И. С. ГРАДШТЕИН и И. М. РЫЖИК
ТАБЛИЦЫ
ИНТЕГРАЛОВ, СУММ, РЯДОВ
И ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ИЗДАНИЕ 4-е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ ПРИ УЧАСТИИ
Ю. В ГЕРОНИМУСА
И(М. Ю. ЦЕЙТЛИНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 196 3

I1 75
АННОТАЦИЯ
Книга представляв» собой большое юбрание
интегралов и формул (около 12 000), относящихся
К элементарным и специальным функциям
В четвертом издании значительно ра< шир< вы
разделы посвященные неопределенным и опре
деленным ияте! ралам от олемеятарпых функций
и определенным hhtoiралам от специальных
функций Включены интегралы от (пециа ышх
функции отсутствовавшие в предыдущем изда
нии В связи с этим главы относящиеся к сне
циалыгым функциям дополнены необходимыми
разделами
Глава об интегральных преобразованиях
имевшаяся в третьем издапии исключена Ее
материал размещен в других частях кнши
Книга предназначена для научно и< слецова
гельских институтов лаборатории, кош трук
торских бюро и научных работников в области
математики, физики техники
БШ.ЯИОГРКА
№»СТ1П> 4 Я'СрВОЙ
Израиль Соломонович Градштейн и Иосиф Моисеевич Рыжик
Таблицы интегралов сумм рядов и произведений
М, Физматгиз 1963 г 1 100 стр с илл
Редактор А Ф Липко
Техи редактор В И Крючкова Корректор А С Бакулоеа
Печать с матриц Подписано к печати 6/Ш 1963 г Бумага 70X108Vie
Фяз печ л 68 75 Условн печ л 9<1 15 Уч изд л 83 54 Допечатка тиража 19 000 экз
Т 01581 Цеиа книги 4 р 33 к
Государственное издательство физико матеыатической литературы
Москва В 71 Ленинский проспект 15
Гос типография сПяргале», Вильнюс ул Латако в Заказ № 910

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловии к первому изданию 10
Из предисловия к третьему изданию 10
Предисловие к четвертому изданию 11
О порядке следования формул 12
0. ВВЕДЕНИЕ
0.1. Конечные суммы 15
0.11. Прогрессии A5). 0.12. Суммы степеней натуральных чисел A5).
0.13. Суммы величин, обратных натуральным числам (ib). 0.14. Суммы про-
произведений величин, обратных натуральным числам A7). 0.15. Суммы би-
биномиальных коэффициентов A7).
0.2. Числоные ряды п бесконечные произведения 19
0.21. Сходимость числовых рядов A9). 0.22. Признаки сходимости
A9). 0.23—0.24. Примеры числовых рядов B1). 0.25. Бескопечные произ-
произведения B5). 0.26. Примеры бесконечных произведений B6).
0.3. Функциональные ряды 26
0.30. Определения и аеоремы B6). 0.31. Степеппые ряды B7). 0.32. Три-
Тригонометрические ряды C0). 0.33. Асимптотические ряды C2).
0.4. Некоторые формулы дифференциального исчисления 32
0.41. Дифференцирование определенного интеграла по параметру C2).
0.42. Производная «го порядка от произведения C3). 0.43. Производная
re-го порядка от сложной функции C3).
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.1. Степени биномов 35
1.11. Степенные ряды C5). 1.12. Ряды рациональных дробей C6).
1.2. Показательная функции . . . " 36
1.21. Представление в виде ряда C6). 1.22. Функциональные соотно-
соотношении C7). 1.23. Ряды показательных функций C7).
1.3т—1.4. Тригонометрические и гиперболические функции ( 37
1.30. Вв'дснпе C7). 1.31. Основные функциональные соотноше-
соотношения C8). 1.32. Выражение степеней тригонометрических и гиперболических
функций через функции кратных аргументов (ду1) C9). 1.33. Выражение
тригопометрических и гиперболических функций кратных аргументов (дуг)
через степени этих функций D1). 1.34. Некоторые суммы тригонометриче-
тригонометрических и гиперболических функций D3). 1.35. Суммы степеней кратных
дуг D4). 1.36. Суммы произведений тригонометрических функций кратных
дуг D6). 1.37. Суммы тангенсов кратных дуг D6). 1.38. Суммы, приводящие К
гиперболическим тангенсам и к гиперболическим котангенсам D6).
1.39. Представление косинусов и синусов кратных дуг в виде конечных
произведений D7). 1.41. Разложение тригонометрических а гиперболи-
гиперболических функций в степенные ряды D8). 1.42. Разложение на простейшие
дроби E0). 1.43. Представление в виде бесконечного произведения E1).
1.44—1.45. Тригонометрические ряды E2). 1.46. Ряды произведений
показательных и тригонометрических функций E6). 1.47. Ряды гипербо-
гиперболических функции E6). 1.48. «Угол параллельности» Лобачевского
П (г) E7). 1.49. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан) gd x E7).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
1.5. Логарифмическая функция 58
1.51. Представление в виде ряда E8). 1.52. Ряды логарифмических
функций F0).
1.6. Обратные тригонометрические в обратные гиперболические функции .... 61
1.61. Область определения F1). 1.62—1.63. Функциональные соот-
соотношения F1). 1.64. Представление в виде ряда F5).
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.0. Введение 67
2.00. Замечания общего характера F7). 2.01. Основные интегралы F8).
2.02. Общие формулы F9).
2.1. Рациональные функции 70
2.10. Общие нравила интегрирования G0); 2.11—2.13. Формы, содержа-
содержащие биномы a-\-bxh G2). 2.14. Формы, содержащие биномы 1 4j л." G7).
2.15. Формы, содержащие пары биномов: а 4 Ъх а а + рх (80) 2.16. Формы,
содержащие трехчлены а + bxh 4- сж2й (81). 2.17. Формы, содержащие
квадратный трехчлен а + Ъх -\- схг и степени х (82). 2.18. Формы, юдер-
жащие нвадратный трехчлен а + Ьх + схг и бином а + Вж (84).
2.2. Алгебраические функции 84
2.20. Введение (84). 2.21. Формы, содержащие бином a-\-bxh и ]/г (85).
2.22—2.23. Формы, содержащие *У(а + Ьх)к (86). 2.24. Формы, содержащие
]/ а+Ьх и бином а+Вж (89). 2.25. Формы, содержащие |/o-f Ьл ' сь?(94).
2.26. Формы, содержащие \^а -у Ьх-\- еж2 и целые степени х (95).
2.27. Формы, содержащие |/я + еж2 и целые степени х A00). 2.28. Формы,
содержащие У а + Ъх гсх^ и многочлены первой и второй степени A03).
2.29. Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптиче-
псевдоэллиптическим A04).
2.3. Показательная функция 106
2.31. Формы, содержащие еах A06). 2.32. Показательная и рацио-
рациональные функции от х A06).
2.4. Гиперболические функции 107
2.41—2.43. Степени sh x, ch x, th x и ctb x A07). 2.44—2.45. Рацио-
Рациональные функции от гиперболических функций A21). 2.46. Алгебраиче-
Алгебраические функции от гиперболических функций A27). 2.47. Гиперболические
функции и степенная функция A33). 2.48. Гиперболические функция, пока-
показательная и степенная функции A42).
2.5—2.6. Тригонометрические функции .,..""....... 143
2.50. Введение A43). 2.51—2.52. Степени тригонометрических функ-
функций A44). 2.53—2.54. Синусы и косинусы кратных дуг, липейпых и более
сложных функций аргумента A53). 2.55—2.56. Рациональные функции
от синуса и косинуса A61). 2.57. Формы, содержащие \/ a f d sm i ,
У^я^Ьб cos ж или приводящиеся к этому виду A67). 2.58—2.62. Интегралы, при-
приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим A71). 2.63—2.65. Три-
Тригонометрические функции и степенная функция A96). 2.66. Тригонометри-
Тригонометрические функции и показательная функция B08). 2.67. Тригонометрические
функции и гиперболические функции B12).
2.7. Логарифмическая функция; функции, обратные гиперболическим 217
2.71. Логарифмическая функция B17). 2.72—2.73. Логарифмиче-
Логарифмическая и алгебраическая функции B17). 2.74. Обратные гиперболические функ-
функции B20).
2.8. Обратные тригонометрические функции 221
2.81. Арксинус и арккосинус B21). 2.82. Арксеканс и арккосеканс, арк-
арктангенс и арккотангенс B21). 2.83. Арксинус, арккосинус и алгебраиче-
алгебраическая функция B22). 2.84. Арксеканс, арккосеканс и степени х B23).
2.S5. Арктангенс, арккотангенс и алгебраическая функция, B23).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.0. Введение * 225.
3.01. Теоремы общего характера B25). 3.02. Замена ттеременпого в
определенном интеграле B2в). 3.03. Формулы общего характера B27).
3.04. Несобственные интегралы B29). 3.05. Главные значения несобствен-
несобственных иптегралов B30).
3.1—3.2. Степенные и алгебраические ф}нкпии 231
3.11. Радиопалыше функции B31). 3.12. Произведения рациональных
функций и выражений, приводящихся к квадратным корням из многочленов
первой и второй степени B33) 3.13 — 3.17. Выражения, приводшциеен
к квадратным корням из многочленов третьей и четвертой степени, и их
произведения с рациональными функциями B33). 3.18 Выражения, при-
приводящиеся к корням четвершй степепи из многочлепов второй степени, и их
произведения с рациональными функциями B96). 3.19—3.23. Степени х я би-
биномов вида а + fix B98). 3.24—3.27. Степени х, биномов вида а + fix» и
многочлепов от х C06).
3.3—3.4- Показательная функция 318
3.31. Показательная функция C18). 3.32—3.34. Показательная функ-
функция от более сложнмх аргументов C20). 3.35. Показательная функция и
рациональные функции C24). 3.36—3.37. Показательная функция и алге-
алгебраические фушщии C29). 3.38—3.39. Показательная функция и степен-
цая функция с произвольными показателями степени C31). 3.41—3.44. Рацио-
Рациональные функции от степенной и показательной функций C39). 3.45. Ал-
Алгебраические функции от показательной функции и степенная функция C49).
3.46—3.48. Показательная функция дт более сложных аргументов и сте-
степенная функция C51)
3.5. Гиперболические функция 358
3.51 Гиперболические функции C58). 3.52—3.53. Гиперболические
фупкпии и алгебраические функции C61). 3.54. Гиперболические функции
и показательная функция C70). 3.55—З.иб. Гиперболические, иоказатель-
ные и стеиенные функции C74).
3.6—4.1. Три! онометрические функции 379
3.61. Рациональные фушщии от синусов и косинусов и тригонометри-
тригонометрические функции кратных дуг C79). 3.62. Степепи тригонометрически* функ-
функций C8J). 3.63. Степени тригонометрических функций и тригоцометрпче-
ские функции от линейной функции аргумента C86). 3.64—3.65. Степыш три-
тригонометрических функций и рациональная функция от тригонометриче-
тригонометрических функций C91). 3.66. Формы, содержащие стенени линейных функций
от тригонометрических функций C96). 3.67. Квадратные корни из выражений,
содержащих тригонометрические функпии D00) 3.68. Различные формы
от степеней тригонометрических функций D03). 3.69—3.71. Тригонометри-
Тригонометрические фупкции от более сложных аргументов D09). 3.72—3.74. Тригоно-
Тригонометрические и рациональные функпии D19) 3.75. Тригонометрические
и алгебрапческие функции D32). 3.76—3.77. Тригонометрические
и степенная функции D34). 3.78—3.81. Рациопалыше функции от х
и от тригонометрических функций D46). 3.82—3.83. Степени тригономе-
тригонометрических функций и степенная функция D60). 3.84. Интегралы, содержа-
содержащие выражения ]f 1—A:2 sin2 ж, 1 1—A-2 cos2 а; и сходные с ними D74).
3.85—3.88 Тригонометрические функции от более сложных аргументов
и степенная функция D78). 3.89—3.91. Тригонометрические и показа-
показательная функции D90). 3.92. Тригонометрические функции от более слож-
пых аргументов и показательная функция D9S) 3.93. Тригонометри-
Тригонометрические и показательные функции от тригонометрических функций E00).
3.94—3.97. Тригонометрические, показательная и степенная функ-
функции E03).3.98—3.99. Тригонометрические и гиперболические функ-
функции E17). 4.11—4.12. Тригонометрические, гиперболические и степенная
функции E25). 4.13. Тригонометрические, гиперболические и показательная
функции E33). 4.14. Тригонометрические, гиперболические, показательная
и степенная функции E35).
4.2—4.4. Логарифмическая функция 533
4.21. Логарифмическая функция E37;. 5.22. Логарифгалрская функция
от более сложных аргументов E39). 4.23. Логарифмическая и рационадь-

ОГЛАВЛЕНИЕ
ная функции E46). 4.24. Логарифмическая и алгебраическая функции E49).
4.25. Логарифмическая и степенная функции E51). 4.26—4.27. Степени
логарифма и гтеишшая функция E53). 4.28. Рациональная функция 1пжи сте-
степенная функция E86). 4.29—4.32. Логарифмическая функция от более
сложных аргументов и стетчтая функция E09). 4.33—4.34. Логарифмиче-
Логарифмическая и показательная функции E87). 4.35—4.36. Логарифмическая, ноказа-
тельная и степенная функции E89). 4.37. Логарифмическая и гиперболи-
гиперболические функции E94). 4.38—4.41. Логарифмическая и трт оночетрические
функции E97). 4.42—4.43. Логарифмическая, тригонометрические и сте-
степенная функции F12). 4.44. Логарифмическая, тригонометрические и по-
показательная фупкции F19).
4.5. Обратные тригонометрические флпкции 619
4.51. Обратные тригонометрические функции F19). 4.52. Арксинус,
арккосинус и степенная функция F20). 4.53—4.54. Арктангецс, арккотан-
арккотангенс и степенная функция F21). 4.55. Обратные тригонометрические и пока-
показательная функции F25). 4.56. Арктангенс и гиперболическая функция @26).
4.57. Обратные и прямые тригонометрические фупкции F26). 4.58. Обрат-
Обратная и прямая тригонометрические и степенная фупкции F28). 4.59. Обрат-
Обратные тригонометрические и логарифмическая функции F28),
4.6. Кратные интегралы 628
4.60. Замена переменных в кратных интегралах F28). 4.61. Перемена
порядка интегрирования и замена переменных F29). 4.62. Двойные и трой-
тройные интегралы с постоянными пределами F32). 4.63—4.64. Многократные
интегралы F34).
5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ
5.1. Эллиптические интегралы я функции 640
5.11. Полные эллиптические интегралы F40). 5.12. Эллиптические ин-
интегралы F41). 5.13. Эллиптические функции Якоби F43). 5.14. Эллипти-
Эллиптические фупкции Вейерштрасса F45).
5.2. Интегральная показательная функция 646
5.21. Интегральная показательная функция F46). 5.22. Интеграль-
Интегральная показательная и степенная функции F46). 5.23. Интегральная пока-
показательная и показательная функции F46).
5.3. Интегральный cnHjc и ин-rei ральный косинус 646
5.4. Интеграл вероятности и imi-ei рилы Френеля 647
5.5. Цилиндрические функции 647
6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.1. Эллиптические интегралы и функции 649
6.11 Формы, содержащие F (х, к) F49). 6.12. Формы, содержащие
Е (х, к) F50). 6.13. Интегрирование эллиптических интегралов по модулю
F50). 6.14—6.15. Полные эллиптические интегралы F51). 6.16. Тэта-функ-
Тэта-функции F52).
6.2—6.3. Интегральная показательная функция и родственные ей функции .* . . 653
6.21. Интегральный логарифм F53). 6.22—6.23. Интегральная пока-
показательная функция F55). 6.24—6.26. Интегральные еппус и косинус F57).
6.27. Интегральный гиперболический синус и косинус @61). 6.28—6.31. Ин-
Интеграл вероятности F62). 6.32. Интегралы Френеля F67).
6.4. Гамма-флгащия и родственные ей функции 669
6.41. Гамма-функция F69). 6.42. Гамма-функция, поьалательиая и степен-
степенная функции F70). 6.43. Гамма-функция и тригонометрические функ-
функции F74). 6.44. Логарифм гамма-фуптсции F75). 6.45. Неполная гамма-функ-
гамма-функция F76). 6.46—6.47. Функции \p(z) F78).
6.5—6.7. Цилиндрические функции 679
6.51. Цилиндрические функции F79). 6.52. Цилиндрические функции
а: и ж2 F86). 6.53—6.54. Цилиндрические функции и рациональные фуцк-

ОГЛАВЛЕНИЕ
ции (CD1). 0.55. Цилиндрические и алгебраические функции F95).
'5.56—6.58. Цилиндрические и степенные функции F97). 6.59. Цилиндри-
Цилиндрически! функции от более сложных аргументов и стеиенная функция G14).
6.61. Цилиндрические и показательная функции G21). 6.62—6.63. Цилинд
рическии, показательная и степенная функции G25) В.64. Цилипдричесшгс
функции от более сложных аргументов, показательная и стспешгая фупк
ции G34). 6.65. Цилиндрические и показательная функции от более сложных
аргументов и степенная функция G37). 6.66. Цилиндрические, гиперболи-
гиперболические и показательная функции G40). 6.67—6.68. Цилиндрические и три-
тригонометрические функции G44). 6.69—6.74. Цилиндрические, тригонометри-
тригонометрические и степенная функции G57) 6.75. Цилиндрические, тригонометриче-
тригонометрические, показательная и степенная функции G76). 6.76. Цилиндрические,
тригонометрические и гтптерболичоекш1 функции G81). 6.77. Цилиндрические
функции логарифм и арктангенс G81). 6.78. Цилиндрические функции
и другие специальные функции G82). 6.79. Интегрирование цилцпдриче
ских функций но индексу G84).
6.8. Функции, родственные цилиндрическим 789
6.81. Функции Струве G89). 6.82. Функции Струве, показательная
и степенная функции G91). 6.83. Функции Струве и тригонометрические
функции G92). 6.84—6.85. Функции Струве и цилиндрические функции G93).
6.86. Функции Ломмеля G98;. 6.87. Функции Томсона (801).
6.9. Фупкцип Матье 802
6.91. Функции Матье (802). 6.92. Функции Матье, гиперболические
п тригонометрические функции (803). 6.93. Фуншши Матье и цилиндри-
цилиндрические функции (807).
7.1—7.2. Шаровые фупкцип 808
7.11. Шаровые функции (808). 7.12—7.13. Шаровые функции и степен-
степенная фулкция (809). 7.14. Шаровые, степенная и показательная функ-
функции (817). 7.15. Шаровые и гиперболические фуни) и i (820). 7.16. Шаровые,
стецеппая и тригонометрические функции (820). 7.17. Шаровые функции и
интеграл вероятности (824). 7.18. Шаровые и цилиндрические функции (824).
7.19. Шаровые функции и функции, родственные цилшщрическим (831).
7.21. Интегрирование шаровых фушедий по индексу (8.В). 7.22. Полино-
Полиномы Лежаидра, рациопальные и алгебраические функции (834). 7.23. По-
Полиномы Лежандра и степенная функция (836). 7.24. Полиномы Лежаидра
и Другие элементарные функции (837). 7.25. Полиномы Лежандра д цилин-
цилиндрические функции (839).
7.3—7.4. Ортогональные многочлены 840
7.31- Многочлены Гегенбауэра С^(ж) и степенная функция (840).
7.32. Многочлены С*(ж) и другие элементарные функции (844). 7.33. Много-
Многочлены С^(х) и цилиндрические функции Интегрирование по индексу
функций Гегенбауэра (845). 7.34. Многочлены Чебышёва и степенная функ-
функция (847) 7.35. Многочлены Чебытпёва и другие элементарные функ-
функции (849). 7.36. Многочлены Чебышёва и цилиндрические функции (850).
7.37—7.38. Полиномы Эрмита (850). 7.39. Полиномы Ниоби (855). '
7.41—7.42. Полиномы Лагерра (857).
7.5. Гипергеометряческие функции 862
7.51. Гииергеометричеекке и степенная функции (862). 7.52. Гипергео-
Гипергеометрические и показательная функции (884). 7.53. Гипергеометрические
и тригонометрические функции (867). 7.54. Гипергеометрпческие и цилинд-
цилиндрические функции (8!O).
7.6. Вырожденные гипергеометрические функции 871
7.61. Вырожденные гипергеометрические функции и стеЦрпная функ-
функция (871). 7.62—7.63. Вырожденные гипергеометрические функции и ио-
каяательная функция (873). 7.64. Вырожденные гипергеометрические функ-
функции и тригонометрические функции (8813). 7.65. Вырожденные гипергооме-
трцчеекпе функции ицилипдрические функции (884). 7.66. Вырожденные ги-
пергсометрические, цилиндрические и степенная функции (885). 7.67. Вырож-
Вырожденные гипергеометрические функции, цилиндрические, показательная

ОГЛАВЛЕНИЕ
и степенная фушщии (890). 7.68. Вырожденные гипергеометрические
функции и другие специальные функции (895). 7.69. Интегрирование
вырожденных гипергеометрических функций по индексам (898).
7.7. Функции параболического цилипдра . . , 899
7.71. Функции иараболического цилиндра (899). 7.72. Функции па-
параболического ииливдра, степенная и показательная функции (899).
7.73. Функции параболического цилиндра и гиперболические функ-
функции (901). 7.74. Функции параболического цилиндра и тригонометрические
функции (902). 7.75. Функции параболического цилиндра и цилиндрические
функции (903). 7.76. Функции иараболического цилиндра и вырожденные
гипергеометрические функции (908) 7.77. Интегрирование функции
параболического цилипдра по индексу (909).
7.8, Функции Мен ери и Мок Роберта (G и Е) 910
7.81. Функции G, Ь и элементарные функции (910). 7.82. Функции G, Е
и цилиндрические фушщии (914). 7.83. Функции G, Е и другие специаль-
специальные функции (917).
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.1. Эллиптические интегралы а функции 918
8.11. Эллиптические ишегралы (918). 8.12. Функциональные соотно-
соотношения между эллиптическими интегралами (921). 8.13. Эллиптические функ-
функции (92.3) 8.14. Эллиптические функции Якоби (924). 8.15. Свойств шлии-
тических фушщии Якоби и функциональные соотношения между ними (928).
8.16. Функция Вейерштрасса ?> (в) (931). 8.17. Функции ^(и) и а{и) (934).
8.18—8.19 Тчта-ф\'нкнии (935).
8.2. Ивтегральная i картельная функция и родственные ей функции ...... 939
8.21 HHieijidviotidB показательная функция Ei х (939). 8.22. Интеграль-
Интегральный гиперболический синус shi х и интегральный гиперболический коси-
косинус chi х (с>42). 8.23. Интегральный синус и интегральный косинус: si (х)
и ci (х) (942) 8.24. Интегральный логарифм Ь (х) (943). 8.25. Интеграл вероят-
вероятности и интегралы Френеля: Ф(ж), S(x) и С(х) (944). 8.26. Функция Лоба-
Лобачевского L(x) (947)
8.3. Эйлеровы интегралы 1-го и 2-го рода и родственные им функции 947
8.31. Гамма-функция (эйлеров интеграл 2-го рода)- Г(г) (947). 8.32. Пред-
Представление гамма-функций в виде рядов и произведений (949). 8.33. Функ-
Функциональные соотношения для гамма-функций (951) 8.34. Логарифм гам-
гамма функции (953) 8.35. Неполная гамма-функция (954). 8.3G. Пси-
фушщия \р(аг) (957). 8.37. Функция Р(аг) (961). 8.38. Бэта-фушщия (эйлеров ин-
интеграл 1-го рода): В(г, у) (962). 8.39. Неполная бэта-функция Вх(р, ?) (964).
8.4—8.5. Цилиндрические функции и функции, связанные с ними 965
8.40. Определения (965). 8.41. Интегральные представления функций
/v(z) и /Vv(z) (i>66). 8.42. Интегральные представлении функций U^'{z) и
Я<,2)(г) (964) 8.43. Интегральные представления функций /„(г) и Kv{z) (972).
8.44. Представление в виде ряда (973) 8.45. Асимптотические разложения
цилиндрических функций (975). 8.46. Цилиндрические функции, индек< кото-
рнх равен целому числу плюс одна вторая (979). 8.47—8.48. Функциональные
соотношения (981). 8.49. Дифференциальные уравнения, приводящие
к цилиндрическим функциям (985). 8.51—8.52. Ряды бесселевых функ-
функций (987). 8.53. Разложение по произведениям цилиндрических функций (993).
8.54. Корни цилиндрических функций (994). 8.55. Функции Струпе (996).
8.56. Фупкции Томсона и их обобщения: berv (г), beiv (г), herv(z), heiv (г),
ker (z), kei (г) (997). 8.57. Функции Ломмеля (999). 8.58. Функции Ан-
гера и Вебера Jv (z) и Ev (z) A002). 8.59. Полиномы Неймана Оп (z) и Шлеф-
8.6. функция Матье 1005
8.60. Уравнение Матье A005). 8.61. Периодические функции Матье
A005). 8.62. Рекуррентные соотношения для коэффициентов Л^п\ ^l^^jj1',
B'i™Hi]' Sc22r^2>A006). 8.63. функции Матье с чисто мнимым аргументом A006).
8.64. Непериодические решения уравнепия Матье A007). 8.65. Функции

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
Матье для отрицательного д A007). 8.66. Представление функций Матье
в виде рядон по функциям Бесселя A008). 8.67. Общая теория A011).
8.7—8.8. Шаровые (сферические) функции 1012
8.70. Введение A012). 8.71. Интегральные иредставления A014).
8.72. Асимптотические ряды для больших |v| A016). 8.73—8.74. Функцио-
Функциональные соотношения A018). 8.75. Частные случаи и частные значения A021).
8.76. Производные по индексу A023). 8.77. Представление в виде ряда A023).
8.78. Пули шаровых фупкций A026). 8.79. Ряды шаровых функций A027).
8.81. Шаровые функции (присоединенные функции Лежандра) с целочислен-
целочисленными индексами A028). 8.82—8.83. Функции Лежандра A030). 8.84. Функ-
Функции конуса A034). 8.85. Функции тора (или кольца) A036).
8.9. Ортогональные полипомы 1037
8.90. Введение A037). 8.91. Полиномы Лежандра A039). 8.92. Ряды поли-
полиномов Лежандра A041). 8.93. Многочлены с\ (t) (Гегенбауэра) A043). 8.94. По-
Полиномы Чебышева Тп (х) и Un (х) A046). 8.95. Полиномы Эрмита Нп (г) A047).
8.96. Полиномы Якоби A049). 8.97. Полиномы Лагерра A051).
9.1. Гипергеометрические функции 1053
9.10. Определение A053). 9.11. Интегральные представления A054).
9.12. Представление элементарных функций с помощью гипергеометриче-
гипергеометрической фупкпии A054). 9.13. Формулы преобразования и аналитическое продол-
продолжение для функций, определяемых гппергоометряческими рядами A056).
9.14. Обобщенный гипергеометрический ряд A059). 9.15. Гипергеометриче-
Гипергеометрическое дифференциальное уравнепие A059). 9.16. Дифференциальное уравне-
уравнение Римана A063). 9.17. Запись некоторых дифференциальных уравнений вто-
второго порядка с помощью схемы Римана A060). 9.18. Гипергеометрические
функции двух переменных A067). 9.19. Гипергеометрическая функция
нескольких переменных A071).
9.2. Вырожденная гииергеометрическая функция 1071
9.20. Введение A071). 9.21. Функции Ф (сц у; z) и <Р (а, у, г) A072).
9.22—9.23. Функции Уиттекера Мк (г) и WK ц (г) A073). 9.24 — 9.25. Фу як-
пни параболического цилиндра Dp (г) A078). 9.26. Вырожденные пшергеоме-
трические ряды двух переменных A081).
9.3. G-функция Мейера 1082
9.30. Определение A082). 9.31. Функциональные соотношения A083).
9.32. Дифференциальное уравнение для G-функцпи A08i). 9.33. Ряды
G-фуикций A084). 9.34. Связь с другими специальными функциями A084).
9.4. JE-функция Мак-Роберта 1085
9.41. Представление с помощью кратных интегралов A085). 9.42. Функ-
Функциональные соотношения A086).
9.5. Дзета-функции Римана ?(я, q), ?(я), функции Ф(«, s, v) и %{s) 1088
9.51. Определение и интегральные иредставления A086). 9.52. Пр<;д-
ставлепис в виде ряда или бескопечного произведения A087). 9.53. Функ-
Функциональные соотпотелия A087). 9.54. Особыеточки и нули A088). 9.55. Функ-
Функции Ф(г, s. v) A089). 9.56. Функция ?(s) A090).
9.6. Числа и полиномы Бсрпулли, числа Эйлера, функция v(cr), v(x, a), u,(X, Р),
ц(х, р, а), «ж, у) * 1090
9.61. Числа БернуллиA090). 9.62. Полиномы Бернулли A091). 9.63.Числа
¦ Эйлера A092). 9.64. Функции v (ж), \{х, а), ц(х, р"),|ф;, р, а),%(х,у) A093).
9.7. Постоянные 1093
9.71. Числа Бернулли A093). 9.72. Числа Эйлера A094). 9.73. Постоян-
Постоянные Эйлера и Каталапа A094).
Предметный указатель специальных функций и их обозначение 1095
Список использованных обозначений 1098
Указатель литературы, на которую имеются ссылки 1089

из предисловия к первому изданию
В существующих математических справочниках как советских, так и ино-
иностранных количество приводимых формул по интегралам, суммам, рядам
и произведениям безусловно недостаточно не только для научных работни-
работников-математиков, но и для инженеров, занимающихся теоретической и ис-
исследовательской работой. Настоящие таблицы составлены с целью заполнить
этот пробел. Здесь собрано свыше 5000 формул из различных источников.
Книга предназначена главным образом для научных работников и ин-
инженеров-исследователей в области физико-математических наук. Поэтому
в ней пояспительная часть занимает мало места. В основном книга является
сборником формул.
Большое внимание уделено специальным функциям, в особенности эллип-
эллиптическим, цилиндрическим и шаровым. В книге имеется мпого формул,
относящихся к этим функциям.
Пользуюсь также случаем, чтобы выразить искреннюю благодарность
лроф. В, В. Степанову, А. И. Маркушевичу и И. Н. Бронштейну за ценные
советы и указания, которые я от них получил при выполнении этой работы.
И. Рыжик
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
И. М. Рыжик, автор первого и второго изданий этих таблиц, погиб во
время Великой Отечественной войны. По предложению издательства эти
таблицы мною переработаны.
В отдел определенных интегралов были внесены следующие изменения.
Все «факультеты» вроде 2п-2/3 были заменены гамма-функцией, а там, где эти
было возможпо,— обыкновенными произведениями и факториалами, так каь
мы считали, что «факультеты» мало знакомы современному читателю и вносят
только излишние затруднения. Там, где правые части формул можно было
заменить какой-либо специальной фупкцией или специальным числом — это
было сделано. Был прибавлен ряд интегралов, приводящих к специальным
функциям. Были опущены интегралы от выражений, содержащих комплекс-
вые величины, и некоторые другие интегралы; кроме того, был изменен по-
порядок следования формул. _ -
Изменеп и способ нумерации формул. Все формулы, определения и тео-
теоремы разбиты па разделы, которые занумерованы. Принцип нумерации имеет
некоторое сходство с десятичной системой классификации и легко может
быть, выяснен из оглавления. В оглавлении указаны только более крупные
разделы, номера которых содержат одну, две или три цифры. Самые мелкие
разделы книги содержат четыре цифры. В эти разделы входят одна или
несколько формул (теорем или определений), номера которых напечатаны
светлым шрифтом. Цифра «пуль» забронирована за разделами, носящими
общий характер: за введепнями, определениями и т. п. Первой главе книги,

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ 11
включающей ряд теорем общего характера и носящей несколько вводный
характер, также присвоен нулевой номер.
Нововведением в этом издании являются ссылки, сделанные в конце
формул и указывающие на литературу, из которой эта формула взята*).
Я старался делать ссылки, в первую очередь, па советские издания и осо-
особенно на оригинальные, во вторую очередь, на инострапные книги и, наконец,
в третью очередь, на справочники. Ссылки на журнальную литературу
отсутствуют. Формула, взятая из какой-либо книги, иногда видонзмепялась.
В этом случае в конце библиографической ссылки ставилась буква и («из-
(«изменено»). В частности, буква и может означать исправление замеченной
опечатки.
И. Градштейн
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАПИЮ
При подготовке четвертого издания И. С. Градштейн задумал значитель-
значительное расширение справочника. Смерть помешала ему реализовать свои замы-
замыслы полностью. Им были составлены новые таблицы интегралов от элемен-
элементарных функций и собраны некоторые материалы для составления таблиц
интегралов от специальных функций.
Издательство поручило нам подготовить к печати оставшуюся от И. С.
Градштейна рукопись, дополнив ее недостающими разделами.
При выполнении этой работы мы старались следовать плану рукописи
и предыдущего издания и сохранили, во всяком случае, их главные особен-
особенности: порядок следования формул н ссылки па источники. Из предыдущего
издания в книгу включены без изменений разделы, касающиеся сумм, рядов,
произведений и элементарных функций. Остальные разделы подвергались
переработке. Особенно сильно расширены таблицы определенных интегра-
интегралов от элементарных н специальных фупкций. Появились разделы, напри-
например интегралы от функций Матье, функций Струве, функций Ломмеля и ряда
других функций, которых в старом издании не было совсем. Вообще, в чет-
четвертом издании справочника число рассматриваемых специальных функций
по сравнению с третьим изданием увеличилось. В связи с этим главы, отно-
относящиеся к специальным функциям, дополнены соотвзтетвующими разделами.
Большинство определений специальных функций, принятых в преды-
предыдущем издании, сохранено. На другие определения мы переходили лишь
иногда, следуя источникам, содержащим наиболее богатый материал по инте-
интегралам от соответствующих специальных функций.
Изменены также некоторые обозначения. Имевшаяся в третьем издании
глава, посвященная интегральным преобразованиям, из четвертого издания
исключена. Ее материал размещен в других частях справочника.
Мы выражаем глубокую признательность А. Ф. Лапко, который вни-
внимательно прочитал рукопись и сделал целый ряд полезных замечаний.
Ю. Геронамус, М. Цейтлин
*) Указатель литературы, на которую имеются ссылки, помещен на стр. 1099—1100.
После шифра, указывающего книгу, в библиографичгских ссылках стоят числа.
Числа, не заключенные ни в какие скобки, означают страницы; чиглав круглых скобках—
номера формул, цифры в квадратных скобках — номера таблиц.

О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ
Вопрос о целесообразном порядке следования формул, особенно в таком
отделе, как определенные интегралы, оказался весьма сложным. Естественно
приходит мысль об установлении некоторого порядка, аналогичного словар-
словарному. Однако простое установление такого порядка в формулах интеграль-
интегрального исчисления почти невозможно. Действительно, в любой формуле
можно сделать целый ряд подстановок вида x=<$(t) и получить таким обра-
образом ряд «синонимов» данной формулы. Надо сказать, что обилием таких
«синонимов* и сложных по виду формул грешат как таблица определенных
интегралов Bierens de Haan'a, так и первые издания данного справочника.
Мы старались в настоящем издании оставить только наиболее простые из
«формул-синонимов». О простоте формулы мы судили в основном по простоте
. аргументов «внешних» функций, входящих в подынтегральное выражение.
Где это было можно, мы сложную формулу заменяли более простой. Иногда
при этом несколько более сложных формул приводятся к одпой более про-
простой. Тогда мы оставляли только эту более простую формулу. Иногда,
в результате таких упрощающих подстановок, мы приходили к интегралу,
который можно вычислить, пользуясь формулами отдела 2 и формулой
Ньютона—Лейбница, или к интегралу, имеющему вид
где f(x) — нечетная функция. Тогда мы такой интеграл опускали.
Приведем пример (№ 26 на стр. 159 второго издания):
A)
Естественная подстановка ctgsc—1 = и; с ее помощью получим
ир~1 In A + и) du = — cosec рл. B)
Этого интеграла непосредственно в справочнике пе было. Его можно было
получить из других более сложных формул, имевшихся в справочнике.
Далее №№ 59 и 60 являются частными видами формулы № 26 на стр. 159.
Все эти интегралы в новом издании опущены. Вместо них имеется фор-

О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ 13
мула B) и формула, получающаяся из интеграла A) при подстановке
: = V.
Второй пример {№ 24 на стр. 172 второго издания)
л
2
'-5
Подстановка tg x = в дает
СО
Р+и-Р) In и
f In (и
=1~
Полагаем далее v = In и. Тогда
Подынтегральная функция нечетна и, следовательно, интеграл равен нулю.
Итак, раньше, чем искать интеграл в таблицах, подынтегральное выра-
выражение следует упростить и притом так, чтобы возможно более простыми ока-
оказались аргументы («внутренние функции») у функций, входящих в подынте-
подынтегральное выражение.
Функции упорядочиваются по старшинству следующим образом.
Сначала идут элементарные фупкции:
1. Функция / (х) = х.
2. Показательная функция.
3. Гиперболические функции.
4. Тригонометрические функции.
5. Логарифмическая функция.
6. Обратные гиперболические функции. (В формулах, содержащих опре-
определенные интегралы, они заменены соответствующими логарифмами.)
7. Обратные тригонометрические функции.
Далее следуют специальные функции:
8. Эллиптические интегралы.
9. Эллиптические функции.
10. Интегральный логарифм, интегральная показательная функция,
иптегральпый сипус и интегральный косинус.
11. Интегралы вероятности и интегралы Френеля.
12. Гамма-функция и родственные ей функции.
13. Цилиндрические функции.
14. Функции Матье.
15. Шаровые функции.
16. Ортогональные многочлены.
17. Гипергеометрические функции.
18. Вырожденные гипергеометрические фупкции.
19. Функции параболического цилиндра.
20. Функции Мейера и Мак-Роберта.
21. Дзста-фупкция Римана.
В таблицах эти функции располагаются в порядке старшинства, причем
внешняя функция принимается во внимание в первую очередь: чем старше
функция, тем дальше ставится соответствующая формула. Предположим, что
в несколько выражений входит одна и та же внешняя функция; например,
в выражениях sin e", sin x, sin In х внешняя функция — сипус — общая. Такие

14 О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ
выражения располагаются в порядке впутронпих функций. Например, ука-
указанные три функции расположатся в таком порядке: sin ж, sin ex, sin In х,
В приведенном нами списке отсутствуют следующие функции: много-
многочлен, рациональная, алгебраическая и степенная функции. Встречающаяся
в таблицах определенных интегралов алгебраическая функция сводится
обычно к конечной комбинации корпей рациопальпой степепи, и поэтому
мы можем для классификации наших формул условно считать степенную
функцию обобщением алгебраической, а следовательно, и рациональной
функции *). Вес указанные функции мы будем отличать от перечисленных
выше и будем рассматривать как некоторые операторы. Таким образом,
в выражении sin2в* мы будем считать, что к внешней функции sin прило-
Т-, S1H X -(- COS X /- Е-
жен оператор возведения в квадрат. В выражении — ¦ мы будем!
sin %~~cos з?
считать, что к тригонометрическим функциям sin и cos приложен рацио-
рациональный оператор. Операторы мы также будем различать по старшинству:
1. Многочлен (тем старше, чем выше его степепь). I
2. Рациональный оператор.
р
3. Алгебраический оператор (по существу А.ч, где д > 0 и р — рацио-,
нальные числа, тем старше, чем больше q). f
4. Степенной оператор.
Выражения с одинаковыми внешними и внутренними функциями рас-
располагаются в порядке старшинства операторов, например так:
1 sin ж . sin х -г- cos х . ,„ . т ,
sin х, sin х cos х, —-. = sec x, = tg x, ~. ! , sin x, sin x cos x,\
' sin x ' cosa: 6 ' sin x — cos x '
Далее, если в подынтегральное выражение входят две внешние функции
<pt(a;) и <рг(ж) (причем (рг(х) старше ф2 (х)), над которыми произведена какая-
либо из указанных операции, то соответствующий интеграл ставится за
всеми интегралами, содержащими одну только функцию ф, (х), в порядке
старшинства фа (х). Так за тригонометрическими функциями следуют триго-
тригонометрические и степенные функции (т. е. ф2(ж) = а;), далее идут
тригонометрические и показательные,
тригонометрические, показательные и степенные и т. д.,
тригонометрические и гиперболические и т. д.
Интегралы, в которые входят две функции фа (х) и ф2(ж), располагаются
в соответствующем разделе в порядке, зависящем только от старшей функция
ф1 (z). Если же порядок нескольких интегралов в зависимости только т
старшей функции совпадает, то эти иптегралы располагаются в порядке,
определяемом второй функцией.
К указанным правилам общего характера прибавляются еще некоторые
частные сообраН!ешш, которые легко усмотреть непосредственно в таблицах,
! л
Например, функция е*, согласно сказанному, старше е*, но In а; и In— ящ
ют одно и то же старшинство, так как: In — = — In x: в разделе «степенны!
и алгебраические функции* из стспепных функций вида (a-f bx)n, (сН-рж)'
образуются многочлены, рациональные функции и даже степенные функ
ции от степенных функций.
*) При п натуральном степенная функция (а-\-Ьх)п от двучлена а-\-Ьх есть много
член; пря п целом отрицательном (а-\-Ьх)п является рациональной функцией; при i
иррациональном степенная функция (а-\-Ьх)п не является даже алгебраически
функцией.

О. ВВЕДЕНИЕ
0.1 КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
0.11 Прогрессии
0.111 Арифметическая ирогрессия.
п-1
2 (а+кг)—~[2а + {п — 1) г] — -"- (а + /) [/ — последний член].
ь=о
0.112 Геометрическая прогрессия.
0.113 Арифметико-геометрическая прогрессия.
0.12 Суммы степеней натуральных чисел
0.121
2) ч g («?-!) (g-2)(g3)(g-4).
2 + 12 720 П *• 3024U П ~ ~
[последний член содержит и или п%]. 4332
1. 2fc=^tl). ЧЗЗЗ
2. 2 к*= »<»+1Н2"+Ц . ЧЗЗЗ
з. 2^=[^+i>]a. чззз
п
4. 2 ft4 = -^-«(«+l)Bn+l)Cn2-f Зп-1). . ЧЗЗЗ

16 0. ВВЕДЕНИЕ
5. 2 Л5 = ^-«8(и+1)гBи2 + 2«-1)- ЧЗЗЗ
»
п
0 4ОО 'V I'lJc 4\а_
*!?? 7, I ?Л —~ -11" —
[Последний член содержит и или гаа.]
П
2. 2 B& —1)* = -^-пDге2— 1). ЖлC2а)
3. 2 B& — IK = геаBга2 — 1). Жл C26)
0.123 2
fe=i
0.124 2А("а-Аа) = 4"-
6=1
0.125 2.*' •*=•(«+ 1I-1. А<188.1)
В94
0.13 Суммы величин, обратных натуральным числам
0.131 2 -V
fc=l
где
1 - _ 1
= 42"» Л»~ТГ'
= ^, Аь = jk, ЖлE9)АA87&)

0.1 КОНЕЧНЫЕ СУММЫ 17
°'132
¦ П
0.133 V *_ ^—-2"+Д, . ЖлA84ft
0.14 Суммы произведений величие, обратных натуральным числам
0.141
71
У ? 4ГКШF4)в
4
2 у } " Bр++?)
2p (p+q) (p+nq) [р4-(л
ГК III F5) a
J '
0.15 Суммы биномиальных коэффициентов
(и — натуральное число)
0.151
1- 2j (^ ; ;=СТ+Г )• Kp64G0.i)
2- l + r^ + flV--^2"- Kp 62E8.1)
Kp62Eai)
4. 2'(-1)(Ч *)=(~1УЧ '«')" Кр64G0.2)
0.152
Кр 62 E9.1)

18 0. ВВЕДЕНИЕ
2.
3.
0.153
1.
2.
3.
4.
0.154
1.
2.
0 155
1.
2.
3.
4.
0.156
1.
2.
0.157
1.
2.
(«) + ,
G><
л
п
/1=1
п
я
Ь к + \
/1=0
ft=i
р
2 С)
п—р
п
s GI
2я
ft=0
:»+¦
1 С*,
со-
С "*
¦-с
СУ+-
со+--
с;;+-
; «+i •
2«-»_ 1
«+1 •
ч
-л
-т(
-т(
-к
(а-)-1)"^-1
m=l
/ («— J
•) I,
')!(" +
С»)-
r>n I 1m» 'П ' "Л К"г» R^^^iQ *>>
2п-1+ 22 cos ^\ Кр63F0.1)
' 2п-1 + 22sin^~^ . Kp63F0.2)
( 2"-1 — 22Cos^^ . Кр 63 F0.3)
П
' 2"-1 - 22 sm^ J . Кр 63F0.4)
Кр 63 F6-1)
Кр 63 F6.2)
Кр63F7)
Кр 63 F8.1)
Кр 63 F8.2)
Кр64F9)
от—натуральное число]. Кр64G1.1)
Knfi/i G1 п\
j, . лро'ц/i.i,;
Кр 64 G2.1)
Кр 64G2.2)

О 2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦРОИЗВЕДИНИН 19
2п+1
3. Ц (-DftBY~7 = 0. J Kp64G2.3)
0.2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕПИЯ
0.21 Сходимость числовых рядов
Ряд
со
0.211 2 BJt = BI + B8 + Bs4-...
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
оо
0.212 2,|в*| = |а1| + |в»| + |Вв|+'" *
составленпьтй из абсолютных значений (модулей) его членов. Если же ряд
0.211 сходится, а ряд 0.212 расходится, то ряд 0.211 называется условно
сходящимся. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
0.22 Признаки сходимости
0.221 Пусть
t
Если при этом q < 1 то ряд 0.211 сходится абсолютно; если же q~> 1,
то ряд 0.211 расходится. (Коши.)
0.222 Пусть
lira ^±l
ft-WO «»
Если при этом q<_v, то ряд 0.211 сходится абсолютно- рслтт же q~> 1,
то ряд' 0.211 расходится. Если ^*±! стремится к 1, оставаясь больше
единицы, то ряд 0.211 расходится. (Даламбер.)
0.223 Пусть
ft_>oo II "fc-U
Если при згом q > 1, то ряд 0.211 сходился абсолютно; если же ^< 1,
га ряд 0.211 расходится. (Ра а бе.)
0.224 Пусгь / (х) — положительная, убывающая функция, и пусгь при к
натуральных
.. ekf(eh)
ft—СО I W
ОО
Если при этом а < 1, то ряд ^ f(k) сходится; если see g > 1, то этот
ряд расходится. (Ермаков.)
2»

20 О ВВЕДЕНИЕ
0.225 Пусть
uh
где р >• 1, а | vh\i о граничен ы, т. е. ]vk\ меньше некоторого М, которое
не зависит от к. Если при этом д > 1, то ряд 0.211 сходится абсолютно,
если же д<1, то этот ряд расходится. (Гаусс.)
0.226 Пусть функция f(x), определенная при r~>q~>\, непрерывна, поло-
положительна и монотонно убывает. При выполнении этих условий ряд
2/<*>
сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится
интеграл
со
\)f(x)dx.
9
(Интегральный признак К о га и.)
0.227 Пусть все члены последовательности аг, и2, ..., ип п о л о ж в т е л ь н ы;
в таком случае ряд
называется знакочередующимся (или знакопеременным).
Бели члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолют-
абсолютной величине и стремятся к нулю, т. в. если
2. uhtl < ич и lim uk = 0,
ft
то ряд 0.227 1. сходится. При этом остаток ряда
(Ле ибни ц.)
0.228 Если ряд
СО
1* 2 vk = vx 4- с2 + . ¦ . + vb + - -.
сходится, а числа uk образуют "монотонную и ограниченную последова-
последовательность, т. е. если для некоторого числа М и для всех к \ ак \ < Му от ряд
оо
2. 2 Bkcrt = B,o1 + Huoa+...-t-ttftpJ[ + ...
сходится. (Абель.) ФИ354
0.229 Если частичные суммы ряда 0.228 1. в совокупности ограничены,
а числа ик образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю,
т. е. если
| 2 vh\<M [п= 1,2,3, ...] и lim«к = О,
то ряд 0.228 2. сходится. (Дирихле.) ФИ355

О 2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
21
0.23 — 0.24 Примеры числовых рядив
0.231 Прогрессии
2.
0.232
(-1)*+1-^=1п2 (сравни 1.511).
2- S (-
_ д 9
0.233
2.
3.
4- 2 (-
Ь- 2j <-*> BА=Т
0.234
(сравни 0.113).
УВИ44
УВН4Ь
ФII721
ЖлA65)
ШлA84A)
Э158а
Э163
ФII482

22 0. ВВЕДЕНИЕ
ft V (-I)""' _
"• Zj Bk — IN
5я?_
B* — IN 1536
я2—8 „ 32—Зяа c я4 + 30яг—384
— 1) 2
Dft2 —IJ "" 8 "
-1)*
0.237
оо
i v L
V ? =_
- Zj Dft—1) D* + i) 2 8 •
- 2 ц=щ1+1г"-т<сравни 0ЛЗЗ)-
3
"l-2' "*- 16 ' "я- 64 '  768
0.236
' ^ * ^ = 2^2-1. Бр2в51м
Бр2в51и
ftC6jt»—и = — -з + ^ in 3 + 2 In 2. BpM 52, А F913.3)
k=1
^ * * Бр2652
Бр2в 52
6- 2 ft!aa-l)* = 21n2- AF917.3), Бр2652
А F917.2), БР2в52
г-пг, гг= —т—г \т — целое число]. АF916.1)
ft=i,
5 у' ( *)Й ' =-т^— Iw —четное число!. АF916.2)
^—1 (от—A)(m-f/k) 4m2 l J v '
0.238
= 1п2-4-. ГКИЦЭЗ,
n
Bft—lJftBi+l) 2

0.2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 23
2- 2?2ИтЖгЛТ = тA-1п2)- ГКПК94)»
3- 2 C*4-1) C*4-2) C*4-3) C*4-4) ~ T ~ Tln 3 + ^г^Ъ ' ГК Ш (95)
0.239
ею
1. 2 (-1)Й+'-з)^=у(у1-+1п2). ГК III (85), Бр08161A)
СО '
2. 2 (-l)ft+1^r = |:(yf-ln2)- БрО8161A)
со
)]. БРоя 161A)
2 T=T + Y
- 2 (-1* 2 T=T + YIn2- ГКШ(87)
ft=i
-l 2/2'
00 Ef^±^^
6- S^-1) ^CT = lf- ГКШ(88)
7 V 1 - ' я
0.241
2- 2 it=^—i
0.242 2 (-1)"^ = -^-.
0.243
1 1 1
fetJ([^+<A-1>«F]<J'+^)---[;'"H*4-')?] <'+1>«'р(р>+^ ¦••(/>+/9)
(см. также 0.141 3.)
00
2 2 *""' =
'i-~Zt)l dt № > 0, ж2 < 1]. Бр0? 161 B)м, А F.704)

24 0. ВВЕДЕНИЕ
0.244
4- 2
гк n: (90)
2- 2 (-1)^',+(*-!)« "SlTF* fP>0. ff>0]. БрО81б1A)
*=i 6
Суммы величин, обратных факториалам
0.245
GO
1. 2 -?г = е = 2,71828...
2. ^ A=j^~ = v = 0.36787...
fe=0
3.
*- 2
5- 2 w=i(e+T)=1-
6- 2 B*-rD! =тСе~'т)=1>
ft=0
7. ^ "Ур = cos 1 = cos 57°17'45- = 0,54030 ...
8. V (-1)";,1. = sin 1 = sin 57°17'45" = 0,84147 ...
0.246
OO I
1. 2 W = /« B) ='2,27958530...
2. 5!
00
4. 2 (^т* = Л B) = 0,22389078 ...
fe=0

0.2 ЧИСЛОВЫВ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
25
со
5- 2 1^^"=-/, B) = 0,57672481...
fe=0
fc=0
П 24.7
А'
(re+fc — II ~ (n—2)-(n— 1)! '
Жл<159]
0.248 2 ТГ = 5»>
/i=i
0.249
= 4140e.
ЖлA85)
ЖлG6)
0.25 Бесконечные произведения
0.250 Пусть дала последовательность чисел ал, аа, ..., ак, ... Если суще-
п
ствует предел Jim [] (i + ak), ковечный или бесконечный (но определен-
определенного знака), то этот предел называют значением бесконечного произведения
со
Л (l + aft) и пишут:
1.
lim
= П
Если бесконечное произведение имеет конечное отличное от нуля,
значение то его называют сходящимся, в противоположном случае беско-
бесконечное произведение называют расходящимся- Ф II400
0.251 Для того чтобы бесконечное произведение 0.250 1. сходилось, необхо-
необходимо, чтобы hmak = 0. ФII 403
0.252 Если для всех значений индекса к (начиная с некоторого) все ак > 0
или все о„ < 0, то для сходимости произведения 0.2501. необходима
оо
и достаточна сходимость ряда 2 ak-
оо
0.253 Произведение [] (l + ak) называется абсолютно сходящимся, если
произведение П A ¦+¦ I ак I) сходится. ФII 406
*=i
0.254 Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его
сходимость.
0.255 Произведение Q A + aJ сходится абсолютно югда и только тогда,
оо
когда ряд 2 ак абсолютно сходится. ФII406

26 0. ВВЕДЕНИЕ
0.26 Примеры бесконечных произведений
0.261 П ( 1+ 2fc-i ) = У2- Э171
0.262
ОО
4-. - ФИ401
2- nO-w>-s- ФИ401
2 f 4-4^6-8 1/10-12-14-
15
0 263 2 / 4 Л^6-8 7/10-12-14
0.264 Д -?—г = е°. ф II 402
к=\ '  г-
0.265
0.266 fl A+':c2^=X=F H^K1!- ФII401
0.3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
0.30 Определения и теоремы
0.301 Ряд
составлсппый из функций, называется функциональным рядом. Множество
значении независимой переменной х при которых ряд 0.301 1. сходится,
образует область сходимости этого ряда.
0.302 Ряд, сходящийся для всех значений х из области М, называется
равномерно сходящимся в эюй области, если для каждою е>0 сущести^ет
такое число JV, что при п> N неравенство
I I Ы*)|<в
выполняется для всех т из М.
0.303 Если члены функционального ряда 0.301 1. удовлетворяют в области М
неравенствам
|/k<a:)|<nh (*= 1,2,3,...).
где мк суть члены некоторого сходящегося числового ряда
ос
2 ... 4- ик + ...,

0 S ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 27
то рнд 0.301 1. сходится в М равномерно. (Вейерштрасс.) ФII449
0.304 Пусть ряд 0.301 1. сходится равномерно в области М, а функции
gh (x) (при каждом х) образуют моноюнную последовательность и ограничены
в совокупности, т. е. для некоторого числа L и для всех пат выпол-
выполняются неравенства
тогда ряд
2. 2
сходится равномерно р области М. (Абель.) ФТ145!
0.305 Пусть частичные суммы ряда 0.301 1. ограничены в совокупности
т. е. пусть для некоторого L и для всех и и а; из М иыиолаяюгся нера-
неравенства
12/*(*)!<?;
пусть, кроме того, функции gn (x) (при каждом х) образуют монотонную
последовательность, которая сходится к нулю раппомеряо н области М.
Тогда ряд 0.304 2. сходится равномерно в области М. (Дирихле.) Ф 11451
0.306 Если функции fh(x) (&= 1,2,3. ...) интегрируемы на отрезке [о, Ь)
и составленный из них ряд 0.301 1. сходится па этом отрезке равномерно
то его можно почленно интегрировать, т. е.
Ф II 459
0.307 Пусть функции /„(г) (&=1, 2, 3, ...) имеют на отрезке [о, Ъ] непре-
непрерывные производные /п(ж). Если на этом отрезке ряд 0.301 1. сходится,
а рнд 2 fk(x), составленный из производных, сходится равномерно, то
ряд 0.301 1. можно почленно дифференцировать, т. е.
{2 м*>}'=2/*(*). фи460
0.31 Степенные ряды
0.311 Функциональный ряд вида
1. 2 ak(x-lf = ao + al(x-l) + ajx-l)i+....
называется степенным рядом. Для каждою степенного ряда 0.311 1., если
только он не является всюду расходящимся, область сходимости пред-
представляет собой Kpyi с центром в точке Е и радиусом, равным R, о каждой
точке внутри этого круга стеленной ряд 0.311 1. сходится абсолютно,
а вне его расходится. Круг этот называют кругом сходимости, а его
радиус — радиусом сходимости. Если ряд сходится во всех точках комп-
комплексной плоскости, то говорят, что его радиус сходимости равен бесконеч-
бесконечности (R= 4- со).

28
О ВВЕДЕНИЕ
0.312 Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать
внутри круга сходимости, т. е.
\A+1
ft=O
Радиус сходимости ряда, получающегося в результате
почленного интегрирования или дифференцирования,
совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.
Операции над степенными рядами
0.313 Деление степенных рядов.
ИьЖ*
где
пли
(-1)"
an-i К — ао К-1
0.314 Возредение степенных рядов в степень
о„ а
0
1
¦ ап
A F360)
где
0.315 Подстановка ряда в ряд.
)a(Cm_fc ПРИ
натуральное число]. А F361)
2 ь^= 2
= 2
It—i
с, =
с4 =
A F362)

0.3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 29
0.316 Умножение степенных рядов.
2 <V* 2 bhxk= 2 скхк; сп= 2 акЬя h. ФИ 372
й=0 te=0 fe=0 4=0
Ряд Тейлора
0.317 Если функция /(ж) в окрестности точки ? имеет производные всех
порядков, то можно написать ряд:
^^ 7| /"(?)+¦¦¦,
называемый рядом Тейлора для фvнкции /(ж).
Ряд Тейлора сходится к функции / (ж), если остаточный член
2. '
стремится к нулю ори п-—>¦ со.
Выражения для остаточного члена в ряде Тейлора.
3. Rn(x) = {-^Щг /(п+1) (I + б (х- У) [0 < 9 < '1]. (Л а г р а н ж.)
4. Йя(х)=^=^A-в)п/«"+1»(| + в(ж-?)) [0 < б < 1}. (Коши.)
^^^Sil^ -^ [0<8<Ц.
(Шлемильх.)
1'де ip (х) — произвольная функция, удовлетворяющая следующим двум усло-
условиям: 1) она вместе со своей производвой яр' (ж) непрерывна п промежутке
@, х — |): 2) производная \р' (х) не меняет знак в том же промежутке;
положив гС(х) = жр+1, получаем следующую форму остаточного члена:
(?!79>""Р"о<в< 1].
(Роше.)
в. я„ (ж)=4г 5 ?и+и (?) (ж - f)n dt-
0.318 Другие виды записи ряда Тейлора:
2- /<) 2 ^()/)^/()+^(
[Рнд Маклорена.]
0.319 Ряд Тейлора для функций многих переменных:

30 0 ВВЕДЕНИЕ
0.32 Тригонометрические ряды
0.320 Пусть /(х) — периодическая функция с периодом 2/ абсолютно
интегрируемая (хотя бы н несобствен юн смыгле) в промежутке (— /, /).
Рядом Фурье дгои функции называется т р и l о н о м е т р и ч е с к и Й ряд
со
. а„ vt Аяя; , , кпх
1 f+Z «coslbsin
коэффициенты которою (коэффициенты Фурье) определяются по формулам1
I a+2i
\ f(t)cos-~dt (/с = 0, 1, Д...),
a
3. ^ = 4~5 /Wsm-^L^ = 4- \ /Wnn-^Й (A=i, 2, ...).
5 ^ 4
Признаки сходимости
0.321 Ряд Фурье функции / (х) в точке х0 сходится к числу
если при некотором fe > 0 интеграл
существует. При этом предполатаетси, что функция f (х) в точке а либо
непрерывна либо имеет с обеих CJOpoH разрывы первою рода (скачки)
и что оба предела f (х0 f 0) и f(x0 — 0) (уществуют. (Дини.) Ф III 524
0.322 Ряд Фурье периодической функции f(x), удовлетворяющей на отрез-
отрезке [a, 6J условиям Дирихле, сходится в каждой точке х0 к значению
4-{/(ж° + 0) + /(ж0-0)}. (Дирихле.)
Про функцию f (х) говорят, что она удовлетворяет условиям Дирихле
на отрезке [а, Ь], если она на этом отрезке ограничена и если отрезок [а, Ъ\
можно разбить на конечное число интервалов, внутри каждою из которых
функция / (z) непрерывна и монотонна.
0.323 Ряд Фурье функции / (х) в точке х0 сходится к у {/ (х0 + 0) + / (х0 — 0)},
если в некоюром промежутке (х0 — h, xQ + h) с центром а этой точке функ-
функция f(x) имеет ограниченное изменение. (гКор дан-Д ир и хл е.)
Ф HI 528
Определение функции с ограниченным изменением.
Пусть функция f{x) определена на некотором отрезке [а, Ь\ где а < Ь.
Разобьем лот отрезок произвольным образом на части с помощью ючек
деления.
а = х0 < xt < я2 < ... < хп^ <%п = Ъ
и образуем сумму

0.S ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 31
Различным способам деления отрезка [а, Ь] (т. е. различному выбору точек
деления xt) соответствуют, вообще говоря, различные суммы. Если эти
суммы в их совокупности ограпичсны сверху, то юворят что функ-
функция f(x) на отрезке [а, Ь\ имеет ограниченное изменение (или ограничен
ную вариацию). Точную верхнюю грань этих сумы называют полным
изменением (или полной вариацией) функции f(x) на отрезке [а, Ь). ФIII91
0.324 Пусть функция } (х) кусочно непрерывна на отрезке [а, Ь] и в каждо
отрезке непрерывности имеет кусочно непрерывную производную Тогда
в каждой точке х0 отрезка [а, Ь] ряд Фурье для функции f(x) сходится
0.325 Функцию f\x), определенную в промежутке @, /), можно разложить
в ряд по косинусам вида
со
I во . ^ кпх
где
2. ак = -
0.326 Функцию f(x), определенную в промежутке @, /), можно разложить
в ряд но синусам вида
где
i
2. 6Л = у^ /(«sin^'df.
Признаки сходимости для рядов 0.325 1. и 0.326 1. аналогичны при-
признакам сходимости для ряда 0.320 1, (см. 0.321—0.324).
0.327 Коэффициенты Фурье ак шЬк (определяемые формулами 0.320 2.
и 0.320 3.) абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при
к—*• оо.
Для функции f(x), интегрируемой с квадратом в промежутке (— /, I),
выполняется уравнение замкнутости
со t
\) = ±-^f*(x)dz. (А.М.Ляпунов.) ф Ш 705
0.328 Пусть f{x) и ф(#) — функции, интегрируемые с квадратом в про-
промежутке (— /, /), а ак, Ьк и ак, $к — их коэффициенты Фурье. Для таких
функций выполняется обобщенное уравнение замкнутости {равенство IIар-
севаля)
со '
аоао SI1/ j-ZiR'l —
2 ~t~ ^j V fe ft "г krkl i
Примеры тригонометрических рядов см. 1.44, 1.45,

32 О ВВЕДЕНИЕ
0.33 Асимптотические ряды
0.330 Среди расходящихся рядов можно особо выделить обширный
класс рядов, называемых асимптотическими или полусходящи-
полусходящимися. Несмотря на то, что эти ряды расходятся, значения функ-
функций, которые они представляют Moiyi быть вычислены с большой точ-
точностью, если взять сумму надлежащего числа членом этих рядов. У знако-
знакочередующихся асимптотических рядов наибольшая точность получается
при обрыве ряда иа том члене, который предшествует члену наименьшему
по абсолютной величине; в этом случае пот решность (по своей абсолютной
величине) не превышает абсолютной величины первого из отброшенных чле-
членов (сравни 0.227 3.).
Асимптотические ряды имеют очень много свойств, аналогичных свой-
свойствам сходящихся рядов, и играют поотому большую роль в анализе.
Асимптотическое разложение функции обозначается так:
оо
Определение асимптотического разложения. Расходящийся ряд 2 ~~п"
представляет собой асимптотическое разложение функции f(z) в данной
области значений argz, если выражение Rn (z) = z" [/(z) — Sn (z)], где
n
Sn (z) = y\ —?¦, удовлетворяет условию, lim Rn (z) = 0 при определенном и.
t=o z «—
ФII 820
Расходящийся ряд, представляющий собой асимптотическое разложе-
разложение некоторой функции, называется асимптотическим рядом.
0.331 Свойства асимптотических рядов:
1. Над асимптотическими рядами можно производить действия сложе-
сложения, вычитания, умножения и возведения в степень, точно так же, как
и над абсолютно сходящимися рядами, ряды, полученные в результате
этих действий, будут также асимптотическими.
2. Два асимптотических ряда можно делить друг на друга при един-
единственном условии, что первый член Ао делителя не равняется нулю. Ряд,
полученный нри делении, будет также асимптотическим. ФII 823—825
3. Асимптотический ряд можно почленно интегрировать, и полу-
полученный ряд будет также асимптотическим. Дифференцирование же
асимптотического ряда, вообще говоря, недопустимо. Ф II 824
4. Одно и то же асимптотическое разложение может представлять собой
разные функции. С друтой стороны, данная функция может быть только
единственным способом разложена в асимптотический ряд. УБ 1 208
0.4 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
0.41 Дифференцирование определенного интеграла по параметру
0.410 ±^f(, XfW), ,^/№()
Т А
, a)dx. ФИ680

0.4 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 33
0.411 В частности:
1. ?
а
2. ^ $/(*)«**=-ДЬ).
ь
0.42 Производная »-го порядка от произведении
(Правило Лейбница)
Пусть и и v — дифференцируемые п раз функции от х. Тогда
(uv) rf"n / п \ du dn 4i
и I' "*" ) dx dx*-i
или, 'символически,
^ () Ф1272
0.43 Производная n-го порядка от сложной функции
0.430 Если t(x) = F{y) и у = ф(х), то
*• lfM = F' ^ %^™
где
. А G361),
2 t(x\ у УлуулУ r^!
^ rir» ' ^ ' "" -U i!;!W ... A! di/ U! Д 2! Д 31 У ' ' " Ч. /I
причем знак 2j должен быть распространен на все решения в целых поло-
положительных числах уравнения i + 2; -f 3/г -+-.. . + Ik = », i A
0.431
A G362.2)
3 Таблиаы интегралов

34
О ВВЕДЕНИЕ
0.432
*• ¦& F (*2)=Bх)п
_ А G363.1)
• d*n * ' \ +11
д<"~1) I »(—«Н—2)<»-
д(«— 1)(д—2)(п — 3>(д—4)(«— 5)
3!
-<)(,Р-2) ... {р—я
Х
1
4.
0.433
2^(_i)"'-'B'"-1)|'em(warccosa:).
A G363.4;
+
1!
(«4-1) »(n-l) (Я-2) ^"
2! г
2.
0.435
AG37.1)
I
}.
A G37.2)

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.1 СТЕПЕНИ БИНОМОВ
1.11 Степенные ряды
1.110 ( ?
Если q не является ни натуральным числом, ни нулем, то ряд схо-
сходится, абсолютно при |ж|< 1 и расходится при |ж|> 1; при т= 1 ряд
сходится для q > — 1 и расходится для <?^ —1; при %—\ он сходится
абсолютно для q > 0; при х = — 1 он сходится абсолютно для q > 0 и рас-
расходится для </ < 0; при q — п натуральном ряд 1.110 превращаемая в ко-
конечную сумму 1.111. ФИ 425
1.111
1.112
(см также 1.121 2.).
по
2. A + ж)'2= 1-2ж + Зж2-4г3-Ь ¦ • ¦ = 2 (-I)*"' kx*-\
41
з.
4.
1.113
1.114
4НФ-5) ^ |_V + .. L [х2 < 1 9 - действигельное число]. А F351.1)
3*

36
1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
2.
[ж2 <; 1, q — действительное число].
1.12 Ряды рациональных дробей
1.121
1.
1—
°° 2fe~1 °° ¦>ft
< 1].
2- *~b = 2
1— X*
> i].
+1.
1.2 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1.21 Представление в виде ряда
1.211
• У I ¦
(х In a)fe
2 а* = У, tglD,a)
3. ^S(-l^
)i=0
1.212
1.213
1.214
1.215
1.
2.
3.
1.216
1.
2.
_
Ъх*
56я:7
gCOS
~ \ 2! ^ 4! 6! "*" - " - ) •
Ях*
А F351.2)
А F350.3)
А F350.3)
ФИ 520
А F460.3)
А F460.4)
А F460.5)
А F460.6)
А F460.7)
А F460.8)

1.3—1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 37
1.217
СО
*' a%*'^=LT+2x2i *Т» (сравни 1.421 3.). А F707.1)
СО
2- ^«2"-«=T + 2a:I! (-^"хХЦР (сравни 1.422 3.). АF707.2)
1.22 Функциональные соотношения
1.221
2. olo8a * = «|08с a = x.
1.222
1. e* = ch ж + sh ж.
2. etx = cos а; -+- i sin x.
1.223 еда-ейх = (а-й)а;ехр I ^-(«+6)* I TT I i + ^=^l I . MO216
1.23 Ряды показательных функций
oo
1.231 2 akX = T^x [а>1ия<0 или 0<а< 1 и х > 0].
1.232
СО
2. sech х = 2 § ( - 1)" е-<2М-и* [Х > 0].
3. cosech« = 2 fj е-<2*+1^ [ж > 0].
fe=0
1.3—1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.30 Введение
Тригонометрический и гиперболический синус связйны соотношениями:
sh х = -г sin й, sin х = -г- sb гя.
Тригонометрический и гиперболический косинусы связаны соотношениями:
ch х = cos гж, cos ж = ch гж. J
Благодаря такой двойственности каждому соотношению, в которое вхо-
входят тригонометрические функции, формально можно поставить в соответ-
соответствие некоторое соотношение, в которое входят соответствующие гиперболи-
гиперболические функции, и паоборот, каждому соотношению, в которое входят

38 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
гиперболические функции, формально можно поставить в соответствие неко-
некоторое соотношение, в которое входят тригонометрические функции. Во мно-
многих (однако не во всех} случаях обе пары соотношений действительно
имеют смысл.
Идея двойственности соотношений проводится в приведенном ниже
списке формул. Однако, в списке указаны не все «двойники», имеющие смысл.
1.31 Основные функпиональные соотношения
1.311
1. siny=-|-(elI-e-iI); 2. shx = y(ex- <ГХ);
= — i sh ix. — — i sm (ix).
3. oosx = ~(elx + e'tx); 4. ch x = \ (e* + e'x);
= ch ix. = cos ix.
_ sin* 1 .. , r. ,, sh x 1 .
5. lex= = — thix. b. tbi la
" г- с os x i
ch x i ft
„ Cos x 1 -.u q ,l cha: 1 .
7. Ctg * = = x = i cth IX. o. cth r = —— = —— = i ctg «.
• ™ sin a; tgaf sli x lh x 6
1.312
1. cos*a:+BiQ:!a;=l. 2. сп2ж — shla.= l.
1.313
1. sin (ж ± ^) = sin ж cos у ± sm у cos ж.
2. sh (x ± y) — sh x ch г/ ± sh у ch я.
3. sin (a- ± г» = sin a; ch г/ j- i sh у cos я.
4. sh(x ± iv) = shxcosy ± { sin у cha;.
5. cos(« ± г/) = cos a; cos г/ Т sin ж sin г/.
6. сЬ(ж ± г/) = сЬжсЬг/± shxsh?/.
7. cos (л ± ly) = cos ж ch у Ч- i sin a; sh ^.
8. ch(x ± iy) = chxcosy ±
«¦
1. sina; ± sin у = 2 sin у (а; ± j/) cos-у (а; Т
2. sha; ±^sh j/= 2 sh у (ж ± )ch
3. + os 2cos (a;+^)cos
4, сЬ + Ь 2сЬ(х + )сЬ

1.3—1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 39
5. cos х — cos у — 2 sin -я- (ж + у) sin у (^ — ж).
6.
-я-
y(a: + y)sh-l-
7. tgsitg^8!^*^. 8.
й _i_ s я cos x fOS ^
1.315
1. sin2 ж— sin2 у = sin (x-\- y) sin (x— y) = cos2^ — cos2 a;.
2. sh1 ж — sh2 у = sh (з- + ?/) sh (ж — i/) = ch2 ж — ch2 y.
3. cos2 ж — sin2 у = cos (ж + у) cos (.r — y) = cos2 г/ — sin2 ж.
4. sh^ + ch2y = ch(a:-|~ y)ch(a; — y) = ch^ + sb2^.
J.316
1. (cos ж + i sin ж)" = cos иж + i:sin nx. 2. {cb z + sh z)n = sh nx-\-cb ny
\n — целое число].
1.3*7
2. sh^-=
3. cos|-=± |/1A+со8ж). 4. ch^
5 ж 1 — cos г sin ж c . x chf—1 sha;
^> 91 sin 1 1-4-COS3: 2
2 sinx 1 + cosa:" " 2 sh*
Знак перед корнем в формулах 1.317 1., 1.317 2., 1.317 3. выбирается
в соответствии со знаком левой части; знак же левой части зависит от
значения х.
1.32 Выражение степеней тригонометрических и гиперболических
функций через функции кратных аргументов (дуг)
1.320
п—1
М2 (^)(^)}. Kp56A0,2)
2.
п— 1
3. sin»-1 * = гйл 21 < - 1)П**~1 (*Т 0 sin Bп - 2ft - !) *•
Кр 56 A0,4)
4. sh«~» х ^(-^^ 2 (- l)-ft Bд~ *) eh Bп - 2* -1) *.
5. со8*'ж = ^г]5!2(Т)со&2(«-Л:)а;+(^)[. Кр56A0,1)
6.

40 1- ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
в— 1
7. cos^^x^^^y. Bn7'i^)cosBn-2k-l)x. Kp56A0,;
f?=0
™-1
eh2""' i = ^2 (^Гf) ch Bп - 2* - 1) *.
4=0
Частные слу чаи
1.321
1. sin2 х = у (— cos 2а; + 1).
2. sin3 а: = -?-( — sin За; + 3 sin r).
3. sin4x = — (cos 4а: — 4 cos 2a;+ 3).
о
4. sin" х = -jg (sin 5a: — 5 sin За; + 10 sin x).
5. sin" a: = jo ( — cos 6а; -)- 6 cos 4r — 15 cos 2а: + 10).
6. sin' г = ^- ( — sin'7a; + 7 sin 5a; — 21 sm За; + 35 sin x).
1.?22
1. sh2z=-i-(ch2a:-l).
2. shsa; = ^-(sh3a;— 3shz).
3. sh4r = 4-(oh4j: — 4ch2a: + 3).
О
4. sh5a; = ^(sh5x —5sh3a-+lOsha;).
5. -,h')r = ^(chfix-6ch4a-+ I5ch2r— 10).
6. sh7 x = ^ (sh 7a: - 7 sh 5a; + 21 sh Зж - 35 sh ж).
1.323
1. cos2 r = -2-(cos2a:+ 1).
2. cosJy = -7-(cos 3a: + 3 cos r).
4. cos" 7 = тп (<"°s 5z + 5 cos За: + 10 cos a;).
5. cos* r — j2 (cos 6a; + 6 cos 4a: + 15 cos 2a: + 10).
6. cos7 з = — (cos 7a; + 7 cos 5a; + 21 cos 3a; + 35 cos x).

1.324
1 d—1 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 41
6. ch' x = ~ (ch 7x + 7 ch bx + 21 ch 3a; + 35 ch a;).
1.33 Выражение тригонометрических и i иперболичееких функций
кратных аргументов (ду!) через степени атнх функций
1.331
1 Sin ПХ = П COS™ X Sin X — ( q ) COS711 X Sin3 X 4- ( " ) COS" Ж Sin6 I1-.,.;
V ¦/ v э /
A C.175).
2.
3.
= 2n"' cos" x — у 2"""'' cos" a; +
AC.175)
4.
¦0
4=1

42 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.332
, . „ „ ( . 4геа — V . з . Dп»—2а)Dла—4s) s 1
1. sva.2nx=2nzosxismx щ—sins2; + 5 ~j sm*a;— ..Л;
A C.171)
= ( - I)" cos x | 22" sin2" x — ^=^ 22"-3sin2n-s +
2. sinB/t— 1)x = Bя — 1) |sin x — Bл~^~i
-... L A C.172)
= {•_ 1)"-'
2
.-!)B,-5)B,-6)
и1*-72:+...к АC.174)в
3. cos2na;=1 2r"
gi° i sin» a: + . ..; A C.171)
= (_ i)» j2*n'1 sin2" x — ^- 2s"-8 sin2" x +
+ 2sn_ 2 sin+
4. cos Bw - 1) a: = cos x |l - B"-^)a—ia sin2 д.+
} AC.172)
(- I)" cob x {22-s sin2" x - ?t=i 2a«-4 gin2n-4
. 174)
Пользуясь формулами и замечанием 1.30, можно для sh 2nx, sh Bге — 1) х,
сЬ2пх, chBn—i)x написать формулы, аналогичные 1.332, подобно тому,
как это было сделано в формулах 1.331.
Частные случаи
1.333
1. sin 2х = 2 sin х cos x.
2. sin За; = 3 sin ? — 4 sin* a:.
3. sin 4x = cos x D sin x — 8 sin3 x).

I 3—1 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 4с!
4. sin Ъх = 5 sin х— 20 sin3 х-\- 16 sin5 х.
5. sin 62; = cos х F bin л-— 32 sins r + 32 sin5z).
6. sin 7a; = 7 sin ж— 56 ап3г-|- 112sin°; — 64sm7x.
1.334
1. sh2a;= 2sh rchx.
2. sh 3ar =
3.
4.
5. sh 6ж = ch 2; F sn x + 32 зЪ3х + 32 sh5 r).
(i. sb7a;= 7sh 2; + 56 sh3 2; + 112 sh6j5-t-64bh'x.
1.335
1. cos 2a: = 2 cos2 z— 1.
2. cos 3x = 4 cos* x — 3 cos ?.
3. pos4z = 8cos4z — 8cosaa;-f 1.
4. cos 5a; = 16 cos5 x— 20 cos3 a: + 5 cos x.
5. cos 62; = 32 cos8x — 48 cos4a; + 18 cos2x— 1.
6. cos Ix — 64 cos7 x — 112 cos6 2; -t- 56 cos3 x — 7 cos x.
1.336
2. ch Ъх = 4ch3z — ЗсЬ;в.
3. ch4r = 8ch*a: —8ch2a:+l.
4. ch5a;=16ch5:E — 20 ch3a; + 5 ch ж.
5. ch.6a;==32che2; — 48ch*a:+18сЬ2:в— 1.
6. ch7a; = 64ch7a;— 112ch5a;+56ch3a; —
1.34 Некоторые суммы тригонометрических
и гиперболических функций
1.341
A C61.8)
n-l
2. У shi
3. 2 cos(ar + A^) = cos('2; + -^:i-y^sin-^-cosec|-. AC61.9)
ft=O
n-1
4. 2 c
4=0
2n—1
5. 2j (— 1) cos(a; + A;y) = sin( жЧ g—у ) sin ny sec-f-. ЖлB02)

44
1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
e. 2 (-1)"
sec|.
Частные случаи
1.342
. в-М . nx x
sin —к—x sin -т;-cosec -=-.
Жл B02а)
АC61.1)
„ чп i я-4-l nx x , . nx я-4-l x
2. >, cos kx = cos —5— x sin -5-cosec — -f 1 = cos -75- sm —5— a;cosec -^-.
ft=0
A C61.2)
71
3. 2 sinBft— l)x = sin2na;coseca;. AC61.7)
4
4. 2 cos BA — 1) x = -j sin 2nx cosec x.
1.343
1.
2.
к *
i
2coe|-
3. 2 cos Dfc — 3) a; 4- 2 sinDft— l)a; =
= sin 2nx (cos 2nx + sm 2nx) (cos ж + sin x) cosec 2a;.
1.344
. xn ¦ як i я
1. > sin = ctg-pr-.
^-j n б 2л
n-l
2. У, sin-
у»
о ^1 2ЯК2 V Ч / a , «Я , . /HI\
3. > COS = -?—-( 1-f COS-7T-+Sin-7r- J.
¦^^ Й Z v " ** s
1.35 Суммы степеней кратных дуг
1.351
1. 2 sin2 fce = i-[Bn + l)sin:B — sin Bre + 1) a;] cosec x;
n cos (n+1) г sin
~2 2ыпж
ШлB07)
A C61.10)
Жл B08)
A C61.19)
A C61.18)
A C61.17)
AC61.3)

1.3—1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 45
2. У cos*kz——5—-4--5-cosrea;sin(n+1)жсозеса:;
п
3. 2 sin*/га; = —sin-^i—z sin ~?-cosec 4-—
— j sin-5—~— sin -^- cosec -у-. ЖлBЮ)
п
4. >j cos3 kx = ¦?- cos—|—ж sin -j- cosec -^ +
+ -icos 3("+1} т sin ¦ggi cosec Ц-. ЖлB11)а
5. ^ sin*fcB=—[3n — 4 cos (n + l)a;sin ru: coseca;-{-
+ cos 2(n + 1)x sin 2nx cosec 2г]. Жл B12)
n
6. 2 соь* kx= — [3n + 4cos (n -{- 1) a; sin na- cosec a; +
+ cos 2 (n + 1) ж sin 2пж cosec 2x]. Жл B13)
1.352
n- * .« COS —~— j:
1. ^ kfAnkx = -^^ \—. f A C61.5)
t=i 4sina— 2 sin —
™—* я sin —=— ж .
2. У. kcoskx = 1~cos"*. A C61.6)
1.353
2 sin ~ 4sln2|-
p sin x—pn sin пя-{- pn*1 sin (n—1) x
1. 2j P Sin/сж- l-2pcosa:+P2 * AfJbl.l^H
n—1
9 V n* «h fc-r - P sh д-р" sh яд+р"*! sb (в—1
„XI * > 1—VCOSX—pn COS ПХ-\-p"*1 COS In—\) X A r-yo л JO»
3. > D*COSfcB = ¦ ., ,„„ | ¦, ! — . АC61.13)Ц
^Ш ' l — tip COS X ~т— и
n—i
¦vi 4 • » 1 — pcha;—pnch nx-\-p"*1 chIn — i)x .Tl. ,or,/-\
4 2 P chfa- i-aoch^-4-^ —• ШлC96)

46
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.36 Суммы произведений тригонометрических фуикций кратных дуг
1.361
п
1. 2 sin fcr sin (А + 1) а; = -т- [(п + 1) sin 2х — sin 2 (п + 1) х] cosec x.
ЖлB14)
2. 2 sin/еж sin (й +2) г = у cos 2а; — у cos (п+ 3) a; sin nx cosec а;.
ЖлB16)
П
3. 2 Sln kxcos Bk - !) У = sln {
пУ
г* } sin "<3:+2y)
cosec ^t
1.362
1.
2- 2 (^Г sec ^J = cosec*^-(^Lcosec-^-У.
1.37 Суммы тангенсов кратных дуг
. ЖлB17)
A C61.15)
A C61.14)
1.371
A C61.16)
A C61.20)
k=0
1.38 Суммы, приводящие к гииерболическим тангенсам
и к гиперболическим котангенсам
1.381
thi-
«sin2
. „ *я
2- 2
з. 2
ЖлD02)а
ЖлD03)
tt,

1.3—1 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 47
tbi 2
Bn+i)sin* ™-^ГТГ th
4. У. ..а к ЯН" > = cth Bn+l)z-???¦. ЖлD05)
4 I МИД ^1-)-1
1.382
п—1
1. 2 2ft+r~~ =2ntbnx. ЖлD06)
h~° 4гс , 1 „. х
-i
2. 2 ъГ = 2n cth иж-2 cth ж. ЖлD07)
ft=1 sm 2я , 1 . х
1
2FFT = Bn+l)the5+*J?_th|. ЖлD08)
г-272ТГ)Я l *
4. У ~ = Bп -+-1) cth B"+1)а: - cth 4 • Жл D09)
i x
T th
1.39 Представяенпе косинусов и синусов кратных дуг
в виде конечных произведений
1.391
-2
2
1. sin лж = /г sin хcos ? ЭД / 1 ajT| [и —четное]. ЖлE68|
п
2
2. со8/гж=ПA *Bк~1)я) [«-четное].
ЖлE6У)
2
sin
3. sinnrr=nsin ж ГТ /l г— I [n — нечетное]. ЖлE70)
*-• V » /
я-1
2
/ sin2 a: N
4. cos rue — cos ж ГТ /1 соь_ц „ I tn — нечетное]. Я
1.392
m—1
1. 8щ/гж = 2"-1ТТ sinfz + —У ЖлE48)
2. cosnz = 2^T\ sm(z + ?^*}. Жл E40)

48 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.393
п—1
1. JJ cosf ? + —— я 1 =-^pj-cos пж [и — нечетно];
= -^г5-[(— IJ — cosnz] [и — четно]. Жл E43)
n—I ^^i
2. JJ sinfaH я^= о"-»-—siQnx [и—нечетно],
п
= ^й^г- A-cos ад) [п-четно]. ЖлE44)
п—1
1.394 П Ix2 — 2a:Mcosfa + -^-^)+ г/2} = ж2" — 2хпупсоьпа-^у1". ЖлE73)
fe=0
1.395
п—1
2/<я
1. cos/ад; — cosny==2™ Д jcos — cos х (у + ^~S\ • ЖлE72)
2. chпя — cos n^ = 2™~l JJ -jcha; —cosTy4 Н. ЖлE38)
1.396
п-1
irEr* Kp 58 B8.1)
*Т-7j' Kp 58 B8.2)
~=i. Kp 58 B8.3)
П—1
4. JJ (V - 2a: cos {2k^] я + 1)==х*п +1. Kp 58 B8.4)
A=0
1.41 Разложение тригонометрических и гиперболических функций
в степенные ряды
1.411
3. cosz=2 (-4*WT- 4-
Bft)! ¦

1.3—1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 49
7.
9.
10.
11.
12.
t.412
*=)
4=1
ft=l
2, co
3. sm
4=1
/t=.i
4.
1.413
2.
' 4 Таблицы интегралов
ФИ 523«
ЧЗЗОг/
4 330
Ч329и
-1)
—i)!
ЖлD18)
Жл D52)и
Жл D43)
ШлD52а)и
ЖлD43а)
ЖлE08)
ЖлE07)
*. ЖлE10)

50 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
4. eh х = х cosee х + coseca; ^ ( — I)**1 .„,ж, : =
1.414
1. cos [n In (a: + Y\ + a:2)]
j ( — 1) ТЯГ-ТГ\ • Жл E09)
*=«
2. sin [n In (ж + У\ + Xе)] =
'+З')У(а1"*'>- f^<11- AF456.2)
Степенные ряды для In si n.z, In cos л; и lntga; см. 1.518.
1.42 Разложение на простейшие дроби
1.421
L 18Тдт2 Bfe-lW^- БровA91), A<6495:i)
оо
„ ,, и 4ar v< 1
A F495.2), Жл D50a)
4. l ^2 4
2 Bft—IJ—ar»
(V—:c«)»C» — **)*... [B4—l)»-
1.422
AF495.3)«
2- -2^- = ^2 U-L,y + gCTF^}- ЖлD51)"
oo
3. соаеслг = ^1- + ^-2 ^Z!^ (см- также 1-217 2.). AF495.4)a
4. eosec'**^ J ^ = _4_+^2 ^±^. ЖлD46)

i.S—1.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 51
5.
6.
1.423
1.431
1.
1+areoseca: __ 1 у ( —l)fe*
ЖлD49)
Жл D50b)
ЖлD77)
1.43 Представление в виде бесконечного произведении
3. cos а:
4.
1.432
1.
COS X — COS у
= 2(l-4
2, cb x — cos i/ =
1.433 cos-^-sin^ =
1.434
1.435
sin rta
1.436 \.~~
а тт
II
Л —о
. ,
1.437
sin За
sin jt
Ч.А —а. У J *
L1 U+*J J •
Э149
Э148
Э149
Э149
___t— ). A F53.2)
+ Bkf_iyJ^)- A F53.1)
Брм 189
MO 216
MO 216
MO 216
MO 216
4*

52
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.438
ch х — cos я
1 — cos a
- П
1.439
1. sina; = jrT| cos -rr
МО 216
А F51), МО 216
2.
I
МО 216
1.441
1.44—1.45 Тригонометрические ряды
1. 2^^=^ [0<ж<2л]. Ф III 539
2- S^gTln2(l-co8x) |0<*<2я1. ФIII550и. АF814)
-I)*-' sin кх __х . ^ ,
з. 2
4.
1.442
»• S ""^-^'"т ^0<ж<л].
Ф III 542
Ф III 550
Ф III 541
2. 2 С08^Г11)Ж=!Т1пс^Т 1° <ж < л 1-БРо8168- ЖлB66), ГК 111A95)
3.
4.
J-/^ = f [0 < ж
БрО81б8,ЖлB68)и
БРов 1В8. Жл B69)
k=i
1.443
GO
. >п coskxx
'¦• 2л tan
(-1)
2ti
V
2
2
Ч340,Ге71

1.3— t * ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРВОЛИЧВСКИЕ ФУНКЦИИ
53
2П.+1
MV2
о -ст eos л
°- 2л —4?
cos кх п*
-г+
4.
со
2
fe-, ( оч Ал:
sin kx nLx rex-
12
В.
7.
1.444
1.
2 cos fa; я4 п'х\ дя;" ж4
й4 ~~ 90 U 12 48
Ssin_fa^ _ я»ж _ п^_ лх* л,°
fes "~ 40 Jb 48 24t>
4 340
ФIII547
ФIII 544
А F816)
А F817)
А F818)
SI°fc2(^))g = sin 2z - (л- 2z)sin2 r- sin r cos r In D sin2 x)
БРоч1Ь8.ГКШA9О)
= cos 2x - (^- - x ) sm 2x + sina x In D sipa »)
BPog168
3. yi (_lf ^^±^ = sina:--|-(l4-cosa;)-4ina;ln 2cos^ .MO213
5. S(-:
cos<2A —1M_ л ^ я.
МО 213
МО 213
Ф III 540
cos2fcc
Scos2
,2A-l)(
1 я
Жл E91)

54 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.445
iffiS ^^ Р <*<&«]. БРо8257,ЖлD11)
(— l)ftcosfce я cheuc 1
о v« (— l)ftcosfce я cheuc 1 г ., 1 ..„rig
3- S —ITHF-^aS-ihSr-a? [-«<*<«!• Ф III 546
ft=1
4. V (-1) ^т^^ = -^=- [ —я<а:<я]. ФШ546
, чп k sin to _ sin{aK2m+l) л— х]}
Dt 2j ft»_aa ~
, а не равно целому числу] МО 213
оо
К V cos to 1 я cos|g{Bm+1)n—х\]
°" 2л ft»—а8 ~2а2 2 а sin ал
А—I
[2тп<ж<B?и+1)я, а не равно целому числу]. МО 213
V* ., >h fc sin to sin \a Bmn —x))
I- 2l V~1} /fc»-a* ~" 2зшая
ft<M)
[Bm— 1) я<ж<Bт+ 1)я, a не равно целому числу). Ф III 545 и
я cos[gBi7»n — я;>] /
\
°" Zl t' fta_о2 2а» 2 asinan
[Bт — 1)я<ж<Bт+ 1)л, а не равно целому числу], ФШ545и
1.446
Bfc-l)B + )( + ) ^
[] Ьро8256, ГК III A89)
1.447
Ф II 559
h=1
2. V. p*cosfce = -г—^——4—г- }[Ы<11. ФИ559и
3.
A=1
ФИ559и, МО 213

1.3-J.4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
55
1.448
1 — pcosx
V
—2pcosx+p8
¦ @ < х < 2я,
3- 2 2ft
СО
4 2) —
р»*-'sin Bft-1)* = l_
1-р»
1_, l +
4 1 2
4 1 — 2pcosar-J-pa
5- S
5- S
24 — 1
1 .
4
4 1 — 2psina:+P*
(_ l)p»ft-'cosBft — 1) х _
2ft—1 ~
1.449
—«•»"»ein(pSin*)
)
2. 2
cos (psin Ж)
I
Ф II 559
ФII559
Жя E94)
ЖлB59)
ЖлB61)
Жл E97)
ЖлD86)
ЖлD85)
Разложение гиперболических функций
в тригонометрические ряды
1.451
ЖлE04)
2. eh * , cos * + cos «

56
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.452
1. sh {x cos e) = sec (x sin 6) 2 ~~
GO
2. ch (x cos 8) = sec (x sin 6) 2 ~
3. sh(xcos8) = cosecfa;sin8) У, -'t,™2M-
oo
4=0
1].
Жл C91)
Жл C90)
ЖлC93)
Жл C92)
1.46 Ряды произведений доказательных и тригонометрических функций
1.461
*=0
2.
-COS X
\t > 0].
[* > oi.
sin3
1.463
СО
1. е*«« ф cos (ж sin ф) = 2 *"™31"р [ж2 < 1J.
2.
1.47 Ряды гиперболических функций
1.471
»¦
2.
1.472
0=1
<i=0
MO 213
MO 213
MO 214
A F476.1)
A F476.2)
ЖлC95)
ЖлC94)
ЖлC96)
Жл C97)и

1 3-1.4 ТРИГОНОМВТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
57
1.48 «Угол параллельности» Лобачевского И (ж)
1.480 Определение.
Ло III 297, Ло 1120
Ло III183, Ло 193
Ло Ш 297
Ло III297
Ло III297
Ло III297
Л о III297
Ло III183
2. П(ж) = я-П(-ж) [х<0].
1.481 Функциональные соотношения.
2. cos П. (#) = tb х.
4. g(
1 *" 1 -f-соь И (ж) cos П(г/)
6. cosП Ix + -u) = -J-, ' ' ', . .
4 *' l+cosH(a;)cos П(г/)
1.482 Связь с гудерманианом.
gd (-в)-П (*>—=-.
Интеграл (определенный) от угла параллельности см. 3.851.
1.49 Гиперболическая амплитуда (гудермашшн) g
L.490 Определение.
gdi
1.491 функциональные соотношения.
2. sha; = tg(gcla;).
3. ^ =
ЯЭ73
ЯЭ73
А C43.1), ЯЭ73
А C43.2), ЯЭ 73
4. th х = sin (gd x).
5. th-f-~ig(J-|fd
6. arctg(tha;)
1.492 Если Y = gd3, то ix^gdiy.
А C43.3), А C44.5), ЯЭ 74м
A C44.3), ЯЭ 73
A C44.4), ЯЭ74
А C44.6)и
ПЭ74

58 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.493 Разложение в ряды.
со
г. ЯЭ74
ЯЭ74
Ч сЛ-г г х* Л. хЬ 61аг' , OQ7/i
2.
3.
4. ,-|р1,+^+й|^ + «Ц|Й31+ ... [,rd«<i]. НЭ74
1.5 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1.51 Представление в виде ряда
< 4 *
1.511
1.512
1.513
ОО
= 2 У, ^-г«2*~! I*8 < Я Ф Н 421
2. 1п-^Т—2?BА-1)^-. 1**>Ч- А<644.9)
3. In -^j- = 2 -^.Г Iя5* > Я Жл (88а), ФII421
4- 1пт^Т = 2-X lafS1<1]- Жл(88Ь)

f.s логарифмическая функция 59
5. ±Ziln_l_=1_21^Rr |**<1]. ЖлA02)
ft=l
7- ^1п -p=r"g-^+1 *№+^+2Г 1*'<11- АF445Л)
1.514 In(i-2a;cos9 4-a:2)= -2^ -^^-ar*. MO98, Ф II 485
In (a: +/Г+^г) = Arsh ж см. 1.631, 1.641, 1.642,1.646.
1.515
2.
[a:*>lj. A F44.4)
***1 ^<1]- Жл(93)
y^l^ggf^ ^<1J. Жл(94,
1.516
|S (ТУ 2| 1*<Ч- Жл(86),Жл(85)
№=i
ft
2. 44 " /-4W*WM
n=l m=t
oo 2k—1
*=1
[0 < a; < 1J. A F445.2)

60 t. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
t.517
2. 4-
CO 2ft
3. у arctg x In A 4- ж2) = 2 al-M— 2 '
1.518
1. in SlI» ЛГ = In X ^ -7T--
/ _ *¦= х« х» 17ж"
2 л^ 45 Z52
3.
AF445.3)
= lD x + 2 '"^г^Г'^ № < л2]- А (Ш-1)ы
- 2j ' 1J л B*)! ж - - 2 2j —t~ [ ж < т~ J •
4D II 524
Степенные ряды для cos |n In (a- + ]/1 + x2) }• см. 1.414.
1.52 Ряды логарифмических функции (сравни 1.431)
1.521
2. 2 In f 1 —-p^J= Insinг—1пж.

1.8 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧ. ФУНКЦИИ 61
1.6 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.61 Область определения
Главные значеиия функций, обратных тригонометрическим, определя-
определяются неравенствами.
— — <arcsin ?<^ , 0<arccosx<n f— 1<ж<1|. ФII553
—
—Y < arctg x < -у ; 0 < агссЦ х <хл [ — аэ<7<+-оо|. ФИ 552
1.62—1.63 Функциональные соотношения
1.621 Связь обратных тригонометрических функций с одноименными триго-
тригонометрическими функциями
1. arcsm
(sinх\ = х — 2лл 2ия—^-
= — а-1-Bл-1-
2. arccos(cosa:) = .r—2лл
я [Bл + 1)я<а:<2(йЦ-
3. arctg(tga;) = a:—ил «я — -у < х < ля -t- ~ J .
4. arcctg(ctg;r) = a;— пл [пл < г < («4- 1)я|.
1.622 Связь между обратными тригонометрическими функциями, обратными
гиперболическими функциями и логарифмом.
1. aresin г = -т-1п(ггч- jA — z2) = y Arsb(iz).
2. arccosz = -^ In (z-f Y#— 1) = — Archz.
3. J|±^ i
4. arcctg г = -^- In -|^=^-= i Arcth \iz).
1
1
5. Arab z=ln(z-t- ^г2 + 1) = —arcsm (iz).
6. Arcbz= ln(z-(-j/г^—1>=^ iarccosz.
7. |±|
8. Arctb г = 4- Ь -^4- = r arcctS (-iz)-
Соотношения между различными
обратными тригонометрическими функциями
1.623
1. arcsin х -Ь arccos x — ~~ . Но 43
- 2. arctg х + arcctg x — ~. H« 43

62
I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.624
arcsin x — arccos у г — r
= —arccos Y\ — x* [—l<a;<0].
2.
3.
arcsin x = arctg ¦
\—
[жа < 1).
arcsin x = arcctg — [0
= arcctg '1~** — я f — 1 < x < 0].
arccosa: = arcsin У1— x* [0<a:<l];
= я— arcsin Vi—z* [—1<а;<01.
arccos x — arctg i-—^^- [0 ¦
arccos a; =
arctg x = arcsin
8. arctsj ж = arccos
= —arccos
1
/14-гг
arctg.?=arcctg-— [x > 0];
= arcctg л [х < 0].
10. arcctg х — arcsin
: я — arcsin
> 0];
[* < 0].
11.
12.
1.625.
L
arcctg x = arccos
arcctg л; —arctg— [a; > 0];
arctg— [x < 0].
arcsin x 4- arcsin у == arcsin (а; У1 —ya 4- у l/l — a;2)
или
Ho 47 E)
Ho 46 B)
Ho 49 A0)
Ho 48 F)
Ho 48 (8)
Ho 46 D)
Ho 6 C)
Ho 48 G)
Ho 49 (9)
Ho 49A1)
Ho 46 D)
Ho 49 A2)
= я —arcsin (x\f \ — у2 + у]/1 —
[х>0, у>0 ш а
= — я — aresin (г V^l — t/2 -f у У^ — хг)
[г < 0, у < 0, и я2 + уг > 1J. Но 54A), ГК I (880)

1 в ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧ. ФУНКЦИИ 63
2. a resin х 4- arcsin у = arccos {\fl — хг~У \.—уг— ху) [ж>0, у>0];
= — arccos (j/l — xi]/i — уг— ху) \х < 0, у < 0J. Но 55
х л/1 г/2-4- у V \ ;Ё*
3. arcsin х + arcsin у = arctg g ,
[ху<0 или а^ + у^ 1];
/1 — у»—ху
[х>0, у>0 и д:г + у2> 1];
1ж < 0, у < 0 и ж* + уг > 1]. Но 56
4. a resin х — arcsin у = arcsin (a; 1/1 — У3 — У V^ — хЪ)
[ху>0 или
= я — arcsin (a;l/l — уг — у V"l
{ж>0, у<0 и
= —я —arcsin (ж1Л1 — у8 — у 1^4—ж2)
(а?<0, у>0 и х* + у*> I]. Но 55B)
5. arcsin ж — arcsin у = arccos (l/l — x*Vi — yi + xy) \x>y];
= — arccos ("|/l —жа 1^1 — у2 + a^) [ж < у]. Но 56
6. arccos x + arccos jf — arceos [xy — У1 — x2 Vt — yz) [ж + у>0];
= 2я — afecos (жу — УТ^ V"l — У2) 1ж + ^<0]. Но 57 C)
7. arccos x — arccos у = — arccos [ху + У 1-х2 У\ — у") [х > у];
= arccos {ху + /1-х* /I-уа) [ж < yj. Но 57 D)
8. arctga;+arctgy:=arctg?i^- fxy < 1];
3, xy> I];
= - я + arctg^±^- [x<0, xy> I]. Ho 59E), ГКI (879)
9, arctga; — arctg у = arctg. , - [жу> — 1];
~-У- [х > 0, ху < — 1J;
- я+arctg^g [ж < 0, жу < - 1]. Но 59 F)

64
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.626
1. 2 arcsin ж —arcsin Ba: jAl — а-2) Г|а-|<~ 1 ;
= л— arcsin BхУ\ — х2) Г-^ < я:
= — я— arcsin (
2.
ij. 2 arctg x = arctg т-^~
22
2л—arceosBa:2—1) [ —
ГГ72
1.627
i. arctgx-j- arctg— =-j \x > 0];
2. arctg a; + arctg j-r—=-5. |a;> —1];
= _!„ [x<-i].
1.628
2s
1. arcsin t-j-j = — я — 2 arctg x \x < — 1];
= 2arctgs [ —i<x<l];
= n— 2arctga; [x > 1].
2. arccos 7-r—:г = 2arctg x [x > 0];
t-629 ^ —1 arctg
Ho 61 (8)
Ho 61 (9)
ГКI (878^
Ho 62, ГК1(881)
Ho 65
Ho 66
ГКI (886)
1.631 Соотношения между обратными гиперболическими функциями.
1. Arsh x = Arch
1 = Arth
2. Arch x = Arsh V x2 — 1 = Arth -
3. Arth л = Atsh ¦
—Is
= Arrh
= Arcth — .
4. Arsh x ± Arsh 9 = Arsh \x j/^1 -b t/a -j-
5. Arch x ± Arch у = Arch (xy ± У (a? — l)(y2 — 1)).
6. Arth ж ± Arth 1/ = Arth ^i^- .
ЯЭ68
ЯЭ68
ЯЭ68
ЯЭ69
ЯЭ69
ЯЭ69

1.6 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧ. ФУНКЦИИ 65
1.64 Представление в виде ряда
1.641
¦ arccos x = :
Bft)'
2-4-5
^к
'=0
i-, i-
4.. ътвпт — х— 2.3^ +2-4-5 х
1.642
УЬ(*!J2/г
2. Arch x= In 2^-
1.643
1. arctgT-д;—-^-4--^- —^-
2.
*=о
1.644
i. i' iJ if?)
2.
5 Таблипы интегралов
Ф II 479
Ф II 480
A F480.2);/
AF480.3)M
Ф II 479
AF480.4j
(см. также 1.643).
А F41.4)

66 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
t.645
л 1 1 1-3
1. arcsec x -¦
2 х 2-За;8 2.4.5х»
jc у Bft)! х-
2 ?<*!).*¦
2. («¦csinay^S^tirS+i) 1ж2<1]- А<642Л>' ГКШA52)«
3.
[я2<11. Бро8188, А F42.2), ГКШA53)«
1.646
1* Arsh — — Arcosech a; = V. —' ^—-—# aft-t r^a ^ ^i
a: x-J 22ft /AlJ BЛ-4-1)
A F480.5)
oe> •
2» Arch — — Acsech x =s In ^ —-—Ь—„ ^a* m < x < 11.
A F480.6)
OD
3, Arsh -^- = Arcoaech x = In -|- + 2 Ц[^—y^"'a:a" [0 < a; < 1].
A F480.7)«
4. Arth^ = Arctha:= ^^IFfT" [^2>1]- A F480.8)

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.0 ВВЕДЕНИЕ
2.00 Замечания общего характера
Во всех формулах этого отдела постоянная интегрирования опущена.
Р силу этого знак равенства ( = ) в этом отделе означает, чш функции,
стоящие слева и справа от этого знака, отличаются на постоянную. Напри-
Например (см. 201 15.), мы пишем
V гт^д- = arctg х = — arcctg х,
хотя
arctg х = — arcctg x + -у .
При интегрировании некоторых функций получается логарифм абсолют-
абсолютной величины f например, V-г== = In | а: + |/Т+Т2 | J - В таких формулах
знак абсолютной величины в аргументе логарифма нами для простоты
записи опущен.
В некоторых случаях существенно указать вполне определенную перво-
образпую функцию. Taiaie первообразные функции, записанные в виде опре-
определенных интегралов, помещены не в разделе 2, а в других разделах.
К этим формулам близко примыкают формулы, у которых пределы
интеграла и подынтегральная функция зависят от одного и того же параметра.
Ряд формул при некоторых значениях постоянных (параметров) или
при некоторых соотношениях между этими постоянными теряет смысл
(например, формула 2.02 8. при й=—1, формула 2.02 15. при а = Ь).
Эти значения постоянных и соотношения мржду ними большей частью
бывают совершешго ясно видны из самой структуры правой части формулы
(не содержащей знака интеграла). Поэтому мы опускаем в этом раз-
разделе соответствующие оговорки. Однако, если при тех значениях пара-
параметров, при которых некоторая формула теряет смысл, значение инте-
интеграла дается с помощью другой формулы, то мы эту вторую формулу
сопровождаем соответствующим разъяснением.
Буквы х, у, t,... означают независимые переменные; /, g, ф,... —функ-
—функции от х, у, t, ...; /', g', ф', , f, g", ф", ... —их производные первого,
второго и т. д. порядков; a, b, т, р,. ..— постоянные, под которыми сле-
следует, вообще говоря, разуметь любые действительные числа. Если какая-либо
формула справедлива только при некоторых значениях постояппых (напри-
(например, только при положительных, или только при целых числах), то делается

d8
l. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
«оотиетствуголдя оговорка, если только данное ограничение не следует из
самою впда формулы; гак, в формулах 2.148 4. и 2.442 6 никаких огово-
оговорок не сделано, так как из самого их шща яево, чщ-и должно в них быть
аатуралышы (т. е. целым положительным) числом. \
2.01 Основные интегралы
— = In X*
3.
4. \ ах
J In«
5. \ sinj"dx= —cosa;.
их
6. \ cosxdx — sinx.
10
11. \ tg x dx = — Ln cos x.
13. \ -:— == In to -у .
J sin ж ^> 2
12. V ctg x dx = lu ш .с.
15, \ . ¦ ¦ a = arctg a; = — arcctg x.
16.
2 1-х-
17. \ r... = arcsin x = — arccos xt
18,
Arsh з: = In
19, У *g
20. \ sh x dx — ch x.
21 \ ch ж dx = sh ж.
24. ^ %hxdx= In chx.
26.
25 С cth x dx =¦ In sh i.

2.0 ВВЕДЕНИЕ
2.02 Общие формулы
1. \ afdx — a \ fdr
2. \ [at ± 6ф ± сф ±.. .\dx = a [ fdx ± b С ydx ±
4.
5. \f<fdx=tq>— ^ ftp'г?т Гинтегрированир по частям]
6. \ /
7. \ fix) dor =
8. ^(Л
( = 1
9.
10 С Гчх ^
И
12 ffc
J f<t
13. С "^ = ± J g q: ^ ^ .
Г f dx i /~H
С _^
При a = b
J (/+<f)n J (/+<p)"-' J (/+Ф)" '
t7. С Г" --L arctg^.
1 3 ^Я-Р* ~2W
Правило подстановки I

70 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
21. С />dX =ягр.«1пХ
m
23
. \ —— = — arcsec —
25.
1г—фа 2
2.1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2.10 Общие правила интегрирования
2.101 Чтобы проинтегрировать любую рациональную дробную функ-
функцию -т~ , где F (х) и / (х) — многочлены, не имеющие общих множителей,
нужно сначала выделить целую часть Е(х)(Е{х) — многочлен), если таковая
амеется, и взять интеграл от целой части и интеграл от остатка
Интегрирование остатка, являющегося правильной дробной функцией
(степень числителя меньше степени знаменателя), основывается на раало-
жении ее на элемешарные дроби.
2.102 Если а, Ь, с, , т — корни уравнения f(x) — O, a a, f$, у, ..., (г —
их соответствующие кратности, так что /(х) = (х — а)а(х—6)Р ... (х—«г)*1,
то -j7-r может быть разложена на следующие элементарные дроби:
H 1 ^—г+... + -^Х
(ж—т)ц (ж—тI1 ж—»»
где числители отдельных дробей определяются следующими фпрмулами:
Если a, b, ...,m — простые корни, т. е. а — ^= =р,= 1, ю
j(x) х—ах—Ъ''''*х—т ' *

2.1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
71
где
Если некоторые корни уравнения /(ж) = 0 мнимы, то, соединяя вместе эле-
элементарные дроби соответствующие сопряженным корням, можно после
некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде
действительных дробей вида
Mpx+Np
2.103 Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби ^
приводится к интегралам вида \ — или \ - .,,.,¦. то"ж- Первые
J (х—a) J \A-\-?Ux-\rUx с
для а> 1 дают рациональные функции, для а=1 — логарифмы; вторые —
рациональные функции и логарифмы или арктангенсы:
(x—a)a
J te—a)a (a—l)(x—o)a-V
4
+iV
2(р — 1
+ ^
3){J\C — MB) Г
— 1)(АС — Вг) J
dx
У АС — В*
1
= In
Cx+B+VB^—AC
[AC < &].
5.
arctg
6
Г AC > 5*1;
NO —MB
~^~ 2CYB%-
In
—V
[AC <
Сж+5+l/fi2 — А
Метод Остроградского—Эрмита
2.104 При помощи метода Остроградского—Эрмита можно найти рациональ-
рациональную часть \ ^ , dx без нахождения корней уравнения / (х) = 0 и без раз-
ложецид на элементарные дроои:
" "'-^. ФП49
Здесь Л/. N, D, Q — целые рациональные функции от х, причем D — общий
наибольший делитель функции /(ж) и ее производной /' (х), Q = -j^-, M —

72
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
полином степени не выше т— 1, если т—степень полинома D, и /V — по-
полином степени пе выше н—1, если п—¦ степень полинома Q. Коэффициенты
полиномов М и N определяются путем сравнения коэффициентов при
одинаковых степенях х в следующем тождестве:
ф (х) = M'Q — М (Т — Q') + ND,
где Т = -~fr^, М' и (?' — производные полиномов "' и Q.
2.11—2.13 Формы, содержащие биномы а + Ьхл
2.110 Формулы приведения для zk = a + bxk.
126D)
[(m-1
+1 m {m— 1).. . (ra— p-\-\)(m — p)
2.
3.
4.
5.
6.
2.111
XnZk' dx = —; —77- -г- , . ...
Zt, ax — . \ л ^ ил.
1 dx.
1-fc)
n-j-l)
dx.
J *
Ла 126 F)
Ла 125A)
Ла 125 B)
Л а 126 C)
Л а 126E)
Формы, содержащие биномы zx = a-j- bx
При т— — 1
= -г- In Z,.
9 С ж"°!а; — ^ па С Дп"'
^- J zf zT1 («H-l — m)h~ (л+1 — тN J ^»
При п — т—1 можно применять формулу:
т'л dx _ хт~> 1 г a^s ^ж
zp z»»-1(to — iN+6 J «pi-i •
При т = 1
.п лг.п-\
хп ах
(л —
l)"an,

2.1 РАЦИОНАЛЬНЫ*. ФУНКЦИИ
2.112
Г xdx _ ^ _?.,_-
J 2, ~ 6 ~ 62 Ш Zl-
„ С хг dx хг ах . аг ,
2" ^ -^Г=26-~"*г + ^1пг1-
2.113
X I
2.114
л
о f x*dx _ х а2 2а
2.115
2
ж2 «to Г 2аж За2 -1 1 l
. С x*dx _ Га: ..a 2 «a' 5af"]l
36z? '
„ Г af'rfi Г x'' ax
--1 i-U-
26 "* 66г J zf •
x'' ax , aJ "] 1
2.116
i\a*
t ^= L
¦ J z? 46z} •
__
36
i.
zf ¦
$ x*dx _ г x* ax а* Л \.
J 4 ~~ L 26 + 362 -t-1263 J Z4 •
ж" dx
ж3 , Заж-5 . агж , а» 1 1
2.U7
Г dx —1 ЬB—п—т) Г dx
• J a:»z™~ (и— 1) ож'1"^-1 "т" а (га— 1) J arn-ig.»
"" J if (m—1N2™"!*
d f «to 1 . I Г rf»
3- ii^f- zm-ia(m-l) "*" a } «71 "
f «to I^' (-i)fcufc-i , (-l)"-i . x,
fl» \ —-—= *. —: r:—п «-l г* " _*i I1J- _ ¦

74 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.118
1. Ci^-llnA .
jaa, ах
2. C*.___L + _»-ln-5-.
j х2гг ах аг х
о Г dx _ 1,6 *' |П zi
а> 3 Л, 2я*2 + ^~~ а» Ш ж *
2.119
J x%z\ \_ax
2.121
3 , fcr "I 1 1
+J
dx
2.122
_ Г 1 9Ь 3&%; I i ЗЬ , г,
^J+ a» + a* J
f ^?__ Г 1 , 5Ь i 556a 256% 106«a;a -[ 1 106» , Zl
- i K3zf ~ L 2а*2+ 2a2a; + За3 + a* + e* J "if ~" a» * '
2.123
Г (to _ Г 25 13Ьж 762жг б3^"! 1 d_. Zl
1- J kz5 ~ L12a+ Здг + 2as + a* J zf e<* ~ '
J a:2zf ~~ L ax 12a2 3e» 2e4 a« J zf + a" * '
„ Г dx__ Г 1 36 12562 65Ь»а; 105Ь«жа 15&5хП 1 15Ь3 ¦ z,
jK»zf~L 2ожг + о2а;+ 4«з + о* + 2a5 + a6 J zf ~а^"'П^"
2.124 4>ормы, содержащие биномы Zg = a + fc.r2.
1. \— = -Larctga; i/Z [аЬ > 0] (см. также 2.141 2.);
La+3!t'^ [a6<0] (см. также 2.143 2. и 2.1433.).
-1452" 2Л456- И 2Л8>'
а—

2 1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 75
Формы, содержащие биномы zs = a-)-tea
*/™а
Обозначение: а—у -г-
2.125
, С x*dx х*2^ (п—2) а
• J zf- ~z^'1(n+l — Zm)b 6(n+l —3/n)
^ i sj» ~ 3a(m
2.126
(см. также 2.1413. и 2.143 4.).
„ Cxdx 1 fl i
2- S -ь— -5й{т ln
(cm. Taiftse 2.145 3. и 2.145 7.).
-T-tS?" (cm. 2.1261.).
3- 5^ ^1ПA + ЖЗО"8)
5. C^f. = 4_iC^f (см. 2.1262.).
2.127
!. f^ = ^.+ 2 Cii (см. 2.1261.).
Г?й= »L+lf^ (см. 2.1262.).
J z| 3az3 3a J z3 v '
f xbdx 1_
. С x'dx x 1 Г dx , n .„„ . .
4- ^-1Г=-3^ + Ж^1Г (см. 2.1261.).
2.128
{ dx — \ Ъ(ЪтЛ-п—4) P da;
J ж"г™ "~ (n— 1) ox'-'zj1-1 a (n—1) J "i"r3jm •
2.129
. f ii 1 , г»
1. \ = -5— In .
J xz3 Za z3
dx 1 b ? xdx . o<ooo\
PiI=-ir-Ti-lT (см. 2.1262.).
. ^.= _ ' ICii (см. 2.1261.),

76 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2.131
xzi 3aza ^ Зла г,
^r=-L-^- + l^J^-l^i— (см, 2.1262.).
п { dx Г 1 56*  1 ЬЬ С dx
Формы, содержащие биномы z4 = a-|-to*
Обозначения: a=l/-|- a'=l/ ^2
2.132
Г to a /ж-'-Ьож У2+а' ах V~2 "> , ,
\^ } fab>01
(см. также i.141 4.)
-|~ { Ь ^±^- + 2 arctg -^-j fаб < 0] (см. также 2.143 5.).
? |a6>0] (см. также 2.1454.).
= ?—1п.а+*"' V* \аЪ<Щ ' (см. также 2.1458.).
4г у о* а—хН у аЪ
2.133
. f Л1_ г»4 , 4nt— n—5 f ж"</ж п <ч//..
i гу - 4а(т—l)*J»-> + Ы{т-\) ) 1^" Jla Id4 A)
" J г" ~гГ"' (n+1—4mN Ь(п+1—4п»)
2.134
f^ l3fii (см. 2.1321.).
zi 4az4 ' 4a J г,
xdx_ хг i С xdx , 2
-*Г—Ш; + г*)>-^Г (см. Л
^ = ^L+1 ^ (см. 2.1323.).
4
_
46z4
7 .,- f _^ 1 fcDm + « —5) f dx
При л=1
Г dx 1 Г rfa; Ь Г Аг
J жгу1 7 J жг}" a J t~3z"} *

2.1 РАЦИОНАЛЬНЪШ ФУНКЦИИ 77
2.136
. С dx in z In z4 _ 1 , xi
^= 'см. 2.1323.,.
2.14 Формы, содержащие биномы 1 ±> хл
2.141
2. \ jq^r = arctg ж = — arcctg г (см, также 2.124 1.).
T=p + FlarC^iS 'CM ««« 2.1261.)
4. С ^-B-i-ln *+«/2+«" +-i-arctg f^ (см. также2.132 1.),
•> ,;., f ax 2 -л 2ft+l , 2
2.142 \ r-—5-= >./>¦. cos—!—n-\—
feU
2A+1
—^-
— положительное четное], Т D3) и
п—'А
[n — положительное нечетное]. 'Г D5j
- In ^ ж3 — 2ж cos —31_ л + 1 J .
- In ^ ж3 — 2ж cos —31_ л + 1
2S+1
—
x—со»
- = arctg
, sill
2.143
2. С -^. = 1 In i±| = Arthу Г— 1 <з- < И (см. также 2.141 1.).
(см. также 2.126 1.).
(см. также 2.132 1.)

78 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛВМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.144
п п '
2-1 Л~Х
• 2*
2A , 2 XI
[и — положительной четное].
2ft
х—cos л
trctg 57-^ , Т D7 j
sin — л
п—Ъ
2
2 vi n
^2 Л> cos
2 t}Jf _L 4
+ — 2 Qits™ —^— я tra — положительное нечетное]
ft=O
2A+1 '
5Ш——Л
2.145
(см- также 2Л262')-
х dx I
6.
8. ] ?*- = 1.in i±J (СМ. также 2.1322.),
2.146 При m и п — натуральных.
sin -—-— л

с x™-idx _ iV».n
J 1+*»»¦»""* *'
2.1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 79
lnA4-*)
2в+1
п
тп{2к— 1) ,
cos 2»+i {
2fe—1
2 -л . тлBА—1) . *—cos 2n+l
2 sm "^e
-л . тлBА—1)
2 sm a,-H
•-•
—SrS cos—ln(l-2zcos —
h=l
*-COS
4 2 sin ^ arctS T~ И < 2«]. T D8)
*=' sin —
dln <*-*) +
2k— \
S
2п+1 '
2Л—1
2.147
xmdx
Г жт rfa; _ 1 ж1" m—1 Г хт~г dx
i (l+x-8)" 2n—m—1 ' (l+a;2)n-i "Г 2a_m_i
Л а 139B8)
3. \ i-j—7 dx = ;i—\
С xmdx _ 1 a:"»-1 m—1 Г i»4 rfx:
J A— x*)n ~~ 2л — та — 1 A — x*)n ' 2n—m—1 ,) II—жг)п '
) Ла 139C3)
2.148
Р tte _ 1 J 2п + т — 3 Г
*• J a:mA4-*i)" m—1 K">i(l+a:s)n m—1 J
Ла 139 B9)
При /и = 1
С dx t 1

80 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ^
При т = 1 и п—\
dx . ж
1П
2. { ^^=_7 ] С йЛ
о С dx _ 1 х 2д—d f dx
3 A+ха)я ~2n—2 (l-l-x2)"-' + 2n—2 3
' J A+жг)" ~2n—1 -Z. 2ft(n — 1)(я—2)!ТТ(я— fc)(l+x*)»-*
4=1
2.149
. Г dx i 2n+fn—3 Г dx
J я"Ч1—**)« ~ (m—1)жп»-1A_га)п-1 + m_i J xm-3(l_x2)" •
JIa 139 C4)
При т = 1
3 *A-*»)» =2(«—1) A-х*)»-' + 3 i(i-i*)«-f • Ла139C6)
При т = 1 и и = 1
С rfa; _ I ж
2 С dg - ' i 2"~3 С rf3:
4 С tte _ » y Bn— 1)Bя—3)Bn—5>...B
* 3 (I-**)" 2»-l ? 2"(«-l)(«-2)...(«
B»-3)U l+.
2".(n-l)lInT3^-- T(91)
2.15 Формы, содержащие пары биномов: а-\-Ьх и
Обозначения; z = a + bx; t = a + bx; Д = ар~об
2 151
2.152
2- J>--t-T
2 153 { tm<ix = i — n»A r tm^dx
3 s" (m —ra + lN z»"J (m —n+lN 3 г* '
_ 1 lm*J (m—
Г <mdx
'л —1)А г""' (я — 1)Д J зП> '
= ,1 'm ¦ mp f <m-' ,
(П —1N г""' +(«_l)i J «П-1 aX>

2.1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 81
2.154 \ll=±-ln-L.
J it Д z
»irr С dx __ 1 1 (m+«—2N Г dx m
J zntm (т.—1)Д t»»-i3»-i (m— 1)Д J i™-ia» '
(m + n—2) ft
(n—1)A f»-ia»-i + (л—
2.16 Формы, содержащие трсхчлспы а + 6acft + csc2ft
2.160 Формулы приведения для ЛА = а + bo? + Cic2*.
J m m j ro
2.161 Формы, содержащие трехчлен Д2 = а 4- &ж2
Обозначения: /=-|--1у'Ь«-4дс, g = -| + -iy fe2-4ac,
-|--1уЬ-4дс, g = -| + -i
4ac), cosa=
2 у ав
Ла 146 (8) в
Ла146F)
Ла146(9)В
Ла146<7>
А С dx — 6ежа+(Ь2—2ас)ж 6a—6ge Г dx 6g Г х* dx
f tfa: _ ЬежЗ + (&2—2ос)ж , (in—7) be
6 Таблица интегралов

82 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
fi С dx — \ (пг+2п — 3N Г da;
' J хтНЦ ~ ~ {т — 1)ажт-1Л™-1 ~~ (ш —1)о ; J i™"*
{т±Ап-Ь)Ъ г to Ла147A2)й
(то —l)o J жт 4Л1 * '
2.17 Формы, содержащие квадратный трехчлен а+Ъх + сх2 и степени х
Обозначения: R = а + Ьх + еж2; Д = 4ае — б2
2.171
с(ля+2я-)-2
2 CR"dx^ Д"+' i(»-" + l) f «'& . сBв-то + 2) С Rndx
J х™*1 amxln am J xm "*" am J ж "
Ла 142C), Т(98)м
J Лп+1 "" яАД «Д J "Л^" "
n—l
йж B
^5*.. T(96)«
2.172 C^ = -A_ln b+^V^A ^^
— Д / —Д
?.G3
1. J^lt^^J^ (см. 2.172).
f rfx _ &+2ся f 1 Зс \ _б?!Д _^. . 2 172^
,-• }~W~ A t 2.R2 +~Ш J + Д2 J i? (см. ^.1^).
2.174
. С xm dx _ x™'1 (n—m) Ъ С х™'1 dx
J Й»~= "" Bn—m —1)сД«-1 {2n — m — \)c J Л5» >"
(m— 1) а Г a;mrfj;
"* Bn— m — l)c J Ли '
При m = 2n—1 эта формула неприменима, вместо нее можно применить
Г X2n-Idx_ 1 С x™-*dx а Г ж2гайж 6 Г ж2" dec
i Л»~~ ~7 J Л" 7 J ~Гй« "ё" J Л»~ "
2.175
1- ^-атЬД-тИ^ (-2.172)..
2.

2.1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 83
Г xdx_ 2а+Ьх Zb(b+2cx) ЪЬо Г dx О i79\
% J~fF~ 2ДЯ2 2дТк \Г)~Й~ {.CU. 4.1/Z).
5. $^^^^$
2ae)g Bac+fra) (b+2cx) 2ae+Ь* Г dx
+Ь* Г dx
Д* J R
(см. 2.172).
_ Р aPdx х» бж , b* — ae. D Ь(Ь*—Ъас) С dx . „ ..„,
7- !i-B-B^Г-^+-2^1пД- 2ез '\иг (см. 2.172).
о Г ж»<гз;_ 1 . р , аBае—Ь*)+ЬCас— Ъ*)х ЬFае — Ь*)С dx
• J J?a 2c2 ' с2ДД 2е*Д J Д
(см. 2.172).
dx Zll b{m+n—2) Г rfj
5 xmRn ~ (m-1) a^m-iiJ»-!
g(m+2n—3) f
a(m — 1) J
2.177
(cm. 2.172).
_^__^J_j L_ I -i^ln -?1_AC_EL *_ С _^_ Ь С dx
xRs ~ 4aB* ~т~ 2.a*R ^ 2«s ш R 2a \ Лз 2a« J Д' ~ЪР ) "Ж
(см. 2.172, 2.173).
4- ix^!=-l^In^—^" + ^^ W (см. 2.172).
Ь Ь ** а + fcs ,
а»ШД a*xR H
^-^-5 W-^5^- (»¦ 2.173 . 2.ШЗ.).
dx _ ас-Ь* ¦ *» 6 1 6(ЗаС-6») Г dx
"xTR"~ 2^5— 1П"Д" + Л~2^Н 2^ J "F
я Г <>* _( i__i__5L"v\J_i/'J^i_^i4\ f dx л. 96с
й- J »'№ ^ 2ах2 + 2а*х) R +V оа в ) J йг5" 1^"
(см. 2.1731. и 2.1772.).
q { dx —( —* 2ft Л 1 , / Cba ЗсЛГ dx Шс
(см. 2.173 2., 2.177 3.).
6*

84 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2.18 Формы, содержащие квадратный трехчлен а
и бином Р
Обозначения: R^a+bx + ez2; z = а + fix; А = ар — ab$ +~са?;
(m
„ f Rndx 1 №_ 2nA Г Д"-М»
J zm ~ (m—2n—l)p a7" (m—2ra—l)Pa J z™
_ _p Дп*1 (m_n_2)i9 Г /?"dx (m—2и—3) с P J?" da:
"~(m—1) Л Z™-1 (m —1)Л J zmr> (m — i)A J zm~* '
Ла 148 E)
1 Д» nB СВп-idx 2no С Rn~idx
+ ^ ^ zm-a ¦ Jia 14« (b)
„ f ?4i_ P z^2 (m—n)B Г г"»-1^
' J if" "" (m—2л+1)с Л» ^ (m—2»+l)c J i?"
fm—1)Л Г zm~*dz
3
Д"
t dz
= &+2cx г"» 2 (от—2и+3)й Г z dg йи Р zCT't d
= (га—1)Д Д» (га — 1)Д J Jim (n—1) Л J Я»
Ла 148C)
, Г_&____^ 1 (т+п—2)ВС dx
' J a^i?" ~ (m-i) Azm iRn-i (m—i)A J zm iRn
(m+2nS)c
(m—1
P 1 В С dx (m-\-2n — 3)Рг С dx
= 2 (л— 1) A zm~1R'a'1 23" J am~1?n * T(n — i)A J «"•Я" "
Ла 148 (8)
При т = 1 и л = 1
)~Ш~~2А ~R ~ZA ) ~R~ '
При А = 0
С dx p 1 (m+2n— 2)c P
2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.20 Введение
2.201 Интегралы 5<x,(^±f)r, (g±f)\ ..'.)&, где г, ,, ... -рацио-
нальные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций под-
подстановкой
= tm, ФII57
где т общий знаменатель дробей г, s, ...

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 85
2.202 Интегралы вида \ xm(a + bxn)vdx (интегралы от биномиальных диф-
дифференциалов), где т, п и р — рациональные числа, выражаются через
элементарные функции только в следующих случаях:
а) когда р— целое число; тогда этот интеграл имеет вид суммы инте-
интегралов, указанных в 2.201;
б) когда — целое число; подстановкой хп = z этот интеграл пре-
t f »±l_i
образуется к виду — \ (a+bzfz n ^dz, рассмотренному в 2.201;
в) когда т~*~ -\-р — целое число; при помощи той же подстановки хп = 2
1 с s a4-bz\P m+> I p-1 ,
данный интеграл приводится к интегралу вида — \ ( —-— I г n dz,
рассмотренному в 2.201.
Формулы приведения для интегралов от биномиальных дифференциалов
см. 2.110.
2.21 Формы, содержащие бином a -\-bxk и
Обозначение: z1 = a-\-bx.
2211
2212
2.212
x (см. 2.211).
2.213
2.
3 ^^yjdx^^_^+^2V^-^\~^ (см. 2.211).
4. f _^L = ??+ * С-^L (см. 2.211).
5. JJ^=_^ + JLJ_^ (см. 2.211).
6. j?j^ = ^5_^j/|^ (CM. 2.2135.).
8.

86 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Ю. J-lCp--_*? + .* J?j* (см. 2.213 9.).
*YxdX f х* 5ax\2/; iba^Yxdx 2 214 9
Обозначения: г2 = а
2.215
/я,
|_ a'+^z s a' J L^
2.216
(-2.215,
3- S;?Hg+?S^ Г-. 2.214,
f ,/id, e _ j?i + i f л (CM- 2>2I4)-
6- )—ij ^7 + 4б}-^~ (см. 2.215,
7- ^^Тг^С^+М^^^+Зг^^^^ (см. 2.214,
10
f х»/ж<гх ггт^г За Г Yxdx
J 4 56г1 +5бЗ 4 (СМ.
2.22-2.23 Формы, содержащие V(a+bx)*
Обозначение: z = a-^bx.
(-1)»
2.220 ^^^ {s

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 87
Квадратный корень
о оо< С „n i/~2"»-i fjv J V nA 1 Zyz
ft=0
2.222
/z *
xdx f 1 Л 2
r »*<*» _/l . 2
i /I ~СГ —з
2.223
1 C^? 2
xdx
2.224
Y' b
a
Г zm dx _
n—2
-y Bm—2я + 3)Bт—2д+5)...Bт—
Bm— 2я+3)Bго-2я +5),..Bro—3) Bm— 1) 6»"» Г zmdx
При n = 1
f zm , 2г™ , Г z™'1 ,
3. \ —t^ йж = -- + a \ —y=- dx.
'. f z™ ,
J ж/a
5.
>
& Vj
2.225
t p Vlif = 2-j/i + a f _** (CM.2.2244.).
2. С 1^2=—t±.jr±.\JfLTT (см.2.2244.).
3. ^*5rf=—Й-Ч-^Й—^-^-^т (см.2.2244.),

88 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.226
j ??* (^ ^)^T^ ^ J^ (CM. 2.226 *.
X3
m—l
^pr . (см. 2.224 4.).
2.228
1. \-0±- = ——~ir \ -=t= (cm. 2.224 4.).
2.229
*• $^7?=77T+^}WI (см. 2.224 4.).
„ P йж / 1 36 Л 1 ЗЬ Г dx
2- J 57г^^
1 ЗЬ Г dx
Кубический корень
2.231
j Зл —
J fl^FfJ |Z) Зл—ЗА—3(от— 1) — 2f
j 3«-3A+3 (m+i)+2f
№=0 ' J
С xndx _[¦
_ Г г" dx z 5 Зд—3m+4 b Г г" da;
J а'я^г5 (m—1)яж7™ 3(w—1) a j гя>-1 ^"Js
При m = 1
3z" , r z"-i<2a;
С fe 3fi 1 f ^irf»
J жа»^? ~ Cn—l)eza + e } «z» '

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 89
2.232
x fz* fa* I ^ уg У 2+2 \a
2.233
(см. 2.232).
2- ^ ^= -4? +4 ^+4 S ^ («• 2.232).
dx Гем 2
2.234
f г"<гж _ z"fi» 3n — 3m+5 6 Г z"dx
• Jsem^i"" (m — ljaa:™ + 3(W—1) a J жт-1 ^ "
При т— 1:
2. ' - - Зг"
Г dx _ 3fz* 1 Г
J a^lTi Cn-2)oz» + я J
2.236
2- \^--^ + ir?+f^ <«.2.235).
3-
<»•
2.24 Формы, содержащие j/^a + ftas и бином
Обозначения: z = a+bx, t=a+^x, Д = аР—6a.
2.241
л z™««fe _ 2 tn*i.m-i -,/T , Bm-l)A f Zm~ltn dx
Ла 176A)

90 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.242
2a
V~z
tzdx 2a
tz* dx 2a
56
 V) & '
12.
2za а*
+
-» д л 2кг |
ЗЛ
а» "\ 2 У
2.243
Г t"rfx _ 2 г" т/~
Г tn dx
Bт— 1) Д i zm-x у- '
2пр Г t"-i <?г
Bт—1N г™ »/Z + Bm—1N J zm-i y^ "
176B)
9
2k—2p—2m+l *

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 91
2.244
tdx _ 2а jpjz+e)
1 V "**_= 2ct 1 2P(z+f>
J zYz
Г t*dx _ go» ба^р (g+g) _j VJ ^_
J i/z 6 lAz б'Уг 63 Yz
Ba
-r 5
bl
tdx 2a
4.
2,
+ -
„ v «rf* 2a
i/j 56
8.
56 l/z5 fc2 j/'z
g r
56 У z6
2рз
,
6*
2.245
zmrfa; _ 2^ z™-i ./- Bm—1)Д
l
1 zm ,- _ Bи—2m—3N Г z"» rfg
l)At"-' ^Z 2(л— 1)Д Jin-iy^'
„ Г z
n-1
SBn— 2m—3)Bи—2m—5). . Bи —;
2fe"l(B— 1)(b—2) ... (n —
ft=2
Bя—2ira—3) Bn—2ro —5) ,. (—2tre+3)( —
-s

92 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
При п = 1
о Г zmdx _ 2 zm А Г z™ tfcc
tYi '
m—l
, Г zmdx ,„ ^i Ah zm~h Д™
2.246 C_^ = -JU in-il^E- [PA>0];
0 i/z /PA Р/2+/РД lF J
3 l?M7i ^^7;^ A42m2k+i) a i 77т (CM- 2-246>-
2.248
J te/z Д Yz. 4 J « /z V '
2. \ 7=r = ^ A ?—; + "ТГ \ t=- (CM. 2.246).
4. С * = —^_ » \ * (см. 2.246).
5. <:-^= ' 4.-§(A (CM. 2.246).
J t4 Yz At Yz A2 Yz a J I /i
6
С
7 С dx
7 С
J
5A2z«
5b 156»
И- J i^z/i ~ ~2A^/i+ 4A»«/i +wVi+ 8Д»
10 С ^ _. г | lbVl ¦ 35ьг |
J №s2 j/'z 2Ai^z |/^л ~ ^4z yz "Г 12Дд2 угя
14 С dx — 1 ¦ 96
О i»za l/"i ~~ 2Дг«2г Yz iAHz2 Vz
г 8Д*
636»
2O43z2 Y~z

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
93
12
(см 2.246).
? S Г7Г
5bzV~z 5bA V^i
IS
туг
AH
2.249
(n—1
2 (л— 1
Hvft Bл+2т
4=2
.„-! Bi»+2m—
1)(»—2)...(л—
—5)...(—2m+3)(—
При и = 1
Г dx
l
1 С dx _ 2 Y* Bn+2m—3)P f dx
J 2mt»-|/"i "~Bm — 1)Д /n-iz» + B/b—1)A J jtijin-i^i '
JIa 177D).
1 1 ¦
Jtzm/i
Bm —1) Д
С dx

94 2. НЕОПРЕДЕЛ ЕННЫВ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.25 Формы, содержащие "]/а + Ьх + сас2
Способы интегрирования
2.251 Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида
\ R (х, Vа-\-Ьх + согг) dx достигается с помощью по крайней мере одной из
следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера:
1) У а + Ьх 4- схг = xt ± Va при а > 0;
2) l/q + kr+az2 = *-.(: z ]/с при с > 0;
3) ]/с (ж — a-J (ж — ж3) = ? (z — хг) при условии, что корни х-, и ж3 урав-
уравнения а + Ьх + с#а = 0 действительны.
2.252 Кроме подстановок Эйлера, существует еще следующий способ вычи-
вычисления интегралов вида V R (х, |/а -г bx + ex2) dx. При помощи уничтожения
иррациональности в знаменателе и простейших алгебраических операций
подынтегральное выражение может быть сведено к сумме некоторой рацио-
рациональной функции от ж и выражения вида i (д) — р л^
Р2 (ж) у «-f- 6i j-сж2
и Р2 (х) — два многочлена. При помощи выделения из рациональной функции
Р,(х) ,
целой части и разложения остатка на простейшие дроби интеграл
от последнего выражения сводится к сумме интегралов, каждый из которых
имеет один из следующих трех видов:
I, \ — х — , где Р (х) — многочлен некоторой степени г;
J у а -\- Ьх -j- ex1
п
С
Г
J
(Mx+N) dx
(многочлен (г— 1)-и степени. Его коэффициенты, а также число й. вычисляются
по меюду неопределенных коэффициентов из тождества
р (x) = Q' (x) (a+ bx + cx*) + -±-Q(x)(b + 2cx) + k. ФП77
Интегралы вида \— —^' JLr-^ (при г<3) можно также вычислить.
J у а-^-Ьх-\-схг
пользуясь формулами 2.26.
тт п Г P(x)dx
II. Интегралы вида \ ^т=»- ПРИ условии, что степень п
J (х-\-р)"- у а-\-Ьх-\-сх3
многочлена Р (х) ниже к, с помощью подстановки t = ——— приводятся к
интегралу вида \ —Г =- (см. также 2.281).
ттт тт Г (Мх-{ N dx
III. Интегралы вида \ ! -_ вычисляются сле-
J (а+$х+х*)тУс(<Ь+Ъ1*-\-*г)
дующим способом.

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
95
Если 6j Ф р, то при помощи подстановки
этот интеграл приводится к интегралу вида
1
многочлен степени не выше 2т—1. Интеграл \
J
С tdt
к сумме интегралов вида \ , и
сводится
+) V+4
С tdt С dt
\ , и \ —г .
Если 6, = 6, то к интегралам вида \\ *
1 К 3
приводит под-
становка / = х + -у-.
берется с помощью подстановки t2 + а = и*.
Ч
берется с помощью подстановки
¦v (см. также 2.283). ФИ78 —82
Интеграл \
Интеграл \
J
/
2.26 Формы, содержащие \f а -+¦ Ьж-\- еж2 и целые степени аг
Обозначения: i? = a + 6z + ca:2, А = 4ас — б2
Упрощенные формулы для случая 6 = 0 ем. 2.27.
2.260
(m+2n+2)c
6 f
c J x *K dx~
TA92) B
2.
fe=0
B»+1)B»-1)..-B»-2*+1) f A Y+1 on-
8Л^л(л— 1)...(л—fe) It i П
Y
-t 1
2.261 При n = -1
= -^ Arsh
У с
[c> 0, A > 0];
[c<0, A < 0];'
=—4-- In Bcx + Ъ) [с > 0, A = 0].
у е
TA27)
Д C80 001)
ТA28)
Д C80 001)

96 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.262
1. JVB^JS-^L+^J^. (см. 2.261).
8.
2. ^VR^y^-S^^y-^Щ^ (см.2.261).
/56» а Л,
Те
76s ЗаЬЛ А
)
J^S^ (см. 2.261).
6. 1^(^ЁЬу
7.
2.263
. Г хт dx х™'1 Bm—2л—1N Г я™-'* dx
J YRm*x ~ (та—2л)е V^B^^1 2 (да— 2п) с J i/^affu
(та—2л) е
-ё^гЛу~- ТA93).
При т — 2п
9 f Дг"^ж а?'"'1 6^ Г г2™"! 1 Г ж««-«
ТA94)и

2 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 97
3 { dx = 2BсЖ + Ь) 8(в—1).: I dx
¦ J /iJaifTi B 1)Д \/'JV^ B
B71-1) Д V'W-^1 <2n-]
4.
' '- Bn — \
n-1
8b(n—i)(n — 2). ..G8 — 7
2.264
V U -I. V 8"(П—l)Gi-2)...Gi-ft) С»» „hi
Х\1+ 2j -72Й=зЙ2»-5)...B»-2*-1) "Р"^ f
(см'2-261)-
fi^=li_|f^. (см. 2.261).
(см>
2а -\ г-5
(см" 2>261)-
5- S
7. J
2.265 ^
При
с
\
При
S
dx
x dx
l/Л3
/Л3
vr
m=\
aJ
У (bx-\-c;
2 Bcx-{-b)
A \fH
2 Ba + Ъх)
Д У"К
cAx* + t(Uac
dx —
2n+i
B,
-2ab 1 С dx
c J |/i?
сгД/Л
Bя —2m + 5)b
, B»-Я
+ 2 ^ 1/Д
I/ (teJ-ez2J'1*3
г — 2/n+3) Ьз;га
2(m—2тг—З) с
1 Bn — 2m + 3)b
(см.
c + a
P V^(
j
3fc
2c2
x'
26
/
/
-c
dx
VR
dx +
x
ж2J"*1
- (см.
dx.
- Ла
TA95)
TA98)
При w = 0 см. 2.260 2. и 2.260 3.
7 Таблицы интегралов

98 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
При и = — 1 и т= 1:
2.266 \ —у= = - -*=- In 2n+fttt+2_yj.-g_ ja > Oj. т A37)
-arcsin _jgd^_ [а<0, А < 0]; ТA38)
1
Y'^a "*""й 2 l/"=^ l/l ^ < °'' ЛЭ 178 ^И
[а>0, А>0]; Д C80111)
)/"а 2 у'а
1 , х
Ла 170A6)
ОХ
2.267
(СМ. Z.ZO1 И 4.ZOO).
2
При а
'¦
При а =
^77Fw 5 W -2-261 и 2'266)-
iS^8JtPBS^ (см-2-261 и2-266)-
'
(см. 2.26^).
(см. 2.261 и 2.266).

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 99
При а = 0
с /S^Eda: = ^_26V^+^ + ^? С *^_ (см. 2.26!).
2.268
(m — l)aa
2m -3)Ь Г rf» Bn+2m — 2) с
(cu- 2-26e)-
При a =
3-
При a = 0
С
При а = 0
2_( 1 . 4c _ 8с3ж \ 1
dx
dx _f 1 Zbe cCb*—3ac)x\ 1 36 ( dx
Г rf» Bn+2m — 2) с Г rfg TC1961
2(m — l)a J xm~l y^T?2"*1 (m—1) a J xm~2 Yi?2n+1 "
При 7И = 1
Г gfa t ь С jg_ l Г cte
При а = 0
e dx 2
J xm ^(te+ra2J"*» ~~ Bn+2m— 1) fem ^(te^- cx^^-i
(in + 2m—2)c С dx „
- (tn+Zm-Dh } хш-1 Y<fix~+c^f^ (СраМШ •
2.269
(см, 21266).
При a = 0
J x*V{bx + cx*y " 4. 6хг + fc2a 6^ 6*
f dx _/" _L-
6cA562—52ас)гЛ 1 , 156s— Пае С dx
Л 1 , 156s— Пае С
J 2 >^й 8a3 },
x
При a = 0
1*

100
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.27 Формы, содержащие ]/a-t- ex2 и целые степени as
Обозначения: и = ]/а + сх2.
Ъ-^
4= arcsin x ш/ _ _?_ [с < 0 и о > 0].
—« го
[а > 0 и с < 0];
1
V"
2»^ a |Л»+и
= arcseca: l/ — — = arccos — 1/ — — [а < 0 и с > 0].
2.271
1.
3. ^
4. ^
С ^fL — 1- —
„ Г ж da; 1
'• )и«1*1~ Bи— 1) сИ3"-1 *
2.272
, 1 хиь 1 ахи,3 1 а2хц 1 а' .
24 ~c 16 ~c
16 T
1 arus 1 оги 1 а3
Ли3 си ' с *"
5.
3
7
Э" J,»M*i-a»-i.
fi \ »'^_ * у (-I)*/""-2
А=0
7.
Xs dx
Bи—
ДB30.05)а
Д B30.03)м
Д B30.01)a
ДB00.01)и
ДB00,03)и
ДB01.9)в
ДB32.03)в
ДB32.01)и
Д B02.01) и
Д B02.03) ц
Д B02.05) в
Д B03.9) и

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
101
2.273
2.
3.
6-
2.274
1.
z«<fa;_ 1 ^ (- l)fe / п—3
fc=0
2о
ах3иь
5
5
За*хи 3 а<
5а*хи 5 a*
5 ahcu. 5 а3
1 it6 , 10 м* . 5 агх 5 о
Т^ + Тл^ + ТлГз-т^
23 г6 7 or» агж 1 ,
V *
Г x>dx 1 За
J иал-и Bn—7) с4и2п"!' {2п—5) с*иап"» Bв—
3) c«u4n
2.275
1.
2.
3.
4.
B,
Д B34.03)»
ДB34.01)И
ДB04.01)а
ДB04.03)«
ДBО4.О5)И
Д B04.07) и
ДB06.01)и
ДBО6.ОЗ)В
_ .„„„ АГ
Д B06.05)»
ДB06.07)и
ДB06.09)«
ДB07.9)И
ДB41.05)и
ДB41.03)н
ДB41.01);1
ДB21.01)а

№2
2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
n-1
5.
- 6.
7.
8.
9.
2.276
1.
2.
3.
4.
5.
6.
i 7.
8.
9.
x "
10.
2.277
1.
2.
3.
г
4.
2.278
1.
2.
Т
и» , и& . 5 , , 15
¦^jote== — ^ + ycxu+ й
Си, и , ,
п
С dx 1 (и -~ ' -
15
?
й=1
2k—\
«3
и с .
2ах*~а *¦
Г <<g
1 За Зс^л
2аг2и 2a% 2aa *'
1 5 ^ 5 с
2 д3и
be
Зож3 '
••
¦ Ъхъ 1 (« 1 ^ x
fe=2
и»
З Сиз
8 ax*
з с2„ з
8 о ~т~ 8 г%
i , И 1 СИ 1 С3 .
8 о»г2 ^ 8 а*
1 ,5 с , 15 с1 , 15 с«_
а»
5
4ах*и ' 8
15 с
1 8 ози 1
Ьахь '
и" 2_ си3
~5ая*т 15 oV '
ДB42.05)и
ДB42.03)и
Д B42.01)и
."О2"*'}-
ДB43.05)и
ДB43.03)и
ДB43,01)и
ДB23.01)и
ДB23.03)и
ДB23.05)и
ДB44.05)и
ДB44.03)и
ДB44.01)в
ДB45.03)и
ДB45.01)и
ДB25.01)и
ДB25.03)и
ДB46.03)и
ДB46.01)и

2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЮЗ
dx __ _
J " ' 2 J~x~
n+2
2k — 5 V i
fe=3
2.28 Формы, содержащие У а + Ьх + «с2 и многочлены первой и второй
степени
Обозначение: i? = a+ ta + еж2
См. также 2.252.
2281 ^ dx _= \
2.282
dx
• J (*+р)(*+?)/д g-P J («+/>)/д ^ Р-? i
„ p ySdx _ l С YRdx l Г
' J (*+pH*4-?)~" 9—P J -K+P P—? J
4.
г Г (rs-j-s)<ta _s —рг Г rfg ¦ s — qr С dx
' J (x+p)(x-i-g) YR ~ Ч—Р J (Ж+Р) /й Р—« J
Г «Аг+В)^ _ Л Г <fa 2Дс—АЪ Г A — epy-irf
3 (+Л)» /д с 3 (Р + «2)" + 2е J Г p+a_W__c
где u =
-2с/д
2>
где

104 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
/, = arctg ]/ »_JaA_^e-irE- [Р{Ъ*-Ча + р)с}>0, р<0];
-О, р>0];
1
21
l
Ъ.
2.29 Интегралы, приводящиеся к эллиптическим
и псевдоэллиптическим
2.290 Интегралы \ R (x, ~]/~Pjx})dx, где Р (х) — многочлен третмй или
четвертой степени, путем алгебраических преобразований сводятся к сумме
интегралов, выражающихся через элементарные функции, и эллиптических
интегралов (см. 8.11). Так как подстановки, преобразующие данный интеграл
в эллиптический интеграл в нормальный лежандровой форме, различны для
различных промежутков интегрирования, то соответствующие формулы
даны в разделе определенных интегралов (см. 3.13, 3.17).
2.291 К интегралам вида \ Щх, V Р (х)) dx приводятся некоторые ин-
*
тегралы вида \ R [x,\fPn(x)) dx, где к > 2, а Рп (х) — многочлен, степень
которого выше 4. Ниже даются примеры такого приведения.
1 г * „„г dz o
' J У 1-х* J /3+3za-j-z* L
2 Г dx = 1 Г ds
3.
4 f
J у
dz
где
_
rf -i 1 f
= 2a DZ3 - 3z) + 26 Bza - 1) + 2cz + rf.

2.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 105
_ С dx 1 f dy
1 f
- 2/2 J
где j» = 2a Bza -1) + 2bz + с
2
где
f a:rfa; P
[a + bx2 + еж4 = z4, A = b2— 4ac,
(c—z«)/b2—о (c—z4)
где Дх (z4) и Л2 (z*) — рациональные функции от z4; a + 2bx2 -f- еж4 =
2.292 В некоторых случаях интегралы \ R {x, \fP (x)) dx, где Р (х) —
многочлен третьей или четвертой степени, могут быть выражены при помощи
элементарных функций. Такие интегралы называются псевдоэллипти-
псевдоэллиптическими.
Так, если имеют место соотношения:
то
2. f /»<')"¦ Гfi2(z)dz Г2^/НГ^
^ /A)A*Ч) ) L /!-*¦* J
где jRx(z), -Ra(z), ^?зB) — рациональные функции от z.

106 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.3 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
2.31 Формы, содержащие еат
2.311 ^^
2.312 а* в подынтегральных функциях следует заменить через е*1па
2.313
I1- $я^^[тж-Ь(а+6етхI- ПD10)
П D09)
2.314 ^^^^-^^ctg^/J) И>0]; 11D11)
2т.у — аЪ "* b—
2.315 С *1 ' l^+g8
2 , У~а+Ьетх , Л1
= -^^arctg1' 1_ [а<0.
ту —о ]/ —а
2.32 Показательная и рациональные функции от ж
2.321
[ ^^[ m^Ах.
2. \zVJ*<te = e°*(-^+2 (-1I
2.322
1.
2.
3.
2.323 $mH ^2(^
ft=0
где Рт (ж) — многочлен относительно х степени т, Р(А) (я) — к-я производ-
производная по х от Рт(х).
2.324"
2. ^^--"^

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 107
2.325
\. ^ -^- dx = Ei (ax).
2.
2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
i
2.41 — 2.43 Степени shac, ehx, that; и ctfia?
2.411 \ shvxctilzdx = -p \- ч \ sh"xcloT2xdx;
shP xchi*1 x p—\
\
ж ch»+1 a;
shP+1 x Che1-1 ж
= ^+i
2.412
\ shp
2 Г
- \
Bд-1)B»-3)...B»-2й+1)
B«+p-2)B«+p-4)...B«+/,-2A)
Эта формула применима ири любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных четных чисел. —2, —4, ..., —2л. При /> нату-
натуральном и и = 0 имеем:
т—1
2 ^Ch^j;^ ( ГГГ2"*^ Ж I 4 У( 1)kf2m\shBm-2k)x
1. ^ sn жаж — ( I) i^m j 2%т -t-^m-i ^ к I) ^ к j 2т—2к
ft=0
ТE43)
m
fe=0
ГХЦ351К5)

108 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4. ^ shpхch2"*1 xdx = У*™* \ch2"a: +
J 2n+p-fl 1 ^
-у 2ftn(«- 1) ... (д —
fc=l
Эта формула примепима при любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных чисел: —1, —3, .... — Bи+1).
2.413
Bя+Р — 2)B«+р—4) .. Bя+/)—Щ
Эта формула применииз при любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных четных чисел: —2, —4, ..., —2и. При р нату-
натуральном в о = 0 имеем:
ft=0
^ J 2т-2Л
ft=0
C)^ ГХ1[351](8)
4. ^ chpж sh2»+» a; dx
2ftrc (д—1) ... (n—k+i) sh2"-"* ж
К 1
Эта формула применима при любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных чисел: — 1, — 3, ..., — Bи + !)•
2.414
1. \ shaxdx = — chax.
J «
2.
3. ^sh3a:rfa:= --|-ch x+± ch3a: = i-ch3a;-chx.
4. ^shxdx = ^xsh2x +
Г 5 5 1
5. \ sh5 a: rfx = -g- ch x — — ch 3x + ^ ch 5x;
4 1 4
= ¦=- ch x -F- -g- sh4 x ch # — jg ch3 a\

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 109
— g^ch x + ^chsa: — |r ch x sh4 ж + у ch ж sh" z.
6. ^shxdx = _l
5 1 ^i S
= — ^ x + -g- sh5 a: ch x — ^ sh3 x ch ж -f jg sh a: ch ж.
7. ^
8. \
J
9. С
10. \ |^ +
11. \cb4a:da:|a- + 4sh2x + 4sh4a; 2x + |shxh +
J 4
12. ^ |^ ^
13. \Chxdx = ^x + ^sb2x + -l
= jgX + TgSh a: ch x + 54 sh ж ch3 a: + -g- sh a: ch5 a:.
= gsha:+^sh3a: + ^sh5x + ^gSh7a;;
24 Я R 1
= 5g sh a: + ^ sh3 x + — sh a; ch4 a: + у sh x che ж.
54
14. J g^
2.415
ch (a—b) x
2. V sh ax ch axdx = -^
3. \ sha x ch x dx = ^ s^3 x-
A \ cf«3 -y g>\\ -у гг-у —— , . cll^ -T
J 4
5. \ sh1 x ch a: dx — -=- sh6 a:.
6. \ sh a: ch2 xdx — -^ ch3 a:,
7. \ sha a:
8. ^

110 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯ
10. С sh x ch3 x dx = -1 ch* x.
11.
Г 3 i
T У \ СГ1**'/• /* h^f fit* ¦ ___ r> ri x T* _l_. , /»h r\f* ^^
X^i. \ oil л cij. л «л — — ^j cil uil ^* "i'rtrt ^** ил — -
Sil Л Cxi X
13. \ sh4cc ch3cc dx = -7r sh3a Г ch4cc —=¦ сЬ2ж —^- ) = 4- ( ch2a: + 4- ) sh8cc.
14. \ sh ж сЬ4ж rfa; = -=- ch6cc.
15. ^sWxctfxdx ^sh2x + ^sbix +
16. ^ sh3a; ch4a; rfa; = у сЬ3ж (^sh4a; + | stfx\)
17.
2.416
^J Bл-3)Bп-5)...Bл—2А—1
B»- p-2) B»-^f-4). .(-
SeC
Эта формула применима при любом действительном p. \ shpa; dx при р
натуральном см. 2.4122. и 2.412 3. При в=0 я; целом и отрицательном
длн этого интеграла имеем:
2m—1
m—1
>-! 2* (i»-1H»»-2J. ¦¦(«-*)
B™-3)Bm-5)...Bm-2ft-l)
3.
m—1
l-1>lll«fV.a;

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.417
Bn-p-l)Bn-p-3)...Bn-p~2k+l)
(
4
Эта формула применима при любом действительном р. При п = 0 и
целом имеем:
О )» > ч-
m
3- 52S?S1
. 1)" cosecbam-2fe+as
'
2.418
П
Bb—3)Bn —5)...Bn-2fc —1
Эта формула применима при любом действительном p. \ chpx da; при />
натуральном см. 2.4132. и 2.4133. При р целом 1а отрицательном для этого
интеграла имеем:
„ Г dz зЬ х
2. \
J
chzma: 2m— 1
Bm —3)Bпг —5)...Bm-2/fc—1)
.-2*-l Д
J "
m—i
^ B1»-1) Bm-3).. .Bm-2*+l)
2j -~2*(m-l)(m-2)...(m-fc)
Bm)!!

112 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.419
(-1)"Bв-р-1)Bв-р-3) ... C-p)(l —p) f Afi,
Эта формула применима при любом действительной р. При
и р целом имеем: 184
3. 5E
S
IB
sr\ sech27™
= 2i 2m-
m
5' 3 sh x eh"»i« = 2
k=l
2.421
1 jlncha;.
[В формулах 2.421 1. и 2.421 2. «= 1 при да нечетном и m < 2л+ 1;
в остальных случаях s — О.] ГХ1[351]A1 и 13)
2.422
m+n-l
dx V <- 1>fcn
2m—2&—1
г, С dx ¦л ( —1)"
ilhi. ГХ1[351]A5)

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ
2.423
2. 5^ —eth,.
сЬж 1
d* chx 3 chx 3 . . x
+ + 8 ШШ 2 «
sh6x~ 4sh*x^ 8 shax^ 8 *" "" 2
j sh'x 5shBa: 15 5 ' ч
= — у cth6 x + j cth3 x — cthcc.
7 С dx — chx ^ 1 5 15"\ 5 , , x
8. ^ ^ = cth ж - cth3 x + у cth6 x -y cth7 ж.
J ШХ
= arcsin (th x);
= gdcc.
dx .,
- = th x.
«¦
shx 411Я_, 4_
5
= 4- th5 x - 4 th3 x + th
15"
16.
18. \ ^-r-^ dx = sh x — arctg (sh ж);
19. \ ^-r-- dz = -^- sh2 x — In ch ж:
J ch x 2
= у ch2 a; — In ch x.
8 Таблицы интегралов

114 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
20. \ ~g-^ dx = -g- sh3 a; — sh x -t- arctg (sh ж).
22.
j
23. \ sblxi
24. \ \^ dx= —2" a; + -7- sh 2ж + th ж.
25.
oo f sh2 ж, shx
26- ida:
27. \ ^5— dx = —5- th2 a; -1- In ch a;;
j en x &
1
'2cha г
+ In ch ж.
=^+sh ж - т
sh3a;
29.
30.
M
32 \ dec = —s- th3 x —
j ch'x 3
33. "
35.
36. С ^da; = |-
37. С *?Ас=-4-.
j sha x sax
38. f 2^5dec = ж— ethec.
39- W»da;=shs-
Chi

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 11 о
J sh3 ж 2sh2 ж ^ 2
43. \ —-=- ax — — трг^—h In sh ж:
J sh3K 2эЬ2ж '
= — 4-cth2r+lnsha;.
/7 С ch»a: , 1 1
47- )&=
48. \^|^
51. \ _^_= *—hlntha;;
J sh ж ch" ж 2cha ж
~ 2"
52. С _^_ = J_+ *_+lnth4.
J зЬжсЬ*л сЬж ' ЗсЬ3ж ' 2
со С <** 1 ,
53. \ -rs—;— = —г aretg sh x.
J sh2 x ch ж sh ж °
ее С йж shac i 3 ,
55- \-^T7T^=-^h^-5h^-Tarctgsha;-
56 С ^ - * 8
**"* J 8ЬажсЬ*ж ЗвЬжсЬ3» З
57. ? dx =_^-_lntha:;
= — у cth2 a; + In cth x.
ch3! 3 inth
ЙЬ> J sh»xch*x
rQ f dx 2ch2* 91 .,
59. \ —r=—r-=— = •—rvTi ^ln tn x,
J &h3 ж ch3 ж sh-12я '
= у th2 ж —-i ctha ж - 21n th ж.
С __J??— 2 __1 chx 5. in »!,.?.
- J sh3ich*a: "~ ^ж 3chsa; 2sha ж а а *

116 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
62' 5 bh*fch*r = -Ш1Ш7+Т cth 2x-
63-
2.424
2.
-2
h=i
3. \ th»*Ac = -2 ^"lfc+* + *• ГХ1 [351]A2)
4. С сШ"ж^= -с№^1.ж+ С сШр-*жйж [р^ь 1].
s. 5
~ 2j 2n—2*4-2
n
6. ^ cth8"» Ac = - 2S C2«-2fc+Г + ж- ГХ1[351]A4)
ft=i
Формулы со степенями tha; и cth ж, равными тг=1, 2, 3, 4,
см. 2.423 17., 2.423 22., 2.423 27., 2.423 32 , 2.423 33., 2.423 38., 2.423 43.,
2.423 48..
Степени гиперболических функций в гиперболические
функции от линейных функций аргумента
2.425
C d] [<*•*«¦!. rXl't352JBa)
2. Jeh(aa;+b)ch(c» + d)Ae=y^jch[(o + c)a!+b + (q +
+ 2 {a-<jcb t(a- c)x + b ~rf] [a2?=C2]. ГХ1[352]Bс)
3. С

2 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 117
При а = с.
4. \sh(ax+b)sh(az + d)dx = — ^ ch(fc — d) +~shBax+ Ь + d).
ГХ1 [352] (За)
5. { sh (ax-hb)ch (ax+ d)dx = -|-sh(b — d)+ ^chBaa;4- b + rf).
ГХ1 [352] Cc)
6. С ch {ax+ b)ch(ax-t d)dx^ ^ch(b— d) + ¦^shBax+ b +d).
ГХ1 [352] Cb>
2.426
ch {a+b-^-c) x ch(—o
J 4 (a+b+c) 4(—a+6+e)
ir^t^iStt- ГХ1[352]Dа,
2. \ shaxshbxchcxdx^ ЛТ' —¦^ ^7 T ;
3.
4 (a+ &-(-<:) 4(—a + 6+c)
6 — с) а:
4 (•-»+'«) 4(a+6-с) *
ж ch( — а
sb (a-\-b-\-c) x sh(—
Л qh iaA-ЪЛ-сЛ х
sh(a — b-\-c)x sh(o+'
+ 4{a-6+c)
2.427
1. {shxshaxdx
2.
\p не равно целому отрицательному числу].

118 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3. \sb»x^2nxdx-T^+n+iy
_г(А+в-2йУ
fe=O
[/> ве равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] E) в
2.428
^ 4 j; — p [ shp~l я sh (a —
4^
2. { sb?xcbBn+l)xdx =
Й
г(Е±1-п)
[р не равно целому отрицательному числу].
3. { sh^х ch 2nxdx = г(Р+1) х
[/> не равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] F) и
2.429
1. \ chpxshaxdx = —jI- Ich?хсЪах + р\сЪр~1 xsh(a—l)xdx\ .
2.
р/Р+
X chp-ft x ch B/i - к + 1) ж + 2г.г о,-в+1) jj chP" Ж sh (Я + 1J Ж dx
[p не равно целому отрицательному числу].

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ 119
У chp" г ch Bп — к)х+ ..„_> —-г-^ \ chp-"жsh «ж«Ы
[jo не равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] G) в
2.431
ch" a; ch (а - i)xdx\ ,
2.
{
у rhP-" r sh Bи - A: + 1) x + g.r 0>-¦.+1) ^ chP~" ж c
\p не равно целому отрицательному числу].
у гЬр-" ж sh Bn - А) ж + 2nr(j?_B+1) V chp-" x ch лж dccj
[/з не равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] (8) и
2.432
2.
3. \
4.
2.433
sbBn-\-\)x j _9 у shBB—2k) x
2. Sw^^^^lSry*- rXI[352]Ed)
3-

120 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
п—1
, Г сЪ2пх , 0 ли сЪBп-~2к- 1) ж . ., х
4- \ -&lTdx = 2 2i 2»-2fc-l + Ь th У •
ft0
fe=0
6- \Ч^^ = 2^ ^-^ Cb(!n-Sll)X • rXI[352]Gd)
ft=0
7- С i\
n—1
8f ch 2nx , о XI / л\к shBn—2fe—1) a; . ..„ . ,
fe=0
ГХ1 [352] (8d)
q Г sh2a; . _ 2
У- J sh"a: (n—2Khn-aa: '
При и = 2:
Ю. С
.. С sh2x dx A
' i сЪпх ~~ B—n)chn-*x '
При л =2:
12.
13.
chb , 4.1.
chi , 3
+
16
. \ c dx в= 2 sh ж — arcsin (th ж).
shz 3
19.
20. С-^-rfa; =
21.
22 С sh3:c dx - 4
' J chna: C—n)ch"-sa:
A

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 121
При п — 1 и п = 3:
23.
; Г сЬЗа ,4
°- } sirtr aX~ C
C — «)sh»
При п = 1 и п = 3:
26.
j sha;
27. С
28.
29. {^?Ldx=4shx — 3arcsin(tha;).
30.
2.44 — 2.45 Рациональные функции от гиперболических функций
2.441
С A^-Bsbx , __ аВ—ЬА сЪх
l- J {a+bshx)n (л—1)(а2 + 6г) ' (a+6sha:)"-i + .
(я— \){аА + ЬВ) + (п— 2)(аВ — bA)shx ^
При л = 1:
2 t ^±^^^ = 4^-^=^ ^ .f,, (см. 2.4413.)-
з.
„ a th — b
2 Artli— 2
2.442
dx
С А+ВсЪх , В .С
• ) (a-| bsbx)n (л—lN(e+6sha;)"-1'r J (e
При л = 1:
2- S gSr<be4].(.+ iA*) + i 5-^+ЙЕ^ («м- 2.441 3.)
2.443
a- J (o+6h*)»
(я—l)(a*—
1 f (n—1) (аА — ЬВ) + {п—2) [аВ—ЪА) chx ,
(л— l)(e2— 62) J (a+bchi)»

122 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
При п= 1:
2. V —гтг-i— dx — -r-x т \ —гт—с— (см. 2.443 3.).
j а-\-ЪсЬх Ъ Ъ j e-J-bchx '
., f da: 1 . 64-асЬж г,, „ л1
3. \—г-т—г—= , - arcsin—Т , .— \Ь- > а2, ж < 01:
1 . 6+ясЪя: .,„ „ ,..
¦arr.sin — W > а2, Ж > 01:
-ln
2.444
L \ chatcbx = C0Secha [ln Ch ^±-° - In ch 5=?] ;
= 2 cosech a Artb f th у th у j .
2- ^ cos a+ch x = 2 COS6C а arCtg (th f *g I) •
2.445
, f Л+BFha; , В , л f
1 \ ! ax = — ; г -+¦ Л \ -
J (a-\-b cax)" (n—1) b (a-j-6cn x)n x j
При п= 1:
2- 54т^& = 11п(а + Ьс11ж) + Л5^+^ (с«-2.4433.)
При вычислении определенных интегралов с помощью формул
пп. 2.441 — 2.443 и 2.445 нельзя переходить через точки, в которых подын-
подынтегральная функция обращается в бесконечность, т. е. через точки
в формулах 2.441, 2.442 и через точки
в формулах 2.443, 2.445. Формулы 2.443 при a2 = bs неприменимы. В этих
случаях вместо них можно применить следующие формулы:
2.446
1 С ^ + Д ch ж Wt- — :? sh T
ra R^\ (и—1)! ^ -sn {2n — Ik—3)!!
При л = 1:

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
123
2.447
•• s
sh x dx
: Inch/ K-)-Arth — J — bx
<Teb x-\ bsbx ~ аг_Ьг [a> \b \\;
' ' ri.
— a In sh (
При а = Ь—\:
_ x , 1 ^.gt
~2 + 4 "
При a = — 6 = 1:
2.448
—sha: 2 ' 4
* 1 а»
2 ' 4
chrdr
achx+bshx
При a = b= 1:
ж—Ь Jnchfs+Arth—
^
—вж + blnsh f ж+Arth 4
с, С
J
ch
При а = —6=1:
•а С ch x dx ?. I А л2ж
J chs —shx ~2 + 4 •
2.449
dx
При n = 1:
dx
л. x—
J echr+fcsha:
1 ,
In
th
x+Arth —
При а = Ь= 1:
chx-)-sb a;
При a = — b = 1:
= — e x = sh a; — ch x.
МфК215(и)
МфК215
МфК214и215
1 Г dx^ г , , ,,
МФК214

124 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.451
f A+Bcbx+Csbx ¦ _ Be — СЪ + (
J (o+ichar+csha;)» X~ A — га) (в2-
cb
— Ва
(и— 1)(Аа — ВЬ-\-Сс)~(п — 2)(АЪ—Ва)сЬх— (п—2){Ас—Са)зЪх ,
^a+bcЪx-\-caЪx)п-^
c — Cb—Cacbx —
Г Л . п(ДЬ —Сс)
L « + (л-1)ва
n-t
h=0
—й-l)!o"
2.
f ^4+^f,ha:-}-Csh ж , Cb-Bc
j e-|-6 ch a;-| «sb a; b2 — c^
Bb—Cc , / . Bb — Cc
(см. 2.4514).
3.
4.
] In (a + b ch x ± b sh ж) [ab Ф 0].
-arctg •
In
(e—6)th-|~
ГХ1[351]A8)
2.452
1.
где
she»
'
^ 1 J Oj
4 &i
А В
1 -L-
» 1 ^^
6a «8
cl
с
2
cl al ''
ca «a
+6lCha:+ciSha; ^ 2 J a.
В С
h

2 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
125
- Г ^j cba х+2В sh х ch x+C sh8 ж
* J в ch2 ж-|-^6 bh з; ch ж-j-c sh2 x
ГХ1 [351] A9)
+ С) Ъ — В [а + с)] Id (a ch2 х + 1Ъ sh x ch х + с sh8ж) +
+ [2 D - С) Ь2 + 2ВЪ {а-с) Л- (Са - Ас) {а + с)] / (ж)},
где
/(*) =
2/Ь^-<:
In
— у b* — ас
Уас — V
1
* ^arctg^?±t
ba < «с];
с th
2.453
ГХ1[351]B4)
shx(a-j-6sha;) в
А
(см. 2.441 3.).
(см. 2.443 3).
При а2=Ь2(=1):
4.
2.454
1.
2.
2.455
в4-6 sh ill
IJ-
-\- Bla
i
sha;(«-
\ —, . . — Ab \ —, , . I
\a-\-bshx\ ja + bshry
(cm. 2.441 3.).
th

126 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
При а2 = b2 ( == 1):
О С (^4-bBchx)ffa А+В-.
*• / ^ I 7"» „I- __v _»__ J I Г,
3.
Л—В ... ж
4 2 2 2
2.457
2.458
о L & v '
(см. 2.443 3.).
(а— Ь)
Arth f |/1 - A th ж
(a—6)
МфК 195
2-
.Arcth
\-У a
Ya(a+b)
~>0 или _1<А<0 и
При а?—Ъг= 1:
3- \ L
МфК 202
2.459
1 С
_Ь sh х ch ж ., . . Г dx -I
2аF—а) |_ а+6зй*а: +<° — Zfl' J а+ЬаЪ*х J
(см. 2.458 1.). МфК 196

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 127
of dx 1 Г Ъ sh х ch x
J (л+6сЬ2:еJ~ 2a(o + 6) [ ~" o-fuch2* +
/3 2 ЗЛ /.th* ,/,. 2 1 ,2 Л 2/,tb* -[
2 ЗЛ gthr /. 2 1 ,2 Л 29tha:
J. МфК196
J(a+6ch2rK 8pa3LV P* P4/
„ 2 ЗЛ pcthr ,Л 2 1 Ь2>Л ,
?" +C1""?1112^
2.46 Алгебраические функции от гиперболических функций
2.461
1. \ УШх dx = Arth yWx - arctg УШх. МфК221
2. \ У cth a; dx = Arcth j/ctha; — arctg У cth ж. МфК222
2.462
С аЬ*Д« =АгяЬ ch* =1n(r.h.r+yV+-^2.r) Г^>1];
= Arch chl_ = In (ch x + У a* + sh2 x) [a2 < 1];
= In ch ж [оа = 1].
2. С hd
3. ^ /hj:'fj: = Arch !^1_ = In (ch x + ysWx-a*) [sh2* > a2].
МфК199
*) Если —<0 и сЬ2ж>—^-, то <p (ж) = Arth (у cth ж). Если же —<0, восЬаж-<
< — у, или, если — > 0, то <р (х) = Arcth (j cth а>). MфK20J

128
2 НВОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
5.
6.
7.
8
.
9.
10.
11.
12.
13.
С <*^_ = Arah sh* = t , у 2 2 х
Г ch ж rf
\
J yV —s
sh2 х
sha:
С
J у
С s
\ ,
=Arch — =
a
МфК215-216
= Arsh sh^ = ln ^gh yr
f ch x da; . sh r r i « - «i
\ = arcsin [ch2 ж < a8].
J у о2 —ch2x /»'-l l '
Г chrda; . , sha; r «^ n
\ , = Arch , [a2 > 11;
= In sha:
[я2=1].
МфК206
у
14,
cii
=2 VaArcth
= 2 y~a Arth
[bshx>0, a > 01;
[bshx< 0, a> 0];
a<0.
> 0, a> 01;
[bchx < 0,r a > 0];
. МфК220,221
2.463
p-{-jcha;
2 A
V
= 2
aq — bp
aq—b
ch а: У a+b u»
p+?shx
Arth
-
op — aq
. МфК 220
aq — bp
[bshx>0, i!t

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 129
aq
[bshx<0,
Arth /^° + ^Ь')
Ьр — ад
[f?=*E<o]. МфК221
2.464
1. ^ —— -— = [ — ^ = f (ягляш (th -«), fc) [ж>0].
БФ B95.00) БФB95.1О)
БФ B95.40) БФ B95.30)
3. <\ rf3; - = f(arcsia(/^'),/cMo<a;< Archil. БФB95.2О)
В 2.464 4.-2.464 8. положено a = arccos . 7 S, .?x , r = —7^= [аж>01:
l-\-shZax' -1/2
4. ?_^==^(o, г), БФ B96.50)
5. ^ "|/sSm ofx = ~ [F (a, r) — IE (a. r)] +
1 УШ«М\А^1а*1 Бф
e 1 + shliax
r ch22aa:d; = ±-E(a, г). БФB96.51)
r_Ji_sh2a?^^=i }_f j БФB96.55)
F (a< r) - E (a> n]' БФ B96'54)
В 2.464 9. — 2.464 15. положено a = arcsin I/ ch^~1, г = -^= [ж Ф 01:
9. ^ .rf!t =—^F(a, г>. БФ B96.00)
10. иЖ2^Л = -4=[^(а, г)-2?(а, r)] + -^J^=. БФB96.03)
J ay 2 ay ch 2aa:
"¦ S /5ё-.-РТ[2?(а' r)~~F{a> Г)]- БФB96.04)
13. V sh'2ax dx = _ XA F (a> r) _). J_ sh 2aa; |/ ch 2аж . БФ B96.07)
, Г th^ 2ях dx "V 2, г* / \ tn 2ax "Crts /one /лс\
^4 V —-?.— /^(a, /•) — it ¦ ¦ ЬФB9Ь.О5)
9 Таблицы интегралов
71n (a> ^a'r)- Бф B96-02)

130 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В 2.464 16. - 2.464 20. положено а = arccos /«
у
16. С . ^ =4/-L^/'(g, г). БФ B98.00)
17. С l/a+fcsha:da:= ^a2 + 68[F(a, г) —2?(a,
^j&chs/a + bsh^ БфBg8 02)
у^ + ^+а + б sh*
-a-bsbx r.^-BBu»_ БФB98.03)
19. ^ г ^. сЬ2а:а!з:12 А_ = L=-E(a, r). БФ B98.01)
20 С Va + bsbxdx 1 g .
J [Va*+b*—a~bshx]2 у a^f6(j/-aa_|,b2_a) ^ '
у a
h
В 2.464 21. —2.464 31. положено a = arcsin
21. \ dx = = --L=F(a., г). БФB97.25)
22. \ ya+bch.xdx = 2y a+b[F(a, r) — ?(a,r)] + 2th4'
БФ B97.29)
23. С ch*rf* = 2 У(». r)_2/«+fe?(a>r) +
БФ B97.33)
24. ^ 62ch;g йж = 2^+6 [/¦ (a, r) - ? (a, r)]. БФ B97.28)
25.
2 "•'T^
3(a-6) c]
«+6сЬа;
a-t-6?(
-. БФ B97.28)
БФ B97 31)

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 131
. БФB97.31)
28. ^ ^eh^+1 * dx = V^°+^? («. *¦)- БФB97.26>
29
J (ch j;+l)V^a-rbcha; « —6
g= ?(a> r) F(q,r).
(ch j;+l)V^a-rbcha; « —6 а—Ь) Уа-^-Ь
БФ B97.30)
30. ^ ^ =— 1 г [bEb-a)F (а,
6 _ ^Va + bcbx. БФB97.30)
ch*Y
31. ^ fl+ch«)to ^=-_L^n(a, р2, г). БФB97.27)
В 2.464 32.-2.464 40. положено a = arcsin |/^ , г
[0<6<а, 0<ж<АгсЬ|-]" :
32. [ ¦ dx == ,J_-_/-(g, г). БФB97.50)
33. ^ Va-6«ha:rf2: = 2Vra+Tf/'(a. r)-?"(a. г)]. БФB97.54)
J ^a — bcbx 36 /в+6 v 36a » . /-r
+ -Asha;l/a-6cha:. БФ B97.56)
д. f (l+ch»)d» = 2/rFT БФB97.51)
37. \ /ж ^-^L^nfa, ±=L, Л. БФB97.57)
J cbiye- bchx aya + Ь \ a J '
38. \- d* .= ^J— ?(a, r)J
J A+cha;) Ya — 6cha: j/^а+Ь
БФ B97.58)
39. \ dx =— 1 [(а + 3&)?(а, г)-^(а, r)]-
th-|- /в— bchx
ch.+l [2e + 46 + (a + 36)ch*]. БФ B97.58)
J (а—Ь—ар*+Ър*с\1х) Уa — bchx ~~ (а—Ъ) Уа+Ь~ '"' ^ ' *''
БФ B97,52)
9»

132 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В 2.464 41.-2.464 47[ положено a = arcsm
, r== |/±
[0<а<6, х>0]:
41, С rfa: = -/|/г(д, Г). БФB97,00)
42. ^ Vrbcbx-adx = (b-a)]/^ F(a, r)—2\/b E(g,r)+
/ .
у ЬсЪх — а
БФ B97.05)
Бф B97.06)
45-
В 2.464 48.-2.464 55. полржено a = arcsiB
Го<6<а, ж>АгсЬ-|-1к
48. \ .** =** rl— F(a, г). БФB97.75)
49. \ у bchx— adx=—2ya-f-bE(a, r) + 2cth — у bchx — a.
БФ B97.79)
50. [ 2 = 2Va+b ?(a> г). БФB97.76)
J yb ch ж — a a—b
51. \ ^ch ^^7"" **" ^ V" + b iF ("» ^-^(a. '"Д. БФ B97.77)
52. \ ^ = ^aH:6 ?(a, r) ^^/-(a,/-). БФB97.78)
53. \dx
l =r=Ua — 2b)(a
(cha:— l)«.|/6ch*—в 3 (в— 6)»/a+ 6 lv /v
+ (За - b) (a + b) E (а, г)] + щ±^- • ^~ Vbchx-a. БФ B97.78)
54." ^ dx. = -*=¦ [/(a, /•)-?(«, r)]
БФ B97.80)

2 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
133
55.
В 2.464 56.-2.464 60 положено п. = яг<-.г.пя
[0<а<Ь, -Arab
56.
57.
БФB97.80)
г = ——
У a sli i + * СЬ ж у 2
БФ B99.00)
dx = У 4 (Ь2 — a2) [F (а, г)-2Е(а, г)] +
Бф
58.
rar [2E (а, г) - Р (а, г)]. БФ B99.03)
а I
J
3(Ь2 — в-)
'
6 Г U^6^
^ V 4^ ? Бф g j
' *а —«s v '
2.47 Гиперболические функции и степенная функция
2.471
+ rp
— гхг'х shp x cbQ ж + г (г + 1) ^ *г shp xchQxdx +
XT shp x ch4'2ж dx
J ;
-rq
— гх*'1 shpxchQx+ r (r— 1)
sb?-lxcbrlxdx- (p - 1) (p + ?
j . ГХ1 [353] A)
m— i
-^r 2 (-

134 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4 { xn
&=o
5. \xn
2.472
— re ^ ж" ch ж cte
жп shж+ n(n—
— n ^ ж" sh ж «to
3.
4.
A=0
5. ^жг»сЬжйж = Bп)!{2 ^зЬж-^ ^ сЬж}
Al * fel
6.
7. \ л; sh л; dx = x ch ж— sh ж.
8. \xishxdx={xi-\-2)ciix
9. \ ж ch ж йж = ж sh ж — ch ж.
10.
2.473 Обозначение z1 = a-\-bx
1. \ Zj sh kx dx = -г- zx ch Лж—^-
2. \ zlchAa;da: = -^-z1 shfce—p-
3.
4.
5.

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 135
6.
J - •» Ч '
126» _2 , 246* Л , , 46г,
7. ^} T(
4 . 126*
8. ^ 2*
9. ^z'
—TF («? + 12 "Ж zi + 2* -р") sh kx-
10. С z*chfcEda: = ^-('zJ + 20-^-z||+120-rr
11.
12. С z? сЬАж dx — -^ ( z\ + 30-^- zj + 360-^-z?+ 720-^-^ sh /еж —
^Zt+m-^-^cbkx.
1 у
2.474
+ "T S {2*b(B-2ft)l Sh 2Ж"" 2»*Чв-2Ь-1I Ch ^j • ГХ1 f3531 BЬ)
+ -T-S-I—— s112^ ь Д"В Х сЬ2ж) . ГХ1[353](Зе)
1 4 .s-l I 22ft (re—2A:)! 2afc*' (re— 2k —1I, J .
Г 1 1 Xs
3\ *?¦ Cn^ *?¦ /Тг'У ^^ шь^ T СП )ф — —ш^ /*h /T . .^^__
J 4 8 4
4. \ ж2 sh* ж dx = -X ( ж2 + -=- ) sh 2a; — -r- ch 2a; ^- . МфК257
5. Kx ch* ж cue = -|- sh 2ж — -g- ch 2ж + -^- .
6\ Л«2 /»h * 'W1 /TfI*1 - I O*" I I Ctrl ^I*1 /*rl f?'*' 1 1%Л*т\ tf Or* Л
7. \ Л7 So. X (ЛХ =*= ~7~ / > \ —, :
(-21-1I (iS-3^0-} • ГХ1 [353]Bf)

1362. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
8. ^
й=0
9. V xsh3xdx = -r вЬж—-^г-вЬЗж —-т-жсЬж—^-
10.
~ sh x - -~ sh Зх. МфК257
11. \ ж ch'a: Ас = —т- ch ж —gg- ch Зж + — ж sh ж + -jo- sb 3^-
12. \
с-^-сЬЗж. МфК262
2.475
._ (p—2)sb4x+gxsb"-1xehx ,
_ (р—2) сЬз ж+^ж chi'1 х sh ж
- (l)Bi
C53] G.,
ft=0
n-1
r^irchi <*>• rxi I353] <6Ь>
k=0
n-l
S B^'1)! sh ж} + 72b"shi (*)• rxI I353! Fb)
ft0
n-l
2 ~~ ch ж} + 72^1)Г shi (*)¦ ГХ1 [353] Gb)
„ Г chi 1 'U
6. ^
A=0
chi (*)•

2 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 137
ft=O
+ '^ir B^) lnx- ГХ1[353]Fс)
m
ГХ1 [353] Fd)
m—1
9. С^^ = -^
J fc=0
Ina:- ГХЦ353]Gс)
. ГХЦ353]Gс)
m—l
12. \^^
J ft=O
eh"»*
m-l
- 2^ s CD {chBT2fe)a; - <2w -2fc)shi B- - 2*> *
O
ft=O
ft=0
X { Ch <2m i^ Ц Ж - B/w - 2fc + 1) shi Bm - 2fc + 1) a:}
2.476
j a
-\-bx

138 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3. \ -.—. , .. ах=—j j-r \-~г\—m—ох (см.2.4762.).
J <в+6ж)а b а-\-Ъх Ь J а-\-Ьх v '
х (см.2.4761.).
,- С sh кх ,
J (в+6жK 2
sh кх ксЫсх
2Ь (
„ С ch 4ж j. ch kx ksbkx
¦ J (a+biK 26 (a-rbxJ ~~ 2Ъг (а+ Ъх) +
ch fee
sh кх , shfcg A: ch кх к3 sh fex
* 36(e+teK~ 66a(e+te)a~ 663(e+te)
ch kx , ch kx к sh A;x кг ch kx
~Cu3C —. —* 77;—; ;—;—г^ ~
(см.2.4762.).
(см. 2.4761.).
-. С sh kx , sbkx ксЫсх
д. \ 7—^—г. ax = — :
@+6*)*
A;3 sh A:a: A:3 ch kx
-2&-ЩЩ + Ш \ SpblT dx (CM-276 * ¦)•
, С ch kx 1 chkx к sh kx
3. \ (a+6a;N da;== "
A:3 ch kx k*s\\kx k* f chA;a;
Г shb . sh fee A: ch Ax
(«4-637)*
fe2 sh kx k3 ch А;ж Ar1 sh A;» u5 f oh kx
120b4 («I 6жJ ШЬ8(а | 6ж) + 1206s
Ch kx ksh kx
1206»(в
2.477
xPdx __ —parP^shar — (G—2)arPcha:
A:° Г sh A» - „
20№ } a+bx "* ^м' л'ч/и А-Л
f xPdx __ —parP^shar — (G—2)arPcha:
# J sh«a: = (9 — 1) (* — 2)sb9'1 x •"
(9-1)(9-2
ГХ1 [353] A0a)
3- \ ^ d* = 2 ;:i^X -+2ft D * К * » >q. rxi [353] (8b)
ft=O

2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 139
- ГХ1[353]A0Ь)
[|ж|<я,л>1]. ГХ1[353](9Ь)
се
3. ^ dX = У ^aft хт~п** +
2
|ж[<|] . ГХ1[353]A1Ь)
ft=O
ГХ1 [353] (8c)
ГХЦ353] A0c)
Я1- ГХ1[353](9с)
n-1
11 С x rf^-V/- ^ftB»-2)BB—4)...Bn
1A" Jsh2** -CJ ^ ^ Bn— 1)Bл— 3)...B« — 2
л Ishsn-afe^a; ^ Bn-2fe)sh"»-^a;/TV ; Bn—1I1 J
(см. 2.477 17.). ГХ1[353](8е)
Bв-3) Bв-5) . .Bre
Bл —2) Bв—4) ... Bв—2fc) X
( 1)>-1 B»-3)П
(см. 2.477 15.). ГХ1[353](8е)

140 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
13 t x Jr V B"-2)Btt-4)...Bn-2fe+2)
' \ chani Zl Bn— 1) Bra—3) ... Bn—2ft-t-1) л
v ( ж sh x 1 "I B« —2)!l Г arrfg;
I ch2""afe+1» Bn — 2ii) ch2nfe г / Bn—1)!! J ch2 ar
(cm. 2.477 18.). ГХ1[353]A0е)
n-i
At С я rf _ V B«—3)Bn—5) . Bn—2fc-t-l)
J ch2" ж Ж~ 2j Bn — 2) Bra —4) . . Bn —2A) X
Г_?Л*_ ¦ I } ¦ B»-3)ll г
Ich2"-2fta: Bn—2fc —1)сЬг"-а*-1х /^(гп—2)!l } chi
(см. 2.477 16.). ГХ1 [353] A0c)
" 5 (
ГХ1[353]A0Ь)й
17. ^^^=-a;ctha!+lnsha;. МфК 257
18. ^^^ = ж th ж -Inch x. МфК 262
(cm.2.47715., МфК 257
1** M*K 2s8
+ Т^Ьж-?1псЬ^ МФК 262
23 С »<to _ *chz 1 З^сЬа; 3 3 С x dx 2 .—, -
*"• J sh6x~ 4ьЬ*г 12sh3* + 8 sh2 x +8sha;+ 8 ) sha; (СМ. Л.ЧП 10.).
МфК 258
9/ С x ^x _ж sh x i ^ 3o;sha; 3 3 Г x dx . „ .__ . _
^- } du^~4^*i+12ch^ +'8ch** +8^hi + ?i "STi (CM. ^.4//lb.).
МфК 262
2.478
cbx dx xn
, С xn
-)-6sha:)m ~ ~~ (л/*— 1) b (a-\- b sh ж)"» ~"~
263 и
„ Г xnsbxdx
(m — 1
TV' |щ*Ч- МфК263
x dx
2" *

2 4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 141
4. е^[*
-
¦
—ch x I
xshxdx x h x
A-rch*)» — l + cha:" 2 '
262'264
7-
[к = arctg (Ih x ctg f), < ^= ± ля]. ЛоШ402
Г »ch«rf»
- Jch2«:-cos2t-
f u = 2arctg('thy.ctg-|-Y w = 2arctgrcth|--ctg^ , «#= ±яя]. ЛоШ403
2.479
т.
^^(M^^ (см.2.4772,.
[«>!] (см. 2.479 3.)
(л — l)chn 'а:^ я^1 J сЬ» ж
[и > 1] (см. 2.477 2.). ГХ1 [353] A2)
(см. 2.477 1.).
5- \X ^^Tdx-2(ik)\sbfr^dx (см. 2.479 6.).
fe=0
[и > 1] (см. 2.477 1.). ГХ1 [353] A3c)
ГХ1 [353] A2d)
8. [^cthxdx^^^^x^ [p>+i,\x\<n].
ГХ1 [353] A3d)
10. l[ ^^Лс = - 4- + arctg (sh x). МфК 263
J Ch US CD.3T
9- )

142 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2.48 Гиперболические фувкцив, иоказательвая и степенная функция
2.481
\ J^ - bch(bx+c)] {а* Ф Щ.
2. [^xeh(bx + c)dx = ^^[ach(bx + c)-- 6 sh (fa; + c)J [а2
При а2=62:
3. {elxsh(ax + c)dx=-~xe-e + ^ewx^.
4. С е""* sh(ax + c)dx^-^xec + -^е—
5. ^ е3* сЬ (ах + с) da! = -i-^e + ^ е*""".
6. Ce-axch(aa; + c)rfa; = 4-^c-^e-B'1:c+c)- МфК 275-277
2.482
-Л агРе"»-1»***]- [а2?=621 (см. 2.321).
2. ^apeoach6a;da; = -|-|C жреС+ь)хda:+
+ ? ж" <*а-ь>ж Ав|( [аг =И= &2] (см. 2.321;.
При a2=bi:
3. ^ a;pe™= sh aa; da; = 4 ^ «"e^rfi-2^^ (см. 2.321).
4. ^ a^e-" sh аа; da; = j^T) ~ 4" $ *" е'^ dx
5. ^ жРеОЯ ch аж diK = 2т5?1)+1 \
МфК 276, 278
Г 483
1.
2.
3.
4.

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 143
При я2 =&*: ¦>
5. 5^sh«,^ = ^(,-^_?.
6. { xe-axshaxdx = ~fx + ^) + ^. МфК 276, 278
7.
8.
9.
10.
2.484
2. ^ e"» ch to^ = -i {Ei [(a + 6) x\ + Ei [(a - b) x]} [a2 =? 62].
3. 5>Ateg-_J=^ + 4-{(e + *)Ei[(a+&)*]-
-6)a;]} [а* =?ь Ь2].
4. "J e<« ch tog= -<W^'fa +4 {(« + 6) Ei [(a + b) x] +
При a2 = 6,: + <« - 6) Ei [(a - 6) *]} [a2 =
5. С ^oxshaa;^ = -|-[EiBaa:)
6.
7.
8.
9.
10. ^ e™ ch ож ^ = -1 (e*" + 1) + aEi Bож). МфК 276 - 278
2.5 — 2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.50 Введение
2-501 Интегралы \ R (sin ж, cos ж) dx могут быть всегда приведены к интег-
интегралам от рациональных функций при помощи подстановки t = lg-^ .
2.502 Если при этом функции R(sinx, cos ж) удовлетворяют соотношению
R (sin х, cos x) = — R ( — sin x, cos ж),
то выгодно применить подстановку t — cos x.

144 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.503 Если эта функция удовлетворяет соотношению
R(sinx, cos ж)*? — R(smx, —cosx),
то выгодно применить подстановку t = sin x.
2.504 Если эт.а функция удовлетворяет соотношению
R (sin x, cos x) = R( — sin x, — cos x),
то выгодно применить подстановку t=^tgx.
2.51 — 2,52 Степени тригонометрических функций
2.510
С • n u / sinP х COS0*1 х , р—1 Г . п_, _^„ .
\ smpx cos4 х dx = -7-7 И . . V smp 2 a; cosэ 2 ж ^ж;
-.cos^,,^^^.^^^^.
sinp+2 x cos9 x dx;
p+q
1 X COS?*1 X
sinP+1 xcos^-1 x a—1
- ——: -+—щ
S1HP + 1 X COS" X
j
2xdx;
;h i— \ smpa: cos3 2 x dx;
p+q р+яJ
sm»*1 x cos1'''1 a; , p+o + 2 f . o 0*2 j
n Ь | ' \ втр x сов? * x dz;
?4-l 9 + 1 J
 a;cos9-] ж .'
q— 1 1
P + ? —2 J
/ (P w)(? \ ^ 8inpa;cos«-2a;a:x. Ф II 89, T 214
2.511
\ sinp ж cos2 xdx= „ —
л Г • ю ?n j siny1a; f ,
1. \ sinp ж cos2 xdx= „ — -^ cos''
n-l
-гд Bд— 1)Bд — 3) .. . Bта —
(+j D^ — 4) ... (Zn + p — 2k)
k—l
2) )S
Эта формула применима при любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных четных чисел: —2, — А, ..., — 'In. При р нату-
натуральном и и = 0 имеем:
2. ^sin2'a;tfx= -^;-jsin2' x
, B1-1I1
( )( )() /^ 21 Л
(см. 1акже 2.513 1.). Т B32)
3. \ s
B/ —1I2/ — 3) ... B1- 2к— 1) ьш "*¦ Г
(см. также 2.513 2.). Т B33)

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 145
4. \ sinp х cos2"*1 xdx~ —
-ст 2*n(n — 1) ... (и — A+llcos2"-8** 1
fc=l
Эта формула применима при любом действительном р, за исключением
ртрицательных нечетных чисел: — 1, — 3, ..., —Bге+1).
2.512
1. i cos" х sin2" x dx = - с°^1д: | sin2" ж +
n-f
¦S-i Bл —1) B« —3) ... B«—2fc+l) sin2"-2fc-i ж
Эта формула применима при любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных четных чисел. —2, — 4, ..., — 2и. При у» нату-
натуральном и п = 0 имеем:
2. С cos21 х dx = Щр- {cos21'1 x +
у Bi-l)Bf-3) ..BZ-2fc+l) «_»_«¦! , (M-l)II
(см. также 2.513 3.;. T B30)
3. \ cos2^1 х dx = |^ {
^ Zj B/—1) BZ—3) ... B1—2k— 1)
fe=0
(см. также 2.513 4.); T B31)
4. \ соърх sin2"*i a; rfa; = - ^^ {
и—l)... (и—A;+l)sin2"~2ftg
Эта формула применима при любом действительном р, за исключением
следующих отрицательных чисел: —1, — 3, ..., — Bи + 1)-
2.513
sin 22n^n j+ 22„!
fe=0
(см. также 2.511 2.). Т B26)
(см. также 2.511 3.). Т B27)
10 Таблицы интегралов

146 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
»—J
ЗГ „,, , 1 /2п~\ , 1 vi /2n\siaBn — 2ft) х
9п — 9W~ _J V k J 2n—2ft
(см. также 2.512 2.). Т B24)
к J 2л—i
(см. также 2.512 3.). Т B25)
Г 111 1
5. V Бтгж<?ж= — -j-sin^ + y ж= — узтжсовж + у ж.
6. \ sin3 ж dx = j-s cos Зж —у cos ж = -5- cos3 ж — cos ж.
j 12 4 3
_ ( < , Зж sin2a: , sin4z
7. \em*xdx+
3 . 1 . «. 3
= —5- sin x cos x —7- sin3 x cos x -+- -к- ж.
о 4 о
f* 5 5 1
8. \ sinsa; йж = — -g- cos ж + т§ cos Зж — щ cos 5x
— у sin4 a; cos ж + jz cos3 a; —r cos ж.
(* 5 15 3 1
9. \ sin* a; dx = -j^ ж — ^ sin 2ж + ^ sin 4a; — ^2 sin 6ж =
1 . . 5 . „ 5 . .5
-g- sin8 ж cos ж —-gr sin3 ж cos x — -jg sin ж cos ж + jg a;.
10.
V sin7 xdx = — g^ cos ж + sj cos Зж — 5^0 cos ^ж + "Щ,cos ^ =
1 . e 6 . 4 , 8 a 24
= —^ sin® ж cos ж — 5^зт4а;соза; + д^со83ж — 35 cos ж.
11. \ cos2 xdx — -r sin 2ж -+¦ у = у sin ж cos ж + у ^.
л Л О 1
12. \ cos3 ж с?ж = j2 sin Зж + -г sin ж = sin ж—5ш3ж.
(* 3 1 1
13. \ cos* ж dx = -3- ж + — sin 2а; + ^ sin 4a; =
J о 4 oZ
3 3 1
= -^- ж 4- -5- sin x cos ж 4--7- sin ж cos8 ж.
о о 4
С 5 5 1
14. \ cos8 ж с?ж = -3- sin ж + то sin Зж + w sin 5ж =
j о 4о OU
у sin х — jjT sin3 ж + tj- cos4 ж sin ж.
15. V созвжс?ж==-^ж + ^зт2ж4- — sin 4ж +-^ sin 6ж =
5,5. , 5 . . 1
16 Х ^ SlnХ COSХ^ЭШ Х °°S Ж^
,5. , 5 . . 1 . .
Х ~^~ 16 SlnХ COSХ~^~2АЭШ Х °°S Ж"^ ~6~SlnX C0S '
16. \ со87жвгж 8та;+ 8т
2l sin ж — gg sin3 ж + gj: sin ж cos4 ж + у sin ж cos* ж.

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 147
17. \ sin х cos2 х dx = —-г- i -5- cos За; -J- cos x\ = —co^ x .
18.
19. \ sin х cos4 xdx = ~ .
20. \ sin2 x cos xdx= — -т- 4 у sin За: — sin a; I = —5— .
21. \ sin2 x cos* x dx =—-g--j-v-sin 4ж — a; J-,
22. \ sin2xcos3xdx = —iei~5 sin5a;-J--^-sin3a; — 2sina;|
23. \ sin*a ^+g^^,
24. \ sin8a; cos xdx = -g- ( -7- cos4a; — cos 2a; j = ?!E_f t
25. \ sin" a; cosa x dx = -jg ( — cos 5a; — •,- cos Зж — 2 cos ж j =
1 s 1 .
= -g- cos6 a; — -7Г- cos8 a;.
D О
26. \ sin8xcos8xdx = s2\!icos®x~~Tcos^J *
Г 1/23 \
27. \ sin8 a; cos4 a; da: = у cos8 а; Г — -g- — -^-sin2 a; + sin4 a;J «
28. \ sin4a;cosa;<fa:=^r-^ .
29. { sin.*xoos%xdx~j?X— ^sin2a;— ^sin4a;+ ^sin6a;.
30. \ sin4 xcos3 xdx — у sin8 xt-^ + ^-cos^x—cos^x),
31. \ sin4a;cos4a;da; = ^^x— j=gsin4^4-^4sin&r.
2-514 S"ss?^^=^=r{sec ia;+
Bn—3-)Bn—5)...Bn—2A—1) ^ ^
an xdx-
Эта формула применима при любом действительном p. \ sin"a;rfa; при р
натуральном см. 2.511 2., 3. и 2.513 1., 2. При п — 0 и у? целом отрица*
тельном для этого интеграла имеем:
10*

148 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.515
dx cos a:
1.
sinux 21—1
l-i
fe= 1
Bi —5)... Ci —2fc—l)C0SeC' XJ *
о С dx cos ж I 9i ,
2, \ = K7- \ cosec2' x 4-
J sin2'*1 x 2Z I ^
_ l—t)(i — 2) ... (^— Л)
+ ^~rL— ln *g _¦ • ^ B43)
2.516
J C0S2n+12: - 2n
Tl-1
2*(n —l)(n
—3) ... B«-р-2/Ч-1) sec2n-2fex
(Л)
J
, Bл-р-1)Bп-р-3) ... C-,p)(l-p)- Г ыи^ »- ,
^ 2"л1 J cosx аЖ-
Эта формула применима при любом действительном р. При п = 0 и /?
натуральном имеем: , '<
С sin3'*1 sdx ¦vn sin2*ж
I. \ = — У, —rr, In COS Ж.
j cos a; , 4-i 2ft
1
sin2' x dx ^
2.517
1, С .. dig- =_^^ J^ ^ 4-]
^( + ) sin
2.518
i-
= sinP"la;-(p-l) С
COS ж ^ ' J
Ж0!Ж _ COS^l* j
9i "" 2л—1 \
cosec
2
COSe0
4 V
+ 2j Bn-3)Bn-5)...Bn-2&-l)
Bга-р-2)B«-р-4)...B-р)(-,р) Г р ,
+ Bл-1)!! i C0S ХйХ-

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ¦ , .. 149
49f
Эта формула применима при любом действительном p. \ cosp&d&'.
при р натуральном см. 2.512 2., 3. и 2.513 З.к 4*. Прд «=г0,,и р ц^лом
отрицательном для этого- интеграла имеем: ' ,. \ ¦'"
2.519 : ,
. С dx sin x f -i_, .
J.cos2io: 2^ — 1 V '
l)(l-2)...(l-k) 2l_2k_t \
860 / !
+ 4
^Zi B1— 3)^ — 5)...{2^—2A —I)
0 cos2'*1 * *'
¦ ' ' 'у' BZ-1) BX-2) ¦ ¦ ¦ BX-2fc+l)
2.521
cosPxdx
y1 B,-^-1) B^-^,-3) ... B,-^2^+1)
? 2*(я1)(п2>(»*)
Bв-/.-1)Bи— р-3)...C—p)(l-p) f eosP? .
Эта формула применима при любом дейс! виге льном р. При я== и р
натуральном имеем:
л I COS <E ил XI tiva Л . ¦,
2. \ — = 2j —гг V In sin x.
fe=i
.¦ i ,
2.522
sin x cos2" x ?J Bm — 2k+2) со
2. ^^—^_^=V * h]ntgil ГХ[331]A5)
Jsina:cos2ma; ^J Bm—2A+1) cos2m~2fe+l a; ' ь 2 l j\ /
№ 1
2.523

150 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.524
n'wl Xdx-V ( и*»* С п Л с08"*-*1 * |
fc=O
л
m+1
— 4) 2 /mli | Ь cos a?. rXI[331](lld)
1 "* -I I
[В формулах 2.524 1., 2.524 2. s=l при т нечетном и /га<2гс+1;
в остальных случаях s = 0.] ГХ1 [331] A3d)
2.525
m+n—l
J sin4m x cosan x ~ 2j \ к ) Zk—2ra+l "
m+n
>П / m+n\ tg2fc-amie ,
ST^— Zl ^ * ^ 2A—2m +'
fcM)
TB68), ГХ1[331]A5Г)
2.526
COS*
4-
I Intg
in** ~ 2 sin2a: + 2 Ш l^ T '
dx cos ж 2
rfa; cos ж 3 cosa; , 3 t . a;
4sin** 8 sinaa: + 8 gY'
dx cos ж 4
1 2
-g-ctg6a; —yctg'a; —ctgaj.
15Л I 5 It. tnr X
8/"^ 16 ^T
7 С *** - C0S ^ ( 1 I I Л I It. tnr
'• Jsin'a: 6sin2ж V.sin*ж^ 4sia2ж ^ 8/"^ 16 ^T
8-
«¦

19.
20-
2.5—2 6 ТРИГОНОМЕТРИЧВСКИЕ ФУНКЦИИ 151
dx
<fesina; 3 sin ж , 3,- f x
+ + in^
8 WF + Tin^V.T + 4 J"
rfa: sin ж 5sinx 5 sin ж 5 ¦ /¦?
COS7*"" 6cos»a: +24cos4a:+ 16cos2a;+ 16 " \Y
л. Г sin a; da; 1
J cos2 ж cos x
22"
_ Г sina:^_ 1 1 ¦
J cos3 a: 2 cos2 a: 2 g '
sin2 ж dx sin a; 1
07 С —^-^
*'• J cos^a: ~~ 2cossa:
OQ f sin4a;dx 1 sin ж
28. \>-
29
¦ s
cos3 a; 2 cosaa:
sin ж </ж 1
cos4 x 3 cos3 x
rjun^l
J cos4 a; 3 s
~. Г Sin3 ж^_ _ _ 1 , 1
J cos* a: cosx 3cos3x
32.
33.
34.

15g 2. НЕОПРЕДКЛКННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
«г С cos3 a; da; cos2 a: .
35. \—= •=•—к h In sin x.
J sma: 2 ~
37
¦ ---»a; sift a;
oo С cos2 ж , .
38. \ -r-j— ax = — ctg x — x.
on f cos3 a; ..I r
39. \ -ГГ-;—da? =—sin a; :—• .
J Sin2 a: ' Sin x
/n С cos4a; , . 1 . 3
40. \ . %xdx==- —ctg x — -j- sma; cos a?—y
.. (* cos ж , 1
41. \ —=— dx = — »-¦. . .
j sm3 x Z sin2 ж
cos a;
43. V^f-d*»-_*-torin*.
J sin3 a; 2 sin2 a*
,/ f cos4 a; , 1 cos a; 3 . . x
, _ Г cos ж , 1
J sTn4i Ж"~ ~~ 3^sin3i '
cos* a: ¦'!*.•
.— I vuB-a. j_ «. 1
sin4 x sin a: 3 sin3 x
49. f -.-^ ^ln tg x.
J sin x cos a; e
dx 1
52. С , * 4 =-L+ * +hlig»
J sm x cos4 ж cos ж ' 3 cos3 x ' »j
53. ^^-^ = In tgf ^. + ^-^-00860 X.
J sin2 ж cos x -. б V 4 2 /
57
^f =_-^-^—
sm3 ж cos a; 2 sin2 x
54. С dx ' = _ 2 ctg 2cc.
J sin2a;cos2x б
f da; _(¦ 1 3 4 1 .^/«.
J sinsxcos»a; V. 2coss x 2 J sin a;"*" 2 V. 4 "•" 2
56* J sin2 ж cos4 x = 3 sin x cos3 x "" T ctS'2x-
J s
da; _ 1^1 3~\ . 3,
sin*a;cos2* Soi^ 4. 2sin«x ~T J +ТШ
со f
5U. \ -r
J s
da! 2 cos 2г . „, .
-r-= s- = гтг; h Z In tg Ж.
sm3 x cos3 x sin2 2a; ' a

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 158
q С dx _ 2 . 1 cos а: 5 . х_
J sin» х cos4 x ~ cos x ' 3 cos3 x 2sinaa: "• 1 Ч~2~"
62> ^
R4 f da: — ? 1 . sin a; 5 ¦ ^^.
. J sin4* cos» ж ~ sina; 3sia!i+2cos1i + 2 Ч2
64.' С ^ =-8ctg2a:-|-ctg32a:.
J sin4 x cos4 x e з "&
^ ^^ [РФ I].
2. J2 ^O
2и
3. \ tg*nxdx=^ (- I)*"' ^"^+(-1)^. ГХ1 [331] A2)
4.
5. ^ctg~i*<fc=2
6. Ug*»*<te=2(-l)ft^^+(-l)"*. ГХ1[331]A4)
Формулы частного характера для р= 1, 2, 3, 4 см. 2.526 17., 2.526 33.,
2.526 22., 2.526 38., 2.526 27., 2.526 43., 2.526 32., 2.526 48..
2.53—2.54 Синусы и косинусы кратных дуг, линейных и более
сложных функций аргумента
2.531
1, { sin (ax+b) dx = —~ cos (ax+b).
Г
2. \c
1
—
2.532
sin [(a — c)x-\-b — d]
1. ] sin (as + b) sin (« + ri) «fa =
^ sinl(a+c)x+b+d\ r2

154 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2. ^ sin {ах + Ь) cos (cx+d) dx=- cos 1{л~^Л^Ь~^ -
cos [(д+с) х + Ь+d] f 2 „
. \ cos {ax-\~b) cos {ex
sin |Ya—c)x-\-b—d]
ly '_T '-
sml(a+e)x+b+d\ , .
2(a + c) Iе
При с = а:
4. ^ sin {ax + 6) sin {ax 4-d)dx=^ cos (fe -rf) -
2 """V" "V 4д
5. V sin (ож + 6) cos {ax + d)dx~Y sin F — d) — cos^ a^+6+d)
Г -t sin (
6* \ cos (ax + b) cos (ax -f- c^) dx = -=- cos (o — ~" '
ГХ1 [332] C)
2.533
cos(a + 6)a; cos (а — b) x r » , ...
2(a-b) la+ bl
of- • ^ j * f cos(e —6 + cla: .
2. \ sin ax sin ож sin ex dx =—T< !—r—r— h
, cos(b+c—a)'x , cos (a-\-b—c)x cos (a-fu+c) a: ~|
¦+" 6+c —a "Г e+6— с а-рй + с f'
3. ^
> nC78)
» f ... ,1 f sin(a+6— c)x , sin(a+e—b)x
4. \cosaxsmbxsmcxdx = -7--{ к—-Ц- ^— Ц^—J^Lt _
J 4 I a + 6—e a-j-e — b
sin (а + Ь+е) ж sin (b + c—a) x
-• 1
5f , , 1 [sia(a-{~b-\-c) x sin(&+e — a)x
. \ cos ax cos bx cos cxdx = -r\ v ' ,'—' i-f^ 1 1_
J 4 1. e + 6+o ' b-\-c—a ~
sin(a+c— 6) ж sin(a + 6—с) ж 1 „
——н —• n
2.534
^::^^| nC73)
2.535
——I — sinpxcosax+p \ sxap~xxcos{a— \)xdx\ ,
ГХ1 [332] Ea)

2 5—2 6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155
, { sinp х sin Bга + 1) ж dx = Bге + 1) { ^ sinp+1 a:
2 ( - l)
4=1
Т B99)

inP-2*-» ^ sin Bn - 2k) x
S sinP~2""x dx\ - rxi f
3. \ sin" x sin 2пж da: = 2ra |sin
2 +
^) f4»'B*)»l ¦ rt^t
Sm
Ж sin
- 2t - 1) x) ;
[/з не равно —2, -4, .... -2re]. ГХ1 [332]Ec)
2.536
1. \ sin" ж cos ax dx = ¦ |sinp xsinax — p \ sin*1 ж sin (o — 1) ж dx | .
ГХ1 [332] Fa)
2. ^ ^^
Д+t? J:s
1 ^ —2 l-л j lfc=o
f(z
(- if 1Bв+1)>~11ИBл^^;+г1(J"+1I~B*~1I] sinSHiH-i Ж; т C01)
Дt4?
\1
(
+ 2»»Г(;-2»+1)
не равно -3, -5 -Bn+l)]. ГХ1[332]Fс)

156 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3. \ sinp х cos 2nx dx =а \ sinp х dx +
^ U TC00)
^П^+ТГ J ) . ГХ1[332]Fс)
2.537
1. \ cosp x sin ax dx — —r— i — cosp x cos ax-{¦ p \ cospa;sin(a—'
ГХ1 [332] Ga)
2. ^cospzsinBn+l)ztfs = (-l)"+1{^^ +
cos x] •
TB95)
n-l г f +1 )
(
+t
2 rnJ
+1 +b— k)
2
[/.неравно —3, —5, ,.., -Bв + 1)]. ГХ1 [332] GЬ)и
3. ^
W-g)- [4n'-B*)«l 2ft+p+2 1 -
+l)lBfc+-/.-f-2) COS Т^ж/'
6=1
+ 2»Г (p-n+l) ) С08Р'П X SiD ПХ dx\ •
[p не равно -2, -4, ..., -2n]. ГХ1 [332] Gb) и
2.538 '
1. \ cos" x cos ax dx — ¦ I cosp x sin ax + p \ cos" x cos (a — 1) x dx\ .
ГХ1[332](8а)

2.5—2,6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157
2. { cospxcosBn+l)xdx = ( — l)n<2re+l)| { cosp*1xdx +
( - 1)" Г^+Р*-!*] U2n+l)^U..K2n+lf-Bk- I)»] J cog2ft+|bbl ж ^ J .
=l
TB93)
{
ЛЙтЧ
V —2 )
^i \ os"~nжcos (« +1)^^} • ГХ1 [332] (8Ь)в
3. Я cospxcos2nxdx=~(— l)n{\
^^^^. TB94)
osp~re x cos nx dx \ . ГХ1 [332] (8Ь)и
2.539
sin2fce
2A:
2- (i-5S^^ = 225i?i^Tllf- ГХ1[332]Eе)
3
. С
4 ^^^da: = 22 C°SifTl1K:+lDl-gY- ГХ1[332]Fе)
5- \S^
6. С ^L^l da; = 2 2 (- l)"-ft+1 «"g*-1^ . ГХ1 [332] Gd)
Л COS 3f *™ ua ~~" 1
fcl
7.
ГХ1 [332] (8d;

158
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.541
1. { sin (re + 1) х sin" х dx = ~ sin" x sin nx.
2. \ sin (и +1) х cos"'1 х dx = — -^ cos" ж cos иж.
3. ^ cos (и + 1) х sinn~l xdx = ^- sin11 ж cos гея.
4. \ cos(n+ ^
БХ [71] A)и
БХ [71] B)и
БХ [71] C)и
БХ[71]D)и
5.
6.
sin
= —i-sin" ж sin л
2.542
1
При п = 2:
БХ[71]E)и
-|-— х\ .
БХ [71] F)и
. С sin 2х ,
1. \ . _ dx =
J sin" x
(га—2)sinn-aa: *
2.543
sin 2x dx
cos" x (n—2)cos"""sa; *
При и = 2:
2-
2.544
\
J
cos 2xdx
2
n Г cos 2.x dx . n
2. \ —. . ¦ = — ctg x — 2x.
J sina x a
cos2x«te cosx 3
sin'a;
5. \
cos2 x
cos2a:<fct
о С
8. \
J
sin ж
sin Зж
=a. 2
sm2a:
2.545
sin За:
4
(я—3) cos«"» a: (ra—l)cos»-iap

2.5—2.в ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 159
При п = 1 и п = 3:
2. [ ™^-dx = 2sin2x + In cosx.
J COS ж '
3. Si^cfe»- * 41ncosz.
J cos3 x 2 cos* x
2.546
, Г cosjia; ,
J sbo»^ (ra—
При n= 1 и п=ч=3:
2.
3. Cf°^rfa;=_ >^ 41» sin*.
2.547
, С sin «ж j о f sin (га—i)xdx f sin (ra—2)xdx
J cosP^ X~ \ ' cosP x J cosPa; *
2.
2.548
[/re — натуральное число <2ге]. ТC78)
— натуральное число <я]. ТC79)
[w -г- натуральное число < и]. Т C80)
smamxda: _( — 1)"»*
[т — натуральное число <<п]. ТC81)

160
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
г-
5-
6 Г si
cos2na:
„ С cos*m+
7. \ ——tt—
JsinBn
+1
(- 1)" «*»«+* -гЙт- In (cos2 x - siba
[m—-натуральное число <п]. ТC82)в
, lr,ftco?m Г 2ft+l I ,n 1 8» Я+ 2 J
~ %> COS L^^^J ln . f Zk+2n+l Tl
Ч1Ч 8Я *—2j
[wi—натуральное число < 2n]. T{377)
1n sm x +
2 (^l)"CoS^1^rl
[m—натуральное число •<«]„ TC76)
9. \
[от—натуральное число <«]. ТC75)
cos8™*'» , If,
—г— о!а: = п- i In
—натуральное число < «J. TC74)
n-1
+ 2 .(- l)ft cos2™ -g- ln (sin=>«- sin2-*2
— ватуральпое число <п]. ТC73)
И.
2.549
[m — натуральное число <«]. TC72)
2. ^ cosa;2a!a;= ^^C(x

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 161
3. $ sin («ю» -f ЧЬх + с) dx = |/^ {cos i?=*
/а
4. ^ ]Л5{^^(^±Г)
. ас — Ьа „ fax Ь&ЛТ
— sin S ( —?- ) \ .
о \ уа SJ
5. \ sin In а; «/ж = у (sin In ж — cos In ж). ПD44)
6. \ cos In x dx — -4- (sin In a; + cos In x). П D45)
2.55—2.56 Рациональные функции от синуса и косинуса
2.551
С A-j-Bs\nx , 1 . Г (АЬ— аВ) соях
' j {a-\-bsinx)n (n—if{ai — Ьа) L (а + 6 sin а;)" '
_,_ f (Aa — Bb){n—l)-4r(aB—bA)(n—2)smx, 
При п = 1:
п f ^4+BsitiK _, В , АЬ—аВ С dx . . ... о .
2. \ —Т t .—— dp = -г- х А г— \ —п—-• (см. 2.551 3.).
J а + bsina; Ъ ^ Ъ J а + bsma; v /•
3-
1 =1п
2.552
Л-1-Дгояг . В.Г dx
. _ В .Г
(в—l)bj[a+6sina:)«->'t~ J (
(см. 2.552 3). TC61)
При в = 1: ,
„ {¦ АЛ-В cos ж. В,.,,. % . .f «fcc
2. \ Т, ¦. dx = -7- m (a + 6 sm ж) 4- Л \
j a-\-bsmx b y J
„ Г dx 1 (
6- ) {a-\-bsiux)"~ (n—l)(a2 —б2) \ (а
——:
a-\-bsiax
(cm. 2.5513.). TC44)
b cos x
Г (n—l)a —("—2Nsiaa; , "I
J («t'si")" J
(см. 2.5511.). TC59)
2.553
. Г A+Bsinx , В ,f
J («-F6 c°s ^)n ~~ (« —1) Ь (a-j- 6 cos ж)"'1""" J
dx
cos ж)"
(см. 2.5543.). TC55)
11 Таблицы интегралов

162 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
При п = 1:
п С А+В sinx , В . . , , . . ,f dx
э 2. \ —~ dx = г- In (a + b cos ж) + 4 \ —;-г
(см. 2.5533.). TC43)
f dx 2 %
3- \ а+бсозх = угри? "«'в iT+Б t >
а+бсозх
1
In ——— [а2 < b% ФII93,94; Т C05)
»—« —*
2.554
. Г Л-]-5^^^ j * Г (аВ — ЛЬ) sin a;
• J (o-t-бсоГ^)" ~ (л — 1)(о' — б2) L (a-j-^cosx)"
При в=1:
^^ ^^^Й (см. 2.5533,. ТC41)
6 sin ж
f йж 1 f
J (а + 6 cos х)п (п—1)(а2 —б2) \ (а+6 cos as)""» "~
ОЗЖ} (--2.5541.). ТC54)
При интегрировании функции в пп. 2.5513. и 2.5533 нельзя пере-
переходить через точки, в которых подынте! ральная функция обращается
в бесконечность, т. е. через точки a; = arcsinf —|Л в формуле 2.5513.
и черев точки х — arccos ( —%Л в формуле 2.553 3.
2.555 Формулы 2.551 3 и 2.5533 при аг=Ь2 неприменимы. В этих случаях
вместо них можно применять следующие формулы:
±
C?) iti • ТC61)и
( n-2 toifcn ГЛттЛ!!?Л1
¦ •
4+1.4
. (Л T П\ S} ^"-Л g L^44 2^1 I
± U =F B) 2j (^ fc J 2fc+i / •
*=a J
При n = 1:
TB50)

2.5—2.в ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 163
И?^^[тПтт)] т<248>
2.556
^(La?f<S^) «]. ФП93
ФН93
2.557
Г dx 1 Г
• i (acos*-Иsin*)»- YWTWn J sin»
dx
P si
^- J acoa
sin ж <
sin™ ( ж-J-arctg -j- J
' (см. 2,515). ЩК 173 и
e—bin sin fs + arctg -=-j
аж+Ып sinf a;-)-arctg-r- )
3 С ^?^^— = J^ Ы, МфК174и
'
' J (
a cos x -f 6 sin a; j/"as_|_ja
d, _ ctg^«+aretg-g-)_
1 a cos r — 6 sin x «r»T» ^-..
M*K 174 "
2.558
С А+В cosx-\-C sinx , _(Bc—Cb)-{-(Ac — Ca)cosx — (Ab—Ba)smx
' *¦ J (a + fecosar-l-csina;)» "~ (n— 1) (a2— 6» — c2) (a + b cos ж+с sin ж)" » "¦"
¦ !¦ И»— 1)(Ла—B6—Се)— (в— 2)[(Л6 — Да) cos х — (Лс — Са) sin а;| .
~^~(»— 1)(аа—6а—в1) J (a+&cosa:+esin2:)"-i йХ
(—1I "^' Bw—аь—3)И i
Bn—1J!! ' ^1 («—k— l)!ok (o + 6 cos x+с sin a;)»-"
При и = 1:'
o С Л+Bcosx+Csina: , Ве — СЬ
(см. 2.558 4.). ГХ1 [331] A8)
о Г ^? = f rf(=t-a)
J (a + 6c<'sa:+«sina:)n J [a + rcosfK—a)l» *
где 6 = rcosa, с =/"sinа (см. 2.554 3.).
11»

164
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
dx
a-^-b соз х-\-с sin x
2
(o_6)tg_-f-c
" arctg . — [a2 > 6s 4- с2]; Т B53), ФII94
6™ C* 1/ Д 62 C^
¦1л-
(а — Ъ) tg 4+c-
j; ТB53)н
ТB53)и
2.559
, С dx
J [«(l+cosil+csinil4'
1 Г с (a si
€ I tt A —\— t
a sin ж — e cos ж)
cos x) -}- с sin a;
И
Л+B.cos ж-|-С sin ж
t -j- bi cos a; -)- ct sin x) (aa+&a cos a;+ea sin ж)
dx =
_ ^ ln at
0 aa
cosa:-(^c2 sina;
tsina; ^ f
2 sina; l J
dx
ina; '
dx
a2+6acosa:+c2 sin ж '
где
«a 6a
«2
1 *
-u
в
&1
*2
С
c
G

C2
1
2
i
Г
«1
C2
«1
«a
В С
«1 *>1
«a 6,
А В
6a
Ч«! &1
- U *•
b1 cx |2
6a «a I
Н
a* b.
"+Г
|
I «а «а
(см. 2.5584.). ГХ1[331]A9)
„ Г Л cos8 x~\-2B sin ж Cos a;4-C sin4 a; , _
X In (a Pos2 ж+2b sin ж cos x + с sin2 ж) +

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
165
где
-In
Ь — у b'—ac
с kg x + b-{-}/№ — ас
arftfcg vf—^zT lb <acY>
rac—b* б У ас— 6'
1 [Ъ*=ас].
ГХ1 331 B4)
2.561
1 С (A+Bsmx)dx _ A , . x Ba—Ab
• J sinx{a+bsiax) а ш S 2 + a
5^+Sln^
(см. 2.551 3.). ТC48)
dx
a+6cosa:
sin а;
(см. 2.553 3.). TC49)
При а2=^62( = 1):
= -^^T {№ -Bb) In tg(T + T j-
TC46)
При а2=Ь2( = 1):
fi Г U+gain^da; _ A±B
°- J coscr(l±sin^ 2
2(l±sina;) "
a-\-b cos a;
rj Г (yl4-5 sin x) dx Ал • fft i*^"^! -^i
" J cos a; (a 4-6 cos ж) ~ a °\." ~2/ a~ П cos»
-4- S .+»Ui. ('«-2.553 3.). TC51)»
'H
- A lntg ж g In а+Ьз'пз:
sin а; («4-6 sin a;) a s 2 a sina;
a+bsinx (см. 2.5513.). TC52)
p И+Всо3^их = l f n ж
J sin ж (a 4- b cos a:) a2 — б2 (_v ' 6 2
4- (>16 — Да) In °"^^SX V . TC45)
При a* = 62 (= 1):
4
)dx
= ±-5T
В
4-^p-lntgf
sin ж A ± cos a;) -1- 2A^003 3:)
j^i+i^^=_4_;«ln tg ( a+1) _
- b Ь ^^}+ ^ 5 M^InT <CM- 2-551 30 T C50)

166 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
При аа=62(=1):
19 С {A+Bsinx)dx _ А±В ^t_f я , *>> т ЛТД
1г- ) cos*(l±sin*) 2 lntg^X + T;+ 2A ±sin*) '
.о С (А+В cos x)dx А_. /я х\ Ва—АЬ Г <te
J cos x(a+b cos as) "" a g^4+2y" a J o+bcosa:
(см. 2.553 3.). TC47)
2.562
1.
--|-] . МфК 155
Vr а
«>--|-J . МфК 162
С dx
\ 1-sin
- f da:
5-
dx
2.563
^ [Ba+b))
*' i {a+bsmZxF^ 2a(a+b) [Ba+b))
(-2.562 1.,.
= LBa+b)i
] (см. 2.562 2.). МфК 163

.5—2.в ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 167
|qr2= — 1 >0, sin2 x <—|-; при sin2 а; >—|- следует
Arth (g tg ж) заменить на Arcth (q tg ж) 1 . МфК 156
ga; -I
. 2 1 , 2 A 2gctga; -i
+ 9a + ?2 g У (l-92ctg^a:J J
Г ^a = — 1 > 0, cos2a;<—|-, при сов2ж>—|- следует
Arth {q ctg ж) заменить на Arcth [q ctg x) j . МфК 163 н
2.564
2. ^ii^=iS?rfa; = sin2alnsin(a; + a)-a;cog2a. Ла210A1)н
^ ПC34)
2.57 Формы, содержащие y^a ± 6 sinsc, |/ a i 6 cos as
или приводящиеся к этому виду
_„ . /" 1—sina; а . Ш/ГЬA—sina:)
Обозначения: a = arcsm у ^ » p = arcsin|/ д 6—,
%-\-Ь
— ftTCSlH I/ —¦ ¦ О ~~ cirCSlU \/ —Fw г \~~ i /" ~
Y & —I— о v ЛI Or — b cos r?j
2.571
6. -arcsinf
БФ B88.00 и 288.50)

168 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
+
[а>6>0, -—*.<а; <¦?-]; БФB88.03)
[О < | а |< 6, - arcsin -?- < ж < 4р] . БФ B88.54)
3. Г sin'** =4a^?(g,r)-2Ba8/±^/-(a, г)-
4.
|a|<fc, - arcsin-?< ж <-|-] . БФ B88.03 и 288.54)
?-, A [a>b>0,
a-j-&cosa: |/a-f &
БФ B89.00)
>0, 0<ar<apccos T^|-^J . БФB90.00)
БФ B91.00)
[а > Ъ >0, 0<я;< я]; БФ B89.03)
[ (^-у^]. БФB90.04)
[а > Ъ > 0, 0<ж< я]. БФB91.03)
2
^ sin ж "|/а ¦+- Ъ cos ж
[а>6>0,0<ж<я]; БФB89.03)
> |a| > 0, 0<ж < arccos^ — -|Л J . БФB90.04)
9- SS&%
ж<я]. БФB91.04)о

2.572
2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 169
р • Е(а,г)-
[<><*<«, -*<*<«];
0 < I a | < b, — arcsin у < x < у J .
БФ B88.08 и 288.58)
2.573
dx
[о < 6 <а, -у< ж < -|] . БФB88.07)
J l+cosar|^a_].6cosa; а — 6 » 2
• -2^*+Ь Е( 4 ,Л [а>*>0,.0<а;<я]. БФ B89.07)
2.574
B—p ^
<fc<a, —|<ж<|] , БФB88.02)
i {а+Ъ-РЧ+ р>Ъъшх)У a + bsmx а+Ь У ъ
0<|a|<fe, -arcsin-|-<a;<|-J . БФB88.52)
о f dx 1 „ / х 2 Ч
J B— р* + р* oosх) Ya + bcosx~ Уа + Ь \~2 ' Р '/ J
[а > Ь > 0, 0 < х < я]. БФ B89.02)
4 { ' dx
(а+6—/.26 + /,a6cos2;)y'o + 6cosx (а + 6)/б
[Ь>|о|>0, 0<ж<агссо8^-|-^];. БФB90.02)
2.575
-С dx _ 2Ь cos х 2 „. .
J ]/"(а + бБЙГж)я ~ (a*—b*)y^fbsifix ~ (а— 6) ]/"^рТ ^а' Г'
у] ; БФB88.05)
f]. БФB88.56)

170 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2. yV(a^Xbs.nx)b=3(aa__Jvya+b {(*'-&¦)*(«, г)-
— 4a (a + b)-g(«, 0 }•+->,., „^ y^^^;, sinz)a cos J
;«] ; БФ B88.05)
3(a2—Ь2)а /(a-t-bsma;):
[0 < | a| <6, -arcsin у < ж < f ] • БФB88.56)
? С ^ - 2 e( x Л 2b sinx
J У (a+b cos жK (а-Ь) /а+& V 2 ' У а2—6s /a-(-6 соза;
; БФ B89.05)
6 sinx
и »- у a+bcosx
—?) 1 . БФ B90.06)
3 /(а—6cosх)» (а_Ь)/а+Ь V ; 1 ^ ^ ^ J
БФ B91.01)
3(a3—62J Y(a + b cos жK
[ ^--fl;)J . БФB9О.О6)
2.576
\ (J^ ^ [а > Ь> 0, 0<ж< я];
БФ B89.01)
БФB90.03)
2. ^ У a- bcosxdx= 2 Ка+Т^ (б, г)
2bsln*
| О — 6 COS X
[а > Ъ > 0, 0 < х < я]. БФ B91.05)

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 171
2 577 *{ i/a'bcosx dx- 2(a~b) П (б 2ар А
[а>6>0, 0<^<л, рф— 1]. БФB91.02)
2.578 Г »g"to = i^arccosf J^^cosaQ [6 > а, 6 >()].
П C33)
2.58—2.62 Интегралы, приводящиеся к эллиптическим
и псевдозллиптическпм
2.580
1. <:
—p-|-2pcoss ф
J .
в.+ Ь созф+с siu
= 2 \
Л==2с-2е,
Формы, содержашир V"i — к?sin8т
Обозначения: Д = [/1 — A2 sin2a;, A'=]/l—A;2
2.581
1. S. sin"* x cos" x AT dx=
= 1,- J I sm"-3 a: cosn*1 жАг+2 + f/и + п - 2 (т + г - 1)
X \ sin™"8 a; cos" а:Дг dx — (m — 3) \ sinm*« a: cos" x Дг da; I =
X { sin™ a; cos71"8 xArdx+ (n — 3) Л'* \ sinma; cos"" a; Ar dx\
При ?•= — 3 и г— — 5:
sinm ж cos" x , sin a; cos" x
2.
j " - "
то—1 f sin1"-' x ros"x , я-l f sinmsco°" 2ar
'—г") д <**+-**-} д '
„ f sin xcos"i , _ sin"» t jcos"-1^
3t i д» зРд5
то—1 Г sin^^xcos»! j_ , «-Ч sin ж cos"-8 ж ,

172 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
При т = 1 или п—\:
4. \ «и.***» *АЧ«- -
5. ^ sinmacosж Д'«& = -
При т = 3 или и = 3:
6.
- [(г+2)^+..4-11Р.-1)^ f cos»-a x sin , д, ^
(n+r+l)(n+''+3)A4 J
7. с
 ЖД + 1(^+2) ^-(
X Sin
xsm
2.582
1. \ A"«fa; =-^=^{2-ft2) ^ A»-»<fo;_±ri(l-А*) С An'*
+ -^- sin ж cos х • Д""а. Ла 316 ( 1)й
' dxЛ? sin я: cos а; я—2 -2-—fca Г rfx в—3 1
+ 3
Ла 317 (8)й
, Р cosna; , cos"» . . . re—2 ?fr2 — 1
5 С tg"
^1ГГ-р-^ д^ da;- Ла316B)и
(»-2)B-fc»)r' tg"-»x ,
6.
2.583
1.
* 2.
3.
4. ^ Датгж<&= --—sinxcosx + ^FJLx, к) + ~=±Е (х, к).
—sinxcosx + ^FJLx, к) + ~=

2.5—2 в ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
173
С А3
5. V Аяшж oosxdx = — -^.
6.
7. \ A si
A sin3 xdx=
~
A cos x -\
(x, к).
1
In (ft cos х -\- Д).
8. \ Д sin2 х cos xdx= S1" я;~ ¦ Д sin x -\- -«^- arcsin (к sin x).
^pin («cosa;+Д).
9. \ A sin х cos* ж dx= ^~ A
10
. л A cos* xdx =
J
Д sm х А зт»— arcsin (к sin ж).
Oft" л '
11. \ A sin* х ах — тг^г Д sin ж cos ж +
2B**-*-1) „, ,. 8fc*-3fc'-2F
12. \ A sin3 х cos ж dx = jg-^j А.
13. V Д81п^а:С08га:аж=
Авшжсовж —
14. \ A sin a; cos3 xdx—
15. \ A cos* xdx =
—2
A sm x cos ж +
16.
17.
18.
«—3ft*—fca—1
^- arcsin (Л sin ж).
20. \ A sin ж cos4 xdx
—16fc5
;—3fc4—
.... .
arcsin (ft sin ж).
8fe2+3 A
з— д cos x —

174 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
21.
22. ^ АасЬ = ~A + к'*)Е(х. k)-~F(x, к) + j A sin z cos ж.
23. \
24. \ Ascosxdx=— ?HL?iL_ д Sin ж 4- sr arcsin (к sin ж).
J о о»
25. \ A*sin2хdx = т? Двшжсовжн —^—Е\х. к) —
8fc*
26. \ А3ч1л Tcasrdr — =¦.
27.
j io lore-
— 2к*^™*~3Е(х, fc).
28. *
In (k cos x + A).
2g \ »i..'.i, j — ore-siii-i--t-i4/cJsinaa;—3 A _.
arcsin (Л sin г).
30. ^ A'»j»^Tfa- -8**rin«,+2>*(tf+pi4~'»+3*«-8fc.-3 ..
X A cos x + -г^ш 'n (A cos x + A).
31.
H—16A3 arcsin (A sin ж).
33-
34- Si^^^f1. *)-*(*.
qt. С Ada; 1 1 —Д f
36" J

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 175
оо Г A dx Дсозж к'",
J з1П3ж 2sin2ar "¦ 4
Д — cosar '
Affcc —Д l-f-ft8. Д — ft'sin
2ft'
sin2a:cosa: sin a; 2ft' A-{-ft'sin a;'
Ada; Д 1. Д-|- cos x
sin a; cos2 a: cos a; "•" 2 Д—cos a; "
&dx Д sin a: 1 A-|-fc'9ina;
cos3 x 2 cos2 x ' 4ft' Д — fe' sin x
43-
44. J -^^= --sb"- ^ arc sin (ft sin *).
45 \ ваш-*™ _ йот* , я—l „„„„,„/!.„•„ ^ , * к, а-f-ft'sin x
A — ft' sin a:
47.
&dx
/я С
49. f , Ada: =f-itga:^ctga;
J sin4 ж cos2 a; V'c e
* *»—2 . И-Д
 4~
С Adg - A 1 In1+
J йпхсоз»х"" 2cosax ~ 2 Ш1-
1+A I 2~fc'
ln
4ft' Ш Д-ft' '
_„ Г sina; A , Д . ft2
52- \Ad +
53. С_^?ДЛв=_ A_ iJ^l+
J sin3ar 2 sin2 a; '4 1 — A
54. ^^| ДЛс= С tg2sArfx = Atga; + i?(«, Л)-2E(ж, А).
55. {^¦Adx=[ctg*x&Ldx=-Actgx + !c'f>F(x,k)-2E(x, k);
ft' ,„ A+fc'
„ fcos3a:A, fc2sin2a;-3ft»-l л , 1 ,„ 1-A
J sin a; 3ft2 '2 1 + Д
58 C,AJ?-= ^-3)sin^+2 wA
J sin5 ж 8sm4ar '
iiisV 8iln^ v»B-.u-! jg ^A-eosx •
_ C—fca)sinaa+l д ft/ ] Д —ft'sin ж
3sin3a; 2 ' ¦ b'":" - *
Д |
sin1" a: cosaar 2 sin2 ж cos ж ' 4 A-(~cosj;'
С ДАг _ 3sinaJ —2 . 2fca—3 , Д+fc'sina;
J sin2» eOsS~i ~~ 2 sin a; cos2 x ' 4ft' A — fe'sinar

176
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Adz
о С
3> }
sin x cos4 x
_Bfca—3Kin2:c—
—3)sin2s—3fc»+4 i A-)-
3fc'2CQS3a; '2 Д—
8*"cos«x
4fta—3
64.
65.
66.
67.
68.
69.
2.584
5-
cos4 x
A3
sin2» . , sini . 2Aa — 1
A dx - lu^ A + —ЦГ-
—3
3ft2—1
cos3 x
2ft2+l . ,, . .
sJP-агентами*).
Ж*
Д —/ссочаг
cosx <**
ft sin x
~A~~'¦
sin ж cos a; dx
cos2 a; da;
.a
ft2 •
1+fc2
о С sin2 x cos x dx sin i4 arcsin (ft sin x)
J Д 215 ' 2^
sin x cos2 x dx
cosa:A
л f cos3 ж dx sin а; Л , 2A2—1 . .. . .
0- У Д~ =-2р-+-2^—агсяш(Аштг).
sin3 a; COS idi

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
177
sin2 a; cos2 x dx
sin x cos х Д 2—ft»
3F~:—'—з^~
2ft2 —2
14.
15.
16
17.
__
= _2*"g^*+3 sin a: A + A arcmn (Asin а;).
g^
cos ж д_
19.
Q f sinx
-8f+3
arcsm(*sina),
23.
sine a; cos ж dx 3ft4 sin4 г
8ft*+7fc2+8 p .
Д.
—8
— 8
й Г sin2
sin» ж cos3 x dx _ 3ft4 sin4 x—Efc4 — 4fe2) sin2 ж—10fc2+8
" Ш
д
a;co34a;da:
—4 . л ,
sin x cos ж Д +
7. ^
sin ж cos5» <te —
k 3
:—8fc4+16fc2—8
15ft«
.
28
F(x, ft) +
? (,, ft).
cosa:A
Таблицы интегралов

178 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
„. Г sinsжcos2ж d* — 8**6in**-|-2ft»(fe» — 5)sin*a;+3u4-f4fts— 15 А
dl. ^ д = —^ COSZA-
16fc7
—2ft2 Ffts — 5) sin2* —
arcsin (A; sin z).
ln (A cosa: + A).
sin»ж cos» д Ac —8^ sin4 x-\-2k* A2fca —5) sin2 x—24^+36^— 15 .
= ^ s
-\ ieftT — arcsin (A sin z).
„с
f si
sin з: cos8 д dx _ —8^a sin4 j-f 2Aa (Ша—5) sina ж—33^+40^" —.15
.
—5
iW
arcsin (A; an x).
37 Г da:_ * F(T м fc2 sin i соз ж
no f sinxda; COS a;
Дб' )"д» ггд"-
COS x dx sin x
40.
42.
sin x cos xdx 1
cos a; , 1
•» Г sin2 ar cos x dx sin x 1 ,, . ч
44 3 Д5 =-^дГ-^arcsin (Asmж).
45.
Sin*cos2 x dx cos a: 1
• я Г свь3жйаг fc'2sinar 1 . ., .
46' J Д^ = *5д— + P arcsln (A sm ж
,7 f sin*gdg _*"+!„, ,. 2 „, ,
sin8» cos J Jr2t— A2 sin2 a:

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 179
49.
50- J Д3 Щ
5L J—д*—= )И ?(*-*>
sin x coss x dx ftasinza;-|-ft2—2
c'% p t к\ *'a 3'n x cos x
— 3
cosa;H—-^- In [k cos ля- A).
rn f sin1 ж cos x dx — k%six?x-\-b . 3 ...
53. \ ?3 = ^ад — sin ж — ^ arcsm (A; sm x).
с-/ С smsxcos^xdx — к* sm* x-l-3 fta—3
54. ^ = 2feM ^ cosa?+-2p-
,c
f sin2 I cos3 a; da; A2 sin'2 a;+2fca—3 . 2ft«—3 , .
i Д5 = 2Щ Sln ж 2P~ ai-csm (k sin ж).
ce С sm хcos4 ж dx /casmaa;4-2fts—3
J Д5 = Й
= гРд ' sin ж Ч 2p— arcsin (fc sin ж).
rn f da; _ — fe2 sin a: cos x 2fc2 (fc'a+ 1) sin x cOs д; 1
59.
60> i~^
ЗД5
¦f- ТЛл.—— вшхв&еж.
sin x cos x dx
62' 5 —д.
cos2 a; da: 1 „ ,. , 2ft2 — 1
63. J.
64 v sm-ж ^ _ Cft2-1) sin2 1-2
pc V Sin2 X COS X _,_ SiD8!
eg i sin a; cos2 x _,_ cos3 x
cos
Д» "**"" 3ft'2A3'
„_ Г cossa;da! —Bfc2+i) sin*x+3 .
67. ^—д^ = здз sin*.
68. i-J±-=,-±ln&+cosx .
j Д sm x l Д — cos x
69. $
dl 1 . Д — ft' ain X ,
Tcosx = ~F П Д + fe' siiir *
12*

180 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
I" Лт С \ 4-rta-a т
ПГ\ V "•* V _LXi_=L_/7-г . IT f-r lf\ PIr Jr\ Л ftrr -г
iV'. \  :—? \ 7 UtJU =! Л1 1Л. /?l ?(¦(>! /Cl '.^ L\ L»ttf *C.
1 ^l S1H X Л ^l
71.
72-
Л sin х cos х J e e А 2 1+Д 2Л Д— ft
r,o С sin a; da; f . dr 1 , НА-к'
J cosi Д J е Л 2к' &. — к'
п, f cosa; dx С . dx 1 . 1—Д
74. \ — г-= \ сХгх—г-=-о-1п т-т—г-
J sin i Д J 6 Д 2 1 + Л
J
A cos a: l-)-fc
= ~~ 2 i2 4
„Г йж A cos a: l-)-fca >
J Д is = ~~ 2 i2 4
Д sins ж = ~~ 2 sin2 x 4 Д — cos г "
^ _
sin a; 2k' Д-j-fc'sinar'
dx Asina: 2fea —1 , Д— fc'sina:
co ^ П
Д
7Я С dx — Asina: 2fea —1 ,
J Д cos3 x ~ 2k'2 cos2 a: "^ 4fe'J П
7Q С sin x dx
3 cos2 a: A ~i
on
cosar'
cosa; dx _Д_
sin2 x Д sin ar #
f ^in2^ da: i 4±|^I^ -1 arcsin (k sin *).
J cosa; A 2k' k—k'siax к
82. С fggljL-gl * In A+cosa; 1 ln(fccosa; + A).
J sin а; Д 2 Д—cosa; ' к *
аз. ? -r4v=4-{-
J Д sin* j; о
в, к)}.
. dx Г
Д sin3 x cos x ~ J
2 sina a;
85. С л .
J Д si
л . 3dx .
Д sina a; cos2 x
^E(x, k) + 2F(x,
Д 1 ,nl+A , 2-3fc2 ,A + fe'
A-'2cus2a; 2 1 — Д "*" Ws А —Л' "
cq

90-
2 5—2 6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ФУНКЦИИ 181
dx _ Г tg»s . _ t
А
cos3a; dx _ A 1 , 14-A
д~~ Ж ~"T 1—д •
*> atn»»+2] д ЗУ+зда+З, д+сов»
iH^ ДсмжЧ- ^ ln A
95 ^ dX — C + ^^M1^ х-\-\ . 1_. А — к' sina:
J Д sin4 х cos x ~ 3sinJa. 2*^ Д + Л' sin лг •
96 ? ciJ C—/с2) sin-'j —А'а д АД-1-3 , A —cosj
J Д sin" х cosa л; ~ 2ft'2 sin2 a: cos a; "" 4 44 cos* "
Q7 { dx = ^-^ki)siaix—2^'a д 4fc*^3 , A +
J Д sins лг cos3 лг ~ 2A'2 sin x cos21 4Л A^fr'siua; *
98 Г dx =Efc*— 3)sm2 j—6&г4-4д 1, A+cosa;
J A sin xcos4 ar ~ 3ft'4 cos» x 2 A— cosx'
Г
8fc*—8fc2-j-3 ¦
+ 16fc'* ln
1flf> С s'na: ^ 2ft2 cos2 ж—ft'2 a
J cos*TT" 3ft'4 co^ a:
f cosj dx
J sin4ar A ~"
Ш J sin4ar A ~" 3siu»z
A sin a: 1^. &.-\-k' sinx
'2ft'2 cos2 x 4ft'3 Д — ft'sinar
С cosix ^L _ A cos a: , A'2
J siKST A ~ ~ 2sin2a: + "T"
A —cos x '
i«i f sin3a:dx A . 1 i *» »ч
104. \—= г- = гт5——\--rln(kcosx-\r A).
.., С cos'x dx ' —A 1 .... ,
105. \ —= — = r arcsin (ft sm x).
j sm2 ж A sm ж ft v '
..» Г sin4 я: dx A sin a; 1 . A+ft'sina; 2ft2-J-l
106. \ — —^T— 4-Trrrln ^ff—
J cosa
cosa: A 2fta ' 2fc A — к sin a: 2ft-
2.585
_ a Bp +

182 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
При р = п натуральном этот интеграл может быть сведен к следующим
трем интегралам:
a+sinx , _•?/_ гл i * , Д—Acosx
• J (a+sin x) Д ~ n UK. ' «s ' ) J <«2-si
г)Д '
где
5. \ a3Ts*Jl - _ , . ~* —'" ^*~*Л *ГХ~
2.586
1 С d.x 1 Г соз х А
(e+sin ж}" Д
[пф 1, о
Этот интеграл сводится к интегралам:
dx 1 Г cos х Д
L
K А = A—в«) A
Д J
cos-r Д
(см. 2.58$ 4, а 2.586 2.).
Для а ~ ± 1 имеем;
cos x Д .
Г rfa: 1 Г _.
J (l±sinx)"A"" [2п — 1)&'Z L
A±slfg)J. rXI[24lJFa)
интеграл сводится к интегралам:
~^^' fc>- ГХ1[241]Fс)
— JL Г T fc'icosa: A rr (< —5/ta)cosx Д .
+ (,1 - ЗА2) &'2/1 (ж, А) - A - 5Ага> ? (х, А) ] . ГХ1 [241J FЬ]

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ' 183
Для а = ± -j имеем:
Г dx 1 Г
J (l±&sina:)nA ~Bn — 1) &'2 I
к cos х Д
sin
Этот интеграл сводится к интегралам:
+
w^ J ¦
ГХ1[241]GЬ)
q f rfx 1_ Г fcfc'2cos
J (l±&sinarJ2A ~ ЗА'4 L ± (l±fcsi
. Г
1щ J
-№)Е(х, к)\. ГХЦ241] Gc)
2.587
dx
[рФ-2, Ьф±1, Ьчь-if-].
При р = ге натуральном этот интеграл может быть сведен к следующим
трем интегралам:
2. С 6+°os:r йж = bF (ж, А) 4- -j arcsin<ft sia ж).
3. ^!—!--д——dx = p /"(ж, АL--р-?(ж, АL-тагсзт(А;81пж).
4 Г da: b U.fx Ь /Л I <[ cosrrfe
J (i+cos^A "" 62—1 Х1^Л' ь*-1 ' У J A —62 —sin^^A '
где
cosgrfa: _ 1. Т/Ч — Ь2Д + й l/'fc'*^fc^u'sina:
S f cosgrf
J A — 62—si
.
1^6^ Д — к
2.588
. 7 dx 1 Г sin x Л
• L
F-|-соза:)"А (п—1}A —
— Bп —3)A-„„ , „ .. ,-..,,. ,_ , д
/• ^«
— (и— 2)B&а— 1 — (

184 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Этот интеграл сводится к следующим интегралам:
2. ^ . ——_ =
. I __ / 4 ш
dx _ ft J
dx 1s Г sin x A
L
2A — 6*)(й'а4-№) L F + cosa;)
-Bft2-1 -6bV) J _^L_._ 26ft*F (x, ft)] (см. 2.5Й 2. и 2.587 4.).
2.589
1# Г (c
cos2 a;
При р = п натуральном этот интеграл может быть сведен к следующим
трем интегралам:
2.
3.
с»)
sin arcosacia:
С sin
"" J [c« —(l
sin a; cos x dx
(l+o*)sin«a:]A '
где
5 Г si
• J [c2 — (
2.591
1 С dx 1 Г
J (c + tgz)»A (n—l)(l + ca)(l + fc'aca) L
- („ - 2) A

2.5—2.$ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 185
Этот интеграл сводится к интегралам:
2 [ dx * Г А
J (e+tga:)aA A4-е2) С^*'*0*) L
о Г
J
(cm. 2.589 2., 3., 4.).
dx 1 Г -A
L
- A + k'* + 6cW*) $ (e+gg) д + 2ck'*F (x, А)] (см. 2.591 2. и 2.589 4.).
2.592
Г (a+sin^)"
• ™ J Л
Рекуррентная формула
! + sin2 *)" sin ж cos *Д + B« + 2) (!+*• + 3oW Pv1 -
>n + 2na A + a; A
сводит этот интеграл при и целом к интегралам
2. Р1 см. 2.584 1. и 2.584 4.
3. Рв см. 2.584 1.
При а = 0
5. С -^Ц- см. 2.584 70. Ж37 A24) и
п J (A+gsiuaa:)»A
вычисляется при помощи рекуррентной формулы:
- B« - 3) [g2 4- 2% A + Л2) 4- 3fe2A2] Гп_г + 2 (тг - 1) h (g + h) (g -r hk*) Tn\.
2 593
Рекуррентная формула
<?„+2 = ^з) fc2 {(Ь + cosa ж)" siD x cos я: Д - Bгг + 2) М - 2ft2 - ЗЬ&«) «?п+1 +
'4- Bв +1) [А'2 4- 26 (А'2 - *г) - 36%2] Qn - 2nb (I - b) (к'* - к*Ь) Qn_
сводит этот интеграл при п целом к интегралам:
2. Ql см. 2.584 1. и 2.584 6.
3. Qa см. 2.584 1.
ПСа;

186 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКНИЙ
При 6 = 0
5- S 1^дГ см" 2'Ш 72" Ж 37 A23)
2.594
Рекуррентная формула
сводит этот интеграл при п целом к интегралам:
2. Rx см. 2.584 1. и 2.584 90.
3. До см> 2.584 1.
При с = 0 а». 2.582 5.
2.595 Интегралы типа \ i? (sin ж, cos ж, |/1 — ^2 sin2 x) dx при />¦ > 1.
Обозначение: а = arcsin (;> sin я).
Основные формулы
ЕФ B83.03)
J (l->
БФ B83.02)
Для вычисления интегралов вида \ Л (sin ж, cos ж, j/l — p2sin2a;)tiz:
при рг > 1 можно пользоваться формулами 2.583, 2.584, произведя в
предварительно следующие изменения:
1) к заменить через р; 2) к'2 через 1 — рг, 3) F(x,fc) через
— F\ а,— ь 4) Е(х, к) через рЕ[а, -—) — р F[ а, — ).
п V р J V Р s Р n. Р •
Например (см. 2.584 15.):
2.596
. Г cos4i:rfj; sinarcosxl/l — рг sina лг 4рг — 2 Г „ /" 1
1 * \ — = —¦ I ptL [ Q,\ —
sin ж cos х

2.5—2.$ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 187
(см. 2.583 36.):
2-
[()(^)]p2^x [/>* > 1];
(см. 2.584 37.):
р* sin х cos х />2 sin j cos x ,
1 — P* ' y^T— p* siu* зГ ~ P* — i ' /1—/>2sinai
2.597 Интегралы типа \i?(siDa;, cosx, У1 + p2sin2ж) <&.
Обозначение: a = arcsin r ~t p _
Основные формулы
1. С ^ _= l _F (a *L^Y БФ B82.00)
2. ^1/1 + р28ш^^ КГ+Р?Га ЕЛР sinxcos*
БФ B82.РЗ)
3- S g^5bAn(fc)
5
, (* sin iiii 1 . i p cos x \
4. \ , = arcsin I , ].
. С
J
„ f ^ __1_,
* J sinar>^i+pasinaa; 2 y^l-j-^asin2"a; +eosa;
„ С dx 1 ^ /"
J cosKy^l + ^sin2! ~~ 2]^l + p2
у l-j-pssinJi
^1 /aia —COS ж
о Г tgiria; _ 1 ln /Г+^з1п»я +
g f ctgxdx _ 1 ln 1 —
2.598 Для вычисления интегралов впда \ 7? (sin ж, cos х, У 1 -(- р2 sin2 ж) с?ж
можно пользоваться формулами: 2.583, 2.584, произведя в них предвари-
предварительно следующие изменения:

188 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1) А2 заменить через —р2; 2) к'2 через 1 + р2;
3) F(x, к) через l р(п, р
4) Е(х, к) через /1+^Е (~ _*==)_
5) 41° (A; cos x + Л) через - arcsfrr
Р
—
6) -г- arcsin (к sin ж) через — In [p sin a; + У 1 +/г2 sin2 ж ) .
Например (см. 2.584 90.):
(см. 2.584 37.):
Л , tgx
2.599 Интегра-лы типа \ R (sin ж, cos ж, Уa2 sin2 ж—l)dx [a2 > 1]
Обозначение: a — arcsin. acosx
Основные формулы:
'БФ B85.06) в
3 С dx = 1 д/ ^(««-1) J^f^TN
J A—i-asinSaOj/aasin2*— 1 e(ra—1) ^ 'a2(r2— 1) ' a J
[a2 > 1, r2 > 1]. ^ БФ B85.02) м
J /aasin2x—1 a l J
f cosarrf» _ = ±ln(gBina; + |^g»Billaa;_1) fa* > 11.
i/"ea — 1 sin ж + V'a2 sin2 ж — 1
cosar y"a2siu2a:—1 2 y'fl2 — 1 j/V — 1 siua;—y"a2 sin2 яг—1
[a2 > 1].

2.5—2.$ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
189
У a2 sin2 ж—1 2/a2—1 ]^a2 —1— }/"a2 sin2
j/a2jin2 x—1
2.611 Для вычисления интегралов \ R (sin ж, cos ж, ]/ a2 sin2 x — 1 ) da; (a2 > 1)
можно воспользоваться формулами 2.583, 2.584. Для этого надо:
1) В правых частях этих формул произвести замену следующих функ-
функций равными им интегралами:
F (х, к) заменить через \ -^- ,
Adx,
Е(х, к)
— -j In (к cos х + Л)
-г arcsin (к sin x)
1 , Л — cos л:
-п-1п — ¦
2. Д-4-cosa;
1 |
к'
2к' Д—k' sin а;
m
заменить через
заменить через
заменить через
заменить через
заменить через \
,
1 ln 1-A
2 Ш 1+Д
заменить через \ -^- dx,
заменить через \
CtgJ
д
2) Затем в обеих частях равенств в этих формулах заменить Д через
i ]/a2sinax — 1, к через а ш к'2 через 1 —а2.
3) Умножить обе части полученных равенств на г, в результате чего
в обеих частях равенств должны оказаться только действительные функ-
функции (а2 > 1).
4) Вместо интегралов, стоящих в правых частях равенств, подставить
их значения, взятые из формул 2.599.
Примеры:
1. Равенство 2.584 4. переписываем так:
Г sin2 х , If dx lf-т /2-2
\ —dx = —~ \ ¦ = \ 11/a2sin2a:
J i/a^sin»* —1 «2 J i Ya* sinax— 1 f J
dx = \
/a^sin»* —1 «2 J i Ya* sina f
откуда получаем:
г _Jun2j^__= М-С —g; + С ^.дь.^,
J ]/a2sin2a; —I a lJ >^o2sin2j;-l J
ate,
2. Равенство 2.584 58. переписываем так:
dx 2a* (a2 — 2) sin2 x- (За2— 5) a" .
= i v sin ж cos л: —
P Y(a* sin2!— IM 3 A— a2J i» у (a2 sin2 x— i)«
2a2—4
1 С dx
3A-«2) J i /e«sin»x—1

190 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
откуда получаем:
Г dx 2о4(а2—2) sin2 я—(За"—5) о* . , 1
\ —: — '— v —'-—sin x cos x + -5-п- sra—X
J /(a2sin2:c — I)* 3A — a2J /(a* siu2 :e - IK 3A —aa)aa
3. Равенство 2.584 71. переписываем так:
f а!л; Г ctg х dx С tg х dx
J sin ж cos^i y^a2 sina.z— 1 J i ffa* sina ж—1 J iy^^sin2*—1
откуда получаем:
dx 1 ¦ yaa_l -(-Уд» sin2 ж— 1
J sin
a? sin2 л; — 1 2]/e2—1 ^a^^T — ]/aa sin8 ж—1
2.612 Интегралы типа \/?(sina;, cosa;, "j/l — k^cos^x ) dx.
Для нахождения интегралов типа \ R (sinж, cosх. ]fl — /еаcosax)dx
следует сначала сделать подстановку х = -^— г/, которая дает
\ Д (sinж, cos»a;, V1 — /с2cos2ж ) «(ж = — \ Д (cosу, sin г/, J/1 —/с2sin2г/ )dy.
Интегралы \/?(cosj/, sin у, |/1 — к2 sin2 у ) dy находятся по форму-
формулам 2.583, 2.584. В результате использования этих формул (предполагается,
что исходный интеграл приводится только к интегралам первой и второй
лсжандровой формы) после замены функций F(х, к) и Е (х, к) соответ-
соответствующими интегралами получится выражение вида
dy
— A { r dy = — B \ I/I— ?2sin2w dy.
J /l-A2Sin2j, J Г * »
Переходя обратно к переменным х, находим:
\^ R (sinх, cosa;, "j/l — A:2cos2x )dx =
= — g(s\nx, cosa;) —Л \ ¦ dx В [ V~i — A:2cos2x dx.
J у 1 — fc2cosa x i
Входящие в это выражение интегралы находятся по формулам:
л Г dx _ / ain x , \
1. \ , ^- = F I arcsiu , к ) .
J y^i — k^cos2 х \ /1 — k^cos^x J
<ч Г i/T г^ 5— , п f • sin л; , N Aasinxcosa;
2. \ У 1 — /rcos2.r dx = E [ arcsui ¦ -,к) — .
J 4 yi—ft>coa>* J V i —42coszx
2.613 Интегралы типа \ R (sina;, cosa;, |/l — jo2cos2a;) dx [p > 1].
Для нахождения интегралов типа \R(sinx,cosx,V I — p'cos? x)dx
[/?> 1] поступают так же. как и в 2.612. При этом пользуются формулами:
dx ^(arcsindcosa), -j) \p> Ц.
у 1 — рг cos2 х Р

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 191
2. \ У1 — />2 cos2 х dx = - F ( arcsin (p cos x), — j —
— pE f arcsin (p cos x), — J .
2.614 Интегралы типа \ R (sin ж, cos x,\/ l-\- p2 cos2 x) cte.
Для нахождения интегралов типа \ R (sin ж, cos ж, |/1 + р2 cos2 a;) dx
следует сделать подстановку х = -^— г/, которая дает
\/?(sin:e, cosa:, |/l+jo2cos2«) da;= — \ Л (cosy, sin г/, VI + Рг sm* у) dy.
Для вычисления интегралов—\ Л (cosг/, sin г/, |/1 + p2sin2y) о!г/ следует
пользоваться сказанным в 2.598 и 2.612, а затем, после обратного перехода
к переменным х, формулами:
dx l f(x
2.
+ p2cos2x dx= у\ +р* Е (х,
2.615 Интегралы типа \R (sin x, cos х, У a2 cos2 z— l) а?ж [в > 1].
Для нахождения интегралов типа \ Д (sin ж, cos x, ]/ra2cos2x—l)dx
следует сделать подстановку х = -^— у, которая дает
\/?(sina;, cos ж, \fa?cos%x— l) da;= — \i?(cosy, sin у, ]Aa2sinay— l) dy.
Для вычисления интегралов — \ R (cos ^, sin y, |/a2sin2j/— l) riy следует
пользоваться сказанным в 2.611 я затем, после обратного перехода к пере-
переменным х, формулами:
1. \ , = —F/arcHin i fa > 11.
J ]/a2cos2a:—1 « \ ]/^a2—1 a J '
2. ^ ]/o^Wж-1^=аД(arcsin
1 „I
- T F (
. a sin я
arcsin 7==T
2.616 Интегралы типа \/?(sina;, cosa;, У 1— ;>asin2a;, ]Л1
Обозначение: cl=
V 1 —p2sina ж
БФB84.СЮ)

192 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
(* tg2 х dx tgxjAl—д2 sin2 x
J ]/(l~ ,P2sin2z)(l -92 sins ж) ~ A—?a) J^l — p2 sin2
БФ B84.07)
3 V 4i *м — i_, x
'¦" p2sin2x)(l—?2sin2a:) 3A— ?a)a(l — p*fh
8—3 +sin-a: D — 3p2 — 2?2 + />V) sin ж .Т — 92 sin2 я
3A — p»)(l—г1I
[О < ^2 < ga < 1, 0 < хк-j ] • БФ B84.07)
J l/(l-pasinsar)(l — ?2sina*K~~ A —92)(?г—/>2) I0'
_
4
2
БФ B84.06)
cos2 x dx
j/"(l — p* sin2 гK A — ?2 sin2 г)
1, 0<яг<-|] . БФB84.05)
„ i- COR4 X dx
b.
3 (g2-/»2J
"Г i— p* \ ' I 1 —WJ
p* \ ' I 1 —WJ 3 (q2 — ps) У {I — />2 bin2 xf
-|] . БФB84.05)
7- S'i-^w. /i-^sln'>7T^?(a- /r=^)
[0<p2<ga<l, 0<ж<у] . БФB84.01)
q*— рг sin x cos x
БФ B84.04)

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 193
Q Г dx /1-/,»8Ш»х_
J 1 + (/>а»-а—/>2—r2)sin2a: К 1 — ?2sin*a:~
^) [o<^<«'<t.o<«<f]-
БФ B84.02)
2.617 Обозначение: a = arcsinl/ -
У 2 /6»+e»
— ecoss:
_-| /~2 ¦/&+*_
dx
Г 0 < Vb* + с*<а, arcsin Ъ - я < ж < arcsin f Ь 1 ; БФ B94.00)
•./¦о
F(a,r)
Г 0 < | а ]< У 6й + с2, arcsin ^ J__r - arccos f - ^т^т_^)<ж<
<
arcsin-г^—Л . БФ B93.00)
|/a + Ь sin ж -j- с cos ж
[0 < I в I < l/б2 + с2, arcsin —- — arccos | у " ) <
< ж < arcsin - Ь 1 . БФ B93.05)
У fca-t-ca J
*
3. \ ' ; = 2Va + osin« + c cos ж.
J у a-\-bsia.x-\-ccasx
у а-\-Ь smi+ceosi
t
arcsin Т^г- п < х < arcsin ywrf> ] ; Бф B94-04)
= -2V~2-yrb*+c2E(a, r)
7Щ^]- Бф B93-01)
13 Таблшп* интегралов

194 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
5.
— lY a+ Y Ь* + с* Е {а, г)
Ь
У Ъ*-\-
— n<s<arcsin
у Ьг +
БФB94.01)
БФB93-03)
2.618 Интегралы типа \ Я (sin ах, cos аж, ]Acos 2аж) dx =
= i \ R ^sin «, cos f, 1^1 —2 sin2 <) rff (f = аж).
Обозначение a = arcsin(Vr2sinoa;).
Интегралы \/?(sinaa:, cos ax, "|/ cos 2яа;) rfx представляю г собой част-
частный вид (/> = 2) интегралов 2.595. Приведем некоторые формулы:
!. С
J
2.
sin2 аж da;
/cos3 2ax
_ sin Tax 1 „ /" IN Г^ n"I
~ 2a /cosei a /2 V ' /2У L 4 J
1а

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 195
11.
12.
2.619
Интегралы типа \Л ( sin яж, cos ах, У — cos 2яж) <?т =
= -М i?(sina;, cos ж, У 2 sin2» — 1) dx.
Обозначение а= arcsin (У~2 cos ax).
Интегралы \ i?(sina;, соэж, "J/ 2 sinaa; — 1) dx представляют собой частный
2 2599 2611
вид (а = 2) интегралов 2.599, 2.611.
Приведем некоторые формулы:
1 f dx
Ь J l/-cos
1 "Ч
/2У
>l^-cos2aa: a/2L V '/2/ Ч /2У J
cos'axdx I
si
— j^ sin 2аа; У — cos lax.
4. С ~ ^-ctgaxy -ms2ax-^ E (а, ~) .
J sin2 ах У— aos'iax « Б « \ |/2У
-соз 2а,
ук) ~ 6? С"' уЧ) 3
7.
— cos2ea; а/2 L Ч У 2
+ — ctg ожК — cos 2ax.
. в
A — 2r2cosaoa:) \ — cos2aa; а у 2
J /—cos*2«j; a/2L Ч /2У 4 'y^2
q f COS8 ai rfa: sin 2aa; 1 „ / 1 \
J >/"—coss2aa;~ 2a j/"— cos 2аж a j/ 4 ' y~2s '
10 С ^ г _f С в *_> sin2a3:
J У — uQ&'lax ЫУг Ч ' yiJ За У — cos3 lax '
— cos 2ax
11.

196 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1 Интегралы типа \Д (sinew:, cosaa;, У sin 2аж) dx.
Обозначение: « = arcsiu |/ -т-.—. S1D°* .
г 1+sin ax-\-cosax
2.621
1. [ f dx =?*F(a, 40 - БФB87.50)
2 С sin ax dx _ У~2 A+i тт / 1 + i 1 >>
T1' Л) + F (a> Л) - 2* Ca' Л) } ' Бф <287-57>
J A+sin ож+cos аж) /sia 2аг ~~ « L V' /1У - \ ' |71yJ "
БФ B87.54)
J A—sinax+cosax) /sin2a« а I v. У *JJ L ^J
БФ B187.55)
5. C_ (H^psa*)*. ==/1д^ * -\ . БФ B87.51)
J (l+sin ax+cos a*) /sin 2аяг ° Ч ' К V
6 Г *(l+..cos«a;)dg ^ _
j A—sin ax-\-cos ax) j/sm2aa:
БФ B87.56)
?> r A-sm^+cosa,)^ ^Vjl^^ _1_Л F^at J_M
0 A+sin аг+cos аж) ]/" sin lax a > Ч ]/2У V ]/2yJ
БФ B87.53)
8. \ A+nnax+cosaxXi* =VJn , ^14 Бф gy
J [l+cosas;+(l — 2r2)sin aar]/sin2aa; a V /2У
2.63—2.65 Тригонометрические функции и степенная функция
2.631
1. { хт sinpж cos9xdx= j_ [(p + q) xT sin"*1 ж cos" ж +
+ гжг-1 sinp ж cos* ж — г (г — 1) \ жг~2 sinp xcosqxdx —
— гр{ жг"» sin" ж cos4 ж а!ж + (q — 1) (/? + q) Я жг sbip ж cos" ж rfa:];
ггм sinp ж cos* ж — r(r—1) \ жг8д
+ rq С ж' sin" ж cos" ж dx + (/> — 1) (p + g) ^ жг sinp ж cos" ж «fa; ] .
ГХ1 [333] A)

2.5—2 6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
2. \ хт sin" xdx — - ~—- {т sin х — пх Cos x\ +
+ 2=1 С ?nsmn^xdx-m(m~i) ^ xm-*sinnxdx.
3. \ ж*" cos™xdx — ^~—~ (w cosж + пж sin ж} +
« cos"ж <&-Ч"^" ^ жтcos"хdx.
4. ^
т— 1
(-1)* (^) ^жпсозBт-2А;)ж<Ь: (см. 2.633 2.). ТЗЗЗ
5. ^ ж"зт2т+1 ж йж = -i^|p 2 (-1)" (^ *) ^ ж"з1п Bт - 2Л + 1) ж dx
(см. 2.633 1.). ТЗЗЗ
6. J(^)^
ТП— 1
=Pi 2 (?) $жпсозBт-2Л)ж<*ж (см. 2.633 2.). ТЗЗЗ
fc=0
(см. 2.633 2.). ТЗЗЗ
2.632
> —1, ж>0]. ИШ317B)
2. \ жн-» sin ажаж= ^{ехр -^([л—1) Г(ц, — iax)-j-
J 2a1* I L л J
+ ехрГ^A-цIг(ц, гаж)} [Иец< 1, а > 0, ж> О]. ИПГ317C)
3. С a^*-1 cos рж dx = i {(iP)-»1 y (И. Фж) + (— Ф)1 Y ((*• — Фж))
[Re(t>0, ж>0]. ИШ319B2)
4 \ ж»1 cos axdx= — \ ехр ( щ тг ) Г (и. — 1аж) +
+ ехр( —1>у)Г^' iaa;)}- ИП1319B3)
2.633
п
^ fc=0

\
198 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
п
2. \ xncosaxdx=% k\(nk^)^sm(ax + ±rkn). TD86)
3. \xinsmxdx=Bn)\
fe=0
n
4. Var^si '~
5. \ x^cosxdx = Bny \У (-1)'
~^J v ' Bл—2/t—1I
n
6. r~
„ ^an-sft
2.634
1. \ /*п (ж) sin тож йж =
cos ma;
fc=0
Ё(т) „и . . M2^)
2. \ jPb (ж) cos mx dx -
E (т)
smmx
В формулах 2.634 Дп(ж) — многочлен n-й степени, i)j»')(a;)~- его А-я про-
производная по ж.
Обозначение: zx = a+ Ьж.
2.635
ь . ,
1. \ 21зщА;жйж= —-g-2i
2. \ 2j cos Лж «fж = -?- zx sin кх -j- -p- cos te.

2.636
2.5—2.« ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 199
3. \ z- sin kxdx~-^( ~?5 2» ) cos ** + "t? sin ^ж>
4. \ zfcos/ea;«J2;=-?-(z?—vj- ^ sin Аж + -^ cos kx.
5.
'6.
7.
8.
г, Г ь - i j 56 /'j 12b2 . , 2464
9. ^z\smkxdx-j?[jF—wz' + ~
10.
3062 . . 3606* 2 7206«
12. ^ ^(^
^L 2 (-^*1Х™\ш2х+ 2 2^tn-2k-ltCOS2x\-
ГХ1[333]Bе)
2.
sin2z+ 2 2^i n-2fc-l i COS H '
ГХ1[333](Зе)
3. \ «sin2 a;da;=^ ^sin2a;—g-

200 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4. \ хгsin2х dх = % ^cos2a:—т (а:2— -=- ) sin2a:. МфК241
J о 4 4 V а /
5. \ a:cos2a;da;=^- + -^ sin 2a; +-g-cos 2ж.
6. \ x% cos2 a; da; = -g- + ¦?¦ cos 2ж-1— [a;8 —=- j sin 2a;. МфК 245
2.637
в! J ti ( —i)**"*
ft=0
_ V (-I)"- ¦ д"""г /'gin3?— 3sin M rxir3331Bf)
ft=0
-6) _ik n_2h
4=0
A=0
3. \ a:sin3a;da: = -^sina: —5gSin3r —-^cosa; + ^
4. \a:2sin3a:«te= - (-§-«2 + -|) cosa;+ (Й + щ) cos3a; +
+ y ж sin a;—^ sin За;. МфК241
cf aj3 lOl3. a. o
5. \ a; ens3 xax—-r cos a; + gg cos 3x -\--r-x sin a; + 7s sin 5x.
6. \а:асо83а;«(а:= Г|-а:2 —у) sina:+Г^—^^ sin3a; +
Д cos За:. МфК 245, 246
2.638
. Г sta'i , sin» x \{p—2)smi+gicosi]
' Ъ~*ё~аХ (Pi)(p2)xJ>-i
sin9a:^a! , g(g—1) С sine x dx
g(g—1) С sina~a g <
„ Ccosix, cos' x \{p—2)cos»—qxsinx]
дЫ,/>^2]. TD96)
_g (g—1) Г cos^'2 x dx
[РФ1,РФ2]. ТD95)
о Г sin idz sin ж 1 С cosxdx _
J IP (jB— 1)Ж»1 + jB—1 J Ж» '
sin ж cos ж 1 С sinxdx
(P-1) г»'1 ~~ (/.-1) (p-2) жР "" (jt.-i) (/,-2) i xP"»
(и>2). ТD92)

2.8—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 201
, Г COS xdx COS х 'С s'n
cos i sin ж If cos x dx
). TD91)
2.639
n-2
2. С^ Ц{ф
n—1
cosxdx _(-1Г
ISFT-ТЩГ
ft=0
2.641
54 ?^Sci^ ГХ1[333]FЬ)М
A=0
Wsi<*>- ГХ1[333]FЬ)и
:r4^,si(,). ГХ1[333]GЬ)
s=o
2-
)f sinfa . 1 sin fti , ft Г cos kx , . „ „., o .
llJ^-I^+ll^ (см. 2.641 2.).
f ^-4 \ ^^ (см. 2.641 1.).
{" sin te , sin lex kcoshx кг Г
cos to , cos to fe sin fej ft2 Г cos to , , о 641 2
_ f sin kx ,
sin to fc cosfca:
fe'sinto ^ Г cos fcr , 2 641 2

202 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
„ С cos fa , cos fa , к sin fa
о. \ ; 0>x = —~ 1 r
J (л-i-oa;)* ob(a-\-bxK 662 (a-|-6a;J
A2 cos fa , ft3 f smb , . n pr, , .
+ „,„- ., ^+7ттд \ ri— "k (CM- 2.641 1.).
о С sinfa /fa--.
sin kx к cos fa
W sinfo: ftacosto: A* f sin kx
+ +
A* f si
+ 2463(a + te)» + 2461 (a + te) +246* J а
П С cos *°x й cos ** i ^ s'
• J (a+bxj* ~ ~~ 46 (а + 6жL + 1262 (a
fea cos fa fe3 sin Аж i ** С cos ^
. . С sin fex , _
)(e+6a)«
** С
a ¦+ bxY~~ 246» (a+bx) + 246» J
sin fa ft cos ia;
56 (а+6жN"~ 2062 +
t's.nfa . A;3 cos kx k* sin te , *e f cos fta: , „ „
12065 ^ a + бг (CM. ^.0
. „ С cos Aa: , cos fa fe sin fa , fc* cos Aa:
J (а+6жN 56 (a+ 6жM + 2062 (а-j- 6а:L + 6063 (a + bxK
fc3sin kx fe*cosfcc feb С sin kx ,
1206* (a + 6a:)«"" 1206^ (a+bx) ~~ 1206» J J+бГ
2.642
sin8»!
Г2т\\лх . (—1)™ xi ,
2. ^??^ ±
m-1
3. S-^A-CD^ + g^S
4=0
4. 5^ 24
5. ^s^roJJ«^ +
ft=0
6. ^^i? i^!LBW+1)
ft=0
X {sinBm
Я1-1
eosBm—2k)x
l-Bm-2A;)si[B/n-2fc)«]|

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 203
m
— 2k+i)si[Bm-2k+l)x]\.
2.643
. Г x*dx xO-Hpsinx+(q—2) a: cos д] .
J sin«x ~' (?—l){q— 2)sin4-ia: "*
g — 2 Г jPdg P(P-^1) f Др*а <to
+ ?—1 J sin8-Ji+({-l)(ff—2) J sin9-2j: -
„ P sJPdx a:P"i [/> cos x—(g—2) isini] ,
J cos» I ~~ (q—i)(q—2H089-! x ""
+ ?—1 J cos?2 i +(?—1)(?—2) i cos9a; '
J sina: й ' ^J v ' (л+2&)BА;)! ^
fl ж I < я, n > 0]. ГХ1 [333] (8b)
4. I*K*J- ГХ1[333](9Ь)
. ra[3331 (lob,
(и—1)! "*~^ ^ Bк—п+\)-Bк)\
ГХ1[333]A1Ь)
<«.»>41- ГХ1[333](8с)
dx ctgx n
-[l-(-l) J(- (n+4, p
ft=l
я]. ГХ1[333](9с)

204 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
9. \ —^- — xtgx + n > ( — 1) , к .,,—' ,„,..
fe)
io.
[n> 1, |*j <
n+l
ГХ1 [333] 10c
cos2a
l)! v ' n*1
B*:—n—l)B
2
ГХ1[333]A1с)
2.644
• ) sinmi
Bя—2)Bя — 4)...Bи—
sin ж+Bп—
^
Bя
Bn —2
«-i in jii
Bл-1I1 (bisina: —a:ctga:).
J sin2n^ii
n-l
*=0
B« — 1)Bд— 3)...Bя— 2fc+l) sina:-|-B/»—2fe—1) ж cos ж
2n Bn—2).. .Bл — 2fc+2) Bя —2*:) Bи—2*;—1) sina»-^
3.
cos2n x
n-l
2B« — 2)Bn-4)...Bn —
Bn —l)Bn—3)...B« —
{2n—2k)xsinx—cosx
2Bn — i)Bn
2йB«—2
— 3)...{2n—2k-\-l)
2йB«—2)...Bn—2U+2) B«—2ft) Bn—2ft—1) cos»»"»*
(
2"n.i j cos»
ч '
xdx
Bft+i)l

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.05
о С xdx . , ,
8. \ —;— = х tg х + la cos x.
j cos2» 6
xdx Sina;+»cosa:
^=
(см. 2.644 5.).
2 cos2ж
xdx x cos x 1 2
1 Г j^ (
' 2 J cos» v
10.
.„ f xdx ж sini 1 2 2 , . .
12. \—j— = -=—= -g 5—l-i^-xtex—5-ln(cosa:).
J cos* ж Зсоч3ж 6 cosa i '3s 3 v '
xdx xaosx 1 3»cosi
13.
sin6 x 4 sin* x 12 sin* x 8 sin2 x
3 , 3 f xdx
8 sin a:
2.644 5.).
., Г xdx a; sin i 1
x dx x sin x 1 , 3» sin a;
Г + -Н-5П- («м- 2.644 6.).
cos6 ж 4 cos4 ж 12 cos3 x """ 8 cos2 ж
3_
8 cos
2.645
p 31n»^ d у, (_1}*f "Л С ^ (см. 2.643 2.).
J соьпж ^_l v V. ft У J cos" 2**а: v '
Ix (см. 2.645 3.).
J COS»I (П —IJcOS! И —1 J COS™1!
[«>1J (см. 2.6432.). ГХ1[333]A2)
Г pcos2-"^ |j (_ k Г m N г xp^ 2.6431.).
*0
5- r-nn^^^t-^Oii^2^* (CM-2-6456)-
ft=0
J sin"» (я—l)sin»-la;~' n— 1 J sin!
[л>1] (см. 2.6431.). ГХ1[333]A3)
7. C^ff
2
8. \ r- «I = Ш tg ( -77- + — 1 .
J cos2 x cos ж 6 V. 2 ' 4 у
2.646
i. ^g
ft—1
-l. |x| <-=-]. rXI[333]A2d)

206
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
к=0
1, \х\<я]. ГХ1[333]A3с1)
3.
4.
2.647
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2.648
1.
2.
2.649
2.651
\ a;ctg2a;da; = — a;ctgx + In sin x ^-
(m—1) b (л+б sin x)
я С
(ro-
,т—1 '
(e+6 sin x)m~*
(a-{-bcos x)m (то— 1)Ь(а-гЬсо&х)ш-1
n С xB~l dx
~~ (ro—1N J (a+6coss)m-1
dx . x n л . x
= — x ctg -2- 4- 2 In sm -s-.
1 — cos x
x cos * , a: . /¦ x я
A+sinxJ 1+sma: ° \. 2 4
x cos ж, a; . /¦ ж . я \
{?=^*-fdx= l-sinx+^^T + Xj *
2""
'T'
P ar sm ж , x ^
J (T+coslO5 UX — t+cosa g 2
x%dx
x sin ж -J- cos
МфК 247
МфК 247
ПC29)
П(ЗЗО)
ПC31)
П C32)
МфК 247 (н)
rxi t333!
J [(аж—6) sin x-f{a-{-bx) cos ж]2 ~~ 6 [(ax—b) smx-^-(a-^bx) cosi] '
ГХ1 [333] A7)
[e+(a»+b)tgx]«

2 5—2 6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 207
2.652 [ —. *** . -. =cosec2f
—. . -. =cosec2f \х1пЦ
где ta—значение аргумента t, приведенное с помощью аргумента я к про-
промежутку ( - -J' т) ' Ло Ш 288
2.653
1. С iJBJLdx = YlhS iVx) (сравни 2.528 1.).
2. C2^?«fa; = Vr2Sc(l/x) (сравни 2.528 2.).
2.654 Обозначение: Д = |/ —ftaainsa;, к' = j/l - /с2:
i sin i cos i , гД , 1 p, .>
n Г x sin3 ж cos ж , fc'2 r,. 7.n i 2fea-|-5 д., ,.
2. \ д dx = -^rF(x, k)+—дф-Е(х, ft) —
— gp- [3 C — Да) x -К A2 sin a: cos ж] Д,
o f a; sin x cos3 a; , fc's v. »ч . 7fca—5 „, ,.
3. \ д dx= — -^-F(x, ft)H gp^Л(з;, ft) —
4-
5.
6-
i sin x cos ж rf ж x i
Интегралр, содержащие smz8 и
В интегралах, содержащих sin ж8 и cos ж2, полезно сделать подстановку
2.655
~
2. ^ хр cosx*dx — :~-smx't — ^^- \ x*"* sm a;2 dx.

208 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
(-1)" Г *a^3
i L2sfe-1(n-
4ft+3)!i
[• = ? (т)]- ГХЦ336]Dа)
4. 5{2 >[
ГХ1[336]Eа)
с f • a j COS ж2
5. \ a: sin ж8 ах — — -
6. \ ж cos ж8 flte -
7.
2
smi!
8. \ ж8 cos ж2 da; = у sin хг — ± у^~ S (х).
9. V a;8 sin хг dx = — cos a;2 + -^ sin ж2.
10. \ х3 cos ж2 dx = -у- sin a;s + у cos a:8.
2.66 Тригонометрические функции и показательная функция
2 661 \
= a2+(j>+g)a j6™ sinP ж cos9»[a cos a; + (/> + q) sin a;] —
—pa { (?*¦ sin1" a: cos» x dx + (q — 1) (/> +'g) \ e°* sin" a: cos9 a: dx\ ;
TE23)
= ag_|_/ \ « j6"* sin1* ж cos9 x[asinx—(p+q) cos ж] +
+ qa{eax sin1" a; cos4 a; dx + {p — 1) (p + gr) С e"* ainp ж cos» a: da;} ;
TE24)
= aai/ ^)a | e°* sin1*'1 a; cos4*1 a:[asiaa;cosa; + qr sina x—p cos2 a;] +
; TE25)

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 209
— дз_[_/ 'j-aia | е"х sin1* х cos" x (a"sin x cos x + q sin8 a: — p cos8 a;) +
 ж <fa —
—!) ^ e°* sin p ж cos* ж da;}; TE26)
= aa-i_/ i gJ Iе"* sin** a; cos9 a: (a sin a: cos x+q sin8 a: — p cosa a:) +
+ p (p — 1) { tF* sin11 ж cos» x dx +
+ (g — j») (P + g — 1) \ <?* sinp x cos9"8 ж rfa:} . ГХ1 [334] (la)
При р=т и q = n натуральных и четных интеграл \ еох81пта:созпж«2ж
сводится с помощью этих формул к интегралу \ е*1dx; когда же' четно
с J
только т или только и, то к интегралам вида \ e°* cos" x dx или, соответ-
соответственно, \ е"* sin™ ж dx.
2.662
1.. { е"* sin" Ъх dx = да_Д2&г Г (о sin Ьз: — пЪ cos Ьж) е"* sin" Ъх +
+ п(ге- 1) б2 ^ й0*sin" 6ж<&] .
2. \ в"* cos" 6ж ^ж = аа , „2йа Г (а cos Ъх + пЪ sin 6ж) е°* cos" 6ж +
+ л(л-т 1)б2 \ е?хcos""8bxdxl .
3. { emsmvnbxdx =
"^,' Bm)! b*kea* sin2"*''-1 Ы
2
_^
~~ 2j Bm-2ft)l [а2+BпгJ Ъг\ [а2+Bга—2J 62] ... [aa + Bm—2ftJ 6a
(!=0
X [a sin te- Bm - 2ft) 6 cos bx] + [aa+Bm)a &a] [aa+BCT_2)a У] ... [
4=1
4. ?eoxsin2m+1
J
m
Bm+l)! b*heaxsin"»** Ьж [g sin Ьж—Bm—2fe+l) Ь cos i
Bm—2k+l)l [aa+Bm+lJ62][aa+Bm — IJ 6s] ... [а
14 Таблицы интегралов
L,

210 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
5.
m-i
Bm)! bikfax cos""'»'1 Ъх [a cos bx +Bm— 2fc) 6 sin 6s|
Bm—2fc)! Ia2 + BmJ62] [a24 Bm- 2J 62] ... [a2+Bm — 2k\
Bm)! б3*0*
+ [a2_j_Bm)a b2] [a2 4-Bm — 2J 62] ... [a*+462] a
б.
™
2
Bm—2i+l)! [a2+Bm4-l)s62]
ft=;0
—2fc4-l) Ssinfer)
te].
2.663
ax • г. j e<IX (a sin &*— Ь COS баг)
e sin oa; ax = , , .„
о f ^ax sin^TiT- //з- - *"* Si° to (" S'P feg~2b C0S Ьж)
= -r , , .,. ( -, cos2bx + bsin26a; )
4, f .« .„oa л„ w^ = e°xcos fear(a cos fa+26 sin bx)
^^+V (t cos 2&a:+6 sin
2.664
1. $ rf- sin 6a; cos ca; da;
J _
4 +
a cos B6 4- c) a;+B6 4- e) sin B6 + e) x
а2+BЬ4 сJ
acosB&—c)x 1B6 — e)sinB6 — с) а;
J ¦
. \ em sin 6ж cos2 ex ax = —r- 2 гТТ* ^
asinF+2e)a:- F+2c) cos F |-2c) s .
t" a2+F+2cJ +
a sinF— 2e)g—F—2e) cos(fe—2e) з;
+

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 211
2.665
. С ^dx __ еах [a sin bx-\-{p — 2) Ь cos bx]
J sin» to (p — i)(p — 2) 62 siiiP-i te
sin*-»
„ P ea*cfa _ _ eax [а СОЗ Ьх — (p— 2) 6 sin 6ж]
3 cos» to ~ (jd — 1) (p—2)b*cosP-ibx +
TS^- T<529»»
Последовательным применением формул 2.665 при р натуральном мы
Г <?°* ds Г eu3c dx Г ем йж f eax dx
приходим к интегралам вида ^ \ ^ ^
^ \ ^ ^
которые не выражаются с помощью конечной комбинации элементарных
функций.
2.666
tgp х dx = -^j- tg" re - -^-
T E27)
2. ^ g
= - '"У"* + -~y ^ eay ctgP-> xetx-^ ea* ctg" a; tte. T E28)
3. \ <?*\gxdx = ^~-—^ \ соз^Г ^см> пРимечание к 2.665).
4. ^ <fxtg&xdxT=-^-(atgx-l)-a'\emtgxdx (см. 2.666 3.). T355
5. [ eax ctsxdx = ea*cls x + -i [ e°X.'fa (см. примечание к 2.665).
6. ^ ea3Cctg2a;dx= --^-(a ctga:+l) + a ^ e^ctg«d« (см. 2.6665.). -
J
Интегралы типа [R(x, eM, sin bx, coscx)dx
b _* a
Обозначение: sint= —
2.667
1. \ Л"* sin Ья йж = ^^р (a sin Ьж — 6 cos bx) —
—^+F~ \ ^ЧаХ (a sin hot - b bQS bx) dx'-
feuXYn sin (to + *) - ¦77=== \аГ1еГ sin {bx +1) dx.
2. ^ жреях cos Ьж rfa; =
- (a cos bx+b sin Ьж) - -рфр- ^ a;P'let"e fa cos b:r + 6 sin bx^dx'
os F* + 0 - -r^vjr ^ *f-V* cos (to + <) *c
14*

212 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГР\ЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
n-t-1
3. \ ж^е"* sin to dx = eaxy\ { l)—— ^.sin (bx + kt).
n+1
5. ^ xe^ sin
6. ^ ze™cos bxdx=; a8+&2 Lv^" Q8+fea ) cosbx +
2nS
7, ^ ^e^sin bxdx =
a2 —
- 8r \ x4m cos bx dx =
з 2(aa —б2)
x + 2\{*al~P ] sinta} . ГХЦ335], МфК 274-275
2.67 Тригонометрические функиди и гиперболические функцив
2.671
^е ) cos (еж
2. \ sh(a«+&)cos(CT + rf)da; = -^:^r ch (аа; + 6) cos (еж + rf)+
+ aa^_ca sh (аж + 6) sin {ex -f rf)
3. f ch (аж + 6) sin {ex + d)dx*= aia sh (аж + b) sin (еж + d) —
4. ^ ch(аж+&) cos{cx + d)dx = —ф-гsh(ож+ 6) cos(cx + d) +
+^4^"ch {ax+b) sin (ca:+^! rxi
2.672
^ 1
1» \ sh as am x dx =? у (ch x sin # ^- sh x cos ж).

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 213
2. \
3. \ ch х sin x dx — --¦ (sh x sin x — ch x cos ж).
4. \ ch ж cos x dx = -^ (sh x cos x + ch ж sin ж).
2.673
(-1)" ^ ^n ( ' V / ) \ к )
Z Z, Bm—2?P
,=0 ft=0
X fBw — 2/) a sh [B/и - 2/) (аж + &)] cos [Bn - 2k) (ex + d)] +
+ Bя - 2ft) с ch [Bm — 2/) (ax -+¦ b)] sin [Bre — 2k) (ex + d)]\. ГХ1 [354] (За)
2. ^ shsm (аж + 6) sin2" (ex -{-d)dx =
*=o
"Г 22т*гп-з Zl Zj Bm-2;Ja2+Bn-24 —1J«2
X {Bm - 2/) о sh [Bm - 2/-) (аж + &)] sin [Bл - 2/c — 1) (ex + «0] -
Bя - 2& - 1) с ch [Bw- 2/)(аж-f b)] cos [B« - 2k -1)(еж + «0]}.ГХ1 [354] (ЗЬ)
3. \ sh2 (ож + 6) sin2" (cx + d)dz =
Bm—2/— lJa2+Bn—2fcJ сг
j=0 ft=0
X fBire - 2/ - 1) a ch [Bтге - 2/ - 1) (ax + b)] cos [Bл - 2ft) (еж + d)] +
+ Bn - 2ft) с sh [Bтге - 2/ -1) (ax + b)] sin [Bл - 2ft) (еж + d)\}. ГХ1 [354] Cc)
4. Д sh8 (аж + 6) sin2" (еж
ml№1
m~l
y
— 22m-an i ^ ^0Bm —2j —1Jа2+Bи—2А:—1JегЛ
X {Bm - 2/ - 1) a ch [Bm - 2/ -1) (ax + b)] sin [Bл - 2ft -1) (еж + d)] -
— Bn - 2ft — 1) с sh [Bm - 2/ — 1) (ax + b)] cos [Bra - 2ft — 1) (ex + a!)]}.
TXI[354]Cd)

214 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
5. J ah- (ax+b)cos*n{cx
)=0
Bm-
,=0 fc0
X {Bm - 2/) a sh [Bm - 2/) (ож + 6)] cos fB« — 2k) (cx + d)] +
+ Bя- 2k) с ch [Bm — 2/) (as + 6)] sin [B«- 2Jfc) (еж +d)]}.
ГХ1 [354] Da)
6. \ sh2™ (aa; + 6) cos271 (ex + d) dx =(
у v / J v K s
ZJ Bm — 2/)га2 + Bв—2ft — lJ с2 л
X {Bm - 2 Л a sh [Bm — 2/) {ax + b)] cos [Bл —2k — i){cx + d)] -J-
+ Bя - 2k - 1) с ch [B»2 - 2?1) (лг + b)\ sin [Bи — 2k- 1) (еж-f d)]}.
ГХ1[354]Dа)
7. \ sb21" (ax + 6) cos2" (еж + d) dx =
"sn ZJ
Bw—2/ —l
,=0 ft=0
X {Bm - 2/ - 1) a ch [Bm - 2/ - 1) (ax + b)] cos \Bn - 2k) (cx + d)] +
+ Bn - 2fc) с sh [Bm - 2/ — 1) (ax + 6)] sin [{2n - 2A) (еж + d)\ \.
ГХ1[354]DЬ)
8. С sham J (аж + 6) cos8"-1 (еж + й) dx =
22Tii*2n-4 ZJ ZJ Bm—2;—IJ,
X {Bm — 2/— 1) a ch [Bm- 2/ - 1) (аж + 6)] cos [Bи - 2& - 1) (еж + d)] +
+ Bn-2k- l)csh[Bm-2j-l)(ax + b)]sin[Bn-2k- I) (cz + d)]}.
ГХ1 [354] Db)

2.5—2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 215
ch2 (аж + b) sin2" (ex -
л. ^ m J У, S k 1 sir
T 22m*2»-i Zj Bn—2k) e
ft=O
I ЧЛУ 'V V / J
. (-1)" >n VI ( 4)A
-Г 2amtan-2 Zj Zl Bm~2/J a»+Bn—2AJ сг л
7=0 ft=O
X {Bm - 2/) a sh [Bm - 2/) (аж + 6)] cos [Bл — 2ft) (еж + d)] +
- + Bл — 2ft) с ch [Bm — 2/) (аж + b)\ sin [Bл — 2ft) (еж + d)]}.
ГХ1[354]Eа)
10. \ ch2 (oar + 6) sin4" (еж + d) dx -
¦ (-1)"
¦1- 22т+2п-з
(
Zj Zj Bm—2/
j-^0 A=0
X {Bm - 2/ -1) л sh [Bm - 2/ — 1) (аж + 6)] cos [Bя — 2ft) (еж + d)] +
+ Bra - 2Л) с ch [Bm — 2/ — 1) (ax -f b)] sin [Bя — 2ft) (еж + d)]}.
ГХ1 [354] Ea)
11. \ ch1"" (aa: + 6) sin4" (
, (-1)' v v v/ Л * ) „
-I" 2ат+2п-з Zi Zi Bm—2/Lfl2 + Bre—2ft—1JсгЛ
ft0
j=0
- 2/) a sh [Bm- 2;) (aa: + 6)] sin [Bя - 2A - 1) (еж + d)\ -
- Bn- 2A: -1) с ch [Bm - 2/) (as + 6)] cos [Bл - 2Л - 1) (еж + d)]}.
ГХ1 [354] Eb)
12. CW1 {ax +^b) sin2"'1 (еж
Bm — 2/— l
~
X {Bm - 2/ -1) a sh [Bm - 2/ -1) (a* + b)] sin [Bn - 2ft -1) (ex + d)] -
- Bл - 2ft - 1) с ch [Bm-2j-l){ax + b)] cos [Bл - 2k - 1) (ex + d)]}.
ГХ1[354]EЬ)

216 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
13. ^ch*m(ax + b)cos*n(ex + d)dx = b^^J
Bп (
2m\Bn\
^r 2,m*2n-2 Zi Zj Bm— 2/Ja2 + Bra — 2ftJс2
1=0 ft=0
X {Bгге - 2/) a sh [Bm - 2/) (аж + 6)] cos [Bл - 2k) (ex + d)] +
+ B« — 2k) с ch [Bm — 2/) (аж + 6)] sin [Bn — 2A) (еж + d)]}.
rXI[354JF)
14. ^ ch8" (ax + b) cos2" (еж + d) dx =
»=0
,=0 fc=0
X {Bm — 2/ — 1) a sh [Bm — 2/ — 1) (ax + b)] cos [Bra — 2k) (ex + d)] +
+ Bи — 2ft) с ch [Bm - 2/ - 1) (ax + 6)] sin [Brc - 2A) (еж + i)]}.
4 ^ ГХ1[354]F)
15. { ch2m (аж + 6) cos2"'1 (еж + d) dx =
„_i /2n—
ft=0
m—1n—1
+ ¦—i— У У v /
т^ 22nn-an-8 ^lj ZJ f2m—2/)a
V / A * )
Bm—2/)ааа+Bл—24—l
j=0 ft=0
X {Bm - 2/) a sh [Bm - 2/) (arr + b)\ cos [Bя - 2ft - 1) (ec+ d)] +
-f Bи - 2ft - 1) с ch [Bm - 2/) (ax + 6)] sin [Bn — 2* — 1) (cz
ГХ1 [354] F)
16. С eh2™ (ax + b) cos2 (еж+d) dx =
у у
Zj Zj Bm—2/
,=o ft=o
X {Bm - 2/ - 1) a sh [Bw - 2/ - 1) (аж + b)] cos [Bи — 2k — 1) (еж + d)] +
2k-l)(cx + d)}},
ГХ1 [354] F)

2.7 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ; ФУНКЦИИ, ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ 217
2.674
1. \ е°* sh bx sin ex dx = 2rfa , ^» ¦ « [(a-\-b)mncx—с cos еж]—
l
2. V е1" sh 6ж cos еж dx — 2 [{я + Ь) cos еж + с sin еж]—
(а—Ь) х
^-^ [(а - Ь) cos еж + с sin еж].
3. ^ ^ ch 6ж sin еж <^ж = 2-77^г^уо^гт [(а+ Ь) sin еж — с cos еж] +
в(о—6)ж
" " "*" ";•— с cos еж].
« Ja+bt х
4. \ емch6,жcoscxdx = 2[{а+ЬJ+с2] 1(а + b)cosсж + сsinca:] +
(а- fc) cos ^ + c sin ca;l-
МфК 379
2.7 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ;
ФУНКЦИИ, ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ
2.71 Логарифмическая функция
2.711 \ \атxdx = x\nmx —m\ In" xdx =
т
"х (т>0). ТF03)
ft=0
2.72 — 2.73 Логарифмическая и алгебраическая функции
2.721
1. \ ж" lnm ж^ж = -"l1jn7 Ж - ст ^ ж" Ь" ж da: (см. 2.722).
При я = — 1
х ~ m+i '
При я=— 1и/и=— 1
2.722 JsMn"***-;^ 2 (-l)ft(m+l)m(m-1).. .(M-
TF04)
2.723
1яж г  Т 375

218 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
Т375
о С »1 ч j п+1 Г In3 х 3 In2 х , 6 In х 6 1
3. \ X 1п3Х0Х = X *X —f-т — -7 i-rrs- + -. Г-ПТ —  [-TTT- .
J Ln+1 («+1)г (»+lK ("+1LJ
2.724
. С xndx _ Xя*1 B+l
J (Inж) (m —1)Aпж)™-1"'' m_
При m = 1
2. 5^?-И («-*»).
2.725
T374
2. J (a + te)m la ж Л =
In ж-
C Г")
При m = -1 см. 2.727 2.
2.726
1.
2.
3.
±
2.727
1 Cj?^^ = _J__
' J (a-f-6x)m b(m—1)
При* т=\
'"ж if
(a+fe^I" J »(a
dx
(CM. 2.728 2.).
n I ILL Jj ИЛ
J (a-\-bxy i
, Г In x dx _
5.
1,
+ ab
In x
1 1 , ж
2ab(a-\-bx)~1~ 2a4 a+bx "
[a < 0].

2.7 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИИ, ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ 219
2.728
^" \ — х dx с помощью конечной комбинации элементарных
функций не выражается; см. 1.511 и 0.312.
2.729
m+l
1 VI I
2.
3.
4.
2.731 ^ ж2" In (ж2 + a2) <fcc = ^рт {a-4"+1 ln (ж2 + а2) + (- l)n 2aan+1 arctg -^ -
^« ax* а*хг cfix
2.732 ^ ж2"*1 ln (ж* + a2) dx = ^^ {(жгп+2 + (- 1)" aa"+a) In (жа + а2) +
fe=l
2.733
. ДF23)
2. ^*1п(а? + в*)<й; = -^[(а^ + аяIп(а;* + а*)-а;я]. Д F23.1)
3. ^жг1п(жг + аг)йж = -|-[ж81п(ж2 + оа)-|-ж3 + 2агж-2а8агс18|-] .
Д F23.2)
4. ^ ж8 In (ха + о2) dx = ^ [ (ж* - о4) In (жа + о2) - ~ + а2ж2 ] . Д F23.3)
5. С^1п(ж2 + а2)й?ж = -|-[ж51п(жг + а!!)-|-ж5 + |-ага:8-2а*ж +
+ 2а" arctg i] . ДF23а4)

220 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.734
In | ж2 - аа | dx = ^qn I*2 In | sa - а
In
х+а
х—а
-2
2.735 С a;2n+1 Id I ж2 - а2 I dx = =-^т ((ж22 - а2в+2) In I ar2 - а21 -
2.736
1.
2.
3.
2.741
1.
2.
2.742
1.
2.
п+1
- 2 4-aZn~Zft+2a;2ft} ¦
Д F24)
ДF24.1)
In|жа — аа|dx = -|"{ж*In 1 ж2 — ааj —^x*-
4.
5. \ж*
Д F24.2)
ДF24.3)
= ~ \х* In | ж2 - а2 | - ~ х6 —| а2*3 ^ 2а*х +
2.74 Обратные гиперболические функции
Arsh ^ dx = я; Arsh -|- —
Arch -da; = я;Arch — -Vx^-a* ГАгсЬ->о1
= ж Arch-^- +У а;2 — а2 Г Arch-^-< 01
Arth -i dx = ж Arth i + ± In (а« - х*).
Arcth -j da; = ж Arcth -|- + -|- Id (a;2— а2).
Д G30)
ДG32)
д G34)
д G36)
ДG36.1)
[Archi>0] ;
. ДG32.1)

2.8 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 221
2.8 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.81 Арксинус и арккосинус
2.811 J (arcsin 0" dx = x ^ (- D* B")-B&)! (arcsin
a2 — ж2 y, (— 1) f „¦ ) -Bk — 1)! ( arcsin —
(
-E)
E)
2.812 $ (arccos 0"«fa-» jj (- l)fc (а) -B*>! (¦«>«» |)"
О
2.813
(- ^(afcli)-^*-!)! (
_ чП-2*+1
arccos —
1. \ arcsin — da; = x aresin— + V a2 — a;2.
j л а '
2. ^ ^arcsin~Vda: = a; Гагс8т02 + 2 У а2 — ж2 arcsin
3. С ^arcsin—j dx=x fsLTcsin^j + 3 "j/a2 — ж2 f arosin-2- j —
— 6a; arcsin —— 6 Ya* — *? •
2.814
1. \ arccos — dx = x arccos — — V a2 — x2.
J a a
2. \ ( arccos— J da; = x ( arccos -^-J — 2 ]/a2 — ж2 arccos — — 2a;.
3. С [arccos—) dx = x Tarccos— J — 3 Уа2 —жа ('arccos -^-) —
— 6x arccos -j + 6 У^^ж»,
2.82 Арксеканс и арккосеканс, арктангенс и арккотангенс
2.821
1. { arcoosec — dx = V arcsin-^- d» =
= a; arcsin |-+ a In (ж + Уж2-a8) [0< arcsin -^ <-f-] ;
= жагс<ап-!--а1п(ж + Ужа-а2) [ --^- < arcsin^ < o] . ДE34)
2. \ arcsec — dx = \ arccos — dx =
—а2) Го < arccos-^- <-f-J ;
a;2-as) [- -|- < arccos ± < 0 ] . ДE31)

222 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.822
1. { arctg -^-dx = a: arctg Z- 1- In (as + x\ Д E25)
2. ^ arcctg -j-dx = a; arcctg -|- + -у- In (a2 + **)¦ Д E28)
2.83 Арксинус, арккосинус и алгебраическая фуввцня
2.831 {
(см. 2.263 1., 2.264, 2.27).
2.832 С ж»агссо8^-^ = ^-агссо8^- + -4г [ 4^-
(см. 2.263 1., 2.264, 2.27).
. _. . f С arcsin х , С arccos x , "s
1. При п = — 1 эти интегралы ( т. е. \ и к \ ах ) с по-
мощью конечной комбинации элементарных функции не выражаются.
г, f arccos х , я , 1 Г arcsin x ,
2. ^ s dx=-^-ln — -^ ^ cfe.
2.833
жarcsin JLdx=Q^—^ arcsin -|-+-|_ Т/^Г^".
2. \ x arccos -^-d«=(^-T---^.^ arccos -| ~V"a8-a;2.
2.834
1. \ -Г arcsm—rfa; = arcsin — In —^- .
J i8 a x a a x
2. C4-arccos^-da;=--i.arecosJL + J_in
J x* a x a a
С arcsin ж , arcsin x 2 . . /"To'
J (а+6ж)а 6(a-J-6a;) 6^^—fta B V (a
[a2 > b*};
rcsina; 1 J_ ь /(Т+ЬO1+^) +/(ft-a) (l-g)
@ + 6*) ЪУЪ*-а* Yia+Vii+x)-^ (Ъ-а) {i-x) l ^ J'
о oqa С a; arcsin ж , arcsin x 1 У~с-\-\х
2-836 V^F^^ +^7^TarctgyCT
4c ^_(
2.837
1П
. f i arcsin ж , , r-i »
1. \ a- aar = ж — у 1 — жа arcsin x.

2 8 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 223
2. \ —г —dx — — 5~У 1— a^arcsin х-\—т-(arcsma;J.
J у 1 — жа 4 4 4
о Г ж3 arcsin г, ж* , 2ж 1 / а . л\ i т *
3. \— fir. =* -и- + ~а 5~ (ж2+ 2) у 1— a:2arcsma;.
J yl — а:2 И 5 d
2.838
. Г arcsin x , x arcsin x . 1 , ,. »,
x arcsin x , arcsin x i , 1 —ж
2.84 Арксеканс, арккосеканс, и степени а?
2.841
1. \ a;arcsec — dx—\xarccos — dx =
J a j i
=-|-|a;aarccos-|-—a j/а;2 —a2j [o<arccos-|- <-|-l ;
= -i-ja;2arccos-|- + a Уа;2-а2} [~ < arccos-|- < л 1 . Д E31.1)
2. V a;aarcsec —da;= \ x2arccos—da; =
J a J x
{а;3 arccos -| |-
= -|-{ж8arccosi+i-i Vx^^ + ^-in (*
[-f- < arccos -i- < я] . Д E31.2)
3. \ x arccosec — dx = \ a; arcsin — dx —
J a J ж
= -i-|ж2arcsin-?- + a j/a;2 — a2} Го < arcsin -?- < -^-] ;
= -5- { ж2 arcsin -^ а |/ж2 — a2 j- Г —— < arcsin — < 0 1 .
Д E34.1)
2.85 Арктангенс, арккотангенс и алгебраическая функция
2.851
2.852
х а С xn*ldx
При п = — 1
\ агс %х dx не может быть выражен с помощью конечной комбинацик
элементарных функций.

224 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
2.853
1.
2.
2.854
2.855
2.856
1.
2.
3.
С arcctga: ¦ я , Г arctg ж ,
\ a: arctg -^- fife = — (ж2 4- a2) arctg -|- — Щ-.
\ a;arcctg-|-efo; = — (ж2-f-а2) arcctg JL + ~-.
\ —=- arctir— ах = arctg =— In —-3—.
f arctg т , 1 f, а-4-ва; в—ax ~\
\ 1—1 о »«, «a; = „ , a. -! In — ' . r .-„— arctg a;}-. ^>
х arcta; x
dx = -?-
- 4"ln A+ж2) —r (arc*s
ТF89)
ТD05)
(см. 2.8511.)
— x~) arctg я; + -|- (arctg жJ.
arcts; x dx
Bn—2ft)!!B»—1)!!
1 Bп ЦП Л
+ Т BдI|" aFCtg X J "Ctg Ж +
I*
+т2 ~7г1
л —l)l!BB-2fc)l!
"^J " Bя)ЙBв —
2.858
2.859
f a; arctg ж , , /-j s . , , гк . х т/2
\ - r „dx = — y\ — xi arctg ж + у 2 arctg . r—- — arcsin a;.
xaictgx 1
~ / Y
.
V а-\-Ьхг—V л—b

3.—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
3.0 ВВЕДЕНИЕ*)
ч
3.01 Теоремы общего характера
3.011 Пусть /(х) интегрируема**) в наибольшем из промежутков (р, q),
(р, г), (г, q). Тогда (независимо от взаимного расположения точек р, q, r)
она интегрируема и в двух других промежутках, и имеет место равенство
т q
(x)dx=^ f(x)dx+ ^f(x)dx. ФИ126
Р Р г
3.012 Теорема о среднем значении (первая). Пусть 1) / (г) непре-
непрерывна и g(x) интегрируема в промежутке (р q); 2) m</(r)<i/; 3) g{x)
во всем промежутке (р, q) не меняет знака. Тогда существует хотя бы одна
точка !(/><?<?O ^•ля которой
я я
\>f(x)g(x)dx^f(l)^g(x)dx. Ф II132
р р
3.013 Вторая теорема о среднем значении. Если в промежутке
(Р> Ч) [Р < Я] f (x) монотонно не возрастает и неотрицательна, a g(x) инте-
интегрируема, то существует хотя бы одна точка |[/»<|<gj, для которой
p p
Если при сохранении остальных условий теоремы 3.0131. f(x) монотонно
не убывает, то . >
я .9
2.
р 5
*) Определение определенных и кратных интегралов мы опускаем, так как они
широко извесиш и их можно лето найти в каждом учебнике Мы приподим здесь
только некоторые теоремы общего характера, дающие оценки или приводящие данный
инте!рал к более просюму
**) Функция / (х) называется интегрируемой в промежутке (р, q), если существует
V f(x)dx. При этом обычно подразумевают существование интеграла в смысле
Рима на Если же речь идет о сущестлопании интеграла в смысле Стилтьеса
Лебега и т п., то говорят об интегрируемости в смысле Стилтьеса, Лебега и т. п
15 таблицы интегралов

226 3-4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Если в про 1ежутке (р, q) [p<q] f{x) монотонна, a g(x) интегри-
интегрируема, то
Q S 8
3. ^t{x)g{x)dx = f(p)^g [
v р
ИЛИ
а 5
4. ^f(x)g{x)dx^A \>g{x)dx j
p p I
где А и В — два любые числа, удовлетворяющие условиям
A>f(P + G) и B*Cf(q—Q) [если / убывает],
^4</(/? + 0) и 5>/(д —0) [если / возрастает];
в частности, «
5. \f(x)g(x)dx = f(p + O)\g(x)dx + f(q-O)\g(x)dx. ФII 138
р р i
3.02 Замена переменного в определенном интеграле
р *
3.020 y(x)dx=^f[g(t)]g'{t)dt; x = g(t).
Эта формула действительна при следующих условиях:
1. /(ж) непрерывна на некотором отрезке Л<ж<5, заключающем
в себе старые пределы аир.
2. Имеют место равенства a = g(cp), f5 = g'(i]5).
3. g(t) и ее производная g' (t) непрерывны на отрезке <р<?<г|з.
4. При изменении t от ф до г|з g (i) изменяется всегда в одном и
том же направлении от g (ср) = а до g (ab) = 6 *).
Р
3.021 Инте1рал V f(x)dx может быть преобразован в другой интеграл
a
с заданными пределами <р и г)з при помощи линейной подстановки
'¦
в частности, при ф = 0, г|>=1:
2.
*) В случае, если последнее условие не удовлетворено, отрезок <р<!*<:г|> сле-
следует разделить на части, в которых это условие удовлетворяется;
t\g(t)\g'(t)dt.

3 О ВВЕДЕНИЕ 227
При ф = 0, ip = оо:
3.
а О
3.022 Имеют место также следующие равенства:
2. \j f(x)dx = \1Ф — x)dx.
3.
—о —о
3.03 Формулы общего характера
3.031
1. Пусть f(x) — функция, интегрируемая на отрезке (— р, р) в удовле-
удовлетворяющая на атом отрезке соотношению /(— x) = f{x) (такую функцию
называют четной); тогда
^ f(x)dx±=2\jf{x)dx. ФН159
—р о
2. Пусть / (х) — функция, интегрируемая на отрезке (— р, р) и удовлетво-
удовлетворяющая на этом отрезке соотношению f( — %)— —/(ж) (такую функцию
называют нечетной); тогда
р
^ f(x)dx = 0. Ф II159
я а
2 2
3.032
1. \ / (sinx) dx = \ /(cos x) dx,
о о
где / (х) — интегрируемая на отрезке @, 1) функция. ФII 159
2л л
2. { f(pcosx+qsinx)dx = 2\ f (j/p2 + g2cosx)dx,
о о
где / {x) — интегрируемая на отрезке ( — \fp2 -\- g2, У p2 + <72) функция.
ФII160
л л
2 2
3. \ / (sin 2x)coszdx?\ f (cos2 ж) cos a; dx,
где / (x) — интегрируемая на отреаке (ft, 1) функция. ФII161
15*

228 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.033
1. Если /(ж + я) = /(ж) и /( — x) = f(x), то
л
ю 2
f{x)dx. ЛоУ 277C)
2. Если /(ж + я)= —/(ж) и /(— x) = f(x), то
я
да _ 2
/ (ж) -^^- йа: = ^ / (я) cos x dx. ЛоУ 279 D)
В формулах 3.033 предполагается, что интегралы, стоящие в левых частях
формул, существуют.
если / (ж) — функция, непрерывная при ж>0, и если существует копечный
предел /(+оо)= lim f(x). ФII633
3.035
\
Да230A6)
Б169
Б 169
В формулах 3.035 предполагается, что функция / аналитическая в замкну-
замкнутом единичном круге с центром в точке а.
3.036
Ь2<1]. Ла 225F)
я я
2. С F"» (cos ж) sin2"* йж==Bге— 1)!! f i? (cos x) cos nx dx. Б 174
5 о
3.037 Если /—функция, аналитическая в круге радиуса г, и соли
/ [г (coso: + i sin ж)] = /!-(/•, *) + </, (г, х),

3.0 ВВЕДЕНИЕ 229
то
оо
Ла230(Т9)
- = f [/(«"")-/@)]. Ла230B0)
/(гер)]. Ла 230B2)
СО
3.038 \ —г^"**7 F (да + /? V^l + а:2) = \ F (/? ch a; + g sh a:) sh x d"x —
F' (sign р' У рг — q% ch x)sh2 x rf^
[F— функция, имеющая непрерывную производную в промежутке (—оо, оо);
все использованные интегралы сходятся). Ло 111281 и, Ло III 391м.
3.04 Несобственные интегралы
3.041 Пусть функция / (х) определена в промежутке (р, + со) и интегри-
интегрируема в любой его конечной части (р, Р); тогда по определению
+оо Р
{ f{x)dx- Iim \f(x)dx,
J P-H-oo J
V V
если этот предел существует. В случае существования указанного предела
говорят, что интеграл \ f(x)dx существует или сходится. В противном
V
случае говорят, что интеграл расходится.
3.042 Пусть в любом промежутке (р, q — т)) @ < ц < q — р) функция
f(x) ограничена и интегрируема, но оказывается неограниченной в каждом
промежутке (q — tj, q) слева от точки q. Точка q носит в этом случае на-
название особой точки. Тогда по определению
f{x)dx%
p v
если этот предел существует. В этом, случае говорят, что интеграл
Q
/ (ж) dx существует или сходится.
р
3.043 Если сходится не только интеграл от f{x), но и интеграл от |/(ж)[,
то юворят, что интеграл от f(x) сходится абсолютно.
+со
3.044 Интеграл \ f(x)dx сходится абсолютно, если можно указать такое

230 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯ
число а> 1, при котором предел
существует; если же
lim {z«\f(x)\}
х-Н-со
lim {*|/(*)|) = L> 0,
+00
то интеграл \ \f(x)\dx расходится.
ч
ч
3.045 Интеграл \ / (х) dx, для которого верхний предел q является особой
р
точкой, сходится абсолютно, если можно указать такое число а <. 1, при
котором предел
hra[(q-x)a\f(x)\)
существует; если же
то интеграл \ / (х) dx расходится.
v
3.Q46 Пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке (р, + оо),
причем f(x) интегрируема в каждом конечном промежузке (/?, Р). Если
интеграл
р
йредставляет собою ограниченную функцию от Р, a g(x) — монотонная
.функция, причем g(x)~>0 при х—>+оо, то интеграл
+ОО
5 f(x)g(z)dx
р
сходится. ф П 577
3.05 Главные значения несобственных интегралов
3.051 Пусть функция fix) имеет одну особую точку г внутри промежутка
(j>> ?)i B котором она определена, и интегрируема в каждой части этого
промежутка, не содержащей точки г. Тогда по определению
Я г—11 Q
\f(x)dx= limj \ f(x)dx+ \ f{x)dx\,
причем предел должен существовать принезависимом предельном переходе
цо у] и по 1)'. Бели указанный предел не существует, но существует цредед
г—ч
д
f(x)dx+ \ f(x)dxj,

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 231
то этот последний называют главным значением несобственного интеграла
Q «
\ / (х) dx и говорят, что интеграл \ f(x)dx существует в смысле главного
р v
значения. ФII603
3.052 Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке (р, д) и обращается
в нуль в одной лишь точке г внутри этого промежутка. Пусть в окрест-
окрестности точки г существует первая производная /' (х), причем пусть /' (г) Ф 0,
и в самой точке г существует вторая производная f (r). Тогда
расходится, но существует в смысле главного значения. ФII605
3.053 Расходящийся интеграл от положительной функции не может суще-
существовать в смысле главного значения. Ф II605
3.054 Пусть в промежутке (—с», + оо) у функции /(я) яет особых точек.
Тогда, по определению,
+°° <Э
f(x)dx = lim \f{x)dx,
причем предел должен существовать при независимом предельном переходе
по Р а по Q. Если указанный предел не существует, но существует предел
Р-»+со
lim \ f(x)dx,
-»+со Jp
_Jp
то этот последний называют главным значением несобственного интеграла
\ f(x)dx. ФИ607
—оо
3.055 Для четной функции главное значение несобственного интеграла
существует только в том случае, когда этот интеграл сходится (в обычном
смысле). Ф И 607
3.1-3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУПКЦИИ
3.11 Рациональные функции
оо
++?*,?x+*dxB= 7^1 (P-Vcos *> (главное значение)*)
(см. также 3.194 8. и 3.252 1. и 2.). БХ[22]A4)
*) В справочнике даиы значения собстиенных и несобственинх сходящихся инте-
интегралов, а также главные значения расходящихся интегралов (см. 3.05), если таковые
имеются. В дальнейшем главные значения ничем не выделяются.

232 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.112 Интегралы типа
где
gn (х) = Ь^2"-8 + М8
hn (х) = aozn + alXn-1
[все корни hn(x) лежат в верхней полуплоскости].
со
a Г gn(*)dx _ зю Д/„
где
2
3 Г
J
<ij a3 аъ ... О
aO a2 ai ¦ ¦ • 0
0 ax Og ... 0
0 0 0..
b0 ЬхЬг..
a0 a% a4 .
0 0,03.,
0
0
0 0 0 ... a.
dx
\ —^-^— = jti
с Г g4 (ж) dx ^_
\ ~Л—1—wi \" —
— OD
6o( —
ao63
a.
2о4—ахаао3)
Дж456
Дш454
Дж454
-. Дж455
6.

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 233
где
МЬ = К ( — «0«4«Л + «1«4 + Я2«5 — <W«) + «О Ъ1 ( — Я2ЯВ + «3«4) +
«0я* + «X — я
К + Я1ЯХ — Я1в2вза4- Дж455
3.^.2 Произведения рациональных функций и выражений, приоодящнхся
к квадратным корням иц многочленов первой и второй степени
3.121
о ' *=о
1
2. ^— yJ± = , я [0<р<д]. БХ[10](9)
3.
С
J 1—
2ra:-t-r2
Ли [14] E), Ли [14] A6)
3.13 — 3.17 Выражения, приводящиеся к квадратным корням
из многочленов третьей и четвертой степени, и их произведения
с рациональными функциями
В 3.131 — 3.137 положено: a = arcsin \/ а~" , p = arcsin l/ с~и .
. . /" (а — с) F — к)
/(в — с) (и — &) . .
\а-ЬНи-е) ' »" = ^CSi
u— с ' r f a—с ' а ? a—с
3.131
u
2
—х)(Ь—х){с—х) /а—с
(a, р)[а>Ъ>с>и). БФB31.00)
2. \ -^ "* -— = ^==^ (P, /») t« > Ь > с > в]. БФ B32.00)
л V(a—x)F —ж)(с—ж) уа-е
3. \ ¦¦= ¦ ^(У, ?) [а > Ь> а > с]. БФ B33.00)
J |Л(о—ж) F — х)(х—е) уа—е
I)
4 \— = -т-^—^(ft, g) Гд>Ь>и>с]. БФB34.00)
J у (о—ж) F —ж) (х —с) y«-i!
5 V -, F(njf) [m^H->fe->g]. БФB35.00)
yr(a—x)(x—b)(x—c) у а—с

234 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
6. \ Jx =~fl=F(k,y) [a>u>b>c\. БФB36.00)
J V (а—х)(х—Ь)(х—с) \а—с
7. С f dx =-7JL=F(]i, q) [u>a>b>c]. БФB37.00)
J /(ж—а){х—Ь)(х—с) Y"—c ' '
a
oo
8. fr , dx ¦= , 2 P(v, g) [?л>д>/>>4 БФB38.00)
J у (х—а)(х—Ь)(х—с) У а—с
u
3.132
С
1. ^ , ж<гж =-= ,2 [сРф, p) +
(а - с) Е (р, />)] - 2 р/"(а ~ц^ ~ и) [а>Ъ>с>и]. БФB32.19)
и
[а > 6 > и > с]. БФ B33.17)
ь
з. \ *dx ==r--7J=-[(b-a>n(a, л д)+^(в, «)]
J у (а—ж) F—ж) (ж—с) у в—с
[а>Ь>и>с]. БФB34.16)
Ь>с]. БФB35.16)
5. ? x<fa ^ ^
(а —ж)(ж —i)(a: —с) ]Ла —
[а > в > Ь > с]. БФ B36.16)
6- ] v^^i^wTvhr[
[a > а > Ь > с]. БФ B37.16)
3.133
[а > Ь > с> и]. БФ B31.08)
В]. БФ B32.13)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 235
3 { dx - 2 Е(\ я) —
J Y(a~хK(Ь—х)(х—с) (a—b)Ya—c V'' '
/^gS^ [>»>->e]. БФB33.09)
4. Г d* ^=?(ft, q)
J |/(а—a:)»F—ж)(г—с) (a-6)/o—с v '
[а>Ь>и>с]. БФ B34.05)
БФ B35.04)
6. Г ^ = 2^^^ }
J ]/(a:—оK(ж- 6)(ж—с) (&—в) |/вд — с
t«>«>&> 4 БФB38.05)
7
о f d^
i /<а-*)F-*)»(е-х) ~
(в—Ъ) у а—с
dx2
, p) [а>6>с>и]. БФB32.14)
Ч^ [а>Ь>и>с].
• БФ B33.10)
1а
БФ B36.09)
dx _ 21Л1—с _. х _
(о — с)ув — с
, J) [и>а>Ь>с]. БФB37.12)

236 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
12 F dx гУТ=1 K(v ч
» «1- БФB38.04)
13. { ^ = 2 r E(a, p) +
J_yr(a — x){b—x)(c — xK (c-b)Ya-c
_ _6~u_ [a>b>c>u]. БФ B31.10)
ь
14.
: —сK F —с) ]/а —с
J /(а—ж) (ж—Ь)(х-сK (Ь—с)/о—с
j±re /{a^~tl_c) [a>b>u>c]. БФB34.04)
%(v., p) [а>к>Ь>с].
V " l J
БФ B35.01)
а
16. <i da: = ^=?G1, ?)-
J ]/(о—ж) (ж—6) (ж—сK F—c)V^a —с
2/^gF^ >с]. БФ B36.10)
^ /(u-V-^) f">a>6>4 БФB37.13)
18. ^ rf:K 2
[и>а>6>с]. БФ B38.03)
3.134
lv С *' 1 2
J уг(а—х)Ь(Ь — х)(е — х) 3 (а — бJ ]/(а — сK
а, /?)-2Bа- Ь — с)Е(а,
^)^ !«>&>->»]• БФB31.08)
2 С d3:
/ (a — x)& (b — x) (c — x)
214а*-ЗаЬ-2ас-\-Ьс-и(За-2Ь-с)) / е^м
3(e-6)i»-e;' К (—!•)•(*-«) Iе > Ь > в > в].
БФ B32.13)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
237
о Г dx
J |/"(о—хM F—х) (х—с) ~ 3(а — 6
6)а Y(a — C
х[2Bа-Ь-с)Е(у, g)-(a-
2 [5a2— Зяб —Ъас+Ъе — 2" Ba —6 —«)] t/{b -u)(u —
3(«-&)a(o-cJ К —(^^Г
4. С ^
0 V^(o—xNF —ж)(а:—с) 3(а—&
(e — cf
X[2<2a-b-c)?F, ^-(а-
x
5 С fe
3(a—6)
-1 i
ft С *** —
¦ J Y(x—af(x—b)(x — c) ~ 3(e —
u
X[2Ba-b-c)?(v, g)-(a-
3(a —6J(« —с)
(u —a)»(« —с)
«
—x)(b — x)b(e—x) 3(a — frJ F — cf ]/a — с
X
8 ( ^ 2
¦ J ^(а^агХЬ—жN(с—ж) 3(д—6)г (Ь—
9 С
у
xf(x—c) 3(о
у
BO[233,09J
БФB34.05)
« > * > c].
БФ B35.04)
БФ B38.05)
БФ B31.09)
»j. БФB32.14)
La > О > К > CJ.
БФB33.10)

238 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
10 \ - •"" = x
(a— x)(x—fcM(^—e) Z(a — bf{b—cfYa—e
213аЬ+ЗЬс-ас-5Ь*-\-2иBЬ-а-с)} /(»-и)(ц-с) , ,
+ 3{a-b)*(b-c)* V (u- bY [a>u>O>C\.
БФ B36.09)
И Г J? 2 n
J Y(x—a)(ж — 6)s(ar— с) 3(а —&JF—сJ|Ла—с
g) + 2(q-c)Bb-a-c)JE(n, «)] +
"~°^"~с) [в > a > b > c\. БФ B37.12)
12.
13
\
J
~r 3(a —6)(& —c)
to —, 2 x
Y{x—a){x—6M(ж—с) 3(о—Ь)а(Ь—c)a]/a—с
[(a— b)Ba + c-3b)F(v, q) + 2(a-c)Bb-c-a)E(v, q)]-
2[36e+2eb — ас — №-\-и C6—а — 2с)] / iT^a , , ,
БФ B38.04)
fe = 2
:-г)(&- *)(с—*)* 3(&-с)а/(а-«)з ^
X[2(a+b-2c)?(a, ^)-(Ь-с)/"(а, ,р)] +
2 [ofr—Зое—26с+4сг-[-ц Bа+6—Зс)] / 6 —и
3(о—с)F—с)а Г (о —и)(с —иK
[а>&>с>и]. БФ B31.10)
2
14 С * =
J Y{a—x)(b—x){x—c)b 3F — e
a— cK
2[o6 —Зас—26c+4c8-f»Ba4-&—3c)l f Ь—ч
~*~ 3F — cf (a—c) V (a — u)(u—cf
[a>b>u>c]. БФ B34.04)
dx 2
С dx
J ]/(e —i)(a; —6)(ж—c
2с)Д(и, p)-(b-e)F{», p)) +
/(а"^6) БФB35.20)
15 С dx — = 2
J /( i)( 6)()s 3(b )al/"( K
X
16 ? dx 2
J l/"(e^2r) (ж— Ь)(х—сN 3(&—сJ У (а — сK
—Зас —3frc-4-5ca4-2u (а-Ц-Ь — 2fc)] /(a —ц)(и —6)
3(&—с)г(о—сJ К (п^вр
[а > и > 6 > с]. БФ B36.10)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 239
17 \ fc = 2 v
у"(х —a){x— Ь)(х— сN 3F —с}3 ]/(в-сK
2 [4еа—аЪ — 2ас—6с+и (За + 26 — 5с) ]
3F—с) (а—с)* V (и—6) (и — сK
[и > а > Ъ > с]. БФ B37.13)
18. С * — = Ч~= х
J }/(ж—о) (ж — 6) (ж—с "
^=
сN 3F—сJ/(а —с}3
' (и-е? [и > а > 6 > с]. БФ B38.03)
3.135
U
!. С ^ 2 л__Х
J У^(о—г)(Ь— х)Чс—х)з (а —6)F —с)ггАо —с
_в. , х)[Ь-х)>(с-х)* (а-Ь)(Ь-
x[(b-c)F{a, р)-{а+Ь-2с)Е(а, р)] +
Н 2(Ь+с-2в) Го>Ь>с>в1. БФB31.13)
F—с)а/(«—«)(&—в) (с-и) L J V '
Л
2
У (в—х)(х—6K(х—с)» (в-6) F — с)* /в—с
+ (а\(Ъ-сНа-с)У (»-Ь)(—) [•>»>»>«]• БФB36.15)
U
з с ^ ^ 2 у
^(г—о)(г~6K(х—«)» (о —6)F—с^у'в—с
+ 771—г Vi—*тхг—S [и>а>Ъ>с]. БФB37.14)
~ (а—с)F—с) V (u—b)(u—c) l ^ J v '
оо
4. С .
J у (ж—в) (х—ЬK(х
с—сK {а—Ь) (Ь —
«
5 С . d* д
J у fi^xPF—ж) (с — хK (в — *
X
БФB38.13)
-хK (в —6) F—с) У (а—сK
X [BЬ - а - с) Е (а, р) - (Ь - с) /" (а, р)] +
[а>Ь>с>и]. БХ B31.12)

240 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
6. С йх — = 2- А_х
J Y(a~xf(b-~x)(x— cf (b—с) (а— Ь) /(а — сK
+ (b-e)(a-g) у (а_иН„_е) [а > Ъ> и > с]. БФB34.03)
7. ? , ** = 2 , х
J |/(л—жK(ж —Ь)(а;—с)» (в—6)(Ь—с) у (а—с)»
х [{Ъ - с) F (х, р) — B6 - а - с) ? (х, р)] +
; [а > « > & > с]. БФ B35.15)
8 Г * - 2 v
J yr(it_a)»te—Ь)(х—сK (a-b){b—c)Y(a—cf
и
X [(а + с - 26) Е (v, в) - (а - i) F (v, ?)] +
|. БФ B38.14)
:X
.1 у (о—жKF—жK(с—ж) F—с)(а — I
X [(а + 6 - 2с) ? (а, р) - 2 (i - c)F (a, /;)] -
БФ B31.11)
с
¦ J /(о —жKF—жK(с—ж) (a — b)*(b— c)Ya— с
Х[(а+Ь-2с)?(Р, р).
2
KF— жK (ж—с) (а^-6JF —с) у а—с
X Г(а —
J lAja; а\Г~ гтт:~ ~ ¦ -—- ¦-'
(ж—с) (в—6)г(Ь —cjj/'e^
(a-bf Y(и— а) (и —Ъ) (и —с)
БФB32.15)
К (в-«)(б-«) itt>o>«>q-
БФ B33.11)
X 1(а - 6) /? (V,-?) - (в + Ъ - 2с) ? (v, q)] +
2u~a-b [u>a>b>c]. БФ B38.15)

3.i—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 241
3.136
1. Jj у (B_xy,(b*lx),(e_xI - (g_6)aF_2caT/(a_e3 V-
" 'а,
2 Г <** - 2
J /(ж—а)8(ж—6)8(ж—сK (л—6J(Ь— а?У(а—с)»
X.[{a-b)Ba-b-c)F(y, g)-2(a2
3.137
^ 2
С
_J {r—
у
x)\r(a—x){b—v)(e—x) (a—r) У а—с
х [П(а'^' р)-^(а. Р)] [а>Ь>с>в]. БФB31.15)
2 ^ dx 2{С~Ь) х
3 (IЛ) (Ь )() (Ъ)()У
(г—жIЛа—ж) (Ь — ж)(с—х) (г—Ъ)(г—с)Уа—с
хп(р.Г^, р) + (г_,J/— ^(Р. р) 1«>ь>с
БФB32.17)
J
С
[а > Ь> и > с, г Ф с]. БФ B33.02)
_ Г <te 2 „ /¦ 6—
J (г—х) V(a — х)\Ь — х) (х — е) ~ (г—с) У1Г^~с VY> ' —
С
dx 2
(г—ж) 1Л(в—ж) F—ж) (ж—с) (Г_л)(г_6)]^л_с
, ?а^Е|', q)+(r-b)F(b, q)]
[a>b>u>c, гФ b]. БФB34.18)
5 С fe 2 х
J (х—j-)l/"(a—*)(х—6)(Ж —с) (e—r){b-r)Ya-o
X [(с-Ь)П(х, р2|^, р) + (*-г)^(х, р)]
[а>и>Ь>с, гфЬ]. БФB35.17)
a~b
g Г dx 2 \l
J (г—r) У(а—х)(х — Ь){х—с) (а—г) ^а—с
[а > и > ft > с, г ф а]. БФ B36.02)
16 Таблицы интегралов

242 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7 С *» „ ? _
I (x—r)Y(x—a)(x—b)(x — c) F—г) (в—г)/л—
X
с
[u>a>b>c, г фа]. БФ B37.17)
2 х
8. Г .g— х
J (х — г) у (х—а) (х—Ь) (х — с) (г — с) у а — с
X [П (v, ~, ?) -/"(v, g)] [«>a > b > с]. Бф B38.06)
3:138
U
1- { , da: = 2F (arcsinylT, fe) [0<м<1]. Щ532) ЯЭ150
;J У 37A— ж)A /С2Ж)
о
ПE35)
6- \ vw^AfWfmrF(^-2MCbgV^ft) 1°<»<ч- ЯЭ15°
7.
2р
[« < в],
где р = У(т — аJ + и2.
3.139 Обозначение: а = arccos
[и < а],
— l+a

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 243
14
1. С . йх =-l^F(n, sin 75°). Ж66 B85)
J у \ хз |/з
—со
1
sin 75°). Ж 65 B84)
и
U щ,
3. С dx =J^F(y, sin 15°). Ж 65 B83)
Ж 66 B82)
МО 9
6. f_^=—i--?fW4-U"- M09
i
7. ^ У 1-х3dx = 4{^27F(p, sin 75°) — 2и>^1 — и3}. БФB44.01)
8. 5-^|§=-=C1-3*)/?(р, sin
+ 2 f^3? (P, sin 75°) —2^!~ЦЗ • БФ B44.05)
9 Г^^.^ги^уТГЗ +jj^Cjp^. БФB44.07)
J ^T^SS 2то—1 т 2m — I J /1х» V
10. С Д^=C 43V(Y, sin 15°)-
?_J^ = C + 34)
БФ B40.05)
11 \
{ dx - , i [F(t, sin 75°)-2?(a, sin 75°)] +
" J^(l—г)/1-г8 К27
1]. БФ B46.06)
Yz A+^3—«) Y^—v-
. Г ^= = 1^=^ (в, sin 15°) - 2E F, am 15°)] +
J (ж — Ijyi8-1 К 27
12.
J (
. 2
tt+" - Гц «jfc 11. • БФ B42.03)
16*

244 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
13.
A— x)dx
—СО
(а, sin75°)-?(a, sin75°)]. БФB46.07)
БФ B44.04)
15 С («-l)<te ^2(/3-2) /S»=I 2-/3
1J> J 1+/х)«/Л=Т /3 «a-2u-2 -yf-*№. 8Щ15).
БФ B40.08)
f (x-l)to _ 2B-/3) /^11 2-/3 ,
- 3 (i+/3_,)./p=i 7f—' «2-2«-2 tt^^E, sm 15°).
БФ B42.07)
A—g)efa 2+/3 Г2^3/П=1? „, __„ 1
БФ B46.08)
БФ ^240.04)
БФ B42.05)
J (/З+аг—1)а /^1Л /з w» SU1 la '•
00
23- ^ " (a;2'4"^i'-1)^=- = -±= JS(b, sin 15°).
^^ . БФB4а09)

J1-J2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245
БФ B46.02)
БФ B44.03)
±
БФ B40.02)
2Я 1 (l-/3-.J^
J [A_/3-ЖJ-4 /8*«(*-1)] /*»-l
= ^ П F, p\ sin 15°). БФ B42.02)
У з
В 3.141 и 3.142 положено: oc = arcsin j/ -^^ , P = arcsin
X-arcsin у ^^ , (i=arcsm j/ j^^ , v = arcsm \ ^^ , p= |/ __
a —c
3.141
+ 2 f/(g~^C,P^ [а>й>е>в]. БФB32.06)
2. ^ y/IJEE>LlZdx = 2V^cE(y, q) [o>u>u>c].
БФ B33.01)
БФ B34.06)
БФB35.07)

2463—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕ1 ТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
5-
c^c [F (X, р) - Е (X, р)]
[а > и > 6 > с], БФ B36.04)
[и>а>Ь>с].
= 7~
+ 2 ]/ (а-»Пси-ц)" [а > fe > с > в].
[a>b>u>c].
БФ B37.03)
БФ B32.07)
БФ B33.04)
|/"<6-«И»-с> [а > 6 > и > с]. БФ B34.07)
[a>u>b>c\. БФ B35.06)
[а > н> Ъ > с]. БФ B36.03)
+2
[и>а>ь>е]т
р) +
« > * > с > в].
« .
S К (« -*Кй - ») dx = 2 ^^~^ [Z7 (Y, g> - -g [У,
БФ B37.04)
БФ B32.08)
[a>b>u>c].
БФ B33.03)

3.1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
247
, q)-E(b,
+2
Iе > ь
БФ B34.08)
16.
(в—ж) (а;—6
[а>и>Ь>с]. БФ B35.07)
БФ B36.01)
БФB37.05)
19.
20.
-b-c)E(y,q)-
в))-тV(«-«)l*-«)(B-
БФB32.11)
БФ B33.06)
БФ B34.11)
22.
a
23. ^
- b-c) E (x, p) -
[a>u>b>c]. БФB35.10)
[а>и>Ъ>с\.
БФ B36.07)

248 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
26
27
28.
[в > а > b > с]. БФ B37.08)
- д - с) -Е (ft, р) -
[а > 6 > с> й]. БФ B32.10)
-a-c)E{y,q) +
, q)]-fV{a-u)(b-u)(u-c)
[a>b>u>c]. БФ B33.05)
[а > 6 > и > с]. БФ B34.10)
+ {а + с - 2i) Е (к, р)] + 4 BЪ -« - 2с + и)
[а>и>Ь>с]. БФB35.И)
, p) +
, p)]-±V {a-u)(u~b)(u-c)
[a>u>b>c\. БФ B36.06)
30.
-с—
[к>а>6>с]. БФ B37.06)

3.1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 249
31.
J W с—
[а > Ъ > с > в]. БФ B32.09)
32- I /ia~XJlbc~X) dx =| K^F[(a + ft- 2c) ? (у, g) -
-(a- 6)F(Y, ?)] + fV(a-«)(ft-«)(«-c) [a > Ь>« > с]. БФ B33.07)
~^ Ж)-<fa = -I УЪ=7[(а + b-2c)E(Ъ, q)-
[a>b>u>c]. БФ B34.09)
2
34. \ l/ ^ '!~0J & = 4 У^ГГ[(а + ft - 2c) ? (x, p) -
[a > и > b > с]. БФ B35.09)
35. * Г'~ --"—м '
u
[a>u>b>c]. БФ B36.05)
36- l /^=^^ 4К^=Т
[в > a > b > с]. БФ B37.07)
3.142
— CO
Ч^/1'^ >е>-1- БФ B31.05)
6 —u
а — и) (и — с)
[а>Ь>и>с]. БФ B34.13)

250 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
БФB35.12)
[а>и>Ь>с]. БФB36.12)
• \ /j^b
-2 /[.->».'-.! [«>«>»>»]. БФ B37.10)
со
6. \ \/ -, гг, ^ dx = —!-т
^ dx = —!-т ? (v, ff) —
сK 6—с v ' ч'
^-^^(v, g) [и>а>Ь>с]. БФ B38.09)
БФ B31.03)
8- \ / {b^X()d—4^-E^ P) [а>Ь>с>«].
БФ B32.01)
9- \ V{b-^'Zl)dx "Ч^[/Г(V, Ч)-Е(Y, <?)] л
[« > Ь > » > с]. БФ B33.15,
БФB36.11)
БФ B37.09)
БФ B38.10)

3.1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ25 1
БФ B31.01)
«¦
| /EEgEEH [e>ft>e>c]. БФB33.13)
БФB34.15)
+2 /(а-ийи-С) [«>«>*>']• БФ С235'
БФ B38.07)
159
БФ B31.04)
' . ?.w" I [a > ft > « > с]. БФ B34.14)
БФ B35.03)
22- ^ /(.-^-.И^Т^^^ Р)"Д(Х' Р)]+
и
А/ЕЕ^И»-б)" [в>в>6>с]. БФB36.14)

252 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
23. r x_a x_c_ _
a
_ 2 ^ ^'(и—ши—е) [и>а>Ъ>с]. БФB37.11)
БФ B38.01)
[a > b > с > в]. БФ B31.07)
26. С/. "-* <fagBg?gE
J Г (a — а;)*F—re) a—b
28-
БФ B32.03)
[а>&>и>с].
БФB33.14)
[a>b>a>c]. БФ B34.20)
БФB35.13)
БФ B38.08)
БФ B31.06)
с
32- S К (а-^йб-*)»^ = »-7
u
БФ B32.04)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 253
3- \
/(п'ь-ТС) 1а>Ь>а>с]. БФB33.16)
~1ВГ^
БФ B36.13)
5. с /, v лх=2-У^
j г (ж— а)(а:—b)a a—Ъ
а
БФ B37.01)
36.
j r \х—а)\х—оу- "—и %-
и
' "" >Ь>с\. БФB38.11)
3.143
dx . = ±^farccos^?L, 81п80°7'15'У). Ж 66 B86)
2 V. l/1 + u* •
2^У
1
Ж 66B87)
3 144 Обозначение: a=arcsin-
"^^ |. БФ B61.50)
г д*_ 2Bu-l)
2" J ]/i*(a:—IK (ж2—ж+1) /»(м—1)(«а-
БФ B61.54)
А J /,1 (._i). (^_»+l) L V. 2 У V 2 У
, 2и~1 "I [и>1]. БФ B61.56)
+ 2>/»(u-l)(»8-u-l-l)J
*• 3 -/x{x-i)(x* -x+iy> 3LV 2У V 2 Л
[и>1]. БФ B61.52)
*) sin 80°7'15'=2 J/2 (/2-1) = 0,985171..

254 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
БФ B61.53)
БФB61.57)
8- J Bx—1J К x(*—1) =?(^а' ~Г^~Bи-
u
БФ B61.58)
9 Гda; ±( lH~\±(
I B.-1)» /^(x-lXx^-x+l) "ЗвГ 2j 3 * И' 2 J-
-sir/jl-^1 [»>Ч- БФ B61.55)
0 f_ ^^
2 Bи— 1) (9ua_9u—1)
Щ [>!] БФ B61.54)
"¦
12 С fe - = ™к(л
J Ba:— 1L/а;(а:— i)'(x*—x-\-l) 27 V '
3.145
1. Г
J
2. Г da:

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 255
3 i *"
где (т- ^)
4. Пусть
(I»! - т? + («1 + и)8 = р\ {г>Н - mY + (щ - nf = pt,
тогда
m-ntga
"/a+ arctg^-_g-, " VT ) [m-ntga<a<jn + Bctga].
3.146
В 3.147 — 3.151 положено: a= arcsin
arcsin
—-21_J,
. /(о — с) lu — b)
-d)
I —C)F —d)-
3.147
d
J }/" (a—ж) (b—x) (e—г) (d—x) У (a—c)(b — d)
[a>b>c>d>u]. БФ B51.00)
*) При a+P = 2m формулы 3.145 недеиствительпы; тогда можно применить под-
подстановку x—m—z, которая приводит к одной из формул 3.152

256 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
] |/"(«-*)(&-жНе-*)<*=^У y~(a-c)(b-d) W>
[a>b>c>u>d]. БФ B52.00)
i У (a—x) (b~x) (c—x) (x—d) Y(a—c) (b-d)
[a>b>c>u>d]. БФ B53.00)
4. f -r- f ^_d) -F=L^=J^(a.g)
с
[a > 6 > м > с> й]. БФ B54.00)
U
[a > Ь > и > с > d]. БФ B55.00)
6. \ ___>)(>_* gJ__¦аа7_l—-^^, ,)
[a>и > Ь > e> d]. БФB56.00)
a
J |/ (a—*) (ж — 6)T^^e) (x — d) |/"(o —c)F —d) ^' ^
[a > и> b > c> d]. БФB57.00)
[m > a > ft > с > d]. БФ B58.00)
3.148
d
1 С
_ _ .
/(a — x)(b—x)(e— x)(d—x) /{a — c) (b—d)
-(c-d)i?(afff)|- [а>6>с>й>в]. БФB51.03)
U
л Г ж rfx 2 Г., тт/' d с "Ч
J Y {а—х) (Ь-х) (c-xj(x~-d) ~ Y^—e) (b-d) V ~п) К?' ^=^> Г)+
+ a/?(p,r)| [a>b>c>u>d]. БФB52.11)
с
J /(а-г) (Ь-^х) (е-*) (*-J) = /(а—с) (Ь-d) l^~ b)n(Y> ^Td ' Г) +
Y, r) j la > * > с > а > rfj. БФ B53.11)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ257
, Г xdx 2 Г. «лтт^б 6~с
J У(а-х)(Ь—х) (х—с) (x—d) ~ Vfa—c) (b—d) V ' Ч ' Ъ-d'
+ dF(б, g)} [а > 6>н > с> rf]. БФB54.10)
ь
0 /(а— х)(Ь—х)(х~с)(х — d) Y{a—e)(h — d)V Ч а~с J
+ aF(K, q)\ [a>b>u>c>d]. БФB55.17)
u
J /(а—х)(х—Ъ)(х—e)(x-d) Y(a — с) (Ъ — d) V ' \ ' а — е' У'
+ cF(K r)\ [a>u>b>c>d]. БФ B56.11)
а
J У(а—х) (х—Ь) (х—с) (x—d) ~ \/~(a—c) (b-^i) I Ч^' Ь—d ' V
+ rfF((i,r)| [a>B>6>c>rf]. БФ B57.11)
8" \ У(х-аНх-1)(х-с)(х-<1Гу(а~с){Ъ-
БФB58.11)
3.149
d
[а > b > с > d > и]. БФ B51.04)
и
2.
»— х) F — х) (с — а:) (ж — с
rfj. БФB52.12)
da:
X V(a — x) (Ь—х) (с — х)(х- d)
2
\a-e)(b-d)
БФ B53.12)
dx
-с)(Ь-с
[a>b>u>c>d]. БФB54.11)
Таблицы интегратор

258 3—4 ОПРГДЕЛЕННЫВ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
ь
5 \ dx __ 2 v
*Y(a—x)(b — x)(x—c)(x—d) abyr(a~c){b — d)
]. БФB55.18)
u
с С <& 2
6. \— — — v
J х у (а—х) (х—Ъ) (х — с) (x—d) be у (а—с) (b—d)
{(е- 6)n(a.,?g=|j-,r) + 6F(*,#•)} [a>u>b>c>d\. БФB56.12)
7. \ dx ^ / 2
J x y{a—x)(x — b) (x — c){x—d) ad\/{a-c){b — d)
X {(d - a) П ({A, J§3jj, r) + aF (fJ., r)} la > и > 6 > c> d]. БФ B57.12)
8. С
J xy(x-a) (х — Ъ)(х—с) (x—d)
a
ab У (a — c)(b — d) I 4 of* — d) ' V7 v H'\
[и>а>Ъ>с><?\. БФ B58.12)
3.151
1 С
J (p—
dx=2
(p—x)V(a-x)(b-x)(c—x)(d — x) (p-c)(p—d) \f(a — c)(b-
БФB51.39)
2 С fe 2
J (
a—г)(Ь—г) (с - г) (г — d) (js—a) (p—d) Y (a — c)(b — rf)
БФB52.39)
з г
u
С
J (p—
[a>6>c>M>rf, /?^=c]. БФ B53.39)
dx2
X
(p—x) Via—x) (b—x) (x—c) (x-d) ~~ (p—c){p— d) Y(a-c) (b-~d)
[a > & > и > с > d, p Ф с]. БФ B54.39)

3 1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 259
(р—х)уг(а—х){Ь —х)(х — с){х — d) (p—a)(p —
6 С
J(a: — р)У(а—
[а>6>и>с>а!, р Ф b]. БФB55.38)
2
х)(х— Ь)(х—t){x-d) (Ь-р)(р-с) /{а—с)
n
J (в—x) |/"(e
[а>и > ft > c> d, p Ф b]. БФB56.39)
dx 2
(p—x) У1а—х)(х — Ь) (x — c) (x-d) (p—a
u
J (jo—
[a > и > b > с > d, p Ф а]. БФ B57.39)
2
a:)/(a:—a)(x—b)(x — c){x—d) {p — a) (p—b) f(a- c)(b~d)
[в > a > b > с > d, /> Ф a]. БФ B58.39)
В 3.152—3.163 положено: a=arctg-j-, p = arcctg —,
Y = arcsin T |/ ^^, 6 = arccos T, e = arccos - , | = arcsui
u .а Лб2 — «3 . a
arcsin у, ?= arcain -g- |/ ^^ , к = arcsin —
»— os . a
^^, v = arcsm -, g =
, g
3.152
U
1. { dx =1^A1, 9) [в > Ь > ОТ. Ж62B58), БФB21.00)
0
J
0
^^ . Ж63B59) БФB22.00)
3 ^,j;^^7^p^^ t6>B>°i- ж6зB6о>
6
J 1^(а? + о'Н*'^ 1^^+^ 1
u
Ж 63 B61), БФ B13.00)
17»

260 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
и
dx *>, ,у) Ги>6>0].
Ж 63 B62), БФ B11.00).
6- lvwmw^rv^wF{l's) [ц>ь>0]-
Ж 63 B63), БФ B12.00)
Ж 63 B64), БФ B19.00)
ь
8. У , dx =-g(t. *) [о>Ь> в>0].
Ж 63 B65), БФ B20.00)
U
=-FU,q) Га>н>Ь>0].
/(а* —*»)(:«? —6») «
Ж 63 B66), БФ B17.00)
Ж 63 B67), БФ B18.00)
а
Ж63B68), БФ B16.00)
Ж64B69), БФ B15.00)
3.153
2. С
J
[*>в>0]. БФ B14.05)
3- 1 /(W^iiI^^ )/fe(')
БФ B13.06)
4.
J V(a*
БФ B11.09)

S.i— 3.2 СТЕПЕННЫЕ II АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 261
(• жа dx
5- 3 ^(а'-хЧСУ^^"^» 0--^(Л. 0} [а>Ь>и>0].
3 ^(ЧС^
о
БФ B19.05)
6. ?
J ](Х)
[а>Ь>и>0]. БФ B20.06)
U
7. \ , 3*dX =аКЫ, а) 1т/(а2_нП/м2_Ь2ч
ь
J
ь
[а > и > Ъ > 0\. БФ B17.05)
8. С / x*dx- = дД(>., ?) [а>и>Ь>0]. БФB18.06)
и '
9. \ - ^.± = = a{F(y, t)-E(y,
[в > a > Ь > 0]. БФ B16.06)
БХ[14](9)
3.154
( ?* = % {2(a'+V)E(a, q)~PF(a.
) 6
2.
-|- (h*-2a2- b2) j/g±5 la > Ь, м > 0]. БФ B21.09)
[а>и>0]. БФ B14.05)
3 ^ ***** = —-А {B«2 - ь2) a*F (б- г) -
- 2 (а* - Ь4) ? (б, г)} + 4j- К(а2 + «2) (б2 - «2)
[Ь>м>0]. БФ B13.06)
, s) +
+ 2 (а*- ^
[м>&>0]. БФ B11.09)

262 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
и
5. \хх
+ уУ(о2-иа)Fа-и2) [а>Ь>м>0]. БФB19.05)
6- [^d^
-|- («^ + а* + 2Ь2) |/^5S [« > * > » > 0]. БФ B20.06)
7-
БФ B17.05)
8. { 4{( )( q)(
u
+ -|-У"(а2-и2)(и2-62) [d>«>b>0]. БФ B18.06)
9. \ *dx ±
^ЕЙ [в > о > ft > 0]. БФ B16.06)
3.155
2-&а) «fa = -1 {(aa + &2) E(\,q)- 2b*F (\, q)} -
(аа-ма)(иа-Ь2) [а>и>&>0]. БФ B18.11)
_Ь2) dx = -f-
55p [в>о>6>0]. БФB16.10)
u
3. $ 1/(ж2 + а*)(ж2+^) ote == -i {2 W (a, g) - (a2 + Ь*) .Б (a, q)} +
g^ [o>6. в>0]. БФ B21.08)
С /(o«+*")(*»'-a1) ^ = -у l/^T^fa2/1 (Y, r) - (a2- Ьа) Е (y, r)} +

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 263
ь
5. ^ VV + JB'Mb1-*») йж = -|- 1/а2+Ь2{а2/1 (б, г) +
[Ь>и>0].
БФB13.13)
U
6. ^ /(а2 + ж2)(а:2-да) tfz = -|- V а8 + Ь2 {(Ь2- а2) Е (е, s) - b2/1 (е,
(и2-Ь2) [« > 6 > 0]. БФ B11.08)
7. \ V («2 -ж*) (б2- ^2) dx = -f- {(а2+Ь»)Е (г,, г)-(а2-
-|-У(а8-и2)(Ь2-и2) ,[а>Ь>в>0]. БФB19.11)
ь
8. ^ У(а2-Ж»)(Ь2-ж2) йж = -|- {(о« + i8) ? (С, г) - (аа- Ь2) f ff,, t)} +
+ -|- (и2 - 2а»- Ьа) У&^? [а > Ь > и > 0J. БФ B20.05)
9. J /(а2 - ж2) (ж2 - Ь2) «Ьв —§-{(а'
+ "'~3°I ^ V"(a2-«2)(M8-62) [а > в > 6 > 01. БФ B17.09)
3.156
^ la>fe- и>01-
БФ B22.04)
2. С—т— *-_=~_-Ц__(вУ(а г)_(а2 + ^)?(б, г)} +
J х% У (жг+а2)F4—ж2) агЬ2 у o'-f-u2
» > 0]. БФ B13.09)
и
3. \ dx — = т {(аа + Ьг) Е (8, s) - b*F (e, s)}
J
[н>Ь>0]. БФ B11.11)
»+а») (*«—*»)
БФ B12.06)

264 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТКГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
6.
7.
8.
9.
3.157
1.
БФB17.01)
—а»)(:в»—4»)
+ -ДГ
[а > н > Ь > 0]. БФ B18.12)
t)~E(a, t)} +
[« > « > Ь > 0]. БФ B16.09)
БФ B15.07)
J (p
dx
со
г. \ —
dx
3
= -ijPTrt {П (р) ^"' 0 -F(p' 9)} • Бф B22
•?¦-)
dx
— ж") y^e'+a^) F2 —ж2)
[Ь > и > 0, /> дь 0]. БФ B14.13) и
БФB13.02)
5
е
[и > Ь > 0, /> 4L Ь8]. БФ B11.14)

3.1—3 2. СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ 265
G. С -J^
J (ж« — p) )Л«2 f-
- БФB12.12)
—
*1' Р '
—ж2) }^(a2- ж2) Fа —а») ОР Ч*1' Р
[а> Ь>и>0; рфЬ]. БФB19.02)
ь
J (р — ж
[a > b > и > 0; /з 9= б2]. БФ B20.13)
u
Э. \
J (p—*
J (p—ж2)/(а2 — 1>)(я!> — 6а)
b
Ь2\. БФ B17.12)
.А f dec 1 тх f \
10. \ , = -7-5 гП ( А,
J (aJ — pJ^o*—*»)(*»—Ь«) о(аа — р) V
'и \
J (/) —Ж2
o*—*»)(*»—Ь«) о(аа — р) V в2— р
[а>м>6>0; рдь а*]. БФ B18.02)
dx
t)}
[u>a> b>0; рфа2, рфЬ2]. БФ B16.12)
12. Г rJx =-L\u(v, 4-, 0~^(v,
[u>a>b>0; рфО]. БФB15.12)
3.158
1 <-«"'- i)-b*F(a, q))
[a > Ь; и > 0]. БФ B21.05)
2- $vwmw+w = 15мз=рг {a2?(p-q)-
БФ B22.05)

266 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3-
4 Ivr+w+v ЪзЬ*™
[a > b, и > 0]. БФ B22.03)
5. С d:c } E(y, г) [Ь>и>0]. БФB14.01)и
6. { % 'fig—- .у', jTF^' r)~
и
~a"(a"+62) I^g'+H^ [Ь>я>0]. БФB13.08)
Г S^r [»>ft>0]. БФB11.05)
[м > Ь > 0J. БФ B12.03)
и
9"
ltymW^ tb>«>OJ- БФB14.10)
10 f ^ »
J V^(e»
V(e+a:)(ia — б2K
БФB12.04)
[а>Ь>н>0]. БФ B19.07)
" [a>b>«>0]. БФB20.10)

3 1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГГБРАИЧГСКИЕ ФУНКЦИИ 267
[а>в>Ь>0]. БФ B17.10)
) У(х*-а?Г{х*-Ъ*) ~ аF2_а2) \? ^' ^ Т V 7рГ=^
3.159
[н>а>Ь>0]. БФ B15.04)
-и ]/?=?} [а>Ь>«>0]. БФ B19.06)
>6>0]. БФ B18.04)
[и>а>Ь>0]. БФB16.11)
- \ YV-X*-»r =Щ^щ{аЕ^ «>~7r/-fe?}-
^ Ь>0]. БФB15.06)
[а> Ь, и>0]. БФB21.12)
[а>Ь, н>0]. БФB22.10)
3. [ x*dx ^^ = 1 {a2? ( j _ b2p (a g)} _
и
[a> Ь, и>0]. БФ B21.11)
[a > b, a > 0]. БФ B22.07)

268 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
5.
•7
8.
Е Ы. s) —
, r)-K(Yl г)}
[Ь>и>0]. БФ B14.04)
БФB13.07)
БФГ211.13)
БФB12.01)
s) [u>b>0].
J
9 С __
ж2K
[Ь > и > 0]. БФ B14.07)
[и>ь>01-
у^-
\ ywSms^
[a > & > н > 0]. БФ B19.04)
БФ B20.08)
[a > н > b > 0]. БФ B17.06;
мг
***"
[и > а > Ь > 0].
a2—и* 1
[а>6>в>0].
БФ B15.09)
БФ B19.12)

3.1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 269
[а>и>Ь>0]. БФ B18.071
17 ^^^
[н>а>6>0]. БФ B15.11)
3.161
l^p ^t ла Д(В м_ h&p(ft,
2. 5 *
{а2 Bа2 - b*) F (б. г) _ 2 (а* - И Я (б »
БФ B13.09)
3. \ *
ь
[и>0>0[. БФ B11.11)
CO
4 ^
U
1»>*>0]. БФ B12.06)
')ц"'+а'']а |/p^i} [a > 6 > в > О]. БФ B20.09)
u
^(а2-иа)(в2-Ь2) [а > и > 6 > 0]. БФ B17.14)

270 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
а
7- \
[a>u>b>0].
БФ B18.12)
U
. \—r dx
[в>а>6>0]. БФ B16.09)
9- \%^{
^} j. БФ B15.07)
3.162
q) ~ 2 B?2""
и1а^^-гьр±^М-Ш [a>btU> ov Бф B21 06
2 ?
[a>6, в>0]. ВФ B22.03)
* (а» - Ь*)* Е <°'
»(.*) /FW I- БФ B21.05)
4. У
J
6' « > 0J- БФ B22.05)
»>0]. ВФ B14.15)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 271
>в>01
(а2 + а2K
и
7. \ ** ^
[в>6>0]. БФ B11.05)
СО
8. С ** 1
! —б2) За4/(а2+62K
t2(a"+fr2) V (XjT»2)8 [» > Ь > °]-
БФ B12.03)
g _
' /(я2+а;2)F2 — а;2M 364 //*
(«rr» | 1P)P(T. r)J I РIОаг'^Гу°'^Г^?3 ЛЬ>и>01.
БФ B14.10)
CO
10. С — dx = 1 — {Ba2 + 462) iJ (g, 5) — W (|, 5)} +
j ~lf (a2-\-x2) (ж2 — б2N 3&* I' (a2-(-62K
u
ч —=!=— - ~ - Г в > с? > 01. БФ B12.04)
2дB62—а2) „ ¦ и [(За" — 562) б2 — 2 (а2 — 2ft2) н2] /а2 — и*
36* (а2 — б2J W> " "г 36" (а" - W (Л2 — и2) V № _ „а
[а > 6 > а > OJ. БФ B19.06)
2- *8J
2B (и2 262) р ,, v И [^. ^(/" — «-J И--^-(ОГ1-—- UW-J W~[
364(а2-62J Л ^Л> 9' + збМа2-^12^2-*2) V И2_68
[а>и>6>0]. БФ B18.04)
,0 +
^^^ —» , р, . и ш/«2—а2
"г 364 ,а2- б2J Л ^' rj + 362 (aa_A2) (aa _ 62)
[ц>а> t>0]. БФ B16.11)

272 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
14 f
аь* ia*-
2а2--ЗЬа „ ¦ _ Cfr3—а3) »2 - D6a—2а") 6" fl#~cP
а**(а3—6") ^V" ' З^аСа2— б2J («2—б2) К u2 — 62
6")
[в>а>6>0]. БФ B15.06)
15. \ dx = , ,. * ,,,|Dа2-2Ь2O?(т), 0-
t) »К5»'-ЗУ)«'-Dа»-2У)»
[а > Ь > в > 0]. БФ B19.07)
F/g л i/EEE
За3 (а*—б2) гЬ' ' ^ За2 (а2 — 6») (а2 — и2) V а?—и*
[а > Ь > в > 0]. БФ B20.10)
[а>в>6>0]. БФ B17.10)
]. БФ B15.04)
3.163
U
а(«б)/(^+^рт^ [а
^ - БФB22.12)
B14.15)

3 1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 273
)i ™ S) ~~ a% у-(аг+ру, ^' *
—б2K am /(a
Ч " — [и > 6 > 0]. БФ B12.05)
u
5
J/(o»—*»)»(Ь*-*»)»~" «б2 («2-б2) (Т)> '~а62(«2-6аJ (Т1'
^^^ ^~
. БФB15.10)
3.164 Обозначения. а= 4/
а2+ее z К qq
L(a> r). ' БФB25.00)
qq
dx LF( ) '
1г). БФ B25.03)
OO
\ =-т/*Т -=- = ^
БФ B25.07)
38 4
О». /,,2 л~\
БФ B25.05)
(Q-f QJ(«2
d V (*2+e2K(*J+Q2K (e-eJ
+ f«i»—ш _ бф B25-06)
• - ' («н е2) («2+q2)
БФ B25.01)
18 Таблицы интегралов

274 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7. \ ———. == = rr— E (a, r)
+ (Qj"Q)° F(a, г). БФ B25.08)
(Q-QJ У QQ
. f- ^±ffi^_=-Ln(a, ^ г). БФB25.02)
? l<^+QQ)a-4^(K>*2]V(*a+Qa)(*2 + Q2) КОС
«5.165 Обозначения: a=arccos а 2 , г=
а 2 , г=-—^=— .
1. { ^ = ^
[а > 6, в > в > 0]. БФ B64.00)
2. [ . rfg =, = 4-^К г) [аа>6а>-оо, «2>0, в>0].
БФ B63.00 и 266.00)
[в>Ь>0, в>0]. БФB63.06)
J (*»-а»)
[а2 > Ь2 > — оо, а2 > 0, в > 0]. БФ B63.03 и 266.05)
x*dxиУ
[а2 > Ь2 > - оо, В2 > а2 > 0].' БФ B63.05 и 266.02)
)Е ("' г)-
— oo, aa> 0, н>0].
БФ B63.0» u 266.03)
J ^(^ + 26^г+а*K «2 —62L V ' ; V . 7J-T
БфB6608)

3 1—3 2 СТЕПЕННЫЕ W АЛГЕБРАИЧЕСКИГ ФУНКЦИИ 275
а*—Ь* иг—а?
о С {x^+a^dx _ а р
f| Ь21 < а2, и > О]. БФ B66.06)ц
[а2 > Й* > - оо, а2 > 0, в > 0]. БФ B63.04 и 266.07)
БФ B63.01 и 266.01)
2ц2 + в4 [а > Ъ > 0, в > а]. БФ B63.07)
12. ? (*¦+«')'<*» =-Ln(n, ^, г) [а > Ь > 0, и
БФ B63.02)
3.166 Обозначения: <z= arccos"a . . , Р = arctg ¦{ (l + V^2) jit^ r »
у = arccos в, б = arccos — , e = arccos tT"g > л = ^T~ • 9 = 2|/3|/2 — 4 =
= 2 K (l/2- l) =sin80°7'15" ^ 0,985171.
1. ^ v^. = ^F{a, r) [B>0]. Ж66 B87), БФ B63.50)
2- \^m=^[F{a'r)-^{a'r)]+%^[a>0]- БФ<263-57>
БФ B63.59)
4. J (а+1^Ж4+1 = т ^ («• r) -? («• r)l [" > °1- БФ B63-53)
6. 5-
бфB6з-55>
БФ B63.58)
18»

276 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
БФB63.54)
БФB63.51)
^TT=^n{a' л г)'tB>0]- БфB632)
10. I -^—=^р(в, г). Ж66B88)
<1].' БФB64.50)
БФ B64.55)
3/2+4 д 3/2-4 „-
[0<и<1]. БФ B64.56)
1
15. ^ -рт=а-= 71" ^(Y' ^ 'в *" *]• Ж 66 ^290^' БФ B59# 75)
ц
17. ^ у== = ^- ^ (б, ') |« > 1]. Ж 66 B89), БФ B60.75)
18L Syife =Vr2?(Y,r)--^-/^(Y.r) [В<1]. БФB59.76)
БФ B60.77)
20- \^7&= = .rk/!>^0 + yVAT=l? Г»<1]. БФB59.76)
21. \-^г = 1/'(б1г) + ^«1/^Г1 [B>i]. БФB60.77)

11—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
277
22
23.
В
Р =
и
[
и
С d
о г ч
3.167 я
= arcsin
= arcsin
X = arcsin
v =
3.167
2
- arcsin
d
и
11 г -
d {a
fa 1
-^ 1/з
^гссо+A-^5)м
3.168 положено: a —arcsin
/(fc- d) (м—в)
|/ F_c)(M_d)'
Р^ (й —о) (и — с)
/ (о — п./ (ы — й)
Y (d С?) [U-— Ь)
d — x
x—d
-х) Ь-х) (в-*)
у = arcsin г
х-arcsin >
ц_ arcsin,
d 2(с—
[«>
Yia-cUl
1
[1>«
К (а — ,
/ib-d)
(Ь-с)
/ (b — d)
с) {Ь — d)
^) Гт"
Ь>с>
0 Гп
V2 + /3 л
2 У
[и > 0].
2 у
>0].
c)(d~u)
d) (с — и) '
(с-и.)
(Ь-и)
(«-»)•
(а-и)
¦ И
г /" a — d
-d>u].
>u>d].
БФ B60.50)
БФ B59.50)
я — /?) (с — cL\
о,-—с] (b — rf)
"s p. л
БФ B51.05)
БФB52.14)
5-
[a>b>c>u>d]. БФB53.14)
2(с — d) гт /. 6—с Л
[а > Ь > и > с > d]. БФ B54.02)
[а > Ь > и > с> d]. БФ B55.20)

278 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
°* J V (а-х)(х-Ъ){.х-сI
[a>u>b>c>d]. БФ B56.13)
—d , 2(a — d) „ { Ь—а
[а >и > Ь > с> <?\. БФ B57.02)
8. \ I/ т . ,:Е~,, . гdx —
[u>a>b>c>d]. БФ B58.14)
d ,
Q f ./ c—x , 2(e—d) „ Г a — d \
[a>b>c>d>u]. БФ B51.02)
-(а-с)Рф,г)] [a>b>c>u>d\. БФB52.13)
»¦
[a>b>c>u>d]. БФ B53.13)
l« > 6 > « > с > d]. БФ B54.12)
* .
3. $)/(._,) pi; («-л)**- '
]. БФ B59.19)
« .
л, Г / x—с , 2F—с) _ z' а_6 -ч
[а > в > 6 > с> d]. БФ B56.02)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 279
а
J У (a—x){x — b)(x — d) Y(a — с) (Ь — d) LV ' V^'b—d'
+ (rf-c)/:'(n, r)] [a>u>b>c>dl БФB57.13)
u
16. [ I/; ,', 3\^ =
J P (ж—а) (ж — 6) (ж—d)
[ц > a > 6 > с > d]. БФ B58.13)
[a>b>c>d>u\. БФ B51.07)
и
18 [l
/(a—c) (*—
[a>b>c>u>d]. БФB52.15)
.„ С / b—x , 2F —с) „Г c — d
л шг in, С]г\ {с з*\ (з' Сь\ ~ш /" 4 \ /» 7\ V о -^— ci
и
[a>b>c>u>d]. БФ B53.02)
и
20.
БФ B54.14)
БФ B55.21)
БФ B56.15)

280 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
о
23. \ 1/ ¦. г«- тг «?х =
г)]
[a>u>b>c>d]. БФ B57.15)
«
24 \ I/ x~" dx- <-\а — °) п ( v а~а
"*' I У (х—а) (х—с) (x—d) аХ ~ 1/"(а—с) (Ь — d) { ~Г~7^ '
а
[u>a>b>c>d]. БФ B58.02)
^ I /{b-.ncZ:)id.K)
БФ B51.06)
26. \ i/.. ¦¦"-*. ..«fa = , 2^-°" П Cp, ^=i,
J К F—x)(o—x)(x—d) Y{a — c](b — d) \r' a — c'
[a > b > c> и > rf]. БФ B52.02)
с
27> J К {b-.x)l-x)(x-d)dx==
БФB53.15)
28 f i/ °~ж
*°- J И (&-х)(а:-С)(х-
d)
b — c
[a > 6>в > c> d]. БФ B54.13)
oq f / a—x , 2(a—b) „ f b—c
Zy- ) V (b-x)(x-o)(x-d)(ix = y^T^(b=^T) \.^ ~c''
и
[a> b>u^c>d\. БФ B55.02)
]. БФB56.14)

3.1—3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 281
[a>u>b>c>d]. БФ B57.14)
32. ] /ГГ
[и > о > 6 > с> d]. БФ B58.15)
3.168
Х" ) V (a-x)(b-a;)(a;-
{а —и) (с — и)
[о > b > с > и > d]. БФ B53.06)
JJ г —:
2.
[о > Ъ > и > с > d]. БФ B54.04)
БФ B55.09)
U -
3 К (
4- ^ '/(a-x)(,X-bHg-^rfa;:
2 | ,/в-вр/1 _\ в—d ./"(в —и) (и —
[а>и>6>с>«?]. БФ B56.06)
[a>u^b>c>d]. БФ B57.01)
U
К {x-a)(x-b)lx — dY>dX =
[и > о > 6 > с > dj. БФ B58.10)
с __
7- \ V (a-x)(c-x)(X-d)*dX =
ЩЩ W>b>Ou>d]. БФB53.03)

282 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
а Г / Ь—х , 2
J V {a—x)(x — c){x — dK X~(a — d)(c — d)y(a — c)(b — d) X
С
x[(a~c)(b-d)E(&, q)-(a-b)(c-d)F(&, q)]
[a> b>u>c>d]. БФB54.15)
ъ
9 Г ,/ *-* dxJ 2
i Г (a — x)(x—c)(x—df (a — d)(c — d)Y(a — c)(b — d)
x[(a-c){b~d)E{K,q)-(a-b){c-d)F(y.,q)\-
ZUltZ% [a>b>u>c>d]. БФ B55.06)
и
10
Б
' J Г {a — x){x — c)(x-df {a—
b
X [(a-c)F-d)?(X, r)-(a-d){b-c)F(k, r)\-
Ш$=% [a>u>b>c>d]. БФ B56.03)
(cd)ylc)(bd)'r) [*>*>b>c>d\. БФB57.09)
12 ? / Xb
(a —d)(c—d) И (u- 6) (u — d)
(a-d)(c-d) ?VV, ?;
[и > a > 6 > с > d]. БФ B58.09)
БФ B53.04)
, q)
[o>6>B>c>dJ. БФ B54.01)
b
15.
b
. \ I/ 7t r-, w y^dx— з I/ т—j? x, a) —
J К (Ь—ж)(ж — c)(x—dK с — rf Г b—d v ' 4'
БФ B55.08)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 283
[о > и > 6 > с > d].' БФ B56.05)
[а > и > Ь > с > d\. БФ B57.06)
_2_ /(и-а)(и -
с—й И (И—Ь) (u—
(u—d)
[u>a>b>c>d\. БФ B58.05)
[а > 6 > с > d > в]. БФ B51.01)
^]/?:ii:ig l. БФB52.06)
ь
[а > Ъ > и > с > d]. БФ B55.05)
22- J |/ (a-g) ;ifcH,-o)»^-^/"^(^ ^)
[a>M>6>c>rf]. БФB56.01)
Я
23. \
Ь— с Г л — с V(*' ; (о— с) F—с) Г (и—с) (u—d)
[a>u>b>c>d]. БФ B57.06)
[и > а > fc > с > d]. БФ B58.06)

284 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
25- \ /^^^*-.4aVlE?*(«.«)
и
[a>b>c>d>u]. БФ B51.01)
и .
2б- \ V (a-X)(c-xL*-d)dx =
[а > Ь > с > и > аЦ. БФ B52.03)
rf|. БФ B55.03)
[а > и > 6 > с > dl. БФ B56.08)
с—d V а — с' ^"' ' ' ' а — с
(и—с) (u—d)
[а > и > 6 > с > of]. БФ B57.03)
_2_ ./tE±E(v a\ 2(Ъ~С)
с—^ К л — ee^v'«' (о—с) (с — й) К (и—Ь)(и—е)
[и > а > 6 > с > of]. БФ B58.03)
2V(a—с) (b—d) „. ч а—Ь
[a>b>c>d>a]. БФ B51.08)
f
i/ *— * j^ 2(а—d) ff/ft ,
К (Ь-*) (е-«У (— d) t* ~ (c_ d)/(a -«) F-d/ №> } ~
(о—и)(с—и)
[fl > 6 > с > и > d]. БФ B52.04)

3.1— 3 2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 285
b
.33.
u
37
с
39.
р( . 2 (а-с) /F^и)(ц—rf)
F — с) (с—<*) v"' *' Т(Ъ—с)(с— d) V {а—и) (и—с)
[о > b>u>c>d]. БФ B55.04)
34 f x_u „_
(c_ d)Y<a— c)(b—d)
[a > « > 6 > с > d]. БФ B56.09)
- 2./(q-B)
-
2 ("-<*> ff(.. rt 2 /(g-B)(Br^
(c—rf)l^(a—c){b—d) vr> У Ь —с Г (и—с) (в—d)
[a > и > fc > c> d]. БФ B57.04)
dx-
(¦>-a) (и-d
B)(b-<J) l ' 9' e-d К («-6)(i*-c)
[и>а>Ь>с>«г]. БФ B58.04)
ffn 0) 2 /(а-и)(Д-и)
^) •-* К F-в)(е-и)
а>6>с>й>в]. БФ B51.11)
38 ) V (a-*){b-x)*(c-x)dX (а-Ъ)(Ъ-с)
2
b—c
[a>b>c>u>d]. БФ B52.07)
(а—ж)(Ь—а;)»(е — ж) (о — Ь)(Ъ — с)

286 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
40.
(а-х)(Ь-х)Цх—с) (b-c)Y(a-c)(b-d) K
zV(a-c)(b-d)
2(b-tf)
(а —Ь)F —с) л1и' ?)i"@-i)F-c)F F — и) (и—d)
[a>b>u>c>d\. БФ B54.05)
а
41 \ V (—)С-^С—) U=M
ji" (а—Ь)(Ь-с)
[a>u>b>c>d]. БФ B57.07)
42 J i/ x~d . dx
4Z- ) V ^а)(хЬУ*(хс) аХ~
(а-Ь)(Ь-е) Л(х'^~
[»>«>Ь>С>^. БФ<258.07)
t БФB51.14)
J/"S5 rfl. БФB52.10)
45-
[a>b>c>u>d\. БФB54.08)
]. БФ B54.08)
а
и
:]. БФB57.10)
]. БФ B58.01)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 287
[а > 6 > с> d > и]. БФ B51.12)
50- S /^^
d
•-IF^bV/PfPS [.>*>e>»>«q. БФB52.09)
с
г. f / а — х 7 2 /я—с г, / ч
51- ) V (b-X)*{c-x)(x-d)dx = T=TV ъ=аЕ(Ч' г>
u
[а > 6 > с > м > tf]. БФ B53.01)
и
52- 1У ?*
<)-*<*.
[а > 6 > и > с > d]. БФ B54.06)
53. § /?'
. БФ B57.08)
[и > а > 6 > с > a?J. БФ B58.08)
5- 5 /c-^S-ix-^^-sJ
l»)glS [->6>e>rf>.l. БФB51.09)
[a> 6> c>«> dj. БФB52.05)
57-
[a> b>c>u>d]. БФB53.05)

288 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
58 \ 1/ dx=——
J У (a—x)s(b — ar) (&—e) a—I
-, 2{t^d) ^ l/!fr~1i"~Ci [a>b>u>c>d]. БФ B54.03)
(a — b){a — с) г (я—u) (u — a) j \ /
6
59. \ I/ )8 b~ g , _e) <fa=-^f^-|/ -[j?(x, g)
[a>6> a>c>d]. БФB55.01)
60.
(а-и)(и-с)
[а > и > & > с>d]. БФB56.10)
2Y(a-c)(b-d) F( . 2 (а-с) ¦[ /F -ц) (rf-и)
(о — 6) (a — d) V"' </'"|"(о_6)(а —d) Г (а —и) (с —и)
a]. БФB51.15)
(a_6) /(в-в)(Ь-
[a>b>c>u>d]. БФ B52.08)
„, Г f c—x , 2Y(a — c)F—d)
(y ) i
(e — 6) /(o—c)(*— d) a — d V (а — и)(Ъ — и)
[a>b>c>u>d]. БФB53.1О)
64
-x)S(b-x)(x-d)aX- (a-b)(a-d)
с
(a — d)/(a — c)(b—d)
[a> 6>a>c>«q. БФB54.09)
г — хK(Ъ—х)(<с — с
«
[a>b>u>c>flf]. БФ B55.10)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСНИЕ ФУНКЦИИ 289
J V (а-х)*(х-
ъ
г ( Г)
¦ 2 (а —о) -|/(ц-Ь)(в—d)
""•" (а— Ь)(а — d) V (а—и) (и—с)
[а > й > 6 > с > of]. БФ B56.07)
л
67.
и
[a>b>c>d>u]. БФ B51.13)
68. " Г *~^ "
(а—ar)s(c—ж)(ж—й) а—d V а—с
[а > 6 > с > « > rfj. БФ B52.01)
с
69
• J К («-*>»(в-aO<*-«0
_ у г\ 2{а—Ь) f(c—u)(u—d)
a—d ? а—с~"' > (a—c)(a — d) V (<г— и) F—и)
[a>b>c>u>d\. БФ B53.08)
U
70-
- \ К («_,)»Ет-еН,-
БФ B54.07)
[а > 6 > и > с > dj. БФ B55.07)
.
72- [ V (а-х)Цх-о)(х-
ь
а-е *(К> r>+7=d- V (а-и)(и-с)
[a>u>b>c>d\. БФB56.04)
19 Таблицы интегралов

290 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В 3.169—3.172 положено: a = arctg-^-, P = arctg—,
Y=arcsmT |/ ^-П^ , 5 = arccos-g-, e=arccos-, g=arcsin j/ ^__2<
в /"Ь2 —и2 _ в Аиг_^г
, ? = arcsm т |/ ^—^ , х =arcsm— J/ ^^ ,
оа—иа . Ли2—вг
j^—р , n = arcsm J/ „тир- v =
. и
i= arcsm
. 6
3.169
[a > b, u > 0]. БФ B21.03)
2.
6, «>0]. БФ B21.04)
[b>u>Q]. RDB14.11)
4-
5-
6-
, r)
[b>u> 0]. БФ B13.01), Ж 64 B73)
dx = V
+ -1 У(ва + а2)(«г-62) [и > 6 > 0]. БФ B11.03)
V^, r)-E(Y,
[6>и>0]. БФ B14.03)
> r> -E <6'
[Ь>«>0]. БФ B13.03)
8- $ У ^5 ^ = ^- K(a2 + »2) (и2 - Ь*) - V^+V E (8, «)
9-
. 0 -
[н>6>0]. БФ B11.04)
[a > b > а > 0]. БФ B19.03)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 291
[a > b > и > 0]. БФ B20.04)
[a > в > Ь > 0]. БФ B17.J4)
12. ^ y/*^dx=aE(%, 4)-^rF(Я., «?) [а>и>Ь>0]. БФB18.03)
[н>а>6>0]. БФ B16.03)
14. \ Л/ °tzl?-dx = aE(n,t) [a>b>u> 0]. Ж 64 B76), БФ B19.01)
О /
[a > b > н > 0]. БФ B20.03)
B.17.03)
17. ^ |/^^=^rfa;=«{JP(X, g)—?(Я., fjf» 1<1>н>Ь>0]. БФB18.09)
> 1в>а>6>0]. БФB16.04)
3.171
3.
U
ь
со
и
ь
-1-Ь2 г,, .
[н > Ъ > 0].
[а>й
БФ B11.01),
[н>6>0].
в2 /Ъ? — иг
> и > 0].
Ж 64 B74)
БФ B12.09)
БФB20.12)
19»

292 S—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
[а>«>6>0]. БФ B17.11)
[а > и > Ъ > 0]. БФ B18.10)
6-
dx
_ а „.
[а > а > Ъ > 0]. БФ B16.08)
[а > Ъ, и > 0]. БФ B22.08)
U
dx
[а > 6, в > 0]. БФ B22.09)
[Ь>в>0]. БФB13.10)
[и > 6 > 0]. БФ B11.07)
[в>6>0]. БФB12.11)
2- S?¦
[Ь>в>0]. БФ B13.05)
[а > а > Ъ > 0]. БФ B15.08)
14
[а > Ъ > и > 0]. БФ B20.11)

J.I—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 293
[а>и>Ь>0]. БФ B17.08)
[а>и>6>0]. БФ B18.08)
17-
[и > а > Ь > 01. БФ B16.07)
18. ^-p-]/|^s=T?(v> f) [и>а>6>0]. БФB15.01), Ж65B81)
u
3.172
u
[a>b, и>0]. БФB21.10)
j/^ji!=|?(P, j) [а>Ь, н>0]. Ж64B71)
3- \ К7^Х^5^ = -^^(а'?) [в>Ь, в>0]. Ж64B70)
а
4.
u
5- \ /t
[а>6, и>0]. БФ B22.06)
1
[6>и>0]. БФ B14.08)
ь
6. ^
и
—wViri [b>u>0]. БФ B13.04)
1. БФ B11.06)

294 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
8- \y^
и
хг- ft2
10.
12.
is.
96
+-
, s)
F(Р
[и>6>0]. БФ B12.08)
[Ь>в>0]. БФB14.09)
l J V '
[в>Ь>0]. БФB12.07)
[a > b > и > 0]. БФ B19.09)
[a > Ь > в > 0]. БФ B20.07)
[а > и > Ъ > 0]. БФ B17.07)
[и > а > 6 > 0]. БФ B15.05)
[а > 6 > н > 0]. БФ B19.10)
/ а2 —
и /а2— и2 д ,-, /А ,
[а > и > Ь > 0]. БФ B18.05)
[и > а > Ъ > 0]. БФ B16.05)
[и>а > 6 > 0]. БФB15.03)

3 1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕВРАИЧЕСКИВ ФУНКЦИИ
295
3.173
— ¦? ( arccos и, -^2~ ) + —— [« < 1].
2 Л ?/?§:-VZ* (arccos l.J^I) [B>1].
В 3.174 и 3.175 принято: а = arccos
БФB59.77)
БФB60.76)
P=MCC0S
3.174
о
*&-*)
.
[1>«>0]. БФ B59.51)
~ ^ 27 (Р' Л ^1Г (Р>?)~
2B-/3) 1-
7T"l+(/3-t). К 1-1-»+»'
3.175
/з
[и>0]. БФ B60.55)
/3 /1-»
]. БФ B59.52)

296 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.18 Выражения, приводящиеся к корням четвертой степени из многочленов
второй степени, и их произведения с рациональными функциями
3.181
/2
¦ с/
агссо8
^3&M-, _*_)]} [a>u>b]. БФB71.05)
J ^(х— в) (ж— 6)
о—&+2|^(и —в)(к—6)
^
о — 6+2 У (и — а) (а—6) ]Л!
2BВ-.-ь)Г(»-»)(—*)
(м —в)(«—6)
[в>в>Ь]. БФ B72.05)
l J V У
3.182
/а—6
I
БФB71.01)
2. Г *» , ^
J У[(х—а) (х—Ь)\3 Ya—
В 3.183—3.186 положено: а = arccos
в—6+2 ]Л(и—о) (а—6) |^
[в > а > Ь]. БФ B72.00)
1
¦ arccos у' 1 — и2, у — arccos "^ .
3.183
[в>0]. , БФ B73.55)
[0<u<l]. БФ B71.55)
[в > 1]. БФ B72.55)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 297
3.184
1.
[0<в<1]. БФ B71.59)
/2 J 2 V» /?f 1+/иа 1 "
'[и>1]. БФ B72.54)
3.185
1. \-JF^=r=y2F(a,-^) [u>0]. БФB73.50)
2. l-p=fi==. = V2F(p,-^) [0<в<1]. БФ B71.51)
3. V _?==--/¦(*-?=¦) [«>!]• БФB72.50)
[0<н<1]. БФ B71.54)
5.
[в > 0]. БФ B73.54)
д i *" <*¦*• о 1/ 9 I /? f « * л __ 91? ( п \ П _U - "
[в>0]. БФ B73.56)
[н>0]. БФ B73.53)
3.186
L 17ЙБЖт^ = 21^Е(а'71) [В>°]- БФB73.51)
=
2. i _ 1__г_
_1—и К1—»а [0 < н < 1]. БФ B71.58)
1—[_ 1/ 1 — и*
3.
^ 2 L ^Y> /2 У 4Y> /2
[н>1]. БФ B72.53)

298 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
БФB71.57)
? fj? = =E(y, 4=0 [»>!]. БФ B72.51)
3.19—3.23 Степени х и биномов вида (a
3.191
dx =
fi, v) [Ren>0,Rev>0]. ИПП185G)
—ц,ц) [Rev> Re{i>0],
ИПН 201 F)
- a-)"-1 dx = B Qi, v)
[Иец>0, Rev>0]. ФИ 774A)
3.192
¦¦ pn cosec pit \p% < 1].
= — я cosec/mi [—1</><0].
4.
3.193
3.194
1.
БХCL
БХ[3]E)
БХ[4]F)
БХ[23]G)
ВТФ12
я, Ren>0].
ИШ310B0)

S.I—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
299
2.
dx
[Ren > Rev]. ИШ310B1)
- = Р^В([1, v — ц) [|argP|<rt, Rev>ften>0].
ФИ 775 и, ИШ 310A9)
4.
5.
6.
} (l+P*
[|argp|<ji, 0
ИШ308F)
х»-1<1х_ и»
l+fix ~ й
0]. ИПТ308E)
tO<Be|i<2]. БХ[16]D)
7
8
3.195
3.196
Г
)
i
я ^
ж dx
_|_д.)яг = 2
m+imi B.
[•
ОО
р(в—1)
—2т—3)"
г<п-±.
-i\ (-2)
т-п+5
, а>0, Ь>0]
-ft
Ч-
НХ[21]B)
БХ[3]A)
Ли [19] F)
1.
2.
1, -v;
g-^-j < я] .
At = (u + №~ч В (v - ц, |i)
3. [{х-аГ-1(Ъ->
x = (b- af+v-' В (ц, v)
[6 > a, Re ц > 0, Re v > 0].
ИПИ185(8)
ИПИ201G)
ВТФ110 A3)

300 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
4. \ — г- cosec хл ( )
f
\
[а < Ь, Ь > 0, 0 < v < 1]. Ли [23] E)
5. { * =-f cosec v*
J (а — Ьх)A—x)v Ъ
СО
[a>fc>0, 0<v<l]. Ли[24](Ю)
3.197
1. ^ ж*-1 (Р + хГ» (х + у)~° dx = p-^v-QB (v, ц - v + Q) X
Rev>0, Ren>Re(v-Q)]. ИПП233(9)
2. ^x-*-(x + $)v(x- в)"-1 da; = u*+v~*-B (K - ц - v, ц) X
и
[largj <яили |^-|<1, 0<Reji<Re(X-v)] . ИПИ 201 (8)
1
3. \ ж* A - ж)д~1 A — $x)~v dx = В (Л, цJ ^ (v, X; X + ц; Р)
[ReX>0, Re(i>0, |PI<1]- УВП79
1
4. ^ жД-1 A - жГ A + ах)-»-* dx = A + а)~д В ((i, v)
[Re ц > 0, Re v > 0, a > - 1]. БХ [5] 4, ВТФ110 A1)
X ^ ( — (*, X; — fi — v; 1— a) [|arg*a| < я, —Re(|x+v) > ReX > 0].
ВТФ160A2), ИЙ[31ОB3)
oo
6. \ x%~v (x — i)*"!* (oa; —1)~ dx — a-*-B (|x, v — iiJFt (v, (i; X; a)
l
[l + Rev>ReX>Ren, |arg(a—1)| < я]. ВТФИ15F)
OO I
7.
[Re (i > 0]. БХ19 E)

3 i—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 301
S. J a*-« (x+afiu-xf-1 <& = «%¦*+»-1В (ц, v) л(-А,, v; ц+v; -?•
0, Rev>0] . ИШ1 186 (9)
9. (
(Г
[Re ц > Re Я > 0]. ВТФ1205
A-х)
aiP 1„,л(„1/^\ siu[Bp — 1)
cos
(arct
-1) em [arc
[2p-l)\f~q
l
3.198 С a;i*-i A - ж)"*-1 [аж + Ь A - х) + c]-(|i+v) dx
= (
[а>0, Ь>0, с>0, Re(i>0, Rev>0]. ФП787
ь
3.199
, v)
[Ren > 0, Rev> 0, с<а<Ь]. ВТФ110A4)
1
3.211 ^ ж»-1 A - xf~l A - йж)-° A - vx)~° dx =
= В (ft, Л) F, (A,, q, а. X + ц; в, v)
[Re Л > 0, Re ц > 0]. ВТФ1231 E)
оо
3.212 \ [A + аж)-р + A + ЬхГр] ж9 dx =
S
f~2, р- q) cos^arccos ЫУ1
I |_2 у o6JJ
[р>д>0]. БХ[19](9)

302 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
3.213 \[A + ах)-р — A + fcK)-p] aft'1 dx =
о
_e
2 Г Ш
- 2г (аЬ) 2B(q, р- q) sin /? arccos
[p>q> 0J. БХ[19]A0)
1
3.214 J [A + хI*-1 A - я)* + A + xf-1 <1 - жI1-1] dz = г^ В (i*. v)
[Re (i > 0, Re v > OJ. Ли [ 1] A5), ВТФ110 A0)
i ' '
[Re(i>0, Rev>0, |а|<1]. БХ[1]A6)
3.216
fO, Rev>0]. ФИ775
о
f^ 1
J (l+
2. f^ 1+?Ll<fa"B(|i,v) [Re(i>0, Rev>0]. ФII775
J (l+a:)|t+v
BX[18]A3)
3-218 l**1Г+.}Т"dx = nС^РП lP<4 (сравни 3.217).
БХ[18]G)
[Rep> 1, Rev> 1]. BX[19]A3)
3.221
oo
1. ? (x~ а)Г"* dx = я (a — W-» cosec ря [л > Ь, 0 < p < 1]. Ли [24] (8)
2. С <?^р«гж= - л (b-a)pl cosec pn [а<Ь,0<р<1].
—со •
Ли [24] (8)

8.1 —3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 303
3.222
1
1. ^ X\+t~ = Р №) [Re V- > °]- У ВII39
о
2 f^li^-J яcosec(ця)а*1-1 при а>О, ФII718, ФИ737
J *+« kC^7^tctg(nn)(-a)|l~1 при а<0, БХ[18]B), ИПII249B8)
3.223
1- \ /о i _>"/.. 1 _\ — ——о IP — v^ ) coseo
[ | arg P j < я, |а^у|<я, 0<Re|i<2]. ИП1309G)
CO
0
<я, а>0, 0<Нец<2]. ИП1309(8)
[a > b > 0, 0 < Ren < 2]. ИП I 309 (9)
3.224 \ (Ж+Р)}^~ ^ж = я cosec (\ui) {-^Еу Y""l + 3^ ^~l}
[ I arg у |< n, I arg 61 < я, 0 < Re ц < 1]. ИП 1309.A0)
3.225
1. V г—dx = (l—p)ncoaeapn [— 1 < p < 1]. БХГ23Ш)
00
2. V ^ ^g— dx— y^(l — /?)ncosec pn [0 < /j < 1]. БФ [23] A)
t
oo
\ TTjTla"= ~2~^''¦~P> cosecря [— 1 < p < 2]. БХ[1о]E)
3.226
i
X. \ — ~ '~— u Т7Г ^ 57TT
1 n-^
2- 5.^= = (-^^я. Б»[8]B)

304 3—*. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.227
i-l, v, ft; 1-
[|argp"|<n, |argv|<n, 0<Rev<Re(i]. ИПП217(9)
2. ^ Ха®+*Г" dx = «у"* (P - У)"" cosec fen) /4 _7/p (a, q)
[|argP|<n, |argY|<n, -Reff < ReQ < 1]. ИПП217A0)
-• л-v
3.228
1. С {*—а)^ф—х) ^ _ п cosec ^^ [ i — C^E^)V 1 ПРИ с<а'<
а
— я cosec (vn) [l — cos(vn) (j^z~c J 1 при а < с < b;
= я cosec (уя) I 1 — ( ^^? j I при с > b
^|<l]. ИПII250 C1)
C
2.
6—с
Ь—с
г *^ '
ctg(vn) при а<с<Ь
[0 < Re v < 1]. ИП II250 C2)
при с<а или с > Ь;
= (с - a)v-J (Ь - сГ~< ctg (in - (fe - а)»**-2 В ((i - 1, v) x
пРи
[Re j* > 0, Re v > 0]. ИП II250 C3)
dx = av; cosec (vn)
[0<Rev<l, 0<6<а]. БХ[5](8)
-l, v; ц; 1 + ±
при с < 0;

S.I—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГВВРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
305
= с*-1 (а + сI* ctg [0* - v) я] -
при с>0
[а > 0, 0 < Re v < Re ji]. ИП II 251 C4)
 dx
ясовесця Г а
3,231
4.
5.
6. Г хр*-*п
J 1 X
О
dx = -у - я cosec ря
< 1].
БХ[5]G)
БХ[4]D)
БХ[4]A)
БХ[4]C)
БХ[4]B)
0, Rev>0].
ФII815, БХ[4]E)
[p>0, д>0]. ФП718
3.232
3.233
3.234
2.
[Re|x > - 1; а > 0; b > 0; c> 0]. БХ[18] A4)
^ lRev>Oj. ВТФИ7, УВИ37
\0<q<l, a>0].
JJL^J л; e яа-«cosec «я [0 < 9 < 1, a > 0]. БХ [5] A0)
20 Таблицы интегралов

306 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.235 \ Т, I V = ^(V)-1HV--H') [Rev>Ren>0]. БХ[18]E)
о
0 [A—*)A — a*x)] 2
[_2<|i<l, |о|<1). БХ[12]C2)
ОО П+1 ..I Р / М_ 1 1
3.237 У, Г-1Г+1 { -^- = 1п
3.238
™ v-l
. \ -^?ir<&==-nctg^|H|v-1signH [0<Rcv<l].
—oo
ИПП 249B9)
^ntg^lHp'-1 [0<Rev<l]. ИПИ 249C0)
3 Г »-«)'^-1(»-«)v~1 ^_ (fe-«)>t+v-' Г(ц)Г(у)
' J |a:-B|'*+v |e —uflb—B|v T(H+v)
ь _
^- : — «& = -1_„пь_в|
[Re|*>(r, Rev>0, 0<B<vflf<6 или 0 < а < й < в]. MO7
3.24—3.27 Степени ж, биномов вида о4-Раср и многочленов от х
3.241
1 _
и, БХ[2]A3)
ИШ 309 A5) и, БХ[17]A0)
HX [171A1)
4.
[О < i <n +1 ] . БХ [17] B2) »

d.1—8.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
307
dx (л— q) л (р — д) я
" g* cosec »
ximdx
я ГBп —2т —1
cosec *cosec
3.243
3.244
\m < n. t2< п2].
/ ця \
cosec I т;— 1
л V. 3v J
БХ[17]A8)
Bm+l)rt
in
ФП 642
[0 <Re ц < 5 Re v].
Тс0зес
ИП1 312 C4)
,BX[2]A4)
2.
3.245
3.246
dx = v^+1 В /v. Ц- v)
[Refi>Rev>0].
f 1=4 *•>-• <fo = *- sin ^
J 1 — Хт г г
). BX[2]A7)
Ф11640
БХ[16]A3)
cosec ^ cosec
r, p>Q\. ИШ 311C3), BX[17]A2)
Интегралы вида \ / (xv ± x'p, x4 ± x"9, ...) -^ следует преобразовывать
l
/>
подстановкой x = e' или x = e~'; например, вместо \ {х'*р-\-х1')'1 dx сле-
дует искать \ sech pxdx, вместо ^ i-|-2a?"cosa+.r"t dx слеДУет искать
ж — cosar'tfa: (см. 3.514 2.).
20»

308 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.247
2.
3.248
I
2.
3.
3.249
1.
2.
3«
4.
5.
6.
i t
С r {^—
} ^
f A—*Р)Я
0
CO
1
^ Y\—x*
i
j /1-я»
oo
Г da:
0
\*-«
1
-1
f г1* dx
1
0
CO
-x)n 1 , ,,|^i
fe=0
[*>o, iii<i
P *"~ np V я У
[0<Rev<(ra-l)
2д
— 2v В (v 2u u) fv ъ
Bn)M
Bв-Ь«!1 •
Bra —1I! л
Bre)!! 2 '
Bra —3)!! n
2-Bre —2)!! a231'1 *
1
n1 , 2nBre— 1)!!
2Bn)ll
da: 2n.io
2 P V 2 ) I ""^
*)(о + *Ь + 1)...(а + *Ь+*-1)
]. A6.704
^+^Дсо8ес^
ftp np
p). ИШ 311C3)
¦2ц]. БХ[21](9)
БХ[8]A4)
БХ[8]A3)
ФИ 743
ФИ 156
ВТФИ 181C1)
.]. БХ[2]G)
[Re ц > 0]. ФИ 784
0]. БХ[7]G)
" 7. С (I-**) v^ = iB (i-, 1-1) [Refl>0, ]v]> 1].
3J251
1. \ ж"-1 A — z*-f '& = TB['f,v') [Reu>0, Rev>0, Я> 01.
ФИ 787

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 309
7.
9. р
[Re(i>0, Re(v + i(»)< l].
3. Уз^-Ч*"-!)*^--^8 A~V~""p"> v)
[p>0, Rev>0, Rep,<p-/>RevJ. ИШ 311C2)
ximdx __ Bm— l)!!Bra — 2m-3)!! я
es + c)B~ 2-Bи—2)!! a^c"»-1 y^ac
[а>0, с>0,л>/и+1]. ГХ[141](8а)
m\ (n —т. —2)!
:)" 2 (в — 1) I ая»*1е»-™-1
[ас>0, п>т+1>1]. ГХ[141](8Ь)
6- С^тЙг^=^^ [-2<Нвц<2]. УВ1159
1
8. {а^гЩ-а?) <dx = P?cosec^ [q > р]. БХ[9]B2)
I, q>0]. БХ[9]B3) в
10. ( зГ* A - Хо) *dx = | cosec ^ [q > p > 0\. БХ [9] B0)
11. ^
я, р>0, 0<Re(i<^Rev]. БХ[17]B0), ВТФ1 10A6)
3.252
1.
2.
оо
J (аа:2+26а
0
? (еж2+26:
—ОО
(_i)n-i a»-i
р+с)п (п —1I Эс"
с Bге —3)!!яа
Bп—2IЦас —,
Г
L L
П—1
п—
Ь*)
Уас—Ъ* й
[а > 0, ас>
у" ac —fo2 J
б2]. ГХ[131]D)
ас > Ь2].
ГХ[131]E)

310 J—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
о
(-2)" 3"
1 2
[a>0, c>0, b>-Vac]. ГХ[213]D)
ОО
J KaJ!—Г'
6
Г xdx _ (—1)" 3"-* f I
J (аж2+2Ьж+с)п~ (я —1I dcn-*\2(ac — 6a)
-garcctg y=|==j при ас>й8;
2(ac—b*J
(-1)" Э""8 f 1
= (л-1)! ве"
при 6* > ос > 0;
при ас =й* [а>0,
Bn—1)
—oo
„Г
Bл—2)! i (ас — Ьа) 2
[ос > б2, о > 0, и> 2]. ГХ [141] F)
Bл—2)!! (ас—6s) 2
г
54 2 B1)BА-1)ПBИ_2А-З)н(а-^)*
«(г)
7.
[ac>62, 0<w<2«-2]. ГХ[141]A7)
xndx nl
ос
(ах' -f-26a:-(- с) 2
[о>0, с>0, u>-]/acJ. ГХ[213]Eа)
ж"*1 dx л!
[o>0, c>0, &>—У^]. ГХ[213]Eв)
х ' z dx Bл—1I1 я
[о>0, с>0, й+Уас>0]. Ли[21]A9)

3 1.—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 311
10.
sin2 tT (^ +^ (\ ()v_
[-п<Г<л, 0 < Re ц < Re 2v]. ИШ310B2)
1
о
xB(v — 2ц+1, — v)i>?_n(P)
[Re v < 0, Re Bц - v)< 1, | arg (P ± 1) | < я]; ВТФ1160 C3)
i
= — я cosec vnCy (p)
[-2<Re(^|--M.)<Rev<0, |afg\p ± 1)| < я] . ВТФ1178B4)
12. V —j 2~= — яя**~2 cosec t cosec (ця) sin [(ц — 1) t]
[a > 0, 111 < я, 0 < Re ц < 2]. ФИ 738, БХ [20] C)
13. \ . , , ¦»" %-.—575- = — cosec ия cosec31 x
J (x*-\-2az cos i + a^Y ?
0
x {(Ц— 1) sin t cos [(ц — 2) г] — sin [(ц — 1) t]}
[a>0, \t\<n, 0<Reji<4]. Ли[20](8)и, ИШ309A3)
CO
14 (. ^" dx
ИШ 310A7)
3-253 ^ A+а;)'Г l!7+f V~' ** = 2"+У" В (I*, v) [Re ц > 0, Re v > 0].
ФП 787
3.254
U
1. \x^-i
[Re(-r)>°» ReX>0, Ren>0j. ИПII186 A0)

312 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2. J яг* (х - в)^ («• + РТ dx = tt^-
v; -JJ.)
0, 0<Ren<Re(A,-2v)J .
ИП II202 (9)
3.255 \ **Ь-4~1
BXA4JB)
3.256
БХ[8]B5)
(I—-)
3.257
3.258
1.
2.
3.
"^ 2
БХ[8]B6)
БХ [20] D)
ГХ[215]E)
ГХ[214]G)
ГХ[214]Fа)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГКБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 313
ГХ[214]E.)
5. \а; A/ага+а — ж) cte = -; j^-,
J V ' / (»-m-i)(n
J
Г хт dx
[о>0, 0<т<ге-2]. ГХ[214]F)
п-т\
J (a:+/^+^)" (л—»»—1)(
[а>0, 0<т<п — 2]. ГХ[214]E)
7. ^ ^^^^)"
а
[а>0, п>т + 2]. ГХ[215]F)
3.259
О к=0
2. ( а^-1 (и — xf~l (хт + fPf dx = Р^в^+^Чц, v) X
( а^-1 (и — x
дат т
(i+v + "»—1 . —ит\
[Re(x>0, Rev>0, аг? (т) I < ~?" ] • ИПII186 A1)
п \ 1 _| /< 1 Т»\. •> IЛ ¦ О _.D\ *i .1-^ 1 _. *|Т
[|arga|<n, |argp|<n, /> > 0, 0 < Re A. < 2Re (|x + v)]. ИШ312C5)
3.261
1 со
A—gcospa^ <fa _ ¦ст cosfef
~ 2
fe=0
[Re (x > 0, f ?= 2пп]. БХ [6] (9)
l
„ С (xv-j-x~v) dx я sin vt
J l-(-2a:cosf+a;'! sin f sin vn
С
J
[v2<l, «^B«+1)п]. БХ[6](8)
Г (г^Р+ж1"*) dx я (p sin t cos pt—cost sin pt)
¦ \ (ljZecost+x11J 2 sin» t sin pn
. БХ[6]A8)

314 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
\
l-|-2aa;cosi-|-aSii:2 A
я cosec t cosec ия ¦ f, » a sin *
!f V 1+eoost
(l+2aoosf+asJ
[o>0, 0<Re|i<l]. БХ[6]B1)
3.262 \ ^J^ = f cosec S^fiH [-2<j»<1]. Ли[18]C)
3-263
- 2yv cosec (vn) J [Re 0 > u, | arg у | < я, - 1 < Re v < 2J. ИШ1216 G)
3.264
=T ^P C0SGCJX tP<4
БХ[19]A4)
я, |argv|<n, 0<Re(i<4]. ИШ309A4)
С 1 rib-1
3.265 \^-гг dx = \p(ii) + C [Re(i>0]; ФН796, УВИ37, ВТФИ6A3)
Ф A - ц) + С - n ctg (ця) [Re ц > 0]. ВТФ116 A5) и
[|argp|<n, |Revl<l]. ИПИ216(8)
3.267
2я ч оу БХ[9]F)
з/з

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 315
3.268
1
1- S (т=5—-^ir)dx = lnP- EX[5]A4)
r 1
r 1 V
2, \ J_f_a^-1dr = H)(n + v)-H)('v) [Rev>0, Re(i>01. БХ[2]C)
1
0 ' ft=l
[Re(x>OJ. БХ[13]A0)
3.269
^S ^ БХ[4]A2)
2- J^^.*«fa-.-l_«.eoeec^L Ip«<l]. БХ[4](8)
-1, Rev>-1]. БХ[2](9)
3.271
CO
j Г xP—afl dx _ n SoP—cospn <&—cosgn *\
J ж—i i+e i+Д sin/.jt sin?Jt у
Ь2<1, j»<l, a>0]. БХ[19]B)
2- )?1^^т ^г{жB^1Г}
4]. БХ[19]C)
1^<1]. БХ118](9)
Р-«У<11. БХ[19]D)
БХ [16] C)
СО
г ^^zjiy ^_ 2 A - 2/w ctg 2рп) [^ < \ ] .

316 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.272
2.
3.273
sin t — anxn sin [(я+1) «Н-а"*1»* sin nt
БХ[81(8>
БХ[8](9)
ft=l
cost—акт—а"ж"cos [(.n
1 cosnf
БХ[61A4)
sin f—a:" sin [(n
n" sin nt, у sinfef
6=1
, Г 1—х cos t —ж"*1 cos [(n -\-1) t] -}- a"*8 cos «t , _
0
n
cosfet
ft=O
3.274
8 1"~*П " " "
[0 < Rep < re- 1].
БХ[20]A3)
2.
3.275
БХ[181F,
БХ[13](9)
«• JC-Sr-SS
БХ[5]A2)

3.1—3.2 СТЕПЕННЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ317
~=0. БХ[18]A7)
3.276
О
1. \
p+t гср+d
26с 2
БХ[20]A9)
2. j(+^)[(+)+r^^^
0|] БХ[20]E)
3.277
[Rep> —1, 0<Re(x<l —Rev]. ИШ310B5)
2
[Re Р > 0, 0 < Re (*"< 1 - Re v]. ИШ311 B8)
L+l (С08*)Т4гП2Р 1+
-—v 2 —r
X [n 2Q_|+i_v (cos ()Ty P_|±l_v («»s t) ] [Re ц > 0].
2 2
ИШ311B7)
[Rep>l, Rev<0, Re(x<l — RevJ. ИШ311B6)
5 Г ("-»)|t~1 (У
u
. ИПП202A0)

318 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
6 Г **' Kx-vT^ir+v-v^^T)*} dx_
= 2~"В( *~%+v , 1-2~V ) [Ren<l+Rev]. ИШ311 B9)
7 Г [uxf-1 uV7+2 + Yif*+(V7+2VJfV)
= 2 2
0]. ИПШ8ЬA2)
3-27S ^(^y^
3.3-3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
3.31 Показательная функция
со
3.310 t e'** dx<=~ [Re р > 01,
Р
U
3.311
во
I* sf<* fn •)
Ло III 284 и
2- \ 1А-7-* <fa==P(l*) [Re|*>0]. ВТФ120C), ИПИ44G)
y [g>p>0 ияв 0>р>д]
(сравни 3.2412.). БХ[281G)
fc=0
со
5- \-^zrdx==$(v) + C + abtg(nv) [Rev<l]
(сравни З.?б6). ВТФ116 A6)
СО
6- \ ' \Ie-J* <^ = ^Ы + С [Rev>0]. УВИ37, ВТФ116A4)
7- \?-izi^^-flte = *(v)-^(H) [Re(i>0, Rev>0]
(сравни 3.231 5.) БХ[27](8)

3 3—34 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 319
8- 5 S^ = nbi"~l ctg ^п) fb > °' ° < Ret* < Ч- ИШ 120 A4) н
9- ] Tqp?* = яЪ*~1 cosec G*») [| aig 61< я, 0 < Re ц < 1].
ИШ 120 A5) в
[r>s, r >p, r>q\. ГХ[311]A6)
™ «.* Г (la e ч /'" *ч л
12.
[c>о> 0, 6> 0, <d> 0]. ГХ[341]A6а)
3.312
1. \A-е P)v-'e-»«da;=pB(Pn)v) [Rep>0, Rev>0,
Ли [26] A3), ВТФИ1B4)
2. \ A — е-*)'1 A - е-»*) A — е-»*) е-*"* da; =
= -ф (р + а) 4- ф (р + р) — гр (р + а + Р) — ф (р)
[Rep>0, Rep>-Rea, Rep>-Rep, Rep >-Re (а + Р)]. ИШ 145A5)
3. \A- е~*)ч~1 A - Ре-*Г° е~*« dx = В (ц, v) „Fj (Q, ц,; ц + v; P)
[Re ц > 0, Re v > 0, | arg A - Р) | < я]. ВТФ1116 A5)
п—1
3.313 { ,Г~-^„ -яcosecixnU j^rr [0<Re»i<n]. ИП1120B0)
CO
—oo
3.314 ^ ^p/v^-^v =Yexp [p (^ц-
ИП1120B1)
Я 315
— ii)/,(v, p,, v + q, l-e^-P)
WU 121B2)

320 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2 i
3.316
3.317
2.
3.318
1.
2.
*-"*<**
я. |argY|<n, $фу, 0<Re(i<2]. ИШ120A8)
(сравни 3.235). БХ[28](8)
(сравни 3.233 2.). БХ[28]A0)
[Re ц > 0, Re v > 0] (сравни 3.219). БХ [28] (И)
[Re(i>0].
Г e-v* dx =
ИШ 145A8)
[в > 0, Re ц > 0, Re v > - 1]. ИП1145 A9)
3.32 — 3.34 Показательная функция от более сложных аргументов
3.321
fe==0
А. 6.700

3.3—3 4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 321
3. \ е-"'*8 dx = ^5- [g > 0]. ФII 624
3.322
[ReP>0, в>0]. ИПИ46B1)
НИ 27 A) в
3.323
1. \ ехр ( - qx - a:2) dx = -Ц^ У (— l)^* \,~Zb • БХ[29]D)
2. J ехр(-?^±рт)^ = ехр(^)^ [р>0]. БХ[28]A)
3. \ ехр (- p*z* - 2^ах2) & = 2 s | e2ft2 К,
[f ] ИШ147C4)в
3.324
[Rep>0, ReY>0].
ИШ 146 B5)
2. Jexp[-(*-4)fcJ^-4-r(i). БХ128К6)
— ОО
3.325 \ехр{-аа*-±>)ёх = ±У±а$[-гУ1л) [а > 0, 6>0].
ФII644
3.326 ^exp(-a:ii)rfa; = -i-P^-i-^) [Лец>0]. БХ[26]D)
Показательная функция от показательной функции
со
3.327 [ ехр (-ае"*) da; = i- Ei (- а). Ли [26] E)
о
21 Тя§лицы интегралов

322 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.328 \ exp(-e*)ei**«fcE=rOi) [Ren.>0]. НГ 145A4)
—CO
3.329
lo>0, 6>0, c>0]. БХ[27]A2)
.{.331
1, \ exp(-P^-fia;)dir = p-^(H., Р) [Иец>0]. ИШ147C6)
8
со
2. ^xp(-Pe«-fx;E)da; = PT(-|i, P) [ReP>0]. ИШ147C7)
3. Wl -г- e'*)v~' ехр (Ре"* - (лж) dx = В (|»„ v) р 2 е2
§ ^~ • 2~ (Р)
[Re ц > 0, Re v > О]. ИШ 147 C8)
4. С A - е-*L-1 ехр (- &е* - (xz) cte = Г (v) р 2 е 2 1
2-2
[ReР > О, Rev >'O]. ИШ 147C9)
ОО
3.332 ^ A - e'x)v~ * A - Ле-*)-° ехр <ре"я - у.х) dx ==
i, q, v; Я,, р)
[Re ц > 0, Re v > О, | arg A — А,) | < я]. ИШ 147 D0)
3.333
оо
SSS НШ 121B4)
°1- ИП112Ц25)
оо
3.334 J (e^-l^-'exp [ J^
v—l
p 2 ^v-2u-i v(P) [ReP>0, Ren>Rev-l].
2 
ИШ 147D1)

S.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 323
Показательная функция от гиперболической функции
оо
3.335 { (evx + e-vx cos vn)exp( - E sh x) dx = — я [Ev (P) + Nv (P)]
о
[Rep>0]. ВТФИ35C4)
3.336
со
1. \ exp ( — vx — P sh x) dx = я cosec vn [ Jv (P) — /v (P)]
$
||argP|<-r- H|argP|=-^- при Re v > U; v не равно целому числу].
В 341 B)
со
2. \ ехр (пх — р sh ж) dx = -^ [Sn (Р) — лЕп (р) — it7Vn ф)]
о
[ReP>0; n = 0, 1, 2, ...]. В342F)
ОО
[ReP>0; и = 0, 1, 2, ...]. ВТФП84D7)
3.337
со
В201G)
2. { ехр( —
— со
ВТФII21 B7)
оо ivn
3. ^ ехр(— vx— i$chx)dx= — ine 2#v(P) [ — n<argz<0].
— ОО
ВТФ II 21 C0)
Показательная функция от тригонометрических функций
и логарифма
3.338
п
1. \ {ехр г [(v— i)x — Psina;] — exp z[(v
[Rep>0]. втфиз6
n
2. [ exp f ± i (vx— p sin ж)] dx = я [Jv (P) ± iEv (P)]
о
[ReP>0]. ВТФИ35C2)
21*

324 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3. $«p[Y(*Pd**)]<fc = + 2
' [Rev>0]. В 619 D)
я
3.339 ^ ехр B cos х) dx = я/с B). БХ [277] B) в
3.341 \ ехр( — pbgx) dx = d(p) sin p — si(p)cos(p) [p > 0].
Г В
' БХ[271]B)в
( • 1 1 оо
3.342 [ exp(-pxhix)dx*=^x-**dx**% ^. БХ [29] A)
3.35 Показательная функция и рациональные функции
3.351
| и ' п
e ^2
[и > 0, Нец > 0]. ИП1134E)
ft=o ^
[в > 0, Rej» > 0]. ИП 1133D)
I
3. С ж"е-|« <ir = и! (Г" [Re fi > 0]. ИП I 133 C)
i ' 8
J ж"*1 ~l ' »! . ' u" ^ n(n—1) ... (n —A)
[p > 0]. НИ 21 C)
do
5. <j '~'^'te Eif-ц) Рец>0]'. . БХ[104]A0)
6.
С 'v"' ' [|arg p |< я]. ИП И 217 A2)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ325
2- Jf (ц?
«
[»>0, |arg(B + P)|<n, Reft>0]. ИП1134F), ЯЭ99
3. 5
[ —а<в, или —a>v, Re(i>0]. ИПН34G)
4 j^f "~в*'Ш(-||Р) [|argp|<n, Re|i>0].
ИП II 217A1)
[p > 0, а < и; при я > в следует Ei (ря — ри) в этой формуле заме-
заменить на Ш (ра - ри)]. ИП II251 C7)
6. \ е"У* = е-»" Ei (ац) [я > 0, Re ц > 0]. БХ [91] D)
7. J J^J- = ш™» [р > 0]. ИП II251 C8)
—оо
3.353
(,|)|(в + р) <)
[га>2, |arg(B + P)|<n, Rep. > 0]. ИП1134D0)
[re > 2, | arg p | < я, Re ц > 0]. ИП 1134 (9), БХ [92] B)
Ли [281] B8), Ли [281] B9)
4. (^J^dr—§._!. БХ[80]F)

326 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
0 ft=l
tl arg Р | < я, Re \i > 0], БХ [91] C) и, ИП1135 A1)
3.354
[Re P > 0, Re ц > 0]. БХ [91] G)
- ci (fti) cos Рц - si (рц) sia Рц
[ReP>0, Refx>0]. БХ[91](8)
CO
3.
[| arS (± P) I < "ч Re |i. > 0; при Р > 0 следует в этой формуле
заменить через Ё1(р»]. БХ[91]A4)
о
[| arg (± Р) | < я, Re ц > 0; при Р > 0 следует в этой формуле
заменить через Ei (Pfx)]. БХ [91] A5)
l^^^^-6"1" [fl>°l- ИШ 118A)»
—со
3.355
- РцIci (pji) cos рц + si (Рц) siti Pjj.]}. Ли [92] 6
_
2- J ф3^ = щ-г V - № [ci (PR) sin Pr - si (P|i) cos
•[ReP > 0, Refi > 0]. БХ [92] G)
3. 5 -?=?? = 4J3 H*P-1) eop Ei (- ap) + A + ар) е-* Ei {ар)]
и
[a>0, jo>O]. БХ[92](8)
GO
4. J g^- = -^ { - 2 + ар [е-" Ei (ар) - f» Ei ( _ v)]}. Ли [92] (9)

3.S—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
327
3.356
1.
x = ( — l)"-i а%п [ci (ар) cos ар + si (ap) sin ар] +
i 2 B» " 2* + !)! ( - «W4 \Р > 01- БХ [91] A2)
GO
2. \ , , 2 dx = (— 1)" а2"*1^ (ap) sin ap — si (ap) cos op] +
о
3.
4.
$ *?_~Г «te = у «sn [eap Ei (- ap) + e-°p Ei (ap)] -
П
~^S Bra —2ft+l)!(aapa)"-1 [p > 0]. БХ[91]A7)
) —eapEi(—ap)] —
*-' Ь>0]. БХ[91]A6)
3.357
о
2-
= ^ {ci (аи.) (sin ац + cos аи.) +
-j- si (ац) (sin аи. — cos ац) — e0*1 Ei (— <
>0, a>0]. БХ[92]A8)
(sin 4* -
е~^х их i
= Т t - ci
е~^ etc 1 . .
^С1
5-
are"*131 etc
а'-а'х+д»*-»'
[1\ец>0, о > 0]. БХ[92]A9)
, а > 0]. БХ[92]B0)
а > 0]. БХ [92] B1)
а>0]. БХ[92]B2)

328 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
6- \ а'^Н+а^х* = У *ci
0, а>0]. БХ[92]B3)
3.358
+ 2 ci (ap) sin op-2si (ap) cos ар} [р>0, о>0]. БХ(91]A8)
2- J
— 2ci(ap)cosap — 2si(op)sinap} \p > 0, а > 0]. БХ[91]A9)
— 2 ci (ар) sin ар+2 si (ар) cos а/>} [р > 0, а > 0]. БХ[91]B0)
+ 2 ci (ap) cos ар + 2 si (ap) sin ар} [р > 0, о > 0]. БХ[91]B1)
оо
5.
П
+ 2 ci (ap) sin ap — 2 si (op) cos ap] — —^ 2 Dи — 4*)' (a V)"-'
[p>0, o>0]. БХ.(91]B2)
CO
e. \ ^S' dx=\ ain~* feap Ei (- ep)+e"p Ei (v) -
n
— 2 ci (ap) cos ap — 2 si (ap) sm ap] ^ ^ Dл — 4k + 1)! (a*?*)"
[p > 0. а > 0]. dA [91] B3)
~
7- \ «JU ?*» = т «*"м К°рEi (ар) -еар Ei (—ар) —
п
— 2 ci (ар) sin ар -j- 2 si (ар) cos ар] ^ 2 Dп — 4й + 2)! (а4р*)*
[р>0, о>0]. БХ[91]B4)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 329
b>0, a>0]. БХ[91]B5)
во
3.359 I -g=j?- gj-^ - (- I)""» 2пре»Ьп^ Bр) при , > 0;
—с»
= 0 при р<0.
ИШ 118B)
3.36 — 3.37 Показательная функция и алгебраические функции
3.361
2. f-f^L ^=|/| [q>0]. БХ[98]A0)
3- \ ,f<-rz dx = e<yz- [q>0]. БХ[104]A6)
3.362
ОО ,
¦* [Refi>0].
•2. ^^^/^[(|Й)] [^, |g|
ИШ 135A8)
3.363
1 ] *x
[u > 0, Re ц > 0]. ИП1136 B3)
oo
2. [ "~v*dx =_jL_[i_ф(Ущ)] 1«>U, Re(i>OJ. ИШ13ЬBВ).
J x \x— и у».
и
3.364
2
ГХ[312]Gа)

330 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2. J ^±_ =я/0B). БХ[277]B)«
3. ^ - e J_"^_ = в2 Ko ^J [a >0, p > 0]. ГХ [312] (8a)
3.365 Ч
и.
xe~vxdx nu „
[и > 0, Re |л > 0]. ИП1136 B8)
oo
2. [ ж-1"** =ицг fat) [u>0, Ие(л>0]. ИШ136B9)
J у x2 — us
и '
3.366
2u
[Re[*>0]. ИШ136C1)
[Re ,i > 0, |atgp|<«t ИПИЗб(ЗО)
3. j
о
^-, Ren>0]. ИШ 136B7)
V
]. ИПИЗб(ЗЗ)
3-368
^, Re|x>0]. ИПИ36C2)
3.369
У(х+аK у а
[\ arg a | < я, Re ц > 0]. ИП1135 B0)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 331
3.371 J
]. ИШ135A7)
3.372 [ х"~ 2 B + xf~ г е**<& = B"~1)!! е"Кп {р)
[р>0, я = 0, 1, 2, ...]. ГХ[312](8)
3.373 ^ [(а; + "j/^ + P2)" + {х- V х* + Р2)п] е'1™dx =
[Refi>0]. В 305A)
3.374
[Re(ji>0]. ИШ 137C5)
«-"¦ dx « -1 [Д, (ti) + яЕ„ (|i) + nNn (|i)]
[Rep.>0]. ИШ 137C6)
3.38—3.39 Показательная функция и степенная функция
с произвольными показателями степени
3.381
U
[ i-vy{v, |хи)
[Re v > 0] ВТФ 1266 B2), ВТФН 133 A)
ft=O
GO
~ """** . A6.705
ft=0
GO
3. \ a;v-1e-'w«te= }i~vr (v, |хи)
U
[и > 0, Re ц > 01. ВТФ1256 B1), ВТФН 133 B)
CO
4. \ x*-le-i*dx —^-T(v) [Re ji > 0, Re v > 0]. ФН 779

332 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
5. С ^-1е-«и-*9)*сй:= Г (v) (рг
[р>0, Rev>0 или р=0, 0<Rev<l]. ВТФИ2C2)
оо V tt
6. \^-dx^u~^e"iW v (а) [ю>0]. УВП160
» х -5--Г-
3.382 ч
U
1. jj (и -хУ e-^dx = |i-v-ie-«M Y (v + 1, - вр.)
о
[Re v > — 1, и > 0]. ИШ 137 F)
2. \(
V
[и > 0, Re v > - 1, Re ц > 0]. ИШ 137 E), ИПИ 202 A1)
оо V |1
3. [(l + x^e-^dx^i^'e^W v A_v)(n)
0 ~2' 2
[Re[*>0]. УВИ160
4. ^ (х + р)*е-Д*<?е = fi-'-^T (v + 1, р|х)
о
[|argp|<n, Ren>0]. ИШ137D), ИПП233A0)
U
5. ^ (а + ж)м-1е-х dx - еа [у (р., а + к) - у (|х, а)]
[Re ц > 0]. ВТФН 139
6. [
[Rev>0, ReP>0]. ИЦ1118D)
СО
7. 5 ^
«= 0 при р < 0
[Rev>0, Rep>0]. ИШ 118C)
3.383
1. ^ л:*-1 (и - a:)I-»^ dx = В (p., v) ви+v-i^ (v; p. + v; p«)
[Re |x > 0, Re v > 0]. ИПЦ 187 A4)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 333
2.
[Ren>0]. ИШ1187A3)
[Re p > 0, Re рм > О]. ИГШ 202 A2)
4. \*^i(*-i
*=Р 2и 2 Г(и)ехр ( — Д^Л Wv-u l-n-v (Ви)
[Re jli > 0, RepB>0]. ИПП202A3)
[в > 0, /> > 0, а > 0]. БХ [92] C)
^,, v_i _i ее
6. $( + ?) 2 2()j 2,^УШ)
о
2 [|argp|<n, Rev>0, Reji>0]. ИШ139BО), ВТФИ119B)и
7.
Rev>0, Reji>0]. ИШ 139B1), ВТФНИ9A)н
8 С ж^-1 (ж + Р)-«е-^ «te = р~~2-|Г~~2—eT Г (v) tyt-v-Q v-0 (Pn)
о ~2~' 2
[|aigp|<n, ReH->0, Rev>01;
УВН143В, ИПН234A2), ВТФ1255B)в
[jargp|<n:, Ren>0, Rev>0].
ИПИ 233A1), ВТФП 19Aб)в,ВТФП82B2)и
Э. И-^—^ «te = «vr(v+l)r( —v,
ч
[а>0, Rev>-1, Re|x>0]. ИШ138(8)
1argp| < я, Reц > 0, Rev > 0]. ВТФИ 137C)

334 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.384
1
2й-И>-»В (ц, v) e*Vi G*; v + ц; - 2ip)
[Rev>0, Re(x>0]. ИШ119A3)
2. \ {х — aJw-* (о — x)Zv-iepx <& = В Bц, 2v) (о — в)»^-1 х
2
и>О, Ren>0, Rev>0]. ИШ139B3)
3 ]
и
х
u
[и>0, |arg(P + «)|<re, Re(i>0, Ree>0]. ИШ139B2)
4. \ (a: + P)v(a; —«)-ve-'M«te = —vncosec(vn) e 2 fc2v [ (P+")M' 1
2 [и>0, farg(B + p)|<Ji, ReH<>0, Rev<l]. ИШ139A7)
°° . i . i
5. ^ (x - и)'-1 (a; + в)"^е-<« cfcc = -^=- 2V~2 Г (v) Dl _2v B ^SJI)
[и > 0, Re |x > 0, Re v > 0]. ИП1139 A8)
OO ) j
6. Ws - «)v-1 (« + M)~V~2e-»« <& = -ir- 2V~zr (V) D_2v B
J V &
u r
[в > 0, Re h-X), Re v > 0]. ИП1139 A9)
7. \ ($ — ix)-»D — ix)-"
—CO
= 0 при р < 0
[ReP>0, ReyX), Re(n+l)>v]. ИШ 119A0)
8. [ (P
—оо
О--0Р / n\|i+V—1
¦= - —
< о
[Rep>0, Не7>0, Re(p. + v)>l]. ИШ 119A1)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 335
9.
) X
х ^v-м. i -v-м(Р;> + W) При ^ > 0;
2
v.I
>0, Re-v>0, Re (ji + v) > -i] . ИШ 119A2)
i
3.385 jjV
о
[Re А, > 0, Re v :> О, | arg A — р) | < я]. ИШ 139 B4)
3.386
-е«*руо д фо
[Revo> —I, RePft>0, 2 Revfc<l, arg w: =-|-sign ж, jt>>0*].
ft=0
ИП1118(8)
- (и)*» П
г. ^ о . -„ =о
П
[Revo>-1, Repft>0, 2 Revfe<l, argix-=-|signs:, p>o] .
fc=O
ИШ 119(9)
3.387
[Rev>0, largfj-K-^] • B190B)b
«
2. C(l_*«)v-|e*i«<fa! = V^C-jL<) 2T(v)/ ,0») [Rev>0].
_*1 ч н у v 2
B34 C) и, 160 D) и

336 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3. J^-irVi-d»--^(-5.) 'r(v)*v_,Qi)
^-, Rev>o], B190D)«
I
4. ^-y-^dx^iXg^y Sr(v)flf_y(ji)
г- у г *
[Im |x > 0, Re v > 0]; ВТФ II83 B8) в
1
[1тцг<0, Rev>0]. ВТФП83B9)и
5. ^'^^
2 2
[и > 0, Re v > 0]. ИПII188 B0) и
6. С (x*-ur-1 ^(f) М
[и>0, Re|t>0, Rev>0]. ИПП2ОЗA7)к
7. ^ (*¦ + B»)»-V"- ^ = V ( T") 2 Г
v_ (
t 2
argB|<ji, Re(ji>0]. ИП 1138A0)
3.388
1.
[a>Q, Rev>0]. ИП 1138A4)
2. J
[|argP|<n; Rev>0, Re(*>0]. ИП 1138A3)
- f
3. \ (x*+ix)y-le~»*dx= -l^*e* Y(y)H™ t (V)
[Re (л > 0, Re v > 0]. ИП1138 A5)
_ _ ifi
4. ? »i?«l
[Reji>0, Rev>0]. ИП 1138A6)

3.3—8.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 337
3.389
1. \x2v-i{u2-x2)Q~ie
=s _ R (v n\ „2v+2o—2 p fy,. _ v i o. !
[Ree>0, Rev>0]. ИП II188 B1)
2. s
| arg и |< -|-, Re |x > 0, Re v > 0 ] . ИП II 234 A5) и
3. J,(B«-*»)
I(M-B)] [Rev>0]. ИП II188 A9) в
2
1 _ i
4. {^tf^e-vdx'l 2(У1О'УЛ1 »
[Re (вр.) > 0]. ИПII203 A6) в
—OO
[|v|<l, Rep>0, arg й = -|-sign x ]. ИШ 118E)
6. j^
xr(l-v,
[ReP>0, Re|ji>0, Rev>-1]. ИПИ218B2)
7. j ^^^ = я cosec (vn) Fv B|i, 0) LR« I* > 0, Re v > 0].
о
ИП1138(9)
8- i^^^
[Re v > -1, p > 0, Rep > 0, Re у > 0]. ИШ 118 F)
[/j>0, ReP>0, Rev>0, P^y, Rev>-1]. ИШ 118G)
22 Таблицы интегралов

338 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.391 ? [(Уа;+2р
= 2v+i^^e^Kv{^) [|argP|<n, Re|x>0]
ИП 1140 C0)
3.392
oo
1. J {x + V^f^2)ve-^dx= -i-Ji %{|i)+-J-5o.v(l») [Refx>0].
ИП1140B5)
oo i
2. J (/!+?"-*)*«-i«dr=»-J. *i.v(|*)--J-5b v(|i) [ReiiXfl.
о
ИШ 140 B6)
[Re (г > 0]. ИШ 140 B7), ВТФИ 35 C3)
; "- e-1
4. \ v r -Tl =^- e-"* oto = S0| v (a) - v5_t v (u) [Reii>01.
ИШ 140B8)
3.393 " '~ ' 'A ~2 /ft2>l2v
[Rep>0, Re|x>0]. ИШ 140C3)
3.394 Г
о
[Ren>0, Rev>0]. ИЛ I 140C2)
3.395
ИШ140B9)

S.S—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 339i
= - я [Ev (|i) + Л\, (И-)] [Re ft > 0]. ВТФП 35 C4)
3.41 — 3.44 Рациональные функции от степенной и показательной функций
3.411
[Reix>0, Rev> 1]. ФП 792
2. J^f-.t-l)-^)-^. ф11721а
(v)t(v) [Rejx>0, Rev>0].
ФН 792 и, УВИ 46.
.)"'1%1.. БХ[831B), ВТФ13ЭB5>
№2
J tS^ = ^- BX[104]E>
[Re fi > 0 и: либо | P | < 1, f> Ф 1, Re v > 0; либо P = 1, Re v > 1J.
ВТФ1 27 C>
[Rep,>0, «ev> 1].
ИШ 144A0)
8. ^~~^dx = {n-i)l % (J+Qn [p>-l; «=1, 2, ...].
0 k~=i
БХ[83](9>
CO
9. 'C ^"^^J^. —1 (сравни 4.231 2.). БХ[82]A>
10. С 7-Л-1Г"= *"" "Й" («Равни 4.251 6.). БХ [82] B>
ih [ ДТ^ <fa: = ^— Т (сравни 4.25i 5.)- БХ[82]C>
22*

340
4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2л—1
12.
13.
= —§-+ 2 (~Д}
i+ex
4.251 6.) БХ[82]E)
4.251 5.). БХ[82]D)
14. С *^." <?г=2 2
15.
16.
(~У*
(сравни 4.261 12.). БХ [82] (9)
(сравни 4.261 П.). Ли[82]A0)
= 513 cos3 ця B-sin2 (ш)
[О < Re ц < 1].
П—1
^-Ш-6!! -у (сравнв 4.262 5.).
(сравни 4.262 4.).
19.
20.
21-
22.
23.
ИШ 120 A7) и
БХ[82]A2)
Ли[82]A3)
Ли89A0)
1); «о=1]- Ли[89]A5)
= (n- 1)! 2 ^Г (сравни 4.272 11.). Ли [83] (8)
БХ[83]E)
*=о
... (л + А-1); по=1].
[| arg р |< я, 0 < Re ц < 1]. БХ [101] E), ИШ 120 A6) и
C0SeC*v)a [Rev>Re|*>0]
(сравни 4.254 2.). Ли [101] C)
25. \ х \+^ dx = ~-i (сравни 4.231 3.)- 6XJ82]F)

3.3-^3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
341
ос
26-
27.
28.
1-е
2яа
Т/я
• — = In
[Re(x>0, Rev>0].
on
29
dx
\r\>\p\, H>\q\, rp>0, rq>0]
(сравни 4.267 18.>.
30.
Ли [82] G) и
БХ[93]D)
БХ [93] F)
БХ[103]C)
(сравни 4.267 19.).
31
32.
3.412 \ {—|:
0
dx
—
3.413
1 П1
[Ren>0, Ren >-Rep, Re|x>-Rev,
(сравни 4.267 25.).
БХ[103]D)
БХ[82](8)
БХ [93] G)
БХ[96]G)
> -Re(P + y)]
БХ[93]A3)

342 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
dx=
- «„ f 9(?+2)(9+4)...(?+2в) (^+1)(^+3)...О»+2в-1П
~ IP (p + 2)(p+i)</+2n) (9+1) (9+3)fo+2n-l) J
f
(9+1) (9+3).. .
[Re p > - 2re, Re ? > - 2re] (сравни 4.267 14.). БХ [93] A1)
f (t-e-<h(l
J
"*4M J 1е-* x
Г (ц) Г
3.417
(сравни 4.267 31.). БХ[93]A4), ИДИ45A7)
3.415
[Re p > 0, Re ц > 0]. БХ [97] B0), ВТФ118 B7)
Г xdx - \ L.-L^j rev
БХ[97]B2), ВТФ122A2)
3.416
f )"-A-И» ^ l 2—1
—1 2 2n+l '
^ БХ[87И1)
-УВи- ВХ[871B,
(сравни 4.231 6.). БХ[101]A)
2- 1 ^It^r- =? (сравни 4.231 8.). Лй[101]B)

3 3—3 4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
343
3.418
1.
2.
3.
3.419
1.
2.
xdx
= 1,1719536194...
f eXxf*.'^_i = 0,3118211319 ...
о
1п2
xdx л
(In В)*
(сравни 4.232 3.)-
] in В
4.
5.
6.
7.
x'dx
2+Aп8J
5
15(8+1)
3.421
Ли 188] A)
Ли [88] B)
БХ[104]G)
(сравни 4.232 2.). БХ [101] A6)
БХ[101]A7)
(сравни 4.261 4.). БХ[102]F)
(сравни 4.262 3.). БХ[102](9)
(сравни 4.263 1.). БХ[102](Ю)
(сравни 4.264 3). БХ[102]G)
(сравни 4.257 4.). БХ[102]G)
1=4
{{т-1)q + (п-к) v + jx} In [(m- /)е + (и- A) v + fij
[Re v > 0, Re ц > 0, Re q > 0]. БХ [89] A7)

344 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
со „
2. A —<?-«)" A _в-с)в-«-±± = _2(— 1)* (e + *v+ 1JX
о *=о
Х1п(е + ^+1) + 4-^ (-1)*-1 Г ? ^) (A:v + IJ In (A;v + 1)
fRe|i>0, Rev>0, ReQ>0]. БХ[89]C1)
3 F xe-^dx лСр" inp—У~'iny) яМР1*— У~')сазця
—DO
[|a«"gPI<«. |argY|<n, $Фу, 0 <Re ц < 2]. ИШ 120A9)
4. \ (e"** — e""*) (e"ra — e sx) e'x — = In \
pJ (сравни 4.267 24.)- БХ[89]A1)
~ъ —\у T Я + 1) In (p + q -
lln(p + r-f !) + (? + '•+ l)ln(g + c+ 1) — (p+ l)ln(p+ 1) —
[p > 0, g > 0, r > 0] (сравни 4.268 3.). БХ [89J A4)
ОС
3.422 J (р-^У1ГА = 75^T cosec2f1" «ea" + ») Ь |i - 2яctg ця(«ч. - 1)]
—oo
[а > 0, I arg p I < л, I Re ц I < 1] (сравни 4.257 5.). БХ [102] (8)н
3.423
oo
J^ -l)-t(v)] [Rev>2].
ИШ313A0)
[Нец>-2, Rev>2]. ИШ 313A1)
BX[85]A3)
OD
f Cf??<te~r<vHi/Y(P; v-l; ц-1)-(|1-1)Л(Р;*;|1-1)]
[Rev>0, Ren>0, |arg(l -P)| < я]. ИШ313A2)
3.).
BX[101]A0)
= Jlnp IIarsPl<«J (сРавни 4-231 3.).

3.3—S.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 345
3.424
оо
Y^^e-^xndx = n\Un, а). БХ[85]A5)
БХ[85]A4)
о *~ ft=i
во
П _в _-Г I 1.9! _-•*" __*
3
4
5- \^9±-V«b = !^-2. БХ[85]G)
3.425
\ ??+bZ*rxtdx=^T И>0]. БХ|102]A)
[а6>0, п>0] (сравни 4.231 5.)
BX[1O1JA3), Ли [101] A3)
2 ' 2 J
БХ[102]E)
3.426
* -gf ^r'rfa; _ (In а)*
J
—oo
2 ^й^Я^-^Г^- BX[1OZ1(I3)
—oo
3.427
(сравни 4.281 4.). УВ II20
2. \ Г_±__А^-^Х=С (сравни 4.281 I.J. БХ[94]A)

346 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4- $D-Т + ^)^^=1пГ(^)-(^-1Iй^--11
UJ. УВН23
5- ](те&-^ТтУ^--ТЫп- БХ[941F)
О
6. ^ ({-Г^-И')-—^^ - In Г (Ц) - In sin (яц)-• 1пя
о
l]. ВТФ121F)
*_е у _ -L-— J rfa; ^ In ц - <ф (v) (сравни 4.281 5.). БХ[94]C)
О
оо
8. f Г-^- е~Т,л,) е'ж rfx = «t («^ + я) — n In я [Re ц > 0]. БХ [94] D)
9- i (l* - f[1!7Г ) '-Тdx== 1а Г«х+ f) IRe|* > — 1]. УВИ24
ю.
(сравни 4.267 33.). БХ[94](8)
ОО
ii. {[{l-ex)'l + x'l-i]e-xzdx=^(z)-luz [Rez>0]. ВТФ1 18B4)
3.428
[Re|*>0, Rev>0]. БХ[94]A8)
-.«**_
"^"~
^A) 0]. БХ[94]A4)
i(
и 1-е" °
[Ren>0]. БХ94A3)
о
[Rej*>0, Rev>0]. ЛиГ94]A5)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 347
[Ren>0]. БХ[94]A6)
= -&=± In Bя) + D— jxv) In ц
[Re ji > 0, Re v > 0] (сравни 4.267 37.)- БХ [94] A7)
[Ren>0, Rev>0] (сравни 4.267 35.). БХ[94]A2)
3.429 ? [e - A + хГ1*] -^- = t ((a) [Re Ц > 0]. ВТФ1 17 B0), НГ 184 G)
3.431 »
[Reji>0, _2>Rev>-3]. Ли[90]E)
[Rey»>0]. ИШ 144F)
3.432
[—*-(.-- !)•*« Г (v) | (- 1)"
[Rev>0]. Ли [90] A0)
OO
2. J t*^«e- - *-•»(i - О*"'] <te = Г (v) —
lReji>0, Rev>0]. Ли [81] A4)
oo n
3.433 СаЕ*->Ге-*+2(-1)ь^уГ]«/х=Г(/») 1_«<р<_я+1].
в й=1
ФН 805
3.434
\ *~**^Г" ^^ - g) [Ren>0, Rev>0, Ree<l].
БХ[90]F)

348 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
оо
2. \e~^~e~VX rfs-In-^ [Re|i>0, Rev>0]. ФН634
3.435
x_e 2}^.= 1_1ц2. Ли[89]A9)
ИПИ217A8)
oo
3. f ('_l__e-*')if. = c'. ФИ795, Ф11802
OO
4. Cfe-i«_ * ^«lnJL-С [e>0, Re^>0]. БХ[92]A0)
( ( р прх о -пах о -трх Р -max. \ йТ
3.436 J {е д - ? те } ?=(*-*Iп Т
БХ[89]B8)
3.437 \{ре-*-Х-=^)^ = р\пр-р {р>0>\. БХ[89]B4)
о
3.438
БХ [89] C3)
СО
3. ^ fe-* -е~№-- е-**') — = 1 - In 2. БХ[89] B5)
g V х / х
[p>0]. БХ[89]B2)
3.439 J {o»-?)^" + JL(e-««_e-««)} -|^-
^ ) [jt>>0, g>0, r>0].
Ли [89] B6), Ли [89] B7)

3.3—8.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУЙКПИЯ
349
3.441
3.442
оо
\{{Р- г) е** + (г - q) e'^ + (q-p) e"«} -J- = (г - q) p In p +
+ (Р — г) q In q + (q — p) r In r
БХ[89]A8)
+ (Р — г) q In q + (q — p) r In r
[p> 0, q>0, r>0] (сравни 4.268 6.).
3.
3.443
1.
БХ [89] B3)
БХ[92]A6)
БХ[92]A1)
1. БХ [89] C2)
А=2
[п > 2, ? > 0, />n+ q > 0] (сравни 4.268 4.). БХ [89] C0)
3.
[q>Q,2p>-q] (сравни 4.268 2.). БХ[89]A3)
3.45 Алгебраические функции от показательной функции а степенная
функция
3.451
ОО
1. ^хе-*У 1-е"* &: = ¦!(!—In 2). БХ[99]A)
2. \ хе-х 1/1-е~етda; = ^ (^у-f In2) (сравни 4.241 9.). БХ[99]B)
о
= 2яIn 2. ФН643и, БХ[99] D)
БХ[99]E)
БХ[99]F)
3.452
i.

350 3—4/ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
4. Л Y^i =1~"ln2- БХ[99](8)
о
5. Г xe'ix^ =ln(ln2-~") . БХ[99]G)
3.453
оо
*• Lv-S-w^-r^^O + T) . И>О1(СР*«™4.298 18.).
о
БХ[99]A6)
2. \ **""* л = -^arctg- [aft>0] (сравни 4.298 19.).
0
БХ [991A7)
3.454
Ли [99] A0)
2п—1
(— i)k^ Ли [99] (9)
о *=»
3.455 >
!• Ьл=^ = 8я1п2- БХ[99]A1)
2. J -;=== = 24Я[(Iu2)* + ^J. БХ[99]A2)
3.456
Г ^ 3 + dhl' BX (991 A3)
l
= =
-i 3/3
2. \ у ж<гж =-^Г1пЗ ^=1 (сравни 4.244 3.). BX[99]A4i
3.457
1. | хе-* A - g-*6)"" »<fa = B4*-„У'' я (С + -ф (я 4-1) + 2 In 2]
(сравни 4.241 5\). БХ[99]C)
ОО -7
[ xeXdx 3 = 1 5-[lnDa)-3C-2^Bn)-t(«)].
J "+5 "+2
БХ[101]A2)
Kdl -lD/|i «\.
¦—=-2^-BU' т;1па
[а > 0, Rep, > 0]. БХ [101] A4)

3 3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 351
3.458
In 2 cxj
1. j x? (в* - iyi dx = ¦!¦ [ In 2 + 2 p+T+i ] ¦ BX[104]D)
ft=0
v-1
[v-целое]. N BX[101](ll)
3.46—3.48 Показательная функция от более сложных аргументов
о степенная функция
3.461
^ ¦ — p? =|^ г— \p ^> \Jl. ЦП iil |
ft==O
Jl
2. Л-^ж = !^-^1/^ [р>0]. Ф11743
3. Xx^e-r^dx^^jr lP>0]. BX[81]G)
u
ft=0
BX[100]A2)
oo
5. f {-|в? _ = g—n2«2 ul/jtfl Ф(миI
tl
[|argf*l<-f-' и>°1 • ИП1 135A9)B
3.462
tReP>0, Rev>0]. ^ ВТФИ 119C)в, ИШ313A3)
2. \x*e-^+^dx^^rnl/^^l{v*) [p>Ok BX[100](8)
A)
Ли 1100] (8)

352 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
О- \ 'i^) ^ CMC == Cl у Jt Р вХр I —— для J *"^V \ ^ ^Д }
0 V ®P / vp J/ ?,y
—QO
[ReP>0, Rev>-1, argia; = % signs] . ИШ 121 B3)
CO
4. \ жпвхр[-(а: — f>y]dx = {2iynyHHn{iz). ВТФП195C1)
5. Y
[|argv|<|, Ren>0] . ИШ146C1)м
OO
6. J xe-v*+z«*dx = ±y/"*_exv(^ [Rep>0]. БХ[100]G)
7.
|argv|<-|, Ren>0] . ИПМ46C2)
V*
[| arg v |< jx, Re (i > 0]. BX f 100] (8) и
OO
3.463 J (r"-r')^ = {c. BX[89]E)
о
3.464
г *-
[Repi>0. Rev>ni. ФИ645
oo
3.465 J A + 2Рж*) е-»"* da; = tt? j/ iL [Re ц > 0]. ИШ 135 C^4) и
3.466
1.
i>0, |ai^n|<-5.J. НИ 19A3)
о
[Rep>0, jargnK^-J . ИПИ217A6)

3.3—3.4 ДОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ353
3. \^ldt^w^=-. ФИ683
со
3.467 J (V ** - 4-^) ^ = - { С. БХ [92] A2)
3.468
^ I C__^-=^rtl-«P(HI> F»>0]. НИЗЗA7)
[Re(i>0, а>0]. НИ 19A1)
3.469
0]. ИШ146B3)
2. j(,--r«)i = {G. • БХ[89]G)
О
оо
3. 5(е-*1-в-*8)^- = |а БХ[89]F)
3.471
J(|M f({) ИШН88B2)
_
2. У^-ЧажУ е
У^-Ча
С|Л 0, Rep>0,
2 * 2
ИПП 187A8)
А
ехр ( - -J-)
0, а>0]. ИШ1187A6)
и
4. J
О '2
[в > 0, Re р > 0, Re ц > О]. ИШ1187 A7)
Таблицы интегралов

354 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
а
5. [ »1Т
и
= B(l-n-v,|
[0<Ren,<Re(l-v), в>0]. ИПП203A5)
СО ft ___ ,
6. [x-ZHx-af-te^dx^V-^TiuDexp^y^t (JL)
> О, a>OJ. ИПП 202A4)
СО а
7. f a;v-' (x + YV'-'e" da; =
^l^=l+u A.
= P2Y2 rd-l*-v)«*vWs_1+|4_v.
[| arg y | < я, Re A - [i) > Re v > OJ. ИГТН 234 A3) и
u
8.
[ReP>0, и>0, Ren,>0]. ИПИ 188 B3) в
OO ft V^
9. J*»-»e"-"'yxdr = 2(-tJJi:,BV^v) [Rep>0, Rev>OJ.
ВТФП 82 B3) в, ИШ 146 B9)
10. 5 i-t exp [ if- (ж - ?) ] dx = 2pV2#_v (p^)
[Imfi>0, Im(paf*)>0]. ВТФП82B4)
OO IVfl
11. J *•-> exp [-x (* + v) ] rfa: = lrtPVe~ ~ГяН' CPl»>
[Imfi>0, Im(pV)>0]- ВТФИ21C3)
CO
12. ^ (^^
[|argfx|<-|, Re^a>0]. B203A5)
[|argY|<Jt, Rep>0, Rev<l]. ИШ1218A9)
«te = t(v) [Rev>0]. БХ[80]G)

3.3—S. 4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 35S
3.472
со
и
[Re ц > 0, Re а > 0]. ИШ 146 (Щ
СО
[Re ц > 0, Re a > 0]. ИШ 146 B6)
СО
3.
[Re ц > 0, а > 0]. ИГЛ 146 B8) и
_ 1
4. \
к
[а>0]. БХ[98]A4)
3.473 \exp(-;c")a:v ^"' <*с =1 ?ГД" У * - БХ[98]F)
If
3.474
1 п
^ f fwexp(l— я-") »»Р I & _ 1 у
J \ 1—rrn 1 — х) х Л -4J
А: — 1
[/> > 0]. БХ [80] (8)
ехр
2. f |" "j^-** - "" С^ - )} ^ = _ ln „. БХ[80|(9)
3.475
СО
1. \ |exp(-a:2")- t | 'an^}^= -^-C. БХ[92]A4)
L^=_2-»O. БХ[92]A3)
3. Wexp (- a2") - е-} -f- = A - 2"") С. БХ [89] (8)
3.476
1. \ [ехр( — vxp) — exp( — p,xp)]^- = _ in-t
[Re(i>0, Rev>0]. БХ[89]C)

356 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
[p>Q,q>0]. EX [89] (9)
3.477
-ехр(-а|в|)Ш(а|в|)] [а>0]. ИИ II251 C5)
-ехр(-а|а|)Е1(а|в|)] [а > 0]. ИПИ251C6)
3.478
[Ren>0, Rev>0]. БХ[81](8)и, ИП 1313A5 в 16)
[Re ц, > 0 и — p < Re v < 0 при р>0, 0<Rev< — р при р < 0].
ИП 1313^18 и 19)
3. t as»-»(и — ж)»»-» ехр (рж") da; = В (ц, v) b'*+v- * X
•'» V n ' n ' ¦¦¦' n ' ¦ n ' n ' ¦•¦' n • pa )
[Re|i>0, Rev>0, n==2, 3, ...]. ИП11187A5)
4. J a!»-» exp (- fta* - Y
о
[Re p > 0, Re y > 0]. ИП1313 A7)
3.479
[Rep>0, Rev>0]. ИП 1313A4)

3.3—3.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ357
0, Rev>0]. ВТФП83C0)
3.481
x) [Ren>0]. БХ[100]A3)
2. J *е»вхр(-|И*)*: = _ ± [С + Щ Dц)] |/|
0]. БХ[100]A4)
3.482
ехр(лх-рshж)flfe = |[5Il(P)-яЕп(р)
[Rep>0]. ИШ 168A1)
ОО «
2. texp(-«x-psha:)Cte = (-l)"+1yl5n(P) + HEIl(P) + 3t^n(P)]
[Rep>0]. ИШ 168A2)
3. 5 ^
[ReP>0]. ИП 1168D3)
? , » v, , f -2expf
3 483 ^ esp (у Arshstaa) I 4
_i ^+-2 \-2«р(
[ |Rev| < 1]. ИЩ 122C2)
, » v, , f -2expf -^}ку(а) при а>0,
, q>0]. * БХ[89]C4)
я
2
3.485 [
11 ОО
3.486 [ x'xdx= [ е-х lnxdx— 2 А"*- ФII 483

358 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3.51 Гиперболические функции
3.511
sh ax
sh Ьх
ch ах
л . ал
л an
8ес
7.
8.
9.
10.
sd ах сп ох ,
bh ex ™""
ch ax ch bx ,
ch« UX
sh «ж sh bx ^^
ch еж v™/
Я
2c
Я
с
я
с
с
ая . Ьп
cos h cos —
с с
ая 6л
ал; , ^я
CQS U COS
с с
ил Ьп
sin 2b"sm17
оя 6я
COS t-COS
е ' с
Г ""- ¦" dx = 1 -
J sh2*
—оо
со
С sh аэ; sh бес
ал ал
SeC
3.512
1.
2.
[Ъ>\а\].
В I V + -?> , V — —
[Re (v ± P) > 0, a > 0].
dx = ~
БХ[27]A0)м
ГХ[351](ЗЬ)
БХ[4]A4)в
BX[27]A1)
БХ [27] E) a
БХ[27]F)«
БХ[98]B5)
БХ[16]C)«
ВХ[27]A6)и
Ли [27] A7) и, ВТФ1 It B6)
БТФ 11 B3)

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
359
3.513
]. rx[35i](8)
dx
+ ftchx
dx
2^arctg^l [Ь*>а*Ъ
[а2>Ьа]. ГХ[351](9)
8; е = 0 при F_а)(а + Ы-с)>0,
|е| = 1 при (Ь — а) (а + Ь + с) < 0, притом е=1 при а
и в = —-1 при а > 6 + c]j
_ 1 , a + b+c+
V2*2+a
3.514
=fcosec? ГО<*<я].
„ f c
4.
ch ai dx я (—cos t sin at-\-a sin t cos of)
(chaT+xosTM sin3 < sin ая
sh аж sh 6х , 6я . йя . te
-т-г i rrr ax — —¦5- cosec f cosec — sin —
ГХ[351]F)
БХ[27]B2)«
БХ [6] B0) в
БХ[6]A8)в
|, 0<t<n]. БХ[27]B7)и

360 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
—<ю
3.515 \ fl-i^l^N)ute=-ln2. БХ[21]A2)и
J V у сЬ2х У
3.516
ео со
dx i С" dx
0
_
-1].
При надлежащем выборе однозначной ветви подынтегральной функции
эта формула справедлива для любых значений z в разрезанной от — 1
до +1 плоскости z, если только (х < 0; если же ц > 0, то эта формула
перестает быть верной для точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
КГ 425, У ВЦ 113
СО
2. С „ _,„/*, , .... =<?_(Р) ВТФН181C2)
о
[Re(v±Y)>-l, vqb-1, -2, -3, ...]. ВТФТ157A2)
4- f
[Re(v-2(i + l)>0, Re(v+l)>0]. • ВТФ1155B)
3.517
1. V j — у •) (P
[Re(v-Y)>0, Re(v + Y+1)> 0]. ВТФ1156A1)
(cha — сЬж) 2
[ Rev<|-, a>0] . ВТФИ56(8)
3.518
о
[Re(v+l)>0, Re(v-2n+l)>0, a > 0]. ВТФ1155C)в

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 361
- 2ц) Г 0* +1) /T
[Re( — р, — v) > Re (A > — 1, fj$ не лежит на луче ( —1, + со)
действительной оси]. ВТФ1155A)
0, a > 0].
ВТФ111 B2)
[Re2e>Re|*; Re (l + т) > Re (т) ] • ВТФ1115A1)
с F* sh^ z(ch a —I)" dx
), Re Dq + 2v + ц) > 0]. ВТФИ15A0)
л
[2Re(l + Q)>Rev, 2Re(l + e) >Re((i + v)]. ВТФ1115(9)
&<Ъ БХ1274К13)
3.52—3.53 Гиперболические функции и алгебраические функции
3.521
? [а>0]- ГХ[352]BЬ)
2. J ^ = 2«?=я1п2-4L(^) = 1,831931188...
ЛоШ 225 A03а), ВХ[841 A)в
-2SEif-B&+l)a]. Ли[104]A4)
А=0

362 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ От'эЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
( fe=O
3.522
0
2- \ m. iTh» =!>x--fiF+l) [6>0]. БХ[97]A6), ГХ[352](8)
0
3. \ (bi+a;»)Ch« "=t2j 2аЬ+B*-1)я [а>0, *>0]. БХ[97]E)
О А=1
4l ^ (ь»+%еьях =Т Р F + т) [6>°]' БХ[97]D)
и
со
5- S A+»«)зЬя« =ln2--i. БХ[97]G)
(
CO
6. С ¦ ^ =2-^. БХ[97]A)
со
7. \ XJ± =4~1- БХ[97](8)
8- \ ^-^7- = ln2- БХ[971B)
0 \i-rx-)vu-?
GO
9. f ffE = * гя + 2 In A/2+1)] —2. БХ[97](9)
10. V — = -i= [я-2111A/2+1)]. БХ[97]C)
3.523
1. \^ сгж= '7'й Г (Р) ? (P) [ReP>l. а>0]. УВП46 и
2. I x-—dx= l ~1 ( - ) |5„п| [о>0]. УВ1 169 и, ГХ [3521 Ba)
3.
о
ft=0
ВТФ135, ИШ 322A)

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
363
4
5-
6.
? (сравни 4.261 6.).
^ = ^г (сравни 4.262 1. и 2.).
]. БХ [84] A2) а, ГХ [352] Aа)
БХ[84]C)
БХ [84] E)
БХ[84]G)
БХ[84](8)
БХ [84] (9)
БХ[84]A0)
"¦
3.524
'¦
[Re?>|ReP|.
ф J shbxxP
f 1
\ |6Bft-f 1) — о]1"»
|e|, P<1J.
[ReY>|Rep|,
БХ[98И25)В
ИШ323A0)
БХ[112]B0)*
БХ[Ш]B)«
ИШ 323 A2)

364 Л—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
^Ц Ж^^ П- БХ[112]A7)
chirr жР"
ft=0
[b>\a\,P<l].
8- J* лШ^^-гьШ^^Ж lb>\aU- БХ [112] A9) в
9. Ji^ictli««tc = ^^-1(^.)~|Be| [a>0]. BX[83]A1)
\]- БХ[84]A8)
1
о
[6>|а|]. БХ[82]A7)в
f. sli ax
БХ[84]A5)а
йля\
_со8V;
|]. БХ[82]A4)и
|a|J. БХ[82]A8)и
X E040-4200cos2-g- + 546cos*-|?-cos»^ [6>|a|].
БХ[82]B2)и
[6>|U|1' BX[84]A6).

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 365
18.
J SO OX \ 6D 4D S \ ¦ ZO /
[6>|а|]. БХ[821A5)«
оо
19. \ х5 -r-j— dx = 8 ( -~т- sec -»r- ) Г 15 —15 cos2 —5- -\- 2 cos4 -;— j
[&>[a|]. BX[82]A9)w
ZU. \ X '— (tX== ID I o.' S6C n, 1 X
х C15-420cosa-^+ 126cos*^-4cos»-
[b>\a\]. БХ [82] B3) v
21.
22,
0
|o|]. БХ[82]A6)и
23. $*6Щ;<
^ °
24- ^¦T-b»tg(S + -n ^>|aH- BX[B5]C)B
+ 182 cos4 -g— cos6 —^ [Ь>|а|]. БХ[821B0>н
3.525
. f* sh яа; dx a , 1 . л re\ , * 41
!• h^'7T3=-Tcose+Islnalll[2(l+eosa)]
БХ[97]A0)и
1+sina
|а|]. БХ[97]A1)и
л i Choi iili 1 . . .. , 1 , ro,. v1
3> \ TTT^Tl^=T(asiIla"~1) + Tcosalllf2A+C()sa)l
[я > | а | ]. БХ[97]A2)о

3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
0
, (* cliarr х dx л . 1. . l+sina
I я 1-|-ж2 2 2
[] БХ[97]A3)и
- (* sh аз; х dx А . а , я . , а + Я
5- J^^T+^==-2slnT+Tsma-cosaln^^b
[я>|в|]. ГХ[352]A2)
с Р chax dx „ а я , . а4-я
О. \ —г т~1—5 = ^ cos "^ о" cos а — sm a In tg T -
J сЬяж 14-г2 2 2 6 4
О
[я > | а | ]- ГХ[352]A1)
БХ[97]A8)
оо
п^Г 1аП- ВХ[97]A9)
3.526
dr __ 1 . f (а + 64-е)я (&+е-а)я)
chca a 2 I45 4c 8 4c J
БХ[931A0)в
5TTT BX[95]F).
UK у С1-"?")]} [ReY>|Rep|, Re|»>0].
ИП1323<11)
3.527
-1) [Re a > 0, Re (i > 2]. БХ [86] G) и
[a>0]. БХ[86]E)в
Ъ
CO
3, \ dx = — A 2 ) Г (u) ? fu 1Л
[Re a > 0, Re ц > 0]. БХ [86] F) и

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
367
4.
5.
6.
xdx In 2
ch2 ax aa
(-1)"
, o>0].
7 \ xshax dr л
9.
10.
11.
2 ax a2
Bm + 1)! g Bm + 1).
1 \
Я2
; з '
.„ P . ch as . я»
J sh2 ax Aa3
14.
о shax , In 2
z-га— az = -5-?
cha ox 2aa
3.528
2
2
Ло III 396
БХ[86]B)а
БХ[86]A5)а
БХ [86] (8) и
БХ [86] A2) а
БХ[86]A3)и
[a>0]. БХ[86]A4)а
¦ 0]. . Ли [86] (9)
БХ[102]B)а
БХ[86]A1)а
БХ[86]A0)а
БХ[93]A*)в
БХ [87] (8)
БХ[87]G)

368 S—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.529
1 Kiib-4)?=-ln2- ' БХ[94]A0)й
^zi.^-lncosf [Ъ>\а\]. ГХ[352]F6)
3.531
i.
xdx
2cha—1
= 1,1719536194...
tln2—
ch 2ж+cos It sin l cos t
t x>—t
cha:-|-cos< 3 sint
fO < * < я].
4.
5.
6.
7.
8.
3.532
1.
ch x+cos t
БХ[94]A1)в
Ли[88]A)
Ло III 402
БХ [88] C) а
*]. БХ [88] D) и
БХ [88] E) а
^(е-**; |а; l)-e«1F,(e«;ji; 1)]
[ReM,>0, 0<<<2я]. ИШ 323E)
[A > - 1]. БХ [96] A4) и
5151
dx
[e = arctg(thwctgf), t^nn]. Ло III 402
a chx-]- b bhx
SI (Ъ—ay
B4-j-l)ra+1 V6+ay
ft0
ft—0
[a > 0, Ь > ,0, n > - 1]. ГХ [352] E)

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
369
[
tgl=th-^ctg-|-, tg^- = cthyctgy;
Ло III 288 о
3.533
1-
-i
ch
xchx dx . Г я , o ,/C\ , /"it— f)"\ 1
n; o- = cosec H — In 2 — L — ) — L —=—'
2x—cos2« L 2 \2y V 2 у J
[f =?= »гя]. Ло III 403
sbax dx t
=-vCosec?
(ch аж — cos<) аг
[0 < < < л] (ср. 3.514 1.). БХ [88] (И) и
f
f
0
shxrfr
(chx +cos<J siat
[0 < f < я] (ср. 3.531 3.). БХ [88] A3)
со со
\ ж т-п i—75 = 2 Bт 4-1)! cosec 2ая > —г^гг.—
0 fi=l
[0<а<я]. БХ[88]A4)
3.534
З.Е
3.536
Р chax j _ Л, т / \
1
f" ж dx _ я агсчт (th a)
У ch 2a
sh о
В 94 (9)
В 94 (9)
БХ[80]A1)
ж2 th ж2 fc _ у п
roQi cq\
3.
Тяблштт.т интегралов
]. ИШ324A4)

370 3—4.ОПРВДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
? ii-i cos !~ cos -5-
4. \ ch(vArch:z) ^ ^
—|Rev|]. ИП1324A5)
Я.54 Гиперболические функции и показательная функция
3.541
о 2V+'f
[Re р > 0, Re v > - 1, Re p, >Re pv]. ВТФ111 B5), ИШ 163 E)
oo
о
[Re (ц + b ± P) > 0]. ВТФ116
3- \e-iawUdx = UtSJT- [ReP>2|Reu|]. БХ[18]F)
/ I -gesuax j 1 Л . О.Л nv f л /*i\
5. \ .' "' »=^В(Я, g)-^- ¦ Ля[27]A9)
6- t е~'"^-==РГ^Т^") [Re|i> — 1]. ИШ163G)
0
CO
7. f e-»*t\ixdx = $(!f)-- [Re{i>0}. ИШ163(9)
8. ^ ^^ete=p(-t )- 1 [Re(i>0]. ИШ 163(8)
b
9. \ «-^^-cte = -(l-ln2) [Ren>0]. Ли[27]A5)
0
10. \ e-*t-^=Ae = --f ctgf-* [0<jo<29]. БХ[27](9)в
0
3.542
00
0
,>0,Rev>-y,ReM,>Repv] . ИШ163F)

3 5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 371
е-"* (сЬж — ch b)v dx = — i у — «'"T (v) sh кО2 4 (ch в)
[Rev>0, Rep,>Rev-l]. ВТФ 1155 D), ИШ164B3)
3.543
1- \ L"'b'"ldZt = — |'ЯГ'ь» (chnb — e'2i'b) [t>0]. ИШ121C0)
БХ[6]A0)в
cha—cost ^J
fe==o
[Re Ц > 0, «чь 2пп]. БХ[6] (9) u
4- f??^ 0
0
» exp Г — ( n+T )x ]
3.544 f \ V У — <te = <?rt (ch в). ВТФII181 C3)
u
3.545
]. БХ [271C)
\ ax = тг-^ —¦-;— ctsr — id j> а» о J> UI. ЬЛ\ZtI (У)
3.546
oo
[Rep>0].
ИШ 166 C8) и
2. \ e-P*" ch as da: = у |/j exp -^ [Re 0 > 0]. ФИ 720 и
о
со . ^
3. ^ e-P^sh^oa: da: =-|- (/ -| (^erp-| П [ReP>0]. ИПИ66D0)
о
oo
4. ^ e-№ch2axdx = ^ J/ -^ Гехр-^-+1^ [Rep>0]. ИШ 166D1)
# 24*

372 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.547
P)] = y-S_i,y(P) [Rep>0]. В341 E), ИШ 168A4) и
со
2. \ ехр (— р ch z) sh ух sh з da = ^ Ку (Р). ИП1 168 (9) и
3. $
о
— " [Ev(P)+-^v(P)]:='S'o,v(P) [ReP>0, уне равно целому числу].
ИШ 168 A6) в, В 341 D), ВТФН84E0)
.о 4. ^exv(-^fLcb.z),chyzdx = Ry(fS) [ReP>0]. ИШ 168A6) м, В201 E).
5. [ ехр( —psha;)shYa;cha;cfe = -^5ro.v(P) [ReP>0].
ИШ 168 G), ВТФИ Ц5 E1).
ОО
6. Jerp(-pA*)sh[Bn+l)x]ch*da; = 0ta+1(P) [Re р > 0].
ИП1 167 E)
ОО
7. С ехр( — pshar)ch yxchxdx = ~Sity($) [Re§ > 0].
о
ИШ168(8), ВТФ1185E2)
ОО
8. \exp( — $shx)ch2na;cbzdx=Oin($) [Rep>0]. ИП1 168F)
9
[Rep>0, Rev>--i] . ВТФИ 82 B0)
оо у— I
10. <\>exy[-2Wct\iz+\»lx)]sh.2vxdx = ±-$ 2 Г(ц—v)x
о
Xl^-.+i Dp)-(ti-v)W i DP)] [Rep>0, Re ft > Rev].
ИШ 165 C1)
oo
11. \ exp f — —- shz J shv~l ж chv zdx =
pe~) [Re v > 0, | argp| <i] . ВТФН 120A0)

\ expB;
3.5 ГИПЕРБ01ИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 373
v ю
v—j
[Rep>0]. ИШ169B0)
-У i Ф) ^V , (p)] [Rep>0]. ИПН69B1)
V 
-Ц ф)Н\2) (p)] [Rep>0]. ИШ 170B4)
)] [ReP>0]. ИШ170B5)
, (P)^v_i(p) [Rep >о,.
ИШ 170B6)
vl/ v--
J Vehx У я -r2 -2
[ReP>0]. ИШ 170B7)
18. rC0SlvV 4;"loxp( ^ s » am ^v 4 ^ | &Jl.dx=>
J /sha:
= 1 VW [Уi+v (P) Л _v (P) + ЛГ^ (P) N^_y (P)] [Re p > 0].
ИШ 169 B2)
f j\] expBva:-2
19 \^
J l/sh
= Y I/ «V [^ (P) ^|_v (P) - ^I^ (P) ^(P)]
[ReP>0]. ИП1169 B3)
20. [ схР[Р(сЬ^1)]сЬуЖ5ьж
; |/cha:(cha:—1

374 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.548
[Reu.>0]. ИШ166D2)
2. [-^а^^/^ехр (?)/_
[Re ц > 0]. ИШ 166 D3)
3.549
GO
1. [ е-В* sh [{2n + 1) Arsh х] dx = O2ntl (р)
[Re р >0] (сравни 3.547 6.). ИШ 167E)
СО
2. [ е-& ch Bи Arshx) dx = O2n (§)
[Rep>0] (сравни 3.547 8.). ИШ 168F)
00
3. [ е-Р* sh (v Arsh z) dx - -^- 50 v (P) [Re P > 0] (сравни 3.547 5.).
8 P
ИШ 168G)
4. \ e-bxch(\ Arshx)dz = ^-S{,чф) [Rep > 01 (сравни 3.547 7.).
8 p
ИПП68(8)
Ряд других интегралов, в которые входят гиперболические и экспонен-
экспоненциальная функции, зависящие от Arsh .г или Arch ж, можно найти в спра-
справочнике, сделав предварительно подстановку x = sht или x = cht.
3.55—3.56 Гиперболические, показательные и степенные функции
3.551
[Ren > — 1, Rep > |Re v |]. ИШ 164A8)
ОО
2. \ х»~1е-9* ch yxdx = ~ Г (ц) [ф - у)~» + (Р + у)"Ч
о
[ReM->0, Re р > | Re у |]- ИПН64A9)
ОО
3. ^x»-ie-t*cthxdx=T(\L) [2*-^^, i-^_p-ul
[Rep,>l, Rep>0]. ИШ164B1)
4. с л_(Р+т№ shm qxdx=2^.nI s
ft=0
[/) > 0, q > 0, m < /) + gm]. Ли [81] D)

3.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 375
5. Ы
БХ[80]D)
6. ^ -^— shYa:rfa; = ^-ln^i- [Rep>|ReY|]. ИШ163A2)
и
оо
[Rep>|ReY]|. ИШ 164A5)
8. \" же'1 cth х dx = -^- - 1. БХ [82] F)
9. V e-t>*th:z^ = lni-4-21n—„ оч " у [Rep>0]. ИП1164A6)
3.552
ReP>-l]. ИШ164B0)
ВТФ138B4,„
3. j ^ёьГ ^ = 2»-^A-2'-^)Г(ц)^(м-) [Refx>0]. ВТФ132E)
) • ВТФ139B5)В
ОО ОО
5- \J^Sldx = A2 72ATTF (сравни 4.261 13.). БХ [84] D)
I) lt=n
6. ?^L^ = JT-12 271FL_ (сравни 4.262 6.). БХ [84] F)
3.553
1 Tj^--fZffi_ = 4.in(ancosecart) [a < 1]. БХ[95]G)
и
00 sha —
2" 5^h#—?^ = Т1п4 (сравни 4.267 2.). БХ[95]D)

376 3—4 ОПРЬДЬЛЕННЫЬ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.554
. ,-ln^ [в-Р>Ч-
ИШ 164 A7)
2. [ е~Ьх(-—o,oseohx)dx = ^(^~-Л — In -|- [Rep>0].
ИШ 163A0)
3.
- = 2 In Г (Р) — In я + In (sin яР)
[0 < Re р < 1]. ВТФ121 G)
4. Je-(»»^l_ctha:)d4 = ^(|-^-ln-J + j [Rep>0].
ИШ 163A1)
5. ?(_ + g fg4)g
[V4] УВН24
6. J ^-'e-P* (сШж- 1) «to = 2*-|*Г(ц) S (l*. -| +
[Re p > 0; Re ц > 1]. ИШ 164 B2)
3.555
*• I СТГ ^ = llnB^sin^f) [2-<rf (сравни 3.545 2.)-'
BX[93]A5)
со
shs ажйж 1»
I
2- j fx+i ^^(g) [2j <Р
BX[93](9)
3.556
*• S *1iE?lda:== -^-^T1 ^ < Jl (ч-вни 4.255 3.).
—OO
БХ[101].D)
T ^^d* 2pln2 f>-l]. BX[95](8)

d.5 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
377
3.557
аи
—e-qx
, m x
n сЪх — cos—я
:2cosec —я 51 (T-l)fc-*Binf—tt^ln ) ,2",/ ^ 2л
[m + я нечетно];
)
= 2cosec i«2(- 1)"^sin (^л) In
f n+p
4—n
q+k
r
[m+n четно]; [p>-U q > - 1]. БХ [96] A)
2.
cha:-|-cos —Я
da:
x
Xln
нечетно];
n-l
2cosec-^-я 2 (-
4=1
Xln
\m-\-n четно].
БХ[96]B)
e~t>x sin — я
ch ai+COs — К
dx
x
1 ») 1» B-) + 2 2 (-1)" Bin (-? я) In
нечетно];
+ я четно].
БХ[96]C)

378 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
1+<Г* dx
ctia:-|-cosa
cos ( к—=- ) о
5.
6.
7.
3.558
1.
kv
—-=Л А,
2У
cosT
е х—cos a
e'x—cos ля
ch x — cos an
4=1
2. \ x-
3.
00 n—1
=8ra 2 Bfc-iv ~8 2 B*Ii
*=•
6.
CO
— *
7. \x
3.559
Ли [96] E)
Ли [96] E) в
БХ [88] (8)
БХ [88] F)
БХ [85] C)
Ли[85]A)
БХ [85] E)
Ли [85] F)
Ли [85] D)
БХ [85] (9)
БХ[85](8)
БХ[96]F)

3 6.-4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 379
3.561 { г-?- dx = 2 In —5— . БХ[931A8)
i xch ж 2 1/2
О г
3.562
[Re^>-l,ReP>0].Hnil66D4)
2. ^ Ж2ц-1е-в».« ch Yz dr = j Г Bр.) Bр)"м ехр (-^-) X
о (
^) (^)] [Re^i>0, ReP>0]. ИШ166D5)
3. ^ же-Р-г sh Y^ «to = ^ / J- exp ^- [Re p > 0].
BX[81]A2)w, ИШ165C4)
4. ^е-МсЬуа;^ = 1|-/|ехр|.ф(?Хг) + ^ [Rep>0].
ИШ 166 C5)
5. ije-^Bbyxdz- **&+_*> ехрГ-^-Х-^)-^-
J r 8p2 }/ p * V Ж У \ 2 /p j W
[ReP>0]. ИШ166C6)
6. \x4-^chyxdx= Vl^+p erp(-g) [Rep>0]. ИПИ66C7)
3.6-4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3.61 Рациональные функции от синусов и косинусов
и тригонометрические функции кратных дуг
3.611
2л
\ 0. БХ[68](Ю)
2л
2. ? (l-cosar)ncosnar<iar = (-l)"-I5rr. БХ[68]A1)
л л
3 \ (cos i + i sin i cos ж)" flta: = \ (cos t-\-i sin < cos ж)"" dx = яР„ (cos <).
о
ВТФ1158 B3) и

380 d—4 ОПРБДЕЛЕННЫР ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.612
Г si
sin nx cos mx
dx = 0 при п -^ т;
= п ори п > т если w 4- п — нечетное число;
= 0 при п > т, если т-\- п — четное число.
Ли [64] C)
2.
ах = 0 при п четном;
= я при п нечетном.
4.
) cos ж J wsj! v ' ^
БХ[64]A и 2)
ФII145
ГХ[332]B1Ь)
1 1 и
3 5 ^ 2п —1 У
7-
3.613
2
J t+асиьл Y\ a2
cos nx dx яай
ГХ [332] B2а)
; - 1)п л. ГХ [332] B2Ь)
Ли [45] A7)
[as<l]. БХ[64]A2)
1—а2
БХ[65]C)
W [аа>1]. БХ[65]D) ГХ [332] C4a)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . 381
, v cos пх oos xdx _ п
2 Т^
— 1ап*1 а2—1 l -^ J"
БХ[65]E), ГХ [332] C4b)
л я
с Г cos Bга— 1) х dx Г cos 2nx cos x dx гч . „ ,,
д \ ———.^—— — v ^^——^^^^_^_^^^____ ^^ ^j I й ~^~ 11
J 1 — 2а cos 2х-\- a* J 1 — 2а cos Ax-f-a* l '
' 0 и
БХ[65](9 и 10Х
п
о. \-'-т—г, ¦¦_ , .. =0 \а* ф \\. ЬХ
_ 1 sinlnxsiaxdx _ Р sin Bге— 1; ж зш сх ал _ „
БХ [65] F и 7)
п
j P sinBn— 1) a; sin г dx _ я а71'1 . 2 ,,
[а2 > 1]. БХ [65] (8)
БХ[65]A1)
2
л
Я
2
я
1 + а
1
A + а) а»
1—0
1
п
г,. С cos (In — 1) ж cos ж da; я и- ¦ , „ ,,
9- ) i-2acos2z + a* =ТТЗГ [«' < ^
и
= Х'(а —1) а"
я ¦
,п С sin пх—asintn—1) ж . ,
10. \ —j—г, —,—5^— sin тх ах = 0 при т < и:
J 1 — <ia cos x-j-a^ r ^- •
__я_а™-„ цри да>п.
[а2<1]. Ли [65] A3)
Л
11. \ соз^_2ай°°S ". j)a?cos/Ha;c?a; = ^-(am""— 1) [а2 < 1]. БХ[65]A4)
БХ[68]A3)
13- \~ l-2acosL+^ J^-2na» [а2<1]. БХ[68]A4)
о
„ /,., Р sin х sinjDaj-d» лЬ®'1
J а2—2a6cosa; + 62 ' 1 — 2аР cos px+cfiv = aaP^fl — 6P)
a<l, Q<a<b, р>0]. БХ[66](9)

382 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКПИИ
3.615
л
С cos2»,«fa = (-1)^/1-/1-0»^ БХ[47]B7)
J I — a? sm2 х 2/l о2 V а /
я ,
о (' cos х sin 2пх dx я . | о t 1/ s\. 2n/l l/s\
2- J 1+(a+6sina)a = - T an 12b arctg ]/ TJ tg«- (д arccos J/ -^ .
П
„ <? cos x cos Bn-\-1) x dz
o.
14-(я + г> sin х)г
= -у- cos |Bя + 1) ai ctg |/ у| tg2Il+1 ( |- arccos f/ ,
6
где s = - A + б2 - a2) + 1/A + Ьг-Дт)а + 4о*. БХ [65] B1 и 22)
3.616
j 2 B) БХ[63]A)
о
n 2n
9 f ^ _ 1 f
" J A-^2аооьа;4-оа)п 2 J A — 2
0
0
— /t — 1J! V. 1 —
ГХ[331]F3)
Л
3. \ A — 2a cosa; + a3)" cos nx dx = ( - 1)" яап. БХ [63] B)
8
? 1 I*" .
4 \ A — 2a cosa: + a2)ncosma;rfx = ^r \ A — 2аcosx-\-a?) cosmxdx=.
о
= 0 [re < m];
ГХ [332] C5a)
5. {M ;in":^b-^ = Q- ГХ [332] C2a)
О
sin .1 dx
dx 1 Г \_ 1 "]
[о^О, ± 1], ГХ [332] C2с)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 383
Я 2я
cos nx dx I f cos nx dx
IP CO
=IJ (i —2a.
{1—2acos«+aa)m 2 J (i — 2a cos x+ a2)
m—1
- A_eT»-i 2j
ft0
ft=0
- „«(«*-l)««-i 2. V. A J^ m—1 У1 J la > 1J.
ft=O
ГХ[332]C1)
я
2
n
ГХ[332]C0Ь)
3.62 Степени тригонометрических функций
3.621
я я
 2
sin1*—1 а; rfrc = \ cos11 а; da; = 2*~2 В ( -у, 2 ) • ®^ ^^
о
я я
2 3 2 s 1
1. j*
з
2. t sin^ xd%=\ cos2 rcda: = —4= Г Г^") •
3. f sin2™xdx=[ cosama:da: = B^)|,)--f • ф11151
я я
¦ 2 2
(* С от Bт)!! л. тт
4. \ аи *(в= \ cos 1и = т)—'"' . Ф11151
я
2
5. I sin»1-1 a; cos17-1 ж da; = ^- В f ^-, -?"") [Re ц > 0, Re v > 0].
0
ЛоУ113Eи), ЛоУ122, ФИ 788
3.622
;1]. БХ[42]A)
2. J tg^di = |p(^) [Reii>-1]. БХ[34]A)
о

384 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
X п—1
3. t tg2" х dx - (- 1)" ± + 2 2в(Га-1 •
О ft=0
БХ[34]B)
4. j itf-i*dx = (- 1)»-' ~+2 -^ТГ- БХI34! C)
о ь=о
3.623
я я
2 2
2. С tg^-1 х cos2v~2 a; rfa; = \ ctg»*-' a; sin2v-2 r & =
о о
-^TB(f'v'f) [0<Re|i<2Rev]. БХ [42] F), БХ[45] B2)
4
2. ^ х&хsin*xdx =>*-??$ (j^r1) [Re|*>-1]. БХ[34]D)
3. ^ tg»*a: cos2 x dx = ^ Р (?±А ") [Re ц > - 1]. БХ [34] E)
3.624
S^ [Р>^1]- ГХ[331]C4Ь)
5 i 5
2 »l—r 2 |i-~
r, I" sin r _, (' cos
i" sin ^r , ('
} "cos2»*-1 * J
[-у<Бе(г<1]. Ли [55] A2)
„
(• cos 22х , B
J cos^+'x 2
о
2.Bn)l!
4. S CO^(S)X ^-22(tB(^+l, ^ + l) [Re[x>-1]. БХ[35]A)
о
5. f J*^^
2у/-я
БХ[35]D)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
385
6. Г
J
2
ФИ 145
3.625
. С sin™-1 х сочу 2х , _ (п— 1)! " Г(/>-|-1)
J соь2р+2"'1ж 2 'г (/> + «•+-1) ~
(П —1)! Lu/
[р>— 1], (сравни 3.25Г 1.).
4
2.
> - 1]. (сравни 3.251 1.).
sin8" x cos 'l 2x , _ Bn —2I! Bro —1I1
cos'»*»* {2ra+2m—1)!! #
Bп-1)ИBт—1I1 я
БХ[35]B)
БХ[35]C)
БХ[38]F)
БХ[38]G)
3.626
2.
3.627
(сравни 3.251 1.). БХ[38]D)
^-Г^.Л (сравни 3.251 1.). БХ[38]E)
Bn + 2)i! 2 v r ' L JV /
cos^a; J sin'1 г
,М5
2* |/я
БХ[55]A2) и
3.628
25 Таблицы интетоалов
В 691

386 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.63 Степени тригонометрических функций и тригонометрические функции
от линейной функции аргумента
3.631
тг .ал
• Я sin —-
1. \ sinv~l xsinaxdx=— 7—,—r-f г
[Re v > 0]. ЛоУ 121 F7) и, В 337 в
я
2
2. \ sinv~2resinvxdx = -^—т-cos^ [Rev>l].
rX[332]A6d), ФИ 152
л
3. \ sinv x sin vz dx = 2~v it sin ^- [Rev> —1]. JIoV12lF9)
4. \smnxsm2mxdx = 0. ГХ [332] (lla)
n
Я ~2
5. \ sin2n x sin Bm 4-1) x dz — 2 \ sin2" a; sin Bm 4-1) x dx =
J J
о о
B«-2m —1)!! B
(-l)"a"^ 1.1 BИ-2Д-1I1 B»-l
6. \ sin2n+1 ж sin Bm + l)x dx = 2 ^ sin27l+1 ж sin Bда + 1) ж rfa;
= 0 [n<ml. БХ[40]D2), ГХ[3321 (lie)
л
7. ^ sin!lzcosBm-f-l)a;da; = 0. ГХ[332]A2а)
8. V sinv~1 a;cosaz&;=
ncos-g-
[Re v > 0], ЛоУ 121 F8) и, В 337 и
Я
2
9. \ cosv"~1 ж cos их dx = — т—г— , . — т-г- [Re v "*> 01.
О 2 VBC 2 ' ' 2^)
ГХ [332] (9с)
*) При т = га следует положить Bга — 2га—1)!! = 1.

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 387
10. \ sinv-2 х cos vxdx = ¦ sin ^ [Re v > 1].
о
ГХ [332] A6Ь), ФИ152
Л
11. \ sin* я-cos v.rck = 4 COSX [Rev> —1]. JIoV121G0)a
П
n 2
12. V sin2n a; cos 2mx dx = 2 \ sin2na;cos2wiz<ir= .
= 0 [п<т]. БХ[40]A6), ГХ[332]A2Ь)
к
Я 2
13. \ sin2"*1 х cos 2тх dx = 2 \ sin2"*1 x cos 2mx dx =»
ГХ [332] A2c)
л
2
14. ^ cos*-2 resin vsdx = -^^ [Re v > 1J. ГХ [332] A6c), ФП 152
л
я Z
15. \ eosma; sin nx dx = [1 — (— l)m*n] \ cosmx sinnxdx=*
i 5
*n] \
5
r—1
ml (m+n—2k —
Г f ти [m<«], 2 [ra-m = 4/ + 2>0], "J
L 10 [и —й» = 4/иди и —m<0]J
ГХ [332] A3а)
я
16. X cos" ж sin пх йг=^т2 "Г" ФИ153
О *=1
25*

388 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Я
Я 2
17. ? cos" х cos mx dx = [1 + { — 1 )m+Jl] ? cosn x cos ma; da; =
о о
( n\ r ^ т
(m —«) (го—я+2) ... (m-\-n) УП<т\<
[ш<в HB-m=2ft];
где s =
0 [п»_я=2А],
], ГХ[332] A4a)
Л
18.
(o^O, ±1, ±2,...]. B342
n
I
19. J| cosv-2a;cosva:rfx = 0 [Rev>l]. ГХ[332]A6а), ФП152
о
л
2
20. [ co^1 x сов nxdx = ^r' ЛоУ 122 G8), ФИ 153
3.632
[p2<a2]. БХ[62]A1)
я
~2 К *¦ * J
[Re v > 0]. В 337u
я
2 n-l
3. \ cospa;sin[(p + 2H)a;]ete = (—I)" У. , , . . (" }. Ли[41]A2)
к=0
л
4, \*
-Я _ я
2
[1 —(-l)n+mJ я cos та
n-m-1-lN [П>т].
2 J
ЛоУ 123(80), ЛоУ 139 (94а)

3.6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 389
п
2
о
[Р + Я>1]- УВН41
3.633
я
2
1. \ cos" х sin ax sin x dx =
I 2Р«
2 2
ЛоУ 150A10)
2. \ cosn a; sin nx sin 2/ма; dc = \ cosn x cos пж cos 2mx dx =
о о
БХ[42]A9и 20)
3. \ cos" ж cos [(и + I)a;]cos2ma; «^ = "^г Г ™ — i ) [п>т— 1).
БХ142]B1)
4. ^
[/> + ?>-!]• ГХ [332] A Ос)
я
2
)
L^ -I- « >—11-^ БХ[42]A6)
3.634
я
2
; = sin ~- В (|i, V)
0, Rev>0]. БХ[42]B3), ФИ814и
2. V sin»1-1 rccos17-1 ж cos (ц + v) a: da; = cos-^-B (f», v)
о
[Reji > 0, Re v > 0]. БХ [42] B4), Ф11814a
л
2
3. \ cos"*" x sin рж cos [(re + 1) #] sin xdx —
^>-»1- BX[42]A5)

390 3—i ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.635
я
]. БХ[341G)
2. V cos***71 хsin px tgxdx
fe=0
3.
3.636
t.
? cos" x sin [(и +1) z] ctg a: dx = у
v
БХ[42]B2)
БХ [45] A8)
[0<Reji<2]. БХ[45]B0)н
2. Itg*»» a: cos 2a:da:= T-*y-sec^- []Re(i|<l].
о
BX[45]B1)
ami
-4" <Re(t< l] , (сравни 3.251 1 ). БХ[45]A3 а 14)
3.637
> x sin™ z sin
=-cos
2.
3.
[p + q > 1 > p\. ГХ [332] A5d)
xcos qxdx = sin-^±р-2-В (p+q— 1 1 — p)
\j> + 4 > 1 > p]. ГХ [332] A5b)
ctgPxcos4xsin qx dx = cos-^p-B(p + q — 1, 1 —p)
>!>/>]. ГХ [332] A5c)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
391
4. \ ctg"a;cos'a;cos qxdx —sin -^-B(p-\-q—1, 1— p)
ГХ [332] A5a)
3.638
я
4
sin2tixdx
cos 2 2a; cos x
'- \
cos^cos* 2^-1
(сравни 3.192 2.). БХ[38](8)
3.
БХ[38]A7)
ГХ[332]A7), БХ[45]E)
3.64—3.65 Стеоени тригонометрических функций и рациональная
функция от тригонометрических функций
3.641
л л
2 2
sin"" г cos vx , С sin"P ж cosp x
ах \
" J о cosaj-j-b sin a;
a sin x-\-bcosx
[ah > 0,
ах-
ГХ [331] F2)
sin1"" x COSP a:
(sinr+cosxK
,
(binx-j-cosa:K
ncosecpn [—!</>< 2].
БХ[48]E)
3.642
0, Rev>0]. БХ[48]B8)
2.
2 В
С sin™ 1а:соч™ l x dx
Ct-t)
(о' соь' »~f
[об > 0].
ГХ [331J E9a)

392 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Я
2 я
„ Р sininxdx I Р sm2nz(&:
О, \ /~Г 5 i—Г«—•—*—\ -41 «^ *л~ \ 7~ 3 1—ГЗ—:—5—.п41
J (Д С08 3f-|*O ЗШ J) * ? л \fi COS %-т-о S1H X)
О О
Я
2 , я
cosa"a; dx IP сов2пж da:
-2n2"»7Sn" И > 0]. ГХ [331] E8)
J (a2
О
я
2 я
. Р cosP*2»a; cos px dx _ -л f2n—k\ f р-\-к—1"\ &Д»~*
\ 7~~2 2 ~j—1^2 2—\ц+1 " /| I J I 1е 1 ' Ь Ь
О ft—О
[а>0, Ъ>0, р>-2п-1]. ГХ[332]C0)
3.643
3.644»)
я
2
я
2
J
Я
°
l—2acos2x}-a* 2
sin2™ ж cos*1 x cos p» j
A —2а cos 2x +а*)ш
22m-P-l A+eJm-HJ-
1 ОТ ^Г 1
sinma: dx
om-2 P К) f P*—9'
q* Zi\ —49a
v=l
л A4-e)P"i r
!P+i i—a La
m—1 m—ft—1
ft=0 /=0
l, p = 2m —2n —
1 ) \ 2
Г2„>
1.P
ч/-2л
2, p
t>-l].
2 )
ГХ [332] C3c)
ГХ [332] C3)
4 -4* J * '
ln
q p—q
*) Интегралы 3.644 приведены в статье К. В. Бродовицкого «Об интеграле
,, ДАН 120. Мб A958).

З.в—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
393
. Г
p-f-gcosz
5
J P—q
3.645
(а-(-6созж)™*1 2"(о+6)" Yа"*— bi '
4=0
3.646
2
> f cosn
а
a;sin«a;sm2a; , я
2aeos2,+a«
[50] F)
2. \Т=
Ли[50]G)
3.647
3.648
t3Y r/^i /on\
]. БХ[47]B0)
— cosec — я2^ ( — 1) sln —
cosec
[/—натуральное число]. БХ[36]E)

394 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
я
2
2- I 1+cos tliu2x = Я C0SeC*Sl° ^COS8Cв) Ц
1,
3.649
'¦
БХ[47]D)
[ - 2.< Re (i < 1]. БХ [50] C)
3.651
>¦
3.652
to^xdx
я
2
ctg^" x dx
2-
(sin x- cos x) sin x=" J (cos,-smx)CoSI
в zxdx
tg
I*— 5
БХ[50]D)
БХ[36]D)в
BX[49]A)
[0<Re{j.<l]
БХ[49]B)
, БХ[61]B)

d.8— 4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 395
3.653
л я
. Р tg'~2"a:(fo Р ctg1" x dx It
J a2 cos2 x4-б2 sin2» ~ J a2 sm2*+b2 cos2 x ~~ 2о2(*Ь2~2(* sin mi
0 0 ^
[0 < Re ц < 1]. ГХ [331] E9b)
л л
2 P te*xdx ' P ct?r"*<fa; «secT
—esinax j 1—acosaat x—„
БХ[49]F)
i i—. , r, ¦ = 4r cosec t sec •??¦ cos I ( ^- — t)
1 — cos2 ism2 2x 2 I L \ <J у
[|Re(i|<l, <а<яа]. БХ[49]G), БХ[47]B1)
2
С tg±» , sin 2x d:g = я CQSec 2f JSL sin Г С " _ Л ^
J 1 — cos2 i siu-1 ^a; ^ LV2y
U
[| Re |i |< 1, t* < я8]. БХ [47] B2) в
n я
2 2
i- P tg^rsin^xda; __ P ctg*1 ж соч2 ж rfa;
J 1 — cos21 t,m2 2z ~~ J i — cos2 / bin2 2a: ~
n n
2 2
tg^a; cos2 ж da; P ctg" x sin2 a: t?J
~ J cos3 t sin2 ~
2 2
P tg^a; cos2 ж da; P ctg
J 1—eos2 t sin2 2a: ~ J i— c
0 0
= -j cosec 2f sec Jy- cos I Щ- - ({J, — 1) 11 [| Re (i | < 1, ?2 < я8].
БХ[47]B4)и, БХ[49](9)
3.654
л я
•2 2 , ,
Р tjf •*^ a: cos2 ж da: P ctg**" ж °in2 э: rfa; я (fi sin « cos Ц< — cos t sin (tt)
J A + cosi &m2a;J~ J (i + cos t ьш Zajl' "~ 2 sin цл sin3 (
0 0
[| Re |i |< 1, «• < я2]. БХ [48] C), БХ [49] B2)
2. Г tg±'**^ =-jg- [0<Re(i<l]. БХ[56](9)и
i (smaj+cosa:J smjin l ^ ^ J
3- ig^m-*!*^ [0<Re.<2]. БХ[45]B7И29)

396 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
о fire
n
2
dx
я
2
ctg2I x dx
I—2o (cos «j cos3 ж4-со& i2 sin2 x)-\- a2
л cosec fin
~~ A—2ocos/3+o2)|1(i —2o cos^ + a2I"»1
[0<Re|i<l, «J<n*. *;<ifl. БХ [501A8)
3.656
<¦
[Reii>-lJ, (сравни 3.651 1. и 2.)- Ли [36] A0)
я я
2 ... 2
„ Р tgu~1a;cos8grfa; _ P ctgu-1 a: sin2 ж rfa;
J 1 —sin3 ж cos2 ж ~ J 1 —sin3a;cos2K
о о
= -4= cosec ^ cosec (-^-я) [0<Re(i<4]. Ли [47] B6)
3.66 Формы, содержащие степени линейных функций
от тригонометрических функцай
3.661
2л
1. Wa sin x + 6 cos жM""» <te = 0. БХ [68] (9)
о
2л
2. J (a sin х + 6 cos x)in dx = B"~^" • 2л (а2 {- 6г)я. БХ [68] (8)
я ' 2л
3. \ (a + bcosx)ndx = -j \ (a-\-boosx)ndx =
и о
ГХ[332]C7а)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 397
2л
dx If dx
(a+6eosa;)"+1 2
0
g
(a
2±
Bв—2u—l)!!Bfe—1)!!
'л—fc)lii ' U-b
[a>\b\]. ГХ[332]C8), Ли[64]A4)
3.662
л n
2 2
1. \ (sec a;—l)fsma;«?r= \ (cosec x — l)i* cos ж dx ¦=
0 0
= fin cosec ця [| Re |x| < 1]. БХ [55] A3)
2
2. \ (coseca;—l)M.sin2a!c?r = (l — ц) ^я cosec (in
]. БХ[48]G)
л я
2 2
3. \ (sec х — ly tg a; dx = X (cosec a;— l)"ctga;flfa:= —я cosec (in
о h
[ - 1< Re (i < 0], (сравни 3.192 2.). БХ [46] D и 6)
л
4
4. l'(ctga;-l)t1-^-= --^-cosecM.n [-1 <Re|i < О]. БХ[38]B2)«
5. \ (ctga; — IV1-^г-=цяcosecця [IReuI < 11. БХ[38]A1)в
J ° ' COS 3f i i j
3.663
1. ( (cos а; — cos u)v~ 5 cos аж dx = |/ -|- sinv и Г Г"«+-j^ Pj'^(cos в)
[Rev>—i-; а > 0, 0 < и < я J . ВТФ1159B7), ИП122B8;
U
2. \ (совх — cos в)»-1 cos[(v + P)x]dx =
[Rev>0, ReP>-l, 0 < и < я]. ВТФИ78B3)

398 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.664
я
1. \ (z -f ~[/~z2— 1 cos x)Q dx = nPq (z)
f"Rez>0, arg(z+l/z2—lcosa;) = argz при a; = -f-1 • CM
n
2.
[Rez>0, arg(z + Vrif^lcosa:) = argz при ж=-^] . УВП106
л
3.
[Rez>0, arg(z + "|/^z2—lcosa;) = argz прид; = -^-, z лежит
вне отрезка (— 1, 1) действительной оси].
УВИ123, CM HI 483 A5)
4 \ 2У'
(z_i)r(v)/ {z)
[Rev>0]. ВТФН55F)и, ВТФ1178B2)
2л
5. \ [P + KP2-1 cos (a — a;)f (y + VY-* cos a:^ da:
и
[Rep>0, ReY>Q]. ВТФ1157A8)
3.665
[Rejj,>0, 0<Ь<а]. ФП790и
0, |«1<1]. ВТФ181(9)
3.666
--|-]. ВТФИ55E)к

з e—4 1 тригонометричвские функции 399
я
2
2. \ (ch Р + sh f> cos xf+v sin-2v x dx *=
^ -i]. ВТФ1156G)
3. \ (cos t + i sin * cos я)" sin2*-1 xdx =
= 2 2ynsin2 «r(v)P2 ticost) [Rev>0, ** < я8]. ВТФ1158B3)
2n
a — x)Y cos mxdx =
cosnwPv (cos0 [0<^<fl- ВТФИ59B5)
2л
5 V [cosf+ isin«cos(a —
= 'rTv+m+1? sinмР"(cos*> [°<*<т]- ВТФ1159B6)
3.667
я
4
sin" a: da:
„ С sin" x dx
2. \ ~тг. =з — я cosec и,я
i (cosa:—sina:)^' COS я
0 '
[ - 1< Reц < 0], (сравни 3.192 2.}. БХ[3><16)
л
4
„ f (cosг—sin*)*1 , л
3. \-— — dx= — -s-
J sin" x sm 2x *
[ -1< Re ц < 0]. БХ [35] B7)
л
4
4 f sin"rrf^ = -?coseciMi [0<Re(i<l]. Ли[371B0)в
J (cos x — sin a:)^ sin 2x *
P sin_^ete = cogec [| Re (i ( < 1]. БХ [37] A7)
J (cosa:— simfcos8*
n
4
^ 1 — u
~?"^ ^ Cosec иЯ
(cos a:—sina:)w cossa:
l]. BX[35]B4), BX[371D8)

400 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
TCOS
V
3.668
4
п пч
Rev>0].
dx
2 sin (я cos» t) '
БХ[48](8)
ФТТ788
ФН 788
(COSH — COS жI
sin x dx
(COsa; — cost»)*1 1 — 2a cos
БХ [73] B8)
о ggg
sinP x cos"'?'1 x dx
(a cos x-\- b sin x)9
3.671
3.67 Квадратные корни из выражений,
содержащих тригонометрические фуыкцнн
2-
3 \ sin
ГХ[331](90)
2 У'Л 2 '""' 2 ' * )
я
2»
ГХ[331](93)
*'
<«]. ГХ[331](92)
!,2( f,2 „.
Tj ¦ Лн[67]<2)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
401
3.672
1.
2.
3.673
sin" ж
sin" a;
dx
(.cos* —
dx
Bга)!!
^B/8—1)!!
cos»*i x' /Sinx<cosa;—sin^ Bл)!!
Я.
dx
sin»—sin»
3.674
' о
л
sin x dx
~P
3.
3.675
COS 2- dx
2.
3.676
I — 2p cosx-t-p2 P
* Sin С» + !) X dx
Sin С» + !
1. С ^Л l
2(cosu—cos»)
cos (n+~^j xdx
— cos a)
'• \
Л..А ±Mgp.
2. \ tg8a;]/l — /Jsii
3 \ -
Я >^/>2cos2 ar+?3sm2a;
26 таблицы интегралов
БХ[39]E)
БХ[39]F)
БХ[74]A1)
БХ[67.]E)
БХ[671F)
:i]. • БХ[67]G)
УВИ 108
ФII 684, УВИ 108
БХ[60]E)
БХ[5Й](8)
ФII165

402 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.677
n
2
3.678
4 i
i. V (aec2 2a;-l)^ = ln2.
о
*¦
cos 2а; — cos2и
3.679
coss ж
i_4»sin*a?
it
I
2.
• sins a;
1—A—fc'*sin«P)8msa: у^ 1—
БХ[381B3)
БХ[39]B)
Ли [74] F)
БХ [38] B4)
БХ[38}B5)
МО 138
МО 138 I

3.
3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 40?
П
2
sina:rdx
ТЗЧР /О I-V
==. МО:
ft«smPcosP/ I -A^sin2^
3.68 Различные формы от степеней тригонометрических функций
3.681
[Re[i>0, Rev>0]. ВТФ1115G)
0, Rev>0].
(l-4"sm^)»i+v 2A-4»)"
ВТФ110B0>
„ f $яРх dx
s""" a? A —ft* sin* a;J
А* (/"я Oi—1) Oi—3Hг—5) I
4-
[ - 1 < Re|i < 4]. БХ[54Д10>
sin1^1 г dx A—А;)-*—A Ч-^Г11
l — 4» sin» i)
in» i) 2
3.682 С ».n"»coe, dx =
J (o —6cos2a;)u
[Ren>-l,Rev>-l, *>|6|>0]. rX[331JF4),
.5.683
Я Я I
4 *
(-f-+a:^) dx = ^ (cosn 2x - 1) ctgx dx =
--¦j 2 Т=-т1С + г^п+1I- БХ[341(8), B
26-

404 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
я
4
i
я
4
я
[Re ц < 1J. БХ [35] B0)
3. \ (sin2" 2*— I) cosec*1 2x tg ( -7-+:
я
Т
' в \ (cos2*12а: — l)sec»i2a-ctga;da:= —-^— -\- -^- ctg цл. БХ[35] B1)
в
л
= ^ A -cosed*2ж) tg (-?-+ )
ij. БХ[35]A3)
3.694
3.68^
к п
Т. 2
(соьх—siax)smx J (ыих — соьж)сонж
О
¦ц) [Re(i<l]. БХ[37](9)
Г (sinn-1^—
\ (cos*4 2х — cosv-J 2x)ctga;dx = -j[i|'(v)—"ф (ц)]
[Re 11 > 0, Rev>0]. БХ[34](9), БХ[35]A2)
I 2
)^^ J
[*(l)*(f)] [He(i>0, Rev>0]. БХ[46]B)
2
я п
2 2
5 (sin11 х — cosec»1 ж) -^- = \ (cos11 а: — sec»1 at);
cos* j
П]. БХ[46]A и 3)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 405*
4 ^ (sin^ir — cosec»* 2z) ctg Г-i + аЛ dz =>
о
л
4
= \ (cos^ 2x — sec*12a;) tgxdx = -^—- -?- cosec |хл
о
l]. БХ[35]A9 н 22)
tg Г-?-+ аЛ
л
\ (cosi*2a; — sec* 2a:) ctg at da; = —-^—|--Y-
1]. БХ[35]A4)
n
6. [ (sini*-1 2a; + cosec» 2x) ctg (j^ + x~) dx =
\ (cos»1-1 2a; + sect* 2a;) tg x dx = -?- cosec ця
[0 < Re ц < 1]. БХ [35] A8 и 8)
л
i
= \ (cos»*-1 2a; — веа»2x)ctgxdx = ^
[0 < Re ц < 1]. БХ [35] G), Ли [34] A0)
я я
2 2
Qfiftfi С tgxdx _ ё ctgxdx _ п
\ соз^^-рььс11* J sin11 x + cosec»1» V'
БХ[47]B8), БХ[49]A4)
3.687
я я
»*1 +iv-1 Р cos^-'x+cos^»^
sin»*-1 ^
«"••¦'¦¦-- - - - БХ[46]G)
2 cos

406 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2
2. Г^-^^-',& f
2sin
0, Rev>0]. БХ[46](8)
п п
2 2
coslla;+co4va;
0. Rev>01.
БХ[49]A5)и, БХ[47]B9)
Л. "
г 2
зш^т—sin'r , f cos1*»—cosva; . ,
'ar—I ° J cosf^ar—
> 0, Re v > 0].
БХ[49](Д6) а, БХ[47]C0)
cos4a;+becva?
БХ[49]A2)
БХ[49]A3)
3.688
я
[Re|i>0, Rev>0] БХ[37]AО)
я
4 t
2. \ -S-——? — ¦ —^- = я ctg an
J cos ж—sin» Sin ж ог
БХ[37]A1)
3. \ (tg»x + ctg»x)dx = -?-sec ^ [|R©|i|<l]. БХ[35](9)
о

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
407
4.
5.
[0<Re|i<2].
¦ — cts11 ж
2
cos 2a:
1-t-cos / вт2ж
л Cosec f cosec ия sin uf
Ю.
11.
12
13.
(вшаг+cosar) cos ж
(sin x-\- cos ж) cos a;
(cos ж— sm x) cos ж
(cos ж—sm ж) cos
^
a r
;—s ¦.
(cosa:—sin*) cos a:
БХ[35]A5)
БХ[35]A0)
I]. BX[35]<23)
1]. БХ[36]F)
1]. БХ[37]C)
1]. БХ[37]D)
1, Rev> -1]. БХ[37]E)
[0<Reji<l]. БХ[37]G)
l_
i
[0<Re[i<1|. БХ[37](8)
БХ[37]A2)

408 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
14. J
1
dx
\ 1 -
J (tg^+ctg**)
dx
* ein2x
22v+1 И г
я
Т
15. f (tgi* x — ctgi* a;) (tg1' x — ctgv a;) cte =
[v>0]. БХ[49]B5), БХ[49]B6)
о
16. \ (tgn x + ctg* л:) (tgv x + ctgv a;) dx =
8
„ . ия . vn
^я sin —- sin -?p
cosjin+cosvn
2я cos t=- cos —
17 Г (tg^x-ctg»^)^^
cos 2ж
18.
19.
20.
—ctgv a;
я t vn
~" 4ц " 2(
r—ctg^a; sin2a: ~" 4ц " 2A
BX[35]A7)
БХ[35]A6)
БХ[35]B5)
[0<Rev<l]. БХ[37]A4)
Sin ЦЛ
4
0
A -f- tg
[0<Rev< 1].
= \p (\x + v) — t
3.689
. f (sin'^^+cosec11!-) cte x dx я . ия . u(
1. \ —r.—— ——^-r— = — cosec t cosec ^— sin -^
sinva;—2eos*-|-cosecvaf v
v v
БХ[37]A3)
X v>0]. БХ[49]B9)
Ли [50] A4)
2. [ sinlXx-2cos^+cosecllx .ctgx-dx =
sinv ж-|-2 cos B-+-cosecv x
= — cosec t9 cosec -^ sin — — cosec t, cos t,
V ^ V V V 2 1
[v > ц > 0 или v < ц < 0 или ц > 0, v < 0 и
или ц<0, v>0 и n + v>0]. БХ[50]A5)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 409
3.69—3.71 Тригонометрические функции
от более сложных аргументов
3.691
1. \ sin(ax*)dx = \ cosax2dx= т у т [а > 0].
J Й Г
ФII 743 и, ИШ 64 G) и
2. ^ sin (ax2) dx = |/"?- S fl/а) [а > 0].
• r-
3. \ cos (ал:8) dx = I/ 5- С Q/я) [л>0]. ИШ8E)а
4. J sin (ax2) sin 2te dx = |/? {cos^ С {—^) + sin ^-5 D=)}
./в
[а>0, Ь>0]. ИШ82A)а
5. \ sin (ax2) cos 2bx dx = -s- I/ 2- {cos sin—\ —
=t/?cos(t+t) [«>о,ь>о].
ИШ82A8), ВХ[70]A3), ГХ[334]Eа)
6.
[а>0,Ь>0]. ЙШ83C)и
7. \ cos яж2 cos 26a; dx = -=r 1/ к~ i cos —Ь sin —
J Z r ia у а а
[a>0,b> 0]. ГХ [334] Ea), БХ [70] A4), ИШ 24 G)
00
f • • * fя / aS Л
[a >0,/'> 0]. ИШ 85 B2)
00
f 1 /^я
9. \ (cosaa; + sinaa;)cos(b2a^)da: = 5T I/ -n-ex
[a > 0, b > 0]. ИП125 B1)
[a > 0, b >0, с > 0]. ИП184 A5)

410 •»—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
¦л
11. \ sin(а*х*)со&2bxcos2cxdx = —^cos —?¦ cos f
о
[a>0, 6>0, c>0]. ИШ84B1)
oo
12. ^ cos (a'l8) sin 2fcc sin 2cxdx = ^ sin ^-sin (^^- f
[a > 0, 6 > 0, c> 0]. ИП1 25 A9)
oo
13 \sin(ax*)cos(bx*)dx = ± i/^f—1=-+ J-- ^) [a > Й > 0];
= !/»( « ' ^ [6>a>0].
BX[177]B1)
14. \ (sin3axi-sm3bx2)dx = ^-(^y/rj- |/^ [a > 0, fe > 0].
БХ[178]A)
15. ^ (cos2 ax* - sin2 for2) «te = ~ ( |/|- + ]/~) [a > 0, 6 > 0].
БХ[178]C)
OO
16. J (cos2aa:a-cos2ba:1!)da:=:-i(|/r^- |/f) [a > 0, Й > 0].
БХ[178]E)
17. J (sin* a** - sin4 te*) <fo = ^ (8 -
о
[a>0, й>0]. ' БХ[178]B)
18. ^^4(/|
[a>0, fc>0]. БХ[178]D).
19. J (cos* ax2 - cos* &r2) dx = 1 (8 -f V^2) ( |/i - |/f)
[a>0,6>0]. БХ[178]F)
CO CO
20. J sin2" aa:2da-= ^ cos2" aa:adr= oo. БХ[177]Eи6)
21.
БХ[70](9)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 411
22. jj
о л=о
[а>0]. БХ[177]G)и, БХ[70]A0)
3.692
00 /—
1. \ [sin (а — х2) + cos (а — х2)] dx = I/ —- sina.
ГХ [333] C0с), БХ[178]G)а
[а > 0]. ИШ 24 (8)
[а > 0]. ИШ 23 B)
СО
4 $4/?(|
о
[а>0]. ИШ24A0)
со оо
5 t sin (^аз;2 Н J cos 26ж Л: == \ cos ( ахг + — j cos 26ж cte = у |/ ^
о о
[а>0]. БХ[70]A9и20)
3.693
1 ^ sin (ах1 + 26а;) tte = \ (^cos -^- - sin -?-) |/ ^
[а>0]. БХ[70]C)
2. \ cos(aa;a + 26a:)«te = y (^cos —+sin—J |/ ^
[а>0]. БХ[70]D)
3.694
со
1. ^ sin (аа;2 + 26а; + с)dx = ± § sin (ax* + 2bx +c)dx=*
= I|/|sin(f + ^) [a>0]. ГХ[334]Dа)
DO °°
2. ^ cos(aa;2 + 26a; + c)da;=-|- ^ cos (axs + 2bx + c) dx =

412 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.695
1. J sin («V) sin (bx) A - ? /| {/, A /I) +
0 *
l->0.6>q. ИШ83E)
2. f
о
(е/е) ^(?/Й} 1->0.»>Ч. ИШ24A1)
3.696
[a>0, 6>0]. ИШ83B)
2. jj яЩа^совСб*»)**- -f |^(| f )_
о 4
3. Jj cos(aJ:)sin(&c)da: = i
]. ИШ84A9)
^--|- я) Л (¦?-)
[a > 0, b > 0]. ИП183 D), ИШ 25 B4)
4. J cas{ax*)coS(bx*)dx = ± /| cos (?--f) _
о *
[a>0,fe>0]. ИШ25B5)
3.697 С sin (—*) sin Fa;) dr = ~ Jx Ba j/T) [a > 0, b > 0].
J \ x s 2y b
ИШ83F)
3.698
С gin ^^ sin FV) (to = ^ |/ у [sin 2a6 - cos 2ab + e~ Ja*l
0
[a>0, 6>0]. ИШ83(9)
OO
2. ^ sin ^-p-^ cos (bV) dx = ± |/у [sin 2a6 + cos tab + <r- 2°*]
ИП124A3)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 413
3. \ cos (-^-") sin (б^2) dx = ^ |/ -j [sin 2а6 + cos 2аЬ + е~ 2а»]
о
[а>0, 6>0]. ИП184A2)
оо
4. [ cos (-^Л cos (Ь*х*) dx = ± |/ f [cos 2а6 - sin 2ab + е- 2«ь]
[а > О, Ь > 0]. НШ 24 A4)
3.699
ОО
1. ^ sin Qi*x* + -^-) ^х = ^ (cos 2ab + sin 2а6)
[а>0,6>0]. БХ[70]B7)
ОО
2. ^ cos('a2x2 + -^-^(to=3^(cos2afr— sin2a6)
[а > 0, Ь > 0]. БХ [70] B8)
СО
3. \ sin (^а2а;а - ЪаЬ + -^-^ da; = \ cos
БХ[179]A1 и 12)ц, ИШ83F)
4. 5sin(a2xa--5-)dr = ^-e-2aI) [а > 0, * > 0]. ГХ[334](9Ь)м
5. Jcos(a2a:a-^-)dr = J^Le-2ab [a > 0, fc>0]. ГХ[334](9Ь)м
О
и
3.711 [ sin (а }/и*-х*) cos Ьа: tte = — """ /, (м У°? + Ъ*)
[а>0, fc>0, «>0]. ИШ27C7)
3.712
со Т(Г)А11*
1. ^ sin (axv) dx = V-py1—У- [а > 0, p > 1]. ВТФ113 D0)
2. ^ cos(aa;p)dr = —^4—^ [a>0, />>1]. ВТФИЗC9)
3.713
J sin (« + ^)dx
0 k=0
xsin [Mg~^)+1 я] [o>0, 6>0, p>0, q>0]. БХ[70]G)

414 S—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУН BUHB
1 XI ( 6)"
Ас+1
fe=O
n] [a>0, b>0, p>0, д>0]. БХ[70](8)
3.714
3.
4.
cos (z sh ж) dx = Ko (z) [Re z > 0].
о
sin(zchx)dx = — Jo(z) [Rez > 0].
cos (z cb x) dx =— — Noiz) [Rez>0].
[Rez>0,
cos (z chx) sin2»xdx=VH(?y Г
[Rez>0,
3.715
sin an
2. \ sin (zsm я) sin mate =-2- \ sin (z sin я) sin nx dx =
= [1 — ( — l)nl I sin (z sin ж) sin nx dx =
В 202 A4)
MO 36
MO 37
В 202 A3)
УВП203
В 338 A3)
-i-l)»]-?/.(*) [« = 0, ±1, ±2,...].
В 30 F), ГХ [334] E3а)
л
2
3. \ sin (z sin x) sin 2xdx = —j- (sin z — z cos z).
Ли [43] A4)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
415
4. \ sin (z sin ж) cos аж etc = A -Hcosan)so a(z) =
8
CO
= A + cos an) >, Ht_ ,v /Q2_n2v rr?b_i\!
5. (j sin (z sin ж) cos [Bя + 1) ж] dx = 0.
В 338 A4)
ГХ [334] E3b)
6. \ cos (z sin ж) sin ax dx = — a(l — cos<wt)*_i.e(z) =
*=1
[a>0].
7. \ cos (z sin ж) sin 2nx dx - 0.
В 338A2)
ГХ[334]E4а)
8. \ cos(zsina;)cosoi<ii;=*—osi
[« > 0].
B338(ll)
я я
9. \ cos (z sin x) cos nxdx — -^- \ cos (z sin ж) cos nxdx
я
5
10.
11.
ГХ [334] E4b)
ГВв2>-4"|.
ФП486, B35«
Ли [43] A5)

416 S—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
z
12. \ sin (z cos x) cos ax dx = cos ~ So „ (z) =
t '
= -i cosec ^- [ Jv (z) - J_v (z)] =
=cos
B339
Я П
13. \ sin (z cos x) cos nxdx=--^- \ siu(г cosx) cosnxdx =
J ^ J
0 — л
= я sin -
it
2
14. ^ sin (z cos ж) cos [Bn + I) x] <h: = (-r-l)n ~ J^ (z).
n
2
15. ? si
о
я
2
= si(a) + 4[- [a > 0].
ГХ [334] E5b)
В 30 (8)
BX[43]A7)
16. ? sin (z cos x
±JL ("у
("у V Г ^v + у)
[Rev>--|-].
В 358A)
17. \ cos (z cos я) cos'aa; dx =—asin-Tr-*_i a(z) =
t '
= -f sec-^- [Jv (z) + J_v (z)] = ? cosec ^ [Ev (z) -E_v (г)] =
a31;
—
ft=i
etBi_e»)D»—o
18. \. cos (z cos a-) cos тгжdx — -y \ cos (z cos ж) cos лг^а; s=
19. [ cos (z cos x) cos 2ю <ifc= ( — 1)" -~ /^ (z).
л
2
В 339
ГХ [334] E6b)
В 30 (9)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 417
я
2 ,_
cos (z cos ж) sin 2v« dx = -^— f — ) Г Г v + у J Jv (z)
0
[Rev>-y]. B35, УВП178
я
о
[Reja>--i-J. УВИ179
3.716
я
2
1. ? sin(atgz)^a; = Y[e"a?i(a) — eaEi( — a)] (сравни 3.723 1.).
в
БХ[43]A)
n
2
2. ( cos (a tg a) «ft: = -у в"". БХ [43] B)
n
2
3. \ sin (a tg x) sin 2xdx^~ ea. БХ [43] G)
2
.4. ^ cos (a tg ж) sin2 x dx = ^^- яе~а. БХ [43] (8)
5. ^ соз(а1§а;)соз2хйж = -^-яе-а. БХ[43](9)
п
2
6. ? sin (a tg x)tgxdx = -j- e'a. БХ [43] E)
л
2
7 jj cos(atga:) tg«^= - i-[е-а Щ (а) + е" Ei (- а)] (сравни 3.723 5.).
о
БХ [43] F)
п
2
8. \ sin (a tg x) sin2 x tg x dx = -^- геГ0. БХ [43] A1)
9. У sin* (atgx)dx = -^(l-e"**) (сравни 3.742 1.). БХ[43]C)
о
27 Таблицы интегралов

418 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
10. \ cos2(a tgx) dx = -5- A + е'20) (сравни 3.742 3.). БХ [43] D)
я
2
11. \ sin2 (a tg ж) ctg2 х dx = -?¦ (е0 + 2а — 1). БХ [43] A9)
о
БХ[51]A4)
12. J [1 - see** cos (tg *)] — '-C.
о
13. \ si
о
(сравни 3.7163.),
и вообще формулы 3.716 останутся справедливыми, если в них tga;, вхо-
входящий в аргумент синуса или косинуса заменить через ctg ж, заменив при
этом в остальных сомножителях sin x через cos ос, coss через sin ж и, сле-
следовательно, tga; через ctgz, ctgz через tga;, sect через coseca:, coseca;
через sec ж. Аналогично
^
3.717 V sin (a cosec x) sin (а ctg x) —^- =
\ sin (а sec x) sin (а tg х) -^?-^ = ~ sin а [а > О],
о
БХ[52]A1 и 12)
3.718
2. \ sin (a tg х - vx) sin'-г х dx = 0 [Re v > 0].
3.
s = -y [Rev>0].
f/>2 < 1].
БХ[44]E и 6)
НГ 157A5)
БХ[51]A5)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
419
2
4. \ cos(atgx-
5.
,-«,т-1
[Rev>l].
ЛоУ153A12), НГ 157A4)
[Rev>— 1].
БХ[44]D)
6. \ cos (atgx — yx) cosv xdx =
3.719
1. \ sin (vx -г г sin x) dr = jtEv (z).
о
л <
2. \ cos (nx — z sin ж) dx = nJn (z).
л
3. \ cos (va; — z sin ж) da; = jiJv (z).
ВТФ1274A3)
ЛоУ153A14)
В 336 B)
УВ И 172
В 336A)
3.72—3.74 Тригонометрические и рациональные функции
3.721
2.
»¦ S
= — sign a.
:= _si(a).
:= — ci(a).
ФП645
БХ 203A)
БХ203E)
27«

420 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.722
ер
1. \ -5^jp dx = ci (ap) sin (ар) - cos (аР) si (аР)
[IargP I < я, а > 0]. БХ[ 160](Я: ФИ646и
^^ dx = я cos (ар) [| argp| < я, а > 0]. БХ[202]A)
3. § ^"^ Л; = - sin (ар) si (аР) - cos (аР) ci (аР)
[|argp|<*, а>0]. ИП18G), БХ[160]B)
СО
4- \ "?Й?<& e n sin (аР) [ | arg р |< я, а > 0]. БХ [202] D)
СО
5. ? 8™^° Лг = sin (pa) ci (Ра) - cos (Ра) [si (Ра) + я]
О
[а>0]. ФИ646, БХ[161]A)
6. § "р"^0 «te = - я cos (ар) [а > 0]. БХ [202] C)
—во
а>
7- 5 ^F1? dz^cos (ар) ci (ар) 4- sin (ар) [si (аР) + я]
[а>0]. ИП18(8), БХ[1611B)и
8- I *jSrdx=:Jl sin (аР> [« > °1- БХ [202] (Ь)
3.723
[а > 0, Re р > 0]. ИП165 A4), БХ [160] C)
2. l^dX = ^e-<* [a>0,ReP>0].
о
ФИ741 и 750, ИП1аA1), УВ1156
ФII 741 и 750, ИП 165 A5), УВ1150
[a>0,ReP>0].
БХ[202]A0)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 421
5- 5 ^Ц^ ** = -т [е-аВ ЕГ (аР) + е* EI ( - of))]
о
[а > 0, Re р > 0]. БХ [160] FJ
6. j ИПУ^*>1 <fa = ~«""sin(яЬ) • 1«>0, 6>0, с>0].
—ОО
Ли [202] (9)
7- j>COT^|b-xIrfx=^-g-aecoa(ffld) [а>0, 6>0, ОО].
— ОО
Ли[202]A1)и
со
8- I ^~rdx = j [sin (eP) ci («P> -cos CP) (si <«Р> J--г) ]
о
[|агёр|<я, а>0]. БХ[161]C)
9- ]??&-dx-±BhHab) [а>0, 6 > 0].
о
БХ[ 1611E). ИП19A5)
оо
Ю. J ^HL^*dx = _ «.CoS(аб) [а > 0]. ФИ647, ИШ1 252D5)
11- J
о
<n, a>0]. БХ|161]F)
2 [^^„««ИН [а>0, 6>0]. ШШ 252D41
a;(a: — о)
—оо
3.724
[a>Q,p>q*]. БХ[202]A2)
ОО
2 f —^ф^—reos (ax) dx = D^^= cos (aq) +сsia (ад)) яе-1'^^
—со
[а > 0, р > д2]. БХ [202] A3)
Геов[(Ь-1)/] —см(Ц) ( ^= ^,^(М t)
—CO
[a > 0, <* < я2]. БХ [202] A4)

422, 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.725
*• ^Ж^=ЖA~е"аР) lReP>°. а>°1- БХ[172]A)
о
2. J^E^ = ^(l-cos(«6)) [a>0]. БХ[172]D)
о
= -2^е-аесЬF[*)+^г 1а>Ь>0].
ИП119 D)
3.726
- 2 ci (aft) sin (ab) + 2 cos (ab) (si (ab) + 4f-) ]
[fl > 0, 6 > 0; при нижнем знаке указано главное значение интеграла]
ИП165B1)и, BX[176jA0 и 13)
+ 2 ci {ab) sm {ab) — 2 cos (яб) (si {ab) + -|Л 1 ± п{е'аЬ 4- cos (ab))
[a > 0, 6 > 0; при нижнем знаке указано главное значе-
значение инте!рала]. ИГЛ 66 B2), BX[17t>J(ll и 14)
3.727
4 f cos tax) dx n V2 I ab\[ ab , ab \
1. \—eiV-t—=—^s-expf 7= (cos-T^+sm—=1
[a>0, 6>0]. БХ[160]B5)и, ИШ9A9)
«D
2- J^^=^-[2em(a6)
+ e-e*^i(a6)-ee('Ei(-a6)] (a > 0, b > 0],
(сравни 3.7231. и 3.7238.). БХ[161]A2)
4* l«-°b + в^ («6I ' [a>O,b> 0],
(сравни 3.723 2. и 3.723 9.). БХ[161]A6)
ab \ . ab r л» ^-.
JSlnyi 1»>0. ft>0].
БХ[160]B3) и

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 423
^)] [a>0)&>0](
(сравни 3.723 3. и 3.723 10.). БХ[161]A3)
е- I '™{™J*dx = w [2 cos (а6)ci (а6)+2 sin <а6) (si (а6) + т) -
- e-abWi {ab) - еаь Ei (- ab) ] [а > 0, 6 > 0],
(сравни 3.723 5. и 3.723 11.). БХ[161]A7)
со
г, {' хг cos (йж) lit ЯП A ab \ /~ ab ab \
7. \ —о- .— = /, ехр ( — ) ( cos —= — sin —^ )
[о>0, fe>0]. БХ[160]B6)и
8- fK^i^ i[
- 2 cos (aft) (si (а 6) + f) - е"аЬ Ш (ab) + еаЪ Ei,( - а ft) ]
[а>0, 6>0], (сравни 3.723 1. и 3.723 8.). БХ[161]A4)
л С х2 COS (ax) dx Я , - , ». _ahv г ^ ^л 7 л-.
9- ] —рз^Г— = jf(s™(ab)-e аЬ) [о>0, 6 > 0],
о
(сравни 3.723 2. и 3.723 9.). БХ[161]A8)
оо
С xs sin (ах) , л / ab \ ab
\ ... . . - ах = — ехр ( -г= ) cos —^
[а>0, 6>0]. , БХ[160]B4)
СО
С ^3 bin (ах) 7 —nf _«ь
] ^ ^ = — [g
4
(сравни 3.723 4. и 3.723 10.). БХ[161]A5)
os(axj dx = ^2 cos (ab) ci (ab) + 2 sin (ab) (si (ab) + у) +
U
(сравни 3.723 5. и 3.723 П.). БХ[161]A9)
3.728
оо
Р cos (ах) dx Я (|3e~aY — ye~°^)
[о>0, ReP>0, Rev>0]. BXfl75](l)

424 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
xsin{ax)dx
p—e~av)
[a>0, Rep>0, Rev>0].
„ P* ж2 cos (ax) dx __ я (Pe~ag — ¦ye~av)
[a>0, ReP>0, Rev>0].
, P* ж3 sin (ax) dx _я(Р2е~—Y2e~"Y)
J (Р2+*2) (Y2+*2) "" 2(p2—y2)
0
[a > 0, Re p > 0, Re у > 0].
CO
,. P cos (azjda; HFsin(ae) — csm(o6))
J (б2 — ж2) (c2—a:2) 26c F2— c2)
6.
7.
[a > 0, 6 > 0, c> 0].
я (cos (afc) — cos (ac))
ж2 cos (аж) dx я (с sin (ae) — b sin (ab
[a > 0].
[a > 0, 6 > 0, с > 0].
CO
„ P x3 sin (oi) da; _ я Fa cos (ab) — e2 cos (ae))
[a>0, 6>0, c>0].
3.729
1.
[а>0,
я ab
46 ае
3-
4.
[o>0, Ь>0].
3.731 Обозначения: 2^42 = |Лб4 + са + б2, 2В2 =
. Р cos(aa;)da: я e~aA(Bcos (aB)+^4sin I
2с
[а > 0, 6> 0, с> 0].
БХ[174]A)
БХ[175]B)
БХ[174]B)
БХ[175]C)
БХ[174]C)
БХ[175]D)
БХ[174]D)
БХ[170]G)
БХ[170]C)
БХ[43]A0)и
БХ[170]D)
БХ[176]C)

3.6—41 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 425
4
о
со
0
со
С х(х3А-
0
Ь2) sin (oac) <2ас
AsiE
я
0, <
я
2 '
е~аА ^А CQS (аД) _ д Sjn ^
Ь > 0, С > 0].
, С>
0].
БХ[176]A)
БХ[176]D)
[а > 0, 6 > 0, с > 0]. БХ [176] B)
3.732
[а > 0, Rep>0, y+Ф не является действительным числом], ИП165A6)
оо
[a>0, |ImYl<ReP]. ИШ8A3)
о
[а > 0, Rep>0, Y + *P не является действительным числом]. Ли [175] A7)
со
4. \ Г о» Л ?„;«- + из ^~_^. „;\2 I cos (ЖС) ^ = яе—** si" (аУ)
о
[а>0, |Ima|<Rep]. Ли[176]B1)
3.733
со
Р cos(a»)dac Я . , . sin (f+аб sin i)
0
[а>0, 6>0, |*| <у] . БХ[176]G)
2 F ж sia (ож) <й; Я „„„/ „ь,,^^ sin (a* sin i)
[a>0, 6>0, |*|< f] - БХ[176]E), ИШ66B3)
sin 2t
[a>0, 6>0, |l|<f]. БХ[176](8)

426 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4 С x» sin {ax)
БХ1176]F)
t- ? sin (ax) dx
ab sin f)
[a>0, 6>0, |i|<f] - БХ[176]B2)
3.734
. f sm (oar) dx Я Г . / об \ аб 1
1- \ —,,. . ., = 7jT7 1 — exp I = ) cos —=
i жF44ж«) 2Ь* L V y^2y >^2 J
[a>0, 6>0]. Б
[a>0, fe > 0]. БХ[172]A0)
3-735. f|^5$ = ^[l-^-abB + «&)] [a>0. »>(П.
УВ1156, БХ[172]B2)
3.736
(сравни 3.723 2. и 9. и 3.729 1.). БХ[176]E)
^)] [a>0, 6>0],
(сравни 3.723 3. и 10. в 3.729 2.). БХ[174]E)
(сравни 3.723 2. и 9. и 3.729 1.). БХ[175]F)
(сравни 3.723 3. а 10. и 3.729 2.). БХ[174]F)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 427
W * - 2)е-6] [а > О, Ь > 0].
(сравни 3.723 2. и 9. и 3.729 1.). БХ[175]G)
(сравни 3.723 3. и 10. и 3.729 2.). БХ[174]G)
3.737
со п— 1
cos(ax)dx __ ле'аЬ "у Bга—к— 2)' Bab)k _
F2 + ж2)" ~ B6J» (и— 1)' ^1 А! (в—fc— 1I '
О fe=*0
_ ( —1)"ч я
ГХ [333] F7Ь), В209, В192
2 F»sin(g»)fe яа^-Ч y1BB-t-2)lB.p)> Re В > 01
о fe=o
ГХ [333] F6с)
S4,(ax)dx Я Г. и8 „ .
f+г»)»*'" 2Р2"*2 L "»! ^«'¦"
о
[о>0, Rep>0, ПB)=1, ^B) = 2
= (z + 2n)Fn_1 (z) - zF'n-i (z)]. ГХ [333] F6e)
4- р^У ^-^A + afc)^ 1а>о,Ь>ОГ.
БХ[170]E), ИШ67C5)в
C + 3a& + M>) e- [a > 0, b > 0].
БХ[170]F), ИП167C5)и
3.738
со
~ (* ас7" gin (озг) , „ r ,
!• ^-^срр^^ = 0 [я* нечетно];
о
„ . Bfc — 1) я
— 1) я Т
Bk — i)mn , „ Bft —
^ ^ hap cos -—2
[a>0, |ащВ|<?. 0<иг<2и]. ИШ67C8)
f Bk — i)mn , „ Bft —1)я1 , ,
X -jcos^ ^ hap cos -—2^~J f7™ четп°];

428 3—4 ОПРРДРЛЕННЫГ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЬМРНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
со
Ра:™1 соь {ах) , ,. , -
2 \ **"+Pa" dx==0 I» четно],
о
apSln' 2/ jx
Г Clk — i)mn . a ilk— 1) я 1 ¦ т
X К sin : 1- ар cos - > \m нечетно!;
\ гп in j
[a>0, |<»igP|<-?- . 0<m<2ra-r lj БХ[161] B0> и, ИШ 10B9)
3.739
GO
( f sin (or) dx
" (a;2 + 4n2)=
2- S
и
со-(ож)«te
CO
о f ж sin (as) а!зс
J (**+1а) (жг+3*> .. [г2 -t- Un -+-1J] —
0
n-i)O. Ли[174](9)
3.741
р1П<аж);'"(М|(^)а [a>0, Ъ>0,афЪ] ф II647
о
_я_ r , „,
= 0 [6 > a > 0]. ФП 645
ЗГ sin (яа?) чш (баг) , an r/^
• \ ~ 2 ^' !^"~>— I" ^- ^"^ "I»
= -^f 10<ft<e]. BX[157]A)

4 a—4 i ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 429
3.742
1. Г si" t«^ (»*> ^ , JL (е-|а-ь |S _
[o>0, b>0, ReP>0]. БХ[162]A)в, ГХ [333] G1a)
2. jj sin 'ffff(te> <Ь~Щ ** ^ Ei № (« - »)I +
+ e-"B Ei [p (a + b)]} -~ ^ {е"в Ei [ - p (a 4- p)] 4-
BX[162]C)
oo
3 f cos (ax) cos Fa;) d _л_ r , o_6 | p . e-(a+6) 61
[o>0, 6>0, ReP>0]. БХ[163]A) и, ГХ [333] G1с)
о
i Ei [p (a - 6)] + е-&» Ei [p (a + b)]} [а Ф &];
= oo [a = b]. БХ[163]B)
5. [ ^m(a^cos(H dx^«_e-a*chm [0<b<a];
-~e-^sh(af
БХ[162]D)
6 f sin(;l"°(fa) ^- ~%cos(«P)sin(Ьр) [а>Ь>Щ;
о
— — j^sm (ар) cos (bp) [0 < b < a].
БХ[166]A)
CO
n С sin (aac) cos {bx) , я , . /., г^>/м
7- J y—i—^r-t-xdx^—~y cos (ap) cos (bp) [a > 6 > 0];
= ^-^cosBap) [a=6>0];
у sm (ap) sin F/?) [b > a > 0].
БХ[166]B)

430 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
c=2~sin(ojo)cosFjo) [a > b > 0];
= -^- sin Bap) [a=b> 0];
= -^-cos(ajo)sin(*/>) [*>a>0].
3.743
1.
я sh (af5)
5.
3.744
1.
sin (as)
3.745
1 I
БХ[166]C)
ИШ 81 C0)
Rpp>0]- ИГП23C6)
6>01. БХ[191]A8)
>0]
ИП1 82 C2)
ИШ82C1)
sin Bax) dx _ я Г p sina (e6) , sin Be6)
sm 6 aA> siu й
sin2(a*)J [0<a<l. ft>01 БХ[199]A)н
2.
ыпBаа;) хг dx я_ i о
F»_хЛ)а ~"F '
ab) i smBafe)
п
s,mu
sin2 (aft) ] {0 < a < 1, b > 0]. БХ [199] B)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
431
3.746
со n
С dx rr
О й=0
й=1
ФII64b
к=1
1=1
ft=l
3.747
xdx
Sill X
тг—х ) dx
БХ [2041 A8), БХ[2О6]A) ГХ[333]C2)
xdx
I* > 0].
х tg х dx = — я in 2.
С xXgxdx = co.
о
я
4"
a;tga;da;= — |-In2 + — б? = 0,1857845358 ..
a;ctga;rf2;=-^ln2.
я
a; ctg ж rfa; = |-In 2 +-i б?=0,730 181 0584 ...
ГХ [333] G9 с)
БХ [218] D)
БХ f205] B)
БХ[204]A)
Ф II623
БХ [204] B)
л
2
9.
= f 1п2.
ГХ[333](ЗЗЬ), БХ[218]A2)

432 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
10. \ tgax — = ? [a>0]. ЛоУ279E)
H. \^Lfdx^~ln2. БХ[206]A2)
о
3.748
оэ со
о P gtg(aa:)da; _ P x ctg (as) cfe
fe=i
2. 5жРсг8а;^=(|)Р{1-224Т^СB^}. Лк[2051G)
Лв [204] F)
3.749
CD
I- \ *У_У = -?^ [a > 0, 6 > 0]. ГХ [333] G9a)
CO
xctg(ax)dx = __я__ гя^п. A^m ГХ[333]G9Ь)
*соаве(«г)Д«=оо> БХ [161] G, 8, 9)
3.75 Тригонометрические и алгебраические функции
3.751
1 ^ 8Ш(дд)А; = ^? jcog ^др^ _ gin ^др^ + 2С (у^р) sin (ap^ __
- 25 [УЩ cos (оР)] [а > 0, | argр | < я]. ИП I 65 A2) н
со
2. \ — —=i 1/ — I cos лЙ -f- sin (др) —- 2С ( у яр! cos (flP) -—
- 25 (/ар) sin (аР)] [а > 0, J arg Р | < я]. ИП 18 (9) и

d 6—4 i ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 433
со
3. [ -^L^-tfa: = |/ Д' [sin (аи) + cos (аи)] [а > 0, и > 01.
О Ух — и г ^а ¦¦
ИП165A3)
\ v ' dx = I/ — [cos (ов)-^ sin (аи)] [a>0, в > 0].
J у х — it r za
и
ИП18A0)
3.752
1 со
1. \ sia(ax) yT=*dx = У, (,47)П (Г+3)!! [" >
О *1=0
БХ [149] F)
2. \ cos(ar) ]/l — x2dx— 2дА(а)- Ку65F)в
о
3.753
_ БХ[149](9)
о ' х *=о
2. \^1Щ^ = ^/0(а). В30G)н
со
3. С -sin {а^dx- = | Jo (а). \а > 0]. В 200 A4)
4 С COS (ах) / Я дт / v тэ олгч/лсч
. \ .-Л—1 дж= — — А'о(а'). Б200A5)
5. Г ^^^-йя5 = уУ1(о) [о>0]. В 30 F)
3.754
со "^
С sinlax)dx я гг , „. - , „.-, г л ¦„ D л,
1. \ — ^ ; - = ^ ['а ("Р)~ *'д(дР)] [а>0, Кер>0].
ИП I 66 B6)
СО
2. [ ^A^L^L = к0 (аР) [о > 0, Re P > 0].
о
В 191A), ГХ[333]G8а)
3. I х ь"' ^^- da; = аК0 (ар) [а > 0, Re P > 0].
Ь
ИП 166 B7)
28 Таблицы интегрялон

434 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.755
ИГЛ 66 C1)
ИП110 B5)
3.756
1. ? ^j^-JJ sin(ofta;)rfa; = 0 Га„>0, а >2 ah ]•
ИП180B2)
со n n *•
2. § ж2~'соз(оа;)[| cos(айж)«(ж = 0 \ак > О, Л> 2 а*]-
ИП122B6)
3.757
со _ _ ^
БХ[177]A)
2. j-^rf,-/!. БХ{177]B)
3.76 — 3.77 Тригоноиетричеекве и степенная функции
3.761
1
1. J j*-» sin (ож) dx = -~ [гРг (р: |i + 1: ю) - ^ Qi
[о>0, Re|i> —1J. ИП168B)м
2. J а^-1 sin xdx = j [e~* * р (ji. in) - е51|1Г (ц, - iu)]
к
-1]. ВТФН149B)
*¦
+ (—i)Bci(o)] [a>0]. Ли [203] A5)
4. ^
[а>0; 0 < f Re р. | < 1J. ФII809 и, БХ[150]A)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 43Ь
5. Jx-BinC^dx-i^i^ 2 (-^й^
о
-(-1) J — «Л у -• ГХ[333]F1
и7
1
6. \хР--* cos(ax)dx = -x—[1FI(k\i; ц+1; ia) + ^F-g (ц.
fo>0, Reji>0]. ИПН1B)
T —-t "t
7. \ x*-1 cosxdx = y[e 2 Г (ja, iw) + e^ Г (p., — ш)]
u
р\ец<1]. ВТФЦ 149A)
CO 2tl
8.
9.
[o>0]. Ли [203] A6)
я cosec ^r-
[a>0. 0<Rep.< 1]. ФП809и БХ[15О]B)
10. \ ( ^
-1) 2 ^Lr rnl ГХ[333}G)
2 EU\
0 *=0
-1) ^)[2fi(^-)-m]m!. ГХ[333](9с)
2пя m—t
2пя
12. t ж cos kx dx = - 2 ^jir ( 7 ) B"«)m~'cos ^ «• БХ I226! B)
0 (=0
3.762
CO
1. \ x*-1 sin (еж) sin(te) <fc = у cos ^ Г (|x) П * - о Г" - (b + a)""]
[a > 0, b > U, a Tfc *, — 2 < Rej» < 1J
(при ц=0 см. 3.741 1., при |i= - 1 см. 3.741 3.). БХ [159] G), ИП1321 Dq)
28»

436 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
2. [ х»-» sin (or) cos (bx) dx = 4- sin ^ Г (u) [(a ¦+ Ь)~* +
J
+ |o- b l^sign (a- 6)] [o>0, 6>0, |Re|i|<l]
(при ц = 0 см. 3.741 2.). БХ[159](8)и, ИШ321D1)
со
3. [ x*-1 cos (ax) cos (bx) dx = \ cos ^ Г (ц) [(о + Ь)~* +1 о - b \~*]
[а>0, 6>0, 0<Re(i<l]. ИП120A7)
3.763
со
4 С sin (ax) sin (bx) sin (сх) , 1 vm „ .. . г, , ,ч ,
1. ^ „v L-'^ = TcosT-r(l-v)[(c + o-6)v-1-
9
— (с + a + 6)V~* — | с — о + Ь Г sign (a — 6 — с) -+-
+ |с —a—6|v-i sign(a + 6—с)] [с > 0, 0 < Re v < 4,
v =#1,2,3, a>4>>0]. ГХ [333] B6а) в, ИШ79A3)
со
а С sin (ox) sin (to) sin (cz) , ,, r , ,,
2 \ —^ ^—! !—¦ dx = 0 [c < a — b и с > a + 6];
= -g- [e=<a— 6 и c = o+6];
= -^ [a—4><c<a-|-6]
[a>b>0, с>0]. ФII645
GO
a I" sm(ax) sin Fж)аш (cx) , 1
' ) жа ^^rfr=-^
--i-(c + o- 6) In (e + a- 6)- i-|c- a- 6| In \c-a-b\x
(a—b—c)
[a>b>0, O0]. BX[l57](8)tt, ИШ79A1)
sin (на;) sin (Ьж) sin (еж) , nbc rn
S—'—^—' L—dx = — [0<
3.764
[0<c<a-6 и c>a+6];
бе я (a — b — cf r ,
>0, c>0]. БХ[157]B0), ИШ79A2)
[o>0, _1<р<01. ГХ[333]C0а)
2. J 2^08@^+6)^=-^ Г A +р)811,(б + ^)
fe>0, — 1 < р < 0]. ГХ[333]C0в)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 437
3.765
оо
1- \ S-~^ - ™ Г A - v) [е-** Г (v, - тр) - е*<* Г (v, 1аЩ
jj х (s + p) 20У
[о > 0, - 1 < Re v < 2, | argp | < я].
ИШ219C4)
2- Fs^XgvL
3.766
[а>0, |Rev 1 < 1,
ИП II 221 E2)
а?" 1 sin (ах)
4^ ц. aj)
[а>0, -l<Rep.<3]. ИП1317D)
со
2- ) 1+а;2 ~ ^ = Т COsec T~
-Ц, -й)-е^(^-Ц. а)}
[а>0, 0<Rep.<3]. ИП 1319 B4)
3- J Ж2+^ = - у & see (ця) sh (ab) -
[a>0, -|<Ren<i]. ИПИ220C9)
С a;2*1^1 cos (ox) dx л ,2д
4 J ra+&, = -y & д
cosec
[о>0, - 1 <Rep.<-i-j^. ИП II221 E6)
3.767
[а>0, Rev>0, 0<Rep<2]. БХ[160]B0)
2.
о
[а>0, Rev >0, |ReP| < 1]. БХ[160]B1)

438 J—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЬ МЕНТ АРНЫХ ФУНКЦИЙ
sm ( ах-
[я>0, Ь>0, 0<Rep<2].
[a > О, Ь > 0, | pi < 1]. ГХ [333] (82)
3.768
L [ (х — uf~l sin (ax) dx = ~Ц$ sin (аи + ^f)
[a>0, 0<Ren<l]. ИПII203A9)
ОО
А
2.
[о > 0, О < Re ц < 1]. ИП II204 B4)
1
3. \ A — xLsin(ax)dx = — \^t Сч (а)
[e>0, Rev>-1]. ИП 168C)
1
— ехр Г —4-(vn — 2а) 1 у (\ + 1, го)J- [а> О, Rev > — 1].
ИП 111C) и
5. \ xv~l (и — a:I4 sin (ax) dx =
MH+v-l
[a>0, Rep.>0, Rev>-1]. ИПИ189B6)
6.
v; »аи) + ^(v; (x + v; -sob)]
[a > 0, Re ц > 0, Re v > 0] ИП II l89-<32)
[Re|j.>0]. ИП II189 B5)
8. ^ x"-1 (ж - uf-1 sin (еж) йж =
u
V()
[а>0, 0<Reu <-j] . ИП II 203 B0)

3.6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 439
9. \xv-l(,u-xf-' co{)
[Ren>0]. ИП 11189C1)
CO
10. [ x*-< (x - в)" cos {ax) dx =
1
и \^~г n, , Г • аи r f аи \ аи
[a>0, 0<Re[A<-i-]. ИП II 204 B5)
11 [ rv-' A — xflsin(ax)dx= — |B(|i, ^[^{v, v + ji; io) —
о
— AK v + |j.; — ta)] [a>0; Re p, > 0, Rev>0].
ИП168E)в, ИП1317E)
12
o
— ia)] [a > 0, Ren>0, Rev>0].
ИП 111 E)
13 \ x* {I ~ xf sin {ax) dx =*—^-^ Г {р-}-I) sin aJ , (a)
[o > 0, Re Ц > - 1]. ИП168 D)
14 \ x*{\—x)^cos {ax) dr =— t Г (ц+ 1)cosaJ ) (a)
0 Bа) ^ 2
[a>0. Re|A> — 1]. ИПИ1D)
3.769
CO
1. [ [(P + ix)~v — (p — J?)~v] sin (ax)
и
= -w"V~A^~' la>0, Rep>0, Rev>0]. ИП17ОA5)
oo
;)~V + Ф — ix)~V] cos (ax) dx = na v '—¦
[a > 0, Re p > 0, Re v > 0]. ИШ 13 A9)
OO
3. [ x [(p 4- ix)~y 4- (P - ix)~v] sin (ai) ofa; =
= _ MV~P^~aP) e-°g [o>0, Rep>0, Rev>0]. ИШ70Aб)

440 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4 ^ ж2" [(Р _ гх)-4 - (Р + Щ~ч] sm (ах) dx =
[а>0, Rep>0, 0<2n<Rev]. ИШ70A7)
5 ^ ж2" [(р + ix)~v + (Р - и)"*] cos (аж
а
[а>0, Rep>0, 0<2«<Rev]. ИПНЗA0;
6. \ ж2"+' [(р + ix)~v + (Р - гж)-7] sin (ax) dx =
'!17 Bn + 1)! ^v-2n-2e-°^2n+"-2 (ар)
[a>0, Rep>0, -l<2n+l<RevJ. ИШ70A8)
oo
7 jj x*™ [(P + ix)~v - (P - ix)-v] cos (аж) dx =
о
= '"гУ B» + 1)' «и*-*- ^-^гп+Г2 (op)
[a>U, Rep>0, 0<2n < Rev- 1]. ИШ 13B1)
3.771
[a>0, Rep>0, Rev<-i-,v#-4, —§, —| • •••] •
ВТФП38м, ИШ68F)
oo 1
2 J (p2 + x*)~% cos (ez) <?e = -Ц (^)V cos (nv) Г (v + y) *-v («P)
[a>0, Rep>0, Hev<|-] . В191A)«, ГХ[333]G8)«
3. \" x*»~ * (и2 - x2f~' sin (ar) dx =
0, Rev>--iJ. ИШН8ЭBЭ)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 441
4. С a2v-' (в2 — д?)ц~''соз (аж) аж = -i- b2»*+2v-2B (ц, v) x
5.
6.
7
8.
X ,/^„ ( v
СО
Р 2
у х + ,
f (в2 ж'
о
СО
[а>0, j
U
\ (в2 ж!
0
1
' 2 '
ю-
1
[
.X
w^
[а
4
; —
>
sin (аж) «ir = —
а > 0, м >
0,
\
-)
!
/
0,
/"я
2
Re
2
[Ren
Г21
я" ^ с
Rep>
Y 2и V
V. а j
Sv>_.
Y2u\
ВТФП
>
о,
I-
81
0, Rev>0]. ИПП 190C5)
)v cos >
Rev
(v +
Cv
A2) в
(v +
»rf»+4-
>-2].
Yj Hv (ав)
ИП169 G),
, ИП169 (8),
ИШ69A1)
В 358A) а
В187C)н
[а>0, в>0, Rev>—у]. ИЩ 11 (8)
9.
[a>0, в>0, |Rev|<l] . В 187 D) и, ВТФП 82 A3) в, ИП111(9)
10. {x{v^-x2) * sin {az) dx = X?-и (—У Г (v +±-~) Jv+1 {аи)
[a>0, н>0, Rev>-T]. ИШ69(9)
[а>0, и>0, -i-<Rev<0]. ИП169A0)
v+1
12. \ x (в2 — ж2) cos (аж) da; = ^— sv, v+1 (ав) =
[o>0, и>0, Rev>-4] • ИШ12A0)

442 3—4 ОПРЕДЕЛГННЫЕ ИНТЪГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
13. J х (x*-uz)~*cos(ax)dx=}-^ ("х)^ (v +4) /-v-1 (ав)
U
[а>0, й>0, 0<Rev<4] • ИП1 12A1)
3.772
CO i
1 \ (a:2 4- 2C r) 2 sm (ax) dr
т) f7-v
[а>0, |argр| < я, -|->Rev>—|J •
? v-I
2 Wa;s + 2рж) 2 cos (ах) dx =
о
= - -*у*- (?")* Г (v + т) f^-v <аР>cos (аР} ~ /-
[а>0, |Rev|<i-] • ИШ12A3)
3 ^ Bих - ж4)* 2 ып (ал;) dt = ]/я (-^-)V Г (v + 4) Sin
о
[а>0, м>0, Rev>--i] ¦ ИШ69A3)и
V--
4 ? (ж8 — 2их) 2 sm (аж) dx =
2u
?")v г (v+4) t7-v (аи) cos (au) - ^fau) sin (аи>]
[а>0, и>0, |Rev|<-i-] . ИП1 70A4)
v--
-х*) 2 cos (ал-) dr=K^(-^L)V Г (^v+4) Л (ом) cos (аи)
[а>0, и>0, Rev>—4] ¦ ИПИ2A4)
6 S. (xs—2ux)V 2 cos
2и
(v +4) [/-v (аи) sin (аи)+ N_V (аи) со* (аи)]
[а>0, и>0, |Rev|<4] • ИШ 12A2)

S 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3.773
;2v
Г j;2v
1- \ :пг sin {ах) ах
4M.-v+l + Г
( (i"~v+T )
/я
[а>0, Rep>0, —1< Re v < Re|i+ 1]. ИШ 71B8)и, ИПИ234A7)
2 &»
[а>0,
|argz|<n;]. ИШ68C9)
3
[а>0, Refi>0, -1<лг<и]. ИШ67C7)
rfti-v+1) г
[o>0, ReP>0, —i<Rev<Re(x+l] . ИШ14B9)и, ИПП235A9)
P ж2т cos (аж) dx = ^ _ ^
[а>0,
n]. ИПН0B8)
3.774
f а>0, Rep>0, 0<т<«+-|-1 . ИП114B8)
sin (аж) dx я Г ¦ vn . , ,. . i T .. ,.
-J—; -^- = . sin -^ /v (ab) + T Jv [tab) -
v .
[a>0, b>0, Rev>-1]. ИШ 70A9)

444 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
п Р cos(ax)dx Я
v bv sin vn
[a>0, b>0, R«v> —1].' ИШ 12A5)
[a > 0, Re p > 0, Re v< -|] . ИШ 71 B3)
[a>0, ReP>0, Rev> —|-] • ИШ 12A7)
5. [№+|^Р)^ий '^r(|_^y^ v
8 xV+ Г "l
[a>0, Rep>0, Rev<y]. ИП171B7)
6. F(P+/^+F)v
[a>0, Rep>0, Rev< у] .
3.775
oo «.
1. V . , — Sin
0
[a>0, ReP>0, |Rev|< 1]. HflJ70BU)
[a > 0, Re P > 0, | Re v | < 1]. ИЩ 13 B2)
CO v у
3. \ <X+V x —" ) -r\x— У x ~JLL sin tax) dx =
j Yx*—u2 .
u
= ям* Г /v (ак) cos ~ — ,/Vv (ам) sin -^-1
[a > 0, и > 0, f Re v | < 1]. ИШ 7U B2)
- ли* [ iVv (aa) cos ^j- + Jv (им) sin ~
[a > 0, h > 0, | Re v | < 1]. ИШ 13 B5)

3 в—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
445
и2—
f
sm (ах) dx
= f-«vcosec-^-[Jv(aa) — J_v(aM)]
[a > 0, к > 0].
ИШ70B1)
6.
[a > 0, в > 0, [Rev[<l].
ИШ 13 B4)
ИП1 71 B5)
со
I-
¦ cos (ax) dx =
ИП1 13B6)
яр' |X(pa) sin (pa - ^L) + Jv фа) cos (fa - ^-
[e>0, |агёР|<я, |Rev|<l]. ИШ 71 B6)
cos
= лГ [ /v (pa) sin (pa - -^L) _ Nv фа) cos (pa - ^
[a > 0, | arg p |< я, |Re v | < 1]. ИШ 13 B3)
= DwJvjt2 |/ jJ^ iJau)Jv_L(au) [a > 0, к >0].
ИШ 14 B7)

446 i—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
5.776
СО
&=_о_ [а>о, 4>0, р>0].
БХ[170]A)
¦¦ ъ?г [а>0, Ь > 0, р > 0].
БХ[170]B)
3.78 — 3.81 Рациональные функции от а? и от тригонометрических
функций
3.781
ОО
1. J (E2L?__y _|1=1_с (сравни 3.784 4. и 3,781 2.).
БХ[173]G)
ОО
2 J (cos*-1^)~= -С. БХ[173](8)
3.782
u оо
А 1 АПН <*А ^ «ЫЫЧ «^
[и>0] ГХ[333]C1)
2 f1-*?1"^—g. BX[158]A)
3 J ^^бТ^^У (а>01 ИПИ 253D8)
—со
3.783
ОО
BXfl73]A9)
2 ^ (cosх- f^r?) ~=-С. ВТФГ 17, БХ[273] B1)
3.784
оо
" ~"^~ ' \аЬфЩ ФН635, ГХ[333]B0)
-J- [а>0, Ь>0] ФН647
БХ[158]B), ФИ 645

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 447
4. pinx-*cos*^l. БХ[158]C)
со
г f cosaa;—cos Ьх , 1 Г .... о , .
5- ) »(х+Р) Ж = 1 L C1 ^^ C°S tt^ Я
) (+РI L
— ciFp)cos6P — siFР)sin Ьр + ln-jj [а>0, 6>0, |argP|<n].
ИПП 221 D9)
6. ^coeffi;+ylna'<fa = »- [а>0]. ГХ[333]G3)
7 jj1 sin ag-^ cos « & _ |. Д1 sigD a. Ли [158] E)
, я[(Ь
[а>0, 6>0, |argp|<n]. BX[173]B0)«, ИПП222E9)
П
3.785 ?-i-^ a*
ФП649
3.786
= |.ll|J»^_+|lll_?±|_ [e>0,
ИП181B9)
-«««.) cos to ^^^jQg^bM [a>0. ft>0. a^ftj.
ФН647
y^^(a_b) ю<ь<а].
ИШ2ОA6)
3.787
у cos a l«a > wj.
BXfl55]G)
2. yin%ax-3iu%bxdx = Yla T \аЬфО]. ГХ [333] B0 b)

448 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.
4.
3.788
3.789
3.791
1.
2.
ж»—srn^x , 13
g «я .+(*-
л
Т
xdx
1 + sina;
l-{-sm ж
2.
— 46?.
j5^
z
3(* X COS Ж . то ол
. \ -г-—— <&:=я1п2 — 2G.
r (lT~x )
4. Г:Ц >!
J 1sin
с
—sin ж
cos ж
1—sin ж
= я la 2 + 4G = 3,3740473667 ...
БХ [158] F)
БХ[155]F)
ГХ [333] F1а)
Ли [206] A0)
ГХ[333]E5э)
ГХ [333] E5с)
ГХ[333]E5Ь)
БХ [207] C), ГХ [333] E6с)
БХ[207]C)
БХ[219]A)
7.
ft==l
[р>0]. Ли [207] D)

8.6— 4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
44Я
8.
9-
ю.
•*• -=» 1„2.
1+cosx 2
., Р x-sins , n f х -
"• J ir:8osTa:C~ 2 + ] l-
0 0
; = 2.
3.792
1 Г dx = 23t
J 1 — 2acosa:-)-os i—a*
—я
л
1-|-2аош J-j-e2
-2 <-!)*
»• < 11.
3- Si=?
ta cos х-\-аг a
S* ж sin ж rfx 2я
\=
i — 2a cos s+«a
—bi(l—д)
2л
ГХ [333] E5a)
ГХ [333] E6a)
ГХ[333]E6Ь)
ГХ [333] E7a)
ГХ [333] E5b)
ФII485
Ли [241] B)
БХ[221]B)
БХ[223]D)
БХ[223]E)
ГХ[333]F2Ь)
29 Таблицы интегралов

450 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ QT ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7 \ ЬшЬх dx — " 1 + °— 2aEm+t ,, „ , „ .
'• \ 1—2асоьх+а*' х ~ 2 A — а2)A — a) I" =j!= и, 1,/;,...],
= Т (!-¦») <1-«) [6 = 0,1,2,...]
[0<а<1]. ИИ 181 B6)
.^^^L^a^O» {6*0,1.2,...];
ж 2A—a) l J>
Я „л , Я i j г» /\ л п 1
1, 6>0]. ИПИ9E)
Р A — я сочзг) чш ftar ete Я 1 — i
0
я 1 — а» яаь „ . о Q ,
Х'Т^Г+^Г [6=1,2,3,...]
[0<ла<1]. ИП182C3)
dx я 1 -
1 — 2а cos i
оо
БХ[192]A)
оо
.. "P 1 dx an sin fop г 2 J^- n
' 1 —2acos6»+a2 P2—x* ~~ P(l—a2) 1—2асоьЬр+а» *¦* ^ ^-
БХ[193]A)
.„ i sin box xdx jt g-pae_ae ^
БХ[192](8)
sin bx xdx я 1 , , ,..
13- i-^асоьох
о е а
[а*>1]. БХ[192]B)
2 ьр
я 1
Н? sin Ьсх xdx я a° — cosflfee
.,- t cos беж dx _ Я A—о;
—2асо8бх+а2р!—ж» 2рA—а2) 1 — 2acosp6-faa
0
[а8 < 1]. БХ [193] (9)
1А С l — aco*bx dx я е"
1Ь- J l-2acosto+O2T+^-T^=?- ФП719

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
451
,8. J T
COS OX
1 — 2a cosar-j-a8
sin bx^nx
dx
x*+p
dx
l, Rep>0]. ИП121B1)
-2a соь Jc-}-as
—I)
(cosai— a) cos bar
[0 < a < 1, Rep > Uj.
ясЬ)Зй
ИП181 B7)
1, |aj< J, ReP>OJ. ИП121B3)
2Q
sin жdx
A—
A — 2
ft=0
3.793
2л
sin пж—a sin ffra-I—1>я:
ft=l
3.794
1 —
БХ[187]A4, 15,16)
БХ[2231(9)
БХ[223]A3)
[а>1]. Ли [219] B)
2я
Xln
n-i
—*
БХ[223]B)
29*

452 S—* ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТРГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.
4.
С жсо'
)Т±7
. —1^1 — а?
И
2 — Ьг
-)- 6 соь а; 6
2п
5. Г"
6.
2я
sm x dx
л ± i cos 2* "-jf 2 >. a2—4
= 0
3.796
2.
3.797
1.
2.
3.
3.798
1.
COS*—Sin
(*-
;1] БХ[223]<3)
. 0]. ГХ [333] E3а)
0]. ГХ[333]E3Ь)
[a2 < ЬЧ
я
т
• xdx
cos2ir
1в.
J^
Д a-(-fccosia;
da; Я
—а -~-
X
a*—6»
lb>c>0];
БХ[202]A5)
БХ [207] (8 и 9)
БХ[204]B3)
БХ[204](8)
БХ[204]A9)
БХ [204] B0)
БХ[1811B)

3.6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
453
=
= 0
3.799
(cosa:-(-asinar)»
3.
, 14-а .
e8 /2
In 2(а~й) [в
а-\-\ al—bl
0]. БХ[181]C)
BX[208]E)
БХ [2041B4)
0J. ГХ [3331 E8а)
l
3.811
1.
2.
3.
sin х
1—COut} COS» 1 — COSf, COS X
¦ ясовес-ч
я
2
\
J (cos ж
xdx
; ьш х) sin х
xdx
(cos ж-f-sin х) sin x'
(cos x+sin x) cos x
5.
3.812
1.
sin ж-| cosi cos2 г
(сравни 3.794 4.). БХ [222] E)
БХ[208]A6 в 17)
БХ [2041 B9)
БХ[204]B8)
БХ [204] C0)
4 2
я
С х sin xdx я . . / Ь ш *. л 1. *. •
i+FSl = 75 g^ [o>0, 6>i

454 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМКНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2- ^пЧЬ'^;1" [«>-!, а*0]. БХ[207]A0)
2
3. V *™д"ДЛ к, "^ч-'-r 't«< [а > - 1, а * 01. ВХ [207] B)
0
it
4 Г ж da; л2 , .. .,
• \—i rz=*z—г [а > 1];
= 0 [а8<1]. БХ[219]A0)
п
5f xsinxdx я, i-4-а , . ,, rvroxmi'j,
\ -s —,— = — 10^— [афЦ. БХ[219]A3)
J а2- cos2ж 2а 1 — а L J l J '
-ав + а1/^^Г1)] К>1] БХ[219]A9)
2 oo
\ —у, г- = — 2 eosee f >. , \ , ' ,— . ЬХ [207] A)
1 г.пчг /. — 41 п2* ^_) (yt_l_1\2 l J \ /
8- \ «_ЗГ^-я(я-2«)соаее2«. БХ[219]A2)
СОЬ2 t — SIU2 X
л
1—соь2 I sin2 ж
б
а ?
COS2 « — COS2 х
б
я
х ътх dx
_ _
в- U^SS-^^cosec^^^H^- БХ[219]A7)
in \ x^nxdx !Lfjr_?/\rto'f KXf?1QlH4'\
И. ^ ^4^+Т^^Ж ^ = 2дяЬ cos^ + пЫ Xgl. БХ[219]A8)
о
3.813
я 2л
1. С Ж^ d
a8 cos2 ж-f-*2 sm' ж 4 J a8 cos2 x-\- b2 sin2 ж 2ай
0
[а>0, Ь>0] ГХ[333]C6)
„ f 1 fo я sh Bao) Г? v 2 1
J Р2 sio2 ах-\-у* соз2 аг 'ха4*62 ~ 46(Рг sh2(a6)—¦y2ch2(a6)) L У Р sh Bвв) J
[jarg-?-|<n, Re6>0, a>OJ . ГХ[333](81), ШШ222F3)
00
• \ w^I7^X^7^2TT = S3; И>01- БХ[181](8)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
455
4.
. \
ж sin 2х Лг"
—тт. In ... Га > О, Ь > 0, о =И= ".
ГХ [333] E2a)
о,
1п^ 1">0. Ь>0, афЪ].
Я
ГХ [333] E2Ь)
БХ[182]C)
^со-'а;-)-^ sin'ж ж Z& (а-t-fc)
О
С—^i;^"s;j: , .*L= " [а>0,й>0].
J а2 со;.'1 j; (- б2 ыи! х х 2л(а-^-Ь) i^^'^J
-t | <я, ReS>0] .
ИПИ222F4), ГХ[333](80)
[e>0, 6>0]. БХ[182]G)в
БХ[182]D)
BX[l82](t)
я 1
3.814
3-
_—1^1^ = _ JL
(sina;-f-t.os3;) соь х 8
42
J
0
я
БХ[2О6](9)
БХ[204]C0)
БХ[181](9)
Ли [208] B0)

456 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
J aa cos» ж-j-b8 sin8 ж 2 j a» cos8 ж-f-b2 sin2 ж
0 0
ГХ [3331E9)
БХ[182]F)
«¦
1- БХ[182К2)В
[a>0.*>0j.BX[182]E).
10.
sin» x cos x
dx
a2 cos2 2ж+б2 sin2 2a: x cos ix 86 a*-|-b»
[a>0, b>
dx я Ь»—a*
01. BX[186]A2)u
.. P sin»
J as cosa яг+62 sin8 ж " ж cos 2x 2ab ' *8-)-a2
0
[a>0, b>0]. БХ[186]D)м
во
<te я Ь
sin ж cos ж
la > u» 0
БХ[186]G)и
sin ж cos>
sin'jc
xcos2z~ lab oa
dx
^
* cos 2x 2*
BX[186](8)U
БХ[186]A0)
>4- БХ[Ш1C)И
3.815
1
ж sin Ъс dx
(i+a sin» ж) A+6 sin» ж) о—1
[a > 0, b > О], (сравни 3.812 3.). БХ [208] B2)

з.б—4.1 тригонометрические функции
457
х sin 2х dx
я , A+V 1 + 6) V 1 + а
1П
1П
[a > 0, ft > 0], (сравни 3.812 2. и 3.). БХ [208] B4)
3.
[а>0, 6>0], (сравни 3.812 2.). БХ[208]B3)
х sin 2x dx
— sin2 t1cosix)(i—sinaf2cos»ar)
г
cos -~
«1. БХ[208]B1)
3.816
(вг — 1 — sin2 x) cos х
1—о
(сравни 3»812 5.). БХ[220]A2)
3-
я
2
(cos^H-sin^cos» . ,
(cos»/-sin»*)» * *"
Ли [220] A0)
3.812 6.).
Ли [220] A1)
4 х, sin[Bfc+t)fl
E2
3.817
2-
J (а2соз2ж+62з
(сравни 3.812 7.). БХ [208] A4)
]. БХ[181]A2)
БХ[182](8)
БХ[181]A5)

458
4 ОПРЬДРЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
SiniCOS2! dx Я
(а* соь* x-\-b% sm1 x)' x 4a-3b
01.
3.818
sin ж cosa
4
5
^___
3.819
- W
МП3 Ж COS Ж dx Я 3ga-f&»
я^ со,-' 2* -f- fcJ ^ш3 2х)" IF = Ь4 a^fc^
ж -16
ЬХ I \o?\ (У)
БХ[181]A3)
BX[181]A4)
БХ[182К10)
БХ1182]A3)
cvnooi/ч/ч
БХ[182]A4)
Ли[181]A9)
БХ[182]A7)
БХ[181]B0)

3.6-4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
459
sin х cos х dx п а*-\-2а*Ь*-\-ЪЬ* г , Л1 r,vr,o^,,o\
os2*+b2sin2»L 1Г=32 ^ [ab>0]. БХ[182]A8)
sin* cos2s dx _ л а*+2аЧ»+5Ы , ,
ТЙ ?Р [Об
1- БХ[182]A9)
n8»)" я 32
sin» ж cos ж da; Я
0].
sinxcos3ж dar л а*~|-5Ь2
(а»
7
7-
Q
8-
sin3a:cos2a! dx я
32-^
0].
dx я
f sin5xcos5a; dx я 5as-l-i>2
12.
(a2 cos11 ж-| 62 sin2 x)* x 32
14.
15.
cos22a:tg2:
z-t—
(a2cos22a;-f 62sm22a:L
я а4-)-2о2Ь2 + 56*
32 a7bb
(a2cos22a;4-62sm22a;L ж 8
[аЬ>0].
i -~ J
cos4 2a; tg
(a» cos22a;+^sin2 2a;L
Jt a2+562
.32 e'6'
БХ[182]B3)
БХ[182]B7)
БХ[182]B4)
БХ[181]B4)
БХ[182]C0)
БХ[182]B1)
БХ[182]B8)

460 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.82 — 3.83 Степени трш онометрмческих функций и степенна и функция
3.821
я
1. i хsin"xdx^^ г Г<^ + 1I2 [Р > - 1]. БХ[218]G), ЛоУ121 G1)
г j»*-.*.?-^^ [»-2»1:
*+i Bm)" r r _ •
[r — натуральное число]. ГХ [333] (8c)
3
n
2 m—1
( T ёг-fyn [n=2m-l];
*.B—«m . „ л ГХ[333](9Ь)
[и = 2m].
4 LcoS^^=5<^i^. BX[218](iO)
о
en
5 ^xcos*mxdx = ?{s*-r*) (-^=^. БХ[226]C)
«* /~ Г f-^-
[jo — рациональная дробь с нечетными числителем и знаменателем]
JloVZ78, Ф11808
38 7. \^ ILdx-^-f^^. БХ[151]D)
CO
8. Г?^^<й;«=оо. БХ[151]C)
С»
9- t 3i^aa;^=^ [o>0]. ЛоУ307и312, ФН632
i * 2
1Q fs^^g^gn a* [a>0] ГХ[333]A4Ь)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИИ 461
и. yjifpEdx = (^m{2m+1)^ [a>0]. гх[ззз](ш)
лг, Г sinpa: , р f sin** x ,
12 \—х^~ах = ^=л) »»-' C0STdx
о о
= rfT _ _?.dr
(m—i)(m 2) J ж 2 (m —l)(nt—2) J r» '
0 0
[p>m-l> I]. TXf333]A7)
13. 7^tnf dr=co. БХ[177]E)
J у x
14 ? sin271*1 рж — - — l/^V (-1)" С 2"+1 ^ i
БХ[177]G)
3.822
л 5 5
2 2 2
xpcosmxdx=- Р(Р~Х) \ xp-2COsmxdx + —± \ xpcos"' r cfx
no
[m> 1, p> 1]. ГХ[333](9а)
f1 -~ i S~lTr
2\ т 2 рло21^+1 / пт^ Нт I/ .... \
V X MJO KP'*') "¦**• oo« I/ ^ /
БХ[177](8)
3.823
\ as»-1 sin* axdx= _ ^+1 ^2 [a > 0. — 2<Re|ii<0].
о
MH1319A5)t ГХ [333] A9c) и
3.824
" ~i?%,dx = -?r(i-e-W) [a>0, RefS>0]. БХ[160]A0)
2" 5^Т^^ = Ж{1+е~2аР) le>0, Rep>0]. БХ[160](Н)
5
о
о
m
-22 (-1)*B™)*Ъ[2(т-к)а]} [а>0]. БХ[160]A2)

462 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2m+t
¦2 '
2m+i
-2A)a]} [a > 0]
БХ[16О]A4)
2 2 (- 1)
fe=0
"
[« > 0]. БХ [160] A5)
fe=l
2m+l
<<=o
[a>01-
БХ 1160] A7)
9-
10.
- 2»- 1) a]. BX [160] A8)
[a>0, й>0]. БХ[161]A0)
[« > *];
[е-6];
[a > 0, b > 0], (сравни 3.824 1. и З.). БХ [162] F)
И.
[a=b];
Ли[162]E)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 463
3.825
1- \ (y+^)(g,+^) --—4Х(б»-о—* ta>0) 6>а c>°i-
О
БХ[174]A5)
i F2+^)(^+^)" 4be(b>-c») [a>V, b>U, c>UJ.
БХ[175]A4)
oo
o f sin2 ax dx я (с sin 2ab—b sin 2ac) T ^ л » ^ л
3- \ F2,2)(c2,2) - ш<у*) l la>0' 6>0'
Ли [174] A6)
Ли [175] A5)
3.826-
1.
о
БХ[172]A3)
ЕС
о
БХ[172]A4)
3.827
'cos^ T(l-v) [o>0, 0<Rev<2].
ГХ [333] A9f)
со
2. \ sin ax dx — ~ signo. ЛоУ277
3. Г sia^ax dx =j a In 3. БХ[156]B)
СО
4. ^ i"^_ ^,;= 3 a^signa. БХ[156]G)и, ЛоУ312
со
5. f sirtax dx = ^ [a>0]. БХ[156]C)
6. [-^~-dx = a4n2. БХ[15б](8)

464 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
sin* ax
sin* ex
7.
8.
9.
10.
H.
12.
13.
14.
15. \ ^t—
3.828
1.
^ [a>0].
2
115
384*
с= 1а4 B7 In 3-32 In 2).
оо
(* . da: I
2. \ sm qx sin pa; -^- = у j
), ЛоУ312
БХ[156]D)
БХ[136](9)
[в>0]. БХ[156И12)
БХ[156]A3), ЛоУ312
БХ[156]E)
БХ[156]A0)
БХ[156]A4)
ЛоУ312
? q]. Ф II 647
БХ[157]A)
¦* [0<*<2а];
4.
5.
n2 ож cos bx , 1 , 4a«—6s
= 0
BXfl511(l0)
\ БХ[151]A2)
ФIII648 и, БХ[157]E)а

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
465
в. \ ^2«*cos*bxdx==x [в>6].
[а-6];
gin* ax sin Ъх sin еж , л
БХ[151](9)
8.
9.
10.
И.
12.
[а>0, 6>0, с>0]. БХ[157](9)и, ИП179A5)
4 Ь—с ¦
Sina aa: sin2 6ж , я
sina ax sin2 bx
sin2 ах cos2 бя;

2а—ft
: 4
ал
— а) [0<а<Ь];
-6) [0<6<а].
= ^(а-!-62) [36<а].
я л \ sin8 fla: COS Ьх ? л г l ^ о 1
13 \ dx=Q [о > За];
Я г.
-ТВ [Ь"
БХ[157]C)
БХ[157]B7)
БХ[157]F)
|; БХ[157]B8)
Ли [157] [28]
30 Tnrtmmre
-| 13о>Ь>в];
¦-^ [а>Ь] [а>0, 6>0]. БХ[151]A5)

466 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
14 улЩр^Нх^^ {[a + b)ln[3(a+ b)] + (b-a)ln[3(b-a)]-
- j (я + 36) In (о + 36)— -i- C6 --a) In C6 - а)}
[а>0, 6>0]. БХ[157]G)к, ИПИ9(9)
15. Г18у<ет|
= Ц(За-6J [а<6<3а];
= 0 [За < 6]; [о > 0, 6 > 0]
БХ[157]A9), ИПН9A0)
c=ta(9a^68) [0<6<a];
= Ц[24о8_(За-6)»] [0<о<*<3о];
= ^-3 [0<За<6]. ИП179A6)
17 [sJ^^±xdx = ^. [26>3a];
-Tjj- [3e>2*>a];
= 0 [a>26]; [o>0, 6 > 0} БХ[151]A4)
,Q i sin* ax cos» 6* , _ 1 , Ba+6)8 F—2a)" Ba + 36) C6—2a)
18 \ = ax — j^m gp
[6 > 2л > 0 или 2а > 36-> 0];
+36) C6—2a)
[36 > 2a > b] BX[154]A3)
1 , Ba + 6)8Ba—6KBa+36) C6—2a)
= 161П W
P sm' aa; sin8 bx sin 2cg . _
= ^[1 + feigu(t — u-i-b)-i-sign(c + a— V) — 2siern (c — a) — 2sign (c— 6)]
[а>0, 6>0, с>0]. ИП180A7)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 467
а-Ь-с
±
Ъ+с)*+
с)-
[о > 0, 6 > 0, c> 0]. БХ[157]A0)
[2а>36];
[2a = 36];
a]; [a>0, * > 0J. БХ[157]A8)
3.829
B)-2*r» ГХ[333]F3)
2.
БХ[158]G), БХ[158](8)
3.831
со
1. ФИ 651
2. [«^»;^"u, [l-^^gyf ] ln| [«>0, 6>0]. ФП651
3.
, Г* cosm ax cos mag—cos* bx cos тЬж , f . 1 \, Ь
[a6>0]. Ли [155] (8)
3.832
я
2
lP>0, -U>+l)<a<p+f]. БХ[205]F)
30*

468 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
2. J sin^+i хsin2тх^р = (^}™* [A - е'2"J7"-1] shа [а > О].
БХ[162]A7)
3. I sin^-i* sin [B™ - 1) х] ^ = 1~?™* A - е-2"J™-1 [а > 0].
БХ[162]A1)
4. jj йц2т-( а;^ [Bпг + 1) х] ^_ = f-^'" е-2аA _ e_2aJm-i [а > 0]
БХ[162]A2)
5. С sin2m+1«sm[3B»z+l)a;]~^ = t=ip!e-3Bm+i>ash2m+ia
о
[я>0]. БХ[162]A8)
БХ[162]A3)
аи
7 Jsin2
БХ[162]A4)
8. [ sin2-*sin [B^г + 2) *] ^ = -Ц^ е^ A -е-^)«™ [а > О].
БХ[162]A5)
9. \ sm2mxsin4mx-?^ = {-^P^e~b™sb2ma [а > 0]. БХ[162]A6)
10. ут^хстх^^^.^ . ГХ[333]A5а)
11. jj [()]?^2^[()
[а>0]. БХ[162]B5)
12. \ sin.2nla;cosB/wa;)—-t i = „BA—A—g~2aJm [a>0].
БХ[162]B6)
oo
13 С sin2m у cos [Bm-(-2) a:] ^^ = ^mCg" e~2a C1 — p-2<iJm
0 >
[a>0]. БХ1162] B7)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 469
14. jj sin.2mxcos'imx-z~i^^::^-^e'imash2ma [a > 0]. ВХ[162]B8)
о
15. Jdn^i.eoe.t-g^lJ.f • ГХ[333]A5)
о
16. ^мпа'Н-'жсоаар^^У'.^. ГХ[333]A5Ь)
О
17. J вш*«-» х cos [Bm - 1) х] ?^-а = <-.ff* [A - e-a-)«»-i _ 1]
[а>0]. БХ[162]B3)
18. J sin*»+' х cos
0
[я>0]. БХ[162]B9)
оо
19 ^ sinz™-» ж cos [Bm + 1) ж] ^^-s = -(~2Г" е~2а A - e-^w-i
о
[о>0]. БХ[162]B4)
20. J [()]^^f
[а>0]. БХ[162]C0)
со m
21. 5^^2 G)
ft=l
[a>0]. БХ[163](8)
ОО
22. [ cos" sx sin nsx 4^-t = -?r t(l + e~2as)n - 1]. БХ [163] (9)
a
CO
23. [ cos" sx sin им ^^5 = -J B"n - cos" as cos nas).
о
CO >
24. С "-« i [(m + 1) *]
БХ [166] A0)
С cos"-« xsin [(m + 1) *] —-, - ^e"*» A + e-*0—* [a > 0].
БХ[163]F)
25. \ cos
[я>0], БХ[163]A0)
26. J cosmx sin [(m-1) *] —-, = 2^ie" A +
БХ[163]G)

470 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК НИИ
27. JcosmzsinCmz)j^2 = |-e-3°chma [a>0]. БХ[163]A1)
СО
28. J cos»sxcosnsx^p = ^ra(i + e-^)n. БХ[163]A6)
29. \ cosM sx cos nsx 2_^2 = ~ cosn as sin пав. БХ [ 166] A1)
о
30. [ eorf*cos[(«+ 1)*];^ = L
БХ[163]A4)
31. \ COS"» «COS [(ffl - 1) X] -pjp = " e° A +
8
[a>0]. БХ[163]A5)
CO
32. J cos™ x cos [(m +1) *] ^ = ^ e- A + e'*a)m
[a>0]. БХ[163]A7)
33. 5*Af^fJ±}f-^f
ГХ[333]A8)
CO
34. ^cos2ma: cos 2иж sins-;= f cos2™-'ж cos 2ш, sin a: —
J ж 0 я:
БХ [152] E и 6)
GO
35. ?cospoa;sin&i:cosa:^ = y [Ъ>ар,р> — 1]. БХ[153]A2)
о
36. \ cospaa;sin paxcosx— =-^rBp— 1) [/"> —1J- БХ[153]B)
oo n
37 \ "^г" XI eosP'1 *** • sin йа; sin a; = -g-
>aS aft?fe; aft > 0, ph > 0]. БХ [157] A5)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
471
3.833
оо оо
a f ;™j-i ¦>„ dx f ,„ , , „_ , dx Bm—1)!1 Bn — t)l!
1 \ sin2m+t x cos2™x — — \ sin 2m+' arcos2"-1 %—— ,„,„,!, . .. я
БХ[151]B4),
2
3.834
ГХ[333]B4)
sin»*1*ф'_(-11'пя(|4-а)"
l+o
]. ГХ [333] F2a)
A— ila cos x-\-a2)P x
( —
s=0
3.83b
cos*m ж cos 2тж sm ar rfar я
—1I1
fcl (n— fc)!
X
БХ[182]C1)о
A= я
x Aa
3.836
CO
1 \( )
J ч x у x
>Tl ^^J
= 0
БХ[182]C2)в
Ли[159]A2)
Г°<т<П];
—j-J
sin гая cos x — — — .
41 (л — *)!
. БХ[159]A4). ИШ20A1)
БХ[159]BО;

472 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
y sin (ana)
J Ч х J аг
Ло V 341 A5)
DO
5. \ (—^—J cos(anx)dx —
о
*°°2" 2i (~1) \к) (л — 1)|ГB±ал—2к)
[О < a < 1, знак в двучленах 1 ± а, 2 ± аи можно выбрать
произвольный, но одинаковый во всей формуле]. JloV340A4)
3.837
'¦ 5^ = я1п2- БХ[2О6](9)
- БХ[204]A0)
п
I
3- ХжНё+Т1112-0- ГХ [333] C5а)
о
/
4-
[/> > 0]. Ли [204] A4)
= L1964612764... БХ[206]G)
1п2- БХ[206](8)
БХ[180]A6)
БХ[180]A7)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 473
9- [ ?LtL7i r^-coseca-lnseco Го<41. БХ[149]B0)
J cos ах соь [а A—ar)J а L 2 J l j \ /
t7ir^-
cos ах соь [а A—ar)J а
3.838
БХ[206]A3)«
Л.[204]A5)
3. SZ^^-f-dx^^i- cos дот) -f^ 21 2m-2fc-i • БХ[204]A7)
0 fc=O
л
4 m—1
, P ж sin2 ж , 1
«- л
л
4
o P ж2 tg x , lio Я, я* , • о оол
о. \ —2—"^ == *9~ —T"TiP ^сравни о.ооУ
о
л
4
БХ[204]A6)
3.839
^-l!—Iln2. БХ[204]C)
|i |yG. БХ[204]G)
4 з
о
(сравни 3.839 2.). БХ[204]A2)
5. Iseurzxexdx^ffrj- Т/?+\ |» [Р>-Ч. БХ[205]C)
6. 5g ^^(.4)
Ip>-1]. БХ[206]A1)

474 3—k ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7. |Sm^tg^ = f<?yf. ГХ[333]A6)
8. \ cos<retgg:E-^ = -^- [s > -1]. БХ[151]B6)
о
? [
9 ? cos [B.-1) х] .Лш*у« , 2»^, ^
j cos х \ х J v ' Bn)I ' *•'
О
БХ[180]A5)
ОО
10. ^^px^ = -^sec^th'pq \г*<1]. ВХ[1801 A9)
3.84 Интегралы, содержащие выражения \^\—k2bin2ae,^]fl — Л2соь2ж
и сходные с ними
3.841
DO
x
БХ[154](8)
2. ^ sin a: V 1 - fca cos2 x^=-=E (А). БХ[154]B0)
о
J tgxVl-A2sii
3. J tgxVl-A2siiiaa:-^-=J5;(ft). БХ[154](9)
A \ tgxy 1 — fc2cosaa;— = J?(k). БХ[154]B1)
3.842
оэ со
. ? sin ж Sx f tgi dx
_ P smx dx __ P tga; <fa _^ 1 g/'_j_*N
J l/l + cos3a; a; J l/'l.L.cos'a; * 1/2 V 1/2 У
0 0 '
БХ[183]D), БХ[183]E),БХ[183](9), БХ[183]A0)
2
2. \* ЖС03^^— ^ « 1П A + cos Н). БХ г 226] D)
и
со оо
„ ? ьш» dx С tgх dx
J l/l — /с3 sin21 ж J 1^1 — it!sm!j; *

3 в—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 475
о
sin ж dx _ f tg ж
БХ[183]A2), БХ[183]A3), БХ[183]B1), БХ[183]B2)
л
2
х sin x cos x
1—Л» sin*
1 — й2сов2ж
БХ[214]A)
6. Г ж5т»?ж=== _5_e ЛоIII 284
J cos»i/sm!a-sin'a: cos^a
, cosa
я in
„
2 cos P cos2 -rr
„ A — sm2 a sin2 x) у ьш2 6—sm2 x 2cosa]/l — sia2asin2p
ЛоШ 284
3.843
tgxy 1 -fc2sin22ж-^-= В(к). БХ[154]A0)
а
2. \ tgxУ 1 — A:2cos22x — = JS(k). БХ[154]B2)
о
OO C
J l/l-f-sia2 2x x I ]/l+cos22a; ж ]/2 V )^2 J '
БХ[183]F), БХ[183]A1)
GO °°
•j л/ 1 —Jfc^ siii^ 2a; "^ J v 1 —/c^ cos2 2ят *
0 0
БХ [183] A4), БХ [183] B3)
3.844
[^* БХ [1851 B0)
z r sinrco3-»_^^_i_[jrw_KW] БХ[185]B1)
J ]/l — A2 cos2 ж ж *
3. C_
БХ[185]B2)

476 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
БХ [185] B3)
T-li^+^^W-^W]- БХ[185]B4)
* -g
-»" Д(*)!• БХ[185]B5)
БХ[184]A6)
БХ[184]A8)
3.845
3.846
ОО
(* «in v. <*.n« v ri-r- Л ш
БХ[185](9)
БХ[185]A0)
о
оо
f sin х cos2 ж
t — A2 sin2 a:
БХ[185]A1)
БХ[185]A2)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 477
6. $ у^к7^х ~= эр"tA + А'2) Д (fc)- 2&>'Д <*Н- БХ[185]A4)
7 5уГТГч44^)-^- БХ[184](9)
БХ[184]A1)
3.847 Г ^*со^- • ^~ = Г 7ЖС°Ч'Ж ¦ -й- = У^2 f Jr(-^i) - Е
БХ[185]C и 4)
3.848
Г /п3хспят^.^ = А-[2Г(й)-^(^)]. БХ[185]A5)
. БХ[184]A2)
3
о
БХ[184]A3)
4 г sm» 4х ig х__ _ d^_ = _^_ ^t + к,2^ Е ^ _ 2fc,ag ^щ БХ[184]A7)
о
5 ^;_;^-4- = ^-^(*)-*"Д(*)]. БХ[185]B6)
CO
6 S 7lEf?b44'Д^-Д Wl- БХ[184]A9)
7. f /7<;tg,V4 = j
J у t — к'cus* lz x ok
БХ[184]B0)
3.849

478 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3-
3.85—3.88 Тригонометрические функции от более сложных аргументов
и етепенная функция
3.851
оо .
1. ^ х sin {ах2) sin BЪх) dx = -^-]/ -^ ("cos -?- + sin -^Л
о
[а>0, Ь>0]. БХ[150]D)
со
2. \ х sin (аж2) cos B6x) dx —
BX[150|E)B
ОО
3. С a; cos (аж2) sin Bbx) dx = -^ \ ^ (sin if— cos "
[a > 0, 6 > 0], (сравни 3.691 7.). БХ [150] G)
CO
4. \ x cos (ахг) cos B&r) «fce =
о
= 4 /?[eo-rC(-7i) + -l-7-S(-7;)] ВХ[150](в)«
5. j5^(^)l(^)
+ "j/ait sin ^-^- + -f-) } [a > 0, 6 > 0], (сравни 3.691 7.).
ИШ23C)и
3.852
\^^L/^. БХ[177]A0)«
2. ^зт(яа;2)со8Fа;г)-^ = 1|/-Т [VoTb+V^b) [а > Ь > 0];
о
(сравни 3.852 1.). БХ[177]B3)
3 fsi^^)dx = _2j^La3 [а>я ГХ[333]A9е)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 479
4. ^^^>dx = ^-1 У1ш [a>0]. rX[333]A9g)
о
oo
5. \ (sina;2 — ж2cosx2) —\ = — у — . БХ[178](8)
6. \^cosx2-T^5}-^=-^C. БХ[173]B2)
3.853
- У2 cos Q$?+^S (]/a p) - sin (ap2) ] [« > 0, Re P > 0]. ИПП 219 C3) и
2.
- У2 sin (ap2 + ?)S (K^p) ] [a > 0, Re p > 0]. ИПП 221 E1) и
3. |>
3.854
2 + ^-)-Sr(V/^p)]-y |/"s- [«>0, Rep>0]. ИПИ219C2)н
и
- У2 cos (ар2 + i) С (V^ p) _ 1Л2 sin (ар2 + -f-) 5 (j^ p) ]
[a > 0, Re p > 0]. ИПП 221 E0) и
1. I (cos (<и«) - sin («**)) ^Jp- = 1*~= [a > 0. ft > 0].
Ли [ 178] A1) и, БХ [ 168] B5)
2 [(cos(^) + sin(aa;2))-^r=^=^- [a >0, 6>p].
Ли [178] A2)
3. () + ())^^r ^
о
[a>0, Ь>0]. Ли [178] A4)
4 \
о ,
[а>0, 6>0]. БХ[178]A5)

480 S—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.855
[а>0, ReP>0]. ИП166B8)
2- JTPT^ Y^- -s^ 1^^ 1а>0. Rep>0].
ИП19 B2)
[«>'Ч- "HI «в B9,
ИП166 C0)
/_i(-^-J. ИШ 10B4)
3.856
i.
ИП1 71 B3)
СП
2.
Rev<-|, |argP|<-5-] . ИПИ2A6)
[Rev>--J, |argp|<-|-] . ИШ12A7)

З.в—4.1 ТРИГОНОМКТРИЧКГ.КИЕ ФУНКЦИИ
481
с,
6
OO
f V
J
0
74
— sin (Л2)
2/2Р*
, я -^ /
2/2 °v
ИП 166 C2)
. ИП 110B7)
[|argP|<-5-], ИП167C3)
3.857
sin
(ac) sin а6
, o>0, c>0].
ИП167C4)
[Л,
\ а > 0, с> 0].
ИПИ0B6)
3.858
1. Г (*'
i
У х*- и"
_
ИП17К25)
2.
_
у ж4 — и*
3.859 ^ Г cos (ж2") ^гг]
31 Таблицы интегралов
-f- = - ^ С.
ИП113B6)
БХ [ 173] B4)

482 3—4 ОПРИДЕЛЕННЫВ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.86i
V^iL? х
2n—m-4- —
2 2Bто—1)!!
"+1 .... m_I
[знак -f берется при m = 0 (mod 4) или m = 1 (mod 4),
знак — берется при т == 2 (mod 4) или /и == 3 (mod 4)].
БХ [177] A9) и
2.
i
/— m~ 5 ™ i
2
[знак + берется при т = 0 (mod 4) или т = 3 (mod 4),
внак — берется при т= 2 (mod 4) или яг = 1 (mod 4)].
БХ[177]A8)м, Ли [177] A8)
ОО
3.862 \ [со5{ах*Уп) + ът[ах*Уп)
BX[178J(9)
3.863
ИП125B2)
oo
2. ? x2 cos (as4) cos B6ж2) dx =
о
sin
ИШ25B3)
3.864
ОО
[а>0, 6>0].
В 204<3) а

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 483
[d>0, 6>0].
В 204 D) в, ИП 124 A2)
3.865
1.
[а>0, м>0, 0<Ren<l]. ИЛИ 189 C0)
[а > 0, в > 0, Re ц > 0]. ИП II203 B1)
(
[а>0, и>0, 0<Re[x<l]. ИПН190C6)
[а>0, в>0, Reli>0]. ИПП204B6)
3.866
оо >
1. \ же-» sin-^- sin (а*х)dx = ~ (•?-)"cosec^ X
X [Уц BаЬ) - У_„ Bа6) + /_„ BаЬ) - /„ BаЬ)]
[а>0, Ь>0, lRe(i|<l]. В203A)и, ИП1322D2)
2. ^ же-» sin -^- cos (a?x) dx = -=- ^ J* sec ^ X
и
X [Уц BоЬ) + У_д BаЬ) + /д BоЬ) - /-„ I
[а>0, Ь>0, |Reц|< 1]. ИП1322D3)
3. \ же-1 cos -?¦ cos (aaa:) dr = -^- (x)" ^^ "^X x
X [У-ц BаЬ) - /ц Bа6) + /_ц BаЬ) -
[а>0, 6>0, |Ren|<l]. B204B)u, ИП1322D4)
3.867
cos ax—cos — "cos ex—cos —
1-»*
[а > 0]. ГХ [334] Ga)
31*

484 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНЖЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2.
б
ГХ[334]GЬ)
3.868
СО
1. \ sin Г а?х-\ j — = я/0 BаЪ) , [а > 0, & > 0].
,<-:... <. ГХ[334]A1а), В200A6)
со
2. ^ cos^asa: + -^-^-^- = — яЛ^0Bа6). [а > 0, b > 0].
ГХ [334] (Ha)
СО
3. \ sin(a*x-~^ ^ = 0 [а>0. Ь > 0]. ГХ [334] (lib)
СО
4. ; \ cos Га2ж- ~-Л -^-t= 27Г0 BаЬ) [а > 0, Ь > 0]. s ГХ [334] (lib)
3.869 '
GO
[а>0, Ь>0, Rep>0]. ИПII220D2)
[а>0, Ь>0, Rep>0]. ИП II 222E8)
3.871
оо
о
[а > 0, b > 0, Re ц < 1]; ИП I 319,D7)
'>¦ i»1 ¦
2. \ a:f--cos| а\ х + — ) \ах= —nt>- | Ju.iZa^sin'-
[a>0, Ь>0, |Re(i|<l]. ИИ1321C5;
rfa; = 26»lJRruBab)sin^
[a>0, 6>0, |Ren|<l]. ИП1319A6)
4. 5^-«c[^^)] u()^
[ l]. ИП1321C6)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ D85
3.872
1 Win [a(s-bl)] sin [a (s—i)] , % - - -?¦ sin 2a
[a > 0] БХ [14™ A5), ГХ [334] (8a)
i
2 J cos [«(* + ¦!)] cos [«(*_!
0
cos [ a (*—j
1 \ cos [а (ж+1
о
]. ГХ[334](8Ь)
3 873
1. [ sin -^- cos 6V ^ = - ," [sin Bab) + cos BяЬ) + е~2аЬ]
J ^ 4/2a
_[a>0, 6>0]. ИП124AС)
2. \ Qos A- cos 6гл;г —y — —!-j=—[cosBab) — smBab) + e-2ab] ,
[a > 0, b > 0J. ИП124 A6)
3 874
m <& yn .
БХ[179]F)и,ТХ[334]AОа)
-*) [a>0, A > 0].
BX[179](8)i*, ГХ [334] A0a)
[<z>0, 6>0]. ГХ[334] A0b)
4 [^(aV-J)!-^^ [a>0, 6 > 0]. ГХ[334]A0Ь)
о
5 \ёы(аХ-±у^=}^ [a>0, Ь>0]. БХ[179]A3)И
6. Ceos(a*-4Y-?=-?^ la>0, b>01. BX[179]A4)«

486 9—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.875
3.876
1« > 0].
1а > 0].
1« > 0, Ь > р].
[0<Ь<р]. ИП127C9)
[0<Ь<р, а>0]. ИПГ27C8}
>°]- ^1126B9;
f
= 0
27
ИП I 26 C0)
ИП 126 C4)
ИП 126 C3)
ИП126C1)м
ИП127C5)М
6
-
fa > 0, Ь > /> > 0] ИП185 B9)ы

3.6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
487
С cos (p Vu*
у и*—х%
j
ИП128D2)
*
3.877
1 f sin (? ^~^
.1 t, („2 ,
(и?—3
ИП 128 D3)
2 ^(^-"'^terf*:
ИШ27D0)
U
o i" cos (^ у u2—ж2) , ,
3 \ —rr — cos Ь.т «fa- =
00 / J \
4 \ —Л —¦ cos bxdx —
3.878
V xl-\-a4
)
- cos
[6 > /> > 0]. ИП127 D1)
[м>0, р>0[. ИП128D4)
[*>/>>0J. ИП128D5)
[p > b > OJ. ИП126 C2;

488 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2- \
[a > 0, р > 6 > 0]. ИШ
3 \ — r ¦— cos ba2dx =
3.879
= -i- [a>0,
J, b>0]. - ИШ28D6)
ГХ [334] F)
3.881
1. jj zsin(atga:)<fa;=.^-e-a[C+ln2a-e2aEi(-2a)] [a > 0].
о
- БХ [205] (9)
CO
BX[151]F)
2. \sin(otga;)-=.=!-2.(l-e-e) [a > 0].
OO
3. \ sin (a tg #) cosx ~- = ~(l — e'a) [a > 0].
OO
4. \ cos (a tg x) sin ж —^ = — e~° Га "> 01
OO
5. V sin (a tg x) sin 2ж— = i±^ ле"а [а > 0].
^ CO
6. \ cos {atgx) sin3z — =—j— ne~a [a >- 0].
Q
OO
7.
8.
9.
БХ[151]A9)
БХ[151]B0)
БХ[152]A1)
БХ[151]B3)
^^^tLne-a [а>0]. БХ[152]A3)
.^.Ei(-a) [a>0]. БХ[206]A5)
Ли [206] A4)

S.6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
489
10. \xcos{abgx)tgxdx= -^
11. S)cos(atgx)tgx^-=^-e-a [a > 0].
о
^
12. f cos (a tg x) sin2 Xtgx~ = ~^- ле'а [а > 0].
о
13.
14
15.
16.
GO
\sin(a
tg,x)tg2a:-^=-|-e-a [a > 0].
-^- = —^- пе'а [а > 0].
*7 = Ц-е- [а>0].
17. ^ sin (a tg 2ж) tg a; ctg 2х-^- = -у A - е~«) {а > 0].
[«
БХ[205]A0)
БХ[151]B1)
БХ[152]A5)
БХ[152](9)
БХ[151]B2)
БХ[152]A3)
БХ[152]A0)
БХ[180]F)
3.882
3.
4.
[a > О, Ь>0].
БХ [160] B2)
ash6]
[a > 0, b > 0). БХ [163] C)
1°>0. *>0|.
БХ[191]A0)
[а>0, b>0]. БХ[163]D)
[а>0, b>0]. БХ[163]E)

490 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
6. f cps (a tg2 x) ctg 2x -^q^r = "f- Icth 2b exp ( — о th b) — <T°]
о
[a>0, b>0]
3.883
l
cos (д lo x) t dx г = 2 ^ . БХ[404]D)
l
2 С a;'*-1sin(pina;)(fa;= — -тгЛ—т [Reu>|Imp|]. ИШ319A9)
l
3 Ja^cosCplnz)*^-^^- [Rep,>|Imp|l. ИШ321C8)
о
3.884 x_u
[a>0]. ИПП253D6)
3.89—3.91 Тригонометрические и показательная функции
3.891
2я
= 0 \пг ф щ тп==п = 0];
2 \eimxuosnxdx = 0 [тфп];
= я [тге = п Ф 0]i
3.892
я »р5
2 ' 2
[Rev>-1]. НГ158, ВТФИ2B9)
2
2.
>-1]. ГХ[335]A9)
; cos2v xdx =

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
491
у)] X
- y, Rev> ^
-v; -1)}
ВТФ180F)
л
\ e*2Bx si
4. \ e*2Bx sin2»1 a; cos24 x dx
-2у, Р—ц-v;
-v; -1)
jnu-i a;cosv-1 xdx = e2 В (ц, v) =
3.893
1
—^-—
2 ^ e'pxon&{qx-\-X)dx^=^^r{pco%'K-^ gsinX)
3 [ e-xeoatcos(t-xsuit)dx-1.
4.
5.
0
[Re ц > 0, Re v > 0]. ВТФ180 G)
БХ[261]C)
БХ[261]D)
БХ[261]G)
ГХ [335] A5)
БХ[267]AС)
ft=l
7.
oo
С e^ cos [Bn + 1) x] tg,
+ (-1) 2 -^I
*=о
Ли[267]A6)

492 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.894
r(v+m+»
[Rep>0]. ВТФИ57A5)
3.895
CO
l- )
О
3.
о
4.
[ReP>0]. ФН615, В620и
я
2. \ е-**
о
[рфО]. ¦ ГХ[335]Dа)
л
2
[р ф 0]. БХ [270] D)
Bот+1)!
[Rep>0]. ФИ615, В 620»
6.
7.
Л
i
2
К e"pxsi
о
ее
У"
It "т~ X (лХ =: -г
B7
/-2 + l2)(/-s
Р4+1а)(Я8
hla .
Bm
>a+22J ...
n + l)
!+32)
Bи
»)!
+
...IP
! + l)!
-BmJ]
.-РИ)
г+Bт+1Р]
[p#0].
к^+з^)... [p=
-X
ГХ[335]DЬ)
BX[270]E)
БХ[262]C)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 493
л
2
8.
х {.
[р#0]. БХ[270]F)
У. Je cos ™+ *<ta_ (/)a+ia)(i?a+3a) [р2+Bт+1)а] X
+---H
)»П
3! h 5Г +---H Bm+l)!
[p>0]. BX[262]D)
10
J/
3, +---H
[^#0]. БХ[270]G)
1 + 1
11.
б
[Re p > 0, a > О]. ИШ 80 A9)
12 \ e-B* sin2" x sin ax dx =
-i Г 1 1
T ' Г^" 2
2n
[ReP>0, a>0]. ИШ80B0)и
2n+l / . \ 2n + l
[Re p > 0, о > 0]. ИШ 20 A2) и
14. \ е-8* sin2™ r cos еж dx =
t —l)" I 1 ,
l
[Re p > 0, a > 0]. ИП120 A3) и

494 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.896
СО * р8
1. \ e-<^isin{p{x+lK)\dx = ^-i'^sinpfK. BX[269]B)
—со
2. \ e-<^cos[p{x+X)]dx = ^-e~^<Mspk. БХ[269]C)
—СО
3. ^-^si ^p(^)x1(;4;|)
^( ^) ИШG3)A8)
l- ФП72°
ft—(
ов
4. Je-e*3coste«te=-i]/|^exp(-^-) [Rep>0]. БХ[263]B)
3.897
[Rep>0, b>0]. ИШ74B7)
-l /f
g[(^)]} 0,6>UJ. ИП115Х16)
3.898
1. \ e~B** sin ax sin bxdz*=~ |/|- {в 4В -е
о
[а>0, 6>0, Re^>0]. БХ[263]D)
? л Г-=- С-"»8 (°+b)a
2. \ е-^сО8аа;со8багЛ:=^-i/y{e 4P +e *P } [Rep>0].
о
БХ[263]E)
3. \ <?-P*2sin2aa;«te = -| |/i A-е p) [p>0]. БХ[263]F)
3.899
ft=l
БХ[267]A7)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 495
БХ[267]A8)
ft—1
БХ[266]A)
Ли [266] A)
3.911
L l-^rdX = i"T~^K [«>0'ReP>°l- БХ[264]A)
БХ[264]B), УВН64ы
oo x
3. Г Е^ег^^ _^.th (an) [a>0]. ИШ 73A3)
о /
4- [^^ f^ 1^3TSW
0 fe=l
БХ[264](8)
f sinax 1
{Re P > 0, Re у > 0]. ГХ [335] (8)
6. f-5|ip^- = i-[al,(P + ia)-tl,(P-m)] lRep>-l]. ИШ 73A5)
3.912
^ _В (v,
[ReP>0, Rev>0, Rev>0, a>0]. ИШ73A7)
2. [
a
[Rep > 0, Re у > 0, Re v > 0, a > 0]. ИП115 A0)

496 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.913
1. \ e«* cosv x (pV* + v^-1*)" dx -.
я
~2~
[Rev>-1, |v|>|P|]. ВТФ181A1)и
2. \ Ггиж cos»* r (a V* + b2e tJC)v dx =
; i+-
l 11 R f 1
л - (J
u
и+Ц
M-—v-f-и
2
fc2 \
' a" )
3.914 \ e-P tV-h*2 cos bxdx =
3.915
я
при а2 < Ь2;
при b* < а2
-1]. ИП1122C1)м
[Re p > U, iRe у > 0]. ИШ 16 B6)
= Vsha- ГХ [337] A5с)
2. \ егр cos х cos
2
3
ВТФИ81F)
я
о -*
. ГХ[337]A5Ь)
5
В 34 B), В 60 F)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 497
3.916
л
? siji -j V^cos х
1 \ p-n2 tg X __i ff-r .
НИ 33 A8) к
2
i' exp ( —
0
2 i sFJ+alJ+a = - T e"P EI ( - «P) ^ > °1. (СРЙВНИ 352 4- И 6-)'
БХ[273]A1)
[jd>0], (сравни 3.552 4. и 6.).
БХ[273]A2)
[р > 0]. БХ[273]A3)
)соь2 2ж 4 Iе M
[p>0\. БХ[273]A4)
3.917
2 1
38 1 ? e-2pctg3cCO4V~ 2r9|n-(v+nTSin Гр _ fv _ -1Л x
2 \ e-2PctK
о
^v(P) [Rev>-1] В186 (8)
3.918
"^2
, [в = 1,2; Y=(-l)e+t; Rep>0, Ren>-1]. ГХ[337]A6)
л
? eos^gsmCP— цх) g_2p otg ^ ^ = ^_ / я Bр)-^ Г (ц + 1) / i_ (P)
[Rep > 0, Ren > - 1]. УВП 183
32 Таблицы интегралов

498 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.919
л
2
s-
0
я
2
J
я
J
sin 1* x
sin 2nx <fa
sin2"*2 я; ехр Bя ctg a:) — 1
sin 1.nx dx
sinaiit2a: exp (я ctg x)— 1
[Re p > и, Не ц
lyl_i 2л-1
4Bn + l)
., n
\ ' 2n + l '
>-l]. ГХ [337] A7b)
.БХ[275](б), Ли [275] F)
. БХ[275]G), Ли [275] G)
3.92 Тригонометрическпе функции от более сложных аргументов
а показательная функция
да ,
3.921 \ e~Vx cos ax2 (cos ух — sin ух) dx = I/ =- exp ( —^—\
[Re'Y>|Im§|]. ИШ26B8)
3.922
CO ' CO
1. \ e-P*2 sin ax* dx = -*- \ e-P**sin
= 2 ^ да sin (^i arctg ^ [Re р > 0, а > 0]. ФII 750, БХ [263] (8)
СО
2. \ e-№cosax2dx = -j \ e-^2 cos ax* dx =
= |/ s J/ V+«* -ЦТРт^cosСт
[Re p > 0, а > 0]. ФII750, БХ [263] (9)
оо
3. \ e~fr*2 sin ах2 cos bxdx— —j у % 3 e~AP E sin Ja — С cos 4a) =
^ 6XP V. 4 ф^+аа
S1T1 \ 2
Ли [263] A0), ГХ[337]E)
оо
4. \ g-P*2 cos ax2 cos bxdx=-^-y «rp e~AP E cos 4a + С sin 4a) =
1
Ли [263] A1), ГХ[337]E)

3 6—4 i ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 499
[В формулах 3.922 3. и 4. а > О, Ь > 0, Re р > О, Д ^'
Если а комплексно, то Re|J>|Ima|.]
3.923
exp[ —
X sin
ГХ[337]C), БХ[269]F)
оо
2 ? ехр [ — (ах2 + 26л:-hс)] cos (ртй+ 2дж + г) dx =a
J
X cos |T arctg-f--Ш—JLL-L^ iJ^_J| [a > 0].
ГХ[337]C), БХ[269]G)
3.924
оо
1.' J e-P«4sin fea<ir = f Ущ ехр ( - -J-) h (^-) [Re p > 0, * > 0].
ИП173B2)
?) [Rep>0, *>0].
ИПИ5A2)
3.925
оо __ ^_ оо pj
С 2 = -i С е~"^sin2а2ж«йж =
—оо
0]. БХ[268]A2)
оо pa
2- )в '
О —оо
= ^e-2«P(cos2ap — sin2ajo) [о > 0, 6>0l. BXJ268]A3)
3.926
оо «
' 1. \е~ (Вха+"^") sin аз:2*: = -|-|/ дЗ?й2е~2" ^ X
+ »sinBt>l/'Y)] [Rep>0, ReY>0]. БХ[268]A4)
32*

500 3—I. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2. [ f {**+^) cos ax*dx = -i- |/-s$pi e~2U ** X
X [в cos Bo VI) - v sin [2v Vy)] [Re p > 0, Re у > 0]. БХ [268] A5)
[В формулах 3.926 1., 3.926 2.
.927 \ е slu — dx = a arctg 1—^- In а_Г , 2 [а > О,
Ли [268] D)
3.928
00
1. \ ехр Г — Сргх* +-Jr)I sin|
«= ^ е-2" cos (A+« sin {А + 2rs sin D + В)}. БХ [268] B2)
со
2. \ ехр Г — (pV + ^=Л ] cos ( а2ж2Н =Л dx =
= J^e-2n!C°8<A+i"cos{,4+2rssm(v4 + ?)}. БХ [268] B3)
[В формулах 3.928 1., 3.928 2. а2
3.929
f [e-* cos (p У~х) + pe-^2 sin px] dx = 1. Ли [268] C)
3.93 Тригонометрические и показательные функции
от тригонометрических функций
3.931
л
2
1. [e-p<x>*'sin(psinx)dx=Ei(-p)--ci(p). НИ 13B7)
о
Я О
2. С е-Р «и» * sin (р sin ?)<&;= _ f e-PC0S:lsin(j»sinx)rfa;r= -2shi(p).
О -я
ГХ [337] (lib)
я
3. \ е-»соз* cos (^sin X)dx=- si (p). НИ 13 B6j

3.6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 50f
л 2я
S1 С
g—р cos х COg ^p gin -j-j rf-jr._ —- \ e—p cos * cos (/> sin ж) dx — я.
о о
ГХ [337] (lla)
3.932
я
1. \ ep cos * sin (p sin x) sin тж d.x =
о
2я
_ I ер cos х sjj, [p sjn -gj gin mx dx = -rp • -^-j- .
о
БХ[277]G), ГХ [337] A3a)
я 2л
2 V еР С08Я cos (в sin ж) cos ma; da; = v \ еРсозхсо8(/>81аж)созяи;йа;=
J z J
о о
"Y'^S"- БХ[277К8)> ГХ [337] A3b)
я
3.933 ^ eP c<» * sin (p sin ж) cosec ж da: = я sh p. БХ [278] A)
3.934
я
-^аг = яA-е"). БХ[271](8)
я
2. V ep<:os*sin(/>siaa:)ctg-1^ = 51F" —1). БХ[272] E)
я / n—1
3.935 CgPcos«cos(j,sina;)j^^Qb=n^ g* \P>% Ли[278]C)
0 6=0
3.S36
in я
eP<Mixcos{psiax — mx)dx—2 I ePoosxcos (psinx — mx)dx = ^^ .
БХ[277](9), ГХ [337] A4a)
2я
2 \e»*to*sin(pcosx + mx)dx=??^-Bm™ [p>0]. ГХ[337]A4Ь)
b
2п т
3 ^gpsmxcos^cosaj^^^^^il^cos^ [p>0]. ГХ [337] A4b)
2я
4. t e«>s х 8{П tma; _ Siri X) dx ¦= 0. УBI152.

: 800 & \
¦. xp (xb ms u) soo (xd ms j) soo ixt> 8Oo+*d як» .*? \ Z
1С
xa
жр (ягб nis j) uis (zrf ais j) ats (ж8 bod+»j boo) j8
8?6"C
— xsooЬ)soo(xvisb + xsood)dxa \ "^
«s
{bq+dv)z—
= жр (жга + яг ms rf — яг soo й) nis (яг uis 6 + ж soo rf) dxe V •?
"S И"'Р
») + .(^ - Я)] и
О
я^о (жш — ягшэ q+x soo ») soo (ж ms 6 4- яг so'a <f) dxa \
^46) LieeJ xj
= xp{xiu—
*(d'») A, (m») ms „ d = я?> (ж uis {} + «») soo x 8Q0,
иипчнаф
10
яннняцяияошо t—8 20S

3 в—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
503
2. С*-»
V/008?
3.
2? r V/ 9+lJ
]. БХ[278]A6)
EX [273] (8)
l
3.94 — 3.97 Тригонометрические, показательная и степенная функции
3.941
1.
2.
3.942
1.
— = arctg— [/>>0].
е pieosga; —= оо.
3.943
3.944
1.
2.
БХ[365]A)
БХ[365]B)
[р>0, Ь>0]. БХ[386]F)и
cos pxJL^- = JL.e~bp sin Ьр [р>0, Ъ > 0]. БХ[386]G)и
[ReP>0]. БХ[367]F)
= 4- (P + ia)-»Y If». (P +гб) «1 -
у, 0»-й)в] [ReP>|Im6|].
f-»e-Px cos ож dr = ^ (Р + ЙГ"^ lM>. (Р +еб)"] +
^-'е-Р1 cos бж«& = 4 (Р + й)~"Г [ц, (Р + гб) и] +
+ 4- (Р - ЛГТ [ft, (Р - й) и] [Re р > | Im б |].
ИШ318(8)
ИП1318(9)
]. ИШ320B8)
ИШ 320 B9)

504 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
5. V х»-1е-Я*зтдх<1х— ^Ц-sin Г ^arctg-g-j
' (Р2+ба)Т
-1, ReP>|Im6|]. ФП812, БХ[361](9)
СО
6. ^ ж»-1 е~В* cos &хdx = —Г(ц) ц cos Гц arctg -5- Л
0 Т
[Rep,>0. Rep>llm6|]. ФИ812, БХ[361]A0)
СО
7. \ xt1-1 ехр (— осе cos f) sin (осе sia t) dx = Г (Ц) a-t1 sin (\it)
-1, a>0, |<|<^]. ВТФИЗ(Зб)
8. \ x»~l exp ( — ax cos ?) сов (аж sin f) dx = Г (ц) a->* cos (jit)
-i, o>0, |t|<f]. ВТФНЗC5)
9 jj х"-^-**sin(qxtSt)dx=-~r{p)cos,ptsinpt [\t\ <^, g>0] .
ЛоУ288A6)
OO
10. ^ x^e-"x cos(qx tg t) dx = ^T (p) cobv (t) cos pt [|«|<f, g>oj.
JIoV288A5)
i-) [ReP>0. Ь>01. ГХ[336]C), ИП1 72C)
12. fл—*.*-.. (J^)- S (-.f('J')(})*-
0 O«2fcsn+1
= (-l)n-^(-^pr) [Rep>0, Ь>0]. ГХ[336]D), ИШ14E)
13. L
2
[ReP>0, А>0]. ИШ72F)
[ReP>0, A>0]. ИПИ5F)

3 В—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 50Ь
3.945
со
f» fig
(е-** sin ах *- е~** siB fez) -дг =
г-1
= Г A - г) {F^ + Yt)-*~ аш [ (г - 1) arctg ± ] -
г —J
- (а* + р2)~^ sin [ (г - 1) arctg -J- ] }
[ReP>0, ReY>0, r < 2, /•*=!]. БХ[371]F)
—т
r-1 r-1
) 2 cosf (r-1)arctg 4]-(^2 ' "<!" 2
Xcosf(r—l)arctg —]| [Rep>U, Rev>0, г < 2, r^l].
БХ[371]G)
3 \ (ae-t* sin to —
= ab Г-Г In f. , ar + — arccto — — -?¦ arccts -& 1
L -^ » +P a a " * J
[Rep>0, Rey>0]. БХ[368]B2)
3 946
oo m
. ^ e Jasm2m+iaa;—= J-g^—21 (-1)"(^ ^ J arctg-5 ^ ;
и N ft=o
[/)>0]. ГХ[336](9а)
oo* m—1
2 \ 6"*** siu.^ <кг = ( ** "^ / j \ft j ^^ Л jji г p2 _i f 2t?i 2&)^g^1
о fe=o
— 2Sir Г^Г) Ь р Ь>0]. ГХ[336](9Ь)
3.947
i* . dx 1
}6 smvzsinoz
[Re P > | Im у |, о > 0]. БХ [365] E)
2 $ «Г?* sin ox sin to -g- = у arctg ^+У_у + -j arctg
тln $tSw [^ > 0]' БХ 1Ш] A)> ФП 744

506 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.
sin ax cos bx^- = { arctg ** + s f
[а>0, j»>0, s = 0 при р2 — а2+62>0 и в=1 при jP2 — a8 -I- 62 < 0].
ГХ [336] A0b)
3.948
1. \ g~P* (sin аж — sin bx) — — arctg ~. „^¦
о
[Re0>O], (сравни 3.951 2.).
СО
2. J
БХ[367]G)
[Rep>0], (сравни 3.951 3.). БХ[367](8), ФИ 748 и
3. J г-»* (cos ах - cos te) -^ = | In -
о
+ 6 arctg j — a arctg -| [Re p > 0].
4. \ e"px (sin2 ax — sin2 &r) —Y == a arctg
о
CO
5. \ e v (cos3 a#— cos2 bx) — = — a arctg j-
1. \ e p sin ar^in ож sin ex — = — — arctg —¦—¦ \-
— = — —
x 4
1 j.
Tarctg
1
bTaretg
2. \ e"p:c sin2 ож sin bx -?¦ — у arctg
u
3 X
6.
dx 1 In
—— g in
> 0].
БХ [368] B0)
БХ[368]B5)
+ i» arctg--^ + ? In Jj±g- [^ > 0]. БХ [368] B6)
\p > 0]
БХ[365]AД)
БХ [365] (8)
БХ [365] (9)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
507
4. Je-i-smereoa'to-f «iarcie^ + l
5. \ в'** sin2axsin bx sin ex — = -g- In
БХ[365]A0)
3.951
1.
X
ФИ 745
3.
4.
[ReP>0,
¦ ca&bxdx = -^-\ъ.
[ReP>0, Rev>0].
+ Parctg|--Yarctg—
^
coste«te =^-^cosech2 -^
6.
1—cosaa; dx a , 1 , 1—e
+ ln
dx 1 ,
БХ[367]C)
BX[3G7]D)
. BX[3681B1)u
[Rep>0].
ИШ15(8)
b > 0].
ИШ15 (9)
0]. БХ[387]A0)
[ReP>0, Rev>0].
БХ[367]A0)
[P>O].
БХ[390]F)

508 3—4- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Ю-
я л
11.
12.
13.
14.
НИ65(8)
е~ч* ¦ \ dx а , йа4-<?2
— smaxj— = Tln ^y
. а
+ garctg--a
[р>0,
ж2™ sin fcc Лг
€BтИ-1)сж_еBи-1)сж
-(
я th 6я
т
БХ [368] B4)
]. ГХ [336] A5а)
&>0].
ГХ[336]A5Ь)
ГХ [336] A4а)
15.
Л , ЬЛ
4с 2с
x2msm bxdx
4с 2с ~
0. с>0].
18.
COS ож — соч ia;
Ч2Ч
2 П оя
2^
*) При га=0 сумыа исчезает.
**) При л = 1 сумма исчезает.
***) При т=0 сумма исчезает.
ГХ[336]A4Ь)
ГХ [336] A4с)
ГХ[336](Ш)
гх

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
509
cos ах—cos ох ах 1 ,
~Г ~ !~
6я
1р
т-1
singsin6ж
1.
3.952
1. J «-*¦*• в
о
й=0
fc=O
4.
5.
6.
cos ох &
-^ sin ох <Ёс =
ехр ( -
" ехр (
- ГХ[336]A6Ь)
1^ ЛоУ305
ЛоУЗОб, БХ[387]E)
БХ[362]A)
БХ [362] B)
БХ[362]D)
БХ [362] E)
БХ [362] F)
БХ[365]B1)
[ReP>0,
ИП1318A0)
8.
г Г—
[Re Р > 0, Re ц > 0, о > 0]. ИП115 A4)
*) При т = 1 сумма исчезает.

510 i—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
; -5-, a > (Л . УВII 162м, ИП 115 A3>
10 \ ж2п+1е~Р2х
^, а>0] . УВ11162и, ИП 174B3)
3.953
\ xv-- ie
0
_ ехр ^=
5
[Re ц > -1, Re Р > 0, а > 0]. ИП 1318 (И)
a cos аж dz: = —Ц^ ехр -^кр- X
[Re(i>0, ReP>0, а>0]. ИП1 16A8)
ИП 1 74 (Z8)
со
4. \ же-v-toa соя дг <fe =
о
[Rep>0, a>0]
ИП 116A7)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 511
3.954
со
xdx
[Re p > 0, Re у > 0, a > 0]. ИП I 74B6) и
[Rep>0, ReY>0, а>0]. ИПИ5A5)
3.955 С xve~ T cos f p« — v -|Л ей; =
о
/IT ?
/ -1]. ВТФ IT 120D)
3.956 {e-**Bxcosx-sinx)smx^ = Vn^-. БХ[369]A9)
о
3.957
О
X I ехр ( —у [1Я ) Жц (Ре 4 V«J — ®ХР ( ~~г ЦЯ ) Кц (ре
[Rep > 0, Re ji< I, a > 0]. ИП 1318 A2)
оо
л у* Ra"\
1 V 4зг У
О Ni •
о
[ReP>0, Reji<l, a > 0]. ИП1320C2)м
3.958
i
ft—0
n-2ft
2
,=0
ГХ[337]AЬ)

512 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2.
0
П-2А
3.959
[a>0]. ГХ[337]Aа)
]. БХ[362]A5)
3.961
1. f exp (—
sin az
x dx
V a
2. \exp[-
0
0, ReY>0, a > O].
ИИ1 75 C6)
[Rep>0, ReY>U, a>0]. ИПИ7B7)
3.962
1.
— iX— a exp * ~
[Rep > 0, Re y > 0, a > 0]. ИПI 75 CR)
о
к /-у
[Rep>0, ReY>0, а > 0].
3.963
1.
cos2 ж x 2 '
ИП 117 B9)
БХ[391]A)

it 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 513
[р > 0]; (сравни 3.339). БХ [396] C)
2
3 $«-»«» sin 4* -^ = -1 /я. БХ [396] E)
о
2
4. \ лв- *-шп« 2* -^ = 2 /я. БХ [396] F)
3.S64
: = — sin psi (p) — ci (p) cos/> [p > 0].
Ля [396] D)
БХ [396] G)
]. БХ[396](8)
3.965
1 \ хе-Ь* sin ax3 sin $xdx=-j- I/ ^-j e ** f I arg P1 < ~r ¦> a ~> 01
ИП184A7)
° ИШ26B7)
3.965
оэ
K-»xooS{2j;t+pT)dT = 0 [p>0]. БХ[361]A6)
и
2 ^хе-** cos Bzs-px)dx = ^^ exp ( -1 ^ ) [^ > Of. БХ[361] A7)
3 f 2rieJOC[siuBa;s + jBa:) + cosBa:i + jDT)]flfe = 0 L/> > 0]. БХ[361]A8)
JO
4 С ж'е [sin Bx' — />ж) — cos Bа;2 — px)] dr =
33 Таблицы янтрт-рячов

514 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
i.
5.
e
cos ^ ?_„. fA^
[Re[i>0, а>0]. ИШ 321 C7)
6. \ хм-«е"ж sin (x + ax3) dx = - ж-^> sin ?p D-
o B«)Z
[Re -i > О, л > 0]. ИП1319 A8)
3.967
1. \e «»sinoV-=-==-yLe-¦*^*sin(]/2ep) [ReP>0, a > 01.
ИП175C0)и, BX[369]C)u
2. \ e~^cosaV-^=^-e- »^°S cos (|/2 ap) [ReP>0, а > 0].
БХ[369]D), ИШ 16B0)
3. \ х*е~№ cos ахг dx = ¦ 4 ^ я ^ cos (-j arctg -^ J [Re P > 0].
ИПИ4C)ц
3.968
7yi^?-)ein(-g-+-g-)J [Rep>0, а>0]. ИП I 75 C4)
OO
0
[Re p > 0, a > 0]. ИП116 B4)
3.969
1. С е-Р^Ч-в*** [2px cos Bj»ga:8) + g sin Bpqx3)] dx = ^-Д- . БХ [363] G)
2. \ е~1**л+я*х2 [2px sin B/>дж3) — д cos B/>дж3)] ate = 0. БХ[363](8)
J
3.971
exp [ — 2rs cos (Л + B)] sin [Л + 2rs sin (A 4- #)]
БХ[369]A6 и 17)

3 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 515
^-ехр [ - 2м cos D + fi)] cos [^ + 2re sin (Л + В)].
[В формулах 3.971 1. и 2. р>0, д>0, г={Ла2 + /, «= J^F+g2,
Л = arctg —, Б = arctg - . J БХ [369J A5 и 18)
3.972
4
>0, |argY|<-f-. a>0]. ИП175C7)
ИП117 B8)
3.973
ОС
1. \ exp (р cos ax) sin (р sin ax) — — -^- (ер — 1)
I
[р>0, я>0]. УВИ64, ФII 725
» ОС
2 \ exp (p cos аж) sin (p sin аж + Ъх) *' =
о
= -^-ехр ^ — сА> -J-ре") [а > 0, 6 > 0, d > 0, р *> 0].
БХ1372ЦЗ)
а>
3 \ ехр (/? cos ах) cos (p sin ax -\~ Ьт)
[a>0, 6>0, c>0, p>0].
BX[372]D)
33*

516 »—* ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
4. V ехр (р cos х) sin (р sin л: -J- иж) — = -4J- ер
8
[р > 0]. БХ [366] B)
оо
5. \ ехр (/> cos ж) sin (jd sin x) cos nx — =
=-?пт+т 2 ж ^>°l- ли[3бб]C)
6. \ exp (p cos ж) cos (p sin ж) sin nx -^- =
¦¦5-i [p>0]. Ли [366] D)
n-1
A=0
3.974
1. \ exp (p cos аж) sin (p sin аж) cosec аж fea * a = 2Ь^лГ^Г
[a>0, 6>0, j»>0]. БХ[391]D)
я[еР—exp (/>e at>)]
2. ? [1 — exp (p cos аж) cos (p sin аж)] cosec ax -jq^r = "'"" г'ь*!»
V
[а>0, 6>0, р>0]. БХ[391]E)
«>
3. \ exp (p cos аж) sin (p sin аж -4- аж) cosec аж -
I- > 0. b > 0, p > 0]. БХ [391] F)
4. \ exp (p cos аж) cos (p sin аж + аж) cosec ax x x
—^i- [a>0, 6>U, p>0]. БХ[391]G)
5. V exp (p cos аж) sin (p sin аж) fca_ „ =
0
= -j[l-exp(pcosab)cos(psina6)] [p > 0, a > 0] БХ{378]A)
¦о
6. \ exp (p cos аж) cos (p sin аж) ^_ а =
-.-^-exp(pcosab)sin (psinafe) [a > 0, ft > 0, /> > 0]. БХ[378]B)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 517
со
7. \ ехр (р cos ax) sin (p sin ax) tg ax fc3. ^ =
= -^-thab[exp(pe'ab)-ep] [а > О, Ь > 0, р > 0]. БХ[372]A4)
оэ
8 \ ехр (jp cos ax) sin (/> sin ax) ctg аж ¦,. * =
If 6+ж
= -i|-cthab[ep-exp(/Kra*)] [a > 0, fe > 0, p>0]. БХ[372]A5)
оо
9 V exp (p cos дж) sin (p sin or) cosec or 2_ 2 =
0
= -^- cosec дб [e" — exp (p cos ab) cos 0> sin ab)]
[a>0, 6>0, js>0]. БХ[391]A2)
оо
l'l \ [ 1 — exp (p cos ax) cos {p sin ax)] cosec ax "^_*, =
3.975
= —^- exp (jo cos ab) sin (/> sin ob) cosec ab
[a>0,b>0,p>0]. БХ[391]A3)
[Re p > 1, Re у > 0]. УВИ 50, БТФ126 G)
[Rep>1] ВТФ133A3)
в--
) г
в -v
3.97b ? A + жа) г e-? cos [2px + Bp — 1) arctg x] dx = -^-g- sin зфГ (Р)
о ^
[Rep>0, p>0]. УВП19
3.98—3.99 Тригонометрические и гиперболические функции
3.981
lk^ БХ[264]F)
— ai
[Re P > 0, a > 0]. ГХ [335] A2), ИШ 88 A)
3 \ ^^ *e = 4" seen -?¦ [Re p > 0, a > 0]. БХ [264] A4)

618 3—к. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
5.
6.
\ sin ax
4 21
GO
\ cosax
V sin ax
shpa; ,
—*-*—• ax
sh y*
| ГД X
1 *** \
f У
shp* ,
sh y* ""
я
я
2Y
Y
+ Y
ch -
sin
chJ
sh
I.
sin
ал
^Y~"
Ря
2Y
Y
ая
~г
яр_
Y
f-COS -1
Г Y
[|Rep|
, ВЯ
¦Sh-2T
"COS~Y~
<ReY, e>0].
i]. ИШ88E)
БХ[265]G)
[| Re P | < Re y; a > 0]. БХ [265] B)
7. ||t4[<
[|ReP|<ReY, a>0]. ИШ31A3)
8.
Яа
[|ReP|<Rev, a > 0]. БХ[265]D)
—
-¦
„ яа
2яг sh
. ая . Ря
ch hcos -i—
Y "Г Y
[|Rep|<ReY, a > 0]. ИШ88F)
вя ая
10 \ q»»^5-<fa-T J^lX L|RePl<ReY, a>0].
0 ' ° Y °Ь Y
БХ [265] F)
1 Bm)!sh?f-
\ соя2™x ch fixdx= д ^ ^ г„,_ [Re p > 0]. В 620 ы
о

3.6—4.1 ТРИГОНОМВТРИЧЕСКИВ ФУНКЦИИ 519
12. ^ cos2 'archpa;cte= (р.
о
[Rep>0]. B620u
3.982
^ 0. ft>0]. БХ[264]A6)
_ /" . Bit . ail o 6я , M\
2 \ SID ЙЖ-—^— flfo = J: 1 5 J -1-^-
S
[lReP|<2ReY, a>0]. ИП188(9)
3.983
Я sin f -у arch -— ]
= ±1 *Z
[e>*>0];
. /а
п sb ( -jr arrcos
b-J- [b>\
nit L "^ I
[ReP>0. д>0]. ГХ [335] A3а)
2 \-JZZt „°Т—:1Ж^ [nRep<ImpV.a>OJ. БХ[267]C)
БХ[267]D), ИП130(8)
co3axd* •' 2 [a>OJ.- ИШ30(9)
со
г С sin аж sh рж ,
О. \ -г 1 *—z ax —
J ch v»+cos о
о
л {sin [l(n_6)
2па
[nReY>|Rev6|, |ReP|<Rey, a > OJ! BX[267]B)

520 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
eos ах ch рх
-г —r
ch ух -|- cos о
[f (rt~6
-cos [-^
ch [^- (я-ft
7.
3.984
. , / t 2ла 2яв Ч
v sin о ( ch cos —— )
V V. Y Y У
[|ReP|<ReY, 0 < b < n, a > 0].
SV(P)
[Re v > — 1, | arg (P ± 1) | < я, а > 0].
sin ях sh x , ch aft
ch
cos ax ch x
chx-j-cos о
a;
' sin ax sh -5-
ch ж-j-cos p
ch an
dx~ —
shaft
shajt
dx--
shap
q 2 sin 4j- ch ait
в av
jf cos ax ch -E- x it cos ~^-
0
O>0J.
[Ь<я].
[ReP<n, a>0].
ait
6.
'• S
3.985
1.
cos ax dx 2V~2
(v)
2P
БХ[267]F)
ИШ 30 A0)
БХ[267]A)
БХ [267] E)
ИШ89A0)
ИШ 31A6)
БХ[267]G)
БХ[267](8)
[Rev>Ren>0]. ВТФИ15A2)
2p
« Р GQSaxdx _
4n"lita
[ReP>0, Rev>0, a > 0]. ИШ30E)
n-l
. па (а*-
. a > 0].
ИШ 30 C)

3 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 521
„ f cosaxdx _ л-2"*-t уу Г аг , ^24-1у]
й i ch^'^pj; - ,„ ал 11 I Ip1"^—2~~У J ;
лт [а>0] ишзоD)
ch?l
3.986
8hlfl3hH.
. P sin рт sin "уж , _ я 20 /о
я sh
V
[|Im(P+-Y)|<Re6]. БХ[264]A9)
яа
sin ax cos рж , у
shvx
Ли [264] B0)
ch -?-" ch -У-
3 jc_os^^^ = f 2^_ [|Im{fJ + 7)|<Re6].
БХ [264] B1)
4 jSE-'b-l^br + t1 IH4K4 ВТФ144C)
3.987
1. f sin ax A - th Вж) dx = — "—- [ReP>0]. ИШ88D)и
О по _l ая
0 2Р Sh -щ
-щ
ОО
2. ^ sinoa;(cthpa:-l)o!a; = -^-cth-^--^- [Rep>0].
о
3.988
я
1. С cos а, shj^cos *)dx="V-bI (b) j {b) [a>0]
jt Усоьх z г+4 ~2 + 4
ИШ 37F6)
n
2
,-, С cos оз; ch B6 cos ж) , я -./—~ T ,,. T ,,. г
2 \ -—^— i-<ir = — уяб/а i(&)/ о i (о) [а
J У COS ж ^ 2^4 ~2~4
J У COS ж ^ 2^4 ~2~4
ИШ37F7)
nP , (cos 6)
С сои о» (to .Д_Ц1^ . [o>0, Ь>0]. ИШЗОG)
J у cha:-j-cos6 у ^сЬ«л
J

522 3—4 ОПРЕДЕЛРННЫР ИНТЗТРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.989
А
1
2.
smbx
Я , Я . ЯО2 . ЯО г „ , -.-
г dor = -у- sin -7-3- cosech тг~ \а > 0, о > 01.
sh ая- ^а 4аг 2а 1 *
sh ах
sin — cos ax cos -5 -7=-
[а>0,
cos — сев ear
я
cha;
sin
агя , 1
2 ' ая
ch-2-
r f sin (Явжа) cos *a? ,
5 \ ЖТ <fa=
[a>0,
CO
n ? cos (Лаж*) cos bx ,
J ch яг
0
= 2 (-l)ftexp [_
3.991
ИП193D4)
ИШ93D5)
ИШ36E4)
ИШ 36 E5)
ИШ36E6)
[a>0, 6>0]. ИШ36E7)
1. \ sin№B2sina.rcth
ИШ93D2)
oo
2. \ cos itr2 sin ей. cth nx dx = -j tb — Г f — cos С -j- + -^- "^ 1 [a > 0].
3.992
Г
ИШ93D3)
ИШ37F0)

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
523
/Л а*
1
2
2.
ИП137F1,
^ J
ИП1 37E8)
3.994
sin B<z ch ж) cos foe , я , /¦—
4 2 4 2
[а>0, 6>0].
r> f cos B« с h x) cos feu , я ,, г,
2 \ V-fT dx=s ГУая[У l+u
)] [а>0, 6>
4+Т
4 2 4
sin Bа sh ж) sin 6г
1+2
— Л гь (a) Ki__tb (а)] [а > О, Ь > 0J.
4+2" 4 2
ИШ37F2>
ИШ 37 Г63)
ИП1 93D7)
оо
. (' cos Ba sh x) sin fee ,
1 ь(а)К ¦, i±(a)-r <<ъ(а)К , tt
4 2 ~Г" Г+Т ~4~2
[л>0, 6>0].
со
с f sin Ba sh x) cos 6а: , 1/я«г,
J /shar -i 4-5-
(a)^ гь(а)] [a>0, 6 > OJ.
4
cos Bя sh x)cosbx
^
1 ^^
4+2 4 2
4 2 4^2
.+/_. «(о)Ял a(o)] [а>0, А>0].
"Г^г 4 2
с»
7. \ sinT[a ch x) sin (a sh а:) -у— = -^- sin а [л > 0].
ИП193D8)
ИШ37F4)
ИП137F5)
БХ [264] B2)

524 4—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3.995
. f эш Ba cos2 x) ch (a sin 2x) , я . 2ac
A • \ ni —> 1—> > GEa: *^ i^r— SIU "¦г—;—
[6>0, с>0].
o (* cos Ba cosa x) ch (a sin 2x) , я 2ec
2. \ ., _... , . _... dx — -^j-- cos -г-,—
0, с>0].
3.996
[|ReP|< 1. a>0].
2. \ cos (a sh x) ch §ar rfr = cos -^- Л"р (а)
[ | Re p | < 1, a>0].
3. \ cos (a siu a:) ch (p cos x) dx = -^- /D (l/a'! — p2) .
4 \ sin ( ochr 5-Pji ) ch Pa:dr — -^- Ja (a)
i v 2 J l
[|ReP|< 1, a>0].
5 5-
и
1, а>0].
3.997
БХ [273] (9)
БХ[273]A0)
ВТФН82B6)
В 202 A3)
Мо40
В 199 A2)
В 199113)
1 J sinvzsh(Pcosx)rfi = J^(^-|-^2r^-^±i-^Lv(P)
0 2
[Rev>-1].
Я ' V
2. \ sinv x ch (p cos x) dx = У л ( -г- V Г Г ~5~
ВТФИ 38E3)
U 2
[Rev>-1]. УВП188И

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 525
л
2 со
3 [ — , = V2n У, J-i)k . БХ f276] A3)
U
л
4 ?
cb(tga;) + cos^ sin 2ж sin X <*-> v ' й«
|g>0]. БХ[275]B0)
4.11—4.12 Тригонометрические, гиперболические и степенная функции
4.111
[Re Р > 0] (сравни 3.9811.). ГХ [336] A7а)
cosaa; 2m+1 ._.
[Re p > 0] (сравни 3.98J 1.). ГХ [336] A7b)
2р да™1 1 сьж )
[ReP>0] (сравни 3.981 3.). ГХ[336]A8Ь)
¦!„... / , If д
[Rep>0] (сравни 3.981 3.)- ГХ [336] A8a)
[Rep>0, a>0].
БХ[364]F)н
6- i'-l^S-^W- ^T [ReP>0,a>0]. БХ[364]A)М
7-
[ReP>0, а>Щ. БХ[387]A), ИШ 89A3), Ли[298]A7)
4.112
.1. J (^ + Ра)-??^^ = 5^р [ReP>0, a>0]. И1П 32A9)

526 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2. \x(x2 + W) ^ dx = cEhs [ReP>U, a>OJ. ИП132B0)
о sb Ж С
4.113
. \ sin ax dx I ne~aS
0,1,2,..., a>01.
-гр-1ЛA. -Р; 1-Р; -«-°)+/,(i, P;
„ Р sinaa: rf« _( —l^ne
J ьЬ.Яж " ж2 + т2 2m ^
О
( L
89A7)
„
sin аж dx1 f sin ax dx
1_ f
shnx 1-
—оо
— -к- ch a -+- sh a Jn ( 2 ch -„- J . ГХ [336] B1b)
GO
sm ax dx 1С sin аж ds
2 J rt
= -j- sh а — ch a arctg (sh а). ГХ [336] B1a)
CO ,_
с- f мпаж da: _ я _а sh a , 2 cb а-(- V 2
l 8Ь^Ж 1+*1 /2 /2 ^
ch a arctg -J^- [a > 0]. Ли [389] A)
a>
„ P sm аж жйж л -„she. 2che-|-y2
g ch —i + V^2 /2 2cha—/2
* ^ [a > 0]. БХ[388]A)
.|/ 2 shay
[a>0]. БХ [389] A4), ИП132B4)

S 6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
52 7
Q i cos ox xdx „ , _a. it _a
8 \ -г-,—^ = 2shaarctg(e a)-)--g-e a—:
БХ[389]A1)
cos ax dx
eh we **+P
ft=0
[ReP>0, л>0].
10
cosoas
12.
,3 v J==..T*,_^<- + »f«,( ¦ )_
cil -7-a
4
/2
eh a . 2cha4-|A2
]/2 2cha—]Л2
ИП132B5)
ИП132B1)
БХ[388]F)
la>0]. БХ[388]E)
4.114
i.
я sh va;
coses
ate = arct
Pit ,, an Л
27Ш 2^;
|ReP|<ReY, a > 0].
oit
, _ 1 .
"" 2 Ш
4.115
БХ [387] F) и
ar sin яж sh
n e~a* sin
2 sm 6it
[0<ReP<Jt, a>0,
[|ReP|<ReY]. ИП133C4)
ft keahsink$
>>0]. БХ[389]B3)

528 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
и
- -|- sh a sin P In [1 + 2е'а cos Р + е'2"] + ch а cos P arctg
[| Re р |< я, а > UJ. Ли [389] A0)
3. f^~^^«-
,1 а и . che-f-sinB . „ , /"cosB
+ у cos p sh а In ch a+sm P - sin p ch 9 arctg ( ^
ep|<-|, o>0]. БХ[389](8)
, f cos ax sh fte , __ jt_ g""» sin &B
J ?+P"s?itEda:~" 2* ' sin bit
0
[0 < Re p < n, a > 0, 6 > 0]. БХ [389] B2)
+ у ch a sin p In A + 2e"a cos p + e'w) —
-sh acos p arctg ^L [| Rep |< л, а > 0 6 > 0]
6
о
Sh у*
1 ¦ от СЬ а -4- sin В . • о . cos f
—к-chacospiQ-^^-^ + shasmf
|, а>0, 6>0]. БХ[389]A8)
— sh y sin |- In A + 2e-* cos P + <
» -+i
ИП191B6)
sin as ch \ж , 1 я e~°" cos By
| Re Y |< я, a > 01.
БХ[389]B1)

3.6— 4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 529
9 }
о
+ -|- sh a cos p In A + 2е'а cos В + e") +
^ Г1 Re В f < я. a > 0].
(^; JJjb[389](9)
,, \ sin йа; ch 6а: , я -
1A i^H'T^~ "
sin 8 , . „ cos
—^ +ch a cos Barctg-r-
sh а
[|Rep|<f, «>0j, БХ[389]G)
0
i" ж cos ear ch рж , я eab cos &P _. ¦ст ..ft fte~aftcosfep
[| Re P | < я, a > 0]. БХ [389] B4)
i- + i- ch a cos В In [1 + 2e-° cos p + e"*»| 4-
[|Re p|< я, а > 0].
BX[38yjA9)
CO
, n f x cos аг ch Йг
13 \ "STO я
o
f, a>0]. БХ[389]A7)
./ i COS ax ch Ca:
+ sh a sin p
-4-cb a cosP In A + le'*1 cos 2p + e'ia)
5|<i>a>0l. ИШ34C7)
4.116
ao
1 \xcos2axth-xdx=-^ -^^ [a > 0]. БХ[364]B)
34 Таблицы интегралов

530 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2. \ cosazthpz — = lncth|?
4.117
3.
4.
5.
6.
[Re P > 0, a > 0]. БХ [387] (8)
о
[Re p > 0, a > 0]. БХ [387] (9)
-sholnBsha)
[a>0]. БХ{388]C)
+ 2ch a arctg (e°). БХ [388] D)
— e'a — sh a In A — «""*)
[a>0]. БХ[389]E)
=^shalncth-|- [a>0]. BX[389](b)
th -|- a: dx = - ae"" + sh a hi A_ - e"*1) [a > 0]. БХ [388] G)
BX[388J(8)
4.118
2 cth даю= —Te —j- — chо In A — e"a).
БХ [389] A5) и, ИШ 33 C1) и
~ [o>0]. БХ[389]A2)
[a > 0]. БХ[389]A3)
• ИШ89A4)
8.
9i a; cos еж ., я , o , я
x sin ax
rf / ли
de ян

3 6—4 i ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
531
я ча f I—cos px dx . f , рп \
4.119 \ —г—— •— = In ( ch4^ ).
4.121
sin ах—sin Ъх dx
БХ[387]B)и
an bn
1.
¦^2arctg * * [ReP>01.
l+expr '
2.
4.122
1.
2.
4.123
1.
s
2.
3.
4.
5.
OO
eosaa:—cos bx dx
sli pu. a;
ch
bn
ch
ал
[Rep>0].
ch oar+cos x z2
sm a: ar dar
cb ax—cos x x3—я2
a;da; .11
г- = arctg .
' arctg-
smb xdx _ 1 l + 2aa J_
eh2aa: — cos2а;" а;2—я2 ~2a' 14 aJ 8 8 a "
ch ож sm x x dx
— cos ?x x — я
—1
ГХ [336] A9b)
ГХ [336] A9a)
ИГЛ 93 D6)»
BX[387JG)
БХ [390] A)
БХ[390]B)
БХ[390]D)
Ли [390] C)
eh и
2у (COS yn -fjCOS Ря)
expf
[0<Rep<l, Rev>0, а > 0]. ИШ33B7)
6.
sin aa; sh Ъх
cos 2ax-\-ch 2bxJ
БХ[364](8)
34*

532 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
оо ч1п Я* „д. "*
f . , 2 2 , 1
sin аа? i—г xdx—~r
cos Jbr+ch яж 4
— \ ч/ [а > 01
ИШ 9
4.124
2.
4.125
ИШ 93D9)
MOD0)
ИП134C8)
1. \ sh (a sin a;) cos (а сов т) sin т sin 2пх — =
2. \ ch (a sin x) cos (a cos x) sin a; cos Bra — 1) a; — =
8
Ли[367]A5)
3. \ sh (а sin x) cos (а cos x) cos a; cos 2raa; — =
2
(— 1)"
4.126
8 + Bn—l)i 8 '
Ли [367J B1)
1. \ sin (a cos 6a;) sh (a sin br)
x x
= -|- [cos (a cos fee) ch (a sin 6c) — 1] [6>0]. БХ[381]B)
CD
2. \ sm (a cos 6a;) ch (a sin 6a;) ~^~^ = ^"cos (a cos be) sh (a sin 6c)
[6>0, c>0]. БХ[381]A)
CO
3. \ cos (a cos bx) sh (a sin 6a;) e^_^2 = -j- [a cos 6c — sm (a cos 6c) ch (a sin 6c)]
[6 > 0]. БХ [381] D)
oa
4. \ cos (a cos bx) ch (ajsin 6a:) ^z^ = — -?- sin (a cos 6c) sh (a sin 6c)
0
]. БХ[381]C)

S 6—4 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
533
4.13 Тригонометрические, гиперболические и показательная функции
4.131
1. \ sin ax shv ух ¦ е~&х dx =
2v+2y
гр_уу_а,-
V 2\
[Re v > — 2,
оо
2. \ cos ax shv yx ¦ e~^x dx =
5
0, |Re(vv) |
ИШ 91 C0) и
2V+2 я
($ — vy—ai\ f§—vy+ai
[Re v > - i, Re у > 0, | Re (yv) \ < Re p]. ИШ 34 D0) u
БХ[264](9)и
[ReP>|Rev|].
4
4.132
ИП191B8)
ИШ91B9)
sin ax sh рж
,
а я
sin
sin
cos
e
axchfix ^
ar ch fix
ax sh fix
v*_l
Я
!a) ' 2y , !
' ' ch-
sh —
я у
, 2яз
sh
Y rn.
1ла 2яр 1 u
cos
Y У
БХ[265]E)и,
cos ——
Y У
. 2яр
sin —-
т
Y
ИП I 92 C3)
ИП 192 C4)
ИП192 C5)
Ли [265] (8)

534 *—4. определенные интегралы от элементарных функций
_ . Яб Яа
2* . „ . sin —Z- ch
5.
ИШ 34 C9)
4.133
оа
1. \ sin oar sh pr exp ( — ~ ) doc =
= ylvy exp y (P2 - a2) sin {2a$y) [Re у > 0]. ИШ 92 C7)
со
2. \ cos ax иЪ ^х вхр ( — ^- J<ir =
~~ > 0]. ИП135 D1)
4.134
? ,/lT 1
1. \ e-Pxl(cha; + cosa:)rfa;=l/^сЬто [ReC>0]. MX24
2. t e-P^tcha;— cos ж) tte = |/^ sh-^- [ReP>0]. МХ24
4.135
CO
Г- as ii/я3 /* 6v2 \
[ReP>0]. Ли [268] G)
2. \ cos ax% ch 2va;- e-P*2 dx = -^- ]/ , ' fia exp ( #r-«« ) X
ff") [R*p>0]. Ли [268] (8)
4.136
1. \ (shx4+sina:2)e-B«4t?r=-^/1(^ )ch^ [ReP>0]. МХ24
2. \ (sbx2-sinxi)e-^tdx = -^-~Ii_^Jsh^ [Rep>0]. МХ24
3. [ (cbx* + совxs)e-»*'dx = 1-^1 1^)сЬж [Rep>0]. МХ24
J
4. \ (cha;2-cosa:2)e-P^??r = -!-^/ l ( я ) ah ^ [Re{
Й 4KP 

3.6—4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 535
4.137
1. J sin2««ah2*«e-»-cte—p^/_,(|) cos(| + i) [Rep>0].
МХд32
2 5sin2x*ch2«*e-^da; = T^i^(i-)coS(i--f) [Re|J>0].
МХд32
3 \ cos2xisb2x2e-^4dx = T7=== Jt ( ^ )sin( ~ — ~ ) [ReP>0].
J V128P j Vp/ VP 4/ r-'j
МХд 32
CO
4 ^ cos2a:ach2a;»e-P;r4<fo; = -T7^= / i Г4-4) si» Г4- + -тЛ [ReP>0]
J y/128B2 -7 VP/ \P 4/ r J
0
МХд32
.4.138
CO
1 \ (sin 2a;8 ch 2a;2 + cos Ъ? sh 2ж2) е~^ dx =
) [ReP>0]- МХд32
2 [ (sin 2a? ch 2хг — cos 2a;8 sh 2жа) е-^ dx =
) [ReP>0]- • МХд32
3 I (cos 2xa ch 2ж2 + sin 2ж2 sh 2ж2)
С^т) [Rep>0]- МХд32
4 ^ (cos 2a;2 ch 2a;2 — sin 2ж2 sh 2a;2) e-»«* dx =
4.14 Тригонометрпческие, гиперболические, показательная
и степенная функции
4.141
f хе-**г ch z sin a; dx = i- |/^ (cos ^ + sin ^) tRe Р > °1- МХд 32
о
s~siD^) [ReP>0] МХд 32

536 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
3. J ж2е-Р*а ch х cosx dx = -i (/-i- (cos ^ - -g- sin щ) [Re p > 0].
МХд32
2. J «-M(aha:-sina) A; =4 К F8*1? [Rep>0].
4. \ x*e-Pxishxsinxdx = ^y -fp(sin2R + ~Rcos2fi) [ReP>0].
МХд32
4.142
oo
[ReP>0]. MX 24
MX 24
3. \ ж'е-Р3^ (сЬж + со8ж)йж = -^- i/ -^-f ch^ + ^ sh^ J [Re P > 0].
MX 24
OO
J 2 r p** \, 4p 2.p 4p y/
MX 24
4.143
1. f же-Р^ (ch ж sin ж + sh ж cos x) dx = Л |/ 4 cos 4 [Re p > 0]. МХд 32
о
2. \ же-Р3^ (ch ж sin ж — sh ж cos ж) fife = gg I/-^-sin 5s [ReP>0] МХд 32
о
«и ai
4.144 ? е-ха8Ьжасо8аж-^-= l/-je"" —хГ1—Ф C~) 1 la > °1-
ИШ 35 D4)
4.145
OO
1. \ xe~№ ch Bcu: sin 0 sir B<кг cos 0 (/r =
= у |/J exp ( - ~ cos 2t) cos ^ - ^- sin 2<
[Rep>0]. БХ[363]E)
е-Р312 sh Bax sin <) cos Bлх cos 0 cfe =
t j/'-p- exP С - -f cos 20sin С' ~ Tsin 20
[Rep>0]. BX[363JF)

4.211
4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 537
4.2—4.4 Л0ГАРИФМИЧЕСК4Я ФУНКЦИЯ
4.21 Jloi арифмшческая функция
. f_i?_=_oo. БХ[33](9)
и
2. f *L = ua. Ф III 653, Ф II 606
1 hi '
4.212
1
1. \ ,, =e-"Ei(a). БХ[31]D)
0
2- S ^^= -e«Ei(-a). БХ[31]E)
1 ' -"Ei(ffl) [a>0]. * БХ[31]A4)
(a + lna:)a a
6
1
-—5^_ = i- + eaEi(-a) [а>0]. БХ[31]A6)
t, (о — In жJ а v l J l J
0
1
5 f . ln ^ dx = i 4- A - а) е"аШ (а) [а > 0]. БХ[31]A5)
0
1
I mxax 1 A + a)eaEi / ,_fl) [a>0]. БХ[31]A7)
J (a- In»J ' \ ' / v / i J J
0
7. ( i^inxl^T- BX[33]A0)
i
1 n-i
0 ft=l
[a>0]. БХ[31]B2)
1 n r,-,"
[a>0]. БХ[31]B3)
В интегралах вида \ . Jj1^ mi dx полезно сделать подстановку

538 8—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.213
1.
2.
3.
4.
[ci
[« > 0]. БХ[31]F)
dx
о2 —(In жJ ~2а
l[e-Ei(a)-eaEi(-a)J [a>0],
(сравни 4.212 1. и 2.).
KaEi
(сравни 4.212 1. и 2.).
1
5. \ га2_|_(Г—sfa = 0^5 tci (а) sin « — si(a)cosa] —
1 г • ,
i
6,
7.
sipa-si (a) cos^ -•
4.214
1.
2.
3.
da;
а« —AпжL
a4 — (In ж)
— 2 ci (a) cos a —2 si (a) sin a] [a > 0].
БХ[311(8)
БХ[31](9)
Ли [311 A8)
БХ[31]B0)
БХ[31]A9)
Ли [31] B1)
-2ci(a)sina + 2si(a)cosa] [а > 0]. БХ[31]A0)
+ 2ci(a)sina-2si(a)cosal [а > 0]. БХ[31]A2)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 539
+ 2ci(a)cosa + 2si(a)sina] [о > 0]. БХ[31]A3)
4.215
1
1. [, (ln-Y~1dx=r{]L) [Rejx>0]. ФН 778
3 \ i//r\n-dx = ^-. БХ[32]A)
0
1
4. С . d^_ =]/^. БХ[32]C)
j/1
ГХ[з21]B)
4.22 Логарифмическая функция от более сложных аргументов
4.221
1
1. С lnzln(l-z)tk = 2—^-. БХ [301G)
1
2. [ 1пж1пD+а;)йг=2--^--21п2. БХ[30](8)
[а<1]. БХ[31]C)
4.222
-,= (а-Ь)л [а>0, 6>0]. ГХ[322]B0)
2. ^iniln-^^-ete-a^-aJ+aln-lr [a > 0, 6 > 0].
БХ[33]A)
x^nb(\nb-\) [6>0], БХ[33]B)

540 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕГИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
\ In A +«Ли») In { 1+-V )<te=2n ,
[a>0, 6>0]. БХ[33]C)
In (a2 + a-2) In fl + -^-^ rfr = 2я[(а+ Ь) In (a+ b) — alna— 6]
[a>0, 6>0]. БХ[33]D)
[о>0, Ь>0].
о
4.223
1.
[о>0, Ь>0].
3.
4.224
1.
о
In A + 2е
Ь sina:rfx = Z, ^|-- в) - L
± V
= —-|-1п2 — у 6?.
3.
4.
1 i*
In sin a; ate = -=- \ In sin a; dx —
\ncosxdx= —-|ln2.
БХ[33]E)
БХ[33]G)
БХ [256] A0)
БХ[256]A1)
БХ[256]A8)
ЛоШ 186A5)
БХ[285]A)
ФИ 629 и 643
ЛоШ 184 A0)
БХ [286] A)
БХ 3( 6 A)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
541
2
7. ^ (In sinxf dx = у [ (In 2}2 + -^ ] .
о
9.
к.
БХ[305]A9)
БХ [306] A4)
ГХ[322]A5)
ГХ [322] A6а)
2 2
11 \ In A + a sin хJо& = \ ln(l + a cos.гJ
0 U
U
= л In
[a2 < 1];
[Я2> I];
= -я In2a [
= -it In 2+ 46? ' [a = l];
= - л In 2 - 4G [a = - 1].
БХ [308] E, 6, 7 и 8)
12 ^ In A + a cos жJ dx = 2я In
[a2<l]. БХ [330] A)
13
14
Т1П
*=0
0 [a2 < 1];
nn in a2 [a2 > 1].
4.225
In (cos х-sin *)&:=-¦? In 2--i-
БХ[308]B4)
ФИ142, 163 и 688
ГХ[322](9Ь)
ГХ[322](9а)

542 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.
2л
4. [
о
= 0 [а2+й2<1];
= 2я In (а2 + й2) [а2+62>1].
4.226
: = — 2л1п2
= 2я1п
2. \ In (I + a sin2 x) dx = -j \ In (I + a sin2 x) dx =
БХ[332]B)
БХ[332]C)
ФП644 и 687
БХ[308]A5), ГХ[322]A2)
3 ^J In A — sin2 a sin2 x) dx = (n— 26) In ctg -f
Tctg6=cosatgM; —
ЛоШ 287
4 V In [ 1 — cos2 x (sin2 a — sin2 p sin2 x)\ dx =
о
я In [ -i ( cos2 f + ]/cos" | + sin2 { cos2 4 ) J
[a > p > 0].
ЛоШ 283
— ^<м<^, |sinM|<|sina|l .
ЛоШ287

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 543
4 Л
6. \ ln(oacosaa;-j-6*smsa:)«te = 4" \ In (я* cos* ж + б2 sin2 ж) <?с =
о о
= „1п-^±А [а>0, 6>О]. ГХ[322]A3)
.. . i
Р , i + sin *cosaar , , 1т°ш 2 , , я — t
'¦ }'д l-siatcos»*^11 еоь± -«betg-^
[| «!<-§-]• ЛоШ283
4.227
U
ЛоШ186A6)
л n
I 2
2 V \ntgxdx= — \ lntga:da;= — G. БХ[286]A1)
О л
Г
л
2
3 ? ln(atga;)da; = -f-lna [а > 0]. БХ[ЗО7]B)
4. J (lntga:)nflfe = »!(-l)n 2 (vkfW^' БХ[286]B1)
О к=й
5
2 оо
5. f (lntga;J"<fcc=2Bw)! 2 {2k+l)^i ¦ БХ[307]A5)
О ft=0
n
2
6. \ (lntgzJn+1<& = 0. БХ[307]A4)
о
4
7. ? (btgxJflfcr = -^-. БХ[286]A6)
л
4
8 ^(lutgx^dx^ — j^. БХ[286]A9)
я
I
9. [ Ia(l + lgx)dx = ^-ln2. БХ[287]A)

544 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Я
г
10. ^ln(l + tga:)da:=:-|-ln24-«?. БХ[308](9)
о
я
4
11. \ ln(l-tga;)cte = -|-ln2-«?. БХ[287]B)
о
я
г
12. \\v.(\-Xgxfdx = ~:\n'L-lG. БХ[308]A0)
13. jj la(l+ctSx)dx=^-\n2 + G. БХ[287]C)
14. \ lii(ctga:-l)<fc; = -?-ln2. БХ[287]D)
о
15.
16.
я
4
5
л
4
О
я
2
Mtgz + ctgz),
In (ctg ж — tga;)s
л
— * f 1
о
0
я
2
0
я
n(tga; + ctj
In (ctg х —
jajjazsrs-H- in 2.
БХ[287]E),
БХ[287]F),
БХ[308]A1)
БХ[308]A2)
17. \ In (a2 -{- ?r tg2a;) dx — -~- \ In (a2 + 62 tg2 x) dx = я In (a + 6)
о о
La>0, 6>0]. ГХ[322]A7)
4.228
1 \ In (sin t sio x -\- y^l — cos21 sin2 a;) dx =
b
)(^i) ЛоШ290
2. С In (cos x + У cos2 ж — cos2 t) dx= — Г-f- — t— ф^) lncosf +
0
ЛоШ290

С In
4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 545
[cosx+ Усоаг х-cos2 t)dx= -(-^--f^lnwei. ЛоШ285
4г i sin и+sin < cosx к sin2 и—sin2x ,
\ In — Vt- . ^- dx ¦-
it—sin i cos ж у siaa it—sin2x
j/ tga^-sina«+l ] [г>0, и>01. ЛоШ 283
^ БХ[297](9)
БХ[304]B4)
4 2
7 \ In (^/tga; -f-\fctg z) dz =-Tj- \ In (l/^tga; +j/ctgj )dr =
БХ[287]G), БХ[308]B2)
я л
т 2
8 ^"b(lAt":tgTKg) ^ {i
о о
= i-ln2-G. БХ[287](8), БХ[308]B3)
4.229
1
-)&=-О. ФН807
e
2. J_^__=o. BX[311B)
и
l
3. J In (in i-) —^===-(С + 2Ш2IЛГ. БХ[32]D)
Ox) [Re[x>0]. БХ[30]A0)
В интегралах, в которых подынтегральная функция содержит In ^ln — J ,
полезно сделать подстановку In —= и, т. е. х = е и.
5 \ Ln (a + In x)dx = hxa- eaW\ (а) [а > 0]. БХ [30] E)
35 Таблицы интегралов

546 d—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
6.
7.
4.231
5
0
Я
2
л
«
t
In (a-
In.ntg
4.23
1па;)«гж=1па —e°Ei
Х Х г й \ ( '
Логарифмическая
(-а) [а>0].
и рациональная
функции
БХ [30] F)
БХ [308] B8)
S5f
о
3- \т±7^-1—Т- БХ[1О8]G)
о
t
4. f ±±Мпж<*г=1--у-. БХ[1О8](9)
о
со
5- \?г?* = -*1Г [0<«<Ч- БХ [1391A)
[а>0, 6>0]. Лв[139]C)
8- 5та?г^1пТ [а6>01- БХ[135]F)
9. JJ^^-g-hpg [p>0, g>0]. БХ[135]D)
=-^ И>01. Ли[135]F)
»¦ S-555-ПГ—f te>°5- ГХ[324И7Ь)
1 со
^\i^x= -°- ФН482, ФИ614

/,.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
547
13.
-14-}
1
15. J
' -о
16. \
24
+2 Tlfc^
te=l
18. у
о
4.232
4.233
-0.781302 4129 ...
.2. ^^^2^5-=-1,171953619 35 ...
3
4.
.^ -0,157 66014915 ...
= -0,3118211319 ...
. БХ[108](Н)
ГХ[324]GЬ)
BX[Ш]E)
Inx dx
fin a
х3-\-2ха cos t-\-a* ~ a sin t
[a>0, 0<t<n].
БХЦ11НЗ)
БХ[145]C2)
ИПП218B4)
Ли [113] A)
Ли [1131C)
Ли [ИЗ] B)
Ли [ИЗ] D)
ГХ [324] A3с)
35»

548 J—4 ОПРЕДЕЛЕННЫ/ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЛЛЬМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.234
*• \т^ОТ = 1п2 БХ [144] A8) и
1
„ Р х In х dx
(i
3. \ 'J^-lnxrfs^O. БХ[442]B)и
^ (н^1™^ * БХ[142]A)«
5 t .. X*t*,dl M= ^—г=-- БХ[112]B1)
,] A— г2) A+ж4) 16 B+У I) l JV- '
6j \ U»+W)"+^) = ^('&3-«г) lnT ta6>°]- БХ[317]A6)«
о
? ? 1пж
г- [о>0, 6>О]. Ли [140] A2)
о f x*\nxdx оя | 6 г , «,
Ли[14О]A2), БХ [317] A5) и
4 235
1 \1па:иГ » «fr= -^4-bg2-f- [п>11- БХ [1351A0)
. иг + 1 Л
Г» s\ m-l я sln л Sln
2- U*(tTl? ^=~ . . тя " .Д-Л л Ли[135]A2)
q 4n2sin2—^—ып!
тЛ
—=—
2я
3. \1па:( '7n rfa:=-—tg2— [n > 2]. БХ[135]A1)
I
4. С 1па!-^±5-—<?г= /*т л [">ml БХ[108]A5)
4.236
1 ? f l-)-fp—l)lns g|n ж 1 p,j _ _ . , . . r _
БХ[111](Ь)и, ГХ[326]A3)
2- \ f'-t=5- + ТГ^и 1 & = "Г - *• ГХ f32bl A3a)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
549
4.24 Логарифмическая и алгебраическая функции
Bп—1)!! j
4.241
1.
2.
. _
Bп)П
k=i
¦(in 2 +
4=1
БХA18]E)и
БХ[118]E)и
4.
5.
6.
VI
7.
8- S
hix dx
In x dx
9.
= —J—J In2.
10. \ xVi-x* In a: da: = у In 2—|-.
11.
4.242
1.
In x dx
I k 2n+2
l
Ли [117] D), ГХ [324] E3a)
БХ[117]E), ГХ[324]E3Ь)
БХ[117]C)
БХ[145]A)
ФН 614 и 643
БХ [144] A7)
БХ[117]A), ГХ [324] E3с)
БХ[117]B)
ГХ [324] E4а)
' К
r.-»- [a
БФ (800.0^)

«50 Д—*. ОПРЬДЬЛРННЫЕ ИНТЫРА-1Ы ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
-|-ff(}7^=r)] [a>0, Ь>0]. БФ (800.02)
* f In г rfx 1 Г_/ a Nil,
3. \ ,. t — КI —7= ) In ao 4-
[а>0, 6>0]. БФ (800.06)
4- \ - =—-] К [ — )\nah -
5. С h*^ z=j 1 K(V^E^\nab. БФ (800.03)
l
3.
.245
1 2n
1.
[a > 6 > 0]. БФ (800.01)
;J
[a > 6 > 0J. БФ (800.05)
4.243 jj ^'°^4 dc = -~In2. ГХ[324]E6b)
r 8
4.244
*• [*=1Т--Т1Г(ТЛ'- ГХ[324]E4Ь)
4.246 ^ A — x*f 21na;flte= - B?2д)ЦП ~[21n2+ ^ 4] • rxf324]E5)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 551
4.247
In a; , V 2л 2и
1. \ у, _м «*г = ^ f^- [и > 1]. ГХ [324] E4с) и
stu —-
2га
2. V *?* __-1Л*Ц*2. ГХ[324]E4)
4.25 Логарифмическая и степенная функции
4.251
Г* х^~* itlX яВ*1
[| arg& 1 <с я, 0<Re(i<l]. БХ[135]A)
о ? х>1~ In a; /" , п \
Z. \ tu = ля*1 ( cte; an in а *—=, )
J а—х \ ° г sin2 ия у
[а > 0, 0 < Re ц < 1]. ИГЛ 314 E)
3. § *Д~+'°* ^ = 4~РA*) [Вец>0]. ГХ[324]F), ИП 1314C)
4 ^_?!!_—!Н1-(й;= —tb'((i)= -СB, (*) [Re(A>OJ. БХ[1О8](8)
1 2п
5 \ 1|1^-ГГ^-=--ТТГ+ 2. Р • БХ[108]D)
12
б ' а=1
6. Jlni^l^ = A.+ 2 -4?". БХ[108]E)
о
4.252
1 с ^-1|пж
n, |argv[<n,
0<Re(i<2, it ф l]. БХ[140](9)и, ИШ314F)
[|argP|<n, 0<Ren<2, ц ФI]. БХ[140]A1)
со
U
(см. также 4.254 2.)-

552 8—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
4. \ — -г- dx = -i U ( In а — л eta ця -\ г )
о
[а > 0, 0 < Re ц < 2 (и Ф 1)]. ГХ [324] A3Ь)
4.253
[Re|x>0, Rev>0, г > 0]. ГХ [324] Cb) к, БХ[107]E)и
2- \ A -^i 1и J <to = - -^ cosec ря [0<р<1]. БХ[319]AО)-ц
1
ИПП203A8)
[a>0, p>0]. БХ[140]F)
GO
5. \ (x— l)p~1lnxdjr — — cosecnp [ — 1 < p < 0]. БХ [289]A2)w
CO
6.
[Re|x>0, а ф 0, ц —а не равно натуральному числу] НИ 68 G)
7.
0 (.а + х) 2 B/1— i)a 2 A=1 ft=»-l
[а>0]. БХ[142]E)
4.254
\^JHdx=-±y(JL^ [p>0, q>0]. ГХ[324]E)
2. 5^_^^= ^ [0<p<fl]. БХ[135](8)
fe^ ^ l]. БХ[140]B)
. ГХ[324]G)
я

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 553
COS —
ТТ^=-?-7^ P<*<*J. БХ[135]G)
я
1
6. J ^2^»^= _ ^_ [q> о]. БХ [108] A2)
о
4.255
1
. sin ¦
1 \Ьх*-'>'~ &=-(»)—!?. [p>l]. БХ[108]A3)
1
2- $ *ч« !_.!.» «fa=-(-^) sec -аГ LP>4- БХ[108]A4)
о
3 ln^4^^=Ttg2^ [?<!]• БХ[140]C)
1
4.256 [
[Ren>0]. Ли[118]A2)
4.257
-Р)
о
[|argP|<n, |argv|<n, |Rev|<l]. ИПН219C0)
GO
2 С ln-f , ^"^ >— ^0 [9>01. БХ[140]D)и
О
3 ?Ь4Г-Ж?жУз^э = 0 [д>0]. БХ[14О]D)И
\ In ж In — r-—T7-. . = 7-7 тг [a > 01,
J a \x—1) (jt—a) b(a—1) l '
[a=l см. 4.2615.]. БХ[141]E)
GO
_ P . .as gP<te _ я2 [(a" + l) In а—2я (я?—1) etg ря]
О. ^ 1ПЖ1П— (a._1^a._a)— (a —l)sin2^
[pt<i,a>0]. БХ[141]F)
4.26—4.27 Степевв логарифма и степепная функция
4.261
о

554 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
ГХ [324] A6с)
ГХ[324]A6Ь)
О
•
4.
5.
6.
7
8.
9
10
11.
1Я
14
1
\
(
0
СО
оо
0
(
1
1
1
0
1
s
(
('
оо
I1
1
Р
ОО
J
(\nxfdx 1
»—«i
(U>*J(
(In a:J
(In жJ
(In*)*-
,, .2
(lnxJ
(In 2
2
(Inxf
-1 ~ 2
4r 1
-1 I
dx
[x—i)(x
dx
(\ x№
dx
dx
X>X /ti
1+-
i+x
x"dx
1-х
x**dx
}
oo
}
+«
II II _
я"
16
= 2
(In
a^-
(ln
x*-\
g =
•
1
2
Я [
? 1
я»(
oo
ft=n
ft=n
da;
a;2-J-2a; cos i
*-
+i
xf dx 10Я»
-ж + 1 81 /3'
xf dx 8я3
-:c+1 81 yfi'
|яЧAлв)!] In a
3ll + a)
i
oo
" n
2—ч1п2р.я) ,
(— I)"**
(A+l)» •
1
1
sin' ып />я
БХ[139]D)
БХ[109]C)
БХ[109]E), БХ[135]A3
БХ[109]F)
БХ[118]A3)
;1]. ИП 1315 A0)
БХ [109] A)
БХ [109] B)
БХ [109] D)
x {яг — t2 + 2я ctgpn[n ctgpn + tctg (I — p) t]}
[0<t<n, 0<р<2 (рФЩ. ГХ[324]A7)
15 , 2 1Z ^, к. ¦ ^ «
ГХ [324] F0а)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 555
2п+1
+1
2 Цг-+1п2Т} •
1
J :)'
17. ~ J (In ав)«ям-' A - a:)' rfa: = В (|Х, V) {[Ц (|х) - ф (v + М-)]* +
} [Re|i>0, Rev>0]. ИП1315A1)
1
18 $
и
19
О А=1
Ли [111] G)
Ли [111] (9)
21. J On^^Ml
о
ГХ [324] (8а)
4.262
^=-та?»А БХ[109](9)
2. Jaa,)»^-»-^-. БХ[109]A1)
о
3. \
1 п-1
4 ^Aп1)^=(-1)л'1[|1-б2Мг]' БХ[109]A0)
О й=О
5
0 ft=O
1 я-1
ft==o

556 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7.
8.
9.
4.263
120
*=1
1. \(ln*)«;
_ In'а [я» + Aп аJ]8 [7яа + 3 (In a)»]
\~ 15A +a)
2.
3.
4.264
1.
2.
3.
4.265 \ (lnx)e
8
4.266
i
n
1.
4.237
i.
da;
64 "
31я9
252
dx - 127я8
1+5- 240
1— Д» _1р 2
30 sin t
6A +а)
[а > 0].
БХ[141]C)
БХ[1О9]A7)
БХ[113](8)
БХ[109]B0)
БХ [109] B1)
БХ [141] D)
БХ [109] B5)
БХ[109]B8)
БХ[109]B9)
БХ [127] C)

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 557
Swi^=lnT- BX[128]B)
о
1 п-1
A—з-J dx _ \ у , . nfcqi *"»я
\ , . „ ю „ 1т~ . ™ 2j ^ I) ain д х
о 1 + 2жсоэ — -4-ж2 sin ь—1
Х 1"/Af^VYMf-+fc+2^ tm + «-нечетно];
2-—•
- У,
4
6
s
0
i
f
и
1
0
1 — x 1 d»
1 + .. 1+*2 In,
1+* 14-ж2 la ж
1
со
in 2
я
(-1)"
[m<n]. FiX [130] C)
БХ [130] A6)
БХ[130]A7)
ГХ[326]A0)
, g>0]. ФИ647
о
«¦ 5g=feF-ifi-lnrMr^ ^«^ ФП186
x) In x '.
0 о
t
11 С (жр - ж«) жг "l — = In ^±^ [7->0, в>0, 9>0]. Ли[123]E)
j v In а- г + ?
0
1 а>
хЧ dx
0, 9 > 0, а2 < 11. БХ[130] A5)

558 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
is. ^-1)(**-1)^=(д;|1) [Pq
ГХ [324] A9b)
' [р>0, 9>0]. Б
>-1]. ГХ[324]B3)
ГХ[324]B1)
17- \ 1TtS? Т?? =1п *8 ^ t° < 9 < Р] (см. также 3.524 27.).
БХ[128]F)
nn* <**=ln(tgf ctgf-) [0<л<г. 0<?<1-].
ГХ[324]B2), БХ[143]B)
1 /sin "^\
'ь. dx = ln[—-k] [0<Р<г,О<Я<г]. БХ[143]D)
»¦ \^^-^^«ШШг I»». .>»
БХ[128]A1)
1Bл4-1)
V. 4Bп + 1, у1 ^4Bл + 1)^ V. 4{2;.-г1, у
[P>0, q>0]. БХ[128]G)
oo
22.
[0<p<4n, 0<9<4n]. БХ[143]E)

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 559
.in
- *_1Л л Tilt "Till
23 v*" J~ '- M
1—^в in a! — ?я
[О < /; < 2n, С < q < 2л]. БХ [143] F)
24 ^ A — а?)A — ж9) -, t<fa = ln fP"t~'y+r)r
[р>0. ^>О. г>0]. БХ[123](8)
25
i
га Лг
ОА \ И Г*^ М Г9\ (\ Т1^ I п
ЛЯ/. \ II ~— X I V1 ~^ Л I II -~ X I т ^а 1JI
1- ФП815н
u
Ina; (/>+7+r-t-l)(/>-t-l)(9+l)('4-l)
г>-Ц. ГХ [324] A9с)
27.
_, Г (p-fl) Г {д + П Г fr + l> Г (Р + <7+г+1)
Г(р + <?+11Г(^+г+1) Гк/(г+1|
95 p + g + i->-l]. ФН815
0
[p >0, ? > 0, r > 0, g >0]. БХ [123] A0)
i
1 x*)(l x)to
> 0, 9 > 0, г > 0, s > 0]. ГХ [3241 B3a)
30.
ГХ [324] B3Ь) и
1
31
\-» — * /V* "» / \*— ' A ж) lua;
о
Г (/>+?+«) Г (р+' + «) Г (q + r+s) Г (в)
[р > 0, q > 0, г > 0, s > 0] *). БХ [127] A1)
*) Эти ограничения можно несколько ослабить, написав, например, в 4.267 31. и 32.:
« > 0, p+s > 0, ?+* > 0, г-н > 0, /H-9-r * > 0, /4 *•+* > 0, q+r+s >0, /H-J+^+i > О-

560 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1
32.
г(?±1±±\ г П+Г+ШЛ г (р+г+'Л Г(±.Л
[р>0, q>0, г > 0, s > 0, f > 0] *). ГХ[324] B3Ь)
33 HT^^«|i^ Г(/Ч-1)
-1] БХ[127]A9)
34 H^-ziP-rf^-^lnrW [Reft>0].
УВП38, БХ[127]A8)
35 \ {i-*-*1-™-**} ,-Si- -1MB(p. t» u»>o.ff>q.
о
БХ[130]{18)
Р *P«-i 1 1 4 dx
36- J (Ц ^I
0
БХ[130]B0)
BX[130]B2)
t
38 i *»A-Ут» <fa= = lnB(p, ?) t/)>0, g>0]. ГХ[324]B4)
t n
QO f /~P ¦]'
0
rX[324lA9d), BX [123] A2) a
t n
4-0 V * _^__ — \ j
0 k=0
BX[127]A2)
1 n
41 ^(a^-i;
b
" . БХ[123]A2)
*l См. сноску на предыдущей странице-

4.2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 561
I п
О Ь=0
\р>-^-< Я> °1 - БХ[127]A3)
л __Г— 1 J_
43
4.2G8
Ъг^{р4- 1Iп(р4 1)-(д+1Iп(^+1) —
) In (р + г + 1) + (g + г +1) In |
>-1]. ГХ[324]B6)
l
2 5^
5
о
3
-t-(9¦+-/•+1)In(g + r + 1) + (p + r +1)In(p-\-r+l)-{p + l)In
>0]. БХ[124]{4)
5^{
4
б
-%]. БХ[124]A4)
()
1=0 «=o
[r>0, тид + г>0, пр + г>0, znfl + np + r>0]. БХ[124](8)
36 Таблицы интегралов

562 5—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1
. \ [(q-r)xp 1 + (г-р)х* 1+(P-<1)Z ЧтьГЙ^
'¦— Р) <lln q+(p — q) r\nr
[p>0, q>0, r > 0]. БХ [124] (9)
7 \[ ^1 + «2 | ^ , .
0
Xs'1 "I dx _ 1 г p* In p
(s — p) (s— q) (s— r) J (In xJ 2 L (i*— я) (P— r) (P — s)
In q гЧпг s2 In s
4.269
1.
2
3
t
[
0
i
0
s
0
(j — /<) (g — r) (g — s) (r — p) (r — g) (r —s) (s— p) (s —q) (s —
[p>0, g>0, r>0, 6>0J. БХ[124]{16)
dx _ Y* v <-D* БХ[115]C3)
d% ~^V {-l)>> БХ[133]B)
ГХ[324]Aс)
4- \TT=Tdx=V "Г ^>°1- БХ[133]A)
, P sin i— ж" sin [(ft+lXj+r" sin
• J 1 —2жсО8 2+жа
/¦4
j- [|*| < я]. БХ[133]E)
6 5
i
COS t —X — l" COS nt -\-Xn COS [(Л— 1) f] dx
n-l
= y-\^ _cps^ [|<|<л]. ВХ[133]F)
\
* \
7. <j ^ =я [uv>0]. БХ[145]C7)
4.271
1. (
b

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 563
1
2 J(ina!)t»-i_^_el=gll^.|Biii|. БХ[110]B)
о
1
3 \{1пх)*п-*-^= —t21""^""!^!- БХ[11О]E), ГХ[324](9а)
1
4 ^Aаху-1-^ = еЧ1>-»"Т{р)Ш [Р>Я ГХ[324](9Ь>
10.
5 Sdn^-^r-t-irBlS (ЗВД^т- БХ[11О1A1)
О А=О
6. \A11жJ"т^=^\AпхГ txb-l&^l- ГХ[324]A0)И
БХ[135]B»
8. f AПХ).» * «^^..(ZnJlCCai+i). БХ[1101A2)
9 ^ (In гJ" г^_ = 0. БХ [3121 G) в
о
БХ [290] A7)и, БХ[312]F)ц
1
И $Aпх)"-11^-=-^гя^|Д11,|. БХ[290]A9)а
о
12. J(lnx)tn1r±^r«fa = -^^-nt"|fiIe[. БХ [296] A7)а
о
л2п-1 'соь2ая—ж) da: j_ 1 \| V cos2akn
i 1 —2xcos2ert+a>2"~ У^*-г 4- Zi ft»»-»
[а не равно целому числу]. Ли [113] A0)
14 ( AПХ)" *V~'^ _ „, d» [ „v_2 Sin(v_l)t
0
15. J(ln*)-^dx=—^rip>(f) [p>0. 9>0]. ГХ[324](9)
и
16 ((inxr-^rf^^P^) U»>0. g>0]. 1X13241A0»
36«
[a > 0, 0 < Re v < 2,J 11< я]. ИШ 315 A2)

564 »—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.272
1.
2 <-!)
[|*|<я, ?<1]. Ли [130] A)
0
2 Г An IУ -Л+±» d^_ = Sec-L
V J 1 + 2гсоь* + х* SeC2
-L• Г (а) 5 (- 1)
[|*|<я, ?<у] . Ли 1130] E)
3 Г fill Г Ml" jV~1rfa:
asm* Zj
[a > 0, Re ц > 0, 0 < Re v < 2, 111< я]. БХ [140] A4) и
4. {fln-lYT ПУ* .^dx»
J 4 * У i-\-p2x*~-2pxcos\
0
= rwS fg+^!!gr [r > 0, q > OJ. БХ [113] A1)
5. J ^
J (Ь^-^-^га + Л 1^>-1]. БХ[144]A)
l
6. \^\а±у-*^-10х = -^-ГAх) [Re|x>0, Rev>0]. БХ[1О7]C)
^ [Rev>0]. БХ[107]B)
iIRev>°l' БХ[1101D)
k=0
[Rev>0]. БХ[И0]G)
10.
- г о*) 2 {(a%-^ .
1 m
1^I1'1^^-^-!)'^ ГГ. Л-[И0](9)

4.2.-4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ .565
= -р- Г <|i) С (|i. -?) [Reц > 0, Re v > 0]. БХ[110] A3)
13 $
gLi)pn } [P > - 1. <? < !]• Ли [326] A2) к
fe=0
[р>0, д>0, г>0, 0<А<;г + 2]. ГХ[324]A1)
15. 5Aп±)"A+^-^Л = »!2
0 ft=0
[/»>0, д>0]. БХ[107]F)
1 тп
16. s(b4-)nd-T^^= Й
0, д>0]. БХ[107]G)
[jd > 0, д > О, а < 1]. Ли [110] (8)
]. БХ[133]D)
iq
Kj ^ { — J 2A.Bfe-2«)l
-|]. Лн[110)A6)
4.273 j (I» f)" ('» i)" * - В (': « ('" т)***
U
[р> 0, 9 > 0, uv > 0]. БХ [145] C6)
4-274 \ .ZT W

566 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.275
1. Г jYln ±Y'a_a:P-i(l_a:)«-1]da; =
[Р>°. ?>°1 БХ[1О71(8)
1*>0]. БХ[126]E)
4.282
l
4.28 Рациональная функция In ас и степенная функция
4.281
t
*• I [lk + T^]dx = C- БХ[127]A5)
О
оо
2. [ dx —_ = ±Н(р). Ла281C0)
1
3. \fF^c^±e^Ei(±pq) lp>O,q>O] Ли[144] (И и 12)
4- J [t^ + tS-J^^-^W [Re|x>0]. УВПB1)
[p>0, ?>0]. БХ[127]A7)
о
l
Ли [130] A9)
7 Г Г я _ -i _i_ A—Д)A + 91п^)+^1пж »-! "I dx _
' )lq 2 + (I-*)» * J In* ~
L?>0]. БХ[128]A5)
. \ . ,1°.^ .T^- = 4--4-c- ~ BX[129]A)
0
BX[129]@)
BX[129]F)
БХ[129]A0)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 567
г С In Ж xdx
О
[а>0]. БХ [1291 A4)
ВХ[129]A3)
БХ[129]G)
0
8 [^апхУТ^^-^Г- ВХ[1291A1)
1 • • ? In fV?- t)l. БХ[1291(8)
БХ [129] D)
12
1 oo
13 \ -j—j г_i_i ^ ~—^j (—1) i ^— [jo-1 <C IJ. bX 1132] A3) и
4.283
^ = ln2-i. ' БХ[1321 A7) в
2 \(bb + ^-T)l^ = ii?i-1- BX[127]B0)
о
3 ^+^ + 4^=-^. БХ [1271 B3)
l—Ж^ 2 ^ ill! 2
0
t
4 UnA*--iTEsrl«k = C-4- ГХ[32б](8а)
5 ((т^+^тЬ-т)т^ = !!^=^- БХ[128]A4)
6 i(T^ + T-S-lna;)i^: = ^- БХ [1271 B2)
и

568 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЬГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
о
^p-TJi]dT = <?ll>9-9 [?>0]. БХ[126]B,
[а>О,д>Щ. БХЦ2В](8;
ГХ[326](9)
\Р>Щ. БХ[1271B5)
ГХ[326](8)
13 H()K^)]^
) БХ[132]B3)и
[|^] [?>О]. БХ[132]A3)
4.284
ЬХ [126] C)
6 ?~3ti
& (In x)* 6IniJ 6
0
[g>0]. CX[126]D)
О ft=J
]. BX[125]B1)
В интеглалах вила \ |fe '- Jm w|< следует сделать подстановку х~е'
или х = е~1 и полученные затем интегралы искать в разделах 3.351 —3.356

4 2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 569
4.29 — 4.32 Логарифмическая функция от более сложных аргументов
в степенная функция
4.291
i
г=?*. ФИ 483
Y. ФИ 714
3 К ШA-*'<& = АAп2)'-^. БХ[145]B)
4 JUi^l—^;^=f(ln2)«-^. БХ[114]A8)
о
5
о
1
6 \1J^±^Ldx==±(in2)\ БХ[114]A4)и
7 Г J" <*+**> dx ~ Я ь A + а») - С -^gL [а>0]. ГКИ B209)
о о
8 V *7у cfr = -=-ln2. ФИ 157
9. \ ;VL dr = ±ln2 + G. БХ[136]A)
10- \i!T^1^ = ?ln2-G- БХ[114]A7)
И. \ll«5=^-dr—|1а2. БХ{144]D)
^ = ^_^Aп2J. БХ[144]D)
Ж = ^. БХ[Ш](9)«

570 <i—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
= 3^A-1п2) [а =6]. Ли [1141 E) а
а
БХ[139]E)
1
16. Jln(a + s)a-^=^arcctgVraln[(l+a)e1 \а>Щ.
оо
17 \ ^(a + ^^q^jr- b(a_6) La>0, A>0, e
БХ[114]B0)
Ли [139] F)
а
18 С |П Ц+^> da; ^ 1 arctg а In A + а2). ГК И B195)
19. \
t
20 ^ 'а(+У ^^^=1 [i (« + ЬIп(а + Ь)-Ып Ь-а In 2]
[а > 0, 'Ь > 0, a ,fc й]. БХ [114] B2)
21- ^ Т+У tfa = ^g [a to a - * I» Ь1 [a > 0, 6>0].
БХ [139] (8)
22. ^ln(a + ^)T^7 = II^(lnb + f+glne) [a>0. b>0].
БХ[139](9)
t
23. Jln(H-*)TJ±J-«fa=—J-ln2 + g. Ли [114] A2)
о
— 2arctge-lnal [a > 0]. Ли[114]A1)
25 ^^
Ли[Н4]A3)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 571
О
Ли [139] A4)
ТЧТ?1112—ТЧ^Г [«>-!]- БХ[114]B3)
27
28
О
БХ[139]A1)
29. \ In (а - жJ -{bt+xY dx = р-рр ^ а In у - ^- j [а > 0, 6 > 0].
БХ[139]A2)
30. \ In (а — жJ^а^,Л\а =/,a_LJ.» On^~~!f" + fallla) [а > 0. * > 0].
БХ[139]A0)
4.292
1
1. С '*Д±5> & д - 4 in 2 ± 26?. ГХ[325]B0)
2 [t±U±3dx=-i±%-. ГХ [325] B2с)
J /1 * 2 1
J /1 х 2
з. [^ыа 1
БХ [145] A6 и 17) в, ГХ [325] B1е)
ГХ [325] B2)
1
5. f 1пA+аж) dx = 4- arcsin а (я- arcsiu а) =
J х у 1 — ж2 ^
БХ[12О]D), ГХ[325]B1а)
4.293
1
> —1]. БХ[106]D)м

572 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
2. ^-11пA+ж)йж = у-[Р(-(г)-1п2] [Rey<0]. ИШ315A7)
3. \х»-ПпA + х)<1х = -^1ПГ [-l<Rejx<0]. ГХ[325]C)«
1 2n ft
4. $ж*«-ЧпA+Ж)<& = ^2Ц^. ГХ[325]BЬ)
о fc=i
5. JSB»to(l+*)& = siT[ln4+ ЗЦ?1*]- ГХ[325]Bс)
6. ,
о
со
7 \ зР
БХ[134]D), ИШ315A8)
1
8 [х*-1 ln(l— ж)<?г = — ¦"
ИШ316A9)
оо
9. 5*»-Чп(а:-1)Лв = -^-[ясЦ{(|ш) + 1|)(|1-|-4)-1|)A)] [Нвц<0].
ИШ 316 B0)
ГО
10. ^ ^
цУ* sin ця
БХ[134]C)
а1д" [С + 'фA — И-)] [ —l<Rejx<l].
ИШ 316 B1)
12
о
13. f
[Re (i > 0, R^fv > 0]. ИШ 316 B2)
СО
[0 < Re |а < Re v]. ИП1 316 B3)

4 2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 573
4.294
2.
sin/)я i- - /- - -j-
БХ[114]B)
5 ^ 4Ч
О 4=0 )=1 h—l
БХ[114]G)
О ft=0
БХ[114](8)
4. j^^^S^
0 ft=o
БХ[114](9)
1 n 2n+i /
5. " . L^" ^ J^ . ' "' _ '
,=i ' ft=i
БХ[114]A0)
6 \ IdA -x) *-\Z? '*" <bc=2i "-=Г~ 2] -Г • БХ[114]A5)
О 1=1 ft=I
n ;
7 С ln(l-a;)^-<&= -2 -2 4"- БХ[114]A6)
CO
8 \ln(i—3-)zxpdx^-^Tctgpn [ —2<p< —1]. БХ[134]A3) и
9
о
i
10. П1пA— x)]"(l — x)rdx^{ — iTj—^rt [r> — 1]. БХ[106]C5)м
о
i
БХ[311]A5)и
12. J (In *)«" In A - x«) ^ = - 2 („J^L+D I В**. |. БХ [309] E) и

574 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
4.295
[Rep>0, Re|x>0, [агд-у|<я]. ИШ1218B7>
l
2. J 111A+^)^ = ^-^2. ГХ[325]BК)
6
6
3. J 1пA+*г)-^ = я. ГХ[325]Dс)
О
со
^(^ + lna) fa>°l БХ[319]F)и
о
1
5. J 111A+3*)-^=^-1п2-в. БХ [1141 B4)
6. J 1пA+жа)г^р = -|-1п2 + е. БХ[144]E)
1
7.
О
[а > 0, 6 > 0, с > 0, g>0]. БХ [136] A1, 12, 13, 14) и
оо
8. f In (а2 + bV) д rfa:a д = 5. arctg -^
О
[а > 0, 6 > 0, е > 0, g > 0]. БХ [136] A5) в
^ = n(iD_g) [jD>0, g>0], ФЩ45
t
1
10. С In 11|,Д^* ^_хг — — (arctgaJ. БХ[115]B)
i
11.
12. \ 1аA-ж2J^- = 0. БХ[142](9)и
о
13. fln(l-a:2)TJp- = ^-ln2-Gf. ГХ[325]A7)
ВХ[144]F)

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 57-)
оо
15. <| Info2-*2J J-^ = ~ 1д(аг+6а) [6>0]. БХ[136]A6)
16. ^(а*-*2J-^^^-^^ [6>0]. БХ[139]B0)
БХ[114]B5)
18. ? In A + z2) ^^ = -?. БХ [1411 (9)
о
i
19. ^]n(cos4 + x*sia4)^-t-= -t*. БХ[114].B7)н
20. JlaB+^2)
|^1п|) [в>0, *>0, с>0, g>0]. БХ[139]A6)№
21. (
о
+ -S?7^rlnJ^:--2^lnJi^l [«>•>. *>0, с>0.
БХ[114]B8)н
ФП745и, БХ[318]A)и, БХ[318]D)м.
-^)] [в>0, b>0, c>0, d>0, g>0 &g*^c*cP].
БХ[141]A0)
я Г fe In (^ 1 1 дЬ Л
-y-)]l«>0, b>0, c>0, rf>0,
25 5
о
[o > 0, b > 0, с > 0, g > 0]. ГХ [325] A8a)

576 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
26 ? 1п(дг 1 ЬажаЧ x*dx - л Clnag+be I be
у (+ f g ^ g +ag+be)
0
[a>0, b>0, c>0, g>0]. ГХ[325]A8b)
2,. |^T^
[a>0]. БХ[Н7]F)
28. \ In A + a — at2) у \—xidx — —r\\n ^ .. ^ --r
J 2 | Z 2
[a > 0]. БХ [117] G)
29. ^ ^1 1+]/1а2
о -1-*1
1
30. [ InA -й?) ^ -^ Т~(агссоь**>* [«2<1]. Ли[120]A1)
1
БХ[120]A2)
t
32 [ In A ± kx*) dx
= lnJ
J V(l—x2)(l— A%2) -i у1 к
БХ[120](8), БХ[120]A4)
33 |кA(^7(Г^><Ьв*'Ж(*)- БХ[119]B7)
1
34
о
БХ[119)C)
35.
о
— B-\пк')Е[к). БХ[119]G)
i
_0 (о+Ьж) К 1— & Vа*—V*
[а>0, Ь>0, афЬ]. БХ[145]A5)
[р>-2, q>-2]. БХ[106]A5)
38. { 1пA+<и:а)-7^ = n\ui-±V.l+a [а>-1]. ГХ[325]B1Ь)

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 577
1
39. [ In A+«•)*•»-» <te = j [ln 2~ P(f+1)J
[Reft>-2]. BX[106]A2)
OO
40 \ 1пA+х*)х»-1с1х=--^—^ [-2 < Reji. < 0].
БХ[311]D)н, ИШ315A5).
41 f?'^ ^{
:1]. ИШ316B5)
— \. — S -г
4.296
1 (hKl + JSxcoBt-t-s")^?—?. БХ[114]C4)
b x Ь 2
OO
2 \ In (a2-2ax cos t + x2)T^-2 = nln(i +2a sin t + a1). БХ[145]B8)
—oo
3 ^
0
[|/|<л, -l<Re(i<0]. ИШ316B7)
4.297
[a>0, 6>0]. БХ{Н5]A6)
БХ[139]B3)
3 $ ln ^F i$? = ?ln 2-
о
¦ G. БХ[115]A7)
1- БХ [1411A3)
[uo>01. БХ[145]C3)
A [в > 0, 6 > О]. ФИШ
37 Таблицы

578 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1
8- ] lnT=^cxV-—==3Iarcsina {lal<4 ГХ[325]B1с), БХ[122]B)
О
9. \ ш I 5—'— )— - = —FI
и
[|в»1<1]. БХ [1451 C5)
4.298
" " " "" и БХ [137] A)
|. БХ[137]C)
о
со
¦ \ ^-Е-г-zdx = ^- + -^-^Bn+i). БХ[137]B)
4. l^^^dx=-^^+±M2n+l). BX[137]D)
|Tf55r ii БХ[137]A0)
6. Jtt-^^J^^
*=о
БХ[294](8)
1 п-1
7 \1п-
{
БХ[294](9)и
8- U^Txb-Tl»*. БХ[115]G)
9- \llli:^:T^ = Illn2- БХ[137](8)
10. \ In1— гз^ = О. ВХ[137](9)
о
И- W^IT^T1*2- БХ[115](9)
12- \1п^ЛТО = Т1п2- БХ[144](8)
i

4.2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 579
БХ[Н5]A8)
14. V lni+^j-^- = ^ln2 + G?. БХ[144](Э)
15. (ini+^^^ln2. БХ[1151A9)
Й. БХ [138]C)
о
17. f In "-1-"" . "* =^in.
Л а; с ~|- s x се г
О
[a>0, 6>0, c->O,g'>:G3. БХ [138] F, 7,9,10) и
CO
г>0]. БХ [138] (8, 11) и
19. |1„1+^A^ = АAи4_1). БХ[1391B1)
1
20. f 1пA=^У\/Т^г*с1х*=п. ФНб43а
* dx _ 1 f-, 14-2a:cos<-f a;3 ^ ta
БХ[115]B3), БХ[134]A5)
l-\-2xcost-\-x3 „_. , 2я A
—¦ ¦ w i fix = ^— .
:1, |*| <я]. БХ[134]A7)
[|*|<я]. • - 'FX[325]B1d)
4.239
j ^a+8>) -f—апа)' [а>0]. БХ[Ш]A4)
о
¦2. j
о
[а>0]. БХ[115]B5)
37»

580 8—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
A— а
+^=7iarctg Кй ln A+а)
[а>0\. БХ[115]B6)
(г Sin |1Я
la>0, Ren>0].
4.311
1.
2.
3.
4.
5.
4.312
1.
2.
4.313
1.
l+g»
Я . 3 л»
/3
In a: In A + а2х2)-^-= яй A — 1па)
2. \ In A +¦ A*) In (a* + 62ж2) -^ =
ВХ[134]A6)
БХ[134]G)
Ли [136] (8)
Ли [136] F)
Ли [136] G)
БХ[136](9)
БХ[138]A2)
БХ[138]A3)
БХ[134]A8)
2л [ (с+ ¦?•) In(Ь+ ас)--iIn b- cine]
[o>0, Ь>0, с>0}. EX[134JBO и 21)«
[а > 0, а + 6с > 0]. БХ [134] B2 и 23) й

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 581
4.
[а>0, Ъ>0]. БХ[134]B4)
5 1 а 1 а~ —\- дух —I— и-"" dx t\ л .О
\ inxln _,.,._ , _. — = 2jtlnaarcsin —
[а>|6|]. БХ [1341 B5)
6- Ипа+^'—Г^-.^ ' [-ХЧ. БХ[Ш]G)
_ v I _ /j „\«*1"^—г—a dx
[а>0]. Ли [141] (8)
4.314
1
1.
о *=1
[а>0, p>0,q>0]. БХ[123]A8)
(?— i)x I I "I da;
1 . 1 I
x+l" (l+*)e J
3
4
4.315
1
2
1
о *
t ' '
\
[g > o].
4
я
[«> ]•
г Bя+1)Bя + 2) »»*21-
БХ[143]G)
БХ[126]A2)
Ли [327] A2) a
(n+1).
БХ[116]C)
3. \ ln(l —ж)Aпа;)п-1-^ = (-Г.1)п(л-1)!С(л+1). БХ[11Ь]D)
БХ [116] B)

582 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.316
s х' х гР
2.
-1. о<1. г>0].
ак cos kt
4,317
1. \ In
dx
= я arcsin а
2. \ 1л
3.
1—ж
= -jr (arcsin а)г.
C0S 2
2 *
5. f ln[УГ+Ш+ У^^
6. f \а{\П + кх — У\-кх\
dx
7 ^ hi{l+l/l-/c2a
YJ\ =
8. Cln(l-Vl-AV)
БХ[116]G)
Ли [116] (8)
БХ[142]A1)
БХ[115]C2)
БХ[115]C0)
БХ{115]C1)
БХ[121](8)
БХ[121](9)
БХ[121]F)
БХ[121]G)

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 583
9.
10.
i
о P "
0
2 dx
2 1-Х
r2 dx
c2 \' \X —a:3) A — /cV)
F(arcsin^, ft')
BX[115]B9)
БХГ122Ш5)
4.318
[q>0]. БХ[126]A1)
2
1
о
(fictg^) [p<r, q<r]. БХ[143](9)
В интегралах, в которые входит In (a + Ьхт), полезно сделать подста-
подстановку x' = t и затем полученный инте(рал искать в таблицах. Например,
СО р
+xr)dx = ~ [tr
Г 5
r
(см. 4.293 3.).
4.319
= -n Г4-
BXL354]F)
[a > 0]. БХ[3541G)
ФII635, БХ[354]A)
4.32i
OO
: 0. БХ [358] B) и
2. \\achxj~^0. БХ [138] B0) a
и

584 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
4.322
л л
1. ^ lnsinxxdx^^ \ lhcos^xxdx^ — ^Ь2. БХ[432]A и 2), ФП643
о о
2-
3. I Ы^" dx = Т 1п
О
5, J
о
6. Г-И^л- _».
-' cfa= --Lf^Y fl- V rt
[о>0,Ь>0].
[о>0, b>0].
а>0, b>0].
ft=i
[Re^>0].
ОО
" 1 VI ?Bfc) "]
ГХ [338] B8b)
ГХ [338] B8a)
БХ[418]A)
БХ[418]B)
ФII686
Н2*) ' I
Ли [425] A)
[Reji>0]. Ли [430] A)
я
2
[Re|i>0]. Ли [430] B)
CD
10 $ ^ ^
= jla(p±e-t»>) [р*>1] ФII718а
4.323
л
\* 0. БХ[432]C)
2- ^ y^gl tfcc^-^-lnthafc [a>0, Ь>0]. ГХ[338]B8с)
о

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
585
J. \ In ( , *
J \1 — tg
'Уdz_n*
xj Т ~ 2 '
4.324
1.
2.
-sin ж \a dx »
— = Я .
I — sin J x
ГХ [338] B6)
ГХ [338] B5)
dx
3. \ In (e2 sin2 pr -4- b2 cos2 pr) -j5=-i
; — [lti (a ьйср-f- b ей с/;; — cpj
[а<-1илиа>1]
ГХ 13Ь8] B7)
[a>0, b > 0, с > 0. p > 0].
4.325
1.
,159868905.
3. Jlnln(-i)TT^F=Jlnln^7I^
ГХ [3251 B5a)
ГХ 1325] B6)
БХ[147]G)
БХ[148]A)
dx
БХ[148]B)

586 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
7
8
9.
10
12.
l
(* f 1 ^
0
1
\ In In — х"
J x
со
1
С Л" i. "*
0
0
i
i
у- |
¦ * сйж = (C+ln(i)
п—1
р 1п2л-(— ^ (— l)ft~* si
n—1
2
г—1плН V ( — l)h~l s
OO
ao
) X — (C 1 Iti/iiiI
j . — \\j i uii|Xj
I/ In —
X
[Re (i > 0].
1Пп.гС^)
г(т)
-r(|i)[*(|i)iln(vV
БХ [148] E)
БХ[147](9)
БХ [1471A)
\п четно].
[л нечетно]
БХ[148]D,
БХ[147]D)
БХ[147]C>
]
> 0, Re v > 0]. БХ [147] B)
V- 1
[Re|i>0, a>0]. БХ1Ю7]B3)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 587
2. 5()^[(^]
0]. БХ[145]E)
4.327
1. t
[—?] ВХ[147]A0)
2. jj g \;я^ f
[а> -я]. БХ[147]A6)м
оо
3. С i
ds] [а > 0^ Re|i>0]. ГХ [3251B8)
Если подынтегральная функция содержит логарифм, аргумент которого
также содержит логарифм, например если нод знаком илтеграла имеется
In In—, то полезно сделать подстановку In x =*t и затем искать а табли-
таблицах преобразованный интеграл. .
4.33—4.34 Логарифмическая и показательная, функции
4.331
1. [ e-»*laxdx = - — (С + Ь ц) [Reц > 0]. . БХ [256] B)
аз
.2. \ e->^]9xdz= - — Ei(-|i) [Re|x>0]. БХ[260]E)
3. [e^hixdx^-~\^~^-dx ,[j*?=P]. ГХ[324](81а)
4.332
(сравни 4.325 6.). БХ[257]F)
(е^авнж 4.325 5.). БХ[257]G)н, Ли [2601C)

588 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.333
i
~x«-~ [Re ц > 0]. БХ [2561 (8). Ф IT 807 и
4.334 \ x2***^_#=\ |/-j 2 (~ 1)" Ct/_4* sin-^Ь . БХ [3571A3)
4.335
СЮ
lReii>0]. ИШ 149A3)
2. ^ e-*a(b:r)a«& = ^[(C+21n2)!! + i?-] . Ф II808
о
4.336
OD
1 \-Щ^<*х='')- БХ[2601(9)
SsSS . МХд26
4.337
n, Re(i>0]. БХ[256]C)
2. ^ e~»*]ji(l + $x)dx= - — еЪЕг( -*~*\
[|argP|<n, Вец > 01. ИШ 148D)
СО
3. ^ e-'"ln|o-a:|fitf=l[lna-e-0iiEi(a(i)l [a>0, Ren>0].
БХ[256]D)
сю
4. J^ l
не может быть деисштельным положительным числом, Ren>0].
МХд26

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
589
4.338
1 J е-м* In (Р2 + *¦) tfr = А [Ы р - ci (P|*) cos (P|i) - si
sin
[ReP>0, Re|»>0].
2 .^ е-|
4.339
4.341
4.342
—l
[Imp>0, Re|i>0].
о
dx = — [shi ц ch ц — chi ft sh ц]
[Re(i>0].
[o>0, Refi>0].
[Вец>0].
я
4.343 f eii cos x [in B(i sin* a:) + C] dr = - яК0 (|i).
БХ [256] F)
I*)]
БХ [256] E)
МХд27
ИП1149 B0)
БХ[256]A7)
ИШ165C2)
ИШ165C3)
В 95 A6)
4.35 — 4.36 Логарифмическая, uuкарательная и степенная функции
4.351
2.
+ 2х) In х dx = ~ [A - ц) е»4 - 1].
[Ro|i>0].
БХ[352]A)
БХ [352] B)
НИ 32 A0)

590 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.352
СО
1. \xv'ie->Mbixdx = \T{v)l^(v)— lnp.] [Ren > 0, Rev > 0].
О
БХ[353]C), ИШ 315 A0) а
со
2 J x*er>4nxdx=-?!r[± ±
о
[Re|i>0]. ИШ 148G)
г. f-Wy
о
-С — 1п4ц]. [Rey.>0]. ИП1148 A0)
оо
4. ^ a^-4e-x In x dx = Г' {i>.) [Re у- > 0]. ГХ [324] (83a)
4.353
оо
\ (х — v)xv-te-*laxdx = T{v) [Rev>0]. ГХ[324](84)
2.
[Re^>0]. БХ[357]B)
1 n
0 k—O
[И?=О]. ГХ[324](82)
4.354
!¦ \^r^r-dx=r{v)^^^-[^{y)-lnk] [Rev > О].
ГХ [324] (86a)
2 \ ~^j^- rfa; = r(vJ] l~ ; ;, ' [4> (v) - In k] [Rev>0].
ГХ [324] (86b)
ГХ [324] (87a)
4- S ^"(S'l-^2" Д^2" Ь» dx = ^—^ n^] B^ |. ГХ [324] (87b)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ591
[Rev>OJ. ГХ [324] (86c)
4.355
= -l-{2~ Ы4ц-С) у — [Ren>0].
ВХ[357]A)н
[Вец>0]. БХ[358]{1)
СХ)
3 ^(»дл;2-п)т2»-*е->«11па;Лк=-^^- [Re(it>0]. BX[353]D)
и
БХ [353] E)
4.356
[а>0,
ГХ[324](91)
\aj Г в ^ (п—к)Ц2к)П (г \f abf l '
БХ [357] D)
ОО
3. [exv(-ax-±-}lnx[2ax*+Bn-l)x-2b]- dx
(в-A— lJK^nli^dfe)" l r
BX[357JA1)
При « = -:
4. Свхр(-аж—-!)ь*-^^Лг = 2Я0B|/^) [а > 0. Ъ > 0].
ГХ [324] (92с)

592 d—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
При п = 0:
ао
5. \ ехр ( —ах ) Inх — ~~*Т— rise = 2 |/ — е~2^~^
[в>0, 6>0]. БХ[357]G), ГХ [324] (92а)
При «= — 1:
с f / fe Л 1 2ая»«—Зж—2» , l+2l/"a6 ./""it" , i/-r
о. \ ехр ( — ах ] inz 7= ах = —! I/ —е~А y °°
J Ч лУ ух а г а
[а > 0, Ь > 0]. Ли [357] F), ГХ [324] (92Ь)
4.357
[а>0]. БХ[357](8)
4.358
[а > 0]. БХ [357] (9)
[а>0]. БХ[357]A0)
[Re ц > 0, Re v > 0]. МХд 26
[Refi>0, Rev>0]. МХд26
[Re|i>0, Rev>0]. МХд26
4.359
0
[Refi>0, p>0, y>0]. МХД27
О hИ
[Reft > 0, p > 0, ? > 0]. БХ [352] (9)

4.2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 593
4.361
о
2. \ ¦ еа ,, х .„ = еР — v (jx) [Re \i > 0]. МХд 27
4.362
1-е. БХ[352]E)и
о
2 С е-^1пBа:—1)^ = 4 I Ei ( —^) Г [Re|*>0]. ИП1148(8)
4.363
со
1. \ e-^lnia
[Ren>0, а>0]. БХ [354] D и 5)
1
2 ^ x{i-x)B-x)e-u-*Pln(l-x)dx = ~-. БХ[352]D)
4е *
о
4.364
^ пх+а+Ь~
L ( - ац) Ei ( - bfi) — In (ab) Ei f - (a 4- b) pi]}
[a>0, b>0, Rejj,>OJ. БХ[354]A1)
2 5
о
= A + In a In 6) In (a + 6) + e-(°+b>w {Ei ( — ац) Ei ( — 6ц) -f
+(l-ln(ab))Ei[-(a+6)fi]} [a > 0, * > 0, Reft > U]. БХ[3541A2)
4.365 ПС"Ж-A+^4(Нх)]т-1п^ ^>0]- BX [354J A5)
о
4.366
1. J е-м- In (l + -J)f = [ci (afi)]2 + [si (aji)]s
[Иец>0]. НИ 32 A1) a
-afi) [Refi>0]. MX 18
2.
б
38 Таблицы интегралов

594 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
3. [ xe-»xi
о
In
4.367
4.368
4.369
1.
2.
V 2C
^^21 dr = — [oh ц sh i (|л) — sh ja ch
[Лец>0]; (сравни 4.339). МХд27
ИШ149A9)
ИШ149B1)и
[|argp|<n,
-(O-ln2)/0BiK2jx)]
x ft (V) _ Jnд.] dx =
[Ren > 01. МХд26
4.37 Логарифмическая и гиперболические функции
4.371
1.
2.
3.
4.372
In x
Cbx
chx-j-cosi sm
In x dx
2я У
< я2].
—С
Ли [260] A) и
БХ[257]G)и
БХ[257]D)и
. \ -, sh mx ,
1. \ \nx-r dx:
' sh nx
« tg
in ь 2
n—i y
¦У, (-l^sin^^ln —
n-l
2
¦D)
\m-\-n нечетно];
[m-\-n четно].
БХ [1481C) и

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСЖАЯ ФУНКЦИЯ 595
2. \ Ых -г—dx
l
я In 2л , я
2л тя_
2п
л Inn
т2 i-
[т + п нечетно];
f 2п-2&+1 \
[т + п четно]. БХ [148] F) а
4.373
In (••+«¦) ^ _ к | , , V_ 4л J ,_ 26
4л у J
6>0, а>-^]. BX[258](ll)tt
2 \,1пA + *2)-^- = 21п-?-. БХ[258]A)и
S cl
3 \ In (в2 + х2) -
V. ч у Ч «
[а>-1]. БХ[258]A2)
БХ [258] E)
БХ[258]C)
я
я л
6. fln(l+a;s) ll tfa^4V^-- + -^1^A/^+1). БХ[258]B)
J ch'ilr Я Я
о
4.374
1 \ \n (cos2 f + e** sin2 /) -^ = - 2t\ БХ [259] A0)«
о
[а>0, а+6>0]. Ли[259] A4)
38*

596 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.375
00
1. 5lnchY^=6?~Tln2- БХ [2591 A1)
о
со
2. ?lnctha;-^- = -?ln2. БХ[259]A6)
4.376
БХ[147]{4)
2. f^+^^^^ A)>m
3.
[Re ц > - 1]. БХ [356] A0)
^^^(^) БХ[356](9)М
5 f Inт^cba*-<2n
,,-
BX[356]A4)
sh2 ож 2n ' *V
[a>0]. БХ[356]A5)
a>0]. BX[356]A1)
[a>0}. БХ[3561B)
9. jh,»a"*--<t+<>^x-d,-s.i(^)'-|^|. БХ1356]F)и
n]. BXf356]A6)«

4 2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
597
н.
12.
chяж I-яжshиг da;
4.377 \ In 2ж ^—^
БХ1356] A2)
БХ[356]A3)
Ли [356] (8) и
4.38 — 4.41 Логарифмическая и тригонометрические функции
4.381
\ In а: sin aa; rfx
о
1
[С + In a — ci (a)] [a > 0].
2. ? laa;cosaa:rfx= -{
y] [e>0].
u
2n
2n
4.
4.382
1.
Inzcosna;«to =— —
In
I
x—a
smbxdx^^-smab [a > 0, Ь > 0].
ГХ[338]Bа)
БХ[284]B)
ГХ[338]Aа)
ГХ[338]AЬ)
ИП177A1)
In j ^i^ cos Ьж rix = у [cos ab si (ей) — sin ab ci (ab)]
[a>0, Ь>0]. ИШ18(9)
1„ g±g cos ex dx = ^(e- -e") [a > 0, Ъ > 0, с > 0].
ФИГ648и, ВХ[337]E)
[ReY>0,
[Z>>0]. ИШ 77A2)
Ь> 0]. ИП177A3)

598 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.383
1. jjP «
т
[ReP>0, Ь>0]. ИПН8A3)
2.
[ReP>0, Ь>01. ИШ18A4)
4.384
i
1. С ln(smjtr)sin27nt.rrfr = 0. ГХ[338](За)
8
1 2
п п
2. \ In (sin nx) sin Bга ¦+¦ 1) яж dx = 2 \ In (sin яж) sin Bn + 1) яж dx =
1 2
3. \ In (sin rec) cos 2mtxdx = 2 \ In (sin лж) cos 2галж dz =
0 . о
= -ln2 [n = 0];
= "" к Iй > °I- rx t338l Cc)
l
4. \ In (sin лж) cos Bи +1) яж dx = 0. , ГХ[338]CA)
я
5. \ In sin a; sin а; ей; = In 2 — 1. БХ[305]D)
я
2
г»
6. \ lnsinxcosxdx= _ 1. БХ[305]E)
7. \ In sin x cos 2яж a!x = — ^ .- Ли [305] F)
о
л
8. \ In sin x cos [2m (ж- га)] <&;= _^?^^. Ли [330] (8)
о
я
2
9. Г lnsina;sm2a;tte = -|(l — In 4). БХ[305]G)
о

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 599
10. \ In sina; cos*xdz = — -^-A + 1п4). БХ [305] (8)
я
2
11 [ In sinхsinхcos* xdx = -^(ln8~4)- BX[305] (9)
12. \ lnsina;tgxda;= -^. БХ[305]A1)
о
я я
2 2
13 \ In sin 2rsinzcte= \ In sin 2x cos x <&¦ = 2 (In 2 — 1).
0
я
БХ[305]A6 и 17)
j / I 111 I 1 -t- p CD'S II T . Г2^~<П /-f^ гт /О/
14. \ —' ~l——- dx = it arcsin p [pz< 11. Ф II 484
15 S lnSiUX 1-2а?**+*-1=*ы1^
= ^гт1п^г- [а2>1]- БХ[331](8)
я
16. j ln sin fat_^ ^ g4.a8 = ^ Ln Ц^Ь К<1]. БХ[331]A0)
о
n
17. Clncoste. ., dx , a^T-^-yln 1+9агЬ [а2<1]. БХ[331]A1)
\ 1 — ztt cos ж-1-я2 1 — a* 2 L J L Jv/
я
2 я
18. \lnsmsr-i—., ,„ , . =-я- Vlnsina;
1— 2acos2x+a* ~2 J x" ol" •*" 1—2aco»i
0
^ 1.1 ^ Г 9 > n
= 2(<Дв ln V~ [a2>l]. БХ[321]A). БХ[331]A3)
я
19. \ In sm ас -:—п г,—¦—5- = т з »п —ъ— Ы < 11.
J 1 — 2асоь2х-(-а2 1 — а2 2 1 '
О
БХ[331]A8)
20. bncosbx ,** ^ =^1о^ t«2
BX[331]B1)

600 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Л
2
In cos xdx я .
21.
о
= 2(J/-1) Ь TFjT № > Ч- БХ f 3211 W
л
пп Г 1 • cosaida: я l + as , ., „. ая ]п 2 г „ ..
22. \ ш sm I' j—s ;—з = о"~т ;ШA — а) т——=— |oz<ll;
J 1 — 2ocosa:-j-ea 2а 1 — aJ v ' 1 — в2 l J>
О
я а* + 1 ._ a* — 1 я In 2 г_«~ л
2а a'-11" а" в(в*-1) L1* -^ М-
Ли [331] (9)
я л
оо С , . , COS х da: f , , cos a; da; „
23. \ In sin кс —.—: г г- = \ In cos Ъх —.—: s—:—г- = 0
J 1 —2acos2a;-t-ei J 1— 'Za cos2a;+e2
[О < а < 1]. БХ [331] A9 и 22)
л
о/ f 1 • cos^xdx к 1+в. .. . я!п2 г„ ..
24.^1nSl«X ^ьипь + а* ^Та&Ъ^-^-т^а) 1° < ° < И
--'lln?=l_^iE2 [в>1]_ БХ 1331] A6)
ос Р 1 ¦ cos Ъх dx If,. cos 2a; dx
25. \ In sm x —.—г, ;—i—5- = -к- \ In sin .т-;—;
J 1—2a cos Ax+e* 2 j 1 — J
26. \ In ctos a; •
БХ [321] B), БХ [331] A5), Ли [321] B)
cos 2x dx
1—2a cos 2ж-|-а
[a2 > 1], БХ [321] (9)
4.385
n n
2 2
dx f . dx
БХ [331] F)
In cos x
1- БХ[319]Aи6)И

4 2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 601
я я
2 2
„ Р In sin xdx Р In cos xdx я . Ь
J a*sin* x-\-6s cos* x \ b^si^^ + a'cos2» 2ab a-\-b
[a > 0, b > 0]. БХ [317] D в 10)
л
2
sin
4. \ In si
Sin ж
(e sin2a;+4 cos* ж)8
1
(Ь&ш*х+асоьгхУ~2Ь(Ъ—а) Ь
[a>0, 6>0]. БХ[319](Зи7), Ли [319] C)
n
2
_ P , . a2 sin3 a:—62соз2ж
5. X ш sin a; 7-5—=-
) (Л2 !^lTl2ri
Г l e2 cos* ж—6s sin* * , я r _ , _,
о
Ли [319] B в 8)
4.386
я
2
Р sin а? , С cos х In cos ж , я . „
dx= \ -dx= —-5- Ь2.
я я
2 2
sin а? , С cos х In cos ж , я
1
БХ [322] A и 6)
л n
2 2
J 1^1 +cos* ж
=-^(^= \ cos^lncMg^^in^ 1^ БХ [322] B и 7)
-Мш2ж J Vl-l-cos2* * * K
БХ [322] C)
БХ[322](9)
4.387
n л
2 2
1. X In sin x sin»* x cos* xdx= V In cos a; cos»» a; sinv xdx —
[Re i* > -1, Re v > -1]. ГХ [338] Fc)

602 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4Г ^2j
ГХ[338]Fа)
3.
V. 2 J
ГХ [338] FЬ)
2 2n
4. { lnsma;sin2na;da; = (-2"~l)--1- -^ { V (~~^ *' —In2l- . Ф II 811
5. Jlnsina;sin2'H-ia:fite = IJ^>|!ir| ^ ^- + 1п2}. БХ [305] A3)
л
2
6. С
i]. БХ[305]A4)
v— ¦¦ j ¦ • »
Я
2 «
П /О__« ¦¦ А
7.
4)] ГХ[3381GЬ)
БХ[306](8)
-> я
2 2п
9. f Incosa;cos8»a;t&= _^JlL|{ln2+2 Ц^-} . БХ[30в]A0)
10.
*"' БХ[306](9)
4.388
п
n-l
?fell- БХ[288]A)
iu=u

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 603
Ли [288] B)
л
I
з. V l --- sn * ' * г *
етТт] ВХ 1288] A0)
fc=0
- п— 1
БХ[288]A1)
п
5. Jin8in*^^cic=-icoeeOf [0<р<2]. БХ[310]D)
6. [ In sin x t „_/*. - = ^ -^-r- sec ^ [p* < 1]. БХ [310] C)
БХ [330] (9)
4.389
4
2. \ Lnsina;cosn2xsin2a;cir= —
БХ[285]B)
3. \ In cos x cos»*-l 2x tg 2z «fcr = ,_ p (p,) [Re j* > 0]. БХ [286] B)
2 г ^
4. С In sin a; sin»1-1 a; cos a; dx = \ In cos x cos»1-1 a; sin a;dx = —-5
[Re(i>0]. БХ[306]A1)
я
2
5. J In cos x cos" a; cos px dx =—^ In 2 U» > - Ц. БХ[337]F)
л
2
6. V In cos x cosp"x ж sin px sin rdr =
] Ь">°1- БХ[306]A2)

604 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИРТТВГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.391
\ (In cos 2a;)" cos"'12a; tga;cfo: =
БХ[286]A0), БХ[285]A8)
[ (Insin 2х)пsin"'1 2x tg f~ + аЛ dx = ( ^""' Цп +• 1, р).
о
БХ[285]A7)
3. J (Incos2a;J"-1 tgxdx=
4.
4.392
J 4д БХ[286]G)
я
((lncos2a:)»ntgxda:-=-?5=^-BB)!tBn+l). БХ [286] (8)
sin2" ж
2, \ In (sin x cos ж) -
1
4.393
1. \ In tg a; sin я: «fa-= In 2.
8
n
2
2. ? In tg a; cos x dx = -In 2.
БХ[294](8)
3.
БХ [307] C)
БХ[307]D)
БХ[307]Eи6)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
605
5.
4.394
In tg ж . _ я8
cos2a: ^ 8"'
sina;lnctg-2-«te=ln2.
2
Intgxdx _ я
—1
In tg ж cos 2ж do; л
~1"
. 1—а \ г
1 + а la
1 — 2
cos 2гт da; arcsin a
" sin x In ctg -?•
j 1 — cos2asin2x
ГХ[338](ЮЬ)ы
Ло III290
БХ [3211A5)
БХ [3211 A6)
']. БХ[331]B4)
БХ[331]B5)
БХ[291]BиЗ)
БХ [2911(9)
БХ[291]A0)
— a)— L(«p + o) — ^Г--
[tg<p = ctgacosu; 0 <и < я]. Ло III 290

606 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
л
4
«По 111290м
4.395
sin At dx
я cosJc . -.in w
2 sinubino sin « (i -t- -.in v)
M<-^-, 0<y<-2-J. ЛоШ285ы
4.396
1. \ In(atga;)smil-12a;(ii; =
2.
[a > 0, Re (i > 01 Чи [3071 (8)
л
2
4 С ln tgx cos» a; cos [(q +1) z] dx = - -i- [9 > 0].
4
5. \ (lntgz)ntg"a:cte=2ik-Bw(-5±l) I/. > - 1].
6.
7.
БХ[307](9)
1)]
БХ[307]A1)
БХ[307]A0)
Ли [286] B2)
БХ[312]F)
ГХ [338] (8а)

4.2—4 4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
607
4.397
2.
* fo* < 1].
[р* < 1].
о
л
3. \ In A + р cos х) -^- = я arcsiD р [р* < 1].
4.
БХ[313]A)
БХ[313](8)
БХ[331]A)
1—с
siuacosa
Ло III 291
Ло III 291
6. \ ln(l — 2acosx + a2)cosnrdr = -z- \ ln(l — 2acosx + a*)cosnxdx —
= - -^-а" [а8 < 1]; БХ [ЗЭО] A1), БХ [332] E)
= - —„ |аг > 1J. ГХ [338] A3а)
л
7 V ln(l —
1
2
= -=- \ In A — 2e cos a: -+- a*) sin ят sin x dor = -g- ( ^Ц-т — -—т )
fa2 < 1]. БХ [330J (.10), БХ [332] D)
2л
—-5- Г-^т + —
БХ[330]A2), БХ[332]F)
[a2 < 1]. БХ[330]A5)
10.
БХ[330]A3)

608 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
л
11. \ 1вA — 2а cos 2х + a*) sin Bл — l)xsinxdx =
о
fa2<1l' БХ [330] A4)
я
12. [ ln(l-2acos2a;+aa)cos2/M;cosa;<fe = 0 [а* < 1]. БХ[330]A6)
в
я
13. \ In A — 2а cos 2ж + fl2) cos Bге — 1) х cos xdx =
[«^Ч- БХ[330]A7)
14. С In(l + 2acos2a; + a2)sm2a;^=--^- [а2 < 1];
8
БХ[309]B2), Ли [309] B2)
л
2
15 [ InA + 2а cos 2ж+ a2) cos2а;dr = -^- [а2 < 1];
л In а8. Я г s ч- л л
= -Г- + 1Г Га*>1].
БХ[309]B3), Ли [309] B3)
1 [в.< 1. JP < 1]. БХ [331] B6)
о
4.398
. ln|+29gcos*+a:si
J
[а2<1] БХ[330]A8)
2я m
2, \ 1л;—s п—; cosтпжаж = 2я ( —а" ) [а2<1];
0
л
БХ[332](9)
3' \ 1п 1 + 21ТьЫх+1* ctg xdx=°- БХ[331]E), Ли [331] E)
4.399
БХ[309]A4)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 609
2. \ In A + a sin* x) cos* rdx
я
2
о Р In(.1—cos2|Jcos2г) , я , 1-f-sina
i 1 —cos* a cos2 ж ж sln"a~ sma+sinp
0
Ло III285
4.411
1. У' In
i-Hrfn» d* ., ГХ«<»Л.
l-l-cosXsmr sin ж
2
2. \ In ——^—. -.—— = \ In
J p—? sin ax sin ax J p—
0 0
_ ln
jo—^ sin ax sin ax J /)—q cos аж cos ax
я
2
p—gtgax Igax p \r *~ 1 ** \-
ФII 695в, БХ[315]E), БХ[315]A3), БХ[315]A7)и
я_ a—f
2
3.
1— cos2acos** "* 1—eobjJcosa: »m2a .
[p|J ЛоШ284
4.412
(f)^? БХ[293]A)
2. $l4tg(^±zb^ = ±-?r. БХ[293]B)
о
n_
4
0
БХ[294]B4)
.5.
4
БХ [294] B5)
Таблицы интегралов

610 3—4. ОПРЕДВЛКННЫВ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Я
Т
5. J In tgQf ± *) (In sin 2a;)"-! -^ = 1=2^2 (« - 1)! ?(„ +1).
Ли [294] B0)
4.413
я
[о>0, 6>0, р>0, ?>0]. БХ[318]A-4)в
2
2. ^ In A + 9 tg x)
0, г>0, s>0, f>0]. БХ[320]A8)
л
г
\ ^ ~™ Ь% Х' р* sjns
cos2 ж s2 sin2 x-\-t* cos3 а:
4 (
[<?>0, р>0, г>0, s>0, f>0]. БХ[320]B0)
[^ > 0, р > 0, г > 0, s > О, t > 0]. БХ [320] B1)
^4^ БХ[331]A2)
4.414
л
Т
1. \ In A — к2 sin8 х) -у * . ^ = In к'Ж (к). БХ [323] A)
о ' ~~ sin
я
Т
2. \
+ B - In к') JE (А)}. БХ [323] C)
3. jjd) |rg^
- B - In A') JE? (Л)]. БХ [323] F)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ611
т
4. [ In A -к* sin2 a:) . dx = 4г [(ft» _ 2) К (к) +
J V ' /A--ft»sin*х)» * *
4- B + In A') J?(ft)]. БХ[323](9)
5 I
О
-(l + ft'* + ft'2lnft')JS:(ft)]. БХ[323]AО)
л
т
6. t ln(l-ft'sm^) COa'ar'to ^
/A— *asm»*)»"
— B 4- In ft') Ш (ft)]. БХ[323]A6)
л
т
7. \ ()V
-{2-1пк')Е(к). БХ[324]A8)
8. [ In (I - fts sin2 x) sin* x 1^1-ft* sin8 a: rfa;
/s In ft') Ж (ft) 4- \2 - t
— 3A -2ft*) In ft'] E (ft)). БХ[324]B0)
9. \ ln(l — ft*sin*a;)cos*a;]/l — ft2si
- -gp- {B+7fta-3ft4-3ft'a In ft') Я(А)-[2 + 8ft* - 3 A4-ft*) In ft'] i;(ft)}.
BX [3241B1), Ли [324] B1)
я
T
лл ('« /л 19-оч sin л: cos x dx
10 \ In A — ft2 sin* я) ,
J x |/A—
ft'i-2»_i}_ БХ[324]A7)
4.415
00
1. [ Inxsinaa:*dx = —^- l/-^- Г1п4я + С — -2-^ [а>0]. ГХ[3381A9)
2 ^ lna;cosaa;!!da;= —-^ j/A-^-^ln4a + C4--j") [a>0]. ГХ[338]A9)
39*

6.12 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.416
п
Т
, f cos х In (l-f-V^sin2 P—cos2 p tg2 a sin2 з:) ,
J 1—sina а cos2 х
О
—я) In cos р 4- 2L (а)—2L (v) + L (а4- v)—^(а—у)}
ЛоШ291
я
cos ж In (l — V^^i^P—cos2ptg2asin2x) , _
1 — sin2 a cos2 x
cosec 2a {(я+2a—2y) In cos p+2L (a)+2L (y) - L (a + y) + L f a - v)}
ЛоШ291
2
3(" In (sin х
• \ 2
1
2 a ;
1—cosa a cosmic
(LX ^
2 sina+|At-
[0<а<я, 0<р<-|-] . ЛоШ285
я
Т
4.
^ A4-2А)-1
ft=O
.4)- BX[287]B0)
4.42 — 4.43 Логарифмическая, тригонометрические и степенная функции
4.421
1. ? lna;sinaa;-^= -^-(C+lna) [a > 0]. ФП810и
2. ^ In аж sin fee g^-a = -| е-6»' In (op') -
')] [p'=psignP;a>0. 6 > 01.
ИШ76E), Ш127A0)м
4
3. ? In аж cos Ъх Ff* = 4- e-W In (аВ') -t-
^. [еьв- Ei ( _ 6p') - e-<*' Ei Fp')] [p' = p sign p; а > 0, 6 > 0].
ИП17C), НИ 27 A1) и

4.422
4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 613
оо
4. С Ыах sin Ьх ^-^-а = -|-{ — si Fc) sin 6с +
о
+ cos be [Inас — ciFс)]} [а > 0, 6 > 0, с > О]. БХ[422]E)
оо
5. \ In ах cos bx ^a_^ a = ^- {sin be [ci Fc) — In ас] — cos 6c si (ic)}
[a > 0, 6 > 0, с > 0]. БХ [422] F)
4.423
[а>0, |Re(i|<l]. БХ[411]E)
ОО
2. J lna:cosara:f-1d:r = ^icosi
[а > 0, 0 < Re ц < 1]. БХ [411] F)
ГХ [338] B1а)
2. [cosaa;-CO3teto f [{Ь)(С1)
о
[а>0, 6>0]. ГХ[338]B1Ь)
3. Unx-^^-dx=—^(C + ln2a-l) [а>0]. ГХ[338]B0Ь)
4.424
[а>0]. ИШ77(9), ФII810 и
2. J (lna;)*^^f
я In a ctg ^ + (In a)a —
[а > 0, 0 < Re ц < 1]. ИШ 77A0)
4.425
оа
J ^ i a)]s} [а > 0]. ИПИ8(8)
о
2. Flnd±?ycosaa;-f- = -2msi(a6) [а>0, 6>0]. ИШ18A1)

6,14 8—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
3. \ \n(i + bV)sinax — = — jtEif — -f ) [а>0, Ь>01.
ГХ[338]B4), ИП177A4)
1
4. \ In A — ж2) cos (в In ж) — = тт-5 + w- cth ^ . Ли [3091 A) и
4.426
ОО
1. \ ln^^smaxxdx-=-^[{l+(K)e-ae — (l + ab)e'al']
о
[Ь>0, е>0, а > 0]. ГХ [338] B3)
Z*, \ J.D. ¦".- ¦ ¦¦ — SID. CL3C' —— Л I xlil ( —^ ' I ~~* Jil ( ^~ ¦- 1 I
Q
[Ь > 0, с > 0, р > 0, а > 0]. ИП I 77 A5)
4.427 " '
[Re р > 0, а > 0]. ИП I 77 A6)
4.428
1. \ 1псо8гаж^р<&=я61п2-ая [а>0, Ь>0]. ИП122B9)
о
2. \ In D cos2 аж) ^^ dx = -5. ch Fс) In A + е-2ос)
ИП122C0)
3. \ lncossaa;— , rfz = я In (I + e~2a) sh u —
в
-лIn2A-е-ь) [а>0, й>0]. ИП182C6)
4.
+ F + е-ь)я1п2-ая [а > 0, Ь > 0]. ИП122C1)
1
4.429 ^ (<^-sin(liu:)ife = |. БХ[326]B)м
4.431
1. \ InB + 2cosх)-"¦","х, жfto = —mshFc)ln(l + е'с)
[6>0, с>0]. ИП122C2)

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 615
2.
о
[6>0, с>0]. Ш1122C2)
оо
v *
Е(Ь)
а < 1, 6 > 0]. ИП182C5)
- ^j — sh [с (о — ft)]
я|<1, Ь>0, с>0]. ИП122C3)
4.432
ао
1 \ 1пA — lf*m
sin ж
1—A'sin»*
БХ[412 и 414]D)
С
\
_ С, ,. i<>.«\ sin ж соч х
2 \ In A — A* sin* ж)
/1-
= -р-{я*'A -In *')+ B- ft») Я: (ft) - D- In ft') Л! (ft)}. БХ [426] C)
я
2
•ч С •• .m ю «ч Sin X COS Ж ,
3 \ ln(l —ftacosaa:) a:<fcc =
= -p- {- я - B - Aa) Ж (ft) + D - In ft') JB (&)}. БХ [426] F)
sin a: cos ж
4 \ InA-ft*sin*x)—
i}. БХ[412]E)
CO
5 \ In A — fc8 COS8 Ж) = =
0
^ БХ[414]E)

616 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
6. fln(l±*sin**) r Si°X —— =
\ v 'У— A2 sin2 л *
sin х dx
= \ ln(l ± fccosa
l— к2 cos2 х *
l(l ±
/1-й;2 sin3 2а:
ОО
— fcacosa2a:
БХ [413] A—6), БХ [415] A—6)
7. f sin3 *
БХ[412]F)
8. " ^-=-«-
ri — A2 cos2 x x
i'*]nk')K(k) —B — Ык')Ж(к)}. БХ[414]F)и
9. \ In A -/cs sin» x)-
К 1 — Л2 Sin2 а: ж
= ^{B-ft*-A'sln/i;')^(ft)-B-liiA;')-E7(A:)}. БХ[412]G)
10. \*-{* M^-i-) «ht'cos'* d»_
= -^{(Аа-2 + 1п/с')БГ(А) + B-1пА;')^(А)}. БХ[414]G)
CO
11. ?J^^
\ ln(l-A»cog»g) *_|f ^^lnfc^g(fc). БХ[412 и 414](9)
J }/1—A2 cosa ж ж J v

4.2—4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 617
оо
.п fi/4 7* - * \ sin2 х tea; dx
12. \ lnA — fc'fiiti'a:) e ——- =
J v ' /1 — k*sin*z x
= -^{(кй-2 + Ык')К{к) + {2-Ык')Е(к)}. БХ[412](8)
оо
13.
J Vl — Л2 COS2 а:
= ± {B - ft2 - ft'2 In ft') К (ft) -B -In ft') M (ft)}.' БХ[414](8)
sin x dx
14. ^ In A-й* sin8 ж)
С i ii та а \ sin аг
= \ In A — ft2 cos8 x)
— fca cos8 ж)а x
БХ[412 и 414]A3)
15.
/A— A» sin*
J
я
2
sin x cos x
= A |(i + in k') ? _ B + In ft') if (ft)} . БХ [426] (9)
16. \ ln(l kcosx) v^^
J V ' Y(\~ k2 cos
17. \ In A — ft* sin8 x)
}. БХ[426|A5)
sin x cos x dx
V '-^_йаС08аж)з x
БХ[412]A4), БХ[414]A5)
aa
ло Г i /л it . 2 \ sin3a: dx
18. \ 1пA— к8sura:)
1 ,, , а . . sin ж cos a: dx
In A - ft* cos* ж) :7=====—
- ^тз (B + In ft') E (ft) - B - ft* + ft'2 In ft') 2Г (ft)}.
БХ[412]A5), БХ[414]A4)

618 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
оо
.« f , ., !•>•<) n sin х cos2 х dx
19. \ ln(l — A:2 sm2 ж) r —— =
= \ In A — к2 cos2 я)
J V^(l — ft2 cos2 ж)» *
i }. БХ[412]A6),БХ[414]A7)
„„ f , ,. ,9-ex sin*a:tg* da:
20. \ 1nA —/r2sin2-r) ft
J У A — ft* siu* жK ж
оо
= \ In A — ft* COS2 Ж)
БХ1412] A7), БХ[414]A6)
ОО
J ]/(l~A2slii2a;K x ~~
— /c2co.s2 *У х
БХ[412 и 414]A8)
22. ? InA - Assin2ж) yi — k2sm2x sini -^- =
6
<={2-к2)К{к)-B-\пк')Е(к). БХ[412 и 414]A)
n
2
23 \ ln(l — Л2sin2a:) j/l — A2sin2ar sinx cosx-xdx=
о
= -j^r (ЗяА;'3A - 31n A') + B2A;'S+ 6A4 - ЗА;'2 In ft') K(k) -
- B - ft2) A4 -6 In ft') M (ft)}. БХ[426]A)
n
2
24. \ ln(l —А2сов2ж)ул1 — ft2 cos2 ж sin x cos ж¦ x dx — ~-%- { — 3jt —
о
- B2Л'2 + 6ft4 - ЗА;'2 In ft') JT(ft) -j- B - fts) A4 - 6 In ft') E (ft)}.
БХ[42б]B)

4.5 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 619
26
25. ^ In A - A2 sin2 х)УЛ- /cs sin* i tgj-^=.
о
GO
= \ ln(l-fc2cossa:)l/l-A;!icos2xtga;^- =
= B - А») Я(Л) - B - In A;') E {к). БХ [412 и 414] B)
<x>
С , , . , ... , , sin a: da:
\ In (sm! x + к cos" x) . =
fn,.o к оч tea: dr
= \ In sm! x + к' cos8 x) —7=5==—=
J ' /l—fc2COS2a: ж
ОО
= \ ln(sin82:c + A'cos22:c)-;=Jl^=^ —=
J ч ' j/Ч — ft2 cos2 2a: ж
БХ [415] A9-21)
4.44 Логарифмическая, тригонометрические и показательная функции
4.441
1. J
о
[д>0, р>0]. БХ[467]A)
2. J e-^cos/xelnzete^ "^Ь5" [f 1п^*+^) + ^агс^7" + ?С]
]. БХ[467]B)
4'442 | ^r^coT/^^-T^WF+l-t81^)]' IReP>°]- НИ32(И)
4.5 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4.51 Обратные тригонометрические функции
4.511 \ arcctg px arcctg qx dx =
1Р>°>Я>°1 БХ[77](8)
4.512 ^ arctg(cosa;)da; = 0. БХ[345]A)
и

620 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.52 Арксинус, арккосинус и степенная функция
4.521
1.
2
3.
4.
arcsinx
arcsins
arcsins
ФН614. ФИ 623
БХ[231]G), БХ[231](8)
[?>-!]. БХ [2311A)
Ли [231] C)
7. \ arcsina;
8.
4.522
1.
arccos x ¦
2. \ х у 1 — №х* arcsin xdx =
= 9P"[~TnA's-
3.
4.
5.
БХ[235]A0)
БХ [234] B)
БХ[234]D)
БХ[236](9)
БХ[236]A)
БХ [236] E)
БХ[237]A)
ВХ[240]A)

4.5 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
621
6.
0
8.
9.
10.
х arcsin кг
_2 у sin [Bft-MU]
fc=O
я
a; arccos fer
4.523
1. \ жап arcsin x dx — ^qrj- Г -^—
2.
3.
4.
« arccoszflb = B
2" 1 arccos a: cto = ^-
(In— 1)!!
5. \ A — хг)" arccos x dx = я ¦&
Bre+l)!!
6.
4.524
1.
- = it In 2.
2. I (arccos a;)*
БХ[238]A)
БХ[241]A)
БХ[243]A1)
БХ[239]A)
БХ[242]A)
БХ[239]A)
БХ[229]B)
БХ[229]D)
БХ [229] E)
БХ[254]B)
БХ[254]C)
БХ[243]A3)
БХ [244] (9)
4.53 — 4.54 Арктангенс, арккотангенс и степенная функция
4.531
1.
Г arctg» ^^ f
ФП482, БХ[253](8)

622 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
со
2. ^ &™^хх dx=±-^ln2+O. БХ[248]F), БХ[248]G)
БХ[235]A1)
4. ^ -rEfr-dT== ~G- БХ[248]B)
о
1
_ Р dx 1 п , A+рJ о2— о
5. \ arctg ore-тгт й" = т —гп—г In \ g 4-,. ¦. .. , .—=г- arctg о
. БХ[234]G)
arctg ? + T-fr^arcctg« [p > - 1]. БХ[234]A0)
7- 1^^,^ = ^11,2 + 4-0. БХ[235]A2)
8- \^f-dx = k- БХ[248]C)
БХ[248]D)
БХ[248]A2)
¦dx = 2G-. БХ[251]C), БХ[251]A0)
12. [ -;.^1_„ <fa = ^-ln(l + l/2j. ФП694
4.532
+ ^)(l-( й'^х2) fca L \4 ' ^ Z/2(l+>fc'2) J "
БХ [244] A4)
БХ [229] G)
СО
2. С ж" arctg xdx =-^ф—со*ы-??- [-!> р> -2]. БХ[246]A)

4 5 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 623
1
3. $ g»arcctg*<fe-2вД.ц [-T + p(-f+l)]
[р>-1]. БХ[229](8)
да
4. \ х» arcctg х dx = - 2(Дц cosec ^ [ -1< р < 0]. БХ [246] B)
о
5- [(T^-J'arctg^=^7^% [9>щ- БХ[2501A0)
4.533
\ ^-, БХ[246]C)
1
2. С ( » _arctgjr)T^-=-f-ln2 + e!. БХ[232]B)
3. f («._arete*) J±2I?r = .J.]ii2 + .i«- БХ[235]B5)
i
4. С (* arcctg x - i- arctg i) -^ = - ^ In 2. БХ [232] A)
4.534 S\arctg*)*^=, = J (arcctg
БХ[251](9), БХ[251]A7)
4.535
1. S^f e^^^arctg^lnd + p2). БХ[231]A9)
2. JJ^^^«fc=^{-5- + -iarcctgp}ln(l + p«) [p>0]. БХ[231]B4)
]. БХ[249]A)
БХ[249](8)
5. \X-^^dx = \\n^±El tP>0.ff>4. БХ[248](9)
6. f^E^ = flniW^ \P>*9>% БХ[248]A0)

624 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7-
<х>
О
9. \ arctggc
10.
12-
ФП745
БХ[250]F)
БХ[250]C)
БХ[250]F)
БХ[252]A2)М
БХ[252]B0)М
БХ[244]A1)
4.536
л ? . dx \
1. \ arctg qx агсзш х -jr = -j
arctg 1«-
--f arctg «. БХ[230]G)
3
4.537
arctg ^arctg P(
^ у > ^ q > щ
ф д
2.
3. \ arctg(tga,y4 — i
о
БХ [245] (9)
БХ [245] A0)
[Е (X, к) - k'*F (Я., к)] - ;
fc2sia2X). БХ[245]A2)

4.5 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 625
1
4
БХ[245]A1)
rj«^^?T^g) я^.^ ft) БХ[245]A3)
4.538
OP СО
1. { arctg хг -г^- = ? arctg х3 -^-; БХ [252] A0), БХ [252] A1)
0 0
со оо
= 5 агcctg х* TJ^r = J arcctg з? j~ = ^ .
БХ [252] A8), БХ [252] A9)
2 j -^^ arctg а? <&==-!-(VTJ-l). БХ|2441(Ю)и
4.539 [ Xs'1 arctg (ае~х) dx = 2~s~l Г (s) аФ ( - a2, s -f I, i-V ИП I 222 D7)
4.55 Обратные тригонометрические и показательная функции
4.551
1 ? (arcsinaj) е'Ьхdx=-^-[J9 (Ъ) — Lg (b)]. ИП 1160 A)
о
2. {
о
3. [ farctg^ е'Ьх dx = у [ — ci (o6)sm(a6) — si (об) cas(a6)]
[Re b > 0]. ИП I 161 C)
4 [ С arcctg -|-^ e "x dx = у Г — + ci (об) sin {ab) + si (об) cos (ab) ]
0]. ИПИ61D)
4.552 ^^^г^ = 4[1пГ(9)-(?-4)ь?+9-4-Ь2л] [« > 0].
УВП25
40 Таблипы интегралов

626 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.553 \ (-^-arcctgx-e-^j^-^C + lnp [p > 0]. НИ 66 A2)
о
4.56 Арктангенс' и гиперболическая функция
со
arctg е'х , _J_(* П(ж) ^ _ К л3 Г(?)
с Z ,\
4.561
V
г ( «7+4-
[?>0]. Ли [282] A0)
4.57 Обратные и прямые тригонометрические функции
БХ[344]B)
4.5/1 \ arcsin (A; sm x) —тт—тт-^^г- = — -огш/г.
Л л Го—:—о~ 9Л>
4.572 f ('-^-arcctgж — cospa;^ fite= C+lnp [p > 0J. НИ66A2)
4.573
1.
2.
3.
^-A-е «)
0, f>0].
. si n par «far
arcctg rx . , »— :—5- =
B * ± 2? cos /iar-f ja
1, r>0,
4. \ arcctg fl^ а до а ж ' ,» • n» ~ ^"ln ( ^ ^ *Ь
lp > 0, 9 > 0, r > 0].
4.574
«""
1. \ arctg ( ~\ sin Fa:) dx — -g-e eb sh (ab)
[Bea>0, 6>0].
БХ[347]A)м
БХ[347]B)и
БХ[347]A0)
БХ[347](9)
ИП187 (8)

4 Ь ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 627
ОО I
2 \ arctg A cos (Ьх) dx = -^- [в""* Ш (afc) — еяЬ Ei ( - об)]
[а>0, 6>0]. ИШ29G)
3. \ arctg [ -^j-] «и (fa) dz = | е ~b Y^+^^h {ab)
[b>0]. ИШ87(9)
4. С arctg(A^cos(fer)dz = -?-e-bsin6 [* > 0]. ИШ29(8)[
4.575
I
Л
S T БХ[345]D>
2. Lrctg4 psior smnxeosxdx^-^C-^r + J^-
J в 1—.pcosa: 4 V. п-|т1 ^ и —1
[pa<ll. BX[345]E>
n
3. \ arctg^p^ cosnxsinxdx = -j-( -^Vs ^-—r- )
j в 1соз 4 ч и-J-l л— 1 у
4.576
я
f^(l^) I^<1J- БХ[346]C),
4.577
1. \ arctg (tg Я. J/1 - A:2 si-n2ж)
k*sin*X)J. БХ[344]D)\
2. V arctg (tg X V1 -
2Jc2
ВХ [344Ц5)>
4»*-

628 3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТ^ГРДЛ^Л РТ,ЭЛЕМЕНТЛРНЫХ ФУНКЦИЙ
4.58 Обратная н прямая тригонометрические и степенная функции
г гол (° * dx f . х dx
4.581 \ arctg x cos px — = \ arctg — cos x — =
а о
= _^.Ei(-jD) [Re(p)>0], ФЩ654. НИ 25A3)
4.59 Обратные тригонометрические и логарифмическая функции
4.591
¦~ л. ' БХ[339]A)
4
2. \ arccosa;ln.rt/r=ln2-21 БХ[339]B)
4.592 \ arccosx -^ = - 2] ' Vfcl ?Г^ • БХ13391 (8)
4.593
arctgxlnxcfe=-ihi2_-^- + -Ltt2, БХ [3391C)
о ' . '
2. ' ^ arcctg r In xdx = - ^ л2 - ^ -1 In 2. БХ [339] D)
t
C594 С aretga;(lna;r41nx-fn)rfx^T-I^FB-''-l)S(«i+;l).
БХ [339] G)
4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.60 Замена переменных в кратных интегралах
4.601
1. \\ f(x, y)dxdy-=\\f[ff(u, v), ^{u, vj\\b\du'dv,
) A)
где аг = ф(И, о), 2/=Ч>(и, и),- а Д = -^ -^~-?¦ -^ = ^г^ тгодствпляет
¦со^ой функциональный определитель (определитель Нкоби) функций <р и iji.
t. \\\ f(x, у, z)dxdydz =
= \ \ \ /[<р(и, v, w), ^(u, с, 'b)\', %(u, v, w)]\k\dudvdw.

4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
629"
где о. = <р(«, v, w), y = ty{u, v, w), г = х(и, о, w), a
ди dv dw
ди
Ж
йи
dv
dv
dw
dw
D(u, v, ш)
представляет собой функциональный определитель функций ф, ф, <g.
При этом предполагается как в D.6012.), так и в D.6011.), что
а) фупкции ф, г|), %, а также их первые частные производные непре-
непрерывны в области интегрирования;
б) функциональный определитель но меняет в этой области знака;
в) между старыми переменными ж, у, г и новыми и, v, w существует
взаимно однозначное соответствие в области интегрирования; *
г) область V (или, соответственно, а) при переходе от переменных ж,
у, z к переменным и, v, w переходит в область V (или, соответственно, or').
4.602 Преобразование к полярным координатам:
Ж*, у)
x = r cos ф, y = r sm ф; _ = г.
4.603 Преобразование к сферическим координатам:
^ = г sin в cos <j>(, у = г sin 6 sin ф, z — г cos в, ¦ '*• д' 2| — г2 sin в.
4,61 Перемена порядка интегрирования и замена переменных
4.611 - у
(их а а
\dx\f(x,y)dy=\dy\f(x,y)dx.
ob о в '
а
2.
о о
Р
U а.
4.612
dx
y)dx.
К a?

630 3 4 ОПРГДПЕННЫЗ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМРНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2p J
2. \dr
/(ж, y)dy-
, p[1 +
Uy
f{x,y)dx.
4.613
1.
/(x,
+ \ dy \ fix, y)dx.
%, y)dy =
dy
4-y
в v
dy \ f{x, y)dx
О
0, P>0. Y>0].
«в О
I
i
2a 3o—x i
3. ^ ete ^ f(x, y)dy =
3a 3a—»
[ [
f{x, y)dx.
a x
О
2a V

4 6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
631
3R-
Ж
в я
к \dx \ f{x,y)dy=\dy [ f(x, y)dx +
2И й Зй И
О 2Й I/-2B ft
2 2Й COS ф
4.614 \ йф { j(r,y)dr=\ dr \ f{r,<f)d<p.
2R
I
или
га о
Эч-2"
я
2 В
4.615 \ dx \ f{x,y)dy=\d<p\f{r cos ф, r$in ф) г dr.
2F
4.616 ^ d^ J f(x,y)dy=*
2 2ft COS <Р
= \ йф \ / (г cos ф г, sin ф) г dr. о
о о

632 3—4 ОПРКДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3 Ч>2 (*> Р Ч>2 (*> 3 Ч>1 (я)
4.617 fate С f(x,y)dy = \'dx \ f(x,y)dy-\dx \ }(x,y)dy-
a <pi (x) 0 0 0 0
— \ dx \ f(x,y)dy+\ dx \ f(x,y)dy
0 0 0 0
[<Pj (x) <: <p2 (x) пря
у <р(я) V 1
4.618 Jj dx ^ /(ж, y)rf«/= § «to (j /[ж, zq>(a;)](p(a;)ofz ^ [у = гф(х)];
1 4>(Y4)
I, t/j
4.619 J dz J /(i,
4.62 Двойные в тройные интегралы с постоянными пределами
4.620 Формулы общего характера
Л со
1. \ rf© V /' (pchx+qcos(oshx)shxdx =
J J
О о
Ло III 389
2л оо
2 \ dot \ f [pchx+{q cos a-i-r sin a>)shx]sh r dr =
S о
- 2-ЛЪЩПр -j (sign p\fpa-qa-r*) [p'>qi-tr\ lim /(x) = 0].
у pi — qi—,
Ло III 390
л л
С Г «ferf» f Гр-gcosx 1
J ,1 bin ж sm2 j/J L sin x sin у ft я j
0 о
/(signP l/^-?2-/-2) [/>2>g2 + r2, Jdrn^/(x) = 0].
Ло III 2S0
4 \ dx V /' (jd ch x ch ^ + g sh x ch у + r sh y) ch у dy —
OO CO
— CO —CO
f(signpVp'-g2-^) №>д<тг\ lim /(x) = q.
l^+co
Ло III 390

4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 633
5. \,dx\f(pchx-\-q cos ш sh x) sh2 x sin ш d<o =
CO
= 2 f /(signjDl/jD3-^2chx)sh2x<& [ lim /(*)=* OJ. Ло III 391
0
2л л
6- \ tfa \ do» \ /[jDcha;+ECosaj-i-/-5inm)sin9sha;]sh2xsin9d9 =
t' V J
ooo
= 4 \ /(sign/? /p2 — <?2 — r2chz)sh2zdz
I
[p* >q2+ r\ lim / {x) = 0]. Ло III 390
ж-Н-оо
oo 2л я
7. \ doc \ da \ / {p ch a; + [(q cos ш + /• sin ©) sin 9 + s ch 9] sh x] x
ooo
oo •
X sh2.*sm9tf0 = 4я \ f(sigap l^p^—q^ — r2- s2chx)sh2xdx
о
[jd2 > q% + r2 + s2, lim /(ж) = 0]. Ло III 391
X—>—{-CO
4.621
л л
2 2
P f sin^l-^sin^sm^ и Ло I 252 (90)
0 0 '
л я
2 2 >
\ \ l—a» •"» dx dy = К (к). Ло I 252 (91)
л л
2 2
„ ff sinasin^ferff/ ita -n rqu
3. \ \ —7=^==== = -5- . Jlo 1 253
J J у \—sin2 aam2 jl sin2i/ ^
4.622
я я л
i ~. = iiiK^l —=— ) . MO 137
I 1 — cos ж cos у cos z \ 2 J
1
л л л
2. \ \ \ s— ¦ = V AnJ\ I sin-pr 1 . MU 13/
j J J 3 — cosycosz—cosscoss—cosxcosi/ ' \ \IJ
Л Л Л
f f f dxdydz
\ 3—cos*—cosy—cosz
1
= in [18 -+-12 ]/2 - 10 \/~S- 7/6] Я2 [B - /З) (/b- /2)]. MO 137
СО СО
4.623 ^
о о

634 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
л 2л
4.624 \ С / (a cos 9+ Р sin 9 cos if + y sin 9 sin if) sin 6 d9 <*ф =
о о
Я 1
= 2я \ f(flcosp)sinpdp = 2л [ f(Rt)dt [п = Уа? + P2+Y2]-
о l
о -l
4.63—4.64 Многократные интегралы
Я (n-l tl X
4.631 J <йп_, J Й,., ... J / (*) Л = -^r— J (x - f)" / (О Л,
Г V P P
где / (?) — непрерывная на отрезке [р, д] функция и р<ж<д. Ф II 692
4.632
\ \ dx1 dx% ... dxn = —г [объем n-мерного симплекса].
Ф III 472
ГС С ~\f &п
2. \ \ ... \ dx1 dx% ... dx =—-^ r-i?n [объем n-мерной
J J J p / П l4 \
?4 1 ^T Сферы]
Ф III 473
n+l
4.633 fC f fe^fe
[половина площади поверхности (п -}- 1)-мерной сферы
l]. Ф TIT 474
+ . + —
4.634
— ) +[ —
К > О, Л > 0, «, > 0, i = 1, 2, ..., в]. Ф НГ477
4.635
XX,* Х\* ... Х\п <1Х{ иХ2 ... CLX- =
(El j_^?
«»У

4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 635
в предположении, что интеграл, стоящий справа, сходится абсо-
абсолютно.
Ф III 487
и -
\^0. х^О
X а^ а*» • • - <""' <&, dx2 .. .dxn =
J
... ?*V Г (Ь") Г ff2") ... Г ( &") 1 iL+!i+ +?»
в предположении абсолютной сходимости простого интеграла справа;
все числа qt, av pi положительны. Ф III 479
В частности,
3.
х
[n>0, A>0, p2>0
P,—1 P.—1 Pn^1
4 V V ... \ . -„ 2-s ete, dx, ... dxn =
J J J ri—ж !—ж а— —ж "^
«i <Ч ¦ - - <*„
[Л>0, a>0, ...,pn>0, \i<4- Ф III 480
4.636
1. \\ ... [ Xl xl ¦¦¦ХпП dxldx2...dxa =
V оа J
[л>0, А>0 А>>(); ^>-а.+^.+ ...+^.]. Ф III488

636 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2
О> (-?•)-<?)
-=г+-?-+•••+¦?¦]• ФШ480
з.
,- г
aia2...an
X
где m
4.637

ФIII480
.ж^о х
Р, —1 Р~—1 Рп—1 , , ,
Si1 g2J ..-^n dx1dx2...dxn
++ Ч
'
где / (ж) — непрерывная на отрезке @,1) функция
[?i>0, да>0 д„>0; г>0].
4.638
СО СО СО
8) \
-Г.1 5-1
при р{, g4, rit s положительных; этот результат имеет место и при го
при условии, что рг+рг+ ... +рп> s.

4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 637
оо аз оо
3.
-) „
о
•jm / n
Г (}
\
[Pi > О, qt > О, г, > О, s > О].
4.639
B»—')» ' *" ,„.,.... , „.V». ФШ482
2. i i • • • J (Л*1 + № + ' • - +Лгт») «&i ^2 ¦ • ¦ <&п =» О.
ФIII483
4.641
ГС 1* И X +V X + . +Р V , , I
1 \ \ -.. \ е^ ^ г * ' п п ахл ах9 ... ахп =
РиЛ*
Ф III 483
2.
Bяум„ ,-, , Г2 , ... , ^,.; ФШ483в
4.642
где / (х) — непрерывная на отрезке (О, R) функция. ФIII485
til
Ч:» O'tI») \ \ • - • \ I V**1 ""ft " * " П / \ ~~~ 1 / V S / •••\-*- ft/ *"¦
и о »
Г (ft)...
в предположении, что интеграл, стоящий справа, сходится абсолютно
ФIII488

б38 3—4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
п-1
4.644 \\ ... \ f [PlXl + Ptxt + ... +Рпхп) ^.^•••^n-,. =
fi
о-
= 2T
sS-S
A) . ,
J/1— erf— a?l— ... — Хй-!
2
о
где/(x) — непрерывнаянаотрезке [ — Vp\ + Pl+ ¦ ¦ ¦ + Pw VP*+Pl+ ¦ ¦ ¦ +Pn]
функция. Ф III 489
4.645 Пусть функции f(xv x2, ..., xn) и g{xx, x$, ..., xn) непрерывны
в ограниченной замкнутой области (D), причем наименьшее и наибольшее
значения функции g в области {?)) пусть будут т и М; пусть <р(и) озна-
означает функцию, непрерывную для т <. и ¦<. М. Обозначим через t|j (n) интеграл
1. ¦* (к) =
распространенный на ту часть области (./)), в которой выполняется нера-
неравенство m^,g (xv x2, ..., хп) <и. Тогда
2.
м м
= (S) \ ф (и) dty (в) = (R) \ ф (и) — у") du,
где средний интеграл надо понимать в смысле Стилтьеса; если существует
непрерывная производная j-=-, то интеграл в смысле Римапа, стоящий справа,
существует.
В формуле 4.645 2. М может быть в + со, причем в этом случае под \
т
еледует понимать lim \ .
4.646
• ••+/>n —'4-D Г(Г)
Л > 0, рг > 0, ..., Рп > 0, ?! > 0, ft > 0, .. ., дп > О,
Ф III 493

4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 639
4-647
r\ -ш F «
\-..-+PnY Ф III495
-¦5 2
00 со 00
4.648 f [•¦¦[
0 U 0
l 2 n
- ' -Г7 —1 —Г-7 —I
dxx dxz dxn —
n
Ф III 496

5.111
2.
5.112
2.
3
4.
5.
6.
8.
5 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
5.11. Полные эллиптические интегралы
БФF10.04)
- E(k)k™^[Bjo + 3) k'1 -2] - к2р*2к'гК(к)\ ВФF11.04)
БФ F10.00)
БФ(бН.ОО)
ВФF10.01)
ВФF11.01)
БФ F10.02)
БФ F11.02)
- k'2 F4 + 48Й2 +45Ус*) K{k)]. БФ F10.03)
- fc'2 F4 + 48fe2 + 45A4) К (ft)]. БФ F11.03)

5.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
641
¦
10.
11.
13.
5.113
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5.114
5.115
? К {к) „ Е(к)
I fca ШС к ¦
J fe* к
? Е(к) dk kK(k\
) fe'2 ' '•
? Ж (к) „ 1 г„,,2 „. _,,.. b/airfMl
J k*~ " 9fe3 I"' ) (. )+ V )J-
P kE(li) ,, „,,. _.,
1 1 #P 1 /C^ ——* /Tf 1 ft 11 j~~ ^^ " -Mli \lb)»
l г тр / зи\ ]u/ 2 j^~ / ju\i *XJP (lc\ A;' ^ /Г" ^ fr^
J [A + k2) Щку-JE (ft)] -^- = - *'2Я (ft).
\ [ Л ^/c) — >& (*fc)J . 2~ == ~^— [ Jtii \fc) —' ft -Л \^)J»
J К К
\ fTPfJA lrf%TT AАЛ Г1Г/М "Р//Л1
f fcK (fc) rffc 1
J [В(к)—к'гК(к)\г к'гК(к)—Ж(к)'
БФ F12.05)
БФ F12.02)
БФ F12.01)
БФ F12.03)
БФ F12.04)
БФ F12.06)
БФ F12.09)
БФ F12.12)
БФ F12.07)
БФF12.13)
БФ F12.11)
-f-, r2,
-|-, г2, к^~
. J [ iT(ft)-n^-Y, Л Л)]
3.
5.12 Эллиптические интегралы
5.121
5.122 ^ Jg (a, fc) )Al — fc2 sin2 ж <fa
41 таблицы патегралов
^ fcI'
БФ F12.14)
-|-, г2, ft).
БФF12.15)
ft).
БФ F12.16)
БФ F30.01)
БФ F30.32)

642 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
5.123
X
(* 1
1. \ F{xt k)sinxdx — —cos xF [x, &) + -?-arcsin (A:sins).
БФ F30.11)
X
2. * ^ /l^l
\
--|-Arch Q±r) . БФ F30.21)
5.124
1. [E(x, k)sinxdx— —cosxE{x, k) +
+—¦ [k sin x Vl — A* sin2 a; 4- arcsin {k sin ж)]. БФ F30.121
2. \-Е(я, k)c»sxdx = siaxE(x, k)-\—^- [kcosx У1 — к2sin2ж—
- к'* Arch у 1~fefc',fn>* - к + A'2 Arch (-^ ] . БФ F30.22)
5.125
1. [ H{x. a*, k)sinxdx= — eosxTI(x, a*,
о
2. f П(а;, a2, k)co&xdx = sinxU(x, «*, *) —
где
1 Г 2A —a") (a8—fc8)+(l— «3 siu' а:) BЬ3 -«» -a2fca)-|
*~~ 2 /A—a2) (a2—fta) *rc g L 2o* /A—«a) («»—i8) c«s * /4 —*» biiH ж J
для (l-
1 j Г 2 (и8—1) (аг—fc2)+(l —a« sin» ж) (a« +a!»fc= —2fca)
"1/@» — 1) (a2 — ft2) L 1—eJ sin2 x +
+ — Ч-^д./ J для A-«*)(аг-А;*)<0,
Д — значение / нря ж = 0.
БФ F30.23)

5.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 643-
Иптогрироваии о по модулю
5.126 \ F(ж, к) к dk = Е (х, к) - k'*F(х, к) + (у^Т — &a sin2ж — l) ctgz.
БФ F13.01)
5.127 ^Е{х, k)kdk^~[(i+k*)E{x, k)-k'*F(x, &)-J-
-f (l/l-A;*sinBa;—l)ctga:]. ЕФF13.02)
5.128 [ Щх, г\ к)к4к = {кг-г*)П(х, г*, k)-F{x, к)+Е(х, к) +
+ (Yl - к*sinsz -1) ctga;. БФF13.Ш0
5.13 Эллиптические функции Якобв
5.131
- (и» + 3) А8 [ тт** и du ] . Сн 259, П E67>
2. \ cnm udu = -.— ,. Г — спт+* и sn и dn и -+•
] . ПE68>
3. ^ dnm и du = {т ' fc,8 [ A8 dn"^ и sn и ев ц +
. ПE69>
Интегралы \sTimMrfM, \ сптм«?в, \ dn"*ad» с немощью формул 5Л31
сводятся к иитеградам 5.132, 5.133 и 5.134.
5.132
en и
, dn В СПИ f~, <\rC:</\
= In . Gh 266 {4Л
_ С du 1 , k' sn в-j-dna <-, ofte ,Cv
2- ^ = TFln E^ Си2в6(§>
3. f ^"_=,-^arctg^5nen»; Ж88D66)
J dnu fe 5 к snu-fcau ' v '
1 en и |Тп *-гчЛ
= -тг- arccos -j ; ¦ ЯЭ 192
fe dna '
спц-j-tfc' stttt _
ik' dm
Си 266 $5)
±- arcsin k'd^uu . ' ЯЭ192
41*

644
5 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5.133
1.
\ sn и du — —?- ln (dn в — к en и);
1 A , dnu—ft* спи
= T-Arch j-p
—j-Arah
= p ln (dn и + к сп tt).
\ сп в du = —j— arccos (dn и);
= —г- ln (dn u — iksn и);
= -r- arcsin (k sn в).
\ dn и du = arcsin (sn в);
= am и = i ln (сп и — j sn tt).
5.134
1.
2.
3.
5.135
1.
V sn2udu = -^-[u — E(amu, k)].
= -±г[Е(эипи,к) — к'*и].
s
[^-du =
s—*¦
, k).
ft' сам '
dnu
i
1
fe/t'
dn u—ft'
tfe' — к сп и
du u
к спи
С cnu ,
J snu
= ln
1—dn«
Senu ,
dnirrf« =
Sdnu ,
cnu
J snu
1 I 1 —dn ы
Tlni+dnu •
1 . 1—к sn tt
~Tla dn« ;
2fe 1—A; snu
2 Ш 1—sn u '
Ли
1
l+sn u
cnu
1 — en u
-r ln i^.
i 14- en u
Ж87A61)
ЯЭ192
ЯЭ192
Си 365A)
Ж 87 A62)
СЧ265B)и, Ж 87 A62)
ЯЭ192
Ж 87 A63)
Си 266C), Ж 87 A63)
Щ564)
П E65)
Щ566)
Си 266 G)
Ж 88 A67)
Си 266 (8)
Ж 88 A69)
Си 266 A0)
Ж 88 A68)
Си 266 (9)
Ж 88 A71)
Ж 88 A72)
ЯЭ193
Ж 87 A70)

5 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
645
5.136
1.
2.
3.
5.137
1.
2.
3.
5.
6.
5.138
1.
2.
3.
5.139
1.
2.
3.
5.141
1.
2.
3.
\8пмспийв=—p-di
\ sn и dn в du = — en в.
\ сп в dn и du =¦ sn в.
J-
\
I
sn и , 1 dn и
сп«и И к1** спи '
sn и , 1 cu и
—т—=—аи— гпг~5
dnz « к * dn u
snJ и
спи
snu
so и
dn и , сп и
аи = — ¦
sn2 и
dn и
СПгИ
du =
ЬП И
sn и
сп и
= in
sn it
dntt '
SB U
сп и dn и
dn и
sn и сп и
1 , dnu
"р2~1П "спи"
du = In
сп и dn м
sn и
sn к dn ц
сп и
da = In sn и.
du =¦ In
5.14 Эллиптические функции Вейерштрасса
»"(
Ж 88 A73)
Hx'88A75)
Ж 88 A74)
Ж 88A77)
Ж 88 A76)
Ж 88 A78)
Ж 88 A83)
Ж 88 A82)
Ж 88 A84)
Ж 88 A79)
Ж 88 A80)
Ж88A81)
Ж120 A92)
Ж120 A93)

646 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ
где Г (о)-—7. Ж120 A95)
5.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
5.21 Интегральная показательная функция
5.211
- « Ei (- р*) Ei (- ух) - °^- И (- ух) —е^- Ei (- $х)
[Re(P + v)>0] НИ 53 B)
5.22 Интегральная показательная и степенная функции
5.221
1.
о
?Е1[ —
X
4
то
0 '
X
(*+ьI Г 1
п—1
ft=e
(-1)»П Ei
1 Ь» J
о»
X
п
)\
0, 6>0]. НИ 52C)
е °»Ei(—лае)
[а>0, Ь>0]. НИ 52 D)
5.23 Интегральная показательная в показательная функции
5.231
X
-х). ИПН 308A1)
X
2.
- Ei [ - (а + Р) ж]} . ' ИПИ 308 A2)
5.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС
5.31
1. I cosaxciiMdx-^^-^+M+s1^^ . НИ49A)
2. jj вЫахафх)<1х= _g»j^M + «'il"+H+ci(«=M ни49B)

1. ^ cos ах si (fix) dx = sin ^ (Р*> + ci <«*+Р*>-с| ("*~И ¦ НИ49C)
4.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 647
5.32
^ cos ах si (fix) dx = sin ^ (Р*> + ci <«*+Р*
2. jj ana»ri(H<fe- -w ^i(p,)+si(ax+H-si(^-H НИ49D)
5.33
ci (аж) ci (Рж) «?ж = x ci (ctr) ci (рж) -f—^r (s^ (аж "Ь P3-) + s* (cu; —
+ -rjg (si (ox -f Рж) + si (Pz — oa:)) —— sin otr ci (fix) „- sin Pz ci (ая).
НИ 53 E)
2. ^ si (ax) si (P«) «fa: = z si (аж) si фх) — ~ (si (etc + M + si (as — Рж)) —
— ^-(si (осж + рж) + si (Рж —ссж)L cosasi(Pa) +
НИ 54 F)
Si
si (ax) ci (Рж) dx = a; si (аж) ci (Рж) + — cos ож ci (Рж) —
--1 sin pxsi (ах) - (-^-+ ^-j ci (аж + pa;) - ^ —1-^ ci (aar_ pa:)_
НИ 54 A0)
5.34
CO
1. J si [e(*+6)]^-=(-1 + 4-) el!«(*+*)]-
_cosaftsi(,*H-Sm«frci(a*) [a>()j 6>0] НИ52F)
CO
2. J^ D4)
X
[a>0f»>0]. НИ 52E)
5.4 ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
5.41 \ Ф(ах)<1х = хФ(ах)+-—=.' НИ12B0)«
J а J/ л;
5.42 J5(ax)dr = jr5(otr) + ^—-. НИ12B2)н
5.43 ^С(аж)йж = жС(аж)-^^-. НИ 12B1) в
5.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
оо
5.51 J /, (х) dx = 2 2 /,¦*¦! (х). ЯЭ 237, МО 30

648 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5.52 184
^Zv(x)dx=x^Z^1(x)*). B146(l)
2. ^ x-™zp(x)dx= - x-f^Z^x)*). В 146 B)
5.53
- axZ^ {ax) 8, фх) + (j>-q) Zp (ах) 3, фх) *).
ЯЭ237, МО 30, В 148 G) и
5.54
1. I xZp (ах) 3Р (ffar) «to = рж2р (<Ю) Зр-'ф V^fi-'(аЖ) 8р (РХ) *> ¦
В 148 (8) и
2. ^[Zp(ax)]2Cto=^-{[Zp(aa;)P~Zp.1(ar)Zp+1(a.T)}*). В 149A1)
5.55 I I Zp(ах)Зв(а^)^ = ах Vi^LSi^ME)^^) _
Z^ax)Z{ax)*) В 149 A3)
5.56
1. \ Z1{x)dx= -Z0(x)*). ЯЭ237
2. f a:Z0 (ж) ete = xZx (x) *). ЯЭ237
*) В формулах 5.52 — 5.56 Zp(x) и gp(ж)—произвольные цилиндрические функции.

6.-7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
6.11 Формы, содержащие ?{ж, к)
л
2
6.111 { F{x, k)ctgxdx = ~K(k') + YlnkK{k). БХ[350]A)
о
6.112
п
2
БХ [350] F)
п
2
(* S1Q X COS X 1 2 Jt
БХ [350] G)
я
2
ч sin x cos a;
h
БХ [350] B) и, БФ (802.12) и
6.113
1. [f{x, k') S1**™fxdx = 1 in 1__ЩА:'). БХ[350]E)
л
2
9 С р/д. м sin a; cos» dx _ 1
A v ' -1 1—ft» sin2 i sin2 ж j/l -Asia's &2 sin «cost
BX[350]A2)

6506—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.114 > »'¦ •- dx
У (sina х—sin2 м) (sin2 v—sin2 x)
L
"= 2 cos Lin,
[fe2=i_ctgSK,ctg*t>]. БХ[351](9)
6.115 J F(arcsin*. k)^^- =± Я (ft) In
(сравни 6.112 2.). BX[46fi](l)
Эта и подобные ей формулы получаются из формул 6.111—6.113
путем подстановки a; = arcsini.
6.12 Формы, содержащие JE(x.k)
п
* 2
6.121 \ Е(х, к) .'""fa"'3^ dx = 2Ь8~{(^~Ь^8) д(^)—B+In А') Л? (ft)}.
БХ[350]D)
п
6.122 f ^(ж, ft)-^ d:r
БХ[350]A0), БФ F30.02)
•Х' ' 1—42 sina t sin2ar" i/i _fr2 чь7Г; ~ — 42 sin ( cos (
n
2
5 123 ^ E" '-x sin ж cos ar
6.124 ^ E (x, k)
БХ [350] A3)
dx
2 a;—sin2 и) (sin2 v—sin2 x)
\ tg2uN ft2 sin p -wrf ,f x Sin2 2m
*= 2 cos в sin г 1
[A;2=l — ctg2Bctg2tl]. БХ[351]A0)
6.13 Интегрирование эллиптических интегралов по модулю
6.131 \ F (ж, к) к dk = 1~°"* = tg-f-. БФ F16.03)

6.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
651
6.132
6.133
, г»,
6.14 — 6.15 Полные эллиптические интегралы
БФ F16.04)
БФ F16.05)
6.141
1.
2.
6.142
6.143
6.144
6.145
6.146
6.147
6.148
1.
2.
6.149
1.
dk
(к') - Ц) у = ~ [24 (In 2J - я*].
А"Я (к) dk = (n-1J \ А"'2 К {к) dk +1.
i i
n ^ knK (k1) dk = (n -1) \ kn'sJE (fc) dk [re > 1]
о о
(смотри 6.152).
С
Ф II 755
БФ F15.03)
БФ F15.05)
БФ<615.08)
БФ F15.09)
БФ F15.13)
БФ F15.12)
БФ F15.11)
БФ F15.02)
БФ F15.04)
БФ F15.06)

652 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
1
2. f (.E(fc') —1)* = 21п2 —1. БФF15.07)
6.151 {хцк)% = ±\4ю(?*)+ * ] . БФF15.10)
6.152 (п + 2)\ кпЕ (к') dk = (п +1) С &"?-(&') <й f« > 1]
8 о
(смотри 6.147). БФ F15.14)
6.153 С К{к)кЛ_в ш__ fa2<1 Ло1252
.154 \ -,—^Ц—/-sin.xdx = ^ Гр2<11. ФII489
0 г л-
6.16 Тэта-функции
6.161
ОО
1. C^-»e2@|ja;2)da: = 2e(l —2-8)я~
о
[Re*>2]. ИП1339B0)
2.
о
[Re*>2]. ИП1339B1)
ОО 4
J» —--s /'I N
3\ ^8—1 fi ft (О\ i-rV\~\ rl-r t\ 9l~s\ n ! Г—e 1Г fo\
J V ^ У
0
[Res>2]. ИШ339B2)
4. С ж8-4 te4(o| гж2)+e2@1 гж2) — e3(оi i
0
= - B8-1) BH-1) я~2'г Г}« j E («)• ИП1339B4)
6.162
1. ^ e-<"e4 ^ ^ J rfz = -i= ch (by a) cosech
[Rea>0, |6|</]. ИШ224A)и
[Rea>0, |6|</]. ИШ224B)м

6 2-6 3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 653
3.
о ' °
[Rea>0, |*|</]. ИП 1224C) и
[Ree>0, |*|</]. ИП1224D)и
6.163 \ e-'a-MxQ3{ny~\ix\i7Uc)dx=-±r=- ffch (l^e+VTij + th [V~a — V\i)]
J 2 у а
[Reo>0]. ИП 1224 G) и
oo ^
6.164 ^ [Э4 @1 ге2*) + Э2 @ I ze2*) - % @ |i e2*)] e* * cos (ож) da: =
Ь
[a>OJ.
6.165 § e2 x [9, @1 is") - 1J cos (ai) dx =
2 x [
[a>0]. ИП162A2)
6.2—6.3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУЯКЦИЯ
И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ
6.21 Интегральный логарифм
i
6.211 [ li (x)dx = - In 2. БХ [79] E)
6.212
1. ^liQL^xdx^O. БХ[255]A)
2. \i]i(x)xp-ldx=-~lu{p+l) \p>-i]. БХ[255]B)
и
3. {щх)?;=*±Щ1-д) [д<1]. БХ[255]C)
4. ^i(*h?i=-4W?-l) [?>!]• БХ[255]D)

654 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.213
1
(i) ^(f) ]. БХ[475]A)
да
2. J li(-i)sm(alnx)«fcs-—j^^f+alna) [a > 0]. БХ [475] (9)
1
3. \lif^cos{alrix)dx= —~^С\ъа + ^аЛ [а>0]. БХ[475]B)
4. Cli(l)coB(aliix)«fe = T:??.(liia-?e) [а > 0]. БХ[475]A0)
5. \ П (х) sin (a Inx)^- = !?^f!> [а > 0]. БХ [479] A), ИШ 98 B0) и
о
1
6. J li {x) cos (в In х) Щ. = - 2^2 . БХ [479] B)
Щ
7. Jli(a;)sin(alna:)-J=-r^(alna+!-) [а > 0]. БХ[479]C)
оа
8. \ li(a;)sia(alria;)-J- = T^r(|--«lna) [a>0]. БХ[479]A3)
1
9. Jli(x)coe(olna!)-^ = -rlJy(ln*—f-a) [а>0]. БХ[479]D)
СО
10. Jli (ж) cos (a la ж)-J-= -j±^(\n» + ^-^ [a>0]. БХ[479]A4)
1
1
[р>0]. БХ[477]A)
12. \ li (ж) cos (о In x) xv~l dx= , . ia arctg -r-4-—|-
и
+ |-ln[(l+p)!l + ns]| [/»>0]. БХ[477]B)
6.214
l
[0<р<1]. БХ[340]A)
2. \ li ( — 1 (In xf1 dx*=— -r^~ Г (j») [j» > 0]. БХ [3401 (9)
J \ а; у ' sin pal lf/ " J I J \ у
1

S.2—6.3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 655
6.215
1 _ _
о if] /1 л У ~р
0 Kln(.^v
= - 2 j/-| In (Vp + VT+1) [i° > °1- BX f444] C)
1
2.
БХ[444]D)
в.216
. БХ[444]A)
2. ^«[т^)]-1*--^ [0<р<1]. БХ[444К2)
6.22—6.23 Интегральная показательная функция
р
6.221 ( Ei (oar) dx = р Ei {ар) + *-/* . НИ 11 G)
6.222 $(^)(*) Q
• [р > 0, q > 0]. ФП 653, НИ53C)
6.223 ГЕ1(-Рх)*»-»<*е=-^- [Refi>0, Ren>0].
НИ 55 G), ИП1325A0)
6.224
= 1 [ц = 0]. ФН652, НИ 48 (8)
2. f E3(oa;)e-t"rfa;=--^-1п(^-й--1^ [о> 0, Rep >0, ц > о].
ИП1178 B3) и, БХ[283]C)
6.225
1. f Ei(-«2)e-^ada:= - j/— Arsh^ =. - j/- In (/A + Т/Т=Рк)
[Нв(х>0]. БХ[283]E), ИШ 178 B5) и
2. ^Ei(-x?)ei«*dx,= - у ^McsinVp [i>p>0]. НИ59(9)м

656 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6/226
оэ
1. \ Ei ( — — J er-v-x ^ _ _Кг0(]/л[г) [Нец>0]. МХд 34
о
2. \ Е5 (¦?-)«-»«<&=—^.{«VO*) [a>0,Re^>0]. МХд34
3- \Ei( -*з)'-'"'«**=|/тЕа(->/» [Re^>0l. МХд 34
о
4.
п
= )/"— [cos Yv- d VT» - sin |A|I si l/^TJ [Re (i > О]. МХд 34
6.227
CO
2.
= jiV" [a > 0, b > 0]. ИШ1253 A)m
6.228
1. ? Ei(-a;)esa;v-1da:=-?L^^ [0<Rev<l]. ИПИ308A3)
2. \ Ei( —Вж)е-»1жз;л'-1йа;= „ v2^i ( L v: v+1;
Ц arg p |< я. Re (P + |i) > 0, Re v > 0]. ИПН 308 A4)
oo
6.229 \ Ei С — -^) exp ( — цх* + -^ j -^ =
= 2^^(cos^iisi V^l* —siny^ci V'i*) [Reji>0]. МХд34
6.231 \ [Ei( — a) — Ei( — e"x)]e"*<?r = — y(|*» a) L« < 1, Rej*>0].
— In a
МХд 34
6.232
1. [ Ei{-ax)sin bxdx= V 9, ° У [a > 0, 5 > 0]. БХ[473]A)м
о
oo
2. ?Ei(-aa:)cos6x<&=—g-arctg|- [a>0, 6>0]. БХ[473]B)м

6.2—6.3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 657
6.233
оо
1 О9 I -.9. Л
X |-| In [A + цJ + Р2] - ц arctg -j^-} [Re (i > I Im p |]. БХ [473] G) и
оо
2. \ liji ( — x) & ^B cos рж dx == —ns—j—m~ X
b
X {¦?- In [ A + ц.)а + р2] + р arctg 7-L} [Refi>|ImP|]. БХ[4731(8)м
6.234 ^Ei(-a;)liia;da;=<7+l. НИ56A0)
S
6.24—6.26 Интегральные синус и косинус
6.241
1. ^ si (px) si (да-) ate = ~ [р>д]. ФИ 653, НИ 54 (8)
о
оо
2. V ci(pz)ci(qx)dx = ^- [p>q]. ФП653, НИ54G)
о
3. 5
ФП653, НИ 54 A0 и 12)
6.242 ^ ^=-' «to = - у {[si (ар)]2 + [ci (аР)]2} [в > 0, | arg 0 | < я],
о
ИПИ 224A)
6.243
. [ s!(g|^l)signj:<fa: = nci(a|ft|) [а > 0, 6 > 0]. ИПИ253C)
1.
2. \ ^*IJ ^ж^ - л sign b -si (a | b |) [а>0]. ИПН253B)
—CO
6.244
CO
^-Ei(-pg) [p>Q, g>0]. БХ[255]F)
2. \ [я(ра:) + 4М -rzT3= -yci(W) [/> > °> Я > Щ- BX[255](fi)
о
42 таблицы интегралов

658 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.245
ОО
J $ J Е (- М) Ь > 0, 9 > 0]. БХ [255] G)
2- J а {/») ^«^а! (И) [/»>0, 9>0]. БХ[255](8)
6.246
оэ
С^in^ [а>0, 0<Re(x<il.
НИ 56 (9), ИШ 325 A2) и
6.247
2. ?ci(aa;)a;i*-1da;= --H^Lcos^ [a > 0, 0 < Reft < 1].
НИ 56 (8), ИП1325A3)и
1. [si($x)e-**dx=-l-arctg% [Reu>0]. НИ 49 A2), ИШ 177 A8)
2. J
НИ49A1), ИПЛ78A9)и
6.248
^[^^] 0].' МХд34
2. $с!(*).-«""<?.~1 /^^(-J;) [Re|.>0]. МХд34
6.249
о
[Ren>0]. MX 26
6.251
i. \ si (-1Л e-<« «te = 4 kei B Y^) [Вец > 0]. МХд 34
2. \ ci( ^)e~v*dx= --^-ker B VV ) [Rep >0]. МХд 34
о
6.252
= 0 \р2<дг]. ФИ652, НИ 50 (8)

6 2—6 3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 659
оо
2. J(^
о
= 1 \р=Щ. ФП652, НИ 50 A0)
3. J sin px ci (ess) «to = - -LIn (-? - iy [^ =5t 0, р* Ф д2];
о
= 0 [р = 0]. ФП652, НИ 50 (9)
ОО
4 \
=*0 [^2<9S]. ФП654, НИ50G>
si (ax)
-«-К
ИШ97A0>
6.254
[a>0, 6>0]. ИП197A2>
2. ^[si(ax) + -|-]cos6a;~ = ^-ln-^ [a > 0, b > 0}.
6.255
О
1. С {cosaxci(a\x\)-\-sin (л|зг\)si(a\x|) -~^- =
[a > 0]. ИПП253DЬ
2. \ [sinta;ci(a|a;|) — sign ж cos«a;si(e|a;|)]-^-^- =
-co '
= -n[sin(e|6|)si(e|i|) + cosa6ci(a|6|)] [« > 01. ИПН253E>
OO
6.256 Г [si2(x) + ci2(ж)]cosая«te = -f-InD+ a) [a> 0J. ИЩ42(,18),
6.257 \ si(^)smbxdx=--^J0{2yab) [6>0]. ИЩ96(9)
и
42*-

660 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ
6.258
dx
-|- j sin foe
[0<Ь<а, с > 0];
— Ei( — ас)] [0<я<6, с>0]. БХ{460]A)
2. [
= -~{e-"c[Ei (be) — Ei(-ac)] ¦+-е* [Ei ( - be) - Ei( -ac)]}
[0<6<a, c>0];
^^-e-^fEiC-acJ-EiCoc)] [0<a<6, c> 0]. БХ[460]Bи5)
6.259
CO
1. \ si (aa;) sin bx -^т~г — ~?r Ei ( — ac) sh (&c) [0<й<а, с>0];
= ^_ e-«» [Ei { - be) + Ei Fc) — Ei (-ac)-
- Ei (ас)] + -^- Ei(-6f)sh (fcc) [0<а<6, с > 0]. ИШ96(8)
2. Jci(aa:)sm6a;^gr-=-|-shFC)Ei(-ac) [0<6<a, c> 0];
= —ILsh (йс) Ei( — fcc) +-^-e-6c[Ei (-bc) + Ei(fcc) —
— Ei (- ac) - Ei (ac)] [0 < a < b, c> 0]. БХ [460] C) и, ИШ 97 A5) и
3. ? ci (аж) cos for-j^j-=-il-ch 6e Ei (— ас) [0<6<а, с > 0];
•fi.261
= -^- {е'и [Ei (ac) + Ei (- ac) - Ei (fee)] + e6e Ei (- 6c))
[С<а<й, с>0]. БХ[460]D), ИЩ4Ц15)
[a>0, b > 0, 'p > 0]. ИП140 (8)
v — f -I
агс*-:
\ si (pa;) cos ax e~^ dx = ^
il+ai ц—ai
arctg ^-L— a ctg с-д—
[a>0. Re|i>llmp|]. ИШ40(9)

6 2—6.3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 66*
6.262
yi(b)i»*d 2(aJ+^} X
u arctg ^ "
|iarctg fl3+b3_a3 ~-2
[a > 0, 6 > 0, Re (i > Oj. ИП198 A6)и
2. \ ci (fez) cos axf^dx^ 2(a*+P*) x
x t 2 Ш Р г a arctg fc2+/)a_o3 j-
[a > 0, 6 > 0, Re /» > 0]. ИП141 A6)
3. j
[o > 0, Re |i > | Im p |]. ИП141 A7)
6.263
[Re|*>0]. MX 26 м, ИГТ1178 B1) i*
2. \ [si (ж) cos ж — ci («) sin ж] е-"** dx=——f г
о
[Re ц > 0]. MX 26 и, ИП1178 B0) и
3. \ [sin x — x ci (a:)] e~^dx=- V^TP ' [Ren>0]. MX 2t>
6.264
" si(a;)lna;dr = C+l. НИ56A0>
2. ^ ci(a:)lna;«te = -|-. НИ56A1>
6.27 Интегральный гиперболический синус и косинус
6.271
^-= — Arcthu. [Re|*>l]. МХд34
2. \dii{x)e-i**dx=——ln^-1) [Нец>1]. МХд34

662 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
оо
6.272 \ chi (s) e-»"** <& = •?¦ |/~ Kif-^Л [/> > 0]. МХд35
о р Р У
6.273
СО
»0]. МХд 35
2. \[chxch\(x)-{-sbxshi{x)]e-vdx = ^^ [1\ец>2]. МХд35
о
<>.274 \ [cha: shi (x) - sha: chi (a;)] e-i«a da; = A |/il e^ Ei (^ - -i-Л
[Ren>0]. МХд 35
go
6.275 \ [x chi (a:) - sh a:] e^^dx = - '"^Г^ [Re I1 > 1Ь
6.276 \ [ch a: chi (x) + sh ж shi (x)] е-»*2 я «te =
6.277
ОЭ
1. \ [chi (a:) + ci (a:)] e~»* dx = - 'n(^4~1) [Re |i > 1]. МХд 34
2. J [chi(a:)-ci(^)]e-»«fltc = ^rln^±i [Вец>1]. МХд35
6.28 — 6.31 Интеграл вероятности
6.281 \ [1 - Ф (рх)] х™-1 dx - —v,_ <¦ [Re q > 0. Re p > 0].
И 2 упj^
HH5ttA2j, ИЩ1306A)и
6.282
MO 175, ВТФИ 148A1)
0
Г
Г
0

Ь 2—6 3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 663
6.283
1.
[Rea>0, Rep<Rea]. ИПН307E)
Yp+я
[Re/>>0, Re(g + jo)>O]. ВТФН 148A2)
oo
.284 \ [l-ф
—
[ Re p > 0, | arg q |< -?- ] . ЭД 147 B35), ВТФП 148 A3)
6.285
= аг^^ [Re|A>0]. МХд37
[Res>0, |arga|< -|-] . ВТФН 148A4) и
6.286
1 I [i _ф (p
J у л vfJv
±1; y + 1;-^-) [RePa>RPH2, Rev>0]. ИШ1306B)
[0<Rev<l]. ИП1325(9)
6.287
1. [ Ффх)е-^хйх=f
[ Ффх)е-^хйх= f [Ren >-Rep2, Re(i>0].
MX 27м, ИПИ76D)
2. 5> ^A)
[Re ц > - Re P2, Re ц > 0]. НИ49 A4), ИШ177 (9)
GO
6.288 \ Ф (iaa:) tr»*x dx = " [a > 0, Re ft > Re о2]. МХд 37 и

664 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.289
СО
1. l^iM^-^^dx^-^-^- [Ren2>RePMargH<
ИШ 176E)
2. l ^
[2, |argfi| <-|-] . ИШ177A0)
3. { Ф tyTT^ax) У Ь°
[Re|i>-a>0, 6>а]. MX27
СО
6.291 Jo^e-O-f^^d,.» ' [l + ^
о '
[Re ц > 0]. МХд 37
МХд 37
6.293 J Ф (ж)е-^2 -^ = 4 In \/—-^1 = Arcth V^T~i
[Re(A>0]. МХд 37 м
6.294
ИПИ77A1)
2. Г[1_фA)]е-^^=_ЕЦ-2ц) [|argn|<f]. МХд37
6.295
= -L-[sm2nciBp,)-cos2nsiBn)] [|arg|i|<?]- МХд37
2. J [()](| ^)
^! [f] МХд37

6.2—6^ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ665
3-
= ± [Но Bц) - No Bц)] [ | arg ji |<? ] . МХд 37
а2
6.296 J { [^|)]/I'"
f, a>0]. MX* 38 а
6.297
СО
1. \ [ 1 -Ф (ух + |Л ]
=7F,r(Wexp[-2(
[Re p > 0, Re й > 0]. ИШ177 A2) и
GO
2. ^ [1-ф(^У^^^]ехр[-(ц2-а2)а:а4-я6]2:^ =
о
= ^(ц+а> [e>0, 6>0, Re|i>0]. МХд38
3. Ц[(Ь^!)]
6.298
о
l(J [a>0, b>0, Re(i>0]. МХд38
[о>0, 6>0, Ren>0]. МХд38
СО
6.299 \ ch BvO ехр [(а ch tJ] [1 - Ф (a ch t)] dt =
о
= s ;—; exP [ -!7ai Kv (aa)
2 cos (v«) r v 2 J v v '
[Reo>0, -i-<Rev<Y]. ИПИ308A0)
63
4°2)
6.311 \ [I -Ф (ax)] sinbxdx = ^{1-е 4°2)
b
[a>0, b>0]. ИШ96D)
6.312 \ Ф {ax) sin te* ^т = —* An 6+a2+a ^g + 2arctg °/ЩЛ
[a>0, b>0]. ИШ96C)

666 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.313
1. \sin(Pz)[\-<I>(y~ax)]dx =
2 1 _1
„1 2
[Rea>|lmP|]. ИПИЗО7F)
2. \ cos $ж) [1 -Ф (Т/аг)] dx =
[Rea>|lmp|]. ИПИ307G)
6.314
1.
= Г1 ехр [ - BabJ] cos \BаЬЩ
[Rea>0, b>Q]. ИПП307(8)
= — b-l exp I - BаЬ)Ц sin [Ba6J]
[Reo>0, 6>0]. ИШ1307(9)
6.315
1. \ ж^1вт(Рж)[1-Ф(аж)]сгж =
/^v+1 v , i. 3 v+3.
[Rea>0, itev>-l]. ИПИ 307 C)
GO
2. ^ xv-f cos (рж) [1 - Ф (аж)] dx =
rT-+-v>l
_ V 2 "*" 2 у „ S \_ v-fl _ 1 v . p2 x
[Re a > 0, Re v > 0]. ИПП 307 D)
CO
[o>0, 6>0]. ИШ40E)

6.2—6.3 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 667
4.
и
со _\_
5 \' г 2Ф (я У~х) sin hr
[а > 0, b > 0, р > О]. ИШ 40F)
\' г 2Ф (я
2/2it6l L 6—a/26+e2 J p e-e3
[а>0, 6>0]. ИП196C)
6.316 J 2X [ Q)~\
r— b2
= /fe2 [1-ф(^_)] fb>0]. ИТТТ96E1
со b«
6.317 \ e-a3x2O(iax) sin te Ac = -^- e 4а3 [6 > 0]. ИШ 9b Bj
.1 l* - v-/J —\-i—/— jtp x- - > yr-
0 *
[p>0]. НИ 61 A3) и
6.32 Интегралы Френеля
6.321
1
. НИ56A4)М
J [y-
о
2. .\U-
о
НИ 56 A3) и
6.322
MO173M

668 Ь—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2- J
MO 172 н
6.323
1. \S(Vf)«-*«ft = VTl^--- ЭД122E8)„
0
6.324
— — S {x) j sin 2px dx=
[р>Щ. НИ 61 A2) в
n V I X /Y/..\ I _•_ О 7„ О
я р
[р>0]. НИ 61 A1) в
6.325
1. \ $(x)smb4zdx = ^-Vn2 г [0 < б2 < 1];
и
= 0 [6е > 1].
ИШ 98 B1) и
2. \ C(x)cosb2xidx=?^2 2 [0 < 6* < 1];
= 0 [Ь*>Ц. ИШ42B2)
G.326
1.
[р>0]. НИ 61 A5) в
sin —
8
[р>Щ. НИ 61 A4) и

6.4 ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЬИ Ф> НКЦИИ
669
6.4 ГАММА-ФУНКЦИЯ II РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФЪ НКЦЦ11
6.41 Гамма-функция
ОЭ
6.411 ^
tOO
6.412 \
G.413
6.414
»¦ J
l, Ima, ImP>0]; ИПЦ 297C)
[Re (a + р)< 1, Im a, Im P < 0]; ИП II 297 B)
= 0
[Re(a+P)<l, ImaImP<0j. ИПП297A)
Г (а4 У) Г (а+6>Г (P+V) Г ф+Ь)
Г(а4-Р4-У+б)
[Re a. Rep, Hey, Пе 6 > 0]. ИП II 302 C2)
Г «+у ^ Г F) Г С 6+у^) Г(а+6)
2Г
[о>0, й>0]. ИП II 302 B7)
da;
ИП II 302 B8)
Re(a-P)< -1]. ИПII297 D)
[Re(a-f-P)>l]. IiniI2U7E)
e(a + P-Y-6)>1, Imv, Ттб>0]. ИЛИ 299 A8)

670 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4
1: 2яагГ (ct+ft—у—б —1)
siti [л (Y —б)] Г (а—у\ Г (а—6) Г ф — у) Г ф — 6)
[Re(a + P — Y~~ 8) > 1,1т\, 1тб<0. В числителе выбирается знак +,
если Imv>Im6, и знак — , если 1ту<1ш6.] И1111 300A9)
Г |^(Y_
(P + \*)>l. 6 = a —P —y+1, \тдфО. Знак
1тб>0, знак - при 1т 6 <0.]
в показателе при
ИИ 11 300 B0)
dx
— л) Tiy+x) Г (б— х)
— 3)
6.415
ИП 11300B1)
Г ф—J.) Г
Г ^б—х)
; Г (а 4-Й—
- I)
Y-r 6 —1)ГF-Ьа—'
3, R(x+l)=R(x)].
ИП II 301B4)
9 P R{x)dx
} Г{а+х)Г($-х)Г(у+х)ГF-х) "=
1
[ R (t) cos Г -i я B«+а —P) 1 d«
.1 Li J
2, Д(а?+1)= -R(x)].
ИП II 301 B5)
6.42 Гамма-функция, показательная в степенная функции
6.421
1. \ Г(а + :г)Г(р-а:)ехр[2(яп+ Q)
— ОО
= 2niT (а + Р) B cos 9Га~р ехр [(Р - a) iQ] x

6.4 ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ 671
X К (Р) р (рО
Вв(а + Р)<1; _^<в<у; п-целое; 11,@ = 0,
если (l-n)lm{;>0, Л» @ = ^ЧР D~ Л) •
если A-n)lm?<0]. ИПИ298G)
= 0
Г(Р— х)Г(у+кх)ГF—к
—GO
[Re (a + р + y + б) > 2, с, А — действительные:
\с\>\к\ + Ц. ИГШ301B6)
оо
з. " г'~' "'
= 2го sign («+ -i) J^i^l exp [_ Bшг + л - 0) ai +¦ Qi (p - 1)]
[Re(p-a)>0, -у<в<у, п-целое, ^n +-i) Ima < 0].
ИГШ 298(8)
4. J r S+S exP К2яи + " ~ 2e) жг'1 <fa = 0
[Re(p-a)>0, -|-<e<y, п-целое, (п +1) Imo > 0].
ИШ1297F)
6.422
= 2ягГ (~—k—u,^)rf^-—i
\ * у \ *
ИШ Г 302 B9)
Y+ioo
3
У 1СО
= 2я{Г(а)Г(а-с+1)^(а, с; х)
Г— Rea< Y<mm@, 1 —Rec), — ^- < лтцх <-^-1 .
ВТФ1256E)
V+ioo
V—wo
[0>Y>Re(l-p), |arg/|<n]. ВТФ1256, By 75

672 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4. у
I arg z\ < -г я; р не есть целое положительное число]. У В II 161
5.
-io
[|argz|<|-Jt, чф-^' ""' ~"Т'--']- ВТФ II120
c+ioo
6 \ а-
с—гоэ
[ж>0, -Rev<c<l]. ВТФII21 C4)
—c+ioo ^
7. J Г(
—с—ioo
Г | arg( - iz) |< -|, 0 < Re v < с] . ВТФ II 83C4)
—c+ioo
8. f Г(—v
—с—ioo
[|arg(*z)|<y, 0<Rev<c] . ВТФН83C5)
9- I r(-*>rtl+H-i) A=2"^v(g) [x>e, Rev>o].
— ioo
ВТФII 83 C6)
too
10. Jj r(-s)r(-2v-s>r(v + s+4-)(-2fz)e<fe =
— ioo
n) Bz)~vHivi) (z)
±1, ±3... J. ВТФИ83C7)
ioo
-too
5
(vn) Bz)~v^v2) (z)
arg (iz) | < у я, 2v4fc±l. ±3...] . ВТФП84C8)

6 4 ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ 673
too
12. J
-^,2v?= ±1, ±3, ...]. ВТФ 1184C9)
13 J Й^*"*-*^^* [*>0]. М041
14
[arg (— z) < я, путь интегрирования должен отделять полюсы подынте-
подынтегральной функции в 1 очках s = 0, 1, 2, 3, ... от полюсов s= — а — п и
s==_P_n (ra = o, 1, 2, ...)]• В ГФ162 A5)
5+»оэ
15. J L "'
б—wo
z)< -|. 0>6>-Rea, у Ф 0, 1, 2, ...] . ВТФ 1256D)
гсо
16
—1СО
ИП II303 C3)
JOD
17
га-*—«+D
--i, |argz|<f].
ИП II302 C0)
18 \
Г ((i-X
^[]- ИПII302C1)
43 таблицы интегралов

674 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
т «-
[] Г (Ъ,— s)
19.
—too
i; | arg z | < f /га + л —-^p —-^ q
,n, Reb}>0, / = l, ...,mj. ИПН303C4)
6.423
oo
1. f е-«я f' =v(e-«). МХд39, ВТФШ222A6)
CO
2- [ e~"r( -/k.i-4^ =epav(e~c. P)- МХд39, ВТФШ222AЬ)
[Rem>-ll МХдЗЧ ВТФ TTI222A7)
4. \ в~°"г(ж+д4-1) <гж = е"а1*(е~'х' mt ")• МХд 39, ВТФ 111222A7)
о
. ^ р" R(x)exylBnn + b)xi] dx _
Ж"
2cos( т ) 1
- г(а+р-1) ехр [-I в (Р - a) i ] ^ Я @ ехр Bmti)dt
[Re(a + P)>l, —я<в<я, n-целое, R(х +1) = R(х)]
ИП II 299 A6)
6.43 Гамма-ф} нкция и тригонометрические функции
6.431
» , ^cos-^-'
. Р sm rxdx _ V
х^ l w—-Ч
[г —действительно, Re(p + g)>l] МО 10 и, ИП II 298 (9, 10)
J Г(Л-г)Г(г—яг) Г
= 0 [|г|>я];
[г—действительно; Re(p + g)>l]. МО 10 н, ИПII299 A3, 14)

B.4 ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЙ БЙ ФУНКЦИИ
675
a rot
6.433
1.
dx
Г(о+*Ггф"=^Г=° [™-целое, четное];
2а+Р-2
= Г(а+Р-1) tm"
[Re(a + p)>l].
sin Лж ds
. нечетное]
ИПII 298A1, 12)
е) Г F -х)
Г (Ь-х)
in [^(P —a)]
sin
ИП 11300B2)
' ta+ж) Г (В—ж) Г (Y+ж) Г (б —х)
cos -т-(В —с
[й-f
ИП II301 B3)
6.441
6.44 Логарифм гамма-функции *)
1. \ In Г {х) dx = у In 2я+ pin р-р.
2. f In Г (
3.
4.
1пГ{1—a;)«iE = -i1
ФII784
ФII783
НГ89A7), ИПП304D0)
где
УВН43
*) Здесь принятий порядок следования формул нарушен для лучшей обозримости
иитегралов, синзаивых с гачма-фуикциеи
43*

676 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
п п—1
5. ? 1пГ(а + ж)йж=2 (а + к)Ы(а + к) — па-\-
й fc=o
+ уп1пBл) —-|га(га-1) [а>0; п= 1, 2, ...]. ИПИ304D1)
1
6.442. \ expBnra:i)\aT(a+x)dx =
i
= Bлш) • [In a — exp (— 2nnai) Ei Bnnai)]
[a>0; n=±l, ±2, ...]. ИПИ304C8)
6.443
1. t Inr(a;)sin2nna:<fa = 1^[lnBnn)+C]. . НГ 203 E), ИПII304 D2)
2.
ИП II305 D3)
l
3. \ In Г (z) cos 2яиж <ic = -±-. ИГ 203 F), ИП II305 D4)
4. \ In Г (x) cos Bra +1) nx dx = 0. НГ203F)
l
5.
= — Bлл) [In a -(- cos Bзша) ci Bnna) — «in Bяиа) si Bsma)]
fa > 0; я = x, 2, ...]. ИП II 304C6)
l
cos Bяпж) In Г (а + ж) & =
= — B3Ш) [sin Bitna) ci Bnna) + cos Bima) si Bjma)]
[a>0; n=l, 2, ...J. ИПII 304C7)
6.45 Неполная гамма-функция
€.451
aa
j ^а)-р [Р > 0]. МХдЗЭ
2. ^e-qjr(P, ^)<^ = -^-Г(р)[1-^-1_,« I [P>0]. МХдЗЭ

в 4 ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ БЙ ФУНКЦИИ 67?
6.452
1.
и
[ | arg а | <—¦, Re v > — —, Re p > 0 ] . ИП 1179 C6)
з
<» j ,
2.
I
0
[large |<-2., Ren>0] . ИПИ79C5)
6.453 ^ e->"r^v, -|-J «te = 2а2 v ц2"~ ifw B l/jia)
о
[|arge|<-y, Reji>0 J . ИП1179C2)
6.454 \ e-P* у (v, ax2) dx — 2 avp 2 T(v)exp(-53-
0
[ReP>0, Rev>0] . ИПII309A9), МХдЗЭи
6.455
1.
X Re A* + v) > 0]. ИПII309 A6)
[Re(a-fP)>0, ReP>0, Re (ji -f v) > 0]. ИПП 308A5)
6.456
i.
2. \e-Dx) T {*.¦?)&- ^rBv,/a) ^ _ МХд39ц
0 a
6.457
1. \e-^Yfv+l,^> = l^-*<^^. МХД39
о f-»v—riv + 1 Ifjj- — V л v^-r1- y »-> МХтгЧЧ

678 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
со
6.458 \ ж1-2» ехр (ажг) sin (bx) Г (v, axs) dx =
о
-^-, 0<Rev<l] . ИПН309A8)
6.46—6.47 Функция if (ж)
6.461
6.462 [
5
6.463
6.464
6.465
1.
2.
6.466
6.467
[a > 0].
И1111305A)
x)]=-ncosec(na)Z,{a) [l<Rea<2].
ИПII305 F)
x) dx = e~2nnai Ei Bnnai)
|a>0; n= ± 1, ±2, ...]. ИП II 305B)
. НГ204
ИПИ305C)
ИП196A)
=. -i-я [n = l, 2, ...].
(a + uc) — г|) (a — ?ж)] sin zj/ ofa: = ine~a« A —
[a>0,
la>0; n = l, 2, ...J. ИПИ305D)
2. \ cos Bjwu;) if (a + x) dx — sin Bitna) si Bлиа) — cos Broicf) ci Bлла)
о
[a>0; n = l, 2, ...J. ИП II 305 E)
6.468
НГ204

^ 6.5-6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 679
6.469
i
1. \ q(x)sinnxcosnxdx= ?-. НГ 204
о
1
2 \ %^ (х) sin nx sin (nnx) dx = 0 [и —четное];
о
= -jln"HTT [«-нечетное] ИГ 204 (8) и
6.471
ОЭ
1. ? х-а[Ых — ty(l+x)]dx = ncosec{na)Z,{a) [0<Rea<l].
о
НП II 306 G)
ОЭ
2. [ х~а [In A + х) — л|> A + х)] dx = ji сочег (шх)[? (а) — (а — I)'1]
о
[О < Re а < 1]. ИП II 306 (8)
оо
3 \ [гр(х + 1) - Inx] cosBлху)dx = -^ [Ц (у +1) - In у\. ИП И 306 A2)
6.472
ОЭ
1. \ х~а [A + х)'1 — $' A + х)] dx =¦ — яа cosec (яа> [С A + а) — а]
[|Rea|<l]. ИП II 306(9)
ОО
2. \ х~а [х'1 — if A + х)] dx = — яа cosec (яа) ? A + а)
о
[-2<Rea<0]. ИПII 306A0)
6.473 [ x-*tn)Q+x)dx = (- I)" г"^?2, t(a + я)
о
[л = 1. 2, ...; 0 < Re а < 1]. ИП II306 A1)
6.5-6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
6.51 Цилиндрические функции
6.511
ОО
= ± [Rev>-1, Ь>0]. ИПП22C)
В 432 G), ИП II 96A)
о
2.

680 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
3. \ Jv(x)dx = 2Yi /v+2ft+i(a) lRev>-l]. ИП II 333A)
4. \ 7, (t)dt = 2S{ya. B599D)
5. \J i{t)dt = 2C\Va}. B599C)
0 ~2
a
6. \ Jo {x) dx = aJ0 (a) + ^[J1 (a) Ho (a) - Jo (a) Ht (a)] ' [a > 0].
ИПЦ7B)
7. \J1(x)dx = l-J0(a) \a>0]. ИПИ18A)
8. \iJB{x)dx=l-aJa(a) + ^[/„(a)Ht (a)- Jx(a)Ho (a)] [a > 0].
ИПII7 C)
CO
9. \ J1(x)dx = J0{a) [a>0]. ИПН18B)
a
b oo
10. J iVv (ж) «te = 2 2 [iVv+z,^, (fc) - iVv+zn+j (a)]. ИПII339 D6)
a n=0
a co
11. [ Iv(x)dx = 2yi {— l)nIv+2r^-i{a) [Rev> —1]. ИПИ364A)
0 n=0
6.512
CO
V 2 'У /-Ц+У + 1 v-ti+1 . .. ft»
[a > 0, 6 > 0, Re (ц + v) > — 1, b < a. Для a < 6 следует ц и v
поменять местами]. ИП II48 F)
2. j+ и) 1 аю XZVZ/ ( ;
[0 < P < a];
= (-i)"-sr го<э = «3;
= 0 [0 < u < fij [Re (v) > 0]. MO 50

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
681
3. [ /v (ax) Jv_, (fix) dx =
< а];
6.513
2.
}
= 0 [р>а];
} [Rev>0].
В 444 (8), Kyl53D0)w
, о, ?! _
[Rev>—1—я, 0<6<а];
= 0 [Rev>-1 — n, 0<о< Ь].
ИП II47 E)
_B (а») dr = ( - 1)"+1 ^
-^-; а>0; « = 0, 1, 2, ...] . ИП II 347 E7)
[0<6<а]. ИП II 21 C1)
п=1)
[Rev>-1]. .ИП II 338 C7)
r + Re2|i>-l, 0<2a< ft]. ИП II52 C3)
2 2
[2Ren>|Rev|-l, Reb>2|Ima|]. ИПН138A8)

682 в—7, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
со
3. [ /ц {ах)Ку.{ах) Jy (bx)dx-
2 /' -и (ш/лл-Лп
[Rea>0, 6>0, Rev> —1,
ИИ II65 B0)
4. \ J» {ax) 7_й (аж) /Tv {bx) dx =
6
|<l, Reb>2|Ima|]. ИПН138B1)
со
5 C
Б
fRea>0, Ь>0, ReD"v ± рЛ > -i"| . ИПИ66B8)
Z CO
6. ^ /ц (ж) Jy (z — ж) dx = 2 2 (— 1)" -Vj-v+aA+i (z)
0 A=0
[Refi> — 1, Rev> —1] (см. также 6.683 3.). В 414 B)
г
г
8. \ J]i{x)Jl_tl{z — x)dx = J0{z) — cos(z)
о
[-l<Rejx<2]. В 415 D)
6.514
CXI
~^)jy ibx) dx = Ь~Ч2ч B Vab)
[a>0, 6>0, Rev>--iJ . ИП 1157(9)
[e>0, 6>0, _l<ReV<l] . ИПП 110A2)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ .ФУНКЦИИ 683
3. ^Jy(?)Kv(bx)dx =
тк
[«>0, Re6>0, |Rev|<-J] • ИП II141 C1)
Кг, №4Я УЩ + *Г У^ 4V+{*K2V [2е~ *
4.
[а>0( Ь>0, |Rev| <y] . ИПИ62C7)и
СО
5. [ Nv ( ^ Л Nv (bx) dx = — b'42v [2УаЬ)
[а>0, Ь>0, |Rev|<-i] . ИПИ110A4)
6. \ Nv ( — ) Ky (bx) dx= — I
6
[a>0, Reb>0, )Rev|<|-] • ИПII143C7)
CO
[Reo>0, 6>0, |Rev|<-
И1П1113B8)
CO
8. [ Kv(¦?)K4 (bx)dx= nb'1K2v [2 Y^b)
[Re a > 0, Re b > 0]. ИПП 146 E4)
6.515
= - 2b-42v. [2 Yab) -Кгм. B Y^b)
[a > 0, Re b > 0]. ИП II143 D2)
2.
о
in* f
. Be4 "* V^afc) K2v.Be *"' V^^b)
[Rea>0, Refc>0]. ИП И 147 E9)

684 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫ^ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
3.
о
~1 cos \тК2и. Bе* Ч*а Vb) K2ll Be~~* ™а
-f-, 6>O,|Reji|<4]. ИПII17C6)
6.516
[а>0, Ь>0, Rev>--|] . ИП 1158A6)
СО
о
[о>0, b>0, Rev>--i] . ИП II 111 A8)
[Refc>0, Rev>—i] . ИП 11144D5)
oo
4. ^ N2v (а Уx) Jv(bz)dx = 2 sec {vn)^1^
[ yJ ИП 1162C9)
CO
5 ^ W2v(aV^)ATvW&; =
о
=4~ [sec (vjt) 7-v (¦?-)+cos
[a>0, b>0, |Hev|<{] . Ш1II 111 A9)
CO
6. J A^sv («]/i)Kv (bx) dx =
=? Lcosec B
[Reb>0, |Rev|<-iJ. ИПП144D6)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 685
7. \ K2v (a Yx) /v (bx) dx = ± яЬ-t sec (vn) [ H_v (-g-) - /V_v (-? ) ]
0
[Rea>0, 6>0, Rev>-y] . ИПН70B2)
oo
8 \ K2v (a Y~x) Nv (bx)dx =
= -1 nb~l [ sec (vn) /_v (-J) - cosec (vn) H_v (-J) +
4- 2 cosec Bvn) Hv Г-|^ ^) J
[Rea>0, 6>0; |Rev|< -ij . ИПП 114C4)
CO
9 ^ ,й:2г (aYx)Kv(bx)dx =
= 4cos(^я)\Kv С 4^) + гЬщ(vn) [L-vC4Ty Lv("^"y J)
[Reb>0, |Rev|<y] . ИПП147F3)
io J/^e/3*,(fa)*-=
b
[Reb>0, Rev>--^-] . ИПН147F0)
г
6.517 ? 70(VAz2-a;a)de=smz. MO 48
6.518 \>K2vBzshx)dx = g^J^ G?, (z
о
Г Re z > 0, — y < Re v < ~ ] , MO 45
6.519
УВП198
2 \ J2vBzsinx

686 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
6.52 Цилиндрические функции, х и х2
6.521
1
1. С xJv (cur) /v фх) dx = 0 [аф P];
о
^ [а = 61
O, v>-l]. УВИ198
СО
2. f xK"v (ax) Jv (bx) ate = —
[Rea>0, 6>0, Rev>-1]. ИПН63B)
3. ^ xKv(ax) Kv(bx) <Lr = -±J^ /
[| Re v |< 1, Re (л + 6) > 01. ИПИ 145 D8)
4. ^ aJv (Я.Ж) К„ №) dr = (ц2 + A,2)
-yaJv{U.)K4+i (\ia) j [Rev>-1]. ИПН367 B6)
6.522
X A + 4o26-2) 2P~^ [(l+ 4a2r2f ] ,P7M [A
5V . 2V-1
[Reb>2llma|, 2Reu > |Re v|- 2]. ИШ1138A9)
-
2. ^x[K
l
X <?7" [A + 4a*b-*I] Q~» [A + 4a2
V V1
> 0, Rea > 0, Re (i- v ± ц) > - 1J . ИП II66 B7) и
3. J хЙГ0 (аж) /v (bx) /v (ex) & = r-V"» (r2 - /-x)v (r2 + i-J-^,
[c>0, Rev>-1, Rea>|Imb|]. ИПН63F)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИИ 687
со 1^
4. ^ ж/0 (ах) Ко (bx) Jo (еж) dx = (а4 + b* + с* - 2а2Ь2 + 2а2с2 + 2Ь2с2)~ 2
[Reb>Rea, с > 0}. ИПИ 16 B7)
СО 1
5. ^ xJ0 (ах) Ко (bx) Jc {ex) dx = (a* + b* + c* - 2a2c2 + 2a2b24 26V)~ 5
о
[Re 6 > | Im a j, с > 0]. ИПИ 15 B5)
6. \ xJ0 (ax) No (ax) J0(bx)dx =
= 0 [0 < b < 2a];
2 [0<2a<6<oo].
ИПН15 B1)
CO
7. ^ ж/ц (аж) У^-i-i (аж) Zv (to) <fe =
= Г
X PI» i [A + ia4~*f\ РТ*-\_ [A
2V 2 2V 2
[Reb>2|Ima|, 2Re[A > jRe v|-3]. ИПИ138B0)
8. \ xK i (ax) К i (ax) /v (Ьж) йж =
-ц-i
2" 2
>0, Rea>0, Rev>-1, |Re(i [ < 1 +-|-Rev]. ИПИ67B9)и
_ 1
9. [ xU (ax) Ki (ax) Jv (bx) dx = b1 F2 + 4a2) 2
0 2 V I
[& > 0, Re a > 0, Re v > - 1]. ИПИ 65 A6)
oo
10. [ xJt (ax)Ni_ (ax)Jv(bx)dx =
0 2V 2V
= 0 [a>0, Rev> — 1; 0< b<2a]\
_ i_
= — 2я'1Ь 1F2-4a2) 2 [a>0, Rev>-1, 2a<u< oo].
ИПИ55D8)

688 *>—7 ОПРГДЕЛЬННЬШ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
со
11 • I xJL(v+n <аж> ¦/i(v-«, (fla;) /v (te) ** =
0 /! 2
_ 1^
- 2Я-1* ' Da2 - b*f *Tn (?) fa > 0, Re v > - 1, 0 < b < 2a];
= 0 [a > 0, Re v > — 1, 2a < b < oo].
ИШ1 52 C2)
= 2~lia~4-1 F2 -f 4a2) 2 [b + F2 + 4a2Jf
[b>0, Rea>0, Rev>-1, Re(v-n)>-2]. ИПН66B3)
13 \ xJy. (xa sin ф) Кх-„. (ax cos ф cos i^) Jv (xa sin ¦ф) аж =
_ (sin у)№ (gin \|i)v (co'i 9)v—tl (cos i|))t''~v
a2 A —suAp siu2 ip)
[ffl>0, 0<ф, t<-^-, Re|i> —1, Rev> —ll . ИПП64A0)
oo
14 \ ж/ц (жа sin ф cos ф) /v-i* (аж) /v (жа cos ф sin ilp)dx =
— 2n'la'2 sin (ця) (sin ф)и (sin i|))v (cos ф)~* (cos ip)1 X
X [cos (ф + ¦ф) cos (ф — •$)}-*
[a>0, 0 < ф, я|з < у я, Rev>-lj. ИПИ 54 (ЗУ)
СО
6.523 ^ ж [гя-^о (аж) - iV0 (ах)] Ко (bx) dx =
= 2Я1(«2 4 Ь2) + (б2 - я2)''] In A
[Re6>|Imaj, Re(a4-6)>0J. ИНН 145 E0)
6.524
oo
1. \ xJ% (ax) Jv (bx) Nv (bx) dx =
= 0 Го<а <
= -B^6)"» [0<b<a, Rev>-4-l • ИПП352A4)
oo
2.
[a>0, 6>0]. ИПН373(9)

Ь Ь—б 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 689
6.525
оо _ i
1. ^ x*J1{ax)K0(bx)J0(cx)dx = 2a(a* + b2-c*) [(а2 + б2 + с2J - 4i2c2] 2
[с> 0, Re 6 > | Im a \, Re а > 0J. ИПН 15 B0)
оо
2 \ ж2/0 (ож) JSTX (Ьж) Jо (еж) а!ж =
_ з
= 2&Fa-rc2-a2)[(aa-!-62-hC2J-4o2^] 2. ИПН 16B8)
6.526
0 2 2
[a > 0, fc > 0, Re v > - 1]. ИПН 56 A)
2 ^ xJt
[o>0, 6>0, Rev>-1]. ИШ1109(9)
3 \ xJ \ (ax2) /irv Fx) dx —
96 [a>0, Re6>0, Rev>-lJ. ИПН 140 B7)
CO
4 [ xNi (ax2) Jv (bx) dx= —
[o>0, 6>0, Rev>-1]. ИПН61C5)
5 \ жЛ', (ax2) Kv (bx) dx =
.1 — V
0 2
Я
& 4abiu(vn)
[а>0, Re6>0, |fiev|< 1]. ИПП 141 B8)
I-L, Y^-
4a
[Reo>0, 6>0, Rev>-1]. ИПН 68 (9)
44 Tafiiniibi интегралов

690 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7. [xKt {ac*)Nv{bx)dx =
= ? [ cosec (v5t) L- iv (•?•) - c<«(VJt) LI v (ll ) -
[Ke a > u, <; > u, | Re v | < 1]. ИПН 112 B5)
8. \ xKk ^ {ax*) Kv (bx) dx =
V
[Rea>0, |Rev|< 1] ИПII146 E2)
6.527
oo
1. J «2y2v Bax) 7^ (a:*) dx = у «•/v i (aa)
0 2 & ~~~~
[a>0, Rev>--|] . ИПИ355C3)
2. f z372v Baa;) J i (а:«) Л: = 1 аУ , (a2)
[a>0, Rev>-2]. ИПII355C5)
CO
3. J я2/2v Bаж) ^v j, (жг) dx = - у аН^_ t (a8)
0 2 2
[a>0, Rev>-2]. ИП II355C6)
6.528
[6>0, v>-lj. MO183u
6.529
1. \ xJv B ]/aiT)jKvB ]/аж) Л (bx) dx = ±
о
lRea>0, 6>0, Rev>-1] ИПII 70B3)

6 5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 691
а
2. \ xJ% Bs) hBx) J» B j/"a^P) /и B j/V-cc2) dx =
о
а2»+2ц+2
г а+м+2)
х
[ReX>-l, Ren>-1]. ИПII376 C1)
6.53 — 6.54 Цилиндрические функции и рациональные функции
6.531
+ 2 ctg (nv) [Jv («б) — Л (ab)]
[b>0, |atga|<rt, |Rev|< 1, v ^ 0, ±1] . ИПИ97(б)
I? TV (бж)
2. \ -^— dx = я {ctg (vn) [iVv (a6) + Ev {ab) ] +
+ Jv (об) + 2 [ctg (vn)l2 f Jv (ab) - /„ (ab)])
[6>O, a>0, |Hev|<l]. ИПИ98(9)
= if [cosec (vn)]2 [7V (ab)
+ /_v (ab) - e~5 1V"Jv (*a6) - e* iv"j_v (jab)]
[Re 6 > 0, | arg a |< я, | Re v"| < 1]. ИИII128 E)
6.532
~ VM , n[Jv{a)-Jv(a)]
2.
2-|-аа о. sin (vit)
0
[Rea>0. Rev> — 1]. ИП II340 B)
" Nv ibx) 1 Г я
5 xi + ai cos —
+ ¦
0, Rea>0, |Rev|< 1]. ИПП99A3)
44*

692 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
3.
-Ev(ab)-Nv(ab)}}
[b > 0, а > О, | Re v | < 1]. ИП II101 B1)
со
4. Е х^ (°*> dx = Ко (ак) [а > 0, Re А > 0]. В466E)
о
с»
5- \ ^°i-T« dx= - K"tk) [«>0, Re/e>0]. В 466 F)
оо
6> \ ¦^rfrafa;==s|t/o(a/!;)-Lo(a^)] [а > 0, Re/с > 0]. В 467G)
6.533
.-1]. В 415C)
Р Я ) 2
О
[Rep>0. Re?>01 В 415 E)
00
3. V [/„(аж) —1]/1Fж)-^- = ^-| 1 + 21п у 1 [0 < b < a];
= "Ж [0 < а < 6]. ИИ II21 B8)м
?о
4. \ [1 —У0(ож)]У0Fж)^- = 0 [0 < а < 6];
= liij [0<6<a]. ИП II14 A6)
ОО
6.534 ^ X^^dx = ^-Ko{a)—^nN0(a) [a > 0]. ИП II 340 E)
0
6.535 [ -r!—1[Jv(x)fdx = Iv(a)Kv(a) [Rea > 0, Re v > - 1].
J x -\-a
ИП II 342 B6)
oo
6.536 С ^ff) dx = ker(ab) [б > 0, | arga|< ± n] .
ИПП8(9), МО 46 м
6.537 y-?^dx=--Lkei(ab) [b > 0, |arga|<|] . MO 46 и

в 5—8 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 693
6.538
[а>0, b>0]. ИП 1121C0
2. ^ x-lJv+2n+i{x)Jv+2rn+i(x)dx = 0 \тфп v > — 1];
[те=«, v>-l]. ВТФП64
6.539
ь
ИШ.339,49,
6.541
о
= /v (be) Kv (ас) [0 < b < а. Re c> 0, Re v > - 1];
= /v(ac)JCvFc) [0< a<. o, Hec> 0, Rev> — 1].
В 471 D) и, ИП II49 A0)
2.
[0<6<а, Rec>0,
[0<a<b, Rec>0, ]
ИП II49 A1)
. Jv(ax)Nv(bx)-J^(bx)Nx (ax)
o.04? \ _,, . ...!¦¦ I ,„, .1....,,, ax =
,542 J
о
= ~1г(тУ [0<*<«]. ИПII352 A6)
CO
6.543 \ Уц Fл:) -с cos у (v — ц) я I Уv (ax) —
о
_sln [^-^я] Arv(aa;)| ^,e/|, (br) ^v (ar)
[Rer>0, a>b>0, Refx > |Rev|-2]. B471E)

694 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
6.544
со
2 v
о
[а>0, 6>Д |Rev|<-iJ . ИПII357D7)
СО
a s _ «t • _ v л«.
2.
[а>0, 6>0, Rev>-1] . ИПИ57A0)
ч F / f а Л е- ^ х \ dx l Iiv" к- Л2 V^o г 1Я
1 -i»vn
+те 2 Л-
[Re6>0, a>0, |Rev|< у] . ИПИ142C2)
4. \ Л
"а^О, 6>0, | Re v| < ^-] . ИПН62C8)
5.
[Reb>0, а>0, |Rev|<y] . ИПII 143C8)
[Rea>0, Ь>0, |Rev| <-|] . ИПИ70A9)
[Rea>0, 6>0, |Rev|<yj . ИП1Н13B9)
[Reo>0, Re6>0]. ИП II146 E5)

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 695
6.55 Цилиндрические и алгебраические функции
6.551
1 1
\ x2Jv (xy) dx
8
L
2
\y>0, Rev > -i-l . ИПII 21A)
7V_) (y)S (y) +
L -2>v
v (*/)<? t (*/)! t^>°]- ИПИ22B)
6 552
1
б
[Reo>0, y>0, Rev>-1]. ИПН23A1), В477C). МО44
2 \Nv(xy) ——r= — -^-sec(~vn )K, (~аг/)Х
0 , , , .,.2 '2
, (iay) +nsin(.ivn)/,v (jay)]
X
L.
2
[y>0, Rea>0, |Rev|<l]. ИПII 100A8)
3
\{y)^
2 2
[Reo>0, Re?/>0, | Re v | < 1J. ИШ1128F)
о A--^J 2
[y>0, Rev>-1]. ИП II 24 B2) и
l
r f ,. , , dx лг/ N ., /" 1 Л
[y>0]. ИП II102 B6) и

О96 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКПИЙ
2
8 —IJ
[у>0]. ИП II 24 B3)/г
7.
[г/>0]. ИП II 102B7)
со _i_
6.554
[|Ren|<4- 2Rev>|Mn|-y] • ИП II 372 B)
1.
<>0, Rea>0]. ИПИ7D)
2.
= y-i sin
ИПН7E)в
3. ^ zJ0(xy) r = y-1cosy [y>0].
ИП II 7 (б) г*
4.
o.
= alea"J [у > 0, Re а > 0]. ИПН7G)н
[a > 0, к > 0]. В 473A)
6.555
6.556
[а>0, г/>0, Rev>-y] . ИП II 111 A7)
[Rev> - 1, а>0].
МО 46

6.5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 697
6.56—6.58 Цилиндрические и степенные функции
6.561
1 1
x[yv(a)Hv_i(a)-Hv(a)/v_1(a)]
[Rev>--iJ. ИПИЗЗЗB)и
i i
2 j x*Nv (ax) dx = 2V~ WF ( v + у) X
о
X [iVv (a) Hv_, (a) - Hv (a) Nv_, (a)]
[Rev>-lJ. ИП II338 D3) и
l i
3 jj x4v (ax)dx = 2v"'a-Vr (v +4 ) X "
X [Iv(a) Lv_1 (a) - Lv (a) /v_, (a)]
ИП II 364 B) и
t _i
4. \ a^^v (аж) <to = 2V-Wr Г v +4-^ X
0
X [Zv (a) Lv_, (a) + Lv (a) tfv_t (a)]
[Rev>-yJ. Р1П IT 3fi7B1) и
i
5. \jx"+4v(ax)dx = a-lJv+i(d) [Rev>-1]. ИШ1333C)м
о
6. \ iv+»iVv (ax) dx = a~lNv+l (a) + 2v+ta-v-2r (v 4-1)
7
8.
9.
10.
t
\ х*+1К,
0
0
1
0
(ax) dx = а'Ч
, (аж) dx = 2va
(аж) dx = ^r
V —
/ v / Я
I Л 'УМ /Y'T1 *^—
r ^Cti//^ CtiA- — ;
v+i (a)
-v-2r (
'r(v)~
 ctg (v:
w-'riv)
[Rev>
[Rev>
v+1) — о'лЪ
[Rev>
a'Vv-i (a).
a) a-Wv-t
[Rev
-1].
-1].
Cv+1(a)
-11-
(a)
<4-
ИП IT 339 D4) и
ИП 11 365 C) и
ИП И 3R7 B2) и
ИП11333D)м
ИП II 339 D5) в

698 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
11
av-2
= a~llv~\ (a) ; .
i (а)- —^
2 Г (v)
ИП 11 365 D) и
12. \ xi~"Kv(ax)dx = 2"V^2r (I - v) — «ГЧ^., (а)
о
[Rev<l]. ИШ1367<23)и
f I"
13 \ x>iJv(ax)dx-=a->l-i (v -f p. — 1) aJv (a) +
L
[a > 0, Re (ц + v) > - 1]. ИТ1II 22 (8) и
-
14 \
[-Rev-KRe(i<{,«>0]. ВТФП49A9)
(ax) dx = 2^
1 (v +1 - Ц) я] а-м-i ~ут—Т Г^Г
-l<(x<y, а>0] . ИПП97C)м
16
v)>0, Rea>0]. , ВТФН51B7)
.„
- К Reg < Rev-у] . В428A), Ку 144E)
[|Rev|<Re(l + |i-v)<|-]. B430E)

0.5—8 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИИ
b9lJ
6.562
= Ba)(in-i{sin[^-n([i-v)] Г [1(ц fv +1)] X
n, Re(n±
ИПII98 (8)
[ _-l<Rev<|-, a>U, |argft|<n]. В 479 G)
4 <jl + v) ] Г [I (ц - v) ] fr-n
1 ^+v
x 2 '
x
2 ' 4
6.563
— яя*1 cosec [и ((X — v)] {Kv (ab) + я cos ((хя) cosec [я (v 4- (x)] /г
[Re b > 0, | arg a \ < я, Re jx > | Re v | -1]. ИП II 127 D)
v+2m
'm=0
ЧГ [
sm [4-
m=0
Г [i-0*-V-Q +
ИП II 23A0), В 479

700 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
E.564
1. \ x"+l Jv (to) /х = л/1-а^К . (ab)
J V*a+«a V яЬ *+| '
[Rea>0, b>0, -l<Rev<-i]. ИП II 23A5)
2. \ »'-<Jv(fa) = у g<,2 [I , (ab)-L , (a&)]
[Rea>0, 6>O, Rev>--i]. ИП II 23A6)
6.565
°° i
[Rea>0, 6>O, Rev>—-|-]. В477D), ИП II 23A7)
со *
П _« L t/^_ U\— i
2.
[Rea>0, 6>0, Rev>--iJ. ИП II 24A8)
OO
(*
3.
[Rea>0, b>0, Rev>-1]. ИП II 24A9)
4.
0, 6>o]. MO 43
5. [ ж^+' {xi + a1)llNv(bx)dx=2v-i n~l a^+^l + n) T(v) fc~v x
X Г ((г + 1) fc-1 -" [/д+v+i (ab) - 2 cos (|«i) #„+„+, (ab)]
[6 > 0, Rea > 0, - 1 < Re v < - 2Re ц]. ИП II 100A9)
OO
6. ^ ;rl-v(a;2+a2)|liVv(fec)da: = 2tla»*-v+<6-i-|i jcos (vlt)r (ц +1) X
X Г (v) /v-H-i (ab) — 2cosec (уж) [Г (- ц)] /Tv_n
, Rea>0, y + 2Re|i < Rev < l] . ИП II 100B0)

в.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 701
7.
2V Г (v +1) «»+*+« б-115„_.
[Rea>0, Re6>0, Rev> —1]. ИП II 128 (8)
2V+1 r( + l)r(ll)
v
. ai
—»*¦ v + 1:-r
^1 v+ _Ц_
+^
[а>0, -Rev<Ree<2Rem-y] . B477(L)
6.566
2 ' 4
— <^-( cosec [ у ((г — v +1) J Kx (ab)
0, Rea>0, | Re v|- l< Re[i < -| J . ИП U 100 A7j
[a > 0, Re Ь > 0, -l<Rev<|-]. ВТФ [I 96 E8)
3 ^К
a > 0, Re b > 0, Re v > - у] . В 468 (9)
4 ^^
[a>0, Re6>0, Rev<T]. B468(tO)

702 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Ь. J x-v Jv (ai) -J*^ = -^ [/v (ab) - Lv (eft)]
о
6.567
i
[а>0, Re6>0, Rev>-|-] . B468(ll)
1. \ *v+i A _x*f Jv (bx) <fc = 2Р Г (|i +1) Ь~^и /у+ц+1 F)
о
0, Rev>-1, Re(i>-1]. ИПН26C3)и
2. J
а
2v+l я-
+ 2v+l я-« T(v+ l)^_v,^+v+1 (fc)]
, Re(x>-1, Rev>-1]. ИП П103C5) и
>-1]. ИП II25 C1) и
4. С ^-'(l — xzf-Nv {bx)dx = b~^+l) [2l~v л~1 cos (vjt) Г A — v) x
b
x *n+v, n-v+i F) — 2Д созее (vn) Г (fi +1) /№_v+t {b)]
[b > 0, Rep. > - 1, Re v < 1]. ИП II104 C7) и
l
о
X & (l; v+ 1, (i + 2; ^ + n2|i~i 6~(|*+1' coseC(vii) x
X Г ((г + 1) /„_„+, F) x [Re (i > - 1, Re v < 1]. ИПII129 A2) и
6. f xi-vJv(bx)-7M=^= l/^H ,(fc) [6>0]. . ИПП24B4)и
7. J ;r>+v ЛГ„ (te) g__ = ]/ ^ созее (гя) [cos (гя) /^ (fc) - H_v_i (fc)]
0 2 2
0, Re v > - 11. ИП II 102 B8) и
8
l
0
0 о 2 2
[6 > 0, Re v < 1]. ИП II 102 C0) и
9. $V
(), Rev>-{]. ИПН24B5)ц

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 703
10.
>0, Rev>-y] . ИПП102C1)и
11 \ ж* A - r2)""~2 Kv (bx) dx =
[Rev>-yJ. ИП II 129A0) и
12 ^ж^A-ж2) 2
0
= 2-v-fl/i6-vr(v+4) [yv(y)]2 ИПП365E)«
13 { xv+l(l—x2fv~^Jv(bx)dx = 2-4-~-LT(^Y-
[ -i]. ИПИ25B7)ц
14 \' а* (ж2 - 1)V~2^V Fж) cfa; = 2V~2 Уя6-Г Г (v + у) х
[|Rev|<y, 6>0J. ИПИ103C2)и
15 \j x* (ж2 - 1)V~2^V (bx) dx=
[Re6>0, Rev>--j]. ИПП129A1)и
16 \ x'v (ж2 - 1)~V~2/V (fia:) dx«
l
<i-j. ИПН25Bб)и
17 V i,-v+» (ж2 - l)vyv(te)rfa: = _^ г,-"-1 Г (^y + v) cos fc
v|<l]. ИПП25B8)

704 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
6.568
1.
1.
о
[а>0, й>0, _l<Rev<-|]- ИП II101 B2)
аз
2. [x»NAbx)-^t- =
= -5-а»-»/, (aft) + ZVa"-' cos [f- (p.- v + 1) ] X
[a>0, ft>0, |Rev|-l<Ren<|-] . ИПНA01)B5)
2 ' 2 ' V + 1' 2 ' 2 • ""
[Refi>0, Re(X-t-v)>-l]. ИПII 193EB) u
6.571
4)^. (V)
[Rea>0, 6>0, Re v >-1, Re^i. <-|J . Ш11126C8)
(H-v) 4 У
[Rea>0, ^>0, Ren>-y, |Rev|<l]. ИПП104D0)
GO I
3. \[(x* + a*f Jf
(у+ц
2*
[Rea>0, Re6>0]. ИП II 130A5)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 705
6.572
1. \ х-»{(а? + a?f + aYJ4(bx)—;
; 2*' 2 2 ,2v ¦
,. [Re а > 0, Ъ > 0. Re (v — ц) > -1]. ИП II26 D0)
л \ ¦¦ г* 9. I _*»\Z . _in iy /i___\ &3'
[Rea>0, Reb>0, Ren, + |Rev|< 1]. ИП II 130A8), Бу 87 Fа)
3. \ х~* [(хг + а8J — a]iWv (bx) -
[Rea>0, b>0, |Re v| <-|- + уНец] . ИПИ105D2)
6.573
й 4
, (bx) Y[ J^ («i#) dx = 0, M •= 2
ИПII54 D2)
ft
«=1
1=1
a»<6<co> 0<Rev<ReM +
В4В0A6)и, ИП II54 D3)
Таблицы интегралов

706 6—1. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.574
2 -'. v-f-l;-gr)
В 439 B) и, МО 49
Прв одновременной замене v и ц, а также аир друг другом функ-
функция, стоящая в правой части этого равенства, меняется. Таким образом,
правая часть представляет собой функцию от -г-, не аналитическую
при -|=1.
В случае а-=Р справедливо равенство
2.
[Re(v + (i+l)>ReA,>0, a > 0]. МО49, Б441 B)и
ОО
. ( Л, (ctf) Уц (pf) t~Kdt=*
-X
-l, 0 < P < a]. MO50, B440C)«
Если ц — v -+ X •+-1 (или v — (г + Я. + 1) равно целому отрицательвому
числу, то правая часть в раненстве 6.574 1. (или 6.57-^ 3.) обращается
в нуль. Особенно важны те случаи, когда ори этом гипергеометрическая
функция F в 6.574 3. (или 6.574 1.) сводится к элементарной функции.
6.575
1. J /v+t (at) J» (ptj /д-v «;г _ 0 [a < Р];
[Ren>Re(v+l)>0]. МО51

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 707
[Re(y + |i)>0]. Ky 147A7), В434A)
6.576
о
[Ren>-1, Re(n-v)>-l]. ИПII370 D7)
ОО
2. \ x-*Jv (ax) Jv (bx) dx =
о
fa>0, i>0, 2Rev+l>ReA,>-l]. HIIII47D)
3. \ х-^-Кц (ax) yv (bx) dx —
i—U
V-X7^+1; v + i; --
-X + l) > |Ren|].
ВТФ 1152C1), ШШ63D), В 449A)
4. ^ ж-^Хц (ax) Kv (bx) dx =
[Re(a+fc)>O,Re?Kl-|ReJi|-|Rev|]. 1Ш И 145D9), ВТФ 1193C6)
CO
5. \ х~кКц {ах) /v (to) rfx =
i i, , l l l i , 1 l
^~2"X + Tti+Tv' T-T^-T^ + Y v;
0, a>b]. ВТФИ93C5)

708 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6. \ x-Wp (ax) Jv(bx)dx = ~smIt(v~M"~X') [ х~%К^{ах)/v(bx)dx
i i
[a>b, Re(v-X + l±(i,)>0]; (см. 6.576 5.). ВТФ 1193C7)
7. j
[RejC>|Rev| —l,Reb>|Ima|]. ИПII 137A6), ВТФН93C9), В449B)
6.577
1. J tfMM-t+J»/,»(ax) Jv(bx)^ = (-1)"cv-И-г»/,,(ac) Kv(be)
[a>0, b>a, Rec>0, 1 + Reji — 2ra >Rev > — 1 — п, « — целое].
ИП II 49A3)
2. ^ a^-v+'+2»/H (ax) Jv (bx) -J^, = (-1)" c*-v+2nfv (be) К» (ас)
о
[6>0, a>b, Rev —2« + l>Reji>—» —1, «—целое].
ИПИ49A5)
6.578
i. \ xo~4% (ax) /„ (bx) Jv (ex) dx =
, Ree<-|.
2
ИПII351 (9)
^-1/». (ax) /д (te) A"v (еж) dx =
|Rev|, Rec>|Ima| + |Imfe|]. ИПН373(8)
(ax) /u (te) /x (саг) Л; = О
[i —v)<-i. c>6>0, 0<а<с— б]. ИПП53C6)

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4.
[ReX,>0, Ке(Я-ц —v)<y, с>6>0, 0<а<с — &J .
ИП II53 C7)
\ = O [(У<Ь<с, 0<а<с — Ъ].
ИП II352 A3)
6. \ Jl~[l
J
_
V 2
, c> 0, Rev>-1, Re(fi + v) >-1].
В 452 F), ИП II64 A2)
7.
2acv=b* — a* + c*
[Re6>|Rea|, c> 0, Rev>-1, Re(fi + v)>-ll. ИП1166B2)
8. \ xl-»J» {ax) Jv (bx) Jv {ex) dx =
ev 2^ sm[(v—ц)л]^ i(chw),
V
[Rev> —1, Rep.>—у, 0<<r<a —6, 6>0J ;
fc^!?y1 (sino)" 5P^i (cos o), 2bc cos v = Ь2 + с*- а2
[Rev>-1, Re|i>--|-, \a-b\<c<a + b, a>0,
= 0 f Rev> — 1, Rep.> — ~, 0<c< b — а или
<оо, а>0, fe>0]. ИПИ52C4)

710 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
р yy—i a2v—1
9. \Jv(ax)Jy{bx)Jv{cx)xi-vdx^ -
где Д — площадь треугольника, стороны которого равптл а, Ь, с; в том
случае, когда отрезки, длины которых суть а, 6, с, не могут образовать
треугольника, величина интеграла равна нулю Re v > —к- I .
МО 52, В 451C)
10. ^ я*+<ЛГЦ [ах) К„ (Ьх) Jv (ex) dx =
i 1 %,_! W'
1J Т 2
а2-[-Ьг + с2
[Rea>0, Reb>0, с>0, Ке(у±ц)>-1, Rev>-1]. ИПII67 C0)
11. \ zv+iJ^(ож)/й(бж) Jv(ca;)dx
0
[Rea>|Re6|, c> 0, Rev> — 1, Re(n + v)> — 1]. ИПИ66B4)
12. \ «V+1 [Л(ax)f Nv(bx)dx =
0 [а>0, 0<Ь<2а,
[a>0, 2a<6<oo, |Rev|<y]. ИПП109C)
oo
= 0 [a>0, |Rev|<-i, 0<6<2a];
2vj.-v-1
[a>0, 2а</><аэ, |Rev|<i-J . ИПП55D9)

6.5-6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 711
14. \ xv+lJll (xa sin i|)) /v (%а, sin ф) К^ (xa cos ф cos ij>) dx
i
[a>0, Л->ф>0, 0<i|5<^-, Rev>-1, Re(|i + v) > - 1 ] .
ИПИ64A1)
15 \ i'+V, (аж) ^v (бж) Л (ex) dx =
[ReZ»>|Imo|. c>0, Rev>--i]. ИПП63(8)
-
16. \ixv+4v(ax)Kv{bx)Jv(cx)dx=
u
V 2
Re b > Re а, с > 0, Re v > - -i J . ffll II65 A8)
.579
CO
1 f xi"+*Jv(ax)Nv{ax)Jv(bx)Nv(bx)dr =
T' 3v+1; 2v +
[0<а<й, -y<Rev<-i]. ВТФП 94(,45), ИШ1352 A5)
CO
2. \x2*±1Jv(ax)Kv{ax)Jv(bx)Kv(bx)dx =
u
0<a<Z>, Rev>--|J. ШШ 373A0)
-5- ) I I1 <3v)
[Rev>0]<. ИПП342B5)

712 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
4. \ х* ~2v [Jv (ax)f [Jv (bx)f dx -¦
a2v-4r(v) „f 1 o , 1 «*
ИПИ 351 A0)
6.581
[Re(A. + (A) > 0, Rev>-1]. ИПП 354B5)
2. ? яЛ- * (a—ж)" Vu (x) Jv (a — ж) dx
m=0
[Re(A, + p.) > 0, Re v > Oj. И1Ш 354 B7)
a
3. J &{c^xyj»(x)Jv(a-x)dx =
. _ ±, Re v > - у ] . ИПП354B8), НТФ1146F)
а
4.
[Rev>-1, Re(A>-4-]. ИПН354B9)
a
5. ^ x» (a - аО"1-1-/»* (*) Jv(a-x)dx =
о
)
аи/,,(a) I Rev>Rejx>-41 •
W L ^ ^ 2j
ИПП 355 C0)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 713
6.582
oJ "
= -^=B6)^ D-|Л r(}i + v)r(|i-v)jr,@)
[б>0, Re(A<-|-. Re(i>|Rev|J. ИПП374A4)
6.583 \ ал-1 (Ж + й)~"Хй (ж + b) Kv (ж) & =
[|argi|<n, Reji>|Revj]. ИПП374A5)
6.584
= 0, 1,2, .:.,Imr>0, a>0, (RevKRee< 2m + -|-J . В465
CO
2. J [ cos у (Q ~ v) я/v (аж) + sin ^ (Q - v) я- Nv {ax) ]
[ 0, e>0, |Rev|< Нее<2м+^-1 . B466B)
3. p
= 0, 1, 2, ...,Refc>0, ч>0, — 2m—|-<Rev< ll . B466C)
•4. jij {
0
+ sin [ (I g-
jj {cos [(де--^-
0
r(l-v)r({e-{v-nj
[a>0, Reft>0, |Rev|< Reg < 2Re(A + y] . B47O(l)

714 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
О } п
+sin [ у ( е + 2 i*j - v) л ] ^
= -[ПЧF»&)]АГ*<
е fr > 0, а > 2 I Re fcn |, Re ('q + Y JJ-Л > I Re v 11 . В 472(9)
6.59 Цилиндрические функции от более сложных аргументов и степенная
фу1!К!|Д1Я
6.591
-'-1а14'V1+2v A^255) jt,+8W
[а > 0, Re 6 > 0, Re v > - 1]. ИШ1142 C5)
2.
K2v+1 (V~2ab)
[a>0, Re6>0, Rev>-1]. ИПП 143D1)
3. J^
= V2kb'x-'a+^K2v+i [еьт УШ>) K2v^ [e~ ь™ УШ)
[Rea>0, Re6>0]. ИПН146E6)
on j
4. \~2v+ (')
l
J v- -
5.
X [sin (vn) J2v-i (]/2ofr) + cos (vn) W2v-i
[a > 0, Re b > 0, Re v < 1]. ИПИ 142 C4)
j
6V~ *a5 sec (vn) К^., (V^aS) X
x[./2v-i(Vr2ab)-./i-av(yr2a6)l [a > 0, Rev<l]. ИПП 143D0)

6 5—в 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 715
6. \х 2Л
U 2
1
= j cosec Bvn) b a2
^!^) У 1-2
1 „Л2 _-|я'
[a>0, >0, --i<Rev<3]. И1Ш58A2)
7 \ x~Zv+ Ш l(-S) Nv (fa) tto =
-
J
V i (V~2ab)
, Rea>0, Rev>^-1 . ШШИЗ(ЗО)
+ ¦
-i v+1
2 ' ' 2 r ' lb J
fa>0, 6>0, — НеГц + |Л <Reo<Refv + -|->)l - B480(l)
I \ ? s \ */J
6.592
= 2-»o* ctg (vn)
^ —f—
Г A + v) Г (^+l+n+ -1- v J
ХЛ X.+ l+-o-v; 1 + v,
— 2ve-vcosee(vn)-
ГA-у)Г (х+1+ц \- -Л
i-yv + l; 1-v. i + l+
[ReX>-l+-j-|Rev|, Reji>0]. ИП II 197G6)в

716 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
2.
. \ а*A — xy-iKv(a
и
+ 2» ~ va ^_^j
(-^- vj
v; 1 +
-l + -5-|Revl, Re(i>o]. H1J И198(87)в
3 ^ аЛ(ж- I)»1-'/,(aТ^ж)
[a>0, 0<Re(A<-|—R&A.J . ИП И 205C6)н
OO
4 [
[Rea>0, Ren>0].
[Rev>-1]. ИПII194 E9) в
1 l i
6. ^^Гг/^
О
[Rev> —1]. ИП II197 G9)
Ъ Л L
7. ^
ИПП198(85)в

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 717
¦ °° 1 1
8. J х~* {х - 1)~* Kv (a Vx)dx=[ Kv (-x) J *
[Re a > 0]. ИП II 208 E6) и
ii. 1
9. \х 2A-х)
= я {ctg (vn) [ Л (-f ) ] * - cosec (vn) [ /_v (-f) ] *}
|<l]. ИПП195F8)в
10. \x 2 (ж - l)»~lJv (а у x) dx = Г (p.) 2»a-»/v-m. (a)
[e>0, 0<Re(A<-4-Rev + -|-]. ИП II 205C4)в
СЗЭ 4
11.
= Г (р.) 2»а-^ [cos {vn) /v_№ (a) - sin (vn) iVv-№ («)]
[a>0, 0<Ren<^-Rev + -|-]. ИПН205C5)м
12. \ жV(x — 1 y-'-fiTv(aI/"*)йг = Г (ц)^а-^Ху.,,(а)
[Re а > 0, Re ц > 0]. ИП II 209 E9) и
[e>0, 0<Re(A<-|-Rev + -|-]- ИП II 206D0)»
oo i
14. \x~^{x—1>
[Re p. > 0, Im а > 0]. ИП II 206 D5) и
15. ^ ж* (ж — l)"-1^8' (аУ~х) dx = ^a-^Hi,"!^ (а) Г (ц)*
[Re (A > 0, Im a < 0]. ИП II 207 D8) и
16. ^ аГ2" A - жу-'Л, (« /ж) <& =
"' ,0]. ИЛИ 194 F4) и

718 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1
17. ' "^
= " Г (v) V" sf+v-1, n-v (a) —
— 2»а-* cosec (vn) ^„_v (a) Г (ц)
[Re ц > 0, Re v < 1]. ИИ И 196 G5) и
6.593
1. \ у a;y2v-t (a
2.
• 0, Rev>—|-]. ИПII 144D4)
P.5O4
46
0, Rev>—5-I. ИПII 58 A5)
1. \ xvl2v-i (a yx)J2v-i (a yx) Kv (bx)dx
2.
3.
0
oft
0
[Re&>
+ cos {yn) J i ( 4
V—j V ^
[Re b > 0,
0, Rev>0].
i
2 cosec (vn) 1 Ht ( -кг- ) -
2~v ^
^-J+sta(vn)iV i Г5" )
- У v-2 v ^ j
Re v > 0].
ИПII 148F5)
4-
ИПII 148F6)
2
[Re b > 0, Re v > 0]. ИПII148 F7)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
719
6.595
оо
2. J ^-'
О
(сх) Д z'V-iJ^ <«Л) dx = О,
[п
а, > О, Re Ьг > О, 2 а« < с;
+2 Нч—2-1>Rev>-ll. ВТФИ 52C3), ИПII 60B6)
и «
(сх) П «Г11^, (ад) Л = 2v-'r (v) c~v П [^•'и, (e.*i)J.
ч =
6.596
О, Reb^O, 2 «, <С Re{-| л+2 Мч+4) >Rev>0
ВТФП 52 C4), ИП II 60 B7)
[а>0. Re(-|-v \
[Rev> — 1, a>0].
3.
4.
>¦
[a > 0, Re |i > - 1].
В 457 E,
MO 46
В 457 F)
[a<p, Re((A+2)>Rev>-l]. В 459 A1) и, ИП II 59A9)
[Re(p. + 2)>Rev>0, P > a > 0].
B459A2)

720 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.
[Re ц > Re v > - 1].
В 455 A)
7.
К„
8. С j
J
x er
[а>0, р>0, Rev>-1, |argz|<-|-] .
_ -« ?.
2 a*1
Ky 151 C1), B456B)
x
[Re (x < 1; при атом предполагается, что контур иитегрирования не содержит
особенности t = y, которая устраняется при помощи обхода сверху, и что
знак ]/i2 — у2 выбирается таким, чтрбы рассматриваемое выражение было
положительным при t > у; а > 0, {$ > 0, у>0]. В 456C)
9.
["Re|ji<l, Rev>—1, a > 0, v > 0; argl/а;2—уа —О при а; > у;
если х<.у, то arg (a;2 — у2H = яо, где а—-^- или *= —1-1 . MO 43
10. ^ /v (ыа;) Я(ц2) (с Vx* + у3) (Xs + у) 2 _;v+i ^ _
, Rev> — 1, a > 0, v>0,
яри f > ы, arg (tJ — a2H = — ло при и < и,
1 U, —V—1
где о — -=- или о— г ¦
МО 43
11. \ ./V(pa;)/M(a
и
if1
[a>0;
, Y>0, Re
B459A4)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 721
12. J А,(Р
h=1
Г (v) JJ ^-иу^
n
ж > 0, ах >0, аг >0, ..., аа > 0, р > 2 ««.;
(myy)] МО 43
13 j^^a^#[i]
6.597 J Г^1У„[6(*¦ + »¦)*] (<i + »i)~5
ч
= PVu [ft (^ - Р2)^] (У8 - Р8)" ** ^v (Oft)
[а>6, ReP>0, -l<Rev<2 + Re{i]. ВТФП95E6)
6.598 { х2 (i _ ж)! у№ (а |/J) /v (Ь уТ^?) о(ж =
)
U
= 2а»Ъ* (а2 + Ьг)~
[Re v > - 1, Ren > — 1]. ВТФII46 н
6.61 Цилиадрическве и показательная функции
0.611
[Re v > - 1, Re (a ± ф) >0]. ВТФ II 49 A8), В 422 (8)
2 ? е-га ^Vv (рж) ate = (а2 + Р2) ~ г cosec (vn) x
о
_^
X {Pv [(а2 4- Р2J + о]-' cos (vn) - P~v [(а8 + Р2
[Rea>0, p>0, |Rev|< 1]. MO179, ИПII 105A)
^у; в-»-5- при Р-> оэ] ; ИПЦ131B2)
= ^^ [Р- (а + /^T2)v _ pv (/^Г^ + a)-vj
Z у а1*—p'
[| Re v |< 1, Re (a + P) > 0]. ИП1197 B4), MO 180
46 Таблицы интегралов

722 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4. \ e-<x*Iv ®x)dx =
[Rev>-1, Rea>|Rep|]. MO 180, ИПИ95A)
5.
[ — 1 < Re v < 1; знак плюс соответствует функции #v*\ знак
минус-функции Я^,2)]. МО 180, ИШ188E4) и E5)
[Rea>|Imp|]. МО 180, ИП1188 E2)
7. Jr^^{
[Rea>|ImP|]. МО 180, ИП 1188 E3)
[Rea>|Imp|]. МО 47, ИП 1187 D4)
a
arccos-к-
9.
0 f г -
[0<o<p, Re(a + p)>0]; В424, ИЛИ 131 B2)
6.612
1.
n (a2
[Rea>0]. ИПII347 E8)
2.
]. ИПII370 D8)

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 723
У
[Rea>ImP>0, 7 > 0, Rev > —-i] . В 426 B), ИП II50 A7)
4 С e-<"[70(Px)]2ate = ——^ к( , 2Р V МО17&
В428C>
6.613 ( () Г ^4> ^ Ь
6 ^2
[Rev>-1]. МО 122.
6.614
4
CO
2. ? е-'
[Rea>0, |Rev|< 1]. ИПИ88E0)л
з.
[Reo>0, Rev>-1]. ИП1197B0)»
[Rea>0, |Rev|<l]. ИПИ99C7)и
5 ^ e-"*^ (p у"ж) eb =
0
46*-

724 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.615
[Rev> — 1]. МО 178
6.616
dx = Y^+pexP[У<«~V&+F)]. МО 179
2. ? e-°«/e <р Vx^l.) dx = ~г=== exp (- /aa+p2). МО 179
3. { е"*!,1»(/• /oFUTa) dt2i еШ
—оо
-2i г
[О < arg ]Лаа — (^ < я, 0<arga<n; r, x действительны]. МО 49
4. \ е-г1*Н{02) (г
= 2t
[ — я < arg ]/а2 — ?2 < 0, — я < arg а <;0, г, ж действительны]. МО 49
6.617
[Hez>0, -l<Re(jo — q)< 1]. MO44
2. J «
[Rez>0]. MO 44
6.618
[Rea>0, p>0, Rev> -1]. В432E), ИПП29(8)
2. ^
[Rea>0, P>0, |Rev|<l]. В432F), ИП II 106C)
3. j
[Re a > 0, I Re v |< 1]. ВТФII51 B8), ИПII132 B4)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 725
[Rev>-1, Reo>0]. ВТФН92B7)
5.
— 1, Rea>0]. ВТФИ50B1)и
6.62 — 6.63 Цилиндрические, показательная и ставенная фуикцыи
6.621
^±L; v + i;_JL); B421B)
4. «2 J
1L^); B421C)
V 2 • 2 '
[Re (v + ц) > 0, Re (a 4- Sp) > 0, Re (а - ifi) > О]; В 421 C)
_1 --
~~ "* — ' * "^—v Г tn% -J~ f\2\ ^1
[a>0, p>0, Re(v + n)>0]. ИПН29F)
2. { e-^v (Px) ж»1 -i dx =
[Ren>|Rev|, Re(a±iP)>0]; B421D)
-созесгя^Л^ ' H*^. Г :1-v=
[a>0, p>0, Re(A>|Rev|]. ИПИ105B)

726 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
3. \ aP-ie-^Ky фх) dx =
[Re|i>|Rev|, Re(a+P)>0].
ИП II131 B3) и, ВТФ И 50 B6)
[P > 0, Re'v > - m - 2]. ИП II28 C)
€.622
1. \{ft (x) - e-«*) — = In 2a [a > 0]. НИ 66 A3)
3. Je-xcha/pH^=l/l:^ll_i(ch«). В 424 E)
6.623
4
[flev>—-j, Rea>|Imp|]. B422E)
** 2a BB)vr i
2.
{Rev>-1, Rea>|ImP|]. B422F)
;
[Re v > 0; Re a > | Im p |] (сравни 6.6111.). В 422 G)
6.624
1. [-^(H^^i^^plnf^/Cfjri]-
MO 181
2. \Vxer-°*K ^x)dx=V^^hc- MO181
5 ±5

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 727
3
о
[Re (v ± ц) > - 1]. ВТФН57G)
ВТФ II57 (8)
_!
5.
ВТФ II57 (9)
°° .
6. \ е-'cos вУ„ ((sin 0) F dt = Г (v + |л +1) P^ (cos в)
-1, 0<9<]я] . ВТФИ57AО)
П==1
v+i
[Rev>0, |1ш6|<я]. В423(9)
G625
i
\ - ж)" е± la*Jv (ax) dx =
rifc+|i)r(v+i) ^
[Re Я. > 0, Re p, > 0]. ИПII194 E8) в
l
2. f sv A - ж)" e± iora/v
о
v (аж) dx =
[Re(A>0, Rev>--|-J . И11И194E7)а
3 ^ хч A — ж)** е± "^/v (аж) Л; =
о
BoOv
[Re|J,>0, Rev>-y]. By9A6a), ИПИ 197G7) и

728 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4. ^ я*-» A - xf~l e± «*IV (ax) dx =
о
[Re(x>0, Re(*. + v)>0]. ИП И 197 G8) и
i ,
5.
о
0, Re>t>0] Bvl29A4a)
6. {' ^^
l + Rea., Rea>OJ. ИПП207E0)ц
7. jj ж1-»- (ж -1) e-^Ky (ax) dx
-ft, v-Jt, -v—Xj
[Rep,>0, Rea>0]. ИПII208 E5) и
8. [ x-v (x - I)" e-«*/v (cue) dx =
[O < Re ц < -|- + Re v, Re a > (Л . ИПII207 D9) и
9. \x-v(x— iy^-1e-axKJax)dx = ynT(ii)Ba) * ге-^-\У , t Ba)
— — Ji, V— — 11
[Re (x > 0, Re а > О]. ИПП 208 E3) в
СО { 1
[Re (х > 0, Re а > 0]. ИП II 207 E1) и

6.5—в 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 729
6.626
со
1. [ z»-1e-<«/ll(fix) Jv(yx)dx =
п
2-v-ho-».-m-v 2j
m=0
[Re (*. + (x + v) > 0, Re (a ± i ± iy) > 0]. ВТФ II 48 A5)
2. {e-*"Jv(
(o2+P2cos2«p)v+|1 ^а
асо^ф ф
[Rea>|ImP|, Re(v + n) > --IJ . В 427A)
d. J е ^„(р^У^ра;)^^ ¦>„« ,^^-гй» .В427B)
4.
[Re a > Re p]. В 428 E)
DO
6.627 \ ¦** e~*Kv{x)dx = -^—^*—
J *+« у в cos Ivji)
[|arga|<n, |Rev|<-i]. ИПИ 368B9)
6.628
-v)>-l]. B424C), УВII 175«
2. \ e-1 cos PiVv (a; sin P) x* dx =
В 424D)

730 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ
3. \е~гA- x^-ijp-vJv-vQZf) dx =
о
r"».»W-- моusH
4. С e-x^'tl
о
[Re(x>-2]. В 423A)
СО
5. J^Lg
о
[ReOn-l)>|Rev|]. В 423 B,
_i
Q i(cha)
6.
[Re((*+v)>0, Re(cha)>l]. В 424 F)
i>2 , (ch a)
7. jj e-« eh -Kv (x) x»-ldx = yf\ Г (H - v
(sh a) 2
[Re|i>|Rev|, Re(cha)>-1]. B424G)
6.629 \ A/ж)е-а» ces ф «о8 Ф/ц (ож sin ф) /v (аж sin i|)),
V- 2 ¦ - • --2
[a>0, 0<ф, t<-j' Reti* + v)>-y] . ИПИ50A9)
6.631
2 V+ 2 - + 2
By 8 A5)
exp ( — -§- ) Mi i ( J— )
2 2
in
Pa2 Г (v + 1)
[Rea>0, Re(n4-v)>-l, p > 0].
ВТФ II 50 B2), ИПИ 30 A4), By 14 A3b)

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 731
2.
[Re a > 0, Re ц > | Re v | -1, p > О]. ИП II 106 D)
_ i
фх) dx = у a 5 ^p-i x
[Re(i>|Rev|-l]. ИП II 132B5)
oa
4 j *H-«e—Vv фх) dx = ^ cxp ( -
[Rea>0, P>0, Rev>-1]. В 431 D), ИП II 29 A0)
oo
5. \ xy-le-**Jv фх)dx = 2v-ip-»Y(v, -^Л
{Rea>0, P>0, Rev>0]. ИП II 30A1)
6. ]
[a>0, -l<Rev<4". P>o]. ИПН30A2)
[Rea>0, P>0, Rev>-2]. ИП II 29 (9)
1
8. \ ха*Ч аж
j x-Ч-^/. Bcu) dx -= 1 [ e- - e— J /r Ba) ]
0 r=-n
[n = 0, 1, ...]. ИП II 365(8) и
r=l—n
[n=l, 2, ...]• ИП II 367B0) и

732 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
? -
[ге=0, 1, ...; re+Refi>—1]? Бу 135E)
6.632 \х 2ехр[— (ж2 + аа — 2oa;cos<pJ][a;aH-a2— 2aa;cos<p] 2Kv(x)dz =
S
с)/1 i( — cos<p) Jfv(rt)
v__
n, |Rev|<y]. ИП II 368 C2)
6.633
1. \ xt+ie-^Jv фх) Jy (yx) dx --
4a J
m=0
-яг, -М-»г; v+1; -^r
[Rea>0, Re(|i + v + X)>-2, p > €, Y>0].
ВТФ II 49 B0) и, ИП II 51 B4) и
2.
[Rep>-1, |argQ|<^, a>0, p > 0]. Ky 146 A6) а, В 433 A)
3. ^
л
2 2
[Rea>0, Rev>—i]. ИП II 347 E9)
ОЭ
4. J ^-«»2/v (fix) /v (vr) ifc = s exp (-2^-) /v ( §•)
[Rea>0, Rev>-1]. ИПД63A)
5. \ xl--ie~a*liJv.{$x) Jv($x)dx:
о
[Re (v + X + |i) > 0r Re a > 0]. В 434, ВТФ II50 B)

6,S—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИВ ФУНКЦИИ
733
6.634
6.635
1.
про 2я Г / ( ф\ \ Т {п?\ I #< ^*v*A n*w -~— ял™ шС i я I
«tc L V V1*1/ ~Г" ¦* V\ /J "-V V*/ ""^ — ^*^ jTlv V'*/
[Re a > 0, -1< Re v < 1]. ИПII371 D9)
да а
6.636
4 x Jvфх) dx=; 2JV (l/2ap) K4 (K2aP) [Re a > 0, p > 0].
ИП II 30 A5)
CO Ct
\ x~4~ vNv фх) dx = 2NV {УЩ) Kv {УЩ) [Re a > 0, p > 0].
ИПII106 E)
\ x'le x Jv(yx)dx —
= 2/v
00
о
[Rea>0, ReP>0. Y > OJ- ИПНЗО(Ш)
[Rea>0, p>0, Rev>-y]. ИПП30A7)
6.637
1.
iv{y }
[Rea>0, Rep>0, y>0, Rev> —1]. ИПП31BО)
exp [ -
a]}
[Rea>0, Rep>0,
l. ЧП1И06F)

6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
L 1
3. J (х* + ps)~ * ехр [ - а (х2 + р2I] ?v (Y») dx
2 2
[Re а > 0, Re P > 0, Re (y + 0) > 0, | Re v | < 1]. ИГ] II132 B6)
6.64 Цилиндрические функции от более сложных ар1ументов,
показательная и степенная функции
6.641
6.642
оо
\(^x = Nv{Vo)Kv{Ya). МХд44
2
о
МХд44, ВТФ II 91 B6)
6.643
1.
y^)], (сравни 6.6311:). Бу 14A3а), МХд42а
оо 1
2.
о
~ rBv-fl)
j^Re ffA + v+y^) > ol . МХд45
оо i
3.
[Re (V + v+¦!)>()] , (сравни 6.631 3.). А1Хд47и

в.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
735
оо 1
4. \хП 2
B0 Ух) dx = пфе~" а-"-»-1
-1J. МО178м
5. ^ж
МХд44
6.
Г
6.644
(Ьж) dx =
6.645
[Rep>0, 6>0,
(P >/жг
ИШ158A7)
2. ^ (Ж2 - IJ
= /4РМаа + Р*Г1У~Х+!
+1
6.646
2
MO 179 и
ЭД89E2), МО 179

736 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2-
_Y [Hev>-1, a>P]. MO180
3-
6.647
2^0* —p*sin(v«1
P / V а+/аг—p2
l, o + P>0].
?** г (г- х+ц) г (т ~*• - О
[|аг8р|<л, Пеа>-1, Re A,+JRejj,J < у] .
_I _i
2. ^ (a + x) 4 2 e-* ch tKv [yx (a + x)] dx =
о
ИПИ 377 C7)
2
ИШ1377C6)
2Г (±
6.648
6.649
[Re(x>|ReX|—i] • ИПИ377C2)
1 '
рг + 2сф chxf]dx = affv+Q (a) XV_Q (P)
[Rea>0, Rep>0]. ИШ1 379 D5)
1. I ff^-v Bz sh x) **+»* dx
f
= 4sint(f_>t)jt|
[Re2>0, -l
* (z) - J» (,) JVV («)]
-(i)<l]. МО44

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
737
2. jj Jv+Il Bx sh t) еС-е>( ой = Zv (х) !„, {х)
. ВТФ 1197F8)
3. \ ^Vv-д Bх sh t) e-^+»v dt =
- cos f(У-
17v (x) K» (x)}
ВТФ 1197G3)
4.
6.65 Цилиндрические и показательная функции от более сложных
аргументов и степенная функция
6.651
3.1. . 1
1-ц, 1+ц
fe-
—-v
2 V
J /+
2.
23 2а2
ИПП68(8)
1-1». 1+1*
31, 1
47 Таблицы интегралов
ИП II 69 A5)

738 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
TI""/ A ахЛ Jv фх) dx
[Rea>0, P>0, Rev
4.
)
a|<4-n, Rev>-1, ReBl*+v)>-l,
5. J a;
ИГ1И68F)
Ш1II69A3)
[Rea>0,Refi> -y, ReB|i +
6. \ xe
/v (уж) dx
ИП1И46E3)
, Rea> |ImP|, Rev> —1]. ИПИ56B)
7.
8. J X* -
[Rea>0,p>0,Rev> -1]. ИПП67C)
ИПИ67A)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ739
9.
ИЩ167B>
[(|)] МХд45
6.653
= 2/v (a) /fv F) [0 < a < 6]:
= 2?v(a)/v(fc) [0<^<a]
[Re v > - 1]. В 482 B)«, ВТФ II53 C7), В 482 C) н
2 J exp [ -i-x -i
[|argz|<n, \&tgw\<n, \arg{z + w)\<±n] . B483(l), ВТФИ53C6>
6.654 С ^"ге"^" Kv (J?\ dx = 1/4ла~2^2у (p j/^) . MX 3&
6.655 f x (p2 + *fS exp ( _
f x
[ReP>0, Y>0, Rev> —|J . ИПН58A4>
6.656
,[2(ziJshf]<# = /v<
[Rev> —^-,Re(!-z)>0] . ВТФ1198G8>
2. f e-s+.)ch(x^[2{zlf sht]dt = ±Kv(z)Kv(I)sec(vn)
i 1
[ | Re v | < у, Re (z5 + ?)*> 0 ]'. ВТФ Ц 98 G9)
47*-

740 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.66 Цилиндрические, гиперболические и показательная функции
Цилиндрические и гиперболические функции
6.661
<f w cosec
2. \cb(ax)Kv(bx)dx =
[Reb>|Rea|, |Rev|<2]. ИП II133C2)
я cos I v arcsin ( -r- )
[Re6>|Rea|, |Rev|<l]. ИПП134C3)
6.662
ch (Pa;) Я„ (си;) /
У u-\-v
1
tt = i. {[(a* + P*+ Y2J - 4a2P2l5 + a* - f? -
OS
[Rea>|ReP|, y>0]. ИПП15B3)
2. \ вЪфх)К1(ах) Jniyx)dx =
= a'1 [ uIS (k) -K(k)E (B)
en2 и = 2v2 {[(a2 + P2 + Y2J — 4a2P2]2 — a2 + P2 + y2},
&» = !¦ {1 - (aa - P8 - y2) [(a* + P2 + у8J - 4o2P2]}
[Rea>|ReP|, у > 0]. ИПИ15B4)
6.663
1. [ Kvi-u. Bz ch 0 ch [(Ц q= v) t] dt = i- Кц (z) Я, (z)
[Rez>0]. В 484A), ВТФП54C9)
09
2. С iV^-v Bz ch 0 ch [(Ц - v) t] dt = ? [^ (г) Л (z) - iVM (Z) iVv (z)]
ВТФП96F4)

6.5— 6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 741
оо
3. ? /д+v Bг ch г) ch [([г - v) t] dt = — ~ [J^ (z) iVv (z) + /v B) Л^ B)]
[z > 0]. ВТФII97 F5)
OO
4. jj 7M+V Bz sh i) ch [(fx - v) t] dt = у [/v B) Яй (г) + 7^. (z) Kv (г)]
rRe(v + n)>-l, |Re(u.-v)|<-|. z>0] . ВТФII97G1)
00
[Re(v+n)> -1, |Re(n-v)|<|-, г>0] . ВТФ 1197G2)
6.664
OO
1. С /0 Bг sh t) sh Bvf) <Й = sm|[A'") [ifv (z)]s
[ I Re v |< -|-, z > 01 . НТФII 97 F9)
2. \ Ne Bг sh 0 ch Bvt) dt= - Wb KV'4 [Kv (z)f
0
[]Rev[<-|-, 2>0J . ВТФП97GО)
3. \ No Bг sh t) sh Bvt) dt =
j., z>0] . ВТФП97G5)
4. ^ iT0 Bz sh t) ch 2v« * = -y- {^v (z) + Л^^ (z)j [Re z > 0]. MO 44
0
5. \K2»(zsh2t)cth2vtdt =
= i-r (т+f1- v) r(y-(*- v) wv. ц(г«) ^v. „<-&)
[|argz|<T, |Re(i| + Rev<4] • MO 119
? 1
6. \ ch Bцл) X2v Ba ch a;) dx = у ^M+v (а) Жд_v (a) [Re a > 0].
ИПП378D2>

742 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.665
о
г (А+х+л г е-1_
[|ReX,|-Refi <-j] . ИПП378D3)
Цилиндрические, гиперболические и алгебраические
функции
6.666 { ж*"И sh (ax) cosech лх J
= А ^ (-1)"»^* sin (па) Kv
[|Reol<n, Rev>-1]. ИПН41C), В469A2)
6.667
a
1. \ y'1 ch (y sh t) Iiv (x) dx = -|- /v (ae') /v (ae"'),
l
ИПИ 365 A0)
a
2. ^ у"» ch (у sh «) JT2v (ж) dx =
о
у = (a2 - z2J [ | Re v |< -i] . ИПН 367 B5)
- cosec
Показательная, гиперболические и цилиндраческие
функции
6.668
оз i i _t
1. \ в— sh (jJx) /0 (ух) dx = (aP)S /TV;1 (r, - rxJ (r, + гх) 2,
^ = [Y2 + (P - «)?. /¦• = [Y2 + (P + aJ]2
[Re a > | Re P |, у > 0]. ИПН 12 E2)
со 1 1 _i
2. ^ e-«*c
[Rea>|Rep|, -у > 0]. ИПН 12E4)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
743
6.669
[ReP>|Reo|, Re (р.- Я.) > -у] . Бу86EЬ)и, ИПП363C4)
ОО
2. ^ [ cth ^у х) ] 2Х е-8 сй:гЛГгL (a sh x) rfx =
о
Г C—
wk p.(V«s4-P2 + P)Ж_^, „ (У^+F-P)
[ReP>|Rea|, ReX,<-|—|Ren|J . ИПИ 363C5)
, Re
Бу85Dа)
, С -4(o,+a.)«cbs Г ,, / I
4 \e L u
2v
[ Re Ci+il~v) > °- ReI* > U. «x > «a] • By 86 Ec)
6. s
/-=?»
?»•/
,„
[Re(_± v + -i + |i)>0]. Бу83Cа)и

744 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
в.
Бу84(ЗЬ)«
6.67—6.68 Цилиндрические и тригонометрические функции
6.671
sin ( v arcs in
4-)
= оо или О
№ = «1;
№>«].
—2].
В 444 D)
5° cos ( v arcsin — j
2 \ Jv(ax)cos$xdx = V . д a_g<- №<a];
. Vrt
E)
IP > a].
a> , _i
3 V iVv (or) sin (bx) dx = ctg ('^-^ (a2 - 62) 2 sin [ v arcsin (--
о
[0<b<a, |Rev|<2];
= | cosec (~^ Fs - a2) 2 {a-v cos (гя) [6 - (Ь2 - a2I f —a' [6 - F* - «2)VV}
[0<a<6, |Rev|<2]. ИШЮЗ(ЗЗ)
to ^^\
4. \ Nv (ax) cos Fж) dx = ~ cos I v arcsin f — J
0 ^-62J
= - sin
' — F2 — a2J] v cosec
[0<a<6, |Rev|<ll.
ИШ 47 B9)

6.5— В 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 745
оо
5. [ Kv {ax) sin {bx) dx =
_! * •
= \ яа-v cosec №-) (a2 + 62) 2 |[B>2 4- a2I4- Af - f(b2 4- я2I - 6]v}
[Rea > 0, b > 0, | Re v | < 2, v =*= 0J. ИШ 105 D8)
CO
6. \ Kv {ax) cos (bx) dx =
_i 11^
*= i (b2 + a2) S sec (^-) {a~v [6 + (b2 4- a2)Y 4- a' f 4- F* + a8J]7}
[Re a > 0, b > 0, | Re vj < 1J. ИШ 49 D0)
oo
7 С /0 {ax) sin (te) <& = 0 [0 < 6 < a];
^= [0<а<6]. ИШ99A)
8. [ Jo{ax)cos{bx)dx = - , 1
J у a2—fo2
oo
= 0 [0<a<b]. ИШ43A)
9. \ /ал+i {ax) sin (te) dx =
= 0 [0<a<b]. ИШ99B)
OO
10. \ J2n (<mc) cos (fee) «to =
= 0 [0<a<6]. ИШ43B)
00 2arcsin
11. XTV^oa;) sin (te)cte = -A!/ [0<6<a];
j я у в2—o^
= j- ^__ln[4-|/'^-l J [0<а<6]. ИШ 103C1)
12. ^ 7V0(aa;) cos Fa;)<te = 0 [0 < 6 < a];
= —L= [0<а<6Ь ИШ47B8)
у й2—a2

746 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
13. V KQ фх) sir
[<z>0, P>0]. В 425 A1) m. MO 48
oo
14 \ Ko (Rx) cos axdx^ .
[а и p — действительные числа; p > 0]. В 425 A0) и, МО 48
6.672
ОО
1. \ J4(ax)Jv (bx)sm(cx)dx =
= 0 [Rev> — 1, 0<c<6 — a, 0<a< 6];
1 „ /т-а+а*-^ m , _ l, /, —a < r < 64-a, 0 < a < 6]:
[Rev> —1, 6 + a<c, 0<a<*|
ИП1 102 B7)
as
2. ^ /v (a;) /_v (x) cos (o;z) air =
[0<6<2];
2
= 0 12<^J. ИШ46B1)
3. \ Kv (ax) Kv (bx) cos (ex) dx =
= -—= sec (v«) Pv_i [(a2
[0, c>0, |Rev|<-^-]. ИШ50E1)
4. ^
[Rea>|Re6j, c> 0, Re v > — -|1 . ИШ49D7)
OO
5. f sinBaa:)[/v(a;)]2dii; =
и
4 fO<a<l, Rev>-1];
a2-l) [a>l, Rev>-1]. ИПП343C0)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 747
оэ
6. [ cos Bax) [Jv (х)]2 dx =
= ^Qv_iA-2aS) [0<a<l, Rev>—i];
2
=-S.sin(vn)Qv_i {2a?-1) [a>l, Rev>-y] . ИПИ 344C2)
7.
= _ к [A~а'8J1 [a > 1]. ИПИ 348 F0)
CO
8. \ K0
И 0
[Rea>|Re6|, с > OJ. ИШ49D6)
9. ^ cos B«ra) /0 (a:) Na (z) cte =
= —ijT(a) [0<a<l];
= — -i-JST^'-i-') [a>l]. ИП II 348 F1)
10.
о
1(^Г^) [0<а<Ц;
i^ С /5) ta > 4- ип п 348 F2)
6.673
-iVv(aa:)sm (^-)]
[0<b<a, [Rev|< 2];
2gV/1___ {[6 + F2 - a4r + [b- Fs- «SJV)
a<6, |Rev|<2]. ИПИ04C9)
2. ^ [iVv (ож) cos Q~) + Jy (ax) sin (Jlf) ] cos Fж) cte=0
[0<a<b, |Rev|<lb ИП148C2)

748 в—7 опрвделгнные интегралы от специальных фуньцин
6.674
1. ^ sin (а — ж) /v (х) dx - aJv+i (а) - 2v 2 ( - 1)" -Л>+2п+2 («)
[Rev>-1]. ИП II334 A2)
2. \ cos (о — x) /v (ж) dx = aJy (a) — 2v 2 (— l)n Л+2П+1 (o)
0 n=o
[Re v > -1]. ИП II336 B3)
Л
3. ^ sin (a — x) /2„ (x) dx = aJM (a) +
+ (- 1)" In [cos a - Jo (a) - 2 J| ( - l)«/,m (a)l
[b = 0, 1, 2, ...j. ИП II334 A0)
a
r>
4. \ cos (a —
- (- 1)" 2n [sina - 2П2 (- 1Г/—1 («)]
т0
2
т=0
п = 0, 1, 2, ...]. ИПП335B1)
а
5. V sin (а — ж) /2т,+1 (a;) cte == а/2п+2 («) +
о
-H-l)"Bn+l)[sina-2
2 ()
т=0
[п = 0, 1, 2, ...]. ИП 11334A1)
6. ^ cos (а — ж) /г,,,, (*) <?г = aJ^л (а) +
(-l)«BiH-l)lcoea-/e(a)-2 § (-
1
т=1
[п = 0, 1, 2, ...J. ИП11336B2)
7. \sm(z-x)Ju(x)dx = zJ^(z). В 415 B)
8, Ik cos(z-x)J0{x)dx = zJ0(z). B4l5(l)

6.5—6.7 цилиндрические функции 749
6.675
DO
1. \ Jv (а Ух) sin (bx) dx =
462
а*
2 ^
[а>0, 6>0, Rev>-4]. ИП 1110B3)
аи
2. Г /v (а l/aT) cos Fж) dx =
2^2
[а>0, Ь>0, Rev>-2]. ИП153B2)м
оо
3. \ Уо(а У~х) sin Fж)«Ьс = -^-cos(-тг)
i
[а > 0, ft > 0]. ИП 1110 B2)
4 \ /0 (а l/ж") cos (bx) dx = -^sin Г-|^- J
|а>0, ft>0]. ИП 153B1)
6.676
1. \ Jv {а Ух) Jv (b У~х) sin (cx)dz =
о
1 j f ab \ /'а*-\-Ь* vn \
~~с v \lc~J COS\~~4c Т)
[а>0, 6>0, с>0, Rev>-2]. ИПИ11B9)М
2. \ Jv {а Ух) Jv{b Ух) cos (cx)dx =
[a>0, b>0, c>0, Rev> -1]. ИП154B7)
3. J/,(aV^)^,(aV^)Bin(te)*f-sZ
[Rea>0, ft>0]. ИП I 111 C1)

750 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4. \ /0 (У ах) Ко [Vox) cos (Ьх) dx ¦¦
[Rea>0,
'46
5. \ К, [УШ] No (У^) cos
о
6.
ИГП54B9)
^>0, b>0\. ИП154C0)
е * %) cos (bx) dx =
[Rea>0,
ИП154C1)
6.677
1. J /0 (b Ух*-a2)sin (ex)dx¦-
a
= o
cos (я yV— 6!
[0 < с < 6];
2. ^ Уо F V^^) cos (ex) dx =
— a Vb2— сг)
! (а/с'-Ь»)
ИП1113 D7)
[0 < с < б);
ИП 157 D8) а
3. \ /„ (a
cos
= ""^ p8 [0 < p < a, z > 0];
= 0 [O<a<0, z>0]. МО47и
sin (г У a3 -
[0 < p < a, 2 > 0];
5. U0[a
[0<a<p, z>0]. МО47й
cos (Yar)dx = jj^J— exp(-p У^^М^)
[Aea>0, Bep>0, Y>0]. ИП156D3)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 751
6. [ /„ {b y^^^)cos{cx)dx==siD{aX^~
0
[&>0]. MO 48 и, ИП157D7)
7. \ Уо F |/ x2 — a2) cos (еж) ete =
_ch.(a.V:^. [0<c<6, a>0];
=
= 0 [0 < 6 < c, a > 0]. ИП [ 57 D9)
CO «
n .
8.
-x2>0, а>0, \>0]. ИП159E9)
9. Г Н? (а l^^^) cos (ух)dx = 16хрG^Ш-
f— n<argl/P2-a?<0, а>0) v>0]. ИП158E8)
со
6.678 J [X0B>/r)+f-iV0B|^)]sin(to)fife = ^-SinD)
[6>0]. ИП 1111 C4)
6.679
CO
1 J /av [2bsh (i) J sin (bx) dx=-i [/„_,-„ (a) Kv+lb (a) -
о
- /v+ib (a) Kv-lb (a)] [a > 0, b > 0, Re v > — 1]. ИП 1115 E9)
2. г J2v Г 2a sh Г y^ ] cos (to) «te =
= /v_ib (a) ^Tv+ib (a) +1v+ib (a) Kv^ib (a)
[a>0, b>0, Rev>-~j . ИП159F4)
3. { J2v [2асЪ (~I cos(bx)dx =
о
= - f [Jy+гь (a) Nv^ib (a) + /v_ib (a) Nv+ib (а)]. ИПI 59 F3)
4. J /0 [ 2« sh (y) ] si
о
= |-8Ь(я6)[^ь(а)]2 [о>0, 6>0]. ИП1115 E8)

752 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
оо
5. (j /0 [ 2а sh (^-|Л ] cos (fee) dx =
-[/»(«)+ '-»(«)] *?»<«) [a>0, 6>0]. ИП159F2)
oo
6. j[/V0[2ashQQ]cos(te)ab =
= _ 1 ch (nb) [Ktb (a)]8 [a > 0, b > 0]. ИП159 F5)
7. § #„[ 2a sh(|-)] cos (&»;)<&;=
^ )]2} [Rea>0, ft>0]. ИП159F6)
6.681
1. \ cos Bjwc) J 2V Ba cos ж) dx = -у Д+ц (a) /v-n (a)
[Rev>-y]. ИП 11361B3)
2
2. \ cos Bцх) /V2v Bo co«
u (a) 7v_u (a) — cosec Bvji) /a-v (в) J-*-\ (a)]
|Rev| <-|]- И1111361B4)
ИП159F1)
3. \ cos BA2;) /2v Ba cos x)dx = ~ /v_n (a) /v+ц (a)
4.
5
6.
n
2
I
и
л
J
0
я
[
cos (vx) Kv Ba cos ж) <fc = -5-
/0 Bz cos x) cos 2пж «te = (—
/0 Bz sin ж) cos 2/гж dx = я/п
/0(«)
(z).
?v(a)
[Rev< 1].
В 484C)
MO 45
В 43C), MO 45
я
2
7 ^ cos Bnz) iV0 Ba sin x) dx = ^- /„ (a) iVn (a)
[« = 0, 1,2,...]. ИП II360A6)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 753
8. \ sin B(ia;) J&, Bа sin x)dx =
+(,(«) [Rev>-1]. ИПИ360A3)
9. \ cos Bjia:) /2v Ba sin x) dx =
(в) [Rev>—i]. ИШ1360A4)
10. \ 7V+M Bz cos a;) cos [(v—(i) a;] dx = -^- Jv (z) /ц (z)
[Re(v + (i)>-1]. MO 42
11. \ cos [((i — v) x] /ц+v Ba cos a;) dx = -^- /й (а) /v (а) ^
о
[Re((i + v)>-1]. В 484 B), ИШ1378C9)
12. \ cos [((i — v) x] Ky^y Ba cos x)dx =
о
= f cosec [(ji + v) я] [7_№ (a) /_v (a) - /м (a) /v (a)]
|<l]. ' И1Ш378D0)
2
13. \ Xv_m Be cos x) cos [(/я + v) x] dx =
}*"
)nT^H^(«) l|Re(v-«)|<il. B485D)
6.682
[v может быть нулем, натуральным числом, одной второй, натуральным
числом плюс одна вторая; х > 0]. МО 42 и
я
2
2. ?
[Rev>--!-] . МО42 а
' Таблицы интегралов

754 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.683
(z sinж) /„ (z cosx) tgv+i ж& = v"yM+^ *' /д (z)
[Rev>Re(i> — 1]. B407D)
2. \ /v (% sin ж) /ц (Za cos x) sin^1 x cos»1"^1 xdx =
-l]. B410(l)
J H
3. \ /v (z cos2 x) J^ (z sin2 x) sin ж cos xdx —
о
CO
" ~~ :) [Rev> —1,
(см. также 6.513 6.). В 414A)
л
2
v2v+l
4. \ J». (z sin 6) (sin eI"" (cos 9J
= l^'ZtV!*! [Rev>-1]. B407B)
2 H
5. \/д(гsine)(sineI"'1 d8= 7=-. B407C)
6. J /й (a sine) (sin G)"*1 (cos 9Jo+1 dB = 2°Г (q -f 1) й /(И-h+i («)
о
[Ree>-1, Re(i>-1]. В406A), ВТФН46E)
7. , \jv Bz sin 6) (sin 9)v (cos 6Jv dB =
0
-yJ. ВТФИ47A0)

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 755-
8. \ Л B sin в) (sin 9)v+1 (cos 6)~2v dQ = 2~v -^- Г (\ - v) sin %
j) у я \* . У
ВТФН68C9)
9. ^ J* (z sin*Q) J* (z cos2 9) (sin 6Jv+t (cos 6Jv+1 d6 =
'-л 2V+1 fRev>-4]. B409(l)
2
2
10 \ ./№ (z sin2 9) /v (z cos2 6) sin2>M-1 в
о
—i]. B417(l>
6.684
i.
-i-]. ИППЭ62B7)
я
О I fair, r^v _
^y az+ p» — ^ap cos ж;
rv(a) iVv(p)
-y]. ИПН362B8>
6.685 \ sec x cos BЯ,ж) Ад (a sec x) dx = ^- WK й (a) TF_x, p (a) [Re a > 0].
ИПП378D1)
B.686
1
[a>0, 6>0, Rev>-3]. ИПИ34A3)
48*

756 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
[а>0, Ь>0, Rev> —1].
3. С sin(ax*)Nv (bx) dx= ^=- sec (??) х
J 4 у a 4 z s
ИПН38C8)
5.
0
[a>0, 6>0, -3<Rev<3].
ИШИ07G)
[a>0, b>0, -
oo
6. ? cos (as*) /
7.
l]. ИШИ07(8)
, 6>0]. ИШИ9A6)
sin2 (?) [a>0, Ь>0]. ИПИ20B0)
=^-cos(-^) [a>0, 6 > 0]. ИПШ9A7)
6.687
6.688
1. \ /v (fiz si
(ae 2) Wi (ae 2)
V
[a>0,
ИПИ 372A)
z sin t) cos ((хж cos t) dt
[Rev> —1, Rez>0].
MO 46

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 757
2. \ (sin x)v+l cos (P cos x) Jv (a sin x)dx =
21/яа (as + p2) 2 4У ,i[(as + P2J] [Rev> —11. ИПП361A9)
3. f cos [(z - 0 cos 6] /2v [2Kz| sin Q]de = ~ Jv (z) /v (Q
[Re v > —|-] . ВТФ TI47 (8)
6.69—6.74 Цилиндрические, тригонометрические в степенная функции
_ j
6.691 \ х sin (te) Ao (ax) dx = -^- (а2 + б2) ~ 2
2
[Rea>0, b>0]. ИШ1О5D7)
6.692
1. \ xKv (ax) /v (bx) sin (ex) dx =
о \
S _ 1
V~ 2
[Rea>|Re6|, c> 0, Rev>-|-J , ИШ 106 E4)
2. \ xKv (ax) Kv (bx) sin \cx) dx =
о
2
Э, с > 0, | Re v |< -|] . ИШ 107 F1)
6.693
l. \ 7v(aa;)sinPa; —= —sinfv arcsin •?• J [P<aJ
.№>*]
В 443 B)
ее
2. \ /v(aa;)cospa: —
' MRev>0].
2
j
В 443 C)

7586—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
3. J Nv(ах) sin (fa) ^ = -i- tg (%f) sin [v arcsin (A
sec (^) {a-v cos (vn) [6 - (P - aaJ]v _
4. V /v («ж) sin (bx) -p-
± () {
} 0<a<6. |Rev|<l]. ИШ103C5)
—62 sin Г v arcsin Г — J I
6 cos I v arcsin ( — ) I
v(va_^ yJ [0<6<a, Rev>0];
v(va — \
dx
a<fc, Rev>0]. ИШ99F)
5. \ /v(aa:)cos(fer)-
I
лсоа I (v — 1)arcsin ( — ) I «cos (v+Darcsin ( — I I
. L 4 a J J _, L V. a J J
[0<b<a, Rev>l];
2v (v— 1) '
f '
2v(v—i)[b-\-y№—oaj 2v(v
[0 < a < 6, Re v > 1]. ИШ 44F)
CO
tf x 2
= arccosec a [a > 1]. УВII200
oo
7 С / f-r^qinfi-r-^- Я JR ~~^ 11-
/. \ J в ^J-J alii par — 2~ IP-> AJ>
0
= arcsin p [P2<1];
8- \ [Jt> (x) — cos our] —- = In 2a. НИ 66 A3)
I oo
9. 5 A^sin^-^) ~ =4 2 (
[Rev>0]. В 416 D)

6.5—в. 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 759
z со
10. J У, (*) cos (* - х) ±L = i- /v (Z) + ^ 2 ( - tf'iH-» (z)
о *=i
[Rev>0]. В 416 E)
6.694 5[^)]%4(-)[(
.]. ИП 1102 B2)
6.695
CO
. С sin ax , , . , sh aB „ ,o .
¦ \ RaigZ Л ("#) ^ = —«j^ * о (Рм)
[a>0, ReP>0, м>а]. МО46
2. J>J^./o(lw)(fe = ^L^/o(plt)
[a > 0f Re p > 0, — о < и < a]. MO 46
со
о \
[a>0, ReP>0, 0<Y<a]. ИПП 10C6)
4 I ^TFcos (аж) /в iyx) ** " ch (aP) *°
0
[a > 0, Re P > 0, a < у]. ИПП 11 D5)
6.696 [1-
= Arch (jj) [0 < P < a];
= 0 [0<a<p]. ИПП11D3)
6.697
4 ^ sin[q(a:+ft)] j tx\dx = 2\ СО5Р" /uj
[0<a<l]; В 463 B)
= jt/0(P) [l<a<oo]. В 463 A), ИПII345D2)
2. \y±gpiJtifidt=*±J,ikx) [x>0]. В 475 D)
В 475 E)

760 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ
- J ^jLsm[a
— СО
[0<а<6]. В 464 E), ИП II 345 D3) и
5. \ a'u|"Y [J , (х)]г dx = я [J j(P)]2
[2<a<oo, и = 0, 1, ...]. ИП II 346D5)
6 P* sinf«(*+P)l j ,y (X)^ =
= яУ i(P)/ i (P) [2<a<oo, /г = 0, 1, ...].
ИП II 346D6)
/ [a (z+а;)) Jv (a (?+a;)]
— :—dx =
[Re(p. + v)>0]. В 463C)
6.698
= l/"- 1— ^2a J Г0 < ' < 2ol-
= 0 [0<Za<6]. ИПI 102B6)
2. \ Ух J t (аж) / , [ax) cos (te) tir =
r— cos I 2v arccos f^- )\
, _, [0 < b < 2a];
= 0 [0 < 2a < 6]. ИП Т 46 B4)
4
[Reo > 0, 6 > 0, Rev < -|-] . ИП 1 106 E6)
CO
4. \ "к а; / , (-^-аа:)ЛГ. (-^-aa") cos (bz) dx =
d _-—-v V ^ у ——-i-v n- У
26 Ya -\-V
[Reo>0, 6>0, Rev<-|]. ИП 150D9)

в 5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 761
6.699
/2+b+vN
1. [ а* У» {ах) sin (bx) dx = 2i+k в-<2+*> b 2.. x
О
-v . 3
\ 2 ' 2 ' 2
[0<6<o, -Rev-l<
ИП 1100A1)
2. \^./v(a*)cos(te)<& = /vx+lN ' x
/v-x
4 2
2 ' 2
[0<6<a, -
(I)" »-(V+1+M Г A + X+v) cos [ f
X4 2 ' 2 ' v^x>
[ "<a<b, _Rev<l + Re^<-|] . ИП I 45 A3)
-
3. \ ж^-Яд (ax) sin (fe) dr =
—и. 3
x^^ 2 ¦ 2 'T'
[Re(_A,±n)<2, Rea>0, b>0]. ИП I 106 E0)
4. Г * ^ (ax) cos (te) «fa = 2^-4 a"* Г (^±^±1) Г
X' V 2^ ¦ 2 ' 2 '
{Re(-X±p.)<l, Rea>0, b>0]. ИП I 49 D2)

762 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
оо
5. \ xv sin (ax) Jv (bx) dx —
i
Vn2v bv (aZ — b*) 2
= 0 [0<o<6, -l<Hev<-|
ИП II 32 D)
ОО О
6 С хУ cos (ax) Jv (bx) dx =
b
<6<a, |Hev|<4];
[0<a<6, |Rev|<-i] ¦
ИП И 36 B9)
CO
7. J a:v+J sin (аж) /v (te) dr =
srn^) 6v г Г 3 N , _
]/ я 4 ^ /
[0<6<a, _i-
oo
[0<a<6, _A<Rev<-|-] . ИП II 32 C)
cos (aa:) /v (*^) dx =
и
з
= 0 [<<, <
ИП II 36 B8)
l
9.
ИПИ334(9)м
l
х? cos (аж) /v (ax) dx = ,l [cos aJv (a) -\- sin a/v+i («)]
a
ИПИ335B0)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
763
11.
12. [ xv-K».{ax)
[Rea>0, 6>0,
ИП 1105 D9)
~ Y~k
[Rea>0, U>0, Rep.>-~] . ИП I 49 D1)
13.
a:v iVv-i {ax) sin
= 0
[0<b<a, |Rev| < ^] ;
Г0<«<6( IRevK-i-1.
ИП 1104 C6)
14.
xv Nv {ax) cos (fee) dx =
= 0
Го < Ь < о, | Re v
7р"\8 I 0 < а < Л, |Rev|<i-].
6.711
1.
2.
3.
4.
ИП I 47 C0)
ИП I 103 B8)
[0<е<Ь-а, а>0, 6 > 0, -l<Rev<Ren]. ИП147B5)
СО
-*-2 /„ (ах) /?(йх) sin (ex) dx = 2V~'1-1 a^ ^
v-i* /д (аж) /v (Ьж) sin (ex) dx = 0
[0<c<6 —а, — l<Rev< 1+Ren].
t) Jv (bx) cos (еж) dx — 0
[0<a, Q<b, 0<c<b-a, 0< Rev < Rep. + 3]. ИПН03B9
*»-m-i /„ (ax) /0 (bx) cos (ex) dx = г»-»4-1 ft-'a" f^i)
[6>0, o>0, 0<c<6-a, 0<ReQ<Re(i + 2]. ИП147B6)

764 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5. С a:» -2v sin Bax) Jv (x) Nv (x) dx =
2r
Bv—l)
[o<Rev<|-, 0<o< l"|. ИП II 348 F3)
sin (ax)] sin
" 'D-)
\b > 0, - 1< Re v < -|] . ИП 1104 D0)
2. \ xx [Nv (ax) cos (ax) — Jv (ax) sin (ож)] cos Fa;) dz =
ИП148C5)
3. \ 3T'[Jv(ax)cos(ax) —Nv(ax)sin(ax)]^a(bx)dx = *
[o<o<2a, -1.
ИП 1 104D1)
CO
4. \ ж" [^v (a^c) sin (ax) + jVv (aa;) cos (ax)] cos (ba;) dc = 0
[0<6<2a, |Rev|<
ИИ 1 48 C3)
6.713
1. \' a;1 -*> sin Bax) {[/„ (a;)]2 - [Nv (a;)]2} dx =
яГB—v) ' V 2 V> 2 ZV' Z V- a У
[0<Rev<-|-) 0<o<lj;. ИПИ348F4)

6.6—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 765
2. [ ««-«v sin Bax) [/v(a:) /v-i (*) - Nv (a:) iVv_t (a:)] tte
[y<Rev<-|-, 0<o<l] . И1111 348F5)
3. jj a:2-2vsinBaa:H^v(a;)^v-i (x) + Nv(x)Jv-i (z)}dx =
. ИПИ349F6)
6.714
1 \ sin Baar) [a;v/v (a:)]2 dx
2/яГA— v)
) UT'2' У
[а>1, |Rev|<yJ . ИП II 343C1)
GO
2. ? cos Bax) [xvJv {x)f dx =
. ИПН344C3)

766 6—7. ОПРЕДВДЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.715
[|argp|<n, |Rev|<^] . ИП 11340(8)
2. ^ ^ cos (х + Р) Jv (ж) Лв = - -?- sec (vji) pviV_v (P)
^|argp|<n, |Rev|<4] • ИПН340(9)
6.716
a
1. \ xx sin (o — ж) Л (ж) </ж =
о
[Re (Я, + v) > - 1]. И11U 335 A6)
2. ^ a*eos(a--a;)/v(a0<fr= X+V^_1 +
1 4-2aW V (-l)"r(v-X+at-l)r(v4-X+l) ,„ . orf / ^^. te>
+ Za 2j r(v-X)r(v + X+2n+2) (v + Zw)J?+2n(a)
[Re (i, + v) > - 1]. ИПII336 B6)
6.717 \ !HL?i*±ei] jv+2n (ж) & = „p-Vv+2n (P)
—oo
[l<o< со, я = 0, 1, 2, ...; Rev>—|] . ИПИ345D4)
6.718
OO
\ ^p-2 sin (ax) /v (\x) dx = 3V-' sh (aP) Kv фу)
, ReP>0, -l<Rev<-|J . ИПНЗЗ(8)
2. J ?pj» cos (az) /v {yx) dx = pv ch
, ReP>0, _l<Rev<|-] . ИПП37C3)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 767
3. J ?^ sin (ах) J4 (ух) dx = \ ЪГе-ъи (Р?)
о
[0<-у<а, ReP>0, Rev>—i] • ИППЗЗ(9)
во
4 S *W cos (аа° /v (Ya:) ** в'?" P"""'6*7' <Py>
[0<Y<a, ReP>0, Rev>--|] . ИПII37C4)
6.719
(X
sin
, , (la) /lv_n_i(a)
n=0 2 2 2 2
[Rev>-2]. ИПII335 A7)
[Rev>-1]. ИПII336 B7)
6.721
со 3
1. \ Vx /t (a%a) sin (bx) dx = 2 V2
J 4
[6 > 0]. ИП1108 A)
со 3
2. [VxJ_i (a2**) cos (Ьа:) dx = 2~ V2 j _ L
0 4 4
[6>0].' ИП151A)
3. С YxN± (a*x*) sin (bx) dx =
з
^(^) ИП1108G)
4. [ Yx N i (aV) cos Fa:) da: =
_s
= - 2~5 VTba-m_ , (^.) . ИП152 G)

768 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
5. \yxKi (a?x*) sin (bx) dx =
4
[|argo|<-5-, i>0]. ИП1109A1)
6. \ У~х К i (a*x*) eos (bx) dx ¦¦
ИП152A0)
6.722
oo
1. \ YxKx (а*х*I1 (aV)9in(bx)dx=-
[Rev<-|, |arga|<-|., 6>0]. ИПИ09A3)
С»
2. f j/i/ i (aV)/ i (oV) cos(bx)dx
~ V +V
яг ai
, 2 N г ьа. 2
ИП152F)
oo
3. ? 1/5 Л (a2a;s)/i (aV) sin (bx) dx =
« в v в +v
3 mi Яг
я ° L v.iV. 8a» ) -v.f
яг jrt
8 8
t_ (рп^У\ [b > 0]. ИП1108 F)

6.5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 769
4. \y~xKi (а*х*I t (огж2) cos (
о 8 v 8 v
—
[Rev<-|, 6>0| . ИП152A2)
CO
6.723 ^ л^/v (*s) [sin (vn) /v (ж2) - cos (vji) Nv (x*)] /4v Doar) da; =
о
= l/v(a)/_v(a)
[a>0, Rev>-1]. ИП 11375B0)
6.724
1 ••*•
T; IB"
2. Jj a;^/2v ^±^ Cos (bx) dx
--|<ReX.<Rev, o>0, 6>o]. И111Ю9A5)
1, v-X;
т' +^' v+A-+T- те-
Rev-Y' a > 0> 6>°] • ИП 153A4)
6.725
[Rev>-3, a>0, 6>o]. ИП 1110B7)
2. f^?!<^(^)
V*
я* VJt
2
[Rev> —1, a>0, b>0]. ИП154B5)
49 Таблицы ит"ргрчлов

770 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
3. J Xs V,{aV~i)sin(te)dx = 2-
[-2<Rev<-|, «>0, 6>0] . ИПИ10B8)
CO f
4. J x2vyv(«V^)cos(
[-l<Rev<y, «>0, 6>0J . ИШ54B6>
6.726
vyv (a
sin (еж) йж =
? 13
= 0
[0<й<с, Rev>-i] . ИПШ1C7)
/v (я У^2 ~Ь Ьа) cos (еж) е?ж =
у Ъ ^ V—» '
ИШ 55 C7)
3. ^х (х* + ЪгучК±ч (а
sin (ex) dx
1 _?
2 v" 1
[Re а > 0, Re 6 > 0, с > 0]. ИШ 113 D5)
4.
v^v (a
2 v^ 4
iV 2
[Re«>0, Reb>0, c>0]. ИШ56D5)

в.Ь—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
771
5.
W*;
^ (ab)~v (Ь2 - caJ v~ * # i (a j/ba — с*
2
[0<с<Ь, а>0,
v
с, а>0, Rev>-4"] . ИШ56D1)
6.727
sin (саг)
[Re v > - 1, с > 0, a > 0]. ИШ 113 D8)
2 Г 5i^l
,1 yxt—a?
[0< 6<c, a>0, Rev>- 1]. ИШ 113D9)
Ь<с, л>0, Rev> -1]. ИШ58E4)
В 409 B)
6.728
со
1. \ x sin (ax2) Л (Ьх) dx
Ь*
[a>0,
6»
0, Rev>-4]. ИШ134A4)
49*

772 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
2. \ х cos (ax1) yv (bx) dx =
8a*
2^2
6»
[а > О, Ь > 0, Re v > - 2]. ИПН 38 C9)
3. \ J^^siniax^xdx^-^-cos^ [a>O,p>O]. MO47
sm^ [a > 0, p > 0].
MO 47
5.
[а>0, 6>0, _2<Rev<-^-|. ИПИ34<15)
6. ( 3!»+*cos(oa;*) Jv(Ьх)dx = ^.^ ,,sin f-^- — ^5-
о
[а>0,6>0, —!<Rev<iJ . ИПН38D0)
6.729
ев
1. [х
[a>0, b>0, c>0, Rev>-2]. ИШГ51B6)
[a > 0, b > 0, с > 0, Re v > - 1]. ИПН 51 B7)
6.731
1. \ xsm(ax*)Jv(bzs)J2VBcx)dx*
aca
2 /^=Г
—1];
[0<b<a, Rev>^l].
ИПИ356D1)и

6.5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 77$
2. ? х cos (аж2) У v (fez2) У 2v Bеж) йж =
ИЛИ 356 D2) и
оо
6.732 ^ ж8 cos (J?-) Л\ (ж) J?! (ж) dx = - й3Я0 (а) [а > 0]. ИПП 371 E2)
6.733
1. С sin f -^Л [sin жУ„ (ж) -f- cos xN0 (ж)] -^- = nJ0 (\Ta)
[я>0]. ИПП 346 E1)
oo
[a>0]. ИПП347E2)
J OO
3. [ x sin ( ^-") К, (ж) йж=-^- УДУ a) Я,(У^)
[a>0]. ИПП 368 C4)
[a > 0]. ИПП 369 C5)
OO
6.734 \ cos (й Уж") /Tv (Ьж) -^ =
6.735
1
[Re6>0, |Rev|<y] . ИПП 132B7)
1 s
1. \ жг sin Bо У?) / t (ж) ete = Уя й2 /3 (а2) [л > 0].. ИПП 341 A0)
j -I 4
001 1 3
2 \ж*С08BаУ^)У1(ж)^ж = уйа2У 3(«s) [e>0]. ИПП 341 A2)
oJ * ~ *"
2* 1 2
3. \ ж*8шBаУ^)У3(ж)о(ж = Уяй2У t (д2) [о>0]. ИПП 341 (И)
3
i _
4. \ ж* cos Bо Уж) У зИ^ж^Уяагу^а8) ta>0]. ИПП341 A3)
~ 4 4

774 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
6.736
1. \ж 2 sin ж cos Dа у х ) /0 (ж) dx =
« - 2~ * УН [ cos (аа - -5-) /„ (аг) - sin (а2 - ? ) N, (а
La > 0]. ИЛИ 341 A8)
2. \ ж 2 cos ж cos Dа У~х) •/„ (ж) а"ж =
с}
о
= _2~
La > 0J. И1Ш 342 B2)
3. \ х % sin хsin Dаy~x)J0(x)dx =
% cos('aa + ^>)y0(a2) [a > 0]. ИПН 341 A6)
Q
1
4. \ж 2 cos ж sin Da "l/^)/,, (x)dx =
i
= у у cos Г а2 - j- Л /„ (а2) [а > 0]. ИПН 342 B0)
5. \ х 2"зтжсозDа"|/гж)ЛГо(ж)а!ж =
2 »VS [3sin (aa-x) Л И - cos («2- f )^o (*a
La>0]. ШШ347E5)
6. \ ж 5 cos ж cos Da УаГ) ЛГ„ (ж) а!ж =
= - 2" 2 ]^ [ 3 cos (a« - f) /„ (a2) + sin (a« - -|
La > 0\. ИПП 347 E6)
6.737
7 (a Yx2 + b*) r i ч J
[a > 0, Reb > 0, c> 0, a > c, Re v > - 1]. ИПИ 35A9)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
775
2-
- 2 • w - - 2
[й>0, Reb>0, c>0, a>c, Rev>-1]. ИПП39D4)
a
4 S
0
5.
cos A/Д
[c>0, Rev>-1].
2v+lrCv+4)
[Rev>-1].
ИПП 39 D7)
ИПП 365 (9)
sin(«
= 0
[0<с<а, Reb>0,
<c, Re6>0,
ИПИ35BО)
2
[0<c<a, Re6>0, _
^
_,
«<c, Re6>0,
6.738
-i<IUv<4-].
ИШ139 D5)
1. \
I
sin (b Уо? - ж8) /v (ж
1 3
[Re v > — 1]. ИПП 335 A9)

776 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
2. \ х*+1 cos (а Ух* + Ъ2) Jv (ex) dx =
i
,„j_? _i _3
4- ab 2cv (tta _ <?) 2 v 4 [cos
V-(- g
— sin (rev) iV з (b У а2— с2)]
6.739 J яГ *
Г0<с<а, Rei>0, —l<Rev<—y] ;
0, -l<Rev<--i] .
ИП II 39 [43]
[Rev>—!-]. ВТФП47G)
6.741
1. f ws (purree».) /v(ffie)<fa=Hy
[Re ([i + v) > -1, a >0]. ИПII41 E4)
2
3-
j;^г /|()v+i
0 ' 2
[R(,v>-1, a>0]. ИПII40E3)
f cosff" — l)arccos^] r . , , /^T . / a
[Re v > 0, a > 0]. ИПII40 E2) м
6.75 Цилиндрические, тригонометрические, показательная
и степенная функции
6.751 '
[Rea>0, 6>O]. ИП 1105 D4)
i- - ' — ¦» *
[Rea>0, Ь>0]. ИП148C8)

6 5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 777
о Г -bx / \ т , sj
3. \ е bx cos (ах) Jo (ex) dx =
[с > 0]. ИП III 1 D6)
6.752
СО
1. [ e-axJa (bx) sin (еж) — = arcsin ( r
2g
[Rea>|Im6|, c> 0]. ИП1101 A7)
2. J e"~yl (ex) sin {bx) ^ = A A _ r),
b
[ba = j^p--^-. c>o]. ИПII19 A5)
6.753
CO
sin (xa sin ф) ._,„ „
0
0
дд gin ф) fa = v-l Л tg .|
[Rev>-1, a>0, 0 < ф, ^<-у] • ИП II33 A0)
е_жаcos „ „^ (jM sin ф) д. _ v-i ^ tgi^ cos (v^)
[Rev>0, а>0, 0<ф, i|)<-у] . ИП II 38 C5)
CO
3. \ xv+ie-oa:cos фсоз if sin (аЖ Sin Tp) Jv (dX sin ф) G^ —
b
/ з *
\2
\-
oo
4. \ xv+1e-?Kl:COS(''CO8*cos(aa;si
[a>0. 0<ф, ilX-^r, Rev>--|]. ИП II 34 A1)
-i—=Д^- a-v~2 (sin ф)" (coss я|) + sin2a|) cos2 ф)""" 5 ros Г Г v + у Л р 1 ,
Г I
la>0, 0<ф, ф< -5-, Re v > — 1J .
ИП II 38 C6)

778 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
оо
о
= 2V ——- a~v~l (sin ф)у (cos8 \|з + sin8 \|з cos8 ф) V ^ sin Г ( v -f -у
tg -ё- = tg \|3 COS ф
[а>0, 0<ф, ЧХ-j-, Rev>-l]. ИПП34A2)
оо
6 \ a;ve-a*:cos ф cos ip cos ^ 8|п ^ J^ ^ gJn ф) ^ —
О
= 2V —-±-у=Л-<- a~v~' (sin qif (cos2 ib -f- sin2 ib cos2 ф)~У~ 2 cos Г(^ v + 4-^) P1 ,
у n L\. <!/ J
[a>0, 0<ф, ^<f-, Rev>-~] . ИШ138C7)
6.754
'"'" [Ь>0]. ИП 1108(9)
- N, D) cos ("S" + t
6.755
oo 3
; \ (Y~)B2a)v~ie-aSWl 3 t t Ba2)
2~2V>2~2V
[a>0, Rev>0]. ИПII366 A4)
g
2. С a;~v~ 2g-* cos Da |/^) /v (ж) йж = 22* ay-4-<^W 3 t Ba8)
j "VV
[a > 0, Rev > —у] . ИПII366 A6)

6 5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 779
GO
3 С х-*<? sin Dй j/ж) Kv (x) dx =
о
2 2'2 2
4—4
[а>0, 0<Rev<|-]. ИПП369C8)
vt f)
= 22 na^-'—Vi ~e^W3 t Ba«)
4) r'"s
—2v>)
Vi ~e^
[й>0, --|<Rev<^]. ИПИ369D2)
«> 3
5 \ / ^
2» -2(c+4)
[ReQ>|Rev|]. ИПII369 C9)
6 ^ a^-'e'1 cos Da l/F) iTv (ж) dx
о
[Ree>|Rev|]. ИП II370 D3)
7 С х~ Ч'х cos Dа \Гх) Io (x) dx = ¦ е~а'К0 (а2) [а > 0].
.1 1/2я
о г
ИП И 366 A5)
? _1 _ /7 1
8. V х г(Г cosDа"|/ж)Ко(х)dx = ]/ -^ е* Ко(д2) [а > 0].
о
' ИП II369 D0)
9 \х~ *е-х cos Dа j/ж) Ко (x)dx = -^ rte-a%ro (а*). ИП II 369 D1)
i V1

78a, 6-7
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.756
oo i
2e-a Yx sjn (a
[а>0, 6>0, Rev>-1]. ИПII34A7)
2. ? aT Ч -« ^ cos (al/ж) /v Fж)<й; =
[a>0, 6>0, Rev>--i]. ИШ139D2)
3. \x 2e-«>^sm(al/7)/eFx)<&; =
i(^)(l) [ ] ИП II11 D0)
4. (l)o(H ^_
Й
-5-, 6>0]. ИПН12D9)
6.757
sin ]a A-е )\Jv(ae )ux-Z2j r(v_6+1)r(v+fc+2n-r2^ X
n=0
-hevJ. ИП 1193 B6)
2. \ e"bI cos [a A — e"*)] Jv (ae~x) dx ¦¦
о
6.758
[Re6>-RevJ. И111193B7)
n
2
я (гаг)"»1 B6z)"v /p (az) Л Fz);
> -1]. ВТФ И 48 A2)

6.5—6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 781
6.76 Цилиндрические, тригонометрические и гиперболические функции
со
6.761 [ ch х cos Ba sh x) Jv (бе1)/v (Ыгх) dx =
_ [0<а<6, Rev>-1];
= 0 [0<6<а, Rev>-1].
ИП II359 A0)
СО
6.762 \ chх sin Bа sh х) [Jv (бе*) Nv (berx) — Nv (be*) /v (be"*)] dx =
о
= 0 [0<a<b, |Rev|<-|-];
ИП И 360A2)
со
6.763 ? ch x cos Ba sh ж) Nv (be*) Nv (be'*) dx =»
= _AF«_a2) 2./2v[2F2—a2J] [0<a<6, |Rev|<l];
_l i
= -|- cos (vn) (a2 - fc2) 2 #2v [2 (a2 - б2J]
[0<6<a, |Rev|< 1]. ИПII360A1)
6.77 Цилиндрические функции, логарифм в арктангенс
_t
S°° М-^ ^ ^ ( ~*9 ^Х )
0
[a>0, -Rev--|<Reji<0] . ИПН
6.772
СО
1. \luxJ0(ax)dx= ~-[In Bа) + С]. В430D) и, ИПII10B7)
СО
2. ^ lnz/^azje^ - т[1п(т3 + с'] • ИП II19 A1)
оо
3. \ In (а* + х2) Jx (Ьх) dx = -| [^0 (afc) + la о]. ИП II19 A2)

782_^ 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
со
4. [ /t (tx) In yi + t* dt — -^ ker x. MO 46
о
6.774 \ la r ^ =^— ^Q (fee)
[a>0, 6>0]. ИПII10 B8)
dx
[Rea>0, 6>0]. ИПII10 B9)
со
= -p- C1 - e'a") [Rea>0, 6>0]. ИП II12 E5)
CO
n *• м. 9 "Ч О
6.776
о
[Rea>0, 6>0]. ИП II10 C0)
CO
6.777 \ Jx (tx) arctg t* dt = — — Ы x. MO 46
6.78 Цилиндрические функции и Другие специальные функции
со
6.781 ^ si (ах) /„ (Ъх) ete= -i-arcsin (^Л [0 < 6 < а];
о
= 0 [0<а<6].
ИП II13 F)
6.782
СО
r = ^pi. НИ 60D)
2. \ si(х) Ja{2 У zx)dx= ~-~^ НИ60F)
о
оо
3. \ ci (х) Jo B Yzx) dx = cos^~1 , НИ 60 E)
4. [ Ei (- a) A B T/il) ^ = Ei (-г)-с-1п . ^ НИ 60 G)
1 у ж у г

6 5—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 783
5.
6.
7
\ si (x) Jt [2 ]
0
^ci(z)J1{2}
0
со
/ ^ dx ci (z) — О — ln z
' ~X)V* Yl
НИ 60 (9)
НИ 60 (8)
НИ 63 E)
о
6.783
a; si (a?) /0 (bx) dx = - -^ sin (j^)
[a>0]. ИПII13 G) и
CO
2. $ |L[(^
$ )
о
[a>0]. ИПII13 (8) и
3. J ci (a¦*¦) /0 (te) cfe = I [ ci (^) + ln (?) + 2C
[a>0]. ИПII13 (9) и
oo
[a > 0J. ИП II 20 B5) и
6.784
1. f a;v+* [ 1 — Ф (ax)] Jv (bx) dx =
о
3
[|arga|<-|-, 6>0, Rev>-l]. ИП II 92 B2)
2 \xv[l~-<I>(ax)]Jv(bx)dx =
а\~\
4-
)
[|aigo|<-J-, Rev>--J. Ь > о] . ИП II92 B3)

784 6—7 0ПРВД1 ЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.785
5
. 4- sec (vn) {[/v (a)]2 + [Nv (a)f)
[Rea>0, |Rev|<y]. ИПИ370D6)
6.786
Г п — целое, 6 > 0. Re (v — ц + n) > — у,
ИПИ108B)
v+2r.-i
6.787 J
о
[я<6<оо, -l<Rev<2a-2/i-^-] . ИП II 92 B1)
6.79 Интегрирование цилиндрических функции по индексу
6.791
oa
1- \ K^lv{a)K^lt(b) <Ь; = яКгу_и(а+Ь)
—СО
[|arga| + |argbt<«l. ИПИ382B1)
оо
2. ^ Jv-.x(a)Ju.+x(a)dz = Jll+4Ba) [Re (ц + v) > 1]. ИП II 379A;
3
—CO
Г (к+М-1) Г ft+ji+1) Г ((i+v + 1) Г (v + jc+1) л
• 1, х + К + 1, X, + n+l,n + v-t-l, v+x+1; -4aa)
!>-1]. ИП II 379C)

6 S—6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 783
6.792
СО
1. \ ^ItC-*^tx*tn (^0 "-%x*iz \Р) ^ ==с t6—IB-^i (у—z) (л— 6)
—ОО
[а > b > 0]. ИП II382 B2)
ОО
2
— ОО
«]. ИПИ382B3)
*-v> *K^%V (a) jrew F) dx = «-to-»*,,^ (c)
[0 < y < я, a > 0, 6 > 0, с > 0, a, p, у — углы треугольника
ей сторонами а, Ь, с]. ИП II 382 B4), ВТФП55D4)и
4.
=К ae^ + te 2е, k=V ае 2с + 6elc
[а, 6>0, Imc=0]. ИП II380 A1)
(т)
2 cos
1 , 1
[6 > 0, а > 0,
= 0 [а>0, 6>0, |с|>я
ВТФИ54D1), ИП II379 B)
6.793
x=Vак^ьЛ\ k~VaAe ¦ •='
[а, Ь>0, Imc = 0]. ИП II 386^1)
5в ТаЯлипы иптет^ялов

786 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
оо
2. \
[a, 6>0,
ИП II 380 A0)
6.794
2.
3.
CO
OO
\ ch (fix) K^x+V
0
= -y-KQ (|/ a2 -4- bs — 2ab cos ф).
ix(o)«fo; = -|- [a>0].
(a)^T_ix+v (a) dx == -|- ^jv Г 2а cos Г-|-
ВТФ II 55 D2)
ИП П 382 A9)
)]
[2|arga|4-|ReQt<«]. ИПН383B8)
ОО
4. \ sech('-|-2;^/i:c(a)cti;=2sino [a > 0]. ИП II380 F)
— ОО
ОО
5. \ cosech f-?-зЛ/i3e (а) <2ж = — 2icosa [а > 0]. ИП II 380 G)
6.
7. fzsh (-^
= -JV0Ba)-E0Ba)
[a>OJ. ИП II 380 A2)
[а>0]. ИП II382 B0)
8.
9. \ х sh (яж) Z2iI (a
n, |arga|<n]. ИПН175D)
. 2VP
-P~J) [P>O.|arga|<f]. ИПИ 175E)

6.&— 6 7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 787
= у А, (Р) *»<«*) [0<Р<а; и-О. 1. 2. ..];
= у/„(а)А-п(Р) [0<а<Р; и = О, 1, <S, ...j. ИП II 176 (8)
11.
ИП II176 (9)
12 Cash (?)
2
Г (а
L
2 l/ар
| arg a | + | arg P |< я, Y > 0]. И11 11 176 A0)
13 \_u+xt
= 0 [0 < у < 2a];
z^yv2_4a2 [0<2a<V]. ИП II176 A1)
6.795
jj cos
о
[|1тй|<-|, a>0j . ВТФП55D6), ИП II175 B)
f i i
2. jj Уя (аж) J.x(aa;) cos (яж) da: =-^A -a2)" 2 l|a|<lj. ИП 11380D)
о
OO
ж sin (ож) Л!1;1. (bx) dx = -^- sh a exp ( — й ch a)
о
[|Ima|<|-, i>0j. ИП II 175A)
, t' sin \{vA-ix) л| тг
'• J —«ни» Lxv+
=n2/ft(a)Jfirn+2vF) [0<a<6; и = 0, 1, ...];
= n2A'n+;,v(a)/n(&) [0< 6<a; я = 0, 1, ...]. ИП II 382 B5)
50*

788 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
з
y f, 6>0]. ИПН175F)
6.796
во —ю
1. J f1Eg^)/ix(a)^=-'eXp(Jach6)[a>0, Ь>0]. ИПИ380(8)
—СО
со
2. J cos (bx) ch (-|- лж) Kix (a) dx = - cos (a sh 6). ВТФII55 D7)
[v
CO
3. J sin (te) sh (i- лж^) ^is (a) da; = у siu (a sh b). ВТФ II55 D8)
4. [ cos{bx)ch{nx)[Kix(a)fdx= -^No [2ash (|-
[a>0, 6>0]. ИПЦ383B7)
5. J siu (fe) sh (лх) [К№ {a)f dx = J /0 [ 2a sh (|) ]
[a>0, 6>0]. ' ИПII 382 B6)
6.797
i. \ xe™ sh (га;) Г (v + га;) Г (v - гж) ЯЦ> (a) H(g (b)dx =
i-+ v) (a6)v(a + b)-v^Tv (a + fe)
[o>0, 6>0, Rev>0]. ИП II381 A4)
(itz) ch (лж) Г (v + ix) Г (v - й) Яй' (о) Н&> (b) dm =
0<a<6, 0<Rev<-i].
ИПII381 A5)
3.
)
[a>0, 6>0, Rev>0]. ИПII381 A6)

6 8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ 789
4. \ xsh(nx)T(k+ ix)T(k - ix)Klx(a)Klx(b)dx =
[| arg a |< n. Re X > 0, 6 > 0]. ИЯ II176 A2)
5 \ zsh Bга) Г (A. + ix) Г (A. - ta;) ^ (a) K^ (b) dx =
[а>0, 0<ReA,<~, A>0]. ИПН176A3)
. 6>o] . ИШН77A4)
F) , 1 ,/ nab
[|arga|<y,6>0], (ем. также 7.335). ИП II177 A5)
6.8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ
6.81 Функции Струве
6.811
1 \Bv(bx)dx= f^- [-2<Rev<0, 6 > 0]. ИПII 158A)
о
[a>0, 6>0, Rev>-|-] . ИПН170C7)
3 \ Н,_, (^) Hv (fa) ^ = - -^-_ 72v_, Bа /6)
[а>0, 6>0, Rev>--i]. ИПИ170C8)

790 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.812
4- E^5? = ^-[АИ)-Ь1(«6)] [Re«>0, 6>0]. ИПII158 F)
, 4lfJ / 3-v 3+v. «4»\
[Rea>Q, ь > 0, |Revj<2J. ИНН 159G)
6.813
Га>0, — 1 — Rev<Re* <ттГ-|-, t— Re
В 429 B), ИП 1335 E2)
2. [x-^-mv(x)dx^^ll+1) [Rev>-|]. ИПИ383B)
3.
[Re(n + v)>0]. В 435 B), ИП II384 (8)
l
4. \xv+mv(ax)dx = ±-Hv+i(a) [a > 0, Rev >--|] • ИП II158 B)и
о
5. fX
ИЦ II 158C) и
6.814
з
•
r»-Hv (bx) , aX+2n 2
. _ 1 , v , _ 1 v ._ 3 v _3
я— 4 T 2 > л —""" 2 ' Т+"Т' ^^Т^
[Rea>0, b>0. Re (Я. + v) > - 2, Re(A, + 2n)<^-, Re(X, + 2n+v)< 2] .
ИП И 159 A0)

6.8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ
791
,(te)
[Re«>0? 6>0, Rev>--J, Re(m-v)<~, ReBn+v)<|-] .
ИП II159 (8)
6.815
• l
J
о
l
J *2 v A _ ar)"-1^ (a Ylo) dx = 2(ia~|ir (ц) H№+v (a)
о
-|-, Ren>OJ. ИПН199(88)«
^X
p /, ,.3 3 .
6.821
0, Ren>0]. ИПЦ199(89)«
6.82 Функции Струве, показательная и степенная функции
[Rea>|Imp|]. И1П206F)
С е-°"Н_ _ 1 фх) dx=(- 1)ир"+ г (a
[Rea>|Rep|]. ИП 1208B6)
^ [Rea>|ImP|]. ИП1205A)
arcsin I —
= -|-—- -A**. [Rea>jReP|]. ИП 1207A8)
6.822
(а sbx)dx =
(
[Rca >0. -2<Rev<0]. ИП1Т385A1)

792 6—7. ОПРКДЕЛКПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.823
со
1. \ я^е~ахВ.у (fix) dx = - (_ Т ^ 3 л X
3,3 6*
[Re а > 0, 6 > 0, Re (л.+\) > — 2]. ИИ II161 A9)
С
2. \ a;ve-«*Lv фх) dx =» —
2V+1
б
[Rea>|ReP|, Rev>-1] .- ИП1209C5)и
6.824
1. V ff 1^B1^0 Л =^Т««Ф^;. МХд51
2. ^ ^е-«'Ь_2? (^г) <Й =
о
МХд 51
6.825
о
_ /. v+s4-l 3 3
X^S^X, 2 , -у-, V+ 2 , j-j-^
[Res>-Rev-1, |arga|<-^-]. ИШ 335 E1) м, ИП II 162B0)
6.83 Функции Струве и трш^онометрмческме фуикции
6.831 \ от* sin {ах) Н„ (Ъх) dx =
= 0 [0<Ь<й, R&v>—|-];
<6-v_i__f_L_^ J^0<a<6, Rev>—~-J .
ИП II 162 B1)

6.8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ 793
6.832 \ Y^sin {ах) Н, FV) dx = - 2~г у„
—
О
L
4
[а>0]. ИП 1109A4)
6.84—6.85 Функции Струве и цилиндрические функции
оо
6.841 J Hv_i {ax) Nv {bx) dx =
о
<6<a, |Rev|<-|-J;
= 0 [0<а<(, |Rev|<-i-]. ИП II 114C6)
6.842 ] [Но (ах) - No {ax)] Ja (to) dx = 7Ц±Щ К [ J^fL ]
[а>0, 6>0]. ИП II 15 B2)
6.843
[а>0, 6>0, -l<Rev<-|-J. ИП II164 A0)
2
о
[Rea>0, 6>^0, flev>-i]. ИП II168 B7)
6.844 J [ cos (-^^я) ^ (в V^) - sin Г1^ л) ^ (a Vi) ]
[|aiga|<-j-, b>0, Rev> jRen| -2] . ИП II169 C5)
6.845
*, 6>0, |Rev|<-^-]. ИПП73G)

794 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
[a>0,6>0, —|-<Rev<OJ. ИП II170 C9)
6.846 \ ^
[a>0, b>0, |Rev| <-!-]• ИПII169 C0)
6.847 $ [ cos ^ Jv (ax) + sin ^ Hv (ax) ] -J^- = ^[/„ (ak) - U (aft)]
fa>0, ReA;>0, --l_<Rev<2]. ИПН384E)м, В467(8)
6.848
1. 5 ж [/v (a«) - L_v (a*)] Jv (bx) dx = A (-f )V~' cos (v*) ^-2
[Rea>0, b>0, -l<Rev<—j-j . ИП II 74A2)
CO
2. С ж [H_v (ax) - 7V_V (aa;)] 7V (bx) dx=2 cosu(VJt) ftv-i ^_^
[ I arg a | < л, i-<Rev, 6>o]. ИПИ73E)
6.849
Kv(ax)Hv(bx)dx = ab+-~2
[Rea>0, b>0, Rev>--|-]. ИПII 164A2)
CO
2. J
[~Rea>0, 6>O, | Re jj, | < -|~ 1 • И11II 166A8)
6.851
1. \x{[Jt (ax)]*-[Ni (ax)]3} Hv(bx)dx =
Ь 2V f
_3
3
= 0 [0<6<2a, |-<Rev<0];
^ -4<Rev<0]. ИП II164G)

Й.8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ 795
оо
2. { xv+l {[Jx {ax)f — [IV у {ax)f} Hv (bx) dx =
= 0 ¦ [0<6<2a, —|-<Rev<0];
2 2vt-v-l _V_I г л
° (fea4a2) 2 0<2a<6 |
0<2a<6, —|_<Rev<0 .
ИПII163 F)
6.852
l. \ Ж' -^-v/, (Ж) н^ (x) dx = а7~1)Г*~\—r^
[Rev>-~, Re(n + v)>lj. ИПП383D)
CO
2 С а^-'И-i/Vg. (аж) Hv
о
о
= 0 [0<6<а, Re(v-n)>0, —~
0<a<6, Re(v-n)>0, --|- < Ren < -i- ] . ИП II163 C)
3 С 3M+v+iKvl{
о
2n+v+iftv+l , З^Л . ,3 3
[Rea>0, 6>0, Rev>--|-, Re((i-t-v)>--|-J . ИП II165 A3)
6.853
1 [ xl-v- [sin (ця) Ju,+x (ax) + cos (ця) Л^ц+v (аж)] Hv (te) йж = О
о
2— a»)"-'
ИП II 163 D)

796 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУННЦИЙ
2.
— L_,i (ax)] Jv (bx) dx =
cos (ftJt) h-*--?
' 2*^2
1+M- 3 , X—v
[Rea>0, 6>0,
—|-, -Rev—\
ИП И 76 B1)
CD ,
3. ? /"^ [Нд (ож) — ЛГц (аж)] /v (fca;) йк =
о
-2 cos (ця) b-x~2Gz3 I Ь*_
~Т+ 2
1—и а , х—v
•4^2
[б>0. |arga|<n,
4.
) —L i (as)] Л
V~2
ИПИ73F)
0. |Rev|<J-].
ИПII 74 A1)
5.
_ L^ (ax)] /v (fa) <te =
v + 4-. Rea>0, 6>0J
ИП 1174A3)
6. \ жй-v+i [/^ (ож) - L_^ (ax)] Jv Fж) Ac.
t 5
[Rea>0, flev>—1~, Ren>-1, 6>ol.
ИПII75 A8)

6,8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ
797
6.854
1. \ afli {ах*) Kv (bx) dx
[а>0, Re6>0, Rev>-2]. ИПII 150G5)
2.
6.855
[а>0, 6>0, -2<Rev<~]. ИПП73C)
[Rea>0. 6>0,
) K-
ИПИ76B2)
0, |Rev|<-iJ. ИПН74(8)
_
-22я
6.856
[|arga|<n, 6>0,
(« Vi) ^Tv {a Vic) Hv (&c)
ИПИ74(9)
-gr «4» ( —J)
Rev>-y] . ИПН 169C2)

798 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
6.857
lv,
[|arga|<-|n, b>0, --|<Rev<0]. ИИ II167 B4)
2. \x°-*exV{ -^aW
о
2v+2
* V 2
v+a 3 , 3
ИНН 167B3)
6.86 Функции Ломмеля
6.861
J Г [i-{l_
1 (v-X) + i ] Г [l_^.(
[-Re(i<ReX+l<|-]. ИПII385 A7)
6.862
Ц+У + 3 j „ л
[Re Я > -1, Re a > 0]. ИПII199 (92)

6.8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ 799
2.
(а \Гп
n, 0<2Ren<l-Re(A. + v)]. ИПИ211G1)
6.863 jy(VID)^(f+4)_iv_li
[Rea>0, Reti>-|-]. ИШ209C8)
CO
6.864 \ exp [(|* +1) x]*„, v(ashx)(ic= 2" я cosec (ця) Г (q) Г (а) х
и
[a>0, -2<Re(i<0]. ИПН386B2)
6.865 [VsExch(vx)S t(achx)dx =
о д'2
2 ' 4 2 ; „ ..
-3 й , (a)
A+ v
3
2
я, Re(i+|Rev|<i-J . ИПН388C1)
6.866
1. ? ж-»1-1 cos (ax) v , (x) dx = 0 [a > I];
о
[0 < a < 1]. ИПII 386 A8)
2 ^ #-** sin
[a>l, Re{i<l-|Rev|]. ИПН387B3)

800 «—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.867
cos
[Re (j, > — 2, | Re v |< 1]. 411II 3b8 B9)
2. \ cos [((i 4-1) x] sw, v (а сов as) «fo;
б
1
6.869
cosBfia;)
<a sec ж) ^ =
Я22*1
—2]. ИПИ386B1)
2) ^u. v (ae 2)
| arga| < л, Rep. < IJ. ИП II388 C0)
A > L
ИШ1388B8)
2. § z-^v (aa;) «v+tl, _
0
<1, Rep. > - 1.
fiejx>- 1, -l
Ш1II92 B4)
3. \ xKv (bx) s i (ax*) dx -¦
у|Нег|-2, a>0, Re6>o], ИП II151 G8)

6.8 ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ 801
6.87 Функции ^омсона
6.871
? ^?Ш±Й. MX 40
2. \ e-0*beixих =Kr V. ~_ v '- ¦ MX40
6.872
2
3. \e-**beiByx)dx = jcosj. MX 40
4 \ e-e*beiBl/i)«to = jsin4-. MX 40
о
5. ^ е-^кегB|/ж)*г= — ^ [cos-icw+sin ^si^-] . МХд 50
6. ? e-P*keiBj/i)<te= _± rsin-i-ci^--cos4-si^-l , МХд 50
J ^PLpp PPJ
0
[Rev>-1]. МХд 49
oo
6.873 { [bei% B Ух) + bei^ B Ух)] е~»х dx = -^-Iv
о
[Rev>-1]. MX 40
6.874
[Rev>-1]. МХд 49
51 Таблицы интегралов

802 6-7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. ^ beiB^2x)«& ^^СЗ^С
[Rev>-i-J . МХд49
3.
о
Ще v > - 1]. MX 40
CO у
о
6.875
CO
1. ^ е-»* [ker B ]/^) - у In a; ber B УЩ dx =
)s -3- -\- -j- sin -g- . МХд 50
'2. ^ e-«>* [keiBl/)-i-lna;beiB"|/i)]dr =
= -irinPsini--^cos4-l • МХд50
PL p 4 p J
6.876
oo
1. f жке1ж/1(аж^ж= — ^arctga2 [a > 0]. ИП II 21 C2)
OO |
2. ^я ker ж/а (аж) dre == ~ In A + a4p [a > 0]. ИП II 21 C3)
о
6.9 ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Обозначение: кг = q. Определение коэффициентов А^ и В1^
см, в гл. 8.6
6.91 Функции Матье
6.911
2л
1. ^ cem(z, g)cep(z,g)cte = O [тфр]. М 32 F)
о
2я со
2. ( [се271 (г, g)]2 dz = 2я [^@2га>]2 + я 2 [4if ']2 = я. М 32 (8)
с/ r=i
2л со
3- \ [ce.2n+1 (z, g)]2 dz = я 2 [^ifr+i1 *]2 — я- М 32 (9) в

6 S ФУНКЦИИ MATbF
803
2л
4. J sem(z, g)sepB, g)dz = O [m Ф p]. M 32A0)
b
2л <x>
5 Wse2ntl(z, g)]2dz = n2 [Mr+V]2 = я. М 32A1)
0 r=0
2л oo
6 ^ [se2n+2 (г, ?)]2 dz = я 2 [fiB2r+22)]2 = я. М 32 A3)
2л
7 \%e,ri(z, g)cep(z, q)dz = O [m = 1, 2, .. .; p= I, 2, .. .]. M 32A2)
о
6.92 Функции Матье, гиперболические и тригонометрические функции
6.921
1 \ ch{2fe cos м sh z)ce2 (к, ?)du =
= Iptl ( — l)n Сегп (г, —i
ce2n ( -"— , q j
л
2 \ ch Bk sin м ch 2) ce2ft (u, 5) du =
[д > 0].
229
3 \ shBA;sin
aH{u, g)d« =
be2n+l (U, q)
n
г*
4 \ shBA;cosush z) ce2n+1 (к, q)du =
0
+1B) -g)
-1r1Se^.i(^ -g)
5 \ sh {2k sin u sin z) se2n+1 (м,
b
SK,27t+i @| q)
6.922
M229B)
M 229 D)
M229E)
se2n+1 B, g) [q > 0]. M 219, M 222 D)
1 \ cos и ch z cos Bfe sin к sh z) ce2ll+1 (к, q) du —
51*

804 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. \ sin ushz cos Bk cos и ch z) seintl (u, q) du =
— se^*i (z, q) [q > 0]; M 22Q -5
— о I
л
3. \ sin u sh z sin Bk cos м ch 2) se271+2 (и, g) <iw =
M228G)
я
4. \ cos a ch z sin B& sin н sh г) se2n+2 (н, q) du =
M 228(8) к
5. \ sin и ch г ch B/c cos и sh z) se2/iifl (и,
¦(-1ГСв2„+1(г, -q) [q>0] M 229C)
л
ft
6. \ cos м sh z ch BA;sid и ch г) ce2nil (и, q) du =
— 1)" Se^! (z, — g) [9,^0]. M229F)
7. \ sin и ch z sh B& cos м sh z) se2nt2 (м, 5) du =
;-l)n+1Se3n,2(z, _g) [g>0]. M 230G)
2se2n+2
8. \ cos и sh z sh B& sin и ch z) se2n+3 (м, q)du =
]. M230(8)
6.923
1. \ sin BA ch г ch и) sh г sh и Se2n+1 (u, q)du =
[q>0] M 242A2)

6 9 ФУНКЦИИ МАТЬЕ
805
2. \ cos Bk ch z ch и) sh z sh и Se2ll+1 (и, q) du —
~ , g
M 242 A3)
3 \ sin B/c ch z ch it) sh 2 sh м Se2n +2 (м,
о
[9>0]. M 242 A6)
4 \ cos B& ch 2 ch u) sh z sh м Se^^ (м, g) du =
5 V sin B& ch z ch м) Ce2n (u, ^) б?а =
2cg,
6 \ cos B/e ch z ch и) Ce-j,, (м, g) <fo =
7 \ sin BA: ch z ch и) Ge2ntl (и,
8 \ cosBA;chzchK)Ce2ritl(K, q)du
0
6.924
\ cos B/c cos н cos z) ce^ (м, g) du =
яЛ<2п>
2
M 242 A5)
M241E)
]. M241F)
M241(9)
) [q>0]. M241(8)
co2n (z, q) [q > 0].
M 219A), M220E)

806 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
я
г»
2. \ sin {2k cos и cos z) ce2ntl (и, g) du =
„¦i(z. ?) t?>0] M 219, M 221 D)
3 \ cos BA cos исЬг)се2г1(и, q)du =
о
(z, g) [q > 0] M 228 A)
cean I
л
4 \ cos Bfe sin u sh z) ce^, {u, q) du =
и
= Л^° ,Ge>n(z, q) [q>0] M228B)
ce2n @, g) -n\ ' ij ii ^ i v /
n
5 \ sin {2k cos и ch z) ce^.^ (и, g) du =
eto.i(z, g) [e>0] M 228C)
e2n+l '
(f-0
6 \ sin {2k sin w sh z) se2n+1 (и, q)du —
^{z q] Г«->01 M228F)
'J, <?)
6.925 Обозначения Zj = 2fej/ch^| — sm2rj, tga = t
sm lzx cos F —«)J ce2n F, q) dO = 0. M 250 F)
2л
2 ^ cos [zx cos (9 — a)] ce2n (9,
ZnABn)
~-^ r Ge2n (I. q) сел (n, g) M 251 (9)
С ?) ce2n ^i , 9^
3 \ ып [z1cosF — a)] ce2n+1 (Э, q)dQ =
f e24*i (I. ?) ce2n+i A. ?) M 251 B)
e2n+I

в 9 ФУНКЦИИ МАТЬЕ 807
2л
4 \ cos ta cos F - a)] ce2ntl (в, q) dQ = 0. M 251 D)
5 Jj sm [Zj cos (в — a)] se^ (9, q) cffl =
о
n+i (°. 9) beJn+1 f — ,
Se3n+1 A, q) se2n+1 (n, <?) M 251 F)
2я
6 \ cos [Zl cos F - a)] se2nil (9, q) dQ = 0. M 251 F)
$
2я
7. jj' sin [Zl cos F - a)] se^g F, g) d9 = 0. M 252 A2)
и
8. \ cos [z, cos (9 — a)]se2Jl+2(9, q)dti =
?m+i (I, 9) seint2 (ij, g) M 252 A0)
6.°26 I sin м sin z sin BЛ соь м cos z) че^,.,., (u, g) du =
se3n+2 (z, g) [ q > 0] M 219, M 223 (8)
[r
6.93 Фумйции Матье и цилиндрические функции
6.931
я
1 \jo{k [2 (cos 2м + cos 2z)]2} ce2n (u, q) du =
и
= П[Л<Ь У л :ce^B- 9) M 234A)
сезп@, ?)co2n f -z g J
ц
-Fey2n(z, g) M239A), M240C)
, ?) ceSn (^j^-, g J.

808 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
7.1 - 7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
7.11 Шаровые функции
1
7.Hi Г Pv (x) dx — sin «pPv1 (cos tp). МО 90
cos <p
7.112
I" = *!¦ CM ш 185- УВ " 120
—i
i
. 2я вшя (g—v) + 4 sin (яу) sin (яв) [ф (v + 1) —
^ Fv(a;)fa(a;)tte- n*(o-v)(o+v + l)
^0]; ВТФН70G)
v]_ ВТф1170(9)Ц
Л
(a—v
0; v, a# -1, -2, -3, ...]; ВТФ1170A1)
-1, -2, -3, ...].
ВТФ 1170A2)
l
5.
I — созя(<у — v) — 2я-1зш (jtv) cos (яо) [
(V—O)(V
[Re v > 0, Re a > 0, a ^= v]; ВТФ1170 A3)
0.a = v]. ВТФИ71A4)

1 — 7 2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 80У
7.113 Обозначение: А=
1. V
О
1
2.
о
. . па HV . , iiv жт
.4 sin —т— cos —5 -^ slu —Г" cos —5—
— v)(<T + v
ВТФН71A5)
____
[Rev>0, Rea>0]. ВТФ1171A6)
3. ^Pv(g)Q.(»)._= <plv)(gj.v+1) [Rev>0, Rea>0].
о
ВТФП71A7)
7.114
[Re (a - v) > 0, Re (a + v) > - 1]. ИПИ 324 A9)
9 Г
j
t
[Re(v + a)>-l; я, v#-l, -2, -3, ...]. ВТФИ70E)
3. \[Q4{x)]*dx = Xg±^ [Rev>-i-]. ВТФН70F)
i
oo
7.115 ¦ ^Qv(x)dx = —^ [Re v > 0]. ИПП 324 A8)
—
7.12 — 7.13 Шаровые фуикцип и степенная функция
7.121 \ xPv(x) dx = ¦ _t. J 2 [sin ф Pv (cos ф) + cos ф Pt (cos ф)]. МО 90
СОЗф
7.122
A_ (n+m)\ rn ^, m ^ „! MO74
2
J l-x^ d;E- 2m (n-m)! lU <
0
J 1—жз — 2цГA—ц-r-v)
[Re (i, < 0, v + (i, — целое положительное]. ВТФ1172 B6)

810 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
3 Г [P"~v (x)]2 dx = - г-
0
[и = 0, 1, 2, ...;Rev>n] ИПН315(9)
1
7.123 \ РГ (х) Р* (аг)-r^-j- = 0 [0<m<n, 0<Л<я; тф к\. МО 74
1 1 ... «
7.124
-1
[т<Сп; & = 0, 1, ..., п—т; z — из комплексной плоскости с разрезом вдоль
отрезка ( —1, 1) на действительной оси]. ИЛ II 279 B6)
1 1
7 \9*л \ М т2^ РУ (г\ Р71 (т\ Vm (т\ ii-г
-1
_ 3
= (—1)тя
(k—m)\ (I — m)!(n— m)\ (s — ft)!
(S_i)! (.,_„)! г (*+4
и 2( = А-|-' + и — w— четные;
/>т, т<к— / — да<п<Л + / + те]. ИШ1 280 C2)
7.126
[Rea>-1]. ВТФ1171B3)
2 J ^4^
u г (т+тт)r D+t+t) r<l-
x jC- /m+v + l m-v JZL_i_l. w , l 3+a+m .
[Reo> —1; и = 0, 1, 2, ...J. ИШ1313B)
[Reo>-1, Ren<2j. И1Ш313C)
4. \ x*~lQv (ax) dx = е^гГ (ц) a-f (a2- IJ "(J^ (a)
0, Re(v-|i) > - 1]. ИП1Т325B6)

7.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 81 1
1
7.127 f (I -+- х)а Pv (x) dx =
[Rea>-1]. ИПИ316A5)
7.128
i _i li _ з
Л
i ^
~2
¦X
— v —1)
i
j 4-
i
I ——< Re(i < 1, z—-из комплексной плоскости с разрезом вдоль
отрезка (—1, 1) действительной оси . ИПП317[20]
о
-i
—2"<Rep.< 1, z — из комплексной олоскости с разрезом вдоль
отрезка (—1, 1) действительной оси 1 . ИШ1316A8)
7.129 J FvHFxHCl+x) «-,га + 1)Г(^1и,
- 2v+2)
~] >
[Re (v + X +1) > 0]. ВТФ1172 C0)
7.131
| arg(z + 1)|< я]. ИПИ321F)

812 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
со .1 I 1 ?
2. ^^ "
„_1 _1
) 2(+D 2
W
[Ren<l, Re(n + v)<l, Re(fX-v)<2, \ai$(l + z)\< n]
ИПII 321 G)
7.132
[2ReX>|Re|i|]. ИП 11 316 A6)
CO
2 ? к{ »
J
[ReA,>Refj,, Re A - 2*. - v) >0, ReB-2A, +v) > 0]. ИПП320B)
3. J (a*-l)*-1^ (*)<** =
i
[|Re(i|<2ReX<Rev4-2]. ИП II324 B3)
1 _ i
4. ? ~2lin
[Ren<l, Rea>-1]. ВТФ1172B4)

7.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 813
1 1
— m
5. ^ (f v()
(\^+^ -) Г ^1 + |_ 0^ г
, Г A-m+v) Г (l+y <r+-|m—JV) Г (|"+Т a+Tm+T
[Re<r> — 1, лг целое положительное]. ВТФИ72B5), ИПИ313D)
6. \x°(l-xyP»(x)dx=~ ^ % J K 2 2 J х
7.
-уц4) > —1, Rea>-lj . ИПИ314F)
[Ren<l, Re(e + n + v)>0, Re (e-r ц-v) > 1]. ИШ1320C)
7.133
1. \ Qv (x) (x-af-1 dx =
[|arg(Et-t)|<n, 0<Reji< l + Rev]. МО90н
2. ^(ж2-1J Q^k(x)(x-uf-i d
U
[|arg(B-l)|<n;, 0< Ren< 1 + Re(v-X.)]. ШШ204C0)
7.134
1]. ИПП321D)
-м-
2. ? (lf-^2!)'2
2».-n sin rtvr (X—Ц) Г ( — Х+ц—v) Г A
= _
[Re(A,-fx)>0, Re(n-X.-v)>0, Re(M—X. + v) > - I]. ИПИ 321 E)
7.135
1. \ (l-_2)~lli(--a;rip{J+n(a;)_a; = 2.-^(_2-l)~2li^+n(z)
[n==0, 1, 2, ..., Reji + re > — 1, z—из комплексной плоскости с разре-
разрезом вдоль отрезка ( — 1, 1) действительной оси]. ИП 11316 A7)

814 в—7 ОПРЕДГ ЧИННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
j
j— Я—|i— v) Г {q—Я—1>
—Я—ц)
[ReA,>0, Re(e — X — у,— v) >0, Re(Q —Я, —ц +v +1) > 0
|агк(г+1I<я]. ИП II 322 (9)
_ 1
3. J (z-1)*-1 (*¦-!.) 5>i (x +
w) Г (Я—ц—Q) Г (q-Я+Ц—у) Г
[Re(X-n)>0, Re(e-A, + |i-v)>0, Re(e-X + n +v+1) > 0,
|arg(z+l)|<n]. ИП II 322 A0)
7.136
1 i
\ II Ju 1 1 .I ^^ tfc Jb I ^V ^tb*** P UX ——
Л
'(Я)
[ReX.>0, -l<a<V\. ИПII 318C1)
00 > in
2 \ (a;2 - II {aV — if P^ (ax) dx =
[Reo>0, ReX.>0, Re (v - \x - 2А,) > - 2, ReBA, + fj. + v)< 1].
ИПП325 B3)

7 1 — 7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 815
оо I
3. ^ (ж2- lf~l (а2ж2- l)~^Q^{ax)dx =
X
;v + |; а-)
[|arg(o-l)|<ii, ReX>0, Re B\ - ц - v)< 2]. ИН II 325 B?)
7.137
oo [ j _ _i *
1. \ x z 2 [x—^ (l-\-ax)" (?v A + Zax) dx ¦--
l
l
i i
i
<y, Re(p, + v)>-lJ . ИЛИ 325 B8)
_ _? i
t
, i i _i !. j
?>i+5(l+a^ ^^+1 [A-!-цJ](/^ [(|-|-а)^3
4-, Re(n + v + 2) > 01. И1 III 326 B9)
1 11 _ i i-
J
0
[Reu.<~, |argaj<nj . ИП И 319 C2)
*l \ i 3 ^
0
1 *
) ^+ ' ^+1 [A
I 1
. ИИ 11319C3)
1 t l _i -1
5 С x2li(i_a;I'' ?(l4-a:r) 2>*P%A ¦+2ax) dx =
= Я2Г (-1 + ц) а ^ ЦР^ [A + af] P7» [A + aM]
[Re|i>-y. |arga|<n]. ИП II 319 C4)

816 6—7 ОПРЕДЕЛЬННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6. ^ ж5 ц~ 2 A _ ж)д~ 2 A -f аж)~ 2 Vj (I -f 2аж) <?г =
v) A - р + v) />-* [A + аJ] />? [A + аM]}
ец>у, |arga|_<n]. ИП II 319 C5)
7. С ж" 2 ~ 2 A _ ж)"""" 2 A + ozJ ^ A + 2ах) dx =
[Re(x<-i, |arga|<n]. ИП II 320 C8)
8. \ ^^~V"'2
о
I I 1 .
X {^+J [A + aJ] <# [A + a)] + P5 [A + aJ"] ^+1 [A + aJ"]}
[Re(j,<--i, |arga|<nj. ИП II 320 C9)
v -Ik
a
к
[ J ИПII 193E2)
в i -! x"
10. J (^-^f-^^^^^i^ 2 *
о
Г (G) Г |
[Rea>0, Re(j,>0, \уу\<Ц. ИП II193 E3)

.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
817
И
[у A -
[ReX.<l,
^ A _ 2у)
0, Q<y< 1].
ИП II193 E4)
12
[Rea>0,
1]. ИП111УЗE5)
7.138
[Г (|i+ 1) Г
>-ll. ИП II 326 C)
7.14 Шаровыл, степенная и показательная функции
7.141
\ dx =
(—Ц,—1
la
, -v,
[Re a >0, Re\>0]. ИП II 323 A3)
2 \е°Чх-
i
[Rea>0, ReX>0, Re(A,+n)>0].
ИП II 325 B4)
(ж2 - 1)
- я'1 sin
1, 1-й
X-ji, l+v,
[Rea>0,
ИП II 323A5)
2a
[Rea>0, ReX.>0,
52 Таблицы интеграл&в
ИП II 323 A4^

81& 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
1 1_
5 V е"™ (ж2 - 1)~2^/>М; (ж) йж = 22я
7.142
[Део>0, Rep.<l]. ИП II 323A1), МО 90
[Re|i<l, v—g-?¦ 0, ± 1, ± 2, J. Бу 79 C4), МО 118
7.143
1. J [ж A н- ж)] a^-pxpij (I + 2a;) «te =
i
i
-l-) [Ввц<1, ReP>p] ИП I 179A)
У П
?le-exP4(l + 2x)dx = -^-W
Р (X, J
0]. ИПП?9B)
7.144
[ReP>0, ReA.>0, Re(X + (j.)>OJ. ИПI 181 A6)
2 ^е-^х'^ (ж + 2J
о
[ReP>0, ReX>0, Re (к - (j,)] > 0. ИП 1181 A7)
7.145
~2'U
P ИПП80F)

7.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
819
2.
3.
7.146
1.
2.
3.
7.147
л
[ReP
= Т
>о.
>0].
[IXV +
Rev
Y ' R^
л—к
г]1 + [
МтОП
ИП II327 E)
tjrV | I Vbl\
ИП II327 F)
5'1 V
1 1 '
2V+4
[Нв(*<1,
[Ren<l, ReP>0].
ИПН80G)
ИПИ80(8)ц
ИП1180(9)
'яГ(—ц—V)
G!
1-Х
1
0> "' 2
[я>0, Rep>0, ReX>0].
ИПII327 G)
7.148 J (I-*;
л
= 2Vt*i'~V V, _i 1 (у) [Rey>0]. ИП II 317 B1)
оо ! ^
7.149 { (а* + 02 + 2аРа;)~5 ехр [ — (а2 + Р2 -f 2аржJ] Pv (x) dx =
[Rea>0, ReP>0]. ИП II323 A6)
52*

820 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.15 Шаровые и i иперболические функции
7.151
[Re(a+|A)>0, Re(v-a-b2)>U, ИеA -a- v) > 0J. ,БТФ 1172 Bb)
OO
2. I (sh х)а~10$ (ch x) dx =
0, Re(v-a + 2)>0] ВТФ1172B9)
7.152 ^ e-«* sh^ ( 4" ж) Pi"" "* [ Л ( 4" *) J rfa: =
41*1/лГ(а+«+ц+1)Г ^в-я+цт—1.
Ren, Re м- > 1- J - ИШ181A5)
7.16 Шаровые, степенная и тршонометрические функции
7.161
1. ^ а* A - ж4) S" sin (az) P!J (
о
-1, Re|i<lJ. ИПИ 314G)

7 1 — 7 2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 821
[ReX>0, Ret*<lj. ИГШ314(8)
3 С (x2 — IM" sin (ax) P% (x) dx =
¦S , (a)
¦¦ G-7-40
' [а>0, Re Ц < -|' He(n + v)<l]. ИПП 320A)
7.162
i ( Р BxV%— i) sin (bx)dx
1а>0, 6>0, — l<Re\<0]. ИПН 326A)
2 ^ Рч Bг2а - 1) cos (bx) dx =
[a > 0, 6 > 0, - 1 < Re v < 0] ИПП 326 B)
(ж2+1)о(ж = 2 2л~1а sin (vjt) [Z t B 2a)f
[a>0, -2<Rev<l]. ИШ98B2)
з _i i
Kx + x: - - ^ a v+, a)
[a>0, Rev > --|J . , ИП198B3)
5 \ cos (ax) Pv A + x2) dx = —!-— sin (vit) \ К . ( —^ )
о T2 r
[a>0, -l<Rev<0| ИП1 42B3)
6.
[a>0, Rev>-1]. ИШ42B4)

822 8—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.
[т>0]. ИП 142B5)
7.163
1 V~*
1. J (х* - a*I V~* sia{bx) pf ~* (ах'1) dx= 'Г"" cos ( ab - -^L + ~")
а
[а>0, IRevKyJ. ИГЛ 98 B4)
1
2. ^ ж'1 cos (ax) P, Bяг-* — 1) dx =
^c^jiy?, (v+ 1: 1: ai),^,-fv+ 1: 1: -ai)
[a>U, — X < tte v < О]. И11II327 D)
7.164
oo 1 1
i. С i1 sin (te) [/С* (У 1 + aaa;2 )]a ite
/-5- _
l/ — «-l6
[Rea>0, 6>0, --| < Rev <lj . Hll 11327(8)
" i
2. ^2
[~Reo>0, 6>0, Rev>--|]. ЙПИ327(9)
3. \, x2 sin (bx) Pv 4 (У'1.+ а2а:2) Pvl i {Vl + a2x*)
[Ree>0, b>0, _A<Rev<|]. ИПП328A0)

7 1—7 2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 823
_2
4 \ х2 sin (bx) Р\ AЛ + aV)/>,l«/ +«
[Reo>0, fr>0, _l<Rev<-|] ИП 11328A1)
00 i
5 \ я2 cos (&c) [P$ CKl+aV)]2rfx =
0
[Reo>0,
00 i i
6 1 1-2 pin /b-r\ P*
\ «t coo yw*/ * v
[Reo>0, 6>0, Rev>--|-j ИПII328 A3)
CO t _Jl
7 [xJ cos (bx)Pv\
[Rea>0, b>0, --|<Rev<i-J ИПИ328A4)
i l
8 ^ a:2 cos (to) Pl(Yl+a2x2) Pv-i(l^l +а?х* ) ¦
ш 1
[Reo>0, /^>0, |Rev|<|-]. ИПП329A5)

824 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
оо
7.165 \ сов(ах)Рч(сЬх)фк=?
о i
_ sin(vjc) n^ 14-V+'" Л r{ l + v —ia ^г/" У+'аЛ г (
- 4S^~ V. 2 У1 V 2 У 1 V ~ > ' I
[а>0, -l<Rev<0]. Ш111
7.166
[Re(a±n)>0]. МО 90, ВТФИ72B7)
a
7.167 \ РТ*1 (cos х) Pv [cos (a—x)] — I =
,\ v ' v- * " l sin x j sin x
P7"(cosa)
-4-1 . ИП II 329 A6)
7.17 Шаровые функции и интеграл вероятности
оо 1
7.171 J {x*-l) 2
IRea>0, Re|i<l, Re(n + v)>-l, Re((i-v)>0]. ЙПИ324A7)
7.18 Шаровые и цилиндрические фрикции
7.181
оо 1
Р .(x)x2Nv(ax)dx =
v
l-i [cos (|a) Jv (|a) - sin (|«) ДГ, (|.
[o>0, R«v<^-J ИПИ108C)и
(ж)x2
-i-] . ИПН344C6)ц

7Л—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 825
7.182
_ IJ V^1 (*) Л, («) <fc = L ^2 L 5^_v, л+, (а)
я2ГA—X)
[o>0, -Rev<-|, ReBA, + v)<T]. ИИ II 345 C8) it
2 IV"""^-!) 2V
I
d 1 t
1, a>0, |
ИПН344C7)ц
(
3
. y* (x ) ^
, o>0, BeBn-v)>—i-J . ИПЦ349F7)ц
[Ren<l, Re(|* —v)<2]. ИПII 337 C3) и
5. ^ ж2*1^2 - 1) 2"P% (ж) .STv (ax) dx =
>1()() l, Rea>0]. ИЩ1135E)u
\x ( ) v_i_(x)Kv(ax)dx y2a*e*W*.v{a)
[Re|i< 1, Rea>0]. ИПП135C)и
oo 3 1 A
/. \ ж i» —i] r i ixi a.vlax)ax— \/ -^-a e "u-i-vie)
2
:l, R«a>0]. ИПН135D)ц

826 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
О. \ X
со 1
a. j ж ^а
^(жг—1) 2"ptl 3(я) Д
*~2
1 v * -
[Rev>
[Rep,<
-i, Rea>0]
а-,
1].
i
ИПИ135F)гг
ИП II136 A1) и
00 L i _i i_
10. ^ ж2 (жа - II V~* pfV Ba;3 - 1)Nv (ax) dx =
[Rev>-y,o>0, Rev + |2Re)*+l|<|-J . ИПII108E)и
<x> t
И. ^
Rev>-y, o>0, Rev--|<2Re(i<-i- RevJ . ИПИ345C9)в
12
-v
2 V
{Re a > 0, Re v < 1] ИП II136 A0) в
-v
13 \ x (x* + a2J V^ A +'2z2O -Kv (ay) dx = 2~va^-v-f 52v, 2^+, (ay)
[Re о > 0, Re у >' 0, Re v < 1J. ИП II135 G)
14. \ Ж (Я2 + Я2)^ {(ц _ v) р» ^ + 2a;2a-gj +
«}
О
+ (ц + v) /'Im A + 2ж2о)] Kv (ху) dx=2*~v\t.y'Lv~2 S->v \-i г,» (ay)
[Reo>0, Rey>0, Rev<ij. Щ11136(8)
13 \ ж (x -+- a j [i-1^ ii+ za; a j -j-
= 2'"VV 52v-i. 2ц (ay)
[Rea>0, Rey > 0, Rev< 1]. ИПН136(9)

16.
7.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 827
[-y-Rev<Re(i<Rev + yJ у > О J . ИПII 44A)
17. J ж1 (ж2 + 2)" 2 V~ * <? 2 (*а + 1) Уv
[Rev>-1, ВвBI + -»)>—|-f y>0] . ИЛИ46A2)
m _2 _1 „¦ 1
7.183 [^-«(l + a^V" 49 ?(± iax)Jv(xy)dx-
2е V 2
r_i-_-iRev<Ren< i + Rev, у > 0, Kee>oJ . ИЛИ'46 A1)
7.184
P f (rVvN(fe =
}2„-1-ц_ 2
cos
[|Ren|<y, Rev>-1, a>0j . ИПII44B)я
oo i_iv —i
2 ^ z-v (*s - IL 2 Рд 2 Ba:-2 _ 1) Kv (ax) dx =
V+1
3. J A ^L 2Ql 2
[Rev<|-,a>0j. ИП II 370 D5) a
о
[a>0, Re(|i + v)>--|, Re(|i-v)<{] . ИП 1146A4)

Я28 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4 I xv A - i*f V+I P~V~J Bх~* -1) /v (xy) dx =
ИП II 45 C)
, (xy) dx =
xW , , (iay) W t t(-iay)
~"—2 V~2 ~A""г~*
[Reo>0, Rey>0, Иец>--|, Re((ii- v) > -у] . ИП11137A3)
J z-v (^ + IL 2 V ^ V A + 2а;-*) У„ (еж) dx =
[a>0, 0<Rey <ReM. + -j] ¦ ИП II 47 A5)a
» i_iv i-v
7 \ ?-v(a;2 + a2L 2 gi
0 2"
I
2~v~s a2
[Re a > 0, Re у > G, Re v < 1]. ИП И :Ub A2)
7.185 ^2
] Jv D
ИПИ46A0)

7.1 — 7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
7.186
7.187
2 [x[Px_ , (
0 5
[Rev>0]. ИПП 13A0)
1 [Re<v < 1, Re y> 0]. ИП IT 137 A4)
2Уо(xy)dz = 2я-V1» cos(M f^i(^)]*
[Reo>0, |ReX|<i-, y>oj . ИП II 13A1)
\*(
0
— -v
„ 1 ^ (V 1 + «V) <?д
2 ' 2
[Rev<l, Rey>0]. ИПII137 A5)
) У, (zy) dx =
[Rea>0, y>0, Ren>-|-T Rev>-lJ. ИП II47 A6)
и Г
ГA+2о) ^•«'V
O, y>Q, Reo>--j, Re|x<lJ.
ИИ 1114A5)
6 \ xP"
7 [x
. + nv) p-»_ L (Vi + 4y) /(
Tt-hj-*rn4tan.\W ( ?L\W
\ а у
[Rea>0, y>0, |Rea|<{
}S-M*y)dz =
ИП И 14A4)
[Rea>0, y>0, |Rea|<-i, Re[i< l] . ИП II 14A3)

830 6—7. ОПРЕДГ ЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
8. ^ х
1 1
\ 2 (У 1 + «Ac2
[Reo>O, y>0, -^<Re(i<-i]. ИНН 46 (9)
а, 1
9.
^(р;5 (ут.
[Rea>0, y>0, --j < Reji < -\, Re v > - 1J. ИПИ45{7)
10
[Reo>0, 2/>0, —^
ИПН45(8)
7.188
[Reo>0, y>0, Rev>-1,
ИПП45D)
[Rea>0, -l<Rev<0, у > 0]. ИЛИ 45 E)
2а /x«
BaI-vyv-1
[Reo>0, y>0, 0<Rev<l] ИПН45F)

7.1—7.2 ШАРОВЫВ ФУНКЦИИ 83 L
7.189
оо
[ (а + xf е-*Р72" (\ 4- —*) 1Ц (х
[
О
f-|<Reu<0, -|-+Нец<Нег<-у-Кец]. ИПИ366A8)
4- - Vn
«у
v)
<n, Re p. > I Re v + -| IJ . ИП II367 A9)
^) ^д (« + a) da: =
= л" 5 2»1-1 cos (tin) Г (ц + v +1) Г (у. - v +1) ^ _ ^ , + v Ba)
[|argo|<n, ReM.>[Rev + y|J. ИНН 373 A1)
4 JJV " (х + of V-P^ _ i (^) *v (a
о 2
, 2а) [<г>0, Re(i<11. ИПII874A2)
00 - - 2ц--
5 \ (sh xf+t (ch ж) 2 Р7" [ch Bz)] / i (o sech x) dx =
о * 2
c [Re ц > Re v, Re \i > -Re v - 1]. ИП II 378 D4)
7.19 Шаровые функции и фуикццц, родственные цилиндрическим
7.191
_i_iv
) 4 2
2-v~2Ji5a cosec (pn) cos (v«) { [ Nv (I a ) J 2 - [ Jv (~ a ) ]
[-l<Ren<0, Rev<y]. ИПП384F)

832 6—7- ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУ НИ ПИЙ
2.
7.192
2-v"' пЧ cosec B|хя) cos (vsi) { [/v (у в ) ] * - [ /_л, (-J- в ) ]*}
[ -l<Re|x<0, Rev<yJ. ИГ1И385A5)
х2 A-т2L Р2 ,
v
[Re(n-v)<0, o>0,
ИП11387B4)ц
2 С ж5 (ж2 - 1)" * V? (я) S , (вт) Лг =
J д
,(о)
H-P+i. v+2
7.193
[Rep<l, а>0,
Ш111ЗЬ7 B5) u
p 2. <
2"-2V
2-1) 5Д, v (ож) da: =
-v)<0, а>0, Rev<-|, ReCv-|x) > lj- ИПН387B7)а
2. J x(ж2- 1) ?VPiBa:2- 1MДг v (ож) dx =
г
[Rev<l, o>0, Re(n-v + X)<-l, Re(|x-v +A,)< 0].
ИП11387B6)м

7 1—7 2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 833
7.21 Интегрирование шаровых функций по индексу
7.211
<я]. ИПИ329A9)
[0<0<л]. ИПII329B0)
7.212 \x-1th(nx)P I {chd)dx=2e'^K(e'a) [о > 0]. ИП II330B2)
"г44*
7.213 \ '*"vw p ( (Ch b)dx = Q , (ch 6) [Bea > 01. ИП II 387B3)
<j "+X ~2^ a~2
СИ
7.214 \ sh (nx) cos (ac) /> t (b)dx--
1
V2F4-che)
[o>0. |fc|< 1]. ИПI 42B7)
7.215 С cos (to) P" i (ch e) «ir = 0 ' [0 < о < Ь];
w o |-IX
p [0 < b < о]. ИП II 330 B1)
— ch 6) 2
7.216
(ch o-)-ch
7.217
[o>0, 6>0, Reu>0]. ИПП330B4)
2^~ ' 2Л
1 _1_
i\2
^Jifvtco); <B = (o2 + b2 + 2abcoser. ИПП383Bб)
2 \xe**\h.{nx)P i (—cosO)ff(t?)(ua)//i|)(A;fc)d2;=-^^е-»*я;
[e > 0, 6 > 0, 0 < 9 < n, Im/c<0]. ИП II 381 A7)
53 Таблнпы интегралов

834 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
сю ?_
3. \ же™* sh (то) Г (v-fta) Г (v — tx)P\ ^(— cos 0) Ml'(a) M? (b)dx =
1 v_» . 4v i
2 (sin 6) 2 ( 4^- ) #v2> (Д); /? = (a2 4- Ьг — 2вй cos вJ
[о > 0, 6 > 0, 0 < в < я, Re v > 0]. ИИ И 381 A8)
4. \ х sh (лг) Г (X + to) Г (X — te) if l3C (о) Kix (b) Pl Г
| arg о I < -2., |arg(P-l)|<ji, ReX>0] . ИП II 177A6)
7.22 Полиномы Лежандра, рациональные
и алгебраические функции
7.221
t
rO [тфп]
= п].\ УВП94, ВТФ 1170(8,10)
2. \ Рп (х) Рт (х) dx = 1^i-T [m = л];
0 [п — т четное, т Ф «];
( —IJ
[n — четное, т— нечетное] УВ II 96
2л
3. [ Рщ (cos tp) dy = 2я Г Г2^ 2" 12. MO 70, ЬТФII183 E0)
о
7.222
—i
2. ? A +JI"t"/)m (x) Pn (x) dx = .^ZZZ^X^m' ¦ ип Н 277 A5)
1 **"^^ «w\^ I MTti I At III STY) 1 ^*М i |и "III \ /
3. \ A + ^)'*""^m (*) К W rfa: = ° ['« > я]. ИП II 278 A6)
_J4

7.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 835
1 1
A-ж) />Sm(a;)«te= (л_т)Bто+2л+1) J V1"^) ''a»
[те</»1. УВП102
..._ ^_± f ± ^ . УВП129
i
7.223 J -JL-. {i»B (x) Pn_t (ж) - />„_, (ж) Ря (г)} d* = -1. УВ II131
7.224 [z принадлежит комплексной плоскости с разрезом вдоль интервала
от —1 до +1].
1
1. ^ (z - ж) Рп (ж) da: = 2<?„ (z).' ИП II277 G)
—1
1
2. ^ х (z - ж) Ро (ж) dx = 2Q1 (г). ИП II277 (8)
1
3. ^ х"*1 (г - «Г» />„ (х) dx = 2zB+^,, (z) - ^^ . ИП II 277 (9)
-1
4. ^ хш (г - ж) i>n (x) dx = 2zm<?B (z) [яг < п]. ИП II 277 A0) и
5. \(z - ж) Рт (ж) /»„ (ж) dx = 2PM (z) <?„ <г) [яг < и]. ИП II 278 A8) м
-1
6. \ (z - ж) Р„ (ж) Pn4il (ж) do: = 2/Vt (*) (?„ (z) - j^p-. ИП II 278 A9)
7\ л- ^# . fr\"l /> /*r^ P (ф\ At JvP (<7\f) (v\ \m ^ rfi ИПТТ 97R Iе) A \
\ Ju {a —¦ Jf) ¦* m v ) n \ } ^"^ — m \ ) x л \*/ if ^* J* "*¦* ¦*¦! ^/О 1 Zil 1
8. j*(Z-afr4PnW]2«te = 2zJPn(z)^n(z)-^qrr. Ш1II278 B0)
-i
7.225
—1
ВТФII187 D3)
1 -- _ i
x
ВТФII187 D4)
53*

836 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ННТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ. ФУНКЦИЙ
3.
4.
7.226
2.
3.
7.227
V1-
1
— 1
1
— 1
1
A-
-1
1
r\ ^ P (x) dx —
¦*J *n v*v ux 2/
1
-a«f ~2P%m{x)dx =
\-x^)~lP^1{x)d
s
—m— —
f- px j f2m \xj i
3
2/2 r
L «' J
te 2 (
I
-Bb+1)jb] [jb;
)rD+-)
m ~m~ 2
[|P|<1].
1
n + 1
*ТФ II 183D9)
>0J, УВП96
ИП 11 276 D)
ИП II 276 E)
MO 71
[Reo>0]. ' ИП II 278B3)
7.23 Полиномы Лежандра и степенная функция
7.231
[Re^> —1]. ВТФII 183E1)
(_1Гг^т+1_1^г
„+1 (ж) ate _
2
lReA,>-2]. ВТФII 183E2)
7.232
л
2"Г(я)Г(«— a
[Rea>i:]. ИП 11 278A7)

7.1—7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИЙ 837
2 f (I-1)»
Л
[Re a > 0, Re 6 > О]. ИП II 276 F)
3.
4.
i
i
\ (i-
b
[Re|*>0]. ИПИ19ОC7)и
[Re |х > О, Re v > О]. ИП II190 C8)
7 2ЧЧ { хЪ-i Р A 2х^ dx - (
7.2dd Jari* Pn A - ^ ) Ox - 2Г
[Re(i>0]. ИП II278 B2)
7.24. Полиноны Лежандра и другие элементарные функции
7.241 J Р. (!-
[Ree>0]. ИП1171B)
7 242 f (а1Ка21 <"
7.Z4Z
о
[п>2, Ree>0]. ИП 1171C)
7.243
{а«—23)(aa—4») ... [a»—B«)aI
[Reo>2n]. ИПИ71F)
[Reo>2»+1]. ИПИ71G)
0
[Ree>0]. ИП1171D)

838 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4. J fin+l (cos*) e их- fr,.+ n
[Rea>0]. ИП117Ц5)
7.244
i
1. ^ Pn(l—2r*)sinea;dx==|-[/n+i(|-')]2 [о > 0]. ИП I 94B)
2. |.(^|(Г^(|)
[a>OJ. ИШ38A)
7.245
2я
MO 70, ВТФ II183 E0)
n
2.
__ 2(д — го+1)(д— та + 3) ... (д + m— 1)
(я—i») I»—»H-2) ... (n-\-m)
[п> т, п + т нечетно];
= 0 [n<iw или п + т четно]. . МО 71
n
7.246 J Pa A - 2 sin2* sin" 9) sin ж da; = ^l+^nV • M0 H
7.247 { Р^г(?)втах~^{- I)»** ]/g.
[о>0]. ИП 194A)
7.248
in [Я (о4
= n(ab)
ttrT2
[о>0, Ь>0]. НПII277 (И)
2. j ' (о2 + б2 - 2a&r)~2 cos [Я, (а2 + b* - 2abxf] Pn (x) dx =
-1
_i_
= я (eft) 2 / , (оЯ.) ЛГ 1 FА,) [0 < о < Ь]. ИП II 277 A2)

7 1 — 7.2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 839
1
7.249 С Рп(х)ai-csmxdx — 0 [п—четное];
' г '" "Ч" -*° [и-нечетное]. УВII 129
22 ( --Чг^ ) I
1
7.25 Полиномы Лежандра и цилиндрические функция
7.251
" хРп A - 2ж2) Wv (жу) <& = я у [5^ (у) + яЛГ,,,., (у)]
[n = 0, I, ...;y>0, v>0]. ИНН 108A)
2 J а:Рп A - 2ж2) А"о (жу) cte = у л [ (- 1)"п К^п (уу+ у 5to^ (iy) J
[у>0]. ИП II 134A)
: у'1 /2пм (у) [у > 0]. ИП II13 A)
4 V хРп A — 2а;2) [Уо (oa;)J2 da; = 2Bn4-l> ^^n ^a^* "^" I^e+i (*)]*}•
ИП II 338 C9) и
1
5 ^хРлA- 2тг) /„ Гож) ЛГ0 (er) dr =
о
1 г i
ИП II 339 D8) м
l
6 J ^n A - 2*2) Ух C9) dx « yi Bn + «-» ffn 4-1) /„rt (y) -
- ^a» <y}j iM > OJ. ИП II 20 B3)
l
7 \ x»-1 Pn Bл;2 - 1) Jv (ax) dx =
\ x»-1
[o > 0, Re ((i + v) > 0]. ИП II 337 C2) u

840 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1
7.252 J «"" Л» A - 2х) 'о (*0 *е - ^ТТ t7™ С») + '»¦! («01
1а>0]. ИП II 366 A1) и
Л
2
7.253 С sin (^ Р» (cos 2ж) 7о (« sin x) dx = а J^^ (а). ип jj 36I B0)
о
7.254 J хРп A - 2х2) [/0(ах)- Lo {ax)) dx = (-l)n [1^г (о)- L^, (o)l
[о > 0]. ИИ II 385 A4) и
7.3—7.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
7.31. Многочлены Гегеябауэра С^(ас) в степенная функция
7.311
1 _i
1. \ A-х2) ~2CZ(x)dx=0, [л>0, Rev>--iJ . ИП II 280A)
1
2. J
0
{1-х)
I
2
1-*»
Г B
ЧA
J+v+|
)V 2(?n(x)dx =
!v+B)rBe+B + I)l
2»+»rBv)rBe + l
[Ree>-i-,
+ a;)pC^(a;)da: =
F(p+l)r(v+i-^
Rev>-i-J.
-
|rO.«r(,i-,+4)
ИП II 280 B)
и! Г Bv)T ^P-v-»+|.) Г
¦>-l, bev>—ij • ИП II 280C)
1
4. J i
-l
X /^и +2v а+l; v +
[Rea>-1, Rep>-1]. ИП II 281 D)

7 3—7 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 841
7.312 В нижеследующих интегралах z принадлежит комплексной плоско-
плоскости с разрезом вдоль интервала действительной оси от — 1 до 1.
j \Ь — JU] \1 — X ) \sn \"k/ U™ "™*
и, Rev >-i-J . ИПИ281E)
Cl(x)dx =
~( --\т ' -- v--
Я21-2У-«Я;
r(v)T (v + n+1)
[Rev>-yJ. ИП II 281 F)
l .. i
3.
-i
i i
. i. ii i
= Г(у) - ^~^ bmW4n+v-l(Z>
[m<n, Rev>~|-J . ИП II 283 A7)
7.313
\тфп, Rev>—у]. ИП II 282A2), МО98ц, ВТФН77A6)
[Rev>-yJ. ИП II 281 (8), МО 98 ц, ВТФ1177A7)
7.314
-1
[Rev >4J • ИП II 281 (9)

842 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
v 2
2. \ «^1 ««&
+ 2n+Y
[Rev>0]. ИП 11282A0)
Sl 3+2| v|
A-
i
3v+2n-|
) 2
i
ЯЧ Г (v +Т) ] 2 Г (v+2*+t) Г Bv+2n^r (
3v
[Rev>i-J . ИГ1II 282A1)
i v_i
4 \ A — x) 2
*
m! (n- m)! [Г (v)]s Г (y
X
Г (^v -l + m-n^ Г ^i_
[Rev > —y; n>»?J . И1Л1282A3)и
t _i
5 J A - xfv-1 A + x)V S C^ (*) Cj; (г) dx =
-i
3V~
2 2
Г (v +4 + m+ n) Г ^1_»
n v—7 3v+m+n-|
6. ^ A-ж) "A+ж) 2
[Rev>0]. ИП 11282 A4)
24v+m+n-l I - / . 1 N _ _ . 12
+-i^) Г ( v + n+i-^ Г
Г ^v+m + n + i^ Г
X
X
[Rev>-i] . ИП II 282 A5)

7 J—7 ¦» ОРЮГОПАЛЬПЫЬ. MHOIO'LILHU
7.
«Ы Г ( v-a—±- ) Г ( v-a-f »+^ ^ Г (ЭД Г Bv)
( v — a—^
[Rea>-1, Rev>-yJ . ИПИ283AЬ;
i
7.315 \ A-х*)^~1Сгп{ах)йх=—у.^ 2 / С^ Bаг— 1)
Г Г —V-! —
[Rev>0]. ИП II283 A9)
7.316 \ (l-xf^CZl
—1
[Rev>0]. ИП II283 B0)
7.317
0, -1, Re(i>0]. ИПИ190C9)м
2 Wl-^-'^-^d v^tbr-rBA'H"ft)r(tt)r(v)
, v; A, + ~,
[2ХФ0, -1, -2 Reft>0, Rev>0j. ИПП191DО)и
7.318 V a;2v (I - ж2H С A - а;2у) dx =
«. Р)
— y).
2". P = v—a —-g-
-|-, Reo>0] . ИПИ283B1)

844 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
7.319
\ I -x)*1-* Tv~ld; (J?\ dx~(- IV» Г (X+nJT (ц) Г (v)
х) х С2(ух)ах( l)
[Re ft > 0, Re v > 0]. ИП II191 D1) u
2. \ti**
о
{-1)»2уГ МГ (\ + n+l)T
X
[Refi>0, Rev> -4-]- ИПН191D2)
7.32 Многочлены С?(ас) и другие элементарные функции
7.321 ^ A-х*) <
[Rev>-yJ. ИПII281 G), МО99м
2о
7.322 J [xBa-x)]
nir(v)
[Rev>-y]. ИПН71(9)
7.323
1. Л CZ(cosy)(sm(pJvd<t = 0 [л=1, 2, З, ...];
ВТФ1177A8)
2 1 /-<V / . I / |
¦¦ 2Р-' я! IГ (v)J2 Cn (cos tf) <^ (cos ф') [Г Bv 4- и)]
[Rev>0]. ВТФ1177BО)

7.3—7 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 845
7.324
I 1_
§ ~ 2 (*) sin ax dx =
[Rev> ~T, «>0J . ИП 194D)
'» V- —
2 Wl—ж2) 2 Cln (x) cos az dx =
о
rHev>_t I
Bn)lr(v)Ba)v
ИП138C)и
7.33 Многочлены Сп(я*) и цилиндрические функции.
Интегрирование по индексу функций Гсгенбауэра
7.331
= (- 1)" 22»-v+i j/-v+2«-i [Bл)!} Г Bv - 2ге) [Г (v - 2л)] cos у
[у>0, 2ra-i-<Rev<2n + jJ . И111144A0)и
_ 3
(— 1)" 22"-^ ^-v+2n Г Bv — 2n — 1) x
X Ц2л +1)! Г (v - 2ra - I)] sin у
i
ИПИ44A1)и
7.332
t 3,1
v v+
X
_L _ JL _L
(-1)2я 2a2
= 0 [a<y<oo]
[a > 0, ReP > 0, Rev > - 1]. ИП II 59B3)

846 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
со 1_ L 4-— i
2. \а^М(а;а + р») 2" 4Сг„ 2 [Р(ж2 + р2)"]х
X ^ * ^ ,„ [(^2+ PV<*] Л (ху) dx =
i _ I i _v _ 1 '
= (-1)»22я 2a2 Vyv(a2-y*) 2 cos [§ (a2 - y2J] X
. l l
= 0 [a<y<oo]
[a > 0, Rep > 0, Rev > - 1). ИП 1159B4)
7.333
я i_
1. Wsin x)v+' cos (a cos в cos x) Cn 2 (cos x)Jv (a sin 9 sin x) dx =
= (— ly[ — )z(sine)vCn *!(eos8)/ (a) [n = 0, 2, 4, ...];
= 0 [n = l, 3, 5, ...]
[Rev> -1]. В 414 B) и
л t
2. \ (sin z)v+1 sin (a cos 9 cos x) Cn (cos x)Jv (a sin 9 sin x) dx —
= 0 [л = 0,2, 4, ...];
, Ja) [b=1,3,5,1...J
[Kev> -1]. В 414C) и
7.334
1. \ (sin xJv Cn (cos x) v da; =
о
о
n-l J_ 1
)^~f^J(i9)cI 2
[и==0, 1,2, ...; Rev> -y] .
ИП II362 B9)
2. ( (sin a;Jvc^ (cos x) ^p- dx =
с) Ш
2v~t«!r(v) av
ИП II 362 C0)

7 3—7.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 847
Интегрирование по индексу функций Гегенбауэра
с+гоо
7.335 \ [sin (ал)]'1 taC? (z) da = - 2i A + 2tz +1*)-*
с—гоо
[-2<Rev<c<0, |arg(z± 1)|<я]. ВТФ1178B5)
oo
7.336 \ se>cb(nz)(v — y+ix^K i (a)I , (b)CV i (— cos
Г (v) vv ¦"
се = ]/a2 + b2 — 2a6 cos ф ВТФН55D5)
7.34 Многочлены Чебышёва и степенная функция
i
7.341 ^ [ln[x)fdx^i-^-iyl. ИП II271 F)
1 [ 1
-1
= -^f\Un(!/)Un(z) Цу|<1, |2|<1]. ИПН275C4)
7.343
1
Tnlx)Tm(x)jgL= = Q [тфп];
-=Л rm_ =t 0V
= я [ти = и = 0].
МО 104
1
-1
ИП II 274 B8)
ИИ II274 B7), МО 105 «
7.344
[л=1, 2, ...]. ВТФII187D7)
1 1
2. J (у - ^J A - tf иш.х (у) dy=- nTn {х)
-1
[ге = 1, 2, . .]. ВТФ II187 D8)

848 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.345
~ _i _ _»
1-х) t(l+x) 2Tm(x)Tn(x)dx = O [да>л]. ИПП272A0)
2 { n-x\~hi + x\m+1*~*T (x\T (x)dx
J ( ' V + X> Im(x)In(x)ax- 2«"n Bm—1)! Bл— 1)!
[m + пфО]. ИП II 272A1)
3. \ {l-x)l(l + x)m+n+2Um(x)Ua(x)dx =
ПBт+2п+2)\ ИПТТ
"«<2m+l)!B«4-1I - Htl "
4. V A - xJ A + ж) 2f/m(z)f7n(a;)da: = O [т>н\. Ш1II 274 C0)
5
2r
6
X 4^s Г — "«. "«. а, а + у; у, а + га 4- —. я — " 4- — :
[Rea>Uj. Ш1И 272 A2)
1 i
7 J A + *Р A - я)а~1 С^т (*) г/„ (х) dx =
i _ i_
|<и-И)Г(а)Г( и-а+^-
' X
С!—Х
2, о, а— — ; -|-. а + л + |-, a — re — i-;
[Rea>0]. ИНН 275 C2)
7.346
[Res>0]. ИП1324B)

13—7.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 849
7.347
1.
^
[Rea>-1, Re0>-1]. ИП II 271 B)
-ж) A + ж) ип(х)йх- B« + 2)!Г(а+р + 2> Х
Xjf/-«, л + l. a-f 1; y, a + p + 2; l). ИП II 273 B2)
i _i
7.348 V A-ж2) 2f/^z)^ = ^B22-1) [|z|<l]. ИП II275C3)
1
1
i
7.349 J (I-*2)"sMl-afy)d*=-5-я[Л,A-30 + ^A-y)].
-5
ИП II272 A4)
7.35 Многочлены Чебышёва и другие элементарные функции
• _ 1 _ I _ _2о_ 1 1 1
7.351 \х 2A-х2) 2е * Гп(а;)<?г = :п;2? , Ba2)Z) , Ba5)
НГП1272A3)
7.352
» г 2 s - 2]
[Rea>0]. ИП II275 C9)
[Reo>0]. Ш1II 276 D0)
7.353
00 1 1
1. \j (a2 + «2)~ 2 " sech ^ у яж^) Tn \a (a2 + ж2)" Ц dx =
-i, л, —j
[Rea>0]. ИПII 273 A9)
CO (
2 J(a3+^)-2n[(^|^J-V[
0
= я-1и21-пС(^п+1) ^±i^) [Rea>0]. ИП II 273 B0)
54 Таблицы интегралов

860 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.354
1. \ eia(xyz)cos[(l-x^a-^z]Taa,1(x)dx^
= (- l)"**1.™ (У) -^ (г). ИПII271 D)
2. \ sin (^г) sin [(l-x*f(l- г,^2 j] tf „^ <*) d* «=
it
= (- 1)»я A - yyU^ (у) JM (z). ИП II 274 B5)
Г -
3. \ coe(ay«)cos[(l —л*JA — у«J
- (- 1)»яГл (у) /^ (z). ИП II271 E)
4. \ c
- (- 1)"я A - уУ U%n (у) /erf (г). ИП II274 B4)
7.355
1
C=?=?..(-l)»?7,Il+I(a) [a>0]. ИП194C)М
1
2. 57'2n(a:)cdSaa;y^p- = (-l)»iy2n(a) [a > 0]. ИШ38B)ц
7.36 Многочлены Чебышёва и цилиндрические функции
7.361 ^
[у>0, Rev>-re-l]. ИП II 42A)
са 1
7.362 J [х*- 1)" 32'„A) Kiu(ах)dx=-?W^ (a) W_ ^^ (а)
[Rea>0]. ИП1Ш6A7)ц
7.37— 7.38 Полиномы Эрмита
7.371 J Нп (у) dy = [2 (п + 1)]-* [//„,, (*) _ Яп>1 @)]. ВТФ Ц 194 B7)
7.372
ВТФИ195C4)

7.3—7 4 ОРТОГОПАЛЬЫЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 851
7.373
1. jj е~**Нп (у) dy = Hn_t @) - е~**Нп\ (х). ВТФ II194 B6)
2. J e-^H^ (ху) dx = VH. ^- (у* - 1Г- ВТФ II195 B8)
—ой
7.374
1. § e-**Hn(x)Hm(x)dx = 0 [тфп]; СМIII567
—со
= 2"и!]/я [т*=п]. СМ III568
2. l
[ти + я четно]. ИПП289A0)ц,
СО
3. J e-**Hm (ax) Hn (x) dx = 0 [m < и]. ИП II290 B0) it
4. I e-**H^n (ах) Нп (х) dx^yHZ-"** {^±^ (а* - 1)»а».
ИП И 291 B1) и
m+n-t ro+n
2 2 а-"-»-» A-2а8) > Г
[Rea2>0, m + n четно]. ИПН289A2)ц
6. \ е-<ж-«')!!Яя(а;)<га;=я2у'12". -ИП II288 B) м, ВТФ II195 C1)
7. J е-1*-
—ой
[w<n]. By 148A5), ИПИ289"A3)и
ой In
8 J е-<-'-у^Нп (ах) dx = я* A - а«JЯп Г—^__1 . ИП II290 A7) и
ОО
9.
mizt (m, w яЦ-п _.
Ц _
2*а! (;) (j) A - «•) 2 - я,,,^ Г—=4-1 •
L A—о*J J
ИП II291 B6) и
54*.

852 в—7 ОПРЕДГ ЛЕННЫЬ, ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
t lx-yf La _I
[0<m<yJ- ВТФЦ1Э5C0)
7.375
... i , /
I(m+n+ft-l)
22 Г
четно]. ИП И 2У0 A4) u
m+n+ft 1_
2.
—off
2s = m + n + A; [/;-fm-f-n четно]. ИПП290A5)и
7.376
^ 2"г * Hn(y)in. ' ' А1О165»
2п 3 1
X
' ' 2 • 2 • 2a
[Re a > 0, Re v > - 1]. Бу 150 A8а)
Г
Г Г(^Т")Г(в+тХ^ V,. 3 ,1
[Rea>0, Rev>—2]. Бу 150A8b)
-
(х + у) Ни {х + z)dx = 2nv? m\ z^L^-™ (- 2yz)
[ти<я]. ИП II 292 C0) и
7.378 [ з<*-*е-е*Нп (х) их =
п1Г(а-{-п—2тI .. т„_ 2mft Zm-e-н
о» V п1Г(а-{-п—2тI .. т„_ 2mft
~Z 2l ml (ft-2m)l < ""г) ^ P
0
m=0
[Rea>0, если n четно, R.ea;> — 1, если п нечетно, Rep>0].
Ш11172 A1) it

7 S—7 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
853
7.379
1.
\ хе-^Н^ (ху) dx = ? Bm+i)l у {у2 -1)™. ВТФ II195 B8)
2 ^ лпе-^Я„(а:у)?й:=я21гКРп(^).
ВТФ II195 B9)
7.381
7.S82
=* (- 2)»(я)
-Bп
ИПН288C)и
ИПИ288D)и
7.383
[Re/»>0] ЭД 151 BЦ)и, ИП1172A2)и
: (—1)" \/~^уд -р ^?+1)'- №—«)п
[Re (Ь - Р) > 0] ИИ 1172 A5) и
3 \ ~^е-«-
Г Re а > у в, если и четное; Rea>y«—у,
Re b > 0 Если а целое, то в ряде для
первые 1+е(^Л членов! .
]. ИПИ72A6)и
,!-!.-; 1_а;6)
если п нечетное;
сохраняются лишь
ИП 1172A4)и
i
l)> * 2.
МО 177 м

854 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
[Re&>0]. ИПН73A7)и
7.385
О»
я
J
[Ив Ь > —|-] . ИП1174B3)u
111
. \ е-* sh (Т/1 Рл) Я^ (л) da; = 2"~ «„spar.^^"*. ИП II289 G)и
ИПИ74B4)м
7.386 ^ а: 2 й 4«ЯП^^=. J е-рхЛв = 2пя2/> 2 е-в ^?. ЭД129A17)
7.387
1. \
ОС» |1
2. ^е-^сЬ(У2ра;)Я2„(а;)<^ = 2я-1я2р2пе2Р*1 ИП II289(8)и
7.388
°° i 1 _ 1я«
1. ^ е-*» sin (У! Ра;) Яtotl (a;) da; = ( - 1)П2™" 2я2ралпе арт.
ИП II288 E) и
ОО
2. С в-«»Йп(уг2Ра;)ЯЛ1+1(оа;)Лс =
о
A)-1я2(оа1) 2е 2
"Им!—2s—rV ипи
чу'г и*—IJ /
290 A8) и
3. \ е-^ cos (У 2 ра:) Я2п (ж) Ar = ( - 1)п2п1я2рг»е 2 . ИП II 289 F) и
о
4. \ е-»1 cos (У 2 р*) Я,» (ах) da: = 2"^ (i-o«)"«"*^fc Г ^ Г1 .
ИП II 290 A9) и

7.3—7.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 856
оо ^ ?
5. ^ в-* [На (у)]* cos (]/2 ру) dy = «^""««l L,, ф2)- ВТФII195 C3)
О
ОО
6. J <r* sin (fee) Нп (х) Hn^t (х) dx =
= 2" (- 1)" j/f "! fcS""e
[fr>0]. ИП195A1)и
7 J e-- cos (fee) Яп (*) Н„гт (ж) ^ =
«= 2И" ^ /f hi ( - l)-6^»e" ^m (x)
[Ь>0]. ИП139A1)и
П {
7.389 \ (cos *)»Я„ [a A - sec xf] dx = 2"" (- 1)" «ggj- [Я„ (a)]»,
о
ИП II292 C1)
7.39 Полиномы Якоби
7.391
l
\ A - xf(i + Ж)РР^. Р) (я) />№ P) (ж) (Й: =
0 [ти^п, Rea> —1, Rep> —1];
ИП II 285 E,9)
2. ;A-
х/,(-», a+P + n+1, q + 1; a+1, Q + a+2; 1)
[ReQ>-l, Reo>-1]. ИП II 284C)
{ y+"+1g+i)Г(я+д+1)г(a-p+i)
—
г@_р_й+1)гt
[Reo>-1, Rea>-1]. ИП II 284A)
4. i
[Reg> -1, Rep> -1]. ИЛИ284B)

856 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
[Re а > 0, Re р > - 1]. ИИ II285 F)
1
6.
/я (я1)« Г (а+1) Г Bа4-Р+2л+2)
[Rea> -I, ReР > — 1J t ИПII 285G)
7.
—1
2«+Р+1Г (g-4-B+l) Г (P+n + И Г (g+P+2n+1)
~ в! Г @-t-e-t-2n+2) Г (а+Р+п + 1)
[Re q > - 1, Re р > - 1]. ИП II285 A0)
1
8.
^gKrtetiK^1 [Rep>-t.B.e>o,. ип
i
9. [ {l-xf(l+x)aP?-n(x)P<g-°4x)dx =
2tt+g+lr (gjf.n^j) г (g+P+"»4-"+1) Г (g + m + l) Г (g —ft-fl)
"~ ml (л— m)! Г(а + р+« + 1)Г(а+а + т+п-4-2) Г (a —P+ m+1)
[Rea> -1, Rea> — 1]. И11 II 286 A2)
l
10 \ (l-xf(i+xfP^^(x)P(Q.»)(x)dx =
It
2Р+0+1Г(а+р-|-пг + п + 1) Г(Р4-п+1)Г(д + т+1) Г (Q —ч —пг + в)
~ вЦп — т)\ Г (<x-|-p-t-«-t-i) Г (p+c-rn» + «-r2) Пд—а)
[Rep>-1, Ree>-1]. ИП II287A6)
-A -xf+i A +л)р+1 Р1Й1'*+и(х)). ВТФII 173C8)
7.392
t
[ReX>0, Кец>0]. ИП II192D6)u

7 3—7 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 857
2.
[Re Я. > 0, Re ц > 0]. ИП II192 D7) и
1
3.
[Rea>-1, Ren,>0]. ИПН191D3)и
l
^x ( —x) n' vix~~ ) x Г(Р+|1+л+1) » (Y)
и
[ReP > - 1, Re|i > 0] ИП II191 (U)u
7.393
, (— 1)»УлГ Bn-\-v+2)J p(b)
I — x2) sin f " - ' • ¦
0 22
[fc>0, Rev>-1]. ИП194E)
2 t A - *•)' cos to />& v)
0
-. -—J—
0 Bn)! 6 2
[fe>0, Rev>-1]. ИП138D)
7.41 — 7.42 Полиномы Jlareppa
7.411
1 \ Ln (x) dx = Ln (t) - Ln+1 @. MO 110
ВТФИ189A0)и
ВТФП189A5)и
f
4 \ Lm (x) Ln (/ -x)dx = Lm^ (t) - Lm+n+1 @. ВТФ II191 C1)
о
5 2 [\ Lh{x)dxY = e'-i [t>0]. MO 110

858 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.412
4
5
о
[Re а > - 1, Re ц, > 0J. ВТФ II1У1 C0) и, Бу 129 A4с)
1
о
0, Ren>UJ. ИГ1II192 E0) м
7.413 J л« A - х?Ы (ху) Ц [A - х) у] dx »
о
" + 1) га+Р+1 /,л
о
(m + »)l Г
ml я! +р++
[Rea>-1,R©P>-1]. ИПИ293G)
7У.14
оо
I Je-*L5(a:)dj: = e-»[L«(y)-L;_,(y)]. ВТФ II191 B9)
^ L(A*)L0u;)ete/>^ы-Х-р) J
[Refe>0]. ИП 1175 C4)
ОО
3 ^^
о
= 0 [тфп, Rea>-1]; Бу115(8), ИП II 293C)
[т = п, Rea>0]. Бу 115 (8), ИП II292 B)
[Rea>-1, Reb>0]. ИП 1175 C5)
5 fe-^Hd^^C^r1I^^- [Reb>0]. ИПИ74B7)
0 т=0
оо
6. ^ е-ЬхЬп [х) dx = (b- 1)" Ь"" [Re Ъ > 0]. ИП 1174 B5)
7.
1;° + 1; 4)
[Rep>-1, Re*>0]. Бу 119 Db), ВТФ II191 C3)

12.
13 f
0
7.3—7.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 859
8. Je-"t«LS(O
[Rea> — 1, Res>0]. ВТФН 191 C2), МО 176и
9
(
о
[Re(a + P)>—1]. ИП И 293 D)
10 \ в-6^ [Ы (х)? dx =
[Rea> --i, Refc>0]. ИПИ74C0)
11. le-'zy-^{X)dx^r^l+^+_n-^ [ReY>0]. Бу120DР)
2 -
-А)* ' " " п
О, S>0.
By 142 A9)
(^±^)] Byl44B2)
7.415 f A — xf-1 х*--Ч-Ъ*1%. фх) dx
0, Re|x>0]. Ш11Н93E1)и

S60 ti—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
7.416 ^ хт~п ехр [ - у (х - yf ] L™-n (ж2) d
n-\-m
Бу149A5Ь) и, ИП II293 (8) и
7.417
1 \
xv-2n-if,-ax sin (&x) Lin (ax) dx =
F>0, Rea>0, Rev>27t]. ИШ95A2)
sin (fe) Ll^? (ax) da; =
^V'' 2Bn+l>i
0, Rea>0, Rev>2n+l]. ИП 195A3)
з.
о
.2n-l
> 2Bя—1I
0, Rea>0, Rev>2«-1]. ИП139A2)
4 f ^-2п-1е-о» cos(to)^-2™-1 (Sa;) dx
-i »n r /..y
2Bи)!
[Ь>0, Rev>2n, Rea>0]. ИП139A3)
7.418
oo i
\ '^ = (_ l)«-i n! -^{[Л^ AЬ)]«_ р.пЛ (- I*)]»}
t^>0]. ИП195A4)
2. J e-l" cos (te) Ln (^) & = /|(и!)-Ч- 5  2- [ Яп (А) ]a
[6>0]. ИП139A4)
3. ^ ж2"*^" 2 "* Sin (b) /^+ ( ^
/^^^) [6>°1- ИП195A5)

7 i—1 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 86]
4. \x^e-^ms{bx)Ln-(^^ \^
[6 > 0]. ИГ11 39 (lbj
5 § даГ ? *" L? (± х2) L* ~в A x*^ sin («у) da: =
о
= (f )^~^^«(-1^L"а(т^) • ИПН294A1)
p x* д /^ 1 N
6 \e 2 Ln(^-*2j.
0
t
оэ i
7.419 ? xn+2v" 2 exp [ _ (
0
t
Л2Г ' n + v + — JT Г л+;
n+2v+i
2 2«!TBv + j
Г Re a > — 2, Re (n -\-
i
3v+D /-
•v)>-4>
1 COS \Р^У/ QX *~~
1
[ax) Kv (x) dx =
. 1 «у I __ n 1 .Ч'и 1 . . * '
\^ V ^^ ^^ , to ^^ «J v т^ О ' '
Re(/i+3v)>---i] .
ИП II294 A2)
ИП II 370 D4)
7.421
[y>0, Rea>0]. ИПН13D)и
со \
2 \ xe-*Ln (ж2) /0 (a:y) dx = -^^ г/а"е" * "*. ИП II13 E)
0
[г/>0, Rev>-1]. MO183
GO
4 \ «v+1e-P:c2Lj (ахг) Jv (xy) dx =
= 2-v-iR-v-n-t (r _a\n y,e- TeLl \,ЛТ Hv 1 • ИП II 43E)
5 \* e" 25
„n+v+1 _ TO2 X „24
lF=Fe 2^vLtt) fv>0]- MO183

862 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
7.422
0, ReP>0, Rev>-1]. ИПII 43G)
и
= (_l)m"lBa)-v-1^
\у>0, Rea>0, Rev>-1] ИИ II43 (8)
7.423
со 1
1. \ е ^ L ( -гЖа ) Hin+, ( —^ ) sin (жу) rfa; =
i 1
= Г-?Ле 2 Ln f 4- у2) Я^. ( ^ ^ ИПП294A3)м
2
о
D у')н
ип"
7.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.51 Гипергеометрические и степенная функции
7.5Н j „
[t^O, -I, -2, .. ,ReA<0, Re(a + s)>0,
ВТФ179D)
7.512
Г (i+y) Г (Y) Г (a-Y+1) Г (y-?L-
[Rea+l>ReY>Rep, Re (Y —f— f) >o] .
ИПII 398A)

7.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧВСКИЕ ФУНКЩЩ 863
2. j
[n_0, 1, 2, ..,; ReQ>0, Re(P— y)>n— 1]. ИПИ398B)
i-if] _a;№-o-iFfa B- v ilfc Г (у) Г(е) Гф-0)Г(у-а-е)
« (l xy> »- * la, p, у. x) ax _______
[Ree>0, Re(p-e)>0, Re(y-a-Q) > 0]. ИП II 399C)
[Rev>0, ReQ>0, Re(Y + e-a— P) > 0]. ИП II 399D)
»
5. J *-m-zr-*F{a, P; YJ *)<_-^§^§Л(а, p, e; Y. 6 + o; 1)
[Ree>0, Recr>0, Re(Y + CT-a—P) >0J. ИЛИ 399 E)
l
6. Ja*-41-a:)P-»-1/!>(a,p;A.;f)da;_B(A.,p-X)f(a, 6;P;-i) .
By 9
7. J *»-»(!-a^-v-iF(a, P; Y; жг)/^(б-а, б-В; б-у;A -а;)
[0<ReY<Re6, |arg(l-z)|<n,
ИПП 400A1)
8. J ^v-i (i _ж)е-1 A _в)-в^(а. 6; r> «)^ [«. P - V. e; |
[Rey>0, Ree>0, | arg(z-l)| < я]. ИПП 400 A2), ВТФ178C)
9. f a;v-i(l_ жH-1A_гж)-о/1(а,в; у; :
о
(У 4-е—а -Р)
, о, Y + Q-а-В;
[ReY>0, Reg>0, Re(Y + Q—а —р) > 0, |arg(l-z)| < я].
ИП II 399 F)
10 F*»-4* + sWJ7a в- v JJi
lu. J«' (.ж-t-z) /<(a, p, Y, x)ax—
xF(a— Y + o, P — Y + o; a + P — y + a; 1—z)
[ReY>0, Re(a-Y + o)>0, Re(p"-Y + o) >0, |argz|< я]. ИП II400 A0)

864 0—7. О!ГЕ"ЬДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
I
J (i-xr-lzv-\Fq(ax, ...,ap; v, Ь% bQ; ax)dx
о
[Re |i > 0, Rev>0, /> < (/ -j- 1; если p = q-^. l, то | а | < 1].
ИПII 200 (94)
l
12 <( (l-*)*-1^-1/^ ap; b, bq; ax)dx =
о
> 0, Rev > 0, />< q + 1, если p — q-f-1, то |a | < 1]
И11П 200 (95)
7.513 Jj ^-l(l-*2>v^(-«. a; fc;
b
-n, a, |-; ft.
[Re s > 0, Re v > - 11 ИП ] 336 D)
7.52 Гш1ер1еометрические и показательная функции
7.521 \ e-slpFQ (аг ар; bt bg, t) dt =
о
= \R.1Fq{Ua1,...,ap-b1 bv О [p<g]. ВТФ Г192
7.522
oo
J v-1 Л (a, p; 6; - ^^
[Re Я, > 0, Re у > 0]. ВТФ 1205 A0)
11 Ж \ 1 --О
[Rea >0, Re6>0]. ИП 1212A)
2а, 2|3; у; —%x)dx =
[Re b>0. Re v > 0, | arg Я, | < я]. Бу 78 C0), ИП I 212 D)
/' (a, a - с -j- 1; 6; -1) dt = a^T (ft) Ч (a, c; x)
0]. ВТФ1273A1)

7.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 865
5. ^ е-*я*-у9 (ах, . . ., ар, 6Х, .. ., &,; ах) dx =
о
= Г (*)р+1^„ (*' aV ¦ ¦ ¦' <V &1 bQ' a)
[р < q, Re s > 0]. ИП I 337 A1)
[Re ц > 0, Re p > 0]. ИП I 218 F)
оэ
7. \ х$-хе~Р-х F ( — п, п; ft, -s-; х ) dx = Г (Р) u~Pcos 2/г aresin ( ) I
[Ren>0, Rep>0]. ИП1218G)
со
о
[m < n, Re Qn > 0, Re (x > 0, если m < n, Re jx > Re к, если /и = и]
ИП 1219 A6) и
o
= г (a) n"om.i^» («г • • •. «m. "; ei, • • ¦, e»; ^-
, Rea>0, Re(x>0, если да < n; Re(x>ReA,, если m = n].
ИП I 219 A7)
7.523 \ xv-i A - xf~le-^F(a, P; y; x) dx =
0, Reg>0, Re(y + e-a- P) > 0]. ИП 11400(8)
7.524
[ReA,>OJ. ИП II401 A3)
oo
2 Je-8lpJP9K, ...,ap; ft, ft,;
^V.^-v1'!;'. V-i) [p<ri- mo 176
о
Тябпипы интегралов

866 6-7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.525
1. \ x?-le-»*mFn К, ..., ат; Qt Qn; (Хж)
о о+1 а+к 1 /ЧИ1.\*1
ат, Т, -?-, ..., —^ : Qj, ...,Qn; ^-J J
, Rea>0; Ren>0, если rn + k<.n,
~1Г; r = 0, 1, ..., fe—1 при »» + .t = n+l].
ИП I 220A9)
(a, p; I; - *•) dx = ^"-«S!_a_3, «_3 (X)
[ReX>0]. ИПII401 A4)
7.526
1. ^ ^s-bF(ji, b; а + b-c + l, i-±-^ds =
а. с.
2wi f
-лГ(б)Г(б-с+1)г
\Reb> , ReF-c)>-l, Y>|-J ВТФ1273A2)
'; y;
Y==a + a'-c+l [ReY>0, жу=^0] ВТФ1287B1)
CO
3 \ жт-* (ж + y)'a (x + г)-ре-',Р Г a, P; Y; ^^"tf^ ] dx =
0
= Г (Y) (y)
2v = l-a + P—Y;
[ReY>0, |argг/1 < л, |argz|<n]. ИПII401 A5)
7.527
A - е-*?-1е-1"Р(а,~&; у; be~f) dx = В (ц, X) ^, (a, P, u; y. И + h 6)
[Re К > 0, Re fi > 0, parg A — й) | < я]. Mil 1213 (9)
2. \ A - e-*fe~«*F (- ft,
В (а, Р—a)
[Rea>0, Ren> — 1]. ИП1213 A0)

7.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ867
з. j (i-r-тгWe fc v; ¦ -
7.531
0]. ИП1213(И)
, p; Y; 6A-е-*)]йж = В(ц, Y)^(a, p"; |i + Y;«)
, |arg(l-d)|< я]. ИП1213A2)
7.53 Гипергеометрические и тригонометрические функции
ж si
0, Rea>|-, Rep>i] . ИПН15F)
(а, Р; у; -
\ц > 0, Rea > 0, Rep > 0, с> 0]. ИП161 (9)
7.54 Гипергеометрические и цилиндрические функции
7.541 [ яа+в-2""-1 {х + ir^JsTv [(ж + 1) г] /? (а, Р; а + р - 2v; — ж) Аг
2* 2 ^~
a + p-2v)>0, R(^ )
larBzl<lL]- ИПII401 A6)
7.542
Г (&!)... Г (&„_,) ^p+2, i /'у2 6J 6» lt
2А,2"г(а1)...Г(ар)
a, *, «f,..:. «!,
n, Rea>|Rev|,
^iReo-i-, у > O] . ИЦ1Ш8E3)
55*

868 в—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
aj, .... ар; bv ...,bp, - Яж2) Nv (xy) dx =
2Х2 Г (<н) ... Г (ор)
1Г
6? Ь* I
Л. к. ^ a-,l)'
-*,—|; 7 = 1 /?;
0, Rea>|Rev|,
Reaj >4-Rea~4' 2/> °] • ИП II119E4)
3.
.... op; *„ ..., bQ, -%x*)Nv{xy)dx =
-'у-во» [f (o-v) J Г (i±l) Г (^) X
i%
-!, Rea>|Rev|]. ИП 11119E5)
K av;blt ..., bQ; -\x*)Kv(Xy)dx =
5.
o+v a — v i , 4A, "N
«1 ap. -т~- ~т~; 6l> ¦••' 6«; w
[Rey>0, p<g~i, Rea>|Rev|]. ИП II153(88)
(xy) dx =
p
A. ««i «,,
0, -l-nev<2Ree<y+2Reer. '"=1, •--,
ИП II91 A8)
6.
(a,
V
Г(в1)...Г(вто+1) u-»
. 1 , , 1
' A, oi, .... «mtll kj'
t 1
у>0, ReA,>0, ReBQ-i-v)>-l, Re(e-ar)< ± ;/-=l TC+l].
ИПП91A9)

7.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
869
7.
Г la) Г ф)
J "
, 0, 1—у,
ReX>0, — 1— Rev— 2min(Rea, Refi)<.i\e6<— -j] ¦
ИЛИ 82 (9)
8.
P; Y; -
Г (а) Г ф)
, a, P,
[y>0, ReX>0, _Rev-l< He 6 < ^ max (Re a, ReP)-y] .
И11II81 F)
9.
a, 0; y; -
(у)
Г(а)Г(Р)
Г (у) ,C80 / у^
Г(Р) у "V4X3
, а,
10.
[у>0, ReX>0, -l<Rev<2max(Rea, Rep) —-|
ИЛИ 81 E)
1; - XVs) /v (жу) da: =
У ""'U
[у>0, ReX>0, -l<Rev<2max(Rea,
11. ? ж^+»^(а, Р;
о
12.
ИП II81 C)
[Rey>0, ReX>0, Rev>-1]. ИП II 152(86)
Jv {xy) dx =
Гу>0, -l< Rev<2max(Rea, ReP)--|] . ИПИ81D)

870 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
оо 1
13. [ za+*F{a, Р; у; - Х2х2) Nv {ху) dx =
V2 Г (а) Г (Р)
y
ft, А, а —р, р— р,
й=! + —v k_j__±v i=__± L _±4_i.
3, ReX,>0, Rea>|Rev|-|-,Re0<2Rea, Rea<2Rep] .
ИПII 118E2)
14. 5^+2/?Ст' T~v;T; -
>0, ReX,>0, --|<Rev<-y] . ИП II117 D9)
15. j^+2/?D, 2v+-|; v + 2; -A,2
rBv+l")
ReX,>0, _i<Rev< 1] . ИНП 117E0)
16 Ja^H-^^l (i + v + l; J
J
[y>0, ReX>0, _l<Rev<i-,
ИП П 118 E1)
17 ^2a+v/?^a-v--i> a; 2a; ^
_a> _1
g-a, -j-v
, Rev<-1, Re(a + v)>—i] . ИП II 80@

7 в ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕСШЕТРИЧГ.СКИЕ ФУНКЦИИ 871
18. \ x**-vF( v + a-y, a; 2a; -
x^tJ -i,,-lCf)l-.,-l
ИГШ80B)
7.543
CO
J^ + a, 1 + a; l+2a; -
iv+av_a
Э 2
0, Rev>-1, Rea>-i-] . ИПП81G)
i; v+1; -
Г (V) oV. l-2a 2os-v-l
0, ReX>0, Rea-l<Rev<4Rea--|] . ИПИ81(8)
7.544 $**-'(!+*)-***1 [o. V + -J-; 2v+l;
Г (v+1) Г (v — a-t-1) 22v-2o4-ly2(a-v-l)yv . ,
2y
>0, -l<Rev<2Rea--|] . ИПП82A0)
7.6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.61 Вырожденные гипергеометрические функции и степенная функция
7.611
[J ИП II 406 B2)
2 ? Л5'1 il/ft, „ Г(^+1)
Гиен,>_1, Re(fe-X,)>0] . Бу 116A1), ИП II 409 C9)

872 6—1. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
3.
Бу 116 A2), ИП II 409 D0)
л, ¦Ф Г4-+И—и")—1(-S- —И —х4)
Г (у + ц —и) Г(у —ц—?<J
Бу 117 A2а)
5. \ ~[WK,o (z)]2tfz=-—±f *—*. by!17A2b)
2Г A+те+*) г
[ReQ>2|Ren|-l]. ИП 11409D1)
, y'-X-f v; l+2v, j;-
Bv) x
rD-i+v)r(|-*-v+e)
, 1-K-v; l-2v,-~
ev|<Ree+l].
ИП II410 D2)
7.612
1. f^A(.;C;_0*-I^I^a [0<Rei<Re«]
0
ВТ Ф 1285 A0)
2 ft1 Via c- rWr(&)r(*+1)
[0<Re6<Rea, Rec<Re6+l]. ВТФ I 285 A1)

7 6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЬСКИЕ ФУНКЦИИ 873
7.613
[Re с > ReY > 0]. By 9 A6) и, ВТФ I 271 A6)
2 С x»~4t жУ-1 F It- В- T>u-r(P)r(v)fg+v-' F (t- R-l-v П
[ReP>0, Rev>0]. ИП II 401 (I)
з. j x*-i (i - ЖJA-Х ,/\ D +1* - v; ^ «) ^=
[Re X > 0, ReB(i - X) > - 1]. By 14 A4)
t
4 [ afi^it — xf'* ^(t; P; ^^(y; 6; t — x)dx~
Г (в) Г f6} Я4-Л 1
Г(Р+б) 1 iV -TYi P
[Rep>0, Re6>0]. ИП II402 B), ВТФ 1271 A5)
__ ГBц+1)ГBу
rB^+2v4 2
Refi>-4. Rev>--j] ¦ By 128A4), ИП II 402 G)
l
6. J ^-'(l-a:H-6-1,^^^ P; Kx)^ [a - а; о-$;
[0 < Re p < Re о]. ИП II 402 C)
7.62—7.63 Вырожденные гипергеометрияеские ф}нкции
и показательная функция
7.621
со Г1 I *т 1^
1 \ e's' ** М»., v (J) dt = i—-
By 118A), MO 176 и, ВТФ I 270 A2) и

874 6—' ОПРЬДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
и
'1 2rB+l)(l) '( + O
By 119 Dc), MO 176 и, ВТФ1271A3)а
3
; а-л + 2;
ВТФ 1271 A4) а, Бу121F), МО 176
аз
4 ^ «"' f" Л («: с: fe^ dt = г (^ s"b*"<а- *•• с: As"x) II«I > I * II;
-a) 6; с;
[Reb>0, Re s> max @, Re А;)]. ВТФ1269E)
oo
5 ^ <cl ^ (а; с; 0«""<Й=Г(с)*-сA-*-1)"а
о
[Re с > 0, Re s > 1]. ВТФI 270 F)
6 \ tb~l W {a, c; t) e'4t dt =
, Rec<Re6+l, |1 —*|<l];
[Res>y] . ВТФ127ОG)
7 ^ e 2 *v-i if,,.,,(&*)& = п ^—J^ ^
b r(T+'l+x>)rC'S"+'1 V
Re(x-v)>0] .
By 119 C) и, ИП I 215 (И) и

7 6 ВЫРОЖДЕНПЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 87Г)
;^ Ho
4] By 119
[Re(-J±0 >0' Res>-y] • By 121 G)
10 ^ *
[Re(* + i»)>—j, Re(*+ЭД >--|-] .
By 122 (8a), ИП II 406 B3)
Byl22(8b)
-^ ^-f ^
12
v)<0j . Byl22(8c)u
7.622
^ *Ч°-\Рг (а; с; ^^ (a; c; Ai) й< =
= Г (с) (*— I)"" (s— X)-a*«+«-<:/¦ [a, a; с; Л (s - I) (s - A,I]
[Rec>0, Res>Re\ + l]. ВТФ1287B2)
Vi (a; c; t) Y (a'; c'; Xt) dt = С ^У ^°^ (с - a, P; у; 1 - ^),
5 = c-l, o=-c, p = c-
или
ВТФ1287 B4)

876 6- 7 ОПРЕДЕ^ТЕЙНъгаГ^ГНТЕГУАДЫ Х^СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
со
3. [ х*-1е-ь*М 1 (а^х) ...М i (anx) dx=
"-ы Г (V + М)Х
(а1-\ +an)
[Re(v+J/)>0, Re(fc±-ai:b ... ±y«Bj>o]. ИП 1216 A4)
7.623
1. J e-^e+n-»(ж + y)!^! (a; с; ж)
о
= (- 1)" Г (с) Г A - й) /'"-lY (с - а, с;
«< l-Rea,«=0, I, 2 |argy|<rt]. ВТФ1285A6)
2. ( f.(t-^>-4,
[ J ИПН402E)
[ yJ ИГ111 402 F)
l
4. \ z-k-b-1{t~xY-ie*xWhitl{x)dz =
Г Ш Г A—к-Х+р') Г (l—k-X-ii')
j- —7T л wb+b* u W
г (y-*-J
[ReX,>0, Re(A+X)<-i_|ReH,|J . ИПН405B1)
и
t; \ /„ i\>l~ir 2-2 W. (nT\rlf
(ц)г(-§—*-Х-|Л _i ie
ШП12ИG2)а

7 в ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИШ?РГЕОМ.ЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
877
в.
2e 2 Wft, x (ож) dx = a '•
(a)
[Re ц > 0, Re a > 0]. ИПII211 G4) и
[Ren>0, Rea>0]. ИПП211 G3)ы
8 V A — xf~xx*-»-le 2 "XWh, x {ax) dx = Г (ц) в 2 ° sec [(At — ц - X) я] Х
X |sin (
Г (fc-
гBЛ+1)
ШП1200(93)и
7.624
? I I JL
1. \ a*-1 [scz + (a + жJ]2" е 2 *Л/Л) ц (ж) dx --
2 • '
--i-, Re(Ar-Q-a) > Oj . ИПII 403(8)
—S Жг
— n
[|arg-a|<n, Ree>|RefJi|-y] . ИПII406B4)
1 i
а + xffe* *Wh, № (ж) йг =
ая
,1,1+4+в
. ИП II406 B5)

878 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
f|arga|<n,
-~, Re(fe-Q-o)>—i- I . ИПП403(9)
i i
5.
i
[ж2
2„о
—а, е+ц. е—j».
f|arga|< я, Ree>|Ren|--i, Re (к + q + a) < ~ j . ИПП406B6)
6. ^*o-»(a + a;) 2 [ж2 + (a + х)Ц2ае г
о
о, 1 1-fc+e \
~ИПП406B7)
7.625
exp [ - -j (a 4-P) x
Г ^|~
[Rea>0, ReP>O,Re(e+n)>|Rev|-l]. ИП 11410D3)
OO
2. J гсо-> exp [i- (a + P) *] Wh,„ (ax) WK, vфх) dx =
+
ИПИ41ОD4)и

7.6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
879
3.
. v(fix)dx =
¦y+t». у—v, l—
ИПП411D6)
ехр [ - ~ (a - P) x ] Wft, ц (аж)
хсг14 .
e. Y-v+e. *>
[Rea>0, jRep,| +1Rev| < Rep
ИПН411D5)
7.626
X ^j (a; c; &r) ^ (а; с; Т]*) dr
0 tS=#=n.-Bec>0];
f«-4A(«+l; c; |)]« [| = ть Rec>0]
g и ц—два любых корня функции ^(a; с; х)]. ВТФ I 285
2 \ —-4-
= 0 [^л1;
= - l-'e-l [Т (а _ 1, с; ?)]* [| =. т,]
и т) —два любых корня функции *? (я, с; г)]. ВТФ I 286
7.627
1.
1 1
l
ИПИ411E0)

880 в—7 определенные интегралы от специальных функции
*-' (а +
Г ^л+fi-t-LJ г<1-2Х+2ц)
[ReA,>0,
ИП II405 B0)
- Г B%)аК-"~ г pFft_x> д_х (а) [| arg а | < я, Re X. > 0] ИП II 411 D7)
4. J х*-' (а +
о
5. С ж»-1 (а + х)
х Wft. ц (а + ж) dx = Г (А,) а*-»^»-^ и («)
[|arga|<n, ReX>01. ИП II 411D8)
И'А> ц (а + х) dx =
/ 0. 1-*—а \
a i , 1
[|arga|<n, Ree>OJ. ИП II 411 D9)
6.
-G2 U
к—а + 1, О
—в.
у-И-а/
[|arga|<n, 0< Ree<Re(a-/c)]. ИП II 412E1)
оГA-2н)
[Re (i- ±
х^ > ОJ
Бу 126 Gа)

7 6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 88 I
а х
y + !* + Г. «)
[^ H, Re(Y-x)<Oj. Ву126(8)и
9. l-t'^^
а
"Г A + 2ц) Г Q - ц +
п = 0, 1, 2 Re((i-fl+-|) >0, Ке^х-р—|)<n, |arga|<n]
Бу 127 A0а) u
7.628
1 \ е-*< е-'2 t2e-2 ,/", {а; с:
[Rec>~, Res>OJ . ВТФ1270A1)
- ihr Dv+1} a~Vs~4v e^ K2v C^1)
[Rea>0,Rev>-|-> Res>OJ. ИП1215A2)
о» 1
3 ^^'\
о
[ Rea>0, Re^>—|, Res>0J . ИП1215A3)
7.629
= 2» -»-KIs""" s 52ft, 2li B
|"|arg« |< л, Re(Air(x)>--i, Res>o]. ИП I 217 B1)
56 Таблицы интегра.юв

882 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ехр ( - -±-) е
|) dt =
[Rea>0, Res>0]. ИП 1217 B2)
7.631
-« ехр [1(а-»ж-рЖ-'
i+fc, l—x—e
l.i l l
1-я, ReP>0,
ИП II 412 E5)
-1 ехр [ у (a-1 x + Рж-»)] И7», „ (a~l x) WK
;, 1+X-o
l.i 1 . 1
[|arga|<yn, |argp|<-|n, Re(X-e)<-J
ИПИ413E7)
1 —Л, 1— X — Q
7.632
1,1 1 , 1
-g-4-м. -2—1*. T+v-e, T-
[Rea>0, ReP>0]. ИП II412 E4)
> - I)"" 2 exp ^ _ i. \е
ИП1216A5)

7.6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСНИЕ ФУНКЦИИ 883
7.64 Вырожденные гипергеометрические функции
и тригонометрические функции
7.641 ? ca8(axIF1(v+l; 1; izh/^v-f 1; 1; — ix)dx^
= — a'1 sin (уп) Рч Bа — 1) [0 < а < 1];
= 0 [1<о< со]
[-l<Rev<0j. ИПН402D)
"*
7.643
со i
jj *ve~ 5XS sin (to) ^г (± - 2v; 2v + 1; -i
7.642 \cos{2xyIF1(a; с; —
(с -Т • a + i 5 У1) • ВТФ! З85
[b>0, Rev>—J-] . ИП1115E)
[b>0, Rev>— ¦IJ'". ИП1116A0)
3 J ^-2v-1elx2c(),v(Y)
[^-, г> > 0 j . ИП161G)
4. J ar~2ve4 l2 sin
[Rev<y, й>0]. ИП1116(9)
7.644
[o>0, Re(fc + fi)>0]. ИДИ403A0)
56*

884 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
(т-*+0
[Reg
ИПП407B8)
a» I Ix
3. ? J*- * sin (cr5) e2 JFfe, й (ж) da; =
1 . 1
J
[c>0,
ИПИ407B9>
4.
2
[Ree>|Rei*| —-i] ИПИ407C0)
1 i,
5. \ &-»cos (еж2) e5 WA, д (ж) da: =
[с>0,
0, -k-Q, у J
ИПII407 C1)
7.65 Вырожденные гииергеометрические функции
и цилиндрические функции
7.651
1. [jv(xy)M
2»l'2
(ax)dx
0, Rev>— 1, Re(ji<-j, Rea>0] .
m
2. CM i (~iax)M , (-iax)Jv(xy)dx =
i{ *'2V ~ft>2v
'[ГA+у)Р
ИП 1185A9)
,

7 6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 885
Х(«г-г/г) i{[a+(a2-y2)Y* + [a-(aa-/)i]2ft} [0 < у < о];
= 0 [a<y<ooj
[я>0, Rev>-1, |Refe|<l] . ИПП85A8)
«О 2 '
7.652 f Л/_ , {aH» + i?f-b]}W , {a [(«
у-^У A+V)
У ехр [ _ b (д
Г (у + у v-|») (c*+s,«J
, Rev>-1, Ren<-|-, Reffl>0, Reb>o] . ИПН87B9)
7.66 Вырожденные гипергеометрические, цилиндричеекие
и степенная функции
7.661
, Rea>0, Re^o-i, ReAr<-|J . ИПII 18D4)
>0, Rea>0, |Ren| <yj . ИПП18D5)
„ (ах) Af_», й (or) /v
X/,({-i, 1-fc. y-fe + Щ 1-2*, i
0, Re|*>-y, Rea>0, ReBn + 2&-v) <-i] . ИПН85B0)

886 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
оо
4. С x^-vWh, „.(iax)Wh,„.(-iaxOV(xy)dx =
— 0 — — —4- N
2 2 2
[у>0, Rea>0, Ree>|Ren|-l,
ИП 1186 B3) и
5. J «2o-v
^_». д (ож) /v
9
_,
6.
0, Rea>0,
ReBe +
ft, „ (ал) W_k< „. (ах) Jv (xy) dx =
-1),
—] . ИП II86 B1) и
г D
(у-*+е) га+v)
ReQ>|Reli|-l> Rea>0].
ИП II86 B2) и
7.662
1.
¦. (т *') №„.1,D"*¦)
[г/>0, Rev>-1]. ИПII86B4)

7 6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
887
-i, Rev>-1, Re(v-4y) >-2j . 11111186B5)
3 ^ x~lMk,0 (iax*) Mfet0 (— ioa;8)Яо(ху) dx =
7.663
1
2.
[a > 0]. ИП Ц 152 (83)
Kll(- iax2) Ko (xy) dx
air
[a>0, Re?/>0,
ИПИ152(84)
(a; Ь; — Ь:2) Л
4ЯГ
V-ь)
l-Rev<2Ree< ~ + 2Rea,ReA, > о] . ИПП88F)
я2ГBа—v)
>0, Rev>-1, ReDa-3v)>~J
ИПИ87A)
3. J А
- -7 *¦) Л
--^-, Re(e+v)>-lJ . ИПП87B)

S88 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
4.
-*#, (а; 1 + v-e; -у
>0, Rea~l<Rev<4Rea~- -~.J . ИП II 87C)
m i
[y>0, ReX>0]. ИПII18 D6)
6. \ a?v+» 1F1 (a; b; — X#*) /v (xy) dx —
2fe = a— 26+V + 2, 2ц = а —v—1
0, -l<Rev<2Rea--|, ReX>o]. ИПП88D)
7. J
о
ИПИ88E)
7.664
2». i
!e4Ul]Z2lt[Baj/Je '""l
[Re г/ > 0, Re a > 0]. ИПII152 (85)
= - V1 {sin [ (ц - y v) л] /2tl By5) +
+ cos [ (ц -1 v) яJ N2u By5)J Z ^
> 0, Re(v ± 2|i) > - 1]. ИП II87 B7)

7.6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 889
3. \xWi C^
= 42/-i{cos [([i-| v) я]
[»>0, |Be|i|<-J-] . ИПII117D8)
- sin
[y>Q, Rev>-1, Пвц >-\\ ¦ ИПИ86B6)
5- 5^-b.D)v-«,..(-T-)^^)*-
Г (i- + [г + у v) Г (|- ц + -1 v) ]"гКЛBiayf]K*[{-2iayf]
[y>0, Rea>0, |Rei*|<l, Rev>-lJ. ИПII87B8)
7.665
Га>0, Re&> — ^, Rei*> — -|, Rev> —l] . ИПП405A8)
4 ? |c+|c'-l , 1
4fRec'>0, 1 <Re(c + c')< 2Re(a + a') + 4"l • ВТФ1287B3)
L ^ J
(? ic_i i i 4
7.666 \ ж2 2 ff /а; с; —2xz)Y(a,c;
[Rec>2, Re(c-2a)<y] . ВТФ1285A3)

890 в—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.07 Вырожденные гинергеометрические функции, цилиндрические,
показательная и степенная функции
7.671
/~ = ехр [ - -j (а
Kv
у ах) Мк
' Л№ * + 2v;2v + l: -а-)
i)
[Re а > 0, Re ft > 0, Re (ft + 2v) > 0]. ИП И 405 A7)
2.
—ft) Г Bц—к) Г ( — Щх—к)
7.672
1.
X 2i**lak-\Fl {-к, 2(х - /с; - 2ft; 1 - а'1)
[Rea>0, Reft< 2Re(x < -Reft]. ИП 11408C6)
1 Мь, p. (ax2) Jv (xy) dx =
Г Bц-4-1)
4a
11,
1 , . 1 , 1 , 1
- -i-' Rea
ИП II 83 A0)
2.
4 v+q) Г
4 v+o) 2—1
^
_
X —и; v + 1, -i ft + X; --?),
[y>0, Reo>0, Re^e±M, + ~v) >-l] . ИП II85 A6)

7 6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРЦЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
891
3.
ax2)Jv{xy)dx = -
1 1
22Qy-2Q-l
X
ИП И 85 A7)
Л
—ц—Я, и—Я, /
ft, и, к—Я. j-,//'
1,1
11
11
--f-J • ИПII116D5)
X CrS I -?г-
-(*-*•¦ Jt-
ii , ii
4 2 V" * 4 2
Re(/c+A,)<0, ReBX±2n±v)>--|-J . ИПII117D7)
6.
= Bv +1) 2-vyv-. [ i _ ф (_*_
Rev> i-J
ИП 1182A)
*,s
e г* Mt , t , (x*) Jv {xy) dx -.
•-?- ) 2'
Rev>-1]. ИПП82B)

892 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
8-
О 2
Г ^*+ 2 V+ 2
, Rev>-1, Refc<-g-]- ИПП83G)
f
9. J *»-*» e~*Vfe> д ^ *•) уv {xy) dx
^0, -l<Rev<2Re(ik+n)—|-J . ИП 1183(9)
10. J-a
о
_ ГA+у-ЭД 2„_^ *+д| \+и
~ ГA+2р) ^ У в iH
2a = -|- + ft + v-3fx, 2p = ^
[у>0, Rev>-1, Re(v-2fi)>-l]. ИПИ84A4)
11. l з iX
3 1
i-v—i-, 2p = fe
[y>0, Rev>-l,_Re(v-2fi)>-l,Re(fe-fi+4'v)<—i"]'
ИНН 84 A5)
\ 12.
ГBа4-1) oiC-k+3v-~v) *-^-5
»
-v, 2p= L + Zc-
ИПН83(8)

7.6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 893
13. § ,yl (X) (y)
If
г ( 4— к - „) {cos [(v -
- sin [(v + & - ц) я] TFa> „ D-
) + 4-. ReB|i-v) >-l] .
ИПII116 D4)
14. jj жз^+ve~jX*Mk, и.(-^х*^)Nv(xy)dx = я
хГ D— „-
>-l] .
ИПII 116D3)
15 Л a;2"+v e^"*2 J/ft B {ax*) Kv (xy) dx = 2Д~*~2<Д~г 1"++у»| х
X Г Bii + 1) Г Bfi + v + l)exp (-?-) WK,m (-g-),
2x= _3fi-v-A: — ~, 2/w = n + v-A + -|-
0, Rea>0, Re(ji>—L, ReB|A + v) >-1] .
ИПII152 (82)
7.673
г 2 4 J
¦м, ГЬЛ
= 0]. Бу128A2)м

894 6—7. ОДРЕДЕЛРИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
1(
'2
7.674
|
| |A4=U) Ч «¦
|-, Rev>-lJ. Бу128A3)
J
)
г <i+a.+v) г A+я,—v) г (i+я-л+е)
у + А., y + ^+fi + Q, ~ + X
— v, 1+2Я, i + X-k + Q; -a2
ИПII 409C7)
n 1 1 , 1
о, у T+|i-e. -j-^
Я, v, — X, —v, fe—e
yl. ИП II409 C8)
Функции Струве и вырожденные гин ер гео метр и ч еские
функции
7.675
ьХМк„ (у^2) Hv(xy)dx=
irD+*+i»)
I, —ц—X, ц—Я
г, fc—х— 4-, л. и
4*
.v, x=i-iv, /-4+
г)>--J, Re(ft-X)>0,
ИП III 71 D2)

7 6 ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
895
v)>2|Refi|—\, у > 0 J . ИПП171D3)
J2Vf
11
2
I, —ц—X, (x—Я.
1
_i_ i _л i_ ,_A_i_JL
4 + ^v, "—4 2V> T^Y
7
ИПП172D6)и
, Rev >-11 ИП II171 D4)
7.68 Вырожденные гипергеометричоские функции и другие
специальные функции
Вырожденные гипергеометрическае и шаровые функции
7.681
х
X
Г (u_,i_v -4) е>Ж,в(в),
[|argo|<n, Re(i>—i-, Re(*-|i)> Rev + i-l]. ИП II 403 A1)

896 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. \ ж 2(а
ГBц+1)Г(
[ | arg a | < я, Be
0
Г
гДг«:
? = у + 2(А + 1
< я, Re fi <
)г
(к
— а
1,
(*+n-v—i
' + 1)r<2|X~V)
Re(fi + 2v)<
4
]. ИП II403 A2)
Wo, a [a),
<v —
ИПII407 C21
4.
о
Г D-.-,-
. o
y — u + v, |
n, Ren<l, Re(p, + 2v)<l]. ИПН408C3)
°° 1 1 1 1
5. Jxli~7*~5v-2
I(ft+2jl_2v+5) i
<я, Re(A>—|, ReB(i-v) >-1 J. ИПИ404A4)
7.682
ffl, Refe>-l-Rev-y, Re A >--|-Re v J . ИПИ404A3)

/.в вырожденные I MiitpiJiOMiiTPiiMECKJUK функшш 897
2.
k
()
4v [|arga|< n, Rep, > —y,
ИПН404A5)
= A:-|x-2v — 2
[|arga|<n, Refi>-y, Rev >-1, Re(fe + n-2v) > i-] ,
ИП II 404A6)
Г
2q=1 — k+\i + v, 2a = fc + fi + 3v —2
< 1]. ИПII408 C4)
5-. jj
—A;, 2a =
|<n, Ren>0, Rev>0]. ИПП4О8C5)
Вырожденные гипергеометрические функции
и ортогональные полиномы
7.683
2
Г (ц-
[Rca>-1, Г.о(ц-а)>О, n = 0, 1,2, ...]. Бу129A4в)
57 Таблицы интегралов

898 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПИЦИ \ЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Вырожденные гипергеоме грические
и гипергеометрические функции
со !
7.684 <\xQ-1e~2xM
0
Лр+о-| Л *• W
Г (p) Г ("P h Y 4 20) ~
0, Re (a + p + 2o) > 0, ReY>0]
ИИ II 405 A9)
7.69 Интегрирование вырожденных гипергеометрических функций
по индексам
7.691 [ sech (nx)Wlx< 0 (а) РУ_„,0
J.
гсо
ЦП II 414 F1)
7.692 ? Г (-а) Г (с-а) ? (а, с; ?)?(е-а, c;y)da =
= 2mT(c)W{c,2c;x-Jry). ВТФ1 285 A5)
7.693
—со 2 2
= 2я2 Г Bft) {af>f (a + 0J "ft А"^ _ L (-^^") ИП II 414 F2)
2
— 7СО
y + v-(i-a;^)il/w+lx v(a) Л/Ц-.Х v (P) dx =-
Г Dv + 2) iW2M.,2v+|
[Rev>|Refi|--iJ • ИПII 413 E9)
7.694
[|lmQ|< jn, Rev>- |J ИП II 414F0)

7.7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 899
7.7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
7.71 Функции параболического цилиндра
7.711 96
Dn (х) Dm (x) dr = 0 \т Ф п]; У В II158
= и!Bл)г [т = п]. УВИ158
ОО
2. J D»(±t)Dv(t)dt^
о
[при выборе нижнего знака Reji > Rev].
Бу 117 A3а), ВТФП122B1>
3
о
БуН7A3Ь)к, ВТФП122B2)«
7.72 Функции параболического цилиндра, степенная
и показательная функции
7.721
4 (а; — г) Dn (г) da- = ± it>*™ Bл)г п\ е 4 D_n_, (T гг)
[верхний яли нижний знак берется соответственно тому, будет ли мнимая
часть z положительна или отрицательна]. УВ II162
1 1
2. [ x*(x-lf г ехр [ - ( I \ Dv.(ax)dx =
[Re (ц. - V) > 0]. ИИ II395 D) и
7.722
оо3 _1_ I
\ 2 2 2V sin^l - v)n
[Rev>-1]. УВШ61
[Refi>0]. ВТФН122B0)
57*

900 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
сю . з *
3. [ е~ * *' zv/)v-i (x)dx = 2 2 Г (v) sin \ nv
" [Re v>-l]. ИПП395(-2)
7.723
[Re у > 0, Re v > - 1]. ВТФII121 A8) а, ИПII 396 F) и
j _ i_ 'a
2. [ e~ * xt ж»-1 (я2 + v") 2 ?>v (x) dx = yv- *T (v) e1"" Z)_v (yy
[Re у > 0, Re v > 0]. ИП II 396 G)
3. ^^v-i A _ xtf-*e * /)_2,_2V (a.r) dx = [^ll] 2K-{e- D^2V (a)
о • ¦ .
[Re X > U, Ke v > UJ. ИП II 395 C) и
7.724
i
2]
]. ВТФН121A5)
7.725
OO V— i t
CO V—1
= (f) я'/pTi [Rev>-1]. MO 175
[Re6>-y].- ИП I 210C)
-4. j(V^)-le-("eZ)an(l/2i)&= 62'
[Re6>-i-J. ИП 1210E)

7.7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 901
ОС 1^
5. \ х
-i, Rev<l]. ИП 1210G)
« _1+P i
6. \e-ztt 2D-V[2(ktf]dt =
7.726 ^
ВТФИ121A1)
[ReX,>0]. ВТФН121A6)
СО —X
7.
0 ^ -1) 2
[Ree>0, Re6>-Re(i] ИП1211A3)
7.728 \{2t) 2е-р'е ы Dv^(-4=Adt=(±-Yp2 e-*V~v. МО 175
7.73 Функции параболического .цилиндра и гиперболические функции
7.731
00 л—- -
1. ? ch Bцж) exp [ - (a sh a:J] Dik Ba ch ж) dr = 2 ^V1^ u Baa)
Й
[Reaa>0J. ИПII398 B0)
OO
2 f ch Bцх) exp [(a sh r)8] Duh Ba ch ж) <fcc =
2 аГ(-2А) 2 Зд
[jarga| < ^-, Re*+|Ren|<0"| . ИПН398B1>

902 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
7.74 Функции параболического цилиндра и трш ономеч рические функции
7.741
1. [ sin (Ьх) {[?_„_, (te)p - [/>_„_г (- ix)f) dx =
[ si
* Ьп(Ъг) [Ь>0] ИП 1115C)
СО * i
2. \ е * sin (Ьх) D^tl {x)dx = (— 1)" |/4[- 6an*le 2
[6>0J ИП1115A)
CO 1
[b>0] ИП160B)
4. \ e * sin(te)[D .(я) — /) ,( —а:)]Л =
2v—
[Rev>l, 6>0j ЛП 1115B)
00 -ix»
5. \ t 2 cosFa;)[/) ,(a;
J 2v--
2V__
1-2V 2v-| -if»-!
4 ^й \ 4
\ 4
4) "J
[Rev>l, 6> oj ИП161D)
7.742
sin (аж) e
 I
И11И396(8)
J
2
Q — V, — li
[a>0,
II 396 (9)

7 7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
903
3 [ ж2»-1 соз(аж)е
о
5?
11 1 a*\
2 ; у. Q — V + 2 . - 2 J
lReg>0]. ИП II396 A0) it
1 . \
л v n _
[a>0, Ree>0, Re(e + v)<yJ . ИП II 396A1)
я
7.743 \ (cos x)~]y~2 (sm x)~4 Dv (a sinx) D^ (a cos x) dx =
[Rev< 1,
ИП II 397 A9)
7.744
\ sin (te) fZ) , (УЩ -D
1 , 1 -\ 1
у- + — v } л \
[6>0] ИП 1115D)
— -1Л nl
[6->0] imi60C)
7.7Г) Функции параболического цилиндра и цилпцдрпческие функции
7.751
ИП II20 B4)

904 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.
6
[ у > 0, | arg а | < i- ж ] . ИП II17 D2)
со
3. \ J0(xy)Dv (x)Dv+i (x) dx —
о .
= 2Y№(-y)J)v+.(y)-O»+i(-y)Dv{y)]. ИП II 397 A7) й
7.752
>0, Rev>-yJ . ИПII 76A), MO 183
2. ? ^e4^?»2v-i(a:)JrvB;s')da: = 22~vJigin(vnJ/-vrBv)^!'i!ii:v('-i-s'2')
и
[»>Q. -4-<Rev<yJ • ИП IL77D)
°° ' .
3. t a;v+« e~* *Z?>2V («) ^v (жу) da; =
о
= 4 sec(vji) yv-ie-4y2 [Zj2v+) (y) _ Z)jv+1 (__ y)]
[y > 0, he v > - 1J. ИГ1II 78 A3)
y 4 ^ 2/v [D2v (y) -I- D,v ( - y)\
[y>u, Kev>-jJ . ИПИ77E)
CO j '
5 ? "i''''
о
. = — y sec (¦v.h) yve xV [ZJv+2 (у) + D2v+2 (— ?/I
[Rev> —1, </>0]. an II 78 A6)
6. \ a;v+ie4 />2v4-2 (ж) Л (ху) dx =
i
= я'1 sin.(vn) Г Bv + 3) y-v~2el v Kv^
0, -1< Rev <~4J ¦ ИП II 78A9)

7. J
7 7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 905
—*» — - —и8
[у>0, Rev>-1] . ИПП77(8)
1 1 -
е^ D-2v (#) Jv (xy) dx — у*~1е* Z>_2v (у)
[Rev>--i, y>OJ ИПИ77(9), ВТФ II121 A7)
?*-2v-2 (ж) -^v (жу) do: = Bv + 1) 1yv«4 Z>_2v-i («/)
[y>0, Rev>-{] . ИПН77A0)
со i
10 ? xve~x a** D2ll (ax) /v (xy) dx =
о
[y>0, |arga|<|n, Rev>-yJ. ИП II 77 A1)
» i
И. С ^e* a™D2ll(ax) /v
°
[ 4 D)J ИПИ78A2)
ft —-- йЗзс2
12 \
[»>0. |arga|<^, Rev>-lJ. ИПII79B3)
13 \x^+ie1' D2v, (ax) Jv (xy) dx
о
г(т+-J§
; = (i — v— 1, 2m =
\y>0, \Arga\<±n, -l<Rev<-|--2Rei*] . ИПII79B4)

906 fe—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
14 \ x Чк ° Dp, {ax) Jv {xy) dx =
2 2 л
, |аг8а|<-|-я,
15
16
3 A.-4-v
4 + 2 '
^ 3 Я—у
2 4 + 2 .
ИПИ80B6)
Rev>-i-] . ИПП79B0)
11
> 0, Rev>-1] HIJ 1179B1)
17 ^*v+ig4
18 \
[г/>0, Rev>-1]. ИП II 79 B2)
^
|aiga|<|-n, -T<Rev<4] ¦ ИНН 115C9)
7.753
\ х
о
Bax)
1 -i v-1
: = \n 2r(v)a 2/>_vBa)
[Rea>0, Rev>(] ИП II 397 A2)
«
Л1
= ^-n 2F(v)a 2/)_vBa)
[Rea>0, Rev>l]. ИП И 397 A3)

7 7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 907
7.754
1. ^ хУе 4 Х {[ 1 Т 2 cos (vn)] Z>2v-1 С?) - Asv-i ( - ж)} Л, (жу) cfe =
о
= ± гЛ-'е 4 {[1 =F 2 cos (vji)] ZJv_, (у) - Z>2v_, (- г/)}
[у > 0, Re v > —1J . ИП II 76 B), ИПII 76 C)
00 - - ж"
J 4 *
ж)} /v
= =F Ге 4 {[1 =F 2 cos (vji)] />2v(y) + l>2v (- y)}
ИП II 77F), ИПИ77G)
2 cos (vn)] D2v (ж) + D2v ( - ж)} /v (a:y) da; =
= ± yv~l e~^{[l ± 2cos(vn)]ZJv+, (y)-D2v+i (-y)}
[y>0, Rev> -1| И111178 A4), ИП II 78 A5)
4 \ **+• e * * {[1 T 2 cos (v«)] Z>2v+2 И + #2v+2 (- *)} "^v (ay) dr =
= ± J/Ve 4 {[1 T 2 COS (Vn)] D2v+2 (y) + />2v+2 ( - У)}
\y > 0, Re x > - 1J ИИ II 78 A7), ИПII 78 A8)
7.755
00 I i i i 1
_I i
1. \or 2Dv(a2
4
> 0, Re a > 0]. ИП II17 D3)
i ijo i -ijll -
\ek x2)D , (ae 4 x2)Jv(xy)dx —
2
-1 (a2 + 2y)" ^ f Г
, Rea>0, Rev>-4] • ИПП80B7)

1 08 6—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
J -2-v -—
3. \ D (ае4 х 2)?> , (ае 4 х *)Jv(xy)dx =
[r(v+-i)]exp[-aB#]
[г/>0, Rea>0, Rev>-iJ ИП II 80B8)u
т i i i
4. f ж2/) t (ai 2) D , (ax 2)iVv
I 0 2 2
•i 1
2
= y 2exp( — y2\^J
^j ИПИ115D0)
5 \ r2D , (ax 2) D t (az. 2) Kv (xy) dx = 2^y 2 л exp [ — a ByJ]
V-2 -v~2
[Rev>0, |argo|<-jn] . ИП II151 (81)
Функции параболического цилиндра
и функции Струве
7.756 ^
о
>0, Re((A + v)> --j' Re|*>—l]. ИПИ171D1)
7.76 Функции параболического цилиндра и вырожденные
гипергеометрпческие функции
7.761
iC
1. ? е4 t^-W^(t)lFl (а; с; -±-
Ъ V
„I Г Bс) Г (-iv-«+«
1, Re с> 0, Rev >2Re (с-а)]. ВТФИ121A2)

7 7 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 90У
2. ^е1 V-a.D_v (f) ^ (а; с; -у^2) <Й =
{, Rev>2Re(c-a)-l] . ВТФИ121A3)
7.77 Интегрпровавпе фувкцвв параболического цилиндра по индексу
оо
7.771 \cos(ax)D ,
= 0 [|о|>-|я]. ИПII398 B2)
7.772 '
' V 1
4
(^Ctg у ф^ ^
¦ф
1
= - 2i BяJ ехр [ - \ i (|« - т)г) cos ф —i ^т| sin ф J .
ВТФ II125 G)
2.
s
2^ Г4!?4.(в\ i^ ita
cosT(
---г» 2
— 2t Do I e4 ( С cos 4 ф + т) sin -i- ф ) J x
i
x/)., [е^^совуф-^туф)] . ВТФII 125(8)
7.773
—A#-zt--t*
\ Dv(z)tT{-v)dv = 2
— гоо
[с<0, |arg/|<|-]. ВТФ 11.126A0)

910 8—7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ О* СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
С+1ОО
ВТФ II 126A1)
с-(~гао
7.774
[-1<с<0, Rei*>0]. ВТФ U125 (9)
7.8 ФУНКЦИИ МЕЙЕРА И МАК-РОБЕРТА «? И Е)
7.81 Функции G, Е а элементарные функции
7.811
1 pn+y,, tn+v f И
[тп, я, jo, g, ц, v, а, т —целые; l<re<jo< q < jo + т—а,
m<g, 0<v<a, ^о + |т--
1 (/=1, ..., я; к = 1, .... т);
не должны быть целыми:
b]—bh (j: = 1 то; fe = 1, , т; J ф к),
dj — ah (] = 1, . . ., я, &= 1, ..., п, i Ф к).
,(/ = 1, .... я;/с=1, .... я),
не должны быть целыми положительными:
а,— ьи (/ = 1, ..., re; fc = l, .... m),
c,—dh (/=1, ..., v; fc= 1, ..., ц);
и=^0, ti^O, |argii| < (^те + ге —у p—-j gj л,
|drgw|<
Формула 7.8ll 1 ямеег mrcio еще для четырех совокупностей отрапутртшч
См. С. S. Mejer, Neue Integralcldrstellungen fur Whittakersche Funktioneu
Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 44 A941), 82-92 ИП II 422 A4)

7 8 ФУНКЦИИ МЕЙЕРА И МЛК-РОБЕРТА (Ь и Е)
911
либо
либо
¦з.
либо
либо
:;;;;;; Г;) *> -
Г (/>+?)< 2 (от + га). |arga| < Г/и + я —у/У —у дЛ л,
6,)>0; у = 1, ..'., m; Rea>0,
), |arga| <
Re (q+ &,)>.; /=1,
... m; Rea>(),
jD< ^ (ИЛИ J0<9 ПРИ lal < 1)>
Re(p+b,)>0; /= I w; Rea> oj. ИПII 417A)
). |arga| < Qn + n — ~ p — ~ g^ л,
a— at) > — 1; / = 1, ...,«, Rea>0,
P
Rc(Q — a — a;) > — 1; ; = 1, ..., n; Rea>0,
P Q
Re
(или <7<р при | о| > 1), Re (q —о —о,) > — 1;
/=1, ..., я; Reff>0]. ИП II417 B)
т. п
[] Ги>,Ч-о) Ц ГA-о,—о)
a-o
I] Г .!-*,-«)
га), |arga|< (^m + n — -j p — |
— min Re 6 < Re q < 1 — max Re о 1. ИП II418 C) и, ИП I 337 A4)

У12 6—7 ОПРЕДЬ, ТЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ. ФУНКЦИИ
, |arga|<
Re (q + 6,) > О, / = 1, ...,m,
-у р-у?) я,
я,
либо
Р<4,
)>0, ; = 1, ..., да, Re(Q-a + a,)
Re
= 1, ..., я,
либо
;<х|<^ лг+ и — у/» — у?) л, |argP| <л,
Ь,) >0, ] = 1, ..., m, Re (q — ст+• а,) < 1, / = 1, ..., я,
р q
Re [2 а,~2 й; + (/р-«) (е-у)] > *] ' ИП 11418D)
7.812
¦Г(у —I.
[ReY>ReP>0, лг = 1, 2, ...]. ИПII414B)
2 ^ х°~1 A+хГаЕ[аг, ...,up:q1 Qg:A + х)z]dx =
= Г(Q)?(alt ..., ap, o—q-.Q!, ...,Qq, o:z)
[Re a > Re q > 0]. ИПII 415 C)
ИП1338A9)

7 8 ФУНКЦИИ МЕЙЕРА И МАК-РОБЕРТА (G и
913
7.813
|arga|<
ft, ft,
(argPK-i-я,
ИПП419E)
0, g-. °i. •••> av
, |arga|< (^m fn — -^ jo — у gj я,
|argp|<4-«, Reft,>—i. ; =
ИПП419F)
7.814
1 + p, Cl
, Re(ar + P)>0, /• = !, ...,p, |argz|<n. Формула верна
и при jo< 9+1, если только интеграл сходится]. ИПII 415 D)
2
= Bя)
P-2
ИП II415 E)
7.815 •
0,
с>0, Refcj > —
58 т аблицы интегралов
|arga|<
= 1, 2, . .., от,
Op, -=-
— yjo— у tf) л,
—, / = 1, ..., «J .
ИП II 420G)

914 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. J cos (ex) G™
dx =
—, Oj, .... ар, О
— ^-p—~ q^ я,
[р+Я< 2 (иг + га), |arga|<
с> С, Refy >—у , / = 1, ..., /и, Rea, < y. / = 1. .... и] .
ИП II 420 (8)
7.82 Функции G, Е и цилиндрические функции
7.821
_ Л п+1 I
Q—
. 1
), |arga|< (т + п— у/> — у
_ 1 + щах Re а, < Re о < 1 + 4" Rev+ min Re b,~] . ИИ II420 (9)
«!
2 ? x-oiVv B Vе*) G™
= GZ
1_ ,JLv a _,_* *_,
2 2t 2 2
, , ,1,1
h bq, q+^+^-v
[p+q<2(m + n),
— ^-+ max Re a, <Reo< min Re 6, +-i !Rev|+ l]
ИПII420 A0)
2 (иг + га), |arga|< (иг + га —-|
ReQ<l-4lRev!+ min Rei,
it,
ИПII421 A1)

7.8 ФУНКЦИИ МВЙЕРА И МАК-РОБЕРТА (G и Е)
915
7.822
(хУ)g%
rm, rt+i
P+2. в
ft, Ог, . .., Op,
¦)•
, 1 1,1 ,1
«), |arg?i | < (jn-\-n— yjo— у ?) л>
v)>-y, /=1, 2 m,
Re(o, + q)<-i, ,/ = 1, ...,«, г/ > 0] . ИПII91 B0>
2 \ v2N I
0
11,11
T + _.V, ft-T_T
Reo,< 1, / = 1, ...,«,
11
T — alt ..., -rr—ap, I,
, 11
n- i-p- -1 ?^) л, г/> 0,
-|-, / = 1 w
ИПII119 E6)
3 [ x2K
О \ X Лл
v {xy) g
3 i 1
9 !) 2, 2rn+2,m[ У
= 1 К у О-ч,р+2 I -g?
, , 1 1
«• *. у —ai "~a*
-^-p-~ q^j к,
[Re?/>0, p+g<2(m + n),
Re6;->-i|Rev|-4- Z^1' •••. m] • ИП 11153(90)
58*

9i6 6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
7.823
.... ap:Qll ...,
х
X Е К, .... av+2m .Ql, ...,Qq: Bm)-2™ ze~™\ +
+ exp [-[n(P-v-l)i] x
X E [av ..., Ор+гт: Qv ..., Qq . Bт)~гт
_ p — v+2/c — I
— 2m
P+v+2fe—2
2m
иг=1, 2, ...; k= 1, ..., m
2m
-|., r=l, «..,
ИП II415 G)
ap+2m. 6l Qq : Bm)-Zn z],
-2 _ P-v+2A-2
' aP*m*h— 2m ' ~ X> ?* "" m
[ReP>|Rev|, m=l, 2, .. J ИПП416(8)
7.824
-I,
, 1
v
7.
——a h к
& J
3 , v
, |argX,|<
0,
Rea,
= 1 n,
m] . ИПН172D7)

7.8 ФУНКЦИИ МЕЙВРА И МАК-РОВВРТА (G и Е)
917*
h bq
1 1
dx =
—|-p— -i ^^ я,
max
( —-^-, Re^- )+ max Re a, < Reo< min
ИПII421 A2)
7.83 Функция 6r, i? в другие специальные функции
7.831
либо
7.832
l a
-p; a; 1— x)x
— Г Гп\Гт+2-п fn\a4 •-••eJ>" A+i' + ff — С«СЛ
-1 {a) Gp+2- «+ЧaU,x. frt 6, J
+ n), |arga|< (jn + n — \p— у ?) я,
Rea>0, Refc>ReX>Rea,— 1, / = l, ..., и,
Rea>0, Re?>ReA,>Rea, — 1, /=l n,
ИП II421 A3)
Vx
av :€l p, :
BяJ m
>|Ren|—|-t яг=1, 2, ...]. ИПН416A0)

8.-9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
8.11 Эллиптические интегралы
8.110
1. Всякий интеграл \ R(x, \^Р (х)) dx, где Р (х) — многочлен третьей
или четвертой степени, может быть приведен ь линейной комбинации интег-
интегралов, приводящих к элементарным функциям, и следующих трех интег-
интегралов:
dx ? Vi — №x* , ? dx
— x*) A —/A:2) ' J ]A—-r.2 '
которые называются соответственно эллиптическими интегралами первого,
второго и третьего рода в лежаидровои нормальной форме. Результаты
такого приведения для часто встречающихся инте! раяон даны в формулах
3.13 — 3.17 Число L назьшастся модулем лих тпа радон, число к' —уЧ —/с2 —
их дополнительным модулем, а число п— параметром интеграла третьего
рода. Ф II 97 — 106
2. Эллиптические интегралы подстановкой ? = sin<p приводятся к нор-
нормальной тригонометрической форме
у 1—
ФII106
Результаты приведения интегралов от тригонометрических функций
к нормальной форме см 2.58—2.62
3 Эллиптические интегралы, взятые в пределах or 0 до у , называются
Полными эллиптическими интегралами.
8.111 Обозначения:
2. Эллиптический интеграл первого рода.
sin ф
s
dx
- /l — k^si^a J /A —х2)A—

8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 919
3. Эллиптический интеграл второго рода:
Ф sm ф
V\Z^L dx. ФИ 133
4. Эллиптический интеграл третьего рода:
ф Sin ф
р da ? dx
П(Ф, и, А) = J A^„ sin^ a) ^i^^sTaV? = J
ф
5. f ^ &) g CP fc> \ I
'"~ ft2 ""
6
8.112 Полные эллиптические интегралы:
1. К{к) = .
2.
3. JST (fc) = /¦ ^, ft') = JS" (A')-
4. JB' (Й-) = E (~, A' ^) = Ш(к').
ч n л /^ я ьЛ K—JB
5. D = ?»fv—, fc j - fe8 .
При записи полных эллиптических интегралов модуль к, служащий незави-
независимо!! переменной, часто опускают и пишут так.
Щ^К(к)), Я*(=Ж'(*)). В(=В(к)), Е'(= JE'(к)).
Представление в виде ряда
8.113
Т"/?D' Т> 1; **) • ФП487, УВП342
См. также 8.197 1., 8.197 2.
8.114
ГBп-1)!1 I
~L 2»l J ЛГ=Г
)• ФП4В7
4 *

920 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
•¦¦}• Ж43A58)
21
256 I. 144 40«'2 «'4 +
, 1 Л 1 /' 5 9 1 , 14
р^1а~, к' = Ае'р, А'г = 1 — к*, n'2=l —n2. Ж 44 A63')
Тригонометрические ряды
8.117 При малых значениях к и <р можно пользоваться рядами
2 . / 2 2-4 . . \
1. .F Up, к) — — Х(р — sm ф cos cp f а,л-\- -^ a.sm (p -\- „ ,. а2 sin ф + ... ),
где
ов = —JT-1; а„ = а„ ,- Г B7!)!' l^2"- Ж10A9)
2 /^2 2* 4 \
где
"'П'г^Т- Ж27(86)
8.118 При к, близком к 1, можно пользоваться рядами:
где
ао = —Л — 1, а„ = а„_1— ^—^j^—J Л; .

8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
921
2.
где
V_1F_1 v __h. ГBп-1)!1 12 k'm
°<>- ji U °n-on-t [ 2„в, j 2b_j .
Разложение полных эллиптических интегралов по полиномам Лежавдра
см. 8.928.
8.119 Представление в виде бесконечного нрошъедения.
П=1
где
Ф II 166
См. также 8.197.
8.12 Функциональные соотношения между эллиптическими интегралами
8.121
1. F( — ф, &)= — ^(<Ь &)¦ ЯЭ151
2. ?(-ф, к)= -Е{<р, к). ЯЭ151
3 F (пл ± ф, к) = 2пК {к) ±F(q>,k). ЯЭ151
4. Е (пп ± ф, к) = 2«^ (fc) ± ? (ф, fc). ЯЭ 151
8.122 Е (к) К' (к) + Ж (к) К (к)-К (к) К' (к) - -| . ФII691, ФII791
8.123
. дР _ 1 /E — k'^F ft sin ф cos ф
9 <^g (*) _ E (к) К (k)
Zl dk ~ kk'1 к '
Ц
3.
дЕ E—
дк к
dJSjk) JE(k)—К (к)
dk ~ к
МО 138, БФG10.07)
ФИ 691
МО 138
ФII690
8.124
1. Функции К я К' удовлетворяют уравнению
с'2 du\ кл—0
2. Функции jB и Е' — Ж' удовлетворяют уравнению
УВII371
УВИ371

922
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Формулы преобразования
8.125
1.
2.
3.
4.
МО 130
1 — к' .
МО 131
. 4т?)=
2Е (ф> fc) -
~
-Л:28Ш2ф]
j sin i() =
8.126 В частности,
1. 1
2. j
3. J
4.
8.127
МО 131
МО 130
МО 130
МО 130
МО 130
h.
fe y
к'
к'
1
т
1
к'
ft'
тг
,, bin ф
— 'tg<P
ft sm ф
— гк' tgф
— jft smtp
ДФ
COSfl
COS ф
Дф
sec ф
Дф
Дф
СОЭф
1
Дф
&'^(Ф, ft)
— iF(q>, ft)
ft/1 (ф, ft)
ik'F (ф, ft)
— ikF(<p, ft)
1 rE 7. *»вшФсоьф|
-^- [E (ф, *) — ft' 2F (ф, ft) — Дф tg ф]
k у (Ф, t) /-(cp./r) Дф J
(cm. 8.111 1.). MO 131
MO 130
MO 130
MO 130
Интегралы от эллиптических интегралов см. 6.11 — 6.15; неопределен-
неопределенные интегралы от полных эллиптических интегралов см. 5.11.
8.128 В частности,
2.
3.

8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 923
8.129 Частные значения:
- МО130
2. Ж'A/2-1)=./2 Я (/2-1). МО 130
3. iT ( sin |Q = У 3 If ( sin |?) . МО 130
4. Я'^|)=1Г'(|^|)=2ЯA8^). МО 130
8.13 Эллиптические функции
8.130 Определение и общие свойства.
1. Дробная функция /(z) комплексного переменного называется
эллиптической, если она допускает два периода (является двоякоперио-
дической) 2o)j и 2со2, т. е. если
/ (z + 2moo1 -\- 2wco2) = / (z) [?и, и — целые числа].
Отношение периодов эллиптической функции не может быть дей-
действительным числом. Для эллиш ической функции / (z) плоскость z
можно представить себе разбитой на параллелограммы—параллелограммы
периодов, вершинами которых служат точки z0 |- 2mai1 -f 2nco2. В соответ-
соответствующих точках этих параллелограммов функция / (z) имеет одинаковые
значения. Ж 117, Си 299
2. Пусть а—угол между сторонами а и Ь параллелограмма периодов.
Тогда
аь а
т = —-!- = — ет о = е1т = е
ш Ь ' ч
—г- л sin а
ь
cos Г у я cos а \-\-i sin Г у л cos a j
14 3. Производная эллиптической функции есть также функция
эллиптическая (с темп же периодами). См Ш 598
4. Эллиптическая функция, отличная от постоянного, имеет в парал-
параллелограмме периодов конечное число полюсов: не минее двух простых
или одного полюса второго порядка. Ilycib эт полюсы находятся в точках
ot, о3, . . ., ап п имеют соответственно порядки ах, а2, . . ., ап. Пусть н^ли
эллиптической функции, лежащие в одном параллелограмме периодов, суть
Ь±, Ь2, . . ., Ьт, и пусть порядок этих нулей соответственно равен рх, рз, . . ., Рт.
Тогда
Число у, равное этой сумме, называется порядком эллиптической функции.
См III 599, Ж 118, Си 300-301
5. Сумма вычетов эллиптической функции относительно всех
полюсов, принадлежащих параллелограмму периодов, равна нулю. Ж118
6. Разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов эллип-
эллиптической функции, расположенных в параллелограмме периодов, равна
некоторому ее периоду. ' ¦
7. Между каждыми двумя эллиптическими функциями с одинаковыми
периодами существует алгебраическое соотношение. Fylljlol
8. Однозначная функция не может иметь более двух периодов. Гу llt 147

924 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9. Эллиптическая функция порядка y принимает любое значение
в параллелограмме периодов у раз. См III601, Си301
8.14 Эллиптические функции Якобы
8.141 Рассматривая верхний предел ф интеграла
ф
Г da
и —
У 1—&2 sin2 a
v
как функцию от и, пользуются обозначением
ф —amu
и называют этот верхний предел амплитудой. Величину и называют аргу-
аргументом и зависимость ее от ф записывают так:
и = arg ф.
8.142 Амплитуда является бе ск он ечнозн ачн ой функцией и, обла-
обладающей периодом, равным 4йГ« Точки разве1вления амплитуды
соответствуют значениям аргумента
u = 2mK + Bn+l)K'i, Ж 67-69
где т и п — произвольные целые числа (см. также 8.151).
8.143 Функции
sn и — sin ф = sin am и, en и = cos ф = cos am и,
называются соответственно синусом амплитуды или эллиптическим синусом,
косинусом амплитуды или эллиптическим косинусом и дельтой амплитуды.
Все эти эллиптические функции были введены Якобиан носят его имя.
Си 16
Эллиптические функции Якоби являются двоякопериодически-
ми функциями, имеющими в параллелограмме периодов два простых
полюса. Ж 69
8.144
dt
спи
2. м =
f dt
J у a—*2)<
„ f dt
3. и = \ , .
J V A —i-'H*2—ft'2)
8.145 Представление в виде степенного ряда:
Си 21 B3)
Г V* " / V Г'" - )
йпи
78H+^±g|f._ ^ {]u\<\K'\l Ж81(97)

8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
925
2.
з.
4.
|и|<|Я'Й. Ж 81 (98)
Ж81 (99)
Ла380D)
8.146 Представление в виде тригонометрического ряда или произведения
ПК-
1.
n.T sin{2п-!)¦—.
—
^
2. спи = -gL 2 -^^г сое Bп -1) ^.
3.
4.
5
6.
п=1
УВII358, Ж84A08)
УВ II358Й, Ж 84 A09)
УВИ358, Ж84A10)-
УВН358
8.
IK
Ла 369 C)
-1)^- Ла369D)
I
ложения 23—25 годны в любой конечаой части и.
1
— itlmt; раз-

926
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
11.
12. ^iL= *
п=1
15Г
2ir
14
en и dn и
ьпи
_ я Г . пи
16.
sn «спи
dn«
" Г 1
71=1
оо *
ir J
20.
21.
22. In dn и = - 8
inaBn-
яи ,
23.
24. шм =
ли
l+2g2ncos -W-+94"
TT
Ла 369 E)
Ла 369 E)
Ла369F)
Ла 369 G)
Ла 369 G)
Ла369G)
Ла369(8)
Ла 369 (8)
Ла369B)
Ла369B)
Ла 369 B)
Ж 86 A45)
Ж 86 A46)

8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 927
25. dnu = Vk' П й^ Ж86A47)
П 2
Г" I 1
МО 147
27 -J_ = -*L 2 ли К-Д 2яг у * К
Cjlmr]. MO 148
8.147
CO
2 я • MO 149
2- спв=ш 2 . я f(~T ng • MO150
3. Aпи = ^- 2 5—*—— • MO 150
n=-oo tg -STF- [и—Bn — 1) гЯ']
8.148 Разложения Вейерштрасса для функций snu, спи, dnu:
В С л D
sn и = —г-, спи — —г, ади = —Г,
Л А А
где
= 2к2, а3 = 8 (А:2 + ft*), а4 = 32 (А;2 + fee) + 68&4, а5 = 128 (к2 +
+ 480 (&* + к9), ав = 512 (ft2 + А:10) + 3008 (А:4 + fc8) + 5400fte, ... ]
['•, = 1, 6Х = 1 + А:3, &2=1+А:* + 4АЛ Ь,= l + *f+ 9(ft»+**).
6(ft2 + A;e)_6A;*, 6S = 1 + fe10 + 25 (А;2 + ks) - 494 (А;4 + А;в),
Ьв = 1 + fe12 + 36 (fta + А;10) - 5781 (ft* + А;8) - 12184А:в, ... J.
4, с4 = 1 + 12ft2 + 60ft* + 32ft«,
с5 = 1 + 20fta + 348ft4 + 448A;» + 128ft8,
ce = 1 + 30ft2 +2372ft* + 4600ft6 + 2880ft8 + 512ft1», ...].

928
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
n=0
*» Bn)!
, d3 = 8fe2 + 6/c4 + fee, d4 = 32fca + 60A;* +
[d0 = 1, rf, = /с2, da = 2&2
d5 =
d6 = 512fe2 + 2880/c* + 4600fe6 4- 2,372ks + 30ft" + A12, ... ].
Ж 82-83 A05, 106,107)
8.15 Свойства эллиптических функций Якоби
и функциональные соотпошепия между ними
8.151 Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби.
1.
snu
cnu
dnu
Периоды
4mK + 2»K'i
Нули
l2m+l) K+2nK'i
Bm+l)fi: +
Полюсы
2mK+Bл+i)K'i
Вычеты
(-D-4-
(-i)--i-
См HI 630, Ж 69-72
2.
, CD К
sn«* = -j
dnu
• ,, sn u
en «*= —k —
dn и
dnu.* — ft'-r^—
dnu
1
/csn u
t dn «
к sun
en и
sum
u+K + iK'
I dnu
/c en «
tft'
к спи
,*' ЗП"
спи
u+2K
—sn и
— СП И
da и
м+2гЯ'
sn«
— СПИ
—dn и
«+2К+2гЯ'
—snu
спи
—dn«
3.
sum* —0
en и* = 1
—и
cnu
dn к
1
j/F
VTF
VTP+,V1=*
I
V*
yr+i
См III 630
«-j-2mK-j-
Си 19, Си 18 A3), УВН344, УВП352, УВН352, УВИ348

8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИПТЕГРАПЫ И ФУНКЦИИ
929
ж
S
я
аз
§
¦в
о
I
е
-«Г
о
а
о
3
3 I
а
тз
S
о
I s
о
а е
-о -
я
-а
-- *
с;
-а
I i
I s
5" а"
¦*" w
^-" (Г
Я je
° I
i *-
и
tr
-3 с
«, ¦»
с —
tr -u;
+ i
т
¦3 g
s ?
-1- -^
" Т
-ае
* I
с -г
+ s
+
_3,
$-
¦a
X
¦о
с -3"
3
а
~ аз
f
—I
V.
з 3 5U.
& -» з з * *ь; .a? I"*;
¦§ 3 .»¦*•* 1 2 V
~a S
4- ro
a
-a
+
1
СЧ
4
I"
>
"О
^f
a
-a
<
с
-a
с
-a
lie
s
3
59 Таблицы интегралов

930
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
4. sn (в, к) = к'1 sn (ku, к'1).
5. си (и, к) = dn (ku, к'1).
6. dn(u, fc) = cn(uu, ft).
7. sn (и, iA
8. cn(u, **)-
9. dn(u, ?
¦j/ l _j- fcs dn (а У1 -+
1
en(a(l+uaJ . *(H
dn(a(l+fc*I/2. fc(i-
1
-A;2, Ml+fc4)-1'*)
i
-*•) 2)
Функциональные соотношения
8.154
1.
2.
3. dn2u =
4.
5.
8.155
1.
2.
1+dni
cn2tt-j-dn2«
1—dn2«
sn2 и en2 u
dnau
1 — en 2.u sn2 u dn2 «
8.156
sn и en о dn о ^ sn о en и dn и
1 — &•» sn2 « snz у
en и en о ^F sn a sn о dn u dn t>
1. sn(i*±w'
2. cu (u ± v]
_ . . . dn ч dn t> ^p fc2 sn u sn v en и en о
Си 50 F4)
Си 50 F5)
Си 50 F5)
Mo 146
Mo 146
Mo 146
" Си 16 (9)
Си 16 (9)
Mo 146
Mo 146
Си 46 E6)
Си 46 E7)
Си 46 E8)

8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
931
8.157
1+dnu
1—dn«
3. dnT=±
8.158
1. -г- sn и = en и dn u.
2. 5~ cnu= — snudnu
du
3.
= = ± к< l/.1-cn"
-1- г Апьс— сп
Си 47 (ОД СЬ6ГA5)
Си 48 F2), Си67A6>
Си 48 F3), Си67A7>
Си21B1>
8.159 Эллиптические функции Якоби являются решениями следующих диф-
дифференциальных уравнений:
d
о _
О. "Г"
Си 21B2>
Интегралы (неопределенные) от эллиптических функций Якоби ем. 5ЛЗ_
8.16 Функция Вейерштрасса §*(и).
8.160 Эллиптическая функция Вейерштрасса g> (ы) определяется равенством;
1. У (Ю~^+ ^'{(uZm^^,» ~ B^ + 2»^ } ' . Си 307F^
где знак 2 указывает на то, что суммирование распространяется на все
комбинации целых значений т и п, за исключением комбинации ш — п~{)^
а 20»! и 2со2 суть периоды функции f(u). Очевидно,
2.
3. ¦?»<»>=-2
и Im (jj
0,
(« — 2Л1С1)! — 2nco2)a '
где суммирование распространяется яа все целые значения т и п.
Ряды 8.160 1. и 8.160 3. сходятся повсюду, за исключением полюсов»
т. е. точек 2ты1-\-2пи>2 (т и п—целые числа).
5а»

932 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫ!- ФУНКЦИИ
4. Функция <tp(u) является периодической функцией 2-го по-
порядка, имеющей в параллелограмме периодов один полюс второй
Кратности Си 306
8.161 Функция §>(и) удовлетворяет дифференциальному уравнению
1. Г ~ Чр (м) 1 2 = 4§>8 (и) — g2<@> (и) — gs, Си 142, Си 310, У В II 267
где
2. е*= 60 У'(то ~'
пъ п т, п
УВН268, Си 310
Числа g2 и g3 называются инвариантами функции §> (и).
где е1, е2, е3 суть корни уравнения 4z8 — g2z — g3 = 0, т е.
- 0- е\Ч + eiea + e3ei = —f" - е1е2ез = X Си 142> Си 143- Си
8.163 у(ш1) = е1, §>(<Dj + (Bj = е2, 4?{ш2) = е3, при этом предполагаемся, что
если точки ех, е2, е3 лежат в комплексной плоскости на одной прямой, то
е2 лежит между еу и ея
8.164 Число Д — g\ — 21 g^ называется дискриминантом функции Щ>(и).
Если А > 0, то все корни ev е2, е3 уравнения 4z3 — g2z — g3 — 0 (g., и gs —
действительные числа) действительны В этом случае нумерацию
чисел еи еа, е3 произ]:одят так, чтобы ех > е2 > е8
1 Кслп Д > 0, то
о. = \ — -
1 J У4гЗ —г,2-
=г , ш, = г
где ш1 — действительное) а <о2—чисто мнимое число; при это\г значения
корня под знаком интеграла выбираются так, чтобы шх и -^ были поло-
положительны Си 150A5), Си 150A6), УВ II 276м
2. Если А < 0, то корень е2 уравнения 4z3 — g^z — gs = 0 действите-
действителен, а остатьные два (ех и е3) комплексные сопряженные Пусть
е1 = ал-ф, fз = а — Ф- В таком случае в качестве основных полупериодов
удобно выбрать
оо оо
С dz „ [' dz
Интегрирование в первом интеграле производится по пути, целиком
лежащему в верхней полуплоскости, а во втором—по пути, целиком лежа-
лежащему в нижней полуплоскости. Си 1о1{А2.), Си 151 B1)
"8.165 Представление в виде ряда:
1- Ь1)(")--^--гГ5+ТТ+23-Т5^+ 24 5 7 11+ • SBll^bS

8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 933
8.166 Функциональные соотношения:
1. S0 (") = §> (- "). Y (") = - Y (- ")•
2. su (u + v) = - g> (u) - у (р) +1 [ ^ $I*'ff ] 2- Си 163 C2)
8.167 <§>(u;g2, gs) = \i2f (цм; -i-f-, -^f-V (формула однородности). Си 149 A3)
Частный случай: ji = i.
8.168 Любая эллиптическая функция может быть выражена через эллипти-
эллиптическую функцию 8>(м), имеющую те же периоды, что и данная функция,
и ее производную <$>' (и); выражение это рационально относительно $> (и)
и линейно относительно tf' (и).
8.169 Связь с эллиптическими функциями Якоби. При Д >0 (см. 8.164 1.)
. Г и \ , . , сп2 (и; к)
Си 145E), Ж 120 A97-199) и
2. 0),= ,К ш2= ,iK' , Си 154B9)
где
3- й=/Р1' */e=i/5^- Си145G>
При Д <0 (см. 8.1642.)
4 КушрУ'^^^'^^у Си147D2)
5. со = .—, to" = ,г , Си 153 B8)
6 /с=|/1- Зб2 ; fc' = i/4-+ , Зе2 Си 147
где
При Д = 0 все корни е1? е2, е3 действительны и два из них (если g%gs Ф 0)
равны между собой.
Если et — е2 Ф е3, то
7- ^м-^-й^'С
Если ех =^ е2 = е3, то
fefeVy с49
Если g2=o-3 = 0, то ei = e2^e3=,U и

Э34 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.17 Функции ?(w) и О (и)
8.171 Определения:
и
I. С (и) = | - J (ff (z) - У) dz. Си 181 D5)
О
2. о(«) = мехрК (SB)--^-) dz}. Си 181 D6)
8.172 Представление в виде рядов и бесконечных произведений:
Си 307 (8)
2. ОГ(в) = иП ( ^
Си 308 (9)
«.173
2* -3 -5> -7 2
2*-3-S 23-3-5-7 г^З'-б-Т г'.З-'.З2-?-!!
Си 181 E0)
«.174 W^ ^^ ^i {^(? 2)
(?5)} MO154
^ Ы^2^ щЬ1^1оГ М0155
Функциональные соотношения и свойства
в.175 ?(и)=-С(-и), а(м)=-а(-и). Си 181
в.176
1. С (к + 2©,) = 5 (и) +11 (шх). Си 184 E7)
2. С(и + 2<й2) = С(и) + 2С(ш2). Си 184 E7)
3. а(и + 20»!) = - 0 (и) ехр {2 (и + шх) ? (<»t)}. Си 185 F0)
.4. в (и + 20*2) = - а (и) ехр {2 (ы + с^) ? (ш2)}. Си 185 F0)
5. «?(«»!)-miCK)=-!-Z. Си 186 F2)
8.177
1. t(» + »)-t(»)-tw4 Ру(("!-Г(? * Си 182E3)
2. t?(«)-8>H=-^(~g^t?L. . Си 183 E4)
3. С(«-^) + С(и + Ц)-2и«) = ^й~^- Си 182 E1)

8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 9Э5
8.178
1. ?(и;м„ oig) = /?(*"; ftolf to2). МО 154
2. «г (u; to,, <o2) = r1(i(to; twv fo^). МО 156
Интегралы (неопределенные) от эллиптических функций Вейерштрасса
см. 5.14.
8.18—8.19 Тэта-функции
8.180 Тэта-функции определяются как суммы (при |<7|<1) следующих
рядов:
со со
1. #4(и) = 2(-1)'Ve2"t" = 1 + 2]!j (- 1)" 9*" cos 2лв. УВИ300
2. #х(и) = -!- 2 (-
= 2 2 (- !)n+1 <Г sin Bи - 1) и. УВ II 300
3. 0s(u)= 2 ^П+5^ e<2«+i*«* = 2 2 ^""^ С08Bи-1)в. УВ II 300
1
f ——"\
СО ОО
4. 0S (и) = 2 д»' е2«»< = 1+2 2 9"' cos 2nu. УВ II 300
Употребительны также обозначения д (м, ^)» ^ (м | т), где т связано с <?
соотношением ^ = 6"".
8.181 Бесконечные произведения для тэта-функций:
1. #4(м)= [J (l_292»-1cos2u + g2<2«-D)(l —?2п). Си 200(9), Ж 90 (9)
2. 0S (и) = Д A 4- 2g2n~l cos 2м + gz a*-V) (I _ ?2п). Си 200 (9), Ж 90(9)
ОО
3. дх (и) = 2 ^sin и[] A- 2g2» cos 2к + д4") A - q**).
"~А Си 200 (9), Ж 90 (9)
СО
4. #2 (и) = 2 |Л? cos и П D + 2?2я cos 2м + д4») A — д2»).
Си 200 (9), Ж 90 (9)
Функциональные соотношения и свойства
8.182 К в а зиперио дичность Пусть q = erett(ImT > 0); тогда тэтэ-
функции, являющиеся периодическими функциями от и, оказываются квазл-
периодическими функциями т и и. Это их свойство вытекает из следующих
равенств.
1. 04(и-Ья)=е4(м). Си 200 A0)
2. 04 (и + тя) = - j е-2™ д4 D). Си 200 A0)

936
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(И + Л) = — #! (U).
(И + тл) = - — е~2
(м).
#,(«+{«)=«,(«).
Си 200A0)
Си 200 A0)
Си 200A0)
Си 200 A0)
Си 200 A0)
Си 200 A0)
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 301
УВ II 306
8.186 Рассматривая тэта-функции как функции двух независимых перемен-
переменных и и т, будем иметь:
3.
4,
5.
6.
7.
8.
8.183
3.
4.
5.
6.
7.
8.
8.184 Четность и нечетность:
1. #!( -И) =-*i(«)
2. #,(-«) = #,(«)
3. *,(-в) = #,(«)
4. #4(-«) = *,(•*)•
8.185 d
,(и).
= lt2>3,4].
УВН308
ди* ^ дх
8.187 Частные производные от тэта-функций по и будем отмечать штрихом
и будем рассматривать их как функции одного только аргумента и; тогда
1. #; @) = #2 @) д3 @) д4 @). УВН308
#1@)
2
8.188
#Г<ОГ"~ «Г») «з @) + ¦»* @) " yiillddZ
^х (и) #2 (w) д3 (м) #4 (и) = 4 «i Bи) д2 @) #3 @) #4 @). УВ II 332

8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 937
8.189 Нули тэта-функций:
1. гг4(и) = 0 при и = 2т -%¦ + Bга—ч~о~ • ьи 201
2. #! (и) = 0 при и = 2т -| + 2и -^ . Си 201
3. Ф,(и) = О при и = B/и—1)^ + 2п^. Си 201
4. #3(и)=^0 при м = Bт—1)у+Bп—1)^ Си 201
[лг и « — целые числа].
Интегралы от тэта-функций см. 6.16.
8.191 Связь с эллиптическими функциями Якоби:
При %=i~, т. е. при q = ехр ( — л —Л ,
_1 г \2К) __ 1 _Я|^ _ Си 2(N B2) Си 2og C5)
2. спи=1/т—V^—V%^W- Си 207 B3), Си 209 C5)
3. dnu = VA:'—/яи\ =У^-^Г- Си 207 B4), Си 209 C5)
8.192 Представление функций Н, Hv в, 6j в виде рядов:
1. в (и) = #4 (^) = 1 + 2 2 (- 1)" <Г cos^. Си 207 B5), Си 212 D2)
2. Я(м)=#1 _
Си 207 B5), Си 212 D3)
3. 9t(u) = #3 (%*) = 1 + 22 9cos^. "Си207B5), Си212D5)
ОО
4. «l(«)=#S(^)=2 2 ^^2~-1)»с08Bп-1)Ц:.
Си 207 B5), Си 212 D4)
(к'\
~~я~к ) '
8.193 Связь с эллиптическими функциями Вейерштрасса:
= е г О_1^^я'№) 1 ^^ Си 235 G7), Си 235 G8)
I е> @) я (м у а. ) -1

938 ¦ 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Си 234 G3)
Си 234 G2)
i-де
*0гА it (О) л OQ?
8.194 Связь с эллиптическими интегралами:
Си 228 F5)
2. 11 (u, -A»sin»а. А) =Д ,—rj-Д =- =
сп а dn a
«у-ряды и произведения Г^ = ехр Г — л-^-J I
оо
8.195 ^[l-f-2 2^]2=_НГ=-|-е2(Я) (сравни 8.1971.). Си219
п=\
°° 2
.196 ^Е = Я-Я-^7пг = Я:--^ 35 :• Си230F7)
2 (-W
п=1
8.197
1. 1+2 2?= V~ = *з@) (сравни 8.195). УВИ319
2. > <7> ^ • ' _ 1/ *i = * #, @). УВII 319
п=1
3. 4Vg П( 1 1L -t I =ft- Си 206 A7), Си 206 A8)
4. ГТ Г ^'С; Г = ^' Си 206 A9). Си 206 B0)
71=1
УВII330
6- П ' '~-»« ) =2Vfe'-g-. УВНЗЗОи
п=1

В 2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕН. ЕЙ ФУНКЦИИ 939
?.198
1. д, *
ГприО<А:<1
имеем
Для определения q по данному модулю к служит ряд
2. q = Я + 2XS + 15Х9 + 150Х13 + 17О7Л,» + ...
8.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ
8.21 Интегральная показательная ф}нкция Ei (ас)
УВП327
УВII327
1. Ц{х)= -^ ^-
2.
8.212
Ei(*) =
—X
-lim 1
—CO
—*
" (* €~l
[л > 0].
e-'lntdt
2. Ei(ar) = e»[i-
3. ЕН-
4. Ei ( ± ж) = ± «*
5. Ei(±zy)=±e±*v
[z > 0]. НИ И A0)
[z > 0] (сравни 8.2111.).
*>°} (сравни 8.2111.).
Ла281B8)
> 0] (сравни 8.2111.).
[Ret/>0, ж > 0].
НИ 19 (И)
6.
l*>0). НИ23B), НИ23C)

940
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
7.
8. Ei (-ху)=— е-х«
dt;
1
= х~1е~*У Г I Ъ^Шу dt -
9.
10. Е1(-Ж)=-е-
п. щ-*>--«-
Ла 282 D4) и
[х>0, у>0]. Ла 283 D6) и
Ла 282 D5) и
[х>0, у>0]. Ла283D7Уи
[х>0]. Ла283D8)
[х > 0]. Ла 283 D8)
[х > 0]. НИ 23 F)
[ж<0]. НИ 23 F)
[Rez>0]. НИ 25 A3)
[х > 0]. НИ 26 G)
In tdt [ж>0]. НИ 27 (8)
[ж>0]. НИ 32 A2)
См. также 3.327, 3.8818., 3.9162. и 3., 4.3261., 4.3262., 4.3312.,
4.3513, 4.425 3., 4.581.
Интегралы от интегральной доказательной функции см. 6.22—6.23,
6.78.
12. Е\(-х)=-е-*
13. Ei( — x)=—
14. Ei(-.)=
г cos г—
оо
15. Ei (ж) =2 In a;—-^ ¦ ^ф^
16. Ei( — ж)= — х \ e~ix\ntdt
Ряды и асимптотическое представление
8.213
НИ 3(9)
2.
[x>i]. НИ 3A0)

ii 2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕН ЕЙ ФУНКЦИИ 941
8.214
2. Ei(x) =
3. Ei (х) — Ei (— х) = 2х
ft=0
НИ39A3)
«.215
где
НИ37(9)
8.216 Ei (пх) - Ei (_ пх) = е-' (± + ^ + ^з) .
где
х' = ж sign Re (х), кп=О(пь), а п велико.
8.217 Функциональные соотношения:
-s') -е-' Ei(O= -2
оо
=xs gn
2 е*'Ei(-х') +е-*'Ei(x')=-2
= 2e-*-lnx'—1
Л
3. ек-*)-
НИ 39 A5)
НИ24A1),
НИ 27 (9)
. \х' = х sign Re x].
НИ 24A0), НИ 27 A0)
С х-—
[Rez>0]. НИ 25 A4)

942 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
4. Ei(-oa;)Ei(-pa:)—ln(aP)Eil —(
СО
= е-«+f»* \ - ""\{Т^л''ГС" dt- ни32(9)
См. также 3.723 1. и 5., 3.742 2. и 4., 3.824 4., 4.573 2..
Связь с вырожденной гипергеометрической функцией см. 9.237.
Интегралы от интегральной показательной функции см. 5.21, 5.22,
5.23, 6.22, 6.23.
8.218 Некоторые числовые значения:
1. Ei(-1)= -0,219 383 934 395 520 273 665 ... НИ89
2. Ei(l) = 1,895 117 816 355 936 755 478 ... НИ89
8.22 Интегральный гиперболический синус shine
и интегральный гиперболический кссинус cliix
8.221
X
(см. 8.23Q 1.).
ВТФ II146 A7)
X
2. сЫж=С+1пж+\ ch'~* dt. ВТФII 146A8)
8.23 Интегральный синус и интегральный косинус: si (ж) и ei(x)
8.230
' ;. ни 11C)
2 d{x)==-^^-dt = C+lax+^^~dt. НИ 11 B)
8.231
1. si {xy) = - jj -^-^- Л. НИ 18 G)
2. ei {xy) = - J ^ dt. НИ 18 F)
3. si (x) = — [ e-* cos' cos (r, sin t) dt. НИ 13 B6)
b
8.232
oo
» 2 J^L^. НИ7D)

8.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕН Е? ФУНКЦИИ 943
от
о р\ (fr\ ===. (^ In (сс\ -4~ т^ (• 4Л^ НИ 7 C)
fe=i
8.233
1Л1 / yvi\ I J Al J О* 1 . Nil I 1 ^Ъ4 1 1*1 |Л П Т1
2. ci (ж) — ci (xf*m) = Т я». НИ 7 E)
3. si(a:) + si(-a;)= —я. НИ7G)
8.234
НИ13B7)
2. [C1 (Я)Р+н(*m= -2
[Иеж>0] (см. также 4.366). НИ 32 A1)
См. также 3.341, 3.351 1. и 2., 3.354 1 и 2., 3.721 2. и 3., 3.722 1.,
3., 5. и 7., 3.723 8. и 11., 4.338 1., 4.366 1..
8.235
1. lim(a«si(a;)) = 0, lim (ж° ci (x)) = 0 [q < 1]. НИ 38 E)
2. lim si (ж) = — я, lim ci (ж) = ± ni. НИ 38 F)
Интегралы от интегральпого синуса и интегрального косинуса
см. 6.24-6.26, 6.781, 6.782, 6.783
Неопределенные интегралы от интегрального синуса и инте! ральноги
косинуса см. 5.3.
8.24 Интегральный логарифм li (ж)
8.240
X
т\ \т <^ АЛ HQQ7
1-е t
2. li(s)=lim[5 -^-+ J -f^-]=Ei(ln^ fa- > 11. ЯЭ97
3. И {охр (- хе±т)} = Ei (- же±1Л) = Ei (x ^ iQ) = Ei (x) ± in*=
= h(e*)±'in [x>0]: НЭ97, НИ2F)
Интегральные представления
8.241
1П*
= \ ^-dt = xlaln~- jj e-llntdt [x > 1]. Ла281C3)
-Jn^

944 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1
Ла280B2)
Ла280B9)
¦¦j \ ln3.__lnt ^ [х<\]. Ла280C0)
i
3. U(a*)—
Интегралы от интегрального логарифма см. 6.21
8.25 Интеграл вероятности и интегралы Френеля: Ф(зс), S(x) и С(зс)
8.250 Определения:
1. Ф(ж)=-4=
3. С (ж) = -== \ cos t2 dt.
Интегральные представления
i.25i
1. O(x) = -^[-^Ldt (см. также 3.361 1.).
У 31 о у t
3 С (х) =
8.252
1. Ф[ху)-
2.
3. С (ж?/) = -%L [ cos (<2y2) dt.

8 2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕН ЕЙ ФУНКЦИИ 94«*
НИ 19 A1) а
—
5-
-?=-
НИ 19 A3) а
НИ28C)?г
[Rer2>0]. НИ 27A) а
См. также 3.322, 3.362 2., 3.363, 3.468, 3.897, 6.511 4. и 5.
8.253 Представление в виде ряда:
2-
НИ8A4).
-| 1L
_ cos
cos
3-
^П ]¦ •
НИ 10 A3) и
НИ8A3)В
+-*fi
Разложение по функциям Бесселя см. 8.515 2., 8,515 3.
8.254
Асимптотические представления
/ 1УТ ( Jfc|
где
, ж=|а;|е"Р и ф2 < я2.
НИ37A0)м
60 Таблицы интегралов

946 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.255
^ () (*-><»]. МО127м
2. C(a)=-i + -p^-ama" + 0(A.) [x-*oo]. МО 127 и
8.256 Функциональные соотношения:
2
2. С (z) - IS (z) = .JL-Ф (*УТ) = -р^- I er«* dt.
3. [cosBf!C(«) + sintt25'(M)] =
= -| [cos и2 + sin м2! - у ~ ^ e-*ut sin ta dt [Re и > 0].
НИ 28 F) и
4. [cosu25(M)-sinB2C(»)] =
= у [cos и* - sm м2] - у A J ettf cos *2 Л [Re м > 0].
о
НИ 28 E) и
п
г 1П2 г 1 та 2 Г ехр<""*'tgф) чшТ ^cos*
5. [Cfr,_f| +[*(*>_?] =|5 ^^ ^.
о
См. также 6.322. НИ 33 A8) и
Связь с вырожденной гипергеометрической функцией см. 9.236.
Связь с функцией параболического цилиндра см. 9.254.
8.257
1. lim ^[5(ж)-'-|-]^=0 [q<1]. НИ38A1)
2. lim (a* [c(z)--i]) = 0 [е<1]. НИ38A1)
3. lim ?(ж) = 4-. НИ38A2)м
4. lim C(a;) = i. НИ38A2)м
Интегралы от интеграла вероятностей см 6.28 — 6.31.
Интегралы от синус-интеграла и косинус-интеграла Френеля см. 6.32.

8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 947
8.26 Функция Лобачевского L(x)
8.260 Определение:
L (ж) = - \" In cos t dt.
Ло III184 A0)
Интегральное представление функции L(х) см. также 3.531 8., 3.532 2.,
3.533, 4.224
8.261 Представление в виде ряда:
со
L (х) = х In 2 -± 2 (-
6=1
8.262 Функциональные соотношения."
t. L(-x)=-
2.
3.
4.
Ло III 185 (И)
ЛоШ185A3)
ЛоШ286
ЛоШ286
-|]. Ло III186 A4)
8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА
И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ
8.31 Гамма-функция (эйлеров интеграл 2-го рода): Г(«)
8.310 Определение:
1. Г (г) = \ e-'f dt [Re2>0]. (Эйлер).
' Обобщение:
2- го--si ^'
ФП777F>
при z, не равном целому числу.
Контур С указан на чертеже.
УВ II18-
Г(z) является дробной аналитической функциейzc простыми
полюсами ь точках z——I (? = 0, 1, 2, .'..), которым соответствуюе
вычеты ~, ; Г (г) удовлетворяет соотношению Г A) = 1. УВН18, МО 1
во*

948 .
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ази
8.31
Интегральные представления
@+)
L312
11.
Г(г)= ^ln-iJ"*1* [Rez>0].
QO
Г(г) = хг<\ e-xltz-i dt [Re z > 0, Re x > 0].
3. Г(*) = ;
4. T(z) =
cos [2a< + Bz - 1) a
[o>0].
)' {3sin t« + z arcctg(-*)] +
+ sin [* + (z — 2) arcctg ( — Щ dt
[arcctg означает тупой угол].
ао
Г (у) = ж"е-гРи f fw-« exp (— arte-*) d<
Г ж, у, Р действительны, х > 0, ?/ > 0, | р | < ~
"'(йТ1* [6>0, 0<Rez<lj.
7. r(z
I г arctg — J о
sin ( г arctg —,
e~ai sin (fcf) ^-4 dt
[о>0,
Rez>0].
8.
COSy
sin
9. Г (z) = \ e"' («- z) f2'1 In f ?Й;
10. r(z) =
, 0<Rez < 1].
[Rez>01.
MO 2
ФII778
ФII779 (8)
УВII19
УВII37
MO 8
НГ 154C)
НГ 152A) и
НГ 152 B)
НГ152D)
НГ 152E)
НГ 173G)
НГ145A4)

8 3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 949
11. Г (х) cos ax = кх \ tx 1e~xtcma cos (A, t sin a) dt;
I
oo
12. Г (x) sin ax = Xх ^ f*"^-*'cos<* sin (X f sin a) dt
[Я>0, ж>0, -у<
УВП36
8.313 Г
8.314 Г
8.315
г+1
exp( —itf")
[Rew>0, Ret) > 0, Rez> —1].
. г VL / t\z6^ dt
с
при z, не равном целому числу.
Контур указан на чертеже к формуле 8.310 2.
еы,
¦ — frr при Ь > 0;
= 0 при 6 < 0
[a>0, Rez>0, _-| < arg(a + i'O < f] ¦
M02
ЯЭИОм, МО7м
МО 2
УВ II IS
НГ 155(8) MOT
^a1""-^ cos(atg9-z9)cos2-29de [Rez>l]. НГ 157A4)
ЭХ J
СмЛакже 3.324 2., 3.326, 3.328, 3.381 4., 3.382 2., 3.389 2., 3.433,
3.434, 3.478 1 , 3.551 ]., 2., Г! 827 1., 4.267 7., 4.272, 4.353 1.»
4.369 1., C.214, 6.223, 6.246, 0.1М.
8.32 Представление гамма-функций в виде рядов и произведений
8.321 Представление в виде ряда.
й=0
2 (-fI"^.,^
t2
при п > 2, Re z>0 I .
НГ40A), НГ40C>

950 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2. l
Г (
^ = 1.^1-^ в+1 ;»i = C,en = C(n) при n>2j.
НГ41D), НГ41F)
Представление в виде бесконечного ароизведения
z
,/8.322 Г^-^С4П-^ 1Нв«>0]; См III269
H
n
УВП8
lim — TT -?t [Re z > 0]. См III 267 A30)
.323 Г (z) = 2zV2 Д 2|/b Bk-4, -j) • НГ 98 A2)
8.324 ГA + г) = 4гД >iV ' M03
8.325
un ^ MO2
8.326
1 I» _ I r W
[ж, у действительны, я > 0]. Ло V, НГ63D)
2. Гр^?у)=7+'/ П ^^- [2Г' у Действитеяьны, ж > 0]. МО 2

8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 951
8.327 Асимптотическое представление для больших значений |zj:
[|args| < at]. УВН28
Для z действительных и положительных остаток ряда меньше
последнего удержанного слагаемого.
8.328
1. lim | Г (х-\-iy) |ё* \у\^ =У~2п [х и у действительны]. MXN
2. ИтЩ^е-«1^ = 1. МО 6
|г|-оо 1 У2'
8.33 Функциональные соотношения для гамма-функций
8.331
8.332
2.
Г(Т+'ОГ-5Г*
[у действителен].
3. Г A + ix) Г A - ix) = ?^ [х действителен]. Ло V
4. ГA + х+1у)ГA-х+1у)ГA+х-гу)Г{1-х-гу)^
\х и v действительны!. JloV
L 3 J
— cos 2
8.333 [(+)] (+) П
где п — натуральное число и
УВИ43
8.334
Ч[Ш"] h-2.3,...]. M02
2.
3. Г A-я) Г (я) = ^-5— . ФII 430
8.335 Г (пж) = (Г я) 2 гГ~ 2 Д Г Г а; + ^") [теорема умножения].
Ф II 782 и, УВП*2

952 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Частные случаи
1. Г Bх) = -— Г {х) Г (jc + -j ") [формула удвоения].
—
2.
3. nra)r(l-|) = i^. УВП1?
8.336 Г ( - Щ~) Г A + г) = (ИГ1 уГ A + &_f! ) J e-'- sin1
[Re (г/г) > 0, Re (a;— yzi) > 0]. НГ 133 A0)
Связь с пси-функцией см. 8.361 1.
Связь с бэта-функцией см 8.384 1.
Интегралы от гамма-функции см. 8.412 4., 8.414, 9.223, 9.242 3., 9.242 4
8.337
1. [Г' (х)]а < Г Or) Г' (х) [х>0]. МО1
2. При # > 0 mm Г A -\-х) = 0,88560 достигаемся, когда
х = 0,46163 ... ЯЭ107
Частные значения
8.338
1. ГA) = ГB)=1.
2.
3.
4- 1г Ст)J -16я п U-iV-
8.339 При п натуральном
1. Г(га)==(га —1)!
2.
з.

8.d ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 953
8.34 Логарифм гамма-функции
8.341 Интегральное представление:
[Rez>0]. УВП23
arctg —
Z dt
I Re z > 0 и arctg w — \ TJ~i взят цо прямолинейному пути д пло-
0
скости им. УВЦ25
3. 1пГ(г)= J |i^?i + (z_i)e-<|^ [Нв2>0]. УВП24
24
4. Ш Г (,) = f {(, -1) г* + A+Z\-i\tirl} Ц- [Re,>0]. УВП
с . п , . In л — In sin лх . 1
5. 1пГ(л;) ^
[0<ж<1]. УВП24
6. ЬГ(г)= \ J^=f-^(z-lH^ [Rez>01. УВН38
7. 1пГ(г)= J Г(г-1)е"' + ?ТГ7г]41 [Rez>0]. НП87G)
См. также 3.427 9., 3.554 5.
8.342 Представление в виде ряда:
fc=2
НГ38A6), НГ38A2)
2. ^
п=1
НГ38A4)

954
8—». СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.343
1. In Г (x) = In Y'2,n + 2j {2Icos 2n3lx + ^ (C + ln 2lm">sin 2nnx\
[0 < x < 1]. Ф III 558
2.
771=1
MO9
8.344 Асимптотическое разложение для больших значений \z\:
п—А
где
|Л.(*)К L?2ilJ 71 х-
2»Bл — 1)|г|2п lcos^n-i / -^arga J
Интегралы от In Г (а;) см. 6.44.
8.35 Неполная гамма-функция
8.350 Определение:
1. у (а, х)= \ е '«"-'(Й [Rea>0]. ВТФII 133A), НИ 1A)
о
2. Г (а, х) = J e-'f" Л.
ВТФ II133 B), НИ 2 B), Ле 339
8.351
1. Y*(a> х)=
(а> ^ — аналитическая функция по а и по ж.
ВТФ II 133E)
2. Другое определение у(«. я), пригодное и для случая Rea<0:
Y (a, x) = ^-е"^A, 1 + a; s) = ^-Ф(a, 1 + a; - x). ВТФII133 C)
3. Г (a, x) — целая функция of a. При нецелом a f(a, s) является
многозначной функцией от i с точкой ветвления при х = 0.
4. Другое определение Г (а, х):
Г (а, х) = яР-ехЧ A, 1 + а; х) = e'*W A - а, 1 - а; х). ВТФ II133 D)
8.352 Частные случаи:
[n = 0, 1, ...]. ВТФII136A7), A6), НИ6(И)

8 3 ЭИЛЬРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ММ ФУНКЦИИ
2. ГA + га, ж) = п!е-* 2 ^Г [и = 0, 1, ...]. ВТФII 136A8), A6)
3. г(-п,*)=!^"Гг(О,*)-,
[га = 1, 2, ...]. ВТФ II137 B0), НИ 4 D)
8.353 Интегральные представления:
я
1. Y (а» я) == *" cosec па \ е* cos e cos (аб + х sin в) о!в
ф 0, Rea > 0, а Ф 1, 2, ... 1. ВТФ II 1Т7 B)
2. у (а, х) = жг " С e-'f1 "~Va B J/ltf) «tt LRe a > 0]. ВТФ II 138 D)
fRe a < 1, x > 01. ВТФ II137 C), НИ 19 A2)
l
_ — __'
4. Г(о,
[Rea<l]. ВТФН138E)
CO
5. Г (a, xy) = ybe-"» ? erlv {t + ж)" dt
[Rey>0, x>0, Rea>l]. (См. также 3.936 5., 3.944 1.—4.)
НИ 19 A0)
Интегралы от неполной гамма-функции см. 6.45.
8.354 Представления с помощью рядов.
*¦ Y(«.*)"i Лы??Г- ВТФ II 135 D)
оо
2. Г(а,,) = Г(а)_2
[а =5^0, -1, -2 ]. ВТФ II135 E), Ле 340 B)
3. Г(а, ж)—Г (a, z + i/)=Y(a, ж + у) — Y(a, x) =
ВТФ 11139 B)
2л хЬТ{1—а) ' е* ^) - 2j
ft—0 т=0
4. Y (а, г) = Г (а) е- J" ^ ^ S ^^
тг=О т=0
[х Ф 0, а Ф 0, - 1, - 2, ... 1. ВТФ II139 C)

956 8 — 9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
со
5. Г (а, х) = е~хх* ^ *f^ [х > 0]. ВТФ II140 E)
71=0
СО
8.355 Г (а, х) у (а, у) = е~х~у (ху)а V, ;—, . "_ 7 ,—r-rr L^ (x) Ь% (у)
n=0
[y > 0, x > у, а ф 0, -1, ...]. ВТФН139D)
8.356 Функциональные соотношения:
1. \{a+l,x) = ay(a,x) — z*e-*. ВТФ II134 B)
2. Т(а+1,х) = аГ(а,х) + хае-х. ВТФ II 134C)
3. Г (а, х) + у(а, а;) = Г(а). ВТФ II 134A)
4. ^(«^)^_i?g^^^-ie-,, ВТФ 11135(8)
Г(а Ья,,)= Г^х) _х"^ ^ . НИ4C)
Г (а + я) Г (а) ^-1 Г(а+5+1)
6. Г(а)Г(а + и, ж)—Г (аН-и) Г (а, ж) =
= Г(а + п)у(а, ж)^Г(а)Г(а + к,ж). НИ5
8.357 Асимптотическое представление при больших значениях |ж|:
1
т=0
^, Ж=1, 2, ...] .
ВТФ II135 F), НИ 37 G), Ле 340C).
8.358 Представление в виде непрерывной дроби:
1+—!-
ВТФ II 136A3), НИ 42 (9)
8 359 Связь с другими функциями:
1. Г @, х)= — Ei( — х). ВТФ II 143A)
2. Г^0,1п^=-Н(ж). ВТФ II143B)
3. Г^-i, ^=1/п^-")/яФ(ж). ВТФ II147 B)
4. уD> ж2)=1^пФ(ж). ВТФН147A)

8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-ГО И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 957
8.36 Пси-функция:
8.380 Определение:
8 361 Интегральные представления:
, , . . d In Г ( ?
2.
3.
[Re z > 0]. НГ183 A), УВII20
"?" lRez>°]- НГ184G),УВИ21
tdt
[R
[Rez >0].
УВН26
УВН21
УВН37
УВИ37
ФИ796, УВИ37
MO4
См также 3.244 3., 3.311 6., 3.317 1., 3.457, 3.4582., 3.47114
4.253 1. и 6., 4.275 2., 4.2814., 4.482 5.
Интегралы от пси-функции см. 6.46, 6,47.
Представление в виде ряда
8.362
fc=0
2.
ft=0
ФИ799 B6), Ку26A)
ФП495
M04

9588—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
3. 1W + J()(J(xiTTFr)
0
НГ54A2)
8.363
. НГ37E)
fc=2
2. 4lj)^gj^r+2 [C()
НГ38A0)
CO
3. *(*)-*(»> =2 (-да—т^г) (см. также 3.219, 3.231 5, 3.3117.,
3.68820., 4.2531., 4.29537.). НГ99C)
4. З!^
5- 4f) = -c+2 (ttt-tw) (см-также3-24/l3-}-
6. *(.*).. _O-h,, -.«ец^ + г 2 [
[g = 2,3, ...,/>=l,2 g-1]. МО4,ВТФИ9B9)
7- 4f)-4?i)S24
8. ф"» (z) = (- I)"*1 и! V , , ' ,. НГ37Г1)
Представление в виде бесконечного произведения
8.364
( ^ НГ65A2)
A=0
2. е^»=Х|+»1Д A + _ф_^)е-^. НГ65A1)
См также 8.37
Связь с дзета-функцией Римана см. 9.533 2.
Связь с гамма-функцией см. 4.325 12., 4.352 1.
Связь с бэта-функцией см. 4.253 1.

8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-ГО И 2-ГО РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 959
Ряди пси-функций см. 8.403 2., 8.446, 8.447 3. (цилиндрические функ-
функции), 8.761 (производные от шаровых функций по индексу), 9.153, 9.154
(гипергеометрическая функция), 9.238 (вырожденная гипергеометрическая
Функция).
Интегралы от пси-функций см. 6.46—6.47.
8.365 Функциональные соотношения:
1.
2-
3.
4.
-1|>(т)=2р(*) (сравни 8.370).
n—t
fc=0
n
5. lim [ip (z + n) — lnra] = 0.
n-юо
n—1
6. ¦(!«)-i-2
7. ^(^-n) -¦(
[« = 2, 3,4,
ЯЭ109и
Га 154 F4) u
MO 4
MO3
MO3
8. г|)A — z) = ч|з (z) + л ctg лг. Га 155 F8) и
9. if (-^--J-z j = яр ( -у—zj + ntguz. ЯЭ109и
10. ty(.-r — nJ=ty(-T + nj + n [n — натуральное число].
i.366 Частные значения:
1. я|>A)=-С (сравни 8.367 1.).
2. ц, f 1^) = _с-21п2= -1,963510026 ... Га155и
ЯЭ 109 и
3. *D-±я)--
l)=-C + ^—31n2.
4.
5.
6.
7. ,(|
8. •»[)'A) = ^= 1,644934067 ...
9.
Щ
= Щ = 4,934 802 201
Га 157 м
Га 157 м
Га 157 м
Га 157 а
ЯЭ 109 а
ЯЭЮ9м

K60
S—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
10. 1j/( — Л) =ОО
13. у (j--i
8.367 Эйлерова постоянная:
[л — число натуральное]. ЯЭ109 и
1
- ^ In (in±
2. С = Ит
П-Ч-ОО
3. C= lim
зс-,1+0
Интегральные представления:
4. C=
5.
7.
о
8.
9.
dt
12.
ФИ 795, ФИ319
ФII801 и
Ф II 804
Ф II 807
Ф II807
Д (852.3)
МОЮ
МОЮ
ФII795, ФII802
Д (852.4), МО 10
Д (852.5)
ФII802
См. также 8.361 5. —8.361 7., 3.3116., 3.4353. и 4., 3.4762., 3.4811
и 2., 3.95110., 4.2839., 4.3311., 4.4211., 4.4241., 4.553, 4.572, 6.234,
6,2641., 6.468.

Л.Л ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 961
13. Асимптотические разложения:
п—1
С2 1пЛ + + + +
ФII827
8.37 Функция {J (х)
Определение"
8.370 р (х) = | [ ^ (^) - ч, (|) ] . НГ 16 A3)
8.371 Интегральные представления:
[Rea:>0]. УВП39
2. р(а:)= C-fZL-Л [ReJ>01. M04
1+
3. р (^) =5^7^ [Re х > 0] (сравни Я.371 1.).
5
о
См. также 3.2411 , 3.251 7., 3.522 2. и 4., 3.623 2. и о., 4.282 2.,
4.3893., 4.532 1. и 3.
Представление в виде ряда
8.372
~ „ НГ 37, НГ 101A)
0)S
2- PO-SjiH-^+stt+ir НГ101B)
Ч2Ь- НГ246<7>
4=0
8.373
'Л НГ37E)
JO
НГ 38A1)
оа
.374 р (ж) = (—1) и1 ^j ^^^.щ-ц • "•* •*'(¦*)
61 Таблицы интегралов

962
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.375 Представление) в виде конечной суммы:
a=o
2, 3, ...,р=1,2, 3, ...] (см. также 8.362 5.—7.). НГ23(9)
2.
8.376
8.377
Функциональные соотношения
2п
6=0
НГ19
НГ20A0)
8.38 Бэта-функция (эйлеров интеграл 1 -го рола): В (ас,
Представление в виде ияаеграла
8.380
1. В (х, у) = ^ «"-»(i - f)vl ^ *);
ФII774 A)
[Rea;>0> Rey>0].
2. В (ж, у) = 2 \ sin2" ф cos2"
о
3. В(х, у)- ^ jrh^n,dt=2 \
о о
/2Х~1
4.
5.
[Rea:> 0, Re у > 0]. КуЮ
[Rex>Q, Rey>0].
ФИ 775
°f- M0 7
6. В (*, у) = ^R J [A + 0я A -
[Rea:>0,
Rey>Oj.
*) Это равенство служит определением функции В (х, у).

8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 963"
1
7. В (ж. и) = zM A + z)* \ '. _л',
о
8.
о
2
Пеу>0,
УВИЗ»
. НГ 163(8)
См. также 3.196 3., 3.198, 3.199, 3.215, 3.238 3., 3.251 1.—3., П., 3.253.
3.3121., 3.512 1. и 2., 3.541 1., 3.542 1, 3.6215., 3.6231., 3.6311., 8., 9U
3.6322., 3.6331., 4., 3.6341., 2., 3.637, 3.6421., 3.6678., 3.681 2.
9 В (ж, ж) = -т—
о
См. 8.384 4., 8.382 3., а также 3.621 1., 3.642 2., 3.665 1., 3.821 6., 3.8396L
оо
10. В(х+г/, х-у) = &х jj|?lf<# [Rea;>[Rey|, Rei>0}. МО»
И. В(х, ty^s^i-fy-ifii-idt [Rez>0, Re^->0,
ФП787и.
8.381
1 7 dt
2- Vc=2^=^-° J
3. B(x + iy. x-iy)-.01——"" Г
\
\ I a > (Л b > О; и у деистви
I тельны, х+у>1\. МОТ
\ I a > (Л b > О; г и у деистви-
d I
[j/, a, y действительны, a>0; Rea;>0]. M08e>
Интегральное представление In В (ж, у) см. 3.4287..
В (х, у)
нг 158 E)
я cos [(жy)^-J
eos [(я._
(«+У-<) F
(ж—y)-^-J J
я
f sin [(а. _ у) t] sin*^» t й/. НГ 159 (9)т
о
61*

964 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Представление в виде ряда
8.382
. Ъ(х, у) = у2 (~1^"У(У^|)(Ж+ВТ~В) ^>01- УВП36
2. ^ , ^ i_e
оа
sft+i [(^^г]. НГ39A7)
ft=0
со
3. В Гг, |) = S ^Щ^гЬ (см- также 8>384 и в-ЗвО».).
A=0
УВН36
8.383 Представление в виде бесконечного произведения:
МО 2
A=0
8.384 Функциональные соотношепия для бэта-функции:
Ф II779
2. В (я, у)В(а:+у, я) = В(у, z)B(y+z, ж). МО6
3. 2 В(ж' У + А)=В(ж-1, у). УВЦ39
й=0
4. В (ж, ж) = 21-2яВ^у, ж') (см. также 8.3809. и 8.3823.). ФИ 784
5. B(*,a:)B(a:+!,z + 4)=1^r. ч УВП38
6.
(я, от)
[тип— натуральные числа]
Связь с пси-фупкцией см. 4.2531.
8.39 Неполная бэта-функцпя Вх(р, д)
X
-«.391 Вя(р, д) = J tP-i A - «Г1 Л = -у А (Р. 1-9; /»+1; ж). ИП1373
«.392 1х{р,д)=^Л. ИПИ429

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 965
8.4-8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУлШДИИ,
СВЯЗАННЫЕ С НИМИ
8.40 Определения
8.401. Цилиндрическими функциями Zv(z) называются решения диффе-
дифференциального уравнения
().-0. Ку37<1)
Частными видами цилиндрических функций являются функции Бесселя
(или цилиндрические функции первого рода) Jv (z), функции Неймана
(или цилиндрические функции второго рода) Nv{z) и функции Ганкеля
(или /щ.ишдрические функции третьего рода) If$}(z) и //"'(г).
оо
8.402 Л, (г) = -f 3 (~ *)* ^Щ-Г (f+ fc+1) Паг8г1<я1- Ку55A)
8.403
1. 7Vv(z)=-^ [cosvjt/vB)—f_w(z)] [при нецелом v, |argz|<n].
Ку41C)
n-l
ao
SC-1)" ki(k+n)\ (t)
*=o
Г у i. у 11
[n -J-1 — натуральное число, | arg z | < я]. Ку 44, В 75 C)
8.404
9 J i,\ ( 1V7 r^ ' l'*-натуральное
8.405
(z)-HV,(«). J
Во всех соотношениях, которые справедливы для любой цилиндри-
цилиндрической фупкции Zv(z), т. е. для функций Jv (z), Nv(z) и их линейных
комбинаций, например Щ\г), H\f'(z), мы будем вместо букв У, iV, #w, Я<2к
писать букву Z.

966 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Цилиндрические функции мнимого аргумента lv{z) и Ky(z)
8.406
""vi' |^^J B92
2. /,<*) = «* 1И*.Ме~*я1*) [i<aig*<n]. B92
При v целом
3. /„(а)=Г"/.(и). Ку46A)
¦8.407
В92(8)
2. ^(*) = тг« ~^H%{iz).
Дифференциальное уравнение, определяготрее эти функпии, см. 8.494.
8.41 Интегральные представления ? j i,i;i;iiu J"v ^; и iVv (z)
л
sin 6,
-я
л
1 С
= — \ соз(л9— zsiaQ)dQ [л—натуральное число].
о
УВII172
п
п 2"
2. -^а, (г) = -^- [ cos 2n9 cos (г sin 9) dQ = -|- \ cos 2n9 cos f г sin 9> «й
о о
[п —целое число]. В 30 G)
л
2
— С sin Bn + 11 б sin (г sin 9) d9 [n — целое число]. В 30 F)
(т
л
2
УВП178
(—У
5. /v (г) = —у—\ \ , i л \ isin^e cos (г cos 9) dQ

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 967
6.
W /-1 -ч \ cos(zs*11 e)cos2v9de
74
7.
8.
V 2
(тУ
Ar/l' S
V 2 /
sin3ri
— — v 1Г1 - 1 S
2 V Ч2> ' (^-1)
f-У
CO
И. У v (i) = i- J sin (a; ch * -
ch vt dt.
5 v—- Г
» cos 2 0sin (г—
J
Ky65E), В 35 D) в
УВП 178
Ky65F), УВИ178
MO37
В 34C)
В199 A2)
у 6 J
2г otg i)
Y)] УВИ183
13. Jv (z) = —[ cos (v9 - z sin 9) <ffl - st" Vil ? <r-*e-2 sh e <де
о о
[v — любое таело, Re z > 0]. В 195 D)
я со
14 /vfz)= п - \ cos(v9 + 2sin8)d9 — siavn \
о о
Г при-4-< |argz| < л, причем верхний знак берется при argz>44p,
а нижний при arg г < —о" • УВП 174

У68
8—» СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.412
exp
(/--|^) Л.
3. Jv(z —
ri 2
5.
УВ11164, В 195 B)
B195fl
В 195A
В 214 G)
coa(zt)dl
-л—v) г Ф®'* точка А находится справа от точки t = 1, и
л] . УВII177-178
-л+tgo
= 0 в точке
Я+ОО!
6. 7V(Z1=-^- \ e-^sme+ive de [Rez>0].
КГ 401
Путь интегрирования показан на чертеже.
7Z+ICO
8.413
cos (г sin t — \t) dt —
— sinvn ? exp(— zshf — ?chf —
8.414
>0]. MO 40
МО 41
1
См. также 3.715 2., 9., 10., 13., 14., 19.-21., 3.865 1., 2., 4., 3.996 4.
Интегральное представление для Уо (z) см 3.714 2., 3.753 2., 3., 4.124. Инте-
Интегральное представление для У,(г) см. 3.697, 3.711,3.752 2., 3.753 5..
8.415
1.
[ж>0]. МО 37

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 969
= —2
угу
-dt
'G->G)
[-y<Rev<y, x>0j. Ky 89 B8) и, МО 38
3.
4.
= ~~\ cos
l, x>0].
B499A3)
) = -L \ sin(zsm0—v9)d8 —
CO
--^-Wev4-e-v(cosvn)e-zshld« |Rez>0]. B197A)
sm(zsm9)cos2ved0 —
[Rev>-y, Rez>0]. B181E)«
6. Nv(z)= —
2v+ie
?. Re(v+|)>0].
В186 (8)
Интегральные представления для N0(z) см. 3.714 3., 3.753 4., 3.864. См.
также 3.865 3.
8.42 Интегральные представления
функций НУ (z) и Щ*> (z)
8.421
vro
2
2е
— oo
oo
2.
vm
„ 2
Я1
—оэ
vni
2e-T '
В199 A0)
В 199A1)

970 8—9, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
if t \
--i, Rez>0]. B186E)
.--j-, Rez>OJ. В186 F)
5. mi\x)= "^YJ \ eiX' x dt
В 187A)
2i 7
6. Я^(^) = —
[-y<Rev<y, a;>0]. B187B)
7. Я^B)=-4, Z Jexpfliz^+J-)]^-^
—-ivjt oo
[0<argz<si;; anHargz = 0 и — l<Rev<l]. MO 38
—— ivn oo
8. /ri"(«)= --i-e г^ J exp [1^^+^
u
-?-, a:>0, Rev> — 1;
или argz = -5-, x>0 и — l<Rev<l]. MO38
(,+.
—|-<arg2<|-5i;, a;>o]. MO 39
10. /^vl) (z^ = , Кг/. \ e**cb * sh^t dt
Re v > — 7Г- или arg z = 0 и — Tr<Rev<-?rl.
MO 38

8 4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 971
МО 38
8.422
2.
я'Г [ -=-
-i-fcol
В183 D)
V(z)
[ — 2jt<argz< я]. В183 E)
Пути интегрирования показаны на чертеже.
8.423
—л-f-cm
1. H$\z) = — 4" 'i e~«sin e+ive rf6 [Rez > 01.
o\
—ОШ
—оог
2.
= - 4 ^ е-« »ln «+ive rf9 [Re z > 0].
В197 B)и
В197C)м
JZ+саг
Пути интегрирования показаны да левом чертеже для формулы 1 и на нра-
нравом чертеже для формулы 2.
у я-woo
8.424
-?ОО
•y+loo
V—too
[Y>0, Rev>-1,
^045

972
8—8 СШШИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.43 Интегральные представления функций lv (z) и Kv (z)
Функция Iv(z)
8.431
2^
2. /„(«) = -
(t)"
3.
4.
5.
¦y^- [ ch (z cos 9) sin2'9 dB
о
Л
о
ОС
В 94 (9)
y, Rev>0]. B.201
См. также 3.383 2., 3.387 1., 3.471 6., 3.714 5.
Инте1ральпое представление для Iu(z) и 1\{z) см. 3.366 1., 3.534, 3.856 Ь.
Функция Kv{z)
8.432
2.
[ | arg z| < у или
GO
V p—z Ch t ch2i
.)e m
= 0 и v =
MO39
- '(.+1)
|Rev>— y, Rez>0; или Rez =
и —y
В 190^5,, УВII 203 и
3.
~^)>0, [&Tgz\<~; или Rez = 0 и v = o] .
В190 D)

8.4—8.& ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 973
4. К^х) =—^- i cos{xsht)chvtdt
[х>0, -l<Rev<l]. B202A3)
Г ( v-4-— I Bz)v °°
[Re(v+y)>0,x>0, |iurgx|<-5-]. В 191A)
со -i-ii !
6. gv(s)-{(|V S ' tv+'d' jjargzK-f, ReZ2>
— oo
В 203A5)
7. ,<)
r|argz|<-|- или |argz|=-?- и Rev<l]. MO39
8.
[|argz|< n, Rev>— у, ж>0| . МО39
9. Л /"
[Rev> —i, Rez>0, RcVr^T?>0, a; >o] . МО39
См. также 3.337 4., 3.383 3., 3.387 3., 6., 3.388 2., 3.389 4., 3.391, 3.395 1.,
3.471 9., 3.483, 3.547 2., 3.856, 3.871 3.,4., 7.141 5.
CO
8/C3 Kl(^^r')=-^:\cos{t3 + xt)dt. Ky 98C1), В 211 B)
-43J/3-- К1 g
Итеграпьное представление для K0(z) см. 3.754 2., 3.864, 4.343, 4.356, 4.367.
8.44 Представление в виде ряда
Функция Jv (z)
8.440 /v(Z)
8.441 Частные случаи:
A=0

974 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2. J,{z)- -/,(*)- 2
я=0
3. /i(z)= 2 A^
4
г ^ т
Разложение /v (z) по полиномам Лагерра см.. 8.975 3.
8.442
1. /v (Z) / u.{z) — /J
fe=O
Г (v+n+A+1)
Если v2 ф [Xs, то 2v, 2[x, 2(v + (x) в этой формуле не могут быть целыми
отрицательными числами; если v = fi, то 2v не может быть целым отрица-
отрицательным числом; если v= —(А, то v не может быть целым отрицательным
числом. ' В161 E)
az\v {bz Ли
2 J (az) J
t /" az \ Ы „ / *2 \
"~ ^-. MO 28
Функция iVv(z)
8.443 N4(z) = -Д- {cos vn f^V S ( ~ *)'
ft=0
(сравни 8.403 1.).
При v+1 натуральном см. 8.403 2.; при v целом отрицательном
см 8.404 1.
8.444 Частные случаи.
)
2. яЛГ1(х) = 2/1(()
2 у ( 1J ^2^ f y 1 п

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 975
Функции /v(z) и Kv(z)
8.445
8.446
VBII187
4=0
B95A5)
?
-(-!)-/.Win? + 4,_1)»
(=0
(=0
1 -! y]
-г ) +
[n + 1 — натуральное число].
МО 29
8.447 Частные случаи:
*=0
2.
3.
" •'
8.45 Асимптотические разложения цилиндрических функций
8.451 При больших значениях | z | *)
X
) I
4) I
[|argz|<n] (см. 8.339 4.). В222A), В222C)
*) Оценка остатков в формулах 8.451 дана в 8.451 7. я 8.451 8.

976
8—8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2.
3.
X
Г (v-
cos
[|argz|<n:] (см. 8.339 4.). 6222^2), В222D), В222<5)
1 9 (
1
[Rev>-у, |argz|<nj kсм. 8.339 4.). B221E)
[Rev>-y,
1.8.339 4.). В 221 F)
Для индексов v= —к— (п — натуральное число) ряды 8.451 обрываются.
В этом случае для всех значении имеют место замкнутые формулы 8.46.
к\т( V— М--7Г
12,)»
| Знак 4- берется при —— < arg z < -х- л, знак — при —=- л < arg z <
см. 8.339 4.). В 226B), В 226C)
*) Противоречие, которое содержит на первый взгляд это условие, объясняется
так называемым явлением Стокса (см В 224 — 22о)

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 977
в.
(см. 8.339 4.). В 231, В 245 (9)
Оценка остатков асимптотических рядов в формулах 8.451:
Г
7-
Bа)»BпI Г f v
—2в+-|Л
В231
В231
В245
В 246
В245
<1. В231
Из 8.451 7. и 8.451 8. следует, в частности, что при действительных
положительных значениях z и v погрешности \ВГ\ и |Д2| меньше модуля
первого отброшеиного члена. При значениях |argz|, близких к п, ряды
8.451 1. и 8.451 2 Moiyr оказаться непригодными для вычислений; в частно-
частности, погрешность при | arg z j > я может оказаться больше первого отброшен-
отброшенного члена по модулю).
«Приближение тангенсами»
8.452 Для больших значений индекса (аргумент меньше индекса).
Пусть х > 0 и v > 0. Положим — = ch а. Тогда для больших значе-
значений v справедливы разложения:
л т f v Л exp
l ^C)—У
При —~- < arg z < у я, v действительном и и + у > | v |
|0i|<l> если Imz>0; 19x1 < |sec(argz)\, если Imz <0.
При —тгЛ. < argz < -=-, v действительном и « + -o->1v| s
|9»|<1, если Imz<0; |92| < |sec(argz)|, если Imz>0.
При v действительном
|03|<1 и Re6,>0, если Rez>0;
| в31 < |cosec(argz)|, если Rez<G.
При v и z действительных и «>v—-^
2
62 Таблицы интегралов
B269C)
B270E)

978
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.453 Для больших значений индекса (аргумент больше индекса).
Пусть х > 0 и v > 0. Положим — =cosp. Тогда для больших значе-
значений v справедливы разложения:
В 271 D)
2.
В 271 E)
3. Я<" (v sec p)
exp|vi(tgp—p) —^-i
г ; f . 5
f 1 - 7 ("I ct8P + ^c
J f1 + ±^
4.
Формулы 8.453 неприменимы, когда | а; — v | сравнимо с з?. При любых
малых (а также и не малых) значениях \х—v[ можно пользоваться сле-
следующими формулами:
8.454 Пусть х > 0 и v > 0. Положим
тогда
2.
? (^ ш>) + О fa
МО 34

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 979
Абсолютная величина погрешности О (-г—г- J при этом меньше
8.455 Для х действительных и v натуральных (v = п) при « > 1 имеют
место следующие приближения:
з
[П>Х] «»• ™**е 8.43*;
В 276^1)
[n>x\; МО34
f
3
{2(g-/г)}2
(см. также 8.441 3., 8.441 4.). В 276 B
3 3
2. Nn(x ъ - """ "Ч ' г'0'"- ""
[х>п\. В 276C)
Оценка погрешности в формулах 8.455 до сих пор не получена. :
8.456 JUr ' ""-^ 2 V(l^-W Г
[|argz|<nl 'см. также 8.479 1.). В250E)
8.457 J%(xS + Jl+i(x)«*-^ [a: »| v | ]. В 223
8.46 Цилиндрические функции, индекс которых равен целому числу
плюс одна вторая
Функция Jv (z)
8.461
<-1)fc'"+2fc+"'
г
*-• Bft+l)l(.n —¦<!* —1)! 2
fn -Ь 1 — натуральное число', (сравни 8.451 1.5. Ку59F), В 66 B)
62*

980
8—«. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2. /
2 j Л
ft=0
(-1)*(л4-2*)!
<2*)!(п — 2к)Ц2г)**
(-'>*<"+2*+1).
|3ft+lj
[n 4-1 — натуральное число] (сравни 8.451 1.). Ку59G), В 67 E)
8.462
1.
.
^о^ (и— *)! Bг)* J
[л 4-1 — натуральное число]. Ку59F), В 66A)
z
4=0
)
J
«.463
1.
2.
" 2
8.464 Частные случаи:
1.
2. / i(z = I/¦„7C0S z-
[n+l — натуральное число]. Ку59G), В67D)
Ку58D)
Ку58E)
3. /s(z)= ]/—C^^-cosz)
4. / з z)-
5.
6.
Функция JV
«.465
1.
^. JV _ iW = С-!)"/.(*).
,(
«и-»
Д (809.01)
Д (809.21)
Д ^809.03)
Д (809.23)
Д(809.05)
Д (809.25)
ЯЭ227
ЯЭ227

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 98Г
Функции H^'^i^z), I i(z), К 1 (z)
8.466
n— 1
1. Н^ l (z) = у — i'ne" 2 ( ~ 1)к ы"/~^_ ~j~_ 4\i —г-j- (^авя0 8.451 3.).
п-1
2. ЯB) ,(z)= l/-Lj"e-iz 2 .("+йГ1)<\,—Ц- (сравни 8.451 4.).
n-Iv ' К Jtz ^-l *! (я — * — 1)! raz\k v r '
8.467 У, ,,(») = —L
^^ "'О/ f 4jJ|0\ l И ! Ill "¦
*" 7 fe=Q
* (сравни 8.451 5.). КубОи
П
8.468 K^ i(z)= ]/-J-e-22 (n+k)i ft (сравни 8.451 6.). КубО
8.469 Частные случаи:
1. Ni(z)= - у —-cosz.
2. ^i(z)=|/2-sinz.
3. A; , (z) = l/^ е"г. В 95 A3>
- . MO 27
^-. MO 27
6. Я*^1 (z) = у ~ -". MO 27
2
7. ЯB),<г) = l/^-e-i2. MO 27
8.47 — 8.48 Функциональные соотношения
8.471 Рекуррентные формулы:
1. zZ,_1B) + 22v+,(z>=;2vZv(z). Ку 56 A3), В 56A), В 79A), В 88 C>
2. Zv_, (z)-Zv+t {z)=2~Zv(г). Ку56A2), В56B), В79B), В88D)
Сонин и Нильсен при построении теории цилиндрических функ-
функций определяли эти последние как аналитические функции г, удовлетворя-
удовлетворяющие рекуррентным соотношениям 8.471.
8.472 Следствия из рекуррентных формул:
1. z J^Zv(z) + vZv(z) = zZv_,(z). Ky56(ll), В56C), В79C),~ В88E>

982 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2. z^Zv(z)-vZv(z)=-2Zv+,(z). Ky 56 A0), В 56 D), В 79 D), В 88 F)
3. (iym (z*Zv (г)) = *>-» Zv_m (г). Ку 56 (8), В 57 E), В 89 (9)
4- (;У"(*-^(г)) = (-1)»г—mZv+m(z).
Н89A0), Ку55E), В 57 F)
5. Z_n(z)=>( — l)mZn(z) [« — натуральное число} (сравни 8.404).
8.473 Частные случаи:
2. f
4- a-^.W-—'iW-
5- |^.W--^i(x).
8.474 Каждая из пар функций /v(z) и /_v<z) (-v =? 0-, j-1, ±2, ...);
Уу(г) и JVv(z); //V'(z) и ff^{z), служащих решениями уравнения 8.401, a
также пара функций /v(z) и /sTv(z) представляют собой пары линейно
независимых функций. Вронскианы этих пар соответственно равны
2 . 2 4i 1
— sm vn, — , , .
яг nz ял z
Ку52A0), Ку52A1), Ку52A2), В90A), В90D)
8.475 Функция /v(z), Nv(z), /Д*'я(г), /v(z), ^v(z), за исключением /„(z)
при и целом, неоднозначны: 2 = 0 служит для них точкой вет-
ветвления. Ветви этих функций, лежащие по разные стороны от разреза
(—со, 0), связаны соотношениями (обхода):
8.476
1. Jv (e™»1 z) = emv«* /v (z). В 90 A)
2. ^v(emraz) = e-mwiJVv(z) + 2isin?nvnctgvjt/v(z). В 90C)
3. N-JV(emBiz) = e-mvmN-v(z)+'?is\jimvncosec<vnJx(z). B90D)
4. /v(e""riz) = einvffl</v(z). В 95 A7)
5. Kv (е™1* г) = е—mvsn ATV (z) — ijt -^~^— /v (z) [v не равно цедому числу].
В 95 A8)
6. ЯУЧв"» z) <1) ^^
sin(l —m)vn trtp

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 983
n rj
1 • ?1
8. H
9. Я
10. Я
8.477
1. A
2. /,
i2) (emm z) = e-mvai ffW (Z) + 2evm
_ 8in(l + m) vrt „B)
sia vn v *
<2> (е-€я Z) _ _ #<Д (Z) = — e'«v Я
B) B) _ Я^4) (z).
, (z .Wv-h (z) — /v+i (z)Nv(z)= —
, (& Ky+i (z) + /v+t (z) Xv (z) = -
sin mv« T
sin vn v * '
. v3(Isinmv:
' ' sia vn
^ (z).
rv442).
2
яг
*Hf>(z) В 90 F)
[яг —целое число].
МО 26
МО 26
МО 26
В 91 A2)
В 95 B0)
См. также 3.864.
Связь с шаровыми функциями см. 8.722
Связь с полиномами CJ-,U) см 8.936 4.
Связь с вырожденной гипергеометрической функцией см 9.235.
8.478 При v > 0 и х > 0 произведение
рассматриваемое как функция хг монотонно убывает, если v>y, и моно-
монотонно возрастает, если 0 < v < у . МО 35
8.479
(см. также 6.518, 6.664 4., 8.456). МО 35
2. |/nGiz)|<l r|-^^=L=^|<l, n -натуральное число!. МО 35
Соотношения между цилиндрическими функциями
1-г о, 2-г о и 3-г о рода
8.481
(ж))
(сравни 8.403 1., 8.405). В 89 A), ЯЭ 228
8.482
г) - i/v (z) = 1
(сравни 8.4031., 8.405). В 89C), ЯЭ 228

984
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.483
2.
8.484
2
8.485
tsinvn
i sin vrt
(сравни 8.405).
sin vn
[v не равно целому числу]
(см. также 8.407)
8.486 Рекуррентные формулы и их следствия для функций /v(z)
1. zJ-v—, vz)— z/v+l B) = 2v/v(z).
2 /v-i
4. z —/v(z)—'
5. D-
г)} = г^—/v_m(Z).
'z)} = z-v—/v+m(Z).
7. /_nB) = 7-n(z) [w — натуральное число].
8. /2(z) =
9 X^O Z)
10. Zifv-, (i
11. ,?v-*(Z
12 z^Xv(
13- 2^^v<
2 .
z г
) + «v+
Z) + V^
.W + /.W-
,+1B)=.-2у^(г).
.,B)=-2^B)
:?(г)=-2^_1B).
v B, = "~* 2^л^-|-1 B).
v-m (Z).
= ( - 1)"
16 Я-.,,B) =
17. Я8(г) = 4
18. 1^B)=
В 89 F
В 89 G)
В 89G'
В 92 F)
и Kv(z):
В 93A)
В 93 B)
В 93 C)
В 93 D4»
В 93 E)
В 93 F)
В 93 (8)
В 93 G)
В 93A)
В 93B)
В 93C
В 93 D)
В 93 E)
В 93 F)
В 93(8)
В 93G)

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 985
8.487 Непрерывность по индексу *):
[и —целое число].
3. limKv(z)-Kn(z)
8.49 Дифференииальньте 'уравнения,
приводящие к цилиндрическим функциям
См. также 8.401
8.491
2- т|
3. а'+
4 и' +
5.
6.
7
8
9.
11.
" = 0,
4p2v).
12. zV + Ba - 2p"v +1) zu' + [PV*2" + о (a - 2Pv)l н = 0,
8.492
1. в* + (е2г — vz) и = 0, B = Zv(ez).
2.
В 76
В 183
В 92
ЯЭ237
ЯЭ237
ЯЭ237
ЯЭ237
ЯЭ237
ЯЭ237
ЯЭ238
В 111E)
В 111 F)
В111 G)
В 111(9)а
В 110C)
В112 B1)
В112 B2)
*) Непрерывность до индексу для функций Jv (z) и /v (г) следует непосредственно
из представления этих функций с помощью рядов.

986 -~- 8—9. специальные функции
8.493
(± ^(^ ^ . ЯЭ238
2. u' + ^ + 2ctgz^u'-Q~-^-^u = 0, w = coseczZv(z). ЯЭ238
8.494
1. »' + 7«'-(l+^» = 0, u = Zv{iz)^C1Iv(z) + C^Kv(z). ЯЭ237
2. B»+IB'_|"i.+ ^yju = O, n-ZwBi|^i). ЯЭ238
3. вЧ-вЧ-у(|— v2)u = O, B = yieiZvd-). ЯЭ238
5. u»4.i^V_i_ii = o, w = z2Zv(il/z). В 111 (8)
6. u"±~ = Q, « = y!Z2( ¦?**), yiZJ^iz"). В HIA0)
3 d
7. M*±m = 0, M = ylZ Л\гЛ, Y~zZ (liz2*). В 111 A0)
8. u*-fc2 + ^±^V = 0' B = ylZ ,(lcz). В 108A)
v4-i
9. m«_^u' —c*u = 0, и = г 2Z f (icz). B1O9C), B109D)
10. u"-cV*-2u = 0, u-Y^Z^ Q~zA. В109E), В 109F)
2v
8.495
1. u" + 4-№' + (*-^)MB=0' w-Zv(zV~i). ЯЭ238
2. u'+(yT2i)i»'-E±y)u-0, w=e±«ZvB). ЯЭ238
3. u' + lM' + se«*u = 0, u = Z0(lAIze?a). ЯЭ238
4. u»+(se«4-^w = 0, w = ]/zZ0(]/7ze2). ЯЭ238
8.496
^CS) (^) г2BгТг)}. В122 G)
В122 (8)

B.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 987
I
)+Z10Biz~*)h В122(9)
d*u
cPu , 2v3+l<fa
^ ^"
Tdi5'
и = AXJv(z) + AJ)IV z)-\-A3Iv{z) + AtKv(z), где Лг, А2, А3, А,— постоянные.
MO 29
8.51—8.52 Ряды бесселевых функций
8.511 Производящая функдия для бесселевых функций:
2.
3.
8.512
2 ¦'aft (z)cos2ftф ±
A=0
ft=0
i(z)i>fe(cos«p);

= 2'
A——оо
оо
= 1+2 ^ ihJk(z)coshp.
/22С03Ф
Ряды SJh{z)
Wk\
Ку 119A2)
Kyl20(,13)
В 401D)
MO 27
MO 27
ftm. MO 28
В 44
В 45
4=0

988
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.513
A=l
2 S Bfc +
ft=O
p
fc=O
\h+t (Z) =
= 1,2,3, ...].
В 46A)
-i b = О, 1, 2, 3, ... ]. В 46 B)
В формулах 8.513
m=0
В частности:
. 3. ~
fc=0
да
4.
oo
/ I
8.514
ft=0
2.
3
4
S
fe=0
5. /„ (z) + 2 S Ak B) cos 2& в = cos (z sin 0).
О- 2л 2ft
ft=0
со а
2 1 i*
3?ь*\ {x) **"o" \ "^o @ "' 1Ж действительно].
8.515
ft=0
2.
В 47 D)
В 47 D)
В 47 D)
УВН192
УВП192
В 32 (9)
В 32 A0)
Ку 120A4), В 32
Ку120A5), В 32
В 638
А (9140)
МО 127 м

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 989
з. 2' и*1»-cw-
8.516
8.517
1)!
/2n+2* Bz sin e^ = (г sin 9J»
*M>
Ряды ZahJh(kx) и ZahJ'),.(kx)
8.518
' 1.
2.
3.
MO 127 u
В 47
1
2
2 Л (**) = ;
J>—«
z
A-2)
г
2A-^)
[
zexpl/ 1—z3
В 615A)
< l] . В622A)
MO 58
МО 58
МО 58
МО5Й
МО 58
Ряды 2 ак /0 (/еж)
8.519 FcnH функция f(x) обладает на отреаке [0<ж<я] непрерывными
производными цо х с ограниченной вариацией, то
*—1
где
я
к 2
2. oe = 2/@) + -| \ du [ ujf (в sin ф) йф.
о о
я
я 2
3. ап~— \du\ uf (и sin у) cos пи dy.
УВИ 193

990
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.521 Призеры-
m=l
2. 2(-1>"+I/o(fca;)==T
МО 59
Ку 124A2)
3.
\-я<т<я\: Ку124
= тг + V z2 — л2 — -ir — л arccos — [л <; ж < /л i
МО 59
4.
.
А=1
М0 59
тде г = Ух* + у2 + z2, а под квадратным корнем понимается то его значе-
значение, у которого действительная часть положительна В формуле 8.521 4.
первое равенство имеет месю, когда х и у действительны, a Rez>0,
последнее же равенство имеет место, когда х, у и z действительны.
Ряды ^\akZ0{kx) sin kx и 2iahZ0(kx)coskx
8.522
со
1. У Ja(kx)coskxt= -4"
? 2
I
МО 59
2.
A=l
ч-
У f
MO 59

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 991
3. .
MO 60
В формулах 8.522 x > 0, 0<f<l, 2ят < жA — f) < 2(i»+l) л,
2ил < a;(l+f) < 2(и + 1)л, те-fl и л-f 1 — натуральные числа.
8.523
со от
_ у f 1 Ll_ v f * LA
мобо
та m
2. 2 (- 1)Ч(Ь;) sin to = ± {S |- S 4
1=1 1=1
1 1
, у f
(^Jl I /fB/ -1) я+te]« -*« 2/я
{1)>1Er5r-lSr}- MO60
3.
4\ мобо
В формулах 8.523 ж> 0, 0<« < 1, , B'те —1) л <жA —f)< Bте + 1)л,
Bя—1)я< ж Д+ <) < Bга+1)я, те и и —натуральные числа.
8.524
ОО П
24 S 1МО60
2- "S Л (fca;) si
Si 1 44-
~ I J/^BZ:n;+toJ—x* 22hJ
/ * -LU-Lvl
МО 60

992 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
3. У, N0
со
П формулах 8.524 т > 0, t > 1, 2mn <x(t — l < 2 (w + 1) n, 2иж < x (t -\-1)
<2(«-t-l n, /и-rl ии+1— натуральные числа.
8.525
. M061
3.
_V 1 _y f
_
2/я
В формулах 8.525 ж >0, < > 1, Bw — l)n<x(t —1)< Bот + 1) л, Bи — 1) л
< ж (t +1) < (,2л +¦ 1) л, т и п — натуральные числа.
8.526
2 g.
^ 1 /¦x»+J2te-"faF "" 2ЙГ/ +Т
МО 61

8 4—8 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 993
2 Yi
ft—i
1 LA,
^ + [B1_1)Я- **]» &Я / "Г
LI
**]» 2/я/
[ж > 0, f действительно], (см. также 8.66). МО 62
8.53 Разложение по произведениям цилипдрпческих функций
«Теоремы сложения»
8.530 Пусть r>0, q>0, ф>0 и R = Vri + Q2 — 2rQ cos Ф > т. е. пусть г, q
и R представляют собой стороны треугольника, у которого угол между
сторонами г и q равен ср. Пусть далее Q <, г и \\> — yi ол, противоло/кащий
•стороне Q, так что
При выполнении этих условий имеет место «теорема сложения» для
цилиндрических функций:
2. eiv*Zv(m-R)= 2
k=—оо
[т — произвольное комплексное чигло]. В 394F)
При Zv = /v и целочисленном х ограничение у <^ г оказывается
излишним.
МО 31
8.531 Частные случай:
1 Уо (mR) = Jo (пщ) /„ (тг) + 2 2 Jh ("^ Jh >1т* cos fop В 391 A)
оо
2. #{,ll2)(mfl) = ./0(mQ)#y-2)(»w) + 2 ^ Jh(mq)H(kia>{mr)cosk(p. MO31
3. Уо ^ sin a) = Рв (у) + 2 (
А=0 2
8.532 «Теоремой сложения» называют также формулу
[v^ —1, —2, — 3, ...; условия для г, q, R, ф, /и те же, что и в фор-
формуле 8.530; при Zv = /V и х целом формула 8.532 1 справедлива при
любых г, е и ф. В 398 D)
63 Таблицы интегралов

994
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.533 Частные случаи:
2-
8.534 Вырожденная теорема сложения (г—>оэ):
2ntQ
l (cos ф)
МО 31
МО 31
В 401 A)
В 401 B)
fe=0
[v^O, -1, -2, ...].
8.535 «Теоремой умножения» называют формулу
A=0
При Zv = J\ она справедлива для любых значений Я и г. МО 32
8.536
' A=0
г.. & /|
3. . .
ОО
8.537 2 '-
ft=—оо
В частности:
8.538
ft=—аз
2.
В47A)
z\2,n
Л (*)•
ft=—оо
[\z\<\t\].
8.54 Корни цилиндрических функций
В 41 C)
В158B)
В 41
В 159
В1591,5)
8.541 При любом действительном v функция /v(z) имеет бесчисленное
множество действительных корней; при v > — 1 все ее корни действительны.
В 526, В 530
Цилиндрическая функция Zv(z) не имеет кратных корней, за исключе-
исключением, быть может, начала координат. В 528

8.4—8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 99t>
8.542 Вес корни функции N0(z), действительная часть которых положитель-
положительна, действительны. В 531
8.543 Если —Bs-|-2) < v •<—Bs~|-l), где s—натуральное число или нуль,
то Jv (г) имеет ровно 4s + 2 комплексных корней, из которых два чисто
мнимых; если — Bs + 1) < v < — 2s, где s—натуральное число, то функция
Jv (z) имеет ровно 4s комплексных корней, среди которых нет ни одного
чисто мпимого. В 532
8.544 Бели при v > 0 xv и x'v суть соответственно наименьшие положи-
положительные корни функций /v(z) и Д(г), то xv > v, x'v > v. Пусть, кроме
того, yv — наименьший положительный корень функции Nv{z); тогда
cv<yv<xv. В 534, В 536
Пусть zvm (т= 1, 2, 3,. ..) — корни функции z~vJv(z), упорядоченные
в соответствии с абсолютной величиной их действительных частей; при этом
предполагается, что у> ф — 1, —2, —3,... В таком случае для любого а
'•w-ШгП ('--?¦)¦
8.545 Число корней функции z~v/v(z), лежащих между мнимой осью
и линией, на которой
[4^J л' В 548
равно в точности т.
8.546 При v>0 число корней функции Kv(z), лежащих в области Rez<0,
|argz|<n, равно ближайшему к v =~ четному числу. В 562
8.547 Большие корни функций /v(z)cosa — 7Vv(z)sin«, где v и a — дей-
действительные числа, даются асимптотическим разложением
-D<»v-3D , Ку 109 B4), В 558
8.548 В частности, большие корни функции /0(г) даются разложением
я ,, 1 31 3779
КуЮ9B5), В 556
Этот ряд пригоден для вычисления всех (за исключением наименьшего ж0|)
корней функции J0(z) с точностью по крайней мере в пять знаков.
8.549 Для вычисления наименьших по абсолютной величине корней xVl m
функции Jv (z) можно пользоваться равенством
v*+53752v!»-|-185430vi!-|-311387v-f 202738
Ку112B7)м, В 554
63»

8—8 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
&.550 Определения:
га
1. Hv(*)= Si-
8.55 Функции Струве
f z \2
2m+v+l
m=0 Г f "H—я- I Г
2m+v+l
8.551 Интегральные представления.
. Hv(z) =
D-)
sin(zcos<p) (si
2. Lv(z) =
8.552 Частные случаи:
2 у С
— , , A sh (z cos ф) (sin фJл< йф
-1—^ 5
[Rev>—!-].
. н. (.
?ii=0
2 mJ
пЛ—2
В 358B)
B360(ll)
В 358A)
В 360A1)
ВТФП40<66), В367A)
n+2m+l
т=9
1,2,...].
(-+4^
У
ВТФН40F7), В 367 B)
3. Н
*•
[и = 0,1,...]-
1)п/ jjW [« = 0, 1,...]-
1'чг) [« = 0,1....].
2
ВТФН39F4)
ВТФН39F5)
ВТФП39F5)

8 4—8 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 997
6. Hj (z) = -4=^A- cos z).
2 У nz
7.
8.553 Фупкциопальные соотношепия:
2.
3 " rs-
4.
5.
8.554 Асимптотические представления:
ВТФП39, В364(Л>
[m=l, 2, 3, ...].
В 362E)
6358
В 359E)
B359F>
4- S ——? i ч
[ | arg 11 < я]. ВТФII39 F3), В 363 B)
>
Асимптотическое представление для Nv '?) см. 8.451 2.
8.555 Дифференциальное уравнение для функций Струве:
8.56 Функции Томсона и их обобщения:
berv(z), beiv(^), Ьсгу(г), heivB),
В 359 A0)
8.561
2. berv
8.562
2. herv(z)- iheiv(г) =
В 96F)
) 1
3 (см. также 8.567).
^*) J
В 96 G)

998
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.563
1. ber0 (z) = ber vz); bei0 (z) =5 bei (z).
2. ker(z)= 2~beie(z); kei(z) s-^-herp^z).]
Интегральные представления см. 6.251, 6.536, 6.537, 6.772 4., 6.777.
Представление в виде ряда
8.564
'¦
3. кег ^; = Г In -| C~) ber (z) + -j- bei (г) +
4.
с") bei (г) — -|- ber (z) +
2Й+1
ft=O
8.565
8.566
Асимптотическое представление
2.
3. ker(z)=
4.
[|argZ|<-|-J.
'-z) [|argz| < -|- л] .
где
25
13
384а»/2
25
! iL
/2 8
2 ' ""
в96D)
В227A)
B227(l)
B227B)
B227B)

8.4—8 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 999
8.567 Функциональные соотношения:
1. ker(z)+i kei (z) = Ко (z Y~i) ]
, , , /.. . / \r—л Сем. 8.562). B96E), Д 4824.1)
2. ker'z) — ikei (z) = KB(z у — i) J
Интегралы от функций Томсона см. 6.87.
8.57 Функции Л ом мел я
8.570 Определение функций Ломмеля s,,, v B), ?д, v (z):
m—О
[|ij.v не равно отрицательному нечетному числу]. ВТФП40F9), В377B)
cos
-ifti—v)n]j_v(z)-cos [-j
sin vrt
[ц ± v — положительное нечетное число, v —нецелое число];
ВТФИ40G1), В 379 B)
X {sin [1(ц-у)я] 7v(z)-cos [l^-vjn] Nv{z)}
[и ± v — положительное нечетное число, V —целое число}.
ВТФИ41G1), В 379C)
Интегральные представления
z г
8.571 «„, v (г) = -5- [Nv (z) ^ z»Jv (г) dz -7V B) \ z*Nv B) dz] . В 378 (9)
о о
4'5<I+v+'>'
J
Я
2
X [ J\ (z sin 9) (sin 9J v'"r'~"' (cos 0)^+i*,
К 2 <1+1>-VJ
[Re (v + p, + 1) > 0]. ВТФII42 (86)
8.573 Частные случаи:
1. Sutm, (z) = zOM B). В 382A)
U^W^O^). В 382A)

1000 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
3. &.lifcW = ^<*)- В382B)
4. 50,8n+1(z) = 452n+1(z). В 382 B)
5. *VtV(z) = r(v + 4-)V^2v-1Hv(z). ВТФН42(84)
6. 5v,vB)=[HvBi)-7Vv(z)]2v-1VrSr(v + i^. ВТФИ42(84)
8.574 Связь с другими специальными функциями:
1. Jv(z) = -|-sm(vn)Jso,v?(z) — vsllV(z)]. ВТФИ41(82)
2. EvB)=--l[(l + cosvn)s0.vB)+v(l-cosvn)*_1,v(z)]. ВТФII42(83)
Связь с гипергеометрической функцией
3. s^, v (z) = (ji_v + 1)(ji+v+1) i^U § ' 2 ; ~ ТУ •
ВТФ II 40F9), В 378 A0)
8.575 Функциональные соотношения:
1. SM-z.v(z) = z>i+i-[{li+lY-vi]slltV(z). ВТФП41G3), В380A)
2. S^.vB)+^y)*U. v(z)«=(fl+V — 1)*д_1, v-l(z).
ВТФ II41 G4), В 380 B)
3. si,vB)-(-j)sM,vB) = 0i-v-l)^_1(V+1(z).
ВТФ II41 G5), В 380C)
4. (^2 -^-^ «д, v (г) = (ц + v — 1) *д_!, v-i (z) — (ц - v — 1) вц_,, v+i (z).
ВТФ II41 G6), В 380 D)
5. 2fy,v(z) = (M. + v-l)sli_1, v_1(z)'+(p. — v-l)su_,,v+i(z)
ВТФ II41 G7), В 380 E)
В формулах 8.575 1.—5. s^, v(z) могут быть заменены на iSM, v(z).
8.576 Асимптотическое разложение для iS'UjV(z). В случае, если ц ± v
не есть нечетное положительное число, для 5Д> v (z) справедливо следу-
следующее асимптотическое разложение:
-z
p). В 385
8.577 Функции Ломмеля удовлетворяют следующему дифференциальному
уравнению.
zW + тГ + (z2- v2) w = zf+i. В 377 A), ВТФ II40 F8)

8 4—8 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 1001
8.578 Функции Ломмеля двух переменных Uv(w, z), Vv(w, z):
Определение
1 Uv(w, z)= 2 (-ir(y)V+2m->v+2m(z)- ВТФН42(87), В591 E)
2. Vv (w, z) = cos y (w+ ~^" + vn ) I + U-v+2 (w, z).
ВТФИ42(88), В 591 F)
Частные значения:
3. Ut(z, z)=V0(z, z) = y{/o(z) + cosz}. В591 (9)
4. Ux(z, z)=-Vx(z, z) = ysinz. В591 A0)
n-l
5TJ ? -\ 1/ t- 7\ \ ? J лпв т ^ t i\m
. и gn \z, z) — «'a» \ > / о— S cos z — ^>, ( — ij
2, m > 0,
lm = 0 B59i(ii)
[»>0], em-| 7_1„" В59Ц12)
1
8. ^v(a), 0)= rJ_:n V-l 1
' V 2 ' 2
r 9. V-v+2(w, 0)= r/v—1> S _g. i
* V 2 ' 2
8.579 Функциональные соотношения:
1. 2a-Uv{w, z)— Uv—i (w, z) +(—; t^v+i (w* z)« В 593 B)
2. 2j-Fv(a>, z) = Vv+i(w, z)+ (~Y7v_i(ш, z). B593D)
3. Функция Uv (w, z) представляет собой частное решение дифферен-
дифференциального уравнения:
т l»«(ip,w В 592 B)

1002
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
4. Функция Vv w, z) представляет собой частное решение дифференци-
дифференциального уравнения:
8.58 Функции Ангера и Вебера iv(z) a ?v(z)
8.580 Определения:
1. Функция Ангера Jv,z):
я
Jv (z) = -М cos (v8 - z sin 8) dQ. В 336 A), ВТФII35 C2)
о
2. Функция Вебера E\(z):
я
Ev ^ = -М sin (v9 -z sin 8) d0.
8.581 Представления в виде ряда:
В 336 B), ВТФ II 35 C2)
+¦
ВТФИЗб(Зб), В 337^3»
2. Ev(z) = sin™
(z
i-vJ Г
2»+l
ВТФП36C7), В 338 D)
8.582 Функциональные соотношения:
2 2Е; (z) «= Ev_j (z) - Ev+1 Kz).
ВТФ II36 D2), В 340A)
4. Ev_t (z) + Ev+i (z; = 2vz-'Ev (z) — 2(nz)~l A — соь vn».
ВТФН36.43), В 340 E)
ВТФII 36D0), В340B,
ВТФ II 36 D1), В 340 F)

8 4—8 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 1003
8.583 Асимптотические разложения:
р-1
. - . sin vie
Яз
[|argz|<nl. ВТФ II 37 D7), B344V1)
2.
) .-an
7J=0
V(l —COS УЯ)
ZJC
rA+r)rHv)
В 344 B), ВТФП37D8)
Асимптотическое разложение для /v(z) и ATV ^z) ей. 8.451.
8.584 Функции Ангера и Вебера удовлетворяют дифференциальному уравне-
уравнению вида:
где для Jv U) /(v, г) *= ^ sin vn, В 341 (9), ВТФ II 37 D4),
а для Ev4z; Av, г)= — —2[z + v + (z — v)cosvn].
ВТФ П 37 D5), В 341 A0)
8.59 Полиномы Неймана On(z) и Шлсфли Sn(z)
8.590 Определение полиномов Неймана:
т~° В 299 B), ВТФ II33 F)
2. O_n(z) = (-l)nOn(z) [П>1]. В303(8)
3. О0 (z) = ~ . В 299 C), ВТФ II33 G)
4. О/г)^ 4" • ВТФ II33G)

1004 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
5 O,(X) = 4-r-F-- ВТФ 1133 J)
Вообще, Оп (z) представляет собой многочлен степени ге + 1 относительно г'1.
8.591 Функциональные соотношения.
1. 0'0 (г) = - Ох (z) ВТФII33 (9), В 301 C)
2. 2%(«) = On_l(x)-O11il(«) [п>1]. ВТФ II33 A0), В 301 B)
3. (п - 1) О^ (г) + (« + 1) Оп^ (z) - 2г* (и* -1) Оп (z) =
= 2Bz-1^sinniV [в>1]. ВТФ И 33 (И), В 301A)
4. мО^ (я) - («2 -1) 0„ (z) = (п - 1) zO'n (z) + n (sin n^fj .
ВТФ II33 A2), В 303 D)
5. 1иОя+1(«)-(п«-1)Ов(я)= -(«+l)z<5;(z) + «(smn-|.y
ВТФ II 33A3), В 303 E) и
8.592 Производящая функция:
71=1
ВТФ II 32A), В 298A)
8.593 Интегральное представление:
См также 3.547 6., 8., 3.549 1., 2. ВТФ 1132C), В305A)
8.594 Неравенство.
| Оп (Z) | < 2п-»и11 z |-n-V 'Z '2 [re > 1] ВТФ II33 (8), В 300 (8)
8.595 Полином Неймана Оп (z) удовлетворяет дифференциальному уравнению
ВТФ II33 A4), В 303A)
8.596 Полиномы Шлефли«!?п(z). Тан называются функции, определяе-
определяемые формулами.
1. ?0(z) = 0. ВТФ II34 A8), В 312 B)
2. -S,(*) = -i [2ZOn(z)-2(cosre^-)a] [п>1],
ВТФ II 34A9), В 312C)
ВТФН34A8)
3. 5_„ (*) = (-1)"*1 Sn vz). В 313 F)

8.6 ФУНКЦИИ МАТЬЕ 1005
8.597 Функциональные соотношения:
1(z) = i0n(z). В313G)
Другие функциональные соотношения можно получить из 8.591, подставляя
вместо On(z) его выражение через Sn(z) из 8.596 2.
8.6 ФУНКЦИИ МАТЬЕ
8.60 Уравнение Матье
8.61 Периодические функции Матье
8.610 Уравнение Матье 8.60, вообще говоря, не имеет периодических реше-
решений. Если к — действительное число, то существует бесконечное множество
собственных значений а, которым соответствуют периодические решения
отличные от тождественного нуля. Если к отлично от нуля, то не сущест-
существует никаких других линейно независимых периодических решений. Перио-
Периодические решения уравнения Матье называются периодическими функциями
Матье, или функциями Матъе первого рода, или просто функциями Матье.
8.611 Уравнение Матье имеет четыре ряда различных периодических решений:
g)= 2 A*irn)cos2rz. M30(l)
0
0
со
2. ce2n+1(z, q)= 2 А(?#1) cos Br + l)z. M30B)
o
3. se2n+1 (z, q) = 2 Bftfi» sin Br + 1) z. M 30 C)
0
oo
4. se2n+2 iz, q) = 2 Mr+t2) sin Br + 2) z. M 30 D)
5. Коэффициенты А и В зависят от g; собственные значения а, принад-
принадлежащие функциям сеа„, ce^j, se^,,, se^.^, обозначаются так: a2n, e2n+1,
8.612 Решения уравнения Матье нормируются так, чтобы
2я
\y*dz = n. MO65
5
8.613
1. limce0 («) = —?=- .
2. lim се„ (ж) = cos nx [пфО], /
3. limsen(a;) = sinna;. МО 65

1006
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.62 Рекуррентные соотношения для коэффициентов
8.621
1. оД2"'-^2 =0.
2. (а - 4) 42п) -
3. (а -
= 0.
+ Agn22) = 0
8.622
2. [а - Bг +
' - »
8.623
2. [а-ч2г+
> 2].
^1') = 0 [г > 1].
^) = 0 [г> 1].
М37A)
М37A)
М37A)
М37\2)
М37B)
М37C)
М37C)
8.624
¦ qBTn+li) = 0. M37D)
2. ^-4т-2)?2гП+г)-д'^22+22)-522'Й2))=0 \г>2]. М37D)
8.625 Из равенств 8.612, 8.613 и 8.621 — 8.624 можно определить коэффи-
коэффициенты А ж В, если только а известно Пусть, например, требуется опре-
определить коэффициенты ЛB271> для функции се^ (г, д). Из рекуррентных формул
получают как следствие соотношение
1.
а
-2q
0
0
0
-я
а-4
-4
0
0
0
—
а —
—
0
Я
16
9
0
0
— д
а-36
-я
0
0
0
-9 • •
а-64 .
= 0.
Ст 40
При данном q из уравнения 8.625 1. можно определить собственные
числа
2. а = а0, а2, а4, ... [|ао|< I а2|<|а4|< ...].
Положив, далее, а = а2п, из рекуррентных формул 8.621 можно определить
коэффициенты ^?
Р с точностью до коэффициента пропорциональности,
ф
М 34 B)
фф
Этот последний определяется из формулы
3. 2 [4>2п)]2 + 2 [Ag*]* =1,
вытекающей из условий нормирования.
8.63 Функции Матье с чисто мнимым аргументом
8.630 Заменив в уравнении 8.60 z через iz, мы придем л дифференциаль-
дифференциальному уравнению

8.6 ФУНКЦИИ МАТЬЕ 1007
Решения этого уравнения можно найти, заменив в функциях cen(z, g)
и sen (z, q) аргумент z через iz. Получающиеся таким образом функции
называются присоединенными функциями Матье первого рода и обозна-
обозначаются так:
, gh Se2n+avz, q.
M35B)
M35C)
M 36 D)
4. S^^Cz, q) = ^oBg^22)shBr + 2)z. M36E)
2.
8.631
*•
2.
3.
Gejj,, (z,
Ce2n(z,
я), <
<?>=
(*. ?)
(z, ?)
oo
r=0
oo
=^
oo
= 2fi
n=0
l)ch 2rz.
2r+l Ch Br -\-
^1)shB7- +
l)z.
l)z.
8.64 Непериодические решения уравнения Матье
Наряду с каждым периодическим решением уравнения 8.60 существует
линейно независимое с ним второе, непериодическое решение. Непериодиче-
Непериодические решения обозначаются соответственно через
fean(z, q), fe2n+1(z, g), ge2n+1 (z, q), ge3nt3 (z, ?).
Аналогично вторые решения уравнения 8.630 1. обозначаются через
8.65 Функции Матье для отрицательного q
8.651 Замена аргумента z в уравнении 8.60 на ±(y±zj приводит
к уравнению
0 O. M30(l)
Это уравнение имеет следующие решения:
8.652
*,-«) = (-1)" ce2n (|n-M). M30B)
2. сеап+1 («, - q) = ( - 1)" se^ A я - z, g) . М 31 C)
3. se2n+1(z, -?) = (-1)"се2п+1Dя-г, 9) . М31D)
4. se^, (z, - <?) = (- 1)" S(W2 (^ я - z, <?) . М 31 E)
5. fean(z, -?) = (-lrMe^dя-z, ?) . " M187(l)
6. fe^(z, - q) = (-1)"ge2n^ (|я-z, g) . [M187 C)
7. g«W(z, -q)-(- 1)"f«w GЯ-М). M 187E)

1008 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8- geare+2 л -?> = <- 1)" ge2n.2 (-j «- *• в) ¦ M 18817)
8.653 Аналогичным образом замена z на -^-i + г в уравнении 8.630 1. при-
приводит к уравнению
Оно имеет решения:
8.654
(^ ) М 200A)
2. CeWl(z, -?) = (-D^iSe^^-g-m + s.g). M200(ll)
3. Se^rt<*. -?)=-<-lrnGw (-?i + *,g). M201B1)
4. Sefart(*. -g)-(-l>"*1Seftw,(yH-*. в). M202C1)
5. Fe2w (*, - g) = (-1)" Fe,n (^ « + *, g) . M 200 f 4)
6. FeM^. -g) = (- D"+11Geanri (f i + ж. g) . M~2M A4)
7. Ge2B+1 iX, -?) = (- 1Г1 iFe,.,, (f i + *, я) . M 201 '24)
8. Geto+2(г, -g)_(-l)m+lGean,2 (|«+i1?). M202C4)
8.66 Представление функций Матье в виде рядов по функциям Ьесселя
8.661
cos *); M 199 A)
S (- w A%*1~ c2*sin z>- M199 B)
r=0
r=0
M 199C)
r=0
M199D)

8 6 ФУНКЦИИ МАТЪЕ
1009
3. sega+1 z, q) =
tgz X
X 2 ( - !У
Bft cos z); M 199 E)
M 199F)
~Se2
2n+2
г=0
M Bfecos z); M199 G)
8.662
r=0
M199(8)
r=0
X 2 (-
4)
Im ^
/r (*еи)i\Trrt (fee'") + /rrt (fce"
M310F)
M 311 A)
,^")^^**-")-/,*, (kelz)NT{ke «)]. M311 3)
2se
2n+2
X
М311
Разложения функций Fen и Gen по функциям Nv обошячаются соот-
вот^тненно через Fey№ и Geyn, а разложения этих функции но функ-
функциям Kv — соответственно через Fekre л Geka.
Таблицы интегралов

1010 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.663
k* = q [|shz|>l, Rez>0]; M193B)
' У (- l)r ^2rn) Ntr BA ch z)
AiZn)
[|chz|>l]; M 193A)
', q) ce3n ( ~o" * ? ) °°
[л@2в)]г i=e
M300A)
r=0
= g [|shz| > 1, Rez>0]; M194D)
0
l|chz|>l]; M 194C)
+i @. 4) ^'2n+l ( у . ? J
X
X 2 (- !)' ^8ЙЧ 1Л (Ae"z) ^r*i (*ez) + /m (ke-*) Nr Qcf)]. M 301 G)
r=0
3. y^^g)^;^
1 r=0
l, Rez>0]; M196(9)
^ (- If Br +1)sS
l]; M196(8)
ii @, q) se2n4.! ( -f-' ? У
X
X 2 (-lYB'igl» [JAke^N^ike^-J^ike-^Nrike1)]. M301 (8)
r=0
r=0
[|shz|>l, Rez>0]; M 196A3)

8.6 ФУНКЦИИ МАТЬЕ 1011
th z X
X 2 (- 1)Ч2г + 2) В{?&2^2т+2 Bft ch z) [| ch z f > 1J; M196 A2)
Se2n+2<0' ?>se2n+2 ( Y'
h2 [gB2»+2)]2
CO
\> ^ * ^y $k 1Vt*^ ry (Jc6~z}]V i.h,(F\ J {kc~z N (h^W M 301 ^9V
8.664
CO
k* = q [|shz|>l, Rez>0]. M197F>
oo
ff\ _\
2.
g- [|shz|> 1, Rez>0]. M198(9)>
у , ff ) °°
VJoJt2n+lv » "/ BtM-1) XI V ' i ¦*¦/-У+1 -"-274-1' —^liCCuZ}..
r=0
M198(ll>
4. Gek2n,2 (z, g) = nfc^2t+2)~У th z 2 Br + 2) B22r^2^2rt2(- 2ik ch z).
M198C14),
8.67 Обшая теория
Общее решение уравнения 8.60 может Сыть найдено (если 1Ц не есть.
целое число) в виде
8.671
Be-»* S с^е-2"'. М73E)
г=—оо
Коэффициенты с^. определяются из однородпоп системы линейных алге-
алгебраических уравнений
2. сгг + Ъ*г(Сгг*г + С2т'-г) = 0, г=..., -2, -1, 0, 1, 2 М82A)
где
64*-

1012
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Условие совместности этой системы дает уравнение, которому должно
удовлетворять [г.
L
0
0
0
11
0
0
lo
0
|0
1
и
0
го
1
О
О
и
0
0
0
= 0.
M83V3)
Это уравнение может быть записано также в виде
4. ch ця = 1 — 2А (СИ sin2 ( —=-^- j , где А @) — значение, которое при-
принимает детерминант предыдущей таблицы, если в выражениях для ?2Г
положить ц = 0. М 85 B), ВТФIII101 '15) и
5 Если rrapa a, q) такова, что |сЬи.я|<1, то Ц=ф, ImP = 0
и решение 8.671 1 ограничено на действительной оси.
6. Если | ch цл | > 1, то A — действительное или комплексное и решевие
8.671 1 не ограничено на действительной оси
7. При спця — ± 1 / ц —целое число Одно из решений имеет в этом
случае период я или 2я (в зависимоеш от тою, четно п или не четно);
второе решение непериодично см 8.61 и 8.64).
8.7 — 8.8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ
8.70 Введение
8.700 Шаровые функции являются решением дифференциального уравнения
в котором v и ц являются произвольными комплексными постоянными
Это уравпение является чагтным случаем гипергеометрического
(риманова) уравнения чсм. 9.151) Точки
+ 1, -1, со
являются, вообще говоря, его особыми точками, а именно обыкно-
обыкновенными точками ветвления
Интерес представляют, с одной стороны, решения уравнения, соот-
соответствующие действительным .значениям независимой переменной z и лежа-
лежащие на отрезке [ —l<z<-Ll], с другой стороны, решьпия, соогвегствую-
щие любому комплексному значению г, для которого Rez> 1 Эти послед-
последние в плоскости z многоэначны, для выделения однозначных ветвей этих
функций цроводитея разрез вдоть действительной оси от — со до +1.
Далее нас интересуют те решения уравнения 8.700 1 , для которых v или |х
или v и ц суть целые числа Особое значение имеет ют случай, когда
(»=0.
8.701 В соответствии с этим мы будем пользоваться следующими обозна-
обозначениями
Буквой z мы будем обозначать любую комплексную величину,
Суквой х мы будем обозначать дейст вительную переменную, изме-

8.7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1013*
няющуюся на отрезке [ — 1<?<; + 1]; мы будем иногда полагать ж = соз(р,
где ц> — действительное число.
Символами Pv(z), Qv (z! мы будем обозначать те решения уравнения
8.700 1., которые при |z|< 1 однозначны и регулярны и, а частности,
однозначно определены при z = х
Символами Py(Z/, Q^(z) мы будем обозначать те решения уравнения
8.700 1., которые при Р»е z > 1 однозначны и регулярны; когда эти функции
не могут быть неограниченно продолжены без нарушения их однозначности,
то производят разрез вдоль действительной оси слева от точки z=l. Зна-
Значения функции Ру (z) и Qv (z) на верхней и нижней границах части разреза,
лежащей между точками — 1 и +1, обозначаются соответственно так:
Буквы п, т означают натуральные числа или нуль. Буквы v, |x, если
нет никаких оговорок, означают любые комплексные числа.
Верхний индекс, если он равен нулю, опускают, т. е. полагают
Две линейно независимые функции
if
8.702 Р%{2)= ГA1_ C^rJ^r~v' v
Г arg ^-i-r = 0, если z действительно и больше 1 и МО 80, УВП122
8.703 <$(z> =
х/\ 2 ' г ;v + T
[arg(z2—11 = 0, когда z действительно и больше 1; argz = 0, когда z
действительно и больше нуля], Х109D4), МО 80-
являющиеся решениями дифференциального уравнения 8.7001., называются
шаровыми функциями (или присоединенными функциями Лежандра) соот-
соответственно 1-го и 2-го рода. Они определены и притом однозначно соот-
соответственно в областях |1 — z | ¦< 2 и |z|>l, из которых исключена часть
действительной оси, лежащая между —со и +1; с помощью гипергеомет-
гипергеометрических рядов они могут быть ыео! раниченно продолжены на всю z-пло-
скость, в которой сделан указанный разрез. Эти выражения для
О
и Qv(z) теряют смысл, когда 1 — \i, соответственно v + y, являются
целыми отрицательными числами или равны нулю. МО 80
Когда z — действительное число, лежащее на отрезке [—1, +1]
[z = x = cos ф), ва линейно независимые решения уравнения принимают
функции:
8.704 Р^B)=^-[е2мя>^(созф + г0) + е"й11{рД(СОЗф_^)]; ВТФ1143A)
. ВТФН43F>

1014 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.705 QU(z) = ^-e-^« [«Гг1"" <#(:с + Ю) + е*1™Q${х — ЮЧ ] ; ВТФ1 143B)
ВТФ1 143A3)
При ц=±те целом последнее равенство теряет смысл; для этого
случая при помощи предельного перехода получается.
«.706
1. Q™(x) = {-lm{i-x2)?-^Qv(x) (сравни 8.7521). ВТФИ49G)
2 Qv " («)-(- 1Г г {v+m+li Qy W- ВТФИ44A8)
Функции Q^^z, при v+(x, равном целому отрицательному
¦числу, пе определены Поэтому из последующих формул следует
исключить случаи, когда v + (х =— 1, — 2, —3, ...
Линейно независимыми решениями дифференциального
уравнения при v + \i фО, ± 1, ±2, ... служат функции
8.707 Все же определение двух линейно независимых
решений возможно в любом случае, а именно
Дифференциальное уравнение 8.7001 ори v ¦? |х, це равном целому
числу, имеет следующие решения
или соответственно при ъ = х
Если v ± Ц не равно целому числу, то решения
3. Py(z), Q%(z) и соответственно Ру(ж), Qv(x)
линейно независимы Если v ± ц—целое число, но ц. не равно целому числу,
то линейно независимыми решениями уравнения 8.7001. являются функции:
4. P$(z), Р^(г) и соответственно Ру(я), Р71* (%)
Если ц= ± m, v = n или v= — п—1, то линейно независимыми решениями
уравнения 8.700 1 при п > т являются функции
5 P™(z), Q%{z) и соответственно Р™(х), Q™(x),
а при п < т — функции
6 P^m(z), (?JT'z) и соответственно Рйт(ж), QJ?(a;).
8.71 интегральные представления
8.711
— 1
MO88

g 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1015
2. р» B) = (v + D(v+2b. (v + m)
о
n
_ _ ..m v(v—1) ... (V—m+1) ? cos m q> tftp
« J [г+]/^^Тсоьф
y при Ф=
(сравни 8.8221.). СмШ 483A5), УВИ123
[Re (v ± (i) > — 1, | arg (z ± Л < it] (сравни 8.822 2.у. МО 88
v*> - r (v_
-1, v=,fc -1, -2, -3, .... |
УВН134ы, МО 88
8.712 ^(^( J
[Re (v -»- (i> > — 1, Re ji > — 1, | arg (г ± 1) | < ni Гсравни 8.821 2.).
МО 88 м, ВТФН55E)м
8.713
~cosvn
u («+oho *'
-1, | arg(z ± 1)| < л] . МО89
f sh2V+1<
J C + eh*I^
dt
J C + eh*I^^»
[Rez>-1, |arg(z±l)|<«, Re(v+l^>0, Re(n-v)>0]. MO89
0 (г + ch *) 2
[Rez>-l,|arg(z±l)|<n, Re(v+|*)>-l.Re(|*-v)>0] МО89

1016 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.714
Ф cos (v+4) **
rV 2 *V ° (cos t — cos ф) 2
[О < ф < rt, Re (л < у J ; (сравни 8.823) MO 87
CO
2тъ—u / \ F Bu-|-l) sin** ф С t **" dt
Pv и (COS ф) = _ i-?—!—^ \ ^
0 (l-+-2(cosqi+*s) 2
•v)>01. MO 89
—j-
J L
J L(cos9+isinq)cht)v+'l+ * (cosy—z sin ф ch t)v+tl+1
J МО89
Г Г sh^i I
.1 I (cos q> + i sin ф ch /)г+»1+1 J (
shf^i
Ссозф+131пфсЬ/)г+|1+1 J (созф —(sin4.ch<)v+tl+1 J
[Re<v±[i-f-l)>0, Ren> —4] • МО89
8.715
MO 87
2. /l^ И
[a>0, Ren<-~, Re(v-f(A)>-l] • MO87
См. также 3.277 1., 4., 5., 7., 3.318, 3.516 3., 3.518 1., 2., 3.542 2., 3.663 1.,
3.894, 3.988 3., 6.622 3., 6.628 1., 4, —7., а также 8.742.
8.72 Асимптотические ряды для больших |v|
8.721 Для действительных значений [л, | v | > 1, | v | > | [i |, | arg v | < я, имеем:
1. P!J(cos<p) =
^ S-7 ^
-1, -2, -3, ...;

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1017
этот ряд сходитсяи при комплексных значениях v и \i; в осталь-
остальных случаях он представляет собой асимптотическое разложение
при |v|»|(j,|, | v| > 1, если v >0, \i > 0и0< е<ф<я—в 1. МО 92
2 Q
х 2 (
fe—1, —2, —3, ...; v=s&—у, —j, —1, ...; при ^
-^-it
этот ряд сходится и при комплексных значениях v и \и; в осталь-
остальных случаях он представляет собой асимптотическое разложение
при |v|»|(a|, |v|»1, если v > 0, и-> °. 0<8<ф<л—
ВТФ1147 F), МО 92
[0<е<ф<я-е, |v| >-i] . MO92
При v>0, h>0hv>jxh3 формул 8.721 1. и 8.721 2. следует, что
4
МО92
Го< 8<ф<я—в; v
8.722 Если ф настолько близко к 0 или л, что гф или v(rt—ф)
невелики по сравнению с 1, то асимптотические формулы 8.721 становятся
непригодными; в таком случае при v>0, [г>0, v > 1 для небольших
значений ф применимо следующее асимптотическое представление:
где т] = Bv + 1) sin 2-. В частности, отсюда следует, что
2. lim VHP"»1 Г cos-'") =Jv.{x) [x>0, ji>0]. MO 93
v-юо ^ V '

1018
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.723 О поведении функций P$(z и ($(z) при больших |v| и депстви-
3
тельных значениях z > ; ¦ можно судить на основании равенств.
X
•f~f)
(v+'l+1>otsli11
MO94
a) =
иа х
O, -1. -2, ...ta>-jln2j .
MO94
См также 8.776
8.724 Неравенства
2.
3
4
8.731
2
3.
SIH 2ф
д+^
SID ''ф
[vi|i — любые действи-
действительные числа, удовле-
удовлетворяющие неравен-
неравенствам v>l, v — |х +
+ 1>0, |л>0]
МО 91-92
8.73 — 8.74 Функциональные соотношения
(сравни 8.832 1., 8.9142.). ВТФН61A0), МО81
-(v-|i+l)i^H(*) + (v + |i)^_1(*)
(сравни 8.832 2., 8.914 1.). ВТФ1160B), МО81
МО 82, ВТФ 1160A)

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ
1019
4 f^+iiz)-P^i(z) = Bv + l)Y?^lP^-i{Lz). ВТФ 1160C), МО 82
5 Piv_i(z) = .P!J(z) сравни 8.820, 8.832 4. \. ВТФ I 140A), МО 82
8.732
2 Bv+1) zQ»(z) = (v-
(сравни 8.832 ЗЛ
+¦ (v -f- pzQi_i (z)
(сравни 8.832 4.).
3
4
5
8.733
(z
± Ю) =
МО 82
MO 82
MO82
MO82k
МО83
(x) (сравни 8.7311 ),
vxP!J {x) + [v +1») PU_4 (x);
(x) - pxP» (x),
2
3
Bv+
MO 82
(сравни 8.731 2 ) MO 82
?_t (x) -
Bv
=? РГ
(сравни 8.731 3 ) MO 82
J (я)
(сравни 8.7314) МО 82
5
8.734
1
2
3.
4
5.
8.735
1.
2,
(сравни 8.731 5 )
= (v - |i)(v-1»+
МО 82
МО 82
MO82
MO82
MO82
MO83
MO 83

1020 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
3. P$_i(x) — хР$(х) = {\ — и,+ 1)У l-zip*'1 (x). MO83
4. хР%(х) — РЧ+1{х) = (х + ц)У1-х^Р^~\х). МО 83
5. (v-(i)(v-(i + l)P!;+1(a:)==(v+|i)(v + n + l)P?-i(a:) +
+ Bv + l)YI^x~2P!?+i(x). МО 83
8.736
??±^ [ - \ «-<""sin (хя^B) ] . МО 83
2. PJJ ( - z) = е™^ (*) - \ sin [(v + ц) я] е-»**? (г)
[Imz<0] ^сравни 8.833 1.). MO83
3. Pg ( -z) = e-™P!J B) -1 sin [(v + \i) я] в-м»д!} (z)
[Imz>0] ^сравни 8.833 2.). MO 83
4. ?-*(*) = е-2ц*.?^+|^(г). МО 82
5. Q$( — z)= — e-v«^(z) [Imz<0] (сравни 8.833 3.). MO 82
6. (?!J-(-z)= -evmQ$(z) [Imz>0] (сравни 8.833 4.). MO82
7. Q% {z) sin [(.v + (i) я] — ^.т,-! (z) sin [(v — \i) л] = яе»"" cos ця Pi{ (z).
MO 83
8.737
ё? [l] MO84
2. P!J(— ж) = соз[(г + ц)я]Р^(а;)—|-sm[(v + n^]Q!^a:). MO 84
3. Q$(-x)= -cos[(v + n)«]Qj(a5)—5-siii[(v + |i)a]P?(*).
MO 83, ВТФ1144A5)
-4 П11 . ^-siDt(v+|i) ясовуясовця
8.738
2. /* (ictgФ) =
8.739 й-м*ч# {rh a) = JLJUJl _
/2sha
8 741

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1021
МО 83
8.742
mo88
ч> /" 1 л
Р cos I v -I—- 11 at
cos VJl P!^ ^C0S v) -1-sin VJl
Г( ц+4 Н .--.^г1
1л! I.
(СОвф — COS*J
МО 88
3 P!J (cos ф) cos (v + ц) я — — Qv (cos ф) sin (v + ц) я =
^1
Ф (соь ф — cos t) z
[Ren<i] . MO 88
4 COS (ЛЯ Pv (COS ф) — — Sin ЦЯ Qv (COS ф) =
sinp
/ +±p (cos (p ± i sin ф cos i)^11
[Ren>-y, 0<ф<я] . МО38
Интегралы от шаровых функций см 7.11 — 7.21.
8.75 Частные случаи и частные значения
Частные случаи
8.751
МО 84
МО 84

1022 8—9 СПГЦИАЛЫ1ЫЕ ФУНКЦИИ
3 <?> ,(г)=
МО 84
8.752
1. Р?"(а:) = (-1)тA-2:2)"|^Рч(а;). УВII119и, МО84, ВТФ1148F)
т 1 1
= A-*г)~ 2 § ... § Pv(x)(dx)m. X99u, МО85, ВТФ 1149A0)и
т z г
3. /V" (z) = (г8 -1)" "^ \ •. ¦ [ Pv (г) {dz)m. МО 85, ВТФ 1149 (8)
т
A. <?S4z)=(z2-l)^J^r(*v(z) УВ II119 к, МО 85, ВТФ 1148 E)
т со со
5. Q-m (г) = (- 1)"V-1)~ "^ \ ... ^ (?v(г) (йг)т. МО 85, ВТФ 1149 (9)
2 г
Частные значения индексов
8.753
МО 84
2. Pv^cos^^-^^^^. MO84
3. Р™ (z) = 0, Р^1 (х) = 0 при /и > п. МО 85
8.754
1
1. ^_i(cha)=]/_JL^chva. МО 85
j.
2. Р'_|(со3ф)=]//^^созуф. МО 85
_ 1
Зт-> 2 / \ -а / 2 sin vq> „-„,.
• ^.(^^"l/is^-T-- MO85
1.
2
2
4 <?^_ L (ch a) = г |/-j^ e~V" M0 85
8.755
P
—V
2 ^(diaj-j^^)*. MO85

8 7—8.8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1023
Частные значения шаровых функций
8.756
2
3. Q^@)=-2^-1l^sin4(v + (Ji)n-Vrr4 4- МО84
С^0
2
8.76 Производные по индексу
8.761 -
(\-x\2.
4. ^jgL,y^BM^+rt«<^I.
dv ~
^ (_у)A_у)(д_.1-у)(у + 4)(у4-2у(у+п)
[v#0, ±1, ±2, ...; Иец>-1]. МО94
8.762
1. [^^^Incosf. - MO94
2- [^^>Jv=o=-tg|-2ctgflncoSf. MO94
3. [^^-^--Ь^'^-ЬФ^!- МО94
Связь с полиномами С^(х) см. 8.936.
Связь с гипергеометрической функцией см. 8.77.
8.77 Представление в виде ряда
Представление в виде ряда см. 8.721. Представление шаровых функций
в виде ряда можно также дать, выражая их. через гинергеомет-
рическую функцию.
8.771
(&)*( *?) М015

1024
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
MO15
См. также 8.702, 8.703, 8.704, 8.723, 8.751, 8.772
Аналитическое продолжение для \z\ > 1
Из теорем об аналитическом продолжении гипергеометрических рядов
(см. 9.154 и 9.155) вытекают следующие формулы:
8.772
X
1.
2.
2vr
/'v+—
[2v^±l, ±3, ±5, ...; \i
v+l
1; |arg(iz± i>\ < я].
МО85
±3, ±5; ..., |1-z2|>1; |arg(,z dz 1)| < ^tj. MO85
MO86
v+i
2, -3, ...; |arg(z±
]. МО86
|arg z±
MO86

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1025
8.774
2я Г (v—i.
[2v=sb±i, ±3, ±5, .... 0<(p<^-J. МО86
8.775
sin4-(v+n)«r/|l p.
4 2 /
MO 87
. f
2 J
MO 87
8.776 При |z|»l
[2v=5b±l, ±3, ±5, ..., |argz|<n]. MO87
2
[2v=5fe —3, —5, —7, .„.; |argz|<n]. MO87
8-777 Пусть Z, — z + Yz2—l. Этим равенством переменная I, определяется
однозначно во всей плоскости z, в которой сделан разрез от — со до -\-\\
65 Таблицы ввтетралов

1026 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
при этом рассматривается та вегвь переменной ?, для которой действитель-
действительным значениям г, большим 1, cooi детству ют значения ?, ч&кжс большие 1.
В таком случае
_v ±_V
l, ±3, ±5, ...; |arg(z-l)|<n]. MO86
2.
MO86
8.78 Нули шаровых функций
8.781 P^1 (cos ф), рассматриваемая как функция от v, имеет при (i>>0
бесконечное множество нудей; все они просты и действи-
действительны. Если число v0 является нулем функции РТ^соэф), то число
— v0—1 также является нулем этой функции МО 91
8.782 Если v и [i оба действительны и [А<0 или если v и \i являются
целыми числами, то функция Р%(t) не имеет действительных нулей,
больших 1. Если v и A оба действительны, но ц < 0, то функция Pv(t)
при [i > v не имеет действительных нулей, больших 1, в юм случае, ко1да
sin [хя sin vfi — v) л > 0, и имеет один такой нуль в том случае, когда
sin ця sin ([i — v) л < 0; наконец, если ji<v, то функция Pv(Z) при Ецл)
четном не имеет указанных нулей, а при Е{ц) нечетном имеет один нуль
о
8.783 Если v > — y hv + (i + 1>0, to функция @v (i) не имеет действи-
действительных нулей, бблыпих 1. МО 91
8.784 Функция Р j (z) при X действительном имеет бесчисленное мно-
множество нулей; все ее нули действительны и больше единицы.
8.785 Функция Р„(ж) (л — натуральное число) имеет ровно л действи-
действительных нулей, которые лежат в промежутке —1, -j-l.
i
8.786 Функция Qn(z), где л — натуральное число, не имеет нулей,
для которых |arg(z—1)|<я, функция Qn(coscp) имеет ровно
n+l нулей, лежащих в промежутке 0<ф<я. МО91
8.787 Вычисление значений v, при которых для заданных малых значении ф
имеет место равенство Р^* (cos ф) = 0, может быть выполнено по следующей

8.7—8.8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1027
приближенной формуле:
1 ^-=-(^1 — ^_Jj + 0(sin*-|-J ; MO93
^ 2sm-|-
здесь /ц означает любой не равный нулю корень уравнения 7ц(г) = 0 (ц>0).
Если <р близко к я, то вместо этой формулы можно пользоваться формулами:
[ц>0; fc = 0, 1, 2, ...]. MO93
2. v«=feH * ч [|i = 0, fe = 0, 1, 2, ...]. МО93
2 in ( -i- >
8.79 Ряды шаровых функций
8.791
i должно лежать внутри эллипса, проходящего через точку z и имеющего
фокусы в точках ±_ 1.
2. 1 ^-Ч-Т^ЗДТ*,^
[Rez>l, |*|<1]. MO78
8.792
[a > 0, P > 0, v действительно, — я < <р ± if < л]. МО 94
8.793 ' Р7^со8ф) = 3-^Е(--1)''(^1-^
[ц>0, 0<ф<я]. МО94
Теоремы сложения
8.794
1. Pv (cos i|>i cos i|J + sin i^ sin i|ij cos q>) =
CO
= Pv (cos i|3x) Pv (cos i|32) + 2 2 (— l)h Pv * (ces i]^) P* ^cos i|>2) cos k<p;
^)Pv(c
{0<т|зх<л, 0<1{J<я, 1|)х + 1|J<я; «p действительно]
(сравни 8.814, 8.844 1.). МО 90
65*

1028 8—9. специальные функции
2. Qv (cos i|>, cosi|>2 + sin t|31 sin ip2 cos ф) =
oo
cos^ + 2 2 ( —l)''P7ll(cosi|I)Q5(cos*|i,)cos&cp
) 0 < i|)_ < я, 0<ЦIЧ-1р!,<я; ф действительно 1
(сравни 8.844 3.). МО 90
8.795
1. Pv {zfa — Yz\ — \ YA — 1 COS ф) =
CO
= Pv(z1)/>vBg) + 2 2 (-1)*/^>21)Р-"B2)созйф
[Re 2t > 0, Re z2 > 0, | arg (zt - 1) | < я, | arg {z% - 1) | < л]. MO 91
2. Qvix^-V x\ — 1]Ла;*-1со8ф) =
= Pv (я,) (?v (аг_) + 2 Jj ( - 1 )* P7* I ж^ $ (я2) cos &Ф
[1<х,<ж2, \Ф—\, —2, —3, ...; ф действительно]. МО91
3. &(*ia!
= S (*-»-1I
МО 91
8.796
Pv (— cosif>j cos if2 — sin ^ sin ф, cos ф) = Pv (— cos гр,) Pv (cos i|J) +
¦+2 2 (-1)* ?iv-t+S Pv*(-co34»,)P7*(coa4),)coafcy
[0 < ip_ < tfj < я; «p действительно] (сравни 8.844 2.). МО 91
См. также 8.934 3.
8.81. Шаровые функции (присоединенные функции Лежандра)
с целочисленными индексами
8.810 Для целочисленных значений v и и. дифференциальное
уравнение 8.700 1. (при условии, что | v | > | ц |) в действительной области
имеет особенно простое решение, а именно:
т
а = Р« {х) = ( - 1)» A - х2I-^ Р„ {х).
Функции V™(x) называются присоединенными функциями Лежандра или
шаровыми функциями 1-го рода Число п называется степенью, а число т
порядком функции Р"(ж). Функции
cos т®Р% (cos ф), sin т №? (cos ф),
зависящие от углов ф и #, также называются шаровыми функциями 1-го
рода, а имепно: тесеральнымп (т. е. клеточными) при m < п и телесными нри
т = п. Эти последние функции периодичны относительно углов ф и #, причем

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1029
периоды их сооответстБОппо раБпы я и 2л. Они однозначны и непрерывны
повсюду на поверхности единичной сферы х\-\- х1~\-х\= 1 (х1 = sin ф cos О,
х2 = sin ф sin #, xs — cos <f>) и являются решением дифференциального уравнения
—: з— ( Sin ф-з— ) +—^-5 37ПГ+Л(Я+ 1) У =0.
sin я> ftp V. дЩ J sln ф ^'ft
8.811 Интегральное представление:
X [ (cost — совф) 5cos ( и+ 4-") tdt. МО 75
)
8.812 Представление в виде ряда:
(n-ire)(n —т-г-1)(т-1-п + 1)(та-|-п4-2) /1
' i\ (m-f-l) (m + 2) V
n-m-2
MO73
"" (ft —m)! ^ "
, (n — ?ra)(n—m— l)(n — fft — 2)(n — m— 3) „n-ro-4
4 2.4Bn-lH2n-3) -••¦
m
(-1ГBп-1)М лТи./»-" ii-m+l . 1 I
~ (n-m)l ^ X > X P К. г ' 2 ' 2 П' IF
MO 73
8.813 Частные случаи:
\_
1. PJ (ж) = — A — ж2J = — sin ф. МО 73
1
2. Р21(ж)= -3A-а;2Jж= —-|sin2v. МО 73
3. Р22(ж) = 3A-жг) = -|A-со82ф). МО 73
4. Р1„(ж)= -|-A-а:гJEж2-1)=--|(sin9 + 5sin3V). MO73
5. Р*(ж) = 15A — ж2) ж = ^-(cosф — cos3q>), МО 73
з
6. Р|(ж)= -15A-а;гJ= --^-(Зашф-зтЗф). МО 73
Функциональные соотношения
Рекуррентные формулы см. 8.731.
8.814 Рп (cos фх cos ф2 + sin фх sin ф2 cos в) =
= ^а(со8ф1)/>„(со8ф2)-Ь2 2
m=l
(«теорема сложения»). МО 74

1030
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.815 Если
j (COS ф) +
nt (COS ф),
TO
m=l
2n n
dd f sin ф Жр Уп (<p, d) Z» (ф, ¦») = 0,
8
2я я
С d^ V sin ф d<p Yn (ф, й) /*„ [cos ф cos гр + sin ф sin if cos (d — 0)] =
i i
8.816
MO75
(-
)!
" (cos ф). МО 75
Интегралы от функции Р^(ж) см. 7.1121., 7.1221.
8.82—8.83 Функции Лежандра
8.820 Дифференциальное уравнение
1в = 0 (сравни 8.7001.),
в котором параметр v может быть любым числом, имеет следующие два
линейно независимых решения:
1. Р
«*¦(-v,
См III 518 A37)
Функции Pv (z) и Qv (z) называются функциями Лежандра соответственно
1-го и 2-го рода. Если v но равно целому числу, то в точках z= — 1иг=оо
функция Pv (z) имеет особенности; если же v = п = 0, 1,2, ..., то функ-
функция Pv(z) обращается в полином Лежандра Рп(г)(см. 8.91); при
v = — п = — 1, — 2, ... имеем:
3. Функция ^v(z), если только v =^= 0,1, 2, ..., имеет в точках z— ± 1
и z = оо особенности; эти точки служат для нее точками ветвления. Если же
г = и = 0, 1, 2, , то функция Qn{z) при |z|> 1 однозначна и при z=oo
регулярна.

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1031
4. В правой полуплоскости
^i) [Rez>0].
5. Равенствами 8.820 1. и 8.820 4. функция Pv z) однозначно определяется
внутри круга радиуса 2 с центром в точке z= 1 и в правой полуплоскости z.
Для z = x = coscp решением уравнения 8.820 служит функция
6. Pv(x) = Pv(x) =
и вообще имеют место равенства
7: Pv(z) = /)_v_1(z) = Pv(z = P_v_,(z).
8. Равенством 8.820 2. функция (?v (z^ при | z | > 1 однозначно определена
в плоскости z, в которой сделан разрез от точки z= —оо до точки z=l.
С помощью гипергеометрического ряда функцию можно аналитически про-
продолжить внутрь единичного круга На отрезке (—1<;ж<; + 11 действитель-
действительной оси функция Qv (x^i определяется равенством
9. Qv(x) = ^-[Qv(x+i0) + Qv(x-i0)]. X 52 E3), УВII113
Интегральные представления
8.821
л
А — точка на веп1Рственной оси справа от точки А=1 'и справа от z,
если z действительно); в точке А положено:
arg {t — 1) = arg (t -I- 1) = 0 и [| arg (t — z) |< л]. УВII 97
2 *?v(z)== 4ismvit J 2vB-f)
[v — нецелое число, причем точка А — конец большой оси эллипса справа
от f=l, построенного в плоскости t с фокусами в точке ± 1, у которого
вторая полуось настолько мала, что точка z лежит вне его Контур начи-
начинается от точки 4, описывает путь A — , —1 + ) и возвращается в А;
|argz|<jr и | arg (г— 2) | —> arg г, когда t—>0 на контуре, arg(t + l) =
= arg U— 1) = 0 в точке A; z не лежит на вещественной оси между — 1 и 1.]
УВ II 109
При v = и целом
1
3. Qn(z)=-^n I (l-tTiz-ty^dt. См III 517 A34), УВП109
8.822
Г Re z > 0 и arg {2 + |Лг2 — 1 cos ф J = arg z при <р = -у- | .
УВП105, УВП106

1032
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2. Qv(z)
^
[Rev> —1; если v не является
целым числом, то arg {(г + Vz*— l) ch <pj при ф = 0 имеет главное значение].
УВИ113
8.823 Pv (cos в) = —
8.824 (?.(„
d<p.
cos( v+T )ф
V2(cos Ф — cos 6)
УВII108
—1I1
8.825
[Rez>l]. УВII 111-112, MO 78
l)|<rt]. УВII 114-115, MO78
J
См. также 6.6223., 8.842.
8.826 Тригонометрические ряды:
in (и + 5) у + ...
10<Ф<п].
2.
TJ A
cos(n+5')q)+ ...
МО79
МО79
Другие представления функций Лежандра в виде ряда дают нам их выра-
выражения через гипергеометрическую функцию, см. 8.820.
Частные случаи и частные значения
8.827
1. & (ж) = 4 In {±± = Arth х.
2. ^(ж)--|b4±j-l.
3. &1я) = 4-CЖа-1Iп4±|-|я.
5-
6-
ЯЭ 207
ЯЭ207
ЯЭ207
ЯЭ207
ЯЭ207
ЯЭ207

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ <СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1033
8.828
1. Р„A)=1. МО 79
8.829 Qv@) = —^(l-cosvn)r(^±±)r(^^-). MO79
Функциональные соотношения
8.831
^*)-i)v(-a:)] \уФ0, ±1, ±2, ...].
МО 76
2- Qn^)=4/Jn(^lnJ±f-Wn.1(a;) [п = 0, 1, 2, ...],
где
(см. также 8.839). См III 516A31), МО 76
[v не равно целому числу; 0<ф<я]. МО 77
[v не равно целому числу, — я < <p+i|) < я, — я<ф — \|з<я].
МО 77
См. также 8.521 4.
8.832
1. (z2 - 1) ~ Pv (z) = (v +1) [Pv+i (z) - zPv (z)]. УВ II99 м
2. Bv+l)zPv(z) = (v+l)/>v+1(z) + v/Jv_1(z). УЙП98
3. (z2-l)-^-«?v(z) = (v + l)[<?v+1(z)-z<?v(z)]. УВИ112»
4. Bv+l)z(?v(z) = (v+l)<?v+1(z) + v<?v_1(z). УВИ112
8.833
1. Pv{-z)^e^niPv{z)- -|-sinv^v(z) [Imz<0]. MO 77
2. Pv( — z) = e-"ri/>v(z)— -^-sinv^v(z) [Imz>0]. MO 77

1034 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
3. Qv( — z)= — e-vmQv(z) [Imz<0]. MO 77
4. Qv (— z) = — evm(?v (z) [Imz>0]. МО77
8.834
1. ^(xiiOJ^QvWT-y-Pvla:). MO 77
2. &(*) = ¦! Л. (*)'lnf±-J_Wn_l(z) (см. 8.831 3.). MO 77
8.835
1. Qv(z) — <?_v-nz) = nctgvnPv(z) [sinvn^O]. MO 77
2. Q-v-i (coscp) = Qv(cosq>, — nctg vnPv(cos ф) [sinvn=?0]. MO 77
3. Qv( — совф)= — cos vnQv(cosq>)-|--?pSiiivnPv(,cos<p). MO 77
8.836
4S[2-1)ninSn-T/)^z)lnS- MO79
2- ^^-^^[(^-^Ь^]-!^^)!^- MO79
8.837
1. Pv(x) = Pv{cos<^)^f('-v, v + 1; 1; sin2-|-") (сравни 8.820 6.).
MO 76
; v;^. MO78
См. также 8.820.
Интегралы от функций Лежандра см. 7.1—7.2.
8.838 Неравенства:
1. | Pv ^cos ф^ — Pv+2 (cos ф) | < 2С0 у^ . МО 78
2. ^исовфКд^НсозфЯ^о}/^. МО 78
[0<ф<я, v>l, С0 — число, не зависящее от значений v и ф].
О нулях функций Лежапдра 2-го рода см 8.784, 8.785, 8.786 Разложе-
Разложение функций Лежандра но шаровым функциям см. 8.794, 8.795, 8.796
8.839 Дифференциальное уравнение, приводящее к функции Wn 1 (ж)
(см. 8.831 3.):
MO76
.1 = 2iM-.
8.84 Функции конуса
8.840 Если в дифференциальном уравнении 8.700 1., определяющем шаро-
шаровые функции, положить
v= — Y + iX,

8 7—8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 1035
где Я, — действительный параметр, то получится дифференциальное уравне-
уравнение так называемых функций конуса. Функции конуса являются частным
случаем шаровых функций. Однако шаровые функции
имеют некоторые особенности, заставляющие выделить их в особый класс —
функции конуса. Важнейшая из этих особенностей следующая:
8.841 Функции
при ф действительном действительны, причем
Р__ i_ (х) = Р j, _л (ж). МО 95
8.842 Интегральные представления:
ф со
2 (*
1. Р 1 (СОвф)= \
— cos«p) я
МО 95
. О i (COS Ср) = ± I sh АЛ \ . + \ .
-|=FMV r/ i /2(сЬ« + созф) J (/2(сЬ«—сочф)
МО 95
Функциональные соотношения
(см. также 8.73)
8.843 Р , (-cos<p) = -^.[Q I _(cosq>)+Q i fcosq))]. MO95
8.844
1 P i (cos t|) cos ¦& -\- sin i|> sin ¦& cos ф) =
= P , (c
ю (_1)Л22ЙР* j (COS1|5)Pft j
+ 2S—14РТ"""8
[О < ¦& < -|-, 0 < ^ < я, 0 < ip + Ф < я] (сравни 8.794 1.). МО 95
( — cos#) +
(COST|))P*
+ 2Y— ~"+U
ftl
<4>< -f-<*'*+*<я] (сравни 8.7Э6). МО95

1036~"^-»_Щ1ЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
3. Q 1 (cosi|)Cos#+sinipsin^F&os<j>)=P 4 (cos\f>)Q
т <-1)*2»Р* l (cos^Q*! (cos О) cos ™p
[0<г)з< —<й, 1|з+«<я] (сравни 8.794 2.J. MO96
О нулях функций конуса см 8.784.
8.85 Функции тора (или кольца)
8.850 Функциями тора называют решения дифференциального уравнения
1 ^..chridu ( 2 1 т
являющиеся одними из видов шаровых функций В частности, решениями
уравнения 8.850 1. служат функции
Рт i(chT]), Qm i(shri). МО 96
"-2 "
Для функций тора существенны следующие формулы, получающиеся
как следствия из приведенных раньше формул для шаровых функций:
8.851 Интегральные представления:
4-
(ch Ti+shi)cos<p)
2"
_1Г vTJ ( совтф^
2я „ /- , 1 \ \ ~~l MU 9b
Г ^a-m+~j j (chT)+sht]C0S(p)"+ 2
'0*4)
MO96
P.S52 Функциональные соотношения:
МО 96

8 9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИПОМЫ ДО37
~; 2т + 1: 1-е-2^ . МО96
8.853 Асимптотическое представление Р t (ch r|) при больших аначениях п.
где
x| ^гтгЛ^-1в (if*) e-*"*P(±r, n + ±;n +U е-**)+ А+В
l.B—1) ^ 1 13-B»-l)Bn-3)
1.(я *l\ c "I .4 I.)./- *l\ I, O\ c -Г . . .
—1)!!
J ,
^^(Vbl) ~ г (*+|) Г (. + *+|)
у. 1-0 0 е-
п+Л-- ft--
здесь
иг= ^ — , D i = 7j -5 г" [г — натуральное число]. МО 97
8=1 2 S=l
8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
8.90 Введение
8.901 Пусть ш (я) — неотрицательная действительная функция действитель-
действительною переменного ж, и пусть (а, ^ — фиксированный промежуток на оси X.
Положим далее, что при и = 0, 1, 2, инте1рал
{xnw(x)dx
существует и, кроме того, что интеграл
\ w (ж) dx
положителен В таком случае существует последовательность многочленов
Ро (z)> Pi(x)> • • ¦' Рп ix)' ¦ ¦ ¦ > однозначно определяемых следующими условиями:

1038
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. рп (х) есть многочлен степени п, причем коэффициент при хп в атом
многочлене положителен
2. Многочлены р„(ж), рг(х), ортогональны и нормированы,
т. е.
Говорят, что многочлены рп{х) образуют систему ортогональных
в интервале (а, Ь) полиномов с весом w(x).
8.902 Если qn — коэффициент при хп в многочлене рп{х), то
п
1 У р (х)р (у)— Чп Рп*х(Х) Рп(У) — Рп{х)Ры(У)
(формула Кристоффеля —Дарбу). ВТФ II 159A0)
п
2. У [Рк(х)]*=~^- lPn(x)Pn+i(x) — z5*" (ж)Pn*i(^Л- ВТФII159A1)
ft=0
8.903 Между любыми тремя последовательными ортогональными полино-
полиномами существует зависимость
Рп (ж)= {Апх + ^») Рп-1 (х) — СпРп-* (ж) [п = 2, 3, 4, — ].
В этой формуле Аа, Вп, Сп — постоянные, причем
8.904 Примеры нормированных систем ортогональных полиномов,
Обозначение в ваввавир
Промежуток
), см. 8.91
1,еп=2 прип=1,2, 3, ..., ем. 8.94
2 2Я 4 (в!) 2 Яп (ж), см. 8.95
ГГ(п + 1)Г(а+
L Г(а+1+я)
см. 8.96
.
(-1, +1)
(-1. +1)
(-1. +1)
( —°Э, ОО)
(-1. +1)
(O.ool
A-**)
Сравни 7.221 1., 7.313, 7.343, 7.374 1., 7.391 1., 7.414 3.

8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 1039
8.91 Полиномы Лежандра
8.910 Определение. Полиномы Лелсандра Pn{z) суть многочлены,
удовлеаворяющие уравнению 8.700 1., в котором |i = 0, v = n, т. е. уравнению
Это уравнение имеет решение, представляющее собой многочлен, в том
и только в том случае, когда и есть чиспо целое. Таким образом, поли-
полиномы Лежандра представляют собой частный вид шаровых функций.
Полиномы Лежандра степени п имеют вид
2-
8.911 Развернутая запись полиномов Лежандра:
\z ~
1 р /щJL ^
Bп)! ( п в(п^1) „п-2 в(п—1)(д—2)(п—3).п_4 "Ч
"~ п(л!)а V 2Bп—1)* "*" 2-4Bп — 1) Bп—3) • • • у •
= B"~i)!! «V(—j, ^р-; у-и; -^-). X13, А (9001), МО 69
2 Р (-, , ir Bп~1)!! (\
2!
A(9002), MO69
, в B» + 1)!! / 2«B»
лшЛ — 1ч А^ 2пя! V, 3!
2п+5)
5! Z -¦¦•
), MO69
1-3
1-3-5 п(и —1)(>i—2)
5. Р^(cos Ф) = (- 1)» Bп2~|)И {sin«-q. —^-sin2»'aФ cos^ Ф + - -.
6- Ps».i(cos Ф) = (- 1)" B+J)!l cos <p {sin2" ф - (-ffi2 sin2"-2 ф cos* ф + . i.
- А(9012)
УВП128
fc=O

1040 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.912 Частные случаи:
1. Р0(х)=1. ЯЭ206
2. Р1{х) = х = соя(р. ЯЭ206
3. /J(a;) = YCa;2-l) = 4-Ccos2(F+l). ЯЭ206
4. P3(a;)=YEa;3-3a;)=4"^5cos34) + 3coS('))- ЯЭ206
5. />4(а:) = -^C5я4-30жг + 3) = -^-C5со8 4ф-Ь20со8 2ф + 9). ЯЭ206
6. Р^х)=ъ ^63а;в ~ 1Ох3 +15а;) = Ш^ cos 5Ф + ^ cos 3Ф + 3° cos Ф)-
ЯЭ206
8.913 Интегральное представление:
» sin/ n+T )t
= — \ -p=> <й. УВП108
я J У2(соьФ— cos О
— cos*)
См. также 3.611 3., 3.661 3., 4.
Функциональные соотношения
8.914 Рекуррентные формулы:
1. (n+l)Pnfl(z)-Bn±l\zPn(z) + nPn_1(z)=0 См490C7\ УВ II98
2. (z*- I) ^ = п [zPn yz, - Рп.,(а)] = ^±i» [Pn^ vZ) - Рп^ {z)].
УВН99
8.915
1. ^ BА: + 1)^h(Д)Pk(У) = (п + 1)Я" (Ж)Я"^ (Уу1^" {У)Рп+1 И • МО70
ft=0
2. 2 ^2n —4fe—l)i>n_zft_1(z)=P;B) (теорема сложения) МО72
ft=0
[суммирование обрывается на первом члене с отрицательным индексом].
3. 2 Bй-4&-3)Рп №_2B) = zP;(z)-n/>n(z) См1П491^42),УВН128
fe=0
[суммирование обрывается на первом члене с отрицательным индексом].
4. 2 Bп
fti
z). УВП129
— 4*-И

8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 1041
Р.916
1. Pa(cos<p =-^^er^F(J^ , -п;-~-в;е*2'«^). МО 69
2. Pa(cosq>) = F(n + i, -и; 1; sin2-5-V МО69
3. Pe(cosq^ = (-l)nF(«+l, -и; l;cos*-|-). УВН103
4. Pn(cosf) = cosn(p/ir--j/i, 4-Ти; 1; -^гф}- х23
5. />„ icos <p) = cos2" -^ F ( - я, - и; 1; - tg*-f-). X 23, X 29, УВII 109м
См. также 8.911 1., 8.911 2., 8.911 3. Связь с другими функциями см. 8.936 3.,
8.836, 8.962 2. Интегралы от полиномов Лежандра см. 7.22 — 7.25. О кор-
корнях полиномов Лежандра см. 8.785.
8.917 Неравенства:
1. При z>l P0(z <Р1Кх)<Рг{х)< ... <Р„(Х)<... МО71
2. При ж> — 1 P0{x)-{-P1(z)+... 4-Рп(ж,>0. МОТ!
4. у/'8111* lp»(cosf)|<l. MO 71
5. )/'в(со8ф))<1. У В 113/
8.92 Ряды полиномов Ле;кандра
8.'J1 Производящая функция:
См III 489 C1), УВИ91
= S 1РГ P» fzl [|<|>max|z±Vza—1|]. M0 7§
8.022
MO 72
<M-i)!! = iI.
MO 72, Ла 385 (f5)
№ Таблицы интегралов

1042 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
а * -* Y t\k I 3^2*-
[|*]< 1, {-1 !! ss 1]. Ла385A7^
1
[| x |< 1, {- 1)T! s 1]. Да 385 A8
8.9ЙЗ arcsin a;=y2 | iftti J- [Pjh,., (x) ~~ ^tk-t 'x)\
[| x | < 1, ( -1I! == 1J. УВII132
8.924
I ~f— COS ЛЯ CT fin -f-^7 '*" V* ^'^ «»• ¦«- — ;—я ;-| jj
2 ^J (в2— Is)(na—3-1) ... [»¦*—BA4-3)-4 ***!
A (9062.1)
2- ^
2 ^-J {
A=0
'¦} sin rut
A (9060.2
g» - 4fc+1) ^^Г^'ЛГ3)" ^ f«» ^ - «о» «¦
A (9061.1,
, Bя —l)i'Pn,
SBn-f2A: —1I1 B<- —1I1 Bn+4k4-Z) p , „,_ 4 sin «6
A (9061.2)

8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 1043
8.925
1 у М-1 Г B*-1I1 ур (соавч_/ И.
о V 4*+1 Г B*-1)П ]2p (гоч0^_ l 2 sin В
^- Zl 22fc*iBt —1)(A+1) L ft! J K }
2 n~ "
A (9062.2.
2j z* M2A—1) I T\ J '2h-i
4. 2^[^^J4fc<cose) = ^_t. A(9062.4)
8.926
A (9063.2)
» 1+sin-i
2. 2 ^b/>»(cos9>l==l11 e"^—1> A (9063.1
-=' 3inT
CO
8.927 , ^coS(fc+-j)pn(cos(p)^ * [0<р<Ф<п];
~~ 4 « • у 2 (cos p — cos q>)
,==0 [0<ф<р<я].' ' МО72
8.928
2(t)nD^;y1)!!]V,n(cos9) = ^-l. A (9064.1)
Ряды произведений функции Бесселя и полиномов Лежандра см. 8.511 4.,
8.5313., 8.5331., 8.5432., 8.534.
8.93 Многочлены C%(t) (Гегенбауэра)
8.930 Определение. Многочлены C\{t степени п являются коэффи-
коэффициентами при о" в разложении в степенной ряд функции
A - 2«а + а2ГА = 2 Сп @ ап. УВ П 127
Таким 'ьбразом, многочлены С„(t; сдужаг обобщением долино-
мов Лежандра.
66*

1044
8—». СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.931 Интегральное представление:
c»v=-k таг
См. также 3.25211., 3.6632., 3.6644.
Функциональные соотношения
8.932 Выражения через гипергеометрическую функцию:
3.
8.933 Рекуррентные формулы:
2.
3.
4.
8.934
2. C*(cosq>)= 2
A, j=0
3. Ci icos if cos ¦№ -(- sin i|) sin d cos ф)
MO99
мо"
МО99
МО 98
УВИ128
УВИ128
УВИ128
I-
УВII127
X
cos q)
cos «) Cft 2 (cos ф)
I ip, #, ф действительны; ?. =#= — I |«теорена сложения»]
(см. также 8.794- 8.796). У В II136 и
4. lim Г (К) С? (cos ф} = 1ZS1H2 . МО 98
Ортогональность см. 8.904, 7.313.
*) Это равенство служит для определения обобщепныг функций C%(t), у которых
ипдекс п может быть любым числим.

8 9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 1045
8.935 Производные.
1. J-- с?(*) = 2*-^i^- Ct±t(O- МО 99
В частности,
2. —|^-=2А,С?±! t). УВП128
Интегралы от мноючленов С„(х) см. 7.31 — 7.33.
8.936 Связь с дру1ими функциями.
[m+1—натуральное число j. MO 98, УВII127
l
3 d(t)=Pn(t).
i
k. J i (r sin d sin a) (rsm* sin a) ~г e~xr cos * cos a —
V" ,« ь •* l^t-Ь С") ^й (COS v) С*ь (COS <X) ЦЖ(~\ ЛЛ
,. a4-fc>r*-2±*-—Д—^ ? . MO99
r( x+4-
5 ]im %~*C%(t l/ — ^) = ~-Hn(t). MO99в
См. также 8.932.
8.937 Частные случаи и частные значения:
МО 99
2 CS(costp) = l. MO98
3 С* @=1- МО 98
4. Ci(l) = ('23l'+n~1>). МО 98
8.938 Дифференциальное уравнение, приводящее к мноючленам Cn{t)'.
9-174)- ув п 127
Ряды произведений бесселевых функций н многочленов Сп(х см. 8.532,
8.534.

1046
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.94 Полнномы Чебышёва Тп(х) и С7п(ае)
8.940 Определение
1. Полипомы Чебышёва 1-го рода:
Тп (X) = cos (n arccos х) = у [(а: +1 )/l — хг)п + {x — i |/ 1 _ х*)"]
Ha66t На 71
2. Полиномы Чебышёва 2-го рода:
т] , . _ sb [("-И) arccos ж]
n ^ sia ж
Функциональные соотношения
8.941 Рекуррентные формулы:
2. OM(*)-artTm(*) + &w(a;, = 0.
3. 71e(a;) = ?/nla;)-a;i7n_1(a;).
4. A-Л;2Ш„_1(а;)=а;71п^)-71„+1(а;).
Ортогональность ом. 7.343, 8.904,
8.942 Связь с другими фушщяями:
n; ; ^
На 358
ВТФII 184C)
ВТФ1И84D)
МО 104
МО 104
ВТФ II185 A5)
См. также 8.962 3.
8.943 Частые случаи:
1. 7.(*)=1.
. 2. 7\(а;) = а:.
3. 312;а;; = 2а;2-1.
4. Т3(х) = 4х3-3х.
5. r4(a;) = 8a;4 — 8a:8+1.
6. Т6 (х) = 16ж5 - 20а:3 -+ ох.
8.944 Частные значения:
7. СГ.(*)=1.
8. f/1(a;) = 2a;.
9. ?72(а;) = 4л;2—1.
10. г/8(а;) = 8ж3-4а;
11. f/4(a;)=16a;4-12a;2-f 1.
2.

8.» ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
1047
3. Тш@) — ( — 1)п. 5
4. У2п,,@) = 0 6.
8.945 Производящая функция:
со
. 1-Я ™,
2-
М01С4
МО 104 в, ВТФII 186C1^
8.946 Нули Полиномы Тп^Х) и Г/„ <х) имеют только действительные
простые нули; все эти нули лежат в промежутке (—1, Н-1 . На73
8.947 Функции Тп(х) и У 1-х3Un_t(x) являются двумя линейно неза-
независимыми решениями дифференциального уравнения
g? ,O. Ha69E8)
8.948 Из всех многочленов степени • со старшим коэффициентом, рав-
равным 1, наименее
многочлен 2~ntlTn (ж).
пым 1, наименее уклоняется от нуля на отрезке | — 1, 4-11
НаОЗ
8.95 Полипомы Эрмита _Нв(ае)
8.950 Определение.
или
2,
8.951 Интегральное представление:
со
у 2П Г
" 1^я J
См III 567 A4)
МО 105 ы
МО 106 и
Функциональные соотношения
8.952 Рекуррентные формулы:
2. Hntl{x =2xHn(x)-2nHn_1(x).
Ортогональность см. 7.374 1., 8.904.
8.953 Ъвяаь е другими функциями:
2-
См III 569 B2)
См III 570 B3)
МО 106 и
МО 106 и

1048
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Связь с многочленами С?(х) см. 8.936 5
Связь с полиномами Лагерра см 8.972 2. и 8.972 3
Связь с функциями параболического цилиндра см. 9.253.
8.954 Неравенства:
e '
№)]
[x>0]. MO 106 в
8.955 Асимптотическое представление:
1. tfSn(a-) = (-lin2"Bn-l)!!eF[cos(l/4n+la:L-O(T^')] Cm III 579
2.
2П 2
Bп_1)И
8.956 Частные случаи и частные значения:
Cm HI 579
2
3.
4.
5.
6.
7.
)= 16а;4 -48ж2 4-12
Ряды полиномов Эрмита
8.957 Производящая функция.
2 T
3.
fc=0
Bfc+l)!
См III 570 B4)
CM III 569 B1)
MO 106 н
MO 106 m
4. e sin 2z = 2 (-
MO 106 н
5. ecos 2x = 2 (-
MO 106 и

«.8 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
1049
8.958 «Теорема сложения»:
'¦
2. Частный случай:
m1+mi+...+mr=,LR=i
MO 106 н
МО107«
8.959 Полиномы Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению:
1. ^«._2а;-^ + 2пМп = 0; См III 566 (9)
вторым решением этого дифференциального уравнения служат функции:
2. Иап = (_1)»
у-п; у;
8.960 Определение.
[А а В — произвольные постоянные]. МО 107
8.96 Полиномы Якоби
"*?-1A -
тп=0
8.961 Функциональные соотношения:
2.
3.
4 M*
ь КГ83и
ВТФИ169B)
ВТФII 169A3)
P2l/)l1a-3)(a;)-
ВТФ II 169A1)
ВТФ II 170A5)
2, ...,л]. ВТФП170A7)

1050 8—» СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
5. (
= (л + а + 1) /><?'Э) (х) - (п + 1) Pftf ,х). ВТФ II1-73 ()
6. ^« + i-a + -i-P+l)(i + *!^'4"t)(*)-
= (« + p+l)Pjft'w(a)+<n+l)Pftf)(*) ВТФ II 173C3)
?. (l-x)Pio+1>fl)(»)+ll+*^e>'H'll(*)-2Ae*B>(*i. ВТФ II 173C4)
8. Bв+а+р)Р«Г1>^)-(и+« + Р)Ла'^-(л + Р)Р{?Р(*).
ВТФ II 173C5)
9. Bв + а + Р) Pi. в-1) (i» = (п + а + Р) />i"« pl (a) + (n +'«) /«1^ (»).
ВТФ LI 17,3C6)
10. Р%- Р-1) (a:)-/>i,e~ 1>w(:r) = Pi-iW (ж). ВТФ 11173C7)
8.962 Связь с другими функциями:
1. ^"(^-«-^^^(n + a + p+l, -«: 14-Р: i±=) ;
КГ 83 и, ВТФ Й 170A6)
ВТФ II 170A6.
ВТФ II 170A6)
ВТФ II 170A6)
2 Р„ (^ = Р^о> 0) (яг). КГ 83 и, ВТФ II179 C)
/1 _i\
3. 'ln(x) = 2^?p\ V 2> х). КГ 83 м, ВТФ II 184E) и
r(re-f2v)r |
4. Cl(x) = v {^- Pn 2' 2' (x). MO 108 и, ВТФII174 D)
\ v 'L)
8.963 Производящая функция:
oo
R = Y\ — 2xz + z2 [|z|<l]. ВТФИ172B9)
8.964 Полиномы Якоби представляют единственное целое рациональ-
рациональное решение дифференциального (гипергеометрического^ уравнения.
1)у = 0. ВТФ II169 A4)

8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 1051
8.965 Асимптотическое представление:
/><?• Р) (cos в) =
VICn (sin -le)'4'S (cos i-в
[Ima=ImP = 0, 0<9<я]. ВТФII 198A0)
8.966 Предельное соотношение:
lim [и—/*» (eoei)] = (y)"a/a(z). ВТФИ 173D1)
8.967 Если a> — 1, p> — 1, то все нули полинома РЦ?'т(х) простые
и лежат в интервале v — 1, 1).
8.97 Полипомы Лагерра
8.970 Определение.
1. ,/^(а;) = ^-е1я:-«^(е-*ж"+«У, ВТФ II188 E), МО 108
{- 1)т ( "^) ^. МО 109, ВТФ II188 G)
2. L%, (х) = Ln (яг). ИП I 369
8.971 Функциональные соотношения:
1. ^-[/ЗД-Гйц (*)]¦= LSI*). ВТФ II 189A6)
2. ^C(a;)=-C±i(a;). ВТФII189A5), См 111575^42)и
3. х±О;{х) = п1?{х)-(
ВТФ II189 A2), МО 109
4. ti
См III 575 D3) к, ВТФ II190 B3)
5. I%-i(x) = l?{x)-lZ-i(x). См III575 D4) и, ВТФ II 190B4)
6.' (n+l)LS+i(x)-{2n + a+l-x)Ii(x) + (n + a)I^-l{x) = 0
[п = 1, 2 ]. МО 109, ВТФ II190 B5), B4j
8.972 Связь с другими функциями:
1. Ьс!Цх)=(п+а^Ф(-п, о+1; х). МО 109, ФИ 189A4)
2. Hin(x) = {-l)n22nn\L1,2(x2). ВТФ II193 B), См III 576 D7)
3. Htn.l{x) = ( — l)n22n*i n\ xL%(x2). ВТФИ193C), CmIII577;48)

1052
$—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.973 Частные случаи:
1. Ц{х)=1
2 L?(:r) = a-fl — х.
3. Z?@)= ("+*') ¦
4 1^"(*)=(-1)п-|г
5. Lx яг) = 1 — х.
6. Ьг(х)=\-2
~.
8.974 Конечные суммы:
2.
3.
2
ш=0
(х) lZ-m (x>=
(а + у).
8.975 Производящие функции:
ВТФ 11188F)
ВТФ II 188F)
ВТФ II 189A3)
МО 109
МО109
ВТФ II188 <9)
МО НО, ВТФ II 192C9)
ВТФ II 192C8)
ВТФ И 192D1;
ВТФ II189 A7), МО 109
2 e-«(l+Z/a= 2 Lfn{x)zn [|z|<l]. МО110, ВТФП189A9)
n=0
[а > - 1]. ВТФ II189 A8), МО 109
8.976 Другие ряды полиномов Лагерра:
1 v> n.L»{х) L"
Г(я+а+1)
7
'2.
[|z|<l]. ВТФ II189 B0)
= Л"а Г 'а' ж) [а > -1, * > 0]. ВТФ II215 A9)
«=о

9.1 ГИЦЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1053
3 \Г'{Г\Р-
2j ГA+а-*) (i=*)T •
ft=0
4 /g^/gf^
4. Ln(a;)/,n^)_
МО 110, ВТФИ192D2)
8.977 Теоремы сложения:
МО 110
2. L* (x + у) = ev У. ь^- j/ftLn+ (x). MO 110
k=\i
8.973 Предельные соотношения и асимптотическое поведение:
ВТФ II191 C5)
2. Um \п-^Ы(-ЛЛ^х~^а1а{2\П). ВТФП191C6)
у rt
[1та = 0, ж>0]. ВТФII 199A)
8.979 Полиномы Лагерра удовлетворяют следующему дифференциальному
уравнению.
^ 0. ВТФII 188A0), СмШ574C4)
9.1 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
9.10 Определение
9.100 Гппгчюеометтчеспым рядом называется ряд
^». т. ч-' + ff.
a(q+l)fa-'-2)BfP + l)(P+2)„a ,
¦*¦ Y(Y+lj(Y+2) 1-2-3 + •¦•
9.101 Гипергеометрический ряд обрывается, если а или р равно отри-
отрицательному целому числу или нулю Если ¦у = —л(л=0, 1, 2, ..),
то пшергеометрический ряд неопределен, если ни о, ин р не равны
— m (да < л, т — натуральное число). Однако
'4
ЬТФ 1 Ь2 (lti)

J054 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.102 Исключая указанные значения параметров (х, §, у, гипергеометри-
гипергеометрический ряд сходится в единичном круге | z | < 1 При этом имеют
место следующие условия сходимости:
1 1 > Re (а + р1 — у) > 0 Ряд сходится во всем единичном круге,
исключая точку г = 1 \
2. Re(a + P —y)<0. Ряд сходится (абсолютно) во всем единичном
круге, включая точку z = l.
3. Re(a-f-p— y)>1- РяД сходится во всем единичном круге, исклю-
исключая точки z = 1 и z= — 1
ФИ410, УВ1134, УРН76
9.11 Интегральные представления
i
9.Ш Р(а, 0; v: z) = B(Pt'Y_p) \ *'* (i'tY"^ (l-te>-*
[ReY>Rep>0]. УВН79
9.112 F(P, 9 |Г^
[и = 0, 1, 2, ...;Rejo>O]. ВТФ 181 f 10), МО 16
причем | arg ( — z) | < л и путь интегрирования выбран так, чтобы полюсы
функций Г (а + 0» Г (р + 0 лежали слева от пути, а полюсы функции Г ^ — t —
справа от него. УВII 71 — 72
9Л14
[т -)- 1 — натуральное число; р ф О, ± 1, ].
ВТФ180(8), МО 16
См. также 3.1941, 2., 5., 3.1961., 3.1976., 9., 3.2593, 3.3123.,
3.5184.—6., 3.6652., 3.6711., 2., 3.6811., 3.9847.
9.12 Представление элементарных функции с помощью
гипергеометрической функции
9.121
1. F( — n, P; р; — z) = d + z)" [P произвольно]
ВТФИ01{4), Га 1271 и
3. limF (-n, »; 2»; _±)=^1+^-)". Га127Ш«
^1 "-2. 3 .
2 ' 2'2'

9.1 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1055
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14
15.
16.
17.
18.
19.
20,
21.
22.
23.
24.
25.
-(l-n< 1; 2; —f) —
In
1.—г
2г
lim/
V
к; 1; -?Л s= I +z li
\-\-z-\-~\\mF(i, k; 3;
=: 2: -i^ =
-1^= ... =e
2»
Um
'; y; — ^7
, fc'; y;
(
p(\ i; 4
\ ' ' 2
4;
2 '
^-? ¦.
ашгсозг
i sin % cos z
» —1 3
2-5 T;
-p, — —; -y ; sin2 z ) =s cos nz.
П Sin Z COS™ * 2
sm nz cos™*1 г
л sin г
Га 127 V
Га 127 VI
Га 127 VII
Га 127 VIII
Га 127IX
Га 127 X
Га 127 XI
Га 127 XII
Га 127 XIII
Га 127 XIV
Га 127 XV
Га 127 XVI
Га 127 XVII
ГаЧ27 XVIII
Га 127XIX
cos res
T; T
ВТФ11С1<-Ц , Га 127 XX
ВТФИ01A1>, Га 127XXI
ВТФИОКИ), Га 127XXII
Га 127 ХХШ

10568—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
?6- F(т• Т: Т; «") ==^ (сравни 9.121 43.}.
27. fQf, I; A; _*«)—«SHLi (сравни 9.121 15.).
28. *Yy. -j; -j; _гЛ=*!^? (сравни 9.121 26Л
29. fQ±^, i=2; J-; «¦) = ^'"aJsl"г) ' 'сравни 9.121 16.).
30. /?(! + «!•; 4; zA=siM»arc^,j ^ 9Л21
31. /'1(y. —-jJ 4; z8) = cos «arcsinz) (сравни 9.121 20.).
32. f fl±2. *=5; 1-; 8«>,co4;i^Hg (
Представление специальных функций через
гипергеометрическую фупкцию см.:
для полных эллиптических интегралов 8.113 1., 8.114 1.;
для uuieipa.iuii or цилиндрических функций 6.574 1., 3., 6.576 2.-5,
6.G21 1 -3.;
для полиномов Лежандра 8.911, 8.916
[все эти гинергеометрические ряды обрываются, т. е. эти [ яды обращаются
в конечные суммыР;
для функций Лежандра 8.840, 8.837,
для гпароных функции 8.702, 8.703, 8.751, 8.77, 8.852, 8.853;
для полиномов Чобышева 8.942 1.;
для полиномов Якоби 8.962;
для полипомов Гегенбауэра Сп(х) 8.932;
для интегралов от функций параболического цилиндра 7.726 6.
9.122 Частные значения.
1 Fin R- «• ^_
1. F{a, p, у, 1)-
Г(у_в)Г(у_й
[ReY>Re(o-|-P), Re-y>ReP>0]. Га 147D8). ФН79Я
2. F{a, P; у; l)=i?(-a, -p; y-a-fi; 1) [ReY>0l; Га148D9)
1Нв(т-Р)>01; Га 148E0)
fTa,-p!v-P, 1) [R«CY-«)>01. Г. 148E1)
p?Y—,1)
!
9.13 Формулы преобразования и аналитическое продолжение для функций,
определяемых гипсргеометрическими рядами
9.130 Ряд F(a, Р; у; z) определяет аналитическую функцию, кото-
'рая имеет, вообще говоря, в точках z = 0, 1, со особенности (в общем
случае точки иетилспия). Разрежем 2 цлускеюь вдоль дейсшительной

9 1 ГИПЕРГВОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1057
оси от трочки z = l до точки z=co, т. е. потребуем, чтобы цри |г|>1
имело место неравенство |arg(— г)|<я. Тогда ряд Fya, Р; у; г) в разре-
шпной плоскости будет давать однозначное аналитическое продолжение,
которое (если только у-\-1 не является натуральным числом, а а —р
и у — о — р не являются целыми числами) осущестиляеюя с помощью ни5ке-
припедрнных формул Эти формулы дают возможность вычислить значения F
в заданной области также и в том случае, когда |z| > 1. К ним примыкают
еще некоторые дальнейшие формулы преобразования, которые в случае
наличия соответствующих соотношений между а, Р, у могут служить также
для аналитического продолжения. МО 12
9.131
Формулы преобразования
= A - г)"" F (р, у - «; Yi j^i) \
-a, y-P; у; ?
Р(а, р;Y;
-а. Y-P; т
Га218(91)
Га 218 (92)
р+1; 1-,).
ВТФ194, МО 13
9.132
1. F(a, Р; г. *) = (!-^
MO13
2. F(a, p; y;
9ЛЗЗ
9.134
2.
a, 2P; а
{a, P; 2P; «)= (l-f
Га 220 (9S)
УВП86
, 2a+l-Y;
3 F(a, a+i—p; p + |
MO 13, ВТФП11D)
(a, a +1 ; Y; "^jr) •
Га 225 A00)
^).
Га225A©1)
67 Таблицы интегралов

1038 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.135 /"(а, р; а + р + |; sm*<p) = fBa, 2р; а + р + |; sin2-|
Г а; = sin2 -5- действительно; ~ — < х < -н- I . МО 13
9.136 Положим
г(.+4)г(р+^)'
тогда
1. FBa, 2р; а+р+±; ±=l?±) =
= AF(a, p;i-; z)+B V~zF (a +
2, fB«. 2p; a + p+4; ^p~
P + |; ) Га 227 A06)
a+y.P+4-; т; z)- Га228<107>
3.
-l, 2p-l; a+p-i; i±^") -
y ^) ¦ Га 229 iv 110)
9.137 Рекуррентные формулы Гаусса.
1. Y[Y-l-BY-a-p-l)Z]JF(a, p; Y;
2. Ba-v-aa + pz)/?(a,p;Y;*)+(Y-a)/'(a-i, p; Y! z) +
+ a(z-l)JF(a+l, p; Y; г) = 0.
3. Bp-Y-pz+az)/?(a, p; у; z) + (Y_p)/?-(a> p_ 1; y. z\ +
+ р(г-1)/^(а, p + 1; y; z) = 0.
4. Y/^(o, p-1; Y; z)-YF(a-l, p; Y; z) + (a - p) zF (a, p; Y-t-l; z) = 0.
5. Y(a-p)F(a, p; Y; *)-а(у-р)^(а+1, P; Y+l; 2) +
4-p(Y-o)/?(o>p+l; Y + l; z) = 0
6. y(Y + 1)^(«, P; Г. z)-
7. Y^(o, p; Y; z)-iy-a)F(a, p + 1; y+1; *)-
-a(l-z)F(a +
8.
, p + 1; Y+l; Z)=O.

9 1 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1059
9. y{y-$z-a)F(a, fry; z)-y(y-a)F(a-l, p; у; z) +
+ apz(l-z)/4a + l, p+l; V+U z) = 0.
10 Y(Y-<B-p)F(a, p; Y; z)-y(y-p)F(Q, p- 1; y; z) +
11.
12 YF(a, p; y; zj-^la+l, p; Y; zL-pz/-;a+1, p + l; Y+l; z)=0.
13 YI<»-(Y-P>*]^(a. P; Y; z)-ay{l-z)F(a + i, P; Y;
14. YlP-(Y-e)*]^(<». fr Y; z)-pY(l-z)^(a, p+l; Y! *) +
15. Y(Y+i)^(a. P; y; 3)-y(y+i)/?(«. P+i; y+1;
+ a^Y-P)^(«+l, P+l; Y + 2; 2) =
16 Y(Y + ^f(o, p; y; z)-Y(Y + l)^(a+l, p;
17 yF{a,-p; y; s)-(y-fl)F(a, p; y + 1; z)-pF(a, p + l;
18 yF(a, p; Y; z)-(Y-o)F(a, p; Y+l; z)-aF(a+l, p;
MO 13-14
9.14 Обобщенный гипергеометрическив ряд
Ряд
1 F (a cu a-66 B-zl-У (°l)fc (°2))i ' (
называется обобщенным еипергеометрическим рядом (см. также 9.210). МО 14
2 ^(a, p; y; z) = /"(a, P; y; z). МО 15
Иш-ei ральные представления см. 3.2542., 312592., 3.4783.
9.15 Гипергеометрическое дифференциальное > равнение
9.151 Гипергеометрический ряд является одним из решений дифференци-
дифференциального уравнения
P+]^-apa = O, УВН67
называемого гипергеометрическим.
Решение гипергеометрического дифференциального
уравнения
9.152 Гипер1еометркческое дифференциальное уравнение 9.151 обладает
двумя лине и но независимыми решениями. Уги решения могут
быть неограниченно аналитически продолжаемы на всю
z-плоскость, за исключением, быть может, трех точек: z = 0, 1 и оо. Вообще
творя, точки г = 0, 1, оз являются точками ветвления по крайней
67*

1060 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
мере одной из ветвей каждого решения гипергеометрического дифференци-
дифференциального уравнения Отношение w{z) любых двух линейно независимых
решешш удовлетворяет дифференциальному уравнению
где
«! = A-Y)S. aa2 = (y-a-P)s, a* = (a-p)s.
Если a, p, у действительны, то функция w\z отображает верхнюю (rImz>0)
или пшьнюго Im z < 0) полуплоскости па криволинейный треуюльник, углы
при вершинах которого равны лах, ла2, ла9 Вершины этого треугольника
являются образами точек z = 0, z= I, z= оа.
9.153 Внутри единичного круга |z|<l линейно независимые
решения щ z) и и.г(г) гнпергеометрического дифференциального уравнения
даются следующими формулами:
1. Если y по является целым числом, то
u1 = FKa, p; у; z),
us = z1-'F(a-Y+l, P-Y-И; 2-y, г).
2. Если у= 1, то
Ul = P(a, р; 1; z),
«s = ^(a, p; 1;
(см. 9.14 2.).
3. Если y = w + 1 (лг— число натуральное) и в то же время и а а $
отличны от положительного числа, меньшею или равного пч то
u1 = F-ya, P; /ин-1; г),
p; m + l; z)lnz +
(см. 9.14 2.),
ГД»
h (n) = tj) (a + n) + iji (p + n) — if (пг + 1 + л1! — т|э (п +1)
[« + 1 — число натуральное].
4. Пусть у = я» +1 (m — число натуральное) и в то же время а или |3
равно аи' 4- It где 0< т' < ли. Тогда, например, при a = т' -f-1 мы иолучим:
г', р; 1 + ia; z),
-!-»!'— и, р — т; 1 — т; z).
В атом случае щ является мпегочдеиом относительно г.

9 t ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИВ ФУНКЦИИ 1061
5. Если у = 1 — т (т — число натуральное) и в то же время как а,
так и р* отличны от чисел: 0, — 1, — 2, ..., 1—т, то
т; z)lnz +
_ V (*-«>' (-"*>* ^-. (CM. 9.14 2.),
^J A— a—m)ft A— p — m)fc x "
где
А* (л) = \|5 (a 4-w + и)+ i|) (P + m + л) — \|5A + m + л) — f A+n).
Заметим, что
(сравни 8.3653.)
и что при а= — X, где X — натуральное число или нуль я. я
X + 2, , выражение
в формулах 9.1532.—5. следует заменить выражением
6 Пусть у=1 — т (т -— число натуральное^ и в то же время а или Р
равно целому числу — т', где т' — одно из следующих чисел 0, 1, ..., т — 1.
Пусть, например, а= — т'. Тогда
Ul = F(-m', P; \-m; z),
и2 = Г(-т' + т, fr+m; 1+m; z). МО 18
7. При Y = y
p; y(a
являются двумя линейно независимыми решениями гипергеометрического
дифференциального уравнения, если только а, р" и \ отличны как от нуля,
так и от целых отрицательных чисел. МО 17 — 19
Аналитическое продолжение решения, правильного
в точке z = 0
9.154 Формулы 9.153 делают возможным аналитическое продолжение
в область |z|>l, |arg( —г)|<я функции F(а, Р; у; z), определенной
впутри круга | z | < 1 гипергсометрическим рядом При этом предполагается, что
а— Р не является целым числом Если же а— р — целое число, например, если
Р = а + от [т — число натуральное], то при |z|>l, | arg( — z)| < я имеем:

1062 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
m—1
sum (у—a) f -^ Г (дЦ-/с)ГA—y+g-l-fc) Г (го— к) ,,-a-fc
п \2j fci ^-z +
CO
(-2) 2j fei№+m)i 8WZ |,
где
2 g(n) = la(-z> +nctg я Су-а) +115G1+1)+^i +
— \p (a + /re + я) — i|)(l —
m-l
При /и = 0 следует положить 2 = О
9.155 Эта формула теряет смысл, когда а, у или а— Y+1 равно
одному из чисел 0, — 1, — 2, ... В этом последнем случае имеем
1. Если a — целое отрицательное число или нуль, а -у- не ратаю целому
числу, то F(a, а+пг; у; z) предсгавляет собой многочлен относительно z.
2 Пусть у — целое отрицательное число или пуль, а а не является
целым числом Полоячим тогда -у-= —^, где Х = 0, 1, 2, ... Тогда
является решением гипергеометрическою уравнения, правильным и точке
z = 0 Это решение раьно правой части формулы 9.154 1., если в ней и «фор-
«формуле 9.154 2. у замелить через к
3 Если a — у "t" I — целое отрицательное число или нуль, а а и у
не представляют собой целых чисел, то можно воспользоваться формулой
и применить к ее правой части формулу 9.154 1., если только у — a — т > 0;
если же а — у — т<с0, то правая часть этого выражения представляет
собой многочлен, умноженный на степень 1 — z
4 Если a, p и у суть целые числа, то гиггергеометрическое дифферен-
дифференциальное уравнение ьсегда имеет решение, правильное при z = 0 и имею
щее вид
где R1 (z) и /?2(z) — рациональные функции от z Чтобы получить эту форму
решения, следует к функции /''(а, р, у; z) применить формулы 9.137 1.—
9.137 3. Однако если у=—к, где Х-\- 1 — натура 1ьное число, то формулы
9.137 1. и 9.137 2. следует применять не к F(a, {$; у; z), а к функции
z^+^a+X + l, Р + Я. + 1; Х + 2, г)
Последовательным примененном \ка анных формул можно положите 1ь-
ные значения параметров принести к дьоике, единице и п)лю Далее
из формул
/•A, 1; 2; z)-= -z-4n(l-z),
F@, p; y; z) = F{a, 0; y,z)=l
получается указанная форма решения.
МО19-20

9.1 ПШЕРГМОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1063
9.16 Дифференциальное уравнение Римана
9.160 Гипергеометрическое дифференциальное уравнение представляет собой
частный случай дифференциального уравнения Римана
1 d*u | Г г—°—«' | 1—Р—Р' | t—У -У 1 du .
dz% [_ г — а ' z—Ь г — с J dz ~"~
оа'(а —Ь)(а с) РР' F — с)F
+ Г"
Jv у" "; \" **; i
W(«-a)(«-»),l ^Ц^ _0. ув1284
г— с
Колффициенты этого уравнения имеют полюсы в точках а, Ь, с, а числа
a, a'; p, p'; Y^ Y' называют показателями, соответствующими этим полюсам.
Показатели a, a'; p, P'; у, у' связаны следующим соотношением:
a + a'+p + e'+Y + Y' —1 = 0. УВ1283
2. Дифференциальные уравнения 9.160 1. записывают схемати-
схематически так.
а I с \
3. м =
а Р у z\.
la' Р' у' )
Особые точки уравнения помещены в этой схеме в первой строке,
соответствующие им показатели — непосредственно под ними, а независимая
переменная помещена в четвертом столбце. УВ1284
9.161 Имеют место следующие две формулы преобразования для /"-урав-
/"-уравнения Римана:
Ь с \
a' + k P'-&—/ y'+l j
УВ 1284
(а Ь с -I id, 6, с,
j
2. Pa p y zUP a p Y 4
[a' p' Y' J la' p' y'
Первая из этих формул означает следующее: если
Ia b с |
а Р у zl,
a' p' Y' J
то функция
—а V { г—
УВ1284
удовлетворяет дифференциальному уравненпю второго порядка, имеющему
те же особые точки, что и уравнение 9.161 2., и показатели, рапные ач-к,
а'+к; р —А:—Л Р' —А; —/; у-\-1, у'-М- Вторая формула преобразования
переводит дифференциальное уравнение с особенностями в точках а, Ь, с,
показателями а, а'; р, Р'; у, у' и независимой переменной z в дифферен-
дифференциальное уравнение с теми же показателями, особыми точками а,, bv ct

1064
8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
и независимой переменной гх. Переменная гх связана с переменной г дробпо-
линейным преобразованием
Тем же дробнолинейным преобразованием связаны точки %, Ь,, с, с точ-
точками а, Ь, с. УВ1285, МО 20
9.162 При помощи последовательного применения обеих формул преоб-
преобразования 9.161 1. и 9.161 2. дифференциальное уравнение Римана перехо-
переходит в гипср ге о-метрнчсснос дифференциальное урапиение;
таким образом, решение дифференциального уравнения Римана молшо выра-
выразить через гипергеометрическую функцию.
B—а) (с — Ь)
При к— — а, / = — y и
a b с
«' Р' v'
miem:
О
О
а
О
а' — а р
1
О
y'-v
zl =
y'-*V
a' —a pf + Y Y Y
MO 23
Таким обрааом, это решение следующим образом выражается через
гипергеометрический ряд:
Если постоянные а, Ъ, с; а, а'; р, р'; у, у' соответствующим образом пере-
переставить, то риманово уравнение не изменится Таким обрааом получается
совокупность 24 решении дифференциальных уравнений, которые (при усло-
условии, что ни одна из разностей a—a', P —Р', у —у' не является целым
числом) имеют следующий вид: УВН67, МО 23
9.163
9.164

S.i ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1065
9.165
, rz—e\t" fz—6VP'
4 U() C
9.166
9.167
1
3-
9.168
i- -.-(^У (^)V{p+a+Y,P+«'+Y; i+P-P'; iS^Eg
УВII68-69

1066
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.17 Запись некоторых дифференциальных уравнении второю порядка
1 с помощью схемы Римана
9.171 Гипергеометрическое уравнение (см. 9.151).
и = Р
0
о
со
а
1
0
— У Р Y —« —Р
УВ II 78
9.172 Уравнение Лежандра, определяющее функции Р™ (z) [га и и —целые
числа] (см 8.700 1.):
1 к-
0
со
1 . . 1
yiw ra + 1 -jm
—r-m —га г т
1—а
УВ II120
2 в =
11 „ 1
—2П 1т ° I"
(^2 *Ч
1 — ^р j удовлетворяет уравнению
4га2 оо О
-y m rt+1 — m z2
1 1
r m —n rtn
УВ II134
УВ II168
Функция /m(z) удовлетворяет предельной форме этого уравнения, полу-
получающейся ири п —> со
9.174 Уравнение, определяющее многочлены C%(z) (см. d.938).
— 1 со 1
0
— га
-j-K Z
0
УВ II135
9.175 Уравнение Бесселя (см 8.401) есть предельная форма уравнений
1. и =
0
n
ic tj-4-ic z
— П —1С — 1С
У ВII181

9.1 ГИ11Е1ТЕ0МЕТРИ ЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1067
2. и - elzP
с
О z
— л -g—lie 2ic—l
УВНШи
1 1
~п~ ft Г \С — i
1
с-
О
3. и=
получающаяся при с—>сю.
9.18 Гипергеометрическпе функции двух переменных
УВН181
9.180
1. ГЛа, р, р'; у; i, yb У ^ ^.(
ш=0 п=0
Область сходимости
2 /^ 'а 6 6' v v'- ж «1—
ВТФ 1224F), АК14{11)
АК16
т=0
\у\<\.
Область сходимости
л а' В в' V г и)-
ya, а, р, р , у. х, у)-
Область сходимости
Область сходимости
ВТФ 1224 G), АК 14A2)
АК17
<«)„.(«')„
ВТФ 1224 (.8), АК 14A3)
АК17
ВТФ224(9), АК 14A4)
АК18
9.181 Функции Flt F2, F3, F4 удовлетворяют следующим системам диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных относительно г.

1068
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Система уравнений для z = Fl: »
ч 5»Z .
dz
— af>z = 0,
ВТФ 1233 (9)
2 Система уравнений для z = /'s:
, ВТФ 1234A0)
0 J
3 Система уравнений для z = .Fj:
ОлОу
dz
) ВТФ 1234A1)
4. Система уравнений для z — F4
ВТФ 1234A2),
АК44
9.182 При некоторых соотношениях между параметрами или аргументами
гппергеометрические функции дпух переменных выражаются через i ипер-
юометрические функции одной переменной или через элементарные функции:
1. Fx (а, р, р\ р + Р'; *, у) = (i - y)~aF (a, p; p + р'; f=J) .
ВТФ 1238A), АК24B8)
2. ^(о, р, р', р, Г; *, y) = (i-*)~^(a. P'; V; гг;).
ВТФ 1238^2), АК23

8.1 ГИПЕРГБОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1069
3. Рш[о, р, р', а, а; х, у) = A -х)~* A -yT*F [р, Р'; а; A _^ _у)] .
ВТФ 1238C)
4. Fs(a, y-o. Р, Y-P, Y5 *, у) = (I - yf+ti~y F (а, р; у; i + y-ту).
ВТФ 1238 D), АК25C5)
5. F4\a, y + Y' —а —1, у, у'; жA — у), уA — х)] =
= F{a, y + y'—a — l; у; х) F (а, у + у' — а— 1; у'; у). ВТФ1238E)
о. t^a, р, а, р, _^__^
, __j _ .
ВТФ 1238 F)
7
. F4[a, p, P, р; -A_г)^_у), "A-^
= (l-a:)e(l-y)a^(a, 1 + a-p; p; iy). ВТФ1238G)
8. F4[«, Р, 1 + а-Р. Р; -A_^Г-Й' -(l-«Hi-
_a-y)"^[e, P; 1 + о-р; ---^Е^] • ВТФ1238(8)
9. /?4(а, а + 1, Y, |;*,у)-
^r( | y (izp^). АК23
10 Fl(a, р, Р', у; х, 1) = Я?^7П^^Т^а' Р; ^-Р'= *)•
ВТФ 1239 A0), АК22B3)
11. Л(а. Р, Р'. у; ж- x) = F(a, P + P'; у; ж). ВТФ1239A1\ АК23B5)
9.183 Функциональные соотношения между гипе-ргеометрическими функ-
функциями двух переменных:
1. Fl(a, р, р', у: х, у)_
= (l-^rP(l-2/r3'/;'l(Y-«. Р- Р'. V. j^i- ^i); ВТФ I 239A)
_A-Ж)-а^(«, y-P-P'. Р'. y; j^j, ^Ег); втф 1239B)
=A-УГа^(«. P. y-P-P'. y; 5_f. Д); втф 1239C)
о, y-P-P\ P', y; x, ^5
ВТФ 1240 D)
ВТФ 1240 (о), АК30E)

1070 8—8 СПЕЦИАЛЬНЫК ФУНКЦИИ
2. F2(a, р, Р'; у, Y'; х, у) =
= A-*)-«*, (a, Y-P, Р'. Y. V'; -^п- T=i"); ВТФ1240F)
= A-^—Л(а. P. Y'-P'. Y, V; т^, у=т): ВТФ1240G)
а. Y-P. Y'-P'. Y. У: ^иг
ВТФ1240(8), АК32F)
3. Л (а, р, у. \'; г, у) =
-V, P. у,
ВТФ1240(9), АК26C7)
9.184 Интегральные представления:
Двойные интегралы эйлерова типа
1. ^(а, р, р\ у; х, у)= Г(Р)Г(р^Г(т-р-р') Х
X
[ReP>0, ReP'>0, Re(Y- P -p') > 0]. ВТФ I 230A), AK28^1)
2. F,ia, P, P', y, Y'; x, y)= Г(р) Г(р,^^Г_(gr (г_р,} х
l l
X
[ReP>0, ReP'>0, Re(Y-P)>0, Re(Y'-P') > 0].
ВТФ1230B), АК28B)
3. F,(a, a', P, P', y; x, y)= тф) г<р^_р_р.) X
X
[ReP>0, ReP'>0, Re(Y-P-P') > 0]. ВТФ1230C), АК28C)
4. Ft[a, P, y, Y'5 *A-У), »(!-*)] =
о о
X A — ихУ*-ч-*'+1 A — vyf~y-y'+l (i—ux —
[Rea>0, Rep>0, Re(Y — a) > 0, Re(Y'-P)>0]. ВТФ123ОD)

9.2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1071
Интегралы типа Me длина —Бэрнса
9.185 Функции Р\, Fv F3 и Ft представляются с помощью двойных
интегралов следующей формы:
гсо ioo
—гсо — гоо
Г(Р')ГG-т»-1-*)
Г (a+s-О Г (P+s) Г (Р' + О Г (Т')
Г(Р')ГСу+«)ГG'+0
Г(о+*)Г(а' + ОГ(Р + *)Г(Р'+0
Г(а')Гф')ГG + «+г)
Па-f <Н-ОГ(Р г*+ОГСу')
Г(у-Ь«)Г(у' + О
F(x, у)
F^a, p, P', у, х, у)
Ft(a, P, Р', у, у'; х, у)
Fs(a, a', p, P' y; x, у)
Ft (a. P. Y» Y'; •«, 2/)
[а, а', р, Р' не долзкны быть целыми отрицательными].
ВТФ1232 (9^1 — A3),
9.19 Гипергеометрическая ф\нкция нескольких переменных
^л (а; Рг Р„; \х, ..., Y«; zi. • • • > г») =
СО ОЭ
— V
, ¦ (Pn)^ m, m
ИПI 385
9.2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
9.20 Введение
9.201 Вырожденная гипергеометрическая функция получается в результате
предельною перехода по с к -\- со в решении диффереидыалыю1 о уравнения
Римана
О сю с
р) -^ + fl -СС-к Z ^
1т-(* ° х J
УВII139
9.202 Уравнение, которое получается в результате этого предельного пере-
перехода, имеет вид.
УВП1Э9
Уравнение 9.202 1. имеет следующие два линейно независимых решения:

1072 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2. z2+V0>(-i-+n-b, 2|i + l; z),
3.
; z),
12 3
которые определены для всех значений }* =? ± -гг» ± ~г > ± "о" •
л й z
МО 111
9.21 Функции Ф(а, v; 2) и W (а, у; z)
9.210 Ряд
*' .1 а(а+1)(а+2) г« ,
-2Г+ +
также называется вырожденной пшергеометрической функцией.
Другое обозначение: Ф (а, у, г) = 1Fl (а, у; г).
-у + 1. 2-y; г). ВТФ1 257G)
9.211 Интегральное представление:
pi— V,
1. Ф,а, у; ^)=В(а, y-«) I d-
[0<Reo<ReY]. МО 114
Z
2. Ф(а, y; Я^-Щ—Г^-^-^е'^Чг-ф-^М
о
[0<Rea<ReY]. МО 114
3. ®(-v, Г(;^ Г* ]
[Re(a + v+l)>0, [argz|<-jj. M0U5
4. T (a, Y; z) = ~— ^ е-"*»-1 A + f)v-*-» Л [Re a > 0]. ВТФ1255 B)
о
Функциональные соотношения
9.212
1. Ф'а, y; z) = <*D(Y-a, у; -z). MO 112
2. ±ф(а+1, y+1; г)=Ф(а + 1, у; г)-Ф(а, y; г).
3. аФ(а + 1, y + 1; г) = (а-У)Ф(оц Y+1; х) + уФ(а, Y; z). MO112
4. аФ(а + 1, y; z) =
y; z) + (Y-^Ф^в-1, Y; z). MO112
9.213 ^. = 5.ф(а+1, V+l;z). M9112

9 2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМВТРЮВСКАЯ ФУНКЦИЯ 1073
9.214 lim -рТТФ a> Y; ZJ —z" v „j_i )ф(а + п 4~1' w~l~2; 2)
[я = 0, 1, 2. ...]. MO 112
0.215
1 Ф(а, a; z) = <?. MO 15
1 1 __ я
2. Ф(а, 2a; 2z) = L 2exp -i-A — 2a> яг I Г( a + — )"zz2 J t ze2 ).
a 2
MO 112
3. Ф (^jo+-j • 2jt»+l; 2iz"^ = r(/>+l)f -j"^ VVp(z). M015
Представление специальных функций через вырожденную гипергеометри-
гипергеометрическую функцию Ф(а, y; z) cm-:
для интеграла вероятности 9.236;
для интегралов от цилиндрических функций 6.631 1.;
для полиномов Эрмита 8.953, 8.959,
для полипомов Лагерра 8.972 1.;
для функции параболического цилиндра 9.240;
для функции MKll(z) 9.220 2., 9.220 3.;
для функции Wp-Q(z) 9.239.
9.216 Функция Ф(а, у; z) является решением дифференциального уравнения
1. z-jp- + (у — z' —j-—0^ = 0. МО 111
Это уравнение имеет два линейно независимых решения:
2 Ф,а, у; z)
3. z»-«I>(a-Y+l. 2-> z) МО 112
9.22-S.23 Функции Уиттекера ЗМГ* у <"г) и WK ^(z)
9.220 Сделав в уравнении 9.202 1. замену переменных и ~ е *W, мы при-
придем к уравнению
МО 115
Уравнение 9.220 1. имеет следующие два линейно независимых решения.
2. Мх.|4(*)«=а|1+»е
3. Мя,,_A(г) = Г1г+ге~2ф(-ц-Я + у, -2ц + 1;г). МО 115
Для получения решений, пригодных также и при 2р,= ±1, ±2, ...,
вводится функция Уипокера.
„ (z) = г<-^ Ж^, „ (z) + ,[Bц) Мк _м (г), УВII152
@ (;
Таблицы интегралов

1074 S—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
которая при 2ц, стремящемся к целому числу, также служит решением
уравнения 9.220 1.
Для функций Мх, ^(z) и Wx, р.(гл z = 0 является точкой ветвления,
a z=oo— существенно особой точкой Поэтому мы будем рассматривать
эти функции только при | arg z | < я.
Функции И\,,, (z) и W_kt й ( — z) являются линейно независимыми реше-
решениями уравнения 9.220 1
Интегральные представления
9.221
УВП159
если интеграл сходится См также 6.631 1., 7.623 3.
9.222
li+o ~o
2.
[Re(ji-X)>—I-, |argz|<n] . УВИ143
9.223 IF^<,)=•_ J
[путь интегрирования выбирается так, чтобы полюсы функции Г(к —Я)
оказались отделенными от полюсов функции Г( — и — fi-\--^j
({')] См также 7.142. МО 118
9.224 W t (z) = z»+le 2 \ A +1)**fzt dt =
2 0
= z-v-e2 ' j №e-l dt [Re z > О]. УВII160
9.225
= —ж
[|Ren|-ReX<|-; x>()J МО 119

9.2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1075
Х
$V'*-*-*Bl
[г, =? 0, г3 ,fc о. | arg Zl | < я, j arg z21< я, Re (x + Я.) < 1] MO 119
См также 3.334, 3.3816 , 3.382 3., 3.383 4., 8., 3.384 3., 3.471 2.
9.226 Представления в виде ряда
} УВН141
Асимптотические представления
9.227 Для больших значений |г|
[| arg г |<я — а<я]. УВП147
9.228 Для больших значений индекса | X, |
Мк, ц(г) ~-^- ГB}*+ 1) AT1"" *г* cos B|/Ii- ця- 1 я) . МО 118
9.229
1 wKll (^У г-Ч* I» г. sin B уТЙ_ Яд - i) .
МО 118
2. РГ_Л ^^^-iVeJ-ita^-z/iG- МО 118
[формулы 9.228 и 9.229 применимы при | Я | > 1, | Я | > | г |, | Я, | > | ц |, гфО,
МО118
Функциональные соотношения
9.231
1 М 1 (z) =
1t-j-ll-|— i tt
2
[n^O, 1, 2, ...; 2ЦФ-1, -2, -3, ...]. MO117
УВII140

10 76 8—9 СПЕШ1А 1ЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.232
l.WXtll[z) = WK^iz). MO116
[|arg(-*)|<J-*] . УВП152
9.233
J_ l
[-yn<argz< i; 2ц=#-1, -2, ...J . М0117
| -l, -2, ...] . МО 117
9.234 Рекуррентные формулы:
С1)_,, ^2). УВИ159
Ц~ 2' "^ 2
2. W14.x(8) = -/iW I ..j^+f-r-*.-n)w№_,.x(z) УВН159
**— 2' 2
3. 2^^,A(г)=(я-1г),,^)[^(|)]\
УВН159
4. [A^)^] ^|)
4)+i-'+(] (»у) M0117
5. (-| + Я.+|г)(-|- + Я+(г)г^,ц(г) = 2B + 2A+1)-^-^л+1,ц+1(г)+
[2 0|) ] - МО 117
Связь с другими функциями
9.235
1. Мо, „ (г) = 22|гГ (|* + 1) 1/i /д (у) . МО 125 и
2. ^o,)iB)=]/|Jfi:jl(y). МО 125

9 2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1077
9.236
УВН144, МО 126
2 Ii(z)= р=^, (-lnz). УВП145
3. Г (a, x) = exW(l-a, 1-а; jc). ВТФ 1266 B1)
4 Y(«. ж) = ^Ф(°. о+1; -*)• ВТФ1266B2)
9.237
xfvr^-~:^-_^i
Г | arg z | < -|5.; 2A + 1 — натуральное число I . МО 116
2 Пусть \— (л— у=?. гДе '+ 1 — натуральное число. Тогда
1 1
1+1*-bj, Р
= (-1)'/+2е1?|1»B). МО 116
9.238
? е3С ф (т + v' * + 2v; 2?a") • ВТФ *265 (9)
2. /,W=r(ft)) х-е-хф^ + v, l + 2v; 2а;). ВТФТ265A0)
3. Kv(x) = Vne-xBr?w(~ + v, l + 2v; 2ж). ВТФ 1265A3)
*) При |х=0 последняя сумма равна нулю.

1078 8—». СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.24—9.25 Функции параболического цилиндра Dp(z)
9.240 Dp(z)=2^W,p _,
р _
= 22е
МО 120 ц
называются функциями параболического цилиндра
Интегральные представления
9.241
1 я za оо
1 Р+2 -""г1" X f
Р У^Я J
—со
[Re р > — 1; при ж < 0 arga;P = рда] МО 122
г [Re /> < 0]
^сравни 3.462 1.) МО 122
9,242
1 (°+> 1
УВ II157
* 1,
УВ1ИЫ
arg z | < •?• я; /? не есть целое положительное число УВ II161
для всех значений argz, причем контуры окружают полюсы функция
Г( — t), но не окружают полюсы функции Г (^t — ^ Р^)Л УВИ161

9 2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1079
9.243
СО,
— ОЭ
[п — натуральное число]. УВИ162
cos Bzt, dt
n — натуральное число, ц, = Е С -=- j , а косинус или синус берутся
смотря по тому, будет ли п числом четным или нечетным I УВ II162
У.2М
1, u_v_i [(i -\- ч zj — ¦ р—1 ^ р аа-
[Re/?>-l, Reiza>0]. МО 122
p+i р—1
[Reyf <0; Refz2>0]. МО 122
См. также 3.383 6., 7., 3.384 2., 6., 3.966 5., 6.
9.245
действительно, Re р < 0]. МО 122
2. Z)j)(J>p(zeVI7^5
о
[|argz|<-5- ; Re/><0] MO 122
См также 6.613.
9.246 Асимптотические разложения Ксли \z\ > 1, |z| > p, то
[|argzj<ln] МО 121

1080 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
2.
[JL<argZ<-|n] MO 121
3. в^^^г^Р^ Е^
с + + + . ., ^
MO121
Функциональные соотношения
9.247 Рекуррентные формулы:
t{z^ = 0. УВИ157
2 ^7np<z) + ±zDp(z)-pDv_1(z) = 0. УВИ157
3. -^Dviz)-~zDp(z-\ + Dpt](z) = 0. MO 121
9.248 Линейные соотношения:
1. Dp B) = i^±li [ JPtZ>_p_, (is) + e^PlZ>_p_, (- и)];
3 =eP^p(-zL-f^j-J(P+1)lZ)_p_1(-iS). MO121
9.249 /)p[(l + l
[x действительно; — 1 < Re p < 0]. MO 122
9.251 r>.(zW(-ire^"g;(e2) ln = 0, 1, 2,...]. УВИ157
9.252 D. (ax + by) = exp ^-аУ
4
[a > b > , x > 0, у > 0, Re/?>0] [«теорема сложения»] МО 124

9.2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1081
Связь с другими функциями
П z2
9.253 Dn (z) = 2~ Ч~~ ~ьйп (~) . МО 123 и
9.254
1. D_,(*. = r /^-[l-O^] MO123
2. I)., (.) = .? /f f. f 1 - Ф Ш] - /X ," П . MO 123
9.255 Дифференциальные уравнения, приводящие к функциям параболиче-
параболического цилиндра:
u = Dv{z), f)p(-z), />_„_, fiz), Op.,(-J^
(между этими четырьмя решениями существуют линейные зависимости, см
9.248).
2 5
2
ВТФИ118A2), A3)м, МО 123
= ^ТдрB) МО123
9.26 Вырожденные гипергеометрические ряды двух переменных
9.261
PTi (a) ^6)« ™ ^
. Г> t »/ ^j (•Y)m+nm!nl »
[|х|<1]. ВТФ1225B0)
аз
2 Ф,(р, Р', Y, *, jr)« S (yvTn^"' ^^
ВТФ1225 B11м, ИП1385
3 Ф„(Р, Y- х, у)= 2 -( ) (P)r^i«t ^"- ВТФ1225B2)
m,n=0
Функции Ф1; Ф2, Ф3 удовлетворяют следующим системам дифференциальных
уравнений с частными производными:
9.262
ВТФ1235B3)

1082
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
^Ф» Р'. У, *. ?Л
d>z ,
3 > = Ф,(р, v, *, y)
dz
—
dz
ЬТФ1235 B4)
r -5-=- + V -3—3—Ь (Y — x) -5 pz = 0,
ВТФ1235 B5)
9.301
^
9.3 G-ФУПКЦИЯ МЕЙЕРА
9.30 Определение
J1 Г(Ь3-«)
-x'ds
L [\ Г A-6,+*) f] Г(о,-5)
0<и</>, полюсы Г(Ь;— s) не должны совпадать с полюсами
ГA — ah-\-s) ни при каких / и к (/= 1, .-., т, к = 1, ..., п)\. Кроме
9.301 приняты еще следующие обозначения*
Ggf(x), G(x) ВТФ 1207A)
9.302 Можно указать три различных типа путей интегрирования L в правой
части 9.301
1) Путь L идет от — со к + со так, что полюсы функций F A — ah + s)
лежат слева, а полюсы функций Г (й; — s справа от L; / = 1, 2, ..., т,
к—\, 2, ..., л Условия сходимости интеграла 9.301 имеют в этом случае
вид:
рЛ-q < 2(ти + га), |arga?| <Гяг+и—-5-i»—о"?M1 ВТФ1207B|
2) L представляет собой петлю, начинающуюся и кончающуюся в + со
и охваидвающую один раз в отрицательном направлении попюсы функций
Г {Ь} — s), / = 1,2,. , да, все иолюсы функции Г A — ah + s) должны оста-
оставаться вне этой петли. Тогда условия сходимости интеграла 9.301.
}>1 и либо р<д, либо p—q и |ж|<1. ВТФ 1207C)
3) L представляет собой петлю, начинающуюся и кончающун ся в — со
и охватывающую один раз в положительном направлении полюсы функций
ГA — «И *), & = 1, 2 п, все полюсы функции Y(b} — #), / = 1,2, , w,
долншы оставаться вне этой петли
Условия сходимости интеграла 9.301
/?>1 и либо p>q, либо /> = д ж \ж\ > 1 ВТФ1207D)

9 3 G-ФУНКЦИЯ МЕИЕРА
1083
Функция G^(x\^)— аналитическая по х; она симметрична по парамет-
[ам аг, ..., ап, а также по an+1, ..., «р; Ьх, ..., Ьт; Ьт^, ..., bq.
ВТФ1208
).ЗОЗ Если никакая пара bv / = 1, 2, ..., п, не отличается на целое число,
то при условиях либо р < q, либо р — q и (х \ < 1
Р
r(a,-bh)
...,*,..., 1 + bh- bq; ( -
";»;] *).
ВТФ I 208 E)
0.304 Если никакая пара ак, 1 = 1, 2, ..., и, не отличается на целое число,
¦ о при условиях q < р либо q— р и | ж | > 1
n m
п []' Г (ah~aj) ]] Г F3 -
2 ^L
9
..., *, ..., l+ap-ah; ( - 1\«—"аГ
ВТФ I 208 F)
9.31 Функциональные соотношения
Если один из параметров а;у = 1, 2, ..., л) совпадает с одним из
параметров 6; () = т-\-\, т-\-2, ..., q), то порядок G-функцИИ умень-
уменьшается Например,
Аналогичное соошошоние возникает в случае, когда один из пара-
параметров bj (/ = 1, 2, , т) совпадает с одним из а; (;=и-(-1, ..., р)
В этом случае на единицу уменьшается не л, а т ВТФ 1209 G)
G-функция с р > q может быть преобразована в G-функцию с р < g
с помощью соотношения:
ВТФ 1209 (9)
ВТФ1210A3)
3 xTxGm [j
*) Штрих у знака произведения озпачает пропуск сомнолсителя для у=Л.
Звездочка иод знаком функции vFq_i озвачает пропуск h го параметра.

1084
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.32 Дифференциальное уравнение для ^-функции
°r J удовлетворяет следующему зшнейному дифференциальному урав-
уравнению q го порядьа
ВТФ 1210A)
9.33 Ряды G-функций
 (
I -г
Кх
1! • ' аР
—1|<1, т>1, если яг=1 и p<q, К может быть произвольным];
Ги>1, ReA,>-y (если п—1 и р> q, то К может быть произвольным1; 1 ,
ВТФ 1213C)
СО
\п<р, Ке\>у] • ВТФ1213D)
Интегралы от G-функции см 7.8
9.34 Связь с другими специальными функциями
-Iv + i-j,,, -i^-i-vV ВТФ1219D4)
ill х
2.
3.
?° ± ^
1 1 1,1 1 1 1 "
±v,
ВТФ1219 D6)
ВТФ1219D7)

9 4 L ФУШШПЯ JHAK-РОБРРТА
1085
4.
I ).
v, -v/
СТФ[219D9)
1,1 . 1.. i .. 1 . 1 . . i. I •
2 v/
ВГФЕ 220E1)
2 У V 2
2 -J I
1.1 1 1 Г
с; _* ) =
Й
ВТФ1220E5)
ВТФ1222G4)И
ДГF3)
_^ L^.l /- 111, Ax, ....
О
9.
1 1,3 1
11 11 1
ВТФ 1215A)
ВТФ 1221 G0)
9.4 Е-ФУНКЦИЯ МАК-РОБЕРТА
9.41 Представление с помощью кратных интегралов
BUT. О,: Г. Q.^>-rFl-a1)rJla:;)l)...r(Q9-a9)X
р—q—t oo
^Л,. П 5
v=2 0
A argж| < rt, p>q+l, ат и ps ограничены условием сходимости интегралов
в правой части]. БТФ 1204C)
Таблицы интегралов

1086 8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.42 Функциональные соотношения
ар.о„ .... ов:ж) =
\, о2, ..., av.Qi, ..., Qq
ар + 1:е,+ 1, -•., QQ+i:x). ВТФ1205G)
2. {Q1-i)xE{a1 ар:о1? ...,Qq:x) =
= хЕ(а1, ..., ap:Q!—I, о2, ¦•-. 9,:*) +
••-> е, + 1:ж). ВТФ1205(9)
р:е1 + 1 Qg+i:x).
9.5 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМ AHA ?{z, q), t(z),
ФУНКЦИИ Ф (z, s, v) и 1 (в)
9.51 Определение и интегральные представления
со
9.5Н С <*.?)- гЬ) $ T=S" *: УВ п 45
Ц. УВН50
9.512 1(я, ^-Г^У^Г"
Это равенство справедливо для всех значений г, за исключением z = 1, 2, 3, ...
Предполагается, чго контур ингегрирошния (см черхеж) не проходи! через
точки 2пт (и—натуральное число).
с
См также 4.251 4 , 4.271 1., 4., 8., 4.272 9., 12., 4.294 11.
9.513
УВП46
2- ЕЩ-ср-Тя-ц L"S^ lReZ>l]. УВН46
3- ?i*) = " N | .,.1_4t+\(« 2 +г2;^У, Н^Д]. УВИ54
~-2г J(l 1-i2) a sincere tg*) p^-j-. УВИ62

9 5 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА ? (- q) ? <*) ФУНКЦИИ Ф (г, s ч) И \ (s) 1087
?(*)=
УВП62
См также 3.411 1., 3.523 1., 3.527 1,3, 4.271 8
9.52 Представлепие в виде ряда или бесконечною произведения
Л
ОО
[Rez>ll. УВН44
[Rez>0] УВИ49
3.
1 / l 1 Л 1 F
[Rez>l, JV — натуральное число].
9.522
=2? [Rez>t].
2 ?(*)¦= fr^S (-D^i
9.523
P A=l
Умножение и суммирование
производятся по всем про-
простым числам р.
УВИ55
УВИ44
УВИ46
УВН53
УВИ63
1де A(fc) = O, когда к не есть степень простого числа, и А(к) = 1пр, когда
к — степень простого числа р [Rez>l] УВИ63
9.53 Функциональные соотношения
9.531 ?( — п, q) = — (и ,П1)(л+2) [«-натуральное число или нуль].
УВИ47
69*

1088 8—9 СОЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.532 2j
*=2
УВ II59
9.533
1. luniil-^.» . 1. УВП46
2. lim|^(z, q) ~И7~ f — *~ Ф (•?)• УВИ51
3. /4tB, Q)\ =1пГ(^--11п2л УВП52
9.534
9.535
i. ?(z)»~A-r?(z, ^) rRez>ll. УВН46
2. 2TA — z)?(l — г)япу =я1"*2B). УВН57
3. 21'zT{z)t,[z)cosY = ^:U^-^- УВН49
4. г^-^Ля^^^^^^Ля^^-г). УВИ49
9.536 lim [g (z) - ^4r} = C-
9.537 Пусть z = -i- + tf; тогда S(*) = 7==—
есть четная относительно t функция, имеющая действительные коэффициенты
в разложении но степеням ?*. НО 368
9.54 Особые точки и нули
9.541
1 z=1 является единственной особой точкой функции ?(z, q) УВП46
2. Функция ^ z) имеет простые пули в точках — 2и, где и —натураль-
—натуральное число Все оетальные нули функции ? (z) легкат в полосе U < Не z < 1
3. Гипотеза Римана все нули функции ?(z), лежащие в полосе
0<Rez<l, лежат на прямой Rez=y Докачано, что на этой прямой
лежит бесчисленное множество нулей дзега функции УВ II 33
9.542 Частные значения.
2.
3. 5(-2т) =
УВ II49
[яг — натуральное число]. yg jj ,^
УВИ47
?'@)=-у1а2п. УВН52

9 5 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМЛНА ? (г, g) S (*>, ФУНКЦИИ Ф (i, s, в) И I («) 1089
9.55 Функция Ф (Z, «, v)
9.550 Определение.
z|<l, в^О, -1, .. 1. ВТФ127A)
2
n=0
Функциональные соотношения
m—\
9.551 Ф (z, s, v) = z"Hb (z, s,
[и =1,2,3,. ., и =/= 0, — 1. - 2, .]
9.552 Ф(г, *, i-) = rz
ВТФ127B)
)ф ^е2Я«о> ! _ s> I _ ^L ^ J .
Представление в виде ряда
ВТФ129 G)
9.553 Ф(г, s. o)=z-T(l-s) 2 (-
Tl5i= ОО
[0<и<1, Res<0, |arg( —
л] ВТФ128F)
9.554 Ф(г,т, ti) =
n—О
(In zf
(m—1
9.555
9.556
m = 2 3 4, . .,|lnz|<2n. u#0. -1, —2,...]. ВТФ130(9)
oo
. . m' /, i \—m—1 1 vi emj,tl(ti)(tojf
Ф(г,—т,с) = —^-[т—\ — -^ 2j r\(m-i-r+i)
[|1пг|<2я] ВТФ 130A1)
Интегральные представления
о n
[Ren >0, либо |z|< 1, z^=l, Res > 0, либо z= 1 R«»v^>l].
btu>1/J7C;
•) Штрих у знака 2 означает, что член для ч=т — 1 опущен

1090 8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Предельные соотношения
9.557 lim(l-z)i-sQ(z, s, а) = ГA-4) [Res<l]. ВТФ130A2)
9.558 Urn _i*'AL^ = 1. ВТФ13C A3)
Связь с гипергеометрической функцией
9.559 Ф(г, 1, v) = v~1tF1(l, v; l + v; z) [|z|<l]. ВТФ130A0)
9.56 Функция 1(в)
9.561 |(>) = {s(8-l) Ч7 -Ш- ВТФ III 190 A0)
9.562 l(l-s) = l(s), ВТФШ 190A1)
9.6 ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ, ЧИСЛА ЭЙЛЕРА,
ФУНКЦИИ v(ar), v(x, а), |»(л?,Р),ц (ж, Р, а), X (ж, у)
9.61 Числа Бернулли
9.610 Числа Вп, являющиеся коэффициентами ори -^- в разложении функции
называются числами Бернулли. Таким образом, функция —{—— является
производящей функцией для чисел Берпулли. Ге48E7), ФII520
9.611 Интегральные представления'
со
1. В^ь = (— I)* 4га \ f* * Ах (сравни 3.411 2. ,4.). ФII 721 и
о е -— i
2. 2»„ = (-1Г11*»$
0
3. В», = (- I)" "'ия~ \ х*п~* In A - е-*
См. также 3.523 2., 4.271 3.
Свойства и функциональные соотношения
9.612 Рекуррентная формула (символическая запись):
JS" = (B + 1)"; В° = В0=1. Ге49F0)
Для вычисления следует все степени после развертывания бинома в пралои

9 6 ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛПИ ЧИСЛА ЭЙЛЕРА 1091
части превратись в индексы, т. е.
@(" ^о==1- Ге49
9.613 Все числа Бернулли суть числа рациональные.
9.614 Всякое число Вп может быть представлено в форме
где Сп есть некоторое целое число, а сумма распространяется на все к > 0,
такие, что А; + 1 — простое число, а к являемся делителем п Геб4
9.615 Все числа Бернулли с нечетным индексом равны нулю, кроме
В, = — — , т. е. #2»*i = 0 [в—натуральное число]. Ге52, ФИ521
2п—2
fe=2
9.616 Вш = l-=g?&? №п). Ге 56 G9), Ф И 721 и
9.617 /?„ = (- I)" -|g?- ^ (сравни 9.523)
п (-W
(произведение распространяется па все простые числа р).
Связь с дзета-функцией Римана см 9.542
Связь с числами Пилера см 9.635.
Таблицу значении чисел Бернулли см. 9.71
9.618 Неравенство (символическая запись):
|(В-еГ|<|В„| [0<8<1]. 4337
9.62 Полиномы Бернулли
9.620 Полиномами Вп(х) Бернулли называют многочлены вида
Вп {х) = 2 (V) Б^п'л Ге 51 F2)
или. символически,
Ге 52 F8)
9.621 Производящая функция:
_ifL=2 Bn{x)~ сравни 1.213). Ге65(89)«
9.622 Представление в виде ряда:
i^SL 10<«<Ц. Ге71

1092
8—9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.623 Функциональные соотношения и свойства.
I Рт+\(п) = Вт+1 + (т+1) 2 ^™ Iя и т — натуральные числа]
2.
3.
4
(см также 0.121)
Ге51F5)
Ге65(90)
Гебб
Гебб
1 .G24 Вп (тх) = mn 1
9.625 Разности
TJ") [«теорема умножения»].
Ге 67
при и нечетном на отрезке [0, 1] обращаются в нуль только в точках
О, -g-, 1, причем в точке х — -х- они меняют знак При п четном эти раз-
разности обращаются в нуль на концах отрезка [0, 11, а внутри этого отрезка
сохраняют знак, принимая наибольшее по абсолютной ьеличине значение
в точке а; = ^
9.626 В промежутке @, 11 полиномы
Вгп(х)-В2п и Bin^x)-Bin^
имеют противоположные знаки. Ге87
9.627 Частные случаи:
2. Въ{х) = хг-х + ~.
3. В3(х) = х3-^х*+
4 Bt(x) = x*
5 Вь(х) = х6^
9.628 Частные значения:
1. Вп(О^Вп
2. Вп 1)-=(-
Ге70
Ге76
9.63 Числа Эйлера
9.630 Числа Еп, являющиеся коэффициентами при —j- в разложении
функции
*п
cht
назъгеаются числами Эйлера. Таким образом, функция — является произ-
производящей функцией для чисел Эйлера.
Ч 330

9,7 ПОСТОЯННЫЕ 1093
9.631 Рекуррентная формула (символическая запись):
1)" = 0, .Ео=1. 4329
Свойства чисел Эйлера
9.632 Числа Эйлера суть целые числа.
9.633 Числа Эйлера с нечетным индексом равны нулю, знаки же двух
соседних чисел с четными индексами противоположны, т. е.
Я**» = 0, ?4»>0, Я4п.2<0. 4 329
9.634 Если а, Р, у, являются делителями числа п—т, то разность
Ет —Егт делится на те из чисел 2a-fl, 2Э+1> 2у+1, ••-, которые
являются простыми числами.
9.635 Связь с числами Берпулли (символическая запись):
(*51)nDg3)n . 4330
)g Ч341
Таблицу значений чисел Эйлера см. 9.72.
9.64 Функции v (ас), v (ас, о), ц (ас, 0), ц (ас, 0, о), X (ас, у)
9.640
1. *(*)=?-ТОЛП ВТФIII 217A)
ВТФШ217A)
ВТФШ217B)
ВТФ ш 217 B^
МХд9
9.7 ПОСТОЯННЫЕ
9.71 Числа Бернуллн
*0-1, Ч„- 30'
, _ _ 1 R _ J_
'» ~ 2 ' 6~~ 42 '
, _1 в L
з2 - 6 . -"в — 30 '

1094 8—9 СШЩИАЛЬНЫГ ФУНКЦИИ
„ _ _5_ _ 236 364ОЭ1
10 ~~ 66 ' «•"~ 27Э0
н _ 6Ш R ..._ 8553103
° 26 b '
27.Ю '
7 23 749 4Ы 029
"Ь"' -«28=-- 870
3617 8 615 841 27Ь 00о
18 ~~
_
510 , ^зо—
43867 _ 7 709 321041217
798 ' "« 510
174 611 „ 2 577 867 858 367
и — 854513
22 ~ 138 '
9.72 Числа Эйлера
Fo = 1, Elt = 2 702 765,
Я, = — 1. ?14 = -199 ЗЬО 981,
?6= -Ы, ?„= -2404879 675441,
^„ = 370371188237
Числа Бернулли и Эйлера с нечетными индексами (исключая /?х) равны
нулю
9.73 Постоянные Эйлера и Кат а лапа
Постоянная Эйлера
С = 0,577 215 664 901 532 5 ...
Постоянная Каталаиа
<? = 0,915 965 594...

предметный указатель специальных функций
и их обозначение
Обозначение
am [и, к)
К
Ч (х. У)
В* (р, д)
р»
bei (z), Ъег (г)
С
С(х)
Сп{1)
Су(х)
cejn (z, ?), ce2n+1 (z, q)
Сегл(г, ?), Сегп+1(г, ?)
chi (ж)
ci (ж)
сп (и)
х/ i«/ = f
-О(Ф, А)
Dn(z), Dp (a)
dnu
е (ф! л)
Е(к) = Е \
3&(к')=Ъ*г )
Е (р, ат: д, qs: x)
Ei(z)
Erfc(a:)=l — Ф(х)
Ни)
F («p, i)
2Fl(a, p\ Y"> z) = ^'(o, P; Y- z)
Л (°> V. z) = Ф (tt, Y. z)
Наименование функции и номер формул,
где дается ее определение
Амплитуда эллиптическая
Числа Вернул ли
Полиномы Пррнулли
Бэта функция
Неполная бэта-функция
Функции Томсона
Постоянная Эйлера
Косинус-интеграл Френеля
Многочлены Гегенбауэра
Функция Гегепбауэра
Периодические функции Матье
(функции Матъе 1-го рода)
Присоединенные (модифицирован-
(модифицированные) функции Матье 1-го рода
Гиперболический интегральный
косинус
Иптегральный косинус
Эллиптический косинус
Функции параболического ци-
цилиндра
Дельта амплитуды
Числа Эйлера
Эллиптический иптеграл 2-го рода
Полный эллиптический интеграл
2 го рода
Функция Мак-Роберта
Функция Вебера
Интегральней показательная
функция
См интеграл вероятности
Дзета функция Веиерштрасса
Длега-функции Римана
Эллиптический интеграл 1-го рода
Обобщенный гипергеомегрическии
рнд
Гипергрометрическаи функция
Гаусса
Вырожденная гипергеометриче-
гипергеометрическая функция
8.141
9.61, 9.71
9.620
8.38
8.39
в!56
9.73, 8.367
8.25
8.93
8.932 1
8.61
8.63 -
8.22
8.23
8.14
о ft?
0.11м
8.111
9.24—9.25
8.14
8.162
9.63, 9.72
8.11—8.12
8.11—8.12
9.4
8.58
Я 21
8.25
8.17
9.51—9.54
8.11—S. 12
9.14
g |Q q jo
9.21

1096 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ* ОБОЗНАЧЕНИЕ
Продо лженне
Обозначение
FA(a; рх, ...,§„, Yi. •••
• ¦ •. Yn. zi. • ¦ •. *п)
/\, ^2, P3, P*
!en (z, q), Fen (z, 9) ... ]
Fey,, B, g), Fekn (z, ?) ... J
G
gAx
ge« (z, ?), Ge,, C, ?) 1
Geyn C, q), Gekn (z. <?) f
Г (a)
Y (а, ж), Г (в, х)
<v'«r(*|?!''.'.','6P|)
heiv (г) herv (z)
Я!,1' (z) ffo2' (z)
Я («) = <h (^-)
Яп(г)
HvC)
/vC)
/x (P. ?)
JvC)
kei (г), ker (z)
?.(*)
я (ж, г/)
ц («. Р)
V (х)
V (г, а)
S?(m)
P*(z), Р*(х)
Pv (^). Pn И
их Ь с \
Р\а Pyz[
1а' Р' Y' J
Наименование функции и номер формул.
где дается ее определение
Гипергеометрическая функции
нескольких перометшх
Гипергоометрические функции
двух переменных
Вторые непериодические решения
уравнения Матье
Постоянная Катаяапа
Инварианты р (и)-функции
Гудерманиап
Вторые непериодические решения
уравнения Матье
Гамма-функция
Неполная гамма-функция
Функция Мейера
Функции Томсона
Функции Ганкелн 1-го и 2-го рода
Полиномы Эрмита
Функции Струве
Функции Бесселя от мнимого
аргумента
Неполная бэта-функция
Функция Бесселн
Функция Ангера
Полный эллиптический интеграл
1-го рода
Цилипдричсские функции мни-
мнимого аргумента
Функции Томсона
Функция Лоблчевского
Функция Струве
Полиномы Лагерра
Интегральный логарифм
Функции Уиттекера
Функции Неймана
Полиномы Неймана
Эллиптическая функция Вейер-
штрасса
Шаровыо функции 1-го рода
Функции и полиномы Лежандра
Дифференциальное уравнение Ри-
мана (схема)
9.19
9.18
8.64
8.663
9.73
8.161
1.49
8.64
8.663
8.31—8.33
8.35
9.3
8.56
8.473, 8.531
8.473
8.405, 8.42
8.192
8.192
8.95
8.55
8.4%, 8 43
8.39
8.402, 8.41
8.58
8.11—8.12
8.407, 8.43
8.56
8.26
8.55
8.97
8.24
9.640
9.22,9.23
9.640
8.403, 8.41
9.640
9.640
8.59
8.16
8.7, 8.8
8.82, 8.83, 8.91
9.160

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЕ 1097
Продолжение
Обозначение
/**¦»<«)
П (q>, п, к)
Ф(х)
Ф (z, s, о)
Ф(а, y. x)=iFl(a, у;
Ф^а, р*, y> ж> 2/), Фг(Р' Р'>
Фз(Р. Y. х, у)
V(а, с; х)
<#(*), 0$И
iS(a:)
¦^п С1)
s v W> ^u v W
3e i'(z q) se' 2 (з
Sean+iC^. 9). Se2n*2C,
shi (x)
si (a:)
su u
a (u)
в (и), 0i (и)
я , , A f Я" Л
A /fi 1 т\
O3 @ | T)
Uv (w, z), Vv (w, z)
WK (z)
Y. *. »).
9)
|
1
Наименование фупкции и помер формул,
где дается ее определение
Полиномы Якоби
Угол параллельности Лобачев-
Лобачевского
Эллиптический интеграл 3-го рода
Интеграл вероятности
¦
Вырожденные гипергеометриче-
гипергеометрические ряды двух переменных
Пси-функция Эйлера
Вырожденная гипергеометриче-
гипергеометрическая функция
Шаровые функции второго рода
Присоединенные функции Ле-
жандра 2-го рода
Синус-интеграл Френели
Полиномы Шлефли
Фупкции Ломмеля
Периодические фупкции Матье
Функции Матье от мнимого аргу-
аргумента
Гиперболический интегральный
синус
Интегральный синус
Эллиптический синус
Сигма-фупкцин Вейерштрасса
Полиномы Чебышова 1-го рода
Тэта-функция Якоби
Эллиптические тэта-функции
Полиномы Чебышева 2-го рода
Функции Ломмеля двух перемен-
переменных
Функция Уиттекера
Цилиндрические функции
8.96
1.48
8.11
8.25
9.55
9.21
9.26
8.36
9.21
8.7, 8.8
8.82, 8.83
8.25
8.59
8.57
8.61
8.63
8.22
8.23
8.14
8.17
8 94
8.191—8.196
8.192
8.192
8.18, 8.19
8.94
8.57
9.22, 9.23
8.401

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Буква к (когда она не служит индексом сум
мирования) означает число лежащее на отрезю
[О 1J Этим обозначением пользуются в интегралах
сводящихся к эллиптическим При втом число
i/l — к2 обозначают через к'
Рациональная функция
Действительная и мнимая части комплексного
числа z—x-\-iy
R(x)
z = x—
argz
Sign;
Im г = у
1У
¦с
Комплексное чис ю сопряженное с
Аргумент комплексного числа z = r-\-iy
Знак действительного числа х, signar=-|-^
при ж>0, Slgna;=—1 при х<^0
? (х) Целая часть действительного числа х
(Ь4 ь—) Контурные интегралы, путь интегрирования
Г I исходя из точки а, приближается к точке Ь (по
J j прямой, если нет противоположных указаний)
в а обходит но небольшому кругу в положительной
(отрицательном) направлении точку Ь и возвра
щается в точку а, пройди первоначальный путь
в противоположном направлении
S Криволинейный интеграл, шитый вдоль кри
вой С.
С
л' =1 2-3... в, 0! =1.
Bп+1)Н =1-3.,
=um-\-umtl-\-...-\-un. Если n<m, то полагают
V' V' Суммы, распространенные на все дслочислен
„ ' ^„ ные значения « или, соответственно, тип, исклю
чан в = 0 или, соответственно, m=e=fl.
О (/(г)) Порядок функции /(z). Пусть точка г при
блинмется к z0 Если oj ществует М > 0, такое
что в некоторой достаточно иалой окрестности
точки z0 имрс! место неравенство! g (z) | ^M | /(г) |,
то пишут g(:)=Otf(z)).

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ, НА КОТОРУЮ ИМЕЮТСЯ ССЫЛКИ*)
A —Adams E., Sniitsonian mathematical formulae, Washington, 1922.
AK — Ар pel P., Kampe J. de Feriet, Fonctions hypergeomctriques et hypers-
feriques, Polinomes d'Hermite, Paris, 1926
Б — Bertraad J., Traite de calcul diffeientiel et de caJcul integral, v. 2,
Calcul integral, Integrales definies et indefinies Paris, Gauthier-Villars,
1870
Брм —В г о m w ) ch, T. J., T'a, An introduction to the theory of infinite' series.
London, Mac Millan &, Go, 1908.
БРгб —То же, изд. 2-е, 1926.
Бу — Buchholz, Herbert, Die eonflnente bypergeometriscbe Funktion mit
besonderer Beriicksichtigung ihrer Anwendungen, Berlin—Gottingen— Heidel-
Heidelberg, 1953.
БФ — Byrd P. F. and Friedman M. D., Handbook of elliptic integrals for
engineers and physicists, Berlin — Gottingen — Heidolberg, 1954.
БХ Bierens de Haan D., Nouvelles tables d'integiales definies, Amsterdam,
1867.
В — Ватсон Г. Н., Теории бесседевых функций. Перев. с англ., ч. 1, М.,
ИЛ 1949.
ВТФ I — Highur transcendental function, v. I, McGraw-Hill Book Company. Ine , 1953.
ВТФ II — To же, v. II.
ВТФ III —To жр, v Ш.
Га —Gauss K. F., Werke, Bd 111, Gottingen, 1876.
Ге— Гельфонд Л. О., Исчисление конечных разностей, ч. 1, М.^-Л., ОНТИ,
1936.
ГК I — Сборник задач по высшей математике под ред. Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузь-
Кузьмина, т. I, M. —Л., Гостехиздат, 1947.
ГК Н — То же, т. II.
ГК Ш —То же, т. Ш.
Гу I, — Гурса Э., Курс математического анализа, перев. с франц., т. 1, ч. 1, М.,
ГТТИ, 1933.
ГХ 1— Grobner W., Но treiter M., Hof rei ter N., L a u b, J., Peschl Ё.,
Integraltafel, Teil 1, Unbestimmte Integrale, Braunschweig, 1944.
ГХ—Grobner W., Hofreiter N., fntegraltafel. Teil II, Bestimmte Integrale.
Wien uud Innsbruck, Springer-Verlag, 1958
Дж — Теория следящих систем, ред. X. Джеймс, Н. Никольс, Р. Филлипс,
М., ИЛ. 1953.
Д—Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы,
М , ИЛ, 1948.
Ж—Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функциям, М.—Л.,
Изд. АН СССР. 1941.
/Кл —Jolley L., Summation of Series, London, Chapman and Hall LTD, 1925.
Ш1 I — Tables of integral transform1;, v. I, McGraw-Hill Book Company, Inc. 1954.
till II —To же, v. U.
КГ — Кур ант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, перев.
с вем., т. I, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
Кр—Кречмар В. А., Задачник по алгебре, йзд. 2-е, М.—Л., Гостехиздат,
1950.
Ку_Кузьмии Р. О., Бесселевы функции, М. — Л., ОНТИ, 1935.
*) После шифра, указывающего книгу, в библиографических ссылках стоят числа.
Числа, не заключенные яя в какие скобки, означают страницы; числа в круглых
скобках — номера формул, цифры в квадратпых скобках—номера таблиц.

1100 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ, Н\ КОТОРУЮ ИМЕЮТСЯ ССЫЛКИ
Ла — I ачка W , Sanmiluiio; voi) Foimeln der remen und angewandten Malhematik
BidiiiiscliwLig, rnuditLh \iewi,; und Sohn, ЖЬЯ
Ле—Lugundie, 1 xercices cakul intcgial, Pans, 1Ы1
Ли — I. in (I man С I 1 xanicn des Nouvelles tables d'mtegrales definies di
M Iiicien= de Haan Anistcidani 1&07 Kongl Svenska Vetenskaps— Akade
mien'' Handlingai 24 Ni 5, Stockholm, 1891
Ло I—Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. I, М.—Л., Гостех-
иадат, 1946
Ло III —То же, т Ш, 1951
Ло V—То же т V )
М—Ыак-Лахлаи Н., Теория и приложения функций Матье, М, ИЛ, 1953.
МО—Magnus W und Oberhettinger К, Formeln und Sntze fur die speziel
len Funkiumen der mathematischen Phjsik, Springer Veilag Berlin — Gottm
gen -Ileidelbeig, 1948
МфК—Meyei Zur Gape lien lntegiallafeln, Sammlung unbestnnmter Integrate
elementarei FunkUonen Berlin -Goltmgen - Heidelberg, 1950
MX—McLachlan N W et H u m b e r t P , Formulaiie pour le calcul 4ymboliqu<
(mem >'ial de« sciences mathematiques, Publ sous le patronage de l'Acad dc
scn,ncos de Paris, des acad de Belgrade Bruxelles, Bucaiest Dir Heiin
Villal Fasc 100, 1950)
МХд—M cLachlanN W, Humbert? et Poll L, Supplement au formulatre
pour le calcul simbolique hasc 113, Pans, 1950
НГ —Nielsen N., Handbuch der Гпеопе der Gammafunktion, Leipzig, Teubnei,
1906
НИ—Nielsen N., Iheorie des lntcgrallogantmus uad verwandtei Transcen
denten, Leipzig, Teubner 1906
Ha—Натансон И. П.,Конструктивная теория функций, М. —Л., Гостехиздат
1949
Но— Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, Пособш
дли учителей, изд 3 е, М —Л , Учпедгиз, 1950
П—Р е 1 г с е В О A short table of integrals, Third edition, Boston, Gum and Co ,
1929
Си—С и коре кий Ю. С, Элементы теории эллиптических функций с прилоясе
ниями к механике, М — Л , ОНТИ, 1936. 2
СнШ — Смирнов В И, Курс высшей математики, т. III, ч. 2, изд. 4-е, М.—Л.,
Гостехиадат, 1949
Ст—С грртт М Д , Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и тех-
технике перев с нем , Харьков—Киев, ГНТУ, 1935
Т —Тимофеен А Ф Ишегрирование функции ч. 1, М.—Л., ГТТИ, 1933.
УВ I—Уиттекер Е Т. иВатсонГ Н., Курс современного анализа, перев.
с англ ч 1, М —Л. ГТТИ, 1933.
УВ II —То же, ч П, 19М
Ф1 — Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчис-
исчисления, т 1 М —Л., Гостехшдат, 1947
Ф II—То же, т. II, 1948
Ф III — То же, т Ш 1949
Ч—Чечаро Э Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых, ч 1 Л —М ОНТИ, 193ь
X —Hob-onE W, The Lheory of spherical and elipsoidal harmonics, Cambridge,
University Press, 1931.
Э—Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, перев. слатииск.,М.—Л.,
ОИТИ, 1436.
ЭД—Эфрос А М. и Данилевский А М., Операционное исчисление и кон-
контурные интегралы, Харьков, I НТИУ, 1937
ЯЭ—Янке Ь. и Эмде Ф , Таблицы функций с формулами и кривыми, перец,
с нем., М. — Л., Гостехиздат, 1948.

СПИСОК ИСПРАВЛЕНИИ
¦ «1«>1>яул;|
стр. I ii.ui !
j
Напечатано
Слелуст читан.
I Г. 0.121!
i
1 2Г.
¦an
40
40
40
:a
' mi
SI
52
52
52
53
53
53
53
0.131
0.2432
0.202 :t
1.2162
1.361 :•.
1,3712
1.413 1
1.414 2
1.421»
1.434
1.442 4
1.443 1
1.4431
1.4432
1.4432
1.444 Г.
1.444 6
: A, = 19/SO
[я + (Л_1), + г_1]
oo
- 2
¦r-I
( n 4- 1 V 2i/ т
. 2»
CO
i OO
s
8
«=. JL jo < г < я]
2П
2(-1)*('?)в»»-*р*
IE—0 V ' ¦
-2n+l ^( ^ ^*n+l^
IJH-i-i)! fcJ \ к / " "
* ' 2 Bn + 1)!
aa
2
eo
2
At - 19/120
[j
1Г . f , »+l 1 -v—1'
в лх — п 2
, * V '
г я Zj t(x — k)
1
an „ ,
2 1 Г ) B2n-*P*
D I 1
»n^ 2 /
={_j)«-lj2n V 1 I ¦ • •
1 BяJ"*1
= (-1)"^ — Bn + 1I •: •
ОЭ
2
2

1U>2
СПИСОК ИСПРАВЛЕНИИ
Стр
:*
5G
74
76
99
99
99
100
149
11м
171
171
173
173
183
290
30i
310
ЗА)
3J6
3J6
329
Формула
или
14631
1.4632
2.122 1
С сверчу
2.268
2.269 4
2.269 5
2.271 6
2.5192
2.557 2
2.5811
2.5811
2.58311
2.583 1Г>
2.5868
3.194 5
3.241 2
3.313
3.3533
3.3553
3.3554
3.3611
Напечатано
со
2
1Г-0
ю
2
1=1
/—
а = 1/ я/Ь
B» + 2т-2)
2 [ 1 ^> 8,'х\ 1
3 у Ьх ¦ 6* 6» j Ybx-rcx*
_ ' 1 2Ьс , е(ЗЬ* — Час)х\ 1
у ах аД 0-Д J У Н
/П-1Д
1 * /
/oj _ j\ #2/ 2)
f sin x dx
iacosx + bsiax
ax — 6 In sin (x + arctg -fL 1
aM **
[m + n—2(и» + г — l>jfc»jy
»k' sin* x—?l» («It»—1) sin» t—ulf-Mlr'-l-s
, к cos x Д
^fc'Vlisinx)
Iarg(l-u3)i
[Rcv>Rc|i>0]
[0<Rc|i<n]
CO
0
= pe±op Ei (:f op) ± — [я >°l
•
Следует читать
во
2
«HI
<ю
2
Г dx
4
а = 1/ я/А
(>я+т-2)
2^ 1 , 4с 8Лг, 1
~ 3 [ Ьх + 6* + Ь» J /Ьа;-|- еж»
_/ 1 Ь<10яс—ЗЬ1) с<Час—ЧЬ'ХжЧ 1
In — Г,
?1 1){2i 3)
С sin х di
J a sin x -t- Ь cos x ~
ex — 6 In sin f x + arctg — 1
a»+ 6»
[m + »-2+(m + f-i)t«]X
•
15A» ^(x> *> +
—4lr*sin«x — *• lilt»—1> s!n« x—isk«+1*»+3
ft COS X Д
~" J- i'i(l-j-fcsmx)
|arg(l+«3)|
[Rev>Re|i>0]
@<Rc|i<n, n — нечетное]
в
формула неверна
формула неверна
О

СПИСОК ИСПРАВЛЕНИЙ
1103
Стр.
Формула
или
строка
Напечатано
Следует читать
333
335
339
344
344
353
354
35G
361
370
370
378
380
:>—7
снизу
3.3871
3.411 6
1 сверху
3 снсрху
3.4691
3.471 12
3.4781
3.5211
3.5414
3.5418
31557 5
3.6133
Не v>0
r(v),fiC; v; ц)
1
|R»H>0,. . .
1
= Т
= -1ц~ "I
я*
2а*
^ =3(ц/2)-1
re ch
ch* — cos*.
2an+l
381
3.6134
я
W>\\
W
385
398
409
409
42В
429
3.6246
3.66151
3.6918
3.6919
3.7422
3.7426
T
[а»>11
~«
второй вариант ответ
неверен
Rev>0
.. v, |lf
1
Т
[п>2, . . .
S S
= 4-* v rD-\
добавить: [0<а<2]
dx
cos
-I 2
"в
.!»=«>]
О |п=0]
• 1 _e*
= 0]
я|а|
I
формула неверна
.формула неверна
[0<-*<a|

11A4
СПИСОК ИСПР4 ПЛЕНИЛ
Crp
4311
430
438
439
<Ш
472
4U4
494
494
4!l4
509
537
537
537
537
538
538
541
5C8
580
591
592
592
613
619
648
654
655
655
657
657
Форч\.и
n in
3.7-4.-) 1
3.745 2
3.7GB 4
3.7Й8 13
3.71.8 14
3.830 Г)
3.897 1
3.897 2
3.8*18 1
3.898 3
3.952 7
4.212 3
4.212 5
4.2128
4.212 8
4.2136
4.2138
4.224 13
4.285
4.3111
4.355 2
4.358 2
4.3583
4.4252
4.4411
5.53
6.2142
0.2162
6.2241
6.2441
6.2442
Напечатано
t
V A — и)' соя (ax)dx =
о
sin (ax)
соь (ах)
|Re3>0. fr>0|
|Rc3>0. 6>0]
[а > 0. b > 0, Re ,4 > 0|
,л '_ 1.1. gj
V
a-
[a>0|
2*fc!
Ip>0, ?>0)
+ 1Ы (v) - s injiK (i. v -1) — s; C, v - «)
la>0, 6>0]
+ ?.\n[p*+<ft
lP>0)
l°<P<i]
-1
?r .. я! xrfx _
• 1
oo
\ Ы Q»x) + Л] *** ¦ =
0
Осяует читать
формула неверна
формула певерна
1
C(l —x)vcos(rtr)d* =
0
sin (lax)
cos Bni)
формула певерна
[R<-3>0]
[ПеЗ>0|
|Re3>0]
формула неверна
формула неверна
в""
[a > 0, n — нечетное]
формула неверна
формула неверна
2№{k<f
1р>о.я<о]
фориула неверна
?B, v)
+ а; в, v) г* <») - in m - к о. «I
[я>0, Ь>0]
?-1п(р* + <г»)
С[...12р(ахK,Ох)Л
|0<р<1]
[°<?<М
0
oo
Csi(pJ) *d*~ =
в

СПИСОК ИСПРАП.1КНПЯ
1105
Стр
674
67 i
Г87
09.5
693
730
736
736
744
744
744
747
753
753
783
847
847
851
852
857
863
918
918
Формула
li.ui
гт|<ика
Г.. 423 3
Г,. 4231
Г.. 522 7
6.539 1
С. 330 2
6.С46 3
6.047 3
6.648
6.671 1
6.671 г
й 1571 2
U Л9 116
6.6728
6.68113
6.682 1
6.7642
7.3432
7.3432
7.3744
7.3763
7.3932
7.5129
9 сверху
15сверху
Напечатано
. =enIjl(e-1, м. в)
1
(a-гЗеЛ
[Re />> —1]
а» sin v-1
=(-DM~
» 2
^ , (xsint) sin t dt
°v т
я
УТь * г (\ + —\
[го ф п или m = п = 0|
[« = вфО1
ir*In-rr(:T1)r(ll+-JN
1
A-3)»
A + п**)
ФII 97—106
Следует читать
-Пт + ОМ.-го)
= Г(т+ 1)еП1|1(е~*, го, п)
_ i
6~* A + 4о*6~*) •
добавить: (между а и ft lie должно
быть аулей функции •/„(*)]
добавить' (между а н 6 не должно
быть нулей функции .Vv(.c)|
формула неверна
/a+3«x\v
[Hcv> —2]
|Rev> —1]
-a'sin^
2y eft
= (-i)m5
7 -+T
\J l (a:sin/)sid ( Л
0 2
_i/ZeT~"r(v+TJ
к 2 p A y _i_ ^ I
[wt ^тр /l|
= /35.
rBn+v+.l)
A_г)-' N
A — ПЖ1)
БФ A10.04)

1106
список испрмшкнип
Стр
<НЗ
919
919
919
920
923
923
9i4
934
3
945
950
950
951
952
9S3
957
958
959
961
962
964
966
973
973
Формула
И.1И
8.1102
8.1114
8.1114
8.1114
8 117 2
8.1291
8.129.1
8.130 8
8.174
8.232 2
8.254
8.3261
3.3262
8.332 4
8.3385
8.3422
8.3622
8.3636
.! сверху
8.3722
8.3751
3.383
8.4062
8.432 6
8.440
С
•О
•
В{
Напечатано
г я iin-<f) У 1 — к* sin*<p
A г и sin*a)
A -t-л**)
Си 13
о
... фуиицвп пр...
-1п(т)
?О
2
им»
Г (г)
В(х ч/. х — iy)~
Г (У)
So —'/Я
оо
П
ii=i
<1 — 5(-« LW
Г 1 ,пГ. , 1 )
[z+k V ' , + *у
' In 9
9.?38
J sin лх
| .,,. = 1,2,3,...]
оо
х у) _ ТТ tx у ф л _ j
*=о
ОО
J
—00
ФШ0Г>
й)
]
•> 1
С
K'^sin
..фупкцпп
ной) не...
г 1
•
[.... Р
00
-П
•
Следует читать
;)У 1 —i'sin»*
A — R SID* 3)
(!-"*=)
БФ A10О4)
= /2
(отличная от постопн-
Ш)
п—1
S
1=0
1Г(*I!
) Л (х + tij, х — iy)
Т(х)
chZyx
и
п
11=1
Ц2п+А)
. / j , х 1 ^
fc [ x + kj\
In 29
9.J37
_jt__ , jnj ,
J .sin лх
= 1, 2. 3 9— 1|
-1) B(x + 1, v+ 1) =
[х,уф-1. -2,...]
oo
s
0

список исправлении
1Ю7
СТР
!174
974
•>74
975
981 .
987
987
987
987
987
988
990
1019
1022
1024
1024
1027
1029
1029
1029
1030
1033
или
строьа
8.1412
8.442 1
8 444 2
8.44»
8.4U7
8.5113
8.5114
8.512 1
8.512 2
8.512 Л
8.513 2
8.521 4
8.732 2
8.7513
8.772 3
8.7731
8.792
8.С12
Зсншу
2 ситу
8.8202
8.3313
Напечатано
ж*
Г(ц , А- + 1)
!„?:
п
|^Г %^ ( *) (" ")• _L
L к~ А' (п~ А)!(±:)*
+ 22
со
= 1 + 22
к-г
ОО
+22
" (т)"
(")
( 1 +
1 ?Bк1я + г)* + ж2 -)" V2
.j- (v ~(- ц) :Q'^ . (г)
/z + 1\-
1 2 )
ц 4-3/2
оэ '
1 2
(«-» +1)
COS 1*1 — »lj) =
COS (*! — »»)
v+3
2
Следует читать
г«
Г(ц + * + 1)к!
добавить:
к-1
Гпрн Лг == 1 полагать 5! -i_ = I
L "* J
»- Щ:=1
п к
I lS A!(n-fc)!(i)*
ОО
+ 22
ОО
= Л(г)+2 2
А—1
ОО
+ 22
1=1
= [4 Г [»-*.2...-i
(-)
f 1
+7v+ii)Q^^!
SB
I - /
* v+3/2
oo
2
.(n-m-i)
cosd) =
cosmd
' V + T
2

U08
СПИСОК ИСПРАВЛЕНИЕ
Сгр
10 5Л
10 5Г.
10W
1037
1039
10.59
1052
1012
1042
1042
1043
1043
1040
1047
10Г.2
ю-.!;
1006
1073
1078
1080
10-51
10S7
1090
1091
1093
1093
1093
1094
или
Стрпк.1
«81*1
8.8i'i 2
8.844 3
8.852 2
8.9111
8.911 4
8.923
8.9241
8.924 3
8.924 4
8.928 1
8.9282
8.940 2
8.951
8.974 4
16 сверху
Л сверху
10 сверху
9.240
9.2462
9.254 2
9.521 2
9.612
9.621
9.6351
9.6352
9.6353
9.71
Напечатано
созтф
cosmf
созтф
2-т
= M^TF"
2n-l
со
л ^
(9002.1)
ао
к-1
_ » у...
.,n-,W+l <?J
к 0
4К
л*
л-
sinx
¦/2"
^»-т (*>
8.840
7.7166
1 /'(Р + 1)О' + 2)(/> + 3)(р + 4) ,
= e
|Rcz>Oj
fie = »„ = 1
J"
> Vi =
{B—l/4)*n+1 =
ft|j_2 577867 858367
e
1
Следует читать
COS &ф
cos tap
cos к^р
A—Silt
_ Bn)!
2n(n!)*
. 2n
OO
Itl ,Я fi
(90E0 1)
к (n a)
-» s
OO
я ^ *
= 4K(sinO) _
Л*
4B(sinO)
Л»
sin (arccos x)
2"
i» m („)
8.820
7.7256
фраза «для функции
\Vp q(z) 9.239.» не нужна.
i p i
4 2 * 4
2-4г» +
[Re л <0. 0< ?<1]
B»=/?0 = l [n=jfcl]
,n-l
Bn.j + 4 (_l)»C«-i- 1) ft =.
добавить: [n > 2]
(B — 1/4)*B+1 — (Я + l/4J4+1 —
Pj _ 2 577 687 858 367
6