Содержание
Предисловие
К РАЗДЕЛУ «КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ»
Сложение натуральных чисел
Умножение натуральных чисел
Сочетательное свойство
Распределительное свойство
Составные числа
Наименьшее общее кратное
Обыкновенные дроби
Сравнение чисел на координатном луче
Сравнение обыкновенных дробей
Умножение обыкновенных дробей
Сравнение десятичных дробей
Умножение десятичных дробей
Деление десятичных дробей
Приближенные значения чисел
Проценты
Положительные числа
Целые числа
Сложение чисел с помощью координатной прямой
Умножение положительных и отрицательных чисел
Степень
Раскрытие скобок
Уравнение
Пропорции
Формула пути, скорости, времени
Формула прямоугольника
Формула площади круга
- сравнение величин
Нахождение числа по его дроби
Прямая пропорциональная зависимость
Масштаб
Угол
Измерение углов
Перпендикулярные прямые
Координатная плоскость
Степень с натуральным показателем
Степень с целым показателем
Свойства арифметического корня n-й степени
Степень с рациональным показателем
Рациональные числа
Уравнение
- равносильное
- квадратное
Разложение квадратного трехчлена на множители
Симметрическое уравнение
Функции
Способы задания функции
Табличный способ задания функции
Графический способ задания функции
Функция четная
Точки минимума и максимума функции
Функция прямая пропорциональность
Функция линейная
Функция обратная пропорциональность
Функция степенная
Функция дробно-рациональная
Умножение многочленов
Формулы сокращенного умножения
Разложение многочленов на множители
Теорема Безу
Алгебраические дроби
Умножение алгебраических дробей
- дробно-рациональное
Системы линейных уравнений
- содержащее модуль
- иррациональное
- с параметром
Свойства числовых неравенств
Системы линейных неравенств
Неравенство квадратное
Неравенство дробно-рациональное
Неравенство содержащее модуль
Доказательство неравенств
Радиан
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические формулы
Доказательство тригонометрических тождеств
Числовые последовательности
Свойства последовательностей
Геометрическая прогрессия
Функция показательная
Функция логарифмическая
- логарифмическое
Функция y = sin x
Функция y = cos x
Функция y = tg x
Функция y = ctg x
>>>
Функция непрерывная
Теорема Ферма
Наибольшее и наименьшее значения функции
Отрезок
Угол
Измерение отрезков
Измерение углов
Смежные углы
Треугольник
Признаки равенства треугольников
Свойства равнобедренного треугольника
Окружность
Задачи на построение
Свойства параллельных прямых
Сумма углов треугольника
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Расстояние от точки до прямой
Признаки прямоугольных треугольников
Четырехугольник
Расстояние между параллельными прямыми
Ромб
Теорема Фалеса
Трапеция
Центральная симметрия
Тригонометрические функции острого угла
Тригонометрические тождества
Решение прямоугольных треугольников
Расстояние между точками
Тригонометрические функции любого угла от 0° до 180°
Умножение вектора на число
Скалярное произведение векторов
Признаки подобия треугольников
Преобразование фигур
>>>
Центральный угол
Описанная окружность
Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
Теорема косинусов
Многоугольник
Правильный многоугольник
Длина окружности
Радианная мера угла
- прямоугольника
- параллелограмма
- треугольника, ромба
- трапеции
ГЕОМЕТРИЯ. 10-11 КЛАССЫ
Перпендикулярность прямых
Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикуляр
Перпендикулярность плоскостей
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между плоскостями
Многогранник
Призма
Параллелепипед
Площадь поверхности пирамиды
- правильный
Цилиндр
Площадь поверхности конуса
Шар
- прямоугольного параллелепипеда
- призмы
- пирамиды
- цилиндра, шара
Прямоугольная система координат в пространстве
Преобразования фигур в пространстве
Векторы в пространстве
Задачи по основным разделам Школьного курса математики
Числовой луч
Формулы
Умножение десятичных дробей
Среднее арифметическое
Умножение обыкновенных дробей
Прямая и обратная пропорциональности
Сложение положительных и отрицательных чисел
Умножение положительных и отрицательных чисел
Числовые выражения
Функция линейная
Формулы сокращенного умножения
Упражнения, содержащие параметры
Умножение алгебраических дробей
Числовые неравенства
Степень с целым показателем
>>>
>>>
>>>
Тригонометрические функции
>>>
Тригонометрические функции
- тригонометрические
Производная
>>>
Упражнения, содержащие параметры
Функция показательная
>>>
Углы
Треугольник равнобедренный
Сумма углов треугольника
Повторение
Трапеция
Теорема Пифагора
Уравнение окружности и прямой
Подобие треугольников
Теорема синусов
>>>
>>>
Параллельность в пространстве
Перпендикулярность в пространстве
Углы между прямыми и плоскостями
Повторение
Шар
Объемы тел вращения
К РАЗДЕЛАМ «ЗАДАЧИ» И «КОНТРОЛЬНЫЕ И ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ. ТЕСТЫ»
Повторение
Уравнения
Повторение
>>>
>>>
Прогрессии
Функции
Повторение
Уравнения
>>>
>>>
Четырехугольники
>>>
- вписанные в окружность
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между скрещивающимися прямыми
>>>
>>>
>>>
Натуральные числа
Сравнение натуральных чисел
Решение уравнений
>>>
>>>
Сравнение обыкновенных дробей
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Функция четная
>>>
>>>
>>>
Тригонометрические тождества
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Число иррациональное
Элемент множества
Число составное
Число целое
Свойства пропорции
Формула сложных процентов
Число действительное
Числовая прямая
Число чисто мнимое
Тригонометрическая форма комплексного числа
Формула Эйлера
Формулы сокращенного умножения
Функция
- явная
Элементарные функции
- целая рациональная
- показательная
Период тригонометрических функций
- элементарная
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Эквивалентные уравнения
Уравнение целое алгебраическое
Уравнение тригонометрическое
Элемент определителя
Формулы Крамера
Эквивалентные неравенства
Система неравенств
- трансцендентное
Сочетания
Формула бинома Ньютона
Эквиваленция высказываний
Условие необходимое и достаточное
Член последовательности
Формула общего члена арифметической прогрессии
>>>
Замечательные пределы
Э
- разрывная
- на отрезке
- непрерывно дифференцируемая
Формулы дифференцирования
Теорема Ферма
Экстремум
Н
- перегиба
- подынтегральная
Формулы интегрирования
Уравнение дифференциальное
Условие начальное
>>>
Формула Ньютона-Лейбница
Интеграл расходящийся, сходящийся
- поверхности вращения
- развернутый
Ц
- треугольника
- внешний
Формула Герона
- многоугольника
- равнобедренная
- многогранный
- полной поверхности параллелепипеда
Цилиндр
Шаровой слой
Фигура центрально-симметричная
Сумма векторов
Условие коллинеарности векторов
Формула расстояния между двумя точками
>>>
Условие перпендикулярности векторов
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Условие перпендикулярности прямых
Формула от точки до прямой
Формула от точки до плоскости
Эллипс
Сумма событий
Полная группа событий
Умножение вероятностей
Формула Пуассона
Теорема Бернулли
>>>
>>>
Уравнение с модулем
>>>
>>>
>>>
Свойства корня n-й степени
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Преобразование графиков 490,
Уравнение с двумя переменными
Квадратный трехчлен
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
- в прямоугольном треугольнике
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Уравнение с параметром
>>>
Умножение двойных неравенств
- квадратное, линейное
Тригонометрические неравенства
>>>
- с двумя переменными
>>>
>>>
Физический смысл производной
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Свойства первообразной
Таблица первообразных
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Решение прямоугольных треугольников
>>>
Теорема Чевы
>>>
>>>
>>>
- четырех точках трапеции
>>>
>>>
Свойства хорд, секущих и касательной
>>>
>>>
>>>
Теорема Птолемея
>>>
Триангуляция
>>>
>>>
Теоремы стереометрии
Признак параллельности плоскостей
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
>>>
>>>
Расстояния в пространстве
>>>
>>>
- линейный двугранного угла
>>>
- трехгранный
Сечение куба
Проекция параллельная
>>>
>>>
Свойства параллелепипеда
>>>
- полной поверхности пирамиды
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Сечение цилиндра
Сечение конуса
>>>
>>>
Сечение шара
>>>
Пересечение сфер
- описанная
>>>
Формулы деления отрезка в данном отношении
>>>
>>>
>>>
Уравнение сферы
>>>
>>>
Условие компланарности векторов
>>>
Условие ортогональности векторов
>>>
>>>
Формулы логарифмирования
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Четырехугольник
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
Подготовка к экзаменам
11 класс
Примерные билеты и ответы к устному экзамену по алгебре и началам анализа
Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии
Для поступающих в вузы. Задачи и решения письменных экзаменов по математике
Предметно-тематический указатель
К разделам «Задачи...» и «Контрольные и проверочные работы. Тесты»
К разделу «Справочные материалы»
Текст
                    МАТЕМАТИКА
Большой справочник
для школьников и поступающих
в вузы
Краткое изложение школьного курса
математики
ш
Задачи по основным разделам школьного
курса математики
ш
Контрольные и проверочные работы
по математике.
Тесты
ш
Справочные материалы
ш
Подготовка к экзаменам
Москва • Издательский дом «Дрофа» •1998


УДК 373.167.1:51(03) ББК22.1я2 М34 Серия основана в 1998 году Авторы разделов: Д. И. Аверьянов, П. И. Алтынов, И. И. Баврин, Л. О. Денищева, Г. В. Дорофеев» Л. И. Звавич, Н. В. Карюхина, В. С. Крамор, Г. М. Кузнецова» А. И. Медяник, Т. М. Мищенко, Ю. В. Нестеренко, С. Н. Олехник, В. А. Попов, М. К. Потапов, А. Р. Рязановский, Е. А. Седова, В. К. Смирнова, Л. Я. Шляпочник, Б. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/Д. И. Аверьянов, М34 П. И. Алтынов, И. И. Баврин и др. — М.: Дрофа, 1998. — 864 с: ил. — (Большие справочники для школьников и поступающих в вузы). ISBN 5—7107—2093—3 Справочник является уникальным учебным пособием по математике, содержащим теоретический материал школьных курсов математики (5—6 кл.), алгебры (7—11 кл.), геометрии (7—11 кл.), примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения, контрольные и проверочные работы, тесты, различные справочные материалы. Кроме того, в справочнике представлены обширные материалы для подготовки к выпускным экзаменам по математике в 9 и 11 классах, к вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения. Содержание книги охватывает почти десять школьных учебников по математике для 5—11 классов и около двух десятков обычных изданий справочно-методической литературы. Книга адресована учащимся, учителям, родителям, абитуриентам, студентам педвузов. УДК 373.167.1:51(03) ББК 22.1я2 ISBN 5—7107—2093—3 © «Дрофа», 1998
Содержание Предисловие 4 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы (П. И. Алтынов) 7 Алгебра. 7—11 классы (Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко, В. С. Крамор, В. А. Попов) ... 43 Геометрия. 7—9 классы (И. И. Баврин) 119 Геометрия. 10—11 классы (И. И. Баврин) 183 Задачи по основным разделам Школьного курса математики Математика. 5—6 классы (J7. И. Алтынов) 231 Алгебра. 7—9 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 241 Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник). ...... 255 Геометрия. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 263 Геометрия. 10—11 классы (П. И. Алтынов) 275 Контрольные и проверочные работы по математике. Тесты Контрольные и проверочные работы Математика. 5—6 классы (П. Я. Алтынов) 285 Алгебра. 7—9 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 289 Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 297 Геометрия. 7—9 классы (А. И. Медяник) 301 Геометрия. 10—11 классы (А. И. Afедяник) 307 Тесты Математика. 5—6 классы (Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко) 312 Алгебра. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 323 Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (П. И. Алтынов) 347 Геометрия. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 364 Геометрия. 10—11 классы (Я. Я. Алтынов) 380 Справочные материалы Краткий справочник по математике (Я. Я. Баврин) 395 Алгебра в таблицах (Л. Я. Звавич, А. Р. Рязановский) 475 Геометрия в таблицах (Л. Я. Звавич, А. Р. Рязановский) 537 Математика в формулах 620 Подготовка к экзаменам 9 класс Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии (Г. В. Дорофеев, Т. М. Мищенко) 639 11 класс Задачи и решения письменного экзамена по алгебре и началам анализа (Л. Я. Звавич, Д. И. Аверьянов, В. К. Смирнова) 675 Примерные билеты и ответы к устному экзамену по алгебре и началам анализа (Л. О. Денищева, Н. В. Карюхина, Г. М. Кузнецова) 723 Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии (Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова) 777 Для поступающих в вузы Задачи и решения письменных экзаменов по математике (М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко) 819 Предметно-тематический указатель К разделу * Краткое изложение школьного курса математики» 850 К разделам «Задачи...» и «Контрольные и проверочные работы. Тесты» 853 К разделу «Справочные материалы» 855
Предисловие Перед вами необычный учебный справочник. Его уникальность в том, что он объединяет практически все, что относится к изучению и преподаванию школьного курса математики. Впервые заинтересованный читатель (ученик, учитель, родитель, репетитор) получает книгу, 9 которой так полно отражены все основные этапы и все виды деятельности при обучении математике. Содержание справочника охватывает почти десять школьных учебников по математике для 5—11 классов и около двух десятков обычных изданий справочно-методической литературы. В справочнике пять разделов, соответствующих основным формам обучения: усвоению теории, решению задач, подготовке к контрольным работам и тестированию, работе со справочными материалами, подготовке к экзаменам. Структура всех разделов, кроме справочного, соответствует традиционному делению школьной математики по предметам и классам. Первый раздел «Краткое изложение школьного курса математики» предназначен для самостоятельного повторения материала школьной программы. В очень сжатой форме в полном соответствии с действующими учебниками изложена теория и даны примеры решения задач. Материал второго раздела «Задачи» и третьего «Контрольные и проверочные работы. Тесты» можно использовать для закрепления навыков решения задач, для самопроверки и для подготовки к контрольным работам и тестированию в школе. Задачи, контрольные работы и тесты скомпонованы по классам и основным темам в соответствии с самыми распространенными учебниками. Ко всем заданиям даны ответы, более сложные задания традиционно отмечены звездочками. Следующий раздел составляют различные справочные материалы. «Краткий справочник по математике» содержит математические понятия, предложения, формулы по основным разделам школьного курса математики и примеры применения теории к решению задач, а также сведения, значительно расширяющие общеобразовательный курс. Справочные материалы «Алгебра в таблицах» и «Геометрия в таблицах» отличаются краткостью изложения теории и наглядностью. Определения, теоремы, формулы, рисунки, примеры решения задач сгруппированы в тематические таблицы по всем наиболее важным темам школьного курса математики. Название самых оперативных и кратких справочных материалов — «Математика в формулах» (точнее, школьный курс математики в формулах) — является точной характеристикой содержания этой части справочника. Заключительный раздел книги содержит материалы для подготовки к экзаменам по математике: варианты экзаменационных работ письменного экзамена по алгебре и началам анализа в 11 классе с разобранными решениями, примерные билеты и ответы для устной итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов по геометрии, алгебре и началам анализа, варианты экзаменационных работ с решениями по математике для поступающих в вузы. Учебный справочник объемлет все этапы учебного процесса, и любой читатель найдет в нем полезную и необходимую информацию. Учащийся, не очень уверенно чувствующий себя в математике, сможет восполнить пробелы в теории и научиться решать задачи с помощью первого раздела справочника. Тот, кто хочет потренироваться решать задачи или проверить свои знания, воспользуется вторым и третьим разделами. Необходимые формулы проще всего найти в справочных материалах «Математика в формулах», определения, теоремы, свойства — в таблицах, а если возникли вопросы, выходящие за рамки школьной программы, то можно заглянуть в «Краткий справочник». Нужную информацию — разъяснение термина, теоретические сведения по конкретному вопросу, задачи или тесты на определенную тему — поможет найти в книге предметно-тематический указатель.
Краткое изложение школьного курса математики поможет быстро и эффективно повторить весь изученный материал
Краткий курс математики содержит теоретические сведения и типовые задачи с решениями по предметам «Математика», «Алгебра» и «Геометрия», изложенные кратко и доступно. Он позволит в оптимальные сроки повторить весь изученный материал, поможет быстро и эффективно подготовиться к контрольным работам, выпускным и вступительным экзаменам.
Математика. 5—6 классы НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Понятие о натуральном числе Числа, употребляемые для счета предметов, называют натуральными. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: О, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9. Такую запись чисел называют десятичной. Нужно запомнить, что число 0 натуральным не является. Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие — класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т. д. 1 миллион (1 млн) = 1 000 000 1 миллиард (1 млрд) = 1 000 000 000 1 триллион (1 трлн) = 1 000 000 000 000 Например, число 23 078 000 104. Его читают: 23 миллиарда 78 миллионов 104. Классы Разряды Число Миллиарды с Д 2 е 3 Миллионы с 0 Д 7 е 8 Тысячи с 0 Д 0 е 0 Единицы с 1 д 0 е 4J с — сотни, д — десятки, е — единицы Примеры: а) Число 100 005 читается так: сто тысяч пять. б) Число 1 000 050 читается так: один миллион пятьдесят. в) Число 10 000 005 000 читается так: десять миллиардов пять тысяч. Сложение натуральных чисел Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится следующее за ним число. Например, 8 + 1 = 9; 53 + 1 = 54; 399 + 1 = 400. Таким образом, сложить, например, 9 и 4 означает: прибавить к 9 четыре раза единицу. Получим: 9 + 4 = 9 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13. Естественно, что это записывают короче: 9 + 4 = 13. Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число, получающееся при сложении этих чисел, называют их суммой. В записи 9 + 4 = 13 числа 9 и 4 — слагаемые, число 13 — сумма. Если сложение обозначить буквами, то а +& = с слагаемые сумма При сложении многозначных чисел употребляют способ сложения столбиком. Примеры: а) 3198 б) 183487 + 457 + 59794 870 243281 4525 При устном счете можно складывать числа поразрядно. Примеры: а) 58 + 74 = (50 + 70) + (8 + 4) = 120 + 12 = 132; б) 453 + 865 = (400 + 800) + (50 + 60) + (3 + 5) = = 1200 + 110 + 8 = 1318. Вычитание натуральных чисел Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием. Вычитание — это действие, обратное сложению. То есть: «из 7 вычесть 3» означает: «найти такое число, которое в сумме с 3 дает в результате 7». 7-3 = х, х + 3 = 7, х = 4. Итак, 7-3 = 4. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. 18 - 13 = 5 уменьшаемое вычитаемое разность а - Ь = С, т. е. с + Ъ = а.
8 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы При действиях с натуральными числами уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго или на сколько второе число меньше первого. Примеры: а) 101 - 13 = 88, так как 88 + 13 = 101; б) 34 - 0 = 34, так как 34 + 0 = 34; в) 573 - 573 = 0, так как 0 + 573 = 573. При вычитании многозначных чисел результат удобно находить столбиком: 27384 542 -128 414 -9298 18086 Умножение натуральных чисел Правило: Умножить число т на натуральное число п значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т. Выражение т • п и значение этого выражения называют произведением чисел тип. Числа т и п называют множителями. Примеры: а) 5-4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20; б) 7 • 1 = 7. Очевидно, что 5*4 = 4*5, что ясно из рисунка: ***** ***** ***** ***** * * * * * * * * и * * * * * * * * * * * * При письменном умножении результат удобно получать столбиком. а) в) Примеры: „58 б) 37 + 406 174 2146 2640 5700 1848 1320 15048000 г) 257 Х 39 2313 + 771 10023 439 308 3512 Ч317 135212 1) при умножении на 10 в результате к числу справа приписывается 0: 48 • 10 = 480; 2) при умножении на 100 в результате приписываются справа два 0: 576 • 100 = 57 600 и т. д.; 3) при умножении на 15 число сначала умножают на 10, а затем прибавляют половину полученного числа: 496 • 15 = 4960 + 2480 = 7440; 4) при умножении на 5 число сначала умножают на 10, а затем берут половину полученного числа: 38 • 5 = 380 : 2 = 190; 5) при умножении на 25 число сначала умножают на 100, а затем берут четверть полученного числа: 17 • 25 = 1700:4 = 425; 6) при умножении на 50 число умножают на 100, а затем берут половину полученного числа: 435 • 50 = 43 500 : 2 = 21 750. Нужно очень хорошо запомнить, что 0=0,а•1=а При устном умножении нужно знать, что: Для обозначения действия умножения применяют два знака: • и х. Знак х впервые использовал в своих работах в качестве знака, обозначающего умножение, Оутред. Знак • появился в 1698 г. Его ввел немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Деление натуральных чисел Деление — действие, обратное умножению. Его смысл заключен в нахождении одного из двух множителей, если известны произведение и другой множитель. Таким образом, «24 разделить на 8 — значит найти такое число, что при умножении его на 8 получается 24», т. е. 24 : 8 = х, х • 8 = 24, х = 3. Итак, 24:8 = 3.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 9 Примеры: а) 105 : 15 = 7, так как 7 • 15 = 105; б) 0 : 8 = 0, так кдк 0*8 = 0. Особо нужно запомнить, что 0 : а = 0, если а * 0 а : 0 — нельзя! Итак, а :Ь = с, причем с • Ъ = а; а — делимое, & — делитель, с — частное. Пример: 48 : 6 = 8, 48 — делимое, 6 — делитель, 8 — частное. Знак деления : впервые появился в 1202 г, в работах Леонардо Пизанского. Однако есть еще один знак деления —, впервые введенный У. Джонсом в 1633 г. Таким образом, записи 76 1П 76 19 и jg означают одно и то же. Преимущества записи деления через черту вы увидите чуть позже. Итак, . h - а Примеры: а) 90 : 5 = (50 + 40): 5 = 50 : 5 + 40 : 5 = 10 + 8 = = 18; б) 165 : 3 - (150 + 15): 3 = 150 : 3 + 15 : 3 = 50 + + 5 = 55. Если делимое оканчивается нулем, то сначала делится число без нуля на делитель, но в частном к результату приписывают нуль. Если и делимое и делитель оканчиваются нулем, то деление проводят без последних нулей. Примеры: а) 480 : 12 = 40, так как 48 : 12 = 4; 6)460:230 = 46:23 = 2; в) 800 : 40 = 80 : 4 - 20. Однако при делении натурального числа а на натуральное число Ъ может случиться, что нет такого натурального числа с, что с • Ъ = а, например 15 ; 7. В этом случае речь идет о делении с остатком. Тогда запись ведется следующим образом: 15:7 = 2 (ост. 1) или 660 : 50 = 13 (ост. 10). Обратите внимание на наличие нуля в остатке во втором примере. Нужно запомнить, что если а — делимое, Ъ — делитель, с — неполное частное, г — остаток, то а = с • Ъ + г. Причем остаток всегда меньше делителя, т.е. г <Ъ. Следовательно, при делении, например, на число 7 возможны только остатки; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Примеры: а) 48 : 7 = 6 (ост. 6); 6)81: 7 = 11 (ост. 4). Если в остатке получилось число 0, то говорят, что одно число разделилось на другое нацело. Например, 35 : 7 = 5 (ост. 0), пишем просто 35:7 = 5. Примеры: а) _15в|18 13 [12 26 0 156:13 = 12 б) _ 1428|14 14 |102 28 28 0 1428 : 14 = 102 Свойства действий над числами Переместительное свойство Правило: Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых. a +b =b + а Пример: 308 + 1427 = 1427 + 308. При любом способе сложения результат равен 1735. Правило: Произведение чисел не изменяется при перестановке множителей. Пример: 14 • + 1 14 а •Ъ = Ь • а 108 = 108 • 14. 14 108 08 14 12 + 432 108 1512 1512 Сочетательное свойство Правило: Чтобы прибавить к сумме двух чисел третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. (a+b) + c =а+(Ь +с) Примеры: а) (327 + 84) + 116 = 327 + (84 + 116) = 327 + 200 = = 527;
10 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы б) (4083 + 576) + 5917 = (576 + 4083) + 5917 = = 576 + (4083 + 5917) = 576 + 10 000 = 10 576. Правило: Чтобы умножить произведение двух чисел на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. (а • Ь) • с = а • (Ь • с) Примеры: а) (7 • 25) • 8 = 7 • (25 • 8) = 7 • 200 - 1400; б) (50 • 23) • 40 = (23 • 50) • 40 = 23 • (50 • 40) = = 23 • 2000 = 46 000. Распределительное свойство Правило: Для того чтобы умножить сумму двух чисел на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. (а +Ь) • с = а • с + 6 • с Примеры: а) (17 + 8) • 5 = 17 • 5 + 8 • 5 = 85 + 40 = 125; б) 24 • 19 + 76 • 19 = (24 + 76) • 19 = 100 • 19 = =1900. Правило: Для того чтобы умножить разность двух чисел на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. (а-Ь)*с=а*с~-Ь Примеры: а) (28 - 19) • 3 = 28 • 3 - 19 • 3 = 84 - 57 = 27; 6)317 • 213-217 • 213 = (317-217) • 213 = = 100 • 213 = 21300. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ Делители числа Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Примеры: а) число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18; б) число 25 имеет 3 делителя; 1, 5, 25; в) число 73 имеет 2 делителя: 1 и 73. Число 1 является делителем любого натурального числа. Если числа а и b оба делятся на число с, то с называется общим делителем чисел а и Ь. Примеры: а) число 28 делится на 4 и 48 делится на 4, следовательно, 4 — общий делитель чисел 28 и 48; б) 20 делится на 5, а 53 не делится на 5, следовательно, 5 не является общим делителем чисел 20 и 53. Найдем общие делители чисел 48 и 60. Для числа 48 делителями являются: 1., 2, 3, 4,6,8,12,16,24,48. Для числа 60 делителями являются: 1, 2, 3, 4,5,6,10,12,15,20,30,60. Общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Из них 12 — наибольший общий делитель. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и Ъ, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 Правило: Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а) 680 делится на 10; б) 104 не делится на 10. Правило: Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится. Примеры: а) 370 и 1485 делятся без остатка на 5; б) числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными. Натуральные числа называют четными, если они оканчиваются четной цифрой, и нечетными, если они оканчиваются нечетной цифрой. Правило: Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 11 Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2. Примеры: а) 8, 60, 574 — делятся на 2; б) 13, 25, 1001 — не делятся на 2. Правило: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а) 276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б) 563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3. Правило: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а) 5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7 = 27, а 27 делится на 9; б) 359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9. Правило: Число делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а) 78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б) 8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4. Правило: Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а) 2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б) 3754 не делится на 6, так как 3754 не делится наЗ. Простые и составные числа Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Примеры: а) число 9 имеет три делителя (1, 3 и 9), следовательно, оно составное; б) число 17 имеет два делителя, значит, оно простое; в) число 1 имеет только один делитель — само это число, поэтому оно не является ни составным, ни простым. Правило: Разложить составное число на простые множители означает записать данное число в виде произведения простых чисел, которые являются делителями данного числа. При любом способе записи получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка множителей. Примеры: а) 180 = 2 • 2 • 3- 3 • 5; б) 1368 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 19. 180 90 45 15 5 1 2 2 3 3 5 1368 684 342 171 57 19 1 2 2 2 3 3 19 Разложение числа на простые множители помогает решить задачу отыскания наибольшего общего делителя двух или более чисел. Наибольший общий делитель (НОД) Правило: Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать те множители, которые входят в разложение каждого из чисел; 3) найти произведение этих множителей. Примеры: а) Найти НОД (6600; 6300): 6600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 11, 6300 = 2 -2-3-3-5-5-7, НОД (6600; 6300) = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300; б) Найти НОД (34 398; 1260; 6552): 34398 = 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 7 • 13, 1260 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7, 6552 = 2 • 2 • 2 • 8 • 3 • 7 • 18, НОД (34 398; 1260; 6552) = 2 • 3 • 3 • 7 = = 126. При нахождении наибольшего общего делителя двух чисел полезно знать еще одно правило, называемое ^алгоритм Евклида*.
Краткое изложение школьного Математика. 5—6 классы Пример: Найти НОД (270; 186). Разделим 270 на 186 с остатком: 270 : 186 = 1 (ост. 84). Далее разделим делитель на остаток и т. д.: 186 : 84 = 2 (ост. 18), 84: 18 = 4 (ост. 12), 18 : 12 = 1 (ост. 6), 12:6 = 2 (ост. 0). Наибольшим общим делителем чисел 270 и 186 является последний ненулевой остаток, т. е. число 6. Пример: Найти НОД (234; 180). 1) 234 : 180 = 1 (ост. 54), 2) 180 : 54 = 3 (ост. 18), 3) 54 : 18 = 3 (ост. 0). Следовательно, НОД (234; 180) = 18. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице. Примеры: а) 75 и 14 — взаимно простые числа, так как НОД (75; 14) - 1; б) 20, 9 и 77 взаимно простые числа, так как НОД (20; 9; 77) = 1. Кратные числа Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится на а без остатка. Примеры: а) для числа 18 кратными являются числа: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.; б) для числа 7 кратными являются числа: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 и т. д. Итак, нужно запомнить: 1) любое число имеет бесконечное число кратных; 2) наименьшим кратным для числа является само это число. Общим кратным для двух и более чисел будет число, которое является кратным для каждого из этих чисел. Примеры: а) Для числа 8 кратные: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; ... . Для числа 12 кратные: 12; 24; 36; 48; 60; (а} ... . математики Таким образом, общими кратными для чисел 8 и 12 являются числа: 24; 48; 72; ... . б) Для числа 7 кратные: 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; ... . Для числа 3 кратные: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24;... . Общими кратными чисел 3 и 7 являются числа: 21; 42; 63 и т. д. Наименьшее общее кратное (НОК) Из общих кратных двух (или нескольких) чисел особо выделяют то, которое является наименьшим общим кратным этих чисел. Примеры: наименьшее общее кратное чисел 8 и 12 равно 24, а наименьшее общее кратное чисел 3 и 7 равно 21. Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и Ъ называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и Ь. Нужно запомнить: 1) если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным; 2) если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению. Примеры: а) НОК (9; 18) = 18; б) НОК (2; 8; 16) = 16, так как 8 делится на 2, а 16 делится на 8; в) НОК (7; 10) = 70, так как 7 и 10 — взаимно простые числа; г) НОК (5; 9; 11) = 495, так как 5,9,11— взаимно простые числа и 5 • 9 • 11 = 495. В некоторых случаях наименьшее кратное двух чисел находят устно. Примеры: а) НОК (12; 18) = 36; б) НОК (18; 30) = 90; в) НОК (5; 10; 12) = 60; г) НОК (14; 8) = 56. Однако устно, например, не так просто найти наименьшее общее кратное чисел 360 и 825. Правило: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение (лучше наиболее длинное) одного из чисел;
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 13 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей. Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 360 и 825, придерживаясь этого правила. 1) 360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5, 825 = 3 • 5 • 5 • 11; 360 180 90 45 15 5 1 8251 275 55 11 1 12 2 2 3 3 5 3 5 5 11 2) выпишем наиболее длинное разложение: 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5; 3) добавим к нему недостающие множители из второго разложения: 5 и 11; 4) НОК (360; 825) = 2-2-2'3-3-5-5«11 = = 19 800. Заметим, что нет необходимости перемножать все числа, так как 2'2*2«3«3'5 = 360 и нужно просто выполнить умножение 360 • 55. Пример: Найти наименьшее общее кратное чисел 2940; 550 и 63. 2940 = 2-2-3-5'7-7, 2940 14701 735 245 49 71 1 550 = 2 • 5 • 5 • 11, "550| 275 551 11 1 2 5 5 11 63 = 3 • 3 • 7; 63 21 7| 1 НОК (2940; 550; 63) = = 2 • 2 • 3 • 5 • 7-7 • 5 • 11 • 3 = 485 100. Кроме правил нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел полезно знать, что произведение наименьшего общего кратного двух чисел и наибольшего общего делителя этих чисел равно произведению самих этих чисел, т. е. НОК (о; Ь) • НОД (а;Ь) = а • Ь или Н0К<а'&>=нсщЬг Примеры: а) Найти НОК (20; 48). Так как очевидно, что НОД (20; 48) = 4, то НОК (20; 48) = ^-^ = 240. б) Найти НОК (72; 60). НОД (72; 60) = 12, тогда НОК (72; 60) = 'ЩР 360. II III ДРОБИ (обыкновенные и десятичные). ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ НА КООРДИНАТНОМ ЛУЧЕ Обыкновенные дроби Если пирог разрезать на 8 равных частей, то каждая из этих частей называется долей. Так как пирог был разрезан на 8 частей, то каждая доля равна g пирога. Если бы пирог был разрезан на Ючастей, то каждая доля была бы равна 1 т~ пирога. Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы (в том числе и из одной доли). Например, если в обед съели 5 долей пирога, это означает, что съедено было g пирога, а оста- 3 13 лось g пирога. Запись -g- означает, что имеется в виду один 8 пирог, состоящий из g пирога, 5 а также g другого такого же 13 ,5 пирога, т. е. -g- ■» lg.
14 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Итак, любая дробь записывается в виде —, где т называется числителем дроби, an — знаменателем дроби. Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной; если числитель равен знаменателю или больше его, то дробь называется неправильной. Например, дроби т= и. - правильные дро- 5 23 би, g и -g- — неправильные дроби. Число lg называется смешанным числом. Причем 1 называется целой частью числа, a g — дробной частью числа. Запись неправильной дроби в виде смешанного числа называется выделением целой части числа. Эта запись получается в результате деления числителя на знаменатель (здесь надо вспомнить, что знаки — и : означают одно и то же). Правило: Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: 1) разделить с остатком числитель на знаменатель; 2) в качестве целой части взять неполное частное; 3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель — знаменатель дробной части. Примеры: 23 а) Записать дробь -g- в виде смешанного числа. 23 5 23 : 6 = 3 (ост. 5), тогда -g- = 3g; б) Ш - 28*, так как 200 : 7 = 28 (ост. 4); 20 в) _. =4, так как 20 : 5 = 4 (ост. 0). о Если числитель равен знаменателю (естественно, не равны нулю), то дробь равна 1. Примеры: ч 2 . *х 5 - ч 10 - ч 23 1 a) g = 1; б) g - 1; в) ^ = 1; г) 5а = 1. 10 23 Правило: Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно: 1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; 2) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить без изменения. Примеры: а) 5г те -g-, так как 5*8 + 3 = 43; б) 2g « g, так как 2-3 + 1 = 7. Любое натуральное число можно записать в виде неправильной дроби с любым знаменателем. ft 0 2 4 6 8 Пример: 2=j=2=g=jHT. д. Десятичные дроби Рассмотрим числа 7г^; 8 417 100 ; Ь1000 * Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой. Если дробь правильная, то перед запятой пишут 0, а количество знаков (цифр) после запятой должно равняться числу нулей в знаменателе. Такую запись дробей называют десятичной, а сами дроби — десятичными. Примеры: 7тт: = 7,3; 10 8 100 = 0,08; 5 417 1000 = 5,417; 147 10 = 14^ - 14,7; 3_ 50 6 = loo = °'06; 54 =510б =5'75' Изображение чисел на координатном луче. Сравнение чисел Отметим на луче ОХ точку и обозначим ее, например, Е. Напишем над началом луча (точкой О) число 0, а над точкой Е число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком. Отложим отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над точкой А напишем число 2. Так, шаг за шагом получаем бесконечную шкалу. Ее называют ко ординатным лучом. Числа 0, 1, 2 называют ко ординатами точек О, Е, А. Пишут О(0), Е(1) А(2). В свою очередь, каждый из отрезков ОЕ ЕА и т. д. можно разбить на любое число равных отрезков. Это дает возможность отмечать на координатном луче дробные числа.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 15 О 0,25 g 0,8 1 ljl.4 •! I I I I I I I 1 I I 1 I I I I 1 1 1 I 1 I 1 1 I - О 0,5 Е 1,75 А Равные числа отмечаются на координатном луче одной точкой. Из двух чисел больше то, которое правее на координатном луче, а меньше то9 которое левее. ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ Основное свойство дроби, сравнение и сокращение дробей Правило (основное свойство дроби): Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Примеры: а) б) в) г) 4 7 2 3 8 20 42 56 ' 4-2 : 7 2 2 3 : 3 3 8:2 20:2 42:2 56:2 : 8 4 : 14 ; 7 = 6 2 : 9; 3 4 10 21 42 28 ; 56 4 5 "75 2 10 3 10 4:2 10:2 42:7 ~56:7 20 " 35' 20 = 30* 2 5' 6 8; т. е. т. е. 42 : 56 = 8 14 6 9 20 35 20 : 30 ; 42:14 " 56:14 > 3 4 Нужно запомнить, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа. Например, число, получающееся при де- 4 лении 4:8, можно записать в виде дроби «, а 1 4 1 „ Q к 3 6 можно 2 > так как о = н • 5 * 16" Таким образом, используя основное свойство, можно заменять дроби равными дробями с большими или меньшими знаменателями. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби. Другими словами: сокращение дроби — это замена данйой дроби равной дробью с меньшими, чем были, числителем и знаменателем. В простых случаях дробь сокращают устно. Примеры: . 12 _ 4 а)15 ~ 5; В последнем примере дробь можно сократить по-разному, но дробь ~ больше сократить нельзя — такую дробь называют несократимой. В большинстве случаев задание «сократить дробь» означает представить ее в виде несократимой дроби. Примеры: Сократить дробь. 77 7 11 _ 7 9; а) 99 ^24 2 б)ёов в) 105 9 11 12 = 5 12 7 15 2 5; J7_ 20 300 20 15 Однако иногда дробь устно сократить бывает 252 трудно, например дробь «=« . В этих случаях нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и разделить на него числа 252 и 378. НОД (252; 378) = 126, тогда 252 : 126 - 252 2 = 2, 378 : 126 = 3. Следовательно, o=g в 5 • При выполнении многих заданий с двумя и более дробями их нужно заменить равными дробями с одинаковыми знаменателями. Такая замена называется приведением дробей к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Правило: Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, (получившиеся числа называют дополнительными множителями для дробей); 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Например, приведем дроби « и g к наименьшему общему знаменателю. Для этого: 1) найдем наименьшее общее кратное (можно просто общее кратное) чисел 8 и 6. Оно равно 24. 2) выполним деление 24 : 8 = 3 и 24 : 6 = 4. Получившиеся числа 3 и 4 называют дополнительными множителями соответственно к дро-
16 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Примеры: Привести дроби к общему знаменателю. а) 12 И 20 * НОК(12;20) = 60. 60:12 = 5,60:20 = 3. 7-5 12 5 Значит, т~ = к\ A L 4 °' 18 ; 10 и 9 * НОК (18; 10; 9) = 90. 35 60' 9^ 20 9 3 20 3 27 60 90 : 18 = 5, 90 :10 = 9, 90 : 9 = 10. 5 55 25 7 79 значит, 18 18 5 до5 10 10 9 4 4 10 40 9 9 10 90 * 63 . 90 ; Одним из применений приведения дробей к общему знаменателю является сравнение дробей. Например, при сравнении дробей из предыдущего примера получаем, что je ^ 4 ^ 7 <д <1б>так 25 как90 40 63 90 90 * Примеры: Сравнить дроби. ч 2 а>3И 2 3 5 7* 14 5 15 _ 14 ^ 2Ти7=21-ТаККаК2Т < б)15И18- 8 15 ч 7 в) g и 7 9 48 11 55. 8 90 И 18 90 ' 15 20 27* 20 : «г»следовательно, <м- 7 20 9 27 15 21 2 5 Т03<Г Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел Правило: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить (вычесть) полученные дроби. 5 7 Например, сложим дроби 5 и ?2 * Приведем оа 5 20 7 21 их к общему знаменателю 36: g = 57» и jo = оа • 5 , 7 20 , 21 41 1 5 Теперь получаем: § + и = м + ш = g6 = Х36 • 9 (3 (7 27-7 20 42 10 21 Пример: п -g - 42 Правило: Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей; результаты сложить; 3) если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части. Пример: 19g + 24^ = (19 + 24) + g + Aj = =43+(ii + g)=43+li=43+i24=44- Правило: Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть уменьшаемого; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей; результаты сложить. Пример: 16^ - 7 А = 16| - 7§jj = (16 - 7) + Чбо 6oJ * во *боф Умножение обыкновенных дробей Правило: Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей этих дробей и произведение их знаменателей; 2) первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем; 3) если возможно, сократить дробь. а) Примеры: 2 5 2 5 3 " 7 3 7 = а т Ъ' п = 10 = 21 ; а т Ь п
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 17 °'8 ' 21 8 21 112 168 2 3 В последнем примере для простоты сокращения дроби можно поступить так: 7 8 16 7 16 7 2 12 2 21 8 21 1 21 13 3* Правило: Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Примеры: .„5 „3 41 а>218 'Ч = Т8 ^А5 О2 29 б>46 -25=Т( • 1А5' »)2§.1|.5|- 18 41 18 41 1 5 18 5 5 55; 12 29 12 29 2 58 5 6 5 5 5 8 15 27 8 15 27 3 " 8 ' 5 3 8 5 = 27. Правило: Чтобы умножить смешанное число на целое число, надо целое число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанное число записать в виде неправильной дроби и перемножить получившиеся дроби. Примеры: 6 а)3§ ■ « 17 « 53 •б=12 = ±°2.=20^ 6 1 5 53 6 12 1 '5 53 2 1 2 ZD2 -j -5-1 з 1ф В последнем примере произведение чисел g и 3 оказалось равным единице. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Примеры: а) g иЬ взаимно обратные числа, так как 5 -1 5 6 =1. 6 ' Х5 6*5 i; tfxol 3 - 01 3 б) 2« и = взаимно обратны, так как 2« • = = 7 3 3 " 7 1; в) для числа г обратным является число « > или i2 3 5 1 lg » так как г • = — 1. Таким образом, чтобы для числа, записанного дробью, найти обратное число, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Например, для j обратным будет число « > а для ,5 12 Л 7 1 = = -=- обратным является число т^ . Деление обыкновенных дробей Правило: Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. а) Примеры: 3 5 3 6 8 * 6 1 8 3 6 8-5 _.. 03 9 11 9 б>42:24~2 :Т = 2 18 Л1_ 11 Х11; 3 3 _ 9 . 4 5 20' А = 9 4 = 9 2 11 2 11 1 11 в) 5: г)3| Д)1: e)3| За1 Ф :8 4 5 • 4 5 1 15 4 »1 • : 3 8 : 1 5 4 2 °4 5 1 15 4 ф 15 4 3 10 1 • — 8 9 2 : = = 27 4 5 3 1 10 15 1 4 8 15 4 13 12 15 32 ; 3 2 27 15 9 4 ^ 15 1 1 = 5 =91 4 2 27 12 3 2 2 ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Сравнение десятичных дробей Правило: Если в конце десятичной дроби приписать нуль (или несколько нулей) или отбросить нуль (или несколько нулей), то получится дробь, равная данной. Примеры: 5,70 = 5,7; 18,3400 = 18,34; 163,1 = = 163,10; 0,35 = 0,3500; 17,0 = 17.
18 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Так же как и натуральное число, десятичную дробь можно разложить по разрядам. Например, 23,5708 = 23 + 0,5 + 0,07 + 0,0008. Цифра, стоящая на первом месте после запятой, относится к разряду «десятых», на втором месте — к разряду «сотых», на третьем месте— к разряду «тысячных», на четвертом месте— к разряду «десятитысячных». Число 23,5708 читается: 23 целых 5 тысяч 708 десятитысячных. Правило: Для того чтобы, сравнить две десятичные дроби, надо сначала сравнить целые части дробей; в случае их равенства последовательно сравнивают цифры, стоящие в разряде «десятых*; в случае их равенства сравниваются цифры следующего разряда — «сотых* и т. д. В случае разного числа цифр после запятой у сравниваемых чисел их уравнивают приписыванием справа необходимого количества нулей. Примеры: а) 78,001 > 13,7859, так как 78 > 13; б) 14,387 < 14,5082, так как целые части равны, а в разряде десятых 3 < 5; в) 0,47 > 0,09; г) 1,537 > 1,5369, так как 1,5370 > 1,5369; д) 18,34 < 18,343, так как 18,340 < 18,343. Сложение и вычитание десятичных дробей Правило: Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, надо: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях. Примеры: а) 23,756 + 4,8 = 23,756 + 4,800 - 28,556. 23,756 + 4,800 28,556 б) 0,017 + 23,24 = 0,017 + 23,240 = 23,257. в) 75 + 1,248 - 75,000 + 1,248 = 76,248. 75,000 + 1,248 76,248 г) 90,04 - 7,518 - 90,040 - 7,518 = 82,522. 90,040 ~ 7,518 Д)5- - 0,04 - е) 24,87 - 5 5,00 -i - 24,87 0,04 = -5,00 82,522 4,96. 5,00 0,04 4,96 = 19,87. 24,87 5,00 19,87 Умножение десятичных дробей Правило: Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо: 1) умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую; 2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби. Примеры: а) 7,84 • 92 = 721,28;' 7,84 х 92 6)14,3 • 39 = 557,7. 1568 7056 721,28 х14*'о 39 1287 429 557,7 + 0,017 23,240 23,257 Правило: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы. Примеры: а) 16,48 • 10 = 164,8; 6)1,0073 • 100 = 100,73; в) 74,235 • 1000 = 74 235. Правило: Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 19 1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые', 2) отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. в) 2978,4 : 73 = 40,8; Примеры: а) 7,38 • 0,4 = 2,952; 6)9,45 • 0,012 = 0,1134; в) 24,079 • 1,5 = 36,1185. + 7,38 Х 0,4 2,952 х 9,45 0,012 1890 945 0,11340 24,079 1£ 120395 24079 36,1185 Правило: Для того чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, надо запятую перенести в дроби влево на одну единицу; на 0,01 — перенести запятую влево на две единицы; на 0,001 — перенести влево на три единицы и т. д. Примеры: а) 78,3 • 0,1 = 7,83; б) 0,056 • 0,01 = 0,00056. Деление десятичных дробей Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: 1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую; 2) поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части. Примеры: а) 1825,2: 234 = 7,8; 1825.21234 1638 (73~ _1872 1872 6)95,41 : 47 = 2,03; 0 95,41147 94 |2^3 _141 141 0 2978,4173 292 (40^8 _584 584 г) 3,2 : 8 = 0,4. Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе. Примеры: а) 47,4 : 10 = 4,74; б) 8,92 : 100 = 0,0892. Правило: С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби. Для этого надо поделить числитель этой дроби на знаменатель. Примеры: a) g = 7 : 8 = 0,875; _ 7,0 0018 0 |0,875 70 64 60 56 40 40 0 б) ~ = 0,15; в) | = 1,5; г) ~ = 0,025. Правило: Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: 1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; 2) после этого выполнить деление на натуральное число. Примеры: а) 160,23 : 4,9 = 1602,3 : 49 = 32,7; 1602,3149 147 f 132 98 343 343 32,7
20 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы б) 0,05 : 0,004 = 50 : 4 = 12,5; в) 40 : 0,25 = 4000 : 25 = 160. Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей. (То есть, другими словами, разделить на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. — это то же самое, что умножить число на 10,100,1000 и т. д.) Пример: 7,23 : 0,1 = 72,3. Приближенные значения чисел. Округление чисел Если данное число заменяется на другое число, близкое ему по значению, то получаем приближенное значение данного числа. Например: 17,23 - 17, 0,0028 - 0, 199 » 200, g « 0,3, 24,5043 - 24,5, 37,92 » 37,9. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых. Примеры: 27,4 « 27; 239,7 « 240; 4,1589 « 4. Числа можно округлять до любого разряда: до десятых, до сотых, до тысячных и т. д. Правило: Если число округляют до какого- нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. При этом если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1. Если же первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения. Примеры: а) Округлить числа 89,6289; 113,251; 9,97 до десятых: 89,6289 « 89,6; 113,251 - 113,3; 9,97=10,0. б) Округлить числа до целых: 236,48 « 236; 18,713 * 19; 89,545 - 90. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИН. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЕДИНИЦАМИ ИЗМЕРЕНИЯ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ Значения десятичных приставок При обозначении единиц разных величин используются приставки, показывающие, во сколько раз увеличилась или уменьшилась основная единица измерения величины. Приставки увеличения и их краткие обозначения: дека — в 10 раз больше да; гекто — в 100 раз больше г; , кило — в 1000 раз больше к; мега — в 1 000 000 раз больше М. Приставки уменьшения: деци — в 10 раз меньше д; санти — в 100 раз меньше с; милли — в 1000 раз меньше м; микро — в 1 000 000 раз меньше мк. Например, декалитр — это величина, в 10 раз большая, чем 1 литр. Тогда если вспомнить, что 1 литр кратко обозначается 1 л, а краткая запись приставки дека — да, то получается следующая запись: 1 дал = 10 л или 1 л = 0,1 дал. Другой пример. Миллиметр — это величина, в 1000 раз меньшая, чем 1 метр. Так как один метр имеет краткую запись 1м, а приставка милли кратко обозначается также м, то получается, что 1 мм = 0,001 ж,а1л= 1000 мм. Единицы измерения длины Основной единицей измерения длины является метр. Метр кратко обозначается м, т. е. 1 метр записывается 1 м. 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм = 1 000 000 мкм. Напомним, что последняя запись означает, например, что 1 метр равен 1 000 000 микронов. Из этой цепочки следует, что: 1 дм = 10 см = 100 мм = 100 000 мкм; 1 см = 10 мм = 10 000 мкм; 1 мм = 1000 мкм. Эти соотношения можно записать по-другому: 1 мкм = 0,000001 м = 0,00001 дм = = 0,0001 см = 0,001 мм; 1мм = 0,001 м = 0,01 дм = 0,1 см;
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 21 1 см = 0,01 м = 0,1 дм; 1 дм =0,1 м. Длину большей величины обычно записывают в километрах, краткая запись — 1 км. 1 км = 1000 м = 10000 дм = 100 000 см = = 1 000 000 мм = 1 000 000 000 мкм, т. е. 1 мкм - 0,000000001 ?СЛ1, 1 лсл* = 0,000001 км, \см= 0,00001 км, \дм = 0,0001 км, 1 ле = 0,001 км. Очень мелкие величины измеряются в ангстремах: 1 ангстрем = 0,0001 мкм. Единицы измерения массы Основной единицей измерения массы является грамм, краткое обозначение — г. При обозначении других единиц массы обычно используются приставки милли и кило (другие приставки используются редко). 1 г = 1000 мг или 1 мг = 0,001 г, 1 кг = 1000 г или 1 г = 0,001 кг, 1кг = 1 000 000 мг или 1 мг = 0,000001 к:г. Крупные по массе величины измеряют в тоннах (т) и центнерах (ц): 1 т = 10 ц = 1000 кг = 1 000 000 г или 114 = 0,1т, 1 кг =0,001 т, 1 г = 0,000001 /п, 1 ц = 100 кг = 100 000 г или 1 кг = 0,01 ц, 1 г = 0,00001 ц. Единицы измерения площади Основная единица измерения площади — квадратный метр: обозначается м . 1 м = 100 дм = 10000 см = 1 000 000 мм, т. е. 1 ел*2 = 0,0001 м, 1 дл*2 = 0,01 м, 1 еж2 = 0,01 дм, 1 еж2 = 100 мм2, 1 лш2 = 0,01 см2, 1км2 = 1 000 000 м, \м2 = 0,000001 км2. При измерении земельных участков часто используются единицы измерения ар и гектар (краткая запись a is. га). 1 а= 100 м = 1 000 000 см, т. е. 1 м = 0,01 а. Другое название ара — сотка. 1 сотка — это и 2 есть 1 ар, или 100 м . 1 га = 100 а = 10 000 л*2 или 1 а = 0,01 га, a 1л2 = 0,0001 га. Единицы измерения объема Основной единицей измерения объемов явля- ется кубический дециметр; обозначается дм . з Для 1 дм имеется другое название — 1 литр. То з есть иными словами 1 дм = 1 л. Тысячная часть литра обозначается миллилитр, т. е. 1 л - 1000 мл, а 1 мл = 0,001 л. 1 л = 1 дм3 = 1 000 000 лш3, 1 мм3 = 0,000001 л. 3 3 Таким образом, 1 мл — 1000 жж , а 1 лги = 3 * 3 = 0,001 л!Л. Так как 1 см = 1000 лш , то 1 мл = = 1 см . Крупные объемы измеряются в декалитрах з (дал): 1 дал = 10 л; и кубических метрах (м ): 1 м = 1000 л, т. е. 1 м = 100 дал. Единицы измерения времени Самой мелкой единицей времени является секунда. При записях единиц времени приставки обычно не используются (хотя, например, можно измерять время в миллисекундах, т. е. в тысячных долях секунды). 1 MUH = 60 С, 1 С = rg мин, 1 ч = 60 мин = 3600 с, 1 __L- 1 - -L 1 с ~ 3600 ч> * "*"*w "" 60 ч* 1 сут = 24 ч = 1440 лшн = 86 400 с, Т. е. 1 Ч = «Г сУт> 1 мин = JTJq С1/7П. Перевод одних единиц времени в другие связан не с десятичными дробями, а с обыкновенными. Например, 5 мин = gn ч = То ч> Нужно запомнить, что 30 мин = 0,5 ч = ~ ч; 1 3 15 мин = 74= 0,25 ч; 45 мин = т ч = 0,75 ч;
22 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 20 мин = g ч; 6 ч = j сут; 8 ч = ^ q/m; 12 ч = = 1 ! 2 c#m- Единицы измерения скорости Задача. Бегун пробежал 100 м за 10 с. Очевидно, что он бежал со скоростью 10 метров в секунду. Это записывается 10 м/с. Велосипедист за 1 ч проехал 36 км — естественно, его скорость 36 км/ч. Вопрос: У кого скорость передвижения была больше? Давайте разберемся. 10 м/с = 36 000 м/ч = 36 км/ч (так как 1 ч = 3600 с, а 1 км = 1000 м). Можно по-другому: 36 км/ч = 36 000 м/ч = = 10 м/с. Получается, что скорость у них была одинаковая. Примеры: а) Перевести 15 км/ч в м/мин: (15 • 1000 - 15 000) (15000 : 60 = 250 15 км/ч = 15 000лс/ч = 250 м/мин; б) 4 км/с перевести в м/мин. 4 км/с = = 4000 м/с = 240 000 м/мин. В 1972 г. на Олимпиаде в Мюнхене в плавании на 400 м два спортсмена — швед Г. Ларссон и американец Т. Макки — показали одинаковое время: 4 мин 31,98 с. С какой скоростью (м/с) они двигались? Ответ: 400 : 271,98 = « 1,47 м/с (так как 4 мин = 240 с, 240 + 31 = = 271 с). Кого наградить золотой медалью? Один из секундомеров зафиксировал, что Ларссон на 0,001 с раньше коснулся стенки бассейна (в тот момент пальцы Макки были в 1 мм от стенки). Вот вам и 0,001 с. Для любознательных Старинные русские меры Меры длины: 1 верста = 1,067 км; 1 сажень = 3 аршина = 7 футов = 2,134 м; 1 аршин = 16 вершков = 0,711 м = 71,1 см; 1 вершок — 4,445 см (оказывается, что «от горшка два вершка» — это 9 см). Самое любопытное в том, что были меры «линия» и «точка»: 1 линия = 10 точкам = 2,54 мм; 1 точка = 0,254 мм. Меры массы: 1 пуд = 40 фунтов = 16,38 кг; 1 фунт = 0,41 кг = 410 г; 1 лот = 12,8 г; 1 золотник = 4,26 г; ' 1 доля = 44,4 жг. Меры объема: 1 бочка = 40 ведер = 492 л; 1 ведро =10 штофов = 20 бутылок = 12,3 л; 1 штоф = 10 чарок — 1,23 л; 1 чарка = 0,123 л — 123 жл; 1 бутылка = 0,615 л = 615 мл. Английские старинные меры Меры длины: 1 миля = 1609 м; 1 ярд = 91 см; 1 ф1//п = 30,5 см; 1 дкшл* = 2,54 см; 1 морская миля, = 1853 ж; 1 кабельтов = 185 ж. Меры массы: 1 англ. фунт = 0,454 «:г = 454 г (английский фунт на 44 г больше русского фунта); 1 унция = 28,3 г (1 аптекарская унция = = 31,1 г). Меры объема: 1 галлон = 4,55 л; 1 кварта = 1,14 л; 1 пинта = 0,57 л. Для любителей читать Ж. Верна Формула для перевода градусов Цельсия в градусы Фаренгейта: F = 1,8 • С + 32. Например, по Цельсию t = 20°. По Фаренгейту t = 1,8 • 20 + + 32 = 68°. Другой пример: по Цельсию t = -10°, а по Фаренгейту t = 1,8 • (-10) + 32 = 14°. Обратная формула (перевод градусов Фаренгейта в градусы Цельсия): С = 1 .(^-32). Например, по Фаренгейту 95°, тогда по Цельсию 35°.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 23 ПРОЦЕНТЫ Что такое процент Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть доллара называют центом (от латинского слова centum — сто), сотую часть метра — сантиметром (обратите внимание на значение и произношение приставки санти), сотую часть гектара — аром (а по-народному — сотка). Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом. Значит, 1 копейка — один процент рубля, 1 см —- 1 процент метра, 1 цент — 1 процент доллара, 1а — 1 процент гектара, а число 0,05 — 1 процент от 5. Для краткости слово «процент» 1 после числа заменяют знаком %, т.е. 1% = 100 = 0,01. Понятие процента неразрывно связано с десятичными дробями. Правило: Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, ее надо умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо число процентов разделить на 100. Примеры: а) Записать десятичные дроби в процентах. 0,25 - 25% (т. к. 0,25 • 100 =25); 0,5 = 50% (т. к. 0,5 • 100 = 50); 0,003 = 0,3% (т. к. 0,003 • 100 = 0,3); 0,0158 - 1,58% (т. к. 0,0158 • 100 = 1,58); 1,538 - 153,8% (т. к. 1,538 • 100 = 153,8). б) Записать проценты в виде десятичных дробей. 40% = 0,4 (т. к. 40 : 100 = 0,4); 63% = 0,63 (т. к. 63 : 100 = 0,63); 1,5% = 0,015 (т. к. 1,5 : 100 = 0,015); 0,08% = 0,0008 (т. к. 0,08 : 100 = 0,0008); 110% = 1,1 (т. к. 110 : 100 = 1,1); 200% = 2 (т. к. 200 : 100 = 2). Основные задачи на проценты Задача 1. В школе 800 учеников. Из них 46% приняли участие в математической олимпиаде. Сколько человек приняли участие в олимпиаде? Решение: 1) Найдем 1% учеников школы: 800 : 100 = 8 (уч.). 2) Найдем 46%: 8 • 46 = 368 (уч.). Ответ: 368 учеников. Решение задачи можно оформить короче, если перевести 46% в десятичную дробь: 46% = 0,46, а затем число всех учеников умножить на полученную десятичную дробь, т. е. 800 • 0,46 = 368. Правило: Для того чтобы найти р процентов от данного числа а, надо: 1) перевести р процентов в десятичную дробь; 2) умножить число а на получившуюся десятичную дробь. Примеры: а) Найти 17% от 32. 17% =0,17,32 • 0,17 = 5,44. б) Найти 30% от 1,8. 1,8 • 0,3 = 0,54. в) Найти 145% от 76. 76 • 1,45 = 110,2. Задача 2. На городскую олимпиаду школьников по математике из всех школ приехали 140 человек, что составило 3,5% всех желавших принять в ней участие. Сколько всего человек хотели принять участие в олимпиаде? Решение: 1) Найдем сначала 1% всех желавших: 140 : 3,6 = 40 (чел.). 2) Найдем количество всех желавших: 40 • 100 = 4000 (чел.). Ответ: 4000 человек. Можно было поступить по-другому: перевести 3,5% в десятичную дробь (3,5% = 0,035), а затем число учеников, принявших участие в олимпиаде, разделить на полученную десятичную дробь, т. е. 140 : 0,035 = 4000. Правило: Для того чтобы найти все число по известной части Ь и числу соответствующих процентов р, надо: 1) перевести р процентов в десятичную дробь; 2) разделить Ь на полученную десятичную дробь. Примеры: а) Найти число, если 12% его составляют 66. 66:0,12 = 550.
24 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы б) Найти число, если 150% его равны 960. 960: 1,5 = 640. в) Найти число, если 0,2% его равны 5. 5 : 0,002 = 2500. г) Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 80% в год. Через год он получил прибыль в 30 000 рублей. Найти величину вклада. 30 000: 0,8 = 37 500 (р.). Задача 3. В финале Всероссийской математической олимпиады приняли участие 160 школьников, из них 24 человека стали призерами. Какой процент школьников стал призерами олимпиады? Решение: 1) Найдем 1% всех школьников: 160: 100 =1,6 (чел.). 2) Найдем процент призеров: 24:1,6=15%. Ответ: 15% всех участников стали призерами. Однако можно рассуждать по-другому: най- 24 дем дробь r-jwj и умножим ее на 100, чтобы перевести ее в процент, т. е. 24 2400 160 " 10°-Тб0- ~15/о- Правило: Чтобы найти процент числа Ь от числа а, надо дробь - умножить на 100. Примеры: а) Найти, сколько процентов составляет число 15,57 от числа 90. 15,57 |100и1ММ00иШв1Ш| ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Координатная прямая Точка О на прямой АВ разбивает эту прямую на два дополнительных луча О А и ОВ. Выберем единичный отрезок и примем точку О за начало отсчета. Тогда положение точки на каждом из двух лучей задается ее координатой. Чтобы отличить друг от друга координаты на этих двух лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+» (обычно на правом или верхнем луче), а перед координатами на другом луче знак «-» (обычно на левом или нижнем луче). -5 -4 -3 -2 -1 0 ■ч 1 1 1 1 н- +1 +2 +3 +4 +5 —I 1 1 1 м В О Числа со знаком «+» перед ними называют положительными. Часто знак «+» опускают. На- 2 2 пример, вместо +7 пишут 7. То есть +2g = 2g, +4,3 = 4,3. Числа со знаком «-» перед ними называют 5 отрицательными. Пишут: -1; -6; -= , -2,6 и читают «минус один», «минус шесть», «минус пять седьмых» и т. д. Начало отсчета (или начало координат) — точка О — изображает число нуль (0). Само число нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных. -3- -+-+- -2,6 Н—I—ь -1 —н 0 -4- «S ч—н- 4,3 -44 Н 90 90 9 О б) Найти, сколько процентов составляет число 150 от числа 120. 150 15 000 120 # 10° 120 - 125% в) Найти, сколько процентов составляет число 0,3 от 1,9. 0,3 «м-0.3-100 „300 _1(Л5 «-«о. Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением (помечается стрелкой на прямой) называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки. Например, координата точки С равна -2,6. Записывается; С(-2,6). Координата точки D равна +4,3. Записывается D(+4,3), или D(4,3).
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 25 Противоположные числа. Целые числа. Модуль числа Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными. -5 -4 -2,5 -1 0 +1 —н 1 1—i—i 1 1 н +2,5 +4 +5 I i I 1 h-^- Например, +1 и -1 — противоположные числа; 2,5 и -2,5 — противоположные числа; 4 4 -6 ц и6? —противоположные числа. Для каждого числа есть только одно противоположное число. Число 0 противоположно самому себе. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль называют целыми числами. Например, про числа -15; -3; 0; 1; +5; 10 014 можно сказать, что они целые. А про числа -7,5; 1 5 -2 g ; 1,1; 15 5 нужно сказать, что они целыми не являются. Числа 5; +17; 106 являются и натуральными, и целыми, а числа -3; -19; 0; -101 целыми являются, а натуральными — нет. Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а). 1 -4,7 -3 —н l I 1 -Н—h А О Вместо слова «модуль» в записи используют символ | |. Например, запись «найти |-3|» означает, что надо найти модуль числа -3. Из определения модуля следует, что |-3| = 3, так как число -3 находится на расстоянии трех единичных отрезков от начала отсчета. Л = 15 > так как расстояние от нуля до числа l| равно \\ . |3| = 3; |-4,7| = 4,7. Заметим, что |0| = 0. Правило: Модуль числа не может быть отрицательным (так как расстояние не может быть отрицательным). Для положительного числа и нуля он равен самому этому числу, а для отрицательного числа модуль равен противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули, так как они находятся на равных расстояниях от начала отсчета. Например, |-10| = 10 и |10| = 10, следовательно, |-10| = |10|. а) б) в) Примеры: 1-12,6| = 12,6; г) |23| = 23; 0| = 0; д)|1|-1; 5 е)|-1| = 1. 4 = 7 6* Сравнение положительных и отрицательных чисел -5 -4 -2,75 -1 0 1 4,5 l 1 I I III — Правило: Из двух чисел, отмеченных на координатной прямой, больше то, которое лежит правее, и меньше то, которое лежит левее. Примеры: а) 4,5 > -5, так как число 4,5 расположено правее, чем -5; б) -4 > -5, так как -4 расположено правее, чем -5; в) -2,75 < -2g , так как -2,75 на координатной прямой левее, чем -2^ . Правило: Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного. Примеры: 1 а) -100 < g б) 1,4 >-14; в)-7д <-6, так как -7 = 7| и|~6| = 6,а7| >6. Значит, число -7g расположено дальше от нуля, чем число -6; г) -7,5 < -6, так как 7,5 > 6; д) 0 > -80; е) -4,9 < 0; ж)3^ >0.
26 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Сложение чисел с помощью координатной прямой Правило: Прибавить к числу а число Ь значит изменить число а на Ь единиц. Причем если Ъ — число положительное, то число а увеличивается; если же Ь — отрицательное число, то число а уменьшается. Примеры: а) -8 + 3 = -5; б)-8 + (-3) = -11; Г +з А -8 н—ь -5 Л h -3 -11 Л н—н -8 в) -2 + 4 = 2; г)3 + (-4) = -1. +4 -4 Г Л г Л \ 1 1—ь -2 -1 При сложении двух положительных чисел суммой является положительное число. Сложение двух отрицательных чисел дает в результате отрицательное число, Сумма положительного и отрицательного чисел может быть как положительной, так и отрицательной (смотри примеры а) и в)). При сложении двух противоположных чисел суммой является число 0. Например, -3 + 3 = 0; 4,9 + (-4,9) = 0. В общем виде: а + (-а) = 0 От прибавления нуля число не изменяется. Например, -13 + 0 = -13; -2,8 + 0 = -2,8. Сложение положительных и отрицательных чисел Правило: Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак «-». Примеры: а) -6 + (-4) = -10 (так как |-6| + |-4| = 6 + 4 = 10 и перед этим числом ставится знак «-*); б) -3,2 + (-!) = -4,2. Правило: Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) определить больший модуль из модулей этих чисел; 2) из большего модуля вычесть меньший; 3) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Примеры: а) Нужно сложить -4 и 9. Для этого: 1)|-4| = 4,|9| = 9и4<9; 2) 9 - 4 = 5; 3) так как |9| > |-4|, то ответ положительный, т. е.-4 + 9 = 5. б) Сложим 3 и -10. 1) |3| = 3, |-10| = 10 и 3 < 10; 2) 10 - 3 > 7; 3) так как |-10| > |3|, то ответ отрицательный, т. е. 3 + (-10) = -7. .» (3 = -1140-21=-11^ 11 24 1X24# г) -3,7 + (-10,12) = -(3,7 + 10,12) = -13,82. д)-4,5 + 1,2 =-3,3. ж)-12,5 +5 = -7,5. Вычитание положительных и отрицательных чисел Правило: Чтобы из данного числа вычесть другое число, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а -Ъ = а + (-&) Примеры: а) 14-19 = 14+ (-19) = -5; б) -9,2 - 3 = -9,2 + (-3) = -12,2; в) -3-(-4)= -3 + 4 =1. а - Ь а+{-Ъ) При выполнении примеров типа т - (-п) нужно очень хорошо помнить, что т - (-п) = т + п. Примеры: а) 4 -(-2,1) = 4 + 2,1 = 6,1; б) -9,8 - (-5,7) = -9,8 + 5,7 = -4,1. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 27 Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю. Примеры: а) -4 - 3 < 0, так как -4 < -3 (-4 - 3 = -7). б) -2g - (-8) > 0, так как -2g > -8 f-2g - (-8) - -•й- в) 5 - (-9) > 0, так как 5 > -9 (5 - (-9) = 14). г) 12 - 13,8 < 0, так как 12 < 13,8(12-13,8 = - ~1,8). Умножение и деление положительных и отрицательных чисел Правило: Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-». Примеры: а)-2,4 • 5 = -(2,4 • 5) =-12; 6)6 • (-0,7) = -(6 • 0,7) = -4,2. Правило: Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Примеры: 1 (1\, 11 1. а' 2A3je2#3e6; б) -2 • (-0,4) = 2 • 0,4 = 0,8. При умножении чисел полезно помнить такую таблицу (правило знаков): (+)•(+) = (+) (-)•(+>-<-) (+) •(-)-(-> (-)•(-)-<+) 'Правило: При делении чисел с разными знаками надо разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед частным знак «-». Примеры: 5 2 (Ъ 2\ =_5_3 =_5 =,1. а) 6 : 3 [б:3) 6 2 4 Х4* б) £ -(-^--{г^^-ГЪ ="3' Правило: Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Примеры: а) -2,4 : (-0,4) = 2,4 : 0,4 = 6; б>-2:(-§Н:Ь16- Правило знаков при делении чисел то же, что и при умножении: при умножении (делении) чисел с одинаковыми знаками результат положителен; при умножении (делении) чисел с противоположными знаками результат отрицателен. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ Порядок выполнения действий Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел — действиями второй ступени. Правило: 1) Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо. 2) Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом действия первой ступени. 3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2). Примеры: Ф @ а) 20,3 - 0,6 + 1,4 = 21,1; 1)20,3-0,6 = 19,7, 2)19,7 + 1,4 = 21,1; © Ф 6)17,8 - 0,8 • 5 = 13,8; 1)0,8 -5 = 4, 2)17,8-4=13,8; 2 ® 5 ® ( 1 ® 5\ 2 x>4i -1! -ai -1! -a + Ci -1) -ai- .5 2)2 8 92 =21 § CZ 8 3 7, 3)lo| "7 = 3?; r>9i : {ч + ч) • 5=9: 1>88+2§-БЯ« Z)y2 18 2 : 18 2 ' 95 5 * 5' 3)1; 5 = = 9.
28 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы В выражениях типа а + Ъ - с разрешается сначала выполнить вычитание Ь - с, а затем разность сложить с а. В выражениях типа а • Ь : с можно сначала выполнить деление Ь : с (или а : с), а затем умножить получившееся частное на а (или на Ь). Примеры: а) 17,6+ 24,8-3,8 = 38,6; 1)24,8-3,8 = 21, 2)17,6 + 21 = 38,6; 6)24^ • 4? :2| =49; 1)4|:2|=2, 2)24^ • 2 = 49; 4,8-1,5 в) 1,6 = 3 • 1,5 = 4,5. При выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями нужно учитывать рациональность выбора: иногда лучше действия выполнить в обыкновенных дробях, а в других случаях — в десятичных. Примеры: а) 0,4 6)2^ :0,36 = It =0,4 • 1,5 = 0,6; 100 36 21 4 °4* 14 B)2g -0,21 = 3 " Ш=25- Совместные действия с положительными и отрицательными числами Вычисления в примерах, содержащих несколько действий, можно проводить двумя способами: 1) просто выполнять отдельно все действия по порядку; 2) выполнять действия цепочкой. Примеры: ® ф ® а)-16,4 - 5,2 : (-0,4) + 1,5 = 1,9; по действиям: 1)5,2: (-0,4) = -13, 2)-16,4-(-13) = -3,4, 3)-3,4 + 1,5 = -1,9; цепочкой: -16,4 - 5,2 : (-0,4) +1,5 = -16,4 - (-13) +1,5 = = -16,4 + 13 + 1,5 = -16,4 + 14,5 = -1,9; б)-2 ! Ф 5 ® ® ® -2 : 0,5 + 7,2 = 0,4; по действиям:' 1) *Ъ * 6 3 5 5 Z,5> 2)2:0,5 = 4, 3)-2,8-4 = -6,8, 4) -6,8 + 7,2 = 0,4; цепочкой: -2g : g -2:0,5 + 7,2 = -^-| -4 + 7,2 = -2,8 + + 3,2 = 0,4; @ Ф ® в) 5 - 4,8 : (-0,3) • 0,75 = 17; по действиям: 1)4,8: (-0,3) = -16, 2)-16 • 0,75 = -12, 3)5-(-12) = 17; цепочкой: 5 - 4,8 : (-0,3) • 0,75 = 5 + 16 • 0,75 = 5 + 12 = = 17. Степень Запись ал, где а — любое число, п — натуральное число, называют степенью. Причем число п называют показателем степени, а — основанием степени. Запись ап означает произведение п множителей, каждый из которых равен а, т. е. а = а • а • а а, л раз Примеры: а) 43 = 4 • 4 • 4 = 64; б) 0,35 = 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 = 0,00243; B)UJ = 5 5 " 25 » .ЗУ* 2\2 2 2 _ 4 5) 5 5 «(->!)■-'? И)И)-т ■(-¥)■(-¥)- 1000 „314 343 ^343* 2 2 Не надо путать записи типа (-0,4) и -0,4 , так как (-0,4)2 = (-0,4) • (-0,4) = 0,16, а -0,42 = = -(0,4 • 0,4) = -0,16, а также f g 1 и j, так как
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 29 (й- ? Ё 2 ?=!*! ±L = 2 2 2 2 3*3*3*3 81* а 3 3 16 Л = Т=5з- При выполнении примеров, содержащих степени, в первую очередь выполняется возведение в степень, а затем все остальные действия. Примеры: Ю-2. 1.8»-^—2.1.69- °-4г - = - 3,38 - 0,008 = -3,388; б) [\ + I)2 - 50 • ОД3 = [I)2 - 50 • 0,001 - (5 (9 __25_n25V _JL/ 125 - 9 _ 116 _ 36 ' 36 20 180 180 29 45* Правило: При возведении в степень отрицательных чисел ответ будет положительным, если показатель степени — четное число, и отрицательным, если показатель — нечетное число. Примеры: ;-о,и2 = о,с б) (-0Д)4 = 0,0001; г) (-0Д)5 = -0,00001. а) (-0Д)2 = 0,01; в) (-0Д)3 - -0,001; ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Раскрытие скобок Выражение а + (Ь + с) можно записать без скобок: а 4- (Ь + с) = а + Ъ + с. Эту операцию называют раскрытием скобок. Правило: Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+». Например, а+(&-с+2) = а+&-с + 2 или (т - п) + (-4 + а) = т-я-4 + а. Правило: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо опустить скобки и этот знак «-», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «-». Например, -(а - Ъ) = -а + Ъ или х - (-у + 5) = = х + у - 5. Примеры: а) (х - у) - (-у + 8) = х - у + у - 8 = х - 8, так как -у + I/ = 0; б) -(а + &) + (3 - с) = -а - Ъ + 3 - с = -а - & - с + 3; в) 8,2 - (4,5 - а) = 8,2 - 4,5 + а = 3,7 + а; г) (6 - х) - (-9+у) -20 = 6-x + 9-i/-20 = = -х - у - 5. Коэффициент. Раскрытие скобок с применением распределительного свойства Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом). Например, в выражении -8,5а — коэффициент равен -8,5; 4ху • 5 = 20ху — коэффициент равен 20; -тп = -1т — коэффициент равен -1; х = = 1х — коэффициент равен 1; -т • 6я • (-За) = = ISmna — коэффициент равен 18. Правило: Если перед скобками стоит множитель со знаком «+», то можно опустить скобки, умножив каждое слагаемое скобок на этот множитель, сохранив при этом знаки всех слагаемых. Например, 7 + 2 • (а - 4) = 7 + 2а - 8 = 2а - 1; Зх • (-8 - у) = Зх(-8) + Зх(-у) = -24* - Зху. Правило: Если перед скобками стоит множитель со знаком «-», то этот знак нужно заменить на «+», изменив при этом знаки всех слагаемых в скобках. Далее необходимо воспользоваться предыдущим правилом. Например, -3 • (4 - 5а) = +3 • (-4 + 5а) = -12 + 15а; 18 - 4с • (3+2а) = 18 + 4с • (-3 - 2а) - = 18-12с-8ас. Примеры: а) 4 • (Зх - 2) - 2 • (-Ьу - 1) = 4 • (3* - 2) + + 2 • (Ъу + 1) - 12* - 8 + 10у + 2 = 12* + 10у - 6; б) -6а • (-* + 7) + х • (3 - у) - +6а • (х - 7) + + х(3 - у) = бале - 42а + Зх - ху. Подобные слагаемые. Вынесение общего множителя за скобки Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
30 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы Например, -2а и 0,4а — подобные слагаемые; х и -5л: — подобные слагаемые, слагаемые 86 и 8а — подобными не являются; подобными 2 также не являются слагаемые ах и ay; х и х . С подобными слагаемыми можно производить арифметические действия. Сложение и вычитание подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых. Правило: Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Примеры: а) -6л: + 8л: = (-6 + 8)л: - 2х; б) а - Та + 2а = (1 - 7 + 2)х = -4а; ч 5 7,1 с (Ь 7 , 1\ к в)^-8^ + 4^"5х=18"8Ч- ij -У-6х = = 0 •у Ьх = -5л\ Правило: Если слагаемые имеют общий множитель, то его можно вынести за скобки. В скобках останется сумма других множителей. Примеры: а) Ъх + 8х = (5 + 8) • х = 13л:; б)5х + 5у = Ь{х+у); в) g ах + з &х = g л:(а + 6); г) л: + дс = х + х • л: = х • (1 + л:). Примеры преобразования выражений 1. Привести подобные слагаемые: а) Ч$# - 1х + ц - 10* - 2 = -7у - 17л: - 2; б) 2£ + 4F- а - 5*Р~За + 26 - 4 = -5а + 6-4. 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: а) -8 • (2 - 2у) + 4 • (3 - 4у) = +8 • (-2 + 2у) + + 4 • (3-4i/)=z16+ Jt«i/ +12- Jtfli/ =-4; б) 7л: - 0,5 • (-2л: + 4) - (10 - л:) = 7л: + 0,5 • (2л: - -4)-10 + л: = 7х + х-2 -10 + х = 9л: - 12; в) 5 • (|* - 0,7)-3 • (|* - 0,2)= 5 • (j* - 0,7)+ + з(-|х + 0,2) = 2*-3,5 -£ + 0,6 = х -2,9. 3. Упростить выражение: 1 - 0,5 • (-6л: + Зу - 4) + (Юл: - бу - 5) • (-0,3) = = 1 + 0,5 • (6л: - Зу + 4) + 0,3 • (-Юл: + 6у + 5) = = ! + ЗдГ-115£ + 2- 3*Г + l,8t/ + 1,5 = 0,3у + 4,5. 4. Найти значение выражения: а) -0,4 • (2л: + Зу) + 0,5 • (-Зл: + 5у), при х = -0,5, У—1. Сначала упростим выражение: -0,4 • (2л: + 3i/) + 0,5 • (-Зл: + Ьу) = -0,8л: - - 1,2у - 1,5л: + 2,6у = -2,3л: + 1,3у. Теперь подставим значения х и у: -2,3 • (-0,5)+ 1,3 • (-1) = 1,15-1,3 = -0,15; б) -4 • (5 - 0,3л:) + 2 • (4,5л: + 10), при х = -0,1. -4 • (5 - 0,3л:) + 2 • (4,5л: + 10) = +4 • (-5 + + 0,3л:) + 2 • (4,5л: + 10) = - Ш +\,2х + 9л: + + J2T = 10,2л:; 10,2 • (-0,1) = -1,02. УРАВНЕНИЯ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Что такое уравнение Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня). Примеры: а) Зл: = 21; л: = 7 — корень уравнения, так как 3-7 = 21 (верное равенство); б) 0,8 + х = 0,5; х = -0,3 — корень уравнения, так как 0,8 + (-0,3) = 0,5 (верное равенство); в) Зл: + х = -2; х = -0,5 — корень уравнения, так как 3 • (-0,5) + (-0,5) = -2 (верное равенство); г) уравнение 5 : х = 0 не имеет корней (делить на 0 нельзя, а при делении числа 5 на другие числа в частном 0 не получится). Основные правила решения уравнений Правило 1: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое (если а + х = Ь, то х = Ъ - а). Примеры: а) 7 + х = 23; х = 23 - 7; х = 16; б) х + 0,2 = 1; х = 1 - 0,2; х = 0,8; в) 1,8 + х = 0,5; х = 0,5 - 1,8; х = -1,3; г) -3 + х = -2; х = -2 - (-3); х = -2 + 3; х = 1.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 31 Правило 2: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность (если х - а = Ъ, то х = а + Ь). Примеры: а) х - 8 = 5; х = 8 + 5; х = 13; б) х - 1,4 = -6; х = 1,4 + (-6); х = -4,6; в) х - (-2) = -1; х = -2 + (-1); х - -3. Правило 3: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность (если а - х = Ь, то х = а - &). Примеры: а) 9 - х = 1,3; х = 9 - 1,3; х = 7,7; 1 _ =5, 1 _ 5;. =_1. 0)2 х g; х g б;* 3; в) -3 - х = -7; х = -3 - (-7); х = 4. Правило 4: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (если ах—Ь, то х = Ъ : а, или х = - I . Примеры: а) 0,2х = 6 б)3х = 0,4 в)-^х=0,4 *-0,4:(-}) х - 0,4 • (-7) х =-2,8 Правило 5: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель (если х : а = Ъ, или - = Ь, то х = аЬ). Примеры: а) х : 0,3 = 4 б) х : (-2,5) = 2 в) j^ = -3 х = 4 • 0,3 х = 2 • (-2,5) х' = -3 • 1,2 х = 1,2 х=-5 х = -3,6 Правило 6: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х = Ъ, то х = а : Ъ, или если - = Ъ, то х = г ]. Примеры: а)0,8:х=-5 б) ? =-0,7 в) J : * = 2 X 4 *=0,8:(-5) *=-о^7 * = !:2 х = 6:0,2 х = 30 0,4 4 * 30 2 * = 15 х=-0,16 *="Т х =-8 60 Г 4 1 * = 4 Другие правила решения уравнений Правило 1: Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Примеры: а) Зх - 8 = х - 14 б) -2(3х + 4) = -10 - 8х Зх - х = -14 + 8 - 6х - 8 = -10 - 8х 2х = -6 - 6х + 8х = -10 + 8 х = -6 : 2 2х = -2 х = -3 х = -1 в) -0,1(х - 0,5) = 0,2(3 - 5х) -0,1х+ 0,05 = 0,6-х -0,1х + х =0,6-0,05 0,9х = 0,55 0,55 х = х = 0,9 55 90 11 Х 18 Правило 2: Корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Примеры: а)10х-120 = 30х-40 Разделим каждое слагаемое обеих частей уравнения на 10. х - 12 = Зх-4 -2х = 8 х=-4 fi 1 _!=JL_8 ' 2х 3 18 9* Умножим каждое слагаемое обеих частей уравнения на число 18. 18 _ 18 = 5 18 _ 8 18 2*3 18 9 Х 9х-6 = 5- 16х 9х + 16х = 5 + 6 25х=11 х = 0,44 Пропорции Частное двух чисел называют отношением, этих чисел. Например, 5:7==, частное = можно назвать отношением чисел 5 и 7. Отношением чисел 1 и 0,25 является число 4, так как 1 : 0,25 = 4.
32 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы Равенство двух отношений называют пропорцией. Например, равенство 20 : 4 = 0,5 : 0,1 является пропорцией. Эта пропорция является верной, так как 20 : 4 = 5 и 0,5 : 0,1 = 5, а вот пропорция 7 : 2 = 10:3 неверная, так как 7:2 = = 3,5, а 10 : 3 = Зд . В общем виде пропорция за- l ^ ас писывается так: а : о = с : а, или г в з • Числа and называют крайними членами пропорции, Ъ и с — средними членами пропорции. Например, в пропорции 7 : 5 = 3,5 : 2,5 числа 7 и 2,5 — крайние члены, а 5 и 3,5 — средние, а 8 3 Q в пропорции - = - члены 8 и х являются крайними, а и 2 — средними. Правило: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Верно и обратное: если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции^ то пропорция верна. Например, 0,4 : 8 = 1 : 20 — верная пропорция, тогда 0,4 • 20 = 8 • 1 — также верно. Другой пример: равенство 5 • 6 = 2 • 15 — верно, тогда 5:15 = 2:6 — верная пропорция. Часто в пропорции один (или несколько) из ее членов неизвестен. Например, 6 : х = 2 : 7. Найдем неизвестный член пропорции. Для этого воспользуемся свойством пропорции: 6 • 7 = 2 • х 42 = 2 • х х = 42 : 2 л: = 21. Примеры: а) х : 0,2 = 5 : 7 Jx = 5 • 0,2 4 • 5 - 3* 7х = 1 20 = 3* лч 4 - х б)3~5 в) х = 0,46 х = 20 х 7,2 18 0,46 • 18 = 7,2л: 0,46-18 г) *=63 х - 2 1 - 5х х = х = 7,2 4,6-18 72 л: = 1,15 3 4 (х - 2) • 4 = (1 - 5х) • 3 4л:-8 = 3-15л: 4х + 15х = 3 + 8 19* =11 = 11 х 19 д) 0,2 : х = 3 : (х + 2) 0,2 • (х + 2) = Зх 0,2л: + 0,4 = Зл: 0,2л: -Зл: = -0,4 -2,8л: = -0,4 1 х = = е) х = 5 3 8 : 4 5 2 SX 7 х = х = 3 4 2 3 5 7 " 4 : 8 2 3 8 7 4 5 х = 2 3 2 7 5 12 * 35 ФОРМУЛЫ Путь, скорость, время Обозначим путь буквой S, скорость — буквой и, а время — буквой t. Тогда S = v • t — формула цути, v = т — формула скорости, f = _ — формула времени. Примеры: а) Автомобиль двигается со скоростью 92 км/ч. Какой путь проедет он за 5 ч? S = 92 • 5 = 460 (кл). б) Турист за 4 ч прошел 18 км. С какой скоростью шел турист? и = 18 : 4 = 4,5 (км/ч). в) Расстояние между Москвой и Новосибирском 2800 км. За какое время самолет преодолеет это расстояние, если он летит со скоростью 800 км/ч? t = 2800 : 800 = 3,5 (ч). При решении таких задач надо внимательно следить за тем, в каких единицах измеряются величины. Например, велосипедист за 45 мин проехал 30 км. С какой скоростью ехал велосипедист? v = S : t, t = 45 мин9 S = 30 км. Тогда v изме- 2 ряется в км/мин, т. е. v = 30 : 45 - g (км/мин). Если же мы хотим получить скорость v в км/ч, то 45 мин = go ч = j ч* Тогда v = 30 : ^ = = 30 • g = 40 jcjk/ч.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 33 Задача. Марафонец бежал со скоростью 5 м/с. Какой путь преодолел марафонец за 30 мин? Решение: v = 5 (м/с) = 5 • 60 (м/мин) = = 300 (м/мин). Тогда S = 300 • 30 = 9000 (м) = = 9 (км). Ответ: за 30 мин марафонец пробежал 9 км. Среднее арифметическое Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Например, средним арифмети- а + Ь ческим двух чисел а и о является число с = —«— , а средним арифметическим трех чисел х.уиг- х + у + г число с = f . Примеры: Найти среднее арифметическое: а) 5,2 и 8: (5,2 + 8): 2 = 13,2 : 2 = 6,6; б) 1,4, 6 и 7: (1,4 + 6 + 7): 3 = 14,4 : 3 - 4,8. Задача. Первый час пешеход шел со скоростью 5 км/ч, второй час со скоростью 4,5 км/ч, а третий час — 4,3 км/ч. Найти среднюю скорость пешехода. 5 + 4,5 + 4,3 Решение: vcp = = 4,6 (км/ч). Периметр Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром. Периметр фигуры, изображенной на рисунке 1, равен: Р = а +Ъ +с + d + е. Для прямоугольника формула периметра: Р = = (а + Ь) • 2 (рис. 2). Для квадрата (рис. 3) формула периметра: Р = = 4 • а. Задача 1. Найти периметр прямоугольника со сторонами 2,8см и 4 еж. Решение: Р = (2,8 + 4) • 2 = 13,6 см. Ответ: 13,6 см. Задача 2. Одна из сторон прямоугольника равна 7,3 см, а его периметр равен 30,2 см. Найти другую сторону прямоугольника. Решение: Обозначим неизвестную сторону прямоугольника через х. Тогда по формуле периметра прямоугольника имеем: (7,3 + х) • 2 - 30,2 7,3 + х = 15,1 х = 15,1 -7,3 л: = 7,8 Ответ: неизвестная сторона прямоугольника равна 7,8 см. Движение по реке В задачах на движение по реке приходится иметь дело с собственной скоростью в стоячей воде (vc)9 скоростью течения реки (vm), скоростью по течению реки (vno т) и скоростью против течения реки (vnp т). Vno m = vc+vm> Vnp. т = »с- vm'> vnp. m~vnom~2 vm' Ко m = %. m + 2vm> "c = (Vno m + vnp. m) ' *> "m = ^no m ~ vnp. m> '• 2- Задача 1. Скорость катера по течению 21,8 км/ч, а против течения 17,2 км/ч. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки. Решение: 1) vm - (21,8 - 17,2): 2 = 4,6 : 2 = 2,3 (км/ч); 2) vc = 17,2 + 2,3 = 19,5 (км/ч). Задача 2. Моторная лодка двигалась по течению реки со скоростью 15 км/ч. Найти скорость лодки против течения, если скорость течения реки 1,8 км/ч. Решение: v пр. т 15-2 • 1,8 = 11,4(км/ч). Площадь За единицу измерения площа- 2 2 2 v/ & '/Л дей принимают 1 мм , 1 см ,1м 1Дсм J 1см 2 и другие. Например, 1 см — это площадь квадрата со стороной 1 см. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 2- 1019
34 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы Площадь фигуры, изображенной на рисунке 4, равна 5 см , а площадь треугольника, изобра- 2 женного на рисунке 5, равна 2 см (подумай почему). Формула площади прямоугольника: S = а • Ь, а квадрата S ^а •а = а . Задача 1. Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а другая на 2,5 см меньше. Решение: 1) 7 - 2,5 = 4,5 (см) — сторона. 2 2) 7 • 4,5 = 31,5 (см ) — площадь. 2 Ответ: S = 31,5 см . Задача 2. Найти периметр земельного участка прямоугольной формы, если его площадь равна 8 а, а одна из сторон 16 м. 2 Решение: 1) 8 а = 800 м . 2) 800 : 16 = 50 (м) — неизвестная сторона. 3) (16 + 50) • 2 = 132 (м) — периметр. Ответ: Р = 132 м. Объем прямоугольного параллелепипеда и площадь его поверхности Фигуры типа спичечного коробка, кирпича, молочного пакета имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести попарно равных прямоугольников. Бели все три измерения параллелепипеда равны, то он называется кубом. Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = а • Ъ • с. Формула объема куба: V = а . Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: S = 2 • (аЬ + ас + be). Площадь поверхности куба можно вычис- лить по формуле: S = 6а . Например, если измерения прямоугольного параллелепипеда а = 4,5 см, Ь = 8 см, с = 12 см, то объем его равен: К = 4,5 ■ 8 • 12 = 432 ел*3, а его площадь поверхности равна: S = 2 • (4,5 • 8 + 4,5 • 12 + 8 • 12) = = 2 • (36 + 54 + 96) = 372 см2. Площадь круга и длина окружности Большое значение при вычислении площади круга и длины окружности имеет число я, открытое древнегреческим математиком Пифагором. Оно показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра. Обычно при вычис- 1см 1см Рис. 4 1см 1см S = а*Ь а Рис. 6
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 35 лениях используют значение тс = 3,14. Более точно я =3,14159. Формула длины окружности: С = nd, или С = 2nR. Формула площади круга: S = nR2, или S = (nd2): 4. Задача 1. Радиус окружности равен 8,5 еж. Найти длину окружности и площадь соответствующего круга. Решение: С = 2яД - 2 • 3,14 • 8,5 - 53,38 = 53,4 {см); S = nR2 « 3,14 • 8,52 = 3,14 • 72,25 - « 226,9 (см2). Задача 2. Длина Московской кольцевой автодороги примерно равна 110 км. Вычислите приближенное значение площади, занимаемой Москвой. Решение: 1) С = 2яД; 2) S = nR ; 110 = 2 • 3,14 • R; S = 3,14 • 17,5 ; 110 = 6,28 • R; S « 962 (км2). R = 110: 6,28; R= 17,5 (км); Ответ: S « 962 (кле2). ЗАДАЧИ Задачи на сравнение величин Нужно запомнить: фраза «величина а на с единиц больше Ь* на языке уравнений означает, что а ~-Ь = с, или а -Ь Л- с, или Ъ - а - с. Например, если «* на 8 больше 12», то * - 12 = = 8, или х = 12 + 8, или 12 = х - 8. Решая любое из этих уравнений, получим х = 20. Задача 1. Известно, что выражение 2х - 3 на 7 меньше, чем Ъх + 8. Найти значение *. Решение: Из условия следует, что: (5* + 8) - (2* - 3) = 7 Ъх + 8 - 2* +3 = 7 3* + 11 = 7 3* = -4 4 * = ~3 Задача 2. Масса 9 кирпичей на 20 кг больше, чем масса одного кирпича. Найти массу одного кирпича. Решение: Обозначим массу одного кирпича через х (кг), тогда масса 9 кирпичей равна 9л: (кг). Из условия задачи следует, что: 9* - х = 20 8* = 20 х = 2,5 Ответ: масса одного кирпича 2,5 кг. Нужно запомнить: фраза «величина а в с раз больше величины Ь> на языке уравнений означает, что а : о = с, т. е. г = с, или а : с = &, т. е. - = о, о с или а =Ь • с. Например, если ав5 раз больше, чем 2,4», то х : 2,4 = 5, или х : 5 = 2,4, или х = 2,4 • 5. Решая любое из этих уравнений, получим х = 12. Задача 3. Известно, что выражение 4 - 3* в 1,5 раза меньше, чем 2,5* + 8. Найти значение переменной х Решение: Из условия задачи следует, что (4-3*) • 1,5 = 2,5* + 8 6-4,5* = 2,5*+ 8 -7* = 2 2 *=-,. Задача 4. За день Ира прочитала в 3,5 раза страниц больше, чем Маша. Сколько страниц прочитала каждая девочка, если Маша прочитала на 40 страниц меньше Иры? Решение: Число страниц, прочитанных Машей, обозначим через *. Тогда Ира прочитала 3,5* (е.). По смыслу задачи 3,5* -х =40 2,5* = 40 * = 16 3,5 • 16 = 56 (с.) Ответ: Маша — 16с, Ира — 56 с. Задача 5. Маша и Катя решили испечь к празднику каждая одинаковое число пирожков. Но обе очень старались, поэтому Катя испекла на 6 пирожков больше, чем задумано, а Маша даже на 13 пирожков больше. В итоге
36 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы оказалось, что Маша испекла в 1,5 раза больше пирожков, чем Катя, Сколько пирожков хотела испечь каждая девочка? Решение: Каждая девочка хотела испечь по х пирожков. Но Катя испекла х + 6, а Маша х + 13 пирожков. По условию задачи: (х + 6) • 1,5 = х + 13 1,5х + 9 = л: + 13 0,5л: = 4 х=8 Ответ: каждая девочка хотела испечь по 8 пирожков. Задача 6. На одной стоянке стояло в 2 раза больше автомашин, чем на другой. Когда с первой стоянки переехало 30 автомашин на вторую, то на второй стоянке оказалось в 3 раза больше машин, чем на первой. Сколько автомашин было на каждой стоянке? Решение: было машин стало машин 1 стоянка 2х 2х - 30 2 стоянка х х + 30 По условию задачи х + 30 в 3 раза больше, чем 2х - 30. Составим уравнение: (2х - 30) • 3 = х + 30 6л: - 90 = х + 30 Ьх = 120 х = 24 24 • 2 = 48 (м). Ответ: На первой стоянке было 48 автомашин; на второй — 24 автомашины. Задача 7. Вася и Коля вместе собрали 91 белый гриб. Более удачливый Вася собрал в 2,5 раза грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрал каждый мальчик? Решение: 1-й способ Составим уравнение: Коля — х (грибов) х + 2,5л: = 91 Вася — 2,5л: (грибов) 3,5л: = 91 Вместе — 91 гриб х = 91 : 3,5 л: = 26 26 • 2,5 = 65(гр.) 2-й способ Составим уравнение; Коля — х (грибов) 91 - х = 2,5л: Вася — 91 - х (грибов) 91 = 3,5л: 91 - х в 2,5 раза х = 26 больше, чем х 91 - 26 = 65 (гр.) Ответ: Коля собрал 26 грибов, Вася собрал 65 грибов. Задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби Правило: Чтобы найти дробь от числа, надо это число умножить на данную дробь. Примеры: 7 7 а) Найти g от числа 360. 360 • ^ = 280. б) Найти 0,4 от 120. 120 • 0,4 = 48. Правило: Чтобы найти все число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь. Пример: Найти число х, если г этого числа равны 30. 30 : g = —«— = 50. Можно оформить решение в виде уравнения: | х = 30, х = 30 : |, х = 50. Задача 1. Найти площадь поля, если известно, что скосили 0,7 всего поля, а осталось неско- 2 шенным 5400 м . Решение: 1)1-0,7 = 0,3 — нескошенная часть поля; 2) 5400 : 0,3 = 18 000 (м ) — площадь всего поля. Ответ: 18 000 м. Задача 2. Турист был в пути 3 дня. В первый 1 день он прошел т всего пути, во второй день — 5 9 оставшегося пути, а в третий день — последние 16 км. Найти весь путь туриста. Решение: Пусть весь путь туриста равен х (км). Тогда в первый день он прошел -г х (км), во вто- 5, 1 ч 5 3 5 ^ рои день — о (* "" Z *) ~ о * i*^!^** к как в третий день он прошел 16 км, то: jx + Тох+ 16 = лг jx + Тох" х = ""16 -§*~1в х = 48 Ответ: Весь путь туриста равен 48 км.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 37 Задача 3. На выполнение домашнего задания (математика, литература и география) Миша потратил 90 мин. На литературу он потратил 3 2 того времени, что затратил на математику, а на географию на 10 мин меньше, чем на литературу. Сколько времени затратил Миша на математику, сколько на литературу и сколько на географию? Решение: Пусть х (мин) он затратил на мате- матику, тогда т х (мин) ушло на литературу, а на географию было потрачено т х - 10 минут. Так как всего на домашние уроки он затратил 90 мин, то: 4 4 \х = 100 Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Задача 2. Четыре комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле пять таких же комбайнов? Решение: Очевидно, что во сколько раз больше комбайнов, то во столько же раз меньше потребуется времени для уборки поля. То есть можно сказать, что число (п) комбайнов, убирающих поле, находится в обратной пропорциональной зависимости от времени уборки (t). пг = 4 комб. tx = 10 дн. п2 = 5 комб. t2 = х дн. TOT»^eVT-e-6 * ^ 4 10 Q гтс. Отсюда х = 5 = 8. Ответ: 5 комбайнов уберут поле за 8 дней. х = 100 : g х =40 Итак, на математику ушло 40 мин, на литера- 3 туру 2 • 40 = 30 (мин), а на географию 30 - 10 = = 20 (мин). Ответ: 40 мин, 30 мин, 20 мин. Прямая и обратная пропорциональные зависимости Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. з Задача 1. Стальной шарик объемом 6 см имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см ? Решение: Очевидно, что, во сколько раз меньше объем шарика, во столько же раз меньше его масса. Следовательно, объем шарика (V) и масса шарика (т) находятся в прямой пропорциональной зависимости. Решим задачу с помощью пропорции: Уг - 6 см тг = 46,8 г У ТПЛ V2 = 2,5 см тп2 = х (г) 771л 6 46,8 2,5 х Х = 19,5. Ответ: 19,5 г. 46,8-2, 6 1 46,8- 24 И) 468 24 Задачи на деление числа на части, пропорциональные данным числам Задача 1. Сережа собрал в саду 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части — брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограмм клубники получил каждый из детей? Решение: Обозначим массу одной части через х (кг), тогда масса трех частей — Зх (кг), а масса четырех частей — 4л: (кг). Так как всего было 2,4 кг клубники, то: х + Зх + Ах = 2,4 8* = 2,4 х = 0,3 (Сережа) 1) 3 • 0,3 =? 0,9 (кг) — получил Коля; 2) 4 • 0,3 = 1,2 (кг) — получила Наташа. Ответ: 1,2 кг, 0,9 кг, 0,3 кг. Задача 2. Для приготовления компота нужна вода, ягоды и сахар, масса которых должна быть пропорциональна числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько нужно взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота? Решение: Пусть для приготовления компота требуется а (кг) воды, Ь (кг) ягод, с (кг) сахара. Тогда а:4 = Ь:3 = с:2, или J = з = 2 ' ^Усть ка" __ 468 _ ждое из отношений равно числу х. Тогда т = х, Ъ с 5 = х, о = х. Отсюда а = 4#, Ъ - Зх, с = 2х. По условию задачи а+Ь+с = 13,5(к;г), тогда
38 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 4* + Зх 4- 2х = 13,5 9* = 13,5 х = 1,5 1) 4 • 1,5 = 6 (кг) — воды; 2) 3 • 1,5 = 4,5 (кг) — ягод; 3) 2 • 1,5 = 3 (кг) — сахара. Ответ: 6 кг, 4,5 кг, 3 кг. Задачи «на масштаб» Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом. То есть запись 1:500000 нужно понимать так: отрезок на карте в 500000 раз меньше, чем на местности. Можно сказать и так: отрезок на местности в 500000 раз больше соответствующего отрезка на карте. Например, на такой карте расстояние между городами А и В равно 8 см. Тогда на местности (т. е. настоящее расстояние) расстояние между городами А и Б равно 8 см • 500 000 = 4 000 000 см =40 км. Наоборот, если известно, что на местности расстояние между городами С и D равно 300 км, то на этой карте расстояние между ними будет равно: 300 км : 500 000 = 30 000 000 см : 500 000 = 60 см. Задача 1. Найти масштаб карты, если расстояние на местности между городами М и N 140 км, а на карте это выражено отрезком 7 см. Решение: 7 см : 140 км = 7 см : 14000000 см = = 1:2000000. Ответ: Масштаб карты 1 : 2 000000. Задача 2. Между городами X и У расстояние на местности 200 км, а на карте 5 см. Каким отрезком на этой карте будет выражено расстояние 700 км? Решение: Эту задачу можно решить через нахождение масштаба карты, а можно по-другому — с помощью пропорции. Обозначим искомый отрезок через х, тогда 5 200 х 700 ' Х " Ответ: 17,5 см. 5 700 = ' 200 = 17,5 см Разные задачи Задача 1. Витя и Толя любят собирать авиамодели. На сборку одной и той же модели Витя тратит 4 ч, а Толя — 3 ч. Однажды мальчики решили собирать модель вместе. Сколько времени они потратили на сборку? Решение: 1) За один час Витя может собрать 1 2 часть всей модели; 2) за один час Толя собирает « часть всей модели; 3) вместе за 1 час они делают: 1 + о = То (час_ тей); 4) тогда, разделив всю работу 1 = т« натл, получим ответ: 12 7 12 12 12 ,5 , . - AQ 12 : 12 =ТГТ =У =l7(4)=l443 MUH- Ответ: 1= ч. Задача 2. Веревку длиной 63 м разрезали на 2 куска так, что 40% длины первого куска были равны 30% длины второго куска. Найти длину каждого куска веревки. Решение: Пусть первый кусок имеет длину х (м), а второй кусок тогда имеет длину 63-х (м). По условию задачи 0,4* равны 0,3 • (63 - х). Составим уравнение: 0,4* = 0,3 • (63-х) 0,4х = 18,9-0,Зх 0,7х = 18,9 х = 18,9: 0,7 х = 27 (первый кусок) 63 - 27 — 36 (м) — второй кусок. Ответ: 27 ми 36 м. Задача 3. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально? Решение: Пусть общая масса раствора была первоначально х (г). Тогда соли в нем было 0,4х (г). Если добавить 120 г соли, то масса раствора будет х + 120, а соли в нем будет 0,4х + 120. Так как по условию задачи соли стало содержаться в растворе 70%, то: 0,4х+120 = 0,7 • (х + 120) 0,4x4-120 = 0,7x4-84 О,4х-0,7х = 84-120 -0,3х = -36 х = 120 0,4 • 120 = 48 (г) Ответ: Первоначально в растворе было 48, г соли.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 39 Задача 4. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов. Решение: Представим, что все кролики встали на задние лапки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 1) 35 • 2 - 70. Но в условии даны 94 ноги; передние лапы кроликов не посчитаны. Сколько их? 2) 94 - 70 = 24. 3) 24 : 2 = 12 (кроликов). 4) 35 - 12 = 23 (фазана). Ответ: 23 фазана, 12 кроликов. ОТРЕЗОК, ПРЯМАЯ, ЛУЧ, УГОЛ Отрезок и прямая Если к точкам А и В приложить линейку и по ней провести от А к Б линию, тр получится отрезок АВ. Тот же отрезок можно обозначить ВА. Точки А и В называют концами отрезка (рис. 8). А В в т Рис, 8 Любые две точки можно соединить только одним отрезком. Длину отрезка АВ также называют расстоянием между точками А и В. Если два отрезка CD и MN имеют одинаковую длину, то отрезки равны (рис. 9). Записывают CD = MN. Если длина отрезка АВ больше длины отрезка КЕ, то это записывают так: АВ > КЕ, илиКЕ <АВ. Прямую обозначают заглавными (прописными) буквами: прямая АВ, или одной маленькой (строчной) буквой: прямая т. Прямая не имеет длины. Отрезки и прямые могут пересекаться, а могут и не пересекаться (рис. 11). В х Q Рис. 11 Задача. На рисунке 12 можно увидеть три отрезка: АВ, ВС, АС. Сколько отрезков можно увидеть на рисунке 13? В В С D Е Рис. 12 Рис. 13 Ответ: 15 отрезков. Луч и угол Точка О разделила прямую АВ на две части ОА и ОВ, каждая из которых называется лучом (полупрямой). Точка О называется началом этих лучей (рис. 14). О В N Рис. 9 Если начертить отрезок АВ и продолжить его по линейке бесконечно в обе стороны, то получим прямую (рис. 10). Через любые две точки проходит единственная прямая. Рис. 14 Луч кратко обозначается двумя заглавными буквами, причем на первом месте пишется буква, обозначающая начало луча. Например, на рисунке 15 изображены лучи CEhDK. В Рис. 10 Рис. 15
40 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Нужно хорошо запомнить, что у любого луча есть начало, но нет конца. Так же как отрезки и прямые, лучи могут пересекаться, а могут и не пересекаться (рис. 16). Лучи, на которые точка разбивает прямую, называются дополнительными лучами. Например, на рисунке 17 лучи ЕМ и EN — дополнительные лучи. М Е —•— N Рис. 17 Каждая точка прямой разбивает прямую на два различных луча, две точки — на четыре различных луча, а три точки — на шесть различных лучей. Например, на рисунке 18 лучей с началом в точке А — два, лучей с началом в точке В — два, лучей с началом в точке С — два. Всего шесть лучей. Если вам покажется, что их больше, вы ошибаетесь. Ведь, например, луч АВ и луч АС — это один и тот же луч. В Рис. 18 Запомните! Обозначение АВ может относиться и к отрезку, и к прямой, и к лучу. Обычно все можно понять, посмотрев на рисунок. Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла. На рисунке 19 изображен угол CDK или кратко: ZCDK. Обратите внимание: в середине обязательно пишется буква, обозначающая вершину угла. Если на рисунке нет больше углов с данной вершиной, то угол можно обозначить только этой вершиной: ZD, т. е. ZCDK = ZD. Задача. Сколько углов вы видите на рисун- ке^20? В Рис. 19 О^ С Рис. 20 На рисунке изображены три угла с вершиной О : ZAOC, ZAOB и ZBOC. Два угла равны, если при наложении одного угла на другой они совпадут. Например, на рисунке 21 ZBOK = ZCED. JBL Рис. 21 Виды углов. Измерение углов Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. На рисунке 22 ZABC — развернутый. В Рис. 22 Для измерения углов применяют транспортир. Шкала транспортира располагается на полуокружности и поделена на 180 равных частей. Каждая часть называется градусом, т. е. градус — это ygg доля развернутого угла. Градусы обозначают знаком °. Величина развернутого угла равна 180°. Можно сказать, что ZAOB < ZCED, а Z РКМ > Z CED (рис. 23).
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 41 Z АОВ = 53° Е D Z CED - 90° Рис. 23 К М Z РКМ = 130° Прямым углом называют половину развернутого угла. Величина прямого угла равна 90°. Углы, меньшие прямого, называют острыми (ZAOB = 53° — острый угол). Величина любого острого угла меньше 90°. Углы, большие прямого угла, но меньшие развернутого, называют тупыми углами (Z РКМ = == 130° — тупой угол). Величина любого тупого угла больше 90°, но меньше 180°. Задача. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки: а) в 6 часов; б) в 3 часа; в) в 16 часов; г) в половину шестого; д) без пяти минут двенадцать? Ответ: а) 180°; б) 90°; в) 120°; г) 16°; д) 27,5°. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части. ZAOB = 58° ZAOC = Z ВОС = 29° ОС — биссектриса Z АОВ (рис. 24). Перпендикулярные и параллельные прямые Две прямые j образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными. На рисунке 25: АВ и CD — перпендикулярные прямые. Пишут: АВ ± CD. Также можно записать: CD 1 АВ. Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами) (рис. 26). М N MN 1РК К Р луч EF перпендикулярен лучу ОТ Рис. 26 Отрезок CD (рис. 27) называется перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой АВ. Точка С называется основанием перпендикуляра. С Рис. 27 В Через данную точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Пишут: АВ || CD (прямая АВ параллельна прямой CD на рис. 28). Рис. 28 Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами). На рисунке 29 отрезок АВ параллелен отрезку МК; луч EF параллелен лучу СО. К М Рис. 29 Рис. 24 Рис. 25 Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Если прямые п и I перпендикулярны прямой /п, тогда прямые пи! — параллельны (рис. 30). Краткая запись: если п ± т и I ± /п, то п \\ I.
42 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой (рис. 31). т Рис. 30 Рис. 31 Координатная плоскость Проведем на плоскости две перпендикулярные прямые х и у, которые пересекаются в точке О. Выберем на каждой из прямых х и у положительное направление и единичный отрезок; точка О — начало отсчета. Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Прямую х называют осью абсцисс; прямую у называют осью ординат. хЭ • -5 -4 -3 -2 -1 ■ i i i i О С 1 - о -4 -3 -2 о1! -1 —2- -3 -4 -5 2 3 4 4 | D • i i « А X Рис. 32 Каждой точке плоскости соответствуют координаты. Их записывают после точки в скобках, на первом месте координату по оси х, на втором — координату по оси у. Координата по оси х называется абсциссой, а координата по оси у — ординатой. Например, у точки А на рисунке 32 координаты (4; -2), В (-3; 5), С (0; -4), D (2; 0). У любой точки, лежащей на оси х (оси абсцисс), вторая координата (ордината) равна нулю, а у любой точки, лежащей на оси у (оси ординат), первая координата (абсцисса) равна нулю. Задание. Начертить отрезки АВ и CD, если А(-4; 2), Б(3; -5), С(-5; -7), Я(4; -1). Найти: а) координаты точки Е — пересечения отрезков АВ и CD; б) координаты точки К — пересечения отрезка АВ с осью х; в) координаты точки Р — пересечения отрезка АВ с осью у. Рис. 33 Ответ: Е (1; -3), К (-2; 0), Р(0; -2).
Алгебра. 7—11 классы Этот раздел предназначен для быстрого и эффективного повторения начал алгебры школьного курса математики. Теоретический материал разбит на главы, соответствующие основным темам. СТЕПЕНИ И КОРНИ Степень с натуральным показателем. Свойства степеней. Степень с целым показателем 1. Степень с натуральным показателем Степенью действительного числа а с натуральным показателем п называется произведение п сомножителей, каждый из которых равен а. п а = а*атат... • а (а ) = а . 4. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают: (а •«"-а11-б". 5. Если в степень возводится частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результаты делят друг на друга. (а\п = а^ п раз Число а называется основанием степени, число п — показателем степени. Пример 1. 0,23 = 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,008. Пр„»ер2.(-1)в-(-1)-Н)-(-1)-Н)х Х Г§] Ч~з] = 729' Пример З.Ь = Ъ • Ъ • b • Ъ. 2. Свойства степеней 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают: т п т + п а *а = а 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя: т п т~п а : а = а 3. При возведении степени в степень основание степени оставляют прежним, а показатели перемножают: 6. Если а > Ь и Ъ > 0, то ап > Ьп. Пример 1. 0,54 = 0,5-0,5* 0,5* 0,5 = 0,0625 (по определению). Пример 2. (-5) *(-5) =(-5) (свойство 1). / 1*\8 ( 1\14 ( 1\22 Пример 3.( lgl 413) =1*з] (свойство 1). Пример 4. (|)10 : (J)3 = (j)10 ' = (j)7 (свойство 2). Пример 5.0,46 : 0,44 = 0,42 = 0,16 (свойство 2). Пример 6. ((-2)5)2 = (-2)5'2 = (-2)10 = 1024 (свойство 3). 1\4 Пример 7. (о,2-|) =0,24-(д) = = 0,0016 • ^ = зТШоО (свойство 4>- Пример 8. [-5•„-] =(-5) •(„-) (свойство4). Пример 9. (-fj = -^- = ~i = 2401 <свой- ство 5). Пример 10. Что больше: 2 или 3 ? Используя свойства степени, преобразуем данные выражения: о300 = 23 • 100 = /о3\100 — Q100
44 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы «200 = «2*100 _ .«2Л00 = Q100 Показатели степеней равны, а основания связаны неравенством 8 < 9, поэтому, согласно и о300 ^ о200 свойству о, 2 < 3 3. Степень с целым показателем Степень действительного числа с целым отрицательным показателем определяется следующим образом: ап = — , где а * 0 и п > 0. а Пример 1. (-8)"3 = -^j = -qY2 • 6Г4 Г5\* 625 ТТ^леер 2. (l|)"4 = (I)"4 = (|)4 = 1296* Любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. а = 1, гдеа*0. Нуль в нулевой степени не определен, т. е. выражение 0 не имеет смысла. Для степеней с целыми показателями выполняются те же свойства, что и для степеней с натуральными показателями. Арифметический квадратный корень и его свойства 1. Арифметический квадратный корень Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число Ь9 квадрат которого равен числу а. Обозначение: Ja = b. Такая запись означает, что Ь = аиЬ>0. Знак 7~ называется знаком радикала. Пример 1. Vl6 = 4, так как 4 = 16 и 4 > 0. Пример 2. 75781 = 0,9, так как 0,92 = 0,81 и 0,9 > 0. Основные тождества, следующие из определения квадратного корня: 1. л/а = \а\ 2. (л/а) =а. или а = а при а > 0, а = -а при а < 0. 2. Свойства арифметического квадратного корня 1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: J а • Ъ = Ja • Jb, где а > 0 и Ь > 0. 2. Корень из частного двух чисел равен частному корней из этих чисел: J=|,rflea>0,&>0. Jb 3. Внесение множителя под знак квадратного корня: а) Ъ • Та = = л/ь • а при & : >0; б) Ъ • л/а = -*Jb • а при Ъ < 0. 4. Вынесение множителя из-под знака корня: а) 4ь • а б) л/ь2 • а В общем: Пример - 8^2. Пример , 27 * Пример Пример = & • л/а при & > 0; = -& • л/а при & < 0. виде: л/гЛх =|&1* 1. VI28 = 2 ГбО" _ л/50 * V729 7729 3. лДб*3 =7? 4.\ЛГа=Л »л/а. 764^2 л/25^2 2 2 • X • X : • 54а = = 764 • 7S- 725'72 27 -4-Н- Тба. Jx. Пример 5. Пусть х < 2, тогда V(* - 2) • 3 = = |ж-2|-73 =(2-ж)-73. Пример 6. Пусть а > 1, тогда (1 х)-л/(а- I)3 =-л/(а - D5.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 45 Пример 7. Упростить: 4Я -2V104 +3^ = ]Ш* -2Л04 + + Je*y = Л04 -2л/104 + 726 = = л/26 -л/104 =л/26 -л/4-26 =726 -2726 = = -726. Пример 8*. Избавиться от иррациональности в знаменателе (т. е. от знаков корней в знаменателе): 10 _ 75-Л0 + л/20 + 740-780~ 10 10 75(1 -72 + 2 + 272-4) 75(72 - 1) = 1075(72 + 1) = 1075(72 + 1) = (75)2(72 - 1)(72 + 1) 5((72)2 - I2) = 275(72 + 1). В последнем примере числитель и знаменатель дроби домножены на одно и то же выражение д/б (72 +1), при этом дробное выражение не изменилось. Далее использована формула со- 2 2 кращенного умножения (а + b)(a - b) = a -ft и тождество (2). Если выражение а - ft умножается на выражение а + ft, то такое преобразование в алгебре называется домножением на сопряженное. Арифметический корень п-н степени. Действия с радикалами 1. Определение арифметического корня /1-й степени Арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число ft, которое при возведении в степень п дает число а. Число п называется показателем степени корня, число а — подкоренным выражением. Обозначение: nJa = ft, что означает по определению Ъп = а и ft > 0. Пример 1. 378 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0. Пример 2. 67729 = 3, так как З6 = 729 и 3 > 0. Напоминаем, что только квадратный корень записывается без показателя степени корня. 2. Корень нечетной степени из отрицательного числа Корнем нечетной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число ft, которое, будучи возведено в эту нечетную степень, равно числу а. Как правило, корень нечетной степени из отрицательного числа не называют арифметическим. Во многих современных школьных курсах алгебры корень нечетной степени из отрицательных чисел не рассматривается. Это приводит к путанице, особенно при решении некоторых задач. Выход здесь такой: при решении конкретной задачи каждый раз оговаривать отдельно — какое определение вы используете. Пример 1. 37-27 = -3, поскольку (-3)3 = -27 и -3 < 0. Пример 2. 5/-— и-2<0. V"32 "~ 2 • ТаК КаК ( 2 J " 32 3. Свойства арифметического корня /1-й степени 1. Корень степени п из корня степени k: п& = пкЛ. Пример 1. V7729 = 67729 = 3. Пример 2. 5л/37-32 768 = 157-32 768 = -2. 2. Корень п-й степени из числа а, возведенного в натуральную степень k: Пример 3. лб1 = (,/9)3 = З3 = 27. Пример 4. 5|^j)3 = [ьЩ = {-If = -|. 3. Корень п-й степени из произведения двух чисел: l/ab = nJ~a • nJb. Пример 5. V16 • 81 = 4Лб • V81 =2-3 = 6.
46 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 6. V625 « !/125 • 5 - У125 • У5 - - 537б. 4. Корень л-й степени из частного двух чисел: 216 37216 6 ,1 Пример 7. з/— = 125 У125 5 S Пример 8 • Т243 57^32 V243 5. Вынесение множителя из-под знака корня: nJ^~a=\b\-nJ~a. При & > О это тождество имеет вид При & < 0 и а > 0 тождество примет вид *а/ь" • а = -&-"7а. Пример 9. V250 = V?" 2 = 5372 . Пример 10. 5л/(-2)8 • 3 = -2 57§. 6. Внесение множителя под знак корня: 1. &• "Та = "л/&"• а при6 > 0. 2.b-nJa = -"7&"-а при Ь < 0. Пример 11. 2 V5 = Зл/23 • 5 - V40 . Пример 12. -572 = -л/5^- 2 = -Тбб. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 1. ("Та)" =а. •Л"-|а|. Пример 13*. Избавиться от кррациональнос- 1 ти в знаменателе дроои Решение. V5 - V2 (V5 - V5)(VS + V2) (V5)2 - (V2)2 ^ - Я ' Умножив числитель и знаменатель дро сначала на (1/5 + 1/2), а потом на(Jb + J2) воспользовавшись формулой сокращенного у 2 2 ножения (а- Ь)'(а + Ь) - а - Ь , а также при] денными выше тождествами, получим: (Уб + 4/2)(75 4 72) = (VB + У2)(Л + Л) (Л - Л)(Л + 72) (ТЕ)2 - (72)2 _ (47Е + 472)(75 4- 72) 3 Пример 14*. Преобразовать выражение Уб72 - 7 • 7з + 272. Решение. 37б72 - 7 • 7з + 272 = = 37б72 - 7 • л/l + 272 + (72)2 = = 37б72 - 7 • 7(1 + 72)2 = = (1 + 72)37572 - 7 =37f572 - 7)(1 + 72)' = 37(572 - 7)(572 + 7) = 3л/(572)2 - 72 = = 3./Ь~0 - 49 =1. 3 2 Здесь мы использовали формулу а + За + За&2 + Ь3 - (а 4- Ь)3. Пример 15*. Доказать тождество V8 - V§7 • V8 + 737 =■• 3. Решение. Имеем: 37в"- V§7 • V8 + л/37 = = V(8 - 737)(8 4- л/37) = Уб4 - 37 = \/Z7 Степень с рациональным показате Степенью положительного числа а с р ональным показателем г = — (т — целое чи п — натуральное число) называется корень пени л из а , т. е, а = а = уа , где а > 0. 973 = \[оП2 =/3/97^2 = Q2 = « Пример 1. 21 = V27* =(ty27) =3
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 47 Пример 2. 8~3 = V8"2 = 3 Л = \к = I • /8 64 Свойства степеней с целыми показателями верны и для степеней с рациональными показателями: \.а г, + г0 Г1 Г2 Г1 ~ Г2 2. а * : а 2 = а 1 2 Г, '2 1Г2 3. (а !) = а 4. (аЬ)г = аг*Ьг. 4 3 1 5 5 5 = —— = — (свойства 5, 3, 2 и 1). до до Рациональные и иррациональные числа. Понятие действительного числа 1. Рациональные числа Рациональными числами называются числа р вида - , гдер — целое, q — натуральное. Целые и дробные числа являются рациональными. Примеры. з 1) а • а 1 i г = а (свойство 1). 2 3 1 + 1 1 + - 2) а Ъ •а/'1' = а Ь = а Ь (свойст- Пример 1.0= г -8.1—8^" -31 10 во 1). 5 1 оч 7 5 3) а : а = а 5 __ 1 7 5 18 35 = а (свойство 2). 1 1 4) а Ь (свойство 2). з 1 1 1 1-(Л) 8,з з 8 .2 i з; Л, а о = а о = а о 1 5 24 ,6 / i.\5 J..? JL 5) 15 а v ) 15 5 25 , оч = а = а (свойство 3). ( 1 6) 3 1^ а - а \ = а ^ 1 1 о 3 2 , 2 - 2а а + а ь2 = а -2а + а (свойства 3 и 1). 1 1\5 5 ,8 7) а • Ь ва 4 и 3). з I * 8) /' Ьз а v J hi A J. 15, 12 , = а Ь (своист- з i к6; з з а / ±\5 аЬ 4 3 3*5 а 3 13 5^6*5 а Ь з \_ 5,10 а 6 Сумма, разность, произведение, частное двух рациональных чисел, а также результат возведения в степень рационального числа есть число рациональное. Г IV f 5(3 1(1°V» Пример 2.(2,5-1) ■' {2 + Го ~3 ) = 2. Иррациональные числа Наряду с рациональными существуют числа, которые нельзя представить в виде дроби - . Например, число я, равное отношению длины окружности к ее диаметру, к « 3,1415... Длина диагонали квадрата со стороной, равной 1, является иррациональным числом J2 . Иррациональными являются также числа 7з , Jb , 7б и множество других. (Однако число л/i не является иррациональным, так как 7i = 2 = т — рациональное число.) 1 Сумма, разность, произведение, частное рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.
48 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Г" г 1 V9 Например, числа 1+ J2, 2*Jb, --=; -5 иррациональные. Сумма, разность, произведение, частное двух иррациональных чисел, а также результат возведения иррационального числа в степень может быть как иррациональным, так и рациональным числом. Примеры. 1) (1 + 72) + (1 - 72) = 2; 2) (2- 73)2 = 4-473 +9 = 13-473. Решение. В периоде данного числа — два зна- 2 ка. Рассмотрим разность числа 10 г и данного: _ ЮОг = 37,373737... 2= 0,373737... 37 992 = 37,000000... = 37, откуда г = ^ . Иррациональные числа можно представить в виде бесконечных непериодических дробей: Л =1,4142135... тс = 3,1415926536... и т. д. 3. Действительные числа. Обращение рациональных чисел в бесконечные десятичные дроби Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. 5 Пример 1. g — рациональное число. Разделим 5 на 8 «уголком»: 5018 Итак « = 0,625. Мы получили конечную десятичную дробь. 50 48 _20 16 0,625 40 "40 0 Пример 2. Представить ту в виде десятичной дроби. Решение. Разделим 7 на 11: 70111 Мы получили бесконечную десятичную дробь. Повторяющаяся комбинация цифр называется ее периодом. Обозначение (63), т. е. ~ = 0,(63). 6610,636. _40 33 70 Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, -3 = -3,(0); g=0,(6); -fg =-1,2(7). Верно и обратное: любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью рационального числа. Пример 3. Представить число г = 0,(37) в виде рационального числа. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие сведения о рациональных уравнениях 1. Равенства и уравнения. Корни уравнения Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «=», образуют числовое или буквенное равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством. Пример 1. Числовое тождество: 5-7-6= 20 + 9. Пример 2. Буквенное тождество: (а + Ъ)3 - а3 + За2Ъ + ЗаЬ2 + Ь3. Равенство, содержащее неизвестные буквенные величины и не являющееся тождеством, называется уравнением. Уравнение называется буквенным, если некоторые известные величины, входящие в него, выражены буквами, в противном случае уравнение называется числовым. Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита: х, у, z, t, и, и, w. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными. Решением уравнения называется такой буквенный или числовой набор неизвестных, который обращает его в тождество (соответственно, числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют также его корнем. Пример 3. Решением числового уравнения 3 2 Зх + 2х - 4л: - 1 = 0 является число 1.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 49 Решением буквенного уравнения х - ах + 2 Л-ах-а = 0 является выражение а. Решить уравнение — значит найти* все его решения или доказать, что их нет. Уравнение вида апхп + ап _ гхп ~ + ... + агх + + а0 = О, где ап * 0 называется целым рациональным уравнением степени п с одним неизвестным. Далее речь идет именно о таких уравнениях. Числа ал, ап_г ... а0 называются коэффициентами этого уравнения, а коэффициент а0 часто называют свободным членом уравнения. Утверждение 1. Любое уравнение степени п с одним неизвестным имеет не более п корней. Утверждение 2. Любое уравнение нечетной степени с одним неизвестным имеет по крайней мере один действительный корень. 2. Равносильные уравнения Два уравнения Рг(х) = Qi(x) и Р2(х) = Q2(x) называются равносильными, если совпадают множества их решений. Обозначение: Рг(х) = Qx(x) <=» Р2(х) = Q2(x). 2 2 Пример 1. Уравнения х +2*-3 = 0ил: + + х - 3 - х — равносильны, поскольку имеют одинаковые корни х = 1 и х = -3. 2 2 Пример 2. Уравнение х + 1 = 0 <=> х +3 = 0, так как оба они не имеют решений на множестве действительных чисел. Равносильные уравнения иногда называют эквивалентными. Если уравнения Рг(х) = Qx(x) и Р2(х) = Q2(x) имеют одинаковые решения на некотором числовом множестве X, то они называются равносильными на множестве X. 2 2 Пример 3. Уравнения х -5# + 6 = 0ил: + + 2л: —15 = 0 равносильны на числовом множестве х > 2, поскольку имеют на этом множестве один корень х = 3. На множестве всех действительных чисел эти уравнения неравносильны, так как корнями первого уравнения являются числа 2 и 3, а второго — числа 3 и -5. 1) перенос любого члена уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; 2) умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число; 3) умножение и деление уравнения на одно и то же алгебраическое выражение, определенное при любых значениях входящих в него букв, которое не обращается в нуль. Равносильных (как и неравносильных) преобразований существует великое множество. Наиболее часто встречающиеся будут рассмотрены в следующих параграфах. 2 Пример 1. Зах + Ьх = сх - d <=> <=» Зах2 + (Ъ - с)х + d = 0. Пример 2.4х2 + 2х - 2 = 0 <=» 2х2 + х - 1 = 0 <=> Пример 3. х3 + 2х - х2 - 2 = Зх2 + 6 <=> <=> х\х - 1) + 2(х - 1) - 3(х2 + 2) <=> <=» (х2 + 2)(х - 1) - 3(х2 + 2) <=> х - 1 = 3. В последнем примере обе части уравнения, разложенного на множители, разделены на вы- ражение х +2, которое определено для любого действительного числа и ни при каком значении х не обращается в нуль (более того, х + 2 > 2 для любого числового значения х). Решение линейных, квадратных и биквадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители 1. Линейное уравнение Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ах + Ь = с, где а * 0. Это уравнение всегда имеет единственное реше- с - Ь ние х = . Пример 1. Зх + 2 = 5 <=> х = 1. 3. Равносильные преобразования К равносильным уравнениям приводят равносильные преобразования. Например, такие: Пример 2. 2Ъх +1 = 3<=>x=t;. Пример 3. Засх - а = 2с <=> х — —^ ,
50 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 2 Ь Пример 4. 5а х + 6 = 0 <=> х = ^ 5а 2. Квадратное уравнение Квадратным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ах + Ьлг 4- с = 0, где а * 0. Дискриминантом квадратного уравнения называется число D = b2- 4ас. Справедливы следующие утверждения: 1. Если D < О, то уравнение решений не имеет. 2. Если D = 0, то уравнение имеет единствен- Ь ное решение х = -=- . 3. Если D > 0, то уравнение имеет два решения: хл = -Ъ - JD -Ъ + Jd "1 2сГ^ " ~2 2а Обе эти формулы часто записывают в виде -Ь ± л/ь - 4ас *1 «> = —on— или X* о = 4,2 2а 4,2 2а Пример 1.x - Ах + 3 = 0. Решение. Имеем а = 1, Ь = -4, с = 3. Я = Ь2 - 4ас = (-4)2 -4-1-3 = 4. *i = -(-4) - 2 = 1, Хо = _ -(-4) + 2 = 3. Пример 2. 2х + х + 3 = 0. Решение. Имеем: а = 2, Ь = 1,с = 3. D = &2 - 4ас = 1-4-2-3 = -23. Так как D = -23 < 0, то данное уравнение решений не имеет. 2 Пример 3. 4л: + 4л: + 1 = 0. Решение. Имеем а = 4, & = 4, с = 1. D = &2 - 4ас = 42 - 4 • 4 • 1 = 0, так как D = 0, то уравнение имеет единственное решение * 2а 8 2' При решении примера 3 можно не использовать формулу корней квадратного уравнения, 2 2 заметив, что 4л: + 4л: + 1= (2х + 1) , а квадрат числа (выражения) может быть равен нулю только в случае, когда само это число (выражение) равно нулю. 3. Неполное квадратное уравнение Неполным квадратным уравнением называется квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов Ъ или с равен нулю. При с = 0, уравнение принимает вид: 2 ах + Ъх = 0, или х(ах + Ь) = 0, т. е. либо х = 0, либо ал: 4- Ь = 0, откуда л: = 0 и л: = -- . a 2 При b = 0 уравнение имеет вид: ах + с = 0, то 2 с ,, с л есть л: = -- . Если выражение -- < 0, то уравнение решений не имеет, если с = 0, то решение единственное: л: = 0; если же -- > 0, то решений два: <1=Я и *2—Л 4. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета Приведенным квадратным уравнением на- 2 зывается уравнение вида х + рл: + g = 0, т. е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т. е. на а. ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т. е. -р, а их произведение — свободному члену q. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА Если сумма двух чисел хг и х2 равна числу -р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. * Теорема Виета в расширенном виде справедлива для уравнений более высоких степеней, чем вторая. В множестве комплексных чисел часть формулировки теоремы — «если у уравнения есть действительные корни» — является лишней.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 51 Пример 1. Определить знаки корней уравнения х - 136л: + 29 = О, не решая его. Решение. Имеем: D = (-136)2 - 4 • 1 • 29 > О, следовательно, уравнение имеет действительные корни. По теореме Виета произведение корней данного уравнения равно 29, то есть положительно. Значит, корни имеют одинаковые знаки — либо оба положительные, либо оба отрицательные. Но по этой же теореме их сумма равна -(-136) = 136, т. е. тоже положительна, а сумма отрицательных чисел не может быть положительной. Значит, оба корня положительны. Пример 2. Используя теорему, обратную теореме Виета, найти корни уравнения х2 + Зх + 2 = 0. Решение. Это уравнение имеет целые корни, причем ххх2 = 2, а хг + х2 = -3. Корни легко угадать: это хг = - 1 и х2 = -2. Действительно: (-1) • (-2) = 2 и (-1) + (-2) = -3. Значит, числа -1 и -2 являются корнями данного уравнения. Пример 3. Найти значение выражения 2 , 2 хг + х2 , где хг и х2 — корни уравнения Зх2- 39* -17 = 0. Решение. Запишем данное уравнение в приве- 2 1Q 17 п денном виде: х - 13л: - -=- = О. Имеем: D = (-13)2 - 4 • 1 • f-y] > 0, следовательно, применима теорема Виета. 2 2 Преобразуем выражение хг + х2. 2,2_20 ,2_о - Х-* т* Хп — X* i CtX-\X2 "Г Х2 &ХлХ2 — = (*i + х2)2 - 2хгх2. Это очень важное тождественное преобразование называется выделением полного квадрата (к исходному выражению добавили и вычли одну и ту же величину 2ххх2). Но по теореме Виета хх + х2 = -(-13), 2 2 следовательно, (хг + х2) = 13 = 169, 17 а 2хгх2 = -2 • -=-, т. е. окончательно получаем Пример 4*. Решить уравнение 1997х2 + 1937* - 60 = 0. Решение. Решать данное уравнение, используя общие формулы, достаточно трудно. Заметим, однако, что число -1 является корнем (1997 - 1937 - 60 = 0), следовательно, по теореме Виета, найти второй корень легко: = 60 *2 1997 (не забывайте, что уравнение должно быть приведенным, т. е. его коэффициенты нужно разделить на 1997). Замечание. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то есть а + Ь + с = = 0, тр х = 1 является его корнем, а если а~-Ь + с = = 0, то этим корнем является число х = -1, в обоих случаях второй корень легко находится по теореме Виета. 4 Пример 5*. Найти значение выражения хх + + х2 , где хх и х2 — корни уравнения х -17л:- 31=0. Решение. Используя тот же прием, что и в примере 3, т. е. выделяя полный квадрат, преобразуем данное выражение (не забудьте проверить предварительно, что D > 0!). 4 4_ 492 2 *_92 2 _ Хл Т* Хп X л т CiX-t Хп ~Г Хп СкХл Хп _, 2 2\2_9 2 2_ = (х\ + 2ххх2 + х\- 2хгх2)2 - 2(хгх2)2 = = ((хг + х2)2 - 2xxx2f - 2(xlx2)2 = = (172 - 2 • (-31))2 - 2 • (-31)2 = = 3512-2-961 = 121 279. 5. Биквадратное уравнение Уравнение вида ах + Ъх + с = 0 называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим х = t, тогда х = (х ) = 2 2 = t . Заметим, что / > 0, так как t = х . Исходное уравнение примет вид at2 + bt + с = 0, т. е. является обыкновенным квадратным уравнением, которсъ решается по приведенной выше схеме.
52 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пусть tx и t2 — корни полученного квадратного уравнения. Если ^ > 0 и f2 > 0 исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня: Если одно из чисел £х или t2 отрицательно, а другое неотрицательно, то имеем два корня, либо один (х = 0). Введение нового переменного — наиболее распространенный метод решения самых разных уравнений. Пример 1. Решить уравнение х4 -13л:2 + 36 = 0. Решение. Обозначим х = t и заметим, что t > 0(*). Тогда исходное уравнение примет вид: t2 - 13* + 36 = 0. Имеем: а = 1, Ъ = -13, с = 36; D = Ъ2 - 4ас = = (-13)2 - 4 • 1 • 36 = 25. Так как D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два корня ^ = 9и*2 = 4. Оба эти корня удовлетворяют условию (*), следовательно, уравнение имеет четыре действительных решения. 2 2 х = 4, откуда *! = 2, л:2 = -2, и х = 9, откуда *з в 3> *4 = —3. Пример 2. (х + 7)4 - (* + 7)2 - 2 = 0. Решение. Обозначим (х + 7)2 = *, заметим, что t > 0 (**). Исходное уравнение принимает вид t - * - 2 = 0. Решая его как обычное квадратное уравнение, получим следующие корни: tx = -1, *2 = 2. Первый из корней не удовлетворяет усло- вию (**), следовательно, (х + 7) = 2, откуда # = = -7 + л/2 , либо х = -7 - */2 . 6. Разложение квадратного трехчлена на множители Из теоремы Виета следует очень важное утверждение: теорема о разложении квадратного трехчлена на множители. ТЕОРЕМА Если квадратное уравнение ах + Ьх + с = 0 имеет действительные корни xt и х2, то квадратный трехчлен ах + Ьх + с раскладывается на множители следующим образом: > 2 аре +Ъх + с = а(* - JCjHx - *2)« Пример 1. Разложить на множители квад- 2 ратный трехчлен р(х) = 2х + Ьх - 3. Решение. Вычислим дискриминант квадрат- 2 ного уравнения 2х + 5л: - 3 = 0 и решим его. Корни хг = -3 и х2 = о • Следовательно, р(х) — 2(л: + 3)( х - = )• Зя — 5л: — 2 Пример 2. Сократить дробь: —= . х + 2х - 8 Решение. Разложим на множители трехчлены, стоящие в числителе и в знаменателе: Зх2 - Ьх - 2 - в(х + g )(* ~ 2), *2 + 2л: - 8 = (х + 4) (я - 2). Следовательно, дробь примет вид з(* + 1){х"2) (х + 4)(х - 2) ' Сокращая на один и тот же сомножитель (л: - 2) в числителе и в знаменателе, окончательно получим 3(* + 1)*-2) 8* + 1 (л: + 4)(л: - 2) х + 4 " Заметим, что сокращение можно производить только в случае, когда х - 2 * 0. Если же л: - 2 = = 0, то исходная дробь не имеет смысла и сократить числитель и знаменатель на х - 2 нельзя. Специальные типы рациональных уравнений и методы их решения 1. Метод введения новой переменной Пример 1. Решить уравнение: (х2 - 7х + 13)2 - (л: - 3)(л: - 4) = 1. Решение. Перемножив две последние скобки данного уравнения, заметим, что полученный результат (л: - 7х + 12) лишь на 1 отличается от выражения в первой скобке.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 53 Введем новую переменную t = х - 7х + 12; тогда х2 - 7х + 13 = t + 1. Имеем: (t + I)2 - t = 1 <=» t2 + t = 0 <=» t(t + 1) = О, откуда f = 0 или t = -1. Приходим к совокупности двух уравнений. Напомним, что совокупность обозначается квадратными скобками: они означают, что выполняется одно из уравнений (условий), стоящих внутри этих скобок. Итак, 2 [V-7*+12 = 0, ^[^ = 3, L*2-7* + 12 = -l; L* = 4. Ответ: 3; 4. Пример 2. Решить уравнение *(х+1)(*-1)(* + 2) = 24. Решение. Рассмотрев отдельно произведения *(* + 1) и (х - 1)(х + 2), получим х(х + 1) = х2 + х, (х- 1)(х + 2) - х2 + х- 2. Заметим, что в этих выражениях есть одинаковая сумма х + х. Выбрав ее в качестве нового неизвестного, получаем достаточно простое квадратное уравнение. Еще удобнее выбрать следующее неизвест- 2 ное: t = х + х - 1, тогда х2 + х = * + 1, x2 + x-2 = f- 1. Исходное уравнение принимает вид (* + 1)(* - 1) - 24, Г = 25 откуда получаем совокупность л: +*- 1 = 5, У + х-1=-5; L* = -5, ость Г* = 2, |_* = -3. 2. Симметрическое уравнение Рассмотрим преобразование, на которое будем в дальнейшем неоднократно ссылаться. / 1\2 2 11 Пример 1. I * + ; 1 =*+2л:*-+-2 = = х2 + 2 + ^ . откуда '+?-(*+$-*■ (*) или / 1\2 2 1 Пример 2.\х — I = х — 2 Н—g , Пример 3. х + ~~i= [х + 2\ ""2 = (**Ч (***\ Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида 3 2 ах +Ъх +&х + а = 0, а*0. Заметим, что ах3 + &л: + Ъх + а = (х + \)(ах + (& - а)л: + а), следовательно, решение этого уравнения равносильно совокупности Гх + 1 = 0, L ах + (Ь - а)л: + а = 0. Пример 4. Решить уравнение х3 + 6х2 + 6* + 1 = 0. Решение. Имеем: з 2 Гл: +1 = 0, я +6x+6x+l = 0 <=> 2 <=> L* +5*+1 =0; *--1, -5 + л/21 л: = х = -5 - 721 (1) (2) Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений: ах +Ьх -Ьсх + Ъх + а = 0, ах* + Ъх + сх2-Ьл: + а = 0, где а * 0. Число лг = 0 не является корнем этих уравнений. Разделим каждое из них на одну и ту же величину х . После приведения подобных членов получим: а(х>+±)+ь(х-1)+с = 0.
54 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Для решения первого их этих уравнений вве- , 1 дем новую переменную у = х + - , а для решения второго — переменную г = х 1 Воспользовавшись соотношениями (*) и (**), имеем а{у2-2) + Ъу + с = 0 и a(z2 + 2) + 6z + c = 0, т. е. получены обыкновенные квадратные уравнения. Пример 5. Решить уравнение 3x4-8x3- |х2-8л: + 3 = 0. Решение. Это симметрическое уравнение чет- 2 вертой степени. Разделив все его члены нал: и сгруппировав первый член с последним, второй с предпоследним, получим уравнение •е* ?)-(*♦ §)-!-•■ Обозначим t = х + - и воспользуемся преобразованием (*): 3(*2 - 2) - 8* - | - 0 <=> 9t2 - 24* - 20 = 0. Корни этого уравнения t = -g- и t = - = . Следовательно, имеем совокупность двух уравнений х+ - = -5-; х 3 х = 3, *-8" Первое уравнение совокупности решений не имеет. 3. Некоторые специальные типы рациональных уравнений I. Уравнения вида (х - а){х - Ь)(х - с)(х - d) = А. Если a 4- & = с + d, то это уравнение сводится к квадратному. Для этого нужно перемножить первую пару скобок, затем вторую пару и ввести 2 новую переменную t = х - (а + &)х. И. Уравнения вида (ах2 + Ьх + с)(алг2 + d.r + с) = Ах2. 2 Разделив обе части этого уравнения на х , получим (ах + Ь+ ^) [ах + d + £) = А. Вводя новую переменную £ = ах + - , сведем уравнение к квадратному. 4 4 III. Уравнения вида (х- а) + (х - Ь) = А. Эти уравнения сводятся к биквадратным заменой t = х о— . Выполнив указанную замену и раскрыв скобки, т. е. возведя каждую скобку в четвертую степень, видим, что перед членами с нечетными степенями стоят одинаковые по величине, но противоположные по знаку коэффициенты. Последний пример есть элемент более общего метода решений уравнений — метода симметризации. ФУНКЦИИ Определение функции 1. Постоянные и переменные величины Примеры постоянных величин. 1. Количество граммов в килограмме есть величина постоянная, равная 1000. 2. Количество миллиметров в сантиметре есть величина постоянная, равная 10. 3. Сумма внутренних углов треугольника есть величина постоянная, равная 180°, для любого треугольника. 4. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная для любой окружности, равная -3,14. (Гипотезу о постоянстве этого отношения высказал Пифагор, в его честь это число обозначают греческой буквой я.) 5. Количество молекул в 1 моле вещества есть 23 число постоянное, равное 6,02 • 10 . Оно называется число Авогадро и обозначается NA. Примеры переменных величин. 1. Сила, действующая на пружину, изменяется прямо пропорционально растяжению пружины. 2. Время, затраченное на прохождение данного расстояния, обратно пропорционально скорости движения. 3. При постоянной температуре давление газа на стенки сосуда обратно пропорционально занимаемому газом объему. 2. Определение функции Две переменные величины х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому
Краткое значению, которое может принимать переменная *, соответствует одно и только одно значение переменной у. Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная у — зависимой переменной или функцией. Пример 1. г = 5, где а — сторона квадрата (независимая переменная), г — радиус вписанной в квадрат окружности (зависимая переменная). 2 Пример 2. s = gt /2, где t — время свободного падения тела, имеющего начальную нулевую скорость (независимая переменная), s — путь, пройденный свободно падающим телом (зависимая переменная), g — постоянная величина — ускорение свободного падения. Пример 3. v = s/t, где t — время движения (независимая переменная), v — скорость движения (зависимая переменная). Наиболее распространенные обозначения функциональной зависимости переменной у от переменной х таковы: у = f(x) или у = и(х). Если задано конкретное значение независимой переменной х = х0, то у0 = f(x0) называют значением функции / в точке х0. х Пример 4. у = f(x) = г . *ов1»0овЛ*о)в 5 =0,2, 2 Пример 5. 2 = z(t) = -т ; t0 = 2; z0 = z(*0) = -1. 3. Область определения и область значений функции Областью определения функции f(x) называется множество всех действительных значений независимой переменной х, при которых функция определена (имеет смысл). Обозначение: D(f) (англ. define — определять). Пример 1. Функция f(x) = ——г определена для всех действительных значений х9 удовлетворяющих условию л:+1*0,т.е.л:*-1. Поэтому W)-(-°o;-l)U(-l;oo). школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 2 Пример 2. Функция s(t) = gt /2 определена для всех действительных значений. Однако если рассматривать ее как физическую зависимость пути (s) от времени (t) свободного падения тела, то, учитывая физический смысл, функция s будет определена только для t > 0, т. е. D(s) = = [0; оо). Пример 3. Функция f(x) = Jx - 2,5 определена для всех действительных значений х> удовлетворяющих условию х - 2,5 > 0, так как арифметический квадратный корень определен лишь для неотрицательных чисел, поэтому D(f) = = [2,5;оо). Областью значений функции у = f(x) называется множество всех действительных значений, которые принимает зависимая переменная у. Обозначение: E(f) (англ. exist — существовать). 2 2 Пример 4. у = х — 2jc •+- 10; так как х - 2х 4- 2 2 4-10 = х - 2х 4- 1 4- 9 = (х - 1) 4- 9, то наименьшее значение переменной у = 9 при х = 1, поэтому Е(у) = [9; оо). Пример 5. у = ^2,5 - л: ; так как 2,5 - л: > 0, то наименьшее значение функции i/ = 0 при лг = = 2,5. Тогда Е(у) = [0;оо). 2 Пример 6. у = -х 4-11. Поскольку при лю- 2 2 бом действительном значении х > 0, то -х 4- 4-11 < 11, откуда наибольшее значение переменной у = 11, поэтому £(i/) = (-°°; 11]. Способы задания функции Функциональная зависимость задана, если заданы область определения и правило, устанавливающее, какое число у ставится в соответствие числу х, принадлежащему области определения функции. 1. Аналитический способ задания функции Функция задается формулой, позволяющей получить значение зависимой переменной (z/), подставив конкретное числовое значение аргумента (х). Пример 1. Зависимость площади круга от длины его радиуса выражается формулой: S = = пг . Согласно геометрическому смыслу задачи
56 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы D(S) = [0; оо). Переменная S может принимать любые неотрицательные значения, значит, Я(5) = [0;оо). Пример 2. у = х - Ьх + 6; D(y) = (-оо; оо), Е(у) - [-0,25; оо), так как х - Ьх + 6 = (х - 2,5)2 - - 0,25 > -0,25 при любом х € D(y). Пример З.у = -Зх2 + 17* - 10; D(i/) - (-оо; оо), Е(у) = (-со; 14-^1, так как -Зх2 + 17* - 10 = / 17Л2 1 1 = -3( дг- -g-J +14j2 < 14^2 при любом л: еДу). Пример 4.у= 4х - 3 ; D(i/) = [3; оо), так как л/jc - 3 имеет смысл при jc - 3 > 0, т. е. л: > 3, £(у) = [0; оо) при любом значении jc е D(i/). 2 Пример 5. у= х + 5 U (-5; оо), так как дробь ли х + 5 Ф 0, т. е. х * -5 при любом х е D(y). Так 2 ; DO/) = (-<*>;-5) и 2 имеет смысл, ес- как дробь может принимать любые значе- f х, пр I -л: ,: л: + 5 ния, кроме 0, то Е(у) = (-оо; 0) U (0; оо). Пример 6. при х>0, при х < 0. ЭД - (-°°; °°). ВД - (-°°; °°). Пример 7. {х2, если л: € (-оо; 3], 12 - х, если х € (3; 6], -х2 + 12* - 30, если х € (6; оо). D(y) = (-со; оо); Е(у) - (-оо; оо) (См. рис. 5 на с. 57). Пример 8*. у = J2x - 1 + Vl - 2л:. Поскольку квадратный корень имеет смысл только для неотрицательных чисел, то область определения данной функции D(y) является решением системы неравенств: 1 2х - 1 > 0, 1 - 2х > 0; Д(У) -ш- <=> х = 2' значит, Область значений Е(у) - {0}, так как у Г^1 = 0. гт лФ (** - 5х + 6)(х + 2) Q Пример 9*. у = 5 " " • Задан- (х2 - 4)(х - 3) ная функция определена при любых значениях переменной х, кроме обращающих знаменатель в нуль, т. е. х2-4*0их-3*0. Таким образом D(y) - (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; 3) U (3; оо). Преобразуем выражение, задающее функцию: (х2 - Ьх + 6)(* + 2) = (х - 2)(х - 3)(дс 4- 2) = j (х2 - 4)(х - 3) (* " 2)(* + 2){х - 3) при любом х е D(y)9 т. е. Е(у) = {1} при любом х € D(y). (График этой функции изображен на рис. 6.) 2. Табличный способ задания функции При этом способе задания функции заполняется таблица, в верхней строке которой указываются значения независимой переменной (х), в нижней — соответствующие значения зависимой переменной (у). Этот способ задания функциональной зависимости удобен для записи результатов наблюдений и измерений в процессе опытов. Пример 1. Измерение температуры (Т) тела больного в зависимости от времени: Т = f(t). Время суток *,ч Температура тела Т9 °С 8 39,3 12 38,3 14 37,8 16 37,8 20 38,6 24 37,0 Пример 2. Зависимость скорости распространения сейсмических волн в толще земной коры от глубины: v = /(А). Глубина Л, км Скорость волн v9 км/с 20 3,2 45 3,5 1300 6,9 2400 7,5 Таблицы значений чаще составляют для построения графиков функций, заданных формулами. При этом для нескольких, произвольно выбранных, значений независимой переменной вычисляют соответствующие значения зависимой переменной.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 57 Например, график функции из примера 1 состоит из шести точек (рис. 1). Пример 3. у = X 2 У = х -2 4 = х . -1 1 0 0 1 1 2 4 На основании данных таблицы строится график функции ( рис. 2). Пример 4.у= л/2 ~ х. X у- J2 - х 2 0 1 1 0 Л -1 7з -2 2 -7 3 -9 Л! График функции на рисунке 3. 3. Графический способ задания функции Пример 1. График изменения напряжения аккумулятора при заряде и при разряде (рис. 4). Пример 2. График функциональной зависимости, заданной формулой У = \ х , если хе (-оо; 3]; 12 - х9 еслихе (3; 6]; 2 [ -х + 12* - 30, если х € (6; оо) (рис. 5). Пример 3. График функциональной зависимости, заданной формулой _,_(*2 - 5х + 6)(* + 2) У о » (хл - 4)(ж - 3) ЩУ) = (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; 3) U (3; оо), Е(у) — Ш при любом х е D{y) (рис. 6). 7\°С| 39- 38- 37- i г -t I 1 1 : ,_ _^ ^ ., - 1 1 1 1 1 III 1 1 1 1 1 1 1 1 1 т 1 1 1 1—1— 1 1—ь- —^- 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t, ч Рис. 1 У=12-* 3<*<6 у, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 !_ ■ 1 ^ X Рис.3 *>6 Рис. 2 1 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 i —i—i—i—i—i—i—i—i—»- 0,51 1,5 22,5 3 3,5 4 *, ч Рис.4 yi 1 ? 1 1 Д 1 -2 -1 0 i i 1 9 1 i 6 2 ? 1 i 5 3 X Рис. 5 Рис. 6
58 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Отметим, что графический способ задания функции отличается наглядностью, он удобен при изучении свойств функции. Свойства функций 1. Промежутки знакопостоянства Если функция f(x) > 0 или f(x) < 0 при любом значении аргумента х е (а; Ь), то говорят, что функция у = f(x) на числовом интервале (а; Ь) не меняет знак. Интервал (а; Ь) С D(f) называют интервалом знакопостоянства функции f(x). Пример 1, f(x) = х , f(x) > 0, если х > 0; fix) < 0, если х < 0 (рис. 7). Точка х = 0 является точкой изменения знака функции, т. е. при переходе графика функции через эту точку значения функции меняют знак на противоположный. Пример 2. Значения функции у = х + 2 положительны при любом х (рис. 8), т. е. интервал знакопостоянства функции: (-°о; оо). 2. Монотонная функция Функция у = f(x) называется возрастающей на числовом интервале (а; Ь) С D(f), если для любых хг и х2 таких, что а < хх < х2 < Ь, выполняется неравенство /(jcx) < f(x2), т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция у = f(x) называется убывающей на числовом интервале (а; Ь) С D(f), если для любых хг и х2 таких, что а < хг < х2 < Ь9 выполняется неравенство f(xx) > f(x2), т. е. меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если значения функции связаны нестрогим неравенством, то говорят, что функция нестрого возрастает, или, соответственно, нестрого убывает. Возрастающая (убывающая) на интервале (а; Ь) функция f(x) называется монотонной на интервале (а; Ь) С D(f). Функция, график которой изображен на рисунке 9, убывает на [-4; 2], постоянна на [2; 4] и возрастает на [4; 9]. 3. Четная и нечетная функции Функция у = f(x) называется четной, если для любого х е D(y) выполняется равенство f(-x) = f(x), при этом -х € D(y). Ось ординат является осью симметрии графика четной функции (рис. 10). Функция у = f(x) называется нечетной, если для любого х е D(y) выполняется равенство f(-x) = ~f(x), при этом -х е D(y). Начало координат является центром симметрии графика нечетной функции (рис. 11). у< 1 , , .о Г 1 :) / 1 \" 3 = х х Ук 1/'"'' 1L ——' ■■ 0 1 х Рис. 7 Рис.8 », Г' ' Л-*)- J -/(*) X Рис. 11
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 59 4*. Точки минимума и максимума функции Пусть функция у = f(x) определена во всех точках интервала (а; Ь) и х0 е (а; Ь). Если для всех точек х е (а; 6), таких что х * х09 выполняется неравенство f(x) < f(x0)9 то х0 называется точкой максимума функции у = f(x)9 значение у0 = f(x0) называется максимумом функции у = f(x). Обозначение: i/max. Если же выполняется неравенство f(x) > f(x0)9 то х0 называется точкой минимума функции у — f{x)9 значение yQ = f(x0) называется минимумом функции у = f(x). Обозначение: ymin. Пример. Точки х09 х2, хъ являются точками максимума функции, график которой изображен на рисунке 12; точки xv лгб — точками минимума. Любая точка отрезка [х3\ х4], согласно определению, является точкой нестрогого минимума, так как заданная функция постоянна при любом х е [х3; *4]. Простейшие преобразования графиков Пусть задан график функции у = f(x). Покажем, как с помощью графических преобразований можно с его помощью получить график функции у = а • f(kx + I) + Ь, где а, k9l9b — постоянные числа. 1. График функции у = f(kx) График функции у = f(kx)9 где k > О, получается из графика функции у = f(x) сжатием к оси Оу в k раз при k > 1 или растяжением от оси Оувт раз при 0 < k < 1 (рис. 13). График функции у = f(-kx)9 где k > О, получается из графика функции у = f(kx) при помощи осевой симметрии относительно оси Оу (рис. 14). 2. График функции у = f(x + I) График функции у = f(x + Z) получается из графика у = f(x) параллельным переносом вдоль оси Ох. Если I > О, то график у = /(я) переносится влево параллельно оси Ох на расстояние 19 если Z < 0, то вправо на расстояние -I (рис. 15). 3. График функции у = а • /(*) График функции у = a* f(x)9 где а > 0, получается из графика функции i/ = f(x) растяжени- Рис. 12 У y = f(-kx) *k y = f(kx) yi 0 ~ / Л /л, Л^^чА уЧ Л л Рис. 13 У-Л*" 4) Рис. 14 Рис. 15
60 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы ем от оси Ох в а раз при а > 1 (рис. 16) и сжатием к оси Ох в - раз при 0 < а < 1 (рис. 17). График функции у = ~-а* f(x), а > О, получается из графика функции у = а • f(x) осевой симметрией относительно оси Ох (рис. 17). 4. График функции у = f(x) + Ь График функции у = f(x) + Ь получается из графика функции у = /(я) параллельным переносом вдоль оси Оу. Если Ь > О, то график i/ = Длг) переносится вверх вдоль оси Оу на расстояние Ь, если & < О, то вниз на расстояние -Ь (рис. 18). 5. График функции у = a/(fc* + I) + Ь Итак, график функции у = а* f(kx + l) + b9 где a, ft > 0, получается из графика у = /(*) с помощью следующих преобразований: — сжатием к оси Оу в ft раз (ft > 1) или растяжением от оси Оувт раз (0 < ft < 1), — параллельным переносом вдоль оси Ох на I единиц, — растяжением от оси Ох в а раз (а > 1) или сжатием к оси Ох в - раз (0 < а < 1), — Параллельным переносом вдоль оси Оу на Ьединиц. Элементарные функции школьного курса 1. Прямая пропорциональность (у = kx) Функция, задаваемая формулой у = kxf где х — переменная, ft — число, называется прямой пропорциональностью. Число ft называется коэффициентом пропорциональности. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат под углом а к оси абсцисс (в курсе тригонометрии X класса доказывают, что tg a — ft). Коэффициент ft называют также угловым коэффициентом прямой. D(y) = (~°°; °°); если ft * 0, то Е(у) = (-оо; оо). Пример 1. у = 2х (рис. 19). X У 0 0 1 2 Для построения прямой линии достаточно знать координаты двух любых ее точек. Так как график прямой пропорциональности проходит через начало координат, значит, нужна еще одна точка. При ft > 0 функция у — kx возрастает на всей области определения, при ft < 0 — убывает. Интервалы знакопостоянства: если х е (-°°; 0), то у < О, если х е (0; оо), то у > 0. Поскольку у(-х) = ft • (~jc) = -kx = -у(х), то у = kx — функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Пример 2.y = --zx (рис. 20). х ° у1 0 у /I ' V = 2f(x) А . \ * \у = /(*) У = fix) + 5 Рис. 16 Рис. 17 У = fix) y = fix)-3 Рис. 18 У| 2 1 /1 / i Г 1 01 'у- 2* л Рис. 19
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 6i 2. Линейная функция (у = kx + I) Функция, заданная формулой у = kx + I, где ft, I — числа, х и у — переменные, называется линейной. График линейной функции — прямая линия, D(y) = (-оо; со), Е(у) = (-со; оо). Прямая у = kx + I пересекает ось ординат в точке (0; I) и ось абсцисс в точке (-г ; 0). Число k — угловой коэффициент прямой. Пример 1. Дано уравнение -2л: + Зу = 6. Выразим переменную у через х. Имеем линейную 2 2 функцию: у = 5 х + 2 (ft = о »* = 2). X У 0 2 -3 0 Интервалы знакопостоянства: если х е (-оо; -3), то у < О, если л: е (-3; со), то у > 0. 2 2 Так как k = 5 > 0, то функция i/ = 5 * + 2 возрастает на всей области определения (рис. 21). 2 11 Пример 2. ^х + 4у=1; У = "хОл:"Н4 (»~и"-П лс У 0 1 4 41 0 Интервалы знакопостоянства: если х е [ -оо; 2 ^ L то у > О, если х е (2 ^ ; °°), то у < 0. Так как k = -т^ < 0, то функция у = —tq х + I убывает на всей области определения (рис. 22). Замечание 1. Функция прямая пропорциональность у = kx является частным случаем функции y = kx + l (при I = 0). Замечание 2. Графиком линейной функции у = J (ft = 0, х е (-со; оо)) является прямая, параллельная оси абсцисс, пересекающая ось ординат в точке (0; I). Пример 3.у = -2 (рис. 23). Замечание 3. Графиком уравнения х — а является прямая, параллельная оси Оу, пересекающая ось абсцисс в точке (а; 0). Подчеркнем, что уравнение х = а не является функцией, поскольку нарушается условие однозначности при определении функции — каждому значению х должно соответствовать единственное значение у. Пример 4. х = 5 (рис. 24). У[ v. 1 0 i 1 i у - 1 "2Х X Рис. 20 У\ 0 -1 -2 1 i 1 X у = -2 * е Л Рис. 21 »* *1 1 _,_ 1 У - "ТО* + 4 0 1 -1 12 3 х * = 5 1/6 Д Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24
62 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 3. Обратная пропорциональность (у = - J k Функция, заданная формулой у = - , где k — некоторое постоянное число (k Ф 0), называется обратной пропорциональностью, Щу) = (-°°; 0) и (0; °°)> так как х Ф 0. Е(У) = (-°°; 0) U (0; °°), так как у Ф 0 (уравнение 0 = - не имеет решения). График функции у = - не пересекает осей координат. Этот график называется гиперболой; части графика — ветвями гиперболы. k Функция у = - при k > 0 убывает при х е (-оо; 0) и при х е (0; оо), Интервалы знакопостоянстга: если х е к1); *">), то у > 0, если х е (-оо; 0), то у < 0. Так как у(-х) = — = -- = -у(*), то функция у = нечетная. График симметричен относительно начала координат и расположен в I и III координатных четвертях. Пример 1.у = - (рис. 25). fe<0 ft При k < 0 функция I/ = - возрастает при х е (-оо; 0) и при X g (0; оо). Интервалы знакопостоянства: если х е (-°°; 0), то у > 0; если х е (0; оо), То у < 0. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат и расположен во II и IV координатных четвертях. Пример 2. у = -- (рис. 26). X У -6 1 2 -3 1 -1 3 1 2 6 1 2 -6 1 -3 3 -1 6 1 2 X У -5 -1 -2,5 -2 -2 -2,5 -1 -5 1 5 2 2,5 2,5 2 5 1 Замечание. Отметим, что грубой ошибкой является утверждение, что функция у = -- является возрастающей на всей области определения, т. е. у возрастает при х е (-°°; 0) и (0; оо), например, при хг = - 3 и при х2 = 3 х2 > xv однако, у(х2) < у(хх)> так как у(хг) = 1, а у(х2) = -1. 4. Квадратичная функция (у = ах + Ьх + с) 2 Функция, заданная формулой у = ах + Ьл: + + с, где а, 6, с — числа и а * 0, называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой. D(y) = (-о°; °о). _j i i i 1_ Рис. 25 Рис. 26
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 63 Функция у = х (а = 1, Ь = с = 0) Составим таблицу значений и построим график функции (рис. 27). X 2 у = х -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Ду) = (-°°;00); 2 Е(у) = [0; оо), так как х > 0 при любом действительном значении лг; функция I/ = # убывает при х е (-°о; 0] и возрастает при х е [0; °°); 2 график функции у = х симметричен относительно оси ординат, так как у(-х) = (-х) = х = 2 = у(х), т. е. у = х — четная функция; наименьшее значение функции у = х равно нулю при х = 0. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Функция у = ах (Ь = с = 0) D(y) = (-оо; оо). 1)а>0 Е(У) = [0; °°)t так как * ^ 0 ПРИ любом х € D(i/); 2 график функции у = ах получается из графика функции у = х сжатием к оси Ох> если О < а < 1, или растяжением от оси Ох9 если а > 1; 2 функция у = ах убывает при х е (-оо; 0] и возрастает при л: е [0; оо); наименьшее значение у(0) = 0 достигается в вершине параболы — точке (0; 0); при а > 0 ветви параболы направлены вверх, ось Оу является осью симметрии параболы (рис. 28). 2)а<0 ВД = (-°°;0]; 2 график функции у = ах , где а < 0, получается из графика функции у = |а|х осевой симметрией относительно оси Ох (рис. 28); ветви параболы при а < 0 направлены вниз; функция возрастает при х е (-оо; 0], функция убывает при х е [0; оо). 2 График функции у - ах + Ьх + с Графиком любой квадратичной функции у = 2 = ах + foe 4- с, а * 0, является парабола с вершиной в некоторой точке (х0; у0) и осью симметрии, проходящей через точку х0 параллельно оси Оу (рис. 29). Вычислим координаты вершины параболы. Для этого преобразуем многочлен ах + Ьх + с, выделив полный квадрат: L2 Л t2 /2,ЬЧ1 f 2 ^ п Ь , & 1 Ь а(х +-х) + с-а\х + 2н~лН о "" т~ v а I 2а 4fl2j 4а = a(*+-^J +—la" =a(*+2^J + 4а"> где D = & - 4ас. (Число D называют дискрими- 2 нантом квадратного трехчлена ах + &;е + с.) 2 Тогда график функции у = ах +Ъх + с получается из графика у = ах параллельным пере- у-2*1 -3-2-10 12 3* Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29
64 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы носом вдоль оси Ох на -«- единиц, вдоль оси Оу D на-т- единиц. 2 Следовательно, вершина параболы у = ах + + Ьх + с задается координатами х0 = -5-»#о = = - j- . Осью симметрии параболы является пря- мая х = х0, т. е. х = -х- » параллельная оси Оу. При а < 0 ветви параболы направлены вниз и значение у = у0 является наибольшим значением функции, т. е. Е(у) = (-оо; у0]; при а > 0 ветви параболы направлены вверх и значение у = у0 является наименьшим значением функции, т. е. Е(у) = [у0; со). 2 Если D — b - 4ас < 0, то парабола не пересекает ось абсцисс, если D = 0, то парабола касается оси Ох в вершине (л:0; 0), если D > 0, то парабола пересекает ось Ох в точках (хх; 0) и (х2; 0)» -Ь - л/D -Ь + л/D где*!- 2fl их2= 2g . Парабола пересекает ось Оу в точке с координатами (0; с). Пример 1. Построить график функции • у = 8х2-2х-1. Решение, а = 8 > 0 (ветви параболы направлены вверх), Ъ = -2, с = -1; D = Ь2 - 4ас = (-2)2 - 4 • 8 • (-1) - 36 > 0 (парабола пересекает ось Ох в двух точках); Ь 1 D вершина параболы х0 = -х- = r ♦ ^о = ""Т~ = = -1 £; ось симметрии параболы — прямая 1 3) у = 0 при хх = - j или х2 = g ; 4) у > 0, если я е (-со; - j ) U (g ; оо); i/<0, если л: е (-^ ; g); 5) функция убывает при л: е (-со; -19 возрастает при лее Г о; °° )• Пример 2. Построить график функции у = -2х2 + Зх - 5. Решение, а = -2 < 0 (ветви параболы направлены вниз), Ь = 3, с = -5; D = Ь2 - 4ас - З2 - 4-(-2)-(-5) - -31 < 0, значит, парабола не пересекает оси Ох; * Ь 3 D вершина параболы: *о = ~~<Г* = 4 • ^° = ~~4~ = 7 3 = -3 g ; ось симметрии параболы — прямая х = т ; точка пересечения параболы с осью Oi/ — (0; -5). Строим график (рис. 31). 2 Исследование функции у = -2х + Зл: - 5 по графику: l)D(l/) = (-00;00); / 7т 7 2) #(i/) = [-со; -3g|, так как у0 = -3g ; 3) интервалы знакопостоянства: если х е (-°°; °°), то у < 0; 4) функция возрастает при х е (-оо; -1, убывает при jc е Г т ; со J. X = 8' точки пересечения с осью Ох (хг; 0) и (лг2; 0), поскольку D > 0, xlf 2 = 1 -b±jD = 2_±6 2а 16 ; *i - 4; *2 * 2 • точка пересечения с осью Оу (0; -1). Учитывая все вышесказанное, строим график (рис. 30). Исследование функции по графику: l)D(l/) = (-00;00); 2) Е(у) = Г-lg ; со^ так как у0 = -lg ; у - -2* + 3* - 5 Рис. 30 Рис. 31
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 65 Замечание. По графику квадратичной функции можно решать заданное квадратичное неравенство, определяя интервалы знакопостоянства. Например, неравенство ~-2х + Зл: - 5 > О не имеет решения, т. к. при любом х е D(y) у < 0. 2 Неравенство 8* - 2х - 1 < 0 имеет решение — отрезок Г-j ; ~ 1 (рис. 30). 5. Степенная функция (у = хр) Функция, заданная формулой у = х* называется степенной функцией. 1) р = 1 (рис. 32). 2) р — натуральное, четное, р = 2д (п е N) D(y) = (-ОО; ОО); Е(у) = [0; ОО); если х е D(y), тоу>0; функция убывает при х е (-°°; 0] и возрастает при х е [0; оо); функция четная, так как у(-х) = (-х) п = х п = график симметричен относительно оси Оу (рис. 33). 2 Частный случай: у = х. 3) р — натуральное, нечетное, р = 2п + 1 (л € ЛГ) D(y) = (-ОО; ОО); Е(у) = (-ОО; ОО); если х е (-°°; 0), то у < 0; если jc е (0; оо), то У > 0; функция возрастает на всей области определения; функция нечетная, так как у(-х) = = ~У(х)\ график симметричен относительно начала координат (рис. 34). Частный случай: у = х. 4) р — целое, отрицательное, нечетное Пусть р = -п (п е N). Тогда по определению степени с отрицательным показателем имеем: -п 1 У -* --. D(y) = (-оо; 0) U (0; оо); Е(у) = (-оо; 0) U (0; оо); при х е (-оо; 0) у < 0; при х <= (0; оо) у > 0; функция убывает при х е (-оо; 0) и при х е е (0; оо); функция нечетная. График — гипербола, симметричная относительно начала координат, расположенная в I и III координатных четвертях (рис. 35). 5) р — целое, отрицательное, четное Пустьр = -п(пе N)y = х~п = — , D(y) = (-°o;0)U(0;oo); Е(у) = (0; оо); у > 0 при любом х е D(y), функция возрастает при х е (-оо; 0), убывает при х е (0; оо); функция четная; график — гипербола, симметричная относительно оси Оу (рис. 36). 6) р — дробное, положительное Из определения степени с дробным показателем следует, что степенная функция определена при х > 0, еслир > 0 и при х > 0 еслир < 0. Рис. 32 -и 1 у = Х = - X (Р - 2д) Рис. 33 и = х = — 9 п Рис. 34 I, п — четно Рис. 35 Ы019
66 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 1.р= § » У = х = Jx . Щу) = [0; оо); Я(У) = [0; оо); У(0) = 0; у > 0 при л: € (0; оо); функция возрастает при х е [0; оо); график — ветвь параболы (рис. 37). 1 Пример 2.р= о » У = х = 3Jx. Z)(i/) = [0; оо), Я(у) = [0; оо); У(О) = 0; у > 0 при л: е (0; оо), функция возрастает при х е [0; оо); график — ветвь параболы (рис. 38). 7)р = 0 о - у — х = 1 определена для всех значении х, кроме х = 0 (выражение 0 — не имеет смысла). D(y) = (-оо; 0) U (0; оо); Е(у) = {1} (рис. 39). 6*. Дробно-линейная функция (у = ——-1 Функция, заданная формулой у = — , где сх + а a, b9c9d — некоторые числа, причем с * 0, называется дробно-линейной функцией. Дробно-линейная функция определена для d всех действительных значении лг, кроме х = -- . Преобразуем выражение, задающее функцию: ( ^d\ ^ и ad а\х + -\ + Ъ + Ь \ с) с Рассмотрим случай, когда be - ad = 0, тогда получим функцию у = - , определенную для любого х9 кроме х = -- . Если be - ad * 0, график дробно-линейной функции можно получить из графика функции k , be - ad у = - , где k = 5— параллельным переносом * с вдоль оси Ох на — единиц, вдоль оси Оу на - единиц, т. е. графиком дробно-рациональной функции является гипербола. Пример 1. Построить график функции х - 1 У = (a-c-l,6--l,d-8). х + 3 Решение. Преобразуем дробь х - 1 = (х + 3) - 4 = « л: + 3 х + 3 л + 3 Построим гиперболу у = --, затем параллельным переносом вдоль Ох на -3 единицы и вдоль Оу на 1 получим график заданной функции (рис. 40). D(y) = (-оо; -3) U (-3; оо), так как дробь х - 1 х + 3 имеет смысл при х * -3. Е(У) = ("°°; 1) и (1; °°)t так как —— * 0 при X "г о любом X € D(i/), i/ = 0, если 1 - ; = 0; отсюда х + 3 = 4; х = 1, */ = с* + d Ьс - ad {- ♦ S) = ?+^ л: + л + 3 т. е. гипербола пересекает ось Ох в точке (1; 0); интервалы знакопостоянства: если х е (-оо; -3) U (1; оо), то у > 0, если х е (-3; 1), то у < 0; функция возрастает, если jc е (-°°; -3) и если х е (-3; оо); 2 1 0 1 1 у - * - V* ' i i 1 4 л 2 i 0 1 1 1 i 8 лс у, 1 < 0 1 У-1 i 1 л: Рис. 37 Рис. 38 Рис. 39
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 67 гипербола пересекает ось Оу в точке [ 0; -= 1. 1остроить график функции (а = 3,6 = l,c = 2,d = -5). 3)у = Пример 2. Построить график функции 3* + 1 У = 2х - 5 х + Jx + 3 Решение. у(1) = 1 при л: = 1. 1 1 3* Решение. Преобразуем дробь Зх + 1 2* - 5 2* + 2 2 \( Ъ\ 17 >1* " 2) + Т л - 2+ .1- * - 2н Построим гиперболу у = —, затем параллельным переносом вдоль оси Ох на 2 « единиц и вдоль оси Оу на 15 » получим график (рис. 41) заданной функции. Задачи, связанные с понятием функции Пример 1. Найти значение функции в заданной точке. 2 1) У(х) = Зх - х при х = 1. Решение. у(\) = 3 • 1 - I2 = 2. Ответ: у{\) = 2. 2) I/ = *]х -5 при л: = 3. Решение. у(3) = л/32 - 5 = Vi = 2. Ответ: № = 2. 1 + JTT~3 1 + 2 Ответ: i/(l)= g. Пример 2. При каких значениях независимой переменной х данная функция принимает данное значение? 1)р- -2* + 5; у = -3. Решение. -3 = -2л: + 5 <=> -2х = -3 - 5 <=> х = 4. 2) I/ = я2 - Зх; i/ = -2. Решение. -2 = х2 - Зх <=> х2 - Зх + 2 = 0 <=> |_х = 2. Данная функция принимает значение -2 при двух значениях: х = 1 и х = 2. 3)i/= Vl7 + х; i/ = 5. Решение. 5 = л/17 + х =>52 = 17 + х=>х = = 52 -17 = 8. 32 4)i/ = х + 1 , i/ = 4. 32 28 Решение.4 = <=>4х + 4 = 32<=»х=-г-=7. х + 1 4 Заметим, что ответ на последние вопросы сводится к решению соответствующих уравнений. Пример 3. Принадлежит ли графику данной функции точка с указанными координатами? !)?-*+л/5; М(4;6). 2х - 5 Рис. 40 Рис. 41
68 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Решение. Найдем у(4) = 4 + Vi = 6 «=> М(4; 6) принадлежит графику данной функции. 1) t(x) = х + 2)»-пгЦ:5 Mf1;i)' л: + Jx v *у Решение. Найдем у(1) = 1 1 4* + 13 Решение. Нули функции определяются равенством £(л:) = 0, т. е. _,_ 3 Л 4*2 + 13* + 3 Л л: + —■—— =0 <=> — =0 <=> 12 + Л 1 + 1 2' Так как g * j, то точка М не принадлежит графику данной функции. о Пример 4. Дана функция /(х) = 2х - 8. Найти /(1 + Л) + /а - Л). Решение. Имеем: /(1 + Л) = 2 • (1 + Л )2 - 8 = 2(1 + 2 Л + 5) - 8 = = 4 + 475. /(1 - Л ) = 2 • (1 - Л )2 - 8 = 2(1 - 2 75 + 5) - 8 = = 4-475. /(1 + 75) +/(1 - 75) = 4 + 475 + 4 - 475 = 8. Зг — 1 Пример 5. Дана функция t(z) = — 2-2. Доказать, что *(0,8) - t(l,25) = 0. Q Л Q _ < Решение. Найдем *(0,8) = g-g 2 - 0,8 = 4л: + 13 <=» J 4х2 + 13л: + 3 = 0, ^ I 4л:+ 13*0; 4л: + 13 * = ~4' х = -3. 2,4 - 1 0,8 2,8 = -1,05. *(1,25) = [1ъ - 2 - 1,25 = 2,2 - 3,25 = = -1,05. *(0,8) - *(1,25) = - 1,05 - (-1,05) = 0. Пример 6. Дана функция л:(*) = Ы - - . Найти все такие числа р, что х{р) = х( - J. Решение. Имеем: х{р) = 5р - - ; л:(-J = 5• - - -?-5-8р. 1 Р Р с 3 5 0 0 8 2 - 5р — = Зр <=> 8р = - <=» р = 1 <=» Р Р. Р **Ь—1. Ответ: исходное равенство верно при р = 1 илир = -1. Пример 7. Найти нули функции, т. е. такие значения независимой переменной, при которых значение функции равно 0. . Ответ: нули функции в точках л: = -3ил: = -т. 2)р(2) = (22-25)(г-Г5+Н Решение. Нули функции определяются уравнением р(з) = 0. Данная функция является произведением двух алгебраических выражений. Справедливо утверждение: произведение двух выражений равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла. Первая скобка имеет смысл (определена) при любом значении z, вторая — при любом z, кроме г = -5 и г = 0. Таким образом, либо г - 25 = 0, 2 1 либо + - = 0, при условии, ЧТО 2 * -5 и г *0 (*). Решая полученные два уравнения, с учетом 5 условия (*), получим 2 = 5 либо 2 = -= . Ответ: 5; -=. Пример 8. Найти область определения функции. 1)У = (3 - x)j7x - 3 х + 1 Решение. Область определения данной функции задается системой неравенств: 7х - 3 > 0, л:+1*0; 3 <=> S ^ 3 л:*-1; <=> х -. Ответ: Г= ; °о ). (t2 - 9)j2t + 3 t - 3 2)2(0 = Решение. [2\^\l^ Ответ: Г-|; з! и (3; оо). t *3. 2'
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 69 3) y(t) = Jt - 1 + 75 ~ t, Решение. О, Г*>1, 0; U<5; Ответ: [1; 5]. {Г-1,;?:-{«i;-••»•» 2)17ах be; 4)3jc-7i/-(-2i/). АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Многочлены. Действия с многочленами 1. Одночлен и многочлен Одночленом называется выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и возведением в степень с натуральным показателем. Пример 1. 1) -аЪ\ 3)^х2уг; В этом примере одночлены 1), 2) и 3) записаны в стандартном виде, т. е. первый сомножитель — число, называемое коэффициентом одночлена, и каждый буквенный сомножитель входит в одночлен только один раз. Приведем одночлен 4) к стандартному виду: 3x-7i/-(-2i/) = 3-7-(-2)-x-i/-i/ = -42xi/2. Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Пример 2. Привести одночлен к стандартному виду. 1х2у • (-8*У) = 7 • (~3)х2х7уу3 - -21*У. 2 3 Пример 3. Перемножить одночлены -Ъх t а и g х tb. / ег 2^3 ч (2 5., "\ t сч 2 2 5.3а . (-5* * а) • I 5 х Й>1 = (-5) • g х х t tab = = -r^-x f ab. Многочленом называется сумма нескольких одночленов . Одночлены, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена. Пример 4.1)2х + Заху + Ь; 2) а + &; 3) 5 + х; 4) 17* у г + Зху - Паху г. 2. Приведение подобных слагаемых Одночлены называются подобными, если, записанные в стандартном виде, они одинаковы или различаются лишь коэффициентами. 2 Пример 1.1) Одночлен -Зх у подобен одночлену Ьх у, так как буквенные сомножители у них одинаковые; 2 12 2) ab t подобен г b at; 3) 2х подобен Зле; 4) 51 подобен 137; 5) -7и х а подобен 2а и х ; 2 2 6) одночлен 2* i/ не подобен одночлену 2ху , так как буквенные сомножители у них разные (они состоят из одних и тех же букв, но эти буквы возведены в разные степени). Рассмотрим сумму подобных слагаемых: о 2 о 2 , 2 3* а - 2х а + ах . Вынесем общий множитель за скобки: А(3 - 2 + 1) - 2 А. Эта операция называется приведением подобных членов. Пример 2. 1) 4t2y + 2ху2 - 3yt2 + у2х - t2y + 3i/2*. 2) 2 + Зх + 5х2 + 2ху - х - х2 + \ ху - 7 = 2 7 = 2л: + Ах + о*У ~" 5. * В дальнейшем будем считать, что составляющие любой многочлен одночлены уже приведены к стандартному виду. 3. Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочленов Многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, называется многочленом стандартного вида. Сумму (разность) многочленов можно привести к многочлену стандартного вида. Для этого нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При раскрытии скобок действует правило: если перед скобкой стоит знак «+», то скобки опускаются, а знаки, стоящие перед каждым членом внутри скобок, остаются прежними. Если же перед скобкой стоит знак «-», то этот
70 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы «минус» и скобки опускаются, знаки перед всеми членами многочлена меняются на противоположные. Пример 1. (а2 + 15а + 14) - (а2 + 10а - 1) - - а2 + 15а + 14 - а2 - 10а + 1 = 5а + 15. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Пример 2. 1) 3x(2x2 - Зху + Ьу2) = б*3 - 9х2у + 1Ьху2; 2) -7а*(2а + 3* - at2 - 4*) = -14а2* - 21а*2 + + 7а2*3 + 28а*2 = -14а2* + 7а*2 + 7а2*3. Чтобы умножить многочлен А на многочлен В, нужно: 1) первый одночлен многочлена А умножить на все члены многочлена В подряд и записать результаты этого действия. Затем второй одночлен многочлена А умножить на все члены В и т.д.; 2) привести все подобные члены и записать результат. Пример 3. (За3 - 2а2& + а&2)(2а2 - ab - 5&2) = 6а5 За4Ь- - 15аУ -4а4&+2аУ + ЮаУ + 2аУ - aV - - 5аЬ4 = 6а5 - 7а4& - llaV + 9а V - 5а&4. 4. Формулы сокращенного умножения При возведении двучлена в степень, умножении многочленов, разложении их на множители и других тождественных преобразованиях многочленов применяются специальные формулы, которые называются формулами сокращенного умножения. 1) (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2; 2) (а - Ъ)2 = а2 - 2а& + Ь2; 3) а2 - Ъ2 = (а - Ь){а + Ь); 4) (а + bf = а3 + За2Ь + За&2 + Ь3; 5) (а - Ь)3 = а3 - За2& + За&2 - Ь3; 6) а3 - Ь3 = (а - Ь)(а2 + аЬ + Ь2); 7) а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - а& + &2); 8)* (а + Ь + с)2 = а2 + &2 + с2 + 2а& + 2ас + 2Ьс; 9)* (а + Ь)4 = а4 + 4а36 + 6aV + 4а&3 + &4; 10)* (а - Ь)4 = а4 - 4а3Ь + 6а V - 4ab3 + b4. Устно эти формулы произносятся следующим образом: 1) квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной с их удвоенным произведением; 3) разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму; 6) разность кубов двух чисел равна разности этих чисел, умноженной на неполный квадрат 2 2 их суммы (выражение a + ab + b называется неполным квадратом суммы двух чисел, а вы- 2 2 ражение a - ab + b —* неполным квадратом разности). Пример 1. Устно умножить 41 • 39. 41 • 39 - (40 + 1)(40 - 1) = 402 - I2 = 1599. 2 Пример 2. Устно вычислить 49 . 492 = (50 - I)2 - 502 - 2 • 50 + I2 - 2500 - 100 + + 1 = 2401. Пример 3. Преобразовать выражение (1 - а)(1 - а + а2)(1 + а + а2)(1 + а). Произведение первой скобки на третью — это произведение разности чисел 1 и а на неполный квадрат их суммы, т. е. можно применить формулу разности кубов (формула 6): (l-a)(l+a + a2) = l3-a3. Произведение четвертого сомножителя и второго равно сумме кубов чисел 1 и а (формула 7). Следовательно, (1 - а)(1 + а + а2)(1 - а + а2)(1 + а) = = (1-а3)(1+а3). Произведение разности чисел 1 и а на их же сумму равно разности квадратов этих чисел (формула 3): (1 - а3)(1 + а3) - 1 - (а3)2 = 1 - а6. Пример 4. Доказать, что справедливо равенство а/7 + 473 + 77 - 4л/3 = 4. Преобразуем подкоренные выражения, используя формулы сокращенного умножения и тождество (Та) = а при а > 0. Итак, 7 + 4л/3 = 3 + 4л/3 + 4 - = (73)2 + 2-2-лУз +22 = (73 +2)2.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 71 Аналогично, 7-4^3 = 4 - 4^3 +3 = = 22 - 2 • 2 73 + (73 )2 = (2 - 73 )2. Имеем: л/7 + 4^3 = 7(2 + 73)2 = 2 + 7з; 77 - 473 - 7(2 ~ 73)2 =2-73. Следовательно, 77 + 47з + 77 - 47з = 7з+2 + 2-7з=4, что и требовалось доказать. Использование формул сокращенного умножения — постоянная необходимость в алгебраических преобразованиях, поэтому формулы следует знать наизусть. 5. Разложение многочленов на множители Разложить многочлен (алгебраическое выражение) на множители значит представить его в виде произведения двух (или более) других многочленов. При этом используются формулы сокращенного умножения и некоторые специальные приемы разложения на множители. Пример 1. 4 -р2 = 22 -р2 = (2 -р)(2 + р). Пример 2. 9q2 - 64л:2 = (3q)2 - (8л:)2 = = (3q - 8л:)(3д + 8л:). Пример 3. 4л:2 + 4л: + 1 = (2л:)2 + 2 • 2л: • 1 + I2 = = (2л: + 1)2. Метод выделения полного квадрата Пример 1.x +4. Выделим полный квадрат, сделав тождественное преобразование — прибавим и вычтем одно и то же выражение: 4х . Имеем: х + 4 = л: + 4л: + 4 - 4л: = = (л:2)2 + 2 • 2л:2 + 22 - 4л:2 = (л:2 + 2)2 - 4л:2 = = (л:2 + 2)2 - (2л:)2 = (л:2 + 2 - 2л:)(л:2 + 2 + 2л:). Пример 2*. 1 + а + а . Заметим, что а = = (а ) . Выделим полный квадрат — прибавим и вычтем а . Имеем: -1.4,8 -,4,8.4 4 1 + а +а = 1 + а + а + а -а = - 1 + 2а4 + (а4)2 - а = (1 + а4)2 - а = = (1+а4-а2)(1+а4 + а2). Вторую скобку в полученном выражении при необходимости также можно разложить на множители: 1 + а + а = 1 + 2а2 + а - а = (1+ а2)2 - а = = (1+а2-а)(1 + а2 + а). Здесь также добавили и вычли одно и то же 2 выражение — а — выделив тем самым полный квадрат суммы, а затем воспользовались формулой сокращенного умножения (л: - у)(х + у) = 2 2 = х - у . Таким образом, конечный результат можно записать в виде: 1 + а4+ а8= (1+а4 - а2)(1 + а2 - а)(1 + а2 + а). Пример З.р-q, где р > 0, g > 0. Это выражение можно разложить на множители несколькими способами (эти разложения не будут состоять из многочленов, но будут алгебраическими выражениями). а)р-д = (л/р)2-(7д)2 = (л/р - Jq)(Jp + 7g). 6)*p-9 = (Vp)3-(^)3 = (Vp-V^)(3Vp"2 + в)*р - 9 = (ifp )4 - (4^ )4 - {{Mi )Y - « V5 )Y - - ((4^)2 - (V?)2)((Vp)2 + (V5)2) - (Vp -Vg)x Пример 4*. х10 - 10хьу* + 25i/16 - л:12 + + 4*V - 4i/16 - (х5)2 - 2 • 5» V + (5у8)2 - ((x6)2 - - 2 • 2y V + (2y8)2 - (x5 - 5y8)2 - (x6 - 2y8)2 = = (л:5 - by8 - x6 + 2у8)(л:5 - 5i/ + л: - 2y8) = Метод группировки 2 Пример 1.3x -ах + Зх-а. Группируем первый и третий члены многочлена: их общий множитель Зл:, и второй и четвертый — их общий множитель (-а). Имеем: Зл:2 + Зл: - ах - а = Зл:(л: + 1) - а(х + 1) = = (Зл: - а){х + 1). Общий множитель (х + 1) также выносится за скобки. 3 2 2 2 2 4 Пример 2.р х ~-2q х ~-2q р+р . Группируем первый и четвертый члены (их общий множитель 3 2 р ) и второй и третий (общий множитель (~-2q )). 32. 4 о22 о2 рл: +р -2q х -2q р = = р V + р) - 2д V + р) = (х2 + р)(р3 - 2(?2).
72 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Разложение квадратногб трехчлена на множители ТЕОРЕМА 2 Если квадратное уравнение ах + Ьх + с = О имеет действительные корни хг и х2, то 2 ах +Ъх + с = а(х - хЖл: - х2). члена Р(х)9 а другой — F(x) — частным от деления Р(л:) на Q(x). Пример 1.2х - Ьх + 5л: - 2 = = (л:2-Зл: + 2)(2л:2 + л:-1). Заметим, что сумма степеней делителя и частного равна степени делимого многочлена. Пример 1. Разложить на множители выра- ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ МНОГОЧЛЕНОВ С ОСТАТКОМ жение Зл: + Ьх - 2. 2 Решение. Найдем корни уравнения Зл: + Ьх - - 2 = 0. Х) = 52-4-3-(-2) = 49;л:1>2= ~5у*в; л^ = -2, л:2 = « . По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители имеем: Зл:2 + Ьх - 2 = 3(л: + 2)(х - J ). Пример 2*. Разложить на множители выра- жение Зл: - 2а х + Зх а -2а . Решение. Обозначим х = t, тогда л: = (л: ) = t и многочлен примет вид: 3t + *(3а - 2а) - 2а . Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно *, найдем корни соответствующего квадратного уравнения, то есть уравнения З*2 + *(3а4 - 2а2) - 2а = 0. А. 9 9 Дискриминант уравнения D = (За - 2а ) - в 4. 2 2 -4*3* (-2а ) = (За + 2а ) , откуда корни j. 22 ^ 4 * = 5 а и * — ~а • Имеем: 2 2V 3fl = (Зл:7 - 2а2)(л:7 + а4). З*2 + *(3а4 - 2а2) - 2а6 = 3(t - | a2)(t + а4) = 6*. Делимость многочленов от одной переменной. Теорема Безу Делимость многочленов от одной переменной Выражение вида Р(х) = апхп + ап _ гхп " + ... + a^-ha0, где ад * 0, ад _ v ..., а0 — произвольные действительные числа, называется многочленом степени п от переменной х. Если многочлен Р(л:) можно представить в виде произведения двух других многочленов Р(х) = = Q(x)F(x), то один из этих двух многочленов, например Q(x)9 называется делителем много- Для любых двух многочленов Р(х) и Q(x) существуют единственные многочлены F(x) и R(x) такие, что выполняются следующие условия: 1) Р(х) = Q(x) -F(x) + R(x); 2) степень многочлена R(x) меньше степени многочлена-делителя. Многочлен R(x) называется остатком от деления многочлена Р(х) на Q(x). Пример 2. л:3 + Зл:2 - 16л: + 5 - (л: + 7)(л:2 - 4л: + 12) - 79. В этом примере делителем является многочлен первой степени Q(x) = х + 7. Остатком является многочлен нулевой степени — число -79 (с точки зрения действий с многочленами, любое действительное число — это многочлен нулевой степени). Степень остатка на единицу меньше, чем степень многочлена-делителя, что согласуется с вышеприведенной теоремой. Алгоритм деления многочленов «уголком» При делении многочленов на практике используют тот же алгоритм, что и при делении натуральных чисел «уголком». Рассмотрим конкретный пример деления многочленов «уголком», а затем опишем алгоритм этого деления. Пример. Выполнить деление многочлена Р(х) = х* - Зх3 + л:2 - Ьх + 4 на многочлен Q(x) = - л:2 + л: + 1. Решение. х* - Зх3 + х2 - 5х + 4 — 4 , 3 , 2 X + X + X л:2 + х + 1 х - 4л: + 4 - 4л:* - Ьх2 - 4л: - 4л: - 4л: 4л:* - х + 4 4x2+4x+j4 Таким образом, -Ьх л:4 - Зл:3 + л:2 - Ьх + 4 -
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 73 = (х2 + х + 1)(л:2 - 4л: + 4) --5л:. Остатком от деления является многочлен первой степени R(x) = -5л:. Алгоритм деления «уголком» 1. Найти такой одночлен, который при умножении на первый член многочлена-делителя равен первому члену многочлена-делимого (в рас- 2Ч смотренном примере это х ), затем каждый член делителя умножают на найденный одночлен, а сам одночлен записывают под чертой «уголка». 2. Результат умножения записывают под многочленом-делимым, начиная со старшего члена (в данном случае с х ). Далее — провести черту и под ней записать разность полученных многочленов (для краткости записывают не все члены этой разности). 3. В результате под чертой получаем многочлен, степень которого на единицу меньше исходного. С ним повторяются операции, описанные в п. 1 и п. 2. 4. Процесс заканчивают, когда под чертой окажется многочлен, степень которого на единицу меньше степени делителя. Этот многочлен и является остатком от деления двух многочленов. Многочлен, который получился под чертой «уголка», является частным от деления исходных многочленов. Следствия из теоремы о делимости многочленов Следствие 1 (теорема Безу). Если многочлен Р(х) разделить на двучлен (л: - а), то остатком от деления будет число, равное значению многочлена Р(х) при х = а, т. е. Р(а): Р(х) = (х - a)Q(x) + Р(а). Пример 1. Найти остаток от деления многочлена Р(х) = х - Зл: + 5л: - 7х + 11 на двучлен jc-2. Решение. Используя следствие 1 (теорему Безу), получим: Р(2) = 24 - 3 • 23 + 5 • 22 -7-2 + 11 = 16- 24 + + 20-14+11-9. Следствие 2. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на двучлен (л: - а) нацело (т. е. остаток от деления равен нулю). Пример 2. Известно, что число 3 является 3 2 корнем многочлена Р(х) = х - 8л: + х + 42. Найти остальные корни этого многочлена. Решение. Разделим многочлен Р(х) на двучлен л:- 3: х3-8х2 + х + 42 — 3 0 2 х - Зх -Ьх* + х х-3 х - Ьх- -5х2 + 15* -14х + 42 -Ых + 42 •14 о Таким образом, Р(х) = (х - 3) (х2 - 5л: - 14). Чтобы найти оставшиеся корни многочлена Р(лг), необходимо решить квадратное уравнение 2 х -5л: -14 = 0. Используя формулу корней, находим х = 7 и х = -2. Следствие 3» Если многочлен Р(х) с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. Это следствие особенно важно на практике. з Пример 3. Решить уравнение х +л:-10 = 0. Решение. Используя следствие 3, найдем целый корень уравнения (если он существует!). Для этого выпишем все делители свободного члена уравнения: 1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10. Последовательно подставляя эти числа в исходное уравнение, устанавливаем, что число 2 является з его корнем, ■к-ак как 2 + 2 - 10 = 0 з Разделив теперь многочлен Р(л:) = х + х - 10 на двучлен х - 2, получим частное от деления — 2 многочлен Q(x) = х + 2л: + 5. Уравнение Q(x) = 0 решений не имеет, поскольку его дискриминант отрицателен. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень х = 2. Алгебраические дроби и действия с ними 1. Алгебраические выражения Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены четырьмя арифметическими действиями, а также операциями возведения в целую степень и извлечения арифметического корня. Выражение, не содержащее операции извлечения корня из переменной, называется рациональным.
74 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Выражение, не содержащее операций деления на переменную и извлечения корня, называется целым. Выражение, которое содержит деление на переменную, называется дробным (или алгебраической дробью). Пример 1. 3 7 С —2 1) Выражение 13а • Ъ • к • Ь — целое; 2) 3) / 7 , Q5 За л/ос + р - = нерациональное; 2с 2 3 + Ъ • а - 4а& — дробное. Ь + с Выражения 1) и 3) являются также рациональными. Каждая буква, входящая в алгебраическое выражение, может принимать произвольное значение. Целое выражение имеет смысл для любых значений входящих в него переменных. Дробное алгебраическое выражение (или содержащее корень) имеет смысл не для всех значений переменных. Пример 2. 1) г — имеет смысл при любых значениях переменных кроме Ъ = О, так как деление на нуль не определено; 2) *Ja - b — имеет смысл при любых значениях переменных, удовлетворяющих условию а - Ъ > О, так как арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел; Ъ Г~2 3) - + ыЬ + с — имеет смысл при одновременном выполнении двух условий: f с*0, 1 Ъ2 + с > 0; 4) Ja + *fb + J а - Ъ — имеет смысл для значений переменных, удовлетворяющих (а>0, системе: 1 Ь > 0, [а-Ь>0; 5) J~-a + л/а — имеет смысл только при а = 0, так как f а>09 { а< 0; Пример 3. Преобразовать выражение <=> а = 0. Решение. Данное выражение имеет смысл, если: Г а- 1 >0, \ 1-а>0, [а-2>0. Решение первых двух неравенств — единственное число а = 1, но это число не удовлетворяет третьему неравенству, поэтому данное алгебраическое выражение не имеет смысла. Преобразования производить нельзя, так как они приведут к неверному результату. Пример 4. Вычислить значение дроби п - 1 1 -= при п = 1. п - Зп + 2 Решение. Выражение имеет смысл, если п2-Зи + 2*0. 2 Но при п = 1 выражение п - Зп + 2 = 0, т. е. при я = 1 это выражение не имеет смысла. Наиболее распространенная ошибка при решении вышеприведенной задачи выглядит так: не определив значений переменных, при которых выражение имеет смысл, раскладывают знаменатель данной дроби на множители: п - Зп + 2 = (л - 1)(п - 2). После чего производят сокращение одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе: п - 1 = п - 1 = 1 п2-Зд + 2 (n-lKn-2) п-2' Последнее выражение при п = 1 имеет значение -1. Это грубо ошибочное решение. 2. Дробно-рациональные алгебраические выражения Алгебраической дробью называется выражение вида д, где А и В — алгебраические выражения. Дробно-рациональным называется выражение р вида q , где Р и Q — алгебраические многочлены. Дробно-рациональное выражение представляет из себя частный случай алгебраической дроби. Пример. 1) т х2 + 1 2х4 Зу + 3 2 1 -б/ - Зу + ? (Va - 1 +Vl - <*)• лА* - 2, алгебраические дроби, являющиеся дробно-рациональными выражениями;
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 75 2) X 1 . (Л + Л) (Л - Л) — ал- гебраические дроби, не являющиеся дробно-рациональными выражениями. 3. Умножение и деление алгебраических дробей Так как в числителе и знаменателе любой алгебраической дроби стоят алгебраические выражения, то выполнение арифметических операций с ними весьма трудоемко. Поэтому прежде чем приступать к выполнению действий с алгебраическими дробями, следует: 1) разложить на множители числитель и знаменатель каждой алгебраической дроби, с которой проводится данная арифметическая операция; 2) выписать систему неравенств для значений переменных, при которых дроби имеют смысл; 3) одинаковые сомножители в числителе и знаменателе каждой дроби сократить. Умножение алгебраических дробей производится по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей: В% В0 А1 'А2 вг*в2 '1 "г Но перед тем как производить умножение выражений (многочленов), стоящих в числителе и знаменателе, необходимо одинаковые сомножители, если они есть, сократить. Полученное выражение можно оставить в виде дроби, где числитель и знаменатель разложены на множители, либо произвести умножение, что зависит от конкретной задачи. Пример 1. Выполнить умножение х - 4 х Зх(х - 2) 2 + х Решение. Разложим числитель первой дроби на множители, пользуясь формулой разности квадратов: 1х~~-Ъ](х + 2) т х BxtiL^Z) * 2 + х Сх^И-2)' х X 3 Целение алгебраических дробей сводится к умножению: Вл Вл АГ*2 Вг-А2 2 1 X — 1 Пример 2. —z х + 2х + 4 х (1 - х) *3-8 = (х - 1)(х + 1) 9 (х - 2)(х + 2х + 4) = х + 2х + 4 -х\х - 1) {х—Г)(х + 1)(х - 2)jxt-±-2*-+-*7 = (х + 1)(х - 2) Xx£-^*r-h-*)*2ix Г) 4. Сложение (вычитание) алгебраических дробей Сложение (вычитание) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению (вычитанию) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями: Aj А2 >Ц 4- А2 В * В В При сложении (вычитании) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей аналогичен соответствующему алгоритму для обыкновенных дробей с той разницей, что в знаменателях алгебраических дробей стоят не числа, а алгебраические выражения: 1) разложить знаменатель каждой алгебраической дроби на возможно большее количество многочленов-сомножителей; 2) в общий знаменатель вынести все различные сомножители данных знаменателей с наибольшим показателем степени. Пример 1. Найти общий знаменатель алгебраических дробей. . 2 . 14 х + а 1 *2-а2И3*-3<Г 2 2 Имеем: х -а = (х - а)(х + а); Зл: - За = = 3(х - а). Значит, общий знаменатель будет иметь вид: 3(л: - а)(х + а). пч 5 Чх-р 4) 2 3И 4 (х + р) (х - 2) (х + р) (* - 2) Общий знаменатель: (х + р) (лг - 2) . л - 7а 2х + 1 3) и 3(* " 1)(*2 + а2) 5(* - 1)3(* - р) 3 2 2 Общий знаменатель: 15(лг - 1) (х + а )(х -р).
76 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 4) (х3 - 1)(х2 + 2) и Зх + 1 7(х - 1)(х + 2) 4 - х 3(х + х + 1) Знаменатель первой дроби можно разложить на множители: (я3 - 1)(х2 + 2) - (я - 1)(х2 + х + 1)(х2 + 2). Наименьший общий знаменатель: 3 • 7 • (я - 1)(х2 + х + 1)(х2 + 2). Алгоритм сложения (вычитания) дробно-рациональных выражений 1) Разложить на множители числитель и знаменатель каждой алгебраической дроби. 2) Одинаковые сомножители в числителе и знаменателе каждой дроби сократить. 3) Найти и записать общий знаменатель дробей. 4 4) Найти и записать дополнительные множители для каждой алгебраической дроби. 5) Записать сумму (разность) произведений числителей и дополнительных множителей, учитывая знаки. 6) Упростить (если возможно) полученную дробь. В результате мы получим алгебраическую дробь, у которой числитель и знаменатель разложены на множители, причем у числителя и знаменателя общих множителей нет. Ее можно оставить в таком виде либо произвести умножение и привести подобные члены. Это зависит от конкретной задачи. Пример 2. Выполнить действия: х2-4 * + 2' Решение. ±_+^L_ = I + _ 4 х + 2 (* ~ 2)(* + 2) ^-2 х 1 + х - 2х = (х - 1) х Л- 2 ~" (х - 2)(х + 2) " (х - 2)(х + 2) Пример 3. х + а х - а х + а 2 2 _ *(х + fl) + Д(х ~ Д) х + ад: + ах - а (х - а)(х + а) х" + 2ах - а (х - а)(х + а) 2 "J 2 а шы»ч* *. 2 i 2 2 - (а - Ь) а - Ъ а + Ь а - b _ а + ЗЬ а - ЗЬ (а - Ь)2 <а " «<« + + аЬ + ЗаЬ + ЗЬ2 + а - аЪ (а - Ь)2(а + Ь) 2а + 6Ь2 Ь) - ЗаЬ + ЗЬ2 (а - Ь) (а + Ь) Пример 5. Преобразовать выражение Ь + 2х 3d - Ь Ъ* - dx ЗЬ - Зх 2Ь - 2d (х - а)(х + а) Ь - bd + dx - Ьх Знаменатели первых двух дробей легко раскладываются на множители. Попробуем разложить на множители знаменатель третьей дроби: b2-bd + dx-bx = Ь(Ь -d)- х(Ь - d) = = (Ь - d)(b - х). Имеем: 3(6 -х) ^ 3d - Ь Ь2 - dx = 3(Ь - х) 2(Ь - d) (6 - d)(6 - х) _2(Ь - d)(b + 2х)-3(Ь - x)(3d - Ь) + 6(Ь2 - dx) 6(Ь - х)(Ь - d) = lib2 + bx - llbd - dx 6(Ь - х)(Ь - d) 5*. Действия с алгебраическими дробями, содержащими знак радикала При выполнении действий с алгебраическими дробями, содержащими знак радикала, существенно помогает прием (если его удается применить) введения новых переменных, которые превратят алгебраическую дробь в дробно-рациональное выражение. Пример. Преобразовать выражение а - Jab . (Ma + *Jab + i/b)(ifa - Mob + Mb) *J7b-b
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 77 Решение. Обозначим s*Ja = х, sJb = у, тогда \[а = х ;i/b = у ; Ja = х ; Jh =у ; Jab = х у ; 4/~3 6 8,8 Vfl =x;a = x;b = y. Учитывая это, имеем: (х + у)2 + (х - у)2 . 8 4 4 Л - Л I/ . (* + *|/ + У )(х ~ ху + у ) = 6 2 8 X у - У 2(х2 + у2) . (х2 + ху + у2)(х2 - ху Л- у2) = 4, 4 4 * 2, 6 6Ч х (х - I/ ) У (х - у ) 2(УЧ^Д) х4(х*-к#Ь(х2 -1/ ) 2 2 2 2 . (х + ху + у )(х - ху + у ) = 2, 3 Зч, 3 , Зч у (л - у )(х + у ) 4, 2 2Ч ^ (Л - у ) у2(х - у)ГЯ*-^~-*у-^-#Ь(* + у)Т^-—*y^Mul 4, 2 2 * 2, 2 2Л х (х - у ) у (х - у ) _ 2(х^А2 _2у2 _2УЬ х40с^6 х4 JS * Иногда в алгебраической дроби, содержащей радикалы, приходится вводить не две, а три, четыре новых переменных — все это лишь затем, чтобы превратить алгебраическую дробь в дробно-рациональное выражение, обращаться с которым значительно проще. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением Р(х) Л ш ч уравнение вида ^^ = 0, где Р(х) и называется Q(x) — многочлены. Выражение т^-т — имеет смысл только в ЧуХ) том случае, если выполняется условие Q(x) * 0. Значит, рациональное уравнение Г Р(х) - 0, имеет решение при условии i q, v q P(x) Q(x) = 0 Пример 1. Решить уравнение: 3 + x = 5x 2x - 4 x - 2 Решение. 3 + л: 5л: 3 4Ф х- 2 3 2(х - 2) л: - 2 4 2(3 + х) - 20х + 3(х - 2) _„ _ -15л: 4(х - 2) ~ " 4(х-2) Ответ: 0. = 0 <=> = 0<=> Пример 2. Решить уравнение 2х + 5 2 Зх л: 2 к л: -f л: Решение. 2х + 5 х(х + 1) 2л: + 5 - 2(х + 1) - Зл: х + 1 х + 1 2 л: 2 = 0. Зл: х + 1 х(х + 1) л -Зл: +3 = 0<=> —: гтт =0<=> х(х + 1) 2 х - х(х zi_=0<=>{*2-i = 0; + 1) I х(х+1)*0; <=> ГГх.= 1, J L«—1; I **0, I л:*-1; Ответ: 1. <=> х= 1. Пример 3. Решить уравнение: 3,2 1 2 " + 2 х^ - 2х + 1 1 - хг х + 1 Решение. 3 (х - I)2 + 2 1_ (1 - Х)(1 + X) х + 1 = 0 2 2 Замечание. (л: - 1) = (1 - х) . Получим уравнение: -х + Зх + 4 (1 - х)2(х + 1) 2 = 0 <=> f х - Зх - 4 = 0, 1(1-х)2(*+1)*0; х - Зх - 4 (1 - х)2(х + 1) Г*--1, U = 4; = 0<=> х*1, х*-1; <=> х = 4. Ответ: 4.
78 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 4*. Решить уравнение: 1 Решение. х(х + 2) 1 (х + 1) 1 12* -п-°- х + 2х х + 2х + 1 Применим метод замены переменной. Пусть у = х + 2л:, тогда исходное уравнение примет вид: 12(у + 1) Д2у. У(У + 1) 1 У У + 1 12(у + 1) - 12у 12у(у + 1) *fc±i}_o <=> У2 + У - 12 =0<=>| И + г/-12 = 0, 12у(у + 1) 1 i/(i/+l)^0; Откуда f х2 + 2* = -4, t*2 + 2x=3. Первое уравнение л: 4- 2л: 4- 4 = 0 не имеет решения, так как D = -12 < 0. Решим второе уравнение: х + 2х - 3 = 0 <=> Ответ: -3; 1. Системы уравнений и методы их решения 1. Графический способ решения систем уравнений Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решением системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое