Доказать,что угол О между кривыми (f — const и ф — const на поверхности определяется равенством 137
19. Параметризации известных двумерных поверхностей в этом разделе требуется проверить, что указанные в задачах формулы задают параметризации вложений или погружений известных поверхностей. 19.1. Поверхность с особенностями, параметрически задаваемая в R^ следующими уравнениями (A +cos 2(9) cos 2^ A +cos 2(9) sin 2^ sin 29 sin (f -7Г/2 < (9 < 7Г/2, 0 < ^ < 27Г является одной из моделей (см. рис. ??) проективной плоскости RP^. Описать особые точки этой поверхности. Рис. 64. Склейка проективной плоскости из квадрата Доказать, что сфера г(р^ <р) — (cos о cos ^, COS о sin ^, sin 0) двулистно накрывает эту поверхность. Найти соответствие между парами точек сферы и точками RP^ в терминах параметров 9^ <р. Отметим, что если от описанной модели проективной плоскости отрезать плоскостью небольпюй диск, то оставп1аяся часть является моделью 138
листа Мебиуса. Она называется скрещенным колпаком (см. рис. ??). Линия самопересечения колпака соответствует ^ = 0. Точками пипча (см. рис. ??) являются [в, ^) = (О, 0) и 6* = 7г/2. Рис. 65. Скрещенный колпак 19.2. Напомним, что одной из моделей проективной плоскости является поверхность Боя в R^ (см. рис. ?? и рис. ??). 139
Рис. 67. Поверхность Боя — погружение проективной плоскости в R^ 140
Рис. 68. устроено ее множество точек самопересечения Параметризация Апери поверности Боя (Г1 cos 2^ \ ( ^2 cos <f r2sin2^ +Б I —r2sin^ 1 / \ 0 A cos в sin 0 cos 0 \ — Ь sin 3^ sin 2^' 1 — 6 sin 3^ sin 29 Здесь Г1 = л/2/З, Г2 = 2/3. При 1/л/б < 6 < 1 точек пинча на поверхности нет. Доказать, что стандартная сфера накрывает эту параметризованную поверхность двулистно. Структура поверхности Боя показана на рис. ?? и рис ??. 141
уса 51 Рис. 69. Нэ^ало прщтесса п1 Рис. 70. Заверп1ение процесса построения поверхности Боя из листа Мебиуса 142
19.3. Доказать, что следующие формулы задают вложение проективной плоскости в R'*: где w{u,v) = (cos If)^ COS 2г', x{u,v) =sin2ifcosi' y{u, v) = sin 2u sin v, z{u, v) = (cos u)^ sin 2v 19.4. Доказать, что следующие вектор-функции задают погружения бутылки Клейна в R^. См. рис. ??. Рис. 71. Погружение бутылки Клейна а) r{u,v) = (Я^, Яу, Я^), где Яд;, Яу, Я^ — компоненты в декартовых координатах следующей вектор-функции: Здесь Щи, v) = Ro{u) + p{u){ei{u) cos г' + 62 sin г'). a sin 2u Ro{u) = I 0 6 cos If 143
ei{u) = I 0 I —pr, 62 1 1^1 Иными словами, ei и e2 — единичные векторы, ортогональные Яд, Я = Яо + Я1 siii^'^{u - uq) Здесь, например, можно положить а = 1/4, 6 = 1, ро = 0,1, pi = О, 6, 1*0 = 0.3,77 = 4 Ь) Еще одна параметризация, где а — вещественное число: ({а + cos(if/2) sin v — sm{u/2) sin 2г^) cos и [a + cos(if/2) sin v — sin(if/2) sin 2v) sin и sin(if/2) sin V + cos(if/2) sin 2v 19.5. Доказать, что следующая вектор-функция задает парметриза- цию листа Мебиуса в R^ г(/, <f) = ((! + / sin —) cos ^, A + / sin —) sin ^, / cos —) Доказать, что для / G {—\,\) это отображение является вложением. 19.6. Зададим открытый лист Мебиуса как косое (скрученное) произведение окружности на интервал. Окружность назовем осевой, а длину интервала — пшриной листа Мебиуса. См. рис. ??. a) Доказать, что лист Мебиуса бесконечной пшрины с плоской метрикой в R^ не вкладывается. b) Найти максимальное OTHonienne длины осевой окружности к пшрине листа Мебиуса при котором существует изометричное вложение плоского листа Мебиуса в R^. 144
Рис. 72. Лист Мебиуса в R^ 19.7. Доказать, что следующая алгебраическая поверхность в R^ является скрещенным колпаком, т. е. моделью листа Мебиуса. где ki ф А'2. Доказать, что эту поверхность можно параметризовать следующим образом: cos в COS (/? к\ cos^ i/?+A;2 sin^ ^ cos i9 sin у? k\ cos^ (/?+A;2 sin^ (/? 1+sin ^ A;i cos^ (/?+A;2 sin^ (/? a) При этом требуется доказать, что первое уравнение (алгебраическое) задает поверхность, то есть указанная вып1е параметризация действительно задает множество всех реп1ений этого уравнения. b) Доказать, что указанные формулы задают гладкую регулярную параметризацию вне особых точек. Найти особые точки. c) Проверить, что при этой параметризации квадрата —7г/2 < О < 7г/2, О < ^ < 7Г склеивается в лист Мебиуса. 19.8. Доказать, что формулы х = и^ — v^, у — uv, z — uw, t = vw задают регулярное погружение и'^ -\- v'^ -\- w'^ = 1 в R^. Заметим, что при этом отображении противоположные точки сферы переходят в одну точку, поэтому возникает регулярное отображение ИР^ в R'*. Доказать, что при этом получается вложение проективной плоскости в R^. 145
20. Поверхности в R^ 20.1. Доказать, что если в некоторой точке поверхности в R^ гауссова кривизна К > О, то поверхность локально лежит по одну сторону от касательной плоскости в этой точке. 20.2. Пусть две поверхности Mi и М2 касаются одной и той же плоскости в некоторой общей точке. При этом в некоторой окрестности этой точки обе поверхности находятся по одну сторону от плоскости, причем поверхность Mi целиком лежит внутри поверхности М2 (см. рис. ??). Доказать, что для гауссовых кривизн справедливо строгое неравенство A^i > К2- Этот факт является локальным. Рис. 73. 20.3. Можно ли реализовать лист Мебиуса в R^ в виде гладкой по- ■? верхности всюду положительной кривизны 20.4. Можно ли вложить лист Мебиуса в R^ в виде гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на какую-либо плоскость? 20.5. 146
a) Доказать, что неориентированную поверхность (замкнутую или с границей) нельзя погрузить в так, чтобы в каждой ее точке либо гауссова кривизна К была строго положительна, либо гауссова кривизна К была нулевой, но средняя кривизна Н отлична от нуля. b) Построить вложение плоского листа Мебиуса (то есть с локально евклидовой метрикой) в R^. Объяснить почему наличие такого вложения не противоречит предыдущему пункту. 20.6. Доказать, что замкнутая гладкая поверхность в R^ всегда имеет точку, в которой a) гауссова кривизна не меньп1е О, b) гауссова кривизна строго больп1е 0. 20.7. a) Доказать, что гладкая замкнутая поверхность отрицательной гауссовой кривизны не погружается в В?. b) Доказать, что гладкая замкнутая поверхность неположительной гауссовой кривизны не погружается в В?. c) Доказать, что плоский тор нельзя гладко и изометрично погрузить вЯ^. 20.8. a) Доказать, что на гладкой ориентированной погруженной в R^ поверхности рода не меньп1его, чем 2, обязательно найдется точка, в которой гауссова кривизна К строго меньп1е 0. b) Пусть тор (или бутылка Клейна) гладко погружен в R^. Доказать, что тогда обязательно существует точка, в которой К < 0. 20.9. Доказать, что поверхности постоянной кривизны с одинаковой кривизной изометричны. 20.10. Доказать, что a) на листе Мебиуса существует метрика постоянной положительной кривизны. Это пример метрики, которая не погружается изометрично в R3. b) на листе Мебиуса можно ввести метрику постоянной отрицательной кривизны. 20.11. Можно ли изометрично вложить в R^ лист Мебиуса с метрикой постоянной отрицательной кривизны? 20.12. Можно ли реализовать лист Мебиуса в R^ как область на некоторой поверхности вращения? 20.13. Рассмотрим поверхность вращения относительно оси z и введем на ней действие группы Z/2: [x^y^z) -^ {—x,—y,z). Профакторизуем поверхность по этому действию. Получим новую поверхность с метрикой. 147
Расмотреть пример однополостного гиперболоида вращения и полученную описанным образом фактор-поверхность изометрически реализовать в R^ как поверхность вращения. 20.14. Найти площадь сферического образа поверхности г = г(г*, г^), i^i < и < U2, vi < V < V2, с первой квадратичной формой ds'^ = du^ + Gdv^. 20.15. Найти площадь сферического образа эллиптического параболоида. 20.16. Найти сферический образ тора реализованного в R^ стандартным образом как поверхность вращения. 20.17. Доказать, что площадь сферического образа одной полости двуполостного гиперболоида меньп1е 27г. 20.18. Доказать, что существует конформное отображение поверхности вращения на плоскость, при котором меридианы и параллели поверхности переходят в прямые линии плоскости. 20.19. Доказать, что существует конформное отображение поверхности вращения на плоскость, при котором меридианы переходят в прямые, проходящие через начало координат, а параллели — в окружности с центром в начале координат. 20.20. Вычислить интеграл //^^^ \К\ dS^ где К — гауссова кривизна поверхности Ф, если М — a) эллипсоид b) эллиптический параболоид c) тор. 20.21. Доказать, что сферическое отображение минимальной поверхности в окрестности каждой точки, не являющейся точкой уплощения, конформно. 148
21. Топология двумерных поверхностей в этом разделе мы будем рассматривать разбиения поверхности на конечное число замкнутых треугольников, где любые два треугольника либо не пересекаются, либо пересекаются по одному общему ребру, либо по некоторым своим верп1инам. Такое разбиение назовем триангуляцией. Триангуляция, в которой любые два треугольника, пересекающиеся только по своим верп1инам, имеют ровно одну общую верп1ину, называется правильной. Далее в этом разделе через V обозначается число верп1ин, через Е - число ребер, а через F — число треугольников триангуляции поверхности. Число V — Е -\- F называется эйлеровой характеристикой х{^) поверхности М. Это число не зависит от выбора триангуляции поверхности и, следовательно, является топологическим инвариантом поверхности. 21.1. Построить какие-нибудь триангуляции сферы, тора, проективной плоскости и найти эйлеровы характеристики этих поверхностей. 21.2. Из того факта, что эйлерова характеристика сферы x{S'^) — 2 вывести существование ровно 5 комбинаторно правильных многогранников (см. рис. ??). Напомним, что разбиение поверхности называется комбинаторно правильным, если у всех граней одинаковое число ребер и в каждой верп1ине сходится одно и то же число ребер. Рис. 74. Тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр 149
21.3. Доказать, что число вершин правильной триангуляции двумерной замкнутой поверхности удовлетворяет оценке у У 7+у/49-24х(М) 2 В частности, правильная триангуляция тора содержит не менее 7 вер- П1ИН, а триангуляция ИР^ — не менее 6. 21.4. Привести пример правильной триангуляции a) тора с 7-ю верп1инами b) проективной плоскости с 6-ю верп1инами. 21.5. Доказать, что минимальное число треугольников правильной триангуляции тора равно 14. Построить пример такой минимальной трин- гуляции. Сравнить с примером из предыдущей задачи. 21.6. a) Выяснить, сколько существует правильных триангуляции тора с минимальным числом верп1ин. Сколько существует правильных триангуляции тора с наименьп1им числом треугольников? Существует ли правильные триангуляции тора, минимальные в одном смысле, но не минимальные в другом? b) Ответить на все эти вопросы для проективной плоскости. 21.7. Доказать неравенство Хиву да со1(М) < ^+У49-24х(М)^ ДЛЯ всех замкнутых двумерных поверхностей за исключением бутылки Клейна. Здесь через со1(М) обозначено хроматическое число поверхности М, т. е. минимальное число красок, необходимое для раскраски триангуляции таким образом, чтобы треугольники с общим ребром имели разные цвета. 21.8. Доказать, что col(M^) = col(M^), colGVo.) = colGV^). Здесь Мд — сфера с д ручками, Nq^ — сфера с а пленками Мебиуса, Мд — сфера с д ручками, из которой выброп1ено к непересекающихся дисков, а N^ — сфера с а пленками Мебиуса, из которой выброп1ено к непересекающихся дисков. См. рис. ??. 150
Рис. 75. Двумерные поверхности 21.9. Привести пример карты на проективной плоскости, которая не допускает раскраски в 5 цветов. 151
21.10. Доказать, что операция связной суммы поверхностей не зависит от способа склейки граничных окружностей, т. е. от выбора их ориентации при склейке. 21.11. Доказать, что Т2#Кр2 = Rp2_^Rp2_^Rp2 21.12. Разрезать бутылку Клейна на два листа Мебиуса. 21.13. Разрезать крендель (сферу с двумя ручками) так, чтобы получился плоский связный восьмиугольник. 21.14. Разрезать сферу с тремя ручками так, чтобы получился плоский связный двенадцатиугольник, все верп1ины которого представляют одну точку поверхности. 21.15. Доказать, что связная сумма ХфУ поверхностей X и У ориентируема тогда и только тогда, когда юбе поверхности ориентируемы. 21.16. Доказать, что х{ХфУ) = х{Х) + х{У) - 2. 21.17. Доказать, что xi^g) = 2 - 2^^, что xi^ot) = 2 - а. 21.18. Доказать, что хE'^\/,'Р*^) = 2 — к. Здесь из сферы выброп1ено к неперсекающихся дисков. 21.19. Если сфера разбита на п-угольники и в каждой верп1ине встречаются ровно к ребер, то 1 1-1 1 п "^ ^ ~ 2 "^Ё Графом "п домиков и т колодцев" будем называть граф, у которого 77 + m BepniHH разбиты на две непересекающиеся группы из п и m элементов соответственно, причем каждая верп1ина из одной группы соединена единственным ребром с каждой верп1иной другой группы. Других ребер у графа нет. 21.20. Доказать, что на сфере (плоскости) нельзя разместить следующие графы так, чтобы любые два различных ребра пересекались самое больп1ее по общей верп1ине. a) Граф " 3 домика и 3 колодца". b) Граф с пятью верп1инами, у которого каждая пара различных вер- П1ИН соединяется единственным ребром. 21.21. Доказать, что граф  домика и 3 колодца" можно без самопересечений разместить на проективной плоскости (листе Мебиуса). 21.22. Доказать, что комбинаторно правильное разбиение тора состоит из треугольников, четырехугольников или п1естиугольников. 21.23. Пусть замкнутая поверхность Q комбинаторно правильно разбита на п1естиугольники, причем в каждой верп1ине сходятся четыре грани. Доказать, что если число граней F не делится на число ребер Е^ то Q неориентируема. 152
21.24. Пусть на замкнутой поверхности проведены три линии p,q ж г с общими концами и не имеющие попарно общих внутренних точек. Если разрез по одной из линий pU д, q U г или г U р оставляет поверхность Q связной, то таким же свойством обладает по крайней мере одна из двух оставп1ихся линий. 21.25. Показать, что если в замкнутой неориентируемой поверхности Na вырезать дырку, то полученная поверхность может быть расположена в пространстве R^ без самопересечений. 21.26. Доказать, что граф  домика и 4 колодца" нельзя расположить на проективной плоскости, но можно расположить на торе. 21.27. Доказать, что если граф т домиков и п колодцев можно расположить на поверхности Q, то x{Q) < тп -\- п — ^. 153
22. Линии на поверхностях 22.1. Дана поверхность х = и -\- v^ т/ = г*^ + г'^, z = 2uv и семейство линий на ней и^ — cv^ — с. Найти дифференциальное уравнение сопряженного ему семейства. 22.2. Пусть а — поверхность, / — прямая, {71} — семейство сечений поверхности плоскостями, проходящими через прямую линию /, а {72} — семейство линии, в которых конусы, имеющие верп1ины на /, касаются поверхности. Показать, что семейства {71} и {72} образуют сопряженную сеть. 22.3. Па поверхности х — и cos t;, у — v? sin t;, z — hv задано семейство линий V. Пайти сопряженное семейство. 22.4. Пайти поверхности z — f{x,y) с такой сопряженной сетью, которая проектируется в сеть координатных линий прямоугольной декартовой координатной системы на плоскости хОу. 22.5. Показать, что отображение двух поверхностей друг на друга, при котором каждая сопряженная сеть одной поверхности переходит в ортогональную сеть другой, переводит вторую квадратичную форму одной поверхности в форму, пропорциональную первой квадратичной форме первой поверхности. 22.6. Пайти асимптотические линии однополостного гиперболоида х'^ :у^ z^ _ а^ Р с^ 22.7. Пайти асимптотические линии поверхности Z = т - т и определить функцию / таким образом, чтобы линии одного асимтоти- ческого семейства были ортогональны асимптотическим линиям другого семейства. 22.8. Пайти асимптотические линии поверхности z = ху^ — ух^, которые проходят через точку A, 2, 6). 22.9. Пайти асимптотические линии катеноида. 22.10. Показать, что на прямом геликоиде одно семейство асимптотических линий состоит из прямых, а другое — из винтовых линий. 22.11. Доказать, что а) координатные линии и = const являются асимптотическими тогда и только тогда, когда коэффициент N второй квадратичной формы равен 0. 154
b) для того, чтобы координатная сеть состояла из асимптотических линий необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты L ж N второй квадратичной формы были равны 0. 22.12. Доказать, что на плоскости любая линия является асимптотической, и наоборот, поверхность, на которой любая линия является асимптотической, является частью плоскости. 22.13. Найти асимптотические линии поверхности, которая составлена из точек, являющихся серединами хорд винтовой линии. 22.14. Пусть поверхность образована главными нормалями линии 7- Доказать, что линия 7 является асимптотической линией этой поверхности. 22.15. Доказать, что если асимптотические линии поверхности пересекаются под постоянным углом, то гауссова кривизна поверхности пропорциональна квадрату средней кривизны. 22.16. Доказать, что если координатная сеть на поверхности асимптотическая, то имеют место равенства д1п\К\ ^ FE,-EGu ди ~ EG- F2 д\п\К\ ^ FGu-GE, dv EG - F2 где К - гауссова кривизна поверхности. 22.17. Доказать, что асимптотические линии на поверхности постоянной отрицательной кривизны образуют сеть Чебып1ева, и обратно, если асимптотическая сеть на поверхности чебып1евская, то гауссова кривизна поверхности постоянна. Напоминим, что сеть называется чебышевской, если у любого четырехугольника, образованного линиями сети, длины противоположных сторон равны. 22.18. (Теорема Бельтрами-Эннепера). Доказать, что если асимптотические линии различных семейств имеют в их общей точке отличные от нуля кривизны, то они имеют равные по модулю, но противоположные по знаку кручения. Кроме того, квадрат кручения асимптотической линии равен модулю гауссовой кривизны в этой точке. 22.19. Две поверхности пересекаются под прямым углом. Доказать, что если на одной поверхности линия пересечения является асимптотической, то она является геодезической на другой, и наоборот. 22.20. Найти линии кривизны прямого геликоида. 22.21. Найти линии кривизны на произвольной цилиндрической поверхности. 155
22.22. Найти линии кривизны на произвольной конической поверхности. 22.23. Доказать, что на плоскости и на сфере любая линия является линией кривизны. Наоборот, если на поверхности любая линия является линией кривизны, то такая поверхность является плоскостью или сферой (или их частью). 22.24. (Теорема Лиувилля). Доказать, что при конформном отображении пространства на себя сфера (плоскость) переходит в сферу или плоскость. 22.25. Доказать, что если координатная сеть состоит из линий кривизны, то главные кривизны поверхности задаются формулами 22.26. (Теорема Родрига). Доказать, что для того, чтобы линия 7 на поверхности г = r(u^v) была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы вдоль кривой выполнялось равенство dm — —kdr, где т — единичный вектор нормали к поверхности, а А' — нормальная кривизна поверхности вдоль кривой j. 22.27. Доказать, что a) если две поверхности пересекаются вдоль некоторой линии под постоянным углом и эта линия является линией кривизны на одной поверхности, то она является линией кривизны и на другой поверхности. b) если две поверхности пересекаются по линии, являющейся линией кривизны на каждой из поверхностей, то поверхности пересекаются под постоянным углом. 22.28. (Теорема Дюпена). Даны три семейства поверхностей fi{x,y,z) =const, /2(^,2/, ^) = const, /з(^,2/,^) = const, причем якобиан Д(/ь/2./з) ^Q D{x,y,z) Пусть поверхности пересекаются попарно под прямым углом. Это — так называемая триортогональная система поверхностей. Доказать, что линии пересечения поверхностей из различных семейств являются линиями кривизны на каждой поверхности. 156
22.29. Доказать, что каждую поверхность в R^ можно включить в триортогональное семейство поверхностей. 22.30. Поверхности Mi и М2 называются параллельными, если нормали одной поверхности, как аффинные прямые, являются нормалями другой поверхности. Точки поверхностей Mi и М2, лежащие на общих нормалях, назовем соответствующими. Доказать, что при таком соответствии линии кривизны переходят в линии кривизны. 22.31. Доказать, что при конформном отображении пространства на себя линии кривизны исходной поверхности преобразуются в линии кривизны преобразованной поверхности. 22.32. Пусть 7 — линия кривизны поверхности М, причем нормальная кривизна кп линии 7 постоянна и отлична от нуля. Доказать, что поверхность М касается по линии j некоторой сферы радиуса 1/кп- 22.33. a) Доказать, что существует изометрическое отображение геликоида X = UCOSV, у = usinv, Z — kv на катеноид х = kch ^cost, у = kch ^ sin/, z = s. b) Доказать, что при наложении геликоида на катеноид его асимптотические линии переходят в линии кривизны, а линии кривизны — в асимптотические линии. 22.34. Доказать, что геодезическая линия является линией кривизны тогда и только тогда, когда она плоская. 157
23. Геометрия кривых и поверхностей (дополнительные задачи) Кривые Напомним, что кривая называется регулярной класса G", если она допускает параметризацию х = x{t), у = y{t) класса С^ с условием 23.1. a) Привести примеры нерегулярных кривых, допускающих аналитическую параметризацию. b) Доказать, что кривая, допускающая аналитическую параметризацию, может иметь только такие точки излома, в которых вектор скорости скачком поворачивается на угол тг. c) Доказать, что если гладкая кривая не допускает аналитической параметризации, то в ее особых точках угол поворота вектора скорости может быть любым. Построить примеры. 23.2. Доказать, что если кривая определена аналитическим отображением окружности в R", 77 > 2, то ее регулярность может наруп1аться только в конечном числе точек. 23.3. Представить график функции т/ = |а!| как кривую следующего типа: a) с G"-гладкой параметризацией для любого любым натуральным п, но не являющуюся G""'"^-гладкой. b) с G°^-гладкой параметризацией. c) Показать, что для нее не существует аналитической параметризации. 23.4. Пусть плоская кривая задана отображением х —t^ ^ у — /", к < п, где кип- натуральные числа, / G (—1,1). Исследовать, при каких кип кривая имеет является: a) регулярной, но неаналитической в любой регулярной параметризации; b) регулярной аналитической; c) нерегулярной в любой гладкой параметризации. В пунктах а) и Ь) привести соответствующие регулярные параметризации. Во всех трех случаях нарисовать качественный вид кривых в окрестности начала координат. 23.5. Пусть пространственная кусочно-регулярная кривая состоит из двух плоских дуг. Какая возможна максимальная гладкость кривой в целом? 158
23.6. Найти регулярную аналитическую параметризацию лемнискаты Бернулли (о:^ + 2/^)^ = а'^{х'^ — у^)- 23.7. Можно ли про деформировать лемнискату в классе регулярных кривых в кривую без самопересечений? 23.8. Может ли точка двигаться так, что величина скорости движения пропорциональна длине пройденного с начала движения пути? 23.9. Расположенный на плоскости Оху луч равномерно вращается в плоскости вокруг своей начальной точки О. Точка М на луче движется по лучу со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ] a) вывести уравнение траектории движения точки в полярных координатах с полюсом в О; b) показать, что на полученной кривой (называемой логарифмической спиралью Берну лли) касательные образуют с радиус-вектором кривой постоянный угол; c) это свойство логарифмических спиралей является для них характеристическим; d) спираль стремится к своему полюсу г = О, имея конечную длину; e) выписать натуральные уравнения логарифмической спирали; f) радиус кривизны спирали пропорционален длине ее дуги, отсчитываемой от полюса, и это свойство тоже является характеристическим свойством логарифмических спиралей; g) эволюта данной логарифмической спирали конгруентна самой спирали; h) указать значение параметра а, для которого эволюта спирали совпадает с ней самой, т.е. когда спираль является огибающей своих нормалей; i) каждая логарифмическая спираль является орбитой действия группы G линейных преобразований плоскости, которое состоит в преобразовании подобия с коэффициентом подобия / > О с последующим поворотом плоскости на угол а — \ivi (центр подобия и центр вращения — в общем полюсе спиралей); j) для дуги спирали г = е'^, ^i < ^ < ^2 указать элемент группы G, который переводит ее в дугу этой же спирали, начинающуюся в точке с полярными координатами ^ = тг + ^i, г = е^"'"'^^; будет ли образ дуги иметь такой же угловой раствор величиной ^2 — ^i j что и исходная дуга? 23.10. Пусть L — замкнутая регулярная гладкая кривая. Доказать, что множество направлений, по которым касательные прямые касаются кривой в точках с нулевой кривизной, имеет нулевую угловую меру. Доказать, что, что направлений, по которым касательные касаются кривой более чем в одной точке с ненулевой кривизной, может быть только конечное число. 159
23.11. Пусть гладкая регулярная кривая касается в точке М некоторой окружности Г, центр которой расположен на том же нормальном к кривой луче, что и центр круга кривизны. Показать: a) если кривая в окрестности точки М расположена вне (внутри) окружности Г, то радиус кривизны кривой не меньп1е (не больп1е) радиуса R окружности Г; b) если радиус кривизны кривой больп1е (меньп1е) Я, то кривая в окрестности М лежит вне (внутри) Г; c) пусть окружность Г совпадает с окружностью кривизны, тогда если в точке М радиус кривизны кривой имеет локальный максимум (минимум), то кривая в окрестности М лежит внутри (вне) окружности Г. 23.12. Пусть регулярная гладкая простая замкнутая кривая L на плоскости всюду имеет положительную кривизну. Доказать, что L является выпуклой в целом. Получить то же самое утверждение в предположении неотрицательности кривизны. 23.13. Вычислить для лемнискаты Бернулли, заданной в полярных координатах (г, ^) уравнением г^ = 2а^ cos 2^, интегралы / k{s) ds ж I \k[s)\ ds, где s — длина дуги, a k{s) — кривизна кривой. 23.14. Доказать, что для длины L плоской выпуклой в целом кривой справедлива формула Konin: L = ^ ^ l{u)) dco, где интегрирование про- ВОДИТСЯ по единичной окружности 5^, а 1{си) означает ninpnny кривой в направлении и; G 5^. Папомним, что ninpnna кривой в данном направлении определяется как расстояние между касательными к кривой, перпендикулярными к этому направлению. 23.15. Доказать, что в окрестности точки, где кручение кривой отлично от нуля, выполняются нижеследующие свойства. В обоих случаях определить, каковы при этом главные члены отклонения d кривой от этих плоскостей по сравнению с длиной дуги, отсчитываемой от рассматриваемой точки. a) Кривая пересекает свою соприкасающуюся плоскость, располагаясь по разные ее стороны. b) Кривая располагается по одну сторону от своей спрямляющей плоскости. 23.16. а) Доказать, что на сфере имеются кривые с постоянным кручением. 160
b) Доказать, что на сфере нет замкнутой регулярной кривой со знакопостоянным кручением, отличным от 0. c) Из предыдущих пунктов вытекает, что на сфере кривая с постоянным кручением не может быть замкнутой. Вопрос — как "далеко" простирается сферическая кривая с постоянным кручением: обязательно ли она имеет конечную длины или же она бесконечной длины и обматывает сферу плотно? 23.17. Пусть кривизна к регулярной пространственной кривой r(s) обращается в нуль в конечном числе точек и пусть в каждой ее точке, где к ф О, определена бинормаль 6(s), которая допускает непрерывное продолжение на точки с А' = О, так что на всей кривой получается гладкое векторное поле b[s). Доказать, что если определить главную нормаль n[s) равенством п = 6х г', а кривизну к и кручение к из формул v — кп, b = —кп (где V = r(s)), то формулы Френе будут верны и в точках /? = О, но при этом кривизна пространственной кривой может оказаться знакопеременной. 23.18. Доказать теорему Якоби: если сферическая индикатриса главных нормалей замкнутой кривой не имеет самопересечений, то она делит сферу на две равновеликие части. 23.19. Пусть плоская выпуклая дуга Li касается плоской строго выпуклой дуги ^2, оставаясь по одну сторону от нее. Доказатт, что в точке касания кривизна кривой Li не меньп1е чем кривизна кривой L2. 23.20. Показать, что для того, чтобы прямая у = Лх -\- B^z — Сх + D была асимптотой пространственной кривой х — x{t), у = y{t), z — z{t) при t ^ to, необходимо и достаточно, чтобы существовали следующие пределы t^to x{t) t^to x{t) lim {y{t) - Ax{t)) = Б, lim {z{t) - Cx{t)) = D. t—^to t—^to Поверхности 23.21. Доказать, что если на гладкой регулярной поверхности есть три различных семейства прямолинейных образующих, то эта поверхность является плоскостью или областью на ней. 23.22. Доказать, что если на гладкой регулярной поверхности есть два различных семейства прямолинейных образующих, то эта поверхность является поверхностью 2-го порядка. 161
23.23. a) Пусть области на двух поверхностях 2-го порядка склеены вдоль общей дуги границы так, что в целом получилась G^-гладкая поверхность. Показать, что тогда линия склеивания является плоской кривой. Всякие ли две поверхности 2-го порядка допускают такое склеивание? b) Пусть области на двух поверхностях 2-го порядка Si и 5*2 склеены вдоль общей дуги границы, образуя в целом G^-гладкую поверхность S. Тогда Si и 5*2 как поверхности 2-го порядка совпадают. Другими словами, склеиваемые области являются смежными областями на одной и той же поверхности 2-го порядка, так что S на самом деле будет аналитической. 23.24. Если неразвертывающаяся линейчатая поверхность имеет гладкость класса G", п > 2, то на ней можно ввести асимптотическую параметризацию (когда образующие являются одним из семейств координатных линий), в которой поверхность имеет гладкость класса G"~^. 23.25. Пусть линейчатая поверхность является G^-гладкой в некоторой асимптотической параметризации. Показать, что на ней можно ввести G^-гладкую асимптотическую параметризацию, в которой направляющая линия ортогональна к пересекающим ее образующим. 23.26. Описать метрики поверхностей, на которых внутренние координаты и и V являются натуральными параметрами на координатных линиях. 23.27. Описать поверхности, на которых координаты в линиях кривизны одновременно являются натуральными параметрами линий кривизны. 23.28. Описать поверхности, на которых линии кривизны являются геодезическими. 23.29. Если на гладкой регулярной неразвертывающейся линейчатой поверхности М есть прямолинейный отрезок, пересекающий все образующие, то на М можно ввести внутренние координаты, в которых асимптотические линии можно найти в квадратурах. 23.30. Доказать, неразвертывающаяся линейчатая гладкая регулярная поверхность не может иметь постоянную гауссову кривизну. 23.31. Пусть в изотермических координатах (г*, v) поверхность имеет координаты a: = ReFi(u'), y = HeF2{w), z = Ке^з(и'), где Fk{w)^ А' = 1, 2, 3, — аналитические функции комплексного аргумента W — и -\- iv. Такое представление называется представлением Вейер- штрасса. 162
a) Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять эти функции, чтобы поверхность была минимальной? b) Вычислить метрическую форму этой минимальной поверхности. 23.32. Пусть минимальная поверхность М, заданная представлением Вейерп1трасса (см. задачу ??), подвергается деформации Mt вида X = Re(Fi(u') ехр(г/)), у = Re{F2{w)exp{it)), Z — Ке(^з(и') ехр(г/)) с параметром деформации /. Доказать следующие утверждения. a) Эта деформация является изгибанием поверхности М. В частности, все поверхности Mi изометричны друг другу. b) Изгибания происходят в классе минимальных поверхностей. c) Все поверхности Mi имеют параллельные нормали в соответствующих по изометрии точках. 23.33. Минимальные поверхности, определяемые формулами из задачи ??, называются ассоциированными. Показать, что изгибание минимальной поверхности в классе минимальных поверхностей происходит только в семействе ассоциированных минимальных поверхностей. 23.34. Рассмотрим поверхность М 4 4 X = и- -и^ + 4uv'^, у = г' - -г'^ + Au'^v, z — {и^ - v^) о о и ее деформацию Mi: X — и — [\i^ — 4uv'^)cos2t + (Au'^v — ^v^)sm2t 2(if^ — v'^) cost — Auvsint. у = v-\- {^u^ — 4uv'^) sin 2/ + {Au-^v — ^v^) cos 2t Доказать, что эта деформация является изгибанием и что исходная поверхность М и все ее деформации Mi являются минимальными поверхностями. При каком значении параметра поверхность Mi является зеркальным образом поверхности М^/? 23.35. Пусть поверхность М такова, что существует ее непрерывное изгибание на ее центрально-симметрический образ М*. В таких случаях говорят, что М наяоэюима на М*. Доказать, что М также наложима на на свой зеркальный образ (отражение в плоскости). 23.36. Доказать, что минимальная поверхность наложима на свой зеркальный образ. 163
23.37. Написать общий вид конформного отображения сферы S : х'^ -\- у^ + z^ = 1 на себя, с условием сохранения ориентации и неподвижности северного и южного полюсов. 23.38. Показать, что среди линейчатых поверхностей минимальной поверхностью, кроме плоскости, является только прямой геликоид. 23.39. Показать, что линейчатые поверхности, за исключением плоскости и геликоида, не могут иметь постоянную среднюю кривизну. 23.40. Показать, что единственной минимальной поверхностью с постоянной гауссовой кривизной является плоскость. 23.41. Будем говорить, что поверхность в R",77 > 3 имеет постоянную внешнюю геометрию^ если любые две ее точки имеют конгруентные в R" окрестности. a) Показать, что в R^ поверхностями с постоянной внеп1ней геометрией являются только плоскость, сфера и прямой круговой цилиндр (или области на них). b) Показать, что поверхность в R'* Xi = Х2 = хз = Х4 - - Ricos и - Ri sin и - i?2 cos V - i?2sint'. где О <u^v< 27Г, a i?i и Я2 - постоянные числа, гомеоморфна тору, имеет нулевую гауссову кривизну и ее внеп1няя геометрия в R'* постоянна. Эта поверхность называется обобщенным тором Клиффорда. Ее можно задать еще одним способом. Отождествим R'* с комплексным пространством С^ с координатами z,w. Тогда тор Клиффорда получается как пересечение трехмерной сферы Izp+lu'p = 1с конусом \z\ = lu^l. Отметим, что индуцированная метрика на торе Клиффорда является плоской. с) Показать, что поверхность в R^: XI Х2 Хз Х4 хъ ху_ V3 V3 XZ 2л/Ъ С условием 3!^ + 7/^ + z^ = 1 является гомеоморфным вложением в R^ проективной плоскости, имеющим постоянную внеп1нюю геометрию. Эта поверхность называется поверхностью Веронезе. 164
23.42. Показать, что сферическое отображение минимальной поверхности является конформным, и обратно, если сферическое отображение некоторой гладкой регулярной поверхности является конформным, то эта поверхность либо минимальная, либо является сферой (частью сферы). 23.43. Проверить, что для тора вращения интегральная гауссова кривизна равна нулю, а интегральная средняя кривизна отлична от нуля, т.е. J J К dS = О, J J Н dS ф 0. Заметим, что равенство J J К dS — О выполняется для любого тора. 23.44. Доказать, что все точки любой поверхности 2-го порядка имеют один и тот же тип (эллиптический, гиперболический или параболический) . 23.45. Доказать, что на линейчатой поверхности или всюду К — О или всюду А" < 0. 23.46. Доказать, что на поверхности постоянной кривизны окрестности двух любых точек имеют трехпараметрическое семейство изометрических отображений друг на друга. Отметим, что при этом центры этих окрестностей не обязаны переходить друг в друга. 23.47. Доказать, что не существует поверхности, на которой окрестности двух любых точек имели бы в точности двупараметрическое семейство изометрических отображений друг на друга (см. предыдущую задачу). Отметим, что поверхности, имеющие в точности однопараме- трическое семейство изометрий, существуют. Пми являются поверхности вращения, не являющиеся поверхностями постоянной кривизны. 23.48. Доказать, что на параллельных поверхностях точки, соответствующие друг другу вдоль нормалей, одновременно являются или не являются омбилическими. 23.49. Доказать, что если замкнутая поверхность имеет неравную нулю постоянную среднюю кривизну и положительную гауссову кривизну, то она сфера. 23.50. Доказать, поверхность, параллельная поверхности вращения, тоже является поверхностью вращения. 23.51. Доказать, что если асимптотическая линия на поверхности одновременно является геодезической, то она будет прямой. 23.52. Доказать, что свойство линии на поверхности быть асимптотической инвариантно при проективных преобразованиях объемлющего пространства. 23.53. Доказать, что если поверхность содержит прямую линию, то эта линия будет асимптотической линией поверхности. 23.54. Доказать, что асимптотические линии поверхности составляют ортогональную сеть тогда и только тогда, когда поверхность минималь- 165
пая. 23.55. Доказать, что если асимптотическая кривая на поверхности состоит из параболических точек, то эта кривая плоская и ее плоскость является касательной плоскостью к поверхности во всех точках кривой. Верно и обратное — если плоскость плоской кривой на поверхности является касательной к поверхности во всех точках кривой, то эта кривая асимптотическая, состоящая из параболических точек. 23.56. Доказать, что если линия кривизны L является асимптотической, то гауссова кривизны поверхности вдоль L равна нулю и кривая L — плоская. 23.57. Доказать, что в классе поверхностей 2-го порядка любая поверхность 2-го порядка ненулевой кривизны однозначно определена своей метрикой, даже локально. Говорят, что поверхность S определена однозначно своей метрикой, если любая изометричная ей поверхность получается из S движением с возможным добавлением зеркального отражения. 23.58. a) Показать, что омбилическая точка, в которой гауссова кривизна равна нулю, обязательно является точкой уплощения. b) Показать, что на поверхностях отрицательной кривизны нет омбилических точек. 23.59. Показать, что среднюю кривизну Н поверхности можно рассматривать как интегральное среднее всех нормальных кривизн, т.е. 27Г 1 f^"" я = - / k{^)d^ 7Г Jo где к{^) — нормальная кривизна в направлении ^, отсчитываемом от одного из главных направлений. 23.60. Показать, что на поверхности отрицательной кривизны бинормаль к асимптотической линии совпадает с нормалью к поверхности. 23.61. Доказать, что если при изгибании поверхности, отличной от линейчатой, все асимптотические линии одного семейства переходят снова в асимптотические линии, то поверхность остается конгруентной самой себе. 23.62. Показать, что неразвертывающаяся линейчатая поверхность не допускает изометрических преобразований, при которых все асимптотические линии исходной поверхности переходят в асимптотические линии преобразованной поверхности. 23.63. Доказать, что если на поверхности постоянной гауссовой кривизны А" = — 1 координатные линии и = const и г' = const являются асим- потическими линиями поверхности, то в этих координатах первая форма 166
имеет вид ds^ — dv? + 2cosujdudv + dv'^, где uj — угол между асимптотическими линиями. 23.64. Показать, что в условиях предыдущей задачи угол си [и, v) удовлетворяет уравнению "sin-Гор дона" си^^ = sin и;. 23.65. Показать, что если на поверхности отрицательной кривизны изотермические координаты {u,v) являются одновременно асимптотическими, то поверхность является минимальной с условием М = const . 23.66. Доказать, что кривизна кривой на поверхности положительной кривизны нигде не обращается в нуль. 23.67. Пусть для замкнутой гладкой регулярной кривой L сферическая индикатриса ее бинормалей не имеет самопересечений. Доказать, что тогда для кривизны к кривой L выполняется неравенство -27Г< / k{s)ds < 27Г, Jo где / — длина L. Вывести отсюда, что кривизна кривой L обязана изменять свой знак. 23.68. Каждая поверхность вращения (замкнутая или с краем по параллели) допускает в классе поверхностей вращения с отображением параллелей в параллели и с сохранением формы площади. 23.69. Вычислить геодезическую кривизну kg кривой х = x{s), у = i/(s), Z = z{s), расположенной на сфере радиуса Я, и вывести отсюда следующую формулу для нахождения площади S области на сфере, ограниченной замкнутой линией L: S-- Здесь к — кривизна кривой. Обратим внимание, что при интегрировании следует учитывать знак геодезической кривизны kg = \/к'^ ~ W- ^ именно, если вектор геодезической кривизны направлен внутрь области, то берется знак "—"; в противном случае берется знак "+". Впрочем, это правило автоматически учитывается формулой для геодезической кри- визны kg = ^-рр-^. 23.70. Доказать, что если две изометричные поверхности в соответствующих по изометрии точках имеют параллельные нормали, то их средние кривизны или равны или отличаются знаком. 23.71. Доказать, чот если две изометричные поверхности в соответствующих по изометрии точках имеют параллельные нормали и средняя 167
кривизна хотя бы одной из них не равна нулю, то эти поверхности кон- груентны. Если же обе поверхности минимальные, то они могут быть неконгруентными. Более того, любая минимальная поверхность допускает изгибание с сохранением направления нормалей в соответсвующих по из оме трип точках. 23.72. Пусть на плоскости заданы две изометричные области. Показать, что они конгруентны. 23.73. Доказать, что две изометричные области на сфере всегда могут быть получены одна из другой вращением пространства, т.е. они конгруентны. 23.74. Пусть на цилиндрической поверхности заданы две изометричные области. Будут ли они обязательно конгруентными в R^? Указать условия, при выполнении которых любые две изометричные области на цилиндрической поверхности являются конгруентными в R^. 23.75. Рассмотрим на псевдосфере Бельтрами всевозможные круги одного и того же внутреннего радиуса г. Выяснить, какие из этих кругов конгруентны в R^, а какие нет. 23.76. Доказать, что на неразвертывающейся линейчатой поверхности кривизна поверхности при уходе точки в бесконечность вдоль любой образующей стремится к нулю. 23.77. Доказать, что кривизна поверхности вращения в полюсе не может быть отрицательной. 23.78. Пусть известно, что две метрики ds^ — gijdu^du^ и dcP' — jijdS^^dS,^,1 < i,j < 77, локально изометричны. Вывести систему уравнений, которым должна удовлетворять изометрия f : [и) ^ (<J), где через (г*) и (<J) обозначены окрестности соответствующих точек в двух областях задания метрик. Рассмотреть отдельно случай п = 2 и показать, что в этом случае нахождение искомого отображения может быть сведено к реп1ению квазилинейной системы. 23.79. Изометричны ли метрики ds'^ = ■^{dx'^ + dy'^) и ds'^ = ■\{dx'^ + dy'^)^ афЬ^ О < г^ = 3!^ + хр' < cxD? Пайти реализацию каждой из них в R^ на поверхности цилиндра. 23.80. Существует ли изометрическое отображение области на прямом кругового цилиндра х^ -\- у^ — В? ^ О < z < Н, яз. какую-либо область на выпуклой конической поверхности? 23.81. Показать, что любая поверхность трехмерного пространства изгибается с "выходом" в четырехмерное пространство. 23.82. Доказать, что на односвязной поверхности отрицательной кривизны нет замкнутой асимптотической линии. 23.83. 168
a) Доказать, что на линейчатой поверхности любой отрезок образующей является кратчайп1ей между его конечными точками. b) Доказать более общий факт: на полной односвязной поверхности отрицательной кривизны дуга любой геодезической является кратчайп1ей между своими концевыми точками. 23.84. Исследовать сферические образы следующих выпуклых поверхностей. a) Овалоид, т. е. гладкая замкнутая выпуклая поверхность. Доказать, что его сферический образ покрывает всю сферу и что, если овалоид строго выпуклый, то сферическое отображение взаимно-однозначно. b) Параболоид z — х^ -\- гр'. c) Поверхность, полученная вращением вокруг оси Oz кривой z — x^,z <а, гладко продолженной до бесконечности касательной. Показать, что за счет выбора а > О сферический образ такой поверхности может заполнять область на сфере с любой площадью S < 27г. 23.85. Построить пример полной поверхности строго положительной кривизны, сферический образ которой имеет площадь меньп1е 27г. 23.86. a) Пайти все замкнутые геодезические на бесконечном цилиндре с замкнутой направляющей. b) Для двух данных точек найти соединяющую их кратчайп1ую. c) В каком случае любая дуга геодезической на цилиндре является кратчайп1ей между своими концевыми точками? 23.87. Исследовать поведение кратчайп1их на конической поверхности в зависимости от значения полного угла при верп1ине конуса. Существуют ли кратчайп1ие, проходящие через верп1ину конуса? 23.88. Пусть замкнутая поверхность представляет собой прямой круговой конус с круговым основанием. Эта поверхность имеет особую линию — окружность, в которой склеены конус и его плоское основание. Описать кратчайп1ие, соединяющие две данные точки, в зависимости от расположения этих точек: обе они расположены на боковой поверхности конуса, обе на основании, одна на боковой поверхности, другая — на основании. 23.89. Описать кратчайп1ие на кубе и на тетраэдре, соединяющие две точки. Исследовать зависимость от расположения точек на поверхности. 23.90. Доказать, что две поверхности положительной кривизны с разной ориентацией не наложимы друг на друга. 23.91. Пусть поверхность М в R",77 > 3 (например, /7 = 3) задана уравнением f{xi,..., х^) = с, где с является регулярным значением гладкой функции /. Доказать, что тогда М является ориентируемой поверхностью. 169
23.92. На сфере вырезан прямоугольник Р, ограниченный двумя параллелями и двумя меридианами. Края, соответствующие меридианам, отождествлены по равенству длин склеиваемых отрезков, так что получается многообразие М, гомеоморфное кольцу. Проверить, что метрика на М является аналитической, и получить вложение М в R^ в виде поверхности вращения. 23.93. В условиях предыдущей задачи отождествление дуг меридианов проводится так, что топологически получается лист Мебиуса. Показать, что полученная метрика постоянной положительной кривизны на листе Мебиуса будет гладкой. 23.94. Пайти все поверхности вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны К = —1. Они называются поверхностями Миндинга. Указать в единичном круге с метрикой Лобачевского (модель Пуанкаре) области, изометричные поверхностям Миндинга и их универсальным накрывающим. 23.95. Пайти все поверхности вращения постоянной средней кривизны. 23.96. Па плоскости переменных {u,v) задана метрика ds'^ = е~^^ {du'^-\- dn^). Убедиться, что эта метрика положительной кривизны, что она неполная и что она не может быть реализована ни на какой выпуклой поверхности в R^. 23.97. а) Проверить, что метрика , ^ du^ + dt'^ ds^ - где г'^ — v? -\- г;^, имеет постоянную кривизну К < 0. Ь) Является ли эта метрика в кольце О < г < е^ полной? 23.98. a) Проверить, что метрика где г^ — V? -\- v^ ж А— =^, имеет постоянную кривизну К < 0. b) Пусть а > 0. Является ли тогда метрика метрика пункта (а) в кольце О < г < {\Y''^^ полной? c) Рассмотрим две метрики из пункта (а): одну при а > О, другую - при а < 0. Определить максимальные области существования обеих метрик и проверить, являются ли эти метрики изометричными в этих областях. 170
23.99. a) Проверить, что метрика ;{du^ -\-dv^), {г\/—К{Л sin(a In г) + Б cos (a In г)))* где r'^ — V? -\- v'^ и Л^ + Б^ = 1, имеет постоянную кривизну К < 0. Ь) Определить максимальные области существования метрики пункта (а) и проверить, является ли она в этих областях полной. 23.100. Пайти для метрик из предыдущих трех задач их изометрические погружения в R^ в виде поверхностей вращения вида х — /(г) cos 77^, у — f{r)smn^, Z — д{г), где и = rcos^, v = rsin^. Описать области погружения этих метрик в зависимости от значений целочисленного параметра п. 23.101. Какой области в круге с метрикой Лобачевского (модели Пуанкаре) изометрична псевдосфера Бельтрами с разрезом по меридиану? Какой области изометрично универсальное накрытие над псевдосферой Бельтрами (без разреза)? Пояснение. После разрезания по меридиану псевдосфера Бельтрами оказывается изометрична области на плоскости Лобачевского, ограниченной так называемым орициклом. См. рис. ??. Рис. 76. 23.102. Дать пример двух неизометричных римановых многообразий с общими геодезическими. 171
23.103. Доказать, что две полные цилиндрические поверхности, го- меоморфные кольцу, изометричны тогда и только тогда, когда их перпендикулярные образующим плоские сечения имеют одинаковую длину. 23.104. Построить изометрическое отображение области ^i < ^ < ^2j zi < Z < Z2 на цилиндре х — Rcos^, у = i^sin^, z = z, О < ^ < 27Г, —cxD < z < +СХ) на какую-либо изометричную область на поверхности прямого кругового конуса с известными параметрами. 23.105. Доказать, что все компактные замкнутые поверхности геодезически полные. 23.106. Пусть f : М ^ М' — изометрия римановых многообразий, х^ = f{x), X G М, х^ G М'. Доказать, что индуцированное отображение Д :Tj;M^ TjjiM^ перестановочно с параллельными переносами г и г' на М и М' соответственно. 23.107. Дать пример полной евклидовой метрики в открытом единичном круге. 23.108. Доказать, что компактная полная локально выпуклая поверхность является выпуклой в целом. 23.109. Доказать, что односвязное полное локально евклидовое двумерное многообразие изометрично в целом евклидовой плоскости со стандартной метрикой dx'^ + dy'^. 23.110. Доказать, что в круге нельзя задать полную евклидову метрику в изотермическом виде. 23.111. В некоторой области изменения переменных {х^у) дана метрика ds'^ = E{x)dx'^ + G{y)dy'^ с непрерывными коэффициентами Е{х) > 0,G(y)>0. Доказать, a) что эта метрика является локально евклидовой; b) что если эта метрика задана в замкнутой односвязной области , то ее можно непрерывно продолжить на внутренность выпуклой оболочки области; c) что если эта метрика задана в многосвязной области, то ее можно непрерывно продолжить на область, ограниченную выпуклой оболочкой внеп1ней границы области; d) что эта метрика в целом является евклидовой, т.е. область ее задания в целом можно изометрически отобразить в евклидову плоскость со стандартной метрикой du^ + dv'^. При каких условиях на область и коэффициенты эта метрика является полной? 172
23.112. Дана метрика Г2 A - гУ A - rY ^ a) Считая г и ^ полярными координатами на плоскости х^у^ показать, что эта метрика является невырожденной во всем круге D : х^ -\-у^ = г^ < 1. b) Найти все геодезические линии, выходящие из начала координат, и определить значения р ж q, при которых эта метрика является полной в круге D. c) Убедиться, что эта метрика пункта является локально евклидовой только при р = 4, g = 2 и найти при этих р ж q ее изометрическое отображение на евклидову плоскость со стандартной метрикой. 23.113. Доказать, что если асимптотическая линия на поверхности плоская, то она является или параболической или прямой линией. 23.114. Доказать, что любое конформное отображение сферы на плоскость является композицией некоторого движения сферы по себе и стереографической проекцией сферы на эту плоскость. См. рис. ??. 173
Рис. 77. Стереограф] екция сферы на плоскости 23.115. Поверхности с радиус-вектором х — ucosv, у = usinv, z — hv + f{u) называются общими винтовыми поверхностями. a) Проверить, что на участке, где г^ изменяется в некотором интервале длины 27Г, сечения общей винтовой поверхности плоскостями, проходящими через ось Oz, состоят из кривых, каждая из которых конгруентна кривой Z = f{x), у = 0. b) Убедиться, что при /г = О общая винтовая поверхность превращается в поверхность вращения и что при f{u) = const общая винтовая поверхность превращается в геликоид. c) Доказать теорему Бура: метрика общей винтовой поверхности изометрична метрике вида ds'^ = dU'^-\-G{U)d^'^, реализуемой на поверхности вращения, т.е. любая общая винтовая поверхность локально изометрична некоторой поверхности вращения, и обратно, любая поверхность вращения 174
в окрестности любой своей точки, кроме полюса, локально изометрична некоторой общей винтовой поверхности. d) Теорему Бура можно уточнить: общая винтовая поверхность локально допускает наложение на некоторую поверхность вращения, т.е. она непрерывно деформируется с сохранением метрики или, по-другому, изгибается на поверхность вращения. e) Общая винтовая поверхность S допускает изгибание скояъэюения по себе, а именно, существует деформация S -^ St, выражаемая через радиус-векторы по закону St : г(г*,г^;/) = г(г*,г^ + /), которая переводит точки поверхности S в другие точки той же поверхности с сохранением метрики. При этом расстояния между точками на S равны расстояниям между их образами на St- Покажите, что это изгибание является тривиальным, т.е. оно получается движением всей поверхности в пространстве как твердого тела. 23.116. Доказать, что если поверхность допускает изгибание скольжения по себе, то ее метрика изометрична метрике вращения. 23.117. Доказать, что если на поверхности все геодезические являются плоскими линиями, то поверхность или плоскость, или сфера. 23.118. Доказать, что через каждую точку цилиндра (необязательно прямого кругового) проходит только одна замкнутая геодезическая. 23.119. Доказать, что на бесконечном конусе (без границы) с углом развертки при верп1ине а < тг единственной замкнутой геодезической, исходящей из данной точки образующей, будет та, которая пересекает эту образующую под углом ^^^=-^ (см. рис. ??). Пайти угол, под которым эта геодезическая пересекает саму себя. Если же полный угол о; > тг, то на такой поверхности нет замкнутой геодезической. 175
23.120. Эллипсоид ^ -\- ^ -\- ^ = I представлен в параметрическом виде X = uf{v) cos г^, у = uf{v) sin v, z — g{u), где m ah yo? sin V + 6^ cos2 г^ 9 [и) — су 1 — V?. Подобрать функцию ^{v) таким образом, чтобы деформация с параметром / иу р — /2 cos 'ф^ у — иу р — /2 sin 'ф^ /v^ д^'^ + / du была изгибанием некоторой части эллипсоида. На какую часть эллипсоида распространяется эта деформация при малых /? 23.121. Рассмотрим плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре на открытом круге радиуса 1 с метрикой ds^ — _/]^_^t_^2J {d'^'^ + d'^'^) Рассмотрим диаметр круга, задаваемый уравнением г' = 0. Как известно он является прямой плоскости Лобачевского. Найти эквидистанту этой прямой. 176
24. Многообразия (дополнительные задачи) 24.1. Доказать, что группы SL{n,H) и SL{n,C) являются гладкими подмногообразиями в пространствах соответственно вещественных и комплексных квадратных матриц порядка п. Найти их размерности. Выяснить число коспонент связности этих матричных групп. 24.2. Доказать, что группа SO{n) является гладким подмногообра- зием в пространстве R" всех квадратных матриц порядка п. Найти размерность и число компонент связности этой группы. 24.3. Доказать, что группы U{n), SU(n) являются гладкими подмного- 2 образ ИЯМИ в пространстве С" комплексных квадратных матриц порядка п. Найти размерность и число компонент связности этох групп. 24.4. Показать, что отображение матриц А \-^ ехр(у1) является гладким гомеоморфизмом в окрестности нулевой матрицы в прообразе и окрестности единичной матрицы в образе. Показать, что обратное отображение задается соответствием В -^ 1п(Б). 24.5. Доказать, что на каждой из групп, перечисленных в задачах ??- ?? в качестве локальных систем координат в окрестности Ua матрицы А можно взять некоторые из декартовых координат матрицы \iv[A~^X). Показать, что в указанных координатах функции замены координат являются гладкими функциями класса С^. 24.6. Построить в R" гладкую (класса С^) функцию /, такую что / = 1 на niape радиуса 1, / = О вне niapa радиуса 2 и О < / < 1. 24.7. Пусть М — многообразие, р ^ U С М — окрестность точки р. Доказать, что существует такая гладкая функция /, что О < / < 1, f{p) = 1 и f{x) = О на М \ f/. 24.8. Пусть М — многообразие, А — А — замкнутое множество, \J Z} А — открытая область. Доказать, что существует такая гладкая функция /, что О < / < 1, /|^ = 1 и /|^^^ = 0. 24.9. (Слабый вариант теоремы Уитни). Доказать, что компактное гладкое многообразие М" вкладывается в евклидово пространство R^ для подходящей размерности N < оо. 24.10. Доказать, что гладкая функция на гладком компактном многообразии М может быть представлена как координата при некотором вложении М С R^. 24.11. Доказать, что произведение сфер вкладывается в R^ как подмногообразие коразмерности один. 24.12. Доказать, что если dimX < dimY, а /:Х -^ Y — гладкое отображение, то образ отображения / не совпадает с У. 24.13. 177
a) Доказать, что 2-мерное гладкое компактное замкнутое многообразие погружается в R^. b) Доказать, что 2-мерное гладкое компактное замкнутое ориентируемое многообразие вкладывается в R^. c) Доказать, что 2-мерное гладкое компактное замкнутое неориентиру емое многообразие вкладывается в R'* и не вкладывается в R^. 24.14. (Теорема Уитни). Доказать, что компактное гладкое замкнутое многообразие М" можно вложить в евклидово пространство R^""'"^ и погрузить в R^". Примечание. Воспользоваться задачей ??. После этого подобрать направление проектирования таким образом, чтобы избежать появления самопересечений и особых точек на проекции. См. рис. ?? Рис. 79. 24.15. Привести пример погружения многообразия в R" взаимно однозначного с образом, но не являющегося вложением. 24.16. Доказать, что для компактных многообразий вложение всегда является гомеоморфизмом на образ. 24.17. Привести пример такого вложения, что образ не является подмногообразием . 24.18. Пусть М — многообразие с границей дМ. Доказать, что многообразие М можно так вложить в полупространство {xjy^i > 0) евклидова пространства R^"'"^, что дМ лежит в подпространстве {x^^i = 0). 178
24.19. Пусть граница дМ состоит из двух компонент связности дМ = Ml и М2, Ml П М2 = 0. Доказать, что многообразие М можно вложить в R^ X [0,1], причем Ml лежит в R^ х О, а М2 лежит в R^ х 1. Пусть f:X^Y — гладкое отображение гладких многообразий, М С У — гладкое подмногообразие. Отобраэюение f называется трансверсальным вдоль подмногообразия М, если для любой точки х G /~^(М) касательное пространство Т^(д;)(У) к многообразию У есть сумма (вообще говоря, не прямая) касательного пространства Т^(д;)(М) к многообразию М и образа df{Tj;[X)) касательного пространства к многообразию X. Два подмногообразия Mi и М2 в многообразии X пересекаются трансверсально, если вложение одного из них является трансверсальным вдоль другого подмногообразия. См. рис. ??. Рис. 80. 24.20. Пусть / : Х^ -^ У" — гладкое отображение компактногое замкнутого многообразия X в многообразие У той же самой размерности п. Пусть у о — регулярное значение отображения /. Доказать, что /~^ [у о) состоит из конечного числа точек. 24.21. Доказать, что если у £ Y — регулярная точка отображения /:Х ^ У, то / — трансверсальное вдоль у отображение. 24.22. Доказать, что определение трансверсального пересечения не зависит от выбора порядка в паре Mi и М2. 179
24.23. Доказать, что если f:X^Y — трансверсальное отображение вдоль подмногообразия М С Y, то прообраз /~^(М) является подмногообразием в многообразии X. Вычислить размерность /~^(М). 24.24. Доказать, что любая простая замкнутая дуга с самопересечениями в R^ малым движением превращается в простую замкнутую дугу bR^ 24.25. Выяснить, трансверсально ли пересекаются следующие подмногообразия: a) плоскость ху ж ось z в R^; b) плоскость ху и плоскость, натянутая на вектора C, 2, 0) и @,4, —1) bR^ c) подпространство V х {0} и диагональ в произведении V х V; d) пространства симметрических и кососимметрических матриц в пространстве всех матриц. 24.26. Выяснить, для каких значений а поверхности з!^ + i/^ — z^ = 1 и х'^ -\- у'^ -\- z'^ = а пересекаются трансверсально. 24.27. Показать, что множество Vn^k всех ортонормированных систем из к векторов в евклидовом пространстве R" допускает структуру гладкого многообразия. Пайти его размерность. Показать, что V^д = 5""^, Vn,n = 0{п). 24.28. Показать, что множество Gn,k всех А'-мерных подпространств в евклидовом пространстве R" допускает структуру гладкого многообразия. Пайти его размерность. Показать, что Gn,i = RP"~^. 24.29. Пусть /: S^ -^ RP" отображение, сопоставляющее точке х £ S^ прямую, проходящую через точку х и начало координат в R^^^. Доказать, что / гладкое и что у него все точки регулярны. 24.30. Пусть f:SO(n) -^ S'^~^ сопоставляет каждой ортогональной матрице ее первый столбец. Доказать, что отображение / гладкое и что у него все точки регулярны. Пайти прообраз f~^{y). 24.31. Пусть f:U{n) -^ 5^""^ сопоставляет каждой унитарной матрице ее первый столбец. Доказать, что у отображение / гладкое и что у / все точки регулярны. Пайти прообраз f~^{y). 24.32. Пусть / : Vn^k -^ V^,s, s < к отображение, сопоставляющее ор- тонормированной системе из к векторов первые s ее векторов. Показать, что каждая точка является регулярной для отображения /. Показать, что прообраз f~^{y) гомеоморфен многообразию Vn-s,k-s- 24.33. Пусть f:0(n) -^ Gn,k отображение, сопоставляющее каждой ортогональной матрице подпространство, порожденное первыми к столбцами. Показать, что у отображения / все точки регулярны. Показать, что прообраз f~^{y) гомеоморфен многообразию 0G7 — к) х 0(к). 180
24.34. Пусть f:XxY -^ М гладкое отображение, то G М — регулярная точка. Рассмотрим семейство отображений fy'.X -^ М, fy{x) — f{x,y). Доказать, что точка то регулярна для отображений fy почти для всех значений параметра у, т. е. когда у пробегает открытое всюду плотное подмножество в У. 24.35. PeniHTb задачу ?? с заменой точки то на подмногообразие N С М и условия регулярности на условие трансверсальности отображений вдоль подмногообразия N. 24.36. Проверить, ориентируемы ли следующие многообразия: a) группа GL{n,R), b) группа и{п), c) группа SO{n). 24.37. Доказать, что проективное пространство RP" ориентируемо в точности для нечетных п. 24.38. Показать, комплексное проективное пространство СР" ориентируемо. 24.39. Доказать, что произвольное комплексно-аналитическое многообразие ориентируемо. 24.40. Доказать, что пространство касательного расслоения многообразия является многообразием, причем всегда ориентируемым. 24.41. Доказать, что объединение единичных сфер слоев касательного расслоения риманова п-мерного многообразия М является гладким многообразием размерности {2п — 1). Доказать, что это многообразие расслаивается над М со слоем 5""^. 24.42. Доказать, что плоское кольцо, бутылка Клейна и тор являются расслоееными пространствами. 24.43. Доказать, что расслоение над стягиваемой базой тривиально, то есть является прямым произведением базы на слой. 24.44. Показать, что окружность, евклидово пространство и тор — параллелизуемые многообразия. 24.45. Доказать, что параллелизуемые многообразия ориентируемы. В частности, касательные расслоения проективной плоскости и бутылки Клейна нетривиальны. 24.46. Доказать, что если из двумерной замкнутой компактной ориентированной поверхности выколоть точку, то полученное многообразие является параллелизуемым. 24.47. Показать, что 50C) гомеоморфно многообразию единичных векторов в касательном расслоении к 5^. 24.48. Доказать, что многообразие размерности п тогда и только тогда нараллелизуемо, когда на нем имеется п линейно независимых гладких 181
векторных нолей. 24.49. Доказать, что многообразие, на котором определена структура группы Ли, параллелизуемо. 24.50. Доказать, что сфера 5^ не параллелизуема. 24.51. Привести пример гладкого отображения многообразий, при котором образ гладкой кривой перестает быть гладким в некоторых точках. 24.52. Доказать, что линейно независимые векторы ai,..., а/; в точке Л G М", к < п, можно считать базисными векторами некоторой карты многообразия. 24.53. Доказать,что векторное поле а на многообразии, не обращающееся в нуль в точке Л, является базисным для некоторой карты, содержащей точку Л. 24.54. Доказать, что векторные поля ai,..., а/; на многообразии М", для которых к < п ж [ai,aj] = О, можно считать базисными векторами некоторой карты многообразия. 24.55. Доказать, что ориентируемая 2-мерная поверхность имеет комплексную структуру. 24.56. Доказать, что многообразия 5^ х 5^""^, 5^""^ х 5^""^ имеют комплексную структуру. 24.57. Доказать, что компактное замкнутое нечетномерное риманово многообразие положительной кривизны ориентируемо. Функция W = /(z^,..., z"), z^ = х^ -\-iy^ называется голоморфной, если она непрерывно дифференцируема, а ее дифференциал является комплексной линейной формой в каждой точке (z^,..., z"). 24.58. Показать, что если / — голоморфная функция, то а Re/ _ aim/ aim/ _ а Re/ 24.59. Пусть w^ = /-^ (z^,..., z") — голоморфная вектор-функция, отображающая С" в С^. Пайти cooTHonienne между вещественной матрицей Якоби этого отображения и его комплексной матрицей Якоби. 24.60. Доказать, что голоморфная вектор-функция / : С" -^ С" образует локальную систему координат тогда и только тогда, когда ее комплексный якобиан отличен от нуля. 24.61. Показать, что 5^ допускает комплексно-аналитическую структуру. Описать в явном виде простейп1ий атлас карт. 24.62. Показать, что комплексные проективные пространства СР^ допускают комплексно-аналитическую структуру. Описать в явном виде простейп1ий атлас карт. 182
25. Тензорный анализ 25.1. Пусть Vi и V2 —линейные пространства. Доказать изоморфизмы 25.2. Доказать, что h ' ' ' jp ~ [ji ' ' ' jp] ~ Iji ' ' ' Jp]' 25.3. Доказать, что если v[^^^2i3yjiJ2]J3 = q, to v[^^^2i3yji]J2J3 = q. 25.4. Показать, что если трехвалентный ковариантный тензор удовлетворяет условиям -^ijk — -^-jki-) -^-ijk^ 11 11 — U при любом выборе контравариантного вектора г*, то компоненты тензора удовлетворяют условию -^ijk ~г J-jki ~г J-kij -- U 25.5. Доказать, что если cooTHonienne справедливо при любом выборе векторов v^^Wa.^ удовлетворяющих условию v^Wq^ = о, то где Sot — некоторый тензор. 25.6. Доказать, что если размерность пространства V больп1е 2, то Л2(Л2у) ^K'^V. 25.7. Доказать, что если ivK^A — О для всех g > О, то оператор А нильпотентен. 25.8. Пусть в пространстве V задан линейный оператор А. Если оператор К^~^А в пространстве K^~^V ненулевой, то он либо невырожден, либо имеет ранг 1. 25.9. Доказать, что если оператор А диагонолизуем, то оператор А®^ также диагонализуем. 183
25.10. Доказать, что ранг тензора Aij = aibj равен единице, а ранг тензора aibj + ajbi равен 2. 25.11. Какому условию должен удовлетворять тензор Aij, чтобы он имел вид Aij = Gibj^ 25.12. Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам, то ^{ijk) -- ~^ \^ijk ~г J-jki ~г ^kij) 25.13. Доказать, что если тензор Tijk кососимметричен по первым двум индексам, то ^[ijk] — "^ \^ijk ~г J-jki ~г ^kij) 25.14. Даны тензоры aij и Ь^^'^. Построить из них путем одного умножения и свертывания тензоры первой, третьей и пятой валентностей. Сколько их будет? 25.15. Пусть тензор Tij^i обладает свойствами ^hijk ~г J-hikj ^ U, J-hijk ~г J-hjki ~г J-hkij ^ U a) Доказать, что если Thijk - Thjik = О, то Thijk — О b) Доказать, что если Thijk + T^jik — О, то T^ijk — О 25.16. Показать, что если трехвалентный тензор Т-^- удовлетворяет условиям Ч = Tfi, Ttju'ui = О ДЛЯ любого вектора и^, то тензор Tjj нулевой. 25.17. Показать, что если тензор Ti^^^^i^ удовлетворяет условиям Ti,...i^u'^...u'-=Q при любом выборе вектора г**, то T(^i-^,,Arr,) — О- 184
26. Геодезические на многообразиях 26.1. Доказать, что геодезическое кручение линии и = if(s), г^ = v{s)^ расположенной на поверхности г = г [и, v), вычисляется по формуле Kg = {г,т,т), где т — единичный вектор нормали поверхности. 26.2. Доказать следующее утверждение: для того чтобы линия на поверхности была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы в каждой ее точке геодезическое кручение равнялось нулю. 26.3. Найти геодезические линии развертывающейся поверхности. 26.4. Доказать, что кручение геодезической линии, касающейся линии кривизны поверхности, равно нулю. 26.5. Доказать, что каждая плоская геодезическая линия, отличная от прямой, есть линия кривизны поверхности. 26.6. Рассмотрим поверхность с римановой метрикой. На ней имеются два типа кривых: окружности Дарбу и окружности Гаусса. Геодезической окружностью кривизны (окружностью Дарбу) называется линия на поверхности, имеющая постоянную геодезическую кривизну. Окружностью Гаусса называется множество точек, отстоящих от одной фиксированной точки на одно и то же расстояние, измеренно вдоль геодезических радиусов. Доказать, что множества окружностей Дарбу совпадает с множеством окружностей Гаусса тогда и только тогда, когда поверхность является поверхностью постоянной кривизны. 26.7. a) Доказать, что на компактном односвязном многообразии М" всегда существует пара сопряженных точек. b) Что будет, если М" неодносвязно? c) Рассмотрим на многообразии пучок геодезических, исходящих из одной точки. На каждой ли из них найдется сопряженная точка? 26.8. Описать все поверхности вращения, на которых все геодезические замкнуты. Следующие задачи посвящены матричным группам Ли. В дальнейп1ем, в одном из следующих разделов, групы Ли будут рассматриваться в полной общности, т.е. как гладкие многобразия снабженные структурой группы в гладкой категории. В этом параграфе в целях упрощения изложения мы ограничимся рассмотрением ЛИП1Т тех групп Ли, которые реализуются в виде тех или иных групп матриц. Такие группы Ли называются матричными. Рассмотрим 185
полную линейную группу GL{n, R) — группу невырожденных матриц размера 77 X 77 с вещественными элементами. Она является открытой областью в евклидовом пространстве R" всех вещественных матриц размера 77 х 77. Рассмотрим на R" обычную евклидову метрику, заданную в следующем виде: (Х,У) = trX-y^, где У^ — транспонированная матрица. Эта метрика индуцирует на группе GLG7,R) и на всех ее подгруппах риманову метрику. Такая метрика на матричной группе G называется метрикой Киллинга. Можно также рассматривать случай GL{n,C), где риманова метрика задается формулой (Х,У) = RetrX-y^. Однопараметрическими (одномерными) подгруппами матричной группы G являются в точности подгруппы вида {ехр(/Х) : / G R}, где X — произвольная матрица из касательного пространства к группе G в ее единице Е. Напомним, что касательное пространство L к матричной группе G в единице, снабженное билинейной кососимметрической операцией [X, У] = XY — УХ, является алгеброй Ли, в частности, выполняется тождество Якоби [[X,Y],Z] + [[Z,X],Y] + [[Y,Z],X] = 0. Здесь XY — обычное произведение матриц. Операция [X, У] называется коммутатором. На алгебре Ли L матричной группы G определены линейные операторы Ad^ и adx, задаваемые формулами Adg{X) =дХд-\ adx(y) = [Х,У], гдед gG, X,Y eL. Векторное поле V на группе G называется левоинвариантным (право- инвариантным) , если оно переходит в себя при всех левых (правых) сдвигах группы. Такое поле однозначно определяется своим значением в единице группы, т. е. некоторым вектором X из алгебры Ли L. Такое поле обозначается Lx (соответственно Rx)- 26.9. а) Доказать, что оператор adx является дифференцированием алгебры Ли L, т. е. Rdx{[Y, Z]) = [Rdx{Y),Z] + [Y, Rdx{Z)]. Показать, что эта формула эквивалентна тождеству Якоби. 186
b) Доказать, что определенная Bbinie риманова метрика на произвольной подгруппе G группы GL{n, R) является биинвариантной, т. е. правые и левые сдвиги на G являются ее изометриями. c) Доказать аналогичное предыдущему пункту утверждение для подгрупп группы GL{n, С). d) Доказать, для любого X £ L оператор adx кососимметричен относительно метрики Киллинга, т. е. {3idx{Y),Z) = —(У, adx(^)). e) Доказать, что для любого д £ G оператор Ad^ сохраняет метрику Киллинга, т. е. (Ad^(X), Ad^(y)) = (Х,У). 26.10. Пусть G — матричная группа, L — ее алгебра Ли. Введем связность V на группе G, полагая для левоинвариантных полей Lx, Ly ^LxLy = 2^[^.^] = -j[Lx,Ly\ Отметим, что эта формула однозначно определяет связность не только на левоинвариантных, но и на произвольных векторных полях на группе G. Дело в том, что приведенная вып1е формула однозначно определяет символы Кристоффеля Г*^^.. a) Доказать, что эта связность на группе G симметрична и согласованна с метрикой Киллинга. b) Доказать, что геодезическими матричной группы G с описанной Bbinie римановой метрикой, проходящими через единицу, являются все ее однопараметрические подгруппы и только они. Доказать, что все остальные геодезические на G получаются правыми (левыми) сдвигами однопа- раметрических подгрупп. c) Доказать, что тензор кривизны R описанной в этой задаче связности на матричной группе G задается на левоинвариантных векторных полях Lx^Ly и Lz формулами R{Lx,Ly)Lz — -T^[[x,y],z]j {R{Lx,Ly)Lz,Lw) = -\{[Х,У], [Z, W]). Отметим, что этих формул достаточно для задания тензора кривизны R на произвольных векторных полях на группе G. Дело в том, что из указанных соотноп1ений однозначно восстанавливаются компоненты тензора кривизны R^jj^i. 26.11. Доказать, что экспоненциальное отображение ехр : L ^ G является диффеоморфизмом некоторой окрестности нулевой матрицы в алгебре Ли L на некоторую окрестность единичной матрицы в группе G. 187
26.12. a) Вывести для группы SL{2,H) явную формулу для экспоненциального отображения. b) Показать, что для группы SL{2,H) экспоненциальное отображение не является отображением "на". c) Исследовать случай группы SL{2, С). d) Доказать, что экспоненциальное отображение для связной компактной группы G всегда является отображеним " на". 188
27. Тензор кривизны 27.1. Вычислить скалярную кривизну группы SO{n) с двусторонней инвариантной метрикой. 27.2.ля симметричной связности, согласованной с римановой метрикой gij, доказать следующие равенства: Ь) V,T^- = j=^{^T^); d) если Л'^ = -Л'^, то \/iA'^ = -1=^{^Л'^); где д = detgij. 27.3. Доказать, что тензор кривизны п-мерного многообразия имеет ^^2 алгебраически независимых компонент. Иными словами у тензора кривизны общего вида нет других симметрии, кроме "известных". 27.4. a) Доказать, что на п-мерном многообразии набор величин ^Imnk — ^Imnk п — 2 \9ln^mk 9lk^mn 9mn^lk \ 9mk^ln)\ H / \ ~r ^^_iw^_2) \9ln9mk ~ 9lk9mn)- является тензором. Тензор C'!^^^ называется тензором Вейяя. b) Доказать, что он имеет те же алгебраические свойства, что и тензор кривизны, и, кроме того, удовлетворяет ^^^^ ^ условиям С^^^. = 0. c) Доказать, что две римановы метрики с одинаковыми тензорами Вейля конформно эквивалентны. 27.5. Доказать, что если тензор кривизны риманова многообразия тождественно равен О, то результат параллельного перенесения вдоль кривой 7 не зависит от гомотопии пути 7? при условии, что концы пути неподвижны. 27.6. a) Если у риманова односвязного многообразия Я*^.^ = О, то ТМ^ = М" X R", где ТМ — касательное расслоение многобразия М. Иными словами, в этом случае касательное расслоение тривиально, а само многообразие параллелизуемо. b) Выяснить, что происходит в неодносвязном случае. 27.7. Доказать, что любое направление в Т^М в произвольной точке риманова многообразия М является главным направлением тензора Риччи в том и только в том случае, когда М является пространством Эйнп1тейна. 27.8. Показать, что следующие метрики имеют постоянную кривизну. Найти эту кривизну. 189
a) ds^ — du^ + dt'^ b) ds2 = ^^2 _^ ^Qg2 Hff,t;2 C) ds^ ^ ^^2 _^ ^j^2 ^^,^,2^ ^ ^ ^Q^g^ _£ Q 27.9. Доказать, что аффинная связность общего вида удовлетворяет тождеству Бьянки V^B}^^-^. = S^^В}^-^^. 27.10. Пусть и;*- = T\-du^ — формы связности, Ц- = ^R\-du^ Л dvJ^ — формы кривизны связности. Доказать, что выполняются структурные уравнения Картана Щ = dJj -^ujihuj^j. 27.11. Показать, формулу Бьянки можно записать в виде dQ)^Q^j^huj)-ujihQ). 27.12. Пусть фиксирована произвольная аффинная связность без кручения. Пусть в окрестности U некоторой точки О выбраны координаты a^Qj • • • J ^0 • Введем новые координаты в f/, полагая х^ = [х^ - 4) + \т%[х' - х',)[х^ - х{). Доказать, что в новой системе координат точка О имеет нулевые координаты и что символы Кристоффеля обращаются в точке О в нуль. Такая система координат называется геодезической. 27.13. Проверить, что в геодезической системе координат в точке О значения компонент тензора кривизны и его ковариантных производных задаются формулами ^ ^^-^ dxJdx^ дх^дх^ 27.14. Учитывая предыдущую задачу, проверить справедливость формул Бьянки. 27.15. Пусть Hi^ Н2^ Нз — коэффициенты Ламе некоторой криволинейной системы координат в R^. Доказать соотноп1ения: ds^ \Hi ds ^ J ^ ds^ \h2 ds ^ J ^ Щ ds ^ ds ^ — ^ ^ A^2 fj_,dH^^2\ , d_ 3 fj_,dH2^3\ , J_.M2^i.M3^i _ q . ds^ \h2 ds я J ^ ds^ \нз ds я J ^ Hf ds Я ds ^ -^ ^ д ^3 1 1 dHi ^3 \ j_ д ^1 I 1 дНз л\ i 1 Мз^2 дН^ ^2 _ п • а Л I Яз' as у J "Г а л I яГ а* у J "^ я^ ' а* у ' а* у — ^ ^ 190
д^Нл _ J_ аЯз ^2 Ml^3 , J_ Ml^2 M2^3 . dq2dq^ — Нз' ds 'J ' ds 'J '^ H2' ds 'J ' ds 'J ' а^Я2 _ J_ дДхп^ M2 ^1 I J_ M2 ^3 Мз^1 . a^sa^i — Hi' ds 'i ' ds 'i "^ Яз' as у ' as у ' а^Яз _ j_ ая2 ^1 аяз ^2 , J_ аяз ^i аяп ^2 agiag2 ~ Я2' as У ' as У "^ Ях' as ^ ' as ^ • 27.16. Доказать, что гладкие функции Яl(g^g^a, Ml^l^f), Ml^l^f), удовлетворяющие соотноп1ениям предыдущей задачи, являются коэффициентами Ламе для некоторого преобразования X ■Xq\q\q^), «=1,2,3. 27.17. Доказать, что фундаментальная группа полного риманова многообразия неположительной кривизны не содержит элементов конечного порядка. Доказать, что 7ri(M), где М — полное риманово многообразие строго отрицательной кривизны, обладает следующим свойством: если два элемента коммутируют (т. е. ah — ba, где a,b £ 7ri(M)), то а и 6 принадлежат одной циклической подгруппе. 27.18. Доказать, что замкнутое ориентируемое риманово многообразие М" строго положительной кривизны и четной размерности одно- связно. 27.19. a) Доказать, что любое компактное замкнутое риманово многообразие постоянной кривизны 7 изометрично либо сфере 5", либо RP" (радиуса Va/t)* Использовать при доказательстве задачу 13.83. b) Пусть М" — компактное замкнутое односвязное полное риманово многообразие и пусть С{1) — множество первых сопряженных точек для некоторой точки / G М". Доказать, что если М" — симметрическое пространство, то дополнение М" \С{1) гомеоморфно открытому диску. 27.20. Доказать, что полное некомпактное риманово многообразия положительной кривизны и размерности т, где либо m = 2, либо m > 5, диффеоморфно R"^. 27.21. Пусть х^у — две близкие точки на стандартной сфере 5^ и пусть функция /(z) — площадь геодезического треугольника с верп1инами в точках х,у, Z. a) Является ли функция /(z) гармонической функцией на сфере 5^? b) Исследовать случай п-мерной сферы (здесь /(z) — объем геодезического симплекса, одна грань которого фиксирована, а z — свободная верп1ина). 191
с) Исследовать тот же самый вопрос на плоскости Лобачевского. 27.22. Доказать, что если М" — полное односвязное риманово многообразие, такое, что п — нечетно и на М" существует точка р, такая, что множество первых сопряженных с р точек регулярно и имеет постоянный порядок к, то к=п—1 и М" гомеоморфно сфере S^ (под порядком точки понимается ее кратность). 27.23. Пусть 7 С R^ — простая замкнутая кривая длины /, ограничивающая область G площади S (на плоскости). Доказать, что Р > АтгЗ и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда 7 — окружность. 27.24. Пусть 7 С R^ — замкнутая кривая (не обязательно простая т. е. в отличие от предыдущей задачи допускаются самопересечения). Доказать, что Р > 47г Jp^2'-^(^) ds, где функция си{х) есть число вращений кривой 7 вокруг точки X G R^. 27.25. Верно ли, что если п{х,у) — показатель преломления плоского просзрачного, изотропного, но неоднородного вещества, заполняющего 2-мерную плоскость, то интегральные траектории векторного поля gTadn{x^y)^ где п = c/v^ являются траекториями световых лучей? (Пе только они, конечно) 192
28. Векторные поля 28.1. Доказать эквивалентность трех определений касательного вектора в точке Р к многообразию: a) тензор валентности A,0); b) дифференцирование гладких функций в точке Р; c) класс соприкасающихся в точке Р кривых. 28.2. Найти производную функции / в точке Р по направлению вектора <J: a) / = ^x^ + y^+z^; Р = A, 1, 1), ^ = B, 1, 0); b) f = x^y + xz^-2; Р= A,1,-1), ^=A,-2,4); c) / = хеУ + уе- - z^- Р= C, О, 2), (, = A, 1, 1); d)/=f-|; Р = {1Л), ^ = C,4). 28.3. Найти производную функции / = \п[х^ + у^) в точке Р — A,2) по направлению кривой i/^ = Ах. 28.4. Найти производную функции / = dj:cAg{y/x) в точке Р — B, —2) по направлению кривой х'^ -\- у'^ — Ах — Q. 28.5. Найти производную функции / в точке Р по направлению кривой 1- а) / = ^2+ 2/', ^^=A,2), 7:^' + :у' = 5; Ь)/ = 2..2/+:у', ^^ = (^1), 7:^ + ^ = 1; c) / = ^'-2/', ^=E,4), 7:^'-2/' = 9; d) / = \п[ху + yz + xz)^ Р — @,1,1), 7- ^ = cos/, у — sin/, z = 1; e) / = \п{х'^ + 2/^ + ^^), Р = (О, Я, 7га/2), 7: ^ = ^cos/, т/ = ^sin/, Z = а/. 2 2 2 28.6. Найти производную функции /= ^ -\- ^ -\- ^ в произвольной точке Р = [х,у, z) по направлению радиус-вектора этой точки. 28.7. Найти производную функции / = 1/г, г = ^/х'^ + i/^ + z^, по направлению ее градиента. 28.8. Найти производную функции / = yze^ по направлению ее градиента. 28.9. Найти производную функции / = f{x,y,z) по направлению градиента функции д. 28.10. Пусть V — векторный дифференциальный оператор в R^, компоненты которого равны V = ( ^, ■^, ^ ). Показать, что: a) gradF = VF; b) divX = (V,X); c) rotX = Vx X. 193
28.11. Доказать формулу div(ifX) = и • div X -\- {X, grad г*), где X — векторное ноле, а г* — функция в R^. 28.12. Доказать формулу Tot{uX) = и • rot X — X X grad г*. 28.13. Доказать, что вектор х = ugisidv ортогонален к rotX. 28.14. Показать, что: a) div (rot X) = 0; b) rotrotX = graddivX - AX, где A = ^ + |^ + ^. 28.15. Пусть X = {x,y,z). Показать, что: a) divX = 3; b) rotX = 0; c) div ( d) rot Г J e)grad^ = -^. Пайти такую функцию ^, что X = grad ^. 28.16. Пусть v{x, у, z) — ноле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси. Показать, что: a) div(tj) = 0; b) rot (г;) = 2w, где w — вектор угловой скорости. 28.17. Пусть X — [x^y^z)^ Y — постоянное векторное ноле. Показать, что rot (У X X) = 2У. 28.18. Показать, что rot grad F = 0. 28.19. Доказать формулу A(FG) = FAG + GAF + 2(gradF, gradG). 28.20. Решить уравнение rotX = У: a) у = A,1, 1); b) Y = Bj/, 2z, 0); c) У = @,0, e"" -еУ); d) Y = Fj/2,6z, бж); i)Y = Cj/2, -3a;2,-(j,2 + 2a;)); Л л/ fr\ D ^ ^^ r\\. f) У = @, 2co^xz, 0); g)y = (-:y/(..2 + 2/2),../(..2 + :y2),o); 194
h) у = {ye- , 2yz, -{2xyze- +z2)). 28.21. Доказать, что каждому гладкому векторному нолю на компактном многообразии соответствует однопараметрическая группа диффеоморфизмов ^tj траектории которой касаются данного векторного поля. 28.22. Показать, что коммутатор векторных полей, рассматриваемых как операторы дифференцирования гладких функций, является векторным полем. 28.23. Пусть ipt — однопараметрическая группа диффеоморфизмов, соответствующая векторному полю <J. Показать, что [г1Л] = j^i^nv)-ri). 28.24. Пусть <J,?7 — векторные поля, f,g — гладкие функции. Доказать формулу m,gri] = fg[C, r,]+g- r,{f) ■ ^ - f^g) ■ r,. 28.25. Пусть <J,?7 — векторные поля, ^tj^t — соответствующие им однопараметрические группы преобразований. Показать, что если [S,,tj] = О, то преобразования ^t коммутируют с преобразованиями 0f 28.26. Пусть V — линейное конечномерное пространство векторных полей, замкнутое относительно коммутатора, т. е. [<J, ?7] G V при <J, ?7 G V. Показать, что V является алгеброй Ли. 28.27. В предыдущей задаче показать, что соответствующая алгебре V группа Ли G действует на многообразии, причем каждое поле S, £ V задает одномерную подгруппу в группе G, орбиты действия которой касаются векторного поля <J. 28.28. Пусть P,Q — две произвольные точки в диске D^ С R". Пайти такой диффеоморфизм ^ на R", чтобы: ^{Р) = Q, i^{x) = х, если х G D^. 28.29. a) Построить на стандартной сфере S^ три линейно независимых в каждой точке гладких векторных поля. b) Пайти в явном виде интегральные траектории полей, получающихся умножением радиус-вектора точки сферы на мнимые кватернионы г, j, А'. Здесь сфера S^ реализована как множество кватернионов единичной длины. 28.30. Построить интегральные траектории следующих векторных полей на плоскости: 195
.A. e)^ = (^-?/)^ + ^f- 28.31. Доказать, что на многообразии каждой однопараметрической группе гладких гомеоморфизмов соответствует гладкое векторное поле скоростей траекторий точек. 28.32. Привести пример векторного поля на некомпактном многообразии, траектории которого не порождаются действием какой-либо однопараметрической группы преобразований. 28.33. Пусть X — гладкое связное многообразие, x^^xi — две произвольные точки. Пайти такую однопараметрическую группу гладких преобразований ^tj чтобы <fi{x^) — xi. Показать, что без ограничения общности можно считать, что все преобразования <ft тождественны вне некоторого компакта. 28.34. Пусть <J — постоянное векторное поле в угловых координатах двумерного тора Т^. Выяснить, при каких условиях на координаты поля <J интегральные траектории будут замкнутыми кривыми. 28.35. Обобщить предыдущую задачу на случай тора Т". А именно, пусть <J = (<J^,..., <J") — постоянное векторное поле в угловых координатах на торе Т". Доказать, что замыкание любой траектории гомеоморфпо тору Т^, где к — число линейно независимых чисел <J^,... ,<J" над полем рациональных чисел. 28.36. Пусть конечная группа G гладко действует на гладком многообразии X. Доказать, что если действие группы G свободно (т. е. каждая точка X ^ X остается на месте только при действии единицы группы G), то фактор-пространство X/G является многообразием. 28.37. Показать, что проективное пространство RP" является фактор- пространством S'^ /Ъ2 при некотором действии группы Z2 на сфере 5". Пайти это действие. 28.38. Показать, что комплексное проективное пространство СР" является фактор-пространством S'^^^^ /S^ при некотором действии группы S^ на сфере 5^""'"^. Пайти это действие. 28.39. Пусть /(z) — комплексно аналитическая функция одной переменной. Доказать, что особые точки (нули) векторных полей grad Re/(z), grad Im/(z) сопадают с нулями производной f{z). 28.40. Пайти интегральные траектории потока vi[x)^ ортогонального потоку V2{x)^ где V2{x) — grad/(а:), х G R^, f{x) — значение угла Ах В. Здесь Л, Б — фиксированные точки плоскости R^, х — переменная точка. 196
28.41. Изобразить на плоскости R^ качественную картину распределения интегральных траекторий потоков VI =gradRe(/(z)), V2 = gradlm(/(z)) для перечисленных ниже комплексно-аналитических функций /(z). Найти особые точки потоков vi, V2. Исследовать устойчивость особых точек. Изобразить качественную картину поведения траекторий потоков i^i, V2 на сфере 5^ (пополненная плоскость R^: 5^ = R^ U (сю)). Изобразить процесс распада особенности z = О этих векторных полей при малом возмущении исходной функции /(z), при котором получается функция g{z)^ для которой все особые точки потоков Vi^ V2 невырождены: a) /(z) = z" (n — целое число); b) /(z) = z + 1/z (функция Жуковсого); c) f(z)=z+l/z^; d) /(z)=z + l/(z-2); e) f{z) =\nz; f)/(z)=lnf5f; g) f{z) = ■^'^BG— 5)^ + 12z^) (исследовать в окрестности точки z = 0); h) f{z)=z'^{z-iy°°{z-2f°°; i) f{z) = 2z - In z; J) f{z) = I + z^{z^ — 4)^^ ■ {z^* — 44)^^* (исследовать в окрестности точки 0); /(^) = 100 ■ 1) /(z) = 1/(^2+ 2Z-1); m)/(z) = f + 211n(z2); n) /B) =2^ + 2 In 2; о) /B)=2InB-lJ-ilnB + 10iK; p)f{z) = l/z^-l/{z-ir; q) f{z) = B + 5i/2) \n[{4z - 2)/{64z + i)]; r)f{z) = {l-i/2Ln[}^y. 28.42. Найти индекс особых точек векторных полей grad Re/B) и grad Im f{z), где a) /B) =2"; b)/B)=2-"; c) f{z) =\nz; d) f{z) = 2 + i; 197 k)/B) = ^In[B-2i)/(^-4)p;
e)/(z)=Inf5f. 28.43. Доказать, что на всяком связном компактном замкнутом многообразии существует гладкое векторное поле ровно с одной особой точкой. Найти индекс этой точки как особой точки векторного поля. 28.44. Пусть некомпактное многообразие М является открытой областью в некотором компактном замкнутом многообразии. Доказать, что на М существует векторное поле без особых точек. 28.45. Построить гладкое векторное поле ровно с двумя особенностями на следующих ориентированных поверхностях: a) на сфере; b) на торе; c) на сфере с д ручками. 28.46. Построить гладкое векторное поле с одной особой точкой на следующих поверхностях: a) на сфере; b) на торе; c) на кренделе; d) на сфере с д ручками; e) на проективной плоскости; f) на бутылке Клейна; g) на сфере с к листами Мебиуса. Пайти индексы этих особых точек. 28.47. Доказать, что безвихревой поток г^ = (Р, Q), где Р, Q — копо- ненты потока на плоскости R^(a!,i/), потенциален, т. е. v = gisid f{x,y) для некоторой гладкой функции /. Что можно сказать о потенциале /, если поток еще и несжимаем, т. е. div(ij) = О? 28.48. Пусть векторное поле <J удовлетворяет условию div(<J) = 0. Показать, что оператор сдвига вдоль итегральных траекторий унитрален. 28.49. Пайти все гомотопические классы векторных полей на торе Т^. 28.50. Доказать, что если векторное поле X на 2-мерном торе гомотопно d^i, то оно имеет периодическую траекторию. 28.51. Пйти наибольп1ее число линейно-независимых касательных векторных полей на гладкой замкнутой поверхности М^. 28.52. Доказать, что индексы двух векторных полей на произвольной 2-мерной замкнутой поверхности равны. Верно ли это утверждение для многообразия любой размерности? 28.53. Пусть т, 77 — числа вращений векторного поля на торе Т^, Л = (т, п). Доказать, что у этого поля существует Л периодических реп1ений (замкнутых траекторий). 198
28.54. (Теорема Пуанкаре-Бенкинсона). Доказать, что если произвольное penienne некоторго векторного поля на плоскости компактно и не содержит особых точек, то оно периодическое. 28.55. Доказать, что если точка Р на плоскости является предельной для некоторой траектории векторного поля, то и траектория, проходящая через Р, является предельной для исходной траектории. 28.56. Доказать, что множество векторных полей, обладающих только изолированными особенностями, связно. 28.57. Доказать, что сумма индексов особенностей векторного поля на компактном замкнутом многообразии не меняется при гладких деформациях. 28.58. Доказать, что множество всех интегральных траекторий векторного поля v{x) = [х-^ ,—х^,х^,—х'^), где X = [х^, х-^, х'^, х^) G S'^ida?! = 1) С R'*, гомеоморфно сфере 5^. Найти связь с расслоением Хопфа S^ —> S'^. Как связно это векторное поле с квартенионами? 28.59. Пусть v{x) — гладкое векторное поле на плоскости R^; L — гладкий самопересекающийся контур на плоскости R^; Jl — индекс контура L в векторном поле v{x); j — число точек внутреннего касания поля г^ и контура L; Е — число точек внеп1него касания. Доказать, что если число всех точек касания поля и контура конечно, то JL< ^B + J-E). 28.60. Сколько реп1ений имеет уравнение sin z = z над полем комплексных чисел? 28.61. Положим ^ = ^~*^j WI ~ Ш ~^ Ъ~' Показать, что функция / голоморфна тогда и только тогда, когда ^|г(/) = О для всех А'. 28.62. Показать, что векторное поле ^ голоморфно тогда и только тогда, когда в локальной системе координат (z^,...,z") оно имеет вид <J = 1]а*^, где а* — голоморфные функции. 28.6з! a) Доказать, что на произвольное двумерное ориентированное многообразие после выбрасывания одной точки становится параллелизуемым. b) Верно ли это утверждение для неориентируемых поверхностей? c) Можно ли сделать неориентируемую поверхность (с краем или без) параллелизуемой, выбрасывая из нее точки и вложенные окружности? 28.64. a) Построить на замкнутой двумерной поверхности гладкую функцию ровно с тремя критическими точками. b) В каком случае эта функция является функцией Морса (это означает, что все ее критические точки невырождены)? См. рис. ??. 199
Рис. 81. 28.65. a) Построить на замкнутой двумерной поверхности гладкую функцию ровно с четырьмя критическими точками. b) В каком случае эта функция является функцией Морса (это означает, что все ее критические точки невырождены)? См. рис. ??. д=4 Рис. 82. 200
29. Группы преобразований 29.1. Пусть конечная группа G гладко действует на многообразии X ж Xq £ X — неподвижная точка для действия любого элемента группы G. Доказать, что в окрестности точки xq найдется локальная система координат, в которой действие группы G линейно. 29.2. Обобщить предыдущую задачу на случай произвольной компактной группы Ли. 29.3. Доказать, что множество всех неподвижных точек действия конечной группы G на гладком многообразии является объединением гладких подмногообразий (вообще говоря, различных размерностей). 29.4. Пусть G — группа Ли. Показать, что действие группы G на себе с помощью левых (правых) сдвигов является гладким. 29.5. Пусть группа Ли G действует на себе с помощью внутренних автоморфизмов. Доказать, что множество неподвижных точек совпадает с центром группы G. 29.6. Доказать, что группа изометрий евклидового пространства порождается ортогональными преобразованиями и параллельными переносами. См. рис. ??. Па этом рисунке репер Oxyz — фиксированный, а репер О^х^у^z\ жестко связанный с самолетом, получается из репера Oxyz с помощью изометрий евклидова пространства. 201
Рис. 83. 29.7. Доказать, что группа изометрии стандартной п-мерной сферы изоморфна группе ортогональных преобразований [п + 1)-мерного евкли- дового пространства. 29.8. Доказать,что группы Ли Sp{l) и SU{2) изоморфны. Доказать, что они диффеоморфны сфере S^. Установить связь с кватернионами. 29.9. а) Доказать,что умножение на кватернион Л: х \-^ Ах в алгебре кватернионов порождает группу преобразований SUB). 202
b) Доказать, что преобразования вида х \-^ ЛхВ, где Л, В кватернионы, порождают группу 50D). c) Доказать, что 50D) изоморфна фактор-группе S^ х S^/Z2, где S^ снабжена структурой группы SU{2) = Sp{l). d) Найти фундаментальную группу 50D) и SO{n) для любого п. 29.10. Обозначим через Л^{^), Лу{^), Л^^) соответственно следующие матрицы: cos ^ sin ^ О \ / cos ^ О sin ^ -sin^f cos ^01, I 010 О О 1 у у —sin^f О cos^ 1 О О О cos ^ sin ^ О —sin<f cos <f Ясно, что это матрицы поворотов относительно соответствующих осей координат. Любую матрицу А G 50C) можно представить в виде A = Ai{^)Aj{e)Ai{ij) трех вращений относительно двух осей координат. Здесь индексы i и j принимают значения в множестве {а!,;у, z}, причем i ф j. Рисунок ?? соответствует представлению матрицы А в виде произведения А,У)А,{е)А,{;ф). 203
Рис. 84. УгА Эйлера, ось и является пересечением плоскостей Оху ж Ох'у' ОС Углы ^, в, ф называются углами Эйлера. a) Сколько различных вариантов имеется для выбора углов Эйлера? b) Доказать, что углы Эйлера являются локальными регулярными координатами почти на всей группе 50C). Найти множество матриц из 50C), для которых углы Эйлера не являются регулярными координатами. c) Найти выражение для метрики Киллинга на 50C) в углах Эйлера. d) Найти объем группы 50C). 29.11. Не только углы Эйлера могут служить координатами на группе 50C). В самом деле, произвольная матрица Л G 50C) представляется в виде A = Ai{^)Aj{9)A,{^), 204
где индексы г, j, к принимают различные значения в множестве {х, у, z}. В этом случае углы ^, в ж -ф называются навигационными углами. См. рис. ?? а^ ГО.игск->^^ Рис. 85. Навигационные углы — углы поворотов относительно указанных осей a) Сколько различных вариантов имеется для выбора навигационных углов? b) Доказать, что навигационные углы являются локальными регулярными координатами почти на всей группе 50C). Найти множество матриц из 50C), для которых навигационные углы не являются регулярными координатами. c) Найти выражение для метрики Киллинга на 50C) в навигационных углах. 205
29.12. a) Доказать, что группы Ли SO{n), SU{n), U{n), Sp{n) связны. b) Доказать, что в группе 0G7) две связные компоненты. c) Найти число связных компонент группы движений псевдоевклидова пространства R^. d) Доказать, что группа SL{2,H)/{±E} связна. 29.13. Реализуем группу U{n) и ее алгебру Ли и{п) подмногообразиями в евклидовом пространстве всех квадратных комплексных матриц размера пхп (естественное вложение унитарных и косоэрмитовых матриц в это пространство). a) Доказать, что U{n) С 5^" ~^, где сфера 5^" ~^ вложена стандартно в R^" =С" и имеет радиус ^/п. b) Доказать, что риманова метрика, индуцированная на группе SU{n), рассматриваемой как подмногообразие в 5^" ~^, совпадает с двусторонне инвариантной метрикой Киллинга на группе SU(n). c) Найти пересечение и(п)Г\и(п) как подмногообразий в пространстве 29.14. Сформулировать и реп1ить аналогичные задачи для групп 0G7) и Sp(n). 29.15. Доказать, что группа всех изометрий риманового многообразия является гладким многообразием, т. е. является группой Ли. Оценить сверху ее размерность через размерность риманова многообразия. 29.16. Перечислить все конечномерные группы Ли преобразований прямой R^. 29.17. Найти группу всех дробно-линейных преобразований, сохраняющих диск |z| < 1 в комплексной плоскости. Доказать, что эта группа изоморфна группе 5'LB,R)/Z2, а также группе всех преобразований, сохраняющих форму dx^ + dy^ — di^ в R^(a!, y^i)^ Установить связь с геометрией Лобачевского. 29.18. Доказать, что связная компонента единицы группы изометрией плоскости Лобачевского (в стандартной метрике постоянной кривизны) изоморфна SL{2, R)/Z2. Найти полное число компонент в группе движений плоскости Лобачевского. 29.19. Материальный niap зажат между двумя параллельными плоскостями касательными к нему. При движении плоскостей, сохраняющем параллельность плоскостей и расстояние между ними, niap вращается без скольжения в точках контакта. Рассмотрим все такие перемещения niapa, индуцированные движением верхней плоскости, при которых нижняя точка контакта niapa описывает замкнутую траекторию на нижней плоскости, т.е. точка контакта возвращается на прежнее место. Какая 206
часть группы 50C) может быть получена такими вращениями niapa (фиксируются повороты niapa после возвращения в исходную точку)? 29.20. Найти фактор-группу G/Go, где G — группа движений плоскости Лобачевского со стандартной метрикой, Go — связная компонента единицы. Указать все конформные преобразования этой стандартной метрики. 29.21. Найти все дискретные подгруппы в группе G аффинных преобразований прямой R^. 29.22. Доказать, что левоинвариантные векторные поля на группе Ли G находятся во взаимно-однозначном соответствии с векторами касательного пространства Te[G) в единице группы G. 29.23. Доказать, что коммутатор двух левоинвариантных векторных полей на группе Ли G снова является левоинвариантным векторным полем, т. е. операция коммутирования превращает пространство Te{G) в алгебру Ли. 29.24. Пусть <J — левоинвариантное векторное поле, <ft — соответствующая ему одной ар аметриче екая группа преобразований. Доказать, что <ft является правым сдвигом при любом /, т. е. <ft{9) — 9^^t^ где ht — некоторый элемент группы G. Пусть G — группа Ли, х^^...^х'^ — локальная система координат в окресности единицы (координаты которой будем считать нулевыми). Тогда операция умножения индуцирует векторнозначную функцию q — q{x,y) = хух-^у-^, X = {х^,...,х''), у = {у^,... ,у'^). Если функцию q — q{x,y) разложить по формуле Эйлера, то она имеет вид: где £:з - величина третьего порядка малости относительно координат 3!*, 2/*. Билинейное выражение ev" определяет некоторую операцию над касательными векторами в единице группы G. Эта операция обозначается ^ = [С^'П]) ^ С называется коммутатором векторов <J и ?7. Таким образом, касательное пространство Te{G) превращается в алгебру, которая называется алгеброй Ли группы Ли G. 29.25. Показать, что в алгебре Ли L выполнены следующие свойства: 207
b) тождество Якоби [[tri],Q + [[ri,QA] + [[CA],ri] = o. 29.26. Проверить, что операция в алгебре Ли L переходит в коммутатор векторных полей на группе Ли G, если вектору <J сопоставляется (право-) левоинвариантное векторное поле. 29.27. Пусть x{t),y{t) — две кривые, проходящие через единицу группы G, причем <J = ^@), ?7 = -J-(O). Показать, что [tv] = J^{^iVi)yiVi)x-\Vt)y-'{Vi)) t-0 29.28. Пусть j{t) — однопараметрическая подгруппа группы Ли. Предположим, что j пересекает сама себя. Показать, что существует такое число L > О, что j{t + L) = 7(^) Для всех / G R. Отсюда, в частности, следует, что любая однопараметрическая подгруппа группы Ли, рассматриваемая как одномерная группа Ли, гомеоморфна либо прямой, либо окружности. Примечание. Пекомпактная однопараметрическая подгруппа может быть вложена в группу Ли довольно сложно, например в виде так называемой иррациональной или плотной обмотки тора некоторой размерности. 29.29. Пусть G — компактная связная группа Ли. Показать, что каждая точка X £ G принадлежит некоторой однопараметрической подгруппе. 29.30. Пусть G — компактная группа, гладко действующая на многообразии М. Показать, что на М имеется такая риманова метрика, для которой G — группа изометрий. 29.31. Показать, что коммутативная связная группа Ли локально изоморфна конечномерному векторному пространству. 29.32. Показать, что компактная коммутативная связная группа Ли изоморфна тору. 29.33. Показать, что коммутативная связная группа Ли изоморфна произведению тора на векторное пространство. 29.34. Пусть группа Ли G — подгруппа в группе матриц GL{n^ С) С С" = EndG7,C). Показать, что в алгебре Ли L группы G, понимаемой как подпространство в EndG7, С), операция коммутирования совпадает с обычным коммутатором матриц, т. е. [£,^т}\ — ^г} — г}^^ где ^^т] G L. 29.35. Описать алгебры Ли следующих матричных групп Ли: SL(n,C), 5LG7,R), и (и), 0G7), 0G7, т), Sp(n). 208
29.36. Доказать, что конечная группа не может эффективно действовать на R". 30. Дифференциальные формы 30.1. Вычислить поверхностный интеграл J J <f^ da лдя следующих замкнутых поверхностей I]: a) для ^ = z^, 0 = а!^+2/^—z^, если I] ограничивает область a^^+i/^+z^ < 1и2/>0; b) для ^ = 2а!^, ф = 3!^ + z^, если I] ограничивает область х'^ -\- у'^ < 1 и О < Z < 1; c) для <р — ф — [х -\- у -\- z)/\/3, если I] есть сфера з!^ + т/^ + z^ = г^; d) для ^ = 1, 0 = е^ sini/ + e^ sina! + z, если I] есть трехосный эллипсоид д2 -h 52 ^ С2 ~ -^• Здесь через ^ обозначена производная в направлении внеп1ней нормали к поверхности. 30.2. Найти следующих градиенты функций в цилиндрических координатах: a) и — р^ -\-2р cos <f — е^ sin ^; b) и — р cos ip -\- Z sin^ ip — е^. 30.3. Найти divX в цилиндрических координатах для следующих векторных полей: a) X = (р, zsin^, e^cosz); b) X = (^arctgp, 2, -z^e^). 30.4. Найти дивергенцию векторного поля Х = (г2, -2cosV, ^/(?^' + 1)) в сферических координатах. 30.5. Найти ротор следующих векторных полей в сферических координатах: a) X = Bг + acos^, —Q;sin6', г cos в), а = const; b) Х = (г2, 2COS(9, -^). 30.6. Проверить, что следующие векторные поля в сферических координатах {г,в,^) являются потенциальными: а) X = B cos (9/г^, sin (9/г^, 0); Ь)Х = (/(г),0,0) 30.7. Найти потенциалы следующих векторных полей в цилиндрических координатах (р, ^, z): а) ^ = A, 1/р, 1); 209
b) X = (я, ^/p, z); c) X = (^z, z, p^); d) X = (e^^sin^, e^cos^/p, 2z); e) X = (^cosz, cosz, —p^sinz). 30.8. Найти потенциалы следующих векторных полей в сферических координатах (г, в, ^): a) X = (^, 1, 0); b) X = Bг, 1/г, 1/rsmey, c)X = (ipy2,9/r,ip/sm9y, d) X = (cos ^ sin ^, cos ^ cos ^, — sin^); e) X = (e^sin(9, e^ cos (9/r, 2^/[(l + ^^^^g^^^^j^^ 30.9. Вычислить циркуляцию векторного поля Х = (г, О, (^+r)sin6') в сферических координатах по окружности {г = R^ О = 7г/2}. 30.10. Вычислить линейный интеграл векторного поля X вдоль линии L, заданного в цилиндрических координатах, если a) X = (z, р^, cos ^), L — отрезок прямой: {я = а, ^ = О, О < z < 1}; b) X = (р, 2р^, -2^M ^ — полуокружность: {р = 1, z = 0, 0<^<7г}; c) X = (e'^cos^, psin^, р)) L — винтовая линия: {р = Я, z = ^, О < ^<27г}; d) X = (z, pz, р), i^ — окружность: {р = 1, z = 0}; e) X = (psin^, —р'^^7 р'^)) L — окружность: {р = Я, z = Я}; f) X = (zcos^, р, ^^), L: {р — sin^, z = 1}. 30.11. Вычислить линейный интеграл векторного поля X вдоль линии L, заданного в сферических координатах, если a) X = Dг^ tg ^/2, (9^, cos2 ^), L = {^ = 7г/2, в = 7г/4, О < г < 1}; b) X = (sin2(9, sin(9, г^(9), L = {^ = 7г/2, г = l/sin(9, 7г/4 < (9 < 7г/2}; c) X = {гв, О, rsin(9), L = {г = 1, (9 = 7г/4, О < ^ < 27г}; d) X = (rsin(9, ее\ 0), L = {г = sin^, (9 = 7г/2, О < ^ < тг}; e) X = (О, О, r(fO)^ L — контур, ограничивающий полудиск: {г < Д, ^ = 7г/4}. ^ 30.12. Найти поток векторного поля X через поверхность 5, заданного в цилиндрических координатах, если a) X = (р, —cos ^, z), S ограничивает область {я < 2, О < z < 2}; b) X = (р, р^, —2z), 5 ограничивает область {я < 1, О < ^ < 7г/2, — 1 < z< 1}. 30.13. Найти поток векторного поля X через поверхность 5, заданного в сферических координатах, если а) X = A/г^, О, 0), S окружает начало координат; 210
b) X = (г, г sin в, —Sr^sinO), S ограничивает область {г < R, О < 7г/2}; c) Х = (г2, О, Я^соб^), 5 = {г = Я}; d) X = (г. О, 0), 5 ограничивает область {г < R, О < 7г/2}; e) X = (г^. О, Я^гбшб'соб ^), 5 ограничивает область {г < R, О < ^ < 7г/2, (9 < 7г/2}. 30.14. Пусть ft'.Xx [0,1] ^ У — гладкое отображение, it; — дифференциальная форма на У, dw = 0. Доказать, что /о (w^) — /* (w^) = с?^ для подходящей формы Г2 на X. 30.15. Доказать, что если многообразие X стягиваемо, то для любой замкнутой формы w (т. е. dw = 0) разреп1имо уравнение d^ = w. 30.16. Пусть на многообразии задана невырожденная дифференциальная 2-форма. Доказать, что на этом многообразии существует почти комплексная структура. 30.17. Пусть М — замкнутое компактное симплектическое многообразие, т.е. на нем существует невырожденная замкнутая 2-форма UJ = ujijdx'^ Л dx^. Доказать, что вторая группа когомологии многообразия М нетривиальна. 30.18. Вычислить 0-мерные когомологии де Рама для произвольного гладкого многобразия. 30.19. Доказать, что п-мерные когомологии гладкого замкнутого п- мерного ориентируемого многообразия нетривиальны. 30.20. Вычислить когомологии де Рама следующих многообразий a) R"; b) S'; c) S'; d) S-; e) тор Т^; f) проективная плоскость RP^; g) плоскость без п точек. 31 • Теория гомотопий 31.1. Представить в виде клеточного комплекса: a) тор; b) бутылку Клейна; c) надстройку над клеточным комплексом К. 31.2. Доказать, что сфера S^ и niap D^ являются клеточными пространствами. 211
31.3. Доказать, что топология G14^-комплекса является слабейп1ей среди топологий, в которых все характеристические отображения непрерывны. 31.4. Доказать, что на G1/1^-комплексе функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна на каждом конечном подкомплексе. 31.5. Доказать, что тор с диском, натянутым на меридиан, гомотопи- чески эквивалентен букету 5^ V 5^. 31.6. Доказать, что тор с диском, натянутым на меридиан и параллель, гомотопически-эквивалентны сфере 5^. 31.7. Обобщить задачи ?? и ?? на случай произведения S^ х 5""^. 31.8. Доказать гомотопическую эквивалентность пространств: 31.9. Доказать гомотопическую эквивалентность: a) I](Xvy) r^Y^XWYY] b) I](X Л У) - I](X X Y)/{T.X V YY), 31.10. Пусть P[X]A^B) — пространство путей с началом в Л и концом в В. Пусть A(Z В. Доказать, что Р[Х]А^В) содержит подпространство, гомеоморфное А. 31.11. Пусть f:X -^ Ti — непрерывное отображение симплициаль- пых комплексов, Y (Z X — подкомплекс, на котором отображение / сим- плициально. Доказать, что существует такое подразбиение комплекса X, тождественное на У, что отображение / гомотопно некоторому симпли- циальному отображению д, причем гомотопия постоянна на У. 31.12. Пусть X — симплициальный комплекс, Sx — звезда верп1ины X ^ X. Доказать, что любые два симплекса звезды Sx пересекаются по некоторой грани. 31.13. Доказать, что симплициальное отображение симплициальных комплексов непрерывно. 31.14. Пусть X — симплициальный комплекс и £: > 0. Доказать, что существует такое подразбиение комплекса X, что диаметр каждого нового симплекса меньп1е е. 31.15. Пусть / — отображение единичного отрезка [0,1] в себя, причем /@) = О, /A) = 1. Доказать, что существует гомотопия, неподвижная в концах отрезка и деформирующая отображение / к тождественному отображению. 31.16. Стягивается ли по себе в точку векторное пространство R"? 31.17. Пусть пространство X стягивается по себе в точку. Доказать, что любые два пути с одинаковыми концами гомопотны между собой (гомотопия неподвижна на концах). 212
31.18. Доказать, что одномерный клеточный комплекс есть пространство типа А (тг, 1), где тг — свободная группа. 31.19. Доказать, что стягиваемое пространство гомотопически эквивалентно точке. 31.20. Доказать, что любые два пространства типа А (тг, 1) слабо гомотопически эквивалентны. 31.21. Доказать: a) 5" Л 5^ =5"+^ b) S'^/S^ гомотопически-эквивалентно 5" V S^'^^] S'^ \ S^ гомотопи- чески-эквивалентно 5""^"^; S'^~^ диффеоморфно S'^~^~^ х R^+^, если S^ С S'^ — стандартное вложение. 31.22. Доказать, что на G14^-комплексе функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна на каждом конечном подкомплексе. 31.23. Доказать, что если произведение двух топологических пространств гомеоморфно надстройке над каким-нибудь топологическим пространством, то либо оба сомножителя стягиваемы, либо один из них сводится к точке. 31.24. Пусть пространство X стягивается к подпространству У, причем гомотопия неподвижна (постоянна) на У. Доказать, что любой путь в X с концами в У гомотопен пути, полностью лежащему в У (гомотопия неподвижна в концах). 31.25. Доказать, что на сфере 5", п> 1, всякие два пути гомотопны (концы одинаковы, гомотопия неподвижна на концах). 31.26. Доказать, что всякий связный клеточный комплекс гомотопически эквивалентен клеточному комплексу с одной верп1иной. 31.27. Доказать, что сферу S'^~^ можно представить в виде объединения E^ X D"-^) и (£)^+^ X 5^-^-1) с общей границей 5^ х 5^-^-1. 31.28. Рассмотрим в евклидовом пространстве R" стандартную сферу 5""^ и две вложенные в нее сферы 5^-1 = {xr^i = ... = о:^ = 0}, 5^-^-1 = {0^1 = ... = о:^ = 0}. Доказать, что любая пара точек у G 5^"^, х G S'^~^~^ соединяется больпюй дугой без общих точек вне этих сфер. 31.29. Найти топологический тип замкнутого однополостного гиперболоида V — {х^ -\- у^ — z^ — 1}в проективном пространстве RP^. 31.30. Разрезать вложенный в R^ лист Мёбиуса по средней линии. Ориентируемо ли получивп1ееся многообразие? Повторить процесс разрезания несколько раз. Описать получивп1ееся несвязное многообразие и найти индекс зацепления произвольных двух компонент связности. См. рис. ??. 213
vT д/^^/^^са ^ Рис. 31.31. Доказать, что пространство многочленов степени 3 без кратных корней гомотопически эквивалентно дополнению к трилистнику в сфере S^. Построить явную деформацию. 31.32. Рассмотрим множество точек С" с попарно-различными координатами. Показать, что полученное пространство имеет тип комплекса Эйленберга-Маклейна А (тг, 1). 31.33. Построить пример двух гомотопически не эквивалентных пространств Х\, Х^ и взаимно-однозначных непрерывных отображений 31.34. Обозначим через {X, У} множество всех непрерывных отображений из пространства X в пространство У. Пусть h'.X -л X' — непрерывное отображение и соответствие Ф: {X', У} -^ {X, У} определяется формулой Ф(а) — а ' h. Доказать, что соответствие Ф переводит гомотопные отображения в гомопотные. 31.35. Доказать, что имеет место гомотопическая эквивалентность 31.36. Доказать, что бесконечномерная сфера S^ стягиваема по себе в точку. 214
31.37. Доказать, что связный конечный граф гомотонически-эквивалентен букету окружностей VS*^. 31.38. Пусть отображение р: X ^ Y удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии. Доказать, что прообразы точек гомотопически- эквивалентны. 31.39. Пусть пространство X стягивается к своему линейно-связному подпространству Л. Доказать, что пространство X линейно связно. 31.40. Фиксируем в пространстве X точки xq и xi. Пусть У — пространство путей с началом в точке xq и проходящих через точку xi. Доказать, что пространство У стягиваемо. 31.41. Доказать, что пространство всех путей Р{Х;Х,Х) стягивается к X С Р{Х;Х, X) неподвижно на X. 31.42. Пусть задана последовательность пространств Хп С Xn-\-i причем Хп-\-1 стягивается к Хп неподвижно на Хп. Доказать, что пространство X = |J„-^n стягивается к Xq неподвижно на Xq. 31.43. Доказать, что всякое открытое п-мерное многообразие гомо- топически эквивалентно {п — 1)-мерному комплексу. 31.44. Доказать, что если пространство X стягивается по себе к подпространству Л неподвижно на Л, то Л гомотопически эквивалентно X. 31.45. Вычислить множества 7t{S^ х S^, S^^) и 7гE'^ х 5^-^,5"). 31.46. Пайти Cati(RP") и Cat2(RP''), где символами Cati(RP") и Cat2(RP") обозначено минимальное число замкнутых подпространств Xi таких, что X = IJ^- Xi и вложения Xi С X гомопотны постоянным отображениям. 31.47. Вычислить Cati [К) и Cat2(A) для сферы с тремя отождествленными точками. 31.48. Пусть М^ — компактное замкнутое ориентированное 2-мерное многообразия рода /г, т. е. М^ — сфера 5^ с h ручками. Пайти 1]27^2 (двухкратная надстройка) с точностью до гомотопического типа. 31.49. Рассмотрим в RP" какую-либо стандартную карту с неоднородными координатами xi^... ^Хп- Пайти гомотопический тип следующих множеств: a) RP- \5^ где S^ = {xj^ . • • + ^l+i = 1,^/.+2 = • • • = ^n = 0}; b) RP-\M^^ где М^^ = {.^К • •- + ^1-^^+1 - • •--4+1 - 1 = О, ^/.+2 = ... = ^п = 0}; d) Щ, 31.50. Рассмотрим в открытом многообразии R" х S'^~^ малый niap 215
D^ и вклеим вместо него проективное пространство RP", т. е. отождествим точки X ж —X яз. границе niapa 5""^ = dD^. Доказать, что полученное пространство гомотопически эквивалентно 31.51. Дано топологическое многообразие М", край которого есть топологическое многообразие Р"~^. Известно, что край Р^-^ стягивается по многообразию М" в точку. a) Доказать, что многообразие стягивается в точку. b) Доказать, что если многообразие Р^~^ односвязно, то многообразие М" гомеоморфно диску D^ (в предположении, что Р^~^ стягивается по М" в точку). c) Построит пример такой пары (М",Р"~^), что многообразие Р^~^ стягивается по многообразию М" в точку, но М" не гомеоморфно диску D^. В качестве следствия доказать, что 7ri(P"~^) ф 0. 31.52. Найти гомотопический тип пространства С" \ А, где А = \Jij "^и? ^Ч = {^ G С \Xi ^ Xj \. 31.53. Вычислить, сколько имеется отображений (с точностью до го- мотопии): a) RP" ^RP"; b) СР" ^СР"; c) RP"+i ^RP"; d) CP"+i ^CP"; e) I]RP" -^ RP"; f) I]CP" ^CP"; g) I]RP" ^RP"+i; h) I]CP" -^ CP"+i. 31.54. a) Пусть пространства X ж¥ связны. Доказать, что Cat(join(X,y)) = min(Cat(X),Cat(y)), где символом Cat обозначена категория Люстерника-Шнирельмана. b) ПaйтиCatEl х ^^^ 31.55. Пусть пространства Xi,l < i < TV, линейно-связны и X = Xi X Х2 X . . . X Хдг. Доказать, что [Cat(XO] < Cat(X) < 1 + E^i[Cat(XO - 1]. 31.56. a) Вычислить Cat(RP"); Cat(T"); Cat(S'"^ x 5"). b) Доказать, что если сфера 5" покрыта q замкнутыми множесвами (не обязательно связными) Vi, V2, • • •, V^, где g < п, то всегда существует 216
хотя бы одно множество V^, такое, что оно содержит две диаметрально противоположные точки —х ж х сферы S^. 31.57. Пусть М С R" — произвольное подмножество в евклидовом пространстве (например, гладкое подмногообразие) и пусть R" С R""*"^ — стандартное вложение. Доказать, что имеет место следующая гомотопическая эквивалентность: R"+^ \М с:^ I](R" \ М). 31.58. Связь меэюду категорией Люстерника-Шнирельмана и так называемой ^'когомологической длиной'' комплекса (или многообразия). Пусть М" —гладкое, компактное, связное, замкнутое многообразие. Рассмотрим кольцо Н*{М^, G), где G = Z, если М" ориентируемо, и G = Z2, если М" неориентируемо. Обозначим через 1{М^; G) наибольп1ее целое число, для которого существует последовательность элементов xi,X2 • • • ,xi кольца H*{M^;G){degXa > 0,1 < а < /), таких, что их произведение в 0^1 Л 0^2 Л ... Л xi{M'';G) фОв кольце H''{M'';G). Число 1{M'';G) называется "когомологической длиной" многообразия М". Доказать, что Cat(M") >/(M";G). 31.59. Доказать, что для любого линейно-связного топологического пространства X и любой его точки xq группа 7Г1(Г2Х, xq) — абелева. 31.60. Доказать, что всякое стягиваемое пространство односвязно. 31.61. Доказать, что группа 7ri(V^S'^) — свободная группа с Л образующими. 31.62. Доказать, что если X и Y гомотопически эквивалентны, то имеют место изоморфизмы: 7ri(X) = 7ri(y) и 7Г/г(Х) = 7Г/г(У), А' > 2. 31.63. Доказать, что 7Ti{X V У) = 7Ti{X) * 7г(У), где 7Ti{X) * 7ri(y) — свободное произведение групп 7ri(X) и 7ri(y). 31.64. Пайти фундаментальную группу дополнения к узлу-трилистнику в R^ (а также в сфере S^) и доказать, что трилистник "не развязывается", т. е. не существует гомеоморфизма евклидова пространства (или сферу) на себя, который переводил бы трилистник в стандартно вложенную не- заузленную окружность, т. е. в тривиальный узел. 31.65. Пайти фундаментальную группу дополнения к узлу Г в R^ задаваемому так: окружность, из образ ающая узел, расположена на двумерном, стандартно вложенном торе Т^ С R^, па котором она обходит р раз параллель тора и q раз его меридиан, причем числа р ж q взаимно просты. (Узел-трилистник из задачи 12.56 может быть представлен как такой узел Г, где р = 2, g = 3.) Разберитесь, в чем роль условия взаимной простоты двух чисел: р и q. 31.66. Пусть X = У Uw ^5 где Y^Z^W — конечные Gl/l^-комплексы, W — У П Z^W линейно-связно, через X = У Uw Z обозначен комплекс. 217
получающийся при склейке Y ж Z по общему подмножеству W. Вычислить группу 7ri(X), если группы 7ri(y), 7ri{Z), 7ri{W) известны. Особо рассмотреть тот случай, когда W несвязно. 31.67. Задана произвольная группа G с конечным числом образующих и соотноп1ений. Доказать, что существует конечный комплекс X, фундаментальная группа которого изоморфна G. Можно ли выбрать в качестве такого комплекса X конечномерное многообразие, например четырехмерное? 31.68. Вычислить группу 7ri(X), где X — букет трех окружностей. 31.69. Построить двумерный комплекс X, фундаментальная группа которого равнялась бы Z/pZ. Для каких р в качестве такого комплекса можно выбрать двумерное гладкое замкнутое компактное многообразие? 31.70. Вычислить фундаментальную группу двумерной сферу с тремя ручками. Выяснить, коммутативна ли эта группа, и найти ее коммутант. Вычислить фундаментальную группу двумерного тора. 31.71. Пусть симплицыальный коплекс X имеет N одномерных симплексов. Доказать, что его фундаментальная группа имеет не более чем N образующих. 31.72. Доказать, что 7ri(X) = 7ri(X2), где X — CW — комплекс, а Х2 — его двумерный остов, т. е. объединение всех клеток размерностей 1 и 2. 31.73. Пайти 7Г2(Х), где X = 5^ V 5^. Будет ли эта группа конечно- рожденной? 31.74. Пайти фундаментальную группу "восьмерки" (букета двух окружностей). 31.75. Пусть / — путь в X; а £ 7ri(X, а^о)? /@) = xq. Доказать, что существует путь д, такой, что д{0) = xq, д{1) = /A), и fg~^ G а. 31.76. Пусть X — линейно-связное пространство. Доказать, что группа 7ri(X, xq) изоморфна группе 7ri(X, у) для любых двух точек х^у G X. 31.77. Вычислить, 7Ti{X) и 7Тп{Х), где X — букет S^ V S"". 31.78. Доказать, что если X — одномерный G1/1^-комплекс, то 7ri(X) — свободная группа. 31.79. Доказать, что группа G = Z0Z0Z0ZHe может быть фундаментальной группой никакого 3-мерного многообразия. 31.80. Вычислить 7ri{Pg), где Рд 2-мерная компактная, замкнутая, ориентируемая поверхность рода д. 31.81. Вычислить 7Г1 (ТР^), где ТРд — многообразие линейных элементов поверхности рода д. 218
31.82. Вычислить фундаментальную группу "бутылки Клейна", построив накрывающее пространство с действием дискретной группы. 31.83. Пусть Р — 2-мерная поверхность с непустым краем (открытая поверхность). Доказать, что 7ri(P) — свободная группа. 31.84. Доказать, что если X — G14^-комплекс, то 7ri(X) — группа, образующие которой являются одномерными клетками, а полный набор соотноп1ений определяется границами 2-мерных клеток. 31.85. Пусть G — непрерывный группоид с единицей. Доказать, что G гомотонически прост во всех размерностях и как следствие что 7ri(G) — абелева группа. 31.86. Пусть X — непрерывный групоид с единицей, G С 7ri(X) — подгруппа. Доказать, что: a) в Xg можно ввести умножение так, что ро'-Xq -^ X (где ро — проекция накрытия Xq на X) станет гомоморфизмом; b) если X группа, то Xq (накрытие по подгруппе G) — тоже группа. Разобрать пример Z2 -^ SpinG7) -^ SO{n), п > 2. 31.87. Доказать, что имеет место изоморфизм тгп E" V... V5") ^ ^.E") е... е ^.E") '^ , ^ '^ , ^ к раз к раз 31.88. Доказать, что группы 7ri(X) коммутативны при г > 1 для любого G14^-комплекса X. 31.89. Показать на примере, что для группы щ{Х, Y) неверна аксиома вырезания (которая выполняется для обычных теорий (ко)гомологии), т. е. существуют такие пары (X, У), что Wi{X,Y)^Wi{X/Y). 31.90. Доказать, что для любого линейно-связного пространства У и любой точки Xq E:Y ИМееТ место изоморфизм 7Г^(У, Xq) = 7Г^_1(Г2д;цУ, Wx^)^ где Wx^ — постоянная петля в точке xq. 31.91. Доказать, что 7ri(RP") = Z2, п > 1, и 7Га;(КР") = 7Tk{S''), п > 1, А' > 1, где RP" — вещественное проективное пространство. 31.92. Доказать следующие утверждения: а) Если Л — стягиваемое пространство в пространстве X [Х ж Л — CW-комплексы) в точке xq G Л, то при п > 1 гомоморфизм i^: 7Г„(Л, xq) -^ 7Г„(Х, Xq) тривиален и при 77 > 3 имеет место разложение 7Тп{Х,Л,Хо) = 7Тп{Х,Хо) ф7Тп-1{Л,Хо); 219
b) Если i:X yY -^ X хУ — вложение, то имеет место точная последовательность 7г^(Х V У) -А^ 7Тд[Х X У) ^0. 31.93. Доказать, что 7ri(CP") = 0; 7Г2 = (СР") = Z, п > 0; тг/. = (СР") = 7г452"+^), А'>2. 31.94. Доказать, что если G14^-комплекс X не имеет клеток размерностей от 1 до к включительно, то 7ri(X) = О при i < к. 31.95. Пусть X,У — G14^-комплексы. Доказать, что 7Гг(Х х У) = щ{Х) 0 щ{У). Вычислить действие 7ri(X х У) на 7ri(X х У). Построить универсальное накрытие над X х Y. 31.96. Пайти гомотопические группы 7Гд{3^), О < q < п, и доказать, что 7Гп{3^) = Z, где 5" — сфера. 31.97. Доказать, что щ{3^) = щ{3'^) при г > 3, и как следствие доказать, что 7ГзE'^) = Z. 31.98. Доказать, что a) 7riE0C)) = Z2, 7Г2E0C)) = 7Г2E0) = О, где 30 = Ит50G7); b) 7ГзE'0D)) = Z, 7ri(f/) = Z, 7Г2(^/) = о, где U = limt^G7) (вложения [/(п) С и{п -\- 1) ж 30{п) С 30{п + 1) стандартные); c) ^зE0E)) = Z. 31.99. Пайти группы 7г^E'^ W 3^), д>0. 31.100. Вычислить группы 7ri(X), 7Гп{Х) и действие группы 7ri(X) на группе 7Гп{Х) в случаях: a) X = RP"; b) X = 5i V5"; c) X = 5P(<J""'"^), где P(<J"+^) — пространство нетривиального 0G7 + 1) расслоения дисков на 5^. 31.101. Если отображение /(X, Л) -^ {У^ ^) Для всех д устанавливает изоморфизм 7Гд{Х) ?d ^д{У) И 7Г^(^) ~ 7Г^(Р), ТО ОНО устанавливает для всех д изоморфизмы 7Г^(Х, Л) ?d 7Г^(Х, Р). 31.102. Вычислить группы 7r„_/;(V^), где V^^ — вещественное многообразие Штифеля. 31.103. Доказать, что группы 7Г}^{3^) с ростом к не могут стать тривиальными, начиная с некоторого номера к. 31.104. Доказать, что 7Тз{3'^) = Z и 7r^+i(S''') = Z2 при п > 3. 31.105. Пайти: 7Тз{3'^ V 5^); j,^(^S^ v 5^); 7ГзE2 у 5^ V 5^). 31.106. Вычислить первые относительные гомотопические группы пары (СР^,^^), где вложение 5^ = СР^ С СР^ стандартно. 31.107. Доказать следующие утверждения: а) Если 3-мерное компактное замкнутое многообразие М^ односвязно, то М гомотопически эквивалентно сфере (т. е. М^ — гомотопическая 220
сфера); b) если М" — гладкое, компактное, замкнутое многообразие, причем тгДМ") = О при г < [f], то М" гомотопически эквивалентно сфере 5". 31.108. Построить пример 3-мерного замкнутого компактного многообразия М^, такого, что М^ — гомологическая сфера (т. е. имеет такие же целочисленные гомологии, что и 5^), однако 7ri(M^) ф 0. Построить пример конечнопорож денной группы G, совпадающей со своим первым коммутантом. 31.109. Доказать, что множество гомотопических классов отображений [S^, X] изоморфно множеству классов сопряженных элементов группы 7г"(Х, xq) при действии 7ri(X, xq) [Х — связный комплекс). 31.110. Вычислить 7Г2(К^,Х), где R^ — плоскость, X — "восьмерка", вложенная в 2-мерную плоскость. 31.111. Вычислить 7Г,(СР2) при i<2n-\- 1. 31.112. Пусть 7Гп{Х) = О, и пусть на X и У действует без неподвижных точек конечная группа G. Доказать, что существует и единственно с точностью до гомотопии отображение f:Y -^ X, перестановочное с действием группы G. 31.113. Доказать, что [СР^,^^] = 7Г4E'^), где [X,У] множество гомотопических классов отображений X bY . 31.114. Пусть {Х^Л)Х D Л^ — пара топологических пространств, где X линейно-связно. Пусть Л — множество путей в пространстве X, начинающихся в фиксированной точке xq и кончающихся в точках подпространства Л. Доказать, что 7Гд{Х, Л, а) = 7r^_i(A, Л^), где Л^ произвольный путь жз xq в а £ Л. 31.115. Доказать, что следующие условия эквивалентны п-связности: a) 7Го{3^,Х) состоит изодного элемента при q < п (пунктированные отображения); b) любое непрерывное отображение S^ ^ X продолжается до непрерывного отображения диска D^'^^ -^ X^q <п. 31.116. Доказать, что 7Го(Х, ^^Z) — абелева группа, где Х^ Z — топологические пространства, Г2Х — пространство петель. Доказать, что Г2Х является iJ-пространством. 31.117. Пусть Л — ретракт X. Доказать, что при п > 1 для любой точки xq £ Л гомоморфизм, индуцированный вложением и -TTniA, Хо) -^ 7Г„ (X, Хо) , является мономорфизмом и при п >2 определяет следующее разложение в прямую сумму: 7Гп (X, Хо) = 7Гп {Л, Хо)ф7Гп (X, A.Xq). 221
31.118. Доказать, что 7Го(Ш]^,X) — абелева группа. Установить связь с 7Го(^, Г2Г2Х). 31.119. Пусть TS'^ -^ S^ — стандартное касательное расслоение над сферой S^. Вычислить гомоморфизм д^:7Гп{3^) -^ 7r„_iE'"~^) в точной гомотопической последовательности этого расслоения. 31.120. Пусть f:X -^ Y — непрерывное отображение {f{xo) = уо). Доказать, что индуцированное отображение Д:7Г„(Х, а!о) -^ 7г„(^?:Уо) является гомоморфизмом групп. 31.121. Пусть Y ^ X — расслоение с фиксированными точками xq, i/o И слоем F, причем Fq — слой над точкой xq и i/q ^ ^о- Доказать, что 7г„(У, Fo; i/o) = 7г„(Х, xq). 31.122. Пусть Е,Х — топологические пространства, X линейно- связно, р: Е ^ X — непрерывное отображение, такое, что для любых точек X £ X, у G р~'^{х) имеет место изоморфизм p^:7Ti{E,p~^{x),y) -^ 7Ti{X,x), i> О (для г = о, 1 имеет место изоморфизм множеств без дополнительной структуры групп). Доказать, что для любых точек xi и Х2 топологические пространства p~^(a!i) ж р~-^{х2) слабо-гомотопически-эквивалентны. 31.123. Доказать точную последовательность для гомотопических групп пары (X, Л): . . . ^ 7Ti{A) -^ 7Ti{X) -^ 7Тг{Х,Л) -^ 7Ti-l{A) ^ . . . . 31.124. Доказать, что если X — гладкое компактное замкнутое подмногообразие коразмерности один в евклидовом пространстве, то X — ориентируемо. 31.125. Доказать, что если фундаментальная группа компактного замкнутого многообразия тривиальна, то многообразие ориентируемо. Доказать, что если многообразие X не ориентируемо, то в 7ri(X) имеется подгруппа индекса 2. 31.126. Доказать, что если X — неориентируемое пространство, то надстройка Т^Х не является многообразием. 31.127. Доказать, что эйлерова характеристика Х{Х) любого компактного замкнутого многообразия тривиальна. 31.128. Привести примеры: a) неориентируемого многообразия, вложенного двусторонне в некоторое другое многообразие (на единицу больп1ей размерности); b) ориентируемого многообразия, вложенного односторонне в некоторое другое многообразие. 222
31.129. Пусть Xi и Х2 — два нолнотория, /: dXi -^ дХ2 — диффеоморфизм, М? = Xi U/ Х2. Предъявить такие диффеоморфизмы /, для которых многообразие М? диффеоморфно: a) S'; b) 52 X S^; c) RP3. 31.130. в терминах предыдущей задачи рассмотрим отображение f^:7ri{dXi) ^7riEX2), т. е. Д : Z ф Z ^ Z ф Z, индуцированное диффеоморфизмом нолнотории Xi и Х2. Гомоморфизм Д задается, очевидно, целочисленной матрицей а b с d Доказать, что эта матрица унимодулярна и вычислить фундаментальную группу многообразия М? в терминах матрицы Д. 31.131. Пусть Х^ — пространство полиномов fn{^) (от одной комплексной переменной) без кратных корней. Пайти группы 7Г/г(Х„). 31.132. Доказать, что конечный G1/1^-комплекс гомотонически-эквивалентен многообразию с краем. 223
32. Накрытия и расслоения 32.1. Пусть р:Х ^Y — такое накрытие, что f^{7ri{X^xo)) нормальный делитель группы tti(У, 1/0M^(^0) = Уо- Доказать, что всякий элемент а G 7ri(y, Уо) порождает гомеоморфизм накрытия ^, т. е. р^{х) = р{х). 32.2. Пусть р: X ^ У накрытие, р{хо) = i/o- Доказать, что р^: 7ri(X, xq) -^ 7ri(y, Уо) является гомоморфизмом. 32.3. Пусть р: X ^ Y накрытие, р{хо) = уо. Доказать, что индуцированное отображение р^: 7ri(X, xq) -^ 7ri(y, i/o) является мономорфизмом. 32.4. Пусть p:X^Y — накрытие, 7ri(y) = 0. Доказать, что каждый элемент а G 7ri(X) определяется гомеоморфизмом пространства У на себя, а: У ^ У, таким что диаграмма Y ^ Y Р\ )/ Р X коммутативна. 32.5. Пусть р:Х ^ У — связное накрытие, F = р~^{уо) — прообраз точки Уо eY, хо е F. Доказать, что между F и 7ri(y, уо) имеется взаимно-однозначное соответствие, если 7ri(X, а!о) = 0. 32.6. Пусть р: X -^ У — накрытие, F: Р ^ Y — непрерывная функция, где Р — квадрат, /: /^ -^ X также непрерывно, причем pf{t) = F(t,0). 32.7. Пусть р: X -^ Y — накрытие, f,g — пути на X,/@) = д{0). Пусть pf{l) = рд{1) и пути pf и рд гомотопны. Доказать, что /A) = ^A). 32.8. Пусть р: X -^ У — накрытие, f,g — пути на X,/@) = д{0). Обязательно ли /A) = д{1), если pf{l) = рд{1)^ 32.9. Пусть р:Х ^ Y — накрытие, /,^ — пути на Y^f^g — пути на X, такие, что pf = f,pg = д, /@) = ^@). Доказать, что если / и ^ гомотопны, то гомотопны f ^ д. 32.10. Пусть р: X ^ Y — накрытие, / — путь в У, а^о — точка в X, такая, что р{хо) = /@). Доказать, что существует единственный путь д в X, такой, что рд = /. 32.11. Доказать, что любое накрытие является расслоением в смысле Серра. 32.12. Доказать, что всякое 2-листное накрытие регулярно. Какой чисто алгебраический факт соответствует этому утверждению? 32.13. Доказать, что 3-листное накрытие кренделя (сферы с двумя ручками) нерегулярно. 224
32.14. Пусть М^ — неориентируемо, компактное, гладкое, замкнутое многообразие. Доказать сущесвование 2-листного накрытия р: М^ -^ М^, где М^ — ориентируемое многообразие, и предъявить М^ в явном виде. Каким свойством обладает фундаментальная группа неориентируемого многообразия? 32.15. Построить накрытие S^ -^ RP" со слоем Z2 и доказать: a) RP" — ориентируемо при п = 2к — 1 ж неориентируемо при п — 2к] b) ^i(RP") = Z2, ^г(КР") = ^гE") при 77 > 1, г > 1. 32.16. Доказать, что накрытие будет регулярно тогда и только тогда, когда либо все его пути, лежащие над одним и тем же путем в базисе, одновременно замкнуты, либо все одновременно не замкнуты. 32.17. Пусть р:Х -^ X — накрытие. Доказать, что всякий путь в X накрывается в X однозначно с точностью до выбора начала пути в прообразе и кратность проекции р одинакова во всех точках базы. 32.18. Построить все накрытия над окружностью и доказать, что 7riEi) = Z, 7Ti{S^) = о при i > 2. 32.19. Построить регулярное накрытие р: Рк -^ Р2 со слоем 7ik-i, где А' > 2, а Р/г — сфера с к ручками. 32.20. Построить универсальное накрытие над WaS-^ и доказать, что 7Гг(\/л5'"^) = О при г > 1. Пайти 7ri(V^5'"^)- 32.21. Построить накрытие ^:Х -^ Р2 (крендель), такое, что X стягивается к графу и как следствие доказать: a) универсальное накрытие над Р2 стягиваемо, Р2 ~ i^ (тг, 1); b) если М^ — 2-мерное замкнутое многообразие и 7ri(M^) — бесконечная группа, то М^ ~ К{'^^ 1) (гомотопически эквивалентно). 32.22. Установить связь между универсальными накрытиями над Р/. (сферы с к ручками) и плоскостью Лобачевского. 32.23. Доказать, что все накрытия тора Т^ регулярны, и найти их. По- стоить пример двух неэквивалентных, но гомеоморфных накрытий тора т\ 32.24. Пусть X — конечный комплекс. Пайти связь между произвольной подгруппой G С 7ri(X), эйлеровой характеристикой х{^) и x{^g)^ где Xg — накрытие, построенное по подгруппе G С 7ri(X). 32.25. Построить универсальное покрытие тора Pi (сфера с ручкой) и бутылки Клейна N2 (сфера с двумя пленками Мёбиуса); вычислить го- мотопическимме группы Pi и 7V2 • Может ли тор Pi 2-листно и регулярно накрывать бутылку Клейна? Если да, то предъявить накрытие и вычислить в 7riGV2) образ 7ri(Pi) при мономорфизме накрытия. 32.26. Доказать, что если 7ri(M") = О или 7ri(M") — простая или конечная группа порядка, р ф 2, [р — простое), то многообразие М" 225
ориентируемо. 32.27. Построить в явном виде семь гладких линейно независимых векторных полей на сфере S^. Использовать алгебру октав (чисел Грэвса — Кэли). Построить интегральные траектории этих векторных полей. 32.28. Доказать, что если в R" заданы к линейных операторов yli ... ,у1/г, таких, что Л? = —Е и AiAj + AjAi — О (для всех г, j), то на сфере 5""^ С R" можно задать к линейно-независимых векторных полей. 32.29. Если гомотопические группы базы и слоя расслоения имеют конечный ранг, то гомотопические группы пространства расслоения также имеют конечный ранг, причем ранг д-мерной группы пространства расслоения не превосходит суммы рангов д-мерных гомотопических групп базы и слоя. 32.30. Доказать, что универсальное накрывающее пространство над X является накрывающим для всякого другого накрывающего пространства. 32.31. Доказать, что стандартное расслоение ЕХ —у X (расслоение Серра), где X — многообразие является локально-тривиальным расслоением. 32.32. Пусть расслоение р: Е ^ В допускает секущую поверхность X'-В -^ Е^ причем ео = х(^о)- Доказать, что при п > 1 отображение р^ — эпиморфизм, а при п > 2 определяет разложение в прямую сумму 7Тп{Е, ео) = 7Тп{В, bo) е 7Тп{Е, ео). 32.33. Доказать, что если все гомотопические группы базы и слоя конечны, то гомотопические группы пространства расслоения также конечны и порядки не превып1ают произведения порядков гомотопических групп базы и слоя той же резмерности. 32.34. Пусть ЕХ — пространство всех путей на X, исходящих из фиксированной точки, а Г2Х — пространство петель на X. Определим отображение р: ЕХ —> X, как отображение, сопоставляющее пути его конечную точку. Доказать, что р: ЕХ —> X удовлетворяет аксиоме накрывающей гомотопии, т. е. является расслоение в смысле Серра, причем его слоем является Г2х- Описанное расслоение иногда называют раслоением Серра. 32.35. Доказать, что если pi^2'-Xi^2 -^ X накрытия и Im(pi)^ = Im(p2)*, то (Xi,pi,X) иХ2,р2,Х) послойногомеоморфны. Здесь Im(pi)^ С 7Г1(^). 32.36. Доказать, что над всяким связным комплексом X существует накрытие р:Х^Х, такое, что 7ri(X) = 0. Такое накрытие называется универсальным. 32.37. Доказать, что множество векторных расслоений с линейно связной структурной группой G над сферой S^ изоморфно 7r„_i(G). 226
32.38. Показать на примере, что не существует "точной гомологической последовательности расслоения". 32.39. Пусть р: Е —у В — локально-тривиальное расслоение, со слоем F и базой 5, причем F ж В — конечные комплексы. Тогда х{^) ^ х{^) ' X{F). 32.40. Материальная точка движется с постоянной по модулю скоростью: a) по тору Т"; b) по сфере 5". Пайти фазовое пространство этой системы. 32.41. Пусть р: Е —у В — расслоение с линейно связными базой В и слоем F. Пусть Cat = Cat—1 — приведенная категория Люстерника- Шнирельмана, т. е. Cat (точки) = 0. Доказать, что Cat(£') < Cat£(F) • CatE) + CatE) + Cat£(F), где Cat£(F) — относительная категория слоя F по отноп1ению к Е. 32.42. Доказать, что если р:Х ^Y — расслоение в смысле Серра, то р — отображение "на". 32.43. Доказать, что если р:Х ^Y — расслоение в смысле Серра, то P~^{yi) и р~^{у2) гомотопически эквивалентны для любых i/i, у2 E:Y. 32.44. Доказать, что многообразие линейных элементов многообразия М является расслоением с базой М. 32.45. Доказать, что любое локально тривиальное расслоение (косое произведение) является расслоением в смысле Серра. 32.46. Доказать, что пространство путей ЕХ с фиксированной начальной точкой пространства X является расслоением в смысле Серра с базой X. 32.47. Доказать, что прямое произведение топологических пространств X X Y с проекцией на один из сомножителей является расслоением в смысле Серра. 32.48. Пусть р: X ^ Y — накрытие, р{хо) = уо, f,g — пути, такие, что /@) = ^@) = уо; /A) = 5A). Пусть fg-^ G р,{7Гг{Х,хо)). Пусть /, д — накрытия этих путей. Доказать, что /A) = ^A). ' е*>1 О 32.49. Представим тор Т^ в виде Т^ = {д}, где д — \ г. г(р2 Рассмотрим следующие отноп1ения эквивалентности R: a) (е*>1,е*>^)Я(-е*>1,е-*>^); b) (е*>1,е*>^)Я(-е*>1,-е-*>^); c) (е*>1,е*>^)Я(е-*>1,е-*>^). Пайти пространство X = Т'^/R и вычислить образ /*Gri(T^)) С 7ri(X), где f:T^^X — Т^/Х — проекция, связанная с отноп1ением R. Является 227
ли / накрытием? 32.50. Сколько существует расслоений вида: a) Т^ -^ 5^, где Т^ — 3-мерный тор; b) Т" -^ S-^, где Т" — 77-мерный тор (расслоения рассматриваются с точностью до гомотопической эквивалентности) ? 32.51. Пусть С = Л^В —свободное произведение произвольных групп Л ж В. Доказать, что для любой подгруппы М С С выполнено равенство М = Ai ^ Bi ^ F, где Ai С А, Bi С В, F — свободная группа. Дать топологическое доказательство, используя накрытия. 32.52. IlycTbG — односвязная компактная группа Ли и сг: G -^ G — произвольный инволютивный автоморфизм (т. е. сг^ = 1). Положим Н = {де G\a(g) =gy,V = {ge G\a(g) = д-^}. Доказать, что G = V-H-V, Т. е. любой элемент д £ G допускает представление в виде д — V ' h ' V, V G V, /г G Н. Доказать, что V = G/H (однородное пространство). 32.53. Известна следующая конструкция (Картана). Пусть (т:0^ G — произвольный инволютивный автоморфизм компактной связной группы Ли. Положим Н = {д £ G\cr[g) = g}:V = {д £ G\cr[g) = д~^}. Тогда V = G/H ж V С G — вполне геодезическое подмногообразие, а потому V — симметрическое пространство. Подмногообразие V называется картановской моделью симметрического пространства G/H. Любое симметрическое пространство допускает (причем почти всегда однозначно определенную) картановскую модель. a) Доказать, что проекция р : G ^ V, определяемая формулой р{д) = д(т{д~^), задает главное расслоение О ^ Н ^ G ^ G/H -^ 0. b) Пусть V — картановская модель и пусть 7ri(V) = О, е G G, е G V, е — единица в G. Доказать, что если точка х £ V сопряжена с е вдоль геодезической j{t) С V в группе G, то точка х сопряжена с е вдоль 7 и в самом многообразии V С G. 32.54. Вычислить гомотопические группы щ{Тд), г > 1, 2-мерного многообразия Тд рода д. 32.55. Пусть М^ — компактное замкнутое ориентированное 2-мерное многообразие рода д. Пайти гомотопический тип 1]^М^. 32.56. Пусть 5^ X 5^ С R^ — стандартное вложение тора в евклидово пространство. Доказать, что не существует гомеоморфизма пары (R^,^^ X 5^) на себя, ограничение которого на тор определяется матри- 0 1^ 228 цеп, _^ Q
32.57. Пусть 7Г — фундаментальная группа 2-мерной поверхности, f'.TT^TT — эпиморфизм. Доказать, что / является изоморфизмом. 32.58. Доказать тремя существенно различными способами, что на сфере 5^ не существует непрерывного векторного поля без особых точек (т. е. отличного от нуля в каждой точке). 32.59. Пусть р: X -^Y — двулистное накрытие. Доказать, что тогда любой путь в У накрывается в точности двумя путями. 32.60. Построить универсальное накрывающее пространство для ортогональной группы SO{n). 32.61. Доказать, что любое двумерное замкнутое ориентированное гладкое многообразие может быть локально изометрично накрыто плоскостью Лобачевского (снабженной стандартной метрикой постоянной отрицательной кривизны). Другими словами, доказать, что фундаментальная группа поверхности указанного вида может быть представлена как дискретная подгруппа в группе изометрий плоскости Лобачевского, дей- свующая эффективно. Отсюда, в частности, следует, что двумерное компактное замкнутое ориентируемое гладкое многообразие может быть снабжено римановои метрикой постоянной отрицательной кривизны. 32.62. Какие пространства могут накрывать бутылку Клейна? 32.63. Пусть Sg — сфера с д ручками. Какие Sh могут накрывать Sg^ 32.64. Доказать, что для любого компактного неориентируемого двумерного многообразия имеется ровно одно компактное двумерное ориентируемое многообразие, накрывающее его двулистно. 32.65. Доказать, что поверхность Бельтрами (поверхность постоянной отрицательной кривизны, стандартно вложенная в R^) может быть бесконечно-листно и локально изометрично накрыта некоторой областью, лежащей в плоскости Лобачевского. Найти эту область. Доказать, что она гомеоморфна двумерному диску. Найти соответствующую группу этого накрытия. 32.66. Может ли двумерный тор двулистно накрывать бутылку Клейна? 32.67. Вычислить группу перестановок листов римановои поверхности агебраической функции w = y^F, возникающую при обходах вокруг точки ветвления этой функции (точки 0). 229
ЗЗ. Степень отображ:ения 33.1. Вычислить степень отображения f{z):S-^ -^ 5^, где /(z) = ^11 -1 z^,\z\ = 1. 33.2. Вычислить степень отображения /: 5^ -^ 5^, где /(z) = z^z G С и {сю}. 33.3. Пусть М" — ориентируемое гладкое компактное многообразие. Доказать, что гомотопический класс отображения М" -^ S^ полностью определяется степенью отображения. 33.4. Пусть /: 5^" -^ 5^" — непрерывное отображение. Доказать, что найдется точка, для которой либо f{x) = х, либо f{x) = —х 33.5. Пусть степень отображения /: S^ -^ S^ равна 2к -\- 1. Доказать, что существует такая точка х, что f{x) = —f{—x). Доказать, что на сфере 5^^"^ не существует четного касательного векторного поля v{x) без особенностей (т. е. v{—x) = v{x) не имеет нулей). 33.6. Пусть f,g'.S^ -^ S^ —симплициальные отображения. Доказать, что: a) прообраз каждой внутренней точки состоит из одного и того же числа точек, взятых со знаком ориентации; b) если f,g гомотопны, то числа точек прообраза, взятых с ориентацией, совпадут; c) если числа точек прообраза с ориентациями совпадут, то отображения f,g гомотопны. 33.7. Пусть f'.M^S'^ — отображение нормалей замкнутой поверхности в R^. Доказать, что f*{to) = А"(и;'), где и;,и;' — элементы площади, К — гауссова кривизна. Доказать, что 2 deg / = / Kdtu и равно эйлеровой характеристике поверхности. 33.8. Доказать, что каждое непрерывное отображение niapa D^ в себя имеет всегда неподвижную точку. 33.9. Пусть f:SU{n) -^ SU[n) — гладкое отображение, f[g) — д^. Пайти deg /. 33.10. Пусть /: М" -^ R^ — гладкое отображение связного компактного ориентируемого замкнутого п-мерного [п < р) многообразия в R^. Пусть v{f) — нормальный пучок этого погружения и Sv{f) — ассоциированный пучок сфер, т. е. Sv{f) = dv{f) — граница некоторой — достаточно малой трубчатой окрестности подмногообразия f[M^) С R^. Пусть Т: Sv{f) -^ S^~-^ — обычное гауссово отображение (сферическое). Пайти степень degT(dimS'ij(/) = р— 1), если известна эйлерова характеристика многообразия М". Зависит ли degT от способа погружения М" в R^? Что происходит, если М" неориентиру емо? Особо разобрать 230
случай, когда р = п -\- 1. 33.11. Известно, что 2-мерное ориентируемое замкнутое компактное многообразие М^ рода д можно вложить в евклидово пространство {x,y,z). Найти минимальное число седловых точек (вообще говоря, вырожденных) у функции f{p) = z, р £ г(М^), i — вложение, где / — функция высоты. 33.12. Доказать, что невырожденные критические точки кладкой функции на гладком многообразии изолированы. 33.13. Пусть f{x) — функция на 2-мерной компактной ориентируемой поверхности рода д (сфера с д ручками), имеющая конечное число критических точек, причем все они не невырождены. Доказать, что число минимумов минус число седел плюс число максимумов равно 2д — 2. 33.14. Пусть /: М" ^ R — гладкая функция на гладком многообразии. Доказать, что почти каждое значение функции / регулярно. 33.15. Доказать, что альтернированная сумма особых (критических) точек гладкой функции f{x) (в предположении, что все ее особенности невырождены), заданной на гладком компактном многообразии, не зависит от функции (под альтернированной суммой точек понимается 2^(—1)^?тгл, где п = dimM, А=0 Л — индекс критической точки, шд — число критических точек индекса А). 33.16. Пусть f{x) — комплексно-аналитическая функция одного переменного X. Доказать, что множество критических значений функции f{x):S'^ -^ 5^ имеет меру нуль. 33.17. Пусть Мс^г = {x\f{x) = с}. Доказать, что если Мс^г не содержит критических точек функции /, то Мсп — подмногообразие и codim Мс^^ = 1в М". 33.18. Доказать, что понятие невырожденной критической точки гладкой функции не зависит от выбора локальной карты, содержащей эту точку. 33.19. Показать, что для стандартного вложения тора Т^ С R^ (поверхность вращения вокруг оси Oz) координата х, ортогональная оси вращения тора Т^, имеет только невырожденные критические точки. 33.20. а) Построить на RP" и СР" функции только невырожденными критическими точками так, что во всех критических точках их значения различны. 231
b) Построить на RP" и СР" функции, для которых f{xx) = Л = ind {хх), где хх — невырожденные критические точки индекса Л. 33.21. Пусть F{x, у) — невырожденная билинейная форма на R". Рассмотрим гладкую функцию f{x) = f{x, х), где \х\ = 1 т. е. F{x, х) функция на сфере 5""^ С R". Пусть Ло < Ai < . . . < A„_i — все собственные числа формы F (напомним, что все Л^-, О < i <п — 1, вещественны). Доказать, что Л^- являются критическими значениями функции F{x,x) на сфере 5""^. Пайти все критические точки функции F{x, х). Доказать, что Xi = inf{max/(a!)}, где 5* — стандартные г-мерные экваторы в сфере 33.22. Доказать, что если точка р является критической невырожденной точкой для гладкой функции f{x) на гладком многообразии, то тогда существует такая локальная система координат, в которой функция f{x) в окрестности точки р представляется в виде квадратичной невырожденной формы. 33.23. Доказать, что если М^ — некритический уровень для функции f{x) на многообразии М (т. е. гиперповерхность уровня f{x) — с — const, не содержащая критических точек для f{x))^ то окрестность М^ диффео- морфна Мс X /. 33.24. Если Мс-^ и Мс^ — последовательные критические уровни, то промежуток между ними диффеоморфен М^ х /, где ci < с < С2. 33.25. Если между Мс\ и Мс-2 нет критических уровней (т. е. гиперповерхностей уровня f[x) — const с критическими точками) и Мс\, Мс-2 — также некритические, то они диффеоморфны. 33.26. a) Построить на произвольном компактном ориентируемом 2-мерном гладком многообразии М^ гладкую функцию f{x)^ имеющую одну точку минимума, одну точку максимума (невырожденные точки) и еще одну критическую точку, быть может, вырожденную. Пайти связь между такой функцией и представлением М^ в виде римановой поверхности некоторой многозначной аналитической функции. Выяснить ситуацию для случая неориентируемого 2-мерное многообразия М^ (например, случай проективной плоскости RP^). b) Построить на произвольном компактном многообразии М^ гладкую функцию f{x)^ имеющую: только невырожденные критические точки; ровно одну точку максимума, ровно одну точку минимума и s седловых точек (найти число s). Построить функцию так, что f[x) принимает одно и тоже значение во всех седловых точках. Изучить неориентируемый случай. Указать связь с задачей пункта а), построить слияние всех седловых точек в одну вырожденную критическую точку. 232
34. Простейшие вариационные задачи 34.1. Доказать, что экстремальными траекториями для функционала действия E[j] = Jq lipG?^ на гладком римановом многообразии М" (где 7(^) — гладкие траектории на М", О < / < 1, 7(^) — вектор скорости j{t)) являются геодезические. 34.2. Установить связь между экстремальными траекториями функционала длины L[j] = Jq \j\dt ж функционала действия E[j] = Jq |7рс?^. Доказать, что любая экстремаль jo{t) для E[j] является экстремалью для L]j]. Доказать, что если so{t) — экстремаль для L[j], то путем замены параметра / = ^(т) на so{t) можно превратить эту траекторию в экстремаль дляЕ[7]. 34.3. Пусть S{f) = /^ л/EG — F^ dudv — функционал, сопоставляющий каждой гладкой функции z = f{x, у), определенной на ограниченной области D = D{x,y) С 'R?{x,y) (здесь x^y^z — декартовы координаты в R^), площадь графика функции z = f{x,y). Доказать, что экстремальность функции /о относительно функционала S эквивалентна условию: iJ = О, где через Н обозначена средняя кривизна графика z — fo{x,y), рассматриваемого как двумерное гладкое подмногообразие в R^. 34.4. Доказать утверждение, сформулированное в предыдущей задаче, для случая [п — 1)- мерных графиков х^ = f{x-^,. . . ,х^~-^) в R". 34.5. Доказать,что функционалы действия E[j] и длины ^[7] связаны соотноп1ением: (^[7])^ < E[j], причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда j{t) — геодезическая. 34.6. Доказать, что функционал площади S[f\ = / л/EG - F2 dudv Jd dudv (где г = f{u,v) — радиус-вектор в R^, гладко зависящий от (г*, г^)), и функционал Дирихле Jd связаны соотноп1ением:5'[г| < D[f\. 34.7. Напомним, что радиус-вектор f{u,v), задающий двумерную поверхность М^ в трехмерном евклидовом пространстве, называется гармоническим, если г [и, v) является экстремалью функционала Дирихле D[f\ = ^ Jj^{E + G)dudv. Доказать,что если средняя кривизна Н поверхности М^, задаваемой некоторым радиус-вектором r{u,v), равна О, то тогда в окрестности каждой точки на поверхности можно ввести такие локальные координаты (р, д), в которых радиус-вектор г(р, q) станет гармоническим. 233
34.8. Построить пример такого гармонического радиус-вектора г [и, v), чтобы описываемая им поверхность М^ С R^ не была минимальной (т. е. чтобы Я ^0). 34.9. Неравенство Виртингера. Пусть Н — эрмитова, симметричная, положительно определенная форма в С", пусть а : С" -^ R^" — овеществление С", тогда Н -^ Н^ — { '^ с l? ^гД^ Н — S -\- iA] S^A — вещественные матрицы; ^ — S; А^ = —А; Н^ = Н. Форма S задает в R^" евклидово скалярное произведение; форма А задает в R^" внеп1нюю 2-форму со^'^К Для простоты можно считать, что и;(^) = Y12-1 ^^^ ^ ^^^• Рассмотрим форму Г^^^^^ = ^ и; Л . . . Л с<;^ г >п. г a) Если cji,. . ., и;2г — произвольный ортонормированный базис в R^" = С", относительно скалярного произведения 5 = Re Я; то |QB-)(wi,...,a;2.)|<l и |^B-)(а;ь...,а;2.)| = 1 тогда и только тогда, когда плоскость L{uji,. . . ,u;2r)j порожденная векторами cji,. . . ,со2г7 является комплексным подпространством в R^" = С". b) Пусть W^ С С", г < п, [г — комплексная размерность) — комплексное подмногообразие в С" (если W^ — алгебраическое подмногообразие, то допускаются особые точки на W^). Пусть V'^^ — вещественное подмногообразие в С", такое, что — вещественное Bг + 1)-мерное подмногообразие в С", имеющее своим краем VUPI^. Пусть К = УП W, тогда Yohr{V \ К) > Yohr{W\K). Замечание. Это утверждение означает, что комплексные подмногообразия W в комплексном пространстве С" являются минимальными подмногообразиями, т. е. при любом "возмущении" V 2г-мерный объем (vo^r) не уменьп1ается. c) Доказать, что утверждение задачи б) остается справедливым, если заменить С" на любое кэлерово многообразие, т.е. на комплексное многообразие, снабженное внеп1ней 2-формой и;(^), невырожденной и замкнутой. 34.10. Рассмотрим на R"(a!^,. . ., х'^) функции вида F(a!^,. . ., х'^) и функционал J[F] = Jj^ \ grad F| dcr", где D — область определения функций F. Пусть Fq — экстремаль функционала J. Доказать, что поверхности уровня Fo{x-^,. . . ,х^) = const, рассматриваемые как гиперповерхности в R"(a!^,. . ., 3!^), являются локально минимальными поверхностями. 234
35. Общая топология 35.1. Пусть М = X X Y^ где X, У — топологические пространства. Пусть множество из М открыто, если оно является проиведением открытых множеств из X и У или объединением таких множеств в любом числе. Доказать, что такая система удовлетворяет всем аксиомам, определяющим топологию на множестве М. 35.2. Доказать, что если пространства X и У хаусдорфовы, а X, кроме того, еще и локально-компактно, то для любого пространства Т пространства Я(Х X У,Т) и H{Y,H{X,T)) гомеоморфны, где H{X,Y) = У^. 35.3. Доказать, что существует гомеоморфизм канторова дисконтинуума на себя, переставляющий две заданные точки. 35.4. Пусть X — локально-линейно-связное метрическое пространство. Доказать, что если X — связно, то X — линейно-связно. 35.5. Пусть ЛПВ ф 0, X = A\JB. Доказать, что если АжВ — связные пространства, то X — связное пространство. 35.6. Доказать, что хеммингова метрика в п-мерном кубе не вкладывается ни в какое R", т. е. не существует такого вложения, что хеммингова метрика индуцирована стандартной евклидовой метрикой (куб рассматривается только как набор своих верп1ин, т. е. как дискретное множество и тогда расстояние р(а,6), где ажЬ — верп1ины куба, равно числу координат, в которых различаются две верп1ины). 35.7. Доказать, что группа унитарных матриц U{n), рассматриваемая как топологическое пространство, гомеоморфна прямому произведению 5^ X SU{n) (как топологических пространств). 35.8. Доказать, что группа GLG7,R), вещественных невырожденных матриц размера пх п — топологическое пространство, состоящее из двух связных компонент. 35.9. Доказать, что лист Мёбиуса не гомеоморфен прямому произведению отрезка на окружность. 35.10. Доказать, что любой конечный G1/1^-комплекс можно вложить в конечномерное евклидово пространство R^ (достаточно больпюй размерности) . 35.11. Если в качестве G1/1^-комплекса взять компактное гладкое замкнутое многообразие М", то результат, сформулированный в предыдущей задаче, может быть уточнен. a) Доказать, что М" можно вложить в евклидово пространство R^"^, где к — число открытых niapoB D^, образующих покрытие М". b) Доказать, что М" можно вложить в евклидово пространство R"^, где число к определено впункте (а). 235
35.12. Доказать, что любое компактное гладкое замкнутое многообразие М" можно: a) вложить в евклидово пространство R^"+^; b) погрузить в евклидово пространство R^". 35.13. Построить погружение проективной плоскости ИР^ в евклидово пространство R^. 35.14. Описать множество точек самопересечения построенного в задаче ?? погружения ИР^ в R^. Указать кратности этих точек, т. е. указать, сколько листов поверхности пересекается в этой точке самопересечения поверхности. 35.15. Рассмотрим описанные в задаче погружение ИР^ в R^. Обозначим через z(RP^) образ ИР^ в R^. Рассмотрим в каждой точке х G i(RP^) и не являющейся точкой самопересечения поверхности, отрезок длины 2г, ортогональный с z(RP^) центром в точке х, где s — достаточно мало. Поскольку i — гладкое отображение, то полученыи пучок ортогональных отрезков можно доопредилить и в каждой точке самопересечения. При этом в каждой точке получится ровно столько отрезков, какова кратность точки. Рассмотрим в R^ множество, состоящее из концов всех ортогональных отрезков. Доказать, что это — образ двумерной сферы при некотором гладком погружении в R^. 35.16. Доказать, что всякий конечный симплициальный комплекс является подкомплексом симплекса достаточно больпюй размерности. В частности, он может быть вложен в евклидово пространство так, что вложение линейно на каждом симпликсе. 35.17. Пусть /: М^ -^ 5^ — отображение класса С^ замкнутого гладкого компактного многообразия М^ на 5^, причем / открыто (образ любого открытого множества открыт) и конечно-кратко (прообраз каждой точки X £ S'^ есть конечное число точек). Доказать, что М^ — диффеоморфно сфере §^. Что можно сказать об аналогичном отображении /: М" -^ 5"? 35.18. Построить такое погружение листа Мёбиуса в трехмерное евклидово пространство, чтобы его граничная окружность была стандартно вложена в двумерную евклидову плоскость. 35.19. Группа 50C) естественным образом вкладывается в евклидово пространство R^ (каждый элемент из 50C) — это вещественная матрица 3x3). Доказать, что в действительности 50C) С 5^ С R^, где S^ — стандартно вложенная в R^ сфера радиуса 3. Пусть X — топологическое пространство. Через ехрХ обозначим множество всех непустых замкнутых подмножеств пространства X. Для от- 236
крытых множеств Ui,. . . ,Uk С X положим 0{Ui,...,Uk) = {FeexpX \Fcul^^Ui, ЕППгф^Щ. 35.20. Доказать, что множества вида 0{Ui,. . ., Uk) образуют базу некоторой топологии. Эта топология называется топологией Въеториса, а множество ехрХ, наделенное топологией Вьеториса, называется гиперпространством (замкнутых множеств) пространства X. 35.21. Пусть X есть Ti-пространство. Доказать, что тождественное вложение X С ехрХ, переводящее точку х в множество {х}, является топологическим. 35.22. Пусть X есть Ti-пространство. Тогда X регулярно в том и только том случае, когда ехрХ хаусдорфово. 35.23. Доказать, что для Ti-пространства X следующие условия эквивалентны: а) X нормально; б) ехрХ вполне регулярно; в) ехрХ регулярно. Пусть п — натуральное число. Обозначим через ехр^ X множество всех непустых замкнутых подмножеств X, состоящих из не более чем п точек. Будем считать тождественное вложение ехр^ X С ехрХ топологическим, т.е. наделим ехр^ X топологией Вьеториса. 35.24. Доказать, что если X хаусдорфово, то ехр^ X замкнуто в ехр X. 35.25. Доказать, что если X является Ti-пространством и ехр^^ X замкнуто в ехр2 X, то X хаусдорфово. Обозначим через 7Г„:Х" -^ ехр^ X отображение, переводящее точку [xi,. . ., Хп) G X" в множество {xi,. . . ^х^} ее координат (предполагается, что X является Ti-пространством). 35.26. Доказать, что отображение тг^ непрерывно. Более того, оно факторно, т. е. множество V С ехр^ X открыто тогда и только тогда, когда 7г~^(У) открыто. Таким образом, гиперпространство ехр^ X получается из п-ож степени пространства X посредством факторизации, определяемой следующим OTHonienneM эквивалентности: точка [xi,. . . ,Хп) эквивалентна точке [xi,. . ., х!^) тогда и только тогда, когда множества {xi,. . ., Хп} и {х[^ • • • J ^п) совпадают. Это является основанием того, что гиперпространство ехр^ X называется гиперсимметрической п-ой степенью пространства X. 237
Наряду с только что описанным отноп1ением эквивалентности на произведении Х^ естественным образом возникают и другие симметрии. На Х^ действует свободная группа Sn как группа перестановок координат. Более общим образом, пусть G — подгруппа группы Sn- Определим на Х^ OTHonienne эквивалентности ^g следующим образом: [xi,. . ., Хп) ~g [xi,. . ., х!^) тогда и только тогда, когда существует подстановка сг £ G, для которой Xi = 3!^/-ч. Фактор-пространство Х^/О обозначается SPqX и называется G- симметрической степенью пространства X. Если О = {е}, то SP^X = X". Если G = S'n, то SPqX обозначается через SP^X и называется симметрической п-степенью пространства X. Естественную проекцию Х^ -^ Х^ /G будем обозначать через тг^. Если G = 5n,To^- =^-. 35.27. Доказать, что если G' С G, то существует единственное отображение t^'^iq'- SPqiX -^ SPqX, удовлетворяющее условию ^G'G "^ ^G' - ^G' 35.28. Доказать, что отображение тг^ открыто и замкнуто. 35.29. Доказать, что отображение тг^,/^ открыто и замкнуто. Поскольку OTHonienne гиперсимметричности сильнее отноп1ения симметричности, существует единственное отображение qn•.SP''X^eщ>^X такое, что 35.30. Доказать, что отображение q^ факторно. Вернемся к гиперпространствам. Компактом будем называть бикомпактное хаусдорфово пространство. 35.31. Доказать, что если X — компакт, то ехрХ — также компакт. 35.32. Доказать, что если X — компакт, то ехр^ X — также компакт. 35.33. Доказать, что если X — компакт, то SPqX — компакт. 35.34. Доказать, что в определении топологии Вьеториса (в случае компактного X) в качестве базисных множеств можно брать множества 238
вида 0{Ui,. . . ,Uk), где Ui,. . . ,Uk пробегают некоторую базу пространства X. Через wX будем обозначать вес пространства X, т.е. наименьп1ую из мощностей баз пространства X. 35.35. Доказать, что если X — бесконечный компакт, то wX = W ехр X = W ехр^ X = wSPqX. Пусть {X, р) — ограниченное метрическое пространство. Через рн обозначим следующую функцию расстояния на ехрХ: Ph{FuF2) = inf{e > О I Fi С 0.^2, Fs С O.Fi}, где ОеЛ обозначает открытый e-niap вокруг множества Л. 35.36. Доказать, что функция рн является метрикой на множестве ехрХ, совпадающей с метрикой р на X = ехр^^ X. Функция Рн называется метрикой Хаусдорфа, порожденной метрикой Р- 35.37. Доказать, что метрика Хаусдорфа на ехр^ X порождает топологию Вьеториса. 35.38. Доказать, что если пространство X метризуемо, то SPqX также метризуемо. 35.39. Доказать, что если {Х,р) — метрический компакт, то метрика Хаусдорфа на ехр X порождает топологию Вьеториса. 35.40. Доказать, что если X — метризуемый компакт, то ехрХ, ехр^ X, SPqX также являются метризуемыми компактами. Через Н^ обозначим п-мерное замкнутое полупространство R", т.е. Н^ = {х \ xi > 0]. Через Х{п) обозначим циклическую п-степень пространства X, т.е. Х{п) = SPJi X, где Ъп — свободная циклическая подгруппа Sn с образующей 1 2 ... п п 1 ... п — \ в задачах ??-?? установить гомеоморфность топологических пространств: 239
35.41. ехрз/ ^ Р. 35.42. ехрзЯ^ ?d Я^. 35.43. ехрзКр^Я^. 35.44. ехр2 5^ гомеоморфно листу Мебиуса. 35.45. /C) ^ Р. 35.46. SP^{I) ^Р. 35.47. ехрз(/) ^Р. 35.48. Я1C) Р^Я^. 35.49. SP^{H^) ^ Н^. 35.50. ехрз(Я1) ?d Я^. 35.51. RC) ^ ВР 35.52. S'P^(R) ?d Я^. 35.53. ехрз(К) ^ R^. 35.54. Доказать, что пространство ехрзE'^) односвязно. 35.55. Доказать, что пространство SP^{S-^) неодносвязно. 35.56. Доказать, что пространство 5^C) неодносвязно. В задачах ??-?? установить гомеоморфность топологических пространств: 35.57. S\3)^S^ х52. 35.58. SP^{S^)^S^ хР. 35.59. ехрзE'^) ^ S^. 35.60. ехр4/г^ R'*. 35.61. ехр4 / не является топологическим многообразием. 35.62. .SP^/Pd/", 77 > 4. 35.63. SP^'H^ Р^Я", 77 > 4. 35.64. S'P"R?dЯ", 77 > 4. 35.65. gpngl S-^ \х\ I^ -^j n четно ^1 у, jn-i ^ нечетно. Здесь через 5^ ixi /"-^ обозначено единственное нетривиальное раслоение над 5^ со слоем /"~^. 35.66. Доказать, что пространство МD) не является топологическим многообразием ни для какого топологического многообразия М. 35.67. Показать, что пространство ехрз М^ не является топологическим многообразием. В задачах ??-?? установить гомеоморфность топологических пространств: 35.68. SP^'P Р^Я". 35.69. SP^'H'^ ^ Я2". 35.70. .SP^R^ PdR2". 240
35.71. SP^'S'^ ^ CP". 35.72. S'P"(R2\{0}) 35.73. SP^'ls^ xl) ^ =.(R2\{0}) S^ X /2^-1. X R' 2n-2 241
Ответы и указания. 242
?? a) xi = aiUicosu2 , X2 = a2Uismu2] b) См. рис. ??. с) aia2ifi, Ф=5я/6 Ф=я r=4 qi=0 -x/Z Рис. 87. Полярная система координат, cci = «2 = 1 243
?? a) xi = cos 1*2 ch 1*1, X2 = sin 1*2 sh 1*1; b) См. рис. ??. с) sh ui + sin^if2, -Г2 r^-^— U2 =я/2 U2 = Я iTL/6 1 5TL/6 U2 = 2я/3 U2 = -2 rTL/Ъ у Un U2 =Я/3 \ ui = 2 \ = 1.5] U2 =-Я/3 U2 = и/6 Ui = 2.5 U2 = 0 X U2 = -я/б U2 = -Я/2 Рис. 88. Эллиптическая система координат ?? а) xi = ul- и\, Х2 = 21/11/2; Ь) См. рис. ??. с) 4(i/? + i/|), ^фр^ iul^ulY 244
ui = 2 Ui = l Рис. 89. Парс1болическая система координат ?? а) X, = JSi^^ffcj^, Х2 = ,,,:^„,; Ь) См. рис. ??. с) (,,,„^j,,„^)., (cos 1*2 + ch i^i)^. 245
Рис. 90. Биполярная система координат ?? а) xi = ul- 3uiul, Х2 = 3ulu2 - и^; с) 9{и1 + i/|)^ ^^-^1-^. ?? а) aia2Ui, ^^^;Ъ) нет. ? а) a^a2asulsmu2, .^...^^.^m.. ^ b) н^^' ?? 246
?? a) {Ui - U2){U3 - Ui){u2 - Us) 3 П K-wj) 3 П K-wj) {Ui - U2){U3 - Ui){u2 - из) b) да. ?? a) ulu2 + i/ii/b .^.,+.^.,; b) да. ?? a)shl/isini/2(sh'^i+sin2|/2), sh.,sm..(sh^.,+sm^..);b) Да. ) , 1 ''' chui sin U2(sh^ ui+cos^ ^2) ?? a) chifi sinif2(sh i/i + cos^ 1*2), -т. ■■ r^ i 2—r; b) да. 77 \ shtfi (ch^i-CQS^2) . a (chui —cos и2)"^ ' shui b) да. ?? лЛ7^^^|^. Область определения: у > 0] область значения: v > 0. ди . Ь) rcos2^|^-sin2^f^; а) A) 9^У _L 1 Э^^ I 1 дУ ) Qj.2 ~Г ^2 ^(^2 ~Г ^ ^^ • ?? _4г/2 ^^^ г/ - О УЛ ^^^ I 1. g^^ I 1 a^y I ctg^ ay I 2 ay uj ^^2 -h ^2 a^2 "Г r^sin^^ а^2 "Г г2 a^ "Г Г ar ?? ди^ дх'^ ди ду'^ dv дхду ди dv дх ди'^ ду dvdu d^_d^di2 9^(91^2 ^d^didi 5V5V дУ ff'f dv'^ dx'^ dv dy'^ du dxdy du dv dx dv'^ dy dudv du'^ dv'^ 77 9^y _L 1 d^V I d^V I 1 dV Qj.2 T J.2 Q^p2 T Q^2 ^ f Qf ?? Указание: воспользоваться формулами du du sin^ du ax op p a<f 247
?? ?? ди ди . cos <р ди ду др р d<f^ dv dv sin ^ dv ox op p o<p dv dv . sin <p dv dy dp p d<f 1 (d^V I d^V\ а^2 / 248
?? г = а<р. ?? г = гое^^, где ^ = ujt. ?? X — at — dsin/, у — а — ■ d cos / ?? a: = (^ + r)cosg-rcosi^J^, i/ = (^B.-\- r) sin ^ — У' sin *^ - ^ ?? X — [R — mR) cos m/ + mRcos{t — mt), у = (Я — ттгЯ) sin mt — mRsm{t — mt)^ m — r/R. ?? Уравнение искомой кривой r[i) = fi{t)a-\-b , где b — постоянный вектор, //(/) — первообразная для функции А(/), с < t< d. Геометрически возможны следующие случаи: прямая, коллинеарная Й, если f \{i) di расходится при i — еж при i — d] луч, имеющий направление вектора а, если /^ Л(/) di сходится при t = с, но расходится при i — d] луч, имеющий направление вектора —а, если J Л(/) di расходится при / = с, но сходится при i — d] открытый отрезок, кол л пне арный а, если J \{i) di сходится. ?? Уравнение искомой кривой r{i) = -а + /6 + с, где бис — произвольные постоянные векторы. Если 6 ^^ О, то это уравнение (при фиксированных 6, с) задает параболу с осью, имеющей направление вектора а. Если 6 = О, то получим дважды взятый луч, параллельный а. ?? а) Ir'pir' X ар; Ь) —(г',а)|г' х ар. ?? г'=(^', ^+/^0^ ^"=(^", 2^4/^")^ |f'xf''|=2^'^-^^''. Данное уравнение определяет прямую тогда и только тогда, когда 2^' — ^^'' = 0. Реп1ая это уравнение, находим <р — l/(ai + 6), где а ж b — константы. ?? Здесь через г будем обозначать длину вектора г. Пусть вектор ё определяется формулой г = re. Тогда j- = rV+ г^. Так как ё* = (cos ^, sin ^), то ^ = (— sin ^, cos ^), т. е. ^ получается из е поворотом на угол 7г/2. Обозначим вектор, получающийся из ё* поворотом на угол 7г/2, 249
через /. Следовательно, -f- — т'е-\- rf. Далее, dip dr (Pr Полагая г' = u;, находим г"е + 2г'/- re^ (г" - г)е + 2г'/ г г г'' - г 2г' = 2г' - гг^' + г^ = О d<p dr dr 2u;^ -u;r^ + r^ = 0 , dr 2uj' jduj + 1 = 0 Положим u;^ = p, У'^ = q, тогда dp/dq = 2p/q + 1. Реп1ая это уравнение, найдем р = ag^ — q или u;^ = ar'^ — г^, г' = r\/ar^ — 1. Производя здесь подстановку 1/г = <J, легко получаем 1 Сх sin(^ + Сз) , где Gi, G2 — произвольные числа. ?? а) Рассмотрим вектор r{f) х г'(/). Его производная равняется r{f) х r^^{t). Согласно второму закону Ньютона F = mf^^{t), где m — масса материальной точки М. Отсюда ^mt) X r'{t)) = т X ^. at ттг По условию F = Fr, и следовательно, -^{r{t) х г'(/)) = 0. Таким образом, вектор f{t) X г'(/) — постоянный. Тем самым, движение материальной точки М происходит в неподвижной плоскости, ортогональной вектору r{t) X r'{t). b) ^' (^ + ^) = -^. ^ = 1/?^, с = const. c) Обозначим постоянный вектор f{t) х г'(/) через а. Здесь через г обозначена длина вектора г. Имеем ах г'' — ах ^ — —\а х г — = \{гх г') X Г— —к- 250
Итак, интегрируя, получаем -- а X г + /?- di\ г а X г -\- к- = о = const г Скалярно умножая обе части этого равенства на г и замечая, что {а х г', г) = (а, г^ X г) = — |ар, имеем — |ар + кг = (^j^- Напомним, что движение происходит в фиксированной плоскости, перпендикулярной вектору а (так как из соотноп1ения г х г^ — а следует (а, г) = 0). Введем в этой плоскости полярную систему координат, совмещая ее начало координат с началом радиус-векторов и направляя полярную ось по вектору Ь. Получим —о? -\- кг — 6rcos^, откуда г = о?/{к — bcos^) — кривая второго порядка. Отсюда, в частности, следует, что вектор b направлен по оси найденной кривой второго порядка. ?? Окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через начало радиус-векторов коллинеарно вектору cJ, а плоскости этих окружностей перпендикулярны к указанной прямой. ?? Прямые, по которым пересекаются плоскости, перпендикулярные вектору ё, с плоскостями, проходящими через прямую, проведенную через начало координат коллинеарно вектору е. ?? Введем декартову прямоугольную систему координат, располагая ось Oz коллинеарно вектору е. Тогда аё-\- ех г — —уг + xj + ае^ и данное дифференциальное уравнение принимает следующий вид: х^ — —у^ у^ — х^ z^ — а. Пз соотноп1ений х^ — —у, i/ = х находим х'^ + у^ — Ci — семейство круглых цилиндров, оси которых совпадают с прямой, проходящей через начало радиус-векторов коллинеарно вектору е. Далее: dx dz 2 , 2 X +У _У а ( dy X dz а X dy — y dx / откуда X dy — y dx _ dz ~ —^ =dz , z-\-C2 = a arctg | — семейство прямых геликоидов, для которых осью является упомянутая Bbinie ось цилиндров. Интегральные линии — винтовые. Наконец, z = at -\- Сз- Из полученных соотноп1ений легко выразить х,у, z через /. 251
?? Окружности, касающиеся оси Oz (коллинеарной вектору е) в начале координат. ?? 7г/4 и 7г/2. ?? arctg3. ?? a) S = /(f ^/iT^dx = f(е^/^ - е-^/^); b) . = /,^ vTTT^d.. = ^ [D + 9.:)^/^ - 8]; c) S = J^л/lTy^dx = = |7ГТ4^+^1пB-а: + 7ГТ4^; d) s = /"vTT7^fi^ = = ТГТ^ + In ^ffi - V2 - ln( V2 - 1); e) s = Jq^ Y^r^ + [dr/dip)'^ dip = 4a sin ^; f) s = /q* л/а!'2 _^ ^/2 ^^ = 4^ A _ cos I); h) s = /q л/а!'^ + :у'^^/ = ^ sin |; i) S = /q* л/а!'2 _^ ^/2 ^^ ^ ^ g-^2 ^. j)^ = /oVl + ^^'^^ = = уГТ^+11п^Щ-У2-1п(У2-1); к) s = /^*^2 V^^'^H/^dt = aln(sin/). ?? f{u, v) = ((a + 6 cos v) cos i/ , (a + 6 cos v) sin i/ , 6 sin г') . ?? Пусть в начальный момент движущаяся прямая совпадает с осью Ох, вторая прямая, о которой говорится в условии — с осью Oz. Тогда уравнение прямого геликоида имеет вид г = (г^ cos и , V sin и , ки) ; здесь г^ — расстояние от точки геликоида до его оси (ось 0Z), и — долгота точки. ?? г = (г^ , а cos г* ch ^ , а sin г* ch ^), где и — долгота, v — ориентированное расстояние от точки поверхности до горлового сечения катеноида. ?? г= (alntg(^ + |j —а sin / , а cos / cos и , а cos / sin и) . ?? Пусть X = [а -\- Я cos 0) cos ^, у = (а + Я cos 6*) sin ^, z = Я sin 6* — параметрическое представление тора. Здесь R — радиус меридина, то есть вращаемой окружности, а > R — расстояние центра меридиана от оси вращения, идущей вдоль Oz. Пары точек, в которых кривизна тора 252
отрицательна (в точках К > О касательная плоскость не пересекается с тором) и нормали к тору параллельны, имеют внутренние координаты (s^Oj (^о) и (^0 + 7Г, 7Г + б^о) с COS 6*0 = — — • Для получения этих точек нужно воспользоваться тем, что эта касательная плоскость пересекает плоскость xOz по прямой, касающейся двух диаметрально противоположных меридианов тора. Дальп1е прямыми вычислениями получаем, что касательная плоскость имеет уравнение —R[x cos <ро-\-у sin ^о) + л/а^ — Юг = О, а пересечение этой плоскости с тором дает кривую с уравнением X л/а? — Ю sin 9 cos ^о Т (ее cos <р -\- R) sin ^о j у — л/а? — Ю sin 9 sin ^о =Ь (а cos ip -\- R) sin ^о ? Z — Rsin9. Остается найти радиус окружности. 253
?? Уравнение сферы единичного радиуса х^ + :у2 + z2 = 1. Z - ±у/1 -Х^- :у2, г(а:, I/) = [х, у, ±\/1- х^- у^). При любом выборе знака координаты z г; = A,0, , -^ ), Отсюда^гц = (г^, г^) = 1 + 1_Х^2 = гг^^, 5^12 = 5^21 = (?^^, ?^у) = ти^гр, ij Zi Zi 1 т* '^J ,2 _ (l-^^)rfa:^+2a;^rfa;rf^ + (l-a;^)rf^^ "^ — 1_я;2_у2 b) Рассмотрим следующую параметризацию сферы: X — sin 6* sin ^ i/ = sin д cos ^ z = cos д Отсюдаг = (^((9, s^), i/((9, ^),z{B, ^)), r^ = (cos д sin ^, cos 6* cos ^, — sin 6*), r' = (sin 6* cos ^, — sin 6* sin ^), 5^11 = (r'^,r'^) = 1, 5^12 = 5^21 = [т'^У^) = 0, ^22 = (r;,r;) = sin2(^), ds2 = ^6^2 + sin^ 6» V c) ^^2_i(c?^!±M ,2A2 ?? (l + a!2_^i/2) 2_ 4(dr^ + r^V) ^^ - A + г2J 2 4:dzdz 254
b) V -x^ -y^ ^l ds^ = dx'^ + dy'^ - dz'^ J 2 _ (x^-l)dx^+2xydxdy+(y^-l)dy^ r= {x,y,z) 3! = sh X cos ^ y = shxsm<f ds^ — dx^ + sh^ X^S^^ d) e) f) ds ds Aidx'^-\-dy'^) {1 — x'^ — y^Y' A-г2J 4dzdz ds^ ds' A-ZZJ dzdz [Imz) ?? Указание. Докажите более общее утверждение — о совпадении углов в метриках ds'^ = dx'^ + dy'^ и dP = G(a!, y)(dx'^ + di/^) . ?? a) Будем peniaTb задачу в модели Пуанкаре. Воспользуемся результатами пункта d) задачи ??. R г j г In |1 + ^| = 1п 1 + г откуда /'27Г .я е^ + 1 4^2 Г2) 2А2 /'27Г 2г ■ d^ = 47Г- рт+т 255
e^R- 1 27Г ^ ^ =27Г8ЬЯ 2e^ f^r /'27Г d/ 27Г „2 1-t 1 — r 2 4e^ 2 b) / = 27Г8тЯ , S = 27rsin^ f ?? a) Выведем формулу расстояния для точек @,i/i) , @,1/2) ^^ ^'^ 1„ 1_1 1У2 1„ ^2 Inf = Inf 3' - у у ~ 1 Ответ: (О, л/3) с) Используя соображения симметрии, заключаем, что прямая х = О пересекает naniy окружность по диаметру. Осталось найти середину этого диаметра: 4 .,.„ о „___.„. .Г2 О „___.„ ^^2- Г1 ■ dr — 2 arctg г|^^ =2 arctg ■ A + Г2J ^ '^1 ^ 1 + Г1Г2 2 arctg ^ = 2 arctg ^ -г^ + Зг-г + З = Зг^-Зг+г-! 4г2 - 4г + 4 =0 = ^ Центр окружности имеет координаты : (О, ^ ^ )• ?? а) Воспользуемся тем, что в данной модели прямыми являются полуокружности с центром на действительной прямой. 256
/ 2x-\-4y-3 = 0, x = -2y-\-3/2 0,5 rj .0,5 0 5 10,3 и J о 0,3 V y^ у In 2^ = In^ n 0,3 Mr. yo ~ 0,3 yl = 0,5x0,3 = 0,15 У0 = лДЩ Ответ:(-2л/з720 + 3/2; л/з/М). b) Указание: найти прообразы данных точек при стереографической проекции, после чего воспользоваться тем, что на сфере прямыми являются больп1ие дуги. ?? Пусть углы треугольника равны а, /? и 7- а) б'д = тг -\- а -\- /3 -\- j; b) б'д = 7Г — о; — /? — 7- ?? а) при 77 > 2; Ь) при п > 4. ?? Указание. Воспользоваться геометрическим критерием существования описанной окружности для четырехугольника и выражением для аргумента частного двух комплексных чисел. ?? Указание. Воспользоваться формулой синусов и выражениями для длины окружности из задачи ??. ?? а) Пусть i/i = О Л, у2 = ОВ. Тогда 105 ГУ2 р- Р{АВ)= J-dy^lnlyWll^ln ол Ъ) Пусть О и Oi — точки пересечения вещественной оси с полуокружностью, проходящей через Л ж В ж лежащей на вещественной оси как на диаметре, причем Oi лежит левее О . Проведя инверсию / с центром в Oi и радиусом OOi мы отобразим naniy окружность на вертикальную прямую, причем ординаты образов Л ж В при этом будут равны tg о; и tg /3; далее воспользуемся результатом пункта а) и тем, что / — движение метрики плоскости Лобачевского. ?? а) Да, верно. Ь) Пет, неверно. Рассмотрим в модели в верхней полуплоскости точки 1 + г, 1 —г, 2г. Тогда с одной стороны, мы знаем что в данной модели окружности в метрике Лобачевского совпадают с "обычными"; с другой стороны, окружность, проходящая через рассматриваемые три точки имеет "точку касания" на абсолюте и, следовательно, не является окружностью в смысле метрики плоскости Лобачевского. 257
?? Например, можно рассмотреть в модели на верхней полуплоскости прямые Rez = Onzz = ln точку 5 + г вместе с пучком прямых, проходящих через нее. ?? а) Пусть а — сторона правильного п1естиугольника, а Я — радиус описанной около него окружности. Тогда по задаче ?? ch а = сЪ. R — cos тг/З sh R 2cha = 2сЬ^Я-8Ь^Я= 1 + сЬ^Я а > R Ь) Penienne аналогично пункту а). Ответ: а < R. ?? а) Ясно, что центр окружности лежит на прямой х = —1. Пусть он имеет координаты (—1, 4 + а). Так как расстояние от центра окружности до точек (—1,4) и (—1, 6) должны быть равны, то получаем уравнение 4 + а 4 PeniHM его: D + аJ = 20,а = 2л/5-4. Таким образом, центр окружности имеет координаты (—1,2л/5)- Отсюда легко найти радиус окружности в смысле метрики Лобачевского. Остается воспользоваться задачей ??. 258
?? a)l; d) 4acos((/?/2) g) 3a| sint cost| ■ 1 4asin(t/2) 77 _^ • • 52 mod xy F. ?? i. — ■ 77 . - \р{ЯШ-РШ)Мр'^-Я • • ^ — (P2+Q2K/2 ??r(s)= Lcos^7=^, asm 5s Va2+52 ' л/а2+52 ?? r(.) = (^ cos (in ^) , ^ sm (in ^ V3 ?? 1) A- -^ K = " 3e" ?? A- 4/2 - (e<+e-<)i 1^ 3e 1 .._1 К — — - ^- 1 b) к (еЧе-^J d) /? = К = 3(^^2 + 1^2 e) /? = 25 smt cost' 2t 3 К = 2t (l+2t^)^ 4 25 sin t cos t ■ Уб К ?? A-= л/6/9, /^= ^. ?? к = у+г + (у'г"-у"г'J' 6 = _ (г//^ - г/'z' , -z" , xf) ?? л/ГТТ^Т^ ' у^у"Ч2"Ч(?/г"-у"г'J ' {-z'z" - у'у" , у" - z'jy'z" - y"z') , z" + y'jy'z" - y"z')) ~ y/^z'z"+y'y")^ + [y"-z'{y'z"-y"z')Y + [z"+y'{y'z"-z'y")Y a) R^ + 4s^ - 6as = 0; 259
4 + 9 36Л'' d) Параметрические натургшьные уравнения: e) Я = a + s^/a; f) Параметрические натуральные уравнения: A + 0^2K/2 g) Я^ + а^ = а^е-^^/^ h) «2 + 9^2 = 16^2; i) Я^ = 2as. A + е2^)з/2 ?? г^ = _ Bt , -1 , 3t^) п = (-3t, -3t^, 1). Vl+9t2+9t4 ' ?? 2A+9/49/^)'/' A+4/2+9/4K/2 /7 Ar (l-9t^, 2t+9t^ , 3t+6t^) _ 3 6 a2 + 62 ' a2 + 62 ^ b) при h = a Va2+t>2 C) У = ^ a sin i , a cos t, b), n = {— cos i , — sin t , 0), ^ Fsin^ , —6cost, a); 6 = 6 = ?? a) r = Ce'''— логарифмическая спираль; b) ^W = f (^«ini^+ ^smi^), K^) = f(-^-sn^-^cosi^); c) r(s) = [ jQ*cos(s2/2a2) ds , jQ*sin(s2/2a2) ds J — клотида; d) x{t) = aln(tg I + I j y{t) = ^ ^ ценная линия; e) r(/) = (a (cos/ +/sin/), a (sin/ —/cos/)) — эвольвента окружности. ?? cos a, где r, у? — полярные координаты. 260
?? p = I (г, 77I. Предположим, что (г, п) > 0; тогда р— т. Отсюда — = (г, 77) + (г, п) = -А'(г, г') = -(г, т'). Заметим, что (г, г) = /^. Отсюда (г, г) = 2//. Таким образом, — = -/—/ откуда и получается требуемое cooTHonienne. ?? Уравнение соприкасающейся окружности запип1ем в виде (р — го — ^о?^о)^ = ^0- Отсюда (р-Го, я-Го) -2Яо(по,я-Го) = 0. Рассмотрим функцию <p[s) = {г -го,г- Го) - 2Яо(по, г - Го). Имеем: ^'(s) = 2(г - Го, v) - 2Ro{no,v) , ^''(s) = 2 + 2А'G7, г - го) - 2Rok{no, п) , ^'''(s) = 2А'G7, г - го) - 2e{v, г-го)- 2Rok{no, п) + 2RoP{no,v) . Таким образом, ^'{so) =0, ^"Ы =0, ^'"(so) = -2Roko ф О , и, значит, yj(s) меняет знак при переходе s через sq, что и докс13ывс1ет утверждение. ?? См. решение задачи ??. Имеем ^'(so) = ^"(so) = s^'"(so) = о , ^('*)(s) = 2kn{r — Го) — 2kkv{r — го) — 4kkv{r — го) — -2k^n{r - Го) - 2^2 - 2Ronokn + 2Ronokkv-\- -\-4Ronokkv + 2Ronok^n , ^D) (so) = -2A?2 _ 2Я0А0 + 2A?2 = _2Яо^о ^ 0 ; значит, степень точки кривой относительно соприкасающейся окружности не меняет знака при переходе через sq. 261
X = I f{a) cos ada , У = I f{(^) sin a da . b)e = i, f(^)f = i, ds = Rf{R)dR, x= f Rf{R) cos(/(^)) dR, y= f Rf{R) sin(/(^)) dR . c) 3! = J /'(a) COS a do; , У — ^ f{^) ^i^ '^ ^'^ • d) a: = /cos(/(s)) ds , у — /sin(/(s)) ds . ?? Выбирая соответствующим образом систему координат, запип1ем уравнения кривой Вивиани в виде 2,2,2 2 / ^\ . 2 ^ X +у +Z ^а , \^~ 2) +^^Т' Для составления параметрических уравнений положим а а а . X — — = — cos / , у — — sm / . 2 2 ' ^ 2 Тогда ^A + cos/)^ + ^sin^/ + z^ = а^. Отсюда z — а sin | (знак можно опустить, так как, если к / прибавить 27г, то а! и i/ не изменятся, а z изменит знак). Итак: fa а . • ^\ г= [^-A + cos/), -sm/, asm-J . Касательная: г— ( |A + cos/) — Asin/, | sin/+ Л cos/, asin| + Acos 1). Нормальная плоскость: a! sin/ — у cost — zcos | = 0. Бинормаль: r= f |(l+cos/)+AB+cos/)sin I , | sin/—A(l+cos/) cos | , asin| + 2AJ. Главная нормаль: г= (|A + cos/) — ABcos/+ A + cos/) cos^ |j , I sin/ — |-F + cos/) sin/ , a sin | — A sin | J. Соприкасающаяся плоскость: x{2 + cos/) sin |- -iy(l + cos/) cos | + 2z - |E + cos/) sin | = 0. ?? г = г' , г = A'77, г*** = —A'^i' + kn + А'кб. ?? en = G , e{-kv + /^6) = 0 , ег; - f е6 = 0 , епА '2 Д-2 + к2 = ( — ) е6 —en = О , eh — С \к J к 262
Дифференцируя еще раз, получаем требуемое cooTHonienne. Отметим, что в силу приведенных вып1е соотноп1ений можно считать, что е = - • -—— г' + 77 + -—-- Ъ . Если выполнено cooTHonienne ^2 + /^ = 0 то этот вектор постоянный. Этот постоянный вектор е образует с вектором п угол, косинус которого равен 1/|е| = const. ?? ег^ = О , ken — О ; отсюда или к — {) (прямая линия) или етг = О ; если еп — О, то e{—kv -\- кЬ) = О, откуда к = О (линия плоская). ?? е6 = О , кеп = О ; отсюда к = О, так как если бы было к ^^ О, то 677 = О ,e{—kv + к6) = О ,А'ег^ = О, но ev ф О, значит, А = О — прямая линия. ?? 6 = -/^77 = О , /^ = 0. 263
?? a) r^(cos^ vdu'^ + dv'^) ; (a^ sin^ и -\- P cos^ If) cos^ i' du'^-\- +2(a^ — 6^) sin и cos if sin г' cos г' du dv-\- + ((a^ cos^ u-\- P sin^ If) sin^ v + c^ cos^ i^) dv'^; c) г;^ (a^ sin^ и-\-P cos^ if) (iif^+ +2F^ — a^) sin If cos if dif dv-\- + (a^ cos^ If + 6^ sin^ If + c^) dv'^. ?? a) ds2_^2i;e dsdA + dA^ ; b) i;^ ds^ + 2iJ i;p ds dv + p^ di^^; c) Cv-\-X^) di^-\-2evdsdX-\-dy^; d) (A — к cos^)^ + K^) ds^ + 2hidsdip-\- dip'^; e) ^2^i/2^(^'' + V''')f^^^'; f) (a + 6 cos 1^)^ dif^ + P dv'^; g) (i;2 + A'2)d'u2 + di;2; h) (A-ЛА'J+/^2д2^^^2^^д2. i) A + Л2/^2)^^2^^д2^ . . cos G - -^_^^2 . ?? i; = ± ( лЛ^ТТ + ^ In ^^-Л + const. ?? iJ = tg 6* • ln(if + л/и'^ — a^) + const. ?? Два семейства кривых: a) y^ -\- z^ — const, xy — az; b) 3!^ + z^ = const, xy = az. ?? Пусть уравнение сферы имеет вид: г = (а cos V cos If , а cos i; sin if , a sin i;) . Уравнение локсодромии: ^ п Г /тг 1^ i/ = tg^.ln[tg(^- + - где 6* — данный угол, i^ = cos6'(—sin i^cosif — siniftg6', — sin i; sin if + cos If tg 6*, cos »). / ,cos^ (-COS I/COS i; + tgi;sini/tg(9 - ^tg^O, sin If cos i; — ^^ tg^ 6* — tg 1^ tg 6* cos If , — sin v 264
( Ml.) sm и , — cos и , —^— \ ' ' cos V I у cos^ V A^ = ^^/l+^s'^ _ tg^ a V ' cos^ г^ ' a{cos'^ V-\-tg^ в) ?? a) Кривые и = av'^/2, и = —av^jl и г^ = 1 пересекаются в точках Л (|/=0 , г;=0) , 5(|/=а/2, г;=1), G (i/=-a/2 , г;=1) . При этом дифференциалы криволинейных координат на этих кривых связаны следующими соотноп1ениями: du — av dvdu — —av dvdv — 0 на кривой AB (уравнение и — av^/2) ; на кривой АС (уравнение и — —av^/2) ; на кривой ВС (уравнение v = 1) . Подставляя эти соотноп1ения в первую квадратичную форму, получаем: на кривой АВ ds^ — a^i'^-\-v'^-\-l\ dv'^ , ds = (^+l) dv ; на кривой AC ds^ = a^ ( ^+t^Hl) dv^ , ds ^ {^^Vj dv ] на кривой ВС ds^ — dv? , ds — du . Остается взять интеграл в пределах, определяемых координатами точек Л, 5, С: r^V/;2 \ 1а ru=al2 АВ=АС = а (-- + 1Ыг;=-г, G5=/ du = а . Jv=0 V 2 У 6 Ju = -a/2 Итак, периметр треугольника равен ^. Ь) со8у1=1, cos 5= cos G=1, т. е. у1=0, 5=G= arccos |. cM = a2(|-^ + ln(l + V2)). ?? а) (i;2+sh^;o)/4; b) г'о, shi'o, \/2sht'o; c) 7г/2, 7г/4, 7г/4. ?? 5 = 2аВ?^ где Я — радиус сферы. ?? 47г2гЯ 265
?? R{u, ^) = (л/Гн-^ cos ^ , л/Гн-^ sin ^ , или Я(г, ^) = (ch z cos ^ , ch z sin ^ , z) . Это катеноид (поверхность вращения цепной линии а! = chz). ?? Указание: первое уравнение, определяющее соответствие точек, имеет вид г^ = р^ + а^. ?? Указание: взять уравнение конической поверхности в виде г = ve{u), где |е(г*)| = 1, и сравнить ее первую квадратичную форму с квадратичной формой плоскости в полярных координатах. 266
?? a) Имеем: Ги = (—Я sin г* COS г^,—Я sin г* sin г^, Я COS If), Гу = (—^cosifsiniJ, ^cos ifcostJ, 0), Ги X Гу = [—R^ cos^ и COS г^, —R^ cos^ и sin г^, —R^ cos и sin if), \гу^ X Гу\ — Я^ cos If, 77 = Л"^^^| = (— COS If COS v^ — COS If siu v^ — siu If), r^u — (—я COS If COS г^, —я COS If sin iJ, —я sin If), r^^ = (Яsinгf siniJ, — Яsinгf costJ, 0), Гуу — (—я COS If COS г^, —я COS If sin г^, 0), L — {гии, '^) = Я(cos^ и cos^ iJ + cos^ и sin^ г^ + sin^ if) = Я M = (r^iv, n) = Я(— cos и cos 1^ sin if sin i; + (— cos if sin i;) (— sin if cos i;) = 0, TV = [гуу, n) = Я((— cos If cos i;) (— cos if cos i^) + (— cos If sin i;) (— cos if sin i;)) Яcos^ If Ответ: RdPu-l- Яcos^ if dPv b) Имеем: Ги — (—a sin If COS i;,—a sin If sin 1^, С COS If), Гу — {—a cos If sin i;, a cos if cos i^ 0), Ги X Гу = (—accos^ If cosi;, —accos^ If siniJ, —a^ cosif sinif), \ги X Гу\ = a cos If v c^ cos^ if + a^ sin if, n = Л"^^^| = . ^ l—ccos If COS 1^ —ccos If sin 1^ —a sin If), Гии = (—0 COS If COS V, —a COS if sin i;, —с sin if), Гиу = (a sin If sin v,—a sin if cos i;, 0), Гуу = (—a cos If cos i;, —a cos if sin i^, 0), L = {гии,'^) = ^ ^ :ac(cos^ If cos^ i; + cos^ifsin i^ + sin if) ОС M = (r^iv, n) = , "*- : (—С COS If COS V a sin if sin i; + + (—CCOS If sinij)(—asin If cosi;)) = 0, TV = {гуу, n) = у "^ ■ ((—ccos If cosi;)(—acos if cos i^) + + ( —CCOSlf sini^)( —aCOS If sini^)) = accos и Ответ: , ^^ {(Pu + cos^ if dPv) c) Имеем: Ги — {—Ь sin If cos i;, —b sin if sin i^, 6 cos if), Гу = (—(a + 6 cos If) siniJ, (a + 6 cos if) cosi^, 0), Ги X Гу = h{a + h cos if) (— cos if cos i;, — cos if sin i;, — sin if), \ги X Гу\ — h{a + 6 cos If), n — Л"^^^| = (— COS If COS V. — COS If sin V. — sin if), 267
Гии = (—6COS If COS I',—6COS If sin I',—6sin If), Гиу = {Ь sin и sin г^, —b sin и cos г^ 0), Гуу = (—(a + 6 cos If) cos V, — (a + 6 cos if) sini^, 0), L = (r^iif, ?^) = ^(cos^ If cos^ V + cos^ If sin^ i; + sin^ if) = 6, M = [vuv j"^) — — cos If cos i; b sin If sin v + (— cos if sin i;) {—b sin if cos i;) = 0, TV = {гуу,п) = (—cos If cosij)(—(a + 6cos if) cos i;) + (—cosif sini;)(—(a + b cos If) sin 1^) = (a + 6 cos if) cos if Ответ: bd'^u -\- [a -\- b cos if) cos if d'^v d) Имеем: Ги = (sh - cos i;, sh - sin v, 1), Гу = (—a ch ^ sin i;, a ch ^ cos i;, 0), Гу X Гу = (—a ch - cos i^ —a ch - sin i^ a ch - sh -), \гу X Г,, I = a ch -Л/cos2 v + sin^ i; + sh^ - = a ch^ -, ?^^^ = (i ch ^ cos 1', ^ ch ^ sin V, 0), ?^г^^ = (- sh ^ sin 1', sh ^ cos V, 0), r^^ = (—a ch ^ cos V, —a ch ^ sin v, 0), i^ = {гии^п) = ^(- ch ^ cos2 i; - ch ^ sin^ i;) = -i, M = {гуу.п) = -T^((-cosi;)(-sh ^sini;) + (-sini;)(sh ^cosi;)) = 0, a TV = {гуу, n) = ^7:u:((—cos i;)(—ach - cosi^) + (—sini;)(—ach -sini;)) = a a Ответ: — ;^G?^if + a d'^v e) Имеем: Гу = (a cos If cos 1', a cos if sin i', —a sin if + ^^), r^ = (—a sin If sin v, a sin if cos v, 0), r^ X r^ = (a sin If cos v — a cos v, a sin if sin i; — a sin v, a cos if sin if) = (—a^ cos^ If cos i;, —a^ cos^ if sin i;, a^ cos if sin if) \гу X Гу\ = a'^ cos If v cos^ if cos^ if + cos^ if sin^ if + sin^ и — o? cos if, n — Л"^^"^. = (— COS If COS i;, — COS If sin i;, sin if), Гуу — (—a sin If COS 1', —a sin If sin 1', —a cos if — ^.^^^), Гуу — [—a cos If sin V, a cos if cos i^ 0), Гуу = (—a sin If cos i;, —a sin if sin i;, 0), L = I Гуу ,n) = a cos If sin if cos^ v-\-a cos if sin if sin v—a sin if cos if— ^^^^^'^^"^ = —actg If, M = {гуу, n) = (— cos If cos i;) (—a cos if sin i^) + (— cos if sin v)a cos if cos i^ = 0, TV = {гуу^п) = (—cos If cos 1^)(—a sin If cos i;) + (—cosif sini;)(—asinif sini^) = a cos If sin If Ответ: — actg If d^ If + a cos If sin If d^i; f) Имеем: 268
г^ = (cos г', sin г', 0), Гу = (—г* sin г^, и cos г^, а), Ги X Гу = {а sin г^, —а cos г^ г*), \ги X Гу\ = \/v? + а2, г«ХГг, (а sin v, —acosVjU) Г.. = @,0,0), г^^ = (— sin г^, cos г^, 0), Туу — (—ifcos v^ —ifsintJ, 0), ^= (?^^^,?^) = О, 71/Г — i^^ ^А — asin v(-sinv) + (-acosv)cosv _ а лт / л а sin у ( — и CQS^') + ( —а cosv)(—u sin г') г. Ответ: =р^ g) Выражая z через остальные неременные, имеем Z = /(^,:у), где /(^,i/) Тогда ху (^ „ а^ х^у ху^ _ 2а^ _ а^ _ 2а^ /агат — о 5 Jxy — 9 9 ' «^УУ ~ s"* а!"^1/ 3!^!/^ а!!/-^ По формулам для второй квадратичной формы поверхности z — f{x,y) получаем: / Д ^ p^ f2 x^/x^y^ + 060^2 + аб|/2 ' M TV: /д^у Xyy ZQj X Ответ: , ^^' f ^d^^ + do^diy + ^d^ ") ^ 269
?? a) Ги = {x\p^ COS (f,p^ sin (f), r^ = @,-psin^,pcos^) Здесь niTpnx означает дифференцирование по г*. Матрица первой квадратичной формы: fl^r + ip'r о Ги X Гу = (рр', —px^cosip, —px^siiiip), к ХГу\ = Рл/{х'У^ + (р'J, ~ \ГиХГ^\ — y/(j;'J + (p/J ' = (а?", р" COS ^, р" sin ^), = (о, —p'sin^, p'cos^), = (о, —pcos^, —psin^), ^ = (^..'^) = :77Z7f' Вторая квадратичная форма: n ' uu Г(^(^ b) Найдем гауссову кривизну поверхности вращения: LN-M'^ _ рх'{х''р'-х'р'') _ х'{х''р'-х'р'') EG - F2 р^{{х^у^ + {р^уу р{{х^у + (р'JJ Направление выпуклости меридиана определяется знаком выражения ■^. Вычисляя его по формулам для производной неявной функции, получаем dV _ d (dp\ _ d (p^\du _ p'V-p'o:'' 1 _ p^^x' -p^x'^ dx'^ dx \dxJ du \x^ J dx [x^^ x^ {х^У Сравнивая полученное выражение с формулой для К^ находим {х')^ d'^p К dx'^ Отсюда имеем, что А" > О, когда -^ < О, то есть когда выпуклость меридиана направлена от оси вращения, К < О, когда выпуклость направлена 270
в сторону оси вращения, А" = О, если меридиан имеет точку перегиба или ортогонален оси вращения [х^ = 0). с) Пусть р{и) = и, х(и) = ± I а In v а^ — и'^ , а > О V " / Тогда р' = 1, р" = 0, , а а —и и и а + л/сс^ — и'^ л/сс^ — и'^ \/сс^ — и'^ а —аи + и{а + л/о? — v?) л , / ^ '" л и (а + л/а^ - и^)л/а^ - и^ и а + л/а^ - и^ ±(-- + . ;, ,Ла - V^^^)) = Т^^^, и а^ — (а^ — w^) и _ ^ ^ _ цз _ _J_ d) Вычислим среднюю кривизну поверхности вращения EN + GL- 2FM _ px'[[x'f + [p'f) + р'^[х"р' - х'р") _ Н = EG-F^ p^{{x')^ + {p')^f/^ _x'{{x'f + {p'f)+p{x"p'-x'p") р{{х')^ + [p'Yfl^ е) Найдем решение уравнения Н = О, когда х = и. Подставляя выражение X в формулу для Н, получс1ем р{1 + (я'JK/2 Пз условия Н = о нлоучим дифференциальное уравнение р^^p—[p^Y — 1 = 0. Так как р > О, то р" > 0. После дифференцирования уравнения получим p p^ p p -2p p ^Q 271
Отсюда р"'р - р"р' = О С = ^ (In/O' = (inp)' Таким образом, задача свелась к решению дифференциального уравнения р" = Ср, где G = А^>0,/?>0 — некоторая постоянная. Обш;ее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид р{и) = Achku-\- Вshки Подставляя это решение в исходное уравнение и приводя подобные члены, получаем условие на коэффициенты 1 = р> - (р'J = ^{{А' - В^')сЪЧи + E^ - A')sh4u) Откуда А'^(у1^ — В^) = 1 Поскольку р{и) > О для всех г*, то Л > 0. Тогда Л и В можно представить в виде Л = — ch kuQ, В = —— sh kuQ к к р(и) — —(duku^duku — sh Ai/Qsh ки) — — ch(A(if — г*о)) к к Таким образом, решением уравнения iJ = О, когда х — и^ являются функции р{и) — ^ ch(A(if — г*о)), где /? > О, г*о произвольное. ?? В этой задаче через т будем обозначать нормаль к поверхности. Пусть v,n,b — репер Френе данной кривой. Тогда fg = v-\- кип, Ги — v Матрица первой квадратичной формы равна: 1 1 272
f's ^ "^u '^u ^ '^v \ n f^ss f^su f^uu L M N = = = = = = = = = кип X V = —kub, ки, \rsXr^\ ^' кп + ksufi + ки{- кп^ 0 {rss.rn) — -kvK, (rsu^rn) = 0, {гии, m) = 0 ; m — нормаль к поверхности Отсюда EG-F'' ' EN-\-GL- 2FM _ -kvK _ к ~ EG-F'^ ~ Рг;2 + 1-1 ~ ~Ь ?? Поверхность, определяемая уравнением z = f{x,y), может быть задана параметрически в виде г{х,у) = {x,yj{x,y)), Гх = A,0,Л:), Гу = @,1,/у). Матрица первой квадратичной формы имеет вид Jxjy -L Н~ J у Г^;ХГу = (-Л,-/у,1), |Г^ X Гу\ = Y^l + /J+/2, '^icj: — ^,^J5 ^J5 jxx)-> '^xy — ^,^J5 ^J5 jxy)^ '^yy — ^,^J5 ^J5 fyy) J XX д^ /_ _\ Jxy L = {r^^, n) = . ^, M = (гд;у, n) ^1 + /' + /^ 7V = {r,„n)= _ ^^ -2 273
Матрица второй квадратичной формы имеет вид: П ^ / Jxx Jxy f2 V Jxy Jyy ^l^ + n + fi ^ detn ^ LN-M^ ^ U^fyy - fly ' detl EG-F^ (i + /2 + /2J /„,-n EN + GL-2FM A + fDfyy + A + fl)U^ - V^fyf xy A + /J+/I)* ?? Пусть Fz Ф 0. Тогда no теореме о неявной функции в некоторой окрестности поверхность можно задать уравнением z = f{x, i/), причем ^Х р ^у ^ ~ ~~р~^ ^у ~ Jy ~ ~~Б~' Пайдем вторые производные функции /: .А. дх \F. ) ~ F, ^ F^ _ Fa,a,-Fa,,^ Fa,{Fa,,-F,,^) _ F^^F^-2F^^F^F^+F^^F^ — p ~r p2 — p3 5 ^^^ ^ z ^ z /' ^xy^z ^ xz ^ y^ z ^ yz^x^ z~r^ zz^ x^ у xy — ^^3 1 ^yy-^z ^^ yz^ y^ z'V^ zz ^ у yy — FJ ' Воспользуемся результатами задачи ?? для нахождения гауссовой и сред- 274
ней кривизны: К Н \^~rJx )jyyi\^iJy }Jxx ~JxJyJxy l + fl+fl Jxxjyy — Jxy F? pely^xx^z ^^xz^x^ z \ ^ zz^ X )\^yy^ z ^^yz^y^z\^zz^y) X^xy^z ^xz^y^z ^yz^x^z \ ^zz^x^y) J — J_\(p p p^ \ лр p p p p'^ \ p'^ p'^p'^_ p^W-^xx-^yy-^z \ ^-^xz-^yz-^x-^y-^z ^ -^zz-^x-^y _^9 p p p p3 _ ^p p p p3 л_ p p P2p2 ^^ xx^ yz^ y^ z ^^ xz^ % \^ xy^ _9/7 p p P'^ _^p \. ^^ xy^ xz^ y^ z ^^ xy^ у \^^xy ^^xz^zz^x^у ^z ^^yz^zz^X ^y^z \ ^^xz^yz^x^y^z )\ plpl _^p p ^^^ X ^ Z "^-^ XZ-L ZZ P4_L p2 p2p2 ^ p2 ^ z ^^ ^ xz^ у ^ i. P p p3_^p p p р'3\ ^ xz^ y^ z ^^ xy^ yz^ x-'- z* F,,F}F?F}- P p3 \ p p p2p2_, ^ x^ z * ^ xx^ zz^ у -'- z * 2 P _ 9P P Р2] p p'^p —9/7 p F^F F ) — J-xJ-yJ-z "^^ yzJ-zzJ-X ^ y^ z ) 1 p2 p2p2 , p2 p2p2_ ^^ ^ yz^ X ^ z ^^ ^ zz^ X ^ у - J-\P p p'^ Л. p p p'^ Л. p p /72_ — pA L^ xx^ yy^ z * -^ xx^ zz^ у * -^ yy^ zz^ X _P2 p2 _ p2 p2 _ p p2_L ^xy-^z ^xz-^y ^yz-^x^ \^^xz^yz^x^y \ ^^xy^xz^y^z \ ^^xy^xz^x^z~ ^^xy^ zz^x^yj ^^ XX 1 Ft ^yz^y^z ^ XX ^xy ■^xz Fa; i^xy ^yy i^yz Fy ^^xz^yy^x^ ^xz ^x i^yz i^y F,, F, F, 0 1 Отсюда К ^ XX i^xy ^ xz F, i^xy ^yy J^yz Fy ^ XZ i^yz F,, F, Fa; 1 Fy F, 0 {PS+P^+Pir 275
Пусть F^ > О (-'- ~г JxJJyy ^ [^ ^ JyjJxx ~ Jxjyjxy = +Cf^ + F]){F,,F] - 2F,,F,F, + F,,F^)- ^^х^уУ^ху^z ^xz^y^z ^yz^x^z \ ^zz^x^y)) — = -^{FyyF^F^ - 2Fy,F^FyF, + F,,F^F^+ +hxF^F^ - 2F^,F^F^F, + F,,F^F^+ +(F.. + Fyy)F^ - 2{F,,F, + Fy,Fy)F^ + F,,{F^ + F^)F^- _0( F /7 /7 /72 _ p p p2p _ p p2p /7 _L /7 p2p2\\ "^y^ xy^ x^ y^ z ^xz^x^y^z ^ yz^ X ^ y^ z \ ^ zz^ X ^ у )} — -y^z ^ yz^ x^ y^ z I ^zz^x^y) = -TfiiFyy + F,,)F-^ + {F,, + F,,)F^ + {F,, + Fyy)F-i- ^^xy^x^y ^^xz^x^ z ^^yz^y^z) — = -^i(F,. + Fyy + F,,){F^ + F^ + F^) - {F,,F^ + FyyF^ + f„f,4 \^^xy^x^y \ ^^xz^x^z \ ^^yz^y^z)) TT ^xx~r^ yy~r^ zz I . ^ xx^ rj^\^ yy^ y\^ zz ^ 2, ii-^^xy^x^y~r-^^xz^x^z~r-^^yz^y^z Среднюю кривизну можно также записать в виде H(gradF,gradF) trH Я IgradFP |gradF|' где grad F = [F^, Fy, F^) - градиент функции F, буквой Н обозначена матрица вторых производных (гессиан), а также соответствующая ей билинейная форма. Если F^ < О, то выражение для Н просто меняет знак. ?? Перейдем к цилиндрическим координатам X = UCOSV, у = UsinV, Z — Z Тогда уравнение поверхности можно записать в следующем параметрическом виде X — и COS v^ у = и sm V, z — а arctg — = av X Таким образом, поверхность представляет собой прямой геликоид. Вос- пользовавп1ись результатами задачи ??, получаем г — (и cos г^, и sin г^, av), г и — (cosiJ, siniJ, 0), Гу — (—ifsiniJ, ifcosiJ, а), F=l, F = 0, G^a^^u\ L = 0, M = -^=L=, 7V = 0. VM + a 276
Тогда _ LN-M'^ _ а^ ^ _ EN-\-GL- 2FM _ ^ Главные кривизны Ai^2 являются решениями уравнения Л^ — НХ -\- К — 0. Так как iJ = О, то Hi2 — Т = ± = ± r. о ^^ + :y^ + a^ о ^^ + :y^ + «^ Ответ: /ti = , H2 — • ?? Имеем: г (if, г^) Ги Гу Е F G '^и ^ '^v {"^и ^ "^vl п "^uv "^vv L м N к н - — — — — — — - ^ ^ = = = = (cos V — и sin г^, sin г^ + и cos г^, г* + г^) (—sintJ, cos г^, 1), (—г* cos г^ — sin г^, —и sin г^ + cos г^, 1), у и 1 '^и/ -- ^1 у и •>'^v) — -^5 {r^,r^) = 2 + ы2, (ыsin 11, —UCOSV, и), ил/2, ^^ = ^(sin^, -cost;, 1), @, 0, 0), (—cost', —sinг', 0), (г* sin I' — cos I', —и cos v — sin i', 0), {Гии.п) = 0, {Гиу.п) = 0, LN-M'^ _ n. EG-F^ ~ ^^ EN+GL-2FM _ ил/2 _ 1 EG-F^ - 2B+^2)-4 - y^u Главные кривизны Ai_2 являются решениями уравнения А^ — НХ + К = 0. Тогда А2 - ^А = О, 4- = -^1 = О, ^ ■ ^ V2u ' Ri ' R2 V2u 277
?? Имеем: ^™^" wr^'WrWu г Гу Е F G I "^и ^ '^v I П f^uv -- f^vv -- L = м = TV = к = я = If COS г^, If sin г^, и + г^) cos I', sin г', 1), —If sin I', If cos I', 1), sin I' — и cos г', — cos г' If STni'. u), kuxr^l sTn V — и COS V, — COS V — и sTn гк и @, 0, 0), (—sintJ, cosiJ, 0), (—If cos 1^, —ifsiniJ, 0) yuv 1 ^/ ^ "л/1+2г*2' VT+2^' 1 EG-F^ — A+2г*2J' £iV+GL-2FM _ 2ц^+2 _ 2{l+u^) EG-F^ A+2г^2)з/2 — A+2г^2)з/2 Ответ: К 1 A + 21/2) 2А2 ' Я 2A + 1/^) A + 21/2K/2 278
?? Имеем: г {Зи + 3uv^ - и^, v^ - 3v - 3uh^, 3{u^ - v^)) ч"и = C + Зг'^ — 3if^, —6uv, 6if), E = {ги.Гу) г,; = (^uv, 3i'^ — Zu^ — 3, —6i'), - 9[A + г;2 - 1/2J ^ 4^2,^^2 ^ 4^2] ^ 9^^2 ^ .^2 ^ 1^2^ i^ = {Ги.Гу)^ = 9[A - 1/2 + г;2J|/г; + (-2|/г;)(г;2 - ^/2 _ ;^) _ 4^,^^] ^ q, = 9[4^2'^^2 ^ ^^2 _ ^^2 ^ 1J ^ 4^^2] ^ 9^^2 ^ ^^2 ^ 1J^ r^ X r^ = 9B|/(|/2 + г;2 + 1), 2г;(|/2 + г;2 + 1), [u'^ -\-v'^y - l)^ Кхгу\ = 9G/2 + г;2 + 1J, 77 \ГиХГ^\ 1 -Bi/, 2г', 1/2.^,^,2 _i^^ — u2^y2^l\ Гии = (-6^/, -6г^ 6), ?^^^ = Fг;, -бт/, 0), г^^ = (бг*, бг;, -б), L - (г ^\ - 6 2^(-^)+2^(-^) + (^Ч^^-1I _ g л^ - / п)- 6 2^^+2^(-^) - О iW — Х'иУ^'Ч — ^ u2^y2^l —^7 JV — i^tyy^ П/ — V u2^y2^l —^7 j^ _ LN-M^ _ 36 _ 4 ^ ~ EG-F^ — 81{u^-\-v^-\-iy — ^^• 4 Ответ: A^ = ---r^^ ^ -vj, Я = 0. 9(i/2 + t'2 + 1L' ?? ЯП - A I. ?? Параметрическое уравнение геликоида имеет вид: X = и cos г^, У — и sin г^, z = av 279
Тогда г [и, v) = (г* cos г^, и sin г^, av), г и = (cosiJ, siniJ, 0), Гу = {—usinv, ucosv, а), Е = 1, F = 0, G^a^^u\ Ги X Гу = [asinv, —acosv, и), \Ги X Гу\ = л/и'^ +«2, ^ _ ГцХг,; _ (а sin V,- а COS V,и) ~ \гиХг^\ ~ лАН^ ' Гии = (О, О, 0), Гиу = l^-smi;, cost;, 0), Гуу = (—ifcosiJ, —Ifsinг^, 0), д л- / \ а sin г' (— sin г') + (— а cos v) cos г' а дг / \ as\Tiv{ — ucosv)-\-{ — acosv){ — usm.v) р. Отсюда получаем ?? Имеем: Ру — Ту -\- 0,Пу J = Е— 2aL-\-а^{пи^Пи) Аналогично, G* = {py,py)^G-2aN ^а^{пу,Пу) Для дальнейших вычислений нам понадобится явное выражение для Пи и Пу. Найдем его. Так как \п\ = 1, то Пи1.п^ Пу1.п. Тогда Tly — ^f*U \ Gf*V 5 -L = -{n, Гии) = {пи.Ги) = Ь{ги,Ги) + с(г^, г^) = 6Е + cF, -М = -(/7, Vuv) - {Пи,Гу) = Ь{Ги,Гу) + с{Гу,Гу) - ЬЕ -\- CG, -М j I с 280
„ r* ) ~ матрица первой квадратичной формы ~ \ М J '^ ~ EG-F^ у _р Е ) п=-- " Тогда (п„,п„) = F, c)l(^\^={L, M)l-ill-i(^^) — ( Г М \ Т-1 f ^ 1 — £M^-2FLM+GL^ / \ _ / г /1^ Л T-W ^'^J _ EMN-FLN-FM'+GLM С другой стороны, (n„,n„) = ^M--2FLM+GL GL^-\-ELN-2FLM-\-EM^-ELN _ EG-F^ ~ L(GL-\-EN-2FM)-E(LN-M^) _ LH-EK EG-F^ — EG-F^ ' y^uj'^v/ — EG-F^ M{GL-\-EN-2FM)-F{LN-M^) _ MH-FK EG-F^ ~ EG-F^ ' /„ „ \ _ £iV^-2FMiV+GM^ _ y^vj'^v/ — EG—F^ — _ N(GL-\-EN-2FM)-G(LN-M^) _ ~ EG-F^ ~ _ NH-GK ~ EG-F^ ' ЧТО соответствует задаче ??. Следовательно, Е* = (я,, я,) = E-2aL + a\LH - EK) = = {I - а^^К)Е ^ а{аН - 2)L, F* = {р^,Ру) = Е-2аМ-\-а\МН -ЕК) = = A - a'^iqE + а(аЯ - 2)М, G* = (я^,я^) = G - 2a7V + «^(Л^Я - GK) = = A - а^A^)G + а{аН - 2)N. 281
Так как векторы Ги^Гу^Пи^Пу ортогональны вектору п, то Pu^Pv ортогональны 77 и 77* = 77. ^* = {Puu,ri) = {ruu,ri)-\-a{nuu,ri) = = L- а{пи,Пи) — = L - a[LH - ЕК) = аКЕ + A - аН)Ь, М* = (Я^^,77) = (Г^^,77)- аG7^,77^) = = М - а{МН - FK) = аКЕ + A - аЯ)М, ^* = {руу.п) — {гуу.п)-а{пу,Пу)— = N - a{NH - GK) = aKG + A - аЯ)Л^. Ответ: F* = ll-a^K)E^alaH-2)М, G* = A-а2А^)С + а(аЯ-2)Л^, L* = аКЕ^{1-аН)Ь, М* = aA^F + A - аН)М, 7V* = aKG^{l-aH)N. ?? Как известно L*7V*-M*2 А* E*G* — F*2 ' Подставляя в эту формулу явные выражения для Я*, Я*, G*, L*, М*, 7V* из задачи ?? и производя элементарные вычисления, получаем ответ: ^< А* 1-аЯ + а2Я' ?? Как известно ^*7V* +G*L* -2Я*М* Я* F*G* -Я *2 Подставляя в эту формулу явные выражения для Я*, Я*, G*, L*, М*, 7V* рные выч Я - 2аЯ из задачи ?? и производя элементарные вычисления, получаем ответ Я* 1-аЯ + а2Я' ?? а) Пусть данные параллельные поверхности S ж S* задаются уравнениями: г = r{u,v), г* = r{u,v) -\- an{u,v). 282
Тогда согласно задачам ?? и ?? имеем К 1Г Я* Отсюда получаем Я2- Я*2 _ 4А^* _ Z*2 ~ - АаКН + 4а2А^2 1-аЯ + а2А^' Я - 2аА^ ~ 1-аН-\-а'^К' (Я - 2аА^J - 4:К{1 - Ю ' - ЦК - аКН + а^К' аН -\- а' 2) ^ ^2 'К) _ -4А^ А^2 Ю ' b) Минимальная поверхность задается уравнением Я* = 0. Согласно задаче ?? имеем ^,^ Я-2аА- 1 - аЯ + а^А^ Отсюда видно, что уравнение Я* = О равносильно выполнению равенства 2а = Н/К. Так как OTHonienne кривизн постоянно, то поверхность 5*, задаваемая уравнением q{u,v) =r{u,v) + —77(|/,г;) будет минимальной поверхностью. c) Согласно задаче ?? имеем ^ = -, 7^ ТТТ = Е? Е^ = -W- = Н = const d) Соглс1сно задаче 5.106 имеем Я - 2аА Н-УК г- ti — — 7г— — 77 т?— = —V А = const 1 - аЯ + а^А 1 _ -^ + —^ Ответ: Я* = -л/А. ?? Penienne: Напомним, что если Ai и Л2 — главные кривизны поверхности и Я = Ai + Л2, А" = Л1Л2, то \i являются корнями уравнения Л^ - ЯЛ + А = О 283
Так как Л^ - вещественные числа, то дискриминант уравнения неотрицателен: D^H'^ - АК > 0. Равенство Н^ = 4К (то есть D = 0) равносильно равенству Ai = Л2. Таким образом, квадрат средней кривизны равняется гауссовой кривизне в омбилических точках, то есть в точках, где Ai = Л2 (см. рис. ??). Рис. 91. Омбилические точки на эллипсоиде ?? Согласно известной формуле Я = trII Г\ где I — первая квадратичная форма, а след берется от произведения соответствующих матриц. Тогда средняя кривизна равняется следу оператора А, канонически сопряженного форме II относительно метрики, задаваемой формой I. Оператор А и форма II связаны соотноп1ением II(ei,e2) = (Aei,e2), где скалярное произведение (•, •) задается симметрической матрицей ЬП. След оператора в произвольном ортонормированном базисе ei, 62 вычисляется по формуле trA = (Aei,ei) + (Ае2,е2). Тогда Я = ((Aei, ei) + (Ае2, 62)) = II(ei, ei) + II(e2, 62), 284
что и требовалось доказать. ?? Пусть v{s) — вектор касательной к кривой G, а n{s) - единичный вектор нормали к кривой С. См. рис. ??. Тогда ^ = кп, Xi = к{п,щ), где щ - нормаль к поверхности Mi, и vJ-П. Так как v — вектор, касательный к поверхностям Mi и М2, то vJ-Ui, vJ-n2. Следовательно, П1,П2,п лежат в одной плоскости. Рис. 92. 1) 6* = 0. Тогда 771 = 772 и Ai = Л2. Х1-\-Х1- 2Л1Л2 COS (9 = (Ai - X2f = 0 = к^ sin^ в 2) О = 7Г. Тогда 771 = —?^2, Xi = —Л2 и приходим к тождеству 0 = 0. 3) О < 6* < 7Г. Тогда 771 и 772 образуют базис пространства, ортогонального г^, и 77 = 0771 + Ьп2. Следовательно, ка{п1,77i) + кЬ{п2,77i) = ка + кЬcos в, ка{п1,772) + кЬ{п2,772) = kacosO + kb, 2AiA2Cos(9 = {ka-\-kb cos ву^ + {kacosO -\-kb^- —2{ka + kbcos в){ка cos в + kb) cos в = ^2[a2(l + cos2 в - 2cos2 (9) + 2a6Bcos(9 - A + cos^ в) cos (9) + + 62A+C0S2 6'-2C0S2 6')] = A'2sin^(9(a2 + 2a6cos(9 + 62) = A-^ sin^ (9, так как a2 + 2a6cos(9 + 62 Ai A2 Af + Ai 1 ^77, 77) = (a77i + 6772, 0771 + ^^^2) 285
?? Указание: считая, что метрика поверхности имеет вид du^ + Gdv^^ выразить G через гауссову кривизну К. ?? Рассмотрим следующие поверхности вращения: X — г cos ip у — г sin ip z i(arctg^-i±l^- V-(C + 2r)(l + 2C + 2r)) У этих поверхностей К — ^, ds^ — — q\_2t ^^^ ~^ v^d^^. Отсюда видно, что меняя число G, мы получаем однопараметрическое семейство попарно неизометричных поверхностей с одинаковой гауссовой кривизной в соответствующих точках. 286
?? в качестве карт следует взять множества U^, задаваемые следующими неравенствами: U^ = {х^>0}, U^ = {х^<0}. В качестве координатных функций в карте U^ следует взять все декартовы координаты за исключением Xk- ?? Воспользоваться тем, что тор Т^ гомеоморфен декартову произведению 5^ X 5^ и свести задачу к предыдущей при п = 1. ?? Поективное пространство RP" есть множество классов эквивалентности наборов [хо : xi : ... : Хп), где Xi G R, ^з!? 7^ О, а OTHonienne эквивалентности задано следующим образом: {хо : XI : ... : Хп) ^ {Xxq : Xxi :... : Ххп), где Л G R, А 7^ 0. Введем на RP" вещественно-аналитическую структуру. Для этого покроем RP" набором из {п-\-1) карт. Рассмотрим наборы [xq : xi : ... : Хп), для которых Xi ф {). Множество таких наборов естественно отождествляется с R", а именно: [xq \ Xi \ ... \ Хп) ^ { — ,••• , — , , . . . , ^1 . \ Xi Xi Xi Xi / Легко видеть, что это соответствие корректно определено. Осталось рассмотреть функции перехода от г-й карты к j-й карте. Пусть координата набора (Ло : Ai : ... : А^) в г-й карте, а х^ — 1-я координата в j-VL карте (пусть для простоты i < j). Тогда -^1 — C) 5 • • • 5 -^г — „О) 5 -^i+l — „О) 5 • • • -^t-iri -^t+i -^t+i ^г + 1 ^г + 1 ^г + 1 ^ г-\-\ Таким образом, функции перехода не только гладкие, но и вещественно- аналитические . ?? См. задачу ??. ?? Атлас состоит из одной карты с координатными функциями \Х\^ . . . , X^i). ?? Указание: композиция гладких отображений является гладким отображением. ?? Указание: воспользоваться правилом дифференцирования сложных функций. ?? Ранг равен 1. ?? Указание: написать формулы, явно выражающие координаты нормали в локальных координатах тора. 287
?? Однородные координаты прямой гладко зависят от локальных координат на сфере, а локальные координаты на RP^, в свою очередь, выражаются через однородные координаты. ?? Используя локальные координаты, вычислить ранг матрицы Якоби отображения. ?? Представить элементы группы SO{2) как повороты плоскости на некоторый угол вокруг начала координат. Группа 0B) гомеоморфна объединению двух экземпляров 5^. ?? Представить элементы группы 50C) как повороты пространства вокруг некоторой оси на некоторый угол. ?? Группы GL{n,H) и GL{n,C) являются открытыми множествами в пространствах соответственно всех вещественных и всех комплексных матриц. ?? Любая окрестность начала координат распадается не менее, чем на 4 компоненты связности при выбрасывании начала координат, чего не может быть на многообразии. ?? а) да, Ь) нет. ?? Сфера 5" — компактное пространство. ?? Указание: использовать свойства ранга произведения двух матриц. ?? Координатные функции являются частным случаем гладкой функции на многообразии. ?? Воспользоваться задачей ?? 288
?? a) @,1); б) @,2); в) A,1); г) @,2). ?? Если dimi/ = к, то dirnVJ" = fe("+"'). 289
?? Указание: см. задачу ??. ?? Будем считать координату г первой, а координаты <р — второй. Тогда rji = ГЬ = r^i = О, Т\^ = -г, Tj, = Т^, = О, Tj, = Т^, = }. ?? Будем считать, что координата и — первая, а координата г^ — вторая, тогда Т\^ = ^, Т\^ = Ц^ = ^, Ц^ = -^, Tfi = -^, Tfj = ^21 - 2А' -^22 - 2А- ^ ^ _ _ „ „ „ ^^ 12 L — 2А' -2 — 2А- ?? а) Т1, = ГЬ = r^i = О, Т1^ = -sin^cos^, Tj, = Г22 = О, Г^, = Tj ctgO. Здесь координата в считается первой, а координата ^ — второй. ъ\ р1 _ 2х р1 _ pi — 2^ р1 _ 2а7 р2 _ "^J J^ll — 1+я;2+у2, J^ 12 — J^ 21 — 1+я;2+у2 , J^22 — 1+д;2+у2, J^ 11 " 1+Д\^2, ^h = rii = -j^ir^, Tl^ = -j+^p^. Здесь координата x считается первой, a координата у — второй. „\ р1 _ 2г р1 _ р1 _ п Г1 — ^^-^ Г2 — П Г2 — Г2 — 1-^^ Ч J^ 11 — ~ 1+г2 5 J^ 12 — J^ 21 — "-"j J^ 22 — 1+г2 5 ^ 11 — "^5 ^ 12 — J^ 21 — r(l+r2) ' Г22 = 0. Здесь координата г считается первой, а координата ^ — второй. 77 „\ р1 _ р1 _ _i р2 _ 1 р2 _ _1 р1 _ р1 _ р2 _ р2 _ п . . aj i ;l2 — -L 21 — у 5 -L 11 — у 5 -L 22 — у 5 -L 11 — -L 22 — -L 12 — -L 21 — "-"j Здесь координата x считается первой, a координата у — второй. ъ\ р1 _ 2х р1 _ р1 _ 2^ р1 _ 2а7 р2 _ "^J J^ll — 1_д;2_у2, -Ll2 — -^21 — 1_д;2_у2, -L 22 " l_j;2_y2, -L 11 " -ТЗ^г^, Г?2 = ^21 = тз^гр, Г|2 = ТЗ^г^- Здесь координата х считается первой, а координата у — второй. „\ р1 _ 2г р1 _ р1 _ п Г1 — _r^±L Г2 — П Г2 — Г2 — 1+^^ W J^ 11 — 1_г2 5 -L 12 — -"^ 21 — "-"j -"^ 22 — 1_г2 ' -"^ 11 — "^J -"^ 12 — -"^ 21 — r(l-r^) ' Г22 = 0. Здесь координата г считается первой, а координата ^ — второй. ?? Будем считать координату и первой, а г^ — второй. Тогда T\i = ■ о , i 12 — -L 21 — "-"j -L 22 — ^/^2 . /^/^2 , -L 11 — "Jj -L 12 — -L 21 — ' (/0^ + E')^' -^12 - -^21 - ^. -^22 - (/^J + (^/J, --^ 11 - ^, -'^12 - -^21 - / П2 = 0. ?? Будем считать координату и первой, а коодинату г' — второй. Тогда r^i = -^os^sm^' ^12 = Г21 = о, Г22 = -^^, r^i = о, Г12 = Г21 = ctgu, Y\^ = 0. ?? Будем считать координату и первой, а координату г^ — второй. Тогда rli = ГЬ = r^i = rfi = ri2 = О, Г^з = - sh и ch и, Tfj = Ai = cth и. ?? Будем считать координату и первой, а координату г^ — второй. Тогда rji = 1 th ^, rf2 = rii = 1 th ^, ГЬ = r^i = Г^^ = Tf^ = Г!^ = 0. ?? Будем считать, что координата и первая, а г^ — вторая. Метрика иммет вид ds^ — du^ + (г*^ + li^)dv^. Символы Кристоффеля равны V\i — р1 _ р1 _ р2 _ р2 _ П Р! - -7/ Г2 _ р2 _ и J^ 12 — -L 21 — -L 11 — -L 22 — "-"j -L 22 —  -^ 12 — -^ 21 — г^^ + Д^ * ?? а) Параметризация линии в = во, (f — i. Уравнения параллельного переноса { ^ - sin (9о cos (9o<j2 ^ о I C + ctg^o^i = о 290
Общее penienne уравнений е = е = —Ci sin 6*0 cos(/ cos Oq -\- C2) СI sm{t cos Oq -\- C2) b) Параметризация линии в = t, ^ = ^q. Уравнения параллельного переноса к dt Общее penienne уравнений -eagt e = C2 ?? Указание: см. задачу ??, см. также рис. ??; либо воспользоваться результатом предыдущей задачи. Рис. 93. ?? Пусть поверхность образована вращением графика функции /. Тогда угол а между начальным и конечным векторами определяется равенством 27Г лДТТ^' 291
?? a) Указание: ковариантно продифференцировать векторное поле, состоящее из векторов, касательных к параллелям. ?? Угол поворота равен /?\2 ?? а) Параметризация кривой: x{t) = xq, y{i) = /, / G @,+cx)). Уравнения параллельного переноса: J^-K^ = о I f-K^ = о Общее penienne уравнений: е=c,t, е = C2t. b) Параметризация кривой: x{i) — t, y{i) — уо, t G (—cx),+cx)). Уравнения параллельного переноса: J dt yo^ - ^ 1 ^ + ^ I dt ^ yo Общее penienne уравнений: dt уо ' IJn ^ V2/0 J \yo J ?? a) Указание: заменить сферу на конус и воспользоваться результатом задачи ??. b) Указание: заменить сферу на цилиндр. c) Воспользоваться результатами предыдущих двух пунктов. ?? 7Г + 5 = о;. ?? 7г — S = а. 292
?? По теореме Менье радиус кривизны R кривой j в некоторой точке равен проекции радиуса геодезической кривизны Rg = 1/кд на соприкасающуюся плоскость кривой 7J т. е. Я = \Rg cos в\. Вектор е — v х т — единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности и ортогональный к кривой 7 J вектор п — единичный вектор главной нормали кривой 7- Отсюда | cos 6*1 = |(е,77)| и, следовательно, kg — к\ cos6*1 = А'|(е, п)\ — |(е, г^)| = |(г^ х т, г^)| = \{т х г, г)| . ?? Предположим, что прямолинейные образующие параллельны оси Oz. Тогда уравнение поверхности можно взять в виде г{и, v) — f{u)ei + <f{u)e2 + ves , где и — натуральный параметр направляющей линии. Будем искать уравнение геодезической в виде V = г;(г*) . (*) Тогда N =ГиХ Гу] = ^'ei - fe2 , dr = {fei + ^'e2 + г/ез) du , dV = (f ei + ^''e2 + г/'ез) du'^ и уравнение для определения геодезических линии имеет вид (см. задачу О ^' f f" -/' / 9" 0 v' v" /2 Но ^'" + Г f,2 1,следовательно о. 0. Таким образом, г/' = О, т. е. г^ = ciu-\- С2. Векторное уравнение семейства геодезических имеет вид р{и) = f{u)ei + ^{u)e2 + {ciu + С2)ез . Заметим, что з(я;7Гез) ci VTT^ 293
Следовательно, найденные геодезические являются обобщенными винтовыми линиями. Кроме того, геодезическими являются прямолинейные образующие. Они не воп1ли в найденное семейство геодезических, поскольку уравнения прямолинейных образующих нельзя представить в виде Г). ?? Уравнения геодезических имеют вид ^ ч / с cos у С sin у \ V2 V2 V2 ?? Рассмотрим параметрическое уравнение конуса в виде r{u,v) = иp{v) и будем считать, что \р\ — 1, |р'| = 1. Тогда уравнения геодезических будут иметь вид sin(C — V) ?? г; = Gi ± [ cdu ?? Рассматривая г^ как функцию от и вдоль геодезической, получаем дифференциальное уравнение геодезических: ,.d'^v d^/dv\^ dip гdv\^ d<p dv dip dv? du\du/ du\du/ du du du (^ + Ф) du^ d{dv'^) = {du'^ + dv^){d'\i) du^ - d^ dv^) , /ipdu^-^dv^\ _ V du-^ + dv-^ )~ Интегрируя это cooTHonienne, получаем искомые уравнения. ?? Указание. Воспользоваться теоремой Клеро. ??а)^4л^, ь)о. л/2сЬ2^ ?? Геодезическая кривизна равна 1. ?? Геодезическая кривизна меридианов равна О, а параллелей равна ?? Геодезическая кривизна линий v = const равна .i, ду~^ ^ линий и = const равна -^^ Ц^. ?? Я = -^А1пЛ. 294 или откуда
77 „\ pi _ pi _ p2 _ П Г2 - G«_ pi _ _G^ p2 _ G^ . . aj i ;l1 —_|^12 — J^ 11 — "-"j J^ 12 — 2G' ^ 22 — 2 ? ^ 22 — 2G b) K^-^-^^^. sin a; ' ?? a) 2(z — 1) da! Л di/ Л dz] b) i/z dx Adz -\- xz dy Л dz; c) 6i/^ dx Ady A dz; clH; eH; f) 0; ' g) df Adg; h) 0. ?? Свести задачу к случаю постоянных коэффициентов. ?? а) Bг COS6I, -rsin6l, 0); b) (ersin ^ + е^ cos ^ - 1, 3r cos ^ , -~^) ; c) (-^,-^,0). ?? Рассмотрим векторное пространство над R с базисом мощности континуум. Введем в нем следующую топологию. Рассмотрим куб В = {х:—1 < Ха < 1 для всех о;}, где х^ — координаты вектора х, и сечение В конечной коразмерности: Bal3..J = ВП {Хос = 0, Х^з =0,. . .,XS = 0}. Множества В^^з.^.ё назовем окресностями точки 0. Очевидно, что в такой топологии точка О не имеет счетной базы окрестностей, т. е. построенное пространство не удовлетворяет первой аксиоме счетности, а значит, автоматически и второй аксиоме, так как первая аксиома есть следствие второй. ?? В качестве пространства X возьмем пространство /2, элементами которого являются последовательности действительных чисел х = {xi,X2,.. .Хп,...), удовлетворяющим условию \\х'^\\ = S^iknP < СЮ- в качестве пространства Y С X возьмем сферу в X, т. е. множество таких X, для которых ||а!|р = 1. Рассмотрим в у последовательность точек Xi, у которых на г-м месте стоит 1, а на остальных — 0. Эта бесконечная последовательность не имеет предельной точки, поскольку Ца!^ — a!j|| = л/2 для любых г, j. Следовательно, У не является компактом. ?? Пример см. на рис. ??. 295
Рис. 94. ?? Нет. Если топологическое метрическое компактное пространство связно, оно не обязательно линейно связно. Известный пример: множество точек на плоскости [х, у), задаваемые так: L = sm^\u{{x = 0;-l<y<l)}. 296
77 \ -a^ -(chm-CQS^2) a ?? a) c^[ul - ul), ^з(ф^, b) да. 77 д^ I ?? 1^ + 2г*г'^ 1^ + 2г'A - г'^) 1^ + u'^v'^z = О, область определения у фО, область значения г' ^^ 0. ?? A 1П^(«2 + .2) + arctg^ ^)(«2 + „2)@ + 0). (^4^ (^_^^J + (^_^2J -h arCLg (^u-u:,){u-U2) + {'^-v:,){v-V2)J ^ {u2—ui)^-\-{v2 — vi)^ у ди^ ' dv^ J 77 1 (d^V I d^V\ ?? ?? ,i2 a) i/^ = 2aa! — 2G — парабола с осью OX и параметром р = |а|. Кривая обращена вогнутостью влево в случае а < О и вправо в случае а > 0. b) :y = Ge-^/^ c) {х — С)'^ -\- у'^ = а'^ — окружность радиуса а с центром на оси ОХ. ?? Условие постоянства длины касательной записывается в виде Мы будем рассматривать кривую лип1ь в верхней полуплоскости и поэтому положим \у\ = у у 0. Рассмотрим угол ^, О < ^ < 7Г, определяемый из условия tg ^ = dy/dx. Заменяя dx/dy через ctg^, получим y/sin^ = а или у = а sin^. Отсюда dy = а cos^d^. Но из условия, определяющего угол ^, следует, что dx = ctg<pdy. Подставив сюда полученное для dy выражение, получим dx = а—: d^ , 297
dx = a { — sin upjdup. Интегрируя почленно, найдем x = a(lntg — -\- cos (fj -\- С . Уравнение этой кривой можно записать иначе: а ^ а + л/о^"— х- г^ 9 In / . . - V q^ ^ а — у а 2 . ?? у — а^/^х'^ + а^); х = actgt, у — asin^/. ?? Указание: применить теорему Ролля к функции {a,r{t) — г [to)). ?? Использовать тот факт, что (г2(/) — ri{t))'^ = const, где ri, Г2 — радиус-векторы движущихся точек, / — время. ?? Положим — = Л; Л(/) — непрерывная на сегменте [а, Ь] функция, сохраняющая определенный знак. Имеем г^ — Хг = О, откуда г — aei Так как производная от функции eJ равна AeJ , то она сохраняет знак на сегменте [а, 6], т. е. eS^" — монотонная и непрерывная функция ?? Применяя метод реп1ения предыдущей задачи, будем иметь г' = f \dt аeJ , откуда г — а lei di -\-Ъ . Производная от JeJ di равна eJ > 0; значит, JeJ di — монотонно возрастающая функция от / G [а, 6]. ?? Радиус-вектор р произвольной точки неподвижной центроиды может быть определен одним из соотноп1ений: Я = ri + A[r'i] = Г2+//[г'2] , Г1 - Г2 + \[г[] = p[rij\ , (Г1-Г2,Г'2) + (ЛК],Г'2)=0, Следовательно, (г2-Г1,Г^2)г^/1 298
в координатах ^, {х2-Х1)х'^-\-{у2-у1)У2 ,/ Г] = У1 _ C72-a7i)a72 + (^2-^i)^2 ?? Рассмотрим вектор А [И], где Л = i^ / I^m^ ; если этот вектор от- ЛОЖИТЬ от конца Mi стержня, то его конец попадет в мгновенный центр врапцения. Проекции вектора Х[г[] на векторы Г2 — ri и [г2 — ri] соответственно равны: (АК],Г2-Г1) (Л[Г^],[Г2-Г1]) i i -^ i i • |Г2-Г1| F2-ri| Поэтому уравнения подвижной центроиды: _ {Г2-Г1,Г[) |Г;Х(Г2-Г1)| У = {Г2-Г1,г!^) ^ {r'^,r2-ri) \r[xr!^\ ' \Г2-Г1\ [(x2-Xi)x[-\-(y2-yi)y[) X = у = X У[ Х2 -XI У2- У1 ^{x2-Xi)^-\-{y2-yi)^ х[ у[ ^2 У2 {{Х2-Х1)Х2 + {У2-У1)У2) {{х2-ал)х[ + {у2-у1)у[) х[ у[ У2 ^{x2-Xi)^-\-{y2-yi)^ ?? Я = Г1 + р = Г1 + <Ja + г][а\, где а = Г2 — ri, <J = const, т] = const (точка М жестко связана со стержнем); R^ = г[ -\- <Ja' + г][а^]. Так как |а| = |г2 — Til = const, то а'±а; значит а' = s[a\ , г'2 - г[ = s[r2 - п] , ;Г2-Г1,Г^> А • Птак: Я' = г[ + f И - ?7Ла = \{Хг{ + <еН - rja) . С другой стороны, r = R-p = ri-\-^a-\- rj[a\ - п - Х[г[] = <Ja + rj[a\ - X[r[] , [г] = Xr[ -C[a\-rja , 299
значит, л' = 1и. " = !■ ?? . ^ . 2 + / 1 \2 = 1, где а ж b — полуоси данного эллипса. G2J (Л) ^^ ху = ±s/2, где S — данная площадь. ?? I/ = аз!^ + v/^^f|-, где парабола задается уравнением у = аз!^, as — площадь сегмента. ^^ (^ ~ cos(i/2)) + У^ = (^^g f) , где а ^ данный угол, / — полупериметр треугольника. ^^ ^ -\- ^ — Ij где а — радиус данной окружности. ?? г=(/ cos^ г^, / sin^ v)^ где / — заданная сумма полуосей. ?? а: = 1C cos г^ — cos Зг^), у = f C sin г^ — sin Зг^) — гипоциклоида. ?? ху = ±|у^, где с — заданная площадь. ?? (а:-сJ + |/2=4а2 , где а — больп1ая полуось эллипса, с = л/о^^^^- . . р — г ziz «i^/j . ?? р = г + [r']|J/^^ ; в координатах /2 , /2 /2 I /2 , . X -\- у . X + i/ х'у'' — х''у' х'у'' — х''у' ?? Кардиоида. ?? {х + 1)/2 = (|/ - 13)/3 = z/6; 2х + 3:у + 6z - 37 = 0. ?? Для указанной точки А имеем: / = —1. Касательная прямая: (а;-3)/б = B/+7)/-17 = B-2)/7. Нормальная плоскость: ^х — \1у -\-lz — 151 = 0. ?? Для указанной точки А имеем: / = 1. Так как г'A) = О, а г"A) = B, 2, 12) ф О, то направление касательной определяется этим последним вектором или коллинеарным ему A, 1, 6). Касательная прямая: (а! — 2)/1 = у/1 = (z + 2)/6 . Нормальная плоскость: a! + i/ + 6z + 10 = 0. 300
?? Уравнение касательной X = х^\ Y = :у + Л ду dz др2 dF2 ду dz dF\ dF\ dz дх Z = z^\ dF\ dF\ dx ду dF2 др2 Нормальная плоскость: X-x dFi дх dF2 дх Y-y Z-z дРл дРл IK ду dz dF2 dz = 0. ?? s = 8ал/2. ?? s = 9a. ?? s = 10 . Кривая имеет четыре точки возврата с изменением знака ds/di в точках / = О , 7г/2 , тг, 37г/2. ?? Необходимое и достаточное условие: ? т^ О, (р*', е^ ё"') = 0. Уравнение огибающей: г — р— \jf,2^ е . Г = г^р . ?? г = р -\- vp^ . ?? r(s, ip) = p(s) + 77(s) COS ip + 6(s) sin ip . ?? r(if, ij) = {^{v) COS If, ip[v) sin If, V'('^O) • в частном случае: г = {f{v) cos г*, f[v) sin г*, г^) . ?? Если уравнение винтовой линии задано в виде р = [а cos и , а sin г* , Ьи) , то вектор 77 = (— cos и , — sm и искомое уравнение 0) — вектор главной нормали. Отсюда г = р — Хп = ((а + Л) cos и , (а + Л) sin и , Ьи) = = (г' cos и , г' sin и , 6г*) задает прямой геликоид. 301
?? г = p{s) + X(n{s) COS <f{s) + 6(s) sin^(s)), где ^(s) — произвольная функция переменной s. ?? Векторы n = (cos If, sini/, 0) и /i* = @, 0, 1) определяют нормальную плоскость к окружности р = [acosu, asinu, 0). Вектор, лежащий в нормальной плоскости и наклоненный под углом и к вектору п, есть вектор а = п cos и -\- к sin г*. Поэтому уравнение искомой поверхности г = р -\- va = [а cos и + г^ cos^ и , а sin г* + г^ sin и cos г* , v sin г*) . Исключая параметры г* и г^, находим X = ctgu{asmu-\-zcosu) ^ у = (^а sin г* + Z cos г*) , f = ctg I/ , -Л^— = (a + zctffif)^, 2/^(i + |^) = (« + f' Итак, y'^{x'^ + 1/^) = [ay + a!z)^ — поверхность четвертого порядка. ?? Уравнение данной прямой ri = (i/. О, /г). Уравнение эллипса Г2 = (а cos г', 6 sin г', 0). Далее, ri — Г2 = {и — а cos г^ , —Ь sin г^ , h) . Отсюда, при и — а cos г^ = О, имеем Г1 — Г2 = (О , —6 sin г' , h) . Искомое уравнение коноида: г = [acosv , bsinv , 0} + Л{0 , —bsinv , /г) = = {acosv , 6A — Л) sinг^ , Xh) . Исключая параметры Л и г^, получим уравнение коноида в неявном виде: ?? п = (а. О, и) , Г2 = f О, г;, |^ j , ?^i - ?^2 = (а, -v, и - ^j . Если г* — |- = О, то Г1 — Г2 = (а , —г^ , 0). Отсюда v^\ ., „, / v^ г = [о , V , — ] + Х(а , -V , 0) = их , v(l - X) , ^ 302
a^y^ = 2pz{x — aY • ?? Параметрические уравнения данных окружностей: n = (a(l+cosif) , О , a sin If) , Г2 = @ , a{l-\-cosv) , asinv) . Находим: Г1 — Г2 = {a{l-\-cosu) , —a(l+cosij) , a{smu — sinv)) . Имеем sin и — sin г^ = 0, откуда: 1) V = и -\- 2А'7г , 2) г; = 7Г — г* + 2к7Г . В первом случае имеем: Г1 — Г2 = {а{1-\- cos и), —a{l-\-cosu) , 0) параллелен A , — 1 , 0). Таким образом, получаем эллиптический цилиндр р = (a(l+cosif) , О , asinu) + ЛA , —1 , 0) = = {a{l-\-cosu) + Л , —Л , asinu) . Во втором случае Г1 — Г2 = {а{1-\- COS и), —a{l—cosu) , 0) параллелен A , — 1 , 0), и вторая поверхность, составляющая данный цилиндроид, определится уравнением: и = (a(l+cosif). О, asinu) + A(a(l+cos г*), —аA— cos и), 0) = = (a(l+A)(l+cosif) + Л , —aX{l—cosu) , asinif) . Исключая параметры Л и г*, получим: z"^ + z'^{{x - у)'^ - 2а{х + у)) + 4а^а::у = О . ?? П = I-, ^, О , Г2 = И^, О, И , Г1 - Г2 = ^S^, Щ -V Условие коллинеарности вектора ri — гг и плоскости у — z = О дает ы + г' = О , г' = —и , п — Г2 = — , и , и ] . \Р J 303
Искомое уравнение: + I'f — , г*, г* j = f —A+21') , u{l-\-v) , uv j Исключая параметры и и г^, получим у'^ — z'^ = 2рх — гиперболический параболоид. ?? Уравнение оси Oz имеет вид: ri = (О , О , г*); уравнение данной кривой: Г2 = [ b cos V , b sin г^ , 6^ cos V sin г^ Отсюда Г2 - Г1 = {^bcOSV , 6sini; , 5^,,3.sm. " "^ ' ^ = 5^cosLm^ ' Г2 - Г1 = Fcost; , 6sini; , 0) '^= (o^ 0^ 5^^^f^)+M^^osi;, 6sint;, 0) = = Xb cos 1^ , Xb sin 1^ ' b^cosvsinv / Исключая параметры Л и г^, получим: b'^xyz = а^(а!^ + 2/^)- ?? Из условия (а + 1*6 — р, п) = О находим и = ^^^^ • Отсюда и = р -\- Х{а -\- иЬ - р) = {1 - Х)р -\- X (а -\- [п,р-а) {щЬ) ?? Возьмем уравнения данных эллипсов в виде: П = (а , bcosu , с sin If) , Г2 = (—а , ccosi^ , bsinv) . Вектор Г1 — Г2 = Bа , 6 cos и —с cos г^ , с sin г* — 6 sin г^) параллелен плоскости хОу, поэтому csinif — bsinv = 0. Отсюда sin V = ^ sin и , cos г' = ± ^ уб^ — с^ sin^ и , Г1 — Г2 = Bа , b cos ti lb I у 6^ — c^ sin^ i/ , 0) . Искомое уравнение: и = (^a , b cos If , с sin if) + гм 2a , 6 cos if ib | у 6^ — c^ sin и , Oj илиЯ = ( a + 2aiJ , b cos if + гм 6 cos if ib | у 6^ — c^ sin if J , с sin if J . 304
?? Уравнение оси Oz: р = (О , О , v). Находим: р-р= {и , и'^ , и^ - v) , 1/^ - г; = О , р = (О , О , i/^) . Искомое уравнение: г = р + v{p — р) = (О , О , г*^) + v{u ,1/^,0) = {uv , г*^г^ , г*^) . ?? г = (бг^ , av cos г* , F + а cos и){1 — v) + а sin г*) . ?? Уравнения данных прямых: р = (г*, 1,1) и р = A,г^,0). Уравнение прямой, проходящей через две произвольные точки этих прямых, имеет вид: г=A, г;, 0) + Л(|/, 1, 1). Для точки пересечения этой прямой с плоскостью xOz имеем: г; + Л = О , г = A, г;, 0) - v{u, 1, 1) = A - uv, О, -г;) . Эта точка должна лежать на окружности X = cos ^ , I/ = о , Z = sin ^ . Следовательно, 1 — UV = cos ^ , г' = — sin ^ , откуда 1 — cos ^ Ф и= ^^ = -tg^. — sm (f 2 Остается составить уравнения прямой, проходящей через точки (— tg ^, 1, 1) и A, — sin^, 0). В результате получаем: г=A, -sin^, 0) + V'((l, -sin^, 0)-(-tgf , 1, l)) = = M + 'Ф M + tg IJ , - sin ^ - 'ф{1 + sin ^) , -ф) . ?? г = {a{cosv — If sin г^) , a{smv + ucosv) , b{u + г^)) . ?? c''{x^ + y''f = a\x^-y''){z + cf. ?? Будем считать, что в плоскости тг заданы прямоугольные декартовы координаты {Су'п)- Тогда уравнение кривой р = р{и) можно записать в координатной форме: ^ = ^[и) , т] = г][и). Кроме того, предположим, что прямая ЛВ представляет собой ось z в пространстве и что по ней скользит ось Г] движущейся плоскости 7Г. При надлежащем выборе осей X , уж положительных направлений на координатных осях имеем: Щи, v) = {S,{u) cos V , ^{и) sin г^ , rj{u) -\- av) . 305
?? R{u, v) = r{u) + a n{u) cos v -\- a b{u) sini', где n ж b — орты главной нормали и бинормали кривой г = г{и); точки (г*, г^) и (г*, г^ + 27г) отождествляются. ?? Возьмем точку пересечения нормалей за начало отсчета радиус- векторов. Тогда (г,г^) = О , (г,г^) = 0 , откуда |гр = const. Следовательно, данная поверхность — сфера или часть сферы. ?? Объем тетраэдра равен 9а^/2. ?? Касательная плоскость: X у Z 9 : h — h , = а^ . и sm V и cos V ^а^ — и^ Искомая сумма равна а^. ?? Уравнения линии пересечения в криволинейных координатах: и — u\ cos(iJ + v\)jcos 1v\ (кроме образующей v — v\)^ где u\, v\ — координаты точки касания; параметрические уравнения той же линии в декартовых координатах: X — u\ COS V ^ y — u\ sm V ^ z — a sm Iv . cos 2v\ cos 2v\ Уравнение ее проекции на плоскость ху\ X +1/ = [х costal — у smi^ij . cos 2v\ Поскольку проекция есть окружность, то сама линия (плоская линия) есть эллипс. ?? Уравнение касательной плоскости: ИЛИ т. е. все касательные плоскости проходят через одну точку — начало координат. Впрочем, это ясно и из того, что данное уравнение определяет конус с вершиной в начале координат [z — однородная функция от а! и у). ?? Касательная плоскость: кх^\т\.и — kycosu + vz — kuv = 0; нормаль: г = (г^ cos и-\-Хк sin и , г^ sin и—Хк cos и , А'г*+Лг^). ?? f+ 51 + ^ = 3. 306
?? Пусть уравнение кривой С имеет вид р = p{s). Уравнение поверхности: г = р -\- Xv, где V — единичный вектор, касательный к кривой С. Находим: дг ^ ^ дг ^ дг ^ дг ^ ^ , -—S = г' + ДА' 77 , ^—Л = г' , ^—Л х -—s = Хк b ; OS OS OS OS при s = const (t. e. в точках одной и той же касательной) этот вектор имеет неизменное направление (ибо тогда b = const). Отсюда также следует, что касательной плоскостью к такой поверхности во всех точках кривой С является соприкасающаяся плоскость этой кривой. ?? Уравнение поверхности: г = р -\- Хп. ^s = v + X{-kv + f^b) , fA = 77, дг ^ у^ дг_ ds ds Уравнение касательной плоскости: ^s X |^Л= {1-Хк)Ь-Хку . {R — р — Хп, b — ХкЬ — Xkv) = О , или (Я, Ь- Хк v) - {p,b- Хк v) + Л^к = О . Уравнение нормали: 11 = р-\-Хп-\-^{Ь- Xkv) . ?? Уравнение поверхности: г = р -\- ХЬ. дг ^ 9г ^ ^ дг дг ^ ^ —-S = V — Хкп , —-Х = Ь, -—S X -^—Л = —п — Хк V OS OS OS OS Уравнение касательной плоскости: {R — р — ХЬ, п -\- Xkv) = О , или Уравнение нормали: {R — р, п -\- Хк v) = О . R- pj^Xb^^{n^XKv) . ?? Если а — направляющий вектор заданной прямой и начало радиус- лрямой, то векторы г, а и (дг дг\ (г, а X — X — ) = О . \ои ovJ векторов взято на этой прямой, то векторы г, а и ^ х ^ лежат в одной плоскости и 'дг дг 307
Отсюда Зг dv dv dv ou ov ov ou Ho это равенство можно записать в виде равенства нулю функционального определителя: д\г\'д{а,г) д\г\'д{а,г) _ ди dv dv ди Отсюда следует, что между величинами |гр и (а, г) существует функциональная зависимость |г|2 = /((а,г)). Выбирая ось Oz вдоль вектора а, получаем поверхность вращения x^-\-ii^ = ?? Огибающая: 4z^ ( ^ + l^-) = 1; ребро возврата мнимо. ?? Огибающая: х'^ + ^2^2 iP + z^ = а^. ?? Огибающая: [x'^-\-y^-\-z'^ — xY — a!^+i/^; ребро возврата вырождается в точку (О, О, 0). ?? Взяв уравнения парабол в виде у^ = 2рх , z = 0ni/^ = 2gz, а! = 0, получим уравнение огибающей в виде у^ = 2рх -\- 2qz — параболический цилиндр с параметром \/р^ + q^. ?? Дифференцируя выражение \R—p\^ = о? по s, получим {R—p, v) = 0. Отсюда R — р = Xb -\- рп. Так как |Я — рр = |ар, то Л^ + //^ = а^ и можно положить Л = а cos ip , р = а sin ^ . Таким образом, уравнение огибающей: R = р -\- a(h cos <р -\- п sin ^) . ?? Ребро возврата представляет собой кривую, точки которой получаются при пересечении осей кривизны кривой р = p[s) с соответствующими сферами данного семейства сфер. ?? Уравнение семейства: [х — Ъ cos <р) -\- у — Ъ sin ^ + Z — а = О . Огибающая — тор (поверхность четвертого порядка): (а;2 + у2 + 2^ + 6^ - ^f - АЬ\х'' + 2/2) = О . Это уравнение получается при исключении <р из уравнений дР F = 0 и ^^s^ = 0 . as 308
Ребро возврата в случае а > b вырождается в две точки @,0,±Va2-62), а в случае а = b вырождается в одну точку (О , О , 0). ?? Уравнение семейства: х'^ + :у^ + z^ - 2и^х - 2и^у - 21/2 = О . Исключая и из этого уравнения и уравнения ?>u^x-\-2uy-\-z=^^ найдем огибающую: гх{Щх'^ + 2/^ + ^^) - 2zi/)^ + 2у{Щх'^ + 2/^ + ^^) - 2zi/)- -A2a!z - V) + zA2a!z - 4:у2J = 0 . Ребро возврата найдем, присоединяя к двум указанным вып1е уравнениям еще уравнение ^их + 2у = 0. Отсюда и = —y/Zx^ и уравнение ребра возврата: 21х\х^ + 2/^ + z^) - V + 18^:yz = О , у^ -Zxz = {) . Ребро возврата можно получить и в параметрической форме: V9i/4 + 9i/2 + l ' 9i/4 + 9i/2 + 1 ' 9i/4 + 9i/2 + lJ • ?? 0^2/3 + .у2/3 _^ ^2/3 ^ ^2/3 ^ ?? 0^2/3 _^ :у2/3 _^ ^2/3 ^ ^2/3 ?? o^i/z = 2a^/9 . ?? Огибающая: i/^ = 4a!z; ребро возврата вырождается в точку, совпадающую с началом координат. ?? Характеристика: X = G(cos а -\- а sin а) — z sin о; , i/ = G(sin о; — о; cos а) + z cos а . Ребро возврата — винтовая линия: X = С cos о; , у = С sin о; , z = С а . ?? Пусть р = p{s) — уравнение данной кривой. Уравнение семейства соприкасающихся плоскостей {r-p,b) = Q. 309
Дифференцируя по s, получим (г — p^v) = 0. Характеристикой является касательная: (г-р,6) = О , (г-р,77) = О . Огибающая: г = p-\-\v — поверхность, образованная касательными к данной кривой. Дифференцируя cooTHonienne (^г — р,п) = О еще раз, получим {г — р,Ь) = 0. Отсюда и из соотноп1ений (г - р, 6) = О , {г- р,п) = 0 г = р, т. е. ребром возврата является данная кривая. ?? Характеристики — оси кривизны данной кривой. Огибающая — поверхность, образованная осями кривизны. Ребро возврата — кривая, описываемая центрами соприкасающихся сфер данной кривой. ?? (г, й') + !:)' = о , г = о;й + /?й' + Лй X й' , a = {f,n) = -D, /?=^ = -^. Уравнение огибающей: г = —Dn — -\- лп X п (параметры г* и Л). Характеристики — прямые и = const. Ребро возврата определим, разреп1ая уравнения (г, Й) + D = О , (г. Я') + D' = О , (г, Й") + D" = О относительно г: ^_ {г,п)(п'хп ")^-{г,п')(п "хп)^{г,п")(пхп') _ (Я, п' п") _ Dn'xn''-\-D'n''xn-\-D''nxn' (п, п ', п ") ?? Огибающая семейства плоскостей, касательных к обеим параболам. Уравнение семейства: Ха-2аУ- (-- + ^ Z+ = 0 где а — параметр семейства. 310
?? Вектор нормали п = [и -\- г') (г sin v — j cos v + к) параллелен вектору i sin г^ — j cos v-\-k, который не меняется, если параметр г^ сохраняет постоянное значение. Отсюда линии г^ = const — прямолинейные образующие поверхности, а линия г* + г^ = О — ребро возврата, так как во всякой ее точке модуль вектора п обращается в нуль. ?? Уравнение кривой: и = const; ребро возврата: X = 2(а — Ь)и cos^ V , у = 2(а — Ь)и sin^ г^ , Z = 2i/2 ((а - 26) cos2 г' + F - 2а) sin^ г') . ?? х = Ш , у = -Zt^/h , Z = -t^/ah . ?? Искомая развертывающаяся поверхность огибает семейство плоскостей Хх + Ул/а2 - 0^2 _^ ^V 12" ~ ^^ = ^^ ' где 3! — параметр семейства. ?? ^) 1+2Ш ^^1^2? ^^^ уЗ|2а25-уЗ_з5у2| , ?? а) I COS 3! I; b)|; с) ^; d)—5— 8a|sin(t/2)| • ?? "{ 2+У^^ . ) ^^ с • • "^Z A+cos2j:K/2 5 Ы 1+2^ ^. ^ Аат{1-\-т) sin | ' 14 ^^|2а^5-^^-35^^| *^/ а(у4_25уЗ+а^Ь2)з/2 е) I COS 3! I; f) ^ 8a|sin ^1 ' ?? а) г= (f(sin4/ + 2sin2/) , -f (cos 4/+ 2 cos 2/)); ,2 _^ 2* 311
b) г = (aB/ + sin 2t) , aB — cos 2/)) — циклоида; c) г = (acos/ , a In(tg^ + I J — a sin/ J — трактриса. ?? 9x-27y-z-\-7 = 0. ?? Для соприкасающейся плоскости находим уравнение сх — ау = be — ad, не содержащее параметра г*. Подставляя в это уравнение выражение для X, у через и, получаем тождество, откуда заключаем, что кривая действительно лежит в своей соприкасающейся плоскости. ?? Соприкасающаяся плоскость: 6х — Sy — z -\- 3 = 0. Главная нормаль: х = 1—31Л , у = 1—26Л , z = 1+22Л. Бинормаль: х = 1 -\- 6Х , у = I — SX , z = l — Л. ??t/ = i. ?? Касательная:г = (аcos/— аЛsin/, asint -\- aXcost, b{X-\-t)). Пормальная плоскость: axsint — aycos t-bz-\-bH = 0. Бинормаль: г = (а cos t -\- bX sin / , а sin t — bX cos t, bt -\- aX). Соприкасающаяся плоскость: bxsint — by cost -\- az — abt = 0. Главная нормаль: г = ((a + Л) cost, (a + Л) sin/ , bt). ?? Касательная: a! = 1 + 2Л , у = —X , z = 1 + ЗЛ. Пормальная плоскость: 2x — у -\- 3z — Ь = 0. Бинормаль: x = 1 — ЗХ , у = —ЗЛ , z = 1 + Л. Соприкасающаяся плоскость: Зх -\- Зу — z — 2 = 0. Главная нормаль: а! = 1 — 8Л , i/ = ИЛ , z = 1 + 9Л. ?? _ I: sin t , cos t, cos 4 I — cos^ —6 cost —1 , — sin tF+cost) , —2 sin ^ ^(cos2 t+6 cost + lJ+sin2 tF+costJ+4 sin^ I ^ = \/13+3COSt((^ + c^^^) ^in I - A + c^^O c^^ Ь 2) ; ^, _ 1 / 13+3 cost "" Y 2 (l+cos2 1 j 12 COS I aA3+3cost) 2 / \ 2 312
?? a) Пусть a — единичный вектор фиксированного направления. Тогда ^а, v) = cos V {v = const) . Так как ^(а, v) = (а, {') = О, то к{а,п) = 0. Исключая случай, когда к = О (прямые), получаем (а, п) = О . Следовательно, нормали перпендикулярны фиксированному направлению. Обратно, если п перпендикулярен фиксированному направлению, то (а, г') = const. b) Пусть к ф 0. Из (а,77) = О с помощью третьей формулы Френе вытекает (а, 6) = О, откуда (а, 6) = const. Обратно, дифференцируя эту формулу, получаем {а,п) = 0. c) Дифференцируя равенство {а,п) = О, получаем k{a,v) = к{а,Ь), откуда к {а,Ъ) — = г = const . Обратно, из первой и третьей формул Френе следует V Ь ^ к к откуда — {; -|- 6 = О , —V -\- b = const = а . к к Умножая скалярно на п, получаем (а, п) = 0. ?? Показать, что для этой кривой ^ = const и воспользоваться задачей ??. ?? Показать, что - = 1 и воспользоваться задачей ??. Искомый вектор е = г; + 6=A. О, 1). ?? Согласно задаче ?? (^/?, j^P^ J^P) ~ ^' поэтому сферическая индикатриса является плоской кривой. А так как она лежит на сфере, то она является окружностью. ?? а) Пусть г = r[s) — уравнение кривой 7 в натуральном параметре. Тогда кривую 7* можно задать в виде г* = r[s) + a[s)n[s)^ где n[s) — главная нормаль к кривой 7, а a(s) — некоторая скаярная функция. Ясно, что, вообще говоря, s не является натуральным параметром на кривой 7*. Имеем ^г* = г^ + п^^а + a{—kv + кЬ). Далее, из условия вытекает, что {-j^r*,n) = {-j^f^*,n*). Так как вектор Jjr* параллелен вектору г^*, то (Jjr*,77*) = 0. Итак, доказано, что {-j^f^*,n). Подставляя выражение для JjT*, получаем, что ^а = О, т. е. а = const. 313
b) Из реп1ения предыдущего пупка следует, что ^г* = v{l — ак) -\- акЬ. Продиференцируем это равенство по s и воспользуемся формулаи Фене. Получим ——г* = кпA — ак) + г'--A — ак) + а —-к Ъ — ак^п. ds^ as \as Заметим, что в соприкасающейся плоскости кривой 7* лежат векторы , ,2 JjT, ;^, 77*. Но по условию П = ±77*, ПОЭТОМу ВСКТОрЫ —-Г X 77 = A — ак)Ь — аку as коллинеарны. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. а — ак ак, что эквивалентно равенству d fl — ак\ ds \ к Отсюда ^-^ = 6 = const, т. е. ак -\- Ък = 1, где а ж Ъ — некоторые постоянные. ?? Пусть исходная кривая задана в виде г = r[s). Покажем, что в качестве кривой, составляющей с исходной пару Бертрана, можно взять кривую p[s) = r[s) -\-an[s)^ где n[s) — вектор нормали к исходной кривой. Легко показать, что -^р = A — ak)v[s) -\- aK[s) перпендикулярен n[s). Далее, легко проверить, что j^p = (l — ak)kv-\-a {j^k) у-\-а^^кЪ—ак^п. Для даказательства того, факта, что p[s) = r[s) -\-an[s) составляет с исходной кривой пару Бертрана, достаточно показать, что векторы ^р, -^р и п компланарны, т. е. параллельны одной плоскости. Для этого достато- ЧПО проверить, что векторы ^р х 77 и -^р х 77 пропорциональны. Легко показать, что —-р X 77 = A — ak)h — аку, ds 314
Так как '^~^ = 6 = const, то ^ (^~^) = О- Это равенство можно переписать в виде —a4-h а^к as as 1 — ак ак , ,2 Отсюда следует, что векторы j^p х п ж j^p х п пропорциональны. ?? Воспользоваться задачей ??. Положить 6 = 0, а = 1/к. ?? Пусть кривая j задана в натуральной параметризации г = r(s). Тогда кривая 7* задается в виде p{s) = r(s) + Xb{s). Так как бинормаль кривой 7* параллельна 6, то {Ь, j^p) = О Отсюда ^Л = 0, т. е. Л — постоянная величина. Поэтому j^p = v — Хкп и j^kv — Хкп -\- Хкку — Хк^Ъ. Заметим теперь, что {j^P,b) = О, поэтому Лк = 0. Так как кривые 7 и 7* различны, то к = 0. ?? Пусть г = r(s) — натуральная параметризация кривой j. Запип1ем уравнение кривой 7* в виде p{s) = r(s) + X{s)n{s)^ где n{s) — вектор главной нормали кривой 7, а A(s) — некоторая скалярная функция. Имеем ^р = г; + X{—kv + кЬ) + Хп. Так как (^р, 6*) = О, то (^р, п = 0. Отсюда Л = const и j^p = г^ + X{—kv + кЬ). Далее, вектор -г-^^р = —Xkv + (к — Хк^ — Хк^)п + ХкЬ ортогонален вектору Ь* = п. Следовательно, к — Хк^ — Хк = 0^ т. е. к = Х{к'^ + к'^). ?? Пусть к ж к — соответственно кривизна и кручение исходной кривой, параметризованной натуральным параметром s, а к* ж к* — соответственно кривизна и кручение ее эволюты. Тогда л/Р~+~^ * /^^ d fk к = Г-Г-, , ff sk\ ' sk{k'^ + к^) ds \к ?? У линий откоса OTHonienne - постоянно. Отсюда по задаче ?? получаем требуемое. ?? Уравнение по деры будем искать в виде p{t) = г(/) + Л(/)г'(/). Скалярную функцию Л найдем из условия {р,г^) = 0. Имеем Л = — Ч^Л2 • Отсюда 315
?? X = a I cos/ + У = z = a I sin / + hH sin/ , cost , ?? Если длина окружности цилиндра равна niary винтовой линии. ?? а) Единичный вектор бинормали b = (—1,0,0) параллелен оси Ох. Соприкасающаяся плоскость кривой в рассматриваемой точке совпадает с плоскостью хОу. Центр соприкасающеяся окружности находится в точке @,1,0). Радиус этой окружности равен 1. Соприкасающуюся окружность можно задать уравнениями (i/ — l)^ + z^ = l, х = 0. b) (a;-iL(t/ + 3J + (z-4J = SI 4 О 2x — 2y — z — 3 = ?? Воспользуемся задачей ??. Радиус кривизны кривой равен A + 4/2 + 9/^/2 R = C6/-*+ 36/2+ 4I/2 • Далее, • _dR _ dRdt ds dt ds ^ = A + 4/2 + 9/4I/2 di ^ ^ Отсюда получаем радиус, что радиус соприкасающейся сферы равен ^. XI. b) (е* + е-*J^1 + (е*-е-*J c) Зл/2e^ ?? Винтовая линия, которая лежит на цилиндре х'^ -\- яр' — ^ ж имеет niar 1. ?? Пусть рассматриваемая кривая имеет параметризацию х — x{t), у = !/(/), Z = z{t). Рассмотрим функцию At) x{t)-x{to) y{t)-y{to) z{t)-z{to) x'{to) l/ito) z'{to) ^"{to) l/'{to) z"{to) 316
Разложим x{t), y{i) и z{i) в ряды Тейлора и выражении для функции <p{i) коэффициент при (/ — /о)^ к нулю. Получим Х' III (to) 2/"'(io) z"\U) ^•\U) 2/"(io) z'\U) x'{to) l/ih) z'{to) = 0. Следовательно, кручение рс1ссматривс1емой кривой равно 0. ?? Д = г + (ГуП) 2к\гР+{г,п) n){{r,n)n-{r,v)v). ?? Д = Г + ,н.(..х.»ж.'х.)к'И (l^-^ X НИ - {г, т'У)■ ?? Д = г+%^(п(е,п)-г;(е,г;)). Если кривая задана уравнением г = г(/), то Если кривая задана уравнением у = /(а:), то Х = а!. где e = [l, m). ?? a) Пусть эллипс задан в параметрическом виде: x{t) = а cos/, y{t) = 6sin/. Тогда эволюта эллипса задается в виде Ф) = «2-62 - COS /, Р-а-" ■sin^t. Радиус кривизны равен -^ '—. Чтобы найти уравнение эвольвенты эллипса, запип1ем выражение для длины дуги эллипса: s{t) = / V^ sin^ + 62cos2^ dt. Заметим, что этот интегргш в элементарных функциях не берется, отсюда получс1ем уравнение эвольвенты: 317
Здесь С — произвольная постоянная. b) Пусть гипербола параметризована следующим образом: x{t) = ach/, y{t) = bsht. Тогда уравнение эволюты имеет вид: а62-\-Р 3 «2 + 62 3 х= СП/, у = sht. а о гадиус кривизны гиперболы равен ^ -^ ^—. c) Параметризуем параболу следующим образом: Эволюта задается в виде ^ = —2"' У=Р-^1Г- р^ 2р Радиус кривизны параболы равен р ll -\- К) . d) Эволюта той кривой задается в виде X = —атг + а(/' — sin/') I/ = _2а + аA — cos/') /' = / = 7Г Радиус кривизны данной кривой равен Я = 4а |sin ||. e) Указание: перейти к декартовым координатам. Уравнение эволюты имеет вид: X = |(cos^ — cos^/+ 2) I/ = 1A — cos ^) sin ^. Эта кривая является кардиоидой. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену ^ = тг — / и произвести замету координат Х = -{х-^а), Y = y. Радиус кривизны исходной кривой равен |а Icos ^1. 318
f) Эволюта: X = 3! — ash ^ clvxa^ у = 2a ch-. Радиус кривизны: ach ^. Эвольвента цепной линии, проходящая через ее верп1ину задается в виде (a(lntg | + cos/), а sin/), т. е. является трактрисой. g) Эволюта: X = ■ ^ч'^^^^ч' I "vv^ -r^} р^^ ^„ - (^2 + 2 (^2+2^1^^ гадиус кривизны: ^ 2-\-ip^—* Эвольвенты: X = a^cos^-(C + g)""^^-^^;"^, у = a^.in^-(C + .)^Hl^±p^, где S = |(^л/1 + ^2 + 1п(^ + л/1+^)), а G — произвольная постоянная. ?? Эволюта логарифмической спирали задается в виде X = —а'^ In а sin а у = а'^ In а cos ^. Легко проверить, что эти формулы можно переписать следующим образом: X = (а~^ In а)а^+'^ cos (|-+ ^) , у = (а~^ In а)а^+'^ sin (| + ^) . Теперь легко проверить, что эти уравнения задают логарифмическую спираль с тем же самым параметром а, повернутую относительно исходной на угол I". ?? X = а cos/ +(а/— G) sin/ у = а sini — (at — С) cos /, где G — произвольная постоянная. ?? 8rsin|. ?? Зададим астроиду параметрически: X = ^cos^ --, i/ = я sin --. 4 " 4 319
Эволюта: X = Я cos I (cos^ 1 + 3 sin^ I) , у = я sin I (sin^ 1 + 3 cos^ |) Ортогональным преобразованием т. е. поворотом на угол ^, уравнения эволюты приводятся к виду X = 2i?cos3(| + |), у = 2i?sin3(| + |) ?? Натуральные уравнения таких кривых: к = _^\_^, где С — произвольная постоянная. ?? Пусть кривая j задана в натуральном параметре уравнением г = r(s). В этом случае кривая 7* задается уравнением p{s) =r(s) + -^riis), где n{s) — вектор главной нормали к кривой 7- Заметим, что, вообще говоря, S не является натуральным параметром на кривой 7*- Имеем , к, ,, d /к\ к^ , ,, карра^ Отсюда ds\kJ к ^ к'^ • • ^ ' ухг''\ ^ ^ частном случае: ^к\к\. ?? Показать, что асимптотическое направление не может быть перпендикулярно оси вращения. ?? Па до взять произвольную дугу винтовой линии с параллельными касательными в концевых точках и соединить эти точки плоской кривой. Концы дуги винтовой линии, конечно, сначала надо немного продлить так, чтобы кручение непрерывно переп1ЛО в нуль. ?? р = ^(s)^'(s) и сг = ^(s) + const. ?? Пусть a,b,c,x и /3 — катеты, гипотенуза, перпендикуляр на катет а и угол, противолежащий стороне b соответственно. Тогда по теореме синусов: sha! = sh|sin/?, а с другой стороны, shb = she sin/?. 320
2sh|ch| = 2 sh I ch I sin/?. Таким образом, -^^ = ^--^ Остается заметить, что функции ch и sh возрастают на R_|_. ?? а) 7г, Ь) 7г/2, с) 7г/2, d) тг/б, е) 7г/2, f) 7г/2, g) 7г/4. ?? 4arcsin;^- f. ?? 7г/2. ?? а) \Cv-\-^y {а'^ sin'^ и -\- Р cos'^ и) du4 + 1F^ — а^) sinif cosuyv—^ J di/ с?г^+ b) (^ ((a^(-^^ - 1)^ + 4b^v^ + c^(t'2 + 1J) du4 +2(a2(w2 _ 1)(г;2 _ 1) _ 4^,2^^; + с2(ы2 + 1)(г;2 + 1)) du dv+ j^[ (a2(«2 _ 1J +462«2 + ,2(^2 + iJ) ^,,2^ . c) M*^-;^) (a2 sin2 Ы + 62 cos2 ы) (/«2+ + iF2 — a2) sin Ы cos Ы ( i"— ^ 1 с?ы dv+ + k(^{l+i,)\a^co8^u + b^sm'u) + c^{l-^yyv^; d) (psin If + g cos^ u)v^ dv? -\-2[q — p) sin и cos i/ di/ di^H- + (pcos^ u-\- q sin^ If + г^^) du^] e) (p + g + 4г;^) du^ + 2(p - g + 4гл;) du dv-\- [p-\- q-\- Au^) dv'^; f) (a^ sin^ If + 6^ cos^ If) dif^ + di^^; Сфера: ds^ = di/^ + Я^ cos'^{u/R) dv^. Top: ds^ = di/^ + Га + 6 cos l") dt;^. Катеноид: ds^ = dif^ + {a^ + if^) dt;^. Псевдосфера: ds^ = dif^ + e~^^/^ dt;^. Указание: if — натуральный параметр меридиана. ?? ds^ _ ^^2 _^ g-2w/a ^^2 Полагая If = t), ij = ae^/^, получаем 2 a rfs2 = ^(rfM2 + rft;2). ?? Пусть r = F{p) — искомая зависимость. Имеем d.2 = (;/2 ^ ^/2)^^2 ^ _^2^^2 ^ (_^/2 ^ ^/2)^/2^^2 ^ _^2^^2 ^ = Л2(йы2 + rf.,2^ ^ д2(^^2 ^ ^2^^2^^ 321
откуда получаем уравнение -77^ = -j=J==^ реп1ая которое, получаем ис- dr. комую связь _ /v7^35±Z!M ^~У /(г) Применение к катеноиду этой формулы дает р = е^ и, положив и — рcosif^v = psin^, получаем Z = ^1п{и'^-\-v'^) = Kelnw, W = и-\-iv^O < \w\ < 00. ?? Пусть поверхность М^ С R^ задана уравнениями Xi = Xi{p,q), i = 1, 2, 3, а переменные р и g изменяются в некоторой области на плоскости. Пусть функции Xi = Xi{p,q) — вещественно-аналитические. Пару {p,q) можно рассматривать как координаты точки на поверхности М^. Кривая С на М^ задается уравнениями p = p{t) , q = q{t) , a<t<b. Элемент длины дуги выражается через вектор х = {xi^ Х2^ х^): ds^ = dxdx = {xpdp-\- Xqdq){xpdp-\- Xqdq) или ds^ = [xp^ Xp)dp'^ + 2{xp^ Xq)dpdq + [xq^ Xq)dq'^ = = Edp'^ + 2Fdpdq + ^rdg^ , где Л/ — У'^р) '^pjj ^ — y^p-) ^q)-) ^ — y^q-) '^qj- В силу того, что элемент длины ds'^ всегда положителен, W^ = EG — F^ также положителен. Пайдем систему координат (г*,г^) с элементом дуги ds^ = Л(г*, v){du^ + dv^^). Имеем f гт^. F + iW Л f гт^. F-iW , -dq ds^ = (л/Ёф+ ^^^dq\ (VEdp-\- VE Предположим, что мы можем найти такой интегрирующий множитель а = (Ji + i(T2, что Тогда а vEdp -\ ■;=—dq ] = du-\- idv . - ( /— F — iW \ (т [ vEdp -\ -=—dq = dif — idv 322
и, наконец, |crpds^ = du^ + dv'^. Полагая сг^ = 1/Л, мы получаем искомые изотермические координаты (г*, г^). Таким образом, мы получили изотермические координаты, найдя интегрирующий множитель, который превращает выражение л/Edp -\ ■==—da л/Ё в полный дифференциал. Дифференциал du + idv может быть записан в виде _ ., fdu .dv\ . fди .dv\ ^ Далее, 5i/ .51= _ /- 5i/ .51= _ (F + iW) dp dp ' dq dq л/Ё Исключая сг, получим ^ fди ,dv\ .^ .^^^. fdu ,dv \Oq OqJ \Ор op или E^-F—-W— E—-W— + F — Oq op op Oq up up Разреп1ая эту систему относительно неизвестных dv/dp и dv/dq^ получим ду _F%-E% dp ^/EG - f 2 ' АнсШОГИЧНО и а dq op 'д^ ~ VEG - f 2 ' dq ~ ^EG - f 2 Следовательно, и удовлетворяет уравнению dv dq ди /^ ди р ди др dq ' л/EG - f 2 ■ р dv /^ dv _ dq dp (*) = 0, которое называется уравнением Бельтрами-Лапласа. Если известно второе семейство изотермических координат {х^у) в окрестности точки, то ds^ = fiidx'^ + G?i/^). Используя координаты {х^у) вместо координат {p^q)^ получаем Е = G = fi^ F = О и dv ди dv ди дх ду ' ду дх 323
Итак, получены уравнения Коп1и-Римана, откуда видно, что функции и ж V являются сопряженными гармоническими функциями, а функция f = и -\- iv — аналитической от z = х -\- iy. Уравнение Бельтрами принимает вид известного уравнения Лапласа д^^и/дх^ + д'^и/ду^ = 0. Говорят, что комплексно значная функция /(р, д), определенная на М^, называется комплексным потенциалом на М^, если ее действительная и мнимая часть удовлетворяют уравнениям (*). Таким образом, действительная и мнимая части комплексного потенциала на многообразии М^ дают изотермические координаты в окрестности каждой точки на М^. Отметим, что эти координаты — локальные: они не обслуживают, вообще говоря, все 2- мерное многообразие; при переходе от одной точки к другой комплексный потенциал будет меняться. ?? а) Рассмотрим на поверхности сферы некоторую кривую <р = <р(Р). При движении по этой кривой стрелка компаса образует с направлением движения угол ф^ определяемый соотноп1ениями Здесь угол ф измеряется от оси у по часовой стрелке. Па карте мы получим dx ^V^2) i^'ib Пз этих двух соотноп1ений следует • й^ — ^^/^^ — М + af d^ ^' дв ^ dip de ду ^ ду dip\ dip . ^ дх ^ дх dip OS OS dO J dO OS OS dO Поскольку это cooTHonienne должно выполняться в рассматриваемой точке при любом значении d<p/dO^ то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях производной d<p/dO в правой и левой частях, получим % = 0, у = у{е), D) ds дх Ys ^0 = 0, х = х{^), E) -smO — O = --^ . F) OS OS 324
Из двух предпоследних соотноп1ений следует, что левая часть последнего зависит только от 6*, в то время как правая зависит только от ^, поэтому обе части этого соотноп1ения должны быть постоянными. Эту постоянную мы положим равной единице. Таким образом, в проекции Меркатора отображение задается формулами f de ^' 2/= -у ^T::^=lnctg; sin (9 ^2 77 J„2 _ rfp^+p^rf(/p^ - - as — (i_p2J . ?? Penienne: Ги = (ashifcostJ, ashifsintJ, cchif), Гу = (—achifsintJ, achi/cosi^, 0), Ги X Гу = (—acch ifcost', —acch usinv, a'^ch.ushu), \ги X Гу\ = achi/yc^ch if + a^sh i/, = . ""^ (—cchi/cosi^, —cchusinv, ash if), Гии = (a ch If COS V, achu sin i^, cshu), r^y = (—a sh и sin i^, a sh if cos i;, 0), Гуу = (—achifcosiJ, —achifsini;, 0), L = (гии^п) = , ^ =ac(—ch ifcos^iJ— - ch^ и sin^ i; + sh^ u) - - , ^^ M — (гц^,п)= . ^ =((—cchif cosi^)(—ash If sini^) + (—cch If sini;)(ash If cosi;)) = 0, TV = {vyy^n)— J ^ =((—cchif cos i;)(—ach If cosi;) л/с^ ch^ u-\-a? sh^ и + (-cchifsini;)(-achifsini;)) = . ^^^^ ^ Ответ: . ^^ (-d^i/ + ch^ i/ £4) ?? Penienne: 325
Ги = (cosiJ, sintJ, 2u), Гу = {—usinv, ucosv, 0), Ги X Гу = (—2if^cosiJ, —2if^sintJ, if), \ги X Гу\ = г^л/! + 41*2, n = тр^^тл = /1 ^ o(-2i/cosi^ -21/8^1;, 1), Г.. = (О, О, 2), Гиу = (—sintJ, costJ, 0), г^^ = [—ucosv, —Ifsinг^, 0), М = (г^^,77) = ;^7Щ=((-2|/со8гО(-81пгО + -\-{—2и sin г^) cos г^) = О, N = (г^^,п) = ^1^4^2 ((-2цcos г;){-и cos г;) + + (-2i/sint;)(-i/sint;)) = ^^^J= Ответ: -д|==(с?2^ + i/2 £у) ?? Решение: г. = (О, 0,1), Гу = (—^sintJ, Rcosv, 0), г^ X г^ = (—^costJ, —Rsinv, 0), гии = (О, О, 0), ruv = (О, о, 0), Гуу = (—^costJ, —^sintJ, 0), М = {г^у^п) = 0, N = {гуу,п) = = ((—cos г^)(—^cos г^) + (—sintj)(—^sini^)) = Я Ответ: RdPv. ?? Решение: 326
г и = (cos г^, sintJ, к), Гу = {—usinv, UCOSV, 0), Ги X Гу = {—kucosv, —kusinv, и), \ги X Гу\ = ил/1 -\-к'^, 77 Г.. = (О, О, 0), Гиу = (—sintJ, costJ, 0), г^^ = (—ifcosiJ, —usinv, 0), ^ = (?^^^,?^) = 0, М = (г^^,77) = = ^ ((—/i'cos г^)(—sin г^) + (—/i'sint^) cos г;) = О, N = {гуу.п) = -;,=L=((-A'cost')(-'ucost') + + (-A?sini;)(-i/sint;)) = ^^^ О^зет: ^ ?? Решение: г Ги Гу Е F G = = = = = = [ucosv, usinv, f{v)) (cos г^, sintJ, 0), (—г* sin г^, и cos г^, /'), у и •>'^и) — -Lj {Ги.Гу) = 0, (г„Г,) = ./2^(f)^ ?^г^ X г^ = (/sint;,-/^ COS г;, г*), ^ = iSj = ^.4(/0-^'^''^'''^^ -f cost;, и), гии = @,0,0), Гиу = (—sin г;, cos г;, 0), Гуу = 1^—ifcosiJ, —ifsm ^ = {Гии,п) = {), V. п. N = {гуу^п)=-^ лА^+Gт' г.^ _ LiV-M^ _ if? Таким образом, К = Л1Л2 < О и, следовательно, главные кривизны Ai и Л2 имеют разные знаки. ?? Пусть v^n^h — ренер Френе данной кривой. Тогда поверхность задается уравнением r{s,u) = p{s) +1*6E), 327
где s — натуральный параметр кривой р. Тогда Гз Ги Е F G ^ = = = = V — икп, ь. {Vs.rs) = l + i/^K^, {Гз^Ги) = 0, у и •>'^и) — -Lj Го X Ги = —П — UKIK \rs X Ги\ = л/Г+И^^^ т rss = кп — икп — ик{—ку + кЬ) = икку -\- {к — ик)п — ик^Ь, г.- _ LN-M^ _ _ к^ гг _ EN+GL-2MF _ к+ки^к^-ик ^ ~ EG-F^ ~ A+1*2^2K/2 • Ответ: К = — — , Я = + ки^к^ — ик A+1/2^2J' A _^ ^2^,2K/2 • ?? Пусть v,n,b -репер Френе данной кривой. Тогда поверхность задается уравнением r{s,u) = p{s) + 1*77E), где S — натуральный параметр кривой р. Тогда r.s = г^ — киу + икЬ = A — ku)v + икЬ, 328
Vs X Ги = —UKV + A — ku)b^ \rs X Ги\ = \/{l — kuY + n^K?^ m = f^$^= . \ (-UKV-\-(l-ku)b), Г55 = —ukv + if/ir6 + k{l — ku)n — uK^n = = —kuv -\- {k — k'^u — K?u)n + kuh^ rsu = -kv + /^^ 7- / \ (A;k —A;k)u^+ku ^ ' ^ ^A-А;г^J+г^2к2' ^^ = (?^^^,?тг) = 0, r,^ _ LN-M^ ^ ^^ — EG-F^ — [{l-ku)^+u^K^]^^ Ti _ EN-\-GL-2MF _ {кк-кк)и^-\-^и ^ — EG-F^ — [{l-ku)^-\-u^K^]^/^ • Ответ: к = ?? Penienne: [(l-A'l/J+|/2/,2]2' я = [кк — kk)u^ + /iri [(l-A^I/J+|/2/,2]3/2- Г = (f(^-.), |(^ + .), f) F G "^u X Гу n 2 / ' (a^ b_ y_\ \2' 2' 2/ ' / a^ b_ u_\ \ 2 ' 2 ' 2 / ' (r^,r^)= Ua^ + P + v'^), {ги^Гу) = |(б2-а2 + |/г;), (?^^,?^^)= lia'^ + P + u^), \{b{u-v), -a{u-\-v), 2ab), ГиХГу _ {b{u-v), -a{u+v), 2ab) = @, 0, 0), = @, 0, \) , = @, 0, 0), Запип1ем дифференциальное уравнение, определяющее линии кривизны поверхности: dv'^ —du dv du^ -M{Gdv'^-Edu'^) = L M N 0: E L F M G N 329
ab ((^2 -\-P-\- i;2)di/2 _ ^^2 ^ ^2 ^ u'')dv'') Отсюда получаем о?ц dv du _|__ dv sh(Ar sh ■лА2+52+^' = ± Аг sh =F Ar sh Va^-\-b'^ Va^+b^ лД^+Р" ) = shG, л/а2+52 лД^+Р" = shG, так как sh[x:ty) = sh а!chi/±ch xshy и cha! = у 1 + sh x. Таким образом, линии кривизны данной поверхности задаются уравнением иу а^ + ^^ + t'2 ± vya? + ^2 -|- г'2 = const. ?? Как известно (см. соответствующие задачи для геликоида в первой части книги), имеем Е F G L М N {Ги.Гу) = О, {Гу,Гу) = «2 + 1/2^ {Гии.п) = О, {Гуу.п) = О Запип1ем дифференциальное уравнение, определяющее линии кривизны поверхности: 0 = di;2 Е L —du dv F М du' G N = -M(Gdv'^ -Edu'^) = a {du^ - («2 + u^)dv^) л/а2 + 1*2 Отсюда получаем di;2 а2+г*2' = ± du л/а^-\-и = ±1п(ы + л/а2 + ы2)+а 330
Ответ: г^ = ± In ( г* + у а^ -\- u'^j -\- С. ?? Согласно задаче ?? линии кривизны геликоида задаются уравнениями V = ±1п(и-\- \/а^ + пА + С. Как известно, вторая квадратичная форма катеноида имеет вид и^ + а- -\- ad V Тогда значение второй квадратичной формы на касательных векторах к кривым, являющимися образами линий кривизны при изометрии, равно Таким образом, линии кривизны при наложении переходят в асимптотические линии катеноида. ?? Из условия следует, что p{s) — плоская кривая. Пусть п, b — векторы нормали и бинормали кривой p{s). Тогда а = ±6. Будем считать, что а = Ь. Отсюда следует, что V X п = а, V X а = —п, п х а = v. rs = V -\- kgv = A + hg)v, Ги = fa - д^п, Е = {Ts,Ts) = {l^kg)\ F = (г„г,) = 0, G = (г.,г.) = (Л^ + (^0', rsXr^ = -{l-\-kg)g'a-{l-\-kg)fn, m = Vss = k^gv + k(l + kg)n, rsu = kg^v, Гии = f'a-g''n, L - (r rn)- ^-^(^+^3^ M = (r,^,m) = 0. 331
Уравнения линий кривизны имеют вид 0 = du^ —dsdu ds^ Е F G L М N = {EN -GL)duds Отсюда видно, что линиями кривизны являются кривые, определяемые уравнениями s = const, и = const. ?? Penienne: а, b) E F a V — a cos ^ kv = v{l — ak cos <p), —a sin <pn -\- a cos <p 6, {rs.Ts) = A - aA'cos^)^, {rs^r^) = 0, r.s X Гс, r.s X Г, L M N К H = —a(l — a/? cos ^) sin ^ 6 — a(l — ak cos ^) cos ^ n, = a(l — ak cos ^), = 77/?(l — a/i'cos ^) — t^a/^cos ^, = vak sin ^, = —77a cos ^ — 6a sin ^, = (Г55, m) = — A'(l — aA'cos^) cos ^, .) = 0, n) = a. A; cos (p LN-M'^ EG-F^ — a(l-aA;cos(/?)' £iV+GL-2MF _ EG-F^ — A —QsA; cQsy?)^a+a^(—A;(l —aA; cosy?) cosy?) a'^(l — ak costp)'^ l — 2ak cosy? a(l —aA; cos (p) c) Запип1ем уравнение на линии кривизны: 0 = d^^ —dsd<f ds'^ E F G L M N = [EN — GL)dsd<p = a{l — ak cos <p)dsd<p. Так как 1 — ak cos <p > 0, то dsd<p = 0 и линии кривизны имеют вид s = const, <р = const. 332
?? Решение: Е F G V + a{—kv + кЬ) cos <f — акп sin <f = = г^A — aA' cos ip) — пак sin ip + бак cos ^, —77a sin ip -\- ba cos ^, (Г5, Г5) = A — ak cos ipY + a^K^, f*S ^ '^ip — L M N v[—o?KSYn.<fcos<f + a^KCos^sin^) + -\-n(ak cos ^ — l)a cos ^ + H-6(aA' cos <p — \)a sin ^ : = —a(\ — ak cos <p){ncos <p + 6sin^), ^^=-77COS^-6sin^, v{—ak cos ^ + aA'K sin ^) + +77 (^—ak sin ^ + A'(l — aA' cos ^) — ак^ cos ^) + -\-b{ak cos ^ — ак^ sin <f), г'ссА' sin <f — пак cos ^ — Ьак sin ^, —77a cos <f — ba sin ^, (Г55,777) = ак^ — к cos <p + aA'^ cos^ ^, {rsip,rn) = ак, {r^^.m) = a, Запишем уравнение на линии кривизны: L A — aA'cos^)^ + а 2^2 ак^ — к cos ^ + аА^ cos^ <р [1 — aA'cos^)^ + а^к^ А'cos ^ — 1/а —dsd<p ds^ F G М N —dsd<p ds^ a^K a^ ак a ^2 -dsd<f a^K 0 0 Так как 1 — ak cos ip > 0, то имеем ds линии кривизны имеют вид = аA — ак cos <f){d<f + к ds)ds к. Следовательно, О или ^ = as S = const, ^ =-/« rfs + const. 333
?? Penienne: Ги = (Зг'^ — Зг*^ — ^, 6uv, 2г'), Ги = {6uv, Зг*^ — Зг'^ — ^, 2г*), = C1/2+ 3.2^^J, = (Зг'2 - 3i/2 - ^Nuv + 6i/t'Ci/2 - Зг'2 G = (г^,г^) = = 36i/\'2 + Ci/2 ^) + 2t'2i/ = 0, 3v^ (^ + 3i/2 + 3t'2)(i-3i/2-3t'2)), 1J+41/2 = C1/2 + 3.2^^J, I '^u -^ '^v I = C^2 + 3t;2 + iJ 77 = 3^ 3vJ+3v^Tl \ГиХГ^\ = (—6i/, 6г', 0), = Fг', 6i/, 2), = Fi/, —6i', 0), M - и r.\ - 6^2^+6^2^+2A-3^^-3^^) _ ^ JW - Vuv,f4— Зг^2+з^2+1 - ^j N — (r r}\ — 6ц2ц-6ц2ц _ Q jv - \Гуу, п) - 3^2+3^2+1 - и. L Запип1ем уравнение на линии кривизны: 0 = dn^ —du dv dv? E F G L M N = 2Ci/^ + Зг;2 + -f[d^u - £v). о Отсюда получаем d^u — d^v = (du + dv)(du — dv) = 0 I/ ± г; = const. Ответ: I/ ± г^ = const. ?? Так как E = {ги,Ги), то Ги = vEl, \l\ = 1. Аналогично, Гу = yGm^ \т\ — 1. Гауссова кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой и второй квадратичных форм следующим образом: ,. LN-M^^ 334
где L = (г^^,77), М = (г^^,77), М = {гуу,п), г - ^У-] л- л/FJ Так как {ги,п) = О, то L = л/Ё{1и,п). Так как (/,/) = 1, то (/^i,/) = О отсюда 1и = pim -\- qin. Аналогично, N = VG{my^n), гпу = P2I-\-д2П. Тогда LN = yEG{lu,n){my,n) = VEGqiq2 = уЕС{1и,гПу) Точно так же показывается, что К /EG _5_ , , _ _5_ /^(»\ш^_Г^\ д_ ({Ги,Гиу) ЭЕ 1_5_  5у Sv V'^U 5 '^U/ /EG 1 5 2 5y V л/EG Sv В этой выкладке мы два раза воспользовались тем, что {ги, Гу) = 0. Аналогично, ди^^''""'- 2ди \^/ш] В итоге получаем 1 ^ I dv 2л/ЁС I dv \ ^/EG + -Ш1 ди \^/EgJ ) 335
?? Воспользуемся формулой для гауссовой кривизны поверхности с квадратичной формой ds^ = Edv? + Fdv^ (см. задачу ??). Гауссова кривизна такой поверхности равна Полагая в выражении для кривизны £" = 1, получаем 2у/Сди \VGJ 2л/Сди \ ди J y/G —л/G Ответ: К = - ^"'1_ . Vg ?? Для вычисления кривизны можно воспользоваться формулой, выведенной в задаче ??. Имеем G{u, v) = е^^, откуда ?? Показать, что через метрику выражаются скалярные произведения {Пз^ги) и разности {rij.m) - {nk^rji). ?? Пет, так как в противном случае на листе Мебиуса существовало бы непрерывное поле нормалей. В самом деле, так как гауссова кривизна положительна, то поверхность локально лежит по одну сторону от касательной плоскости. Поэтому можно однозначно гладкое поле "внеп1них нормалей", что противоречит неориентируемости листа Мебиуса. ?? а) При указанных условиях можно определить гладкое поле "внеп1- них нормалей" (см. задачу ??), что противоречит неориентируемости поверхности. ?? а) Указание: из бесконечности придвигать плоскость до момента соприкосновения с поверхностью. Рассмотреть гауссову кривизну поверхности в точке касания. Ь) Указание: выбрать сферу достаточно больпюго радиуса так, чтобы она содержала поверхность внутри. Затем непрерывно уменьп1ать радиус сферы до момента соприкосновения с поверхностью. Рассмотреть гауссову кривизну поверхности в точке касания. ?? Указание: см. задачу ??. ?? Указание: применить теорему Гаусса-Бонне. ?? а) Рассмотреть часть сферы х'^ -\- у^ -\- z'^ = В?^ \z\ < а, а < R. Отождествить противоположные точки. 336
b) Указание: найти поверхность вращения постоянной отрицательной кривизны, инвариантную при центральной симметрии относительно начала координат (см. задачу ??). Отождествить по подходящему действию группы Z/2. Другой вариант реп1ения. Рассмотрим на прямоугольнике П : —а < и < а, —b<v<b метрику ds'^ = ch^vdv? + dv^. Отождествим теперь стороны г* = —аиг* = апо равенству длин склеиваемых отрезков так, чтобы получился лист Мебиуса. Легко показать, что на листе Мебиуса получится аналитическая метрика кривизны —1. При достаточно малых h эта метрика реализуется на "катуп1ке" Миндинга, имеющей уравнение V X = chv cos If, I/ = chv sin i/, ^ = J \/l — shHdt. 0 ?? fdvf{VG)uudu. ?? 27Г. ?? Двукратно покрытая сфера. ?? Пусть поверхность вращения параметризована следующим образом: [ucosv^usinv, f{u)). Ее параллели задаются уравнениями и = const, а меридианы — уравнениями г^ = const. Первая квадратичная форма этой поверхности имеет вид ds'^ = A + {f{u))'^)du'^ + vP'dv^. Сделаем замену переменной и на переменную f/, где U = j ——^ du. Обратную зависимость и от и обозначим и = X{U) Первая квадратичная форма при такой замене перменных принимает вид ds'^ = X'^{U){dU'^ -\-dv'^). Заметим, что параллели поверхности задаются уравнениями U = const, а меридианы — прежними уравнениями v = const. Рассмотрим евклидову плоскость с координатами [х, у) и метрикой dx'^ + dip. Нетрудно проверить, что отображение, задаваемое в координатах формулой (f/, г^) н^ (а!, у), обладает необходимыми свойствами. ?? а) 47Г, Ь) 27Г, '" с) 47Г. ?? Разбиения показаны на рис. ??. 337
Рис. 95. Триангуляции тора, сферы, бутылки Клейна и проективной плоскости ?? Укс1зание. Требуемая оценка следует из системы неравенств V{V-1) > 2Е V-E + F = х{М) 3f = 2Е ?? а) См. рис. ?? и ??. 338
339
b) См. рис. ?? Рис. 98. Триангуляция проективной плоскости ?? Минимальная триангуляция тора может быть построена путем рассмотрения плоской penieTKH, состоящей из правильных треугольников (см. рис. ??). Следует взять вторую реп1етку, порожденную векторами ei, 62, указанными на рисунке. Фундаментальной областью этой второй penieTKH, является параллелограмм, со сторонами ei, е^. Отождествляя его противоположные стороны, получим тор, на котором треугольники исходной правильной penieTKH задают искомую триангуляцию. 340
?? См. рис. ??. Рис. 100. Карта на проективной плоскости ?? Указание: доказать гомеоморфизмы, показанные на рис. ??. Рис. 101. 341
?? См. рис. ??. Рис. 102. Склейка бутылки Клейна из двух листов Мебиуса ?? См. рис. ??. 342
343
Рис. 104. ?? См. рис. ??. Рис. 105. Граф  домика и 3 колодца" на листе Мебиуса 344
в более симметриченом виде искомое вложение изображенио на рис. ?? ?? См. рис. ??. Рис. 107. ?? См. рис. ??. 345
?? Продифференцируем уравнение, задающее заданное семейство линий. Получим с = ^^. Подставим это выражение для с в уравнение семейства. Получим дифференциальное уравнение линий семейства: -^ = ^^^ . Подставляя в дифференциальное уравнение, определяющее сопряженное семейство LduSu + M{duSv + dvSu) + NduSu = О, получим ^ = — 1. Здесь L,M ж N — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, {du^ dv) — направление вектора скорости линии исходного семейства, а {Su,Sv) — напрвление вектора скорости линии сопряженного семейства. Следовательно, сопряженное семейство состоит из линий и -\- V = Ci, где Ci — произвольная постоянная. ?? Дифференциальное уравнение линий сопряженного семейства имеет вид -JJ- = —^sm2vdv. Интегрируя, получаем уравнения линий сопряженного семейства где С — произвольная постоянная. ?? Условие сопряженности указанных в условии задачи семейств линий легко сводится к дифференциальному уравнению f^y = 0. Отсюда f{x,y) = д{х) + h{y), где д ж h — произвольные гладкие функции одной переменной. 346
?? Введем на поверхностях координаты так, чтобы соответсвующие точки на поверхностях задавалисть одной и той же парой чисел. Из условия задачи получаем LduSu + M(du8vdv8u) + NdvSv = Л {EiduSu + Fi{duSvdvSu) + GidvSv)^ LiduSu + Mi{duSvdvSu)-\-NidvSv = fi {EduSu + F{du8vdv8u) + GdvSv). Здесь Ли//- некоторые множители пропорциональности. Отсюда получаем, что ^ _ М _ Л^ Li Ml 7Vi E/i г I (jr\ E F (jr ?? Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид у ~ ^^Ут- + ^ hr = ^ + ^ hr • da! \ах J \ах J Отсюда ах \j \ах ^ Легко видеть, что полученное дифференциальное уравнение является уравнением Клеро. Реп1ая его, получаем у = Cix + y/^T^Cl у = С2Х - у/Ь^ + a^C'i, где Gi и G2 — произвольные постоянные. Заметим, что асимптотические линии однополостного параболоида являются его прямолинейные образующие. ?? Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид f"{x)dx^-f"{x)dy'' = 0. Условие ортогональности асимптотической сети записывается в виде равенства f"{x) _ f"{y) l + (/'W)^~ 1 + (/'Ы)^' Отсюда немедленно получсюм, что f"{x) f"{y) 347
где а — некоторая постоянная. Реп1ая эти уравнения, получаем f{x) = tg{ax + 6), f{x) = -- In I cos{ax + 6)| + c, f{y) =tg{ay-\-b), f{y) = ln|cos(ai/ + 6)| + c. a Отсюда получаем уравнение искомой поверхности: 1 Z = - In а ■ + b)\ \cos{ay-\- b)\ ?? легко показать, что дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид xydx'^ -\- [х'^ — y'^)dxdy — xydy'^ = 0. Это уравнение распадается {xdx — ydy){xdy + ydx) = 0. Отсюда немедленно получаем, что асимптотическими линиями являются ^^-i/^ = Gi, ху = С2, где Gi и G2 — произвольные постоянные. Асимптотические линии, проходящие через точку Mq, имеют уравнения х'^ — у^ = —3, ху = 2. ?? г* = г^ = Gi, г* — г^ = G2, где Gi и G2 — произвольные постоянные. ?? Параметризовать геликоид следующим образом: (ifcostJ, ifsiniJ, av). Показать, что асимптотические линии задаются уравнениями г* = Gi и г^ = G2, где Gi и G2 — произвольные постоянные. ?? Параметризуем поверхность следующим образом: X = |(cos г* + cos г^) у = |(sin г* + sin г^) 348
Тогда дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид du^ — dv^ = 0. Отсюда получаем уравнения асимптотических линий: If + г; = Gi, и — V = С2, где Gi и G2 — произвольные постоянные. ?? Заметим, что касательная плоскость к поверхности в точках кривой совпадает с соприкасающейся плоскостью этой кривой. Отсюда немедленно вытекает требуемое утверждение. ?? Примем за координатную сеть на поверхности сеть, состоящую из асимптотических линий. Тогда косинус угол между асимптотическими линиями равен cos^ = .^ . Кроме того, -М2 ^^ -FM К = — —-, Я = EG-F'^' EG-F'^' Отсюда поолучаем, что 2 Н' Следовательно, К = —H'^tg'^^. ?? Если координатная сеть является асимптотической, то L = 7V = 0. В этом случае К = ^^pi ? а уравнения Петерсона-Кодацци принимают вид 2{EG-F'')M^-{2F{E,-F^)-{EGu-GE^))M = О, 2{EG - F'^)My - {2F{Fy - Gu) - {EGy - GEy))M = 0. Отсюда легко получить требуемые формулы. ?? Заметим, что сеть, состоящая из координатных линий, является чебып1евской тогда и только тогда, когда Ей = Gv = 0. Примем за координатные линии поверхности ее асимптотические линии и воспользуемся результатом задачи ??. ?? Легко показать, что касательная плоскость к поверхности в некоторой точке является соприкасающейся для каждой из асимптотических линий, проходящих через эту точку. Следовательно, бинормали к асимптотическим линиям в точке их пересечения являются нормалями к поверхности, т. е. m = ±6, где b — вектор бинормали к поверхности, а т 349
— вектор нормали к поверхности. Продифференцируем это равенство по дуге асимптотической линии и, используя формулы Френе, получим as as Здесь п — вектор главной нормали кривой. Отсюда получаем, что 2 , d d in ' =<d^"^'d^"^^ = T Здесь через I и III обозначены значения первой и, соответственно, третьей квадратичной форм на векторе скорости асимптотической кривой. Из соотноп1ения между квадратичными формами поверхностей III = ни - АI и того факта, что в асимптотическом направлении II = О, получаем Отсюда к^ = —К = |А^|. ?? Дифференциальное уравнение линий кривизны, как легко проверить, имеет вид du^ - {и^ + a^)diP = 0. Интегрируя находим = Ci- Ы{и + л/^Т^) = G2 + Щи + лА^^Т^) где Gi и G2 — произвольные постоянные. ?? Линиями кривизны цилиндрической поверхности, отличной от плоскости, являются ее прямолинейные образующие и линии, по которым пересекают поверхность плоскости, ортогональные образующим поверхности. ?? Линиями кривизны конической поверхности, отличной от плоскости, являются ее прямолинейные образующие и линии, по которым пересекают поверхность всевозможные сферы с центром в верп1ине конической поверхности. ?? Воспользоваться тем, что только у сферы и плоскости соответствующие коэффициенты первой и второй квадратичных форм пропорциональны. ?? Например: х = t^^y = t^. См. рис. ??. 350
Рис. 109. Нерегулярная кривая с аналитической параметризацией ?? а) Например, х = ^^^^ у = J{"^. 11 а) к - нечетно ж п ф тк, m G N; Ь) /,' - нечетно ж п = km, m G N; с) к - четно. 11 Если кривизна в точке перехода кривой из одной плоскости в другую отлична от нуля, то гладкость не вып1е С^; если же кривизна в этой точке может равняться нулю, то С^ 11 Один из возможных ответов для аналитической параметризации: = acos^Y 1 + cos^ ^/v2, i/= а cos ^ sin ^/v2, ^G[0,27r]. 11 Нет. Препятствием является число вращения регулярной замкнутой кривой. ?? а) d ~ ^koKos^, s ^ 0; Ъ) dr. 1^2^2^ 5^0. 11 Воспользовать формулой Гаусса-Бонне. И формулой для прообраза формы площади сферы при гауссовом отображении. 11 Показать, что каждая точка поверхности является точкой уплощения. Иными словами, в каждой точке обе главные кривизны равны нулю. 11 Пусть r(s) -\- tl{s) - радиус-вектор линейчатой поверхности в некоторой асимптотической параметризации. Введем новые координаты S s,T, где т — i +/(s), где i[s) — f{l,r^)ds. Тогда получаем требуемую о параметризацию R{s) + r/(s), в которой новая образующая имеет вид R{s) =r{s)-t{s)l{s). 11 ds^ ^du^^2Fdudv^dv\ 351
?? Прямой круговой цилиндра или область на нем. ?? Вывести формулу для гауссовой кривизны в асимптотичесих координатах. ?? а) Fp{w) + Ff Н + Fp{w) = 0. ?? Указание: использовать связь между тремя квадратичными формами поверхности. ?? Пусть S Э {x,y,z) -^ {xi,yi,zi) G S. При стереографической проекции с северного полюса на экваториальную плоскость Р с координатами <J, Tj имеем: ^ ^ У ^ 1-z' ' 1-Z Так как конформное отображение сферы на себя порождает конформное отображение плоскости Р на себя с сохранением нуля и бесконечности, то Ci = <Ji + irji = аС = a(<J + irj). Остается подставить в вып1еприведенную формулу вместо <Ji и щ их значения через S,{x,y) и г][х,у). ?? а) Очевидно, любая поверхность с постоянной внеп1ней геометрией имеет постоянные гауссову и среднюю кривизны. Рассмотрим два случая. 1) К = 0. Поверхность развертывающаяся. Если на ней iJ = О, то это плоскость. Пусть Н ф {). Папип1ем уравнение поверхности в ортогональной асимптотической параметризации r[s) -\-tl{s), в которой средняя кривизна вычисляется по формуле (в обозначениях Рап1евского): ^ A{s)t^ + B{s)t + C{s) Так как при фиксированном s на это равенство можно смотреть как на алгебраическое относительно /, то имеем (при / -^ сю), что (/',/') = О, т.е. вектор / постоянный. П так как (/,г') = О в силу ортогональности параметризации, то направляющая — плоская. Далее получаем, что A{s) = {r^\r\l) = const, следовательно, кривизна плоской кривой r(s) постоянна, т.е. она является окружностью. 2) К = const = Ci ф 0. Введем на поверхности координаты в линиях кривизны. Тогда Е = М = 0и2Я=§ + § = 2G2, К = ^ = Ci. Решив эту систему алгебраических уравнений, получаем l = e{C2tVh^-k). n = g{C2±Vh^-k)- 352
Теперь из одного из уравнений Петерсона-Кодацци, например, из Ly = С2Еу, получаем: Еу{С2Тл/Н'^ - К) = ^2^^, т.е. Н'^-К = 0. Если Еу = О, то нрименем другое из уравнений Петерсона-Кодацци. Следовательно, все точки поверхности омбилические, т. е. поверхность — сфера. Ь) Поворот пространства R^ с матрицей / \ cos а -sin о; О О smo; cos а О О О О \ о о COS /3 sin /3 — sin/? cos/3 J где a = ui — U2, P — vi — V2, переводит окрестность точки [Ri cos ui, Ri sin ui, R2 cos vi, R2 sin vi) в окрестность точки (Ях cos 1*2, Я1 sin 1*2, ^2COSt'2, ^2sini'2). ?? Указание: Согласно задаче ?? для параллельных поверхностей выполняется следующее cooTHonienne Я2 - АК Я*2 - 4А^* А^2 А^*2 Заметим, что точка является омбилической тогда и только тогда, когда в этой точке Н^ — АК — 0. Отсюда очевидным образом вытекает penienne. ?? Воспользуемся задачей ??. Она известна как теорема Бонне. Запи- П1ем для простоты метрику заданной поверхности в изотермических координатах. Отложим по нормалям к поверхности отрезки длины а — j^. Тогда для параллельной поверхности имеем неравенство EG-F' Я4 >0, Я + С= 1 2К 1р Л^ > О, где Л — конформный множитель метрики. Получается регулярная поверхность с постоянной гауссовой кривизной. Известно, что такая поверхность изометрична стандартной сфере. Отметим, что если бы поверхность была незамкнутой, то она могла бы быть изометричной части сферы, но совмещаться с ней движением объемлющего пространства. Дело в том, что, например, часть сферы допускает нетривиальные изгибания. ?? Воспользоваться теоремой Бельтрами-Эннепера о кручении асим- тотической линии на поверхности отрицательной кривизны. 353
?? См. предыдущую задачу. ?? Применить формулу для гауссовой кривизны К. ?? Рассмотрим поверхность вращения М с уравнением: X — г(и)со^<р^ у — г(и)^ш<р^ z — h(u)^ где а <и <Ь, О < ip <27г. Элемент площади этой поверхности равен da = г{и)л/г^'^ + z^'^dudip. Будем искать деформацию поверхности вращения в виде вращения X = R[u, е) cos <р^ у — Щи, е) sin ^, z — Н(и,е) с условием равенства элементов площади r\/?^4^dud^ = Ял/Я'2 + W^dud^p. Положим R(u,e) — €г{и), 6^1 — 0. Тогда это уравнение допускает penienne Н{щ с) = /1@) + - / ^/{l-e^y^t) + h^^t)dt, ^ Jo которое и определяет искомое семейство поверхностей вращения, удовлетворяющих условию задачи. ?? Воспользоваться явной формулой для гауссовой кривизны поверхности в асимптотических координатах. ?? Пет, так как краям цилиндрической поверхности и соответствующей области D на конической поверхности на их развертке на плоскость должны соответствовать отрезки кривых одинаковой длины, что невозможно осуществить для развертки конуса. ?? Указание: построить изометрическое отображение трехмерного пространства в четырехмерное в виде трехмерной цилиндрической поверхности. ?? Поверхность вращения кривой z = |а!^, О < х <2, z = х — 1пх,х >2. ?? Вторые формы этих поверхностей имеют коэффициенты L разных знаков, а по ходу деформации L не может обратиться в нуль. ?? Пусть в сферических координатах ^, ф прямоугольник Р задан неравенствами —а<^<7г, —^<Ь<'ф<с<^. Тогда изометрическое вложение Р в R^ дается следующим образом: X = - cos -s^COS'0, 7Г а^ ^' у = ^ sin ^^cosip, 354
откуда легко установить аналитичность и погружения, и метрики. ?? Метрика единичной сферы в сферических координатах имеет вид ds^ — cos^ i/^d^^ + di/j^. Отождествление производится по отображению (—а, i/j) -^ {а,Ь-\- с — ф). Остальное очевидно. ?? Кривизну К считаем по формуле К = — ^А1пЛ, где Л = е~^^ , и находим, что К — 2е^'^ > 0. Неполнота метрики следует из существования уходящего в бесконечность пути конечной длины L : г^ = 0. Изометрическое вложение метрики в Я^ в виде выпуклой поверхности невозможно, так как интегральная кривизна J J KdS — 2е^^ dudv = сю, а интегральная кривизна выпуклой поверхности, равная площади ее сферического изображения, не превып1ает 47г. ?? d) Указание. Jlynnie доказывать обратный ход изгибания: поверхность вращения S : х — д{и) cos <f, у = д{и) sin <f, z — — f ^/l — g^'^du с метрикой ds'^ = du^ + g'^(u)d<p^ изгибать в винтовые поверхности вида Sh '- X — \Jд'^ — h^ cos(^ + hF{u)),= \Jg'^ — h^ sin(^ + hF{u)),z = h<f-\- J{^F{u)-\-G{u,h) Penienne. Пункты a) и b) очевидны. Для доказательства пункта с) вычислим сначала метрику общей винтовой поверхности. Получим ds'^ = A + f^{u))du^ + 2hf [u)dudv + [h^ + u^)dv^. Сделаем замену переменных и — u{r), V = H{r) + ^. В новых переменных метрика представится в виде ds^ = A + f'^{u{r))u^'^{r) + 2hf'{r)u'{r)H'{r) + (/г^ + Чтобы прийти к метрике вращения, достаточно потребовать, чтобы hf{r)u'{r)^{K'^u\r))W{r) = Он (l + f2(i/(r))i/'2(^) + 2/if (г)|/'(г)Я'(г) + (К^ + г*^(г))Я'^(г)) = 1. Получим требуемые замены: [ Г ^ЛГ2ЛТ fhf(u)du приводящие к метрике вращения вида ds'^ = dr^ + G'^(r)d<p^^ где G^ — Обратно, имея метрику вида ds^ — dr^ -\-G'^{r)d<p^^ легко так подобрать замены г = г(г*), <р — v — Н{г), чтобы получилась метрика общей винтовой поверхности с соответствующей функцией f{u). d) Требуемое изгибание дается формулами X = \/д'^{и) — 1г^ cos(^ + hF{u)), У = y^g-'U-h'^smi^ + hFiu)), z = h^j^h^F{u)^G{u,l), 355
^<"'^/д^'«<"'-/: где gRdu д^ - /|2' ^ В? — д^ — h^ — д^д^^^ ^ а /г — числовой параметр. е) Так как y{u,v;t) = usm[v-\-t), z{u,v;t) = h{v -\-t)-\- f{u), TO изгибание скольжения порождается винтовым движением всего пространства, состоящим из поступательного движения параллельно оси Oz с постоянным вектором скорости v = (О, О,/г) и вращательного движения вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью 1. Выпип1ите закон перехода от точки {х^ у^ z) к ее положению в момент /, выделив в нем поступательную и вращательную части. ?? Пусть 70 : '^^ = г*(/; 1*0, t^o), t^ = v{i]UQ^VQ) — траектория точки (г*о, ^'о) при изгибании скольжения. Пусть точка (u^^v^) соответствует значению / = 0. При изометрии, порожденной изгибанием скольжения при данном значении параметра /, каждая дуга кривой 7? начинающаяся в (t^Oj ^'0M переходит в дугу той же кривой, начинающейся в ее точке, соответствующей значению /. Проведем через точки кривой 70 ортогональные к ней геодезические Г^ и отметим на каждой из них точку Mt(d) на некотором одинаковом расстоянии d от соответствующей точки на 70- Так как окрестность точки (uq^vq) изометрична окрестности точки и — u{t;uo,vo), V = v{t;uo,vo) при любом малом /, то при этой изометрии геодезической Го, выходящей из точки [uq^vq) ортогонально к 70? соответствует геодезическая Г^, тоже выходящая ортогонально к 70 в соответствующей точке, и в силу сохранения расстояний, точке Mo{d) G Го окажется соответствующей точка Mt(d). Следовательно, при разных d точки Mt(d) будут траекториями точек Мо(с?), которые мы обозначим через 7d- В силу соответствия дуг на 7d по изометрии, геодезическая кривизна каждой кривой 7rf постоянна. Введем полугеодезическую систему координат, взяв за семейство параллельных геодезических линии Г^, и за ортогональные к ним линии - кривые 7rf- Для удобства записи оставим за новыми координатами прежние обозначения (г*, v). Форма длины в полугеодезических координатах имеет вид ds^ — dv? + G{u,v)dv'^, причем кривым 7t соответствуют линии и = const. Вычисляя геодезическую кривизну kg этих линий, получаем, что kg = jq^- По так как она постоянна вдоль каждой линии и = const, то выражение ^^^ от г^ не зависит, следовательно, на самом деле G{u, v) = G{u), а это и означает, что метрика ds'^ является метрикой вращения. 356
?? Указание. Показать, что все геодезические являются линиями кривизны. Воспользоваться тем, что если на поверхности в каждом направлении проходит линия кривизны, то все точки омбилические. ?? Доказательство получается из рассмотрения развертки конуса, на которой геодезические являются отрезками прямых. Замкнутые геодезические на конусе имеют вид, показанный на рисунке ??. В точке самопересечения геодезическая пересекает саму себя под углом, отличным от О и 7Г. Этот угол зависит только от угла при верп1ине конуса, ?? См. рис. ??. Рис. 110. ?? См. рис. ??. Рис. 111. 357
?? Структуры расслоенных пространств показаны на рис. ?? и рис. ??. Жирной линией показана база расслоения, а тонкими линиями — слои. Рис. 112. Тор, кольцо, бутылка Клейна 358
?? Рассмотрим отображение R^ в R^, которое задается формулами ^,У) ^ ^^у')- При этом отображении прямая х — у переходит в полукубическую параболу у^ — х'^ 359
?? -) ^' Ь) ^; с) -,; d)- ?? 3v^/5. ?? 1/4. ?? a) 0; b) 2^(^+3); cH; d)-2; ?? 1/г2. ?? 1. ?? (grad/, grader). ?? a) @, 0!, i/-^); b) @,0,:y2-2.:z); c) @, e'' -хеУ , 0); d) @, Zx'^ , 2y^ -^xz)] e) @, -0^@:+ 1/2)^, x^^y^)] f) @, o^z^ + i/ze^^ , -2^:yz); g) (sin a!z/a!, 0 , — sin xzjy); h) {XZ/{X'' + i/2) , :yz/(a:2 ^ ^2) ^ _i)^ ?? Использовать теорему о существовании и единственности реп1ения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. ?? Проверить действие коммутатора на произведение двух гладких функций. ?? Рассмотреть случай, когда <J = д/дх^. ?? Сферу S^ представить как группу кватернионов единичного модуля. ?? Пусть zq — xq-\- iyo — особая точка векторного поля grad Re/, где /(z) = u{z) + iv{z)^ т. е. ди (xg^Vg) ди о. (я^о,Уо) Поскольку ди _ ^di^ ди dv OS OS то /^(zo) = 0. Обратно, пусть /^(zq) = 0. Так как Д — О, то ди 9и -x{zo) = ^y{zo) = о , 360
т. е. grad(Re/)(zo) = 0. Для ноля grad(Im/) доказательство аналогично. ?? Будем искать интегральные траектории только в нолунлоскости, лежащей выше прямой ЛВ. Линии уровня для функции f{x) — это дуги окружностей, для которых отрезок ЛВ является хордой. Вектор grad f{x) ортогонален линии уровня. Следовательно, ортогональный ему вектор является касательным к линии уровня, т. е. к окружности, и все описанные дуги окружностей являются интегральными траекториями потока vi{x). ?? а) Интегральными траекториями векторного поля grad(Rez") являются линии уровня сопряженной функции Imz" = г" sinn^. Единственной особой точкой поля grad(Rez") является z = О, так как только в этой точке f{z) = 0. Точка z = О — вырожденное седло. См. рис. ?? 361
-/г. ^ in--2,) Кратнь/и полюс. Рис. 114. Сделаем малое возмущение функции z" -^ Y\{^~^i)- Тогда особая г = 1 точка распадается на п — 1 невырожденных седел 2-го порядка. Рассмотрим поведение интегральных траекторий вблизи одной из особых точек. Разложим функцию в ряд Тейлора: f[z) = f[ai) + f[ai)[z - ai) + ^-^[z - aif + ... . 362
Разложение начинается с члена 2-го порядка, так как f{ai) = 0. При этом f^{ai) ф О (невырожденная критическая точка), поскольку f\ai) — О тогда и только тогда, когда щ является кратным корнем для f{z) См. также рис. ?? и рис. *^*^ Ь) Для функции /(z) = Z + J, переходя к полярным координатам (z = ре*'^), имеем: Re(/(z)) = (^р + - j cos ^ , Im(/(z)) = (^р - - j sin ^ . В начале координат — особая точка, так как функция j разрывна. Производная функции /(z) равна 1 — jj? т. е. особые точки — это z = 1 и Z = — 1. Обе точки невырождены. Рассмотрим интегральные траектории поля grad(Re/(z)). Они задаются уравнениями (я — -) sin^ = с. Для интегральных траекторий, входящих в особые точки и выходящих из особых точек, т. е. для сепаратрис, с = 0. Отсюда получаем, что сепаратрисы задаются уравнениями ^ = ±7Г (единичная окружность, состоящая из двух сепаратрис) ж р — \ (вещественная ось, состоящая из четырех сепаратрис). Аналогичным образом можно построить сепаратрисы поля grad(Im /(z)), которые задаются уравнением (р+ ^ 1 cos ^ = 2 и имеют вид двух касающихся петель. См. рис. ?? и рис. ?? См. также рис. ??. 363
Поток ЫС1 n OJ}^c cp-e^p-e. Bud cSoKy Найти n oj)i-oca n^pSoro nopsfdKa Рис. 115. 364
oSr^^am^ ЪисмаА^шро)^^^ жидкое HapucijUT^ -Второй, cionpsf^c^HHb/u поток Рис. 116. 365
У ^Ы) = Ыг) '^парсгу)У)-еУ)и ^ ''мериЪиаяы'' iU)=z'' l^Auf(i): -П /(г;=2: ^ cSoKjj Рис. 117. 366
noj}H)c ±'Го nopSidKct OAad R^('^ ) Распад H<jyist кратно<^ги n простых HijMU Hapucjure распаЭ кротмого просты-е nOJ}hOCbl Рис. 118. с) /(z) = z + ^. Рассмотрим grad Re/(z). Инегральные траектории этого потока являются линиями уровня функции Im/(z): Im/(z) = у- 2ху + 2/2) ,2А2 Г sm <р — sin 2^ Аналогично ищем линии уровня функции Re/(z) = г cos <р — ^^^2^. 367
d) Особые точки функции /(z) = z-\-j^ — это z = 2 (нолюс) и z = 1, z = 3 (нули функции f{z)). Особые точки z = 1 и z = 3 являются невырожденными седлами, так как /"A) ^ О и /"C) т^ 0. В окрестности точки Z = 2 интегральные траектории векторных нолей grad(Re/(z)) и grad(Im/(z)) качественно устроены так же, как и соответствующие траектории для функции /(z) = J в окрестности нуля. Особые точки функции /(z) = z^{z — iy^^{z — 2)^^^, т. е. нули производной f{z), следующие: zi = О — седло второго порядка, Z2 = 1 — седло 99-го порядка, za = 2 — седло 899-го порядка, Z4 ~ О, 005 и zs ~ 1,1 (это корни квадратного уравнения 1003z^ — 1109z + 6 = 0) — невырожденные седла. Локально в окрестности каждой особой точки интегральные траектории ведут себя так же, как в окрестности седел соответствующего порядка. e) См. рис. ?? Рис. 119. f) См. рис. ?? 368
^> Ъиполь *' <^onpsiyH:^HN6/(A поток j) функцию /(z) = l + z'*(z'*—4)'*'*(z'^'^—44)'*'*'* в окрестности точки z = О можно заменить на /(z) = 1 + A^^AA^^^z^. От этого качественная картина поведения линий в окрестности точки z = О не изменится. Но добавление постоянной не изменяет вид траекторий, поэтому можно рассматривать функцию /i(z) = cz^ в окрестности нуля, где с = А^^АА^^^. Точка z = О является вырожденной особой точкой для функции /i(z) (а значит и для функции /(z)). Нри подходящем малом возмущении эта особая точка распадется на три невырожденные особые точки. к) Функция /(z) = Y^ In ( у^ J имеет логарифмические особенности в точках Z = 2г и Z = 4. Кроме них особых точек нет. 1) Для упрощения записи функции /(z) = ^2jXz-i сделаем сдвиг w — Z + 1. Тогда g{w) — f{w — 1) = ^^_2 • Точки w = ±л/2 — особые точки (полюса) функции g{w). Особые точки векторных полей grad(Re/(z)) и grad(Im/(z)) совпадают с нулями функции f{z). Отсюда w = О — особая точка, причем невырожденная, поскольку ^'"@) Ф О- т) Точка z = О является особой точкой для функции /(z) = f + 21 In z^. Кроме того, z = -^ — особая точка векторных полей grad(Re/(z)) и grad(Im/(z)), поскольку /'A/21) = 0. Сепаратрисы п) Точка Z = О является особой точкой для функции /(z) = z^ + 21nz. Нули производной f{z) —это корни уравнения z^ = —2/5 (верп1ины пяти- 369
угольника). В этих точках zi,..., zs имеем: /(z) ~ f{zi) + ki{z — Zi)^ + ..., где hi ^ О, г = 1,.. .,5. о) Точки Z = 1 и Z = —Юг — особые точки функции /(z) = 21n(z — 1)^ — |ln(z + Юг)^. При этом f{z) ф О для всех значений z. р) Точки Z = О ж Z = i являются особыми точками функции /(z) = j3 — (z-iK (полюса третьего порядка). Дифференцируем: Получсюм четыре точки, в которых f'{z) = 0: ^-1 ' Wn ' л/3 + 1 ' л/3 + 1 Интегргшьные тргюктории векторных полей grad(Re/(z)) И grad(Im/(z)) на бесконечности ведут себя так же, как и интегральные траектории соответствующих векторных нолей для функции 1/z^. ?? а) Ь) См. рис. ??. 370
■?(v=- /Гг;=г" (по>лк)с порядка п.) I / Рис. 121. ?? a) См. рис. ??. 371
сток 3-аа источник Векторное по^-е. иск <^ с Э%А1Л: осо^гииостями Рис. 122. ?? а) См. рис. ?? и рис. ??. 372
Ь-о^кторио-е, noj>e на ^"^ с оЪной осоё'-гиносгбЮ. Рис. 123. 373
В-екториое noyi-t нос ОСОсГ^ИНОСТбИ) Рис. 124. Ь) См. рис. ??. 374
a A' Ве.кгорио-г noJ)^ hq 0 CO сГе A//tyO СГб АО. Структур Q Oto^-гнносги. Рис. 125. с) См. рис. ??. 375
Векторное г\ поуг-г HQ оЪнО(А 0СО<^И0СТ6Н). QrpijKT^pct ocoSJiHHOQrro(. Рис. 126. d) См. рис. ??. 376
op Рис. 127 В-екторно-е ^ noyi-t с оЪноы nroffoo! ro-r/cou на -.^ п^ . ^л^1%^ "^^^^^Т е) См. рис. ?? и рис. ??. 377
f]^p^ c. одной oco<feHHocTbK> Рис. 128. 378
Пома на !RP^ с одной Осо<Гой точкой Рис. 129. f) См. рис. ?? и рис. ??. 379
В-екторное по^€ Hex с оЪнои ооо^^иностью CrpijKTifpa осо(Ггииости. Рис. 130. 380
r\oj)-e- с одной особ^^ниоотбю на Найти инд-гкс Рис. 131. g) См. рис. ??. 381
ПО^-2. С оЪной ocodou точкой HQ н^горц-^нт. поЬ^ру^нооти Рис. 132. ?? Пусть поток г^ = {P,Q) — безвихревой, т. е. ^_ дР dQ _^ OS OS дР _ dQ или —-у = —-Х . OS OS Найдем такую функцию /, что Р = df/dx, Q = df/dy. Для этого проинтегрируем первое cooTHonienne по а! от О до а:: f{x,y)= [ Pdx+g{y) Jo Для того, чтобы найти д{у), продифференцируем последнее соотношение по у: = J^^xdx + g'{y)=Q{x,y)-Q{0,y)+g'{y). 382
Таким образом, Q{x,y) = Q{x,y) - Q{0, y)-\-g^{y)- Поэтому g^{y) = Q@, i/). T. e. Следовательно, 9{y)= rQ{0,y)dy + C. Jo f[x,y)= rP{x,y)dy+ rQ{0,y)dy + C Jo Jo Пусть 7i и 72 — два пути из (О, 0) в точку [х, у) в плоскости [х, у). Тогда, если rot t; = О, то Следовательно, f {Pdx-\-Qdy)= f {Pdx-\-Qdy) . Jll ^1-2 f{x,y)= f{Pdx + Qdy)+C, Jl где 7 — произвольный путь из (О, 0) в [х^у). Пусть поток еще и несжимаем, т. е. ^ + -^ = 0. Рассмотрим поток v^ — {—Q,P). Очевидно, rot т;' = О, следовательно, поле г'' потенциально. Таким образом, существуют такие функции а{х,у) и Ь{х,у), что V = gT3ida{x, у), г'' = grad6(a!, у). Ввиду того, что div г; = div г;' = О, получаем, что а{х, у) и Ь{х, у) — гармонические функции, т. е. Да = АЬ = 0. Рассмотрим функцию / = а-\- ib. Она комплексно-аналитическая, так как имеют место уравнения Коп1и-Римана: да дЬ OS OS да дЬ -^у = -^^ = Q{^^y) • OS OS Такая функция / называется комплексным потенциалом потока. ?? Указание: dip2 гомотопно dipi. ?? Рассмотрим в R'* линейное дифференциальное уравнение х = Ах, где /0-1 \ 1 О О -1 383
Интегральные траектории этого уравнения, принадлежащие сфере S^ = {х : \х\ = 1}, и есть искомое множество. Ясно, что x{t) = е^^х{0). Если рассматривать R'* как C^(zi,Z2), где zi = xi -\- ixo, Z2 — х^ -\- ix2, то интегральная траектория, проходящая через точку (zi,Z2) G S^, имеет / Jt Г) f if if \ Af I с- \j ВИД (e'^zi, e'^Z2J, поскольку e '' имеет комплексную запись ( ^ ^^ Поставим в соответствие этой траектории точку (zi : Z2), принадлежащую пространству СР^ (которое гомеоморфно 5^). Соответствие корректно, поскольку любая другая пара {z[ : Z2), лежащая на той же траектории, отличается от (zi : Z2) лип1ь множителем е** и, следовательно, задает ту же точку в СР^. Остается заметить, что построенное отображение взаимнооднозначно и непрерывно. 384
?? Зафиксируем ортонормированный репер {ё1,ё2,ёз} в R^. Произвольное состояние описанной системы однозначно задается точкой х £ S'^ и вектором скорости v{x) G Тх{3'^), где |г;(а!)|=с= const ф 0. Отображение х -^ х, v{x) -^ v{x)/c, очевидно, является гомеоморфизмом; X — единичный вектор в R^, выходящий из точки О, v{x) — единичный вектор в R^ (начало v{x) перенесем в точку 0). Это преобразование тождественно на векторах х и v{x); х и v ортогональны. Пусть у G R^ — такой вектор, что |^| = 1, он ортогонален векторам х и v^ и система {el, ё2, ёз} одинаково ориентирована с системой {x^v^y}. Отображение {x^v) -^ {x^v^y}^ очевидно, гомеоморфизм. Каждая система {x^v^y} взаимно-однозначно и непрерывно задается матрицей, соответствующей линейному преобразованию в R^, переводящему ортонормированный репер {ё1,ё2,ёз} в ортонормированный репер {x,v,y}. Эти матрицы образуют группу 50C) = {Л : ЛЛ^ = E^detA = 1}. Таким образом, пространство состояний нап1ей системы гомеоморфно многообразию 50C). Любое ортогональное преобразование R^, сохраняющее ориентацию, есть вращение вокруг некоторой оси на угол ^, где — тг < ^ < тг. ?? Пусть G — конечная группа, действующая эффективно на R", т. е., если дх — X для некоторого х G R", то ^ = е. Группа Z/;, порожденная некоторым элементом д ф е^ тоже эффективно действует на R". Рассмотрим пространство X — С/Ъи^ где х ~ i/, если у — д^х. Так как R" -^ X является накрытием, то 7ri(X) = Z/;, 7Ti[X) — 7ri(R") = О при г > 1. Значит, пространство X гомотопически-эквивалентно пространству K{bk^ 1), т. е. линзовому пространству. По гомологии K{bk^ 1) нетривиальны в бесконечном числе размерностей, в то время как X не имеет клеток размерностей больп1е п. Таким образом, для заверп1ения доказательства необходимо лип1ь обосновать следующие утверждения: а) если на R" действует без неподвижных точек дискретная группа G и Xq — R"/G — пространство орбит, то естественное отображение р: R" -^ Xq является накрытием; б) 7ri(XG') = G. Доказательство этих утверждений остается читателю. ?? Папомним определение топологии G1/1^-комплекса. Если К есть ОPl^-комплекс, то множество F С К замкнуто тогда и только тогда, когда для всех клеток е| полный прообраз {ff)~^{F) С В^ замкнут в В^. Будем обозначать эту топологию символом {W). Предположим, что в пространстве X есть две топологии {Ua} и {V^}. Скажем, что {V^} > {Ua} (сильнее), если для каждой точки х Е: X и для 385
каждого Vpo Э X найдется такое Uao ^ ^j "^^о Uao ^ ^0- Предположим, что в G1/1^-комплесе помимо топологии {W)^ есть еще некоторая топология {иа}- Возьмсм произвольную точку X G А, т. е. точку, принадлежащую G1/1^-комплексу и Uao ^ ^- Окрестность является объединением попарно-непересекающихся открытых пересечений (е| П Uao)- Рассмотрим полный образ {ff)~'^{Uao)- Он открыт в В^ (это следует из непрерывности отображений ff). Значит, для дополнения [К \ Uao) полный прообраз {ff)~-^{K \Uao) замкнут в В^ для всех е^. По аксиоме {W) следует, что [К \ Uao) замкнуто в К, значит, Uao открыто в топологии {W) т. е. UaO принадлежит системе открытых множеств {W). ?? Бутылка Клейна. ?? Пусть «1,0/2 G i?(X',y), «1 ~ «2. Это значит, что существует гомотопия F:X^ X I ^ У, такая, что F{x^O) = Q;i(a!), F{x^l) = о;2(з:). Положим F' = F о ^. Тогда F':X х / ^ У, F'(a!,0) = F(/i(a!),0) = ai{h{x)), F\x^ 1) = F{h{x), 1) = о;2(/г(а!)). Следовательно, ai о /г ~ «2 о h. ?? Пусть 5°^ = lim 5", где 5"+^ является надстройкой над S^. П—J-00 Так определенная сфера S^ является G14^-комплексом. Рассмотрим а G щ{3^) и / G а:/: 5* ^ 5°^, и / переводит отмеченную точку в 5* в отмеченную точку 5°^. Пусть /: К ^ L — непрерывное отображение комплекса К в комплексе L, причем на подкомплексе A^i С К отображение клеточно. Тогда существует такое отображение д: К -^ L, что: а) / гомотопно д;б) д — клеточно на А"; в) f\k^ = g\kj_] г) гомотопия, соединяющая / и ^, тождественна на A^i. Этот факт означает , что для / существует гомотопное ему отображение, которое 5* переводит в г-мерный остов 5°^, т. е. в S\ но S' С 5*'+^ С 5^. Значит, д: S' -^ .9+^ Поскольку 7г,-E'") = О при i < 77, то любое отображение г G а G щ{3^) гомотопно отображению, переводящему всю 5* в отмеченную точку S^ (постоянному отображению). Это и означает, что отображение /: 5* -^ S^ гомотопно постоянному. Отображение / выбиралось произвольно, следовательно, щ{3^) = 0. Если X и У — клеточные комплексы и отображение f:X^Y индуцирует изоморфозм всех гомотопических групп, то / — гомотопическая эквивалентность. В качестве / возьмем отображение S^ -^ *. Изоморфизм гомотопических групп индуцируется, так как все они равны нулю. Значит, сфера S^ гомотопически-эквивалентна точке. Следовательно, S^ стягивается к точке. ?? Пусть р ^{хо) = Fo, р ^{xi) = Fi. Пусть <fo:Fo -^ X вложение. Тогда ро ^о: ^0 ^ ^0 G У. Соединим х^^ и xi путем, т. е. устроим гомото- пию между отображением F^ъx^жxl^ а именно: 'ipt'- F^ ^Y ^ V't(^o) = 7(^M 386
где 7 — нап1 путь. Тогда из аксиомы о накрывающей гомотопии следует, что существует накрывающая гомотопия (семейство отображений ^t: Fo -^ X), такая, что {р о <ft){Fo) = -f{t), т. е. {р • <fi){Fo) = 7A) = ^ь Отсюда следует, что ^i(Fo) С Fi. Итак, по пути j мы построили отображение ^^1'. Fq -^ Fi. Докажем, что ^^i зависит только от гомотопического класса пути j, т. е. если 71 гомотопно 72? то -yiS^i гомотопно ^2^^1. Заметим, что построенное нами отображение Fq -^ Fi не зависит от выбора накрывающей гомотопии в том смысле, что любые два таких отображения гомотопны. Действительно, пусть ipt и S,t накрывают ^f Тогда отображение ipi: Fq -^ Fi гомотопно ^о^^о -^ Fq, ipo = фо, а последнее, в свою очередь, гомотопно фг'. Fq -^ Fi. Пусть теперь дано семейство 7t путей. Покажем, что 7o^i гомотопно 71^1- Имеем отображение jo<f:FoX I ^Х; {pojo<f){FoxI)=jo. В У существует гомотопия 70 в 71 ? которую можно накрыть таким отображением Ф:(^о X I) X I ^ X, что Ф(ГоХ1)Хо =7о ^ и Ф\(ГоХ1)х1 = ft так, что [р • f){Fo X /) = 7i- Следовательно, отображение ft можно взять в качестве накрытия для всех 715/1 —ц "fi- Тогда Ф\[Рох1)х1 является гомотопией между -yiS^i и ^^^i. Заметим далее, что аналогично можно построить по пути (—7) отображение (_'y)Xi-^i ~^ Fq. Осталось доказать, что отображение ((_^)Xi -^ ^i)'-Fq -^ Fq гомотопно тождественному. По это отображение можно рассматривать как отображение, индуцированное путем 7 + (—7M который, очевидно, гомотопен отображению в точку. ?? Пусть S^ X S'^~^ — клеточный комплекс, у которого имеются лип1ь четыре клетки: е*^, е^, е"~^, е". Рассмотрим отображение f:S^ х S'^~^ -^ 5", f{e^) = * — некоторая точка в 5"; возьмем ее за нульмерную клетку в 5". По теореме о клеточной аппроксимации существует отображение д: S^ х gn-k _^ ^п ^ j^QTQpQg yj^Q является клеточным и которое гомотопно /, причем на е^ /(е*^) — gie^^) и вся гомотопия, соединяющая f ^ д, совпадает на е^ С /. Поскольку 5" состоит лип1ь из двух клеток: нульмерной (*) и 77-мерной, то при отображении д клетки е^ и е"~^ переходат в точку на S^. Получаем, что отображение д может быть не равным постоянному лип1ь на 77-мерной клетке. Значит, все отображения S^ х S'^~^ -^ 5" отличны лип1ь на некоторое отображение 77-мерной клетки в S^ х 5""^, а затем в S^, преводящее всю границу в точку на S^ (из-за линейной связности S^ выбор точки не играет роли). По эти отображения являются отображениями 5" -^ 5" (точнее можно установить взаимно-однозначное соответствие между 7гE'^ х S^~^,S^) и 7r{S^,S^). ?? Пусть (а!-*^,..., 3!^) -^ (а!-*^,..., 3!^, 0) — стандартное вложение R" -^ 387
p^^+1 g виде гиперплоскости. Рассмотрим две точки Л = (О,..., 0,1); 5 = (О,..., О, — 1) в R"+^ и построим конусы СаМ и СвМ с верп1инами в точках Аж В соответственно и с общим основанием Н С R". После этого любая деформация подмножества R" \Н ъ R" может быть продолжена до деформации подмножества I](R" \Н) в R"+^. ?? Предположим противное: пусть cat(M") < 1{M^;G), т. е. существует покрытие М" замкнутыми множествами Xi,..., Xk, к < 1[М^] G), каждое из которых стягивает по М" в точку. В силу двойственности Пуанкаре Н^{М^] G) = iJ"~^(M"; G), коциклам xi,... ,xi соответствуют циклы 1/1,..., i//; при этом произведению h = xi А ... А xi (коциклов xi, . . . ,xi соответсвует цикл о; = i/i П . . . П i/i, являющийся пересечением всех циклов i/i,..., yi. Так как оператор D двойственности Пункаре является изоморфизмом, то пересечение i/i П ... П yi = а отлично от нуля (т. е. цикл а не гомологичен нулю). Так как каждое подмножество Х,A < г < к) стягивается по М" в точку, то H''{M'';Xi) = Н''{М'') (где * > 0). Поэтому можно считать, что цикл yi G Н^{М^) гомологичен циклу уг G H^{M^;Xi), т. е. носитель цикла yi лежит в М" \Xi,l < i < к. Отсюда следует, что пересечение yi П . . . П yk (гомологичное пересечению i/i П ... П yk) лежит в дополнении к (объединению) Xi U ... U Х^; тем более У1Г\...Г\укГ\...Г\у1 С M''\{Xi[J...UXk) = 0,таккакХ1,...,Х/г образует покрытие М". Так как пересечение носителей циклов i/iH.. .П^г = 0, то соответствующее произведение коциклов xi А... Axi = 0^ что противоречит условию: XI А ... А XI ф 0. Теорема доказана. ?? Рассмотрим расслоение {Е,р,Х), где Е — пространство всех путей пространства X, начинающихся в точке xq, ар — отображение, сопоставляющее каждому пути его концевую точку. Пространство Е рассматривается при этом к компактно-открытой топологии. Слоем этого расслоения является пространство Г2Х = Г^Хо всех петель пространства X в точке xq. Легко видеть, что пространство Е стягивыается по себе в точку (каждый путь стягивается по себе в точку xq). Поэтому 7Гп{Е) = О, и, следовательно, гомотопическая последовательность этого расслоения . . . ^ 7Tn + l{E) -^ 7Tn + l{X) -^ 7Тп{^а;о) ^ ^п{Е) ^ ... порождает изоморфозм 7г„(Г2хо) ~ ^n-\-i{XO в частности 7Г1(Г2хо) ~ 7Г2(Х). Группа 7Гп{Х) абелева при п>2. ?? Папомним два определения. Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение X ^ X гомотопно отображению X ^ X, преводящему все X в точку. Связное пространство X называется односвязным, если 7ri(X) = 0. 388
Так как X стягиваемо, то существует ^t'-^ ~^ ^7 "fo — тождественное отображение X ^ X, ^i — отображение X ^ xq £ X. Так как определение фундаментльной группы не зависит от отмеченной точки (с точностью до изоморфизма), то пусть j: I ^ X производительный путь на X, 7@) = 7A) = ^о; ^{т) = xq, 8:1 ^ X. Та же гомотопия <pt'-X ^ X устанавливает гомотопность петель 7 и (У. Таким образом, любые два пути на X гомотопны, т. е. 7ri(X) = 0. ?? Утверждение задачи вытекает из следующих двух утверждений. а) Всякий элемент из 7riE^), [В\ — букет окружностей) представим в виде конечного произведения элементов ?7~^ и т^^, где т}о^ G 7riE^) — класс отображения г^^, являющегося стандартным вложением; б) Такое представление единственно с точностью до сокращения идущих подряд сомножетелей т^^ и ?7~^. Утверждение (а) равносильно тому, что 7Ti[B\) является свободной группой с образующими т}о^^ а ^ А. Рассмотрим отображение /: S^ -^ В\. Представим каждую окружность 5^ в 5^ G В\ в виде суммы трех одномерных симплексов P,Q,R и Pa,Qa, Ra- По теореме о симплекс ал ьной аппроксимации, отображение / гомотопно симпликциальному отображению F некоторого подразделения комплекса 5^ в В\. Отображения F умножим справа на гомотопию ^t, где ^о — тождественное отображение, ^1 переводит Р^^ Ra в отмеченную точку и растягивает Qa на всю 5^. Получим отображение F, гомотопное исходному. Отображение F переводит каждую из равных частей, на которые разделена 5^, либо в точку, либо наматывает на одну жз S^^, а £ Л. Класс такого отображения в 7ri{B\) представляет собой произведение элементов вида т^^, 'Па'^ 7 ^ — единицы фундаментальной группы, т. е. класса постоянного отображения. Перейдем к утверждению (Ь). Произведение ?7^^^ .. .?7а^(^5 = =1=1M ^ ^ Ij в котором не встречаются подряд т^^ и ?7~^, не равно единице в 7ri{B\), т. е. не существует никаких соотноп1ений в 7ri{B\). При накрытии 7г:Т ^ X прообраз каждой точки 7Г~^* = D находим во взаимно однозначном соответствии с классами смежности группы 7ri(X) по подгруппе 7r*Gri(T)). В частности, если xi^X2 Е:Т^ х Е: X и 7r(a!i) = 7г(а!2) = х^ S — любой путь из XI в а!2, то петля 7г{3) с верп1иной в точке х не гомотопна нулю, так как в противном случае a^i = а!2- Пусть т] = т^^^^ ... ?7^^, г]^^\ — петля, проходимая в направлении окружности букета в зависимости от знака Si. Возьмем А' + 1 экземпляр букета и расположим их друг над другом. Берем т^^, в первом и втором букетах, вырежем в обоих экземпляров по отрезку, а концы соединим "крест-накрест", продолжив на них проекцию тг. Аналогично со- 2 единим второй букет с третьим, используя ?7^^ и т. д. Если в слове т] идут подряд две одинаковые быквы, то надо вырезать два отрезка из одной 389
и той же окружности. При этом вторая операция предп1ествует первой, если Si = 1, ж следует за ней в противном случае. Получим [к + 1)-листное накрытие над В\. При этом путь т] накрывается путем, начинающимся в нижней точке и кончающимся в верхней. Эта петля не гомотопна нулю. ?? Пусть f:Yi ^ У2 и ^:У2 ^ У1 — гомотопические эквивалентности, т. е. д о f г^ Idy^ ] f ^ 9 ^ Idy^. Определим отображение Д: 7ri(yi) -^ 7Г1(У2) и 5'*-^iC^2) -^ 7ri(yi). (Если а: 5"^ ^ Ух, о; G а G 7ri(yi), то /f — класс петли Д oa\S^ -^У2)- Так как f^-g^ — (/о^), то / • g^'.7Ti{Y2) -^ 7^i{Y2) и д^О f^\ 7ri(yi) -^ 7ri(yi) изоморфизмы. Отсюда 7ri(yi) = 7Г1(У2). ?? Пусть 7ri(X)*7ri(y) —свободное произведение 7ri(X) и 7ri(y). Пусть XY — универсальные накрытия над X и У соответственно. Пусть х^ — отмеченная точка X, У и букета X V У. Построим следующее накрытие: возьмем X, рассмотрим р~^[хо)^ где р:Х ^ X — накрытие, и в каждой точке а^о ^ Р~^(^о) приклеим У. Отождествим х]^ с а^ц j ^Д^ ^о — некоторая точка из pj~ (а!о), Р1:У ^ У — накрытие. В каждой оставп1ейся точке из РГ^(^о) в каждом экземпляре "приклеенного" У приклеим таким образом X и т. д. Проекцию р": (X V У) ^ X V У определяем естественным образом: каждый экземпляр У посредством р' отображается в У и каждый экземпляр X посредством р отображается в X. Очевидно, что полученное пространство является накрытием над XVУ. Рассмотрим фундаментальную группу X \/У, точки /i, /2 из X \/У, такие, что /1,^2 ^ (р'0~^(^оM и путь а. При проекции р" этот путь перейдет в некоторую петлю а, представляющую класс а в 7ri(Xvy). Заметим, что из конструкции накрытия и из односвязности X и У следует, что путь из ii в ^2 единственный с точностью до гомотопии. Пусть а G 7ri(X V У) разлагается по образующим Ci G 7ri(X) и hj G 7ri(y), т. е. а — С1^Щ1С1^ .. .Щ^. Тогда это представление однозначно сточностью до соотноп1ений в 7ri(X) и 7ri(y). Действительно, пусть C — с^^Ь^-^ .. .с^^'Ь^'' ~ 1, где 1 — постоянная петля в точке хп и не все Sk и cTs равны нулю (мы берем редуцированное слово). Тогда C можно реализовать путем в X \/У, который, как очевидно следует из вида накрытия, не будет замкнутым, и, следовательно /? ?d 1. Итак, мы получили, что 7ri(X WY) — 7ri(X) * 7ri(y). Этот же результат следует из теоремы Ван-Кампена о выражении фундаментальной группы комплекса через фундаментальные группы его подкомплексов и пересечений. ?? Определение. Если К — узел, то фундаментальная группа 7ri(R^\ К) называется группой угла. Пайдем копредставление этой группы. Рассмотрим верхнее (нижнее) копредставление трилистника. Пусть РК — его проекция. Точки 390
Ki{i = 1,..., 6) делят узел на два класса замкнутых связных дуг — класс переходов и класс проходов, чередующихся друг с другом. Пусть Ai, Л2, Аз — переходы, Bi, В2, Вз — проходы, Ез — свободная группа с образующими X, у, Z. Назовем путь г^ в R^ простым, если он является объединением конечного числа замкнутых прямолинейных отрезков, его начальная и конечная точка не принадлежит РК, он пересекает РК в конечном числе точек, не являющихся верп1инами РК или г^ Каждому пути г^ сопоставим г;# G Рз'. v"^ = х^^^ • • • ^^S ^й — образующие свободной группы, Sk = I или — 1, в зависимости от того, как г^ проходит под Д■^^. Верхнее копредста- вление группы tti (R^ \ К) имеет вид {х, у, z; Г1, Г2, гз), где Гг = vf — соотноп1ения. Известно, что верхнее копредставление, задаваемое этой формулой, является копредставлением 7ri(R^ \ К). Петли ^'ij ^'25 ^'3 вокруг переходов [х, у, z — образующие) удовлетворяют равенствам: vx^ — x~^yzy~^, V2^ — у~^zxz~^, v^—z~^xyx~^. Получаем копредставление {xyz; х = yzy~^^ у — zxz~^^ z — хух~^). Подставим Z — хух~^. Получим 7ri(R^ \ К) = {х, у; х = ухух~^у~^, у = хух). Птак, 7ri(R^ \ К) = {х^у; хух = уху). Трилистник нельза развязать, так как его тип отличен от типа тривиального узла. Если узлы К^ и А"" имеют один и тод же тип, то их дополнительные пространства обладают совпадающими фундаментальными группами. Группа G = {х^у; хух = уху) не является бесконечной циклической групой Z. Действитьльно, можно построить гомоморфизм 0:G ^ Зз, где 5*3 порождается циклами A2), B3). Пусть К^ и А"" — связные подкомплексы связного п-мерного симпли- циального комплекса К, причем каждый симплекс из К принадлежит по крайней мере о дому из этих подкомплексов. Пусть D = К^ П А"" — пересечение, которое не пусто и не связно. Пусть F, Р\ F", Pj) — фундаментальные группы комплексов К\ К, К^\ D. В качестве начальной точки замкнутых путей возьмем О £ D. Тогда каждый замкнутый путь подкомплекса D является оновременно путем комплексов К^ и К^\ Со- П1лемся здесь на неизвестную теорему Ван-Канпена. Группа Р получается из свободного произведения F' х F", если отождествить каждые два элемента F' и F", соответствующие одному и тому же элементу Рп^ т. е., полагая эти элементы равными, добавим тем самым соотноп1ения между образующими групп F' и F". 391
Найдем фундаментальную группу винтового узла, определенного следующим образом: на боковой поверхности кругового цилиндра проведем образующие на расстоянии 27г/т друг от друга, а затем повернем верхнее и нижнее основания друг относительно друга на 27тп/т. После этого отождествим основания. Присоединим к R^ одну несобственную точку (сю), превратив R^ в S^. Удалим из S^ все точки, принадлежащие трубчатой окресности узла. Получим полиэдр К^ являющийся дополнением узла. Разобьем S^ на две части тором, на котором лежит винтовой узел. Комплескс К распадается на два полнотория, у каждого из которых на поверхности выброп1ена трубчатая окресность узла. Одно полноторие возьмем в качестве А"', другое (с несобственной точкой) — в качестве А"". Фундаментальная группа F'(F") полиэдра К^{К^^) есть свободная группа с одной образующей Л{В). Образующую Л можно представить средней линией полнотория полиэдра К (аналогично поступим с В). Пересечение D обоих полноторий представляет собой закрученное кольцо. Фундаментальная группа D также является свободной с одной образующей, в качестве которой возьмем среднюю линию кругового кольца. Группа F' 0 F" есть свободная группа от образующих Л и В. При надлежащей ориентации путей Л и В путь G, рассматриваемый как элемент группы F\ равен А^, а как элемент группы F" он равен 5". Получаем cooTHonienne А^ — ^п ]/[rj.^j^ копредставление группы 7ri(S'^ \ т) = {^5^5 ^^ = ^^Ij где 7 — трилистник. Два полученных копредставления фундаментальной группы трилист- ниа эквивалентны. Проверку этого мы предоставляем читателю. ?? Выберем в качестве начальной точки замкнутых путей точку О, принадлежащую W. Тогда каждый замкнутый путь комплекса W является одновремено путем комплексов Z, У, т. е. каждому элементу группы 7ri(l/l^) соответствует элемент группы 7ri(X) и элемент группы 7ri(y). Представим Z, У, W в виде симплициальных комплексов. Соединим каждую верп1ину X путем с 0. Если верп1ина лежит в W^ то путь целиком провести в 14^ в силу связности. Симплекс поизвольной размерности ком- лекса X принадлежит либо Z (но не У), либо Y\Z^ либо YHZ. Множество всех симплексов разбивается на три непересекающихся подмножества Z^ У, W. Образующие щ группы 7ri(X) могут быть поставлены во взаимнооднозначное соответствие с ребрами комплекса X. В зависимости от того какому симплициальному комплексу принадлежит это ребро {Z, У или W), переименуем щ в z^, yi или Wi. Таким образом, 7ri(X) имеет своими образующими фудаментальных групп 7ri(y) и 7ri{Z) (образующие 7ri(l/l^)) входят в число образующих 7ri{Z) и 7ri(y). Соотноп1ения в группе 7ri(X) взаимно-однозначно соответствует ребрам и треугольникам комплекса X. 392
Вследствие разбиения комплекса X на три подмножества эти соотноп1ения также разбиваются на три класса. Запип1ем соотноп1ения: ^j{m, i^ji^i^ ^j{wi) zi) = Уг) = = 1 :1 (В^), = 1 (вУ), [bW). Соотноп1ения третьего типа являются определяющими для группы 7ri(l/l^) соотноп1ения второго и третьего типов определяют группы tti (У) и 7ri(l/l^) соотноп1ения первого и третьего типов определяют группы 7ri{Z) и 7ri(l/l^) и, наконец, сотноп1ения всех трех типов определяют группу 7ri(X). Эти соотноп1ения можно переписать следующим образом: <fj{w'i,zi) = 1, V^>-(w;-) = 1, wi = w^\ Соотноп1ения первых двух типов определяют свободное произведение групп 7ri{Z) и 7ri(y). Последнее cooTHonienne означает, что эти элементы групп 7ri{Z) и 7ri(y), соответствующие одному и тому же элементу Wi группы 7ri{W), должны быть отождествлены. В доказательстве использован тот факт, что W связно, так как в противном случае полученное утверждение о группе 7ri(X) неверно. Пример. Z = Y = I — отрезок, W = 5^ X = S\ 7Ti{X) = Z, 7Ti{Z) = 7ri(y) = e. ?? Как известно, для любой подгруппы G С 7ri(X) существует накрытие р:Хо -^ X, такое, что Im7r^Gri(XG')) = G. Введем на Xq умножение. Пусть ё G р~^(е), где е — единица в X, х, у £ Xq. Соединим ё с х ж у путями xt и lit: £о - е, xi - х, уо = е, ^/i = У- Пусть р{х) = х, р{у) = у. Тогда X ж у соединины с с путями p{xt) = Xt ^ р{у) = yt соответственно. Эти два пути мы можем умножить в X, т. е. рассмотреть путь zt = XtX yt, который соединяет е с точкой zi = z = ху. Пусть Zt можно поднять в Xq в путь Zt. Пусть X X у = zi. Остается проверить корректность определения. Можно доказать утверждение. Пусть X группоид с единицей, а, /3 G 7ri(X, е). Тогда а/З = a х /?, где слева — умножение в 7ri(X, е), а справа — умножение в X. Доказательство мы опускаем, предоставляя его читателю. Корректность определения следует непосредственно из этого утверждения. ?? При р > О и q > О для любого п < p-\-q — l имеет место изоморфизм 7Tn{SP V S^) ^ 7Ггг{ЗР) + 7Ггг{3^). Поскольку Пара {SP X S^.SP V S^) является относительной [р + д)-мерной клеткой, то из предложения 1 (см. ниже) следует, что 7Г^E'^ X 5^, 5^ V 5^) = О при т < р-\- q. Следовательно, 7г™E^'У5«) = 7г™E^') + 7г™E^). 393
Если для тройки {Х,Л,хо) пара (X, Л) является относительной п- мерной клеткой, то 7Гт{Х,Л,хо) = О при О < т < п. Доказательство предоставляется читателю. ?? Из теоремы Фрейденталя следует следующее утверждение: гомоморфизм вырезания 7Гт{и, S^) -^ 7ГтE'""'"^, V) является изоморфизмом при т < 2п ж эпиморфизмом при m = 2/7, где U ж V — северная и южная полусферы 5"+^ Найдем 7Гз(i^^5L)^): ... MdD') -^ MD') -^ 7Tr,{D',dD'OTr,_^{dD')... ^ при 77 = 3 имеем 7ГзE£J) = 7ГзE^) = О, 7Гз(£J) = о, 7Г2E£J) = 0. Отсюда 7ГзA^^) ~ 7Гз{0'^,dD'^) = 0. Из точной последовательности 7ГзE'^) = ?? Доказательство следует из точной гомотопической последовательности расслоения Серра. ?? Доказательство следует из клеточного представления проективного пространства и из рассмотрения стандартного накрытия. ?? Докажем, что 7ri(CP") = 0. Здесь СР" — клеточный комплекс, который имеет по одной клетке в каждой четной размерности, т. е. одномерных клеток у него нет. Ио теореме о фундаментальной группе клеточного комплекса с одной нуль-мерной клеткой получаем, что 7ri(CP") = 0. Далее, сфера 5^"+^ расслаивается над СР" со слоем 5^. Действительно, пусть 5^"+^ С С"+^ (стандартное вложение). Точка (zi,.. .z„_|_i) принадлежит 5^"+^ тогда и только тогда, когда ^ \zi\'^ = 1. Далее, СР" = {(zi,..., Zn-\-i) с точностью до умножения на Л}, т. е. A(zi,..., z„_|_i) и (zi,..., z„_|_i) определяют одну и ту же точку в СР". Устроим отображение р: 5^"+! -^ СР", p(zi,...) = (zi,...). Оно непрерывно и его образ — все пространство СР". Над точкой из СР" "висит" следующее множество точек из 5^"+^: пусть (zi,..., z„_|_i) G СР", тогда где f~^ — полный прообраз, О < ^ < 27г. Действительно, e*'^^(zi,..., z„_|_i) и e*'^^(zi,..., z„_|_i) —одна и та же точка в СР", но если ^i 7^ ^25 то в 5^77+ 1 являются расслоением. Осталось применить точную гомотопическою последовательность расслоения. ?? Утверждения следуют из теоремы о клеточной аппроксимации. ?? Пусть Рх'-Х xY ^ Y^ Ру'.Х xY ^ Y — проекции. Устроим гомоморфизм <р'. тгДХ X У) ^ 7Гг(Х) 0 7Гг(У), а именнно: ^(а) = [px*ol,Py*ol)- 394
Докажем, что ^ — гомоморфизм; ^(о;+ /?) = (рх* (о; + /^)MРх* (о; + /^)) = Докажем, что ^ — мономорфизм. Пусть ^{а) = О, т. е. Рх*(^ = О, Ру*а = 0. Следовательно, фх = Рх о а: S^ -^ X гомотопно постоянному, т. е. существует 'фх^'-^7 такое, что 'фх° — Фх, 7'Фх^ — *• Тогда устроим гомотопию Ф^ следующим образом: Фt(Q;) = {Фх^{(^OРу*(^) при / = 0; Фt(Q;) = о; при / = 1. Фt(Q;) — отображение 5" в (*) х У С X X У, (*,Ру*(о;)) G 7г„((*)х) = 7г„(У). По ру* (а)—стягиваемый сфероид, т. е. а — стягиваем. Докажем, что ip — эпиморфизм. Пусть /? G 7Г„(Х), 7 ^ 7Г„(У)- Тогда о; = (/?, 7) при ^ переходит в /? 0 7- Пусть есть универсальные накрытия: Ei —^ X, £ —^ У. Рассмотрим отображение pi х Р2'-Ei х Е2 ^ Х:У, (pi х P2)(ei х 62) = {pici х Р2&2)- Утверждается, что это — накрытие. Доказательство мы опускаем, предоставляя его читателю. Пусть 71 G 7ri(X, о^о), 72 ^ 7ri(y, :уо), «1 G 7г„(Х, о^о), «2 G 7ri(y, 1/о), и пусть задана некоторая гомотопия Ft вдоль пути 71 сфероида «i так, что Fo(q;i) = «1, Fi(q;i) = 7i['^i]j Ft{ai) G 7r„(X,7i(/)). Аналогично Ф(/):Фо(о;2) = «2, Ф1(а2) = 72[q;2], Ф*(о;2) G 7г„(У,72(/)). Определим гомотопию вдоль петли 7 = G1 Ф 72)(О в X х У сфероеда о; = («i 0 «2) как Ft{ai) х Фt(Q;2). Тогда Fi(q;i) х Ф1(о;2) = 7['^i] Ф 72[о;2]. Итак, [71 Ф 72][q;i Ф о;2] = 71 [^^i] Ф 72 [0^2] J но так как любая петля 7 и любой сфероид из X X У имеюд вид 7i Ф72 и «i 0 «2 для некоторых 71 G 7ri(X), 72 ^ 7г„(^)? Q;i G 7г„(Х), «2 G 7Г„(У), то действие 7ri(X х У) на 7Г„(Х х У) полностью определено. ?? Воспользуемся расслоением Хопфа S^ -^ S'^. Оно устроино следующим образом: 5^ = {B1,22): kip + I22P = 1} € С^, 5^ = СР1, Т. е. 5^ = {(zi,Z2):(Azi,Az2) ~ (zi,Z2)}. Получаем расслоение S^ -^ 5^. Для этого расслоения напип1ем точную последовательность ... ^ щ{3^) -^ щ{3^) ^ щ-iiS^) ^ ... Из свойст последовательности щ{3^) = тгДб'^) при г > 3. По теореме Фрейденталя, гомоморфизм Щ-1{3^~-^) -^ щ{3^) явлется эпиморфизмом при i <2п — 2 ж изоморфизмом при г < 2/7 — 2, т. е. гомоморфизмы 7Г1E1)^7Г2E2)^7ГзE3) 395
являются изоморфизмами. Следовательно, 7ГзE^) = Z. Так как 7rjE^) 7гД52), i > 3, то 7гзE2) = Z. 396
?? Достаточно рассмотреть уравнения Эйлера функционала действия и записать эти уравнения в локальных кординатах. При этом следует использовать явные формулы для символов Кристоффеля. ?? Следует выписать уравнения Эйлера для обоих функционалов, затем рассмотреть, что происходит с функционалами при замене параметра (времени) на экстремалях-реп1ениях. Искомое утверждение следует из того, что функционал длины инвариантен при замене параметра, а функционал действия — не инвариантен. ?? Доказательство сводится к прямому вычислению. Следует записать уравнение Эйлера в декартовых координатах и воспользоваться явными формулами для средней кривизны, подсчитанной для графика гладкой функции. ?? Доказательство аналогично доказательству предыдущей задачи. Эта аналогия основана на том, что в обеих задачах коразмерность графика функции равна единице, поэтому тензор средней кривизны задается одной функцией — а именно, средней кривизной. ?? Использовать классическое неравенство ?? Возвести в квадрат подынтегральные выражения и сравнить их. ?? Использовать локальную теорию уравнения Бельтрами-Лапласа, записанного в криволинейной системе координат. Из этой теории следует, что на двумерной поверхности, заданной аналитическими функциями, локально всегда можно ввести конформные координаты. Добавление условия, что средняя кривизна равна О, превращает эти координаты в гармонические. ?? Например, функция г{и, v) = (г*, v, v? — v^). ?? а) Указание. Пусть г = 1, uji^uj2 — ортонормированная пара векторов. Надо доказать, что uj(uji^uj2) < 1, где uj(uji^uj2) — A(uji^uj2)- Рассмотрим Я = (cji, u;2) = [S + iA) (cji, u;2) = = S{uJi, UJ2) + iA{uji, UJ2) — iA{uji, UJ2) Отсюда \H(uJi^uj2)\ — \A(uJi^uj2)\ < |u;i| • |u;2| = 1- Пусть теперь A(uji^uj2) — 1. Тогда H(uji^uj2) — h T. e. S{iuJi^uj2) — 1- Так как \uj2\ — \'i^i\ = 1, то отсюда следует, что UJ2 — i^i, т. е. двумерная плоскость, натянутая на uJi,uj2, является комплексной прямой. Для г > 1 нужно воспользоваться 397
соотноп1ением: Q.^'^'^\uji —102) = y^detgij, где gij — кососимметрическое скалярное произведение, определяемое 2-формой со^'^К Ъ) Указание. Утверждение вытекает из неравенства Виртингера (см. Bbinie) и из формулы Стокса. В самом деле, рассмотрим внеп1нюю 2-форму п _ ^ u; = ^dz^AG?z^ и Q^'^''^ = —U) А... Au) {г раз). к-1 Так как du; = О, то и с?Г2(^^) = 0. Из формулы Стокса следует: Jw Jv При интегрировании формулы Г2(^^) по 2г-мерному подмногообразию следует рассмотреть (в локальных координатах з!^,..., х'^'^) выражение вида: Г2(^^)(и;1,... ,uj2r)dx-^ А .. .Adx'^^, где uJi,... ,uJ2r — ортонормированный базис с касательной плоскости к подмногообразию (в римановой метрике, индуцированной объемлющей евклидовой метрикой в С" = R^"). Если подмногообразие W — комплексное, то ^B^)(u;i,...,u;2r) = 1 и Yol(W)= f ! 2^ Jw !П!B-). Если подмногообразие V — общего вида (т. е. вещественно), то Г^^^^) [uji,..., uJ2r) < 1, т. е. Jy Г2B^) < vol(V), что и доказывает утверждение. с) Вычисления, проведенные в пункте (Ь), носят локальный характер, что позволяет провести их в окрестности каждой точки на кэлеровом многообразии. Формула Стокса, напротив, имеет место на любом гладком многообразии. Напомним, что кэлерова внеп1няя 2-форма замкнута. ?? По теореме о неявной функции, одну из координат, например х^, можно выразить (на поверхности уровня Fq = const) как гладкую функцию от остальных координат. После этого следует подставить эту функцию в уравнение Эйлера для эктремали функционала J. 398
?? Заметим, что открытый шар В^ и сфера S^ с выколотной точкой гомеоморфны. Докажем наше утверждение индукцией но размет- ности комплекса. Если размерность п = О, то утверждение очевидно. Пусть утверждение верно для всех чисел, меньших п. Тогда но предложении индукции [п — 1)-мерный остов К'^~^ нашего комплекса вкладывается в евклидово пространство R^. Это значит, что на К'^~^ заданы непрерывные веш;ественные функции /i(a!), . . .,/дг(а!), такие, что {fi{x),...jN{x)) ф {fi{y),---Jr{y)) при X ф у. Пусть е], j = 1,...,А', все 77-мерные клетки нашего комплекса. Тогда функции fi{x) определены на границе каждой клетки е^ (обозначим ее через е^). Пусть е^ гомео- морфна внутренности В^ замнутого шара D^. Тогда можно считать, что функции fi{x) заданы на D^ \ В^. Непрерывность их при этом сохраняется, взаимная однозначность может быть потерена. Предположим эти функции с D^ \ В^ на В^ (т. е. с е^ на е^) следуюш;им образом. Пусть Z G В^ ж Z ф 0. Полагаем fi{z) = |z|/i(z/|z|). Если z = О, то полагаем fi{z) = 0. Итак, мы продолжили функции fi до непрерывных функций на всем комплексе К. Теперь определим функции д{{х),...,д^^^{х). Вне ej положим gl{x) =0, s = 1,..., n + 1, на е^ полагаем = f ^sin7r|a:|,..., ^sin7r|a:|,cos7r|a:| + ij . Определим F: К -^ R^+^(^+i) равенством F{x) = {fi{x),...jN{x); gl{x),...,gl^^^{x),g^{x),...,g^^^{x)) . Отображение F взаимно-однозначно. Утверждение доказано. ?? Следует рассмотреть сечение бутылки Клейна плоскостью так, чтобы получилось два листа Мёбиуса. Затем следует поднимать эту плоскость (отбросив один лист Мёбиуса), осуш;ествляя в процессе подъема изображенную деформацию граничной окружности. В этот момент, когда эта окружность освободится от самопересечений и превратится в стандартно вложенную окружность, ее следует заклеить двумерным диском. Рассмотреть поверхность, получившуюся в процессе подъема плоскисти и являюш;уюся следом деформировавшейся окружности, получаем погружение RP2 в Я?. ?? Множество точек самопересечения гомеоморфно букету из трех окружностей: 5^ V 5^ V 5^. Вершина этого букета — трехкратная точка 399
самопересечения, а любая точка букета, отличная от верп1ины — Двухкратная. ?? Граница М^ построенной нормальной трубчатой окресности радиуса е, очевидно, проектируется на ИР^ (две концевые точки нормального отрезка переходят в его центр, лежащий на ИР^). Таким образом, М^ является гладким думерным компактным замкнутым многообразием, двулистно накрывающим проективную плоскость. Если мы докажем, что это многообразие связно, то тем самым будет доказано, что это — двумерная сфера, так как 5^ — единсвенное двулистное связное накрытие над ИР^. Для установления связности, достаточно рассмотреть две точки на М^, являющиеся концами одного и того же нормального отрезка, и предъявить на М^ путь, соединяющий эти две точки. Для построения такого пути достаточно рассмотреть точку Т на RP^, являющуюся центром рассматриваемого отрезка, и взять на ИР^ замкнутый путь, начинающийся и заканчающийся в точке Т и при передвижении вдоль которого меняется ориентация двуметного репера, скользящего вдоль пути и остающегося все время касательным к ИР^. Тогда, дополнив этор репер третьим вектором, ортогональным к RP^, и рассмотрев след этого вектора, высекаемый им при непрерывном передвижении репера по замкнутому пути, мы и получаем на М^ непрерывный путь, соединяющий две выбранные нами точки. Дополнительное замечание. Построенное погружение двумерной сферы в трехмерное евклидовое пространство позволяет доказать замечательный топологический факт — возможность "выворачивания наизнанку" двумерной сферы в R^. Эта задача находится за пределами naniero курса, поэтому ограничимса только кратким пояснением. Указанное погружение 5^ таково, что позволяет, оставаясь в классе регулярных погружений, поменять местами внеп1ность и внутренность двумерной сферы. В самом деле, достаточно рассмотреть гладкую деформацию двумерной сферы вдоль нормального векторного поля, определяемого описанными Bbinie нормальными отрезками. При этом внутренняя и внеп1няя поверхности сферы поменяются местами. ?? Пусть ei ..., е^ — верп1ины комплекса К. Возьмем в R^"+^ точки е'^,..., е^ в общем положении, т. е. при j < 2п -\- 2 любые j точки будут линейно-независимы. Каждому остову поставим в соответствие симплекс 400
Этот симплекс существует, так как в силу общего положения точек е']^,..., е^ в R^"+^ и неравенства г < п точки е^ц,..., е^^ линейно-независимы. Симплексы образуют комплекс, изоморфный комплексу Т', так как каждой верп1ине соответствует одна и только одна верп1ина из К. Комплекс К — триангуляция. Для доказательства этого достаточно показать, что никакие два симплекса Т/, Т1- G К\ не пересекаются. Пусть е'-^,..., е'- — верп1ины Т/; е'-^,..., ej^ — верп1ины Tj (некоторые верп1ины могут быть общими). Пусть е^ ,...,е/г^ — все точки, являющиеся вер- П1инами хотя бы одного из симплексов Т/ и Tj. Число г + 1 этих точек удовлетворяет неравенству: г + 1 < (р + 1) + (д + 1) < G7 + 1) + G7 + 1) = 2/7 + 2. В силу общего положения точек е'^,..., е^ в R^"+^ точки е/.^,..., е^ являются верп1инами некоторого вырожденного симплекса То размерности не Bbinie 277+1. Симплексы Т/ и Т1- являются гранями То, а значит, не пересекаются, если они различны. 0] ?? Проверим, что для любого F G ехрХ найдется множество вида 0(f/i,.. .,Un) такое, что F G 0{Ui,.. .^Un)- Это очевидно: F G 0{Х). Проверим теперь, что для любых Oi = 0{Ui,..., Un), О2 = 0(Vi,..., Vk) таких, что Oi П O2 7^ 05 и для любого F G ехрХ, такого, что Т G Oi П О2, найдется Оз = 0{Wi,..., Wm) такое, что Оз С Oi П О2, причем F G Оз- Пусть F G Oi П 02- Для любого i = I..77 рассмотрим множество Fi = Ui n F. Так как F G Oi, T,- ф 0. Так как Т G О2, найдутся Vj^(i),..., Vj((i) такие, что Fi С Uf,_iVj^(i) Можно считать, что {Vj^(j)} — все те из множеств Vi,...,Vi;, которые пересекаются с Fi. Пусть Wi,..., Wm — нумерация множеств {Vj^(i)} по всем i. По построению множеств Wi, F G 0{Wi,..., Wm)- Кроме того, нетрудно видеть, что 0{Wi,... ,Wm) С Oi П 02- Итак, проверено, что множества вида 0{Ui,... ,Un) образуют базу некоторой топологии, что и требовалось доказать. ?? Поскольку X — Ti-пространство, все его одноточечные подмножества замкнуты, следовательно отображение / определено корректно. Ясно, что / — биекция на свой образ f{X) = ехр^^ X. Далее, пусть 0{Ui,... ,Un) — окрестность точки {а:} в ехрХ. Положим U = r\i-iUi. Множество и непусто, так как х G Щ для всех i. Множество 0{U) является окрестностью точки {х} в пространстве ехрХ, причем 0{U) С 0(f/i,..., f/n). Очевидно, что f~^{0{U)) = f/, следовательно, / — непрерывно, так как U = f~^{0{U)) С f~^{0{Ui^..., Un))- Открытость / очевидна, так как f{U) = 0{U) П ехр^^ X для любого открытого U в X. 401
?? a) Пусть X — регулярно. Пусть Fi G expX, F2 G expX ж Fi ф F2. Можно считать, что F2\Fi ф %. В силу регулярности пространства X найдутся такие окрестности U точки х жУ множества Fi, что f/ П V = 0. Если F2 = {а:}, то 0{U) и 0{у) являются дизъюнктными окрестностями точек Fi и ^2 в пространстве ехрХ. Если F2 ф {а:}, то 0{U,X \ {х}) и 0{V) являются требуемыми окрестностями. Таким образом, ехрХ хаус- дорфово. б) Пусть ехрХ хаусдорфово. Пусть х £ X, F — замкнутое подмножество X такие, что х ^ F. Точки F и F U {х} являются различными точками в пространстве ехрХ. Следовательно, найдутся непересекающиеся окрестности 0{Ui,..., Un) и 0(Vi,..., Vk) точек F ж F U {x} соответственно. Пусть V = r\{Vi I X G Vi}- Покажем, что V П {Uf-iUi) = 0. Предположим, что найдется точка у £ V П {U^-iUi). Тогда у G U^_]^t/j. Следовательно, {у} U F G 0{Ui,..., Un) П 0(Vi,..., \4), что противоречит выбору множеств 0{Ui, ...,Un)^ 0(Vi,..., \4). Итак, V П {U^^iUi) = 0, кроме того, X £ V ж F С ^2-1^^- Следовательно, V ж U = U^-iUi — дизъюнктные окрестности точки х ж множества F соответственно, поэтому X — регулярно. ?? Докажем эквивалентность условий (а) и (б) Пусть X нормально, F — замкнутое подмножество X, 0(t/i,..., t/n) — его окрестность в пространстве ехрХ. Заметим, что семейство {Uu...,Un,X\F} является открытым покрытием X. Так как X — нормально, по лемме об ужатии конечного открытого покрытия, существует замкнутое конечное покрытие {Fi,..., F„, F„_|_i} пространства X, причем Fi С Ui, i = L.n, F„_l_i С X\F. Заметим, что Fi можно дополнить одной точкой так, чтобы выполнялось условие FiH F ф 9 (точку можно выбрать из множества Ui П F фЩ^ поэтому можно считать, что условие Fi П F ф 9 выполняется. Так как X нормально, по лемме Урысона найдутся непрерывные на X функции fi'.X -^ [0,1], i = I..77+ 1, причем fi\F, = О, fi\x\u, = 1- Для произвольного / > о, г = 1..77 положим Vi,t = {х I fi{x) <t} Wt= 0{Vi,t,..., Vn,t). Для любых g и г из отрезка [0,1] таких, что q < г верно условие Vi^q С К> (где через А здесь и далее обозначается замыкание множества А). Для дальнейп1их рассуждений нам понадобятся две вспомогательные леммы. Для подмножества Хо пространства X обозначим через ехр(Хо,Х) множество всех F С Хо таких, что F ф 9 ж F замкнуто в X. 402
Лемма 1. Пусть Xq С X, где X — Ti-пространство. Тогда ехр X X ехр{Хо,Х) = ехр(Хо , X) Доказательство. Очевидно, чтоехр(Хо,Х) Сехр(Хо,Х). Заметим, что ехр(Хо, X) замкнуто в ехрХ, следовательно ехр(Хо, X) С ехр(Хо, X). Проверим обратное включение. Пусть Fq — произвольная точка из ехр(Хо, X), 0{Ui,... ,Un) — произвольная окрестность этой точки. Имеем Fq с -^0 и для всех i = 1..п UinFo ф 9. Следовательно, f/^nXo ф 0, поэтому Ui Г\Хо ф 9 для всех г. Выберем Xi G Ui П Xq. Положим F = {xi,... ,Хп}. Тогда F G ехр(Хо,Х) nO{Ui,...,Un), то есть ехр(Хо,Х) П 0(f/i,..., f/^) ф 0. Итак, включение ехр(Хо,Х) С ехр(Хо,Х) проверено, что и доказывает лемму. Лемма 2. Пусть {Ui,... ,Un} и {Vi,..., V^} — два семейства открытых в Ti-пространстве X множеств и для любого i = 1..п верно, что Vi С Ui, тогда 0(^1,..., К) """^ С 0(t/b ..., Un)- Доказательство. 0{Vi,. ..,Vn) = ехр (Uf^,Vi,X) П (n?^i(expX \ехр(Х \ Ц,Х))) С Т.К. замыкание пересечения содержится в пересечении замыканий с ехр (UUV/,X) П (n?^i(exp^ \ехр(Х \ Vi,X))) С ПО лемме 1 с ехр iU2^,Vi,X) П {nf^,{expX\exp{X\Vi,X))) С ПО условию леммы с ехр (ULit/i, X) П (nLi (ехр X \ ехр(Х \ Ui, X))) = 0{Ui ,...,Un) Лемма 2 доказана. По лемме 2 выполняется включение [Wq] С Wr. Это означает, что пространство ехрХ допускает плотное дробление между произвольной точкой F и произвольным замкнутым множеством Fi = ехрX\0{Ui,..., Un), следовательно, ехрХ вполне регулярно. То, что из условия (б) вытекает (в) — очевидно. Докажем, что из (в) вытекает (а). Пусть Fq и Fi — непустые замкнутые непересекающиеся подмножества X. Рассмотрим W = ехр(Х \ 403
Fi,X); W открыто в expX, причем Fq G W. В силу регулярности пространства expX найдется окрестность 0{Ui,... ,Un) точки Fq такая, что 0{Ui,... ,Un) С W. Следовательно, Fq С U^-iUi. Покажем, что Uf-iUi П Fi = 0. Предположим противное. Тогда U2-i{Ui П Fi) = {Uf-i(Ui) П Fi = U2-iUi П Fi ф % ж найдется по крайней мере один индекс j = 1,...,77 такой, что Uj Г\ Fi ф 0. Для каждого i = 1..п выберем по точке Xi G Ui^ если i ф j ж Xi G Ui П Fi, если i = j. Пусть F = {xi I i = I..77}. Легко видеть, что любая окрестность точки F в пространстве ехрХ содержит точки из множества 0{Ui,... ,Un), поэтому F G 0{Ui,...,UnT''^^ CW = ехр(Х \ Fi, X). По F П Fi т^ 0. Противоречие. Птак, Wi-iUi П Fi = 0. Ввиду произвольности Fq и Fi это означает нормальность пространства X. ?? Покажем, что ехрХ \ ехр^ X открыто в ехрХ. Пусть F G ехрХ \ ехр^ X. Тогда \F\ > п. Пусть xi,... ,Xn-\-i — различные точки, принадлежащие F. Так как X хаусдорфово, для любого i найдется окрестность Ui точки Xi такая, что Ui Г\ Uj =0 при i ф j. Положим W = 0(Х, f/i,..., Un+i)- Тогда Few. Кроме того, W П ехр^ X = 0, так как если G G W, то \G\ > п по построению множеств Ui,.. .,Un-\-i- Птак, ехрХ \ ехр^ X открыто, следовательно, ехр^ X — замкнуто. ?? Пусть X ж у две различные точки в пространстве X. Положим F = {х,у}. Тогда F G ехр2Х \ехр]^Х. Поскольку ехр^^ X замкнуто в ехр2Х, то ехр2Х \ ехр^^ X — открыто. Следовательно, для F найдется W = 0{Ui,..., Un) — окрестность F в пространстве ехр2 X такая, что P^nexpiX = 0. Положим О а; = r\{Ui I X е Ui], Оу = r\{Ui \ у е Ui]. Нетрудно видеть, что X е Ох, у е Оу ж Ох П Оу = 0. Птак, X — хаусдорфово, что и требовалось доказать. ?? а) Пусть V = 0(Vi,..., V/г), где Vi открыты в X. Докажем, что 7г~-'^У открыто в X". Пусть X = [xi,..., 3!^) G 7г~-'^У. Так как тг^з! G V, не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что xi,... ,Xj^ G Vi, ..., ^jfc_i+i,.. .,Xj^ eVk- Положим О = Vi X ... X Vi X ... X \4 X ... X Vi;. '^ , ^ '^ , ^ ji jk-jk-i Тогда О — окрестность точки х в X" такая, что О С 7Г~^У. Следовательно, 7г~^ V — открыто. б) Пусть 7г~^У открыто. Докажем, что V открыто. Пусть х = (a!i,..., Хт) G V, m < 77, где a!i,..., а!^ — различные точки в X. Пусть 404
у G тт^^х. Тогда у = (:yf), где j = 1,..., т, т^ = ^j- Так как тг^^У открыто, то для любого у G 7г~^а! найдется окрестность Оу = ПГ=1*-^^(^) такая, что Оу С 7Г~^У. Положим Тогда 14^ = 0@i,...,0m) — открытая окрестность точки х, причем ^п ^^ Q ^п ^^5 следовательно, Pl^ С V, поэтому V открыто в ехр^ X. ?? Пусть [х] G SPqiX = Х'^ jG. Рассмотрим точку (a!i,..., а!„) — любой представитель класса эквивалентности \х\. Для выполнения условия A) необходимо, чтобы выполнялось 7Г^/(;^(И) = \x\g-^ где \x\q — {(^<7AM • • • 5 ^о{п)) I сг G G}. Таким образом, единственность отображения 7г^/^ проверена. Остается доказать независимость от выбора представителя {х\^..., Xj^. Пусть (а!^A),..., Xg[j^^ — другой представитель класса И, где д е G'. Поскольку G' С G, то ^^ G G, откуда (^^(i),.. •, ^^(п)) G {(^<7AM • • • 5 ^<7(п)) I сг G G}, что и требовалось доказать. ?? Пусть О С X" открыто, О = ПГ=1 *^*- Докажем, что тг^О открыто. Для этого, согласно определению топологии в фактор-пространстве X"/G, достаточно проверить, что {^о)~'^{^Ъ^) открыто в X". В самом деле, п i-l Птак, открытость отображения ttq проверена. Пусть F С Х^ замкнуто. Необходимо проверить, что ttqF замкнуто. Пусть [х] е SP^X \ tt'^F. Тогда [х] = [(^^^(i),..., ^<7(п))], где (o^i,..., Хп) — какой-нибудь представитель класса [х], причем (a!<j(i),..., a!<j(„)) ^ F для любого сг G G. Так как F замкнуто, для любого д £ G найдется множество Охд — окрестность точки Хд = (a!^(i),..., а!^(„)) такая, что Охд П F = 0. Можно считать, что Охд = ПГ=1 ^h причем Xg(^i'j G Of для всех г = 1..77. Положим V^ = n^^cOf, V = ПГ=1 ^'- Тогда для любой д £ G имеем ПГ=1 ^9{г) П F = 0. Следовательно, 7rg,V П tt^F = 0. Кроме того, по доказанному, тг^У открыто в SPq{X), и по построению [х] G ^qV- Итак, SPq{X) \ ttqF открытоо, следовательно тг^Р — замкнуто. ?? Докажем следующий общий факт: Лемма. Пусть X, Y, Z — топологические пространства, f:X -^ У, g'.Y ^ Z^ h'.X^Z — непрерывные отображения, причем h = д о f^ и отображение / сюръективно. Тогда, если h — открыто (замкнуто), то и д — открыто (замкнуто). 405
Доказательство. Пусть h — открыто. Докажем, что q — открыто. Пусть V — открытое подмножество в У. Тогда f~^V открыто в силу непрерывности /. Кроме того, g{f{f~'^V)) = g{V), так как / сюръективно. С другой стороны, g{f{f~'^V)) = h{f~-^V) открыто так как h — открыто. В случае, когда h замкнуто, доказательство аналогично. Лемма доказана. В nanicM случае / = тг^./, д = тг^./^, h = тг^., где ttq^q — отображение, существующее в силу задачи 8. Открытость и замкнутость отображений тг^./ и Trg. следует из задачи 9. Применяя лемму, получаем, что tt^^q открыто и замкнуто. ?? Необходимо проверить, что V С ехр^ X открыто тогда и только тогда, когда q^^V открыто в SP^X. Пусть V открыто в ехр^ X. проверим, что q^^V открыто в SP^X. Для этого, согласно определению фактортопо- логии в SP^X, необходимо доказать, что {^^)~'^{Яп'^^) открыто в Х^. По Gг")~-'^(д~-'^ V) = 7r~-^V, так как 7Г„ = д^ о тг", а множество 7Г~-'^У открыто в силу факторности отображения 7Г„ (см. задачу 7). Так как q^^V открыто в SP^'X, то {7T'')-^{q-^V) открыто в X. По (тг")-^^^ ^^) = ^й^У^ поэтому в силу факторности отображения 7Г„, V открыто в ехр^ X. ?? Указание: применить лемму Алекс ан дер а. Penienne. Пусть X компакт. Тогда X регулярно, следовательно ехрХ хаусдорфово (см. задачу ??). Пам потребуется следующая вспомогательная лемма (лемма Александера): пусть в пространстве X существует такая предбаза Б^ что из любого покрытия пространства X элементами этой предбазы можно выбрать конечное подпокрытие, то X бикомпактно. Заметим, что множества вида 0{U) и 0{Х, U) образуют предбазу топологии Вьеториса. Пусть Т> — покрытие, состоящее из элементов этой предбазы. Покажем, что Т> содержит конечное подпокрытие. Положим И^ = X \ и^, где ^ = {V I 0(Х, V) G V]. Если И^ = 0, то ^ является открытым покрытием X. Поскольку X бикомпакт, Q содержит конечное подпокрытие {Vi,..., V^}. Тогда семейство {0(Х, Vi),..., 0{Х^ Vn)} является покрытием пространства ехрХ, поскольку для любой точки F G ехр X соответствующее замкнутое множество F пространства X пересекается с каким-либо Vi, следовательно, F G 0{Х^ Vi). Если же W не пусто, то W не пересекается ни с одним элементом семейства Г2. Следовательно, найдется открытое множество U такое, что О {и) G V, причем W си. Заметим, что Г2 является покрытием компакта X\U. Выберем из него конечное подпокрытие {Vi,..., V^}. Тогда семейство {0(f/), 0(Х, Vi),..., 0{Х^ Уп)} является покрытием пространства ехрХ, поскольку для любой точки F е ехрХ либо F G 0{X,Vi) для некоторого г, либо F П (U-'^iV;) = 0, а тогда F С U, ж следовательно, F G 0{U). 406
Итак, из V можно выбрать конечное подпокрытие, следовательно, по лемме Александера, ехрХ — компакт. ?? Согласно задаче ??, ехрХ — компакт. Согласно задаче ??, ехр^ X замкнуто в ехрХ. Следовательно, ехр^ X — компакт как замкнутое подмножество компакта. ?? Так как X — компакт, то по теореме Тихонова Х^ — компакт. Заметим, что SPqX является образом X" при непрерывном отображении тг^.. Итак, SPqX — компакт как непрерывный образ компакта Х^. ?? Пусть Б — база топологии пространства X, F — замкнутое подмножество X. Пусть F G 0{Vi,..., V^), где множества V^, i = 1,..., n открыты в X. Для каждого i = 1,..., п найдутся U^' G Б, щ G Лг (где Лг — некоторое множество индексов) т