И. И. ГОЛЬДМАН, В. Д. КРИВЧЕНКОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Под редакцией
проф. Б. Т. ГЕЙЛИКМАНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................... 4
ЗАДАЧИ, ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ*)
§ 1.	Одномерное движение. Спектр энергии и волновые
функции.......................................... 5	51
§ 2.	Прохождение через барьер.................... 9	69
§ 3.	Перестановочные соотношения. Соотношение не-
определенности. Расплывание пакетов..............14	93
§ 4.	Момент количества движения. Спин............18	116
§ 5.	Центрально-симметричное поле................26	129
§ 6.	Движение частицы в магнитном поле .	... 28 143
§ 7.	Атом........................................32	157
§ 8.	Молекула.................................   40	208
§ 9.	Рассеяние ................................. 45	236
Приложение I .	  268
Приложение II......................................272
*) Номера страниц, относящихся к ответам и решениям, даны
курсивом.
1*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник состоит из задач по нерелятивистской квантовой
механике, которые решались на семинарах, или предла-
гались в качестве так называемых «заданий» студентам
IV курса физического факультета МГУ. В сборник помещены
задачи различной трудности. Задачи, требующие проведения
сравнительно больших вычислений, предназначались главным
образом для студентов, специализирующихся по теорети-
ческой физике, основным учебным пособием которых при
изучении квантовой механики являлась книга Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица «Квантовая механика».
Опыт преподавания показывает, что наибольшую труд-
ность при изучении представляет матричная сторона кван-
товой механики, поэтому при написании данного сборника
большое внимание уделялось задачам на составление матрицы
возмущения и ее диагонализацию. В сборнике сравнительно
много места уделено вспомогательным задачам на момент
количества движения и спин, поскольку без уяснения этих
фундаментальных понятий нельзя говорить о серьезном изу-
чении квантовой механики.
Авторы считают своим долгом выразить благодарность
аспиранту В. В. Толмачеву, студентам А. Р. Френкину
и В. Д. Кукину за помощь при составлении сборника, а
также редактору Е. Е. Жаботинскому за критические за-
мечания.
И. Гольдман, В. Кривченков
ЗАДАЧИ
§ 1.	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ
И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
1.	Определить уровни энергии и нормированные волно-
вые функции частицы, находящейся в «потенциальном ящике».
Потенциальная энергия частицы V = со при х < 0 и при х>о,
V = 0 при 0 < х < а.
2.	Показать, что для частицы, находящейся в «потен-
циальном ящике» (см. предыдущую задачу), имеют место
соотношения:
х = ~2а> (х х)2 = 12'(1
Доказать, что для больших значений п последний результат
совпадает с соответствующим классическим.
3.	Определить распределение вероятностей различных
значений импульса для частицы в «потенциальном ящике»,
находящейся в «-м энерге-
тическом состоянии. 4. Определить уровни энергии и волновые функ- ции частицы, находящейся в несимметрической потен- циальной яме (см. рис. 1). Рассмотреть случай V, = V2. 5. Гамильтониан осцил-	. Кет К	vz
лягора равен	+	s
I Щ'Аг2 '	'	Рис. 1.
+ ' 2— ’ где р и х ул°в"
летворяют перестановочному соотношению рх—хр ~ — th.
Для того чтобы избавиться в последующих вычислениях
6
ЗАДАЧИ
от fi, р, <0, введем новые переменные Р и Q
Р = -^р, Q=V~ ^Х (PQ—QP=—i),
у р.й«	r h
а энергию Е будем выражать в единицах й<о (Е = ей<о).
Уравнение Шредингера для осциллятора в новых переменных
будет иметь вид
а) Используя перестановочное соотношение PQ—QP——I,
показать, что
2. (р2 _|_ Q2) (Q -+- ip^ = (е — (Q ± iP)n
б)	Определить нормированные волновые функции и уровни
энергии осциллятора.
в)	Определить соотношения коммутации для оператора
а —	IP) и эрмитовски сопряженного ему оператора
а+ —	(Q—IP). Выразить волновую функцию «-го возбу-
жденного состояния через волновую функцию основного
состояния с помощью оператора а.
г)	Определить матричные элементы операторов Р и Q
в энергетическом представлении.
Указание.	—1 = (Р-\-iQ)(P — IQ).
6.	На основании результатов предыдущей задачи пока-
зать непосредственным перемножением матриц, что для осцил-
лятора, находящегося в п энергетическом состоянии,
(Ах)2 = х2 = ~ (и 4- -0; (Др)2 ^р2^ рйш (« + 4) •
7.	Частица движется в потенциальном поле У(х)=^^-.
Определить вероятность нахождения частицы вне класси-
ческих границ для основного состояния.
8.	Найти энергетические уровни частицы, движущейся
в потенциальном поле следующего вида:
V(x) = со (х < 0); У(х) = (х > 0).
9.	Написать уравнение Шредингера для осциллятора
в «р» представлении и определить распределение вероят-
ностей различных значений импульса.
§ 1]
СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
7
10.	Найти волновые функции и уровни энергии частицы
в поле вида У(х) = У0(-^-—(х > 0) (см. рис. 2) и по-
казать, что энергетический спектр
осциллятора.
11.	Определить уровни энергии
для частицы, находящейся в потен-
циальном поле V =----------^5— (см.
ch3 —
рис. 3).	°
12.	Определить энергетические уровни и волновые функ-
ции частицы в поле V = V0ctg2-^- х (0 < х < а) (рис. 4),
произвести нормировку волновой функции основного со-
стояния.
8
ЗАДАЧИ
Рассмотреть предельные случаи малых и больших зна-
чений Уо.
13.	Определить волновые функции заряженной частицы
в однородном поле V(xj =—Fx.
14.	Написать уравнение Шредингера в «р» представле-
нии для частицы, движущейся в периодическом потенциаль-
ном поле V (х) = Vo cos bx.
15.	Написать уравнение Шредингера в «р» представлении
для частицы, движущейся в периодическом потенциальном
поле V (x) = V (х-\-Ь).
16.	Определить зоны разрешенной энергии для частицы,
движущейся в периодическом потенциальном поле, изобра-
।
।
।
-Ъ О а а+Ъ %
Рис. 5.
женном на рис. 5. Исследовать предельный случай Vo—> со,
—> 0 при условии, что
VGb = const.
17.	Для потенциала V =------1— определить в квази-
ch2 —
а
классическом приближении уровни энергии и полное число
дискретных уровней.
18.	Определить в квазиклассическом приближении спектр
энергии частицы в поле:
, _ , tloAt2 .	.
а)	V == —— (осциллятор);
б)	V=Voctg*-Jx (0<х<а).
19.	Определить в квазиклассическом приближении сред-
нее значение кинетической энергии стационарного состояния.
20.	Используя результат предыдущей задачи, найти
в квазиклассическом приближении среднюю кинетическую
энергию частицы в поле:
„	2-2x2 -
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
9
б) V = Voctg2 — (0 < х < а) (см. задачу 18).
21.	Определить вид энергетического спектра частицы
в поле V(х) — ах'1, используя квазиклассическое приближение
и применяя теорему вириала.
22.	Определить вид потенциальной энергии V(х) по
энергетическому спектру Еп в квазиклассическом приближе-
нии. V(х) считать четной функцией V (x) — V (—х), моно-
тонно возрастающей при х > 0.
§ 2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
1.	При изучении эмиссии электронов металлами необхо-
димо принять во внимание то обстоятельство, что электроны
с энергией, достаточной для выхода из металла, согласно
квантовой механике, могут отражаться от границы металла.
Рассматривая одномерную модель с потенциалом V — — Vo
Рис. 6.
при х<0 (внутри металла) и V = 0 при х>0 (вне ме-
талла) (рис. 6), определить коэффициент отражения элек-
трона с энергией Е > 0 от поверхности металла.
2.	В предыдущей задаче предполагалось, что потенциал
на границе металла изменяется скачкообразно. В действи-
тельности это изменение потенциала происходит непрерывно
в области, размеры которой порядка междуатомных рас-
стояний в металле. Аппроксимируя потенциал вблизи по-
верхности металла, с помощью функции
(см. рис. 7)
еа + 1
10
ЗАДАЧИ
определить коэффициент отражения электрона с энер-
гией Е
3.	Определить коэффициент прохождения частицы через
прямоугольный барьер (см. рис. 8).
Рис. 8.
4.	Определить коэффициент отражения частицы от прямо-
угольного барьера в случае Е > Vl} (надбарьерное отражение).
Vl£)
6. Вычислить в квазиклассическом
5.	Вычислить ко-
эффициент прохожде-
ния через потенциаль-
ный барьер V (х) =
= — (рис. 9) пото-
Ch3--
а
ка частиц, движущих-
ся с энергией Е < Vo.
приближении коэффи-
циент прохождения электронов через поверхность металла
§ 2]	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР	1 1
под действием сильного электрического поля напряженности F
(рис. 10). Найти границы применимости расчета.
7.	Изменение потенциала вблизи поверхности металла
происходит в действительности непрерывно. Так, например,
потенциал электрического изображения И8. и. =— дей-
ствует на больших расстояниях от поверхности. Определить
коэффициент прохождения D электронов через поверхность
металла в электрическом поле с учетом силы электрического
изображения (рис. 11).
8.	Определить приближенно уровни энергии и волновые
функции частицы в симметричном потенциальном поле
12
ЗАДАЧИ
(см. рис. 12), если Е <^V0
мала Л2 :> 1) .
и проницаемость барьера
9.	Симметричное поле V (х) представляет собой две по-
тенциальные ямы, разделенные барьером (см. рис. 13). Считая
выполненным условие квазиклассичности, определить уровни
энергии частицы в поле V(х). Сравнить полученный энер-
гетический спектр с энергетическим спектром отдельной ямы.
Найти расщепление энергетических уровней отдельной ямы.
Указание. См. приложение I.
10.	Предположим, что до момента времени / = 0 между
двумя симметричными потенциальными ямами (см. предыду-
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
13
щую задачу) существовала непроницаемая перегородка и
частица находилась в левой яме в стационарном состоянии.
Определить, по прошествии какого времени т после уда-
ления перегородки частица окажется в правой яме.
11.	Поле V (х) представляет собой N одинаковых потен-
циальных ям, разделенных одинаковыми потенциальными
барьерами (см. рис. 14). Считая выполненным условие квази-
классичности, определить уровни энергии в поле V (х).
Сравнить полученный энергетический спектр с энергети-
ческим спектром отдельной ямы.
12.	Считая выполненными условия квазиклассичности,
найти квазистационарные уровни частицы в симметричном
поле, изображенном на рис. 15.
Найти также коэффициент прохождения D(E) для частиц
с энергией Е < Уо.
14	ЗАДАЧИ
§ 3. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. СООТНОШЕНИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. РАСПЛЫВАНИЕ ПАКЕТОВ
1.	Показать, что если два оператора А и В удовлетворяют
перестановочному соотношению АВ— BA = iC, причем А
и В — эрмитовы, то имеет место следующее соотношение:
К (ДЛ)2(ДВ)2>-ф.
2.	Найти соотношение неопределенности для операторов q
и F (р), если q и р удовлетворяют перестановочному соотно-
шению qp—pq = ih.
Указание. Считать функцию F (р) заданной в виде ряда
Тейлора.
3.	Оценить энергию основного состояния осциллятора,
используя соотношение неопределенности.
4.	Оценить энергию электрона на К оболочке атома
с порядковым номером Z в нерелятивистском и релятиви-
стском случае.
5.	Оценить энергию основного состояния двухэлектрон-
ного атома, заряд ядра которого равен Z, с помощью соот-
ношения неопределенностей.
6.	Магнитное поле, создаваемое свободным электроном,
обусловлено как его движением, так и наличием у него соб-
ственного магнитного момента.
Как известно из электродинамики, напряженность магнит-
ного поля движущегося заряда по порядку величины равна
а напряженность поля магнитного диполя с моментом р
Для того чтобы можно было определить магнитный момент р
свободного электрона на основании измерения напряженности
создаваемого им поля, необходимо выполнение следующих
двух условий:
Н2'^Н1	(1)
и
Дг <<; Г.	(2)
§ 3]
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Последнее условие означает, что область локализации элек-
трона Аг должна быть много меньше расстояния от этой
области до точки наблюдения магнитного поля.
Могут ли быть одновременно выполнены эти два условия?
Указание. Принять во внимание соотношение неопреде-
„	eh
ленностей и значение магнитного момента электрона р =2тес'
7.	Какой физический смысл имеет величина р0 в выраже-
нии волновой функции

6 (х) = (х) е 11
если функция v (х) действительна.
8.	Показать, что среднее значение импульса в стацио-
нарном состоянии дискретного спектра р = 0.
9.	Волновая функция свободной частицы в момент вре-
iPo'r.
мени t= 0 задана следующим образом ф(х, 0) — <с(х)е й .
Функция ® (х, 0) действительна и заметно отличается от нуля
лишь для значений х, лежащих в области — 8<х<-|-8.
Определить, в какой области значений х будет отлична от
нуля волновая функция в момент времени t.
10.	Найти изменение волновой функции, заданной в момент
времени t = 0 (расплывание волнового пакета):
а)	свободное движение
б)	движение в однородном поле
в)	движение частицы в потенциальном поле V
<р(х, 0) = сехр
1 z лч	f ‘Ро* 0,2 (х — х0)2)	/щ°\
ф(х, 0) = с ехр (	----~2“—) ’ а = VT7
11.	Доказать справедливость соотношения
е^ае a^[La\+^[L[La]]^^[L[L[La]]]^ ...
12.	Осциллятор при t — — оо находился в основном со-
стоянии. Определить вероятность того, что при £ = -]-оо
16
ЗАДАЧИ
осциллятор будет находиться в n-м возбужденном состоя-
нии, если на него действовала сила f(t), где f(t) — произ-
вольная функция времени (/=0 при г1 —> zt оо).
Провести расчет до конца для
Г
а)	/(О = /ое
б)	/(О=/оТ?4— •
(т) +1
13.	Показать, что задача определения движения осцил-
лятора под действием вынуждающей силы f(t) может быть
сведена к более простой задаче определения движения сво-
бодного осциллятора, если ввести новую переменную
х^-х- £(/), гДе £(0 удовлетворяет классическому уравне-
нию р£ = f(t)— ;x<u2^.
14.	Найти функцию Грина для осциллятора, собственная
частота которого меняется во времени, выразив ее через
решение классического уравнения для осциллятора с пере-
менной частотой.
15.	Использовав функцию Грина, полученную в преды-
дущей задаче, определить изменение во времени плотности
вероятности для частицы, движущейся в потенциальном поле
V (х) = ~g— (о> - const). Волновая функция частицы в мо-
мент времени / = 0 равна	„
(х, 0) = се 2 й .
16.	Найти функцию Грина для осциллятора, собственная
частота которого меняется во времени и подверженного дей-
ствию возмущающей силы f(t).
Указание. Использовать результаты задач 13 и 14 § 3.
17.	При /~~0 осциллятор находился в n-м энергети-
ческом состоянии. Определить вероятность перехода осцил-
лятора в /и-е состояние под действием возмущающей силы /(г1).
Найти среднее значение и дисперсию энергии в момент вре-
мени t.
18.	Поскольку уравнение Шредингера является уравне-
нием первэго порядка по времени, 4(f) однозначно опре-
деляется заданием '}(0). Запишем эту связь в виде
4(/) = S(/)6(0),
где S(t) — некоторый оператор.
§ 3]	ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ	17
а)	Показать, что оператор S (/) удовлетворяет уравнению
ZfcS(O = WS(/)
и является унитарным оператором, т. е. S+ = S-1.
б)	Показать, что в случае, когда Н не зависит от вре-
мени, S(t) имеет вид
iHt
S(t) — e h .
19.	Среднее значение некоторого оператора L в момент
времени t определяется следующим выражением:
£,(/)=
а)	Показать, что зависящий от времени оператор
S —	(f) LS (t), где S(t) определяется соотношением
S (/) (0) = i (/), удовлетворяет условию J* 6* (0) S\ (0) X
XrfT==L(0.
б)	Проверить справедливость операторного уравнения
ths = s&s — Зв S’,
где
^e = slfis.
в)	Показать, что если операторы L и Л1 удовлетворяют
правилу коммутации
LM — ML=IN,
то для зависящих от времени операторов
Stil — tilS = i<№.
20.	Определить зависящий от времени оператор коорди-
наты х (в координатном представлении) для:
а)	свободного движения частицы,
б)	осциллятора.
21.	Воспользовавшись результатами предыдущей задачи,
определить зависимость от времени дисперсии координаты
в случае свободного движения. 2
2 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
18
ЗАДАЧИ
22.	Волновая функция частицы в момент t — 0 имеет
г —-
вид (х) = <р (х) е h , где<р(х) — действительная нормиро-
ванная к единице функция. Определить значение диспер-
сии (Дх)2 в любой момент времени в случае а и б за-
дачи 20 § 3. Показать, что в случае осциллятора (Лх)2 =
= (Дх)2=0, т. е. расплывания нет, если <р(х) = се й (см.
задачу 10 в) § 3).
§ 4. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
1.	Получить выражения для операторов /а;, ly, lz в сфе-
рических координатах, исходя из того, что lx, ly, lz являются
операторами бесконечно малого поворота.
2.	Доказать следующие коммутационные соотношения:
а) 14	= ieikixv
б)	{Ц, Рь\ = 1емрг,
где eikl есть антисимметрический единичный тензор третьего
ранга, компоненты которого меняют знак при перестановке
двух любых его индексов, т. е. eikl = — eilk, причем е123 = 1
(1, 2, 3 соответствует х, у, z).
3.	Доказать справедливость соотношений:
*) [' (^+^+-^)]=0’
б)	[/, (х2+У4-г2)] = 0.
4.	Показать, что в состоянии 6 с определенным значе-
нием lz (1г'Ъ = Ш'Ь) среднее значение 1а. и 1у равно нулю.
Указание. Найти среднее значение в состоянии 6 левой
и правой частей соотношений коммутаций
lj.y = llx,
lj.x lalz = ll у.
5.	Получить выражения для оператора момента относи-
тельно некоторой оси (г') через операторы /а;, ly, lz.
6.	Показать, что если в некотором состоянии б /гб = тб,
то среднее значение момента относительно оси z', соста-
вляющей с осью z угол 0, равно mcosf).
§ 4]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН	19
Этот результат можно истолковать наглядно следующим
образом. Вектор момента в состоянии равномерно
«размазан» на конусе, осью которого является ось z, при-
чем длина образующей равна }/7(/-|-1), а высота т.
Среднее значение проекции на плоскость ху равно нулю,
а проекция на ось z' после усреднения оказывается рав-
ной mcosO.
7.	Найти закон преобразования шаровых функций Кп,
К10, К1(-J при повороте системы координат, характеризуе-
мом углами Эйлера 0, ф, ср.
Указание. Представить шаровые функции в виде
 —лГ 3 Х+1У у 3 z v
8к г ’	10~~ V г’ 1-“1
3 х — iy
8л г
8.	В приборе типа установки Штерна — Герлаха пучок
атомов, обладающих полным моментом J, отклоняется раз-
личным образом в зависимости от значения проекции момента
на направление магнитного поля прибора. Если пучок частиц
имеет определенное значение момента относительно оси,
не совпадающей е направлением магнитного поля прибора,
то он расщепится на 2У—|— 1 пучок.
Определить относительную интенсивность этих пучков,
если J=l, а проекция момента относительно некоторой
оси, составляющей угол Ь с направлением магнитного поля
прибора, имеет определенное значение М (-]-1, 0, —1).
9.	Проекция спина электрона на ось z с достоверностью
имеет значение —|— Va- Какова вероятность того, что проек-
ция спина на направление z', составляющее угол 6 с осью z,
будет иметь значение -]-1/2 и —1/2? Определить среднее
значение проекции спина на указанное направление.
10.	Наиболее общий вид спиновой функции частицы
со спином >/2 в «г»-представлении есть
= e',acos о,
й2 = sin 8.
Эта функция описывает такое состояние частицы, в котором
вероятность значения проекции спина —f—т/2 на ось z (или —1/2)
равна cos2 8 (или sin2 8).
Каков будет результат измерения проекции спина на
совершенно произвольное направление?
2*
20
ЗАДАЧИ
11.	Спиновая функция в «г»-представлении имеет вид
/ фД	/ 4“ cos В\
\ф2/ ye^sinSy
Существует ли такое направление в пространстве, вдоль кото-
рого проекция спина с достоверностью имеет значение 4~
Если существует, то найти сферические координаты (О, Ф)
этого направления.
Указание. О и Ф найти из условия обращения в нуль
второй компоненты спиновой функции.
12.	Имеется совокупность невзаимодействующих частиц
одного и того же сорта. Импульс частиц одинаков; спин
равен */2. Если бы эти частицы не обладали спином, то
мы бы имели право такую совокупность называть чистым
ансамблем. Но нам неизвестно, одинаково ли направление
спинов у всех частиц.
Можно ли посредством эксперимента типа опыта Штерна—
Герлаха сказать, является ли этот пучок частиц чистым
ансамблем или смешанным?
13.	Показать, что оператор, преобразующий компоненты
спиновой функции при повороте на углы Эйлера О, ф, ср,
имеет вид Т (ф, 0, ср) =	ev'*z .
14.	Показать, что при повороте системы координат
на угол Ф относительно оси, направляющие косинусы кото-
рой равны ос, р, у, матрица преобразования компонент спино-
вой функции может быть представлена следующим образом:
t — егф (“?®+₽sg/+YSs) = cos у -ф- 2{ (я£ж 4~	4- ysz) sin ~.
Указание. Углы Эйлера 6, ф, ср связаны с а, [3, у и Ф
следующими соотношениями:
Ф 6	1 , ,
C0S~2“=:C0ST ' cos 2' (сР + 4|)>
. Ф .6	1 .	..
а sin-у = sin-g- • cos у (ср— ф),
Р sin у = sin у • sin у (ср-ф),
• ф е . 1 . . ..
Т sin у = cos у • Sin-g- (ср 4- ф).
Отметим, что ‘“VНе равно	 е№^-
§ 4]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ, спин	21
16.	Найти собственные функции оператора asx-1-1-'($z,
где а2Ч~?2Ч~Т2 = 1> и показать, что коэффициенты разло-
жения какой-либо спиновой функции по этим функциям
определяют вероятность того, что значение проекции спина
на направление, характеризуемое направляющими косину-
сами а, р, у, равно Ч-*/г или —*/г-
16.	Найти матрицу преобразования компонент спиновой
функции частицы со спином 1 при произвольном повороте
системы координат.
17.	Момент частицы равен j, проекция момента на ось z
имеет максимальное значение.
Определить вероятности различных значений проекции
момента на направление, составляющее угол 6 с осью z.
18.	Система, обладающая полным моментом J, находится
в состоянии Jz = М. Определить вероятность того, что при
измерении (например, в опыте Штерна — Герлаха) проекции
момента на направление z', составляющее с осью z угол 8,
получится значение М'.
19.	Показать, что если есть собственная функция
оператора Jz, соответствующая собственному значению т,
то функция	является собственной функ-
цией оператора = Jx sin 8 cos <p ~\~Jy sin 8 sin Ч-Л005^’
принадлежащей тому же собственному значению, т. е.
Цт = т^т-
Указание. Использовать соотношения (см. задачу 11 § 3)
е~г^ц!'Jze^vЪ = Jz cos 8 Ч~ Ja. sin 8,
—itT ф r г J tp “г	i г
е z’Ja:e *’F = Ja,cos<?4-4sin?-
20.	Частица со спином */2 движется в поле центральных
сил. Найти волновые функции этой частицы, являющиеся
одновременно собственными функциями трех коммутирующих
операторов
jz = iz-\-sz, р, /2.
21.	Состояние электрона характеризуется квантовыми
числами I, J, т. Воспользовавшись волновыми функциями,
22
ЗАДАЧИ
полученными в предыдущей задаче, определить возможные
значения проекций орбитального и спинового моментов и
соответствующие этим значениям вероятности. Найти также
средние значения проекций.
22.	Условимся под направлением спина понимать то
направление, вдоль которого проекция спина с достовер-
ностью имеет значение —Va- Будем это направление хара-
ктеризовать полярными углами 0, Ф. Пусть состояние
частицы описывается волновой функцией ф(/, /=/±1/г> т)
(см. задачу 20 § 4). Очевидно, что направление спина такой
частицы в различных точках пространства будет, вообще
говоря, неодинаково. Установить зависимость между углами 9,
Ф и пространственными координатами частицы.
23.	Найти волновые функции системы из двух частиц
со спином 1/2, которые являются собственными функциями
коммутирующих операторов квадрата и проекции на ось z
суммарного спина.
24.	Система состоит из двух частиц, причем момент
первой частицы 1Г = 1, а второй /2 =/. Полный момент 7
в этом случае может принимать значения Z —1, I и I—1.
Выразить собственные функции операторов J2 и Jz через
собственные функции квадратов момента и проекций момента
на ось z отдельных частиц.
25.	Обозначим через г2 спиновые операторы двух
частиц, а через г—радиус-вектор, соединяющий эти ча-
стицы. Показать, что любая целая положительная степень
каждого из операторов
(»i»2)
И
•^12
з far) far)____
Г2

также как и произведения этих степеней, могут быть пред-
ставлены в виде линейной комбинации этих же операторов
и единичной матрицы.
26.	Показать, что оператор 312 (см. предыдущую задачу)
выражается через оператор суммарного спина 3 = -g- (стх —f—
следующим образом:
с ® (Зг)2 Q С2
° 12   ^2	’
§ 4]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
23
и что в случае, когда суммарный спин двух частиц равен
единице, 512 можно представить в виде трехрядной матрицы
S12
/о
_/3F21
. /6 f22
2 F20
V з к21
М-2
У^У2,-1
/5
27.	Показать, что нормированная часть волновой функ-
ции состояния содержащая спиновые и угловые пере-
менные, может быть записана следующим образом:
/ 1 \
—k=S12( О I (7=1, М=1,
4 /2л 121	1 v
' О
О
1
О
о
—1=512| 0 ] (7=1, 7И=—1,
4 /2л	\	/
(7=1, М = О,
L = 2,	5=1),
L = 2,	5=1),
L = 2,	5=1).
Указание. См. задачу 24 § 4.
28.	Доказать справедливость следующих равенств:
а)	{Л А] = /([47] —[74]),
б)	{У2, {72, 4}} =2(724-/472) —47(74),
. , : .n'JM'
в)	И),г^ = 7(7+1)
Здесь 4 есть некоторая векторная физическая величина,
удовлетворяющая правилу коммутации
{Л’
29.	Найти среднее значение оператора р. = gxJx -ф- g272
в состоянии, характеризуемом квантовыми числами J, Mj,
7Р 72, если полный момент 7 равен 7 = 71-/7г.
Указание. Воспользоваться формулой, приведенной в пре-
дыдущей задаче.
24
ЗАДАЧИ
30.	Найти магнитный момент (в ядерных магнетонах)
ядра N16, в котором до заполненной оболочки не хватает
одного протона в состоянии р,^. Магнитный момент сво-
бодного протона равен ^=2,79.
31.	Вычислить магнитный момент ядра О17, содержащего
сверх заполненной оболочки один нейтрон в состоянии ds/ .
Магнитный момент свободного нейтрона равен ри=~—1,91.
32.	Каково было бы численное значение магнитного мо-
мента дейтрона, если бы дейтрон находился в состоянии:
a) 3S1( б) iPp в) зрр г) 8£>р
33.	Предполагая, что основное состояние дейтрона есть
суперпозиция и состояний определить вес D волны,
если Рр — 2,78, ри=—1,91, pd = 0,85.
34.	Выразить квадрупольный момент дейтрона через
среднее квадратичное расстояние, предполагая, что дейтрон
находится в состоянии: а) 1Р1, б) SPV
ЗБ. Используя выражение для матричных элементов век-
торов (см. Л. Ландау и Е. Лифшиц, Квантовая механика,
1948 г., стр. 116), показать, что квадрупольный момент
ядра равен
Q = /(2/-i)f S{2(/+	2/|«:S_J2} •
i = l и'
Суммирование проводится по всем протонам, число которых
равно Z. Здесь /—спин 'ядра, а п — совокупность всех
остальных квантовых чисел, характеризующих состояние.
36.	Обозначим через спиновую переменную z-ro элек-
трона. Эта переменная принимает два значения, -|-1 и •—1.
Показать, что на функцию f(av а2, ..., аг, ..., аи) спино-
вых переменных n-электронов операторы
МГЭ,;
относящиеся к электрону номера I, действуют следующим
образом:
3Zo»/ = /(3i> • • •> Зг-р °Z» °Z+1’ • • •’
alyf—	(°1>  • • > °Z-1’	°Z> °Z+1’ • • •' an)>
31zf= °z/(°l> • • •>’ °Z-1> °l< °l+V ' •
§ 4]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
25
37.	Воспользовавшись результатом предыдущей задачи,
показать, что оператор квадрата полного спинового мо-
мента n-электронов может быть представлен в виде
S2 = n~~ +У Рк1
Л I	П-1/
где Рк1 есть оператор перестановки спиновых переменных
и =z> т- е.
Рklf (,а1> • • • > °А-1>	°й+1> •  • > а1-1 > °Z> °Z+1> • • • > an) =
—/(ai> •••> az> °.%+i> •••’ °z-i> ак< °z+i.......°п)-
38.	Показать, что в системе из двух частиц, обладаю-
щих спином ‘/г, в случае гамильтониана, симметричного
относительно спинов, величина суммарного спина S пред-
ставляет собой интеграл движения.
39.	Система состоит из двух частиц. Спин одной
равен V2. другой 0. Показать, что при любом законе
взаимодействия этих частиц орбитальный момент количе-
ства движения является сохраняющейся величиной.
40.	Имеется возбужденное ядро А со спином 1, нахо-
дящееся в четном состоянии. Энергетически возможна реак-
ция с испусканием а-частицы
А-^В-^и..
Устойчивое ядро В, получающееся при этой реакции, пусть
имеет спин, равный нулю, и находится также в четном со-
стоянии. На основании сохранения момента и четности по-
казать, что такая реакция запрещена.
41.	Показать, что L—орбитальный момент относитель-
ного движения двух а-частиц— всегда является четным
числом (Z. = 0, 2, 4, .. .).
42.	Может ли возбужденное ядро Ве| со спином, рав-
ным единице, распасться на две а-частицы.
43.	Исходя из того, что единственное связанное состоя-
ние системы нейтрон— протон (и, р) четно, суммарный спин
в этом состоянии равен единице и силы взаимодействия
(и, п) и (п, р) одинаковы, показать, что два нейтрона не
могут образовать связанной системы.
26
ЗАДАЧИ
§ 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
1.	Частица движется в центрально-симметричном поле.
Уравнение для радиальной части волновой функции Rnt
преобразовать к виду уравнения Шредингера для одномер-
ного движения.
2.	Найти радиальную волновую функцию частицы в цен-
трально-симметричном поле в квазиклассическом прибли-
жении.
3.	Доказать, что в центрально-симметричном поле в слу-
чае дискретного спектра минимальное значение энергии при
заданном I (Z — орбитальное квантовое число) растет с уве-
личением I.
4.	Система состоит из двух частиц, массы которых р,
и и2. Выразить оператор суммарного орбитального момента
1^-\ 12 и суммарного импульса Pi~i~P‘> через координаты
центра тяжести к = z  и взаимного расстояния
Н + Й2
г = г2—1\. Показать, что если потенциальная энергия
взаимодействия частиц
Z7 = Z7(|r2 —rj), то
A
Н=~ 2(K + ns)	'2нйа +U (Г)’
где Ад и Дг-—операторы Лапласа по компонентам векто-
ров R и г.
5.	Определить волновые функции и энергетические
уровни трехмерного изотропного осциллятора.
6.	Решить предыдущую задачу разделением переменных
в декартовых координатах. Представить волновые функции
для пг = О, I = 1 (см. предыдущую задачу) в виде линей-
ной комбинации найденных волновых функций.
7.	Считая, что нуклон в легком ядре движется в усред-
ненном потенциальном поле вида t/(r) = — Uo -1- г2,
определить число частиц одного сорта (нейтронов или про-
тонов) в заполненных оболочках. Под оболочкой следует
понимать совокупность состояний с одним и тем же зна-
чением энергии.
8.	Вычислить теоретические радиусы ядер Не* и О*6,
имеющих замкнутые оболочки, исходя из предположений
зависит от их взаимного расстояния
гамильтониану можно придать вид
§5]
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
27
относительно потенциала, высказанных в предыдущей за-
даче. Под теоретическим радиусом ядра следует понимать
расстояние от центра тяжести ядра до той точки, где
«ядерная плотность» р (г) = ~У, (г) (г) (суммирование
проводится по всем нуклонам) падает сильнее всего, т. е.
9.	Взаимодействие между протоном и нейтроном можно
приближенно описать потенциалом О'(г) =— Ae~rla. Найти
волновую функцию основного состояния (/ = 0). Определить
связь между глубиной ямы А и величиной а, характеризую-
щей радиус действия сил, если эмпирическое значение энер-
гии связи дейтрона Е —— 2,2 Мэв.
10.	Определить приближенно энергию основного состоя-
ния дейтрона, если потенциал U (г) = — Ае~г<а (Л = 32 Мэв,
й = 2,2-10~13 см), исходя из вариационного принципа
Ритца. В качестве класса допустимых радиальных волновых
функций взять функции вида R = ce 2а, зависящие от па-
раметра а. Величина с определяется через а из условия
нормировки j R2r2 dr =1.
о
11.	Определить энергетические уровни и волновые функ-
ции частицы, находящейся в сферическом «потенциальном
ящике».
U (г) = 0 (г < а\, U (г) = со (г > а).
Рассмотреть случай / = 0.
12.	Определить дискретный спектр энергии частицы
с моментом I — 0, находящейся в центрально-симметриче-
ской потенциальной яме
U(r) =
— Uo (г<а),
О (г > а).
13. Применяя теорию возмущения, качественно опреде-
лить изменение энергетических уровней при переходе от
28
ЗАДАЧИ
f —U0{r<a),
потенциала I7(r)=| (г > а) к потенчиалУ’ изобра-
женному на рис. 16.
14. Потенциальная энергия а-частицы в поле ядра состоит
из двух частей: кулоновского отталкивания и короткодей-
ствующего притяжения поля ядерных сил. Вид потенциаль-
Рис. 17.
ной энергии схематически изображен на рис. 17. Испуска-
ние а-частиц представляет собой специфически квантовое
явление, обусловленное прозрачностью барьера. Рассмотреть
прохождение частицы (с моментом I — 0) через сферический
потенциальный барьер упрощенной формы:
f/(r) = O	(r<r1),
f/(r) = t70	(Г1<г</-2)>
1У(г) = 0	(г2<г).
Найти соотношение между периодом распада и энер-
гией.
§ 6.	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1.	Пусть волновая функция электрона в начальный мо-
мент времени имеет вид
Ф (х, у, z, 0) = ф (х, у, 0) <р (z, 0).
Тогда в однородном магнитном поле 38, направленном
вдоль оси z, волновая функция в момент времени t будет
также иметь вид произведения Ф (х, у, z, 7)=ф(х, у, t)\
§ .6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ЙОЛЕ	29
X <р {z, t), поскольку в уравнении Шредингера перемен-
ная z допускает отделение. Показать, что функция ф(х, у, Т)
принимает с точностью до фазового множителя начальное
значение, если Т — период классического движения частицы
в магнитном поле.
2.	Показать, что в случае наличия магнитного поля для
операторов компонент скорости имеют место следующие
правила коммутации:
л ”	- - ieli п , .
А л " - leh
^x — ^z^-^c-^y-
3.	Основываясь на результатах задач 2 § 6 и 5 § 1,
определить энергию заряженной частицы, движущейся
в постоянном магнитном поле.
4.	Определить энергетический спектр заряженной ча-
стицы, движущейся в однородном электрическом и одно-
родном магнитном полях, направления напряженностей кото-
рых взаимно перпендикулярны.
Б. Определить волновые функции заряженной частицы
при движении во взаимно перпендикулярных однородных
магнитном и электрическом полях.
6.	Заряженная частица находится в однородном магнит-
ном поле и в центрально-симметричном поле вида U (г) =
2 2
Р'(П0Г
= —2— . Определить энергетический спектр частицы.
7.	Определить зависящие от времени операторы коор-
динат х, у заряженной частицы, движущейся в однородном
магнитном поле (векторный потенциал =--------------2~-^’
Ау — -~-х, Аг — о) . Найти(х—х)2 и (у—у)2 как функ-
ции времени.
8.	Определить уровни энергии и волновые функции за-
ряженной частицы, движущейся в однородном магнитном
поле. Воспользоваться цилиндрической системой координат.
30
ЗАДАЧИ
Векторный потенциал взять в форме Л9 = -^-р, Лр —
= Аг = 0.
9.	Найти компоненты плотности тока для заряженной
частицы, движущейся в однородном магнитном поле для
состояния, характеризуемого квантовыми числами п, т, kz
(см. предыдущую задачу).
10.	Найти в квазиклассическом приближении уровни
энергии заряженной частицы, находящейся в однородном
магнитном поле (цилиндрические координаты).
11.	Определить классически доступную область радиаль-
ного движения частицы в магнитном поле (см. предыду-
щую задачу).
12.	Оценить минимальную «размазанность» орбиты
в радиальном направлении для заряженной частицы в маг-
нитном поле.
13.	Выразить, согласно классической механике, коорди-
наты центра окружности, по которой движется заряжен-
ная частица в однородном магнитном поле через коор-
динаты х, у и обобщенные импульсы рх, ру. Рассматривая
в этих выражениях координаты и импульсы как операторы,
найти перестановочные соотношения для введенных таким
образом координат «центра орбиты» и соответствующие
соотношения неопределенностей. Показать, что сумма квад-
принимает дискретные
1,2,...
магнитном поле, пере-
менном во времени, волновая функция частицы со спином
распадается на произведение координатной и спиновой
функций.
1Б. Частица со спином 1/г находится в однородном маг-
нитном поле, направленном по оси z, изменяющемся по
абсолютной величине по произвольному закону <Sf€ = e№(t).
В начальный момент времени (t = 0) спиновая функция
(e‘r'cos S\
1. Определить среднее значение проек-
ции спина на оси х и у, а также на направление, вдоль
которого проекция спина имеет определенное значение в мо-
мент времени t.
ратов координат «центра ороиты»
2йс
значения —j— (п -ф- >/2), где п = 0,
14. Показать, что в однородном
§ 6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНЙТНОМ ПОЛЕ
31
16.	В области х>0 имеется однородное магнитное
поле 38 х = 38 v = 0, 38 z = ЗС\ в области х < 0 поля нет.
На плоскость раздела падает из области х < 0 пучок по-
ляризованных нейтронов с импульсом р. Найти коэффи-
циент отражения нейтронов от границы раздела.
17.	Частица со спином 1/г находится в однородном маг-
нитном поле, постоянном по абсолютной величине и изме-
няющемся во времени по закону
= 30 sin 8 cos urf, 38 у — 38 sin 8 sin wt,
38z = 38 cos 8.
В момент времени t — 0 проекция спина на направление
магнитного поля имела значение -|- 1/2- Определить вероят-
ность перехода частицы к моменту времени t в состояние,
в котором проекция спина на направление магнитного поля
равна — 1/г-
18.	Частица, обладающая спином */2 и магнитным мо-
ментом [х, движется в неоднородном магнитном поле вида
38 г = 38 0 + kz, 38у = — ky, 38X = G (div $7 = 0).
а)	Найти выражения для зависящих от времени опера-
торов координат х, у, z.
б)	Определить средние значения координат и зависи-
мость дисперсии координат от времени, если волновая
функция частицы в момент времени t =0 имеет вид
грех
0 — <i(x, у, z)e 11 (р)-
19.	Нейтральная частица находится в пространственно-
однородном магнитном поле, изменяющемся во времени
лишь по направлению, но не по абсолютной величине.
Написать уравнения для спиновой функции в «;»-
представлении, где ось $ направлена вдоль магнитного поля.
Показать, что в случае достаточно медленного изменения
направления магнитного поля вероятности тех или иных
значений проекций момента на направление поля не изме-
няются.
32
ЗАДАЧИ
§ 7. ATOM
1.	Используя неравенство
JI V tp + Z 4»V г |2dT > О,
найти минимальную энергию одноэлектронного атома и соот-
ветствующую этой энергии волновую функцию. Показать,
что для основного состояния атома выполняется соотно-
шение 2Г^>1 v |.
2.	Электрон в кулоновом поле ядра заряда Z находится
в основном состоянии. Показать, что средний электроста-
тический потенциал в пространстве, создаваемый ядром и
электроном, равен
e(Z — 1) , (Z , 1\	/ /М
3.	Показать, что в основном состоянии атома водорода:
.	Й2
а)	наивероятное значение г равно а =	,
б)	среднее значение — = —,
ч Т	2
В)	г2	я2 '
4.	Волно.вая функция ф(г) описывает относительное дви-
жение двух частиц: протона и электрона. Пусть коорди-
наты центра масс атома водорода точно известны и равны
Х=0, У = 0, z = o.
Показать, что в этом случае плотность вероятности для
протона имеет вид
W (г) =
где т и М — массы электрона и протона соответственно.
б.	Найти распределение по импульсам электрона в атоме
водорода для состояний Is, 2s и 2р.
6.	Вычислить г2 — г2 среднее квадратичное отклонение
расстояния электрона от ядра для электрона в атоме водо-
рода, находящегося в состоянии с квантовыми числами п, I.
7.	Выразить собственную волновую функцию атома во-
дорода в параболических координатах с ni = 1, п2 = О,
§ 71
ATOM
33
m = 0 через волновые функции в сферических коорди-
натах. Показать также, что
и3=0, т=п—1 (£>	4s) === Фж 1-п—1, т=п—1 (Л ’р)-
8.	Показать непосредственно, что степень вырождения
и-го собственного значения энергии атома водорода при
решении уравнения Шредингера в параболических коорди-
натах равняется п2.
9.	Найти поправку к уровням энергии атома водорода
за счет релятивистской зависимости массы от скорости (учесть
член порядка .
10.	Из релятивистского уравнения для электрона (урав-
нения Дирака) следует, что, кроме поправки, учитывающей
зависимость массы от скорости , существует еще
один член в гамильтониане
Н2
Л2 1 dU у
— 2[j.2c2 г dr s
где I — оператор орбитального момента, s—оператор спина,
U (г)— потенциальная энергия электрона (потенциал предпо-
лагается центрально-симметричным). Наглядный смысл этого
члена заключается в том, что при движении магнитного момен-
та р, (связанного со спином электрона) появляется дипольный
электрический момент d ~ [©р], который взаимодействует
с полем ядра. Найти поправку к уровням энергии атома
водорода, учитывающую член Н2 (так называемое взаимо-
действие спин-орбита).
11.	Показать, что квадрупольный момент атома водо-
рода равен
12.	Определить суммарную вероятность возбуждения и
ионизации атома трития Н3 при ^-распаде. Вычислить также
вероятности возбуждения и-го уровня.
13.	Найти энергию основного состояния двухэлектрон-
ной системы в поле ядра с зарядом Z вариационным мето-
дом. В качестве допустимых волновых функций взять
3 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
34
ЗАДАЧИ
произведение водородных функций с эффективным заря-
дом Z'. Релятивистскими поправками пренебречь.
14.	Волновую функцию атома гелия с достаточной сте-
пенью приближения можно положить равной следующему
выражению:
(см. задачу 13 § 7).
Показать, что электростатический потенциал, создаваемый
атомом, равен

15.	Воспользовавшись приближенной волновой функцией
основного состояния атома гелия (см. задачу 13 § 7), вы-
числить диамагнитную восприимчивость гелия.
16.	Определить при помощи вариационного метода энер-
гию основного состояния атома лития с учетом обмена.
В качестве собственных волновых функций электронов
взять водородные функции для электрона в состоянии 1s
в виде <р100 = 2Z/!e”z‘r, для электрона в состоянии 2s
в виде
Z,r
<р200 = cZ^? 2 (1— yZ2r);
Zj и Z2 в этих выражениях являются вариационными пара-
метрами, с определяется из условия нормировки волновой
функции <р200, а у из условия ортогональности функций ф100,
ф200. Если бы мы при решении задачи применяли обыч-
ную теорию возмущений, то положили бы Z1 = Z2 —3.
Вводя вариационные параметры Zj и Z2, мы тем самым
учитываем экранирующее действие электронов.
17.	Определить смещение энергетических уровней атома
вследствие движения ядра. Вычислить величину смещения
в атоме гелия для триплетного и синглетного состояний
1 snp, воспользовавшись собственными функциями в форме
водородноподобных функций отдельных электронов с эф-
фективным зарядом.
ATOM
35
§ 7]
18.	Потенциальная энергия U (х, у, z) является од-
нородной функцией координат с показателем однород-
ности V
U (лх, ку, кг) =	(х, у, z).
Доказать, что среднее значение кинетической энергии в со-
стоянии дискретного спектра связано со средним значением
потенциальной энергии следующим соотношением 2Т = vU
(теорема вириала).
19.	Оценить порядок следующих величин согласно мо-
дели Томаса — Ферми:
а)	среднее расстояние между электроном и ядром;
б)	средняя энергия кулоновского взаимодействия между
двумя электронами в атоме;
в)	средняя кинетическая энергия электрона;
г)	энергия, необходимая для полной ионизации атома;
д)	средняя скорость электронов в атоме;
е)	средний момент количества движения электрона;
ж)	среднее радиальное квантовое число электрона.
20.	Выразить приближенно энергию атома через элек-
тронную плотность р (г) согласно модели Томаса — Ферми *).
21.	Показать, что уравнение Томаса — Ферми полу-
чается как условие минимума полной энергии при вариации
плотности р(г).
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей
задачи. При варьировании Е (р) учесть условие нормировки
j* pdx== N (для нейтрального атома N = Z).
22.	Найти вариационным методом наилучшее прибли-
женное выражение для электронной плотности в модели
Томаса — Ферми, беря в качестве допустимых функций
,	_ Гг л
функции вида р = —, х = у -у-, где А определяется
из условия нормировки j* pdx = N (для нейтрального атома
7V = Z), а л — параметр, подлежащий варьированию. Опре-
делить энергию атома (иона).
*) В задачах № 20—25 применяется система единиц е — Й =
= [Л = 1.
3*
36
ЗАДАЧИ
Примечание. При выборе вида допустимых функций
учтено то обстоятельство, что точное решение в области
,	const
малых г имеет особенность вида р ~	.
f'/2
23.	Доказать справедливость теоремы вириала для модели
Томаса — Ферми.
24.	На основании теоремы вириала доказать, что в мо-
дели Томаса — Ферми в нейтральном атоме энергия электро-
статического взаимодейстия электронов составляет у от ве-
личины взаимодействия электронов с ядром.
25.	Вычислить энергию полной ионизации атома (иона)
в приближении Томаса — Ферми.
26.	Определить смещение энергетических уровней атома,
возникающее вследствие конечности размеров ядра. Потен-
циал внутри ядра (г < а) считать постоянным (физически
это означает, что электрический заряд ядра распределен по
поверхности сферы радиуса а).
27.	Рассчитать значение <р2 (0) для валентного s-электрона
в атоме с большим Z, используя квазиклассическое прибли-
жение.
28.	Определить слагаемое напряженности магнитного
поля в центре атома водорода, создаваемое орбитальным
движением электрона. Вычислить эту величину для состоя-
ния 2р.
29.	Как изменится выражение для магнитного момента
атома водорода в случае учета движения ядра?
30.	Определить расстояние между термами сверхтонкой
структуры для s-электрона атома водорода.
31.	Определить энергию сверхтонкой структуры одно-
электронного атома, орбитальный момент количества дви-
жения которого не равен нулю.
32.	Диамагнитный атом находится во внешнем магнитном
поле. Определить величину напряженности индуцированного
магнитного поля в центре атома.
33.	Решить предыдущую задачу в случае гелия.
34.	Указать возможные значения полного момента у со-
стояний !5, 3S, 5Р, 2D, iD.
35.	Какие состояния (термы) могут осуществляться для
двух электронов a) nsn's, б) nsn'p, в) nsn’d, г) прп'р.
ATOM
37
§ 71
36.	Указать возможные термы следующих конфигураций:
а) (яр)3, б) (яг/)2, в) п8{п'рУ,
37.	Определить основные термы следующих элементов:
О, Cl, Fe, Со, As, La. По поводу электронных конфигура-
ций атомов см. Д. И. Блохинцев «Основы квантовой
механики», 1949 г., стр. 503—505.
Указание. Для определения необходимо воспользоваться
эмпирическими установленными правилами.
1. Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим
значением S при данной конфигурации электронов и наи-
большим (возможным при этом S) значением L (правило
Гунда).
2. Для нормального состояния атома J=\L — S|, если
в не вполне заполненной оболочке находится не более поло-
вины максимально возможного для нее числа электронов и
J=L-\-S, если оболочка заполнена более чем наполовину.
38.	Определить четность основных термов элементов К,
Zn, В, С, N, О, С1.
39.	Система из N электронов характеризуется N трой-
ками квантовых чисел п, I, тг. Определить число состояний,
соответствующих данному значению проекции суммар-
ного спина.
40.	Найти число состояний, связанных с конфигура-
цией я/'7'.
41.	Показать, что если х 2/ -1- 1, то терм с наиболь-
шим значением L для конфигурации я/‘с будет синглетным
с L = xl---— 2), если х четно, или дублетным с£ =
— xl — -^-(х—02> если х нечетно.
42.	Из волновых функций одноэлектронной проблемы
построить собственные функции, характеризуемые кванто-
выми числами S, L, /И#, ТИд для конфигурации р3.
Указание. Рассмотреть действие операторов (£ж — iLy)
и (Sx— iSy) на антисимметричные функции нулевого при-
ближения.
43.	Получить собственные функции для каждого из двух
термов 2£> конфигурации г/3.
44.	Два электрона движутся в центрально-симметричном
поле. Электростатическое взаимодействие электронов будем
38
ЗАДАЧИ
считать возмущением. Найти энергию возмущения первого
порядка для термов конфигурации прп'р.
Указание. Сумма корней векового уравнения равна сумме
диагональных элементов, входящих в это уравнение.
46.	Показать, что спин-орбитальное возмущение, опре-
деляемое формулой VSl = tISL, обладает тем свойством,
что среднее возмущение всех состояний терма (терм харак-
теризуется числами £ и S) равно нулю.
46.	Найти расщепление уровней атома в случае слабого
магнитного поля, когда ей? <<? | АДjj, |, где \Е,Т,Г— рас-
стояние между уровнями в мультиплете.
47.	Найти пределы изменения множителя Ланде g при
заданных значениях £ и S.
48.	Показать, что для термов 4£Л2, 6FP отсутствует
линейное по полю расщепление.
49.	Определить множитель Ланде для одноэлектронного
атома (водород, щелочные металлы) непосредственно при
помощи собственных функций Паули (см. задачу 20 § 4).
60. Выразить магнитный момент атома через множитель
Ланде.
51. Определить расщепление терма одноэлектронного
атома в случае среднего поля ~| АЕ^|.
52. Найти волновые функции электрона, находящегося
в условиях, указанных в предыдущей задаче.
63. Определить расщепление уровней атома водорода, на-
(eh	\
=—	> |	—Еиг/ I ) •
* /
Для применения теории возмущений необходимо потребо-
вать, чтобы энергия атома в магнитном поле была мала по
сравнению с разностью энергии различных мультиплетов, т. е.
2[j.c
<	En4jj.
54. Определить зеемановское расщепление компонент
сверхтонкой структуры терма 2 Si/,, (J = 1/2, / = 0) в случае
среднего магнитного поля
| ^Eff | 1. (Расщепление,
вызываемое полем одного порядка с интервалами сверхтон-
кой структуры.)
ATOM
39
§ Л
65. Показать, что при произвольном значении напряжен-
ности магнитного поля сумма изменений энергий, вызванных
магнитным полем, по всем состояниям с заданным Mj равна
2^ П 2| j 1 H---------------2J(J+1)----------I •
Здесь суммирование производится no J, заключенным в пре-
делах L+-S<;J<;|L — S|, Mj.
56.	Показать, что при помещении атома водорода в одно-
родное электрическое поле
а)	энергия состояния с квантовыми числами 1 = п—1,
т = п—1 в линейном по полю приближении не изменяется;
б)	не меняется положение центра тяжести расщепленного
терма;
в)	состояния, отличающиеся только знаком проекции мо-
мента, имеют одну и ту же энергию.
57.	Вычислить расщепление уровней атома водорода
в слабом электрическом поле (эффект Штарка мал по сравне-
нию с тонкой структурой).
58.	Найти магнитный момент атома водорода, находя-
щегося в слабом электрическом поле.
59.	Вычислить расщепление терма с « = 2 атома водо-
рода, находящегося в среднем (по величине напряженности)
электрическом поле (эффект Штарка и тонкая структура
одного порядка).
60.	Рассмотрим атом, находящийся под действием воз-
мущающего потенциала и. Применяя теорию возмущений,
получим для волновой функции ф в первом приближении
выражение следующего вида:
п ф О
а для энергии
E = Eo + «o»+S
и= О
Для того чтобы в дальнейшем применить вариационный
метод, упростим, насколько это возможно, вид ф. Так как
сю	сю
мпоФп =--мосфо + 2 мпоФп — Фо (М Моо)>
Я=0
40
ЗАДАЧИ
то ф приближенно запишем следующим образом:

| и —«00^
где Е' можно в некоторых случаях считать равным сред-
нему значению До— Еп. После того, как вид возмущенной
волновой функции приближенно установлен, мы можем для
определения энергии применить вариационный метод.
Определить вариационным методом энергию атома, нахо-
дящегося под действием возмущающего потенциала и. Мини-
мум энергии искать в классе допустимых функций вида
ф = ф0(1 гДе —вариационный параметр.
61.	Исходя из результата предыдущей задачи, найти
формулу для поляризуемости атома. Определить численные
значения коэффициента поляризуемости для атомов водорода
и гелия, находящихся в основных состояниях.
62.	Атом водорода находится в параллельных электри-
ческом и магнитном полях. Найти расщепление в случае
а)	слабых полей (энергия штарковского и зеемановского
расщепления меньше энергии тонкой структуры);
б)	средних полей, для терма с главным квантовым числом
п = 2.
63.	Атом водорода в состоянии с главным квантовым
числом п = 2 находится во взаимно перпендикулярных элек-
трическом и магнитном полях. Определить расщепление,
предполагая, что поля сильные (энергия электрона во внеш-
нем электрическом и магнитном поле больше энергии тон-
кой структуры).
§ 8.	МОЛЕКУЛА
1.	Получить уравнение Шредингера для двухатомной
молекулы, считая приближенно, что центр тяжести молекулы
совпадает с центром тяжести ядер. Для описания движения
электронов воспользоваться подвижной системой координат,
связанной с ядрами. Спиновые эффекты не учитывать.
2.	Решить предыдущую задачу, учитывая спиновые со-
стояния электронов и описывая эти состояния в подвижной
системе координат tq, С.
3.	При малых колебаниях ядер волновую функцию, двух-
атомной молекулы можно приближенно представить в виде
§ 8]
МОЛЕКУЛА
41
произведения трех функций ФалД;, •%, С{, <%, р)>/(?)> 0(6, <р).
Первая функция определяет движение электронов при закре-
пленных ядрах, вторая и третья колебательные и вращатель-
ные состояния молекулы. Найти уравнения, определяющие
колебательные и вращательные части волновой функции
двухатомной молекулы.
4.	Определить возможные термы двухатомных молекул
N2, Br2, LiH, HBr, CN, которые могут получиться при сое-
динении атомов, находящихся в нормальном состоянии.
5.	Найти формулу, определяющую электронные термы
при взаимодействии атома гелия с атомом водорода при
условии, что оба атома находятся в основных состояниях.
6.	Найти колебательный и вращательный спектр энергии
двухатомной молекулы, если считать, что ядра движутся
в потенциальном поле вида
(-Н-М-
V(r) = — 2D
г
где р = —.
а
7. Эффективный потенциал предыдущей задачи П(г)-ф
№
2р.г2
К (К~Н) вблизи минимума представить в виде
циала осциллятора и найти энергетические уровни
потен-
малых
колебаний.
8.	Определить момент инерции и расстояние между
ядрами в молекуле Н1^86, если разность частот двух сосед-
них линий во вращательно-колебательной (инфракрасной)
полосе Н1С185 равна Ду =20,9 см-1.
Вычислить соответствующее Ду в спектре DC1.
9.	Вычислить отношение разностей энергии между двумя
первыми вращательными и двумя первыми колебательными
уровнями молекулы HF. Момент инерции молекулы HF равен
I = 1,35 • 10~40г  см2 и частота колебаний Дукол. = 3987 см-1.
10.	Определить энергию диссоциации молекулы D2, если
энергия диссоциации и нулевая энергия колебания моле-
кулы Н2 равняются 4,46 эв и 0,26 эв соответственно.
11.	Для аппроксимации хода кривой потенциальной энер-
гии двухатомной молекулы часто употребляется функция
Г —• CL
V=D(1—$ = ——, предложенная Морзе. Опреде-
лить энергетический спектр колебаний при К = 0.
12.	Показать, что оператор квадрата полного момента
Количества движения двухатомной молекулы может быть
42
ЗАДАЧИ
представлен в виде
T9	( I д ( . ,, д\ ,	1 / д	...	,Д21	-2
J2 = { -т—д -57 I Sin О I + -Г-5ТГ I 3-lMr COS О I i + AIг .
I sin 6 д0 \	<?6/ 1 sin2 О \d®	'	} > '
13.	Оси $, 7], С являются осями прямоугольной системы
координат, жестко связанной с вращающимся твердым телом.
Найти вид операторов J^, Jv проекций на оси Е, т], С
момента количества движения твердого тела.
14.	Доказать, что операторы Je, Jv Jr подчиняются сле-
дующим правилам коммутации:
ЛЛ) Л] Л =
J? ------ L1
т. e. правила коммутации операторов компонент момента
во вращающейся системе координат отличаются от правил
коммутации в неподвижной системе лишь знаком в правой
стороне написанных равенств.
15.	В классической механике для случая Эйлера — Пуансо
имеем следующие уравнения:
л§+(С—В)^ = °,
sg + M —С)гр = °,
или
^+(в~с-)м=°
Показать, что в квантовой механике последние соотношения
примут вид
§+4(|-г)<«+ЛЛ)=о »’• «
16.	Молекулы, имеющие две или несколько осей симмет-
рии третьего или более высокого порядка (например, СН4),
представляют сферический волчок. У таких молекул эллип-
соид инерции вырождается в сферу.А — В — С. Определить
уровни энергии сферического волчка.
§ 81
МОЛЕКУЛА
43
17.	Молекулы с осями симметрии порядка выше второго
(например, SO2, NH3, СН3С1) и молекулы с более низкой
симметрией или даже вовсе не обладающие симметрией, но
для которых два главных момента инерции одинаковы, могут
рассматриваться как симметрические волчки А = В =£ С.
Определить уровни энергии симметричного волчка.
18.	Написать уравнение Шредингера для симметрического
волчка.
19.	Найти собственные функции оператора
>—{
sin 6 <36 (5*п ® dO) sin2 О
2
\d®2 дМ)
cos 6 д2 |
sin2 0 d<f дф I
20.	Вычислить матричные элементы оператора Гамиль-
тона для асимметрического волчка.
21.	Определить уровни энергии асимметрического волчка
для J= 1.
22.	Написать волновые функции асимметрического волчка
для случая J— 1.
23.	Основываясь на свойствах матриц Паули, показать,
что даже при учете взаимодействия спин — спин 2Е-термы
двухатомной молекулы остаются нерасщепленными.
24.	Определить мультиплетное расщепление 8£-терма,
относящегося к типу связи Ь.
25.	При приближенном решении уравнения Шредингера
(см. задачу 3 § 8) оператор
! ctg О (Д — UVLMr—-Дд Л4,	+ 2МД ) = w
2Мр2 I ь v	1	- v 1 sin 0	*1 скр 1	5 от J
не принимался во внимание, поскольку диагональный элемент
этого оператора равен нулю. Учет недиагональных элемен-
тов, относящихся к одному и тому же электронному (п, А)
и вибрационному (ц) состоянию, приводит к эффекту, нося-
щему название вращательного искажения спина. Рассматри-
вая оператор w как возмущение, определить изменение
под влиянием этого возмущения уровней дублетного терма.
26.	Установить связь между величиной суммарного спина
ядер молекулы £)2, находящейся в S-состоянии, и возмож-
ными значениями квантового числа К.
27.	Определить зеемановское расщепление терма двух-
атомной молекулы; терм относится к случаю а. Магнитное
44
ЗАДАЧИ
cos
поле предполагается малым, т. е. энергия взаимодействия
спина с внешним магнитным полем мала по сравнению с раз-
ностью энергий между последовательными вращательными
уровнями.
28.	Определить зеемановское расщепление терма двух-
атомной молекулы, если терм относится к случаю Ь, и маг-
нитное поле предполагается таким, что энергия взаимодей-
ствия спина с внешним магнитным полем мала по сравнению
с энергией взаимодействия спин — ось.
29.	Решить предыдущую задачу в случае, когда энергия
взаимодействия спин — ось мала по сравнению с энергией
расщепления, обусловленного внешним магнитным полем.
30.	Определить зеемановское расщепление дублетного
терма двухатомной молекулы, если терм относится к слу-
чаю b и магнитное поле таково, что энергия взаимодействия
магнитного момента с этим полем одного порядка с энер-
гией взаимодействия спин — ось.
31.	Определить расщепление в электрическом поле терма
двухатомной молекулы, имеющей постоянный дипольный мо-
мент р. Расщепляемый терм относится к случаю а.
32.	Решить предыдущую задачу для терма, относяще-
гося к случаю Ь.
33.	Определить энергию твердого диполя р, находяще-
гося в однородном электрическом поле S, рассматривая поле
как малое возмущение.
Указание. Воспользоваться соотношением
(Z —f— I)2— иг2	/	/2   «г2
(2/ + 3) (2/ + 1) Pl' !	(2/-|-1) (2/—1) - I.’»’
34.	При помощи теории возмущений определить закон
взаимодействия двух невозбужденных атомов водорода, на-
ходящихся на большом расстоянии R друг от друга.
35.	Рассмотрим совокупность атомов, распределение за-
рядов в которых имеет шаровую симметрию. Как было по-
казано в предыдущей задаче, между двумя такими атомами,
находящимися на большом расстоянии друг от друга, дей-
ствуют так называемые дисперсионные силы. Дисперсионные
силы имеют квантовый характер, и в отличие от классиче-
ских поляризационных сил они обладают свойствами адди-
тивности. Показать, что энергия взаимодействия между
двумя такими атомами не зависит от присутствия других
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
45
подобных же атомов, т. е. показать, что энергия взаимо-
действия совокупности атомов составляется аддитивно из
энергий взаимодействия между отдельными атомными парами.
§ 9.	РАССЕЯНИЕ
1.	Найти сечение рассеяния частицы потенциальной ямой
при малых скоростях (длина волны де Бройля значительно
больше размеров ямы).
2.	Определить сечение рассеяния медленных частиц в поле
отталкивания
U(r) = U0 (г<а),
U(r) = 0	(r>d).
3.	Выразить через фазы рассеяния первые три коэффи-
da
циента разложения сечения упругого рассеяния — по поли-
номам Лежандра.
у}
4.	Найти фазы рассеяния в поле U =	. Определить
сечение рассеяния на малые углы.
5.	Рассчитать дифференциальное сечение рассеяния в поле
А ,	,
отталкивания U = в борновском приближении и согласно
классической механике. Определить пределы применимости
полученных формул.
6.	Найти дискретные уровни для частицы в поле при-
Г
тяжения (/(г) =— Uoe “ при / = 0. Определить фазу рас-
сеяния оо для этого потенциала и проанализировать связь
между о0 и дискретным спектром.
7.	Показать, что для кулоновского поля имеется одно-
значное соответствие между полюсами амплитуды рассеяния
и уровнями дискретного спектра.
Указание. Воспользоваться формулой
46
ЗАДАЧИ
8.	Определить в борновском приближении дифферен-
циальное и полное сечение рассеяния в поле
a)	U(r) = g-2^- ,
б)	U (r) = Uoe~a~r",
в)	U (r) = Uoe ~аг.
9.	Используя борновское приближение, найти дифферен-
циальное и полное сечение упругого рассеяния быстрых
электронов
а) атомом водорода; б) атомом гелия.
10.	Рассмотреть столкновения одинаковых частиц с энер-
гией взаимодействия U (г). Найти эффективное сечение рас-
сеяния медленных одинаковых частиц в случае короткодей-
ствующих сил.
И. Рассчитать сечение упругого рассеяния электрона на
электроне и а-частицы на а-частице.
12.	Рассеяние нейтронов на протонах зависит от сум-
марного спина нейтрона и протона. При малых энергиях
сечение в случае триплетного соотношения (S’ = 1) равно
отР1шл __ 4„ |уз [2^ 2 • 10“24 см2, а в случае синглетного
(S = 0) ссипгл = 4т: |/j	78 • 10~24 см2.
Введем оператор
2___А + 3/s I /в — Az' 2
J =- —4-----1---4~ (Рп°р)-
Как легко видеть, в случаях триплетного и синглетного
состояний его собственные значения равны fs и соответ-
ственно. Для того чтобы определить сечение рассеяния при
произвольной поляризации нейтронов, необходимо усреднить
оператор f2:
а = 4~/2.
Пусть спиновое состояние падающих нейтронов описывается
/eiK cos (3\
функцией ( ia . р J (направление спина нейтрона задается
полярными углами <-) = 2р, Ф~2а-|-А; см. задачу 11 §4),
а спиновое состояние протонов функцией (спины про-
тонов направлены по оси г). Определить для этого случая
сечение рассеяния нейтронов на протонах.
§ 91
РАССЕЯНИЕ
47
13.	Найти вероятность того, что рассеянный на протоне
медленный нейтрон изменит ориентацию своего спина, если
до столкновения спины нейтронов были направлены по оси
z, а спины протонов — в противоположном направлении.
14.	Амплитуда рассеяния медленных нейтронов с энер-
гиями заметно меньше тепловых (X > Ю-8 см, т. е. длина
волны падающих нейтронов велика по сравнению с взаим-
ными расстояниями протонов в молекуле) на молекуле водо-
рода равна сумме амплитуд для обоих протонов.
Таким образом,
/1+3/8 । /з + Л/4	| ч 1
—2----1---4—I ’1 Р' I'M Ь
Протоны в молекуле водорода могут находиться как в со-
стоянии с параллельными спинами (ортоводород), так и
в состоянии с антипараллельными спинами (пароводород).
Определить сечение рассеяния нейтронов на пароводо-
роде и ортоводороде.
15.	Определить полное сечение упругого рассеяния не-
проницаемой сферой радиуса а для быстрых частиц (длина
волны де Бройля Х<С^о).
16.	Доказать следующие свойства амплитуды рассеяния
при энергии Е —> О (длины рассеяния):
а)	в поле отталкивания длина рассеяния отрицательна;
б)	в поле притяжения, если нет дискретных уровней,
длина рассеяния положительна;
в)	длина рассеяния обращается в со, если при углубле-
нии потенциальной ямы появляется новый уровень.
Указание. Если от уравнения Шредингера перейти
к эквивалентному интегральному уравнению (Е = 0)

Р- f U (г') Ф (г') . ,
J 1 г — г' |
то для асимптотического вида ф получаем
где длина рассеяния
а = —	[ tyU dz
выражена через потенциальную энергию и
48
ЗАДАЧИ
17.	Рассмотреть упругое рассеяние частиц со спином
на скалярной (спин равен нулю) частице. Найти дифферен-
циальное сечение рассеяния с переориентацией спина. Рас-
смотреть рассеяние S и Р волн.
18.	Доказать, что в общем случае неупругого рассеяния
имеет место следующая формула, связывающая величину пол-
ного сечения а = аупранеуПр и амплитуду упругого рас-
сеяния при 0 = 0
Указание. Воспользоваться разложениями этих величин
в ряды по орбитальному моменту:
/00 = i 2 (2/ + о - 1) Pl (cos 0),
z=o
co
= -DI1 - "1И2.
Z=0
co
i=>
19.	Рассмотрим предельный случай так называемого «чер-
ного» ядра. Радиус ядра R пусть будет велик в сравне-
нии с де-бройлевской длиной волны нейтронов. Будем
считать, что все нейтроны, попадающие в ядро, поглощаются.
Определить полные сечения рассеяния и поглощения.
20.	Рассмотрим ядерную реакцию
А-\-а—>-С—>-В-\-Ь.
Как будет выглядеть угловое распределение продуктов ядер-
ной реакции в системе центра инерции или, что то же са-
мое, в системе промежуточного ядра С в нижеперечислен-
ных случаях. Если равен нулю:
а)	спин промежуточного ядра;
б)	орбитальный момент относительного движения про-
дуктов реакции;
в)	орбитальный момент относительного движения стал-
кивающихся частиц (спин промежуточного ядра не равен
нулю).
§ 9]
рассеяние
49
21.	Найти собственные функции операторов квадрата и
проекции полного изотопического спина I2 и /г системы
нуклон—мезон *).
22.	В системе центра инерции рассеяние мезонов на
нуклонах сводится к рассеянию частиц на неподвижном рас-
сеивающем центре. Тогда вдали от центра падающая волна
с определенным значением проекции спина Sz и проекции
•изотопического спина тг запишется в виде
ь(~— щ)Цп— т2).
Здесь принимает значения:
1 для тг+-мезона,
= 0 для л°-мезона,
=—1 для -'-мезона,
тг принимает значения:
1
тг=-<удля протона,
1
тг = —у для нейтрона,
о (~— 1) = ф+,
о (я) == ф0,
8(^+ 1) = <?_,
Разложить падающую волну по собственным функциям
операторов J2, Jz, I2, Iz.
Указание. В системе мезон—нуклон интегралами движе-
ния являются четность (—1)г, полный момент J, изотопиче-
ский спин /.
Так как полный спин в такой системе равен у, то
сохраняется также и орбитальный момент I. Поэтому при
разложении падающей волны по собственным функциям опе-
раторов сохраняющихся величин можно вместо суммирова-
ния по J, I суммировать по I, I.
23.	Найти амплитуды рассеяния тг-мезонов на нуклонах,
выраженные через фазы, для следующих реакций:
тг+ -\-р -»тг+ —}—/?,
я" р -> ~° П.
*) См. приложение II.
4 Зак. 1750. И. И. Гольдман. В. Д. Кривченков
ЗАДАЧИ
ВО
24.	Показать, что амплитуды рассеяния для всех воз-
можных реакций мезона с нуклоном выражаются через на-
писанные в задаче 23 в силу гипотезы об изотопической
инвариантности.
Выразить их через амплитуды рассеяния для состояний
с изотопическим спином 3/2 и
25.	Выразить через фазы полные сечения реакций:
ft+ -ф- р —у ft+ —{—/?,
ft"	ft0
26.	В области малых энергий, когда длина волны мезона
значительно больше радиуса сил взаимодействия между ме-
зоном и нуклоном, основной вклад в рассеяние вносят лишь S-
и Р-волны.
Найти дифференциальное сечение рассеяния, выраженное
через фазы, для реакций:
ft- -ф-р —> ft~ —
ft- —|— /7 —> 7Г° —|—/г.
27.	Пучок ft-мезонов рассеивается на неполяризованной
мишени из протонов, т. е. в мишени число протонов
с Sz—l/2 равно числу протонов с Sz = —1/2. Оказывается,
что при рассеянии неполяризованные вначале протоны поля-
ризуются. Определить величину поляризации протонов, учи-
тывая только .S'- и Р-волны.
Ответы и решения
1«(Р)|:
|2 _4п2л«	1
' Й /р2^2
(ft2"-
2
§ 1. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ
И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
„ лвЙ2 2	, . . Г 2 . т.п
Е«=2^п’ М*) = У
9 Ра
C0S ПРИ П нечетном>
 ?Ра
ЯП 2Й ПРИ П четном-
/й
2^+^-^^ = °	<*<0)’
= 0	(0 < х < с),
2р. dx% 1 ‘	v \ у»
tM+{E~v^ = g (х>й)-
Вводя обозначения
_ ^(Vt-E)	_ /2p.(V2-E)
>! — Ъ , V- —	Ъ , /.2 ~ -
находим, что общее решение в каждой области имеет сле-
дующий вид:
^> = А1е-^х-1-В1е^х
ф = Ае-^-^-Ве^
ф = Л2е_ХаЖ -ф- В2е*аЖ
(х < 0),
(0 < х < а),
(х > а).
4*
52
ОТВЕТЫ Й РЕ ШЕНЙЙ
Рассмотрим дйскрётный спектр Е < И2. Тогда iq И х2— дей-
ствительные величины. Полагая в области 0 < х < а х — ik,
где k — действительно, запишем решение в виде
ф = sin (/где 4 ~ 8)	(0 < х < а).
В силу конечности волновой функции = 0, В2 — 0-
Условие непрерывности ф и удобнее записать как
1 (1Л>
условие непрерывности логарифмической производной
xt = k ctg 8,
— х2 = k ctg (ka 8).
Перепишем последние два условия,
выразив Xj и х2 через k
1 = ctg 8,
1 = ctg (ka -ф- 8).'
Поскольку ctg является периодической
функцией с периодом тг, величину 8
и ka 4-8 можно представить в следую-
щем виде:
8 = arc sin ——= 4- ti.-rz,
/2p.Vt
,	, »	tik ,
ka -4- 8 — — arc sin —,	--—k n2ir.
Причем вначения arc sin лежат в области от 0 до . Исклю-
чая 8, находим трансцендентное уравнение для определения
уровней энергий в дискретном спектре
,	.tik	. tik .	/2р£ п
ka = nr. — arc sin  	— arc sin  .	, k =-------> U.
/ 2p.Vi	/2р. V2	Й
Значения k, удовлетворяющие этому уравнению, удобно на-
ходить графически. Эти значения определяются точками пе-
ресечения прямой y=ak и кривыми
 ЙЛ	. tik .	1 QX
у = пт — arc sin г —arc sin  . (см. рис. 1о).
/2pV\	/2(лУ2
§ 1]	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ	53
Рассмотрим симметричную потенциальную яму Vl=V2—V.
Легко видеть, что в этом случае при любых V и а всегда
имеется по крайней мере один уровень. Если	1.
то нетрудно найти значение единственного дискретного энер-
Г~Ё
гетического уровня. Производя разложение тт—2 arc sin 1/ -р
вряд, получим Е— V — 2^^2- Число уровней при любых
значениях V и а будет равно N, где N находится из соотно-
шения
д г >	> N_ 1.
яЙ
б. б) Собственные значения оператора Н' всегда поло-
жительны. Поэтому если 60 — волновая функция, соответ-
ствующая состоянию с минимальной энергией, то
(Q + ^)%=0 или (А + С)% = О.
Отсюда находим, что
1
% = сое 21 ео = у •
Таким образом, энергия осциллятора равна
sn==« + y («>0),
а соответствующая волновая функция имеет вид
О2
/ Л	\П
Нормировочную постоянную Ап определяем из условия
+ 03
J" '\n(Q)dQ= 1. Для основного состояния нормировочная
— со
. 1
постоянная Ао равна —•
У л
54
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Волновую функцию п-го состояния можно выразить через
волновую функцию п—1-го состояния следующим образом:
^(Q) = c„(6 — iP)-Vi(Q).
где сп определяется из условия
с« f KQ —iP)'^-i(Q)l2dQ= 1-
Заменяя Р на —i-~ и интегрируя по частям, находим:
с2 f (Р2 + Q2 + 1) dQ = c^-2n=\,
1
откуда с„ = —— и
У 2п
Чп	1 ==
Окончательно получаем:
-	1	1 М д \п
<Ю) е
Полином степени п
д.п
Hn(Q) = e2 (Q—е 2
называется
в)
г)
полиномом Эрмита — Чебышева.
аа+ —а+а = 1;
У п!
(P+iQ)L1-l(P-iQO==2n-
функции выбраны нами действительными, по-
Волновые
’ л л
этому матричные элементы Q и IP = будут тоже дей-
ствительные

§ 1]
55
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
или, возвращаясь к прежним переменным, имеем:
7.	Искомая вероятность
Р	dy
w = -----—?ь0,16.
СО
J” e~v* dy
о
8.	Волновая функция должна обращаться в нуль при
х — 0. При х > 0 она удовлетворяет дифференциальному
уравнению обычного осциллятора. Нетрудно видеть, что
волновые функции осциллятора при нечетном n = 2k-\-l
обращаются в нуль при х = 0 и в области х^>0 дают
решение рассматриваемой задачи. Следовательно,
Ек = Йо)	(й = 0, 1, 2, ...)
9.
(. 2р.	2 Сф2) 11,1	~~ ЕпС1п
1	- ?)3	„ / Р \
К(Р)|2 = 9И , лг=~е Нгп•
2” • н! У г.р.о>/;	' ~
10.	Исследование поведения при х—решения урав-
нения Шредингера
/г2 dty Г . [а х \21	_
~ъ^-[Е-уЛ~х~-z)r==0
показывает, что ф имеет асимптотический вид д — ехр(—!•),
где $ — новая независимая переменная
5=-lSx2-
’ ha
При х->0 пропорциональна где

56
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Делаем подстановку
ф = р-?/2^/2и (0
и получаем для и(£) следующее уравнение:
+	и'—
1_^(£+^о)-1ы==О- (1)
4 2fi /2p.V0 J
Уравнение (1) есть уравнение для вырожденной гипергео-
метрической функции и общее его решение имеет вид
и Д) = cxF (а,	у —	,
где через а обозначено выражение в квадратной скобке
в уравнении (1).
Из требования ограниченности ф (0) вытекает
с2 — 0.
Кроме того, надо потребовать, чтобы волновая функция
при х—>оо убывала, т. е. чтобы функция «(£) сводилась
к полиномам. Этого можно достигнуть, полагая а —— п
(п~(), 1,2, ...), откуда находим уровни энергии
2Л ,/'2И0/	1 , 1 / Л8|Л/оЯг	\
» = ТУ VIb+i+4\V V—у -цг-ц
Таким образом, энергетический спектр (при соответствующем
выборе начала отсчета энергии) такой же, как у осцилля-
/*8V
. Интересно от-
метить, что нулевая энергия частицы для потенциала
(а х
Vol —— —1 всегда превышает нулевую энергию соответ-
ствующего осциллятора. Волновые функции имеют вид
1 К Г8(И/о<г2 , , . Л
где v = у ^у 	 -f- 1 -ф-1J , а постоянные сп могут
быть найдены из условия нормировки.
§ И
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
57
fp , v0
2(х^ r\h2x
\ «
11.	В уравнении Шредингера
ф = 0
сделаем подстановку
Н1*х=1(/т+,~1)-
Уравнение для и лримет следующий вид:
сРи	4Х ,, х . 4	п
th ——-4- — (Х2— х2)« = О,
rfx2 a a dx '	'
где
(рассматриваем дискретный спектр Е <1 0).
Если ввести новую независимую переменную
z = — sh2 —,
а
то это уравнение приводится к гипергеометрическому урав-
нению
* (1 ~ *) g + [| - (1 — 2Х) z] g-(X2-x2) и = 0. (1)
Параметры а, р, у, входящие в гипергеометрическое урав-
нение общего вида
z<1—+	1)^1^—и₽« = 0
имеют в нашем случае следующие значения:
Y = -g-, a = x-—-X, р = — х —X.
Два решения уравнения (1), которые дают соответственно
четные и нечетные волновые функции ф, имеют вид
«1=г(—X —х, —X —х,	(2)
ы2 — z F (— X х -]- -g-, — X—х -j- -g-, -g-; z). (3)
Эти решения приводят к ограниченным значениям волновых
функций при х=0 (г=0).
58
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для того чтобы волновая функция
и
обращалась в нуль при х—>ztzoo (г—> — со), гипергеомет-
рические функции в выражениях (2) и (3) должны сводиться
к полиномам. Это условие означает, например, для uv что
либо ). — г., либо Х-]-х являются целыми неотрицательными
числами. Однако второй случай должен быть отброшен,
так как при этом волновая функция при х —>±со экспо-
ненциально возрастает. Итак, получаем Л— v. = k (k = О,
1,2, ...) и уровни энергии
,	?;Я Г1 i/ w । 1 о» Я2
к 2р.а21_2 V №	1 R 2 J •
Аналогично этому для выражения (3) находим, что условие
конечности волновой функции при х —>±со выполняется,
если
к — х —1 = / (/ = 0, 1, 2, ...)
откуда
Объединяя эти выражения, находим:
Е — fi2 Р Ъ/~8|хИ''да 11 Ч I ИТ
2^аЧ2 V Й2	V
(п = 0, 1,2, ...).
Число дискретных уровней равно наибольшему целому
числу Л/, удовлетворяющему неравенству
N<
1 8jxV0a2 , ,	1
2 V № "I- 1	2 •
Отметим, что полученный спектр энергий совпадает при
соответствующем выборе параметров со спектром для потен-
циала Морза (см. задачу 11 § 8).
12. В волновом уравнении 
£2 d2ii
2р. dx2
(£-Voctg*-Jx)<p = O
§ и
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
59
сделаем подстановку
—2Х
и.
Полагая
М(АГ+>-').
м
(£+V0),
приходим к следующему уравнению для и:
d^u . л . , r.xdu . 4л 2	,	_
-3-5 — 4 — Xctg — -—F-v(m2 — Х2)и = 0.
dx* a b a dx ' а? к
Введением независимой переменной
„ Т-Х
z - cos2--
а
последнее уравнение приводится к гипергеометрическому
г(1 __z)g + Г1 — (1 -2Х)zl g + е-X2)и = 0. (1)
Сравнивая с общим видом гипергеометрического уравнения
z(l_z)g+[T_(a+p+l)z]g_ap« = O,
находим параметры:
y =	а =—V — X. р=м — к.
Уравнение (1) имеет два решения. Одно из этих решений
отлично от нуля и конечно при z — 0 (этому значению
я \
соответствует х = I
«! = F (— v — К, м — X, -i-; zj.
Другое решение
и2	v	v — Х+у. у! zj
обращается в нуль при z = 0	= т=г) • Чтобы определить
поведение решений при z — 1 (это значение соответствует
60
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
двум значениям х = 0, х — а), воспользуемся соотношением
F (а., р, у; z) = (1 —z)~a F (а, у — [3, у; Д Для «t и и2 по-
лучаем:
u2 = Vz(l—z)+^ X
xf(_v-x+|, _v+x+i,	(3)
Для того чтобы выполнялось условие обращения в нуль
волновой функции ф при х = 0 и х = а, необходимо, чтобы
Z
ряды по степеням -—содержали конечное число членов.
Гипергеометрический ряд в выражении (2) для и1 обры-
вается, если либо
v-]-X — целое положительное число или нуль, либо
, 1
v — Л — —целое положительное число или нуль.
Однако условию ф = 0 при х = 0, х = а удовлетворяет
только второй случай
V — X — ^ = k (А==0, 1, ...).
Уровни энергии при этом
Ек = [(2*4- 1)24-4(2^+ 1));-2Х]^.	(4)
Аналогичное рассмотрение выражения (3) показывает,
что уровни энергии определяются условием
v —Х = / (/=1,2,3,...).	(5)
Выражения для уровней энергии (4) и (5) могут быть
объединены
тт2/)2
Еп = («2 + 4пХ — 2Х)	(п = 1, 2 , 3, ...).
При этом нечетным значениям « соответствуют волновые
функции
§ и
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
61

а четным п соответствуют
/	_-^\-2Х ЪХ
cos— X
а
П __	1	| 1	_
2	“1“ 2 ’ 2	2 ’ 2 ’
т.х \
; cos2-----1.
2 а )
Нормированная волновая функция основного состояния
2>-+1	/ 1 \
ф =
нуль и для уров-
ожидать, значения
Рассмотрим предельный случай Уо—>0. При этом задача
сводится к задаче с частицей в потенциальном ящике (см.
задачу 1, § 1). Величина к обращается в
ней энергии получим, как и следовало
к2Й2
Е = —iJ- п2
п 2у.а* '
В противоположном случае 1 для
(«<С*)
низших уровней
Еп —
(я = 1, 2, . ..),
где
<и =
Этот же результат можно получить, разлагая потенциаль-
ную энергию вблизи точки х—-^- и ограничиваясь квадра-
тичными членами.
13.	В рассматриваемом случае имеется только непре-
рывный энергетический спектр и собственные функции невы-
рождены.
Перейдем в уравнении Шредингера
-58-^+^=°
от координатного представления к импульсному; получим:
о (р) — Еа (р) = ihF а (р).
62	ОТВЕТЫ И РЕШЕНЙЯ
Решение этого уравнения, принадлежащее собственному зна-
чению Е, а^р) — се	представляет собой волно-
вую функцию в импульсном представлении. Произведем
нормировку функций а(р) на 8(Е— Е'):
J = 8(£—£')>
т. е.
„	(Е—Е'\
cc*Je^ dp = c^tzhFl (Е — Е')>
откуда
1
с - — —-.
У
Волновая функция в координатном представлении
Этот интеграл можно выразить через функцию Эйри Ф (9):
ф (V)=7^ J COS (S+ uq) du’ W = тЬ Ф 9)-
о	' 71
14.	Оператор Гамильтона при данном потенциале имеет
вид
Н = ^Р2 +	+ 4 Voe~bh .
Так как
е дРа(р)-а(р~\- bh),
то уравнение Шредингера будет представлено в виде урав-
нения в конечных разностях
Уа (р) + 4 V^a (Р+	+Т V^a (Р — bh) = Еа (р).
§ lj
ОДНОМЕРНОЕ ДВЙЖЕНЙЕ
63
15.
” со
k* 2a (k) + £ Vna (*+¥) = Еа {k)
— СО
(+°° Ъъпгх	\
V{x) = ^vy~b- , v„ = v:„l.
— co	‘
16.	Волновая функция в области ямы 0 < х < а имеет
вид	________________________________
6 — с1е7Х1Ж --|— c2e~ir>x, y.t =	,
а в области барьера —b < х < О
6 = ~Ь	х2 —	——.
Так как 4(х) = const • ф(х-)-/) (const равна по модулю еди-
нице, I = а-$- b), то в области следующего барьера а < х <
< «+#
= eiW(Caei«a(i»-0 -|-
Из требования непрерывности волновой функции и ее пер-
вой производной в точках х = 0, х = а получаем четыре
уравнения:
Ci —|- с2 = с3 —|- ct,
^^гх,а_|_	— giM (csg-i*J> —c^g^^),
Х1(С1 —с2) = х2(с3 —с4),
xx (c1eix‘“ — с2е~гх*а) = z.2 (c3e~’Xab — c4eiXa,J) eikl.
Эта система имеет нетривиальное решение только тогда,
когда'
cos kl = cos v^a  cos v.2b -
--------sin v,.a • sin v.2b.
2XJ7.2
(1)
Исследуем два случая:
а) Е Vo, z-г — мнимая
Введя обозначение х2 — iv.,
величина.
перепишем уравнение (1) в
2	2
X --XJ
coskl = cosк±а • chv.b-|---2xx~ s*ny'1G ‘
виде
(2)
64
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таким образом, разрешенные зоны энергии определяются
из соотношения
2	2
у. — х.
— 1-.< cos х.о • ch уЬ -I----sin z-.fi • sh vb 1.
' JxfZ.	*
Для выяснения общих закономерностей в расположении раз-
решенных зон рассмотрим предельный случай
п	и
Введем обозначение ab = у. Тогда соотношение (2) при-
ближенно будет иметь вид
cos /га = у	—[-cos^fi.	(3)
На рис. 19 изображена функция (у	+ cos	на оси
абсцисс отложены значения v.jfi. Дозволенные зоны энергии
отмечены на оси v.^a жирными линиями.
В каждой точке = справа примыкает зона запре-
щенной энергии. Из приведенного графика видно, что запре-
щенные зоны энергии с возрастанием номера зоны делаются
уже. Легко оценить ширину запрещенных зон. Левая часть
выражения (3) принимает значения (— 1)”, когда
cos(x1fi — <P)=(—l)” coses, tg<p = -b-,
§ и
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
65
что возможно при v^a-nn и при v^a = п~ -j- 2®. Отсюда
следует, что ширина запрещенных зон энергии составляет 2®.
При больших значениях п
2®
I
те ’
б) Е > Vj,. В этом случае энергетические зоны опреде-
ляются из соотношения
1 + 4
— 1 cos • cos 7..J)
sin v^a • sin к2Ь -|- 1.
17. Уровни энергии En определяются из правила кван-
тования Бора
(1)
где
xt и х2—точки поворота, определяемые из условия р=0
(при этом Еп < 0 для рассматриваемого случая дискретного
спектра). Для вычисления интеграла

дифференцируем обе части по Е. При этом производная
от интеграла по верхнему и нижнему пределам обращается
в нуль, так как в точках хх и х2 подкоренное выражение
равно нулю.
Таким образом,
5 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
66
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Заменой переменной sh — = z последний интеграл приво-
дится к следующему виду:
di i‘	dz	[ля
— = и.а - 	.	-	— = —— ' - л.
dE J	+z2)+Ц)] 2[лЕ
Si
Отсюда находим
I (Е) = — /— 2[Ю2Е тг -|- С.
Постоянная С определяется из того условия, что при
Е =— VQ область интегрирования стягивается в точку и
/(-Ио) = О,
откуда	____ ____ ________
I (Е) = /2^ (/Йо — /=Ё) к.
Таким образом, в квазиклассическом приближении уровни
энергии определяются следующим выражением:
£- = - [/т1 - (“+ 4)Г <» = °. 1 • 2. •  •). (2)
Число уровней N = —а. Отметим, что вычисление
уровней энергии с помощью правила квантования (1) явля-
ется законным, если число уровней велико, т. е.
2[ла21/0 _ .
й2	*•
При выполнении этого условия выражение для уровней
энергии (2) совпадает с точной формулой для Еп, получен-
ной в задаче 11, § 1.
18. а) E„=(n+y)fi(o (п = 0, 1, 2, ...),
_#г г» , (п , 1Y]2—г
2|ЛД2 [И Я2Й2	2JJ
(n=0, 1, 2, ...).
19. Среднее значение кинетической энергии в стационар-
ном состоянии <]>п (волновая функция предполагается веще-
ственной)
Т =	фи—i^dx = fr- 1-^-) dx.
2|л J Tn dx2 2р. J \dx /
§ il
Одномерное движение
67
В квазиклйсСическом приближении в классически доступной
области (а < х < Ь) волновая функция имеет вид
(ОС	\
у ( pdx — ^Д, р = >%(£„—V),
й J	4 1
При подстановке этого выражения в интеграл, определяю-
щий Т, пределы интегрирования можно ограничить класси-
чески доступной областью, так как вне этой области
экспоненциально убывает. Заменяя квадраты сильно осцил-
лирующих тригонометрических функций на их среднее зна-
1 ,
чение -g- и пренебрегая интегралом, содержащим осцилли-
Условие применимости квазиклассического приближения
I 1 = Д1	1	1 означает, что второй член под знаком
I dx I р2 | dx I	г
интеграла мал по сравнению с первым, поэтому, воспользо-
вавшись условием квантования, находим:
_ A? f	А„	i Ь
Т = ~ pdx = -^-r.h{n+^\.
4р J г 4р	\ 1 2 /
а
5*
68
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Постоянная Ап определяется из условия нормировки
С другой стороны, дифференцируя условие квантования
ь	ь
I р dx = [ /2р.(Еп — V0)dx
а	а
по п, получаем:
ь	ь
dEn Г dx ____________ dEn Г dx
И dn J /2p.(£„— V) ~~ И dn J p
a	a
откуда
.2 _ 2|л dEn
An тЛ dn '
Выражение для средней кинетической энергии после подста-
новки последнего равенства принимает вид
21. Из теоремы вириала следует:
откуда
27’=vV\
Подставляя в это
ческой энергии
соотношение значение средней кинети-
Т 1 dEn
~ 2 dn
(ге+4)
(см. предыдущую задачу), получаем уравнение
„	2 + '<dE
2v dn
(rt+y)’
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
69
решение которого имеет вид
2-J
Е = const (п yj2+'1
22. В качестве исходного уравнения возьмем условие
квантования Бора
SCs
J [Е — V (х)] dx = "h (п + у),
О’,
определяющее спектр, точнее п(Е), если задана потенциаль-
ная энергия V (х). Поскольку по условию К(х)— четная
функция
а
2 J" ]/% [Е —V(x)] dx = тЛ (п 4-1) ,	(1)
о
где х2 = — xt — a, E = V(d).
Задача, таким образом, сводится к отысканию решения
интёгрального уравнения (1), которое имеет вид*)
v
h f dE
J ’
dE
где x(V) — функция, обратная V (x), a — рассматривается
как функция E; Eo —начало отсчета энергии.
§ 2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
1. В области металла (х < 0) общий вид волновой функ-
ции принадлежащей собственному значению Е, следующий:
= be'i,x	х =
h
*) Настоящая задача тесно связана со следующей задачей
классической механики: дан период колебаний как функция энергии
частицы, требуется найти потенциальную энергию (см. Ландау и
Пятигорский, «Механика», Гостехиздат, 1940, где даио решение
этой задачи)
70
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В области х > 0 собственная функция имеет вид волны,
бегущей из металла
= aeikx, где k ~	.
111 11
На границе металла волновые функции и <рп и их произ-
водные должны удовлетворять условию непрерывности
Фц(О) = Ф1(О), а = Ь+с,
%'1(0) = ф[(0), ak = (b— с)х.
Отношение плотности потока отраженной волны к плотности
потока падающей дает коэффициент отражения
0 U + V ~V /£ + Vo+ (УЁ+То+ '
Если энергия электрона Е — 0, коэффициент отражения
Ro = 1 с возрастанием энергии /?0 быстро уменьшается;
при E^>V0
16£2 •
В другом предельном случае Е <<^ Vo
Для нормальных металлов lz0~ 10 эв. При этом коэффициент
отражения для электронов с энергией £=0,1 эв
£о=О,67.
2. В уравнении Шредингера
Л2,Л/	1 -2^ “ произведем подстановку Е = — е~1г, ф = Г	£ + -^М-Ь = 0	(1) k ' еа + 1 / ikau(^), где k =
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
71
Для функции и(£) получим гипергеометрическое уравнение
£ (1 —£)«" + ( 1 — 2ika) (1 — 0 и' — х2с2й = О

Решение уравнения (1), которое при х->оо (5->0) является
конечным и асимптотически представляет бегущую волну ceikx,
имеет вид
ф = ceikxF {i(x — k)a, —1—2ika, —e a }
Для того чтобы найти коэффициент отражения, необхо-
димо определить вид волновой функции внутри металла
(х —> — сю):
ф ~ С Г (1 — 2z£a) Г (—2z£cz) 
•	Г(— ?(х + Л)«)Г (l^i(k-j-v.)a)
Г (1 — 2т/гд) Г (2/fea)_
"т- С Г (Z (-л — k) а) Г (1 -р I (х — k) а)

Отсюда находим коэффициент отражения
Р _ IГ (2Z/ca) г (— I (% 4- k) а) Г (1 — I (% 4- k) а) |2 sh2 -.a (к — А)
Ка I Г (— 2lka) Г (I (х — k) а) Г (1 4- I (х — k) а) “
sh2 ла (-л -|- k)
При вычислении Ra надо воспользоваться следующими соот-
ношениями:
Г(2 4-1) = 2Г(2),
Г(2)Г(1— z)
71
sin T.Z ’
Г*(гх) = Г(—/х).
(х — действительное число). При я->0 формула для коэффи-
циента отражения переходит в выражение для Ro в случае
прямоугольной потенциальной стенки (см. предыдущую
задачу).
Легко убедиться, что имеет место неравенство Ra < Ro,
т. е. коэффициент отражения в случае плавного изменения
потенциала меньше, чем в случае скачкообразного изменения.
Для а — 1А, V0=10 5s, £ = 0,1 ав находим 7?а = 0,235.
72
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.	Рассмотрим поток частиц с энергией Е < Vo, движу-
щихся слева направо. В области III волновая функция пред-
ставляет собой прошедшую волну
В области / имеется как падающая, так и отраженная волны

В области II общее решение уравнения Шредингера
имеет вид
фп =	4- В2е~™, у. = У2й-(Ро~Д)
Коэффициенты A, Bv В2, С определяются из условий непре-
рывности волновой функции и ее первой производной.
В точке х = 0 эти условия приводят к соотношениям:
НЛ=В1+В2
ik(l —Л) = v-{B1 — В2).
Соответственно в точке х = а имеем:
в2е-уа = Ceika,
у. {Bie,a — В2е~Уа) = lkCeilia.
Из этих уравнений находим:
А — С № + Y'2 p il:a (о7.а
41^ 6 (е
В^С-
_	_ CWo c?a-c~xn eika
№ 4ikv.
_1_ (J I gika—y-a
Поскольку принятое выражение для падающей волны в <pj
имело вид eikx, коэффициент прохождения
D = СС\
§ 21
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
73
Вычисление дает:
_____________4й2-/2_____________
(А3 4- г.2)3 sh2 чл -|- 4й'-7.3 ’
Отметим, что коэффициент прохождения стремится к нулю
при переходе к классической механике, т. е. при Й—>0.
Если	(т. е. (Vo—	Д, то выражение
для коэффициента прохождения принимает более простой вид
2У2р.(Г„-В)
h
а
Рассмотрим два конкретных примера:
а)	Электрон с Е — 1 эв проходит через потенциальный
барьер lz0 = 2 эв и а = 1 А. Для D получаем значение 0,777,
б)	Пусть теперь на тот же потенциальный барьер падает
протон с той же энергией. В этом случае оказывается, что
коэффициент прохождения делается исчезающе малым
0 = 3,6 •
4.
n (k2 — ч.2) sin2 ч.а
К ~ 4А2/^ ф- (k2 — %2) sin3 ч.а

tl
5. Для случая Е < Vo волновая функция может быть
получена из выражения для волновых функций задачи 11
§ 1 изменением знака у Е и Vo.
Общий вид волновой функции, относящейся к энергии Е
где
Коэффициенты сл и с2
при х —> + 00 волновая
определяются из того условия, что
функция имеет асимптотический вид
ф eihx_
74
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для нахождения асимптотического вида (1) воспользуемся
соотношением
F(«, г.	«+1-Т, =4-!—?; |)+
Отсюда находим:
фЖ4-со~(- 1)2X{(CiA — Мг)( — у)
(1 \ *? It О.
— I)	(2)
(	.	/1 \-ika
,?а:4 + со~|(С1АЧ-М2)(-2-)
н-с2В2)	(3)
где для удобства введены обозначения
Различие в знаке перед коэффициентом с2 в выражениях
(2) и (3) объясняется тем, что sh функция нечетная и
второй член выражения (1) меняет знак при переходе от
положительных к отрицательным значениям х.
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
75
Требование того, чтобы на -|-со была только про-
шедшая волна, приводит к следующей связи коэффициентов
cL и с2:
С1-^1 Н~ С2^2 == О-
При этом коэффициент прохождения будет иметь вид
Г) __ I С1 Ч~ с2^2 I2
I Ci-Ai — Cgj4212
Подставляя в последнее выражение значения коэффициентов
Av Аг, В1г Вг и производя несложные преобразования, по-
лучим окончательно:
sh2 ~ka
sh2-йа + cos2 1 —
И
£)____	sh2 nka
slV^Ae-j-ch2^]/"	1)
если
8|лУ0а2	.
й2 '
если
8|лУ0я2	.
й2
6.	Потенциальная энергия электрона имеет вид, изобра-
женный на рис. 10. Коэффициент прохождения
—Г2р.(| E\-Fx)do>
D^e ‘ о
где точки х = 0, х = х0 — —— ограничивают область, не-
доступную частице согласно классической механике. Произ-
водя вычисление интеграла в экспоненте, находим:
4 1 2;-л
3 ЛД
(О
Для выяснения вопроса о границах применимости этого
результата заметим, что квазиклассическое рассмотрение
неприменимо вблизи классической точки поворота х0 внутри
/ й \^3
области х—х0 <	 Формула (1) применима в том
~ ’	л	|£1
случае, если эта область меньше ширины барьера х0 =
76
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таким образом, это требование эквивалентно требова-
нию малости коэффициента прохождения D<^1.
Коэффициент прохождения D быстро убывает с ростом
| Е | и растет с увеличением F (см. таблицу 1).
7.	Суммарная потенциальная энергия
V = —Fx —
ё>-
4х'
Следует заметить, что это выражение при малых х (по-
рядка атомного расстояния) становится непригодным. Однако
для вычисления коэффициента прохождения точный ход по-
тенциала вблизи этой области несущественен.
Коэффициент прохождения
Причем точки поворота xt и х2 определяются из условия
обращения в нуль классического импульса частицы
р = \/~ Ц|£|-^-£) = о,
V _|£|± V
ь 2 ~ 2F
интеграл
а?3
J р dx = ]Л2р. J |/" |Е| — Fx—~^dx
Xj	хг
представляет собою полный эллиптический интеграл. Заме-
ть
ной независимой переменной х = £ интеграл сводится
к функции одного параметра
( л 2	1£|3/з / ч VeV
J Pdx = -3 V2р. ^-^-^(у), у =-[£]-•
Таблица 1
Коэффициент прохождения	—
Р	10®	5.10°	Ю7	2-107	3-101	5-101	108 — СМ
Без силы электрического изображения							
£ = —2е	Ю-84	1,3-10“17	3,5 • 10“9	6-10“5	1,5-Ю"3	0,02	0,14
Е = — Зе	Ю-154	1,3-10"31	3,5 -10“13	19-Ю-8	7-10“®	8-10“4	0,029
£ = —5е	Ю-332	4-10“67	6- 10“м	2,5  10“17	10“и	2,5-10“7	5 • 10“4
С силой электрического изображения							
£ = —2е	1о-8О	8 • 10—15	1,3-10“®	0,013	1*)	1	1
£ = —Зе	10-15°	5-10-28	7 • 10“14	2,3.10“®	7•10“4	0,07	1
Е = — 5 в	Ю-328	8 • 10-®5	10“ 31	2 -10“15	6- 1О“10	10“5	0,01
*) Равенство единице коэффициента прохождения означает, что выход классической механикой.						электрона допускается	
прохождение через еАрьер
78
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
^2	__________
Здесь <р(_у) = J ]/" 1 —-----пределы Интеграции £2
определяются из условия обращения в нуль подкоренного
4 /---------------------------------------I Е
выражения. Вводя обозначение kQ ~= д-J/ 2р.	1 , получим
D =	W).
Отметим, что коэффициент прохождения без учета элек-
трического изображения (_у = 0) D = e~k^ (см. задачу 6).
Значения (_у) приведены в таблице 2. Влияние силы элек-
трического изображения на коэффициент прохождения через
потенциальный барьер можно уяснить из данных таблицы 1
Таблица 2
У	0	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
<f (У)	1,000	0,951	0,904	0,849	0,781	0,696	0,603	0,494	0,345	0,000
8. Волновая функция имеет следующий вид:
бг = A sin kx
411 =	+в^,
О < х < а,
а < х < а-\-Ь,
(pm =Csin/j(2« + ^ — х)> «+/><-£< 2а
здесь
. 	 V 2p.(izo —£)
Условия непрерывности волновой функции и ее производ-
ной приводят к следующим соотношениям:
A sin ka =	-f- В2е~уа,
Ak cos ka = v. (В^70 — В2е~7а),
В^7 (а+ь>	В2е~7 (а+ъ'> = С sin ka,
v-^B^e7 <a+b> — В2е~7 (а+ъ'>) = — Ck cos ka.
2]
ПРОХОЖДЕНИЙ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
79
Исключая из этих уравнений Bt и В2, находим:
(у tg^ + 1) Ае'ь=(^ tgka — 1)с,
(— tg ka— Q Ле-хЬ — (у tg /г« 4* ЙС.
Из условия обращения в нуль детерминанта
получаем:
(у tg ^«4-1) e7b = =t (у tg ka — 1).
Это уравнение определяет уровни энергии.
Воспользовавшись неравенством
последнее уравнение можно приближенно представить в сле-
дующем виде:
tg/ja = —+ е-хЬ.
Правая часть равенства представляет собою малую вели-
чину. В нулевом приближении получаем (&<С4):
, __пт. _(о)_____n2T?h2
—значения энергии для частицы в потенциальном ящике
(см. задачу 1 § 1). В следующем приближении
, пп
К = —•
а
р ____ р(°)
- —- qz 2 — “ е
2f(°)	F<°>
л сп
----4 ------- £
аг/ о
(п = 1, 2, 3, ...),
_ ]/% (v0-£<^)
Х0 —
й
Первые два члена Е^ =	------- не зависят откидают
а'/.о
приближенные значения уровней энергии для частицы в по-
тенциальной яме, изображенной на рис. 20 (Ь со).
80
ОТВЕТЫ Й РЕШЕНИЯ
В этом приближении уровни двукратно вырождены; это
соответствует возможности нахождения частицы как в об-
ласти I. так и в области III. Учет конечности Ь, т. е.
Рис. 20.
возможности прохождения ча-
стицы через потенциальный
барьер, приводит к расщепле-
нию уровней. Это расщепление
экспоненциально мало. Найдем
в рассматриваемом приближе-
нии коэффициенты А, Bv В2
и С. Нижнему уровню
р(О)
алп
соответствуют такие коэффициенты
В.	= (—	А
С==Л,
В2 = (—	А.
Верхнему уровню
Н°)
Е.+ = Е £>+ 4 —
соответствуют коэффициенты
В. == —(—	! Ь>Л,
1	’	'''о
С= — А,
В2 = (—
2 ''«
Значение А, определяемое из условия нормировки, равно
—(при вычислении нормировочного интеграла долей, вно-
У а
симой областью II, можно пренебречь).
Таким образом, нижнему уровню соответствует волновая
функция
4, = -4= sin kx,
/ а
6ц =(  I)”"1—L=— { е-’'Л®-а)4-е-’'-.(а + Ь-Ж, I,
‘	V av^
Ощ = -4= sin k (2а -ф- Ь — х).
У а
§ 21
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
81
Соответственно для верхнего уровня находим:
фг — —= Sin kx,
У а
фп — (—	1—^0 1 е-хо(ж-а) е-Ма+6-а>)1 ,
У а 7.0
<рш =------т= sin k (2а 4- b — х).
Внтиоимметричные Волновые функции
[Верхний под,уровень)
Симметричные Волновые функции,
(ншкний подуровень)
Рис. 21.
На рис. 21 приведены графики волновых функций для
n = 1 и п = 4.
б Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Крпвчекков
82
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
9. Для волновой функции в области х < — b имеем:
-ь
-~f IP14.V
-	.. С_р	№
VW\
(решение на бесконечности
В области b < х < — а
должно обращаться в нуль).
В области —
4 = се
—а
2L Т / 1,,1л
4 е -L
. л
— г-—-
е 4
2 УЙ
1 .fWr( /т -т J
- Ъ J к g -а
(2 У|р|
X
.л 1 г
е~1т -й J
-4- -____ е
У 1/^1
+ а	ч- а
с /! 7“ \ ~т I I f
=WrsinР J pdx]e ~a e x +
§ 21
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
83
, 2с
Д—^=cos
УЫ
IP I dx
Для а < х < + Ъ получаем аналогично:
6*
84
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для того чтобы решение при х —> + оо стремилось
X
у J" IР I dx
к нулю, необходимо, чтобы коэффициент при е 6
обращался в нуль, т. е.
+а
/if	\
—sin217Г prix] е ~а +
\ а	I
+ а
/1 Г	\	J
-|-4cos2l-g- | pdxle ~a =0,
\ a	J
откуда
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
85
Считая прозрачность барьера малой величиной, получаем
условие для определения уровней энергии
£
fi
— а
| р I dx
Обозначим через уровни энергии отдельной потенциаль-
ной ямы
| J	V)dx^T.(n + ^.
Уровни энергии в двойной яме Еп = У„-\- ЬЕп найдем из
полученного условия квантования, разлагая }/г2р(£'п—V)
в ряд по Д/?ге и ограничиваясь линейным членом по ДЕП
^Еп fi j
dx
-а
I Р I dx

или
где о) — циклическая частота классического движения в от-
ft
„ 2л о Г dx
дельной яме — = 2ч —.
ш 1 J р
а
Расщепление уровня Еп равно 2 | Д/?ге |.
4-СС
86
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
11. В области п-го потенциального барьера Ъп < х
an+i волновую функцию запишем в виде
РI dx
/|р|
Ч—
/|р|
-L1
| р | dx 1
/|р|
D.
ьп
Pl
dx
“п+1
ап+1
р \d.r _ A. f
D,
-~'L е. Ъ'
<1 Р\
потенниаль-
эту функцию в область (n-f-!)"1,0
°п+2> будем иметь:
продолжая
ного барьера b,t
cos
р I dx
Г|р|
, 1
Ф = —^=е
V\р I
Ф
е
е
§ 21
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
87
Введем обозначения
Тогда предыдущее выражение для ф в области (п-ф-1)-го
барьера преобразуется к виду
—у J IРI
ф—--^===е 6«+i |^e“Tcoso-[-D7(eTsina|-4-
а?
t Т
-I-----—-е. «+1	{—С„е~т sin с-4-2D„e’cos а!~-
/1р|	1	1
х	со
-4- f । р и® -4- f । pi «г.»
=	„ Ьп+1	—L P”+ke bn+i
V\p I	V\p\
где
c
C?i+i = -y- e~~ cos a -|- Dne~ sin a,
Dn+1 — — Cne~~ sin a c2Dnex cos a.
Связь коэффициентов Cn+1, Dn+i c Cn, Dn удобно предста-
вить в матричной форме
(Спи\ /-i-e'-coso е~ sin a \ /Сп\ ICn\
=	• U)
^n+il	\—e~Tsina 2e cosa/ \Dn/ \Dn/
Применяя соотношение (1) последовательно N раз, получим
связь между CN, Dy и Со, Do:
1	N
(Су\	I^7е ^cosc ех sin с \ /Со\	/^о\
* = =
Dy]	\ — г"" sin с 2e'tcoso/ \D0 ]	\D0 /
88
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Волновая функция стационарного состояния должна убывать
как при х <С Ор так и при х ~^> Ь^, поэтому надо потребо-
вать, чтобы Со — Dn = 0. Легко видеть, что для этого
должен обратиться в нуль элемент (А;')22. Условие (Л^)22=0
определит энергетический спектр задачи. Чтобы вычислить
этот матричный элемент, рассмотрим матрицу
5 = •••
Как нетрудно убедиться непосредственно, матрица S удо-
влетворяет уравнению
(2)
с начальным условием
5(0) =1.
Запишем уравнение (2) более подробно
j^- = aSn + pS21,
^ = I511+8S21,
^2=a512 + pS22,
^=I512 + 8S22.
Поскольку условие, определяющее спектр энергий, может
быть записано в виде
= 0,
достаточно рассмотреть вторую пару уравнений.
Полагая S12 = feu, S22 — geu, получаем:
gX = T/-|-8g-.
Значения X определятся из уравнения
а — }-
7
8 —X
= 0, X2 — х^2ет-|--^-е—Acosa-|-1 = 0,
§ 2]	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР	89
которое дает два корня Хт и Х2. Ввиду того, что Ь
можно Xj 2 представить в виде
К г= e±iu,
где
cos и = {е1 -4-4-е cose.
\	4-	/
Если Xj-^Xg, то решение, удовлетворяющее начальным усло-
виям S12(0) = 0, S22(0)=l, имеет вид
S12 = р (ем — ew),
с ___(>-t — a) eKt — (Х2 — а) Л*
О 22 	у  у	•
Л1 Л2
Условие, определяющее энергетический спектр задачи, те-
перь запишется следующим образом:
=—— (Х2 — a)Xf}=0.
\ at / t~o л, — Л2
ПодставИхМ в это выражение значения
X » —/>±ги
Л1, 2 — ь
и пренебрежем в формуле, определяющей coszz, что
эквивалентно предположению о малой величине проницае-
мости:
cos и 'z excos а.
При этом предположении условие, определяющее уровни
энергии, приобретает простой вид
sin (N 4-1) и Q
sin и
Это уравнение имеет следующие корни:
пт.
И~т7+Т’
за исключением и = 0, эт, 2к.
При этом coszz имеет N различных значений
пт.
cos и = cos	г—г	е- cos а
2V-f-1
(n= 1, 2, .... N),
90
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Более подробно
«а
6,	--L J|P|^
cos I Т Г Л Г е 61 Cos (n ~ ’ 2> • • • • N).
\	(11	/
~7Г f lp<dx
Так как е 6> малая величина, то последнее соот-
ношение можно переписать в виде
tta
—4 f I Р I d.i:
у I = jj + e	cos-^q-y (3)
а,
(m = 0, 1,2,...) (n = 1, 2, ... N).
Это есть условие для определения энергетических уровней
в поле V (х). Оно очень похоже на условие квантования для
поля отдельной ямы. Из рассмотрения (3) можно заключить,
что энергетический спектр в поле V (х) представляет собой,
грубо говоря, энергетический спектр отдельной ямы, все
уровни которого расщеплены на W подуровней. Определим
величину смещения Ь.Ет'.
6,	ъ,
11 1Л2«(Е»» —+ f =	-i£,„ —
_J_ f I V I dx
= Tt(w+2')+e Ь‘ cos^q- (n=l, 2, ..., N),
откуда, вводя обозначение
г>,	6,
л ( dx	I	dx
— = И —• = H ~ г 	•
L4]	Li-j	•	\ Но	J
получим:
«2
~'Т f 1 р 1 dx
к.Ет = — е ь‘ cos  (п==1, 2, ..., N).
т -В	N И- 1
91
§ 2]	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
Расстояние между верхним и нижним подуровнями равно
cos
12. В области х < — Ъ по смыслу задачи имеется только
уходящая в—со волна, т. е.
Продолжая это решение в область х > Ъ, получаем следую-
щее выражение для волновой функции:
Квазистационарные уровни определятся из условия отсут-
ствия приходящей из -4-со волны.
92
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Приравнивая второй член в последнем выражении нулю,
получаем:
1
g-exp
малой величиной, найдем, что
+а
f .	/ . 1 \ I
| pdx In + 2-)—"2ехР
-а
откуда следует условие для определения квазистационарных
уровней и их ширины Г.
~а
— | У2р (Е°— У) dx — (п Ц-у) тг (n = 0, 1, 2, ...)
-а
(Ь	\
2 f I । , I Т1
~-fij \p\dx I =г,-
1 дс	а	'
(Ь dx \ -1
I1 J /2р(4-У)’	•
§ 3]
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
93
Для коэффициента прохождения получаем следующее зна-
чение:

При значении Е, совпадающем с одним из квазиуровней,
D (£„) = 1. При | АД | < | Еп | имеем:
D (Еп + ДД) = Г2 (Д£)2.
На рис. 22 изображено поведение D(E) вблизи квазиуровня.
§ 3.	ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. СООТНОШЕНИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. РАСПЛЫВАНИЕ ПАКЕТОВ
1.	Рассмотрим сначала случай дискретного набора вол-
новых функций ф4. Средние значения операторов А и В в со-
стоянии, характеризуемом функцией ф (ф = 2 йгФг)> равны
Д = 2 a*i^ikak<
i, к
в = 2 aiBijflk.
i, к
Составим неотрицательную величину
= 2 12 (Aik 4“ i-l-Bik) аД J 21 (Ац +	аД^>0
iik	J I г	I
(здесь X — действительный параметр).
Собирая члены с одинаковыми степенями X и пользуясь
эрмитовостью операторов А и В (Aik==Aki,Bik==Bki), находим:
/(X) = 2 {акАк{А{1аг -}- й.ак (AkiBa — BkiAit) ог +
г, к, I
+Ka*kBkiBiiai} = J2 4-Xd
Здесь С — эрмитовский оператор
С = 1(ДВ — В А).
94
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Квадратичная форма J(X) является неотрицательной и, таким
образом, 4Д2В2^>(д) . Замечая, что операторы АД = А—А
и ЬВ = В— В удовлетворяют тому же соотношению ком-
мутации, что А к В
ЬАЬВ — ЬВЬА = 1С,
получаем:
К(АД)2 (ДВ)2>	.
Доказательство этого соотношения для непрерывного набора
можно провести аналогичным способом. Выражение
J(X)= J {(Л-4-£ХВ)ф}* {(Л + дХВ)ф) dx,
где X — действительное число, является неотрицательным и
может быть преобразовано следующим образом:
J(X) = J {(Лф)* —ZX (Вф)*} {Лф -Н’ХВф} dx =
= j" {ф*Л2ф + «Хф* (Лв - В А) ф -4- Х2ф*В2ф} dx.
Действительно, в силу эрмитовости оператора А
J (Лф*) <odx = J" ф*Л® dx.
Последующая часть доказательства проводится так же, как
и ранее.
2.	(Д^(ДВ7>^
3.	Энергия осциллятора в стационарном состоянии
,, f 1 / i Хх2! , / ч л Р'3 । Хх2
£= J + '^dx = + т;
так как
? = (p—J)2 -Нв)2 = (р¥+ (>
х2 = (Ах)2 -|- (х)2
и
р = 0 х = О,
др 2
др
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
95
§ 3]
то
F.JM8 , Л(Дх)2
2р. ~г 2	•
-- А "	.А ‘ tfc
Из соотношения неопределенностей (А/?)2 • (Ах)2	— следует
8|л(Дх)2	2
Выражение в правой части принимает минимальное значе-
ние при
при этом
р	jLi/ _______й®
'"in	2 У — — ~2~’
-Г k
где и = 1/-------частота осциллятора,
г р.
4.	В рассматриваемом случае можно пренебречь экрани-
рованием поля ядра другими электронами.
Энергия /(-электрона
Е =	-------Г'
Поскольку р~ — , где г — размер области локализации
___________________________(1)
2р.г2 г •	( '
Это выражение принимает минимальное значение при
г = -	(а = 0,529 • 10”8 см — радиус первой орбиты
Бора).
При этом энергия
Е-----—Z2. 13,5 5С.
Если учесть релятивистские поправки на изменение массы,
то выражение (1) примет вид
96
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда находим значение энергии
Е> р.ос2 {(1 —a2Z2)‘«—1}, где а = -|~.
5.	Пусть размер области локализации первого и вто-
рого электрона и г2. Тогда импульсы электронов на
основании соотношения неопределенностей соответственно
равны
так что кинетическая энергия порядка величины
Я2 / J Jl\
2;j- \ z‘i	z'i / 
Потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром
заряда Z равна
и энергия взаимодействия электронов между собой порядка
^2
---:--. Для того чтобы найти энергию основного состоя-
г1~|~ г2
ния, найдем минимум полной энергии
£(/1. r2) = V
е2
Н + Г2 '
Минимум осуществляется при значениях
_ _ й2 1
Г1 Г2 р-е2 7________1_ ’
Z 4
Таким образом, энергия основного состояния иона с двумя
электронами и зарядом ядра Z равна

Сравнение с опытными данными показывает хорошее согла-
сие, если принять при этом во внимание чрезвычайную про-
стоту расчета.
§ 31
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
97
	Н-	Не	Li+	Ве + +	В + + +	С+ + + +
ГЧ Гч сд и Я 5" § -= И и $ $	— 1,125 --1,05	— 6,125 — 5,807	— 15,12 — 14,56	— 28,12 — 27,31	— 45,12 — 44,06	— 66,12 — 64,8
6.	Не могут.
7.	р0 — среднее значение импульса частицы.
8.	Для доказательства воспользуемся операторным соот-
ношением, которое справедливо, если гамильтониан не
зависит явно от времени и нет магнитного поля
p=~{Hr — г И).
Среднее значение р в состоянии ф дискретного спектра
В силу самосопряженности Н
р | {НЧ? • г6 — ^гН'Ь} dt.
Так как для стационарного состояния
Щ = Е^, НЧ? = Е4?,
окончательно получим:
р = 0.
9.	Волновая функция ф (х, t) свободной частицы опре-
деляется через '}(х, 0) следующим образом:
1 Г	< I /	п2 \ 1
— со . где 4-со 1	Г а(р) =	—	t>(x, 0)е й dx _ 1 ~ (2лй),/2	рх-%	dp' ср(х)е	й	dx.
7 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
98
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Функция а(р) заметно отличается от нуля только при тех
значениях р, для которых выполнено соотношение
1/?0 —Л>1 § <
Так как при выполнении этого соотношения осциллирующий
i(Ра—р)^
множитель е h мало изменяется при изменении х
в области
— о < х <-j- 8,
то <p(x, f) можно приближенно представить в виде
а
^“+Т
^-'t-
или
2
( i / Ро ,\] 1 £
ф(*> О»---------	,	| о(р+ро)Х
(2лЙ)'“	*'
X ехР {+ тг (х - Т 0 ~ V Z]H-
Из последнего соотношения следует, что волновая функ-
ция 6(х, 0 будет заметно отлична от нуля лишь тогда,
когда осциллирующий множитель
РйЛ Р*
Р- )	2р.
мало изменяется при изменении р в пределах-------г- < р
Следовательно, размер волнового пакета
мент t по порядку равен
В МО-

Ы
2р.б
10.	Для решения задачи необходимо определить
вую функцию Ф (jc, t), удовлетворяющую уравнению
дингера
волно-
Шре-
1Й -хт- = Н'Ъ
dt ‘
(1)
§ 3]
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
99
и при t = 0 принимающую заданное значение i (х, 0).
Если Н не зависит явно от времени, уравнение (1) имеет
решения
ф„(х, /) = «р„(х)е й
где <р„(х)— не зависящие от времени собственные функции
оператора И
Щп(х) = Еп$п(х).
Найдем коэффициенты разложения (х, 0) по системе функ-
ции б„(х),
Ш. 0) = 2Мл(4 а„= f	0)Jx.
п	J
Е
-г— t
Функция %ontyn(x)e Л удовлетворяет уравнению (1) и
п
при / = 0 совпадает с (х, 0).
Таким образом,
Е
~i п t
4(Х, /)=	(х)е h
п
или
«ь (х, t) = fot (е, х) (е, о) at,	(3)
причем
-i^Lt
o^.*) = SO)We Л •
п
Итак, для решения поставленной задачи достаточно вычис-
лить функцию Грина Of(£, х) и воспользоваться уравне-
нием (3).
а)	В случае свободного движения собственные функции
4 (г) =  1
. 'Р'Ч'
г	Р2
р	F —• ——
и соответствующая функция Грина
J	₽)—Я1=
7*
100
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поскольку в соответствии с условиями задачи
ф (г, 0) =----Ц-ехр 1-^-
(г.о2)/• I Й
имеем:
*®-Ш(*Гйгх
х ех₽ F4+₽)2I Jp*
откуда находим:
для плотности вероятности получаем:
Из этого выражения видно, что центр тяжести пакета дви-
жется со скоростью Размер пакета 8f, вначале рав-
ный по порядку величины 8, увеличивается с течением вре-
мени по закону

но вид распределения по г остается по-прежнему гауссов-
ским. Оценим время т, в течение которого размеры пакета
изменяются на величину порядка первоначального размера
пакета
£>2н.
§ 3]
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
101
При линейные размеры пакета увеличиваются про-
порционально времени
Рассмотрим несколько конкретных примеров.
Для электрона, локализованного вначале в области
8 ~ 10-8 см т имеет порядок 10-1всек. Для «классической»
частицы |j. = 1 г 8= 10 Б см находим х = 1017 сек~
—'3 млрд. лет.
б)	Волновые функции при одномерном движении частицы
в однородном поле V = —Fx имеют вид (см. задачу 13 § 1)
+?° . (и? \
( г ("ч—’'«)	/ F\
^е(х) = А | е v 7du, q = (х -)—а,
— СО
где
{ 2p.f 4-	. а
Я '—' (—Е5—) *	•
\ Й2 /	2л V F
Вычислим функцию Грина
+°°	. Et
Gt(l,x) = f dEe~l * ^((=)фв(х) =
= Д2 f dEe^f/dudve^^^^,
где
= (? 4 4) “
Произведем сначала интегрирование по Е
+°°	. -и3	. ия . .
„	\	Г Г J J	-»—+!—+Л-иая
Gt (£, х)= A2 I I du dv е 3	3	X
X fdEe^^^ 4 =
~A2JJdudve 3	3	• —-—о («-]-———ти.
— CO
102
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Воспользовавшись свойствами 8-функции, произведем интег-
рирование по v и приведем выражение в экспоненте к виду,
удобному для последующего интегрирования по и:
4-со
х) = ^А2 f duexp^i-^У
— СО
. .Г , Ft . cfli .	,42 I / Ft \3
X [“ + 2afi + 2Ft X	12 \ ah ) +
+4^<x+?)+5hx~?)2)-
Окончательно для функции Грина получаем:
-ч=|-
При F —>0, как и следовало ожидать, это выражение пере-
ходит в функцию Грина для свободного одномерного дви-
жения. С помощью выражения (3) можно определить изме-
нение во времени волновой функции, заданной при t — 0
<J>(x, 0)
1	'''а
1 g 28s + й
!*
В результате вычислений получаем:
, , ,ч	1	1 \ р	2р / (. iht\ .
4 Н1+2ЙПГ‘“Р	ие2)+
I \ р2о4 /J	(	\	р2о</
о	1
В общем случае трехмерного движения в одномерном поле
с начальной волновой функцией
1	ip>r
^г’0)=тч?у№а' й
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
103
§ 3]
получаем:
о
Из этого выражения следует, что распределение плотности
вероятности сохраняет гауссовский вид, а центр тяжести
пакета движется согласно законам классической механики
равномерно-ускоренно. Изменение размера пакета с тече-
нием времени происходит так же, как и в отсутствии поля
(см. предыдущий пункт).
в) Собственные функции уравнения Шредингера
___х26 =Е 6
2р.	'	2	«•"
имеют следующий вид:
а2ж2
где
а==(^тг) ' си=2»ТП’у^’ £'» = й(0 (п+у)-
Искомая волновая функция й(х,t) согласно (2)
'i> {х, 0=5	(X) е 1 й ,	(4)
П
где
-фсо	(
.	(	,(х— Х(,)2 , /рох а2х2) ,
f/„ (ах) ехр а2----------1—g---------dx.
С целью вычисления ап воспользуемся выражением для про-
изводящей функции полиномов Чебышева — Эрмита
СО
(5)
п- 0
104
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
CL	г<
Легко видеть, что —— является коэффициентом при —г
спс	т
в разложении в ряд по X выражения
-j-co
f exp{- X2 + 2Хах_ °2+^_
— СО
В результате вычисления получаем:

;V0
2
После подстановки этого выражения в (4) оказывается воз-
можным произвести суммирование по п, используя снова
соотношение (5). В результате вычисления, вводя обозначение
xo+#r=Qe-iS,
и 1 /;а2
получаем:
Г а2
ф (х, t) = с exp J-?-[х—Qcos(<t>£-|- с)]2—/xQa2siti(<o/-^8)—
---+ a ® i [sin 2 («>/-ф- 8) — sin 23] j.
В этом случае при движении не происходит расплывания
волнового пакета. Центр тяжести движется по-прежнему по
законам классической механики, совершая гармонические
колебания с амплитудой Q и частотой и>. Из полученного
выражения для следует также, что средний импульс
в момент времени t равен величине
Р (t) = BQa2 sin (ш1 ф- 8),
т. е. классическому импульсу частицы в осцилляторе.
Выражение
ехр |----ф- а ® i [sin 2 (со/ ф- 8) — sin 28]}
может быть записано как
ехр
dt\.
§ 3]	ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ	105
11.	Рассмотрим оператор
a (s) = е^ае^,
где s — вспомогательный параметр, и найдем дифферен-
циальное уравнение, которому удовлетворяет a(s);
= ^е^ае~а^ — es^ae~b^L = [La ($)].
Продифференцируем это уравнение еще раз
rfys) da(s)l
dsz | J	v
(s)
Легко видеть, что производная  равна результату п
последовательных перестановок оператора L с операто-
ром a(s).
Представив теперь оператор
= а (1)
в виде ряда Тейлора
а(1) = а(0) 4—+	+ • • •
v ’ v ’ 1 ds 1 2! ds2 1
и выражая производные по s в точке s=0 через последо-
вательные перестановки оператора L с а(0)=а, получаем
доказательство соотношения, приведенного в условии задачи.
12.	Оператор Гамильтона
А=?х+-т^-ло*
выразим через операторы а и а+ (см. задачу 5 § 1)
H=hu>(a+a~lr^—	(a-ha+)
и будем искать решение уравнения Шредингера
в виде
ф (f) = с (t)	«+е₽ “ ет № « +«(— со).
106
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
При дифференцировании по t оператора, действующего
на ф(—со), необходимо иметь в виду, что а и а+ неком-
мутативны:
аа+ — а+а = [а, а+]=1.
Выражение для производной по времени
= (се““+е₽“ет“+“ -ф-сас+е““+е₽“ет«т« -ф-
+ сЬ “	+ су еад +efaa+ ае *“+“) ф (—
преобразуем так, чтобы оно имело вид
ф=Оеа“+е₽“ет“+“ф(—со),
где G — некоторый оператор. Рассмотрим сначала третий
член в правой части равенства, определяющего ф. Замечая,
что
[(а+)иа]= —п(а+)и-1,
находим:
еаа+а = (1 -ф- аа+ -ф- —--(-•••)« =
= (а — а)^1 -ф-аа+ -ф- ——1~ • • = («— а)е““т .
Поэтому третий член можем записать в виде
ср (а — а) с““ е₽ “е “ф (— со).
Аналогично преобразуем последний член
суса“+е₽“с+ае1'“+“ = суеа“ + («+« + ^)е₽“е1Г“+“ =
= су(а+сг—аа+-\-фа— аЗ)еаа е^аеуа а.
Итак,
G= с^а+а -ф- с (а — ау)а+-ф-с(Р~ф-ру)сг-ф- с — суоф
и для того, чтобы удовлетворить уравнению Шредингера,
мы должны потребовать, чтобы
ihG = Н.
₽(0=^^= f
2/?|j.<u J
§ 3]	ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ	107
Сравнивая коэффициенты при операторах а+а, а, а+ и сво-
бодные члены, получаем систему уравнений:
у — — iu>,
| = -/у+а(?-ЧЗ).
Решая эти уравнения с начальными условиями а(—оо) = 0,
р(—со) = 0, |с(—оо) | = 1, находим:
t
ip—iust (*	...
а (П = г_____: / (f) e™t at',
— CO
t
dt — ~- a* (0,
7 (t) — — iwt,
iwt lif	f
c (0 = e * exp{ — J dt'f(t') J dt"f(t") |.
I	—co	—co	)
Вероятность перехода из состояния (— оо) в n-е возбуж-
денное состояние при / = -|-со
VFn=lim I	(f) d x I = lim	e₽“eY“ “^(—oo)dx| .
t->co‘^	I t->col	1
Если начальное состояние было основным	(— оо) = 60,
то поскольку = 0, легко находим:
Далее, так как нормированные волновые функции имеют вид
ф„=^7=% (см- задачу 5 в) § 1),
у п\
то
со
108
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ввиду соотношений ортогональности Г ^tp/n dx = %>пт по-
лучаем:
VFn0= !im |c(Z)pl^P
t -> co
Из формул для a(f) и c(f) находим:
I
lim | c (f) |2 = exp {
t->co	I
1
2fip.<D
eiwt dt
Таким образом, окончательно для Wn0 получаем распределе-
ние Пуассона:
^ио
7Л’
где
1
V ~ 2Й[л«>
eiu)t di
а)	Для / (Z) = foe т“ находим:
к/2г2 -^1
2
6)	Для	---
2
g—2iot
2
13. Уравнение Шредингера
возмущающей силы имеет вид
.dtp Йг !
“’77 ^ ^ 2|Г dx3" '
Введем новую координату хг = х— £(Z), тогда
th J=п*	+1 Р.<7 (х,+о2'? -/(О (*!+?) ф-
dt дхг 2[л dXj 2
для осциллятора с учетом

§ 3]
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
109
Если положить
6 = ехр	0.
то для <р получим уравнение
/В	+ V !1<ц2а'?^ +	+ Г*0^—/)xd? — L<?>
at 2р. дх‘ 2
где L—функция Лагранжа Е = -^-р£2 §• Н,О)2В2+/(0 В по-
следнем выражении член (р.£ —|—(л-<*>2£—равен нулю,
потому что В, как функция времени, удовлетворяет класси-
ческому уравнению движения осциллятора под действием
возмущающей силы
Й'+р«>2В=/(0-
Если ввести еще новую функцию / следующим образом
(t \
Д Ldt I, то для функции / получим уравнение,
о /
совпадающее с уравнением движения свободного осциллятора
д/ ___________________ А2 д2/ .	~
11	дх^ 2~ Z’
Таким образом, волновую функцию осциллятора, подвер-
женного действию возмущающей силы, можно представить
в виде
(	г
ф(х, 0 = ZU —^]ехр ^-B(x-B)+4J Ldt}.
I	о
14. Будем искать решение уравнения Шредингера
EL- fE । 1х<о2 <0	(и
111 dt —	2р. дх^ 2	'	}
в виде
<р(х, t) — J" G(x, t', х', т)6(х', t)dx'.
Легко показать, что функция Грина G(x, х', т) должна
удовлетворять уравнению (1) и начальному условию
lim G(x, t; х', т) = 8(х — х').	(2)
4->т+0
110
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
z>2
——«>2(0,
—~ь,
н
.. а №
—гг — in--------
dt	р. р.
Попытаемся удовлетворить этим двум условиям, полагая
G (х, /; х', т) — exp { ~ [a (t) х2 2b (t) х -|- с (t) ]}.
Подставляя (3)в(1), получаем уравнения, определяющие а, Ь, с
1 da_____________________
р. dt
db ____
~dt '
de
dt
уравнений (4) имеет вид
t
(3)
(4)
Решение системы
z
, const	. -У
b=—/Г’ c==lh'nZ —
где Z есть решение уравнения
Z= —u>2(Z)Z.
Попытаемся подбором постоянных интеграции удовлетворить
начальному условию (2). С этой целью возьмем одно из
возможных выражений для 8-функции
8<х~х') =	V ехРI
(см. задачу 10 а) § 3).
Для того чтобы выражение (3) переходило при Z —> т
в (6), необходимо и достаточно, чтобы
Z = 0, Z = 1 при t = т,
(5)
2W^)(X-V)2
z ’
где У— решение уравнения К = — u>2 (f) У, удовлетворяющее
начальным условиям У = 1, К = 0 при £ = т.
Заметим, что так как ZZ—KZ=1, то
У _____ Г d£
Z J Z2'
§ 3]
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
111
Таким образом, для функции Грина поставленной задачи
получаем выражение следующего вида:
G (х,	х', т) =	ехр {A (Zx* - 2хх' + Ух'2)).
В случае, когда <» = const, имеем:
Z = -i- sin u> (t — т),	Y — cos u> (t — t),
и функция Грина в этом случае равна
G(x, t\ х', т) =
/	р<в
o .-------T. ;exp I
2r.nt sin <» (t — т) I
1Б.
| 4 (x, /) |2 =
— 2xx' cos <» (t — -c) x'2)} .
_________1_____________
a4/?2
cos2 u>t -I-—sin2
pAtH
X exp
a2 (х — Q COS («/ -|- 6) )2 )
a4/i2	’ V
COS2 <»/ -I--tts sln2 1
где
‘Pa
рш
В случае, когда
дачи 10 в) § 3.
16.
G (х, /; х', т) =
LLCO
, получается результат за-
a =
2nihZ
exp{^[Z(x—В)2 —2(х—0х'+Кх'2] +
t 1
zp.
В этом выражении В удовлетворяет уравнению:
+/(0 и начальным условиям В(т) = О, £(т) = 0, а L — функ-
ция Лагранжа, равная Л = уЁ2—В2+Д-
112
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
17. Вероятность перехода из состояния п в состояние т
дается соотношением (вычисления будем проводить в системе
единиц й = 1, р. = 1, о> = 1)
Pmn(t, 0)=|О„г„(Л 0)[2,	(1)
где
Gmn(t, °) = J f tfm(x)G(x, f, x', 0)'!/n(x')dxdx'.
При помощи производящей функции
ехр[
|(2z2 + x2 — 4гх)} = ^|/
построим функцию G(u, v)
G (и, г») =
J J exp | — 1 (2г»2 + x2 — 4vx) —
— у(2м24-^/2—4mx')}g(x, /; x', Q)dxdx' =
= S 2 V0).	(2)
•“ •“ ' n! ml
m = 0 n=0
Из выражения (2) следует, что величины Gij(t, 0), квадраты
модулей которых определяют вероятности переходов,являются
it2i+-7’
.t - коэффициентами в раз-
Л J.
с точностью до множителя
ложении G(ti, v) в ряд по степеням и, V.
Вычислим G(ti, v\, с этой целью в (2) подставим выра-
жение для функции Грина G (см. задачу 16 § 3).
Подставляя, получим:
§ 3]	ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ	1 1 3
В случае о> = const £, Z, Y имеют вид
t
£(/) = J" sin(£ — t')f(t')dt', Z = s\nt, Y=cost.
о
При вычислении интеграла воспользуемся формулой
J J dx dy exp | — у (ax2 4- 2b xу 4- cy2 — 2px — 2qy)} =
—	2r~ exp{a<l2—2bpq-\-cp2
Vac — b2 2(ac — b2)
В результате простых вычислений получим следующий вид
функции G(u, v):
О (и, v) = тг eF^e 2 ехр| —	uv 4- Аи 4- Bv }.
Здесь
t
A = i fe-n/^dt', В = е~^А, 2w = | Д | 4 В | =Д2 4-£2,
о
a F(f)—некоторая действительная функция времени.
Для того чтобы разложить G(u, v) в степенной ряд,
воспользуемся соотношением
ехр ] а 4- Р
Др 1
w )
V Z , ч Д’"
т, п=о
где
min (т, п)
, I ч Ч?	т\ п\ ,	,-i
с(т, п w) =	\	----—-----—(—w) .
'	1 '	1\ (т — 1)\ (п — 1)\ '	'
1 = 0
Производя разложение, получим:
W СЭ
G(u, и) = |^тгег7?<пе 2 с(т, лг | гс')
т, п^О
8 Зак. 1760. И. И. Гольдман. В. Д. Кривченкоа
114	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
Из соотношения (2) и (3) следует, что
W
Р 2 •
Gmn (Р °) = лГ - - -= с (тп, п I да) егР <0,
у 2»+™ . т!
а искомая вероятность перехода равна
£>~Ш .	,
Pmn(t> 0)=------------{c(m, n\ да)}2.
В частном случае п = 0 вероятность перехода имеет вид
р-го. шт
Л»о(*> °) =----------• так как с(т, 01 да) = 1.
После того как вероятность перехода вычислена, мы можем
определить средние значения энергии и квадрата энергии
осциллятора в момент времени t.
Средние значения определяются соотношением
ОО
£=2 Pmn(f, 0).(m + |),
ш-0
£2 = ^ Pmn(f> 0).(m + |)2.
ш=0
С целью вычисления подобного рода сумм рассмотрим вы-
ражение
/ а \т
р— е“ = Ф(т, а|да).
Легко показать, что
СО
ХЛ ап
Ф (т, а. | да) = V — с (т, п | да).
Из равенства
оо
VI p-W .wrtn
V-----—----Ф (m, а | да) Ф (т, р | да) =
Ш = 0
вытекает, что
2j —— с (т< п Iw) • с (т’ п I = 8ИИ'«! ^п’
т = О
§ 31
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
115
откуда непосредственно следует физически очевидное соот-
ношение
ос
у р — 1
Z—i •* тп — 1 •
ж —О
Рассмотрим равенство
СО
т -—Ф (т, а | w) Ф (rn, р | w) == {-w—а—eaf3/u;,
»» = 0
дифференцируя его правую и левую части по а. п раз,
а по р т раз и полагая затем а. = 0, ,3 = 0, имеем:
СО
S шРтп = п -4- W.
ш-0
Таким образом, среднее значение энергии осциллятора в мо-
мент времени t равно Е = Еп-\-го. Здесь -ш есть работа
силы /(/) за промежуток времени t
t	t
0	0
=4g2+^=<- 4(ё2+^)4=0.
Аналогичным образом находим:
Ё2 = 2wEH.
20.	=
*	zj\	л. th .	, д
б	) х (t) = х cos со/--sinutf ——.
7	v	Р-ш dx
21.	= (M+4 [(M(M+(M(Mlo 4- 5 «•
Замечание. Из приведенного соотношения легко опре-
делить момент времени т, в который величина (Ах)2 имеет
минимальное значение. Функция (Ах)2 является симметрич-
ной функцией относительно точки -г. В том случае, когда
волновая функция в момент времени t = 0 имеет вид
8*
116
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
гр,х
<р (х) = (х) е h	(<р (х) — действительная функция) т = О
(см. задачу 10 а) § 3).
4-со
22.	а)(М> = (М!.» + т? ( О)”"*.
— СО
б)	(Дх)2 = (Дх)2=0 • COS2 О)/ + — |	sin2 О)/ dx.
§ 4. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН.
1. Как известно, при бесконечно малом повороте системы
координат волновая функция преобразуется следующим
образом:
-V(r)= {14-/сЫ}4(г).	(1)
Здесь da — вектор, направленный вдоль оси вращения и по
величине равный углу поворота, а I—оператор орбиталь-
ного момента количества движения.
Рассмотрим сперва поворот относительно оси z на
угол da. При таком вращении имеем:
У (г, б, =	6, ©4-rfa) = 6(C fJ>	(2)
Сравнивая (2) с (1), получаем:
 д
L = —
г дг-?
Для того чтобы получить вид оператора в сферических
координатах, совершим поворот относительно оси х.
Тогда
ф'(г, б, <р) — б (г, 6—{—=
= 11	6> <Р)>
I ’ \da дЪ ' da ду J J ‘ v
откуда следует, что
'j __ .МО д . dy д \
' Ц'а 5F' АГ chf J •
о	' dO dy
Вычислим — И -7- .
da da
§ 4]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ, спин	117
Легко видеть, что
z‘ — z =—у da,
у' — у — z da,
и так как z' — г cos 6, у' = г sin 6 sin ср, то имеем:
— =— sin ср, — =— ctg о • cos Ср,
da	da	6
следовательно,
1Х = 1
д , ,	д \
sin <Р зп + Cte 0 • cos ср — I.
~ от 1 ь т др}
Поступая аналогично, получим:
1	( д .	. д'
=	— с‘£° • sin<?57
б.
L — lx COS (xzr) + ly COS (yz') 4" C0S (ZZ')-
7. Преобразование можно записать в матричной форме
е* (4+т) cos2 —, —sin 0,— e~i I*-?) sin2 — 2 /2	2		у 111		r Kt
—^e^sinO,	cos©,	—Le^sinO, /2	У 2		^10	=	^10
—	sin2-, —4=:e“’Tsin6 ,	(Ф+v)cos2- 2 У2	2		Г1.-1		Y'lt -!
8. Пользуясь результатом предыдущей задачи, получаем
в случае М = 1:
w(+ 0 = cos4y. и»(0) = у sin2 6, w(—l) = sin4-^-,
для М — 0:
®i(-|-1) =-g-sin2 6, w(0) == cos20, w(—l) = -i-sin20
и, наконец, в случае M = —1:
1) = sin4-^-, w(0)= -X-sin2 0, w(4-1) = cos44--
z	z	z
9.
Среднее значение проекции спина равно -i-cosO.
118
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
10.	Воспользуемся матрицей преобразования компонент
спиновой функции при повороте координатных осей. Эта
матрица имеет вид
е2 cos"2
sinT
. |(т-Ф)
ie~
(т+Ф)
e 2
С помощью этой матрицы
в новой системе координат
находим спиновую функцию
г	(Т + ф) + 1<х	О Л . V
<|)1 = ez cos • cos о + ie2
г —ф)+ га fl
tyz—ie 2 ’ sin у  cos8 -\-е
(?-«+«₽ .6
sin -g- • sin о,
(? + Ф)+гЗ 6
2	COS  sin
8.
Найдем вероятность того, что спин направлен вдоль оси z':
wl =	= cos2 у • cos2 8 + sin2 у • sin2 8 -|-
-|- у sin 6 • sin 28 • sin -|- a — p).
Из этой формулы следует, что вероятность значения проек-
ции спина вдоль произвольного направления зависит только
от разности я— р и не зависит от я и р в отдельности.
11.	Направление спина определяется углами
6 = 28, Ф
J+-₽-*•
12.	Да, можно. В случае смешанного ансамбля, как бы
ни было направлено неоднородное магнитное поле, всегда
будет иметь место расщепление на два пучка. В случае
чистого ансамбля соответствующим расположением прибора
можно добиться исчезновения одного пучка.
16.	При бесконечно малом повороте относительно оси х
на угол da. компоненты спиновой функции изменяются со-
гласно выражению
(1 Ц-idas^
(О
?о
§ 4]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
119
где
1 О
О 1
1 О
Выражение (1) эквивалентно трем дифференциальным урав-
нениям
I 
da /2 ?°’
— = — ("6, -1-6 )
da 2	--1'’
из решения которых легко получить матрицу преобразова-
ния, имеющую вид
cos2 — 2	I sin a yr	— sin2 — 2
l . —— sin a 1'2	cos a	I —— sin a У2
	Sin2 — 2	l —— sin a 1'2	9 a COS2 — 2
Аналогично получается матрица преобразования при пово-
роте относительно оси z на угол а
eia О О
ООО
О 0 е-’“
В качестве углов, характеризующих поворот, возьмем углы
Эйлера ф, 0, <р. Тогда для того, чтобы найти матрицу иско-
мого преобразования, надо перемножить три матрицы.
Вычисляя, получаем:
е’ CH?) cos2 —
2
—4= sin 6
/2
— ei ('V-f) sin2 —
2
—L;e’fsint> —g-iW-f) sin2 —
/2	2
cost)	Фsin 6
/2
—^=e~’?sin6 g-iw+Ticos2 —
2j
(2)
120
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Заметим, что тот же самый результат можно получить, рас-
сматривая преобразование симметрического спинора второго
ранга. Между компонентами спиновой функции и компонен-
тами симметрического спинора существует связь
Спинор 2-го ранга преобразуется как произведение двух
спиноров первого ранга, т. е.
-у11 = а2фИ _|_ 2аРф12 4- р2ф22,
У12 = ауф11 4~ (я8 -f- Pf) ф12 4“ pS'!»22,
%22 = T2,yi _|_ 2TS<pi2 52422.
Или, заменяя компоненты спинора через компоненты спино-
вой функции согласно (3), получаем:
ф! =	+ V 2ар%+ р2ф_!,
^0 = / 2ат>!»1 + («8 + PtHo+V 2р8Ф_р
/1 = Ai 4-/278% 4-sVp
Подставляя в написанные соотношения значения коэффи-
циентов
получим выражение (2).
17.	Чтобы найти искомую вероятность, воспользуемся
формальным приемом, который заключается в том, что
вместо частицы с моментом j можно рассматривать систему,
состоящую из 2у частиц со спином х/2. Поскольку по усло-
виям задачи проекция момента частицы равна у, то в экви-
валентной системе из 2у частиц все. частицы имеют проек-
цию спина на ось z, равную -f-Va- Вероятность проекции
спина 4_1/г (или —1/2) на ось z' каждой такой частицы
равна cos2 -% (или sin2 -g-1 (см. задачу 9 § 4). Для того чтобы
значение проекции полного момента этих частиц на ось z'
§ 4]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ, спин	121
было равно т, необходимо, чтобы	частиц имели
проекции на ось z 4-'/2, а остальные j — т частиц —1/2.
Искомую вероятность и>(гп) получим, умножая (cos2yj X
/	e\j—»»
X (sin2у] на число всех способов разбиения 2у частиц
(2/)!
на две такие группы, т. е. на .. ,—. Итак,
7	О + т)! (j — т)\
'wfjri)
(2у)!
(7+т)! (j~ т)\
+з
Легко убедиться, что 2®'(т)=1-
-з
18.	Состояние системы с моментом J будем описывать
симметрическим спинором ранга 2J. Для решения поставлен-
ной задачи нам нужно установить связь между компонентами
J+M J-N
фи"..7122 . .Гг,
J+M' J-M’
ф'п". ..122 ...2.
Из рассмотрения рис. 23 легко установить, что
J+M' J-W
?	(2/)! Х
лп -п/г	Т ИТ	Г -ЯГГ	J---jRI
, (Y)v (гн)М ~M+ v (g)J+M ~v	Au?.T-i 5F7T2
‘ v! (M' — M + v)! (J 4- M—Д! (/— M' — v)! •
где a, p, 8 — параметры Кейли — Клейна.
122
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как
J-I-M J--M	_______________
Ф»	= у/ (/+м(2^ ^)! 'l' (л,)>
J+M' J-M'_______________________
!/и".1 22"..7г ।Г(^Ч~M')l (J	М')\ ,,
?	V (2У)!	‘ 1
и <р(7И)=1 по условию, то
</ (ЛГ) = /(J+ Al')! (J— АГ)! (J+ М)! (J— /И)! X
У (тГ (г^'-^+Ха/ 
А V! (М' — М + -V)! (J+ М — V)! (J — М' — -)! 
»=о
Откуда следует, что
.	,	.	I »\4jr
P(M, M/) = (J4-AI/)!(J— M')!(J-|- /И)! (J— 7H)!(cos-^-j X
(	t n ,2v-M-M'	|2
x{ V _____________(-l) (tg _____________________}
Zj v! (M' — M 4- v)! (/+ M — •»)! (J— M' — /)! I '
Под знаком суммы единицу, деленную на факториал от отри-
цательного числа, следует везде полагать равной нулю,
т. е., иными словами, суммирование по ч следует произво-
дить по тем значениям, которые удовлетворяют неравенствам
•«> М — М',
20. Найдем сперва собственные функции оператора /2.
С этой целью запишем оператор jz в матричной форме
Так как /г = —
. д
1-х->
то, уравнение, определяющее собствен-
§ 4]	МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН	123
ные функции и собственные значения /г, имеет вид
ИЛИ	I 1 ,	,
•дФя 1 I t
—1	— 2-'}г = ^2-
Откуда вытекает, что
(г.	*, = /,(,. »)е‘("4)’,
где /j и /2 — произвольные функции г, Р, т — полуцелое
число.
Из всех возможных функций вида
мы должны отобрать те, которые являются одновременно
собственными функциями оператора Z2. Такими собственными-
функциями будут функции
<?)\
Последний этап конструирования будет заключаться в том,
чтобы путем выбора Rx и R2 сделать написанную функцию
собственной функцией оператора квадрата полного момента.
С этой целью уравнение у26 ==/(/-)-1)6 запишем в матрич-
ной форме
/Z2	1г 1Х Ну \	(г) т-ч, (’* > ?)\
\4 + ^	+ 4 — К )\Rztf Yt. m+Vs (ft, ср)/
_ .	cp)\
-,(-,+ 1\/?2(r)n.„.+v!(fi, Cp)/’
124
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Примем во внимание свойства шаровых функций
(4 + liy) У1т = V(! + rn + 1) (/ — m) Ylt т+1,
Уim = VG — tn1)(/ + т) Уцт_г.
Тогда из написанного матричного соотношения следует, что
Rt и R2 должны удовлетворять двум однородным уравнениям
[/(/+1)—УС/- + 1)_|_т + |]д1_|_|/Г(z+|)2_m2 д2==0,
(z+i)2“ ™2Ki+pG+1)—70-4-1)—>«+4]я2=о.
Из условия совместности этих уравнений следует, что j
может быть равно либо / + 1/2, либо I — */2- Полагая, что
/ = /-^-1/2, получаем:
R2=yf I— т ф-у R(г).
«1 = /" /+4+
Таким образом,
У{, m-fy
УI, т+’/ц
(/==0, 1, 2, . ..),
аналогично при j — l — V2 имеем:
'}(/. J = l~
т} = R (г)
(I = 1, 2 3, ...).
Множитель —+ j добавлен из соображения нормировки.
§ 4]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
125
21.
Проекция орб. м. m —1/2 Проекция спина Va	Вероятность	
	j — 1 + Va	/ = / — Va
	Z -0 т -j- -g-	Z — m + -g-
	2/ф-1	2Z-4-1
Проекция орб. м. т + Чъ Проекция спина -Va	, , 1 1 — m + -j 2/+1	+ m + ~2 2/4-1
lg(J ~ ^ + V2)—21-f-l’ Sz^—^+*/2) — 21 -j- 1
I и = I- V2) =
22.	Собственные функции оператора проекции спина на
направление 0, Ф находим из соотношения
(сж sin 0 cos Ф -0 оу sin 0 sin Ф -|- аг cos 0)
откуда следует, что
a sin 0е;ф— р cos 0 = р
Из (1) находим отношение :
Г
у = ctg-|-<?-«.
вида функций	tn)
С другой стороны, из явного
и (l, j — I---tn
находим:
°	P7i-'4(cos»)
₽ ~ j yr, ,»+V2(»- v) “ s p;,+1'a (cos»)
(1)
(2)
(3)
126
Ответы и решений
где
__ ГI + т + ’/>
С’ ~ V 1~т + Ч2
Ш + ^2
Ci ~ V / + m + i/2
при / = / + 1/2>
при / = /—V2.
Приравнивая (2) и (3), находим, что Ф = ср, т. е. направлен
ние спина в данной точке пространства лежит в пло-
скости, проходящей через ось z и данную точку. Угол 0
определяется из условия
О P,m-'«(cos,'))
Ctp-   = С ,  7.
Ь 2 з 1(cos ,1>)
23.	Оператор квадрата полного спина равен
«!=^+^+2^А = 4й ?Х(о ?) +
индексы 1, 2 указывают номер частицы.
Определим собственные функции этого оператора сначала
для случая, когда проекция полного спина равна нулю
жжпншж-жашмшж-
Отсюда находим:
(X—1)« —6=0, — й + (л— 1)6^0.
Для X имеем два значения ). = 2 и ). = 0.
При Х = 2 а = Ь, а при Х = 0 а —— Ь. Учитывая усло-
вия нормировки а2-\-Ь2=\, получаем собственные функции
в виде
wlG).(?)s+QG)J	-='>
тЖСШНШЖ	“=•>>
Легко убедиться, что функции (о)(о) и (?)(?) тоже
будут являться собственными функциями оператора S2, при-
§ 41
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
127
чем в первом случае проекция спина на ось z равна 1, а во
втором — 1. Найденные функции будут также собственными
функциями оператора sxs2.
24.	Волновая функция системы ’Г (J, М) имеет вид суммы
произведений функций отдельных частиц
здесь нижний значок у волновых функций указывает значе-
ние проекции момента.
Коэффициенты С; должны быть определены из условия
J24" (J, М) = J{J 4- 1) Ф (Л М).	(1)
Волновые функции первой частицы удобно записать в виде
При такой записи волновых функций оператор /х будет
иметь вид трехрядных матриц
а для оператора J2 получим:
•>2 = ^^+2V2 =
//(/+!)+2 +2/2г
= (	/2/2+
\ О
/2/2_
/(/+!)+2
/2/2+
О
/2/г_
Z(Z_j_ 1)Ч_2 —2/2г
где
^-i- 4$ 'I'"	~
128
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Воспользовавшись свойствами операторов 1+ и I
1+Ът = /G + m+ !)(/ —m) ^+1,
= V(l + m) (/ — m + 1)
находим, что из условия (1) следуют два уравнения:
UGH- 1)—— z (Z —1)—2/И]С1 = /2 ]Л(/+М)(/ —МН-1)с0,
=	/(/ + Л1+!)(/ — т)с0
(третье уравнение удовлетворяется тождественно).
Решая эти уравнения, получаем для c(J, Л1):
/С1(/+1, М)
Ci (/, Л4)
ХсД/—1, Ж)
с0(14-1, М)
с0 (Л М)
c0(Z—1, Л4)
c_j(/4- 1. М)\
с_! (Z, Л4)	1 =
с_Д/ — 1, Л4)/
«Г(г+л1)«+м+1)
Г 2(2Z+l)(/+l)
К(/ + 7И) (1-М +1)
2Z (Z-J-1)
1/-(Z + .M + 1)G- ЛЬ| 1)
V (2/ + l)(Z+l)
м
W + D
]/-(Z-Al)(Z-.M + l)'
Г	2(2Z-H)(Z + 1)
1/~ G + Af + l)(Z-.M)
Г 2Z(Z + 1)
«Г(Z— Al) (Z— Ж + 1)
Г 2Z(2Z + 1)
!/(Z+ Ж) (Z - /И)
Г /(2Z + I)
К(/+.41) (Z+.M+1)
2/ (2Z + 1)
В силу ортогональности этой матрицы обратная к ней
совпадает с транспонированной, и поэтому каждая из функ-
ций	ф-выражается в виде линейной
комбинации Чг(/4-1> ^1)>	41), Ф (I—1, Л4) с коэффи-
циентами, стоящими в столбцах этой матрицы.
29.	^ = ^=0,
- /и 11 (о । о >-(- 1 (а	а- т4(Л 4 О — 4 (4 4 1)1
Рг — J jy (А’14- йа) + 2’ (4i i	/(J :pi) J •
30.	—0,24.
31.	—1,91.
32.	а) 0,879, б) 0,5, в) 0,689, г) 0,310.
33.	Вес D волны равен 0,04.
34.	а) —г2; б) Обратить внимание на различие
в знаке квадрупольного момента в состояниях и '3Р1.
39.	Состояние с определенным значением J (js есть инте-
грал движения) может быть сконструировано из состояний
§ 5j	центрально-симметричное поле	129
с L — J—lj2, Л = У—1/з. Преобразование инверсии (х->— х,
у->—у,	— z) оставляет неизменным оператор Гамиль-
тона замкнутой системы (четность является интегралом дви-
жения). Четность состояний с L= J—*/г и L — У—]—*/2 раз-
лична. Из этого вытекает, что в состоянии с заданным
значением J орбитальный момент L, соответствующий отно-
сительному движению частиц, имеет вполне определенное
значение.
40.	Спин а-частицы и спин ядра В равен нулю, поэтому
А-Орбитальный момент относительного движения системы
а-частицы плюс ядро-продукт равен единице. Следовательно,
эта система будет находиться в нечетном состоянии (а-частица
четна), тогда как исходное ядро было четным.
42.	Не может.
§ 5.	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
1.	Заменой = уравнение для Rnl приводится
к виду
й2 „	Г,. гт, х й2/(/-Н)1 п
Эго уравнение совпадает формально с уравнением Шредин-
гера для одномерного движения в области 0<Сг<со с эф-
фективным потенциалом
Оэфф (Г) = О (г) —|-.
Поскольку /„I — rRnl обращается при г = 0 в нуль, то
можно принять, что U == го при г < 0 для этой одно-
мерной задачи.
2.	В уравнение для у = Rr
z" +	01 - z = о
делаем подстановку
• А
/ = Ае* й ,
где А и 5— действительные функции.
9 Зак. 1750. И. И. Гольдман. В. Д. Кривченков
130
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Приравнивая нулю отдельно действительную и мнимую
части уравнения, получаем:
2Д/5/+5"Д = 0,	(1)
(2)
Из первого уравнения находим:
. const
Л=  ==.
VS'
Второе уравнение решаем приближенно, считая fi2 малой
величиной. При этом надо, однако, иметь в виду, что при
переходе к классической механике (fi0) следует считать,
что Ы конечно, так как hl представляет собою момент
в классической механике. Таким образом, в уравнении (2)
ТМ"
малым можно считать лишь член —. При малых г (когда
н	/оч	fi2Z(/+l)\
доминирующим в правой стороне (2) становится —
th (/ + I) .	,г~
имеем 5	1—-, А ~ у г, откуда находим прибли-
№А"	№
женное выражение —поэтому лучшее прибли-
жение для 5 получится, если учесть этот член, подставив
в (2) это приближенное равенство (при больших г такая по-
правка несущественна). Таким образом, находим:
S = J jZ 2И [Е С' (г)] —	dr’
д______________const_____________
2^[E-U(r)]-T12(l + -!^
3.	Представим оператор Гамильтона в следующим виде:
Й = Й. + £^>. где Н^£Л^} + и(гу
Тогда минимальные значения энергии и соответствующие
им собственные волновые функции связаны соотношениями
pmin	[	. * f j \ ।	fi2 I (I -Г	1)) , ,
Fmin	(	i* f w	I E2 (Z —1) (C —2)1	,	,
=	J	*z-1 {	--72-^1	Фг+i	d'-
§ 5]
центрально-симметричное поле
131
Последнее выражение представим в виде
+ J ty+i'hnrfT-
Сравним первый член в этом выражении с Е™1П. Поскольку
соответствует минимальному собственному значению one-
г. , Й2 /(/4-1)
ратора +	72	 то
I.	I Й2 (z+1) ,* ,
Что касается интеграла |	фг-иф/ц то он всегда
больше нуля. Следовательно,	, т. е. вышеприве-
денное утверждение доказано.
4-	Pv+Pi^P^ U‘^n'> К + Ь=^ = [РР] + 1ГР]’ при-
чем р = — гйУ,..
5.	Потенциальная энергия U (г) = —^г-.
Радиальная часть R волновой функции удовлетворяет
уравнению
R" + ~ /?' + (¥ - Т - R = °-
Подставляя сюда у — Rr и вводя обозначения
~ Й ’ й
имеем:
У." + {/г2 /.2г2 - '-ШЦ X = 0.	(1)
Учитывая асимптотическое поведение у при г->0 и при
г оо, решение для у ищем в виде
у == гг+1е 2 ' и (г).
9*
132
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя (2) в (1), получаем уравнение, определяющее
функцию и (г);
и" + 2 {Ш- — кг] и' — {2к (/ + 3/2) — k2} и = 0.	(3)
Посредством введения новой независимой переменной £ = кг2
уравнение (3) сводится к дифференциальному уравнению
следующего типа:
e5+{(z+3/2)^e}^+{|G+3/2)~4s)K==0’
где
Л2	Е
с ----- — --- ---
2>.	fiw
Решение этого уравнения есть вырожденная гипергео-
метрическая функция
"=и|('+>- ф 'X ф
Требование убывания R при г->оо дает:
уО + т-5) == — Пг	(llr = Q’ t
и, следовательно, уровни энергии равны Еп 7 = 2ггг—®/2),
а волновые функции
- — г"
'Упг1т~ г'е 2 F{—nr, I Н/2, lr2}Ylm(K, <?)
6.	Волновые функции
Ф/ЧПЛ1, (х, у, Z) = ОЯ1 (х) <р„2 (у) <?„3 (Z),
где
, ч 1	1 А	д \п
?»(х)=:: Г-.....-Д--ИЛ'---Д“) е •
\	дх/
Соответствующие им уровни энергии
=fiw(n1 + /Z2 4-Пз + тй (см- задачу 5 § 1).
§ 5]	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ	133
Связь между &пЛт и ФЛ1,(!!и3 для пг = 0, 1=1 имеет вид
4ои = (фюо "Т“ гЧ1’о1о)’
't'oio “ Ф001'
4-0i, -1 =	(Ф100 — *фою)-
7.
Z„ = («+ !)(« + 2),
где
п = 2пг -г-1.
8.	Для Не*
где
го=]/ я = '-о-
Для Osfi
4	/	Г2\
о (г) =--------11 4- — 1 е 2
Л) (г0 <2^ ( +
/? = 3,73г0.
9.	Уравнение для радиальной функции имеет вид
— f 4 / (г2	~ R + {U (г) — Е] R = 0,
2р. rJ dr \ dr) 1 2,х ri -1 1 v '	1
где [j.— приведенная масса,
Мр Мп = М.
Полагая 1 = 0 и R= -~
_ мрмп
^~МР + Мп— 2 ’
поскольку
, находим
“)х=0.
Произведя замену переменных
134
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
получим:
где
d-y . 1 dy . / F\
^- + Г7Д+(С 2“ёф =
= — ^Еа?>
h2
Общее решение этого уравнения
7 = B^cl)-^ B2J__k(cl).
При г —> оо (с = 0) волновая функция стационарного состоя-
ния должна обращаться в нуль, так что В2 — 0, и, следо-
вательно,
R=^Jk(ce~2^.
Чтобы R было конечным при г = 0, должно быть
4(с) = о.
Это уравнение дает связь между а и А. При этом для по-
лучения величин а и А, относящихся к основному состоянию,
надо, чтобы с было первым корнем бесселевой функции
(радиальная волновая функция не должна иметь узлов).
а  1013	k	с	А Мэе
1	0,45	3,1	100
2	0,91	3,7	36
4,4	2,02	5,1	14
10.	Среднее значение энергии В в состоянии, описывае-
мом волновой функцией ф (г), дается следующим выраже-
нием:
Е = ~ [ (7ф)2 dx 4- [ U& dx.
Согласно вариационному принципу, величина Е принимает
значение энергии основного состояния, если ф — точная функ-
ция основного состояния. Если же в качестве ф взять опре-
деленные функции, зависящие от одного или нескольких
§ 5]
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
135
параметров а, р, то энергия Е будет функцией этих
параметров Е (а, р, .. .) и наилучшее приближение к энер-
гии и ф-функции основного состояния будет достигнуто для
значений а = а0, р = р(), удовлетворяющих условиям
'д£(а, »,
, да
(	= 0;
а —а.
дЕ(а, р, ...)\
.	д'? Laj
₽=?,
При этом величина Е(х0, р0, . ..) всегда превышает энергию
основного состояния и тем ближе к ней, чем шире и целе-
сообразнее выбран класс допустимых функций.
вия нормировки следует с
1 —
В нашем случае ф = --________ R (г), где R(r) = се2а . Из уело-
у ‘tit
2
2 г, так что
2а*
7-2 р /	х'2	С
Е(а) = с2~ j е ar2dr — с2А | е а ar2dr =
о	6
2;а. \‘2а / \а + 1/
Находим минимум Е (а):
dE(a) Й2а 3.4а2	„
da ~ 4[Ш2 (а -|- 1)4 “ и’
Откуда
Оо+В4. = !2y = 22 3 а j 34
а0	Я2
Величина энергии при этом значении параметра
£ = — 2,14 Мэв.
Точное решение этой задачи приводит для указанных вели-
чин .4 и а к значению Е = — 2,2 Мэв (ср. предыдущую
задачу).
11.	Уравнение для радиальной части волновой функции
при г < а имеет вид
136
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
,,	2'j.E
ft2 = -Ьг
Ла
при г = a, R = 0.
Введем вместо R новую искомую функцию у (г) по фор-
муле
'^2 = R (г).
Подставляя в уравнение (1), мы получим для у (г) уравнение
х"+-Ь'+{^Ц^}х = о,
решением которого являются функции Бесселя полуцелого
порядка:
1АА =Ji+\Akr),
R(r)=^=Jlr^(kr).
\>
Значения
деляется
энергии Е
№^2
2ц
стационарных состояний опре-
из условия обращения в нуль функции Бесселя при
г = а
(ka) = 0,
а с — из условия нормировки.
Наиболее просто определить уровни энергии для частицы
с моментом 1 = 0. В этом случае
^sinfer
и энергия
_	№ П2тг2
— 2ц •
12.	Задача сводится к решению одномерной задачи с по-
тенциалом
[ — Uо 0 < г < а,
U (г) = {	0 г > а,
I оо г < 0.
§ 5]
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
137
Полагая в задаче 4 § 1	= оо, U2 — Uo, получаем урав-
нение, определяющее уровни энергии в дискретном спектре
,	hk , У 2тЕ
ka = пп — arc sin —. - -, k = —?—
Уровни энергии легко найти с помощью графического по-
строения (см. рис. 24).
Глубина ямы, при которой по-
является первый дискретный уровень,
равна
U
° 8та2
13.	При «закруглении» краев ямы
все уровни сместятся вверх, т. е.
ДЕ > 0. Состояниям с большими I соот-
ветствуют большие смещения уровней,
так как частицы, находящиеся в со-
стоянии с большими моментами коли-
чества движения, проводят относи-
тельно большую долю времени вблизи
края ямы.
14.	Радиальная волновая функция
удовлетворяет уравнению
7"+>(f-^)Z = 0.
В области I, где U = 0, решение, обращающееся в нуль при
г = 0
. . ,	. о 2р.£
у = A sin kr, № =	.
В области II (U = и0) общее решение имеет вид
у = B+eUr~r^ B_e~^r~r'\
Коэффициенты В+ и В_ определяются из условия непрерыв-
ности у и у/ на границе областей I и II:
A sin kt\ = В+ -ф- В,
Ak cos kt\ = v. (В+ — В_).
138
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Откуда
„	А	/ .	,	, k '
— -g-	sin	йг1 -ф- у cos	krt
г.	А	/ .	,	k	,
В__ = -%1 sin	krt — — cos	ki\
(1)
Решение в области III, где снова U = О
__ Q G'—rs) | £	№ (Г—Г3)
Условия непрерывности на границе областей II и III дают:
В+/4-В_е~х(,^Г1) = С+ + С_,
•I. (В+е~— В _е~У~= Ik(С+ — С_).
Отсюда находим
^44 +А)е-<--.>+±вД1
с-- ' М1 -Й',,,"',+4в-(1
Выразим С+ и С_ через А с помощью (1):
Выражения (1) и (2) определяют вид стационарной волновой
функции частицы. Поведение волновой функции существенно
зависит от энергии частицы. Рассмотрим зависимость С+
и С_ от энергии. Будем предполагать, что величина
х(г2 — rj)4i>l- Тогда всеми членами, содержащими множи-
тель	можно пренебречь и
C+^-^-sin/гг! (1 +^)сх(Г2 r,)[l+4-ctg/jr1}, С_==С*.
Таким образом, если величина в фигурной скобке не слиш-
ком мала, коэффициенты С+ и С_ значительно превышают А,
т. е. волновая функция заметно отлична от нуля только
§ 5]
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
139
в области III (рис. 25, а). При некоторых значениях энер-
гии, когда выражение в фигурной скобке (2) мало, С+ и С_
могут принять аномально малые значения. Такие энергии


Рис. 25.
лежат вблизи значений Еп, определяемых из трансцендент-
ного уравнения

и носящих название квазистационарных уровней.
U(г)
ис
О г,
Рис. 26.
Как нетрудно заметить, значения Еп представляют истин-
ные уровни дискретного спектра задачи с потенциалом,
изображенным на рис. 26 (г2 -> со).
140
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Итак, значениям энергии, лежащим в узкой полосе вблизи
квазиуровней, соответствуют исчезающе малые в области III
волновые функции (рис. 25, б).
Для частицы, энергия которой строго определена, ве-
роятность нахождения в области I равна нулю. В самом
деле, волновая функция частицы с определенной энергией
относится к непрерывному спектру и интеграл по области III
от | ф (г, £)|2 расходится, в то время как интеграл по об-
ласти I конечен. Это утверждение справедливо и для со-
стояния вблизи квазиуровня. Поэтому в задаче о вероятности
выхода частицы из области I надо рассмотреть состояние,
представляющее суперпозицию ряда стационарных состояний
близких энергий, т. е. «волновой пакет», локализованный
в области I, и исследовать его «расплывание» с течением
времени. В качестве волновой функции при t = 0 возьмем
функцию /0, которая практически обращается в нуль в об-
ласти III, а в областях I и II совпадает с волновой функ-
цией квазистационарного уровня.
Произведем разложение у0(г) по стационарным волновым
функциям:
/'~Р(Е)7_е (г) dE.	(3)
о
Функции /б(г) будем считать нормированными по шкале
энергии. Состояние частицы в момент времени t
Z.0(r, 0 = f <?(Е)Ул(г)е « dE.
Рассмотрим вероятность того, что частица через время t
будет находиться в начальном состоянии у0(г)
СО	СО	jg
W) = | Jzo(r)7.o(C W2 = | J |®(Д)|2^^^д|2. (4)
о	о
Таким образом, задача сводится к нахождению распределе-
ния по энергии начального состояния । <р (£) |2.
Из уравнения (3) следует:
СО
?(£) = f 7o(r)7E(r)dr.	(5)
о
§ 5]	ЦЕНТРАТЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ	141
В соответствии со сказанным, в качестве у0(г) можно
принять собственную функцию вспомогательной задачи с по-
тенциалом, изображенным на рис. 26 при г < rt
7л (.г) = a sinker
и при г > гг
/ \	^0 лл-2х(г-П) 2	,2	,2
Хо ('') = — — ае > 7 = >-о— k0.
Значение определяется условием
sin &(/,= — —, cosk0r.= —,
т-о	7Ч>
,/ 2z
а нормировочная постоянная а—у , уг • 
Функции 7е(.г) в областях 1, II и III были определены
лишь с точностью до общего постоянного множителя А.
Теперь надо выбрать А так, чтобы уЕ(г) были нормиро-
ваны по шкале энергий. Асимптотический вид уЕ(г) опре-
деляется значениями коэффициентов и С_. Нормировка
fХя№ V)dr=Z(E-E')
о
дает
|с+| = |с_| = 1/2А.
Отсюда с помощью (2) можно определить зависимость А от
_	_Li/" JA.
I I 11 V 2v.k
энергии. Раньше отмечалось, что отношение - ./д, = —.	' 
1	А (£) А (£)
велико почти для всех значений энергии и мало лишь тогда,
когда Е близко к одному из квазиуровней. Поэтому о(Е)
имеет один резкий максимум вблизи Ео =	. В области
других квазиуровней, хотя А(Е) и возрастает снова, но
интеграл в (5) будет близок к нулю вследствие почти пол-
ной ортогональности у0(г) к собственным функциям т_Е(г),
относящимся к другим квазиуровням. Итак, в выражении (4)
для вероятности W (t) существенна область значений Е,
близких к Ео.
142
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
После этого предварительного рассмотрения приступим
к вычислению ©(Е). Прежде всего найдем зависимость А
от Е. Из выражений (2) для С+ и С_ следует:
С, =	= 4-В. (1 +	.
+	2	+\	' ik)	1 2	tk)
Кроме того, В+ и В_ выражаются через А'.
в+ = 4 (sin kri + 4 cos	’
В__ = 4 (sin krx — cos krt j.
Вблизи квазиуровня можно положить k — kQ — ^k и счи-
тать, что выполняются неравенства
| Lk | k0 и | \k | х.	(6)
При этом главные члены в В+ и В_
5+=4Э(1+хг1)Д^
В -—-—А1—.
Предполагая, что	1, находим:
Л'2^“2x04
'“0
I z*1 ।	1  I Р
и так как С , = -г- 1/ +-, получаем:
1+1	Й Г 2r.k
Теперь интеграл (5), определяющий ю (Е), может быть
легко вычислен, если считать, что по-прежнему справедливы
неравенства (6). Функция у£(г) в области I и II мало отли-
§ 61
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
143
чается от — ’ у0, область III вообще не существенна для
нахождения ю(Е), так как /о (г) экспоненциально спадает
при г > Гр
Таким образом,
/ЕЧ А (Е) Г 2 . , А (Е)
6
В результате простых преобразований находим
2 ,	Й	1
® (Е) 2г.т	Й1 2 ’
(Е - Е0)а +
где
Й2
Е —Ео = —й0 \k
и
Н _2х (»-в— 7-,)
8й Е‘Е‘ е
(1+хГ1).
Выполняя интегрирование в (4), находим закон распада
W(t) = ez.
Вероятность того, что частица осталась в начальном со-
стоянии внутри барьера W (t), уменьшается в е раз через
промежуток времени
1 _Й / U0	2z (rs-r.)
16Е0\Е(Е0 — Е))
(1+хгг).
§ 6. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1. В однородном магнитном поле электрон, рассматри-
ваемый согласно классической механике, движется по винто-
вой линии, ось которой направлена вдоль магнитного поля.
Движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю,
происходит с частотой, равной удвоенной частоте Лар-
мора = -^с J  Рассмотрим движение волнового пакета
на основании квантовой механики. Уравнение Шредингера
144
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
для частицы в магнитном поле можно записать в следую-
щем виде:
..дФ	Й2	А1Т, .	h	(	М'	<544 .1	, ,Ч1Т,
ХЙ -т- = — -5— ДЧ- +-«> х -д-----у -V—) -4-р-со2 (х2 -+- у2) Ч.
dt	2,и 1	i	\	dy	dx) ' 2	1	4	<	х '
Чтобы найти решение задачи, удобно перейти к вращаю-
щейся системе координат
х = х' cos си/'—у' sin соД, 1
у = х' sin wt' -±-у' cos wt', I
z = z’,	j
t=f,	J
(x, y, z, t) = 4" (x', y', z', t').
Тогда
<5	d	.	/	d	d \	.
угд —“	“4~ I %  У л— I ’	•
dt'	dt	1	\	dy	dx)
Уравнение Шредингера в новых переменных принимает сле-
дующую форму:
Решение этого уравнения может быть получено разделением
переменных х', у', z'. Уравнение для функции o(z') описы-
вает свободное движение вдоль оси z. Решение уравнения,
определяющее функцию ф (х, у, f), имеет вид
Ф (х, у, t) = V Аптуп (х' j/"ут (у j/"».
Здесь х' и у'—функции координат х, у и времени, опре-
деляемые из (1), Хп—собственные функции гармонического
осциллятора, Апт — коэффициенты, подобранные так, чтобы
выполнялось начальное условие. Это выражение для <р (х, у, f)
меняет лишь знак, если t возрастает на период классиче-
ского движения Т =	. Действительно, х' и у' при этом
меняют знак и, учитывая свойство собственной функции ос-
циллятора

§ 6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	145
получим:
= 2 А™ (*' / т) <- (у ]/"т) X
X g-i<»t (n+m+l)g-in (n+»»+l)____ф(Х У ty
Таким образом, в плоскости, перпендикулярной магнитному
полю, волновой пакет будет периодически изменять свою
форму с периодом, равным периоду классического движения
частицы в магнитном поле. В направлении магнитного поля
пакет расплывается точно так же, как и для свободного
движения. Волновая функция ф (х, у, f) может быть найдена
в явном виде, если начальная функция задана в форме
(х, у, 0) = е
-у	№~У)S]+~^~x+
ipoy
Й
V
Полагая все Дим = 0, за исключением Доо=1, находим,
что такой волновой пакет не расплывается в плоскости ху,
а его центр тяжести описывает классическую траекторию.
2.	Для нахождения оператора V надо прокоммутировать
вектор г с гамильтонианом
так как
то находим:
Теперь найдем правила коммутации этих операторов
^оУу “^у^х р2с I (Ра>Ду АуРх) I (.РуУ^х ^хРу)^ ==
гей /дАу	<Ма,\	г’ей
ре \ дх ду )	рс
Путем циклической перестановки получаем остальные два
соотношения.
Ю Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
146
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
3.	Направим ось z по направлению магнитного поля,
напряженность которого обозначим через .
Компоненты скорости частицы удовлетворяют следующим
правилам коммутации (см. задачу 2 § 6):
Оператор энергии равен
л	&
п— 2 -f- 2 ~Г 2 ’
Представим Н в виде суммы двух коммутирующих опера-
торов
Л 2 Л 2
г _	I
1 —"2	1 Г
К
р.62
~Г
значения Н равны сумме собственных
Н2. Найдем собственные значения Hv Для
новые обозначения — aQ, vy = аР, где
В переменных Р, Q правило коммутации
PQ—QP — — I, а оператор
Собственные
значений Н1 и
этого введем
1>-~с
имеет вид
X(P24-Q2)- На основании задачи 5 § 1 собственные зна-
чения Ht
Е1п=^^ (« + 7г) (« = 0, 1, 2, ...).
Собственные значения Нг образуют непрерывный спектр.
Итак, энергия движения в магнитном поле
г , е&е ,	, 1 , ч I
—(« + ’/г) + -Т-
4.	Направим ось z по направлению магнитного поля,
а ось х вдоль электрического поля. Векторный потенциал
магнитного поля возьмем в виде Ау = S^x, Ax = Аг = 0.
Оператор Гамильтона в этом случае запишется следующим
образом:
< » е \2
2р
§ 6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	147
Вводя обозначение
с у &е
получим для Н выражение
н= I РуС&	!ХС^2
2р. ' 2р. &е	2<^ ' 2р 
Соотношение коммутации между р,с и к
. he&e
р;/~—т.р =-----I-----.
< ВЛУ	'ЛУ	£
Отсюда
Lr Рх
Н1 = -2^
находим, что собственные значения оператора
+ -2^- совпадают с уровнями энергии осциллятора,
колеблющегося с удвоенной частотой Лармора
= (п + ‘/2).
Поскольку операторы ру и рг, входящие в последние сла-
гаемые оператора Гамильтона, коммутируют с Hv оператор
£. Pz Рус&
л2=-2^------—-------может быть приведен одновре-
менно с к диагональному виду.
Итак, энергетический спектр частицы
F —	I 1 / х I р2	рУс^
LnpyPz п нС (n~t~ h) "Г 2р.
2<й?з ‘
Сравнение с результатом предыдущей задачи показывает,
что электрическое поле снимает вырождение, которое имеет
место в случае одного только магнитного поля: энергети-
ческие уровни при наличии электрического поля зависят от
трех квантовых чисел.
б- ^nPyPz У’ z) ~
I ,	, е ( еру P-C’gxa
£й <.Pyy+Pz* е 2 Йс'[Л	е х
"Lr ch \ е&р е&^)\ 
10*
148
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
6.
Ептк = V “2 + “о (2/l + М + 1) 4~	+ Й“0 (* + Чг)>
где
(n = 0, 1, 2, ..т = 0, ±1, =Ь2...................
2рс 4
А = 0, 1, 2, .. .)•
7.
х (t) = (—	+ тг) cos wt -4~
4'	\ р.<о ду 1 2 /	1
. /	lh	д .	у \ .	, . /	Ш	д , х\
*4- t----------— —[—	—-1 sin	со/ -4— (-----ч—i— -7г-),
\	;j.co	дх	2)	1 \	рлг>	ду 1 2)
*	I	№ д	х \ .	, ,
у (г) =-----------ч-----х-) sin wt -4-
'v '	\	рш ду	2 /	1
A A । lA
р.ш дх ~с" 2 / ‘
еН
Здесь ю — ~ (удвоенная частота прецессии Лармора).
8.	Уравнение Шредингера в цилиндрических координа-
тах р, <р, z имеет вид
__Й2 1 д2»}* . д2ф I J_ 4 I 1_ d3'? 1  1е^ <>п дф । с2с%'2 2,
2р. I дгА "** др2 ‘ р др р2 tty2 J	2рс	8рс2 Р ~~
= Еф.
Решение ищем в форме
, ср, 2) = -^=-^(р)е^г
у 2л;
Обозначим через 7 и р величины
еЖ q 2^	,2
В уравнение, определяющее радиальную функцию R(p),
R" + у R' + (Р - TV - 2Тт —	= 0
введем новую независимую переменную Е = ур2, тогда
^" + ^' + ( —| + Х—^)/? = 0,	(1)
где Х = А-^.
4?	2
§ 6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	149
Искомая функция при £ -> со ведет себя как е~^2, а при
малых 5 пропорциональна fc1'"!/2. Решение дифференциального
уравнения (1) ищем в виде
^=6-5/2^ -»1/2.да(5).
щ(Е) находится из уравнения
t,w"-ф (1 -ф1 т | — 5) w' -ф- ^Х---*	1 j w = О,
решение которого представляет вырожденную гипергеомет-
рическую функцию
с f A	I т I 4-1 \	1 г । < >1
w = F I -— (X-’——1, I т | -ф- 1, М •
Для того чтобы волновая функция была конечна, величина
X !—cj— должна равняться целому неотрицательному
числу и. Таким образом, уровни энергии определяются вы-
ражением
, е&е (	, | т	I т	.	1 \	. 1‘
£ =-;Л--- («-ф-ЧгН—o-+o-)+-T5—-
pc \	1	2	1 2	1	2 /	2р.
9.	В цилиндрических координатах
Л = 0’
. fehm	\,,	|2
1 _ ehkz I ,	|2
Jz — I xnmkz I •
10.	Уравнение для радиальной волновой функции R под-
становкой и — рприводится к виду
// । Г2р. „	,2	1 /	.	о\2”1 л
11 +[ъ2£—72 (т + 2йГр7_Г = 0,
при этом Я12---— заменяется на т2 *). Выражение
^эфф (р) - 2j^2 \т +-2ЙФ Р )
*) Эта замена аналогична замене 1(1 -ф 1 )->(/-}- V2)2 и может
быть обоснована способом, указанным при решении задачи 2 § 5.
150
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
можно рассматривать как эффективную потенциальную энер-
гию при одномерном движении.
Из условия квантования
Ра .	____________________
>£-^-^(«+$р2У<ур=к(п+’/г)
Р1
получаем энергетический спектр:
й2й2 eh^ff ,	\т\ т п
Е—2(Г=-1^-(п +V+y+y)-
Энергия, отсчитываемая от минимума £7Эфф(р)
Е,==^(п + 1/г)
представляет собою энергию радиального движения, а
энергия
т etiSfff ,	, .
Е +
соответствует энергии вращательного движения. Переход
к классическим круговым орбитам осуществляется при вы-
т-п	+ I т 1
полнении условия Е <^Е или /1<С——L . Это усло-
вие, очевидно, выполняется лишь при положительных т и
поэтому может быть записано в виде п<^т.
11.	Приравнивая нулю подкоренное выражение, полу-
чаем для т > 0
Р1,2 =
12.
/ 2iic ( Г . I /~	. 1\
14.	Уравнение Паули имеет вид
lh dt (S) fe) !Х°(а (^) ’
1 /	е \2
где//0 = н—(р------А\ -\-eU, a р.о— магнитный
у	С f
частицы. Будем искать волновую функцию в виде
момент
у-
§ 6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	151
Здесь функция является решением уравнения
Тогда для спиновой функции Г1) получаем уравнение
\S2/
15.	Поскольку ?№ х — 3№у — ^>,	имеем:
ih^ = ^(t)s2.
Решения этих уравнений имеют вид
t
si — cie 1 о »
t
(sfff(t)dt
Л о
= c2e °
Постоянные q и с2 находим из начальных условий:
c1 — e~ia cos 8, с2 = eia sin о. Из вида функции q и s2 следует,
что вероятность той или иной ориентации спина на ось z
не меняется со временем. Среднее значение проекции спина
на ось х определяется выражением
sx = у sin28-cos | ур J -3%!(t)dt— 2а}
о
и аналогично этому
t
sy— — у sin 28 • sin {	(f) dt — 2a }.
6
Направление, вдоль которого проекция спина имеет значе-
ние 112, характеризуется полярными координатами 6 = 28,
t
Ф = 2^а — -у- 3tf(f)dtj. Таким образом, это направление
о
152
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
описывает с течением времени коническую поверхность. При
постоянной напряженности поля прямая, «вдоль которой
направлен спин», равномерно вращается вокруг направления
магнитного поля с частотой ,	.
л
16.	Состояние с произвольной поляризацией падающего
пучка всегда может быть представлено как суперпозиция
двух состояний, в одном из которых спин направлен
/ 0\
вдоль оси z, а в другом HI в противоположном напра-
влении. Рассмотрим сначала случай, когда спины нейтронов
в падающем пучке направлены по оси z. Тогда падающая,
отраженная и преломленная волны будут иметь вид
Величины k, kv k2 связаны с полной энергией Е и магнит-
ным моментом р0 нейтрона соотношениями:
ю /Ж2	й2^?
* = Т' т£- = е’	-2Г = е'
Из условия непрерывности на плоскости раздела (х = 0)
волновой функции и ее производной по х следует:
ky = 1\у — ^2у’	~ ^1г ~ ^2г>
л+в = с,
-f- klxB — k2xC.
Из этих соотношений вытекает, что klx =— kx, т. е. угол
падения ср равен углу отражения ot. Положим для простоты
ky—О. Решая уравнения, находим:
/ В \ 	/ С \  ^х
\ Л /	kx~\~ ^Ъх \ Л /	kx -(- /г2а;
k2x =	1 +	•
Таким образом, коэффициент отражения R равен
( I \2
\ Л /	\ kx -|“ )
§ 6]	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	153
Если спины нейтронов ориентированы в -противоположном
оси г направлении, то в этом случае

а в остальном результаты будут те же. Так как р.о для
нейтрона отрицательно, то угол преломления <р2^ > ? >
(см. рис. 27).
В случае произвольной ориентации
спина нейтронов волновая функция
в области х > 0 будет иметь вид
где С>. и — коэффициенты разло-
жения начального спинового состояния
7 1 \	/ 0 \
по состояниям I 1 и (	.
Простая оценка показывает, что
даже при	заметное отраже-
ние будет иметь место только для
очень медленных (тепловых) нейтро-
нов (ft~lA) и при угле падения ср,
Рис. 27.
спиновой функции
тс
отличающемся от -% на доли градуса.
17. Уравнение Шредингера для
в ^-представлении ( ' ) имеет вид
W
ih!UsA <
dt\s2] r	— Звг J \S2 J
(здесь u. — магнитный момент частицы).
Введем обозначения
j? g/€ cos & = а, — sin ft — b.
В новых обозначениях уравнения, определяющие компоненты
st и s2, примут форму
= ZflSj -f- ibe~imts2,
~ = ibeiwts. — las.-,,
nt	1 г
154
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение этой системы уравнений:
= Ае'Р^ + Ве^*,
s = ем Г а + р' Ае^-А- аЗр‘!- Ве^
2 L ь	1 ь
где
Pt = }f j + «2 + ^2+<««—у,
Рг = ~ }/~^ + а2 + &2 + (0а — у.
Величины А и В определяются из начальных условий и усло-
вия нормировки | Si |24- | s2|2 = 1.
Проделав несложные вычисления, получаем для вероят-
ности перехода следующие значения:
-1
\2 ’	2
sin2 8	. „
-------------------- 41
1 ql — 2q cos 8
— 2q cos
где q есть
к частоте ы
отношение частоты ларморовской прецессии
вращающегося магнитного поля
/кп	О,
4
положительна,
Величина q
в направлении прецессии,
происходит в обратном направлении.
со	У	,
Если угол «) мал, т. е.-—-- <4 1, то вероятность
перехода
если магнитное поле вращается
и отрицательна, если вращение
приближенно равна
Из этой
шении о) = <1)0,
тации магнитного момента
- 2) = sin2 [i “ к1 - 9)2+^2] •
формулы следует, что при резонансном соотно-
е. при 9 = вероятность переориен-
относительно магнитного поля,
равная	—y^~sii.2y <>, может оказаться близкой
к единице при некотором значении t.
Если же в рассматриваемом случае изменить направление
вращения магнитного поля (или изменить знак у еЯ?г), то
§ 6]
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
155
для вероятности перехода получим величину
I)
£
2 ’
Р
Й2
= ~г sib2 ы/,
4
значительно меньшую единицы. На основании такого резкого
качественного различия можно определить знак магнитного
момента частицы
»	Р-Г	г.	ц/г
'	7 т 1 -ту/ 2т У ' т 1 л ’
' ' 2т z т 1
б) J(0 = (40 + g Р (аа* — Х)>
J(o=(А—- <Х),
x(/) = (x)0 + 2Z>
(Zij? == (Мо 4	t1 - (аа* - 33*)21 + й? J (й)2
(Д$ = (Д^+	[i -(/р*а- Z^)2! 4- g J (g) dr,
й=й+ +Ш(й4-
Замечание. Рассмотрим, например, совокупность частиц,
у которых проекция спина на ось z при t = 0 с достовер-
ностью имеет значение -f- 1/2, т. е. а= 1, р = 0. Как легко
видеть из полученных результатов, если на пути таких
частиц, движущихся в неоднородном магнитном поле, по-
ставить экран, то на нем этими частицами будет образовано
два пятна. 2-координаты этих пятен будут одинаковы,
а у-& координаты противоположны по знаку.
19. Направление магнитного поля будем характеризовать
полярными углами ft, ср. Углы ft и ср являются функциями
времени. Оператор Гамильтона для нейтральной частицы
представим в виде
Н = — \^ЗС (Jx sin ft cos tp 4 Jy sin ft sin cp 4 -4 cos
156
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
здесь — абсолютное значение напряженности магнитного
поля. Обозначим через \ оператор момента в направлении
магнитного поля
4 = Jx sin ft cos ср	J,j sin ft sin cp -|- Jz cos ft
и введем функции 6TO(Z), которые являются собственными
функциями оператора т. е.
Будем искать решение уравнения Шредингера
в виде
'т' — S ат (О (О-
Как известно (см. задачу 19 § 4),
1	«КО
= e z e у
где <}iW удовлетворяет соотношению
Вычислим сперва tym(f). Воспользовавшись соотношениями
е у Jze у — Jgcosft — Jx sin ft,
ЛсФ»» = у W + m)(/ — m + 1) 't’m-1 4~
+ у 1^(j ~f~ tn -f- 1) (j — tn) 6;„41,
Jy'^m = 4 V<J + m) (J —’ m + 1) Фю-l —
- 2" Vt/ + ttl -f- 1) (j	tn) бщ4 ! ,
имеем:
(0 = (— fyrn cos ft) t>m (t) +
+ -j VU + m + 1) (7 ~ ra) (/c? sin я	**) 'bM4i (0 +
+ у V(J + OT) U — m + 1) (z? sin a + &)	1 (0-
§ 7]
ATOM
157
Подставляя значение в выражение
5 {’J'm (0 ат (0 + «т (О (0} = “ S тат (/) (t),
т	т
получаем систему уравнений, определяющих изменение коэф-
фициентов ат во времени:
/й ф- mps№am = — тйср cos Ъат -ф-
-ф- у й (ср sin & 4- Z&) У(j -ф- т) (j — т + 1) am_i -ф-
+ ± й (ср sin 8 — г») У (J — т) (j -ф- т -ф-1) ат+1.
Если
й ’
т. е. угловая скорость изменения направления магнитного
поля много меньше частоты прецессии, то в приведенной
системе уравнений можно пренебречь правой частью и тогда
. тц.а%? .
г —V— *
ат — е h .
Таким образом, в этом случае вероятности различных зна-
чений проекции момента на изменяющееся во времени на-
правление магнитного поля остаются постоянными.
§ 7. АТОМ
1. Из написанного неравенства получаем:
f |V<H2 d-, + Z У (VI Ф ]2 V Г)г7х-Н Z2 f (Vr)21 I2 dT> 0.
Производя во втором члене интегрирование по частям и
2
замечая, что (V г)2 = 1, а Дг = —,
имеем:
Левая часть неравенства представляет среднее значение
158
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
~	1 Z
оператора Гамильтона*) й/=—уД— — в состоянии 6. Нижнее
Z2
значение энергии---достигается в состоянии с волновой
функцией 60, удовлетворяющей уравнению первого порядка
V<po4-Z%Vr = O,
откуда следует, что

5.	Вычисляем сначала волновые функции в импульсном
представлении по общей формуле
Для состояния 1s находим:
?is(P) (й/	/р?а*	\2
( й2 + /
Аналогично
этому для состояния 2s получаем:
р2а2 1
, ч 1 /2й \72 й2 4
?2s О) — 2- \Л~) Ip'a2 1 \в ’
\ й2 + 4 /
Состоянию 2/> соответствуют 3 собственных функции
= - 1, 0, +1)
С помощью этих выражений находим распределение по
импульсам (нормированное):
™ (Р) = !?(/>) I2-
6.	У v{п‘"+2)"/и (/+1)2.
:i:) В единицах e — й — p = 1.
§ 7]
ATOM
159
При заданном п минимальное значение это выражение имеет
для «круговых орбит», т. е. при 1 = п—1
2	г
7.	При n1 = l, n2 = 0, т = 0
1
\г‘2п 4-1'
«к о, о(£, тд, ср)
^20 ^00	'Р) +
+ ^/?21(г) К1О(0, ср).
9. В неквантовой релятивистской механике функция
Гамильтона имеет вид
н=Vр2с4 4- р2с2—рс2 4- и (/-)	4- и (г) 4- нг.
причем
И =______PL
1	8p’c2'
Будем теперь считать р оператором р= — ihV, a EIt рас-
смотрим как малое возмущение. Тогда в исходном прибли-
уравнение Шредингера 4~ U (r)J ф = Е'\,
а искомая поправка к энергии в состоянии п, I, т
жении имеем
4E* = -wJ'M‘,t=-2M W-U(rmd-.=
/н?4)2
3£2	\й2/ Г 2	1
“ 2р.с2 zzVc2 (2/4-1)	L8«4	(2/4~ 1) n3J Й2 \йсу ‘
10. Вместо того чтобы исходить из невозмущенных вол-
новых функций с определенными lz и sz и затем решать
секулярное уравнение, удобно выбрать в качестве исходных
волновых функций собственные функции с определенным Z2
и j2, где j —	— полный момент, коммутирующий, как
нетрудно проверить, с Н2. Замечая, что по классу рас-
сматриваемых функций справедливы соотношения
? =/ (7 + 1) ='('+ 1) 4~ * (* + 1)4-2^,
160
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
находим:
н >04-1) —Z(^ +D —l)ft2 / 1 dU\
^E2 = H2 — --------------------------й •
e2
Для атома водорода U = — — и поскольку
Т 1 Лле2\з
находим окончательно:
Лр	[e2\2j(j + 1)-/ (/ + 1)~s (s + 1)
2	4лз/(/ + 4)(/+1)	•
Эту формулу можно записать короче, так как в нашем
случае s — */г и возможны два случая j = 1 — 1/2 и / = /-]- !/2.
Как легко проверить, при этом
2Zs =j (у +1 )-Z (Z+1)—s (*+1 )=
Z при J=H-4
— (Н~1) при j=l—i-,
так что для любых j и Z
, ____р.е4 le2 \2 1
2 ~ > [he]
Складывая ДЕ2 с поправкой, учитывающей зависимость массы
от скорости Д/4 (см. предыдущую задачу), получаем:
де = ^/^\1/А_______1_\
h2 \Tic) п2\8п	2/4- 1/’
Это выражение не зависит от Z, т. е. два уровня с оди-
наковым j и разными I имеют одинаковую энергию
(вырождены).
12. При ^-распаде ядро трития превращается в ядро
изотопа гелия Не3. Влияние ^-распада на атомный электрон
заключается по существу в том, что за короткое время
, й3
Z <54 потенциальная энергия электрона в атоме изменяется
е2	Че2
и вместо U = — — становится равной U =----------— . Время t
§•7]
ATOM
161
можно оценить как время пролета -электрона через атом
v
где п0 =—v — скорость [3-электрона. Поскольку энергия
[3-электрона порядка нескольких кэв, находим —0,1-^j-.
Волновая функция электрона не успевает измениться за
время t, что следует из уравнения Шредингера:
' г th ‘ т
Разложим волновую функцию электрона 4 по собственным
функциям электрона в поле Z = 2.
'Р = ]£
п
Коэффициенты разложения
= S
Ck = J dt
определяют вероятность возбуждения
и ионизации
талон = f | Cfc I2 dk.
Поскольку 6—сферически-симметрична, то сп и cfc отличны
от нуля лишь в том случае, когда состояния п, k являются
«-состояниями (Z — 0).
Поскольку
( —«+1> 2>
находим:
со
сп= j	=
И Зак, 1750. И. И. Гольдман. В. Д. Цривчеиков
2,
2Z \
nZ' + ZJ
162
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Полагая Z = 2, Z'—1, получаем для и=1:
16/2
С1~~ 27	'
т. е. вероятность того, что ион Не2 3 будет в основном
1 g \з
состоянии w1 = |c1|2 = ( —I =0,70. Следовательно, сум-
марная вероятность возбуждения и ионизации будет равна
1 - w1 = 0,30. Для « = 2, с2 =—у, w2 = 0,25.
С помощью формулы
F(a, р, у, х) = (1 —	(у — а, у — (3, -у, х)
находим:
__ ,	| 2 __ 2«П5 (п — 2)2»-4
—|Cil —	(п-|-2рн	•
Приведем значения вероятностей возбуждения, вычисленных
с помощью этой формулы, для нескольких первых уровней:
Z8V	1	293'>	. „0,
wi =	’	®’2 = ~4 ’ w3 = gw - 1.37о-
921
^ = йп~°’39%-
13. Гамильтониан имеет следующий вид (все расчеты
будем производить в атомных единицах c = fi = p=l)
2 1	2 2 i\ г3 Пз
Согласно вариационному принципу надо вычислить интеграл
Е(7) = J/(rP r2)W^(rp г2)йт1С?т2
dE
и определить величину Z из условия -^-г = 0.
В нашем случае
4 (гр г2) = са '7-' (П+"s)f
Z/3
причем нормировочная постоянная с
ATOM
163
§ 7]
Интегралы от первых четырех членов легко вычисляются
X4,(ri> ^2)	^T2 = -Z/2 — 2ZZ'.
IT	1
Что касается интеграла с —, то его удобно вычислить
г12
в эллиптических координатах:
5 = ^ + ^, / = г1 —г2, и = г12,
dz1 dt2 — ~2 (s2 — t2) и ds dt du,
— u-^t-^u, О^и-^s-^oo.
В результате вычисления имеем:
f Wv r2)^-^i^2 =
J	r12
co s -t u
— ir2c2 J* ds J du J* dte 2Z'S S и* и = -^-Z^
о 0
Окончательно получаем:
E (Z') = Z'2 4ZZ' + IZ'.
О
Из условия минимума E(Z') находим:
Z' — Z___—
z	16"
При этом значении Z' энергия основного состояния
Е—(2-вУ-
Чтобы получить представление о точности проведенного
расчета, вычислим ионизационный потенциал гелия (Z = 2)
и сравним результат с экспериментальными данными. Иони-
зационный потенциал гелия /не равняется разности энергий
однократно ионизированного атома гелия и нейтрального
атома гелия в основном состоянии. Значение /не равно
/не = 0,8476 ат. ед. = 1,695Яу *).
Экспериментальное значение /Но= 1,810.
*) 1 ат. ед. энергии = 2Ry — 27 эв.
11*
164
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Экспериментально известны также ионизационные потен-
циалы других двухэлектронных систем Li+, Ве++ и т. д.
Сравнивая их с вычисленными, получим:
Элемент	Не (Z = 2)	со II N	Ве++ (Z = 4)	II N m	(9—Z) + + + + Э
Вычисление 7(7?у) . . .	1,6952	5,445	11,195	18,945	28,695
Экспериментальное /(Ry)	1,810	5,560	11,307	19,061	28,816
Результаты вычисления энергии основного состояния на-
ходятся в удовлетворительном согласии с опытом.
15. У атома гелия в нормальном состоянии орбитальный
и спиновый моменты равны нулю. Вследствие этого гелий
обладает диамагнитными свойствами. Диамагнитная восприим-
чивость, рассчитанная на один грамм-атом, дается следую-
щим выражением:
&N. -	-
где
ri + z-2 = J (n -t- /’D 'У2 dx2;
Na— число Авогадро. Приближенное выражение для вол-
новой функции основного состояния атома гелия
6(r., r^ = ~.e-z'От+
' ' 1 z ля1
Вычисление среднего значения rj -j-г2 с помощью этой функ-
ции приводит к следующему результату:

2д_2
ATOM
165
Подставляя это значение в выражение для диамагнитной
восприимчивости, находим:
z==— 1,67 • 10"6.
Экспериментальное значение диамагнитной восприимчивости
z = —(1,90 ±0,02) • 10“®.
16. Введем для удобства следующие обозначения:
Z^a, Z2=2p, 22?’ = a, cZ^ = b.
Из условий ортогональности и нормировки находим:
TZ2 = 1 (а + Р)-	Ь2 = , 12Р' ра- •
1	z 2	1	а2 — ар -4-1'2
В новых обозначениях и <^2 будут иметь вид
'h = 'hoo = ««'“a,'roo- Ф2 = Фгоо = b р — -|(а + г]е~₽’Тоо-
Приближенная волновая функция атома лития, находящегося
в основном состоянии, может быть представлена следующим
образом:
Ф==4=
/3!
С1) »!+ (°i)	(2) »!+ (°2)	(3) V (°3)
(О7!- (°i)	Ф1 (2)»]_ (°2)	Ф1 (3)к]_ (°з)
Ъг (1) »!+ (°i)	Фг (2) % (°2)	Ф2 (3) tq+ (<з3)
где 71+(д)==1-	T‘-(~4)=1-
В этом состоянии S = Ч2, М = 1/2-
Оператор Гамильтона *) в данном случае имеет вид
Проведем вычисление энергии в состоянии Ф.
Кинетическая энергия электрона в состоянии 1s равна
, 1
2
г2 dr — ~ а2.
*) В атомных единицах е = h = р. = 1.
166
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В состоянии 2s
т =₽2 _]_______₽L_____.
2	6 а2 — ар р2
Энергия взаимодействия внутреннего электрона с ядром
Г е-^г
Ut = — I —^dx = Za2 j —— г2 dr — — Za,
о
внешнего электрона с ядром
Zp Zp2 а — 2р
<72 =	-j- + ^~ -ат! ~ар + р2' (в случае лития Z = 3)
Энергия кулоновского взаимодействия внутренних элек-
тронов
К и = J j 7^14’1 (ri) I21Ф1 Ог) |2 d-cj di2 = у а.
Энергия взаимодействия внутренних электронов с внешним
2/<i2 = 2 J j ±	(г,) |21 ф2 (г2) |2 d4 d4 =
2«3________(За + Р)
(а + Р)2 (а + Р)3(а2-ар + р2) '
Энергия обменного взаимодействия двух электронов с па-
ра ллельньими спинами
A = c2a2b2 J e-(a+?)rs|\ —?) r2 j r2 dr2 X
0
X j £”(“+₽)»• [1 — 4(a-+-p)/-1]r1dr1 =
__	4a3p5
(a -|- p)5 (a2 — ap -f- p2)
Полагая = Xa, получаем:
2Д+Г2 = Т = а2?1(Х)>
2t7i + U2 + /<и + 2^2 — A = — a?2 (X),
£ = a2<pi(X) — a<p2(X).
§ 7]
ATOM
167
Минимум энергии осуществляется при значениях а и к, удо-
влетворяющих условиям
^ = 0,
да
^=0
дХ и
или
(к)—?г (к) = О-
к =0,2846.
2а<р1(к) — ?2(к) = 0,
Исключая а, получаем:
(к)	2?г (к) _
¥1 (к) ср2 (к)	’
Соответствующие значения а и ]3 равны
а = 2,694, р = 0,767.
Подставляя найденные значения вариационных параметров
в Е, получаем для энергии нормального состояния атома
лития значение
Е =—7,414 ат. ед. или Е =— 200,8 эв.
Экспериментальное значение Еэвсп =— 202,54 эв. Применяя
теорию возмущений, т. е. полагая а = 3, р=8/2, мы по-
лучим для энергии основного состояния менее точное, чем
при вариационном методе, значение Е —— 7,05 или в элек-
трон-вольтах
Е= — 190,84 эв.
17. Рассмотрим оператор кинетической энергии ядра Т.
В системе центра инерции
где	Р — импульс	ядра, —импульсы электронов,
Т имеет вид
=(Sa)2 _ у Pi , у PiPk
1 2М 2М 2л2М~т~ Li М •
i > к
Поскольку отношение массы электрона к массе ядра
—искомое смещение, можно вычислить по теории
возмущений
168
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
причем ф— волновая функция электронов в поле бесконечно
тяжелого неподвижного ядра.
Первый член в выражении для Т отличается лишь мно-
m
жителем от кинетической энергии электронов, которая
по теореме вириала равна энергии атома с обратным зна-
ком. Таким образом, ДЕ представляется в виде суммы двух
членов
ДЕ^ДЕ^ЬДЕг,
ДЕ1 —— -Tj-E, ДЕ2=-^- f 6* V p-pjjd-.
1 М 2 М J •
г>к
Рассмотрим более подробно ДЕ2. Если в качестве -Ь взять
произведение волновых функций отдельных электронов, то
член ДЕ2 обратился бы в нуль, так как средний импульс
электрона в связанном состоянии всегда равен нулю. Однако,
если должным образом симметризовать такую волновую
функцию, ДЕ2 будет отлично от нуля. Симметризованную
собственную функцию атома гелия запишем в виде
*(А. гг)
4= [*i (А) <р2 (А) ± (А) (А)].
И
причем верхний знак относится к парагелию (полный спин
S = 0), а нижний к ортогелию (S=l).
Представляя это выражение в формулу для ДЕ2, полу-
чаем:
дЕ2 = ±	| J ^р'Ь2 clt |“ .
Матричный элемент импульса отличен от нуля, лишь когда
Д/ = О, ± 1 и, таким образом, ДЕ2 обращается в нуль для
состояний Isnd, Isnf и т. д.
Беря для ls-электрона и для ир-электрона водородные
функции с эффективным зарядом соответственно Zt и Z2
*18 О
2Z22/^
— Л0-3-	„2
(Z,« — Z2)2«-4
(Ztn + Z2)2"+4
(«2---
1).
получим:
§ 7]
ATOM
169
причем верхний знак относится к паратерму lsnplP, ниж-
ний— к ортотерму isnp^P.
18.	Пусть ф(х, у, z) является решением уравнения Шре-
дингера, относящимся к дискретному спектру энергии. Рас-
смотрим однопараметрическое семейство нормированных
функций вида Х/аф(Хх, Х_у, Хг).
Выражение

?ф(Хх, Ху, Хг)|2 +
U (х, у, г)|ф(Хх, Ъу, Xz)Qdxdy dz,
как функция X, должно иметь экстремум при Х=1, т. е.
Переходя к новым переменным интегрирования Хх, Ху, Хг,
получаем:
/(Х) = Х2Г4-Х-'(7.
Откуда находим:
2Т— vU = 0.
Теорема вириала легко обобщается на случай системы мно-
гих частиц.
19.	a) Z~‘/s—2, б) , в) , г) Z%^ ,
ре2 7 й2	7 й2 7 й2
д) ZVs~ , е) Z1/Efi, ж) z7-.
20.	Полная энергия складывается из трех частей; кине-
тической энергии электронов Т, энергии взаимодействия
электронов с ядром Une и энергии взаимодействия элек-
тронов между собой Uee. Два последних слагаемых имеют
следующий вид:
<4е = — J
ее 2 J | г — г' |
Чтобы вычислить кинетическую энергию, рассмотрим беско-
нечно-малый элемент объема атома dt. Число электронов
170
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
с импульсами, лежащими в пределах р и p-\-dp, пропор-
ционально фазовому объему и равняется
p'&dpdt
йП =	(2^)3	~	’
Плотность электронов получится интегрированием по р от 0
до некоторого максимального р = р0.
Кинетическая энергия электронов в объеме dt
Р-	к
Г Р2	Ро
dT = -~dn = -^dt.
J	1 и пн
О
Выразив в этой формуле р0 через р и интегрируя по объему
атома, находим кинетическую энергию электронов
7 = ^(3^ JpVadT.
Окончательно для полной энергии получаем:
E=T-\-Une-\-Uee =
22.	Элемент объема, выраженный через х, имеет вид
dt = 4w2 dr = 8тгХ3хб dx.
Вычисляем кинетическую энергию
r=12g^x8//a
25“
и энергию взаимодействия электронов с ядром
Оие = — 8“Л/.2/.
Для ТОГО чтобы ВЫЧИСЛИТЬ t7ee= 4f J Р|^_
найдем сначала потенциал, создаваемый электронами <ре.
Решая уравнение Пуассона
д<ре = 4кр,
§ 7]
ATOM
171
получим:	
?8 =	16л А А2	। ... х2 [1	е-^(х-^- 1)]
Вычисляя теперь Uee с помощью теоремы Грина, находим:
77ее = — 1J ?еР dt = 16-2Л а>.Б.
Из условия нормировки определяем А
J" р dt = 16~ Д).3 = N.
N
Подставляя А — в выРажения для Г, Une, Uee, по-
лучим;
12 /ЗлДт 1
' “ 2бД 16 / л2 ’
U
пе	2х •
и =
«е 16Х •
Минимум Е — T-j- Une -|- Uдостигается при
. _ 9 /Зл/У \%	1
25 \ 16 / N_
8
и составляет
„	25/16x7. ..у,/„	N\2
£==збЫ N \z--s) ак ед-
Для нейтрального атома
,,	25-49 /16X7. .//, п „’/3
Т =	.-л о-) Zli= 0.758Z ат. ед.
36 • 64 \3л/
23.	Пусть р(г) — выражение для электронной плотности
в модели Томаса-Ферми. Тогда р(г) осуществляет минимум
энергии атома

Если в это выражение вместо р подставить функцию Xsp (kr),
удовлетворяющую тому же условию нормировки, что и р(г),
172
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
то получим Е (X) = к2Т -|- Х17, где Т — кинетическая, a U —
потенциальная энергия электронов в атоме. Поскольку Е (X)
должно иметь минимум при X = 1, находим, что должно
выполняться равенство
27’-]-17 = 0,
выражающее теорему вириала.
24.	Энергия взаимодействия между электронами может
быть записана в виде
где <ре— потенциал, создаваемый электронами, а <р— потен-
циал самосогласованного поля, включающий поле ядра
, г
сР = ?е+— •
В модели Томаса-Ферми выполняются соотношения
где /?0 — максимальный импульс, <р0—потенциал на границе
атома. Исключая отсюда р0 и выражая в формуле (1) ср
‘через р, находим:
Первые два члена лишь множителями отличаются от энер-
гии взаимодействия электронов с ядром
17w = — Z у dx
и кинетической энергии
Таким образом,
U —-----------------------*-U —~Т— —.
'-'ее	2 пе Q 2
Подставляя сюда значения Т из теоремы вириала
27’= — Um, Uee,
§ 7]
ATOM
173
окончательно находим:
Uee = — V ^пе — V 4=0*7-
Для нейтрального атома (N = Z) ср0 = 0 и
II =-----II
ее у пе'
25.	Энергия полной ионизации равна полной энергии
электронов, взятой с обратным знаком. Используя теорему
вириала, находим (см. предыдущую задачу):
Еиои = —| Une+~<f0N.
Преобразуем выражение
1Уйе= —Z f
eJ *
следующим образом: введем потенциал сре, создаваемый элек-
тронами
Дсре = 4тгр
и используем теорему Грина
Une = -^ J ^ = Z<?e (0)
(поверхностный интеграл на границе атома равен нулю и
Д1=-Ы(г)).
Итак,
FIIOn = —|Zcpe(0) + -|/Vcpo.
Переходя к томас-фермиевским единицам
находим:
7
сРе(/') = 'Р--7- = сРо---11 ~-ХО)Ь
и поскольку для малых х
•/ (х) = 1 — ах 4- -3- xl!,
174
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где а = а0— 1,58 для нейтрального атома (для положи-
тельного иона а > а0), то окончательно
3 Z’A 3 (Z — Д')2 z,/s
Сноп — 7 ь а 7 Ьхо
х0— радиус (Z — ЛЭ-кратного иона.
26.	Потенциал точечного кулоновского центра совпадает
с потенциалом заряженной по поверхности сферы вне этой
сферы, поскольку полный заряд в обоих случаях одинаков.
Внутри сферы разница двух потенциалов составляет
AT=_Ze(l_l).
Изменение потенциальной энергии электронов атома
N
1=1
где введена вспомогательная функция
{1 г < а,
О г>а.
Смещение уровней энергии в первом приближении теории
возмущений
LE =—Ze* J |'Я2	• • • dzN-
i = l
Интегрирование по всем переменным, кроме одной, дает:
J I (ri • • • rN) I2 di2 ... dtN = Т- p (г),
где р(г)— электронная плотность.
Таким образом,
ДЕ = — Ze2 j р (г) (1 __ 1) е (r) di.
Воспользуемся тем, что р(г) мало изменяется в области
г < а. Вынося эту величину за знак интеграла в точке
г = 0, получаем
ДЕ = — Ze2p(0)^-<z2.
О
§ 7]
ATOM
175
27.	Волновая функция s-электрона

1_
4т:	г
где /п удовлетворяет уравнению
7.:+^[^-^(01хя==°
со
И нормировочному условию J"y2d/-=1.
о
Решение уравнения для /и в квазиклассическом прибли-
жении имеет вид
г	.
А	I 1 Г	1
7.»=-^=rCOS 7Г \ P»dr + ^ >	(О
Vpn	\h{	j
где
pn=V^[En — U(r)].
Это решение, однако, непригодно в области малых г.
, fia \
В самом деле, если г мало г<^'—------) то, во-первых,
\ Z р.е2 )	г
можно пренебречь экранированием поля ядра и положить
Zea
U (г) =--— ; во-вторых, можно также пренебречь Еп по
/~ 2wZe2
сравнению с U (г). Подставляя р — у — в условие при-
менимости квазиклассического приближения
Z^>
получаем:
йа
Zp.ea
Чтобы получить для уп выражение, пригодное в области
малых г, вернемся к исходному уравнению и заменим в нем
Zfa
U (г) на —-—, а также пренебрежем Еп:
 b2 г /-П U-
176
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Это уравнение имеет решение
(2)
Чтобы найти связь между постоянными Сп и А„, замечаем,
что область применимости квазиклассического решения (1)
№
Г Z^
и область применимости решения (2), в которой пренебре-
гается экранированием поля ядра,
г<^—Г,------
Z /з р.й-2
при больших Z перекрываются и поэтому решения (1) и
Й2	й2
(2) в области ---п--------------- должны совпадать.
v 7	Z^	Z'*^
Покажем, что вид решений (1) и (2) одинаков в общей
области применимости. Для этого положим в (1) р==
-—. Тогда получаем
4
2 y^-Ze^r
й2
1^-
Й2
Zp.<?2
+- <?
й
X» =4 ~~cos
У 2p.Ze3
Й2
Условие г	03начает> чт0 аргумент бесселевой функ-
ции в (2) велик. Но для больших аргументов (х_3>1)
, , .	•./" 2	{	Зл'-
J, (х) ^. V — cos х-------г .
1' '	г	\	4 /
Таким образом, решение (2) принимает вид
Сравнивая эту формулу с (3), найдем:
Теперь можно найти ф‘2(0)
§ 7]
ATOM
177
При x 1 имеем (x) = -% и с помощью формулы (2)
находим:
7 n
г
Следовательно,

Постоянную Ап определим из условия нормировки
J1 f	.	ЗтЛ
cos2 -г- I рп dr-т-
СО	CO \ h J	4/
( у2 dr — А2 | ---- .... °_______ z— dr
.) и	/2р [Еп~ й/(г)]
О	о
[’ dr
2 J /2р'[£и-С(г)]
Дифференцируя по п условие квантования,
JV2H [Е„ — U (г)] dr = л (п Д- у) Й,
которое определяет Еп как функцию от п, находим:
dEn Г	dr
dn J / 2р [Еп — U (г)]
Сравнивая последнее выражение с условием нормировки,
получим:
д2 dEn
п -r.il dn
и окончательно
^(0)==^^.	(4)
’и с 7 r/P dn	v
Для неэкранированного кулоновского поля Еп——2^2 ~fp и
найденное из формулы (4)	(0) =	) совпадает с по-
лученным из точного расчета. В атомной спектроскопии
для уровней энергии возбужденных состояний валентного
электрона часто используется формула
F =_Д£_4______J__
"	2й2 (п — оу ’
12 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
178
ответы и Решений
где о — так называемая поправка Ридберга, слабо завися-
щая от п. Приняв для Еп эту формулу, получаем:
Л2(о)=.£.т______
7 ' 7 т. № (л —о)3 ’
28. Пусть электрон находится в стационарном состоя-
нии, с определенным значением проек-
ции момента импульса т. Волновая
функция такого состояния равна
(г, », ^ = Rnl(r)P(im4cos^eim\
Плотность электрического тока в со-
стоянии в полярной системе ко-
ординат г, &, ср имеет вид
Jr = 4 = 0, Jv
| е | hm . ,
К sin»	•
Очевидно, что вектор напряженности
магнитного поля будет направлен по
оси Z. Круговой ток силы dJ со-
здает в точке О (см. рис. 28) маг-
нитное поле, напряженность которого равна
= — 2тс sin2 &; так как dJ — .Lrdftdr,
- гс	*
то
со	те	со
&£I — dr [|P('«)|2sin»d»= —	( — dr.
“	p.c J r J 1 i 1	[AC J r
0	0	0
Этот результат можно получить и иным способом.
Как известно из электродинамики, напряженность маг-
нитного поля, создаваемого при движении заряда, равна
(запаздывание не учитывается)
е 1 , , е 1 ,
=------•< [гр\ =---< I,
[АС Г3 1	[АС Г3
где г — радиус-вектор, проведенный из точки наблюдения,
I — момент количества движения.
§ 7]
ATOM
179
В квантовой теории для определения среднего значения на-
пряженности магнитного поля нужно вычислить интеграл вида
J 'р* уз df, так как /гф = т$,
то
S5, _	1£Ц	.
Среднее значение е%?ж, ЗСу в нашем случае будет равно
нулю вследствие того, что
tynlmlytynlm d~ § 'irihv£g;>nlm d^ 9 •
Для состояния 2р (m = 1) получаем:
575	1 I е I й /у.е2\з	, п,
~ 12 2^ (-№) ’ Т‘ е‘ ~ 10 гаУСС-
29.	Магнитный момент частицы равен
sdi-jl j т<к.
В случае двух частиц введем новые переменные: коорди-
наты центра масс (X, V, Z) и координаты, характеризую-
щие взаимное расстояние (х, у, z).
Среднее значение магнитного момента, выраженное через
новые переменные, будет равно
и аналогично для и ВД?/.
В стационарном состоянии средние значения координат
х, у, z и импульсов —/й^~, —г^йу’ —дг °бРа*
щаются в нуль. Вследствие этого последнее выражение
упростится и примет вид
ЙКг =—	(1—— ) [ 4** {—-------------.у-у-) 14
z 2тс \ Л1 ) J т I \ dy x dx) J 1
В этой задаче m — масса электрона, а М — масса ядра.
12*
180
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
30.	ДЕ = 0,00844 • 2,79^- ел”1.
Для основного состояния водородного атома (Z = п =1)
ДЕ = 0,0235 ем'1.
31.	Для определения энергии необходимо найти напря-
женность магнитного поля, создаваемого электроном. Вслед-
ствие орбитального движения электрона в той точке,
в которой находится ядро, возникает магнитное поле, на-
пряженность которого по закону Био и Савара равна

с г3 '
где г—радиус-вектор, направленный от ядра к электрону,
а / = — еч> (заряд электрона — е). Введем оператор орби-
тального момента I. Тогда для получим:
Я>,= — — 1/
р.С г3
Вследствие того, что электрон, помимо электрического
заряда, имеет спиновый магнитный момент, полная напря-
женность магнитного поля в указанной точке равна
й=й8={*-3-^ - 1} •
Таким образом, оператор энергии сверхтонкой структуры
мы можем представить следующим образом:
w = —
здесь i— оператор спина ядра, a pi — магнитный момент.
Будем рассматривать w как малое возмущение. Невозму-
щенное состояние характеризуется квантовыми числами
п, j(J = i + 1/2> J— I—V2)> l (предполагаем наличие LS связи).
Для определения энергии сверхтонкой структуры мы
должны усреднить оператор w по состоянию с квантовыми
числами
f, J, l(f=j + 0-
АТОМ
181
§ 7]
На основании формулы
имеем:
оЪ
(Л)Гт'- CfA)tf
fm ~ /(/+1)
(Л
fin'
fin
eh	Z(Z-l-l) - jm'.
3
riljnij
nljm .
3
Используя это соотношение, легко показать, что оператор
w может быть представлен в виде
' eh 0 1 Z (Z+ 1)
Отсюда следует, что энергия Е сверхтонкой структуры
определяется выражением
£=ё₽(А)Яттт>1я/+1>->0+1)-'<'+|)1-
Таким образом, при учете сверхтонкой структуры каждый
терм, характеризуемый числами п, I, j, расщепляется на
см~’
V'г +0,0083
VZ
Рис. 29.
D, ~ 5838 £
V^D.0583
2Z + 1 компонент (если j > Z). Совокупность различных зна-
чений / дает правило интервалов для сверхтонкой мульти-
плетной структуры.
Отметим, что путем простого подсчета числа компо-
нент сверхтонкой структуры в спектре данного изотопа
182
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
можно определить спин ядра. На рис. 29 изображена сверх-
тонкая мультиплетная структура D-линий натрия.
Тонкая структура, т. е. наличие дублета (линии
Dj = 5896 А, -соответствующая переходу 32Ауа —> 32Sy2 и
О2 = 5890 А, соответствующая переходу 32/Л/2 -> 325у2),
объясняется спин-орбитальным взаимодействием (см. зада-
чу Ю § 7).
32. В диамагнитных атомах равен нулю не только пол-
ный момент, но равны нулю порознь как результирующий
орбитальный момент, так и результирующий спиновый мо-
мент электронов. Вследствие прецессии электрон приобре-
тает добавочную скорость
. р
°
Обозначая через А векторный потенциал внешнего магнит-
ного поля А = у[Э£г], последнее соотношение можно пере-
писать в виде
г е .
v —— А.
1-1-С
Плотность тока, возникающего вследствие прецессий элек-
тронных оболочек, равна
J = — А? (г),
Р-с 1 v ’
где р(г)—-плотность заряда в точке г (заряд электрона
равен — е). Определим сперва векторный потенциал А! инду-
цированного магнитного поля
Используя формулу
1_________________________1____________________===
rla V7?2 + г2 — 2/?r {cos 6 cos г) -|- sin 6 sin S cos (Ф — <?)
( rl r<R
V / IT" ^,„(0,®)^» (»,<?)«	’
— ZdV 2Z-|-1 Уго(О) 1 Rl
I, m
§ 7]
ATOM
183
получаем выражение для Д':
dt
С помощью последнего выражения легко вычислить напря-
женность магнитного поля в направлении оси z.
Напряженность равна
2	Up-смД з
е&е
3|j.c2
d-z'.
Индуцированное поле в центре атома, т. е. поле, действую-
щее на
ядро
f р(г') , , е&в
елЛ (9) = 5—ъ	d-z = з—я (0),
2 ’ Зр.с2 J г'	Зр-с2 ‘ v '
от электростатического потенциала <р(0), произво-
электронами.
зависит
димого
В модели Томаса — Ферми
7 р	п	/»2
<р(0)=—1,588 —, где 6 = 0,858-^-, с== —
т	Ь	Z/s
н, следовательно,
^?'(0)== — 0,319 • 10~4
33.	^(0) = -§gg = -0,599- 104<Ж
34.	XSO, «Sp ЗРО>2, 2D^,
35.	a) ‘VSp
б)
в)	1Р28^)123’
г)	1^3^ 1Рр 3Р012‘Г»23Г>123.
36.	a) 4S2P2D;
б)	lSsPlDsF iG;
в)	2S2P4P2D.
37.	О3Р2> С12Р72, Fe2D4, Co4F.;s, As4&/a, La 2Dy,.
38.	К, Zn, С, О —четные; В, N, Cl — нечетные.
184
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
39.	Если все тройки квантовых чисел различны, то число
состояний равно числу сочетаний из N по	т. е.
— N+M
g(Me) = C* s.
N' пар одинаковых троек квантовых чисел п.
Если имеется
I, тг, то
40. Число
Nt (Nt -
- (N-2N')+M
g(Ms) = C2^,
состояний равно
1)-(Ari~-t+1), где Nl = 2 (2/ +!)’
42. С целью краткости антисимметричную волновую
функцию вида
V I1 ,»}т1	^1)	Ъ г1,ЛН1‘	(У	'	''	V
I о	v S	I	о
1	Ф 2,2 2 2	G1)	ф 2,2 2 2	(?г)	•	•		Ф 2	,2	2	2	(£дт)
Ф __ 1	*П I tnltns	17	n I ml^ls	V 47	п	I	Л
N!
''nNlN,»NmN ^nNiNmN,nN ^г) • •  \ьТгъгтх,нх (U
fv V Ht'j "•>£,	Ч I lll-t	»V Ь >«’ J ,,1CI
L 8	Vo	L о
составленную из функций одноэлектронной проблемы, будем
обозначать следующим образом:
Ф(пЧ1т]т1, п212т2т2, ..., n.NlNm^mN).
v is	Is	Is7
Рассмотрим действие симметричного оператора
(4-^)=
i = l	"
на антисимметричную функцию
Ф (п111т\тУ, п212гп2т2....
v Is Is	Is'
Легко видеть, что
(Lx — iLy) Ф (n’/’znjmls, n2l2tniml, . ) =
= ]/(ll	mlj )(ll — m^ -|- 1) Ф — Im', п21гт2т'1, ...) -f-
+ K(/2+	—m2i + 1)Ф(n’Pm’m*, n2l2m2 — 1 m?,
..-4-k(Z 4-тг)(/ - -тг + 1)Ф(п l тгть....n l тг —1”'„.).
§ 7]
ATOM
185
Результаты действия оператора — iSy аналогичны, только
вместо тг понижаются на 1 значения ms.
Если волновая функция является собственной функцией
четырех коммутирующих операторов S2, L2, Sz, Lz, то
действие операторов (Lx— iLy) и (Sx— iSy) сводится к сле-
дующему:
(V iLy)^(SLMsML) =
= /(L+AlxXL—ТИхН- 1) Ф (SLMsMl — 1),
(Sx — iSy)$(SLMsML)==
= /(S+Als)(S—Als+ 1) Ф (SLMs — 1ML).
После этих предварительных замечаний приступим непосред-
ственно к решению нашей задачи.
В рассматриваемом случае мы имеем дело с эквивалент-
ными электронами, поэтому квантовые числа nl можно везде
опустить. Значение проекции спинового момента будем иногда
указывать посредством индексов (±), расположенных над т1.
Приведем для конфигурации р-' классификацию состояний
по Л1,? и Mi (ограничиваемся только неотрицательными зна-
чениями) и получающиеся в каждом случае термы
7И«	ML					
3 2	0	Ф(1\	— 1 + ,	о-)	[45]	Ф1
1 2	0	Ф(Г,	— 1+,	О’)	- 4<s-	
		Ф(1~,	— г,	0+)		Ф3
		Ф (1+,	— 1”,	0+)	_2DJ	
1 2	1	Ф (1 + ,	1",	-1+)	’ 2Р~	Ф6
		Ф(1 + ,	о+,	О’)		
1 2“	2	Ф(Г,	г,	0+)	PD]	Ф?
Затем вычислим действие операторов (£ж — iLy), (Sx— iSy)
на некоторые из приведенных выше состояний
(Lx — lLy) Ф5 = /2 (Ф8 - Ф2),
(Z, —/4)Ф6 = 1/2(Ф2-ФД
186
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(4—*4) ф7=V2 (фб—фб)>
(4 iSy)	= Ф2 + Ф3 + Ф4,
Фх есть волновая функция состояния 4S с Ms = —, Л4х — 0.
Действуя на эту функцию оператором (4— iSy), согласно (1)
получим:
(4—*4)ф (45> 4 > °)=^ЗФ (4s, 4, о),
так как
(4 — iSy) Фх = Ф2 + Ф3 + Ф4,
то
ф (4S, 1, о) =	(Ф2 + Ф« + Ф^'
\ -ф / у о
Аналогично для терма 2D получим следующие волновые
функции:
ф(2£», 1, 2) = Ф,,
ф(!°4- 1)=7?<ф»-ф«)’
ф (!£)’ i  °) = 77Т ,ф= “ 2Ф= +
\	*	/ у о
Состояние 2Р,	, 1	=-^ ,	представляет собой
линейную комбинацию состояний Фб и Ф6, ортогональную
к состоянию 2D, у, 1. Из этих соображений находим:
Ф(2Л 4’ 1)==т^(Фб+Фб)’
и далее
ф(2Л о) = -^=-(Ф3-Ф4).
Таким же самым способом можно получить волновые функ-
ции, соответствующие отрицательным значениям проекции.
43. Как следует из приведенной ниже таблицы для опре-
деления собственных функций двух термов 2D, необходимо
вычислить сперва собственные функции термов 2Н, 2G, iF, 2F.
§ 1\
ATOM
187
Л4д 1 2	ML				
	5	Ф(2+, 2“,	1+)	Ф1	12Н]
1 2	4	Ф(2+, 2",	0+)	Ф2	‘2Я’
		Ф(2+, 1 + ,	1")	Фз	2G
1 2	3	Ф(2+, 2”,	-1+)	Ф4	~2№
		Ф(2+, 1 + ,	О')	ФБ	2G
		Ф(2+, Г,	0+)	Ф6	
		Ф(2", 1 + ,	0+)	Ф,	_2F_
1 2	2	Ф(24 2',	-2+)	Ф8	-2Я~
		Ф(2+, 1+,	~ 1“)	Ф9	2G
		Ф(2+, 1",	-1+)	Фю	4f
		Ф(2”, 1 + ,	~1+)	Фи	2/7
		Ф(2+, 0+,	о“)	Ф12	2D
		Ф(1 + . г,	0+)	Ф13	_2D_
3 2	3	Ф(2+, 1+,	0+)	Ф14	rn
3 2	2	Ф(2+, 1+,	-1+)	Ф1В	I4/7]
Найдем сперва результат действия операторов
(Sx— iSv) на некоторые из приведенных выше состояний:
(4 — «4) Ф1 = — 2Ф3 + / 6Ф2>
(4	J4) Фг= — 2Ф, -|- 2Ф6 4~ 4бФ4>
(4 - ILy) Ф3 = - /6-. + /6ФБ,
(4 д4) фц=ф^+Фе Н- ф&*
(4 — 4-) ф4 = — 2Фц + 2Ф10 + 2Ф6>
(4 - iLy) ф6=у 6Ф12+у 6Ф9,
(4 iSy) Ф16 = Фп -|- Ф1о~г Ф©>
(4 д4) Фе 2Ф13	4 6 ф^2 4- 4 бФю<
(4 - ILy) Ф, - - 2Ф13 + 46Ф„.
188
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Волновая функция состояния 2Н, ~ , 5	— 5^
равна Фр т. е. Ф (2Н,	, 5^ = Ф1. Применяя оператор
(Lx — iLy), получаем:
(Lx - ILy) Ф (2Н, 1, 5) = ]Л0Ф (2Н, |, 4) .
Так как (£ж— /£г/)Ф1 = — 2Фа-|-фА6Ф2, то
Ф(2Н’ 4’ 4) = -^-{]<6Ф2-2Ф3}.
X	/ у 10
Другие, нужные для решения задачи, состояния терма 2Н
находим последовательно:
ф(2Н,	з)=-^{]ЛбФ4-2ФБ+-4Ф6-2Ф7}(
х	*	/	у оО
ф(2Н, 1, 2)=-Ь{Ф8-Ф8+ЗФ10-2Ф11-ЗФ12^-]ЛбФ13}.
X	/	у оО
Состояние Ф ^2G, ~, 4^ представляет собой линейную ком-
бинацию состояний Ф2 и Ф8, ортогональную к состоянию
Ф ^2Н, ~, 4 j. Из этих условий определяем волновую функ-
цию Ф ^2G, ~ , 4^
Ф(2°’ 4’ 4)-^=-{2Ф2+/бФ3}.
X Л / у 11)
Так как состояния разных термов не связаны никакими
фазовыми соотношениями, мы можем положить а=0.
Другие состояния терма 2G получаются посредством
последовательного применения оператора (Lx— ILy). Итак,
имеем:
Ф(2°’ I’ 4)=	(2Ф2 + /6Ф8},
\	/	у 10
ф(2с, 1, з) = -Ь(ГбФ4 + ЗФ6~Ф6-2Ф,},
X	х /	У 20
ф("О, 4^) =
_3_ | 2ф,+ ЗФ,+ Ф,„ - 4Ф„ +4Ф,г+ yf 2ф„).
§ 7]
ATOM
189
Для того чтобы решить задачу, нам необходимо еще опре-
делить функции Ф (4Д,	, 2^ и Ф^2Д, -i-, 2^.
Так как Ф^4Д, у , 3^ = Ф14, то, действуя оператором
(Sx— iSy), получим состояние Ф^4Д,	, 3^ :
(С - /6,)ф(4Л |, з) = /Зф(4Д, 1, з)=(5ж-г-4)Фи,
Ф(4Л |, з) = -1¥{фб + ф6+ф7}.
А из состояния Ф (*F,	, 3^ посредством оператора
(£ж—iLy) получаем состояние Ф (4F, -i-, 2^ :
Ф(4/?’	2) = -^{ф9+Ф10+Фн}-
Волновая функция Ф ^2F, ~, 3^ определится из условия
ортогональности ее к трем функциям Ф ^2Н,	, 3^,
Ф (2G, g-, з), Ф (*F, -g-, 3^ . Нормированная функция
Ф (2^’ Т ’	’ опРеделенная из этих условий, равна
ф(2д, |, з) = -А=-{-/6Ф4 + Ф6+Ф6-2Ф,}.
И, наконец,
ф(2Л	2) = -^{-2Ф8 + Ф9-Ф10 + ]ЛбФ13}.
\	! у 12
Теперь мы имеем четыре состояния с Ms = -^ и ^ь = 2,
ф(°и, 1,2) =
= TSS |ф»—*• + зф|»— 2ф.. — Зф,г+ у6Ф„),
у oU
Ф(г°’-М=
= гТ -и-|2фв+зф. + Ф1о-4Ф„ + 4Ф,! + уЛ |ф„|,
190
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ф(2Л 1,2) = -7^{-2Ф8 + Ф9-Ф10 + /бФ13}.
\ х / у 1Z
В эту же группу входят еще два 2£) состояния. Эти два
взаимно ортогональные 2О состояния ортогональны также
к написанным выше четырем состояниям.
Из условий ортогональности и нормировки получаем
следующие ортонормированные функции:
ф(^о, 1,2) = 1{-ф8-ф9+ф10+ф12}.
Ф (ьчэ, 1, 2) =
=	{- 5Ф8 + ЗФ9 +- Ф10 - 4Фи - ЗФ12 - 2 /6Ф13Г.
У о4
Остальные волновые функции 2D состояний, соответствующие
другим значениям проекции моментов, легко определяются
посредством последовательного применения операторов
(£ж и (.Sx iSy).
44. Составим сперва список всех состояний, принадле-
жащих конфигурации прп'р. Ограничимся неотрицательными
значениями Alg и Ml
рр		Ms	
		1	0
Л4Х	2	Фг(1'. 1+)	ф2(14. 1") ф3(1". 1+)
	1	ФД1 + . О' ) Ф6(0+, 1+)	Ф6(1+, О') Ф,(0+, Г) Ф8(Г, 0+) Ф9(0“, 1+)
	0	Ф10(Г,1')Фи(0',0') ф12(~1+, 1+)	ф13(1+. — 1") Ф14(0+,0-) Ф1Б(-1 + > 1") Ф16(4’,-1+) Ф17(0-, 0+) Ф18(-Г, 1+)
§ n
ATOM

Из рассмотрения таблицы следует, что данная конфигу-
рация имеет термы 8S, 1Р, 9Р, rD и 8О.
При решении задачи в качестве функций нулевого при-
ближения возьмем функции, указанные в таблице.
Так как энергия не зависит от значения проекций
и M]-Jt то матрица возмущения будет представлена в виде
субматриц следующим образом:
Обозначим через V оператор возмущения. В первой суб-
матрице присутствует только терм 8О. Следовательно,
E(1)(8D)=Vn.
Во второй субматрице (Л1/, = 2,	= 0) комбинируются
два терма SD и ’D,
E(1)(8D) + E(1)CD) = V22 + V3g.
В третьей субматрице (ЛЬ,= 1, Ms=0) комбинируются
два терма SD и SP,
^4sD)-^^\9P) = Vi4+V№.
192
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В четвертой субматрице (Л4£=1, A}s=0) четыре терма:
Ч), 1D, Ч>, ip,
(30) +	(1О) + £<*) (зР) + £(1) СР)=Ус6+У71+У88+У9!1.
В пятой субматрице (Л}^ = 0, Mg= 1) три терма: 3D, SP, aS,
В») (ЗД) +	(зр) + £п) (35) _ Vio> ш + ип. „ + V12> 12.
И, наконец, в шестой (Л4=0, ЛТА- = 0) все термы: 3D, ‘£Р,
SS, 'D, 'Р, 4S,
£(1) (8D) + £<п (>О) + £(1) (8Р) 4-
+ Е(1) СР) 4 £(1) (4) 4- Е(1) (4) =
= ^13. 13 + ^14, u+^lo, 15 + ^16,16 + И, 17 +^18, 18*
Из этих уравнений легко получить выражение для термов
через диагональные матричные элементы:
£(1)(8О) = ИП,
E(i)QD)^V22 + V33-Vtl,
£(1)(3Р) = И444-И55-Ик,
£(1) СР) = Цзе + ^77 + ^88 +-1'99 + ^11 — ^22-^33-И44-И5В
и т. д.
46. Выражение (L,2§г) является малым возму-
щением. Рассматриваем рассель-саундеровский тип связи.
В этом случае Но коммутирует с операторами J2, Jz,
L2, S2. Уровни энергии невозмущенного состояния характе-
ризуются квантовыми числами J, L, S. Каждый из этих
уровней вырожден по направлению вектора J, кратность
этого вырождения равна 2J-J-1.
Так как недиагональные по Je матричные элементы опе-
ратора (£,4~2.$_) равны нулю, то поправка к энергии равна
просто среднему значению оператора (£, -|-2SZ) в состоя-
нии, характеризуемом квантовыми числами J, Jz, L, S.
§ 7]
ATOM
193
С целью вычисления этого среднего значения положим
в формуле (задачи 29 § 4) gI==l, g2 = 2, J, = L, J2= S.
В результате получим:
-----— i ч
LZ+2SZ = JZ\±
, S (S + 1) - A (A + 1)1 _
~'	27(74-1)	( —
Согласно
равно
сказанному выше искомое расщепление будет

51. Энергия атома в магнитном поле одного порядка со
спин-орбитальным взаимодействием. Поэтому оператор спин-
орбитального взаимодействия, равный ср (г) Is (см. задачу 10
eti	А
§ 7), объединяем с оператором g^(/2-|-2s2) и их сумму
v=cp(/-)zs+g^?(z:+2S;)
рассматриваем как малое возмущение. В невозмушенном со-
стоянии сохраняющимися величинами будут квадрат и проек-
ция орбитального момента, а также квадрат и проекция
спина. Нам удобнее взять другой набор сохраняющихся
величин. Будем характеризовать стационарное невозмущен-
ное состояние квантовыми числами п, I, j, nij (Р, J2, jz ком-
мутируют с Но). Степень вырождения в случае кулоновского
поля равна 2/г2, в случае центрально-симметричного произ-
вольного поля 2 (2Z —|— 1). Нам нет необходимости решать се-
кулярное уравнение такой высокой степени. Заметим, что
в возмущенном состоянии квадрат орбитального момента и
проекция полного момента являются интегралами движения.
Вследствие этого волновая функция возмущенной задачи
должна быть скомбинирована из функций
относящихся к одним и тем же значениям п, I, nij, т. е.
=	I, j = l—дг^4-с2ф(°) fn, Z,/ = Z + y, mA
13 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
194
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
или в другой форме
Матричные элементы оператора V равны
=4+(1 + йтг ) •
А ~2 Ь	2/4-1)’
/'1>\nZJ=Z-I/2«»._ A^\»Zj = Z+V«m._ <ggP-0 -.Г (j i JLV_
\v	'nlj^l-ЩнЛ a+H \ ' 2/ J’
где
CO
A = ^ni(r)^{r)Rnl(r)r2dr, a p0 = ^-
о
Значение энергии E находится из решения секулярного урав-
нения
+-<4-g-+	2/ -|- 1)
Обозначим через Е+ и Е_ энергию одноэлектронного атома
с учетом спин-орбитального взаимодействия, причем Е+
относится к состоянию с j = l-]-1/2, а Е_ с j=l —1/2.
Как следует из решения задачи 10 § 7,
Е+ = A L, Е_= Е($ — А Ш-.
§ 71
ATOM
195
Решая секулярное уравнение, находим значение Е:
Е — (Е+ Е _)	±
, Г1	1
^(E+-Ej2+^p0^(E+-EJ+±^.
Рассмотрим предельные случаи.
а)	В случае слабых полей, т. е. при рос5Р<^Е+—Е_
для энергии получаем следующие выражения:
Е=Е+ + <^т*±?.,
21
E = E_ — ^e^mj^rj^.
Первое значение энергии соответствует энергии л-го уровня
состояния с j = а второе с J=l — т/2 (см. задачу 46
§ 7).
б)	В случае сильных полей, т. е. при |х0^?^»Е+— Е_
Е — ~2 №+ +	— у I10 ~ 2/ -р 1
Обозначим через Ес энергию центра тяжести уровней в от-
сутствии поля, т. е.
_Е+(/4-1)-Е_/
с~ 21+1
(статистические веса состояний с Е, и Е__ относятся друг
21 -4- 1 \
к другу как ——)> а через ДЕ разность Е+ — Е_. В но-
вых обозначениях Е будет иметь вид
Е = Ес + ^?[х0	± 1) ±	. -1).
Это выражение, как легко убедиться, тождественно с выра-
жением задачи 53 § 7.
Верхний знак соответствует состоянию с тг =	— */г>
zns = 1/2, а нижний — состоянию с тг =//Zj-р-1/2> tns==—1/г-
52. ct = ]/~~ (1 -|- у), с2 = i (1 — 7) для верхнего
уровня,
Ci = j/~y(l — у), с2= — j/^yG r T) для ниж-
него уровня,
13*
196
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
1	т5
~<2	I ।
Т =	-. -	.......	
— (Д£)2 + 2/Тру
Исследуем предельные случаи.
а)	Магнитное поле исчезающе мало, т. е. Д£^> :-Л?р0,
тогда ул-!. Для верхнего уровня будем иметь Cj = l,
с2 = 0, для нижнего с1 = 0, с2 = 1.
б)	Сильное магнитное поле Д£<^^?и0. В этом случае
верхнего
уровня,
уровня.
Подставляя полученные значения ct и с2 в выражение для
волновых функций (см. задачу 51 § 7), находим:

Yi,«-’-Л'*- т)
о
о
Yl. т <?)
для верхнего уровня,
для нижнего уровня.
53. Так как энергия в магнитном поле значительно пре-
вышает энергию спин-орбитального взаимодействия, то
в первом приближении последним взаимодействием прене-
брежем.
В этом случае 1г и sz— величины сохраняющиеся, и энер-
гия расшепления определяется формулой
Д(«)=2^,^(ОТг + 2т8).
§ 7]
ATOM
197
Во втором приближении учтем спин-орбитальное взаимодей-
ствие. Мультиплетное расщепление, накладываемое на рас-
щепление в магнитном поле, определится средним значением
е2 1
оператора (Is) (см. задачу 10 § 7) по состоянию
с данными значениями /пг и ms. При заданном значении од-
ной из компонент момента средние значения двух других
равны нулю, поэтому
Is = тгт8.
Таким образом, энергия расщепления уровней с учетом
спин-орбитального взаимодействия имеет вид
pti	1
EW = 2^	+ 2z”s) + 2^ mlms-
Подставим в полученную формулу значе-
1
ние —р выраженное через энергию расщеп-
ления тонкой структуры в отсутствии поля.
Как легко показать (см. задачу 10 § 7),
<?2/;2 1 Еп у	—Е j 77 j,
й, t,j = ( H's	tl, I, 3 — I-	_
2,U.2C2 ГЗ —	1	— 77Т ‘
/ + -2	1+2
Окончательно для имеем выражение
Е<1) =	+ 2отз) +	mims-
1
Рис. 30.
На рисунке 30 дана схема расщепления 1s и 2р термов
атома щелочного металла в сильном магнитном поле.
54. Энергия возмущения в данном случае равна

В этом выражении последним членом пренебрежем ввиду
малости магнитного момента ядра по сравнению с магнит-
/п . eh X
ным моментом электрона < 2~с) ’
198
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поступая так же, как и при решении задачи 51 § 7,
находим секулярное уравнение:
Здесь Е+ и Е__ — энергия терма
структуры, причем Е+ относится к
а Е_ с f = i — Чг.т,— проекция полного момента (mf = /,
f-1, ..	~ eh
находим:
Е
с учетом сверхтонкой
СОСТОЯНИЮ С / =
—/)> а Ро=^- Решая секулярное уравнение,
ЬЕ
Т
где ЬЕ = ЕУ — Е_, а В =
г
Найдем порядок величины напряженности магнитного
поля, в котором будет наблюдаться расщепление, описывае-
| Д£ ff, |
мое полученной формулой. По условию eft? -----------—.
В случае атома натрия k-Ef? = 0,0583 см~1 = 1,962 • 10“16эрг;
так как р0 — 0,922- 1О~20 гаусс  cms, то напряженность
по порядку должна быть равна е%-’ ~ 600 гаусс.
Рассмотрим предельные случаи.
а)	В случае малых полей, т. е. при р.0^?<С1ДЕ, для
энергии получаем следующие выражения:
Z+2
Е = Е_ — -^2- mf.
1 + ту
б)	В случае больших полей, т. е. при
Е —"2 (Е+ -|-	е%?[А0.
§ 7\
ATOM
199
57. Собственные нормированные функции атома водо-
рода в невозмущенном состоянии имеют вид (см. задачу 20
§ 4)	____
,	(VУ^ ,,t , д	)
3 1Л2у \j/ j — т. т	I
, г-,____ 3 ' }(>)
***»•/- W (_У7+Ц--, Г^,А.
Энергия определяется двумя квантовыми числами п, j. В при-
сутствии однородного электрического поля	= 0,
&г = S) /, по-прежнему остается константой движения,
а орбитальный момент перестает быть интегралом движения.
Матричные элементы оператора возмущения V = e&z для
переходов между состояниями с различными значениями т$
равны нулю. Равны нулю также диагональные элементы
оператора V, т. е.

и* zu, dx
=	Ju*_zu_dx.
(2)
Поэтому для определения расщепления необходимо вычи-
слить матричные элементы V, соответствующие переходу
из состояния п, j, mj, l =	в состояние п, j, т^,
l = J — ’/2- Искомый матричный элемент равен
И21 = ^12 = е&	JU-ZU+ dx =
= rsRn,	(r)Rn, /+v,(г) dr 	x
X {/(/ + mj) U —	+ 1) X
X т.-1/гУз+чг, m _i/2cos8d8—\j—
Л/	J	3
X	»n^+i/,^j+’/s, »и^.+у2 cos ®d2}. (3)
2 00
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Проинтегрируем сперва по углам. На основании формулы
ггЛ_ лГ+ ОТ -|- 1) (/ —	1) у /А х I
cosur^t, f) у (2Z-|-1) (2Z3)	4+i,»v’ T) "T"
+ V (2Г+ 1) (2f=T)	'P)
получаем, что выражение в фигурной скобке в (3) равно
гудутрТ) М	+ О — (j + mi + 1)0— mj)} =
rn.i
V7(./ + l) ‘
Производя далее интегрирование по г, имеем:
-(/+4)’.
Таким образом, для матричного элемента возмущения (3)
окончательно получаем:
3
4 п
... , .ч 7 от,-eg = И12 = V21.
J (j + О 3
Искомую поправку к энергии находим из решения векового
уравнения:
И21
^2
= 0,
8 = ±И12,
При заданном п терм с j = п —*/г в электрическом поле не
расщепляется, так как он не вырожден относительно кванто-
вого числа I {I имеет фиксированное значение l=j — 1/г —
=/г—1). Все остальные термы тонкой структуры распа-
даются на 2j —1 равноотстоящих уровней от^ =—у, ...
’ • +7)-
§ 7]
ATOM
201
58.
/ . , П2
eh V ‘ 2 /
P-o = о-- ; • , ,;' Ша.
‘° 2p.c;O + l) 3
59. В рассматриваемом случае спин-орбитальное взаимо-
действие Vt, релятивистская поправка на изменение массы 1Z2
и энергия электрона во внешнем однородном электрическом
поле V3 =— Fz— величины одного и того же порядка.
Поэтому мы будем рассматривать их сумму как малое воз-
мущение исходной системы. При вычислении исходим из
состояний, в которых имеют вполне определенные значения
орбитальный момент L, его проекция тг и проекция спина ms
на направление электрического поля (ось г).
Вычисляя матричные элементы величин Vt, V2 и V3, имеем
(в ат. ед.):

при mj — тг,
1 о mi (т — тг) л
2а - /—-ГТ	'6гг'
(/+ 1)
тг—т— у или наоборот,
0 во всех остальных случаях,
I
(V),
£а2
2V‘
8
I т7
(V)
F V г-i
8 ' .
В случае п = 2 энергия состояний с квантовыми числами
1=1, т = тг + ms = zt 3/2 (j = 8/2) в электрическом поле
не изменяется. Смещение этого уровня вследствие учета И,
и V., равно ат. ед. (см. задачу 10 § 7).
6	1ZO
202
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Расщепление уровня, квантовые числа которого п = 2,
, 1
находится из решения секулярного уравнения
__ 11 a /z(I)
4
0
— 1-8 — Ew
4
— ЗЕ
= 0,
— ЗЕ
_1?В —В*1)
где 38 = ат. ед.
OZ
уровня п = 2 в отсутствии внешнего поля. Введем в это
гД1)	г? (О
уравнение величину е, связанную с Е соотношением Е —
= е —
есть расщепление тонкой структуры
трех энергетических
лучаем:
8 представляет энергию центра тяжести
Е^ + Е^ + Е^ И \
т81, по-
уровней
8 ]/2
8 — е
— ЗЕ
0
— ЗЕ
— 8 — е
= 0,
или
е8 — е (382 _|_ 9/72) _ 28s = 0.
Решаем последнее уравнение в случае слабых полей (Е<^8)
и в случае сильных полей (Е^>8). В первом случае полу-
чаем:
='1    U V М 1	г >
1	Г	О
е2 = __в+узг-^,
Р2
е8 — 28	2 -jr-.
Во втором:
е2 =
I ±11
2 Р 9 Е2 ’
_ ±11
9 F* ’
115_|_±11
2 Р ' 9 Р’
0
3
— е
0
§ 7]	atom	203
60. Среднее значение полной энергии равно
_ f ip (1 ки) /?ф0 (1 Xu) dx
H = J ---------------------..	(1)
j
С помощью интегрирования по частям приведем числитель
к более удобной форме.
Оператор кинетической энергии электронов имеет вид
п
Г — ISA..
i = l
где п — число электронов, а А.г-— оператор Лапласа, дей-
ствующий на координаты г-го электрона. (Расчет производим
в атомной системе единиц.) Запишем выражение для среднего
*
значения кинетической энергии в симметричной относительно ф0
и % форме
Т = — у J {ФоО ^г(Ч“^и)Фо +
-ф- % О Н“	^i(l 4“ Хи) фо} dx.
Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, получим:
^=—424 J {<?o(i+wMo+
~ф- Фо (1 + ^и)2 Д»фо + 2Хфофо (1 -ф~ Хи) Дги -ф-
-ф-2Х(1-ф-Хи)¥$(фвф0) V$u} rfx. (2)
Преобразуем два последние члена. Для этого рассмотрим
тождество
{Фоф(1 VjU} =
= фоФо (1 + М дг« + (1 -ф- Xu) V; (фофо) VjU + Х-Й (ViU)2.	(3)
При интегрировании тождества (3) по всему конфигура-
ционному пространству имеем:
J {фофо (1 -ф- Хи) -ф- (1 -ф- Хи) (ф^фо) ViU} d х =
= — xj^HVfU)2^- (4)
204
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя (4) в (2), получим:
Т=-+ ^Mo+%(1WМо}+
i=i
+4S J ЙоОМ2^-
i=l *
Оператор Гамильтона И равен И = Но-\-и = T-\-Vи.
Учитывая коммутативность V с (1Ч-Хи), выражение (1) пред-
ставим в следующей форме:
1 J (1+Ки)2 (ф^о+4оЯ6*) <h+^ 2 J Фо% Л
Н = Ео Ч--------------------------------------.
f a+wOo
Так как Н0% = Е060, то
f Фо“ О + х«)2 % dz + у "S J Фс Фо <viu)2 dz
Н = Е^ -----------------------------------
j (1 + М2ФоФо dz
ИЛИ
(«)оо + 2Х («2)00 + Х2 («з)оо + у	{ (V<«)2 >00
Н ^0 Ч-----------i—i оГ"7—\—Т~я z я\~---> (^)
1 ф- 2л (и)оо + («2)оо
где (и)00 — J^oM'Vo dz> (и2)оо = J фо«2фо dz и т* д- Разложим
второй член в (5) в ряд, отбросив члены с (и8)00> (и)ооит.д.
Для добавки к энергии ДЕ получим приближенное выра-
жение вида
ДЕ^(И)00+2Х(И2)00-2л(и)20 + ^2 {(V^Jop. (6)
Определим значение вариационного параметра X из условия
= 2 («2)00-2 («& + К	{(ViW)2}оо = 0,
i=i
§ 7]
ATOM
205
откуда для X получаем значение
У __gOOoo (ы )оо
Подставляя X в (6), получим искомое соотношение

(и)оо
{ (u)po (u2)pj}
П
(7)
S {(W}oo
1=1
61.	Если атом находится в однородном электрическом
поле, напряженность которого g, и поле направлено по оси z,
то оператор возмущения
п
и—------S 2 zi = — ^z-
1 = 1
Матричный элемент (и)00 равен нулю.
На основании формулы (7) предыдущей задачи имеем
АЛ — 2g2	,
п
где п — число электронов.
Отсюда следует, что коэффициент поляризуемости равен
g_4{(^)00}2
п
Необходимо отметить, что эта формула, полученная путем
введения только одного вариационного параметра X, пред-
ставляет удовлетворительное приближение лишь для атома
водорода и гелия. В случае атомов с несколькими электрон-
ными оболочками деформации оболочек будут не одинаковы.
Следовательно, в вариационном методе для получения более
удовлетворительного результата мы должны для каждой
электронной оболочки ввести свой вариационный пара-
метр X.
Для атома водорода
(22)oo = |(/-2)oo = |v
e~2rr4 dr = 1
о
206
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
и, следовательно,
а = 4 ат. ед.
В системе CGSE
а = 4 ( см3.
Для атома гелия волновую функцию основного состояния
возьмем в виде
(|)о = -£$*е_'гэфф(г1+г2), где/Эфф = 1£ (см. задачу 14 § 7).
Произведя вычисления, получим:
/ fi2 \3
а = 0,98 ат. ед. или a = 0,98^^gj см3.
Для найденного значения а величина диэлектрической по-
стоянной гелия при нормальных условиях будет равна
е= 1,00049.
Экспериментальное значение еэксп = 1,00074.
Сравнительно большое различие между вычисленным зна-
чением и экспериментальным объясняется главным образом
тем, что мы пользовались грубой аппроксимацией для невоз-
мущенной функции.
62.	а)
£(1)=wb) _____________________________________________
± /"(2/ + I)2	( «2 — (/ + 4)2} ®2
\ Йс/
(см. задачи 57, 59 § 7);
б)
Е'‘ф, = 2. =
Д(' (п = 2,	= е— — a2 (
где е определяется из решения уравнения третьей степени
е8	2,3г2 — е (382 + 9Га — ,32) ± 2 823 — 288 = 0.
Здесь ₽ = д =
1 2р.с	\|ле2/	96 \ /И /
§ 7]
ATOM
207
В случае сильных полей (В F В р)
е — -4-д_____др_______L 9Р + Р g2
ei ——Р	2 9FJ=F3Ff5 ’
,	2[3 х,
е2 9F2 —^2 8 ’
1 9Г±р £2
2 ЭР ±3/3
(см. задачу 59 § 7).
63.	Направим ось z вдоль направления магнитного поля,
а ось х вдоль электрического поля. Тогда для оператора
потенциальной энергии электрона в этих полях получим
w = (lz + 2s,) $№ -|- е%>х.
Последнее выражение будем рассматривать как малое воз-
мущение, характеризуя невозмущенное стационарное состоя-
ние квантовыми числами п, I, т, а (т и а — проекции орби-
тального и спинового моментов на ось z). Отличные от нуля
матричные элементы х имеют вид
/н1-1- '«—/н	3 „ ЛГ —	—	—
т-1 — W 1-1,т — 4 п У (2Z±1)(2Z—1)	’
m-i__	3 ,/(ni — F) (IЦ- m—l)(Z±«0
V -7-1, m-1 Wl.m	4n V	(2Z±l)(2Z —1)
Z fi3\
Рассмотрим случай n = 2. Пусть для определенности проек-
ell
ция спина на ось z равна -|-1/2. Введем обозначения 3 =	,
з
Матрица оператора возмущения в этих обо-
значениях имеет следующий вид:
23	0	0	— Т\
0	3	0	0
ООО	т
— I	0	Т	Р/
Нумерация состояний производится в порядке убывания I
и т. Состояние с квантовыми .числами 1 — 1, m — Q
208
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
не комбинирует с остальными. Энергия этого состояния равна
Е(11) = 13. Остальные три собственные значения матрицы воз-
мущения находятся из решения секулярного уравнения
£3_ зз£2 _|_ 2 (^2 _ у2) £_|_ 2Т2^ = 0.
Решая его, имеем:
д£>4 = 3 ± ]Л,32 + 2Т2
или, подставляя значения 'З и у,

§ 8. МОЛЕКУЛА
1. Если пренебречь различием между центром тяжести
молекулы и центром тяжести ядер и считать, что центр
тяжести закреплен в начале координат, то уравнение Шре-
дингера для двухатомной молекулы будет иметь следую-
щий вид:
( fi2 у / д2 . д2 . д3 \
П2 Гд / 2 д\ 1 д (	1 д3~1 |
2Мр2 [др у др/ ’ sin 6 дб \1П <50/ ’ sin3 6 ду2J '
+ V(x;, yit Zf, р, 6, <?)Ш---Х;, yit Zt, ... p, 6, <p) = Bp.
Здесь Xj, y,-, Zi — координаты Z-го электрона относительно
неподвижной системы отсчета, углы 6, <р определяют поло-
жение в пространстве прямой, соединяющей ядра, р — рас-
стояние между ядрами, а М — приведенная масса двух ядер.
Недостаток этого уравнения заключается в том, что в потен-
циальную энергию V электростатического взаимодействия
входят углы 6 и <р. Для того чтобы придать уравнению
Шредингера более удобную форму, введем новую систему
координат $, т), С, вращающуюся вместе с ядрами. Ось ”,
направим вдоль прямой, соединяющей ядра, а ось В располо-
жим в плоскости ху. Положительное направление оси Е
выберем таким образом, чтобы оси z, £ составляли право-
§ 8]
МОЛЕКУЛА
209
винтовую систему. Соотношения между старыми и новыми
координатами имеют следующий вид:
В/ = — -к»sin ? + J'icos Т»
т]г = — A'iCOs 0 cos ср —y^cos 6 sin sin 0,
Cj = Xi sin 6 COS <3 -J-Уг sin 6 sin cp —Zi cos 6.
Различая дифференцирование при постоянных х{, yit Zi от
дифференцирования при постоянных т^, Сг штрихом при д
находим:
д'___д , у	д \
г
д' д V ( • л /г	г д \ ।	„ />- д	д \ 1
v- = з----У. sin b -----------L- ) -Ceos и L- з--------т.{	1.
dcp dcp М I \ 4 д£г 4 дС4-/ ' V dt]Z	14 д£ J1
г
Легко видеть, что
г> к
Потенциальная энергия в новой системе координат будет
иметь вид
е3	у Z^3	у Z2e3
*	2^ *	21 г* ’
гк	к = 1Г1к	к = 1Г2к
где
Ак = Г&- W2+(тй - Т]О2+:/;)2
— расстояние между Z-ым и й-ым электронами в новых коор-
динатах:
rik =	+ (с*+ Р Л^)
—расстояние от k-vo электрона до первого ядра и
Г2к = }/\к +	)
— расстояние между k-м электроном и вторым ядром. Таким
образом в новых координатах потенциальная энергия не
зависит от углов 6 и ср.
14 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
210
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
С учетом всех приведенных соотношений уравнение Шре-
дингера примет следующий вид:
(__ft- у	___
I 2т	у as?	/
ft2 1 Г д / 2 д \ ,	, I д	.\ .
—’ I 3~ I ? 3“ I “I	Ctfif Нм--) ~d~“
2Мг2 [<к\ дг) 1	ь \д0	'/ 1
-н (X—+ -Д-в (%- —1 sin fj^r—*cos	1+
1 \д6 'j 1 sin2 6 \d?	r‘	7 J
+ v&, тй> Zi, p)—E|-i(Si> ч; p,°- <p) = 0.
Здесь Lr, L и L~ представляют измеренные в единицах й
операторы компонент орбитального момента электронов
в системе координат S, тр С
2. Обозначим спиновую переменную z’-ro электрона отно-
сительно неподвижного пространства через s*, а относи-
тельно подвижного через Sj. Функции 6(.. . $г ...) со спи-
нами, отнесенными к координатной системе связаны
с функциями 'Ь(...	...) со спинами, отнесенными к коор-
динатной системе xyz линейным преобразованием
6(... s. . ..) =
= ; 2 s(st,	...)=
= S6(... <...),
где
£(«,, s2, ..., .s-r ...,	.... s', ...) =
= S (Sp s;) S (s2; s'2) ... S (s*. Sp ...,
причем
§ 8]
МОЛЕКУЛА
211
Искомое уравнение Шредингера будет иметь вид
I.SH5"1 —Е]б(.. Дг, г„г, Si р, 0, <0 = 0,
где Н—оператор Гамильтона, найденный при решении пре-
дыдущей задачи.
Производя несложные вычисления окончательно, для ура-
внения Шредингера получаем следующее выражение:
2М П
Г £ (г2 -Й + ctg 0 (^— i жЛ + (-J — /Ж£ У +
|/г\ дг) 1 ь \d0 V 1 \д6	0
1-	(Д -z sin 0	-1 cos 6	+
+ V — Е)б(... Sf, T]i, Сг, S{	p, H, 0 = 0.
Здесь Ж^, Ж^, Ж; представляют, в отличие от предыдущей
задачи, операторы компонент полного момента электронов
(орбитального и спинового).
3.	Предположим, что задача с неподвижными центрами
решена, т. е. известны электронные термы £0Л(р) и волновая
функция Фэл. Для определенности рассмотрим тип связи а;
пусть в состоянии, описываемом волновой функцией Фэл,
проекция полного момента (орбитального и спинового) на
ось молекулы равна 8. Умножим уравнение Шредингера
rti, of, р)/(р)0(О, 0 =
= £Фэл(ч, -rti, of, р)/(р)©(0, 0
слева на <1>эЛ и проинтегрируем по координатам задачи с не-
подвижными центрами и просуммируем по Замечая, что
J9 Фэл^И^Фэл — J* АЦФэл -------------- О»
имеем:
[в (р2	- Евл (Р) — и (Р) — £*» + £'] /(Р) = О,
В Г-J-r Is (sin	. I;. (4----/2 cos (А 1 О (6, <?)-}-
|_sin 6 <56 \	<56/ 1 sin2 6 (dtp	/ J	1
+ ^0(6, <р)=0.
14*
212
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В последних двух уравнениях введены следующие сокра-
щенные обозначения:
U (р) = f С { (Л4? +- Лф —	} Фэл dx,
Величина В называется ротационной постоянной.
4.	Молекула N2 (атомы в состоянии 4S):	3L,t
’	—и -
Молекула Вг2 (атомы в состоянии 2Р):
2%, *Пе, X
2з?:, %, зщ, ч, ч
Молекула LiH (атом Li в состоянии 2А/;,
атом Н в состоянии 2S^): Ч'!, 82+.
Молекула НВг (атом Вг в состоянии 2Ри\. Ч+, 3L+, П], 3П.
Молекула CN (атом С в состоянии $Рд,
атом N в состоянии 4АЯ): 2S+, 4S+,	2П,
4П, СП.
(Число, стоящее перед символом терма, указывает количе-
ство термов.)
5.	Атом гелия в основном состоянии характеризуется
тем, что оба его электрона находятся на наиболее низком
уровне (парагелий). Полная собственная функция основного
состояния атома гелия может быть приближенно предста-
влена в виде
4= (1) <Ь„(2) Ч (ах) ту. (а2) — т]+ (о2) т] (0|)},
V
где — есть водородная функция.
Атом водорода имеет собственную функцию
Ъъ (3) (°3) илн Фь(3)^_(а3).
Если оба атома находятся на большом расстоянии друг от
друга, то волновая функция системы напишется в виде про-
изведения
4= ЫН tya (2) фь (3) Ч (°1) -П-. (о2) — ri I (32> V (31)! ! (Зз)-
У
§ 8]
МОЛЕКУЛА
213
С учетом обмена электронами собственная функция системы
должна быть антисимметричной относительно перестановки
всех электронов. Существует только одна антисимметричная
собственная функция, которая и является собственной функ-
цией нашей системы в нулевом приближении
Ф = -	1	{ф„ (1)	(2) (3) [т+ (1)т)_ (2) -
У Ь(1 — 6)
— 71+(2)т1_(1)]-МЗ) +
+ (3) (1)	(2) h+ (3) 7i_ (1) — 7i+ (1)	(3)1 7j+ (2) +
+(2) (3) ш 1) И+ (2) -'U (3) — -Г1+ (3) 7J_	(2)1 7J+ (1)}.	(1)
В выражении (1)	== есть нормировочный множитель, а
S = f %(1)	(2) Ьь (3) (2) 6а (3) (1) d^ d-z3 =
= J <М 1)	(2) (3) (I) (3) (2)	dz2 dz3 =
= f %(1)(3) 'h (2) -?a (2) (3) % (1) d^ d?2 dx3.
Применяя обычную теорию возмущения, имеем:
е = У f ФАУФйт,
где Ф— собственная функция в нулевом приближении, Н -
энергия возмущения, суммирование производится по спино-
вым переменным. Нужно иметь ввиду, что Н имеет различ-
ное выражение для разных составных частей Ф, а именно:
для <Ьа (1) (2) (3) энергия возмущения равна
л 2/2	1	1	1 । 1 । 1 \
/У —• € I ‘ —-------- —  -4--~ —j--• ],
\Я Г/>3	г12	г13 1 г.а)
а Для Ы1Ж(3)Ы2)
г/2	1	1	1	I 1	I 1 \
А/ = ег (-рг-----------------------).
\Я	га2	гЬ1	гьз r12 r32J
Принимая во внимание то, что интегралы, отличающиеся
только нумерацией электронов, идентичны, имеем:
К~А
1 — S ’
(2)
214
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
(2)^(3)^^^,
J__X И
г «3 Г1Л ГЬ2/
X *а (1Ж (2) '!/ъ (3)	(1)	(3) бь (2) dx, dx2 dx3.
Интегралы К, A, S в общем имеют одинаковый характер
с соответствующими интегралами проблемы молекулы водо-
рода. Вычисление интегралов показывает, что формула (2)
соответствует кривой отталкивания. Это справедливо не
только для атома гелия, но и для всех благородных газов.
6.	После отделения движения центра инерции для волно-
вой функции относительного движения ядер получим сле-
дующее уравнение:
Разделяя переменные в сферических координатах и полагая
I __ 7. (?) у	/г \
Y ——у-?),
находим для у дифференциальное уравнение:
Ж. , Г рЛ + /<(/<+1) 1 _ 0
rfp-' L ' ' р	рз Iх
,	_ f 2иа?Е я,	„
Л = 1/ ----> Т =	~ Id.
г h1 *
Замена переменных у (р) = pRe-’Pzz (р), где s = у ф-
-ф-|/\2 + (к -ф- у У. приводит к гипергеометрическому
уравнению
pzz" -ф- (2s — 2Хр) и'	(— 2sk -ф- 2у2) и == 0.
Решение этого уравнения, конечное при р = 0, имеет сле-
дующий вид:
u = cf{s — у-, 2s, 2).ру
§ 8]
МОЛЕКУЛА
215
В состояниях дискретного спектра волновая функция у
должна стремиться к нулю при г —> со. Для этого необхо-
димо, чтобы выражение для и сводилось к полиномам:
У----Д- = —
л
где v — целое неотрицательное число. Из этого условия
получаем энергетические уровни
Г)2
Егк
2|л«2
74
£
9
Безразмерный
массе ядер р.,
параметр у2 пропорционален приведенной
так что -у2	1 • Если v и К не очень велики
v Т> К у,
выражение Evk принимает следующий вид:
Етк =

2|л2а4со0
где
ш0
Энергия диссоциации приближенно равна
Eo = D — T^.
Второй и третий члены в выражении для дают энергию
колебательного и вращательного движения. Четвертый член
учитывает ангармоничность колебаний и, наконец, пятый
член дает поправку к энергии за счет взаимодействия между
вращением и колебанием ядер.
Поскольку Е> есть величина порядка единицы в атомных
единицах (e=m = fi=l), из полученного выражения сле-
дует, что
D : йо)о : д—5 ~ 1 :
° 2|л«2
т
где т— масса электрона.
216
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда видно, что разность энергий между двумя кван-
товыми состояниями с различным движением электронов
(величина порядка D) велика по сравнению с разностью энер-
гий различных колебательных состояний, которая в свою
очередь велика в сравнении с расстоянием между враШа-
тельными уровнями.
7.	Находим минимум эффективного потенциала
Г = -2О(|- ’ ) + 4. где
\ р 2р2 / 1 р-	2 р. а3	’
из условия равенства нулю егр производной:
= — 2о(— 4 + 4) — 4г=°.
Ро Ро7 Ро
откуда получаем:
, . Л2
Ро — 1 +ту •
Разложим теперь эффективный потенциал вблизи найденного
положения равновесия:
UZ(p)	20(1—L) + 4+	(Р - Ро)2.
vp0 Ро7 Ро Ро
удерживая здесь члены порядка А2, получаем:
W (р) «—D + А2 + (D—ЗД2) (р _ Ро)2.
Подставим это выражение в уравнение для у
$+^ [£+О-Д2-(П-ЗЛ2)(р-Рс)2]Х=0.
Отсюда находим энергетические уровни:
EVK ——£) +Л2-}-йо>Ч~4)-
Здесь в том же приближении
“ = “0(1-2 d)’ “o = V
Окончательно для энергии имеем:
Evk — — D -|- Ао)0 (v	-g-j -|-
। fi3#(К+1)	3	+
+ 2ра2	2	р.2л4<»о
§ 8]
МОЛЕКУЛА
217
Вследствие того, что при этом вычислении не учитывался эф-
.	З.й2/  1 \2
фект ангармоничности, здесь отсутствует член—’ ~2j ’
полученный при решении предыдущей задачи.
8.	В инфракрасной полосе мы имеем дело с переходами
в основном электронном состоянии, при которых изменяются
колебательные и вращательные квантовые числа. Для ча-
стоты перехода между двумя состояниями v', J' -> v", J"
имеем:
ш = ш0 (У — #') +	1 J'2 + J' - J"2 — J"].
Из правил отбора для J следует J" = J'±\. При этом
получается совокупность частот
=	—	—2^2(7 4-1) (7,=0( 1>2i	)
И
Z /	,	7? Ог/ =	\
“ =	“ ^) + ^2У	= ь 2> у
Отметим, что эти два' ряда частот в молекулярной спектро-
скопии называются соответственно Р и R ветвью.
Из полученных выражений видно, что разность частот
двух соседних линий при фиксированных v' и v" равна
в C.W-1
. _ А® _ Й
~	— 2лсрл2 
Момент инерции молекулы НС186
I = Р.й2 =	== 2,65 • 1О~10 г  см2.
Используя значение приведенной массы
|* = МнД?§= = 0,972Мн = 1,61 • КГ24 г,
1 —|— оО
находим расстояние между ядрами в НО:
а = 1/ -= 1,29 • 10-8 см.
Г р.
Равновесные расстояния а в молекулах DC1 и НС1 одинаковы,
поскольку форма потенциальных кривых определяется
218
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
состоянием электронов. Отсюда следует, что
4'Tici	^hci	.	_	-1
-т;-----—-------,	AvDCi=	10,7	CM .
° TlCI	PtK'I
9.	Расстояние между двумя первыми
уровнями
вращательными
Д''вр= тД~г= 41,5 см *.
r ZizCi
Отсюда находим:
Av
-7—^ = 0,0104.
4\:ол
10.	Энергия диссоциации молекулы О2 равна 4,54 эв.
11.	Переходя к новой переменной Е = г—— , запишем
уравнение для радиальной функции
+	V)-/ = 0.
1	11-
Полагая z = асполучим:
1
±1
г
1
г3 4
S2
0,
где
s =
p.a2(D — E)
₽2Й2
1 [i.cE'D
2 ~~	’
_ 2i>.a2D
afr-h2 ’ а fril-
Полученное уравнение заменой у = с 3 zfu(г) сводится
к гипергеометрическому zu" -|- (2s -j- 1 — z) и' -J- пи = 0, ре-
шением которого является вырожденная гипергеометрическая
функция u — F (— v, 2s -|- 1, z). Эта функция удовлетворяет
условию обращения у в нуль при г—>-[-со при положитель-
ных значениях s (дискретный спектр). При г —> — оо волновая
функция должна обращаться в нуль. Для выполнения этого
условия необходимо, чтобы F сводилось к полиномам, т. е.
чтобы v было неотрицательным целым числом. Это условие
определяет энергетический спектр
§ 8]
МОЛЕКУЛА
219
Таким образом, расстояние между колебательными уровнями
уменьшается с увеличением квантового числа v.
Энергия диссоциации равна
р ___ р. й<д t Й2ш3
° ~	2	16Z) •
13. В качестве параметров, характеризующих вращение,
возьмем углы Эйлера (6, 6, <?). В этом случае координаты
точки х, у, z в неподвижной системе связаны с координа-
тами т], С в подвижной системе отсчета следующим образом:
х — ? (cos 6 cos <f> — sin ф sin cos 0) —
— tj (cos sin <p —|— sin ф cos <p cos 6)4- C sin sin 0,
y = £ (sin cos —|— cos ф sin <p cos 0)4-
4- 7) (— sin ф sin <p 4-cos 4 cos <p cos 6)—^cos^sinO,
z = ? sin cp sin 6 4~ *!cos <p sin 0 4~ Ceos 6.
(1)
Для того чтобы найти вид операторов JTi, Jt, восполь-
зуемся тем соображением, что оператор \ есть — — 1~да'
где а угол, отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной
оси Так как вследствие поворота системы координат т), С
относительно, например, оси £ на бесконечно малый угол da,
значения углов изменятся, то мы можем написать, что
измеренный в единицах й, равен
*  	. /00 д , 0? д , 06 0^
£	1 \0а 00 0а 0^ • 0а 06/ ’
При бесконечно малом повороте относительно оси В на угол da
имеем:
75 = 7/ —V da, J	(2)
C = Ti/da4-C J
и
z = В' sin (<p 4- dtp) sin (0 4~ d6) 4~
4- 7]' cos (<f> 4- dtp) sin (0 4- dO) 4- C cos (G 4- d6).	(3)
С другой стороны, подставляя (2) в (1), получаем:
z = % sin <р sin 0 4~ V (cos <р sin 0 4~ cos 0 da) 4~
4- C' (cos 6 — cos tp sin 6 da).	(4)
220
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Сравнивая (3) и (4), находим:
df)	rf?	, ь
— cos ср, --- =— sin ср ctg и.
da	~	da	т ь
„	di sin ср
Поступая аналогично, имеем: -7-= . , .
da sin 6
Окончательно для получаем выражение
:	 I д 	1 с д , sin ср д \
Л = I I COS Ср -----sin CD ctg О 3—К —д- vr).
«	\ т дО • 6 дер 1 sin 6 дф /
Таким же образом находятся выражения двух других опе-
раторов
р . /	. д	, ,, д , cos ср д \
JTl = — г — sin ср з---cos ср ctg 0-3- -4—зт ,
ч \ Td6 т 6 д? ' sin О di/
16.	Ej=^J(J^l).
Каждый уровень вырожден (2J-[- 1) раз по направлениям
момента относительно неподвижного пространства и столько
же раз по направлениям момента относительно самого тела.
17.	Так как Н == ± Л-j- ± (± — 1) J2, то Е =
В этом случае полная кратность вырождения уровня равна
2(2J-|-1). Вырождение по направлениям момента в непо-
движном пространстве остается по-прежнему равным (2У -|— 1).
18.
Л2 I 1 д I . д ди\ .	1	/ д2и , д2и\
2А 11;ПП)'ЖД51П иЖ^ ^n2T\'dp^+
9 cos 6 д2и 1 h~ / 1	1 \ д2и
sin2 6 did? f 2\С	A/~d^~LU'
19.	Поскольку с J2 коммутируют операторы = — 1-^-
i . д	д	¥
и Jz~ —1 di ’ то собственную функцию будем искать в виде
§ 8]
МОЛЕКУЛА
221
где Mj, k — проекции момента на неподвижную ось z и
подвижную ось С соответственно.
Так как ф и входят в уравнение (14) симметрично,
а | k | J, то | Mj | J.
Рассмотрим операторы
----z’ctg6^- -|—Дд	(1)
5 1 ч	\d6 ь б<р 1 sin 6 di) v 7
Л — iJTl = — /е’т (— i ctg 6 ---------).	(2)
5	'	\ d6 1 b dtp sin 6 di / v ’
Легко проверить, что
Л (-4 Ц)	= (A -f- 1) (4 — iJr) QkJM'T
т. е. выражение (j£ —	есть собственная функция,
соответствующая значению (&Ц-1) оператора Jz.
Положим k = J, тогда имеем:
(Л — *Д)	= о.
Последнее соотношение можно представить в виде
(Jr + ictg 6 4---(0) еш^е^ = 0.
\d6 1 b dp sin 6 dtjj /	’
Отсюда найдем обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка для определения Ojjmj
d®JJNj
М
Mj — J cos О
-------sm6-------=
Общее решение этого уравнения имеет вид
или
а	(sin 6)J
(tg2)
J-Mj	J+Nj
@(6) = c(l—cos 6) 2 (l-|-cosO) 2
(3)
Поскольку функция 0 должна быть конечной, то
222
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для того чтобы определить функцию QkJMj, рассмотрим
действие на нее оператора (j£4-ijT). Так как
4 (4 Ц?	— (k — 1) (4 + iJ-ц) ^kJM^
то
(Л + Uy) ®kJMj ~ o-i(4)
Подставляя в (4) явный вид оператора	из (1),
приходим к уравнению
ft cos 6—Mr
—М------1----ЁйГё--®*™<г =
которое после введения переменной х = cos 6 принимает вид
у------- dPkjnirW Mj — kx
У 1 — х2---—--- +	PkJNj{x) = •— ia.j'Pk-ijMj^x),
где
PkJNj (х) — P>kJKj (arc cos Л').
Положив
(Л-Mj)	(k+Nj)
PkjMj = (l — x) 2	(1+x)	2 VkjMj, (5)
найдем простое соотношение для определения VkjMj
dvkJNj .
 dx = — ta-kVk-iJMj-	(6)
Ранее найденные функции Pjjmj (cm. (3)), можно переписать
в виде (5)
Pjjmj(x)=(\—х) 2	(1 -|-х)	2
где через Vjjjhj мы обозначим выражение
vjjmj (х) = с (1 — х/ Nj (1 4- x)J+Mj.	(7)
Из (7) и реккурентного соотношения (6) вытекает, что
-^4 да - о+
§ 8J	молекула	223
Следовательно,
®kJMj(!E 4’> <j>) =
k-Mj	k-iMj
= ceqklf e1^ (I—cos 6)	2 (1-4-cos 9)	2 X
X (таГ'Л К1 -cos9/-^(l -4-cos6)Ji^ };
при Alj = 0 эти обобщенные сферические функции перехо-
дят, как и следовало ожидать, в обычные сферические функ-
ции и представляют собой волновые функции ротатора:
Фл.го(0, '₽) = ceil:'r—!;— --—-г—т- (sin2J 9).
sir? 9 {cl cos
20.
"» = T (j +1) !'<-'+1) - 4 +
Hkk+2 — Hk+2 к =
= | (т—S')i)(j+fe4_i)(j+fe4-2).
21. Для асимметрического волчка вырождение по напра-
влениям момента относительно неподвижного пространства
все еще остается. Вырождение относительно квантового
числа k полностью снимается, так что данному J соответ-
ствует (2.7 -ф- 1) различных уровней. В случае J= 1 уровни
энергии определятся из решения секулярного уравнения вида
w10	H10		=
	W_10	H^-E	
0	0 Hqo E	0	= 0
	0		
Так как _1 = Н11, то имеем:
(Н00 — Е) (Е& -4- Е2 — 2НПД — Hl -0 = 0,
откуда
„	{ 1 , 1 \	fi2 / 1 . 1 \	„ Ifi / 1 . 1 \
z'2 гус+л)’ Es ~ 2 (в+с)’
224
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
22.
Е		т	
Ег	т	1	№ sin С
		G	— 1/ -7 COS 6 г. Г 8
		— 1	г<з -Е—	sin 0 4л
е2	с	»l+ +	1, т)	1	ety (cos 9 -)- 1 cos 0 sin 9)
		0	1 -1/^	- n — у -g cos 9 sin 6
		— 1	1 — J/ jg e-ty (cos 9 — I cos 6 sin 9)
Е%	£ ($k=lt т~~ — ФЛ=~1, т)	1	1 ETi — J/ yg ег'± (cos 0 cos 9 -]- I sin 9)
		0	1	 A • 7 F 7Гsin G sin
		— 1	~ y/~e-(— cos 6 cos 9 -]- I sin 9)
24. Расщепление терма обусловлено взаимодействием
спин — спин. Для определения искомого расщепления необ-
ходимо оператор взаимодействия спин—спин a (Sri)2 усред-
нить по вращательному состоянию. При данном К кванто-
вое число J принимает значения
/=/<4-1, К, /С— 1.
225
§ 8]	МОЛЕКУЛА
Отличные от нуля матричные элементы (nS) имеют вид
JK z	-7—ТГ 	-Н 1
j=k \п:з)к-1 j=>k~	2К + 1
J = К	1 J К
к
2/< + 1 ’

j -= к+1_-| К + 2
J=R+i~ V 2Л'Н-3’
j=k-i /~ К— 1
j=bt-i V 2К~ 1 '
Пользуясь последними соотношениями, находим искомое рас-
щепление компонент триплета:
* о	/<+2	Ас,	Ас,	К — 1
&Ej=кч-l	2дг । з	^Ej - к ‘ sc» &Ej = тг—t	2д- ।
25. Найдем прежде
ратора vu
всего недиагональные элементы опе-
{w)
nb-QvJ
nbSi'vJ'*
Легко видеть, что отличны от нуля только матричные эле-
менты, соответствующие 2' = 2:Д1, J = J’.
Так как
fM.l’*2	— — ЦМ |ПЛ2
то
f .1 »Si2vJ ____ fi" J -4_ d । z d_|	ZQ 1VI o- fl	I	V
l Л J НД2 + IvJ	M I “ c)6 ~^ Sin 6 df	'	) b	J Д2 + и
X
1 P ' »)A2 + It-
Для вычисления матричного элемента
 л	,A2J
^^ + (2±l)ctg&
’1П ° °T	J № ±1J
заметим, что если в операторе (J--|-iJT) (см. задачу 13 § 8)
положить угол ср = 0, а — г-д—> М,, то
J 1	09
(J;=izzVT^_>0==q=z’{=t^--|-^-g^4-(2 Дз l)ctg 6 }.
 s
- г -х- -» ЛГг
dv
15 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Крнвченков
226
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Учитывая последнее соотношение, имеем:
< д I д	1J
= =t i /(JzpS)(J=tQ+l).
В случае малых колебаний около положения равновесия мат-
ричный элемент
!т А <nA2v
4 al
Р bli.2 + 1ю
приближенно можно положить равным
— \М )”ле
Ро
где р0— расстояния между ядрами в положении равновесия.
Так как
< +«j ± г=! с: ± t± । /£(.$+i)-s(^D,
то окончательно имеем:
( | nbQvJ _
I >п№ ± ivJ
= B0V S(S+1) —£(£±1) V J(J+1)—(A+^)(A+2,i:l.
й2
Здесь Bo = —представляет собой значение ротационной
постоянной для состояния равновесия, отвечающего некото-
рому р = р0.
В общем случае дублетное расщепление может быть
равно по порядку вычисленным матричным элементам. Поэтому
для расчета смещения уровней дублетного терма применим
теорию возмущения в несколько измененном виде. В каче-
стве исходного нулевого приближения возьмем вместо функций
Ф/гЛЛ + 1 evj >	—1/2« X
их линейную комбинацию
 V = С1(р.-1АХ+ Г	’/sliJ-
§ 8]
МОЛЕКУЛА
227
Подставляя это выражение в возмущенное уравнение и по-
ступая стандартным образом, находим секулярное уравнение
Z?(O)	__ р
p(0)	p
™пЛЛ+\!svJ Д'
= 0.
Из решения секулярного уравнения следует, что
Е = j-E(0) + ~ ]/~ДЕ(0,+ 4В% { (-/+4)2 — д2 ) ’
£(0)=е£1ь+. .w,
Д£(о) =	Е^д-..w
(1)
В случае связи а, когда мультиплетное расщепление велико
по сравнению с вращением, из соотношения (1) приближенно
следует, что
= £идд+ 1'2и,г
-Г’	Д£(;))
В случае связи b из (1) получаем:
£1,2 =~E(0)=i=Bo { (-/+4)2-А21 ±
Д£(0>
8В0 { (^+|)2 ~ А2} ’
26.	К = 0, 2, 4,..., если суммарный спин 5=2 или 5=0,
^=l, 3, 5, .... если суммарный’спин 5=1.
27.	Магнитный момент молекулы равен ^^(Д-|-2Е)я,
где п — единичный вектор, направленный по оси молекулы.
Для определения энергии расщепления необходимо усред-
нить величину
-SS<A + 2S>»«
по вращательному состоянию, т. е. определить матричные
элементы

228
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как J есть единственный сохраняющийся вектор, то оче-
видно, что матричные элементы вектора п будут пропор-
циональны матричным элементам вектора J, т. е.
, ЛЬ „ - JMj
(пУгм.	.•
3	3
Рассматривая п как оператор, имеем:
п = const J.
Для определения константы умножим последнее выражение
слева и справа на J. Так как собственные значения JI 2 * * равны
У (J—1), a Jn равны Q, то имеем:
j(j+1) J-
Таким образом, оператор энергии возмущения равен
‘ J (J 4- 1)
Вычисляя диагональные матричные элементы, получаем для
энергии расщепления выражение следующего вида:
Д£лг3 =	~2тс	7(7+1)
28.	Оператор возмущения, как легко установить, в дан-
ном случае имеет следующий вид:
-2^и|^Н)*+2Л|-
Отсюда следует, что зеемановское расщепление равно
АЕ.	лл ^3$ К/
Д£Л7~ 2тс Х
I .2JCWk±(S±lH^(W) I /(/+1)+5(5+1)-Д(Д+1)]
Л Г	2А(Д+ 1)J(J+1)	'	/(J+1)	Г
29. Энергия зеемановского расщепления равна
=~2тс^ [/<(/<+1)Мк + 2/lI‘s] •
30. Так как энергия взаимодействия магнитного момента
с внешним магнитным полем одного порядка с энергией
§ 8]
МОЛЕКУЛА
229
взаимодействия спин — ось, то их надо рассматривать в тео-
рии возмущения одновременно. Оператор возмущения имеет
вид
V = AnS — <х0Ля^ — 2р.0$Э£.
В качестве волновых функций нулевого приближения возь-
мем волновые функции состояний, в которых имеют опре-
деленные значения момент К и проекция К и S на напра-
вление магнитного поля. Ось z направим по магнитному
полю. Так как проекция полного момента на направление
магнитного поля сохраняется, то в случае дублетного терма
мы должны применить теорию возмущения при наличии двух-
кратного вырождения. Вычисляя матричные элементы опера-
тора возмущения, имеем:
= Мк2К(К+ 1) А МкК(К+ 1)
— (Мк — 1)	ц РоЛ? —
=Р A-WH) т-А1+1)^+л1)=
1 .,	. . Лк
2	1Пу!Ц1к- 1 ’
’s =^А{пх — itiu}*E~1 =
= | А А7А<+1) V(Л'-М+1)(/<4-Л1).
Составляя и решая секулярное уравнение, получим:
с-(!)  	(Мгг_____- U А/А______-I-	1 у"
1,2	Л'(Л'+1)\	2 Л 0=7	4Л'(/<+1) — 2Л'(Л'4-1) А
х ]/~|лл(л4~^-Л%<^+2р.0^(А'-+1)А'р+Л2Л2(/<+2иг) (K-MK+1).
Рассмотрим предельные случаи.
Если р.0^?^>А, то для г получаем выражение
Ец’г = —	j) {	2" у }	>
согласующееся с формулой, полученной в задаче 29 § 8.
230
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
При А р.оей/ получается
Вторые члены последних формул, т. е. члены, зависящие
линейно от eft), совпадают с соответствующими выраже-
ниями, которые получаются при подстановке в формулу,
найденную в задаче 28 § 8,
S = V2 и	— V2.
31, В силу аксиальной симметрии дипольный момент мо-
лекулы направлен по прямой, соединяющей ядра, т. е.
Р = Рп.
Поступая так же, как и при решении задачи 27 § 8, находим:
А£лг/ = ~	J(J+1) МР
KEw_____ыл Л/+D-S(S+1) + /<^+1)
Ni	2/< (К + 1) • J (J + 1)
33. Поправка первого приближения к энергии равна нулю.
Как известно, поправка второго приближения к энергии
в случае вырождения находится из условия совместности
однородных линейных уравнений
р(2)„(0) _ V „(0) V Vm<iVnj
С.п Crf — j £ F(0)_F(0) •
3 т п »»
'В нашем случае из последнего соотношения получаем:
^(2)  Р2&2А j	I2 — т2	(Z -|1) — т2 |
£/"г — //2 ( (2Z-J- 1)(2Z — 1)Z	(2Z + 3)(2Z + 1)(Z-(- 1) / *
Таким образом энергия твердого диполя равна
=	Еоо = —(^=0).
§ 8]
МОЛЕКУЛА
231
Этот результат до некоторой степени парадоксален. В са-
мом деле, согласно последнему равенству энергия твердого
диполя пропорциональна не S, a S2. Следовательно, твердому
диполю формально можно приписать определенную «поляри-
зуемость».
Рассмотрим случай, когда/ = 1. Уровень, соответствую-
щий значению т = 0, обладает в электрическом поле боль-
шей энергией, чем вне
его, так что соответ-
ствующая молекула ведет
себя так, как будто она
обладает отрицательной
поляризуемостью. Она
ведет себя подобно ди-
амагнитному телу в маг-
нитном поле. Молекула
в состоянии т = zt 1
Рис. 31.
ведет
себя «нормально». Вырождение в электрическом поле
снимается только частично, поскольку энергия зависит только
от абсолютного значения проекции момента количества дви-
жения.
= 4-Z
Отметим, что У = 0.
«»= —I
34. При больших значениях R можно пренебречь обме-
ном, т. е. считать, что первый электрон находится при
ядре а, а второй электрон — при ядре b (см. рис. 31).
Взаимодействие двух атомов, имеющее вид
у	1—!______L+±
R га2 ГЪ1 г12
(О
будем рассматривать как малое возмущение.
В первом приближении энергия взаимодействия двух ато-
мов равна диагональному матричному элементу V, т. е.
f % (Оа) % (^2б)	('’1а) % Ы	dt2,
где
%(Оа) = 2в"’‘1а; %(г2Ь) = 2е~г2Ъ.
В S-состоянии диагональные матричные элементы, т. е.
среднее значение дипольного, квадрупольного и т. д.
моментов, равны нулю, поэтому для вычисления энергии
232
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
взаимодействия необходимо перейти ко второму приближе-
нию теории возмущений.
В операторе возмущения (1) ограничимся диполь — ди-
польным взаимодействием, как наиболее медленно убывающим
с расстоянием. Для получения оператора диполь — диполь-
ного взаимодействия разложим потенциал V по убывающим
степеням R. Разложение по шаровым функциям дает
1	1	2.
—- — Г75-------- = 7	. A (COSб) =
гы \Rp — rla\ ^R^'	7
х=о
1 , ralP , 3(га1Р)2 — Г2а1 ,
Д	~Г 2/?з' ~Г
1 1
r12 i Rp + г Ь2 — ral I
_ 2 I <ГЩ — ГЬ2- Р) I 3 (Г»1 — ГЪЪ р)2 — (r„t — ГЬ2)2
R R2 -г"	2/?з	 '
1 _ 1 , (Г62Р) , 3<Г62Р)2 —ГЬ2 ,
rG2 R /?2	2/?з ~г  • •
Подставляя полученные разложения в V, находим выражение
для диполь — дипольного взаимодействия
У 2^2 —Х!Х2—У1У2 ,	(2)
причем ось z направлена вдоль линии, соединяющей ядра.
Как было уже сказано, среднее значение (2) по невозмущен-
ной собственной функции 6 = % (га1) (ri2) равно нулю.
Недиагональные элементы (2), соответствующие переходам
из основного состояния в возбужденные состояния, можно
представить в виде
унт _____^гстгоп xtmxon УбтУоп
00	#3
На основании правила отбора матричные элементы zOn,
хОп, уОп отличны от нуля только для переходов из основ-
ного состояния в состояния
(г) cos 6,	(г) sin 6 cos ср,
МОЛЕКУЛА
233
причем все эти три матричные элемента равны друг другу..
Энергия взаимодействия во втором приближении равна
р(2) _ У <V00 )	_ ^г0тг0п х0тх0п "Ь УцтУоп
~ L 2Е0-Ет — Еп~ Re	2Е0—Ет — Еп
пт	тп
ИЛИ
Б	>2
р (21   X1 _____0|н °”	/О V
L 2Е0-Ет-Еп •	'•°'
тп
Так как Ео < Ет и Ео < Еп, то £(2) отрицательно и, сле-
довательно, два атома в невозбужденном состоянии, нахо-
дящиеся на большом расстоянии друг от друга, притяги-
ваются с силой, обратно пропорциональной седьмой степени
расстояния. Для приближенного расчета суммы в (3) заметим,
что разность энергий между различными верхними уровнями
мала по сравнению с разностями энергий между верхними
уровнями и основным. Поэтому приближенно (3) можно
представить в виде
р (2) — 3 У 2 У ^0'1
Re LZ°Hl L Е0 — Еп ‘
пг п
Из теории квадратичного эффекта Штарка следует, что
г2	1
'V-s—°Пр- —-----s-а, где a — поляризуемость атома. Для
основного состояния атома водорода a = 4,5 ат. ед. При
вычислении суммы zgm воспользуемся правилом умножения
ш±0
матриц
т
ИЛИ
J И5) Ф» = J} { J фл • У dz | .
т
Положив в последнем соотношении А — В — z, n = k — 0,
получим:
(^2)о0 == S z(>mZm<J == S %0т
т
ИЛИ
5 C =	^ = (^)<ю—
т 4= 0	т
234
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как в S-состоянии в силу симметрии z00 = О,
a (z2)00 = ('•2)00. то сумма
Dl о
Таким образом, для V(г) получаем окончательно выражение
6,75
Для того чтобы уяснить, как могут возникнуть силы взаимо-
действия между двумя нейтральными сферически-симметрич-
ными атомами водорода, рассмотрим волновую функцию
системы. Для волновой функции системы в первом прибли-
жении получаем выражение
Ф = Фо (Дг1) % (fb2) [1 + 2£^3 (*1*2 + 3'13'2 — 2^2)] •
Плотность вероятности та(1, 2), если пренебречь членами,
1
содержащими в качестве множителя, имеет вид
Если нет взаимодействия между атомами, плотность вероят-
ности равна просто произведению ет(1) на та (2), т. е. между
положениями электронов в этом случае нет никакой кор-
реляции. В случае же взаимодействия положение первого
электрона не независимо от положения второго. Электроны
занимают статистически чаще те положения, в которых их
взаимная потенциальная энергия имеет по возможности мень-
шее значение.
Таким образом, силы взаимодействия в первом прибли-
жении можно объяснить не деформацией электронных обо-
лочек, а корреляцией между положением электронов.
35. Докажем аддитивность для системы, состоящей из
трех атомов. Из расчета будет видно, что его можно при-
менить к любому числу атомов. Энергию взаимодействия
запишем в следующей форме:
V = V(1, 2) + V(2, 3) + V(3, 1),
где через 1, 2, 3 обозначены совокупности координат пер-
вого, второго и третьего атомов. Мы рассматриваем взаимо-
§ 8]
МОЛЕКУЛА
235
действие атомов, находящихся на большом расстоянии друг
от друга; в этом случае обменные силы не играют никакой
роли. Волновую функцию трех атомов при игнорировании
обмена в нулевом приближении зададим в форме
'> = *ы(1)Ы2)Ш
где /, k, I — указывают квантовые состояния атомов а, Ь, с.
Функции ба,-(1), принадлежащие различным значениям I,
ортогональны. То же самое можно сказать и про функ-
ции ф№(2) и 6сг(3).
Энергия возмущения во втором приближении имеет вид

MSI2
”Ь ^Ъо ^со ^ai ^Ьк ^cl
(1)
Штрих у знака суммы означает, что z, k, I не должны
одновременно равняться нулю. Первый член представляет
классическое взаимодействие мультиполей. В нашем случае
он равен нулю. В выражении (1) все члены, у которых
одновременно г ¥= 0, k ф О, I =£ 0, исчезают вследствие орто-
гональности функций.
Три частные суммы с i = k — О, I =^= 0; i = 1 = 0, k ¥= 0:
k = I — 0, i -f- 0 означают поляризационные взаимодействия
соответственно Z-го, /г-го и z-го атомов в результирующем
поле двух остальных атомов. В случае, когда распределение
зарядов в атомах обладает шаровой симметрией, эти суммы
также исчезают. Необходимо заметить, что эти суммы
не могут быть получены путем аддитивного учета энергии
взаимодействия каждой пары атомов. Нам остается рас-
смотреть те члены, в которых два индекса отличны от нуля.
Итак, при сделанных предположениях относительно распре-
деления заряда в атомах энергия взаимодействия может
быть разложена на три частных суммы:
У' КТо!2	у' №12	,
Еао + Еъь — Eai — Е[Ж	^4	Еък ЕС1
г 0 h Ф 0
_i_ у __________ОМ__________/о)
Ем +Есй-Еа; ~ Ес1 •
г./О
236
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Вследствие ортогональности и нормированное™ собственных
функций атома матричный элемент
С°= f ^о(1)^о(2)^о(3)- {V(l, 2) +
+ V(2, 3) + V(3, I)} ЫН^(2)^(3)^^ =
= f <ao(l)^o(2)V(l, 2)6oi(I)^(2)dT1dT2 = {V(l, 2)}™.
Следовательно, выражение (2) состоит из трех слагаемых,
каждое из которых представляет дисперсионное взаимодей-
ствие пар атомов. Легко видеть, что этот расчет может
быть распространен на произвольное число атомов.
В том. случае, когда расстояния между атомами невелики,
надо принять во внимание переходы электронов от одного
атома к другому, т. е. принять во внимание обменные силы.
§ 9. РАССЕЯНИЕ
1. Потенциальная энергия частицы
U(r) = — Uo (г<а),
U (г) = 0 (г > а).
Необходимо найти фазы рассеяния, т. е. асимптотический
вид радиальных функций, удовлетворяющих уравнениям при
г>ц	_{(£+!)]Уг== о,
А2  2р.£
при
г < а
z + L^_/Jz+i)l =0
/•I гр	Г2 J /.г —
k,z 2^(E + U0)
й2
с граничным условием уг(0) = 0.
В случае, когда длина волны де Бройля значительно
больше размеров ямы, основной вклад в рассеяние вносит
S-волна. Решение у0, удовлетворяющее граничному условию,
имеет вид
/_0 = A sin k'r
7.о = sin (Ат-Но)
(г
{Г
а),
а).
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
237
Фаза о0, также как и коэффициент А, определяется из усло-
вия непрерывности волновой функции и ее производной
при г = а. Эти условия дают:
80 = arctg	tg k'aj — ka.
Итак, парциальное сечение для I = О
°о = sin2 8о = sir*2 [arctg Ш k'a) — kaj.	(1)
При малых скоростях падающих частиц (k -> 0) фаза рас-
сеяния оо пропорциональна k\
<2>
но благодаря множителю сечение а0 оказывается конечным
а 4-таг2 — 1^ (малые k).	(3)
Рассмотрим сечение а0 как функцию глубины ямы, которая
характеризуется k0. Если яма неглубока (koa 1), то
16т: а6£Л2 р.2
Отметим, что согласно теории возмущений
«, следовательно,
По мере возрастания Uo сечение возрастает и при koa = у
становится неограниченно большим. Условие koa~^- совпа-
дает с условием появления в яме первого уровня. По мере
углубления ямы сечение затем начинает уменьшаться и обра-
щается в нуль при tg koa = koa. При дальнейшем увеличе-
нии Uo сечение продолжает колебаться между 0 и оо, причем
обращение сечения в оо наступает при появлении нового
уровня в яме. Резкие колебания сечения при рассеянии
238
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
медленных частиц качественно объясняет тот факт, что при
рассеянии медленных электронов атомом сечение может зна-
чительно отличаться от геометрического.
Отметим, что если значение koa близко к целому крат-
ному , то формулы (2) и (3) необходимо видоизменить.
Действительно, в этом случае tgA'a оказывается большим
числом и в формуле (1) нельзя произвести разложения, при-
водящего к формуле (7). В этом случае по-прежнему однако
можно пренебречь слагаемым ka<^l в квадратных скобках
формулы (1). Тогда
So = arctg tg k'aj
и отсюда для сечения с0 получаем:
_ 4п (1 + О (ха))
0	Х2 4-Й2
где по условию
k’	1
' tg k'a	а '
Эта формула для «резонансного» рассеяния дает зависимость
сечения от k при малых k, если потенциальная яма такова,
что малым изменением ее глубины (или размера) можно
добиться появления или исчезновения дискретного уровня.
о	л	Лi 2 * 4	V2p.U0
2. с = 4тта2------------11 , где х = Г u .
\ ха ]	fi
При (70->со з = 4~а2, т. е. в 4 раза больше, чем сечение
упругого рассеяния на непроницаемой сфере в классической
механике.
СО
3-5-=iS<2Z+1)sin2^+
z=o
+ S + 0 sin S*sin 8hi cos (Shi — 8z) +
z=o
i JL 3cos2S-l J Z(Z+ 1) (2Z+ 1)	2 . .
' fi2 2 Al (21—1)(2/ + 3) г-г
z=o
.	3 (I -|-1) (I -|- 2) . „	. „ .л	\ I i
4--2/4-3 sm	sm °г+2	s (°г+2—	°г) J +	• • *
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
239
или
Г 4 °°
Jda=->S<2Z+1)sin2^
о	z=o
«	00
J cos & do = J} (I H-1) sin ог sin 8г+1 cos (8г+1 — 8г),
о	Z=0
I 3COS2&-1	4^ у /(/+1)(2/ + /) sin2g ,
J 2	А2 Zj(2/+l)(2/ + 3)S,n +
о	г=о
. 12т: VI (/-1-1) (/ + 2) . . . „ ,s s.
+ 2d 2/ + 3 sin °г sin °г+2 COS (8г+2— S?) -
z=o
4. Радиальные функции подчиняются уравнению
7" _L [k2 _ '('+D _ 2М1 у _ О
и должны удовлетворять условиям Хг(0) = 0 и конечности
при г—>со. Удовлетворяющее этим условиям решение имеет
следующий вид:
где
*=/('+Я+¥-
Из формул для асимптотического поведения J\{kr) находим
фазы:
Независимость 8г от k означает, что амплитуда рассеяния
/('% *) = |/о(«).
где /0(8) не зависит от энергии рассеиваемых частиц. Сече-
ние рассеяния
обратно пропорционально энергии и характеризуется уни-
версальным угловым распределением.
240
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поскольку при ft —> 0 сумма, определяющая амплитуду
рассеяния
/(») = 4ik X <2/ + °	(cos —1Ь
z=o
расходится, ясно, что для вычисления /(ft) при малых ft
существенны большие I. Для больших I имеем:

(1)
.откуда
/(»)	2 (2/ + 1) Рг (cos ft) ог«
1=0
1 = 0
В том случае, когда
выражение (1) для 8? справедливо при любых I и таким
образом для всех &
/О
гр.Д 1
. ft
2 sin у
, П3р.Л2 ft ,с,
~~ 2/12£ Ctg *2 (>' 
5. Амплитуда рассеяния в борновском приближении имеет
вид
Л.,. (») = - P"'V «•) Ч: =	
где
q — k' — k, q = 2k sin у.
Отсюда
Озборн. = I /СО I2 dQ = ctg | dft.
§ 91
рассеяние
241
В классической механике связь между углом рассеяния и
прицельным параметром р имеет вид
J*p.vp dr тт— &
где г0 — корень подкоренного выражения. Производя инте-
грирование, находим:
, А 1 (тг— »)2
Р “ Е & 2тг —& ’
откуда
,	о йр ,п 2п3Л ТГ------О ,г.
— — 2лр 7/ft ~ “ё- »2(2тг —&)2
При выполнении условия
8цЛ .
/Я <7. 1
борновское приближение применимо для всех углов (ср. с пре-
дыдущей задачей).
В обратном предельном случае, если	класси-
ческое выражение применимо для не слишком малых углов
П 8р.Л ’
а для меньших углов
справедливы результаты расчета в борновском приближении.
6. Для радиальной функции имеем уравнение
/'+2д(Е+17ог% = 0.
,	,9	2[>.Е	„	2^и0
Введем обозначения л2 = —и в качестве не-
г
зависимой переменной выберем £ — е 2а. Решениями полу-
чающегося при этом уравнения
Гч4*'+4а2(-к+х2)х = 0
1(5 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
242
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
являются бесселевы функции мнимого порядка y=J± 2aki (2сх$).
Условие обращения у в нуль при г = 0, т. е. при £=1,
приводит с точностью до нормировочной постоянной к вы-
ражению
X =J~2aM^')J2aki(2axi') — J2aki(2av^J_2aki(2av^. (1)
Асимптотический вид функции % при г —> оо а->0)
р2акг In а*	— 2а/сг1ва*
X = J 2aki (2ах) ,,	e~ikr—J2aki (2av.) — eikr.
-мкг\ 7 I (2a£z-|-1)	мкг\	'Г(—2й/гг4 1)
Коэффициенты при e~ikr и eikr можно рассматривать как
функции комплексного k. Если их обозначить через a (k)
и b(k~), то, как нетрудно убедиться, выполняются соотно-
шения
а{— k) = — b(k),
a*(k) = — b(k)
(при взятии комплексно-сопряженной величины k не заме-
няется на k*).
Запишем асимптотическое выражение у в виде
у = A (e~ikr~il> — eikr ь8°) = — 2i A sin (krо0).
Фаза рассеяния о0 определяется из соотношения
«2гЗ,  Jjaki (2й7.) I (2й/г/	1) „-taki In an.
J-2aki (2av.) Г (— ‘lakl 1)
Связанному состоянию соответствует чисто мнимое значе-
ние k == ikn (в этом случае энергия отрицательна).
Для kn > 0 коэффициент при е гкг ~ екпГ в первом
слагаемом асимптотического выражения для у должен обра-
щаться в нуль. Таким образом, либо J2aZ.n(2ox) = 0, либо
7Г7о~,-ГТГ = °- Из второго
1 (2akn + 1)	г
условия следует:
2й/гп-|-1 = — п (п=0, 1, 2, ...),
т. е.
ЛЧМ1)"
2р.	8рй3 ’
однако при этом индексы бесселевых функций становятся
целыми числами и, так как	{ -	два реше-
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
243
ния оказываются линейно зависимыми и волновая функция (1)
обращается тождественно в нуль. Поэтому полученные
уровни энергии являются фиктивными. Первое условие дает
истинный дискретный спектр задачи:

J^kn (2ax) = 0, Еп = -	.	(2)
Таким образом, нули выражения е2«,, (О лежат на мнимой
оси и, помимо значений ikn, соответствующих дискретным
уровням
8.	а)
(2), содержат лишние нули,
da
dQ
& 1 Й2а2\2 *
У-2^7
„	4[).Е .	9
da==^e-^a8,n^dQ;
4й4аь
Ttp/g4
° — №ai (2;л£ + Й2а2) J
б)
в)
n2U20i>.
3 = 4№а*Е
— е~~^
16p.2Z72 а2
da = —то— r-n-j—5П d2,
й4 (a2 -1 ^2)4
64л p-2[7f) 16Л4 |- J2/?;ia2 -1 3a4
3 Й4 a4 (a2	4Й3)3
9.	a) Вычисляем атомный формфактор для водорода
F (.<]) = j eiqr n (r) dx = ~
^o=='j^5—боровский радиус
Отсюда находим дифференциальное сечение
,	4«'- (8 4- сра'-р [	. 0\
^ = --(4 + ?W dQ =	(1)
и полное сечение
____эта2 7й4а4 + 18/г2«" + 12
3	(й3а24-1)’
Условие применимости борновского приближения принимает
в данном случае вид
ka 1,
16*
244
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
поэтому последняя формула упрощается
б) Для атома гелия распределение плотности электронов,
найденное с помощью вариационного расчета, имеет сле-
дующий вид:
п(г)^^е " , Ь=Т1а.
Дифференциальное и полное сечение упругого рассеяния на
атоме гелия в этом приближении имеет тот же вид, что и
для рассеяния на атоме водорода. Нужно лишь в формулах
(1) и (2) заменить а на b и ввести общий множитель Z2=4.
В частности,
28л
0 =Ti5-
3k“
10.	Волновая функция системы из двух одинаковых ча-
стиц имеет вид произведения орбитальной и спиновой функ-
ций. Независимо от того, является ли спин частиц целым
или полуцелым, четному суммарному спину соответствует
симметричная орбитальная волновая функция, а нечетному—
антисимметричная.
После перехода к системе центра инерции и отделения
переменной центра тяжести орбитальная волновая функция
принимает вид
'I’O'p г г) = ф(К) 'Ир).
где
При замене t\ на г2 функция ср (/?), описывающая движение
центра тяжести, очевидно, не меняется. Таким образом,
волновая функция относительного движения двух частиц
должна быть четной
Ь (Р) = ф (— Р)
в том случае, если суммарный спин .S четен, и нечетной
41 (р)=—(~ Р)>
если спин .S нечетен.
РАССЕЯНИЕ
245
§ 9]
Невозмущенную волновую функцию можно записать
в виде
(I) (р) —	-	t	(1)
если 5—четное, и
ф (р) =	--g ,	(2)
если .S — нечетное. В результате взаимодействия частиц
возникает рассеянная волна	где 0 — угол между
и направлением, в котором разлетаются частицы в си-
стеме центра инерции. Амплитуду рассеяния можно выра-
зить через амплитуду рассеяния частицы с массой, равной
приведенной массе обеих частиц в поле U (г). Действительно,
Ф(р) удовлетворяет уравнению
|_^(др+А2)—t/(p)}-Hp) = o.
Если падающей волне eik°v соответствует рассеянная
егке> то для падающей волны (1)
f0(f)) = /(’0 + /(7t — Я) (спин четен),
а для (2)
Fj (0) = /(f))— /(тг — Я) (спин нечетен).
Вероятность рассеяния одной из частиц в телесном угле dQ
(при этом другая частица движется в противоположном
направлении), отнесенная к плотности падающего потока:
^0=|/(») + /(* — »)|2.
d01^|/(»)-/(7t —Я)Р.
Амплитуда /(f)) выражается через фазы рассеяния ог по
формуле
/(») = i 2(2Z + 1> Pi <cos — 1 b
z=o
Принимая во внимание, что
Рг (cos (тг — ft) ) = Pt (— cos 0) = (— 1)1 Pi (cos &),
246
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
находим:
= i 2 (2/+l)^(cosf')k2^— IL
четные I
F^^Tk 2 (2/+l)^(cos»)[e2i8j ”11-
нечетные I
Для медленных частиц наибольший вклад в рассеяние вно-
сят малые I. В случае четного суммарного спина сечение
(как и при рассеянии различных частиц) сферически сим-
метрично и не обращается в нуль при k -> 0.
Если же суммарный спин нечетный, то сечение опреде-
ляется членом с / = 1. Поскольку ог~/г2Л|1 для малых вол-
новых чисел k, сечение обращается в нуль как Е2 (при
Е —> 0) и имеет угловую зависимость ~cos2&.
11.	В случае кулоновского поля амплитуда рассеяния*)
Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, нахо-
дим дифференциальное сечение рассеяния в случае четного
спина
= l/(») + /(* — ?))12^ =
=_U_L_ + _L_
4^4 I . fi	ft
[sini-g cos4-g-
(2 Я \ 1
г In
------
sin2 -g- cos2 -g- J
Эта формула дает сечение рассеяния а-частиц, у которых
спин равен нулю.
В случае двух электронов возможно состояние с сум-
марным спином 1. Тогда дифференциальное сечение
d31 = |/(n)-/(K-«)|2 =
= -!-{_!_____। _J__
W . л ft' л »
sin4 — cos4-^
*) В кулоновских единицах.
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
247
Если рассеивающиеся электроны не поляризованы, то воз-
можны три значения проекции суммарного спина вдоль не-
которого направления z\ .S2 = 0, .S2=l, Зг = -—1 и два
значения полного спина 5 = 0 и 3=1. Вероятность каж-
дого из значений проекций	, Wo=-^-,
Значения Sz — -|- 1 или Sz = — 1 соответствуют непременно
полному спину 3=1. Поскольку различные значения про-
екции для 3 = 1 равновероятны, то вероятность Sz = 0 при
полном спине 1, так же как и для Зг = ±1, равна
Таким образом, вероятность того, что полный спин 3 = 0,
11	е 1	з „
равна ------- = ~, а вероятность 3=1 равна —. По-
этому для неполяризованных пучков электронов
da = -j- da0 -f- dzt =
Последний интерференционный член в фигурных скобках
характерен для рассеяния тождественных частиц. При Й—>0
формула для da должна переходить в классическую фор-
мулу Резерфорда, которая для системы центра инерции
имеет вид
w {	л а
sirpcos4 —
dQ.
Переход к этой формуле происходит необычно. При
е2
выполнении условия 1, когда применимо классическое
рассмотрение, интерференционный член, имеющий в обычных
единицах вид
248	ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
быстро осциллирует. Таким образом, квантовое дифферен-
циальное сечение для строго фиксированного ft существенно
отличается от классического даже для больших значе-
е2
ний . Однако при усреднении по небольшому интервалу
* n lw	.	„
углов Aft ~ интерференционный член обращается в нуль
и квантовая формула переходит в классическую.
12.
/2=|/82+|/н|(/32-/р(’Л)-
Среднее значение оператора в состоянии, характери-
зуемом спиновой функцией
равно
(^7>) = cos2₽"“ sin2 3.
Таким образом, для сечения рассеяния находим выражение
о = к { 3/| + /2 - (/2 ~/2) COS 2,3 }
или
- .- J дтрипл I_L 0СИНГЛ _ C0S	ИЛЛ __„синглч \
I 4	' 4	4 v
В случае неполяризованного пучка нейтронов сечение равно
3	1
0 -	дТ] ИЦЛ I_дСППГЛ
4	'4	’
поскольку COS 23 = 0.
13.	Спиновое состояние нейтрона и протона до взаимо-
действия описывается функцией
Эту функцию разложим по спиновым функциям синглетного
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
249
и триплетного состояний
Рассеянная волна имеет вид
или
М + Л/1 \ /о\ Л-А/ОХ /1\ 1
г 1 2	2 U/nW
отсюда следует, что вероятность переориентации равна
1 (А-Л)2
2 Л + Л
14.	Введем оператор суммарного спина двух протонов
у(®^4 fy2) = S-
Как легко показать,
(<S)2 = S2—(anS).
С учетом последнего соотношения выражение для f2 при-
мет вид
f2 = | КА + 3А)2 4- (5Л-2/зА-зД)	(А—А)2 $2} 
В случае рассеяния на параводороде сечение равно
^ = -(/,4 зд)2.
Естественно, что это сечение не зависит от поляризации
падающих нейтронов, поскольку нет физически выделенного
направления в пространстве.
Сечение рассеяния на ортоводороде равно
o°r™ = 7t{(A4-3A)2+
4-(5/з2- 2/3Л — 3/bcos2М 2(/3—А)2}.
250
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где 2р— угол между направлениями суммарного спина двух
протонов и спина нейтрона.
Если пучок нейтронов не поляризован, то среднее зна-
чение cos2p по смешанному ансамблю равно нулю и аорто
примет вид
=орто = * {(А+з/з)2+2 (А—А)2},
а отношение сечений будет равно
-----.= 1 +2
опага	।
/д —/1 \
71 +З/з/
15.	Радиальные функции, удовлетворяющие граничному
условию Хг(о) = 0, выражаются следующим образом через
бесселевы функции:
Хг = Vг {+z_I/2 (ka) Ji+ъ (kf) — Jj+t/t (ka) (kr)}.
Из формул для асимптотического поведения бесселевых
функций находим фазы рассеяния
cig °z = (— l)z+1
J-Z-./g(^)
A+V,(fte) ‘
Отсюда полное сечение упругого рассеяния
г=о
А2+ч (ka)
(ka) + + (ka)
2~+.
17. На больших расстояниях от мишени (мишень состоит
из скалярных частиц) волновая функция падающих частиц
имеет вид
1=0
х |e-4fcr 4)_e4to--^)|
со
Разложим функцию Pj(cos Я) по собственным функциям
§ 9]	РАССЕЯНИЕ	251
оператора J2. В результате разложения получим:
=2^УЛПч?+У7ч7). (2)
Здесь через ’Ггн и ФГ мы обозначили функции Паули
(см. задачу 20 § 4).
Подставляя (2) в (1), имеем:
В результате взаимодействия изменится только расходя-
gikr
щаяся волна ----.
г
Так как при любом законе взаимодействия этих частиц
у2, /2 и /г будут интегралами движения (см. задачу 39 § 4),
то изменение в общем случае будет различно для состояний
с различными квантовыми числами j, I. Для рассеянной волны
получим выражение следующего вида:
Чг8 _	{yi+ j(Y+ _ j) +	। ,
z=o
=ri(j=z+4’ О’
V =71(-/' = Z~T’ z)
252
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ИЛИ
eikr у, 1
8	1Л2Г+Т
z=o г 1
х {(J) rzo [(/ н-1) (V - 1)+1 (V -1)]+(?) rzi (V - V)J.
Отсюда видно, что переориентация спина частицы может
произойти в том случае, когда т]+ =/= 7]~. Выразим сечение
рассеяния через •»]+ и к]~.
Дифференциальное сечение рассеяния с изменением поля-
ризации rfct равно
dar
dQ,
а сечение da2 без изменения поляризации равно
dc2 k2

1)} dQ.
Когда относительная скорость частиц не велика, нужно
принимать во внимание рассеяния только S- и Р-волн
(|т]+—1|<С1, IV—если /> 1).
В этом случае
d°i ~ ~7,1 sln2 ° dQ’
d°2 ~ 4^21 cos ft (2т)+ 4- •«]- — 1) + t]+ — 1 |2 dQ.
Из выражения для dat видно, что частицы, изменившие
ориентацию спина, рассеиваются главным образом в направ-
лении, перпендикулярном оси z.
19.	Поскольку	то можно применять квазиклас-
сические соображения. В ядро попадают все частицы с
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
253
следовательно,
n 1 R
t1Z = 0 для I < —-,
A
T|Z = 1 для I >	.
A
Подставляя значение t1Z в выражение для полных сечений
°r = ^2S(2/4 1)(1— Ы2), °s = kX2S(2/+1)|1— Tlzp,
имеем:
R
X
Or = O8 = KXS(2/H-
z=o
Таким образом, полное сечение a = ar-|~°s равно удвоенному
геометрическому сечению ядра.
20.	Во всех трех случаях распределение изотропно.
21.	Собственные функции оператора 1г для системы
мезон — нуклон записываются как всевозможные произведения
функций ср и i. При этом, ср относится к различным зарядовым
состояниям мезона (ср+, ср0, <р._), а ф — нуклона (ф,,, <р„).
Всего таких функций будет шесть:
(р+) = <р+-Ьр г 2	4 = 4	(Г) = ср_42) I =	- 2	2
(л 1) = <р+ф„ 4=1	(«") = <р0Ф„ 4 = 4	(«') = / =-3 2	2
Здесь (р+) обозначает функцию системы, составленной из
4-мезона и протона; (п+) — функцию, составленную из
тг+-мезона и нейтрона и т. д. Эти функции, вообще говоря,
не являются собственными функциями оператора квадрата
полного изотопического спина системы /2.
Собственные функции /2, одновременно принадлежащие за-
данному 1г, будут линейными комбинациями из вышенаписан-
ных функций, взятых с коэффициентами Клебша — Жордана.
254
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Коэффициенты Клебша— Жордана для m/==:±z1/2 имеют вид
(см. задачу 20 § 4)
В нашем случае М = 1г, у=1, т' = тг.
Пользуясь этой таблицей, получаем собственные функ-
ции операторов I2 и /2:
Отсюда легко выразить собственные функции системы ме-
зон— нуклон через собственные функции I2 и 1г. Они оказы-
ваются равными:
(р-)=|Луф’-ч-тЛ(«-)=ф“\-
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
255
22.	Разложение падающей волны имеет вид
ф = eiles ( о ) s	— ze) =
/1\	sinfkr-^
I1 (2/ + 1) Рг (cos 6) Р ) 8 (к - ^) В (n- Тг) --.А	<
1=0
=2 у- 2 2сW У21 +1 (I)
1=0 I
kr
где С1! г — коэффициенты Клебша — Жордана, определяемые
из таблицы
.Здесь мы учли, что (см. задачу 21)
8 (к — тч) 8 (п — -сг) = 2	.
jr Z z
Введем функции Паули для mj = 1/2 (см. задачу 17 § 9):
и разложим по ним Yl0 0 j:
Гго(0)=	+ У"7)•	<3>
256
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя (3) в (1), получаем:
*=т s 2ii +1 Гг++х
Z = 0 I
_ co
= ^2 ScVT+Trr+vTrox
Z^O I
x	(eilir _(_[)* e~ikry =
__ co
= т 2 2<4M<T'+t>t+
1=0 I
__ co
- tf 2 2 c".-4	+v> n > x
1 = 0 I
л-ikr
X( iy~. (4)
23. Воспользуемся разложением падающей волны по
собственным функциям сохраняющихся операторов (см. фор-
мулу (4) предыдущей задачи).
Каждый член этой суммы, соответствующий определенным
значениям (/, J, I), будет рассеиваться независимо от других.
Следовательно, число частиц, обладающих (/, J, /), в про-
цессе упругого рассеяния не меняется, поэтому влияние рас-
сеивающего центра сводится к умножению на некоторый
фазовый множитель е2’7±. Здесь о{±=</	! зависит
от I, J, I и не зависит от Iz вследствие гипотезы об изото-
пической инвариантности.
Следует заметить, что рассеивающий центр не влияет
на сходящиеся волны, а влияет только на расходящиеся. Тогда
волновая функция системы с учетом рассеяния запишется
9]
РАССЕЯНИЕ
257
в виде
_ со
I
X Ф|в(у7+Гп+Л^ + VlYYe^-}^—
СО
--7Г S (/Н^ТУГ-г- VIYT)(1)
IR JBttA ляв &	'
I 1=0
На больших расстояниях от рассеивающего центра ее можно
представить в виде
Qikr
'? = %адЧ~/~“-
Здесь /—амплитуда рассеяния. Отсюда, вычитая из (1)
выражение для 6пад (см. формулу (4) задачи 22 § 9), получим:
Функции Ф/ разложим по собственным функциям опера-
тора /г
ф4 =	8	8	+с4 ”Ts 8 — **)8	<3>
где коэффициенты Клебша — Жордана Ср2 определяются из
таблицы (2) задачи 22, а т^к== Tzi-j-2zi:.
Подставляя (3) в (2), получим:
"i)S(n —тг)+О^_с?Х
Х&(~ — ^)8(«-Ks)|X
X {//+ 1 FT(e2iS^

17 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
258
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
г
с’\ ==(%*(&
7г 4
и обозначает конечное состояние нуклона.
Тогда, полагая:
/ = /’’о (л — ^) 8 (п — тг) +
+ Л 8 ~	8 (ге + ^е)’
получим:
Л =	2 2 о^г (УГН rf	- 1)+
г	I 1=0 г е
+У/>Г G2i8‘-— 1)}, (4)
где ОГТг, для требуемых в задаче реакций даны в следую-
%zxz
щей таблице:
Реакция	р+ ^р-	Р -+Р	р -> /г0
а/ - (/ ?	1	1 3	У~2 3
	0	2 3	3
Подставляя эти значения СТх^г в (4), окончательно полу-
^z~“z
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
259
чаем:
/(р+. р+)	—1)+
1^=0
+/Гуг-(е2^—1)},
/(р-, Р-) - 2 !*7+Т}7' GziS&+- з)+
н-V'lYT (/*'»-4- 2/iSi- — з)|,
/(Р-. «о) = 4г1»^+1ГТ^ +-« /+Н
(5)
248%	2»У’М
4-у/Уг l~ — е i~j].
24. Таблица коэффициентов Oz®z для всех возможных
реакций мезонов с нуклонами имеет вид
№ п/п	Реакция	I,	4/s G ?	°?? Z Z
1	р+-*р+	3/2	1	0
2	/fl -+{fl	1/2	2/3	1/3
3	{А-+-П +	1/2	/2/3	— 1^2/3
4	р~ ->n°	-1/2	/2/3	— /гз
5		-1/2	1/3	2/3
6	п+ -> п+	1/2	1/3	2/3
7	п°->р~	— 1/2	/2/3	— /2/3
8	n+->/fl	1/2	~У 2/3	— /2/3
9	пи->п°	-1/2	2/3	1/3
10	тГ -^п~	— 3/2	1	0
17*
260
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как фазы не зависят от /г в силу гипотезы об изо-
топической инвариантности, то из таблицы (1) и формулы (4)
задачи 23 § 9 непосредственно следует:
О	/(Р+.	Р+) ==/(«->
2)	f(p~,	P~) = f(n'r,	п+),
3)	f(pV,	n+)—f(n+,	pP) — f(p~, n°)—f(n0, p~),
4)	/(p°,	P°) = /(«°, n0)-
Выражения для первых трех амплитуд даны в задаче 23.
Из таблицы (1) легко видеть, что
/(р°, Р°) = у[/(Р+. Р+)+/(р-. /ЛЬ
Пользуясь таблицей (1), получаем:
О /(Р+. Р+) = /(«-, »-) = /Ч
2)	f(p~, р-)==/(п+,чп+)	2/V»],
3)	f(p°, n+)=/(n+, p°) =
V 2
= f{p-, n°)=f(n°,	—
4)	/(p°, P°)=/(n°, п°)=|[2/3/’+/Ч
25.	Дифференциальное сечение рассеяния;
357Т = |/12, где dQ = sin bdbda.
ail 1
Полное сечение рассеяния:
a — J” J” | /|2 sin 6 db da.
о о
Подставляя сюда амплитуды рассеяния указанных реакций,
найденные в задаче 23 и учтя ортонормированность функций
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
261
f f (Kl+)+(Klt)dS = f J (yr)+(r,7)rfS = 8B„
j* j* (Кг+)+(г77)йй = У J* (Kl-)+(Klt)dS=O>
получаем:
0(p+> p+)={(Z+i)Sir.28%
i=°
»(p-.p-)=>ii«+»x
x [sin2§;/. + 2 sin2 8£ -4sin2(§;/. -8* )] +
-|-/ [sin2 8'^	2 sin2 8*/^ — 4 sin2 (8^ — ^-)]| •
о (P-, n°) =	£ {(/ + 1) sin2 (88/. - 8/;) +1 sin2 (8^ -8£)).
l=o
26.	Дадим подробное решение для реакции (р+, р+).
Амплитуда рассеяния для S- и P-волн имеет вид (см. за-
дачу 23 § 9):
/(р+. р+) = {аХ +/2 оХ-ПХ}.
где
2£68/#	2г6^8	2io^a
а0 = е2г80—1; а1 = е2’8» + —1; рх ==e2*Ji~—1.
Тогда дифференциальное сечение рассеяния для S- и Р-волн
равно (здесь учтены явные выражения для функций Паули
(см. задачу 22 § 9))
?S—l^ool2M2 +
+ у— | ^оо 11 Ло I {2 (aoai ~Ьаоа1) + (ао?1 Ч~ ао?1)} +
+ у I Р {4 I ai |2"+1 ri |2Н~2 (ai?i + ai°i)} +
+ у| ^11|2 {| а1|2-Н ?1 Г-(а1?1 + а1?1)} •
18 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
262
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как шаровые функции. Ylm равны
Foo==W: F10==V ^COS6; Fu=/^sin0e4
то дифференциальное сечение запишется в виде
/г2^- = А 4- В cos 0 f-Ccos20,	(1)
где коэффициенты А, В, С равны
А = 7 {I % |2+1 «112+1 Pi I2—(«13*+«131)};
в = 4 {2(аоа*+“Л) 4- (аоЗ*+«о31)};
c~~i {lai Г+(aiPi + ai3i)}•
Чтобы выразить коэффициенты А, В, С через фазы, вос-
пользуемся тождествами
| е2г.г-1 [2 — 4 siti2 х-
(e2ix---1)(е~2й/---1)_|_(е-2га;-- 1)(е2й/---- 1) =
= 4 [sin2x-f- sin2_y — sin2(x—_у)Ь
Тогда:
(2)
А(р+, p+)=sin2^4-sin2(8^ — 8%);
В (р+, Р'} = 3 sin2 8’4-4- 2 sin2 8% -j- sin2 8’4 —
— 2 sin2 (8’4 — 8’4 ) — sin2 (8’4 — 8’4
C(p+, p+)= 3 {2sin28’4-j-sin28’4 —sin2(8’4 —8%)}.
Указанным способом легко подсчитать коэффициенты А, В, С
для реакций (р~, р) и (р~, п°). Приведем лишь оконча-
тельные результаты:
А(р~, Р~) =4 sin28^+{sin28* —|sin2 (8^— 8^) +
+1 sin2(87; - S3i^) -1 sin2 (871 - 871) +-
+ 4 sin2 (871 — 871)+1 sin2 (871 — 871) +
+1 sin2 (871 — 8?+) — 4 sin2 (871 — 871);
§ 9]	РАССЕЯНИЕ	263
в<р-. Р") = sin'Й’+ 2Sin!8? + -J sii’i'S +
+ |з1„г8^-|-А5|п2г:'!.+|51п!8*-|5|п!(е-870-
-1 sin2 (« - 8?+) —*• sin2 (#- 8’1) -
- 4 sin2 («?• - 8ft.) - A sin2 (8?- - ЙУ - 4 sin2 (Sj‘ - 8ft.) -
-|sln!(«---S71)-4sln!(8?-8;*);
С (р~, р~)= 2 sin2 Sb 4- 4 sin2 Sb + sin2	+
+ 2 sin2 З’Ь — | sin2 (81'4 — 8’Ь) —
-1 sin2 (sb - 8b) - f sin2 (8b - 8*) -
—| sin2 (8Ь — 8h) — j sin2 (8Ь - 8Ь)’	(3)
A (p~, n°) = | {sin2 (8?’—8b) + sin2 (8b — 8Ь) +
+ sin2 (8b - 8b) - sin2 (8b - 8b) -
— sin2 (8Ь — 8b) + sin2 (8Ь — 8Ь) +
+ sin2(8b-8b)};
В {p~, no) = 2 {- 2 sin2 (8о/з — 8b) + 2 sin2 (sb — 8b) —
- sin2 (8b- 8b) + Sin2 (8b- sb) +
4- 2 sin2 (8b — 8Ь) — 2 sin2 (8Ь — 8b) +
+ sin2 (8b - 8b) - sin2 (8b - 8b)};
C (p-, n°) = -f- {sin2 (8b — 8b) + Sin2 (Sb — 8b) —
— sin2 (8b — 8b) + Sin2 (Sb — 8b)—sin2 (8b — 8b)} •	(4)
Полученные результаты имеют большое значение при изу-
чении углового распределения рассеяния ir-мезонов на про-
тонах. Экспериментально можно проверить формулу (1) и
определить коэффициенты А, В, С для реакций (р+, р+),
18*
264
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(р_, р~), (р~, п°). Тогда шесть неизвестных фаз 8(fa, б'/*,
81+, В71, В'Д, В'Д определяются из девяти уравнений (2),
(3), (4), которые оказываются совместными.
Однако вычисленные фазы обладают неоднозначностью
двоякого рода: во-первых, вследствие того, что в уравне-
ния (2), (3), (4) входят квадраты синусов фаз и разностей
фаз, последние определяются с точностью до знака; во-вто-
рых, имеется несколько различных наборов фаз, удовлетво-
ряющих опытным данным. Из них лучше других согласуется
с экспериментом решение Ферми, в котором наибольший
вклад в рассеяние вносит фаза B/j, проходящая через 90°
при энергии мезона Ета 195 Мэв в лабораторной системе
координат, а фазы B^i, 8f+, В'Д малы.
Имеется ряд дополнительных критериев, позволяющих
устранить указанные неоднозначности. Знаки фаз можно
определить из соображений, основывающихся на принципе
причинности, а также из опытов, специально учитывающих
кулоновское взаимодействие. В выборе правильного реше-
ния могли бы помочь опыты по поляризации нуклонов от-
дачи, но в настоящее время они еще не поставлены.
Ожидаемые величины поляризаций для реакций (р+, р+),
(р-, р~), (р~, п°) определяются в следующей задаче.
27.	Рассмотрим подробно реакцию (р+, р+). Пусть спи-
новые функции протона:
Если вначале протон имел s, = 1/2, то амплитуда рассеяния
запишется в виде
//2 •— foaa 4“ fap?
(1)
и если вначале s, = — l/z, то амплитуда рассеяния
/-1/2=Л«а+/р^-
(2)
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
265
Здесь faa, — амплитуды рассеяния без переориентации
спина и /ир, /₽о — с переориентацией спина. Амплитуды fm
и /ар определяются из формул (5) задачи 23 § 9 как коэф-
фициенты при столбцах
и Р-волны
причем берутся только S
faa ~~ |а0 ^00 + у= [2а1 + 311 Г10| ,
(3)
(4)
где а0, ар даны в задаче 26 § 9. Пользуясь выражениями
для функций Паули при т? = 1/2> легко получить:
Если считать, что тг-мезоны рассеиваются в плоскости xz,
то полярный угол = 0, и следовательно:
Тогда амплитуда рассеяния на протоне с sz= —1/2 (см. (2))
/-   /роа + /авЗ •	(5)
Так как вначале протоны не были поляризованы, то из фор-
мул (1) и (5) следует, что и после рассеяния они останутся
неполяризованными вдоль оси z.
Можно показать, что после рассеяниия поляризация про-
тонов в плоскости xz отсутствует. Действительно, спиновые
функции протона и 80, соответствующие проекциям спина1^
и —1/2 на ось z', проведенную в плоскости xz под углом 6
к оси z, имеют вид
тА
V
(см. задачу 19 § 4),
266
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Тогда
/V!=/a«a+ /«?₽==
= (Ao C0S 2 Ар sin 2”) То Ч~ (Аа sin 2" + Ар COS "2 )
/_1/2 =	Ара +АаР =
= — (AaSiny + /apCOS-|-) Te+(AaCOS^-— fa? Sin^-)&0,
т. e. поляризации в любом направлении в плоскости xz нет.
Однако протоны будут поляризованы вдоль оси у,
перпендикулярной плоскости рассеяния. Чтобы найти вели-
чину поляризации, выразим и /_ через спиновые соб-
ственные функции
1 Г2 ’	/2 ’
соответствующие направлению спина вдоль и против оси у.
Тогда
А/г = ^7= (Aa—i Ар) т +	(Аа + (Ар) 8.
/_,/s = (Аа - ifa?) Т +	(Аа + IАз)
Отсюда получаем:
^+~IAa-*Apl2; wL~IAa+<A₽l2. (6)
где UZ+ и W_—вероятности того, что спин после рассея-
ния будет направлен соответственно параллельно или анти-
параллельно оси у. Заметим, что формулы (6) справедливы
независимо от первоначального значения sz протона. Под-
ставляя в (6) выражения (3) и (4) для faa и /о3, получим:
IF± ~ | a0-4-(2at -j-^Jcos 0 zjz i — aj sin 6 'l2,
или
§ 9]
РАССЕЯНИЕ
267
Подобным же образом получим для реакций (р_, р~) и
(р-, п°):
К2^/9
е <> __-з_р2е2г °; +
( 2гб’\	. 2го'/2,	2«7j i с zi?,\/s г. ,
~{-\2е 1+ — 9-|-4е 1 + ~{-е l~~\-2e ^/cosOzt
± I (е2 <	2е2	/ i8'i - - 2/ й*) cos 6 Г;
W± (р~, га0) ~ | (/	— е 2i^)
. (п ZifJ*. п 2«8У2. . Zi^J* 2is7! A f, ,
+Д2е 1 + —2е 1 + 4-е	— е i-Jcos6±
. .( 2г5'У’,	2го''г,	2г5%	.	гй’/2 \	„ I2
z±z I \ е 1 + — е 1 + — е 1 - + е 1 ~ J sin и | .
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Ряд задач квантовой механики решается в квазикласси-
ческом приближении. Но квазиклассическое решение спра-
ведливо лишь в области, достаточно удаленной от точки
поворота, которая определяется условием:
V (х) = Е.
Так как квазиклассика дает решения лишь справа и слева
от точки поворота, необходимо «сшить» их в этой точке,
чтобы получить решение во всем пространстве.
Если потенциальная функция V(х) вблизи точки пово-
рота ведет себя, как показано на рис. 32, сшитое решение
имеет вид
для х < а,
для х > а.
(1)
(2)
Для потенциальной функции V (х), показанной на рис. 33,
ПРИЛОЖЕНИЯ
269
решением будет
для х > а,
(!')
для х < а
(см. Ландау и Лифшиц, Квантовая механика, Гостехиздат,
1948). Пользуясь этим, найдем такое решение одномерного
уравнения Шредингера
-2iT^ +^Не-
которое слева от точки возврата (см. рис. 32) переходит в ква-
зиклассическое решение вида а
77е
Для этого необходимо найти другое решение, линейно не-
зависимое по отношению к указанному решению (1), (2).
Будем искать его в виде
что
для уравнения
Для определения с воспользуемся тем,
Шредингера
= const.
Напишем определитель Вронского для нашего случая,
270
ПРИЛОЖЕНИЯ
используя решения (1) и (3)
(Дифференцирование достаточно производить по аргументам
тригонометрических функций, поскольку —1.)
Аналогичным образом получим, что в области х > а, т. е-
для решений (2) и (4), определитель Вронского
п
Из условия W(х < а) = 1И(х> а} находим, что с=1.
Искомое решение получаем как линейную комбинацию функ-
ций и >р2:
—  к
4> = (ф2=± Z-^) е+г 4 .
Окончательно имеем:
± - I PdX
_J— g х
V~P
X
£_e a	I__1 e
V\P\	2f\p\
для x < a,
X
J | p I dx ± i
a
для x > a.
Теперь найдем такое решение одномерного уравнения Шре-
дингера
/)2 (/2'5
2|л dx2
И(х)ф = £ф,
ПРИЛОЖЕНИЯ
271
которое слева от точки возврата (см. рис. 33) переходит
в квазиклассическое решение вида
а
± Y J I Р I dx
о х
ГТ71
Для этого мы воспользуемся полученным выше результатом.
Именно, искомое решение представляет собой линейную
комбинацию решений и <Ь2 предыдущего случая, где
1
——«
для х а,
1 й
г—е
VlPl
| р | dx 1-г
ДЛЯ х^> а,
а
_|___1 е ж
2 У|р|
для х а.
Получим:
1 й
Г___-е
lAl Р I
а
j* 1 Р I dx
X
ДЛЯ
Ж	X
i-fpdx+i^-
' _с а _|___________L^e а
2 V р	2 У р
для х > at
_!_р а
V Р
272
ПРИЛОЖЕНИЯ
для х < а,
X	X
-=-е а	Н---— е а
Vp	Vp
для х > а.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Целый ряд опытных данных (например, рассеяние тг-ме-
зонов на протонах и нейтронах) свидетельствуют о том,
что протон и нейтрон могут взаимно превращаться друг
в друга. Это дает нам основание рассматривать протон и
нейтрон как одну частицу — нуклон, которая может нахо-
диться в двух состояниях: или в протонном, или в нейтрон-
ном. Эти состояния различаются значением зарядовой пере-
менной: у протона заряд в единицах е равен 1 и у ней-
трона—0. Тогда нуклон можно описывать волновой функцией,
состоящей из двух компонент, в соответствии с двумя зна-
чениями зарядовой переменной. Эту функцию мы запи-
шем как
Учитывая условие нормировки |	|2-1-1|2 = 1, мы возьмем:
ч:> *-Q
Введем операторы, действующие на эти
функции:
/0 1\	/0
т, == (	); т = I
\° °/	“ V
двухкомпонентные
0\
0/ '
Легко проверить, что

Z+§n=§P’	=
ПРИЛОЖЕНИЙ
273
Из этих соотношений следует, что т+ есть оператор воз-
никновения заряда, т. е. он переводит нуклон из нейтрон-
ного состояния в протонное, и есть оператор исчезно-
вения заряда.
Далее введем операторы:
Эти операторы тождественны с известными из теории спина
матрицами Паули и, следовательно, обладают такими же
формальными свойствами, что и последние. По аналогии с тео-
рией спина мы будем считать, что ~х, ху, t, суть опера-
торы компонент вектора т в некотором трехмерном про-
странстве.
Это пространство называется изотопическим пространст-
вом, а вектор т — вектором изотопического спина нуклона.
Следует заметить, что понятие изотопического пространства
является вспомогательным, и оно не имеет непосредственного
физического смысла. Абсолютное значение вектора т равно 1/2,
и два зарядовых состояния нуклона можно рассматривать
как состояния с разными значениями проекции изотопиче-
ского спина на ось z в изотопическом пространстве. При
тг = 1/2 имеем протон, при тг = — */г нейтрон. Заметим,
что так как изотопическое пространство и изотопический
спин носят формальный характер, то непосредственный фи-
зический смысл имеет не оператор тг, а так называемый
оператор заряда:
। 1 ,	/1 0\
+ 2 / — (о б)’
it+-, it0-, it -мезоны можно также рассматривать как одну
частицу, которая может существовать в трех зарядовых
состояниях, соответствующих значениям зарядовой перемен-
ной: 1, 0, —1. Волновая функция тг-мезона будет, оче-
видно, трехкомпонентной в соответствии с тремя возможными
274
ПРИЛОЖЕНИЯ
зарядовыми состояниями
Учитывая условие нормировки, мы возьмем:
Можно ввести операторы возникновения и исчезновения за-
ряда тг-мезона
(О 1 0\	/0 0 0\
0 0 11, т_ =1 1 0 0 1,
ООО/	\0 1 0/
которые удовлетворяют соотношениям:
Г+<р+ = О;	Т+<р0==<р+;	т+ср_ = ср0;
Т_<р+ = <р0;	Т_<р0 = <р_;	Т_<р_ = О.
Перейдем к операторам:
/0 1 0\
+	=	1 0 1 ,
\0 I о/
/ О 1 0\
т«=^-т-^ -• о 4
\ 0 —1 о/
/1 о 0\
7/ = Т+Т_ -- Т_Т+ =10 0 О I,
\0 0 — 1 /
которые являются операторами компонент вектора изотопи_
ческого спина Т в изотопическом пространстве. Абсолютное
ПРИЛОЖЕНИЯ
275
значение Т равно 1. Различные зарядовые состояния будут
состояниями с различными значениями проекции изотопиче-
ского спина на ось z в изотопическом пространстве. Заме-
тим, что для тг-мезона оператор заряда Q совпадает с опе-
ратором Тг
Q^TZ.
Рассмотрим теперь изотопические свойства системы
нуклон — мезон. Эту систему мы будем характеризовать пол-
ным изотопическим моментом I
Гх \ Т
и его проекцией 1г на ось z.
Имеющиеся сейчас опытные данные позволяют предпола-
гать, что для системы мезон—нуклон справедлива гипотеза
изотопической инвариантности (зарядовой независимости),
т. е. гипотеза о независимости свойств системы от полного
заряда системы, если роль кулоновских сил мала. Матема-
тически это требование можно выразить как инвариантность
гамильтониана взаимодействия относительно вращений в трех-
мерном изотопическом пространстве. Отсюда непосредственно
следует, что полный изотопический момент I и его проек-
ция /г на ось z в системе мезон-—нуклон сохраняются.