НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ СССРСТРОИТЕЛЬНАЯМЕХАНИКАРАСЧЕТСООРУЖЕНИЙСканы - Геннадий1147;
Обработка - Armin;Плоды темы:Журнал "Строительная механика
и расчет сооружений"DWG.ru, 2013 годМОСКВА31963
Редакционная коллегия: В. Н. Насонов (главный редактор)В.	А. Балдин, Д. Д. Баркан, В. А. Гастев, К. С. Завриев, Б. Г. Коренев,Л. А. Красильников, Н. П. Мельников, А. П. Морозов, Н. В. Никитин, О. Д. Ониашвили,
И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, С. А. Ропшкий, А. Ф. Смирнов,О.	И. Томсон (зам. главного редактора), М. Т. УразбаевЖурнал выходит раз в два месяцаАдрес редакции: Москва, Пушкинская ул., д. № 24.Технический редактор В. Корниенко.	Корректор Г Г МорозовскаяСдано в набор 11 /IV 1963 г. Подписано к печати 29/V 1963 г. Т-07416. Цена 60 коп.
Бумага 70X108/16 — 4,1 усл.-печ. л. 5,4 уч.-изд. л. Тираж 6 580 экз. Зак. 391Типография № 3 Госстройиздата, Москва, Куйбышевский пр., д. 6/2СОД ЕРЖА НИ ЕСтр.A.	В. Геммерлинг (Москва). Вычислительные машины и расчет со¬
оружений	.	1Г. А. Гениев (Москва). К вопросу решения плоской задачи теорииупругости методом аналогии с изгибом пластинки	5П. И. Поляков, М. 3. Тарановская (Ленинград). Стереофотограммет-
рический метод измерения деформаций пространственных кон¬
струкций	.	.	7П. П. Суворовский (Одесса). К расчету балок на упругих опорах 12B.	П. Коцегу'бов (Ленинград). Расчет стержней из пластмасс на
продольный изгиб . .	.	.	...	15И. В. Аппельтауэр, Т. А. Барта (Румыния, Тимишоара). Устойчи¬
вость рам со стойками,' упруго-закрепленньши .на опорах	19А.	Н. Раевский (Пенза). Определение расчетных длин стоек раммногоэтажных промышленных зданий	.	24И. А. Егоров (Свердловск). Определение частоты собственных коле¬
баний арки при совместной работе с надарочным строением	30C.	В. Прохоров (Казань). Об одном трансцендентном уравнении	35ОбзорыA.	Р. Ржаницын (Москва). Исследования по упрощенным методам
расчета оболочек	36ИнформацияB.	А. Отставное. Совещание комиссии МСС по основным инженер¬
ным требованиям к надежности сооружений	44Критика и библиография1	М. Н. Ручимский|. О критике гипотезы Е. С. Сорокина в книге«Основы проектирования зданий в сейсмических районах» .	-46Г. С. Тер-Ованесов. К расчету внецентренно нагруженных свайныхфундаментов	47В. Н. Кондратьев. Письмо в редакцию	48Новые книги	3-я стр.обл.
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛАКАДЕМИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ СССРСТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙГод издания V	№ 3, 1963 г.Вычислительные машины и расчет сооруженийА.	В. Геммерлинг (Москва)Применение электронных цифровых .вычислительных машин открывает огромные
возможности совершенствования строительных конструкций, более полного использо¬
вания несущих свойств материала, снижения веса. Все это должно сыграть исключи¬
тельную роль в повышении уровня строительства, в переходе к новому качественному
состоянию, которого требуют от строителей Программа развернутого строительства ком¬
мунизма, принятая на XXII съезде партии, и решения ноябрьского Пленума ЦК КПСС.Вопросы использования вычислительных машин в различных отраслях нау^си и тех¬
ники широко обсуждаются не только в специальных журналах, но и в газетных
статьях. В то же время нельзя признать достаточным обсуждение этой темы на стра¬
ницах журнала «Строительная механика и расчет сооружений», поэтому опубликова¬
ние статьи А. Ф. Смирнова {1], охватывающей широкий круг вопросов, вполне свое¬
временно и важно.В нашей статье дается изложение доклада, сделанного на совещании по обмену
опытом в области применения средств механизации в проектных и научно-исследова
тельских организациях Госстроя СССР 19 декабря 19£>2 года. Некоторые положения
этой статьи перекликаются с работой fl];Очень трудно заранее оценить все те возможности, которые удастся использовать
при помощи вычислительных машин, и поэтому представляется целесообразным как-то
классифицировать задачи, решение которых уже поставлено в повестку дня самой
жизнью.В настоящее время можно наметить по крайней мере три труппы задач: 1) меха¬
низация трудоемких и сложных расчетов; 2) разработка новых, более совершенных,
методов расчета на базе существующего понимания работы конструкции и действующих
нормативных документов; 3) разработка принципиально новых решений, основанных
на более полной оценке действительной работы конструкций и свойств материалов.Задачи первой группы достаточно очевидны и в настоящее время успешно решаются
в ряде организаций. Единственным вопросом, возникающим при решении подобных
задач, является выяснение целесообразности применения в том или ином случае
вычислительной машины с целью замены «ручного» труда. Анализ, выполненный в
Гипротисе, а также в ряде зарубежных исследований, показывает, что механизировать
целесообразно сложные громоздкие трудоемкие расчеты или простые, но многократно
повторяемые. Недостатком ядесь является слабая координация различных организаций,
что нередко приводит к дублированию в составлении программ и стандартных под¬
программ для элементарных вычислений на однотипных машинах.Задачи второй и третьей группы значительно разнообразнее, и пытаться охватить
их полностью было бы не только бесполезно, но и вредно, поскольку это может огра¬
ничить творческие поиски различных коллективов. Поэтому приведем лишь отдельные
примеры.Не является секретом, что многие осуществляемые решения могут быть более
экономичными; что принимаемые расчетные схемы конструкций и сооружений часто
слишком упрощены; что фактическая неравнопрочность различных конструкций и даже
отдельных элементов одной конструкции все еще в ряде случаев весьма значительна;1
что действительные свойства материала существенно отличаются от принятых в рас¬
чете и т. д. Постепенное совершенствование проектирования в направлении устранения
этих недостатков принесет огромные результаты.В настоящее время расчет конструкции или сооружения начинается после того,
как все основные их параметры уже определены. Выбраны пролеты, высоты, схемы
конструктивных элементов и т. д. Роль расчета сводится при этом к обоснованию раз¬
меров и сечений элементов конструкций.Электронные вычислительные машины позволяют использовать расчеты на более
ранней стадии (проектирования при выборе схемы конструкций и даже при выборе
схемы всего сооружения, типа конструкции, материала. Оптимальное (проектирование
со временем должно стать основным видом проектирования. Отклонения от него
должны допускаться лишь в особо обоснованных случаях.Не следует, конечно, считать, что какой-то односторонний критерий, скажем крите¬
рий минимума веса сооружения, должен быть единственным. Формулирование
критериев оптимальности является важной задачей, однако не вызывает сомнений и то,
что уже сейчас в ряде случаев оптимальное проектирование может быть осуществлено.
Первые решения уже дали значительный экономический эффект.В литературе описаны примеры расчетного определения оптимальных параметров
железнодорожных трасс, транспортерных эстакад, высоты расположения проезжей ча¬
сти арочного моста, высоты подъема арки и т. д. Еще больших результатов следует
ожидать при проектировании сооружений для сейсмических 'районов, где инерционные
силы являются основным видом воздействия на конструкцию, и сооружений, возво¬
димых на подрабатываемых территориях и просадочных грунтах, где величина усилий
в значительной степени определяется жесткостью сооружения. Все это указывает нз
то, что (расчет сооружения должен начинаться при выбора его принципиального реше¬
ния, формы конструкции и материала. Научные и проектные организации должны раз¬
работать такие методы расчета.В настоящее время почти никогда не рассчитывается -вся конструкция в целом.
Такой расчет обычно подменяется расчетом отдельных элементов — фермы, балки, ко¬
лонны, рамы. К тому же и .расчет каждого такого элемента осуществляется с рядом
допущений. Так, например, усилия в элементах рамы определяются из расчета их
как упругих, линейно-деформируемых систем, а после этого .проверка сечений произ¬
водится с учетом пластических деформаций. Еще больше допущений принимается при
расчете пространственных каркасов, которые в большинстве случаев разбиваются на
отдельные плоскостные конструкции. Это было оправдано при выполнении расчетов
вручную. Вычислительные машины позволяют решать системы с высокой степенью
статической неопределимости, поэтому стало вполне возможно производить расчеты
с меньшим количеством допущений.Вероятно имеются все основания считать, что установившееся стремление создавать
конструкции по возможности из статически определимых ферм, балок, связей в зна¬
чительной степени основано на неуверенности в расчете многократно статически не¬
определимой системы, боязни неожиданного проявления температурных деформаций
и осадки фундаментов.Вычислительные машины позволяют рассчитать многократно статически неопре¬
делимую конструкцию на различные воздействия и их комбинации, уверенно проекти¬
ровать системы с высокой степенью статической неопределимости и таким образом
снижать их вес и повышать жесткость.Весьма важным вопросом является выбор расчетной схемы сооружения или кон¬
струкции. В то же время нередко это делается слишком необоснованно. К сожалению,
весьма широко распространено мнение, что отбрасывание любой связи при определении
расчетной схемы действительной конструкции всегда идет в запас надежности. На
простом примере двухпролетной одноэтажной рамы легко показать, что это не всегда
так. Если рассчитать такую раму с разрезным ригелем, а фактически пояса соединить,
то в действительной конструкции усилия будут значительно отличаться от расчетных.
Так, например, при равномерно распределенной нагрузке по всему ригелю осевая сила
в средней стойке окажется на 25.% больше расчетной, а в крайних стойках соответ¬
ственно составит 75% от расчетных. Если ригель сквозной и средние раскосы нисхо¬
дящие, то вместо растягивающего усилия они будут воспринимать сжимающее такой
же величины. Совершенно очевидно, что неравнопрочность элементов такой системы
будет весьма велика, а средняя стойка и эти раскосы либо потеряют устойчивость,
либо будут весьма близки к этому. Не удивительно, что с подобными конструкциями
неоднократно происходили различные неприятности, вплоть до их обрушения. И все
это объясняется введением одной лишней связи против учтенных в расчетной схеме.Известно много примеров разрушения керамической облицовки кирпичных стен
многоэтажных жилых зданий. Вследствие ползучести сжатой кирпичной кладки в пер¬
вое время после ее загружения и неучета в расчете хоть и тонкой, но более жесткой
керамической облицовки, происходит перераспределение внутренних усилий с кладки
на облицовку, приводящее к ее перенапряжению и разрушению. Таким образом,
опять неучет дополнительного эламекта приводит к разрушению.Из этих примеров видно, что упрощение расчетной схемы конструкций за счет от¬
брасывания каких-то «лишних» связей не всегда допустимо, а применение вычисли¬
тельных машин это «упрощение» делает просто ненужным.2
Во всех обычно принимаемых расчетных схемах различных конструкций, как пра¬
вило, все элементы на своих концах либо закрепляются шарнирно, либо жестко за¬
щемлены. В то же время все фактические закрепления являются промежуточными
между этими крайними случаями. Введение упругого закрепления против углового
поворота или линейного смещения вводит дополнительное (неизвестное и повышает
порядок системы уравнений, поэтому обычно их стараются избегать, получая за счет
этого заведомо неточные эпюры усилий в элементах системы и впоследствии при кон¬
струировании ее элементов вводя дополнительные против расчета усиления. Особенно
это сказывается в железобетонных конструкциях, поскольку приводит к необходимости
постановки двойной арматуры.Применение вычислительных машин позволяет перейти к расчетным схемам с упру¬
гими закреплениями концов элементов и тем самым существенно уточнить расчет
и получить экономию материалов.Такие задачи по принятой в начале статьи классификации относятся ко второй
группе. Наиболее успешно решать их, по-видимому, должны проектные организации
с участием научных учреждений.Примером уже выполненных задач подобного типа является уточненный, подбор
сечений элементов моста через Волгу, выполненный в Гипротисе и давший экономию
стали около 3,% только за счет уточнения расчета.Расчет крупнопанельного здания как сложной составной упругой балки на неравно¬
мерные осадки основания, выполненный в ЦНИИСКе, показал, что учет деформатив-
ности самого здания приводит к значительному уменьшению усилий в соединительных
связях, благодаря чему уменьшается расход арматуры в панелях и узловых соедине¬
ниях и сокращается количество монтажной сварки.Расчет отдельного фундамента под сооружение башенного типа, выполненный сов¬
местно НИИ оснований и подземных сооружений и Гилротисом показал, что элек¬
тронные вычислительные машины позволяют выбрать наилучшее решение из десяти
тысяч рассмотренных вариантов. Решение строится на основе удовлетворения семи не¬
равенств. В этом случае количество рассмотренных вариантов столь велико, что можно
говорить о переходе от вариантного к оптимальному проектированию.Перечень примеров можно было бы продолжить, однако и так достаточно ясно, что
работа в этом направлении уже началась и дала определенные результаты.В то же время вычислительные машины позволяют решать перечисленные и подоб¬
ные им задачи на ином уровне, основанном на более полном учете действительных
свойств рассчитываемых сооружений. Решение таких задач, относящихся к третьей
группе, требует проведения определенных теоретических или экспериментальных иссле¬
дований, разработки новых методов расчета и новых критериев, поэтому наиболее
успешное их решение возможно лишь в научных организациях или при их участии.Одним из наиболее очевидных резервов, более полное использование которого дает
значительный эффект, является учет упруго-пластической стадии работы конструкций.
При проверке отдельных стержней и балок такой учет предписывается действующими
нормативными документами. Широко известны также расчеты балок, рам, плит мето¬
дами предельного равновесия без учета деформированного состояния конструкций.
Однако все это имеет ограниченное применение, далеко не использует всех возможно¬
стей конструкции и не всегда обеспечивает их надежность. Полное и надежное ре¬
шение задачи возможно только на основе расчета всей конструкции по деформирован¬
ной схеме в упруго-пластической стадии. Попытки автора решить ее для сжато-изо-
гнутого двутаврового стержня из материала с идеализированной упруго-пластической
диаграммой [2] на машине «Урал-Г» пока не дали приемлемого метода, однако в на¬
стоящее время имеется полная уверенность в том, что задача эта может быть решена.Одним из возможных путей решения является применение метода начальных пара¬
метров с разбивкой стержня на ряд участков по длине с постоянной жесткостью на
каждом участке. Специфика решения для упруго-пластической стадии состоит в том,
что нельзя, используя по два граничных условия на каждом конце, написать сразу
четыре уравнения для определения четырех начальных параметров. Вместо этого при¬
ходится к двум физически заданным начальным параметрам в начальном (нулевом)
сечении произвольно задавать два других. Запрограммировав сходящийся итерацион¬
ный процесс корректировки двух произвольно заданных начальных параметров из
условия выполнения граничных условий на втором конце, решение получаем без осо¬
бых осложнений.Возможно также применение метода упругих решений. Можно задать форму ис¬
кривления оси стержня, отвечающую всем четырем граничным условиям (по два на
каждом конце). Предположив, что стержень работает в упругой стадии можно полу¬
чить все эпюры. По ним определить протяженность пластических зон, найти для них
приведенные моменты инерции и снова повторить расчет упругого стержня, но уже
переменного сечения. После ряда итераций может быть получено достаточно точное
решение.Поскольку решение отдельного сжато-изогнутого стержня является лишь пред¬
варительным этапом, то результаты всех промежуточных итераций (при использовании
метода начальных параметров) должны выдаваться на печать. По этим данным можно
построить графики зависимостей, необходимые для следующего этапа — расчета це¬
лой конструкции (рамы, фермы), элементам которой является рассмотренный стержень.3
Допустим, например, что рассматривается стойка, жестко защемленная на одном
конце, и методом последовательных приближений определяется значение изгибающего
момента /И0 в заделке при определенном линейном 'перемещении другого конца ve.
Последовательные 'приближения Дадут ряд совместных значений величин М0,
Ме и ve. Построив но этим значениям графики M0=f(Me, ve) для данного стержня
и аналогичные графики для других стержней, получим возможность производить раз-
гонку неуравновешенных узловых моментов общеизвестными методами Кросса или
Кани, заменяя обычные значения коэффициентов передачи величинами, получаемыми
с графиков.После определения деформированного состояния конструкции и пластических зон
легко проверить ее устойчивость. Для этого могут быть использованы классические
методы расчета на устойчивость упругих систем с элементами переменной жесткости
по длине.Чтобы довести разработку этого метода до конца, определить границы, в которых
нет необходимости учитывать деформированную схему рамы, а также запрограмми¬
ровать проверку всей конструкции на устойчивость, требуется преодолеть еще немало
трудностей; однако .возможность такого решения при помощи электронных вычисли¬
тельных машин сейчас уже очевидна.В настоящее время для пространственных покрытий типа оболочек (применяются
в основном классические методы расчета упругих линейно-деформируемых систем, а
также расчет их на прочность ,по состоянию предельного равновесия. Вычислительные
машины позволяют, используя численные решения, рядом последовательных прибли¬
жений оценить физическую нелинейность 'конструкции за счет появления трещин в бе¬
тоне и пластических деформаций в арматуре. Все более широкое применение в кон¬
струкциях начинают получать материалы, диаграмма работы которых криволинейна.
К таким материалам относятся все тяжелые и легкие бетоны, пластмассы, алюминие¬
вые сплавы, стали повышенной прочности, асбестоцемент и др. Эти материалы все
шире используются -в сильно нагруженных элементах, поэтому более точный расчет
их становится совершенно необходимым. Вычислительные машины позволяют рассчи¬
тать с любой степенью точности конструкцию из материала с. криволинейной диаграм¬
мой работы. При этом совершенно необязательно искать какую-то аппроксимирующую
функцию для получения расчетной зависимости напряжение—деформация; она можег
быть задана численными значениями ординат и может иметь произвольную форму.Такие расчеты для ряда алюминиевых сплавов уже выполнены в ЦНИИСКе при
составлении таблиц коэффициентов <рвн для алюминиевых сплавов. Такой расчет поз¬
воляет получить существенную экономию материалов.Стремление к снижению веса зданий и сооружений ведет к непрерывному повы¬
шению прочности конструктивных материалов (бетоны, сталь), За счет этого все бо¬
лее повышаются рабочие напряжения в элементах конструкции, а сами они становятся
более тонкими и гибкими.В .этих условиях непрерывно расширяется класс конструкций, несущая способность
которых определяется их устойчивостью, все чаще приходится считаться с явлениями
ползучести материала и с изменением расчетной схемы конструкции за счет ее дефор¬
маций. Все это указывает на все большую актуальность расчетов конструкций с
учетом их физической и геометрической нелинейности.Вычислительные машины позволяют применить численные методы для таких рас¬
четов, используя достаточно сложные и громоздкие расчетные формулы, более полно
описывающие поведение конструкции в эксплуатации.Заложенный в наши нормы проектирования вероятностный подход к определению
расчетных нагрузок на различные сооружения и конструкции’ и к определению дей¬
ствительной прочности материалов все еще используется весьма слабо и не дает
того экономического эффекта, который мог бы дать. Имеется полная возможность зна¬
чительного прогресса в этом направлении за счет более полного учета всех факторов,
влияющих на поведение конструкций. В этом направлении предстоит огромная работа.Здесь можно говорить об учете различной прочности разных элементов конструк¬
ций, о разных величинах производственных дефектов при изготовлении конструкций
на различных заводах, об оптимальном построении сортамента профилей, деталей и
изделий, выборе марок материалов и, в частности, бетонов. Совершенно очевидно,
что решение подобных задач позволило бы получить критерии для оценки деятельности
заводов строительной индустрии и открыть перед ними пути совершенствования произ¬
водства.Особое место занимает разработка критериев оптимальности всевозможных проб¬
лем, начиная от градостроительных и районной планировки и кончая расчетом отдель¬
ных элементов и деталей конструкции. В их числе проблемы, связанные с расчетом
сооружений, занимают далеко не последнее место.Поступила 29/1II 1963.ЛИТЕРАТУРА1.	А. Ф. Смирнов. Задачи строительной механики в связи с применением вычис¬
лительной техники. «Строительная механика и расчет сооружений» № 1, 1963.2.	Н. С. Ч а у с о в. Применение электронных вычислительных машин при расчете
^инженерных-сооружений. Госстройиздаг, 1962.
К вопросу решения плоской задачи теории
упругости методом аналогии с изгибом пластинкиГ. А. Гениев (Москва)Предлагается метод решения плоской задачи теории упругости на моделях пласти¬
нок, основанный на соответствии выражений, для напряжений в плоской задаче выра¬
жениям для кривизн и кручения срединной поверхности изогнутой пластинки.Общеизвестна аналогия между математическим решением плоской задачи теории
упругости и задачей об изгибе пластинок средней толщины. Дифференциальное урав¬
нение плоской задачиvV? = 0	0)может рассматриваться как уравнение изгиба пластинкиV2y2w = q(x, y)/D	(2)при q(x, у)= 0 и отождествлении прошба w с функцией напряжений <р.Именно в таком аспекте эта аналогия неоднократно попользовалась как при реше¬
нии задач об изгибе пластинок методами, разработанными для плоской задачи [1—5],
так и при -решении плоской задачи [6].В настоящей статье предлагается метод решения плоской задачи на моделях пла¬
стинок, оагованный на соответствии выражений для нормальных и касательных напря¬
жений в плоской задачедЧ	д2Ф	д2,Фx*=if у^=^: (3)
выражениям для кривизн и кручения поверхности моделирующей пластинки:dzw	d2w	d2wkyS=~df’ kx=d^; txy~d7di'	(4)Рассматриваемый метод, по-видимому, целесообразно применять для многосвязных
областей решения -плоской задачи, контуры которых состоят из прямолинейных уча¬
стков.Изготавливается пластинка произвольной толщины, геометрически подобная задан¬
ной области; затем создаются искривления ее контуров в соответствии с соотноше¬
ниями (3), (4) и заданными напряжениями на контуре области; после этого изме¬
ряются кривизны поверхности пластинки в различных точках, чем определяются на¬
пряженные состояния в соответствующих точках области решения плоской задачи.Наиболее просто изготовить модель, если на контурах отсутствуют касательные
напряжения и действуют нормальные напряжения. Они сохраняют постоянные значе¬
ния на конечных длинах 'прямолинейных участков контура. При этом граничные
условия записываются следующим образом:на участке, свободном от напряжений (рис. 1 ,а),d2w	d2w1''=0; (5>на участке, нагруженном постоянным по величине нормальным напряжением
(рис. 1,6),d2w	d2w^=0; = ^=0; —=6с.	(6)Здесь о— масштабный коэффициент.Для создания изогнутой поверхности пластинки, моделирующей конкретную пло¬
скую задачу, не требуется устанавливать .пластинку на какой-либо контур опирания.
Нужные искривления ее контурных линий следует осуществлять соединяя их с жест¬
кими. прямолинейными или криволинейными ребрами. Прямолинейные ребра соответ¬
ствуют участкам контура, свободным от напряжений. При граничных условиях ви¬
да (6) ребра имеют форму дуги окружности, кривизна которой равна SC.Следует подчеркнуть, что конструкция ребер, устанавливаемых вдоль участков,
свободных от касательных .напряжений, должна обеспечивать выполнение условия
d2w=0. Этого можно достичь путем установки вдоль соответствующего участкаконтура -пластинки двух тонких ребер, одно из которых располагается по линии у = а
(рис. 1 ,а и б), а другое по линии у— а—А, где А—конечная (величина, имеющая по¬
рядок толщины пластинки. Ребра должны быть соединены друг с другом таким об¬
разом, чтобы их продольные оси оставались взаимно-параллельными (что обеспечивает5
Рис. 1Рис. 2бd2w	л\■г “ = О ) и в то же время имелась возможность взаимного смещения ребер
дх ду у_0 )	v	dw	\из плоскости пластинки (во избежание наложения лишней связи —■ = 0 ).ду у=а /Практически это может быть достигнуто путем соединения ребер между собой
направляющими устройствами.На рис. 2а—г показаны четыре примера плоской задачи при действии на грани¬
цах областей нормальных напряжений.На рис. 2,а изображена простейшая балка-стенка. На рис. 2,6 — растянутая пла¬
стинка, ослабленная прямоугольным отверстием. На рис. 2,в — балка-стенка сложного
очертания, имеющая прямоугольное отверстие с нагрузкой. На рис. 2,г — полупло¬
скость, нагруженная ,на участке конечной длины.Естественно, что значения 'параметров тип для примеров на рис. 2,а и в долж¬
ны обеспечивать статическое равновесие в целом.Пунктирными линиями изображены участки контуров, вдоль которых на моделях
пластинок устанавливаются прямолинейные ребра. Утолщенными линиями — участки
с криволинейными ребрами, в данном случае круговыми. Соотношения между кривиз¬
нами круговых ребер (рис. 2,а и в) определяются значениями параметров т и п.Измерение кривизн изогнутой поверхности моделирующей пластинки в различных
точках непосредственно определяет значения соответствующих нормальных напря¬
жений.Для проведения этих измерений может быть использовано приспособление мессур-
ного типа, состоящее из трех штифтов, расположенных в одной плоскости. Средний
штифт — неподвижный, устанавливаемый в точку измерения кривизн.Из соотношения (3) и (4) видно, что измеренное в каком-либо направлении зна¬
чение кривизны определяет значение нормального напряжения, действующего на
площадке, нормаль к которой перпендикулярна этому направлению.Главные значения кривизн в каждой точке определяют значения главных нор¬
мальных напряжений. В связи с этим нет необходимости производить замеры значе¬
ний кручения поверхности пластинки, а достаточно ограничиться фиксацией главных
направлений.Если вдоль участка контура, свободного от нормальных напряжений, действуют
постоянные по величине касательные напряжения, продольные оси двух прямолиней¬
ных ребер должны быть 'повернуты относительно друг друга на угол, обеспечивающий
д2тзаданное значение т—
дх дуНаиболее сложно создание условий на участке контура при совместном действии
на нем нормальных и касательных напряжений. В этом случае одно из ребер должно
быть очерчено по окружности, второе — по логарифмической спирали.Из рассмотрения изложенного метода решения плоской задачи на моделях пла¬
стинок можно сделать вывод о том, в каких случаях применение* его является целе¬
сообразным. Это — случаи многосвязных областей со сложной конфигурацией, огра¬
ниченных прямолинейными участками, при внешней нагрузке, приводящейся к нор¬
мальным напряжениям.Эффективным представляется применение этого метода для случаев различных
комбинаций внешних нагрузок, когда одна и та же модель пластинки используется
несколько раз.Так, в примере, изображенном на рис. 2,в, при отсутствии нагрузки в прямоуголь
ном отверстии (т = 0) для получения нового решения достаточно заменить круговое
ребро на нижнем контуре отверстия прямолинейным и изменить кривизну кругового
ребра нижнего участка контура в соответствии с условиями равновесия.
Представляется целесообразным наготавливать модели пластинок из материалов
типа целлулоида или плексигласа, а ребра — из металла. Соединение пластинок с реб¬
рами можно осуществлять болтами, при шаге болтов вдоль- ребра порядка нескольких
толщин пластинки. Если иметь набор ребер различной кривизны и длины, то процесс
подготовки к решению задачи будет заключаться в изготовлении модели пластинки
соответствующего очертания.Предлагаемый метод использования аналогии между дифференциальными урав¬
нениями (1) и (2) позволяет непосредственно определять напряжения, минуя процессы
нахождения функции <р и вычисления по ней компонентов XXi Yyt Ху. Не требуется
загр ужения контуров области внешними силовыми факторами (изгибающими момен¬
тами и т. п.). Граничные условия для пластинки-модели осуществляются чисто геомет¬
рическим путем.Целью настоящей статьи было изложение сущности предлагаемого метода исполь¬
зования «пластиночной» аналогии. При практическом его применении неизбежно воз¬
никает целый «ряд вопросов, разрешение которых будет сопряжено с немалыми труд¬
ностями. Так, например, большое значение для оценки практической пригодности
этого метода будет иметь возможная степень точности измерения кривизн деформиро¬
ванной поверхности пластинки. Ответ на этот вопрос может дать только эксперимент.Поступила 14/Х 1961.ЛИТЕРАТУРА1.	Н. И. Му с х ел и ш в и л и. Некоторые основные задачи математической теории
упругости. Изд. 3-е АН СССР, 1949.2.	А. И. JI у р ь е. К задаче равновесия пластинки с опертыми краями. Известия
Ленинградского политехнического ин-та, т. 31, 1928.3.	И. Н. Веку а. Об изгибе пластинки со свободным краем. Сообщения АН Груз.
ССР, т. 3, № 7, 1942.4.	Г. С Л е х н и ц к и й. ПММ новая серия, т. 2, вып. 2, изд. АН СССР, 1939.5.	М. М. Ф р и д м а н. ПММ, т. 16, вып. 4, изд. АН СССР, 1952.6.	С. В. Александровский. Исследования. Массивные и стержневые кон¬
струкции. Стройиздат, 1952.Стереофотограмметрический метод измерения
деформаций пространственных конструкцийЯ. И. Поляков, М. 3. Тарановская (Ленинград)Дается краткая характеристика стереофотограмметрического метода измерений, при¬
водится описание экспериментальных работ по применению стереофотограмметрической
аппаратуры для определения деформаций пространственных конструкций. Намечаются
перспективы дальнейшего использования в строительстве этой прогрессивной измери¬
тельной техники.В современной строительной практике до настоящего времени измерение дефор¬
маций сооружений производится, как правило, механическими, электротехническими
или геодезическими способами, которые позволяют определить величины деформаций
в ограниченном числе точек — лишь в местах установки тензометров, динамометров,
прогибомеров или реперов и марок.Между тем современный уровень развития измерительной техники дает возмож¬
ность использовать для определения деформаций новые методы, позволяющие фикси¬
ровать изменения формы всего сооружения и перемещения любой его точки, например
фотограмметрический и стереофотограмметрический методы, сочетающие в себе процессы
измерения и фотографирования. К их достоинству следует отнести то, что основные
измерительные процессы переносятся в лабораторные условия, где измерения объекта
производятся по его фотоизображениям на специальных стереофотограмметрических
приборах высшего класса точности (стереокомпаратор, стереопланиграф, стереоавто¬
граф, стереометр и др.). Таким образом, можно получить вполне объективные данные
и проверить произведенные измерения повторной обработкой материалов на приборах.В Ленинградском филиале АСиА СССР в содружестве с кафедрой геодезии ЛИСИ
ведутся теоретические исследования и экспериментальные работы по использованию
фотограмметрии и стереограмметрии для измерения деформаций пространственных
конструкций.Исследовались: волнистый (бочарный) свод пролетом 100 м, опертая по контуру
оболочка 30X30 м и другие пространственные конструкции. Определение деформаций
производилось путем сравнения изображений, полученных до и после приложения7
нагрузки. Необходимым условием для такого исследования было неизменное поло¬
жение оси съемочной камеры относительно объекта и сохранение постоянными эле¬
ментов внешнего и внутреннего ориентирования камеры, как это показано на схеме
измерения деформаций (рис. 1), где S — объектив фотоаппарата; SоО — главная опти¬
ческая ось; Р0 — исследуемая точка до приложения нагрузки; Р — та же точка под
нагрузкой; ро — изображение точки до приложения нагрузки; р — то же, под нагруз¬
кой; SO = L — расстояние от объектива до объекта; So = fK—фокусное расстояние
камеры.Из подобия треугольников следует, что АХ/Ах—L/fK; AZ/Az = L/fKy где LjfK =
—тп — масштаб съемки, тогда величины вертикальных и горизонтальных смещений
точки Р0 будут равны АХ~Аxm; AZ=Azm.Величины Ах и А г определяются на фотопластинке при помощи стереокомпаратора.
Как видно из -приведенных формул, основным фактором, влияющим на точность изме¬
рений, является масштаб изображений на пластинке, который в свою очередь зависит
от расстояния до объекта.Известно, что монокулярное измерение длины какого-либо отрезка по негативу, да¬
же при помощи наиболее точного прибора — стереокомпаратора, может быть произ¬
ведено с точностью лишь до 0,05—0,1 мм. При масштабе 1 100 это составит в на¬
туре 10 мм. Для определения деформаций такая точность измерений недостаточна.Повышение точности измерения возможно путем использования бинокулярного зре¬
ния. Установлено, что при бинокулярном наблюдении глаз человека различает две
вертикальные линии, если он их видит под углом не менее 20". Пределом различи¬
мого расстояния между двумя вертикальными линиями при невооруженном бино¬
кулярном зрении с расстояния наилучшего зрения, равного 250 мм, будет250-20"^ ^	~ 0,025 мм, а при четырехкратном или восьмикратном увеличении, ко-20о 2о5торое дают стереокомпараторы, 5=0,006—0,003 мм.Таким образом, если масштаб изображения исследуемого сооружения около 1 100,
то теоретически ощутимый размер деформации будет равен 0,6—0,3 мм в масштабе
объекта. Практически этого достичь нельзя, (вследствие влияния всевозможных причин
(отсутствия специальных камер для столь точных работ; деформации эмульсионного
слоя фотопластинок; ошибок элементов ориентирования, возникающих -при повторном
фотографировании сооружения). Поэтому точность несколько понижается (до +1—
3 мм в масштабе объекта).В качестве первого эксперимента проводилось исследование бочарного свода про¬
летом 100 м и шириной 7,5 м (элемент перекрытия главного здания Автовского домо¬
строительного комбината в Ленинграде).Для определения де¬
формаций бочарного
свода фотографирование
было произведено фото¬
теодолитом Гейде (/к=
= 180 мм) с расстояния
20 м.Согласно теоретиче¬
ским исследованиямН.	А. Блохина*, точность
измерения деформаций
Ал: и Аг для нашего слу¬
чая, при 7=20 м; /к=
= 180 мм; Ax=Az =
=0,01 мм, должна быть
равна примерно 1 мм.Нами получены вели¬
чины деформаций со
средней квадратической
ошибкой тя=±1,68 мм,
что вполне допустимо.Для испытаний экспе¬
риментальная оболочка
была установлена во
дворе комбината на
земле. Наблюдения про¬
водились над правой по¬* Н. А. Блохи н. Сге-
реофотограмметрическая на¬
земная съемка. ОНТИ.
Главная редакция геолого¬
разведочной и геодезиче¬
ской литературы, 1937 •Рис. 1Изображение точки N на фотопластинке8
ловиной конструкции в четырех по¬
ложениях: без нагрузки при. натяжении
арматуры, при раскружаливании, за¬
грузке и обрушении.Ввиду значительных размеров кон¬
струкции и необходимости большой
точности измерений съемка производи¬
лась с четырех точек стояния со вза¬
имным перекрытием снимков (рис. 2).Для полного захвата конструкции по
высоте фототеодолит устанавливался на
специальных постаментах на отметке3,5	м.Сравнение фотографий, полученных
при различных нагрузках, производи¬
лось с помощью стереокомпаратора
1818 (выссжоточный прибрр для лабораторных измерений стереофотограмметрических
снимков) (рис. 3). В левую кассету снимкодержателя закладывался «небом вверх»
негатив снимка, полученного до приложения нагрузки, а в правую кассету — один
из нега гивсв снимка той же секции, зафиксированной под. нагрузкой.Ориентирование негативов производилось по реперным точкам, за которые прини¬
мались изображения деталей зданий, служивших фоном снимаемому объекту, и пред¬
метов, расположенных на земле, неподвижность которых тщательно исследовалась.После ориентирования снимков винтом горизонтальных параллаксов измерялись
продольные смещения точек. В каждом случае измерительная марка компаратора
бинокулярно, поворотом параллактического винта, приводилась поочередно в сопри¬
косновение с реперной и определяемыми точками и брался отсчет по шкале и бара¬
бану параллактического винта.Разности между нулевым (реперным) отсчетом .и отсчетами на точки, приведенные
к масштабу снимка, и есть, определяемые перемещения по горизонтали.Определение вертикальных перемещений не отличается от определения «перемеще¬
ний горизонтальных, но чтобы использовать особенность бинокулярного зрения вто¬
рого рода, снимки в кассетах поворачивались на 90°.После измерения они были приведены к натурным размерам путем умножения их
на знаменатель, масштаба.Для повышения точности измерения проводились по перекрывающимся снимкам2	раза.Смещения исследуемых точек конструкции в процессе испытаний характеризуются
следующими цифрами: по вертикали от +0,23 до —81,59 мм, по горизонтали от
+ 13,53 до —12,48 мм..Данные измерения деформаций фотограмметрическим методом были сопоставлены
с результатами прецизионного нивелирования. Расхождения оказались в пределах
от ±0,35 до +2 мм.Кроме того, фотограмметрический метод позволил зафиксировать деформации кон¬
струкции непосредственно в момент обрушения, что другими методами определить
было невозможно.Вторая эксперименталь¬
ная работа проводилась
по измерению деформаций
свода-оболочки	новогоздания	Некрасовскогорынка в Ленинграде.Оболочка двоякой кри¬
визны пролетом 30 м, опер¬
тая по контуру, перекрыва¬
ет квадратный в плане цен¬
тральный зал здания. Ис¬
следовалась юго-западная
четверть оболочки.Деформации оболочки
измерялись при натяжении
предварительно напряжен¬
ной арматуры, размещен*
ной в рандбалках, и при
раскружаливании. Для на¬
блюдений была доступна
только верхняя поверхность
конструкции.Ввиду сжатых сроков,
обусловленных графиком
производства строительных
работ, пришлось отказатьсяРис. 22—391Рис. 3
от определения абсолютных смещений и измерения горизонтальных перемещений.
Ограничились измерениями основных вертикальных перемещений по отношению к
фототеодолиту, установленному на плоской крыше (т. е. без учета возможных осадок
всего здания в целом). Одновременно в исследуемых точках были установлены
прогибомеры. Съемки производились топографическим фототеодолитом Фотео 19/1318.Для полного охвата конструкции по высоте, как и в первом случае, съемочные
камеры устанавливались на специальных вышках. Расположение точек съемки около
оболочки и размещение марок на оболочке показано на рис. 4. В точках А, В и С
были установлены деревянные вышки, более легкие, чем при измерении бочарного
свода.Точки съемки и марки были размещены так, чтобы определить деформации обо¬
лочки в трех вертикальных плоскостях: двух, перпендикулярных сторонам оболочки,
и диагональной. Разбивка всех осей и марок производилась с помощью теодолита и
компарированной рулетки. Марки наносились на бетонную поверхность масляной
краской, их форма выбиралась с учетом ракурса в каждом конкретном случае. Все
удаления от точек съемки до марок были промерены компарированной рулеткой, и
при каждой съемке в двух точках ставились масштабные рейки. Деформации пере¬
крытия по данным фотограмметрического измерения показаны на рис. 5. На рис. 6 —
измерительный снимок перекрытия, выполненный фототеодолитом.Обработка снимков произведена на стереокомпараторе 1818.При данных удалениях от 11 до 34 м и при восьмикратном увеличении стерео¬
компаратора 1818, точность измерений деформаций могла бы составить в среднем око¬
ло + 1 мм, но фактически она составила примерно +2—3 мм, из-за погрешностей
внешнего ориентирования, конструктивных дефектов и неприспособленности фототео¬
долита для работ столь высокой точности, дефекта фотопластинок, возможности не¬
учтенных неравномерных осадок всего здания и вышек. В качестве контрольных репе¬
ров использовались каменные дома, видимые на заднем плане снимков.В результате измерений выяснилось, что между первой и второй съемками, т. е.
при натяжении арматуры, в частях оболочки, снятых с точек Л и С, заметных дефор¬
маций не происходило.Данные исследования показали, что деформации этой новой пространственной
конструкции в процеосе раскружаливания были в пределах от +1,6 до —8,2 мм.Результаты проведенных
экспериментальных работ
говорят о целесообразности
использования новой сте¬
реофотограмметрической из¬
мерительной техники для
определения деформаций
сооружений и конструк¬
ций, в особенности новых
пространственных конструк¬
ций (железобетонных и ар-
моцементных) больших про¬
летов. Несмотря на то что
для съемок использованы
лишь имевшиеся в распоря¬
жении группы фотографи¬
ческие фототеодолиты, а не
специальные камеры для
высокоточных работ, до¬
стигнуты положительные
результаты. Для широкого
внедрения нового метода в
практику строительства не¬
обходимо сконструировать
отечественную съемочную
аппаратуру. Необходима
также разработка теорети¬
ческих вопросов и методи¬
ки производства съемоч¬
ных и лабораторных работ.Стереофотогр амметрия
уже давно нашла самое
широкое применение в раз¬
личных отраслях отечест¬
венной и зарубежной нау¬
ки и техники. Она может
быть использована и для
решения многих строитель¬
ных и архитектурных за¬Рис. 410
дач, начиная от градостроитель¬
ных проблем и кончая микроис¬
следованиями структур матери¬
алов.С помощью этого метода мо¬
гут производиться исследования
территорий застройки, осуществ-
ляться контроль точности изго>
товления конструкций и монтажа
сооружений, производиться из¬
мерения медленно и быстро про¬
текающих деформаций и т. д.Совершенно новой и интерес¬
ной для современной строитель.-
ной практики областью является
применение стереофотограмметрии
при проектировании конструкции
на моделях. Такой опыт был про¬
веден архитектором И. Сутором
при проектировании перекрытия
театра в городе Аусбурге. Форма
этой сложной пространственной
конструкции окончательно прора¬
батывалась на модели в масшта¬
бе 1 : 20. Рабочие чертежи для
осуществления конструкции в на¬
туре были выполнены без расче¬
та путем стереофотограмметриче-
ских измерений этой модели в
1700 точках с точностью 0,095 мм
в масштабе модели, что состав¬
ляет ±1,9 мм в масштабе объ¬
екта. По этим чертежам конструк¬
ция и была осуществлена.Вопрос применения стереофо-
тограмметрических измерений при
проектировании на моделях при¬
обретает особую актуальность
сейчас, когда рацио¬
нальное решение формы
пространственных кон¬
струкций имеет важней¬
шее значение. Трудно¬
сти расчета этих слож¬
ных систем почти не¬
преодолимы, особенно
если материал работает
за пределами упругости
(к чему следует стре¬
миться). Здесь стереофо¬
то грам метрический ме¬
тод измерения может
оказать большую прак¬
тическую помощь.Методика комплекс¬
ного применения стерео¬
фотограмметрии в стро¬
ительстве и архитектуре
разрабатывается в на¬
стоящее время иод ру¬
ководством авторов
статьи в лаборатории
строительно-архитектур¬
ной стереофотограммет¬
рии Ленинградского фи¬
лиала АС и А.Разработка методикиИ Конструирование ОТечеСТиепнии аппаратуры HUMuiyr висдршв riuDynj потериiwionjtuтехнику в строительную практику.Решением Госстроя РСФСР результаты проведенных исследований рекомендованы
для показа на Выставке достижений народного хозяйства СССР.Поступила 3/XI 1962 г.Рис. 5Рис. 6
Рис. 112К расчету балок на упругих опорахП. П. Суворовский (<Одесса)Излагается способ расчета балок на упругих опорах, основанный на введении в
расчет постепенно усложняющихся основных систем.Расчет неразрезных балок на упруго оседающих опорах чаще всего приводится
к системе пятичленных канонических уравнений, требующей для решения промежу¬
точных выкладок со значительным количеством значащих цифр. Известны различные
способы такого решения (например, [1—3]).Рассмотрим построение расчетных формул более простого сг1особа расчета балок на
упругих опорах, основанного на использовании постепенно усложняющихся основных
систем.Расчетные формулы. Для неразрезной балки на упругих опорах (рис. 1,а) при
неизвестных опорных моментах основная статически определимая система, которую
назовем первой основной системой, показана на рис. 1,6. Внешняя нагрузка Р вызовет
в этой основной системе перемещения Ь1р, 52р,... ,Ъпр.Рассмотрим новую основную систему, полученную из заданной путем удаления
лишних связей, начиная с i-Pi и кончая n-й, которую назовем i-й основной системой
(рис. 1,в). Внешняя нагрузка Р вызовет в этой основной системе перемещения, кото¬
рые обозначим через Цр, Ь^1)р,... ,Ъ1пр.Верхний индекс у перемещений показывает, что данное перемещение относится к
основной системе, в которой удалены указанная индексом связь и все последующие.
В первой статически определимой основной системе верхний индекс (/ = 1) показы¬
вать не будем.Обобщенное усилие Mi вызовет в i-й основной системе усилия M(/_i)£> М^_2ц
и т. д. и перемещения Bjj, в|г+1). и s'i+2)i, причем	= Ки_1иМг,	== ^(i-2)iMi’ S(i + l)i= ^(i + l)i 4i и Ь(»+2)«= ^(1+2)1 4l~Здесь	и K(i_2)i — коэффициенты передачи усилий, a Ку+гц и ^(*+2)/—коэффициенты передачи перемещений.Аналогично для (*'+1)-й основной системы получим: Кщ+iy 	i)(£-|-i>* ^(/+2)(Н-1)И K(i + 3)(/+l) и т. д.По теореме о взаимности реакций и перемещений имеем:	(/-|-i)==—)iК1(1+2)~	•• • т* e- коэффициенты передачи усилий и перемещений с двумяодинаковыми, но переставленными индексами численно равны и противоположны по
знаку. В дальнейшем коэффициенты передачи усилий будем кратко называть коэф¬
фициентами передачи.Левые единичные перемещения для постепенно усложняющихся основных систем
и коэффициенты передачи вычисляются, последовательно слева, по рекуррентным
формулам:®н=*;г+ K(i-b 1М(£?1)+ K(i-2) 16/‘(Г-2): S(<+i) »=	15(i+l)(«-i):B(i+2) l = B(i+2) i’к	к'	6<i+1>i V	V’«(<+l)— A(/+l)i —— , *1 (i+2)- —*(1+2)1 — R/ •ii »Перемещения b^pt	вызываемые внешней нагрузкой P в усложняю-
щихся основных системах вычисляются последовательно слева по рекуррентной фор¬
мулеьи—hp + K(i-i)i S(/-1)P+ ^(/-2)i b\i—2)P•Величина крайнего правого опорного момента Мп вычисляется по формулеМп = -КрКп	(2)и остальные опорные моменты, последовательно справа, — по рекуррентной формуле
Mi = — ь\р/ьи+Пример. Для сравнения
условия задачи взяты из ра¬
бот [2, стр. 84] и [3, стр. 100].Рассчитываем шестипролет-
ную~неразрезную балку на¬
плавного моста (рис. 2).Коэффициент податливости
опор Sл =43,8- 10“3 м/т.Момент инерции /=0,392Х
Х10"3; £=21 • 106 т/м2.Умножив Sn и 1 /Е1 на 103,
имеем Sn=43,8 и 1/£/=0,!122.Приведенные пролеты /==6 - 0,122=0,732.Перемещения в первой основ¬
ной системе:единичные от изгиба балки (Ь^)В^=6$= 8$= 8$= 5^ = 2 • 0,732/3 = 0,488;6$= 8$= 8$= Bf5 = 0,732/6 = 0,122;
единичные от осадки опор (bN)«й	+ 	4'ш’ «я “ 8й - •й = ' •2'6'суммарные единичные6п=В2г=893=844=855=0,488+7,296 = 7,784; 812=8г3 = о34= 845=0,122-4,864=-4,742;513 = 524 = ^35 == 1»216;грузовые от изгиба балки8^=8$, = -^-0,732 = 2,74; В$ = 8$,= 8$>= 0;16грузовые от осадки опорN3 = N4 = 10/2 =5 m; Nb = 10 m\ &^=0;	= 36,5;C—^,-36.5; C,'0^.8-».^_36|5;
t„__5.<3,8H-1Q.<3.8 = _|095;суммарные грузовыеolp=0; b2p=36,5; &3P=2,74—36,5=—33,76; &4P=2,74+36,5=39,24; o5p=—109,5.Единичные перемещения для усложняющихся основных систем и коэффициенты пе¬
редачи:оп = 7,784; Ь21 = — 4,742; Ь31 = 1,22; &22 = 7,784 — 0,609-4,742= 4,90;13Рис. 2
®*а = —4,742 + 0,157-4,742 = — 4,00; S„ = 7,784 — 0,816-4,00 — 0,157-1,22 = 4,32;
= — 4,742 + 0,249-4,00 = — 3,75; = 7,784 - 0,868-3,75 - 0,219-1,22 = 4,23;
= - 4,742 + 0,282-3,75 = - 3,68; 8S5 = 7,784 - 0,872-3,68 — 0,282-1,22 = 4,23;'С---^Ж'"0'609’ Ш—'М57: к«—1^-0'8№'>•**	''«“-Л—1—3,68—Т£Г = 0’872-Грузовые перемещения для усложняющихся основных систем:^1Р= Sjp = 0; Ь2р=Ь2р=Зб,5; $зр =— 33,76 + 0,816*36,5 =—3,94;®4Р = 33,24 — 0,249-36,5 — 0,868-3,94 = 26,73;
*>5Р = — 109,5+0,282-3,944-0,872-26,73 = — 85,08.% Опорные моменты—	85,08	26,73
5=	4 23 ~ 20,11 тм> ^4 = —+ 872-20,11 = 11,22 тм\	3 94М8 = - —7-£г“ + °»868-11*22--0,282.20Л1 = 4,98 тм\4, о*36,5М2 = — ——+0,816-4,98— 0,249 11,22 = — 6,20 тм\4,90М.х = — 0,609-6,20 — 0,156-4,98 =— 4,55 тм.Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.Коэффициенты влияния. Изложенный выше способ расчета целесообразно приме¬
нить для случая, когда балка рассчитывается на один-два вида нагрузки. Если необ¬
ходимо обследовать влияние различных комбинаций нагрузки, то более целесообразно
применить для расчета коэффициенты влияния.В табл. 1 приведены коэффициенты влияния, вычисленные по формулам (1) и (2),
для балки, рассмотренной в примере. При этом использованы полученные величины
единичных перемещений для усложняющихся основных систем и коэффициенты пе¬
редачи.Поскольку балка симметрична, коэффициенты влияния М\ симметричны коэффи¬
циентам влияния Мб и коэффициенты влияния М2 симметричны коэффициентам влия¬
ния М4. В табл. 2 показано вычисление неизвестных. В верхней строке этой таблицы
приведены величины свободных членов. Элементы следующих строк являются произ¬
ведениями коэффициентов влияния на соответствующие свободные члены. Каждый
элемент крайнего правого столбца равен алгебраической сумме предшествующих эле¬
ментов той же строки, т. е. величине соответствующего опорного момента.Таким образом, при изложенном способе расчета отпадает необходимость состав¬
ления и решения системы канонических уравнений, а неизвестные вычисляются поТаблица 1КоэффициентывлиянияНеизвестныеЬиbzihiМ,-0,2364-0,2061-0,1122-0,0402-0,0069м,-0,2061-0,4162-0,3032-0,144-0,0402Мг-0,1122-0,3032-0,464-0,3032-0,1122м4-0,0402-0,144-0,3032-0,4162-0,2061М6| -0,0069-0,0402—0,1122-0,2061| -0,236414
Таблица 2Неизвест¬ныео»*5IIоо<2р— 36,583р=-33,7654р= 39,24Й5р = 109,5Мi в тмМх0— 7,523,79- 1,580,76- 4,55М20-15,210,23- 5,654,42- 6,2М30-11,0715,66—11,912,294,98М40- 5,2510,24-16,3422,5711,22м61 0I - 1,473,79 |- 8,0925,8820,11простым формулам для произвольной нагрузки сразу. Благодаря применению равных
по модулю коэффициентов передачи грузовых перемещений и неизвестных количество
вычислений значительно уменьшается.Поступила 22/VII I960.ЛИТЕРАТУРА1.	А. А. Уманский, Б. Н. Кутуков. Расчет неразрезных наплавных мостов.
Сб. «Расчет пространственных конструкций». Госстройиздат, 1955.2.	В. В. Григорьев. Расчет неразрезных наплавных мостов. Вестник Военно¬
инженерной академии РККА. Сборник по строительной механике № 2, 1934.3.	П. М. Сосис, Б. П. X акал о. Расчет неразрезных и перекрестных балок. Гос¬
стройиздат УССР, Киев, 1958.Расчет стержней из пластмасс на продольный изгибВ.	77. Коцегубов (Ленинград)Рассматривается расчет пластмассовых стержней на продольный изгиб методом
предельных состояний.Коэффициент продольного изгиба. Явление продольного изгиба описывается ли¬
нейным дифференциальным уравнением£,£г+р>’”0•	“»где х -- вертикальная ось, совпадающая с осью стержня; у — горизонтальная ось
прогибов; Р — продольная сжимающая сила.Это уравнение является точным для предельного случая бесконечно малых
прогибов [1]. Решая его, получаем формулу для критических напряжений°кр = Р кр/^7 = 712Е/№.	(2)Здесь X— гибкость стержня; F — площадь поперечного сечения.При достижении критических напряжений возможны две формы равновесия
стержня: прямолинейная форма и бесконечно близкая к ней криволинейная.Формула (2) верна до тех пор, пока не превзойден предел упругости материала
стержня. У рассматриваемых пластмасс эта область достаточно велика.С меньшей степенью достоверности можно учесть пластические свойства мате¬
риала стержней. Для этого, как известно, применяют два линейных дифференциаль¬
ных уравнения.По теории приведенного модуля77j^- + Py=0; окр = Ркр/ Z7 = it2 Г/Хг; *=/,//+£'/,/£/.	(3)Здесь Г=£т—приведенный модуль; £'=Да/Де—касательный модуль; Да, Де—рас¬
сматриваемые ступени напряжений и деформаций; / — момент инерции поперечного
сечения стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести; 1\, /2 — момен¬
ты инерции частей площади поперечного сечения относительно оси, разделяющей
сжатую и растянутую зоны стержня при продольном изгибе.По теории касательного модуляd2 у	PKD п2Е'E'l -1- + Ру = 0; око = —1^ = -г- •	(4)dx* *	кр F К	w15
Рис. 1.1— СВАМ, 2 — ДСП, 3 — ПММАВ коротких стержнях
из пластмасс при доведе¬
нии их до полного разру¬
шения могут накапливать¬
ся большие пластические
деформации. По величине
эти деформации могут быть
намного больше упругих: в3	раза у ДСП (древесно¬
слоистый пластик марки Б
Усть-Ижорского фанерно¬
го завода); в 10 раз у
ПММА (полиметилметакри-
лат марки А. Ориентиро¬
ванное органическое стек¬
ло); у СВАМ (стекло¬
волокнистый анизотропный
материал, конструкционный
однонаправленный стекло-
шпон ВТУМ 768—57 Ле¬
нинградского завода сло¬
истых пластиков) пластические деформации составляют половину доли упругих.
Следовательно, формулы (3) и (4), оценивающие несущую способность стержней
в пластической области, также имеют большое практическое значение.Используя формулы (2), (3) и (4) для критических напряжений, можно построить
графики коэффициента продольного изгиба:9==акр/-^пч»	(5)где пч~предел прочности пластмасс при сжатии;
для упругой областиср = n*E/\2Rn4;	(б)для пластической области по теории приведенного модуляср = тс2 7уА2/?пч;	(7)по теории касательного модуля<Р = гс2£'Л2/?Пч.	(8)Приведенный модуль для стержней с прямоугольной формой поперечного сечения
определялся .по формуле4Е~ (УЩТ+1)2 ~ хЕ"	(9)На графиках рис. 1, 2 и 3 видна связь между приведенным и касательным
модулями. Графики получены на основе результатов массовых испытаний приРис. 2. 1 — СВАМ, 2 — ДСП, 3 — ПММА16Рис. 3. 1 — СВАМ, 2-ДСП, 3—ПММА
сжатии образцов из пластмасс с прямоугольной формой поперечного сечения. Об¬
разцы имели следующие размеры в сантиметрах: из СВАМ — 2X1,5X3; из ДСП —
2X2X3; из ПММА— 2X2X3. Основные характеристики пластмасс даны в таблице.
Испытания проводились при f=18°C.Видпластмассы7 в г[см3Предел прочности
на сжатиеСопротивлениесжатиюЕ в kzJcm?Относительная де¬
формация в момент
разрушенияtfnq в г1см9 |
1v в °/оva в к г 1см1 секКо 11/?с в кг!си1£РV в %СВАМ1,832083,722,87,480,490,676422,00-10615,31-10 331,58ДСП1,341880,25,234,90,880,58271,39-10638,66-10—®17,5ПММА1,1813282,343,870,950,45053,48-Ю4108,15.10—»9,43Примечание. г> — коэффициент изменчивости; vH — средняя скорость нагружения;]К0 — коэффициент однородности; Клл — коэффициент^ длительного сопротивления.Решения, полученные по формулам (6), (7) и (8), показаны на рис. 4. В пла¬
стической области на этом графике сравниваются результаты по теории приведен¬
ного и касательного модулей. Данные по формуле (7) показаны сплошной линией,
а по формуле (8) — пунктирной линией. Этот график рекомендуется использовать
в практических расчетах.График проверен экспериментом. Были испытаны на гидравлическом прессе си¬
стемы «Амслер» пластмассовые стержни с различной гибкостью: из СВАМ А =7; 16;
55; 104; 159, из ДСП А=5; 17; 35; 52, из ПММА Х=5; 17; 52. Получена хорошая
сходимость опытных и теоретических данных. Как видно из графика, наибольшая
сходимость с экспериментальными данными в пластической области наблюдается
по теории касательного модуля.Несущая способность пластмассового стержня, испытывающего продольный из¬
гиб, определяется по формулеP<<fRcF,	(10)пгде Р —	—максимальное сжимающее стержень усилие с учетам возможной пе¬регрузки; Pf усилия от нормативных нагрузок (собственного веса, снега, ветра);
rii — коэффициенты перегрузки (от собственного веса, снега, ветра); <р— коэффициент
продольного изгиба функция гибкости, упругих и пластических свойств, не изме¬
няющихся во времени; /?с — расчетное сопротивление пластмассы сжатию (см.
таблицу).Используя формулу (10) и данные таблицы, проектировщик может решить сле¬Рис. 4.1 — СВАМ, 2 — ДСП,
3 — ПММАУслобные обозначения
» Предел упругости
о Экспериментальны?
данные172 Зак, 391
Рис. 518дующие три задачи: прове¬
рить прочность сжатого стерж¬
ня из пластмасс, найти его не¬
сущую способность, подобрать
размеры поперечного сечения.Зависимость коэффициента
продольного изгиба от гибко¬
сти в параметрической форме.
В настоящее время в СССР
освоено промышленное произ¬
водство нескольких тысяч ви¬
дов пластических масс. Мно¬
гие из них являются конструк¬
ционными материалами и име¬
ют даже в пределах одного и
того же вида существенно от¬
личающиеся физико-механиче¬
ские свойства. Вполне/очевид¬
но, что нецелесообразно стро¬
ить графики зависимости ср отА,	подобные изображенным на
рис. 4, для всех известных
видов конструкционных пластмасс. Обилие таких графиков вызвало бы большие
неудобства в их использовании. Кроме того, ими все равно не учитывались бы
физико-механические свойства новейших пластмасс. Удобнее пользоваться реше¬
нием А. Р. Ржаницына [2]' который исследовал зависимость коэффициента
продольного изгиба от гибкости в параметрической форме. Для параболической
формы верхней ветви диаграммы сжатия и прямоугольного поперечного сечения
параметрическая зависимость коэффициента продольного изгиба от гибкости запи¬
сывается так:4	/4	4	\X |/Дпч/£= 2*У1-Т,У> 1/1-9+ Vi-p).	(И)Для синусоидальной формы верхней ветвиА 1 rR^[E = 2к /(1 -р?-{<9-рГ1У~Ч [ут^р + V(1 -pf-(<t-pf) • (12)В этих формулах используются общепринятые обозначения. Параметр р равен
отношению предела упругости материала к пределу прочности или пределу теку¬
чести.По зависимостям (11) и (12) А. Р. Ржаницын предлагает строить графики, на
которых по оси ординат откладывать значения <р, а по оси абсцисс — безразмерную
величину [х= X У#пц/Е. Полученный таким путем один график коэффициента про¬
дольного изгиба будет справедлив для очень многих видов конструкционных пласт¬
масс при совпадающих значениях р, а также при условии сохранения у этих
пластмасс принятой формы верхней ветви кривой (парабола, синусоида) диаграммы
механического состояния. Для того чтобы построить аналогичные графики для
других видов пластмасс, надо знать величину р и отношение /?Пч к Е.На рис. 5 представлены графики зависимости ср от [л, типичные для СВАМ,
ДСП, ПММА и некоторых других конструкционных пластмасс. Эти графики
построены при следующих значениях параметра р: СВАМ — р=0,865; ДСП — р=
=0,658; ПММА — р=0,297 и физико-механических показателях, приведенных в таб¬
лице. Сплошной линией показаны решения по методу А. Р. Ржаницына для парабо¬
лической ветви верхней части диаграммы механического состояния. Они получены
по формуле (11). Пунктирной линией обозначены результаты пересчета шкалы гиб¬
костей графика рис. 4 на шкалу (х = \ )Л/?пч/£. Как видно, для СЗАМ (кривые /)
практически имеет место полная сходимость кривых. Для ДСП (кривые 2) макси¬
мальное расхождение на отдельных участках составляет 1—5%. Для ПММА (кри¬
вые 3) несовпадение достигает 2—10%. При использовании формулы (12), соответ¬
ствующей синусоидальной ветви диаграммы механического состояния, расхождение
кривых увеличивается и достигает в области средних гибкостей 20%.Предложенный А. Р. Ржаницыным параметрический метод можно использовать
для унификации методики расчета сжатых стержней, выполненных из различных
пластмассСравнительная оценка эффективности стержней из различных материалов при
продольном изгибе. Эффективность стержней из различных материалов при продоль¬
ном изгибе можно оценить сравнением критических напряжений. Сравнение величин
критических напряжений СВАМ, ДСП, ПММА с аналогичными величинами наибо¬
лее распространенных строительных материалов произведено на графике рис. 6.
Здесь СЧ-21-44, СЧ-28-48 — марки чугуна; АМгбТ — алюминиевомагниевый сплав с
6% магния, закаленный и естественно состаренный; АМг5В алюминиевомагниевый
сплав с 5% магния, дополнительно легированный присадкой ванадия; дерево — воз¬
душно-сухая древесина сосны; кирпичная кладка — кирпичные неармированные стол¬
бы (раствор марки 100, кирпич марки 200); железобетон — марка бетона 150, услов¬
ное расчетное сопротивление арматуры Ra у=2100 кг [см2, процент армирования (л=
=3. Звездочкой отмечены пластмассы низких марок. Из этого графика видно,
что по эффективности использования прочности материалов при продольном изгибе
конструкционные пластмассы высоких и средних марок уступают только стали и
чугуну. В области малых и средних значений гибкости они вполне конкурируют
со стержнями из легких сплавов и имеют значительное превосходство над стерж¬
нями (колоннами), изготовленными из таких распространенных строительных ма¬
териалов, как железобетон, дерево и кирпичная кладка. Стержни из высокопроч¬
ных конструкционных пластмасс имеют технико-экономические показатели намного
выше аналогичных стержней из стали и чугуна. Из этого же графика видно, что
не следует применять стержни из пластмасс низких марок.Преимущество пластмасс как конструкционных материалов проявляется особенно
сильно в таких стержневых конструкциях, как балочные фермы. Верхние пояса и
сжатые стержни решетки таких ферм испытывают продольный изгиб. Д. В. Кор¬
неев и Г. А. Ерлыков под руководством автора проектировали покрытие промыш¬
ленного цеха пролетом 24 м, причем в качестве несущих конструкций покрытия
предполагались фермы из железобетона, стали, дерева, а также фермы из пласт¬
масс. Все они имели одинаковую решетку и одинаковое очертание наружного кон¬
тура. Сечения поясов и стержней решетки были подобраны по усилиям, создавае¬
мым нагрузкой 1200 кг/м. Сечения поясов и решетки фермы из стеклотекстолита
были спроектированы из швеллеров и. уголков. Сравнение показало, что самой лег¬
кой оказалась ферма из высокопрочного стеклотекстолита КАСТ-В. Ее вес равен
297 кг. Самой тяжелой — ферма из железобетона. Ее вес составляет 7680 кг.
Стальная ферма имеет вес 5370 кг. Металлодеревянная ферма с верхним поясом
из клееных блоков весит 1600 кг.Поступила 3/XII 1961.ЛИТЕРАТУРА1.	Ф. Б л е й х. Устойчивость металлических конструкций. Физматгиз, 1959.2.	А. Р. Ржаницын. Устойчивость равновесия упругих систем. Гостехтеоретиз-
дат, 1955.Устойчивость рам со стойками, упруго-закрепленными
на опорахИ. В. Аппелыпауэр, Т. А. Барта (Румыния, Тимишоара)Предлагается приближенный метод определения критических сил. Рассматрива¬
ются рамы со стойками постоянного и переменного сечения1.	При расчете рам, опирающихся на отдельные фундаменты, обычно считают
нижние концы стоек жестко заделанными. В действительности заделки являются
упругими, что существенно снижает критические силы.Рис. 62*19
Рис. 1Рис. 2В некоторых работах [1, 2, 3] для учета упругости заделок в нижней части рамы
вводится условный ригель, связывающий между собой фундаменты.Авторы предлагают учитывать упругие закрепления опорных сечений специаль¬
ным коэффициентом е, который определяется формулойе = 1 + 36'	(1)где b=ia; i—EIcyJh; а =1/Са/ф —- угол поворота заделки от момента, равного
единице, приложенного к фундаментной плите; Са коэффициент постели упругого
основания [4]; /ф—момент инерции подошвы фундамента.В случае металлических стоек, прикрепленных анкерными болтами к бетонному
фундаменту, следует при определении а учитывать поворот опорной плиты [5]. В дан¬
ной работе предлагается приближенный метод определения критических сил для
рам со стойками, упруго закрепленными на опорах.Рассмотрим отдельные типы рам.Для рамы, показанной на рис. 1 ,а, или соответственно для ее равноустойчивой
половины (рис. 1,6) можно записатьЛер/- м„ = Л*,; Ркр = (Af0 + Л*,)//•Изгибающие моменты и горизонтальное перемещение от силы, равной единице, будут
.. . МЗ + р)	А» 2(2 + р)-е• 2 + $ (4 + р) ’ ' 1	*’ f ЬВ„1„ 2 + s (4 + р) ’гдер = Ecjlcil/Eplph.Отсюда критическая сила12£сх/ст 2 + е(4 + р)Р‘<Р“ Д2 4(2 +р)— 2е*	WДля того чтобы формула (2) удовлетворяла частному случаю стойки жестко заде¬
ланной в фундамент при наличии плавающей заделки вверху (е=1, р=0), необ¬
ходимо ввести поправочный коэффициент т:2/12. Кроме этого, произведем заме¬
ну на р = 7с2р/12 « 0,822р. Тогдак2Ест1ст 2 + е (4 +7)КР 	 U2	— *	'h* 4 (2 + р) —2еКоэффициент свободной длины ;л = 1/ ^(2 + р)—*	2+s(4+P)В случае несимметричной
нагрузки (рис. 2) выражение
коэффициента ^ будет со дер -жать множитель У(у+р)Р,
где р-=Рп/Р.Для рамы, показанной на
рис. 3,а .применим метод по¬
следовательных приближений.
Оказалось, что хорошую точ¬
ность дает второе приближе¬
ние. Первое деформированное
состояние, характеризуемое
прогибами /1 и U» соответствуетРис. 320
двум силам, показанным на рис. д,о, где с=Н\/(И\ + г2)==г\1г. определяя безразмер¬
ные величины изгибающих моментов делением на длину стойки h и обозначая мо¬
менты в статически определимой раме через mi=A' и ш2=\—сХ, найдем момент в
упругой заделке:3 X(/n, +/я2)+пХ'лг, +/и2пр/3	Г—.	(4)2	пУ -)- 3s (X 2лХ'/3 +пр/6)гдеX = а/Л; Х'=а'//г=1—X; /г = £,/,/£2/2; р^= 0,822£2/2//£р/р/г.	(5), При вычислении коэффициента упругости опоры е, величина i/ берется для ниж¬
него элемента стойки. Вводя также безразмерные величины горизонтальных пере¬
мещений при помощи множителя 6£2/2/А3, находим/,=Х' jx'(2ff*,— Зт0) + — (m, -j- т2—2т0) +*p(m2 — т0) j,	(6)/2=X'2(2m1-3m0)-f Л [(1+2Х>1+(2+ Х>Г2-3(1+Х>.1+Р («2-«.)- (7)
пВо втором приближении учтем силы Pi и Р2, приложенные к раме в первом де¬
формированном состоянии (рис. 3,в), принимая для изгибающих моментов прибли¬
женно линейные эпюры. Новый мом_ент в упругой опоре Мо получается введением
в формулу (4) величин M\=f\ и М2=/2—с(/2—/1). Приведенный прогиб F2 нахо¬
дим из (7), заменив mt на Mt и X на Х = 0,822Х (для того чтобы получить полное
соответствие результатов с точными значениями). Множитель, принятый для без¬
размерной величины перемещения Р2, имеет значение 6E2I2jh2.Из соотношения перемещений при первом и втором приближениях после введе¬
ния поправочного коэффициента тс2/12 находимр,р= *Р 12	V 2К6£2/а гКоэффициенты свободной длины будутн-±.уж, (8) „,_j-YZE.Z.	(9)Г /2	X Г 1-с/.Формулами (8) и (9) можно пользоваться и для _случая несимметричной на¬
грузки (рис. 4,а) при Pi=Pn /Pi < 1. Перемещения fi и /2 при первом приближениии F2 при втором должны определяться из статического расчета. Эти расчеты мож¬
но упростить без уменьшения точности определения критической нагрузки. Так,
например, в первом приближении можно положитьH+ktyc> rn1=~m0H—H'k'—kiyC; тг =щн + k^c —	^"*m>=«0/rHoyPic-' гпп, = ЩН — HI’ — к1ур,с,	)гдеРис. 4Рис. 521
Коэффи¬циенты0,020,03 j10,05 j0,08 j0,10 j0,200,30 j10,50 j1,01;0*50,8780,8790,8810,8850,8880,90,9130,9381U,j0,7880,7910,7950,8010,8060,8270,84*0,89210,70,6640,6670,6740,6840,6910,7260,760,82910,80,4980,5030,5140,5290,5390,590,6420,74410,90,2860,2930,3070,3290,3440,4170,490,63610,50,05980,06660,07980,09970,1130,180,2480,3870,750,60,03190,03830,05110,07050,08350,1490,2180,360,75Ь.х0,70,01730,02320,03510,05230,06430,1260,1910,3330,750,80,01010,01470,0240,03850,04840,1020,1610,2990,750,90,0060,00830,01420,02380.03090,07130,1220,2520,75.0,50,2530,2540,2560,260,2630,2750,2880,3130,3750,60,2150,2160,220,2250,2280,2460,2630,2980,38430,70,1550,1570,1610,1680,1720,1920,2130,2540,3570,80,08730,08930,09340,09960,1040,1240,1450,1860,2880,90,02810,02960,03240,03690,03980,0544j 0,06890,09810,17122-	_L „ 1 -Х'2(1-я) + яр/3 .Wftu= л		 i2 лХ' +Зе(Х + 2лХ'/3 + яр/6)= Aa[l —(1 — *) nX' -A-|ig_]^iy =	“1“ ^ » ^2у = ^2у ^ОУ ”f“ ^Коэффициенты ко и k2 приведены в [6, приложение 15]. Берем их с положитель¬
ным знаком. Величины Ъ\, 62 и 63 даны в таблице [7].С помощью формул (10) можно определить0/_ _ 1 — в - \ _ X2
/1==Х'2 I 2т0+т1+2 —-—т0 1; /2 = —(2т1+т2)++ X' [(3-Х')т,+ (3 - 2У) т,+ 2 m0 J7«,=х'2( 2«Ло+«Я1+2Во втором приближении, исходя из эпюры моментов, показанной на рис. 4,6,
получим= U ^2-Л-с(72-Л); Mn=\\-c(\-Pl)]fn;Мп = [1— с(\—/?,)]/2—Pic(f2—fn).Моменты М0 и Мп можно определить из формулы (4), заменив т* на Mi, также
с учетом эпюры, показанной на рис. 4,6. Таким образом, в соотношение (4) вводимРис. 6Рис. 7
23Рис. 8Рис. 9~ - М2	~ — Мп.2	—жесткости р = 2р-==	=— и соответственно Рп = 2р ——	. Значение F2мг + МПз	м2-±- м„зопределяется по формуле Мора с применением способа Верещагина.С целью проверки приближенных методов, в случае симметричной нагрузки, был
применен метод у -коэффициентов по Н. К. Снитко [8].С целью проверки приближенных результатов для несимметричных рам и рам
с несимметричными нагрузками был применен метод перемещений. -Моменты и ре¬
акции R, соответствующие повороту или единичному перемещению узла, в общем
виде могут быть записаны:Ry = е/?ж (1—е)Лш.	(И)где Ry соответствует упруго опертой; /?ж— жестко опертой и #ш — шарнирно опер¬
той раме. Формула (11) удобна тем, что позволяет пользоваться таблицами для
известных функций <p(v) и r,(v)f приведенных в книге [9].При проверке установлено, что точность приближенных решений находится в
пределах ошибок, допускаемых логарифмической линейкой.2.	В одной из предыдущих работ [10] авторы заменяли ригели с переменнььм се¬
чением стержнями, имеющими условный постоянный момент инерции. Подобный
метод можно приложить к стойкам, имеющим переменную жесткость,' и при этом
использовать таблицы А. Н. Динника [И], полученные для одиночных стоек.
С целью определения условного момента инерции для шарнирно опертых рам ис¬
ходим из предельного случая рамы с бесконечно жестким ригелем (рис. 5). Заменяя
максимальный момент инерции / (по А. Н. Диннику) соответственно на условный
/=С/, получимРкр = KEI/L* = *2£//4Д3 =>*£С//4А8,-откуда			7C = /C/^2.	(12)Для стоек имеющих вид, изображенный на рис. 6,а, коэффициент берется из таб¬
лиц А. Н. Динника № 20, 23, 26 и 28. При наличии стоек, показанных на рис. 6,6,
коэффициент К необходимо брать из табл. 34. Для частного случая непрерывно
меняющегося сечения (рис. 7) коэффициент С должен определяться по графику
(рис. 8) в зависимости от г//. График можно использовать и для других законов
изменения моментов инерции:1х = 1[\~(\-п)хЩт.В зависимости от отношения /ст// по графику (рис. 9) можно найти показатель т,
и затем по графику (см. рис. 8) находится коэффициент С.
Метод условного момента инерции был проверен путем сравнения со случаями,
рассмотренными А. Ф. Смирновым [9].Для случаев, не содержащихся в таблицах, коэффициент может быть найден
по формулеC = PKpW/K*EIot	(13)где критическая сила Ркр рассчитана (см. рис. 6) методом последовательных при¬
ближений; jx—коэффициент расчетной длины Для стойки с постоянным моментом
инерции, при тех же условиях опирания; /о — момент инерции в определенном се¬
чении стойки.Поступила 25/11 1961.ЛИТЕРАТУРА1.	Н. В. Ко рн о ухо в. Прочность и устойчивость стержневых систем. Строй-
издат, 1949.2.	W. G о d е г. Ein Beitrag zur praktischen Berechnung von Rahmentragwerken
nach der Stabilitatsvorschrift DIN 4114. Dissertation, Darmstadt, 1958.3.	Th. V. Galambo s. Influence of partial base fixity on frame stability.
Proceedings of the ASCE—Journal of the Structural Division, May, 1960.4.	H. А. Цытович. Механика грунтов. Госстройиздат, 1951.5.	P. S a h m е 1. Naherungsweise Berechnung der Knicklangien von Stockwerkrah-
men. Stahlbau (24/1955/4).6.	Стальные конструкции одноэтажных промышленных зданий, сб. КТИС. Гос¬
стройиздат, 1952.7.	J. Horejsi. Pruty s nahlou zmenou prurezu-CTM-Praha, 1958.8.	H. К. Снитко. Устойчивость стержневых систем. Госстройиздат, 1952.9.	А. Ф. Смирнов. Устойчивость и колебания сооружений. Трансжелдориздат,
1958.10.	J. А р р е 11 а и е г, Т. В а г t a. Beitrag zur Knicklangtenberechnung Lotrechter
Rahmenstiele im Falle gieknickter und bogenformiger Riegel. Bauingenieur (34/1959/8).11.	A. H. Динник. Продольный изгиб, кручение. Изд. АН СССР, 1956.Определение расчетных длин стоек рам
многоэтажных промышленных зданийА• Я. Раевский (Пенза)Излагается приближенный способ определения расчетных длин стоек многоярус¬
ных и многопролетных рам, применяемых для промышленных зданий.Рассмотрим схемы рамных каркасов (рис. 1), рекомендованных Госстроем СССР
[1, 2] для многоэтажных зданий химической и других отраслей промышленности с
самонесущими стенами и без мостовых кранов. В целях максимальной унификации
и типизации конструктивных элементов зданий высотой до четырех-пяти этажей
каждый тип рамы принят с одинаковыми высотами всех этажей: 3,6; 4,2; 4,8; 5,4; 6 м,
за исключением отдельных серий, для которых высота первого этажа принята 7,2 м,
В табл. 1 приведены данные о сечениях стоек крайних и средних рядов рам про¬
изводственных зданий. Для промышленных зданий группы А принята единая сетка
стоек 6X6, а для группы Б сетки стоек могут быть 6X6 и 7+3+7Х6 м. Высота ри¬
гелей рам для зданий обеих групп принята одинаковой и равной 700 мм при сред-Рис. 124
Таблица 1* Эти данные относятся к сейсмическим районам.ней ширине около 300 мм для всех этажей и всех нагрузок. При этом средняя
относительная погонная жесткость их (при длине 6 м)/риг = £/риг// = 0,3*0,73£/12.6 = 143-10-5£ тм.При работе рамы в упругой стадии расчетные длины сжатых и сжато-изогнутых
элементов не зависят непосредственно от поперечных нагрузок и эксцентрицитета
Продольной силы [3, 4]. Учитывая это, при расчете на устойчивость элементов рамы
можно от заданной схемы ее загружения (рис. 2,а) перейти к узловой схейе
(рис. 2,6), при которой в элементах рамы возникают только продольные силы, равные
расчетным.Продольные силы в ригелях рам рассматриваемых типов (см. рис. 1) при дей¬
ствии вертикальных нагрузок, как правило, в несколько раз меньше, чем в стойках.
В то же время, как показано выше, жесткость ригеЛей на изгиб обычно всегда
больше жесткости стоек. Поэтому при определении расчетных длин сжатых стоек
продольные силы в ригелях учитывать не будем. Такое допущение (равносильное тому,
что ригели относятся к чисто изгибаемым элементам) резко упрощает задачу устой¬
чивости рамы и широко используется в практических расчетах.В дальнейшем предполагается, что критическое предельное состояние рамы с уз¬
ловой нагрузкой (см. рис. 2,6) достигается при одновременном увеличении всех узло¬
вых нагрузок. При этом в стержнях рамы соотношения между продольными силами
в критическом состоянии остаются такими же, как и при действии на раму расчет¬
ных нагрузок, т. е.■^1Кр * ^2Кр 1 А^зкр 8 • • *=х^1 * N2 * Л^8 1 • • *	(ОРасчетная длина для п-й сжатой стойки рассматриваемой рамы (см. рис. 2,6) в
общем случае [3] выражается формулой— (*Л„Кр) V= ixAi -	(2)Рис. 225Нормативная
нагрузка
в т)м* доВысота
этажа
в мСечения стоек в смОтносительная погонная жесткость
колонн при £=1 в л**крайнихрядовсреднихрядовкрайних рядовсредних рядовА. Проазвэдсгведнчг здания химической промышленности (по данным Гипротис [1])2,54,8; 6,060x4060x40(86,6-69,3).10-*(86,6-69,3). 10-*2,57,260x4060x40100.10-*100.10-*Б. Произвэдсгвэнные здада* других отраслей промышленности (по данным Гипромолоко [2])13,6-4,830X3045x30(18,7—14,1) .10 *(63,1—47,3)-10 623,6—4,845x3055x35(63,1—47,3)-10 5(135-101). 10-*2*3,6-4,845x3555x35(73,6—55,2)• 10 Б(135-101). 10-*
Здесь fxrt=u/vWKp —коэффициент расчетной длины, аv/ikp — NnKph^/EIn	(3)критический параметр продольной силы для рассматриваемой стойки.На основе формул (3) и (1) выражение коэффициента расчетной длины для дру¬
гой стойки рамы имеет вид-\fNn iAn	(iу —TT »	(4)r Nr lnflrгде ir и in — погонные жесткости стоек г и п.В формуле (3) значение NnKp определяется в результате расчета всей рамы на
устойчивость. Такой расчет может быть выполнен любым из известных методов
строительной механики. Однако точный расчет на устойчивость многопролетных рам
является весьма сложной и трудоемкой задачей, так как связан с раскрытием опре¬
делителей высокого порядка и решением сложных трансцендентных уравнений.Ниже предлагается приближенный способ, основанный на замене многопролетной
рамы (см. рис. 2,6) эквивалентной однопролетной. Первоначально по приближенной
формуле определяется коэффициент расчетной длины для одной из стоек I яру¬
са заданной рамы. Далее по формуле (4) вычисляются коэффициенты fx для всех
остальных стоек рамы. При этом учитываются действительная схема загружения рамы
(отношением Nn/Nr) и соотношение жесткостей и размеров стоек.Приведем вывод приближенной формулы для определенияДля эквивалентной симметричной рамы (рис. 2,в) принимаетсяip = 'риг; i' = 2 *'ст/2 (т— 1);	(5)тр' = 2р’№*-1); р" = 2рь№т- О; р"’ = 2pft/2(m-1). (б)т	т	тЗдесь т — число стоек в одном ярусе; /ст — погонная жесткость стойки.Потеря устойчивости заданной многопролетной рамы характеризуется поворотом
узлов и перекосом стоек. Поэтому критические значения узловых нагрузок Р', Р"
и Рп/ для эквивалентной рамы (см. рис. 2,в) определяются из условия кососим¬
метричной формы потери устойчивости, сопровождающейся также поворотом узлов
и перекосом стоек.Рассмотрим теперь более подробно устойчивость однопролетной симметричной
многоярусной рамы. В дальнейшем для удобства будем обозначать погонные жест¬
кости стоек через а ригелей через ш.На рис. 3 приведены результаты исследования устойчивости трехъярусной рамы
при трех различных схемах загружения ее узлов, где представлена зависимостьРис. 326
критического параметра v^p для продольной силы в стойках I яруса от отношенияn==iриг Act*	^	.Из графиков видно, что при больших значениях п(п>2) зависимость величиныvIcp от схемы загружения рамы незначительна. Для схем бив значения vKp прилюбом п практически одинаковы.Наибольший практический интерес представляет схема загружения б. В этом
случае продольные силы стоек в I, II и III ярусах рамы имеют такие значения:N1 = 3Р; Nu =2Р; Nm = Р.Для критического состояния на основе формул (3) и (2) получаем,'р =/37v77;	ч"р = 0,816vlKp; рп=1,22р\ |
''кр=0,577,'р; ,лш=1,73,Л	)На рис. 4 (кривые б) приведены графики изменения коэффициентов расчетной
длины (х =ho/h в зависимости от отношения п для стоек I, II и III ярусов. Эти
кривые построены по формулам (7) на основе графиков v^p—п. Там же для срав¬
нения приведены значения [х для стоек рассматриваемой рамы при схеме загру¬
жения а (кривая а). В этом случае %^р = v1^ = v]<p = УPKpk/i = v^p и соответст-
ве нно (х1 =|хП =|хш = 7t/vKp.При п= оо (ригель бесконечной жесткости) для схемы б имеем ^р= п и для
стоек I яруса получаем (х!=1 и h}0 =Л.В этом случае потеря устойчивости рамы сопровождается перекосом стоек
f яруса, т. е. изгибом их по полуволнам синусоиды с точкой перегиба посередине
высоты стойки. При этом стойки II и III ярусов останутся прямыми.Формулу (2) для определения расчетной длины стоек рам с учетом (3) можно
представить [4] в виде		^0(пу^к УVn/NnKv	WОтсюда видно, что для данной (я-й) сжатой стойки с жесткостью Е1п расчетная
длина h0 зависит только от критического значения продольной силы в этой стойке.
Поэтому для одной и той же стойки рамы в зависимости от схемы загружения
расчетная длина стойки может быть различной и в несколько раз большей, чем ее
геометрическая длина. При одинаковой жесткости EI расчетная длина менее загру¬
женной стойки больше, чем более загруженной.Практически при расчете стоек рам необходимо принять такую схему загруже¬
ния, при которой расчетные продольные силы в стойках и расчетные длины их будут
иметь максимальные значения. Наиболее близко к такой схеме загружения под
ходит схема б (см. рис. 3).Остановимся еще на вопросе, как влияет число ярусов на величину критиче¬
ского параметра vj^ (для стоек I яруса) для симметричной однопролетной рамыРис. 427
при загружении ее то схеме 6.
На рис. 5 показаны графики ^р
в зависимости от отношения
п =» *’риг/*ст для такой рамы с
числом ярусов от 1 до 5.Для рам промышленных
зданий, как видно из табл. 1,
отношение п погонных жестко¬
стей ригеля и стоек всегда
больше единицы. При п> 1 на
основе графиков можно пред¬
ложить удобные приближенные
формулы для определения н-1
(для стоек I яруса), которые
приведены в табл. 2.Формулы для fi1 могут
быть применены также для
стоек I яруса симметричной
однопролетной рамы эквива¬
лентной по устойчивости задан¬
ной многопролетной. При этом
для эквивалентной рамы на ос-
9	нове равенств (5) в этих фор¬мулах следует принять ip/i = (/рИг/2/Ст) 2 (m — 1) = 2 2/риг/2/сх = 2£.Здесь £ — отношение сумм погонных жесткостей всех ригелей и всех стоек
I яруса заданной многопролетной рамы.Теперь задача состоит в том, чтобы сделать обратный переход от однопролет¬
ной эквивалентной рамы к заданной многопролетной. Для этого используем равен¬
ства (5) и (6). Тогда для стоек I яруса эквивалентной рамы на основе (3) можно
записать [5]VKP = ]/NUhf1' = U V *ck/lck •	(9)Здесь v'KP = }/^лкр^/*л —критический параметр продольной силы в п-й стой¬
ке I яруса заданной многопролетной рамы.Учитывая, что {A=7t/vKp# из равенства (9) получаем формулу для определения
коэффициента расчетной длины л-й стойки I яруса заданной многопролетной рамы:Jn = AY^kl* 4-	(Ю)Через А обозначен коэффициент fi1, зависящий от числа ярусов и отношения £.Выражения для А приведены в табл. 2.СуммыStf-Sjjr. S4-2Г	<">*=1^	k=sl Пучитывают соотношения продольных сил в стойках первого этажа и их погонных
жесткостей для заданной многопролетной рамы.Из формул табл. 2 видно, что при £>2 с достаточной для практики точностью
при любом числе ярусов можно принять А—1. При этом максимальная ошибка
в величине fxj, будет состанлять соответственно 4, 5, б, 7 и 7,5% для рам с
числом ярусов, равным Л, 2, 3, 4 и 5.Для монолитных и сборно-монолитных железобетонных рам при определении
моментов инерции ригеля /риг учитывается также часть плиты перекрытия. В этом
случае для рассматриваемых типов рам (см. рис. 1) £/риг всегда в несколькоТаблица 2Рис. 5Коэффициенты
расчетной длиныЧисло ярусов (этажей)121 345V1+0,1б/я1+0,19/л1+0,24/я1+0,28/я1+0,31/яА1+0,16/251+0,19/251+0,24/251+0,28/251+0,31/2528
раз больше, чем 2/ст, т. е. отношение £ более 2—3. Поэтому-при определении
ки!л для стоек таких рам также можно принять А=* 1.Пример. Определим коэффициенты расчетных длин р. для стоек рамы, показан¬
ной на рис. 6. Для этой рамы согласно данным табл. 1 имеем /ст =86,6*10”б£;
/рИ1;==143*10-5£==1,65/ст- Получаем 1/Ст=4.86,6.1(Г5£; 2/риг=3-143-10~*£; £ =
=i:/pHr/2/cx =1,24.По формуле табл. 2 для рамы с четырьмя ярусами находимА=1+0,28/21=1+0,28/2-1,24=1,113.Прежде чем приступить к определению \^п необходимо выполнить обычный стати¬
ческий расчет рамы на действие расчетных нагрузок. На рис. 6 приведены эпюры
М и N. За п-ю стойку I яруса принимаем первую стойку, для которой in — /г=/Ст;
N\= 107,20 т.Используя формулы (11) и эпюру N, находим107.20-2+189,80-2
" к~ hr	^ к~	Ю7.20	~5,54-По формуле (10) получаем =1,113/5,54/4=1,33Теперь, используя формулу (4) и эпюру N, находим значение ц для всех осталь¬
ных стоек рамы:а'1 =1,33 /107,20/ 74^65= 1,56 и т. д. (см. табл. 3)ТаблицаНа основе изложенного можно
сделать следующие выводы и реко¬
мендации к практическому использо¬
ванию полученных результатов.1.	Для рассмотренной четырех¬
этажной рамы (см. рис. 6) коэффи¬
циенты расчетной длины имеют боль¬
шие значения для менее загружен¬
ных стоек (верхние этажи); при этом
для одного и того же этажа значе¬
ния [х для стоек крайних рядов при¬
мерно в 1,3 раза больше, чем для
стоек средних рядов. Полученные
значения р. значительно отличаются
от рекомендованных справочником
проектировщика [6, раздел 16] для
стенок многоэтажных рам.2.	Различные значения р для раз¬
личных стоек указывают на то, что
при потере устойчивости не все стой¬
ки одинаково эффективно участвуют
в работе рамы. Очевидно, при дан¬
ной схеме загружения рамы для сто¬
ек четвертого этажа расчетные гиб¬
кости превышают предельные значе¬
ния, установленные нормами.3.	Из условия устойчивости рам¬
ный каркас многоэтажного промыш¬
ленного здания нецелесообразно про¬
ектировать с одинаковыми жестко¬
стями стоек для всех этажей, так как
при этом несущая способность сто-Рис. б29СтойкаЗначения (хдля ярусов1 11 u 11 111IV11,331,562,074,2820,981,171,563,25
ек верхних этажей используется частично. Одинаковые жесткости стоек всех этажей
могут быть приняты на первом этапе расчета с целью выяснения степени неустойчи¬
вости стоек различных этажей.4.	На втором и последующих этапах расчета необходимо путем изменения се¬
чения стоек по этажам добиться для стоек всех этажей примерно одинаковых
расчетных длин, при которых гибкость стоек была бы меньше предельной. В этом
случае при йотере устойчивости рамы все стойки ее будут одинаково эффективно
участвовать в работе, т. е. будут примерно «равноустойчивыми».Использование приближенной формулы (10) и табл. 2 дает возможность до¬
вольно быстро при помощи логарифмической линейки производить как первый,
так и последующие этапы расчета. Для того чтобы получить меньшее значение
для какой-нибудь стойки, следует сечение этой стойки уменьшить (и наоборот).Поступила 21/II 1961.ЛИТЕРАТУРА1.	Б. Ф. Васильев, Е. А. Осмоловская. Унификация сборных железобе¬
тонных конструкций многоэтажных зданий цехов химической промышленности. Сб.
«Строительное проектирование промышленных предприятий», Техническая инфор¬
мация Главстройпроекта, йып. 2, 1960.2.	С. П. Дмитриев, Г. В. Выжиги и. Унифицированные железобетонные из¬
делия для многоэтажных зданий с балочным перекрытием. «Промышленное строи¬
тельство» № 7, 1960.3.	С. Д. Лейтес. Устойчивость сжатых стальных стержней. Госстройиздат. 1954.4.	Н. В. Корноух о в. Прочность и устойчивость стержневых систем. Гос¬
стройиздат, 1949.5.	А. Н. Р а е в с к и й. Формулы и графики для определения расчетных длин
сжатых стоек одноярусных рам. «Строительная механика и расчет сооружений»
№ 5, 1959.6.	Справочник проектировщика, том Расчетно-теоретический. Госстройиздат, 1960.Определение частоты собственных колебаний арки
при совместной работе с надарочным строениемИ. А. Егоров (Свердловск)Рассматривается применение метода перемещений в комбинации с методом урап-
новешивания узловых моментов для определения частоты собственных колебаний
арки при совместной работе с надарочным строением. Исследуется влияние учета
продольных сил и способа присоединения стоек на частоту колебаний системы.Следуя работам А. Ф. Смирнова [1] и Н. К. Снитко [2], при расчете вводим допу¬
щения: криволинейную ось арки заменяем ломаной в виде многоугольной рамы;
продольные деформации не учитываем; распределенную по длине массу арки и
надарочного строения заменим сосредоточенными массами, приложенными в узлах
рамы.В отличие от метода перемещений за основные неизвестные принимаются лишь
линейные смещения узлов. Основная система, таким образом, представляет собой
раму с введенными связями, устраняющими смещения узлов.Последовательно возбуждая единичные смещения Д/=1 в направлении каждой
из связей и уравновешивая затем узлы системы методом уравновешивания узловых
моментов, определяем усилия в связях, удерживающих узлы от линейных смещений.Система уравнений, отрицающих наличие связей, удерживающих узлы от сме¬
щений. имеет вид•	• • + 0„Дл(/)+ Г%	= 0 (/ = 1,2	л).	(1)После подстановки А/(^)=:A^sinw^ (/=1, 2,...,л) имеем(7,1— г°Д0>*) Д, + (Fh- ^2)Д2+.. .+(7jn- r°Jn0>*) Д„ = 0.	(2)Здесь коэффициенты при Апредставляют собой усилия в линейных связях
от последовательного смещения их на А* =1; гд — статическое усилие в связи; —
инерционное усилие в связи; о>—частота собственных колебаний.30
Уравнение частот собственных колебаний получаем в виде
(ги—>г110,г) (^ia—r?2mS)' • -kin—гЧпшг)= 0.	(3)(ГЯ1	(rП2 Гп2й>г)- • •(rnn—r°nn<*i)Уравнения свободных колебаний можно получить также из начала возможных
перемещений:Sl»/(S«5i+»] = Sj^-	(4)Здесь т/— сосредоточенные массы; иц, Уц — соответственно горизонтальное и вер¬
тикальное перемещения массы т\\ ult vL —соответствующие возможные переме*
щения.	_ ^После подстановки иц = щ sin W, vц — vt sin <*>t имеемm> (“>“/+ vivt)= ^ j <*s.	(5)Как и ранее, принимаем в качестве основной системы раму с введенными в нее
линейными связями, предотвращающими возможность смещения узлов.Амплитудные значения и,-, v\ и М определяются выражениями
п	п	п"i = S v,== S М= X AkMik)	(6)fc=l k~\ k=\Кроме того,—	vi С MjMkПодставляя в (5) вместо uly i//, M их значения из (6), заменяя виртуальные
величины uL, М последовательно значениями из основных единичных состояний,
получим систему уравнений для определения частот собственных колебаний рамы-
арки:akAl + ak2^2 ~b • • • Н" akrAn = 0 (£ = 1, 2,...,л),где=0,2 2 v\k)vlJ})—или сокращенно&kj — *'Ьк] fkj-	(Уравнение частот собственных колебаний имеет вид(а>Чи — rij)(<o^12—г12)..	— г1Л)= 0. (11)(a)2^/ii гп\)(^2^П2 гяг)* • • (oi~bnn гпп)Применение уравнения (11) позволяет избежать вычисления инерционных уси¬
лий utbkj в линейных связях (путем вырезания узлов), что дает некоторое преиму¬
щество при расчете сложных систем. Статические усилия r^j в тех же связях до¬
статочно просто находятся методом уравновешивания узловых моментов [3, 4].В качестве примера рассмотрим вычисление низшей частоты собственных коле¬
баний с учетом влияния продольных сил для шестипанельной двухшарнирной пара¬
болической арки с надарочным строением (рис. 1 ,а). Так как низшая частота
имеет место при антисимметричной форме деформаций, то основная системы вы¬
бирается в виде рамы-полуарки, показанной на рис. 1,6. Геометрические размеры
арки указаны на чертеже. На арку действует постоянная нагрузка #=0,45 qKр=
=77%2 EIJP. Продольные силы в элементах арки определяем из статического рас¬
чета или приближенно по формулеNi = ql2l$f cos ф/.	(12)В нашем примереN9l = 1,618£/a/rf3; N12 = 1,444£/a/tf3; N23 = 1,352EJa/ds;Nl6 e W2? = 0,358Eljd*; N0, = Ni8 = 0,179EIJdK31
Коэффициенты влияния продольных силV = УNtl/EIa в 1,53; vls= 1,294; v2,= 1.173;
ve5 = 0,900; v,e = 1,31; ч2, = 0,775; v,, = 0,600.Реакции riy- от единичных воздействий связей в основной системе метода пере¬
мещений представлены в табл. 1. Численные значения этих реакций получены сТаблица 1Связь |Та<Рб?б97<РвА»А*Даft6,3461,9130,418- 4,1465,4181,203'fa1,9138,6282,03_—0,693—- 6,353- 1,7933,507?з—2,034,661——0,449- 0,785- 6,5942,945?б——	5,4152		6—1,305<Ро0,418——28,7642_- 0,80261,224<Р7—0,693——29,3442- 6,935- 1,4023,507—	0,449		24,881- 0,785- 6,7852,945-4,146-6,353-0,7856-0,802-6,935-0,78536,097-19,142-7,941д!5,418-1,793-6,594—6-1,402-6,785-19,14246,303-8,054Да1,2033,5072,9451,3051,2243,5072,945- 7,941- 8,05428,114Примечание. Сомножители	£'/а/</3; Е1а/43 опущены.Рис. 3Рис. 2Рис. 132
учетом влияния продольных сил в элементах системы по таблицам, приведенным
в работе [5].Коэффициенты переноса равнял отношениюЬу^гц/ги,	(13)т. е.kl9 = г 21/г i х = 1,913/6,346 = 0,301; ku = rjr, r == 0,418/6 ,346 = 0,066.Аналогично вычисляем все коэффициенты переноса	Их значения приведены'в табл. 2.Таблица 2Узлы1235678ли£,2=0,301 '
*j6=0,06<5#„=0,222Д!2з=0,235*27=0,080*83=0,436
А»з8=0,096*66=0,369*66=0,229*67=0,229*61=0,048*72=0,074**=0,214-*7в=0,214*88=0,092*87=0,410Циклы-4146-6353-7856000-802-6935—785113312481200625274408-40131-181-40-217-22146281263-25437-29-11263-1807-46-379-71-83—10-81-163019-232-217-130-81-6—521530-1-580-1-5-5•2-1129695148-358-641117966280-357Примечание. Моменты увеличены в 1000 раз; сомножители El^d- опущены.Уравновешивание узлов системы при смещении по направлению линейной связи1 на Ai =1 также показано в табл. 2.В первую строку таблицы записываем узловые ^ неуравновешенные моменты.
Уравновешивание узлов производим в последовательности 1—8. Под уравновеши¬
ванием узла подразумеваются следующие процессы: снятие с узла защемления;
получение узлового уравновешивающего -момента, равного узловому неуравновешен¬
ному моменту с обратным знаком; передача вторичных неуравновешенных момен¬
тов по направлению других наложенных защемлений, равных произведению уравнот
вешивающего момента на соответствующие коэффициенты переноса; восстановление
снятого защемления. Процесс уравновешивания узлов продолжается до тех пор,
пока остаточные неуравновешенные моменты не станут настолько малыми, что ими
можно будет пренебречь.В последней строке таблицы приводятся суммарные значения узловых момен¬
тов, полученные после полного уравновешивания узлов системы. При этом знаки
перед моментами заменены на обратные. Углы поворота узлов вычисляем по фор¬
муле<П =	(14)®, = 2,969/6,346 = 6,4679; <р2 = 5,147/8,268 = 0,5966; <р3 = —0,358/4,661= —0,0768;
<р5 = —6,411/5,415 = —1,184; ср6= 1,796/8,764=0,2049; ?,= 6,280/9,344=0,6721;Ч»8 = — 0,357/4,881 = — 0,0732.Усилия в линейных связях:
r7i=r, j+S'iA'P*! =36,097 - 4,146-0,4679-6,353 • 0,5966 +0,785 • 0,0768-6,0-1,1840—
— 0,802-0,2049 — 6,935-0,6721 + 0,785-0,0732 -18,55;
^i=^21+2r,A<pftl=—19,142+.5,418-0,4679—1.793-0,5966+6,594-0,0768+6,0-0,2049—
—1,402-0,6721 +6,785-0,0732 = — 16,30;Г31=г31+2г3*9А1=—7,941+0,4679-1,203+3,507 •0,5966—2,945 • 0,0768—1,305-1,1840+
+1,224-0,2049 + 3,507-0,6721 —2,963-0,0732 = — 4,65.Уравновешивание узлов системы при. Д2=:1 и Д3=1 производится аналогично.В результате расчета получены усилия в линейных связях:для состояния А2 = 1:ri2——16,30; г32=т-1*64; г22=20,44,33
для состояния Л|=-1:г2г=>—1,64; гв1=—4,65; г|В=22,70.Эпюры моментов от единичных смещений по направлению линейных связей (Aj=l;Для наглядности показаны на рис. 2,а—в. При этом концевые моменты
вычислены по общим формулам метода перемещений для сжато-изогнутых стержней
(2, стр. 231].Распределенные массы элементов сосредоточиваем в узлах рамы-арки.Принимаем т8=т0, тогдаmi ^	0,0132(iatf	^ g|g.шщ 0,5066fiatfт2« 2,394m0; m# = 2,360m0; тв = 2,542m0; m7 = 2,310m0; m3 — 1,009me.
Определяем коэффициенты b^j уравнения (11):Ьит=тьАЛ+т1(\-1+0,6667.0,6667)+ /и2-0,2667-0,2667 + т,- 0,2667-0,2667 = 6,855m0;£1а= Ьг1 ■= m2 • 0,2667• 0,40+m, • 0,2667 • 0,2667=0,3272m 0;^2a*m7.M+m2(M+0,4-0,4)+ma.0,2667.0,2667=5,16m0;bu =m8-1 • l+/we-1 • 1 +m7-1 • 1 +m8 • 1 • l=8,212m0;biz=sbil^=b2i==bt2=i0.Подставляя значения коэффициентов в (И) и изменяя знаки на обратные, полу¬
чим частотное уравнение(18,56—6,855Х)(— 16,30 — 0,327Х)(—4,65)(_ 16,30 — 0,327Х)(20,45 — 5,159Х)(— 1,64) = 0,(—4,б5)(— 1,64) (22,70 — 8.212Х)где X = m0a>2d*/£/a.Минимальный корень уравнения X =0,335:т/ 0,335-1296£/а 29,27 -|/£7а~
a>SSS У 0,5066^ = /2 V |Ха *При отсутствии горизонтального смещения балки уравнение получается из преды¬
дущего зачеркиванием последнего столбца и строки. Минимальный корень уравнения
X =0,497:_ 1/0.4965-1296Е1Я 35,64 л ГШ*.“ “ У 0,5066(j.,/4 ~ Р У цаПри равномерной постоянной нагрузке д=77,2£/а//3 и одинаковых геометрических
размерах частоты собственных колебаний составляют:для двухшарнирной арки с шарнирным прикреплением стоекш = 15,33/С; K=^rY~ •Р Г Радля бесшарнирной арки с шарнирным прикреплением стоекш= 32,74/С,для бесшарнирной арки с жестким прикреплением стоеко> = 41,64/С.На рис. 3 приведены графики частот, построенные в координатах [(о>/о>0)2, q/qKpJ:
для двухшарнирной параболической арки с шарнирным прикреплением стоеко)0 = 33,46/С; ^кр = 98,0£/а//3,для бесшарнирной параболической арки с шарнирным прикреплением стоек©0 = 44,98/С; ?Кр = 158,5EIJI*,для двухшарнирной параболической арки с жестким прикреплением стоеко>0 = 39,73/С; <7кр* 173£/а//3.Во всех случаях принято f//=0,20,	кроме того, для двухшарнирной и бес¬шарнирной параболических арок с жестким прикреплением стоек моменты инерции
для крайних стоек составляют 0,6 /а, для промежуточных стоек — 0,2 /а; возвышение
надарочного строения /to=0.075Z.
Для двухшарнирной арки с шарнирным прикреплением стоек график выражается
прямой, что было ранее показано А. Ф. Смирновым [1], и поэтому возможно примене¬
ние приближенной формулы о>=а>0У^ 1—Н/Нкр.
где Н — распор арки.Условная частота собственных колебаний <о0 (без учета влияний продольных сил
в арке) определяется аналогично, с той разницей, что при вычислении усилий в линей¬
ных связях при А1=1(Л2=:1; А8=1) не учитывается влияние продольных сил.Расчет арок с надарочным строением на вынужденные периодические колебания
описан в другой работе автора.Данный способ применен автором к расчету пространственных рамных и арочных
систем на прочность, устойчивость и колебания.Поступила 28/XI 1960.ЛИТЕРАТУРА1.	А. Ф. Смирнов. Устойчивость и колебания сооружений. Трансжелдориздат,
1958. if2.	Н. К. Снитко. Динамика сооружений. Госстройиздат, I960.3.	И. А. Егоров, С. А. Рог и цк ий. Устойчивость рам со ступенчатыми стойками.
«Строительная механика и расчет сооружений» № 4, 1962.4.	И. А. Егоров. Расчет рам методом уравновешивания узловых моментов. Во¬
просы строительной механики, труды Уральского политехнического института
им. С. М. Кирова, сб. № 132, 1962.5.	С. А. Р о г и ц к и й. Новый метод расчета на прочность и устойчивость. Машгиз,
1960.Об одном трансцендентном уравненииС.	В. Прохоров (Казань)При расчете на изгиб цилиндрических оболочек открытого профиля в соответствии
с «Инструкцией по проектированию железобетонных тонкостенных пространственных
покрытий и перекрытий» (1961) пользуются уравнениемsin 0 — /г0 — т = 0 (л>0, m > 0).	(1)В Инструкции рекомендуется отыскивать 0 методом последовательных приближе¬
ний. Однако процесс итераций для уравнения (1) оказывается расходящимся при всех
практически возможных условиях *. Переход от итерируемой функции 0 = (sin0 —т)/л
к обратной 0 = агс sin (tn+nft) хотя и обеспечивает сходимость приближений, но
весьма медленную. Поэтому предлагается более простой способ решения уравнения
(1). Разлагая функцию sin 0 в степенной ряд и удерживая два низших члена, при¬
ведем трансцендентное уравнение (1) к алгебраической формеб3 — 6(1 — /г)0 + = 0.	(2)Исследуя кубическое уравнение (2) и отбрасывая Корни, противоречащие физиче¬
ским условиям задачи, найдем7С -I- Ф0=26 cos	,	(3)3гдеk = |^2 (I — п); ср = arccos (3m/k3).Кроме того, уравнение (1) весьма просто разрешается путем уточнений приближен¬
ного решения по формуле Ньютонае =б0+ OT + n9o~sin6»i	(4cos 0О — пгде0„ = т/(1 — п).Заметим, что равенство (4) дает практически точное значение 0 для оболочек
средней пологости.Таким образом, применение как тригонометрической подстановки (3), так и фор¬
мулы Ньютона (4) значительно упрощает рещение трансцендентного уравнения (1)
по сравнению с методом последовательных приближений.Поступила 18/VIII 1962.353** Г.. 3 а н д е н. Элементы прикладного анализа. Гостеаретиздат, 1932.
ОбзорыИсследования по упрощенным методам
расчета оболочек(по материалам Международного коллоквиума)Л. Р. Ржаницын (Москва)Коллоквиум по упрощенным методам расчета оболочек, состоявшийся в сентябре
1961 г. в Брюсселе, был организован Международной ассоциацией по сооружениям
типа оболочек (IASS) и Бельгийской ассоциацией по испытаниям материалов (АВЕМ).
На коллоквиуме было заслушано около 30 докладов. Конечно, эти доклады не охваты¬
вают всех работ по оболочкам, проведенных в последнее время в различных странах,
но, безусловно, дают представление о направлениях и уровне исследований, относя¬
щихся к расчету оболочек различных типов. В настоящем обзоре мы постараемся
осветить результаты коллоквиума, сопоставив их с исследованиями, выполненными в
Советском Союзе.1.	Расчет пологих оболочек двойной кривизны. Оболочки этого типа продолжают
привлекать большое внимание.Расчеты ведутся как по моментной, так и по безмоментной теории с учетом крае¬
вого эффекта. В обзорном докладе генерального докладчика первого заседания проф.В.	Церна было отдано предпочтение расчету по безмоментной теории с дополнитель¬
ным учетом краевого эффекта, который позволяет удовлетворить всем условиям на
краях оболочки. Однако В. Церна . не рекомендовал применять безмоментную теорию
к расчету оболочек нулевой и особенно отрицательной Гауссовой, кривизны, ввиду ма¬
лой степени затухания краевого эффекта для этих оболочек и вследствие необходи¬
мости большего внимания к правильности постановки граничных условий в задачах,
связанных с решением дифференциальных уравнений гиперболического и параболиче¬
ского типа. В последнем вопросе мы не можем согласиться с проф. В. Церна, кото¬
рому, очевидно, не были известны наши работы по расчету безмоментных пологих обо¬
лочек отрицательной Гауссовой кривизны [1], где указывались способы корректной по¬
становки граничных условий для оболочек любой Гауссовой кривизны.Для расчета пологих оболочек по моментной теории использовались уравнения,
полученные Е. Рейснером [2] и К. Маргерром [3], совпадающие с уравнениямиВ.	3. Власова:y4F—Ehyw — 0, Dy4w + VA^= Я*	0)Здесь w — прогиб по нормали к поверхности оболочки; F—функция Эри для мем¬
бранных напряжений (называемая некоторыми докладчиками функцией Пухера);
h — толщина оболочки; Е — модуль упругости; D—цилиндрическая жесткость обо¬
лочки; q — нормальная к поверхности нагрузка; у4 — бигармонический оператор;
оператор = k2wxx -f kxwyy\ ki и k2 — кривизны оболочки в направлениях осей
хну (эти кривизны в трансляционных оболочках являются главными). СледуяВ.	3. Власову, можно шести разрешающую функцию Ф по формуламw = у4Ф; (2) F — Ehyk<P.	(3)При этом получается одно дифференциальное уравнение восьмого порядкаEh	аУ8Ф + VkVk® = — ■	(4)Для прямоугольных в плане оболочек решение уравнения (1) производится путем
разложения в одинарные или двойные тригонометрические ряды, что может быть при¬
менено лишь при простейших граничных условиях на двух противоположных сто¬
ронах, именноw = 0; Af = 0; Т = 0; е2 = 0,	(5)где МиГ — изгибающий момент и продольные усилия в опертом сечении оболочки;
е2 — удлинения вдоль опертого края. Эти граничные условия соответствуют соедине¬
нию края оболочки с вертикальной диафрагмой, абсолютно жесткой в своей плоскости
и абсолютно гибкой из своей плоскости. Решения задач такого рода ранее были даны
в Советском Союзе, например [4—6].В докладе Апеланда и Попова (Калифорния) «Анализ напряжений в трансляцион¬
ных оболочках» такая задача решается при помоши разложений в одинарные триго¬
нометрические ряды при соблюдении граничных условий (5) на двух противоположных
краях. На других двух краях граничные условия могут быть любые. В частности,
рассматривается случай приложения к одному краю единичного усилия и случай еди¬36
ничного смещения этого края (и, v или до) при бесконечном: удалении противополож¬
ного края. Степень затухания усилий в глубь оболочки иллюстрирована графиками,
полученными на основании числового расчета. Затухание нормальных усилий для: обо¬
лочек отрицательной Гауссовой кривизны оказалось очень малым, тогда как затуха¬
ние моментов примерно одинаково для оболочек положительной и отрицательной Гаус¬
совой кривизны. Это не подтверждает мнение Церна о неприменимости безмоментной
теории к оболочкам отрицательной Гауссовой кривизны.В докладе рассмотрены также оболочки в виде пологого гиперболического пара¬
болоида, опертые по прямоугольному контуру, совпадающему с образующими гипер¬
болического параболоида. Дифференциальные уравнения такой оболочки имеют видV4/7 — 2kEhwxy = 0; DyAw -f- 2kFxy = q.	(6)После введения разрешающей функции по формуламw = у4Ф; F = 2kEh<&xy	(7)система (6) сводится к уравнениюу8Ф + 4Ehk2/D<i>xxyy = qiD.	(8)Решение этого уравнения проведено для граничных условийw = Мхх = Sxy = и = 0 при х = 0 и х = а.Это соответствует мало реальному случаю шарнирного опирания края на абсо¬
лютно жесткую в вертикальном и горизонтальном направлениях опору при отсут¬
ствии трения вдоль линии опирания. Такие граничные условия допускают решение
задачи в одинарных тригонометрических рядах, аналогично рассмотренному выше ос¬
новному случаю опирания.Недостатком решения Апеланда и Попова является использование показательных
функций с комплексными аргументами вместо применения гиперболо-тригонометриче-
ских функций действительного аргумента, что несколько затрудняет его использование.Доклад И. Доганова (ФРГ) посвящен тому же вопросу, но вместо трансляционных
оболочек рассмотрены пологие сферические оболочки, которые являются частным слу¬
чаем первых. Доганов вместо использования разрешающей функции Ф исключает
из уравнения (1) переменную F и получает одно дифференциальное уравнение шестого
порядка для прогибов до. Решение этого уравнения для прямоугольных в плане оболо¬
чек при простейших условиях опирания (5) по двум противоположным* сторонам
опорного контура проводится, так же как и в предыдущей работе, методом одинарных
тригонометрических рядов. Однако общее решение здесь дается в гиперболо-тригоно-
метрических функциях. Кроме того, решение имеет более простой вид, ввиду равен¬
ства обеих кривизн в сферической оболочке.Далее И. Доганов предлагает упрощенное решениеw = w0 (1 — е~~рх cosрх)( 1 — ё~ру cosру),	(9)4 	где р = Ys/R2h2; w0=qR2/Eh; R — радиус оболочки.По мнению докладчика основная часть этого решения(1— е~рх cos рх—cos ру)	(10)точно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению, однако это справед¬
ливо только при условии \т=тъ/а=0.Из выражения (9) получаются формулы для максимальных моментов в оболочке,
которые не внушают доверия, так как при дифференцировании приближенного выра¬
жения (9) ошибки сильно возрастают. Свои формулы И. Доганов, однако, обосновы¬
вает числовым сравнением с точным решением, но только на одном примере.Безмоментной теории расчета пологих оболочек двоякой кривизны были посвя¬
щены два доклада.В докладе Редшоу и Мензье уравнения безмоментной оболочки, решаются на элек¬
трическом приборе, смонтированном для решения уравнения Пуассона. Авторы ис¬
пользуют при этом решение А. Пухера [8], в котором к уравнению Пуассона сведены
уравнения равновесия не только пологой, но и подъемистой оболочки.Прибор для решения уравнения Пуассона, названный авторами потенциальным ана¬
лизатором, состоит из сети сопротивлений, в которой связь между потенциалами от¬
дельных точек выражается конечно-разностными уравнениями, аппроксимирующими
дифференциальное уравнение Пуассона. Подобного рода устройства широко приме¬
няются и у нас для решения задач теплопроводности и т. п. Решение при помощи по¬
тенциального анализатора может быть получено только для оболочек положительной
Гауссовой кривизны. Получено численное решение для оболочки в виде параболоида
вращения прямоугольной и треугольной в плане, а также для прямоугольной в плане
оболочки с прямоугольным же отверстием в центре. Следует сказать, что все эти реше¬
ния справедливы лишь для простейшего случая граничных.условий заданных напря¬
жений на контуре оболочки. При этом прогибы контура оболочки могут не оказаться в
соответствии с условиями опирания, и решение, полученное на базе безмоментной
теории, придется дополнять определением краевого эффекта.37
Интересен доклад П. Чонка (Венгрия), касающийся работы контурного элемента
пологой оболочки. Предполагается, что край оболочки непрерывно оперт на вертикаль¬
ную стенку й ограничен краевой балкой, которая может воспринимать усилия, дей¬
ствующие на нее с оболочки в горизонтальных направлениях. Ось этой балки может
образовывать плоскую или пространственную замкнутую кривую. Задача ставится сле¬
дующим образом: при каких условиях балка, ограничивающая оболочку по контуру
опирания, будет испытывать одни только продольные усилия. Очевидно, что в этом
случае горизонтальная проекция оси балки должна являться веревочной кривой для
горизонтальных усилий, передающихся на балку.Автор доказывает следующие теоремы: 1. Если ось краевой балки представляет
собой веревочную кривую усилий передающихся с оболочки, то значения функции
напряжений F на контуре оболочки должны быть линейной функцией координат х, у.2.	Если значения функции напряжений на контуре оболочки являются линейной функ¬
цией координат х, у, то ось краевой балки представляет собой веревочную кривую
действующих на нее усилий. 3. Если краевая балка оперта по всей длине на верти¬
кальную стенку, которая не воспринимает никаких горизонтальных усилий (нормаль¬
ных к стенке и касательных), то при любой нагрузке на оболочку ось краевой балки
будет веревочной кривой передающихся на нее горизонтальных сил. Третья теорема,
очевидно, является следствием второй, так как при отсутствии нормальных и каса¬
тельных усилий, приложенных к контуру горизонтальной проекции оболочки, функция
напряжений на этом контуре будет равна нулю. Это вытекает из известного правила
нахождения функции напряжений на контуре по силам, приложенным к контуру,
согласно которому функция напряжений на контуре равна изгибающему моменту в
замкнутой раме, совпадающей по очертанию с внешним контуром оболочки, от на¬
грузки приложенной к этому контуру [9]. Так как горизонтальная нагрузка от стенки
на оболочку в случае, предусмотренном теоремой 3, не передается, то, следовательно,
и функция напряжений F на контуре оболочки должна равняться нулю.Теоремой 3 не предусмотрен случай горизонтальных внешних усилий, приложенных
к контуру оболочки. Б этом случае в краевой балке, опертой описанным выше спосо¬
бом на стенку, будут возникать не только продольные усилия, но и горизонтальные
изгибающие моменты.Докладчик не воспользовался сформулированным выше правилом нахождения
функции напряжений на внешнем контуре и доказал свои теоремы непосредственно из
рассмотрения условий равновесия части краевой балки, не испытывающей горизон¬
тального изгиба*Используя это1 правило можно прийти к более общим выводам. Пусть на оболочку
действуют по контуру ее опирания внешние горизонтальные усилия, передающиеся,
например, с опорной стенки. Тогда функцию напряжений по краю оболочки можно
определить, вычисляя от заданной нагрузки эпюру моментов в раме, имеющей вид
контура оболочки. Эта эпюра может быть определена с точностью до эпюры моментов
состояния самонапряжения, т. е. с точностью до линейной функции координат х, у.
Составляя условие равновесия части краевой балки так, как это делает П. Чонка,
можно получить значение функции напряжений, равное моменту в балке от горизон¬
тальной нагрузки плюс линейная функция х, у, т. е. то же самое значение функции
напряжений. Отсюда следует, что при всяком условии опирания края оболочки и
при всякой внешней нагрузке, приложенной к краевой балке, последняя не будет
изгибаться в горизонтальном направлении.Практическое значение доказанного положения велико, так как оно дает возмож¬
ность не беспокоиться о придании жесткости краевой балке в горизонтальном направ¬
лении.Вторая часть доклада П. Чонка посвящена аналогии между расчетами безмомент¬
ной оболочки в виде пологого параболоида вращения на равномерную вертикальную
нагрузку и упругого призматического стержня на чистое кручение. Эта аналогия со*
вершенно очевидна, так как в; обоих случаях задача сводится к одному и тому же
дифференциальному уравнению Пуассона. В частности, автор переносит известное
решение задачи кручения стержня эллиптического сечения на расчет пологой оболочки,
опертой по эллиптическому в плане контуру.2.	Расчет сферических оболочек. Примером нерационального отказа от упрощений,
вытекающих из условия пологости оболочки, может служить расчет покрытия большой
аудитории университета в Гамбурге (докладчик Купфер). Это покрытие, построенное в
1958 г., очерчено по сферической поверхности и имеет в плане вид криволинейного
треугольника со скошенным углом. Длина оболочки по оси симметрии и наибольшая
ширина ее составляют 60 м. Толщина покрытия 13 см. Относительно большая толщина
оболочки в значительной мере была вызвана стремлением обезопасить оболочку от
потери устойчивости. Стрела подъема поверхности оболочки составляет всего 7,4 м.
Оболочка рассчитывалась по безмоментной теории как сфера, подверженная действию
равномерно распределенной вертикальной нагрузки и реакций по линиям опирания
оболочки.Основная трудность заключалась в удовлетворении статических граничных условий
по линиям опирания, где не могли возникать горизонтальные усилия, нормальные к
опорному контуру. Задача решалась путем комбинации осесимметричного состояния38
напряжений, удовлетворяющего дифференциальным уравнениям равновесия оболочки
при наличии нагрузки, и нескольких несимметричных состояний напряжений, отвечаю¬
щих нулевой нагрузке, представляющих собой первые члены разложения напряженного
состояния в тригонометрический ряд по параллелям сферы. Условия на краях оболочки
выполнялись приближенно, при помощи решения системы линейных уравнений, обра¬
щающих в минимум квадрат отклонения от нуля горизонтальных нормальных напря¬
жений по контуру оболочки. Следует сказать, что несимметричные единичные состоя¬
ния, использованные в расчете, соответствовали наличию особенностей в полюсе обо-
лочки. Это вызывает сомнение в корректности проведенного расчета.Модель оболочки испытывалась в Мюнхенской высшей технической школе, причем
были получены некоторые расхождения в усилиях по краям оболочки.Расчету замкнутых сферических оболочек был посвящен доклад Туса и Кенеди
(Шотландия). Подобного рода оболочки применяются в конструкциях атомных реак¬
торов. Предлагаемые методы в равной степени применимы и к незамкнутым сфериче¬
ским оболочкам, имеющим ось симметрии. Докладчиками рассмотрены сосредоточен¬
ные воздействия в виде сосредоточенного касательного усилия и сосредоточенного кру¬
тящего момента, приложенных в полюсе сферической оболочки.При сосредоточенном касательном усилии оболочка в окрестностях приложения
внешней силы заменяется плоской пластинкой, затем используется известное решение
плоской задачи теории упругости о действии сосредоточенной силы на бесконечную
плоскость. Предполагается при этом, что искривление сферы не слишком искажает
результаты решения плоской задачи. Понятно, что напряженное состояние оболочки
получается по этому расчету безмоментным.В случае приложения сосредоточенного крутящего момента задача решается эле¬
ментарно из условия равновесия части сферы, ограниченной параллелью.Оба эти решения используются затем для построения линий влияния усилий в за¬
висимости от перемещения точки приложения усилий по оболочке. Это обусловлено
точечной симметрией замкнутой сферы, а для незамкнутой сферы справедливо, если
зона значительных внутренних напряжений, вызванных сосредоточенным воздействием,
не доходит до краев оболочки.Далее рассматривается случай сопряжения сферической оболочки с цилиндрическим
люком, причем принимается условие отсутствия удлинений вдачь границы люка, и ре¬
шается при этом условии плоская задача теории упругости в полярных координатах.Полученные решения сопоставлены с экспериментальными данными.3.	Расчет цилиндрических оболочек. Расчет цилиндрических сводов-оболочек сред¬
ней и большой длины давно уже считается хорошо разработанным и здесь трудно
ожидать чего-либо существенно нового. В представленных на коллоквиуме докладах
рассматривались возможные упрощения расчета. Показательна работа И. Беннетта
(Великобритания) «Эмпирический расчет симметричных цилиндричеюмих оболочек». Ав¬
тор произвел свыше 250 расчетов цилиндрических сводов-оболочек различных размеров
точным методом (Шорера) и попытался выразить результаты в виде простых эмпи¬
рических формул. Большая часть расчетов была произведена .для объектов, которые
были возведены. Анализу были подвергнуты три типа оболочек: 1) средняя волна
многоволновой цилиндрической оболочки без вертикальных усилений вдоль ендов;
2) то же, но с вертикальными бортовыми элементами вдоль ендов и 3) крайняя волна
многоволновой оболочки с поддерживающей вертикальной балкой. Нагрузка предпо¬
лагалась симметричной, равномерно распределенной по пролету. Очертание дуги по¬
перечного сечения оболочки принималось по кругу.Для упрощенного расчета определялось плечо пары внутренних сил в среднем се¬
чении оболочки путем деления изгибающего момента в среднем сечении оболочки на
вычисленную при помощи точного расчета равнодействующую всех растягивающих
продольных напряжений в этом сечении. Оказалось, что для оболочек с различными
соотношениями радиуса к ширине и пролету плечо пары внутренних сил z довольно
точно может быть выражено (для средних волн оболочки)- формулой z=0J2y,
где у — полная высота сечения оболочки, включая бортовой элемент. Для крайней
волны оболочки автор предлагает формулу z=0,86*/, где у — высота сечения оболочки
без учета бортового элемента. Таким образом, для первых двух типов оболочки
дается эмпирическая формула2Г, = qlV8-0,72*,где 2Г1 — равнодействующая растягивающих или сжимающих напряжений в среднем
сечении оболочки.Далее автор приводит формулу2$ = ?//0,53<|>,где 2S — суммарное сдвигающее усилие в половине сечения оболочки; <р — половина
центрального угла дуги сечения оболочки, выраженная в радианах. Для максимального
сдвигающего усилия, максимального поперечного изгибающего момента поперечной
нормальной силы предложены формулыSmax = 427’*//; Mt~Z-lQ-*g4/g, T^l,2gRVVg,где g — вес оболочки (без утолщения в ендове) в фунтах на 1 кв. фут; R — радиус
дуги оболочки.ЗУ
Следует сказать, что не во всех формулах автора выдержана одинаковая размер¬
ность обеих частей равенства, поэтому эти формулы справедливы лишь при условии
применения английской системы мер и весов.Точность эмпирических формул гарантирует, как правило, ошибку не свыше 5%,
за исключением особых случаев, оговоренных автором.Эмпирические формулы дают возможность очень быстро рассчитывать своды-обо¬
лочки* конечно, вполне определенного типа, изученного предварительно/ точными рас¬
четами. Такой метод очень хорош при массовом проектировании сводов оболочек. Для
нашей практики вряд ли можно непосредственно использовать формулы И. Беннетта,
так как наши оболочки могут существенно отличаться • от применяемых в Англии,
вследствие разницы в нагрузках и марках материалов. Однако принцип составления
эмпирических расчетных формул, примененный Беннеттом, заслуживает внимания. Ра¬
боты И. Беннетта были опубликованы в 1959 г. [10].Такой же эмпирический мрактер носил доклад индийских ученых: Рамасвами,
Рамайаха и Тамканкара «Приближенный расчет цилиндрических оболочек как1 склад¬
чатых конструкций». Эти авторы произвели ряд расчетов цилиндрических сводов обо¬
лочек при помощи замены их призматическими многогранными складками. Такой путь
не нов, на нем основаны почти все практические методы расчета сводов оболочек в
известных работах В. 3. Власова, П. Л. Пастернака и др. Докладчики пользуются
более поздними работами на эту тему Г. Симпсона [11] и К. Уитнея [12]. Докладчики
ставили цель установить необходимое количество пластинок, на которое требуется
разбить криволинейную оболочку при ее расчете, чтобы точность расчета была доста¬
точной. Ими было выяснено, что разбивка на восемь пластин дает вполне удовлетво¬
рительные результаты в случае оболочек средней длины; для коротких же оболочек
требуется разделение на большее число пластинок.Следует сказать, что аналогичное исследование было проведено еще в 1938 г. в
ЦНИИПСе В. С. Булгаковым.В докладе В. Фуксштейнера (ФРГ) излагаются приемы приближенного расчета
пересекающихся цилиндрических оболочек. Докладчик задается приближенным распре¬
делением поперечных изгибающих моментов в виде алгебраического полинома угло¬
вой координаты так, чтобы удовлетворялись краевые условия. Вдоль образующей
функция поперечных моментов считается постоянной. Из простейших условий равно¬
весия определяются поперечные силы, нормальные и сдвигающие усилия, причем
последние после интегрирования получают множитель, зависящий от координаты х,
отсчитываемой вдоль образующей. Затем путем интегрирования уравнений деформа¬
ций определяются перемещения в виде функций обеих координат. В статически неопре¬
делимых задачах коэффициенты исходного полинома получаются с учетом условий де¬
формаций по краям и по линиям сопряжений пересекающихся оболочек. Автор решает
задачи о пересечении цилиндров с параллельными осями (применительно к задачамо	расчете силосов), о расчете крестового свода и т. п. К сожалению метод автора не
имеет оценки погрешности. Работы автора, кратко изложенные в его докладе, опубли¬
кованы в 1960 г. [13].Расчету призматических складок был посвящен доклад Борна (ФРГ). Этот доклад
в основном носил обзорный характер. Автор приводит известные уравнения безмомент¬
ной теории складок в двух модификациях. Эти уравнения были выведены Крамером и
Элерсом еще в 1929 г. По моментной теории складок дается только беглый обзор ли¬
тературы, главным образом немецкой. Уделяется внимание переведенной на немецкий
язык книге В. 3. Власова и некоторым работам, немецких ученых, использовавших ме¬
тод В. 3. Власова. Даются некоторые ссылки на работы по расчету складок с учетом
их пластической работы.4.	Оболочки различного очертания. Два доклада были посвящены расчету кониче¬
ских оболочек. В докладе Нэша (США) изложено решение осесимметричной задачи
конической оболочки с переменной толщиной стенки. Толщина стенки изменяется про¬
порционально расстоянию от вершины конуса. Данная задача решается по моментнок
теории и сводится к линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка
с переменными коэффициентами типа Эйлера. Это уравнение, как известно, решается в
элементарных функциях. Даны выражения для внутренних усилий в случае отсутствия
поверхностной нагрузки с точностью до произвольных постоянных, которые должны
определяться из граничных условий. Ввиду сложности полученных выражений работ;
пока не может считаться доведенной до практического применения.В докладе Медвадовского (США) рассматривалась пологая коническая оболочка
опертая по трапецеидальному в плане контуру, очерченному двумя образующими \.
двумя поперечными сечениями конуса. Докладчик вводит комплексную функцию F, дей¬
ствительной частью которой является прогиб до, а мнимой частью — величина, пропор¬
циональная функциям напряжении ф. Дифференциальное уравнение для функции Г
имеет много членов и переменные коэффициенты. Автор упрощает его, отбрасывая все
члены, кроме двух, считая: производные по х малыми по сравнению с производными
по у. Полученное двучленное уравнение допускает разделение переменных и решается
в функциях Бесселя первого порядка. Это решение имеет достаточную точность при
малом угле наклона поверхности конуса к его оси (меньше 30°), причем оболочка
должна быть достаточно длинной вдоль образующей конуса. В работе приведены чис¬
ленные результаты расчетов, проделанных по предлагаемому методу.40
41Обширная работа Борна (ФРГ) посвящена расчету пирамидальных складок мето-
дами технической теории упругости. В основу автор кладет расчет треугольной пла¬
стинки, которая может воспринимать усилия, действующие в ее плоскости, но обла¬
дает очень малым сопротивлением изгибу и кручению. Автор ограничивается пла¬
стинками с достаточно острым углом в вершине. Отдельную треугольную пластинку в
ее плоскости он рассчитывает как балку переменного сечения или по формулам плос¬
кой задачи теории упругости для клина. Далее Борн рассматривает симметричную
двойную пирамидальную складку, составленную из двух треугольных пластинок, со¬
пряженных под углом друг к другу вдоль боковых сторон; складка считается заде¬
ланной где-то вдали от вершины. Расчет такой системы производится путем простого
разложения внешних сил по плоскостям треугольных пластинок. Следующим этапом
является рассмотрение систем, составленных из двух двойных складок, причем автор
ограничивается случаем статически определимых закреплений и применяет снова про¬
странственное разложение внешних сил. Наконец, комбинируя рассмотренные системы,
он приходит к конструкции складчатого пирамидального купола своеобразной формы
и к пирамидальным складкам. Рассматриваются также иные пространственные фор¬
мы, например звездчатые, аналог крестового свода с плоскими гранями и т. п.
Работа Борна опубликована в его книге [14], а также в справочнике «Бетонкален-
дер» [15].5.	Расчет оболочек на устойчивость и по предельному равновесию. В обзорном
докладе проф. В. Ольшака на пятом заседании коллоквиума было высказано сожа¬
ление о том, что вопросы устойчивости на данном коллоквиуме представлены очень
малым числом докладов. В равной степени следует сожалеть и о малом количестве со¬
общений, относящихся к определению несущей способности оболочки и, в частности,
к расчету их по методу предельного равновесия.По вопросам устойчивости оболочек были зачитаны два доклада. В докладе Бор¬
сука (Польша) решалась задача о потере устойчивости осесимметричной цилиндриче¬
ской оболочки, нагруженной продольными силами. Толщина оболочки считалась пере¬
менной, причем изменение толщины вдоль длины оболочки предполагалось слабым.
Допускались несимметричные формы потери устойчивости. Задача решалась в линей¬
ной постановке, т. е. в предположении малости прогибов оболочки по сравнению с ее
толщиной. Для решения задачи автор выделяет из оболочки продольную полоску
шириной Ь, предполагая, что на этой ширине линия прогибов образует одну полу¬
волну синусоиды. Дифференциальное уравнение равновесия полоски написано в виде—~2w"^j + Pw" + ът = 0.	(а)Здесь Р — продольная сила, приходящаяся на полоску; / — ее момент инерции:/ Ь* h2 \I^bhl	+ —	(б)^ 720г2 ^ 12 /	к ,г — радиус срединной поверхности оболочки; v — коэффициент Пуассона; Ef—
модуль упругости в продольном направлении, который может приниматься равным
касательному модулю, согласно концепции Шенли;Eh3 .«»X =		(в )б (1 — v2) Ъъ 'где Е — модуль упругости в поперечном направлении, который не зависит от нагрузки
Р; w — максимальный по ширине оболочки прогиб ее поверхности.Далее автор заменяет переменную толщину h средней толщиной h= — Г hdxI	ои получает уравнение с постоянными коэффициентами 0:	•—■ w{4 -f Pw" + nw = 0.	(г)1 — V2Это уравнение он решает обычным способом при граничных условиях w(Q)=w(l)=
=w"(0)=w"(l)=0. Полученное критическое значение Р приравнивается минимуму
путем варьирования числа полуволн прогиба вдоль длины оболочки; наконец, выра¬
жая среднюю толщину оболочки в видеА-Л0(1+^).	(Д)
где h0 — максимальная толщина; \xF — малый параметр, автор исключает из полу¬
ченного выражения для Р члены, содержащие рР в степени, большей единицы, и по¬
лучает сравнительно простое выражение 	** + (в)
КР 3 0 — V2)- 120 тс г
По данному решению можно сделать следующие замечания: 1. Неправильно принимать
момент инерции полоски по формуле (б), учитывающей начальное искривление по
дуге поперечного сечения, так как при выпучивании поперечное сечение полоски не
смещается поступательно, а края ее остаются на месте. 2. При конечной ширине по¬
лоски в коэффициент отпорности * должен входить центральный угол дуги Ъ. Дей¬
ствительно, выражение (в) представляет собой сумму поперечных сил по краям по¬
лоски при единичном прогибе, в то время как следует брать проекцию этих попереч¬
ных сил на среднее радиальное направление. 3. Нет смысла производить разложение
по малому параметру , так как проще h0 заменить непосредственно через h, ко¬
торое легко вычисляется. 4. Самое главное, что критическая сила, определенная на
основе линейного уравнения (г), получается, как известно, значительно выше истинной
критической силы, определяемой из эксперимента и соответствующей решению нели¬
нейной задачи устойчивости с учетом конечных перемещений [16, 17].Доклад Лу и Нэша (США) относится к нелинейной теории устойчивости оболочек.
Рассматривается устойчивость цилиндрической оболочки на сплошном упругом осно¬
вании под действием продольной нагрузки и чистого изгиба. Задача решается обычным
способом на основе уравнений Т. Кармана и X. Тзиня [16]. Аппроксимирующие функ¬
ции для прогибов w и функции напряжений F задаются в виде
, , . тх ns	2тх , 2nsw = 01+00 COS	 COS	 + Ь3 COS	1- 0, COS 	112	R	R T 3	R -r	R_ , a	mx ns	2mx 2ns	2mx	2nsr— —— an cos —cos — + a92 cos —— cos —4- a50 cos	+ д09 cos —,£2	R R 22 R R	R	Rгде a—продольное сжимающее напряжение; m и n — числа полуволн форм выпучи¬
вания в продольном и поперечном направлениях. Далее применяется метод Галеркина,
при помощи которого вначале коэффициенты ап, а22, Яго выражаются через коэффи¬
циенты Ь2 и &з- Затем из второй группы уравнений Галеркина получается система не¬
линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов, из которой мож¬
но выразить критическое напряжение в функции одного только параметра перемещений
Ьъ. Это выражение дифференцируется по числу полуволн выпучивания и находится
форма выпучивания, соответствующая нижнему критическому напряжению.Задачи о выпучивании при чистом изгибе решаются аналогично, но аппроксими¬
рующие функции имеют видJ S\\t тх ns , , 2тх , 2/15]®=6,+ cos21 —j\Ьг cos — cos — 4- b3 cos — + Ьг cos —I_ 5	mx ns	2 mx 2 nsF = QhR cos — + alx cos —— cos — + a22 cos	cos — +R	R R 22 R R2	mx	2ns~v &2o c°s R “i" #02 R »где <5b—краевое напряжение изгиба.Докладчиками построены графики зависимости критических напряжений в функции
коэффициента постели оболочки для случая выпучивания оболочки квадратными па¬
нелями и панелями с соотношением сторон 1 : 0,707. Эти графики построены для
безразмерных величин $R*/Eh (Р—коэффициент постели) , aR/Eh и <3bR/Eh.
Полностью зависимость критических напряжений от соотношения т/п (сторон панелей
выпучивания) не выявлена, поэтому работа не может считаться доведенной до конца,
изображенные на графиках критические напряжения не являются минимальными и
требуется вычисление их для ряда других значений т/п.Доклад А. Савчука и В. Олыыака (Польша) был посвящен расчету цилиндрических
осесимметричных оболочек методом теории пластичности. Докладчики справедливо
указывают на большое значение расчетов оболочек за пределом упругости, так как
только с помощью их может быть определена расчетным путем действительная несу¬
щая способность оболочки. Как известно, впервые эта задача была поставлена и ре¬
шена А. А. Ильюшиным [18], о чем докладчики не упоминают и автором строгой
постановки задачи считают только В. Прагера [19]. Отличие работы докладчиков
от других аналогичных работ заключается в принятии ими условий текучести, обра¬
зующих в координатах alt a2 квадрат, центр которого не совпадает с началом коор¬
динат. Такие условия текучести принимаются обычно для железобетонных пластинок,
одинаково армированных в обоих направлениях, и позволяют учитывать различную
работу материала на сжатие и растяжение.Предполагая продольные напряжения равными нулю авторы выводят конечное
соотношение между продольным изгибающим моментом и кольцевой нормальной
силой в предельном состоянии элемента оболочки. При этом учитывается возможность
наличия арматуры в кольцевом и продольном направлениях.Авторы доказывают, что при принятых ими условиях текучести форма разрушения
оболочки должна быть конической с кольцевыми шарнирами текучести. При этом
уравнения равновесия дают возможность определить распределение внутренних уси¬
лий по всей зоне пластических деформаций.Докладчики подробно рассматривают задачу о предельном равновесии цилиндри¬
ческого железобетонного резервуара, находящегося под действием внутренней гидро¬
статической нагрузки. Выявлены три формы разрушения: 1) с одним кольцевым шар¬42
ниром текучести у сопряжения стенки с днищем; 2) с двумя кольцевыми шарнирами
текучести, причем в верхней зоне наклон эпюры прогибов имеет противоположный
знак и перемещение верхнего конца стенки происходит внутрь резервуара; 3) с тремя
кольцевыми шарнирами текучести в нижней части резервуара, причем в верхней части
стенки не происходит пластических деформаций. Последняя форма разрушения воз¬
можна только в относительно высоких резервуарах. В результатах исследования при¬
веден график зависимости предельной нагрузки от c2=L2/Rh, где L — высота резер¬
вуара; R — его радиус; h — толщина стенки. Для малых с2 минимальное значение
разрушающей нагрузки дает первая форма разрушения, при средних значениях с2, за¬
ключающихся в пределах 18<с2< 112, решающей является вторая форма разрушения
и для больших с2 — третья форма.Вопросу предельного равновесия пологих оболочек был посвящен доклад автора
настоящей статьи [20—21].6.	Общие замечания. Проведенный коллоквиум показал уровень исследований и
практических методов расчетов оболочек в разных странах. Можно видеть, что этот
уровень не превышает достигнутого в СССР. Необходимо отметить ряд ценных сооб¬
щений из числа описанных выше, к которым, по нашему мнению, следует отнести
доклад А. Савчука и В. Олыиака «Метод предельного равновесия в расчете железобе¬
тонных резервуаров», доклад Нэша «Приближенный анализ осесимметричной дефор¬
мации конических .оболочек переменной толщины», доклады И. Беннетта «Эмпирический
расчет симметричных цилиндрических оболочек», В. Фуюсштейнера «Упрощенный рас¬
чет сопряженных цилиндрических оболочек» и Борна «О расчете пирамидальных
складок по технической теории упругости». Отдельные ценные результаты имеются
и во многих других^докладах.ЛИТЕРАТУРА1.	А. Р. Ржаницын. Безмоментная теория пологих оболочек. Сб. «Расчет про¬
странственных конструкций», вып. III, Госстройиздат, 1955.2.	Е. R е i s s п е г. On some aspects of the theory of thin elastic shells. «Journal
of the Boston Society of Civil Engineers», 1955.3.	К. Marguerre. Zur Theorie der gekriimmten Platte grosser Formanderung.
«Proceedings of the Fifth International Congress for Applied Mechanics», 1938.4.	Б. С. Васильков и И. E. Милейковский. Расчет покрытий и перекры¬
тий из пологих выпуклых оболочек двоякой кривизны- Сб. «Экспериментальные и
теоретические исследования тонкостенных пространственных конструкций». Госстрой-
нздат, 1952.5.	В. В. Диков ич. Пологие прямоугольные в плане оболочки вращения. Гос¬
стройиздат, 1960.6.	А. С. К а л м а н о к. Расчет прямоугольных вспарушенных пластинок, как обо¬
лочек двоякой кривизны. Сб. «Расчет пространственных конструкций», вып. IV, Гос¬
стройиздат, 1958.7.	W. S. Wlassow. Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendungi in der Technik
Akademie—Verlag, .Berlin, 1958.8.	A. Pucher. Uber den Spannungiszustand in .gekrummten Flacher, «Beton und
Eisen» № 33, 1934.9.	П. Ф. Папкович. Теория упругости. Оборонгиз, 1938.10.	J. D. Ben nett.Some recent developments in the design of reinforced concrete
shell roofs. «Reinforced Concrete Review», march, 1959*11.	H. Simpson. Design of folded plate roofs. Journal of Structures Division of
ASCEj june, 1958.12.	C. S. Whitney, Anderson and Birmbaum. Reinforced concrete folded
plate construction. Journal of Structures Division of ASCE, oktober, 1959.13.	W. Fu ch s s t e i n e r. Kreiszylinderschalen Berechnung mit Polynomen. «Beton
und Stahlbetonbau» № 5, I960.14.	Born- Faltwerke, ihre Theorie und Berechnung, Stuttglart, 1954, Verlag Konrad
VVittwer.15.	Born. Faltwerke, Betonkalender, 1955, 1956 oder 1959, Verlag Wilh. Ernst
und Sohn, Berlin.	.16.	Т. К arm an, H. Tsien. The buckling of thin cylindrical shells under axial
compression, J. Aeronautical Sciences, v. 8, 1941.'17. А. С. Вольмир. Гибкие пластинки и оболочки. Гостехтеоретиздат, 1956.18.	А. А. Ильюшин. Пластичность. Гостехтеоретиздат, 1948.19.	W. Praper. General theory of limit desigin. Proc. 8th Con.gr. of Applied
Mech., 1952, 2, 65—72/1955.20.	A. P. Ржаницын. Расчет пологих оболочек методом предельного равнове¬
сия. «Строительная механика и расчет сооружений» № 1, 1959.21.	А. Р. Ржаницын. Пологие оболочки и волнистые настилы. Научное сооб¬
щение ЦНИИСКа.АСиА СССР № 14. Госстройиздат, 1961.
ИнформацияСовещание комиссии МСС по основным инженерным
требованиям к надежности сооруженийАкадемия строительства и архитектуры СССР принимает активное участие в ра¬
боте Международного Совета по строительству (МСС) и его Комиссии по основным
инженерным требованиям к надежности сооружений.В 1960 г. по решению исполкома МСС для руководства работой Комиссии при
АСиА СССР был образован постоянный Секретариат в составе действ, чл. АСиА
СССР проф. Н. С. Стрелецкого (председатель), действ, чл. АСиА СССР проф.А.	А. Гвоздева и кандидатов техн. наук В. Г. Писчикова, К. Э. Таля и В. А. Отстав-
нова (ученый секретарь).В 1961 г. Секретариатом было подготовлено очередное совещание Комиссии, кото¬
рое состоялось в Варшаве и было посвящено организационным вопросам, утвержде¬
нию статуса Комиссии, ее состава и плана работы на ближайшие годы.В соответствии с принятым планом работы Комиссия должна была организовать
исследования и разработать рекомендации по следующим проблемам: 1. Регламента¬
ция нагрузок для жилых, общественных и промышленных зданий (докл. проф.Н.	С. Стрелецкий, СССР). 2. Обобщение статистических данных по изменчивости
свойств строительных материалов (докл. проф. X. Рюш, ФРГ, А проф. Вержбицкий,
ПНР). 3. Совершенствование системы параметров, вводимых в расчет для обеспечения
надежности сооружений (докл. доктор Томас, Англия). 4. Выявление различий между
действительным поведением конструкций и расчетными предпосылками. 5. Сбор и ана¬
лиз данных о дефектах и авариях строительных конструкций (докл. проф. А. А. Гвоз¬
дев и проф. А. А. Шишкин, СССР). 6. Долговечность строительных конструкций
(докл. проф. К. Грубан, Чехословакия). 7. Максимально допустимые упругие и оста¬
точные перемещения конструкций (докл. инж. М. Матес, Франция).В октябре 1962 г. в Париже состоялось следующее совещание Комиссии, в котором
также приняли участие представители Европейского комитета по бетону.Проф. Н. С. Стрелецкий выступил с предложением унификации временных нагру¬
зок на перекрытия жилых и общественных зданий различного назначения [1]. В до¬
кладе были проанализированы нормы временных нагрузок 25 стран, используемые при
расчете несущих конструкций жилых и общественных зданий, а также результаты
некоторых обследований, устанавливающих фактические нагрузки. На основе рассмот¬
рения и сопоставления нагрузок на перекрытия (с учетом различия в коэффициентах
безопасности, применяемых в разных странах) даны предложения по наиболее ра¬
циональным значениям нагрузок для разных зданий. В качестве основы унификации
временных нагрузок предложен- модульный# ряд, обширная номенклатура нагрузок
объединена в 14 групп.Предложения по модульной градации нагрузок и их номенклатуре были одобрены
совещанием. Вместе с тем на совещании выяснились разные подходы к определению
нормируемых нагрузок, и поэтому было рекомендовано дополнительно рассмотреть
эти вопросы и в первую очередь применяемую в разных странах терминологию.В докладе проф. X. Рюша (ФРГ) были обобщены полученные им некоторые ста¬
тистические данные по прочности бетонов, а также существующие методы контроля
качества бетонов. По его мнению, статистические данные из иностранной практики
указывают на значительное уменьшение изменчивости прочности бетона с увеличением
его марки. Автор приходит также к выводу, что изменчивость прочности как характе¬
ристику свойств бетона целесообразно заменить стандартным отклонением. В докладе
отмечается малое влияние внутрипробной изменчивости и предлагается в дальнейшем
не считаться с ней. Рекомендуется также перейти от контроля прочности бетона пу¬
тем испытания образцов (кубов) до разрушения к непрерывному контролю водоце¬
ментного отношения при изготовлении бетона.При обсуждении была отмечена актуальность доклада и целесообразность даль¬
нейшей разработки темы, вместе с тем по некоторым его положениям были высказаны
критические замечания.Д-р С. Соретц (Австрия) выступил с предложениями по классификации деформаций
(перемещений) конструкций. Деформации разделены на две большие группы: влияю¬
щие на надежность конструкций и не влияющие. В докладе отмечалось, что деформа¬
ции первой группы обычно учитываются непосредственно в расчетах строительных кон¬
струкций, и поэтому разработки особых рекомендаций по этому вопросу не требуется.
Наибольший практический интерес представляет изучение деформаций второй группы,
поскольку ограничение данных деформаций в настоящее время весьма слабо обосно¬
вано. Деформации, не влияющие на надежность (устойчивость) конструкций, разде¬
лены в докладе на четыре подгруппы: деформации, определяющие только внешний вид
или зрительное впечатление (психологическое или эстетическое воздействие); дефор¬
мации, которые могут вызвать повреждения в других, смежных конструкциях (на¬44
пример, деформации конструкций перекрытия, вызывающие трещины в перегородках);
деформации, влияющие на устойчивость (надежность) других конструктивных эле¬
ментов (например, вследствие изменения статической схемы); деформации, влияющие
на эксплуатационные свойства конструкций.При обсуждении предложенной д-ром Соретцом классификации деформаций было
высказано единодушное мнение, что она важна для дальнейших исследований, конеч¬
ной целью которых должно явиться обоснованное нормирование предельно-допустимых
деформаций.В докладе К. Э. Таля [2] были намечены основные пути дальнейшего совершен¬
ствования системы расчетных коэффициентов, обеспечивающих надежность соору¬
жений. Доклад К. Э. Таля вызвал оживленную дискуссию. В выступлениях выясни¬
лось, что взгляды участников совещания по обсуждаемой проблеме достаточно близ¬
ки. Было отмечено, что число вводимых в расчет факторов надежности не должно
быть слишком большим, желательно не более трех. Нашло одобрение предложение о
целесообразности снижения «волевых» факторов запаса. Большинство выступавших
отметило вместе с тем, что на современном уровне знаний исключить «волевые»
факторы не удастся.Сопоставляя некоторые из рассмотренных в докладе систем факторов надежности,
доктор Томас (Англия) предложил отказаться от учета слишком малых или больших
значений вероятности отдельных факторов (один или три стандарта). Он полагает,
что расчетные значения тех или иных характеристик наиболее целесообразно опреде¬
лять величиной близкой к двум стандартам. Большинство участников высказало мне¬
ние, что в настоящее время невозможно установить систему факторов безопасности
полностью на основе математической статистики. В выступлениях было отмечено так¬
же, что при статистической обработке экспериментальных данных необходимо, там где
это возможно, учитывать фактор времени.На основе дискуссии по докладу К. Э. Таля совещание приняло план работы на
ближайшее время по этой весьма важной теме.В докладе проф. К. Грубана (Чехословакия) «Расчетные мероприятия к обеспече¬
нию требований долговечности строительных конструкций» были затронуты вопросы
об учете времени (длительности эксплуатации) в расчете конструкций, путем введения
в расчетные сопротивления ряда коэффициентов. Проф. К. Грубан предложил разли¬
чать три класса сооружений в зависимости от длительности эксплуатации и вероятности
появления неблагоприятных сочетаний расчетных факторов. Меньшую опасность соче¬
таний неблагоприятных факторов при уменьшении долговечности предлагается учиты¬
вать специальным коэффициентом. В соответствии с условиями эксплуатации конструк¬
ций, защищенных от агрессивной среды или открытых, предлагается ввести вторую
систему понижающих или повышающих коэффициентов, учитывающих опасность агрес¬
сии. Кроме того, была предложена третья система коэффициентов, характеризующих
изменение свойств материалов во времени.При рассмотрении доклада проф. К. Грубана было отмечено, что предложенный ме¬
тод учета условий эксплуатации и долговечности сооружений специальными коэффи¬
циентами, принадлежащими к категории коэффициентов условий работы, в принципе
возможен. Однако в этом случае основной фактор — срок службы сооружения —
назначается умозрительно и не учитывается, что долговечность сооружений является
технико-экономической категорией, непосредственно связанной с эксплуатационными
расходами и величиной расходов на ремонт [3]. По предложению советской делегации
на совещании было признано целесообразным развить в дальнейшем исследования,
касающиеся связи долговечности с технико-экономическими факторами.На совещании Комиссии были обсуждены также предварительные предложенияо	методике сбора и обобщения данных об авариях конструкций, подготовленные проф.
А. А. Гвоздевым. Совещание отметило значительные трудности в сборе необходимой
информации о дефектах и авариях строительных конструкций, но вместе с тем при¬
знало важность изучения проблемы.Комиссия учредила подкомиссию «Несущие стены» по вопросам надежности несу¬
щих стен. На ее первом заседании был избран председатель (проф. Гранхольм, Шве¬
ция), заместитель председателя (чл.-корр. АСиА СССР С. А. Семенцов, СССР) и
принят план работы, предусматривающий исследования в области надежности несу¬
щих стен. На совещании подкомиссии был заслушан ряд научных сообщений, в том
числе три сообщения, подготовленные АСиА СССР.Участники совещания обсудили возможные формы сотрудничества с другими меж¬
дународными организациями, занимающимися вопросами надежности сооружений.В.	А. ОтставноеЛИТЕРАТУРА1.	Н. С. Стрелецкий, В. А. Отстав но в, И. А. Белышев. Сопоставление
полезных нагрузок разных стран для жилых и общественных зданий и сооружений.
Рекомендуемые значения полезных нагрузок. Труды ЦНИИСКа, «Методика опреде¬
ления нагрузок на здания и сооружения». Госстройиздат, 1963.2.	К. Э. Т а л ь. Пути дальнейшего совершенствования основных параметров запаса
надежности сооружений. «Известия АСиА СССР» № 4, Госстройиздат, 1962.3.	Н. С. Стрелецкий. О повышении капитальности металлических конструкций.
«Известия АСиА СССР» № 4, Госстройиздат, 1962.
Критика и библиографияО КРИТИКЕ ГИПОТЕЗЫ Е. С. СОРОКИНА В КНИГЕ«ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЗДАНИЙ В СЕЙСМИЧЕСКИХРАЙОНАХ»Госстройиздат, 1961,В названной книге, в главах II и IV (автор И. JI. Корчинский), содержится не¬
правильное освещение комплексной гипотезы внутреннего неупругого сопротивления
(внутреннего трения), предложенной в лаборатории динамики ЦНИИСКа Е. С. Со¬
рокиным и называемой в литературе гипотезой Сорокина. Эта гипотеза была поло¬
жена в основу действующей инструкции по динамическому расчету зданий (И 200—54,
Госстройиздат) и широко применяется в отечественной и зарубежной литературе по
динамике конструкций; поэтому ее искажение может принести вред, создав у инже-
неров-проектировщиков ошибочное представление о неверности физических предпосы¬
лок, положенных в основу инструкции И 200—54.Изложим кратко сущность гипотезы Е. С. Сорокина и рассмотрим критические
замечания И. JI. Корчинского. Гипотеза внутреннего трения в комплексной форме в
общем нелинейном случае записывается в работах Е. С. Сорокина в виде°* = £.[1+'т(е»)]£*>	(!)где а* и £* — переменные во времени циклические комплексные напряжения и от¬
носительная деформация; Е0 — модуль упругости; е0 — амплитуда деформации; i —
мнимая единица; 7(е0)— коэффициент внутреннего трения, зависящий от амплитуды
деформации.В ряде работ Е. С. Сорокина аналитически аппроксимированы различные нели¬
нейные зависимости 7(?0)> известные из опытов, и получены соответствующие реше¬
ния ряда динамических задач с учетом такого нелинейного затухания. Физическая
интерпретация выражения (1) наиболее кратко выражается так: вектор деформации
отстает от вектора напряжения на угол, равный практически коэффициенту внутрен¬
него трения.Для многих строительных материалов, как показывает опыт, в достаточно широ¬
ком диапазоне напряжений можно приближенно принять, что 7=const, т. е. считать
коэффициент внутреннего трения не зависящим от амплитуды деформации. Это позво¬
лило при разработке инструкции И 200—54 приближенно оценить влияние величины
возникающих при колебаниях напряжений и деформаций на величину коэффициента
внутреннего трения, а именно, было принято, что коэффициент 7 при действии ма¬
шин I и II категории динамичности (малая и средняя динамичность) вдвое меньше,
чем при действии машин III и IV категории динамичности (большая и очень большая
динамичность).Из выражения (1) вытекает также, что сила затухания (или сила неупругого со¬
противления) отстает по фазе от упругой силы на угол тс /2, а ее амплитуда численно
равна произведению амплитуды упругой силы на коэффициент внутреннего трения 7.Из .этого не следует, что сила затухания пропорциональна упругой силе, посколь¬
ку пропорциональность комплексных величин при мнимом коэффициенте пропорцио¬
нальности еще не означает пропорциональности их вещественных величин. Так, на¬
пример, как показывает Е. С. Сорокин, даже для случая гармонической деформации
зависимость между вещественной силой затухания R и вещественной упругой силой
S имеет явно нелинейный характер:*=1(S0)S0-|/1 -S'/Si	(2)где S0 — амплитуда упругой силы.Отсюда видно также, что амплитуда силы затухания ^о=1(^о) So в общем
случае не пропорциональна амплитуде упругой силы; эта пропорциональность имеет
место только для тех материалов и тех диапазонов напряжений, для которых можно
считать 7 = const.Заслугой Е. С. Сорокина является не то, что он предложил указанную выше
форму записи (1) (такая форма записи для гармонических колебаний предлагалась
и ранее, например она используется еще в довоенной литературе), а то, что он про¬
вел большую экспериментальную работу, показавшую физическую правильность пред¬
ложенной им гипотезы, разработал простой и удобный математический аппарат ре¬
шения дифференциальных уравнений динамики сооружений в комплексной форме и
(что особенно важно) распространил эти уравнения на нестационарные динамические
процессы.Благодаря своей простоте при правильном описании физического характера явле¬
ний эта гипотеза применяется во многих трудах по динамике упругих систем. В ее46
обсуждении в печати в разное время приняли участие профессора Я. Г. ПановкоА.	Г. Назаров, И. М. Бабаков, Н. Н. Бабаев, В. Колоушек (Прага) и многие другие.
Не все критические замечания, высказанные в ходе этой дискуссии, являются бес¬
спорными, однако следует признать, что это обсуждение велось на принципиальной
основе и послужило на пользу самой теории внутреннего трения.И. J1. Корчинский приписывает автору гипотезы утверждение, что сила затуха¬
ния пропорциональна силе упругости и на этом основании считает, что гипотеза
Е. С. Сорокина «противоречит принципиальным представлениям о физической сущ¬
ности сил сопротивления».В свете изложенного выше такая постановка вопроса вызывает недоумение. Ни
в одной из своих работ Е. С. Сорокин не формулировал таким образом свою гипо¬
тезу. Более того, он многократно подчеркивал нелинейный характер зависимости
между силой затухания и вещественной силой упругости.Если считать, что И. JI. Корчинский имеет в виду зависимость между амплиту¬
дами силы затухания и силы упругости, то и в этом случае у него нет никаких оснований
приписывать Е. С. Сорокину утверждение об их пропорциональности в общем случае.Е. С. Сорокин лишь указывал, как уже говорилось выше, что для ряда строитель¬
ных материалов в достаточно широком диапазоне напряжений можно приближенно
считать указанную зависимость линейной, что существенно упрощает математические
выкладки, связанные с решением практических задач.Заметим, кстати, что, как это ни странно, в свое время именно И. Л. Корчинский
предложил гипотезу о пропорциональности силы затухания и силы упругости («Вест¬
ник инженеров и техников» № 2, 1938 г.), получившую название гипотезы Корчин-
ского. Насколько нам известно, он до сих пор не выступал в печати с критикой этой
гипотезы.Характерно, что, несмотря на критику гипотезы Е. С. Сорокина, содержащуюся в
главе IV, И. Л. Корчинский без каких-либо изменений применяет ее в главе II этой
книги для решения практических задач, связанных с определением сейсмических на¬
грузок. При этом он также считает коэффициент 7 не зависящим от амплитуды де¬
формации, а следовательно, амплитуду силы затухания считает пропорциональной
амплитуде силы упругости и целиком использует весь математический аппарат, раз¬
работанный Е. С. Сорокиным, без каких-либо ссылок на его автора. Правда, И. JI. Кор¬
чинский пишет при этом, что им «использована гипотеза, несколько отличная от гипо¬
тезы Е. С. Сорокина».Мы не думаем, однако, что записать уравнения ту + k(l + i^)y=p(t) в виде
my+ky+My=p(t)t где k, 7 и х—постоянные величины, это значит исправить или до¬
полнить гипотезу. Более того, такая замена лишь создает дополнительные трудности,
поскольку в коэффициенте х=&, 7 содержатся одновременно две характеристики, одна
из которых k (жесткость) относится к механической системе, а вторая у (коэффи¬
циент внутреннего трения)—к материалу.Поэтому в дальнейшем И. J1. Корчинский все же вынужден восстановить в не¬
сколько завуалированном виде указанную связь между этими коэффициентами, поло¬
жив без каких-либо доказательств полученную им величину е=*/2|^mk равной
фр/4те, где ф —величина относительной потери энергии при колебаниях, а р — ча¬
стота собственных колебаний системы.	Если учесть, что ф=2^7, а р=у^к/т, то мы снова придем к зависимости *=£7.
Спрашивается, не проще ли было сразу пользоваться уравнением колебаний в форме
записи, принятой Е. С. Сорокиным?Резюмируя изложенное, мы считаем, что И. J1. Корчинский создал неправильное
впечатление о якобы физической несостоятельности гипотезы Е. С. Сорокина.К сожалению, при рассмотрении книги «Основы проектирования зданий в сейсми¬
ческих районах» на секции Ученого совета ЦНИИСКа вопрос о критике гипотезы
Сорокина не был упомянут в докладе и поэтому не обсуждался.| М. Н. Ручимский |К РАСЧЕТУ ВНЕЦЕНТРЕННО НАГРУЖЕННЫХ СВАЙНЫХ ФУНДАМЕНТОВВ статье Г. Д. Любимова [1] приводится способ, очень сокращающий расчет при
проектировании инженерных конструкций. В частности, приводятся данные об опре¬
делении усилий в сваях фундамента под мостовую опору. При этом сваи рассматри¬
ваются как равноупругие опоры, что может считаться справедливым только для свай-
стоек, опирающихся на практически несжимаемые основания, но совершенно не соот¬
ветствует условиям работы висячего свайного фундамента, когда необходимо учитывать
совместную работу ростверка, свай и грунта [2].47
В подтверждение высказанных соображений приводим в таблице значения усилий в
сваях, вычисленных способом Г. Д. Любимова, — без учета совместной работы, и с
учетом совместной работы ростверка, свай и грунта для фундамента под опору, состоя¬
щего из 16 железобетонных полых свай d=30 см и длиной L=9 м> погруженных в
грунт с модулем деформации £'о= 1 • Ю3 тм2. Расстояние между1 сваями принято 1,2 м
(см. рисунок); Ро=400 т; М0=160 тм; во= 160/400=0,4 м.Разница. в усилиях в сваях фундамента, при учете
совместной работы ростверка, свай и грунта по сравне¬
нию с расчетом по схеме равноупругих опор, достигает
значительной величины, что необходимо иметь в виду
при проектировании висячих свайных фундаментов.
Следует отметить, что наибольшие усилия испытыва¬
ют сваи, расположенные по периферии фундамента.
Поэтому при возведении сооружений на висячих свай¬
ных фундаментах целесообразно применять жесткие
стенчатые опоры замкнутого контура вместо массив¬
ных.№№ свайЗначения усилий
в сваях в mРазница
в усилиях
в °/ обез учета
совмест¬
ной
работыс учетом
совмест¬
ной
работы1,43553,64-532,3353505,828,426,2- 86,728,48,3-719,1221,624,2+1210,1121,67,7-6413,161529,6+9814,151515,4Поступила 29/VI 1961.ЛИТЕРАТУРА1.	Г. Д. Любимов. Расчет внецентренно загруженных жестких балок на упругих
опорах. «Строительная механика и расчет сооружений» № 3, 1961.2.	Г. С. Т е р-0 в а н е с о в. К расчету висячих свайных фундаментов по предель¬
ному состоянию. «Вестник инженеров и техников» N° 6, 1951.Г. С. Тер-ОванесовПИСЬМО В РЕДАКЦИЮВ моей статье «Расчет рамы на потерю устойчивости в упругой и пластической
стадиях», опубликованной в журнале «Строительная механика и расчет сооружений»
№ 3 за 1959 г., в уравнение (22) по моей вине не включена сумма ^Pik^ik^ik
пар сил. Это привело к тому, что в рассмотренном примере дополнительное урав¬
нение было составлено для недеформированного состояния рамы (как в обычных
расчетах рам на прочность), что в задачах устойчивости является неправильным.
В результате оказалось неправильным уравнение неустойчивости рамы, а следова¬
тельно, неправильны и значения критических сил.В.	Н. Кондратьев
Новые книгиВышли в свет новые книги Госстройиздата.Исследования по теории сооружений. Вып. XII. Под редакцией И. М. Рабиновича.
■288 стр., 1 р. 08 к.Содержание очередного периодического сборника «Исследования по теории соору¬
жений», выпуск XII, как и предыдущих выпусков этого издания, составляют ориги¬
нальные научные статьи по различным вопросам строительной механики.Ряд статей посвящен вопросам динамики сооружений. В других статьях рассматри¬
ваются вопросы устойчивости многоэтажных рам, связи между устойчивостью упругих
систем при простом и сложном нагружении, упруго-пластического изгиба сжатого
стержня, расчета цилиндрических сводов-оболочек, различных плит на упругом осно¬
вании с произвольным очертанием контура, коноидальной оболочки, методы решения
систем линейных уравнений строительной механики на электронных цифровых ма¬
шинах и др.Книга предназначается для широкого круга читателей, интересующихся проблемами
строительной механики.К К. Керопян и П. М. Чеголин. Электрическое моделирование в строитель¬
ной механике. 392 стр.В монографии излагаются основные принципы электрического моделирования на
математических аналоговых машинах задач сопротивления материалов и строительной-
механики.Книга знакомит читателя с устройством машин (электрических моделей), серийно
выпускаемых нашей промышленностью и нашедших применение в проектных органи¬
зациях.Книга полезна для научных работников и аспирантов, а также может служить по¬
собием для студентов строительных и электротехнических высших учебных заведений,
изучающих курс «Математические машины и программирование», недавно введенный
Министерством высшего и среднего специального образования СССР в программы тех¬
нических вузов.Исследования по расчету оболочек, стержневых и массивных конструкций. Под ре¬
дакцией А. Р. Ржаницына. ЦНИИСК АСиА СССР. 312 стр., 1 р. 44 к.В сборнике дается вывод уточненных уравнений моментной теории пологих обо¬
лочек, приближенная методика определения напряженного состояния при перемещении
цилиндрических и сферических пневмооболочек при простейших видах нагрузок, реше¬
ние задачи о напряженном состоянии бетонного основания под действием выпуклого
штампа; рассмотрен новый закон нелинейной ползучести, учитывающий частичную
необратимость деформаций после разгрузки, вопросы учета пространственной корреля¬
ции и турбулентных пульсаций давлен-ия, действующего на поверхность сооружений
и др.Сборник рассчитан на инженеров-строителей — проектировщиков и научных ра¬
ботников, занимающихся расчетом сооружений.ОПЕЧАТКИ
в журнале „Строительная механика и расчет сооружений** № 2 за 1963 г.Стра- J
иица 1Строка1 Напечатано |1 1Следует читать91 строка
сверхуНагрузка в узле 5Нагрузка в узле 154723 строка
снизусправочник [5]справочник [4]
Цена 60 коп.Индекс 71458*Вниманию организаций, проектных и
научно-исследовательских институтов,
учебных заведений1.	Госстройиздат доводит до сведения, что вся выпускаемая издательством лите¬
ратура (за исключением заказных изданий) поступает в продажу только в книготор¬
говую сеть страны.Для своевременного заказа и получения книг, брошюр и плакатов по строитель¬
ству, архитектуре и производству строительных материалов издательство рекомен¬
дует Вам установить систематическую связь с местным книготоргом или с ближайшим
книжным магазином, где Вы всегда можете ознакомиться с годовым планом выпуска
строительной литературы, с квартальными планами выпуска инструктивно-норматив¬
ных материалов и «бланками-заказами» В/О «Союзкниги», в которых публикуются все
внеплановые издания.Необходимо помнить, что тиражи изданий на всю строительную литературу уста¬
навливаются издательством строго в соотношении с заказом В/О «Союзкнига», осно¬
ванном на заказах местных книготоргов. Поэтому только своевременно сделанные-
Вами предварительные заказы могут обеспечить Вас необходимой литературой.В случае неудовлетворения своевременно сделанных Вами заказов следует обра¬
титься в отдел научно-технической литературы В/О «Союзкнига» (Москва, Ленин¬
ский проспект, 15) или Госстройиздат (Москва, Ломоносовский проспект, 4).2.	Заинтересованные организации могут помещать платные объявления в журнале-
Стоимость объявления на третьей или четвертой полосах журнала:1	полоса — 75 рублей,1/2 полосы —50 рублей,1/4 полосы — 30 рублей.ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ