/
Автор: Бёрд Г.
Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа физика математическая физика динамика монография молекулярная физика кинетика
Год: 1981
Текст
Г БЁРД
МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ГАЗОВАЯ
ДИНАМИКА
THE OXFORD ENGINEERING SCIENCE SERIES
Семга/ Editors
L. C. Woods, W. H. Wlttrlck, A. L. Cullen
MOLECULAR
GAS DYNAMICS
by
G. A. BIRD
Lawrence Hargrave Professor
of Aeronautical Engineering
University of Sydney
Ofarendon Press • Oxford 1976
МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ГАЗОВАЯ
ДИНАМИКА
Перевод с английского
А. И. ЕРОФЕЕВА,
О. Г. ФРИДЛЕНДЕРА
и
В. Е. ЯНИЦКОГО
под редакцией
О. М. БЕЛОЦЕРКОВСКОГО
и
М. Н. КОГАНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1991
УДК 532. 5
Монография известного австралийского ученого проф. Сид-
нейского университета Г. Бёрда, посвященная изложению метода
Монте-Карло для решения нелинейных задач кинетической теории
газов. Рассмотрены задачи как для простого газа^ так и для
смеси химически реагирующих и многоатомных газов. Даны при-
меры конкретных программ для ЭВМ.
Предназначена математикам-прикладникам, механикам, фи-
зикам, занимающимся решением кинетических задач, аспирантам
и студентам университетов. '
Редакция литературы по математическим наукам
1АП1АЯ БИЫЯ9ТВКА
j им. Горькое»
I МГУ
jwo-
Г ' .
1703040000 © Oxford University Press, 1976, 1979
к 20303-038 3g „. © Перевод на русский язык, с дополнениями, ’
041 (01)-8106 61,4,1 «Мир», 1981
ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Основы молекулярно-кинетической теории были заложены
Максвеллом и Больцманом более ста лет тому назад. За истек-
шее столетие достигнуты значительные успехи в обосновании и
понимании*Уравнения Больцмана и кинетических уравнений для
более сложных сред. Развита теория решения кинетических
уравнений при малых и больших числах Кнудсена. Кинетиче-
ская теория газов дала мощный аппарат построения макроско-
пических уравнений газодинамики различных приближений
(Эйлера, Навье — Стокса, Барнетта и т. д.). Этот аппарат поз-
воляет на основе молекулярных моделей рассчитать коэффи-
циенты переноса, а также сформулировать необходимые гра-
ничные условия.
Предложен ряд удачных модельных уравнений, во многих
случаях удовлетворительно заменяющих уравнение Больцмана
и позволяющих облегчить получение практических результатов.
Изящными и плодотворными оказались методы решения линей-
ных задач, особенно для модельных уравнений. Однако даже
линейные задачи для модельных уравнений удается решить ана-
литически лишь для простейших, главным образом одномерных,
задач.
. В то же время потребности практики (авиационно-космиче-
ской и вакуумной техники, химической технологии и т. п.) тре-
буют решения все более сложных пространственных’ и в общем
случае неустановившихся задач при произвольных числах Кнуд-
сена для смесей газов при наличии химических реакций и воз-
буждении внутренних степеней свободы. Ввиду сложности ки-
нетического уравнения Больцмана решение подобных задач
стало реальным только с появлением мощных вычислительных
машин. На основе их использования развит целый ряд методов
решения как полных, так и модельных кинетических уравнений.
Одним из наиболее эффективных оказался метод статистиче-
ских испытаний, или метод Монте-Карло.
Предлагаемая в русском переводе книга профессора Сид-
нейского университета Г. Бёрда посвящена изложению метода
Монте-Карло для решения нелинейных задач кинетической тео-
рии газов. Автору книги принадлежит один из вариантов этого
метода, носящий его имя. В работах Бёрда продемонстрирована
эффективность метода для решения широкого круга практиче-
ски важных задач.
6 ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Отличительной особенностью настоящей книги является то,
что изложение метода доведено в ней до описания программ
счета. В книге рассмотрены задачи как для простого газа, так
и для смеси химически реагирующих и многоатомных газов.
В первых главах автор приводит необходимые сведения из ки-
нетической теории, позволяющие читателю, интересующемуся
прикладными вопросами, приступить к изучению метода без
предварительного изучения других книг.
Обычно к уравнению Больцмана обращаются при решении
задач о течениях газа д свободномолекулярной и промежуточ-
ных областях, т. е. вне области применимости классической га-
зодинамики. Автор рассматривает предложенный им метод бо-
лее широко, считая его эффективным средством для решения
любых задач газодинамики, вплоть до невязких течений сплош-
ной среды. Эту точку зрения автор подчеркивает выбором на-
звания книги — «Молекулярная газовая динамика».
Метод статистических испытаний трактуется в книге не как
метод решения уравнения Больцмана, а скорее как метод мо-
делирования процессов перелета и столкновений молекул, ве-
дущий к уравнению Больцмана.
Опыт применения различных вариантов метода Монте-Кар-
ло указывает на удовлетворительное совпадение его результа-
тов с экспериментом, а также с имеющимися решениями урав-
нения Больцмана. Тем не менее представляет несомненный
интерес установление непосредственной связи применяемых
процедур с уравнением Больцмана. Этот вопрос обсуждается
в § 7.2 книги. Математически более строгое обоснование проце-
дуры счета как метода решения уравнения Больцмана приве-
дено в дополнении 1.
Автору, по-видимому, не известны работы по методу стати-
стических испытаний, выполненные в Советском Союзе. Поэтому
в дополнении 2 дан краткий обзор этих исследований.
Книга вышла в Англии в 1976 г. По просьбе редакторов пе-
ревода автор сделал ряд примечаний, учитывающих результаты,
полученные вплоть до конца 1979 г. Эти примечания отмечены
звездочками, а дополнительная литература дана как продол-
жение общего списка под номерами [101—113]. Мы весьма при-
знательны проф. Бёрду за эти примечания и дополнения.
Перевод гл. 1—3, 12, приложений D, Е выполнен В. Е. Яниц-
ким, гл. 4—6, предисловия, приложений А, В, -С й обозначе-
ний— О. Г. Фридлендером, гл. 7—11—А. И. Ерофеевым; При-
водимые в конце книги программы для удобства пользования
переработаны применительно к отечественным ЭВМ, в част-
ности к машине БЭСМ-6. Эта работа выполнена М. С. Ивановым.
Можно надеяться, что книга послужит хорошим практиче-
ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
ским руководством для научных работников, инженеров и сту-
дентов, занимающихся методом статистических испытаний в
применении к решению разнообразных задач современной
газодинамики. '
О. М. Белоцерковский
М. Н. Коган
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга предназначена в первую очередь ин-
женерам и научным работникам, изучающим нелинейные тече-
ния реального газа на кинетическом уровне.
При исследовании используются сведения, почерпнутые в
основном из классической кинетической теории газов. Эта тео-
рия выводится из фундаментальных принципов и основывается
на предположении, что элементарный объем газа может не
быть в тепловом равновесии и обычно составляет часть неод-
нородного течения газа. Поскольку задачи молекулярной газо-
вой динамики не всегда, формулируются при помощи функции
распределения скоростей, макроскопические характеристики
газа вначале определяются непосредственно как средние от ха-
рактеристик движения молекул. Различные формы функции
распределения вводятся там, где формулируется уравнение
Больцмана. Обсуждение этого уравнения естественно приводит
к понятию, равновесного состояния. Далее вычисляются основ-
ные характеристики для газа, находящегося в равновесном или
слабо неравновесном состояниях; последнее состояние иссле-
дуется методом Чепмена — Энскога. Эти характеристики при-
ведены как для однокомпонентного, или простого, газа, так и
для смеси газов. Кроме того, обсуждаются граничные условия
на поверхности раздела газ — твердое тело. Полученных эле-
ментарных результатов достаточно для исследдвания свободно’
молекулярных течений (гл. 5).
Материал первых пяти_'глав составляет фундамент для изу-
чения течений в переходном режиме. Он сопровождается ря-
дом упражнений, помещенных в конце каждой главы, и может
служить основой специального курса молекулярной газовой ди-
намики. Принятый уровень изложения предъявляет минималь-
ные требования к. математической и физической подготовке
читателей. Лишь при чтении последних' глав читателю потре-
буется знание вводного курса газовой динамики.
Изучение явлений переноса методом Чепмена — Энскога по-
дробно не излагается, так как этот материал описан в ряде
известных монографий. При изучении течений в переходном
режиме упор сделан на рассмотрение нелинейных задач с боль-
шими отклонениями от равновесия. Это объясняется тем, что
методы малых возмущений широко освещены другими автора-
ми, а также тем, что запросы практики приводят к новым не-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
линейным задачам, и одна из основных целей книги состояла в
детальном описании численного метода, наиболее пригодного
для исследования течений с большими отклонениями от равно-
весия. Таким методом является метод прямого моделирования
Монте-Карло. В гл. 7, следующей за общим обзором методов
исследования в переходном режиме (гл. 6), приведены началь-
ные сведения об этом методе. Кроме того, здесь описана типич-
ная программа для ЭВМ, приводимая в приложении.
В гл. 8 обсуждается одномерное течение простых одноатом-
ных газов в переходном режиме. В последних четырех главах
последовательно рассматриваются все более сложные задачи
о многомерных'течениях, течениях смесей газов, течениях мно-
гоатомных газов и течениях с химическими реакциями. Задачи
о простых одномерных течениях, можно проанализировать мно-
гими методами, но чем сложнее течения, тем в большей мере
их исследование основывается на численном моделировании.
В книге подробнр описаны необходимые для этого обрбщения
методы прямого численного моделирования Монте-Карло, а- до-
полнительные программы приведены в приложениях. В главах;
описывающих течения в переходном режиме, приведен ряд но-
вых результатов. Большая их часть получена методом прямого
моделирования. Результатам, полученным „другими методами,
уделено меньше внимания.
Таким образом, книга является одновременно вводным кур-
сом по молекулярной газовой динамике, справочным руковод-
ством по методу прямого моделирования Монте-Карло и моно-
графией по исследованию нелинейных течений в переходном
режиме. Такая структура с необходимостью привела к некото-
рым компромиссам, и, конечно,, книга не является всеобъемлю-
щей. Однако автор надеется, что различные ее стороны допол-
няют друг друга и вместе окажутся полезными как для студен-
тов, так и для инженеров и научных работников.
Благодарности
Идея написания книги сложилась у автора в 1969 г., когда
его пригласили в качестве профессора по аэронавтике в Ка-
лифорнийский технологический институт. За эту возможность
автор благодарен д-ру Г. П. Липману. Первый вариант началь-
ных глав был написан во время посещения Сиднея д-ром
Г. С. Спрингером из. Мичиганского университета, и автор при-
знателен ему за ценные критические замечания и предложения.
Разработку метода прямого моделирования Монте-Карло с
самого начала поддерживало Бюро научных исследований ВВС
США (AFOSR), предоставив автору ряд субсидий. Нужно с
благодарностью отметить постоянный интерес к этому методу
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
руководителей фонда г-на М. Роджерса и г-на П. А. Тёрстона.
Не последней по значению частью этой поддержки явилось пре-
доставление автору возможности участвовать почти во всех
международных симпозиумах по динамике разреженных газов,
собираемых раз в два года. В книге приводится ряд новых ре-
зультатов, получейных указанным методом; большая их часть
выполнена -по контракту AFOSR-72-2336. Отметим, что много
программ метода моделирования Монте-Карло появилось в ре-
зультате продолжительных консультаций с TRW Systems Inc.
(Калифорния). Значительно способствовали созданию этих про-
грамм их обсуждения с д-рами Ф. У. Вогениц и Дж. Е. Броду-
эллом. .
Рукопись была прекрасно отпечатана г-жой В. Робинсон и
г-жой С. Фрост. Ценные критические замечания по рукописи
дали д-ра Д. И. Пуллин и А. Чатвани. Наконец, г-н Т. Чан Конг
внимательно прочитал ряд глав и сделал много исправлений.
Сидней, Австралия ' Г, Бёрд
Июнь, 1975 . ,
Список обозначений
Замечание. Не приводятся некоторые обозначения с верхними или ниж-
ними индексами, употребляющиеся только в одной из глав 5, 7—12. Это же
относится к изменению значения некоторых символов. Идентификаторы на
языке ФОРТРАН, используемые в программах, не приводятся.
а скорость звука
д постоянная, или параметр, уточняемый в тексте
Д2(т)) определенный интеграл, в котором используются степенные потен-
циалы, выражение (4.54)
Ь параметр в парном столкновении, прицельное расстояние
В постоянная, или параметр, уточняемый в тексте
с , cv удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соот-
ветственно
ст наиболее вероятная тепловая скорость, ст » 1/0
среднеквадратичная тепловая скорость
с0 средняя, среднемассовая, или скорость потока, для простого газа
Со = с, для смеси Со определена равенством (1.37) '
с' тепловая, србственнай или случайная скорость молекул, с' = с — Со
cw скорость центра масс сталкивающихся молекул
сг относительная скорость двух молекул
Ср скорость, определяемая для молекул сорта (компонента) р в виде
и п —
zp zp ср ..
de элемент объема в пространстве скоростей de = dudvdw
С постоянная, уточняемая в тексте
Ср диффузионная скорость, молекул сорта (компонента) р, Ср == ср —- Со
d эффективный, или номинальный, диаметр молекулы
удельная энергия поступательного движения, равенство (1.21.)
eint удельная энергия внутренних степеней свободы
е единичный вектор _ *
£а энергия активации -
Ес фиксированная энергия при столкновениях; полная энергия при
столкновениях
энергия относительного поступательного движения при столкновениях
f нормированная функция распределения скоростей, равенство (3.1)
fo максвелловская, или равновесная, функция распределения скоростей,
равенство (3.46)
fc функция распределения модуля вектора скорости молекул
F величина силы; кумулятивная функция распределения
FN ^частичная функция распределения, равенство (3.7)
F сила взаимодействия молекул; внешняя сила на единицу массы
функция распределения в фазовом пространстве, равенство (3.5)
h постоянная Планка, h «= 6.6256-10”34 Дж-с; расстояние
Н //-функция Больцмана, равенство (3.40)
/ момент инерции молекул
Ь(Т) • константа скорости реакции
12
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
k постоянная Больцмана, k = ^/Л9 = tnR = 1.3805-10”23 Дж-град”1
К коэффициент теплопроводности
Кп число Кнудсена, Kn == A/L
/ , длина
/1 направляющий косинус с осью 'х
L длина
т масса одной молекулы
тп\ направляющий косинус е осью у
тт приведенная масса, равенство (2.7)
- число Маха течения, М = с0/а
число Маха ударной волны
v# молекулярный вес
п числовая плотность
п0 число Лошмидта, п0 = 2.68699-1025 м-3
«1 направляющий косинус с осью г
N число молекул; поток числа молекул
Nc число столкновений
Л9 число Авогадро, Л9 = 6.0225-1026 кмоль-1
р давление, равенство (1.19); поток нормального импульса на единицу
площади поверхности
рху составляющая тензора р, поток х-компоненты импульса на элемент
поверхности, перпендикулярный оси у (аналогично и другие компо-
ненты)
Р вероятность
р тензор напряжений, равенство (1.17)
Рг число Прандтля
qx составляющая вектора q в направлении х
q вектор потока тепла, равенство (1.27)
Q z молекулярный признак
Qa, Qaa функции распределения
г радиус; радиальная координата
г вектор положения
dr элемент объема в физическом пространстве, dr == dx dy dz
R газовая постоянная, R === ft/Jt
Rf случайное число
$ универсальная газовая постоянная, $ = 8.3143-103 Дж-кмоль-1*
•град-1 ' л
s скоростное отношение, s = Сф; расстояние; число сортов (компонен-
тов) в смеси газов; число интегралов столкновений
S * энтропия; площадь
t время
tf коэффициент передачи энергии в модели со стоком энергии
Т термодинамическая температура
Tfr температура, посчитанная по поступательному движению молекул,
равенство (1.23)
. Tint температура, характеризующая внутренние степени свободы моле-
кул, равенство (1.25)
Tov полная температура, определенная по движению молекул, равен-
ство (1.26)
и составляющая скорости в направлении х
U скорость ,
v составляющая скорости в направлении у
У объем в физическом пространстве
w составляющая скорости в направлении г '.
W безразмерный параметр столкновений; W = Ь/г
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
13
весовой множитель
Wo безразмерный параметр столкновений при степенных потенциалах,
равенство (2.24)
т усеченное значение Wo
х ’ ось декартовых координат в физическом пространстве; неизвестная
величина
У ‘ ось декартовых координат в физическом пространстве
z ось декартовых координат в физическом пространстве
а " угол атаки; угол; степень диссоциации
(X коэффициент аккомодации энергии, равенство (4.62)
В величина, обратная наиболее вероятной скорости молекул в равно-
весном газе, р ==(22?Г)-,/2
Y отношение удельных теплоемкостей, у == ср/су
Г поток массы; гамма-функция
б среднее расстояние между молекулами, б = п,/з
д [Q] столкиовительный член, равенство (3.26)
в параметр столкновений при столкновениях — азимутальный угол;
доля молекул, зеркально отраженных от поверхности; коэффициент
симметрии
eint внутренняя энергия одной молекулы
80 параметр разложения Чепмена — Энскога, равенство (3.50)
£ число внутренних степеней свободы
Т) показатель в степенном законе взаимодействия молекул, равен-
ство (2.23); пйказа^тель степени температуры в обобщенном уравне-
нии Аррениуса
0 угловая координата
Од угол между линией центров и вектором относительной скорости
х постоянная в степенном законе взаимодействия молекул, равен-
ство (2.23)
% средняя длина свободного пробега, равенство (1.8)
Ло средняя длина свободного пробега молекул в равновесном газе, ра-
венство (4.38)
р коэффициент вязкости
v частота столкновений, равенство (1.6)
v0 частота столкновений в равновесном газе, равенство (4.36)
a дифференциальное поперечное сечение, равенство (2.11)
от полное поперечное сечение, равенство (2.14)
Сд поперечное сечение реакции
т касательное напряжение; среднее время между столкновениями
%ху напряжение вязкого трения, действующее в направлении х на эле-
мент, перпендикулярный оси у
т тензор вязких напряжений, равенство (1.20)
ф межмолекулярный потенциал; азимутальный угол
Ф диссипативная функция, равенство (3.37); параметр в разложении
Чепмена — Энскога, равенство (3.51)
% . угол отклонения вектора относительной скорости при столкновении
наиболее вероятная угловая скорость молекулы в равновесном газе
® угловая скорость
й телесный угол
Индексы
Замечание. Смысл использованных ранее индексов обычно не совпадает
со смыслом, указанным ниже.
* значения после столкновений; условия на звуковой линии
14 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
1, 2 Р» <7 с f i г со W х, у» г номер молекулы или класса молекул номера сортов (компонентов) смеси значение в пределе сплошной среды свободномолекулярное значение прилетающие; падающие; начальные отраженные; относительные невозмущенное значение значение на поверхностй составляющие в направлениях х} у и z соответственно
Молекулярная модель
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Газовый поток можно описывать на макроскопическом или
микроскопическом уровне. Макроскопическая модель рассмат-
ривает газ как континуум, и соответствующее описание дается
зависимостями макроскопических скорости, плотности, давле-
ния и температуры от координат и времени. Микроскопическая,
или молекулярная, модель представляет корпускулярную струк-
туру газа как мириады дискретных молекул и в идеале содер-
жит информацию о положениях и скоростях каждой молекулы
в любой момент времени. Однако такое подробное описание
вряд ли нужно для практики. Поэтому газовый поток почти
всегда описывается с помощью, макроскопических величин. Та-
ким образом, эти две модели различаются только подробностью
описания, а не самой его природой. Настоящая книга рассмат-
ривает микроскопический, или молекулярный, подход, и первый
вопрос, на который надо ответить, состоит в том, мож^о ли на
этом пути решить задачи, которые не могли быть решены на
основе обычного континуального подхода. .
Макроскопические величины в любой точке потока можно
отождествить со средними значениями соответствующих моле-
кулярных величин,. причем эти средние берутся по молекулам
в окрестности данной точки. Континуальное описание справед-
ливо др тех пор, пока физически малый объем содержит еще
достаточное число молекул для установления средних величин.
Существование формальной связи между макро- и микро-
скопическими величинами означает, что уравнения, выражаю-
щие сохранение массы, количества движения и энергии в по-
токе, могут быть получены любым из этих подходов. Из этого
можно было бы сделать вывод, что каждая из этих моделей
может дать только ту информацию, которая также содержится
и в другой. Однако надо помнить, что уравнения сохранения
не образуют замкнутую систему, если напряжение и тепловой
поток не выражены через другие макроскопические величины.
Невозможность удовлетворить этому последнему условию, а не
нарушение континуального описания накладывает ограничение
16
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
на область применимости континуальных уравнений. -Точнее го-
воря, уравнения Навье — Стокса континуальной газовой дина-
мики не годятся, когда градиенты макроскопических перемен-
ных-становятся столь значительными, что определяемые ими
масштабы длины становятся того же порядка, что и среднее
расстояние, проходимое молекулами между столкновениями, или
средняя длина свободного пробега. 1
Менее точный, но более 'удобный параметр можно полу-
чить, если масштаб длины, определяемый градиентами, заме-
нить характерным размером потока. Отношение длины свобод-
ного пробега А к характерному размеру L дает число Кнуд-
сена Кп, т. е.
Кп = Л/£. (1.1)
Необходимое условие справедливости континуального подхода
заключается в том, чтобы число Кнудсена было малым по
сравнению с единицей.
Если число Кнудсена порядка единицы или выше, альтер-
нативы к молекулярному подходу, по-видимому, нет. Большое
число Кнудсена может быть либо при большой длине свобод-
ного пробега, либо при очень малом характерном размере.
Обычно наблюдается первое, а так как средняя длина свобод-
ного пробега в данном газе обратно пропорциональна плотно-
сти, это* есть следствие очень низкой плотности. Отсюда назва-
ние «динамика разреженного газа», используемое, для опреде-
ления предмета, изучаемого в этой книге.
Типичные приложения этой области включают внутренние
течения в вакуумных’ системах и аэродинамику в верхних слоях
атмосферы. Однако надо помнить, что другому требованию
(требованию малости характерного размера) Можно удовле-
творить при любой плотности. Например, молекулярный под-
ход необходим для изучения сил, действующих на достаточно
•малые частицы, взвешенные в атмосфере, внутренней структу-
ры ударных волн и распространения збука при чрезвычайно
высоких частотах.
Определив условия, при которых должен использоваться мо-
лекулярный подход, нужно также рассмотреть, существуют ли
условия, при которых этот метод предпочтителен перед кон-
тинуальным, когда и тот и другой дают достоверные резуль-
таты. Эта возможность обычно полностью игнорируется из-за
больших трудностей получения аналитических решений обыч-
ных микроскопических уравнений. Однако точные и приближен-
ные аналитические решения, даже в континуальной формули-
ровке, можно получить лишь для сравнительно простых тече-
ний. Для практических задач с большими возмущениями и
Сложными граничными условиями необходимы численные реш§-_
1.2. ПРОСТОЙ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
17
ния. В газовой динамике всевозрастающее значение приобре-
тают громоздкие машинные вычисления, а для таких расчетов
молекулярный подход, как будет показано, обладает в ряде слу-
чаев преимуществом перед континуальным подходом.
1.2. ПРОСТОЙ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
Основными' величинами молекулярной модели являются
число молекул в единице объема,’а также масса, размер и ско-
рость каждой молекулы. Эти величины необходимо связать со
средней длиной свободного пробега и частотой столкновений,
чтобы установить масштаб длины и времени эффектов, обус-
ловленных столкновительными взаимодействиями между моле-
кулами. Далее, в связи с тем, что результаты, полученные при
молекулярном подходе, будут обычно представляться через
макроскопические величины, надо установить формальную за-
висимость между макро- и микроскопическими величинами.
Ради простоты и ясности обсуждение в этом разделе будет
ограничиваться газ.ом одного химического сорта, в котором мо-
лекулы имеют одинаковую структуру. Такой газ называется
простым.
Число молекул в одном моле газа есть фундаментальная
физическая константа, называемая числом Авогадро jf. Закон
Авогадро также гласит, что объем, занимаемый одним молем
любого газа при заданных температуре и давлении, есть общая
для всех газов константа. Число молекул в единичном объеме,
или числовая плотность п газа, зависит поэтому от температуры
и давления, но не зависит от состава газа. Масса m одной мо-
лекулы получается при делении молекулярного веса Л газа
на число Авогадро, т. е.
т = Л1Л. (1.2)
Средний объем, приходящийся на одну молекулу, равен 1/л,
так что среднее расстояние между молекулами 6 равно
б = п-1/3. (1.3)
Идеальной с теоретической точки зрения моделью молекулы
является твердая упругая сфера диаметром d. Тогда, как по-
казано на рис. 1.1, две молекулы столкнутся, если их траекто-
рии позволяют сблизиться центрам молекул до расстояний d.
Полное сечение столкновений этих молекул есть, следовательно,
aT = nd2. (1.4)
Реальная молекула содержит один или больше атомов, при-
чем каждый состоит из ядра, окруженного вращающимися
Электронами. Молекулярный размер — это величина, которая н$.
18
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
может быть точно и однозначно определена. Однако результат
взаимодействия двух молекул можно вычислить, зная межмо-
лекулярное силовое поле. Типичная зависимость силы взаимо-
действия между нейтральными молекулами от расстояния ме-
жду ними показана на рис. 1.2. При больших расстояниях эта
сила по существу равна нулю. Когда молекулы достаточно
сближаются, чтобы началось взаимодействие, она является си-
лой слабого притяжения. При дальнейшем сближении она
Рис. 1.1. Столкновения между двумя твердыми сферами диаметра d.
уменьшается и превращается в сильно отталкивающую на ма-
лых расстояниях. Межмолекулярная сила в двухатомном или
одноатомном газе обычно зависит от ориентаций молекул. Ди-
намика столкновений будет подробно рассматриваться в § 2.2,
где также будут обсуждаться методы вычисления сечений
столкновений и эффективные молекулярные диаметры. Следует
заметить, что сечение столкновений обычно является функцией
относительной скорости между сталкивающимися молекулами.
Относительная часть всего объема газа, которая действи- "-
тельно содержит молекулу, имеет порядок (d/б)3. Равенство
(1.3') показывает, что для достаточно низких плотностей рас-
стояние между молекулами б велико пр сравнению с эффек-
тивным молекулярным диаметром d. Таким образом, только
чрезвычайно малая часть пространства действительно занята !
молекулами, поэтому каждая молекула в основном движется
свободно в пространстве, лежащем вне области влияния других .
молекул. Более того, столкновение молекул, несомненно, можно
i
1.2. ПРОСТОИ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
19
считать парным, т. е. включающим еще только одну молекулу.
. Такое положение можно, охарактеризовать условием
(1.5)
которое и определяет совершенный') газ.
Временной масштаб микроскопических процессов опреде-
ляется средним временем между столкновениями, которое по
определению есть средний временной интервал между последо-
Рис. 1.2. Типичная зависимость силы взаимодействия между молекулами от
расстояния между ними.
вательными столкновениями, испытываемыми типичной моле-
кулой. Чаще используется обратная величина, которая назы-
вается средней частотой столкновений v, приходящейся-на мо-
лекулу. При выводе выражения для этой величины мы остано-
вим наше внимание на типичной молекуле, которую будем
называть пробной. Скорости других, или полевых, молекул,
среди которых движется пробная молекула, распределены по
произвольному закону.
Рассмотрим полевые молекулы со скоростью, лежащей ме-
жду с и с + Дс. Эти молекулы будут называться молекулами
класса с, а- их числовая плотность будет обозначаться через Да;
Если скорость пробной молекулы равна Ct, то ее скорость от-
носительно полевых молекул класса с равна сг = Ct — с. Вы-
берем систему отсчета, в которой пробная молекула движется
*) Автор применяет термин dilute gas — разреженный газ. Выше термин
. «разреженный газ» уже использован для определения газа при больших чис-
лах Кнудсена. — Прим. ред.
20
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
со скоростью сг> а полевые молекулы класса с неподвижны.
Тогда за временной интервал Д/, гораздо более короткий, чем
среднее время между столкновениями, пробная молекула столк-'
нется с любой молекулой, находящейся в цилиндре объема
отСгД/, как показано на рис. 1.3. Вероятность столкновения
пробной молекулы с молекулой класса с за временной интер-
вал Д/ есть ДпотСгД/. После- столкновения цилиндр, описывае-
мый сечением пробной молекулы при ее движении вдоль траек-
тории, изламывается. Однако в разреженном газе лишь неболь-
шой процент траекторий изменяется благодаря столкновениям,
поэтому ограничение на Д/ можно -снять, и число столкновений
в единицу времени с молекулами класса с принять равным
Рис. 1.3. Эффективный объем, описываемый сечением пробной молекулы
в среде полевых молекул.
ДпотСг- Средняя частота столкновений получается суммирова-
нием по всем скоростям и, следовательно, по всем значениям сг:
у = У, (Дпсттсг) = п У, {(Дп/п) oTcJ. '
Так как Дп/п есть часть молекул с сечением столкновений <тт
ег относительной ^скоростью сг, то
ч у = потсг. (1.6)
Черта над величиной или выражением обозначает среднюю ве-
личину по всем молекулам в системе. Если стт считается кон-,
стантой, то средняя частота столкновений становится равной
у = сттпсг = nd2n5T. (1,6а)
Общее число столкновений в единицу времени на единичный
объем газа дается поэтому следующим выражением:
= '/2«У = ’МЧл- (1.7)
Коэффициент симметрии V2 введен здесь потому, что каждое-
• столкновение включает две молекулы.
1.2. ПРОСТОЙ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
21
Средняя длина свободного пробега есть среднее расстояние,
пройденное молекулой между столкновениями; она'равна сред-
ней скорости с' молекулы, деленной на частоту столкновений,
т. е. '________
% = c7v = {n(aTcr/^,)}~1, (1.8)
или для случая постоянного сечения столкновений
, Л = {(^/ЙЛ}-1- (1.8а)
Средняя длина свободного пробега определяется в системе, дви-
жущейся со скоростью течения газа. Штрих над средней моле-
кулярной скоростью с' означает, что- эта величина измеряется
относительно движущегося потока.
Прежде чем переходить к обсуждению связи между микро-.
скопическими и макроскопическими величинами, мы должны
ввести понятие равновесия ,в приложении к газам. Рассмотрим
объем газа, который полностью изолирован от внешнего воз-
действия. Если этот газ остается невозмущенным в течение вре-
мени, достаточно большого по сравнению со средним временем
между столкновениями, то можно считать, что он находится в
равновесном состоянии. При достаточно большом числе моле-
кул в объеме статистическими флуктуациями можно пренебречь,
и, таким образом, макроскопические величины не будут изме-
няться ни с расстоянием, ни со временем. Число молекул в лю-
бом скоростном интервале .также остается постоянным во вре-
мени, хотя скорость отдельной молекулы меняется с каждым
ее столкновением! Очевидно, что предпочтительного направле-
ния в равновесном газе быть не может, и распределение ско-
ростей должно быть изотропным. Форма распределения моле-
кул по скоростям в равновесном газе выводится в гл. 3, а его
свойства обсуждаются в гл. 4. Мы найдем, что континуальный
подход достаточен для равновесных течений или незначительно
отклоняющихся от таковых.
Первым из макроскопических свойств рассмотрим плот-
ность р. Она определяется как масса на единицу объема газа
и поэтому равна произведению числа молекул в единице объ-
ема на массу одной молекулы, т. е.
р — пш. (1.9)
Макроскопические свойства, такие, как плотность, обычно свя-
зываются с некоторой «точкой» в потоке. Значения в «точке»
фактически определяются молекулами внутри небольшого эле-
мента объема, охватывающего выбранную точку. Элемент объ-
ема V содержит N молекул, и это число подвержено статисти-
ческим флуктуациям около средней величины nV. Вероятность
22
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
P(N) того, что число молекул в точности равно N, дается рас-
пределением Пуассона:
Р(У) = -^ехр(-пУ). .
Стандартное отклонение этого распределения равно (nV)l/2,
что соответствует относительному отклонению от среднего на
величину (nV)-1/2. Для больших значений nV распределение не
Рис. 1.4. Границы статистических флуктуаций W в зависимости от среднего
значения N = nV (в р % случаев значение NlnV окажется- в обозначенных
границах); р = 50% (-------) р=95% (------р=99.5% (•—)•
отличается' от нормального или гауссова распределения1).
Ожидаемая величина отклонения иллюстрируется на рис. 1.4.
Видно, что имеется значительное отклонение, если макровели-
чина определена меньше чем по 1000 молекулам. Уравнение
(1.3) позволяет записать nV как V/S3, где 6 — среднее межмоле-
кулярное расстояние. Поэтому для получения достоверного ре-
зультата макроскопической величины посредством усреднения
по молекулам в малом элементе объема требуется, чтобы ти-
*) Если nV > 1 и | АГ — nV |/nV < 1, то
(nV)N , тм ,п ,„_1Й ' J (У-nV)2
- Nl exp (- nV) « (2nnV) 1/2 exp | — -^y- -
1.2. ПРОСТОЙ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
23
личный размер. У1/3 элемента удовлетворял* условию
И/3>6. . (1.10)
Если размеры элемента объема сравнимы с характерной
длиной макроскопических градиентов, то макроскопические ве-
личины, . вычисленные усреднением по молекулам в этом эле-
менте, будут зависеть от размера этого элемента. Для трехмер-
ного течения с градиентами во всех направлениях это ведет к
требованию, чтобы У1/3'было гораздо меньше размера L. Од-
нако для одномерного или двухмерного потока объемный эле-
мент может быть удлинен в направлении или направлениях с
нулевыми градиентами. Это значит, что размер в направлении
градиента можно сохранять "малым по сравнению с масштабной
длиной L, а объем достаточно большим, чтобы удовлетворять
условию (1.10), хотя У1/3 может быть больше L.
Вышеизложенное обсуждение имеет дело лишь с мгновен-
ными средними в потоке. Прежде чем вывести условия, кото-
рые позволяют определить достоверные макроскопические ве-
личины в потоке, необходимо рассмотреть еще два типа сред-
них. Первый, тип определяется суммированием соответствующих
свойств молекул в объеме в течение достаточно продолжи-,
тельного временного интервала. Это — среднее по времени. ।
Оно позволяет описать любой установившийся поток е помощью
вычисленных так макроскопических величин. Второе среднее
есть мгновенное среднее, взятое по элементам объема в произ-
вольно большом ансамбле аналогичных систем. Это среднее по
ансамблю может быть определено тогда, когда можно много-
кратно повторять эксперимент или вычисление. Почти .любой
поток можно описать при помощи макроскопических величин,
являющихся средними по времени или ансамблю. Такое опи-
сание по существу является вероятностным, и необходимо учи-
тывать флуктуации. Если- для описания потока можно исполь-
зовать как средние по времени, так и средние по ансамблю, то •
в этих случаях нужно ожидать, что оба описания будут иден-
тичны. Тогда молекулярное движение называют эргодичным:
Остальные представляющие интерес макроскопические вели-
чины связаны с переносом вследствие молекулярного движения
массы, количества движения* и энергии в газе. Прежде'чем пе-
рейти к рассмотрению этих величин, проанализируем общее
свойство потока некоторой величины Q через элемент поверх-
ности в некоторой точке газа. Эта величина устанавливает
связь между потоком и средними, вычисленными по молекулам
в элементе объема в той же самой точке.
Элемент поверхности характеризуется площадью AS и еди-
ничным нормальным вектором е, как показано на рис. 1.5. Рас-
смотрим молекулы класса с со скоростью между с и с^Дс, я
24
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
пусть их плотность будет Ап. Молекулы класса с, которые пе-
ресекают AS за короткий промежуток времени А/, находятся
в начале Д/ внутри цилиндра длиной c&t, вытянутого от AS
в направлении, противоположном с. Высота этого цилиндра, из-
меренного в направлении е, нормальном к AS, равна с-еД/, .а
его объем есть с-еД5Д/. Величина Q есть некоторое свойство
каждой молекулы и является либо константой, либо функцией
от с. Поток величины Q через поверхность, приходящийся на
единицу площади в единицу времени в направлении е, равен,
Рис. 1.5. Поток молекул класса с через элемент поверхности.
следовательно, Д/iQc-e. Полный поток получается суммирова-
нием по всем скоростям и может быть записан в виде
или _____ '
nQc-e. (1.11)
Заметим, что выражение (1.11) определяет полный поток
и включает вклады от молекул, пересекающих элемент поверх-
ности как в положительном, так и в отрицательном к е направ-
лениях. Нам иногда нужен будет, поток только в одном на-
правлении, и, не'ограничивая общности, им можно считать по-
ток в положительном направлении е. Необходимая величина
тогда получается учетом только молекул с положительным зна-
чением с-е. Поэтому поток в положительном' направлении е
равен _____
п (Qc • е)с.е>0. (1.12)
При выводе выражений (1.11) и (1.12) предполагалось, что-
величина Q переносится через элемент AS только тогда, когда
молекула, с которой она связана, пересекает этот элемент. Та-
кое утверждение справедливо для числовых и массовых пото-
ков, но, вообще говоря, не совсем верно, когда рассматривается
поток количества движения или энергии, так как,конечный ра-
диус действия межмолекулярных сил допускает обмен количе-.
f.2. ПРОСТОЙ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
25
ством движения и энергией между молекулами, которые ос-
таются по разные стороны границ элемента. Однако, если газ
совершенный, т. е.б d, этими эффектами можно пренебречь.
Необходимость вычисления средних по достаточно большому
числу молекул как при определении средних по времени, так
и по ансамблю налагает ограничения на выражения (1.11) и
(1.12). Размеры элемента объема на рис. 1.5 должны бытьболь-
шими по сравнению со средним межмолекулярным расстоянием,
т. е. сА/ должно быть гораздо больше б. Кроме того, вывод этих
выражений основывался на предположении, что Ап — констан-
та. Мы видели, что это имеет место, когда газ находится в рав-
новесии. Однако в неравновесном газе число молекул, выбываю-
щих из класса с в результате столкновений, не равно числу
молекул, входящих в этот класс. Поэтому в неравновесном газе
такой анализ справедлив только, если А/ гораздо .меньше сред-
него времени между столкновениями 1/v. Таким образом, необ-
ходимо, чтобы c/v S> б или, как следует из (1.8), Х^>б. Равен-
ства (1.8) и (1.3) показывают, что
Отношение сг/с' порядка единицы, и, следовательно, X б
всегда, если условие совершенного газа б d удовлетворяется;
В качестве определения совершенного газа иногда употреб-
ляется Х»бС^й, но уравнение (1.13) показывает, что условие
(1.5) уже достаточно.
Замечая далее, что е — единичный вектор, выражение (1.11)
можно записать в виде (nQc)-e. Оно определяет вектор потока
для величины Q равным
nQc. (1.14)
Вектор потока, связанный с переносом массы, йолучается,
если положить Q равной массе молекулы, что дает пшс. или
рс. Средняя скорость молекул с определяет макроскопическую
скорость течения, иначе называемую средней или среднемассо-
вой скоростью и обозначаемую через Со, it е.
со = с. (1.15)
Скорость молекулы относительно скорости потока называется
собственной, или тепловой, или хаотической скоростью и обо-
значается через с', т. е.
с' = с —с0. . (1.16)
Заметим, что
с' = с — с0 = с — с = О,
26
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
. так что средняя тепловая скорость равна нулю в простом газе.
Остальные макроскопические величины определяются средними,
взятыми по тепловым скоростям молекул. Поэтому, чтобы упро-
стить анализ этих величин, будем рассматривать элемент газа
как систему, движущуюся с местной скоростью течения.
Вектор потока, обусловленный переносом тепловыми скоро-
стями, равен nQc', а выражение для переноса количества дви-
жения тепловым движением получается, если положить Q рав-
ным тс'. Замечая, что количество дв1Йкения есть векторная ве-
личина, приходим к выводу,-что результирующее выражение
' есть тензор с девятью декартовыми компонентами, называемый
тензором напряжений р:
р = птс'с' = рс'с'. (1.17)
Он лучше всего объясняется с помощью отдельных компонент,
Пусть u', v’ и w' — компоненты скорости с' в направлениях х,
у и г, в в качестве примера рассмотрим компоненту х потока
количества движения в направлении у. Положим Q = mu' и
выберем элемент поверхности в плоскости х, г так, чтобы нор-
маль лежала в направлении у. Соответствующая компонента
равна
а полный набор есть pxy = pu'v',
РхХ = Р^ 9 Рху == pTv', рхг = p«V,
Рух ~ Рху9 Pw = P»'2> (1.18)
Pzx ~ Pxz9 /2 Pzy = Pyz, Pzz = PW .
Эти девять равенств (1.18) для компонент тензора р можно
записать короче следующим образом:
pz/ —P<cJ, (1.18а)
где индексы i и / изменяются от 1 до 3. Значения 1, 2 и 3 можно
отождествить с компонентами вдоль осей х, у, г соответ*
ственно, т. е. ' •
ж u', с'2 && v', с'3 = w'.
Скалярное давление р обычно определяется как среднее значе-
ние трех нормальных крмпбнент тензора напряжений, т. е.
Р = 73p(i/2 + V2 + = 1/3р7. (1.19)
Если газ находится в равновесии, то три нормальные компо-
ненты равны, и давление равно произведению плотности и сред*.
1.2. ПРОСТОИ. РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ
27
него значения квадратов компонент тепловой скорости в любом
направлении.
Рассмотрим случай, в котором газ ограничен твердой по-
верхностью, и выберем направление нормали к этой поверхно-
сти. Если газ находится в равновесии с поверхностью, то мо-
лекулы, отраженные от нее, не будут отличаться от молекул,
которые появились бы при воображаемом продолжении газа
на другую сторону поверхности. Давление р можно тогда отож-
дествить с нормальной силой, с которой газ действует на еди-
ницу площади этой поверхности. Однако в неравновесном слу-
чае давление, определяемое равенством (1.19), не идентично
нормальной силе, действующей на единичную площадь эле-
мента твердой поверхности. Последняя величина является обыч-
но практически очень важной, и, когда возникает двусмыслен-
ность, следует иметь в виду, что термин «давление» обычно при-
меняется к нормальной силе на единицу площади.
Тензор вязких напряжений т определяется как отрицатель-
ная величина разности тензора напряжений и скалярного дав-
ления, образованного из нормальных компонент. Удобнее его
представлять в компонентах или в индексной записи:
' = —(1.20)
где 6// — символ Кронекера:
б</=1, если. i==j, и 6ц — 0, если i ф ].
Средняя, кинетическая энергия, связанная с тепловым или
поступательным движением, есть тс'2/2, и удельная энергия,
связанная с этим движением, равна
. etr=l/2c^. (1.21)
Последнее можно объединить с выражением (1.19), что дает
уравнение
Р = 2/зР^г,
которое естественно сравнить с уравнением состояния идеаль-
ного газа:
p = pRT = nkT. (1.22)
Здесь k — постоянная Больцмана, которая зависит от универ-
сальной газовой постоянной посредством равенства k =
= Кроме того, имеем т = Ж1}С и обычная газовая по-
стоянная R=91IM, следовательно, k = mR. Термодинамике^
екая температура Т — это по существу свойство равновесного
газа, но вышеприведенное сравнение показывает, что уравнение
состояния идеального.газа применимо к совершенному газу
28
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
даже в неравновесном случае, если кинетическая температура
поступательного движения ~7\г определяется в виде
Wtr = etr = '/2^, (1.23)
или __ ________ _____ _____
Wtr = l/2tnc'2 = 1/2Ш(Ц'2 + У'2 + щ,'2).
Заметим, что можно определить отдельные кинетические темпе'
ратуры для каждой компоненты. Например,
kTtrx = mu'2 = Рхх/п. (1.24)
Отклонение этих температур от 7\г дает удобную меру степени
неравновесности поступательного движения в газе.
Естественно предполагать, что одноатомные молекулы об-
ладают только поступательной энергией. Поэтому в таком газе
поступательную температуру можно считать просто температу-
рой Т. Однако двухатомные и многоатомные молекулы обла'
дают и внутренней энергией, связанной с вращательными и ко-
лебательными энергетическими модами. Температуру Tint для
внутренних мод можно определить по аналогии с поступатель-
ной температурой, связав ее с числом внутренних степеней сво-
боды (см. (1.23)) следующим образом:
Vz&^Tint= Cint. (1.25)
Здесь £ — число внутренних степеней свободы, eint — удельная
энергия, связанная с внутренними модами. Принцип равномер-
ного распределения энергии состоит в том, что в равновесном
газе поступательные и внутренние температуры должны быть
равны. Тогда они могут быть отождествлены с термодинамиче-
ской температурой газа. Полная кинетическая температура То„
может быть определена для неравновесного газа как взвешен-
ное среднее поступательной и внутренней температур, т. е.
. Tov = (3Ttr + ^int)/(3 -Н). z (1.26)
Заметим, что уравнение состояния идеального газа неприме-
нимо к этой температуре в случае неравновесного газа.
И наконец, вектор теплового потока q получается, если Q
равно энергии молекулы ll2mc'2 + вшь
q = J/2pc,2cz + П8ыс'. (1.27)
Здесь ем — внутренняя энергия отдельной молекулы, она свя-
зывается с eint равенством emt = einf/m.
• Компонента' теплового -потока в направлении х записывается
так* _____
Чх — Угрели' + пгыи'. (1.27 а)-
1.3. ОБОБЩЕНИЕ НА ГАЗОВЫЕ СМЕСИ
29
$ 1.3. ОБОБЩЕНИЕ НА ГАЗОВЫЕ СМЕСИ
Рассмотрим газовую смесь, состоящую из s различных хими-
ческих сортов. Каждый сорт будем обозначать-индексами р или
q, изменяющимися от 1 до s. Общая числовая плотность п, оче-
видно, равна сумме числовых плотностей всех отдельных сор-
тов, т. е.
n=t«p- (1.28)
Рассмотрим столкновение между молекулой сорта р и мо-
лекулой сорта q. Соответствующие эффективные диаметры обо-
значим через dp и dq. Требование, чтобы произошло столкнове-
ние, состоит в том, что расстояние между их центрами умень-
шается до (dp + dq)]2. Полное сечение столкновений поэтому
равно
где
dpq = '/2(dp 4-d„).
В анализе, ведущем к формуле (1.6), молекулу сорта р можно
взять как пробную, а молекулы сорта q как полевые молекулы.
Тогда средняя частота столкновения для молекулы сорта р с
молекулами сорта q будет равна
(1-30)
где ctpq — относительная скорость двух молекул. Если стр(/
считать константой, то уравнение примет вид
vPq = ndpMpq- о-30*)
Средняя частота столкновений для молекул сорта р полу*
чается суммированием по всем типам соударяющихся молекул,
т. е.
. = Z (\<*т сг )• (1.31)
₽ <7=1 V 4 РЧ РЧ'
Средняя частота столкновений, приходящаяся на молекулу для
смеси, может быть определена усреднением по всем сортам
пробных частиц, что даст
v= £ {(np/n) vp}. (1.32)
р=!
Количество столкновений в единицу времени на единицу объема
между молекулами сортов р и q равно npvpq, или
80
ГЛ. I. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
Заметим, что, когда р — q, это выражение учитывает каждое
столкновение дважды. Выражение (1.33) можно просуммиро-
вать по всем молекулам сорта q, тогда получим, что'общее
число столкновений на единицу объема в единицу времени, ко-
торые включают молекулы сорта р, равно npvp. Его в свою оче-
редь можно просуммировать по всем сортам р для определе-
ния общего числа столкновений Nc в единицу времени на еди-
ницу объема. При этом все столкновения считаются дважды,
поэтому вводится множитель симметрии */2, что дает
S
Nc = ‘А Е (Пр-Чр) = 72rtV,
р-1
как ожидалось из выражения (1.7).
Средняя длина свободного пробега для молекул сорта р
равна ее средней тепловой скорости, деленной на ее частоту
столкновений, т. е. •
______ Г s ___________ ___ \
^=^Лр={е1(«арлЛ)/ ’ (1,34)
а средняя длина свободного пробега для смеси выражается
в виде
Л=Е {(пр/п)М. ' (1.35)
р-i
Макроскопическая плотность равна сумме отдельных плот-
ностей сортов и может быть записана как
Р=Т. (трПр). (1.36)
р-1
Скорость течения с0 определялась для простого газа таким
образом, чтобы peg была равна вектору потока массы молекул.
Аналогйчная процедура для газовой смеси дает’
$
(ПрЩрёр). (1.37)
р-i
Для газовой смеси с0 называется среднемассовой скоростью.
Это не средняя скорость, а взвешенная средняя, учитывающая,
каждую молекулу пропорционально ее массе. Количество дви-
жения газа таково, как если бы все молекулы двигались со
скоростью Со, и именно эта скорость появляется в уравнениях
сохранения. —
Тепловая скорость с' каждой молекулы, как и прежде, из-
меряется относительно со, т. е.
с' = сс0,
1.3. ОБОБЩЕНИЕ НА ГАЗОВЫЕ СМЕСИ
.81
и средняя тепловая скорость сорта р есть
< = %-с0. (1.38)
Следовательно, средняя тепловая скорость определенного сорта
равна его средней скорости относительно среднемассовой. Эта
величина называется диффузионной скоростью и обозначается
через Ср. Таким образом,
Ср-Ц=^р-со- ' О-39)
Определения- тензора напряжений, давления, тензора вязких
напряжений, поступательной кинетической температуры и век-
тора теплового потока справедливы для газовой смеси, если
учесть массы молекул при усреднении. Например, давление
равно
S '__ $ __
Р = 7з Д пртрс'р = ’М{(«₽/«) гпрс'п\
или ___
р — Чъптс'2. (1.40)
Поступательная кинетическая температура теперь определяется
так: • __
Wtl = Чгтс'2, (1.41)
и в равновесном газе Лг опять можно рассматривать просто
как температуру смеси, подчиняющейся уравнению состояния
идеального газа.
В неравновесном случае удобно определять температуру от-
дельных сортов так, чтобы она служила количественной мерой
степени неравновесности между сортами. Равенство (1.41)
можно записать в виде
72fertr = 72E {(%/n) mp<}>
и очевидным определением поступательной кинетической тем-
пературы сорта является равенство
8МЛГр = 72/«р<. (1.42)
Однако тепловая скорость с' измеряется относительно средне-
массовой скорости со, которая включает все сорта. Поэтому
Необходимо связать кинетическую температуру, определяемую
равенством (1.42), с температурой этого сорта, вычисленной по
тепловой скорости ср, измеренной относительно средней ско-
рости ср данного сорта:
с^=ср-ср. (1.43)
32
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
Это определение вместе с равенствами (1.38) и (1.39) позволяет
записать (1.42) следующим образом:
= '/2«< + */2тр^. (1.44)
Таким образом, кинетическая температура сорта р, определяе-
мая формулой (1.42), является мерой суммы «тепловой энер-
гии» и «кинетической энергии диффузии» этого сорта.
Вращательные и поступательные температуры для двухатом-
ного и многоатомного газов можно определить так же, как и
для простого газа. Формула (1.25) применима к смеси до тех
пор, пока £ истолковывается как среднее число внутренних сте-
пеней свободы. Пбступательная температура отдельного сорта,
определяемая соотношением (1.42), может быть еще раз раз-
бита на отдельные температуры, основанные на ир2, v'p2 и wp2 •
Эти температуры можно оценить из уравнения (1.44), они по-
зволяют определить степень поступательной неравновесности
каждого сорта. Все кинетические температуры будут равными
и эквивалентны термодинамической температуре, когда газ на-
ходится в равновесии.
1.4. ХАРАКТЕРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Принятое значение числа Авогадро для числа молекул в
одном моле газа равно 6.0225-1023. Тогда числовая плотность
любого газа при нормальных условиях в 1 атм (101 325 Па)
и 0°С равна
п = 2.068699 • 1025 м-3. (1.45)
Эта величина называется стандартной числовой плотностью, а
число молекул в 1 см — числом Лошмидта По. Значение число-
вой плотности п при других условиях легко вычисляется, так
как она прямо пропорциональна макроскопической плотности.
Значения других микроскопических величин приводятся для
воздуха. Для целей нашего обсуждения предположим, что воз-
дух— простой газ, содержащий идентичные молекулы «сред-
него воздуха». Молекулярный вес . воздуха равен приблизи-
тельно 28.97, и уравнение (1.2) дает для массы одной молекулы
значение, равное 4.8-10~26 кг1). Эффективный молекулярный
диаметр удобно получить, подставив измеренную величину
коэффициента вязкости в теоретический результат для модели
твердых сфер [19]. Для воздуха при 0°С это даст d = 3.7«
• Ю-10 м. Среднее межмолекулярное расстояние б0 при нор-
I*
4) Везде использовалась система единиц СИ, и, так как «СИ-моль» это
по существу грамм-моль, а не килограмм-моль, в правой части равенства
(1.2) использовался коэффициент 10~3.
1.4. ХАРАКТЕРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН 33
мальных условиях получается по известному п0 с прмощью
(1.3), и оно равно So = 3.3-lO~9 м. Таким образом, воздух при
нормальных условиях удовлетворяет- условию сбвершенства
газа (б > d), хотя и без «запаса». Третье расстояние, представ-
ляющее интерес, это средняя длина свободного пробега моле-
кулы, определяемая формулой (1.8); В гл. 4 будет показано,
что значение сг/с' в неравновесном газе равно V2", и, поэтому
Я, = (д/2* nd2n) . (1.46
Вышеприведенные величины d и По дают 6.1 -10~8 м для средней
длины свободного пробега в равновесном воздухе при стандарт
ных условиях.
Среднеквадратичная скорость молекулы получается из фор
мул (1.22) и (1.23):
^^3p/p = 3RT = 3(^/J()T = 3kT/m. (1.47.
_ Z-z2\V2
Следовательно, среднеквадратичная скорость молекул (с )
отличается от скорости звука в газе (которая дается формулой
а2 == yRT) только постоянным множителем порядка единицы.
Используя приведенное ранее значение молекулярного веса воз-
духа, мы получим, что среднеквадратичная скорость молекулы
воздуха при 0°С равна 485 м/с. Для равновесного газа мы
установим, что средняя тепловая скорость с' связана со сред-
неквадратичной скоростью зависимостью'с'== (8/Зл)1/2 (с'2)
Выше отмечалось, что в равновесном газе ёг = л/2 с'., поэтому
из формулы (1.6) получаем, что средняя частота столкновений
молекулы воздуха при нормальных условиях равна 7.3-109 с-1.
Полная частота столкновений 9.8-1034 м~3-с-1 в единице объеме
получается из (1.7).
Теперь можно определить пределы применимости предполо
жения о совершенстве газа, континуального подхода и конти
нуального описания. Эти пределы удобно выразить как функ
ции плотности газа р и характерного размера потока L. Плот-
ность можно нормировать на ро при нормальных условиях, нс
L лучше сохранить как размерную величину. При помощи двой-
ного логарифмического графика зависимости L от р/р0 можно
прямыми линиями, определить три области, как показано на
рис. 1.6. - .
Предположение о совершенстве газа требует, чтобы 6/d^ 1;
значение б/d = 7 можно взять как предел. .Так как ни б, ни d
не зависят от L, этому условию соответствует вертикальная
линия, а масштаб 8/d указан вдоль верхнего края рис. 1.6.
Справедливость континуального подхода отождествлялась
нами со справедливостью уравнений Навье<— Стокса. -Для этого
2 Г. Бёрд ' .
34
ГЛ. I. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
требуется, чтобы число Кнудсена Кп = Х/Л было мало по срав-
нению с единицей, и соответственно в качестве предельного,
выбрано значение Кп = 0.1. Это разумное предположение, если
L определяет линейный масштаб измерения соответствующей
Рис. 1.6. Гранины основных приближений (d = 3.7-10-10 м). 1—значитель-
ные флуктуации; 2 — незначительные флуктуации; 3 — необходимо микроско-
пическое описание; 4 — справедливо континуальное описание (уравнения
Навье — Стокса); 5 — совершенный газ; 6 — плотный газ;--Кп = X/L = 0.1;
-------Х/б= 100; ----б/</<=7.
макроскопической переменной. Например, при обтекании тела
число Кнудсена, определенное по характерному разм'еру тела,
можно использовать для определения области пригодности кон-
тинуального подхода для описания всего течения. Однако урав-
нения Навье — Стокса в пограничном слое теряют силу, когда
число Кнудсена, определенное по толщине пограничного слоя,
приближается к значению 0.1. Это обычно имеет место, когда
число Кнудсена, основанное на характерном размере тела, еще
меньше. Далее, при более высоких плотностях может возник-
i.4. ХАРАКТЕРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
35
HVTb необходимость изменить граничные условия для уравне-
ния Навье — Стокса, допустив конечный скачок скоростей на
твердой поверхности.
В § 1.1 говорилось, что континуальное описание справедливо
до тех пор, пока физически малый объем в потоке содержит до-
статочное число молекул для установленья значимых средних.
Это верно в том смысле, что газ вряд ли можно описать как
континуум, когда имеют место значительные флуктуации мак-
роскопических величин. Однако мы видели, что применение
средних по ансамблю или по времени позволяет дать вероят-
ностную трактовку макроскопических, или континуальных, ве-
личин, несмотря 'на флуктуации. Цо этой причине мы будем
отождествлять третий предел с появлением значительных флук-
туаций, а не с «нарушением континуального описания». Крите-
рий для этого предела определяется здесь равенством L/8 =
= 100. Это соответствует значению L, в 10 раз большему, чем
сторона кубического элемента, содержащего 1000 молекул. Из
рис. 1.4 видно, что плотность в таком элементе имела бы ста-
тистические флуктуации со стандартным отклонением прибли-
зительно 3%.
Характерным для рис. 1.6 является то, что линии, описы-
вающие пределы, пересекаются в одной точке. Несмотря на то
что предельные значения определены с известным произволом,
этот факт нельзя существенно изменить иным разумным вы-
бором этих значений. Поэтому можно утверждать, что. граница
применимости уравнений Навье — Стокса всегда лежит между
границей совершенства газа и границей значительных флук-
туаций. Поэтому, когда плотность и (или) характерный размер
уменьшаются в совершенном газе, уравнения Навье — Стокса
перестают быть верными прежде, чем уровень статистических
флуктуаций становится значительным. Чем разреженнее газ,
тем -больше расхождение между этими пределами; С другой
стороны, значительный уровень флуктуаций может быть и в
плотном газе, даже если уравнения Навье — Стокса справед-,
ливы. Например, теория броуновского движения частично осно-
вана на этих уравнениях, хотя само, это явление есть следствие
значительных статистических флуктуаций.
Ранее отмечалось, что существование направлений с нуле-
выми макроскопическими градиентами может повлиять на оп-
ределение границы влияния флуктуаций. Применительно к
рис. 1.6 это означает, что в некоторых случаях может быть не-
обходимо определить различные характерные размеры при уста-
новлении различных границ. Например, рассмотрим одномер-
ный перенос тепла между параллельными пластинами. Харак-
терным размером, для числа Кнудсена является, очевидно, рас-
стояние между пластинами, но размер L, входящий в отноше-
2*
36
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
ние L/б, должен быть кубическим корнем из произведения пло-,
щади пластуны и расстояния между ними. Отношение именно
этой величины к среднему межмолекулярноМу расстоянию и
определяет, имеются ли значительные флуктуации в тепловом
потоке между пластинами.
Определение молекулярной модели подразумевало справед-
ливость классического описания газа. Возможное затруднение
при этом возникает в связи с тем, что квантовомеханическое
описание не допускает точного определения положений и им-
пульсов молекул. Принцип неопределенности Гейзенберга гла-
сит, что произведение неопределенности |Дг| в положении мо-
лекул и неопределенности |Д(тс)| в импульсе составляет ве«
личину порядка постоянной Планка, т. е.
|Дг|-| Д(те)|~Л. ' (1.48)
Для применимости классической модели • неопределенности в
положений и импульсе должны быть гораздо меньше, чём сред-
нее межмолекулярное расстояние и средняя величина импульса
молекул соответственно. Это требует, чтобы
~ Ътс h, (1.49)
и означает, что 6 должна быть значительно больше длины
вблны де Бройля h/tnc молекул. Условие отсутствия больших
дифракционных искажений в столкновениях заключается в том,
чтобы диаметр молекул d. был большим по сравнению с волно-
вым числом де Бройля. Второе условие в совершенном газе
более ограничительно, но на данном этапе нас прежде всего
интересует возможность молекулярного описания вообще, а не
деталей столкновительных процессов.
Порядок скорости молекул можно получить из формулы
(1.47) с использованием ("1.3); тогда условие (1.49) приводится
к виду
. (1б0)
п" h
Следующее условие применимости классической модели заклю-
чается в том, что число имеющихся квантовых состояний долж-
но быть очень велико по сравнению с числом молекул. Обычный
результат для отношения числа имеющихся состояний к'числу
молекул равен с точностью до множителя порядка единицы,
кубу выражения в левой части соотношения (1.50). Оно по-
этому легко удовлетворяется, когда удовлетворяется условие
(1.50). -
Подстановка значений величин, соответствующих нормаль-
ным условиям для воздуха, в выражение (1.50) ведет к значе-
нию 117.4, Таким образом, предположение о совершенстве газа
УПРАЖНЕНИЯ 37'
нарушается значительно раньше момента, когда плотность газа
увеличится настолько, что нарушается условие (1.50). Един-
ственный случай, когда -квантовое описание молекулярной мо-
дели становится необходимым, —это легкий газ при чрезвы-
чайно низкой температуре.
Данные по молекулам газов, отличных от воздуха, содер-
жатся в приложении А. На рис. 1.6 влияет лишь эффективный
молекулярный диаметр d. Из табл. А1 следует, что наибольшее
и наименьшее значения эффективных диаметров различаются
только в три раза, а для кислорода и азота они находятся
в середине указанного диапазона.
Упражнения
1.1. Покажите, что все молекулы в макроскопически однородном простом
совершенном газе имеют одинаковую вероятность столкновения, если полное
сечение столкновения От обратно пропорционально относительной скорости сг
между соударяющимися молекулами.
1.2. Рассмотрите одну молекулу газа, описанную в упр. 1.1. Пусть Л —ве-
роятность того, что она не испытает другого столкновения за время /, про-
шедшее после предыдущего столкновения. Покажите, что
Pre"vl
и что вероятность прохождения молекулой расстояния L между столкновения-
ми есть
р _
—е
В какой степени может этот анализ быть приложен к более общему слу
чаю, в котором вероятность зависит от скорости?
1.3. Рассмотрите газ из молекул — твердых сфер, в котором все молекулы
имеют одинаковую скорость и все молекулярные направления одинаково
возможны. Покажите, что средняя длина свободного пробега дается формулой
% = (4/зЛ d2n)~f.
1.4. «Двумерный газ», в котором движение молекул происходит в плоскости,
а не в трехмерном пространстве, иногда рассматривается как способ упро-
щения анализа задач кинетической теории. Покажите, что результат упр. 1.3
в двумерном газе- есть
U5. Покажите, что для простого газа
с/2 = с2 - 7 = С2 - Ср.
1.6. Малый объем аргона содержит всего десять молекул. Мгновенное изме-
рение компонент скорости дает следующий результата
38
ГЛ. 1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ
Молекула U, м/с о, м/с wt м/с
1 320 -423 -268
2 -463 .197 299
3 -217 -Я54 -108
4 346 291 —212
5 -510 320 -508
6 243 -217 375 4
7 478 365 251
8 -172 285 -366
9 523 336 -481
10 -387 256 178
Вычислите компоненты скорости потока и кинетическую температуру газа
в этом объеме. Заметьте, что результат упр. 1.5 может быть использован,
чтобы избежать вычисления компонент тепловой скорости. (Ответ: ио = 16.1,
Vq = 115.6, wo = —84.0 м/с, Т. = 522.5 К.)
1.7. Рассмотрите кубический элемент газа, длина стороны которого равна
средней длине свободного .пробега. Покажите, что число молекул в элементе
обратно пропорционально квадрату плотности и что полная частота столкно-
вений в элементе обратно пропорциональна плотности.
1.8. Покажите, что. полный (т. е. основанный на молекулярных скоростях с,
а не тепловых скоростях с') поток х-компоненты импульса в направлении у
в простом газе есть * ____
рио = pu'v' 4- р«0о0 — рху + р«о»о-
Аналогично покажите, что полная поступательная энергия молекул, при-
ходящаяся на единицу объема (или плотность поступательной энергии), в
простом газе равна
*/гР72 - +V2PC0 - WU\r + »/»р4
1.9. Результаты упр. 1.8 показывают, что для потока импульса и плотности
энергии в простом газе несущественны перекрестные произведения, включаю-
щие тепловую скорость и скорость течения. Выведите следующий результат и
покажите, что подобная связь существует и для теплового потока:
>/2рис2 = 'Apu'c'2 + ри0 (У2с'2 + </2с§) + ра0«/2 + рро«^ + Р^о"'®'4
1.10. Проверьте уравнение (1.44). - р
1.11. Покажите, что плотность поступательной энергии в газовой смеси равна
Чг £ пртрс2р == s/tnkTtT + >/2р4
Р-1
и, замечая, что газовая постоянная в газовой смеси есть R = nk/p, убедитесь,
что этот результат аналогичен результату с простым газом в упр. 1.8.
1.12, Среднее число молекул в объеме V макроскопически Ьднородного газа
с числовой плотностью п есть nV. Покажите, что для nV 1 вероятность
того, что действительное_число молекул находи?^ в пределах ± A ^nV от
среднего, есть erf(A/V2),
2
Парные упругие столкновения
2.1. АНАЛИЗ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
Мы видели, что столкновения молекул в совершенном газё
являются парными,’ т. е. в столкновении участвуют только две
молекулы. Упругое столкновение определяется как столкнове-
ние, в котором не происходит обмена между поступательной и
внутренней энергиями. Скорости двух молекул до столкновения
в типичном парном столкновении можно обозначить через С] и
C2- Пусть даны физические свойства молекул и ориентация
траекторий. Наша задача состоит, в определении скоростей
с* и с*2 после столкновения.
Им пуль» и энергия при столкновении должны сохр аняться.
Это означает, что
miCl + т2С2 = miCl + m2C2 == (mi + fn2) ст (2-0
и
т,с2. + m2cl = т.с*? + т2с*2. (2.2)
Здесь mi и /иг,— массы двух молекул и ст — скорость центра
масс пары молекул. Уравнение (2. Г) показывает, что столкно-
вение не влияет на скорость центра масс. Значения относитель-
ной скорости между молекулами до и после столкновения
можно определить так:
Сг = С1-С2
И (2.3)
Сг = С1 С2*
Уравнения (2.1) и (2.3) можно разрешить относительно ci и Сг,
тогда получим
__ । тг
С1~ cm+ тх + тг сг
и , ' (2.4)
т\
С2 —С/п т,+т2Сг-
Скорости до столкновения относительно центра масс есть
ci —Сй и с2 — ст. Уравнения (2.4) показывают, что эти скоро-
40
ГЛ. 2. ПАРНЫЕ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
сти параллельны в системе центра масс, и если молекулы яв-
ляются точечными центрами сил, то сила между ними остается
в плоскости, содержащей эти скорости. Столкновение, следова-
тельно, происходит в плоскости, проходящей через начало си-
стемы центра масс. Скорости после столкновений могут быть
аналогично получены из уравнений (2.1) и (2.3);
1 сш ”1” mi + mj Сг
И (2.5)
с* = с — т' с" *
2 • т Ш1 + г *
Следовательно, скорости после столкновения также параллель-
ны в системе центра масс. Сохранение момента количества дви-
жения требует, чтобы прицельное расстояние после столкнове-
ния было равно прицельному расстоянию b до столкновения?
Уравнения (2.4) и (2.5) показывают, что
„ тхс2 + т2с2 = (m1 + т2) с2т + nitc2
в
тхсх + tn2c*2 = (тх + т2) с2т + mtcf,
- где величина
mints
(2.6)
(2.7)
называется приведенной массой. Сравнение уравнений (2.6) с
уравнением энергии (2.2) показывает, что величина относитель-
ной скорости не меняется в результате столкновения, т. е.
Ч=*г- (2.8)
Так как ст и сг можно вычислить по скоростям др столкнове-
ния, то определение скоростей после столкновения- сводится
к вычислению изменения направления % вектора относительной
скорости.
Если F — сила между двумя сферически симметричными то-
чечными силовыми центрами молекул и п, г2— векторы их по-
ложений, то уравнения движения молекул имеют следующий
вид: -
тхТ\ — F
и # (2.9)
miii = — F.
Следовательно,
тхтг (г> — г2) = (mi + щ2) F,
2.1. АНАЛИЗ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
41
Рис. 2.1. Системы отсчета для анализа парных столкновений, а — предста-
вление столкновений в плоскости в лабораторной системе отсчета; б — пар-
ное столкновение в системе центра масс; в — взаимодействие частицы при-
веденной массы с неподвижным центром рассеяния.
или если вектор относительного положения обозначить через
г, то ~ •
mrr = F. (2.10)
Таким образом, движение молекулы массы mi относительно
молекулы массы т2 эквивалентно движению молекулы массы
гщ относительно фиксированного центра сиды.
42 . ГЛ. 2. ПАРНЫЕ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
-------------------------------------------------------
Вышеизложенные результаты обобщены на рис, 2.1. Переход
от лабораторной системы координат к системе центра масс сво-
дит траектории, в единую плоскость и показывает их симметрию
около линии центров АА'. Эта симметрия отражает симметрию
уравнений относительно скоростей до и после столкновения.
Дальнейшее следствие этой симметрии становится очевидным,
если мы рассмотрим такое столкновение между двумя молеку-
лами со скоростями, с* и с^, что расстояние между их невоз-
мущенными траекториями в системе центра irfacc опять равно Ь.
Это столкновение приводит к скоростям С] и Сг после столкно-
Рис. 2.2. Прямое и обратное столкновения частицы приведенной массы с не-
подвижным центром рассеяния. *
вения и называется обратным первоначальному, или прямому,
столкновению. Траектории прямых и обратных столкновений по-
казаны на рис. 2.2.
2.2. ПАРАМЕТРЫ И СЕЧЕНИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
Помимо поступательных скоростей двух соударяющихся мо-
лекул, необходимы еще два параметра столкновений, чтобы
полностью определить парное упругое столкновение между сфе-
рически симметричными молекулами. Первый — это расстояние
наибольшего сближения b невозмущенных траекторий в системе
центра масс. Плоскость, в которой лежат траектории в такой
системе, называется плоскостью столкновения. Второй пара-
метр— это угол между плоскостью столкновения и некоторой
плоскостью — плоскостью начала отсчета углов. Как показано
на рис. 2.3, линия перевечения плоскостей столкновения и от-
счета углов параллельна сг. Рассмотрим• плоскость, нормаль-
ную к сг и содержащую точку О, тогда дифференциальное се-
чение adQ для столкновения с параметрами удара b и е опре-
2.3. ДИНАМИКА СТОЛКНОВЕНИЙ
43
Рис. 2.3. Параметры столкновения.
— '
деляется в виде
odQ — bdbde, (2.11)
где dQ — элемент телесного угла около вектора cj. Из рис. 2.3
очевидно, что
dQ = sin % de, (2.12)
такчто
Полное сечение столкновений стт определяется следующим об-
разом: .
4л л ,
<гт = <jdQ = 2a asin%d%. (2.14)
0 °
Для реалистичных моделей молекул этот интеграл расходится
и необходимо ввести эффективные, или номинальные, сечения
столкновений.
2.3. ДИНАМИКА СТОЛКНОВЕНИЙ
В полярных координатах г, 0, используемых на рис. 2.1, мо-
мент количества движения и энергию частицы приведенной
массы тт, движущейся в силовом поле с центром в точке О,
можно приравнять предельным значениям этих.' величин при
г->оо, тогда уравнение момента количества движения есть
г20 = const = bct. (2.15)
44 ГЛ. 2. ПАРНЫЕ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
Энергия частицы в силовом поле равна сумме кинетической и-
потенциальной энергий, и так как сила стремится к нулю на
больших расстояниях, то эту сумму можно приравнять кинети-
ческой энергии частицы на бесконечности, т. е.
I/2mr (г2 + Л2) + ф = const = */2/ПгСг. (2.16)
Здесь ф — межмолекулярный потенциал, который связан со -
сферически симметричной силой F между молекулами следую-
' щим образом j
со
Ф = F dr,
или _ (2.17)
/?=-_^ф
dr ‘
Можно исключить время в уравнениях (2.15) и (2.16), тогда
получим уравнение траектории
('dr\2 = ____,2 - ФГ4.
\</0/ b2 1/iin<.c2b2
Вводя безразмерную координату
W = b/r, (2.18)
уравнение траектории приведем к виду
(Y — 1 ур2 ф
\ d6 J 1/гтгс2 ’
так что
J ( х — 1/2
6= А Г 1 -г2-—2-X-L . dW.
J X J
Далее при пересечении траектории с линией центров ОА
е=ел
и
dU7/de = 0.
Следовательно,
' Р < ml “У2
Ui-ir- ’ 1 (2.19)
о I 72»»ГСГ ) -
где JFi--положительный корень уравнения
2.4. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ
45
И наконец, угол отклонения вектора относительной скорости
равен
% = я-29д. (2.21)
Вышеизложенное определение выражения для угла отклонения
X составляет ключевой шаг в анализе динамики парного упру-
гого столкновения. Однако, как отмечалось в начале главы, об-
щей целью является определение скоростей после столкнове-
ния с’ и с*. В обычной схеме вычислений компоненты векторов
ст и сг получаются из скоростей молекул до столкновения по
формулам (2.1) и (2.3). Определение параметра Ь позволяет
тогда вычислить угол отклонения % из формул (2Я8) — (2.21).
Чтобы вычислить скорости после столкновения с помощью фор-
‘мул (2.5), необходимы компоненты скорости с*. С этой целью
вводятся декартовы координаты х', у' и z', причем ось х' имеет
направление сг, тогда компоненты скорости с* вдоль, этих осей
будут равны Crcosx, сТ sin % cos г и cr sin х sine, а напр'авляю-
щие косинусы оси х’ равны Utjct, vr/cT и wr/ct. Так как ориен-
тация начальной плоскости произвольна, то ось у' должна
быть выбрана таким образом, чтобы она была перпенди-
кулярна оси х. Тогда направляющие косинусы у' равны О,
даг(иг + — иг(°? + да?)-1/2> а направляющие косинусы
оси z': (о? + а^)-1/2/сг> — ыА(а? + ~ «rwr(ur + w^~^l
/сг. Необходимые выражения для компонент с* в начальных
координатах х, у и z имеют следующий вид:
а’= cos x«r + sin х sin в (о* + о£)1/2,
о* = cos х»г + sin х (cr®r cos 8 — игог sin в)/(о* + (2.22)
ю* = cos %wr — sin х (crfr cos 8 + uTwT sin е)/(цЗ + wty12- '
14. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ
Как отмечалось в гл. 1, сила, действующая между двумя
молекулами, является сильно отталкивающей на близких рас-
стояниях и слабо притягивающей на больших. Для аналитиче-
ского анализа необходима простейшая приемлемая модель.
Можно сказать, что модель приемлема для данного приложе-
ния, если она ведет к достаточно точному согласию между тео-
рией и экспериментом. • -
Наиболее распространенная модель полностью игнорирует
притягивающую компоненту силового поля. Ее называют либо
моделью со степенным законом взаимодействия, либо моделью
!
46
ГЛ, 2. ПАРНЫЕ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
с точечным центром отталкивания и определяют так:
Р — к/гп,
или (2.23)
Ф = х/{(п — Or”-1}.
Отношение потенциальной энергии к кинетической на бесконеч-
ности. равно
<р s 2х = 2 / W у-1
l/2mrCr (q-Dm//11-1 1-1 Но/
где Wo — второй безразмерный параметр столкновения, опреде-
ляемый равенством
* z 2\1/(П-1)
W0 = b(-£-) . (2.24)
Из уравнений (2.19) — (2.21) можно теперь получить угол от-
клонения:
№1 х „ 1 ч —1/2
Х“« -4{1-^-V=t(x)'} (225)
0 "
где Wt — положительный корень уравнения
Заметим, что для данного q величина % есть функция лишь без-
размерного параметра удара Wo. Зависимость % от одного па-
раметра есть основная причина удобства и распространенно-
сти степенного закона. Дифференциальное сечение столкнове-
ний есть функция от сг. Для фиксированной величины ст выра-
жение (2.24) и его производная могут быть подставлены в
(2.11), что дает х
= dlToJe. (2.26)
k mrcr /
Для любой конечной величины т) силовое поле распространяет-
ся до бесконечности, и интеграл в формуле (2.14) для полного
сечения столкновений расходится.
Проблема неограниченности полного сечения столкновений
От являётся общей для большинства классических моделей.
Хотя величина от бесконечна, огромное большинство столкно-
вений— это скользящие столкновения, приводящие к очень не-
большим отклонениям. С учетом квантовомеханических эффек-
тов можно показать [94], что принцип неопределенности не
позволяет определить эти.столкновения. Поэтому при использо-
вании классической модели отбрасывание (усечение) дальних
2.4. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ
47
столкновений есть требование теории и одновременно практи-
ческая необходимость.
Такое усечение может быть проведено лйбо ограничением
расстояния Ь, либо угла отклонения %. В большинстве случаев
предпочтительно последнее, а так как х есть функция Wo для
степенного закона, то усечение по углу отклонения для такой
модели можно проводить, задавая максимальные значения
1170 т величины W Тогда для фиксированной величины сг пол-
ное сечёние столкновений от можно получить интегрированием
уравнения (2.26) по всем возможным значениям столкнови-
тельных параметров 1Г0 и 8, т. е.
<гт=\ \ ЯМ—5-| dWod&,
o’ 0J
или
(2.27)
Однако это уравнение содержит произвольную величину W'o, т,
поэтому оно не подходит для установления эффективной час-
тоты столкновений или средней длины свободного пробега.
Вычисление переносных свойств, таких, как коэффициент
вязкости, включает, как будет показано, дифференциальное, а
не полное сечение столкновений. Номинальное полное сечение
^столкновений для данной модели может быть определено как
поперечное сечение Молекул — твердых сфер, которое дает то
же самое значение коэффициента вязкости. С помощью этой
процедуры можно по существу установить значение константы и
в потоке с известным числом Кнудсена и при условии, что меж-
молекулярные силы подчиняются степенному закону. Из фор-
мулы (2.27) следует, Что полное сечение столкновений моле-
кул, подчиняющихся степенному закону межмолекулярных сил,
обратно пропорционально сУ(ч-1).
Номинальное полное сечение столкновений, которое уста-
навливается вышеописанной процедурой, не надо путать с вяз-
ким сечением о^. Последнее определяется так:
4л
Og=^ sin2x<J//Q,
О ; ' - '
или с учетом (2.12)
Л
<тц = 2лА orsin3x^X. (2.28)
! О
Его название *связано с тем, что этот сходящийся интеграл
встречается в теории Чепмена — Энскога для коэффициенту
48
ГЛ, 2. ПАРНЫЕ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
вязкости. Далее из рис. 2.1, в можно-видеть, что проекция ско-
рости после столкновения на направление скорости до столкно- .
вения в системе ’ центра масс равна (1—cos%)cr. Это ведет
к определению сечения потери импульса <тм:
4л
0м = (1 — cos х) о dQ,
о .
. или
л
ом = 2л j а (1 — cos }с) sin х d%., (2,29)
о
Как (Гц,, так и ом использовались в качестве основы для раз-
личных определений эффективных средних длин свободного про-
бега и частот столкновений.
Рис. 2.4. Геометрия столкновений молекул — твердых сфер.
Модель твердых сфер, которая часто использовалась в гл. 1,
можно рассматривать как особый случай степенного закона
с т] -> оо. Как показано на рис. 2.4, эта сила становится эффек-
тивной, когда г = (d\ + d2) /2 = di2, при этом линия центров
АО — есть линия, проходящая через центры сфер. Следова-
тельно,
b == di2 sin 9а = di2 cos (х/2)
и
| = */2di2 sin (х/2),
так что формула (2.13) дает
о = 4/4. “ (2.30)
2.4. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ
49
Отсюда следует, что о не зависит от х и что рассеяние моле-
кул—твердых сфер является изотропным. Таким образом, все-
направления для равновероятны, что- можно легко увидеть
из чисто геометрических соображений. Полное сечение столкно-
вений, как уже отмечалось,, равно
4л
<jt=^ odQ = nd|2. . (2.31)
о .
Именно ограниченность величины От делает полезной модель
молекул — твердых сфер при установлении эффективного сече-
ния столкновений для других моделей.
Максвелловская модель есть, частный случай степенного за-
кона при т] = 5. Для безразмерного расстояния наибольшего •
сближения мы имеем
IFi = И[(1 + 2/^)‘/2 - 1]1/2,
и уравнение (2.25) можно проинтегрировать. В результате по-
лучаем • '
Q Г / о ч-1/2!
Х = + • (2.32)
(1 + 2/й^)1'4 L к ^о/ J
•где
л/2
Я(а)=$-------
. J (1 -asm2?)*"
— полный эллиптический интеграл первого рода. Формула
(2.26) для дифференциального сечения столкновений принимает
вид
= dWode. (2.33) •
cr \mr 7
Мы видели в § 1.2, что вероятность столкновения для пары
молекул пропорциональна произведению сечения столкновений'
и относительной скорости. Формула (2.33) показывает, что ве-
роятность столкновения.максвелловских молекул не зависйт от
их относительной скорости. Это- основное аналитическое пре-
имущество максвелловских молекул.
Если силовое поле реальной одноатомной молекулы аппрок-
симировать степенным законом,~то эффективное значение т]
обычно оказывается -около десяти. Частные случаи твердой
сферы и максвелловских молекул дают полезные предельные
случаи «твердых» и «мягких» молекул соответственно. Эффек-
тивное, значение т] обычно устанавливается по температурной
зависимости коэффициента вязкости. Теория, основанная на
50
ГЛ. 2. ПАРНЫЕ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
степенном законе для силового поля, дает степенную зависи-
мость вязкости от температуры с показателем степени, являю-
щимся функцией только гр Так как истинный показатель сте-
пени можно рассматривать как константу только в ограничен-
ном температурном диапазоне, то появляется необходимость
более реалистичной модели, включающей притягивающую ком-
поненту межмолекулярной силы.
Модель прямоугольной потенциальной ямы добавляет к мо-
дели твердой сферы однородный притягивающий потенциал с
конечной областью действия. Модель Сюзерленда в ту же мо-
дель твердой сферы-вводит притягивающую компоненту с об-
ратной степенной зависимостью. Более реалистичной и, ве-
роятно, лучше всего известной из притягивающе-отталкиваю-
щих моделей ' является потенциал Л еннарда-Джонса. Эта мо-
дель добавляет к, обычному отталкивающему степенному закону
притягивающую компоненту с обратной степенной' зависи-
мостью. Подробное обсуждение этих и других моделей пред-
ставлено в работе Гиршфельдера, Кертисса и Берда [45].
Следует помнить, что применение любой модели молекул
оправдано, если в отсутствие сведений о сечениях столкновений
реальных молекул она дает правдоподобные результаты и не
делает анализ слишком громоздким. Впрочем, последнее тре-
бование становится все *менее существенным, по мере того как
появляются все более мощные численные методы.
Постепенно появляются теоретические и экспериментальные
данные о сечениях столкновений. Тоннис [90] подвел итоги
современных успехов в этом направлении. Использование про-
стых классических моделей сомнительнее всего при низких тем-
пературах, когда важны квантовые эффекты; для некоторых од-
ноатомных газов теперь возможно заменить эти модели более
реальными сечениями столкновений.
Упражнения
2.1. Проверьте (2.4) и (2.5). >
2.2. Покажите, что для особого случая т, = 2 (кулоновские молекулы)
X = 2 arc sin [(1 + Гц) */2].
2.3. Покажите, что уравнение траектории в системе центра масс для макс-
велловских молекул имеет вид
6 = -j=-F (arc sin [n1/2 { 1 + -f - (S - 1) arc sin ),
где . '
Ф
f (ср, a) = (1 — sin2 a sin2 P)”lj/2 t/p
Q
УПРАЖНЕНИЯ
51
— эллиптический интеграл первого рода и
1=(1+"2/1Г04)1/2.
2.4. Вычислите сечения столкновений, определенные по потере импульса и по
вязкости для молекул — твердых сфер и молекул со степенным законом вза-
имодействия.
2.5. Определите- минимальный угол отклонения, который соответствует усече-
нию величины Жо, т = 1.5 для безразмерного столкновительного параметра
1Го в газе (1) из максвелловских молекул и (2) из молекул с п = 12 (От-
веты: (1) х= И.Г; (2) % = 0.5°.) ' У • I • \
3
Основные элементы
кинетической теории
3.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
Для полного описания газового потока в классической ме-
ханике необходимо задать положение, скорость и внутреннее
состояние каждой молекулы в данный момент. Однако число
молекул в реальном газе настолько велико, что такое описание
немыслимо.. Поэтому надо обратиться к статистическому опи-
санию при помощи распределения вероятностей. В кинетиче-
ской теории используется множество различных' функций рас-
пределения скоростей, и общий обзор связи между ними помо-
жет избежать возможной путаницы.
Мы. начнем с определения одно'частичной функции распреде-
ления в пространстве скоростей. Рассмотрим газ, однородный
в физическом пространстве, содержащий N идентичных моле-
кул, Типичная молекула имеет скорость с с компонентами и, и
и w в направлении декартовых осей х, у, г. Точно так же как
х, у и t определяют пространство, называемое физическим, ком-
поненты и, v и w определяют пространствб скоростей, как по-
казано на рис. 3.1. Каждая молекула может быть представлена
в этом пространстве точкой, являющейся концом соответствую-,
щего вектора скорости. Функция распределения скоростей f(c)
определяется тогда следующим образом:
dN = Nf(c)dudvdw, (3.1)
где dN— число молекул данного газа, имеющих компоненты
скорости от и до и + du, от v до v + dv и от w до w + dw. Про-
изведение du dv dw можно отождествить с элементом объема
в пространстве скоростей и обозначить через de. Тогда (3.1)
записывается в виде
dN = Nf{c)dc, ' (3.1а)
который справедлйв не только в декартовой, но и в любой си-
стеме координат. Функциональная зависимость обычно опу-
скается, и функция распределения просто записывается кай f.
Вместо dN и N, относящихся к -молекулам определенного объе-
ма физического пространства, можно использовать числовую
3.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
63
плотность. Следовательно, часть молекул внутри элемента de.
пространства скоростей есть
dnln — fdz. (3.16)
Так как каждая молекула представляется точкой в простран-
стве скоростей, то
+ 00 4-00 +оо +оо
j $ $ fdudvdw = Мс = "^'=^ (3.2)
Функция распределения, следовательно, здесь нормирована так,
что ее интегрирование по всему пространству скоростей дает -
Рис. 3.1. Изображение молекулы и элемента объема в пространстве скоростей.
единицу. Заметим, что f не может быть, отрицательной^ должна
либо иметь конечные границы в пространстве скоростей, либо
стремиться к нулю, когда с стремится к бесконечности.
- Макроскопические переменные были определены в гл. 1 в
терминах средних по молекулярным скоростям. Средние вели-
чины могут быть определены как мгновенные средние, средние
по времени или средние по ансамблям молекул в элементе фи-
зического пространства. Можно считать, что эти молекулы об-
разуют однородный газовый объем и одночастичная функция
распределения дает достаточное описание этой системы. Чтобы
связать Макроскопические свойства с функцией распределения,
мы должны определить зависимость между ней и средней вели-
чиной любого молекулярного признака Q. Этот признак есть
либо константа, либо функция молекулярной скорости, Опреде-
54
ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ление средней величины дает
Q = ±\QdN,
N
или, заменяя dN в соответствии с (3.1), имеем
4-00
Q=4- $
Сокращая константу N, получим общий результат:
4-00
Q= J Qf de.
— 00
(3.3)
Такую операцию обычно называют взятием момента от функ-
ции распределения, а макроскопические величины —моментами
функции распределения. Например, скорость потока, которая
определялась равенством (1.15) как с, может быть записана
в виде
4-00
с= J cfdc. (3.4)
. —00
Макроскопические параметры потока газа являются функциями
положения и времени. Иногда требуется дать более точную
зависимость функции распределения от вектора положения г
в физическом пространстве и времени t. Так же как de исполь-
зовалась для обозначения элемента объема в пространстве ско-
ростей, элемент объема в физическом .пространстве можно»обо-
значить через dr. Произведение de dr определяет тогда элемент
объема в фазовом пространстве, которое представляет собой
многомерное пространство, образованное объединением физи-
ческого пространства и пространства скоростей. Одночастичная
функция распределения в фазовом пространстве &~(c;r,t) опре-
деляется следующим образом:
dN = ^(c, г, t)dcdr, ... (3.5)
где dN — число молекул в элементе фазового пространства
de dr. В декартовых координатах de dr равно du dv dw dx dy dz,
и dN есть число молекул с компонентами скорости от и до
и + du, от о до о -J- dv, от w до w 4- dw и пространственными
координатами от х до х 4- dx, от у до у 4- dy, от z до z -р dz.
Заметим, что определяет количество, а не часть молекул
в элементе фазового пространства. Она не была нормирована,
и интегрирование по всему фазовому пространству дает, общее
число молекул N в системе, а не единицу.
3.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ♦
55
Если-функцию распределения в пространстве скоростей f (с)
применить к элементу физического пространства dr, то число
молекул JV в равенстве (3.1) будет представлять собой общее
число молекул в dr, тогда как dN будет числом молекул в эле-
менте фазового пространства de dr. Тогда можно написать
dN = Nf (с) de = ЗГ (с, г, t}dedr,
и так как числовая
ства равна N/dr, то
плотность в элементе фазового простран-
nf (с) — Т (с, г, О-
Следовательно, если f(c)
зависит от г и t, то
используется в случаях, когда она
nf = &\
(3.6)
Мы воспользуемся этим тождеством, чтобы в последующих гла-
вах использовать только f. Некоторые авторы (например, Чеп-
мён и Каулинг [19] и Харрис [41]) предпочитали 27", которую
они обозначали через f. Наши уравнения для nf будут соответ-
ствовать йх уравнениям для f так же, как и у ряда других ав-
торов (например, Кеннард [48] или Винсенти и Крюгер [94]).
Наиболее детальное описание дается функцией распределе-
ния для всех N молекул в системе. В любой момент времени
полная система одноатомных молекул может быть представ-
лена точкой в бА^-мерном фазовом пространстве. Если мы рас-
смотрим большое число или ансамбль таких систем, то вероят-
ность нахождения какой-либо системы в элементе объема
dci dc2 ... deN dri dr2 ... drN в окрестности точки ci, п, c2, r2, .,,
..., Cjv, rw фазового пространства есть
Pw(сь П> С2, г2, .... cN,. rN, t)dcide2 ...
... deN dri dr2-... drN. (3.7)
Таким образом, она определяет N-частичную функцию распре-
деления F<N\ Нижний индекс обозначает номер молекулы. /?-
частичная функция распределения для R из N молекул оп-
ределяется в виде
Р00 (сь Г1, с2, г2, .... сл, rR, t) =
СО 00
/ = $ $ . dcN drR+i ... drN. (3.8)
— оо —00
В частности, одночастичная функция распределения /7(1>(ci,rl, t)
получается при 7? = 1. Вероятность нахождения молекулы 1 в
элементе фазового пространства dci dn в момент t есть •
fl(ci>ri, t)dc! dri независимо от положения остальных N-— 1 мо-
лекул. Чйсло молекул в элементе фазового пространства в mq-
56
ГЛ.' 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
мент времени t равно NF<1\ так- как молекулы неразличимы.
Следовательно, имеем
NFW==&-, (3.9)
и Fw можно рассматривать как нормированный вариант SF. '
Двухчастичная функция распределения F(2)(ci, гь с2, г2, /)
представляет особый интерес при рассмотрении парных столк-
новений. Определение совершенного газа требует, чтобы лишь
малая часть занимаемого газом пространства действительно со-
держала молекулу. Поэтому обычно предполагают, что в таком
- газе вероятность обнаружения пары молекул с данной двух-
частичной конфигурацией есть просто произведение вероятно-
стей обнаружения отдельных молекул с соответствующими зна-
чениями их фазовых координат, т. е.
F(2) (q, гь Сг, г2, /) == F(1) (q, rb t) • F’> (c2, r2, t), (3.10)
что выражает принцип молекулярного хаоса. Если для изучения
плотного газа необходимы функции более высокого порядка, то
разреженный газ адекватно описывается одночастичной функ-
цией распределения. *
Для двухатомных или многоатомных молекул размерность
фазового пространства увеличивается на число внутренних сте-
пеней свободы. Если молекулы не являются сферически сим-
метричными, то их ориентации также должны быть определены.
В общем случае размерность фазового пространства равна наи-.
меньшему числу скалярных переменных, необходимых для точ-
ного определения положения, ориентации и внутреннего состоя-
ния молекулы. Определение расширенной функции распределе-
ния, которая включает эти дополнительные переменные, не
представляет трудностей, если указанные переменные' распре-
делены непрерывно или последнее можно предположить.. Это .
имеет место при классическом описании газа. За исключением,
водорода и гелия при очень низких температурах, поступатель-
ное движение можно описать при помощи классических мето-
дов. Классическое описание справедливо также для враща-
тельных степеней свободы, например, в таких газах, как кисло-
род и азот при температурах порядка 300 К,'но оно не является
справедливым для колебательных степеней свободы в этих- же
газах.
При рассмотрении дискретных квантовых состояний ’ для
каждого, из них должна быть определена отдельная функция
распределения. Отдельные функции необходимы и для каждого
сорта молекул в смеси газов. Однако в большинстве случаев
в кинетической теории рассматривают исключительно простые
газы, состоящие из сферически симметричных одноатомных мо-
лекул, и это едва ли покажется странным,
.3.2. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
S7
3.2. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Мы видели, что-функции распределения скоростей являются
основой статистического описания газа на молекулярном уров-
не. Следующим шагом является установление зависимости
функции распределения от переменных, являющихся ее аргу-
ментами. В принципе эти уравнения позволили бы найти ана-
литические решения задач , в молекулярной, газовой динамике.
Основным уравнением статистической механики дЛя газа
является, уравнение Лиувилля, которое выражает сохранение
jV-частичной функции распределения в 6М-мерном фазовом про-
странстве. Это уравнение не используется для непосредствен-
ного отыскания решёнйя, так как практически описание реаль-
ного газового потока с помощью Fw совершенно исключено. -
Однако мы видели, что последовательное интегрирование (3.7),
дает иерархию /^-частичных функций распределения ЯЛ), опре-
деляемую (3.8). И точно так же последовательное интегрирова-
ние уравнения Лиувилля дает иерархию уравнений, называе-
мых ББГКИ-уравнениями.
Последним уравнением иерархии ББГКИ является уравне-
ние для одночастичной функции распределенйя F(l). Это един-
ственное уравнение, которое можно, без сомнения, решить в
приложении к практическим газовым течениям. Оно содержит
и двухчастичную функцию распределения Г(2), но становится
замкнутым уравнением для ,F(1) после введения предположения
о молекулярном хаосе. Тогда после замены с помощью равен-
ства (3.9) оно становится уравнением для одночастичной функ-
ции распределения в фазовом пространстве, которое эквива-
лентно уравнению,' впервые сформулированному Больцманом в
1872 г. [11].
Математические границы справедливости уравнения Больц-
мана наиболее точно устанавливаются при упомянутом выше
выводе из уравнения Лиувилля (см., например, Трэд [38],
Черчиньяни [16], Харрис [41])*)- С другой стороны, физиче-
ское содержание каждого члена в этом уравнении легче понять,
если"при выводе уравнения Больцмана с самого начала ис-
пользовать одночастичную функцию распределения. Эта проце-
дура и будет применена здесь, а для простоты и ясности вывод
ограничен простым газом.
В определенный момент число'молекул в элементе фазо-
вого пространства dtdr -определяется равенством (3.5) как
&~dcdr. Тождество (3.6) позволяет записать это в'виде nfdcdr.
*) Строгий вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля дан
Н. Н. Боголюбовым в 1946 г. (см., например, Боголюбов Н. Н. Проблема
Динамической теории в статистической физике. — М.: Гостехиздат, .1946),—
Прим. ред. - . .
58 ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЁСКОИ ТЕОРИЙ
Если местоположение и форма элемента не меняются со вре-
менем, то скорость изменения числа молекул в таком элементе
есть
^-(nfjdcdr. (3.11)
Рис. 3.2 иллюстрирует процессы, которые вносят вклад в из-
менение числа частиц в dcdr и заключаются в следующем.
(1) Перенос молекул через поверхность, охватывающую dr^
молекулами со скоростью с. Представление элементов фазового
' .If
Рис. 3.2. Поток молекул в элемент фазовогр пространства dcdr и из него.
пространства в виде отдельных объемных элементов в физиче-*
ском пространстве и пространстве скоростей подчеркивает тот
факт, что сиг рассматриваются как независимые переменные,
при этом с считается константой в dr, a de расположен около
точки, определяемой значением г.
(2) «Перенос» молекул через поверхность, охватывающую
de, под действием внешней силы F на единицу массы. Действие
ускорения F на молекулы в de аналогично эффекту, создавае-
мому скоростью с для молекулы в dr.
(3) Переход Молекул в dcdr и выход из него благодаря рас-
сеянию межмолекулярными столкновениями. Газ предполагается
совершенным, как это определено условием (1.5) и обсужда-
лось ℧ 1.2. Одно из следствий этого предположения заклю-
чается в том, что столкновение можно считать мгновенным со-
бытием, происходящим в фиксированной точке физического про-
странства. Это означает, что при столкновении молекула пере-
скакивает из одной точки в другую в пространстве скоростей
и при этом остается в одной и той же точке физического
3.2. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
59
пространства и времени. Поэтому на рис. 3.2 столкновения пред-'
ставлены таким образом, что они воздействуют только на эле-
мент de. Вторым следствием предположения о совершенстве
газа является вывод о парности столкновений.
Сначала рассмотрим процесс (1), являющийся конвектив-
ным переносом через поверхность, охватывающую dr. Число
молекул в элементе фазового пространства есть nfdcdr, так что
числовая плотность молекул класса с внутри dr равна nfde.
Выражения (1.11) и (3.3) позволяют записать общий поток мо-
лекул этого класса через поверхность Sr в виде
— nfc • erdSrde.
sr
Здесь Sr —общая площадь поверхности, охватывающая dr,
dSr — элемент этой поверхности и ег — единичный вектор нор-
мали этого элемента. Теорема Гаусса позволяет преобразовать
поверхностный интеграл но Sr в объемный интеграл по dr. То-
гда этб выражение приобретает следующий вид:
. — V • (nfc) d (dr) de,
dr
\
или, так как nf и с постоянны внутри dr,
— V ’ (nfc) dr de.
Учитывая, что мы рассматриваем только молекулы класса с,
скорость с можно вынести за операцию дивергенции в физиче-
ском пространстве. Поэтому поток молекул класса с через по-
верхность, охватывающую dr, обусловленный скоростью с, есть
-сde dr. (3.12)
Можно воспользоваться аналогией между процессом (2) в про- '
странствё скоростей и процессом (1) в физическом простран-
стве, тогда легко записать поток молекул через поверхность, *
охватывающую de, за счет внешней силы на единицу массы F
в виде
— F.-^-dcdr. , . (3.13)
Общее число молекул, рассеянных из Элемента dedr в ре-
зультате столкновений; легко получается" рассуждениями, ана-
логичными тем, которые привели к формулам (1.6) и (1.7) для ,
частоты столкновений и полного числа столкновений в газе.
Однако, чтобы получить правильное выражение для молекул,
дошедших в элемент dedr, мы должны рассмотреть скорости
60 гл. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
сталкивающихся молекул как до, так и после'столкновения..
В частности, нам придется рассмотреть столкновение молекулы
класса с (или с-молекулы) с молекулой-класса ci (или Ci-мо-
лекулой)^ после которого скорости равны с* и с’ соответственно.
Назовем такое столкновение столкновением класса с, Ci —»с*, с,.
Теперь можно вычислить изменение числа с-молекул в dcdr
в результате столкновений указанного класса. В качестве проб-
ной можно взять с-молекулу, движущуюся со скоростью Сг от-
носительно неподвижных полевых ci-молекул. Объем, вырезае-
мый в физическом пространстве сечением столкновений, дви-
жущимся со скоростью Сг, равен cTadQ, а число молекул клас-
са ci на единицу объема в физическом пространстве есть nfidci.
Число столкновений указанного выше класса, претерпеваемых
пробной молекулой в единицу времени, .равно, таким образом,
nf^adQdc.!.
Так как число с-молекул в элементе фазового пространства
есть tifdcdr, то число столкновений класса с, с,-*?1, cj ‘- в еди-
ницу времени в элементе dcdr будет
ntff^odtidc^dcdr. . (3.14)1
Подобно тому как f определяет значение функции распре-
деления, соответствующее с, fa даст значение f для сь Анало- .
гично, f* и f\ можно использовать для обозначения значений f
для с* и с* соответственно. Заметим также, что представление
вероятности парного столкновения как произведения двух од-
ночастичных функций распределения выражает принцип моле-
кулярного хаоса.
. Существование обратных столкновений (рис. 2.2) означает,
что для столкновений класса с*, с‘->с, с1(. рассеивающих
с*-молекулы в с-молекулы, можно провести анализ, аналогич-
ный тому, который ведет к (3.14). Это дает следующее выра-
жение для частоты столкновений в элементе de* dr фазового
пространства:
nTr^dQ^dc^dedr. (3.15)
Равенство (2.8) показывает, что с* равно сг. Кроме того, сим-
метрия между прямыми и обратными столкновениями тако-
ва, что якобиан преобразования, соответствующего переходу
от достолкновительнйх скоростей к послестолкновительным,
равен единице, поэтому это преобразование .оставляет неизмен-
ным значение произведений дифференциального сечения столк-
новений и элементов пространства скоростей, т. е.
l(ordQ)</cldc2[e=[(adQ)*rfcfrfc;[. (3.16)
3.2. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
61
Значит, выражение (3.15) можно записать так:
n2FTiCra dQ de, de dr. (3.17)
Суммарное изменение числа с-молекул в элементе фазового
пространства dcdr в результате прямых и обратных столкнове-
ний класса с, С[ с*, с, получается вычитанием убыли моле-
кул (3.14) из прироста (3.17) .-Это дает
— ^cT<sdQ. dc^dcdr. (3.18)
Полное" изменение числа с-молекул в элементе dcdr в резуль-
тате столкновений получается интегрированием этого выраже-
ния по полному сечению столкновений с-молекул с. ci-молеку-
лами с последующим интегрированием класса ci по всему про-
странству скоростей. Искомое выражение для процесса (3)
поэтому имеет вид
' 5 J n^fTi-ff^c^dQd^dcdr. . ♦ (3.19)
— со О
Выражение J3.ll) для полного изменения числа с-молекул,
обусловленного рсеми тремя процессами, равно сумме выраже-
ния (3.19) для процесса (3) и выражений (3.12) и (3.13) для
процессов (1) и (2) соответственно. Если члены (3.12) и (3.13)
перенести в левую часть уравнения и результат разделить на
dcdr, то получим уравнение Больцмана для простого разрежен-
ного газа:
T+«Jw)+F'|w)-
“ $ $ ^(fTi-ff^odQdc^ (3.20)
— со 0
В газовой смеси, состоящей из s химических сортов, можно
для каждого йз этих сортов определить отдельную функцию
распределения. Уравнение Больцмана тогда заменяется систе-
мой совместных уравнений. Как и в § 1.3, отдельные сорта мо-
гут быть отмечены индексами р или q. Уравнение Больцмана
для сорта р в смеси поэтому можно записать в виде
Ъ (nPfP) + СР . £ (npfp) + F . £ (npfр) =
s 4-оо 4л •
=Е S (з;21)
-оо 0 ™
В предыдущем разделе отмечалось, что наличие внутренних
степеней свободы, требует введения обобщенной функции рас-
62
ГЛ, 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
' пределения. Сечения столкновений асимметричных молекул яв-
ляются функцией ориентации молекул, и поэтому они непре-
рывно меняются со временем из-за вращения молекулы при ее
движении между столкновениями. Для классических моделей
многоатомных молекул понятия обратных столкновений не су-
ществует. Однако можно определить такие поперечные сечения
столкновений, которые сглаживаются, или усредняются по мо-
лекулярным вращениям и колебаниям'. Теорема Лиувилля тогда
ведет к единичному якобину для преобразования, соответствую-
щего равенству (3.16), и, таким образом, допускает формули-
ровку, аналогичную уравнению'(3.20). Чепмен и* Каулинг [20]
назвали полученное уравнение обобщенным уравнением Больц-
мана.
Член в правой части уравнения Больцмана называется ин-
тегралом столкновений1). Его сложный вид контрастирует с
членами в частных производных, выражающими пространствен-
ную и временную зависимости nf. Этот интегральный ,чл.ен и
является причиной, многих математических трудностей, связан-
ных с уравнением Больцмана. С другой стороны, nf— един-
ственная зависимая переменная в этом уравнении. Это можно
было бы считать преимуществом при сравнении уравнения
Больцмана с уравнениями Навье — Стокса в континуальной га-
зовой динамике, так как последние содержат в качестве пере-
менных компоненты скоростей и термодинамические величины.
Однако это преимущество значительно превышается добавле-
нием скоростных координат к списку независимых переменных.
Уравнение Больцмана впервые было выведено в 1872 г., но
прошло сорок лет, прежде чем были получены решения для
сравнительно простых случаев малых градиентов температуры,
скорости ц концентраций в газе. Это — решения Чепмена —Эн-,
скога, которые обсуждаются в § 3.5. Они ограничены случаями
малых. чисел Кнудсена, в которых длина свободного пробега
мала по сравнению с характерной длиной изменения парамет-
ров. Серьезные попытки решить уравнения Больцмана для бо-
лее общих течений при произвольном числе Кнудсена были
предприняты лишь около 1950 г.; разнообразные подходы в
этом направлении обсуждаются в гл. 6.
3.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ
И УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ
Признак Q относится к одной .молекуле и является либо
константой, либо функцией скорости молекулы. Мы ранее ви-
дели, что среднее значение этого признака можно получить
г) Автор называёт его столкновительным членом, а термин «интеграл
столкновений» применяет к моментам от него (см. (3.26)). ~ Прим, ред.
3.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ И УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 63
умножением функции распределения скоростей f на Q с после-
дующим интегрированием этого произведения по всему про-
странству скоростей. Эти средние называются моментами
функции распределения. Аналогично, момент уравнения Больц-
мана можно получить умножением его на признак Q и затем
интегрированием полученного уравнения по всему простран-
ству скоростей. Так как моменты функции распределения вклю- «,
чают все макроскопические величины для' одноатомного газа,
то можно ожидать, что уравнения для моментов будут вклю-
чать систему уравнений сохранения газовой динамикр одноатом-
ного газа.
Умножение уравнения Больцмана (2.23) на Q дает
Q 4г М + «с • 4 («f) + QF • (nf) =
оо 4л
= Q Ц n2 (Hj — f/J сг<т dQ dcr (3.22),
—оо О
Здесь f и Q относятся к молекулам класса с, и уравнение со-
ответствующего момента получается интегрированием по всем
классам молекул. Так как Q либо константа, либо функция
только с, то Q можно внести под знак производной в первом
члене (3.22). Искомый интеграл от этого.члена поэтому при-
мет ВИД т
4-00
J -^-(nQh dc
или, используя (3.3),
~at(nQ). (3.23)
Величины с и Q можно внести под знак производной и во вто-
ром члере уравнения (3.22), при этом интеграл становится
равным
4-00
V • (ncQf) de,
— оо
или
V • (ncQ). (3.24)
То, что с можно вносить под знак производной в уравнении
(3.22), объясняется тем, что зависимой переменной в уравнении
Больцмана является значение функции распределения для дан-
ного класса молекул. Поэтому, в то время как f — функция от г
и t, величины с и Q в уравнении (3.22) можно считать не зави-
сящими от г и Л. Однако средние от с и Q определяются через
64
ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
функцию распределения f и должны рассматриваться уже как.
функции от г и t. Интеграл от третьего члена в уравнении
(3.22) имеет вид
+оо
— со
его можно записать в виде
+оо
J F.A(„Qf)rfc_
— 00
$ F.-gnfdc.
Предполагается, что F не зависит от с, и, так как f = 0 или
/->0 при с->оо, первый интеграл исчезает, а второй прини-
мает. вид
(8-26)
Интеграл от правой части уравнения (3.22) обозначим че-
рез A[Q] ’)'> т. е.
A [Q] = J J J n2Q (f’f’ - ffj сго dQ dc{ de. (3.26)
— oo —oo 0
Выражения (3.23) — (3.26) нужно объединить, и тогда получим
уравнение для момента, соответствующего признаку Q:
44«Q) + V-M)-nF.-g-==A[£]. (3.27)
Это уравнение можно также назвать уравнением; переноса.
Столкновительный член обладает двумя формами симмет-
рии, что ведет к нескольким различным формам для Д [Q]. Эти
формы симметрии _ поясняют физический смысл интеграла
столкновений и потребуются в дальнейшем. .Первой является
симметрия между сталкивающимися молекулами и означает,
что Д [Q] не меняется, если поменять местами с и ci, a Q, пред-
ставляющее значение Q при заданном с, заменить значением Qi,
равным Q при с = d. Аналогично величины с* и Q* могут взаим-
но меняться ролями с.с * и Q*. Вторая симметрия основана на
обратимости столкновений. Она позволяет взаимно заменять Q
на Q* и Qi на QL если одновременно с, Ci, f и Л соответственно
меняются с с*, с,, /‘и f*. Чтобы избежать замены dcdci на de* de’,
4) Автор называет этот интеграл интегралом столкновений. Поскольку
этот'термин обычно применяется к интегральной части уравнения Больц-
мана, во избежание путаницы мы его для интегралов типа (3.26) исполь-
зовать не будем. — Прим. ред.
3.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ И УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ 65
можно воспользоваться уравнением (3.16). Применение первой
формы симметрии к выражению (3.26) дает
A[Q] = J J n2Ql(f,lf-flf)cIadQdcdc1. (3.26а)
— оо — оо О
К этому выражению можно применить и вторую форму сим-
метрии, тогда получим
A [Q] = J $ J n2QJ (fj - f\f*) cro dQ de dcx, (3.266)
— 00 —oo 0
и вторичное применение первой формы симметрии дает
A [Q] = J J $ n2Q* (ffx - fTi) с/5 dQ de dcv (3.26b)
— оо —оо 0
Равенства (3.26), (3.26a), (3.266) и (3.26в) можно сложить и
разделить полученный результат на четыре, тогда получим
4-00 4-00 4л
A[Q] = 74 J $ J ra2(Q + Q, — Q’ —Q’) X
°° 00 . XtfTi-ffJC'OdQdc^c. (3.26г)
Формулу (3.26) можно записать в виде
4-оо +оо 4л 4-оо 4-оо 4л
A[Q] = $ $ n2Qf7‘crff rfQ dCj de — n2Qff// dQ dex de,
— oo —oo 0 —oo —oo 0
и применение, второй формы симметрии к первому члену в
правой части превращает Qf*f] в Таким образом,
A[Q] =э* J" n2(Q* — Q)fflct(5dQdelde. (3.26д)
— оо —со 0 -
Аналогичное преобразование уравнения (3.26) дает
A[Q]= J J J n2(Q\-Q^f{fct(5dQdexde. (3.26е)
—оо —оо О
И наконец, сложив уравнения (3.26д) и. (3.26е) и разделив по-
лученное уравнение на два, получим
дК>] = ‘/2 J $ J n2(Q + Q\-Q-Qx)fxfct<sdQdedev (3.26ж)
— оо —оо О
8 Г, Бёрд
66 ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Физический смысл величины* A [Q] наиболее ясно виден из
формулы (3.26ж), так как Q* + Qi — Q — Qi представляет из-
менение признака Q в результате столкновения класса
с, cj. Это изменение суммируется по всем классам
столкновений и делится на два, чтобы учесть тот факт, что
каждое столкновение при интегрировании считается дважды. То,
что интегрирование эквивалентно суммированию по всем столк-
новениям, легко увидеть, если заметить, что
4-оо 4-оо 4л 4-оо 4-оо
*/2 ^nif1fctadQdcdcl=ll2 атс/г2/^ dc4 de =;
— оо —со 0 —оо —оо
последнее выражение находится в соответствии с формулой
(1.7), для полного числа столкновений в единицу времени на
единицу объема газа. Используя это замечание, уравнение для
момента, или уравнение переноса, с A [Q] в форме (3.26ж) мож-
но вывести независимо от уравнения Больцмана, и оно действи-
тельно было таким образом выведено Максвел'лом в 1867 г.
Выражение A[Q] в форме (3.26г) ближе к формулировке
Больцмана и просто, показывает, что изменение Q в результате
обратных столкновений в точности равно изменению Q в резуль-
тате прямых столкновений. ’
Если Q есть либо масса т, либо импульс /ис, либо энергия
молекулы У^тс2, то сохранение этих величин при столкнове-
ниях означает, что Q 4- Qi — Q* — Q* = 0. Тогда из выражений
(3.26г) и (3.26ж) следует, что интеграл A [Q] равен нулю, как
и.следовало ожидать из его физического смысла. Величины т,
тс и 1/2тс2 называются инвариантами столкновений, тогда как,
любая величина, удовлетворяющая условию Q 4-Qi — Q* — Q*=Q
называется.сумматорным инвариантом1). Можно показать, что
инварианты столкновений или их линейные 'комбинации яв-
ляются единственными возможными сумматорными инвариан-
тами (например, Харрис [41, § 4.2]). Поэтому если Q — сумма-
торный инвариант, то интеграл A [Q] равен нулю и Q имеет вид
Q = А • 112тс2 4- В • тс 4- С, (3.28)
где А, В и С — постоянные.
Этот интеграл равен нулю в трех уравнениях для инвариан-
тов столкновений. Средние в левой части этих уравнений можно
выразить через макроскопические параметры газа. Эти три
уравнения являются4 уравнениями сохранения газовой динами-
ки. Прежде всего если положить Q = m в уравнении (3.27), то
получится уравнение сохранения массы
(пт) 4- V • (птс) = 0, (3.29)
—---------:- «
4) Часто ее называют также. аддитивным инвариантом. — Прим. ред.
3.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ И УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ в7
или, используя (1.9) и (1.13), ,
-$- + ?• (рсо) = О. ' (3.30)
Для обозначения дифференцирования по траектории движения
жидкой частицы удобно ввести полную производную
^^ + co.Vs^ + «A + o^ + a,^. (з.з1)
Уравнение сохранения массы, или уравнение неразрывности,
тогда принимает вид
2e. = _pv.co. (3.32)
Положив Q = тс в уравнении (3.27), получаем уравнение со-
хранения импульса, или уравнение движения. Это уравнение
является векторным: .
-% (pc) + V • (рос) — pF = 0. (3.33)
Из определений (1.15) и (1.16) следует, что
сс = (с' 4- Со) (с' + Со) = eV + сосо,
поэтому уравнение (3.33) можно записать в виде
р-^г +*с° + C°V <рс°) + Р (со • V) со -Fv ‘ (pcV) — pF = 0.
Второй и третий члены уничтожаются в силу уравнения нераз-
рывности (3.30); определение (3.31) позволяет объединить пер-
вый и четвертый члены в полную производную, а выражение
(1.20)—записать пятый член с помощью давления и тензора
вязких напряжений. Таким образом,
р^ = -7р+Л.т + рР. (3.34)
Смысл векторных и тензорных величин станет ясным, если за-
писать уравнение сохранения импульса в направлении оси х
декартовых координат. Оно имеет следующий вид:
Du др дхгг дхг,. дхг,
Р-й = - 4 +-зг + + Tf + л-
И наконец, в уравнении (3.27) величину Q можно положить
равной m&l'l, тогда получим уравнение сохранения энергии-.
^-(72pr2) + V-(1/2p7?)-pco-F=O.. (3.35)
Преобразования, аналогичные только что проведенным для
Уравнения (3.33) (см. упр. 1.9 для разложения ее2), в конеч-
з*
. 68
ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ном счете дают
рТГ=а-^-со + ф-¥,<1-. (3.36)
Величина Ф называется диссипативной функцией и может быть
записана в декартовых координатах в следующем виде:
+ ^(£+£) + ^(>+»- <з.зг>
Так как уравнение сохранения импульса (3.34) является век-
торным, то уравнения сохранения массы, импульса и энергии
составляют пять уравнений. Кроме трех компонент скоростей
и трех термодинамических свойств р, р и Т, они содержат тен-
зор вязких напряжений т и вектор теплового потока q в виде
зависимых переменных. Поэтому эти уравнения не образуют
замкнутую систему. Однако если т и q равны нулю, то вместе
с уравнением состояния мы пОДучим. замкнутую систему, ко-
торая образует систему уравнений - Эйлера для- невязкого те-
чения.
В общем случае использование уравнений для моментов,
отличных от уравнений сохранения, требует вычисления инте-
грала A [Q]. Этот процесс можно проиллюстрировать частным
примером, когда Q = и2 и молекулы максвелловские. Подста-
новка этой величины Q в выражение (3.26д) совместно с фор-
мулой (2.33) для сечения, столкновений максвелловских моле-
кул даст
4-00 4-00 2л 4-00 1/2
А[«2] = $ $ $ $ n2(«*2-«2Wo(->) dUMedcd.
—оо —оо 0 0 *
Преимущество максвелловских молекул заключается в том, что
скорости молекул явно входят лишь в член и*2 — и2, который
может быть записан как (и* —и)2 4-2м («* — «). Заменяя «2 и и\
в формулах (2.4) и (2.5) на и и ui соответственно и используя
соотношения (2.22), найдем
и* — и = ’/г («г — «J) = V2 [(1 — cos %) иг — (о2 + да2)1/2 sin % sin е].
Следовательно,
и*2 — и2 — */4 [(1 — cos х)2 «2 — 2 (1 — cos х) «г (o2+t^)I/2 sin х sin е -f-
4- sin2 х sin2 в (о2 + да2)] + и [(1 — cos х) «г ~~
— (и2 4- ^)l/2 sin х sin в].
3.4. Я-ТЕОРЕМА И РАВНОВЕСИЕ
69
Интегрирование по в может быть вйполнено в первую очередь,
и это дает
2л
(и*2 — и2) de = л (и2 4- 2ииг) (1 — cos х) — 1/4л (За2 — с2) sin2 %.
В
Из (2.3) следует, что и2 + 2ииг = uf— и2, и так как и и щ
имеют одинаковое распределение, то при интегрировании по
пространству скоростей этот член исчезает. Оставшийся член
содержит лишь относительные скорости, и это означает, что ре-
зультат не зависит от того, используем ли мы тепловые или аб-
солютные скорости, и, следовательно, А [м2] = А [и'2]. Формулы
(2.3) и (1.16) дают и2 = и\ — 2и\и' + и'2, и после двойного ин-
тегрирования по пространству скоростей получим ыг2 = 2«'2
Аналогичный результат справедлив для с2, и интеграл А [и2]'
преобразуется к виду
А [и2] = - -у- (^-)1/2 п2 (7* - >/372) [ sin2 xIF0 (Жо.
О
Используя определения. (1.19) и (1.20), получим окончательное
выражение для максвелловских молекул
А[«2] = ^А2(5)(-|-)1/2^-тжх, (3.38)
где . '
Лг(5)=5 sin2%1Fo<flFo.
oJ
Величина А2(5) есть числовой коэффициент, и его величина
0.436 может быть найдена при помощи (2.32).
3.4. Я-ТЕОРЕМА И РАВНОВЕСИЕ
Рассмотрим пространственно однородный простой совершен-
ный одноатомный газ, на который не действуют никакие внеш-
ние силы. Уравнение Больцмана ,(3.20) можно упростить для
такого газа, так как числовая- плотность п есть константа, про-
странственные производные д/дг и внешняя сила F равны
нулю. Уравнение принимает вид
оо 4л
% = п И (3.39)
-00 Q
70
ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
На малом временном интервале f меняется до f-f-Af, а относи-
тельное изменение есть Af/f или A (In f), //-функция Больцмана,
есть среднее значение In f, т. е. _
Н = In f,
или при помощи формулы (3.3) ,
. Н= pinfde. (3.40)
В качестве Q в уравнении для моментов (3.27) можно положить
In f, и если интеграл А [QJ записать в форме (3.26г), то получим
оо оо 4л *
^Г = Т $ $ j (Inf+lnfj-lnf-ln^X
—оо —оо О
XtfTi-ffJC'adQdcdi^
оо оо 4л
= т $ 5 pln-^Yrn-ff^^dQdcd^. (3.41)
Пусть In (tfJffT) положителен, тогда разность (f*f\ — ff () долж-
на быть отрицательна, и наоборот. Следовательно, интеграл в
правой части уравнения (3.41) либо положителен, либо равен
нулю, и Я не может увеличиваться, т. е.
-^-<0. (3.42)
Этот результат известен как Я-теорема Больцмана.
Теперь возникает вопрос, уменьшается ли Н без предела
до —оо или стремится к конечной величине и затем остается
постоянной. Следует отметить, что при с->оо имеем и
— оо, и, следовательно, интеграл (3.40) в определении Н
может расходиться. Однако так как энергия газа ограничена,
то интеграл
00
J fc2dc
— 00
сходится. Значит, чтобы интеграл (3.40) расходился, прибли-
жение Inf к —оо должно быть белее'быстрым, чем приближе- ,
ние —с2 к — оо. .В этом случае приближение f к 0 происходило
бы быстрее, чем ехр(—с2) к 0, и так как х"ехр(—х2)->0 при
х->оо для всех значений п, то интеграл (3.40) сходится. Сле-
довательно, для любого начального распределения молекул в
пространстве скоростей распределение будет меняться со вре-
менем таким образом, что Н будет уменьшаться монотонно до
3.4. //-ТЕОРЕМА И РАВНОВЕСИЕ
71
конечного нижнего предела. В последующие моменты времени
dH/dt — Q, и из уравнения (3.41) следует, что для этого тре-
буется выполнение условия
ГЛ-т = 0, (3.43)
или
In f И- In f, = In Г + In/;. (3.44)
Из сравнения уравнений (3.44) и (3.39) видно, что стационар-
ное состояние для Н является также стационарным состоя-
нием для f. Следовательно, мы получили уравнение,' определяю-
щее равновесное состояние, в котором вероятное число молекул
в любом элементе пространства скоростей остается неизменным
во времени.
Из уравнения (3.44) видно, что в равновесном состоянии
In f есть сумматорный инвариант. Таким образом, в силу (3.28),
необходимым и достаточным условием для равновесия является
следующее равенство: ’
In f = А • l/2mc2 + В • тс + С. (3.45)
Последнее можно записать через компоненты тепловых скоро-
стей в виде
In f = А • Ч2тс'2 + т (Ас0 + В) • с' + А • ’Л^с2 + ® " тсо + С.
В равновесном газе не может быть предпочтительного направ-
ления, значит, распределение f должно быть изотропным. Это
требует, чтобы коэффициент при с' был равен нулю, т. е.
В = — Дсо.
Поэтому
In f = 1/2Атс'2 — 112Атс2 + С,
или
f “ exp (у2Атс'2 — Ч2Атс% + С).
Функция f ограничена, следовательно, коэффициент при с'2
должен быть отрицательным, и для удобства мы введем новую
константу, положив л/2Ат = —р2. Таким образом, имеем
f « exp (С +' р2с2) ехр (— р2с'2).
Постоянная С может быть найдена с помощью условия (3.2)'
Для нормировки f, которое требует, чтобы .
f de = exp (С + P2Cq) exp (— р2с'2) de' = 1.
14
ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Однако
j exp (— 02с'2) de' =
— оо
ехр[— р2(«'2+ v'2-{-w'2)]du'dv'dw' =
— ОО —ОО —00
— ехр(—p2u/2)d«' exp (— Р2и'2) dv' ехр(— fi2w'2)dw'.
— ОО —00 —ОО
Перечень стандартных интегралов в приложении В показывает,
что интеграл каждой компоненты равен л/п /р, так что
exp (С + P2Cq) = р3/л3/2.
Итак, в конечном счете равновесная, или максвелловская,
функция распределения fo имеет вид
/;=»(рз/яз/2)ехр(_р2с^ . (34б)
Постоянную р можно связать с температурой газа. Из со-
отношений (1.23), (3.4) и (3.46) следует, что
оо
W = */27=-С- ( с'2 exp (— pv2) de'.
2л 1 J *
— 00
Используя вторично стандартные.интегралы приложения В, по-
лучим
Р2= (2RT)~r=m/(2kT). (3.47)
Здесь мы имеем дело с равновесным газом, поэтому поступа-
тельная температура 7\г, вычисленная при помощи (1.23), равна
термодинамической температуре Т, и индекс можно опустить.
Подстановка (3.47) в (3.46) дает другое эквивалентное выра-
жение для fo:
3/2
exp[-mc'7(2^)]. (3.46а)
Можно показать [19], что в случае равновесия газовой сме-
си, равновесная функция распределения сорта р имеет вид
3/2
' . ехр[-^;7т]- (3.48)
Максвелловское распределение применимо также к поступа-
тельным скоростям двухатомных и многоатомных молекул. Этот
результат был доказан для особого случая молекул — шерохо-
3.4. //-ТЕОРЕМА И РАВНОВЕСИЕ
73
ватых сфер [19, § 11.4] с использованием метода, который при-
менялся здесь для одноатомных молекул. Механика столкнове-
ния более реальных моделей слишком сложна, чтобы приме-
нить такой подход. Однако если предположить, что каждое
прямое столкновение равновероятно обратному столкновению,
то обобщенное уравнение Больцмана дает подход, применимый
ко всем'молекулярным моделям [20, § 11.3]. Более того, для
равновесия применимы методы статистической механики, кото-
рые в этом случае дают более общие доказательства,’ чем ме-
тоды кинетической теории.
Мы в основном будем иметь дело с газовыми течениями, не
являющимися пространственно однородными и макроскопиче-
ски стационарными. Следовательно, необходимо определить
условия, при которых к таким течениям может применяться
максвелловское распределение. Если распределение скоростей
в каждой точке течения газа является максвелловским, завися-
щим от местной температуры и плотности, то говорят, что в по-
токе имеет место локальнре термодинамическое равновесие1).
Это понятие локального термодинамического равновесия факти-
чески тождественно более известному понятию термодинамиче-
ской необратимости. Мы увидим, что обычно течение с нуле-
выми вязкими напряжениями, потоками тепла и диффузионны-
ми скоростями можно рассматривать как обратимый процесс,
пока справедливо условие
(з.49)
Здесь величина Q представляет любую макроскопическую ве-
личину. Условие (3.49) утверждает, что временные масштабы
для различных значений макроскопических величин в системе
координат, движущейся с жидкой частицей, должны быть чрез-
вычайно большими по сравнению со средним временем между
столкновениями. Однако следует отметить, что процесс, вклю-
чающий в себя конечные теплоперенос, вязкие напряжения и
диффузию, необратим, даже если (1 /v) D (In Q)/Dt равно .нулю
для всех Q. Наиболее очевидным примером такого рода яв-
ляется стационарный процесс в газе с нулевым градиентом дав*
ления, но ненулевыми градиентами температуры и плотности.
Течение газа в локальном термодинамическом равновесии опи-
сывается уравнениями Эйлера.
*) Строго говоря, функция распределения является локально максвеллов
ской лишь при полном равновесии и в ряде вырожденных движений (см.,
например, Коган М. Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967,
с. 242). Здесь речь, идет о приближенной замене истинной функции распреде-
ления максвелловской. — Прим, ред.
74 ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
3.5. МЕТОД ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА
Метод Чепмена — Энскога дает решение уравнения Больц-
мана для ограниченного'класса задач, в которых функция рас-
пределения f незначительно отклоняется от максвелловской.
Предполагается, что функция распределения может быть вы-
ражена в виде степенного разложения
f = f(O) + eof(I> + 8^+ .... (3.50)
где бо — параметр, который можно рассматривать как меру либо
среднего времени между столкновениями, либо числа Кнудсена.
Первый член f(0) — максвелловское распределение fo для равно-
весного газа. Другая форма этого выражения имеет следую-
щий вид:
/ = /о(1+Ф1 + Ф2+ ...)• (3.51)
Равновесная функция распределения представляет известное
приближение первого порядка к решению уравнения Больц-
мана, а приближение второго порядка к решению требует
определения Фь
Решения уравнения Больцмана в виде f==fo(l +Ф1) былц
получены независимо Чепменом и Энскогом и являются основ-
ным предметом классической монографии . [19]. Для простого
газа Ф1 зависит только от плотности, макроскопической плот-
ности и температуры данного газа; так что это решение есть
нормальное решение уравнения Больцмана. Так как fo удовле-
творяет уравнениям
00
$ Мс=1,
, “°0
оо
с/с/с = Со, .
— 00
со
J c'2fdc = 3RT,
— 00
то Ф1 должна быть такой, чтобы
оо
Ojorfc = 0,
• — оо
оо
J сФ^о^с = О, (3.52)
—оо
оо
J с/2Ф^о с/с = 0,
— 00
3.5. МЕТОД ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА
75
Далее можно показать, что Ф1 должна иметь следующий вид:
ф1={------L Ас'. А(щ Т) + Вс' V (3.53)
где А и В — функции от Т и с'. Верхний индекс 0 над тензором
указывает, что сумма его диагональных компонент равна нулю.
В покомпонентных обозначениях гл. 1 имеем
Двойное произведение двух тензоров — скалярная величина, ко-
торую можно записать в индексной форме:
4
Полная запись этого выражения в декартовых координатах
“имеет вид '.
(«,! - 'М'!) + «'«' $ + »V % +
+ vV+ (О'!- +
. z / dw0 . f f dw0 । / /2 ii z2\ dw0
+ wu ~dT + wv + ~-,zC
где c'2 =‘u'2 + v'2 + to'2.
Подстановка выражения (3.53) в формулы (1.20) и (1.27)
с использованием разложения (3.51) и определения (3.3) дает
выражения для тензора вязких напряжений и вектора тепло-
вого потока в виде линейных функций от градиентов скоростей
и температур соответственно. Коэффициенты при градиентах
можно отождествить с обычными коэффициентами вязкости и
теплопроводности. Подстановка зависимостей для тензора вяз-
ких напряжений и вектора теплового потока в уравнения со-
хранения приводит к уравнениям Навье — Стокса в континуаль-
ной газовой динамике. Поскольку Ф1 должна быть мала по
сравнению с единицей, выражение (3.53) показывает, что су-
ществуют границы величин градиентов, для которых справед-
лив метод Чепмена — Энскога. Мы найдем, что условие спра-
ведливости состоит в том, что средняя длина свободного про-
бега мала по сравнению с линейным масштабом градиентов, или
менее точно число Кнудсена мало, если газ не слишком откло-
няется от состояния равновесия.
Оценка следующего члена в разложении (3.51) ведет к си-
стеме очень сложных уравнений более высокого порядка, на-,
зываемых уравнениями Барнетта. Однако оценки показывают,
что на эти уравнения нельзя полагаться в смысле улучшения
76
ГЛ. 3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
описания, даваемого уравнениями Навье — Стокса. Поэтому,
хотя метод Чепмена — Энскога и обеспечивает аналитические
выражения. для свойств переноса и является важной связью
между макроскопическим и микроскопическим подходами, он
не ведет к решению задач,.которые лежат за пределами спра-
ведливости уравнений Навье— Стокса1).
Метод Чепмена — Энскога характеризуется чрезвычайной
математической сложностью, и вниманию читателя предлагают-
ся следующие работы: Чепмен и Каулинг [19]; Гиршфельдер,
Кертисс и Берд [45]; Винсенти и Крюгер [94]; Харрис [41]
или Черчиньяни [16]. Конечные выражения коэффициентов
переноса для ряда молекулярных моделей приведены в §• 4.4.
Функции распределения скоростей, соответствующие этим ре-
зультатам, также весьма важны и обсуждаются в § 4.4. Моле-
кулярная модель входит в выражения для коэффициентов А
и В, входящих в формулу (3.53). Эти выражения обычно полу-
чаются npji помощи разложений. по полиномам Сонина. По-
скольку слово «порядок» уже употреблялось для определения
числа членов в разложении (3.51), решение, включающее и чле-
нов в разложении по полиномам Сонина, называется обычно
«n-м приближением».
. Упражнения
3.1. Задишит? интеграл столкновений уравнения Больцмана для особых слу-
чаев степенного закона: максвелловских молекул и молекул — твердых сфер.
3.2. Покажите, что с учетом уравнения состояния в уравнения сохранения
входят тринадцать независимых переменных.
3.3. Обобщенную //-функцию Больцмана можно определить на основе функ-
ции распределения в фазовом пространстве вместо пространства скоростей,
т. е. '
QO ОО
Н — д/о In (rtfo) rfc dr.
— оо —оо
Покажите, что в равновесном газе эта функция равна
Яо = - S/k,
где S — абсолютная энтропия.
3.4. Проверьте, что тензор вязких напряжений т и вектор теплового потока q
равны нулю в равновесном газе.
3.5. Покажите, что для максвелловских молекул интеграл А[ии] дается выра-
жением для А [и2] (формула (3.38)), в'котором Ххх заменяется на хху.
4) Это утверждение неверно. См., например, обсуждение этого вопроса
в работе В. С. Галкина и М. Н. Когана (Изв. АН СССР, МЖГ, 1979*
Хе 6). — Прим, ред.
4
Справочные формулы,
граничные'условия
4.1. ОБЪЕМНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
Согласно результатам, полученным в § 3.4, равновесную
функции? распределения fo можно записать в виде
f0 = (Р3/л3/2) ехр (— р2с'2),
где (4.1)
р — (2£Т)~1/2 = [m/(2kT)]il2.
Вследствие равенства (3.1) доля- молекул,, вектор скорости ко-
торых находится в пространстве скоростей в объеме de вблизи
значения с', определяется так:
^=у = №Иехр(-^'2)(/с. (4.2)
Так как собственная, или тепловая, скорость равна с' = с — Со,
в декартовой системе координат (и, о, w) доля молекул, компо-
ненты скоростей которых лежат в интервалах от и до и + du,
от v до v + dv и от w до w + dw, равна
~ = (р3/л3'2) ехр {- Р2 [(« - и0)2 + (о - «о)2 +
+ (w — Wo)2]} du dv dw. (4.3)
Для наблюдателя, движущегося вместе с газом со скоростью
Со, элемент объема в пространстве скоростей в сферической
системе координат (с', 0, ф) равен с'2sinQdQdqde'. Таким обра-
зом, доля молекул, модуль вектора скорости которых принимает
значения от с' до с' + de', а сам вектор скорости характери-
зуется полярным и азимутальным углами, принимающими зна-
чения в -интервалах соответственно [0, 0 + d0] и [<р, <р 4- d<p],
равна
%- =. (рз/яз/2) с/2 ехр (_ р2с/2) sjn 0 dQ d(f dc, (4 4)
Интегрируя равенство (4.4) по ф в пределах от б до 2л и по v
от 0 до п, определим долю молекул, модуль вектора скорости
которых имеет значение от с' до с' + de' независимо от направ-
78
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ления вектора скорости:
(4/iiF/2)P3c'2exp(—P2e'2)dc'. (4.5)
Определим функцию распределения fc, так, чтобы доля моле-
кул, абсолютная величина скорости которых изменяется в ин-
тервале от с' до с' + de', была равна fc,dc'. Из выражения (4.5)
следует
fc' = (4/л*/2) рзс/2 ехр (- Р2с'2). (4.6)
График функции fc, приведен на рис. (4.1). Функция fc, равна
нулю при с', равном нулю, при увеличении с' сначала возра-
Рис. 4.1. Равновесные функции распределения абсолютной величины вектора
скорости молекул и компоненты скорости молекул.
стает, достигая максимального значения при 0с'=1, а затем
уменьшается. Следовательно, параметр 0 обратно пропорцио-
нален наиболее вероятной тепловой скорости молекул с'т*.
с'т=МЪ. (4.7)
Среднее значение любой величины, зависящей от тепловой ско-
рости с', можно найти, применяя равенство (3.3) _к функции
распределения fc,. Так, средняя тепловая скорость с'.равна
Q0 00
с'« c'fc> de' = (4/л1/2) р3 с'3ехр (— р2с'2) de',
о о
Используя значения стандартных интегралов, приведенных в
приложении В, получим
/ (4.8)
4.1. ОБЪЕМНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
79
Среднее значение квадрата тепловой скорости уже было опре-
делено равенством (3.47) при определении связи параметра 0
с температурой Т. Поэтому среднеквадратичная тепловая ско-
рость- cs равна
= = (4.9)
Неравенства c's > с' > с'т являются следствием медленного убы-
вания функции распределения f при больших значениях с'.
Долю молекул, имеющих тепловую скорость, превышающую не-
которое значение с', определим, интегрируя выражение (4.5)
от с' до оо:
(4/«,д)р3 j\-!exp(-0VW.
. с'
Это выражение преобразуется к виду
1 + (2/л1/2)рс'ехр(-р2с'2) - erf (pc'), (4.10)
если опять воспользоваться выражениями для стандартных
интегралов из’приложения В и часто используемым в даль/
нейшем интегралом вероятности
erf (х) = (2/л1/2) j exp (— х2) dx. (4.11)
o’
В приложении С затабулированы значения этой функции, а
также приведены ее предельные значения, асимптотическое
разложение и разложение в ряд, удобное для программиро-
вания.
Доля молекул с одной компонентой скорости в заданном
интервале и произвольными значениями других компонент ско-
рости вычисляется интегрированием равенства (4.2) по этим
произвольным компонентам. Например, доля молекул, х-компо-
нента тепловой скорости которых принимает значения от и' до
и' 4* du', равна
(р3/л3/2) exp [—р2 (u'2 + v'2 + a/2)] du'dv' dw't
— OO —00
или
(р/л1/2)ехр(—p2u'2)(/u'. - (4.12)
Поэтому определим функцию распределения компоненты теп-
ловой скорости в виде
. fB=(pM1/2)exp(-pV2). (4.13)
80
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
График этой функции также приведен на рис. 4.1. Так как
функция распределения f сферически-симметрична в простран-
стве скоростей относительно вектора среднемассовой скорости
со, то наиболее вероятное значение компоненты тепловой ско-
рости'’ равно нулю. Среднее значение х-компоненты тепловой
скорости, осредненное по молекулам, движущимся в положи-
тельном направлении оси х, равно
u'fu'du' I j /„'</«'?= 2 (р/л1/2) J «'exp(—pV2)du/= 1/(л1/2р),
° / о о (4.14)
или c'/2, что получим, сравнивая выражения (4.14) и (4.8).
В случае равновесия газовой смеси соотношения этого раз-
дела можно применять к каждой компоненте независимо.
4.2. ПОТОКИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
Рассмотрим теперь потоки молекулярных признаков через
элемент поверхности в равновесном газе. Пусть, как это пока-
зано на рис. 4.2, вектор массовой скорости газа со расположен
Рис. 4.2. Система координат, используемая при анализе потоков молекуляр-
ных признаков через элемент поверхности.
под углом 0 к единичному вектору е нормали к элементу по-
верхности. Не теряя общности, можно выбрать декартову си-
стему координат так, чтобы вектор скорости потока лежал в
плоскости х, у, плоскость элемента поверхности совпадала бы
с плоскостью у, z и направление оси х было противоположно
вектору е. Компоненты скорости каждой молекулы в этой си-
стеме координат таковы:
и = «'+ со cos 0, o = o' + cosin0, w = w'. (4.15)
Из выражения (1.12) следует, что поток произвольного при-
знака Q на единичный элемент поверхности (в положительном
направлении оси х или в направлении, противоположном е)
4.2. ПОТОКИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
81
равен
nQu — n
Quf du dv dw.
(4.16)
Здесь рассматриваются только молекулы, движущиеся в поло-
жительном направлении оси х. В равновесном газе поток при-
знака Q на единичный элемент поверхности в единицу времени
получим, подставляя в равенство (4.16) выражение для fo
из (4.1):
ОО 00 00
^г— ( Q«exp[— ₽2(«'2+ v'2+ w'2)]dudvdw.
п'г
Используя равенство (4J5), этот результат можно записать
через величины массовой скорости и компоненты тепловой ско-
рости, т. е.
00 оо 00
\ Q (и'+ Со COS 0) X
-00 -ОО — Со COS 0
Хехр[— р2(ы'2+ о'2+ w,T>j\du'dv'dw'. (4.17)
Если положим в равенстве (4.17) Q = 1, то получим поток чис-
ла молекул Ni на элемент поверхности. Переменные при крат-
ном интегрировании разделяются:
00 00
М =( ехр(— fi2w'2)dw' ( ехр.(— ft2v'2)dv' X
— 00 / —00
00
X («' +cocos0)exp(—p2u'2)du'.
— Со cos 0 '
Используя стандартные интегралы приложения В, это выра-
жение можно записать так: ’ . t
Wn =
= {ехр ( — s2 cos2 0) + л1/2 s cos 0 [ 1 + erf (s cos 0)]}/(2л1/2), (4.18)
где
s = c0₽ = c0/c; = c0/(2/?n1/2 . (4.19)
— так называемое молекулярное скоростное отношение.
В покоящемся газе (s — с0 = 0) это выражение принимает
вид
[Wn= 1/(2л1/2),
82
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
или, используя равенство (4.8) и замечая, что с = с', имеем
M = 74rtg. - (4^20)
Используя физические соображения, этот результат можно вы-
вести из равенства (4.14), применив его к покоящемуся газу.
В этом равенстве утверждается, что средняя компонента ско-
рости, вычисленная по молекулам, для которых она положи-
тельна, равйа половине средней тепловой скорости молекул с.
Поскольку ровно половина всех молекул имеет положительную
компоненту в выбранном направлении, то поток числа молекул
в единицу" времени на единицу поверхности, перпендикулярной
заданному направлению, должен равняться х1±пс.
Полагая в равенстве (4.17) Q = mu — т(и' + Cq cos 0), по-
лучим поток нормальной составляющей импульса pi на элемент
поверхности:
Pi = ‘ ехр(— fi2w'2)dw' { ехр(—p2o,2)dti'X
л' J J
— 00 —оо
X (и' + eg cos 0)2 exp (— ₽V) du',
“Со COS 0
ИЛИ
P2pi/p = {$ cos 0 exp (— s2 cos2©) + л1/2 [ 1 + erf (s cos 0)] X
X(72 + ^cos20)}/(2n,/2). (4.21)
Отсюда для покоящегося газа имеем
pi = p/(4₽2) = p7?7’/2 = p/2,
как и можно было ожидать для равновесного газа, поскольку
падающие на элемент молекулы создают лишь половину дав-
ления. Точно так же, положив Q — mv — m(v' + Cq sin 0), по-
лучим поток касательной составляющей импульса п на эле-
мент поверхности:
Т1 = (птр3/л3/2) ехр(—р2®'2) dw' X ~
со
X (o' + со sin 0) exp (— ₽V2) dv' X
—оо
оо
X 5 («' + Со cos 0) exp (— р2и'2) du'.
—Со cos й
4.2. ПОТОКИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
83
Окончательный результат таков:
p2T./p = s sin 6 {ехр (— s2 cos2 0) +
4- cos 0 [1 + erf (s cos 0)]}/(2л1/2) = s sin 0 (fiNi/n). (4.22) '
Разумеется, поток касательной составляющей импульса в по-
коящемся газе равен нулю вследствие симметрии функции рас-
пределения.
Наконец, положив в равенстве (4.17) .Q = l/2mc2 =
= {/^т(и2 + vz + w2), получим поток энергии поступательного
движения йа элемент поверхности: ч
tr = [птр3/(2л3/2)] $ $ $ [(«'+ со cos 0)2 +
— ОО —ОО —Со cos 0
+ (o' + Со sin 0)2 + w'2] X
X («' + Со cos 0) ехр [— р2 (и'2 + о'2 + a/'2)] du' do' dw',
или , _
P3^i, tr/P — № + 2) exP ( — S2 c0&2 0) + nl/2S cos 0 (s2 + ®/2) X
X[l + er-f(scos0)]}/(4n1/2). (4.23)
Формула (4.23) для покоящегося газа упрощается:
P3<7i, tr/P = 1/(2я‘/2)- ' ' - <4-24)
В отличие от потоков числа частиц и импульса выражение для
потока энергии изменяется благодаря наличию у молекул внут-
ренней энергии. Выражение для удельной внутренней энергии
в равновесном не реагирующем газе следует из формулы (1.25):
Cmt = WT
Здесь £ — число внутренних степеней свободы,- С отношением
удельных теплоемкостей у оно связано следующим оборазом:
. Y = (? + 5)/(£4-3),
так что
J = (5-3Y)/(y-1). (4.25)
Поток внутренней энергии молекул на элемент поверхности ра-
вен произведению потока числа частиц Ni и средней внутренней
энергии одной молекулы. Таким образом, из равенств (1.25),
(4.18) и (4.25) имеем
РЧ, int/P == [(5 — 3 v)/(V — 1)1 {ехр (— s2 cos2 0) +
+ n1/2icos0[l+erf (scos0)]}/(8n1/2). (4.26)
84
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Складывая выражения (4.23) и (4.26) для tr и q\t int, по*
лучим поток полной энергии на элемент:
P3?i/P = {[2«2 + (Y + 1 )/(Y — О] exp (— s2 cos2 9) +
+ 2n1/2s cos 0 [? + yAy — 1)] [1 + erf (s cos 0)]}/(8л1/2). (4.27)
Для покоящегося газа это выражение упрощается:
' Й/р = [(Y + D/(Y - 1 )]/(8«1/2). (4.28)
Средняя энергия молекул покоящегося одноатомного газа, пе-
ресекающих элемент поверхности, равна qi/Ni при $ = 0, т. е.
Рис. 4.3. Потоки числа частиц и касательной составляющей импульса на
элемент поверхности; ------точный результат, уравнения (4.18), (4.22);
---------гиперзвуковое приближение, уравнение (4.29).
m/р2. Средняя энергия молекулы, находящейся в элементе
объема, равна 3/zmR.T, или 3/4т/р2. Таким образом, средняя
энергия молекул, пересекающих элемент поверхности, в 4/3 раза
больше средней энергии молекул,- находящихся в элементе
объема. Физическое объяснение этого состоит в том, что ве-
роятность пересечь элемент поверхности* в заданный интервал
времени для быстрых молекул больше соответствующей вероят-
ности для медленных молекул. Этим же объясняется тот факт,
что поток полной энергии (4^8) превышает поток энергии по-
ступательного движения (4.24) вдвое при £ = 4, а не при £ = 3.
Приведенное выше выражение'Для Nl обычно получают при
изучении эффузии молекул в разреженном газе. Эта задача
будет обсуждена в следующей главе. Выражения для plt ti и qt
выводят, как правило, в свббодномолекулярной аэродинамике.
4.2, ПОТОКИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
85
Там они определяют давление и трение, оказываемое молеку-
лами, прилетающими на элемент твердой поверхности, или теп-
ловой поток, приносимый ими. Необходимо, однако, подчерк-
нуть, что полученные выражения для потоков различных вели-
чин на элемент поверхности в равновесном газе справедливы
и важны при любой плотности.
На рис. 4.3. показано характерное поведение потока
числа молекул в равновесном газе. Если scos0->oo, то
Рис. 4.4. Поток нормальной /составляющей импульса на элемент поверхности
(обозначения см. в подписи к рис. 4.3).
ехр(—s2cos20)-*O и erf (s cos 0)—> 1, так что в гиперзвуковом
случае выражение (4.18) упрощается:
QNi/n — s cos0, ATi = ncocos0. (4.29)
*
Эти выражения можно вывести из основных законов, если пре-
небречь компонентами тепловой скорости и рассмотреть только
влияние скорости потока. Из равенства (4.22) следует, что
P2/Ti/(ps sin 0) равно fiNt/n, так что рис. 4.3 иллюстрирует и по-
ведение потока касательной составляющей импульса. Влия-
ние компоненты тепловой скорости молекул мало уже при
s cos 0 = 1 и пренебрежимо мало при s cos 0 = 2, когда $N\/n
равно соответственно 1.02513 и 2.00049.
На рис.' 4.4 приведена аналогичная кривая для безразмер-
ного потока нормальной составляющей импульса P2pi/p. Как
видно из равенства,, (4.21), предельное значение этой вели-
чины, когда экспоненциальный член стремится к нулю, а инте-
86
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
грал вероятности — к единице, равно
P2Pi/P = V2 + S2 cos2 6, Pi/( Vs р^о) = s“2 + 2 cos2 0. (4.30)
Отличие и этой зависимости от точной при s cos 0 > 2 очень
мало. Выражаясь языком свободномолекулярной аэродинамики,
можно сказать, что коэффициент давления падающих молекул
стремится к своему предельному гиперзвуковому значению
2 cos2 0 только тогда, когда s много больше единицы. Допол-
нительный член s—2 в равенстве (4.30) определяет увеличение
потока нормальной составляющей импульса за. счет теплового
разброса и приводит к тому, что гиперзвуковой предел pi до*
4.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОЛКНОВЕНИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 87
стирается при ббльших значениях scos0, чем в случае потока
числа молекул.
Выражение для потока энергии гораздо более сложно, так
как он зависит не только от scos0, но и от s и 6 независимо,
а также от числа внутренних степеней свободы молекул. Пре-
дельное значение выражения (4.27) таково:
РЧ/P = '/г s cos 0 [s2 + у/(у — 1)],
или
^/(‘/гРСо) = cos 0 [1 + Ys 2/(у — 1)]. (4.31)
Гиперзвуковой предел qi, равный ‘Ape? cos 0> достигается также, <
когда член s-2 становится мал, правда дополнительный множи-
тель у/(-у— 1) приводит к тому/что этот предел достигается
медленнее. На рис. 4.5 показана зависимость потока энергии
от з, 0 и s cos 0.^Она обнаруживает очень сильное влияние на-
клона элемента поверхности на тепловой поток, когда элемент
почти совпадает с направлением потока (т. е. когда 0 близ-
ко к 90°).
4.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОЛКНОВЕНИЙ
В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
В гл. 1 были получены общие выражения для средней ча-
стоты столкновений и средней длины свободного пробега в раз-
реженном газе. Они выражен^ через среднее значение пройз-
ведения поперечного сечения столкновения и величины относи-
тельной скорости. Из равенства (2.27) следует, что полное по-
перечное сечение столкновения молекул со степенными потен-
циалами пропорционально относительной скорости, возведенной
в степень —4/(т] — 1). Особыми потенциалами являются потен-
циал упругих сфер (г] = оо) с конечным поперечным сечением
и потенциал максвелловских молекул (т] = 5). Таким образом,
средняя частота столкновений пропорциональна среднему зна-
чению с(ч-5)/(п-D. Эта величина будет далее вычислена для рав-
новесного газа. Поскольку в общем случае степенных потенциа-
лов необходимо ввести усечение на некотором произвольном
прицельном расстоянии или при произвольном, угле отклонения, *
то окончательные выражения будут получены лишь для упру-
гих сферических молекул. Тем не менее важны и функциональ-
ные зависимости, полученные в промежуточных выкладках,
особенно зависимость от температуры, поэтому в большей части
анализа используется более общая молекулярная модель.
Относительная скорость при парном столкновении равна
Сг = С| - сг; здесь индексы t и 2 относятся к двум сталкиваю-
щимся молекулам. Если принять гипотезу молекулярного хаоса,
88
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
то двухчастичная функция распределения равна произведению
двух одночастичных функций распределения fa и fa. При этом
вычисляемое среднее значение равно
* ОО ОО '
с(ч-5)/(п-н= J J
— ОО —00
а в равновесном газе, используя формулу (4.1), имеем
. Q/9 00 00 _ О 9 —
. ГТ (^1^9) Г (* / I tTliCi fflnCb I
Проще всего этот интеграл вычислить, если переменные инте-
грирования Ci и Сг заменить на сг и ст. Якобиан преобразова-
ния равен
д («1, Qi, te>i, щ, Ра, w2)
4 д(и„ р„ wT, и„, р„, w\ ’
\ Г» Г’ Г» Щ Щ tnf
но вследствие симметрии равенств (2.3) и (2.4) достаточно вы-
числить одномерный якобиан, например якобиан по х-компо-
нентам,
dui дщ
д (ui, и2) диг дит
д (“г ит) ди2 ди2 ’ ’
диг ди
г tn
<
который, используя равенства (2.4), преобразуем к виду
mt + т2 ~ т2 mi____________________।
. mi j mi + m2 mi + m2 '
mt + m2 .
Таким образом, полный якобиан равен единице и в упрмянутом
интеграле dcidcz можно заменить на dcrdcm. Кроме того, в на-,
шем распоряжении есть равенство (2.6):
где mt — приведенная масса. Поскольку подынтегральное вы-
ражение не зависит от направления векторов сг и ст, то можно
провести интегрирование по двум азимутальным и двум по-
лярным углам, записав элемент пространства скоростей в сфе-
рической системе координат. При этом получим
dcr = 4nc2dcr, dcm = 4nc2mdcw.
4.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОЛКНОВЕНИЙ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ
89
Таким образом,
Чт1т^_ С С с(Зп-7)/(П-1)С2 х
er n(kT)3 J J г
X еХР {“ [(Ш1 + т2) ст + /nrC?]/(2*7’)} dcm
ИЛИ
9 /ли \3/2 ?
_ -Ll^_ ехр [- (га, + ™г) 4/(247)] <fc„ х
31 \Kl ) Q
, х[ c^-wcn-Dexpf-^^T)]^. (4.32)
о
Заметим, что функции распределения величин ст и сТ имеют
следующий вид:
^Ст~ п1/2 (2fer)3>2 С"> еХР
4т3/2 (4,33>
fcr= я1/2(2^)^' С* ехР [“ 'МД2*7’)].
Используя стандартные интегралы приложения В в равенстве
(4.32), получим
= (2/л1/2) Г [2 (п - 2)/(п - 1)] (2JfeT/mr)(’1"s)/(tl"1). (4.34)
В случае упругих сферических молекул результат упрощается:
сг = (2/л1/2) (2kT/mt)il2.
В простом газе тг = т/2 и
-сТ = 23/2/(л1/2р) = 21/2?. * (4.35)
Подставляя выражение (4.35) в формулу (1.6а), получим
среднюю частоту столкновений, рассчитанную нд одну молеку-
лу, в равновесном простом газе, состоящем из упругих сфери-
ческих молекул:’ _ .
v0 = 2’Wn?." (4.36)
Используя равенство (1.7), получим полное число столкнове-
ний, происходящих в единице объема в единицу времени:
Nc, = 2~ll2nd2nzc'. (4.37)
При. этом определяемая равенствами (4.36) и (1.8) средняя
длина свободного пробега в равновесном простом газе, состоя-
щем из упругих сферических молекул, равна
Ао = (21/2л//г)"‘. (4.38)
90
ГЛ.,4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Заметим, что средняя длина свободного пробега была опреде- !
лена как среднее расстояние, проходимое молекулами между
столкновениями, что привело в равенстве (1.8) к отношению |
ёг/с'. Иной результат получится, если в вычислениях исполь- ’
зовать отношение сг/с'. При этом определяется среднее расстоя- *
ние, проходимое молекулой за время между данным и ближай- .1
шим следующим столкновением (а не так, кай" ранее, при не- s
одновременных первоначальных столкновениях). Эту величину j
называют средней длиной свободного пробега Тейта; она отли- .|
чается от определяемой равенством. (4.38) тем, что множитель |
21/2 заменен на 1.477. г !
Рассмотрим теперь смесь газов, состоящую из s различных
сортов, молекулы которых — упругие сферы. Полагая .в равен-
ствах (1.30а) и (4.34) тг = mpmq/-(mp + tnq), .получим среднюю
частоту столкновений молекулы сорта р с молекулами сорта q-.
vpq = 2nll2d2pqnq [2kT (тр + mq)/mpmq]112. (4.39)
Как и ранее, средняя Частота столкновений молекул сорта р
равна I
5 I
Vp = 2 УР<1> (4.40) ' I
- 1
а средняя частота столкновений молекул смеси равна |
Е [(пр/п)Ур]. (4.41)
p=i
Выражения для числа столкновений в единицу времени также •:
не отличаются от приведенных в § 1.3. Средняя длина свобод- -
ного пробега молекул сорта р, как это следует из равенств
(1.34), (4.1) и (4.40), равна ч
ИЛИ
✓ 5 s — 1
^[ча^Г]} • <«2)
Наконец, средняя длина свободного пробега молекул смеси
равна
ч-Ё(г{Е[чЛ0;+-^Л}")- <«3>
4.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОЛКНОВЕНИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 91
Значение любой величины Q, зависящей только от сг, осред-
ненное по всем столкновениям, можно получить, введя в инте-
грал по Сг в (4.32) множитель Q и разделив результат на (4.34);
5-{2Шп*7г[^]}х
<гС!”-”'и-"ехр(^)*„ (4.44)
J X /
о
Энергия поступательного движения в системе координат, связан-
ной с центром масс, равна Et = Подставляя Q ==
в равенство (4.44), получим .
- . £t = [2(n-2)/(n-l)]W. " {4.45)
В случае упругих сферических молекул это выражение упро-
щается: _
Et — 2kT. (4.46)
В последующем понадобится также выражение для доли
столкновений, в которых энергия поступательного движения
Et = l/&nrc2 превышает некоторое значение Ес. Полное число
столкновений пропорционально интегралу в уравнении (4.32),
и число столкновений, при которых Et > Ес, можно получить,
если взять в качестве нижнего предела интегрирования по сг
величину, равную (2Ес/тт)1/2. Тогда искомая доля равна
X J c0n-7)/(n-i)exp(-^)dcr. (4.47)
' VW1')'12
Вводя обозначение для неполной гамма-функции, получим
^-Г(^. (4.47а)
Для упругих сферических молекул равенство (4.47) приводится
к следующему виду:
T = w I crexP[-mrc2J(2kT)]dct. t (4.48)
(2BC/««r)1/2
Вычисляя интеграл, имеем
^- = ехр(-Ес//гТ)[(£Ж)+1]. . - (4.49)
92
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Если нас интересует энергия, вычисляемая только по компонен-
те скорости вдоль линии центров, в этот результат надо внести
изменения. При этом для данного ст угол 0Л должен изменяться
в пределах от 0 до arc cos [ (2Ec/mT) i/2/cT]. Для упругих сфери-
ческих молекул можно получить аналитический результа'т. Диф-
ференциальное поперечное сечение для этой модели, равно
ц dQ = (4/12/4) sin хt/x di,
а так как (см. равенство (2.21))
Х = л-20л,
то
sin х d% = — 4 sin 0Л cos 0Л dQA.
Таким образом, эффективное полное поперечное сечение столк-
новения <Ге при тех столкновениях молекул, при которых инте-
ресующая нас энергия превышает заданную величину, равно
л arccos[(2Ec/mr)1/2/cr]
crE = — 2nd2l2 sin 0д COS 0Д 4/0д,
oJ
или, поскольку sin 0Д4/0Л = — d(cos 0а) ,
(4.60)
, \ mrcr J
Сравнивая этот результат с <jt — nd,2, заключаем, что для по-
лучения искомой доли в подынтегральное выражение равенства
(4.48) необходимо ввести в качестве множителя разность, стоя-
щую в скобках в равенстве (4.50), т. е.
о оо г.
— = 2OTf ( с®(1-------у') ехр[— tn c2/(2kT)]dc .
(2*Т)2 / Ч "WrJ L 1 J r
(2Ec/mr)1/2
Вычисляя без труда приведенный интеграл, получим порази-
тельно простой результат для доли столкновений упругих сфе-
рических молекул газа, при которых энергия проекции относи-
тельной скорости на линию центров превышает величину Ес:
-^ = exp(-EjkT}. (4.51)
4.4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ПАРАМЕТРЫ ВЯЗКОГО
ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА
Приводимые ниже результаты теории Чепмена — Энскога для
переносных свойств, простого газа позволяют определить эффек-
тивный диаметр молекул и среднюю длину свободного пробега
4.4. ПАРАМЕТРЫ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА 93
в реальных газах. Используя только первый член в разложении
по. полиномам Сонина функций А и В, введенных равенством
(3.53), можно получить «первое приближение» для коэффициен-
та вязкости газа, состоящего из упругих сферических молекул:
16d2 ( л ) • (4-52)
Комбинируя этот результат с выражением (4.38) для средней
длины свободного пробега в равновесном газе, получим
11 = 7|бР^о(2л/?Л1/2 = (7з2)лр7%. (4.53)
Более ранние приближенные теории давали аналогичные ре-
зультаты, но с множителем 1/2 вместо 5л/32. Для определения
номинальных диаметра молекул и длины свободного пробега
иногда все же используют этот более простой результат. Для
газа, состоящего из молекул со степенным законом взаимодей-
ствия, формула (4.52) обобщается таким образом:
_ 5т (jm1* (2mRTM2^ . .
И МНтОГИ-г/О!-!)] •
Здесь. Г — гамма-функция, А2(т|)—числовой множитель, опре-
деляемый как
00
Я2(п)^ sin2%U70
о
для которого в книге Чепмена и Каулинга [19] приведены сле-
дующие значения:
Я 5 7 9 11 15 21 оо
Л2(п) 0.436 0.357 0.332 0.319 0.309 0.307 0.333
Наиболее простым образом номинальную длину свободного
пробега можно связать с постоянной % в законе межмолеку-
лярного взаимодействия, воспользовавшись соотношением (4.53)
между ц и Х,о для упругих сферических молекул и форму-
лой (4.54):
, . V2 (2тЦТ/к)2'^
~ nnAi (я) Г [4 — 2/(t) - 1)] •
В первом приближении коэффициент теплопроводности К.
и коэффициент вязкости р. связаны следующим соотношением:
WW (4.56)
Поскольку рассматривается лишь одноатомный газ, то удель-
ная теплоемкость ср при постоянном давлении равна 5/2R, а чис-
ло Прандтля равно
Рг = |хср/К = 2/3. ч (4.57)
94 ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Для получения предыдущих результатов было необходимо
найти функции А и В в равенстве (3.53) для функции распре-
деления навье-стоксовского порядка метода Чепмена — Энскога.
Вычислив эти функции в первом приближении разложения по
полиномам Сонина, запишем функцию распределения в сле-
дующем виде:
f = fo[l — р(-аду — 1)с' • -дг-— р(^Г)2 с'с': 4^-]. (4.58)
Глубокий физический смысл этого равенства легче понять, если
рассмотреть частный случай, когда, скорость потока направлена
по- оси х, а производные от параметров потока только по у
отличны от нуля. Используя определения (3.47) и (4.19) и со-
отношение (4.56), запишем равенство (4.58) в этом случае в
следующем виде: . ’
П 15 fftV2 5\ X дТ б 1/2й2 / / sX <Эи01
f = -2)Т-дГ~4П ^и°-^~д7Г
(4.59)
Здесь коэффициент вязкости выражен через среднюю длину
свободного пробега при помощи выражения (4.53) для упругих
сферических молекул. Из условий применимости метода Чеп-
мена— Энскога следует требование малости обоих членов воз-
мущения по сравнению с единицей. Эти условия нарушаются
при достаточно больших тепловых скоростях, однако, поскольку
доля таких молекул уменьшается как ехр(—02с'2), можно счи-
тать, что функция распределения имеет вид (4.59) для величин
тепловых скоростей порядка 1/0. Из равенства (4.59) следует
также; что средняя длина свободного пробега должна быть ма-
лой по сравнению с расстоянием, на котором происходят ха-
рактерные изменения температуры. Кроме того, произведение
средней длины свободного пробега и скоростного отношения
должно быть малым по сравнению с расстоянием, на котором
происходит характерное изменение скорости потока.
Учитывая последующие члены в разложении функций А и В
по полиномам Сонина, .можно получить лучшую аппроксимацию.
Чепмен и Каулинг [19] нашли, что во втором приближении ко-
эффициент вязкости возрастает на величину, пропорциональную
3 (я — 5)2/ [2 (т] — 1) (101 т] — 113), а коэффициент теплопровод-
ности на величину, пропорциональную (л— 5)2/[4(т]—1)Х
Х(11т) —-13)]. Эти величины меняются от 0 для максвелловских
молекул до 0.0149 и 0:0227 для упругих сферических молекул.
Однако учет дополнительных членов разложения по полиномам
Сонина сильнее сказывается на функции распределения. Рас-
смотрим для примера покоящийся газ с неоднородным полем
температуры. Функция распределения (4.58), в которой учтено
4.5, ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ
95
лишь первое приближение в разложении А и В по полиномам
Сонина,такова:
f = <]. (4.60)
Можно показать, что во втором приближении
f = /о {1 45П2 _ 10бт| + 77 2 — frl — 1) ₽ с' +
+ (59т|2 - 1901) + 147) р2с'2 - 10 (13т)2 - 37i) + 28)]-^grс' • •
. (4.61)
Здесь К — коэффициент теплопроводности, вычисленный во вто-
ром приближении, учитывающем упомянутый числовой мно-
житель.
4.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ
Одним из наиболее, часто встречающихся типов граничных
условий является условие на поверхности раздела газа и твер-
дого тела. К сожалению, это и одно из наименее понятых гра-
ничных условий. Несмотря на то что существует много теоре-
тических и экспериментальных работ, выясняющих характер
взаимодействия газа с поверхностью твердого тела, наиболее
полезными и широко применяемыми на практике остаются'
простые модели зеркального и диффузного отражения, предло-
женные Максвеллом в 1879 г.
Зеркальным отражением называется абсрлютно упругое от-
ражение, при котором составляющая скорости молекул, каса-
тельная к поверхности, остается неизменной, а нормальная
составляющая меняет свой знак на противоположный. Эта
гипотеза является удобной при аналитическо.м изучении задач,
но не выполняется при реальном взаимодействии гйза с по-
верхностью. При такой модели взаимодействия на гладкой по-,
верхности твердого тела не существует ни вязкого, ни темпера-
турного пограничных слоев.
При диффузном отражении скорости каждой из молекул
после отражения не зависят от их индивидуальных скоростей
падения. Распределение скоростей отраженных молекул соот-
ветствует равновесной максвелловской функции распределения
в том полупространстве скоростей, где вектор скорости молекул
направлен от поверхности твердого тела. Это распределение
соответствует температуре 'Тт, которая может отличаться от
температуры поверхности Tv. Для определения степени соот-
ветствия температуры отраженных молекул и температуры по-
96
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
верхности вводят коэффициент аккомодации энергии Яе2
_ («2>
Здесь qi и qt — потоки энергии соответственно падающих и от-
раженных молекул, a — поток энергии, который уносился бы
молекулами при диффузном отражении с Тг = Tv. Коэффи-
циент осе изменяется от нуля при отсутствии поглощения энер-
гии поверхностью до единицы при полном поглощении энергии
падающих молекул и равновесном их отражении с температу-
рой поверхности (полная аккомодация). Аналогично можно
ввести и коэффициенты аккомодаций нормальной и тангенци-
альной составляющих импульса. Однако предпочтительнее, во-
обще' говоря, описывать взаимодействие газа с поверхностью,
используя макроскопические величины — давление, трение, пол-
ный тепловой поток, и определять коэффициенты аккомодации
через эти величины.
Эксперименты по взаимодействию газа с образцами про-
мышленных материалов при температурах порядка комнатной
показали, что закон отражения аппроксимируется диффузным
законом с полной аккомодацией энергии. Этот факт можно
объяснить тем, что промышленные материален шероховаты с
микроскопической точки зрения, так что падающие молекулы
претерпевают несколько отражений от поверхности. Кроме того,
падающие молекулы могут быть на малый интервал времени,
захвачены, или адсорбированы, на поверхности твердого тела^
С другой стороны, эксперименты, проведённые с тщательно об-
работанными и очищенными поверхностями, показали, что ко-
эффициент аккомодации может быть существенно меньше еди-
ницы. Измеренные значения аЕ при взаимодействии легких га-
зов с такими хорошо обработанными поверхностями действи-
тельно оказались малыми по сравнению с единицей.
Аккомодация энергии падающих на поверхность молекул
уменьшается по мере того, как энергия поступательного дви-
жения молекул относительно поверхности становится большой
по сравнению с энергией теплового движения, соответствующей
температуре стенки. Более того, эксперименты, в которых на
хорошо обработанные и очищенные поверхности падали моле-
кулярные пучки, показали, что в среднем молекулы, отражен-
ные от элемента поверхности, сохраняют определенную часть
импульса вдоль поверхности.
С практической точки зрения наиболее важной оказалась
задача определения коэффициента сопротивления спутников,
движущихся в верхних слоях атмосферы. Энергия поступатель-
ного движения молекул относительно спутника примерно 5 эВ,
а энергия их поступательного движения в покоящемся газе при
4.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЬЮ
97
комнатной температуре порядка 0.025 эВ. Кроме того, поверх-
ность спутника вследствие длительного пребывания в глубоком
вакууме очищается дегазацией. Поскольку определение плотно-
сти атмосферы пр наблюдениям траектории спутника трёбовало
знания коэффициента сопротивления, в 60-е годы были начаты
многочисленные теоретические и экспериментальные исследова-
ния процесса взаимодействия газа с поверхностью твердого тела.
В теоретических работах в основном изучалось взаимодей-
ствие отдельно падающих молекул с упрощенной моделью по-
верхности твердого тела. Обзор теоретических исследований,
связанных с определением коэффициента аккомодации энергии
[35] и закона распределения отраженных молекул по углам
вылета [36], был сделан Гудманом1). Полученные в различных
теоретических работах результаты предсказывают существен-
ное отличие закона отражения молекул газа поверхностью от
модели диффузного отражения с полной аккомодацией энергии,
рекомендованной для применения к промышленным материа-
лам. Экспериментальное определение коэффициента аккомода-
- ции энергии основывалось главным образом на измерении тер-
моанемометром полного теплового потока, а угловое распреде-
ление рассеянных молекул определялось в экспериментах с
молекулярными пучками.
В обоих случаях наблюдалась согласованность теоретических
и экспериментальных результатов. Однако повторяемости в
экспериментах мохсно достичь, лишь обращая самое скрупулез-
ное внимание на обработку и очистку поверхностей и на про-
верку отсутствия примесей в газе. Все же эта работа пока не
привела к результатам, которые можно было бы использовать
в инженерной практике. Частично это объясняется непредска-
зуемым влиянием загрязнения поверхности, частично тем, что
даже в случае идеальных поверхностей и чистых одноатомных
газов решение задачи зависит от восьми безразмерных пара-,
метров [3].
Хотя было предложено несколько эмпирических моделей за-
конов отражения (см., например, работы [70] и [31]), введение
некоторой произвольной доли , зеркально отраженных молекул
остается, по-видимому, практически наиболее удобной моделью,
допускающей отличие закона отражения от вполне диффузного.
Однако выбор этой модели означает, что допускается некоторая
неопределенность, и не надо полагать, что характеристики тел,
полученные при истинном законе взаимодействия, будут нахо-
диться в диапазоне, определяемом полностью зеркальным и
- полностью диффузным законами взаимодействия. В этом мож-
но. будет убедиться в § 5.4 при анализе сопротивления сферы
*) См. также работу Баранцева [3]. — Прим. ред.
4 Г. БёгА
98
ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
в свободномолекулярном потоке. Чтобы подчеркнуть этот факт,
иногда используют диффузно-упругую модель взаимодействия.
В этой модели предполагается, что молекулы отражаются с той
же энергией, что и падают, а направление вектора их импульса
случайно. Следует также заметить, что зеркальная компонента
отражения от элемента поверхности может привести к обрат-
ному рассеянию на плоской шероховатой поверхности.
Трудности теоретического анализа в большинстве работ
связаны со сложностью вида траектории молекулы, падающей
на поверхность. Осложнения, возникающие при эмпирическом
построении моделей, определяются тем, что последние не удов-
летворяют'соотношению взаимности. В применении к взаимо-
действию газа с поверхностью оно может быть записано так
[16,98,50]:
сг • еР (— сг, — сО exp (— ECT[kT) = — Ci • еР (cb cr) exp (— E^/kT).
(4.63)
Здесь e — единичный вектор нормали к поверхности с темпера-
турой Т; Р(С1,сг)—вероятность того, что молекула, прилетаю-
щая на поверхность со скоростью ci, отлетит от нее со ско-
ростью сг; Ес — энергия молекул. Этому условию удовлетворяют
и диффузная, и зеркальная модели взаимодействия. Доказа-
тельство обобщения соотношения (4.63) на случай неравновес-
ного газа [98] основано на использовании модели, в которой
твердое телО заменяется набором тождественных компонентов.
Предполагается, что молекула газа взаимодействует с каждым
из этих компонентов лишь один раз; при этом соотношение
взаимности следует из инвариантности уравнений квантовой
механики по отношению к обращению времени. Следует ука-
зать, что справедливость принципа взаимности ограничена в
том случае, когда энергия падающей молекулы" достаточна,
чтобы вызвать коллективное взаимодействие атомов кристалла
поверхности. Принцип взаимности проверялся и эксперимен-
тально [64], но в этих опытах с молекулярными пучками энер-
гия молекул изменялась в узком диапазоне, а энергия отра-
женных молекул не сильно отличалась от энергии падающих.
Ряд моделей взаимодействия газа с поверхностью твердого
тела, удовлетворяющих соотношению взаимности, предложили
Черчиньяни и Лэмпис [18], а в работе [51] вводится последо-
вательность согласующихся коэффициентов аккомодации.
Упражнения
4.1. Записать равновесную функцию распределения в цилиндрической системе
координат в пространстве скоростей (с'х, сп, с^). Показать, что среднее зна-
чение радиальной составляющей с'п вектора скорости равно л|/2/(2Р), а ее
наиболее вероятное значение равно 1/(2^2р).
УПРАЖНЕНИЯ
99
4.2. Доказать следующую рекуррентную формулу для средних значений сте-
пеней тепловой скорости в равновесном газе (при т > 2):
с'т = (л/8) (т + 1) (И2 с'(т“2).
4.3. Найти долю молекул азота, находящегося в равновесии при 20 ®С, таких,
что
(1) тепловые их скорости превышают 1000 м/с;
(2) компоненты в направлении х тепловой скорости превышают 1000 м/с.
Ответы: (1) 0.0093; (2) 0.00035.
4.4. Показать, что доля молекул равновесного газа, значение составляющей
скорости которых в направлении'х лежит в интервале от 0 до наиболее ве-
роятной скорости, а модуль скорости которых больше наиболее вероятной
скорости, равна 1/(л1/2е).
4.5. Рассмотрим поток молекул, попадающих на поверхность в макроскопи-
чески покоящемся газе, таких, что модуль их скорости лежит в интервале
от с до с + de, а угол между вектором скорости и нормалью к поверхности
лежит в интервале от 0 до 0 + dQ, Показать, что поток числа таких молекул
в единицу времени на единицу поверхности равен
(2/л1/2) п$3с3 ехр. (— р2с2) sin 0 cos 0 dQ de,
4.6. Показать, что отношение средних скоростей молекул, пересекающих эле-
мент поверхности в равновесном газе, и молекул, находящихся в единице
объема, равно Зл/8.
4.7. Показать, что полный (т. е. с обеих сторон) поток числа молекул, пере- '
секающих элемент поверхности, изображенный на рис. 4.2, потоки нормаль-
ного и касательного импульсов и энергии соответственно равны
ncQ cos 0, pRT + peg cos 0,
peg sin 0 cos 0, pe0 cos 0 [VaC2 + #2/(V ~ 1 )]•
4.8. Показать, что средняя скорость центра масс пары сталкивающихся моле-
кул в простом равновесном газе равна
. Т = 7/2>/2 ^~г/2.
4.9. Показать, что вероятность Столкновения молекулы, движущейся со ско-
ростью с' в простом равновесном газе, состоящем из упругих сферических
молекул, пропорциональна
ехр (- 02с'2) + (л1/2/₽с') (02с/2 + >/2) erf (0с').
4.10. Рассмотрим функцию распределения в приближении Навье — Стокса,
полученную методом Чепмена — Энскога и соответствующую одномерной теп-
лопередаче в направлении х в покоящемся одноатомном газе. Степень нерав-
новесное™ такого газа можно проиллюстрировать, определив температуры 7+
и отдельно для молекул, движущихся в соответственно положительном и
отрицательном направлениях оси х. Воспользовавшись соотношениями (4.53)
Для определения средней длины свободного пробега X, показать, что
Т~ - Т+ __ 5 Л dT
Т ~ 4 Т dx'
4*
100 ГЛ. 4. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
4.11. Пусть аргон находится-в равновесии с плоской поверхностью твердого
тела при температуре 20 °C. Пусть плоскость yf z системы координат совпа-
дает с поверхностью твердого тела, а положительное направление оси Л
совпадает с направлением от поверхности к газу. На поверхность падает мо-
лекула с компонентами скорости и\ = —257 м/с, vt = 450 м/с, t^i = —284 м/с
и отражается с компонентами скорости иг=120 м/с, уг=92 м/с, адг=138м/с.
Воспользовавшись соотношением взаимности, определить относительную ве-
роятность взаимодействия молекулы газа С' поверхностью, при котором ско-
рость падения равна —сг, а скорость отражения —сь
Ответ: 0.173.
Свободномолекулярные течения
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе рассматриваются предельные формы течений
при очень больших числах Кнудсена. Этот предел можно запи-
сать так: '
Кп = Л/£->оо, • (5.1)
й, следователь’но, течения характеризуются либо очень боль-
шими средними длинами свободного пробега, либо очень ма-
лыми характерными размерами. Обычно встречается первый
случай, являющийся следствием очень низкой плотности. В ис-
следуемой области в указанном пределе столкновения между
молекулами достаточно редки, так что их можно не рассмат- .
ривать. Для анализа течений необходимо задание лишь функ-
ции распределения на границах и закона взаимодействия мо-
лекул с поверхностью твердого тела. Этот предельный режим
течения называют свободномолекулярным. ’
Функции распределения в большинстве случаев считаются
равновесными, хотя иногда требуется и функция распределения
в приближении Навье — Стокса1). При моделировании твердых
поверхностей обычно используют -диффузную модель взаимо-
действия, а на фиктивных границах — зеркальную модель.
В равновесном газе функция распределения при обеих моделях,
как указывалось в § 4.5, равновесна. Если нужно определить
силы, действующие на поверхности твердых тел сравнительно
простой геометрии, аналитические представления следуют
обычно непосредственно из равенств для потоков, приведенных ’
в § 4.2. Эти.поверхностные силы чаще всего стационарны, даже
если течение в целом может быть нестационарным2). Положе-
ние существенно усложняется, если молекулы, отраженные от
одной части поверхности, могут попадать на другие ее части.
*) По-видимому, речь идет о функциях распределения, задаваемых на
границах рассматриваемой области, например в набегающем потоке. — Прим,
ред.
2) По-видимому, здесь автор имел в виду какие-то особые случаи. —
Прим. ред.
102 ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Эта ситуация возникает прежде всего во внутренних течениях,
но может встречаться и при обтекании невыпуклых тел. Этот
тип течений рассмотрен отдельно в § 5.7.
Свойства нестационарных течений проще всего определить
из свободномолекулярного уравнения Больцмана при помощи
некоторой з&мены переменных [69]. Поскольку столкновениями
молекул можно пренебречь, интеграл столкновений в правой
части уравнения Больцмана (3.20) можно положить равным
нулю. В результате получим свободномолекулярное уравнение
Больцмана
4-(^) + c'ir(nD.= 0. (5.2)
Из соотношения (3.6) следует, что nf совпадает с функцией
распределения в фазовом пространстве так что функцио-
нальной переменной является nf(c, г, t). Рассмотрим задачу
Коши для уравнения (5.2); при этом
nf(c, г, t = 0) = Mjf, (с, г). (5.3)
Уравнение (5.2) совпадает по форме с уравнением Лиувилля,
так что величина nf сохраняется вдоль траекторий молекул, яв-
ляющихся характеристиками уравнения, т. е.
nf (с, г, t) = (с, г — ct). (5.4)
Умножим уравнение (5.4) на величину Q, зависящую от ско-
ростей молекул, и проинтегрируем по пространству скоростей;
тогда получим
00
nQ(r,/)= Qn J^c, г — с/) de. '
— оо
Сделаем теперь замену переменных
г' = г-с/. (5.5)
Якобиан этого преобразования равен
д « у', г') ==_t3
д (и, о, w)
Таким образом,
nQ(r,= r')dr'; М
область интегрирования в этом выражении совпадает с об-
ластью, занимаемой газом в момент t = 0. Характерные случаи
применения этого уравнения описаны в § 5.3.
Сами по себе результаты свободномолекулярной теории ин-
тересны постольку, поскольку на практике существуют течения
при очень больших числах Кнудсена. А так как они получены
вл. ВВЕДЕНИЕ
103
в пределе, противоположном тому, в котором справедлива тео-
рия сплошной среды (последняя справедлива при Кп<С1), то
служат также и ориентиром. Знание этих двух пределов осо-
бенно полезно при сопоставлении результатов теоретического,
численного и экспериментального исследований в переходном
режиме, который существует между свободномолекулярным и
режимом течения как сплошной среды.
Проиллюстрируем наиболее важные общие свойства сво-
бодномолекулярных течений на простейшем примере молеку-
лярной эффузии. Это течение возникает, когда равновесный газ
отделен от вакуума тонкой перегородкой с маленьким -отвер-
стием. Если размеры отверстия достаточно малы по сравнению
со средней длиной свободного пробега, то вероятность влияния
движения через отверстие всех молекул на каждую в отдельно-
сти пренебрежимо мала. В этом случае поток через отверстие
такой же, как и исследованный в § 4.2 поток , через элемент
поверхности в равновесном газе. Поток числа молекул непо-
средственно определен равенством (4.20), и умножая это вы-
ражение на т, получим свободномолекулярный поток, массы
через единицу поверхности:
р tim (RT /к
• - <8'7)
Сравним этот результат с тем, который следует из теории
сплошной среды, справедливой, когда средняя длина свобод-
ного пробега гораздо меньше размеров отверстия. Течение
сплошной среды — это течение сжатия — расширения, скорость
звука в котором достигается в плоскости отверстия. Как из-
вестно из газовой дицамики, поток массы равен
Г- _
с = ра,
где звездочкой отмечены значения, относящиеся к звуковой по-
верхности. Используя обычные уравнения одномерного стацио-
нарного течения, выразим Гс через параметры торможения р
и Т:
(6.8)
Здесь у — отношение удельных'теплоемкостей газа. Следова-
тельно, результаты, полученные в разных предельных случаях,
отличаются только числовыми мнржителями.
Из равенств (5.7) и (5.8) следует, что отношение потоков
масс в свободномолекулярном течении и течении газа как
сплошной среды равно
Г. 1 / v+1 \<V+W[2(Y-1)’
=0.5494 при у = 5/з. (5.9)
104
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
----.---ду ------------------
Выбор числа Кнудсена в случае круглого отверстия очевиден:
это отношение средней длины свободного пробега в невозму-
щенном газе к диаметру отверстия. Для задач со столь простой
геометрией, как рассматриваемая, следует ожидать монотон-
ного перехода от одного предела"к другому с наибольшим из-
менением в области чисел Кнудсена от 0.1 до 10. Глубокое ис-
следование течения эффузии дано в работе [54] Липманом, где
приведены экспериментальные’ данные, подтверждающие в це-
лом это предположение. Однако в течениях с более сложной
геометрией выбор числа Кнудсена может быть не столь очевид-.
ным, а переход между соответствующими пределами не обяза-
тельно монотонным. При течении газа взаимодействие различ-
ных потоков молекул или потоков различных сортов молекул
происходит за счет столкновений молекул. Так как в свободно-
молекулярном течёний столкновений нет, то сложное течение
можно представить в виде суперпозиции более простых тече-
ний. Два следствия этого положения также можно продемон-
стрировать на примере задачи об эффузии.
Во-первых, рассмотрим случай, когда по обе стороны тонкой
перегородки с малым отверстием находится равновесный газ.
Если обе средние длины свободного.пробега существенно боль-
ше размеров отверстия, то эффузия осуществляется в двух на-
правлениях, причем оба потока газа совершенно не зависят
друг от друга. Если рассмотреть два сосуда, температура газа
в которых различна и которые соединены одним или несколь-
кими отверстиями со свободномолекулярными течениями, то
будет наблкщаться явление тепловой транспирации (см. упр. 5.1).
Рассмотрим далее эффузию газовой смеси, каждый компонент
которой вытекает независимо, и так как средняя скорость мо-
лекул обратно пропорциональна корню из их массы, то при
истечении из отверстия происходит разделение компонентов
(см. упр. 5.2).
5.2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Течение можно считать одномерным,, если его параметры '
можно определить, решая для потоков молекулярных призна-
ков одномерные уравнения. Так, задачу определения потока
массы'при эффузии можно считать одномерной даже'тогда, ко-
гда поле течения двумерно или трехмерно. Это простейший тип
-течения; для дальнейших приложений необходимо получить ре-
зультаты в ещё нескольких примерах.
Рассмотрим одномерную задачу теплопередачи между двумя
параллельными плоскими пластинами, отстоящими друг от
друга на расстоянии h, которое много меньше средней длины
свободного пробега X газа, находящегося между пластинами.
5.2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
105
Отражение от пластин полагаем диффузным с полной аккомо-
дацией энергии и температурами Ти и 7\ соответственно на
верхней и нижней пластинах. Тогда одноатомный газ с числовой
плотностью п, заключенный между пластинами, состоит из по-
токов молекул, отраженных от нижней и верхней, пластин с
плотностями nt и Пи и температурами Л. и Ти и движущихся
соответственно вверх и вниз.
Поток диффузно отраженных от поверхности молекул тож-
дествен потоку молекул, Подсчитанному так, как если бы за
пластиной находился равновесный газ с температурой пласти-
ны. Числовая плотность отраженных молекул в точности равна
половине числовой плотности этого фиктивного газа, так как
ровно половина молекул движется в направлении к пластине.
Тогда из равенства (4.20) имеем .
nvT^ = nLT^.
и поскольку П = Пи + Нь, то
пТ\>2 . пГ*'2
"L “ Г*(2 + т"2 ’ Пи “ ftf + Тр ' (б‘10)
Полагая в равенстве (4.24) 0 = (27?7l)~1/2 и р = 2/ииь, получим
поток энергии q\_ молекул, движущихся от нижней пластины:.
9L = mnLn-l/2(2/?7’L)3/2.
Аналогично, поток энергии молекул, движущихся от верхней
пластины вниз, равен .
( • <7и = тиил-1/2(2/?7’и)з/2.
Объединяя эти соотношения с формулами (5.10), получим пол-
ную составляющую потока энергии в направлении вверх:
х q. = _ 23/2рл- 1/2/?3/2Г1/27’Ц2 Г1/2). . Ц)
Поток тепла между пластинами в газе как сплошной среде
равен
/ „______if dT
% dy ’.
где ось у направлена по внешней нормали к нижней пластине.
Если принять, что К = СТВ, где С и В — постоянные,.то
_ С dTB+l
д* B-f-1 dy •
Из закона сохранения энергии в сплошной среде следует, что
в покоящемся газе поток qc постоянен, так что
TB+i = — (В + 1)С~'дсу-\- const.
106
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
(5.12)
(5.13)
Поскольку T = Tl при у — 0, постоянная интегрирования равна
Tl+1. Используя затем соотношения при y — h, получаем реше-
ние в режиме сплошной среды
С (rg+1 - т£+1)
= (В +1) л
Свободномолекулярное решение и решение в режиме сплош-
ной среды для этого течения отличаются не только их функцио-
нальными зависимостями, но и числовой константой. Теплопе-
редача в свободномолекулярном режиме пропорциональна
плотности газа и не зависит от расстояния между пластинами.
В режиме сплошной среды теплопередача обратно пропорцио-
нальна расстоянию между пластинами и не зависит от плотно-
сти. Таким образом,
JL~ * кп,
qf ph h
т. e. отношение потоков энергии в режиме сплошной среды и в
свободномолекулярном режиме пропорционально числу Кнуд-
сена в газе как сплошной среде.
Естественным обобщением задачи о теплопередаче в сво-
бодномолекулярном режиме является задача о течении Куэтта,
в котором нижняя пластина по-прежнему неподвижна, а верх-
няя движется в направлении оси х (которая лежит в плоско-
сти пластины) со скоростью U. На потоки массы и нормального
импульса эта скорость не влияет. Касательное напряжение на'
нижней пластине tl можно определить из равенства (4.22),
подставив следующие значения: s = U$, 0 =(27?Ти)-1/2, р =
— 2тпи и 0 = л/2. В результате имеем
tl = тгаиС/(2/?7’и/л)1/2,
• а использовав формулы (5.10), получаем
pU . / 2RTvTl \il2
(5.14)
TL
Заметим, что множитель 2 в выражении для плотности появился
опять из-за того, что формулу для потока применили для фик-
- тивного газа, находящегося за верхней пластиной, а его плот-
ность равна 2пи. Молекулы, отраженные от нижней пластины,
вклада в касательное напряжение не дают, так что tv совпа-
дает с полным значением. На верхней пластине значение каса-
тельного напряжения равно по величине и противоположно по
знаку. Сделав аналогичную подстановку в формулу (4.23), по-
лучим поток энергии qu от верх..ей пластины:
(2RTu)li2 (U2/2 + 2RTU).
(5.15)
5.3. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
107
--S
В обеих рассмотренных задачах газ, находящийся между
пластинами, однороден е макроскопической точки зрения. Не-
равновесная функция распределения является комбинацией двух
равновесных функций распределения
f = n-Wn~x («ирз, exp {— [(« — U)2 4- v2 + ш2]} + '
+ nLp[ exp [-p2 («2 + v2 + w2) ] ). (5.16)
Вычисляя соответствующие моменты, можно показать, что ве-
личина скорости в направлении х равна
Uo = (nu/n)U, - (5,17)
а значение температуры —
Т = [ГI/2 (Tv 4- U2/3R) 4- TtfTL]/(T'l2 4- ТУ2). (5.18)
Таким образом, значения температуры и скорости претерпе-
вают разрыв на поверхностях раздела пластин и заключенного
между ними газа. В свободномолекулярных течениях эти раз- -
рывы на поверхностях существуют и в общем случае.
S.3. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим полупространство х < 0, заполненное одномер-
ным покоящимся газом, отделенным от вакуума тонкой пере-
городкой, расположенной при х = 0. В момент времени t = 0
перегородку убирают, и газ свободно разлетается в вакуум.
При заданных начальных температуре Т\ и числовой плотно-
сти И1 одноатомного газа задача состоит в определении число-
вой плотности, скорости и температуры газа в зависимости от х
и /. При этом значения х и t много меньше соответственно сред-
ней длины свободного пробега и среднего времени между столк-
новениями молекул в газе. Эту задачу называют задачей о раз-
лете газа, и исследуемое течение, по-видимому, является про-
стейшим одномерным нестационарным свободномолекулярным
течением.
Наиболее просто эта задача решается с помощью свобод-
номолекулярного уравнения Больцмана. В одномерном случае
выражение (5.6) приобретает вид
nQ (х, I) = у J QnJt (—~/ , Z.) dx', (5.19)
где.х' — х — ut и интегрирование ведется по области, занимае-
мой газом в начальный момент. Функция распределения зави-
сит, как это следует из выражения (4.13), от 01 =(2/?Г1)-,/2( и
108
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
полагая п\ = ti\ и Q = 1, получим формулу для плотности
о
п(х> 0 = 7 ni (Pi/nl/2)exp(— p^,2)dxz =
«1 г
-Л/Г \ еХР
Л J
Mt
^(х-х'У j pt (х - х') j
Используя далее стандартные интегралы приложения В, по-
лучим
2L==i/2erfc(-^). (5.20)
Аналогично, положив Q = и, вычислим скорость потока
пио = -ТТ2- -77" ехР [—(Pi WL
Л ' zpi
ИЛИ
Pi «о = л-1/2 ехр [— (Pix//)2]/erf с (Mt): (5.21)
Заметим, что в формулах (5.20) и (5.21) аргументом является
выражение $ix/t-, при х = 0 имеем n/ni==l/2, Pi«o = л-1/2. По-
этому поток числа молекул в плоскости х==0 не зависит от
времени и равен ni/(2n1/20i). Это выражение совпадает с по-
током числа молекул при стационарной эффузии. Зависимости
величин п/п\ и Р1Цо от Pix/Z приведены на-'рис. 5.1. Профили
плотности симметричны относительно начала координат, а от-
клонения от предельных невозмущенных значений плотностей
пропорциональны ехр [—Pix//)2], что следует из асимптотиче-
ского представления’(С4) для erfc(x). Из этого же представ-
ления следует, что при больших значениях Pix/Z скорость
Pi«o стремится к Pix/t
- Приведенный анализ позволяет определять не только поля
течения. Рассмотрим, например, обобщение предыдущей зада-
чи и определим давление, оказываемое газом на зеркально от-
ражающую поверхность, расположенную при x=‘xw в свобод-
номолекулярном случае, когда Kn = M/xw-»-оо. Давление-на
поверхность равно удвоенному потоку нормального импульса в
точке x = xw и может быть определено, если в равенстве (5.19)
положить х «= xw и Q — (пи2:
2 f Pi
Pw = — ) mn1«2-^rexp(—P^w2)rfx'==
5.3. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 109
W
Используя опять стандартные интегралы, получим
4r = l-erf(-^-) + -^-^-exp(--^). (5.22)
Р| \ t / я1 t \ ,г /
Обобщая анализ задачи о разлете газа, можно рассмот-
реть также и разлет плоского слоя конечной толщины. Если
толщина много меньше средней длины свободного пробега в
невозмущенном газе, то свободномолекулярное приближение
Рис. 5.1. Числовая плотность и скорость потока при свободномолекулярном
разлете;--- точный результат;-------асимптотический результат, и0 — х/1
справедливо во всех точках в любой момент времени. Если пер-
воначально газ равномерно заполнял область между плоско-
стями х = — I и х = +Z, то выражения для плотности и скоро-
сти получим аналогично формулам (5.20), (5.21), подставляя
в качестве пределов интегрирования до х' значения — I, -\-1 вме-
сто —оо, 0. Окончательные результаты таковы: .
(5.23)
в» «-1/2X Г -Йе*-')2] Г ₽i<*+z>2llv
PiUo = л 1>2 |ехр [---р----J — ехр [-----------J J X
<5-24)
Поведение этих решений приведено на рис. 5.2 для числовой
плотности молекул, а на рис. 5.3 для скорости потока. Облако
110
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Рис. 5.2. Профили числовой плотности при одномерном разлете газового
облака.
А
х/1
Рис. 5.3. Профили скорости потока газа при одномерном разлете газового
облака; ---точный результат;------асимптотический результат, «0 = (х — /)/t
5.3. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
111
газа симметрично относительно плоскости лг= 0 во все моменты
времени. В области, первоначально занятой газом, т. е. от х =
= —/ до х = +/, плотность уменьшается непрерывно, а ско-
рость сначала возрастает, достигает максимума, а затем умень-
шается. В области же, вначале не занятой газом, в фиксирован-
ный момент времени скорость возрастает с увеличением рас-
стояния от первоначального положения газа. Плотность в той
же области сначала возрастает, а затем уменьшается. Соответ-
ствующие цилиндрически- и сферически-симметричные течения
изучены в работе [69].
В последующем нам понадобятся результаты решения еще
одной элемен'Гарной задачи — одномерной задачи о поршне.
Пусть зеркально отражающий плоский поршень в момент вре-
мени t = 0 внезапно приводится в движение со скоростью ±U
и движется либо в сторону первоначально покоящегося одно-
родного газа плотности и и температуры Г, либо от него. Мо-
жет показаться, что эта задача отличается от задачи о разлете
газа. Однако если рассматривать эту задачу в системе коорди-
нат, движущейся вместе с плоскостью поршня, то поршень мож-
но считать неподвижной плоскостью х = 0; газ при этом в мо-
мент времени < = 0 приобретает скорость —U, направленную к
этой плоскости. Более того, плоскость х = 0 можно считать
плоскостью симметрии, т. е. считать, что с другой стороны от
нее в начальный момент времени газ той же плотности nj-и той
же температуры Л приобретает скорость Ч-t/. Воспользуемся
теперь свободномолекулярным уравнением Больцмана (5.19).
Числовая плотность равна
оо
П = «I —Ц2 еХР [— ₽1 (" + ^)2] dx' +
Г 0 ”
1 г - р.
+ 7 j ni ехР [— ₽i (« — ^)2] dx'>
причем первое слагаемое соответствует газу, находившемуся
первоначально с положительной стороны от плоскости х = 0,
а второе — находившемуся с отрицательной стороны. Приводя
к стандартным интегралам, имеем
"д,+„ и₽и^+с/л"
112
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Вычисляя далее, получим
' ^=r+./2[erf(^+s)-erf(ili-S)]. (5.25)
Здесь s = Ufi — скоростное отношение поршня.
Это решение для плотности проиллюстрировано на рис. 5.4.
Условимся скорость U и скоростное отношение s считать поло-
жительными, когда поршень движется внутрь газа, и отрица-
тельными, когда он удаляется от газа. При положительных
Рис. 5.4. Профили числовой плотности в одномерной свободномолекулярной
задаче о поршне.
значениях $ газ отражается от поршня и имеет относительно
него скорость x/t=U\ в системе координат,-связанной с пер-
-воначально покоившимся газом, в который вдвигается поршень,
скорость отраженного газа xlt=-2U. На это движение накла-
дывается постепенное расплывание фронта вследствие тепло-
вого движения молекул. Последний эффект преобладает при
малых скоростных отношениях. Числовая плотность на поверх-
ности поршня равна
п/«1 = 1 4- erf (s). (5.26)
При отрицательных значениях s профили п/п\ расположены
между 1 и 0 и симметричны профилям, соответствующим поло-
жительным значениям s.
Подставляя соответствующие значения Q в равенство (5.19),
легко получить выражение для других характеристик течения,
таких, как скорость потока. Давление на поршень можно под-
считать, используя ту же методику, которая привела к формуле
5.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ АЭРОДИНАМИКА
ИЗ
(5.22) для давления в задаче о свободном разлете. Следует
помнить, что в свободномолекулярном течении тензор напряже-
ния, вообще говоря, анизотропен.
5.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ АЭРОДИНАМИКА _
Здесь рассматриваются нормальное и касательное напряже-
ния и теплопередача на поверхностях стационарно движущихся
тел в разреженном газе. Для определения суммарных аэроди-
намических сил, действующих на тело, нормальное И' касатель-
ное напряжения можно проинтегрировать по поверхности тела.
В некоторых приложениях могут также потребоваться харак-
теристики поля течения около тела. Обычна число Кнудсена
определяют как отношение средней длины свободного пробега в
невозмущенной атмосфере к характерному размеру тела и, ко-
гда оно достаточно велико, считают, что применимо свободно-
молекулярное решение. Это предположение можно обосновать
тем, что в указанных условиях молекулы, отраженные от тела,
пролетают1 обычно до столкновения очень большие расстояния.
Вероятность того, что молекулы, испытавшие такие столкнове-
ния, могут попасть на поверхность тела,/пренебрежимо мала,
поэтому можно считать, что все .молекулы прилетают из равно-
весного невозмущенного потока. Заметим, что для применимо-
сти свободномолекулярного приближения наибольшее значение
имеют столкновения отраженных от поверхности.молекул с мо-
лекулами набегающего потока. Средняя длина свободного про-
бега последних- может быть много меньше средней длины сво-
бодного пробега в невозмущенном потоке. Это особенно суще-
ственно, когда скоростное отношение, а . следовательно, число
Маха велики *). v .
Комбинируя выражения § 4.2 для потоков падающих и отра-
женных молекул, получим характеристики потока на поверх-
ности. Индексы i и г будем относить к потокам набегающих и
отраженных молекул; поток будет считаться положительным,
если он направлен к поверхности. В отсутствие явлений ад-
сорбции и.эмиссии на поверхности поток числа молекул, падаю-
щих на нее, должен равняться потоку числа молекул, отра-
женных от поверхности. Таким образом,
^ = ^4-^ = 0, (5.27)
- р = р1 + рг, • (5.28)
т = Т| + тг, (5.29)
?==^ + <7г- <5-30)
*) В общем случае длина пробега набегающих молекул на отраженных
может быть не равна длине пробега отраженных молекул на набегающих
(см. Коган М. Н. Динамика разреженных газов. —М.; Наука, 1967).-^
Прим, ред.
114
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Конечно, результаты зависят от природы взаимодействия газ —
твердое тело, но, поскольку общая теория такого взаимодей-
ствия отсутствует, вычисления будут проведены для комбина-
ции классических диффузной и зеркальной моделей. Как сле-
дует из рассмотрения этих моделей в § 4.5, при зеркальном
отражении имеем
Pr = Pi или p = 2pi( (5.31)
тг = —Tj или т = 0, (5.32)
qt = — ql или q — 0. (5.33)
Единственное упрощение равенств (5.28) —(5.30) для диффуз-
ного отражения состоит в следующем:
тг = 0 или т = Ti. (5.34)
Для элемента поверхности выражения pi, п и qi непосред-
ственно следуют из равенств (4.21), (4.22) и (4.30) соответ-
ственно. Эти формулы выражают pi, ti и qt через угол 0 между
нормалью к поверхности и направлением вектора скорости U«,
невозмущенного потока, через плотность в набегающем потоке
Роо = щпоо, параметр = (2RToo)~i/2, который зависит от ста-
тической температуры набегающего потока Too, и скоростное
отношение $ = t/«>Poo в невозмущенном потоке. Из равенстве
(5.31) — (5.33) следует, что при зеркальном отражении этих ре-
зультатов достаточно для выражения аэродинамических харак-
теристик.
При диффузном отражении молекулы, попав на поверх-
ность, теряют свою скорость и отражаются от нее с равновес-
ной функцией распределения, соответствующей температуре Тт.
Выражения для рт и qT тогда следуют из формул для потоков
в покоящемся газе. Из равенства (4.21) имеем
пг/п
Рг=1ёГ’.
а из равенства (4.28) —
/-Y + 1 \ nrm
=•
(5.35)
(5.36)
Из условия (5J27) равенства нулю суммарного потока молекул
на элемент поверхности можно найти числовую плотность пт.
Подставляя в уравнение (5.27) выражение Для' потока числа
падающих молекул из формулы (4.18) и отраженных молекул
из формулы (4.20), получим
—{ехр (— s2 cos2 0) + n1/2s cos 0 [ 1 + erf (s cos 0)]} = —fe-.
Pqq Pj
1
5.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ АЭРОДИНАМИКА
115
Таким образом,
пг = Поо (~у^)1/2 <ехр s2 cos2 0) +
+ л‘/25 cos 0 [1 + erf (s cos 0)]}. (5.37)
Если доля зеркально отраженных молекул равна 8, а доля
диффузно отраженных (1 — в), то приведенные выше результа-
ты можно скомбинировать и получить формулы для давления,
касательного напряжения и теплопередачи к поверхности:
Р 2&Р Г, + е а । 1—8
--- ---------- I По- S COS 0 4-----
Р„ Poo L “1/2 2
ехр(— s2cos20) +
+[(1 + в) (у + s2cos20^+ .1 g- Gr-) n1/2s cos 4 ег^ (s cos 9^’
°° (5.30 '
Poo Poo (1 — 8)ssin0 . t , = i/2 {exp( s2 cos2 0) + . + л I/2s cos 0 [ 17b erf (s cos 0)]}, (5.39)
Рте4 _ 1 ~ 8 С Poo “ 4«V2 V R2 4 — -—> — -—— 1 {exp (— s2 cos2 0) + L y-l 2(Y —1)
+ л1/2 s cos 0 [ 1 + erf (s cos 0)]} — */2 exp (— s2 cos2 0)). (5.40)
Заметим, что при принятом в этой главе правиле знаков коэф-
фициент аккомодации, определяемый равенством (4.62), запи-
шется так:
41 +4Г _ 4
л 4i + 4w 4j + 4w
Следовательно, в формуле (5.40) Тг можно заменить на Tw,
если правую часть формулы умножить на коэффициент аккомо-
дации аЕ. При полйой тепловой аккомодации Тг можно заме-
нить на Tw вр всех трех формулах. Из равенства (5.40) можно
определить равновесную температуру Те изолированного эле-
мента поверхности, при которой <7 = 0: .
= G2 + — 1/2 ехр si cos2 {ехр s2 cos2 0)+
+ л1/2$ cos 0 [1 + erf(s cos О)]}-1) • (5.41)
„ Приведенные выражения позволяют определить аэродинами-
ческие силы, действующие на тонкую пластину, расположенную
под углом атаки а к потоку. Для верхней стороны пластины
а = 90Q + 0, а для нижней а = 90° — 0. Суммируя равенства
Hie
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
(5.38), записанные для верхней и нижней поверхностей, полу-
чим силу, действующую на единицу поверхности перпендику-
лярно к ней и направленную вверх: ' "
Г N/pTO = [2(1+ е)/л1/2] s sin а ехр (— s2 sin2 а) +
+ (1 — е) (Тг/Т^У12 л1/2з sin а+ (1 + в)(1 + 2s2 sin2 а) erf (s sin а).
(5.42)
Силу, действующую на единицу поверхности параллельно пло-'
ской пластине и направленную назад, определим аналогичным
образом из формулы (5.39):
Рр!р«>— [2(1 — е)/л1/2] s cos а [ехр (— s2 sin2a) + n1/2s sin a erf (s sin a)]
Обозначим подъемную силу и сопротивление пластины через L
и D соответственно. Коэффициент подъемной силы пластины
площадью S равен
с __ L ________ (FN cos a — Fp sin a) S (F^/pM) cos a — (Fp/р^) sin a
_ L~'7rtaau2ms~ ~ ws2 .
Подставляя выражения для Fu/p™ и Fp/р», получим
Cl = th sinacosaexp(—s2sin2a) + ^^-[1 +e(l + 4s2sin2a)] X
n 1 s s
1—8 ( Tr \l/2
X erf (s sin a) A-j— л1/2. sin a cos a . (5.43)
Коэффициент сопротивления выражается в виде : „
_ Д (FN/pTO) sin a + (Fp/Poo) cos a
D Wts >2
и, преобразуя аналогичным образом, имеем
п 2 [1 — 8 cos (2a)] / 9 • 9 \ ।
Cd = -----172—exP (— s2 sin a) +
+ {1 + 2s2 + e [1 — 2s2 cos (2a)]} erf (s sin a) +
i — e / T \l/2
A----— л1/2 sin2a(y+-J . (5.44)
Теплопередача к поверхности определена формулой (5.40), а
температуры верхней и нижней сторон теплоизолированной не-
теплопроводящей пластины даны выражением (5.41). Если теп- *
лопроводность плоской пластины бесконечно велика, то из фор-
мулы (5.40) следует выражение для полного теплового потока
5.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ АЭРОДИНАМИКА
117
на пластину:
(1 - аЕРоо ( Г 2 . _v _ V+1 bl у
2«l/X Ц у—1 *2(v-1) Тх JA
X [ехр(— s2 sin2 а) + л1/2$ sin а erf (s sin а)] — l/2 ехр(— s2 sin2 а
Равновесная температура Tw теплоизолированной абсолютно
теплопроводной пластины в отсутствие теплового излучения
определяется из условия равенства нулю проведенного выше
выражения для теплового потока; а именно:
Т* = (s2 + угу - ‘/г ехр(— s2 sin2а) X
X [ехр (— s2 sin2 а) + nl/2s sin а erf (s sin a)]-1} Tx. (5.45)
Для тел; отличных от плоских пластин, выражения (5.38) —
(5.40) нужно проинтегрировать по- поверхности. Перечень из-
вестных решений дан в^работе [80], однако часто встречаются
задачи, которые или не -были решены ранее, или их решения
не были опубликованы. Возможность получить в этом случае
решение в аналитическом виде зависит от гебметрии задачи.
Методика интегрирования будет показана на примере вычис-
ления коэффициента сопротивления сферы. В показанной на
рис. 5.5 сферической системе координат коэффициент сопротив-
ления равен
Cd = = 5 (Р cos 0 + т sin 0) 2у2 sin 0 dB/('/2p00U2nr2).
2 °° Q "
В книге .[72] приведены полезные таблицы определенных ин-
тегралов, появляющихся после подстановки в это выражение
формул (5.38), (5.39). В окончательном виде коэффициент со-
противления записывается так:
, r 2s2 + 1 , • 2\ । 4s4 + 4s2 — 1 \ \ I 2 (1 — е) л1/2 ( \1/2.
Cd - ехр(-s >+——erf(s>+—s— bj
(5.46)
Интересно, что коэффициент зеркальности в в выражении
(5.46) остается только при члене, с температурой поверхности
T’w. Следовательно, для холодной сферы значения коэффициен-
тов сопротивления при зеркальном и диффузном отражениях
совпадают, и; когда скоростное отношение становится большим,
их общее значениеДтриолижается к двум. Конечно, это не зна-.
чит, что коэффициент сопротивления сферы не зависит от мо-
дели взаимодействия газ — твердое тело. В § ,4.5. была упомя-
118
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
нута диффузно-упругая модель, но так как получить аналити-
ческое выражение для давления отраженных молекул при
произвольном скоростном отношении затруднительно, то ее не
исследовали подробно. Однако при большом скоростном отно-
шении указанной трудности нет, и легко показать, что коэффи-
циент сопротивления диффузно-упругой отражающей сферы при
Рис. 5.5. Система координат, применяемая ’ при определении сопротивления
сферы. • . .
гиперзвуковом обтекании равен трем (см. упр. 5.10). Таким
образом, возможно, что, например, коэффициент сопротивления
сферического спутника отличается от значения при диффузном
или зеркальном Отражении на величину порядка 50%.
S.S. ТЕРМОФОРЕЗ
Даже если температура малой частицы, погруженной в газ,
однородна и совпадает с местной температурой газа, но в газе
есть перепад температуры, то на частицу действует сида, вы-
званная этим перепадом. Эта сила появляется вследствие не-
симметрии функции распределения в приближении Навье —
Стокса, а сам эффект называется термофорезом. При доста-
точно малых плотностях или достаточно малых размерах ча-
стиц столкновениями между молекулами можно пренебречь и
подсчитать силу, используя свободномолекулярное приближение.
В этой задаче в отличие от предыдущих свободномолекулярных
задач функция распределения набегающего потока неравно-
весна.
Рассмотрим сферическую частицу радиуса г (рис. 5.6). Вы-
берем начало координат в ее центре, а ось х направим вдоль
градиента температуры. Функция распределения первого по-
рядка в разложении Чепмена — Энскога приведена ранее
(см. (4.60)):
f-41 (’-4П
Рассмотрим элемент поверхности сферы в точке Р, заданной
полярным углом 0 и азимутальным углом <р. Ось х' системы
5.5. ТЕРМОФОРЕЗ
119
координат х', у', z' выберем вдоль нормали к элементу поверх-
ности и направим внутрь сферы, ось у1—вдоль линии пересе-
чения касательной плоскости и плоскости ОРх. Для вычисле-
ния потока величины Q к элементу поверхности воспользуемся
Рис. 5.6. Система координат, применяемая при определении термофоретиче-
ской силы, действующей на сферу..
равенствами (1.12) и (3.3), записанными в выбранной системе
координат, и формулой (5.47), определяющей./:
Г ( f QC/expI-p2(t/2+ У2+1Г)]Х
л1 J J J
— оо —оо О
х {1 - г иИе2 + у2+w2> -1] cos 0 + v sin 0) ~гх} х
XdUdVdW.
Здесь (7, I/, W— компоненты скорости вдоль осей х', у', zf со-
ответственно. Полагая Q = mU и Q = /nV, определим давление
и касательное нацряжение, создаваемые молекулами, падаю-
щими на поверхность. В результате имеем
___ р л dT * ЛОЧ
₽' = 7?-^сг'50^ ' (6-48’
T'-^sine£- ' <5л9)
‘Очевидно, что однородные по сфере члены, например первый
член в правой части равейства (5,48), вклада в силу, действую-
120
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
щую на сферу, не дают. Так как поток числа молекул, подсчи-
танный по навье-стоксовской функции распределения, не зави-
сит от направления, то в случае однородной по поверхности
температуры сферы диффузно отраженные от поверхности мо-.
лекулы вклада в полную силу’ не дают. Давление, оказываемое
зеркально отраженными молекулами, равно pi. Касательное
напряжение диффузно отраженных молекул равно нулю, а зер-
кально отраженных равно —Ть Полная сила при этом равна
F = —\ [2 (1 + в) cos2 0 + (1 — е) sin2 0] 2лг2 sin 0 dB.
5л" dx J
Здесь е — доля зеркально отраженных молекул. Таким образом-,
(5.50)
Этот результат впервые получен Вальдманом [97]. Заме- ’
тим, что е отсутствует в окончательном результате вследствие
сферической геометрии течения и для частиц другой формы мо-
жет влиять на силу. ... -
5.6. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ
Рассмотрим полубескбнечное пространство у > 0, запол-
ненное покоящимся однородным газом плотности р«> и темпе-
ратуры Too. Пусть диффузно отражающая плоскость у = 0 в
момент времени t = 0 приобретает скорость •величиной £/w,
направленную вдоль оси х, и температуру. Г». Для времен,
много меньших среднего времени между столкновениями моле-
кул, и расстояний, -много меньших средней длины свободного
пробега, течение можно считать свободнрмолекулярным. Пара-
метры течения будут зависеть только от у. Однако здесь в от-
личие от чисто одномерных течений § 5.3 существуют конечные
компоненты скорости вдоль обеих осей х и у. Задача Рэлея по-
лезна как контрольная при сравнении различных методов, пред-
назначенных для изучения течений в переходном режиме, и _
основной целью настоящего исследования является получение ‘
свободномолекулярного решения, используемого в дальнейшем.
Более полное исследование задачи было дано в работе [99].
Лучше' всего решать эту задачу, используя свободномолеку-
лярнбе ура!внение'Больцмана. Поскольку две компоненты ско-
рости отличны от нуля,>то необходимо вновь обратиться к ра-
венству (5.6) и написать
nQ(y, 0 = S "Х'~Х ’ У^У ’ Z~fZ y')dx' dy'dz'-
(5.51)
5.6. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ
121
Здесь r' = r — ct и интегрирование ведется по полупростран-,
ству, занимаемому газом в момент / = 0. Начальная функция*
распределения при у' > 0 следует из формулы (4.3) и выра-
жается в виде
R3 ч ’
ехр[-PL(«2+»2+^)}=
Л '
X — х'
Газ, отраженный от поверхности, при />> 0, можно представ-
лять газом, находящимся в полупространстве у < 0 с функцией
распределения:
в3
_^.exp{-Pt[(«-t/w)24-v2 + ^)= •
В начальный момент числовая плотность газа в области у > С
равна Моо —р<эо /т, а в области у < 0 равна nw. Поток числа
молекул в направлении у вследствие непротекания плоскости
у = 0 должен равняться нулю;. используя равенство (4.20),
имеем
* «W=(Pw/P=o)raoo-
Подставляя эти выражения в (5.51), получим
Выражения для числовой плотности, скоростей потока в на-
правлении х-и у, температуры, определенной по поступатель-
ному дв’ижению молекул, получим, полагая Q = 1, и, v и 'Ас'2//?
122
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
соответственно. Окончательные результаты таковы:
Д_=1{[1+ег,(^)] + (^я,с(М)}. (5.52)
г=Гж[1+1ел(м)(^Г(^_ 1)/(£)] +
у on C7w«n 4 1
+ т^ + -^-зГ(«о + *о2). (5.55)
Потоки импульса и энергии на поверхность не зависят от
времени и могут быть определены из равенств (5.38) — (5.40)
для стационарного двумерного течения, если в них просто по-
ложить s = t/wpoo, 0 = л/2, 7'r = 7’w и е = 0. Таким образом,
(5.56)
(5.57)
(5.58)
Члены, содержащие Tw, связаны с молекулами, отраженными от
поверхности, а остальные с молекулами, падающими на поверх-
ность. Отметим, что если выражения для характеристик поля
течения приведены в системе координат, связанной с первона-
чально невозмущенным покоящимся газом, то потоки на поверх-
ность приведены в системе координат, связанной с поверх-
ностью.
5.7. ТЕЧЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ ОТ ПОВЕРХНОСТИ
Намного сложнее исследовать свободномолекулярные тече-
ния, в которых молекулы, отраженные от поверхности, могут
вновь удариться о нее, а не отлететь от тела. Практически дви-
жения газа, с многократным взаимодействием .молекул с по-
верхностью встречаются во внутренних течениях и при внешнем
обтекании тел сложной геометрии.
Рассмотрим поверхность S, граничащую с газом, параметры
которого удовлетворяют свободномолекулярным условиям. Обо-
значим через N\(S)dS число молекул, попадающих из газовой
среды в единицу времени на элемент dS, расположенный около
5.7. ТЕЧЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ ОТ ПОВЕРХНОСТИ 123
точки S. Пусть далее P(S',S) — вероятность того, что молекула,
отраженная от элемента dS', расположенного около точки S',
ударится об единичный элемент поверхности вблизи точки S.
Тогда число молекул в единицу времени, второй раз ударяю-
щихся о поверхность и попадающих при этом на элемент dS,
равно
дг2 (S) dS = J Р (S', S) Wi (S') dS' dS.
s
Аналогично, число молекул, ударяющихся третий раз, равно
N3 (S) dS = J Р (S', S) N2 (S') dS' dS.
s
Таким образом, если полный поток -молекул, ударяющихся о
единицу поверхности в единицу времени около точки, S, обо-
значить через N(S), то
jv(S)=ams) + ams) + ams)+ ••• =
= Nt (S) + J Р (S', S) М (S') + N2 (S') + N3 (S') + ... ] dS',
s
иди
N (S) = AG (S). + J P (S', S) N (S') dS'. (5.59)
s
Это уравнение Фредгольма второго рода, и его решение — не-
обходимая часть анализа свободномолекулярных течений с мно-
гократными отражениями.
Рассмотрим для примера свободномолекулярное течение че-
рез круглую' трубу радиуса г и длины Ь. Направим ось х вдоль
оси вращения трубы, а начало координат совместим с пло-
скостью входа. Часть вылетающих из трубы молекул пролетает
ее без столкновений с внутренней поверхностью, а часть выле-
тает со всей внутренней поверхности трубы. Полный поток Nt
сквозь трубу можно теперь записать в виде
ь
Nt = + J N (x) Pe (x) dx, (5.60)
о . '
где Na — поток числа молекул, пролетевших трубу без столк-
новений; Ре — вероятность того, что молекулы, отраженные от
кольцевого элемента длиной dx с координатой х, вылетят из
трубы, a N(x) определяется из уравнения (5.59), записанного
для осесимметричной задачи:
6
N (х)= Nt (х) + ( Р (х', х) N (х') dx'. (5.61)
о
124
' ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Решение этой задачи впервые было получено Клаузингом [22]
и подробно обсуждается в книге [72]. В этом случае столь про-
стой геометрии функции Ne, Ре(х), Ni.(x) и Р(х', х) можно
найти после простых, но утомительных выкладок. Однако ре-
шать интегральное уравнение для N(x) нужно численно.' Ин-
тегрирование уравнения (5.60) в конечном виде возможно
только при линейной аппроксимации функции N(x) с коэффи-
циентами, определяемыми из численного решения уравне-
ния (5.61).
Для задач с более сложной геометрией, чем рассмотренная
выше, проведение такого же, в основном аналитического, ана-
лиза с выводом интегрального уравнения невозможно. Q дру-
гой стороны, “этот класс задач идеально подходит для иссле-
дования вероятностным численным методом, названным мето-
дом пробной частицы Монте-Карло [26]. При этом необходимо
обратиться- к цифровым ЭВМ, причем требования к их быстро- •
действию жестче, чем к объему памяти. На ЭВМ моделируют-
ся многие тысячи траекторий молекул, так что объем выборки
достаточен, чтобы описать поведение реального газа. Так как
столкновениями между молекулами можно пренебречь, траек-
тории не зависят друг от друга й могут моделироваться после-
довательно. Покажем применение этого метода на примере по-
тока через круглую трубу и вычисления Ми Nd.
Блок-схема программы моделирования приведена на рис. 5.7.
Там введены, кроме известных, следующие обозначения: L =
= b/г — относительная длина трубы; Ni— полное число частиц,
в.летающих в трубу; п— расстояние при х = 0 от начального
положения частицы до оси трубы (начальный радиус); A, mi,
«1 — направляющие косинусы начального отрезка траектории;
хс—координата х точки пересечения траектории с поверхностью
трубы или ее продолжением вне интервала 0 х b‘, 4С, тс,
«с —направляющие косинусы отрезка траектории частицы пос-
ле диффузного отражения от поверхности. "
Функция распределения Начального радиуса вводится, как
и другие, в приложении D, и необходимое выражение непосред-
ственно следует из равенства (D6):
(6.62)
Из этой формулы следует, что начальный радиус выбирается
случайным образом в соответствии с равномерным распределе-
нием в плоскости входа. Однако, поскольку траектории не за-
висят друг от друга, статистические неоднородности, которые
появляются в начальных данных в результате такой процедуры,
могут быть устранены, если воспользоваться регулярным рав-
номерным распределением. При этом начальный радиус У-й
5.7. ТЕЧЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ ОТ ПОВЕРХНОСТИ 425
траектории определяется так:
П = [(2V -
(5.63)
Поток числа молекул, попадающих во входное сечение тру-
бы вследствие диффузии, определяется равенством (4.16) при
С НАЧАЛО )
\ СЧИТЫВАНИЕ L,Nj
ЦИКЛ
Nt,
РАЗ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
| ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО дс|
НЕТ
ДА
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ. 1с,л?0,пс
! •
[ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛЕДУЮЩЕГО xj
НЕТ
ДА
НЕТ *
ДА
Х„>0
Оконец?
/ ПЕЧАТЬ \
kd°^d+l|
Рис. 5.7. Блок-схема программы метода пробной частицы Монте-Карло для
задачи о течении в цилиндрической трубе.
Q = 1. Наружный раз находится в равновесии, и его функцию
распределения можно записать в сферической системе коорди-
нат, как в формуле (4.4), с полярной осью, направленной.вдоль
оси трубы. Компоненту и. скорости молекул можно тогда запи-
сать как c'cosO. При этом поток числа молекул выражается
соотношением
©о 2л л/2
N, = с'3 ехР Р2с'2) sin 0 cos 0 d0 dq> de', (5.64)
я о о oJ
126
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Значения азимутального угла <р равномерно распределены и
определяются из равенства (D5):
Ф = 2л7?ь (5.65)
Распределение полярного угла 9 лучше определять, воспользо-
вавшись распределением cos 9, так как sin 9 cos OdO =
= cos9d(cos 9). Вследствие приведенного равенства распреде-
ление cos 9 совпадает с распределением г, для которого извест-
на формула (5.62). Так как cos9 изменяется в диапазоне от О
до 1, то можно написать
cos 9 — (7?f)1/2. ' (5.66)
Направляющие косинусы тогда таковы:
Z! = cos9, wf= sin 0 costp, «i = sin 0 sin qp. (5.67)
Координату x точки пересечения траектории частицы с по-
верхностью цилиндра или ее продолжением за интервал 9
х b легко получить при помощи формул элементарной ана-
литической геометрии. При применении моделирования широко
используется общая теорема о том, что точка пересечения линии
x = X[-j- lis, y = yi+ tn.\S, z = Zi + n\s (5.68)
и поверхности второго порядка
F (х, у, z) ss аих2 + а22у2 + a^z2 + la^yz + 2a3izx 4-
+ 2а12ху + 2ацх + 2a2iy + 2a34z + a44 = 0 (5.69)
определена корнями уравнения
Л,52+2Л25+ Л3 = 0’, (5.70)
где
Л[ = Яц/2 4“ ^22^1 ”1” ®33^1 "Ь ^d^tflyHy 4- 4“
Л2 = /j 4“ ^12^1 4” а132[ 4* #14) 4- "Ь а22У\ “Ь a23Zi а24)”Ь
4~ fiy (я31х; 4* я32У| 4- a332j 4~ ^4)’
Л3 = /7(х1, уv zt).
Для определения точки’ пересечения действительные корни
уравнения (5.70) нужно подставить в равенства (5.68). Так как
рассматриваемая задача обладает осевой симметрией, то можно
выбрать yt—.—rt, Zi = 0. Коэффициенты а22 и я33 равны еди-
нице, я44 — —г2, а все остальные равны нулю. Тогда из формул
(5.68) — (5.70) для координаты х точки пересечения траектории
частицы с цилиндром имеем следующее выражение:
xe = /l{rlm14-[r2(mHnD-W2}/(/ni + «D- <6-71)
5.7. ТЕЧЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ ОТ ПОВЕРХНОСТИ 127
Вследствие осевой симметрии координаты у и z точки пересе-
чения можно считать равными —г и 0 соответственно. Если
точка пересечения лежит на поверхности цилиндра, то из пред-
положения о диффузном отражении следует, что выбор направ-
ляющих косинусов /с, «с и «с аналогичен выбору соответствен-
но гп\, li и п\. Заметим, что в этом случае нормаль к поверх-
ности направлена вдоль оси у, а не оси х. Координата х сле-
Рис. 5.8. Влияние объема выборки на разброс результатов при типичном
расчете методом Монте-Карло (L = 1).
дующей точки пересечения с цилиндром опять следует из ра-
венств (5.68) — (5.70):
х = х + 21 т/Кт* + п2Х
Это значение х становится новым значением хс-
В качестве приложения F дан листинг программы, записан-
ной на языке FORTRAN IV. Заметим, что в программе лишь
32 предложения. На рис. 5.8 приведены результаты расчета пол-
ного относительного потока числа частиц при отношении длины
к радиусу, равном 1, в зависимости от объема выборки N. Зна-
128 ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
чение, данное Клаузингом [22] для этого случая, равно
Nt/Ni = 0.672. Пунктирными линиями обозначены функции
0.672 ± АН/2, и ясно, что они дают хорошую оценку ожидае-
мого разброса при данном объеме выборки. Темными кружоч-
ками обозначены данные, полученные с помощью программы
приложения F со случайным выбором начального радиуса в
соответствии с равенством (5.62), крестиками — значения, по-
лученные при регулярном задании по уравнению (5.63). Устра-
нение неравномерности в начальных данных не уменьшило в
этом примере разброса конечного результата. Суммирование
всех данных, приведенных на рис: 5.8, приводит к значению
N{/N\ = 0.6713, полученному по 201 720 траекториям. Для дру-
гих значений относительной длины цилиндра также было полу-
чено хорошее согласие с данными Клаузинга. ЭВМ средней
Мощности, такая, как CDC 6400, подсчитывает примерно тыся-
чу траекторий в.секунду.
• Главное преимущество метода Монте-Карло заключается в
простоте его применения к течениям с более сложной геомет-
рией: Изменения, которые привели бы к полной практической
невозможности применения метода интегрального уравнения, в.
этом подходе обычно приводят к изменениям в нескольких
предложениях программы вычислений. Некоторые из конфигу-
раций, встречающихся в инженерной практике, исследованы в
работе [26].
В приведенном примере нужно было определять лишь отно-
шение потоков числа молекул на выходе и на входе. При при-
менении метода Монте-Карло к задачам, в которых требуется
’ найти, например, коэффициент сопротивления, передачу им-
пульса необходимо связать с плотностью газа. Проще всего в
стационарном случае принять, что подсчитываемые траектории
соответствуют тем, которые существуют в реальном газе в еди-
ницу времени. Тогда сумма по всем траекториям переданного
импульса равна потоку импульса. Поток числа молекул можно
подсчитать таким же образом, и используя равенство (4.18),
можно вычислить соответствующую числовую плотность. Метод
пробной частицы Монте-Карло применить непосредственно к не-
стационарным течениям нельзя, и предпочтительнее исцоль-
. зовать свободномолекулярный вариант метода прямого модели-
рования Монте-Карло, описанного в гл.-7. В этом методе одно-
временно строится большое число траекторий, и реальному вре-
мени можно сопоставить некоторый временной параметр вы-
числительного алгоритма.
Упражнения «
5.1. Рассмотрим два объема газа, разделенных тонкой перегородкой с отвер- •
стием. Пусть характерный размер отверстия много меньше средней длины
свободного пробега молекул в газе. Пусть также внешнего воздействия на
УПРАЖНЕНИЯ
129
газ . в объемах нет, помимо того, что его температуры ТА и Тв поддержи-
ваются постоянными. Показать, что равновесные давления в объемах удовле-
творяют соотношению' '
Рв \тв) '
Это. явление'называют термической транспирацией.
5.2. Рассмотрим смесь двух газов, отделенную от вакуума перегородкой, упо-
мянутой в упр. 5.1. Пусть поток массы газа через отверстие достаточно мал,
так что газ вдали от отверстия можно считать невозмущенным. Истекающие
при эффузии газы собирают; отношение числовых плотностей молекул сорта
1 и 2 обозначим через Показать, что это отношение связано с отно-
шением плотностей в исходной смеси выражением
' „ / ™ ч 1/2
Л2 Л2 \ т1 / *
где mi и т2 — массы молекул сорта 1 и 2.
5.3. Газ плотности По истекает при эффузии с постоянной скоростью через
отверстие площадью S. Выберем сферическую систему координат с началом
в отверстии и полярной осью, направленной по нормали к отверстию в сто-
рону движения газа. Используя результаты упр. 4.5, показать, что числовая
плотность на больших расстояниях (г2 > S) от отверстия равна
„ _ ftp cos е с
4лг2
Показать далее, что для круглого отверстия радиуса г0 точный результат
для плотности вдоль оси симметрии таков:
Разложить приведенное выражение в ряд по (г0/г)2 и сравнить с полученным
ранее'приближенным результатом.
5.4. Рассмотрим' одномерную задачу о теплопередаче, введенную в § 5.2, с
наложенным вдоль оси у постояным полем тяготения. Показать, что если р"—
средняя плотность газа между пластинами, то в свободномолекулярном ре-
жиме тепловой поток равен
н _____________________ -23^-1/2p^1^gft(ru-TL)_____________
f Т"2 {ехр (Gy) [1 — erf (би)] -г 1} + Т[/2 {exp'(t?2) [I + erf (GL)] - 1} ’
где Gl =ghl(RTv) и Gl = gh/(RTL).
5.5. Простым течением Куэтта называют течение между плоской неподвижной
поверхностью, расположенной при у == 0, >и движущейся со скоростью U пла-
стиной, расположенной при у = А. В несжимаемом газе как сплошной среде
в отсутствие перепадов давления скорость газа равна* и = Uy th. Показать,
что отношение касательного напряжения в свободномолекулярном режиме
при диффузно отражающих поверхностях к напряжению трения при течении
газа как сплошной среды равно
Tf 8
тс 5лКп *
- 5 Г. Бёрд
130
ГЛ. 5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Число Кнудсена Кп здесь определено как отношение средней длины свобод-
ного пробега, заданной отношением (4.53), к высоте h.
5.6. Рассмотрим свободномолекулярный плоский одномерный разлет смеси
двух газов, заполняющих вначале полупространство. Показать, что отноше-
ние числовых плотностей равно
( П2 К erfc \хт^2l[(2kT)^2
\«1 // \ «1 /1П erfc{xm}/2/[(2feT)1/2qj ’
где индексы 1 й 2 обозначают различные сорта молекул; индекс in — началь-
ное значение; начертить зависимость пг/fli от at/x в случае, когда невозму-
щенный газ состоит из равных частей .аргона и гелия.
5.7. Показать, что поле скорости в одномерной задаче о поршне удовлетво-
ряет соотношению
_ s[erf (К + s) + erf (£L _ s)],
где n/ni — отношение плотностей, определяемое равенством (5.25).
5.8. Рассмотрим двумерное свободномолекулярное обтекание диффузно отра-
жающего кругового цилиндра диаметром d, ось которого перпендикулярна
набегающему потоку. Показать, что коэффициент потока числа молекул к
цилиндру равен /
= [(s2 + (s2/2) + s2/i (s2/2)]
Здесь W— число молекул, ударяющихся о поверхность цилиндра единичной
длины, a Zv — модифицированная функция Бесселя порядка v.
Коэффициенты сопротивления и теплопередачи можно записать в виде
С° - = "1/2eXPs( " [О2 + т) '° т + (s2 + (s2/2)] +
г _ и Г «3/г Pw\1/2]_ v+£ £n (1\
~ /2L D 4s \Too7 J Y-l 2s2
Здесь D и H — сопротивление и тепловой поток на единицу длины цилиндра.
5.9. Гиперзвуковой предел для коэффициентов Cn, CD и Сн цилиндра с xo-z
лодной поверхностью равны соответственно 1, 2 и 1. Используя точные
результаты, показать, что это приближения нулевого порядка в разложении
по степеням s”2. Показать, что приближения первого порядка в- одноатомном
газе таковы:
+ СО==2(1+1?)’ СНв1+-4$Г-
Заметим, что поправки к сопротивлению и тепловому потоку соответственно
в три и одиннадцать раз больше поправки, к потоку числа молекул.
УПРАЖНЕНИЯ 131
5.10. В диффузно-упругой модели взаимодействия газа с поверхностью твер-
дого тела принято, что молекулы отражаются с той же энергией, что и па-
дают, но со случайно распределенным направлением вектора скорости. Пока-
зать, что гиперзвуковое приближение коэффициента сопротивления сферы при
этой модели отражения равно трем.
5.11. Рассмотрим термофоретическую силу, действующую на тонкий абсолют-
но теплопроводный диск, ось которого совпадает с направлением градиента
температуры. Показать, что в свободномолекулярном случае отношение силы,
действующей на диск, к силе, действующей на сферу того же радиуса, при
зеркально диффузном законе отражения равно 3(1 + в)/4.
6
Общие методы исследования
течений в переходном режиме
6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ
Переходный режим течения — это режим, в котором сред-
няя длина свободного пробега ни слишком мала, ни слишком
велика по сравнению с характерным размером. Математическое
исследование нелинейного уравнения Больцмана сложно, и, как
правило, не существует прямых методов, которые приводили ^бы
к точным аналитическим решениям. Поэтому предложено боль-
шое число косвенных подходов, во многих из которых исполь-
зуются необычные типы аппроксимации. Необходимо класси-
фицировать большое количество конкурирующих методов. Про-
делать такую классификацию помогут ответы на следующие
вопросы.
1) Является ли метод численный или аналитическим?
2) Применим ли метод при любых значениях всех парамет-
ров или его применимость ограничивается предельными слу-
чаями, в которых один или большее число параметров малы
или велики?
3) Какова размерность задач и какова сложность свойств
газа и граничных условий, при которых можно использовать
метод?
4) Требует ли метод задания начального приближения для
всего поля течения и зависит ли он от сходимости последова-
тельных приближений?
5) Опирается ли метод на дополнительные предположения
о функциональной форме некоторых параметров и зависит ли
он от произвольных видоизменений основных уравнений?
При принятии какого-либо приближения необходимо тща-
тельное сравнение, с другими теоретическими результатами и
экспериментом. Такой анализ особенно важен, если ответ на
пятый вопрос утвердителен. Заключения общего характера
нельзя основывать на совпадении не только в единственном
случае, но даже и в одной задаче. Сравнительный анализ нуж-
но-проводить не по зависимости единственного макропараметра
от числа Кнудсена, а, насколько это возможно, по наибольшему
6.Т. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ
133
количеству параметров потока во всем поле течения. Поскольку
решения для Двух предельных режимов — свободномолекуляр-
ного и течения газа как сплошной среды — известны, то хоро-
шие результаты могут быть получены физически неоправданны-
ми методами, которые, как. оказывается, случайно привели к
хорошей интерполяции между этими известными предельными
значениями.
При рассмотрении первого вопроса необходимо иметь в виду,
что некоторые аналитические методы приводят к «решениям»,
требующим обширной вычислительной работы для получения
окончательных результатов в конкретных течениях. В некото-
рых случаях объём этой вычислительной работы может превы-
шать объем работы, которая потребовалась бы при непосред-
ственном численном решении задачи. Применение таких методов'
следует рассматривать скорее как возможность иначе и, быть
может, менее точно сформулировать задачу, чем как возмож-.
ность решить ее. Методы непосредственного численного реше-
ния обсуждаются в § 6.4.
Задачи, в которых имеются большие отклонения от равно-
весия, нелинейны, так что не существует аналитического метода,-
в котором не. делались бы дополнительные предположения или
аппроксимации. Для получения приближенных решений, опи-
сывающих течения в режиме сплошной среды или в режиме,
близком к свободномолекулярному, можно воспользоваться ме-
тодами малых возмущений, основанными на малости числа
Кнудсена или его обратной величины. В некоторых методах
предполагается, что.скоростное отношение мало или велико или
что малы сами возмущения течений. В частности, если возму-
щения малы настолько, что функция распределения лишь слегка
отлична от равновесной, или максвелловской, функции распре-
деления, то метод малых возмущений приводит к линеаризован-
ному уравнению Больцмана. Детально теория этого уравнения
была изложена Черчиньяни [16]. Обзор более поздних резуль-
татов можно найти в работе [17].
Решения, полученные методом1 малых возмущений, дают
важные числовые ориентиры, особенно когда эти данные полу-
чены без каких-либо дополнительных произвольных предполо-
жений относительно параметров и без видоизменения уравне-
ний. Правда, такие решения получены только для ограничен-
ного ряда задач со сравнительно простыми граничными усло-
виями. Случайно они могут иметь непосредственное инженерное
применение, однако маловероятно, чтобы эти" методы можно
было обобщить настолько, что ими можно будет исследовать
иные задачи, встречающиеся на практике.
В некоторых методах приняты весьма произвольные пред-
положения относительно вида функции распределения. Воль-
134
ГЛ. 6. ТЕЧЕНИЯ в ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
шинство из них могут быть отнесены к моментным методам и
будут обсуждаться в § 6.2. С изменением формы самого урав-
нения Больцмана связан другой распространенный тип аппро-
ксимаций. Показателем сложности решения в переходном -ре- ,
жиме течения служит то обстоятельство, что были приняты
столь грубые подходы и что они привели к полезным результа-
там. Модельные уравнения обсуждаются в § 6.3.
Разумеется, существует немало работ, в которых не исполь-
зуется непосредственно какой-либо общий класс методов. Обыч-
но это специальные исследования, хорошо приспособленные к
конкретной геометрии течения, так что возможности их рас-
пространения на иные типы течений малы.
6.2. МОМЕНТНЫЕ МЕТОДЫ
В этом подходе используются моментные уравнения, полу-
чаемые умножением уравнения Больцмана некоторую моле-
кулярную величину Q и интегрированием затем по всему про-
странству скоростей. Моментное уравнение для Q уже было
выведено (см. уравнение (3.27)) в следующей форме: ,
-%-(nQ) + V • (n^Q) - nF • ^-= Д [Q]. (6.1)
Макроскопические параметры газа были определены в § 1.2
в терминах средних от микроскопических величин Q. Подста-
новка различных значений Q в уравнение-(6.1) приводит, как
это описано в § 3.3, к ряду уравнений для макроскопических
параметров. Однако наличие во втором члене величины cQ при-
водит при увеличении порядка зависимости Q от с к появлению
в каждом уравнении -моментов еще более высокого порядка.
Таким образом, получается бесконечная последовательность
уравнений и моментов. Формулой (3.3) определен типичный
момент
ОО ч
Q= J Qfdc.
СО
Основой моментного метода является предположение о конкрет-
ном виде выражения f через конечный набор макроскопических
параметров, или моментов. Моменты наивысшего порядка мо-
гут быть тогда выражены через низшие моменты; при этом си-
стема уравнений замыкается и образует конечную систему.
В § 3.5 и 4.4 уже обсуждалось решение Чепмена — Энскога
уравнения Больцмана. Это решение второго приближения, осно-
- ванное на разложении функции распределения f в ряд. Условно
Этот ряд можно записать так:
f = fo(l-t-«iKn + a2Kn24- ...). (6.2)
8.2. МОМЕНТНЫЕ МЕТОДЫ
138
Здесь коэффициенты ап зависят только от р, .со и Г, а число
Кнудсена определено как отношение средней длины свободного
пробега к характерному размеру течения. Решение первого')
порядка — это локально максвелловская функция распределе-
ния fo; состояние газа в этом случае полностью определено па-
раметрами р, Со и Т. В газе, находящемся в локальном равнове-
сии, тензор вязких напряжений т и вектор потока тепла q ис-
чезают, и уравнения сохранения (3.32), (3.34) и (3.37) сводятся
к уравнениям Эйлера, описывающим течение невязкого газа.
Уравнения сохранения — это пять моментных уравнений, в ко-
торых величина Q равна пг, тси х1#пс\ Поскольку эти послед-
ние величины сохраняются при столкновении, то столкновйтель-
ный член Д (Q1 в уравнениях исчезает. Второе приближение в
разложении Чепмена — Энскога приводит к функции распреде-
ления, определяемой формулой (4.58). Она также зависит лишь
от параметров р, с0 и Т. Переменные .т и q, определенные по
этой функции распределения, есть произведения комбинаций
- первых производных от скорости и температуры соответственно
с коэффициентами р и К. При этом уравнения сохранения пре-
образуются в уравнения Навье — Стокса газодинамики сплош-
ной среды.
Приведенное рассмотрение показывает, что с кинетической
точки зрения и уравнения Эйлера, и уравнения Навье — Стокса
можно рассматривать как «пятимоментные» решения уравнения
Больцмана. При этом первая система уравнений справедлива
в пределе Кп—<-0, вторая — при Кв С 1. В терминах газодина-
мики сплошной среды можно сказать, что уравнения Эйлера
описывают обратимые адиабатические (изэнтропические) тече-
ния, а уравнения Навье — Стокса обычным, хорошо проверен-
ным образом описывают течения вязкого газа. Это означает,
что решения Чепмена — Энскога первого и второго порядков
просто согласовывают кинетическое описание и описание тече-
ний при малом числе Кнудсена методами механики сплошных
сред.
Очевидно, что разложение f в ряд (6.2) должно расходиться,
когда число Кнудсена приближается к единице. Однако суще-
ствует возможность расширить область применимости теории
Чепмена — Энскога до бблыпих значений числа Кнудсена, если
использовать' больше двух членов ряда. Решение третьего по-
рядка (см. уравнение (6.2)) приводит к уравнениям Барнетта.
Предполагается [20], что эти уравнения приводят к более точ-
ному описанию течений газа, если число Кнудсена столь мало,
что теория Чепмена — Энскога становится справедливой. Более
*) Если говорить о степенях числа Кп, то это решение нулевого прибли-
жения. Однако в § 3.5 «порядок» приближения определялся по числу членов
ряда; этому определению здесь и следуем..
136
ГЛ. 6. ТЕЧЕНИЯ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
конкретное предположение сделал Уленбек [92], полагая, что
уравнения Барнетта приводят к лучшему описанию быстропе-
ременных малых возмущений. С другой стороны, эксперимен-
тально доказано [80], что включение членов более высокого
порядка обычно приводит к' уменьшению согласованности тео-
ретических и экспериментальных данных при числах' Кнудсена,
близких к верхнему пределу применимости уравнений Навье —
Стокса1).
• Трэд [37] выдвинул иное предложение: разлагать f в ряд
по тензорным полиномам Эрмита опять-таки с локально макс-
велловской функцией распределения в качестве первого прибли-
жения. Приближение третьего порядка приводит к выражению f
в виде локально максвелловской функции, умноженной на чле-
ны, содержащие как р, с0, Т, так и т и q. Отсюда следует, что
полное число моментных уравнений, необходимых для замыка-
ния системы, равно числу зависимых переменных в уравнениях
сохранения, т. е. тринадцати (упр. 3.2). В этом приближении
имеем тринадцатимоментные уравнения Трэда. Хотя эти урав-
нения — важный логический шаг в развитии кинетической тео-
рии, однако результат их применения к решению конкретных за-
дач в переходном режиме разочаровывает [80].
Отсутствие разложений, приводящих к уравнениям, верхний
предел применимости которых по числу Кнудсена существенно
выше-, чем у уравнений Навье — Стокса, показывает, что для
построения уравнений, пригодных в промежуточной области,
требуются новые радикальные предположения об аппроксима-
ции функции распределения. Для задач об одномерном стацио-
нарном течении с двухточечными граничными условиями функ-‘
цию f выбирают в виде комбинации двух максвелловских рас-
пределений, определяемых граничными условиями. Она может
быть линейной комбинацией двух распределений, задаваемых во
всем пространстве скоростей, как при решении Мотт-Смита'
задачи о структуре ударной волны (см. § 8.1), или комбинацией
функций, заданных в полупространствах скоростей, как в мо-
ментном методе Лиза (см. § 8.2).
При введении комбинаций максвелловских функций появ-
ляется одна или несколько дополнительных зависимых пере-
менных, так что при этом требуется дополнить уравнения со-
хранения соответствующим числом моментных уравнений. Так
как в одномерном течении три уравнения сохранения, то мини-
мальное число моментов равно четырем2). Для несохраняюще-
гося момента или моментов нужно вычислить столкновительный
*) По этому поводу см. прим, на стр. 76. — Прим. ред.
2) Во многих таких задачах одни уравнения сохранения оказываются
следствием других, так что общее число независимых уравнений оказывается
меньше четырех. — Прим. ред.
в.З. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
137
член Д [Q], который обычно вводит характеристики процессов
переноса в рассматриваемую формулировку. На этом пути
можно получить решение в замкнутой форме для всего диапа-
зона изменения числа Кнудсена, переходящее в свободномоле-
кулярное решение при Кп-»-оо и в решение Навье —Стокса при
Kn« 1.
Некоторые моментные методы приводят к результатам, на-
ходящимся в удивительном - согласии с экспериментальными
данными. Однако эти решения не однозначны, поскольку рас-
сматриваемые методы связаны с произволом в выборе формы
принятой функции распределения и несохраняющихся при
столкновениях величин, используемых при выводе дополнитель-
ных моментных уравнений. Выбор, наилучший для одних пара-
метров, необязательно лучший для других даже для той же
самой задачи. Точно так же использование более сложной фор-
' мы функции распределения и соответственно большего числа
моментов необязательно приводит к лучшим результатам.
Моментные методы безуспешно применялись для решения
двумерных задач, таких, как задача о стационарном обтекании
сферы в переходном режиме. Основная причина этого состоит
в том, что в таких течениях форма функции распределения
сильно зависит от пространственных координат; Трудности в
определении подходящей формы функции распределения усу-
губляются отсутствием осевой симметрии в пространстве ско-
ростей (функция трехмерна). Наконец, даже если бы оказалось
возможным найти пригодную аппроксимацию функции распре-
делейия, полученные уравнения было бы труднее решить, чем
уравнения Навье — Стокса для соответствующего течения вяз-
кого газа как сплошноой среды.
6.3. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
При' использовании модельных уравнений аппроксимируется
непосредственно уравнение Больцмана, точнее интеграл столк-
новений, поскольку наибольшие математические трудности свя-
заны именно с ним. После работы Бхатнагара, Гросса и Крука
[4] наиболее известное модельное уравнение называют уравне-
нием БГК. Его можно записать в следующем виде:
jt № + с ' 4 (nf) + F • -Д- (nf) = nv (f0 - f). (6.3)
Хотя параметр v обычно считают частотой столкновений, он об-
ладает лишь частью свойств частоты столкновений: v пропор- °-
ционален плотности и может зависеть от температуры, однако
принимают, что он не зависит от скорости молекул с. Так как
fo — локально максвелловская функция, т. е. зависит от скоро-
138
ГЛ. 6. ТЕЧЕНИЯ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
сти потока Со и температуры Т, которые сами являются квадра-
турами от f, то кинетическое уравнение остается нелинейным
интегро-дифференциальным уравнением. Чтобы из уравнения
БГК следовали уравнения сохранения, необходимо обращение
в нуль столкновительных членов соответствующих моментных
уравнений. Это обеспечивается тем, что величины Со и Т, опре-
деляемые как квадратуры от /о, совпадают с аналогичными ве-
личинами, определяемыми по функции распределения Д
Уравнение БГК (6.3) для покоящегося пространственно-од-
нородного газа в отсутствие внешних сил приобретает следую-
щий вид: ,
f-v(fo-f)
и, несомненно, имеет в равновесии корректное решение f = fo.
Метод Чепмена — Энскога можно применить и к уравнению БГК
[94]. Получающиеся при этом соотношения переноса преобра-
зуют уравнения сохранения в уравнения Навье — Стокса, прав-
да с некоторыми отличиями в числовых коэффициентах. Оче-
видно, что из уравнения БГК следует корректное свободномо-
лекулярное решение, поскольку в этом пределе форма интеграла
столкновений не имеет значения. Таким образом, полное реше-
ние, которое можно получить во всем интервале чисел Кнуд-
сена, будет близко к правильным пределам на концах этого
интервала. Однако в переходном режиме приближенная форма
интеграла столкновений приведет к ошибке неопределенной ве-
личины.
Как видно из сравнения уравнений (6.3) и (3.20), часть *'
интеграла столкновений в уравнении Больцмана, описывающая
убыль молекул со скоростью
оо 4л
“ $ $ n2ffiCrodQdci,
оо О
заменена в модели БГК величиной —nvf. Корректную зависи-
мость частоты столкновений v(c) от скорости определим непо-
средственно из уравнения Больцмана
оо 4л
v(c) = n fiCrOdQdci. (6.4)
—оо О
Частота столкновений не зависит от молекулярной скоро-
сти только для максвелловских молекул, поскольку в этом
случае величина odQ пропорциональна с~1, как следует из
уравнения (2.33). Однако реальных межмолекулярных потеч-
вл. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
139
циалов, соответствующих максвелловским молекулам, не суще-
ствует. Поэтому, хотя использование в модели БГК частоты v,
не зависящей от скорости, вообще говоря, не оправдано, струк-
тура соответствующего члена верна.- Этого нельзя сказать о ча-
сти интеграла столкновений, описывающей появление молекул
после столкновений. Она записывается как nvfo, и эта форма
означает, что независимо от вида f число молекул, рассеянных
вследствие столкновений в группу со скоростями с, равно числу
молекул, которые рассеялись бы из этой группы в случае рав-
новесного газа с принятой частотой столкновений, не зависящей
от скорости.
Предположения, присущие уравнению БГК, менее всего пор®
тят решения задач с. малыми возмущениями, в которых форму-
лировка граничных условий содержит равновесную функцию
распределения1). В этом случае независимо от числа Кнудсена
функция распределения мало отличается от максвелловской,
что приводит к линеаризованным формам уравнений Больцмана
и БГК. Относительная математическая простота модельного
уравнения особенно существенна именно при линеаризации.
Большая часть результатов, приведенных в [16], относится к
уравнению БГК, а не к уравнению Больцмана. При исследова-
нии нелинейных задач приходится прибегать к моментным, ме-
тодам или численному анализу.
6.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Хо’тя для получения окончательных результатов вычислитель-
ная работа часто требуется и *в моментных методах, и при ис-
пользовании модельного уравнения, в этом разделе будут об-
суждаться численные методы, в которых не используется ни
конкретный вид функции распределения, ни-упрощенная форма
уравнения Больцмана. В некоторых из этих методов за отправ--.
ную точку взято уравнение Больцмана, в Других методах — ме-
тодах моделирования — непосредственное кинетическое описание
молекулярной динамики.
При самом непосредственном подходе нужно было бы запи-
। сать уравнение Больцмана в конечных разностях. Единственной
• зависимой переменной является функция распределения, кото-
рая может быть представлена ее значениями на сетке в фазовом
пространстве. Однако при таком подходе возникает *ряд труд-
ностей.
4) О физических предположениях, ведущих к модельному уравнению, см.:
Коган М. Н. ПММ, 1958, № 4 иЯи Коган М. Н. Динамика разреженного
газа. — М.: Наука, 1967, с. 72. Регулярный метод построения модельных
уравнений предложен Е. М. Шаховым (Метод исследования разреженного
газа. — М.: Наука, 1974). — Прим. ред.
140
ГЛ. 6. ТЕЧЕНИЯ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
Первая крупная проблема связана с огромным числом дис-
кретных точек, которое потребовалось бы при таком представ-
лении. Даже для одномерной в физическом пространстве задачи
функция распределения обладает осевой симметрией в про-
странстве скоростей, так что в фазовом пространстве необходим
трехмерный массив. Дополнительная трудность связана с бес-
конечностью области в пространстве скоростей. Границы этой
области можно определить так, чтобь! вне ее находилось лишь
малое количество молекул. Однако оптимальное положение
этих границ найти трудно. В двумерных течениях функция рас-
пределения зависит от трех компонент скорости молекул, так
что в фазовом пространстве нужен пятимерный массив точек.
Уже при работе с трехмерным массивом возникают огромные
вычислительные трудности; когда же число переменных увели-
чивается до пяти, они становятся почти непреодолимыми.
Вторая крупная проблема связана с числом операций, необ-
ходимых для вычисления интеграла столкновений. При конеч-
но-разностной аппроксимации интегралы заменяются суммами.
При этом в каждой точке фазового пространства необходимо
вычислить сумму членов по всем точкам пространства скоро-
стей. Сами эти члены представляют собой суммы выражений,
вычисленных при различных значениях параметров столкнове-
ний. Таким образом,, непосредственно метод конечных разно-
стей почти для всех задач (исключая простейшие) требует
огромного времени работы ЭВМ и большого объема ее памяти.
Для одномерных стационарных задач метод конечных раз-
ностей применяли Нордсик, Хикс и Йен (см., например; [71,
100]). В их методе используется минимальное количество ячеек
в пространстве скоростей с осевой симметрией, а для уменьше-
ния вычислительной работы по суммированию в интеграле
столкновений применяется метод Монте-Карло. Поскольку ме-
тод применим только к стационарным течениям, для того чтобы
получить окончательный результат методом итераций, необхо-
дима предварительная оценка функции распределения во всем
поле течения. Сравнительно малое количество ячеек приводит
к загрублению значений скоростей при вычислении интеграла
столкновений и, следовательно, к увеличению систематической
погрешности от итерации "к итерации. Чтобы контролировать
ее, а также чтобы обеспечить выполнение законов сохранения,
применялся метод наименьших квадратов. Применение такой
поправки в двумерных течениях было бы чрезвычайно затруд-
нительно, если бы решение'таких задач было осуществимо' с
технической стороны.
В конечно-разностных методах Для сохранения устойчивости
вычислений обычно требуются специальные модификации раз-
ностной схемы при изменении геометрии течения или даже при
6.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
141
изменении значений параметров течения заданной геометрии.
, Несмотря на эти трудности, в задаче о структуре, прямой удар-
ной волны были получены удовлетворительные результаты [43],
которые будут обсуждены в § 8.1. Этот метод применяли только
его авторы, причем присущие ему трудности и ограничения та-
ковы, что его едва ли можно считать полезным методом общего
назначения при решении задач молекулярной, газовой динамики.
Решейие непосредственно уравнения Больцмана для функ-
ции распределения не является единственным средством полу-
чения решения задач о течениях в переходном режиме. Можно
использовать тр, что газ состоит из молекул, и предложить
методику прямого моделирования для цифровой ЭВМ. В этом
случае состояние газа определяется положением и компонен-
тами скорости очень большого числа моделирующих молекул.
Хотя функцию распределения можно определить по этим дан-
нык1*о молекулах, задачу можно формулировать и не обращаясь
к ней. Прежде чем довести этот подход до логического завер-
шения, необходимо упомянуть метод, который занимает проме-
жуточное место в классификации и имеет определенное исто-
рическое значение. Ему дали меткое название метода пробной
частицы Монте-Карло, который впервые был применен Хэви-
лендом [42].
В § 5.7 был изложен простой и- последовательный метод
исследования свободномолекулярных течений с многократными
отражениями от поверхности, названный методом пробной ча-
стицы. В переходном режиме в дополнение к взаимодействию
молекул с поверхностью необходимо вычислять и типичные
межмолекулярные столкновения. Это можно -сделать только в
том случае, если уже известна функция» распределения во всем
поле течения. Значения этой функции распределения, так же
как и в методе конечных разностей, запоминаются в конечном
числе точек фазового пространства. Таким образом, в этом ме-
тоде сохраняется основной недостаток метода конечных разно-
стей, заключающийся в необходимости оценки функции распре-
деления во всем поле течения. В этом методе рассчитывается
большое число траекторий, в которых при подсчете столкнове-
ний молекул принятая функция распределения используется в
. качестве функции распределения газа-«мишени». Затем по
траекториям пробных, или набегающих, молекул строится новая
функция распределения газа-мишени. Этот процесс повторяется
и считается, что он сходится тогда, когда отсутствует разница
между функциями распределения пробных частиц и газа-мишени.
Альтернативой методу пробной частицы является метод од-
новременного построения на ЭВМ траекторий очень большого
числа моделирующих молекул. Этот процесс начинается с не-
18 "которого начального состояния и затем следует естественному
142
ГЛ. 6. ТЕЧЕНИЯ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
физическому нестационарному процессу. Если нужно изучить
стационарное течение, то его получают как нестационарное те-
чение через большой интервал времени. При этом нет итера-
ционной процедуры и не требуется оценки начального прибли-
жения для поля течения.
Первыми этот' метод прямого численного моделирования
применили Олдер.и Вайнрайт [2], назвав его методом 'дина-
мики молекул. За исключением задания начальных условий,
этот подход вполне детерминирован. В нем вычисляются траек-
тории упругих сферических молекул, причем когда расстояние
.между двумя молекулами становится равным их диаметру, ме-
жду ними происходит столкновение. Значения параметров
столкновения, определяются по взаимному расположению траек-
торий сталкивающихся молекул. Применимость этого метода в
существенной степени ограничена объемом, вычислительной ра-
боты. Каждый раз при рассмотрении траектории отдельной1 мо-
лекулы необходимо вследствие возможных столкновений изу-
чать траектории и всех остальных молекул. Это означает, что
количество необходимых операций ЭВМ пропорционально
квадрату числа молекул. А поскольку погрешность определяе-
мых величин, вызванная конечностью числа моделирующих мо-
лекул, обратно пропорциональна лишь корню квадратному из
числа молекул, то этим методом удается йсследовать только
простейшие задачи.
Требования к объему вычислений можно выполнить, если
при обсчете столкновений принять не детерминированную, а
статистическую процедуру. Такой подход приводит к методу
прямого моделирования Монте-Карло, впервые примененному
автором в задаче релаксации пространственно однородного газа.
[5]. Метод подробно описан в следующей главе.
Приведенная классификация численных методов не является
окончательной; могут появиться другие методы, в которых бу-
дут использоваться существенно новые комбинации тех или
иных свойств указанных методов. Так, например, в работе [91]
развит метод, являющийся промежуточным между, методами
пробной частицы и прямого моделиррвания Монте-Карло.. Суще-
ствуют также методы, не подпадающие под классификацию
предыдущих разделов, причем их едва ли можно назвать чисто
численными методами. Примечательным примером служит ме-
тод дискретных ординат, предложенный Бродуэллом [12]. В нем
функция распределения задается ее значениями в конечном
числе точек пространства скоростей. Тогда интегро-дифферен-
циальное уравнение Больцмана сводится к системе нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка для дискретных
значений функции распределения. Для .решения этих уравнений
в невырожденных случаях требуются численные методы.
7
Метод Монте-Карло прямого
моделирования
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Метод Монте-Карло прямого моделирования является тех-
никой моделирования на ЭВМ реального течения газа несколь-
кими тысячами молекул. В памяти ЭВМ запоминаются коорди-
наты и скорость моделирующих молекул, изменение которых в
течение времени обусловлено межмолекулярными столкнове-
ниями и взаимодействием с границами физического простран-
ства. На рис. 7.1 представлена блок-схема программы расчета,
пригодная для большинства приложений.
Используя свойства симметрии течения, можно уменьшить
число координат, которые необходимо запоминать для каждой
молекулы. Например, для одномерного течения с градиентами,
направленными по оси х, единственной координатой, которую
необходимо знать, является координата х. В таком течении ко-
ординаты молекул в плоскости у, z равновероятны. Точно так
же при аксиально или сферически симметричном течении не-
обходимо помнить лишь расстояние молекулы от линии или
точки симметрии; в двумерном течении необходимо знать две
координаты молекулы. В то же время в декартовой системе
координат почти во всех случаях запоминаются три компоненты
скорости. Это обусловлено тем, что столкновения между моле-
кулами должны вычисляться как трехмерное явление. В случае,
когда запоминается радиус-вектор молекулы, изменение его на-
правления должно сопровождаться соответствующим враще-
нием системы координат для компонент скорости молекул.
Течение газа всегда нестационарно, но граничные условия
могут быть такими, что при больших временах нестационарное
течение стремится к стационарному состоянию. Например, если
исследуется стационарное обтекание цилиндра, то в качестве
начального состояния может быть задан однородный поток, в
который мгновенно в начальный "момент времени вводится ци-
линдр*. Другим начальным состоянием может быть ситуация, ко-
гда- цилиндр находится в вакууме, а поток газа в момент вре-
мени t = 0 входит через границу. С другой стороны, при изу-
чении нестационарного течения произвола в выборе начальной?
144 гл. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
соостояния в общем случае нет. Для нестационарного течения
нет необходимости итерировать от некоторой начальной аппро-
Рис. 7.1. Примерная блок-схема программы расчета методом Монте-Карло
прямого моделирования.
ксимации к стационарному потоку, и поэтому не возникает во-
проса о сходимости. Это означает также, что изучение неста-
ционарного течения представляет собой не более трудную
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
146
задачу, чем стационарного с той же размерностью в физическом
пространстве.
Моделируемый объем физического пространства разбивается
на ячейки. Такими ячейками могут быть либо малые объемы
с заданными границами, либо просто множество точек. В по-
следнем случае молекула находится в данной ячейке, если она
ближе всего к точке, определяющей эту ячейку. Сетка из точек
дает возможность избежать аналитического описания границ
ячеек и, следовательно, особенно удобна для многомерных за-
дач с геометрически сложными границами. Размеры Дг ячеек
должны быть такими, чтобы изменение параметров течения в
каждой ячейке было малым. Изменение времени проводится
дискретными шагами Д/т, малыми по сравнению со средним
временем между столкновениями молекул. Величины Дг и Д/т
могут изменяться в пространстве и времени.
Движение молекул и межмолекулярные столкновения на
интервале Д/т разделены и проводятся последовательно:
(1) Все молекулы перемещаются на расстояние, определяе-
мое их скоростями и шагом по времени Д/От- Проводятся опре-
деленные действия, если молекулы пересекают поверхности
твердого тела, линии или поверхности симметрии, либо внеш-
ние границы течения. Новые молекулы генерируются'на грани-
цах, через которые есть поток молекул внутрь области.
(2) Проводятся столкновения между молекулами, соответ-
ствующие интервалу Д/От. Скорости молекул до столкновения
заменяются скоростями, приобретаемыми ими после столкнове-
ния. Так как изменения параметров течения в ячейках малы,
то все молекулы в ячейке определяют одно и то же состояние,
соответствующее положению ячейки. Это дает возможность не
учитывать относительное расстояние между частицами при вы-
боре пары молекул для столкновения.
Вычисление соответствующего числа столкновений между
молекулами является принципиально важной частью метода
прямого моделирования. Рассмотрим эту процедуру для моле-
кул со степенным законом межмолекулярного взаимодействия.
Вероятность столкновения пары молекул, как показано при вы-
воде уравнения (1;6), пропорциональна <ттсг или, подставляя
для От значение из (2.27), .имеем n(Fo>m(x/w’r)2/(’’_1,Cr’1'_6>/(’1-1). Если
положить ‘ №о, т = const и, следовательно, фиксировать мини-
мальный угол отклонения, то вероятность столкновения будет
пропорциональна-сг в степени (ц— 5) / (т) — 1), и на этой основе
должна выбираться пара молекул для столкновения. Этот выбор
лучше всего делать методом исключения (см. приложение D).
Заметим, что показатель степени (т) — 5)/(ц — 1). изменяется
QT I для молекул — твердых, сфер до 0 для максвелловских мд-
146 гл. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
лёкул. Очевидно, что возможность выбрать любые две моле-
кулы, находящиеся в данной ячейке, является, необходимым
условием отбора пары для столкновения на основе
Отметим в этой связи,' что отведение отдельных массивов па-
мяти ЭВМ на каждую ячейку для запоминания информации о
молекулах нежелательно. Это обусловлено не только необхо-
димостью переноса большого количества информации, но и не-
оправданными затратами объема памяти ЭВМ, поскольку число
молекул в ячейках, изменяется непредсказуемым образом.
Альтернативой этому является расположение молекул в еди-
ный массив в соответствии с их положением в пространстве.
Прежде всего это может быть полезным в одномерных неста-
ционарных задачах, так как позволяет воспользоваться подхо-
дом Лагранжа, в котором положение ячейки задается положе-
нием молекул, находящихся в этой ячейке. Однако беспрерыв-
ные изменения порядка молекул требуют значительного времени
счета. Эти затраты времени имеют специфическую нежелатель-
ную особенность, так как пропорциональны квадрату числа мо-
лекул. В работе [27] предложена более эффективная схема, в
которой время счета пропорционально произведению числа мо-
лекул и количества ячеек. Следует избегать любого алгоритма,
в котором нет линейной связи с числом молекул. Потери вре-
мени при применении такого алгоритма изменяются при изме-
нении объема вычислений, что препятствует сравнению времени
счета различных методов. Эффективный алгоритм, в котором
время счета прямо пропорционально числу молекул, описан
в § 7.3. .
Теперь остался вопрос об определении числа столкновений
Nt за интервал времени Д/От. Уравнение (1.7) показывает, что
это число равно 1 /2Nтп<31СгМт, или, используя (2.27) для сте-
пенного закона взаимодействия между молекулами,
Nt = nW20 т *> &т, (7.1)
где Nm — число молекул в ячейке. Можно вычислять число Nt
за время Дбп либо, что лучше, определять некоторое число из
нормального распределения с Nt в качестве среднего значения.
Однако, за исключением тривиального случая максвелловских
молекул, вычисление среднего значения cCn-svm-i) п0 всем моле-
кулам данной ячейки приводит к чрезмерным затратам времени
счета. Как и вхслучае упорядочения положения молекул, эта
процедура также нежелательна, так как требует времени, при-
мерно пропорционального квадрату числа.молекул в ячейке*).
*) Здесь предполагается, что для определения Nt из уравнения (7.1) не-
обходимо вычислить среднее значение дта процедура требует
значительных затрат расчетного времени и особенно нежелательна потому, чтр
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
147
Можно полностью избежать этого шага, если ввести для каждой
ячейки счетчик времени, суммирующий при каждом столкнове-
нии интервалы времени:
Ч = т (^г)2'™' (7-2)
В приложении Е дается формальное доказательство того, что
при большом числе молекул эта процедура приводит к частоте
столкновений, определяемой уравнением (7.1). Стоит привести
частный вид уравнений (7.1) и (7.2) для молекул — твердых
сфер с полным сечением столкновения nd2:
= (7.3)
Mc = ^-(nd2ncrrl. (7.4)
Необходимое число столкновений в каждой ячейке определяется
условием совпадения счетчика времени с общим временным па-
раметром. Заметим, что Д/с обратно пропорционально квадрату
числа молекул в ячейке, а так как 1/7V2 значительно больше
1/N2 для малых значений N, то статистический разброс может
привести к нереально малому числу столкновений. Было най-
дено, что этот эффект существен, когда Nm меньше примерно 20.
Выход найден в использовании в качестве Nm и п не мгновен-
ных значений, а осредненных по времени или по ансамблю ве-
личин. Если это практически неосуществимо, то значения Д/с,
определяемые по мгновенным значениям п и Nm (7.4), могут
быть уменьшены эмпирическим корректирующим множителем.
Найдено, что хороший результат дает множитель 12).
Заметим, что мы не касались временного распределения столк-
новений внутри, интервала Дбп. Этот вопрос будет рассматри-
ваться в следующем разделе.
это время пропорционально квадрату числа моделирующих молекул. Тем не
менее она была применена в методе прямого моделирования, изложенного
в'работе [109], и использовалась также в [113]. Несомненно, что эта про-
цедура принципиально лучше применения стандартного метода «счетчика вре-
мени». Однако неочевидно, что такой подход не приведет к большим затра-
там времени счета. .
Другое предположение заключалось в том, что число столкновений можно
определить используя нормальное распределение, в котором Nt — среднее зна-
чение. Если это сделать, то следует заметить, что распределение должно
основываться на числе реальных молекул, а не на числе моделирующих мо-
лекул. Это число очень велико (следовательно, применение нормального рас-
пределения правильнее применения распределения Пуассона), и в большин-
стве случаев такой шаг излишен.
Преимущество стандартной процедуры состоит в том, что она требует
минимальных затрат времени счета и что это время прямо пропорционально
числу моделирующих молекул и столкновений,
148
ГЛ. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Система ячеек обычно образует удобную основу для вычис-
ления макроскопических свойств газа на интервале &ts. Число-
вая плотность п уже появилась в (7.2), и эта величина авто-
матически вычисляется в стандартной процедуре распределения
молекул по ячейкам. Может быть определено и распределение
молекул по скоростям, однако на таком уровне информация
требуется редко. По.токи различных молекулярных величин мо-
гут быть вычислены на границе области или на любой помещен-
ной в поток поверхности. В случае твердой поверхности падаю-
щие и отраженные потоки вычисляются в ходе моделирования
взаимодействия газ — поверхность. Важным преимуществом ме-
тода прямого моделирования является то, что граничные усло-
вия формулируются в терминах вероятностного описания для
каждой молекулы, сталкивающейся с границей,, а не в виде
функции распределения в окрестности границы.
Конечная величина памяти ЭВМ определяет ограничения'и
на общее число моделирующих молекул, и на количество ячеек.
Статистическая ошибка в результатах обратно пропорциональ-
на корню квадратному из числа испытаний. Чтобы уменьшить
ошибку до допустимого уровня, можно провести осреднение по
ансамблю путем повторения независимых вычислений для не-
стационарного течения. Если течение становится стационар-
ным, требуемое число испытаний может быть «набрано» путем
осреднения по времени на достаточно больших интервалах, вы-
борки на которых являются независимыми.
7.2. СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЕМ БОЛЬЦМАНА
Метод прямого моделирования развивался на основе физи-
ческих представлений о течении газа, в то время как большин-
ство численных методов, таких, как метод конечных разностей,
развивались на основе математического описания явления. Важи-
ным является вопрос, насколько моделирование дает правиль-
ное описание реального процесса. Однако сила математической
традиции такова, что обычно задаются вопросом о связи реше-
ния, полученного моделированием, с гипотетически точным ре-
шением соответствующего уравнения, в данном случае уравне-
ния Больцмана. Эти два вопроса становятся идентичными, если
это уравнение дает описание реального процесса, но мы видели
в § 3.2, что на уравнение Больцмана накладываются некоторые
ограничения. Они заключаются в рассмотрении только бинар-
ных столкновений, в рассмотрении столкновений как мгновен-
ных событий и в предположении о молекулярном хаосе. Легко
видеть, что эти предположения неявно используются и в про-
цедуре моделирования. Следовательно, как и для уравнения
7.2. СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЕМ БОЛЬЦМАНА
J49
Больцмана обоснованность применения метода прямого моде-
лирования зависит от степени-разреженности газа.
Уравнение Больцмана для степенного закона взаимодействия
между молекулами можно записать в виде (см. (3.20) и (2.27)) i
^-W) + c-^W) + F.^W)- .
оо
= ^0. т (хМг)2/(”- ° $ «2 (f'fj - ff,) » Л,., (7.5)
— ОО
Сравним это уравнение с процедурой моделирования и обсу-
дим возможные пункты расхождения *).
Первое расхождение заключается в том, что зависимой пе-
ременной в уравнении Больцмана является функция распреде-
ления в фазовом пространстве &( = nf), которая может описы-
вать бесконечно большое число молекул. Метод же прямого мо-
делирования имеет дело с конечным числом молекул. Это при-
водит к значительному статистическому разбросу результатов.
Величина ожидаемой погрешности для данного объема выборки
обсуждалась в § 1.2 й представлена на рис. 1.4. Общее правило
таково: стандартное отклонение примерно обратно пропорцио-
нально квадратному корню из объема выборки. Найдено, что
разброс результатов определяется только полным объемом вы-
борки и не зависит от того, получены ли они в 100 испытаниях
с 10 молекулами в ячейке, или в 10 испытаниях со 100 молеку-
лами. Это дает уверенность, что уменьшение числа частиц не
приведет к систематическим изменениям или нестабильности в
течении. Тем не менее желательно более внимательно изучить
значение действительного числа молекул, включенных в процесс.
В типичных приложениях метода прямого моделирования
ячейка имеет размер Х/3 и содержит 30 молекул. Имея в виду
характерный «размер» молекул (см. § 1.4), из уравнений (1.3)
и (1.47) получаем, что отношение 8/d равно 7, т. е. близко, к
пределу применимости предположения о разреженности газа,
использованному в § 1.4. Часто используются ббльшие размеры
ячеек и (или) меньшее число молекул, что, может показаться,
нарушает предположение о разреженности. Однако есть не-
сколько независимых причин, показывающих, что это не так.
1. Молекулярный «размер» входит в моделирование только
через уравнение (7.2), которое определяет частоту столкнове-
*) Интегрирование столкновительного члена в' уравнении Больцмана по
телесному углу, что приводит к уравнению (7.5), может быть проведено
только для части, определяющей убыль частиц, поскольку f и являются
функциями Й. Это не влияет на последующую аргументацию.
160 гл. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО- ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ний. При рассмотрении движения молекул и взаимодействия их
с границами размер частиц предполагается пренебрежимо
малым. Далее можно рассматривать каждую частицу предста-
вителем произвольно большого числа 'реальных молекул. В этом
случае координаты и компоненты скорости моделирующей ча-
стицы будут равны средним значениям-этих величин для ре-
альных молекул. Такой метод с введением «весового множителя»
применяется, например, для уравнивания объема выборки при
моделировании течения газовых смесей с большим различием
концентраций компонент или при необходимости введения не-
равномерных сеток с большими вариациями объемов ячеек.
2. Размеры ячеек точно определены только в трехмерном
случае. Когда рассматривается двумерное течение, можно счи-
тать, что моделирование проводится в произвольно тонком слое
реального течения. Толщина этого слоя -может быть выбрана
такой, что число моделирующих молекул будет соответствовать
числу реальных- молекул. Сечение одномерного течения регули-
руется таким же образом.
Последнее соображение приводит к физической интерпрета-
ции статистических флуктуаций. Когда толщина слоя в дву-
мерной задаче или площадь сечения в одномерном случае вы-
браны так, что число реальных и моделирующих молекул оди-
наково, разброс физически реален и не должен рассматриваться
как ошибка. В большинстве приложений желательно, конечно,
увеличить размеры моделирующей области так, чтобы флуктуа-
ции были малыми. Однако мы видели, что стандартное откло-
нение уменьшается только как корень квадратный из числа
испытаний, поэтому практически ограничения на время счета
приводят к необходимости допускать определенный уровень по-
грешности. Это же определяет и предел возможности изучения
малых возмущений, поскольку «сигнал» должен быть различим
на фоне неизбежного «шума».
В трехмерном течении нет каких-либо возможностей для ре-
гулирования размеров, поэтому статистические флуктуации
имеют физический смысл только тогда, когда число молекул в
кубике с линейным размером, равным длине свободного про-
бега (пХ3), одно и то же в действительном и моделирующем
потоках. Для равновесного случая при диаметре молекул d =
= 3.7б-10-10 м, уравнения (1.45) и (1.47) дают
nZ3 = 559O(no/n)2. (7.6)
В типичных случаях моделирования размер ячеек равен %/3,
а число частиц в ячейке равно 30, что соответствует пХ3 = 810.
Следовательно, в то время как при малой плотности газа число
7.2. СВЯЗЬ С .УРАВНЕНИЕМ БОЛЬЦМАНА 151
молекул при моделировании оказывается много меньше реаль-
ного числа молекул, при изучении течения, плотность которого
превышает стандартную, эти два числа могут совпадать.
Возвращаясь теперь к уравнению Больцмана, отметим, что
из левой части уравнения (7.5) следует, что в отсутствие столк-
новений величина nf остается постоянной вдоль траектории мо-
лекулы в фазовом пространстве. В методе Морте-К^рло прямого
моделирования также прослеживаются траектории молекул в
фазовом пространстве, .и этот процесс, очевидно, соответствует
уравнению Больцмана. Следовательно, расхождения между ме-
тодом моделирования и уравнением Больцмана могут появиться
только при рассмотрении столкновительного члена в правой
части.
Интеграл столкновений удобно разделить на две части, опре-
деляющие «прибыль» и «убыль» частиц, причем последняя пред-
ставляет скорость рассеяния молекул в результате столкнове-
ний из элемента фазового пространства dcdr, отнесенную к объе-
му этого элемента. Эта скорость может быть получена из
процедуры Монте-Карло при помощи следующих рассуждений.
Пространственная ячейка моделирующего течения может
рассматриваться как элемент физического пространства dr, а
набор Nm молекул определяет функцию распределения по ско-
ростям f. Число молекул в ячейке, имеющих скорость с
(класс с) в момент времени t, равно nfdcdr или Nmfde. Рас-
смотрим теперь столкновения молекул классов с и сь Вероят-
ность нахождения молекул в классе Ci есть fdei, и интервал вре-
мени, который,необходимо добавить в счетчик времени, обус-
ловленный только столкновениями молекулы класса с, дается
уравнением (7.2):
A/c=={n^m(%/mr)2/<’>-ortC(n-5)/(ri-i)|-1. ; (7.7)
Множитель 2/Nm в (7.2) опущен: величина Nm — потому, что
счетчик времени введен для одной, а не для Nm молекул, а ко-
эффициент 2 — потому,- что эта молекула — только одна из
сталкивающейся пары. Число столкновений молекулы класса с
с молекулами класса ci равно
Nmf def dctnWl т (и/гП'У2""-» nc«-5)/(n-»^
или
лГ20, т (xMr)2/(’1~1> de, de dr.
Проинтегрировав это выражение по Ci во всем пространстве
скоростей и разделив на dedr, получим полную скорость столк-
новений молекул класса с в единице объема фазового, про-
152
ГЛ. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО- ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
странства: .
00
ЛГО, т J n2ff{C^^ dCp (7.8)
— 00 '
что согласуется с соответствующим членом в правой части урав-
нения Больцмана (см.- уравнение (7.5) ), описывающим убыль
молекул из элемента фазового пространства за счет столкнове-
ний. Часть интеграла столкновений в этом уравнении, описы-
вающая прибыль частиц, выводится аналогично при условии
существования обратных столкновений для простых моделей
одноатомного газа. Метод Монте-Карло имеет дело с конечным
набором молекул, из которых выбираются оба партнера по стол-
кновению, а скорости молекул до столкновения 'заменяются ско-
ростями после столкновения. Это означает, что правильный вы-
бор сталкивающихся молекул вместе со случайным выбором
параметров удара автоматически приводит к правильному опи-
санию левой части интеграла столкновений. Причем это имеет
место безотносительно к существованию обратных столкновений,
и с этой точки зрения метод моделирования имеет меньше огра-
ничений, чем уравнение Больцмана.
Так как процедура метода прямого моделирования согла-
суется с выводом уравнения Больцмана, результат моделирова-
ния дает решение этого уравнения до тех пор, пока вычисли-
тельные аппроксимации соответствуют допустимым ограниче-
ниям. Эти приближения состоят в использовании конечного
числа молекул, в разделении физического пространства на ко-
нечное число ячеек и в расщеплении движения молекул и столк-
новений между ними на интервале времени Д/т. Необходимые
исследования по определению числа молекул в ячейке, разме-
ров ячейки, шага по времени должны проводиться при всех
приложениях метода. Следует ожидать, что наилучшие резуль-
таты могут быть получены при максимально возможном числе
молекул, при возможно меньших по сравнению с длиной сво-
бодного пробега молекул размерах ячейки, при малом по срав-
нению со средним временем свободного пробега шаге по вре-
мени Д/m. »
В действительности практика показывает удивительную не-
чувствительность результатов по отношению к этим аппрокси-
мациям: никаких нежелательных эффектов не возникает при
уменьшении числа молекул в ячейке до 5 или 6, при увеличении
размеров ячейки до средней длины свободного пробега, а шага '
bdm до среднего времени свободного пробега. Однако есть два
дополнительных момента, связанных с этими величинами, к<?-
торые надо иметь в виду.
Т.2. СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЕМ БОЛЬЦМАНА
183
Первый относится к использованию уравнения (7.2) для на-
копления времени в счетчике в ячейке при каждом столкнове-
нии. В приложении Е показано, что в этом случае получается
правильное число столкновений за длительный период. Однако
если число молекул в ячейке очень мало, то может возникнуть
физически нереальная корреляция между местоположением
столкновений и вероятностью проведения столкновений. Это
происходит потому, что в таком’ случае множитель 2/Nm в
(7.2) сравнительно велик, и если произошло маловероятное
столкновение с очень малой скоростью сг, то Д/с может быть
много больше Дбп, и в течение. нескольких интервалов времени
столкновений более не будет.. Эта корреляция существенно
устраняется, когда число молекул Nm в ячейке будет большим,
так что множитель 2/Nm будет малой величиной.
Рассмотрим в качестве примера моделирование сильной
ударной волны. Если в ячейку переднего фронта волны попадает
по крайней мере одна молекула из возмущенной зоны, то пара
молекул с таким партнером будет иметь ббльшую относитель-
ную скорость и ббльшую вероятность столкновений, чем пары
молекул из невозмущенной области. Маловероятное столкнове-
ние между двумя невозмущенными молекулами даст большую
величину Д/с и может привести к описанной выше корреляций.
Найдено, что небольшие искажения в области вверх по потоку
в задаче о сильной ударной волне имеются до тех пор, пока в
ячейке не будет по крайней мере 20 молекул.
Второй момент связан с величиной отношения характерного
размера ячейки Дг к шагу по времени Atm. Это отношение не
должно быть большим по сравнению со скоростью распростра-
нения акустических возмущений. Причину такого дополнитель-
ного условия легко увидеть, если снова рассмотреть одномер-
ную задачу об ударной волне. Предположим, что волна дви-
жется вправо и что в некоторый момент времени передний край
волны только что пересек левую границу ячейки. Так как дей-
ствительные положения молекул в ячейке при столкновениях
не учитываются, одна из возмущенных молекул, находящаяся
в левой части ячейки, может столкнуться с невозмущенной мо-
лекулой вблизи границы в правой части ячейки. Эта последняя
молекула будет в этом случае возмущена волной и может пе-
рейти в следующую ячейку вправо на этапе перемещения мо-
лекул. Отсюда следует, что ложный сигнал может распростра-
няться со скоростью Ar/Atm. Однако это рассуждение предпо-
лагает маловероятную последовательность столкновений, воз-
мущающих молекулы вблизи границ соседних ячеек, и было
найдено, что, для того чтобы профиль волны изменялся, это
отношение должно быть в несколько раз больше скорости вол-
ны. Более того, ограничение на величину отношения может быть
154
гл. 7. Метод монТе^кдрло прямого моделирования
ослабленб, если при выборе пары ддя столкновения учесть рас-
положение молекул.
Метод прямого моделирования применялся к широкому кру-
гу проблем, и никогда при его реализации не было замечено
какой-либо нестабильности. Когда сформулированные выше
требования относительно объема выборки, размера ячеек и ве-
личины шага по времени удовлетворяются^ результаты не зави-
сят от этих величин и повторяются в соответствии с ожидаемой
величиной статистической ошибки. Если же эти условия не вы-
полняются, то это сказывается в большей мере в уменьшении
правильных градиентов параметров потока, чем в их увеличе-
нии. Чтобы более четко выявить эти эффекты, необходимо вни-
мательно рассмотреть области течения с сильной неравновес-
ностью, какой является, например, передний фронт сильной
ударной волны.
7.3. ТИПИЧНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
Многие процедуры, которые требуются для применения ме-
тода Монте-Карло прямого моделирования, уже были введены
в § 5.7 при изложении метода Монте-Карло пробных частиц для
свободномолек^дярных течений. Детали этого метода были по-
яснены на примере течения газа в цилиндрической трубе. Вы-
числительные детали метода прямого моделирования также
лучше проиллюстрировать на типичном примере, в качестве ко-
торого выбрана задача Рэлея. Полный текст программы на
языке ФОРТРАН приведен в приложении G.
Рассмотрим газ из молекул — твердых сфер, равномерно
распределенный между диффузно отражающей стенкой в пло-
скости у = 0 и зеркально отражающей поверхностью в плоско-
сти у = YM. В начальный момент времени поверхность у = О
начинает двигаться со скоростью UW в направлении х, а ее
температура повышается в TW раз по сравнению с температу-
рой невозмущенного газа. Течение между областями z/ = 0 и
i/ = YM разделено на NC полос высоты СН, в каждой из кото-
рых первоначально находится МС молекул. В число параметров
вводится интервал времени Абп, обозначенный через DTM. Дру-
гие интервалы времени, указанные в блок-схеме на рис. 7.1,
определяются целыми числами NIS и NST, умноженными на
Д/т; интервал времени для выборки AZ3 = NIS*DTM; предель-
ное время счета ft, — A/s»NST.
Задача Рэлея является существенно нестационарной, по-
этому через интервалы времени A/s выбираются данные о поле
течения, в то время как данные о параметрах на границе выби-
раются по всем этим интервалам. Как указано на рис. 7.1, цикл
расчетов повторяется для того, чтобы получить необходимый
7.3. ТИПИЧНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
155
объем выборки; этот процесс контролируется с помощью пе-
ременной NSEC. Переменная NSEC есть количество времени,
имеющегося в распоряжении для решения задачи; использова-
ние этой переменной предполагает запрашивание текущего вре-
мени в процессе расчета. Приводимый вариант программы на-
писан для ЭВМ типа CDC6000 или Cyber. Подпрограмма
SECOND (А) определяет через переменную А текущее время
в секундах. Расчетное время запрашивается в начале и конце
каждого варианта; расчет следующего варианта проводится
в том случае, если оставшееся время счета составляет по край-
ней мере более 50% времени счета предшествовавшего вариан-
та. Эта часть программы записана между метками 23 и 31.
За характерный линейный размер принята средняя длина
свободного пробега молекул в невозмущенном газе Х«>, причем
в программе эта величина принята равной единице. Следова-
тельно, вертикальный размер области течения YM есть отно-
шение этой величины к Х«>. Для- нормировки скорости стенки
UW используется наиболее вероятная скорость молекул в не-
возмущенном газе, которая также принимается равной единице.
За единицу приняты температура газа в невозмущенном со-
стоянии и. масса молекул, так что постоянная Больцмана и га-
зовая постоянная равны 1/2. Для обезразмеривания времени
DTM используется величина ХооРоо, где (Зоо величина, обратная
наиболее вероятной скорости, молекул в невозмущенном газе*).
Для запоминания информации о молекулах, моделирующих
течение газа, используется двумерный массив P(L, М). Индекс
L изменяется от 1 до 4, причем значения L от 1 до 3 исполь-
зуются для определения компонент скорости молекул в направ?
лениях х, у, z. Так как в задаче нет градиентов в направле-
ниях х и z, то необходимо знать только одну координату моле-
кул у, которая запоминается в Р(4, М). Индекс М может быть
назван «номером молекулы», и это есть те номера, которые
запоминаются для данной ячейки в массиве переадресации LCR
размерности М. Начальный адрес молекул ячейки N в этом
массиве равен IC(2, N) + 1, а число молекул в ячейке равно
IC(1,N)\ Для каждой ячейки необходимо иметь три числа с
плавающей запятой, они записаны в массиве С(3, L), где L —
максимальное число ячеек. Для запоминания информации о
*) Здесь описано приведение параметров и переменных к безразмерному
виду в типичных приложениях. Это было типичным для ранних программ,
с помощью которых рассматривались фундаментальные проблемы. Для при-
кладных задач более удобным является использование действительных раз-
мерных величин. В этом случае отношение числа моделирующих частиц к чис-
лу реальных молекул входит явно как составная часть входных данных. Это
имеет и принципиальное значение для понимания метода. Использование
реальных величин, таких, как сечение столкновений, имеет особые преимуще-
стба при исследовании смесей газов, что отмечается в § 10.2.
156
ГЛ. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
поле течения и на поверхности используются соответственно
массивы SC(7, L, J) и SS(7, J). В массиве VRC(3) записывают-
ся компоненты относительной скорости молекул,- участвующих
в столкновении, а массив ОР(10) предназначен для текущего
запоминания выходных данных.
Программа следует общей блок-схеме, приведенной на
рис. 7.1. После ввода данных вычисляются значения различных
констант, требующихся в последующих операциях. Числовую
плотность удобно рассматривать как размерную величину,'осно-
вываясь непосредственно на числе молекул в геометрической
ячейке; она запоминается в IC(1,N). Так как невозмущенное
значение плотности Поо определено как FND = МС/СН, то нор-
мированная на эту величину числовая плотность равна
IC(1,N)/MC. В программе используется модель молекул —
твердых сфер, для которых средняя длина свободного пробега*
в невозмущенном'газе равна (см. уравнение (4.38)) ;
== (72атпм)-1.
Так как значение К» принято за единицу, то величина сечения
столкновения равна aT = (V2*noo) и записывается в CXS.
Число столкновений молекул за время Aim в невозмущенном
газе ACU вычисляется из уравнения (4.37), а средняя относи-
тельная скорость сталкивающихся пар VRM— из уравнений
(4:35) и (4.8).
Расчет начинается с оператора, имеющего метку 20, и пер-
вой задачей является формирование начальных данных. Вре-
мена в ячейках С (2, N) устанавливаются равными некоторой
части, определяемой случайным образом, от среднего интервала
времени, который добавляется в счетчики при проведении столк-
новений в невозмущенном газе. Использование этой Ьеличины
вместо нуля обусловлено тем, что за каждый интервал вре-
мени DTM должно происходить целое число столкновений и что
столкновения вычисляются до тех пор, пока С (2, N) не превы-
сит DTM. Если этого не делать, то в режиме течения, близком
к свободномолекулярному, будет нереально большая начальная
частота столкновений. Начальное значение максимальной отно-
сительной скорости в каждой ячейке устанавливается в С (3, N)
равным удвоенной средней относительной скорости молекул в
невозмущенном газе. В других циклах DO, заканчивающихся
меткой 22, устанавливаются начальные значения' координаты у
и компонент скорости и, v, w для каждой из МС молекул во
всех ячейках, причем положение молекул в ячейке определяется
случайным образом, а компоненты скорости вычисляются из .
уравнений (D9)i — (Dll).
7.3. ТИПИЧНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
1Б7
Затем следуют два цикла DO по временам Д/т и Д/s, причем
последний интервал больше Д/т в целое число раз NIS. Движе-
ние молекул за время Д/т рассчитывается внутри цикла, закан-
чивающегося меткой 25. Заметим, что координата молекул у
записывается как Y. Если Y больше YM, то молекула испыты-
вает зеркальное отражение от плоскости YM, т. е. ее коорди-
ната зеркально отображается от этой плоскости, а. нормальная
плоскости компонента скорости изменяет знак на противопо-
ложный. Если же Y меньше нуля, то молекула отражается
диффузно от плоскости у = 0; при этом записывается информа-
ция о потоке числа частиц, о приносимых на поверхность им-
пульсе и энергии. Эта информация дается в системе координат,
в которой невозмущенный газ движется со скоростью UW от-
носительно поверхности. Скорости молекулы и и w после отра-
жения генерируются с помощью уравнений (D9) —(D11), при-
чем величина 1/р теперь равна VMW, а не единице. Функция
распределения нормальной компоненты скорости для диффузно
отражающей стенки определяется из (4.16):.
f0 = Cvexp(— р2и2), '
где С — константа. Далее
f0 dv — Cv ехр (— р2о2) dv = l/2C ехр (— Р2и2) d (о2),
так что функция распределения для квадрата нормальной ком-
поненты равна
fos =‘АС ехр (—P2t>2).
Константа С определяется из условия нормировки (см. урав-
нение (D2)), что дает
/y0’ = exp(-p2t»2).
Это распределение и2 идентично распределению г2, что ведет
к уравнению (DI 1); тогда
o = {-ln(/?f)}1'7P. (7.9)
Из этого соотношения при 1/р, равном VMW, определяется ве-
личина Р(2, N) после отражения от стенки. После столкновения
с поверхностью молекула перемещается на расстояние, соответ-
ствующее ее скорости и оставшемуся от Д/т интервалу времени
DTR. При отражении молекулы также записывается информа-
ция об импульсе и энергии, причем система координат изме-
няется на ту, в которой невозмущенный газ находится в покое.
Информация о нумерации молекул, имеющаяся в массивах
LCR(M) и IC(2, N), до блока столкновений не используется;
поэтому наиболее удобно определять ее после блока, в котором
рассчитывается перемещение молекул. Эта процедура с необ-
ходимостью выбирает число молекул в ячейке и, следовательно*
158 > гл. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
определяет числовую плотность, которая является единственной
макроскопической величиной, требующейся в процедуре столк-
новений. Номер ячейки, в которой находится молекула, вычис-
ляется дважды для каждой молекулы. Здесь это делается по-_
тому, что геометрия течения простая и соответствующие вычис-
ления легко проводятся. В общем случае более предпочтитель-
ным является вычисление номера ячейки в блоке расчета пере-
летов молекул и запоминание его в массиве целых чисел, ска-
жем 1Р(1,М). В этом случае массив LCR(M) предпочтительнее
обозначить через IP (2,М), чтобы не использовать двух масси-
вов целых чисел по М молекулам. Заметим, однако, что в этих
случаях индекс М имеет разный смысл.
Вычисление столкновений между молекулами за время
проводится в цикле по числу ячеек NC и заканчивается мет-
кой 24. Столкновения не проводятся, если счетчик времени дан-
ной ячейки С (2, N) содержит величину, меньшую общего теку-
щего времени, обозначаемого переменной TIME, и если в ячей-
ке будет находиться меньше двух молекул. Поскольку такие
условия почти всегда имеют место, отсутствие анализа таких
ситуаций может привести к бесконечному циклу. Количества
молекул в ячейке N (т. е. адреса в массиве Р (4, М))'запоми-
наются в массиве LCR(M) для величин М, заключенных в пре-
делах IC (2, N) + 1 и IC(2, N)+IC(1, N). Оператор, с меткой 32
определяет случайное ччисло К для адреса в массиве LCR, в
результате чего выбирается молекула с молекулярным числом L.
Затем выбирается вторая молекула из ячейки с молекулярным
числом М. Если М не равно L, эти молекулы определяют воз-
можную сталкивающуюся пару. После выбора пары молекул
вычисляется их относительная скорость и записывается в виде
VR. В данной программе используется модель молекул — твер-
дых сфер, для которой, вероятность столкновений пропорцио-
нальна VR. Пара молекул для столкновения отбирается на .
основе метода исключения (см. приложение D) с функцией f'x
входящей в уравнение (D8) и равной VR/C (3, N). Если данная
пара молекул остается, то в счетчик времени С (2, N) добав-
ляется интервал времени, вычисляемый по уравнению (7.4). Та^
как для этой программы предполагается, что количество мо-
лекул в ячейке всегда будет равно по крайней мере 20, то в
уравнении (7.4) могут быть использованы мгновенные значег.
ния Nm и п без корректирующего фактора.
Механика столкновений молекул — твердых сфер была рас-
смотрена в § 2.4. Скорости молекул после столкновения наибо-
лее легко вычисляются, если применить непосредственно тот
факт, что направления вектора относительной скорости после
столкновения с* равновероятны в пространстве. Абсолютная ве-
7.3. ТИПИЧНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
159
^личина этой скорости не меняется при упругом столкновении и
остается равной VR. Элемент телесного угла в полярной системе
координат, в которой 0 — полярный угол, а ф — азимутальный,
равен sin QdQdq>. Следовательно, значение угла ф равномерно
распределено от 0 до 2я, в то время как угол 0 распределен
в пределах от 0 до л с плотнотью вероятности fe = sin0. Далее,
dQ = sin 0 dQ = — d (cos 0),
t. e. ' *
f cos 9d <C0S 0) = — d (cos 0)> (7.Ю)
так что fees e = const и величина cos 0 равномерно распределена
в интервале от —1 до +1. Подпрограмма столкновений следует
непосредственно за счетчиком числа столкновений SC(7, N, J);
первый оператор определяет cos 0 как рабочую переменную В,
генерируя случайное число, равномерно распределенное от —1
до -f-1. Затем определяют величину sin 0 (переменную А) и вы-
числяют три компоненты относительной скорости после столк-
новения, умножая VR соответственно на cos 0, sin 0 cos <р и
sin 0 sin <p. Компоненты скорости молекул после столкновения
определяются по уравнениям (2.1) и (2.5).
Более ранний цикл, устанавливающий A/s как NIS*A/OT, за-
канчивается меткой 24. Затем следует подпрограмма вычисле-
ния параметров поля течения, включающая три цикла DO, за-
канчивающихся меткой 23. Во внешнем цикле по числу ячеек
определяется переменная К, равная числу молекул в ячейке.
Средний цикл проводится по этому числу; для отбора молекул
из соответствующей ячейки используются массивы переадреса-
ции. Если номер ячейки запоминается для каждой молекулы, то
возможна более простая организация подпрограммы с един-
ственным циклом по молекулам. Величинами, которые выби-
раются для анализа поля течения, являются N, £ «, о, У и2,
У, v2, У, w2.
Когда вся серия расчетов заканчивается, отобранная инфор-
мация преобразуется к требуемому виду и выводится на печать.
Параметры на поверхности вычисляются на основе потоков ча-
стиц, импульса и энергии, определяемых для падающих и отра-
женных молекул. Поскольку нормирующий множитель для ком-
понент скорости был принят равным единице, то требуемые
потоки в безразмерном виде определяются делением сумм соот-
ветствующих величин на произведение числа расчетных серий,
интервала времени и невозмущенной числовой плотности. Пара-
метры в поле течения вычисляются из сумм /V, и, v, u2z v2, w2, •
определяемых для каждой ячейки. Нормированное значение
• плотности вычисляется делением JV на произведение числа се-
рий и числа молекул в ячейке в невозмущенном потоке, Ком-
160 гл. 7. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
поненты скорости потока в направлениях х и у вычисляются
как H = ^,ulN и v — ^v/N. Температура газа, основанная на
компоненте скорости молекул и, определяется из уравнения
(1.24) (см. также упр. (1.5)):
Тх = (m/k) и'2 = (m/k) {и2 — й2},
или, используя нормировку, принятую в программе,.
= 2 ( дг У*, “2 ~ «2) •
Заметим, что из упр. 1.5 следует, что нет необходимости в вы-
числении компонент собственной скорости, поскольку полная
температура является средним значением трех температур, опре-
деленных по трем компонентам скорости.
Некоторые типичные результаты, полученные с помощью
этой программы, обсуждаются в § 8.4. В последующих разде-
лах приводятся описания других программ и подпрограмм рас-
чета течений газа методом прямого моделирования.
8____________________
Одномерные течения
одноатомного газа
S.I. СТРУКТУРА УДАРНОЙ волны
Ударная волна описывает переход от однородного течения
газа в области вверх по потоку к однородному течению вниз
по потоку. Течение является одномерным — в нем нет градиен-
тов в направлениях, параллельных плоскости волны. Система
координат обычно выбирается так, чтобы скорость в этой пло-
скости равнялась нулю. Число Маха волны Ms может быть опре-
делено как отношение скорости волны в газе вверх по потоку
к скорости звука в этом газе. Для системы координат, в которой
ударная волна неподвижна, число Маха волны может быть
отождествлено с числом Маха течения в газе вверх по потоку.
Отношения давления, плотности, температуры и скорости по-
тока газа до и после волны даются соотношениями Рэнкина —
Гюгонио [55]. Последние выражают законы сохранения массы,
количества движения и Энергии при переходе через ударную
волну и зависят только от отношения удельных теплоемкостей
газа и числа Маха волны. В то же время внутренняя структура
ударной волны определяется вязкостью и теплопроводностью.
Проблема определения структуры ударной волны играла важ-
ную роль в развитии молекулярной газовой динамики. Это обу-
словлено тем, что в таком течении при больших значениях Ms
имеется значительная неравновесность, в нем нет неопределен-
ностей, связанных с твердыми границами, имеется доступная
проверка надежным экспериментом.
К проблеме определения структуры ударной волны могут
быть применены уравнения Навье — Стокса, приводящие к
обыкновенному дифференциальному уравнению, которое может
быть решено численно [34]. Аналитическое решение для газа
с числом Прандтля, равным 0.75, получено в работе [65]. Тол-
щина ударной' волны может быть определена как расстояние,
на котором достигается'изменение плотности от значения в об-
ласти вверх по потоку к значению в области вниз по потоку при
максимальном градиенте в волне. В работе [65] найдено, что
отношение этой толщины к средней длине свободного пробега
в волне изменяется от 10 при М$ == 1.25 до 5 при Ms = 1,5, до 3
6 Г, Бёрд
162
ГЛ. 8, ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
при Ms = 2, уменьшаясь приблизительно до 2 при Ms > 3. Эти
значения указывают, что теория Навье — Стокса почти уверен-
но применима при Ms < 1.25, но при Ms > 2 ее справедливость
маловероятна.-
Измерение профилей в ударной аэродинамической трубе
низкой плотности при Ms, изменяющихся до 1.8, показало пре-
восходное согласие между экспериментальными и навье-сток-
совскими профилями {83, 88]. Барнеттовский профиль .значи-
тельно отличается от навье-стоксовского при числах Маха по-
рядка 1.8. Это один из первых результатов, подвергающих со-
мнению барнеттовское приближение. Тринадцатимоментные
уравнения не могут быть разрешены в задаче о структуре удар-
ной волны при Ms> 1.65. Экспериментальные результаты для
сильной ударной Волны (Ms 2) были получены в работах [14,
57, 77, 81, 82]. В. работе [81] приведены результаты очень тща-
тельных измерений при помощи электронного' пучка профиля
волны,'полученной в большой ударной трубе низкой плотности.
Эксперименты подтвердили, что теория Навье — Стокса не дает
адекватного описания при Ма>2и проблема описания струк-
туры волны относится к переходному режиму течения. Для ре-
шения задач в переходном режиме в гл. 6 были описаны три
общих подхода, которые в этом разделе применяются к задаче
о структуре сильной ударной волны,
В 1951 г. Мотт-Смит [66] предложил-моментный метод. Он
предполагал, что функция распределения внутри волны может
быть представлена в виде линейной комбинации4 равновесных
функций распределения, описывающих однородные состояния
газа вверх й вниз по потоку. Эта функция распределения, ино-
гда называемая бимодальным распределением, записывается
в виде
nf = Nlfl + N2f2, (8?1)
тде индексы 1 и 2 относятся к состояниям вверх и вниз по по-
току соответственно. Направим ось х по нормали к волне. Со-
гласно (4.1) для равновесного или максвелловского распреде-
лений, имеем •
fi = (01/я3/2) ехр [— {(м — «01)2'+ о2+ да2}],
h=(01/п3/2) ехР [- 0! {(« ~ но2)2 + °2 4- да2}].
Весовые, множители N± и N2 должны быть такими, чтобы Ni =
= п\, N2 = Q ввер'х по потоку и Ni — О, N2 = п2 вниз по потоку.
Уравнение (8.1) можно проинтегрировать по скоростям, что
дает
n = Ni + N2. (8.2)
Применение трех уравнений сохранения между состояниями
газа вверх и вниз по потоку * приводит к соотношениям Рэнки-
8.1. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
163
на — Гюгонир для п2, «02, ₽2 как функций «1, «01, рь Для опре-
деления . всех параметров потока внутри волны, являющихся
соответствующими моментами бимодальной функции распреде-
ления (8.1), необходимо найти зависимость п, Nit N2 от коорди-
нат внутри волны. Одно соотношение между этими величинами
уже получено — уравнение (8.2). Второе получается при помощи
уравнения сохранения массы для состояния вверх по потоку и
внутри волны. Уравнение (3.30) дает
n1«oi = пио. (8.3)
ОО
Вычисляя «о= j ufdc для распределения (8.1), получаем
«1«01 “ ^1«0! + N2«02- (8.4)
Третье соотношение получаем из дополнительного моментного,
уравнения. Выбор величины Q в этом уравнении произволен;
Мотт-Смит использовал и и2, и и3. Для Q = и2 уравнение
(3.27) для стационарного одномерного течения дает
4-(п?) = Д[«21,
й, используя уравнение (3.38) для максвелловских молекул,
имеем
_ (8.5)
Эффективная величина средней длины свободного пробега в
области вверх по потоку может быть получена из уравнения
(4.55), откуда, замечая, что Г (7/2)= 15л1/2/8, для максвеллов-
ских молекул находим
. . 16 , / mRTx '
1 = 15л«1Л2 (5) \ лн )
Далее, выражая отсюда величину Л2(5)х1/2 и подставляя в
уравнение (8.5), получаем
— (п7) = —^2--^^- —тхж. (8.6)
Тогда ‘
оо оо
n«3 = 2Vi i^fxdc-\-N2 w3f2rfc
— ОО _ • • . —оо
и
ОО 00 оо
J«3Mc=(P3/n3/2) J J J{Moi + („^„oi)}3X
“°° — ОО -ЧОО —00
X ехр [— Р2 {(и — н01)2 + V2 4- ю2}] du dv dw = «01 (u0* + 3R7\}.
6*
164 ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
Ан алогичное .выражение может быть получено для второго сла-
гаемого. Используя далее уравнение (8.3), имеем
=niUqi (4 + з/гл - 4 - з/?г2)+Voi (4+зят2).
Из условия сохранения энергии для состояний газа вверх и вниз
по потоку получаем
4 + 5/?7’l = ug2 + 57?T2,
так что
<8-7)
Используя далее уравнение (1.20) и замечая, что величина txx
симметрична относительно оси х, имеем
77 txx = «2 (Узе* — д’'2) = % л2 (Т2 — ы75).
Затем из упр. (1.5)
и «2 может быть определена таким же образом, как и «3. Сле-
довательно,
“ Ххх (««J Wjwoi ^2М0г)>
и, используя уравнения (8.2) — (8.4), получаем
Wm) {(W,«o, + ^%)’-W1(A',+«,) ul-Na (W,+ Д',)
z “= — 3/s ^1^2 (“oi ~ “oa)3
Величина N2 может быть исключена отсюда при помощи урав-
нения (8.4), что дает
(n//n)r„--W(m-W-S-(«oi-«o2)2. (8.8)
Подстановка (8.7) и (8.8) в уравнение (8.6) приводит к сле-
дующему . дифференциальному уравнению для N\/n\ как функ-
ции х/М:
ГДе х
а = —и"~и*.. (8.10)
Зя1'2 «02 «01 + «02
Решением ур'авнения (8.9) является выражение
У1 = П1[1 + ехр{а(хД1)}]-1. (8.11)
Подстановка этого решения и (8.4) в уравнение (8.1) приводит
к определению функции распределения внутри волны как функ-
8.1. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
165
ции величины х/М- Непосредственно из уравнения (8.11) полу-
чаем профиль плотности
П Пг = Nl 1 ,q . Q.
. П1-П2 П1 .1 + ехр {а (х/Al)} ' У*’1*’
Профили других макроскопических величин могут быть полу-
чены как соответствующие моменты бимодальной функции рас-
пределения. Этот метод был обобщен в работе [67] для других
степенных законов взаимодействия молекул.
Решение Мотт-Смита замечательно предсказывает толщину
волны для очень сильных ударных волн, но дает неправильное
описание для слабых ударных волн, которые адекватна описы-
ваются уравнениями Навье — Стокса. Эксперименты Шмидта
[81] показали слабую несимметричность профиля, что находит-
ся в противоречии с решением Мотт-Смита. Следует помнить,
что хорошее описание толщины волны получено при использо-
вании в четвертом моментном уравнении для Q величины и2.
Обычно так и делается, но никаких строгих обоснований такое
предположение не имеет, и, кроме того, в работах [75, 79] было
показано, что результаты чрезвычайно чувствительны к выбо-
ру Q. Отметим, что, хотя эксперименты подтвердили выбор
Q = w2, в работе [28] было получено, что лучшие результаты
достигаются с Q = и3..
Для решения задачи о структуре ударной волны применя-
лась и БГК-модель кинетического уравнения [56]. Для одно-
мерного стационарного течения из уравнения (6.3) получаем
u~^(nf) = nv(f0-f). (8.13):
Это уравнение является интегро-дифференциальным (см. § 6.3).
Его можно проинтегрировать й получить Следующей интеграль-
ное уравнение:
X / х \
„f= j (e.14)
Too ' х’ '
где х' и х" — переменные интегрирования, а отрицательный
(положительный) знак в нижнем пределе интегрирования со-
ответствует положительному' (отрицательному) значению и.
Уравнение (8.14) было решено в [56] численно с использова-
нием итерационной схемы, что требует начального приближе-
ния для fo. Результаты хорошо совпали с навье-стоксовским ре-
шением и, следовательно, с экспериментом при Ms С 2. Для
очень сильных ударных волн метод приводит к сильной асим-
метрии профилей плотности и скорости, в которых область
вверх по потоку имеет значительно большую протяженность,
166
ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
• чем в экспериментальных результатах. Одной из возможных при-
чин несостоятельности БГК-модели для описания очень сильных
ударных волн является использование .частоты столкновений v,
не зависящей от f. Эта частота столкновений связана с темпе-
ратурой через коэффициент вязкости, полученный из БГК-урав-
нения; но поскольку эта связь базируется на теории газа в со-
стоянии, близком к равновесному, то она. оказывается неаде-
кватной в условиях сильно неравновесных течений, таких, как
течения в переднем фронте ударной волны.
Конечно-разностное решение уравнения Больцмана для за-
дачи о структуре ударной волны было получено в работе [43],
в которой для вычисления интеграла столкновений применялся
метод Монте-Карло. Задача решалась для молекул — твердых
сфер, числа Маха волны варьировались от 1.1 до 10. Было най-
дено, что при Ms < 2 толщина волны, полученная численно,
согласуется с решением уравнений Навье — Стокса, а при
М, > 2 — с решением Мотт-Смита для Q = и2. Этот последний
результат согласуется также с экспериментальными данными
Шмидта и с результатами, полученными ранее методом Мон-
те-Карло прямого моделирования [7].
Программа расчета на ЭВМ задачи о структуре ударной
волны методом прямого моделирования может быть получена
путем небольших изменений программы расчета задачи Рэлея,
описанной в § 7.3 и приведенной в приложении G. В этой про-
грамме в начальный момент времени газ в однородном стацио-
нарном состоянии находится между диффузно отражающей по-
верхностью у —0 п зеркально отражающей плоскостью z/ = YM.
Затем, в момент t = 0, поверхность у = 0 мгновенно приходит
в движение со скоростью <7W в направлении х, а ее температура
изменяется скачком. Если вместо этого потребовать, чтобы по-
верхность у == О стала зеркально отражающая, а ее скорость l/w
была направлена по оси у, то в газе будет генерироваться удар-
ная волна. Число Маха этой волны связано со скоростью Uw со-
отношением Рэнкина —Гюгонио
_____2 Ms-1
«оо ” y+i м2
(8.15)
Здесь а<» — скорость звука в невозмущенном газе, в безразмер-
ном виде равная, (у/2)1/2 (см. § 7.3). Так как ударная волна
движется в направлении у, а не в направлении х, как обсужда-
лось ранее, то в программе необходимо ввести изменения, свя-
занные с переобозначением осей. Так как отражающие поверх-
ности приближаются друг к другу, то ячейки, на которые раз-
делена область течения, будут постепенно сжиматься, поэтому
Необходимы небольшие изменения при программировании, учи-
8.1. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
16?
тывающие этот эффект. Условие зеркального отражения моле^
кул от движущегося поршня означает, что скорость молекулы
относительно поршня меняет знак. '
Типичный результат, полученный на модифицированной та-
ким образом программе, приведен на рис. 8.1, на котором в пло-
скости «координата — время» показаны линии равной плотно-
сти при формировании ударной волны. Начальная величина
Рис. 8.1. Линии равной плотности при формировании ударной волны в газе
из молекул — твердых сфер при Ms = 10. траектория движущейся етеяки
или поршня;------ударная волна Рэнкина — Гюгонио;—линия равной
плотности для свободномолекулярного течения при р/рте = 1.1.
плотности на движущейся стенке дается уравнением (5.26), при-
чем в начальный момент касательной к линии равной, плотности
является прямая, получающаяся при решении свободномолеку-
лярной задачи (см. уравнение (5.25)). Наличие столкновений
между молекулами приводит к возрастанию плотности внутри
волны и увеличению наклона -всех линий' равной плотности до
тех пор, пока не будет’ достигнута скорость волны Us — Msa»,
определяемая теорией Рэнкина — Гюгонио. Вычисления закан-
чиваются прежде, чем ударная волна достигнет фиксированной
стенки, но они могут быть продолжены, если исследуется задача
об отражении ударной волны [6, 29].
168
ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
• —:—
После того как ударная волна полностью сформируется» на
основе'линий равной плотности можно построить профиль плот-
. ности стационарной ударной волны. Однако, поскольку наклон
этих линий известен заранее из теории Рэнкина — Гюгонио, ста-
ционарный профиль может быть определен в процессе счета по
тем ячейкам, которые движутся со скоростью волны.
Возможна Дальнейшая, модификация программы для моле-
кул— твердых сфер для получения детальной информации — от
профилей макроскопических параметров до функции распреде-
ления. Однако для более тщательного сравнения с эксперимен-
тальными данными желательно' иметь решение для более общей
молекулярной модели газа. Поэтому далее будет описана вы-
числительная процедура на основе степенного закона межмо-
лекулярного взаимодействия.
Метод Монте-Карло прямого моделирования был описан в
§ 7.1 именно для такой модели молекул. Уравнение (7.1) пока-
зывает, что вероятность столкновения пары молекул пропор-
циональна и. Для реальных газов эффективное значение
параметра 1]41ожет быть определено путем сравнения темпера-
турной зависимости коэффициента вязкости, даваемой уравне-
нием (4.54), с измеренной величиной. Наиболее часто употреб-
ляемым значением параметра т] является г] = 9, что соответ-
ствует зависимости коэффициента вязкости от температуры как
р, ~ Т°п, В этом случае вероятность столкновения пропбрцио-
нальна с*/2, и отбор сталкивающихся пар подобен описанному
выше в программе для молекул — твердых сфер, за исключе-
нием того, что в процедуре, основанной на методе исключения,
’ сг заменяется на с*/2.
Для вычисления интервала времени, связанного со столк-
новением, по формуле (7.2) требуется знать величину
(х//Пг)2/(11_1), которая вместе с сг и W0,m устанавливает эффек-
тивное полное сечение столкновения, определяемое уравнением
(2.27). Для этого можно использовать уравнение (4.55), даю-
щее возможность установить связь между параметром и и
средней длиной свободного пробега в некотором равновесном
состоянии. В рассматриваемой задаче это есть состояние газа
в невозмущенной области вверх по течению. Замечая, что
тт^т/1! для простого газа, из (4.55)' получаем
/ 2х Ч 2/<”“ ° _ 21/2(47?Г1)2^-» , ,R .
“ ЛП1Х1Л2 (т|) Г {4 — 2/(t) — 1)} * VO,I°'
Подходящей величиной для усечения прицельного параметра
является т—1.5. Из уравнения (2.25) следует, что фикси-
рованное предельное значение ITo, m определяет минимальную
величину угла рассеяния, которая физически более наглядна.
8.1. СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
169
Для п = 9 и Wo, т = 1.5 имеем
nWl, т (и/тТ)21^~1} = 3.06 (ПТгПп^), - (8.17)
что дает возможность для каждого столкновения вычислить из
уравнения (7.1) величину Д/с. Значение параметра Wo при
столкновении выбирается в пределах от 0 до 1.5, и вероятность
некоторого значения пропорциональна W\>. Это распределение
вероятности рассмотрено в приложении D, и уравнение (D6)
дает
№0=1.5(Я{)1/2. .(8.18)
УгбЛ отклонения % в системе центра масс определяется урав-
нением (2.25). Этот результат записан в форме определенного
интеграла, верхний предел которого определяется корнем алгеб-
раического уравнения порядка (ц — 1). Практически невозмож-
но решать это уравнение и вычислять интеграл для каждого из
многих, тысяч или миллионов столкновений в типичных по ме-
тоду Монте-Карло вычислениях. Разумной аппроксимацией ве-
личины х (в радианах) для т) = 9 и W^o < 1.5 является
Х=л-2Го(1.26233 + Го(1.84145+ .
+ ИМ- 8.87881 + Я70 (20.3313 +
+ Го(-23.8155+ Й7О (14.5046 +
+ W\,(- 4.42027 + Г0 (0.535193)))))))). (8.19)
Значению W'o, « — 1.5 соответствует угол отклонения, прибли-
зительно равный Г. Азимутальный угол в равномерно распре-
делен в интервале от 0 до 2л, так что
8 = 2л/?ь (8.20)
Компоненты вектора относительной скорости после столкнове-
ния затем определяются непосредственно из (2.22). Окончатель-
но компоненты скоростей молекул после столкновения, вычис-
ляются из (2.1) и (2.5) точно так же, как и в демонстрационной
программе для молекул — твердых сфер, описанной в § 7.3.
Максвелловская модель молекул плохо соответствует ре-
альному газу, однако ее можно рассматривать как предельный
случай мягких молекул. Кроме того, вычисления, проведенные
для максвелловских молекул, часто, требуются для сравнения с
аналитическими результатами. Для этой модели механика
столкновений отличается от степенной модели с ц = 9 следую-
щим образом. Во-первых, столкновение любой пары молекул
равновероятно, поэтому для пары молекул, выбранных случай-
но, не требуется дальнейшего отбора по величине относитель-
ной скорости сг. Во-вторых, для множителя в уравнении (1.2)
имеем
л^и^М^^Ч^зэт^/М!). (8.21)
170 гл. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
Предельное значение Wo,m = 1.5 может быть использовано сж>
ва, хотя для максвелловских молекул оно соответствует углу
отклонения, равному 11°. И наконец, угол % может быть вычис-
лен непосредственно из (2.32).
Метод прямого моделирования для решения задачи о струк-
туре сильной ударной волны был применен в 1970 г. Бёрдом [7]
для газа со степенным законом взаимодействия молекул. Было
показано, что расчетное значение толщины волны, построенной
по максимуму наклона, находится в прекрасном соответствии
Рис. 8.2. Сравнение экспериментального и численного профилей ’плотности
для нормальной ударной волны при Ms=8. ---------экспериментальный про-
филь для аргона [8‘1]; '• результаты расчета методом Монте-Карло прямого
моделирования при v = 12.
с теорией Мотт-Смита для Q = и2. На рис. 8.2 приведено срав-
нение расчетного профиля плотности при Ms==8 и v=12 с
профилем, измеренным Шмидтом в аргоне.
Аналогичные сравнения проводились в работе [87] для раз- -
ных инертных газов. Было найдено, что для лучшего согласо-
вания расчетных и экспериментальных данных для разных га-
зов требуются несколько различные, значения параметра т]. Это
обусловлено тем, что расстояние наибольшего сближения моле-
кул в модели со степенным потенциалом определяется без учёта
притягивающей составляющей межмолекулярных сил. В этой
же работе получено хорошее совпадение между экспериментом
и расчетом при использовании для вычисления столкновений
экспоненциальной модели Букингема. *
В работе [7] было вычислено несколько более высоких мо-
ментов функции распределения и получены графики функций
8.2; ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
171
распределения. Сравнение теоретических и экспериментальных
результатов для функция распределения было проведено в [46].
Общий обзор проблемы о структуре ударной волйы дан в. ра-
боте [32] *).
8.2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Рассмотрим одномерную стационарную задачу о теплопере-
даче между двумя бесконечными пластинами, расположенными
в плоскостях у = 0 и y — h, температуры которых равны Л. и Гц
соответственно. Вероятно, это простейшая задача, которая при-
годна для сравнения различных подходов, применяющихся для
решения задач в переходном режиме течения. Большое число
имеющихся решений этой задачи было суммировано в работе
[86]. Они могут быть разделены на две группы: в первой jpe-
шение проводится для случая малых возмущений, в котором
отношение температур Ти/Л. близко к единице; во второй рас-
сматривается случай произвольно больших отношений темпе-
ратур. Мы будем рассматривать последний случай и начнем
с описания четырехмоментного приближения Лю и Лиза [58]. ‘
Предположим, как и в решении Мотт-Смита для ударной
волны, что функция распределения может быть записана в виде
= + • (8.22)
Однако в рассматриваемом случае функции fi и f2 описывают
молекулы, движущиеся в положительном и отрицательном на-
правлениях оси у соответственно, причем
fi, 2 = (Я 2/я3/2) ехР (— ₽1.2е'2)-
Дальнейшее отличие от ранее описанного представлейия заклю-
чается в том, что и температуры 2 = (2^ 2)-1, и ЛГц2 явля-
ются функциями координаты у. По этим причинам это прибли-
жение назовем двухсторонним максвеллианом, а не бимодаль-
ным распределением. ' L
*) Изменение молекулярной модели приводит7 к изменениям в индикат-
рисе рассеяния и к изменению зависимости сечения столкновения от относи-
тельной скорости молекул. Последний эффект представляется более важным.
В задаче о структуре сильной ударной волны увеличение толщины волны
для более «мягких» молекул прямо пропорционально уменьшению сечения
столкновения, обусловленного изменением температуры в волне. Это привело
к процедуре, дающей возможность изменять модели взаимодействия между
молекулами для более сложных задач, таких, как задача о скиммере [101]
. или задача об обтекании сферы и .цилиндра с «газящими» поверхностями
1105]. В некоторых последних программах используется модель молекул —
твердых сфер, сечение столкновения которых зависит от относительной ско-
рости. Такая модель, в частности, подходит для описания. взаимодействия
Двухатомных молекул в случае, когда рассматривается феноменологическая
модель внутренних степеней свободы.'
172
ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
I
Среднее значение любой молекулярной величины опреде-
ляется уравнениями (8.22) и (3.3):
Q = 4'|~WF $ $ ехр Р’с'2) du dv dw +
(. Я -оо 0 -оо _ ’
+ Qexp(— du dv dwl. (8.23)
Граничные условия в этой задаче таковы, .что скорость потока
равна нулю и с’ = с. Полагая Q равной т, v, с2 и l/2mvc2, по-
лучим следующие выражения для основных макроскопических I
величин:
р = пт = */2 (Ni + N2) т, _ (8.24)
' 0o^=v = (^--^-)/(2n«n , (8.25) (
Т=х^/(3/?) = (-^- + -^-)/(4п/?), ’ , (8.26)
\ Pl 02 /'
Я у — ll2timvc2 ^=т^~- / (2л1/2). (8.27)
Для решения задачи необходимо определить четыре вели-
чины: М, N& Pi и р2. Из уравнения (3.27) получим моментнбе
уравнение для данной задачи
±(п J Qofdcj=A[QJ. (3.28)
\ — ОО / 7 f
Сохранение массы т, импульса tnv и энергии 1/2тс2 приводит
к очевидному выбору величин Q для трех моментных уравне-
ний из четырех. Интеграл столкновений в этих случаях равен
нулю, и уравнение (8.28) дает
00
п ^.Qvf de = const. (8.29)
Полагая Q = т, имеем . ’ . ,
О1-Л^2/Р2 = 0. (8.30)
Приравнивание константы в (8.30) нулю обусловлено тем, что J
левая часть может быть непосредственно связана через урав-
•нение (8.25) со скоростью потока по нормали к пластинам, а
граничные условия требуют, чтобы эта скорость на пластинах
8.2.- ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
, 178
равнялась нулю. Для Q = v из (8.29) имеем
^^ + ^1 = const,
или, используя (8.26),
(8.31)
и, следовательно, давление р = nmRT является постоянной ве-
личиной для рассматриваемого течения1). Далее, используя
(8.27) для Q = xlimc2, имеем
Лг1М-^2/Р1 = 2л1%/т. (8.32)
Поскольку для рассматриваемой задачи существенным является
тепловой поток в направлении у, Лю и Лиз в качестве четвер-
того момента выбрали величину Q = Уг/пос2. Уравнение (8.28)
в этом случае дает
16 ay L Pi Р2 J
Интеграл столкновений для величины x/tfnvc2 может быть вы-
числен таким же образом, как и для и2 в § 3.3, что в случае
максвелловских молекул дает: лД2(5) (2ti/m)nqy [94]. Кон-
станты Д2(5) и и могут быть исключен^ при помощи уравне-
ний (4.54) и (4.56) для коэффициента теплопроводности Чеп-
мена— Энскога b максвелловском газе. Четвертое моментное
уравнение тогда принимает вид
d /Ау . ЛГ2\ Ырду
dy k 0i Й / Ж
Теперь из (8.26), (8.24) и (8.30) получаем выражение
Т = р/(дт7?) = (2/?р1р2)"1, (8.34)
которое с использованием уравнений (8.27), (8.30) и (8.31) дает
J______1
01 02 = 2р
Л\ No 4р ( па2 )
/ + V-=BV17^ + 2/?rr
Pl Р2 т V 4р )
Следовательно, уравнение (8.33) может быть записано в виде
‘ (8-36)
*) Точнее, давление постоянно в рамках принятого предположения (8.22)
о виде функции распределения, — Прим, pedt
(8.33)
' (8.35)
и
174
ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
что, очевидно, совпадает с обычным выражением для течения
газа как сплошной среды. Четырехмоментное решение отли-
чается от реше'ния для сплошной среды из-за различий в гра-
ничных условиях
Ti = TL при «/ = 0,
Г2 = Ги при y = h. ( ’
Уравнения (8.34) и (8.35) дают возможность записать
7’ = TL-1/2(,/2n7’L//?),,2^/p при z/ = 0,
Г = Ти + 1/2(1/2л7’и/7?)1/2<7г,/р при y = h. (8>38)
Следовательно, четырехмоментное решение эквивалентно ре-
шению для сплошной среды с наложенным температурным
скачком на границах. Уравнения (4.53) и (4.56) дают возмож-
ность выразить температурный скачок как функцию числа Кнуд-
сена, вычисляемого как отношение средней длины свободного
пробега в равновесных условиях при температуре Т к харак-
терному линейному размеру изменения температуры. Темпера-
тура Т связана с температурой пластин следующим образом:
Т = Тр±(75л/128)Гр/2Г1/2М-(1пТ)/^, (8.39)
где положительный и • отрицательный-знаки . используются на
нижней и верхней пластинах соответственно. Температурный
скачок, следовательно, уменьшается при уменьшении числа
Кнудсена, и четырехмоментное решение сливается при Кп->0
с решением для сплошной среды. В другом предельном слу-
чае — свободномолекулярном течении четвертое моментное урав-
нение тривиально, поскольку Т становится постоянной и мо-
ментные . уравнения для сохраняющихся величин удовлетво-
ряются свободномолекулярным решением, которое обсуждалось
в § 5.2.
Тепловой поток qy лучше всего выразить, через среднюю ве-
личину плотности газа между пластинами р и через число Кп,
определенное как - отношение осредненной длины свободного
пробега Лк расстоянию между пластинами h. Для четырехмо-
ментного решения это можно сделать численно, однако такую
процедуру можно проиллюстрировать соответствующим анали-
зом для континуального предела. В этом случае решение дается
уравнением (5.12) и для максвелловских молекул константа В
равна единице. Следовательно,
(8.40)
где С = К/Т. Средняя длина свободного, пробега может быть
определена на основе соотношения (4.53) между ц и 1 для мо-
8.2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
175
лекул — твердых сфер. Тогда, используя уравнение состояния
и (4.56), можно написать
1 = — с Т3'2
75 (2л7?)1/2 р
Распределение температуры определяется уравнением, пред-
шествующим (5.12):
^ = (7и-7ь)0///г) + 71.
Следовательно, __
p-W?=W(2u-7t)/(Jv-7i),
так что
128 С тЦ2 — Т7^
Л— "175 (2 л)1/2 7?3/2 р T^ — Tl ' (8'41)
Исключая константу С из уравнений (8.40) и (8.41), получаем
<7с =
175
128
У _ < 1/2
(-) Т?3/2р(Кп)
(8.42)
Разделив этот результат на свободномолекулярное решение
(уравнение (5.11)), для максвелловских молекул имеем
Случай молекул — твердых сфер намного проще для рассмот-
рения, поскольку р% = const, и для отношения потоков тепла
в двух предельных режимах течения получаем
(8.44)
На рис. 8.3 приведены результаты численного решения мо-
ментных уравнений для случая Tu/7l = 4, выраженные в виде
зависимости qvlq\ от числа Кп. Как и ожидалось; численное
решение дает гладкий переход между свободномолекулярным
решением \qy/qi = 1) и решением для сплошной среды —урав-
нение- (8.43). Численные результаты были получены также ме--
тодом Монте-Карло прямого моделирования. Для максвеллов-
ских молекул и для молекул — твердых сфер. Демонстрационная
программа (§ 7.3) легко модифицируется для решения задачи
176 гл. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
о стационарном тепловом потоке. Основные изменения заклю-
чаются в изменении граничных условий на верхней пластине,
на которой ставится условие диффузного отражения при тем-
пературе Ту, и в добавлении необходимого осреднения резуль-
татов по времени после установления стационарного состояния.
Результаты, полученные методом прямого моделирования, оди-
наковы для двух моделей межмолекулярного взаимодействия и
Рис. 8.3. Одномерный тепловой поток при 7"^ = 4. -четырехмомёнтное
решение для максвелловских молекул; •, О результаты расчета методом
Монте-Карло прямого моделирования для молекул — твердых сфер и макс-
велловских молекул соответственно;------, отношение для
молекул — твердых сфер и максвелловских молекул соответственно.
прекрасно согласуются с решением моментных уравнений для
свободномолекулярного и континуального режимов течения.
В то же время существенные отличия между двумя решениями
имеют место при числах Кнудсена порядка единицы.
Результаты расчетов профиля температур между пластина-
ми методом прямого моделирования при 7’и/Л.= 10, Кп = 0.05
для молекул — твердых сфер представлены на рис. 8.4. В этом
случае полный тепловой поток составляет 0.9 от теплового по-
тока, полученного по теории сплошной среды при том же числе
Кнудсена. Однако этот поток можно сравнить с потоком, рас-
считанным по уравнению (8.36), справедливому для режима
сплошной среды с . локальными температурными градиентами,
цолученнымц методом прямого моделирования. Оказалось, что
8.2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
177
в этом случае расхождение в результатах примерно равно 2%,
что по порядку величины равно точности метода прямого моде-
лирования. Следовательно, различие между полными потоками
тепла определяется полностью эффектом температурного скачка
на границах, .как это и предсказывалось четырехмоментным
приближением. Величина (Х/Т) (dT/dy) изменяется примерно
от 0.13 на холодной стенке до 0.075 на горячей, что соответ-
ствует диапазону чисел Кп, для которого справедливо решение
Чепмена — Энскога (т. е. континуум). На рис. 8.4 приведены
Рис. 8.4. Профиль температуры при TV/TL = 10 и Кп = 0.05.----сглажен-
ный профиль температуры, полученный методом прямого моделирования;
• , О температуры Т~ и Т+, полученные методом прямого моделирования;
------, - — температуры Т~ й 7’+, полученные применением теории Чеп-
мена— Энскога к сглаженному профилю.
для сравнения распределения температур Т+ и Т~ для движу-
щихся вверх и вниз молекул соответственно, полученные как
методом прямого моделирования, так и основанные на функ-
ции распределения Чепмена — Энскога — уравнение (4.6) (см.
упр. (4.1$).
Сравним теперь величину температурного скачка, получен-
ную методом прямого моделирования, с явным выражением
(8.39), полученным из .четырехмоментного метода. Последнее
получено для максвелловских молекул, но, как показали рас-
четы методом прямого моделирования, имеются лишь неболь-
шие различия между результатами для максвелловских моле-
кул и молекул—твердых сфер. Поэтому будем применять урав-
нение (8.39) к данным, полученным численно и представленным
178
ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
на рис. 8.4. Используя полученные методом моделирования
упомянутые выше значения (Х/Т) (dT/dy), из (8.39) получим
Т - TL = 0.267 и Tv - Т 9 1.28.
Из рис. 8.4 видно, что эти значения близки к величинам
температурного скачка, полученным методом прямого модели-
примерно равных единице. Однако на верхней (горячей) ’ пла-
стин величины температурного скачка на нижней пластине, по-
лученные этими двумя методами, согласуются до чисел Кп,
примерно равных единице. Однако на верхней (горячей) пла-
стине при числах Кп^О.1 имеются значительные расхождения.
Это происходит потому, что градиент температуры вблизи
верхней поверхности, полученный методом прямого моделиро-
вания, значительно больше величины, предсказываемой четы-
рехмоментным методом. Точки перегиба профиля -при модели-
ровании образуются при больших- числах Кнудсена. Следова-
тельно, при числах Кп 1 между результатами имеются зна-
чительные качественные отличия, хотя, как видно из рис. 8.3,
результаты для полного теплового потока согласуются неплохо.
8.3. НАРУШЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
ПО ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ
ПРИ РАСШИРЕНИИ ГАЗА
Нарушение равновесия по поступательным степеням свобод
ды пр-и стационарном расширении потока! и в нестационарных
Волнах разрежения является одной из основных проблем газо-.
вой динамики в переходном режиме. Эта задача является более
сложной, чем, например, задача о структуре ударной волны, в
которой состояния газа в областях вверх и вниз по потоку опре-
деляются уравнениями сохранения, или задача о теплопередаче,
в которой на каждой пластине одна часть функции распределе-
ния задана. Эта задача, следовательно, чрезвычайно ценна для
опробования аналитических методов, особенно в тех случаях,
когда теоретические результаты могут быть сравнены с экспе-
риментальными данными.
Наиболее значительные аналитические исследования про-
блемы были проведены Гамелем и Виллисом [40] и Эдвардсом
и Ченгом [30], причем в обоих случаях рассматривалось ста-
ционарное истечение газа из источника и предполагалась ги-
перзвуковая аппроксимация для замыкания моментных уравне-
ний. Различия в подходах заключаются в том, что Эдвардс и
Ченг применяют модель БГК, а Гамель и Виллис используют
модель максвелловских молекул для вычисления интегралов
столкновения.
Оба метода приводят к аналогичным системам моментных
уравнений, которые предсказывают, что нарушение равновесия
8.3. НАРУШЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ 179
ведет к постепенному расхождению кинетической температу-
ры Л, рассчитываемой по компоненте скорости молекул, парал-
лельной направлению потока газа, и температуры Т„, рассчи-
тываемой по компоненте скорости, перпендикулярной направле-
нию- потока. Параллельная температура постепенно достигает
постоянного, или замороженного, значения, как должно быть
для свободно'молекулярного потока, в то время как нормальная
температура уменьшается при увеличении расстояния от источ-
ника г. Вид этой зависимости Тп~ г-1 отличается как от соот-
ветствующей зависимости Тп ~ г-4/3, характерной для-изэнтро-
пического сферического расширения одноатомного газа, так и
от зависимости Тп ~ г~2 для свободномолекуЛ'ярного случая,
определяемой чисто геометрическим эффектом. .
Гамель и Виллис отметили, что, поскольку на больших рас-
стояниях Тт» Тп, небольшое число столкновений может при-
вести к существенному изменению Тп. Эдвардс и Ченг иссле-
довали функцию распределения, соответствующую дальнему
полю течения, и нашли, что большая часть энергии сосредото-
чена на хвостах функции распределения.
Для исследования задачи о стационарном истечении газа
от источника Бёрд [8] применил метод Монте-Карло прямого
моделирования. Для этой задачи число Кнудсена К'п* опреде-
ляется как отношение средней длины свободного пробега моле-
кул заторможенного газа к радиусу- критического сечения г*;
Полученные результаты лучше всего иллюстрировать зависи-
мостью изменения температуры от радиуса, причем для нор-
мировки использовались температура торможения То и радиус
критического сечения г*. На рис. 8.5, а представлены результа-
ты, полученные для молекул — твердых сфер при Кп* 0.002.
Они подтверждают одно из основных предсказаний приближен-
ного анализа — «замор аживан-ие» параллельной кинетической
температуры действительно происходит постепенно на достаточ-
но больших интервалах изменения радиуса и числа Маха. Од-
нако эти результаты качественно различаются для нормальной
температуры Тп: йз численного решения следует, что уменьше-
ние температуры Тп с увеличением расстояния происходит быст-
рее, чем Тп ~ г“4/3, в то время как моментное решение дает
Тп ~ г-1.
Расчеты методом прямого моделирования &яли повторены
для максвелловских молекул.' Эти результаты приведены на
рис. 8.5,6. Расчеты показали, что «замораживание» параллель-
ной температуры происходит значительно слабее, чем для мо-
лекул— твердых сфер, так что в этих расчетах замороженное
состойние достигнуто не было. Наиболее интересным является
поведение нормальной температуры, которая хотя уменьшается
е расстоянием медленнее, чем дается зависимостью Тп ~ г-4/3,
180
ГЛ, 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
но все-таки значительно быстрее, чем предсказывает моментная
теория (Тп ~ г"1).
Однако следует отметить, что расчеты столкновений, между
молекулами проводились до значений прицельного параметра,
соответствующего углу отклонения 9°, что является удовлетво-
рительным в большинстве приложений. Но в данной задаче
Рис. 8.5. Нарушение равновесия по поступательным степеням свободы при
стационарном сферическом расширении газа, Кп* = 0.002; а — молекулы —
твердые сферы; б — максвелловские молекулы. --- результаты для сплош-
ной среды для Т1Т$-> ф отношение Г/То; О‘отношение TJTq, □ отношение
зд-
пренебрежение большим числом слабых взаимодействий может
привести к значительным погрешностям. Возможны также опре-
деленные сомнения в связи с малым объемом выборки в методе
Монте-Карло, иоскольку в дальнем поле большую роль играет
характер функции распределения при больших скоростях мо-
лекул. Однако результаты, приведенные на рис. 8.5, получены
осреднением примерно по 5000 временных шагов, что дает до-
статочную выборку по молекулам, имеющим большую скорость.
Далее, вычислительные детали, такие, как размер ячеек,
объем выборки, были одинаковыми в обоих случаях, и если для
максвелловских молекул даже при минимальном угле отклоне-
8.3, НАРУШЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
181
ния в 9° они привели к зависимости Тп от расстояния более
слабой, чем Тп ~ г-4/3, то более быстрое изменение Гп для мо-
лекул — твердых сфер является особенно существенным. Что ка-
сается скорости изменения Тп в реальном одноатомном газе, то
можно предположить, что она будет лежать где-то между зна-
чениями для максвелловских молекул и молекул — твердых
сфер и, следовательно, будет близка к изэнтропическому слу- *>
чаю. Действительно, измерения, проведенные в работах [15, 68),
показали, что изменения Тп с расстоянием почти точно соот-
ветствуют зависимости Tn ~ г~4/3, т. е. изэнтропической кри-
вой*).
Одной из целей исследования методом прямого моделиро-.
вания было установление критерия, определяющего начало не»
равновесного течения, а это в идеальном случае требует опре-
деления параметра, который позволяет коррелировать резуль-
таты для всех чисел Кп, моделей межмолекулярного взаимодей-
ствия и геометрий течения. Найдено, что этому требованию
удовлетворяет параметр
р=т|-т£Ч <8-45’
который для одномерного стационарного. течения вдоль оси х
может быть переписан в виде
<8-«)
Частоту столкновений v можно связать с коэффициентом
вязкости согласно уравнениям (8.45) и (8.46),..Вычисления по-
казали, что если строить зависимость отношения Гг/Тп от па-
раметра Р для всех случаев, то нарушение равновесия имеет
место при значении Р, примерно равном 0.04. Недавно были
проведены эксперименты [15], в которых исследовалось уста-
новление начала нарушения равновесного режима течения. Экс-
перименты показали, что при представлений данных для Tn/Tt
—-------- •
*) В работе [106] повторены расчеты задачи о нарушении равновесия
по поступательным степеням свободы с более мелкой сеткой и с большим
числом молекул в ячейке. Обнаружено, что нормальная температура не-
сколько превышает значения, полученные при решении задачи в режиме
сплошной среды' даже для молекул — твердых сфер. В этой работе были
введены улучшения путем разделения области на зоны, причем молекулы,
входящие в каждую зону после первой, выбираются из массива, содержа-
щего молекулы, пришедшие из предыдущих зон. Для каждой зоны был при-
нят свой шаг по времени, что привело к уменьшению времени счета для
достижения стационарного состояния. Эта схема расчета полезна при иссле-
довании стационарных гипёрзвуковых течений.
Модели молекул, основанные на классической механике, становятся не-
правомерными при очень низких температурах. В работе [106] квантовоме-
ханические результаты по рассеянию молекул были затабулированы для
неона и гелия. Это позволило проводить расчеты для этих газов вплоть до
температуры 0.001 К.
182 гл. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЁНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
в зависимости о? Р все результаты сводятся в одну кривую,
причем величина параметра Р, при которой начинается откло-
нение от равновесного режима течения, хорошо. согласуется с
полученной численно.
Изменения параметра Р при стационарном цилиндрическом
и сферическом расширениях газа исследовались Бёрдом [8].
Оказалось, что параметр Р сначала уменьшается, достигая ми-
нимума при числе Маха, примерно равном 1.5, а затем увели-
чивается. Для очень больших значений числа М параметр Р
пропорционален Мп, причем показатель степей п изменяется от
нуля для цилиндрического расширения газа из максвелловских .
молекул до 2.5 для сферического расширений газа из молекул —
твердых сфер. Для течений, когда нарушение равновесия про-
исходит в гиперзвуковом потоке при постоянном значении Р,
анализ показывает, что граничное значение числа Маха равно
константе, умноженной на число Кнудсена в степени —1/п. Ве-
личина показателя степени соответствует выводам теории Га-
меля и Виллиса [40]. (
Метод прямого' моделирования применялся также для ис-
следования нарушения равновесия по поступательным степеням
свободы в нестационарной одномерной волне разрежения в газе
из молекул — твердых сфер [8]. Было найдено, что устанавли-
ваемое отношение продольной и нормальной температур яв-
ляется функцией начального положения элемента объема газа,
но не зависит даже от времени, а параметр Р остается постоян-
ным при движении этого элемента. В частности, оказалось, что
нарушение равновесия существует в газе, занимавшем в началь-
ный момент времени область размером в 15 длин свободного
пробега от места образования разрежения. Величина парамет-
ра Р в этом случае оказалась равной 0.04, что количественно
согласуется с упомянутым ранее значением в стационарном те-
чении газа от источника и является дополнительным аргумен-
том в пользу применения Р в качестве корреляционного пара-
метра.
8.4. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ
Мы уже встречались с задачей Рэлея и при обсуждении сво-
бодномолекулярных течений газа (§ 5.6), и при описании де-
монстрационной программы расчета течений разреженного газа
методом Монте-Карло прямого моделирования (§ 7.3). Полу-
ченные с помощью этой программы результаты приведены после
текста самой программы в приложении G. Параметры, для рас-
чета были выбраны такими же, как и при решении уравнения
БГК конечно-разностным методом [21], а именно в начальный
момент времени пластина начинает двигаться со скоростью, в
два раза- превышающей наиболее вероятную скорость молекул
8.4. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ
183
в нёвозмущенном газе, а ее температура возрастает в 1.6 раза
- по сравнению с температурой газа.
Результаты расчетов параметров на поверхности выводи-
лись на печать через интервал времени, равный среднему вре-
мени между столкновениями в, невозмущенном газе (которое
У/Лсо ~ yl^co
Рис. 8.6. Решение задачи Рэлея для молекул — твердых сфер при J7w = 2p~I
и Tw = Распределение плотности nln^ температуры Т/Т^ параллель-
ной скорости ИоРсо и нормальной скорости и0Роо в некоторый момент времени.
----решение уравнения БГК [21);......решение для свободномолекулярного
течения (§ 5.6); • результаты, полученные методом Монте-Карло прямого
моделирования (приложение G).
в безразмерном виде равно л1/2/2). Начальные значения этих
параметров должны быть равны величинам, следующим из сво-
бодномолекулярного решения. Для значений параметров, при-
веденных выше, из (4.20), (5.57) и (5.58)'Имеем
= 0.2821, р^/Роо = 0-25, рД/Роо - 0.31.62,
тОоо = 0-5642, тД/Роо = 0,
<К = 0.8463, ^„ = 0.4514,
где индекс со обозначает невозмущенное состояние газа,
184
ГЛ. 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
Эти величины хорошо согласуются с экстраполированными
к t = 0 результатами расчета, полученными методом прямого
моделирования. Отметим; что поток частиц максимален на ин-
тервале времени 1 t* 2, где t* отнормировано к среднему
времени между столкновениями в невозмущенном газе. Наи-
большее влияние столкновения молекул в газе оказывают на
напряжение сдвига и тепловой поток.
Результаты расчетов выводились на печать на интервале
времени 1 5 — начальные и конечные данные в этом ин-
тервале приведены на рис. 8.6, на котором для сравнения при-
ведены также результаты решения уравнения БГК и для сво-
бодномолекулярного течения (см. § 5.6). Так как свободномо-
лекулярные результаты являются функцией y/t, то данные при
fvoo — 5 могут быть получены из данных при /v«> = 1 простым
умножением величины у/Ъх, на пять. Очевидно, что при fv«> = 5
столкновения оказывают сильное влияние на поле течения. Из
рис. 8.6 видно, что результаты, полученные методом прямого
моделирования и из решения уравнения БГК, хорошо согла-
суются между собой. Отметим также, что возмущение нормаль-
ной скорости относительно слабое и что, хотя статистический
разброс результатов значителен, метод прямого моделирования
позволяет получить результаты с погрешностью порядка о—10%.
Программа, приведенная в приложении G, была реализована
на ЭВМ CDC Cyber 72 и требовала до 1000 с времени централь-
ного процессора.’
9
Пространственные течения
9.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Немногие из подходов к решению задач в переходном ре-
жиме, дающие решение для одномерных течений, могут быть '
применены для исследования течений с большей размерностьй).
Добавление хотя бы одного измерения в физическом простран-
стве приводит к тому, что функция распределения по скоростям
становится трехмерной, а не осесимметричной, как это было
в одномерных задачах. Моментный метод зависит от интуитив-
ного выбора аппроксимирующей функции распределения, й по-
этому не удивительно, что попытки распространить его на реше-
ние задач с большей размерностью обычно оказываются неудач-
ными. Разобранные в работе [39] предельные случаи являются
немногими исключениями, и их приложение ограничено рассмо-
трением течений с простой геометрией. -
Аналогичные трудности возникают в любом методе, в кото-
ром, как и при ^конечно-разностном решении уравнения Больц-
мана с применением метода Монте-Карло для расчета инте-
грала столкновений или в методе Монте-Карло пробных частиц,
требуется априорное предположение о всем поле течения, чтобы
начать итерационный процесс, сходящийся, как можно надеять-
ся, к единственному рейнению. Кроме трудностей, связанных с
выбором начальной конфигурации поля течения, применение
конечно-разностного подхода с вычислением интеграла столк-
новений методом Монте-Карло к двумерным течениям оказы-
вается непрактичным с вычислительной точки Зрения. В имею*
щихся приложениях этого метода к решению одномерных по
пространственной переменной задач приходится иметь- дело с
трехмерным фазовым пространством, разделенным примерно на.
230 ячеек. Значительно большее число ячеек потребуется при
решении двумерных задач, для которых необходимо работать
в пятимерном фазовом пространстве. Далее нужно помнить, что
пространство скоростей неограниченно,,и при сложной геомет-
рий течения все более трудно становится решить вопрос о рас-
положении внешних границ, который неизбежно возникает, по-
скольку число ячеек в пространстве скоростей конечно.
186
ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Как и при рассмотрении одномерных течений, в дальнейшем
изложении не будут рассматриваться методы, пригодные толь-
ко для анализа течений с малыми возмущениями некоторого
невозмущенного состояния или для описания малых отклонений
от предельных-случаев — свободномолекулярного течения ' или
течения газа как сплошной среды. Таким образом, остаются
лишь два подхода — один, основанный на решении модельных
уравнений, другой —на методе Монте-Карло, прямого модели-
-рования.
Модельные уравнения БГК и подобные им имеют довольно
ограниченное приложение к решению двумерных нелинейных
задач в переходном режиме. Это обусловлено тем, что их при-
менение приводит к системе уравнений в общем случае более
сложной, чем уравнения Навье — Стокса для вязкого .сжимае-
мого газа. Лишь недавно конечно-разностными методами полу-
чены решения уравнений Навье — Стокса для характерных дву-
мерных течений, в которых структура ударной волны сливается
с пограничным слоем. Примеры расчета обтекания тупых тел
имеются в работе [93], а течение рколо передней кромки пла-
стины исследовалось в работе [89]. В последнем случае ис-
пользовались граничные условия скольжения; результаты рас-
чётов дали изгиб профиля плотности в направлении по нормали
к поверхности. Этот эффект наблюдался в эксперименте [63]
и предсказывался расчетами методом прямого моделирова-
ния [96], но казалось невозможным получить его из решения
уравнений Навье — Стокса. Применение уравнений Навье — »
Стокса для расчета течений с более сложной геометрией пред-
ставляется очень трудной задачей,-а использование в этих слу-
чаях уравнения БГК еще трудней. Мы видели также, что пред-
положения, введенные при построении уравнения БГК, «не ра-
ботают» в областях течения с сильной неравновесностью, таких,
например, как передняя зона сильной ударной волны. ~
Метод прямого моделирования был сначала применен к рас-
' чету обтекания тел простой формы [95]. Типичный результат
расчета из более поздней работы [23] показан на рис. 9.1, на
котором приведено распределение скорости вдоль линии тор-,
можения при сверхзвуковом обтекании цилиндра для чисел
Кнудсене от 0.02 др 1. Число Кнудсена Кп определено как от-
ношение длины свободного пробега молекул Хо» в невозмущен-
ной области течения к диаметру цилиндра d, ось х направлена
вдоль потока/a начало координат находится в передний кри-
тической точке. Расчеты проводились для степенного потенция-,
ла взаимодействия между молекулами (U ~ г-12), скоростное
отношение Soo = 5; рассматривался теплоизолированный случай.
Результаты расчетов обтекания цилиндра газом как сплошной
средой дают отошедшую ударную волну Рэнкина — Гюгонио с
9.Т. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
187
последующим линейным уменыпенией скорости до нуля в точке
торможения.
Программы расчета обтекания тел простой формы являются
достаточно простым обобщением программ расчета одномерных
течений, описанных в предыдущих разделах. Так же как и в
одномерных задачах, молекулы индексируются в соответствии
с сеткой пространственных ячеек. Геометрическая форма этих
ячеек в общем случае связана с геометрией тела, причем для
x/d
Рис. 9.1. Профили скорости вдоль линии торможения при обтекании кругового
цилиндра, скоростное отношение равно 5, v = 12.----результаты для
сплошной среды; ---- результаты, полученные методом прямого моделиро-
вания для различных значений Кп. > ' (
описания границ и тела, и ячеек используются аналитические
выражения. Это обстоятельство ограничивает использование
программы лишь исследованием течений простой геометрии, и
требуются значительные изменения программ при изменении
геометрии. Для преодоления этого ограничения была предло-
жена схема, в которой нумерация молекул проводится в соот-
ветствии с сеткой точек, а не ячеек. Это позволяет создать «уни-
версальную программу», которая могла бы применяться для
расчета двумерных й осесимметричных течений с произвольной
геометрией^ причем перестройка программы осуществлялась бы
просто изменением входных данных. В следующих разделах бу-
дет дано описание основных положений такого подхода, а также
Дополнительных процедур, необходимых при расчете любых
Двумерных и осесимметричных течений.
188
ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
9.2. ПРОЦЕДУРА МОДЕЛИРОВАНИЯ
ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
ТЕЧЕНИЙ
Разделим поле течения на произвольно* число вон, напри-
мер, как изображено на рис. 9.2. Стороны каждой такой зоны
нумеруются от 1 до 4 и либо являются границей раздела с со-
седней зоной, либо включают часть поверхности твердого тела,
границу, через которую задан поток молекул невозмущенного
• потока, ось или плоскость симметрии. Положение границ зоны
Рис. 9.2. Типичный пример области двумерного поля течения. • вершины
четырехугольных ячеек; О внутренние точки сетки; □ внешние точки сетки.
определяется координатами равного числа точек на сторонах
1 И 'З. Эти координаты являются входными данными для про-
граммы, а границы зон — линиями наилучшего соответствия
указанным точкам. Соответствующие точки на сторонах 1 и 3
соединяются прямыми линиями, две крайние из которых обра-
зуют стороны 2 и 4,- Каждая прямая линия разделяется на от-
резки, число и относительный размер которых также являются
входными данными программы. Линии, соединяющие соответ-
ствующие точки на прямых, относятся к тому же семейству,
что и линии, образующие стороны, 1 и 3. Таким образом, два
семейства линий разделяют зону и образуют сетку с четырех-
сторонними ячейками.
Центры четырехугольников обозначаются как «внутренние
точки сетки». Для каждого отрезка, лежащего на границе зоны,
определяется одна «внешняя точка сетки», которая является
9.8. ДВУМЕРНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
189
как бы * отображением примыкающей к отрезку «внутренней
точки сетки». Массив точек лучше, чем линии, определяют ячей-
ки. Далее скажем, что молекула находится в данной «ячейке»,
когда она находится ближе к точке сетки, определяющей эту
ячейку, чем к любой другой точке сетки. Так как точки сетки
образуют хорошо определенную систему «строк» и «столбцов»,
их положение может быть удобно индексировано и введено в
память.
Когда молекула перемещается в новое положение на этапе
свободного пролета, то не представляет большого труда опре-
делить, около каких точек ближе всего проходит ее траектория.
Эта процедура в общем случае является «четырехточечным про-
цессом», в котором анализируются только точки, которые ле-
жат на тех же самых «строках» и «столбцах», что и «очередная»
точка. Когда молекула проходит ближе к одной из этих четырех
точек сетки, последняя становится очередной и процесс повто-
ряется. Эта процедура является точкой, если сетка прямоуголь-
ная. Однако для сильно наклонных и нерегулярных сеток мо-
лекула может находиться ближе всего к точке, расположенной
по диагонали к «очередной», но не будет отнесена к ней, по-
скольку рассматриваются только точки, которые нахрдятся на
анализируемых рядах и столбцах. Для этих случаев в отличие
от прямоугольной сетки не могут быть точно определены ни
граница, ни площадь ячейки.
Для большинства приложений можно получить удовлетво-
рительные результаты, если принять размытые ячейки и гра-
ничные элементы, а площади ячеек определять по начальной
сетке четырехугольных ячеек. Если же необходимо, то для на-
клонных сеток может быть построен точный «восьмиточечный
процесс». В этом случае положение молекулы анализируется
относительно всех восьми прилегающих точек, включая диаго-
нальные. Это позволяет точно вычислить эффективные границы
ячеек при любой геометрии.
Пока молекула расположена ближе всего к одной из внут;
ренних точек сетки, она находится в рассматриваемой зоне.
Если же она переместится ближе к одной из внешних точек
сетки, то в этом случае необходимо проанализировать пересе-
чение границы зоны.
Данное поле течения может состоять из произвольного числа
Зон. Ориентация зон, т. е. нумерация сторон, также совершенно
произвольна, причем данная сторона может быть линией раз-
дела для более чем одной соседней зоны. Геометрическая кон-
фигурация поля течения определяется координатами точек на
сторонах 1 и 3; аналитического описания границ не требуется.
Хотя стороны 2 и 4 должны быть прямыми линиями, возможно
190
ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
построение последовательности зон, покрывающей все поле те-
чения.
Программа расчета следует блок-схеме рис. 7.1, но, кроме
изменений, связанных с системой ячеек, требуется несколько
новых подпрограмм. Одна из них связана с генерированием
входящих молекул в соответствии с равновесной функцией рас-
пределения для движущегося газа. Направленный внутрь поток
молекул через элемент площади определяется уравнением (4.18).
Далее, переход от уравнения (4.17) к (4.18) путем разделения
переменных показывает, что специального рассмотрения тре-
бует лишь составляющая скорости, нормальная к элементу по-
верхности. Что же касается тепловых компонент скорости в
других направлениях, то они генерируются как для стационар-
ного равновесного газа (см. приложение D), а полная величина
компоненты скорости определится как сумма этой случайной
величины и соответствующей компоненты скорости потока. Из
этого, же уравнения следует и функция распределения для ком-
поненты скорости и'а, нормальной к элементу поверхности:
(К + ^п)ехр(-р2«'2), - (9.1)
где sn — компонента скорости, нормальная к этому элементу.
Для определения скорости из этого распределения должен при-
меняться метод исключения. Максимальная величина функции
распределения достигается при ₽«„== [(sn+ 2)1/2 — sn]/2’ а нор-
мированная функция имеет вид
f'K - "Р [т+Т - к+2)‘”) - 1- 'М
Процедура определения скорости заключается в следующем:
равновероятно из определенного интервала значений, скажем
(-3,4-3), выбирается величина с условием, что сумма
P«' + sn должна быть положительной.; затем вычисляется зна-
чение /' - и сравнивается со следующим случайным числом fit-
В случае «успеха» нормальная компонента скорости влетающей
в зону молекулы определяётся как (0н'4-sn)/0, где 0 — величи-
на, связанная с набегающим потоком газа.
Для каждой молекулы запоминаются три компоненты ско-
рости и, v, w и две координаты, например х и у. В осесиммет-
ричном течении, ось которого направлена вдоль оси х, второй
координатой у является радиус. В этом случае молекула, имею-
щая радиус yi и компоненты скорости vi, Wi, за время &t пе-
реместится в новое положение:
y = (9.3)
9.2. ДВУМЕРНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 191
При этом компоненты скорости и и w должны быть изменены-
так, чтобы v осталась радиальной компонентой. Новые значе-
ния* v и w определяются следующим образом:
и = {°1(г'1 + и1д0+а’1Д/}/^ . . (94)
w = {о>1 (г/1 + v 1М) — v 1W1 М}/у.
Для двумерного течения можно просто считать, что оно имеет
единичную ширину, так что объем ячейки численно равен ее
площади в плоскости х, у. С другой стороны, в осесимметрич-
ном течении объем ячейки должен вычисляться в соответствую-
щем кольце. В этом случае объем ячеек, расположенных на
большем расстоянии от оси, больше, чем объем ячейки той же
площади в плане, расположенной ближе к оси, Это означает,
что если плотность газа одинакова во всех ячейках, то число
молекул, а следовательно, и объем выборки для вычисления
макроскопических параметров газа либо чрезвычайно малы
вблизи оси, либо чрезвычайно велики на больших расстояниях
от оси. Малый объем выборки приводит к большому статисти-
ческому разбросу в результатах, а большой — к значительным
затратам времени счета. Решением вопроса является введение
весового множителя.
Можно считать, что каждая моделирующая молекула пред-
ставляет очень большое число молекул реального газа. При
этом необязательно считать, что в разных областях течения
отношение реальных и моделирующих молекул должно быть
одинаково. Это является основой для введения весовых мно-
жителей, и так как они используются- здесь для компенсации
больших различий в объемах ячеек, то должны быть наиболее
удобно связаны с каждой ячейкой. Если весовой множитель
ячейки п равен Wn, то это означает, что каждая молекула в
этой ячейке представляет Wn «весовых» молекул. Весовой мно-
житель удобно нормализовать так, чтобы его минимальное зна-
чение равнялось единице. Максимальное значение весового
множителя необязательно связывать с наименьшей ячейкой,
так как весовой множитель может быть использован также для
компенсации больших различий в- плотности вместо (или в до-
бавление к) компенсации больших различий в объемах ячейки.
Всякий раз когда используются весовые множители, необ-
ходимо предусматривать изменения в процедурах для того,
чтобы различать действительное и «весовое» число молекул.
В различные уравнения входит «весовая» числовая плотность,
но для распределения памяти необходимо учитывать действи-
тельное число молекул, Число моделирующих-молекул Nm в
192
ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
поле течения, состоящем из Nc ячеек, равно
"с
АГм=Х <nnVn/Wn),
-(9.5)
где Vn и .пп —' соответственно объем и числовая плотность мо-
лекул в ячейке п. Часто необходимо определить числовую плот-
ность пж в первоначально однородном потоке, содержащем Wmi
молекул. Она определяется из (9.5) следующим образом:
ne = iVM1 Е.Ш) (9.6)
к я=»1 у
В общем случае поле течения имеет "открытые границы, и даже
без весовых множителей должны быть приняты необходимые
меры в связи с систематическими изменениями плотности в не-
стационарных процессах и в связи с флуктуациями — в стацио-
нарных. Когда молекула перемещается из ячейки в ячейку,
так что ее весовой множитель изменяется от Wn до Wm, то не-
обходимо либо удалить молекулы из поля течения, либо уве-
личить их число (размножить). Так как отношение Wn/Wm ко-
личества молекул в ячейках не равно целому числу, то проце-
дура удаления или размножения основывается на методе исклю-
чения. Описание эффективной процедуры на языке ФОРТРАН,
предназначенной для регулирования переменного числа молекул,
дано в приложении Н.
9.3. ТРЕХМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ*)
Обычно распространение метода расчета двумерных 'задач
на трехмерные не требует принципиально новых решений, но
при этом значительно возрастает время счета и особенно по-
требная память. В методе Монте-Карло прямого моделирования
движение молекул и столкновения между ними всегда рассмат-
♦) Общей целью § 9,2 и 9.3 является описание применения системы «то-
чечных ячеек» вместо общеупотребительных плоских или объемных ячеек.
Недостатком этой схемы является то, что для наклонных ячеек и сами ячей-
ки, и границы элементов становятся «размытыми». Далее, введение «внеш-
них» точек сетки, которые используются для определения поверхностей, зна-
чительно увеличивает общее число ячеек, особенно в трехмерных задачах.
Оба этих недостатка могут быть преодолены при задании базовой системы
ячеек. Соотношения для определения того, находится или нет точка, фикси-
рующая положение молекулы, на той же стороне от линии или плоскости,
что и другая точка, соответствующая начальному положению, относительно
просты, и их применение не приводит к большим дополнительным затратам
времени счета. Твердые поверхности будут при этом аппроксимированы ли-
нейными или плоскими элементами, и это может оказаться нежелательным
при проведении точных расчетов при малых числах Кнудсена.
9.3. ТРЕХМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
193
риваются как трехмерные явления. Поэтому единственным до-
полнительным требованием для расчета трехмерных течений
является необходимость держать в памяти все три координаты
молекулы. Для задач, в которых все границы достаточно просто
описываются аналитически, молекулы' могут быть индексиро-
ваны в соответствии с принятой системой нумерации объемных
ячеек. Когда же рассматриваются задачи о течении газа со
Рис. 9.3. Типичный пример области трехмерного поля течения (грани 4 и 6
не показаны).
сложной геометрией, то необходимо применять описанный выше'
метод точечной индексации.
Логическим продолжением этого метода на решение трех-
мерных задач является разделение поля течения на зоны с
шестью поверхностями (гранями), которые нумеруются, как по-
казано на рис. 9.3. Каждая грань, как и ранее,, может быть
либо частью поверхности твердого тела, либо плоскостью сим-
метрии, либо внешней границей поля течения, на которой ста-
вятся граничные условия для входящего потока молекуд, либо
поверхностью раздела с. соседней зоной.
Координаты точек на гранях 1 и 3 записываются как вход-
ные данные и располагаются по «строкам» и «столбцам». Ко-
личество точек на всех гранях одинаково. Точки грани 1 соеди-
няются прямыми линиями с точками грани 3. Следовательно,
если грани 1 и 3 в общем случае имеют двойную кривизну, дру-
гие грани определяются прямыми линиями, соединяющими
7 г, вврд
194
гл. 9. Пространственные течений
точки на концах,«строк» и «столбцов». Далее прямые линии
разделяются на отрезки, при этом образуется ряд ячеек, которые
будем называть «шестигранниками», хотя угловые точки ка-
ждой грани в общем случае не лежат в одной плоскости. По-
рядок расположения этих ячеек устанавливается индексами,
определяющими «строку», «столбец» и «слой», в которых на-
ходится данная ячейка. Ячейки далее могут использоваться как
контрольные объемы для определения параметров потока.
Центры «шестигранников.» могут быть использованы как
«внутренние точки сетки» для прослеживания за движением
Рис., 9.4. Варианты разделения шестигранника на пять тетраэдров.
молекул. Однако возникает одна трудность, связанная с тем,
что грани ячеек могут и не быть плоскостями, из-за чего может
оказаться невозможным определить границы путем введения
«отображенных 'центров» в качестве «внешних точек сетки»
(см. § 9.2). Выход может быть найден в дальнейшем более
мелком разбиении ячеек.на пять четырехгранников, причем это
может быть осуществлено двумя путями, показанными на
рис. 9.4 — тип А и тип В. В обоих случаях имеются четыре
«внешних» четырехгранника, нумеруемых от 1 до 4, и_пятый—
«внутренний». Массив шестигранников разбивается на четырех-
гранные элементы так, что разбиения типа А и В чередуются
во всех трех направлениях, т. е. вдоль строк, столбцов и слоев.
Два треугольника, являющиеся поверхностями внешних четы-
рехгранников, образующих поверхность шестигранника, яв-
ляются также сторонами соответствующих внешних четырех-
гранников соседнего шестигранника. Действительно, четырех-
гранники могут быть пронумерованы так, что общие стороны
всегда будут принадлежать четырехгранникам, имеющим тот
же самый номер.
9.4. ОБЛАСТЬ ПРИЛОЖЕНИЙ
195
Центры четырехгранников образуют внутренние точки сетки.
Каждая молекула теперь будет иметь два индекса — номер че-
тырехгранного элемента и номер шестигранной ячейки. Гово-
рят, данная молекула находится в данном элементе и ячейке,
если она расположена ближе всего к центру этого элемента,
чем к любой другой точке сетки. При этом анализируется по-
ложение молекулы относительно еще четыре^ соседних точек
сетки. Четыре внешних элемента являются смежными по отно-
шению к внутреннему четырехграннику той же самой ячейки.
Из четырех смежных элементов данного внешнего четырехгран-
ника'ячейки один является внутренним элементом, а остальные
находятся в соседних шеетигранниках.
Очень важно, чтобы нумерация была эффективна с вычис-
лительной точки зрения; это может быть достигнуто, если смеж-
ные внешние четырехгранные элементы нумеровать одинаково,
как это указывалось выше. В случае когда поверхность четы-
рехгранника является также частью границы зоны, внешняя
точка сетки определяется как зеркальное отображение центра
элемента относительно плоскости, в которой лежит треуголь-
ник. Границами поля течения является, следовательно, непре-
рывный ряд плоских треугольных площадок.
4
9.4. ОБЛАСТЬ ПРИЛОЖЕНИЙ
Область применения уравнений Навье — Стокса при увели-
чении чисел Кнудсена ограничена пределом применения теории
Чепмена — Эйскога для переносных свойств газа. Область при-
менения метода" Монте-Карло прямого моделирования при
уменьшении чисел Кнудсена огранйчена возможностями ЭВМ.
В то время как предел применения уравнений Навье — СтокСа
фиксирован, можно ожидать непрерывного расширения области
применимости метода прямого моделирования по мере расши-
рения возможностей ЭВМ. Но уже сейчас имеется значительное
перекрытие областей применения обоих методов. Обычно счи-
тают, что если справедливы оба. подхода, и микроскопический
и макроскопический, то'в большинстве случаев предпочтитель-
ным является макроскопический, или континуальный, подход.
Основание для такого предположения базируется на тех труд-.
ностях, которые традиционно связывают с аналитическими илй
численными решениями уравнения Больцмана в сравнении с
аналогичными решениями уравнений Навье — Стокса. Опреде-
лим теперь, нуждается ли это предположение в пересмотре, если
принять во внимание метод Монте-Карло прямого моделиро-
вания.
С самого начала оговоримся, что такое рассмотрение будет
ограничено течениями, которые требуют численного решения
7»
196
ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
при континуальном подходе. Ясно, что аналитическое решение
предпочтительнее численного независимо от подхода (конти-
нуального или молекулярных моделей), который применяется
для решения задачи. Далее, если возмущения в потоке Доста-
точно малы (что позволяет использовать метод малых возму-
щений), то задача обычно не может решаться методом прямого
Рис. 9.5. Линии равных чисел Маха при падении недорасширенной струи на
стенку.
моделирования. Это объясняется трудностями проведения раз-
личий между малыми возмущениями и статистическим разбро*
сом, обусловленным конечным объемом выборки1). Заметим,
что скорость потока является осредненнои величиной скоростей
молекул, имеющих порядок скорости звука, так что статистиче-
ский разброс этой величины необходимо сравнить со скоростью
звука. Следовательно, метод прямого моделирования вряд ли
пригоден для решения задач о течении газа с малыми дозвуко-
выми скоростями.
1) Эта трудность преодолена в работе: Власов В. И., Горелов С. Л.,
Коган М. Н. — ДАН СССР, 1968, т. 179, Ха 6, с. 1293 — 1296. — Прим. ред.
9.4. ОБЛАСТЬ ПРИЛОЖЕНИИ
197
Имея в виду высказанные'выше соображения, оба метода —
макроскопический и микроскопический — сравниваются на те-
стовых задачах о течении газа с большими возмущениями, тре-
бующих численного решения при континуальном подходе. Таким
примером является двумерная задача, об установившемся поле
течения, образующемся при падении недорасширенной струи о
стенку. В этой задаче течение газа является смешанным — и до-
звуковым и сверхзвуковым, поэтому она представляет трудный
тест для численных методов, поскольку содержит слой смеше-
ния на границе струи, пограничный слой вдоль поверхности и
«висячую» ударную волну, положение которой неизвестно.
Типичный результат, полученный методом Монте-Карло пря-
мого моделирования для линий равных чисел Маха, показан
на рис. 9.5. .Течение газа симметрично относительно юси х, а
звуковое сопло высоты Н расположено при. х = 0. Струя газа
вытекает в направлении оси х в затопленное газом простран-
ство, температура которого равна температуре торможения
струи, а давление составляет 0.015 от давления торможения.
Для. случая/представленного на рис. 9.5, средняя длина сво-
бодного пробега молекул в окружающем газе равна 0.15 Н,
а средняя длина свободного пробега на срезе сопла приблизи-
тельно равна 0.0012 Н. Расчеты проводились для двухатомного
газа с использованием модели «стока энергии», описанной
в § 11.3. Применялась «универс’альная» программа, приведен-
ная в § 9.2. Поле течения было разделено на три области с
общим числом внутренних ячеек, равным 460. Это означает,
что типичный линейный размер ячеек был много больше длины
свободного пробега молекул, но в большинстве случаев меньше,
чем линейный масштаб локальных градиентов в поле течения.
Исключением является внутренняя зона ударной волны, ширина
которой фиксировалась размером ячейки, а не местной длиной
свободного пробега. Моделирование начиналось так: поле те-
чения соответствовало невозмущенному состоянию окружающего
.газа, а струя. мгновенно стартовала в момент времени 1 = 0.
После того как поле течения устанавливалось, проводилось -
вычисление макропараметров путем их осреднения по времени.
Задача о невязксЛл континуальном течении газа, соответ-
ствующем условию рис. 9.5, решалась в работе [84] нестацио-
нарным конечно-разностным методом. Необходимо -заметить, что
зависимость от времени была искусственной, так что течение
газа не следовало физически реальному нестационарному про-
цессу. Единственное значительное различие в полях течения для
континуального решения и для метода прямого моделирования
заключается в том, что в последнем случае имеется толстый
пограничный слой около стенки. Распределение чисел Маха
вдоль оси х, полученное двумя методами, дано на рис. 9.6. Ис-
198
ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
кусственная вязкость, введенная в конечно-разностном методе,
приводит к тому, что ударная волна занимает несколько ячеек,
причем ее толщина имеет тот же порядок, что и полученная»
методом прямого моделирования. Но при решении задачи ко-
нечно-разностным методом появляются колебания в профиле
ударной волны, составляющие дополнительный недостаток. По-
ложение ударной волны, полученное методом прямого модели-
рования, несколько смещено в направлении вверх по потоку
Рис. 9.6. Распределение числа Маха вдоль оси симметрии при падении струи
на стенку. --расчет методом конечных разностей для сплошной среды [84];
метод прямого моделирования: • диффузное отражение, 1оо = 0.05Я; О зер-
кальное отражение, %M = 0A5H.
по сравнению с континуальным, что обусловлено эффектом вы-
теснения пограничного слоя около стенки. Такой пограничный
слой является следствием диффузного отражения молекул от
стенки, причем он практически исчезает, если граничным усло-
вием будет зеркальное отражение. Расчеты, проведенные для
зеркального отражения, привели к точному совпадению поло-
жения ударной волны на оси. Было найдено также, что поло-
жение волны и распределение давления вдоль стенки совпа-
дают с экспериментальными данными. Дальнейшие детали вы-
числения поля течения даны в работе [ 10].
9.4. ОБЛАСТЬ ПРИЛОЖЕНИЙ
199
Изэнтропические течения наиболее легко моделируются, по-
скольку необходимо вычислять такое число столкновений, чтобы
течение было равновесным, причем дополнительные столкнове-
ния. молекул не изменяют течения, и, следовательно, оно не
зависит от числа Кнудсена. Использование зеркального отра-
жения молекул от стенки в качестве граничного условия дает
возможность решать методом прямого моделирования невязкие
задачи, т.е. задачи без пограничного слоя на стенке, при этом
влияние вязкости в ударной волне описывается правильно.
Сравнение времен счета в задаче о падении струи на стенке
показало, что метод прямого моделирования необязательно тре-
бует больших ресурсов ЭВМ, чем континуальный конечно-раз-
ностный подход. Вычислительная задача становится трудной
только тогда, когда необходимо моделировать пограничный слой
или слой смешения при относительно высоких плотностях и
больших числах Рейнольдса. Эта задача может быть облегчена,
если детальные расчеты проводить в вязких зонах, в то время
как в изэнтропических областях проводить лишь столько столк-
новений, сколько требуется для. установления ' равновесных
условий. Это может быть сделано, если считать, что молекулы,
находящиеся вне вязких зон, имеют меньшее сечение столкно-
вения. Так как протяженность вязких зон вначале неизвестна,
то регулирование сечений столкновения лучше всего проводить
в процессе работы программы. Процедура регулирования в про-
цессе счета, в которой распределение входящих молекул под-
страивается в соответствии с распределением выходящих мо-
лекул, приводит к оптимальному алгоритму при расчете течений
с дозвуковыми границами. Эти соображения вместе с общей
оценкой стоимости счета показывают, что .моделирование лучше
выполнять на специализированных мини-компьютерах,- чем че-
рез вычислительный центр общего назначения.
Основным преимуществом метода прямого моделирования яв-
ляется отсутствие проблемы устойчивости. Для приложений, в
которых допускается некоторое «размазывание» ударной волны,
размеры ячеек и временных шагов могут быть значительно
увеличены по сравнению с величинами, обсуждавшимися в § 7.2.
Единственным моментом, который необходимо -учитывать, яв-
ляется то, что отношение размера ячейки к шагу по времени
лучше иметь меньшим скорости звука или во всяком случае не-
намного превышающим ее.
Отметим различие между этим положением и критерием Ку-
ранта, выполнение которого необходимо для устойчийости ре-
шения в конечно-разностном методе. Механизм распространения
акустического сигнала в континуальном подходе невозможен,
пока отношение шагов по координате и по времени не превысит
местную скорость звука. Акустический сигнал в методе прямого
200 ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
моделирования распространяется посредством межмолекуляр-
ных столкновений, даже если это отношение будет меньше ско-
рости звука. Легкость, с которой метод прямого моделирования
может быть применен для решения задач со сложными грани-
цами в двумерном и трехмерном случаях, представляет даль-
нейшее преимущество перед конечно-разностным методом ре-
шения уравнений Навье — Стокса. В гл. 10—12 будет дано опи-
сание процедур моделирования для расчета течений смесей га-
зов, газа с внутренними степенями свободы и при наличии хи-
мических реакций.
10
Течения смесей газов
10.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Если газ находится в состоянии локального термодинамиче-
ского равновесия, вопрос о его составе — простой газ или смесь
газов — является несущественным. Равновесные течения пол-
ностью описываются уравнениями Эйлера для макроскопических
переменных, которые были определены для смеси газов в § 1.3.
В течениях с малыми отклонениями от равновесия проявляются
диффузия и разделение компонентов, описываемые на уровне
уравнений Навье — Стокса. Даже если смесь газов первона-
чально имела однородный состав, то в результате термо- и ба-
родиффузии может произойти разделение компонентов.
К счастью, этими эффектами обычно можно пренебречь, даже
если рассматриваются вязкие течения.
Для описания разделения компонентов в качестве дополни-
тельных переменных вводятся скорости диффузии и числовая
плотность компонент. Это означает, что уравнения непрерывно-
сти, сохранения количества движения и энергии должны быть
дополнены уравнениями диффузии и уравнениями непрерывно-
сти для компонентов смеси [19]. В другом предельном случае —
свободномолекулярном течении — компоненты смеси газов дви-
жутся независимо друг от друга, что приводит к сильно'выра-
женному эффекту разделения. В переходном режиме, следова-
тельно, можно ожидать, что влияние эффектов, обусловленных
составом смеси, будет зависеть от степени отклонения от теп-
лового равновесия.
В дополнение к эффектам' разделения компонентов и диф-
фузии в течениях смесей газов могут существовать различия и
в кинетической температуре компонентов. Эти эффекты могут
быть особенно ярко выражены для смеси, состоящей из легкого
газа с малой добавкой тяжелого газа («тяжелые молекулы»).
ч Частота столкновений тяжелых молекул между собой в этом
случае будет мала по сравнению ^ частотой столкновения лег-
ких молекул. Далее столкновения между легкими и тяжелыми
молекулами приводят к незначительным изменениям состояния
ЧЗа из тяжелых молекул. Для этих двух компонентов эффект
202
ГЛ. 10. ТЕЧЕНИЕ СМЕСЕЙ ГАЗОВ
тивные временные масштабы температурной релаксации будут
.сильно различаться, и можно ожидать, что это приведет к зна-
чительным отклонениям от решения для одноатомного газа в
такой задаче, как задача о структуре ударной волны.
Уравнение Больцмана (3.21) для смеси газов представляет
систему дифференциальных уравнений, в которых зависимыми
переменными будут функции распределения каждого компонен-
та смеси. Эти уравнения связываются между собой через пере-
крестные столкновительные члены в интеграле столкновений.
Решение Чепмена — Энскога этого уравнения приводит к общему
уравнению диффузии, о котором упоминалось выше. Как и в
случае решения пространственных задач, при изучении течений
смеси газов трудно применить моментный метод, успешная реа-
лизация которого зависит от интуиции. Большие математиче-
ские трудности возникают и при решении реальных задач для
уравнения БГК; с вычислительной точки зрения практически не-
приемлем и конечно-разностный подход с вычислением интегра-
ла столкновений методом Монте-Карло. С другой стороны, ме-
тод Монте-Карло прямого моделирования может быть' легко
применим для расчета таких течений.
10.2. ПРОЦЕДУРА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Опишем процедуры, необходимые для .приложения метода
Монте-Карло прямого моделирования к решению задач для
смеси газов, на примере температурной релаксации однородной
смеси. Начальные условия ставятся следующим образом: про-
извольное число компонентов в смеси газов равномерно рас-
пределено в физическом пространстве, но каждый из компо-
нентов имеет свою температуру. Релаксационный процесс за-
ключается в установлении равновесной температуры посред-
ством межмолекулярных столкновений. Газ остается однород-
ным, так что задача может рассматриваться как течение с «ну-
левой размерностью». В приложении I приведена полная про-
грамма на языке ФОРТРАН для решения указанной задачи
методом прямого моделирования.
Необходимая информация о молекулах записывается как
трехмерная переменная P(L, М, N). Поскольку положение мо-
лекул в. физическом пространстве равновероятно, то необходимо
запоминать лишь информацию о скоростях молекул. Первый
индекс переменной Р обозначает компонент смеси, второй —
номер молекулы данного компонента. Включение этих двух
индексов в единый массив не приводит к каким-либо потерям
памяти, поскольку весовые множители вводятся так, что в ка-
ждом компоненте содержится одинаковое число молекул неза-
10.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
203
висимо от относительной числовой плотности. Если бы количе-
ства молекул в компонентах сильно различались, то предпочти-
тельнее было бы ввести раздельные переменные для каждого
компонента или же запоминать информацию в одномерном мас-
сиве. В последнем случае перекрестные переменные, подобные
переменным программы, описанной в приложении G, обеспечат
быструю выборку молекул данного компонента. Эта процедура
является удобной и для реагирующего газа, поскольку моле-
кулы могут переходить из одного компонента в другой и при
этом не возникает необходимости переносить всю информацию
из одного массива в другой. Третий индекс переменной P(L, М, N)
меняется от 1 до 3 и обозначает компоненты скорости моле-
кул и, v, w. Для сферически симметричной функции распреде-
ления можно усовершенствовать процедуру и запоминать одну
молекулярную скорость. Однако уменьшение потребной памяти
приведет к увеличению времени счета, потому что каждый раз,
когда молекула будет рассматриваться как, возможный парт-
нер по столкновению, необходимо определять компоненты ско-
рости и для этого случайным образом определять направление
вектора скорости.
Первая из двух команд READ для ввода данных определяет
число компонент смеси NC, число молекул в каждом компонен-
те NM, а также число NP и величину DTP временных интерва-
лов между выборками и печатью результатов. Вторая команда
READ находится в цикле по числу компонентов NC и опреде-
ляет числовую плотность, массу и диаметр молекул и началь-
ную температуру каждого компонента смеси. Эти величины за-
поминаются в двумерном массиве C(L, N).
Общая числовая плотность смеси определяется из уравне-
ния (1.28) в виде
S
п— 2 Пр,
р-1
а общая температура смеси — в виде
прТр. (10.1)
р-1
В указанной программе величины р, s, пр, п, Тр, Т представлены
переменными L, NC, C(L, 1), SN, C(L, 4), TFE соответственно.
Для нормировки времени используется среднее время между
столкновениями молекул в равновесном состоянии, причем диа-
метры - молекул определяются так, чтобы эта величина равня-
лась единице. Средняя частота столкновений молекул в смеси
204
ГЛ. 10. ТЕЧЕНИЕ СМЕСЕЙ ГАЗОВ
газов в равновесном состоянии, согласно (4.39) — (4.41), равна
—(10.2)
р-1 р-1
Постоянную Больцмана k удобно положить равной 1/2, и, для
того чтобы 1/vo равнялось единице, диаметр молекулы 1 должен
быть равен
г 5 s 1/2 > J
I _. п —.
2 f т J-m J/2T*1/2
| 1
1 4 I mpmq ) I
*= 2, «L
Lp-1 <7-1
В этой программе диаметры молекул1 переписывались в виде
отношений в цикле с меткой 8, а суммирование проводилось
в циклах с меткой 9. Требуемый диаметр молекул первого ’ '
компонента устанавливался как С (1,3), а диаметры молекул
других компонентов определялись в цикле с меткой 10. Опре-
делялась частота столкновений и сравнивалась с теоретическим
значением. Теоретические величины частоты, столкновений мо-
лекулы компонента L и молекулы компонента М вычислялись
как TC(L, М) прямо по уравнению (4.39) в циклах с меткой 36.
' Эти циклы используются также для установления временного
параметра Т (L, М) и счетчика столкновений SC (L, М) равными
нулю и для установления разумного начального значения мак-
симальной относительной скорости молекул VM(L, М).
Если вместо модели твердых шаров использовать более об-
щую модель межмолекулярного взаимодействия со степенным
потенциалом, то нормирование результатов представляет гораз-
до более сложную задачу. Обычно при определении диаметра
для молекул со степенным потенциалом объединяют результат,
полученный для коэффициента вязкости по теории Чепмена —
Энскога, с соотношением между коэффициентом вязкости и дли-
ной свободного пробега, определенным для молекул — твердых
сфер. Для простого газа эта процедура детально приводилась
в § 8.1. Для смеси газов в случае степенного потенциала коэф-
фициент вязкости Чепмена — Энскога определить нелегко. Но
такая модель будет применяться при моделировании смеси ре-
альных газов, так что в этом случае можно обойтись без нор-
мировки, а для величин эффективных диаметров молекул ка-
ждого компонента (см. приложение А) и других переменных и
констант могут быть использованы их действительные числен- _
ные значения.
Начальные значения составляющих скоростей молекул опре-
деляются циклами с меткой 12. При этом предполагается, что
каждый компонент смеси находится в равновесном состоянии
с температурой, записанной в C(L, N), что дает возможность
10.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
205
вычислить наиболее вероятную скорость молекул каждого ком-
понента (при k = 1/2) и записать ее в D. Компоненты скорости
молекул определяются далее с использованием метода исклю-
чения, как в приложении D. На этом заканчиваются предвари-
тельные вычисления; следующим шагом является ввод основ-
ного цикла по числу шагов NP.
Время запоминается в виде переменной TIME, и его измене-,
ние проводится интервалами DTP в основном цикле. Число
«классов» столкновений равно квадрату числа компонентов и
будет именоваться как «класс L-М», где L и М изменяются от 1
до NC *). Их вычисление проводится в двух циклах с меткой 15;
для каждого класса проводится определенное число столкнове-
ний, доводящее счетчик времени Т (L, М) до величины, уста-
новленной в TIME. Первым шагом в процедуре столкновений
является случайный выбор молекулы К из компонента L и мо-
лекулы J из компонента М. Затем вычисляются три составляю-
щие скорости VRC(N) и сама величина VR относительной ско-
рости этой пары молекул. Вероятность выбора пары для столк-
новения пропорциональна относительной скорости, причем ве-
личина VR нормируется максимальным значением VM(L, М).
Если максимальное значение относительной скорости VM(L, М)
оказалось меньше VR, то последнее принимается в качестве
VM(L,M).
Как только пара молекул для столкновения отобрана, необ-
ходимо принять во внимание весовые множители этих двух мо-
лекул. Все компоненты, как упоминалось выше, представлены
одинаковым. числом моделирующих молекул независимо от их
числовой плотности. Каждая моделирующая молекула компо-
нента смеси малой плотности представляет пропорционально
меньшее число реальных молекул, чем моделирующая молекула
компонента большей плотности. Следовательно, весовой множи-
тель компонента равен его числовой плотности и устанавли-
*) Как отмечено в прим. * к § 7.3, использование для нормирования
средней длины свободного пробега в невозмущенном газе в качестве харак-
терного размера теперь представляется нежелательным. Для практических за-
дач применяются реальные' размерные величины, даже в случае простого
газа.
Если пространственная задача содержит большое число компонент, на-
пример п, то может оказаться невозможным иметь пг счетчиков времени для
каждой ячейки, как это сделано в демонстрационной программе. Использо-
вание одного счетчика времени не создает никаких проблем до тех пор, пока
не вводятся весовые множители. Однако комбинирование одного счетчика
времени с весовыми множителями делает необходимым применение процедуры
отбора партнеров по столкновению, на что затрачивается расчетное время.
Некоторые недавние применения метода прямого моделирования к сме-
сям газов относятся к исследованию эффектов разделения компонентов при
сверхзвуковом обтекании зонда [107] и сверхзвуковом течении в каналах
206
ГЛ. 10. ТЕЧЕНИЕ СМЕСЕЙ ГАЗОВ
вается в цикле с меткой 8 как С (L, 5). Когда сталкиваются мо-
лекулы с разными весовыми множителями, то скорость моле-
кулы с меньшим весовым множителем изменяется всегда, в то
время как скорость молекулы с .ббльшим весовым множителем
изменяется с вероятностью, пропорциональной отношению этих
множителей. Переменные LP и МР рассматриваемой программы
представляют вероятности того, что столкновения для молекул
L и М соответственно будут эффективными. Эти вероятности
первоначально равны единице; далее для молекул с ббльшим
весовым множителем на основе метода исключения, базирую-
щегося на отношении весовых множителей, эта величина либо
остается равной единице, либо устанавливается равной нулю.
Обобщая ,(7.4), для приращения ^времени Д/с при столкно-
вении класса L-М имеем
д/с = -^—1—. (ад
aLMnMcr NM. ffLMraLrr
Сечение столкновения oLm равно n(dt + <^м)2/4 и обозначается
через CXS..B описываемом приложении и Nl, и Nm представ-
лены в массиве NM. В уравнении (10.3) первый и второй члены
представляют вклад в приращение времени от молекул L и М
соответственно, причем первый член умножается на вероят-
ность LP, а второй — ца вероятность МР. Увеличение счетчика
столкновений SC также зависит от этих вероятностей. Новые
составляющие вектора относительной скорости молекул вычис-
ляются по тому же алгоритму, как и для простого газа, описа-
ние которого дано в § 7.3 и который приведен в программе при-
ложения G. Скорость центра масс вычисляется из (2.1), а новые
составляющие скорости молекул — из (2.5).
Заключительные подпрограммы предназначены для выборки
и печати частоты столкновений и температур. Средняя частота
столкновений молекул для смеси в целом вычисляется по урав-.
нению (1.32) в цикле с меткой 25. Общая температура смеси
определяется уравнением (1.41), а температуры компонентов—.
из (1.42). Общая температура должна быть; конечно, постоян-
ной в течение счета. Однако использование весовых множите-
лей приводит к тому, что скорости обеих молекул необяза-
тельно изменяются при столкновении, так что условие сохране-
ния энергии не выполняется. Уровень флуктуации общей тем-
пературы дает возможность оценить величину этого нежела-
тельного побочного эффекта, неизбежного при использовании
весовых множителей.
10.3. ТИПИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим сначала некоторые результаты, полученные с-
помощью программы расчета однородной релаксации газа, опи-
10.3. ТИПИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
207
санной в предыдущем разделе. В пробном варианте (прило-
жение I) рассматривалась трехкомпонентная смесь газов с па-
раметрами
П1: «2 • «з = 1:1: 1>
mi: т2: т3 = 1: 3: 10,
d\d2 * d3 = 1 I 2 I 0.5,
а начальные температуры компонентов равнялись 9, 5 и 1 соот-
ветственно. Общая температура, определяемая уравнением
10
Т 1—I-1—I—nr
. 8
о
о
6
4
°?оО6о
ООП□□□□ППп°ООол
' 0oooo8S88888aoaa8fi
,ддД4ЛАДЛДД^
дДДДАА
,ддД
ддА. " . -
2
0
5
10
15
- Гу0
20
25
30
Рис. 10.1. Релаксация температуры в однородной трехкомпонентной смеси
газов. О компонент 1; □ компонент 2, Д компонент 3.
(10.1), равна 5, а нормировка проводится так, что равновесная
частота столкновений равна единице. Теоретическая частота
столкновений в равновесных условиях для всех комбинаций пар
выводится на. печать перед печатью результатов. Первый и по-
следний листы печати результатов с объемом выборки 4000 для
каждого компонента приведены в конце приложения I; они про-
слеживают релаксационный процесс во времени до / — 30. Как
видно из рис. 10.1, все три компонента достигают равновесного
состояния за время, примерно равное двадцати величинам
среднего времени между столкновениями. Расчетное значение
частоты столкновений' в равновесном состоянии газа хорошо
согласуется с теоретическим значением. Частота столкновений
пар, в которых участвуют молекулы третьего компонента, мель-
208
ГЛ. 10. ТЕЧЕНИЕ СМЕСЕЙ ГАЗОВ
ше средней частоты. По этой причине первый и второй компо-
ненты приходят в равновесие между собой быстрее, чем с
третьим компонентом, а. температура второго компонента сна-
чала увеличивается до некоторого максимального значения,
прежде чем снова вернуться к первоначальному значению, рав-
ному равновесной температуре. Это является иллюстрацией
того, что появление различных временных масштабов может
быть обусловлено многокомпонентностью газа.
В приведенном примере в течение всего расчета общая тем- .
пература смеси равнялась 5.0135. Ее отклонение от теоретиче-
Рис. 10.2. Профили плотности в ударной волне в бинарной смеси газов,
1AS = 10. --- для смеси; — - -----тяжелый компонент;---------легкий
компонент. .
ского значения, равного 5, объясняется статистическим разбро-
сом при разыгрывании значений скоростей молекул.
Аналогичные расчеты были проведены для смеси газов с
отношением плотностей п\: п2: п3 = 10:2 :1. Объем выборки
снова равнялся 4000 на каждую компоненту, причем в расчетах
применялись весовые множители. В общих чертах релаксацион-
ный процесс был подобен описанному выше с той разницей, что
в,величине общей температуры доминировал первый компонент,
а начальное отклонение от теоретического значения составляло
около 1%. Введение весовых множителей привело к последую-
щей флуктуации температуры, что отмечалось в предыдущем
разделе, причем уровень этой флуктуации составлял пример-
но 2%.
10.3. ТИПИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
209 .
Программа расчета течений смеси газов была включена в
программу расчета структуры ударной волны, описанную в
§ 8.1. В качестве примера была рассчитана ударная волна в би-
нарной смеси ’газов, молекулы которых моделировались твер-
дыми, сферами; число Маха равнялось 10. Принималось, что
отношение масс молекул равно 10:1, ^отношение плотностей в
невозмущенном потоке 1:10 и что молекулы имеют один и тот
Рис. 10.3. Линии постоянного отношения концентраций при формировании
ударной волны в бинарной смеси газов, Ms = 10.
же„ диаметр. Нормализованный профиль установившейся удар-
ной волны показан на рис. 10.2, из которого видно, что профиль
плотности легкого газа опережает профиль плотности тяжелого
газа на величину, примерно равную пяти средним длинам сво-
бодного пробега в невозмущенной области вверх по потоку.
Профиль плотности смеси расположен между профилями ком-
понентов. Отставание профиля тяжелого компонента означает,
что внутри ударной волны происходит локальное обогащение
легкого компонента. Когда ударная волна генерируется порш-
нем, движущимся в газе, как это имеет место в рассматривае-
мой программе, то этот эффект уравновешивается обогащением
Тяжелого компонента газд в области, примыкающей к поршню,
210
ГЛ. 10. ТЕЧЕНИЕ СМЕСЕЙ ГАЗОВ
В § 8.1 отмечалось, что программа может применяться для
исследования как стационарной ударной волны, так и для изу-
чения нестационарного процесса образования ударной волны.
Эта последняя возможность иллюстрируется рис. 10.3, на кото-
ром показаны профили отношения концентраций компонентов
в зоне перед поршнем в разные моменты времени. Величина п
получена делением отношения концентраций легкого и тяжелого
«r/Лео
Рис. 10.4. Линии постоянного отношения концентраций при стационарном
поперечном обтекании плоской пластины бинарной смесью газов, М = 10.
компонента на такое же отношение в невозмущенной зоне те-
чения. При малых временах этот профиль напоминает структуру,
получающуюся в свободномолекулярном случае (см.-§ 5.3).
Полностью сформированный профиль ударной волны не отде-
ляется от профиля концентрации у поршня, пока время не до-
стигнет величины 41i/ai. Отношение концентраций не достигает
стационарного значения в области, примыкающей к поршню,
а лишь постепенно приближается к нему на некотором расстоя-
' нии от поршня. . -
Программа расчета двумерных и осесимметричных течений
газа, описанная в § 9.2, также была обобщена для смеси газов.
На рис. 10.4 приведены линии постоянного отношения концен-
траций компонентов омеои при стационарном двумерном обте-
кании пластины, расположенной перпендикулярно потоку. Со-
став бинарной смесц газов в невозмущенной зоне течения идея-
10.3. ТИПИЧНЫЕ • ТЕЧЕНИЯ
211
тичен составу в задаче о структуре ударной волны; .таким же
образом определялось и отношение концентраций п. Структура
ударной волны в зоне около линии торможения подобна той,
которая получена ранее в одномерной задаче, причем также
имеет место локальное увеличение концентраци легкого газа.
В области, примыкающей к пластине, заметно увеличение
концентрации тяжелого компонента. Этот эффект аналогичен
увеличению концентрации тяжелого компонента в зоне около
поршня, полученному в задаче о структуре ударной волны. Наи-
более. сильно эффект разделения компонентов проявляется в
области вниз по потоку за пластиной, где имеется большая зона,
в которой находится почти полностью лишь легкий газ. Отме-
тим, что в области, где отношение концентраций превышает 10,
средняя плотность газа примерно равна 1/20 от плотности в
невозмущенном потоке. Область вниз по потоку с существен-
ным преобладанием легкого компонента ограничена зоной, ’ в
которой имеет место истощение этого компонента.
Течения двухатомных
и многоатомных газов
11.1. МОДЕЛИ МОЛЕКУЛ
С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
При анализе течений газа, состоящего из молекул, обла-
дающих внутренней энергией, необходимо учитывать обмен
энергией между поступательными и внутренними степенями
свободы при столкновении молекул. Наличие внутренней энер-
гий молекул принималось во внимание при обсуждении модели
молекулярного газа в гл. 1 и при анализе свободномолекуляр-
ных течений в гл. 5. Однако в гл. 2 при анализе механики столк-
новений частиц и при последующих рассмотрениях межмолеку-
лярных столкновений мы ограничились моделью молекул без
внутренних степеней свободы. Внутренняя энергия может содер-
жаться во вращательных и колебательных степенях свободы.
Отметим, что если для описания вращательного движения воз-
можно применение классической теории, то при рассмотрении
колебательных^ степеней свободы трудно ожидать, чтобы ее
применение дало правильный результат. Трудности, возникаю-
щие при использовании наиболее распространенных моделей
молекул с вращательными степенями свободы, в значительной
степени препятствуют применению кинетической теории к иссле-
дованию течений двухатомных и многоатомных газов.
Для одноатомного газа модель молекул со степенным потен-
циалом взаимодействия обычно дает оптимальное соотношение
между легкостью анализа и правильностью представления. Со-
ответствующая модель для двухатомного газа имеет два центра
отталкивания (по степенному закону), находящихся на неко-
тором фиксированном расстоянии на линии, проходящей через
ядра атомов. Такая модель рассматривалась в работе [59]; для
этой модели требуется численное решение задачи взаимодей-
ствия молекул при каждом значении параметра столкновения.
По этой причине представляется проблематичным применение
этой модели в методе Монте-Карло прямого моделирования, в
котором требуется вычислять многие тысячи, и даже миллио-
ны, столкновений молекул.
Лучшие перспективы для применения «работоспособной»
модели, многоатомных молекул описываются при использова-
II.1. МОДЕЛИ С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
213
нии модифицированной модели твердых сфер с ее очень про-
стой механикой столкновения. Такой моделью, геометрически
напоминающей двухатомную молекулу, является модель из сфе-
роцилиндров, состоящая из гладкого цилиндра с полусферами
на обоих концах. Механика столкновений сфероцилиндров'была
развита в [24]. Модель требует для своего описания дополни-
тельных переменных, определяющих пространствейную ориен-
тацию и угловую скорость. Однако при использовании этой
модели возникают некоторые затруднения, связанные с тем, что
ориентация, а следовательно, и сечение столкновения изме-
няются во времени.. Далее, столкновение двух молекул в такой
модели зависит не только от прицельного расстояния, но и от
того, приходят ли они в «зацепление» или нет. Более того, в
этой модели при одном акте столкновения возможны много-
кратные удары разных точек поверхности.
Другой моделью такого же типа является модель нагружен-
ных сфер, предложенная Джинсом [47] и,развитая в работах
[25, 78]. В этой додели молекула имеет сферическую форму, а
вращение происходит около центра тяжести, который смещен
относительно'геометрического центра. Эта модель по существу
имеет те же недостатки, что и модель сфероцилиндров.
- Единственной моделью с вращательными степенями свободы,
сечение столкновения которой не зависит от ориентации, яв-
ляется модель шероховатых сфер.- Название модели связано с
ее основным свойством, заключающимся в том, что относитель-
ная скорость сфер в точке их соприкосновения изменяется при
ударе на обратную. Эта модель впервые была предложена
Брианом [13]; анализ переносных свойств газа, состоящего из
шероховатых сфер, был проведен в работе [73].
В работе [62] показано/что наиболее сложной моделью, ко-
торую еще можно использовать в методе Монте-Карло прямого
моделирования, является модифицированная модель нагружен-
ных сфер. Модификация заключалась в пренебрежении «кача-
нием» относительно центра масс. Даже в этом случае требова-
ния к памяти и времени счета - оказывались значительно боль-
шими, чем в случае одноатомного газа. Ограничением модели
нагруженных сфер является также «жесткость» взаимодействия
молекул с очень ограниченным регулированием эффективного
времени релаксации.' Модель шероховатых сфер может быть
применена в точной формулировке, и механика столкновений
в этой модели описана подробно в § 11.2. Недостатком этой
модели является то, что она имеет три вращательные степени
свободы, и, следовательно, отношение удельных теплоемкостей
равно 4/3, а не 7/5; как это имеет место в двухатомном газе.
Имеются и другие серьезные возражения против применения
модели шероховатых сфер [20, § 11. 62].
214 гЛ. 11. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
____________________________________
Ограничения, присущие моделям, основанным на точном
описании динамики системы, заставляют обратиться к фено-
- менологическому описанию. Основными требованиями приме-
нимости модели в методе прямого моделирования являются:
(1) Время расчета и потребная память должны быть срав-
нимы с величинами, необходимыми при моделировании
одноатомного газа.
(2) Модель должна обладать заданным числом степеней
свободы, причем в равновесных условиях должно вы-
полняться равнораспределение энергии между ними.
(3)' Модель не должна содержать больше регулируемых па-
. раметров, чем это требуется для определения ее «жест-
кости» и времен релаксации.
Предлагалось несколько моделей, удовлетворяющих этим
требрваниям. Их обсуждение и описание даны в § 11.3.
В феноменологических моделях обычно не делается разли-
чий между видами внутренней энергии; число внутренних степе-
ней свободы является полностью регулируемым параметром.
Вообще говоря, можно разделить энергию, заключенную во вра- 4
щательном и колебательном движении, и связанные с ним вре-
мена релаксации. Использование феноменологической модели
подразумевает осреднение процесса, что соответствует пол-
ностью возбужденным модам, содержащим большое число кван-
товых состояний. Для таких газов, как кислород и азот, суще-
ственное возбуждение колебательных степеней свободы начи-
нается при температурах порядка 1000 К.
При формулировании феноменологической' модели, можно
потребовать, чтобы число внутренних степеней свободы зави->
село от температуры или скорости молекул. Однако более пред-
почтительным является подход, основанный на том факте, что
число заселенных колебательных состояний обычно достаточно
мало, что позволяет каждое состояние рассматривать как от-
дельный компонент смеси газов. Процедура моделирования
смесей газов, описанная в гл. 10, может .быть легко "обобщена
на случай столкновительных переходов из одного колебатель-
ного состояния в* другое. Имеется обширная информация о се-
чениях колебательных переходов. Отношение этих величин к
сечению упругих столкновений определяет вероятность перехода
при каждом столкновении. В метод прямого моделирования
могут быть включены также многие переходы, сопровождаю-
щиеся эмиссией фотонов и радиационными эффектами. _
11.2. МОДЕЛЬ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР
Характерная, особенность модели шероховатых сфер, как от-
мечалось выше,’ заключается в том, что относительная скорость
П.2. МОДЕЛЬ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 215
сфер в точке соприкосновения изменяется на обратную. В вели-
чину относительной скорости вносят вклад и поступательная, и
вращательная скорости, и замена ее на противойоложную в об-
щем случае ведет к обмену энергией между поступательными
и вращательными степенями свободы, так же как и к обмену
энергиями между партнерами по столкновению. Полная энер-
гия, конечно, сохраняется. Ниже будет дано описание механики
столкновений шероховатых сфер в виде, позволяющем непосред-
ственно включать модель в расчеты методом Монте-Карло пря-
мого моделирования. Шероховатые сферы являются простейшей
физически реальной моделью, и решения, которые ее исполь-
зуют, могут рассматриваться- как эталонные для проверки фе-
номенологических моделей. Ограничимся рассмотрением течений
однокомпонентного газа.
Обозначим через угловую скорость молекулы, а ее ком-
поненты относительно осей х, у, z — через &х, о», <о2- Враща-
тельная энергия молекулы равна где I — момент инер-
ции. Момент инерции зависит от радиального распределения
массы и, следовательно, может изменяться в ограниченных пре-
делах. Обычно принимают равномерное распределение массы,
для которого'
Z=md2/J0. (11.1)
Для газа из шероховатых сфер функция распределения имеет
вид [19] ,
f= ехр (тс'2 + /<0?^
и может быть переписана как
f вiexp(“ №'2)-^7072 ехр(- ®2/<). (11.2)
Л Л
Здесь — наиболее вероятная угловая скорость, равная
фт = (2ДО)1(2, ’ (Не-
которая при помощи (11.1) принимает вид
<от = (20/?7’№ • (U.4)
Как видно, равновесное распределение по угловым скоростям <о
полностью аналогично распределению по поступательным ско-
ростям молекул; направление оси вращения равновероятно в
пространстве. Вращательная температура может быть опреде-
лена следующим образом:
. 3/2kTrot = 1/2I^. (11.5)
Обозначим поступательные и вращательные скорости моле-
кул 1 и 2 до столкновений через Ci ,сг и ем, «г, а после столкно-
216 гл. 11. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
вений — через Ср с’ и ®‘, ®*. Скорости до столкновений, ко-
нечно, предполагаются известными.
В этом разделе введем следующее обозначение вектора
скорости: сг = сг — Ci (заметйм отличие знака от определения
(2.3)). Выберем параметры удара b и е: параметр b распреде-
лен между 0 и d с вероятностью, пропбрциональной Ь, а 8 рав-
номерно распределен между 0 и 2л. Удобно определить три
вектора, лежащие в плоскости столкновения, j, k, 1, как это по-
казано на рис. 11.1. Вектор к лежит на линии, соединяющей
центры молекул 1 и 2, причем центр молекулы 1 принят за
начало отсчета. Вектор 1 направлен вдоль вектора относитель-
ной скорости сг и соединяет центр молекулы 2 с плоскостью,
Рис. 11.1. Положения векторов j, k, 1 при столкновении молекул — шерохо-
ватых сфер.
проходящей через точку О и перпендикулярной вектору сг и I.
Вектор j равен k +1, и его модуль равен параметру столкнове-
ния Ь. Так как величина к равна d, а векторы 1 и j перпенди-
кулярны, то ' - .
Z = (d2-^)i/2. (Ц.6)
Определим теперь углы 0 и ф так, что 0 равен углу между
осью х и вектором сг, а <р есть угол между осью у-и плоскостью,
содержащей ось’х и вектор сг. Тогда
. COS 0 = Иг/Сг,
// • оч (11.7)
cos q> = ог/(сг sm 0). '
Далее, если азимутальный угол г отсчитывать от плоскости
у = 0, то компоненты вектора j будут равны
jx — bcose sin 0,
iy = — Ъ (cos е cos 0 cos ф + sin 8 sin ф), (H.8)
/? = b (sin e cos Ф --- cos 8 cos 0 sin ф),
11.3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
217
Величина вектора 1 дана уравнением (11.6), а его компоненты
равны
lx = lUtlcx, ly = lvTlcT, Iz — lWtlCt. (П-9)
Компоненты вектора к определяются из соотношения.к = j —I,
а компоненты относительной скорости в точке соприкосновения
сфер равны
8Х = «г + */2 {ky (®г1 + ®г2) - kz (иу1 + а^)},
gu = °r + ’/г {kz (®х1 + ®х2) - kx (®г1 + ®г2)}, (11.10)
Sz = + Vz {kx (%! + - ky (®x) + ®x2)}.
Обозначим скалярное произведение векторов к и сг через kc,
так что
fee = к • Сг = kxUt + kyVt + kzWr.
Выпишем теперь соотношения, связывающие поступательные
скорости молекул до. и после столкновения:
«2-u;=77gx+5MA/d2’
< - =* *2 - < = 2/7gy + (11.11)
= а>2 - ®2 = 2/7gz + 5MA/rf2-
Соответственно для угловых скоростей имеем
<1 “ ®х1 = <2 “ ^ ='% (kygZ ~ kzgy)ld^
<1 - %! = - %2 = *% (kzgx - kxg*№ (И. 12)
<1 - ®г1 = <4 “ “ *% (kxgy - bygx}l#-
11.3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Первая модель, которая будет рассмотрена, была предло-
жена Бёрдом в работе [9] И называется «моделью со стоком
энергии». В этой модели с каждой молекулой связывается пе-
ременная, представляющая внутреннюю энергию metnt (или
eint). В общем случае эта внутренняя энергия равна полной
внутренней энергии, просуммированной по всем степеням сво-
боды, хотя возможно ввести раздельные переменные для пол-
ностью возбужденных вращательных и колебательных "степеней
свободы, для которых требуются различные времена релакса-
ции. В частном случае частично возбужденных колебательных
степеней свободы лучшим представляется выделение каждого
состояния как отдельного химического компонента, как отме-
чалось в § 11.2. Модель со стоком энергии является модифика-
цией модели со степенным потенциалом (частные случаи — мо-
218 ГЛ. П. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
лекулы — твердой сферы и максвелловские молекулы) и остает-
ся сферически симметричной.
Предполагая равнораспределение и используя уравнение
(1.21), получаем среднее значение внутренней энергии молекул
с £ внутренними степенями свободы в виде
тём = (£/6) тс'2. (11.13)
Среднее значение относительной поступательной энергии-для
сталкивающихся пар со степенным потенциалом взаимодей-
ствия в равновесном газе равно (см. уравнение (4.45)):
y^ = {2(n-2)/(n-l))feT/ (11.14)
Так как 3/2kT = 1/2тс'2, то средняя внутренняя энергия молекулы
связана» со средней относительной поступательной энергией в
равновесном газе соотношением -_
^int = (g/8){(n-l)/(il-2)}^. (11.15)
Это уравнение является основным для рассматриваемой модели.
При столкновении молекул внутренняя энергия каждого партне-
ра rnemt сравнивается с величиной (£/8) {(т) — 1)/(т] — 2)} тТс^.
Если эти две; величины не равны, то часть 6 разности между
ними перераспределяется между поступательными и вращатель-
ными степенями свободы в направлении удовлетворения урав-
нению (11.15). Общее изменение поступательной энергии при
этом сопровождается соответствующим изменением относитель-
ной скорости молекул с* после столкновения. Соответственно
изменяются и поступательные скорости (см. уравнение (2.5)).
Проиллюстрируем детали модели на примере демонстраци-
онной программы расчета релаксации внутренних степеней сво-
боды в однородном газе. Программа приведена в приложении J
и предусматривает включение таких моделей молекул, как твер-
дые сферы, и взаимодействие по степеннбму закону с парамет-
ром т] = 9. Для каждой молекулы в двумерном массиве Р(4, М)
запоминаются три компоненты скорости и внутренняя энергия.
Единственным дополнительным массивом- для программы яв-
ляется массив для компонент относительной скорости при столк-
новениях. Входные данные содержат следующую информацию:
количество моделирующих молекул; кодовое число, указываю-
щее модель взаимодействия между молекулами; число внутрен-
них степеней свободы; .фактор передачи энергии te, начальное
отношение внутренней и поступательной температур; интервалы,
на которых вычисляется температура; общее число интервалов
в расчетной серии. За характерную величину времени принято
отношение средней длины свободного пробега к наиболее ве-
11.3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . 219
роятной скорости молекул при начальной температуре. В слу-
чае модели твердых сфер более подходящей характерной ве-
личиной является среднее время между столкновениями.
Удобно положить равными единице следующие- величины:
начальные значения плотности, поступательной 'температуры,
наиболее вероятной равновесной скорости, средней скорости и
массы молекул. Это значит, что и газовая постоянная, и постоян-
ная Больцмана равны 1/2. Сечение столкновения для молекул —
твердых сфер дается уравнением (4.38), равно 1/-у/2 и запи-
сывается как CXS. Для модели молекул со степейным потен-
циалом сечение столкновения зависит от относительной скоро-
сти молекул, и для этой .модели постоянный параметр CXS
удобно принять равным выражению (8.17). Это дает возмож-
ность обычным способом для каждой модели вычислять по- (7.2)
интервал времени при каждом столкновении. Параметр BN
устанавливается равным коэффициенту при kT в уравнении
(11.14). Начальные значения компонент поступательной скоро-
сти молекул определяются с помощью метода исключейия, как
это делалось в демонстрационной программе, приведенной в
приложении I. Так как начальное значение поступательной
температуры равно единице, то начальное значение внутренней
температуры дается параметром TIN, определенным во входных
данных как отношение указанных температур. Внутренняя
энергия каждой молекулы устанавливается равной среднему
значению при равновесии, т. е. на каждую степень свободы при-
ходится величина, равная 1 /2kT.
Вычисление столкновений начинается,со случайного выбора
пары молекул с индексами J и L. Компоненты относительной
скорости молекул записываются в массив VRC(3), а модуль и
квадрат модуля этой скорости записываются как VR и VRR со-
ответственно. Параметр VRE устанавливается равным VR для
модели твердых сфер и равным корню квадратному из VR для
степенной модели взаимодействия с г] = 9. Вероятность столк-
новения выбранной пары молекул равна VRE/VRM, где VRM —
максимальная величина либо относительной скорости, либо
квадратного корня из этой величины в зависимости от модели
межмолекулярного взаимодействия. Величина VRM выбирается
равной-удвоенной величине наиболее вероятной скорости мо-
лекул для модели твердых сфер и в 1.5 раза больше этой ско-
рости для степенного закона. Если VRE превышает VRM, то
величина VRM переопределяется так, чтобы их отношение не
превышало единицу. Для отбора пары для столкновения с ука-
занной вероятностью применяется метод исключения:
Если столкновение выбранной пары состоялось, то к счет-
чику времени добавляется величина, определяемая (7J2), а к
счетчику столкновений добавляется единица. Для этого столк-
220 ГЛ. 11. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
новения вводится рабочая переменная А, устанавливаемая рав-
ной */вС{(Л—1)/(Л — 2)}ттс2. Изменение внутренней энергии
каждой молекулы равно произведению фактора перехода TFAC
и разности между внутренней энергией и А. Эта величина запи-
сывается как DERJ для молекулы J, и DERL для молекулы L,
а внутренние энергии — как Р(4, J.) и P(4,L) соответственно.
Поступательная кинетическая энергия равна */2^0?. или по-
скольку тг = 1/2, то VRR/4; Следовательно, для того чтобы
. Прибавлять сумму DERL и DERJ к поступательной энергии, па-
раметр VRR следует принять равным четырехкратной сумме
этих величин. Наконец, параметр VRF устанавливается равным
отношению нового и старого,значений относительной скорости.
Следующий шаг заключается в вычислении компонент отно-
сительной скорости после столкновения и для этого для каждой
«модели молекул требуется своя процедура. Рассмотрим вначале
_ модель степенного взаимодействия, механика столкновений для
которой проанализирована в гл. 2, а приложение к программе
расчета методом прямого моделирования описано в § 8.1.
В первую очередь, используя непосредственно (8.18), установим
безразмерный параметр столкновения IFo и запишем его как
WA. Используя далее уравнения (8.20) и (8.19), определим
другой параметр столкновения г и угол отклонения % и запи-
шем их как EPS и CHI соответственно. Затем из уравнения
(2.22) определим компоненты вектора относительной скорости
после столкновения и запишем их как VRC(N), где индекс N
изменяется от 1 до 3 и обозначает проекции на оси х, у, г. За-
метим, что параметр VRF, описывающий передачу энергии, вво-
дится как масштабный множитель на последнем этапе. Расчет
для модели твердых сфер следует стандартной процедуре, на-
чинающейся с метки 17. Определение компонент скорости мо-
лекул является общим моментом для обеих моделей и прово-
цится с помощью стандартной процедуры, примененной в ранее
описанных программах.
Заключительным шагом является вычисление и выдача на
печать на интервале DTP поступательной и внутренней тем-
ператур. Эта процедура начинается с метки 13, а управляющая
команда записана поД меткой 12. Температуры, поступательная
TTR, внутренняя TROT, полная TOV, вычисляются непосред-
ственно по уравнениям (1.23), (1.25) и (1.26) соответственно.
Некоторые типичные результаты расчетов будут приведены
в §11.4.
Совершенно отличная от описанной феноменологическая мо-
' дель была предложена Ларсеном и Боргнакке [52, 53]. В этой
модели предполагается, что поступательная и внутренняя энер-
гии имеют значения в соответствии с их равновесной функцией
распределения, и при каждом столкновении с помощью этих
11.3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 221
распределений случайным образом определяются новые значе-
ния, удовлетворяющие закону сохранения энергии. В первона-
чальной трактовке метода время релаксации определялось не-
которой пропорцией между упругими и неупругими столкнове-
ниями. В другой формулировке метода все столкновения рас-
сматриваются как неупругие, но с ограничением той части энер-
гии сталкивающихся пар, которая может участвовать в обмене
между степенями свободы. Мы опишем ниже процедуру обмена
энергиями для полностью неупругого столкновения.
' Функция распределения для относительной скорости сг моле-
кул дается уравнением (4.33), а вероятность столкновения пары
пропорциональна (см. § 4.3). Относительная поступа-
тельная энергия сталкивающихся молекул равна £t = 7г/игСр и,
замечая, что dEt = mrcrdct, из распределения по сг можно полу-
чить функцию распределения для Ее.
fEt ~ ехр (- EjkT). (11.16)
Внутренняя энергия сталкивающейся пары молекул равна
сумме внутренних энергий каждой молекулы, т, е.
^1 ~ ®int, 1 “Ь ®int, 2’
Выпишем функцию распределения для внутренней энергии мо-
лекул [44]:
/ feint-®^-lexp(-8lnt/^). (11.18)
Нам требуется функция распределения fEl для суммы внутрен-
ней энергии Ei. Рассмотрим часть сталкивающихся пар, первая
молекула которых имеет внутреннюю энергию emt, i, а вторая—:
энергию Ei — 8int, ь Используя (11.17), (11.18) и замечая, что
dEt — d8lnt, 2 при фиксированном значении emt, i, получаем, что
искомая часть сталкивающихся пар пропорциональна величине
«Й7 № - г,а1ехр(- EJW) Л,л , dE,. (11.19)
Общее число пар с внутренней энергией, равной Ei, получим
интегрированием (11.19) по elnt, i в пределах от 0 до Ei. Это
Дает •
/£1-^-1ехр(-£^Г). (11.20)
Полная энергия Ес сталкивающихся пар равна сумме поступа-
тельной энергии относительного движения и внутренней'энер-
гии, т. е.
£c = 5t + £I, - (11.21)
222 • гл. II. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
Вероятность найти пару молекул с энергиями Et и Ei пропор-
циональна произведению и fEi:
^П-3)/(П-1)^-1 ехр +
или, согласно (11.21),
^п-з)/(ц-1) (£с _ £t)C-i ехр
Эффективная температура Т определяется общей энергией Ее
сталкивающихся молекул, так что экспоненциальный член мож-
но считать постоянным. Тогда функция распределения для по-
ступательной энергии пропорциональна величине
£{’>-3)«n-i)(£c_£t):-it (ц.22)
Используя это распределение, определим для каждого столк-
новения поступательную энергию Ef после столкновения. Для
этого воспользуемся методом исключения, причем нет необхо-
димости в знании константы пропорциональности. Так как пол-
ная энергия при столкновении сохраняется, внутреннюю энергию
сталкивающейся пары получим из (11.21):
ЕГ = ЕС —Е|. (11.23)
Далее при фиксированной энергии Е* из. (11.19) находим, что
распределение молекул с внутренней энергией emt, i имеет плот-
ность вероятности, пропорциональную величине
(11.24)
и на этом этапе снова применяется метод исключения. Вычис-
ление компонент скорости молекул проводится так же, как и
в модели со стоком энергии?
Преимущество метода Ларсена заключается в том, что в нем
соблюдается принцип детального баланса для поступательных
скоростей и что равновесная функция распределения должна
соответствовать максвелловскому распределению *).
♦) Анализ течений двухатомных и многоатомных газов зависит от фено-
менологической модели. Обычно вместо модели со «стоком энергии» исполь-
зуется модель Ларсена — Боргнакке. В обоих случаях требуется примерно
одинаковое время расчетов. Исследование феноменологических моделей было
проведено в работе [111]. Это исследование привело к более привлекательной
с физической точки зрения модели, чем модель Ларсена — Боргнакке, однако
расчеты с этой моделью требуют значительно большего времени. В работах
fl 10, 112] проведено исследование моделей двухатомных газов в двумерных
задачах, в которых можно ожидать проявления эффектов, связанных с раз-
личиями в свойствах углового рассеяния различных моделей. Было найдено,
что результаты для всех моделей находятся в разумном согласовании с экс-
периментальными данными.
11. 4. ТИПИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
2 28
11.4. ТИПИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим несколько примеров и сравним эксперименталь-
ные результаты с расчетными данными, полученными для мо-
дели шероховатых сфер и для феноменологической модели.
Основной целью при этом является определение границ, в ко--
торых гибкие и легко применяемые модели приводят к адекват-
ному представлению течений реального газа. Первым шагом
является проверка того, согласуются ли феноменологические
модели с известными уравнениями вращательной релаксации.
Рис. 11.2. Релаксация поступательной и внутренней температур в однород-
ном газе при Y = 7/s--- Tint из Уравнения (11.25) при /г = 6.7т0 = 5.398ро^;
•, О Ttr и TInt соответственно, полученные методом прямого моделирования
с использованием модели со стоком энергии при £ = 2, т] = оо и /f==0.1.
Вращательную релаксацию обычно описывают уравнением
типа . -
или ч (11.25)
Tint == “ (Те Tint, о) ехр ( tit?).
Здесь tT — время релаксации, Те — равновесная температура, а
Tmt, о — Значение Tint при / = 0. Рис. 11.2 показывает изменение
Модель Ларсена — Боргнакке была применена в работах [103, 104] для
расчета столкновений между молекулами, имеющими неравное число степе-
ней свободы. В первой работе с помощью модели гармонического осцилля-
тора исследовалось также возбуждение колебаний. Исследование колебатель-
ных мод как раздельных компонентов проводилось во второй из упомянутых
работ. .
224
ГЛ. 11. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
во времени поступательной и вращательной температур в .одно-
родном газе, молекулы которого имеют две внутренние степени
свободы, причем в начальный момент вся энергия была связана
с поступательным движением.
Вычисления проводились при помощи демонстрационной
'программы, описанной в предыдущем разделе, и несколько пер-
Рис. 11.3. Функция распределения молекул по скоростям в равновесном
однородном стационарном газе.------- максвелловское распределение согласно
уравнению (4.6); ф, О результаты расчета методом прямого моделирования
для модели шероховатых .сфер и модели со стоком энергии соответственно
при 5 = 3, и = о° и ff = 0.26.
вых страниц результатов следует за текстом программы (см.
приложение J). Величина параметра передачи энергии tt при-
нималась равной 0.1, что дает время релаксации, примерно
в 6.7 раза превышающее сре^ее время между столкновениями.
Дальнейшие вычисления показали, что время релаксации не
зависит от начальной степени неравновесности и обратно про-
порционально параметру tf.
Подобные же расчеты релаксации были проведены для мо-
дели шероховатых сфер. Было найдено, что модель твердых
II. 4. ТИПИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
225
сфер со стоком энергии с тремя внутренними степенями сво-
боды соответствует скорости релаксации для модели шерохова-
тых сфер, когда параметр передачи энергии выбирается рав-
ным 0.26. Однако при этом оказалось, что вращательная тем-
пература не достигает равновесного значения, когда tt превы-
шает 0.26. О причинах этого дает представление рис. 11.3, на
котором сравниваются «равновесные функции распределения по-
Рис. 11.4. Нарушение равновесия при стационарном сферическом расширении,
Кп* =з Ло/г* — 0.002.-результат для сплошной среды.для Т/Го’, •, О, □ ра-
счеты методом прямого моделирования для Тоу/Тй, и Лг/Го соответ-
ственно для модели шероховатых сфер (рис. а) и модели со стоком энер-
гии (рис. б) при J = 3, г) •= оо, tf = 0.26.
ступательной скорости, полученные для модели шероховатых
сфер и модели со стоком энергии.
Распределение по скоростям, полученное для шероховатых
сфер, в пределах ожидаемого разброса соответствует максвел-
ловскому, в то время как феноменологическая модель при боль-
ших скоростях приводит к значительным отклонениям. Эго
имеет место при скоростях, в два раза и более превышающих
наиболее вероятную скорость, и в связи с этим возникает во-
прос, будет ли отмеченный недостаток приводить к значитель-
ным ошибкам в применениях модели со стоком энергии. С этой
Целью для расчета профиля ударной волны при числе Маха
8 Г. Бёрд
226 гл. 11. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ
волны, равном трем, применялись обе модели. Никаких значи-
тельных расхождений в результатах не было обнаружено.
Представляется, что более трудным тестом является задача
о нарушении поступательного и вращательного равновесия при
стационарном «расширении газа. Расчеты были проведены для
случая сферического расширения с радиусом критического се-
чения г*, равным 500 длинам свободного пробега для условий
торможения. На рис. 11.4 показано изменение поступательной,
вращательной и полной температур, отнесенных к температуре
Рис. 11.5. Сравнение 'экспериментальных и расчетных данных по профилям
плотности и температуры в ударной волне в двухатомном газе, М3 = 1.71.
В методе прямого моделирования использована модель со стоком энергии
при $ = 2, т| = 9 и tf = 0.046. -измеренный профиль плотности:-----из-
меренный профиль температуры для водорода [74].
торможения Та как функций расстояния г, отнесенного к радиу-
су г*. Радиальная и продольная температуры на рис. 11.4 не
приведены, но их изменение совпадает с тем, которые представ-
лены для внутренней и поступательной температур. Как и в за-
даче об ударной волне, в этом примере результаты для модели
со стоком энергии хорошо совпадают с данными для шерохо-
ватых сфер.
Расчеты методом прямого моделирования с применением мо-
дели со стоком энергии сравнивались также с эксперименталь-
ными результатами. В качестве примера на рис. 11.5 представ-
лены профили плотности и температуры для ударной волны с
числом Маха, равным 1.71. Экспериментальные профили были
получены для азота в работе [74], расчеты проводились для мо-
дели со степенным взаимодействием (г, = 9) и двумя степенями
11.4. ТИПИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 227
свободы. Параметр передачи энергия it = 0.046, что соответ-
ствует времени вращательной релаксации, равному пяти сред-
ним временам свободного пробега. Так как величина tt была
много меньше 0.26, то искажение равновесной функции распре-
деления было пренебрежимо малым. Полученные результаты
показывают, что модель со стоком, энергии может давать аде-
кватное представление неравновесных течений газа с внутрен-
ними степенями свободы.
Аналогичные сравнения были проведены Ларсеном и Борг-
накке [52, 53], применявшими модель со статистическим описа-
нием столкновений. Так как*" их модель определенно приводит
к максвелловскому распределению в равновесии для всех слу-
чаев, то она может быть предпочтительной во многих приложе-
ниях, например при моделировании течений с химическими ре-
акциями, которые могут иметь место только при столкновениях
молекул с большой энергией. С другой стороны, более простая
модель со стоком энергии может быть предпочтительнее, когда
метод прямого моделирования применяется для расчета тече-
ний в режиме сплошной среды. Эта модель была использована
в задаче о падении струи на стенку (см. рис. 9.5).
12
Химически реагирующие
газовые потоки
12.1. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ РЕАКЦИЙ
Большинство химических .реакций в газовой стадии можно
рассматривать^ как.столкновительные процессы. Мы видели, что
весьма простые классические модели - молекул достаточно хо-
рошо описывают течения одноатомного газа, и некоторое их ви-
доизменение ведет к приемлемым результатам для газов с
внутренними степенями свободы. Рассмотрим теперь, насколько
этот подход может быть обобщен для описания течений с хй-
мическими реакциями. .Логической основой является классиче-
ская теория столкновений, развитая в качестве простейшей тео-
рии для скоростей реакций.
Модель совершенного газа имеет дело исключительно с би-
нарными столкновениями и легче всего распространяется на
бимолекулярные реакции. Обычная бимолекулярная реакция
может быть записана схематически в виде
A + B5=±C + D, (12.1)
где А, В, С и D — различные сорта молекул. Как и в предыду-.
щих* главах, здесь термин«молекула» употребляется как обоб-
щенное понятие, включающее атомы, ионы, электроны, фотоны,
а также- и- молекулы. Если реакция протекает в одну стадию
с участием в соответствии с (12.1) лишь реагентов, изменение
концентрации сорта А можно записать в виде
“ dt “ (Г) (12.2)
Здесь в качестве меры концентрации использована числовая
плотность вместо более обычного числа молей на единицу
объема, обозначаемого через [А^а]. Эти две меры связаны ме-
жду собой следующей зависимостью: па = Л9[Аа], где Л9 —
число Авогадро. Коэффициенты, или «константы» скоростей ре-
акций kt(T) и kr(T) относятся к прямым и обратным реакциям
соответственно. Они являются функциями температуры и не за-
висят от числовой плотности и времени. Следующий результат,
полученный вначале эмпирически, состоит в том; что константы
12.1. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ ВЕАКЦИИ .229
скоростей реакций имеют вид
£(Г)“Л7’пехр(-Е1ЛГ). (12.3)
где А и 1) — константы и Ел называется энергией активации.
Для частного случая т] = 0 это уравнение называется уравне-
нием Аррениуса. Формулировка по существу макроскопична, и
использование термодинамической температуры ,подразумевает,
что реакция представляет собой квазиравновесный процесс. Для
этого требуется, чтобы временной масштаб данного процесса
был большим по сравнению со средним временем между столк-
новениями, благодаря чему распределение поступательных и
вращательных скоростей остается близким к максвелловскому.
Полное сечение столкновений сгт, определенное выше для
упругих столкновений, без каких-либо изменений применимо и .
к столкнбвениям,. которые влекут за собой обмен энергией ме-
жду поступательными и полностью возбужденными внутренни-
ми модами. Однако для химических реакций или при возбужде-
нии дискретных колебательных уровней вводится специальное
сечение реакции ctr. Это также полное сечение. При более глу-
боком знании реакции можно было бы определить и дифферен- -
циальное сечение как функцию параметров столкновения. Отно-
шение or/ctt сечения реакции к упругому сечению можно рас-
сматривать как вероятность того, что упругое соударение
^приведет к химической реакции. Его можно отождествить со
'стерическим фактором. Использование стерического фактора
означает, что сечение реакции должно быть меньше упругого
сечения, и, несмотря на то, что это. всегда так, желательно оста-
вить ВОЗМОЖНОСТЬ, ЧТО Or > От-
Если бимолекулярная реакция между А и В требует конеч-
ного теплового вклада, то разумно предположить, что реакция
не может произойти до тех пор, пока энергия сталкивающихся
молекул в системе центра масс не превышает некоторой поро-
говой величины Е&. Рассмотрим лишь относительную поступа-
тельную энергию вдоль линии центров и предположим квази-
равновесные условия. В этом случае из’ формулы (4.51) следует,
что доля столкновений молекул — твердых сфер, имеющих не-
обходимую энергию, есть просто ехр(—Ел/1гТ). Примем, что
сечение реакции равно-нулю для столкновений, имеющих энер-*
гию меньше требуемой, и равно постоянной величине cfr для
столкновений с требуемой энергией. Тогда скорость прямой ре-
акции для молекулы А получается умножением частоты упругих
столкновений (формула (4.39)) на вышеупомянутую долю и на
отношение ctr/ot. Это дает
дпА /8kT\U2 / £а\ ,tn „
exP\~’ft7r/' <12Л)
230
ГЛ. 12. ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
Сравнение этого уравнения с уравнениями (12.2) и (12.3) по-
казывает, что теория столкновений дает ожидаемый результат.
Более реалистичный результат получается (76], - если счи-
тать <rR функцией величины, на которую энергия столкновения
превышает пороговую энергию Еа. Наиболее удобное предполо-
жение заключается в том, что <jr пропорциональна избыточной
энергии, возведенной в /-ю степень. Если мы опять рассмотрим
энергию вдоль линии центров, то формальное описание сечения
реакции имеет вид
ffR = 0 при */2/пгс? < Ел,
пр" <12-5)
где По — константа. Тогда формулы (4.39) и (4.49) дадут
dnk - (%kT \1/2 2/п?
“7Г = ~ <Мапв^ J ~^kfy
х J с;
(2Ва/«г)1/2 •
.2 к/
- — 1 ) ехр (— ттс%/(21гТУ) dct.
Используя формулы (В2) и (В4), получим чрезвычайно простой
результат!
. dtia / £а\ /1ПМ
dt ~ а<^Апв{у^) г(/+ 2)(j^-) ехрkTJ. (12.6)
Следовательно, в этой модели постоянные в формуле (12.3) для
константы скорости реакции равны
n=/ + V2,
(12.7)
Соответствие .между общепринятой формулой для константы
скорости реакции и результатом теории столкновений показы-
вает, что существует известное физическое оправдание этой мо-
дели. Однако получение физических величин из таких зависи-
мостей, как (12.7), может быть ошибочным. Хотя простой вид
уравнения (12.6) делает сечение реакций в форме (12.5) очень
привлекательной моделью, нельзя ожидать, что физика этой
реакции управляется математическими особенностями неполной
гамма-функции. .
Основной недостаток этой простой теорий связан не только
с классичностью приближения к действительным квантовым про-
цессам и усреднением, проводимым при использовании полного
12.1. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ РЕАКЦИЙ. 231 ’
сечения, но в Основном с той ролью, которую играют в данной
реакции внутренние степени свободы. Обычный прием решения
этой проблемы — это введение понятия эффективных «квадра-
тичных членов» (см.,-например, [94, гл. VII, § 5]). Поступа-
тельная моДа вносит два квадратичных члена, и их общая ве-
личина может быть обозначена через 2s. Теория «квадратич-
ного члена» наряду с простым видом сечения реакции, который
привел к- уравнению (12.4), дает при дополнительном предпо-
ложении Ea'^>(s—l)kT уравнение того же вида, что и обоб-
щенное уравнение Аррениуса, но ’ с т] =?= 3/2 — $. Эта зависи-
мость сравнивалась с экспериментально определенными значе-
ниями т] для оценки влияния внутренних степеней свободы.
Маловероятно, чтобы это привело к имеющим смысл выво-
дам, так как из уравнения (4.47) следует, что т] должно быть
уменьшено приблизительно на 1/4 для реалистически мягких
молекул. Скорее всего некоторый эффект будет наблюдаться
из-за энергетической зависимости сечения реакции, как это сле-
дует из уравнения (12.7). Однако наиболее сильным возраже-
нием против концепции квадратичного члена в настоящем кон-
тексте является то, что она основана на статистической меха-
нике, а не на механике отдельных столкновений. Это означает,
что она не может быть включена непосредственно в метод пря-
мого моделирования.
Можно думать, что вклады от внутренних степеней свободы
могли бы позволить протекать реакции, даже если бы относи-
тельная поступательная энергия была меньше требуемой поро-
говой величины Еа. Прямое приложение этой идеи привело бы
к более низкой эффективной величине энергии активации в экс-
поненциальном члене уравнения Аррениуса. В подтверждение
этого было найдено (см., например, [33]), что энергия актива-
ции для двухатомных молекул может быть на одну или две ве-
личины kT меньше энергии связи. Поэтому для реакций диссо-
циации энергия диссоциации в теории столкновений может быть,
меньше энергии связи. С другой стороны, вклад внутренних сте-
пеней свободы' аналогичен дополнительному вкладу некоторой
поступательной энергии к энергии движения вдоль линии цент-
ров. Например, сравнение уравнений (4.49) и (4.51) показывает,
что полное снятие условия о передаче энергии лишь по линии
центров привело бы" к введению в правую часть уравнений
(12.4) и (12.6) дополнительного множителя \-±(Ea/kT). Это
равноценно вкладу двух квадратичных членов, обусловленных
внутренними степенями свободы.
Квазиравновесная теория столкновений может быть распро-
странена, на тримолекулярные реакции, включающие тройные
столкновения. В этот класс попадает реакция рекомбинации,
так как, для того чтобы забрать часть энергии, освобожденной
* 232
ГЛ. и. ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
в .рекомбинации, в соударении должно участвовать третье тело.
Простейший подход — это введение «времени жизни» парного
столкновения и расчет тройного столкновения как парного, но
между парой молекул в начальном столкновении и третьей мо-
лекулой. Хотя этот общий подход был принят рядом ученых
[85], следующий анализ более тесно связан с кинетической тео-
рией и может быть легко введен в метод прямого моделиро-
вания. ...
Рассмотрим тройное столкновение как результат столкнове-
ния между молекулой типа А и соударяющейся парой, состоя-
щей из молекул типа В и С. Числовая плотность пар ВС равна
произведению числа столкновений между молекулами типа В
и С в единице объема в единицу времени на время жизни столк-
новения. Предположим, что время жизни столкновения равно
а1всствс/сг> (12.8)
где dtBc — константа, <гВс — полное сечение столкновений, сг —
относительная скорость.
Рассмотрим теперь столкновение пробной молекулы типа В
с классом молекул типа С, обладающих относительной ско-
ростью, равной сг. Из выражения (1.6) следует, что частоту
столкнрвений пробной молекулы равна </псОвсСг, где dnc — чис-
ловая плотность класса .. молекул типа С. Тогда, если dnB —
числовая плотность молекул типа В в том же классе скоростей,
которому принадлежит и пробная молекула, то вклад этого
класса столкновений в числовую плотность иВо пар мо'лекул ВС
равен
^ВС в ^ПВ ^С^В^АвС^ВсАг atBCffBC
Поскольку этот результат не зависит от относительной скоро-
сти, требуемая числовая плотность просто равна
, пзс= atBc°BcnBnc/e’- (12.9)
Фактор симметрии е включен для того, чтобы учесть двойной
подсчет столкновений, когда В = С. Формальное определение
состоит в следующем: >
8 = 2 для В = С,
8=1 для В =/= С.
Пара молекул движется со скоростью центра масс ствс. Равно-
весная функция распределения7 для ствс, в силу (4.33), равна
f \_______L ( отв + ^с \3/2 2. ( _ (тв + тс)4вс )
I VSnBc) — п1/2 2kT ) стВСслР^ 2kT )
(12.10)
12.2. РЕАКЦИЯ ДИССОЦИАЦИИ - РЕКОМБИНАЦИИ
933
Никакого предпочтительного направления здесь нет, и сравне-
ние выражений (12.10) и (4.6) показывает, что функция рас-
пределения для'Ствс является максвелловской, соответствую-
щей молекулам массы тв -f- тс- Равновесная частота столкно-
вений для молекул типа А с парами ВС, как следует из (4.39),
равна
2 f 2kT(mA + mB + тс) )1/2
7i7F <вс)«А«вс | mA(mB + mc) J ’
или, подставляя выражение (12.9),
е аА(вс)авспьпвпс ятА(тв + тс) / ’ О2-11)
Скорости тримолекулярных реакций мо!ут быть связаны' с .ча-
стотой таких" тройных столкновений так же, кай скорости бимо-
лекулярных реакций связывались с частотой парных столкнове-
ний в (4.39). Эту теорию можно обобщить так, чтобы опреде?'
лить долю столкновений с относительными поступательными
энергиями выше заданного предела. Однако часто важными три-
молекулярными реакциями являются экзотермические, а не эн-
дотермические реакции. В этом случае энергия активации долж-
на быть положена равной нулю и сечение реакции равно сече-
нию упругих столкновений *).
12.2. РЕАКЦИЯ ДИССОЦИАЦИИ — РЕКОМБИНАЦИИ
Реакция диссоциации — рекомбинации двухатомного газа
является одной из самых важных и, несомненно, наиболее ши-
роко изучаемых в газовой динамике. Для однородного чистого
газа ее можно записать в виде
(М) . . ГМ)
м + | а]^а+а+| а)’ (12.12)
где М обозначает молекулу, а А —атом. Прямая реакция, или
реакция диссоциации, — бимолекулярная, тогда как обратная
реакция, или реакция рекомбинации, — тримолекулярная. Парт-
нером молекулы по столкновению в реакции диссоциации мо-
жет быть либо молекула, либо атом.
*) Теория для получения стерических факторов, или сечрний реакции, из
уравнений сплошной среды для реагирующих компонентов была развита в
работе [104] для учета возможного вклада внутренних степеней свободы
в энергию активации. Эта теория допускает существование больших отрица-
тельных степеней температур в члене перед" экспонентой в уравнениях для
скорости реакции. Так, "этот фактор перекрывает принятые значения для
rioQi’ что вызывает трудности при численном исследовании ударной волны
234
ГЛ. 12. ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
Уменьшение числа молекул вследствие реакции диссоциации
при энергии диссоциации Еа можно записать с помощью урав-
нения (12.6) в следующем виде: *
dt~~ i^nM.(.a0,lAlAnM. "Ь б 1 <то, мАПа) X
/8ЛТ\1/2 /kT\! f ЕЛХ
Х(^т-) г0 + 2)(-Ё7) ехР(~7ГЛ (12ЛЗ>
При определении числовых коэффициентов здесь принимались
во внимание показатель симметрии 1/2 для столкновений типа
молекула — молекула и отношение приведенной массы к массе
атома. *
Для реакций рекомбинации предполагается, что не суще-
ствует различия в вероятности рекомбинации при столкновении
атома с парой атом — молекула и при столкновении молекулы
с парой атом — атом. Необходимо также учитывать столкнове-
ние атомов с парами атом — атом. Предполагая, что рекомби-
нация является результатом тройного столкновения, которое
включает по крайней мере два атома, скорость образования
молекул можно получить с помощью выражения (12.11) в сле-
дующем виде:
= ПА £ЛМ { ААаМ (АА)СТАА “Ь at, АМСТА (АМ)СТАМ } +
+ Д/l "А0!. АА^А (АА)^] (1Й01/2 • (12Л4)
В равновесии скорость образования атомов должна в точ-
ности уравновешиваться соответствующей скоростью потерь, и
эти два выражения можно приравнять. Результирующее вы-
ражение чрезвычайно упрощается для частных зависимостей
между поперечным сечением и временем жизни столкновения.
Можно сделать ряд предположений. Одно из них заключается
в следующем:
'/2сто, мм = а/6 ,<т0> МА = ст0,
- at, АМ^АМ = at, ААСТАА (12.15)
И _
^А (AM) = СМ (АА) д/Т аА (АА) = ^АА*
Условие равновесия тогда приобретает вид
"КаАСТ^А=1/2«М°Г0Г </ + 2)(т;).еХр(""1ЯГЛ (12Л6)
12.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ РЕАГИРУЮЩЕГО ГАЗА ' 235
Степень диссоциации а можно определить как массовую долю
диссоциированного газа. Тогда
„ __ «а^а __ «А
р 2пм + пА
(12.17)
и условие равновесия есть
«2 тк <т0Г(/ + 2)
1-а р Ч>АА<т^
kT\<
— ехр
л/
kT
(12.18)'
Вид этого равенства в точности соответствует обычному резуль-
тату статистической механики. Винсенти и Крюгер [94] дают
следующую форму закона действующих масс для такой ре-
акции;
а2 тк (<2а)2 zlnln.
1—а р 2VQaa ехР\ kT )' (12.19)
Статистические суммы Q° и Qao содержат объем V в качестве
множителя, так что эта величина сокращается и правая часть
является по существу функцией температуры, деленной на плот-
ность. Статистические суммы содержат постоянную Планка, ко-
торая, естественно, не входит в классическую теорию, ведущую
к равенству (12.18). Заметим,, что член Т1 в (12.18) появляется
благодаря определению сечения реакции в виде (12.5). Другие
определения, этого сечения или изменения в теории для учета
внутренних степеней свободы изменили бы и вид указанной
выше температурной зависимости.
12.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ РЕАГИРУЮЩЕГО ГАЗА
Метод, прямого статистического моделирования позволяет
рассчитывать нелинейные и неравновесные поля течений в той
мере, в какой хватает физической информации р процессах
столкновений молекул. Что касается химических реакций, то
идеальным было бы иметь полную информацию о сечениях ре-
акций как функций геометрических параметров, столкновений
относительной поступательной энергии, ориентации молекул и
их внутренних состояний.
. Обычно имеющаяся информация дает усредненные сечения
как функции относительной энергии. Однако сечение часто за-
висит от колебательного уровня молекул. Для переходов от од-
ного уровня к другому могут быть введены дополнительные се-
чения. До тех пор пока число заселенных колебательных уров-
ней. мало, молекулы на каждом уровне можно рассматривать-
как отдельные сорта газовой смеси, как описано в § 11.1. Воз-
можность считать, что смесь содержит большое число компо-
нентов, есть основное преимущество метода моделирования. Не-
236
ГЛ. 12. ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
хватка информации о сечениях реакций делает необходимым
использование методов моделирования, тесно связанных с тео-
рией столкновений, приведе'нной в предыдущих разделах. В то
время как сама теория столкновений -ограничивается квазирав-
новесными реакциями в пространственно однородном газе, ме-
тод моделирования позволяет рассматривать явления в потоках
с большими градиентами на макроскопическом уровне и боль-
шими отклонениями от равновесного распределения скорости
на микроскопическом уровне.
Коура [49] использовал метод прямого статистического мо-
делирования для изучения влияния неравновеености на химиче-
ские реакции в пространственно однородном газе. Исследование
ряда случаев выявило одну из основных трудностей, связанных
с применением любого численного метода к всеусложняющимся
задачам. Она состоит в Ч’ом, что пространство параметров ста-
новится настолько большим, что трудно’исследовать достаточ-
ное количество вариантов для установления общего характера
решения. Интерпретация результатов на основе ограниченного
числа частных случаев значительно облегчается, если процедура
моделирования дает аналитическое решение для однородного'
квазиравновесного газа. В этом случае сечение и время жизни
столкновения, которые используются в моделировании, можно
связать со скоростями реакции и условиями равновесия.
Сказанное особенно важно для времени жизни столкновения,
которое нельзя .непосредственно связать с реальными физиче-
скими величинами. Теория позволяет получить сечения реакций
из экспериментальных данных о скоростях реакции. Однако сле-
дует помнить, что химическая реакция может исказить функ-
цию распределения до такой степени, что скорость реакции, по-
лученная для квазиравновесного случая, не будет соответство-
вать действительности. Использование метода моделирования
позволит исследовать эту проблему.
Покажем, каким образом теоретические модели, рассмотрен-,
ные в теории диссоциации — рекомбинации в § 12.1 и 12.2, мо-
гут быть использованы в программе моделирования. Любое мо-
делирование химических реакций обязательно имеет дело с га-
зовой смесью, так что необходимо обобщить процедуру гл. 10.
Несмотря на то что процедура столкновений должна быть из-
менена, в основу столкновений' может быть положена либо мо-
дель твердых сфер, либо более общий степенной закон. Внут-
ренние степени свободы будем рассматривать с помощью фе-
номенологической модели, хотя молекулы в различных колеба-
тельных состояниях будем рассматривать как молекулы разного
сорта. Каждый раз, когда вычисляется парное столкновение,
соответствующие сечения реакции вычисляются из уравнений
типа (12.5); их отношения к сечениям упругих столкновений
12.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИИ РЕАГИРУЮЩЕГО ГАЗА
237
дают вероятность различных реакций. Затем используется стан-
дартный метод исключения, чтобы решить, происходит ли реак:
ция. Процедуры, в которых количество движения сохраняется,
а поступательная энергия может меняться, уже описывались в
связи с моделью со стоком энергии. Единственное дополнение
заключается в изменении индекса, указывающего на химиче-
скую природу частицы или частиц, участвующих в химической
реакции, и в введении в случае диссоциации дополнительной
частицы.
Более существенные изменения основных процедур необхо-
димы для моделирования тройных столкновений. Так же как
в газовой смеси, для каждой ячейки и каждого класса столкно-
вений используются отдельные временные счетчики, здесь мо-
гут вводиться отдельные счетчики для каждого из тройных
столкновений, в которых-участвуют по крайней мере два атома.
Расчет тройных столкновений лучше всего проводить отдельно
от парных столкновений. Когда частота тройных столкновений
на один или более порядков величины меньше частоты парных,
то можно ввести отдельный и пропорционально больший интер-
вал времени Мт для тройных столкновений. Тройное столкнове-
ние рассматривается как парное столкновение между молеку-
лой А и комплексом, образованным при столкновении молекул
В и С. Время жизни столкнувшейся пары дается формулой
(12.8}; оно обратно пропорционально относительной скорости
между молекулами В и С. Поэтому пара может быть выбрана
случайным образом, и выбранные три молекулы принимаются
или отвергаются с вероятностью, пропорциональной относитель- 4
ной скорости сг между молекулой .А и нарой ВС. При вычисле-
нии этой относительной скорости соответствующая скорость
пары есть, конечно, скорость центра масс. Приращение времени
для этого столкновения определяется формулой (10.3) в виде
NA aA(BC)rtBCcr "I" '^ВС aA(BC)rtAcr ’ (12.20)
Числовая плотность пВс дается формулой (12.9), и эффективная .
величина УВс получается из соотношения
^BC^fBC ___ пвс
nawsa па
(12.21)
где — весовой множитель. Заметим, что слагаемые форму-
лы. (12.20) в отсутствие весовых множителей равны между со-
бой. В общем случае эти слагаемые определятся вероятностя-
ми, связанными с весовыми множителями, как описано в § 10.2
в связи с формулой (10.3). Различные сечения столкновений и
времена жизни связаны равенствами (12.15). Вычисляется ско-
рость центра масс-трех частиц до столкновения, которая остает-
238
ГЛ. 12. ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
ся равной скорости центра масс двух 'частиц после столкнове-
ния. К поступательной энергии до столкновения добавляется
энергия рекомбинации. Тогда предполагая, что любое направ-
ление относительной скорости после столкновения равновероят-
но, суммарную энергию можно разделить между двумя части-
цами после столкновения.
Реакция диссоциации — рекомбинации моделировалась для
однородного газа, в котором вся энергия сначала заключена в
поступательных и вращательных степенях свободы/ Степень
диссоциации определялась как функция времени. Результирую-
щие кривые имели типичную.для релаксации форму, а началь-
ный наклон соответствовал скорости реакции, определенной по
формуле (12.6). Асимптотическое значение степени диссоциации
соответствует равновесному, определяемому формулой (12.19).
Когда температура газа такова, что отношение kT/E& мало,
реакции с сечениями, аналогичными сечениям (12.5), происхо-
дят только в результате столкновения молекул с очень высоки-
ми скоростями на хвосте функции распределения. Так как эти
молекулы составляют очень малую часть от их полного числа,
то может возникнуть проблема сильных флуктуаций из-за ма-
лого эффективного размера системы. Мы видели, что для умень-
шения различия между системами в физическом пространстве
можно использовать весовые множители. Этот принцип распро-
страняется на пространство скоростей, при этом молекулам
приписываются весовые множители, обратно пропорциональные
некоторой степени скорости молекулы. Как и ранее, число реаль-
ных молекул, представляемых каждой смоделированной моле-
кулой, пропорционально ее весовому множителю. Молекулы
удваиваются или исключаются из рассмотрения по мере того,
как они перемещаются с-одного места на другое в пространстве
скоростей. Относительная величина весовых множителей опре-
деляет,’ изменяются ли компоненты скоростей данной, молекулы
в процессе столкновения. Этот принцип был успешно проверен
в программе для поступательной релаксации в однородном газе.
Весовой множитель выбирался так, чтобы число молекул в рав-
новесии равнялось ехр(—с), а не ехр(—с2). - .
После построения процедур для расчета химических реак-
ций метод прямого статистического моделирования позволяет
рассчитывать практически любые течения нейтральных газов с
сильными возмущениями при числах Кнудсена, больших 10-2
или 10~3*). До какой степени может быть использована эта
*). Результаты ранних работ с использованием метода прямого модели-
рования основывались на объеме выборки в несколько тысяч в каждой
точке. Это означает, что стандартное отклонение составляло величину по-
рядка 2%. Метод, следовательно, не мог быть применен к течениям с малыми
возмущениями, которое не могли быть различимы на фоне флуктуаций. Не-
12.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИИ РЕАГИРУЮЩЕГО ГАЗА 239
возможность, зависит в основном от относительного значения,
которое придается моделированию, экспериментам и теории.
В заключение мы сделаем несколько замечаний • по этому во-
просу.
(1) Результаты моделирования всегда отражают’недостатки
физической модели, на которой они базируются. Никакое мо-
делирование само по себе не дает исходную физическую инфор-
мацию. В то же время метод моделирования может дать ин-,
формацию о течениях, которые не поддаются аналитическому
анализу и для которых эксперимент либо непрактичен, либо не-
возможен. (
(2) Причина- неопределенности, связанной с имеющейся в на-
стоящее время физической информацией, состоит в том, что
многие из основных величин находятся из косвенных измерений
при помощи сомнительных предположений, лежащих в основе
приближенных и неадекватных теорий. Если бы работы по мо-
делированию проводились в сочетании с экспериментом, многие
предположения и приближения были бы не нужны. Таким об-
разом, можно было бы избежать многих •ошибок.
(3) Вышеприведенйые значения показывают, что моделиро-
вание и эксперимент должны рассматриваться как дополняю-
щие друг друга, а не конкурирующие. Моделирование обычно
требует настолько малых усилий по сравнению с эксперимен-
том, что нужно уделять внимание его использованию всегда,
когда физические величины, представляющие интерес, не мо-
гут быть измерены непосредственно.
(4) Нелинейные-задачи со,сложными граничными условия-
ми не поддаются точному теоретическому анализу. Моделиро-
ванием таких течений можно проверить предположения, на ко-
торых основаны приближенные решения, либо можно предло-
жить другие-приближения, ведущие к новым теориям;. В этом
смысле моделирование ^дополняет анализ, а также эксперимент.
Однако для многих практических проблем моделирование часто
является единственным жизнеспособным методом.
давнее уменьшение стоимости расчетов, оказавшееся возможным особенно
при применении миникомпьютеров [102], Позволило увеличить объем выбор-
ки до нескольких миллионов в каждой точке. Это приводит к уменьшению
разброса в результатах до десятой доли процента и тем самым снимает
ограничения по применению метода лишь к течениям с большими возмуще-
ниями.
Приложение А
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
Таблица А1
Свойства при нормальных условиях (101325 Па и 0°С)
Газ Обозначение Молекуляр- ный вес Отношение удельных теплоемкостей V Номинальный диаметр!) d*1010 м
Водород н2 2.016 1.41 2.75
Гелий Не. 4.003 1.67 2.19
Метан СН4 16.04 1.31 4.19
Аммиак NH3 17.03 Г.32 4.48 *
Неон Ne 20-18 1.67 2.60
Окись углерода СО 28.01 1.40 4 3.81
Азот n2 28.01 1.40 3.78
Кислород 02 32.00 ' 1.40 3.64
Аргон Аг 39.94 1.67 3.66
Двуокись углерода -СО2 44.01 1.30 4.64
Хлор С12 70.91 1.33 5.53
Криптон Кг 83.80 1.67 4.20
Фреон 12 CC12F2 120.9 1.13 6.41
Ксенон Хе 131.3 1.67 4.94
1) Данные получены из экспериментально определенного коэффициента вязкости и фор*
мулы (4.52), полученной методом Чепмена—Энскога для вязкости газа, состоящего из уп-
ругих сферических молекул.
Значения физических постоянных даны в списке обозначений. Используя
эти постоянные и свойства газов, приведенные в табл. А1,. можно получить
другие характеристики.
Масса молекулы
т = ЛЦГ = 1.660-10~27 Jt кг. (А1)
Плотность при нормальных условиях-
Ро =» п$т = 0.04462Л кг • м-3. (А2)
Газовая постоянная
R = 9ЦЛ = 8314.3/Л Дж • кмоль-1 • град-1. (АЗ)
ПРИЛОЖЕНИЕ А ' 241
Скорость звука (при температуре Т К)
а = (у£Г)1/2 = 91.18 (уТМ)1/2 м • с-1. (А4)
Наиболее вероятная скорость молекул при температуре Т К
ст = (2/?Г)1/2 = 128.95 (77Л)1/2 м - с-1. (А5)
Средняя длина. свободного пробега в равновесном газе плотности п
(d в м)
ло = (21/2л</2л)~‘ = 8.3766 • 10"19 (л0/л) d~2 м. (А6)
Эффективное число внутренних степеней свободы
S = (5-3Y)/(Y-1). (А7) '
Приложение В
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение моментов от равновесной функции распределения приводит
к определенным интегралам следующего вида?
со
vn ехр (— Р2»2) dv. (Bl)
а
Неполная гамма-функция определена так:
Г(/,а)=$ xf~l<Txdx. ’ (В2)
а
Легко видеть, что
со
. г (? р2а2) — 2pn+1 оп ехр (- ₽2о2} dv. (ВЗ)
|«|
Показатель в интеграле (В1) может быть уменьшен, если воспользоваться
теоремой
+ (В4)
Заметим, чзо
Г (0, а) = £i (а),
где Ei (а) — интеграл от экспоненты, и, кроме того,
Г (72, а)в л1/2 erfc (а1/2)»
где erfc — дополнительный интеграл вероятности.
В случае когда п — целое, можно выписать общие формулы. .Желательно
различать четные и нечетные значения п, а тдкже положительные и отрица-
тельные значения а. Тогда , имеем
о2" ехр (- ₽2о2) dv д ~~'1' 11 erf =*=
± (pa) ехр (- Уаг) у М (2п — 1) (2я — 3) ...-1
p2n+1 с2m (2(n+1-m)-1][2(л+l-m)-3] ... 1 х
X(pa)2(rt-OT)}. (В5)
Замечая, что 0! = 1, получим
оо ' п+1
( рФ»+*> ехр (— Р2О2) dv = -е-Р-Т+2а * У* Г---------(Ра)2 ('’+1“'п>1.
Л 2₽ + L(«+l-eU J-
фо №1
(В6)
0
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 243
При п = 0, 1, 2 эти формулы имеют вид ,
г° я1/2
. ’ exp(-p202)do = ^-[l 4=erf(pa)L (В7)
±а
f v ехр (- Р V) dv = ехр » (В8)
J zp
±а
°° 1/2 а ( о2 2\
J о» ехр (- ₽М) dv - -^5- [1 яр erf (₽а)1 ± (В9)
±а
» оо
( 4>’ ехр (- p2t>2) dv = (1 + Р2а2), (В 10)
J ZP
±а
f v* ехр (- PV) dv - (1 =F erf (ра)] ± Ра ехр (~ (| + р2а2),
( о5 ехр (- р2о2) dv =» -S.xp.( P8g*) (2 + 2р2а2 + pW). (В12)
В частности, если а «« —оо, то из формул (В5) и (В6) следует, что
u2rt ехр (-* ₽2b2) do == 2 u2n ехр (— f2»2) do, (В 13)
— со 0
t)(2n+1) ехр (—р2о2) du 0. (В14)
— 00
При а = 0 результат можно выразить через гамма-функцию, при этом фор-
мулы (В5) и (В6) приобретают вид'
. [ ехр (- М Л - (B'S)
СО .
J o2rt+l ехр (- PM dv “-Д2-. (В16)
о - р
Приведем для удобства эти формулы при значениях п от (^до 3
Г " л1/2
exp(-p2u2)du«-ip (В17)
V ехр (-Р2О2) do = ^5-. (В18)
244
ПРИЛОЖЕНИЕ В
оо f л’/2
J u»exp(-₽M)dd-=-^-, 0 (В19)
со
( o3exp(-pV)dc = -2^-, - (В20)
0
СО ~ '
Г . . Зя112
J ехр (_₽М) (В21)
0
00 t
$ o5exp(-p2t>2)do = jS-/ (В22)
0
Г° 1КЯ1/2 ' \ O«exp(-₽2v2)dv--i^— (В23)
о р.
оо
о’ехр(— ₽!с!)Л-=у. 0 (В 24)
Приложение С
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ
Интеграл вероятности от аргумента а определяется следующим образом:
а
' erf (а) = —( ехр (— х2) dx, (Cl)
«1 o’
а дополнительный интеграл вероятности задается соотношением
erfc (а) = 1 - erf (а). (С2)
Таблица С1
Значение интеграла вероятности
а erf (а) а erf (а)
0.0 0.0 1.1 0.880205
0.05 0.056 372 1.2 0.910314
0.1 0.112 463 1.3 0.934 008
0.15 0.167 996 1.4 0.952 285
0.2 0.222 703 1.5 0.966 105
0.25 0.276 326 1.6 0.976348
0.3 0.328 627 1.7‘ 0.983 790
0.35 0.379 382 J.8 0.989 091
0.4 0.428 392 1.9 0.992 790
2.0 0.995322
0.45 0.475 482
0.5 0.520 500 2.2 4 0.998 137
0.55 0.563 323 2.4 0.999 311
0.6 0.603 856 2.6 0.999 764
2.8 0.999*9250
0.65 0.642 029 3.0 0.999 9779
0.7 0.677 801
0.75 0.711 156 . 3.2 0.999 993 97
0.8 0.742 101 3.4 0.999 998 48
3.6 0.999 999 64 .
0.85 0.770 668 3.8 0.999 99992
0.9 0.796 908 4.0 ' 0.999 999 98
0.95 0.820 891
1.0 0.842 701 оо 1.0
246 ПРИЛОЖЕНИЕ е
Заметим, что
erf (- а) — - erf (a), erf(O) = O, erf(oo) = l. (СЗ)
Если аргумент большой, то полезен следующий асимптотический ряд:
«<(«)-.--Ij <С4)
Наиболеё удобен для вычисления интеграла вероятности следующий ряд:
erf (а) - ехр (- а2) £ а2«+*. (С5>
я—О
Поскольку отношение n-го члена к (п— 1)-му равно 2а2/(2п 4-1), то ряд
(С5) легко программируется в виде подпрограммы для ЭВМ. С другой сто-
роны, интеграл вероятности можно вычислить, используя дробно-рациональ-
ное приближение, приведенное в справочнике [1],
Приложение D
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАННОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Вероятностное моделирование физических процессов требует генерирова-
ния соответствующих значений переменных, распределенных заданным обра-
зом. Это осуществляется при помощи случайных чисел и является ключевым
шагом в методах прямого статистического моделирования.
Мы будем предполагать существование последовательности случайных
чисел Rt, равномерно распределенных, т. е. 'имеющих прямоугольное распре-
деление между 0 и 1. Хотя имеются таблицы случайных чисел, они обычно
получаются с помощью стандартных программ на вычислительной машине.
Распределение переменной х можно описать при помощи нормированной
функции распределения, которая определяет вероятность того, что значение х
лежит между х и х + dx:
fxdx. (DI)
Если область изменения х находится в пределах от а ю Ь, то полная ве-
роятность равна
ь _
(D2)
а
Определим кумулятивную функцию распределения следующим образомз
X
Px~\fxdx. (D3)
а
Теперь мы можем генерировать случайное число Ri и положить его равным
Еж. Соответствующее значение х определяется из уравнения
Fx = ^l. (D4)
Рассмотрим сначала простой пример, в котором переменная х равномерно
распределена между а и 6. Тогда
fx = const, 7
и, согласно (D2), можно записать
fx=l/(b-*a).
Поэтому из формулы (D3) имеем
и, наконец, равенство (D4) дает'
х — а
248
ПРИЛОЖЕНИЕ D
ИЛИ
х = а + R^b — а). (D5)
Этот результат очевиден и из элементарных соображений.
Теперь рассмотрим переменную г, распределенную между 0 и а таким
образом, что вероятность величины г пропорциональна г. Именно с таким
Рис. D1. Типичная нормированная функция и кумулятивная функция распре-
деления.
распределением мы сталкиваемся при вычислении случайного радиуса в одно**
родном осесимметричном потоке. Тогда
fr = const • г,
и, вновь находя константу из формулы (D2), имеем
fr = 2r/a2.
Следовательно, из формулы (D3)
pfSStr2!a\
и из (D4) тогда получаем
r = a^/?f. (De)
К сожалению, вышеприведенную процедуру можно использовать лишь
тогда, когда есть возможность обратить (D4) для получения функции х от /?ь
Рассмотрим функцию распределения компоненты тепловой скорости в
равновесном газе. Она дается формулой (4.1-3):
/д' =* (р/Ул") ехр (- р2ы'2). (D7)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
24$
Следовательно,
Fur = —=- ( ехр (— р2#'2) du't
уя J
— 00
ЛЛЯ Fe,-*/,{l + ert (₽«')}•
Это уравнение нельзя обратить так, чтобы выразить и' через Rtt и данный
метод не проходит.
Обычный выход — это использовать метод исключения. Чтобы непосред-
ственно использовать случайное число, функцию распределения делят на ее
максимальное значение /max!
(D8)
Значение х тогда выбирается случайно в предположении, что оно равномерно
распределено между сцоими пределами. Затем вычисляется функция fx для
этого значения х и генерируется очередное случайное число Rt. Выбранное
значение х либо принимается, либо отвергается в зависимости от того, боль-
ше или меньше fx, чем Rt. Данная процедура повторяется до тех пор, пока
очередное значение х не будет принято. Так как Rt равномерно распределена
между 0 и 1, то вероятность принятия величины х, очевидно, пропорциональ-
на fx, я принятые значения х имеют распределение fx.
В качестве примера рассмотрим функцию, определяемую формулой (D7).
Ее максимум равен р/у^ при и' =0, так что fu, == ехр (— р2м'2). Равномер-
но распределенное значение и' дается формулой (Е>5), при этом для а и b
выбираются некоторые конечные значения вместо реальных пределов от —об
до -|-оо. Если положить а . и b равными —3/р и +3/р Соответственно, то
часть значений, лежащих за этими пределами, равна 1 —erf (3) или 0.000022
(см. уравнение (4.10)). Таким образом,
u'~(-3 + 6/?f)/p
и
f'-= ехр {—(—3 + 67?f)2}.
Генерируется очередное значение Rt, если f'u, > R& то и' принимается. Если
< Rf, то значение и' отвергается, и весь процесс повторяется до тех пор,
пока очередное значение и' не будет принято.
Хотя метод исключения предполагает процесс многократного повторения,
что может потребовать вычисления большого числа функций и случайных
чисел, его можно использовать почти для любой функции распределения и
легко включить в вычислительные программы.
Для особых случаев имеются дополнительные методы. Один из них дает
прямой способ моделирования пар величин с нормальным распределением,
задаваемым формулой (D7). Эти величины можно обозначить через и' и v't
тогда из формулы (D7) имеем
fu,du'fv,dv' = —=- ехр (— Р2«'2) du' —ехр (— Р2о'2) dv' =
у я уя
«= -Ё_ еХр р2 (^'2 о'2)} du' dv'.
л
Далее положим
и' = г cos О,
V' «в г sin 0. '
(D9)
250
ПРИЛОЖЕНИЕ D
Тогда, так как якобиан ди' ди' cos 6
' д (и\ о') _ дг дЬ
д (г, 0) dv' dv' sin 9
дг дЬ
— г sin 0
г cos 9
то
— 02 ла
fu,du'fv,dv' = — ехр (— p2r2) rdrdQ = ехр (— P2r2) d(02r2) -5—.
Л ZJI
Угол 0 равномерно распределен между 0 и 2л, так что из формулы (D5)
0 = 2^х. (D10)
Переменная ₽2г2 распределена между 0 и оо, и ее функция распределения
fp»r» = exp(-p2r2)
имеет уже нормированный вид. Кумулятивная функция распределения выра-
жается в виде
Fpr> = 1 — ехр (— ₽2г2),
и, замечая, что Rt и 1 — Rf являются эквивалентными случайными величи-
нами, из формулы (D4) получим
r=s V- lntff/р. (Dll)
Пару значений г и 0 можно вычислять по формулам (D10) и (D11), ис-
пользуя последовательные случайные числа Rf. Нормально распределенные
значения величин и' и получаются по формулам (D9) и дают типичные
величины для компонент тепловой скорости в равновесном газе.
Приложение Е
ЧАСТОТА СТОЛКНОВЕНИЯ
В МЕТОДЕ ПРЯМОГО
СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Число молекул в ячейке есть Nm, так что полное число возможных стал-
йивающихся пар молекул равно
Следовательно, сг имеет ряд возможных значений
Пусть Сг, о есть, некоторое фиксированное значение сГ| вероятность появления
которого в заданный интервал времени t равна А Так как пары сталкиваю-
щихся молекул выбираются с вероятностью, пропорциональной
то вероятность выбора пары с каким-либо значением сг есть
Полное число столкновений за время /. получается суммированием по всем
возможным столкновительным парам, т/е.
"р
Сг, т, где т = 1.
(Е1)
,-АГр-
nd
_______L_ У с(П-5)/(Ч-1)
J c(n-6)/<n-D Zj r’m
... . ^ '•<>' cr.O m_t
Выражение (E2) показывает, что указанный интервал времени / выражается
в виде
N
ш-1
и, так как сТ, т сокращается, то
Следовательно, полное число столкновений в единицу времени равно
(М&ХппФ2" У с(Ч-5)/(Ч-1)
(2 )nnW°'^{mT) Np ’
(Е2)
2/СП-1) iA~l /сг т\(п-б)/(^-1)
ЙС(П‘5)/(П-О1
' t,n J \cr.oJ
1=>Р
tfP.
(ЕЗ) ,
или
( 2 7яя^о.т (mJ r . '
Так-как каждое столкновение включает две молекулы, то средняя частота
столкновений! приходящаяся на одну молекулу, есть
(Е4)
\52
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
Полное сечение столкновений для молекул, подчиняющихся степенному за-
кону, равно
Поскольку Fo,% и тг являются константами, последний результат можно
подставить в выражение (Е4): _____
v = naTcr,
и это находится в согласии с формулой (1.6).
Приложение F
ПРОГРАММА РАСЧЕТА СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО
ТЕЧЕНИЯ В ТРУБЕ
PROGRAM TUBE
е
С FR|| MOLECULE ЦШ THROUGH GVLInORIGAL ТУВЕ--ТЕ8Т PARTICLE
С MONTI CARLO prooram
WRITf (91,1) 1
1 FORMAT (> FR|| MOLECULE FLUX THROUGH CYLINDRICAL TUBE’///)
C READ OATS '
RIAD (9Bi|) TL,NTT
2 FORMAT (Fie.f.tift)
WRIT! (fl,3) TL
WRIT! (91,11) NTT
3 FORMAT FLUX RATIO* FOR LENGTH-RADIUS GATIO OF '♦FLO**’ 1
11 FORMAT (» BASED ON *,110,* REPRESENTATIVE TrAJICTDR I
NDsO
NT»0-
C NO IS THE NUMBER PASSING OIR|CTLV THROUGH» AND NT IB. THE TOTAL
C NUMBER THROUGH
Oo A N«1»NTT
C LOOP A f* OVER THE NTT TRAJECTORIES
rm«bbrt(Rnom( *iH
c rm IB the random radius of entry
CALL OOEM(AL,AM,AN)
X»aI*(Rm«AM*EORT C AM»AM#( lrRM»RM) »AN«ANH/UM»AMaA*.AN)
c x is x co-oro, or tmi F|ht iWheim m mimk
IF (X.GT.tL) Go TO 9
6 CALL DCEMlAM,AL,Aff)
XsX*2.*AL»aM/<AN»AN*4M*AM)
Л X IS NOW THE 00-0*0* OF A SUbSECUIHT INtlRSEGTlON
IF (X»LT,0) GO TO 4
if (x.dt ,tL) Goto J
•GO TO 6
s nosnO*:
A NTbNT+J
4 CONTINUE
FO=FLOAT(NOI/NTT
FTsFLOaT(Nt)/NTT
WRITE (31»9) F6
write (31,10) FT . x \
9 FORMAT (> FRACTION PASSINO THROUGH 1Ш PIMOTLV вбПЫ)
IB FORMAT (» ANO TNt TOTAL NUMBfh FRACTION A *♦F10,J////)
STOP
• ENO
subroutine ocem(Dip»oci»oci)
€
C GENERATES DIRECTION COSINES OF TVPlGAl MOLECULE IN EFFUSING
c OR EMITTED GAS
c
C OOP Is WITH THE DIRECTION of E-FFUSIOIO 001 ANO 00^ ARE WITH
254
ПРИЛОЖЕНИЕ F
T'Nd'ftMAL 0 I ITtC T f '0N8
DCPxSflRT(RNDM(-1))
AaSQRTfX.rDCPaQCP)
B*6«26318531PRNDM( *1)
DCt«A»COS(B)
0C2»A*SIN(B)
RETURN
IND
' ASSEMBLER
i
RNOM(-l) GENERATES A RANDOM FRACTION BETWEEN 0 AnD 1 .
(O.A. MIHAILOV»*’SOME ASPECTS OF METHODS OF MONtE-CARLO »• ]
-NOVOS I BlRSKjNAUKA>1974,)
RNDM I » name»
» NTR <>
t UTC. (RANDI
i XTA t
- t t UTC |A1 A#X * VTA »0100B
t t » NTR UTC »RAND1 ' ATX ,
» A*X t NTR »6
UJ- ,
RANDI • i OCT rtOOOOOOOOOOQOOOl
Al : » । OCT..(4013064257027309 END jRNDM
central processor time on besm-6
COMPUTER « USecoNDS
FLUX RATIOS' FOR LENGTH-RADlUS RATIO OF 1 «ОМОО
BASED ON 5000 REPRESENTATIVE TRAJECTORIES
FRACTION PASSING* THROUGH TUBE OIRECTLV O’« 3630 0
AND THE TOTAL NUMBER FRACTION « 0,60700
Приложение G
ПРОГРАММА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЗАДАЧИ РЭЛЕЯ
PROGRAM Rayle
с MONTE CARLO SIMULATION Of RAVLIIGH PROBLEM
C DIMENSION P(4»2000 )»LOR(1000 )»C(3»10)>IC(t»10)»SC<T•101ВIfSS(T»S
1),VRO(3)»OP(10 )
c P(4,N> is V COORDINATE OF MOLECULE N
C LCR(M) CONTAINS THE Й MOLRCULtxNUMBSRS ARRANGED IN ORDER
€ OF THEIR CELLS
C
С C ( 3» L ) »IC ( 2 » L ) CONTAIN INFORMATION ON UP TO L CELLS
c c(x.n) is^the v coordinate of Cell n
c c<2»N) is the time in cell n
6 co»N) IS THE maximum relative veloHti in collisions in cell n
C IG(1«N) CONTAINS THE number of molecules IN COLL n
C ictliN) CONTAINS (STARTING aOReSS-1) FOR MOLECULES OF GfLL
C N IN LCR(M)
C z
C SC(T.LiJ) CONTAINS SAMPLED InFORMATIO ON UB TO L CELLS AT
C UP TO J TIMES
c $C(i»N,j) number in sample for cell n at time 1
C sc<2»N»J),sets»N»J) ARE SUMS OF U ANO V MOLECULAR VELOCITIES RESP,
C SC(4»N,J),SC(5»N,J)»SC(6»N,j) ARE SUMS OF U«U»V»V»W«W/'RfiSPEGTlVELV
C SC(?,N,J) NUMBER OF COLLISIONS |N CELL'N OVER TIME INTERVAL J
€
C $s(?»j) CONTAINS SAMPLED INFORMATION AT SURFASE IN UP TO
C J TIME interval
C SS(1,N) NUMBER IN SAMPLE O-VER NTH,- TIME INTERVAL
C SS(2,N)tSS(3»N) INCIDENT,REFLECTED NORMAL MOMENTUM OVER INTERVAL
C SS(a,N),SS(5»N) INCI DENT,REFLECTED PARALLEL MOMENTUM
C SS(6,N),SS(7,N) INCI DENT,REFLECTED ENERGV OVER NTH, TIME INTERVAL
C VRc<3) CONTAINS THE X»V»2 COMPS. OF THE RELATIVE VELOClTV IN
C A COLLISION
C OP(LO) CONTAINS OUTPUT RESULTS
c
WRITE 01.1)
1 FORMAT (/DIRECT MOLECULAR SIMULATION OF THE RaVLE|G« PROBLEM’///)
C READ DATA
READ €50*1003 TW,UW,VM
READ (50.101} MC»NC
READ (50 » 1023. DTN
READ (50*1033 NIS,NST»NSEC
100 format <згю,5)
Ю1 FORMAT (2110)
102 FORMAT (F10.5)
103 FORMAT (316)
C
c data printout
WRITE (51,3) TW,UW
з format^ the rlane v.o is difusselv Reflecting with temperature»
1»F1O.5,/» and VEL0SITV IN TrfE X DIRECTION OF»»F10.5)
"RITE (5-1,4) VM
4 FORMAT^ THE FLOWFJELD EXTENDS TO V«',F10,5/' WHICH IS .TAKEN Т»,
1'0 BE A SPECULARLV REFLECTING SURFES»)
WRITE (51»5> NC»MC
5 FORMAT^ THE FLOWFIILD IS DIVIDED-INTO*•16»• UNIFORM CELLS»»/»EA‘
1’CH INITIaLLV CONTAINING», IS»* MOLECULES’)
wRITE<51»6) OTN
256
ПРИЛОЖЕНИЕ G
4 FORMAT'» THE MOLECULES ARE MOVED AT TIME INTERVALS OF»,FiO#5)
WRITE <31,?) NtS.NST
7 format-'» properties sampled every »,ie,» intervals and run sto*
1»PS»/» AFTER-»,16И SAMPLINGS»)
write (31,0) NSEC
8 FORMAT (» »,|8»» SECONDS* OF COMPUTER TIME ARE AVAILABLE AND RUNS
1/» CONTINUE AS LONG AS TIME IS AVAILABLE»///)
WRITE (51,9)
о format <» normalisation of variables is as follows»/)
write
10 FORMAT (» A LENGTH IS LRN6TH/L, WHERE L IS THE MEAN FREE PATH IN
' 1» THE»/» UNDISTURBED 6aS»)
. WRITE CBlMl)
11 FORMAT (» A VELOCITY IB VELOCITY^, WhEBE В IS THE RECIPROCAL 0»
1’F»/’ THE MOST PROBABLE MOLECULAR SPEED IN THE OAS»)
WRITE (51,12>
12 FORMAT (» A TIME IS TlMR/(S«L)»)
WRITE (51,13)
- 15 FORMAT .<» A TEMPERATURE IS TEMPER aTURE/T’, WHERE T IS THE TEMPERA
1»TURE*/» OF THE UNDISTURBED OaS»)
WRITE (51,14)
14 FORMAT (» A DENSITY IS PeNSITV/D, WHERE 0 IS THE DENSITY OF THE»
1/» FREESTREAM GAS')
WRITE (51*15)
13 FORMAT (• a NUMBER FLUX IS FLUX*B/N» WHERE N IS THE NUMBER DgNSI
1,»TV»/» OF THE UNDISTURBED GAS')
WRITE (31,16)
16 FORMAT (»A PRESSURE IS PRESSURE*B»B/O, SIMILARLY FOR SHEAR SIR»
1»£SSES»)
WRITE (51,1?)
1? FORMAT (' a HEAT FLUX IS HEAT FLUX»B«B»8/D»///)
С THS PLATE IS ASSUMED TO HAVE UNIT aR|a
C
C SET CONSTANTS
»E «>•1*1595
ZCHAVM/NC
G CH IS CELL WRIGHT
VNMsSGRT(TW)
C VNW IS THE MOST PROBABLE MOLECULAR SPEED ДТ THE WOLL TEMPERATURE
C (NtB BOTH T AND В ARE UNITY IN THE UNDERSTORBED GAS, THEREFORE
C GAS CONST.bO.5)
. . FNO«MC/CH
e fno is the UN-normalised undisturbed gas number density
CXS«1«/(SftRT(2ф)»FNO)
C, CXS IS THE COLLISION CROSS SECTION OF THE HARD SPHERE MOLECULES
c (Since mean free path «1 in undistorbed gas of number density fnd>
NRUNbO
c working variables and THOSE with OBVIOUS meaning are left*undefined
do 21 N«X,NC
21 C(1»N)ж(N-0.3)»CH
nm«nc«mc
C NM IS THE (CONSTAN?) TOTAL NUMBER OF MOLECULES
ACU«0TN«NIS»MC»FND*CXS»BRRT(2t/PI)
c acu is the number of collisions per cell per sampling interval
C IN U-NOIST» GAS
VRN«2•*SORT(2।/PI)
c vrn is the averige relative speed in undisturbed gas collisions
C I
c set sampling variables to zero
DO is N»1,NST
DO 16 M«l,7
SS(M,N)sD
DO 16 LS1,NC
18 $C(M,L,N)«O
c
C START OF RUN f
20 NRUN»NRUN*1 f
CALL CTI ME(CKOM,TSR)
С TSR IS THE COMPUTER TJME AT THE START OF THE RUN
ПРОГРАММА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ РЭЛЕЯ
257
С in!<1 AL STATE Of THE GAS WILL NOH BE SET
00 22 N«1,NC
C(2»N5sRNDMtwl)*2,«СН/(NC»M^«CXS»VRN)
c ‘initial cell'•time-is д Random fraction Ofr the mean collision
c TIME INCRIMENT
C(3>N)X2,*VRN
c MAXIMUM RELATIVE VgLOClTV WILL BE RES|T IF FASTER ENCOUNTERS OCCUR
DO 22 Mxl,MC
P(A,J)8CUiHH(RNDM<*1>-0.5)«CH
DO 22 L«l»3
Bx$RRT(-ALOGJRnDMI-1)))
Ax2.•PI*RNDMj•X>
22 P(L,J)xB«$HU>
DO 23 JxXrNST
6
C LOOP OVER SAMPLING INTERVALS
DO 24 I «1, N IS
C
C LOOP OVER Ш TIME INTERVALS WITHIN SAMPLING INTERVAL J
T|ME»((J«1)*NIS♦1)*OTN
C TIME IS THE OVERAL FLOW TIME
C
C MOLECULES NOW MOVE APPRGPRIATELV TO TIME INTERVAL DIM
DO 25 N«1,NM
VaP(4,N)*P(2/N ) «DTN
IF (V.LT.VM) GO TO 26
C
C .MOLECULE REFLECTS FflOM spe.cularv REFLECTING plane at v«vm
Vsx.9999999«VM-V
P(2»N)e-P(2,N)
26 IF CV.GT.^.) GO TO 25
C MOLECULE REFLECT FROM WALL AT VaO
OTR = OTN»y/bV-P(4»N))
IF ( OTR . LT . 1, E-iO) DTRxX.E-10
c dtr is time Remaining after molecule strikes wall
P(X»N)xp(x>n;-uw
c this changes frame of referense for sampling wall properties
s s t x, J > = s s < x t J) ♦ 1
SS(2»j)sSS(2 I J)-P(2»N)
SS(4,J)=SS(4,J)+P(X>N)
SS(6»J)sSS(6,J)*0.5*<P(1»N)*P(X»N)*P(2»N)*P(2,N>*P(3»N)»P(3»NM
c INCIDENT MOLECULE SAMPLING HAS BEEN SET (MASS OF MOLECULE I* UN|TV)
BsVNM«SftRT(-ALQG(RNDM(-l)))
A»2.»PI«RNDMC-Х>
P(X»N)sB*S!N(A)
P(3»N)=B»COS(A)
P(2»N)aVNM«SQRT(-AL0G(RNDM(-XI))
VaP(2»N)»DTR
SS(3>J)aSS(3।J)*P(2»N)
SS(5•j)«SS(51 J>♦P(x»N ) ,
SS(7»J)«SS(?IJ>*O.5»(P(X,N)«P(X>N)*P(2»N>»/P(2>N)*P(3»N)»P(3»N))
P( X»N)xP( XiNHUW
c reflected molecule properties andsampling have now been set
25 P(4>N)sV
C
c MOLECulAR indexing will now be set
do 27 NxXiNC
27 IC( 1>N)?O
DO 2d №1,NM
Msp(4»N)/СH♦0»9999999
IF (M.EG.Q) M«x
C ABOVE STATEMENT IS TO GUARD against rqund-of error
26 IC(X»M)=IC(
MxQ
00 29 N« X » NC '
9 Г. Бёрд
258 *
ПРИЛОЖЕНИЕ G
!С <2»N )=М
МхМ*Ю( 1 ,N)
29 IC? l»N)>0
DO 30 N=1,NM
Map(4,N)/CH*0.9999999
IF (M.EO.O) M«X
I C ( 11 M ) « I c ( 1»M ) ♦ J
Kx!C(2»M)*!C(1,M)
30 LCR(K)«N
C
C CALCULATE COLLISIONS
DO 24 N«1»NC
IF (C(2»N) .GT.I1ME) GO TO 24
IF ( I С(X , N ) . GE, 2 I GO TO 32
C(2»N)«С(2»N)*DTN
C COLLISIONS BYPASSED IF CELL TIME EXCEEDS TIRE OR IF ONLY ONE
C MOL. IN CELL
60 TO 24
32 KxRNOMC•1)•IС(1»N ) *IC(2»N)*0.9999999
IF (K.EQ.1C(2»N)) K«K*1
LaLCR(K)
33 KaRN0M(«i)»lC(i»N)*1C(2»N)*0,9999999
IF (K,EQ.IC(2»N>) K«K*1
MxLCR(K)
IF (M.EG.L) GO TO 33
C TWO MOLECULES/HAVE BEEN SELECTED AT RANDOM FROM CELL N
DO 34 K«X»3
34 VRС(К)«P(КiL)-P(К, M)
VRxSQRT(VRC(1>•VRC(X)*VRC(2>*VRCt 2)*VRC13>*VRC(3))
C VR IS THE RELaTIV SPEED OF THE MOLECULES
IF (VR.GT.C(3»N)) C(3,N)»VR
A«Vft/C(3iN)
BbRNDM(-X)
If CA.LT .0 > QO TO 32
c PROBABILITY of COLLISION OF PaIR IS PROPORTIONAL TO VR FOR
C HARO SPHERE MOLS,
C(2»NIaC(2»N|*2,«CH7(IC <1>N)•IC(1»N)«СX$•VR)
C THE CELL TIME HAS.BEEN ADVANCED BY THE AMOUNT APPROPRIATE TO
C THE COLLISION
$C(?»N,J)x5C(7,N»J)♦1
6»1,-2.«RNDM{- 1)
AeSQRTf X ,-6»B>
VRC(1)«B»VR
0*2 ,«PI«RNOMt-XJ
VRC(2)3 A *C0S(В)•VR
VRC(3)*A«S 1N(В>*VR
C VRC(3) NOW CONTAINS THE COMPONENTS OF THE POST COLLISION
c relative velocity . *
DO 34 Kwl»>
VCCMs(P(K»L>*P(K»M))»o.»
C VCCM IS THE APPROPRIATE COMPONENT of the centre of mass vel«
C OF COL, PAIR
P(K»L>«VCCM+VRC(K)»0,3
34 ₽(K»M) tVGCM»VMU>
IF (C(.2,ft) .LT.TtfE) GO TO 32
24 CONTINUE
c
C FLOW FIELD WILL NOW BE SAMPLED
DO 23 N«1,NC
K«IC(X,N)
DO 23 MsX'K
LL=iC(2»N)*M
LxLCR(LL)
SC< 1»N,J)xSC(X,NiJ!♦!
SC42,N,J)»SC(2fN,J)+P(l,l)
SC(3»N,J)s$C(3»N,J)*P(2»L>
DO 23 KKS1.3
23 SC(KK*3«N,J)itSC(KK«3»N,Jl*P(KK,L>*P(KK>L)
C CHECK whether there is TIME FOR A futheR Run
CALL CTIME(CR0m/TER )
ПРОГРАММА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ РЭЛЕЯ 259
TFR«TER-TSR
с T£R 1$ COMPUTED TIME дТ |N0 OF RUN ДНО TFR IS COMPUTED TIME FOR RUN
If (NSEC-TER,GT♦1.5*TFR ) GO TO 20
C NO TIME FOR FURTHER RUN , SO PRINT RESULTS
WRITE (51,31)
JI FORMAT (» SURFASE PROPERTIES*///)
WRITE <51>3T)
>7 FORMAT (’ TIME INTERVAL SAMPLE NUMBER*
1» PRESSURE»)
WRITE (51,38) x
38 FORMAT (» FROM TO SUE FLUX’
i* incident Reflection
13? FORMAT (• TIME INTERVAL’
1» SHEAR STRESS HEAT FLUX’)
138 FORMAT (» FROM TO ’ '
i’ incident Reflected incident reflected*/)
Do 39 N»1,NST
OP(1>«<N-1)«DTN»NIS
OP(2)»N«0TN«NIS
OP(3)«SS(I,N)
a>nrun»nis»dtn»fno
DO AO M>A,10
40 OP(M)«SS(M-3|N)/A
39 WRITE (51,41) 0?(1)»OP(2)tОP(3)»ОPI A)»OP<SI.OP 18>
WRITE (51113?)
WRITE (5Ш36)
DO 139 N«1,NST
OPt1)»(N-1)«DTN«NIS
OP(2)AN»OtN»NI S
OP ( 3)->SS (1, N)
AsNRUNaN!$»DTN»FNO
DO 1A0 M>4»10
140 OPCM)8$5(M-3fN)/A
139 WRITE (51,141) OP(1)»ОP(2)»OP(?)»ОP(8)tOP(9 )»OP(10 )
141 FORMAT (1H »2F9.5i4Г10.$)
41 FORMAT (1H »2F9,5,Г10•0»3F10•5>
DC 42 J«1»NST
AxJ»DTN»NIS
WRITE (31,43) A
43 FORMAT (» FLOW FIELD PROPERTIES AT TIME «’»F10«5//)
WRITE (51,44)
44 FORMATS CELL V CO-ORD SAMPLE DENSITY X-V|Lt V-V|L,’
1* CELL»)
OO AS N«1,NC
OP( l)«SC(l,NfJ }
OP(2)'OP(1)/(NRUN«MC)
OPC3)«SC(2»NtJ)/OP(1)
OP(4)'SC(3>N,J )/ОР(1)
OP(5)=2.*<SC(4,N,J)/ОР(1)"OP(3)*0P(3)) '
OP(6)«2»#(SC(5,N,J)/OP(1)-OP(4)«OP<4))
ОP(?)=2,•SC(6,N,J)/ОР(1)
OP I 8)*(OP(5) + OP(6)*OP(?) )/3.
OP(9)=SC(7,N,J)/(NRUN*ACU)
45 WRITE (51,46) N>C(1»N),(OP(L)»L«liA)>N
WRITE (51,104)
10A FORM-ATi» CELL X-TEMP. V-TEMP, l-TEMP. ?|MP%’a
1» COLL, RATE CELL’ )
DO 145 NsitNC
145 WRITE (51,146) N*, ( OP ( L ) » L ' 5,9 ) , N
46 FORMAT (’ »,|4,F10.5»F9.0,3F10,5,16 )
146 FORMAT (’ ’,!4,5F10,5,16)
42 CONTINUE
STOP
END
9*
260
ПРИЛОЖЕНИЕ G
DIRECT MOLECULAR SIMULATION OF THE RAVLE1GH PROBLEM
THE RLANE VsO IS DIFUSSELV REFLECTING WITH TEMPERATURE 1,00000
ANO VELOSITy IN THE X DIRECTION OF 0.10000
the flowfield extend* to vs 10,00000
which is taken to be a specularlv reflecting surfes
THE FLOWFIELO is DIVIDED INTO 20 UNIFORM CELLS»
EACH INITIALLV CONTAINING ' so molecules
The MOLECULES are moved AT TIME INTERVALS OF 0.17725
propeR-Ities sampled eveRv 5 intervals and run stops
after 5 samplings
1024 SECONDS of COMPUTER TIME ARE AVAILABLE AND RUnS
CONTINUE AS long as time is available
NORMALISATION OF VARIABLES IS AS FOLLOWS
A LENGTH IS LENGTH/Li WHERE L IS,THE MEAN FREE ₽ATH IN THE
.UNDISTURBED GAS
A VEL0C1TV IS VELOCITV»B» WHERE В IS THE RECIPROCAL OF
THE MOST PROBABLE MOLECULAR SPEED IN THE GaS
A TIME IS TIME/(8»L)
a temperature is temperature/t, where t is the temperature
OF THE UNO ISTURBED GAS .
A OENSITV IS OENSITy/O, WHERE D IS JHE DENSITV OF THE
freestream GAS
A NUMBER FLUX IS FLUX»B/N, WH£RE N^S THE NUMBER OENSItV
of the undisturbed gas
a pressure is pressure.b«b/d, similarli for shear siress^s
a HEAT flux is HEAT FLUX»B#MB/0
SURFaSe PROPERTIES
time interval7 SAMPLE number PRESSURE
from TO SUE FLUX INCIDENT REFLeCTJD л
0,00000 0, ,8862* 3377 0,28667 0, ,25603 0. 25518
0.88625 1,77250 3371 0.28816 0.25399 0.25617
1.77250 2,65875 3243 0.27722 0.24828 0.24578
2.65875 3.54500 3313 0.28320 0.24687 0.24955
3.54500 4,43125 3405 0.29106 0.26150 0.25889
TJME INTERVAL ' SHEAR STRESS HEAT ' FLUX X
FROM TO incident Reflected incident reflectet
0.0 0 0 ojr 0.88625’ -0.02883 -0.00529 0.29066 0.28742
0.8862*5 1.77250 -0.02621 0.00487 0.29116 0.29294
1.77250 2.65875 -0.02214 0.00514 0.28756 0.27654
2,65875 3.54500 -0,02192 -0.00360 0.28Ц9 0.28018
3.54500 4.43125 -0,02044 0.00389 0.29263 0.29197
FLOW FIELD PROPERTIES AT TIME * 0.68625
CELL У CO-ORD Sample DENSITV X-VEL. V-VEL. cell
1 0.25000 6650 1,00758 0.03390 0.0 0076 1
2 0.75000 6571 0,99561 -0.0Q916 -0.00746 2
3 1.25000 6616 1.00242 -0.02451 0.00127 3
* 4 1,75000 6549 0.99227 0.00178 0,01740 4
5 2.25000 6616 1.00242 0.01152 -0.00338 5
6 2.75000 6493 0,98379 0.01199 -0.00767 6
7 3.25000 6606 1.00091 0,00957 0.0 0830 7
8 3.75000 6'7 5 8 1.02394 0.00442 -0 .0 0304 8
9 4.25000 6642 1.00636 -0,00001 -0.00736 9
10 4.75000 6578 0.99667 0.01576 -0,00404 10
11 5.25000 6570 0.99545 0,00048 -0.00603 11
12 5.75000 6595 0.99924 0.00697 -0 . 0 1532 12
.13 6.25000 6581 0.99712 0.00111 0.00583 13
14 6.75Q00 6620 1.00303 -0.00820 -0 . 0 0528 14
15 7.25000 6621 1.00318 -0,00098 -0.0 0399 15
16 7.75000 6450 0.97727 -0.00843 0.0 0581 16
J 7 8.25000 6615 1.00227 -0,00099 0 . 0 0057 17
10 8,73000 6610 1.00152 -0.01412 0.01403 16
ПРОГРАММА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ РЭЛЕЯ
261
19 2 0 9.25000 9.75000 6618 6641 1,00273 1.00621 -0.00001 -0.01346 -0.00339 0.01096 19 20
CELL Х-ТЕМР, У-ТЕМР, Z-TEMP, TEMP, COLL. RATE CELL
1 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 1
2 0.96926 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 2
3 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 3
4 0.96928 0.99241 0.99173 0 %98447 0.99Ц9 4
. 5 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 5
б 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 6
7 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99119 7
8 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99119 8
9 0.96928 0.99241 0.99173 0,98447 0.99Ц9 9
10 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99119 10
11 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99*119 1 1
12 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 12
13 0.9^92 8 0.99241 0.99173 0.98447 0.99119 13
1 4 0.96926 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 14
15 0.96928 0.99241 0.991-7 3 0.98447 0.99119 15
16 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99119 16
17 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 7
18 0.96928 0•99241 0.99173 0.98447 0.9ЯЦ9 16
19 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99Ц9 19
20 0.96928 0.99241 0.99173 0.98447 0.99119 20
FLOW FIELD PROPERTIES AT TIME в 1 1.77250
CELL V CO-ORD SAMPLE DENS!TV X-VEL . V-VEL,. CEIL
1 0.2^000 6622 1.00333 0.04963 - 0.0 0043 1
2 0.75000 6558 0,99364 0.01464 0,00728 2
3 1.25000 6639 1,00591 0.00827 . 0.00694 - 3
4 1.75000 6533 0,98985 -0.00172 -0.00135 4
s 2.25000 . 6647 1,00712 -0.00126 0.00416 5
6 2.75000, 6585 0,99773 0.01526 -0.00732 6
7 3.25000 6610 1,00152 -0.00236 -0.01034 7
8 3.75000 6688 1,01333 0,00570 0,00518 8
9 4.25000 6691 1,01379 0.01125 0.00998 9
10 4.75000 6508 0,98606 Ь,005^8 -0.00022 10
11 5.2500.0 6774 1,02636 0.01327 0,00294 11
12 5.75000 6512 0,9'8667 0.00473 -0.01569 12
13 6.25000 6508 0,98606 0.00236 -0.00953 13
14 6.75000 6574 0,99606 -0.00758 -0.00983 14
Д5 7.25000 6531 0,98955 -0.02343 0,01023 15
16 7.75000 6576 0.99636 0.00553 •0.00025 16
17 8.25000 6583 0,99742 -0.00502 0,01046 17
18 8.75000 6575 0,99621 -0.00207 -0,00289 18
19 9.25000 6610 1,00152 -0.00846 -0.00353 19
20 9.75000 6676 1,01152 -0.01184 0.00257 20
CELL X-TEMP. .V-TEMP. Z-TEMP, TEMP , COLL. RATE CELL
1 0.98698 1.03241 0.95956 0.99248 1.02664 1
2 0,98698 1.03241 0.95956 0.99298 ,1.02664 2 *
3 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 3
4 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 •4
5 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 5
6 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 6
7 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 7
8 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298- 1.02664 8
9 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 9
10 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 10
11 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 11
12 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 12
13 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 13
14 0.98698 1.03241 0.95956 0,99298 1.02664 14
15 0.98698 1.03241 0.95956 0,99298 1.02664 15
16 0.98696 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 16
1 7 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 1 7
18 0.98698 1.03241 0.95956 0-. 9929 8 1.02664 18
19 0.98698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 19
20 0.96698 1.03241 0.95956 0.99298 1.02664 20
262
ПРИЛОЖЕНИЕ G
FLOW FIELD. PROPERTIES AT TIME « 2.45875
cell V CO-ORD Sample density x-vel. Y-VEL, cell
1 0.25000 6568 0.99515 0.04816 0.00225 1
2 0.75000 6610 1.00152 0,04696 -0.01330 2
5 1.25000 6675 1.01136 0.02180 -0.00742 3
4 1.75000 6585 0.99773 -0,00206 -0.00535 4
5 2.25000 6545 0.99167 0.00982 -0.00886 5
4 2.75000 6654 1.00818 0,01161 -0.00021 6
7 3.25000 6490 0.98333 0.01160 ' 0.01869 1
8 3.75000 6668 1.01030 -0,00716 ' 0.00092 8
9 4.25000 6657 1.00864 0,0 0727. -0.00122 9
10 4.75000 6720 1.01818 0,00286 0.00427 10
11 5.25000 6613 1.00197 0,01062 -0.00102 11
12 5.75000 6600 1.00000 -0.00430 0.00466 12
- 13 6.25000 6612 1.00182 0,00410 0.00121 13
14 6.75000 6521 0.98803 -0.00503 ' -0.00896 14
15 7.25000 6441 0.97591 0,00248 -0.00153 15
16 7.75000 6592 0.99879 0.00680 -0.00557 16
j 7 8.25000 6576 0.99636 -0.01452 -0.00492 .17
18 8.75000 6529 0.98924 -0.02121 -0.00154 18
19 9.25000 6738 1.02091 -0,00319 0.00382 19
20 9.75000 6606 1.00091 -0.00554 0.00811 20
CE|.L X-TEMP, V-TEMP. z-temp, TEMP, coll. Rate cell
1 0.9’220 0.99599 0.97823 - 0.98881 0.99391 1
2 0.99220 0.99599 0.97823 0•98881 0.99391 2
3 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0.99391 3
4 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0.99391 4
5 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0.99391 5
6 0.99220 0,99599 0,97823 ' 0.98881 0.99391 6 .
7 0*99220 0•99599 0.97823 0.98881 0,99391 7
8 0.99220 0.99599 0,97823 0.98881 0,99191 8
9 0.99'220 0.99599 0.97823 0.98881 0.99391 9
10 Й.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0.99391 10
11 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0,99391 11
12 0,99220 0.99599- 0.97823 0.98881 0,99391 - 12
13 0.99220 0.9959-9 O'.97823 0.98881 0,99391 13 •
14 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0/99391 14
15 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0,99391 15
18 0.99220 0.99599 0,97823 0.98881 0,99391 16
17 0.99220 0.99599 0,97823 0.98881 0.99391 17
18 0.99220 0.99599 0,97823 0.98881 0.99391 18'
19 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0,99391 ' 19
20. 0.99220 0.99599 0.97823 0.98881 0.99391 20
FLOW FIELD PROPERTIES AT TIME * 3,54500
CELL У CO-ORD SAMPLE density X-V4EL, V-VEL, CEIL
I 0.2*000 6659 1.00894 0,04498 0.00211 1
2 0,75000 6 750 1.02273 0.05476 -0,01726 2
3 1.25000 6599 0.99985 0.02417, -0.02416 3
4 1.75000 6460 0.97879 0.02750 0,00265 4
5 ,2.25000 6528 0.98909 0.00012 -0.00547 5
6 2.75O0O 6529 0,98924 0.01679 0.00163 6
7 3.25000 6607 1.00106 0.01040 -0.01064 7
8 3,75000 6653 1.00803 -0,00764 0,00026 8
9 4,25000 6563 0.99439. 0,00401 0,00417 9
10 4.75000 68Ц 1.03197 0,01279 0.00874 10
11 5.25000 6581 0.99712 -0.00515 0,00250 11
12 5.75000 6489 0.98318 0.00644 0.00900 12
13 6.25000 6669 1.00909 0,01137 0.01571 13
14 6.75000 6694 1.01424 -0,02856 0.00940 14
15 7.25000 6476 0.98121 0,00470 -0.00761 15
16 7.75000 6592 0.99879 0.01656 -0.01225 16
17 8.2500Q ' 6507 0.98591 -0.01026 -0,0073fr 17
18 8.75000 6530 0.98939 -0.00007 -0.01435 18
19 9.25000 6656 1.00846 -0.02486 0.00179 19
2Q 9.75Q0Q 665*4 1.00848 -Q/QQ49 4 •0\0039>
ПРОГРАММА ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ РЭЛЕЯ
263
CELL x-TEMP ,. У-ТЕМР. Z-TEMP, TEMP, COLL. RATE CELL
1 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 1
2 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 2
3 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021. 1.02725 3
4 0.99 0 4-9 1.01830 1.02162 1.01021 1.02725 4
5 0.99049 1.. 01850 1.02162 1.01021 1.02725 5
6 0.99Q49 1.01850 1,02162 1.01021 1.02725 6
7 0.99049 1.01830 . 1.02162 1.01021 1.02725 7
8 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 8
9 0.9904? 1.01830 1.02162 1.01021 1.02725 9
10 0.99049 1.01850 1.02162 1,01021 1.02725 10
1 1 0.99049 . 1.01850 1.02161 1.01021 1.02725 11
12 0,99049 1.01650 1.32162 1.01021 1.02725 12
13 0.99Q49 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 13
1 4 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 14
15 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 15
16 0.99*0 49 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 16
, 17 0.990 49 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 17
18 0,99049 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 18
19 0.99Q49 1.01850 1.02162 1.01021 1.02725 19
20 0.99049 1.01850 1.02162 1.01021 1,02725 20
J10W FIELD'PROPERTIES AT TIME « 4.43X25
cell У CO-ORO Sample density X-VEl. V-VEL, cell
i 0.25000 6794 1,02939 0,06219 -0.00568 I
2 0.75000 6649 1.0-0742 0.04819 0.00843 2
3 1.25000 6616 1.00242 0.04201 -0,00106 3
4 1.75000 6457 0.97833 .0.02555 -0.00547 4
5 2.25000 6576 0.99636 0,01770 -0.00058 5
6 ' 2.75000 6432 0.97455 0.01417 0.00247 6
7 3.25000 6729 1.01955 0,01758 -0.00031 7
8 3.75000 6515 0.98712 -0.00145 -0.01158 8
9 4.25000 6569 0.99530 -0.01224 0.00201 9
10 4.75000 6595 0.99924 0.00*62 0.00248 10
11 5.25000 6731 4.0Г985 0.00072 0.02650 11
* 12 5.75000 6518 0^98758 0.01493 . -0.00834 12
13 6.23000 - 6709 1.01652 -0,01135 -0.00307 1.3
-14 6,75000. 6602 1.00030 -0,00600 0.00576 14
15 7.25000 6589 0.99833 -0,00611 0.01526 15
16 7.75000 6598 0.99970 0.01167 -0.00539 16
17 8.25000 6627 1.00409 0.00745 -0.01067 17
18 8.75000 6519 0.98773 -0,00528 -0.01208 18
19 9.25000 6493 0-.98379 -0.01769 -0.00083 19
20 9.75000 6682 1,01242 -0.01061 -0.00341 20
CELL X-TEMP. У-ТЕМР . Z-TEMP. TEMP , COLL, RATE CELL
1 0.99567 0.97433 1.02576 0,99858 1.01058 1
2 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 2
3 0.99567 0.97433 - 1.02576 0.99858 1.01058 3
4 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 4
5 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 5
6 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 6
7 0.99367 0.97433 1,02576 0,99858 1.01058 7
8 0.99567 0.97433 1.02576 0 .*99858 1.01058 8
9 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 9
10 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 10
1 1 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.0-10 58 11
12 0.99567 0.97433 1.02576 0,99858 1.01058 • U ‘
13 0.99567 0.97433 1.02576 0,99858 1.01058 13
14 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 14
15 0.99567 0.97433 1.02576 0,99858 1.01058 •15
16 0.99567 0.97433 1.02576 0,99858 1.01058 16
1? 0.99367 0.97433. 1,02576 0,99858 1.01058 1
18 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 18
19 0.99567 0.97433 1.02576 0.99858 1.01058 19
20 0.99567 0.974<3 1,02576 0,99650 1,01058 26 .
Приложение Н
ПОДПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА
МОДЕЛИРУЮЩИХ МОЛЕКУЛ
PROGRAM DEMP
С
С ROUTINE FOR HANDLING VARIATIONS IN THE HUMBER OF
C MOLECULES
C
C THIS IS NOT A COMPLETE PROGRAM
C THE aRRaV P(S.M) CONTAINS the FLOATING POINT INFORMATION
c OF MOLECULE M, AHO IP(3*M) CONTAINS the integer information
C ON THIS MOLECULE
C
№0
C N IS THE MOLECULE COUNTING INTEGER
X N.xN*X
IF (N.GT.NM) GO TO 2
C NM IS THE TOTAL NUMBER OF MOLECULES* ANO LABEL 2 MARKS
C THE END OF THE ROUTINE
I F(I P<1»N).LT.O) GO TO 1
c this is a secondary application OF THE integer lPU»Nn
c and the negative Value tags molecules that have been
C AOOEO in this ROUTINE AS RESULT OF THE DUPLICATION PROCEDURE./
C !P(1»N) IS ALWAYS POSITIVE (E.G, THE CELL NUMBER) IN 1TB,
C PRIMARY APPLICATION ANO IS NOT USED AGAIN BEFORE BEING RESET.
C ' *
C A NUMBER OF STATEMENT MUST BE INCLUDET AT, THIS POINT Тб
c
с (A> move molecule n over time interval dtm to a new location
С (B) IF IT moves outside the simulated region, transfer to
C LABEL 3 *
С (С) OTHERWISE it moves from cell j to CELL к (J MAV BE EQUAL
C TO K)
C (0) IF WEIGHTING FACTORS ARC NOT USED. TRANSFER TO LABEL X
c
IF (J .EQ.K) GO TO 1
BsW(J)/W(K)
C W(I) IS THE WEIGHTING FACTOR IN CELL I
Ms 0
4 IF (B.LT.l) 60 TO 5
M*M4X
B«B-X
GO TO 4
S ASRNOM(-X)
C R’NDM(-l) GENERATES A RANDOM FRACT t ON BETWEEN 0 AND 1
IF (A.LT.B) M=M*1
IF (M.EQ.O) GO TO 3
C THE MOLECULE IS DISCARDED IF .MsO
4F (ftbCQ.X) GO TO 1
C NO FURTHER ACTION IS REQUIRED IF M>X
MxM-X
DO 0 L’liM
ПОДПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА МОДЕЛИРУЮЩИХ МОЛЕКУЛ 265
С* THE MOLECULE is DUPLICATED in The LOOP OVER label <
NMsNM*!
00 7 !el»5
.? P(! »NM)sP( ЬМ) .
00 8 1 = 1,3
8 I P(IiNm)sIP(t»N)
6 IP(1»NM)3-1
GO TO 1
3 00 9 Isl»5
9 P(!,N)sp(I,NH)
00 10 1=1,3
10 1P(1»N)«IP(1|NM)
c molecule n has seen removed through its replacement
C BV MOLECULE Nm
NMcNM-1
NsN-1
GO TO 1
2 CONTINUE
Приложение I
ПРОГРАММА МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЛАКСАЦИИ
ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
PROGRAM MIXTUR
в
С TEMPERATURE RELAXATION IN A HARD SPHERE GaS MIXTURE
С
DIMENSION P(3,3000,3),C(3,6),TC(3»3),SC<3,3),T(3,3>,VM(3,3),VRC(3)
C
C P(L,M,N) CONTAINS INFORMATION ON MOLECULE M OF GAS SPeCIES l
C Nsl,2 ANO 3.F0R X»V AND Z VELOCITY COMPONENTS» RESPECTIVELY
C C(L,N) CONTAINS INFORMATION ON GAS SPECIES L
C Nzl NUMBER DENSITV
C Ns2 MOLECULAR MASS
C Nx3 MOLECULAR DIAMETER
c n84 initial temperature
c ns5 weightin FACTOR
C Nx6 SUM OF SQUARES OF VELOCITIES
C TC(L,M) IS THE THEORETICAL EQU ILIBRI UM'COLL I 5 I ON РдТЕ PER
c molecule of species l with one of species m
C SC(L,M) COUNTS THE ACTUAL COLLISIONS PER MOLECULE OF SPECIE* L
C MOLECULE WITH SPECIES M MOLECULES
C T(L,H) IS THE TIME PARAMETER FOR SPECIES L-M COLLISIONS
c. VM(L|M) is the EXPECTED MAXIMUM RELATIVE VE1OCITV for
C SPECfES L-M COLLISIONS
C VRS(3) CONTAINS the X,V ANO I COMPONENTS OF THE RELATIVE VELOCITY
WRITE (51,1)
i format (///» temperature relaxation jn gas mixture*///)
READ <so»2) NC»NM»NP»OTP
2 FORMAT (3IX0|F10.5)
WRITE (91»3> NC»NM
3 FORMAT {» ’,14,» GAS SPECIES AND A SAMPLE SIZE OF’,!?,' FOR ЕАС»
1,»H» )
WRITE (51,4) NP
WRITE (51,104) OTP
4 FORMAT (» »»|4,* PRINTING INTERVALS»)
104 FORMAT (’EACH EQUAL TO »,F10.5,» TIMES THE MEAN COLLISION TIME*)
DO 5 L=1,NC
READ (SO,6) (C(L,N) »N«1»4)
6 FORMAT (4F10,S)
WRITE (51»7) L
WRITE '(51,107) ( C ( L »N ) , N я 1,3)
WRITE (51,108) C(L,4)
7 FORMAT (» SPECIES*,14)
107 FORMAT (» NUMBER DENSITY »,F10e5,» MASS »»F10.5,
1» DIAMETER »fF10G5)
100 FORMAT (» INITIAL TEMPERATURE »»F10,5/)
5 CONTINUE
C THE NORMALIZATION IS SUCH THAT THE RESULTS DEPEND ONLY ON
c the ratios rather than the absolute values of the molecular ,
C PROPERTIES X.
C THE BOLTZMANN CONSTANT IS CONVENIENTLY SKt EQUAL TO o,5
c
C SET CONSTANT
Pls3.14159265
SpIsSQRT(Pi)
SNSO,
SNTsO,
DO 8 Lsl,NC
SN=SN*C(L,1)
SNTxSNT+C(L*1)»C(L,4)
C SN IS THE TOTAL NUMBER DENSITY ANO SNT IS A MEASURE OF THE TOTAL
C energy
C(L»3)sC(L»3)/C<1»3)
C(L»S)«C(L»1)
C THERE IS AN EQUAL NUMBER OF SIMULATED MOLECULES OF EACH SPtClES ,
C THE NUMBER DENSITY THEREFORE BECOMES THEWE1GHT1NG FACTOR
q(L»$)»Q
РЕЛАКСАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
267
в CONTINUE •
ANMxNM
TFEsSNT/SN
С TFE IS THE FINAL EQUILIBRIUM TEMPERATE #
C gQN (4,41) MAV BE USED TO CALCULATE THE MOLECULAR DIAMETERS
c such that mean collision rate will be unitv in the final
c equilibrium state
A*0.
4 00 9 L«1,NC
DO 9 Msl,NC
AsA*(C(L,l)/SN)»(SPI/2,)«((C(L,3)*e(M,J»)«»2)«C(M,X)»$QRTQ'TFE«<C(L
1,2)*C(M,2))/(C(L,2>*C(M*2))) 1
9 CONTINUE
C( 1,3)«1•/SQRT(A)
*0 10 №2,NC
C(N»3)sC(1,3)*C(N,3>
10 CONTINUE
WRITE (51,38) TFE
38 FORMAT (» FINAL EQUILIBRIUM TEMPERATURE s»,F10,5,/» WITH A MEAN’,
i’collisions rate per molecule of unitv»)
DO 11 L=i,NC
DO 36 MS1»NC
T C ( L , M ) x ( S p I/2 . ) • ( ( C ( L , 3 ) ♦ С ( M , 3 ) ) • • 2 ) *C | M, i) • SQR T ( TF E* < C ( L , 2 ) ♦ C (M,
12))/(0(L,2)*C(M,2) ) )
SC(L,M ) «0 ,
T(L,M)s0,
VM(L,M)s2,«(SQRT(C(L,Z)»C(L,4))*SQRT(C(M,2)»C(M,4)) )
36 CONTINUE
WRITE (51,37) L
37 FORMAT (» THE THEORETICAL EQUILIBRIUM COLLISIONS RATE FOR MOLECUL»
1»ES*»/,*OF SPECIES 414.• WITH SPECIES X ,SPECIES 2, ETC IS )
11 WRITE (51,30) (TC(L,M),Me 1,NC)
c
C SET INITIAL STATE OF MOLECULES
DO 12 L=1,NC
D = SQRT(C(LM)’/C<Li2)>
DO 12 MsltNM
DO 12 №1,3
13 Vs-3,*6.*RNDM<-1) •
A«EXP(-V#V)
BsRNDMC-1)
IF (A.LT.B) GO TO 1>
P(L,M,N)«V*D
12 CONTINUE
00 14 NTel,NP
time=nt»dtp
С
c CALCULATE collisions
DO 15 L=1,NC
DO 15 M=1,NC
22 IF (T(L,M).GT.TIME) GO TO If
16 KsRNOM(-l)«NM*0.999999
IF (K.EQ.O) K«K*1 ,
17 JaRNDM(•1)»NM*0,999999
IF (J.EQ.O) JXJ*1
IF (L,EQ.M.AND,J.EQ.K) GO TO 17
Od 18 N,«l»3
VRC(N)xP(l,K»N)-P(M,J,N)
18 CONTINUE
VRxSQRTCVRCC1)•VRC(1)♦VRC(2>•VRC(2>*VRС I 3)•VRC(3))
IF (VM(L»M)»LT«VR) VM(L»M)«VR
AxVR/VM( L,M)'
BsRNDM(-1)
IF (A,LT.В) GO TO 16
e A SPECIES L-M PAIR HAS NOW BEEN SELECTED
MPxl
BeRNDM(-l)
AxC(L»5)/C(M»5). >
IF (A.GT.l) GO TO 19
268
ПРИЛОЖЕНИЕ I
IF (A,LT ,B ) MPsO
GO TO 20
19 A»X,/A
IF (A.VT.B) LP«0
c lp and mp are the probabilities that the collisions will
C BE COUNTED FOR THE L and M spec IeS»RESPECTiVfiLV
20 CXS8PI»((C(L.3)*C(M,3))t»2)/4,
T( L.M) ST (L.M) ♦FLOAT (LP)/(CXS»C(M,1>«VR«NM) «FLOAT (mP)/(CXS»C(LU>*V
1R*NM)
SC(L,M)bSC(L»M)♦FLOAT(LP)/ANM/DTP
sc гм»l)ssc(Mil)♦float<mpi/anm/dtp
B«i.-2.«RNDM(-i)
A=SQRT(X.-B»B>
VRC(1)=B»VR
Bs2.*Pl»RNDM(-X)
VRC(2>»A»C0S(B)»VR
VRC(3)sA*SIN(В)•VR*
SmsC(Li2)*C<Mr2>
RML=C(L»2)/$M
RMM»C(Mi2)/SM
6q 2X N«l,3
VCCMsRML»P(L|K,N)+RMM«P(MiJ»N)
IF (LP.EQ,X> P(L,К»N)»VCCM«VRC(N)*RMM
IF (MP,EO.X> P(M,J *N)»VCCM-VRC(N)•RML
21 CONTINUE
% GO TO 22
15 CONTINUE
C
C SAMPLE TEMPERATURES ANO PRINTS RESULTS
WRITE (51,23)
. 23 FORMAT (• ».,///)
WRITE (51,24) TIME
24 FORMAT (» RESULTS AT TI ME *>FXO . 5/) . .
AsO.
00 23 L=X>NC
OO 29 M=1,NC
AsA*SC(L,M)*C(L,1)/SN ‘
29 CONTINUE
WRITE (51*26) A
26 FORMAT (» MEAN COLLISION RATE PER MOLECULE OVER PREVIOUS TIME IN»,
1•TERVAL *,F9•5>
WRITE (51*27)
27 FORMAT (» INDIVIDUAL COMPONENTS OF THIS COLLISION RATE»)
DO 26 L»1,NC
WRITE (91.29) l * .
29 FORMAT (» SPECIES»»14,» MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPECIES 2 AND».
1» 50 ON» ) '
WRITE (91*30) (SC(L.M).Msl.NC)
30 FORMAT (» ».4FX2»9)
26 continue
• DO 31 L«1.NC
DO 31 M>X*NM
DO 31 №1,3
C(L * 6 ) >C ( L » 6 ) ♦ P( L*М»N ) »P ( L*. M,N )
31 CONTINUE
TF«O*
DO 32 L»1»NC _
TFsTF«C(L»l)*C(L»2)«C(L.6)
32 CONTINUE
TF«O.6666667»TF/(ANM»SN1
WRITE (91,33) TF
33 FORMAT (» OVERALL TEMPERATURE s»,F10.9)
DO 34 LS1,NC
As0 ( 6666667•C(L,2)*C(Lf6 )/ANM
WRITE (51,35) l.A
35 FORMAT (» TEMPERATURE OF SPEC IES»,14,* • »,F10 51
C(L.6)so,
DO 34 MaX,NC
SC(L,M)xo.
. 34 CONTINUE
РЕЛАКСАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
269
14 CONTINUE
STOP
EN&
central processor time ON BESM-6
COMPUTER « 429 SECONDS
temperature Relaxation in gas mixture
3 GA$ SPECIES ANO A SAMPLE SIZE OF .3000 FOR EACH
60 PRINTING INTERVALS
EACH EQUAL TO 0,50000 TIMES THE MEAN COLLISION TIME
THE EQUILIBRIUM MtHTURE
SPECIES 1 NUMBER DENSJTV 1,00000 Мд-SS INITIAL TEMPERATURE 9.00000 1.00000 DIAMETER *1.80000
SPECIES 2 NUMBER OENSITV 1,00000 .MASS INITIALiTEMPEftATURE 5.00000 3.00000 DIAMETER 2.COOOO
SPECIES 3 NUMBER DENSITV 1,00000 MASS INITIAL TEMPERATURE 1.00000 10.00000 DIAMETER 0.50000
FINAL EQUILIBRIUM TEMPERATURE s WITH Д meangolli*!ONS rate per 5.00000 molecule of unitv
THE THEORETICAL EQUILIBRIUM COLLISIONS RATE,FOR MOLECULES
OF SPECIES/ 1 WITH SPECIES 1 ,SPECIES 2» ETC IS •
0.32080 0.58935 0.13383
THE THEORETICAL EQ-UILURIUm COLLISIONS RATE FOR MOLECULE*
OF SPECIES 2 WITH SPECIES 1 »SPEClES 2» ETC IS -
0.58935 0.74086 0.23332
The THEORETICAL EQUILIBRIUM COLLISIONS rate for MOLECULE*
of SPECIES 3 WITH SPECIES 1 .SPECIES 2» ETC 1$ -
0.13383 0.23333 0.02536
RESULTS AT TIME 0,50000
MEAN COLLISION RATE PER MOLECULE OVER PREVIOUS TIME INTERVAL 1,18173
INDIVIDUAL COMPONENTS OF THIS COLLISION RATE
SPECIES 1 MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPECIES 2 ANO SO ON
0.44267 0.75400 * 0.16733
SPECIES 2 MOLECULE WITH SPECIE* 1 , SPECIE* 2 AND SO ON
0.75400 0.78400 0.23067
SpeCIeS • 3 MOLECULe WITH SpECIeS 1 » SPeCIgS 2 AND SO ON
0.16733 0.23067 0.01467
OVERALL TEMPERATURE = 5.00494
temperature of species i з 8.25581
TEMPERATURE of SPECIES 2 3 5.37187
temperature of species з s х.звтхб
Results at time 1,00000
mean COLLISION RATE PER MOLECULE OVER PREVIOUS TIME INTERVAL 1.13111
individual components of this collision rate
SPECIES 1 MOLECULE WITH SPECIES X , SPECIES 2 AND SO ON
0.38933 0.72067 ' 0.16133
species 2 molecule with species 1 » species 2 and so on
0.72067 0.77733 0.22333
*₽ECIeS 3 MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPECIES 2 AND SO ON
0.16133 0.22333 0.01600
overall temperature = 5.00494
TEMPERATURE OF SPECIES 1 з 7.747J5
temperature of species 2 « 5.52906
temperature of specie* 3. * 1.73843
270
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Results *t пив г»,»оооо
МЕДN‘ COLL ISI ON RATE P£R MOLECULE OVER pREVIOUS TIME Interval 0,96973
individual components of this collision Rate SPECIES 1 MOLECULE WITH SPECIES 1 t SPECIES 2 and SO ON
0.31067 0.59335 0,12667 SPECIES 2 MOLECULE WITH SPEGUS 1 , SPECIE* 2 and SO ON
0.59333 0.73600 0.23000 SPECIES 3 MOLECULg WITH SPECIE* 1 » SPECIE* 2 AND SO ON
0.12667 , 0.23000 . 0.02267 OVERALL TEMPERATURE s 5.00494 TEMPERATURE OF SPECIES 1 s 4.69742 TEMPERATURE OF SPECIES 2 s 5.06254 TEMPERATURE OF SPECIES 3 ж 5.09483
ReSUlTS AT TIME 30,00000
MEAN COLLISION pate PER MOLECULE TVER PREVIOUS TIME INTERVAL 0.99333
INDIVIDUAL COMPONENTS OF THIS COLLISION RATE SPECIES 1 MOLECULE WITH SpecUS 1 . SPECIES 2 AND SO ON -
0.31067 0.60000 0.12600 SPECIES 2 MOLECULE WITH SpEClES 1 , SPECIES 2 AND 0.60000; 0.72800, 0.23333 SPECIE*. 3 MOLeCULe WITH SPECIE* 1 ’ SPeCIe* Я AND 0,12600 . 0.23333 '*0.02267 OVERALL TEMPERATURE « 5.00494 TEMPERATURE OF sPEtlES 1 * 4.88632 TEMPERATURE OF SPECIES 2 s 5.0901? TEMPERATURE OF SPECIES 3 > 5.03835 so so ON
Приложение J
ПРОГРАММА МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЛАКСАЦИИ
ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНОГО ГАЗА
С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
pR06RAM INTERN
С INTERNAL TEMPERATURE RELAXATION IN A HOMOGENEOUS' GAS «UH ENERGY
C SINK MODEL
C
DIMENSION P(4,4000)»VRC(3)
C P(4,M) CONTAINS INFORMATION ON UP Тб M SIMULATED MOLECULES
C P<l,N) ,P(2»N),P<3»N) ARE THE U,V ANO * VELOCITY COMPONOENTS
C OF MOLECULE-N
c p(4«n) is the internal energy of molecule n
c vrc(3) contains the x,v and I components of the Relative vel,
c in a collision
C VCM(3) CONTAINS THE x,y and Z components of the centre of MASS
C VELOCITY
c NORMALIZATION OF TEMPERATURE IS TO THE INITIAL TRANSLATIONAL
С TEMPERATURE
C NORMALIZATION OF TIME IS TO THE PRODUCT OF THE MEAN FREE PATH
С and THE INVERSE of the most probable molecular speed in
c the initial Gas
C OF THE MOST PROBABLE MOLECULAR speed in the initial CaS
PRINT i
I FORMAT (» INTERNAL TEMPERATURE RELAXATION»///)
c
c read data
Read <50,2) NM»KTM»DF| ,TFAC»TIN»OTP|NT
2 FORMAT (21X0t4F10,5»110 )
PRINT 3 NMiDFI
3 FORMAT (» »,I6,» MOLECULES HAVING ’,Г10АЪ‘ INTERNAL DEGREES OF»
1» FREEOUM»)
IF (K-TM.EG.O) PRINT 4
IF (KTM.EQ.X) PRINT 5
4 FORMAT. (• HARD SPHERE MOLECULES»)
5 FORMAT (» INVERSE 9TH. POWER MOLECULES»)
PRINT 6 TFAC
6 FORMAT (» TRANSFER FACTOR n»»F10.5>
PRIM 7 TIN
7 FORM^M» initial ratio OF internal to translational temperature»
X» .«»tFfo,5)
PRINT 8 NT,OTP
8 FORMAT (» »»J4»* PRINTING INTERVALS, EACH OF 'UlQ,9//>
C
c SET CONSTANTS
PI«3.14X592654
IF (КТМ.ЕЙ.О) CXSmSGRT Г0.5)
If (KTM.ECl.X) CXS«2.57
c CXS IS The COLLISION cross SECTION for HARO SPHERE MOLECULES
c OR THE EXPRESSION OF eQN (8,17) FOR INVERSE NINTH POWfR
c MOLECULES
IF (KTm.EG.O) BN«2.
IF (KTm.EQ,1) BNsl ,7$
C 8* IS THE C CFE F FIС T OF KT IN THE MEAN TRANSLATIONAL RELATIVE ENERGY,'
TC = O,
С TC IS THE TIME COUNTER FOR COLLISIONS
NCOLsO f
C NCOL IS THE NUMBER OF COLLISIONS
IF (KTM(EQ.O) VRM«2.
IF /КТм.ЕО.Х) VRMpX.S
c VRM is The maximum relative velocity <or its square Root
c FOR INVERSE NINTH POWER MOLECULES) IN A COLLISIONS
£ (It j$ reset as necessary)
272
ПРИЛОЖЕНИЕ J
с set initial state of gas
Oo 9 Msl»NM
DO 10 N=l,3
11 V s - 3 , ♦ 6 . • R N DM ( • 1. >
AsEXpI-V«VX
BsRNDM(-l)
IF (A.LT.B) GO TO 11
P(N,M)sV
io continue
P(4»M)=(DFI/4.)*TIN
9 CONTINUE
DO 33 K=1,NT
TIME=K»DTP
C CALCULATE COLLISIONS
12 IF (TC.GT,TIME) GO TO 13 1
14 JsRNDM(-1)0,999999
IF (J.EQ.O) J=1
15 L=RNDM(- 1)#NM*0,999999
IF (L.EQ.O) L=1
IF (L.'EQ.J) GO TO 15
VRRsQ,
DO 16 №1,3
VRC(N)sp(N, J)-p(N,L)
VRR»VRR*VRC(N)»V*C(N)
16 CONTINUE
VRsSQRT(VRR)
IF <KTM»EQ,0) VREsVR
IF (KTM.EQ.l) VREsSQRT(VR)
C PROBABILITY OF COLLISION IS PROPORTIONAL TO VRfi
IF (VBE.GT.VRM) VRMsVRE
AsVRE/VRM
BeRNDM(-l)
IF IA.LT.B) GO TO 14
C SELECTIONS OF COLLISIONS PaIR HAS NOW been made with
C APPROPRIATE PROBABILITY
TCsTC*(2./FLOAT(NM))/(CXS»VRE)
NCOL=NCOL*1
C TIME and COLLISIONS COUNTER HAVE NOW BEEN ADVANCED
AsVRR•DFI•0.125/BN
C A IS THE AVERAGE EQUILIBRIUM MOLECULAR ENERGY APPROPRIATE
C TO THIS COLLISION
0 ER J = T F A C • ( P ( 4 , J ) - A )
DERLsTFAC*(P(4#L)-A )
P(4,J)sp(4,JJ-DERJ
P< 4»L)cP(4>L)-DERL
VRR=VRR+(DERL*DERJ)*4.
VRFxSQRT(VRR)/VR
C ENERGY HAS NOW BEEN TRANSFERRED BETWEEN THE TRANSLATIONAL
C AND INTERNAL MODES
C VRF IS THE FRACTIONAL CHANGE IN THE MAGNITUDE OF THE POST
C COLLISION RELATIVE
C VELOCITY AS A CONSEQUENCE OF THIS TRANSFER '
IF (KTM«EQ*0) GO TO 1?
C
C INVERSE NINTH POWER COLLISIONS MECHANICS
WAsSQRT(RNDMI-1))»1«5
EPSx2♦•PI•RNOMt-1 )
C IMPACT PARAMETERS HAVE BEEN CHOSEN WITH APPROPRIATE PROBABILITY
AsWA*(1.26233*WA»(l,e*145*WA*(-6.87861+WA»(20.3313*WA#
1(-23.6155*WA«( 14.5046♦WA»(-4,4202?*WA*0.935193)))))))
CHl8Pl-2.»A ,
COCOS (CHI )
SCsSIN(CHl)
CEsCOS(EPS)
SEsSIN(EPS) «
OUxVRC(l)
DV=VRC(2)
0WsVRC(3)
A*SQRT(О V•0V*0W»DW}
РЕЛАКСАЦИЯ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
273
VRC(1)s(DU*CC*SC»SE*A)«VRF-
VRC(2)s(DV»CC+SC»(VR«DW*CE-DU*DV«SE)/A)*VRF
VRС(3)s(Dh•СС“SC•(VR•ОV»СЕ♦DU•DW»CЕ ) /А ) *VRF
GO ТО 18
С HARD SPHERE C0LLtSfoN MEX^NlCS
17 Bsl.-2,«RNDM(-1)
assort(i ,-b*B)
vrc (i>sb»vr*vrf
6=2,*pi»RNDM(-1)
V R C ( 2 > = A * C 0 S ( В ) • V R • V R F
VRC(3)xA•$IN(В)•VR*VRF
C VRC(3) NOW CONTAINS THE POST COLLISION RELATIVE VEL'OClTy COMPONENTS
18 DO 19 N*l»3
VCCM=0,5*(P(H, J)*P(N,L))
P(N,J)«VCCM+VRC(N)*0.5
19 p(N,L)sVCCM-VRC(N)«0»5
GO TO 12
13 PRINT 20 TIME»NCOL
C 4
C SAMPLE AND PRINT TEMPERATURES
20 FORMAT (» TIME 8»>F1O,5»« COLLISIONS»)
As 0 »
B«0 .
DO 22 №1,NM
A8A*P(1»N)*P(1iN)*P(2iN)»P(2>N)*P(3jN)*E(3>M>
22 B«B^P(4»N)
TTR»0,666666?»A/NM
TROT = 4,*B/<DP I»Nm)
TOVs(3.•TTR*DFI•TROT)/(3 . *DFI )
PRINT 23 TOV
33 PRINT 24 TTR#TROT
23 FORMAT (» TEMPER AT4TRES, OVERAL x»,F10.9>
24 FORMAT (» TRANSLATIONAL b»,F10,5,» ROTATIONAL «»»F10Л/» . • »>
STOP
ENO
CENTRAL PROCESSOR TIME ON BESM-6
COMPUTER x 186 SECONDS
INTERNAL TEMPERATURE RELAXATION
4000 MOLECULES HAVING 2,00000 INTERNAL DEGREES QP RRfEoWl
HARO SPHERE MOLECULES
TRANSFER FACTOR x 0.10000
initial ratio of internal to translational temperature x o.ooooo
80 PRINTING INTERVALS» EACH OF 0,50000
TIME 8 0.50000 1119 COLLISIONS .
TEMPERATURES, OVERAL x 0.60262
TRANSLATIONAL X 0,96799 ROTATIONAL « 0.05497
TIME = 1,00000 $237 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL x. 0.60262
TRANSLATIONAL a 0,93508 ROTATIONAL « 0.10394 <
TIME « 1.50000 3311 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL. s . 6.60262
TRANSLATIONAL X 0,90773 ROTATIONAL a 0.1449?
TIME - 2 . 00 000 4.359 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL « 0,60262
translational x 0,88367 rotational « o,ieio|
274 ПРИЛОЖЕНИЕ J 1 '1 •% J
TIME 3_ 2.50000 5429 COLLISIONS TEMPERATURES, OVERAL « 0.60262 TRANSLATIONAL =' 0,86086 ROTATIONAL « TIME з 3.00000 6470 COLLISIONS TEMPERATURES, OVERAL в 0,60262 0.21527 1
TRANSLATIONAL в 0,840 12 R0TAT1 ONAL з TIME з 3.50000 7515 COLLISIONS TEMPERATURES» OVERAL = 0.60262 TRANSLATIONAL = 0,82012 ROTATIONAL « Ч1МЕ з 4,00000 8520 COLLISIONS TEMPERATURES, OVERAL з 0.60262 TRANSLATIONAL ж 0,80365 ROTATIONAL « TIME з 4.50000 9521 COLLISIONS TEMPERAfURES, OVERAL c 0,60262 TRANSLATIONAL « 0,78951 ROTATIONAL s 0.24638 0.27638 . 0.30109 0.32229
TIME « 5,00000 10505 COLLISIONS TEMPERATURES, OVERAL s 0.60262 TRANSLATIONAL s 0 ,.77568 ROTATIONAL « 0.34M)*4
.TIME з 35.50000 65779 COLLISIONS
TEMPERATURES* OvERAL з 0,60262
TRANSLATIONAL з 0,60961 RqTaTIoNaL з 0,59185
*TIME s 36.00000 66661 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL з 0.60262
TRANSLATIONAL з 0,60956 ROTATIONAL « 0.59221
TIME « 36.50000 67562 COLLISIONS
TEMPERATURES. OVERAL s. 0.60262
TRANSLATIONAL з 0,60843 ROTATIONAL з - 0.59392
TIME з 37.00000 68456 COLLISIONS
TEMPERATURES. OVERAl = 0.60262
TRANSLATIONAL s 0,60810 ROTATIONAL » 0.50442
*TlM£ « 37.50000 69354 COLLISIONS
TEMPERATURES, "oVERAL e 0,60262 .
TRANSLATIONAL » 0,60749 ROTATIONAL « 0.59533
'TIME з 38.00000 70233 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL з 0.60262
TRANSLATIONAL ж 0,60769 ROTATIONAL з 0.59502
*TIME * 38.50000 71127 COLLISIONS
TEMPERATURES, oVERAL > 0.60262
TRANSLATIONAL'з 0,60753 ROTATIONAL з 0.59527
TIME s 39.00000 ‘ 72028 COLLISIONS
TEMPERATURES, oVERAL з 0,60262
TRANSLATIONAL = 0,60?28 ROTATIONAL e 0.59565
TIME з 39,50000 72920 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL « 0.60262
Translational з 0,60707 Rotational « 0.59596
'time 3 40.00000 73796 COLLISIONS
TEMPERATURES, OVERAL * 0.60262
TRANSLATIONAL « 0,60721 ROTATIONAL з 0.59575
ЛИТЕРАТУРА
1 Abramovitz М., Stegun I. A. Handbook of mathematical functions New
York: Dover, 1965. [Имеется перевод: Справочник по специальным функ-
циям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. — М.: Наука, 1979.]
2. Alder В. J., Wainwright Т. — In: Proceedings of the International Sympo-
sium on Transport Processes in Statistical Mechanics. — New York: In-
terscience, 1958, p. 97.
3 Баранцев P. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми по-
верхностями. — М.: Наука, 1975.
4. Bhatnagar Р. L., Gross Е. Р., Krook М. — Phys. Rev., 1954, v. 94, р. 511.
[Имеется перевод, в сб.: Проблемы современной физики, 1956, № 2.]
5. Bird G. A.— Phys. Fluids, 1963, v. 6, р. 1518.
6. Bird G. A. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. L. Trilling, H. Y. Wach-
man). — New York: Academic Press, 1969, p. 301.
7. Bird G. A. — Phys. Fluids, 1970, v. 13, p. 1172.
8. Bird G. A. — AIAA Journal, ,1970, v. 8, p. 1998. [Имеется перевод: Ра-
кетная техника и космонавтика, 1970, № 11.]
9. Bird G. A.— In: Seventh • International Symposium on Rarefied Gas Dy-
namics. — Pisa, 1970.
10, Bird G. A. — In: Proc. AIAA Computational Fluid Dynamics Conference.—
New York: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1973, p. 103.
11. Boltzmann L. — Sber. Akad. Wiss. Wien Abt. II, 1872, v. 66, p. 275.
12. Broadwell J. E. — J. Fluid Meeh., 1964, v. 19, p. 401.
13. Bryan-G. H. — Rep. Br. Ass. Advant Sci., 1894, p. 83.
14. Camac M. — In: Rarefied gas dynamics (ed. J. H. de Leeuw).— New
York: Academic Press, 1965, p. 240.
15. Cattolica R., Robben F., Talbot L., Willis D. R. — Phys. Fluids, 1974, v. 17,
p. 1793. -
16. Cercignani C. Mathematical methods in kinetic theory. — Naw York: Plenum
Press, 1969. [Имеется перевод: Черчиньяни К. Математические методы
в кинетической теории газов. — М.: Мир, 1973.]
17. Cercignani С. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. К. Karamcheti).— New
York: Academic Press, 1974, p. 55.
18. Cercignani C., Lampis M. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. K. Karam-
cheti).— New York: Academic Press, 1974, p. 361.
19. Chapman S., Cowling T. G. The mathematical theory of non-uniform gases
(2nd ed.). — Cambridge University Press, 1952. [Имеется перевод: Чеп-
мен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М.:
ИЛ, I960.]
20. Chapman S., Cowling Т. G. The mathematical theory of non-uniform gases
(3rd ed.). — Cambridge University Press, 1970.
21. Chu С. K. In: Rarefied Gas Dynamics (ed. C. L. Brundin). — New York:
Academic Press; 1967, p. 589.
22. Clausing P. — Ann. Phys., 1932, v. 12, p. 961
23 Crawford D. R., Vogenitz F. W. — In: Rarefied, Gas Dynamics (eds.
M. Becker, M. Fiebig). — Porz-Wahn: DFVLR Press, Federal Republic
276
ЛИТЕРАТУРА
of Germany, 1974, p. B.24. [Имеется перевод в сб.: Динамика разре-
женных газов. — М.: Мир, 1976, с. 99.]
24. Curtiss С. F., Muckenfuss С. — J. Chem. Phys., 1958, v. 29, р. 1257.
25. Dahler J. S., Sather N. F. — J. Chem. Phys., 1962, v. 38, p. 2363.
26. Davis D. H. — J. Appl. Phys., 1960, v. 31, p. 1169.
27. Derzko N. A. Review of Monte Carlo methods in kinetic theory. — UTIAS
Rev. 35, University of Toronto, 1972.
28. Deshpande S. M., Narasimha R. — J. Fluid Meeh., 1969, v. 36, p. 545.
29. Diewert G. S. — Phys. Fluids, 1973, v. 16, p. 1215.
30. Edwards R. H., Cheng H. K. — AIAA Journal, 1966, v. 4, p. 558. [Имеется
перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1966, № 3.]
31. Epstein М. — AIAA Journal, 1967, v. 5, р. 1797. [Имеется перевод: Ра-
кетная техника и космонавтика, 1967, № 10.]
32. Fizsdon W., Herczynski R., Walenta Z. — In: Rarefied Gas Dynamics
(eds. M. Becker, M. Fiebig). — Porz-Wahn. DFVLR Press, Federal Repub-
lic of Germany, 1974, p. B23.
33. Giedt R. D., Cohen N., Jacobs T. A. — J. Chem. Phys., 1969, v. 50, p. 5374.
34. Gilbarg D., Paolucci D. — J. Ration. Meeh, and Anal., 1953, v. 2, p. 617.
35. Goodman F. 0. — Surface Sci., 1968, v. 11, p. 283.
36. Goodman F. O. — Surface Sci., 1971, v. 26, p. 327.
37. Grad H. — Communn. Pure and Appl. Math., 1949, v. 2, p. 331. [Имеется
перевод в сб.: Механика, 1952, № 4(14), с. 71—9J; № 5(15), с. 61—96.]
38. Grad Н. — In: Encyclopaedia of Physics (ed. S. Fliigge), vol. XII.—Berlin:
Springer-Verlag, 1958, p. 205. [Имеется перевод в сб.: Термодинамика
газов. — М.: Машиностроение, 1970.]
39. Grad Н., Hu Р. N. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. L. Trilling,
H. Y. Wachman). — New York: Academic Press, 1969, p. 561.
40. Hamel В. B., Willis D. R. — Phys. Fluids, 1966, v. 9, p. 829.
41. Harris S. An introduction to the theory of. Boltzmann equation. — New
York: Holt, Rinehart, and Winston, 1971.
42. Haviland J. K. — In: Methods of Computational Physics (ed. B. Alder
et al.). — New York: Academic Press, 1965, v. 4, p. 109. [Имеется перевод
в еб.: Вычислительные методы в динамике .разреженных газов. — Мл
Мир, 1969.]
43. Hicks В. L., Yen S. М., Reilly В. L. — J. Fluid Meeh., 1972, v. 53, р. 85.
44. Hinshelwood С. N. The kinetics of chemical change. — Oxford: Clarendon
Press, 1940, p. 39.
45. Hirschfelder J. O., Curtiss C. F., Bird R. B. The molecular theory of gases
and liquids. — New York: Wiley, 1954. [Имеется перевод: Гиршфель-
дер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидко-
стей.— М.: ИЛ, Д961.]
46. ..Holtz Т. Measurements of molecular velocity distribution functions in an
argon normal shock wave at Mach number 7. — Ph. D. Dissertation, Uni-
versity of Southern California, 1974.
47. Jeans J. H.-»—Quart J. Pure and Appl. Math., 1904, v. 25, p. 224.
48. Kennard Е/ H. Kinetic theory of gases. — New York: McGraw-Hill, 1938.
49, Koura K. — J. chem. Phys., 1973, v. 59, p. 691.
50. Kuscer J. — Surface -Sci., 1971, v. 25, p. 225.
51. Kuscer J.— In: Rarefied Gas Dynamics (eds. M. Becker, M. Fiebig).—
Porz-Wahn: DFVLR Press, Federal Republic of Germany, 1974, p. 47.
[Имеется перевод в сб.: Динамика разреженных газов. — М.: Мир, 1976.]
52. Larsen Р. S., Borgnakke С. — DCAMM Report 52. The Technical University
of Denmark, 1973.
53. Larsen P. S., Borgnakke C. — In: Rarefied gas dynamics (eds. M. Becker
M. Fiebig). — Porz-Wahn: DFVLR Press, Federal Republic of Germany,
1974, p. A7. [Имеется перевод в сб.: Динамика разреженных газов.—
М.: Мир, 1976.]
ЛИТЕРАТУРА
277
54. Liepmann Н. W. — J. Fluid Meeh., 1961, v. 10, p. 65.
55. Liepmann H. W., Roshko A. Elements of gas dynamics. — New York: Wi-
ley, 1957. [Имеется перевод: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой
динамики. — М.: ИЛ, I960.]
56 Liepmann Н. W., Narasimha R., Chahine М. Т. — Phys. Fluid, 1962, v. 5,
’ р. 1313.
57. Linzer М., Hornig D. F. — Phys. Fluids, 1963, v. 6, p. 1661.
58. Liu C. Y., Lees L. — In: Rarefied gas dynamics (ed. L. Talbot). —New
Yor4r. Academic Press, 1961, p. 391. ’
59. Lordi J. A.,' Mates R. E., — Phys. Fluids, 1970, v. 13, p. 291.
60. Maxwell J. C. — Philos. Trans. Soc., 1867, v. 157, p. 49.
61 Maxwell J. C. — Philos. Trans. Roy. Soc. I, Appendix, 1879.
62. Melville W. K. — J. Fluid Meeh., 1972, v. 51, p. 571.
63. Metcalf S. C., Lillicrap D. C., Berry C. J. — In: Rarefied Gas Dynamics
(eds. L. Trilling, H. Y. Wachman). — New York: Academic Press, 1969,
p. 619.
64. Miller D. R.«, Subbarao R. B. — J. Chem. Phys., 1971, v. 55, p. 1478.
65. Morduchow M., Libby P. A.— J. Aeronaut. Sci., 1949, v. 16, p. 11.
66. Mott-Smith H. M. — Phys. Rev., 1951, v. 82, p. 885.
67. Muckenfuss C. —Phys. Fluids, 1962, v. 5, p. 1325.
68. Muntz E. P. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. C. L. Brundin). — New
York: Academic Press,-1967, p. 1257.
69. Narasimha R. — J. Fluid Meeh., 1962, v. 12, p. 294.
70. Nocilla S. —In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. A. Laurmann). — New
York: Academic Press, 1963, p. 327. [Имеется перевод в сб.: Взаимодей-
ствие газов с поверхностями. — М.; Мир, 1965.]
71. Nordsieck A., Hicks В. L. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. S. L. Brun-
din).—New York: Academic Press, 1967, p. 695. [Имеется перевод в
сб.: Вычислительные методы в динамике разреженных газов. — М.: Мир,
1969.]
72. Patterson G. N. Introduction to the kinetic theory of gas flows. — Toronto:
University of Toronto, 1971.
73. Pidduck F. B. — Proc. Roy. Soc., 1922, v. A101, p. 101. r
74. Robben F., Talbot L. — Phys. Fluids, 1966, v. 9, p. 633, 644, 653.
75. Rode D. L., Tanenbaum B. S. — Rhys. Fluids, 1967, v. 10, p. 1352.
76. Ross J., Light J. C., Schuler К. E. — In: Kinetic Processes in Gases and
Plasmas (ed. A. R. Hochstim). — New York: Academic Pfess, 1969, p. 281.
[Имеется перевод в сб.: Кинетические процессы в газах и плазме. — М.:
Атомиздат, 1972.]
77. Russell D. A.— In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. H. de Leeuw). —New
York: Academic Press, 1965, p. 265.
78. Sandler S. L, Dahler J. S. —J. Chem. Phys., 1967, v. 47, p. 2621.
79. Sather N. F. — Phys. Fluids, 1973, v. 16, p. 2106.
80. Schaaf S. A., Chambre P. L. Flow of rarefied gases. — Princeton Univer-
sity Press, 1961.
81. Schmidt B. — J. Fluid Meeh., 1969, v. 39, p. 361. *
82. Schultz-Grunow F., Frohn A. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed.
J. H. de Leeuw). —New York:, Academic Press, 1965, p. 250.
83. Sherman F. S. — NACA Tech. Note 3298, 1955.
84. Sinha R, Zakkay V., Erdos J.—AIAA Journal, 1971, v. 9. p. 2°63. [Име-
ется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1971, № 12.]
85. Smith F. Т. — In: Kinetic Processes in Gases and Plasmas (ed. A. R. Hoch-
stim).—New York: Academic Press, 1969, p. 259. [Имеется перевод в сб.:*
Кинетические процессы в газах и плазме. — М.: Атомиздат, 1972.]
86 Springer G. S. — In: Advances in Heat Transfer. — New York: Academic
Press, 1971, v. 7, p. 163.
278
ЛИТЕРАТУРА
87. Sturtevant В., Steinhilper Е. ~А. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. K. Ka-
ramcheti).— New York: Academic Press, 1974, p. 159.
. 88. Talbot L., Sherman F. S. NASA Memo 12-14-58W, 1959.
89. Tannehill J. C., Mohling R. A., Rakich J. V. — AIAA Journal, 1974, v. 12,
p. 129. [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1974, № 2.]
90. Toennies J. Р. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. M. Becker, M. Fiebig).—
Porz^Wahn: DFVLR Press, Federal Republic of Germany, 1974, p. Al.
[Имеется перевод в сб.: Динамика разреженных газов. — М.: Мир, 1976.]
91. Tuer Т. W., Springer G. S. — Int. J. Computers and Fluids, 1973, v. 1
p. 399.
92. Uhlenbeck G. E. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. K. Karamcheti). — New
York: Academic Press, 1974, p. 3.
93. Victoria K. J., Widhopf C. F. — In: International Conference on Numerical
Methods in Fluid Mechanics. — Berlin: Springer-Verlag, 1973, p. 254.
94. Vincenti W. G., Kruger С. H. Introduction to physical gas dynamics. —
New York: Wiley, 1965.
95. Vogenit? F. W., Bird G. A., Broadwell J. E., Rungaldier H. — AIAA
Journal, 1968, v. 6, p. 2388. [Имеется перевод: Ракетная техника и космо-
навтика, 1968, №12.]
96. Vogenitz F. W., Broadwell J. Е., Bird G. A.— AIAA Journal, 1970, v. 8,
p. 504. [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1970, № 3.]
97. Waldmann L. Z. — Z. Naturforsch., 1959,'v. А14, р. 589.
98. Wenaas Е. Р. — J. Chem. Phys., 1971, v. 54, p. 376.
99. Yang H. T., Lees L. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. F. M. Devienne).—
London: Pergamon, 1960.
100. Yen S. M. — Int. J. Computers and Fluids, 1973, v. 1, p. 367.
101. Bird G. A. —Phys. Fluids, 1976, v. 19, p. I486.
102. Bird G. A.— In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. L. Potter). —Progress
in Astro, and Aero., 1974, v. 51, p. 323.
103. Bird G. A.— J. Comput. Phys., 1977, v. 25, p. 353.
104. Bird G. A.— In: Rarefied Gas Gynamics (ed- R. Campargue). — CEA,
Gif-sur-Yvette, France, 1979.
105. Bird G. A. Spacecraft outgas-ambient flow. interaction, to be published.
106. Chatwani A. U. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. L. Potter). — Pro-
gress in Astro, and Aero., 1977, v. 51, p. 461.
107. Guy T. B. —J. Phys. D., I975, v. 8, p. 2208.
108. Fox R. L., Eaton R. R. — Scandia Lab. Publ.SAND 76-0598, 1976.
109. Koura K., Kondo J. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. M. Trilling and
H. Y. Wachman). — New York: Academic Press, 1969, v. I, p. 1.
110. Pullin D. I., Harvey J. K., Bienkowski G. K. — In: Rarefied Gas Dynamics
(eds. M.‘Becker nd M. Fiebig), — Porz-Wahn: DFVLR Press: West Ger-
many, 1974, v. 1, p. A22.1.
111. Pullin D. L —Phys. Fluids, 1978, v. 21, p. 209.
112. Pullin D. L, Harvey J. K. — J. Fluid Meeh., 1976, v. 78, p. 689.
113. Raghuraman P., Davidovits P., Anderson J. B. — In: Rarefied Gas Dyna-
mis (ed. J. L. Potter). — Progress in Astro, and Aero., 1977, v. £1, p. 79.
Дополнение I
Теоретико-вероятностный анализ
прямого
статистического моделирования
столкновительных процессов
в разреженном газе
В. Е. Яницкий
§ 1. ОЦЕНКА ОШИБКИ В ЧАСТОТЕ СТОЛКНОВЕНИЙ
1. Предложенный автором данной монографии метод стати-
стического моделирования столкновений молекул допускает до-
статочно четкий теоретико-вероятностный анализ, который и
приводится ниже. Основные результаты этого анализа отражены
также в работе [1] ').
Схема моделирования столкновений, описанная в данной
книге, существенно опирается на условие.
"с
£ Д/С(/)=М (1.1)
которое определяет число столкновений Nc за временной интер-
вал ДА Очевидно, что равенство (1.1), вообще говоря, невыпол-
нимо, так как слагаемые Д/с и их сумма являются случайными
величинами, а в правой части (1.1) стоит фиксированная вели-
чина ДА Следовательно, его можно понимать лишь в каком-то
условном смысле, например в среднем за болыпой -промёжуток
времени / > ДА Ясно, что от точности выполнения равенства
(1.1) зависит и/" точность, с которой частота моделируемых
столкновений совпадает с больцмановской. Анализ этой точно-
сти удобно провести методами теории восстановления. Это поз-
волит также прояснить многие детали алгоритма Г. Бёрда и его
модификаций. . •
2. Теория восстановления — это раздел теории вероятностей,
в котором изучается поведение сумм положительных случайных -
слагаемых. Приведем' здесь необходимые для нас результаты
э.той теории.
Рассмотрим суммы 5Я следующего вида:
So = O, S„ = r1 + r2+... + r„, (1.2)
!) По этому поводу см. также работу: Белоцерковский О. М.» Еро-
феев А. Ич Яницкий В. Е.~ ЖВМ и МФ, 1980, т. 20, № 5, с. 1174—1204.
© «Мир», 1981
280
ДОПОЛНЕНИЕ t
в которых слагаемые Tt— взаимно независимые положительные
случайные величины с общим распределением F, удовлетворяю-
щим условию F(0) = 0I). Процессом восстановления называется
последовательность {5Я}, n = 0, 1, случайных сумм вида
(1.2) [2, гл. VI, §6].
Представим себе бесконечное число независимых экспери-
ментов, в каждом из которых накапливается сумма вида (1.2)
до тех пор, пока ее значение не превысит заданной величины I.
Максимальное число членов последовательности So, Si, ...
.... Sn, ..., таких, что Sn ’С t, будет случайной величиной, ме-
няющейся 'От эксперимента к эксперименту. Обозначим через
U{t) среднее значение числа таких членов. Таким образом, •
f7(/) = VT+T, .
где число слагаемых Nt в сумме (1.2) определяется условием
<Snt+i: (1.3)
Оказывается, функция U(t) всегда существует, и для нее спра-
ведлива следующая теорема.
Теорема восстановления [2, гл. XI, § 1]. Если распределе-
ние F не является арифметическим2), то при любом фиксиро-
ванном А > 0 и оо
(1.4)
г*
где
оо
р, = Т = TdF (Г).
oJ
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что при больших t
функция U(t) ведет себя как t/p. Справедлив еще более силь-
ный результат [2, гл. XI, § 4]. Если неарифметическое распре-
деление F обладает дисперсией о2, то
0<(/(0—(1.5)
где
<т2 = — pf-dF (Т).
____________ о *
*) Здесь и далее вместо терминов кумулятивная функция распределе-
ния Г и функция распределения f, применяемых в данной книге, используются
соответствующие термины: распределение F и плотность f распределения F:
с
F (оо) == 1,
принятые в математической литературе.
2) Этот частный случай соответствует максвелловским молекулам и яв-
ляется на.самом деле наиболее простым (см. ниже).
§ I. ОЦЕНКА ОШИБКИ В ЧАСТОТЕ СТОЛКНОВЕНИЙ 28!
Основой для получения, свойств (1.4) и (1.5) и многих других
является уравнение восстановления, которое нам потребуется
в частной форме. Пусть F имеет плотность f, тогда решение
уравнения восстановления
u(t) = f(t) + \u(t-T)f(T)dT (1.6)
о
является плотностью функции U(t), так что
t
U (/) = 1 + J и (х) dx,
0 •
и утверждение (1.4) теоремы восстановления переформулирует-
ся в виде u(t)~> рг1 при /->оо.
Рассмотрим также одно простое обобщение процесса вое-
становления. Предположим, что So не нуль, а положительная
случайная величина с распределением Fo. Процессом восста-
новления с запаздыванием называется последовательность сумм
{5Я}> таких, что z
5п = 50 + Л+... + Т„, (1.7)
’где слагаемые Tt — по-прежнему независимые положительные
случайные величины с общим распределением F. Оказывается,
существует такое распределение Fo начального момента So, что
‘для функции U(t) при всех t имеет место
г/(П = //н. (1.8)
Здесь U (/) — среднее значение максимального числа членов по-
следовательности {S„}, таких, что Sn^t, включая и So. Это
единственное распределение Fo связано с F следующим образом
[2, гл. XI, § 3]: ’
F0(f)== ([1 - F(T)]dT. (1.9)
г* •*
3. Для применения результатов теории восстановления к
анализу процедур моделирования столкновений приращение
времени Д/с, • на, которое увеличивается счетчик времени
п •
Sn — У, ДД° при i-м столкновении, удобно записать в виде
Д/с==(Л/р®т)-1» (1-10)
где
282
ДОПОЛНЕНИЕ 1
Здесь т — 1, Np— номер пары, реализующей данное столк-
новение, N — число частиц в ячейке физического пространства.
Замечая, что при степенном законе для межмолекулярных сил
от есть
„ _„П72 ( *
От = Л ИГ о, nil-к*! ,
\ тгст )
нетрудно убедиться, что соотношение - (1.10) эквивалентно фор-
муле, предложенной Г. Бёрдом для Д/с. Нам также потребуется
выражение для вероятности того, что столкновение с номером i
реализуется данной парой молекул т. Процедура выбора этой
пары состоит из двух операций.'
I. Случайно (равновероятно) выбирается одна из всех Мр =
= N(N — 1)/2 возможных пар. Пусть ее номер равен т.
II. Выбранная пара т принимается в качестве претендента
z с s(n-5)/(t)-l)
на столкновение с вероятностью р • I )
\ сг, о /
Операции I и II циклически повторяются до первого приня-
тия какой-либо пары. Условие, что цикл I—II завершился вы-
бором -некоторой пары, имеет вероятность, равную
Абсолютная вероятность выбора и принятия пары, имеющей но-
мер.. т, есть
Интересующая нас вероятность, что первая принятая пара бу-
дет иметь номер т, является условной й поэтому равна
и(П-5)/(П-П ,й
__ сг, т __
Np Np
S ‘IV’'1’-'1 z»»
m-1 m=l
Следовательно,
= (1.11)
Np
A = E (1.12)
•
§ 1. ОЦЕНКА ОШИБКИ В ЧАСТОТЕ СТОЛКНОВЕНИЙ
283
Отметив, что X имеет смысл условной частоты столкновений пар
(при фиксированном наборе cr> .....cr N относительных ско-
ростей -Сг). Действительно, если f(cr)—плотность распределе-
ния относительных скоростей, то абсолютное среднее величины
X ь • • •» ^г, Np) есть
- np .
X == Л (Сг, 1» • • •» Сг, ЛГр) f (tr, т) dCr, т == Мр® = ~£~ V.
т-1
Здесь v = лсгтСг, что совпадает с общим выражением для часто-
ты столкновений в разреженном газе (см. формулу (1.6) из
гл. 1 данной книги) *)•
Теперь можно более четко сформулировать нашу задачу.
Необходимо исследовать процесс восстановления {Sn}:
п
$п “ X Т},
i-1
в котором каждое слагаемое с вероятностью (1.11) принимает
значение (JVp©m)_I. Начнем исследование со случая, когда число
столкновений Nc на интервале времени А/ определяется усло-
вием
Snc А/ .< 5ус+ь (1.13)
Функция .
(1.1'4)
(б[х]—дельта-функция Дирака) является плотностью услов-
ного распределения слагаемого' 7 (при заданном наборе {сг, т}
относительных скоростей сталкивающихся молекул). Соответ-
ствующее условное среднее время 7, равно
оо Np
т. = 5Tf.lT)dT= £ (W'f
о /«“Г
В силу теоремы восстановления, равенство
Т jVc = y-®A(-A, (1.15)
*) Мы использовали предположение, что совместная плотность распреде-
ления относительных скоростей сг>1, равна
Это соответствует гипотезе о молекулярном хаосед
284
ДОПОЛНЕНИЕ 1
для условного среднего числа столкновений Nc можно понимать
Лишь как асимптотическое, т. е.
N*c ~ Д/ • А при Д/-> оо. (1.16)
Если" Д/ Аг1, можно воспользоваться оценкой (1.5). Заметим
прежде всего, что N*a — U (Д/) — 1, значит
• _ «г-ц* F
.-1<лгс-д/.л-—2—-т^-1; (1.17)
здесь учтено, что Ц = Г, и <у2 = Т2 — Т2,.
Аналогичные асимптотические соотношения, связывающие
абсолютные средние Л7С и X, можно получить интегрированием
Np
(1.16) и (1.17) по всем сг> m с весом, равным П f(cr>m). Выпол-
ним это для (1.17). Из условной плотности (1.14) найдём
__ Np Np
m—1 г m—1
Следовательно, ’
1 NP‘ 1 « / \
= Е = Е V’)'
Р m-1 Р А. т Р 4 k^m m'
Интегрирование всех слагаемых ®й/©т суммы в последнем вы-
ражении даст одно и то же значение, равное <о-со-1 (в силу не-
зависимости со* и ®~* при k ф tn). Тогда
оо ^2 ^р '
j П (Сг’ <^Ст, т ~
О » т-1
= -^-(Л^р+ATp (iVp— 1)3 .(O-I)« © • ©-i При Np >1.
Np
Следовательно, интегрирование (1.17) дает (при Np^l)
- l<jVc - Д/ • Л-> (*/2© • оГ1 - 1).
Величина s—K-^t = (N/2)v^t есть среднее число столкнове-
ний, вычисленное по точной формуле для частоты столкновений
в разреженном газе. Таким образом, при s> 1 имеем следую-
щее асимптотическое равенство:
-^~1-1 (1_1/2©.^=Т).
5 1. ОЦЕНКА ОШИБКИ В ЧАСТОТЕ СТОЛКНОВЕНИЙ
285
Пусть, например, моделируется газ из упругих шаров (<гт(сг) =
== const), и плотность f(cr) соответствует максвелловскому рав-
новесию, тогда о-о)-1 = 4/л,
(1.18)
Оценка (л —2)/(2s) для относительной ошибки в частоте столк-
новений при значении безразмерного шага по времени* v-Д/=
= 1 и числе частиц в ячейке N.= 20 дает значение 0.085, но при
меньших интервалах Д/ придется брать пропорционально боль-
шее число частиц N. Эта весьма неприятная зависимость за-
ставляет ставить вопрос о совершенствовании метода.
4. Мы выделим два принципиально разных подхода усовер-
шенствования рассмотренной выше схемы моделирования столк-
новений. В первом из них предлагаются различные пути искус-
ственного выдерживания равенства (1.1) с большей точностью
в среднем, чем это обеспечивает условие (1.13)'. Основой подхода
является простое качественное объяснение оценки (1.18). .Обры-
вая процесс столкновений по условию (1.13), мы как бы не до-
бираем полное время У. Д/с, а вместе с этим и какую-то долю
столкновений. Эта недостающая часть столкновений равна.
t>t = Д/ — У 7\.'
*
Если принять, что средняя величина недобора времени 6/=
= О(Т), то относительная ошибка в числе столкновений будет
равна _ _ t
e<vW2) __of П__ор__
A/v(Af/2) . \),mJ \sj’
что совпадает по порядку величины с предсказаниями (1.18) )'.
Тогда кажутся очевидными два способа устранения обсуждае-
мого недостатка. В одном £3, 4] первые Nc столкновений опре-
деляются условием (1.13), а дополнительное (2VC+1)-е столк-
новение разыгрывается с некоторой вероятностью р. В другом
способе, изложенном в данной книге, предлагается использо-
вать (1.13) не на каждом отдельном интервале Д/, а на всем
времени наблюдения ta = аД/; а = 1, 2......Иначе говоря, пос-
ле каждого цикла расчета всех столкновений в ячейке за время
Д/ значение счетчика времени £д/с следует запомнить для ис-
пользования на следующем временном шаге Д/. Тогда дефицит
времени 6t не пропадает, он учитывается на следующих вре-
*) На возможность такого объяснения автору данного дополнения ука-
«ал А. И. Ерофеев.
286 ДОПОЛНЕНИЕ 1
менных шагах. Совершенно иной подход был предложен в ряде
работ советских авторов [5—7], где использовались строго мар-
ковские случайные процессы, в которых условие (1.13) всегда
обеспечивает точное значение частоты столкновений. Все эти
подходы в модернизации начальной версии метода Г. Бёрда
появились практически одновременно и выступали как конкури-.
рующие или в равной степени предпочтительные. Лишь после их
теоретико-вероятностного анализа [1] и многочисленных расче-
тов, например {1, 4, 8—10], стало ясно, что подход, опираю-
щийся на строго марковские процессы, является наиболее пра-
вильным. Этот принципиальный вывод требует более подроб-
ного объяснения.
Вариант модификации, в которой дополнительное (2VC + 1)-е
столкновение принимается с некоторой' вероятностью р, эквива-
лентен применению процессов восстановления с запаздыванием
(1.7). Покажем это на примере максвелловских молекул. Ка-
ково бы ни было распределение F(T) слагаемого Т, формула
(1.9) определит распределение Fo(T) начального момента So
так, чтобы функция U(&t) при всех Д^ удовлетворяла условию
С/(Д/) = # — Л-А/. (1.19)
Для максвелловских молекул величина
.. cr, m°T (cr, т)
'°т— у
является константой, не зависящей от номера выбранной пары
ш. Распределение F(T) является арифметическим,
„ ( 0, если т < Л"1,
F(n- -
(1, если Т^К *.
Формула (1.9) даст следующее распределение Fd(f):
( Kt, если t < V1,
Fo\4 — \ ,
(. 1, если .
Следовательно, генерирование случайной величины So будет осу- -
ществляться по формуле
где Ил — случайное число, равномерно распределенное между 0
и 1 (см. приложение G в данной книге). Моделирование столк-
новений может быть реализовано теперь по следующей схеме.
Предварительный шаг. Генерируется So, и если то
случайно выбирается пара молекул и моделируется ее столк-
новение.
S Ь ОЦЕНКА ОШИБКИ В ЧАСТОТЕ СТОЛКНОВЕНИЙ
287
Основной шаг. Случайно выбирается пара, и если окажется,
что Si = So + Л А/, то моделируется столкновение этой пары.
Данный шаг циклически повторяется до тех пор, пока выпол-
няется условие Sn А/. .
В этом алгоритме число столкновений равно числу членов
последовательности {Зп}, удовлетворяющих условию Зп А/,
включая и So. Среднее значение этого числа есть f/(Af), и оно
подчиняется необходимому равенству (1.19)". Представляется
достаточно очевидным, что предварительный шаг моделирова-
ния может быть сделан заключительным, но при этом последнее
(yVc+ 1)-е столкновение необходимо принимать с вероятностью
осуществления следующего события:
So = RfT< б/ == Мт — £ Т{. (1.20)
В этом можно убедиться и прямыми вычислениями. Для мак-
свелловских молекул Ti = const = Т, и поэтому
д. ГАЛ 6* ГДП
с L Т г . т =1т Г-
где [а] и {а} — целая и.дробная части числа а соответственно.
Вероятность выполнения условия (1.20) есть
и среднее число принятых столкновений будет равно
Для моделей межмолекулярных сил, отличных от максвел-
ловской, генерирование случайной величины So, необходимой
для розыгрыша дополнительного столкновения, оказывается до-
статочно сложной вычислительной, процедурой. Действительно,
реализация этой процедуры предполагает известным аналити-
ческий вид распределения F(T), определяющего подынтеграль-
ную функцию в формуле (1.9) для Fo(t). Неубывающая функ-
ция F(T) является ступенчатой с точками роста в узлах
(•Vpcoi)-1, ..., (JVptOp)-1, при этом точки am = (A/p®m)_1 предпо-
лагаются упорядоченными по возрастанию, т. е.
k .
F(aA)=£'^L. oft<aA+i; ^=Ь2, '
zn-1
Для вычисления значения % "потребуется число операций, про-
порциональное Np, а для упорядочения величин (Мр®т)-1 — не-
288
ДОПОЛНЕНИЕ I
обходимое число операций пропорционально NplnNp [11]. Гро-
моздкость такого алгоритма не оставляет возможности серьезно
-говорить об его использовании.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ Г. БЁРДА
1. Модификация схемы моделирования, описанная в данной
книге, предполагает использование следующего условия пре-
кращения расчета столкновений в моменты времени ta =
= аД/; а = 1, 2, ...:
Snj ta < Sjvf+i. (2.1)
Зд^сь Nt — число столкновений на всем интервале времени от О
до ta. На первый взгляд этот путь полностью решает проблему.
Действительно, в силу утверждения (1.4) теоремы восстанов-
ления; имеет место следующее предельное соотношение1):
= vAL (2.2)
Однако методические расчеты по схеме Г. Бёрда указывают на
зависимость результатов от характерного значения No числа
частиц в ячейках; это отмечается и самим Г. Бёрдом. На
рис. 2.1 в качестве примера представлена зависимость безраз-
мерного коэффициента нормальной силы Сп от No, полученная
А. И. Ерофеевым и В. А. Перепуховым при расчетах обтекания
пластины потоком разреженного газа из молекул — шаров [9].
Легко видеть, что при No <. 30 схема обладает заметной вычис-
лительной ошибкой, которая уменьшается от 0.2 до 0.1 при
увеличении No от 10 до 20. Такое же поведение результатов
предсказывает и оценка O(s-1) для ошибки схемы, использую-
щей неравенство (1.13) независимо на каждом интервале Д£.
Таким образом, схема, использующая условие (2.1), полностью
не устраняет недостатка метода.
Кажущийся характер противоречия расчетов и утверждения
(2.2) теоремы восстановления легко понять, если заметить, чго
последняя не утверждает ничего большего, кроме эргодичности,
т. е. существования стационарного, значения v среднего числа
столкновений в единицу времени. Конкретные же значения v =
= псгот определяются плотностью f(cT) распределения скоро-
стей Сг, которая для теоремы восстановления является заданной.
>) В приложении Е данной книги величина,определяется выражением
(Е2). Формула же (ЕЗ) определяет не истинное время t, а среднее время,
накопленное в счетчике, SN^. Используя одно'обозначение t для этих двух
времен, Г. Бёрд молчаливо предполагает предельный переход t -+• оо, или, что
то же, s-*oo, и приходит к верному выражению для частоты столкновений.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ Г. БЕРДА
289
Этой теореме не противоречит любая степень отличия f(cr), а
следовательно, и псг<тг от истинных их значений в газе1) - Таким
образом, никакие результаты теории восстановления, в том чис-
ле правильный в пределе общий вид формулы
v = псгот,
не являются достаточными для утверждений, касающихся пове-
дения функции распределения скоростей. Для этого необходимо
кинетическое уравнение
модели, соответствующей данной схеме вычислений. Как строить
подобные уравнения, будет показано в § 3. Здесь мы ограни-
чимся качественным анализом решения кинетического уравне-
ния модели Г. Бёрда, используя лишь общую структуру этого
уравнения, очевидную из схемы реализации модели.
2. Оператор L [f] кинетического уравнения исследуемой мо-
дели состоит из двух частей: оператора Lr [f], соответствующего
этапу расчета бесстолкновительных перемещений модельных ча-
стиц, он аппроксимирует конвективную производную (—cdf/dr);
*) Напомним следующую связь значений craT с f (сг):
„ ОО
CrffT = Сг<Тт (Cr) f (сг) dct.
о
10 г, Бёрд
290
ДОПОЛНЕНИЕ I
и оператора I [/], соответствующего этапу расчета столкновений
частиц в ячейках, он аппроксимирует больцмановский интеграл
столкновений. Таким образом, кинетическое уравнение имеет
следующую структуру: '
= + (2.3)
Интеграл столкновений /[/] определяется, в частности, услов-
ной и безусловной частотами столкновений. В схеме Г. Бёрда
они не равны X и дснтт при конечных t. Обозначим через 6v„
невязку условной частоты столкновений *)
n
Интегрирование 6v* с весом ПЖ i) даст невязку 8v безуслов-
ной частоты
• *
= = (2.5)
i-1
При любом стационарном распределении f невязка 6v<[f] спа-
дает по времени как 2/(Nt) в силу асимптотических законов
(1.5) и (1.18). Невязкам (2.4) и (2.5) соответствует аналогич-
ная невязка интеграла столкновений
ад]=/[/]-/о
где /о [Л —интеграл столкновений, построенный по верной фор-
муле А = У а>т для условной частоты и соответствующий вы-
ражению псгвт для безусловной частоты. Итак, кинетическое
уравнение модели Г. Бёрда имеет вид
£~мл+/о[л+ад]. (2.6)
Наряду с (2.6) рассмотрим уравнение
+ Ш (2.7)
которое условно назовем уравнением .Больцмана* 2). Очевидно,
что алгоритм столкновений, использующий условие (2.1), мо-
жет быть пригоден лишь для нахождения стационарных реше-
*) Далее в этом параграфе, где это допустимо, мы заменяем конечный
интервал А/ дифференциалом di, учитывая качественный характер анализа.
2) Вопрос о том, в какой степени оно действительно совпадает с урав-
нением Больцмана, будет рассмотрен в § 3.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ Г. БЕРДА
291
=f,
ний уравнения Больцмана (2.7). Если при заданных граничных
условиях решение /в уравнения (2.7) имеет стационарный пре*
дел J:
lim f
то этот предел не зависит от начальных данных и является един-
ственным решением уравнения
+ (2.8)
с теми же граничными данными. Это утверждение не доказано
для уравнения Больцмана, но справедливость его всегда нами
подразумевается. По существу же это обычная формулировка
• теоремы об эргодичности, доказанной для широкого класса слу-
’ чайных процессов [2, гл. VI, § 11].
Покажем, что стационарное решение J уравнения (2.7) не
является стационарным решением уравнения (2.6), и оценим
соответствующее отклонение. Для этого рассмотрим решение
следующей задачи:
-^=МЛ + /о[Л + ад].
f(/ = O) = f, (2.9)
fr = Fr*
Здесь последнее равенство означает совпадение f и 7 на грани-
\ цах Г физического пространства. Решение задачи (2.9) ищем
в виде ,
*
где возмущающая функция ф < J. Тогда учитывая линейность
оператора Lr и условие (2.8), получим следующее уравнение
для ф:
w[*]+ч if+
где 7Дф] — линеаризованный в окрестности решения J интеграл
столкновений /о [Л • Заметим теперь, что б/t является малой по-
правкой, значит можно пренебречь малой добавкой ф в аргу-
менте 7 + Ф последнего члена. Окончательно задача для нахо-
. ждения ф принимает вид
-^ = £г[ф] + /г[Ф]+Ч1Л,
ф(/ = 0) = 0, (2.10)
Фг = 0.
10* ' , •
292 " ДОПОЛНЕНИЕ I
------------------------------------------------------------, I
)
Обозначим через ©о (О и ©о следующие интегралы по физиче-
скому пространству и пространству скоростей:
©о (0 = dr ©12/1/2 d^ dc2, ©о = dr ©12/1/2 dci dc2', ;
1 1
= /“=1,2; ®i2 = y|ci —с2|-ат(|С1 —с2'|).
Разница А(/)==©о(/)— ©о с точностью до малых величин по-
‘ рядка ф2 равна .
Л (/) = dr ©12 (Ф1 + ф2) d^ dc2,
и её можно принять в качестве меры отклонения функции ф '
от нуля. Учитывая (2.10), найдем, что
= $ ^С* ^С2 5 0)12 ^"г ^2^ +
+ $ dr J © и 0° [ф^ + /]2) [ф2]) dct dc2 4-
+ Jrfr$®12(dZ<[fi] + 6/jF2])rfc1dc2. (2.11)
Первый интеграл в правой части (2.11) равен нулю, так как
✓ dty, \
Lr [ф<] соответствует производной I — с4 J, и интегрирова- f
ние по dr можно заменить интегрированием функции
(—©i/Сгф/) по dV границы Г в физическом пространстве, на ко-
торой ф< = 0. Второй интеграл равен нулю, так как
Д [(о] = J ®12 (]W [ф,] + Jj2) [ф2]) de, dc2 (
имеет смысл линеаризованного столкновйтельного ийтеграЛа,
характеризующего изменение условной частоты столкновений
молекулярной пары в результате ее столкновения. Но © зави-
сит лишь от относительной скорости сг и поэтому не меняется
в этом процессе. Остается последний интеграл,, который спадает
по времени какбу-/ ~ 2f/(Not) (см. асимптотики (1.5) и (1,18)).
Учитывая, что нас интересует лишь порядок величины А, по-
следний интеграл в (2.11) заменим выражением —[2/(АоО]®о«
Таким образом, будем исследовать модельное по отношению к
(2.11) уравнение
чг-~£*• <2-12>
Заметим, что это уравнение, так же как (2.6), (2.9) и (2.10),
правильно отражает поведение решения лишь при больших /.
При t ~ Д/ нужно учесть дискретное изменение времени в схеме
V
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ Г. БЕРДА 293
~ Not' *
2
Ao *
моделирования и ^соответственно заменить производную d/dt
в указанных уравнениях ее разностным аналогом Д/Д/. Тогда
принимая f за начальное приближение для решения задачи
(2.9), получим
Й+Zo 4-Й’
или, учитывая (2.8),
ндо»/(до-7~дь<адл.
Соответствующее выражение для А будет иметь вид
А(Д/) = —
Это равенство может служить начальным условием для нахо-
ждения А(/) при / > А/ из уравнения (2.12). Принимая отно-
шение А/©о за меру относительной ошибки в функции распре-
деления f и сохраняя за ней прежнее обозначение А, получим
следующую задачу для нахождения этой ошибки;
dA
dt
А(Д0
Решение данной задачи имеет вид
АЮ — <213>
Итак, вопреки ожидаемому результату: Л(0-*.О при /->оо,
из формулы (2.13) следует, что Л(0 неограниченно возрастает
при //А/-*оо. Это означает, что отклонение частоты столкнове-
ний от необходимого выражения псгстт затухает слишком мед-
ленно, в результате происходит накопление локальных ошибок
и линеаризованный вариант (2.10) схемы Г. Бёрда оказывается
неустойчивым алгоритмом. Эта неустойчивость слабая, посколь-
ку ошибка Л(0 нарастает по логарифмическому закону. Поэто-
му можно надеяться, что по истечении характерного времени
релаксации tf, когда начнут проявляться нелинейные эффекты
исходной задачи (2.9), произойдет выход на некоторое стацио-
нарное решение J. Наличие процесса установления действитель-
но подтверждают численные эксперименты. Тогда максималь-
ная накопленная ошибка в функции распределения будет равна
max^-=11 = О f A In.-^-Y (2.14)
294
ДОПОЛНЕНИЕ I
Разумеется, логарифмический закон нарастания ошибки не-
сколько лучше, чем линейный, к которому мы пришли бы, об-
рывая процесс столкновений по условию (1.13) на каждом шаге
Д/, но все равно остается существенным недостатком метода.
Необходимо также отметить, что аппроксимационную ошибку
схемы Г. Бёрда можно вообще не обнаружить, если в качестве
теста для проверки метода взять пространственно однородную
задачу и анализировать, например, частоту столкновений после
выхода на установление. В этом случае стационарным реше-
нием уравнения Больцмана является максвелловское распреде-
ление 7м- Оно инвариантно по отношению к преобразованию
скоростей при столкновении. Следовательно, 7м. не искажается
при любом развитии процессов столкновений по времени, важно
только, чтобы скорости после столкновений рассчитывались по
верным формулам. Значит максвелловское распределение удов-
летворяет условиям
Л, [Гм]+«,[?м]-»! Л[Г«]=о
и является стационарным решением для схемы Г. Бёрда. Это
единственное исключение для логарифмического закона (2.14).
$ 3. СТРОГО МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
СТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
И УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
1. Предыдущий анализ достаточно ясно показывает, что не-
обходимо на каждом шаге по времени Д1 выдерживать ра-
венство
= Д/А, = Д/ У, (от
ш-1
либо точно, либо с ошибкой существенно иного вида, чем в схе-
ме Г. Бёрда’ Применение для этой цели процессов восстанов-
ления с запаздыванием приводит к неприемлемо громоздким
алгоритмам. Однако мы не пытались менять основную формулу
метода, предложенную Г. Бёрдом, — зависимость приращения
времени Д/с от относительной скорости сг.
Для обычного процесса восстановления (1.2), число слагав*
мых в котором определяется условием (1.3), т. е.
Nt Nt+1
i-i i-i
найдем такую плотность f(T) распределения слагаемых Ti,
Чтобы условное среднее число стодкновений Nj удовлетворяла
5 3. СТРОГО МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ Ш
равенству
= (3.1)
Искомая плотность f(T) является решением уравнения (1.6),
в котором
и(0 = -^ = М
Подстановка в (1.6) вместо u(t) величины Л приводит его к
следующему виду:
. о
или, посде дифференцирования по t,
< = (3-2)
Только одно решение уравнения (3.2) является плотностью ве-
роятности; это решение ' -
. f(O = Ae-«
-и соответствующее ему распределение F имеет вид
t
F(/)= Jf(7></T=l-e-«
0 (3.3)
Л= 2
Принципиальная особенность распределения (3.3) состоит в
том, что время ожидания Т очередного столкновения опреде-
ляется состоянием всей подсистемы из N частиц в ячейке, и
следовательно, оно одно и то же независимо от того, какая
пара m выбрана в качестве претендента на очередное столкно-
вение. Такой процесс является марковским, а показательный
закон (3.3) для распределения времени Т делает его строго
марковским. Схема же Г. Бёрда порождает типичный полумар-
ковский процесс,'в котором время ожидания зависит от буду-
щего состояния системы (от номера пары т, которая столк-
нется, и следовательно, от состояния системы после столкнове-
ния). Предпочитая полумарковский'процесс ради его вычисли-
тельной простоты, мы, выражаясь языком вычислительной ма-
тематики, делаем схему плохо обусловленной, что может свести
на нет всю ее вычислительную простоту.
Алгоритм моделирования столкновений строго марковским
процессом может быть описан следующим образом.
29В
ДОПОЛНЕНИЕ 1
I. В системе из N векторов {ci, ...., с#} выбирается пара
с номером т в соответствии с условной вероятностью
столкновения
это может быть реализовано так же, как в процедуре Г. Бёрда.
II. Разыгрывается время ожидания Т столкновения данной
пары в соответствии с распределением (3.3), и это время на-
капливается в счетчике Sn,.
п
So = O.
i-i
III. Если Sn А/, то скорости ci и С/ заменяются скоростями
с* и cj после столкновения.
Цикл, состоящий из этих трех шагов, повторяется ровно No
раз, где
Snc А/ < Sjvc+i.
Данный алгоритм впервые был предложен в работах [5, 6].
Он точно отражает статистику столкновений в идеальном газе
на любом интервале времени А/, но с вычислительной точки
зрения является громоздким, так. как частота X может изменять
свое значение после каждого столкновения. Число операций,-не-
обходимое для однократного пересчета X, пропорционально ,
Np w №/2. Так как число столкновений за единицу безразмер-
ного времени пропорционально N, то полное число операций,
необходимых для точного моделирования столкновений, пропор-
ционально N3. Следовательно, применение этого алгоритма для
решения реальных многомерных, задач вряд ли может быть f
оправданным, но он дает теоретическую основу, для построения
приближенных алгоритмов, обладающих хорошей , аппроксима-
цией [1, 7]. Один из наиболее простых и эффективных прибли-
женных алгоритмов [1] состоит из поочередного перебора всех
пар т — \, ..., Np вида (с<,с/) и выполнения для каждой из
них следующих процедур.
I. Разыгрывается факт столкновения пары т, (с/.с/), с ве- t
роятностькх ' ' ' ’ .
Рт = ®mAt (3.4)
II. Если столкновение принято, то скорости с„ с/ заменяются
скоростями после столкновения с^, с^; в противном случае зна- ,
чения скоростей не меняются. ’ _ “
Данная схема моделирования аппроксимирует точный про-
цесс столкновений с интегральной ошибкой на полном времени
§ 3. СТРОГО МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
297
наблюдения ?г порядка О (7г А?) *). Не сразу является очевид-
ной эффективность этого алгоритма, так как чирло операций,
необходимых для- ее реализации, пропорционально числу пар
Np ~ N2. Однако, как показывают численные эксперименты, рас-
четы с применением такого алгоритма можно проводить при
О 2 4.6. 8 10 12 14. 18
X
Рис. 3.1.
малом числе частиц в ячейке, ~ 1 и квадратичная зависи-
мость времени счета от N заметно не проявляется.
С другой стороны, возможность проводить расчеты при ма-
лых No и А? существенно расширяет возможности метода, т. е.
его суммарную эффективность. Весьма слабую зависимость
ошибки данного метода от No иллюстрируют рис. 3.1, 3.2,.на
*) Через I обозначено безразмерное время, т. е. отнесенное ко времени
Свободного пробега молекулы.
298
ДОПОЛНЕНИЕ I
которых сравниваются результаты наших расчетов структуры
ударной волны в газе из молекул — шаров при числе Маха в
набегающем потоке М» = 3 и при средних значениях W в ячей-
ках набегающего потока, равных Уо=1 (точки) и #0 = 12
(крестики). При переходе к расчетам двумерных и трехмерных
течений необходимое No увеличивается до 2 4-3 и -5 соответ-
ственно [10].
2. Полный теоретический анализ моделирующего процесса
предполагает вывод соответствующего ему кинетического урав-
* '
п
нения и прямое сравнение последнего с уравнением Больцмана.
Здесь это будет сделано для марковского процесса.
Рассмотрим эволюцию ЗАГ-мерного вектора С(/), компонен-
тами которого являются скорости ci(t) молекул, предполагая,
что столкновения моделируются точным алгоритмом с распре-
делением времени ожидания Т по показательному закону (3.3).
Указанный вектор С = {ci, ..., cxj характеризует состояние
lV-частичной модели пространственно однородного совершенного
газа. Основным уравнением случайного процесса C(t) является
уравнение эволюции плотности <p (t, С) распределение состоя-
$ 3. СТРОГО МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
299
ний С в момент времени t. Для вывода основного уравнения
заметим, что состояние модели в момент времени t dt ока-
жется в окрестности заданной точки С лйшь в результате осу-
ществления следующих событий.
I. Состояние модели находилось в момент t в окрестности С
и за время dt не произошло ни одного столкновения.
II. Состояние модели находилось в момент t в окрестности
одной из точек С*/ (1 < i < j < N),
Ci/ = {C1, ..., Cf-i, Ci, Cj+i, ..., C/-1, С/, C/+1, ..., Ctf},
координаты (Cp cj) которой есть пара возможных скоростей,
приобретаемых частицами с,- и с/ после их столкновения; и за
время (It происходит «обратное» столкновение (с^, с}) -* (ср с,).
Полная вероятность обнаружения состояния модели в окрест-
ности точки С в момент 14- dt равна сумме вероятностей собы-
тий I и II. Из (3.3) следует, что вероятность какого-либо стол-
кновения за интервал времени dt равна hit. Вероятность того,
что столкновение реализовано данной парой т есть ®т/Х. Таким
образом, вероятность столкновения данной пары т за время dt
есть
а вероятность события I равна
/ Nt> \
(1-Е р. ф(/,с)- .
\ т*1 / ч
2 сг(</ат(сг,о)1ф(ЛС). (3.5)
L J
Далее, в силу определения дифференциального сечения столк-
новений God® = da, отношение
где
qo (сг, </> Q). _ dan сг,
°т (сг, //) . стт (с*. ц)
z=dPlh
® (с*, ц), С*. ij = | С( — С/ |« ст, ц,
определяет вероятность того, что направление относительной
скорости < — cj после столкновения лежит ,в телесном угле dQ,
охватывающем заданное направление Q. С учетом этого выра-
жения получим следующую вероятность события II:
У*, dt&ii qp (t, CJ/) dPti = -^г Ст ,ц ф.(/, С^) dan. (3.6)
*) Заменяя в этой формуле dt на Д/, мы' и придем к приближенному
алгоритму с вероятностью столкновения в форме (3.4).
300
ДОПОЛНЕНИЕ I
Плотность <p(/4-d/, С) равна сумме выражений (3.5) и (3.6),
следовательно,
Ф(/+Л,С)-ф(/,С) + | Сг.0Х
X [$ ф(/, Сг/) da if — От (Сг. у) ф (/, С)].
Перенеся член <p(f, С) в левую часть, разделив все равенство
на dt и используя определение полного сечения столкновений от:
От (ст, if) = day,
мы получим окончательную форму основного уравнения
= V X Сг- ч $ с") ~ Ф С>1 аач- <3-7>
Уравнение (3.7) применительно к газу из N молекул — ша-
ров .предложил Кац [12] как удобную для теоретико-вероят-
ностного исследования модель уравнения Больцмана. Оно было
также выведено Пригожином [13] непосредственно из уравне-
ния Лиувилля. Если проинтегрировать уравнение (3.7) по
cr+i, ..., Cn, то, полагая затем J? = l, 2, ..., получим иерар-
хию уравнений, аналогичную цепочке ББГКИ, приводящей к
уравнению Больцмана. Уравнение; соответствующее /?=1,
имеет вид
^(1a^C~ = Jyi±SSt<p(2)(/’ с*’ й)-Ф(2)(/> Сь С2)]Сг> 12da^d^
Оно превращается в замкнутое уравнение Больцмана без крн-
вективной производной при дополнительном предположении о
молекулярном хаосе, т. е. при равенстве
ф(2) (/,' СЬ с2) = ф(1) (i, С1) ф<‘> (/, Са), .
отражающем статистическую- независимость молекул разрежен-
ного газа. Это замечание делает понятным замечательное асим-
птотическое свойство решений задачи Коши для уравнения
(3.7), открытое. Кацем, а затем исследованное и обоснованное
Мак-Кином [14] и Грюнбаумом [15]. Если в начальный момент
f=0 скорости частиц с,- статистически независимы, т. е.
N
ф (t = 0, С1, . . ., Сдг) — П fo(cz),
то для /^-частичных распределений
Ф(Й)(/.С1......сд)=^ф(/, С) JJ dct
i-R+l
ЛИТЕРАТУРА
801
почти всюду имеет место
v
lim (/, сь ..., cR) = П f (t, ct),
N, V->oo . J-l
причем функция f (t, с) является решением уравнения Больц-
мана
с начальными данными
f(/ = O,c) = fo(c).
Эта теорема и завершает вопрос обоснования применимости
строго марковских процессов для прямого статистического мо-
делирования столкновений.
В заключение еще раз отметим, что применение модели Каца
или аппроксимирующего эту модель марковского процесса для
реализации столкновений частиц в ячейках существенно расши-
ряет возможности метода прямого статистического моделиро-
вания, что особенно важно при использовании ЭВМ средней
мощности. В таком виде "метод, во-первых, позволяет более эф-
фективно решать задачи на координатных сетках с мелкими или
неравномерными шагами, это необходимо при расчетах течений
с малыми числами Кнудсена, с большими градиентами плотно-
сти, при решении трехмерных задач и т. д. Во-вторых, он обес-
печивает-существенно большую точность расчетов нестационар-
ных во времени и пространственно неоднородных процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод'частиц в
ячейках для решения задач динамики разреженного газа.— Ж. вычисл.
матем. и матем. физ,, I, 1-975, т. 15, № 5, с. 1195—1208; II, 1975, т. 15,
№ 6, с. 1553—1567.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир,
1967, т. 2.
3. Macpherson А. К. A preliminary Monte Carlo analysis of the reflection of
an exploding hemispherical shock wave similar to that generated in the
UTIAS explosion driven hypervelocity Launcher of shock tube. — UTIAS
Report, No. 152, Nov., 1970.
4. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины, располо-
женной вдоль потока разреженного газа. — Уч. зап. ЦАГИ, 1975, т. IV,
№3, Со 51—57.
5. Денисик С. А., Малама Ю. Г., Лебедев С. Н., Полак Л. С. Решение
задач физической и химической кинетики методом Мднте-Карло. — В сб.:
Применение вычислительной математики в химической и физической кине-
тике.— М.: Наука, 1969, С.Д79—231.
6. Денисик С. А., Лебедев С. Н., Малама Ю. Г., Осипов А. Н. Применение
метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов. — Физ. горения
и взрыва, 1972, т. 8, № 3, с. 331—349.
302
ДОПОЛНЕНИЕ I,
7. Яницкий В. Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расче-
та столкновительной релаксации неравновесного газа. — Ж. вычисл. матем.
и матем. физ., 1973, т. 13, № 2, с. 505—510.
8. ‘Яницкий В. Е. Статистическая модель течения идеального газа и неко-
торые ее особенности. — Численное методы механики сплошной среды. —
Н.: Сиб. отд. АН СССР, 1975, т. 6, № 4, с. 139—150.
9. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины бесконечного
размаха потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1976, т. 7, № 1,
с. 102-106.
10. Ерофеев А. И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым
потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5, с. 77—83.
11. Лавров С. С., Гончарова О. И. Автоматическая обработка данных и хра-
нение информации в памяти ЭВМ. — М.: Наука, 1971.
12. Кац М. Вероятность и смежные вопросы, в физике. — М.: Мир, 1965.
13. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — М.: Мир, 1964.
14. Mckean Н. Р. Speed of approach to equilibrium for Kac’s caricature of a
Maxwellian gas.—Arch. Ration Meeh, and Anal., 1966, v. 21, No. 5,'
p. 343—367.
15. Grunbaum F. A. Propagation of chaos for the Boltzmann equation. — Arch,
Ration Meeh. and. Anal., 1971, v. 42. No. 5, p. 323—344.
\
Дополнение 2
Метод Монте-Карло
в динамике разреженных газов
*0. М. Белоцерковский, М. Н. Коган
Методы статистического моделирования, или методы Монте-
Карло, находят Все более широкое применение. Сфера прило-
жения этих методов весьма разнообразна. Это — перенос излу-
чения, ядерная физика, теория массового обслуживания, химия,
биология и т. д. Свидетельством большого интереса к этим ме-
тодам, к их развитию является выход в свет за последние годы
целого ряда монографий и сборников, посвященных теории и
приложениям методов Монте-Карло (см., например, [1—4]).
Цель настоящего краткого дополнения отметить некоторые оте-
чественные работы, лишь тесно связанные с задачами, рассмат-
риваемыми в предлагаемой читателю книге.профессора Г. Бёр-
да, т. е. работы, использующие методы статистического модели-
рования к расчету молекулярных газодинамических течений.
Более подробный обзор различных численных методов, приме-
няемых для решения уравнения Больцмана можно найти в ра-
боте [5].
Эффективность метода Монте-Карло для исследования об-
текания тел потоком разреженного газа была впервые продев
монстрирована при расчете обтекания тел потоком, близким к
свободномолекулярному в режиме первых столкновений, т. е.
когда учитываются лишь столкновения молекул набегающего
потока с молекулами, отраженными от тела [6—9]. Эти работы
позволили установить характер отхода аэродинамических ха-
рактеристик от свободномолекулярного предела. В частности,
они подтвердили предсказанную ранее [10] немонотонность из-
менения аэродинамических характеристик. Например, сопро-
тивление пластины или других тонких тел, обтекаемых под ма-
лым углом атаки при уменьшении чисел Кнудсена (увеличении
чисел Рейнольдса), сначала растет, а лишь затем падает, при-
ближаясь к известному закону Блазиуса, соответствующему
газодинамическому пределу. Этот факт подтвержден и экспе-
риментами [11].
Аналогичные процедуры применены для расчета сложных
свободномолекулярных внешних и внутренних течений [12—15].
(g) «Мир», 198}
304
ДОПОЛНЕНИЕ 2
Использованный метод "был по существу методом пробных
частиц (см. § 6.4 настоящей монографии). Увеличение быстро-
действия, и особенно памяти ЭВМ, позволило перейти к иссле-
дованию течений с учетом многократных столкновений. Парал-
лельно развиваются как метод пробных частиц, в котором по-
следовательно прослеживается движение одной пробной части-
_цы на фоне полевых частиц, так и метод прямого моделирова-
ния, в котором прослеживается движение всего ансамбля мо-
делирующих течение частиц (метод Бёрда).
Одним из недостатков метода пробных частиц является не-
обходимость запоминания функции распределения полевых ча-
"стиц. Существенное усовершенствование метода предложено в
работах [16—17]. Вместо того чтобы вычислять и запоминать
функцию распределения в каждой пространственной ячейке, за-
поминается лишь плотность газа и одна случайная скорость
молекулы, которая изменяется в момент пролета пробной ча-
стицы через эту ячейку. Правило запоминания построено так,
что частота запоминания данной скорости пропорциональна
значению функции распределения для этой Скорости. Это усо-
вершенствование позволяет на 2—3 порядка сократить потреб-
ную для счета память ЭВМ. В работе [18] аналогичные идеи
применены для решения линейных задач.
Линейные задачи обладают определенной спецификой, так
как малые возмущения развиваются на фоне не существенной
для исследуемого явления функции распределения, относитель-
но которой производится линеаризация. Флуктуации последней
могут быть соизмеримы или даже больше исследуемых возму-
щений. Эта трудность применения метода пробных частиц к ре-
шению линейных задач преодолена в работе [19].
Имеется широкий круг практически важных задач,.в кото-
рых функцию распределения можно считать мало отклоняю-
щейся от равновесного максвелловского распределения и урав-
нение Больцмана ‘ может быть линеаризировано. К числу таких
задач относятся, например, классические задачи о течении в
трубе (течение Пуазейля), о течении в слое Кнудсена, позво-
ляющие установить условия «скольжения», о медленном дви-
жении тел, термофорезе и т. д. Ряд подобных задач решен
методом работы [19]. •
В работе [20] решена задача о течении Пуазейля при про-
извольном числе Кнудсена для плоского канала, а в работе
[21] —для круглой трубы. В отличие от газодинамического те-
чения (при числах ‘Кнудсена, стремящихся к нулю) при про-
извольных числах Кнудсена газ течет по трубе не только под
действием градиента давления, но и под действием градиента
температуры [22]. Течение в кнудсеновском слое исследовано
ДОПОЛНЕНИЕ 2
305
в работах [23—25] для определения как скачка температуры,
так и скорости скольжения при различных моделях молекул/
Метод работы [19] может быть использован для- расчета
коэффициентов переноса [19, 25]. Этим же методом решены
задачи о термо- и фотофорезе [26] при произвольном числе
Кнудсена.
В работах [27, 28] метод пробных частиц .модифицирован
для решения модельного уравнения Больцмана. В этом случае
отпадает необходимость запоминания функции распределения.
Достаточно в каждой ячейке помнить лишь плотность, скорость
и температуру газа. Это позволило рассчитывать более сложные
течения.
В работах [29—31] преодолен другой недостаток метода
пробных частиц — отсутствие прямой связи численного алго-
ритма с кинетическим уравнением.
Развитие метода прямого статистического моделирования
шло по двум направлениям: обоснования и совершенствования
схем и моделей метода, ю которых говорилось в дополнении 1,
и модификации метода для расчета все более сложных течений.
Процедуры, использующие статистическую модель Каца [32,
33], и модификации метода Бёрда [34, 42, 43] позволили суще-
ственно уменьшить потребное число частиц в каждой ячейке,
что дает возможность на тех.же ЭВМ решать более сложные^
задачи. ' ,
Метод использует принцип, расщепления по физическим при-
знакам (столкновения, перелеты), позволяет использовать мо-
дульный принцип для учета различных свойств газа и границ
(задание формы тела, законов взаимодействия молекул между
собой и границами и т. д.).
Параллельное использование метода прямого статистическо-
го моделирования и метода пробных частиц предоставляет воз-
можность их взаимного контроля. Для уравнения Больцмана
такой контроль особенно важен, так как точных решений этого,
уравнения чрезвычайно мало, а имеющиеся решения' относятся
к весьма вырожденным ситуациям. Сравнение же с эксперимен-
том вносит новые элементы неопределенности: законы взаимо-
действия молекул между собой и границами.
Развитые методы .позволяют исследовать аэродинамические
характеристики в широком диапазоне изменения определяющих
течения параметров: числа Кнудсена (числа Рейнольдса, по-
строенного по параметрам набегающего потока и температуре
торможения), числа Маха, температурного фактора, угла атаки,
закона взаимодействия - молекул, внутренней структуры моле-
кул, закона отражения молекулы от тела.
Наиболее полно исследовано течение около пластины бес-
конечного размаха. Эта задача решалась методом прямого отд-
306
ДОПОЛНЕНИЕ 2
тистического моделирования (см., например, (35—38]), мето-
дом пробных частиц [36, 39] и на основе модельного кинети-
ческого уравнения [40].
Весьма чувствительным к влиянию различных факторов яв-
ляется течение около пластины, установленной вдоль потока.
На этом примере* изучено влияние многих факторов: числа
Маха, температурного фактора, закона изменения вязкости от
температуры и др. Для учета влияния внутренних степеней
свободы молекул была использована специальная модель мо-
лекул с двухточечными центрами отталкивания. Расчеты про-
демонстрировали * существенную зависимость сопротивления
пластины от закона взаимодействия молекул со стенкой. При
больших числах Рейнольдса полученные результаты удовлетво-
рительно согласуются с решениями уравнений . Навье — Стокса
с учетом скольжения и температурного скачка на стенке [41].
Сопротивление пластины, перпендикулярной потоку, менее
чувствительно ко многим факторам. Однако картина течения
перед пластиной существенно изменяется, например в зависи-
мости от сорта молекул (учет внутренних степеней свободы
[38]).
В работах [42, 43] методом прямого моделирования изучены
течения около пространственных тел: треугольной и прямоуголь-
ной пластин и конуса. Здесь расчеты велись на неравномерной
сетке с введением различных статистических весов в различных
областях течения. При этом- одни -траектории расщепляются,
другие обрываются.
Расчеты показали, что теорема обратимости, устанавливаю-
щая одинаковость аэродинамических характеристик пластины в
прямом и обратном потоках и доказанная для течений, близких
к свободномолекулярным [22], справедлива и при больших чис-
лах Рейнольдса. Этот факт установлен также и эксперимен-
тально [44].
Перечисленные результаты показывают, что методы стати-
стического моделирования оказались весьма эффективными для
решения задач молекулярной газодинамики. Решение наиболее
сложных задач до сих пор получено именно этими методами.
Описанные методы основаны на моделировании реальных
пробегов моделирующих частиц и их столкновений. В -то же
время идут поиски других подходов. В работе [29], например,
линейное уравнение Больцмана сводится к интегральному урав-
нению, которое решается по схеме Неймана — Улама. Методом
Монте-Карло строится цепь Маркова, траектории которой не
совпадают с физическими траекториями, а переходные вероят-
ности для различных задач имеют различный физический
смысл, который часто трудно выявить: В ряде случаев этот
Подход оказался эффективным, и с его помощью, удалось, на-
ДОПОЛНЕНИЕ 2
307
пример, решить важную для теории диспергированных сред
задачу о медленном движении сферы при произвольных числах
Кнудсена [45]. Этот подход обладает тем преимуществом, что
отправной точкой является решаемое уравнение, так что здесь
не возникает вопрос о соответствии процедуры уравнению [30,
31], как это имело место в методе прямого моделирования мо-
лекулярных процессов.
Интересное направление открывает использование ветвящих-
ся процессов. По-видимому, первая попытка использования вет-
вящихся процессов для решения задач динамики разреженного
газа сделана в работе [46]. Общая теория нового направления
построения численных методов Монте-Карло с применением вет-
вящихся процессов дана в работе [3]. Работы этого направле-
ния представляются перспективными и уже используются при
решении многих задач. Однако задачи молекулярной газоди-
намики принадлежат к числу весьма сложных и пока этими
методами удалось решить лишь немногие одномерные или про-
странственно-однородные задачи.
' ЛИТЕРАТУРА '
1. Марчук Г. И. (ред.) Метод Монте-Карло в проблеме переноса излуче-
ния.— Атомиздат, 1967.
2. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука,
1975.
3. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования.
М.: Наука, 1976.
4. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973.
5. Белоцерковский X). М., Яницкий В. Е. Проблемы численного моделиро-
вания течений разреженного газа.— Успехи механики, 1979, т. 1, № 1/2.
6. Перепухов В. А. О сопротивлении плоской пластинки в потоке сильно
разреженного газа. — Ж. вычислит, матем. и матем. физики, 1960, т. 1,
№ 4.
7. Перепухов В. А. Обтекание плоской пластины под нулевым углом атаки
потоком разреженного газа. — Ж. вычислит, матем. и матем. физики, 1963,
№ 3.
8. Коган М. Н., Дегтярёв Л. М. О расчете течений при больших числах
Кнудсена.;—Astronautica Acta, 1965, № 1<
9. Перепухов В. А. Аэродинамические характеристики сферы и затуплен-
ного конуса в потоке сильно разреженного газа.— Ж. вычисл. матем. и
матем. физики, 1967, № 2.
10. Коган М. Н. О гиперзвуковых течениях разреженного газа. — Прикл.
матем. и механ., 1962, т. 26, № 3.
11. Гусев В. Н., Коган М. Н., Перепухов В. А. О подобии и изменении
аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуко-
вых скоростях потока. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1.
12. Перепухов В. А. Применение метода , Монте-Карло в динамике сильно
, разреженного газа. — В сб.: Динамика разреженного газа и молекулярная
газовая динамика. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1411.
13. Закиров М. А. Исследование внутренних и внешних свободномолекуляр-
ных течений около произвольных групп сложных тел.— В сб.: Динамика
разреженного газа и молекулярная газовая динамика. — Труды ЦАГИ,
1972, вып. 1411.
308
ДОПОЛНЕНИЕ 2
14. Басс В. П. Расчет' обтекания тел потоком сильно разреженного газа с
учетом взаимодействия с поверхностью. — Изв. АН СССР, Механ. жидко-
сти и газа, 1978, № 5.
15. Нусинзон Л. М., Породнов П. Г., Суэтин П.'Ег Решение задачи о течении
газа в цилиндрическом капилляре в промежуточном режиме методом
Монте-Карло. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 6.
16. Власов В. И. Улучшения метода статистических испытаний (Монте-Кар-
ло) для расчета течений разреженного газа. — ДАН СССР, 1966, т. 167,
№ 5.
17. Власов В. И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом
атаки потоком разреженного газа. Труды IV Всесоюзной конференции по
динамике разреженного газа и молекулярной газодинамике, 1977, Изд-во
ЦАГИ. •
18. Власов В. И., Хлопков Ю. И. Вариант метода Монте-Карло для решения
линейных задач динамики разреженного газа. — Ж. вычислит, матем. и
матем физики; 1973, № 3.
19. Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. Математический эксперимент
для вычисления коэффициентов переноса. — ДАН СССР, 1968, т. 176, № 6.
20. Горелов С. Л., Коган М. Н. Течения разреженного газа между двумя па-
раллельными пластинками. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 6.
21. * Горелов С. Л. Течения разреженного газа в трубе. — Изв. АН СССР,
Механ. жидкости и газа, 1974, № 1.
22. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. — М., Наука, 1967.
23. Горелов С. Л., Когаи М. Н. Решение линейных задач динамики разре-
женного газа методом Монте-Карло. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости
и газа, 1968, №6.
24. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение задачи о скачке температуры. —
Изв. АН СССР, Механ., жидкости и газа/ 1968, № 4.
25. Хлопков Ю. И. Вычисление коэффициентов переноса и скорости сколь-
жения для молекул в виде твердых шаров. — Изв. АН СССР, Механ.
жидкости и газа, 1971^ №2. s “
26. Горелов С. Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе. — Изв. АН
СССР, Механ. жидкости и газа, 1976, № 5.
27. Хлопков Ю. И. Статистический метод решения приближенного кинетиче-
ского уравнения. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, № 4.
28. Григорьев Ю. Н., Иванов М. С. Исследование применимости некоторых
.статистических моделей в задаче о структуре ударной волны.— Изв. СО
АН СССР, сер. техн, наук, 1972, т. 13, № 3.
29. Хлопков Ю. И. Решение линеаризованного уравнения Больцмана. — Ж.'
. вычисл. матем. и матем. физики, 1973, № 5.
30. Григорьев Ю. Л., Иванов М/С., Харитонова Н. И. К вопросу о решении
нелинейных кинетических уравнений динамики разреженного газа, методом
Монте-Карло. — Численные методы механики сплошной среды. — СО АН
СССР, ВЦ, 1971, т. 2, № 4.
31. Григорьев Ю. Н., Иванов М. С., Харитонова Ц. И. Решение задачи о те-
чении Куэтта для кинетического уравнения БГК методом Монте-Карло. —
В сб.: Вероятностные методы решения задач математической физики.—
ВЦ СО АН СССР, 1971.
32. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в
. ячейках для решения' задач динамики разреженного газа. — Ж. вычисл.
матем. и матем. физики, 1975, <г. 15, № 5 и 6.
33. Денисик С. А., Лебедев С. Н., Малама Ю. Г., Осипов А. И. Применение
метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов. — Физика горе-
ния и взрыва, 1972, т. 8, № 3.
34. Ерофеев А. И., Перепухов В.’ А. Расчет обтекания пластины, располо-
женной вдоль потока разреженного газа.— Ученые записки ЦАГИ, 1975,
т. 6, №2 3.
ДОПОЛНЕНИЕ 2
309
35. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтёкания пластины бесконечного
размаха, потоком разреженного газа.— Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7,
№ 1.
36. Власов В. И., Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пла-
стины потоком разреженного газа.— Труды ЦАГИ, 1979, вийт. 1974.
37. Ёрофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет поперечного обтекания пластины
потоком разреженного газа. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа,
1976, № 4.
38. Горелов С. Л., Ерофеев А. И. Влияние внутренних степеней свободы на
обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. — Изв.
АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1979г № 6.
39. Власов В. И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком раз-
реженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, №1.
40. Шахов Е. М. Обтекание пластины потоком разреженного газа. — В сб.
«Численные методы в динамике разреженного газа». — М.: ВЦ АН СССР,
1973.
41. Гусев В. Н., Ерофеев А. И., Климова Т. В., Перепухов В. А., Рябов В. В.,
Толстых А. И. Теоретические и экспериментальные исследования обтека-
ния тел простой формы гиперзвуковым потоком разрежённого газа. —
Труды ЦАГИ, 1979, вып. 1855.
42. Ерофеев А. И. Пространственное обтекание, пластины гиперзвуковым по-
током разреженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5.
43. Ерофеев А. И. Расчет обтекания конуёа под углом атаки гиперзвуковым
потоком разреженного газа.— Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 6.
44. Гусев В. Н., Крюкова С. Г. О несущих свойствах тел в. переходной
области при гиперзцуковых скоростях потока. — Ученые записки ЦАГИ,
1973, т. 6, № 6.
45. Хлопков Ю, И. Сопротивление сферы в потоке разреженного газа малой
скорости. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 5.
46. Черемисин Ф. Г. Метод прямого численного интегрирования уравнения
Больцмана. — В сб.: Численные методы в теории разреженных газов. — Мл
ВЦ АН СССР, 1969.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамович (М. Abramowitz) 245
Андерсон (J. В. Anderson) 147
Баранцев Р. Г. 97
Басс В. П. 303
Белоцерковский О. М. 286, 296, 303,
305
Бенковский (G. К. Bienkowski) 222
Берд (R. В. Bird) 50, 76
Берри (С. J. Berry) 186
Бёрд (G. A. Bird) 142, 147, 166, 170,
179, 182, 186, 198, 217, 223, 233,
239, 275, 288, 294, 295
Боголюбов Н. Н. 57
Больцман (L. Boltzmann) 57
Боргнакке (С. Borgnakke) 220, 223,
227
Бриан (G. Н. Bryan) 213
Бродуэлл (J. Е. Broadwell) 142, 186
Бхатнагар (Р. L. Bhdtnagar) 137
Вайнрайт (Т. Wainwright) 142
Валента (Z. Walenta) 171
Вальдман (L. Z. Waldmann) 120
Венаас (Е. Р. Wenaas) 98
Видхопф (С. F. Widhopf) 186
Виктории (К. Victoria) 186
Виллис (D.t R. Willis) 178, 182
Винсенти (W. G. Wincenti) 55, 76,
138, 231, 235
Власов В. И.
Вогениц (F. W. Vogenitz) 186
Галкин В. С. 76, 136
Гамель (В. В. Hamel) 178, 182
Гидт (R. D. Giedt) 231
Гилбарг (D. Gilbarg) 161
Гиршфельдер (J. О. Hirschfelder) 50.
76
Гончарова О. И. 288
Горелов С. Л. 196, 304, 305
Григорьев Ю. Н. 305
Гросс (Е. Р. Gross) 137
Трэд (Н. Grad) 57, 136, 185
Грюнбаум (R A. Grunbaum) 300
Гудман (F. О. Goodman) 97
Гусев В. Н. 303, 306
Гюи (Т. В. Guy) 205 .
Давидович (Р. Davidovits) 147
Далер (J. S. Dahler) 213
Дегтярёв Л. М. 303
Денисик С. А. 286, 296, 305
Держко (N. A. Derzko) 146
Дешпанде (S. М. Deshpande) 165
Джинс (J. Н. Jeans) 213
Диверт (G. S. Diewert) 167
Дэвис (D. Н. Davis) 126, 128
Ермаков С. М. 303, 307
Ерофеев А. И. 285, 286, 288, 298, 305,
306 . '
Закиров М. А. 303
Заккай (V. Zakkay) 197
Зандлер (S. I. Sandler) 213
Иванов М. С. 305
Итон (R*. R. Eaton) 205
Йен (S. М. Yen) 140, 141, 166
Камак (М. Самас) 161
Католика (R. Cattolica) 181
Каулинг (Т. G. Cowling) 55, 62, 72,
94,435, 201, 213
Кац (М. Кас) 300
Кеннард (Е. Н. Kennard) 55
Кертисс (С. F. Curtiss) 50, 76, 213
Клаузинг (Р. Clausing) 124
Климова Т. В. 306
Коган М. Н. 73, 76, 113, 136, 196,
303—305
Кондо (J. Kondo) 147
Коура (К. Коига) 14-7, 236
Коэн (N. Cohen) 231
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
311
Крофорд (D. R. Crawford) 186
Крук (М. Krook) 137
Крюгер (G. Н. Kruger) 55, 76, 138,
231, 235
Крюкова С. Г. 306
Кушер (J. Kuscer) 98
Лавров С. С. 288
Лайт (J. С. Light) 230
Ларсен (Р. S. Larsen) 220, 223, 227
Лебедев С. Н. 286, 296, 305
Либби (Р. A. Libbi) 161
Лиз (L. Lees) 120, 171
Лиликрэп (D. С. Lillicrap) 186
Линзер (М. Linzer) 162
Липман (Н. W. Liepmann) 104, 161,
165
Лорди (J. A. Lordi) 212
Лэмпис (М. Lampis) 98
Лю (С. V. Liu) 171
Макенфас (С. Muckenfus) 165, 213
Мак-Кин (Н. Р. Mackean) 300
Максвелл (J. С. Maxwell) 66
Макферсон (А. К. Macpherson) 285
Малама Ю. Г. 286, 296, 305
Марчук Г. И. 303
Мейтс (R. Е. Mates) 212
Мелвилл (W. К. Melvill) 213
Меткаф (S. С. Metcalf) 186
Миллер (D. R. Miller) 98
^Михайлов Г. А. 303, 307
Молинг (R. A. Mohling) 186
Мордухов (М. Morduchow) 161
Мотт-Смит (Н. М. Mott-Smith) 162,
165, 170
Мунц (Е. Р. Muntz) 181
Нарасимха (R. Narasimha) 102, 111,
165
Нордсик (A. Nordsieck) 140
Ночилла (S. Nocilla) 97
Нусинзон Л. М. 303
Олдер (В. Alder) 142
Осипов А. Н. 286, 296, 305
Паолуччи (D. Paolucci) 161
Паттерсон (G. N. Patterson) 117, 124
Перепухов В. А. 285, 286, 288, 303,
305? 300
Пиддак (F. В. Pidduck) 213
Полак Л. С. 286, 296
Породнов П. Г. 303
Пригожин И. 300
Пуллин (D. I. Pullin) 222
Рагхураман (Р. Raghuraman) 147
Райли (В. L. Reilly) 141, 146
Ракич (J. V. Rakich) 186
Рассел (D. A. Russell) 162
Роббен (F. Robben) 181
Роде (D. L. Rode) 165
Росс (J. Ross) 230
Рошко (A. Roshko) 161
Рунгальдир (Н. Rungaldier) 186
Рябов В. В. 306
Синха (R. Sinha) 197
Смит (F. Т. Smith) 232
Соболь И. М. 303
Спрингер (G. S. Springer) 142, 171 '
Стиган (I. A. Stegun) 245
Стуртевант (В. Sturtevant) 170
Суббарао (R. В. Subbarao) 98
Суэтин П. Е. 303
Сэзер. (N. F. Sather) 165, 213
Таненбаум (В. S. Tanenbaum) 165
Толбот (L. Talbot) 162, 181
Тонкие (J. Р. Toennis) 50'
Тьюер (Т. W. Тиег) 142
Тэннехилл (J. С. Tannehill) 186
Уленбек (G. Е. Uhlenbec) 136
Феллер В. (W. Feller) 280
Фицдон (W. Fizsdon) 171
Фокс (R. L. Fox) 205
Фрон (A. Frohn) 162
Харбей (J. К. Harvey) 222
Харитонова Н. И. 305
Харрис (S. Harris) 55, 57, 66, 76
Хержинский (R. Herczynski) 171
Хикс (В. L. Hicks) 140, 141, 166
Хиншелвуд (С. N. Hinshelwood) 221
Хлопков Ю. И. 304, 305, 307
Хольц (Тх Holtz) 171
Хорниг (D. F. Hornig) 162
Ху (Р. N. Ни) 185
Хэзиленд (J. К. Haviland) 141
312
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Чатвани (A. U. Chatwanf) 181
Чахине (М. Т. Chahine) 165
Ченг (Н. К. Cheng) 178
Чепмен (S. Chapman) 55, 62, 72, 94,
135, 201, 213
Черемисин Ф. Г. 307
Черчиньяни (С. Cercignani) 57, 76,
98, 133, 13,9
Чу (С. К. Chu) 182
Шмидт (В. Schmidt) 165, 170
Штейнхильпер (Е. A. Steinhilper) 170
Шулер (К. Е. Schuler) 230
Шульц-Грунов (F. Schultz-Grunow)
162
Эдвардс (R. Н. Edwards) 178
Эпштейн (М. Epstein) 97
Эрдеш (J. Erdos) 197
Шааф-(5. A. Schaaf) 117, 136
Шамбре (Р. L. Chambre) 117,136
Шахов Е. М. 139, 306
Шерман (F. S. Sherman) 162
Якобс (Т. A. Jacobs) 231
Янг (Н. Т. Yang), 120
Яницкий В. Е. 275, 286, 296, 303, 305
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авогадро число 17, 32
Аккомодации коэффициент 96
, Активации энергия 229
Аррениуса уравнение 229
Барнетта уравнения 75, 135
ББГКИ-уравнения 57
БГК-уравнение 137, 139
— пространственных течений 186
— применение к задаче о стационар-
ном разлете 178
------------- структуре ударной
волны 165
----------Рэлея 182
Бимодальное распределение 162
Бимолекулярная реакция 228
Больцмана 70
— Я-теорема 70
— постоянная 27
— уравнение 57—-62
------ вывод 57—61
----для смеси газов 61
----моменты 63—64
----нормальное решение 74
----обобщенное 62
----связь с методом прямого мо-
делирования 148—154
— г— свободномолекулярное 162
----Чепмена—Энскога решение 74—
76, 93—95
Броуновское движение 35
Букингема потенциал, экспоненциаль-
ная модель 170
Вектор потока 25
---- тепла 28 '
Взаимодействие газа с поверхностью
95-98
Внутренние степени свободы 28, 31—
•33, 61, 211—227
Волна разрежения 182
Время жизйи столкновения 232
Вязкости коэффициент 93
Газ простой 17
— равновесный 21, 71, 77—92
— совершенный 19, 25
Газовая постоянная 27
— смесь 29—32, 61, 87—92, 201—211
Гауссово распределение 22
Гейзенберга принцип неопределенно-
сти 36
Давление 26—27
— в смеси газов 31
Двумерные течения 188 —-
Двумерный газ 37
Де Бройля длина волны 36
Действующих масс закон 234
Дискретных ординат метод 142
Диссипативная функция 68
Диссоциации с рекомбинацией реак-
ция 233—235, 238
Дифференциальное сечение 42
Диффузионная скорость 31
Диффузное отражение 95
Диффузно-упругое отражение 98
Длина свободного пробега
-------- распределение 37 й
-----— средняя 21, 30, 89
-----------Тейта 90
Задача о поршне 111
Зеркальное отражение 95
Изэнтропический процесс 135
Интеграл вероятности 79, 245 ,
Интеграл столкновений БГК 137
Больцмана 62
Исключения метод 249
Квантовые состояния 36
Кнудсена число 16
Конечно-разностный метод решения
уравнений газовой динамики 197
Константы скоростей реакций 228
Кронекера символ 27
Кулоновские молекулы 50
Куэтта течение 106
314
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ДеннардаДжонса потенциал 50
Линия центров 42
Лиувилля уравнение 57, 102
Локальное термодинамическое равно-
весие 73
Лошмидта число 32
Максвелловская модель молекул 49,
169
Максвелловская функция распределе-
ния 72, 77
•----,— компонентов тепловой ско-
рости 79
-------молекул с внутренними сте-
пенями свободы 215
— — тепловых скоростей 77
Маха число 113
Мгновенное среднее 23
> Межмолекулярная сила 18
Межмолекулярный потенциал 44
Метод Монте-Карло прямого модели-
рования 143—239
— ,----т- программы для расчета
течений 254—274
----------теплопередачи 175—177
----------течения в ударной волне
166—171, 208, 226
-------------газа с внутренними
степенями свободы 218—222
— ’----------------тройными стол-
кновениями молекул 237—238
Метод М&нте-Карло прямого, модели-
рования пространственного течения
185-200 '
-----— — разлета газа 178—182
- течения Рэлея 154—160
-------------с химическими реак-
циями 235—239
------------- смеси газов 202—211
‘Модель со стоком энергии 217
Модельные уравнения 137—139
Молекулярная модель Леннарда —
Джонса 50
— ’— Максвелла 49
-----нагруженных сфер 213
-----степенных потенциалов 45, 87—
92, 168
-----сфероцилиндров 213
-----Сюзерленда 50
*----твердых’ сфер 48, 87—92, 168
----------феноменологическая 217
-----шероховатых сфер 213
Молекулярное скоростное отношение
81
— среднее расстояние 32
— силовое поле 18
Молекулярный вес 17, 32
----диаметр 17, 240
— динамический метод 142
— хаос 56
Момент интеграла столкновений 64
-------вычисление 68
— уравнения Больцмана 63
— функции распределения 54
Монте-Карло метод пробной частицы
124, 141
----решения конечно-разностного
уравнения Больцмана 140, 166
Мотт-С'мита метод 162—165
Навье — Стокса уравнения 16, 75,
136
Наиболее вероятная тепловая ско-
рость 78
----угловая скорость 215
Нарушение равновесия при расшире-
нии газа 178
Нормальное распределение 22
— решение 74
Нормальные условия 32
Обратимость 73
Обратные столкновения 42
Отклонения угол 40
Относительная скорость 39
Параметры столкновений 42
Парное столкновение 19, 39—51
Переноса коэффициенты 93
Переходный режим 103—133
Планка постоянная 36
Плотность 21
— смеси газов 30
Полевая молекула 19
Полная производная 67
Прандтля число 93
Приведенная масса 40
Принцип неопределенности 36
Пробная молекула 19
Пространственные течения 185
Прямой скачок уплотнения см. Удар-
ная волна
Прямоугольной потенциальной ямы
модель 50
Пуассона распределение 22
Равновесное состояние 21, 71
Равновесный газ 77—92
----поток импульса 82
предметный указатель
315
--------числа молекул 81
--------энергии 83—84
--------распределение модуля ско-
рости 78
-------- относительной скорости при
столкновении 87—90
-------- энергии относительного дви-
жения при столкновении 91—92
---- средняя длина свободного про-
бега 90
----функция распределения см.
Максвелловская функция распреде-
ления
----частота столкновений 90
Разбро’с результатов 127
Разлет газа 107—111
Рэлея задача 120—122, 154, 182—184
Свободномолекулярное течений 101—
131
----Куэтта 106
----одномерной теилопёредачи 105
----разлета 107— 110
Свободномолекулярный режим тече-
ния 101 ' t
Свойства газов 240
Сечение реакции 229
— столкновения 17
----дифференциальное 42
----номинальное 47
---- определенное по вязкости 47
----полное 17,-43, 47
----потери импульса 48
Скачок скорости 107
Скоростное отношение 81
Скорость центра масс 39
Собственная скорость 25
Сонина полиномы 76
Соотношение взаимностй 98
Сохранения уравнения 66
----импульса 67
----массы 66
---- энергии 67
Среднее время между столкновения-
ми 19
— значение внутренней энергии 218
— по ансамблю 23
— по времени 23
Среднеквадратичная скорость моле-
кул 33, 69
Среднемассовая скорость 30
Средняя длина свободного пробега
21, 30, 90
— скорость 25
— теплорая скорость 78
частота столкновений 19
Стандартная числовая плотность 32
Стандартное отклонение 22
Стационарное расширение 178, 180,
225
Степенной закон взаимодействия 45,
87—90, 167—169
Степень диссоциации 235
Стерический фактор 229
Столкновений динамика 43—45
Столкновений инвариант 66 ,
Сумматорные инварианты 66
Температура 27
— внутренних, мод 28.
— кинетическая поступательного дви-
жения молекул 28
— — для компонентов скорости 28
----в смеси газов 31
— полная кинетическая 28
— термодинамическая 27
Температурный скачок 174, 177—178
Тензор вязких напряжений 27
— напряжений 26
Теория столкновений. для скоростей
реакций 228—235
Тепловая скорость 25
— транспирация 104
Теплопередача между параллельными
пластинами 104—105, 170—178
Теплопроводности коэффициент 93
Термодинамическая обратимость 7Q
Термофорез 118—120
Точечные центры отталкивания 46,
87—90, 167—169
Трехмерные течения 192
Тримолекулярная реакция 231
Тринадцатимоментные уравнения. 136
Тройное столкновение 231
Ударная волна, структура 161—171
----в газе с внутренними степеня-
ми свободы 226
----в смеси газов 208
----результаты экспериментальных
исследований 162, 170, 226
----решение БГК уравнения 165
----* — Мотт-Смита 162
-------уравнений Навье —Стокса
161
-------методом прямого моделиро-
вания 166—170
----формирование 166
Универсальная газовая постоянная 27
Упругие столкновения 39
316
предметный указатель
Уравнения для моментов 62 — переноса 64 4 Усечение столкновений 46 Фазовое пространство 54 Феноменологические модели 217—221 Флуктуации 35 Фредгольма уравнение 123 Функция распределения 162 бимодальная 162 кумулятивная 250 нормированная 52—53 относительной скорости в пар- ном столкновении 89 равновесная см. Максвеллов- ская функция распределения скорости центра масс в парном столкновении 89 ~ в приближении Навье — Стокса 74, 94 - - скоростей 52—56 — в пространстве скоростей 52 —- в фазовом пространстве 54 — двухчастичная 53 ^-частичная 55 одночастичная 55 см. также Максвелловская функция распреде- ления Хаос, молекулярный 56 Хаотическая скорость 25 Химические реакции 228—239 Чепмена — Энскога метод 74—76. 93—95, 134 Четырехмоментное решение 171 Число Маха ударной волны 161 Числовая плотность 17 смеси газов 29 Эйлера уравнения 68, 135 Энтропия 76 Эргодичность 23 Эффузия 103
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов перевода ......................................... . . о
Предисловие....................................................... 8
Список обозначений.......................................... 11
1. Молекулярная модель . . ,................................. 15
L1. Введение . ............................................. 15
1.2. Простой разреженный газ............................... 17
1.3. Обобщение на газовые смеси..............................29
1.4. Характерные значения величин . •........................32
Упражнения................................................. 87
2. Парные упругие столкновения .................................. 39
2.1. Анализ импульса и энергии .................................39
2.2. Параметры и сечения столкновений............................42
1 2.3» Динамика столкновений . ....................................43
2.4. Частные модели......................................... • 45
Упражнения..................................................... 50
3. Основные элементы кинетической теории . . ♦ . ..................52
3.1. Функций распределения скоростей'.......................... 52
3.2. Уравнение Больцмана.........................................57
3.3. Уравнения для моментов и уравнения сохранения ..... 62
ЗА. Я-теорема и равновесие...................................... 69
3.5. Метод Чепмена — Энскога ................................. 74
Упражнения ...............................................* . . 76
4. Справочные формулы, граничные условия........................ 77
4.1. Объемные величины в равновесном газе................... 77
4.2. Потоки в равновесном газе................................ 80
4.3. Характеристики столкновений в равновесном газе.............87
4.4. Функция распределения и параметры вязкого теплопроводного
газа............................................................92
4.5. Взаимодействие газа с поверхностью.........................95
Упражнения....................................... •,............98
5. Свободномолекулярные течения ................................101
5.1. Введение.......................................... , . . 101
5.2. Одномерные стационарные течения'.........................104
5.3. Одномерные нестационарные течения' . ♦...................107
5.4. Свободномолекулярная аэродинамика . .... ...... 114
5.5. Термофорез . ............................................118
5.6. Задача Рэлея..........................'..................120
5.7. Течения с многократным отражением от поверхности . . . . . 122
Упражнения . * . . . . . . ...... 128
318
ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Общие мётоды исследования течений в переходном режиме . . . .132
6.1. Классификация методов....................................132
6.2. Моментные методы........................................134
6.3. Модельные уравнения.................................... 137
6.4. Численные методы .-..................................... 139
7. Метод Монте-Карло прямого моделирования......................143
7.1. Общие положения '. -................................... 143
7.2. Связь с уравнением Больцмана......................... . . 148
7.3. Типичное приложение..................................... 154
8. Одномерные течения одноатомного газа..........................161
8.1. Структура ударной волны................................. 161
8.2. Теплопередача............................................171
8.3. Нарушение равновесия по поступательным степеням свободы при
расширении газа..............................................178
8.4. Задача Рэлея........................................... 182
9. Пространственные течения.....................................185
9.1. Общие положения..........................................185
9.2. Процедура моделирования *для двумерных и осесимметричных
течений...................................... •..............188
9.3. Трехмерные течения.......................................192
9.4. Область приложений . . ................................ 195
10. Течения смесей газов . ............................. 201
10.1. Общие положения .................*......................201
10.2. Процедура применения метода прямого моделирования . . . 202
10.3. Типичные течения........................................206
11. Течения двухатомных и многоатомных газов .......... 212
11.1. Модели молекул с внутренними степенями свободы . . . . . 212
11.2. Модель шероховатых сфер......................I ... . 214
11.3. Феноменологические модели............................ 217
11.4. Типичные приложения..................................v . 223
12. Химически реагирующие газовые потоки........................228
12.1. Теория столкновений для скоростей реакций ............ 228
12.2. Реакция диссоциации — рекомбинации . ...............233
12.3. Моделирование течений реагирующего газа............ \ 235
Приложение А....................................................240
Некоторые свойства газов.....................................240
Приложение В....................................................242
Определенные интегралы..................................... 242
Приложение С , ; ’. ♦...........................................245
Интеграл вероятности ......................................./245
Приложение D...............................................; ; . 247
' Моделирование. заданного распределения, 247
оглавление
319
Приложение Е . . . ...............................................251
Частота столкновений в методе прямого статистического моделиро-
вания ..................................................... 251
Приложение F . / . . ........................................... 253
Программа расчета свободномолекулярного течения в трубе .... 253
Приложение G................................................. . 255
Программа прямого моделирования задачи Рэлея.................255
Приложение Н......................................................264
Подпрограмма изменения числа моделирующих молекул...........264
Приложение I . ................................................ 26§
Программа моделирования релаксации пространственно однородной
газовой смеси,.............................................. 266
Приложение J .....................................................271
Программа моделирования релаксации пространственно однородного
- газа с внутренними степенями свободы..........................271
Литература.................................................... 275
Дополнение 1. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического
моделирования столкновительных процессов в разреженном газе
В. Е. Яницкий..................’...............................279
§Д, Оценка ошибки в частоте столкновений......................279
§ 2. Исследование схемы Г. Бёрда..............................'288 v
§ 3. Строго марковские модели столкновительньТх процессов и урав-
нений Больцмана................................' . ........294
Литература....................................................300
Дополнение 2. Метод Монте-Карло в динамике разреженных газов.
О. М. Белоцерковский, М. Н. Коган ............................303
Именной указатель . '.............................................310
Предметный указатель . ♦ ................................... , 313
• - <
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
лении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, Й-110, ГСП, 1-й Риж-
ский пер., д. 2, издательство «Мир».
Г. Бёрд
Молекулярная газовая динамика
Научный редактор П. Я. Корсоюцкая
Мл. редактор Р. И. Пяткина
Художник Ф. Н. Буданов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. Д. Толстякова
Корректор С. А. Денисова
ИБ № 2347
Сдано в набор 10.06.80.
Подписано к печати 17.12.80.
Формат 60X9071(5.
Бумага типографская №
Гарнитура латинская. Печать высокая.
Объем 10 бум. л. Усл. печ. л. 20.
Уч.-изд, л. 18,76. Изд. № 1/0968.
Тираж 4600 экз. Зак. 698. Цена 2 р. 50 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР*
129820, Москва, И-ПО, ГСП 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предпри-
ятие ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
градского объединения «Техническая книга* им.
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Госу-
дарственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленин-
град, Л-52, Измайловский проспект, 29.
здн
БШ