проблемы
енанпнп
строительной
г
В. В БОЛОТИН, И И. ГОЛЬДЕНБЛАТ
\. Ф. СМИРНОВ
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
И 5 ,1 А Т EllbGth о
Л 11 Т Е Г А Т Р Ы ПО	С Т Р О 11 > Е 1 Ь С 1 Е< *
М о с к н я — 1 9 6 I
УДК 624.04
Одобрено секцией строительной механики Ученого Совета
ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко
Книга содержит об юр состояния современной строитель
ной механики, проблей несущей способности, динамической
устойчивости, сложного нагружения, надежности конструкций,
а также дается анализ перспектив и путей решения этих проб-
лем. Освещены вопросы применения в строительной механике
электронных математических машин.
Книга рассчитана на широкий круг инженеров-строителей,
проектировщиков, научных работников, аспирантов и студен-
тов вузов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы опубликовано большое количество работ
по строительной механике и ее приложениям к расчету строи-
тельных конструкций, самолетов, судов и машин. Однако сре-
ди этих исследований очень мало работ обзорного характера,
которые дают представление об уровне этой области науки в
целом. В настоящей работе дается обзор современного состо-
яния строительной механики; при этом отмечаются и те зада-
чи, которые, по мнению авторов, не привлекли должного вни-
мания исследователей.
В основу этой работы положены соображения, высказан-
ные в статье В. В. Болотина, В. 3. Власова и И. И. Гольден-
блата «О развитии строительной механики» (Известия АН
СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, № 2), и отча-
сти использованы материалы этой статьи. В обзоре подробно
рассмотрены такие разделы строительной механики, как тео-
рия упруго-пластического расчета конструкций, динамика кон-
струкций, расчет конструкций, работающих при случайных на-
грузках. Включена специальная глава, посвященная приме-
нению электронных вычислительных машин в строительной'
механике. В то же время в обзоре не отражена теория рас-
чета тонкостенных конструкций на действие статических нагру-
зок и теория устойчивости упругих и неупругих систем. Пред-
полагается, что этим проблемам строительной механики будут
посвящены последующие выпуски книг.
Настоящий обзор нельзя считать в какой-либо части исчер-
пывающим. В списки литературы, приведенные в конце соот-
ветствующих глав, включены лишь некоторые типичные рабо-
ты, характерные для рассматриваемых направлений. Укажем,
что подробный перечень отечественных работ в области стро-
ительной механики содержится в сборнике под редакцией
3
И. М. Рабиновича «Строительная механика в СССР за сорок
лет (1917—1957)», (Госстройиздат, 1957).
Первая глава книги написана И. И. Гольденолатом, вто-
рая и третья главы — В. В. Болотиным, четвертая глава - -
А. Ф. Смирновым.
ДЕТСКИЙ листок
ч"“в тг скязке Вшт.гельмр <-
ВВЕДЕНИЕ
Предмет строительной механики, как и предметы некото-
рых других прикладных наук, нередко трактовался по-разно-
му. Весьма часто строительная механика отождествлялась
со статикой стержневых систем. Это имеет исторические кор-
ни, поскольку сразу же после обособления строительной ме-
ханики как науки основу ее составляли именно задачи стати-
ки стержневых систем. Однако дальнейшее развитие техники
привело к появлению новых конструктивных элементов —
пластин, оболочек, пространственных систем — и соответствен-
но к расширению круга объектов, изучаемых в строительной
механике. До тех пор, пока теория упругости была посвящена
главным образом математически строгим методам решения
трехмерных и двухмерных задач, а статика сооружений —
приближенным, но эффективным методам расчета стержневых
систем, граница между ними оставалась весьма резкой. В на-
стоящее время граница раздела между теорией упругости и
строительной механикой оказалась заполненной в результате
развития теории пластин, оболочек и пространственных сис-
тем. Если прикладная теория оболочек явно тяготеет к строи-
тельной механике, то математическая теория оболочек примы-
кает к теории упругости.
Нет никаких оснований ограничивать область применения
строительной механики исключительно строительством. Не
существует принципиальной разницы между практическими
методами расчета строительных конструкций, самолетов, су-
дов, машин или энергетических устройств. Существование та-
ких научных дисциплин, как «Строительная механика самоле-
та», «Строительная механика корабля» является лучшим ар-
гументом против суженного толкования предмета строительной
механики.
На долю строительной механики выпадает серьезная и от-
ветственная задача заполнить большое пространство между
общими разделами теории упругости и пластичности, с одной
стороны, и непосредственным проектированием инженерных
объектов, с другой. Строительная механика тесно связана с
проектированием инженерных конструкций. В ней затрагива-
5
ются такие важнейшие вопросы, как выбор расчетных схем,
назначение запасов прочности, выбор оптимальных конструк-
ций. Ярко выраженное прикладное направление строительной
механики существенно отличает ее от общих разделов теории
упругости и пластичности.
Еще лет десять — пятнадцать назад строительная механи-
ка представлялась вполне сложившейся наукой с замедлив-
шимся темпом развития. Анализ числа и главным образом со-
держания публикаций последних лет показал, что это впечат-
ление обманчиво. Правильнее было бы говорить не о замедле-
нии развития строительной механики, а о резкой перемене ос-
новного направления этого развития. В течение более чем по-
лувека развитие строительной механики шло главным образом
по пути расширения круга геометрических объектов. Вначале
это была теория расчета балок, арок и ферм (конец прошло-
го— начало этого века). Затем начали интенсивно развивать-
ся методы расчета рам (20—30-е годы нашего века). Указан-
ный этап развития строительной механики завершился созда-
нием технической теории оболочек, теории тонкостенных стер-
жней и теории пространственных систем. Ныне нет больших
оснований полагать, что в ближайшие годы появятся сущест-
венно новые типы конструктивных элементов или что методы
их статического расчета существенным образом изменятся.
С полной очевидностью можно заключить, что основным направ
лением развития строительной механики в ближайшем буду-
щем является не рассмотрение новых объектов, а исследова-
ние новых условий работы, новых материалов и новых воз-
действий. Важнейшими разделами строительной механики ста-
новятся теория конструкций, работающих за пределом упру-
гости, с большими деформациями (вплоть до разрушения), в
условиях высоких температур и деформаций ползучести, тео-
рия конструкций, находящихся под действием динамических
нагрузок, а также конструкций, взаимодействующих с потоком
жидкости или газа, и т. д.
Итак, рассмотрение новых условий работы конструкций и
новых типов воздействия на конструкцию представляется сей-
час основным направлением развития строительной механи-
ки. Эти тенденции отразились, разумеется, и на теории упру-
гости и пластичности. Однако их целью по-прежнему является
разработка общетеоретических вопросов и решение тех за-
дач, для которых методы строительной механики оказывают-
ся недостаточными. Близость и взаимопроникновение методов
при этом становятся еще более значительными. Достаточно
отметить, что вариационным и экстремальным принципам в
теории идеально пластических тел и жестко-пластическому
анализу исторически предшествовал анализ предельных со-
стояний в строительной механике. В дальнейшем эти контак-
ты будут все более усиливаться.
Л
"	Ниже будут более подробно охарактеризованы некоторые
актуальные направления развития строительной механики. По-
мимо общей характеристики этих направлений, будут постав-
лены отдельные типичные задачи, еще ждущие полного раз-
решения.
J.
J-
ГЛАВА I
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ
ПО МЕТОДУ
ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ
В действующих в СССР «Строительных нормах и прави-
лах» так определяется понятие предельного состояния: «Состоя-
ния, при которых конструкции или основания перестают удов-
летворять предъявляемым к ним эксплуатационным требова-
ниям, т. е. теряют способность сопротивляться внешним воз-
действиям или получают недопустимые деформации или мест-
ные повреждения, являются предельными».
Это определение понятия «предельное состояние» очень ши-
рокое. В настоящей главе под термином «предельное состоя-
ние» мы будет понимать исчерпание несущей способности кон-
струкцией, изготовленной из идеально пластического материа-
ла. Более общее понимание термина «предельное состояние» ис-
пользовано только в п 6, посвященном рассмотрению предель-
ных состояний конструкций, испытывающих деформацию ползу-
чести.
Расчет по методу предельных состояний для конструкций
из всех материалов был официально введен в СССР с 1 янва-
ря 1955 г Это явилось очень важным мероприятием, оказав-
шим существенное влияние на прогресс в проектировании
строительных конструкций’.
Метод предельных состояний дает возможность проектиро-
вать более рациональные конструкции, чем при использовании
старого метода, так называемого метода допускаемых напря-
жений Одно из основных преимуществ метода расчета по те-
ории предельных состояний заключается также в том, что он
дает возможность более обоснованно 'выбирать «факторы запа-
1 Впервые расчет по методу предельных состояний с единым коэффи-
циентом запаса введен в нормы проектирования железобетонных конструк-
ций по предложению А. Лолейта, А. Гвоздева и др. (в СССР в 1938 г.).
Предложение о переходе на расчет по методу предельных состояний
с дифференцированными факторами запаса прочности для конструкций из
всех материалов было внесено в 1945 г. в ААинистерство строительства
СССР И Гольденблатом, Н, Добрыниным и А. Поповым [3],
8
са прочности» при расчете конструкций, чем это было возмож-
но при расчете прежним методом.
Существенное преимущество метода расчета по теории
предельных состояний получило в настоящее время широкое
признание также и за рубежом*.
Теория расчета конструкций по метод}' предельных состоя-
ний является одной из глав современной теории пластических
деформаций. Поэтому для правильной оценки современного эта-
па развития теорий предельных состояний необходимо коротко
остановиться на обзоре современного состояния теории плас-
тических деформаций вообще.
Активную роль в создании норм расчета конструкций по
предельным состояниям сыграли В. А. Балдин, А. А. Гвоздев,
II. II. Гольденблат, Ю. М. Иванов, В. М. Келдыш, Н. С. Стре-
лецкий, Л. И. Онпщик, К. Э. Таль и др. Вся работа проводилась
под руководством В. М. Келдыша и Н. С. Стрелецкого [3]**
1.	СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Как известно, начало теории пластичности было положено
в 1864 г. работой Треска. За прошедшие сто лет теория пла-
стичности прошла довольно сложный и извилистый путь раз-
вития. Главная трудность, стоявшая перед исследователями в
этой области, заключалась в том, что неясна была физическая
сущность тех сложных процессов, которые происходят в ма-
териале при пластической деформации. Поэтому при чисто
феноменологическом способе описания пластической деформа-
ции приходилось выдвигать различные допущения или гипоте-
зы, не имевшие по существу физического обоснования. Прием-
лемость или неприемлемость этих гипотез и допущений могла
быть выяснена поэтому только в непосредственном экспери-
менте.
Проблемы теории пластичности привлекли особое внима-
ние исследователей во время второй мировой войны и в после-
военные годы. Число публикаций по этим проблемам увели-
чивается с необычайной быстротой.
В настоящее время образовалось несколько ведущих школ
в теории пластичности.
Специалисты советской школы теории пластичности разра-
батывают как деформационную теорию, так и теорию пласти-
ческого течения. Характерной особенностью советской школы
является ее практическая направленность. Наши ученые наря-
ду с фундаментальными теоретическими исследованиями всег-
*См., например, работы [108. 115, 158, 174] и др.
**3десь и далее по тексту цифрами в квадратных скобках обозначены
порядковые номера литературных источников, приведенных в конце каж-
дой главы книги.
9
да уделяли большое внимание решению конкретных практиче-
ских задач.
За последние годы в советской науке возникло новое на-
правление, заключающееся в стремлении использовать прин-
ципы термодинамики необратимых процессов для анализа
процесса пластической деформации (Л. И. Седов и его учени-
ки). Мы кратко остановимся на этом многообещающем на-
правлении в п. 2 настоящей главы.
Специалисты зарубежных школ теории пластичности —
английской, американской, голландской и др. — разрабатыва-
ли главным образом теорию пластического течения, а также
так называемую теорию скольжения С. Батдорфа и М. Будян-
ского.
Поскольку деформационная теория является частным слу
чаем теории пластического течения, а именно тем частным слу-
чаем, в который переходит теория пластического течения при
поопорциональном (простом) нагружении, естественно обзор
современного состояния теории пластичности следует начать
с теории течения.
Характерной особенностью поведения упруго-пластического
тела является зависимость деформаций от всей истории или
программы нагружения. С термодинамической точки зрения
пластическая деформация — сложный необратимый процесс.
Эксперименты показали, что скорость нагружения (в опре-
деленных пределах) не оказывает влияния на возникающие
пластические деформации, которые определяются, таким об-
разом, однозначно только программой нагружения. Следова-
тельно, пластическая деформация является невязкой.
Таковы те немногочисленные исходные факты, которые мо-
гут считаться твердо установленными.
Теория пластического течения допускает, что действитель-
ная деформация элемента тела аддитивно складывается из
упругой £,* и пластической ez* деформации этого элемента.
Что касается упругой части деформации, она может быть,
очевидно, установлена по закону Гука. Для определения пла-
стической части деформации должны быть выдвинуты гипоте-
зы, составляющие по существу содержание современных тео-
рии пластичности.
Основные уравнения теории пластического течения могут
быть получены из фундаментального квазитермодинамического
постулата Д. Друккера (53]
Постулат этот заключается в следующем. Представим себе
элемент тела, на>отящийся в некотором исходном напряжен
ном состоянии. Допустим далее, что этот элемент дополнитель-
но подвергся некоторому внешнему воздействию р, в резуль-
тате которого медленно появляются и снимаются дополни-
тельные напряжения.
10
Постулат Д. Друккера утверждает, что в процессе прило-
жения дополнительных напряжений внешнее воздействие р со-
вершает неотрицательную работу; работа внешнего воздейст-
вия за полный цикл приложения и снятия дополнительных на-
пряжений также неотрицательна.
Необходимо отметить, что основные уравнения теории
пластического течения могут быть также получены из посту-
латов А. А. Ильюшина [69] и Г. А. Геммерлинга [23]
Согласно постулату пластичности А. А. Ильюшина, работа
действительных напряжений на замкнутом циклическом пути
в пространстве деформаций должна быть положительна.
Постулат Г. А. Геммерлинга отличается от постулата
Д. Друккера введением функции, характеризующей степень
развития пластических деформаций.
Эти постулаты носят отчетливо выраженный термодинами-
ческий характер. Можно предполагать, что они являются част-
ным случаем некоторого общего термодинамического постула-
та. Однако обсуждение этого вопроса выходит за рамки на-
стоящей книги.
В дальнейшем мы будем представлять напряженное состоя-
ние данного элемента объема точкой в декартовой системе ко-
ординат, каждая из осей которой соответствует одной из со-
ставляющих тензора напряжений.
Упругая область в упомянутой системе координат отделя-
ется от пластической области начальной поверхностью текуче-
сти.
Очевидно, что начальная поверхность текучести ограничи-
вает область, заключающую те точки, которые могут быть до-
стигнуты исходя из начала координат чисто упругим путем,
т. е. без возникновения пластических или остаточных деформа-
ций.
Предположим, что нагружение было продолжено за преде-
лы начальной поверхности текучести и затем напряжения были
сняты. В этом случае, если материал обладает упрочнением,
нужно построить новую поверхность текучести, которая опре-
делит начало пластических деформаций при последующем по-
вторном нагружении материала. Итак, мы приходим к выводу,
что должно существовать семейство поверхностей текучести.
Другими словами, предполагается, что в ходе процесса на-
гружения поверхность текучести деформируется таким обра-
зом, что точка, изображающая мгновенное напряженное со-
стояние, не выходит за ее пределы.
Существование деформирующейся поверхности текучести в
рассматриваемой теории обосновывается также тем экспери-
ментальным фактом, что в любой момент материал может быть
деформирован чисто упругим образом, если подходящим об-
разом продолжить путь нагружения, в данном случае в упру-
гую область внутрь поверхности текучести.
11
Существенным моментом в развитии теории пластического
течения явилась формулировка так называемого условия не-
прерывности, согласно которому напряжения и деформации в
пластической области должны быть согласованы с напряже-
ниями и деформациями в упругой области, если изображаю-
щая напряженное состояние точка движется по поверхности
текучести.
Другим существенным моментом в развитии теории пласти-
ческого течения явилось доказательство теоремы, согласно ко-
торой направление вектора приращения пластической дефор-
мации, связанного с приращением составляющих тензора на-
пряг. ений, совладает с направлением нормали к поверхности
текучести в точке, соответств' ющей данному напряженному
состоянию.
Была доказана также теорема, утверждающая, что поверх-
ность текучести всегда должна быть выпукла.
Эти утверждения являются непосредственным следствием
фундаментальных постулатов Д. Друккера, А. А. Ильюшина и
Г. А. Геммерлинга [53, 23 и 69].
В случае идеально пластического тела поверхность текуче-
сти не зависит от истории нагружения элемента, и упругая об-
ласть в пространстве напряжений должна содержать в себе
ненапряженное состояние (а/й = 0).
Когда точка, изображающая напряженное состояние, нахо-
тится на поверхности текучести, скорость диссипации энергии
должна быть, согласно постулату Друккера, положи-
тельной. Принимается, что скорость диссипации энергии при
пластической деформации является определенной функцией
скоростей пластических деформаций.
Левая часть уравнения поверхности текучести /(Эа) —О
играет роль потенциала для скоростей пластических деформа-
ций, т. е. Ck = > °	, причем Л = 0, если /<0, так как в этом
случае мы находимся в упругой области и пластические де-
формации отсутствуют1.
Поверхность тем чести может быть сингулярна, т. е. в ней
могут быть ребра или угловые точки. В этом случае необходи-
мо ввести систему функций текучести Д (а = 1, 2,..., п). Если
все функции текучести этой системы отрицательны, мы нахо-
димся в упругой обла(ти, если же ол,на или несколько функ-
ций текучести обращаются в нуль, а остальные отрицательны,
изображающая точка в пространстве напряжений находится
на поверхности текучести
1 А =0, также если [=0 и j <0 и I 0. если }-. -0 и / = 0.
Так как пластическая деформация носит невязкий характер, то дол-
жна быть линейной фхнкцией от скоростей напряжении.
12
Скорость пластической деформации в случае сингулярной
поверхности текучести определяется линейной формой вида
а
В случае упрочняющейся среды этот закон обобщается сле-
дующим образом:
Здесь функции упрочнения могут зависеть от напряже-
ний и деформаций, а также от истории напряжений и дефор-
маций.
В литературе по теории пластичности привеченные законы
течения называются ассоциированными с функцией, или функ-
циями текучести fa.
Исследованию ассоциированных законов течения пластиче-
ской среды, в особенности для сингулярного случая, были по-
священы в последние годы многочисленные работы В. Праге-
ра, Р. Хилла, Ф. Ходжа, Д. Друккера. В. Койтера, Д. Д. Ив-
лева, В. Д. Клюшникова и др. [114, 152, 154, 156, 50, 51, 67, 80
и 85].
Необходимо также отметить появление работ, в которых
предлагаются различные не ассоциированные законы течения.
Из этих работ, пожалуй, наиболее интересны работы Д. Уор-
нера и А. Хандельмана, охарактеризованные в [107]
Уравнения теории пластического течения не интегрируемы,
т. е. из них нельзя получить никаких определенных соотноше-
ний между напряжениями и деформациями. Это отражает
тот факт, что'деформации в пластической среде зависят от
всей истории или программы нагружения.
Однако для каждой заданной программы нагружения урав-
нения теории пластического течения, конечно, могут быть про-
интегрированы, и мы приходим к определенным зависимостям
между напряжениями и деформациями. Так, например, в слу-
чае пропорционального (или простого) нагружения интегралы
уравнений пластического течения являются уравнениями де-
формационной теории, т. е. по принятой в СССР терминологии
уравнениями теории малых упруго-пластических деформаций.
Следует отметить, однако, что недавно Р. Сандерс [140],
Ф. Ходж [156] и Б. Будянский [16], показали, что деформаци-
онная теория для материалов с сингулярной поверхностью те-
кучести может быть справедлива для значительно более широ-
кого класса нагружений, чем простое нагружение.
Как обстоит дело с экспериментальной проверкой теории
пластического течения? Что касается частного случая этой
теории, т е. деформационной теории, то многочисленные экс-
перименты показали, что в случае простого нагружения эта
13
теория вполне удовлетворительно описывает процесс пластиче-
ской деформации ряда металлов и сплавов Мы не будем оста-
навливаться здесь на обзоре этих экспериментальных работ,
важнейшие из них довольно подробно описаны в книге И. И.
Гольденблата и Н. А. Николаенко [43].
Таким образом, деформационную теорию, т. е. теорию ма-
лых упруго-пластических деформаций, можно надежно приме-
нять для технических расчетов в случаях простого или близ-
кого к нему нагружения.
В общем случае сложного нагружения деформационная
1еория малых упруго-пластических деформаций не подтверж-
дается экспериментами.
Что же касается общей теории пластического течения, то
для многих случаев сложного нагружения она дает удовлетво-
рительное описание процесса деформации для ряда металлов
и сплавов. Однако в целом эта теория в общем случае нагру-
жения также не подтверждается экспериментами.
Из многочисленных экспериментов по сложному нагруже-
нию, проведенных в последние годы, особый интерес имеют ра-
боты Д. Филлипса и Р. Кечеля, охарактеризованные в [106,
107]. Эти исследователи изучали приращение пластических де-
формаций на цилиндрических алюминиевых трубках, подверг-
нутых осевому нагружению, кручению и внутреннему давлению.
Опытами Д. Филлипса и Р. Кечеля подтверждено одно из основ-
ных положений теории течения, согласно которому направле-
ние вектора приращения пластической деформации совпадает
с направлением нормали к поверхности текучести в точке, со-
ответствующей данному напряженному состоянию. Вместе с
тем опыты Д. Филлипса и Р. Кечеля показали, что ожидаемая,
согласно теории течения, связь между деформациями и про-
граммой нагружения, вообще говоря, не подтверждается экс-
периментами.
Положение не удалось спасти другим выбором функции те-
чения Да,Д, зависящей только от напряжений. Более того, да-
же предположение о зависимости функции f не только от на-
пряженного, но и от деформированного состояния не могло
устранить сильных расхождений между теорией и эксперимен-
том. Единственный путь для устранения расхождений между
теорией и экспериментом заключается в принятии гипотезы о
явной зависимости функции течения f от истории нагружения.
Однако принятие подобной гипотезы в чисто дифференциаль-
ной теории, которой является теория течения, недопустимо по
принципиальным соображениям.
В самом деле, состояние среды в данный момент должно
полностью определяться мгновенными значениями параметров
среды, и только эти значения параметров должны определить
поведение среды, вызванное малыми приращениями напряже-
ний и температуры в течение последующего малого промежут-
14
ка времени. Это утверждение является выражением того обще-
го физического принципа, согласно которому состояние любой
системы в данный момент непосредственно зависит только от
ее состояния в предшествующий момент.
Выше мы упоминали, что теория пластического течения во
многих случаях относительно удовлетворительно описывает
процесс сложного нагружения, тем не менее упоминавшиеся
эксперименты ясно указывают на необходимость дальнейшего
обобщения и частичного пересмотра основных положений, на
которых основана эта теория.
В связи с этим остановимся вкратце на условиях, при ко-
торых может возникнуть пластическая деформация. Прежде
всего, как и в обычной теории пластического течения, естест-
венно принять существование начальной поверхности текуче-
сти. Всякий путь нагружения, лежащий внутри области, ограни-
ченной начальной поверхностью текучести, вполне обратим.
При переходе за начальную поверхность текучести возникают
пластические деформации. В обычной теории течения условием
этого является dfldcikacik >0, где oa.ft— приращение напря-
жения. Обобщая это условие, можно предположить, что воз-
никновение пластических деформаций возможно при условии
П17. (а, г)	причем выражение, стоящее в левой части
этого неравенства, неинтегрируемо.
В обычной теории течения существование деформирующей-
ся поверхности текучести «обосновывалось» тем эксперимен-
тальным фактом, что на любой стадии нагружения дальней-
шую деформацию можно продлить как чисто упругую, а имен-
но, как предполагалось, внутрь поверхности нагружения или
текучести. Это предположение в сущности эквивалентно допу-
щению о полной интегрируемости условия текучести, которая
может быть записана в приведенной форме.
Вместе с тем, интегрируемость условия текучести не выте-
кает ни из каких правильно истолкованных экспериментальных
данных. Следовательно, существование поверхности текучести
в пластической области не может быть фактически экспери-
ментально обосновано.
Связь между приращениями пластических деформаций и
напряжений может быть представлена при помощи следующих
неинтегрируемых линейных форм
’J"ik ~‘iknm(janm'
Если воспользоваться теперь квазитермодинамическим по-
стулатом Д. Друккера, то можно установить определенную
связь между тензорами П;д, и
Эта теория была доложена И. И. Гольденблатом на 1 Все-
союзном съезде по механике.
В настоящее время производится экспериментальная про-
верка этой теории.
15
В последние годы особое внимание привлекла теория сколь-
жения С. Батдорфа и М. Будянского [10]. Эта теория основана
на двух постулатах.
Согласно первому постулату металл следует рассматривать
как изотропный континуум, в котором плоскости скольжения и
направления скольжения распределены непрерывно в каждой
точке. Согласно второму постулату скольжение по данной пло-
щадке и по данному направлению возникает тогда, когда в
этом направлении действует касательное напряжение, превы-
шающее предел текучести, причем мерой скольжения является
некоторая функция касательного напряжения.
В последние годы как теория течения, так и теория сколь-
жения подверглись широкой экспериментальной проверке [107].
Некоторые эксперименты подтверждали выводы теории тече-
ния и не подтверждали выводов теории скольжения, но другие
эксперименты приводили к прямо противоположным результа-
там. Таким образом, никаких определенных выводов в пользу
той или иной теории в настоящее время сделать нельзя. Заме-
тим, что проведенный недавно японским ученым Иосимаро
Иосимура анализ экспериментальных данных явно неблаго-
приятен для теории скольжения, что получило отражение в ра-
боте М. Нахди [107].
Резюмируя, следует отметить, что теория скольжения, не
давая каких-либо действительных преимуществ по сравнению
с теорией течения, в то же время значительно сложнее ее.
Совершенно иной подход к построению теории пластично-
сти при сложном нагружении предложен в ряде работ А. А.
Ильюшина [71, 72].
В связи с развитием ряда специальных отраслей техники
проблемы термопластичности приобрели большое значение.
В последние годы опубликовано большое число работ, посвящен-
ных определению термопластических напряжений и деформа-
ций в различного рода конструктивных элементах. В качестве
примеров типичных работ этого направления можно указать,
например, [33, 47, 151]. В этих работах использована дефор-
мационная теория пластичности, д уравнения которой были
введены температурные члены, учитывающие тепловое расши-
рение, подобно тому, как оно учитывается в классической тео-
рии упругости. Кроме того, в эти уравнения вводилась явная
зависимость констант материала (например, предела текуче-
сти) от температуры.
Конечно, подобного рода подход для ориентировочной
оценки термопластических напряжений и деформаций вполне
возможен. Следует, однако, отметить, что тепловое нагружение
совместно с силовым нагружением будет носить, вообще гово-
ря, сложный характер; поэтому к расчету термопластических
напряжений и деформаций деформационная теория пластич-
ности неприменима.
16
Единственная работа, в которой сделана попытка обобщить
теорию пластического течения на случай теплового нагруже-
ния, принадлежит В. Пратеру, содержание которой изложено в
статье М. Нахди [107]. Прагер сформулировал условия для раз-
грузки, нейтрального нагружения и нагружения в случае одно-
временного воздействия силовых и тепловых факторов.
Большую роль в развитии теории пластического течения
сыграли минимальные принципы для краевых задач. Эти прин-
ципы, сформулированные в работах В. Л. Маркова, В Праге-
ра, Ф. Ходжа, В. Койтера, X. Гринберга и др., подробно рассмот-
рены в недавно изданном обзоре В. Койтера. Мы не будем на
них здесь останавливаться.
Вариационные принципы теории предельных состояний для
идеально пластических тел будут рассмотрены в п.З настоящей
главы.
2.	О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ
К АНАЛИЗУ ПРОЦЕССА ДЕФОРМАЦИИ
Характерной особенностью работ последнего времени, по-
священных проблеме термоупругости, является широкое ис-
пользование идей и методов термодинамики. Это вызывается
различными причинами.
Термодинамический подход дает возможность получить фи-
зически обоснованные уравнения как термоупругости, так и
сопровождающих термоупругие деформации линейных дисси-
пативных процессов (теплопроводность, вязкость).
Далее, термодинамический подход дает возможность сфор-
мулировать различные вариационные принципы термоупруго-
сти (как для малых, так и Для конечных деформаций), устано-
вить связи между изотермическими, адиабатическими и дру-
гими термодинамически возможными процессами деформа-
ции и т. д.
Наконец термодинамический подход оказывается необходи-
мым при изучении ударных волн, распространяющихся в твер-
дых телах.
В работах М. Био рассматриваются общие вопросы термо-
упругости линейных изотропных и анизотропных сред. Исполь-
зуя идеи линейной термодинамики необратимых процессов,
М. Био [11] рассматривает также явления вязкости и теплопро-
водности, сопровождающие упругую деформацию. М. Био вво-
дит термоупругий потенциал, состоящий из суммы двух чле-
нов, а именно, первый член — это обычная свободная энергия
классической термостатики, а второй член — интеграл по объе-
му от выражения С^/ЧТ, где 6 выражает превышение темпе-
ратуры в данной точке среды над равновесной температурой
Т. Введенный М. Био указанным способом термоупругий по-
2 Зак. 328
17
тенциал объединяет в одном инварианте упругие и термоста-
тические свойства среды.
Общие вопросы термоупругости рассмотрены в книге И. И.
Гольденблата [32]. Здесь рассмотрены проблемы термоупруго-
сти нелинейно упругих изотропных и анизотропных сред как
при малых, так и при произвольных конечных деформациях.
Одна из рассматриваемых здесь задач заключается в установ-
лении той программы частных экспериментальных работ, ко-
торая необходима для установления общих связей между поля-
ми напряжений, деформаций и температур. Показано, что ре-
зультаты этих частных экспериментальных работ являются ус-
ловиями Коши для системы дифференциальных уравнений, ко-
торым должны удовлетворять термодинамические потенциалы
среды.
Все основные уравнения термодинамики деформаций здесь
даются в двух формах. В первом случае в качестве основных
термодинамических параметров принимают компоненты тензо-
ров напряжений и деформаций и абсолютную температуру, а
во втором случае основными термодинамическими параметра-
ми являются базисные инварианты тензоров напряжений и де-
формаций и абсолютная температура.
Разумеется, тензорная и инвариантная формы уравнений
термодинамики деформаций полностью эквивалентны друг дру-
гу; зная одну из них, можно получить другую путем ряда фор-
мальных преобразований. Вместе с тем с практической точки
зрения значительно целесообразнее принимать в качестве ос-
новных термодинамических параметров инварианты тензоров
напряжений или деформаций, а не составляющие этих тензо-
ров, так как при этом сильно сокращается число независимых
термодинамических параметров и связывающих их уравнений,
что в свою очередь существенно упрощает рассмотрение раз-
личных вопросов термодинамики деформаций. Следует, одна-
ко, иметь в виду, что в тех случаях, когда в качестве термоди-
намических параметров принимаются инварианты, основные
термодинамические функции теряют свой простой потенциаль-
ный характер, что в свою очередь отражается на структуре ос-
новных уравнений термодинамики деформаций.
В книге И. И. Гольденблата рассматривается также теория
деформации упруго-вязких сред (при нелинейной упругости и
линейной вязкости), теория деформаций сред, испытывающих
фазовые превращения, и т. д.
Пластические деформации и деформации ползучести в этой
книге не рассматриваются.
Важное значение в разработке общих вопросов термоупру-
гости имеют работы К. Зинера [65] Проведенный им термоди-
намический анализ процесса затухания колебаний в твердых
телах показал, что он в основном обусловливается явлениями
теплопроводности. Выведенные Зинером формулы для коэффи-
18
циента затухания в зависимости от частоты колебаний прекрас-
но совпадают с экспериментом в пределах изученных частот.
С весьма общей точки зрения проблемы термоупругости и
термодинамики деформаций рассмотрены в монографии Л. И.
Седова [141]. Здесь наряду с рассмотрением обратимых про-
цессов термоупругих деформаций значительное внимание уде-
лено также различным процессам необратимых деформаций.
В частности, здесь наряду с идеально упругими и термоэласти-
ческими средами рассматриваются вязко-упругие, пластические
и другие среды.
Иной подход к этой проблеме получил отражение в ряде
работ, принадлежащих А. А. Вакуленко [17], Г. Циглеру [253]
и др. Здесь для описания процесса термопластической дефор-
мации предлагается использовать, надлежащим образом обоб-
щенную, линейную термодинамику необратимых процессов
Онзагера. Поскольку, однако, для подобного обобщения нет
строгих термодинамических обоснований, подобные работы сле-
дует рассматривать как работы, зондирующие в новом на-
правлении. Возможно, что эти работы приведут не только к
созданию физически обоснованных уравнений термопластично-
сти, но и к обобщению самой термодинамики необратимых
процессов.
В заключение мы хотели бы сделать несколько дополни-
тельных замечаний о значении термодинамического подхода к
анализу процесса обратимых и необратимых деформаций.
В этом отношении следует заметить, что даже в тех случаях,
когда по каким-либо причинам не представляется возможным
использовать аппарат термодинамики обратимых или необпа-
тимых процессов, все же сохраняет все свое значение качест-
венное использование термодинамики, заключающееся в анали-
зе процесса деформации, в терминах основных термодинами-
ческих понятий и идей (обратимые, необратимые, равновесные
и неравновесные процессы, рассеяние энергии и рост энтропии,
релаксация и скорость установления термодинамического рав-
новесия и т. д.).
3.	ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИИ
Теория предельных состояний относится к числу наиболее
разработанных, наиболее обоснованных и имеющих наиболь-
шее практическое значение разделов современной теории
пластичности.
Основные принципы теории предельных состояний в ясной
и отчетливой форме сформулированы А. А. Гвоздевым еще в
1934 г. [20]. А. А. Гвоздев установил, что из всех нагрузок, со-
ответствующих различным формам превращения системы в
кинематически изменяемую, действительная нагрузка имеет
2*
19
минимальное значение (кинематический принцип) и, что из
всех нагрузок, соответствующих напряженным состояниям, гра-
ничным с появлением текучести в каких-либо точках системы,
действительная нагрузка будет максимальной (статический
принцип).
В последующих работах А. А. Гвоздев дал многочисленные
примеры применения этих вариационных принципов к расчету
различных стержневых статически неопределимых систем, пла-
стинок и т. д. Обзор основных результатов, полученных Л. А.
Гвоздевым и его учениками, имеется в его монографии [20].
Детальное и последовательное применение этих принципов
к расчету стержневых систем, пластинок и оболочек дано в
работах А. Р. Ржаницына [134, 135].
Законченная формулировка второго принципа примени-
тельно к сплошным средам дана С. М. Фейнбергом [147].
Наконец, самое общее доказательство обоих принципов
применительно к сплошной среде дано в работах Д. Друккера,
В. Прагера и X. Гринберга [52]. В этих работах предложены
вариационные принципы как для регулярного, так и сингуляр-
ного условия текучести.
Теория предельных состояний в послевоенные годы интен-
сивно развивается как у нас в СССР, так и за рубежом. Под-
робная библиография зарубежных работ, опубликованных до
1956 г., имеется в монографиях Ф. Вакера [174], Б. Нила [108],
Ф. Ходжа [157] и В. Прагера [115].
Некоторые новые из числа наиболее важных работ совет-
ских и зарубежных авторов по теории предельных состояний
указаны в библиографии, приведенной в конце настоящей гла-
вы.
Остановимся вкратце на некоторых характерных особенно-
стях теории предельных состояний, выясненных в последние
годы
Прежде всего несколько слов об определении основных по-
нятий.
Когда нагрузка, действующая на ичеально пластическое те-
ло, достигает некоторого критического значения, наступает пла-
стическое разрушение, т. е. неограниченное возрастание дефор-
маций при постоянных нагрузках. Другими словами, как толь-
ко внешняя нагрузка достигает критического значения, тело ока-
зывается неспособным воспринимать дальнейшее увеличение
этой нагрузки. Поэтому такую критическую нагрузку естествен-
но назвать разрушающей или предельной нагрузкой.
В состоянии пластического разрушения система, вначале
жесткая, превращается в механизм с определенным распреде-
лением скоростей деформаций.
Рассмотрим теперь идеально пластическое тело на части,
поверхности которого Sp заданы нагрузки, а на другой части по-
верхности Su заданы перемещения u0 (i=l, 2, 3). Ограничим-
20
ся в дальнейшем тем частным (и наиболее важным) случаем,
когда эти перемещения равны нулю (т. е. когда и0 =0)
Каждому данному значению внешних нагрузок можно сопо-
ставить бесчисленное множество статически возможных полей
напряжений сщ, т. е. полей, удовлетворяющих как условиям
равновесия в объеме тела, так и краевым условиям на поверхно-
сти тела, точнее — краевым условиям для напряжений на той
части поверхности тела Sp, на которой заданы поверхностные
нагрузки. В дальнейшем мы будем говорить, что напряжения
равны (не равны) пределу текучести в обобщенном смысле это-
го слова, если соответствующая изображающая точка в про-
странстве напряжений лежит (не лежит) на поверхности теку-
чести.
Из множества статически возможных полей напряжений
можно выделить подмножества допустимых статически возмож-
ных полей напряжений с,* . В любом поле из этого подмноже-
ства напряжения должны быть ниже или равны пределу теку-
чести в обобщенном смысле этого слова.
Из подмножества статически допустимых полей напряжений
можно в свою очередь выделить подмножества безопасных ста-
тически допустимых полей напряжений . В любом поле из
этого последнего подмножества напряжения должны быть стро-
го ниже предела текучести в обобщенном смысле этого слова.
Наконец, поле скоростей деформаций мы будем называть
кинематически возможным, если оно удовлетворяет уравнениям
£ik — ~	+ UkJ) для любого распределения скоростей п,-,
равных нулю на части Su поверхности тела. Эти строгие опре-
деления дают возможность дать следующую формулировку ос-
новных принципов, принадлежащую В. Койтеру [85].
«Тело может выдержать внешние нагрузки, прилагаемые в
любой последовательности, если на каждом этапе программы
нагружения можно найти безопасное статически возможное рас-
пределение напряжений . С другой стороны, тело не смо-
жет воспринимать систему внешних нагрузок, для которой не
существует статически допустимого распределения напряже-
ний ofk ».
Другими словами, существование статически допустимого
распределения напряжений является необходимым условием, а
существование безопасного статически возможного распреде-
ления напряжений — достаточным условием способности тела
выдерживать внешние нагрузки.
В этом заключается статический принцип теории предель-
ного равновесия.
Аналогично формулируется кинематический принцип.
«Тело не может воспринимать заданную систему внешних
нагрузок, если существует поле кинематически возможных ско-
21
ростей деформаций е°л , для которого скорость изменения ра-
боты заданных внешних нагрузок превышает скорость пласти-
ческой диссипации энергии в теле при скоростях пластической
деформации е"А = е°л». Если же для всех кинематически возмож-
ных полей скоростей деформации e'/г скорость изменения ра-
боты заданных внешних нагрузок меньше или равна скорости
пластической диссипации энергии, то тело может выдержать
внешние нагрузки.
Это условие является необходимым. Если же потребовать,
чтобы скорость работы внешних сил была строго меньше ско-
рости пластической диссипации энергии a/A,enft, то можно
получить достаточное условие способности тела воспринимать
внешние нагрузки.
Существенное значение обоих принципов заключается в том,
что статический принцип дает возможность оценивать снизу, а
кинематический принцип сверху величину разрушающей на-
грузки.
Необходимо отметить, что доказательства обоих принципов
теории предельного равновесия существенно основываются на
ассоциированном законе течения (или на постулате Д. Друк-
кера).
Возникает вопрос, будут ли справедливы эти принципы для
других возможных теорий пластического течения? На этот во-
прос должен быть дан отрицательный ответ.
Недавно В. Койтер [85] показал, что оба принципа неспра-
ведливы для сред, подчиняющихся условию текучести Треска и
неассоциированному закону течения Леви-Мизеса
Этот вывод имеет фундаментальное значение. Он ясно по-
казывает, что для расчета конструкций из новых «идеально
пластических» материалов, обладающих не совсем обычными
свойствами, использовать вариационные принципы нужно с ос-
торожностью.
Вопрос о единственном распределении напряжений в кон-
струкции, находящейся под действием предельной нагрузки,
обсуждался рядом авторов [85]. Окончательно этот вопрос не
решен. Следует, однако, отметить, что в упруго-пластическом
теле распределение напряжений в данный момент зависит от
всей истории (или программы) нагружения; поэтому задание
одной предельной нагрузки по всей вероятности недостаточно
для суждения о распределении напряжений в предельном со-
стоянии. Более того, по-видимому, и сама картина разрушения
для данной предельной нагрузки не является необходимо един
ci венной.
Следует отметить также, что вариационные принципы теории
предельных состояний могут быть доказаны только при усло-
вии, что все деформации достаточно малы и что поэтому изме-
нения в геометрии могут не учитываться при составлении урав-
нений равновесия. Таким образом, вариационные принципы
22
теории предельных состояний, строго говоря, верны только для
начальной стадии разрушения. На это в свое время обратил
внимание А. А. Гвоздев [20]. Этот вопрос рассматривался так-
же в работе [158].
Оба вариационных принципа теории предельных состояний
упруго-пластических тел тесно связаны с аналогичными вариа-
ционными принципами для жестко-пластического тела. Эта
связь станет вполне понятной, если учесть, что в доказательст-
вах обоих принципов не накладывались какие-либо ограниче-
ния на упругие постоянные, которые таким образом могут быть
как угодно велики.
В последние годы жестко-пластический анализ привлек вни-
мание многих исследователей, однако, как справедливо отме-
чает В. Койтер [85], еще нет единого мнения о преимуществах
я недостатках упруго-пластического или жестко-пластического
подхода к анализу предельных состояний.
Следует, однако, отметить, что жестко-пластический подход
не применим к анализу приспособляемости конструкций, так
как упругие деформации оказывают существенное влияние на
•состояние упруго-пластического тела, зависящее от предше-
ствующей истории нагружения.
Теория предельных состояний имеет очень большое практи-
ческое значение, однако ее роль не следует переоценивать. Она
не применима к анализу разрушения конструкций, изготовлен-
ных из пластически упрочняющегося или хрупкого материала.
Эта теория не дает возможности оценить ожидаемые на той
•или иной стадии данной программы нагружения деформации
конструкции.
Выше мы отметили, что принципы теории предельных состо-
яний применимы только к начальной стадии разрушения. Мож-
но привести примеры конструкций, у которых начальная стадия
разрушения не приводит к обрушению и для продолжения про-
цесса разрушения требуется увеличение нагрузки.
Примером подобной конструкции может служить обыкно-
венная плита, заделанная в жесткий контур.
Таким образом, уместно говорить о нижнем и верхнем зна-
чении разрушающей нагрузки. Одной из задач дальнейшего
развития теории предельных состояний является разработка
общих методов нахождения верхних значений разрушающих
нагрузок.
В заключение мы хотим обратить внимание на крайне ин-
тересную с теоретической точки зрения особенность кинемати-
ческого принципа теории предельных состояний. Этот принцип,
•связывающий скорость работы внешних сил со скоростью пла-
стической диссипации энергии в теле (или, что то же самое,
со скоростью роста энтропии) для всех возможных полей ско-
ростей деформации, носят ярко выраженный термопластиче-
ский характер.
23
Возможно, что этот принцип является частным выражением
некоторого общего термодинамического постулата. Однако об-
суждение этого вопроса выходит за рамки настоящей книги.
4.	ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ, ИЗГОТОВЛЕННЫХ
ИЗ ИДЕАЛЬНО УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Мы переходим к рассмотрению крайне интересной и имею-
щей громадное практическое значение проблеме, от правиль-
ного разрешения которой зависит самая возможность исполь-
зования теории предельных состояний при практическом рас-
чете конструкций.
Ввиду сложности этой проблемы мы начнем ее рассмотре-
ние со сравнительно простого примера стержневой рамной кон-
струкции ', находящейся под действием нескольких независимо
изменяющихся сосредоточенных сил.
Если бы эта рама все время находилась в чисто упру-
гом состоянии, то для определения ее напряженного (и дефор-
мированного) состояния для любой заданной комбинации внеш-
них сил нет необходимости знать всю историю нагружения.
Совершенно иное положение будет, если в процессе нагруже-
ния в отдельных сечениях рамы возникли пластические шарни-
ры. В этом случае напряженное и деформированное состояние
рамы будет полностью определяться только при условии пол-
ного задания всей программы нагружения. Если, в частности,
программа нагружения предусматривает в какой-то момент вре-
мени полное снятие внешних нагрузок, то и в этом случае рас-
пре деление остаточных напряжений, соответствующих этому
моменту времени, может быть получено только при условии
знания всей предшествующей истории нагружения.
Может случиться, что при некоторой программе нагруже-
ния деформации конструкции будут неограниченно возрастать,
хотя мгновенное значение действующей нагрузки не является
разрушающим пли предельным в течение всей истории нагру-
жения.
Б. С. Саймондс и Б Г. Нил [108] подобный тип разрушения
предложили назвать «прогрессивным разрушением».
Итак, в условиях прогрессивного разрушения происходит
неограниченный рост пластических деформаций, хотя ни в один
из моментов времени конструкция не превращалась в меха-
низм.
При другой программе нагружения может случиться, что
хотя неограниченного роста пластических деформаций не имеет-
ся, однако пластическая деформация повторно возникает, ко
леблясь в определенных пределах. В этом случае очень бы-
1 В. Койтер [85], например, указывает, что в высшей степени ориги-
нальные работы Н. Мелана, посвященные теории приспособляемости, весьма
трудны для понимания.
24
стро может наступить усталостное разрушение, которое в ли-
тературе по предельным состояниям обычно называют «цикли-
ческим разрушением».
Наконец при определенной программе нагружения может
случиться, что после конечной величины пластической дефор-
мации конструкция начинает работать вполне упруго, т. е. на-
копившееся в конструкции остаточные напряжения вместе с
упругими напряжениями, начиная с этого момента, никогда
не достигают предела текучести.
В этих случаях говорят (согласно предложению В. Пра-
гера), что конструкция приспособилась к данной программе
нагружения.
В практических случаях, однако, мы, как правило, не знаем
истории нагружения, которому может подвергнуться та или
иная конструкция. Таким образом, создается впечатление, что
возможность практического использования теории предельных
состояний оказывается под серьезным ударом. В самом деле,
знания только пределов, в которых может изменяться та или
другая действующая на сооружение нагрузка (а практически
только это мы и знаем), недостаточно для установления воз-
можности прогрессивного или циклического разрушения. Един-
ственное, что можно установить, обладая столь ограниченной
информацией о действующих на конструкцию нагрузках, так
это только возможность проверить, допускают ли изменяющие-
ся в данных пределах нагрузки образование разрушающей ком-
бинации. А этого, как мы видели, совершенно недостаточно для
суждения о безопасности конструкции.
Положение, однако, спасает установленная Н. Меланом об-
щая теорема о приспособляемости. Эта теорема применительно
к рамным конструкциям формулируется следующим образом:
«Если можно найти любое частное распределение остаточных
изгибающих моментов, которое позволяет воспринимать все-
возможное изменение приложенных нагрузок в установленных
пределах при помощи чисто упругих изменений изгибающих
моментов, то конструкция в конце концов приспосабливается,
хотя истинное распределение остаточных моментов, возникаю-
щее в конструкции после ее приспособления, необязательно бу-
дет совпадать с тем частным распределением, которое было
найдено ранее».
Другими словами, теоремой Н. Мелана утверждается, что
если конструкция может приспосабливаться, то это обязатель-
но произойдет, точнее, если существует какое-либо распреде-
ление моментов, соответствующее состоянию приспособляемо-
сти, то рама приспособится.
Н. Мелан вначале установил свою теорему для статически
неопределимых ферм. Двумя годами спустя он доказал общую
теорему для трехмерного идеально пластического тела. Однако
доказательство Мелана было исключительно сложно. Суще-
3 Зак. 328
25
ственное упрощение в это доказательство внесли Б С Сай-
мондс [108], В. Т. Койтер [85] и В. Прагер [115]. В. Т. Койтер
доказал также вторую теорему о приспособляемости [85].
Примеры расчета приспособляемости конструкций различ-
ных типов приведены в монографиях А. Р. Ржаницына [134]..
Б. Г. Нила [108] и Ф. Г. Ходжа [157].
Общая теорема Н. Мелана в формулировке В. Койтера
сводится к следующему утверждению: «Если можно найти та-
кое не зависящее от времени распределение остаточных напря-
жений, что их сумма с условными упругими напряжениями
в каждой точке тела образует безопасное напряженное состоя-
ние (т. е. напряженное состояние внутри поверхности теку-
чести) при всевозможных комбинациях нагрузок, лежащих в
заданных пределах, то конструкция приспособится к некоторо-
му не зависящему от времени (но зависящему от действитель-
ной программы нагружения) распределению остаточных напря-
жений, и при последующих изменениях нагрузок в заданных
пределах поведение конструкции будет вполне упругим. С дру-
гой стороны, приспособляемость невозможна, если не существу-
ет никакого не зависящего от времени распределения остаточ-
ных напряжений с тем свойством, что при всех возможных
комбинациях нагрузок сумма остаточных и «упругих» напряже-
ний является в каждой точке тела допустимым напряженным со-
стоянием».
Второй теоремой о приспособляемости (теорема В. Койте-
ра) утверждается, что приспособляемость невозможна, если
можно найти такие внешние нагрузки, величины которых лежат
в заданных пределах, и такой допустимый цикл скоростей плас-
тической деформации, что будет удовлетворено некоторое нера-
венство, носящее энергетический характер.
Рассмотрим теперь работу конструкций при сложном си-
ловом и тепловом нагружениях.
Когда в конструкции возникают локальные пластические
деформации, вопрос о возможности непрерывного роста этих
пластических деформаций или их циклической повторяемости
при неопределенной программе теплового и силового нагру-
жения (точнее, при программе, ограниченной только сверху
и снизу фиксированными значениями температур и нагрузок)
имеет особо большое практическое значение. Во всех подобных
случаях конструктор должен ответить на вопрос, приспособит-
ся пи конструкция к возможному тепловому и силовому нагру-
жению или ее ждет прогрессивное или циклическое разруше-
ние.
Для этого чтобы понять фундаментальное практическое зна-
чение этой проблемы в условиях силового и теплового нагру-
1 То есть с напряжениями, рассчитанными в предположении идеальной
упругости среды, при неограниченно большой величине предела текучести.
26
жения, следует учесть, что во многих реальных конструкциях
совершенно невозможно избежать локальных пластических де-
формаций (места крепления трубопроводов к стенкам резер-
вуаров для горячих жидкостей, местные усиления стенок ре-
зервуаров и т. п.).
Проблеме термопластической приспособляемости посвящена
весьма интересная работа В. Прагера [116]. Рассматривая этот
вопрос с общей точки зрения для идеально пластического те-
ла, В. Прагер установил следующую теорему: «Приспособляе-
мость возникает, если можно найти такое состояние самона-
пряжений, что наложение этого состояния на чисто упругое по-
веление конструкции при заданных поверхностных усилиях,
объемных силах и температуре не вызовет ни в одной точке и
ни в один момент времени напряжений на пределе текучести
или выше его». •
Практическое использование теоремы В. Прагера затрудни-
тельно. Придется еще немало поработать для создания инже-
нерных методов расчета конструкции на приспособляемость.
Весьма интересный геометрический подход к проблеме при-
способляемости принадлежит А. Р. Ржаницыну [134] и его уче-
никам [95, 96]. В этих работах дано детальное изучение про-
цесса приспособляемости для конструкций различного типа.
Следует упомянуть также работу В. В. Москвитина [101].
5. ТЕОРИЯ КОНСТРУКЦИЙ МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА
Сущность этой проблемы лучше всего выяснять на примере
простой рамной системы, изготовленной из идеального упруго-
пластического материала. Для расчета такой рамы необходимо
величину внешней нагрузки умножить на коэффициент запаса,
затем задаться отношениями предельных моментов во всех
элементах рамы к одному из них, после чего пластический рас-
чет даст абсолютное значение этого предельного момента, а
следовательно, и всех остальных предельных моментов.
Таким образом, общий расход материала на раму будет
функцией принятых вначале расчета отношений предельных мо-
ментов элементов рамы. Ясно, что должна существовать систе-
ма оптимальных отношений этих предельных моментов, при
которой рама, изготовленная из профилей данного типа, имеет
наименьший вес.
Эта проблема исследована Ф. Г. Фолкисом, Б. Г. Нилом [108],
Ф. Г. Ходжем [157], Р. Шильдом [163], А. Р. Ржаницыным [134] и
другими исследователями.
В монографии Ф. Г. Ходжа [157] приведен пример расчета
П-образной рамы, из которого видно, что при оптимальном
отношении предельных моментов вес рамы будет равен 558 кг,
в то время как при других отношениях предельных моментов
он может достигнуть значения в 738 кг.
3*
27
Таким образом, речь идет о громадной возможной экономии
металла, которую можно достигнуть при рациональном проек-
тировании статически неопределимых систем.
Следует отметить, однако, что еще не разработаны практи-
ческие инженерные методы проектирования конструкций ми-
нимального веса. Более того, общая теория минимального про-
ектирования конструкций еще далека от своего завершения.
Основное значение имеют здесь четыре фундаментальных
теоремы Н. Фолькиса [108]. Содержание первой теоремы сводит-
ся к следующему:
«Если сечения рамы определяются значениями п разных
предельных пластических моментов, то всегда возможно най-
ти по крайней мере одну конструкцию минимального веса,
механизм разрушения которой обладает п степенями свободы».
Далее вторая теорема утверждает:
«Если для некоторой рамы может быть образован механизм,
соответствующий весу, а также может быть найдено соответ-
ствующее безопасное и статически допустимое распределение
изгибающего момента в раме, то эта конструкция обладает ми-
нимальным весом». Причем механизм называется соответствую-
щим весу, если отношения коэффициентов уравнения работ
к соответствующим коэффициентам линеаризированного урав-
нения веса имеют одни и те же значения для всех элементов
рамы.
В третьей теореме Н. Фолькиса утверждается:
«Если для некоторой рамы можно показать, что ее разру-
шение происходит в соответствии с некоторым механизмом,
причем в раме может быть установлено соответствующее бе-
зопасное и статически допустимое распределение изгибающего
момента, то вес этой рамы больше или равен минимальному
весу».
И, наконец, в четвертой теореме утверждается:
«Если для заданной рамы может быть образован механизм,
соответствующий весу, но безопасное и статически допустимое
.распределение изгибающего момента в раме установлено не
будет, то вес этой рамы меньше, чем вес конструкции мини-
мального веса».
II. Фолькис исходил из линеаризированных уравнений веса.
Это ограничение является сильным упрощением реальной си-
туации, которая здесь имеется.
С несколько более общей точки зрения эту проблему рас-
сматривал Р. Шилд [163],
Для полного теоретического разрешения проблемы мини-
мального проектирования необходимо исходить из нелинейных
уравнений веса и, кроме того, изучить зависимость веса от воз-
можной программы нагружения.
Весьма интересные исследования по проблеме конструкций
минимального веса принадлежат И. М. Рабиновичу [117],
А. Р. Ржаницыну [134] и др.
28
Заметим, что для общего исспедования этой проб темы мо-
г)т быть эффективно использованы методы математического
программирования [100]. На это обратил внимание еще
Б. Г. Нил [108].
6 ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.
ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
В последние готы опубликовано огромное число работ, по-
священных решению конкретных частных задач по опретете-
нию предельных нагрузок для конструкций различного типа.
Типичные задачи о предельных нагрузках для стержневых
систем и пластинок рассмотрены в монографиях и работах
В. А. Балдина [3], А. А. Гвоздева [20], А. Р. Ржаницына [134],
А. В. Геммерлинга [21], А. А. Ильюшина [72], Б. Г. Нила [108],
Ф. Г. Ходжа [157], В. Прагера [115], В. В. Соколовского [143]
и др. Задачи о предельных нагрузках для оболочек рассмат-
ривали А. А. Ильюшин [72], А. Р. Ржаницын [134], Ф. Г. Ходж
[157, 159], Е. Т. Онат [111] и др.
Для решения этих задач применяли различные способы,
к которым можно отнести методы последовательных попыток,
комбинированных механизмов, распределения пластических
моментов, линейных неравенств и др.
Подобное изложение этих методов дано в упомянутых мо-
нографиях.
Все эти методы в конечном счете основаны на экстремаль-
ных принципах теории предельных состояний. С более широ-
кой точки зрения эти методы являются частными приемами об-
щих методов теории линейного и нелинейного программирова-
ния. Вообще следует заметить, что использование общих ме-
тодов математического программирования в задачах о предель-
ных состояниях еще ждет своей реализации. Мы не будет бо-
лее подробно рассматривать здесь этот вопрос.
В большинстве случаев определение предельного состояния
тех или иных конструкций производилось на основе жестко-
пластического анализа.
Следует, однако, иметь в виду, что модель жестко идеально
пластического тела дает приемлемые результаты только в слу-
чаях, когда пластические деформации на один порядок выше
упругих деформаций. С другой стороны, необходимо, чтобы ос-
таточные деформации были достаточно малы с тем, чтобы
можно было пренебречь изменением формы системы и все
уравнения относить к первоначально недеформированному со-
стоянию.
Очевидно, границы применимости жестко-пластического ана-
лиза должны устанавливаться в каждом отдельном случае.
29
7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИИ,
ПОДВЕРГНУТЫХ УДАРНОМУ
ИЛИ ИМПУЛЬСИВНОМУ НАГРУЖЕНИЮ'
Задача об импульсивном нагружении упруго-пластических
систем рассматривалась А. А. Гвоздевым в 1943 г. [20].
А. А. Гвоздев предполагал, что образовавшиеся в процессе
деформации пластические шарниры не меняют своего положе-
ния вплоть до конца деформации.
Вместе с тем, как позже было показано Б. Саймондсом [139],
картина деформации оказывается значительно более сложной.
В общем случае расположение пластических шарниров отли-
чается от того расположения, которое они имели бы при ста-
тическом нагружении, и, кроме того, положение пластических
шарниров не является неизменным — они перемещаются, остав-
ляя позади себя «хвост» остаточных деформаций.
Таким образом, метод А. А. Гвоздева можно применять толь-
ко для ориентировочной оценки величины деформации систе-
мы, подвергшейся импульсивному нагружению. Это было от-
мечено А. Р. Ржаницыным ([135], который указал, что сохране-
ние формы движения балки возможно только в следующих двух
случаях:
1) когда распределение нагрузки по длине балки имеет
тот же вид, что и кривая прогибов, углы перелома которой со-
ответствуют положениям максимальных изгибающих моментов,
равных их предельному значению и вызванных внешней на-
грузкой совместно с инерционными силами;
2) при постоянной во времени нагрузке и условии, чго на-
чальные скорости соответствуют искомой форме движения
балки.
А. А. Ржаницыным рассмотрена задача о внезапном нагру-
жении балки некоторой нагрузкой в предположении, что удов-
летворены условия, приведенные во втором из указанных слу-
чаев.
Для решения задач, аналогичных указанной, А. Р. Ржани-
цын предложил вариационный принцип. А. Р. Ржаницыну при
надлежит также решение ряда частных задач по предельному
состоянию стержневых систем, пластинок и оболочек в усло-
виях динамического нагружения.
Более общий вариационный принцип был указан В. Таму-
жем [145].
Предельное состояние балок в условиях динамического на-
гружения рассматривалось в интересных работах Б. С. Сай-
мондса [139], Ф. Ходжа [157], Г. С. Шапиро [94] и др.
Многие важные задачи по предельному состоянию упруго-
пластических систем решены в капитальной двухтомной моно-
1 Рассмотрение этого вопроса продолжено в п. 4 главы II книги.
30
графин II М. Рабиновича, А. П. Синицына и Б. М. Терени-
на [117].
Предельные состояния оболочек, подвергнутых импульсив-
ному нагружению, изучались в работах Ф. Ходжа [157],
Г1. А. Кузина [92, 93, 94] и других авторов.
Импульсивное нагружение сплошных среч. изучалось в ра
ботах X. А. Рахматулина [124], Г. С. Шапиро [161], В. В. Со-
коловского [143], Г А. Гениева [25, 26, 27, 28, 29, 30], М. И. Эст-
пина [168, 169, 170, 171, 172] и других авторов.
8. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ КОНСТРУКЦИИ,
ИСПЫТЫВАЮЩИХ ДЕФОРМАЦИЮ ПОЛЗУЧЕСТИ
Теория ползучести — сравнительно молодой раздел механики
твердого тела. По-видимому, первая работа по теории ползу-
чести принадлежит А. Андраде (1910 г.). Этот исследователь
проводил эксперименты по ползучести меди, свинца, чистого
железа, латуни и некоторых других металлов и сплавов ппи
различных температурах.
Работа А. Андраде не привлекла к себе особого внимания
и исследования процесса ползучести различных материалов
вплоть до начала 30-х годов происходили довольно медленно.
Положение, однако, коренным образом изменилось после появ-
ления первых работ Д. Одквиста (1943 г.), Р. Бейли (1935 г.),
Д. Мэрина (1937 г.) и других исследователей. Начиная с это-
го времени мы являемся свидетелями все возрастающего инте-
реса к теории ползучести. Вряд ли будет преувеличением ут-
верждение, что число публикаций в этой области растет из
года в год по закону геометрической прогрессии.
В настоящее время создалось несколько школ исследовате-
лей, разрабатывающих проблемы теории ползучести.
Весьма важные результаты получены специалистами совет-
ской школы как в теории ползучести металлов и сплавов
(Ю. Н. Работнов и его ученики, Л. М. Качанов, А. Р. Ржани-
цын), так и в теории ползучести бетона и других строительны;
материалов (Н. X. Арутюнян и его ученики, И. М. Улицкий,
Ю. М. Иванов и др.).
За рубежом наиболее серьезные результаты получены спе-
циалистами американской и английской школ (В. Прагер,
Д. Хофф, А. Джонсон, Д. Мэрин, Ф. Ходж, А. Девис и др).
В последнее время опубликовано несколько работ — обзоров
литературы по теории ползучести. Наиболее подробный труд
А. Джонсона [48], охватывает литературу с 1940 по 1960 г.
Ниже рассмотрены некоторые новые работы и обсужден
ряд проблем этой теории, имеющих, по нашему мнению, прин-
ципиальное значение. Особое внимание будет уделено вопросу
о предельных состояниях конструкций, испытывающих дефор-
мацию ползучести.
31
Даже при беглом просмотре литературы по теории ползу-
чести нельзя не обратить внимание на большое разнообразие
аналитических выражений, предлагавшихся различными авто-
рами для характеристики процесса деформации ползучести.
Удивляться этому не приходится, так как различные материа-
лы обладают различными механическими свойствами, и, есте-
ственно, поэтому законы ползучести этих материалов не могут
быть описаны одним аналитическим выражением. Кроме того,
для описания процесса ползучести в первичной, вторичной и
третичной стадиях также приходится прибегать к различным
аналитическим выражениям.
В настоящее время еще не выработано единой точки зрения
даже по основным положениям теории ползучести. Мы живем
в период поисков и оживленных дискуссий по различным во-
просам теории ползучести, столь характерным для начального
периода возникновения той или иной области науки.
Несмотря на большое разнообразие различных вариантов
теории ползучести, все же возможна их некоторая общая клас-
сификация.
Широкое распространение получила так называемая теория
старения [120] и др. Уравнения этой теории носят необычный
для физической теории характер, так как в них явно входит
ьремя.
Нетрудно показать, что эта теория, будучи применена к пе-
ременным нагрузкам, может привести к абсурдным результа-
там, поэтому совершенно прав Ю. Н. Работнов [120], указывая,
что введение явной зависимости от времени в основное соот-
ношение между напряжениями и деформациями может рас-
сматриваться только как рабочая гипотеза, пригодная для при
ближенных расчетов при определенных режимах нагружения.
Так как различные варианты теории старения получили
большое распространение в технической литературе для опи-
сания процессов ползучести металлов и в особенности бетона,
на этом вопросе следует остановиться подробнее.
Как известно, общие физические законы, описывающие про-
исходящие в природе процессы, явно от времени не зависят.
От времени мог^т зависеть только внешние для изучаемой си-
стемы условия (внешние силы, заданная на границе тела тем-
пература, и т. д.). На протяжении всего курса физики — в ме-
ханике. в теории теплоты, в теории электромагнитного поля
и т. д. основные закономерности описываются при помощи диф
ференциальных уравнений, в которые время явно не входит.
Иногда для оправдания теории старения указывают, что эта
теория явно отражает зависящие от времени процессы, происхо-
дящие в материалах (например, изменение физико-механиче-
ских свойств бетона по мере его твердения). Однако это рас-
суждение совершенно неправильно. Остановимся, например, на
процессе твердения бетона. Верно, что со временем меняются
32
прочность, вязкость, пластические и другие свойства бетона.
Процесс твердения есть, таким образом, неравновесный физико-
химический процесс, который принципиально может быть опи-
сан некоторой системой дифференциальных уравнений. Проин
тегрнровав эти уравнения для данных температурно-влажно-
стных условий, сопровождающих процесс твердения бетона, мы
могли бы получить в форме, явно зависящей от времени (част-
ные интегралы для данных условий), изменения вязкости, пла-
стичности и других свойств бетона.
Следовательно, теория ползучести бетона, которую можно
было бы называть физической теорией, должна была бы со-
стоять из уравнений, описывающих изменение физико-механиче-
ских свойств бетона со временем, и собственно уравнений пол-
зучести. При этом могли бы явно зависеть от времени только
заданные внешние условия (внешние силы, внешние темпера
турно-влажностные условия и т. д.). В настоящее время мы
очень далеки от построения подобной теории ползучести бето-
на. Кроме того, подобная теория была бы, вероятно, очень
сложна для практического применения. Поэтому теории ста-
рения имеют право на существование для материалов, в кото
рых происходят внутренние процессы. Следует, однако, пом-
нить об условиях их применения для технических расчетов
Если в основу теории старения положены экспериментальные
данные, полученные при постоянных напряжениях, то эту тео-
рию можно применять только при постоянных или, в качестве
приближения, медленно меняющихся внешних нагрузках. Если
в основу теории старения положены экспериментальные данные
для меняющихся по определенному закону и с определенными
скоростями напряжений, то эта теория старения может при-
меняться только в таких же или близких к ним условиях. Об
этих ограничениях при применении теорий старения следует
всегда помнить.
Наибольшее значение среди современных технических тео-
рий ползучести имеют так называемые теории упрочнения и
наследственные теории.
Уравнения теории упрочнения связывают в форме некото-
рой аналитической зависимости напряжения, деформации, ско-
рости напряжений и скорости деформаций /(о, о, е, е)=0. Ана-
лиз общих форм связей подобного типа был произведен
И. И. Гольденблатом [32].
Различные варианты теории упрочнения предложены в свое
время А. Ю. Ишлинским, Н. А. Слезкиным, В. Прагером.
Ю. Н. Работновым и др.
Более общий характер носят наследственные теории ползу-
чести. Простейшая из них предложена еще А. Вольтерра. Зна-
чительный интерес представляет нелинейная теории наслед-
ственной ползучести, предложенная Ю. Н. Работновым. Есть
основания полагать, что при надлежащем выборе наследствен-
33
ных функций уравнения этой теории смогут применяться для
одновременного описания всех трех стадий ползучести.
Остановимся в нескольких словах на связи теории пластич-
ности и теории ползучести. С физической точки зрения мы име-
ем дело в обоих случаях, по-видимому, с одним и тем же не-
обратимым процессом, только в случае пластических дефор-
маций скорость этого процесса велика (пластические деформа-
ции возникают практически немедленно вслед за приложением
нагрузки), а скорость деформации ползучести очень мала. Кро-
ме того, пластическая деформация носит невязкий характер,
так как пластические деформации определяются однозначно
кривой нагружения в пространстве напряжений и не зависят
от скорости изменения напряжений вдоль этой кривой. В про-
тивоположность этому деформации ползучести явно зависят от
скорости изменения напряжений. Тем не менее может быть по-
строена объединенная теория пластичности и ползучести. Один
из возможных вариантов подобной теории был предложен
И. И. Гольденблатом [43].
В последние годы разработан ряд общих положений теории
ползучести. Необходимо отметить результаты, полученные
Л. М. Качановым вариационные принципы, [75], Ю. Н. Работно-
вым [120], и другими исследователями.
Необходимо отметить также появление в течение послед-
них 5—7 лет большого числа работ, посвященных решению от-
дельных частных задач (ползучесть стержневых систем, пла-
стинок, оболочек и массивных конструкций). Важнейшие из
этих работ указаны в упоминавшемся обстоятельном обзоре
А. Джонсона [48] в монографии Л. М. Качанова [75] и др. Не-
которые из более новых работ, посвященных решению отдель-
ных задач, указаны в библиографии, приведенной в конце
главы.
Теория ползучести представляет интерес для инженера с
разных точек зрения.
Во-первых, в результате деформации ползучести конструк-
тивные элементы могут существенно измениться по форме. Со-
вершенно естественно, что эти изменения должны интересовать
инженера, он должен их предвидеть, и в необходимых случаях
принимать меры к их ограничению. Значительные деформации,
связанные с ползучестью, могут привести конструкцию в со-
стояние, при котором ее дальнейшая эксплуатация окажется
невозможной.
Во-вторых, необходимо отметить, что в результате процес-
сов ползучести и релаксации может существенно измениться
напряженное состояние конструкции. Инженер должен предви-
деть характер этого изменения и в необходимых случаях при-
нять меры для регулирования этого процесса изменения напря-
жений.
31
Практически подобный процесс регулирования напряжений,
возникающих в процессе ползучести, давно применяется в же-
лезобетонном мостостроении (работы Э. Фрейсине и др.), в
предварительно напряженных железобетонных конструкциях
и т. д.
В третьих, следует отметить, что теория ползучести имеет
существенное значение для общей теории устойчивости кон-
струкций. Эта проблема не будет, однако, здесь обсуждаться.
В-четвертых, необходимо особо подчеркнуть огромное тех-
ническое значение теории ползучести в проблеме прочности
конструкции. Речь идет о так называемой длительной проч-
ности.
Проблема длительной прочности может рассматриваться
как один из разделов общей теории предельных состояний кон-
струкций.
Л. М. Качанов [74] так характеризует имеющуюся здесь си-
туацию: «Можно считать, что разрушение наступает при вся-
ком напряжении; при высоком напряжении оно происходит че-
рез короткий промежуток времени, при низком — время до мо-
мента разрушения оказывается значительным. В этих услови-
ях обычное понятие предела прочности теряет смысл и инжене-
ры используют другую характеристику — длительную прочность,
т. е. напряжение, приводящее к разрушению через определен-
ное время (время «жизни» детали, например, для турбинных
чисков—-100000 ч) при данной температуре». По-видимому,
Н. Хофф впервые исследовал проблему предельного состояния
в условиях длительной прочности при сложном напряженном
состоянии. Концепция Н. Хоффа, основанная на представлении
о «вязком», т. е. сопровождающемся большими деформация-
ми разрушении, более или менее удовлетворительно описывает
ряд экспериментальных фактов. Однако теория Н. Хоффа не в
состоянии объяснить «хрупкие» (мало деформационные) раз-
рушения. Эти разрушения, как указывает Л. М. Качанов, свя-
заны с образованием и развитием поля трещин.
Л. М. Качанов посвятил ряд работ развитию этой идеи
[74, 75]. Этой же проблеме посвящены работы В. И. Розенблю-
ма [136], Ш. Н. Каца [78] и др.
Исследование предельных состояний в условиях длительной
прочности еще только начато. Исследования в этом направ-
лении должны интенсивно развиваться.
Остановимся вкратце на явлении ползучести в условиях вы-
соких температур.
Эксперименты показывают, что в этих условиях скорость
ползучести металлов и сплавов резко вырастает. Наступает
явление так называемой «кратковременной ползучести» (тер-
мин, предложенный Н. Хоффом). Эксперименты показывают
также, что в условиях больших температур резко меняется ха-
рактер ползучести жаропрочных бетонов и других материалов.
35
Исследования А. Джонсона [48] и др. показали, что крат-
ковременная ползучесть металлов и сплавов имеет ряд спе-
цифических особенностей.
Как известно, для ползучести металлов и сплавов харак-
терна нелинейная зависимость скорости ползучести от напря-
жений. В условиях кратковременной ползучести наблюдается
заметное увеличение нелинейности процесса. Далее, так как
кратковременная ползучесть протекает при температурах, пре-
вышающих критические температуры для модулей упругости и
модулей пластичности данного материала, то величина упругой
и пластической деформации по отношению к деформации пол-
зучести не является уже пренебрежимо малой.
На основании анализов некоторых результатов эксперимен-
тов может быть показано, что прочесе кратковременной ползу-
чести металлов и сплавов наилучшим образом описывается
уравнениями нелинейной наследственной теории ползучести
Ю. Н. Работнова [120].
Процесс деформации ползучести в условиях высоких и сверх-
высоких температур в ряде случаев (жаропрочные бетоны, не
которые виды высокополимеров) может сопровождаться слож-
ными химическими и физико-химическими процессами. Все эти
явления почти не изучены.
Понятно, что кратковременная ползучесть не может быть
допущена в строительных конструкциях. Поэтому для инжене-
ра-строителя, проектирующего конструкции, которые должны
будут эксплуатироваться в условиях высоких температур, сле-
дует с крайней осторожностью проверить возможность наступ-
ления кратковременной ползучести, так как это явление может
очень быстро привести к аварии конструкции, несмотря на то,
что упругие напряжения при этом могут быть малы.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Айви Г. Соотношение напряжение—деформация и пэверхность теку-
чести для алюминиевых сплавов. Сб. «Механика», № 3, 1962.
2.	Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. Гостех-
тсоретиздат, 1953.
3.	Балдин В. А.. Гвоздев А А., Г о л ь д е н б л а т И. И., И в з-
н о в Ю. М., Келдыш В. М., Коченев В. М., Онищик Л. И.,
Т аль К. Э. Расчет конструкций по методу предельных состояний. Под ре-
дакцией В. М Келдыша. Госстройиздат, 1952.
4.	Балдин В. А. О расчете клепаных металлических конструкций по
предельным состояниям. «Строительная механика и расчет сооружений»
№ 5, 1961.
5	Балдин В. А Некоторые вопросы расчеты металлических конструк-
ций по первому предельному состоянию. Металлические конструкции. Сб.
трудов № 43, MUCH, посвященный /5-летию проф. Стрелецкого Н. С. Го-
сударственное научно-техническое издательство литературы по горному де-
лу, 1962.
6.	Б а л д и н В А., Т р о ф и м о в В. И. Экспериментальные исследова-
ния условия текучести строительной стали на плоских образцах. Известия
Академии на>к СССР Отделение технических наук, № 3, 1958.
36
7.	Балтин В. А., Трофимов В. II. Упруго-пластическая работа
стали при сложных нагружениях. ..Строительная механика и расчет соору-
жений», № 6, 1959
8.	Балдин В. А., Трофимов В. II. Исследование упруго-пластиче-
ских свойств строительной стали при плоском напряженном состоянии.
«Исследования по металлическим конструкциям». Госстройиздат, 1961.
°	Балдин В А., Т р о ф и м о в В II Исследование развития пласти
ческих деформаций строительной стали при плоском напряженном состоя-
нии и сложных видах нагружения. Сб. «Исследования по стальным конст-
рукциям». Госстройиздат, 1962.
10.	Батдорф С. и Будянский М. Математическая теория пла-
стичности. основанная на концепции скольжения. Сб. «Механика» № 1,
1962.
11	Б и о М. Термоупругость и термодинамика необратимых процессов.
Сб. «Механика», № 3, 1957.
12.	Богуславский П. Я- Ползучесть полукольцевых пластин. «Теп-
лоэнергетика» № 2, 1958.
13.	Богуславский П. Я О ползучести при кручении. «Известия
АН СССР, Отделение технических наук, Механика и машиностроение», № 4,
1956, 151—152.
14.	Болотин В. В., Власов В 3., Гольденблат И. И О раз-
витии строительной механики. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и ма-
шиностроение», № 2, 1959.
15.	Брауде Б. М. Предельные состояния стальных балок. Госстрой-
нздат, 1953
16.	Будянский Б. Переоценка деформационных теорий пластично-
сти. «Механика», № 2(60), 71—84 (1960).
17.	Вакуленко А А. Термодинамические исследования связей меж-
ду напряжениями и деформациями в изотропных упруго-пластических сре-
дах. ДАН СССР, т. 126, № 4, 1939.
18.	Вульфсон С. 3. Некоторые вопросы нелинейной теории ползуче-
сти. Сб. «Исследования по расчету оболочек, стержневых и массивных кон
струкций». Госстройиздат, 1963.
19.	Гаусс Л. Линейное программирование. Физматгиз, 1961.
20.	Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по мето-
ду предельного равновесия. Стройиздат, 1949.
21.	Гем мер л инг А. В. Несущая способность стержневых стальных
конструкций. Госстройиздат, 1958.
22	Г е м м е р л и н г Г. А. О работе прямого центрально сжатого стерж-
ня из линейно-упрочняющегося материала за пределом упругости. «Вестник
МГУ» № 5, 1960.
23.	Геммерлинг Г А. О постулате пластичности «Прикладная ме-
ханика и математика», № 1, 1964
24.	Геммерлинг А. В Вопросы прочности и устойчивости строи-
тельных конструкций. Сб. ЦНИИСК «Расчеты конструкций, работающих в
упруго пластической стадии». Госстройиздат, 1961
25.	Гениев Г. А. Характеристические линии и линии слабых разры-
вов в плоской динамической задаче пластичности. Госстройиздат, 1959.
26.	Гениев Г. А. Некоторые вопросы распространения двумерных
волн в сжимаемых пластичных средах Сб. «Вопросы теории пластичности
и прочности строительных конструкций». Госстройиздат, 1961
27.	Гениев Г. А. К вопросу об условии прочности бетона. Сб. «Ис-
следования по вопросам теории пластичности и прочности строительных
конструкций». Госстройиздат, 1958.
28.	Гениев Г. А. Задача о действии жесткого штампа на бетонное
основание в условиях плоской деформации и плоского напряженного со-
стояния. Сб. «Исследования по строительной механике». Госстройиздат,
1962.
29.	Гениев Г. А. Задача о действии давления в цилиндрической по-
лости бетонного массива пли в толстостенной трубе в условиях плоской
37
деформации и плоского напряженного состояния. Сб. «Исследования по
расчету оболочек, стержневых и массивных конструкций». Госстройиздат,
1962.
30.	Гениев Г. А. и Кис сю к В. Н. К экспериментальному обоснова-
нию условия прочности материалов, обладающих различным сопротивлени-
ем растяжению-сжатию. Сб. «Исследования по расчету оболочек, стержне-
вых и массивных конструкций». Госстройиздат, 1963.
31.	Гинцбург Я- С. Релаксация напряжений в металлах. Машгиз,
1957.
32.	Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируе-
мых сред. Гостехтеоретиздат, 1956.
33.	Гольденблат И. И. и Николаенко Н. А. Расчет темпера-
турных напряжений в ядерных реакторах. Госатомиздат, 1962.
34.	Гольденблат И. И. Об одном методе в теории упругих и пла-
стических деформаций. ДАН СССР, т. XI, вып. 6, 1948.
35.	Гольденблат И. И. Некоторые закономерности процесса упру-
го-пластических деформаций. ДАН СССР, т. XVIII, вып. 6, 1948.
36.	Гольденблат И. И. Об уравнениях равновесия для пластиче
ской среды. «Прикладная математика и механика», вып. 2, 1948.
37.	Гольденблат И. И. Об одной проблеме механики конечные
деформаций сплошных сред. ДАН СССР, т. XX, вып. 6, 1950.
38.	Гольденблат II И. Некоторые вопросы теории упругих и пла-
стических деформаций. Стройиздат, 1950.
39.	Гольденблат И. И. Теория малых упруго-пластических дефор
маций анизотропных сред. «Известия АН СССР» № 4, 1955.
40.	Гольденблат И. И Теория малых упруго-пластических .дефор-
маций анизотропных сред. ДАН СССР, № 2, 1955.
41.	Гольденблат И. И. Современное состояние теооии ползучести
Сб. трудов совещания по теории ползучести при ЦНИИСК. Госстройиз-
дат, 1964
42.	Гольденблат И. И. Некоторые вопросы теории упруго-пласти-
ческих деформаций. Сб. трудов. ЦНИИСК «Исследование прочности пла-
стичности и ползучести». Стройиздат, 1955.
43.	Гольденблат И. И. и Николаенко Н. А. Теория ползуче
сти строительных материалов и ее приложения. Госстройиздат, 1960.
44.	Гольденблат И. И. и Николаенко Н. А. Расчет конструк-
ций на действие сейсмических и импульсных сил. Госстройиздат, 1961.
45.	Г о ф м а н О., 3 а к с Г. Введение в теорию пластичности для инже-
неров. Машгиз, 1957.
46.	Г р у б и н А. Н. Плоский поперечный изгиб стержней постоянного
сечения в условиях установившейся ползучести.- Сб. научных трудов Куй-
бышевского индустриального института, вып. 6, Куйбышевское книгоизда-
тельство, 1956.
47.	Гудьер Дж. Н., Ход ж Ф. Г. Упругость и пластичность, ИЛ,
1960.
48.	Джонсон А. Ползучесть металлов при сложном напряженном
состоянии Сб. «Механика» № 4, 1962.
49.	Де-Гроот С. Р. Термодинамика необратимых процессов. Гостех
теоретизтат, 1956.
50.	Друккер Д. Об единственности решений в теории пластичности.
Сб. «Механика», № 4 (1944), 72—80 (1957).
51.	Друккер Д. Вариационные принципы в математической теории
пластичности Сб. «Механика», № 6 (1958), 63—79(1959).
52.	Друккер Д., Прагер В., Гринберг X. Расширенные теоре-
мы о предельном состоянии для непрерывной среды. Сб. «Механика», № 1,
1953.
53.	Друккер Д. Соотношения между напряжениями и деформация-
ми в пластической области. Сб. «Реология», ИЛ, 1962.
54.	Ер хов М. И Конечное соотношение между силами и моментами
38
при пластической деформации оболочек. «Строительная механика и расчет
сооружений» № 3, 1959.
55	Ер хов М И. Приближенные уравнения упруго-пластических обо-
лочек. Сб. ЦНИИСК- Исследования по строительной механике, вып 5.
Госстройиздат, 1962.
56.	Ер хов М. И. Предельное равновесие идеально пластических
стержней произвольного сечения при сложном напряженном состоянии.
Труды ЦНИИСК- Вопросы теории пластичности и прочности строительных
конструкций, вып 4, под ред. А Р. Ржаницына, 1961
57.	Е р х о в М. И. Пластическое состояние оболочек, пластин и стерж-
ней из идеально пластического материала. «Известия АН СССР, ОТН, Ме-
ханика и машиностроение», № 6, 1960.
58.	Ер хов М. И. Несущая способность безмоментной несимметрично
загруженной цилиндрической оболочки Сб. ЦНИИСК. «Исследования по
строительной механике», вып 5, под ред. А. Р. Ржаницына. Госстройиздат,
1962.
59.	Жуков А. М. Упругие свойства пластически деформированного ме-
талла и сложное нагружение. «Инженерный сборник», т. 30, 1960
60.	Жуков А М., Работнов Ю. Н. Исследование пластических
деформаций стали при сложном нагружении. «Инженерный сборник», т.
XVIII, 1954.
61.	Жуков А. М. Поведение металлов при разгрузке и повторной на-
грузке. «Инженерный журнал», т. I, № 1, 1961.
62.	За до ян М. А. Напряженное состояние цилиндрической трубы в
vrpyroii среде с учетом ползучести материала. «Известия АН Арм. ССР,
Отд. физико-математических, естественных и технических наук» № 9, 1956.
63.	Зверьков Б. В. Ползучесть трубы, нагруженной внутренним
давлением и изгибающим моментом. «Энергомашиностроение» № 6, 1959.
64.	Зверьков Б. В. Ползучесть труб, нагруженных внутренним дав-
лением и крутящим моментом. «Теплоэнергетика», № 6, 1959.
65.	3 и н е р К- Упругость и неупругость металлов. ИЛ, 1958.
66.	3 у б ч а н и н о в В. Г. Устойчивость стержней как элементов кон-
струкций за пределами упругости. «Инженерный сборник», т. 27. 1960.
67.	Ивлев Д. Д. К теории идеально пластической анизотропии. «При-
кладная математика и механика», вып. 6, 1959.
68.	Ильюшин А. А. О приращении пластических деформаций и по-
верхности текучести. «Прикладная математика и механика», вып. 4, 1960.
69.	Иль ю ш и н А. А. О постулате пластичности. «Прикладная матема-
тика и механика», вып. 3, 1961.
70.	Ильюшин А. А. Об основах общей математической теории пла-
стичности. Сб. «Вопросы теории пластичности», 1962.
71.	Ильюшин А. А. Вопросы теории пластичности. «Прикладная ма-
тематика .и механика», т. 24, вып. 3, 1960.
72.	Ильюшин А. А. «Пластичность». Издательство АН СССР, 1963.
73	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. Гостехтеоретиздат,
1956.
74.	Качанов Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести,
«Известия АН СССР, ОТН», № 8, 1958.
75.	Качанов Л. М. Теория ползучести. Физматгиз, 1960.
76.	Кац Ш. Н. Исследование длительной прочности углеродистых труб.
«Теплоэнергетика» № И, 1955. Разрушение аустенитовых труб под дейст-
вием внутреннего давления в условиях ползучести. «Энергомашинострое-
ние», № 2, 1957.
77.	Кац Ш. Н. Ползучесть и разрушение труб под действием внут-
реннего давления «Известия АН СССР, ОТН», № 10, 1957.
78.	Кац Ш. Н. Разрушение аустенитовых труб под действием внут-
реннего давления в условиях ползучести. «Энергомашиностроение», № 2, 1957.
79.	К а д а ш е в и ч Ю. И., Н о в о ж и л о в В. В. Теория пластичности,
учитывающая остаточные микронапряжения. «Прикладная математика и
механика», т. 22, вып. 1. 1958.
39
80.	Клюшников В. Д. О законах пластичности для материалов с
упрочнением. «Прикладная математика и механика», вып. 1, 1958.
81.	Клюшников В. Д. О законах пластичности для материала с уп-
рочнением. «Прикладная математика и механика, т. 22, вып. 1, 1958.
82.	Клюшников В. Д. О возможном пути соотношений пластично-
сти. «Прикладная математика и механика», т. 23, вып. 2, 1959.
83.	Клюшников В. Д. Новые представления в пластичности и де-
формационная теория. «Прикладная математика и механика» № 23, вып. 2,
1959.
84.	Кляч ко С. Д. Об оценке теории течения. «Известия АН СССР,
Отделение технических наук, Механика и машиностроение», № 5, 1962,
159-164.
85.	Койтер В. Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред.
ИЛ. 1961.
86.	Койтер В. Т. Соотношение между напряжениями и деформация-
ми, вариационные теоремы и теорема единственности для упруго-пласти-
ческих материалов с сингулярной поверхностью текучести. Сб. «Механика»
№ 2, 1960.
87.	Койтер В. Т. Новая общая теорема о приспособляемости упруго-
пластических конструкций. Сб. «Механика», № 3, 1957.
88.	Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопро-
водности, решаемые в бесселевых функциях, Физматгиз, 1960.
89.	К о р е н е в Б. Г. О расчете балок и плит с учетом пластических де-
формаций. «Инженерный сборник» АН СССР, т. V, вып. 1, 1948.
90.	Коренев Б. Г. Об изгибе неограниченной плиты, лежащей на
упругом основании. ДАН СССР, т. XXIX, вып. 3, 1951
91.	Коренев Б. Г. О расчете неограниченной плиты, лежащей на
упругом основании с учетом пластических деформаций. Сб. ЦНИИСКа
«Исследование прочности, пластичности и ползучести строительных матери-
алов». Стройиздат, 1955.
92.	Кузин П. А. О динамическом изгибе жестко-пластической цилинд-
рической оболочки. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машинострое-
ние», № 6, 1962, 88
93.	Кузин П. А. О динамике жестко-пластической цилиндрической
оболочки конечной длины. «Известия АН СССР, ОТН Механика и ма-
шиностроение», № 2, 1964.
94.	Кузин П. А., Шапиро Г. С. О влиянии свободного края на ди-
намический изгиб жестко-пластической цилиндрической оболочки. «Изве-
стия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», 1964.
95.	Куприянов В. В. Расчет упруго-пластических рам на подвиж-
ную нагрузку в упругой и в упруго-пластической стадии. Сб. статей
ЦНИИСК «Исследования по строительной механике», вып. 5, под ред.
А. Р. Ржаницына. Госстройиздат, 1962
96.	Куприянов В. В. Расчет рамных конструкций из упруго-пласти-
ческого материала на повторно-переменное загружение. «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», № 2, 1959
97.	Куприянов В. В. Методика расчета конструкций из упруго-пла-
стического материала. Вопросы теории пластичности и прочности строи-
тельных конструкций. Труды ЦНИИСК, вып. 4, под ред. А. Р. Ржаницына.
Госстройиздат, 1961.
98.	Ленек и и В. С. Гипотеза локальной определенности в теории пол-
зучести. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», № 5,
1962.
99.	М а л и н и н Н Н Расчеты на ползучесть (раздел IV в книге По-
номарева С. Д. и др.). Расчеты на прочность в машиностроении, т. 2. Маш-
гиз, 1952, 1959.
100.	Матевосян Р. Р. Устойчивость сложных стержневых систем.
Госстройиздат, 1961.
40
101.	Моск витин В. В. О приспособляемости упруго-пластических
систем. «Известия АН СССР, ОТН». № 5, 1960.
102.	Мруз 3. Неассоциированный закон течения в теории пластично
сти. Сб. «Механика», № 4, 1963,
103.	Мэрин Дж. Пластичность и ползучесть пластических материалов,
.б. «Механика», № 4, 1963.
104.	Наместников В. С О ползучести при постоянных нагрузках
в условиях сложного напряженного состояния, «Известия АН СССР, ОТН»,
№ 4, 1957.
105.	Наместников В. С. О ползучести при переменных нагрузках в
условиях сложного напряженного состояния, «Известия АН СССР, ОТН»,
№ 10, 1957.
106.	Нахди М., Эссенбург Ф., Кофф В. Экспериментальное изу
чение начальной и последующей поверхностей текучести в пластической об-
ласти. Сб. «Механика», № 6, 1958.
107.	Нахди М. Соотношения между напряжениями и деформациями
в пластичности и термопластичности. Сб. «Механика», № 1, 1962.
108.	Нил Б. Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств ма-
териалов. Госстройиздат, 1961.
109.	Одинг И. А., Иванова В С., Бурду кеки й В. В., Геми-
нов В. Н. Теория ползучести и длительная прочность металлов. Государ-
ственное научно-техническое издательство литературы по черной и цветной
металлургии, 1959.
ПО. Огибалов П М., Кийко И. А. Поведение вещества под дав-
лением Издательство МГУ, 1962
111.	О и ат Е. Т. Предельное равновесие пологих конических оболочек.
Сб. «Механика», № 4, 1961.
112.	Патель С., Венкатраман В., Ходж Ф. Кручение цилиид
рических и призматических стержней при наличии установившейся ползу-
чести. Сб. «Механика», № 6, 1958.
113.	Прагер В. Введение в механику сплошных сред, ИЛ, 1963.
114	Прагер В. Проблемы теории пластичности, ИЛ, 1958
115.	П р а г е р В.. X о д ж Ф. Г. Теория идеально пластических тел, ИЛ,
1956.
116	Прагер В. Приспособляемость в упруго-пластической среде, под-
вергнутой циклам нагрузки и температуры. Сб «Механика», № 5, 1958
117.	Рабинович И. М., Синицын А. П., Теренин Б. М. Расчет
сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. Издание ВИА
имени Куйбышева, 1958.
118.	Р а б о т и ов Ю Н. О равновесии сжатого стержня за пределами
упругости. «Инженерный сборник», т. XI, 1951.
119.	Работнов Ю. Н. Приближенная техническая теория упруго-пла-
стических оболочек. «Прикладная математика и механика», т. XV, вып. 2,
1952.
120.	Работнов Ю. Н. Ползучесть. «Труды Всесоюзного съезда по
теоретической и прикладной механике» 1960, АН СССР, 1962.
121	Работнов Ю Н. Сопротивление материалов. Физматгиз, 1962.
122.	Работнов Ю. Н О некоторых возможностях описания иеуста-
новившейся ползучести с приложением к исследованию ползучести роторов.
«Известия АН СССР, ОТН», № 5, 1957.
123.	Р а б о т н о в Ю Н. Модель, иллюстрирующая некоторые свойства
упрочняющегося пластического тела. «Прикладная математика и механика»
№ 23, вып. 1, 1959.
124.	Рахматулин X. А и Демьянов Ю. А. Прочность при ин-
тенсивных кратковременных нагрузках. Физматгчз, 1961
125.	Реология (теория и приложения). Сб. статей. ИЛ, 1962.
126.	Ржа.имцын А Р. Некоторые вопросы механики систем, деейов-
мирующихся во времени. Гостехиздат, 1949.
127.	Ржа ни цы н А. Р. Неупругие деформации систем во времени.
41
«Исследования по строительной механике». Сб. статей ЦНИПС под ред
А. Р. Ржаницына. Госстройиздат, 1954.
128.	Ржа ниц ын А. Р. Приближенные решения задач теории пластич-
ности. «Исследования по вопросам строительной механики и теории пла-
стичности». Сб. под ред. Ржаницына. Госстройиздат, 1956.
129.	Ржа ниц ын А. Р. Поед&дьное павиовесие железобетонных пла-
стинок. «Известия АН СССР, ОТН», № 12. 1958.
130.	Ржаницын А. Р. Пластические деформации трубы при осесим-
метрической нагрузке. «Известия АН СССР, ОТН», № 9, .1958.
131.	Ржаницын А. Р. Расчет пологих оболочек методом предельного
равновесия. «Строительная механика и расчет сооружений», № 1, 1959.
132.	Ржаницын А. Р. По"^гт"' оболочки и волнистые настилы. На-
учное сообщение ЦНИИСК, вып. 14, 1960.
133.	Ржаницын А. Р. Устой и ость систем, обладающих свойством
ползучести. Сибирский филиал АН СССР, 1963.
134.	Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических
свойгтв матеоиалов. Стройиздат, 1954.
135.	Ржа ни цы.и А. Р. Экспериментальные свойства формы движе-
ния жестко-пластическс й системы, нагруженной за пределом несущей спо-
собности. «Известия АН СССР», № 2, 1959.
136.	Розен блюм В. И. Время до разрушения вращающегося диска
в условиях ползучести. «Прикладная математика и механика», т. XXI,
вып. 3, 1957.
137.	Рождественский В. В. и Р у ч и м с к и й М. Н. Несущая спо-
собность цилиндрических сосудов с коническими и сферическими диишами.
ВНИИСТ, 1959.
138.	Розовский М. И. Полусимволический способ решения некото-
рых задач теории наследственной упругости. ДАН СССР, т. III, № 5, 1956.
139.	Саи мои дс Б. С. Импульсивное нагоужение пластических балок
с осевым закреплением. Сб. «Механика», № 5, 1963.
140.	Сендерс Р. Ссотноше, ия между наряжениями и деформация-
ми в пластической облает, основанные на линейных функциях нагружения
Сб «Механика», № 3, 1956.
141.	Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. Физматгиз,
1962.
142.	Смирнов-Аляев Г А., Р о з е н б е р г В. М. Теория пластиче-
ских деформаций металлов. Машгиз, 1956.
143.	Соколовский В. В. Теория пластичности. Издательство АН
СССР. 1950
144.	Сорокин О. В., Туляков Г. А. Прочность металлов, 1957.
145.	Т а м у ж В. Б. Экстремальный принцип в теории жестко-пластиче-
ских систем. «Прикладная математика и механика», т. XXVI, № 4, 1962.
МО Томас Т. Пластические течение и разрушение в твердых телах
ИЛ, 1963.
147	Фейнберг С. М. Принцип предельной напряженности «При-
кладная математика и механика», т. 12, вып, 1, 1948.
148.	Фельдман М. Р. Предельный изгиб сточжнч с учетом плаетп-
ческого последействия «Известия АН Армянской ССР». Отд. физико-матема-
тических, естественных и технических паук», т. 9, № 1, 1956
149.	Филин А. П. К вопросу определения усилий в статически неоп-
ределимых системах при нелинейной зависимости между напряжениями и
деформациями. Труды ЛИИВТ, вып. XXV, 195S.
150	Ф р е й деталь А, Ге й р и н г ер X. Математическая теория неуп-
ругой сплошной среды. Физматгиз, 1962.
151	Ф е о д о с ье в В И Прочность теплоиапряженных узлов ЖРД, Обо-
ропгиз, 1963.
152.	Хилл Р. Математическая теория пластичности, гл. III, ИЛ, 1956
153.	Хилл Р О проблеме единственности в теории жестко-пластиче-
ского тела, I и II. Сб. «Механика», № 4, 1957.
42
154.	Хилл Р. Новые горизонты в механике твердых тел. Сб. «Механи-
ка», № 4, 1957.
155.	Хилл Р. Механика квязистатических пластических деформаций в
металлах. Сб. «Механика», № 2, 1959.
156.	Ходж Ф. Г. Минимальные принципы кусочпо-липейпой изотроп-
ной теории пластичности. Сб. «Механика», № 1, 1958.
15	.. Ходж Ф. Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформа-
ций. Машгиз, 1963.
158.	Ходж Ф. Г. Практическое значение теории предельного равнове-
сия. Сб. «Механика», № 3, 1959.
159.	Ходж Ф. Г. Пластический расчет конических оболочек. Сб. «Ме-
ханика», № 5, 1961.
160.	Хуан К е-ч ж и. Об упрочнении жестко-пластического материала.
«Прикладная математика и механика» т. 22, вып. 4, 1958.
161.	Шапиро Г. С. Об интегрировании в квадратурах уравнений
.плоской одномерной задачи теории пластичности с учетом упрочнения ма-
териала «Прикладная математика и механика» № 16, 1952.
162.	Шестериков С. А. Об одном вариационном принципе в теории
ползучести. «Известия АН СССР, ОТН», № 2, 1957.
163.	Шилд Р. Метод оптимального проектирования конструкций. Сб.
«Механика» № 2, 1962.
164.	Шилд Р. и Циглер Г. О законе упрочнения, предложенном
В. Прагером. Сб. «Механика» № 3, 1959.
165.	Чикала Б. О пластической деформации. Сб. «Механика» № 3.
1959.
166.	Улицкий И. М. Расчет железобетонных конструкций с учетом
длительных процессов. Стройиздат УССР, 1961.
167.	Эглит М. Э. Об определении упругих потенциалов. ПММ, выл. 4,
1961.
168.	Эстрин М. И. К теории неустановившегося движения идеально
^пластических сред. Сб. «Исследования по теории пластичности и прочности
сооружений», 1958.
169.	Эстрин М. И. Об уравнениях динамически сжимаемых пласти-
ческих сред ДАН СССР, т. 135, № 1, I960.
170.	Эстрин М. И. Применение метода линеаризации условия пла-
стичности к динамическим задачам теории пластичности. Сб «Вопросы тео-
рии пластичности и прочности строительных конструкций», 1961.
171.	Эстрин М. И. О пластинах наименьшего веса, находящихся в
условиях плоского напряженного состояния. Сб «Вопросы теории пластич-
ности и прочности строительных конструкций», 1961.
172.	Эстрин М. И. Расчет пологих оболочек из упруго-вязкого мате-
риала с учетом больших прогибов. Сб. «Вопросы теории пластичности и
прочности строительных конструкций», 1961.
173.	Archivfiir Eisenh ijttenwesen, Mai—Juni, 1957.
1 "4. В a I e r J. F. Horne M. R.. Heyman J. The steel skeleton, vol. Il
plastic be aviour and desi n, Cambrid e, 1956.
1 5. В e г ni а п I. H о d g e P. G. A  eneral theory of piecewise linear plasti-
city for initially anisotropic materials Arch me.h. stos., II, 51-'—540 (195‘).
176.	Bland D. P. Tie two measures of won—hardening. Proc, fth Intern.
-Con r. Appl. Me h. (Brussels, 195') v. 8. 1957, p. 45—5 >.
1/7. Bland D. R. Tae asso.iated flow rule of plasti.ity, J. Meeh, and
P’. ys. Solids, 6, /1—78 (195 ).
1 8. Boyce W. E. Tie bending of a work—hardenin'? cir ular plate by a
•uniform transverse load. Quart. Appl. Math., It, 277—2S8 (195').
19 Budiansky B. A reassessment of deformation theories of plasti ity
J. Appl. Me h. 26, 259—264 (195‘).
1 >). Carlson P. Time—dependent tan~ent modulus applied to column creep
'bucl lin ’, Journ. Appl. Me h., т c3, 3, 1°56.
161. ClaVot С. C., Z i e g 1 e r H. Uber einige VerfestUuncsregeln, In:r.—
Arch., 28, 13—26 (1959).
43
182	Cowper G. R. On the continuing deformation of workhardening plastic
solids, Brown Univ. Tech. Rep. 562 (1, 1959.
183.	Cowper G. R. Tne elastic thi 1 -walled sphere subjected to rising'
temperature gradient. Te'hn. Report № 1. Contract № 562 (20), Divi-
sion of Endineerin> Brown University. November. 1958.
1S4.	D г u с к e r D. C. S ress—strain relations in the plastis range of metals—
Experiments and basis loncepts. Rheolo y. v 1, 1956, p. 97—119.
Id5.	Drucker D. C. A definition of stable inelastic material. J. Appl.
Meeh. 26, № 1 101—106 (1959).
186.	Drucker D. C., Variational principles in the mathematical theory of
plastkity. Proc. Sym, os. Appl. Mati., 8, 1958.
187.	Eiri.h F. R. (Ed), Rheology theory and applications, vol. I. New
York, 1956.
183.	F r e u d e n t 5 a 1 A. M.. GeiringerH. The mathematical theories
of t4e inelasti • continuum, Handbu h der Physik, 6, Berlin, 1958.
189.	F r e ud e n t h a 1 A. M. Problems of structural design for elevated
temperatures N. Y. A.ad. Sci., 1957, № 4.
190.	Gerard G. A creep buckling hypothesis, Journ. Aeronaut. Sci., t. 23,
9, 1956.
191.	Gerard G. A criti’al strain approach to creep buckling of plates and
shells, Journ. Aero Space S i.. v. 25, 7, 1958.
192.	Goldin R. Thermal creep design criteria. Aeronaut. Engng Rev.,
Dec., 1957.
193.	Goodman T. P. An indirect method for determining accelerations iir
complex mecl anism, Trane. ASME, 81 (1958).
194.	Griffith J. E., Marin J. J. Meeh, and Phys. Solids, 4, 283 (1956)_
195.	Hay thorntwaite R. M. Beams with full end fixity, Engineering,
110—112 (195,).
196.	H i 11 R Stability of rigid—plastic solids, J. Meeh, and Phys. Solids.
6, 1—8 (195 ).
197.	Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic—plas-
tic solids J. Meeh. and. Phys. Solids, 6, 236—249 (1958).
198.	Hill R. The mechani s of quasi—static plastic deformation in metals.
Surveys in Mechani s (ed. Batchelor G. K-. Davies R. M), Cambnd'e, 1956.
199.	Hill R. Some basis prin iples in the mechanics of solids without a
natural time. Meeh, and Phys. Solids, v. 7, № 3 (1959).
200.	Hill R. On the problem of uniqueness in the theory of rigid—plastic
solid, J. Meeh, and P ys. Solids, 4 (1956).
201.	Hodge P. G. Jr., T le theory of piecewise linear isotpopic plasticity,
UITAM Colloquium Madrid 1955, Berlin 1956.
202.	Hodge P. G. Jr. Tie mathematical theory of plasti ity, в книге
Elasticity and Plasticity (by J. H. Goodier and P. G. Hodge, Jr.) New York,
1958.
203.	Hodge P. G. Jr., Plastic analysis of structures, Me Graw-Hill, New-
York, 1959.
204.	Hodge P. G. Jr., Piecewise linear plasticity, Proc. 9th Intern. Congr.
Appl. Mei h. (Brussels. 1956), v. 8.
205.	H о d g e P., VenkatramanB., Approximate solutions of some pro-
blems in steady creep. Memorie symposium la plastkita nella scienza delle costru-
zioni in onore d. A Danusso. Bolo.na, 1956.
206.	Hodge P. G Jr., T e engineering significance of limit analysis.
DOM-11 т Rep 1—1. Illinois Institute of Technology. 1958.
20".	H о d g e P. G. Jr, Minimum prin iples of piecewise linear isotropic
plastkity. J. Ration. Meeh, and A^alys s, 5 (1960).
208.	Hopkins I. L. and Hamming R. W., On creep and relaxation, J.
Appl. Phys. 1957, 28, № 8, 906—90.).
209.	Ilyshin A. On stress small strain relation in the mechanics of conti-
nuous media. Proc. Tnird Congr. Theoret. and Appl. Mechani s. Bangalore,
India, 1957.
44
210.	Johnson A, Math us V., Henderson J., Creep under changing com-
plex stress systems, The En’-r, № 5350—5352, 1958.
211.	Johnson A. E., Ma thus V D and Henderson J. The creep def-
texion of magnesium alloy struts. Air raft En, in, (956.
212.	KdchendcrfenA. Creep and fracture of metals at high temperatu-
res (N. P. L. Symposium 1)54. discussion, 1956).
213	Ko it er W. T. General theorems for elasti.--plasti solids. Progress in
Solid Mec lanics (ed. Sneddon. I. N., Hill R.). C lapter 4, North Holland, I960.
214.	Kroner E Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspanriungen.
Springer Verlag, 1958.
215.	Lange Hansen P. The plastic theory of curved beams with compres-
sive ax al forces. Theory and tests, Res. Lab. Building Technique. Tech, [J.iiv.
Denmark, Bulletin № 7, 1957.
216.	Lensky V S. Analysis of plastic behavior of metals under complex
loading. Plasti ity Proc. 2 nd Sympos. on Naval stru tural Me h., 1961.
217.	Marin J., HuL W. Biaxial plastic stress-strain relations of mild steel
tor variable stress ratio. Trans. ASME, v. № 3, 1956.
2L8.	Marin J. Mechanical behavior of engineering materials. Prentice Hall
Ins. Englewood Cliffs, N. Y. 1962.
219.	Murch S. A.. Naghd i P. M. On the infinite elastic, perfectly plastic
wedge under uniform surface tractions, Proc. 3rd U. S National. Congr. Appl
Meeh. New York, 1958.
220.	Naghdi P. M., Essen burg F., Koff \V. An experimental study of
initial and subsequent yield surfaces in plasticity, J. Appl. Meeh. 25, 201 —209
<1958).
221.	Neal B. G. The plastic methods of structural analysis, New York,
1956.
222.	Oding L. A., Burduksky V. V. Colloquium on deformation and flow
•of solids, Berlin, Sprmger-Verlag, 1956, p. 298.
223.	Odqvist F Engineering theories of metallis creep, Memorie sympo-
sium la plasti .ita nella scenza della costruzioni in onore d. A. Danusso, Bo-
logna. 1956.
224.	Onat E. T., Haythornt waite R. M. Load carry mg capacity
•of circular plates at large deflection, J. Appl. Meeh., 1956.
225.	OnatE T Tie effects of non homo’enity caused by strain-hardening
•on the small deformations of a ri=id plastic solid, Proc I. U. T. A. M. Symposium
Warsaw 1958, Pergamon Press, p. 1/1 180.
226.	Paul B., Hodge P. G Jr, Carrying capacity of elastic-plastic shells
under hydrostatic pressure, Proc. 3 rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mecn., Provi-
dence, 1958.
227.	Perrone N., Hodge P. G Jr. Applications of a consistent theory for
strain hardening plastic solids, PIBAL Rep. 403, 1957, Polytech. Ints. of Broo-
klyn, New YorK.
228.	Perrone N., Hodge P. G. Ir., Strain-hardening solutions to plate
problems. J. Appl. Meeh., 26, 276 -284 (1959).
229.	Perrone N, Hodge P. G. Ir., Stress-hardening solutions with gene-
ralized kinematic models, Proc 3 rd U. S. Nat. Congr. Appl. Meeh. New
York, 1958, p. 641—648.
239.	Plasticity. Proc. Second Sympos. Naval Stru tural Mechanics.
(Brown University, 1960) Ed. E. M. Lee and P. S. Symonds. Perjamon Press.
N. Y., 1960.
231.	Phillips B. An experimental investigation of plastic stress strain re-
lations, Proc. 9th Intern. Comer. Appl. Meeh. 1957.
232.	Phillips A Poi tzd vertices in the yield surface, ONR Tech. Report
№ 7 Contra t № 609, Yale University, September 1959.
233.	P h i 11 i ps A., Gr au G., Experimental determination of cornerc in the
yield surface, ONR Techn. Report № 5 Contract № 60) (lz), Yale University,
December, 1958.
234.	Phillips А., К a e c h e 1 e L. Combined stress tests in plasticity,
_J. Appl. Meeh., 23, 43—48 (1956).
45
235.	Prager W. The general theory of limit design, Proc. 8th fnt. Congr.
Appl. Meeh. v. 2, p. 65—72, 1956.
z36.	Prager W. Total creep under varying loads. Journ. Aeronaut. Sci.,
v. 24, 2, 1957.
237.	Prager W. An elementary discussion of definitions of stress rate, Quart.
Appl. Matn., № 3 (1960)
238	Prager W. Non-isothermal plastic deformation, Proc. Koninkl. Nederl.
Acad. Weterse appen, 61, № 3, 176—192, (195j).
239.	Prater \V. A new met' od cf analyzing stresses and strains in work-har
dening plastic solids, J. Appl, Meeh., 23, 49o—496 (195l).
240.	Sanders I. L. Mecomb H G., Schlechte F. R., NACA Rep. 1958.
241.	Shield R. F., Z i e g 1 e r H. On Pragers hardening rule, Z. Angew. Math,
und P.iys. 260—276 (1958).
212.	Traexler J. F. Amer. Soc. Meeh. En^ng Preprint, 1959 59 MAT-8
24)	. Venkatraman B. Polytechn, Irst. Broo' lyn Aero. Lab Rep. 402
'195.).
244.	Venkatraman B., Hodge P. G. J. Meeh, and Phys. Solids. 6, 163
(1958).
245.	Venkatraman B., Hodge P. G,Creep behaviour of circular plates,,
Journd Anri. Meeh., v. 25, 1 1953.
246.	VDI, 1956, № 2.
247.	Voorhees H. R.. Sliepcevich С. M., Freeman J. W. Industr.
and Engng. Chem., 48, 872 (1 5 ).
218.	Wahl A. Analysis of creep in rotating dis's based on the Tres', a
criterion and associated flow rule. Journ. Appl. Meeh., m. 23, 2, 1J56.
249.	W a h 1. S ress distribu.ion in rotating dis' s subjected to creep at eleva-
ted temperature. Journ. Appl. Meeh. m. 21 (195 ).
25.)	. Wahl A. Furt ier studies of stress distribution in ro'ating dis’ s and
cylinders under elevated temperature creep conditions. Journ. Appl. Meeh., m. 25,
2, 1953.
251	W e i r C. D. The creep of thick tubes under internal pressure Paper.
Amer. Soc Meeh. Eicin. 1957 № АРМ.—32.
252.	Ziegler H An attemp to generalize Onsa’ers principle and its signi-
ficance for rheolo ical problems. Z. angew. Math. u"d Phys, /48	(195,).
253.	Ziegler H. Ti.erniodynamik u:.d reolo ische Probleme, Ing. Arch., 25,
58 (195 ).
254.	Ziegler H. A modification of Pragers hardening rule. Quart. AppL
Math., 1/, 55—65 (1951,.).
ГЛАВА I Г
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ
НА ДЕЙСТВИЕ
ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В области теории расчета конструкций на действие дина-
мических нагрузок проведено большое число исследований.
Среди них должны быть отмечены фундаментальные работы
отечественных ученых — специалистов по строительной меха-
нике: Н. И. Безухова, Д. В. Вайнберга, И. И. Гольденблата,
К- С. Завриева, В. А. Киселева, И. Л. Корчииского, А. Г. На-
зарова, О. Д. Ониашвили, Я. Г. Пановко, И. М. Рабиновича,
А. Р. Ржанииына, А. П. Синицына, А. Ф. Смирнова, Н. К- Снит-
ко, Е. С. Сорокина, М. Т. Уразбаева, А. П. Филиппова,
В. Г. Чудновского и др.
Прикладной динамикой строительных конструкций зани-
маются специалисты лаборатории динамики ЦНИИСКа Гос-
строя СССР под руководством Б. Г. Коренева.
Наиболее развитым направлением динамики сооружений и
машин является определение частот собственных малых коле-
баний упругих систем, а также анализ колебаний этих систем
под действием периодических внешних сил. Разработано боль-
шое число эффективных методов определения критических со-
стояний и накоплен обширный материал, относящийся к част-
ным задачам. В настоящее время наиболее важными направле-
ниями в развитии динамики являются исследование поведения
упругих и неупругих систем при импульсивных нагрузках, взаи-
модействия упругих и неупругих систем с потоком жидкости или
газа, случайных колебаний упругих и неупругих систем и т. д.
Большой интерес представляет учет физической и геометриче-
ской нелинейности.
В данной главе содержится обзор современного состояния
динамики конструкций и делается попытка оценить перспекти-
вы дальнейшего развития. При составлении плана настоящего
обзора мы руководствовались следующими соображениями.
Уравнения динамики конструкций отличаются от статических
47
уравнений тем, что в них содержатся инерционные члены, а
внешние силы и компоненты напряженно-деформированного со-
стояния являются функциями дополнительного аргумента —
времени t. Упругие операторы сохраняют тот же вид, что и
в уравнениях статики *. Поэтому наиболее естественная клас-
сификация задач динамики — это классификация по видам
внешних воздействий. Ниже будут последовательно рассмотре-
ны задачи следующих классов: вынужденные колебания под
действием периодических нагрузок (включая тесно связанную
с этим проблему учета демпфирующих сил); действие ударных
нагрузок (включая устойчивость при динамическом нагруже-
нии); автоколебания конструкций в потоке газа; колебания кон-
струкций, взаимодействующих с тяжелой жидкостью; парамет-
рически возбуждаемые колебания. Рассмотрению этих задач
предшествует обзор работ по спектрам собственных колебаний
упругих систем. Правда, исследование собственных колебаний
упругих систем принадлежит к наиболее ранним направлениям
в развитии динамики. Однако в последние годы и в этой обла-
сти достигнут существенный прогресс. Кроме того, знание
спектра собственных колебаний совершенно необходимо для
решения многих задач динамики конструкций. В других зада-
чах знание спектра служит основой для правильной ориенти-
ровки. Поэтому ‘в дачном обзоре исследованиям спектра соб-
ственных колебаний упругих систем также уделено соответ-
ствующее внимание. Что касается колебаний, возбуждаемых
случайными силами, то они подробно рассматриваются в сле-
дующей главе, посвященной применению статистических мето-
дов в строительной механике.
2. СПЕКТРЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
Основой для большинства исследований по колебаниям уп-
ругих систем являются сведения о спектре собственных колеба-
ний (т е. о частотах и формах собственных колебаний). Это наи-
более разработанная область теории колебаний упругих систем,
где имеется большое разнообразие вычислительных методов, а
также обилие готовых, хотя еше и не вполне систематизирован-
ных результатов. По-видимому, в настоящее время мы уже рас-
полагаем методами, которые после более пли менее обширных
вычислений, требующих подчас привлечения быстродействую-
щих вычислительных устройств, позволяли бы определить кри-
тические состояния любой достаточно сложной стержневой си-
стемы.
1 В ряде с. учаев исследование динамических задач может послужить
стимулом для у г.дх бленной разработки соответствующих упругих операторов.
X ipouio известным примером является развитие уточненных теорий стерж-
ней, пластин и оболочек, учитывающих эффекты типа деформаций сдвига и
инерции вращения.
48
Гораздо сложнее обстоит дело с исследованием спектров ко-
лебаний тонкостенных конструкций — пластин и оболочек. По
сравнению с хорошо изученными спектрами собственных коле-
баний стержней и стержневых систем спектры пластин и оболо-
чек обладают некоторыми особенностями. Спектры собственных
колебаний пластин и оболочек, как говорят, более густы, чем у
стержней. Это означает, что в области достаточно высоких ча-
стот на равные частотные интервалы у пластин и оболочек при-
ходится больше собственных частот, чем у стержня. В самом де-
ле, нетрудно показать, что число частот собственных изгибных
колебаний, не превышающих уровня со, у стержней растет как
ш1/' . В то же время для изгибных колебаний пластин это число
ведет себя примерно как со. Аналогичной асимптотикой облада-
ют спектры преимущественно изгибных колебаний у оболочек
[33] Кроме того, необходимо отметить, что для оболочек не
имеется осцилляционных теорем, подобных тем, которые доказа-
ны для стержней и пластин. Низшей частоте собственных коле-
баний оболочки далеко не всегда будет соответствовать геомет-
рически простейшая форма колебаний.
Относительная густота и специфика спектра у пластин и обо-
лочек находят отражение и в постановке задач о вынужденных
колебаниях. Если возбуждающие частоты достаточно высоки, то
полная «отстройка» от резонанса вынужденных колебаний мо-
жет оказаться практически недостижимой. Ситуация усложня-
ется, если возбуждение обладает сплошным спектром. В этом
случае каждая из форм колебаний пластины или оболочки может
оказаться резонансной. Знание спектра частот и форм собствен-
ных колебаний во всем диапазоне возбуждения становится при
этом совершенно необходимым.
Задача имеет элементарное решение в случае прямоугольной
пластины или круговой цилиндрической оболочки, если краевые
условия таковы, что им удовлетворяют произведения тригоно-
метрических функций кратных дуг. «Опертый край» является
хорошо известным частным случаем этих краевых условий, на-
зываемых в дальнейшем краевыми условиями Навье. До послед-
него времени прямоугольная пластина, замкнутая круговая ци-
линдрическая оболочка и цилиндрическая панель с условиями
Навье на контуре были почти единственными подробно изучен-
ными задачами. Результаты вычислений, относящиеся к замкну-
той круговой цилиндрической оболочке, можно найти в работах
[35, 36, 113, 114, 125, 126, 157] и др. Если вдоль двух параллель-
ных краев оболочки заданы условия Навье, а условия по двум
другим краям принадлежат к некоторому весьма широкому клас-
су (включающему, в частности, заделку, свободный край и т. п.),
то задача также решается в элементарных функциях. Вычисле
ния все же довольно трудоемки. У. К. Нигулу [79] удалось пре-
одолеть трудности для случая замкнутой круговой цилиндриче-
ской оболочки. Он вычислил значения корней характеристическо-
4 Зак. 328
49
го уравнения, используя которые можно построить точное реше-
ние, удовлетворяющее краевым условиям, и получить уравнение
частот. Однако окончательные результаты не удалось предста-
вить в легко обозримом виде.
В случаях круговой конической оболочки задача о собствен-
ных колебаниях приводит к уравнениям с переменными коэффи-
циентами, не допускающим решения в классифицированных
функциях. Н. А. Алумяэ [2] и его сотрудники [38] исследовали
асимптотические свойства решений для простейшего случая осе-
симметричных колебаний. Ряд задач о собственных колебаниях
сферических оболочек допускает точное решение в цилиндриче-
ских, поверхностных сферических и родственных им функциях
[17, 147]. Наряду с этим было предпринято асимптотическое
интегрирование уравнений [91]. Имеется немало работ [53, 121,
157] и др., посвященных приближенному вычислению собствен-
ных частот пластин и оболочек при помощи вариационных
методов. Следует заметить, однако, что достоверность ре-
зультатов, получаемых посредством этих методов, может быстро
уменьшаться с ростом номера частоты из-за трудности предуга
дать истинный характер формы колебаний.
Как видно из предыдущего обзора, мы до сих пор располага-
ли весьма ограниченным числом точных, а также надежных при-
ближенных решений задач о собственных колебаниях тонкостен-
ных конструкций. Достаточно указать на то, что классическая
задача о колебаниях прямоугольной пластины, защемленной по
всему контуру, до сих пор не получила разрешения, несмотря на
усилия многих механиков и математиков.
В 1960 г. предложен асимптотический метод, позволяющий
получить решение широкого класса задач собственных колеба-
ний пластин и оболочек [25]. Идея метода состоит в том, что ис-
комое решение представляется в виде суммы внутреннего реше-
ния и решений типа динамического краевого эффекта. В каче-
стве внутреннего решения берется выражение, удовлетворяющее
дифференциальным уравнениям и обладающее асимптотически-
ми свойствами форм колебаний. Решения типа краевого эффекта
должны также удовлетворять дифференциальным уравнениям и,
кроме того, должны затухать по мере удаления от линий иска-
жения. Для каждой из линий искажения решение конструирует-
ся таким образом, чтобы можно было удовлетворить всем гра-
ничным условиям на данной линии. Найденные решения склеи-
ваются между собой; условие склеивания приводит к уравнению
для определения волновых чисел и частот, которые до операции
склеивания остаются неопределенными. Метод становится не-
применим, если не удается построить количество решений типа
краевого эффекта, достаточное для того, чтобы удовлетворить
краевым условиям. В таком случае говорят о вырождении дина-
мического краевого эффекта. Погрешность метода зависит от
50
быстроты затухания краевых эффектов и может быть заранее
оценена.
В работе [25] метод был развит на основе уравнений теории
оболочек с большим показателем изменяемости. Показано, что
краевой эффект не вырождается в случае пластины и сфериче-
ской оболочки, а также у кругового края цилиндрической обо-
лочки. У прямолинейного края цилиндрической оболочки крае-
вой эффект вырожден лишь при достаточно малых волновых
числах. Была дана классификация краевых эффектов при коле-
баниях оболочек и приведен пример расчета спектра собствен-
ных колебаний сферической панели. В статье [28] этот метод при-
менен к задачам о колебаниях пластин. На примере классиче-
ской задачи о колебаниях пластины, защемленной по всему кон-
туру, показывается эффективность метода. Даже при определе-
нии основной частоты погрешность не превышает 3% и далее
-Уп
убывает примерно как е (п. — номер частоты). Системати-
ческому применению асимптотического метода к задачам о соб-
ственных колебаниях пластин посвящена работа В. В. Болотина,
Б. П. Макарова, Г. В. Мишенкова и Ю. Ю. Швейко [26]. Здесь
разобраны различные случаи опорного закрепления, в том числе
пластины, упруго защемленные по контуру. Показано примене-
ние метода к ортотропным пластинам, а также к пластинам, за-
груженным тангенциальными силами. Е. П. Кудрявцев [63] ис-
пользовал метод для анализа спектра пластин, подкрепленных
ребрами. Ю. В. Гаврилов применил асимптотический метод к
задачам о колебаниях цилиндрических панелей [41] и замкнутых
цилиндрических оболочек [42]. В частности, им дано эффективное
решение задачи о колебаниях замкнутой оболочки, которая за-
щемлена на одном торце и свободна на другом.
Было предпринято несколько попыток обобщения метода.
В статье [29] метод был сформулирован как асимптотический ме-
тод решения задач о собственных значениях самосопряженных
операторов определенного типа, имеющих постоянные коэффици-
енты и задаваемых в прямоугольных (в обобщенном смысле) об-
ластях. Дальнейшее обобщение возможно в нескольких направ-
лениях. Во-первых, было бы желательным распространить метод
на области, отличающиеся от прямоугольных. Путь для обобще-
ния указан в работе [32], в которой рассматриваются области,
составленные из прямоугольных подобластей. Объем вычислений
быстро возрастает с увеличением числа подобластей. Тем не ме-
нее, открываются различные возможности для исследования
спектра колебаний пластин и оболочек, подкрепленных ребрами
(в том числе и при неравномерной расстановке ребер). Во-вто-
рых, целесообразно обобщить метод, распространив его на опе-
раторы с переменными коэффициентами. Такая попытка была
сделана в статье [30]. В этой работе был выделен класс задач с
квазиразделяющимися переменными, к которым асимптотиче-
ский метод может быть применен практически без изменений.
4*
51
К сожалению, до сих пор не найдено задач с переменными коэф-
фициентами (за исключением нескольких тривиальных случаев,
допускающих точное решение), для которых внутренние реше-
ния и решения типа краевого эффекта строились бы точно. Если
коэффициенты уравнений меняются достаточно медленно, то
целесообразно объединение этого метода с методом Вентцеля—
Брюлльена—Крамерса или родственным ему методом Блюмен-
таля—Штаермана. Так может быть построено решение о коле-
баниях оболочки в виде усеченного конуса, а также конической
панели.
Асимптотический метод позволяет исследовать поведение ча-
стот и форм колебаний для оболочек при возрастании волно-
вых чисел. Для тех задач, в которых краевой эффект не вырож-
дается, он дает асимптотические оценки, точность которых пре-
вышает точность известных оценок Куранта—Вейля в теории
колебаний пластин. Волновые числа kx и можно найти как ко-
ординаты узлов некоторой сетки на плоскости. В случае краевых
условий Навье эта сетка образована ортогональными прямыми
с модулями л/ci и л/а2 (at и а2 — стороны контура, на который
опирается оболочка). При изменении краевых условий сетка ис-
кажается; но узлы перемещаются не более чем на одну ячейку
первоначальной сетки. Это позволяет изучить асимптотическое
поведение частот и, например, вычислить их среднюю плотность
[33]. Заметим, что С. А. Терсенов [97, 98], применивший для полу-
чения оценок типа Куранта—Вейля для оболочек метод Кдрле-
мана, нашел, по-видимому, плотность частот для высших (пре-
имущественно безмоментных) форм колебаний.
С ростом волновых чисел возрастает роль вторичных эффек-
тов типа инерции вращения и деформации сдвига. Был предло-
жен ряд уточнений классической теории изгиба стержней, пла-
стин и оболочек (С. П. Тимошенко, Н. А. Кильчевский, Э. Рейс-
нер, Б Болле, С. А. Амбарцумян, Я. С. Уфлянд, Б. Ф. Власов и
др.). Их применение к задачам собственных колебаний и распро-
странения упругих волн было дано в статьях [4, 56, 57, 93, 135,
139] и др. Особый интерес представляют работы, посвященные
сопоставлению приближенных решений с точными результатами
теории упругости [78, 128, 130]. Остановимся подробнее на рабо-
те В. Н. Москаленко [78]. Здесь уравнения, соответствующие раз-
личным теориям, приведены к сопоставимому виду Было показа-
но, что уравнения, полученные различными авторами, полностью
или в наиболее существенной части совпадают. Далее В. Н. Мо-
скаленко применил асимптотический метод к задаче о колебани-
ях плиты при краевых условиях, отличных от условий Навье.
В частности, он рассмотрел различные типы заделки. Оказалось,
что способ защемления оказывает на спектр более существенное
влияние, чем расхождение в предпосылках, лежащих в основе
различных теорий. В. Н. Москаленко дал также точное решение
трехмерной динамической задачи при краевых условиях Навье.
52
Это позволило провести дальнейшее сопоставление различных
теорий.
Подводя итоги сказанному, можно указать на следующие
теоретические вопросы, нуждающиеся в дополнительном изуче-
нии:
1)	исследование спектров собственных колебаний с использо-
ванием уравнении теории упругости и уточненных моделей
стержней, пластин и оболочек, имеющее целью уточнение элемен-
тарных решений и анализ высших частот. Для анализа влияния
краевых условий может оказаться полезным асимптотический
метод. Правда, для высших серий частот динамический краевой
эффект вырождается (для стержней это было показано еще
Е. П. Кудрявцевым [63], а для пластин — В. Н. Москаленко [78]).
Однако наибольший интерес все же представляет основная се-
рия, связанная с преимущественно изгибными деформациями.
Имеются нерешенные задачи и в чисто классической области.
Важная задача о спектре собственных колебаний конической
оболочки еще ждет исчерпывающего разрешения;
2)	исследование асимптотических свойств спектра (плот-
ности собственных частот упругих систем распределения форм
колебаний по волновым числам и т. п.);
3)	разработка эффективных двусторонних оценок вариацион-
ного и других типов для частот и форм собственных колебаний
упругих систем, включая высшие формы.
Среди вопросов прикладной динамики наиболее актуальными
представляются следующие:
1) накопление фактических результатов справочного типа.
Появляется еще большое число опубликованных работ, нося-
щих внешне исследовательский характер, но по существу состоя-
щих в применении хорошо известных процедур для определения
спектра (или его части, или, наконец, основной частоты собст-
венных колебаний). Результаты этих работ были бы очень по-
лезны специалистам, если бы они носили более систематиче-
ский, целеустремленный характер;
2) сравнительное изучение различных расчетных схем реаль-
ных конструкций (особенно сложных пространственных соору-
жений) с целью выбора наиболее разумной схематизации. Сопо-
ставление можно производить как на основе натурных и модель-
ных экспериментов, так и на основе теоретических расчетов, ис-
пользуя последовательно уточняемые расчетные схемы. Следует
заметить, что развитие вычислительной техники существенно из-
менило наши представления о сложности расчетных схем. Более
подробные соображения, относящиеся к этому вопросу, приве-
дены в главе IV книги.
53
3.	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ.
ПРОБЛЕМА УЧЕТА ДЕМФИРУЮЩИХ СИЛ
Теория вынужденных колебаний упругих систем, возбуждае-
мых периодическими силами, относится к сравнительно разрабо-
танным разделам теории колебаний. Все же и здесь остаются
весьма важные для техники вопросы, поставленные давно, но
до сих пор еще не получившие окончательного разрешения. Здесь
желательны работы по получению решений в замкнутой форме
(а не в виде рядов по собственным функциям), а также исследо-
вания, в которых применяются уточненные уравнения и уравне-
ния теории упругости.
К теории вынужденных колебаний тесно примыкает вопрос
о демпфирующих силах, возникающих в конструкции. Поведение
конструкций вблизи резонанса вынужденных колебаний, а также
в некоторых других критических состояниях в значительной сте-
пени зависит от величины диссипации энергии при колебаниях
(короче говоря, от затухания). Например, спектр случайных сил
обычно широк и покрывает несколько собственных частот (в за-
дачах акустической усталости их количество может исчисляться
десятками и даже сотнями). Вклад каждой формы колебаний
существенно зависит от величины демпфирования, соответству-
ющего этой форме.
Исследованию физической природы и способов математиче-
ского описания демпфирующих сил посвящено много работ. Су-
щественный вклад был сделан отечественными учеными:
Н. Н. Давиденковым, И. Л. Корчинским, Я. Г. Пановко, Г. С. Пи-
саренко, Е. С. Сорокиным и др. Тем не менее, в настоящее время
величина затухания проектируемой конструкции еще не может
быть предсказана с достаточной точностью; можно указать лишь
вероятные, обычно весьма широкие пределы изменения.
Говоря о гипотезах внутреннего трения, следует различать ги-
потезы физического содержания и более или менее логически не-
противоречивые способы формального описания демпфирующих
свойств конструкции. Одну и ту же зависимость рассеяния энер-
гии в конструкции от амплитуды и частоты, в общем, можно вве-
сти в уравнения колебаний различными способами. Мы страдаем
не от недостатка способов формального описания (их можно
предложить еще десяток), а от недостатка достоверных данных о
величинах относительного рассеяния энергии в различных конст-
рукциях при разных формах колебаний. В этом отношении экспе-
риментальные и теоретические исследования [85, 86, 95, 143], ос-
нованные на раздельном анализе различных факторов — внут-
реннего трения, обусловленного термодиффузионными процес-
сами, внутреннего трения, связанного с микро- и макропластиче-
скими деформациями, конструкционного гистерезиса и т. п., за-
служивают всемерного внимания.
54
Демпфирование и виброизоляция еще не получили должного
применения в качестве мер для улучшения динамических харак-
теристик сооружений и машин. В этом отношении в машиностро-
ении дело обстоит лучше, чем в строительстве. Предстоят еще
обширные исследования свойств различных демпферов, разра-
ботка вопросов оптимальной системы демпфирования, теории
демпфирования систем с большим числом степеней свободы и,
в частности, систем с густым спектром собственных частот и т. д.
Желательно создание теории демпфирования автоколебаний
различного типа, оптимального демпфирования неустановивших-
ся процессов, гашения колебаний, вызванных сейсмическими воз-
действиями. Нужны исследования в области теории вибро- и
звукоизоляции, защиты оборудования от вибраций и т. п. Инте-
ресные задачи о распространении вибраций от источников по
сложным пространственным конструкциям также ждут более об-
стоятельного исследования.
Важные практические задачи по динамическому расчету фун-
даментов и оснований, а также задачи по распространению виб-
раций от сооружений через грунт приводят к необходимости
рассматривать динамическое взаимодействие ограниченных уп-
ругих систем различного типа и упругого полупространства.
Контактные задачи такого рода обладают двумя характерными
чертами. Во-первых, связанные системы, включающие упругое
полупространство, обладают сплошным диапазоном собствен-
ных частот. Каждая возбуждающая частота является в некото-
ром смысле и резонансной частотой. Во-вторых, из-за излучения
упругих волн в полупространство связанные системы имеют дис-
сипацию даже в том случае, если трение нигде не учитывается.
Решение динамических контактных задач строительной механики
и теории упругости представляет определенные аналитические
трудности. До сих пор рассматривались преимущественно коле-
бания жестких штампов. Типичной работой этого направления
является статья [34].
К сожалению, задачи о колебаниях балок и плит, взаимодей-
ствующих с упругим основанием, нередко трактуются еще весь-
ма примитивно: грунт заменяется безынерционным основанием
или, в лучшем случае, вводится некоторая «приведенная» масса.
Адекватное исследование колебаний сооружений, взаимодей-
ствующих с грунтом, является одним из актуальных направ-
лений.
Нуждаются в дальнейшем рассмотрении и нелинейные задачи
вынужденных колебаний конструкций. Появление новых высоко-
прочных сплавов, обладающих высокой прочностью при растя-
жении, а также высокопрочных полимеров, несомненно, приве-
дут к более широкому применению висячих и гибких конструк-
ций. Там, где не предъявляется высоких требований в отноше-
нии жесткости (пешеходные и автодорожные мосты, телевизи-
онные мачты и т. д.), широкое применение гибких и висячих си-
55
стем, несомненно, будет иметь большие перспективы. Ь свили с
этим анализ динамических свойств упругих систем при больших
перемещениях представит в будущем большой интерес.
Исследование физически и геометрически нелинейных задач
обычно проводится при помощи приемов, сводящих распределен-
ную систему к системе с небольшим числом степеней свободы.
Большой интерес представляет развитие методов, в которых не
посредственно используются уравнения в частных производных.
Следует иметь в виду, что большинство методов нелинейной тео-
рии колебаний (методы малого параметра, Ван-дер-Поля, Кры-
лова—Боголюбова, прямой и гармонической линеаризации) мо-
жет быть применено и непосредственно к этим уравнениям. Но
такой путь используется еще недостаточно.
4.	ПОВЕДЕНИЕ КОНСТРУКЦИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИМПУЛЬСИВНЫХ НАГРУЗОК
Под импульсивными нагрузками здесь подразумеваются
кратковременные апериодические нагрузки, характерное время
изменения которых составляет величину порядка периода
собственных колебаний и менее. Сюда, следовательно, включа-
ется широкий класс задач — от задачи о быстром нагружении
на испытательной машине до задачи о взаимодействии конструк-
ции с ударной волной.
Расчет конструкций на действие импульсивных нагрузок яв-
ляется одним из важнейших направлений динамики сооружений
и машин. В разработку методов расчета строительных конструк-
ций существенный вклад был сделан И. М. Рабиновичем и
А. П. Синицыным. Из трудов более общего характера следует
указать на работы И. И. Гольденблата, Н. В. Зволинского,
X. А. Рахматулина, Г. С. Шапиро и др.
Обширное число работ по расчету конструкций на действие
импульсивных нагрузок посвящено рассмотрению задач в одной
из двух постановок. Согласно первой постановке задачи об уда-
ре рассматривается действие некоторого груза, обладающего на-
чальной скоростью, на упругую или упруго-пластическую систе-
му. Здесь желательны дальнейшие исследования по учету упру-
го-пластических деформаций в месте удара и общих деформа-
ций системы. Согласно второй, весьма распространенной поста-
новке, ударное воздействие трактуется как некоторая кратко-
временная нагрузка, закон изменения которой во времени задан.
Если считать систему упругой, то решение задачи в такой поста-
новке в общем элементарно. Интерес представляет изучение вли-
яния конфигурации импульса на динамический эффект удара.
Установлено, что при некоторых ограничениях, накладываемых
на нагрузку, эффект последней обладает мини-максимальными
свойствами. Эти свойства необходимо подробно изучить, по-
скольку их знание открывает весьма простые пути для грубой
оценки ожидаемого эффекта [127]. Изучение задачи об ударе в
элементарной постановке в настоящее время начинает распро-
страняться на упруго-пластичес.ле и пластические системы с
тем, чтобы описать поведение конструкции вплоть до стадии
разрушения [43, 55, 92]. Такая задача становится существенно
нелинейной как вследствие физической, так и геометрической
нелинейности.
Большой интерес представляют задачи о действии кратко-
временных нагрузок на тонкостенные конструкции. Поведение
пластин и оболочек при быстром нагружении с учетом началь-
ных неправильностей и нелинейных эффектов рассматривалось
группой авторов под руководством А. С. Вольмира [1, 11, 39, 40]
и В. В. Болотина [21, 27]. В работе [39] уравнения колебаний уп-
ругой цилиндрической панели при нагружении на жесткой испы-
тательной машине интегрировались численно. Случай замкну-
той цилиндрической оболочки рассмотрен в статье В. Л. Агами-
рова и А. С. Вольмира [1]. В. В. Болотин и Г. А. Бойченко [27],
используя электронную аналоговую машину, изучили влияние
скорости нагружения, начальных искривлений и внутреннего
трения на процесс выпучивания упругих пластин и пологих обо-
лочек. Сходные результаты для замкнутой цилиндрической обо-
лочки получены А. Ю. Биркганом и А. С. Вольмиром [1], приме-
нившими электронную цифровую машину. Экспериментальные
результаты излагаются в работе [40].
Хотя рассмотренные в перечисленных работах задачи имеют
некоторые общие черты с задачами о потере устойчивости при
статическом нагружении, однако понятия «устойчивость» и
«критическая сила» приобретают здесь довольно условный
смысл. Если же внешние силы, действующие на конструкцию,
быстро возрастая до некоторого значения, затем при £—*оо убы-
вают до нуля, то постановка задачи об устойчивости представ-
ляется вполне естественной. В случае, если при t—> со все возму-
щения затухают и конструкция возвращается к первоначально-
му состоянию, можно говорить об устойчивости; если же про-
изошло «прощелкивание»,— о неустойчивости. В такой поста-
новке В. В. Болотиным, Г. А. Бойченко, Б. П. Макаровым,
Н. II. Судаковой и Ю. Ю. Швейко [21] рассмотрена задача об
устойчивости пологой цилиндрической панели под действием ко-
нечного нормального к срединной поверхности импульса. При
этом оказалось возможным на плоскости параметров выделить
области устойчивости, соответствующие таким их значениям,
при которых оболочка после ряда колебаний возвращается к
первоначальному состоянию.
Три важные причины могут оказать существенное влияние
на поведение конструкций при быстром нагружении: 1) конеч-
ная скорость распространения упругих волн и, следовательно,
необходимость учитывать в ряде случаев волновые процессы;
2) возникновение местных или общих пластических деформа-
5 Зак. 328
57
ций; 3) склонность к развитию высоких форм колебаний и обра-
зованию относительно мелких складок, обнаруженных на стерж-
нях и оболочках еще М. А. Лаврентьевым и А. Ю. Ишлин-
ским [65]. Все это делает задачу весьма сложной и практически
недоступной аналитическому исследованию.
Для расчета конструкций на действие ударной нагрузки тре-
буется уточнение чисто деформационной части теории. При
ударном воздействии в первый, наиболее ответственный момент
работы конструкции вовлеченными в движение оказываются
лишь отдельные ее части. Поэтому приходится учитывать конеч-
ную скорость распространения упругих и упруго-пластических
волн, а также деформационные эффекты, которые при статиче-
ском нагружении и сравнительно медленных движениях играют
роль второстепенных поправок. Так, существенную роль приоб-
ретают деформации сдвига и инерция вращения в балках, пла-
стинах и оболочках [119]. Пока эти факторы играли роль попра-
вок, можно было ограничиться их приближенным анализом.
Сейчас этот анализ нужно критически пересмотреть, тем битее,
что могут быть предложены различные, на первый взгляд равно-
ценные способы учета этих поправок. Это особенно относится
к теории пластин и оболочек.
Влияние конечной скорости распространения упругих волн на
пластину, динамически нагруженную сосредоточенной силой,
изучалось рядом авторов [100 и др.]. Известно, что эта задача
явилась поводом к дискуссии на тему о корректной формулиров-
ке краевых условии в уточненных теориях пластин и оболочек.
Указанное направление сейчас довольно быстро развивается,
если судить по числу опубликованных в последнее время работ.
Задача, на наш взгляд, состоит не только в обсуждении различ-
ных уточненных моделей и их сопоставлении с точными резуль-
татами теории упругости, но и в исследовании роли волновых
эффектов при ударном нагружении. Конечно, хорошо известно,
что волновые процессы можно не учитывать, если характерное
время основного процесса велико по сравнению со временем про-
хождения упругой волны по системе. Однако нужны более точ-
ные оценки и сопоставления.
Исследование пластических явлений при динамическом на-
гружении велось до сих пор преимущественно по линии жестко-
пластического анализа. За рубежом это направление развива-
лось X. Гопкинсом и В. Прагером [51], П. Ходжем [131],
Р. Ж Изоном и Р. Шильдом [124] и другими авторами, у нас —
Г. С. Шапиро [105]. Подкупающими сторонами жестко-пластиче-
ского анализа являются крайняя простота и наглядность, а так-
же близость к тем методам, которые инженеры применяют в сво-
ей расчетной практике. Эти преимущества приобретаются все-
же ценой переупрощения задачи. Жестко-пластическая мо <ель
схватывает существенные стороны явления лишь в случае глу-
боко развитых пластических деформаций. Если же деформации
58
стеснены, то эта модель слишком схематично отражает явление.
Нужны более сложные и совершенные модели, которые позво-
лят описать начальные этапы развития пластических деформа-
ции. Пока рассмотрены лишь относительно более простые зада-
чи о распространении волн [64, 81] и предложены некоторые
приближенные подходы к решению краевых задач динамики
упруго-пластических систем [55].
Имеется попытка [43] одновременно учесть все или почти все
факторы — геометрическую и физическую нелинейность, конеч-
ную скорость распространения возмущений и т. п. Уравнения
получаются слишком сложными, чтобы можно было рассчиты-
вать на их эффективное решение иначе, ка'к с применением элек-
тронных математических машин с обширной памятью.
Большой интерес представляют задачи о взаимодействии
конструкций с акустическими и особенно ударными волнами
Известны работы М. Барона [9], Р. Мпндлина и Н. М. Блейха
[140], Дж. Хьюза и Дж.Коула [104], П. Манн-Нахбара [71] и др.,
посвященные этим задачам Наиболее простая схематизация —
эта замена ударной волны нагрузкой, распространяющейся с
определенной скоростью. Такой схематизацией не учитывается
обратное влияние деформации конструкции на состояние среды.
Полное описание требует совместного решения уравнений тео-
рии упругости и уравнений газодинамики. До сих пор удовлетво-
рительные результаты удалось получить лишь для простейшего
случая акустической волны, поведение которой описывается ли-
нейным (волновым) уравнением.
Весьма важное практическое значение имеют задачи о дина-
мике грунтов и горных пород и особенно задачи о поведении
конструкций при действии волн, распространяющихся в грунте.
Здесь прежде всего должны быть отмечены исследования
Г. А. Гениева, С. С. Григоряна, Н. В. Зволинского, А. Ю. Иш-
линского, И. М. Рабиновича, А. П. Синицына, Н. К. Снитко и
других авторов. Задачи о действии волн на упругие и упруго-
пластические системы, находящиеся в грунте, решаемые с уче-
том дифракции волн на поверхностях контакта, представляют
большие аналитические трудности. Исследование этих задач
должно вестись у нас более широким фронтом.
Подводя итоги освещению данного раздела динамики кон-
струкций, необходимо отметить, что он нуждается в более систе-
матической разработке. Задачи о взаимодействии конструкций
с ударными волнами и твердыми телами (включая задачи о
внедрении) заслуживают внимания самых квалифицированных
специалистов. Во многих случаях становится необходим учет
геометрической и физической нелинейности, волновых процессов,
начальных неправильностей и т. п., что приводит к большому ус-
ложнению уравнений. К тому же апериодические явления, как
правило, труднее подаются аналитическому исследованию, чем
периодические процессы. Все это делает почти необходимым
5*
59
применение при расчете конструкций электронных цифровых
вычислительных машин.
В настоящее время один из наиболее эффективных путей ис-
пользования электронных цифровых вычислительных машин со-
стоит в следующем. Вводя обобщенные координаты, решение за-
дачи можно представить в виде разложения по собственным
функциям задачи малых собственных колебаний. Тогда задача
сводится к исследованию системы обыкновенных нелинейных
дифференциальных уравнений. Такие системы удобны для реше-
ния на электронных цифровых машинах. Первые работы в этом
направлении принадлежат А. Ю. Биркгану и А. С. Вольмиру [11],
В. Л. Агамирову и А. С. Вольмиру [1], О. И. Теребушко [99] и
В. И. Феодосьеву [101]. Последний назвал указанный прием ва-
риационно-шаговым методом. Аналогичный прием с применени-
ем электронных моделирующих устройств использован В. В Бо-
лотиным, Г. А. Бойченко, Б. П. Макаровым, Н. И. Судаковой и
Ю. Ю. Швейко [21], В. В. Болотиным и Г. А. Бойченко [27],
А. С. Вольмиром [39], Ю. И. Кадашевичем и А. К. Перцевым [60]
Следует заметить, что недостатком электронных моделирую-
щих устройств по сравнению с электронными цифровыми маши-
нами является их сравнительно невысокая точность. Этот недо-
статок, однако, компенсируется простотой составления и измене-
ния программы вычислений и возможностью быстрого получения
большого числа результатов в легко обозримом виде.
5.	КОЛЕБАНИЯ КОНСТРУКЦИИ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ с жидкостью ИЛИ ГАЗОМ
Развитие техники требует более глубокого изучения условий
прочности конструкций, находящихся в потоке газа или жид-
кости. Научное направление, которое посвящено рассмотрению
контактных задач строительной механики и теории упругости, с
одной стороны, и аэродинамики — с другой, принято теперь на-
зывать теорией аэроупругости. В течение долгого времени почти
единственными задачами теории аэроупругости оставались
задачи вычисления критических скоростей флаттера и диверген-
ции крыльев и поверхностей управления. Ныне круг этих задач
существенно расширился. Но даже те задачи аэроупругости, ко-
торые тесно связаны с авиацией, представляют интерес для
строительной механики в широком смысле, поскольку методы
исследования могут быть распространены на задачи, встречаю-
щиеся в других областях техники.
За последние годы большое внимание привлекли вопросы
устойчивости тонких пластин и оболочек, взаимодействующих с
потоком сжимаемого газа. В частности, обнаружено специфиче-
ское явление «панельного флаттера», состоящее в самовозбуж-
дении опасных колебаний панелей при больших сверхзвуковых
скоростях. В настоящее время по теории «панельного флаттера»
€0
имеется обширная литература, обзор которой можно найти в ра-
ботах [31, 103].
Наиболее обстоятельно изучена линейная задача об устойчи-
вости пластин, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Наря-
ду с работами [103, 142], в которых для вычисления аэродинами-
ческих сил применены теории линеаризированного двухмерного
и трехмерного сверхзвукового потока, широкое распространение
получили работы (см., напр., [76]), в которых используется упро-
щенная «поршневая теория». Менее разработаны задачи об
устойчивости оболочек. В. В Болотин [16] исследовал устойчи-
вость бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки,
находящейся в потенциальном потоке сжимаемого газа. Рас-
смотрены случаи внешнего и внутреннего обтекания, дозвуково-
го и сверхзвукового течения. Позднее аналогичные задачи рас-
сматривались Дж. Майлсом [141], 3. Джигадло и С. Калиским
[123] и Б. И. Рабиновичем [87]. Устойчивость цилиндрической
оболочки конечной длины на основе «поршневой теории» обсуж-
далась Р. Д. Степановым [96]. При этом автор принимал число
волн в окружном направлении, равное четырем. Ю. Ю. Швей-
ко [106] проанализировал зависимость критической скорости
флаттера от числа волн и показал, что минимальной скорости
обычно соответствуют довольно большие числа волн в окружном
направлении (8—12 и даже более). На необходимость изучения
влияния числа волн на критическую скорость позднее было
вновь указано М. Холтом и С. Стреком [132].
Чтобы найти амплитуды «панельного флаттера», необходимо
рассмотреть задачу в нелинейной постановке. Помимо геометри-
ческой нелинейности, присущей пластинам и оболочкам при
прогибах, сопоставимых с толщиной, в задачах «панельного
флаттера» могут оказаться существенными другие нелинейные
факторы, в частности аэродинамическая нелинейность.
В работе [18] показано, что если вместо формулы линейной
«поршневой теории» взять более точное (налинейное) соотно-
шение, то в некоторых задачах обнаруживаются автоколебатель-
ные режимы, даже если скорости лежат ниже критических зна-
чений, определяемых с использованием формулы линейной тео-
рии. Одними из первых работ по нелинейному панельному флат-
теру являются также работы Ю. Фына [102] и С. Шена [108]. Ав-
торы этих работ рассмотрели задачу о выпучивании и колеба-
ниях панели бесконечного размаха в условиях цилиндрического
изгиба, т е., по существу, стержня. Примерно в то же время
вышла работа В. В. Болотина, Ю. В. Гаврилова, Б. П. Макарова
и Ю. Ю. Швейко [22]. В этой работе дается приближенное реше-
ние задачи об установившемся флаттере прямоугольной пласти-
ны, основанное на нелинейных уравнениях Кармана. Наряду с
аналитическими решениями дано решение на электронных ана-
логовых машинах. Показано, что амплитуды установившегося
флаттера при умеренных закритических скоростях имеют поря-
fil
док толщины панели. В работе [24] задача рассмотрена в более
общей постановке. В этой работе составлены уравнения нелиней-
ного флаттера плоских и криволинейных панелей с учетом тем-
пературных напряжений и предложен способ их решения при
помощи метода малого параметра. Результаты этого труда по-
лучили дальнейшее применение в работах Б. П. Макарова [67,
68], рассмотревшего устойчивость плоских панелей, защемлен-
ных по контуру, и Ю. Ю. Швейко [107], который рассмотрел
устойчивость цилиндрических панелей. С. А. Амбарцумян и
Ж- Е. Багдасарян [5] распространили эти результаты на случай
многослойных ортотропных пластин.
Иногда высказывается мнение о том, что единственной об-
ластью приложений теории аэроупругости является расчет авиа-
ционных конструкций. Это мнение ошибочно; более того, невни-
мание к вопросам аэроупругости может повлечь за собой тяже-
лые последствия. В связи с этим нельзя не упомянуть о пробле-
ме обеспечения аэродинамической устойчивости балок жест-
кости большепролетных висячих мостов. Этой проблеме не при
давали должного значения до известной катастрофы с мостом
Tacoma—Narrows (1940 г.). Появившиеся впоследствии работы
И. И. Гольденблата [47], Д. Штейнмана [152] и др., которые про-
лили свет на причины этой катастрофы, могут служить вместе с
тем некоторой основой для создания теории аэродинамической
устойчивости висячих мостов. Однако и в настоящее время эта
теория еще не создана. Объясняется это трудностями двоякого
рода. Во-первых, балки жесткости висячих мостов не являются
аэродинамически правильными телами и поэтому их обтекание
носит характер, существенно отличный от потенциального тече-
ния. Во-вторых, в этой проблеме, несомненно, нужно рассматри-
вать большие перемещения и, следовательно, учитывать нели-
нейный характер как аэродинамических членов, так и тех чле-
нов, которые характеризуют деформацию конструкции. Даль-
нейший прогресс в этой области невозможен без постановки ши
роких и целеустремленных экспериментов.
Большой интерес представляет изучение вибраций плохо
обтекаемых тел в потоке газа. Ключ к пониманию многих слу-
чаев опасных вибраций высоких мачт и дымовых труб, наземных
конструкций трубопроводов, тросов и проводов лежит в анализе
вихреобразования за телами неправильной формы и в изучении
связи этого вихреобразования с колебаниями конструкций. Хотя
качественное объяснение этих явлений, основанное на представ-
лении о вихревых дорожках Кармана, было известно давно, до
сих пор нет достаточно обоснованных способов расчета. Как и в
вопросах аэродинамической устойчивости висячих мостов, для
преодоления этих трудностей необходима постановка экспери-
ментальных исследований.
Недавно обнаружен новый вид упругих вибраций в потоке
тяжелой жидкости. Было установлено, что упругие стержни,
62
обтекаемые жидкостью в продольном направлении, в некоторых
интервалах скоростей обнаруживают тенденцию к сильным виб-
рациям [122]. Эти вибрации также нуждаются в изучении.
Задачи о колебаниях конструкции, взаимодействующих с тя-
желой жидкостью, требуют совместного решения уравнений тео-
рии упругости и гидромеханики. Наиболее существенное отличие
состоит в том, что в случае тяжелой жидкости важную роль при
обретают присоединенные массы жидкости. В то же время в за-
дачах аэроупругости присоединенным массам принадлежит, как
правило, ничтожная роль. С другой стороны, скорости относи-
тельного движения твердых тел и жидкости обычно относитель-
но невелики. Среди задач о колебаниях конструкций, взаимодей-
ствующих с тяжелой жидкостью, немалое место занимают зада-
чи о собственных и вынужденных колебаниях под действием
внешних сил, о действии ударных нагрузок и т. п. Во всех этих
случаях движение жидкости вызывается возмущенным движени-
ем находящейся с ней в контакте конструкции. Сказанное, ко-
нечно, не исключает возможности автоколебательных явлений
типа флаттера, вызванных действием быстро движущейся жид-
кости.
Собственные колебания конструкций, находящихся в контак-
те с жидкостью, рассматривались рядом авторов [117, 133, 153].
Решены также некоторые задачи о вынужденных колебани-
ях [117, 156] и колебаниях, вызванных импульсивной нагруз-
кой [54]. Обширная литература имеется уже по подводной аку-
стике. Задачи об отражении, поглощении и т. п. акустических
волн упругими пластинами, погруженными в жидкость, состав-
ляют довольно большую долю публикаций в современных аку-
стических журналах (см., например, статью М. А. Био и Дж. Ро-
зенбаума [116]). Важное значение имеет задача о колебаниях
упругих оболочек, содержащих жидкость. Это направление пред-
ставлено у нас работами Н. Н. Моисеева [77] и Б. И. Рабино-
вича [88]. С точки зрения теории пластин и оболочек эти работы
представляют собой лишь первый шаг в указанном направлении.
Н. Н. Моисеев трактозал оболочку как балку, деформация кото-
рой описывается законом плоских сечений, а Б. И. Рабинович —
как тонкостенный стержень. Пока речь идет о низших, преиму-
щественно «балочных» формах движения, такое приближение
может быть еще оправдано. Более точная постановка требует
привлечения уравнений теории оболочек. Шаг в этом направле-
нии сделан Б. Н. Бубликом и В. И. Меркуловым [37], которые
рассмотрели задачу о параметрических колебаниях цилиндриче-
ской оболочки, содержащей жидкость (задача о собственных ко-
лебаниях получается отсюда как частный случай). Укажем так-
же на работу [48], посвященную колебаниям водонапорных ба-
шен и других аналогичных конструкций, содержащих жидкость.
Необходимо более широкое изучение спектров собственных
колебаний упругих систем, взаимодействующих с тяжелой жид-
63
костью. Крайне недостаточно ведется анализ рассеяния энергии
упругих колебаний за счет излучения в неограниченную среду и
особенно — анализ рассеяния энергии колебаний в диссипирую-
щих средах (вязкая жидкость, бингамовская жидкость и т. п.).
Нужно и далее исследовать колебания оболочек, содержащих
жидкость, а также механизм передачи вибраций от колеблющих-
ся тел, погруженных в жидкость. Среди других актуальных за-
дач следует указать на задачи теории звукоизоляции. Послед-
ние лежат на стыке между акустикой и теорией упругих коле-
баний.
Резюмируя сказанное, можно отметить, что все направления
динамики конструкций, взаимодействующих с газом или жидко-
стью, имеют большой практический интерес и в большей мере
заслуживают внимания квалифицированных специалистов, чем
это было до настоящего времени.
6.	ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ
УПРУГИХ СИСТЕМ
Начиная с широко известной работы Н. М. Беляева (1924 г.),
теории параметрически возбуждаемых колебаний упругих систем
было уделено внимание большого числа исследователей. Благо-
даря работам Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, В. Н. Челомея,
И. И. Гольденблата, Г. Ю. Джанелидзе и др. эта теория (теория
динамической устойчивости упругих систем в узком смысле) до-
стигла почти такой же степени завершенности, как и традицион-
ные разделы динамики сооружений. Соответствующий обзор
можно найги в книге [17]; в немецком издании [120] дан обзор ра-
бот, опубликованных до 1960 г.
Линейные задачи о параметрических колебаниях упругих си-
стем принадлежат к числу относительно разработанных разде-
лов динамики. Эти задачи могут быть приведены в общем случае
к системам бесконечного числа обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с периодическими коэффициентами, которые в
дальнейшем приходится заменять некоторой усеченной систе
мой. Области динамической неустойчивости определяются из-
вестными методами. Ряд простейших задач (например, прямоли-
нейный стержень, прямоугольная пластина и пологая оболочка
с краевыми условиями Навье) приводит к разделяющимся урав-
нениям типа Матье-Хилла. Некоторые задачи были рассмотре-
ны А. Н. Марковым [72], О. Д. Ониашвили [82, 83], Н. А. Алфуто-
вым и В. Ф. Разумеевым [3], В. В. Болотиным [17] и другими
авторами. Следует отметить, однако, что из-за густоты спектра у
пластин и оболочек и густоты областей неустойчивости, соот-
ветствующих каждой частоте спектра, пространство параметров
может оказаться почти сплошь покрытым областями неустойчи-
вости. Поэтому нужно уметь выделять области, опасные с прак-
тичео ой точки зрения; иначе результаты исследования будут
64
лишены инженерного смысла. В работе [19] предложено строить
огибающие для нижних границ главных областей неустойчиво-
сти (при условии, что спектр достаточно густ). Дальнейший ана-
лиз степени опасности различных областей неустойчивости тре-
бует учета затухания и нелинейных факторов, лимитирующих
амплитуды колебаний.
В общем случае исследование устойчивости вынужденных ко-
лебаний упругих систем приводит-к неразделяющимся системам
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициента-
ми. Области неустойчивости для таких систем располагаются
вблизи возбуждающих частот 0 = (w^ + wft)/n. Здесь ю, —пар-
циальные частоты собственных колебаний системы, п — положи-
тельные целые числа. В работе [17] резонансы, соответствующие
случаю j = k, названы основными, соответствующие случаю
— комбинационными Там же было высказано предположе-
ние о том, что комбинационные резонансы играют второстепен-
ную роль. Вскоре вопрос о комбинационных резонансах привлек
внимание ряда математиков и подвергся дискуссии. М. Г. Крейн
[61] показал, что для гамильтоновых систем опасны лишь ок-
рестности частот 6 = (со wj/n. Вслед за этим В. А. Якубо-
вич [ИО] установил, что для негамильтоновых систем опасными
могут оказаться и комбинационные частоты б = (юу-— «jJ/zz - Ны-
не в работах по теории дифференциальных уравнений с периоди-
ческими коэффициентами [62] все частоты б = (соу- + шк)/п на-
зываются «подозрительными». Дискуссии подвергся вопрос о
степени опасности комбинационных резонансов. Э. Меттлер [136]
и В. А. Якубович [111, 112] на примерах показали, что в некото-
рых задачах комбинационные области неустойчивости могут ока-
заться шире основных областей (такова, например, задача об
устойчивости плоской формы полосы, изгибаемой периодически-
ми моментами). Возникает вопрос, означает ли это, что комби-
национные резонансы представляют большую опасность? Этот
вопрос обследовался Г. Шмидтом и Ф. Вейденхаммером [150] и
К. Пищеком [146]. Попутно эти авторы установили [150], что
демпфирование может в некоторых случаях расширять области
комбинационного резонанса (сходные явления дестабилизации за
счет демпфирования были обнаружены ранее и в других некон-
сервативных системах [31]). Вообще вопрос о степени опасности
комбинационных резонансов до сих пор остается не разрешен-
ным до конца. Возможно, что окончательный ответ может быть
получен после обстоятельного исследования соответствующих
нелинейных задач.
Мысль о том, что адекватное описание поведения упругих си-
стем при параметрическом резонансе может быть построено толь-
ко на основе нелинейной теории, была впервые четко сформули-
рована И. И. Гольденблатом [47]. Систематическое развитие этой
теории дано в 1951—53 гг. и подытожено в книге [17]. Заме-
тим, что за рубежом первые работы в этом направлении появи-
65
лись позднее. Некоторые из этих работ содержали ошибки.
В последнее время опубликован ряд работ по дальнейшему ис-
следованию нелинейных задач [49, 75]. На некоторых из них сле-
дует остановиться подробнее.
Нелинейная задача о параметрически возбуждаемых коле-
баниях пологой сферической панели поставлена в работе [19].
Было отмечено, что амплитудно-частотные кривые для оболочек
по характеру должны отличаться от соответствующих кривых
для пластин. Работы В. Ц. Гнуни [49, 50] выполнены, по-видимо-
му, без учета этого замечания. Г. В. Мишенков [73, 75] обстоя-
тельно рассмотрел задачу о параметрических колебаниях поло-
гой оболочки с учетом нелинейных факторов. Оказалось, что
амплитудно-частотные кривые в случае оболочек могут быть
довольно сложной структуры. Это особенно относится к случаю,
когда постоянная составляющая нагрузки превышает нижнее
критическое значение, т. е. когда имеется более одной устойчи-
вой конфигурации равновесия. Аналогичные особенности в зада-
чах о собственных и вынужденных колебаниях отмечались
Э. И. Григолюком [52]; в работе [74] результаты труда Э. И. Гри-
голюка подверглись дальнейшему уточнению и развитию.
Предметом теории динамической устойчивости упругих си-
стем (в узком смысле слова) является исследование устойчиво-
сти режима установившихся вынужденных колебаний. Однако
обычно при таком исследовании по аналогии с соответствующи-
ми статическими задачами невозмущенное состояние отождест-
вляется с недеформированным состоянием. Эта замена становит-
ся недопустимой, если невозмущенное состояние оказывается
близким к резонансному. Связанные с этим эффекты были изу-
чены в работе [12], где рассмотрена задача как в линейном, так
и нелинейной постановке. Дальнейшее исследование дано в ра-
ботах [17, 8]. Как показывают вычисления Ж. Е. Багдасаряна и
В. Ц. Гнуни [8], влияние деформаций, соответствующих невоз-
мущенному состоянию, может оказаться особенно велико в зада-
чах о параметрических колебаниях оболочек. Так, было показа-
но, то в случае пологой панели границы областей динамической
неустойчивости могут существенно сместиться.
Наиболее перспективным направлением в области парамет-
рических колебаний упругих систем, видимо, по-прежнему ос-
тается исследование нелинейных задач. Должно быть изучено
влияние таких факторов, как деформации, соответствующие
невозмущенному состоянию, начальные неправильности и одно-
временное воздействие параметрических и обычных сил (т. е.
вызывающих вынужденные колебания).
Настоящий обзор не вправе претендовать на исчерпывающую
полноту. Возможно, что не все оттенки направлений представ-
лены в обзоре и, разумеется, далеко не все публикации освеще-
ны. Цель обзора — в возможно более компактной форме дать
синтез современных направлений по динамике конструкций и
66
привлечь к работе в этой интересной области новых специали-
стов. В последние годы некоторые ведущие специалисты по ста-
тике начали проявлять интерес и даже приступили к активной
работе по динамике конструкций. Молодые специалисты все
охотнее избирают динамику как поле деятельности. Но все же
фронт работ по динамике еще недостаточно развернут. Цель об-
зора можно будет считать достигнутой, если удастся привлечь
к работе в этой области новые силы — как ведущих специали-
стов по строительной механике, так и представителей молодежи.
ЛИТЕРАТУРА
I Агамиров В. Л., Воль мир А С. Поведение цилиндрических обо-
лочек при динамическом нагружении всесторонним давлением или осевым
сжатием. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение» № 3,
1959.
2	А л у м я э Н. А. О фундаментальной системе интегралов малых осе
симметрических установившихся колебаний упругой конической оболочки
вращения. «Известия АН Эст. СССР, серия технических и физико-матема-
тических наук», т. 9, № 1, 1960.
3.	А л ф у т о в Н. А., Ра зум ее в В. Ф. Динамическая устойчивость
опертой по одному краю конической оболочки, нагруженной осесиммет-
ричным давлением. «Известия АН СССР, ОТН», № 10, 1955.
4	Амбарцумян С А., Хачатрян А. А Об устойчивости и ко-
лебаниях анизотропных пластинок. «Известия АН СССР, ОТН, Механика
и машиностроение», № 1, 1960.
5.	Амбарцумян С. А., Багдасарян Ж. Е. Об устойчивости
ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. «Извес-
тия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», № 4. 1961
6.	Амбарцумян С. А., Г н у н и В Ц. О вынужденных колебаниях
и динамической устойчивости трехслойных ортотропных оболочек, «Изве-
стия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», № 3. 1961.
7	Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А Об устойчивости и ко-
лебаниях пологой ортотропной цилиндрической панели, «Доклады АН
Арм. ССР», т. 30, № 1, 1960.
В.	Багдасарян Ж. Е., Гнув и В. Ц. К теории динамической ус-
тойчивости слоистых анизотропных пологих оболочек вращения. «Известия
АН Арм. ССР. Серия физико-математических наук», № 5. 1960.
9	Барон М Поведение цилиндрической обопоики при воздействии
поперечной ударной волны. Сб. «Механика», № 4, ИЛ, 1956.
10	Бейлин Е А. и Джанелидзе Г. К? Обзор работ по дина-
мической устойчивости упругих систем. «Прикладная математика и механи-
ка», т 16, № 5, 1952.
11.	Биркган А. Ю, Вольмир А. С Исследование динамической
зстойчивости пластинок с помощью электронных цифровых машин. «До-
клады АН СССР», т. 135, № 5, 1960.
12.	Болотин В. В. Некоторые нелинейные задачи динамической устой-
чивости пластинок. «Известия АН СССР, ОТН», № 10, 1954.
13.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость пластинок. Труды Мо
сковского энергетического института, вып. 17, 1955
14.	Б о л о т и н В. В Об ошибках в некоторых работах по динамиче-
ской устойчивости. «Известия АН СССР, ОТН», № 11, 1955
15	Болотин В В. О взаимодействии вынужденных и параметриче-
ских возбуждаемых колебаний. «Известия АН СССР, ОТН», № 4, 1956.
67
16.	Болотин В. В. Колебания и устойчивость упругой цилиндриче-
ской оболочки в потоке сжимаемой жидкости. «Инженерный сборник», т. 24,
1956.
17.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. Гос-
техиздат, 1956.
18.	Б о л о т и н В. В О критических скоростях в нелинейной теории аэро-
упругости «Научные доклады высшей школы. Машиностроение н приборо-
строение», № 3, 1958.
19.	Болотин В. В. Устойчивость тонкостенной сферической оболочки
под действием периодического давления. «Расчеты на прочность», вып. 2,
Машгиз, 1958.
20.	Б о л о т и н В. В. Некоторые новые задачи динамики оболочек.
«Расчеты на прочность», вып. 4. Машгиз, 1959.
21.	Б о л о т и н В. В., Б о й ч е н к о Г А., Макаров Б. П., Суда-
кова Н. И., 111 вейк о Ю. Ю. О поведении тонких упругих оболочек
при воздействии импульсивной нагрузки. «Строительная механика и рас-
чет сооружений», № 2, 1959.
22.	Бо л о т и н В. В., Гаврилов Ю. В., Макаров Б. П., Швей-
к о Ю. Ю Нелинейные задачи устойчивости плоских панелей при больших
сверхзвуковых скоростях. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машино
строение», № 3, 1959.
23.	Б о л о т и н В. В. О применении вариационного метода Галеркина
к задачам флаттера упругих панелей. «Известия высших учебных заведе-
ний. Машиностроение», № 11, 1959.
24.	Б о л о т и н В. В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек. «Ин-
женерный сборник», т. 28, 1960.
25.	Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболо-
чек. «Прикладная математика и механика», т. 24, № 5, 1960.
26.	Болотин В. В., Макаров Б. П., Мищенков Г. В., Швей-
к о Ю. Ю. Асимптотический метод исследования спектра собственных час-
тот упругих пластинок. Сб. «Расчеты на прочность», вып. 6. Машгиз, 1960.
27.	Б о л о т и н В. В., Бойчей.с о Г. А. Исследование «прощелкива-
ния» тонких упругих оболочек под действием динамических нагрузок.
Сб. «Расчеты на прочность», вып. 5. Машгиз, 1960.
28.	Б о л о т и н В В. Динамический краевой эффект при колебаниях
упругих пластинок. «Инженерный сборник», т. 31, 1961.
29.	Болотин В. В. Асимптотический метод исследования задач о соб-
ственных значениях для прямоугольных областей. Сб. «Проблемы механики
сплошной среды». Издательство АН СССР, 1961.
30	Болотин В. В. Асимптотический метод в теории колебаний упру
гих пластин и оболочек. Труды Всесоюзной конференции по теории пластин
и оболочек Издательство Казанского филиала АН СССР, 1961.
31.	Болотин В В. Неконсервативные задачи теории упругой устой-
чивости Физматгиз, 1961.
32.	Б о л о т и н В. В. Обобщение асимтотического метода решения за-
дач о собственных значениях для прямоугольных областей. «Инженерный
журнал», № 2, 1961.
33.	Б о л о т и н В. В. О плотности частот собственных колебаний тон-
ких упругих оболочек. «Прикладная математика и механика», т. 27, № 2.
1963.
34.	Б о р о д а ч е в Н. М Колебания штампа, лежащего на упругом по-
лупространстве, под действием горизонтальной гармонической силы. «Из-
вестия вузов. Строительство и архитектура», № 9, 1963.
35.	Б р е с л а в с к и й В. Е. О колебаниях цилиндрических оболочек
«Инженерный сборник», г 16, 1953.
36.	Бреславский В Е. Собственные колебания круговой цилиндри-
ческой оболочки, находящейся под действием гидростатического давления.
«Известия АН СССР, ОТН», № 2, 1956.
37.	Бублик Б. Н., Меркулов В. И. О динамической устойчивости
тонких оболочек, наполненных жидкостью. «Прикладная математика н ме-
ханика», т. 24, К® 5, 1960.
68
38.	В ей гель И., Мянниль А., Орг Э. Малые установившиеся осе-
симметричные колебания конической оболочки вращения. «Известия Эстон-
ской ССР, серия технических и физико-математических наук», т. 9, № I, 1960.
39.	Вольмир А. С. Об устойчивости цилиндрических оболочек при
динамическом нагружении. «Доклады АН СССР», т 123, № 5, 1958.
40.	В о л ь м и р А. С., Минеев В. Е. Экспериментальное исследова-
ние процесса выпучивания оболочки прн динамическом нагружении. «До-
клады АН СССР», т. 125, № 5, 1959.
41.	Гаврилов Ю. В. Определение частот собственных колебаний тон-
ких упругих круговых цилиндрических оболочек. «Известия АН СССР, ОТН,
Механика и машиностроение», № 1, 1961.
42.	Гаврилов Ю. В Исследование спектра собственных колебаний
упругих цилиндрических оболочек. Труды Всесоюзной конференции по теории
пластин и оболочек. Издательство Казанского филиала АН СССР, 1961
43.	Галин М. П. Поперечные колебания балок и плит за пределом
упругости под действием импульсивных и ударных нагрузок <Известля
АН СССР, ОТН», № 3, 1958.
44.	Гениев Г. А. Некоторые вопросы распространения двумерных
волн в сжимаемых пластичных средах. Труды ЦНИИСКа, «Исследования
по строительной механике», вып. 4, 1961.
45.	Гелиев Г. А. К вопросу о взаимодействии плоских волн сжатия
в грунтах с гибкими покрытиями подземных сооружений. Труды ЦНИИСКа,
«Исследования по строительной механике», вып. 4, 1961.
46.	Г е н и е в Г. А. К вопросу о методах решения динамических задач
теории пластичности. Труды ЦНИИСКа, «Исследования по строительной ме-
ханике», вып. 5, 1962.
47.	Г о л ь д е н б л а т И. И. Динамическая устойчивость сооружений.
Стройиздат, 1948.
48.	Гольденблат И. И., Николаенко Н. А. Расчет конструкций
на действие сейсмических и импульсивных сил. Госстройиздат, 1961.
49.	Гнуни В. Ц. К теории динамической устойчивости слоистых ани-
зотропных оболочек. «Известия АН Арм. ССР, серия физико-математиче-
ских наук», № 1, 1960.
50.	Гнуни В. Ц. К теории нелинейной динамической устойчивости обо-
лочек. «Известия АН СССР, OIH, Механика и машиностроение», № 4, 1961.
51.	Гопкинс X., Прагер В. Динамика пластической круглой пла-
стинки. Сб. «Механика», № 3, Изд иностранной литературы, 1955.
52.	Г р и г о л ю к Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих
стержней и оболочек. «Известия АН СССР, ОТН», № 3, 1955.
53.	Григолюк Э. И. О малых колебаниях тонких упругих кониче-
ских оболочек. «Известия АН СССР, ОТН», № 6, 1956.
54.	Г у с с е й н-3 а д е М. И Удар по бесконечной пластинке, лежащей
на упругом жидком полупространстве. «Доклады АН СССР», т. 113, № 3,
1957.
55.	Д и к о в и ч И. Л. Динамика упруго-пластических балок. Судпром-
гнз, 1962.
56.	Д у б и н к и н М. В. Колебания плит с учетом инерции вращения и
сдвига. «Известия АН СССР, ОТН», № 12, 1958.
57.	Д у б и н к и н М. В. О распространении волн в бесконечных плитах.
«Прикладная математика и механика», т. 23, № 5, 1959.
58.	3 в о л и н с к и й Н. В., Рыков Г. В. Отражение пластической вол-
ны от преграды. «Прикладная математика и механика», т. 27, № 1, 1963.
59.	К о р е н е в Б. Г. Расчет промышленных сооружений на действие
эксплуатационной динамической нагрузки. «Строительная механика и рас-
чет сооружений», № 4, 1962.
6U.	Кадашевич Ю. И., Перцев А. К. О потере устойчивости ци-
линдрической оболочки при динамическом нагруженин. «Известия АН СССР,
ОТН, Механика и машиностроение», № 3, 1960.
61.	Крейн М. Г. Основные положения теории А—зон устойчивости
канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периоди-
69
ческими коэффициентами. Сб. «Памяти А. А. Андронова». Издательство
АН СССР, 1955.
62.	Крейн М. Г., Якубович В. А. Гамильтоновы системы линейных
тифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Трх ты
международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Издательство АН
УССР, 1963
63.	Кудрявцев Е. П. Об учете влияния сдвигов и инерции враще-
ния на изгибные колебания упругих стержней. «Известия АН СССР», ОТН
Механика и машиностроение», № 5, 1960.
64.	К у к у д ж а н о в В. Н. Распространение цилиндрических ударных
вели напряжения в пластинке за пределом упругости. Труды Московского
физико-технического ин-та, вып. 3, 1959.
65.	Лаврентьев М. А., И ш л и н с к и й А. Ю. Динамические фор-
мы потери устойчивости упругих систем. Доклады АН СССР, т. 64, № 6.
1949.
66.	Л а м п е р Р. Е. О применении некоторых аэродинамических теорий
к расчету флаттера панели. «Прикладная математика и техническая фи-
зика», № 2, 1960.
67.	М а к а р о в Б. П. Об устойчивости защемленных пластин в сверх-
звуковом потоке газа. «Извепия высших учебных заведений. Машинострое-
ние», № 1, 1961.
68.	Макаров Б. П Амплитуды установившегося флаттера защемлен-
ных пластин. «Известия высших учебных заведений, Машиностроение», № 5,
1961.
69.	М а к а р о в Б. П. О нелинейном флаттере защемленных пластин.
Труды Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Издатель-
ство Казанского филиала АН СССР, 1961.
70.	М а л к и н а Р Л. Колебания некруговых цилиндрических оболочек.
«Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», № 1, 1960.
.1	М а н н-Н а х б а р П. Взаимодействие акустической волны и упругой
сферической оболочки. Сб. «Механика», № 6. Изд. иностранной литерату-
ры, 1957.
72.	М а р к о в А. Н. Динамическая устойчивость анизотропных цилин
дрических оболочек. «Прикладная математика и механика», т. 13, № 2, 1949.
73.	М и ш е н к о в Г. В. О динамической устойчивости пологих упругих
панелей. «Инженерный журнал», т. 1, № 2, 1961.
74.	М и ш е н к о в Г. В. О вынужденных нелинейных колебаниях
упруги панелей. «Известия АН СССР, ОТН, ^Механика ч машиностроение».
№ 4, 1961.
/5.	Мншенков Г. В. О динамической устойчивости пологой цилиндри-
ческой оболочки. Труды Всесоюзной конференции по теории пластин и обо-
лочек. Издательство Казанского филиала АН СССР. 1961.
76.	М о в ч а н А А. Об устойчивости панели, движущейся в газе. «При-
кладная математика и механика», т. 21, № 2, 1957.
77.	Моисеев Н. Н. К теории колебаний упругих тел. имеющих
жидкие полости. «Прикладная математика и механика», т 23, № 5, 1959.
78.	М о с к а л е н к о В. Н. К применению уточненных теорий изгиба
пластинок к задаче о собственных колебаниях. «Инженерный журнал», № 3
196L
/9.	Н и г у л У. К. Некоторые результаты исследования уравнений соб
ственных колебаний упругой круглоцилиндрической оболочки. Труды Тал-
линского политехнического ни та. № 171А, 1960.
80.	Н и г у л У. К. Колебания круглоцилиндрической упругой оболочки,
вызванные действием сосредоточенного импульса. Труды Таллинского попи-
технического ин-та, № 171А, 1960.
81.	Никитин Л. В. Распространение поперечных упруго-вязко-пласти-
ческих волн в балках и пластинах. «Инженерньш сборник», т. 30, 1960.
82.	О н и а ш в и л и О. Д. О динамической устойчивости пологих оболо-
чек. «Сообщения АН Грузинской ССР». № 3 1950.
70
83.	О н и а ш в и л и О. Д. Некоторые динамические задачи теории обо-
лочек. Изд. АН СССР, 1957.
84.	Оуэнс Р. и Caii мои с П. Пластические деформации свободного
кольца под действием сосредоточенной динамической нагрузки. Сб. «Меха-
ника» № 5, Изд. иностранной литературы, 1956.
85.	Пановко Я Г. (ред.). Конструкционное демпфирование в непо-
движных соединениях. Изд. АН Латвийской ССР, 1960.
86.	Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.
Физматгиз, 1960.
87.	Рабинович Б. И. О малых гармонических колебаниях цилиндри-
ческой оболочки, вдоль оси которой течет со сверхзвуковой скоростью
идеальный газ. «Прикладная математика и механика», т. 23, № 3, 1959.
88	Рабинович Б. И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостен-
ных стержней с жидким заполнением при наличии свободной поверхности.
«Известия АН СССР, Механика и машиностроение» № 4, 1959.
89.	Ржаницын А. Р. Экстремальное свойство формы движения
жестко-пластической системы, нагруженной за пределом несущей способно-
сти. «Известия АН СССР ОТН, Механика и машиностроение». № 2, 1959.
90	Р ж а н и и ы н А. Р Колонна под действием бокового импульса.
Труды ЦНИИСКа, «Исследования по строительной механике», вып. 5. 1962.
91	Розен блат Г. У Применение метода асимптотического интегри-
рования к задаче о колебаниях сферической оболочки. Сб. «Исследовании
по теории сооружений», т. 5. Стройиздат, 1951
92.	Сейлер Дж., Коттер Б. и Саймоидс П. Импульсивное на-
гружение упруго-пластических балок Сб. «Механика», № 5. Изд иностран-
ной литературы, 1956.
93.	Сел ез о в И. Т. Исследование поперечных колебаний пластинки.
«Прикладная механика», т. 3. № 3, 1960.
94.	С и н и ц ы н А. П. Расчет плотин на сейсмическую нагрузку, Труды
Гидропроекта, вып. 10, 1963.
95.	Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях
упругих систем. Стройиздат, I960.
96.	С т е п а н о в Р. Д. О флаттере цилиндрических оболочек и панелей
движущихся в потоке газа. «Прикладная математика и механика», т. 21,
№ 5. 1957.
97	Терсенов С А. Об асимптотическом поведении собственных зна-
чений и ссо< твенных функций колебаний тонких пологих оболочек. «Сооб-
щения АН Груз ССР», т. 16. № 8. 1955.
98.	Т е р с е н о в С. А. Асимптотическое поведение собственных значе-
ний и собственных функций колебаний цилиндрических оболочек. «Сооб-
щения АН Груз. ССР», т. 16, № 1, 1955.
99.	Т е р е б у ш к о О. И. Устойчивость цилиндрической оболочки при
быстрох! "агружении осевой силой. «Строительная механика и расчет соор 
жений», № 1, 1960.
160.	Уфлянд Я. С. Распространение волн при поперечных колебания,
стержней и пластин. «Прикладная математика и механика», т 12, № 3, 1948.
101.	Фео досье в В. И. Об одном способе решения нелинейных задач
устойчивости деформируемых систем. «Прикладная математика и механи-
ка», т 27. № 2 1963
102.	Ф ы н Ю. О двухмерном флаттере панели. Сб. «Механика», № 1,
Изд. иностзанной литературы, 1959.
103.	Хеджпет Дж. Флаттер прямоугольных свободно опертых па-
нелей поп больших сверхзвуковых скоростях. Сб. «Механика», № 2. Изд.
иностранной литературы, 1958.
104.	Хьюз Дж., Коул Дж. Упругие волны напряжения, образую-
щиеся в сферической оболочке под действием волны давления. Сб. «Ме-
ханика», № 5. Изд. иностранной литературы. 1956.
105.	Шапиро Г. С. Удар по кольцевой жестко-пластической пластин-
ке. «Прикладная математика и механика», т 23, Ke 1, 1959.
106.	Ш в е й к о Ю. Ю. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки
71
в потоке газа. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение»,
№ 6, 1960.
107.	Швей ко Ю. Ю. О влиянии сверхзвукового потока газа на нижнее
критическое усилие для цилиндрической панели. «Известия АН СССР, ОТН,
Механика и машиностроение», № 4, 1961.
108.	Шен С. Приближенное исследование нелинейных флаттерных за-
дач. Сб. «Механика», № 4. Изд. иностранной литературы, 1959.
109.	Эстрин М. И. Об уравнениях динамики сжимаемой пластической
среды. «Доклады АН СССР», т. 135, № 1, 1960.
ПО. Якубович В. А. Замечание к некоторым работам по системам
линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
"Прикладная математика и механика», т. 21, № 5, 1957.
111.	Якубович В. А. О динамической устойчивости упругих систем.
«Доклады АН СССР», т. 121, № 4, 1958.
112.	Якубович В. А. Метод малого параметра для канонических
систем с периодическими коэффициентами. „Прикладная математика и
механика", т. 23, № 1, 1959.
I 113. Arnold R. N., Warburton G. В. Flexural vibration of the walls
of thin cylindrical shells having freely supported ends. Proc. Roy. Soc., v. 197A
№ 1049, 1949.
114.	Arnold R. N., Warburton G. B., The flexural vibration of thin
cylinders. Proc. Inst. Meeh. Engrs, v. 167 A, № 1, 1953.
115.	Barton M. V. Vibration of rectangular and skew cantilever plates
J. Appl. Meeh., v, 18, № 2, 1951.
116.	Biot M. A., R о se n b a um J. H. Trapping of acoustic energy near
a source above a submerged elastic plate J. Acoust. Soc. America, v. 33, №
11, 1961.
117.	Bleich H. H.. Baron M. L. Free and forced vibration of a infinitely
long cylindrical shell in an infinite acoustical medium. J. Appl. Meeh., v. 21,
№ 2, 1954.
118.	Boley B. A., Barber A. D. Dynamic response of beams and plates
to rapid heating. J. Appl. Meeh., v. 24, № 3, 1957.
119.	Boley В. A., C h i-C h a n g Chao. An approximate analysis of Timo-
shenko beams under dynamic loads. Papers Amer. Soc Meeh. Engrs, № A 17,
1957.
120.	Bolotin V. V. KinetischeStabilitatderelastischenSystemen. VEBDeut-
scher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1961.
121.	Buchwald V. T. Low frequency of flexural vibration of elastic plates.
Quart. J. Meeh. Appl. Math., v. 2, № 4, 1959.
122.	BurgreenD, Byrnes J. J., BenforadoD M. Vibration of rods,
induced by water in parallel flow. Papers Amer. Soc. Meeh. Engrs, № A-94,
1957.
123.	D z i g a d 1 о Z., К a 1 i s k i S. Self exited vibration of a stiffened cylin
drical orthotropic elastic shell in a linearized supersonic flow. Proc. Vibration
Problems. Polish Acad. Sei., № 3, 1959.
124.	Eason G., Shield R. T. Dynamic loading of rigid-plastic cylindrical
shells. J. Meeh. Phys. Solids, v. 4, № 1, 1955.
125.	Fung Y C., S e c h 1 e г E. E., Kaplan A. On the vibration of thin
cylindrical shells under internal pressure. J. Aeronaut. Sci., v. 24, № 4, 1957.
126.	Fung Y. C. On the vibration of thin cylindrical shells under internal
pressure. J Aeronaut. Sci.. v 24, № 9, 1957.
127.	Fung Y. C. Some general properties of the dynamic amplification
spectra. J. Aeronaut. Sci., v. 94, № 7, 1957.
128.	Greenspoon J. E. Vibration of thick-walled cylindrical shell-compa-
rison of the exact theory with approximate theories. J. Acoust. Soc. America,
v. 32, № 5, 1960.
129.	Hedgepeth J. M. On the flutter of panels at high Mach numbers.
J. Aeronaut. Sci., v. 23, № 6, 1956.
130.	Herrmann G, Mirsky A. Three dimensional and shell theory analysis
of axially symmetric motions of cylinders. J. Appl Meeh., v. 23, № 4, 1956.
72
131.	Hodge P. G. Impact pressure loading of rigid-plastic cylindrical
shells. J. Meeh. Phvs. Solids, v. 3, № 2, 1955.
132.	Holt M., Strack S. L Supersonic panel flutter of a cylindrical! shell
of finite length. J. Aero/Space Sci., v. 28, № 3, 1961.
133.	J unger M. C Vibration of elastic shells in a fluid medium and the
associated radiation of sound. J. Appl. Meeh., v. 19, № 3, 1952.
134.	Kalnins A., N a g h d i P. M. Axisymmetric vibration of shallow
elastic sp erical shells. J. Acoust. Soc. America, v. 32. № 3, I960.
135.	Lin T. C., Morgan G. W. A study of axisymmetric vibration of
cylindrical shells with rotatory inertia and shear. J. Appl. Meeh., v. 23, №
2, 1956.
136.	Mettler E Allgemeine Theorie der Stabilitat erzwungener Schwin-
gungen elastischer Korper. Ing. Arch, B. 17, №6, 1949.
137	Mettler E. Nichtlineare Schwingungen und kinetische Instabilitateni
bei Saiten und Staben. Ing. Arch., B. 23, №5, 1955.
138.	Mettler E., WeidenhammerF. Der axial pulsierend belastete
Stab mit Endmasse. Z. Angew. Math. Meeh., B. 36, № 7/3, 1956.
139.	M i n d 1 i n R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural
motion of isotropis elastic plates. J. Appl. Meeh., v. 18, № 1, 1951.
140.	M i n d 1 i n R. D., В 1 e i c h H. H. Response of elastic cylindrical shell
to a transverse step shock wave, J. Appl. Meeh., v. 20, № 2, 1953.
141.	Miles J. W. Supersonic flutter of a cylindrical shell. J. Aeronaut.
Sci., v. 24, № 2, 1957; v 25, № 5, 1958.
142.	Nelson H. S. Cunningham H. J., Theoretical investigation of flutter of
two dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow,
NACA Rep. № 1280, 1956.
143.	Pi an T. H. Structural damping of a simple built-up beam. J. Appl. Meeh.,
v. 24, № 2, 1957.
144.	Piszczek K- Influence of geometrical and dynamical constraints on
resonance regions in the problem of dynamical stability of a thin-walled bar with
open cross-sections. Rozpr. Inz., t. 5, 1957.
145.	Piszczek K- The influence of the curvature of an originally curved
bar on a resonance regions of plane form of bending. Arch. Meeh. Stosowanej,
t. 9, № 2, 1957.
146.	Piszczek K- Parametric combination resonance (of the second kind) in
non linear systems Rozpr. Inz, t. 8,1960
147.	R eissner E. An axisymmatrical vibration of shallow spherical shells.
Quart. Appl. Math., v. 13 № 3, 1955.
148.	Samuels J. С., E r i n g e n A. C. Response of Timoshenko‘s beam to
random process. J. Appl. Meeh., v. 24, № 4, 1958.
149.	Schmidt G. Uber die Querschwingungen schwach vorgekrummter Stabt
bei exzentrisch angreifender pulsierender Langsbelastung. Mathem. Nachrichten,
B. 26, № 2, 1961
150.	Schmidt G., Weidenhammer F. Instabilitaten gedampfter
rheolinearer Schwingungen. Mathem Nachrichten, В 26, № 4, 1961.
151.	Shen S. F.. Hsi С. C. Analytical results of certain nonlinear flutter
problems. J. Aeronaut. Sci., v. 25, № 2, 1958.
152.	Steinman D. B. Rigidity and aerodynamic stability of suspension
bridges. Proc. Amer. Soc. Civil En; rs. № 4, 1945.
153.	Warburton G. B. Vibration of a cylindrical shell in an acoustic
medium. J. Meeh. Engng Sci., v. 3, № 1, 1961.
154.	W ei den hammer F. Nichtlineare Biegeschwingungen des axial-pul-
sierend belasteten Stabes. Ing. Arch., B. 20, № 5, 1952.
155.	Woolston D S., Runyan H. L-, Andrews R. E., An investigati-
on of effects of certain types of structural nonlinearities on wing and control
surface flutter J. Aeronaut Sci., v. 24, № 1, 1957.
156.	Y e h G. С. K-, M a rt i n e к J. Forced vibration of a clamped rectan-
gular plate tn fluid media. J. Appl. Meeh., v 22, № 4, 1955.
157.	Yu Y. Y. Free vibration of thin cylindrical shells having finite length
with freely supported and clamped edges. J. Appl. Meeh., v. 22, № 4, 1955.
ГЛАВА III
ПРИМЕНЕНИЕ
СТАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ
Поведение конструкций, подверженных действию статических
или динамических нагрузок, зависит от ряда факторов случай-
ной природы. Эти факторы по происхождению могут быть раз-
биты на две группы. К одной группе относятся геометрические
и физические параметры самой конструкции: случайные откло-
нения от идеальной геометрической формы, разброс способов
осуществления краевых условий, разброс упругих и прочностных
характеристик материала и т. п. Ко второй группе относятся
случайные параметры, характеризующие нагрузки и другие
«внешние» условия эксплуатации конструкции или экспери-
мента.
Ппименение статистических методов в строительной механи-
ке тесно связано с развитием теории надежности. Предметом
строительной механики является отыскание напряжений и де-
формаций, возникающих в конструкциях. Но инженерный расчет
не останавливается на определении напряжений и деформаций.
Результатом инженерного расчета должно быть решение вопро-
са о том, сможет ли конструкция достаточно надежно служить в
течение установленного срока эксплуатации. Знание напряже-
ний и деформаций необходимо, в конечном счете, лишь для того,
чтобы вынести суждение о надежности конструкции. Таким об-
разом, на заключительных этапах инженерного расчета механи-
ка приходит в соприкосновение с теорией надежности, которая
пеликом базируется на методах теории вероятностей и матема-
тической статистики. На связи между строительной механикой
и теорией надежности мы подробнее остановимся несколько
ниже.
Задачи строительной механики, которые требуют примене-
ния статистических методов, можно разбить на две группы
К первой группе относятся задачи, связанные с обеспечением на-
дежности конструкций, работающих на статические и динами-
74
ческие нагрузки. Эти задачи могут формулироваться по-разному.
В одних случаях цель состоит в определении вероятности опас-
ного состояния конструкции, достигаемого к концу установленно-
го срока эксплуатации, или в определении среднего или наиболее
вероятного срока службы. В других случаях требуется найти
законы распределения тех или иных параметров, характеризую-
щих деформированное состояние (например, остаточных дефор-
маций, которые накапливаются к концу срока эксплуатации).
Может возникнуть задача об отыскании законов распределения
«внешних» или «внутренних» параметров (например, допусков
при изготовлении конструкции или уровня флуктуационных на-
грузок), при которых обеспечивается нормативная надежность
работы конструкции. Перечисленные примеры не исчерпывают
всего многообразия задач. Их постановка может видоизменять-
ся в зависимости от назначения и условий работы конструкции:
имеет ли конструкция одноразовое назначение или рассчиты-
вается на длительный срок службы; является ли нагрузка дли-
тельной реализацией стационарного случайного процесса или
она носит ярко выраженный кратковременный, нестационарный
характер; рассматривается ли в качестве причины выхода кон-
струкции из строя разрушение в результате кратковременного
интенсивного воздействия, накопление пластических деформаций
или развитие усталостных трещин и т. д.
Другая группа задач связана с обработкой и интерпретаци-
ей результатов испытаний материалов и конструкций. В качест-
ве примера укажем на испытания тонких оболочек на устойчи-
вость. Хорошо известно, что из-за большого разброса экспери-
ментальных критических сил не удается провести полного сопо-
ставления опытных данных и результатов нелинейной теории.
Для возможности такого сопоставления необходимо знать ста-
тистические распределения начальных неправильностей, флукту-
аций в осуществлении краевых условий и других факторов, вли-
яющих на величину критических нагрузок. Упомянем о двух
типичных постановках задач в этой области. Основная задача
состоит в том, чтобы, зная распределение случайных параметров,
характеризующих конструкцию и условия испытания, найти за-
коны распределения критических сил. Может возникнуть и об-
ратная задача — на основании данных об эмпирических распре-
делениях критических нагрузок вынести суждение о законах рас-
пределения «внутренних» параметров для испытуемой серии
конструкций. Очевидно, указанный круг задач не связан непо-
средственно с проблемой надежности; эти здачи могли возник-
нуть в том случае, если бы проблемы надежности не сущест-
вовало.
Настоящий обзор составлен по следующему плану. Вначале
мы рассматриваем вопросы, связанные с идеями теории надеж-
ности; при этом центральное место уделяется работам, посвя-
щенным статистическому обоснованию коэффициентов запаса.
75
Далее рассматриваются статистические теории деформирования
и разрушения твердых тел. Специальный раздел посвящен при-
менению статистических методов к задачам устойчивости. Зада-
чи колебаний конструкций под действием случайных нагрузок
рассматриваются в двух разделах: в одном из них освещается
применение корреляционных методов, в другом — применение
методов теории марковских процессов. В заключение рассматри-
ваются работы, в которых дается развитие статистической тео-
рии сейсмостойкости сооружений.
2.	ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
Теория надежности — молодая техническая дисциплина. Она
сформировалась как самостоятельная область науки лишь в на-
чале пятидесятых годов под влиянием бурного развития радио-
электроники, ракетной техники, вычислительной техники и т. д.
Современные радиоэлектронные устройства и электронные циф-
ровые машины состоят из весьма большого числа деталей. Если
выход из строя (отказ) одной детали влечет за собой отказ уст-
ройства в целом, то, очевидно, возможность безотказной эксплуа-
тации будет быстро уменьшаться с усложнением устройства.
В настоящее время надежность оборудования является одной из
центральных проблем в радиоэлектронике. В этой области ве-
дутся широкие теоретические и опытные исследования, ежегод-
но публикуются сотни работ, проводятся конференции и симпо-
зиумы. Существенный вклад в развитие теории надежности вне-
сен А. И. Бергом, Н. Г. Бруевичем, В И. Сифоровым и другими
специалистами в области радиоэлектроники. Вопросы надежно-
сти все острее ставятся в машиностроении, энергетике и других
областях техники. Таким образом, надежность изделий и систем
становится крупнейшей народнохозяйственной проблемой
Следует отметить, что вопросы теории надежности обсужда-
лись еще давно в связи с механической прочностью конструк-
ций. Задолго до того, как проблема надежности возникла в ра-
диоэлектронике, инженеры по существу пользовались понятия-
ми и методами теории надежности при механическом расчете
конструкций Многие основные понятия теории надежности уже
давно сформировались в строительной механике. К ним относят-
ся понятия отказа — выхода конструкции из строя, т. е. дости-
жения предельного состояния в широком смысле этого слова,
понятие меры надежности вероятности безотказной работы в
течение установленного срока эксплуатации. Такая мера повы-
шения надежности, как резервирование, широко применяется
при проектировании конструкций в виде использования стати-
чески неопределимых систем и т. п. Экономические вопросы тео-
рии надежности также впервые ставились в связи с расчетом
конструкций на прочность. В некоторых направлениях строи-
76
тельном механики вопросы надежности разработаны больше, чем
в радиоэлектронике. Так, теория накопления усталостных по-
вреждении при случайных нагрузках содержит в себе, по суще-
ству, теорию надежности систем с накопляющимися повреждени-
ями. Статистическая теория хрупкого разрушения твердых тел
по существу является теорией надежности систем, составленных
из весьма большого числа последовательно включенных элемен-
тов, и т. д.
Первые работы, в которых были поставлены некоторые во-
просы теории надежности сооружений, принадлежали М. Майе-
ру и Н. Ф. Хоциалову. В этих работах традиционная концепция
допускаемых напряжений и коэффициента запаса была подверг-
нута критике и была впервые выдвинута идея о применении ста-
тистических методов в расчетах на прочность. Работы носили
дискуссионный характер и в свое время не встретили, по-видимо-
му, широкого одобрения. Выдающаяся роль в деле развития ста-
тистических методов в строительной механике принадлежит
Н. С. Стрелецкому. Начиная с 1935 г., он опубликовал серию ра-
бот, которые подытожены в его книге [72]. В этой книге содер-
жатся идеи, позднее вновь появившиеся в публикациях по общей
теории надежности. В послевоенные годы исследования в обла-
сти надежности инженерных конструкций продолжены более
широким кругом специалистов [7, 8, 73, 99, 100, 111, 135]. Здесь
особенно должна быть отмечена роль А Р. Ржаницына [62—
66]. Идеи статистического обоснования расчетов на прочность
начали проникать в машиностроение [61, 127], авиацию [134] и
другие области техники.
Работы по применению теории вероятностей к расчетам на
прочность сыграли существенную роль в подготовке перехода
к более совершенному методу расчета конструкций по предельно-
му состоянию, осуществленному в послевоенные годы. Наряду
с работами упомянутых авторов, важное место принадлежит ис-
следованиям А. А Гвоздева, И. И. Гольденблата, В. М. Келды-
ша и др.
Недостатком подавляющего большинства работ по статисти-
ческому обоснованию коэффициента запаса является то, что они
основаны на классической теории вероятностей (теории случай-
ных событий). Между тем, правильное решение проблемы воз-
можно лишь при условии привлечения теории случайных про-
цессов. В связи с важностью этого вопроса остановимся на нем
подробнее.
Уже давно отмечалось, что распределение вероятностей для
нагрузок зависит от продолжительности наблюдения. Это являет-
ся, по существу, отражением того фундаментального факта, что
внешние нагрузки, как правило, представляют собой случайный
процесс. Понимание этого совершенно необходимо для правиль-
ного использования эмпирических распределений и для решения
проблемы долговечности и учета сочетания нагрузок.
Конструкция, рассчитываемая на однократное нагружение в
течение всего срока службы,— ситуация, весьма далекая от дей-
ствительности. За время эксплуатации конструкция испытывает
многократные нагружения и разгрузки, различные перегрузки,
вызванные неблагоприятными стечениями обстоятельств, и т. п.
Эта изменчивость во времени оказывается существенной не толь
ко для быстрых процессов, связанных с динамическим нагруже-
нием, но и для процессов квазистатического нагружения. По-
скольку значения случайной функции в два различных момента
времени не являются независимыми, то возникает необходимость
в описании корреляционных связей случайного процесса. Корре-
ляционные связи имеются, вообще говоря, также между различ-
ными видами нагрузок. Поэтому правильное решение вопроса о
сочетаниях нагрузок возможно лишь в рамках теории случайных
процессов. Не только нагружение, но и процесс приближения
конструкции к предельному состоянию является случайным про-
цессом. Применительно к процессу накопления усталостных по-
вреждений это было осознано уже сравнительно давно; к насто-
ящему времени имеется ряд работ по этому вопросу [6, 17, 20, 68.
90, 101] и др.
Процесс накопления пластических деформаций в простейшей
упруго-пластической системе при действии случайной нагрузки
был впервые рассмотрен в работе [15]. Проблема сочетания на-
грузок с точки зрения теории случайных процессов рассмотрена
в статье 118]. Несомненно, что применение теории случайных
процессов к анализу надежности сооружений и машин — одно
из наиболее перспективных направлений строительной механи-
ки. К некоторым аспектам этой проблемы мы еще возвратимся
в дальнейшем.
Необходимо отметить, что наступление предельного состоя-
ния для конструкций, работающих в нормальных условиях, не
может рассматриваться как массовое событие. Следовательно,
для него утрачивает смысл закон больших чисел и статистиче-
ское истолкование вероятности. В этом заключается слабое
место приложений статистических методов к нормативным ра-
счетам. Неоднократно предпринимались попытки определить
нормативную величину вероятности достижения предельного со-
стояния, исходя из экономических соображений. Первая попыт-
ка такого рода относится к двадцатым годам и принадлежит
Н. Ф. Хоциалову. Джонсон посвятил вопросу об экономическом
обосновании запасов прочности отдельную главу своей книги
[111]. Недавно А. Р. Ржаницын [66], исходя из простой эконо-
мической модели, вычислил некоторые оптимальные значения
«характеристики безопасности». Недостатком указанных работ
является то, что в них не отражен фактор времени и не учтено
то обстоятельство, что понятие надежности тесно связано с поня-
тием долговечности.
78
3.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Фундаментальной проблемой науки о прочности является по-
строение статистической теории деформирования и разрушения
твердых тел. Эта теория позволила бы описать с единой точки
зрения процессы пластической деформации, ползучести и релак-
сации, хрупкого разрушения и накопления повреждений при
циклических нагрузках. Пользуясь статистической теорией, мож-
но было бы естественным путем получить все основные соотноше-
ния для феноменологических теорий пластичности, ползучести и
усталости, о которых в настоящее время приходится догады-
ваться, отправляясь от более или менее ограниченного числа
экспериментальных фактов. Не будет преувеличением сказать,
что статистическая теория сыграет в будущем для науки о проч-
ности не менее выдающуюся роль, чем статистическая физика—
для учения о молекулярных и тепловых явлениях.
Полученные до сих пор результаты представляют собой лишь
первые шаги по пути построения статистической теории дефор-
мирования и разрушения твердых тел. Так, были предложены
простейшие статистические методы, описывающие пластическую
деформацию в условиях одноосного напряженного состояния,
что позволило подойти к статистической теории диаграммы рас-
тяжения. Вероятностные методы были использованы для вычис-
ления пределов текучести поликристаллических тел при сложном
напряженном состоянии. Статистический подход неявно присут-
ствует и в «теории скольжения», выдвинутой в качестве одного
из вариантов теории пластичности для нагружений, существенно
отличающихся от пропорционального нагружения.
Больший успех достигнут в теории хрупкого разрушения. По-
строение этой теории облегчается благодаря тому, что в первом
приближении можно отвлечься от взаимодействия первичных
элементов в хрупком теле, полагая, что прочность тела целиком
определяется прочностью наиболее слабого первичного элемен-
та. Такая теория была предложена В. Вейбуллом [145], а также
Я. И. Френкелем и Т. А. Конторовой [41, 42]. Недавно предло-
жено обобщение теории хрупкого разрушения на случай стати-
-тически неоднородного распределения дефектов в твердом те-
ie [14]. Это позволило описать так называемый двойственный
характер масштабного эффекта в твердом теле.
Простейшей задачей статистической теории усталостного раз-
рушения является теоретическое предсказание предела выносли-
вости. Н. Н. Афанасьев [2] свел ее к задаче, аналогичной опреде-
лению хрупкой прочности. Более сложный вопрос это теорети-
ческое обоснование кривой усталости, а также описание процес-
са накопления усталостных повреждений. Полное решение этих
вопросов возможно лишь при условии рассмотрения кинетики
разрушения при циклических нагрузках. Предложенные до
79
сих пор предложения носят более или менее формальный харак-
тер [102, 139].
Несмотря на предварительный характер имеющихся к настоя-
щему времени результатов, часть их уже сейчас имеет практи-
ческое значение. Так, применение теории хрупкого разрушения
к строительным конструкциям из естественных и искусственных
камней позволяет учитывать масштабный эффект при неодно-
родном поле напряжений. Приложение этой теории к сжато-
изогнутым бетонным и кирпичным колоннам дано в работе [67].
Другой практически важный результат—теоретическое пред-
сказание коэффициентов изменчивости пределов прочности
хрупких строительных материалов и установление связи между
коэффициентами изменчивости и параметрами, характеризую-
щими масштабный эффект [12]. Некоторые результаты статисти-
ческой теории усталостного разрушения используют для обра-
ботки и истолкования результатов испытаний на усталость [69.
102] Число подобных примеров можно было бы увеличить.
4.	ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
К ПРОБЛЕМАМ УСТОЙЧИВОСТИ
Понятие устойчивости имеет большое значение в строитель-
ной механике. Подход, основанный на соображениях устойчиво-
сти, позволяет значительно упростить расчетную схему и расчет
сооружения в целом. Вместо того, чтобы вести расчет по уточ-
ненной схеме с учетом возможных возмущений, оказывается
достаточным рассчитать систему по схеме, в которой эти возму-
щения отсутствуют. Вслед за этим необходимо убедиться в том,
что уточненная схема будет сколь угодно близка к упрощенной
схеме, если только возмущения достаточно малы. В целом такой
расчет оказывается намного проще, чем детальный расчет кон-
струкции с учетом всех (или даже части) возмущений, возника-
ющих в процессе ее эксплуатации.
Такой упрощенный подход не всегда может быть оправдан.
Возмущения, возникающие в реальных конструкциях, являются
конечными и не всегда очень малыми. Поэтому установление
того, что в определенном диапазоне нагрузок невозмущенная
форма равновесия обладает устойчивостью по отношению к оп-
ределенному классу возмущений, далеко не всегда оказывается
достаточным для практических целей. Можно привести немало
примеров, подтверждающих это положение. Благодаря имею-
щимся конечным, хотя и малым начальным искривлениям и ма-
лым эксцентрицитетам, предельное состояние сжатых стержней
достигается при нагрузках меньших, чем критические силы для
центрально сжатых стержней. В качестве другого примера ука-
жем на задачи об устойчивости тонких упругих оболочек. Во
многих из этих затач сравнительно малые возмущения (напри-
мер, малые начальные прогибы) оказывают весьма существен-
80
ное влияние на величину предельных нагрузок. Это заставляет
идти на уточнение расчетной схемы: вместо задачи об устойчи-
вости формы равновесия идельной оболочки приходится рас-
сматривать гораздо более сложную задачу о формах равновесия
оболочки с конечными начальными прогибами и другими несо-
вершенствами с последующим исследованием устойчивости этих
форм.
Возмущения в реальных конструкциях, как правило, имеют
случайный характер Поэтому необходимо статистическое рас-
смотрение, содержащее как частный случай обычную трактовку
устойчивости. При этом устойчивой форме равновесия будет со-
ответствовать максимум вероятности ее реализации, неустойчи-
вым— минимум вероятности. Значение параметра нагрузки, при
котором рассматриваемое равновесие перестает соответство-
вать максимуму вероятности, представляет собой не что иное,
как критическое значение в теории упругой или неупругой устой-
чивости. Вместе с тем, статистический анализ позволяет описать
поведение конструкции по отношению к различным классам воз-
мущений более полно, чем это возможно в рамках обычных
представлений об устойчивости.
Задача о продольно-поперечном изгибе стержня при случай-
ных начальных прогибах и случайных эксцентрицитетах впер-
вые рассмотрена в статье А. Р. Ржаницына [62]. Задаваясь функ-
циями распределения для начальных прогибов и эксцентриците-
тов, а также для осевой силы и предела текучести материала и
используя детерминистическую связь между первыми тремя па-
раметрами и краевыми напряжениями в стержне, А. Р. Ржани-
цын ищет вероятность опасного состояния. На основании сде-
ланных расчетов он дает статистическое истолкование известно-
го коэффициента продольного изгиба.
Статистическая теория устойчивости пластин и оболочек,
основанная на так называемом квазистатическом методе, пред-
ложена в статье [9] Некоторое обобщение и расширение области
применения теории дано в книге [15]. Приложения квазистатиче-
ского метода к различным задачам устойчивости оболочек были
даны затем А. С. Вольмиром [22], В. М. Гончаренко [28] и
Б. П. Макаровым [47—49].
В основе квазистатического метода лежат следующие допу-
щения:
а)	предполагается, что факторы, влияющие на поведение
конструкции, могут быть описаны при помощи конечного числа
«входных» случайных параметров с известной совместной плот-
ностью вероятности. В число этих параметров включаются пара-
метры, характеризующие как форму и механические свойства
конструкции, так и нагрузку и другие внешние условия эксплуа-
тации или эксперимента;
б)	предполагается, что факторы, характеризующие поведе-
ние конструкции (перемещения, деформации, усилия, моменты и
6 Зал. 328
81
напряжения), также могут быть описаны при помощи конечного
числа «выходных» случайных параметров;
в)	предполагается, что указанные две группы параметров
связаны между 'собой известными детерминистическими зависи-
мостями, которые будем полагать однозначными и кусочно-не-
прерывными. Для получения этих зависимостей требуется, вооб-
ще говоря, решение задачи Коши для конструкции, которая за-
гружена силами, меняющимися во времени. Если начальные
условия случайны, они должны быть включены в число «входных»
параметров.
При сделанных предположениях совместная плотность веро-
ятности «выходных» параметров определяется по известным
формулам для плотностей вероятности функций случайных ве-
личин.
Одна из наиболее важных областей применения квазистати-
ческого метода — нелинейная теория тонких упругих оболочек.
Ряд работ посвящен следующей задаче: конструкция нагру-
жается внешними силами, заданными с точностью до одного
общего параметра. Этот параметр весьма медленно (квазиста-
тически) и монотонно возрастает от нуля до некоторого конеч-
ного значения. Требуется найти распределение параметров де-
формации (обычно—обобщенных координат, характеризующих
нормальный прогиб), достигаемое к концу процесса нагружения.
Для того чтобы поставленная задача была разрешима, необхо-
димо выполнить условия пункта «в». Нетрудно показать, что
применительно к этой задаче условие будет выполнено, если си-
стема «конструкция — нагрузка» потенциальна и если при фик-
сированном параметре нагрузки существует не более двух устой-
чивых форм равновесия. В этом случае реализуемая форма рав-
новесия может быть легко определена из квазистатических сооб-
ражений, если известна история системы. Если зависимости меж-
ду «входными» и «выходными» параметрами не могут быть уста-
новлены из квазистатических соображений, то необходимо ре-
шать задачу Коши.
В статье [9] была рассмотрена задача о распределении веро-
ятностей полного прогиба упругой пологой цилиндрической па-
нели со смещающимися кромками, сжатой осевыми силами. Па-
раметр начального прогиба считался случайным, параметр на-
грузки-— детерминированным. В основу положено решение со-
ответствующей детерминистической задачи, данное А. С. Воль-
миром. Вероятность «хлопка» для той же задачи была вычисле-
на в статье [9] в предположении, что начальные прогибы
подчиняются симметричному нормальному распределению.
Именно в связи с этой задачей впервые было подчеркнуто влия-
ние отрицательных начальных прогибов на распределение веро-
ятностей «хлопка». Для задачи об устойчивости замкнутой кру-
говой цилиндрической оболочки аналогичные кривые были по-
строены В. М. Гончаренко [28].
82
Задача о распределении критических сил наиболее подробно
исследована. Следует отметить близкое совпадение значений,
вычисленных для пологой цилиндрической панели [9], и тех дан-
ных, которые обычно приводятся экспериментаторами.
Обстоятельное изучение теоретических законов распределе-
ния критических сил выполнено Б. П. Макаровым [48, 49]. Он
рассмотрел ряд задач: осевое сжатие замкнутой круговой цилин-
грической оболочки, сжатие оболочки боковым нормальным ',ав-
лением, а также всестороннее сжатие, кручение круговой цилин-
дрической оболочки, сжатие цилиндрической панели нормаль-
ным давлением. При этом Б. П. Макаров широко использовал
известные результаты решения соответствующих детерминисти-
ческих задач, принадлежащие другим авторам. Б. П. Макаров
обнаружил, что распределение начальных прогибов сильно
влияет на распределение критических сил. Весьма любопытно,
чю некоторые кривые имеют два экстремума: один — вблизи
нижнего критического значения, другой — несколько смещен в
сторону верхнего критического значения. Аналогичный резуль-
тат был получен В. М. Гончаренко [28].
Большой интерес представляет применение квазистатического
метода к анализу данных по испытанию оболочек на устойчи-
вость А. С. Вольмир [22], используя эмпирические формулы для
безразмерной стрелы начального прогиба цилиндрической обо-
лочки, проанализировал влияние отношения R/h на распределе-
ние критических сил. А. С. Вольмир показал, что со статистиче-
ской точки зрения мы должны ожидать последовательного сни-
жения среднего критического давления q* с ростом отношения
Rih.
В работе [47] Б П Макаров дал статистический анализ 222
результатов испытаний цилиндрической оболочки на осевое сжа-
тие, собранных в работе Л. Гарриса, X. Шуэра, В. Скина и
Р. Бенджамена [107] (в статье[107] авторы ограничились построе-
нием кривых, соответствующих 10 и 1% вероятности «хлопка»).
При малых значениях Rih гистограммы имеют два максимума,
что согласуется с теоретическим выводом, полученным в статье
[48]. Не исключена, однако, возможность того, что два максиму-
ма объясняются двумя группами опытных данных с разными
статистическими свойствами (обрабатывались результаты, полу-
ченные несколькими экспериментаторами).
До сих пор мы рассматривали задачи о квазистатическом
монотонном нагружении. В книге [15] указан путь решения не-
которых динамических затач устойчивости оболочек. В качестве
примера укажем на задачу о динамическом «хлопке» пологой
цилиндрической панели под действием нормальной импульсив-
ной нагрузки. В качестве другого примера можно указать на
задачу о динамическом «хлопке» цилиндрической панели при
осевом сжатии нагрузкой, возрастающей со случайной скоро-
стью, постоянной в процессе нагружения.
6*
83
Следует подчеркнуть, что рассмотренные нагрузки представ-
ляют собой вырожденные (в смысле М. Бартлетта [3]) случай-
ные процессы. Имеется в виду, что реализации этих процессов
выражаются через детерминистические функции, зависящие от
конечного (практически—весьма небольшого) числа случайных
параметров. Многие нагрузки, действующие на конструкции (на-
пример, нагрузки от атмосферной турбулентности, от давления
волн и т. д.), не могут быть таким образом удовлетворительно
описаны. Здесь требуется применить методы теории случайных
процессов. Кроме того, задачи устойчивости конструкций при
таких нагрузках оказываются тесно связанными с задачами тео-
рии колебаний. Поэтому указанные задачи будут рассмотрены
отдельно.
5.	КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
ПРИ случайных нагрузках.
ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ
В ряде приложений случайная нагрузка изменяется во вре-
мени достаточно быстро, так что ее характерные периоды1 ока-
зываются сопоставимыми с периодами собственных колебаний
конструкций. При таких условиях необходимо исследовать коле-
бания с учетом инерционных и диссипативных сил под дейст-
вием нагрузок, представляющих собой случайный процесс.
Методы исследования случайных процессов могут быть раз-
биты на цве группы — корреляционные методы и методы кинети-
ческих уравнений.
Корреляционные методы основаны на изучении связей между
некоторыми характеристиками входных и выходных процессов—
между корреляционными или между соответствующими родст-
венными им функциями. Для исчерпывающего описания про-
цесса необходимо знать полную систему корреляционных функ-
ций. Значительная часть информации о случайном процессе все
же заключена в средних значениях и корреляционных функциях
второго порядка, именуемых в дальнейшем просто корреляцион-
ными функциями В ряде задач (например, в тех, где заранее
известно, что обобщенные координаты подчиняются нормально-
му распределению) указанных характеристик достаточно для
построения совместных плотностей вероятностей и последующе-
го решения вопросов надежности. Корреляционные функции
для обобщенных сил можно найти, если известны соответствую-
щие функции для локальной плотности нагрузки.
Описание случайного процесса упрощается, если он стацио-
нарен, т. е. если все его статистические характеристики остаются
неизменными во времени. Понятие о стационарных случайных
процессах оказывается весьма удобной абстракцией для описа-
» То есть .интервалы времени, в течение которых нагрузки изменяются
гга заметную величину.
84
ния реальных процессов. Статистические характеристики атмо-
сферной турбулентности, шума работающих двигателей, волне-
ния моря и т. п. можно считать неизменными в достаточно широ-
ких интервалах наблюдения. Средние значения для стационар-
ного случайного процесса постоянны, а корреляционные функ-
ции зависят лишь от разностей t\ —t2, t2—и т. д.
Почти все представляющие интерес стационарные случайные
нагрузки обладают также свойством эргодичности. Это значит,
что достаточно продолжительные реализации этих нагрузок со-
держат практически всю информацию о статистических свойст-
вах процесса. Для эргодических случайных процессов осредне-
ние по ансамблю реализаций может быть заменено осреднением
по времени. Преобразования Фурье для корреляционных функ-
ций стационарного эргодического случайного процесса называ-
ются совместными спектральными плотностями. Если процесс
! содержит дискретные составляющие, то спектральные плотности
.1 будут иметь особенности типа дельта-функций.
Корреляционные функции и соответствующие им спектраль-
ные плотности удобны не только потому, что позволяют простей-
шими средствами описать самые существенные черты случайно-
го процесса. Они являются вместе с тем сравнительно легко из-
меримыми характеристиками процесса. Разработаны специаль-
ные приборы (корреляторы, спектральные анализаторы и т. д.).
позволяющие находить эти характеристики непосредственно ь
процессе измерения или по записанным реализациям процесса.
Спектральные и корреляционные характеристики широко ис-
пользуются для описания реальных нагрузок, действующих на
конструкции самолетов, судов и т. п. [37, 78, 85].
Основная задача корреляционных методов состоит в следую-
щем: зная корреляционные функции (или другие, родственные
им характеристики) входных процессов, найти характеристики
выходных процессов. Если заданы стохастические дифференци-
альные уравнения, связывающие входные и выходные парамет-
ры, то нетрудно получить дифференциальные уравнения, связы-
вающие между собой корреляционные функции. Это достигается
почленным умножением стохастических уравнений на искомые
функции и их произведения и применением осреднения по ансам-
блям реализаций. В общем случае получается бесконечная по-
следовательность дифференциальных уравнений, в которые вхо-
дят корреляционные функции более высоких порядков, а также
смешанные корреляционные функции входных и выходных вели-
чин. Введением подходящих статистических гипотез бесконечную
систему обычно «усекают», останавливаясь на изучении корре-
ляций второго или третьего порядков. Такой метод применен
впервые Максвеллом для решения кинетического уравнения
Больцмана; в физической кинетике этот метод называется мето-
дом моментов. Метод моментов используют также в теории тур-
булентности для получения из уравнения Навье-Стокса диффе-
85
ренциальных уравнений, связывающих корреляции тензора на-
пряжений.
Метод моментов особенно прост в применении к линейным
системам. Однако здесь более эффективны и более употреби-
тельны другие методы — метод импульсных переходных функ-
ций и спектральный метод, широко освещенные в учебной и тех-
нической литературе [46, 58].
Если система нелинейна, то решение может быть в принципе
получено интегрированием уравнений моментов. Но при этом
обычно возникают большие трудности. Трудности могут быть
преодолены, если провести разумную линеаризацию уравнений.
Разработаны различные методы линеаризации [58, 71], во мно-
гом аналогичные хорошо известным методам нелинейной меха-
ники. Наиболее распространен метод статистической линеари-
зации (И. Е. Казаков), который аналогичен методу гармониче-
ской линеаризации в нелинейной механике. Можно указать так-
же на применение метода прямой линеаризации (В. С. Пугачев),
метода медленно меняющейся амплитуды и фазы (С. Райс,
В. И. Бунимович) и т. д.
Определение корреляционных и спектральных характеристик
выходных величин не является самоцелью. Задача состоит в том,
чтобы найти совместное распределение вероятностей для выход-
ных величин (часто — вместе с первыми и вторыми производ-
ными). Затем по этим распределениям требуется оценить надеж-
ность конструкции. Полная система корреляционных функций,
конечно, содержит исчерпывающую информацию о процессе.
Практически, однако, дело не идет дальше функций второго по-
рядка/ Если выходной процесс является нормальным, то зна-
ние средних и корреляционых функций второго порядка доста-
точно для построения функций распределения Их знание может
оказаться достаточным и в некоторых других случаях, когда из
каких-либо соображений известен способ формирования выход-
ных случайных величии.
После того как распределение выходных величин найдено,
мы вступаем в область теории надежности Предельное состоя-
ние конструкции («отказ») может наступить в результате хруп-
кого разрушения или достижения конструкцией предела упру-
гого сопротивления, в результате возникновения больших упру-
гих или пластических деформаций (например, «хлопок» оболо-
чек), в результате накоплений усталостных повреждений и раз-
вития усталостной трещины, механического износа и т. д.
Рях задач теории надежности для конструкций, нагруженных
случайными силами, решается методами теории выбросов слу-
чайных функций. Эта теория, начало которой положено извест-
ной работой С. Райса [60], разработана главным образом приме-
нительно к за дачам радиотехники и автоматического управления
Большой вклад в развитие теории выбросов внесла школа
С. П. Стрелкова (В. И. Тихонов, Р. Л. Стратонович и др ). Об-
BG
стоятельный обзор работ в этой области был опубликован недав-
но В. И. Тихоновым [74]. Мы имеем в настоящее время эффек-
тивные методы, позволяющие находить среднее число пересече-
ний заданного уровня в единицу времени, распределение экстре-
мумов и нулей случайной функции, распределение абсолютных
максимумов на заданном интервале времени и т. п. Если, напри-
мер. за предельное состояние конструкции принимается превы-
шение заданного значения напряжениями (деформациями), то
задача сводится к отысканию вероятности выброса случайной
функции на установленном интервале времени, равном сроку
эксплуатации. «Хлопок» оболочки также можно интерпретиро-
вать как случайный выброс за пределы некоторой области фазо-
вого или конфигурационного пространства. Решение задачи о
накоплении усталостных повреждений требует знания распреде-
ления экстремумов случайной функции, точнее, распределения
случайной функции по «циклам». Для широкополосных процес-
сов, как было показано в работе [20], нужно знать совместные
плотности вероятностей для нескольких следующих один за
другим экстремумов. Что касается накопления пластических
деформаций и деформаций ползучести, то здесь, по существу,
необходимо рассматривать необратимый (точнее, частично необ-
ратимый) процесс, порождаемый другим (входным) процессом.
Эта задача представляется, на наш взгляд, весьма важной и ак-
туальной; но ее решение, как нам кажется, следует искать мето-
дами кинетических уравнений. На этих методах должна также
строиться более полная (нефеноменологическая) теория накоп-
ления усталостных повреждений и механического износа.
Переходим к систематическому обзору работ по применению
корреляционных методов и им родственных в статистической
динамике механических систем. К вопросам прочности конструк-
ций эти методы были впервые применены Г. Липпманом
[45], И. Фангом [76] и Дж. Майлсом [125] в начале пятидесятых
годов. Перечисленные авторы рассматривали эти вопросы глав-
ным образом в связи с расчетом авиационных конструкций на
действие порывов и на баффтннг. Дж. Майлс 'впервые рассмот-
рел случайные колебания конструкций в связи с задачей о на-
коплении усталостных повреждений по схеме Майнера-
Бахарева и дал частичное решение этой задачи. Можно указать
также на позднейшие работы X. Пресса и Г. Хоуболта [132].
X. Рибнера [136], У. Томсона и М. Бэртона [75]. Колебания пла-
стин под действием случайных нагрузок были впервые теорети-
чески рассмотрены Эрингеном [95]. Он рассмотрел колебания
круговой и прямоугольной опертой по всему контуру пластины
под действием некоторых простейших видов случайной нагрузки.
Общая теория колебаний упругих систем, загруженных слу-
чайными силами, была изложена на основании корреляционных
методов в книге [15]. Здесь, в частности, была изучена роль кор-
реляции между отдельными степенями свободы упругой системы.
87
Показано, что взаимной корреляцией можно пренебречь, если
коэффициенты затухания собственных колебаний упругой систе-
мы достаточно малы по сравнению с разностью между парци-
альными частотами и если спектральная плотность входа не
имеет слишком острых максимумов.
Известно, что формы собственных колебании только в немно-
гих случаях могут быть построены точно. Обычные приближен-
ные методы дают надежные результаты лишь для низших форм
колебаний. Поэтому возникает мысль об использовании асимпто-
тических представлений для собственных функций и собствен-
ных частот. В статье {16] эта мысль была реализована примени-
тельно к задаче о колебаниях защемленной пластины. Простран-
ственная корреляция предполагалась полной, а временная кор-
реляция— заданной в виде графика спектральной плотности.
Был вычислен средний квадрат нормальных напряжений, возни-
кающих вблизи защемленной кромки. Дальнейшее развитие
было дано М. Ф. Диментбергом в работах [33, 34], на которых мы
остановимся позднее.
Если спектр возбуждающих частот достаточно широк, то
сразу возбуждается много степеней свободы, и применение кор-
реляционных методов 'становится слишком трудоемким. Но здесь
возможны существенные упрощения, связанные со множествен-
ностью возбуждаемых форм колебаний Подсчеты показывают,
что расстояние между соседними частотами составляет несколь-
ко герц для тонких пластин и оболочек и несколько десятков
герц — для сравнительно толстых пластин и оболочек. Ширина
же спектра возбуждающих частот может составлять сотни и да-
же тысячи герц.
В работе [19] показывается, что при определенных достаточ-
но широких условиях для корреляционных функций, средних
квадратов и спектральных плотностей могут быть даны инте-
гральные оценки. Точнее, суммирование по узлам «квантовой»
решетки заменяется интегрированием по всей области волновых
чисел и делением на площадь одной «квантовой» ячейки. Метод
интегральных оценол позволяет получить в замкнутом виде
асимптотическое решение ряда задач и исследовать влияние
свойств внешней нагрузки, типа демпфирования, типа краевых
есловий и т. п. на статистические характеристики выходных ве-
личин
В последние годы возник значительный интерес к задачам с
колебаниях элементов летательных аппаратов, пусковых
устройств и наземных сооружений под действием случайных дав-
лений, вызванных шумом работающих двигателей, пульсаций в
пограничном слое и др. Эти задачи имеют два аспекта. Один
аспект—чисто акустический, связанный с проблемами звукоизо
ляции, дифракции звука на колеблющейся упругой поверхности
и т. п. Другой аспект связан с прочностью и надежностью кон-
струкций Он находит выражение в термине «акустическая уста-
88
лость» (усталостное разрушение конструкций поп действием слу-
чайных сил, характерные частоты которых лежат в звуковом
диапазоне).
Первые работы в указанном направлении появились шесть—
восемь лет тому назад. 1\ ним можно отнести статью Р. Лайона
[119] по случайным колебаниям струн в дальнем акустическом
поле. Состояние вопроса на 1958 г. отражено в книге [91], издан-
ной под редакцией С. Крэнделла, и в обзорах [32, 78]. Позднее
И. Даэр [94] рассмотрел колебания свободно опертой по контуру
пластины в дальнем акустическом поле. М. Ф. Диментберг [33]
применил асимптотическое разложение собственных функций
чля решения задачи о напряжениях, возникающих в защемлен-
ной пластине в дальнем акустическом поле. Он впервые иссле-
довал вопрос, как изменятся «условия совпадения» для защем-
ленных пластин, и учел корреляцию на кратных частотах. В сле-
дующей работе [34] М. ф. Диментберг в тех же предположениях
исследовал колебания цилиндрических панелей, защемленных
по прямолинейным кромкам, и показал значительное снижение
среднего квадрата напряжений по сравнению с плоской панелью.
Это согласуется с результатами эксперимента. Ю. А. Федоров
[77] рассмотрел колебания замкнутой цилиндрической оболочки
в поле давлений от осесимметрично распределенных источников.
Результаты работы Ю. А. Федорова относятся к некоторому про-
межуточному случаю между «дальним» и «ближним» акустиче-
скими полями, поскольку он частично учитывал пространствен-
ную неоднородность поля давлений. И. Лин [117] исследовал
колебания регулярных неразрезных пластин, а также пластин,
подкрепленных ребрами, в дальнем акустическом поле. Д. Тэк и
Р. Ламберт [142] рассмотрели колебания, вызванные пульсация-
ми в турбулентном пограничном слое.
Влияние нелинейных факторов на случайные колебания упру-
гих систем отмечалось в ряде работ. Так, в работе[115] уже при
сравнительно низких напряжениях (около 3,5 кн/см2) обнаружи-
вались типично нелинейные эффекты — «затягивание» и «срыв»
колебаний.
Как уже указывалось, имеется обширная литература, посвя-
щенная анализу нелинейных задач статистической динамики
при помощи корреляционных методов. Ближе всего к теме на-
стоящего обзора находятся работы Р. Лайона [120—123] и
Т. Кофи [88, 89]. В частности, Р. Лайон [120] впервые оценил
влияние нелинейных эффектов на поведение струны в дальнем
акустическом поле. И. Лин [118] произвел соответствующие вы-
числения для прямоугольной пластины.
Имеется несколько работ, посвященных параметрическим ко-
лебаниям упругих систем, возбуждаемых случайными силами.
А. Эринген и С. Самуэле [97] рассмотрели задачу об устойчи-
вости стержня, сжатого флуктуирующими силами; при этом они
использовали понятие устойчивости «по среднему квадрату».
7 Зак. 328	89
Несколько позднее С. Самуэле [138] исследовал задачу об устой-
чивости замкнутой круговой цилиндрической оболочки, сжатой
флуктуирующей нормальной нагрузкой. Заметим, что родствен-
ные задачи статистической динамики еще ранее рассматривались
Р. Л. Стратоновичем и Ю. М. Романовским [70]. Ряд чисто стати-
ческих задач приводит к уравнениям, математически аналогич-
ным уравнениям, описывающим параметрические колебания при
действии случайных сил. Такова, например, важная задача о
деформациях упругих волноводов и трубопроводов, проклады-
ваемых в статистически неоднородном грунте.
Для решения нестационарных задач статистической дина-
мики упругих систем корреляционные методы были, по-види-
мому, впервые применены в работах [10, 11], посвященных несло
дованию реакции конструкций на действие сейсмических нагру-
зок.
Обсуждение наиболее перспективных направлений исследо-
вания случайных колебаний упругих систем будет дано в п. 7.
6.	КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗКАХ.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Некоторые эффективные методы описания случайных процес-
сов основаны на изучении диференциальных уравнений, описы-
вающих эволюцию функций распределения во времени. Будем
называть эти уравнения кинетическими.
Кинетические уравнения введены в науку еще в середине
прошлого века. Известное кинетическое уравнение Больцмана
является самым ранним (хотя и далеко не самым простым) при-
мером такого уравнения. Позднее благодаря работам Релея,
Фоккера, Планка, Смолуховского и Эйнштейна кинетические
уравнения широко использовались в теории броуновского дви-
жения. Ныне кинетические уравнения эффективно применяют в
самых различных областях науки: в физике [82], теоретической
биологии [3], радиотехнике [51, 71], теории автоматического уп-
равления [59, 79, 80] и т. д.
Успешное применение кинетических уравнений связано глав-
ным образом с развитием теории марковских процессов. Про-
стой марковский процесс — это процесс без последействия, т. е.
такой процесс, при котором распределение вероятностей в мо-
мент времени /2 зависит от распределения в предшествующий
момент времени /]</2 » не зависит от истории системы.
Простейшим примером является одномерный непрерывный
марковский процесс. Соответствующее кинетическое уравнение
носит название одномерного уравнения Фоккера—Планка. Оно
описывает, например, случайное блуждание точки вдоль оси Ох.
Это уравнение может быть обобщено на случай многомерных не-
90
прерывных марковских процессов. Соответствующее уравнение
(а также уравнение, сопряженное ему) называют обычно урав-
нением Фоккера—Планка—Колмогорова.
Решение задачи сводится к интегрированию некоторого урав-
нения параболического типа при заданном начальном условии
«распределении вероятностей при i = 0) и некоторых граничных
условиях. Могут быть поставлены и краевые задачи, связанные
с отысканием вероятности достижения границ, вероятности вы-
бросов и т. п. Так, отыскание среднего времени достижения гра-
ницы сводится к интегрированию уравнения Л. С. Понтрягина.
Если механическая система обладает конечной инерцией, а
обобщенные силы являются «белыми» шумами, то марковским
процессом будет описываться совместная эволюция обобщенных
координат и обобщенных скоростей. «Белый» шум может слу-
жить удовлетворительной аппроксимацией для внешних сил в
некоторых случаях, особенно если затухание системы достаточ-
но мало. Тогда в пределах полос пропускания системы спек-
тральные плотности изменяются незначительно и могут быть
приняты постоянными. Но «белый» шум является все же чрез-
мерной абстракцией, поскольку соответствует процессам с беско-
нечно большой энергией.
Если нагрузки представляют собой стационарные случайные
функции с дробно-рациональной спектральной плотностью, то и
здесь может быть применен аппарат теории марковских процес-
сов. В самом деле, стационарный случайный процесс с дробно-
рациональной спектральной плотностью всегда можно тракто-
вать как результат прохождения «белого» шума через линейную
систему с постоянными параметрами. Дополняя систему уравне-
ниями, описывающими это прохождение, и составляя уравне-
ние Фоккера—Планка—Колмогорова для расширенной системы,
можно получить эффективное решение ряда задач. Можно ука-
зать на ряд примеров из теории автоматического управления
[79, 80]. Таким образом, сфера приложения теории марковских
процессов весьма широка. Имеются лишь трудности построения
решений. Относительно легко могут быть получены стационар-
ные решения, соответствующие распределению вероятностей, не
зависящему от времени. Простейшее из них — широко известное
распределение Максвелла—Больцмана и распределение Гиббса.
Ограничения, которые нужно наложить на динамическую систе-
му с тем, чтобы ее поведение в стационарном состоянии подчи-
нялось указанным распределениям, рассмотрены в работе [21].
Переходя к систематическому обзору работ по применению
теории марковских процессов в статистической динамике меха-
нических систем, нельзя не указать прежде всего на фундамен-
тальные работы Смолуховского и Эйнштейна по теории броунов-
ского движения (среди «классиков» броуновского движения
Ланжевен представлял, если можно так выразиться, «корреля-
ционное» направление). Эти работы отражены в книге [82]. Мож-
7*
91
но указать также на работы Л. Орнштейна [130], М. Ванга и
Г. Уленбека [144], X. Крамерса [114] и др. Следует заметить, что
кинетические уравнения для частных случаев можно найти в
работе Ванга и Уленбека [144]; см. также справочник по механи-
ке, выпущенный под редакцией Флюгге[98].
Принципиальное значение имеет работа А. А. Андронова,
А. А. Витта и Л. С. Понтрягина [1], опубликованная впервые в
1933 г. В этой работе теория непрерывных марковских процессов
в той форме, в какой она была незадолго перед этим развита
А. Н. Колмогоровым, применена для рассмотрения механических
систем в весьма общей форме. Авторы рассмотрели задачу о по-
ведении механической системы со многими степенями свободы
при одновременном действии детерминированных сил и случай-
ных толчков броуновского типа, решили ряд задач о стационар-
ном распределении вероятностей и о времени перехода из одного
состояния в другое. Кстати, здесь впервые было дано уравнение
для математического ожидания времени перехода, названное
впоследствии уравнением Л. С. Понтрягина. В работе [1] была
также впервые поставлена задача о связи между устойчивостью
и распределением вероятностей и показано, что устойчивым мно-
гообразиям соответствуют максимумы плотности вероятности.
В качестве примеров авторы рассмотрели ряд систем первого и
второго порядков, в том числе и автоколебательные системы.
Первой работой, в которой теория марковских процессов при-
менена к задачам теории оболочек, является работа И. И. Во-
ровича [23]. И. И. Ворович предполагает, что силы, действующие
на оболочку, слагаются из медленно меняющихся сил и ф'лукту
ационых сил типа броуновских толчков. Распределение вероят-
ностей И. И. Вирович определяет из уравнения для простого
марковского процесса, используя в дальнейшем его стационар-
ное решение, т. е. распределение Гиббса. Под вероятностью
«хлопка» И. И. Ворович понимает вероятность обнаружить
систему вне некоторой области конфигурационного пространства
при стационарном режиме. Учет влияния случайных параметров
оболочки производится по формуле полной вероятности. В статье
[24] И. И. Ворович вновь использует распределение Гиббса, пы-
таясь получить соотношения квазистатического метода путем
предельного перехода.
Цикл работ по применению теории марковских процессов в
статистической динамике оболочек был выполнен В. М. Гонча-
ренко. В статье {27] В. М. Гончаренко остается в рамках работы
[23], заменяя лишь распределение Гиббса микроканоническим
распределением. В статьях [29, 30] В. А1 Гончаренко уже рас-
сматривает эволюцию системы как марковский процесс в фазо-
вом пространстве. Наконец, в статье [31] В. М. Гончаренко,
используя результаты X. Крамерса [114], ставит задачу об опре-
делении вероятности «хлопка» как залачу об определении веро-
ятности первого пересечения потенциального барьера.
92
Чтобы найти среднее число пересечений заданного уровня в
единицу времени, надо знать совместную плотность вероятностей
для обобщенных координат и скоростей. С этой точки зрения
интересна работа М. Ф. Диментберга [35]. Предполагая, что на-
грузка представляет собой экспоненциально-коррелированный
процесс и применяя аппарат теории марковских процессов, ав-
тор нашел стационарное распределение координат, скоростей и
ускорении, а по нему — стационарное распределение экстрему-
мов. Далее М. Ф. Диментберг выполнил предельный переход к
«белому» шуму, одновременно полагая затухание достаточно
малым. Оказалось, что результат существенно зависит от того,
как выполнен этот переход. Проведенное исследование лишний
раз указывает на необходимость более осторожно подходить к
аппроксимации нагрузок при помощи «белых» шумов.
Из числа зарубежных работ, касающихся затронутого воп-
роса, следует указать на серию работ Р. Лайона [120—122],
Д. Смита [141] и С. Крэнделла [92]. Укажем также на обширную
литературу по применению теории марковских процессов к род-
ственным областям статистической динамики. Книги [51, 71, 82]
дают лишь частичное представление об этом интенсивно разви-
вающемся направлении.
7.	НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИИ
В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ,
ВОЗБУЖДАЕМЫХ СЛУЧАЙНЫМИ СИЛАМИ
Переходим к формулировке задач, возникающих в связи с
дальнейшим развитием статистической динамики упругих си-
стем. Нередко говорят, что наиболее важной задачей является
сбор статистических данных, относящихся к параметрам конст-
рукций и внешним нагрузкам. В самом деле, без этих статисти-
ческих данных теоретические построения повисают в воздухе.
Однако здесь налицо замкнутый круг. Не имея статистических
сведений, нельзя использовать теоретические решения; вместе с
тем, не зная теории, невозможно вести правильный и целеустрем-
ленный отбор статистической информации. Поэтому центральной
задачей является широкая популяризация статистических мето-
дов. Только при этом условии накопление статистической инфор-
мации будет идти по правильному пути.
Следующей задачей является развитие теоретических иссле-
дований по статистической динамике механических систем. Здесь,
однако, скрывается одна опасность. Имеется необозримое море
литературы по применению теории вероятностей и математиче-
ской статистики в различных областях техники и физики. Многие
решенные задачи из других разделов статистической динамики
могут быть легко перефразированы в терминах прочности, меха-
нических колебаний и т. п. На первых этапах развития теории
93
работы, основанные на простых аналогиях с решенными ранее
задачами, были полезны, поскольку они способствовали популя-
ризации статистических методов. Однако теперь следует сосредо-
точить усилия на разрешении специфических трудностей стати-
стической динамики механических систем. Можно указать на
•следующие возможные направления дальнейших исследований.
1)	Учет множественности возбуждаемых форм колебаний
•(особенно в нелинейных задачах). Большинство рассмотренных
ранее задач статистической динамики относилось к системам с
одной или несколькими степенями свободы. Вводя разложение
по собственным функциям и обрывая ряд на некотором члене,
мы сводим упругую систему, представляющую собой систему с
бесконечным числом степеней свободы, к некоторой системе с ко-
нечным числом степеней свободы. Это число может быть доста-
точно велико, особенно если нагрузка обладает широким вре-
менным спектром.
2)	Учет реальных законов пространственно-временной кор-
реляции для нагрузок. Законы распределения реальных нагру-
зок могут быть достаточно сложны. Анализ влияния этих зако-
нов на поведение упругих систем, в общем, не представляет при-
нципиальных трудностей, особенно для линейных систем. Тем не
менее этот вопрос еще практически не изучен.
3)	Разработка методов решения задач статистической дина-
мики при наличии параметрических случайных нагрузок, а так-
же при механических характеристиках, образующих случайное
ноле.
4)	Разработка вопросов статистической динамики, связанных
с теорией надежности. Как уже говорилось, конечным результа-
том исследования должно быть суждение о надежности и долго-
вечности конструкций. Здесь мы вступаем в область, не принад-
лежащую собственно к статистической динамике, хотя и примы-
кающую к ней. Однако исследование в области статистической
динамики должно заканчиваться результатами, которые далее
можно обсуждать с точки зрения надежности. Далеко не все
вопросы могут быть решены при существующем состоянии тео-
рии выбросов случайных функций. Так, до сих пор мы не умеем
определять совместные плотности вероятностей следующих друг
за другом экстремумов для широкополосных случайных процес-
сов.
5)	Применение вероятностных методов непосредственно к
распределенным системам. Во всех перечисленных работах систе-
мы с распределенными параметрами заменялись некоторыми
моделями с сосредоточенными параметрами. Представляет инте-
рес непосредственное применение методов теории вероятностей и
математической статистики к распределенным системам. Задача
решается сравнительно просто для линейных систем, если, на-
пример, известна функция Грина. Некоторые приложения мож-
но наити в работе (96]. Для динамических задач своеобразный
94
подход развивает Ж- Кампе де Ферье [39], однако до сих пор не-
ясно, в какой мере этот подход может оказаться эффективным.
Помимо чисто исследовательских целей предстоит еще ре-
шить весьма важную задачу внедрения методов теории вероят-
ностей и математической статистики в практику инженерных
расчетов. В этой области сейчас ведутся работы, успех которых
будет всецело зависеть от удачного сочетания усилий специали-
стов-теоретиков и инженеров-расчетчиков, конструкторов и эк-
спериментаторов.
8. ПРОБЛЕМА НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗКАХ
Выход конструкции из строя редко бывает связан с ее раз-
рушением в буквальном смысле этого слова. Обычно это являет-
ся результатом постепенного накопления повреждений, остаточ-
ных деформаций, износа и т. п., которые, достигнув определен-
ной величины, начинают препятствовать нормальной эксплуата-
ции конструкции. В течение срока службы конструкции работа-
ют в условиях повторно-переменного нагружения, представляю-
щего собой некоторый случайный процесс. Накопление повреж-
дений поэтому также является случайным процессом. Зная изме-
нение вероятностных характеристик этого процесса со временем,
мы могли бы судить о распределении повреждений к концу уста-
новленного срока службы сооружения. У правильно запроекти-
рованной конструкции к концу эксплуатации вероятность дости-
жения некоторой предельной величины повреждения не должна
быть чрезмерно велика. Таким образом, проблема накопления
повреждений при случайных перегрузках оказывается тесно свя-
занной с проблемой надежности.
Накопление остаточных деформаций упруго-пластической
системы под действием случайных сил рассматривалось, по-ви-
димому, впервые в книге [15]. Накоплению усталостных повреж-
дений посвящена более обширная литература [6, 17, 20, 61, 68,
101, 126 и др.].
Задача состоит в следующем: зная статистические характе-
ристики напряжений, действующих в конструкции, и характери-
стики усталостной прочности этой конструкции при относитель-
но кратковременных программных испытаниях, оценить долго-
вечность конструкции. Инженеры, десятки лет занимающиеся
вопросами усталости конструкций и накопившие обширный
опытный материал, научились оценивать прочность конструкции
на основании прочности лабораторных образцов. Следовательно,
задача зачастую может быть сведена к более простой задаче
об оценке прочности конструкции на основании относительно
кратковременных испытаний лабораторных образцов.
Элементы статистики входят в задачу оценки долговечности
95
двояким образом; через случайные напряжения и через случай-
ные свойства материалов. Следовательно, нельзя говорить о де-
терминистической поверхности усталости; можно говорить лишь
о вероятностной поверхности усталости или о семействе поверх-
ностей, зависящих от вероятности разрушения как от параметра.
Но для индивидуального образца все же можно, пожалуй, го-
ворить о детерминистической поверхности усталости. Это позво-
ляет расчленить задачу на два этапа: вначале рассмотреть за-
дачу долговечности, предполагая механические свойства задан-
ными, а затем по формулам теории вероятностей учесть разброс
механических свойств. Впервые такой подход был, по-видимому,
предложен в книге [15].
Для суждения о долговечности при случайных напряжениях
нужно иметь статистическую или феноменологическую модель,
описывающую процесс накопления усталостных повреждений.
Наиболее простую и внутренне логичную модель дает известная
гипотеза суммирования повреждений, предложенная еще в двад-
цатых годах Пальмгремом и примененная впервые к усталости в
1945 г. В. М. Бахаревым [6] и М. Майнером [126]. Было сделано
немало опытов с целью подтвердить или опровергнуть эту гипо-
тезу и немало попыток дать ее обобщение. Но большинство опы-
тов по проверке гипотезы дает отклонение по долговечности, нс
превышающее 50%. Это можно рассматривать как хорошее
подтверждение гипотезы, особенно если учесть, что естественный
разброс по ресурсу составляет около двух порядков и что откло-
нение 50% может быть получено за счет ошибки в напряжениях,
составляющей всего несколько процентов.
На основе гипотезы суммирования выполнен ряд работ.
В статье [17] для простейшего случая узкополосного гауссовско-
го процесса была получена формула для ресурса, являющаяся
обобщением известных результатов Дж. Майлса [125]. В дей-
ствительности спектр напряжений при акустическом воздействии
является весьма широким. Недавно М. Ф. Диментбергом [36] бы-
ло показано, что эта формула дает нижнюю оценку для ресурса
и в случае широкополосного процесса, что указывает на ее зна
чение для проблемы акустической усталости. Кроме того, был
рассмотрен вопрос о влиянии истории нагружения на суммарный
ресурс. Экспериментаторы очень много занимаются этим вопро-
сом, придавая последовательности приложения нагрузок боль-
шое значение. В статье [17] проведены сравнительные расчеты
при весьма сильных предположениях об отклонении от закона
суммирования. В результате было получено небольшое отклоне-
ние по ресурсу. В последнее время также начато исследование
накопления повреждений при широкополосных процессах [20].
За прошедшие 30 лет проделано весьма большое число опы-
тов на выносливость при несимметричных циклах, но большая
часть этих результатов зафиксирована лишь в протоколах испы-
таний и не может быть использована. Имеются надежные данные
96
по пределам выносливости, соответствующие стандартной базе
испытаний. Есть надежная интерполяционная формула Серен-
сена — Кинасошвили [68] для запасов прочности при несиммет-
ричных циклах. Используя эти данные, можно предложить ап-
проксимацию для поверхности усталости, которая проходит через
кривою усталости для симметричных циклов и через линию пре-
дельных циклов по Серенсену — Кинасошвили. Построение сов-
местных плотностей вероятностей для экстремальных на-
пряжений цикла представляет значительно большие трудности,
чем обычные задачи теории выбросов случайных функций. Вы-
числения были сделаны для двух простейших случаев: для сум-
мы двух узкополосных гауссовских процессов и для процессов со
статистически независимыми экстремумами [20]. В последнем
случае точное значение ресурса и нижняя оценка резко расходят-
ся, причем тем больше, чем выше показатель поверхности ус-
талости и чем ниже уровень напряжений. II то, и другое физи-
чески объяснимо. Расхождение может достигать нескольких по-
рядков. Уточнение оценки представляет собой весьма важную
задачу.
До сих пор мы предполагали механические свойства конст-
рукции детерминированными. На самом деле они являются слу-
чайными, и это крайне сильно сказывается на усталостной проч-
ности. Производя обычные опыты по статической прочности, пла-
стичности и ползучести, мы не замечаем слишком большого влия-
ния статистических факторов. Так, коэффициент изменчивости
пределов текучести у сталей составляет обычно 0,05—0,1. Разброс
же по ресурсу может достигать нескольких порядков. Это объяс-
няется тем, что пластические деформации зависят от осреднен-
ных значений, а хрупкое и квазихрупкое усталостное разруше-
ние— от крайних членов вариационного ряда прочностей отдель-
ных микрообъемов.
Получение вероятностей оценки длительного ресурса на ос-
новании кратковременных программных испытаний представ-
ляет собой важную проблему для строительства, машинострое-
ния, транспорта, судостроения, авиации и ракетной техники.
Многие сильные коллективы занимаются этой проблемой
(группы специалистов под руководством С. В. Серенсена [40,
68, 69], В. Вейбулла [146, 147], А. Фрейденталя [101, 102]). Ре-
шение задачи несколько облегчается благодаря тому, что при
столь большом числе циклов, какое испытывает реальная кон-
струкция, дисперсия долговечности в основном определяется
дисперсией свойств материала.
Обычно чисто феноменологически используются распреде-
ление В. Вейбулла или логарифмически нормальное распреде-
ление. Нам представляется более правильным исходить из ста-
тистических представлений об усталостном разрушении поли-
кристаллического тела. Некоторые результаты уже обсуждались
в п. 3 настоящей главы.
97
9. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
В ТЕОРИИ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ
Сейсмостойкость сооружений является весьма важной на-
роднохозяйственной проблемой. Теории сейсмостойкости соору-
жений посвящено большое число работ, в том числе работы
В. А. Быховского, И. И. Гольденблата, К- С. Завриева,
И. Л. Корчинского, С. В. Медведева, А. Г. Назарова, О. Д. Они-
ашвили, А. П. Синицына, М. Т. Уразбаева и других авторов.
Главное препятствие в развитии теории сейсмостойкости
состоит в отсутствии адекватных представлений для сейсмиче-
ских нагрузок. В настоящее время является общепризнанным,
что сейсмическое воздействие носит случайный характер и что
в основу теории сейсмостойкости должны быть положены ме-
тоды теории вероятностей и математической статистики. Пер-
вая попытка применить вероятностные методы в этой области
принадлежит, по-видимому, Дж. Хаузнеру {108]. В его работе
ускорение грунта было представлено в виде случайной после-
довательности некоррелированных импульсов. Эта схема раз-
вивалась далее в работах (104, 137]. Следует отметить, однако,
что в действительности корреляция ускорений имеет большое
значение. Это выражается как в наличии «преобладающих пе-
риодов» в акселерограммах землетрясений, так и в повышен-
ной чувствительности сооружений с определенными периодами
собственных колебаний к сейсмическим воздействиям. Необхо-
димость привлечения статистических методов для построения
научной теории сейсмостойкости отмечалась И. И. Годьденбла-
том и В. А. Быховским [26]. Некоторые статистические данные,
относящиеся к распределению параметров сильных землетря-
сений, приведены в статьях Б. Гутенберга и К. Рихтера [105]
и их книге [106]. Статистика землетрясений на территории СССР
изучалась С. В. Медведевым [50].
Теория может успешно развиваться, если имеется адекват-
ный аппарат, позволяющий дать математическую формулиров-
ку основных ее понятий. Таким аппаратом для теории сейсмо-
стойкости и вообще для прикладной сейсмологии является тео-
рия нестационарных случайных процессов. В работе [10] была
предложена статистическая теория сейсмостойкости, основанная
на представлении землетрясения в виде нестационарного слу-
чайного процесса. Ее дальнейшее развитие нашло отражение
в работе [11] и в книге [15].
Вероятностная природа сейсмических сил имеет два источ-
ника. Первый из них состоит в том, что каждое землетрясение,
взятое в отдельности, представляет собой случайный акт. Дру-
гим источником вероятностной природы землетрясения являет-
ся то обстоятельство, что к каждой рассматриваемой точке зем-
ной поверхности сейсмические волны доходят после многократ-
ной дифракции и интерференции. Вследствие этого движение
грунта в каждом пункте представляет собой случайный процесс.
98
Из сказанного вытекает, что статистическое описание сейс-
мического воздействия благодаря самой его природе должно
€ыть расчленено на две части. Первая часть состоит в построе-
нии функции распределения для интегральных признаков зем-
летрясений. Вторая часть состоит в том, чтобы дать надлежа-
щее статистическое описание нестационарного случайного про-
цесса— движения грунта при фиксированных значениях интег-
ральных признаков. Тогда расчеты, связанные с отысканием
вероятностей разрушения конструкции при сейсмических воз-
действиях, должны производиться в обратной последовательно-
сти. Вначале определяется вероятность разрушения при усло-
вии того, что реализуются землетрясения, дающие в рассмат-
риваемом пункте акселерограммы с заданными интегральными
признаками. Затем на основе найденных условных вероятностей
и функции распределения для интегральных признаков на-
ходится полная вероятность разрушения. Такое расчленение
статистического описания на два этапа позволяет существенно
сократить требуемое количество информации о землетрясе-
ниях.
Следующий шаг по пути построения статистической теории
сейсмостойкости состоит в некоторой специализации случайного
процесса, описывающего сейсмическое воздействие. Простейшая
схема основана на допущении, что изменением спектрального
состава в течение всего землетрясения можно пренебэечь. Та-
кое допущение может быть принято в первом приближении,
учитывая, что высокочастотные толчки, которыми обычно за-
канчивается землетрясение, оказывают весьма малое влияние
на прочность по сравнению с сильными низкочастотными толч-
ками. Если принять это допущение, то можно представить ком-
поненты ускорения грунта в виде реализации стационарного
случайного процесса, модулированного при помощи некоторой
детерминированной функции времени.
Теория, изложенная в работе [10], в первую очередь яв-
.ляется средством исследования. Ее непосредственное использо-
вание для инженерных расчетов связано с серьезными матема-
тическими и вычислительными трудностями. Тем не менее она
может быть использована для создания простых по форме hod-
мативных расчетов.
Один из возможных путей состоит в построении кривых, на-
поминающих известные «спектры ускорений». Расчет сооруже-
ния на сейсмическое воздействие заменится тогда расчетом на
действие горизонтальных сил, соответствующих некоторому по-
стоянному ускорению. Это ускорение определяется в зависимо
сти от периода собственных колебаний сооружения. В отличие
от «спектра ускорений» мы имеем здесь семейство кривых,
каждая из которых соответствует некоторой вероятности оаа
рушения в течение установленного срока службы или, наобо-
рот, некоторому сроку службы при установленной вероятности
99
разрушения. Эти кривые могут быть построены методами ста'’
тистнческой теории сейсмостойкости.
Значительный интерес представляет изучение ожидаемой ре-
акции сооружения за пределами упругой стадии. Это позво-
лит, в частности, учесть неоднократно отмечавшийся эффект
«приспособляемости» сооружения к сильному сейсмическому
воздействию вследствие резкого увеличения затухания и воз-
растания собственного периода при появлении неупругих де-
формаций. Если нелинейности не очень велики, то метод стати-
стической линеаризации может быть использован и в теории
сейсмостойкости. Таким образом, метод, изложенный в рабо-
тах i[10, 11], после некоторого обобщения может быть распро-
странен на нелинейные системы.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Андронов А. А., Понтрягин Л. С., Витт А. А. О статистиче-
ском рассмотрении динамических систем. «Журнал экспериментальной и те ре-
тической физики», т 3, № 3, 1933. См. также: Андронов А А. Собрание
трудов. Изд АН СССР, 1956.
2.	Афанасьев Н Н Статистическая теория усталостной прочности
металлов. Изд. АН УССР, 1953.
3.	Б а р т л е т т М. С. Введение в теорию случайных процессов. Изд.
иностранной литературы, 1958.
4.	Б а р ш т е й н М. Ф. Воздействие ветра на высокие сооружения .
«Строительная механика и расчет сооружений», № 3, 1959.
5.	Б а р ш т е й н М. Ф. Приложение вероятностных методов к расчету
сооружений на сейсмические воздействия. «Строительная механика и расчет
сооружений», № 2, 1960.
6.	Б а х а р е в В. М. Об утомляемости стали при повторных перегруз-
ках. Труды ЦИАМ, № 91. Оборонгиз, 1945
7	Беляев Б. И Статистический метод расчета железобетонных кон-
струкций. «Строительная промышленность», № 8, 1957
8.	Б е л я е в Б. И. Статистический метод определения нормативных на-
пряжений для стальных конструкций. «Строительная промышленность», № 3i
1954.
9	Болотин В. В. Статистические методы в нелинейной теории упру-
гих оболочек «Известия АН СССР, ОТН», № 3, 1958
10	Болотин В. В Статистическая теория сейсмостойкости сооруже-
ний «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», № 4, 1959.
11.	Болотин В. В. Применение статистических методов дтя оценки
прочности конструкций при сейсмическом воздействии. «Инженерный сбор-
ник», т. 27, Изд. АН СССР, 1959.
12.	Б о л о т и н В. В. Изменчивость пределов прочности хрупких мате-
риалов и ее связь с масштабным эффектом. «Строительная механика и рас-
чет сооружений» № 4, 1960.
13	Болотин В. В. Долговечность конструкций при квазистационар-
ных случайных режимах напряжений. «Инженерный сборник», т. 29. Изд.
АН СССР. 1960.
14	Болотин В В. Некоторые вопросы теории хрупкого разрушения.
Сб. «Расчеты на прочность». Машгиз, № 8, 1962.
15.	Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике
Стройиздат, 1961.
16	Болотин В. В. Динамический краевой эффект при упругих коле-
баниях пластинок. «Инженерный сборник», т. 31, 1961.
100
17	Болотин В. В Некоторые обобщения теории суммирования уста-
лостных повреждений и их приложения к анализу долговечности при дей-
ствии случайных сил. «Известия высшей школы, Машиностроение», № 8, 1959.
18.	Болотин В. В. О сочетании нагрузок, действующих на сооруже-
ния «Строительная механика и расчет сооружений», № 2, 19о2
19.	Б о л о г и н В. В. Об упругих колебаниях, возбуждаемых случай-
ными силами со сплошным спектром. «Известия высших учебных заведе-
ний, Машиностроение», № 4, 1963
20.	Болотин В. В. Накопление усталостных повреждений при напря-
дкениях, представляющих собой широкополосный случайный процесс. Сб.
«Расчеты на прочность», № 9. Машгиз, 1963.
21.	Болотин В. В. О стационарных распределениях в статистической
динамике упругих систем. Сб. «Вопросы динамики и динамической прочно-
сти», Изд. АН Латвийской ССР, Рига, 1963.
22.	Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. Физматгиз, 1963.
23.	В о р о в и ч И И. Статистический метод в теории устойчивости обо-
лочек. «Прикладная математика и механика», т. 23, № 5, 1959.
24.	В о р о в и ч II. И. Асимптотические соотношения в статистической
теории устойчивости оболочек. «Прикладная математика и механика», т. 26,
№ 4, 19о2.
25.	Г о л ь д е н б л а т И. II. Некоторые вопросы определения норматив-
ных сопротивлений и коэффициентов качества. Материалы к теории расчета
по предельному состоянию, вып. 11. Стройиздат, 1949.
26.	Гольденблат И. И. и Быховский В. А. Актуальные .вопро-
сы сейсмостойкого строительства. Строительство в сейсмических районах.
Госстройиздат, 1957.
2/.	Го н ч а р е н к о В. М. Статистический метод в задаче о чистом из-
тибе цилиндрической оболочки. Теория пластин и оболочек. Труды I Все-
союзной конференции. Издательство Казанского филиала АН СССР, 1960.
28.	Г о н ч а р е н к о В. М. К определению вероятности потери устой-
чивости оболочкой. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машинострое-
щие», № 1, 1962
29.	Гончаренко В. М. Применение марковских процессов в теории
устойчивости оболочек. «Украинский математический журнал», т. 24, № 2,
1962.
30.	Г ом ч а р е н к о В. М. Об одном аспекте статистического метода в
теории устойчивости оболочек. Теория .пластин и оболочек. Труды II Все-
союзной конференции. Изд. АН УССР, 1962.
31.	Г о н ч а р е н к о В. М. Исследование вероятности хлопка удлинен-
ной цилиндрической панели под действием случайного давления. «Приклад-
ная математика и механика», т. 27, № 4, 1962.
32.	Гудмэ.н Л., Раттайя И. Обзор литературы по флаттеру и
^влиянию аэродинамического шума. Сб. «Механика» № 5. Изд. иностранной
литературы, 1960.
33.	Д и м е н т б е р г М. Ф. Вынужденные колебания пластин при на-
грузке, представляющей собой пространственно-временной случайный про
цесс. Инженерный журнал, т. I, № 2, 1961.
34.	Диментберг М. Ф. Вынужденные колебания панелей при. слу-
чайных нагрузках. Теория пластин и оболочек. Труды II Всесоюзной кон-
ференции. Изд АН УССР, 1962.
35.	Диментберг М. Ф. Нелинейные колебания упругих панелей при
случайных нагрузках. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и машинострое-
ние», № 5, 1962.
36.	Д и м е н т б е р г М. Ф. О нижней оценке долговечности при стацио-
нарных случайных напряжениях. «Известия АН СССР, ОТН, Механика и
машиностроение», № 3, 1962.
37.	Екимов В. В. Применение методов теории вероятностей к пробле-
мам общей прочности корабля. Труды научно-техн, общества судостроитель-
ной промышленности, т. 7, вып. 2, 1957.
101
38.	К а л ь н и ц к и й А. А. К вопросу о методике определения проч-
ностных свойств бетона. «Строительная промышленность», № 12, 1952.
39.	Кампе де Ферье Ж. Статистическая механика сплошной среды.
Колебания струны с закрепленными концами. Сб. «Механика», № 2, Изд. ино-
странной литературы, 1962.
40.	Козлов Л. А. Расчет и испытание на прочность при неустановив-
шихся режимах переменной напряженности (обзор). Сб. «Прочность при
неустановившихся режимах переменных напряжений», Изд. АН СССР, 1954.
41.	Конторова Т. А. Об одном из приложений статистической теории,
масштабного фактора. «Журнал технической физики», т. 13, № 6, 1943.
42.	К о н т о р о в а Т. А. и Френкель Я. И. Статистическая теория
хрупкой прочности реальных кристаллов. «Журнал технической физики»,,
т. 11, № 3, 1941.
43.	К о н т о р о в а Т. А. и Тимошенко О. А. Обобщение статиста
ческой теории прочности на случай неоднородного напряженного состояния
«Журнал технической физики», т. 19, № 3, 1949.
44.	Л а н г х а а р Г. Л. Обзор исследований по обшей теории устой-
чивости упругих систем. Сб. «Механика», № 3. Изд. иностранной литерату-
ры, 1959.
45.	Л и п п м а н Г. О применении статистических методоч к проблеме
бафтинга. Сб. «Механика», № 5. Изд. иностранной литературы, 1953.
46.	Л э н н и н г Д. X., Б э т т и н Р. Г. Случайные процессы в задачах
автоматического управления. Изд. иностранной литературы, 1958.
47.	М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анализа'
экспериментальных данных по устойчивости оболочек. «Известия АН СССР,
ОТН, Механика и машиностроение», № 1, 1952.
48.	М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анапиза
нелинейных задач устойчивости оболочки. Теория пластин и оболочек. Тру-
ды II Всесоюзной конференции, Изд. АН УССР, 1962.
49.	М а к а р о в Б П. Анализ .нелинейных задач устойчивости оболочек
при помощи статистического метода. «Инженерный журнал», т. 3, № 1, 1963.
50.	М е д в е д е в С. В. Спектры действия сейсмических колебаний в
сейсмическое районирование территории СССР. Строительство в сейсмиче-
ских районах. Госстройиздат, 1957.
51.	Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 1, «Совет-
ское радио», 1961.
52.	М у л л е р Р. А. Вероятность достижения предельного состояния
конструкции и взаимозависимость коэффициентов однородности и перегруз-
ки. Сб. «Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций».
Госстройиздат, 1952.
53.	Муллер Р. А. К вопросу определения коэффициентов однородно-
сти и перегрузки по статистическим данным. Сб. «Вопросы безопасности и
прочности строительных конструкций». Госстройиздат, 1952.
54.	Муллер Р. А. Определение кривых распределения прочности ма-
териалов и интенсивности нагрузки. Сб. «Исследования по строительной ме-
ханике». Госстройиздат, 1954.
55.	М у л л е р Р. А. Эффект масштаба в расчетах прочности конструк-
ции Сб. «Исследования по строительной механике». Госстройиздат, 1951.
56.	Н и к о л а е н к о Н. А. Динамика и сейсмостойкость конструкций,
несущих резервуары. Госстройиздат, 1963.
57.	П р о с к у р я к о в М. Н. О случайном воздействии на линейно-
деформируемые системы. Сб. «Исследования по расчету оболочек стержне-
вых и массивных конструкций». Госстройиздат. 1963
58.	Пугачев В. С. Теория случайных функн й и ее применение к за-
дачам автоматического управления Физматгиз, 1960.
59.	П у г а ч е в В. С. Применение теории марковских поонетов к ана-
лизу точности автомятиче^их систем «Известия АН СССР, ОТН, Энерге-
тика и автоматика», № 3, 1961.
60.	Райс С. О. Теория флуктуационных шумов. Сб «Теория передач»
102
ТЛТрИЧеСКИХ сигналов при наличии помех». Изд. иностранной литературы,
61.	Решетов Д. Н. Расчет деталей станков на долговечность Сб «По-
вышение прочности деталей машин». Изд. АН СССР, 1949.
62.	Ржаницын А. Р. Статистические методы определения напряже-
нии при продольном изгибе. Научн. сообщ. ЦНИПСа. Стройиздат, № 3, 1951.
63.	Р ж а н и ц ы н А. Р К проблеме расчетов сооружений на безопас-
ность. Сб. «Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций»
Стройиздат, 19о2.
64.	Ржаницын А. Р. Расчет сооружении с учетом пластических
свойств материалов. Стройиздат, 1954.
ио.	1 ж u н и ц ы н А. К Необходимо совершенствовать нормы расчета
строительных конструкций. «Строительная промышленность», № 8, 1957.
ио.	i-ж а н и ц ы н А. Р. Определение характеристики безопасности и
коэффициентов запаса из экономических соображений. Сб. «Вопросы теории
п шстичностн и прочности строительных конструкций». Госстройиздат, 1961.
о/.	Седракян Л 1 1\ статистической теории прочности. Изд Армян-
ского института стройматериалов и сооружений, 1958
68.	Серен сен С. В., Когаев В. П, Козлов Л. А. и Шнейде-
ров и ч Р. М. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность
Машгиз, 19оЧ.
69.	С е р е н с е н С. В., Когаев В. П., Степнов М. Н. и Г и а ц и н-
т о в Е. В. Исследование рассеяния характеристик выносливости конструк-
ционных алюминиевых сплавов в связи с технологией производства. Труды
МАТИ, вып 35. Оборонгиз, 1958.
/и.	С т р а г о но ви ч Р. л., Романовский Ю. М. Параметриче-
ское воздействие случайной силы на линейные и нелинейные колебательные
системы. «Научные доклады высшей школы, серия физико-математических
наук», № 3, 1958.
71.	Стратонов и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в
радиотехнике. «Советское радио», 1961.
72.	С т р е л е ц к и й Н. С. Основы статистического учета коэффициента
запаса поо-лшсги сооружений. Стройиздат, 1947.
73.	Стрелецкий Н. С Основные направления исследований по уточ-
нению мето j,a расчета строительных конструкций по предельному состоянию.
Академия строительства и архитектуры СССР—НТО строительной промыш-
ленности СССР, 1958.
/4.	Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. «Успехи физиче-
ских наук», т. 77, № 3, 1962.
75.	Т о м с о н У., Б э р т о н М. Поведение механических систем при слу-
чайных возмущениях. Сб. «Механика», № 4. Изд. иностранной литературы,
1958.
76.	Ф а н г И. К статистическому расчету аэродинамических нагрузок.
Сб. «Механика», № 2 Изд. иностранной литературы, 1959.
77.	Федоров Ю. А. Колебания замкнутой цилиндрической оболочки
в поле случайных акустических давлений. «Инженерный журнал», № 2 1963.
78.	Фрей цента ль А. М. (ред.). Усталость самолетных конструкций.
Оборонгиз, 1961.
/9.	Хазен Э. М. Определение одномерной плотности вероятности и
моментов случайного процесса на выходе существенно нелинейной системы.
«Теория вероятности -и ее применение», т. 6, № 1, 1961.
80.	X а з е н Э. М. Определение плотности распределения вероятностей
для случайных процессов в пистемах с нелинейностью кусочно-"инейною
типа. «Известия АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика», № 3, 1961.
81.	Цянь Сюэ-сэнь. Техническая кибернетика Изд. иностранной ли-
тературы, 1955.
82.	Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астро-
номии. Изд. иностранной литературы, 1947.
83.	Э с т р и н М. И. Расчет упругих систем при наличии стационарных
случайных нагрузок. Сб. «Исследования по теории пластичности и прочно-
сти сооружений». Госстройиздат, 1958.
103
84.	А г i а г a t n a m S. T. Response of a loaded nonlinear string to random
exitation J Appl. Meeh., v. 29, n 3, 1962.
85.	Bartsch H. Statistische Methoden zur Untersuchung eines Scliffes im
Seegang. Schiffstechnik, 1959.
86.	Biot M. A, Analytical and experimental methods in engineering seismo
logy. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, v. 108, 1943.
!	87. Bogdan off J. L.. KozinF. Moments of the output of linear random
systems. J. Acoust. Soc. Amer., v. 34. n 8, 1962.
88.	Caughey T. K- Response of a nonlinear string to random loading.
J- Appl. Meeh., v. 26, n. 3, 1959.
89.	Caughey T K- Random exitation of a loaded nonlinear string. J. Appl.
Meeh., v. 27, n. 3, 1960.
90.	Corten H. T., Dolan T. J. Cumulative fatigue damage. International
Conference on fatigue of metals, London, 1956.
91.	Crandall S. H (editor). Random vibration Technology Press, Mass.
Inst. Tec in., 1)>1.
92.	Crandall S. H. Random vibration of systems with nonlinear restoring
forces. UITAM Symposium on nonlinear vibration. Kiev, 1961.
93.	Crandall S. H Random vibration of nonlinear system with a set-up
string. J. Appl. Meeh., v. 29, n. 3, 1962.
94.	Dyer I. Response of plates to a decaying and convecting random pressure
field. J. Acoust. Soc. Amer. v. 31, n. 7, 1959.
?	95. E г i n g e n A. C. Response of beams and plates to random loads. J. Appl.
Meeh., v. 24, п. 1, 1957.
96. E r i n g e n A. C., D u n к i n J. W. The elastic half plane subjected to sur-
face traction with random magnitude or separation. J. Appl. Meeh., v 27, n. 4,
1960.
97. Er ingen A. C. S a m u e 1 s J. C. On stochactic linear systems. Journ.
Afath. Phys , v. 38, n. 2, 1959.
।	98. Fliigge W. (editor). Handbook of engineering mechanics. McGraw Hill
Book Co, 1962.
i 99. F г e u d e n t h a 1 A. M. Tae safety of structures. Trans. Amer. Soc. Civ.
Engrs. v. 112, n 1. 1947.
>	100. Freudenthal A. AL Safety and probability of structural failure.
Proc. Amer. Soc. Civ. E i rs. v. 80, n. 4J8, 1954.
101.	Freudenthal A M Piysical and statistical aspects of cumulative
damage. Proceedings of Colloquiun on fatigue, Stockholm, 1955, Springer Verlag,
1956,
102.	Freudenthal A. M , Gumbel E. J. Physical and statistical as-
pects of fatigue. Advances in applied mechanics v IV, Academic Press, New
York, 195d.
103.	Gatto F. Sur les methodes d'analyse statistique des resultats des essais
de fatigue effectues sur des maleriaux de 1 aeronautique. Metaux, v. 32, n. 377,
195/.
104.	Goodman L. E., Rosenbluth E, Newmarc N. N. Aseismic
design of elastic structures founded on firm ground. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs,
v. 79, п. 319, 1953.
105.	G u t e n be rg B., R i c h t e г С. E. Earthquake magnitude intensity,
enemy and acceleration. Bull. Seism Soc. America, v. 32, n. 2, 1942.
105.	Gutenberg D, Richter С E Seis.nity of the earth and associated
phenomena. Princeton University Press, 1954.
10/.	Harris L A. Suer H S, Skene W. T., В e n j a in i n R. I. The
stability of t iin walled uisiiffeied circular cylinders under axial compression
including the effects of internal pressure. J. Aeronaut. Sci., v 24, n 3, 1957.
t IJi HousnerG. iV., C laraeteristics of strong-motion earthquakes. Bull.
Seism. Soc. America, v. 37, n. i, 194/.
10	.1. HousnerG W, Martel R. R. Alford J. L. Spectrum analysis
of strong motion earthqua ,es. Bull Seism. Soc. America, v. 43, n. 2, 1953.
110.	HousnerG. л'. Properties of strong ground motion earthquakes. Bull.
Seism. Soc America, v. 45, n. 3, 1955.
104
111.	Johnson A. I. Strength, safety and economical dimensions of structu-
res. Bull, of Div. Struct. Engng Roy. Inst. Tecbn. Stockholm, n. 12, 1953.
112.	К i r c h m a n E. J., G r e e n s p о n J. E. Nonlinear response of aircraft
panel in acoustic noise. J. Acoust. Soc. Amer., v. 29. n. 7, 1957
113.	Klein G. Mean first-passage times of Brownian motion and related
problems. Proc. Roy. Soc. London, v 211 A. 1952, n. 1106.
Ill	Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion
model of chemical reactions Physica, v. 7, n. 7, 1940
115.	Lassiter L. \V., Hess R. W., Hubbard H. H. An experimental
study of response of simple panels to intense acoustic loading. J. Aeronaut. Sci ,
v. 24, n. 1, 1957.
116.	Li gi thill M. J. On sound generated aerodynamically. Proc. Roy.
Soc., v. A211, 1952, n. 1107.
117.	Lin Y- K- Stresses in continuous skin-stiffened panels under random
loadings. J. Aeronaut. Sci., v. 29, n. 1, 1952.
118.	L i n Y. K- Response of nonlinear flat panel to periodic and randomly-
varying loadings. J. Aero/Space Sci., v. 29, n. 9, 1962
119.	Lyon R. H. Response of string to random noise fields. J. Acoust. Soc.
Amer., v. 28, n. 3, 1956.
120.	Lyon R. H. On the vibration statistics of a randomly exited hard-
spring oscillator. J. Acoust. Soc. Amer., v. 32, n. 9, 1960.
121.	Lyon R. H. Response of a nonlinear spring to random exitation. J.
Acoust. Soc. Amer., v. 32, n. 8, 1960.
122.	Lyon R. H. Equivalent linearization of the hard-spring oscillation.
J. Acoust. Soc. Amer., v. 32, n. 9, 1960.
123.	Lyon R. H. Effect of membrane stresses of fatigue damage rate. J. Aco-
ust. Soc Amer., v. 33, n. 6, 1961.
121	Maidanek G., Lyon R. H. Response of strings to moving noise
fields. J. Acoust. Soc. Amer., v. 33, n. 11, 1961
125.	M i 1 e s J. W. On the structural fatigue under random loading. J. Aero-
naut. Sci., v. 21, n. 5, 1954.
126.	Miner M. A. Cumulative damage in fatigue. J. Appl. Meeh., v. 12,
n. 1, 1945.
127.	Moszynski W. Wspolczynniki bezpieczenstwa w budowie maszyn i
urzadzenoszczednosc tworzym w budowie maszyn i urzadzen. Panstwowe wydawni-
ctwo naukowe, Warszawa, 1955.
128.	Murzewski J. Une theorie statistique du corps fragile quaisihomo-
gene. АрИиасе Matematiki, t. 4, n. 3, 1959.
129.	Nishihara T., Yamada T. Fatigue strength of metals under
alternating stresses of varying amplitude. Adem. Fac. Engng Kyoto Univ., v. IS,
n. 3, 1956.
130.	Ornstein L. S. Zur Theorie der Brownischen Bewegung fjr Systeme,
worin mehrere Temperaturen vorkommen. Zeitscnr. Paysik, B. 41, H. 11—12,
1927.
131.	Powell А. От the fatigue failure of structures due to vibration exited
by random pressure fields. J. Acoust. Sic. Aner., v. 3), n. 12, 1953.
132.	Press H., HouboltG. C. Sime applications of generalized harmo-
nic analysis to gust loads on airplanes. J. Aeronaut. Sci., v. 22, n. 1, 1955.
133.	Prot M., Levi R. Conceptions mod ernes relatives a la securite des
constructions. Revues General de Chemins de Fer, June, 1951.
134.	Pugsley A. G. A phylosop'ay of aeroplane strength factors. British
Aeronaut. Res. Com., Rep. and Alam., n. 1906, 1942.
135.	Pugsley A. G. Concept of safety in structural engineering. Proc.
Inst. Civ. Engrs (London), v. 29, 1951.
136.	Ribner H. S. Spectral theory of buffeting and gust response; unifica
tion and extension J. Aeronaut. Sci., v. 23, n. 12, 1953
137.	Rosenblueth E. Some applications of probability theory in aseismic
design. Proceedings of World Conference on earthquake engineering. San-Fran-
cisco, 1956.
105
138.	Samuels J. C. The buckling of circular cylindrical shells under pure-
ly random external pressures. J. Aero/Space Sci., v. 27, n. 12, 1960.
139.	Sedlacek J. Statisticka teorie imavy materialu Strojirenstvi, sv. 5,
cis. 11, 1953.
140.	Shanley F. R A proposed mechanism of fatigue failure. Proceedings
of Colloquium on fatigue. Stockholm, 1955. Springer Verlag, 1956.
141.	Smith D. A., Lambert R. F. Effect of dynamical nonlinearity on
extrema) statistics. J. Acoust. Soc. Amer., v. 32, n. 12, 1960.
142	Tack D. H., Lambert R. F., Response of bars and plates to boun-
dary-layer turbulence. J Aero/Space Sci., v. 29, n. 3, 1862.
143.	V a n L e a r G. A , Uhlenbeck G E. The Brownian motion of
strings and elastic roads. Phys. Rev., v. 38, n. 1, 1931.
144.	W a n g M. C., U h 1 e n b e с к G. E. On the theory of Brownian motion.
Modern Phys., v. 17, n 2—3, 1945.
145.	We j bull W. A statistical theory of the strength of materials. Proc.
Roy. Swedish Inst. Eng. Res.. Stockholm, n. 151, 1939.
146.	Wei bull W. A statistical representation of fatigue failures in solids.
Trans. Roy. Inst. Techn. Stockholm, n. 27, 1949.
147.	Wei bull W. Basic aspects of fatigue. Proceedings of Colloquium on
fatigue. Stockholm, 1955, Springer—Verlag, 1956
ГЛАВА IV
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН К РАСЧЕТУ
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Совсем недавно наука получила замечательный инстру-
мент— электронные вычислительные машины. Этим совершен
переворот в применении математики при решении важнейших
проблем механики, физики, химии, астрономии, экономики, ме
ДИНИНЫ и др.
С каждым годом число электронных машин, используемых
для этих целей, непрерывно возрастает. В статье [146] приве-
дены интересные статистические данные по применению вычис-
лительной техники в странах Западной Европы. По данным об-
зора за июнь 1962 г., там действовало 1700 вычислительных
машин; из них 400 — в Великобритании, 450- в ФРГ. много
машин во Франции, Италии и других странах. Из 188 западно-
европейских лабораторий по вычислительной технике в Вели-
кобритании -56, в ФРГ — 32. Причем две трети действующих
вычислительных установок изготовлено в США или на евро-
пейских предприятиях фирм США.
В нашей стране выпускают электронные машины многих ти-
пов: БЭСМ-2М, «Урал-2» и «Урал-4», «Минск 1—2», «Раз-
дан—2», «Сетунь», «Проминь» и др., которые используются в на-
учных учреждениях. В СССР создано много специальных вычис-
лительных центров, например: в Академии наук СССР, Инсти-
туте кибернетики Академии наук УССР, Московском государст-
венном университете (МГУ), Институте типового и экспери-
ментального проектирования и технических исследований
(Гипротис). Теплоэлектропроекте и во многих других учрежде-
ньях.
В СССР и за рубежом периодически организуются выстав-
ки но вычислительной технике, на которых демонстрируют но-
вые вычислительные машины и выявляют тенденции в разви-
тии вычислительных средств. Так, например, на 59-й выставке,
проведенной в Париже с 23 по 29 октября 1962 г., приняло уча-
107
стие 150 фирм и акционерных обществ разных стран. На этой
выставке демонстрировались быстродействующие машины с
печатающим устройством на подвижных каретках шириной до
620 мм, которые одновременно выдают материал в виде таб-
лиц в 23 колонки.
Скорость работы вычислительных машин достигает очень
больших величин. На симпозиуме, состоявшемся в Лондоне в
октябре 1962 г., отмечена диспропорция между скоростью вы-
числительных операций на машине (до 100 000 операций в
1 сек) и скоростью действия устройств по вводу и выводу дан-
ных (с перфокарт до 48 000 и с перфолент до 60000 знаков в
1 мин). Наибольшая скорость печатания машины National-315
составляет 160 000 знаков в 1 мин.
Тенденция в развитии и совершенствовании конструкций
современных вычислительных машин состоит в дальнейшем
увеличении скорости выполнения различных операций. Так, в
лаборатории фирмы «IBR» (ФРГ) разработан новый принцип
работы вычислительных машин, что позволит в будущем про-
изводить все операции с теоретически максимальной ско-
ростью, т. е. со скоростью света. Электромагнитные колебания
с помощью различных методов модуляции (частотной, ампли-
тудной, фазовой и т. д.) могут быть использованы для пере-
дачи информации. В нашей стране и за рубежом уделяется
большое внимание созданию малогабаритных машин тран-
зисторного типа. Так, например, машину «Проминь», выпускае-
мую минским заводом, можно использовать не только в вы-
числительных центрах, но и непосредственно у рабочих мест
отдельных научных работников.
Вычислительная техника, которой пользуются научные ра-
ботники для решения наиболее важных задач, с каждым годом
развивается все стремительнее. Однако темпы использования
ее в строительной механике не соответствуют имеющимся воз-
можностям.
Строительная механика, методами которой производят рас-
чет различных инженерных сооружений, конструкций всевоз-
можных машин, судов, летательных аппаратов и т. п., относит-
ся к числу таких наук, в которых особо нужна механизация
вычислительных процессов.
За последние годы опубликовано много работ, посвященных
применению современных вычислительных средств для реше-
ния наиболее сложных и трудоемких задач строительной меха-
ники. За короткий срок применения новой вычислительной тех-
ники у нас в стране достигнуты значительные успехи в части
разработки методов решения задач на электронных машинах
[4]. Например, коллективом научных работников вычислитель-
ного центра Гипротиса создан ряд типовых программ для рас-
чета разнообразных инженерных конструкций. Многие из ука-
занных программ универсальны Это позволяет автоматически
108
рассчитывать конструкции рам, ферм, арок, комбинированных
систем с большой степенью статической неопределимости.
Многие проектные организации Укоаины с помощью Киев-
ского института кибернетики АН УССР проводят расчет обо-
лочек, конструкций крупных мостов и т. п. В Приднепровском
Промстроипроекте только в 1962 г. на вычислительных маши
нах выполнены расчеты более двухсот сложных стержневых
систем.
Большие исследования научного характера по разработке
численных методов решения задач строительной механики с
использованием электронных машин проведены в Центральном
научно-исследовательском институте строительных конструк-
ций (ЦНИИСК) Госстроя СССР, в Московском институте ин-
женеров транспорта (МНИТ) и многих других институтах.
Внедрение быстродействующих вычислительных машин рез-
ко изменило оценку основных трудностей, связанных с решени-
ем тех или других задач. В связи с этим меняется и направле-
ние исследований. Возьмем, к примеру, расчет сложных ста-
тически неопределимых стержневых систем. Долгое время счи-
талось, что основная трудность связана здесь с решением си-
стемы совместных уравнений. Это породило множество науч-
ных работ, направленных на облегчение данной трудоемкой
части расчета. Появились весьма эффективные способы группи-
ровки неизвестных, методы, основанные на использовании «уп-
ругого центра», смешанный и комбинированный методы рас-
чета сложных рам. Усиленно проводились изыскания методов
разделения неизвестных в канонических уравнениях. Ради сок-
ращения числа неизвестных часто делали допущения, которые
снижали точность расчета и не позволяли установить истинную
работу сооружения.
На первых же этапах внедрения новой счетной техники вы-
яснились некоторые особенности ее применения. При расчете
сложных статически неопределимых стержневых систем обыч-
ными методами определение коэффициентов канонических
уравнений считалось наиболее простой, как бы вспомогатель-
ной частью работы. В связи с применением электронных машин
решение совместных уравнений даже с большим числом неиз-
вестных уже не является камнем преткновения, и основную
трудность теперь составляет программирование вспомогатель-
ных вычислений. При составлении программ для вычисления
коэффициентов, входящих в канонические уравнения, разра-
ботаны специальные алгоритмы, в которых главное внимание
уделяется стандартизации вычислительных операций. Возникла
также проблема полной механизации всех этапов расчета той
или другой системы. Для ряда случаев расчета на прочность
эта задача уже решена. Однако многие задачи ждут своего ре-
шения. Для того чтобы в какой-то степени оценить возможно-
сти, которые дает вычислительная техника, и выяснить в связи
109
с этим тенденции развития строительной механики, полезно оз-
накомиться с примерами применения электронных вычисли-
тельных машин для расчетов строительных конструкций.
2.	ПРИМЕНЕНИЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН (ЭЦВМ)
В РАСЧЕТАХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
В практике проектирования строительных конструкций до-
настоящего времени наибольшее по объему место занимают
стержневые системы. По-видимому, этим объясняется то, что'
на первой стадии применения быстродействующих вычисли-
тельных машин особое внимание было обращено на механиза-
цию трудоемких расчетов статически неопределимых стержне-
вых систем. Значительное число опубликованных работ как со-
ветских, так и зарубежных специалистов посвящено именно
этому вопросу.
В ряде городов нашей страны—Москве, Ленинграде, Кие-
ве, Харькове и др. этим вопросом занимаются целые коллекти
вы В первую очередь следует отметить творческий коллектив.
Гипротиса, который за короткий промежуток времени занял
ведущее место в этой области. Первой отечественной работой
по расчету статически неопределимых систем на ЭЦВМ явля-
ется работа специалиста этого института Р. А. Резникова [43],
в которой автор разработал основные этапы механизации рас-
четов по методу сил.
В результате дальнейших исследований, проведенных и
опубликованных Р. А. Резниковым [44—47], ему удалось по-
биться полной механизации на всех этапах расчета статически
неопределимых стержневых систем, начиная от вычисления гео-
метрических размеров элементов конструкций и кончая опре-
делением величин: изгибающих моментов, поперечных и нор-
мальных сил.
При помощи разработанных стандартных программ для ма
шины БЭСМ-2М расчет большого класса сложных статически
неопределимых систем по методу сил с большим числом неиз-
вестных приводится полностью на электронной машине. По ме-
Т| дике, разработанной Р. А. Резниковым, рассчитан ряд слож-
ных конструкций для реальных объектов. Интересным приме-
ром применения программы Р. А. Резникова является расчет
металлической эстакады Братской ГЭС. Экономия металла, до-
стигнутая благодаря точному расчету эстакады, не только оку-
пила затраты, связанные с более детальными расчетами, но в
значительной степени могла бы покрыть расходы на создание
вычислительного центра, в котором проводился этот расчет.
Б. Л. Тарнопольский [56], а позднее В. С. Лавитман [29] раз-
работали и составили программу для расчета плоских рам на
действие статической нагрузки и сейсмических сил методом
1Ш
Кросса. Максимальное число элементов рамы — 150, а число
этажей в раме — 30. Кроме расчета на прочность, по програм-
ме Лавитмана можно найти частоты и формы собственных ко-
лебаний рамных систем.
Многими авторами составлялись программы для определен-
ного более узкого класса рамных систем. Например, О. М. Д\-
карским [24] разработана программа специально для расчета
одноэтажных рамных конструкций
Большая работа проводится в вычислительной лаборатории
ЦНИИСКа Госстроя СССР. Специалисты института под руко-
водством А. В. Геммерлинга на машине «Урал-1» исследовали
сложную задачу расчета стержней и стержневых систем, рабо-
тающих за пределами упругих деформаций.
В лаборатории динамики на этой же машине Б. Г. Корене-
вым решена задача расчета полубесконечной плиты, лежащей
на Винклеровском упругом основании [27]. Кроме того, в этой
же лаборатории М. П. Барштейном исследованы колебания
высоких мачт с оттяжками, а Е. С Сорокиным решена задача
о расчете междуэтажных перекрытий зданий при действии им-
пульсивных нагрузок.
В Харькове под руководством А. П Филиппова с использо-
ванием электронной машины успешно изучаются задачи дина-
мики пластин. Много задач по прочности и колебаниям стерж-
различных систем решено в Киеве. Следует отметить работы
П. М. Сосиса [55] по механизации расчетов сооружений по типо-
вым программам, а также работы Д. В. Вайнберга. Большую
работу проводит также коллектив специалистов Ленинграда.
Заслуживают внимания работы А. П. Филина [59] и его учеников
по разработке алгоритмов расчета сложных стержневых систем.
В МИИТе Б. Я. Лащениковым предложен способ приведе-
ния задач устойчивости и колебаний к решению одного частно-
го вида обобщенного векового уравнения и составлена соот-
ветствующая программа для машины «Урал-2». Принципиаль-
ные основы метода опубликованы в статье [30]. Интересным
примером использования этой программы является расчет те-
левизионной башни для Багдада (Н = 330м). На рис. 1 показа-
ны общий вид и 7 первых форм колебаний этой башни, полу-
ченные с учетом сил сжатия от действия собственного веса.
Решение пространенных задач теперь уже не является
проблемой. А. А. Петропавловский в своей докторской диссер-
тации разрешил задачу об устойчивости и колебаниях сложных
мостовых конструкций с учетом их пространственной рабо-
ты [35].
Большое внимание развитию методов, приспособленных для
расчета стержней, стержневых систем оболочек, уделяет В. И.
Феодосьев. Им решена задача об устойчивости стержня за пре-
делами упругости, которая представляет значительный интерес
[58]. Автор разрешает краевую задачу вариационным методом,
111
а задачу Коши—числительным инте-
грированием. Задача в целом успеш-
но решается с помощью ЭВЦМ.
Таким образом, в вычислительных
центрах Москвы и других городов за
короткий срок решен ряд важных за-
дач прочности, устойчивости и дина-
мики стержневых систем.
В декабре 1963 г. в Ленинграде со-
стоялась конференция по применению
вычислительных машин в строитель-
ной механике. На этой конференции
заслушано много докладов научных
работников Москвы, Ленинграда, Кие-
ва, Харькова и других городов.
Большой интерес вызвали доклады
А. П. Филина, В. И. Феодосьева,
А С. Вольмира, А. П. Филиппова,
Д. В. Вайнберга, А. П. Синицына,
П. И. Положего, Р. А. Резникова и др.
Рис. 1
И
112
В этих докладах обсуждались общие проблемы использо-
вания современных вычислительных машин и методы решения
конкретных задач строительной техники
Следует отметить достижения в области применения совре-
менных вычислительных средств в расчетах строительных кон-
струкций за рубежом. Заслуживают внимания работы англий-
ских ученых, среди которых выделяются труды Д. Г. Аргирисх
и его учеников. За последние годы там опубликован ряд его ста-
тей, посвященных расчету многократно статически неопредели-
мых стержневых систем [66—71]. Д. Г. Аргирис и его ученики
широко используют матричный аппарат. Ими разработаны ме-
тоды построения матриц податливости, хорошо приспособлен-
ных к применению вычислительных машин. Авторы приводят
большое число примеров, иллюстрирующих основные идеи и тех-
нику решения конкретных задач. Большое место отводится
выбору основных систем и лишних неизвестных. Применяется
также и группировка неизвестных, которая при высокой степени
статической неопределимости является оправданной.
Исследования Д. Г. Аргириса привлекли внимание инжене-
ров разных стран (США и др.), в которых появились его по-
следователи. Недавно в русском переводе выпущена в свет
книга, подготовленная А. П. Филиным [54]; это сборник наибо-
лее интересных статей английских авторов по расчету строи-
тельных конструкций с использованием цифровых электронных
машин.
Кроме статей Д. Г. Аргириса, за рубежом издана обширная
литература, посвященная применению электронных машин для
расчета строительных конструкций и самолетов. Следует отме-
тить работы Р. К. Ливсли, который опубликовал ряд статей,
посвященных механизации расчета на прочность и устойчивость
ферм и рам ,[112 116]. Характерная особенность работ Р. К.
Ливсли — широкое применение теории матриц.
За последние годы в США проведены три большие конфе-
ренции по применению электронных вычислительных машин к
расчету строительных конструкций, организованные Американ-
ским обществом гражданских инженеров.
Первая конференция, на которой обсуждались вопросы рас-
чета ферм, висячих мостов, неразрезных балок, состоялась в
1958 г. Вторая конференция, более значительная по числу уча-
стников и содержанию докладов, состоялась в Питтсбурге в
сентябре 1960 г.
С докладами выступали представители Ассоциации по вы-
числительной технике, представители Американского общест-
ва гражданских инженеров и др.
Большое число докладов было посвящено применению вы-
числительных машин к расчету на прочность, устойчивость и
колебания стержней и стержневых систем, пластин и оболо-
8 Зак. 328
ИЗ
чек применительно к самолетам, мостовым конструкциям и
другим системам. В большинстве докладов в качестве матема-
тического аппарата успешно используется теория матриц.
В докладе Б. Клейна [103, 104] рассматривается своеобразная
методика расчленения конструкции на простейшие элементы
(например, стержни), вследствие чего число уравнений весьма
велико. Предлагается специальное преобразование уравнений
приводящее, в случае статически определенных систем, к урав-
нениям с треугольной матрицей.
Для статически неопределимых систем слева от главной диа-
гонали матрицы линейных уравнений остается число ненуле-
вых элементов, равное степени статической неопределимости.
Приводится пример расчета пространственной фермы, для ко-
торой число уравнений равно 663. В докладе И. Е. Соренса
[145] демонстрируется стандартная блок-схема автоматическо-
го расчета многократно статически неопределимых рам по ме-
тоду Кросса. Эдвард Л. Вильсон [156] предложил метод рас-
чета конструкций, обладающих нелинейной связью между
усилиями и деформациями элементов.
Все решение задачи излагается в метричной форме.
Интересный подход к решению неустановившихся колеба-
ний при нагрузке, изменяющейся линейно от времени, описан
в докладе Е. Вильсона [157].
Динамическому расчету рамных конструкций с нагрузкой,
меняющейся в виде кусочной функции, посвящен доклад
В. Н. Нейберга [127].
На этой конференции были сделаны доклады и по устойчи-
вости. Например, в докладе Р. Силвестера [148] сообщается о
решении ряда задач устойчивости стержней при распределен
ной сжимающей нагрузке. Все решение проведено в матрич-
ной форме.
Представляет интерес также третья конференция, проведен-
ная в США в июле 1963 г., на которой было поставлено много
докладов по применению современных вычислительных машин
к расчету различных строительных конструкций. На конферен
ции были поставлены доклады по решению ряда задач теории
упругости, что является отличительной особенностью этой кон-
ференции.
Мак-Кормик [123] рассматривает задачу плоского напряжен-
ного состояния пластинок с отверстиями и надрезами. Автор
использует дискретную модель в виде стержневой системы. За-
дача сводится к решению большого числа уравнений с ленточ-
ной структурой. Общее число неизвестных неограничено, одна-
ке максимальное число фактически решенных уравнений дохо-
дило до 15 тыс., при этом наибольшее число неизвестных в од-
ном уравнении не превосходило 160
Следует также отметить, что по применению электронных
машин к расчету различных конструкций проведен между на род-
114
ныи симпозиум в оклюре 1962 г. в Португалии. На этом симпо-
зиуме заслушано около семидесяти докладов. Обсуждались как
общетеоретические вопросы, так и частные задачи, представ-
ляющие значительный интерес.
Большое внимание в изданной литературе по расчете раз-
личных стержневых систем на ЭЦВМ привлекли задачи прак-
тического расчета балочных, арочных и висячих мостов [34,
82, 105, 106, 108, 117, 139, 149, 150, 158, 160] В большинстве слу-
чаев производили механизацию наиболее сложной части пасче
та, связанной с решением систем совместных уравнений, пост-
роением линий влияния, исследованием температурных воздей-
ствий пт п.
В некоторых случаях учитывали гееметрическую нелиней-
ность системы [96, 119, 150, 159, 162, 163].
Имеются примеры применения электронных машин в расче-
тах железобетонных и металлических конструкций, выполнен-
ные в процессе проектирования реальных сооружений [19, 95,
76, 126, 128, 134].
Много статей опубликовано по разработке алгоритмов и
программ для расчета всевозможных рамных систем и арок
[29,74,79,87,90, 92, 93, 96, 99, 109 110, 111, 130, 131,
137, 138, 140, 144, 147, 152, 154, 155]. Часть работ имеет спе-
циальный характер, связанный с выполнением отдельных про-
ектных решений [38, 73, 77, 79, 82, 124, 126, 132]. Приведенный
обзор показывает, что применение электронных вычислительных
машин для расчетов стержневых систем уже принесло неоце-
нимую пользу и что масштабы механизации инженерных рас-
четов непрерывно возрастают.
3.	РАСЧЕТ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ПОМОЩЬЮ ЭЦВМ
По расчету пластин и оболочек с применением электрон-
ных вычислительных машин проведено достаточное число
работ. Значительные успехи в этой области достигнуты в
нашей стране.
Большой интерес представляют работы \. Ю. Биркгана
и А. С. Вольмира по применению ЭЦВМ при решении не-
линейных задач теории пластин и оболочек [6]. Для исследо-
вания закритического состояния пластины ими применен ме-
тод конечных ранзостей, описанный в работе [15]. 17 ми же
авторами проведено исследование динамической устойчи-
вости пластин [5]. Эти труды являются одними из первых
в нашей стране по применению ЭЦВМ к задачам строитель-
ной механики.
Решение задачи об изгибе пологих оболочек с примене-
нием ЭЦВМ дано М. С. Ганеевым, X. М. Муштари и Р. Г. Сур-
ниным [16]. Применение электронных вычислительных машин
8*
115
при расчете оболочек излагается в монографии Н. С. Чаусова
[61]. Для одной из сложных задач расчета оболочек на проч-
ность А. П. Филин разработал алгоритм, по которому оболочка
рассматривается как система перекрестных криволинейных
стержней. По этому методу решение, по-видимому, может быть
доведено до числовых результатов с помощью электронной ма-
шины [59].
Интересное исследование проведено Р. А. Резниковым, кото-
рый вывел систему дифференциальных уравнений для оболоч-
Рис. 2
ки с переменным поперечным сечением
типа крыла самолета и составил програм-
му ДЛЯ машины БЭСМ-2М с полной ме-
0.5687
ханизацией всего процесса вычисления,
начиная от определения геометрических
размеров элементов и кончая расчетами
величин усилий и напряжений в указан-
ной конструкции [46].
Большая работа по применению элек-
тронных машин к решению некоторых за-
дач прочности, устойчивости и динамики
пластин и оболочек проводится
>3-09276
>4-1.0697
\. В. Александровым, который разрабо-
тал новый практический метод расчета
складчатых конструкций и тонкостенных
плитно-балочных систем (рис. 2, а, б) с
учетом теформируемости контура сече-
ния [3]. На рис. 2, г приводится пять
А,'1.9398
первых форм колебаний плитно-балочного резрезного про-
летного строения моста, полученных А. В. Александро-
вым. Па рис. 2,в показана одна из форм колебаний не-
разрезного многоребристого пролетного строения. Частоты и
формы колебаний таких сложных конструкций с учетом дефор-
116
мпруемости контура поперечного сечения оказалось возмож-
ным вычислить только с помощью электронной машины.
Следует также отметить интересные исследования А. П. Си
ницына по термоупругим колебаниям пластин, в которых ав-
тор использовал электронные машины [50].
Имеются работы зарубежных авторов по применению
ЭЦВМ в расчетах пластин и оболочек. Остановимся на одной
из них, которая одновременно характеризует уровень совре-
менной вычислительной техники. В работе А. Мемеля [122] при-
водится отчет по программированию расчета круговых цилинд-
рических оболочек в высшей школе Дармштадта (ФРГ) на ма-
шине IBM-704. Для расчета анизотропной оболочки примени
ются двойные тригонометрические ряды.
Частотное решение и удовлетворение граничных условий
проводится в матричной форме Программа умещается на 2400
перфокартах. Все числовые значения расчетных усилий распо
лагались в специальном устройстве машины, в котором автома-
тически составлялась матрица данных для 189 точек поверхно-
сти оболочки. Для каждой точки определялось 14 значений
усилий и перемещений (всего 2646 числовых значений). В слу-
чае ошибки в расчете на числовом листе машины в надлежа-
щих местах появлялись специальные пометки. Ошибки возни-
кали тогда, когда решаемая система имела особенную матри-
цу или когда при расчете на высшие гармоники числа имели
настолько большие значения, что они превышали числовую об-
ласть автомата.
Кроме указанной работы имеется много статей по расчету
пластин и оболочек [101. 135], конструкций самолетов [70, 94,
100] и судов [102], элементов машин, а также по применению
ЭЦВМ к решению задач теории упругости [23, 83, 118, 123] и за-
дач динамики [21, 35, 50, 151, 153].
Приведенные примеры показывают, что успешное примене-
ние электронных машин при расчетах пластин и оболочек по-
зволило не только решить много сложных задач, но и породило
новые методы решения, которые продолжают быстро разви-
ваться
4.	ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
В литературе по строительной механике есть большое чис-
ло работ, посвященных созданию систем наименьшего веса,
равнопрочных систем, обладающих наибольшей грузо-
подъемностью и максимальным запасом устойчивости. Широко
известны труды в этой области И. М. Рабиновича [39], Е. Л.
Николаи [33], А. И. Виноградова [14], Ф. И. Слюсарчука [51],
Ю. А. Радцига [42], В. А. Киселева [26] и др. Однако доведение
9 Зак 328
117
полученных теоретических результатов до конкретного приме-
нения в практике проектирования всегда встречало большие
трудности, связанные с огромным объемом вычислений.
В связи с применением электронных вычислительных ма-
шин проблема выбора оптимальных конструкций вновь прив
лекла большое внимание специалистов. За последнее время
появился ряд работ, в которых ставится на повестку дня воп-
рос выбора оптимальных конструкций. На упомянутой второи
конференции по электронным вычислениям Американского об-
щества гражданских инженеров обсуждался интересный док-
лад Л. А. Шмита [142] на тему «Оптимальное проектирование
железобетонных зданий». В этом докладе предлагается прово-
дить так называемый систематический синтез конструкции
(аналогичный методу последовательных приближений), при
котором на электронной машине отыскивается система наи
меньшего веса. Ставится проблема автоматического проекти
рования конструкции для достижения оптимальных размеров,
удовлетворяющих условиям прочности сооружения. Аналогич-
ный вопрос рассматривался в докладе И. Д. Грама [95] приме-
чительно к железобетонным перекрытиям (плитам, балкам, а
также колоннам
Вопросы оптимального проектирования в отдельных случа-
ях могут быть доведены до высокого совершенства. В качестве
примера можно привести метод оптимального проектирования
мачт высоковольтных линий передач, описанный в статье Г. И.
Анастона [63] (США). По этому методу электронная машина
проводит расчет мачт в течение часа. При этом в качестве ис-
ходной информации в машину вводят генеральные размеры
опоры, данные о нагрузке, минимальное расстояние от низа
провисающего провода до земли и предполагаемое число
оборванных проводов ъ определенных заданных сочетаниях. Вы
полнив программу, машина выдает все размеры элементов
мачты с указанием сечений ее элементов.
За последнее время начинают появляться работы, расши-
ряющие понятие о рациональном проектировании. Критерий
наименьшего веса системы, конечно, еще не определяет опт»
мальность конструкции. Создание системы наименьшего веса во
многих случаях вызывает затруднения технологического ха-
рактера, которые могут свести на нет экономию материала
конструкции. В некоторых работах высказываются предложе-
ния по отысканию систем наименьшей стоимости конструкции.
В работе С. Ф. Шефи [141] предлагается метод вариации пара-
метров, по которому ЭЦВМ находит наивыгоднейшее соотно-
шение размеров конструкции, приближая ее к оптимальной си-
стеме.
Нет сомнений в том, что проблема рационального проекти-
рования привлечет к себе внимание специалистов по строитель-
ной механике.
118
5.	СООБРАЖЕНИЯ О ЗАДАЧАХ И ПЕРСПЕКТИВАХ
РАЗВИТИЯ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
В СВЯЗИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Первый этап истории развития строительной механики оз-
наменовался широким применением графических методов рас-
чета сооружений, которые господствовали почти до конца прош-
лого века. В знаменитых учебниках Мюллер-Бреслау широко
использовались графические приемы, которые составляли ос-
нову инженерного образования и применялись при проектиро-
вании сооружений.
В связи с быстрым развитием и усложнением инженерных
конструкций потребовалось более глубокое изучение их рабо-
ты, поэтому изменились и методы строительной механики.
Графические приемы, точность которых оказалась при этих ус-
ловиях недостаточной, были вытесненены аналитическими ме-
тодами, интенсивное развитие которых проходило в первой чет-
верти нашего века.
Последующий этап в развитии строительной механики ха-
рактерен широким внедрением достижений математического'
анализа, благодаря чему в этой науке достигнуто высокое со-
вершенство. С чувством глубокого удовлетворения следует от-
метить, что благодаря успехам наших ученых советская школа
строительной механики достигла выдающихся успехов.
Хорошее представление о развитии и достижениях строи-
тельной механики в нашей стране дают: изданная в 1949 г.
книга И. М. Рабиновича [40], в которой приведен обзор дости-
жений строительной механики стержненых систем в СССР, и
книга, вышедшая в 1957 г. под редакцией того же автора [41],
содержащая систематизированный обзор советской литерату-
ры по основным разделам строительной механики.
Успехи в развитии строительной механики прежде всего
объясняются хорошей постановкой высшего образования в
СССР. Это позволило воспитать армию инженеров с высокими
знаниями в области строительной механики и пробудило в них
стремление к самостоятельным исследованиям.
Многообразие и новизна конструкций, с которыми прихо-
дится встречаться выпускникам наших институтов, и высокие
требования, предъявляемые в проектных организациях к выбо-
ру наиболее рациональных решений, побуждают молодых ин-
женеров изучить литературу и заниматься изысканиями в об-
ласти практических решений конкретных задач. Большой спрос
на литературу по строительной механике и непрерывный по-
ток публикуемых статей и книг в этой области свидетельству-
ют о массовом интересе, который постоянно проявляется к тео-
рии расчета сооружений.
В последнее время стали интенсивно развиваться новые раз-
делы строительной механики, например применение теории ве-
9*	1Ю
роятностей и математической статистики к различным пробле-
мам строительной механики. Значительный вклад в этой об-
ласти сделали В. В. Болотин [10], А. Р. Ржаницын [48] и др.
Развиваются вариационные и численные методы решения
сложных задач прочности, устойчивости и динамики различ-
ных систем.
Большое внимание привлекли неконсервативные задачи ус-
тойчивости, для которых обычные методы, основанные на рас-
смотрении форм статического равновесия, оказываются непри-
емлемыми. Эти вопросы всесторонне исследованы в интересной
монографии В. В. Болотина [7].
В настоящий момент для строительной механики характер-
но вступление на новый этап развития, который тесно связан с
применением быстродействующих электронных вычислитель-
ных машин. Новые вычислительные средства привели к необ-
ходимости развития численного анализа. За последние годы в
нашей стране и за рубежом вышло много книг по численному
анализу и различным численным методам решения дифферен-
циальных и интегральных уравнений [13, 25, 28, 31, 32, 36, 37,
49, 57, 60]. Особенно большое внимание уделяется развитию
методов линейной алгебры с широким применением теории
матриц.
Опыт использования электронных машин у нас и за рубе-
жом показал, что наиболее приспособленным к расчетам на
электронной машине является язык матричной алгебры. Этим
объясняется широкое проникновение теории матриц в строи-
тельную механику. Начало применения у нас теории матриц в
механике [12, 17] и строительной механике [53] относится при-
мерно к сороковым годам Матрицы стали применять для реше-
ния задач прочности, устойчивости и колебаний. В пятидеся-
тых годах теория матриц начала завоевывать все большее вни-
мание [52].
Однако развитие численных методов в строительной меха-
нике идет своим, несколько отличным от вычислительной ма-
тематики, путем. Основное отличие заключается в том, что в
вычислительной математике разрабатываются методы реше-
ния дифференциальных и интегральных уравнений, а в строи-
тельной механике одно из главных направлений заключается в
развитии специфических методов, при использовании которых
отпадает необходимость составлять дифференциальные урав-
нения. Даже в таких сложных задачах, как расчет оболочек,
появляются численные приемы, основанные на классических
методах строительной механики. Ярким примером является ра-
бота А. В. Александрова по расчету складчатых и плито-ба-
лочных систем, основы которой опубликованы в работе [3].
Одной из трудных и важных задач является составление
алгоритмов решения. На основании работ, проведенных в
СССР, а также за рубежом, легко составляются алгоритмы
 120
и программы для задач прочности, устойчивости и колебаний
стержневых систем. Широкое использование теории матриц
объясняется тем, что операции с ними легко программируют-
ся, что позволяет использовать цифровые электронные маши-
ны. Имеется много работ, посвященных применению теории,
матриц к расчету сооружений [2, 20, 52, 53 72, 75 77 84 88 89,
62, 69, 91, 98, 120, 129, 133, 161].
В тех случаях, когда при решении сложных задач неиз-
бежно приходится рассматривать системы дифференциальных
уравнений, по-видимому, наиболее эффективно применение ва-
риационных методов, которые глубоко проникли в строитель-
ную механику и продолжают интенсивно развиваться в на-
стоящее время. Это убедительно показано в ряде докладов на
проведенной в Москве в октябре 1962 г Всесоюзной конферен-
ции по проблемам устойчивости в строительной механике — в
докладах В. В. Болотина [И], В. И. Феодосьева [58] и др.
В отдельных задачах для континуальных систем успешно
применяются методы, основанные на численном интегрирова-
нии дифференциальных уравнений с применением так называе-
мых интегральных матриц, предложенных автором [52] и матриц
дифференцирования, разработанных А В. Александровым [2].
При составлении интегральных матриц и матриц дифферен-
цирования применяются различные варианты интерполирова-
ния функций.
Применение указанной методики оказалось возможным и
при решении нелинейных задач, которые на электронных ма-
шинах решаются без особого труда.
Мощные средства вычислительной техники представляют
специалистам по строительной механике и инженерам-проек-
тировщикам неограниченные возможности более глубокого и
всестороннего изучения истинной работы конструкций. Однако
анализ показывает, что эти возможности используются крайне
слабо.
Сложившийся у некоторой части научных работников не-
правильный взгляд на применение электронных машин лишь
как на средство преодоления арифметических трудностей ме-
шает развитию новой отрасли строительной механики, связан-
ной с разработкой практических методов расчета наиболее
сложных строительных конструкций на электронных машинах.
Нет сомнений в том, что массовое применение новых вы-
числительных средств окажет плодотворное влияние на даль-
нейшее развитие строительной механики. Вместе с тем, сами
собой возникнут вопросы проблемного характера, которые не-
избежно придется решать представителям нашей науки.
Механизация расчетов позволит значительно повысить точ-
ность решения многих задач. Если раньше, ограждаясь серией
допущений, стремились любой ценой сократить число неиз-
вестных, то теперь открывается неограниченная возможность
121
уточнения расчетных схем с целью учета реальных условий ра-
боты конструкций.
Создание расчетных схем, возможно более точно отражаю-
щих работу реальных сооружений, представит собой сложную
научную проблему, которая сама по себе должна решаться с
использованием электронной машины, что приведет к необхо-
димости коренного пересмотра основных принципов схемати-
зации сооружений. На второй Американской конференции
гражданских инженеров обсуждался доклад И. С. Арчера и
С. Г. Самсона [65], посвященный идеализации конструкций при
расчете с применением вычислительных машин.
В качестве примера рассматривалась цилиндрическая обо-
лочка, которая в расчетной схеме представлялась в виде склад-
чатой системы. Одним из предметов обсуждения явилось необ-
ходимое число делений, обеспечивающих требуемую точность.
На основании применения отдельных вариантов деления оболоч-
ки на складки делаются заключения о правомерности принятой
расчетной схемы.
Интересные рассуждения и выводы проводятся также по
отношению к расчетной схеме крыла самолета. Исследования
показали, что расчетная схема в сильной степени зависит не
только от конструкции крыла, но также и от его общих гео-
метрических характеристик.
В работе А. Энга и Н. Ньюмарка [64] рассматриваются но-
вые расчетные модели для неразрезных многопролетных плас-
тинок. Пластинка заменяется системой перекрестных балок с
абсолютно жесткими звеньями с линейно упругими шарнирами
в местах пересечения .Влияние крутящих моментов моделиру-
ется пружинными связями, пересекающими одна другую под
прямым углом и заполняющими каждый прямоугольник, обра-
зуемый жесткими дисками
Подобного рода идеализации конструкции при расчете их
на электронных машинах неизбежны, когда встает вопрос о
замене континуальном системы дискретной.
Можно сделать предположение о том, что это особенно
остро проявится при решении задач устойчивости различных
упругих, упруго-пластических и упруго-вязких систем.
Все сказанное в равной степени относится и идеализации
материала. По мере накопления опыта применения быстродей-
ствующих вычислительных машин будет возможен более пол-
ный учет специфических свойств строительных материалов, на-
пример истинные диаграммы о, е, более широкое изучение пла-
стических свойств и т. п.
В строительной механике, как известно, широко пользу-
ются методами, основанными на различных гипотезах. Провер-
ка гипотез обычно проводилась в лабораториях постановкой
экспериментов. В настоящее время начали проявляться пред-
ложения производить анализ достоверности принимаемых ги-
122
логез с помощью электронные машин. Так, например, в рабо-
те В С. Азарина, А. А. Колесникова и А. К. Муленко [1] об-
суждается проблема проверки гипотез для сложных тонкостен-
ных систем, в которой предлагается исследовать квадратич-
ное уклонение разности экспериментальных и теоретических
напряжений. Задачи, в конечном счете, сводятся к решению
системы линейных уравнений, исследуемых с помощью ЭЦВМ.
Если напряжение, найденное теоретически, укладывается в по-
лосу разброса экспериментальных напряжений, то авторы де-
лают предположение, что гипотеза оправдана.
Следует ожидать серьезного развития вопросов проверки
достоверности принимаемых в строительной механике гипотез
с помощью вычислительной техники.
В настоящее время проявилась тенденция особого научно-
го подхода к созданию оптимальных систем, которая в даль-
нейшем, по-видимому, выльется в одну из наиболее важных
задач строительной механики.
В данный момент еще нет достаточных критериев, опреде-
ляющих рациональные системы. Наряду с сооружением наи-
меньшего веса заслуживают изучения системы наименьшей сто-
имости Вопросы экономики будут более тесно связаны с ме-
тодами расчета. Необходимо учитывать вопросы долговечности
сооружений и технологические особенности, связанные с их
возведением.
Обычно при проектировании строительных конструкций со-
ставляют подробные расчеты с тщательной записью всех про-
межуточных вычислений и по этому к проекту прилагаются объ-
емистые тома расчетов.
С применением ЭЦВМ резко изменится содержание этих
расчетов. Главное внимание будет уделяться составлению ис-
ходных данных, обсуждению предпосылок и основных гипотез.
Есть основание предполагать, что содержание самого расчета
будет состоять лишь из описания принятого метода с ссылкой
на применяемые программы, после чего будут приводиться таб-
лицы окончательных результатов расчета, получаемых из пе-
чатающих устройств машины.
Для успешного применения ЭЦВМ в расчетах строитель-
ных конструкций необходимо особо обсудить вопрос о состав-
лении стандартных программ и их использовании. Из опыта
работы кафедры строительной механики МИИТа можно ви-
деть, насколько велико значение поставленного вопроса. Спе-
циалистом этой кафедры Н. Н. Шапошниковым разработана
и составлена система стандартных программ для линейных
преобразований, которые позволяют решать ряд сложных за-
дач с помощью единой комплексной программы, обращение к
частям которой упрощено до крайних пределов.
Большой комплекс стандартных программ разработан вы-
числительными центрами АН СССР, Московского университе-
123
та, Гипротиса, Теплоэлектропроекта и др. Очень часто работа
программистов тех или других организаций проходит парал-
лельно. Аналогичная картина отмечалась на конференции
Американской ассоциации гражданских инженеров.
Б связи с этим хочется обратить внимание на весьма акту-
альный вопрос, требующий скорейшего разрешения. Возникла
необходимость в создании координирующего центра по кон-
центрации, хранению и обмену программами для различных
машин по тем или иным конкретным задачам. Необходимо так-
же создание стандартного машинного языка, приспособленно-
го к нашим машинам.
Анализ мировой литературы показал, что в строительную
механику начали проникать математические средства, которы-
ми ранее пользовались лишь отдельные энтузиасты. Так, на-
пример, в подавляющем большинстве изданных работ отечест
венных и зарубежных специалистов, использующих электрон-
ные вычислительные машины, плодотворно применяется мат-
ричное исчисление. Между тем, к изучению этого аппарата
инженеры вынуждены прибегать после окончания института,
ибо в вузах при изучении строительной механики эти вопросы
пока еще, как правило, не затрагиваются.
Весьма серьезный и первоочередной вопрос — изменение
содержания программ по изучению предмета строительной ме-
ханики и методов преподавания в высших учебных заведениях
Во многих вузах уже имеются свои вычислительные центры.
Студентам читают специальные курсы лекций по вычислитель-
ным машинам, но студенты (за редким исключением) не рабо
тают непосредственно на этих машинах.
Строительная механика относится к числу таких дисциплин,
в которых в первую очередь должны использоваться возмож
ности новой вычислительной техники. Несмотря на то, что в
вузах США строительная механика изучается в значительно
меньшем объеме, чем у нас, методика ее изложения во мно
гом заслуживает серьезного внимания. Большинство вопросов
расчета строительных конструкций излагается там в матричной
форме. Большое внимание уделяется численным методам реше-
ния различных задач. Студенты ряда университетов имеют до-
ступ к электронным машинам, на которых они самостоятель-
но проводят вычисления, связанные с выполнением своих до
машни.х заданий.
По мнению автора, наступил момент, когда широкое об-
суждение и пересмотр курсов по строительной механике у нас
в стране, а также методов изложения многих ее разделов не
терпят отлагательства.
За последние десятки лет в программу по строительной
механике добавили много новых разделов, вместе с тем исклю
чили очень мало. Многие учебники непомерно увеличились в
объеме: при пересмотре программ необходимо более смело
124
встать на путь значительного сокращения обязательного курса
В учебники должны быть включены главным образом принци-
пиальные, основополагающие вопросы. Изложение многочис
ленных частных приемов необходимо значительно сократить
или совсем изъять.
В нашей стране строительная механика достигла небывало
го расцвета Своими грандиозными научными достижениями
во многих областях строительной механики СССР значительно
опередил все страны мира. Особенно большими успехами оз-
наменовалось последнее десятилетие. За это время обозначи
1ись новые направления в строительной механике Значитель
но обогатилось учение об устойчивости. Трудами Н. М. Беля-
ева, Г. Ю. Джанелидзе [22], И. И. Гольденблата [18] и особен
но исследованиями В. В. Болотина [8, 9] создана наука о дина-
мической устойчивости упругих систем.
Большое внимание уделяется разработке общих методов
решения неконсервативных задач устойчивости [7].
Хочется надеяться, что в области использования электрон-
ных вычислительных машин для решения новых задач строи
тельной механики и внедрения вычислительной техники в прак
тику проектирования строительных конструкций наша стран
в скором времени займет ведущее место в мире.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Азарин В. С., Колесников А. А. и Му лен к о А. К. К исполь-
зованию ЭЦВМ для обработки эксперимента. Сб. «Теория пластин и обо
лочек», Киев. Издательство АН УССР, 1962.
2.	Александров А. В. Численное решение линейных дифференциаль
ных уравнений при помощи матрицы дифференцирования. Сб. трудов МНИТ,
выл. 131. Трансжелдориздат, 1961.
3.	Александров А. В. Метод перемещений для расчета плитно
балочных конструкций. Сборник трудов МИИТ, вып. 174, Трансзкелдориз
дат, 196.3.
4.	Б е р г А. И. Кибернетику — на службу строительству. «Строительная
газета» № 122, 1963.
5.	Б и р к г а и А. Ю., Вольмир А. С. Исследование динамической
устойчивости пластинок с помощью электронных цифровых машин. Докла
ды АН, т. 135, № 5, 1960.
6.	Биркган А. Ю., Вольмир А. С. Применение цифровых электро.'
ных машин для решения нелинейных задач теории пластинок и оболочек
Доклад на Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике
Изд. АН СССР, 1960.
7.	Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчи-
вости. Госстройиздат, 1961.
8.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. Гос-
гехтеоретиздат, 1956.
9.	Болотин В. В. Некоторые нелинейные задачи динамической устой
чивости пластинок. «Известия АН СССР, отделение технических наук» № 10.
1954.
10.	Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике
Госстройиздат, 1961.
12.5
Ч.	Болотин В. В. Вариационный принцип для получения основных
уравнений теории упругой устойчивости. «Всесоюзная конференция по про-
блемам устойчивости в строительной механике». Тезисы докладов. Госстрой-
издат, 1963.
12.	Булгаков Б. В. Колебания. Гостехиздат. 1954.
13.	В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету
пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругое я в конечных
разностях, ч. 1 и 2. Киев. Издательство АН УССР, 1949, 1952.
14.	В и н о г р а д о в А. И. Вопросы расчета сооружений наименьшего
веса. Труды Харьковского института инженеров железнодорожного транспор-
та, вып. 25. Трансжелдориздат, 1955.
15	В о л ь м и р А. С., Бир кг ан А. Ю. Применение цифровых электрон-
ных машин для решения некоторых задач теории гибких пл (стинок. Юби-
лейный сборник научных трудов ВВиА им. Жуковского, т. 1, 1957.
16.	Ганеева М. С., Муш тар и X. М., Сур к ин Р. Г. Об одном
методе решения задач теории среднего изгиба пологих оболочек с примене-
нием электронных вычислительных машин. Доклад на Всесоюзном съезде
по теоретической и прикладной механике, М. Изд. АН СССР, 1960.
17.	Г а н т м а х е р. Ф. Р. и Крейн М. Г Осцилляционные матрицы
и малые колебания механических систем. Гостеоретиздат, 1941.
18.	Гол ьден блат И. И. Динамическая устойчивость сооружений.
Стройиздат, 1948.
19.	Горлов А. М. Расчет железобетонных балок на электронной вычи-
слительной машине БЭСМ-2М (программы комплекса ПАМИР) Сб. «Ме-
ханизация и автоматизация расчетов в строительном проектировании»,
Изд. Гипротис, 1963.
20.	Гребень Е. С. Вопросы матричного расчета многократно статиче-
ски неопределимых систем. «Сборник трудов ЛИИЖТ», вып 172. Изд.
ЛИИЖТа, 1960.
21.	Гринберг С. М. Применение метода Ритца к расчету частот из
гибных колебаний консольных лопаток осевых турбин. Сб. «Расчеты на проч-
ность», вып 8 Машгиз, 1962.
22.	Джанелидзе Г Ю. Обшая задача о динамической устойчивости
упругих систем, «Успехи математических наук», т. 10, № 4(66), 1955.
23.	Д л у г а ч М. И., Шинкарь М. И. Применение электронных вы-
числительных машин к решению бигармонической задачи. «Прикладная ме
ханшка», т. VIII, вып. 2. 1962.
24.	Дук а реки й О. М. Программа расчета одноэтажных рай с авто
матическим формированием основной системы на электронной машине
БЭСМ-2М. Сб. «Механизация и автоматизация расчетов в строительном
проектировании», Изд. Гипротис, 1963.
25.	К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. II. Приближенные методы
высшего анализа. Физматгиз, 1950
26.	Киселев В. А. Рациональные формы арок и подвесных систем.
Госстройиздат, 1953.
27.	Коренев Б Г. Расчет плит, лежащих на упругом основании. Гос
стройиздат, 1962.
28.	Коллатц А. Численные методы решения дифференциальных урав-
нений, Изд. иностранной литературы, 1953.
29.	Л а в и т м а н В С. Статический и динамический расчет многоэтаж
ных рам на электронной вычислительной машине БЭСМ-2М. Сб. «Механи-
зация и автоматизация расчетов в строительном проектировании». Изд.
Гипротис, 1963.
30.	Лащеников Б. Я- О применении метода сил в расчетах на устой
чивость стержневых систем переменной жесткости. Труды МНИТ, вып. 174.
Трансжелдориздат, 1963.
31.	Люстерник Л. А., Абрамов А А., Ш у р а-Б у р а М. Р.,
Шестаков В. И. Решение математических задач на автоматических циф-
ровых машинах. Изд. АН СССР, 1952.
32.	Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений.
Изд. иностранной литературы, 1955.
126
Николаи Е. Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании
колонны. Изд. С.-Петербургского политехнич. ин-та, т. VIII 1907.
е В С л	А' Висячие системы с косыми подвесками.
Труды ЛИНКС, вып. VII, 1940.
35.	Петропавловский А. А. Исследование устойчивости и коле-
баний пР0СТРа11СТВеннЬ1Х арочных систем. Докторская диссертация. МИИ Г,
36	Положий Г. Н. и др. Математический практикум. Физматгиз
'960.
37.	Положий Г. Н. Численное решение двумерных и трехмерных
.раевых задач математической физики и функции дискретного аргумента.
Изд. Киевского университета, 1962
38.	П о л ь ш и н Д. Е., Якобсон Л. С., Б о м ш т е й и К- Г. Некото-
рые вопросы проектирования фундаментов с использованием электронных
вычислительных машин. (Программы комплекса ПАМИР). Сб. «Мехавиза
ция и автоматизация расчетов в строительном проектировании». Изд. Ги-
протис, 1963.
39.	Рабинович И. М. К теории статически неопределимых ферм
Трансжелдориздат, 1933.
40.	Рабинович И. М. Достижение строительной механики стержне
вых систем в СССР. Госстройиздат, 1949.
41.	Рабинович И. М. и др. Строительная механика в СССР
(1917—1957). Сб. под редакцией И М. Рабиновича. Госстройиздат, 1957.
42.	Р а д ц и г Ю. А. Применение метода наименьшего объема .. расчету
статически неопределимых ферм и балок. Докторская диссертация МИГ<Т.
1958.
43.	Р е з н и к о в Р. А. Расчет статически неопределимых систем с ис-
пользованием быстродействующей электронной машины. Материалы по
сальным конструкциям, № 3. Проекгстальконст.рукция. Госстройиздат, 1958.
44.	Р е з н и к о в Р. А. Об автоматизации расчетов строительных кон-
струкций. Сб. «Механизация инженерно-технических расчетов при проекти-
ровании сооружений». Госстройиздат, 1959.
45.	Резников Р. А. К решению задач строительной механики на
.лекгронньх вычислительных машинах. «Строительная механика и расчет
сооружений» № 4, 1959.
46.	Р е з н и к о в Р. А. Расчет пирамидальных оболочек на электронной
цифровой машине. «Строительная механика и расчет сооружений» № 5,
1961.
47.	Р е з н и к о в Р. А. Расчет любых плоских стержневых систем на
электронной машине БЭСМ-2М. Сб. «Механизация и автоматизация расче-
тов в строительном проектировании». Изд. Гипротис, 1963.
48.	Р ж а н и ц ы н А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических
свойств материалов. Госстройиздат, 1954.
49.	Сальвадори М. Численные методы в технике. Изд. иностран-
ной литературы, 1955.
50.	Синицын А. П. Термоупругие колебания. К- Тонг, Теория меха-
нических колебаний. Машгиз, 1963.
51.	С л юс ар чу к Ф. И. Исследование объема статически неопредели-
мых ферм, несущих однократную нагрузку. Труды Новосибирского институ-
та инженеров транспорта, вып. 11. Трансжелдориздат, 1955.
52.	Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. Транс-
желдориздат, 1958.
53.	Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая -устойчивость соор>
жений. Трансжелдориздат, 1947.
54.	Современные методы расчета сложных статически неопределимых
систем. Сборник переводов с англ. под. ред. А. П. Филина. Судпромгиз, 1961.
55.	С о с и с П. М. Механизация расчетов сооружений по типовым про-
граммам. Госстройиздат УССР, 1961.
56.	Тарнопольский Б. Л. Статические расчеты многоэтажных н
многопролетных рам на электронной цифровой машине. «Механизация ин-
127
женерно-техн.ических расчетов при проектировании сооружений». Госстрой
издат, 1959.
57.	Фаддеев Д. К. и Фаддеева В. Н. Вычислительные методы
линейной алгебры, Физматгиз, М., 1960.
58.	Фео досье в В. И. Применение вариационно-о шагового метода ь
решению задачи об устойчивости стержня за пределами упругости. «Все-
союзная конференция по проблемам устойчивости в строительной механике»
Тезисы докладов. Госстройиздат, 1963.
59.	Ф и л и н А. П. Расчет пространственных стержневых конструкций
типа системы перекрестных связей и его применение к оболочкам при ис-
пользовании элелтрочных вычислительных машин. «Исследования по стро
ительной механике», сб. трудов, вып. 190. И.зд. ЛИИЖТ, 1962.
60.	Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее при
ложения (перевод с английского) Изд. ИЛ, 1950;
61.	Чаусов М. С. Применение электронных вычислительных машин
при расчете инженерных сооружений (программирование расчета пологих
оболочек и стержней для ЭЦВМ). Госстройиздат, 1962.
62.	Ш а п о ш н и к о в Н. Н. Матрица упругих грузов для решетчатых
систем и ее применение к некоторым задачам строительной механики. Тру
ды МИИТ, вып. 155. Трансжелдориздат, 1962.
63.	A n a s t о п G. Р*. Optimum design of transmission towers.
64.	Ang A. H. S. and Newmark N. МЛ A numerical procedure for the
analysis of continuous plates.
65.	Archer J. S. and Samson С H.  Structural idealization for digital:
computer analysis.
66.	Argyris J. H. The matrix analysis of structures with cuf -outz and modi-
fications. 9th Congress Intern. Mecan. Appl., Univ Bruxelles, 1957; 6,
67.	Argyris J. H. Fnergy theorem and strustures analysis. Aircraft Engng
1954; 26, № 308, 309; 1955; 27, № 312, 31 i, 314, 315.
68.	Argyris J. H., Kelsey S. Structures analysis by the matrix force
method with application to aircraft wings. Jahrbuch 1956 der Wissenschaftli-
chen Gesellschaft fur Luftfahrt (1957).
69.	A r g у r i s J. H. К e 1 s e у S. The matrix force method structural ana-
lysis and some new applications. Aeronautical Res. Council and Mem., 1957. 3034.
70.	Argyris J. H., Kelsey S. The analysis of fuselages of arbitrary
cross-section and tapes. Aircraft Engng 1959, 31, № 361, 362, 363, 364,365, 366
71.	Argyris J. H. On the analysis of complex elastic structures. Applied.
Mechanics Reviews; № 7, 1958
72.	Asplund S. O.* Inversion of band matrixec.
73.	Barkocy A. R. a nd Ku lunk R.* Computer analysis of a pier with
unlimited shape.
74.	Barneson R. A. Analysis of frames by on electronic digital computer.
Conference on electronic computation Structural Division. ASCE. Kansas City,
Noven,ber 1958 (1959).
75.	Berman F. R.*. Some bisic concents in matrix structural analysis.
7u	В e rn a d о t J., К org a n of f A . Salle F. Emplois et perspectives du
calcul electronique en construction metallique. Acier—Stanl—Steel. September
1960, № 9.
77.	Borgec J. F Computer analysis of structures.
78.	Brignac W. I and Shwender R. G. Aircraft structural analysis
on an analog computer. J. Engng. Mechn. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engr
1960, 86, № 3.
79.	Brotton D. M. The use of electronic digital computers in structural
engineering. Struct. Engr. 36, 9, Sept. 1958.
80.	Brotton D. M. Elastic critical loads of multy-bay pitched roof portal
rames with rigid external stanchions. Struct. Engr. 38, № 3, 1960
* Здесь и дате звездочкой отмечены работы, опубликованные в
сборнике 2nd Conference on electronic computation. Tiie Gommittee on Elect
ronic Computation Structural Division, ASCE, Pittsburgh, September, 8—9 I960.
128
81.	Cahill \V„ Levy S. Computation of vibration inodes and frequences
on S. E. A. C. Journal of Aeronaut. Sciences, v. 22, № 12, 1955.
82.	Chang J. C. L. Electronic computers used in design of two double
deck tied arch bridges. Civil Engineering. November 1958 vol. 28 № 11.
83.	Chang. Fon. Cvetic. The analysis of continous trusses by an electronic
computer Conference on electronic computation, Tne committee on electronic
computation, Structural Div son. ASCE Kansas City, November 1958 (1959).
84.	Clough R. W Structural analysis by matrix programmes (. onf'rence
on electronic computation; The committee on electronic computation. Structural
Division, A. S. С. E. Kansas City, November 195S (1959).
85.	Clough R. \V. Use of modern computers in structural analysis. Proc
ASCE 81, P 1936. May, 1958.
86.	Clough R. W.* The finite element method in plane stress analysis.
87.	Czerniak E. RiMd frame analysis with the aid of digital computers.
Proc. AS E 84. s. t. 3, p 1634, May, 1958.
do. D .-nke P. H. A matrix m ‘tbod of structural analysis. Proceeding of
the second U. S. National Congress of Applied Mechanics, 1954.
89.	D e n 1 e P. H. and Wang С. K. Matrix analysis of statically indeter-
minate structures by displacement method. Transactions of the ASCE, series
E, Journal of applied mechanics, vol 26, № 3, S'pt. 1959.
90.	Eppink R. T. andVeletsosA. S.* Dynamic analysis of circular
elastic arches.
91.	Filho Fernando. Venancio. Croups of unknowns in structural
analysis. ,,J Roy. Aeronaut. Soc.“ 1962, 66. № 617.
92.	G a 11 f e I. V. Analysis of plane structures by means of the electronical
Conaput'r IBM 704. „Ingenieren" 1962 C. 6. № 1.
93.	G a 1 1 e V. Beregning af boerende Konstructioner ved. n jlp af elektro
nishe cifferregnemashiner. Ingenieren, 1959, 68, № 6.
94.	Goodey. Matrix analysis of the circular conical fuselage. Aircraft
Engng 1957, 29, № 335.
95.	Graham J. D.*. Optimum design of reinforced concrete buildings.
96.	I e 1 i n e к О. Расчет многоярусной рамы на вычислительной ма
шине „Урал—1". „Inzen. stavby", 8, № 12, 1960 (чешек).
97.	Jenkins W. М. Influence line computations for st uctures with mem-
bers of varying flexural rigidity using the electronic digital computer. Struct.
Engineer v. 39, № 9, 1961.
98.	Janos. S Mit Hilfe der kanonischen Form der Matrix funktion vor-
teilhaft zu behandelne Aufgaben auf dem Gebiet des statik under Festigkeit
lehre. „Miss z. Techn Univ. Dresden, 1961, 10, № 6.
99.	Hain H. Stall kraftberechnung statish best mmter Fachwerke auf einem
elel tronischen Ziffernrechne. BauingenicUr, I960, № 1.
100	H u n t P. M. The electronic di- ital computer in aircraft structural
analysis. A ire aft. Engng 1956, 28, № 325, 326, 327.
101.	Hoffman J. S*. Computer analysis of twin box culverts.
102.	Horton L. G. and Eichmann E. S*. Vessel foundation de-
signs usin' s a digital computer.
103.	Klein B.- Simple method of matrix structural analysis. Journal of the
Aeronautical Sciences 1957, 24, № 1.
104.	Klein B. and Chirico M.’ New methods in matric structural
analysis.
105.	Kozak I. I.* Electronik computers speed up bridge desing.
106.	К u n t z, A v e r y, Durkee. Analysis of the suspension bridges on
electronic di ital computers. Conference on ekctronic computation; The com-
mittee on electronic computation, Structural Division. AS^.E. Kansas City,
November 1958 (1959).
107.	Larsen L. I. A modifit inversion procedure for product form of the
linear programming codes. „Commus Assoc. Comput. Mach." 1962, 5 № 7.
108.	Levy S. Structural analysis and influence coefficients, of delta wings.
Journal of the Aeronautical Sciences, 1953, 20, № 7.
129
109.	Lightfoot, Sa wk о. The analysis of gird frameworl s and floor
systems by the electronic computer. Struct. Engr. I960, 38, № 3.
110.	Lightfoot. Structural frame analysis by electronic computer. Engi-
neering. January 195°.
111.	Lisovski A. Lastosowanie electrycznych ufladow analogowych
do obliczania ram pzestrennych prostokatnych „Rozpr. inz". 1961, 9. № 3.
1Г2.	Livesley R. К The application of an electronic digital computer to
some problems of structural analysis. The Structural Engineer, vol. 34, № 1, 1956.
113.	Livesley R. K- The automatic design of structural frames. The Quar-
terly Journal of Mechanics and applied Mathematics, vol IX, part 3, Sep-
tember. 1956.
114.	Livesley R. K- The analysis of large structural systems. .Comput.
J.“. 3, № 1, 1960.
115.	Livesley R. K. Analysis of rigid frames by on electronic digital
computer Engineering, 1953, vol. 176, № 4569, 4570.
116.	L i v e s 1 e у R. К and Charlton 1. M Analysis of rigid frames by
an electronic digital computer. Engineering, 1953, vol. 176 № 4569, 4570.
117.	Looney С. T. G High-speed computer applied to bridge impact.
Proc. ASCE, 84, ST5, p 1759, Sept., 1958.
118.	Lehman F. C.'L Simultaneous equations solved by over relaxation.
119.	Li ng eman J. NC Computing maximums die to moving laads.
120.	Cal ley R. B.* Error analysis for eigenvalue problems.
121.	Meek I. L. Generalized displacements in structural analysis. Sivil
Engineers, 1962, 88, № ST2.
122.	M e h m e 1 A. Rechenprograms zur Ermittlung der Schnittkraft. „Bauin-
genier", 1962, 37, № 5.
123.	Me Cormick C. \V. Panes stress analysis Journal of the Structu
ral Division (Third conference on Electronic Compytation. Boulder, Colo. June
19—21. 1963).
124.	Miller C. 1. „Cogo—a computer programming system for civil
engineering problems. Cambridge, Mass, Technol Press, 1961.
125.	Morgan. Application of an electronic digital computer to Structural
steel design. Struct, Engr 1960, 38 № 3.
126.	Namyet S. Analog and digital computers in civil engineering. Jour
nal of the Boston Society of civil Engineers, 1957. 4, № 1.
127.	Neubert V. H.* Computer methods for dynamic structural response.
128.	Paccard M. Utilisation de la calculatrice electronique pour letude
des occillations du systeme des galeries d'amenee de Pamcnagement de Saint
Martin-Vesubie Houille blanche. 1958, 13, № 16
129.	Przemieniechi Matrix analyses of shell structures with flexible
frames. Aeronaut. Quart. 1958, 9 № 4.
130	Pearson С. E.* A computational techique for three-dimensional pine-
jointed structures.
131.	Pei M. L.~ Stiffness method of rigid frame analysis.
132.	R a use e E. P.* Stress distribution patterns and settlement characteristics
of structural pile foundations.
133	Rajhe. Экономичный способ кодирования матриц высокого порядка
в автоматические счетных машинах Stroje zpracov. inform.
134.	Reese L. C and M a 11 о c k. Numerical analysis of laterally loaden
piles.
135.	Reiss E L, Greenbern H. I. К e 11 e r H. B. Non-linear deflec-
tions of shallow spherical shells. Reprint. Inst. Aeronaut. Sciences, 1957, № 663.
136.	Roller Bela. Feszitett fiiggotetok szam.tasa a masodrendtj elmelet
alapjan. „М lyepit estud szemle", 1962, № 12.
137.	R о z s a M i h a 1 y. Beret. hnung von Fragwerken mittels Ziffernrechenauto
niaten „Wiss Z Hochschule Archit. und Bauwesen Weimar" 1961, 8, № 5.
138.	Rubinstein M. F.* Multistory frame analysis by digital computers.
1 30
139.	Sabri Sa Illi. The use of the electronic digital computer for .itialy
ses of bridges of the type of continuous trusses and rigid frames with variable
moment of inertia. Conference on electronic computation. The committee on
electronic computation, Structural Division ASCE. Kansas City . Nov. 1958(1959)
140.	Scheer I Beniitzung programengesteurter Rechenautoniaten fur sta
tische Aufgaben. erlautert am Beispiel der Durchlachtragerberechnung. Stahlbau.
Sept., Oct. 1958.
141	Scheffey С. Г* Optimization of structures by variation . f critical
parameters.
142.	Schmit L. A. Structural design by systematic synthesis.
143.	Shore S. The elements of matrix structural analysis.
144.	Schurch. Aeronautical Engineering Review, № 11, 1952,
145.	Soehrens* J. E. The electronic computer as a tool in moment destri-
bution.
1 16. S t e i n e г L. A. Dita processing in Europe. „Data Process1', 1962. I. № ц
147.	Stolle H. \\ . Elastisch geb;ttete Trager und Ramen unter Quer-und
Axialbelastung. Bautechnik, 1962, 39, № 1.
148.	Sylvester R. J. and Foil. R. R. Computer solutions to linear
buckling problems.
14	1. Szidarovsky I Producing influence lines of suspesion bridges vvich
variable flexu-al rmiditv bv successive approximation „Acta techn. Acad Seient
nun»“. 1962 , 41, № 1—2.
150.	Судзуки Госио. Подвесной мост с вспомогательной балкой
жесткости Гербера. „Добоку Гндзюцу“. 1962. 17. № 7.
151.	Такуэти X и т о с и. Сайто М а с а н е р и, Кобаяси Н а от е.
Программа для исследований на электронной вычислительной матине сво-
бодных колебаний неоднородного упругого шара и распространения повер-
хностных волн но свободной поверхности неоднородной упругой среды, за-
полняющей полупространство. „Дзисин. Zicin J. Seism. Soc Japan" 1961
14, № 4.
152.	Wadsworth M. H.* Sloping surcharge retaining wall design.
153.	W e n R. К. I о r i d i s Dynamic benav ior of cantilever bridges. I Engng.
Meeh. Dir. Roc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1962. 88. № 4, Part 1, 27—43.
154.	Wegstein I. H. Algoritms „Communs Assoc. Comput. Mach.“, 1962,
5. № H
155.	Williams D. Solution of weioelastic problems by means of influence
coefficients. Journal of the Royal Aeron. Society, vol. 61, № 556, 1957.
156.	W il son E. L.;i: Matrix analysis of non-linear structures.
157.	Wilson E. N.* Numerical analysis applied to beam vibrations.
158.	Wroth С. P. Influence lines by computer. Civil Engineering, vol.
55, № 6—50. 1960
159.	Zar M. and Beck C. F.* Computer design of structural steel for
buildings.
160.	Zahler C. W. Designing steel bridges by computers Civil Engine-
ering, Mav, 1958, vol. 28, № 5.
161.	Zurmilhl R. Anvendung der Matrizenrechnung in der Static. .Wiss Z.
Hochschule Archit und Bauwesen, Weimar, 1961, 8, № 5
162.	Z a h 1 e r C. W. O' К e e f f e I. E. Statical analysis of trusses on the
digital computers. Conference on elechronic computation: ASCE. Kansas City,
November, 1958 (1959).
16	J. Civil Engineering, № 5, 1958. Специальный номер журнала, посвя-
щенный применению электронных цифровых машин
ОГЛАВЛЕНИЕ
( Т|1
Предисювие	о
Введение ...	ц
Глава I. Расчет конструкций Ио методу предельных состояний Ь
Глава 1) Расчет конструкций на действие динамически^ нагрузок	47
Глава III. Применение статистических методов в строительной
механике
/4
Глава IV. Применение электронных вычислительных машин к
расчету строительных конструкций
Болотин Владимир Васильевич
Iольденблат Иосиф Израилевич
Смирнов Анатолий Филиппович
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Тем. план 1964 г., № 64
Стройиздат
чосква, 1 ретьяковский проезт, I. 1
Редактор d. ГЛяче^а
Технический редактор В. Д. Наилова
Оформление художника £ В ШворикИ
Корректор Г. П. Jlanuiuhit
Сдано п набор 16/Х i<)i | г
Г-15228	JiJ M Ira .>0> <И>«/|С ц. 1
’>.5 vi.-ti.ot ,1.	ПзД. Л» A.VIH 7625
ЦеНг! 48 коп.
Подписано к Печати 31/УШ-1964 i
4 125 б. л.	8,25 п. л.
• ак. 328	Тираж 5П(Ю экэ.
Подольская thiioiрафия
Сонета
Г
Гланполиграфпрома Гос}дарственного
Министров СССР по печати.
Подольск, ул. Кирова, 25
комитета
(J П E Ч M К И
Стра-
ница
11
1 —2-и	бы гь ।
‘2411	Н ИКЦГ 1	( • |	। ' 11 l 4 И	,1.	I f »|J |Г I
НиПрИ Л. П1Й.	.ПСИН", и* I I I,. I .
lu.iipA .1 l ш:
ь-я	;л
я сверх \	’ТЛ’пчч ч	с । 1 н-.-f ।