А. А. СОКОЛОВ, И. М. ТЕРНОВ,
В. Ч. ЖУКОВСКИЙ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
университетов.
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979

22.314
С 59
УДК 530.145
Квантовая механика. Соколов А. А.,Тернов И.М.,
Жуковский В. Ч, — М.: Наука, 1979.
Книга содержит последовательное изложение ос-
основ квантовой механики, включая как нерелятивист-
нерелятивистскую, так и релятивистскую теорию. "Помимо принци-
принципиальных вопросов квантовой механики, в ней рас-
рассматриваются также различные ее приложения, отно-
относящиеся к теории твердого тела, квантовой теории
излучения и др.
Значительное внимание уделяется разбору точ-
точно решаемых задач квантовой механики, таких, как
гармонический осциллятор, ротатор, атом водорода.
Некоторые традиционные вопросы излагаются в посо-
пособии по-новому. Приводятся также приближенные
методы решения уравнения Шредингера — метод воз-
возмущений и квазиклассический метод В КБ и их при-
приложения (теория излучения, теория рассеяния и др.).
Рисунков — 98, табл. — 6.
Арсений Александрович Соколов,
Игорь Михайлович Тернов,
Владимир Чеславович Жуковский
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
М., 1979 г., 528 стр. с илл.
Редактор В. Я. Дубнова
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректор Я. Б, Румянцева
ИБ № 2263
Сдано в набор 06.02.79. Подписано к печати 12.07.79. Бумага 60Х9Э»/1в. Тип. № I Литера-
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 33 +форзац 0,25. Уч.-изд. л. 31,98+фор-
зац 0,17. Тираж 18000 экз. Заказ Na 83. Цена 1 р. 30 к. v p
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой «Союзполиграфпрома» при Гаоударственном комитете СССР по делам
издательств, ^полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленилград, Л-52. Измайловский
проспект, 29
; 124
г- 105-79, '1704020900 © РЪаука. Травная редакция
у физико-математической литературы, 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Часть первая
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
§ 1. Введение 13
а) Классическая теория A3). б) Квантовая теория света A4). в) Вол-
Волновые свойства электронов A9). г) Фазовая скорость B1). д) Груп-
Групповая скорость и волновые пакеты B2).
§ 2. Уравнение Шредингера 28
а) Уравнение Гамильтона — Якоби B8). б) Волновое уравнение для
электронов B9). в) Физический смысл волновой функции ф C2).
г) Линейные операторы в теории Шредингера C4).
§ 3. Решение уравнения Шредингера 36
а) Стационарный случай C6). б) Общее решение C7). в) Квантовые
ансамбли D0). г) О статистической интерпретации волновой фун-
функции D1).
§ 4. Дискретный и непрерывный спектр уравнения Шредингера 43
а) Потенциальная яма D3). б) Непрерывный спектр D6). в) Метод
Борна D7). г) Дельта-функция Дирака D9). д) Нормировка непре-
непрерывного спектра на дельта-функцию E5). е) Решение уравнения
Пуассона для точечного заряда E7).
§ 5. Некоторые методы приближенного решения уравнения Шредингера 58
а) Квазиклассическое приближение E8). б) Приближенный метод
Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (метод ВКБ) F0). в) Кванто-
Квантование потенциальной ямы в квазиклассическом приближении F5).
г) Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер (туннель-
(туннельный эффект) F8). д) Случай прямоугольного барьера G1). е) Вы-
Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия G4). ж) Альфа-
распад G9). з) Понятие о квазиуровнях (квазидискретный
спектр) (83).
§ 6. Статистическое толкование квантовой механики 87
а) Средние значения операторов (87). б) Вывод соотношения неоп-
неопределенностей (92). в) Классические и квантовые скобки Пуас-
Пуассона (95). г) Теоремы Эренфеста A00). д) Переход от квантовых
уравнений движения к классическим A01),
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Линейный гармонический осциллятор 102
а) Осциллятор в классической теории и в приближении ВКБ A03).
б) Собственные функции и собственные значения энергии A05).
в) Когерентные состояния A11). г) Элементы теории представлений
в квантовой механике A14). д) Различные представления по отно-
отношению к зависимости вектора состояния от времени A27).
§ 8. Теория возмущений 131
а) Постановка задачи A31). б) Основные уравнения стационарной
теории возмущений Шредингера A32). в) Первое приближение A33).
г) Невырожденный случай A34). д) Вырожденный случай A36).
е) Второй порядок теории возмущений. Ангармонический осцил-
осциллятор A38). ж) Нестационарная теория возмущений A41).
§ 9. Квантовая теория излучения 143
а) Спонтанные и вынужденные переходы A43). б) Квантование
свободного электромагнитного поля A48). в) Вывод коэффициен-
коэффициентов Эйнштейна по квантовой теории излучения A56). г) Дипольное,
магнитное (дипольное) и квадрупольное излучения A61). д) Излу-
Излучение гармонического осциллятора A65). е) Понятие о квантовых
усилителях и генераторах A67). ж) Основы теории дисперсии A70).
8) Комбинационное рассеяние света A76).
§ 10. Общая теория движения частицы в центрально-симметричном поле 178
а) Уравнение Шредингера в криволинейных ортогональных коорди-
координатах A78). б) Шаровые функции A81). в) Физический смысл кван-
квантовых чисел т и /. Момент количества движения A90). г) Анализ
полученных результатов A93).
§ 11. Решение простейших задач в сферических координатах 194
а) Ротатор A94). б) Правила отбора A97). в) Вырождение по маг-
магнитному квантовому числу B01). г) Свободное движение B02).
д) Асимптотическое решение в случае короткодействующих сил B05).
§ 12. Теория водородоподобного атома (проблема Кеплера) 207
а) Радиальное уравнение B07). б) Круговые орбиты B11). в) Эллип-
Эллиптические орбиты B13). г) Исследование вырождения по / для куло-
новского поля B18). д) Правила отбора. Спектр излучения водо-
родоподобных атомов B22). е) Учет движения ядра B25). ж) Атом
водорода в квазиклассическом приближении B30).
§ 13. Атом водорода в электрическом поле 231
а) Квантование атома водорода в параболических координатах B31).
б) Эффект Штарка B36).
§ 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 240
а) Борновское приближение B41). б) Рассеяние на потенциале
Юкавы B44). в) Парциальные эффективные сечения B47). г) Рас-
Рассеяние потенциальным барьером B50). д) Рассеяние в кулоновском
коле B54).
§ 15. Метод Редже в теории рассеяния 261
а) Понятие о полюсах Редже B61). б) Резонансы B66).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 16. Атом в магнитном поле 267
а) Эффект Зеемана B68). б) Спин электрона B71). в) Уравнение
Паули B73). г) Разделение спиновых и координатных функций B76).
д) Электрон в магнитном поле B78). е) Атом водорода в экстре-
экстремально сильном магнитном поле B82).
Часть вторая
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
§ 17. Скалярное релятивистское волновое уравнение Клейна — Гордона. . .289
а) Классическая релятивистская механика и уравнение Клейна —
Гордона B89). б) Плотность заряда и плотность тока B90). в) Ре-
Релятивистская теория водородоподобного атома (без учета спина
электрона) B92).
§ 18. Уравнение Дирака 295
а) «Линеаризация» оператора энергии B95). б) Уравнение Дирака.
Плотность заряда и тока B98). в) Трансформационные свойства
волновой функции при преобразованиях Лоренца и пространствен-
пространственных вращениях C00).
§ 19. Движение дираковского электрона в поле центральных сил .... 302
а) Орбитальный, спиновый и полный моменты количества дви-
движения C02). б) Перестановочные соотношения для операторов мо-
момента C03). в) Сложение моментов C05). г) Движение частиц,
обладающих спином, в поле центральных сил. Ротатор C08). д) Урав-
Уравнение Дирака в нерелятивистском (паулевском) и слаборелятивист-
слаборелятивистском приближениях C10). е) Уравнение Дирака для нейтрона и
протона C16).
§ 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 319
а) Постановка вопроса C19). б) Учет релятивистских и спиновых
эффектов C20). в) Исследование тонкой структуры по теории Ди-
Дирака C24). г) Экспериментальная проверка теории тонкой струк-
структуры C27). д) Сверхтонкая структура спектра атома водорода C29).
е) Нормальный и аномальный эффект Зеемака C32). ж) Случай
сильных магнитных полей. Эффект Пашена — Бака C36).
§ 21. Лэмбовский сдвиг уровней 338'
а) Электромагнитный вакуум C38). б) Метод Вельтона C39).
§ 22. Полное решение уравнения Дирака 343
а) Решение уравнения Дирака для свободной частицы с учетом
положительных и отрицательных энергий C43). б) Исследование
спиновых свойств свободного электрона C46). в) Состояния с отри-
отрицательной энергией. Дираковская теория «дырок». Открытие позит-
позитрона C48). г) Понятие об электрон-позитронном вакууме C51).
д) Волновое уравнение для позитрона C53). е) Понятие о теореме
Людерса — Паули C54). ж) Волновое уравнение для нейтрино C55).
з) Вторичное квантование уравнения Дирака C56).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть третья
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
§ 23. Теория атома гелия без учета спиновых состояний 363
а) Основные положения C63). б) Основные уравнения C64). в) Ку-
лоновское взаимодействие электронов C70). г) Вариационный ме-
метод C72). д) Получение уравнения Шредингера вариационным
методом C75). е) Метод самосогласованного поля Хартри —Фока C76).
ж) Исследование обменной энергии C79).
§ 24. Учет спина в гелиеподобных атомах 381
а) Симметричные и антисимметричные состояния C81). б) Стати-
Статистики Ферми—Дирака и Бозе — Эйнштейна C82). в) Связь Рессела —
— Саундерса и (//)-связь C84). г) Волновая функция атома гелия с
учетом спина C85). д) Пара-, ортогелий C89). е) Энергетический
спектр атома гелия C90).
§ 25. Строение сложных атомов 392
а) Общие сведения C92). б) Спектр щелочных металлов C96).
в) Рентгеновские спектры атомов D05). г) Открытие периодиче-
периодического закона Менделеева D09). д) Заполнение слоев D11). е) Пе-
Периодичность свойств элементов D13). ж) Статистический метод То-
Томаса — Ферми D16). з) Решение задачи Томаса — Ферми вариаци-
вариационным методом Ритца D20). и) Применение метода Томаса — Ферми
к теории периодической системы элементов D22).
§ 26, Молекулярные спектры 426
а) Адиабатическое приближение D26). б) Спектры двухатомной
молекулы D27).
§ 27. Простейшие молекулы 434
а) Основные виды химической связи D34). б) Гетерополярные мо-
молекулы D34). в) Гомеополярные молекулы D38). г) Спин и сим-
симметрия состояний D47). д) Теория валентности D51). е) Силы
Ван-дер-Ваальса D54).
§ 28. Некоторые вопросы квантовой теории твердого тела 456
а) Движение электрона в периодическом поле. Функции Блоха D56).
б) Квазиимпульс D58). в) Зонная структура спектра энергии D60).
г) Случай почти свободных электронов D61). д) Задача Кронига
и Пенни D64). е) Свойства электропроводности твердых тел с точки
зрения зонной структуры спектра энергии D67). ж) Движение элект-
электрона в зоне проводимости. Эффективная масса D71). з) Колебания
решетки. Фоновы D72). и) Взаимодействие электронов с фононами.
Электропроводность D76).
§ 29. Элементарная теория сверхпроводимости ...,.• 483
а) Сверхпроводящее состояние D83). б) Квантование магнитного
потока в сверхпроводниках D91). в) Туннельный эффект в сверхпро-
сверхпроводниках (эффект Джозефсона) D93),

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 30. Движение электрона в постоянном и однородном магнитном поле 498
а) Волновая функция. D99). б) Спиновые состояния E02). в) Спектр
энергии. Физический смысл радиального квантового числа E05).
г) Квантовая теория синхротронного излучения. Поляризационные
эффекты E06). д) Классическая формула Шотта с учетом поляриза-
поляризации синхротронного излучения E11). е) Влияние квантовых флук-
флуктуации на траекторию движения электрона E17). ж) Эффект радиа-
радиационной самополяризации электронов E19).
Пояснение к таблице «Периодическая система элементов Д. И. Мен-
Менделеева» • 522
Именной указатель 523
Предметный указатель 525

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на базе лекций, читаемых в течение мно-
многих лет на физическом факультете МГУ. Она представляет со-
бой систематическое изложение теоретических основ квантовой
механики и некоторых ее приложений.
Квантовая механика, основные законы которой были от-
открыты в период с 1925 по 1928 г., является одним из важнейших
разделов современной теоретической физики. Она изучает по-
поведение электронов и других микрочастиц в атомах, молекулах,
твердых телах, а также во внешних электромагнитных полях.
В истории развития квантовой теории можно выделить не-
несколько этапов.
Первый из них был связан с накоплением экспериментальных
фактов, касающихся равновесного электромагнитного излуче-
излучения, а также фотоэффекта, эффекта Комптона и т.д. Поскольку
эти факты не укладывались в рамки классической электродина-
электродинамики, то для их объяснения необходимо было ввести предполо-
предположение о том, что свет наряду с волновыми должен обладать так-
также и корпускулярными свойствами. Это было учтено в теории
квантов Планка — Эйнштейна.
Опыты Резерфорда по рассеянию ос-частиц в веществе по-
послужили основой для создания полуклассической теории атома
Бора, которую можно считать началом второго этапа развития
квантовой теории.
Наконец, третий этап начинается с появлением целого ряда
экспериментальных фактов (дифракция и интерференция пучка
электронов), связанных с проявлением корпускулярно-волновых
свойств электронов. Первым обобщающим результатом, учи-
учитывающим волновые свойства микрочастиц, было уравнение
Шредингера A926 г.), которое явилось развитием волновой пь
потезы электронов (волны де Бройля). Несколько раньше
A925 г.) квантовая теория атома была сформулирована Гей*
зенбергом (матричная механика). Таким образом, если в клас«
сической теории свет рассматривался как волна, а электрон—>
как частица, то в квантовой механике было фактически стерто
это различие и было признано, что свет и электроны в соответ<
ствующих условиях могут проявлять как корпускулярные, так

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
и волновые свойства. Так был установлен корпускулярно-вол-
новой дуализм.
Поскольку задачей квантовой механики является изучение
реального мира и, прежде всего, простейших форм его движе-
движения, определяющих более сложные явления, то она, естественно,
связана с общефилософским вопросом познания микромира. Со-
Согласно учению В. И. Ленина, наше познание природы, суще-
существующей независимо от субъекта, идет по линии асимптотиче-
асимптотического приближения к истине, и появление новой теории озна-
означает не крушение старой, а лишь ее дальнейшее развитие.
Утверждение В. И. Ленина о том, что электрон так же не-
неисчерпаем, как и атом, оказалось той путеводной звездой, ко-
которая указывает нам единственно правильный путь развития
современной физики элементарных частиц. Таким образом, если
в рамках квантовой механики ряд явлений остается необъясни-
необъяснимым, то зто свидетельствует о том, что должны возникнуть но-
новые, более совершенные теории, в рамках которых эти явления
найдут свое объяснение.
В книгу включены как нерелятивистская теория Шредин-
гера, так и релятивистская теория Дирака, а также теория
многих частиц, которые составляют соответственно первую, вто-
вторую и третью части книги.
В первой и второй частях мы решили остановиться преиму-
преимущественно на основных вопросах квантовой механики, которые
иллюстрируются характерными примерами. При этом мы стре-
стремились ознакомить читателя как с физическим содержанием
теории, так и с ее современным математическим аппаратом.
Поскольку данная книга в основном соответствует университет-
университетскому курсу, то в нее включен также ряд специальных вопросов
квантовой механики. Так, при изложении теории водородопо-
добного атома рассматриваются различные криволинейные ор-
ортогональные координаты, в теории гармонического осциллятора
вводятся операторы рождения и уничтожения, в теории рас-
рассеяния излагается метод комплексных полюсов Редже и т. д.
На примере гармонического осциллятора демонстрируется так*
же применение теории представлений квантовой механики.
Кроме того, мы решили изложить основы вторичного кванто-
квантования, без знания которого невозможно понять современную
теорию излучения. При этом рассмотрено вторичное кванто-
квантование как электромагнитного поля, так и дираковского поля
электронов.
Третья часть книги посвящена теории многих частиц и, в
частности, строению многоэлектронных атомов и простейших
молекул. В специальные параграфы выделено изложение основ
теории твердого тела. Здесь мы, по необходимости в краткой
форме, представили и некоторые современные проблемы теории

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
твердого тела, как например, сверхпроводимость и связанные
с ней физические эффекты. Последний параграф посвящен из-
изложению теории движения и излучения релятивистского элект-
электрона в постоянном и однородном магнитном поле (синхротрон-
ное излучение).
Настоящий курс рассчитан на студентов физической специ-
специальности университетов. Он также может быть использован
студентами тех вузов, где читаются основы квантовой меха*
ники.
Авторы благодарят Ю. М. Лоскутова, Д. В. Гальцова,
А. В. Борисова и М. М. Колесникову за большую помощь, ока-
оказанную при написании этой книги. Они сделали ряд существен-
существенных замечаний и помогли отредактировать отдельные параг-
параграфы,

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА

§ 1. ВВЕДЕНИЕ
а) Классическая теория. Как известно, завершением разви-»
тия классической электродинамики является теория Максвел-
Максвелла — Лоренца и классическая механика с учетом релятивист-
релятивистских эффектов.
Согласно классической теории свет представляет собою
волны, поведение которых описывается волновыми уравнениями
вида
4-0— *Ф-о. A.1)
Этому уравнению должны удовлетворять компоненты векторов
электрической и магнитной напряженностей поля световой вол-
волны, распространяющейся со скоростью света с.
В то же время электроны представляют собою точечные
частицы, движущиеся по законам механики под действием силы
Лоренца. Их движение описывается или уравнением Ньютона,
или уравнением Лагранжа, или уравнением Гамильтона, или,
наконец, уравнением Гамильтона — Якоби.
Все эти уравнения должны приводить к одному и тому же
результату (они представляют собою, по существу, различные
представления уравнения Ньютона) и легко могут быть обоб-
обобщены на релятивистский случай.
Волновой процесс характеризуется частотой v и длиной вол-
волны Я, которые связаны соотношением vk = с. Поэтому в про-
простейшем случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси
х, решение A.1) имеет вид
Вместо обычной частоты v часто вводят круговую частоту со =
= 2jxv, а вместо Л — волновой вектор k. Тогда в случае плоской
волны, распространяющейся по направлению k, мы будем иметь
ф = Лв-'^-*г>. A.3)
Подставляя A.3) в A.1), находим
<о = с?, A.4)

14 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА R. X
т. е. модуль волнового вектора связан с длиной волны % соотно-
соотношением
^—ft. A.5)
Свободное движение электрона, рассматриваемого как то<
чечная частица, характеризуется энергией Е и импульсом час-
частицы р. Эти величины в нерелятивистском случае связаны со-*
отношением
В релятивистском случае это соотношение принимает вид
E*™ = ^c2p2 + m2QcK A.7)
Если масса покоя частицы то = 0, то соотношение A.7) пере-
ходят в следующее:
Е*ел = ср. A.8)
При переходе к нерелятивистскому случаю {р «С тос, т. е.
— \ <С 1J из соотношения A.7) получим
A.9)
Если вместо массы покоя пц ввести величину
B (U0)
то тогда вместо A.7) мы можем написать*)
Е**л*=тс*, p = tnv. A.11)
б) Квантовая теория света. Корпускулярные свойства света
были впервые обнаружены при изучении так называемого рае*
новесного излучения, которое возникает внутри полости, окру-
окруженной стенками, нагретыми до некоторой постоянной темпе-
температуры. Иначе оно часто называется излучением абсолютно
черного тела.
Рассмотрим спектральную плотность равновесного излуче-
излучения р(со), связанную с обычной плотностью электромагнитной
энергии «изл = -gjj- (S2 + Ж2) при помощи соотношения
\ р (о) rf(o.
A.12)
*) В дальнейшем значок «рел» вверху у энергии электрона мы чаще все-
всего будем опускать. Читатель по смыслу всегда может догадаться, имеем ла
мы дело с релятивистским выражением энергии или с нерелятивистским.

§ 1] ВВЕДШИЕ 15
Здесь & и Ж— напряженность, соответственно, электрического
и магнитного полей.
Поскольку спектральная плотность не должна зависеть от
материала стенок и определяется только их температурой, при
определении р(со) можно выбрать простейшую модель стенок,
аппроксимировав ее совокупностью гармонических осциллято-
осцилляторов. Оказалось, что, ограничиваясь рамками классической тео-
теории, невозможно построить разумную теорию равновесного из-
излучения (см. ниже).
Для того чтобы построить теорию, находящуюся в согласии
с опытом, Планк в 1900 г. выдвинул совершенно новую гипо-
гипотезу, коренным образом изменившую ряд фундаментальных
представлений классической физики. Согласно гипотезе План-
Планка энергия микроскопических объектов (атомов, молекул) мо-
может принимать не любые непрерывные, а только определенные
дискретные значения. В частности, для осциллятора энергия
должна быть кратной некоторой минимальной энергии Асо, где
со — частота колебаний осциллятора, a ft — некоторая постоян-
постоянная величина, т. е.
En = nh«>, A.13)
где п = 0, 1, 2, 3, ...
Заметим, что Плаик записывал соотношение A.13) несколь-»
ко иначе:
En = nhv. A.13а)
Последняя запись совершенно эквивалентна A.13), если учесть,
что обычная (не круговая) частота v = со/2я, а постоянная h —
= 2яЙ. В дальнейшем выяснилось, что использование со и Ть
вместо v и h представляет определенные удобства.
Исходя из формулы A.13а), Планк получил следующее вы-*
ражение для спектральной плотности равновесного излучения:
/X_ir A.14)
где kb — постоянная Больцмана.
Из формулы Планка легко получить формулу для обычной
плотности излучения
2 4
Р=^-Т\ A.15)
известную как закон Стефана—Болъдаа1а, открытый эмпири-
эмпирически еще до появления формулы Плата, з также закон сме-
смещения Вина

15 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч Г
определяющий ту длину волны Хмакс, которая соответствует
максимуму излучения, если от плотности р(о>) перейти к плот-
плотности р(Я).
Поскольку значения постоянной Стефана — Болышана
(a = 5,67-10~5 г-с-3-град~4), а также постоянной Вина (Ь =
= 0,29 см-град) были известны из эмпирических данных, Планк
нашел численное значение для величины h = 6,626-10~27 эрг-с,
получившей название постоянной Планка*)у а также и значе-
значение для постоянной Больцмана кв — 1,38 • 106 эрг* град", при-
причем численное значение для постоянной ?в было известно из
других данных (например, из классической статистики, так как
постоянная kn определяет функцию распределения Максвел-
Максвелла—Больцмана f = Ае~Е/къТ). Подчеркнем, что дату введения
Планком его постоянной A900 г.) можно считать днем рожде-
рождения всей современной квантовой теории.
При переходе от квантовой к классической теории мы долж-
должны положить Н = 0. Тогда формула Планка переходит в из-
известную классическую формулу Рэлея — Джинса
р (со) = —j-j- &Б7\ A17)
приводящую для суммарной плотности излучения к расходяще-
расходящемуся результату:
7 кът Т о
Иизл = \ Р @>) a(D = ¦ 2g3 \ (О d(D = ОО,
о о
Это означает, что, вопреки всем опытным данным, в классиче-
классической теории не может быть установлено состояния термодина-
термодинамического равновесия между нагретым телом и излучением.
Вообще говоря, классическая формула Рэлея — Джинса пра-
правильно определяет кривую спектрального распределения лишь
в области малых частот (Лю <С ksT). В области же больших
частот (йсо ^> Лв^она дает явно абсурдный результат, назван-
названный Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой». Только
после появления квантовой теории Планка «ультрафиолетовая
катастрофа» была ликвидирована.
При выводе своей формулы Планк предположил, что энер-
энергия осциллятора может принимать лишь дискретные значения.
Однако это новое свойство осциллятора в первоначальном ва-
варианте теории осталось физически необоснованным (точнее, сам
Планк «особые свойства» старался скорее приписать только на-
) Для постоянной h = й/2л, которая также носит название постоянной
2 получим значение ft = 1,055-10~27 эрГ'С.

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 17
гретому телу, т. е. осцилляторам, а не электромагнитному из-
излучению).
Эйнштейн сделал второй крупный шаг на пути развития
теории «квантов», а именно, он выдвинул новую гипотезу, со-
согласно которой вопрос о дискретности энергии осциллятора са-
самым тесным образом должен быть связан с тем фактом, что
само электромагнитное излучение состоит из отдельных кор-
корпускул — фотонов, несущих энергию /ш.
Согласно Эйнштейну, электромагнитное поле можно рас-
рассматривать как совокупность частиц — фотонов с массой покоя,
равной нулю, и энергией
е = Йсо. A.18)
Для импульса фотона при этом получается соотношение
р = йО-^ = йо^ = йй? AЛ9)
с а
где ^=:~т волновой вектор, k° — единичный вектор в на-
направлении импульса фотона, 6 = -^—волновое число.
На основе этих представлений Эйнштейном в 1905 г. была
построена количественная теория фотоэлектрического эффекта.
Это явление, открытое Г. Герцем в 1887 г., было подробно ис-
исследовано выдающимся русским физиком А. Г. Столетовым.
Одно из проявлений фотоэффекта заключается в том, что при
освещении светом достаточно большой частоты искра между
двумя заряженными шариками проскакивает при значительно
меньшем значении разности потенциалов между ними по срав-
сравнению с тем, когда свет отсутствует. Для объяснения этого яв-
явления Эйнштейн предложил простое уравнение
представляющее собой баланс энергии и означающее, что кине-
кинетическая энергия -~~ вылетевшего электрона должна быть
равной разности энергии поглощенного фотона ftw и работы вы-
выхода W электрона из металла. Очевидно, что если Асо < W, то
электроны не могут выйти из металла. Только в том случае,
когда энергия падающих фотонов превысит величину W> элект-
электроны вырываются из металла.
Экспериментальная проверка теории фотоэффекта Эйнш-
Эйнштейна блестяще подтвердила основной вывод о том, что энер-
энергия вылетевших электронов зависит только от частоты (но не
от интенсивности) падающего света, причем фотоэлектроны на-
начинают вылетать тогда, когда частота света ш будет превышать

18 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА! [Ч. I
некоторое предельное аначение
@>— •
Весьма убедительно выводы теории фотонов были подтвержу
дены экспериментально в 1923 г. при исследовании рассеяния
рентгеновских лучей свободными электронами — эффекта
Комптона. Эффект Комптона интересен еще и в том отношении,
что им проверяется не только закон сохранения энергии (как
в теории фотоэффекта), но и закон сохранения импульса.
Как известно, в классической теории при рассеянии света
свободными электронами его частота не изменяется ((о/ = со)<
Может уменьшиться лишь интенсивность падающего пучка, так
как часть энергии идет на раскачку электронов. По квантовой
же теории часть энергии фотона е = Йсо передается электрону,
и поэтому энергия рассеянного фотона е' = fto/, а вместе с тем
и его частота, вообще говоря, должны быть несколько меньше
(е'< е, со' < со).
Чтобы найти зависимость частоты от угла рассеяния, напи^
шем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая не
только электроны, но и фотоны как частицы (см. рис. 1.1):
Йсо — Ь со' = с2 (m — nio), hk — hk' = mv. A.20)
Здесь т0 и т — то/л/\ — р2— масса электрона соответственно
до (электрон покоится) и после столкновения, v — его скорость^
mv
Рис. 1.1. Рассеяние света на свободном электроне (эффект Комптона).
Р = и/с, hk = Йсй/с и Ш' = /ш'/с — импульс фотона соответ*
ственно до и после рассеяния.
Перепишем уравнения A.20) в виде
Ъ-Ы = 2-Ц-. A.21)
Возводя эти равенства в квадрат и вычитая затем первое ра*
венство из второго, получаем
coco' A - cos О) = ^f (ceo - с®'). A.22)

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 19
Замечая далее, что Я, = 2яс/о) и %' = 2яс/о/, после деления
A.22) на coco' находим выражение для увеличения длины волны
рассеянного света
ДЯ = А'— X = 2U0sin2y, A.23)
где Хо — комптоновская длина волны электрона
*о = ^ = -^ = 2,4.1О-см. A.24)
Таким образом, мы видим, что с точки зрения квантовых
представлений длина волны рассеянного света А/ должна быть
больше начальной К (А/ > X), так как со' <С со. Это увеличение
тем существеннее, чем больше угол рассеяния Ф. Поскольку
комптоновская длина волны Хо— малая величина, комптонов-
ское рассеяние экспериментально наблюдалось, как правило
при сравнительно малых длинах волн (рентгеновское излуче-
излучение^ гамма кванты). Б самом деле, для видимого света (X ~
i~ 1(Н см)
^~^1~1(Г5==1(Г3%, A.25)
для рентгеновских же лучей (х~ 10"8 ¦*• 10~9 см)
*а.~1<Г! = 10«. A.26)
в) Волновые свойства электронов. Согласно гипотезе де
Бройля поток свободных электронов, обладающих энергией ?
и импульсом р, связанными между собою соотношениями A.7)
и A.11), должен обладать и волновыми свойствами.
Соответствующая частота и дяина волны должны быть-
равны
? = ftco, А = у. A.27)
Длина волны К для пучка электронов получила название де~
бройлевской. Таким образом, соотношения Эйнштейна, сформу-
сформулированные им для фотонов, обобщаются и на электроны, т. е.
носят универсальный характер. В том и другом случаях мы мо-
можем их записать в виде:
? = fto), p==ftfe. A.28)
Прежде всего определим порядок величины дебройлевской
длины волны, которую практически можно получить для пучка
электронов.
Для того чтобы исследовать волновые свойства электро-
электронов, н^обходиш) прежде всего получить монохраматический

20 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14 J
(по скоростям) пучок электронов. Такой пучок может быть по-
получен в приборе, называемом «электронная пушка», где элект*
роны в вакууме ускоряются, проходя некоторую разность по-
потенциалов между электродами. Скорость электронов v может
быть найдена из соотношения
е0Ф п 9Q4
W (L29)
где Ф — потенциал между катодом и анодной сеткой, выра-
выраженный в вольтах, а е0 — значение заряда электрона. С по*
мощью A.27) находим соответствующую дебройлевскую длину
волны
jJb^J^LCM. A.30)
Заметим, что выбор величины потенциала Ф ограничен некото-
некоторым минимальным значением 15—20 В. Такой потенциал дол-
должен сообщить электронам энергию, большую, чем энергия хао-
хаотического движения электронов в металле. При этом деброй-
левская волна электронов будет иметь примерно ту же длину
Я « 10~~8 см, что и мягкие рентгеновские лучи.
Впервые волновые свойства электронов были обнаружены в
опытах по дифракции электронов Дэвиссона и Джермера
A927). Поскольку длина волны де Бройля для электронных
пучков имеет порядок Ю-8 см, в качестве дифракционной ре-
решетки, так же как и в случае мягких рентгеновских лучей
(опыты Лауэ), был выбран кристалл, постоянная решетки ко-
которого соизмерима с длиной дебройлевской волны К. Обобщая
методику, разработанную Дебаем — Шеррером для рентгенов-
рентгеновских лучей, на случай электронных волн, П. С. Тартаковский и
Г. П. Томсон A928) пропустили через поликристаллическую
пленку не рентгеновские лучи, а пучок электронов. Они полу-
получили вместо рентгенограмм так называемые электроно-
граммы*).
В настоящее время электронограммы наряду с рентгено-
рентгенограммами находят большое практическое применение при изу-
изучении строения кристаллов.
Следует заметить, что формула де Бройля применима не
только к электронам, но и к другим частицам, например про-
протонам и нейтронам, даже к сложным атомам и молекулам.
Правда, благодаря сравнительно большой массе этих частиц
длина их дебройлевской волны чрезвычайно мала. Однако
Штерну и Эстерману удалось наблюдать дифракцию атомов ге-
гелия и молекул водорода при отражении от кристаллов LiF.
*) См.: Тартаковский П. С. Экспериментальные основания волновой ме-
механики,—Л,—М.: ГТТИ, 1932.

ВВЕДЕНИЕ 21
Весьма эффективным оказался метод исследования струк-
структуры вещества, основанный на дифракции нейтронов. Дело в
том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом и по-
поэтому даже в случае малой энергии (так называемые тепловые
нейтроны), когда длина волны де Бройля практически еще от-
отлична от нуля, свободно проходят сквозь вещество.
Все перечисленные выше факты с полной убедительностью
говорят о том, что волновые свойства в принципе должны обна-
обнаруживаться у всех частиц.
Гипотеза де Бройля заложила основы развития новой от-
отрасли физики — электронной оптики, изучающей волновые свой-
свойства электронных пучков. Важным приложением электронной
оптики явилось создание электронного микроскопа, разрешаю-
разрешающая способность которого гораздо выше, чем у обычных опти-
оптических приборов*). Действительно, верхний предел разрешаю-
разрешающей силы (а значит, и увеличение) обычного микроскопа опре-
определяется длиной волны света. Чтобы сделать увеличение по
возможности большим, необходимо было как можно сильнее
уменьшить длину волны света. Однако такое уменьшение воз-
возможно только до некоторого предела. Нельзя, например, по-
построить рентгеновский микроскоп, поскольку для рентгеновских
лучей не существует соответствующих линз. Вместе с тем элект-
электронные пучки достаточно легко могут фокусироваться с по-
помощью воздействия на них электрического и магнитного полей
(«электрические» и «магнитные» линзы). Этот принцип исполь-
использован в электронных микроскопах.
г) Фазовая скорость. Как известно, движение монохромати-
монохроматической плоской волны вдоль оси х можно описать функцией
<р = Ле-'<«'-**>. A.31)
Скорость распространения волны может быть найдена как ско-
скорость перемещения постоянной фазы
со/ — k х = const. A.32)
Тогда, если время изменится на величину Д/, то для того, чтобы
соблюдалось условие A.32), координата должна измениться на
величину Ах, которая может быть найдена из равенства
*) Современные оптические микроскопы дают увеличение примерно в од-
одну— две тысячи раз. Электронный же микроскоп позволяет получить увели-
увеличение более чем в миллион раз.
В настоящее время, кроме электронного микроскопа, используется также
протонный микроскоп, разрешающая сила которого превышает разрешающую
силу электронного микроскопа.

22 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
Т е
О. A.33)
Отсюда находим скорость распространения постоянной фазы,
получившую название фазовой скорости
В частности, как для света, так и для электронов имеем (см,
A.7))*)
Е cojp2 + mlc* p
k <L35>
т. е. фазовая скорость фотонов (mo = O), как и следовало ожи«
дать, равна скорости света
и = -~ = с. A.36)
Для того чтобы определить фазовую скорость в случае элек-
электрона, движущегося со скоростью v, можно вместо A.35) напи-
написать (см. A.11))
Тогда фазовая скорость должна быть равна
«-¦f >*• A.38)
т. е. она становится больше скорости света, поскольку v < с.
Результат A.38) говорит о том, что фазовая скорость не мо-
может соответствовать движению частицы или же переносу ка-
какой-либо энергии,
д) Групповая скорость и волновые пакеты. Согласно прин-
принципу суперпозиции сумма (или интеграл) частных решений
%(xtt) (или их линейная комбинация) также должны быть ре-
решением волнового уравнения, т. е,
Ф (х, /) = Z Ci% (x> 0> A,39)
где Ci — некоторые постоянные коэффициенты, которые, не на-
нарушая общности, можно положить равными единице (С*=з1)«
Принцип суперпозиции имеет место лишь для линейных вол-
волновых уравнений, как, например, для уравнений классической
¦) При исследовании фазовой и групповой скоростей для энергии Е мы
будем писать релятивистское выражение. Тогда ее связь с импульсом р имеет
место не только для электронов, но и для фотонов.

$ IJ ВВЕДЕНИЕ 23
електродинамики, описывающих распространение электромаг*
нитных волн в вакууме, или для уравнения Шредингера, кото-
которое описывает движение электронов (см. ниже)* Для нелиней-
нелинейных уравнений, например уравнений Эйнштейна для гравита-
гравитационного поля или уравнений нелинейной оптики, принцип
суперпозиции не выполняется. Волны де Бройля, по предполо-
предположению, являются линейными, и поэтому для них принцип супер-
суперпозиции оказывается справедливым.
Введем теперь понятие групповой скорости. Как известно,
реальный волновой процесс не может быть чисто монохромати-
монохроматическим {k = const). Он всегда должен обладать определенной
шириной, т. е. состоит из набора волн, обладающих, например,
близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.
С помощью набора воли можно построить так называемый
волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в
небольшой области пространства, которую естественно можно
связать с местоположением частицы. Найдем скорость распро-
распространения максимума амплитуды волнового пакета, которая и
получила название групповой скорости. Для примера образуем
волновой пакет из набора плоских волн, для которых' волновое
число изменяется в пределах от k0 г~ до ^о + "т** Ради про-
простоты предположим, что каждая из этих волн имеет постоянную
амплитуду A/Ak = const. Тогда согласно принципу суперпози-
суперпозиции A.39) общая волновая функция должна равняться сумме
или интегралу этих плоских волн
. Ak
40)
Частота со в данной задаче является функцией волнового
числа k. Если эту зависимость пока что не конкретизировать, то
тогда, раскладывая частоту со в ряд Тейлора, будем иметь
со (k) = со (*о) + (k - kQ) со' (?0) + (k~2koJ со" (kQ) + ... A.41)
2
или
со (k) — соо + щ + со2 + ...
Если мы ограничимся членами первого порядка малости, то
тогда будем иметь
A.42)

24 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. 1
причем отброшенный член, который определяет предел точно*
сти нашего разложения, равен
^^ A.43)
Подставляя A.42) в A.40), найдем:
Ф(дг, *) = В*-'<<*-*•*>, A.44)
причем коэффициент В равняется
где
6=-^-(*-в#). A.46)
Отсюда видно (см. A.33)), что амплитуда В будет распростра-»
няться со скоростью
получившей название групповой.
Если иенользовать соотношения A.35), то групповая ско«
рость равна
fl—2JT- A-48)
В частности, для фотонов (т0 = 0) групповая скорость, так
же как и фазовая, равна скорости света в вакууме
u = u = c. A.49)
Для дебройлевских волн мы будем иметь, учитывая A.37),
й—-?jf- —и, A.50)
т. е. групповая скорость совпадает со скоростью движения час-
частицы.
Рассмотрим далее пространственное распределение волно-»
вого пакета. Полагая t = 0, имеем согласно A.46)
ки
8—ТГ*. О-51)
Квадрат амплитуды волнового пакета

$ I) ВВЕДЕНИЕ 23
достигает главного максимума в точке | = 0
В2@)==Л2# A,53)
Относительные максимумы для В2 в остальных точках ? = ± -у-,
db-y- и т. д, будут резко уменьшаться:
причем в точках ? = ±зх, ±2зг и т. д. квадрат амплитуды обра-
обращается в нуль.
Учитывая все это, можно считать, что область локализации
основной части волнового пакета Ах находится в окрестности
главного максимума. Практически эта область не меньше, чем
половина расстояния между первыми нулями функции ?(±зт),
т. е. Д? = я.
Отсюда согласно A.51) имеем
—2—>к, A.54)
т. е. ширина волнового пакета Ах связана с интервалом волно-
волновых чисел Ak соотношением
Д?-Дл:>2я. A.55)
Для наглядной иллюстрации приведем графики дебройлев-
ских волн при / = 0 как для монохроматической волны
._.??
" и
со
Рис. 1.2. Форма монохроматической волны при ^=0. Амплитуда указана штриховой линией,
волн а—сплошной.
(рис. 1.2), так и для группы волн (волновой пакет) (рис. 1.3),
Для простоты положим амплитуду А = 1.
Поскольку для монохроматической волны Д& = 0,-^--=1,
то по оси абсцисс (см. рис. 1.2) мы откладываем координату xt
Фазовая скорость равна «,

26
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
14.
Для группы волн по оси абсцисс мы откладываем ?. Ампли-
Амплитуда —^ \1 = — хJ изображена пунктирной линией, а вол*
новая функция — сплошной. Мы видим, что волновая функция
практически сосредоточена в главном максимуме Д? ~ я. Вол*
с2
новая функция распространяется с фазовой скоростью #== —.
а амплитуда с групповой п = v.
Рис. 1.3. Форма волнового пакета про. t—Q для дебройлевских волн
—г—
Ампли-
Амплитуда
указана штриховой линией» волна—-сплошная.
Аналогичным способом мы можем исследовать временную
локализацию волнового пакета.
Полагая в A.46) * = 0, найдем
day
Асо
t.
A.56)
Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, мы из ра«
венства A.56) получаем
Асо • А/ > 2я.
A.57)
Выражения A.54) и A.57) имеют место для любых волно*
вых процессов (линейных), В частности, выражение A.57) хо*
рошо известно из оптики и связывает ширину спектральной ли-»
нии с длительностью излучения.
Член второго порядка малости (см. A.43)), который мы от«
бросили в разложении A.41), определяет время расплывания
волнового пакета. В самом деле, когда величина wrf становится
порядка 2я, линейное разложение A.42), входящее под знаком
sin |, теряет свой смысл,

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 27
Если волновой пакет образован в момент t = О, то тогда
имеем / = Д/, где величина Д/ равна искомому времени расплы-
расплывания, Из соотношения A.43) находим
т. е.
& Цагг- 0-58)
dk2
Если воспользоваться соотношением A.55), имеем
211
Напишем выражения A.55), A.57) и A.59) для дебройлев-
ских волн пучка электронов.
С помощью соотношений A.35) мы можем их представить
соответственно в виде
, A.60)
А A.61)
dp2
Соотношение A.60) называют обычно соотношением неопре-
неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем уже Др, тем
шире Дл:. В частности, для монохроматической волны Др->0
величина Дк-->оо (см. рис. 1.2), где амплитуда во всем про-
пространстве имеет одно и то же значение, т. е. положение частицы
(одномерный случай) во всем пространстве — равновероятное.
Выражение A.60) легко обобщить и на трехмерный случай.
Тогда оно будет иметь место не только для координаты х, но
и для координат у и z (три соотношения). Более точный вывод
соотношения неопределенностей мы произведем ниже.
Выражение A.61) получило название четвертого соотноше-»
ния неопределенностей.
Исследуем, наконец, время расплывания волнового пакета,
определяемое равенством A.62).
#2 с1
В частном случае фотонов Е = ср. Поэтому -т-г = 0> а вРе-|
мя расплывания волнового пакета обращается в бесконечность
(Д* -> оо), т. е. пакет фактически не расплывается.

2& НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА J4. I
Для дебройлевских волн, т. е. для частиц с массой покоя,
отличной от нуля, получаем из A.35)
dE с2р с2р р_
dp E тс2 т
Если мы ограничимся рассмотрением нерелятивистского случая
(т = то), то будем иметь
й-1, A.63)
dp2 Wo \i.uu/
Тогда для времени расплывания волнового пакета находим вы-
выражение
^ A.64)
В случае макроскопической частицы, масса которой равна,
например, 1 г, а размер Дх ~ 0,1 см, время расплывания чрез-
чрезвычайно велико:
Д/~1(Рс. A.65)
В случае же электрона то ~ 10~27 г, Ах ~ 10~8 см (размеры
атома) волновой пакет расплывается практически мгновенно
Д/~ КГ17 с, A.66)
т. е. для описания электрона в атоме мы должны использовать
волновое уравнение.
Явления, которые подтверждают волновые свойства элект-
электронов, были упомянуты нами выше.
После того как мы рассмотрели качественную картину связи
корпускулярных и волновых свойств, мы перейдем к строгим
уравнениям, описывающим волновые свойства электронов. В по-
последующих параграфах этой главы мы рассмотрим волновое
уравнение Шредингера, с помощью которого можно исследо^
вать движение электронов с нерелятивистскими скоростями.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
а) Уравнение Гамильтона — Якоби. Как известно, в класси-
классической механике движение частицы можно описать, задав ее
функцию Гамильтона Н = H(ryp,t) и решив соответствующие
канонические уравнения при определенных начальных уело*
виях. Если Я не зависит от времени явно, т. е. dH/dt = 0, то
канонические уравнения имеют интеграл — интеграл энергии
Н = 5, B.1)

§ 2] УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 29
где Е — энергия частицы, а функция Гамильтона при наличии
потенциальной энергии V(r) равна
(р —импульс частицы, /Ло — ее масса). Функция Гамильтона
B.2) соответствует нерелятивистскому случаю, когда скорость
v = р/т0 частицы много меньше по величине скорости света
{v < с).
С другой стороны, для описания движения частицы можно
воспользоваться уравнением Гамильтона — Якоби. Для этого
рассматривают действие частицы как функцию конечного поло-
положения частицы г и времени t
t
S(r, t)=[Ldtf B.3)
о
где L = L(r,v,t)— функция Лагранжа частицы (L = vp — Н).
Частные производные определенной таким образом функции
действия S(V, /), как известно, равны
V5 = p, B.4)
if--"- <2-5>
После подстановки в функцию Гамильтона B.2) значения им-
импульса B.4) соотношение B.5) приводит к уравнению
~ Т = 2^7(vs (г • i)f + F' <2-6>
Это дифференциальное уравнение для S носит название урав-
уравнения Гамильтона — Якоби.
В том случае, когда потенциальная энергия V не зависит
от времени, уравнение B.6) имеет интеграл
5(г, O = -fl + S(r). B.7)
Подставляя это выражение для S(r,t) в уравнение B.6), для
определения функции S(r) получаем следующее уравнение:
f V(r)9 B.8)
называемое стационарным уравнением Гамильтона — Якоби.
б) Волновое уравнение для электронов. Для того чтобы
учесть волновые свойства электронов, характеризующиеся деб-
ройлевской длиной волны Я, необходимо произвести обобщение
уравнения Гамильтона —Якоби, записав волновое уравнение

30 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Шредингера. О строгом выводе подобного уравнения не может
быть и речи. Его следует рассматривать как некое постулиро*
ванное уравнение
f&&^ <2-9>
где ty — волновая функция, физический смысл которой будет
выяснен ниже.
Для комплексно-сопряженного уравнения Шредингера
имеем
f? & B.10)
Уравнение Шредингера должно удовлетворять ряду пре-
предельных условий. Прежде всего при h -> 0 оно должно перехо-
переходить в уравнение Гамильтона — Якоби, т. е. волновые свойства
электронов должны исчезать. В справедливости такого пере-
перехода легко убедиться, если вместо волновой функции t|) ввести
функцию S при помощи соотношения
Ъ. B.11)
Учитывая равенства
B:12)
преобразуем уравнение B.9). Поскольку волновая функция ф
в результате данного преобразования должна входить во все
члены лишь множителем, мы ее можем сократить. Тогда полу-»
чаем:
Полагая в последнем уравнении ft->0, находим уравнение Га-
Гамильтона— Якоби B.6), причем функция S в данном предель-
предельном случае представляет собой функцию действия.
Уравнение B.13) совершенно эквивалентно уравнению Шре-
Шредингера. Если бы нам удалось решить точно уравнение B.13),
то мы могли бы найти и волновую функцию.
Второй предельный случай, который мы хотим рассмотреть
к& базе уравнения B.9), — это случай свободного движения.
Когда потенциальная энергия отсутствует (У = 0), уравне-
уравнение B.9) допускает тачное решение,

§2] УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 31
Волновая функция в этом случае равна
ф = Л*-<^) (?*-/"). B Л 4)
Подставляя B.14) в B.9), получим известное классическое
соотношение между энергией и импульсом частицы при отсут*
ствии внешних сил:
? <2Л5>
В случае, если ось х мы направим по импульсу р, то будем
иметь
Принимая во внимание, что движение плоской волны опре-
определяется соотношением
ф = Ae~l w-kx) = Ae~2ni v' ~т\ B.16)
найдем
?=ft@ = ftv, p = ftfe.
Отсюда для одномерного движения получаем известное выра-»
жение для дебройлевской длины волны:
^ BЛ7)
Переход от уравнения Шредингера к уравнению Гамильто-
Гамильтона—Якоби эквивалентен в теории света переходу от волнового
уравнения к уравнению эйконала, т. е. к геометрической оптике.
Заметим, что волновое уравнение для фотонов содержит
вторую производную по времени, в то время как в уравнение
Шредингера входит первая производная по времени. Это свя-»
зано с тем обстоятельством, что уравнение Шредингера описью
вает движение нерелятивистской частицы, в то время как фо*
тоны всегда являются релятивистскими. Если же исходить из
релятивистского соотношения между энергией и импульсом (см.
A.7)), то тогда релятивистское волновое уравнение принимает
вид (свободная частица)
Полагая т0 = 0, мы найдем волновое уравнение для фото*
нов. Уравнение же Шредингера из него получается, если мы
положим ?Рел = Е + гпос2 и предположим, что р «< /пос, тогда
можно отбросить члены второго лорядка малости (—} .
Таким образом, уравнение Шредингера удовлетворяет не«
обходимым предельным условиям. При /1 = 0, т, е. когда мы

32 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
можем пренебречь дебройлевской длиной волны, оно переходит
в уравнение Гамильтона —- Якоби. Свободное же движение
электронов является волновым с длиной волны, определяемой
формулой де Бройля.
Заметим, что, когда потенциальная энергия не зависит от
времени, в уравнении Шредингера мы можем сделать замену
. B.18)
Тогда волновая функция \|)(г) будет удовлетворять стационар*
ному уравнению Шредингера
Е$ (г) = - 2^- V^ (г) + К1> (г), B.19)
которое при й->0 переходит в стационарное уравнение Га-
Гамильтона— Якоби (см. B.8)).
в) Физический смысл волновой функции if>. Для того чтобы
выяснить физический смысл волновой функции tf>, или, точнее,
выяснить вопрос, какую ей можно дать интерпретацию, найдем
плотность заряда р и плотность тока /, которые связаны между
собою уравнением непрерывности*)
-§f- + div/ = O. B.20)
Для этого умножим уравнения Шредингера B.9) и B.10) соот-
соответственно на волновые функции ф* и ф и, вычитая одно равен-
равенство из другого, найдем
В последнем уравнении волновая функция зависит и от г, и
от t. Соотношение B.21) можно записать также в виде
Чт + Щ; div (¦ gfad V - V grad ф) = 0. B.22)
*) Уравнение непрерывности выражает собою закон сохранения заряда.
В самом деле, умножая B.20) на <Рх и интегрируя полученное соотношение
по всему пространству, мы найдем
-fL \ р <Рх — -
div / dH — -
где поверхность S удалена на бесконечность, так как охватывает весь объем.
Предполагая, что на бесконечности токи отсутствуют, мы найдем, что пол-
полный заряд остается величиной постоянной:
\ р йъх = е~ const.

§ 2] УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 33
Умножая B.22) на элемент объема (fix и интегрируя по
всему пространству, имеем:
= 0, B.23)
ИЛИ
jA|) <Px = const. B.24)
Поскольку уравнение Шредингера — линейное, то волновая
функция t|? определена с точностью до постоянного численного
коэффициента. Мы всегда можем выбрать его так, чтобы нор-
нормировочный интеграл B.24) равнялся единице*)
ДМ3л;=1. B.25)
При этом еще остается произвол относительно умножения вол-
волновой функции на постоянный фазовый множитель, по модулю
равный единице:
-ф -> г|/ = eiatyt а|?* -> г|)*' = ?-'аф*,
где а —постоянное действительное число (|е'а|=1). Заменяя
if на ф' = е/а1|) и г|)* на е~1<1$*, мы видим, что равенство B.22)
не нарушается и интеграл B.25) не меняет своего значения.
Сопоставляя уравнение B.22) с B.20) и полагая заряд
электрона равным е, находим для плотности заряда и для плот-
плотности тока, соответственно, выражения
Таким образом, квадратичные комбинации волновых функций Ц>
и ф* B.26) удовлетворяют уравнению непрерывности B.20),
известному еще в классической физике. Однако имеется прин-
принципиальное различие в интерпретации этого уравнения в кван-
квантовой и классической физике.
В классической физике существует возможность проследить
за движением отдельных частиц постольку, поскольку известны
их траектории. Поэтому в уравнении непрерывности типа B.20)
•) Соотношение B.25) имеет место для дискретного спектра, когда вол-
волновая функция на бесконечности обращается в нуль. В случае же непрерыв-
непрерывного спектра на волновую функцию накладываются специфические граничные
условия такие, которые также приводят к соотношению B.25), хотя волно-
волновая функция на бесконечности в нуль и не обращается. Возможна в ^гом слу-
случае также и другая нормировка (более подробно см. § 4),
2 А. А, Соколов и др.

34 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. ?
р понимается как плотность числа частиц, а /—как плотность
потока частиц материи.
В квантовой механике, напротив, импульс и местоположение
частицы в каждый момент времени t одновременно не известны
точно. Соответствующие неточности находятся из соотношения
неопределенностей. Поэтому для волновой функции if>, описью
вающей состояние частицы (или в общем случае — квантовой
системы), принимается вероятностная интерпретация, предло-
предложенная Борном. Согласно Борну произведение \|)*(r)i|)(r) сле-
следует понимать как плотность вероятности нахождения частицы
в точке пространства с радиус-вектором г. Это означает, что
квантовая механика даже для одной частицы является вероят-»
ностной теорией.
Умножая i|)*i[) =|г|)|2 на элемент объема dzxt получим
|4|)|2dsx — вероятность обнаружить частицу в области простран-
пространства объемом dzx вокруг точки г. Равенство B.25) при этом оз-
означает, что частица обязательно находится в какой-то из точек
пространства и поэтому полная вероятность всех значений ее
координат равна единице,
г) Линейные операторы в теории Шредингера. Введем по-
понятие линейных операторов, с помощью которых запишем урав-
уравнение Шредингера.
Линейные операторы при действии на обычные функции f(r)
должны обладать следующими свойствами:
Mtfi + W-M/i + M/» МС/-СМ/, B.27)
где С—постоянное число.
В качестве линейных операторов можно выбрать, например,
операцию дифференцирования*) или умножения на обычные
функции **).
Если сравнить обычное классическое уравнение (см. B.1)
и B.2)) с волновым уравнением Шредингера (см. B.9)), то
для перехода от классического уравнения к волновому необхо-
необходимо энергию Е заменить оператором энергии:
?-*E = --f|_, B.28)
а импульс р — оператором имиульеа:
р->р = Ау B.29)
*) Операторы, связанные с дифференцированием, мы будем обозначать*
прямым шрифтом.
**) Обычные функции мы не будем обозначать прямым шрифтом.

§ 2] УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 35
и подставить эти операторы в классическое уравнение. Тогда
будем иметь
Сами по себе операторы, т. е. в данном случае символы диф-
дифференцирования, лишены какого бы тони было физического со-
содержания. Поэтому, чтобы соотношение B.30) приобрело фи-
физический смысл, необходимо подействовать операторами на вол-
волновую функцию г|).
Тогда вместо B.30) получится уравнение для ф
B.31)
где для оператора функции Гамильтона имеем
^. B.32)
Подставляя в B.31) операторы B.28) и B.29), получим
уравнение Шредингера B.9). Заметим, что замена энергии и
импульса в классических уравнениях их операторными значе-
значениями B.28) и B.29) имеет универсальный характер. Такой
заменой можно получить волновое уравнение при наличии маг-
магнитного поля, а также и в релятивистском случае. Так, напри-
например, волновое уравнение для нерелятивистской частицы с за-
зарядом е при наличии электромагнитного поля, характеризуе-
характеризуемого векторным потенциалом А и скалярным потенциалом Ф,
должно быть получено из уравнения Шредингера в свободном
случае путем замены операторов Е и р следующими операто-
операторами: Е->Е— еФ, р->р-—— Л. В результате находим уравне-
с
ние
[i(^H <2-33>
Если подействовать оператором энергии на монохроматиче-
монохроматическую волну B.18), соответствующую волновой функции сво-
свободного движения, то оказывается, что она удовлетворяет урав-
уравнению на собственные значения
?ф, B.34)
где Е является собственным значением оператора энергии.
Точно так же в случае свободного движения волновая функция
B.18) удовлетворяет уравнению на собственные значения для
оператора импульса
рф = рф, B.35)
где р — собственное значение имлульса.
2*

36 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. Г
Таким образом, полученные выше соотношения фактически
оправдывают выбор B.28) и B.29) для операторов энергии и
импульса.
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
а) Стационарный случай. Стационарное уравнение Шредин-
гера BЛ9), которое имеет место, когда потенциальная энергия
не зависит от времени, запишем в виде
*3r(E-V(r))* = 0. C.1)
В уравнении C.1) потенциальная энергия V(r) задается как
функция координат. Наша задача заключается в том, чтобы
найти энергию Е и волновую функцию ф. На волновую функцию
как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка
типа Штурма — Лиувилля, должны быть наложены следующие
условия. Она должна быть непрерывна, иметь непрерывную про-
производную. Это приводит к тому, что заряд и плотность тока (см.
B.26)) также должны быть непрерывными. Кроме того, волно-
волновая функция должна быть однозначной и конечной во всем про-
пространстве, а также удовлетворять определенным граничным ус-
условиям. В случае дискретного спектра, когда на бесконечности
(г-+оо) V > Е, волновая функция стремится к нулю (ф-^0).
Эти требования приводят к тому, что решение волнового
уравнения C.1) существует лишь при определенных значениях
параметра. В данном случае таким параметром является энер-
энергия Е, а возможные ее значения, получившие название собствен-
собственных, определяют энергетические уровни системы:
Е\у Е>2> *-3» •••> ?*п> ••• W»2)
Соответствующие этим значениям решения волнового уравнения
ti> $2, Ь, •..» ¦«> ... C.3)
называют собственными функциями, а нумерующие их числа п
обычно называют квантовыми числами.
Собственные значения и собственные функции нумеруются
одним квантовым числом для одномерного случая (например,
движение вдоль оси х). В трехмерном случае волновые функ-
функции г|? зависят от трех квантовых чисел. Собственные же значе-
значения энергии Е также могут зависеть от трех квантовых чисел,
хотя бывают случаи, когда энергия зависит от двух квантовых
чисел или даже от одного. В последних случаях мы имеем так
называемую вырожденную систему, когда одному и тому же
уровню энергии соответствует несколько волновых функций. Та-

i 3J РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 37
ким образом, в общем случае под п можно понимать несколько
квантовых чисел.
Согласно C.1) собственные значения и собственные функции
связаны между собою уравнением
^ = 0, C.4)
или
(?„-Н)г|)„ = 0, C.5)
где оператор функции гамильтона Н определяется соотношением
B.32).
Определение собственных значений для энергии Е представ-
представляет собою квантование энергетического спектра, на необходи-
необходимость которого для гармонического осциллятора впервые указал
Планк (см. A.13)). В полуклассической теории Бора квантова-
квантование производилось на основе постулата устойчивых состояний,
в то время как из уравнения Шредингера энергетический спектр
C.2) получается совершенно автоматически.
Определив энергетический спектр, мы можем частоту излу-
излучения найти как результат перехода из состояния п в состоя-
состояние п' (Еп> < Еп). Рассматривая при этом фотон как частицу с
энергией Йо>, мы можем написать закон сохранения энергии:
/ко = Еп —• Еп*9
из которого находим частоту излучения
<* = <*пп>=Еп~Еп' - C.6)
Соотношение C.6) представляет собою второй постулат Бора и
носит название условия частот.
В квантовой механике оно также получается автоматически
на основе квантовой теории излучения (см. ниже). Важно при
этом определить квантовые вероятности переходов или интенсив-
интенсивность излучения, которые зависят от собственных значений вол-
волновых функций $п.
б) Общее решение. Определив собственные значения Еп и
собственные функции фл, мы можем найти частные решения
уравнения Шредингера B.9) и B.10), которые будут иметь со-
соответственно вид*)
% (г, 0 = е~т Е»% (г), *; (г, 0 - ет) Я*УЛ (г). C.7)
*) Вообще говоря, волновая функция ф должна зависеть не только от
пространственных координат г, но и от времени /. В стационарном случае
в волновой функции можно выделить пространственную часть, зависящую
только от г, и временную часть, зависящую от / по экспоненциальному за-
закону. Когда эта зависимость очевидна, мы аргументы вообще будем опускать»

38 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
Поскольку уравнение Шредингера является линейным, для
него имеет место принцип суперпозиции, согласно которому об-<
щее решение равняется сумме или, точнее, линейной комбина-
комбинации частных решений, т. е.
%, C.8)
где Сп и С*п — некоторые произвольные постоянные коэффи-
коэффициенты.
Для того чтобы проверить решение C.8), подставим его в
уравнение Шредингера B.9). Тогда будем иметь
(Е - Н) * - ? Спе-{т Е«х (Еп - Н) *а = 0.
п
При выводе последнего соотношения мы приняли во внимание
стационарное уравнение Шредингера C.4).
Подставляя выражения C.8), C.9) в условие нормировки
B.25) и заменяя в равенстве C.9) индекс п индексом п\ найдем
!. C.10)
Для того чтобы выполнялось соотношение C.10) для невырож-
невырожденной системы, т. е. для того случая, когда каждому собствен-
собственному значению Еп соответствует лишь одна-единственная вол-
волновая функция -фп, собственные волновые функции должны удо-
удовлетворять условию ортогональности, т. е.
= Q при п'фп. C.11)
В противном случае левая часть C.10) будет зависеть от вре-
времени, и тогда для произвольных значений постоянных коэффи-
коэффициентов Сп это равенство не может иметь места.
Далее, не нарушая общности рассуждений, мы можем при
п = п\ когда левая часть C.10) не зависит от времени, выбрать
волновые функции таким образом, чтобы они были нормирова-
нормированы на единицу:
51. C.12)
Вводя дельта-символ Кронекера — Вейерштрасса:
при п — п',
при »*«' <ЗЛЗ>

§ 3] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 39
условия C.11) и C.12) можно объединить в одно, получившее
название условия ортонормированности:
>„Л = б„„,. C.14)
При наличии же вырождения, когда одному и тому же зна-
значению энергии Еп соответствует несколько волновых функций,
например, две: г|/ и я|)^, они могут оказаться и не ортогональ-
ортогональными друг к другу:
Тогда из них всегда можно составить такие линейные комбина-
комбинации (в данном случае две), которые будут ортогональными. На-
Например, в случае вещественного В такими комбинациями яв-
являются следующие:
Поэтому при наличии вырождения мы можем всегда выбрать
волновые функции таким образом, чтобы условие ортонормиро-
ортонормированности имело вид
причем в нашем простейшем случае индеке m = 1, 2.
Если воспользоваться условием ортонормированности C.14),
то выражение C.10) мы можем представить в виде
1,СпСп=1. C.16)
п
Отсюда мы можем дать следующую интерпретацию коэффици-
коэффициентов Сп: квадрат модуля СпСп = \Сп? должен характеризовать
вероятность нахождения частицы в состоянии п. Например,
¦когда частица с полной достоверностью находится в квантовом
состоянии я, мы можем положить Сп = 1, а все остальные коэф-
коэффициенты СП' {п'Фп) равны нулю {С'п = 0). Тогда для волно-
волновой функции находим частное решение C.7). В то же время,
согласно Борну (см. § 2 пункт б), величину
следует трактовать как плотность вероятности распределения по
пространству электрона, находящегося в квантовом состоя-
состоянии ф„.

40 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА {Ч, 1
в) Квантовые ансамбли. В квантовой механике можно вве-
ввести понятие квантовых ансамблей, объединяющих совокупность
одинаковых невзаимодействующих друг с другом частиц (на-
(например, электронов или фотонов), описываемых одной и той же
волновой функцией.
В самом деле, если электроны обладают отличной от нуля
вероятностью нахождения в двух квантовых состояниях П\ и яг,
то тогда общая волновая функция должна представлять собою
линейную комбинацию волновых функций этих состояний, кото-
которая согласно C.8) равна
* - Спе'т) Е*\ + СЩГ«» в*\. C.18)
Выражение C.18) являете^ следствием принципа суперпози*
ции, который должен иметь место для уравнения Шредингера
благодаря тому, что оно является линейным.
При определении плотности вероятности распределения элек-
электрона по пространству находим
Ансамбль, описываемый волновыми функциями, которые
можно складывать, как в C.18), называется чистым (кванто-
(квантовым) ансамблем. В этом случае смешанные члены, пропорцио-
пропорциональные произведению С*ПгСП] и С^Сл,, определяют статистиче-
статистическую связь между невзаимодействующими электронами, находя-
находящимися в различных квантовых состояниях. Наличие этой связи
приводит к волновым явлениям интерференции и дифракции
дебройлевских волн. Чистые ансамбли, связанные с принципом
суперпозиции, могут встречаться в любом волновом процессе.
В волновой оптике они образуют так называемый когерентный
свет.
Наряду с чистыми ансамблями существуют смешанные ан-
ансамбли. Они, как правило, встречаются в классической теории
частиц, когда складываются не волновые функции, а вероятно-
вероятности, т. е.
|Ср-|С!р + |С2р. C.20)
В этом случае никакой статистической связи между различными
состояниями не возникает, и поэтому должны отсутствовать ти-
типичные волновые процессы, такие, как интерференция и дифрак-
дифракция.
В волновых процессах смешанный ансамбль возникает при
исчезновении членов, пропорциональных С\С\ и С\С2. Это воз-
возможно, когда фаза между различными квантовыми состояниями

§ 3} РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИИГЕРА 41
быстро изменяется со временем. В волновой оптике подобная
ситуация имеет место для так называемого некогерентного све-
света, возникающего от двух (или нескольких) независимых источ-
источников.
г) О статистической интерпретации волновой функции. Итак,
волновые свойства электронов и фотонов связаны со статистиче-
статистической интерпретацией волновой функции.
При наличии многих электронов статистическая интерпрета-
интерпретация волновой функции не вызывает каких-либо трудностей.
В этом случае величину /=|'ф|2 следует рассматривать как
функцию распределения. Дифракционную картину мы можем ин-
интерпретировать следующим образом: на светлые пятна попадает
наибольшее число электронов, т. е. функция / достигает макси-
максимума: Вероятность же движения электронов по направлению
темных пятен, наоборот, будет наименьшей.
Большие затруднения в статистической интерпретации волно-
волновой функции возникли при описании движения одного электро-
электрона. В самом деле, квантовая механика не может точно указать,
по какому направлению он начинает двигаться после прохожде-
прохождения дифракционной щели. Неправильно было бы говорить, что
электрон представляет собою и частицу и волну. Если бы один
электрон представлял собою волну, то тогда одна его часть по-
пошла бы по одному направлению, а другая часть — по другому.
На самом же деле электрон представляет собою чрезвычайно
малую частицу, размеры которой еще не определены. Экспери-
Эксперименты по изучению столкновения электронов очень большой
энергии, например, с позитронами говорят лишь о том, что элек-
электронный радиус меньше чем 10~16 см *). Поэтому при прохожде-
прохождении одного электрона сквозь дифракционную щель на экране
мы будем наблюдать лишь одну точку. Однако, если начать по-
последовательно пропускать отдельные электроны, то одиночные
точки будут постепенно сливаться, образуя в совокупности на
экране дифракционную картину, совпадающую с той, которая
возникает от одновременного пропускания многих электронов.
Это напоминает до некоторой степени стрельбу по мишени, ког-
когда попадание одной пули дает как будто бы случайную отметку.
Однако при большом числе выстрелов можно установить неко-
некоторый закон попадания. Отличие заключается в том, что пули
представляют собою смешанный (классический) ансамбль, и по-
поэтому возникает лишь один максимум, лежащий в центре
*) В связи с этим заметим, что при анализе прохождения быстрых элек-
электронов с энергией, более чем в тысячу раз превышающей энергию покоя,
сквозь протоны и нейтроны были определены размеры последних, которые
оказались порядка 10~13 см. Найдено распределение зарядов и магнитных
моментов в этих частицах.

42 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
(гауссова кривая). Совокупность электронов представляет со-
собою чистый (квантовый) ансамбль, и поэтому вместо гауссовой
кривой мы получаем дифракционную картину, т. е. наряду с глав*
ным максимумом, лежащим в центре, мы будем иметь ряд отно-
относительных максимумов, расстояние между которыми зависит от
размеров дифракционной щели и от дебройлевской длины вол-
волны. Такую же картину мы получим при последовательном про-
пропускании отдельных фотонов.
Таким образом, приходится пересмотреть вопрос о причин-
причинности в теории движения точечных частиц. Если по классиче-
классической механике при известных силах и начальных условиях мы
можем точно и однозначно предсказать траекторию движения
частицы и ее скорость, то по квантовой механике мы можем
предсказать лишь вероятность того, по какому направлению и с
какой скоростью или импульсом точечный электрон будет дви-
двигаться, причем точность предсказания ограничена соотношением
неопределенностей (см. A.60))
. C.21)
Вокруг этого вывода разгорелись большие методологические
дискуссии. Одна из попыток объяснить некоторую «свободу» по-
поведения основана на введении так называемого принципа до-
дополнительности (Бор, Гейзенберг).
Согласно этому принципу соотношение неопределенностей
возникает благодаря тому, что воздействие наблюдателя на объ-
объект нельзя свести к нулю. Для иллюстрации принципа допол-
дополнительности можно привести следующий пример.
Допустим, что мы хотим определить положение электрона с
помощью ультрамикроскопа. Если электрон будет двигаться на
таком расстоянии от объектива, что угол между падающим и
рассеянным пучками света с длиной волны К окажется рав-
равным ф, то согласно законам оптики координату электрона х в
некотором направлении, параллельном плоскости объектива,
можно измерить с точностью до величины
Однако в силу того, что фотоны обладают импульсом Р—у»
который частично передается электрону (эффект Комптона),
составляющая импульса электрона вдоль оси х может быть
определена с точностью до величины порядка
Лр* ~ Т sin ф' C'23)
Произведение Ах и Арх приводит к соотношению неопределен-
неопределенностей C.21),

§4]
ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
43
Тем не менее объяснение возникновения вероятностного ха-
характера теории движения электрона с помощью введения не-
неконтролируемого воздействия наблюдателя не является удовле-
удовлетворительным, так как с его помощью нельзя понять все выводы
квантовой механики. Вероятностный характер квантовой теории
(т. е. отсутствие однозначной предсказуемости результатов из-
измерений) свидетельствует лишь об ограниченности применимо-
применимости лапласовского детерминизма и носит, бесспорно, объектив-
объективный характер. Таким образом, квантовая механика независимо
от приборов и способов наблюдения должна описывать объек-
объективные закономерности микромира.
§ 4. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
а) Потенциальная яма. Рассмотрим одномерные задачи
(движение вдоль оси х) и выберем простейшую зависимость
потенциальной энергии от расстояния» Для так называемой пря-
прямоугольной потенциальной ямы эта зависимость определяется
выражением (см. рис. 4.1)
q при — оо < х < О
0 при ()<*</
Ко при / < х < оо
(область /),
(область //),
(область ///);
D.1)
Для дискретного спектра энергия Е должна быть меньше
потенциальной энергии на бесконечности, т. е. должно выпол-
выполняться соотношение Е < Vo. Тог-
Тогда стационарное уравнение Шре-
дингера (см. C.1)) для области
// должно иметь вид Z
' = 0,
где
dxl
А = -
А
D.2)
D.3)
и
Ш
О
Рис. 4.1. Движение части ы в потен-
потенциальной яме.
Общее решение уравнения D.2) будет (потенциальная яма)
¦ = А2 sin (kx + 6), D.4)
где Лг и б — произвольные постоянные.
В областях / и /// уравнение Шредингера может быть пред-
представлено в форме
0, D.5)

44
нереЛ#Ти§истская квантовая механика
п*. i
где
V2mQ (Ко — Е)
h
\р\
D.6)
Решение уравнения D.5) (потенциальный барьер Vo > Е)
D.7)
(^4 из и В\, з — произвольные постоянные) содержит две части:
экспоненциально убывающую и экспоненциально возрастающую
(см. рис. 4.2).
Собственные значения для энергии электрона находятся из
граничных условий, согласно которым экспоненциально возра-
возрастающее решение должно обращаться в нуль. Для этого мы
должны положить в первой
области А{ = А и В{ — О, в
третьей области Аъ = О,
В Вш Тогда будем
Е
Экспоненциальна
вырастающее решение
E>V
V
Vcco)
Вг = Ве*К
иметь:
но убывающее
решение
при х < О,
D.8)
Рис. 4.2. Волновая функция при некотором зна*
чении Е. За ось абсцисс для волновой функции
взят энергетический уровень.
D.9)
I/ (/ *А/ *РЗ ' JLJ0
при х > I.
«Сшивая» волновые функ«
ции ф! и фг в точке х = О,
а также «фг и -фз в точке л: = / (под «сшиванием» мы будем по-
понимать приравнивание волновых функций и их производных
в заданных точках), получим
для точки # = 0
т. е, находим
Точно так же получим
A2kcos6 = xA,
k
в точке
Равенства D.11) и D.12) могут быть приведены к виду
sine = -?- и з1п(Ы + а)--?,
D.10)
D.11)
D.12)
D.13)
где

§ 41 ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 45
Исключая из уравнения D.13) величину б, находим для опре-
определения собственных значений уравнение
A>/ = mt-2arcsin—, D.14)
щ
где п = 1, 2, 3, ... — целые положительные числа. Поскольку
k ПГ
величина k>0 (см. D.3)), а аргумент —=Л/тг<1> мы
Щ V у о
всегда можем (учитывая, что п — целое число) считать arcsin —
л °
лежащим в пределах от 0 до-у. В общем случае уравнение
D.14) можно решить графически.
Рассмотрим сначала более подробно случай Vo »?*), на-
например, когда потенциальная яма ограничена бесконечно высо-
кими потенциальными стенками I — = 0). Тогда из уравнения
D.14) находим
ft «-5г. D.15)
Отсюда для энергии Еп (собственные значения) и для соответ-
соответствующей волновой функции (собственные функции) получаем
<bn = Ansmnn-j. D.17)
В этом случае фаза 6 согласно D,13) обращается в нуль, а вы-
выражение для волновой функции D.17) имеет место внутри по-
потенциальной ямы 0 ^ х ^ /¦ В потенциальном барьере ярл обра-
обращается в нуль (и-> оо). Коэффициент Ап может быть найден из
условия нормировки
/
J rfjc = y^=l. D.18)
о
Отсюда находим собственные функции
injwT* DЛ9)
которые удовлетворяют и условию ортонормированности
n^ndx" ° ПРИ п'Фп. D.2С)
*) Случай Vo < Еу когда спектр энергии будет непрерывным, мы рассмо-
рассмотрим на более простом примере.

46
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
14. I
В этом нетрудно убедиться, подставляя в D.20) вместо ijy и tyn
их значения из D.19).
Выпишем некоторые конкретные выражения для собствен-
собственных значений Еп и собственных функций я])„, соответствующие
наименьшим квантовым числам п = 1, 2, 3:
Д/
Т" sin"T"
у sin
при n==z
при п===
при л =
Эти решения изображены на рис. 4.3. Они очень похожи на из-
известные решения для колебаний струны, которые образуют стоя-
стоячие волны. Случай п = 1
соответствует основному
тону, случай п = 2 —
первой гармонике и т.д.
Наконец, найдем плот-
плотность заряда и плотность
тока при движении час-
частиц в потенциальной яме.
Прежде всего заме-
заметим, что для веществен-
вещественных волновых функций
Рис. 4.3. Частица в потенциальной яме с бесконечно СОГЛаСНО B.26) ПЛОТНОСТЬ
высокими стенками. тока всегда равняется
нулю (/* = ())• Этот ре-
результат вполне естествен, так как колебания представляют со-
собою стоячие волны, которые не могут образовывать потоки
частиц.
Для плотности заряда по той же формуле находим значения
D.22)
которые представляют собою пучности Гр =-/¦) и узлы (р=0)
колебаний. Например, при п — 1 пучность будет находиться в
точкех = -g-, т.е. в середине. Вообще же квантовое число п бу-
будет определять число пучноетей.
б) Непрерывный спектр. Непрерывный спектр мы рассмо-
рассмотрим на примере свободного движения частиц. В простейшем
одномерном случае, когда на всем интервале изменения коорди-

§ 4] ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 47
наты х (—оо < х < оо) потенциальная энергия обращается в
нуль (V = 0), уравнение Шредингера принимает вид
я^ + ^ = а, D.23)
где
*=¦?-• D-24)
Оно имеет решение
е-'Ч D.25)
Отсюда видно, что первое решение Aerl№-kx) описывает движе-
движение волны в одном направлении оси х, а второе Be-*®****)— в
противоположном. Волновое число k может принимать как по-
положительное, так и отрицательное значение. Тогда одно первое
решение может описать оба случая.
Ограничиваясь одной бегущей волной, движущейся вдоль
оси х или против нее, для стационарной части волновой функции
находим
D.26)
Нетрудно убедиться, что интеграл
расходится, и поэтому стандартный способ нормировки (см.
B.25)) требует пересмотра.
Существует два способа нормировки этих волновых функций:
метод Борна и метод использования дельта-функции Дирака.
в) Метод Борна. В методе Борна вместо граничных условий
на волновую функцию накладывается условие периодичности.
Так, например, в одномерном случае, вводя длину периодич-
периодичности Борна L (которую в конечном случае можно выбрать
сколь угодно большой (L->*oo), поскольку она тем или иным
способом исключается иа конечного результата), мы должны на
волновую функцию наложить условие периодичности
¦ (*) = ¦(* + !), D.27)
или
Отсюда находим
&kL=\, D.28)
т. е.
k

48 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Квантовое число п может принимать как положительные, так и
отрицательные значения, включая нуль, т. е.
л = 0, ±1, ±2, ±3, ... D.30)
Тогда для спектра энергии (свободное движение) получаем
согласно D.24):
Если предположить, что частица находится на отрезке
2~^л;^-о-, то из Условия нормировки
J o|>V3*=l D.32)
-L/2
находим
Поэтому нормированная функция равна
D-33)
l 2Ш х.
Легко показать, что волновые функции являются не только нор-
нормированными, но и удовлетворяют условию ортонормированно-
сти, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного инте-
интегрирования
1 f i~-y-(n-n')x sin я (п — п') «v /л олх
) е l ^в1(Ьг«»*'. D-34)
) )
-L/2 -L/2
Таким образом, вводя искусственным путем длину периодично-
периодичности, мы делаем непрерывный спектр дискретным. Однако, если
в конечном результате длину L, не имеющую особого физиче-
физического смысла, стремить к бесконечности, то дискретный спектр
становится непрерывным. В самом деле, из равенства D.31) на-
находим для разности ДЯ между двумя соседними уровнями:
АЕА
Учитывая, что Дя=1, а р = тоу = —j—, находим
D.36)
Отсюда видно, что, полагая L-+- оо, мы найдем, что Д?->0, т. е,
спектр энергии будет непрерывным.

§ 4] ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 49
Обобщим указанную задачу на трехмерный случай движения
свободной частицы.
Уравнение Шредингера в этом случае принимает вид:
т + тт + тт + k ) Ф = 0, D.37)
где
#2 2/7Jo ri /Л ОО\
Накладывая на волновую функцию условие периодичности
для всех трех координат
Ф Uf Уэ z) = -ф (jc + L, ^, z),
•Ф U, у, г) = -ф (х, у + Ь, г), D.39)
Ф (а:, у, z) = -ф (д:, #, г + ^),
находим, что общее решение равно
•ф (г) = —L- е< (*/•) t D.40)
где
Величины m, пг и п3 могут принимать любые целые как положи-
положительные, так и отрицательные значения, включая нуль. Получен-
Полученные решения, так же как и в одномерном случае, удовлетворяют
условию ортонормированности (d3x = dx dy dz)
(Px =6 ,6 ,6 „ D.42)
z nxn\ n2n^ np'J v 7
а волновая функция, зависящая не только от координат, но и от
времени, будет равна
q = -L-e-wh)(Et-Pr)t D.43)
где
Р = йй' ? = ^ = SS-K + «i + «!). D-44)
г) Дельта-функция Дирака, Прежде чем излагать нормиров-
нормировку на дельта-функцию, необходимо остановиться на некоторых
ее основных свойствах. Она представляет собою обобщение
дельта-символа Кронекера — Вейерштрасса на непрерывные
функции.
Допустим, мы раскладываем некоторую функцию по полной
системе ортонормированных функций
M, D.45)

50 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
где система функций $н{х) подчиняется условию ортонормиро-
ванностш
\n,(x)%(x)dx = 6nn,, D.46)
г. е. представляет собою орты в бесконечномерном, так называе-
называемом гильбертовом, пространстве. Этому условию, в частности,
удовлетворяют собственные функции уравнения Шредингера.
Умножая D.45) на -ф*, (х) и интегрируя по всему простран-
пространству, мы найдем обобщенные коэффициенты Фурье fnz
D.47)
Подставляя D.47) в D,45), имеем*
(хО *я (х). D.48)
п
В равенстве D.48) вначале необходимо взять интеграл по dx\
а затем вычислить сумму по п, поскольку сумма
D-49)
всегда явля&гея расходящейся. Однако, если мы введем вешто-
рый «обрезающий» множитель, например, er^M (а ^ 0) та-
таким образом, чтобы сумма
аа D.50)
п
стала сходящейся, то равенство D.48) мы можем представить в
виде:
^?е-«^^х')%(х). D.51)
п.
Величина
I e-« I«I *; (дсО % (х) = Ь(хг- х, а) D.52)
становится размазанной. Можно ввести и другие множители, ко-
которые делают сумму D.52) сходящейся. Поскольку в конечном
результате (т. е, после интегрирования) мы полагаем множи-
множитель а равным нулю, то способ введения этого множителя мо-
может быть самым разнообразным.
Величина D.52) носит название размазанной дельта-функ-
дельта-функции. Саму же дельта-функцию можно ввести следующим об-
образом:

§ 4] ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 51
Рассмотрим конкретное выражение б-функции Дирака в слу-
случае свободного движения. В этом случае решения для ортов в
гильбертовом пространстве принимают вид (см. D.33))
. D.54)
Из равенства D.54) следует условие ортонормированности
± \ .Т'™ *-?$[=$.. D.55)
-L/2
Согласно D.53) дельта-функция Дирака в этом случае равна
е^~1(Х~х'\ D.56)
Введем далее новую переменную & = —^- и учтем, что
Ак = (*!) д„ «*., D.57)
поскольку An = 1.
Если длину периодичности L стремить к бесконечности
?0), то сумма D.56) перейдет в интеграл
- х) = ~ \dk е1к 1Х~Х'> = i- J dk cos Jfe (/ - x), D.58)
— сю 0
а для фушщии /(х) вместо D.45) будем яметь
J dk 5 dV / UO cos k (xf —*). D.59)
0
В равенстве D.59) порядок интегрирования является весьма
существенным: вначале по х\ затем по k.
Если же мы хотим изменить порядок интегрирования, то мы
должны ввести размазанную дельта-функцию (а > 0):
— л;, ot) = -~- J dke~*k cos k (x' - х). D.60)
о
Тогда равенство D.59) принимает вид
оо
/ D= lim [ dxr f (*') J- [ dk e~ak cos k (xf - x). D.61)

62 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА {Ч С
Если вычислить интеграл D.60), то размазанная дельта-
функция становится равной (см. рис. 4.4)
- Ху а) — ~- а2 + (л/-,)а • D.62)
В самом деле,
когда x = xf
6(*'~хУ а) = -~--~-->оо при а->0, D.63)
когда хфх'
6 (х' — х, а) = •— , , ^ хJ = 0 при а -* О,
т. е. дельта-функция обладает следующим свойством:
w-x)-{*при *;::*' (^
' ( О при хфх. х
В случае интеграла Фурье дельта-функция равна
к' — х) — -—- \ rf* eiA с*'-* — ^- \ d^ cos k (x' — Jt), D.65)
— оо О
т.е. имеет ту же форму записи D.58), что и в результате пре-
предельного перехода для ряда Фурье D.56).
Поскольку окончательный результат не зависит от способа
размазывания, Дирак предложил равенство D.59) записать в
виде
/ (х) - 4- S dx' f (x') J dk cos k (x' - x), D.66)
0
понимая его в смысле предельного перехода (см. D.61)).
Учитывая равенства D.65) и D.66) при наличии под инте-
интегралом дельта-функции, будем иметь
J б (х' - х) f (*0 dx' — / (х). D.67)
Точно так же, принимая выражение D.64), имеем {Ь > а)
ь а
[f(x'N{Xr-x)dx' = ~ [f(x'N(x'-x)dx'=*
S ь
f{x) при b>x>a,
О при Oft или х<а, D#68)
т. е. для того, чтобы получить отличный от нуля результат, точ-
точка х должна лежать в области интегрирования а < х < Ъ.
Несмотря на то, что дельта-функция обладает необычными
для функции свойствами (см, D.64)), с ней мы можем обра-

•fl
ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
63
щаться как с обычной функцией, т. е. взять от нее производную
или рассматривать ее как производную от разрывной функции.
Для этого проще всего взять размазанную дельта-функцию
Рис. 4.4. Размазанная дельта-функция.
А.
Рис. 4.5. Производная от дельта-функции (размазанной).
D.62), а в окончательном результате параметр размазывания а
стремить к нулю. Тогда производная от размазанной дельта-
функции будет равна
дд(х'-х,а) __ 2а (*'- х)
дх' — л (а2 + (*' - *JJ *
D.69)
Производная от размазанной дельта-функции изображена на
рис. 4.5. Интеграл при наличии производной от дельта-функции

54
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ГЧ. t
равен
$6'(*'-
D.70)
Точно так же легко показать, что дельта-функция представляет
собою производную от разрывной функции. Для этого введем
размазанную функцию
g-«* sin * У - х)
dk - -L arctg ^-, D.71)
предел которой при сс->0 становится разрывным:
\ °
1 V,
¦ - ¦ U/
при
при
при
х'<
х' =
х'>
X,
х,
X.
Размазанная у-функция изображена на рис. 4.6 — сплошная ли-
линия, а ее предельное значение изображено пунктирной линией,
Взяв производную от
у(х' — x)t мы получим дель*
та-функцию:
с
= ± J cos k (xf ~x)dk. D.73)
Дельта-функция позво-
позволяет описать производную
от разрывной функции.
В самом деле, пусть функ-
функция f(x) равна fi(x) при
х < Хо и равна Ы*) при
она претерпевает разрыв, равный
-а. D.74)
Рис. 4.6. Функция (в пределе разрывная), произ-
производная от которой дает дельта функцию.
х > xq, в точке ж€ х
Указанную функцию мы можем представить в виде
-^)). D.75)

I 41 ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 55
Тогда производная от этой функции будет равна
/[(*) при х<х0,
{ f2ix
/' (х) = аЬ (х ~ хо) + \ ,,, , ^ D.76)
1 ' { fix) ПРИ *>*0-
Напишем некоторые полезные формулы, описывающие свойства
дельта-функции:
т. е. дельта-функция является четной функцией;
Ь'(х) = ~Ъ'(-х), D.77)
т. е. производная от дельта-функции является нечетной функ-
функцией;
t (ах) = ¦*$-; D.78)
' DJ9)
где я* — простые корни уравнения ф(л;) = О, лежащие в рас-
рассматриваемом интервале. Для вывода последнего соотношения
необходимо учесть, что дельта-функция имеет особую точку при
ф(х)= 0. Поэтому функцию ц>{х) мы можем представить в виде
(в окрестности точки xs)
Ф (х) = (х — xs) Ф' (х8),
а затем должны воспользоваться соотношением D.78).
В частности, из формулы D.79) следует, что
6(х-а)= ). D.80)
В равенстве D.80), не нарушая общности, мы всегда можем
положить а > 0.
д) Нормировка непрерывного спектра на дельта-функцию.
Ограничимся рассмотрением свободного движения, когда вол-
волновая функция в одномерном случае может быть представлена
в виде (см. D.26))
D.81)

56 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14 «
Нормируя D.81) на дельта-функцию, можно найти коэффи-
коэффициент А из соотношения
V. *)¦(?. *)<** = л2 ^
= Л2Й2я -^ J е' <•»-*'> t d| = б (р' - р), D.82)
где | = ?.
Учитывая, что
^Lj^(P-P)ld| = 6(p'-.p), D.83)
мы находим значение для нормированного коэффициента А
т.е. нормированное на дельта-функцию решение D.81) прини-
принимает вид
1 D.85)
причем
J , jc) dx = 6 (/ - р). D.86)
Сравним нормировку дискретного спектра на дельта-символ
Кронекера — Вейерштрасса:
>(x)%(x)dx = 6nn, D.87)
с нормировкой непрерывного спектра на дельта-функцию (см.
D.86)). Оба условия нормировки могут быть представлены в
виде:
для дискретного спектра
1 при
О при п<пх или п>п&
для непрерывного спектра
\ 6 (р' — р) dp' = < 1 ' D.88а)
Р\ г г
Заметим, что в последнем равенстве случаи р — р\ или
Р = р2 требуют особого исследования и зависят от выбора раз-
размазывания дельта-функции,

§ 4) ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 67
В трехмерном случае, когда движение совершается по напра-
направлению импульса р, вместо волновой функции D.85) мы должны
написать
, г) = —1—тг е«Ю «ГК D.89)
Нормировка в этом случае равна *)
J tf (р', г) ф (р, г) dh = б (р' - р), D.90)
где трехмерная дельта-функция
D.91)
е) Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Как
известно, уравнение Пуассона имеет вид
У2ф(г)=:-4яр(г). D.92)
С помощью трехмерной дельта-функции легко описать плот-
плотность точечного заряда
i5 D.93)
где полный заряд мы положим равным 1 **).
Подставляя D.93) в D.92), для определения потенциала,
получаем уравнение
- J-5- J eibrd3k. D.94)
Решение уравнения D.94) имеет вид
*) В дальнейшем интегралы, стоящие без пределов, следует брать от —оо
до +оо, а число интегралов определяется числом дифференциалов, т, е.
;ss* Sdx Sdy \dz%
— OO —OO —CO
••) В самом деле, плотность б (г) во всех точках (г # 0) обращается в
нуль, в особой же точке (г = 0) — в бесконечность, причем, интегрируя по
всему пространству, мы найдем, что общий заряд равняется единице:

58 НБРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. PI. I
Для того чтобы убедиться в этом, необходимо подействовать
оператором Лапласа V2 на функцию D.95). Тогда, принимая во
внимание равенство
yZik — k2eikr
докажем, что решение D.95) удовлетворяет уравнению D.94).
Для того чтобы раскрыть интеграл D.95), введем сфериче-
сферические координаты вектора ft. Тогда
=**</* sin q
Направляя ось kz = ks по вектору г, представим уравнение
D.95) в виде
оо я 2я
ф = J-J. J dk ^ е*г cos e sin 9 dQ ^ Жр. D.96)
<4.9&) ло углам 0 ш ф, лайдем
sin
D.97)
О
Принимая во внимание, что
sm-fer
J
о
найдем дщя иск©маго лотенцидла Ф значение
Ф
Отсюда легко показать, что
. D.98)
{4.99)
Последнее выражение леаднокрзтно используем в дальнейшем,
например, при вычислении контактных сил.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
а) Квазиклассическое приближение. Как было показано в
§ 2, уравнение Шредингера для волновой функции
^Ae«Ms 'E.1)
эквивалентно уравн-ению для функции 5 (см. также B.13))
^ ^ O. E.2)

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 5$
Если сравнить это уравнение с классическим уравнением
Гамильтона — Якоби для функции действия S
JL-(gradSJ+V-? = 0, E.3)
то видно, что последнее слагаемое в квантовом уравнении E.2),
пропорциональное постоянной Планка ft, даст небольшие по-
поправки к классическому уравнению при соблюдении условия
(gradSJ>/z|V25i. E.4)
Приближение, определяемое неравенством E.4), носит название
квазиклассического.
Принимая во внимание, что р = grad S, последнее условие
можно записать в виде
В частности, для одномерного случая имеем:
Таким образом, квазиклассическое приближение оказывается
достаточно точным в том случае, когда дебройлевская длина
волны — величина постоянная или слабо изменяющаяся. Уточ-
Уточним последний вывод на конкретном примере.
Принимая во внимание, что
Ю, E.6)
условие E.5) мы можем записать в виде
р
dp 1 I ntpFh
EJ)
где F==: — 'fa—классическая сила, действующая на частицу.
Отсюда, в частности, следует, что квазиклассическое при-
приближение становится неприменимым при малых значениях им-
импульса частицы и в особенности в тех точках, где по классиче-
классической теории частица должна остановиться (Е = V, р = 0)<
Такое положение имеет место, например, в случае, когда части-
частица, находясь в потенциальной яме, в результате отражения от
потенциального барьера начинает возвращаться обратно (точка
поворота). Все это может найти простое объяснение, если
учесть, что при р->0 дебройлевская длинат волны стремится к
бесконечности, и поэтому волновые свойства частицы будут про-
проявляться особенно сильно.

60
НЕРЕЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч Г
б) Приближенный метод Вентцеля —Крамерса —Бриллюэ-
на (метод В КБ). Как было отмечено^ уравнение E.2) совершен-
совершенно эквивалентно уравнению Шредингера. Поэтому можно попы-
</сТочСЯ в ОСНОВУ волновой теории положить именно уравнение
(о.2), рассматривая член, пропорциональный ft, как некую до-
дополнительную квантовую потенциальную энергию
2/По W*°/
в уравнении Гамильтона — Якоби.
Однако в общем случае решить нелинейное уравнение E.2)
значительно сложнее, чем линейное уравнение Шредингера, и
поэтому многочисленные попытки повести развитие квантовой
теории по пути точного решения уравнения E.2) успеха не
имели. Тем не менее Вентцелю, Крамерсу и Бриллюэну удалось,
ограничиваясь членами порядка ft, найти приближенное решение
уравнения E.2), которое оказалось пригодным для исследова-
исследования ряда задач квантовой механики. Этот метод решения, при-
применимый лишь к одномер-
одномерным задачам, получил на-
название приближенного
метода ВКБ.
Будем считать, что по-
потенциальная энергия яв-
является гладкой функцией
х (рис. 5Л). Пусть части-
частицы обладают энергией ?,
тогда весь промежуток
изменения х мы можем
разделить на две обла-
/ ^ ч г. ^ сти- в первой области /
(х < хо) энергия Е больше потенциальной энергии: Е > V а во
второй области // (х >*<>), наоборот, Е < V. Очевидно, ч'то на
границе этих двух областей (х = х0) имеем ?== 1/(х0). Исход-
Исходное уравнение E.2) в одномерном случае принимает вид
S'2 - tAS" = 2m0 (Б - V) - р\ E.9)
Сначала найдем решение этого уравнения для первой обла-
области (t > К), когда величина р2 > 0 играет роль квадрата клас^
сического импульса. Решение ищем в виде ряда
S = SQ + Si + S2+ ..., E.10)
где величина So не зависит от ft, Si пропорциональна ft, S2 про-
пропорциональна ft2 и т. д. Подставляя ряд E.10) в уравнение E 9)
и пренебрегая величинами, пропорциональными ft2 и выше
Рис. 5.1. К решению волнового уравнения по ме
тоду ВКВ

§ б) ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 61
получаем
S'q + 2S'oS[ - ihS'{ = р2. E Л1)
Приравнивая друг другу члены в левой и правой частях, не
зависящие от ft, а также пропорциональные ft (при этом необхо-
необходимо учитывать, что величина S\ пропорциональна ft), находим
? E Л 2)
Отсюда следует, что
So = ± $ р dx, Sx = ih In Vp"* E-13)
X
Поэтому, ограничиваясь членами порядка Й, имеем:
EЛ4)
Подставляя EЛ4) в EЛ), находим следующее выражение
для волновой функции в области / (х < xq) :
%<х> J= \а sin (z + У) + b G0S B + Yr)]> E Л б)
где
X
Точно так же для области // (х > *о), в которой р2 < 0, полу-
получаем
<ф /v/ — * (Л^Н*! 4- fielzl), EЛ 6)
где*)
E.17)
Постоянные о, М и S и фазы v и v' не являются произволь-
произвольными, поскольку, как будет видно из дальнейшего изложения,
они должны быть связаны между собой определенными соотно-
соотношениями, вытекающими из условия сшивания решений вблизи
точки х = Хо перехода из области / в область //.
*) В случае, если потенциальный барьер будет слева от особой точки, мы
должны при определении г и \z\ поменять местами пределы интегрирования
так, чтобы нижний предел был меньше верхнего. Таким образом, величины г
и \г\ всегда будут положительными.

С2 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ К'ВАНТО&АЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Волновые функции E.15) и E.16) и представляют собой
приближенные решения по .методу ВКБ. Из этих решений вид-
видно, что при Е > V волновая функция изменяется, как в потен-
потенциальной яме (см. D.4)), т.е. по закону косинуса или синуса,
а при V > Е — как внутри потенциального барьера, т. е. по экс-
экспоненциальному закону (см. D.7)).
Сравнивая решения, найденные при V0 = <?onst, с решения-
решениями, полученными в том случае, когда потенциальная энергия
является функцией х> мы видим, что переход от одних решений
к другим заключается в замене площади прямоугольного барье-
барьера, образуемого осью х и осью, на которой отложена величина
.._ л/2то(Уо-Е) _ \р\
*~ h ~ h '
соответствующей площадью, учитывающей, что V является
функцией х. Схематически этот переход можно изобразить сле-
следующим образом:
Ц±±\ E.18)
Аналогичный переход можно сделать также и в случае потенци-
потенциальной ямы.
Таким образом, конкретный вид зависимости потенциальной
энергии от х не изменяет характера решения; последний опре-
определяется лишь знаком разности между Е и V.
Решения E.15) и E.16) дают хорошее приближение лишь
для областей, сравнительно удаленных от особой точки хо, где
величина р2 относительно велика. Вблизи же особой точки
(х-*х0) величина р2~^0, и поэтому знаменатель в выражениях
E.15) и E.16) обращается в нуль, а само решение становится
расходящимся.
Если бы мы могли выразить постоянные А и В через а и Ь,
то найденное приближение было бы вполне достаточным для
многих задач, так как область \х — хо|->О является сравни-
сравнительно узкой. Однако соотношение между этими коэффициента-
коэффициентами может быть найдено только в результате сшивания функций,
которое следует производить именно на границе областей, т. е.
в точке # = ?о (лод сшиванием мы будем понимать приравнива-
приравнивание на границе области х = Хо волновых функций и их первых
производных).
Поэтому приближенное выражение для г|э необходимо пред-
представить в таком в-иде, чтобы при больших р2 имело место соот-
соотношение E.15), а при х-*-Хо, когда
р2 = — (* — Хо) 2m0V7 (хо) =*= — аЛ2 {х — х0),

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 63
приближенное решение удовлетворяло бы уравнению
где постоянная
Введем вместо х новую переменную
| = а1/з(*-*о), E.20)
тогда уравнение E.19) принимает вид
•^-»-0. E.21)
Линейно независимыми решениями уравнения E.21J являются
так называемые функции Эйри U(Q и V(Q *), которые можно
представить ввиде следующих интегралов:
sin (Ц+ V3aidt,. E.22)
со
V (g) = -jL \ cos (tt+ V/) dt. E.23)
Можно легко убедиться, что эти интегралы действительно
удовлетворяют уравнению E*.21). Так, например, подставим вто-
второй интеграл E.23) в уравнение E.21) и, изменяя порядок диф-
дифференцирования и интегрирования, получим
= 5 V2 +1) cos (/| + '//) dt = J rf[sin (/|+ 'Ш =0,'. E.24)
0 0
причем последний интеграл следует понимать как предельное
значение
со
lim [ d [e~6t sin <?-+ 7з^3I — 0. E.25)
Аналогично подстановка первого интеграла E.22) в уравнение
E.21) показывает, что и в этом случае оно также уДовлетво-
*) Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики, — М,: Мир,
1970, вын. 3, с. 59; см. также Якоълева Г. Д. Таблицы функций Эйри и их
производных, —М.: Наука, 1969,

64 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (Ч Г
ряется*). Асимптотическое выражение функций Эйри V(%) и
U{?) при ||| » 1 имеет в случае I > О вид
lVV^ E.26)
E.27)
т.е. функция V(l) является экспоненциально убывающей с ро-
ростом g, а функция U(%)—экспоненциально возрастающей.
В случае же больших отрицательных значений ? < 0 функ-
функции V и U являются осциллирующими:
) E.28)
E.29)
Вычисляя значения 2 и |г| в равенствах E.15) и E.16) соот-
соответственно при х ->• л'о — 0 и х ->• хо + 0, получим
х
X
Поскольку решения E.26) —E.29) и решения E.15), E.16)
должны совпадать в тех областях, где они одновременно спра-
справедливы, то, приравнивая оба асимптотических решения, полу-
получим, что
Таким образом, полагая в равенствах E.15), E.16)
находим первую пару сшитых решений
E>32)
*) Заметим, что функции Эйри связаны с функциями Бесселя порядка
±7з от мнимого аргумента К\^ (при 4 > 0) или с обычными функциями
Бесселя /±1/з (при ? < 0),

§51
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
65
где экспоненциально убывающее решение E.32) в области
х > xq представляет собой аналитическое продолжение синусои-
синусоидального решения E.31) для области х < х0.
Чтобы определить аналитическое продолжение экспоненци-
экспоненциально возрастающего решения при х > Яо, мы должны поло-
положить
а = 0, ЬФО. E.33)
Тогда для второй пары сшитых решений имеем:
~ —?=¦ cos г + —
л/\рТ
E.34)
E.35)
в) Квантование потенциальной ямы в квазиклассическом
приближении. Полученные формулы позволяют произвести кван-
квантование (т. е. найти энергетические уровни) частицы, находя-
находящейся в потенциальной яме, в приближении ВКБ. Допустим,
что мы имеем потенциальную яму произвольной, но гладкой
формы (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Квантование потенциальной ямы по методу ВКБ.
Очевидно, что процесс квантования по методу ВКБ будет за-
заключаться в нахождении таких условий, при которых экспонен-
экспоненциально возрастающее решение с обеих сторон потенциального
барьера {х < х\ и х > х?) обращалось бы в нуль. В этом слу-
случае согласно E.31) волновая функция в области потенциальной
ямы, прилегающей к границе барьера, имеет вид ()
ijp^ + i
E.36;
3 А. А. Соколов и др.

66 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Точно так же для области потенциальной ямы, граничащей с
другим барьером х — х\, мы можем написать:
} E-37)
Оба решения должны быть тождественны между собой в любой
точке х\ < х < х2 потенциальной ямы, лежащей на достаточно
большом расстоянии от границ потенциальных барьеров.
Произведя в одной из точек х сшивание обоих решений
E.36) и E.37), т.е. приравнивая в этой точке волновые функ-
функции, и их производные, имеем
l
X
Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевое ре-
решение, необходимо потребовать обращения в нуль ее определи-
теля. Тогда получим соотношение
Отсюда, учитывая, что \ pdx не может быть отрицательной
величиной, так как р = л/2то(Е—V) ^0, находим
Хг
« = 0,1,2,... E.38)
Таким образом, правила квантования, полученные с помощью
приближенного метода ВКБ, т. е. с точностью до членов поряд-
порядка h, принимают вид
р dx = 2яЙ (п + l/2) = h(n+ ]/2). E.39)
Эти правила квантования, правда, без члена 72^, были постули-
постулированы Н. Бором в 1913 г. еще до создания квантовой механи-
механики. Они известны как правила квантования Бора — Зоммер-
фельда (постулат стационарных состояний). Появление отлич-

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 67
ного от нуля члена 72^ в квазиклассическом условии квантова-
квантования E.39) несущественно для высоковозбужденных состояний с
квантовыми числами п » 1, однако оно становится важным для
наинизшего, т. е. основного состояния п = 0. В частности, ре-
решение задачи о гармоническом осцилляторе (см. § 7) показы-
показывает, что энергия основного состояния — нулевая энергия, —
соответствующая члену УгЙ, обязательно должна быть отличной
от нуля. Тем не менее неучет этого члена не сказывается на
спектре излучения, поскольку, как будет показано в § 9, частота
излучения определяется разностью значений энергии стационар-
стационарных связанных состояний системы. Этот вывод квантовой теории
также согласуется со вторым постулатом Бора — условием ча-
частот.
При нахождении номировочного коэффициента в квазиклас-
квазиклассической волновой функции достаточно ограничиться интегриро-
интегрированием по интервалу х\ < х < х2 (потенциальная яма), по-
поскольку вне его волновая функция экспоненциально убывает,
т. е. ее практически можно положить равной нулю. Тогда имеем
E-40)
Синус представляет собой быстро осциллирующую функцию, и
поэтому его квадрат, с достаточной степенью точности, можно
заменить средним значением, равным 72- В этом случае равен-
равенство E.40) приведем к виду
х%
5^ = 1. E.41)
Далее учтем, что период колебаний т = — равен
Х2
2п о f dx o f dx
где v = — скорость частицы.
то
Отсюда для нормировочного коэффициента получаем вы-
выражение

68
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(Ч. Г
Следовательно, собственная функция E.37) в приближении ВКБ
может быть записана в виде
г) Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер (тун-
(туннельный эффект). Согласно классической теории частица может
находиться только в тех точках пространства, в которых потен-
потенциальная энергия V меньше ее полной энергии Е. Это следует
из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы
всегда должна быть положительной величиной. В области
V > Е — потенциальный барьер — импульс имеет мнимое зна-
значение, и присутствие там частицы в рамках классической тео-
теории является совершенно недопустимым.
Поэтому если две области пространства, для которых Е > V,
отделены друг от друга потенциальным барьером, внутри ко-
которого V > Е, то по классической теории просачивание частицы
из одной области в другую область сквозь потенциальный
барьер невозможно. По волновой же теории мнимое значение
импульса соответствует лишь экспоненциальной зависимости
волновой функции от координаты. Поскольку волновая функция
внутри потенциального барьера в нуль не обращается, то вполне
возможно и просачивание частицы сквозь потенциальный
барьер. Для микрочастиц
у это явление может стать
даже вполне наблюдае-
наблюдаемым.
Прохождение сквозь
потенциальный барьер
получило название тун-
туннельного эффекта. Оно
является специфическим
лишь для волновой тео-
теории и не имеет какого-
либо аналога в классиче-
классической механике.
Рассмотрим гладкий
потенциальный барьер
произвольной формы V(x) (рис. 5.3). Если энергия Е по вели-
величине не превышает высоту барьера, то можно выделить три об-
области изменения потенциальной энергии —оо < х < Х\ и
*2<*<оо [V{x)<E)\ хх^х^х2 (V(x)>E), где коорди-
Ладающая волна
Проходящая волна
Рис. 5.3. Схема потенциального барьера произволь-
произвольной, но достаточно гладкой формы. Падающая
и проходящая волны изображены сплошными кри-
кривыми; отраженная—штриховой.

§ 51 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 69
наты х\ (начало барьера) и х2 (конец барьера) находятся из
условия
Для того чтобы получить вероятность прохождения микроча-
микрочастицы через барьер V(x), обратимся к явному виду волновой
функции, полученному в квазиклассическом приближении
E.31) —E.35).
В области / (—оо < х < Х\) (рис. 5.3), где E>V(x),
имеется две волны: падающая на барьер и отраженная от него,
поэтому общее квазиклассическое решение уравнения Шредин-
гера согласно E.31), E.34) таково:
+.&,.'(»*). E.43,
УР УР
Здесь, как и ранее,
а произвольные постоянные а и Ъ мы подобрали таким образом,
чтобы коэффициент перед падающей волной обратился в еди-
единицу (это можно сделать, так как нас интересует лишь отно-
отношение потоков, а не вероятности), при этом коэффициент перед
отраженной волной Si пока произволен:
a = /(Si — 1), 6=1+В,. E.44)
Решение в области // (х\ ^ х ^ х2), где ?< V(x), в силу
конечной ширины барьера должно содержать как затухающую,
так и возрастающую экспоненту и согласно E.32), E.35) и
E.44) имеет вид
*/7"~ 2VI7T е ' л/VpT6 ' ~ 2VI7T l YiTT eZl'
E.45)
где
X
\zx\ = j \\p\dx. E.46)
Воспользовавшись равенством
X Х2 Хг
I %i I +1 ^2 I=== \ I P \dx + \ | р \dx = \ | р | dx ^ y> E.47)
*1 X Xt

70 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
мы можем решение i|)/7 переписать так:
ilBl) Щ±± e-l*\. E.48)
2УГрТ Ум
Наконец, в области /// (х2 < х < оо), где опять Е > V(x),
по условию задачи должна распространяться только прошедшая
волна
o|5/7/ = --—г е% ^ * 4 '> E.49)
где
X
z2 = 1 J p dx, E.50)
а коэффициент перед отраженной волной положен равным нулю.
Амплитуда прошедшей волны E.49) не может быть произволь-
произвольной, так как согласно E.31), E.32), E.34), E.35) осциллирую-
осциллирующее решение E.49) в области /// является аналитическим про-
продолжением решения E.48) в области //:
idL-В еу ' E>51)
Решение этой системы имеет вид
E.
Для характеристики величины туннельного эффекта введем
коэффициент прозрачности барьера, под которым будем пони-
понимать модуль отношения плотности потока частиц, прошедших
через барьер, к плотности потока падающих частиц
/пр ' E,53)
/над I
Для определения потока частиц воспользуемся формулой
Подставляя в эту формулу решения уравнения Шредингера
E.43), E.49), для коэффициента прозрачности D находим
I /пад I \еу + Ч*е у)
у)
E.55)
В том случае, когда величина у значительно больше единицы
(заметим, что именно этот случай представляет практический

§5]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
71
интерес), коэффициент прозрачности E.55) будет равен
D~e-2Y==exp _-§ \ <s/2mo(V-E)dx\.
Если теперь ввести коэффициент отражения
D
E.56)
E.57)
где/отр — ток отраженной волны в решении E.43), то R будет
выражаться через коэффициент В\:
или при Y
~ 1 — е-**.
E.58)
E.59)
Из сравнения последних формул для D и R следует, что сум-
сумма коэффициента прозрачности и коэффициента отражения рав-
равна единице
D + R=l. E.69)
При переходе к классическому пределу (ft->0, 7-^°°), как
видно из формул E.56), E.59), коэффициент прозрачности об-
обращается в нуль, а коэффициент отражения — в единицу, т. е.
прохождение частиц сквозь потенциальный барьер становится
невозможным.
В квантовой же области,когда у ф оо, движение внутри по-
потенциального барьера представляет собой типичное проявление
волновых свойств микрочастиц. Это явление имеет свой аналог
в любой волновой теории.
В частности, в оптике хо-
хорошо известно явление
полного внутреннего от-
отражения, которое может
наблюдаться при отраже-
отражении света от оптически
менее плотной среды.
д) Случай прямоуголь-
прямоугольного барьера. Рассмот-
Рассмотрим потенциальный барь-
барьер прямоугольной формы
высоты Vo и ширины а (рис. 5.4). Барьер такой формы интере-
интересен в том отношении, что для него задача о туннельном эффек-
эффекте допускает точное и вместе с тем простое решение. Кроме того,
на его примере можно исследовать так называемое надбарьерное
Падающая волна
Проходящая
волна
Рис. 5.4. Прохождение частицы сквозь потенциаль-
потенциальный барьер прямоугольной формы.

72 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
отражение, когда энергия частицы Е больше высоты барьера
(E>V0).
Пусть частица, энергия которой меньше высоты барьера
(Е < Vo)y движется в положительном направлении оси х. Тогда
решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей
имеют вид (см. D.26) и D.7))
<ф7 = eikx + Bxe-ikx при х < О (область /),
Ъп = А2е-** + В&*х при 0<л:<а (область //), E.61)
'Фу// = A&ik {x~~a) ПРИ х>а (область///).
Здесь
причем коэффициент перед падающей волной eikx за счет выбо-
выбора нормировки положен равным единице, B\e~ikx характеризует
отраженную волну, а справа от барьера (х > а) присутствует
только прошедшая волна A^eik{x~a).
Для определения неизвестных коэффициентов в решении
E.61) воспользуемся условиями непрерывности волновой функ-
функции и ее первой производной на границах барьера.
При х = 0 имеем
а при х = а
Atf-™ + В2е™ = А3,
А*г"-В*»° = -1±Аг. (б'64)
/С
Из последних двух уравнений находим
k E.65)
Подставим Лг и В2 в уравнения E.63) и, исключая В\у получаем
ЛА
А?\—
2 ch ш + f f ^- - ^- J sh на
Коэффициент прохождения D можно вычислить по общей
формуле E.53), используя коэффициент E.66):
I ^ Р
D=ip^. = \A3r
1 Упад

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 73
Для достаточно широкого барьера, когда ха » 1, из точного
выражения E.67) приближенно находим
D ~ (^2J е-*» = Doe->™. E.68)
Экспоненциальный множитель для прямоугольного барьера,
играющий основную роль, может быть получен из формулы
E.56), соответствующей гладкому барьеру. Отличие заключает-
заключается в том, что для прямоугольного барьера появляется коэффи-
коэффициент Do, имеющий порядок единицы.
Подставляя в E.68) значение и из E.62), можно коэффи-
коэффициент D записать в виде (ка » 1)
w E69)
Как видно, в случае ха > 1 выражение E.69) с точностью
до коэффициента Do порядка единицы совпадает с результатом,
который может быть получен методом ВКБ по формуле E.56)*),
если учесть, что
а
— У2то(Ко-?) = | \ ^2mo(Vo-E) их. E.70)
Пусть теперь энергия частицы больше высоты барьера
(Е > Vo). В этом случае решения уравнения Шредингера вне
барьера г|)/ и грш имеют точно такой же вид, как и при Е < Vo,
и определяются формулами E.61). В области // над барьером
решение "ф// можно получить из формул E.61) с помощью за-
замены
ЦрЧ?--1/о), E.71)
поскольку теперь Е > Vo и решение должно содержать падаю-
падающую и отраженную от второй границы барьера (л: = а) волны.
Проводя сшивание волновой функции и ее производной на гра-
границах барьера, точно так же как и в случае Е < Vo, для коэф-
коэффициента отражения находим следующее выражение:
г, ,np
*) Из этой формулы видно, что для гладкого барьера в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении ВКБ коэффициент Do == 1.

74 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Заметим, что этот результат можно получить также из выра-
выражения E.67) для коэффициента D с помощью замены E.71) и
соотношения
Я = 1 - D. E.73)
При k\ = ft, т. е. когда высота барьера обращается в нуль
(Vo = 0), мы находим, что D = 1 и R = 0, т. е. отраженная
волна отсутствует, и мы будем иметь на всем интервале изме-
изменения х свободное движение (см. D.26)).
Таким образом, в квантовой механике волна, соответствую-
соответствующая частице с энергией, превышающей высоту барьера (?>V0),
также должна частично отражаться. Это явление носит назва-
название надбарьерного отражения.
е) Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия.
Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных прило-
приложений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой
теории удалось понять ряд явлений, которые не нашли своего
объяснения в классической физике. К числу таких явлений сле-
следует в первую очередь отнести холодную эмиссию, т. е. вырыва-
вырывание электронов из металла под действием электрического поля,
а также возникновение контактной разности потенциалов. Одна-
Однако прежде всего скажем несколько слов о теории «электронного
газа», лежащей в основе электронной теории проводимости ме-
металлов.
Высокая электропроводность металлов говорит о том, что
электроны способны сравнительно свободно перемещаться вну-
внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их
выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энер-
энергии, так называемой работы выхода. Это наводит на мысль
рассматривать простейшую модель металла как свободный элек-
электронный газ, движущийся в потенциальной яме, внутри которой
(т. е. в металле) потенциальная энергия равна нулю V = 0, а
вне, т. е. в вакууме, V = Vo > 0.
Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие яв-
явления в металлах и поэтому в некоторых пределах является
вполне разумной. Она была введена еще в классической теории
(теория Друде, Лоренца и др.). В этом случае к электронам
применялась классическая статистика Максвелла — Больцмана,
которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетиче-
кинетической теории газов.
Однако в классической теории модель «электронного газа»
встретила большие затруднения при построении теории тепло-
теплоемкости. В самом деле, согласно известной теореме классиче-
классической статистической механики о равномерном распределении
энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 75
электрона равна
Ecp==3/2kbTf E.74)
где kb — постоянная Больцмана.
Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в об-
общей теплоемкости такая же, как и свободного атома
лэл дЕс»
Это противоречит экспериментальным фактам, согласно кото-
которым теплоемкость одноатомного металла определяется лишь
теплоемкостью атомов решетки, т. е. свободные электроны в пер-
первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не
вносят.
Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который
показал, что к электронам в металле необходимо применять не
классическую статистику с функцией распределения
а квантовую статистику Ферми — Дирака с функцией распре-
распределения
f _ 1
В основе квантовой статистики Ферми — Дирака лежит
принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом
уровне может находиться максимум два электрона (два кванто-
квантовых состояния, отличающихся направлениями спинов).
Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической
формы с длиной стороны, равной L, то составляющие импульса
р = %k согласно D.41) будут связаны с целыми числами П\, п^
л3, характеризующими энергетический уровень, соотношениями
2пЫ\ 2nhn2 2nhnz
Рх — 7 » Ру — 1 > Pz — 7 •
Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел (Д/ii =
A А 1)
d3p E.75)
приходится лишь один уровень, на котором могут находиться
два электрона.
Поэтому, если в единице объема находится ро электронов,
то максимальный импульс, которым может обладать электрон
при абсолютном нуле температуры (Г = 0), определяется из

76
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. Г
соотношения
2
Ро:
''макс
-w S р2Aр:
E.76)
ИЛИ
P. n , -fa /О-.2Л \ /з /с* rrrr\
— Рмакс — n \^n 9o) • @.77)
Соответствующая максимальная кинетическая энергия электро-
электронов равна
$я2р0)/з. E.78)
Эта максимальная энергия при Т = 0 называется уровнем Фер-
Ферми или энергией Ферми. Схема заполнения электронных уровней
в металле изображена на рис. 5.5.
Оценим значение энергии Ферми, например, для серебра.
Плотность серебра равна 10,5. атомный вес 107,9. Считая, что
'llUlimilHlllllllllllllllHlllimi число свободных электронов рав-
] Металл \ но числу атомов серебра в еди-
Яа*УУ"\ \_Вамуум нице объема, имеем:
Рис. 5.5. Модель потенциальной ямы
для металла. ?макс — верхняя граница
заполненных уровней при Г=0 (энер-
(энергия Ферми).
=5>8-1022'
Здесь мы использовали число
Авогадро, т.е. число атомов в од-
одном грамм-атоме, равное 6,02 X
ХЮ23. Отсюда по формуле E.78)
находим, что
= 8,5
Ю"*12 эрг = 5,3 эВ.
Поскольку для серебра работа выхода W = 3,7 эВ, то глу-
глубина потенциальной ямы в серебре оказывается равной 9 эВ.
Пользуясь известным определением среднего значения, для
средней энергии электрона в металле при Т = 0 получим выра-
выражение
E.79)
2т0 8л;3/г3
Детальный расчет показывает, что при сравнительно низких
температурах (къТ <С Ef) теплоемкость электронного газа имеет
порядок кв{кьТ/Ер) и дает пренебрежимо малый вклад в пол-
полную теплоемкость металла.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
77
Исходя из описанной модели (рис. 5.5), мы видим, что для
вырывания электрона из металла необходимо сообщить ему
энергию, не меньшую, чем работа выхода
W = V»-EM
E.80)
Как известно, в случае внешнего фотоэффекта электрон по-
получает от поглощенного фотона энергию /го>. При этом^электрон
может покинуть металл, обладая кинетической энергией
If О 4- 1Т77 /С О 1 \
12тЪ° = ЙСО — W @.01)
(уравнение Эйнштейна). Отсюда следует, что работа выхода
есть минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы
энергия электрона стала больше высоты потенциального
барьера.
Если электроны в металле (электронный газ) имеют темпе-
температуру выше абсолютного нуля, то часть электронов заполняет
энергетические уровни выше уровня Ферми. Если увеличить ки-
кинетическую энергию электронного газа путем нагревания ме-
металла, то некоторая часть электронов может иметь энергию,
превышающую энергию потенциального барьера, благодаря
чему возникает ток из металла. Это явление, получившее назва-
название термоэлектронной эмиссии, используется, в частности, для
получения пучка электронов в электронных лампах. Однако воз-
возникновение тока электронов возможно и при низких температу-
температурах под влиянием постоянного внешнего электрического поля
Вануум
Металл
Потенциальная
энергия без поля
Потенциальная
О Хд
аз
Рис. 5.6. Потенциальная энергия эл-ектрона в металле без поля и при наличии внешнего
электрического поля. Штриховой линией показан ход потенциальной кривой с учетом сил
электрического изображения.
напряженности *?, приложенного к поверхности проводника по
направлению к ней. В этом случае потенциальная энергия элек-
электрона заряда —ео равна (рис. 5.6)
V(x)=VQ-eQ&x.
E.82)

78
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. Г
Помимо внешнего электрического поля, на электрон дей-
действует так называемая сила электрического изображения. Дело
в том, что электрон, обладая зарядом —ео, создает в металле
индуцированный заряд е0 (рис. 5.7).
Таким образом, полная сила, действующая на электрон,
равна
F (х) = е0^ —
4х2
E.83)
Эффективная потенциальная энергия, учитывающая силы элек-
электрического изображения, равна
Металл
Вакуум
-е»
Рис. 5.7. Силы электрического изобра-
изображения: на находящийся вне металла
электрон действуют силы притяжения
индуцированным зарядом.
-47- E.84)
Величина УЭфф имеет макси*
мум в точке Xq\
-Л — 0>
д*
4*2
E.85)
причем максимальное значение
меньше Vo, так как
E.86)
Учет сил электрического изображения показывает, что при нало-
наложении внешнего поля работа выхода уменьшается и становится
равной
E.87)
Однако силы электрического изображения не в состоянии объ-
объяснить холодную эмиссию. Действительно, оценка максималь-
максимального тока (при W = 0) приводит, например, для вольфрама к
значению
• = -V-2. Ю8 В/см,
3>
E.88)
между тем как на опыте достаточно сильный ток появляется
уже при поле S — 4-106 В/см (Милликен).
Таким образом, в рамках классической теории невозможно
объяснить с количественной стороны явление холодной эмиссии.
В квантовой теории, когда допустимо прохождение электро-
электронов сквозь потенциальный барьер, для потенциальной энергии
можно ограничиться выражением E.82) и не учитывать сил
электрического изображения, поскольку последние лишь весьма

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 79
незначительно изменят окончательный результат. Из графика
потенциальной энергии (рис. 5.6) видно, что внешнее электри-
электрическое поле создает потенциальный барьер конечной ширины.
Благодаря туннельному эффекту электрон может преодолеть
этот барьер, причем коэффициент прозрачности равен
D = ехр - j ^/2щ J л/У(х) — Е dx .
L о J
E.89)
Интеграл в экспоненте должен быть взят по всей ширине барье-
барьера от точки х = 0 до точки х = хи которая определяется из
условия
Vo-eo&x^E, т. е. хх= V°e^E , E.90)
Тогда
х[\ E.91)
Окончательно для коэффициента прозрачности D получаем вы-
выражение
=™p{-^-)> E.92)
где величина ё'о зависит от работы выхода из металла свобод-
свободных электронов. Ток холодной эмиссии пропорционален коэффи-
коэффициенту прозрачности
(^) E.93)
Отсюда следует, что холодная эмиссия должна наблюдаться
при напряженности электрического поля 8 ~ 106 В/см, что хо-
хорошо согласуется с экспериментальными данными.
ж) Альфа-распад. Важное применение туннельный эффект
нашел также и в теории атомного ядра. Одним из возможных
типов спонтанного превращения радиоактивных ядер является
альфа-распад, в результате которого ядро теряет альфа-частицу
(т. е. ядро атома гелия, состоящее из двух протонов и двух ней-
нейтронов) и превращается в новое — дочернее ядро с зарядом,
меньшим на две единицы. Задача об альфа-распаде как теория

80 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
прохождения частицы сквозь потенциальный барьер стала одной
из классических задач квантовой механики Шредшиера.
Экспериментальное исследование этого явления показало,
что оно обусловлено исключительно внутренними свойствами
ядер. Поэтому естественно предположить, что число ядер dNy
распадающихся в течение времени dt, пропорционально этому
промежутку времени и числу ядер N в момент ty т. е.
dN = -KNdt. E.94)
Интегрируя это уравнение, получаем закон радиоактивного
распада Кюри
N = NQe~M. E.95)
Входящая в это выражение постоянная радиоактивного распада
имеет смысл вероятности распада и может быть связана с пе-
периодом полураспада Гу2, т. е. со временем, в течение которого
распадается половина исходного количества вещества. Обозна-
Обозначая первоначальное количество ядер через Nq, для определения
времени полураспада Гу2 получаем очевидное соотношение
#о<ГХГ|'. = {iVo- NQe~ln\ E.96)
из которого следует, что
^-J^l-M». E.97)
Закон Кюри был впервые установлен чисто эмпирическим пу-
путем. Теоретическое объяснение явления альфа-распада оказа-
оказалось возможным лишь после появления квантовой механики.
Оставляя в стороне механизм образования альфа-частицы в
процессе распада ядра, рассмотрим систему, состоящую из вто-
вторичного (дочернего) ядра и альфа-частицы. Потенциальная
энергия взаимодействия альфа-частицы (заряд 2во) и дочернего
ядра (заряд (Z — 2)г0) должна, помимо потенциальной энергии
кулоновских сил отталкивания
V-i?=2*. E.98,
содержать также потенциальную энергию ядерных сил притя-
притяжения, действующих лишь на малых расстояниях г ^ /?, имею-
имеющих порядок 103—10~12см. Для приближенных оценок можно
аппроксимировать потенциальную энергию следующим выраже-
выражением (рис. 5.8):
o(Z 2) (?
V= r при r>R, E.99)
V = 0 при г < R. E.100)

§51
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
81
С точки зрения квантовой механики альфа-распад представляет
собой типичное явление прохождения частицы сквозь потенци-
потенциальный барьер A928 г. Гамов, Кондон, Герни).
Для построения теории необходимо прежде всего связать по-
постоянную радиоактивного распада % с коэффициентом прозрач-
прозрачности барьера (см. E.56)):
= exp( -
B/й)
где М — масса альфа-частицы, a R и R\
тенциального барьера (рис. 5.8).
E.101)
начало и конец по-
Рис. 5.8. Схема потенциальной энергии альфа-частицы в поле радиоактивного ядра.
Поскольку коэффициент прозрачности представляет собой
вероятность прохождения частицы сквозь барьер при одном ее
ударе о стенку барьера, закон распада можно записать в виде
= - nDN dt,
E.102)
Где п — число ударов в 1 с. Величину п можно легко оценить из
следующих простых соображений. Предположим, что альфа-ча-
альфа-частица движется внутри потенциальной ямы с радиусом R. Тогда
очевидно, что п ~ Vq/R, где с>о — скорость альфа-частиц внутри
ядра (r<R). Нетрудно связать эти последние величины друг
с другом. Действительно, согласно соотношению неопределенно-
неопределенностей импульс Mvq частицы и область ее локализации R связаны

82 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
друг с другом соотношением Mv0R « ft. Поэтому
п «-щ*. EЛ03)
С учетом этих замечаний связь постоянной радиоактивного рас-
распада X с коэффициентом прозрачности D определяется форму-
формулой
5 ). E.104)
R
Логарифмируя обе части равенства, получаем
\пХ = \п-щТ-^л/2^1у E.105)
где интеграл
/=J aJV — E dr E.106)
должен быть взять между точками R (радиус ядра) и R\. По-
Последний радиус может быть найден из условия, что полная энер-
энергия равняется потенциальной, т. е. в данном случае кулоновской
2{Z~2) el = E. E.107)
Подставляя выражение для V = * ' в интеграл E.106),
находим
^ д/ EЛ08)
или, после замены переменных r = R{x2, HMeevi:
— x2 dx. E.109)
Производя новую замену переменных л:=зтф и полагая
Лр, E.110)
R
, получаем интч
я/2
sin фо = \/ -jr~ » получаем интеграл
Фо
который легко может быть вычислен
= -?-! J— (я - 2ф0 - sin 2ф0). E.111)

§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕР^ 83
о
Учитывая, далее, что обычно -jr- <С 1, можно в последнем вы-
выражении положить
L_2y-?-J. E.112)
Исключая теперь R{ с помощью соотношения E.107) и вводя
обозначения
-2) -InIn2, E.113)
E.114)
находим для периода полураспада Гу,
^В. E.115)
Последнее соотношение устанавливает связь между периодом
полураспада 7\/2 = —у- и энергией вылетевших альфа-частиц.
Соотношение E.115) представляет собой современную формули-
формулировку закона Гейгера — Неттола, установленного еще до появ-
появления квантовой механики чисто эмпирическим путем.
Из закона Гейгера — Неттола видно, что, чем больше энер-
энергия ?, с которой альфа-частица вылетает из ядра, тем меньше
время полураспада, причем небольшое увеличение энергии, на-
например, с 4 МэВ до 9 МэВ (примерное значение крайних энер-
энергий вылета альфа-частицы в радиоактивном семействе урана),
приводит к сильному уменьшению среднего времени жизни с не-
нескольких миллиардов лет до нескольких десятимиллионных до-
долей секунды. Это связано с тем обстоятельством, что хотя изме-
изменение энергии не очень сильно изменяет площадь потенциаль-
потенциального барьера, но значение этой площади входит в показатель
степени, определяющей среднее время жизни.
з) Понятие о квазиуровнях (квазидискретный спектр).
В только что рассмотренной задаче об альфа-распаде постоян*
ная распада К оказалась связанной с коэффициентом прозрач-
прозрачности D барьера, при прохождении которого частица может
перейти из связанного состояния внутри потенциальной ямы в
свободное состояние вне ее пределов. Поэтому, строго говоря,
состояние частицы внутри ямы не является связанным и, следо-
следовательно, энергетический спектр Е при отличном от нуля значе-
значении К перестает быть дискретным. Если вероятность прохожде-

84
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. I
ния через барьер мала, т.е. постоянная распада к ~ D также
мала, то изменение спектра оказывается незначительным и в
этом случае получается так называемый квазидискретный
спектр, состоящий из квазиуровней.
Для того чтобы найти квазиуровни, рассмотрим простой при-
пример прямоугольной потенциальной ямы ширины а, с одной сто-
стороны ограниченной бесконечно высокой стенкой (* = 0), ас
другой (х = I)—потенциальным барьером высоты Vo и шири-
ширины а = 1\ — / (рис. 5.9),
трех областей: / @<а:</),
!, показанных на рис. 5.9, будет
иметь вид:
\ (р )
Волновая функция для
// (/ < х < 1\) и /// (li <x
= Аг sin kxy
= Azeik <*~
В2е* <*-<>,
E.116)
где
Рис. 5.9. Квазиуровни.
Решение г|)/ для первой области выбрано таким образом, что-
чтобы при х = 0 оно обращалось в нуль, а в решении в третьей
области г|)/// оставлена только уходящая от барьера волна, что и
обеспечивает появление в системе квазиуровней. Из условия не-
непрерывности волновой функции на границах барьера находим:
при х = I
А{ sin kl — A2 + B2,
E.117)
при х =
А{ cos kl = j- (B2 — А2)у
= Л3,
F.118)
Из последних двух уравнений следуют соотношения
E.119)
В2=

§ 51 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 85
подстановка которых в уравнения E.117) дает
А{ ( sin Ы + | cos kl) = A + * ?) е~**А*
sin « - ? cos /fe/) == (^ 1 — / ?) М
Условие совместности этой системы, т. е. равенство нулю
определителя, приводит к уравнению для определения энергии
E.121)
Следует заметить, что амплитуда уходящей волны Лз будет
в этом случае много меньше амплитуды стоячей волны в яме А\
| Л3|~ Aye-™. E.122)
При а->оо решение в области /// обращается в нуль (/43 = 0),
и тогда из уравнения E.120) следует уравнение для определе-
определения дискретных энергетических уровней в потенциальной яме в
области /
tg W = - ?оМо> E.123)
где индексом нуль обозначены величины k и к при а -> оо.
Покажем далее, что с учетом экспоненциально малых членов
порядка е-2™ при условии ха > 1 их!>1 решение уравнения
E.121) будет описывать квазиуровни. Для этого выделим в ве-
величине k малую мнимую часть k\ a в действительной части
отбросим дополнительные малые добавки, не имеющие принци-
принципиального значения:
k = ko — ik'9 E.124)
где ko связано с дискретным спектром энергии Ео следующим
соотношением:
h2kl
E-125)
Тогда, подставляя соотношение E.124) в уравнение E.121) с
учетом равенства E.123) и условия к1 ^> 1, в первом порядке
по величине е~2на находим
4-У
EЛ26>

86 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
При этом для энергии получим следующее выражение:
E = E0 — jihXy> E.127)
где
Я = Dq ~кт~ехр I — 2а л/ -ут" (^о — ^о) !» E.128)
а величина Do равна
До^г Wsw E.129)
Наличие мнимой части в выражении для энергии E.127) свиде-
свидетельствует о том, что волновая функция в потенциальной яме
будет со временем убывать по экспоненциальному закону. В са-
самом деле, для квадрата модуля волнозой функции будем иметь
(см. E.95)):
|г|)|2 = const e~Ktt E.130)
т. е. X — так называемая постоянная распада — будет характе-
характеризовать убывание вероятности нахождения частицы внутри по-
потенциальной ямы. Вместе с тем вне ямы, как видно из записи
волновой функции \|)/// в равенстве E.116), решение должно воз-
возрастать при удалении от ямы х->+°° за счет малой мнимой
добавки к волновому числу k' E.126) :
|г|>ш|2 = const e2*'*, E.131)
и поэтому нормировочный интеграл для функции г|э при больших
значениях х расходится. Однако этот рост функции г|) вне ямы
при х -* оо компенсируется ее экспоненциальным убыванием при
t-+oo согласно равенству E.130), что обеспечивает выполнение
уравнения непрерывности B.20).
В самом деле, вычислим ток прошедшей волны г|)ш согласно
E.54):
где р = | a|)//7 р — плотность вероятности.
Отсюда и из E.131) находим
Далее, согласно E.130) имеем
д9
dt
= —Яр.

§ 6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 87
Таким образом, с учетом E.126) и E.128):
&.+ °L = (-X + 2
т. е. уравнение непрерывности выполняется, как и следовало
ожидать.
Соотношение E.128) для постоянной распада X позволяет
также определить коэффициент прозрачности барьера D. Дей-
Действительно, между величинами А, и D существует связь, установ-
установленная в задаче об альфа-распаде:
Я = ^-Д E.132)
где Yi— число соударений с барьером в единицу времени. От-
Отсюда для D находим выражение
D ~ Doехр [- 2 (а/А) У2m0 (Vo - Ео) ]. E.133)
Это значение для D было получено нами ранее иным путем при
решении задачи о прохождении через прямоугольный барьер
(см. E.69)).
§ 6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
а) Средние значения операторов. Как известно, в классиче-
классической теории движение отдельной материальной точки вполне
определяется зависимостью координат от времени, что однознач-
однозначно может быть найдено из основного закона движения Ньютона
mor = -gradl/(r), F.1)
если при этом заданы еще и начальные условия (динамическая
закономерность). Определив г как функцию времени, можно
найти также импульс и энергию материальной точки.
Несколько иначе обстоит дело при наличии многих частиц,
например, в кинетической теории газов. В этом случае прояв-
проявляются новые, присущие большому коллективу частиц, статисти-
статистические закономерности.
Оказывается, что частицы такого коллектива имеют опреде-
определенный закон распределения, вообще говоря, как в координат-
координатном, так и в импульсном пространстве. При этом можно гово-
говорить только о вероятности того или иного значения координаты
или импульса частицы. Функция распределения / позволяет
найти средние значения координаты и импульса
х = \xfd3xd3p, рх = J pxfd3xd*p, F.2)

88 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА R. t
или средине квадраты этих величин
#2= \ x2fd3xd3p и т. д.,
которые и должны совпадать согласно закону больших чисел
с соответствующими экспериментальными значениями.
Обратим внимание на одну особенность статистической зако-
закономерности. Эта статистическая закономерность в классической
физике появляется в результате усреднения по так называемым
скрытым параметрам, определяющим точное движение каждой
частицы согласно уравнению Ньютона. В окончательные же ре-
результаты эти скрытые параметры не входят. Вообще, классиче-
классическая теория, по крайней мере в принципе, позволяет указать
(хотя это и очень сложно математически), почему в каждый
момент времени координаты и импульсы отдельных частиц
имеют данное наблюдаемое отклонение от средних значений.
Поведение частиц в микромире описывается волновой функ-
функцией г|?(г, t)y которая носит вероятностный характер, причем
даже в том случае, когда описываемая ею система состоит всего
лишь из одной-единственной частицы. В связи с этим квантовая
механика позволяет определить лишь средние значения физи-
физических величин независимо от того, имеется много микрочастиц
или только одна. Следует подчеркнуть, что, ограничиваясь рам-
рамками квантовой механики, даже в принципе невозможно объяс-
объяснить отклонение наблюдаемых величин от средних*). Вычис-
Вычисляются же эти средние значения в квантовой механике подобно
тому, как это делается в статистической теории, т. е. по фор-
формуле:
^ F.3)
где М может быть любым оператором (в том числе и числом),
а величина 'ф*(О'Ф(О играет роль функции распределения /.
В настоящее время средние квантовомеханические величины
все чаще начинают обозначать с помощью угловых скобок. Эти
обозначения мы и примем в дальнейшем.
Тогда формула F.3) будет иметь следующую запись:
(М)= $гП0Ма|)(/№. F.4)
Чертой же в дальнейшем мы будем обозначать лишь клас-
классические усреднения.
*) Как доказал фон Нейман, в основе статистических закономерностей
квантовой механики не могут лежать скрытые параметры. Однако доказа-
доказательство фон Неймана ограничено рамками самой же квантовой механики, и
если последней не придавать значение абсолютной теории, то теорема фон
Неймана не может претендовать на общность.

§ 6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 89
Средние значения координаты и импульса являются числами
и будут определяться фактически по одному и тому же закону
F'5)
д
несмотря на то, что х является числом, а -^ оператором про-
производной. При этом <л:> будет координатой центра тяжести вол-
волнового пакета, а <р*> — импульсом этого центра тяжести.
Для того чтобы средние значения соответствовали физически
наблюдаемым величинам, они должны быть вещественными
(МУ = {М)9 F.6)
т. е.
J о|)*Мг|)Л3* = ( J $>*Щс13х)*. F.7)
Это условие накладывает определенные требования на операто-
операторы М. Для того чтобы их выяснить, необходимо ввести понятие
эрмитово-сопряженного оператора. С этой целью рассмотрим
сходящийся интеграл
J X*Mcpd3x, F.8)
где ф и % — какие-либо произвольные функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие некоторым граничным условиям в зависимости от вида опе-
оператора М.
Определим эрмитово-сопряженный оператор М+ следующим
уравнением:
J Л J (+)* Л F.9)
Если оператор М совпадает с эрмитово-сопряженным к нему
оператором М+ (М = М+), то
%*МФ d3x = $ (МхГ <pd3*. F.10)
В этом случае оператор М называется самосопряженным (или
эрмитовым).
Полагая в этом равенстве ф = % = г|\ приходим к условию
F.7). Таким образом, если оператор является самосопряжен-
самосопряженным,
М = М\ F.11)
то соответствующие средние значения, как это следует из ра-
равенств F.7) и F.6), представляют собой вещественные вели-
величины.

90 НЕРЕЛПТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч Г
Покажем, в частности, что оператор р* удовлетворяет усло-
условию F.7) или F.11), несмотря на то, что по внешнему виду
он является чисто мнимым.
Докажем для этого прежде всего важную для дальнейшего
теорему о «перебросе» производной. Заключается она в следую-
следующем. Допустим, что мы имеем интеграл
оо
G= J uv^dx, F.12)
— оо
где у(/г) = dnv/dxn. Тогда, если все подстановки пределов типа
обращаются в нуль, то результат интегрирования G не изме-
изменится, если мы в F.12) п-ю производную от функции v «перебро-
«перебросим» на функцию и и поставим при этом перед интегралом
множитель (—\)п:
о оо
J uF>vdx. F.14)
В самом деле, производя в F.12) n-кратное интегрирование по
частям и учитывая нулевые значения подстановок F.13), прихо-
приходим к соотношению F.14). В случае дискретного спектра усло-
условия F.13) будут всегда выполнены, так как волновая функция
убывает на бесконечности по экспоненциальному закону. В слу-
случае же свободного движения (непрерывный спектр) эти выраже-
выражения обращаются в нуль вследствие условия периодичности. Фи-
Физически условие F.13) означает, что на бесконечности нет ника-
никаких частиц и никаких токов.
Возвращаясь к доказательству самосопряженности оператора
в равенстве F.14), мы должны положить
п=1.
Отсюда автоматически следует, что
(рх) = ~\^@« -^*@dx = \ъ(/)ih-jL^(,)dt =
т. е. условие самосопряженности F.7) для р* оказывается вы-
выполненным. Заметим, что в противоположность оператору
р* = —ihd/dx вещественный оператор д/дх не является само-
самосопряженным, и его среднее значение не имеет физического
смысла.
Если оператор М имеет только одно собственное значение X
(и одну собственную функцию г|э), то оно, как нетрудно видеть,
будет совпадать со средним значением этого оператора. Дей-

§ 6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 91
ствительно, следуя общему правилу F.12) определения среднего
значения оператора и учитывая, что
М* = Лф, F.15)
получаем:
(М) = ^ ф*МоМ3л: = X ^ ^d3x = Я.
Пусть теперь оператор М уравнения F.15) имеет несколько
собственных значений Яь к2у ..., ЛЛ, ..., соответствующих функ-
функциям фь фг, ..., 'фп, ... В этом случае в квантовой механике
принимается, что в результате точных измерений физической
величины, соответствующей оператору М, должны получаться
лишь его собственные значения Хп.
Предположим теперь, что квантовая система находится в не-
некотором состоянии, описываемом волновой функцией if>. Спра-
Спрашивается, с какой вероятностью при измерении физической ве-
величины М будет обнаружено, что она принимает одно из воз-
возможных собственных значений Я^?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны разложить функ-
функцию г|) в ряд по собственным функциям if^ оператора М:
ф = Есяч>я. (еле)
п
Представление F.16) аналогично разложению в ряд Фурье,
когда функциями ф„ являются собственные функции оператора
импульса. Обычно в квантовой механике предполагается, что
набор собственных функций любого оператора таков, что по ним
можно провести указанное разложение произвольной непрерыв-
непрерывной функции. Это свойство собственных функций, называемое
полнотой, для довольно широкого класса операторов может быть
доказано строго математически. Коэффициенты при i|)n в разло-
разложении F.16) имеют вполне определенный физический смысл.
Именно, в квантовой механике принимается, что квадраты их
абсолютных значений, т. е. |d|2, пропорциональны вероятностям
с которыми получаются при измерении собственные значения Хп.
Можно легко показать, что собственные функции самосопря-
самосопряженных операторов, отвечающие различным собственным значе-
значениям, должны быть ортогональными (для оператора Гамильтона
это уже было сделано выше в § 3). Пусть
причем ХпФХп'. Для самосопряженного оператора М =
можно написать (см. F.9), F.10)):

92 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I!
Отсюда с помощью уравнений F.17) получаем
и, так как Хп?=Кгу то
] Ъп%'а3х = ° ПРИ п ^ п'-
Нормируя собственные функции на единицу, запишем условие
ортонормированности с помощью символа Кронекера в виде
Это условие дает следующее значение для интеграла от квадра-
квадрата модуля волновой функции г|э, разложенной согласно F.16):
Если волновая функция г|) также нормирована на единицу, то
отсюда следует
что соответствует полной вероятности обнаружить систему в со-
состояниях урп. При этом \Сп\2 суть вероятности измерения воз-
возможных значений физической величины, равных Хп-
Если же мы теперь вычислим среднее значение величины М
в состоянии г|), то по общей формуле F.4) с учетом разложения
F.16) и условия F.18) получим
(М) = \
F.19)
Это равенство еще раз оправдывает вероятностную интерпрета-
интерпретацию коэффициентов Сп в разложении F.16).
б) Вывод соотношения неопределенностей. Как мы указали
в предыдущем разделе, наблюдаемые физические величины, т. е.
величины, которые мы можем измерять, следует математически
характеризовать лишь средним значением, вычисляемым по фор-
формуле F.4).
Покажем, что если двум физическим величинам соответ-
соответствуют некоммутирующие друг с другом операторы, то в рамках
квантовой механики они не могут быть одновременно измерены
точно. Наиболее важным в этом отношении является вычисление
отклонения от средних значений операторов двух канонически
сопряженных величин: координаты х и импульса рх. В дальней-
дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда волновая функ-

§ 6) СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 93
ция не зависит от времени (стационарный случай). Тогда сред-
средние значения координаты и импульса могут быть найдены соот-
соответственно из соотношений
<6-20>'
Прежде всего заметим, что, хотя средняя ошибка, или откло-
отклонение от среднего, вычисляемая по формуле
<А*> = J ф* (х - (х)) qd3x = (х) - (х) = 0, F.21)
и равна нулю, это все же никоим образом не означает отсут-
отсутствия других возможных положений частицы, отличных от <х>,
поскольку отклонения могут иметь относительно центра тяжести
<х> различные знаки и, следовательно, в среднем взаимно ком-
компенсировать друг друга.
Поэтому отклонение от среднего значения следует характери-
характеризовать средней квадратичной ошибкой, которая при любом от-
отклонении от <х> имеет положительный знак. Эта средняя квад-
квадратичная ошибка для координаты (дисперсия) может быть вы-
вычислена по формуле:
= (х2) - 2 (хJ + (хJ = (х2) - (хJ. F.22)
Обращение в нуль средней квадратичной ошибки, например,
<(Дл:J> = 0, означает, что вероятность пребывания электрона
в пространстве отлична от нуля лишь при х = <х>. В этом слу-
случае среднее значение равняется точному, т. е. соответствующая
вероятность пребывания частицы будет описываться б-образной
функцией.
Аналогично для средней квадратичной ошибки по импульсу
имеем:
<(Д/О2> = \ f (ря - (px)f *Рх = (Pi) - (Рху. F.23)
Чтобы установить связь между <(Ад:J> и <(АрхJ>, мы мо-
можем, без ограничения общности доказательства, выбрать систе-
систему координат с началом в центре тяжести волнового пакета
(<х>=0), причем выбрать ее так, что она движется вместе
с последним (<р*> = 0). В этом случае получаем:
F'24>

94 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч, I
Рассмотрим следующий интеграл:
/ (а) = J (ахГ + 4?-) (ах* + |f) <Px, F.25)
где а — некоторая произвольная вещественная величина, не за-
зависящая от х. Последнее выражение можно представить в виде
Ва + С, F.26)
где
А = J <ty*x2tyd3x = (х2) > О,
F.27)
Так как подынтегральное выражение в F.25)—положитель-
F.25)—положительная величина или нуль, то
F.28)
Условие F.28) накладывает определенное ограничение на коэф-
коэффициенты Л, В и С. В самом деле, это соотношение будет иметь
место для любых вещественных значений а, если оно выпол-
выполняется при а = ао, отвечающем минимуму функции /(а). Зна-
Значение ао может быть найдено из условия
= 2Аао-В = О, т. е. сео = -
Поэтому минимальное значение /(а) равно
/мин = / (а0) = - -Ц- + С > 0. F.29)
Отсюда следует, что неравенство F.28) имеет место для любых
вещественных значений а, если выполняется условие
Подставляя сюда значения для Л, В и С из F.27) и прини-
принимая во внимание F.24), находим соотношение между {(АрхJ}
и <(Аа:J>:
)>-^-. F.30)

§ 6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 95
Это неравенство и представляет собой формулировку соотноше-
соотношения неопределенностей.
Если учесть, что рхх— хрх = —ih *), то последнее соотноше-
соотношение можно записать в виде
<(Д*J> ((bPxf)>± (\PxX-хрх |2>. F.31)
Обобщая последний результат, мы можем вообще сказать,
что если два оператора Mi и М2 не коммутируют друг с другом,
то для них всегда имеет место соотношение неопределенностей
> >1 (| М1М2 - M2Mi |2), F.32)
где
<(AAffJ> = J ф' (М, - <М,»2 yd*x, (t=U 2). F.33)
Как мы указывали, соотношение неопределенностей является
следствием корпускулярно-волнового дуализма, лежащего в ос-
основе квантовой механики, и не связано с субъективной стороной
опыта, т. е. с наблюдением. Эксперименты могут только подтвер-
подтвердить выводы теории.
Смысл соотношения неопределенностей заключается в том,
что распределения плотности по переменным, которым соответ-
соответствуют некоммутирующие операторы, принципиально не могут
одновременно иметь вид 6-функций (рис. 6.1). Более того, чем
ближе к 6-функции распределение вероятности по одной пере-
переменной, тем более размытым становится это распределение по
другой. В пределе, когда, например, распределение по х> т. е.
|i|)(a;)|2, примет вид б-функции [<(Дл;J> = 0], по импульсу рх
оно станет таким, что для всех значений рх величина |ф(р*)|2
будет постоянной, т. е. <(Др*J> = оо.
Условие коммутативности двух операторов является необхо-
необходимым условием того, чтобы соответствующие им физические
переменные могли быть одновременно точно измерены.
в) Классические и квантовые скобки Пуассона. Как известно,
состояние системы в классической механике определяется так
называемыми динамическими переменными. Эти величины для
системы, заданной функцией Гамильтона H(xhpht), зависят,
*) Некоммутативность операторов рх и х можно доказать с помощью ра-
равенств
F.30a)
х?хЪ = ~ ihx -^-, р*л;г|) = - ih -j^- = - ih A + х -^
Отсюда следует: (р** — ярд) -ф = — /Д-ф, или в операторной форме:

96
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
14. I
как правило, от координат xi, импульсов р, и времени t, т. е.
/ = /(**> Ph t). При этом xi и pi подчиняются каноническим урав-
уравнениям Гамильтона
дН . дН
Изменение величины / со временем в силу уравнений F.34)
определяется равенством
F-35)
где выражение
{я, /}„-2,{¦fysz;~ J^w;
получило название классических скобок Пуассона.
а)
<(лР)гУ/г
X
Рис. 6.1. Распределение плотности вероятности в координатном (а) и импульсном (б) про-
пространствах:
A-.
Если распределение в координатном пространстве (а) сужается, то распределение в им"
пульсном пространстве (б) расплывается.
Если / не зависит явно от t, то -~- = 0 и поэтому ее изменение
будет полностью определяться скобками Пуассона
7F =
F.37)
При обращении последних в нуль ({Я, /}кл = 0) величина / не
должна зависеть от времени, т. е. будет сохраняться:
f = const.
F.38)
Например, если энергия явно от времени не зависит, то
dH/dt = 0 и в силу очевидного равенства {Я, #}кл = 0 мы най-
найдем, что функция Гамильтона (т. е. в данном случае энергия)!

§ 61 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 97
является величиной постоянной (//== const). Заметим также,
что, подставляя в F.37) вместо / координату Xi, а затем /?/, на-
находим равенства F.34), т.е. канонические уравнения Гамиль-
Гамильтона.
Произведем обобщение классических скобок Пуассона на
квантовый случай.
Прежде всего заметим, что в квантовой механике физиче-
физический смысл имеют, как мы указали в п. а), только средние зна-
значения операторов (координаты, импульса и т. д.), изменение со
временем которых мы и хотим найти.
В общем случае среднее значение произвольного оператора f
дается в квантовой механике формулой F.3), причем время t
входит в нее как параметр. Учитывая эту формулу, найдем пол-
полную производную </> по времени
4*Г= It \ V
¦*
„ дф* (t) dob (t)
Подставляя сюда вместо —\. и \. соответственно выра-
выражения -g-(Hi|))* и — -~Hi|?, приведем F.39) к виду
где
+т \ ит (/»• (м» @) - v w f (щ (/»] (Рх, F.40)
Пользуясь теперь условием самосопряженности (см. F.10)) для
оператора Н, получаем
(Щ (/))* (f* (/)) rf3^ = J ф* (/) Hf¦ @ d*x. F.42)
Вследствие этого изменение </> со временем должно определять-
определяться формулой
(!г) f>»>. F.43)
Выражение
{Н, f}ка = j (Ш - fН) = f [H, f] F.44)
4 А. А. Соколов и др.

98 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч Г
представляет собой обобщение классических скобок Пуассона
F.36) на квантовый случай и поэтому носит название кванто-
квантовых скобок Пуассона, а связанная с ними величина
[Н, f] = Hf-fH
называется коммутатором операторов Н и f. Для двух произ-
произвольных операторов А и В точно так же имеем
[А, В] = АВ-ВА.
Очевидно, в том случае, когда \jf)=:^ (как правило, опе-
оператор f явно не содержит времени), уравнение F.43) принимает
вид
4^ | F.45)
Отсюда следует, что изменение <f> со временем в этом случае
полностью определяется квантовыми скобками Пуассона. Если
к тому же оператор f коммутирует с оператором Гам льтона Н,
то соответствующая оператору f физическая величина </>, как
это видно из F.45), сохраняется.
С помощью F.45) легко доказать, что энергия частицы, дви-
движущейся в потенциальном поле V{r)y не зависящем от времени,
должна сохраняться. В самом деле, в этом случае выражение
обращается в нуль, и поэтому на основании F.45) имеем:
(Н) = const.
С другой ст>роны, согласно стационарному уравнению Шре-
дингера Щп = Еп^ПУ и поэтому, когда Ф = 'Ф(/) = 2]Сл'фп(/),
(Н) = \ Ъ*Щ d*x=\\Cn?En = E, F.46)
П
т. е. F.46) представляет собой не что иноех как закон сохране-
сохранения энергии (Е = const) для частицы, движущейся в силовом
поле, не зависящем от времени.
Заметим, что равенство нулю коммутатора Я с каким-либо
оператором означает наличие некоторой симметрии в системе.
Покажем это. Энергия системы, находящейся в состоянии -ф,
определяется согласно формуле
?=(Н) =

§ 61 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 99
Рассмотрим вместо \|) и -ф* новые функции
i[>' = FtI> и ^*'
где F — некоторый оператор, a F+ — эрмитово сопряженный
оператор. Тогда в состоянии г|/ получим
= J i|)*F+HFi|) d3x/ J \|)*F+Fi|) d3*.
Энергия ?" будет совпадать с ?, если
F+F = I и F+HF = H, F.47)
где I — единичный оператор. Поскольку из первого равенства
следует, что обратный оператор F-1 = F+ (унитарное преобра-
преобразование) , то второе равенство можно переписать в виде
HF = FH. F.48)
Таким образом, преобразование волновой функции с помощью
унитарного оператора F (F+ = F-1), коммутирующего с гамиль-
гамильтонианом Н, не изменяет энергию системы, что и означает нали-
наличие симметрии в системе.
Если преобразование F = F(a) является непрерывным и за-
зависит от действительного параметра а, причем F@)= I — тож-
тождественное преобразование, то для, малых значений а имеем:
\|/ = F-ф « г|э + а ¦? fЧ>,
где (t/ft)f — оператор бесконечно малого преобразования.
В этом случае условия F.47), F.48) с линейной точностью по а
приводят к равенствам
f = f+ и Hf = fH,
т. е. оператор f должен быть эрмитовым и коммутировать с Н.
Примером подобного оператора может служить оператор им-
импульса р* = — AИ)д/дх, задающий трансляцию вдоль оси х.
Действительно,
Аналогично, для бесконечно малого поворота вокруг оси z на
угол a <C 1 получим
)«ф (ф) + a|J = ф (ф) + a? Lz0p,
где L2 = —(ih)d/dq> — оператор проекции момента импульса L
на ось z (см. ниже).

100 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Коммутативность операторов р* или L* с гамильтонианом Н
означает симметрию системы соответственно относительно
трансляций вдоль оси х или вращений вокруг оси г. При этом
согласно F.45) сохраняется импульс рх или момент импульса L2.
г) Теоремы Эренфеста. Найдем квантовый аналог классиче-
классических уравнений движения F.34); для этого используем кванто-
квантовые скобки Пуассона. Замечая, что х и р* не содержат времени
явно, воспользуемся для определения производных соотноше-
соотношением F.45), полагая в нем соответственно f = х и f = р*. В слу-
случае f = х находим
4г (*) = ({Н, х}кв) = 4- (На: — *Н>, F.49)
ul ft
где
Учитывая при этом коммутативность х и V{x)t можно при-
привести F.49) к виду
Добавляя в правую часть этого выражения величину
(p**p*— p**p*), равную нулю, имеем
Принимая, далее, во внимание формулу F.30а), получим
¦?<*> = ^. F.51)
Чтобы определить изменение импульса со временем, мы
должны в формулу F.45) вместо оператора f подставить опера-
оператор импульса р*. Тогда, замечая, что рхр\ — р^р^ = 0, находим
Ж (Р*) = «н> Р*>кв> = | (Vpx - VxV) = - (%) i F.52)
отсюда, используя F.51), получаем
) • F.53)
Уравнения F.51) и F.53) представляют собой теоремы Эренфе-
Эренфеста, согласно которым для обобщения основных уравнений
классической механики на квантовый случай мы должны в со-
соответствующие классические соотношения подставить средние
значения операторов.

§61 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 101
д) Переход ет квантювых уравнений движения к классиче-
классическим. Сравним классическое уравнение движения
/no* = F(Jc) F.54)
с соответствующей квантовой формулой F.53).
Как было отмечено, роль классической координаты в кванто-
квантовой теории играет величина <#>. Поэтому мы могли бы считать,
что квантовое уравнение совпадает с классическим, если бы
вместо F.53) имели
mo-?r(x) = F((x))f F.55)
т. е. если бы в классическое соотношение между силой и коорди-
координатой было подставлено вместо х его среднее значение <х>.
Однако согласно теореме Эренфеста в уравнения движения в
квантовом случае входит среднее значение самой силы, т. е.
(F(x)y. Поэтому, чтобы перейти от квантовых уравнений движе-
движения к классическим, прежде всего следует установить связь
между (F(x)} и F((x}).
Представим для этого оператор силы F(x) в виде
F(x) F((x) + bx)9 F.56)
где Д# = х — <х>, и разложим F{x) в ряд Тейлора вблизи точки
х = <#>. Тогда получаем:
F (х) = F ((х)) + (A*) F' ((х)) + ±±f- F" «*» + ... F.57)
Производя усреднение этого выражения по формуле F.3) и при-
принимая во внимание, что <Дх> = (х — <#» = 0, получаем:
(F (х)) = F ((х)) + Щр- F» «*» + ... F.58)
Поэтому квантовые уравнения движения F.53) принимают вид
mo4W <*> = F «*» + -^ТГ1 *" «*»• F.59)
Здесь выражение ^ F"((x)) является квантовой по-
поправкой к классическому уравнению Ньютона. Очевидно, крите-
критерием перехода квантовых уравнений движения в классические
является неравенство
<(Д)*>|?Ц| F.60)
Однако следует заметить, что выполнение этого условия еще не
означает возможность применимости всех классических понятий
для описания движения микрочастицы. В самом деле, в кванто-
квантовой механике среднее значение кинетической энергии <Г> опре-

102 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
деляется выражением
где Ьрх = рх — (рх) <р*>
В то же время классическим аналогом кинетической энергии
следует считать величину
Отсюда следует условие перехода от квантового выражения
кинетической энергии F.61) к классическому F.62)
((Ар,J) < <р*>2 = 2т0Т ((рх)). F.63)
Умножая неравенство F.63) на F.60), находим общее усло-
условие возможности использования классического приближения в
микромире
Если к тому же учесть еще соотношение неопределенностей
F.30), то последнее условие принимает вид
F.65)
§ 7. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ-ОСЦИЛЛЯТОР
Задача об одномерном гармоническом осцилляторе является
одной из важных задач теоретической физики. Она находит свое
применение при построении простейшей теории колебаний, кото-
которая имеет большое значение в самых разнообразных областях
физики (в механике, классической электродинамике, радиофи-
радиофизике, оптике, атомной физике и т. д.). Новые теории, которые за
последнее время появлялись в атомной физике, как правило,
«испытывались» на ряде простейших задач, в том числе и на
построении теории гармонического осциллятора.
Часто оказывается возможным свести изучение движения
сложных систем к рассмотрению совокупности нормальных ко-
колебаний, эквивалентных колебаниям гармонических осциллято-
осцилляторов. Для нас построение теории гармонического осциллятора
интересно еще и в методическом отношении. В самом деле, эту
задачу можно решить точно и тем самым проиллюстрировать
на наиболее простом примере применение уравнения Шредин-
гера для исследования конкретных задач. Задача о гармониче-
гармоническом осцилляторе сыграла большую роль также при создании
квантовой теории поля (вторичного квантования) и при анализе

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР ЮЗ
так называемой нулевой энергии электромагнитного ва-
вакуума.
Конкретное применение задача о гармоническом осцилля-
осцилляторе нашла в теории равновесного излучения, а также при по-
построении теории спектров и теории теплоемкости двухатомных
молекул (см. ниже).
а) Осциллятор в классической теории и в приближении ВКБ.
Рассмотрим сначала классическую теорию линейного гармониче-
гармонического осциллятора*). Для этого представим себе, что на неко-
некоторую материальную точку с массой то действует упругая сила
F——.bx G П
где k — коэффициент упругости. Тогда классическое уравнение
движения гармонического осциллятора запишется в форме
ШоХ= — kx, G.2)
описывающей простейший колебательный процесс.
Решение этого уравнения имеет вид
х = a cos со/, G.3)
2п 1
где со= — = Д/~ круговая частота, а а — амплитуда коле-
колебаний. Из G.3), в частности, видно, что ускорение
w = х = — асо2 cos &t G.4)
отлично от нуля. Следовательно, колебание заряженной частицы
должно сопровождаться излучением, интенсивность (средняя
энергия, излучаемая в 1 с) которого в соответствии с классиче-
классической электродинамикой будет с учетом G.4) определяться выра-
выражением
|i ^l G.5)
При выводе G.5) мы учли, что среднее значение cos2 of равно
G.6)
Выразим теперь интенсивность излучения WKJl через полную
энергию Е = Т + V гармонического осциллятора. Воспользо-
*) В данном параграфе мы рассмотрим случай одномерного движения и
в дальнейшем вместо выражения «линейный гармонический осциллятор» бу-
будем говорить просто «гармонический осциллятор».

104 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ГЧ Т
вавшись известными выражениями для потенциальной энергии
о
и кинетической энергии:
т = тъх_ ^ т^а ^ ^ ^^
находим
E=V{x) + T = =^ = const. G.9)
Исключая с помощью последнего соотношения величину а2 из
G.5), имеем
0/,2/л'-! С1
G.10)
Итак, с помощью классической теории определяется как ин-
интенсивность, так и частота излучения, причем последняя совпа-
совпадает с механической частотой колебания гармонического осцил-
осциллятора. Энергия же гармонического осциллятора может прини-
принимать любые непрерывные значения.
Согласно квантовой механике энергетические уровни осцил-
осциллятора должны быть дискретными. Наиболее просто спектр
энергии можно определить методом ВКБ' с помощью правила
квантования Бора — Зоммерфельда E.39)
+ 42)9 G.11)
где квантовое число /г = 0, 1, 2, 3, ..., а импульс рх равен
Рх = У2/По(?-К(*)). G.12)
Учитывая значение V {х) = тосо2л;2/2, вычислим интеграл
рх dx = 2
где х\ и х2 находятся из уравнения V(x\) = V{x2) =E. Под-
Подставляя этот интеграл в условие квантования G.11), находим
спектр энергии осциллятора
?rt = A©(/i+V*). G.13)
Заметим, что полученный результат для осциллятора оказы-
оказывается точным, несмотря на то, что при его выводе использова-
л&Сь ЯБаЗй&таесическая формула G.11). Пестулат квантования
Бора гфибодит к неточному результату, отличающемуся от
G.13) членом 7г.

§71
ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
105
б) Собственные функции и собственные значения энергии.
Чтобы определить характер волновой функции г|) в задаче о гар-
гармоническом осцилляторе, прежде всего представим графически
зависимость потенциальной энергии V от х (рис. 7.1)
Из графика видно, что в области потенциальной ямы, где
полная энергия Е гармонического осциллятора больше К
\\У
V
1/
/
У
'К-—а
JE<V
убыв
1 I-»
С
Рис. 7.1. Волновая функция гармонического осциллятора при произвольном значении энергии.
(Е > V), решение для г|э должно иметь характер гармониче-
гармонической функции. В области же потенциального барьера (Е < V)
эти решения должны содержать две части: убывающую и воз-
возрастающую (рис. 7.1). Очевидно, что решение задачи сводится
к нахождению таких условий, при которых возрастающее реше-
решение должно отсутствовать. Это возможно, так же как и в прямо-
прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
(см. § 4), лишь при некоторых дискретных значениях энергии,
которые мы и должны здесь определить.
Так как потенциальная энергия V гармонического осцилля-
осциллятора зависит лишь от координаты ху то уравнение Шредингера
для него можно записать в виде
Полагая здесь
а =
dx2
2/иоЕ
2m0
h2
G.14)
т0со
2Я
Ясо

106 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
и вводя новую переменную
= ^' G.15)
получаем
<ф" -f (Я — &2) "Ф = 0, G.16)
где
г=4f- <7Л7)
Прежде всего найдем асимптотическое поведение волновой
функции при ?-^db°o, когда постоянной величиной X по сравне-
сравнению с |2 можно пренебречь. Тогда
"С — ?2/Фоо = 0. G.18)
Решение этого уравнения будем искать в виде
^оо = ег1\ G.19)
Учитывая, что
*ф? = D&%2 -f 2е) &? « Аг%2ег1\
находим:
е = ±V2 G.20)
и, следовательно,
too = C^-va1 + C2el№. G.21)
Поскольку при !->¦ ztoo волновая функция должна быть ограни-
ограниченной, коэффициент С2 необходимо положить равным нулю;
коэффициент же С\ можно считать равным единице, так как
волновая функция не является еще нормированной. Таким об-
образом, асимптотическое поведение волновой функции if> будет
следующим:
^ = е-Ч>\\ G.21а)
Общее решение для волновой функции будем искать в виде *)
о|) = ф^и = е~~хЬ ?и> G.22)
учитывающем особенности поведения на бесконечности. Под-
Подставляя последнее выражение в G.16) и принимая во внимание,
что
(*-¦/• Щ" = [и" - 2\и' + (I2 - 1) и] е-* *\
*) Заметим, что само преобразование G.22) при произвольном значении
функции и(х) не может исключить каких-либо решений, и поэтому, чтобы экс-
экспоненциально возрастающее решение вновь не могло появиться, на функцию
и(х) достаточно наложить еще дополнительное условие, а именно следует по-
потребовать, чтобы она являлась полиномом порядка п (см. ниже).

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 107
получаем следующее уравнение для и:
и" - 21и' + (к - 1) и = 0. G.23)
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда
и=ЪьК1К\ G.24)
подставляя последнее выражение для и в уравнение G.23), на-
находим
Z Ьк \к (к - 1) Ък~2 - B/с + 1 - Я) f] = 0.
Производя преобразование индекса суммирования таким об-
образом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями ?,
получаем:
ZZK[bK+2(K + 2)(K+l)-bKBK+l-X)] = 0.
Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при ?*, найдем рекур-
рекуррентное соотношение для коэффициентов Ьк\
Ь*+2 = ЬК{к + 2){к+1) . G.25)
Последнее соотношение связывает коэффициент Ьк с Ьк+2 и т. д.
Аналогично можно найти связь коэффициента bK+i с Ьк+г и т. д.
Поэтому мы получаем два независимых решения, определяемых
рядом G.24). Первое независимое решение связывает между со-
собой коэффициенты, например, при четных степенях ?, второе —
коэффициенты при нечетных степенях g или наоборот.
Как видно из соотношения G.25), один из этих рядов мы
можем оборвать (т. е. сделать полиномом) на некотором члене п
(п — целое положительное число, включая нуль). Для этого мы
должны положить
. G.26)
В этом случае Ьп ф 0, в то время как
Ьп+2 = Ьп+4 = Ьп+6 = ... = 0. G.27)
Из G.26) и G.14) находим дискретный спектр возможных зна-
значений энергий
?я = Аю(г. И/2), G.28)
где квантовое число п = 0, 1, 2, 3, ...
В отличие от теории Бора нулевая энергия (п = 0) не обра-
обращается в нуль и равна
?0=72^@. G.28а)

108 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Ниже мы покажем, что появление нулевой энергии связано с
соотношением неопределенностей, т. е. с волновыми свойствами
частиц. На частоте излучения она не сказывается.
Другой ряд с коэффициентами Ьп+\, Ьп+ъ и т. д., образующий
второе независимое решение, при помощи введения условия
G.26) мы оборвать не можем. В этом ряде отношение двух
последующих коэффициентов согласно G.25) при s -> оо стре-
стремится к пределу
и будет таким же, как у функции е*\ разложенной в ряд
s-0,1. ...
Поэтому при g->±oo имеем u—>eg2, т. е. мы вновь получим рас-
расходящееся решение ifc»-* ?I/a*f» которое следует отбросить*).
Первый же ряд (см. G.24)) должен представлять собой конеч-
конечный полином порядка п.
Полагая коэффициент при максимальной степени /смакс = п
равным **)
Ьп = 2п, G.30)
находим:
& — ^
> д _
Ограничиваясь первыми п членами степенного ряда для функ-
функции и, получим так называемый полином Эрмита
и = Нп (I) - B1)" - ifczJL
Я(В-1)(В-2)(Д-3)
2!
-4 , , Г *i6 при я нечетном,
+ ' • • + \ ^ при п четном. G>32)
Отсюда, в частности, следует, что
G.33)
*) Если на параметр К не наложить условия G.26), то оба решения при
б-* ±оо будут расходящимися
**) Заметим, что этот коэффициент всегда можно выбрать произвольно,
поскольку нормировочный множитель волновой функции г|)л еще не определен.

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР @9
Полином Эрмита Нп{\) можно записать в замкнутой форме
ЯяF) = (-1)я^-^?-. G.34)
Примечание. Чтобы это показать, введем функцию v = e~^\ удовле-
удовлетворяющую уравнению
i>' + 2?0 = O
Дифференцируя последнее уравнение п + 1 раз, используя при этом формулу
Лейбница;
{yz)(n) e у(п)г + ад(«-V + П(П2~1) У{п~2)г" + • • •> G.34а)
находим:
Производя далее замену
получим, что функция до удовлетворяет уравнению G.35), т. е. будет про-
пропорциональна полиному Эрмита
Множитель пропорциональности Лп может быть найден путем приравнивания
друг другу коэффициентов при ?2rt. В результате оказывается Ап = (—1)п,
откуда мы и получаем формулу G.34).
Из G.32) видно, что Нп{%) подчиняется уравнению G.23),
если в последнем положить X = 2п + 1:
Н';-2$Н'п + 2пНп = 0. G.35)
Решение уравнения Шредингера для гармонического осцил-
осциллятора согласно G.22) и G.32) имеет вид
¦„ = Ся*-**ял(». G.36)
причем ? связано с координатой х соотношением G.15). Коэф-
Коэффициент Сп можно определить из условия нормировки. Рассмо-
Рассмотрим для этого интеграл
Inn' = J *»4v dx = х0СпСп' J e-VHn (|) Я„' A) rf|, G.37)
~оо —оо
где, не ограничивая общности, можем предположить, что п ^ п!\
Подставляя сюда полином Нп{1) в виде G.34), получим после
n-кратного интегрирования по частям
_/ ппхГг> [ н йПе~%% я - г г г Г r-v dnH« и-
— оо —оо
G.38)

И О НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Если п > п\ то я-кратное дифференцирование полинома Нп
степени п' дает нуль Innf =0. Тем самым доказывается орто-
ортогональность функций \|)tt и \|v при п' Ф п.
В случае п' = п, принимая во внимание, что согласно G.32)
-^ НпF) = 2пп\, J e-V d\ = л/п , G.39)
— оо
и требуя, чтобы функции -фп были нормированы на единицу
{Inn = 1), находим
L. G.40)
Таким образом, волновые функции
*й (х) = у ' в2 Ш ЯЛ (-f) G.41)
оказываются ортонормированными, т. е.
Примечание. Как видно из формулы G.32), квантовое число /г, кро-
кроме энергии (см. G.28)), характеризует также четность волновой функции
tyn(x). Действительно, при четных п полином Эрмита Нп, а вместе с ним и
волновая функция г|)п(*) являются четными, т. е. при замене х на — х не из-
изменяют своего знака
Фя (- х) = Цп (х) (п - четно). G.42)
При нечетных же п функция г|)я(#) является нечетной, т. е.
¦»(—*) = — **(*) (/г - нечетно). G.43)
Заметим, что если К в уравнении G.16) не удовлетворяет условию G.26),
то решение не может быть выражено через полиномы Эрмита. В этом случае,
полагая z = У2 с, и К = 2v + 1, получим линейно независимые решения
уравнения G.16)
|
выраженные через функции параболического цилиндра (функции Вебера —
Эрмита) Dv (z) и Dv (— z). При условии v = п_== 0, 1,2,... функции Dv (± г)
выражаются через полиномы Эрмита Нп (г/У2), и мы вновь получаем реше-
решение G.41).
В области малых квантовых чисел, например, для я=0, 1, 2,
имеем
| ft®, ^ = d.2^W, G.44)

§71
ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
111
График собственных значений и собственных функций осцил-
осциллятора представлен на рис. 7.2. Мы видим, что по внешней фор-
форме он напоминает аналогичный график, полученный для потен-
потенциальной ямы (рис. 4.3). Функция г|H соответствует основному
тону, функция г|I — первой гармо-
гармонике, функция i|J — второй гармо-
гармонике и т. д.
в) Когерентные состояния. Выше
мы нашли, что минимальная энер-
энергия гармонического осциллятора
G.28а) отлична от нуля, в то время
как по классической теории или
по теории Бора она равна нулю. По-
Покажем, что наличие основного со-
состояния осциллятора с минимальной
энергией Ео = -у- связано с соот-
соотношением неопределенностей
>-|-. G.45)
Рис. 7.2. График собственных значе-
значений и собственных функций осцил-
осциллятора для м=0, 1, 2.
В случае осциллятора для стационарных состояний можно
сделать замену <(ДхJ> на <х2> и <(Д/?J> на <р2>. Это следует
из того, что волновые функции tyn вещественны и являются либо
четными, либо нечетными. Поэтому в силу нечетности выра-
выражений "Ф**^ и —ih^dtyjdx имеем
-о, (p)=
Отсюда
Подставляя значение для <р2> из G.45) в выражение для
полной энергии
Е = (Н) = -^—| ^--g ,
получаем
л(х2)
8то(х2) ' 2
Приравнивая нулю производную Е по <х2>, находим минималы
ное значение Е:
Е^Е =-^ при <*2>=4*2
*^ мин 2 v N ' 2 0

112 НЕРЕЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Т
Таким образом, ?МИн совпадает со значением для Яо, найденным
по волновой теории (см. G.28а)).
Существование конечной нулевой энергии гармонического
осциллятора является одним из наиболее характерных проявле-
проявлений волновых свойств частиц. В связи с этим экспериментальное
подтверждение нулевых колебаний имело большое значение для
всей квантовой механики.
Впервые нулевая энергия ?0 была обнаружена эксперимен-
экспериментально в опытах по рассеянию рентгеновских лучей в кристал-
кристаллах при низких температурах. Если бы никаких колебаний ре-
решетки при низких температурах не было (? = 0), как это,
например, следует из теории Бора, то взаимодействие рентгенов-
рентгеновских лучей с кристаллической решеткой, а следовательно и рас-
рассеяние, не имело бы места. Наоборот, если минимальная энер-
энергия будет отличной от нуля (Е0ф0), то эффективное сечение
рассеяния при низких температурах должно стремиться к неко-
некоторому конечному пределу. Эксперимент доказал последнее, т. е.
подтвердил правильность выводов волновой теории Шредингера.
Чрезвычайно важным является то, что в основном состоянии
х2
осциллятора с минимальной энергией Ео = йсо/2 при (я2)— -~
имеем (р2) = 2пг0Е0— т2®2 (х2) = —^—, т. е. в этом случае произ-
произведение неопределенностей G.45) принимает наименьшее зна-
значение
<(A*p><(Ap)*> = ?. G.46)
Распределение по координатам в этом состоянии п = О, как сле-
следует из G.44), является гауссовым:
Построим теперь наиболее общую волновую функцию, описы-
описывающую состояние частицы, в котором произведение неопреде-
неопределенностей для х и р принимает наименьшее значение G.46).
Для этого вместо функции фо следует взять функцию \|)«, кото-
которая получается из г|H заменой переменной х->х — лг0ад/2 , где
а — произвольное комплексное число. В результате для норми-
нормированной на единицу функции получим
^"^ ^ . G.47)
Vл/я Хо
При этом распределение по координатам имеет гауссов вид

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР ИЗ
где Re а ~- действительная часть а = Re a + i Im а. Из послед-
последнего равенства следует, что состояние G.47) приводит к сред-
среднему значению:
/ Re а,
вообще говоря, отличному от нуля. Для среднего значения р
в состоянии G.47) получим
Легко убедиться в том, что дисперсия координаты в состоянии
г|?а равна
<*2><*>2 *2
т. е. она совпадает со своим значением в состоянии гро. Для сред-
сред2
него значения р2 находим
-$*;(-
хо
хо
Отсюда следует выражение для дисперсии импульса
и для произведения неопределенностей снова получаем мини-
минимальное значение G.46).
Найденное нами состояние фа G.47) может быть представле-
представлено в виде разложения по полному набору волновых функций
осциллятора G.41)
Е
Для вычисления коэффициентов разложения Сп следует по-
поступить так же, как это было сделано выше при вычислении
нормировочного интеграла G.37), т.е. использовать замкнутый
вид G.34) для полиномов Эрмита Нп
где ! = —. Подставляя сюда выражение для фо G.47) и ин-
Xq
тегрируя п раз по частям, получим

114 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч I
Таким образом,
% (х) = е~\ а ^ ? -^ Ъп (х). G.48)
п
Отсюда следует, что распределение по квантовым числам п в со-
состоянии G.48) является распределением Пуассона
со средним значением (п) = \а\2. Переходя в G.48) к завися-
зависящим от времени волновым функциям фл(лс, t) — e~tEnt/httyn (х),
получим следующее решение:
¦«(*, t) = е-Ч» I« Ve-шц ? («"У %{х)> G.48а)
удовлетворяющее нестационарному уравнению Шредингера для
осциллятора. Как видно, отличие tya(x, t) от i|)a(jc), если не учи-
учитывать общего фазового множителя е~Ш12, сводится к замене a
на ае~ш, и поэтому средние х и р в состоянии G.48а) изме-
изменяются во времени как
(p) = У^'т" Im Ь*ш)>
т. е. по законам классической механики. Суперпозиция стацио-
стационарных состояний осциллятора типа G.48а) описывает так на-
называемые когерентные состояния и представляет собой нерас-
плывающиеся волновые пакеты, минимизирующие соотношение
неопределенностей. Они были введены впервые Шредингером
в 1926 г. как состояния, наиболее близкие к классическим, и в
настоящее время широко используются для описания когерент-
когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории
поля (Р. Глаубер, 1963).
г) Элементы теории представлений в квантовой механике.
В рассматриваемой нами теории Шредингера волновая функ-
функция if зависит от пространственных координат. Согласно приня-
принятой статистической интерпретации квадрат модуля функции свя-
связан с плотностью вероятности обнаружить частицу в точке про-
пространства с координатами г, г -f- dr. В этом случае принято
говорить, что волновая функция (а также и все операторы) за-
задана в координатном представлении. Такое представление, как
мы уже убедились, удобно для решения ряда конкретных задач.
Однако это представление не является единственно возможным.
Кроме координатного представления, в квантовой механике рас-
рассматриваются также импульсное, матричное (энергетическое)
и другие представления.

§ 71 ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 115
На конкретном примере гармонического осциллятора рас-
рассмотрим более подробно этот вопрос.
С этой целью напишем гамильтониан (в нашем конкретном
случае для гармонического осциллятора), сохраняя связь с им-
импульсом и координатой, которая была установлена в классиче-
классической теории:
Затем потребуем, чтобы р ил; были не обычными величинами,
коммутирующими друг с другом (т. е. так называемыми с-чис-
лами), а какими-то операторами (т.е. <7'числами), закон пере-
перестановок между которыми должен иметь вид
рх-хр = у. G.50)
Удовлетворить последнему соотношению мы можем несколькими
способами, каждый из которых соответствует одному из пред-
представлений в квантовой механике, различающихся по зависимо-
зависимости волновых функций от координат или импульсов. В связи с
этим сформулируем основные представления и установим связь
между ними.
1) Координатное представление (х-предста-
вление) мы получим, полагая импульс оператором (^-число)
оставляя в то же самое время координату х обычным с-числом.
Тогда величина %/i является собственным значением опера-
оператора G.50) при действии его на волновую функцию гр (лг), зави-
зависящую от координаты х:
(р*-ДфЖ*) = уФ(*). G.52)
Подставляя G.51) в уравнение G.49), мы находим, что га-
гамильтониан становится также оператором:
задача о собственных значениях которого приводит к уравнению
Шредингера (^-представление) для гармонического осциллятора
(Е -Ах2 + В -^г) ф (х) = 0, G.54)
где

116 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч I
Вводя величину
% = — G.56)
<7-57>
находим собственные значения (см. G.26) и G.28)) для посто-
постоянной
Я,я = 2я+ 1. G.58)
Отсюда следует, что
En=*hv>{n+l/2), G.59)
где п = 0, 1, 2, 3, ...
Собственные функции определяются равенством G.41)
G.60)
л/2пп\ -у/л хо
и удовлетворяют условию нормировки
+ 0О
=\. G.61)
Согласно основным принципам теории наблюдаемыми вели-
величинами являются средние значения соответствующих операто-
операторов. Сама же волновая функция играет вспомогательную роль.
Так, в частности, в теории гармонического осциллятора суще-
существенная роль принадлежит матричным элементам координаты
+ ОО
*„-„= \ *>М* G-62)
— оо
и импульса
+ ОО
— оо
которые, как будет показано ниже, характеризуют процесс из-
излучения.
Для того чтобы раскрыть последние интегралы, воспользуем-
воспользуемся следующими соотношениями, которым удовлетворяют волно-
волновые функции гармонического осциллятора:

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 117
Для того чтобы обосновать эти соотношения, найдем произ-
производную от полинома Эрмита
Н'л = 2п [B?Г' - ("-*>(»-2> B?р 3 + ...] = 2пНп_х. G.66)
Аналогичным путем легко показать, что #" = 2/г2(/г — 1)#п_2.
Подставляя эти значения для производных в G.35) и произ-
производя замену п-*п+ 1, находим рекуррентное соотношение ме-
между полиномами Эрмита
ЬНп = пНп_х+±Нп+1. G.67)
С помощью равенств G.66) и G.67) легко обосновать соотноше-
соотношения G.64) и G.65), если при этом учесть еще G.41).
Подставляя G.64) и G.65) соответственно в равенства G.62)
и G.63) и учитывая условие ортонормированности, находим сле-
следующие отличные от нуля значения для матричных элементов
координаты:
^д-Ьд — ^О Д/ ~сГ» xn+l.n — xO Sy 2 * G.68)
и импульса:
Рп-и п~ — itno®xn-\, пу Рп+и п=== tm<№Xn+it n. G.69)
2) Импульсное представление (р-представ-
л е н и е) мы получим, если в операторном соотношении G.50)
мы, наоборот, импульс р будем считать обычным с-числом, а ко-
координату— оператором (^-числом)
*—-Mjr- <7-69а)
Нетрудно убедиться тогда, что при действии этого оператора
на волновую функцию, зависящую теперь от импульса р*),
должно соблюдаться равенство
(рх-хр)Ф(р) = ? <р(р). G.70)
Построим теорию гармонического осциллятора в импульсном
представлении.
Подставляя значение оператора G.69а) в уравнение G.49),
найдем
(^О, G.71)
*) Заметим, что в пространстве импульсов квадрат модуля волновой
функции следует интерпретировать как плотность вероятности обнаружить
частицу с импульсом, лежащим в пределах р и р + dp.

118 НЕРЕЛ51ТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА |Ч I
где
А — — в — то(°2^2 G 72)
Отсюда видим, что для гармонического осциллятора при пе-
переходе от ^-представления к р-представлению волновое уравне-
уравнение при введении новых масштабов
Я = Е = 2Е
» - <7-73)
тождественно переходит само в себя:
Ф// + (Л1-ч2)ф = 0 G.74)
(здесь штрихом обозначена производная по ц). Поэтому мы мо-
можем воспользоваться решениями G.28) и G.41) и написать в
р-представлении *)
^ G.75)
G.76)
<\/2пп\ V^ Po
причем волновая функция фя(р) должна удовлетворять условию
ортонормированности
р) = вя,„. G.77)
Нетрудно проверить, что в этом случае ф(р) является фурье-
образом функции \f>(x)
поскольку в этом случае
tKx)e"'T"dx, G.79)
*) Целесообразность введения множителя (—0п> квадрат модуля кото-
которого равняется единице, показана ниже (см. G.82)).

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 119
в чем нетрудно убедиться, если учесть соотношение
]dpe
г» . Р .
if,1 -тг(х-х')
2nh
Наконец, получим формулу G.76) с помощью фурье-преоб-
разования G.79). Подставляя сюда значение для ^п{х) из
G.41), имеем
Xdxe->k
+оо
*V \ dfr-We-'^HAl). G.81)
л/я h ^
Как известно, фурье-обр^з_ функции G.60) переходит сам в
себя *) с коэффициентом д/2я (—•/)*:
. (р) = /-Г Нп (^) е~>к Ш. G.82)
Этим и оправдывается введение множителя (—i)n в волно-
волновую функцию G.76).
Определив волновую функцию ц>п{р) в пространстве импуль-
импульсов, можем найти по следующим формулам матричные элементы
координаты
^n\<{l^)dp G.83)
и импульса
для которых получим те же значения, которые были найдены в
координатном представлении (см. G.68) и G.69)).
3) Матричное представление. Мы сможем удовле-
удовлетворить также перестановочным соотношениям квантовой меха-
механики G.50), если операторы импульса и координаты станем опи-
описывать с помощью матриц, которые в общем случае, как извест-
известно, не коммутируют друг с другом.
Обозначая матричные величины круглыми скобками, соот-
соотношение G.50), а также гамильтониан для гармонического
*) См.: Лебедев И. Н. Специальные функции и их приложения. М. — «П.,
«Наука», 1963, стр. 87.

120
ТТПРЕЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч Г
осциллятора G.49) мы мож&м представить в виде
(хJ
G.85)
G.86)
где / — единичная матрица.
Кстати, заметим, что законы квантовой механики были впер-
впервые сформулированы Гейзенбергом именно с помощью подоб-
подобных матричных уравнений, из которых и были найдены (х), (р)
и (#)•
Ради краткости мы воспользуемся найденными в случае гар-
гармонического осциллятора значениями для матричных элементов
и покажем, что они удовлетворяют соотношению G.85). Затем
с помощью формулы G.86) найдем спектр энергий.
Оказывается, решением уравнения G.85) являются матрицы,
составленные из матричных элементов координаты и импульса,
полученных нами в ^-представлении (или ^-представлении).
Матричные элементы G.68) и G.69) образуют при этом сле-
следующие бесконечные околодиагональные матрицы*):
'#00 #01 #02
#10 #11 #12
#20 #21 #22
(р)=\
Роо
р\о
Р20
Poi
Рп
Рп
Р02 • •
Pl2 • •
р22 • •
У2/2
0 0 0...
о о ...
о VvT о ...
G.87)
О — i
о -
0
0
о о ...
о о ...
~/У377 о ...
G.88)
Эти матрицы являются эрмитовыми, так как соблюдается
соотношение
Учитывая, что матричные элементы произведения двух мат-
матриц равняются сумме произведений соответствующей строки на
*) Заметим, что задание совокупности матричных элементов
оператора F называется также описанием оператора F в энергетическом пред-
представлении (при условии, что фя—-собственные функции оператора Ы).

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 121
столбец
оо
(рх)п'п = Z Рпк*кп> G.89)
/с=0
мы находим с помощью G.87) и G.88)
(Р*)п'п — (Хр)п'п = Yj (Рп'*Х™ ~~ Хп'кРкп) = -f в/i/i'. G.90)
/с
т. е. правая часть этого равенства образует единичную матрицу,
умноженную на ft//*). Поэтому основное соотношение G.85)
квантовой теории в матричном представлении будет удовлетво-
удовлетворено.
Вычислим теперь матричный элемент гамильтониана G.86),
который равен
1 .
Подставляя сюда значения для матричных элементов коорди-
координаты и импульса из равенств G.87) и G.88), находим
//„'„ =/Мп+'/2N„'„.
Таким образом, гамильтониан (Я) образует диагональную
матрицу
/Vi о о о...ч
<">-»<• ! ? •! ;:::
Если рассматриваемая величина образует диагональную мат-
матрицу, то это означает на языке волнового уравнения Шредин-
гера, что данный оператор обладает спектром собственных зна-
значений, определяемым диагональными элементами.
Таким образом, на примере гармонического осциллятора мы
убедились, что все три представления (лг-представление, /?-пред-
ставление и матричное представление) приводят к одному и
тому же результату для матричных элементов координаты, им-
импульса и энергии. Заметим, что при возникновении квантовой
механики казалось, что матричный и волновой подходы могут
привести к различным результатам, но дальнейшие исследова-
исследования показали их полную тождественность.
4) Понятие вектора состояния. Существует более
общий метод, который позволяет сформулировать основные по-
*) Если быть последовательным, то дри решении задачи в матричном
представлении, наоборот, из равенства G.90), учитывая при этом G.69), еле*
дует найти малицы G.87) и G,88).

122 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. t
ложения квантовой механики, не обращаясь к какому-либо кон-
конкретному представлению. Он основан на понятии вектора со-
состояния квантовой системы, который принадлежит некоторому
абстрактному пространству, носящему название гильбертова
пространства. Такой вектор зависит от полного набора кванто-
квантовых чисел я, соответствующих собственным значениям коммути-
коммутирующих между собой операторов, и полностью описывает кван-
товомеханическое состояние системы.
Следуя Дираку, будем обозначать вектор состояния угловой
скобкой
| г|)) — кет-вектор G.92)
или же \п) — с явным указанием квантовых чисел (под п под-
подразумевается полный набор f квантовых чисел п\, ..., rif).
Введем также сопряженный вектор
('Ф I — бра-вектор, G.93)
однозначно связанный с кет-вектором |г|)> и принадлежащий
к некоторому сопряженному пространству *).
Скалярное произведение двух векторов |г|)> и |<р> в этих
обозначениях имеет вид
<*|q>>. G.94)
Как было выяснено выше, волновая функция системы в л:-пред-
ставлении tyn(x) является амплитудой плотности вероятности
местоположения частицы |г|)п(х)|2. В обозначениях Дирака та-
такая функция равна
¦я (*) = (х\п) (*; (х) = (п | х)) G.95)
и задает, таким образом, координатное представление вектора
состояния |/г>.
Соответственно для волновой функции в /^-представлении
получим
<Р\п), G.95а)
т. е. импульсное представление вектора |п>.
С математической точки зрения величины (х\пУ являются
компонентами вектора \п) в базисе |л:>, т.е.
x){x\n)dx = \\ x)^n(x)dx. G.96)
*) Названия бра-(bra-) и KeT-(cket-) были введены Дираком. Они пред-
представляют собой соответственно первый и второй слоги английского слова
bracket, что означает скобка.

§ 71 ЛИНРЙНЫЙ ГЛРМОНТТЧЕСКИП ОСЦИЛЛЯТОР 123
Векторы этого базиса \х} представляют собой собственные век-
векторы оператора координаты
х|х'> = *'!*'>. G.96а)
Выражение (х\п) можно рассматривать также как элемент мат-
матрицы, строки которой «нумеруются» непрерывно меняющимися
индексами х, а столбцы — индексом п.
Интегрируя плотность вероятности
(п\х){х\п) G.97)
по х, получим полную вероятность, значение которой равно
= \(n\x)(x\n)dx = (n\n)= 1. G.98)
Заметим, что это значение не зависит от представления, так как
в р-представлении имеем также
= (n\n) = l. G.99)
Очевидно, что условие ортонормированности волновых функ-
функций a|)rt и i|v запишется теперь в виде
= (n'\n) = 6n,n, G.100)
что означает ортонормированность векторов \п) и \п').
Система векторов \п) по основному предположению кванто-
квантовой механики должна быть полной. Это означает, что всякое
г|)> может быть представлено в виде суперпозиции
состояние
состояний
п):
G.101)
Здесь сумма распространяется на все возможные значения, ко-
которые могут принимать квантовые числа п.
Таким образом, условие полноты системы состояний \п)
представляется равенством
?|л><л| = 1, G.102)
п
где в правой части стоит единичный оператор. Выбирая л;-пред-
ставление, мы получим
(х\$)=И(х\п)(п\Ц) G.103)
п

124 НЕРЕЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА f4. I
или явно для волновой функции (см. также F.16)):
Ш=1,СпЪп(х). G.104)
п
Матричные элементы АЛ'п некоторого оператора А, действую-
действующего на векторы состояний \п}, могут быть в обозначениях Ди-
Дирака записаны как <п'|А|п>*). Как видно, при записи матрич-
матричных элементов в виде скобок Дирака <п'|А|/г> используется
оператор и векторы состояния в абстрактном смысле, без вы-
выбора какого-либо представления.
Для вычисления матричных элементов можно всегда перейти
к некоторому конкретному представлению оператора А и векто-
векторов \п) и \п'). Например, в лг-представлении
), (х\п), (х\п')
получим
= \(n'\x')(x'\A\x){x\n)dxdx' =
= J (п' \х) А (х) (х | п) dx = J +;, (х) A (jc) % (х) dx - A^ G.105)
что совпадает с данным выше определением матричных элемен-
элементов G.62).
Однако, как мы увидим ниже на примере гармонического
осциллятора, для расчета матричных элементов не обязательно
пользоваться системой волновых функций tyn(x) или фл(р), до-
достаточно знать общие свойства операторов и векторов состоя-
состояний, не зависящие от выбора конкретного представления.
Если известны матричные элементы двух операторов А и В,
то матричный элемент их произведения АВ согласно условию
полноты системы состояний |я> G.102) может быть вычислен
с помощью соотношения
ZIBU), G.106)
что, как указывалось выше G.89), есть просто правило умноже-
умножения матриц (А) и (В) для операторов А и В, заданных в мат-
матричном представлении.
Покажем теперь, как можно решить задачу о гармоническом
осцилляторе, не прибегая к конкретному представлению.
Оператор Гамильтона линейного гармонического осциллято-
осциллятора имеет вид
*) В частности, для диагонального матричного элемента мы сохраним
обозначение {Л) зз {п\к\п) (см, F.4)).

$ 71 ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 125
Введем операторы а и а+, представляющие собой линейные ком-
комбинации р и х:
где
Поскольку операторы х и р эрмитовы, то оператор а+ представ-
представляет собой эрмитово-сопряженный оператор по отношению к
оператору а.
Используя коммутатор
рх —хр = —/А, G.109)
находим
[а, а+] = аа+-а+а=1. G.110)
Оператор Гамильтона G.107) с помощью операторов а и af
G.108), удовлетворяющих условию коммутации G.110), можно
теперь переписать так:
т_т
Имеем, очевидно,
и вообще
Н(а+Г = а+(Н-
где п = 0, 1, 2, ...
Предположим,
тогда
-^г (аа+ + а+а) = А© (а+а + !/2).
На+ = а+ (Н + А©)
f Йсо)(а+)Л= ... =(а+)Л(Н +
что имеется состояние |0>, для
а 10> = 0,
Н |0) = 4г 1 0),
G.1
И)
G.112)
aiAcd), G.1
которого
G.1
G.1
13)
И)
15)
т.е. |0> — собственный вектор Н, принадлежащий собственному
значению Асо/2.
Рассмотрим вектор состояния
(а+)я|0> (/1 = 0, 1, 2, 3, ...). G.116)
Тогда и он в силу соотношений G.113) будет являться собствен-
собственным вектором Н,
ri0>, G.117)
принадлежащим собственному значению А©(л+ V2). Собствен-
Собственные же значения оператора а+а — целые числа п ^ 0, причем
оператор а+а не может иметь других, т. е. отрицательных, соб-

126 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. 1
ственных значений А,, поскольку
\а+\x)(x\a\X)dx =
0, G.118)
если собственные векторы нормированы на единицу: (к\Х} = 1.
Обозначим нормированные на единицу собственные векторы
оператора Н, принадлежащие собственным значениям
Н(д(п+1/2)у символом \п) «п|п> = 1, я = О, 1, 2, ...). Ясно,
что они только ^-числовым коэффициентом отличаются от век-
векторов G.116):
1*> = С(а+П0>. G.119)
Запишем условие нормировки
G.120)
Переставляя все операторы а направо, последовательно комму-
коммутируя их с операторами а+ и используя определение G.114),
получим
lC*C!<0|0) C*C! G.121)
т. е. для коэффициента С мы можем выбрать вещественное зна-
значение C=l/V^'« Следовательно, нормированные собственные
векторы оператора Н равны:
G.122)
|п)=|0).
Отсюда находим единственные отличные от нуля матричные эле-
элементы __
<tt_l|a|tt> = <tt|a+|tt-l>=V". G.123)
Подставляя сюда в явном виде G.108) операторы а и а+, полу-
получим
(п - 1 |р | п) = - /т0со(п - 1 |х |л), G.124)
(п + 1 | р | п) = imtfu (п + 11 х | л),
т. е. те же матричные элементы хп'п и рп>п (см. G.68) и
G.69)), которые были вычислены на основе ^-представления
волновых функций осциллятора.
Убедимся теперь, что построенные нами векторы состояний
G.122) дают известные волновые функции осциллятора G.41/ в

§ 71 ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 127
^-представлении. Для этого воспользуемся определением основ-
основного состояния G.114). Записывая оператор а в х-представ-
лении
для волновой функции ^о(х) =<х|0> получим уравнение*)
Его решение
нормированное на единицу
так что Со= 1/л/хол/п , совпадает с волновой функцией G.41)
для п = 0. Волновые функции возбужденных состояний г|зп(л:) =
= <х|/г> получаются из функции основного состояния $о(х) по
формуле G.122), в которой также нужно перейти в координат-
координатное представление. Так, например, для первого возбужденного
состояния п = 1 находим
в полном соответствии с формулой G.41).
(9) Различные представления по отношению к зависимости
вектора состояния от времени. Воспользуемся обозначениями
Дирака, для того чтобы выяснить, как изменяется со временем t
матричный элемент <<р@ |А|ф(*)> некоторого оператора А. При
этом, так же как и по отношению к зависимости от координат х>
возможны несколько представлений, соответствующих различ-
различной зависимости векторов состояния и операторов от времени.
1) Представления Шредингера и Гейзенбер-
г а. Предположим, что сам оператор А явно не зависит от вре-
времени (dA/dt = Q), между тем как волновые функции, а вместе
*) Заметим, что когерентные состояния, которые были введены выше на
стр. 112, удовлетворяют задаче на собственные значения
а | а) = а | а),
т. е. являются реше* ием уравнения
*o

128 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА |Ч I
с ними и векторы состояния |^(^)> и <ф@ | изменяются с тече-
течением времени согласно уравнению Шредингера для кет-вектора
| G.125)
и для бра-вектора
и поэтому матричный элемент оказывается, вообще говоря,
функцией t.
Учитывая эрмитовость оператора Гамильтона Н+ = Н, по-
последнее уравнение можно переписать в виде
-*А-дГ<ф@1 = <ф(/)|Н. G.126)
Принимая во внимание уравнения G.125) и G.126), а также
тот факт, что оператор А явно от t не зависит (dk/dt = 0), для
матричного элемента находим следующее уравнение:
А] !¦(/)>. G.127)
Выбирая в частном случае ф@—¦(')> находим известную
уже нам формулу F.43) для производной по t от среднего зна-
значения.
Рассмотрим теперь новые, не зависящие от / состояния |г|?#>
и <тря|> причем такие, что старые, зависящие от t состояния по-
получаются из них действием некоторого оператора U (/)
U @1*я>.
G 128)
<Ф1и+(/)
Для этого необходимо, чтобы оператор U(f) удовлетворял урав-
уравнению
m^U(/) = HU(/), G.129)
точно такому же, как и для состояний |ф@) и |ф@>. Можно
записать формальное решение этого уравнения (при условии,
что Н не зависит явно от времени)
G.130)

§ 7] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 129
которое следует понимать как оператор, представляющий собой
разложение экспоненты в ряд
^(^J , G.131)
причем константа в решении G.130) выбрана так, что состояние
|@) в начальный момент t = 0 совпадает с |ф/у>.
Подставляя G.128) в равенство G.127) и учитывая уравне-
уравнение G.129), получим
-^<Фя1и+@Аи(/)|а|)я> = <Фя|и+|[Н, А]иЦ>я>. G.132)
Введем теперь новый оператор Ая@> связанный со старым
оператором А с помощью преобразования
h . G.133)
Оператор Ая@> в отличие от А, зависит от времени, и, как
видно из равенства G.132), подчиняется уравнению
-ЗГАЯ(/) = {[Н, Ая(/)]. G.134)
Это же уравнение может быть, очевидно, получено и в резуль-
результате формального дифференцирования по / определения G.133).
Таким образом, матричные элементы точно так же, как и
средние значения, могут быть вычислены в двух различных пред-
представлениях, отличающихся тем, куда перенесена зависимость от
времени. Представление, в котором состояния 1^@) явно за-
зависят от времени и подчиняются уравнению Шредингера G.128),
а операторы А от времени не зависят, называется представле-
представлением Шредингера. Если зависимость от / переносится на опера-
операторы kn(t) согласно соотношению G.133), а состояния |tf>#>,
полученные из |if)@> с помощью обратного оператора LJ-1,
G.135)
остаются постоянными во времени, то в этом случае мы имеем
представление Гейзенберга.
В обоих случаях в силу так называемой унитарности опера-
оператора U, т. е. свойства (см. также § 6, стр. 99)
U+ = U~1, G.136)
которое очевидно из определения G.130) и эрмитовости Н, мы
получаем одно и то же значение для матричного элемента:
. G.137)
5 А. А. Соколоь а др.

130 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
2) Представление взаимодействия. В ряде слу-
случаев квантовую систему удается представить в виде совокупно-
совокупности подсистем, так, чтобы эти подсистемы без учета взаимодей-
взаимодействия между собой описывались гамильтонианом Но, называе-
называемым свободным гамильтонианом. Тогда полный гамильтониан Н
с учетом взаимодействия между подсистемами можно записать
в виде суммы свободного гамильтониана Но и так называемого
гамильтониана взаимодействия V
H = H0 + V. G.138)
При этом оказывается удобным перейти в новое представле-
представление, в котором гамильтониан взаимодействия явно выделен. Для
этого свяжем вектор состояния |ф(/)> представления Шредин-
гера с новым вектором |ty/@> с помощью унитарного опера-
оператора
Mot
V0 = e h , Uof = Uo = ^Ho^, G.139)
так что
КW>= Uo"ll ¦ W> = eiHm\ ¦(/)>. G.140)
Тогда для того чтобы матричные элементы некоторого операто-
оператора А, вычисленные по состояниям |^@)> при переходе к новым
состояниям G.140) остались без изменения
IА| «@> = />
необходимо преобразовать сам оператор по закону
АЙA) = е*Н4'кАе-т*'н. G.141)
Оператор взаимодействия согласно G.141) в новом представле-
представлении имеет вид
V/ (/) = eiH^hVe-iH^h. G.142)
Представление векторов состояния и операторов, заданное ра-
равенствами G.140) и G.141), носит название представления вза-
взаимодействия.
Подействуем на новый вектор состояния |я|)/@) оператором
ifi-jf и воспользуемся уравнением Шредингера для вектора
G.143)
В результате получаем
Ш i!r I Ь @) = - ¦

§ 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 131
Переходя к оператору V/(/), заданному равенством G.142),
окончательно запишем уравнение для вектора состояния в пред-
представлении взаимодействия
'A ¦^¦/W> = V'W'¦'<'>>• G.144)
в котором свободный гамильтониан Но отсутствует.
Наконец, дифференцируя определение G.141) по времени tr
находим уравнение, которому подчиняется произвольнь^опера-
тор в представлении взаимодействия:
-^Г- = 4 [Но, А7(/)]. G.146)
Таким образом, в представлении взаимодействия векторы со-
состояния описываются уравнением типа уравнения Шредингера,
в котором в качестве гамильтониана стоит только гамильтониан
взаимодействия V/(/), а операторы удовлетворяют уравнениям
Гейзенберга со свободным гамильтонианом Но.
Преобразования от шредингеровского к гейзенберговскому
представлению или представлению взаимодействия, осуществ-
осуществляемые с помощью унитарных операторов G.130) и G.139),
представляют собой частные случаи общих унитарных преобра-
преобразований, оставляющих инвариантными матричные элементы. По-
Поскольку реально наблюдаемыми величинами являются именно
матричные элементы и средние значения, а не векторы состоя-
состояний или операторы, то для расчетов можно выбрать то или иное
представление в зависимости от особенностей решаемой задачи.
§ 8. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
а) Постановка задачи. В квантовой механике только ограни-
ограниченное число задач может быть решено точно, как это было сде-
сделано, например, для осциллятора. Для нахождения решения вол-
волнового уравнения во многих случаях приходится прибегать к
различным приближенным методам. Одним из таких методов,
получившим наиболее широкое распространение, является метод
возмущений. Он применяется тогда, когда потенциальная энер-
энергия взаимодействия частицы V может быть разбита на два сла-
слагаемых
Потенциальная энергия Vo выбирается таким образом, чтобы
уравнение Шредингера с гамильтонианом Но = Т + Vo имело
бы точное решение, а энергия возмущения V давала бы неболь-
небольшие поправки к решению основного уравнения с потенциа-
потенциалом Vo.

132 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ MFXAHHKA [Ч. Г
Последовательное вычисление этих поправок (первое, вто-
второе, третье и т. д. приближения) дает, как правило, разложе-
разложение по некоторому малому параметру.
В квантовой механике развиты различные варианты метода
возмущений, основными из которых являются следующие:
Метод Шредингера, или стационарная теория возмущений,
используется в тех случаях, когда энергия возмущения не зави-
зависит от времени или же когда время может быть исключено из
уравнений с помощью какого-либо преобразования. Этот метод
позволяет, например, определить поправки к спектру энергии
системы в стационарных задачах.
Нестационарная теория возмущений (метод Дирака), приме-
применяемая для приближенного решения задач, в которых возмуще-
возмущение явно зависит от времени, дает возможность вычислять ве-
вероятности переходов системы из одного стационарного состоя-
состояния в другое и находит применение, например, в теории излуче-
излучения и в теории рассеяния (см. ниже §§ 9 и 15).
б) Основные уравнения стационарной теории возмущений
Шредингера. Изложим метод теории возмущений, применяю-
применяющийся в случаях стационарных задач, когда гамильтониан си-
системы не зависит от времени. Пусть гамильтониан рассматри-
рассматриваемой системы имеет вид
H = T+y = T+F°+F', (8.1)
причем здесь энергия возмущения равна V\ а основная часть
потенциальной энергии V0 выбрана таким образом, чтобы урав-
уравнение Шредингера
(?-Н)г|) = 0 (8.2)
при отбрасывании возмущения V (V' = 0) имело точное реше-
решение, характеризуемое величинами Е° и г|э°. Тогда, обозначая
Т + V0 = Н° (нулевое приближение) и принимая во внимание
(8.1), приводим (8.2) к виду
(?_Н°-Щ> = 0. (8.2а)
Задача заключается в том, чтобы из этого уравнения найти
(хотя бы приближенно) как значения энергии Еп, так и соответ-
соответствующие им волновые функции \\>п с учетом энергии V". Соглас-
Согласно теории возмущений решения для Е и г|) ищутся в виде рядов
где \|/ и Е' — величины первого порядка малости по отношению
к ч|>° и Е°, ty" и Е"— величины второго порядка малости и т. д.

§ 81 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 133
Как правило, энергию возмущения V можно представить
как произведение энергии, имеющей порядок Vго, на некоторый
малый параметр X (Я <С 1).
Тогда решения (8.3) должны представлять собой разложения
по этому малому параметру X, т. е. ?° и ^ не должны зависеть
от этого параметра, Е' и ij/ пропорциональны Я, Е" и яр" про-
пропорциональны А,2 и т. д.
Подставляя (8.3) в (8.2а), получаем
(?0 + ?/ ._ Н0 _ у') ДО) + ^/) = 0< (8<4)
Группируя члены одного порядка малости, находим
+ [(Е'- V) Ф° + (Е°-Н°) г|/] + (Е' - V)г|/ = 0. (8.4а)
в) Первое приближение. Чтобы получить первое приближе-
приближение теории возмущений, следует отбросить в (8.4а) члены вто-
второго порядка малости (Е/—V')^' и учесть, что для нулевого
приближения имеет место уравнение
(?°-Н0)г|)°==0. (8.5)
Из последнего уравнения могут быть найдены в нулевом при-
приближении все собственные значения
Е\, ?г, ?з, ...» Еп> ...
и собственные функции
*?, Ц, ¦§, ..., ¦?, ...,
связанные между собой соотношением
0. (8.6)
Принимая это во внимание, переходим к исследованию урав-
уравнения первого приближения теории возмущений
(?° - Н°) ^ = - (Е' - У) *°. (8.7)
Предположим, что в отсутствие возмущения система находи-
находилась в некотором квантовом состоянии пг = п. Тогда, в связи
с тем, что в нулевом приближении Е° = Е°п и г|?° = «ф^, при нахо-
нахождении первого приближения Е' = Е'п, <ф/ = 'ф^ получаем
(Ч-Н>: = -(?:-П* (8.7а)
Замечая, что любую функцию всегда можно представить в
виде разложения по полной системе ортонормированных функ-
функций с теми же граничными условиями (см. F.16)) (в данном
случае этой системой являются функции i|)J, -ф?, ..., а(^), реше-

134 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
ние для г|)^ будем искать в форме
Ф;=ЕС„^. (8.8)
В (8.8) мы должны определить неизвестные коэффициенты
Сп> обобщенного ряда Фурье. Подставляя (8.8) в (8.7а), имеем
С„, (?0 _ но) *?, = -(Е>п- V) ЦР, (8.9)
или, принимая во внимание (8.6), находим
? С„, (?• - Е°п>) Ъ = -(Е'п- V) <. (8.9а)
г) Невырожденный случай. Если рассматриваемая система
является невырожденной, т. е. если каждому собственному зна-
значению энергии Еп соответствует одна и только одна собствен-
собственная функция i|/J, то, умножая уравнение (8.9а) слева на ф°* и
интегрируя затем по всему пространству, можно привести его
к виду
Е $ (8.10)
Здесь мы учли ортонормированность собственных функций
Поскольку величина, стоящая в левой части (8.10), равна нулю
(при п'= п имеем Е°п—.Zv = 0, а при п' Ф п имеем 6^' = 0),
для искомой дополнительной энергии Е'п находим выражение
(первое приближение):
E'n=V'nn, (8.11)
где матричный элемент
VL=\€V^yx. (8.11а)
Таким образом, дополнительная энергия Е'п системы оказыва-
оказывается равной среднему значению энергии возмущения V.
Следует заметить, что выражение (8.11) для дополнительной
энергии Е'п было получено в результате приравнивания нулю
левой части уравнения (8.7а) после его умножения на волновую
функцию г|)?* и интегрирования по всему пространству. Отсюда
следует, что правая часть неоднородного уравнения (8.7а), за-
записанного кратко в форме
/, (8.12)

§ 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 135
должна быть ортогональной к решению соответствующего одно-
однородного уравнения М-ф0 = 0, т. е.
= 0. (8.13)
Для того чтобы найти коэффициенты Сп> в уравнении (8.8),
воспользуемся формулой (8.9а), которую перепишем в виде
Л
Сп„ (?°„ - ?0.) ^ = - (Е'п - V) ^.
Тогда, умножая ее слева на ф°*(^' Ф п) и принимая во внимание
условие ортонормированности, после интегрирования по всему
пространству находим:
где
Таким образом, для г|)^ имеем
¦^C.^+S'C^, (8.16)
причем здесь штрих у символа суммы означает, что суммирова-
суммирование ведется по всем п\ кроме п' = п.
Наконец, неизвестный пока что коэффициент Сп при волно-
волновой функции в нулевом приближении может быть найден из
условия нормировки
Vn%d:ix=l (8.17)
полной волновой функции
где
С°п=1+Сп. (8.19)
Подставляя (8.18) в (8.17) и оставляя члены не выше пер-
первого порядка малости, имеем
?' {<?С„ \ W3* + С'п,С1 \ 1%.фп<Рх } = 1. (8.20)

136 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч I
Отсюда, учитывая условие ортонормированности, с точностью
до фазового множителя, который нас не интересует, находим
С° = 1, (8.21)
т. е.
В результате для волновой функции г|)« с учетом первого при-
приближения теории возмущений окончательно получаем выраже-
выражение
¦-.-¦?+¦;;.
где
Отсюда, а также из (8.11) видно, что какг|/, так и Е'п про-
пропорциональны энергии возмущения в первой степени (т. е. про-
пропорциональны параметру А,).
Заметим, что развитый нами метод теории возмущений мо-
может быть оправдан только в том случае, если каждый после-
последующий член разложения (8.3) окажется меньше предыдущего.
Для этого, как можно заключить из равенства (8.22), необхо-
необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство
\Кп\<\Е1-?°п'\- (8.22а)
Таким образом, необходимым условием применимости теории
возмущений является малость недиагональных матричных эле-
элементов оператора возмущения по сравнению с разностью значе-
значений энергии соответствующих невозмущенных состояний.
д) Вырожденный случай. Построим теперь теорию возмуще-
возмущений применительно к вырожденному случаю, когда одному и
тому же собственному значению энергии Е% при отсутствии воз-
возмущения соответствует / собственных функций (для упрощения
ограничимся двумя функциями):
Тогда, очевидно, любая линейная комбинация этих функций
(8.23)
является решением волнового уравнения в нулевом приближе-
приближении
(
Как и в случае невырожденных состояний, любое частное
решение однородного уравнения (8.6) должно быть ортогональ-

§ 81 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 137
ным правой части неоднородного уравнения. Для доказатель-
доказательства этого умножим (8.7а) слева на i|>°* и проинтегрируем по
всему пространству. Тогда получаем (/ = 1, 2)
€{ (К - н°) <<*»* - - J с; {К - У) ¦?**• (8-24)
Применяя теорему о перебросе производной (см. F.14)),
имеем
\ < № - н«) ^л=- J <; (?; - п <^. (8.25)
Отсюда, замечая, что г|)°* является решением уравнения Шре-
дингера (?^ — H°)a|5^=0, находим окончательно:
5 кг, (?« - п ^ (ад,+
Без ограничения общности можно допустить, что все соб-
собственные функции г|)? ортонормированы *). Тогда, учитывая, что
вместо (8.26) находим уравнение
С? (К ~ К) = C°i'K,' ('" + 0. (8-27)
где
S (8<28)
(8-29)
Поскольку индекс / в (8.27) может принимать значения 1
или 2, для определения искомых неизвестных величин энергии
Е'п и коэффициентов С? мы получаем систему двух однородных
уравнений:
с»к-п)-сп-о.
o. (8-30)
Поскольку волновая функция *ф? должна еще удовлетворять
условию нормировки
\ (8.30а)
*) Если функции ф^.не являются ортонормированными, то путем линей-
линейных преобразований из них всегда возможно построить новые функции, об-
обладающие свойством ортонормированности.

138 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
то как поправка Е'п к энергии Е°п невозмущенного состояния
системы, так и коэффициенты С0, (а тем самым и г|)°) станут
при этом однозначно определенными.
В частности, замечая, что система (8.30) имеет нетривиаль-
нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен
нулю, для нахождения Егп получаем уравнение
-К
й (к-Ъ
= 0, (8.31)
получившее название векового, унаследовав этот термин из не-
небесной механики. Точно так же это уравнение легко обобщить
с двух на случай / > 2 вырожденных состояний.
Если это вековое уравнение имеет для определения энергии
возмущения Е'п несколько корней (максимальное число их мо-
может равняться /), то каждому из них будут соответствовать со-
совершенно определенные коэффициенты С?. Благодаря этому
учет первого приближения для энергии может понизить крат-
кратность вырождения или вообще снять вырождение, выделив опре-
определенные линейные комбинации в волновой функции (8.23) в ну-
нулевом приближении.
е) Второй порядок теории возмущений. Ангармонический
осциллятор. Прежде всего найдем поправку к энергии системы
во втором приближении теории возмущений.
Ограничиваясь в разложениях волновой функции г|) и энер-
энергии Е (см. (8.3)) членами до второго порядка малости включи-
включительно и подставляя их в уравнение Шредингера (8.2а), полу-
получаем для второго приближения
(К - Н°) € = - (К - V) < - Е'№. (8.32)
Учитывая, что решение i|)°* однородного уравнения должно
быть ортогональным к правой части и что выражение для ij/
задается формулой (8.22), находим
Здесь значение для УП'П определяется формулой (8.15). При
этом мы воспользовались равенством
V'nn< = V'n'n,
имеющим место для эрмитовых операторов,

§ 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 139
Заметим, что поправка (8.33) второго приближения к энер-
энергии наинизшего состояния всегда отрицательна, поскольку все
остальные уровни Е% лежат выше Е°п, т. е. Е% > Е^.
Применим полученную формулу для определения энергетиче-
энергетического спектра ангармонического осциллятора.
Допустим, что частица находится в потенциальной яме с по-
потенциальной энергией V(x). Поместим точку положения равно-
равновесия в начало координат V'(x) = 0 (при л: = 0) и возьмем та-
такой отсчет потенциальной энергии, чтобы в точке равновесия
она обращалась в нуль (V@)=0). Тогда, раскладывая потен-
потенциальную энергию в ряд, найдем
V(x)=V @) + xV @) + -?v"@) + ?v'" @) + iJ- VIV@)+ ...
Учитывая, что V@)= l/'@) = 0, и полагая (в случае устой-
устойчивого равновесия в точке х = 0)
т. е. решая задачу не в нулевом приближении, а с учетом чле-
членов высшего порядка, мы будем иметь так называемый ангар-
ангармонический осциллятору нашедший применение в теории моле-
молекул.
Уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора
принимает вид
^^^)-0' (8-34)
где энергия возмущения V — ах3 + Р*4. а постоянные а и р не
зависят от ft.
Найдем энергию возмущений с учетом членов порядка ft2.
Как известно, энергия гармонического осциллятора (нулевое
приближение) равна
? + 72). (8.35)
Рассматривая энергию V как энергию возмущения, в первом
приближении находим
Е'п = V'nn = а (х*)пп + Р (х\п. (8.36)
Легко показать, что
+
поскольку подынтегральное выражение — нечетная функция.

140 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
При вычислении же матричного элемента $(х4)пп можно вос-
воспользоваться правилом умножения матричных элементов (см.
G.89)). Тогда будем иметь
= 2 (х\к (х\п = ((х%, rt_2J + ((х\, п? + ((х%, rt+2J. (8.37)
Далее, принимая во внимание значения для матричных эле-
элементов Хп'п (см. G.68)), с помощью формулы G.89) найдем
следующие три отличных от нуля значения матричных элемен-
элементов (х\,п:
Подставляя эти значения (х2)Пк в равенство (8.37), для энергии
возмущения (8.36) в первом приближении Е'п получим выраже-
выражение
Е'п = 3/2 А2 -|т (п2 + п + 72). (8.39)
Однако наша задача решена еще не до конца, так как вклад,
вносимый первым членом энергии возмущения ах3, во втором
приближении пропорционален хЦН ~ А2 и поэтому также должен
быть учтен. Что касается вклада во втором приближении от
члена Р*4, то он пропорционален x%/fi~h3 и поэтому в рассма-
рассматриваемом приближении может быть отброшен.
Поправка к энергии во втором приближении теории возму-
возмущений может быть вычислена по формуле (8.33)
Пп ~ h® JL
(п - п') •
Отличными от нуля будут только следующие матричные элемен-
элементы (см. G.68) и (8.38)):
(х )/г,л-1 = ^ ^jj
1* Ь. п+З — \х )п+3, п — •*0

§ 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 141
где
Отсюда находим
^ ) (8'42)
4 mg© V 30
Формулы (8.39) и (8.42) дают ангармоническую поправку к
энергии осциллятора с учетом членов порядка /г2.
ж) Нестационарная теория возмущений. Предположим, что
оператор возмущения зависит явно от времени: V/ = V/(/).
В этом случае применяется метод возмущений Дирака, который
позволяет, в частности, построить теорию переходных процессов
для уравнения Шредингера
Допустим, что мы знаем собственные значения и собствен-
собственные функции невозмущенного (V = 0) стационарного уравне-
уравнения Шредингера
° (8.44)
Тогда полное решение невозмущенного уравнения Шредингера
мы можем представить в виде
_±в t
<ф° (/) = ? Спе h n г|)п, (8.46)
п
где Сп — некоторые постоянные коэффициенты, квадрат модуля
которых характеризует вероятность нахождения частицы в кван-
квантовом состоянии п.
При учете в уравнении (8.43) энергии возмущения V мы
общее решение также ищем в форме (8.46) (^п и Еп — собствен-
собственные функции и собственные значения стационарной задачи
(8.44)), но вводим дополнительное условие, согласно которому
коэффициенты Сп должны быть функциями времени. Математи-
Математически этот метод соответствует решению дифференциальных
уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. По-
Поскольку под действием возмущения вероятностные коэффициен-
коэффициенты Сп сами должны быть функциями времени, становится воз-
возможным описать переход электрона из одного квантового со-
состояния в другое.

142 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Подставляя решение (8.46) в уравнение (8.43) и считая, что
коэффициенты Сп зависят от времени, мы найдем, учитывая еще
равенство (8.44):
*' Z ^e~ *'«*. (8.47)
Умножим обе части равенства на tyn'eH d3x и проинтегрируем
по всему пространству. Тогда, принимая во внимание условие
ортонормированности
j ^. (8-48)
получаем систему следующих уравнений для определения коэф-
коэффициентов Сп<
С ? C^fft7i (/) (8.49)
где частота
flhy = Еп'~1ЕпГ > (8.50)
а матричный элемент
У'п'п" № = \ ^n'V М 4v^3jc- (8.51)
Заметим, что система уравнений (8.49) является точной, т. е.
совершенно эквивалентной начальному уравнению (8.43). Одна-
Однако в общем случае решить ее точно невозможно, и аппроксима-
аппроксимация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в
виде разложения
Сп, = С°п, + С'п, + С%+ ..., (8.52)
где коэффициенты нулевого приближения С^ не должны зави-
зависеть от V. Коэффициенты же первого приближения Cv, второго
приближения С'п' и т. д. должны быть пропорциональны соот-
соответственно V, (V'J и т. д.
Подставляя (8.52) в (8.49) и учитывая лишь члены нулевого
и первого приближений, находим следующую систему уравне-
уравнений для определения коэффициентов Cnf:
СП'=0 (нулевое приближение),
- у Сл' = ? Cn>>eit(*»'n"Vn>n» (t) (первое приближение) <8-53)
Л"
и т. д.
Первое из уравнений (8.53) показывает, что искомые коэф-
коэффициенты в нулевом приближении не должны зависеть от

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 143
времени, т. е.
(*> = const. (8.54)
Их значения задаются начальными условиями и характеризуют
начальное состояние электрона до того, как на него начинает
действовать возмущение.
Допустим, что в начальный момент времени, т. е. при t = О,
электрон находится в состоянии п. Тогда можно написать
С1» = Ьпп». (8.55)
Последйее выражение определяет начальные условия нашей за-
задачи. Подставляя (8.55) в (8.53), находим {пгфп)\
С = СП'(t) = -j\ dtem"'«V'n'n(t). (8.56)
Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность
перехода w за единицу времени. Учитывая, что вероятность на-
нахождения частицы в состоянии п' равна квадрату модуля ам-
амплитуды | Сп' I2, для вероятности перехода п ->- п! в единицу вре-
времени получаем выражение
«W = -Jf|C"'p- (8-57)
Формулы (8.57) и (8.56) и лежат в основе исследований мно-
многих квантовомеханических задач первого приближения неста-
нестационарной теории возмущений. С помощью этих формул можно,
в частности, построить квантовую теорию излучения.
§ 9. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
а) Спонтанные и вынужденные переходы. Согласно класси-
классической электродинамике источником излучения света может
стать, например, ускоренно движущийся заряд, причем количе-
количество излучаемой энергии в единицу времени определяется из-
известной формулой *)
где г — ускорение частицы.
Если источником излучения является одномерный гармониче-
гармонический осциллятор
х = a cos ш/, (9.2)
*) Черта сверху будет означать усреднение по времени.

144 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
то частота излучения будет совпадать с механической частотой
колебания осциллятора, а интенсивность излучения пропорцио-
пропорциональна квадрату амплитуды а2 (см. G.5)).
В том случае, когда движение заряда происходит по более
сложному периодическому закону x = f(t) с периодом т=~^~»
функцию f(t) можно разложить в ряд Фурье
х = S aK cos ,сок/, (9.2а)
к
и рассматривать излучение так, как будто оно порождается си-
системой осцилляторов с частотами со* = ясо, где к = 1, 2, 3, ...
При этом излучаться будет как основной тон со (к = 1), так и
гармоники код (к = 2, 3, 4, ...), причем интенсивность излуче-
излучения соответствующей гармоники пропорциональна а2к.
Таким образом, согласно классической теории излучение си-
системы полностью определяется ее механическими свойствами:
частота излучения оказывается либо равной, либо кратной ме-
механической частоте колебаний системы, а интенсивность излу-
излучения соответствующей гармоники пропорциональна квадрату
амплитуды.
В квантовой механике к вопросу об излучении следует подхо-
подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой
теории происходит только при переходе частицы (или системы)
из одного квантового состояния в другое, энергетически более
низкое, или, как говорят, «сверху вниз».
Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было
предложено в 1917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты
А и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они
характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные)
и вынужденные (происходящие под действием внешнего элек-
электромагнитного поля) переходы системы с одного энергетическо-
энергетического уровня на другой.
Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в
следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной си-
системы находится на возбужденном уровне п с энергией Еп.
Тогда для такого электрона существует определенная вероят-
вероятность Ann'* отнесенная к единице времени, спонтанного перехо-
перехода в более низкое энергетическое состояние п' с энергией Еп'.
При этом происходит испускание фотона с энергией ftco =
—Еп—Еп'» Если число подобных возбужденных атомов равно Nn,
то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спон-
спонтанными переходами, может быть записана в виде
W^li = NnAnn'ft^ (9.3)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
145
Если же атомы подвергнуть воздействию со стороны внеш-
внешнего электромагнитного излучения, то последнее будет в свою
очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как
сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы снизу вверх
будут происходить, конечно, с поглощением фотонов.
Обозначим, следуя Эйнштейну, вероятности вынужденного
перехода с уровня п на п' через ZW, а с уровня п' на п через
ВП'П. Тогда, считая, что число вынужденных переходов должно
быть пропорционально спектральной плотности р(со) падающего
излучения, находим соответственно для энергии излучения и по-
поглощения, обусловленной вынужденными переходами,
рвын*
погл :
(9.4)
где Nn' — число атомов в состоянии п'.
Рассмотрим случай, когда должно наступить состояние тер-
термодинамического равновесия между нагретыми атомами и излу-
излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействую-
воздействующим на эти атомы, т. е. когда число пере-
переходов сверху вниз и обратно одинаково
(рис. 9.1):
NnAnn' + NnpBnn> = Nn>vBn>n. (9.5)
Учитывая, что в этом случае распреде-
распределение электронов по энергиям задается рас-
распределением Максвелла — Больцмана
Nn = Ce-
получаем
'/7/7'
Bnr,
77'
Рис. 9.1. Переходы сверху
вниз (спонтанные и вы-
вынужденные) и снизу вверх
(вынужденные).
Отсюда, сокращая на множитель е Е«>1кът и принимая во вни-
внимание, что Еп — ЕП' = йсо, имеем
Чп'
Вп'п
(9.6)
Выражение для коэффициента спонтанного излучения Апп> мо-
может быть написано, если исходить из принципа соответствия
путем сравнения квантовой формулы с соответствующей форму-
формулой классической теории.
Подобное сравнение мы произведем на примере гармониче-
гармонического осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая

146 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется
Формулой G.10):
Пэ квантовой же теории она определяется выражением (9.3),
которое при наличии одного осциллятора (Nn = 1) дает
WKb = ha>nn>Ann>. (9.7а)
Предположим, что коэффициент спонтанного излучения про-
пропорционален квадрату матричного элемента *)
**лл' == С» I Хп'п Г»
При переходах сверху вниз (п -> п') отличным от нуля будет
только матричный элемент (см. G.68))
хп-\. п— 2/ЛоЮ ~~ 2тосо2
причем
Отсюда, приравнивая классическое приближение (А->0) кван-
квантового выражения для энергии излучения (9.7а)**) соответ*
ствующему классическому выражению (9.7), мы найдем уравне-
уравнение для определения постоянной С:
CEha __ 2 ®2Ее2
2/п0сэ2 3^ т0^3 *
Определив постоянную С, найдем значение для коэффициента
спонтанного излучения ***):
I T I • (9.8)
Далее, если считать известной еще формулу Планка (см.
A.14))
h* 1
*) При этом мы можем исходить из аналогии с классической теорией,
где излучение пропорционально квадрату амплитуды колебаний (см. G.5)).
**) Математически это приводит к отбрасыванию нулевой энергии Ео =
= ll2h(u, имеющей в классическом приближении, т. е. в области больших
квантовых чисел (п > 1), по сравнению с энергией Еп — ?о порядок 1/я.
***) Здесь мы сделали переход от одномерного случая к трехмерному пу-
путем замены матричного элемента координаты | хп,п |2 матричным элементом
радиус-вектора
W

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 147
то, сопоставляя ее с формулой (9.6), можем написать также и
коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов
Впп' = Вп'п = ^юз Ann'= "з" ^2 I fn'n г» (9.8а)
Для интенсивности излучения согласно (9.7а) имеем:
\^. (9.86)
Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так
называемого дипольного излучения (см. ниже), тем не менее его
нельзя признать последовательным (это относится также и к
первоначальному выводу формулы Планка, см. § 1). При первом
чтении книги, однако, можно ограничиться этими простыми со-
соображениями.
Для того чтобы действовать в рамках последовательной
квантовой теории излучения, следует прежде всего получить
коэффициенты Эйнштейна А и В> а затем, подставляя эти значе-
значения в формулу (9.6), дать строгое квантовое обоснование фор-
формулы Планка.
Все это будет проделано ниже в оставшейся части § 9. Здесь
же мы ограничимся некоторыми общими замечаниями о кванто-
квантовой теории излучения.
В общих чертах квантовая теория излучения сводится к сле-
следующему. В рамках теории Шредингера можно объяснить лишь
вынужденные переходы, происходящие в результате взаимодей-
взаимодействия электронов атома с внешней электромагнитной волной.
Спонтанные же переходы из возбужденных энергетических со-
состояний в более низкие остаются в этом случае фактически не-
объясненными, поскольку отсутствует внешнее воздействие, ко-
которое могло бы привести к этим переходам. Ответ на этот во-
вопрос был найден только после создания квантовой теории излу-
излучения, в которой был использован аппарат квантования электро-
электромагнитного поля (вторичное квантование). При этом электроны
и поле излучения рассматриваются как две взаимодействующие
квантовые системы, причем это взаимодействие не исчезает даже
при отсутствии реальных фотонов. Фотоны, которые в данный
момент не существуют, но могут появиться, называются вирту-
виртуальными. Они образуют так называемый электромагнитный ва-
вакуум.
Классическим аналогом взаимодействия электронов с полем
виртуальных фотонов является действие на движущийся элек-
электрон силы лучистого трения Планка
О />2 ...
ГЧ1ЛЭНК *• «?

148 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
обусловленной электромагнитным полем, создаваемым самим
же электроном. Именно это поле и может отрываться от элек-
электрона в виде светового излучения. На языке вторичного кванто-
квантования это соответствует переходу фотонов из виртуального со-
состояния в реальное.
Прежде чем приступить к построению квантовой теории из-
излучения, остановимся на вопросах, связанных с квантованием
свободного электромагнитного поля.
б) Квантование свободного электромагнитного поля, Как из-
известно, поле фотонов (поперечные электромагнитные волны)
можно описывать вектор-потенциалом, удовлетворяющим урав-
уравнению Даламбера
^gO. (9.9)
Решение уравнения (9.9) будем искать в виде ряда Фурье
наложив на волновую функцию (9Л0) условие периодичности
причем
Lx = Ly = Lz = L
(см. также D.41)).
Тогда для составляющих волнового вектора х мы имеем
N* = tt, —, ку = п2 — , кг = пь — , (9.11)
где
ni9 thy Аг3 = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Подставляя (9.11) в (9.9) и учитывая, что
найдем, что амплитуды А(х,/) подчиняются уравнению, которо-
которому удовлетворяет также гармонический осциллятор
А(х, /) +АА1(х, /) = 0, (9.12)
с решением
А (и, 0 = А(*)е-»*г + В(*)е1™*. (9.13)
Для того чтобы вектор-потенциал А был вещественным, сле-
следует положить
J5(x) = A*(-x). (9.14)

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 149
Последнее соотношение легко доказать, если подставить
(9.13) в (9.10) ив сумме, составленной из коэффициентов В(к)>
сделать замену
И-> — И.
Учитывая еще равенство (9.14), разложение (9.10) приведем
к виду
4? А*{*)еи*-Ыг). (9.15)
Поскольку последнее выражение представляет собой сумму
двух комплексно-сопряженных величин, оно является веществен-
вещественным.
Найдем далее полную энергию поля фотонов, которая, как
известно, равна
H (9Л6>
причем в случае наличия только поперечных электромагнитных
волн
ф = 0, di\A = 0 (9.17)
имеем
#=-71Г* <^ = rot4. (9.18)
Примечание. Вообще говоря, в переменном во времени электромаг-
электромагнитном поле наряду с вектор-потенциалом А' должен быть отличным от нуля
также и скалярный потенциал Ф'. Однако в вакууме мы всегда можем про-
произвести калибровочные преобразования
Ф = Ф'+1|[, A = A'-grad/.
которые не изменяют связи векторов электрической
Ш -—
и магнитной
Ж = rot A
напряженностей как со штрихованными, так и с нештрихованными потенциа-
потенциалами. Точно так же и условие Лоренца I div4H — =0j не изменится,
если калибровочная функция / будет удовлетворять уравнению Даламбера
Поскольку для вакуума все составляющие потенциалов также должны удо-
удовлетворять уравнению Даламбера, то, не нарушая общности, мы можем по-
положить у -^- = ~ Ф'< что автоматически ведет к условию поперечности
(9.17), а также к выражению (9.18).

150 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ГЧ. I
Подставляя разложение (9.18) в (9.16) и принимая во вни-
внимание соотношение
— \
1
x/) г =
|- J
= 6 '-6 ^-6 / = 6 /, (9.19)
/li» —fit tl%r ~~^2 ^3» ~"^3 x, — x * * '
а также (9.15), найдем гамильтониан
ii — o / \ о 1 я* -ji I "T" v I XJx. (л, Г)I лА ("~~ 3C, *)I) г •
(9.20)
При дальнейших вычислениях учтем, что согласно (9.14) ра-
равенство (9.13) мы можем представить в виде
Л(х, t) = A(%)e"icyit + A"(— %)eicyit. (9.21)
Кроме того, при вычислении гамильтониана необходимо
учесть еще выражение для производной
j дА{? ° = ~ Ы [Л (х) e-ie** - А* (- х) е<™<], (9.22)
а также условие поперечности поля фотонов, которое следует из
(9-17)
= 0. (9.23)
Подставляя последние соотношения в (9.20), легко показать,
что гамильтониан не зависит от времени и равен
(9.24)
х 5-1. 2, 3
В последнем члене правой части равенства (9.24) мы сделали
замену х —* —х.
Из условия поперечности (9.23) следует, что нельзя все три
составляющие амплитуды вектор-потенциала считать независи-
независимыми переменными. За независимые переменные можно выбрать
только две, что связано с двумя возможными поляризациями
фотона. Хотя разложение амплитуд потенциалов по состояниям
поляризации не является однозначным, однако конечный резуль-
результат не должен зависеть от этого, если произвести усреднение
или суммирование по состояниям поляризации. Поэтому мы вы-
выразим три составляющие амплитуды вектор-потенциалов через
две независимые таким образом, чтобы автоматически выполня-
выполнялось условие поперечности и сохранялась бы квадратичная фор-
форма связи гамильтониана через независимые амплитуды. Для

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 151
этого мы полагаем
Лх (к) = Д/ -^- ах = Д/ -^- (-2^- fti — -^ *2).
>*У(%) = V^ а2 = Л/^Г"
где
^12_ у^ ^.'_ /_ § _. (9.26)
Зависимость амплитуд Ь\ и Ь2 от вектора и мы ради краткости
писать не будем, т. е. Ь\ == ^i(x), a *)
+ /\ —ft+ 'CM'' (9'27^
Точно так же мы введем обозначение
Нормировочный коэффициент л/—— введен для того, чтобы
правила перестановок (см. ниже (9.32)) были нормированы на
единицу.
Подставляя (9.25) в выражение для гамильтониана (9.24),
мы найдем
? ^А^б^+ *№*) (9.28)
Если волновое уравнение рассматривать как результат пер-
первого квантования (более строго это замечание относится лишь
к уравнению Шредингера, а не Максвелла), то в результате
первого квантования могут быть описаны волновые свойства
процесса, когда постоянные амплитуды Ь^ являются обычными
числами (г-числа), т.е. должны коммутировать друг с другом.
Можно ввести дополнительную гипотезу, что квадрат ампли-
амплитуды описывает число частиц, однако это число не должно изме-
изменяться со временем. В процессах же излучения и поглощения
фотонов должно изменяться общее число частиц. Поэтому для
описания подобного процесса необходимо создать теорию с воз-
*) В дальнейшем амплитуды Ь мы представим в виде матрицы, и по-
поэтому сопряженные амплитуды будут не комплексно-сопряженными, а эрми-
тово-сопряженными величинами, обозначаемыми через 6+.

152 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
можным изменением числа частиц, считая амплитуды Ъ операто-
операторами (<7-числа). Математически это можно осуществить, про-
квантовав выражение (9.28). Заметим, что квантование волно-
волнового уравнения получило название вторичного. В основу вторич-
вторичного квантования мы положим квантовое уравнение движения
(см. F.45)), с помощью которого можно произвести также и
первое квантование. Учитывая зависимость амплитуды Ъ (t) от
времени (см. (9.27)), мы будем иметь
- icnb» = jr (НЬц - у/). (9.29)
Аналогично легко показать, что
f = j (#&ц - 6ц Я). (9.30)
Подставляя сюда гамильтониан (9.28), преобразуем соотно-
соотношение (9.29) к виду
— скЬу, = 2-» 2j ~2~ [&?* (К'Н — 6и%') + (Ь'у/Ь^ — byfivf) b'tf +
ц'—1, 2 х'
+ Ьк (ЬрЬц - WJ) + (Ь'»>Ьп - ЬЛ>) bfil (9.31)
Мы удовлетворим последнему равенству, если положим
[V &?/"] = ЬцЬр — bftbn = б^'бхх', (9.32)
[*и. ад = м^ - *i*»i=о. (э.зз)
Из (9.30) следует еще
[С ^] = о. (9.34)
Последние равенства и определяют вторичное квантование ам-
амплитуды электромагнитного поля.
Примечание. Заметим, что перестановочные соотношения (9.32) —
(9.34), которые соответствуют гамильтониану (9.28), описывают вторичное
квантование частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. В случае,
если бы гамильтониан имел другой вид
Н = -i ? cbx' {С+С - С'С'+\ (9.35)
х'
как, например, для частиц, подчиняющихся уравнению Дирака (см. § 18), то
тогда квантовое уравнение движения (9.29) привело бы к так называемым
ферми-дираковским перестановочным соотношениям
(9 36)
С'С + СС = С'+С+ + С+С'+ = 0.
В частности, из (9.32) следует, что некоммутирующими друг
с другом будут только амплитуды, соответствующие одному и

§ 91 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 153
тому же импульсу и поляризации *):
КЪ+-Ъ$Ь*=\, (9.37)
поэтому амплитуды Ь^ не могут быть обычными с-числами. Они
должны быть операторами, т. е. ^-числами (наподобие операто-
операторов р^ихв первично квантованном уравнении).
Мы удовлетворим равенству (9.37), положив операторы Ъ и
6+ равными следующим эрмитово сопряженным бесконечным
матрицам **):
Ь=\ о о о" л/з о ... I' (9-38)
0
0
0
0
vr
0
0
0
0
V2
0
0
0
0
Уз"
0
0 ...
0 ...
0 ...
V4 ...
о о о о ...
л/То о о ...
Ь+ = \ о л/2 о о ... |. (9.39)
о о Уз о ...
Отсюда следует, что
10 0 0
0 2 0 0.,
bb+ = \ о о з о ... |' (9.40)
0 0 0 4.,
0 0 0 0..
0 10 0.,
= \ 0 0 2 0 ... 1» (9.41)
0 0 0 3.,
или
1 0 0 0 ..
О 1 0 0 .
bb+-b+b = \ 0 0 1 0 ... |- (9.42)
0 0 0 1 .,
*) Если бы в равенстве (9.25) мы не ввели нормировочного коэффи-
коэффициента д / , то в правой части равенства (9.37) стоял бы квадрат это-
этого коэффициента.
**) Ради простоты индекс поляризации ц у амплитуд b мы опускаем.
Заметим, что матрицы вида (9.38), (9.39) фактически были уже введены нами
ранее при рассмотрении гармонического осциллятора (ср. с G.123)),

154
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. I
Эти матричные значения для амплитуд Ь и Ь+ удовлетворяют
равенству (9.37).
Физически вторичное квантование электромагнитного поля
приводит к описанию квантовой системы с переменным числом
фотонов. Иными словами, мы сможем описывать испускание и
поглощение фотонов, учитывая их корпускулярную структуру.
Для того чтобы удовлетворить последним соотношениям, вы-
берехМ функцию f (N) от числа фотонов N, на которую действуют
матрицы Ъ и 6+, в следующем виде *):
/@) =
/A) =
/B) =
(9.43)
где f@) описывает состояние, когда фотоны отсутствуют, /A) —
состояние с одним фотоном, /B)—с двумя фотонами и т. д.
Учитывая значение матриц (9.38) и (9.39), легко показать,
что
= 0,
или
Точно так же действие сопряженных амплитуд определяется
соотношениями
b+f (N) =
/ (N + 1), (9.44)
т. е. оператор b является оператором поглощения (или уничто-
уничтожения) (N-+-N—1), а оператор 6+ — оператором испускания
(или рождения) (N -> N + 1) фотонов.
Из последних равенств следует:
т. е. операторы b+b и 6&+, действующие на функцию числа фото-
фотонов, имеют собственные значения, которые равны или числу фо-
фотонов N (для произведения &+6), или на единицу больше, чем
число фотонов N + 1 (для произведения 66f)
*) Каждая амплитуда, зависящая от заданных значений \i и х, должна
действовать на свою матрицу от числа частиц f(N). Общая функция от чис-
числа частиц должна быть равной произведению всех этих матриц:
HN,N',N" ...) = t(N)[(N')f(N") ...

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 155
Как видно из формулы (9.45), в каждом квантовом состоя-
состоянии может находиться любое целое число частиц. Поэтому пере-
перестановочные соотношения (9.37) ведут к статистике Бозе — Эйн-
Эйнштейна.
Примечание. Для того чтобы удовлетворить перестановочным соот-
соотношениям вида (9.36), из которых следует единственная, отличная от нуля,
антикоммутирующая комбинация
С+С + СС+ = 1, (9.46)
мы должны были бы вместо бесконечных матриц (9.38), (9.39) и (9.43) вы-
выбрать соответственно матрицы
(9.47)
Тогда автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения
(9.46). Кроме того,
С/@) = 0, С/A) = /@),
Отсюда видно, что С+ является оператором рождения, а С — оператором
уничтожения, причем, в отличие от статистики Бозе — Эйнштейна, в каждом
квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (статистика
Ферми — Дирака) у т. е. действие квадратов амплитуд на функцию от числа
частиц определяется другим по сравнению с (9.45) выражением
C+Cf (N) = Nf (N), CC+f (N) = A - N) f (N). (9.48)
Если в начальный момент фотоны отсутствуют (N = 0), то
Ь = 0, в то время как 66+ = 1. Последние соотношения гово-
говорят о том, что квантовая система (например, атом) должна вза-
взаимодействовать с вторично квантованным полем фотонов (или,
как говорят, электромагнитным вакуумом) даже в том случае,
когда реальные фотоны отсутствуют (N = 0). Зная перестано-
перестановочные соотношения для амплитуд Ь^, мы, учитывая еще (9.25),
легко можем найти перестановочные соотношения для амплитуд
поля фотонов
[;} (9-49>
или для амплитуд, имеющих одинаковый импульс (х = н/),
К>я5Г]==655,-хХ'> (9.50)
где и0 — единичный вектор в направлении импульса фотона.
Для того чтобы удовлетворить последнему соотношению, мы

156 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
должны положить (см. также (9.45)) *)
X<).
где N — общее число частиц, обладающих импульсом Их, усред-
усредненное по двум возможным состояниям поляризации. В частно-
частности, если в состоянии и частицы отсутствуют, то N ==0.
Из (9.51) и (9.24) получаем
( !) (9.52)
Коэффициент 2 соответствует двум возможным поляризациям.
Кроме того, в случае отсутствия частиц (Af(x) =0) остается
нулевая энергия, равная
]Г- (9-53)
Математически она обязана сумме нулевых энергий бесконеч-
бесконечного числа осцилляторов, образующих поле фотонов. Физически
она соответствует наличию электромагнитного вакуума, пред-
представляющего собой своеобразный резервуар, откуда «извлекают-
«извлекаются» реальные фотоны при их испускании и куда они «переходят»
при их поглощении (например, атомом).
в) Вывод коэффициентов Эйнштейна по квантовой теории из-
излучения. Для описания движения электронов в поле фотонов,
реально существующих (обусловливающих вынужденные пере-
переходы), а также виртуальных, т.е. еще не появившихся (обусло-
(обусловливающих спонтанные переходы), воспользуемся нестационар-
нестационарным уравнением Шредингера, которое при наличии не только
электрического, но и магнитного поля принимает вид (см.
B.33))
Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональ-
пропорциональные А2, и учитывая условие поперечное™ электромагнитных
волн поля фотонов (div A = 0), а также соотношение
*) Заметим, что при конкретных исследованиях проблемы излучения не-
необходимо знать лишь формулу (9.51), а весь матричный аппарат был введен
только для ее обоснования.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 157
что приводит к коммутативности (в скалярном произведении)
оператора р с вектор-потенциалом А
= (Лр), (9.55)
мы можем уравнение (9.54) привести к виду
(- ~ - н° - г ю) ¦=°- (9-56)
Здесь гамильтониан Н° при отсутствии поля фотонов не зависит
от времени
а потенциальная энергия V\ которую мы будем рассматривать
как энергию возмущения (см. § 8, п. ж)), явно зависит от вре-
времени:
При определении энергии возмущения в формулу (9.57) мы
подставим вместо вектор-потенциала (см. (9.15) и (9.25)) вы-
выражение
А = 7/Г?? V^F [а (Х) е~Ш+Ыг + а+ М еш~Ыг], (9.58)
при условии, что амплитуды а5(х) подчинены перестановочным
соотношениям (9.50), а частота (д = ск.
Тогда для коэффициентов Сп'(() согласно (8.56) найдем
Х
Если мы хотим исследовать излучение фотонов, то в послед-
последней формуле следует оставить член, пропорциональный а+(и)
(оператор испускания). Тогда имеем:
* (®nn'~®) *
Отсюда для суммарной вероятности перехода (спонтанный плюс
вынужденный переход)
Wnn> = АПп' + р @) Впп' = -J- CJ (/) СЯ' @ (9.61)

158 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
получаем
«W =7?Т?? *"(—"^ (««'J(«+Р»'П). (9-62)
где матричный элемент
$-<«>|>„. (9.63)
Сделаем далее переход от ряда к интегралу при помощи
соотношения *)
а также учтем, что при достаточно больших значениях времени
мы можем положить
Примечание. Равенство (9.65) означает, что при t->oo
Х>
I Г sin (со — <й„„Л t
Т ) l-*nn f (Ю) d*= f (С0««'>-
Для доказательства последнего соотношения в левой части равенства (9.66)
сделаем замену
тогда оно принимает вид
оо 4*°°
1 f sin ? с / . ^\ ,. f , .1 f sin ? ««.
— @ .^ —OO
/г/г'
Здесь мы перешли к пределу t -> со. Учитывая затем, что
мы докажем соотношение (9.66), а вместе с тем и (9.65). Вообще говоря,
сама функция, стоящая в левой части равенства (9.65), имеет острый макси-
максимум при co = conrt/. Однако для конечных моментов времени t = At, прошед-
прошедших от начала процесса, эта функция допускает «разброс» (т. е. будет прак-
практически отлична от нуля) для интервала частот | Асо | = | со — cort/l/ |, лежащих
*) Для обоснования (9.64) следует воспользоваться равенством (9.11),
из которого следует, что Ахх = Ан^ = Ах2 = —г-. Отсюда при переходе
к пределу L -> оо получаем (9.64).

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧРНИЯ 159
в области |Ao)|Af ~ 1, что эквивалентно разбросу энергии
| ДЕ | А* ~ Л. (9.67)
Последнее соотношение можно рассматривать как четвертое соотношение не-
неопределенности. Оно хорошо известно в любом волновом процессе. В частно-
частности, в классической оптике оно характеризует уширение спектральных линий,
связанных с конечным значением длительности излучения (см. также § 1).
Формула (9.65) для достаточно больших времен /->оо при-
приводит к постулату частот Бора или к квантовой формулировке
закона сохранения энергии
(D = aw, (9.68)
где
aw= En~~hEn\ (9.69)
Таким образом, излучение возможно только при переходе с
более высоких энергетических уровней на более низкие:
Еп > Еп>. Используя далее перестановочные соотношения (9.51),
легко показать, что
(аР*п>п) (а+Рп<п) = S(l+N (ю*о)), (9.70)
где
S = (Р*п>пРп>п) - (*°Рп>п) (*°Рп'п). (9.71)
Перейдем далее к сферическим координатам волнового век-
вектора *(к = --Г' Ф>ф)» когда
^ (9.72)
где du = sin -ft dd dq> — элемент телесного угла.
Предполагая, что внешнее излучение изотропно, т. е. число
частиц не зависит от сферических углов Ф и ср (N = N(co)),
найдем после интегрирования с помощью 6-функции следующее
значение для вероятности перехода сверху вниз (с излучением
света) *):
2
Wnn> =
Напомним теперь равенство (9.61)
Wnn' = Ann' + 9Bnn'. (9.74)
Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что вероятность
спонтанного перехода (N = 0) определяется выражением
aS. (9.75)
*) Заметим, что после интегрирования с помощью 6-функции в выраже-
выражений для S следует положить сх = G>rt/l/K°.

160 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Для вероятности же вынужденного перехода имеем
Bnn' = jAnn>. (9.76)
Для того чтобы число частиц N выразить через плотность р,
будем исходить из следующих соображений.
Плотность энергии электромагнитного поля равна
(«>)rf(D. (9.77)
С числом же частиц Ы(а>) ее можно связать при помощи форму-
формулы (изотропное излучение)
Z
^- = -^- )*3d%N(<o)=-^f^(o3rf(D^(co). (9.78)
)
0
Из последних формул находим
N я2сэ
Р п«> <9-79>
Отсюда, учитывая еще (9.76), имеем
Определим, далее, вероятность перехода с нижнего уровня я'
на верхний я, т. е. найдем вероятность перехода с поглощением
света.
Для этого в формуле (9.59) мы должны похменять местами
уровни я (в данном случае конечный) и я' (в данном случае
начальный), а также оставить члены, пропорциональные ампли-
амплитуде а(к) (оператор поглощения).
Тогда имеем
1~Г J&'-*)* 1 Г
Сопоставляя формулы (9.81) и (9.60), мы видим, что их пра-
правые части представляют собой две комплексно-сопряженные ве-
величины.
При вычислении квадрата модуля обе величины должны дать
как будто один и тот же результат. Однако здесь, благодаря
тому что амплитуды а и а+ являются операторами, возникает
одно существенное различие, имеющее большое принципиальное
значение.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 161
Как видно из формулы (9.51),
аА+~A+Л0,
Поэтому при вычислении вероятности поглощения света wnfn
мы получим результат (9.73), в котором вместо множителя
A + М((йПп')) будет стоять множитель N ((йпп'), т. е.
wn>n = рВпп = 4^ГъТ N («w) ф du S. (9.82)
Отсутствие единицы говорит о том, что поглощение может быть
только вынужденным (спонтанное поглощение, как и следовало
ожидать, должно отсутствовать).
Сравнивая формулу (9.82) с формулой (9.73), имеем
Вп'п = Bnn't (9.83)
т. е. вероятности вынужденных переходов сверху вниз и снизу
вверх оказываются равными и пропорциональными соответ-
соответствующей вероятности спонтанного перехода (см. (9.80)).
Подставляя соотношения (9.80) и (9.83) в формулу (9.6),
дадим квантовомеханическое обоснование формуле Планка
характеризующей распределение спектральной плотности равно-
равновесного излучения.
Напомним, что первоначально формула Планка была получе-
получена из принципа соответствия (см. § 1) путем обобщения соот-
соответствующей классической теории на квантовый случай.
г) Дипольное, магнитное (дипольное) и квадрупольное излу-
излучения. Исследуем спонтанное излучение в приближении, более
точном, чем дипольное. Полагая в формуле (9.73) N = 0, най-
найдем для вероятности перехода следующее выражение:
(9.85)
где S определяется формулой (9.71), а для матричного элемента
Рп'п мы имеем выражение (9.63).
Определив вероятность спонтанного перехода, можно легко
вычислить также и соответствующую интенсивность излучения
Wnn' = hVnn'Ann', (9.86)
в А. А. Соколов и др.

162 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА \Ч. I
а также и вероятности вынужденных переходов по формулам
(9.80) и (9.83).
При вычислении матричного элемента (9.63) следует учиты-
учитывать, что величина (xr) ~ г/К является малой. В самом деле,
длина волны излучаемого света К ~ 10-5 см, а размеры атома
г ~ Ю-8 см. Поэтому г/К ~ 10~3 < 1.
В дальнейшем наряду с дипольным членом, не зависящим от
(хг), мы учтем еще члены, пропорциональные (хг), которые по-
позволяют определить так называемые квадрупольное и магнит-
магнитное (дипольное) излучения.
Тогда, полагая
<г«"«1-/(хг), (9.87)
найдем для матричного элемента (9.63) значение
Рп'п ^ Рп'п ~~ 1 ((ХГ) P)n'n» (9-88)
где рп,п = \ 'Фд/р'Ф^3^—матричный элеАмент оператора импуль-
импульса. Воспользуемся далее следующим тождеством:
= 4г (т WP) ~ T v2f) , > (9-89)
которое легко получить, если подставить сюда выражение для
гамильтониана
Заметим, что в (9.89) оператор V действует только на функ-
функцию f(r).
Полагая в формуле (9.89) функцию / равной х, найдем, что
или в векторной форме
Pn'n=-in4»n
Полагая далее f = x{nrO получаем
Заметим, что последний член правой части равенства в силу
ортогональности собственных функций (р! Ф п) равен нулю;
(**)п'п — Мл'» = 0.

§ 91 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 163
Поэтому в векторной форме последнее соотношение можно за-
записать в виде
- «V (г (w)U - JL ((яг) р + г (*р))„,„. (9.92)
Учитывая (9.92), второй член правой части равенства (9.88)
можно представить следующим образом:
(*г)р-4(х')р + 4(*Ор=|(*')р~^
Отсюда для матричного элемента (9.88) в нашем приближении
находим следующее выражение:
Рп'п = - Шфпп'Гп'п + ^ ( [И Ш )„,„ - -^1 (Г (*/•))„,„. (9.93)
Первый член в правой части равенства (9.93) описывает обыч-
обычное дипольное излучение, второй — магнитное (дипольное) и,
наконец, третий — так называемое квадрупольное.
Найдем прежде всего вероятность дипольных переходов.
Подставляя первый член правой части равенства (9.93) в
формулу (9.71), получим
Последнее равенство легко проинтегрировать по углам с по-
помощью соотношений
Q = 4jt,
(9.94)
Тогда находим значение для вероятности дипольного перехода
, (9.95)
где
I - |2 _ 1 х 12 I I и 12 I | - |2 /Q Qg\
I Гп'п I I хп'п I ^ I Уп'п I * I г/г'/г | • ^«уо/
Если ввести матричный элемент дипольного момента
dn,n = ern>n, (9.97)
то выражение (9.95) можно представить в вине
4 <oL'
Вычислим далее вероятность переходов, обусловленных маг-
магнитным излучением.

164 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Подставляя второй член выражения (9.93) в формулу (9.71)
и вводя оператор
rib<9-">
который в классическом приближении играет роль магнитного
момента (более подробно см. § 16), найдем
Учитывая при интегрировании по углам равенство (9.94), для
вероятности магнитных переходов получаем следующее выра-
выражение:
¦fti'up. (9.101)
Так же как и в классическом случае, магнитное излучение от-
отличается от электрического заменой дипольного электрического
момента дипольным магнитным моментом.
Как мы увидим в дальнейшем, вероятность магнитных пере-
переходов (в особенности в атоме) во много раз меньше вероятно-
вероятности электрических переходов.
Наконец, вычислим вероятность квадрупольных переходов.
Подставляя третий член правой части равенства (9.93) в
формулу (9.71), будем иметь:
(9.102)
причем по индексу s, входящему дважды, мы должны просум-
просуммировать ОТ 1 ДО 3 (Х\ = X, Х2 = У, ХЪ = Z).
В данном случае при интегрировании по углам, кроме (9.94),
следует учесть еще выражение
x°D)tfQ =
= ||. [(AB) (CD) + (AC) (BD) + (AD) (ВС)]. (9.103)
Тогда с помощью равенства (9.85) для вероятности квадруполь-
ного перехода находим
Вводя далее квадрупольный момент (тензор)

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 165
мы окончательно получаем
д) Излучение гармонического осциллятора. Рассмотрим на
примере гармонического осциллятора вопросы, связанные со
спонтанным излучением.
Как было показано в § 7 (см. формулы G.68), G.69)), от-
отличными от нуля будут только следующие матричные элементы
координаты:
#n-I,n = #0 Л/ Y »
(9.106)
Vn+\
2
где
т. е. дипольные переходы возможны лишь между соседними
уровнями и правила отбора для дипольного излучения имеют
вид
Ьп = п — п' = ± 1. (9.107)
В частности, спонтанный переход возможен по схеме п-> п — 1
(рис. 9.1). Соответствующая частота излучения
(9.108)
равна механической частоте колебаний. Здесь мы учли, что, со-
согласно G.28), Еп = h(o(n+ V2).
Для интенсивности излучения найдем согласно (9.86) и
(9.95) выражение
^^^-^ (9Л09)
где
?0=72/*g>.
Полагая ft -* 0, мы получим для энергии излучения гармони-
гармонического осциллятора известное классическое выражение (см.
GЛ0))
Переходы в более высокие энергетические состояния п -> п + 1
возможны лишь при вынужденном поглощении.
Спрашивается: возможно ли в случае гармонического осцил-
осциллятора излучение гармоник?

166 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. 1
С этой целью мы подсчитаем интенсивность квадрупольного
излучения, которая пропорциональна матричному элементу
(х2)п,п, поскольку
Qxx = 2e(x2). (9.111)
С помощью формул (9.86) и (9.105) находим следующее вы-
выражение для интенсивности квадрупольного излучения:
15с5 I*
Принимая во внимание значения для матричных элементов
(х\,п (см. (8.38)),
~2
(9.113)
правила отбора для квадрупольного излучения осциллятора
можно записать в виде
&п = п-п' = 0, ±2. (9.114)
В частности, в случае спонтанного излучения, когда
п -> п — 2, должен излучаться не основной тон (как для диполь-
ных переходов), а первая гармоника
(9.115)
Учитывая формулы (9.115) и (9.113), найдем
l). (9.116)
Производя замену в классическом приближении
получим
y-Mp.jWjBW. (9Л17)
15с т0
Сопоставляя формулы для дипольного и квадрупольного из-
излучений, мы видим, что дипольные переходы происходят при
Дп = ±1, а квадрупольные при An = 0, ±2. Так как кванто-
квантовое число характеризует четность волновой функции (см. G.42)),
то дипольные переходы возможны из четного состояния в нечет-
нечетное или наоборот. Квадрупольные же — из четного состояния в
четное или из нечетного состояния в нечетное.

§9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 167
Определим, далее, отношение пнтенсивностей излучения. Из
формул (9.117) и (9.110) находим
8 Е (а\* /о мяч
1(9Л18>
2Е
где а2 — г" — квадрат классической амплитуды колебаний.
Отсюда видно, что в нерелятивистском приближении (Е <С т0с2)
вероятность квадрупольных переходов будет во много раз мень-
меньше, чем для дипольных.
Таким образом, выпишем окончательно правила отбора для
дипольных переходов при излучении осциллятора
Дя=± 1 (9.119)
и для квадрупольных переходов *)
Дя = 0, ±2. (9.120)
Заметим, что магнитные переходы для гармонического осцилля-
осциллятора будут отсутствовать, так как при прямолинейном движении
механический момент, а вместе с тем и магнитный, должны об-
обращаться в нуль.
е) Понятие о квантовых усилителях и генераторах. Выну-
Вынужденное, или индуцированное, излучение за последнее время на-
нашло весьма большое применение благодаря созданию советски-
советскими учеными Басовым и Прохоровым квантовых усилителей и ге-
генераторов.
Для простоты рассмотрим систему с двумя энергетическими
уровнями Е\ и Е2 > Е\.
Спонтанное излучение, связанное с самопроизвольными пере-
переходами Е2-+Е\ (вероятность перехода А2\)у испускается по раз-
различным направлениям с беспорядочной фазой, т. е. представляет
собой некогерентное излучение.
Направление распространения, фаза и поляризация выну-
вынужденного индуцированного излучения (вероятность перехода
P^2i, где р — спектральная плотность внешнего излучения)
должны совпадать с направлением распространения, фазой и
*) В оптической области дипольные переходы называются разрешенными.
Все остальные переходы обычно называют запрещенными, хотя они и могут
быть разрешенными для квадрупольных и магнитных излучений. Учет послед-
последних существен именно потому, что в ряде случаев слабые линии, запрещен-
запрещенные для дипольного излучения, обязаны своему появлению квадрупольному
или магнитному излучениям.
Для атомно-молекулярных систем длина волны излучаемого света (% ~
~ 10~б см) во много раз больше их размеров (а ~~ 10~8 см), и поэтому ве-
вероятность квадрупольного перехода (см. (9.118)) понижается примерно в
Ю7 раз по сравнению с дипольным.

168 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
поляризацией внешнего электромагнитного излучения. Это при-
приводит к тому, что вынужденное излучение должно быть коге-
когерентным.
Полная вероятность перехода с более высокого уровня на
нижний (Е2->Е\) определяется выражением*)
(9.121)
причем частота внешнего излучения о должна лежать в преде-
пределах ширины линии резонансного перехода с частотой
<в21 = Яа ~ Я1 >0. (9.122)
Ради простоты мы ограничимся рассмотрением только резонанс-
резонансных переходов (cd = gJi). В этом случае система может под
действием внешнего излучения также переходить с нижнего на
более высокий энергетический уровень, поглощая при этом соот-
соответствующий квант энергии.
Вероятность такого процесса равна
Wi2 = pBi2. (9.123)
Обозначим число атомов в единице объема с энергией Е2 через
N2i а с энергией Е\ — через N\. Числа N2 и N\ носят названия
населенностей уровней.
Тогда интенсивность (мощность) индуцированного излучения
будет равна
ЙЛГВ (9.124)
Точно так же для индуцированного поглощения имеем
Pi2 ¦= Нщ2ЫхВ{2р — — АоыЛ^Бюр. (9.126)
Принимая во внимание, что согласно формуле (9.83)
?12 = В2!>
для суммарной мощности индуцированных излучения и поглоще-
поглощения находим значение
Р = Рг\ + Рп = Й<о21рй21 (ЛГ2 - Nx). (9.126)
В случае термодинамического равновесия температура Т вполне
определяет населенность уровней, т. е. распределение атомов по
энергетическим состояниям
N2 = Ce *бГ, N{ = Ce k*T, (9.127)
*) Поскольку нас интересует качественная сторона вопроса, мы ограни-
ограничимся рассмотрением изотропного излучения. Обобщение теории на распро-
распространение лучей с заданным направлением можно найти в специальной ли-
литературе.

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 169
что всегда дает
NX>N2. (9.128)
Поэтому электромагнитное излучение, проходящее сквозь веще-
вещество, находящееся в состоянии термодинамического равновесия,
должно всегда им поглощаться (р < 0).
Для того чтобы излучение не поглощалось, а, наоборот, уси-
усиливалось, необходимо нарушить состояние термодинамического
равновесия и создать такой ансамбль атомов или молекул, для
которых населенность нижних уровней была бы меньше верхних
(N\ < N2). Говорят, что такой ансамбль имеет инверсную насе-
населенность. Усиление, основанное на инверсной населенности, мы
можем создать в принципе для любой частоты.
Если формально ввести понятие температуры, воспользовав-
воспользовавшись соотношением
177 = *"^. (9.129)
то при инверсной населенности (N2 > N\) значение для темпе-
температуры Т должно быть отрицательным (T<zO). Заметим, что
понятие отрицательной температуры носит совершенно условный
характер и может относиться лишь к паре уровней, и то для
промежутков времени, малых по сравнению с временем релакса-
релаксации (состояние не является термодинамически равновесным) *).
В противоположность этому в случае термодинамического рав-
равновесия температура характеризует распределение населенно-
стей по всем энергетическим состояниям и для любого момента
времени.
Следует подчеркнуть, что спонтанное излучение может умень-
уменьшить время пребывания электронов на верхнем уровне, т. е.
уменьшить время жизни инверсного состояния.
Допустим, что переход Е2-+Е{ может быть осуществлен ди-
польным путем, т. е. является разрешенным. Тогда время пре-
пребывания ten электрона на верхнем уровне, обусловленное спон-
спонтанным переходом, может быть найдено из соотношения**)
1 лДИП el са2 1 са2
^-^^¦т-?1г. (9.130)
*) См., например, Файн В. М. Квантовая радиофизика: т. 1, Фотоны и
нелинейные среды. — М.: Советское радио, 1972.
**) Для получения формулы (9.130) воспользуемся выражением (9.110),
характеризующим интенсивность дипольного спонтанного излучения гармони-
гармонического осциллятора (вероятность перехода в других системах имеет тот же
порядок).
Полагая в (9.110) Е = ' ° — и деля все равенство на /гсо, получим
соотношение (9.130).

170 ИЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
0 .
где -^ « -^ носит название постоянной тонкой структуры, а
амплитуда колебаний а ~ 10~8—Ю-9 см. В случае радиодиапа-
радиодиапазона (К ~ 1 см) время дипольного спонтанного излучения будет
сравнительно большой величиной (тсп ~ Ю7 с), поскольку оно
пропорционально Я3, в то время как тИнд согласно (9.80)
не будет зависеть от Я, и при сравнительно большом значении р
его можно сделать много меньше тсп. При этом интенсивность
вынужденного излучения будет много больше спонтанного, бла-
благодаря чему спонтанное излучение обусловливает лишь шумы.
В оптическом же диапазоне (А, ~ 10~4 или 10~5 см) в случае
разрешенных переходов (формула (9.130)) находим для време-
времени жизни: Тсп ~ Ю-7 с. Для того чтобы его увеличить, желатель-
желательно взять возбужденный уровень, переходы с которого на основ-
основной являются запрещенными (т. е. должны отсутствовать ди-
польные переходы: Л2?п = 0).
Если предположить, что между уровнями возможны квадру-
польные переходы, то тогда время перехода может быть найдено
из соотношений (9.130) и (9.118):
(У <9-132>
В частности, для светового диапазона (К ~ 10~5 см) время
квадрупольного перехода может быть увеличено до одной се-
секунды.
Все современные квантовые усилители, а также генераторы
(мазеры или лазеры) основаны на создании тем или иным спо-
способом инверсной населенности, в результате чего после прохо-
прохождения электромагнитных волн должно происходить или усиле-
усиление, или даже генерация излучения.
ж) Основы теории дисперсии. Теория возмущений нашла
применение при изучении взаимодействия света с веществом.
Дело в том, что результаты, полученные по квантовой теории,
отличаются от классических, а экспериментальная проверка
дает подтверждение выводов квантовой теории.
Рассмотрим теорию дисперсии (т. е. теорию рассеяния света
в среде) для диэлектрических сред, характеризуемых согласно
классическим представлениям показателем преломления
п = д/е,
где е — диэлектрическая проницаемость (магнитная проницае-
проницаемость \i при этом положена равной единице: ц=1). Как из-
известно, если с увеличением частоты света, проходящего через

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 171
вещество, показатель преломления п возрастает 1-^- > 0 1, то
такая дисперсия называется нормальной. Типичным примером
нормальной дисперсии является спектральное разложение види-
видимого света стеклянными или кварцевыми призмами, когда фио-
фиолетовые лучи отклоняются от первоначального направления
сильнее, чем красные.
Аномальная же дисперсия \-г- < 0] наблюдается в области
частот, которые поглощаются средой.
Для определения показателя преломления п воспользуемся
.связью между вектором электрической напряженности 8 элек-
электромагнитного поля, вектором индукции 3) и вектором поляри-
поляризации SP\
3) = && = &-\- 4п&>. (9.133)
Отсюда, учитывая, что е = п2, находим
<^ = -^=^#. (9.134)
Таким образом, для определения п нам необходимо, исходя
из микроскопических представлений о строении вещества, уста-
установить связь между 4Р и 8 *).
Перейдем теперь к построению квантовой теории дисперсии.
При этом предположим, что все электроны атомов находятся
в одном и том же квантовом состоянии к. Для решения нашей
задачи используем метод теории возмущений, поскольку энер-
энергия взаимодействия с внешним полем, как правило, мала по
сравнению с энергией связи электронов в атоме.
Замечая, что внешняя сила, действующая на электрон, в не-
нерелятивистском случае (т. е. при отбрасывании «магнитной»
силы) равна
Fx = - ео&о cos со/, Fy = F2 = 0,
для энергии возмущения получаем выражение **)
V' = eox&0cos<i>t. (9.135)
В связи с этим уравнение Шредингера для электрона запи-
запишется в форме
@ГК(')==0' (9.136)
где Н° — гамильтониан в отсутствие возмущения.
*) Согласно определению поляризация & складывается из электрических
моментов атомов в единице объема.
**) Отсутствие зависимости от координат г соответствует условию, что
на расстояниях порядка размеров атома электрическое поле можно считать
неизменяющимся.

172 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. 1
Допустим, что при V = О уравнение (9.136) имеет точное
решение
Ч? (/) = ф-("*> **' = ЪУ»*\ (9.137)
где г|>° и ?к удовлетворяют уравнению
(?к —Н°)ф°~0. (9.138)
Тогда в соответствии с теорией возмущений решение ищем
в виде
¦я О-¦?(')+ ¦;(/)• (9.139)
Учитывая далее равенство
(-А А _№)*»(/) = 0, (9.140)
для определения ф«@ (первое приближение) получаем урав-
уравнение
(-.А^._Но)^(/) = Г«Р(О. (9.141)
Подставляя сюда V из (9.135), находим
(- 1JL _ н°) Ц? (/) = 72ео^о< {*-" <•«-> + *-« <•«+•>}. (9.142)
Чтобы в этом уравнении исключить время t, ищем решение ty'K(t)
в форме
^ (/) = ие-*' <"*"*) + те"" <в«+в). (9.143)
Тогда для определения функций и и v получаем уравнения
{А (©я - со) - НО} к « Уяв^о^Р, (9.144)
{А (©я + ш) - Н0} о = VaVW (9.146)
Заметим, что два последних уравнения имеют совершенно
одинаковую структуру. Поэтому нам достаточно найти лишь
функцию и. Тогда для вычисления функции v необходимо заме-
заменить со на —о.
Поскольку в уравнение (9.144) время явно не входит, при
определении функции и мы можем воспользоваться методом тео-
теории возмущений для стационарных задач, когда решение сле-
следует искать в виде разложения по собственным функциям невоз-
невозмущенной задачи (см. (8.8))
где i|)°,, удовлетворяет уравнению
(?л,,-Н°)г|?,, = 0. (9.147)

9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 173
Из последних равенств находим
/с"
Здесь частота излучения
***=**"** • (9Л49)
Умножая (9.148) слева на ^ и интегрируя затем по всему
пространству с учетом ортонормированности собственных функ-
функций, для коэффициентов Ск* получаем выражение
Подставляя (9.150) в (9.146), находим искомую функцию
где матричный элемент av* равен
«Kd*x. (9.152)
Заменяя в (9.151) со на — ю, получаем
Общая же волновая функция ^K(t) согласно (9.139) и (9.143)
запишется в виде
гт ^«'«cos ^ - to sin «
(9.154)
Определив волновую функцию ^K(t) электрона во внешнем
поле, мы легко сможем найти вектор поляризации среды <§*\
В самом деле, по классической теории
$>x = &> = Np = — Neox,
где Af — число атомов в единице объема.
Чтобы это выражение обобщить на квантовый случай, вме-
вместо р следует взять его среднее значение. Тогда
д> = N (р) = - Ne0 J ^ (/) х^к (t) d3x. (9.155)

174
НЕРЕЛЯТИВИСТСК4Я КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. I
Подставляя сюда г|)«(/) из (9.154) и оставляя только члены пер-
первого порядка малости относительно ё>о, находим
др — L V к? к к2' ^0 cos со/. (9.156)
к' к'к
При выводе этого соотношения мы учли, что
:= J |о|H|2^3л: = 0,
поскольку подынтегральная функция является нечетной функ-
функцией.
Сравнивая (9.156) с (9.134), получаем дисперсионную фор-
формулу
>*:*|V'C2|2, (9.157)
4я
к
Вводя новую переменную
(9.158)
получившую название силы осциллятора, преобразуем равенство
(9.157) к виду
Заметим, что если бы с самого начала была учтена кванто-
квантовым путем сила радиационного трения, то для частот о>, близких
к {ок/Л, мы имели бы (аналогич-
(аналогично классическому случаю) в
области аномальной диспер-
дисперсии конечное значение для п2
(рис. 9.2, а — штриховая ли-
линия).
Формула (9.159) напоми-
напоминает по своей структуре клас-
классическое выражение. Однако
по сути дела квантовые резуль-
результаты принципиально отличают-
отличаются от классических. В самом
деле, согласно квантовой тео-
теории аномальная дисперсия лежит в области частот, соответ-
соответствующих разрешенным переходам, а не в области собственной
механической частоты колебаний электрона, как это вытекает из
классической теории. Такой вывод следует из того, что в диспер-
дисперсионной формуле (9.159) существенную роль играет сила осцил-
Рис. 9.2. Кривые дисперсии, а) положитель-
положительная дисперсия (Ф/с — Ф/с'/с); б) отрицатель
ная дисперсия (ф/с=Ф/с/с')*

$91 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 175
лятора fK,K$ определяемая матричным элементом хк,к (см. (9.158)),
характеризующим правила отбора, т. е. разрешенные пере-
переходы.
Д. С. Рождественский, используя так называемый метод крю-
крюков, экспериментально подтвердил эти выводы квантовой теории.
Вторым очень важным отличием квантовых результатов от
классических является то, что согласно квантовой теории наряду
с обычной положительной дисперсией может также существо-
существовать еще и отрицательная дисперсия (рис. 9.2,6), не имеющая
классического аналога.
Действительно, если рассеяние света происходит на возбуж-
возбужденных атомах, то следует учитывать состояния с Ек > Ек>, для
которых
I к'к wk'k ft
Для этих состояний дисперсионная формула (9.159) принимает
вид
п2— 1 Nel
(9.160)
а кривая дисперсии изображается штриховой линией на
рис. 9.2,6.
Экспериментально явление отрицательной дисперсии было
обнаружено Ладенбургом. Таким образом, и этот вывод кванто-
квантовой теории также получил свое подтверждение.
Найдем значение силы осциллятора fK,K, а следовательно, и
дисперсионную формулу в случае гармонического осциллятора.
Замечая, что при этом отличными от нуля будут только матрич-
матричные элементы (см. (9.106))
и *«->¦¦-л/таг- (9Л61)
которым соответствуют квантовые частоты излучения, «случай-
«случайно» совпадающие с соответствующими механическими частота-
частотами колебаний
Ю/с + 1. к = Ю0 И СОк-1, /с= — СОо, (9.162)
находим
/я+1, к = (*+1), /км.*™ — *' (9.163)
т. е.
"Л=1. (9.164)
Поэтому дисперсионная формула (9.159) запишется в виде
п2-\ _Ne\ *+l Ne2 к __ Ne\ _|
4д пи (oft~co /?zft 0x-wz /wft 0л~о-

176
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. I
Отсюда следует, что в этой частной задаче квантовая и класси-
классическая теории дают для показателя преломления п одно и то же
значение. Явление отрицательной дисперсии здесь не наблюда-
наблюдается. Это связано с тем обстоятельством, что для гармонических
осцилляторов область отрицательной дисперсии, благодаря тому,
что | со/с-ы, /с 12= | coK_i, к |2, совпадает с соответствующей областью
положительной дисперсии, которая ее и перекрывает.
з) Комбинационное рассеяние света. Проанализируем явле-
явление дисперсии с точки зрения энергетической схемы.
t
fico
fico'
\, ficok,k hIII
J
nOOffk'W IV
ficu
If
Рис. 9.З. Энергетическая схема рассея-
рассеяния фотона; Асо —энергия падающего
фотона; йсо'~энергия рассеянного фо-
фотона; /, // — упругое рассеяние фотона
{1нйф h®KrK и Ыфк®ккну, Ш, /к — вы-
вынужденные переходы (#со ~ ftco^ или
fitu
\Ьи>
Рис. 9.4. Комбинационное рассеяние
света: йсо—энергия падающего фо-
фотона; йсо' и к®"—энергии рассеянных
фотонов, отвечающие «стоксовым»
и «антистоксовым» линиям.
Предположим, что на атом, обладающий всего лишь тремя
уровнями Екг < Ек< ЕК' (рис. 9.3), падает фотон с энергией
Вообще говоря, рассеяние этого фотона представляет собой
эффект второго порядка и может происходить двояким путем:
1) вначале произойдет поглощение падающего фотона (при
этом электрон, находящийся в начальный момент на уровне к,
перейдет в некоторое промежуточное состояние, которое, вообще
говоря, может быть и запрещенным *) (/ на рис. 9.3)), а затем
испускание рассеянного фотона; 2) сначала атом испустит фо-
фотон (// на рис. 9.3), а потом только произойдет поглощение па-
падающего фотона. Если электрон после этих двух процессов воз-
возвратится в свое прежнее состояние, то согласно закону сохране-
*) Точнее, в промежуточных состояниях закон сохранения энергии мо-
может нарушаться. Только в окончательном результате этот закон должен вы-
выполняться.

§ 9] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 177
ния энергии частота со' рассеянного фотона равна частоте па-
падающего фотона со *).
Может оказаться, что из промежуточного состояния электрон
перейдет не на начальный уровень к, а на уровень /с', лежащий
выше, или на уровень /с", лежащий ниже, чем уровень к
(рис. 9.4). Тогда частота рассеянного света (о/ или со") не будет
равна частоте со падающего света. В таких случаях говорят
о так называемом комбинационном рассеянии, или раман-эф-
фекте. Экспериментально комбинационное рассеяние света впер-
впервые было обнаружено в жидкостях индийскими физиками
Ч. В. Раманом и К. С. Кришнаном, а в твердых телах — совет-
советскими физиками Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом
A928).
Как видно из рис. 9.4, частота рассеянного фотона в раман-
эффекте может быть как меньше, так и больше частоты падаю-
падающего.
В первом случае линии
(О' = CD — GVk <С0, (9.166)
называемые стоксовыми линиями (смещение происходит в сто-
сторону «красной» части спектра), соответствуют возбуждению ато-
атома, так как в результате рассеяния атом
оказывается в энергетически более вы-
высоком состоянии. Во втором случае воз-
возникают так называемые антистоксовы
линии (смещение происходит в сторону
«фиолетовой» части спектра)
. t Рис. 9.5. Наложение молеку-
СО = СО + СОкк" > СО, (9.166а) лярных частот на частоту па-
падающего света: а) спектраль-
Причем ОНИ МОГуТ ПОЯВИТЬСЯ ТОЛЬКО В ^™х\Юолбеб\нииГб)Мш^
ТОМ Случае, КОГДа СВеТ раССеИВаеТСЯ На щение спектральной линии,
nnQ^uwnPHHUY ятпмяу (пир Q *\\ обусловленное молекуляр-
ВОЗОуЖДеННЫХ аТОМаХ ^рИС. У.О;. ными колебаниями: (*>'=*
Важную роль комбинационное рассея- e®-<v*. <»"—ю+юК1С#.
ние играет при исследовании строения
молекул. В самом деле, ротационные и вибрационные (а также
вибрационно-ротационные) спектры расположены в глубокой
инфракрасной области (см. ниже § 11) и поэтому труднодос-
труднодоступны наблюдению. Изучая же комбинационное рассеяние, мож-
можно иметь дело с видимым светом и судить о спектре молекул
лишь по изменению частоты в результате рассеяния.
*) В случае резонанса (со « <«VK) наряду с рассеянием фотоны могут так-
также поглощаться, а электроны в атоме совершать вынужденные переходы.
Вероятность вынужденных переходов определяется коэффициентом Эйнштей-
Эйнштейна Вк.к (III на рис. 9.3). Наличие внешнего поля может также усилить пере-
переходы сверху вниз. Тогда наряду со спонтанным появляется еще и вынужден-
вынужденное излучение, пропорциональное коэффициенту Вкк„ (IV на рис. 9.3)#
а)\
1
1
ш
со"
1
1
1

178
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
. I
§ 10. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ
В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
Движение частицы в центрально-симметричном поле пред-
представляет собой наряду с гармоническим осциллятором одну из
фундаментальных задач квантовой механики. Эта задача легла
в основу построения квантовой теории атома водорода, много-
многоэлектронных атомов, молекул, теории рассеяния. Дело заклю-
заключается в том, что зависимость волновой функции частицы от
сферических углов в центрально-симметричном поле не связана
с конкретным выбором вида потенциальной энергии. Поэтому
угловая часть волновой функции (шаровые функции) относится
к любому центрально-симметричному полю.
а) Уравнение Шредингера в криволинейных ортогональных
координатах. Потенциальная энергия частицы V(r) в централь-
центрально-симметричном поле зависит только от расстояния частицы г
до некоторой фиксированной
точки пространства, назы-
называемой силовым центром.
Поместим начало координат
в силовом центре и введем
сферические координаты г,
О, ф, связанные с декарто-
декартовыми х, у, z (рис. 10.1) со-
соотношениями
х = г sin ucostp,
у = г sin # sin ф, z = г cos Ь
\z
f
--*?*>
@<г
оо,
0<ср<2я,
(ЮЛ)
Рис. ЮЛ. Ортогональная система в сферических Уравнение ШрбДИНГера
координатах. для частицы> движущейся
в центрально-симметричном
поле V(r), в сферических координатах всегда можно решить ме-
методом разделения переменных.
В важном частном случае, когда центральное поле является
кулоновским и описывает, например, взаимодействие ядра с за-
зарядом Ze0 и электрона с зарядом е = — еОу
A0.2)

$ 101 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 179
задача допускает решение методом разделения переменных так-
также и в параболических координатах ?, х\, ср:
= л/Ъч cos ф, у = Vln sin ф, z = V2 (I — Л),
A0.3)
т. е.
Coo, 0<ф<2я). A0.4)
Рассмотрим вначале общую запись уравнения Шредингера
в произвольных ортогональных системах координат (q\9 q2, #3),
когда направление, связанное с дифференциальным изменением
одной из координат, перпендикулярно к соответствующим на-
направлениям двух других координат. При этом радиус-вектор г
является функцией этих координат, т. е. r(q), q2i с/$).
. Если запишем радиус-вектор через декартовы координаты
г = ]\х + j2y + /32 A0.5)
и учтем, что направление ортов декартовых координат \п (я =
== 1,2, 3) остается неизменным, легко получить
dr . дх . . ду , . дг
iiii
т. е.
дг
dqj
Отсюда для дифференциала длины // находим
dli = Hidqh A0.8)
т. е. составляющая градиента на направление // будет равна
=
dlf н}дя^
Тогда элемент объема в ортогональной системе координат мож-
можно записать в виде
d3x = dh dl2dl3 = НхН2Нг dqx dq2dqb. A0.10)
Чтобы получить выражение для оператора Лапласа, запи-
запишем в координатах qu Цг, Цъ выражение для дивергенции произ-

180 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
вольного вектора В
& {В dS)
п х
— HlH2Hzdqidq2dqz
где
A0.12)
dS$ = dl\ dl2 = H1H2 dq\ dq<L.
Полагая в A0.11) B = grad\|), найдем для оператора Лапласа
V2^ = div grad ф A0.13)
следующее значение:
„2 _ 1 Г д Я2Я3 д$ . д HZHX dj> . д НгН2 д$ \
V У~ НхН2Нъ \ dqx Нг dqx "^ dq2 Я2 dq2 "^ a^3 Я3 д?3 Г
A0.14)
В частности, в декартовой системе координат qi = x, q2 = y>
q3 = z, когда Нх = Я2 = Я3 = 1, имеем
ду2 ^ dz2 ;
Для сферических координат (см. рис. 10.1)
согласно {ЮЛ) и A0.8) получаем
тт ___ 1 тт __ у, тт ____ ^ o:rt л
Из рис. 10.1 видно, что направления изменения координат пер-
перпендикулярны друг другу, т. е. система является ортогональной
На основании полученных формул находим выражение для эле-
элементов объема и лапласиана (т. е. оператора Лапласа) в сфе-
сферических координатах:
dzx = г2 dr sin ft rfft dcp,

§ 10] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 181
Точно так же в параболических (ортогональных) координатах
получим
d3x = ±(
д
A0.16)
б) Шаровые функции. Для центрально-симметричного поля
уравнение Шредингера
У2<ф + ?2(г)ф = 0 A0.17)
будем решать в сферических координатах. В A0.17) следует
положить
k4r)=2$-(E-V(r))9 A0.18)
а лапласиан определяется формулой A0.15).
Уравнение Шредингера следует решать по методу разделе-
разделения переменных, полагая
Ф = Л(г)У(Ф,ф). A0.19)
Умножая исходное уравнение на f-4-J, получаем
1. + ю—?.
Так как слева здесь стоит величина, зависящая только от г,
справа — только от углов ft и ср, это равенство может иметь ме-
место лишь в том случае, когда и левая, и правая части равны по
отдельности некоторой величине Я, называемой постоянной раз-
разделения.
Таким образом, для радиальной и угловой частей волновой
функции находим соответственно уравнения
= 0, A0.21)
У|,ФГ + ЛУ = О. A0.22)
Важно подчеркнуть, что последнее уравнение для угловой части
не содержит переменной г и не зависит от конкретного вида по-
потенциальной энергии V. Поэтому, как мы уже отмечали в на-
начале параграфа, его решение должно быть справедливым для
любых центральных сил.

182 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Полагая далее
К = в(Ф)Ф(ф), A0.23)
произведем разделение шаровой функции Y (О, ф) по сфериче-
сферическим углам, причем для функций 6@) и Ф(ф) находим, соот-
соответственно, уравнения
(^) A0.24)
A0.25)
Здесь т2 является постоянной разделения; кроме того, мы ввели
обозначения
*~3?. (Ю-27)
в которых частные производные заменены полными, поскольку
каждая из функций 0 и Ф зависит только от одной переменной.
Таким образом, для определения собственных значений энер-
энергии Ei и соответствующих им собственных функций г!?* мы полу-
получили три уравнения: A0.21), A0.24), A0.25), причем если по-
последнее из них содержит только один параметр т2, то второе и
первое (см. ниже A0.40))—по два.
Поскольку при решении одного уравнения можно найти соб-
собственные значения только для одного параметра, решение всей
задачи мы должны начинать с решения уравнения A0.25), а за-
затем, зная т2, переходить к решению уравнения A0.24) и, нако-
наконец, к решению уравнения A0.21) для радиальной функции.
При нахождении нормировочного коэффициента можно вос-
воспользоваться соотношением
= J RRr dr J 0*0 sin Ь d® j Ф*Ф rfq>,
0 0 0
из которого видно, что нормировку можно производить для каж-
каждой из функций по отдельности:
Jl, A0.28)
о
я
0*0 sin bdb=\, A0.29)
I
2я
1. A0.30)

§ Ю] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 183
Частное решение для азимутальной функции (см. уравнение
A0.25)) может быть представлено двояким способом:
либо
ф = Се(т»9 A0.31)
либо
Ф = A cos (/яср + Фо). A0.32)
Эти два частные решения имеют различную физическую интер-
интерпретацию. В самом деле, решение A0.31) соответствует бегу-
бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномерному
вращению электронов, в то время как решение A0.32) связано
со стоячими волнами и соответствует, например, колебаниям
электрона по некоторой дуге. Чтобы функция Ф описывала вра-
вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в виде
бегущих волн A0.31). Так как второе решение, пропорциональ-
пропорциональное е-/т(р, может быть получено путем замены т на —га, то, не
ограничивая общности, решение следует вообще выбрать в виде
O = Ceim»9 A0.33)
причем величина т может пробегать как положительные, так и
отрицательные значения.
Учитывая, что волновая функция должна удовлетворять тре-
требованию однозначности (см. § 3), на функцию Ф(ф) необходимо
наложить условие периодичности
A0 34)
из которого следует, что
e2inm — I ш
Отсюда для величины ш, получившей название магнитного кван-
квантового числа, имеем
т = 0, ±1, ±2, ±3, ... A0.35)
Из условия нормировки A0.30) находим С =—==-. Не-
Непосредственным вычислением легко показать, что функции
A0.36)
будут удовлетворять условию ортонормированности
2я
Поскольку собственные значения m известны, а также най-
найдена волновая функция, зависящая от азимутального угла ф,
можно приступить к решению уравнения A0.24).

184 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Вводя новую переменную
A0.37)
и обозначая производные по х штрихами, вместо A0.24) полу-
получаем уравнение
[A -x2HT + (a -j^r)e = 0. A0.38)
Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет особые точ-
точки при jc ===== z±= 1. В этих точках один из коэффициентов при в
обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную рас-
расходимость, будем искать решение в в виде
e = {\-x2f2u. A0.39)
Подставляя A0.39) в A0.38) и сокращая все равенство на
A — x2)s/2, получаем
A - х2)и"- 2x(s + 1)и' + [X - s2 - s + ^Егр[и = 0. A0.40)
Мы исключим особенность в последнем члене, полагая
Решения, отвечающие этим двум значениям s, удовлетворяют
одному и тому же дифференциальному уравнению, поскольку
основное уравнение A0.38) зависит лишь от т2. Следовательно,
эти решения могут отличаться друг от друга только постоянным
множителем
6(|т|) = Л0(-|т|). A0.41)
Учитывая последние соотношения, будем искать решение
уравнения A0.40) при
>0 A0.42)
В силу же соотношения A0.41) оно автоматически распро-
распространяется также и на отрицательные значения /п.
При условии A0.42) уравнение A0.40) принимает вид
2' ))и = 0. A0.43)
Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его ре-
решение может быть представлено в виде ряда
и—?а**\ A0.44)
в результате подстановки которого в уравнение A0.43) полу-
получаем
? {к (к - 1) акхк~2 + [К - (к + т) (к + т + 1)] акхк} = 0.
0

§ !01 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 185
Группируя члены с одинаковыми степенями л, приходим к ра-
равенству
из которого следует рекуррентное соотношение
(к + 2) (к + 1) ак+2 = - [Я - (к + т) (к + т + 1)] а*, A0.45)
связывающее между собой все коэффициенты ряда A0.44).
Ввиду того, что коэффициенты ак связаны лишь с ак+2, т. е. че-
через один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависи-
зависимости от того, является ли старший член (см. ниже) четным или
нечетным.
Требуя, чтобы ряд A0.44) был ограничен некоторой макси-
максимальной степенью к = qt т. е. был бы полиномом порядка qt мы
должны ввести условие
aq+2 = 0, aq ф 0.
Отсюда на основании A0.45) получаем
X = fa + m)fa + m+l), A0.46)
где
<7 = 0, 1, 2, 3, ..., A0.47)
т. е. равно той степени, на которой мы обрываем ряд. Вводя
орбитальное квантовое число I
t9 (Ю.48)
находим, что оно может принимать, так же как и числа q и /п,
лишь положительные целые значения, включая нуль, т. е.
/ = 0, 1, 2, 3, ..., A0.49)
причем в силу A0.48)
1>гп. A0.50)
Принимая во внимание, что согласно A0.48) и 10.46)
Я = /(/+1), A0.51)
уравнение A0.40) можно привести к виду
A -Х2)и"-2х(т+ \)и' + [1A + 1)-т(т+ 1)]а«0, A0.52)
где
и = а,-^-" + a/-w-2*'-w-2 + ... + { *° . A0.53)
Мы не будем выражать коэффициенты ак через ак+2 с помощью
рекуррентного соотношения A0.45), а представим сразу послед-
последнее решение в свернутой форме.

186 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
Для этого введем функцию
v = (x2-l)l9 A0.54)
подчиняющуюся уравнению
(l-x*)v' + 2xlv = 09 A0.55)
которое нетрудно получить, взяв первую производную от v по *.
Дифференцируя A0.55) с помощью правила Лейбница (см.
G.34а)) (/ + т + 1) раз и полагая
*-l)l = Uu (Ю.56)
для функции щ получаем уравнение
(l-x2)u'{-2x(m+l)u'l + [l(l+l)-m(m+l)]ul = 0, A0.57)
точно совпадающее с дифференциальным уравнением A0.52)
для функции и. Следовательно, функции и и п\ должны быть
пропорциональными друг другу
и== const щ. A0.58)
Поскольку нормировочный коэффициент функции © пока еще не
определен, эту постоянную положим равной -у—, исходя из тех
соображений, чтобы при т = 0 последнее решение переходило
в полином Лежандра
l z
РЛх)=
Таким образом, будем иметь
2'/!
Отсюда с помощью A0.39) находим значение для функции G
A0.60)
Здесь РТ — присоединенный полином Лежандра, определяемый
выражением
^|^[^] A0.6,,
a Cf — нормировочный коэффициент.
Второе решение A0.38) при К = /(/+ 1) будет пропорционально функции
ГГОТ'^М*), (Ю.61а)

§ 10] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 187
где функция Лежандра второго рода
a Wi-i(x) является неким полиномом степени /—1 (причем W-{(x) = 0),
не содержащим никаких расходимостей. Поскольку первый член правой части
равенства A0.61а) дает для функции Q™ (х) расходимость в особых точках
(х = ±1), то это решение следует в случае уравнения Шредингера вообще
отбросить.
Хотя выражение A0.61) было получено для положительных
значений т, в силу известного соотношения
РТ(х) - (-1Г У±2!$РТт(х) A0.62)
оно автоматически распространяется также и на отрицательные
значения т.
Для доказательства выражения A0.62) преобразуем его с помощью ра-
равенства A0.61) к форме
*» - 1)' - (/ + | т 1)!^Г775ГГ (*2~1> •
Поскольку же Pjn и Pfm должны быть связаны между собой линейным со-
соотношением (см. A0.41)), нам достаточно показать, что коэффициенты при
старшей степени х в обеих частях равенства A0.63) совпадают друг с дру-
другом, т. е.
в этом нетрудно убедиться, учитывая, что
dKxn \ ( П\\1-*П~К ПРИ «<«»
х \ 0 при к > п.
Из равенств A0.61) и A0.62) можно окончательно устано-
установить область изменения квантового числа т:
т = 0, ±1, ±2, ..., ±t; A0.64)
это следует из того факта, что при \т\> I решение Pf обра-
обращается в нуль.
Коэффициент Cf в A0.60) может быть найден из условия
нормировки
я 1
J <д?@Т sin « dtf = J eP {x) eP (x) dx=U
о -I

188 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Т
Подставляя сюда решение A0.60) и учитывая A0.62), полу-
получаем
Перебрасывая производную со второго множителя на первый
(I + т) раз, т. е. раскрывая последний интеграл (I + т) раз по
частям, имеем
+t
BZ/!J (/ - m)! ' ' _J Ч dx21 Ч 7
Принимая во внимание равенство (см. также A0.63))
ja_ п_BП (л-20,
^^2/ х ~ I 0 (л < 2/),
а также учитывая, что
+i
1 л} ил,— B/+1), >
находим
л>т , /B/
Тогда
A0-66)
Для шаровой функции УГ(Ф> ф), удовлетворяющей уравне-
уравнению A0.22), на основании A0.23), A0.36) и A0.66) имеем
ГРМ>, ф) = вГФт =
причем условие ортонормированности для шаровых функций
принимает вид
§ (Г?Т УГ dQ = 6и>6тт>. A0.68)
Чтобы доказать условие ортонормированности A0.68), сле-
следует подставить в это равенство для шаровых функций их вы-
выражение A0.67). Тогда, интегрируя по углу ф, легко показать,
что
2я

§ 10] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 189
При интегрировании же по углу О в полиномах Лежандра
следует положить т! = т. Тогда, не ограничивая общности,
можно выбрать V < /. Случай V = I мы только что рассмотрели
при определении нормировочного коэффициента. С помощью
аналогичного способа легко показать, что при V <Z l в резуль-
результате переброса производных с функции, характеризуемой ин-
индексом 1+т, на функцию с индексом V — т интеграл A0.68)
обратится в нуль.
С помощью соотношения A0.62) мы можем выражение для
шаровой функции A0.67) представить в виде
Г'Т')! ^'(сов*),'"". 00.67а)
где
1 при
щи ^л A0.676)
— 1) при т < 0.
Заметим, что многие авторы вообще полагают коэффициент
ат= 1.
В том случае, когда можно ограничиться нахождением ша-
шаровых функций, удовлетворяющих только условию ортонормиро-
ванности A0.68), оба решения являются совершенно равноправ-
равноправными, поскольку а2т= 1. Однако там, где необходимо использо-
использовать рекуррентные соотношения между шаровыми функциями
с различными индексами т (см. ниже формулы A1.17), A1.18)),
например, при нахождении правил отбора для ротатора (см.
§ 11) или в релятивистской теории центральных сил (см. § 19),
следует брать значение для коэффициента ат в виде A0.676).
Наконец, найдем четность шаровой функции, т. е. ее поведе-
поведение при инверсии пространства, сводящейся к изменению напра-
направления всех трех осей декартовых координат. Тогда
ф —> Я-|-ф> Ф—>Я — Ф ИЛИ COS Ф —> — COS Ф.
Как видно из формулы A0.61), в этом случае
Р? (х) -* Р? (- х) = (- l)'+w Р? (х),
а
Поэтому шаровая функция при инверсии пространства будет
преобразовываться по закону
У2лГ
Отсюда видно, что орбитальное кванювое число / характеризует
четность шаровой функции. При четных I шаровая функция бу-
будет четной (при инверсии пространства она не изменяет своего

190 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
знака), а при нечетных I — нечетной (при инверсии простран-
пространства она изменяет свой знак на противоположный).
в) Физический смысл квантовых чисел m и I. Момент коли-
количества движения. Выше мы нашли, что квантовое число / харак-
характеризует собственное значение К = 1A + I) оператора — V|
(см. A0.22) и A0.51)), входящего в квантовое операторное вы-
выражение функции Гамильтона (т.е. в гамильтониан):
-+К(г). A0.69)
Сравнивая последний гамильтониан с классической функцией
Гамильтона
^ А^ ПА (Ю.70)
где pr = mot a L = т0г2ф, мы видим, что оператору (—-Й2У|,Ф)
в классическом случае соответствует квадрат момента количе-
количества движения L2, а оператору (— ft2V2) —- квадрат радиального
импульса р2.
Исследуем это соответствие более подробно. Как известно из
классической механики, момент количества движения L опреде-
определяется формулой
L = [rp]. A0.71)
Заметим, кстати, что если имеется момент М = [rF] внешних
сил F, то изменение L со временем будет происходить по закону
причем в случае центральных сил (F \\ г) момент внешних сил М
обращается в нуль, и мы имеем
L = const.
Этот результат известен в классической механике как закон со-
сохранения момента количества движения и используется, в част-
частности, в проблеме Кеплера как закон сохранения секториальной
скорости.
Чтобы обобщить классическое выражение момента количе-
количества движения на квантовый случай, мы должны в выражении
A0.71) классический импульс р заменить оператором импульса
р = — V. Тогда будем иметь
4[rV], A0.73)

$ 10] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 191
ИЛИ
A0.74)
Lz = хру — урх.
Прежде всего заметим, что операторы компонент момента
количества движения Lx, Ly и Lz не коммутируют между собой.
В самом деле, определяя, например, перестановочные соотноше-
соотношения между Lx и Ly, находим
LxLy — ЦЬ* = (ур2 — zpy) (zpx — хр2) — (zp* — хр2) (ур2 — гру).
Пользуясь далее перестановочными соотношениями между
импульсом и соответствующей координатой (см. F.30а)), нахо-
находим
LxLy — LyLx = — ih (ypx — xpy) = ihLz. A0.75)
Аналогично можно показать, что
L (Ю.76)
Чтобы выразить в сферических координатах оператор квад-
квадрата момента количества движения
L2 = l! + i4 + L|, A0.77)
вычислим сначала в сферических координатах составляющие L*,
Ly и Lz. Принимая во внимание соотношения A0.1) между де-
декартовыми и сферическими координатами, имеем
дф difr дх . _^Ф_^._| ^ф^^^
aft ~ ал ао "^ а^ ао "*" а« ао ~
~ + ГСО5#81Пф^ — Г sin *-|^ =
дх дф ду ду "¦ дг ^ф
|*.=В:-у|1 + Х^. A0.79)
Умножая A0.78) на |, а A0.79) на (—-р-) и учитывая, что
после сложения этих двух равенств придем к со-
соотношению

192 НЕРРЛЯТКВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч I
Если же равенства A0.78) и A0.79) умножить соответственно
на (—~) и (—Ц-\ то аналогичным способом получим
Отсюда, учитывая равенства A0.79) и A0.74), находим, что
L^-^sincp^r + coscpctg^}, A0.82)
L^-^coscp^-sincpctgu-^-}, A0.83)
L2 = TW- A0-84)
Вводя переменную [i = cos Ф, выражения A0.82) и A0.83) мож-
можно представить в виде
Lx±iLy = he±i»(i »-?-^^T=W-f). A0.85)
Чтобы определить действие этих операторов на шаровые
функции, воспользуемся тем обстоятельством, что одну и ту же
шаровую функцию можно представить двояким образом: либо в
виде A0.67а), либо в виде
Действуя оператором Lz непосредственно на шаровую функ-
функцию, находим
UY? = hmY?. A0.87)
Отсюда следует, что квантовое число т характеризует проек-
проекцию момента количества движения на ось г.
При определении же действия оператора Lx + iLy на шаро-
шаровую функцию подставим вместо Yf ее выражение A0.67), а при
действии оператора L* — iLy — эквивалентное выражение
A0.86). Тогда из равенства
¦) В этом равенстве следует положить

§ 10] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 193
следует, что
(Lx±iLy)Y? = - ft У(/+1±т)(/Тт)У/т±1. A0.89)
С помощью последних соотношений находим
L2Y? = [^ (L, + iLy) (Lx - thy) +
+ j (Lx - iLy) (Lx + iLy) + L|] Y? =
/ (/ + 1) УГ. A0.90)
Отсюда видно, что Y? является собственной функцией опе-
операторов L* и IA Это возможно, так как операторы Lz и L2 ком-
коммутируют друг с другом, а также с гамильтонианом Н. По-
Поскольку же операторы Lx и Ly не коммутируют с L2, то поэтому
нельзя подобрать такую волновую функцию, которая являлась
бы собственной функцией как оператора Lz, так и операторов Lx
или Ly. Это, однако, не означает, что произвольное направле-
направление z является каким-то преимущественным. Можно записать
шаровую функцию таким образом, что она будет собственной
функцией операторов Lx и IA Тогда она не будет собственной
функцией оператора Lz (см. ниже A1.38)).
г) Анализ полученных результатов. Как видно из формул
A0.90) и A0.87), для квадрата момента количества движения и
его проекции на ось z имеем соответственно значения
L2 = A2/(/+l), / = 0, 1,2,3, ..., A0.91)
A0.92)
Отсюда видно, что L2 при / = 0 обращается в нуль, в то время
как по классической теории эта величина не может вообще об-
обращаться в нуль*). Таким образом, состояние с / = 0 не имеет
классического аналога. Из L2 = 0, в частности, следует, что ме-
механический момент атома, находящегося в наинизшем состоя-
состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области
спектроскопии атомов целиком подтверждают этот квантовоме-
ханический результат.
Далее, по классической теории следовало бы ожидать, что
L2 = LLaKc = A2/2, A0.93)
в то время как по квантовой теории
L2 = Й2/2 + ПЧ = iL.kc + П\ A0.94)
*) Обращение в нуль классического момента L = [гр] означало бы одно
из двух: либо скорость равна нулю (р = 0), либо происходит движение че-
через центр. Эти особые случаи мы здесь не рассматриваем,
7 А. А, Соколов и др.

194 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Появление дополнительного орбитального момента Й2/ связано
с некоммутативностью операторов проекции момента L*, Ly и L*
друг с другом, вследствие чего их все одновременно невозможно
задать точно. Действительно, когда Lz = LZMaKC = M, средние
значения проекций <L*> и <L^> равны нулю, в то же время ква-
квадратичные отклонения ((AL*J) = (b2x) и ((&LyJ) = (Ly) не обра-
обращаются^ в нуль и принимают некоторое минимальное значение,
в связи с чем
<L2> = L|MaKc + <(AL*J>mhh + ((А^.J>ми„. (Ю.95)
Минимальное значение {(AL*J) и ((AL^J) может быть получено
с помощью соотношения неопределенностей (см. F.32)):
\ ±h4\ A0.96)
В силу симметрии задачи относительно осей х и у можно
положить \AL|)mhh = \AZ-p)MHH, откуда получаем
<Д4)мин - <Д4>мин = ft2 4 ; A0.97)
сумма же (AL|)mhh и (ALj)MHH как раз и равна дополнительному
моменту ft2/. В результате приходим к соотношению A0.94).
Таким образом, природа этого дополнительного члена та же,
что и природа нулевой энергии гармонического осциллятора, т. е.
связана с соотношением неопределенностей.
§ 11. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ
В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
а) Ротатор. Ротатор представляет собою частицу, свободно
движущуюся по сфере заданного радиуса г = а = const.
Задача о ротаторе является частным случаем движения под
действием центральных сил, когда потенциальная энергия по-
постоянна. Не нарушая общности, эту постоянную величину мы
можем положить равной нулю
Поскольку задача о ротаторе является задачей на централь-
центральные силы, угловая часть описывается шаровыми функциями, а
для определения радиальной функции согласно A0.21) имеем

§ 11] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 195
Здесь мы положили потенциальную энергию равной нулю и под-
подставили согласно A0.51) Х = /(/+ 1). Поскольку для ротатора
г — а = const, то функция R(r) = R(a) = const, т. е. S/2rR(a) = 0.
Отсюда для энергии Ei найдем значение
р _ ЪЧA+\) ПЧ (/ + 1) п - ,
где У = т0а2 — момент инерции.
Модель ротатора, в частности, с успехом используется для
описания движения двухатомных молекул*), а также для опи-
описания вращательного движения ядер.
Согласно A1.2) энергия ротатора Ei зависит от орбитального
квантового числа /, магнитное же квантовое число, характери-
характеризующее проекцию момента L на ось z (т. е. ориентацию момента
в пространстве), в выражение для Ei не входит. Однако соот-
соответствующие собственному значению Ei собственные функции
Yf (см. A0.67)) зависят еще и от т. Поскольку т может изме-
изменяться от —/ до +/ (см. A0.64)), каждому значению энергии Ei
будет соответствовать B1 + 1) взаимно ортогональных соб-
собственных функций, описывающих состояния ротатора, отличаю-
отличающиеся лишь ориентацией момента L относительно оси z. В этом
случае говорят, что уровень энергии Е\ является B/ + 1)-кратно
вырожденным.
При / = 0 мы имеем однократно вырожденный уровень, ко-
который называют просто невырожденным.
Напомним, что данный уровень называют N-кратно вырож-
вырожденным, если одному и тому же собственному значению энергии
соответствует N линейно независимых собственных функций.
Вырождение энергетических уровней ротатора физически
связано с тем обстоятельством, что ротатор представляет собой
систему, обладающую центральной симметрией, вследствие ко-
которой все направления, проходящие через начало координат,
оказываются равноценными. Из этих же соображений следует,
что это вырождение должно иметь место для любых централь-
центрально-симметричных систем.
Если же существует какое-то выделенное направление, опре-
определяемое, например, направлением магнитного поля, то цен-
центральная симметрия нарушается и возможные направления для
момента L становятся уже неравнозначными, благодаря чему
вырождение либо снимается полностью, либо кратность его
уменьшается.
*) В этом случае момент инерции следует положить равным
/ = mxr\ -f m2/|,
где mx и/пг- массы атомов, а г\ и Г2 — их расстояния до центра инерции.
7*

196 НЕРРЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Состояние, соответствующее I = 0, называют s-состоянием,
состояние с / ===== 1 называют /7-состоянием. Для d-состояния 1=2.
Для f-состояния / = 3. Для ^-состояния / == 4 и т. д.
Рассмотрим более подробно s- и /?-состояния ротатора. По-
Поскольку в s-состоянии I = т = О, согласно A0.67) собственная
функция Уо, соответствующая нулевому собственному значению
энергии Ео = 0, будет равна
t <и-3)
Отсюда для плотности вероятности |Уо|2 наймем
= -i- (И.4)
В р-состоянии / == 1, а квантовое число т может принимать три
значения: —1, 0, +1. Следовательно, собственному значению
энергии Ei = %2/J соответствуют три собственные функции:
re-ftpsin0, A1.5)
Плотности вероятности определяются при этом формулами
Величина ] Y? |2 sin О dftdy представляет собой . вероятность
обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области
углов фйф + dcpy О и Ф + d®. Поскольку квадрат модуля | Yf f
не зависит от угла ф, вероятность обнаружить частицу в одном
и том же интервале углов dcp становится одинаковой. В силу
этого произведение
соответствует плотности вероятности обнаружить частицу между
углами Ф и О + dO.
Графически распределения плотности вероятности A1.4),
A1.8) и A1.9) представлены на рис. 11.1, причем, учитывая не-
независимость модуля |уГ|2 от угла ср, изображение дано только
в плоскости уг.

И)
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
197
Чтобы получить полную картину, график нужно вращать во-
вокруг оси 2. Как видно из A1.4) и рис. 11.1, а, направление мо-
момента L относительно оси z для ротатора в s-состоянии не зави-
зависит от угла Ф. Это и понятно, так как момент L2 = h2l(l + 1)
в этом случае равен нулю. Покоящаяся же материальная точка
№
а) б) в)
Рис. 11.1. Распределение плотности вероятности для ротатора.
может с равной вероятностью находиться в любом месте сфери-
сферической поверхности радиуса а, т. е. все положения ротатора воз-
возможны и равноправны. Классического аналога s-состояние не
имеет.
Из A1.8) и рис. 11.1,6 следует, что наиболее вероятной из
всех траекторий ротатора в р-состоянии с /= 1 и т = ±1 яв-
является та, которая расположена в плоскости (ху)у причем со-
состояния с т = 1 и с т = —1 отличаются одно от другого на-
направлением оси вращения: при т = 1 ротатор обладает правым
вращением (момент количества движения L параллелен оси г),
а при т = —1 —левым (момент L антипараллелен оси «г).
При /= 1 и т = 0 наиболее вероятной орбитой ротатора
является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей
через ось z (см. A1.9) и рис. 11.1, в). При этом момент направ-
направлен перпендикулярно оси г.
Аналогичным способом легко исследовать состояния с / = 2
(пять значений т = 0, ±1, ±2), с / = 3 и т. д.
б) Правила отбора. Для того чтобы найти правила отбора,
необходимо вычислить матричные элементы
{I'm' | г | / т) = ф (У/0* rY?
A1.10)

198 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Если при каком-либо изменении квантовых чисел матричный
элемент равен нулю, то такие переходы запрещены (излучения
не будет) *). Зная правила отбора, можно сразу найти как ча-
частоту, так и интенсивность излучения (см. (9.86)).
Введем в (П.10) вместо координат х, у и z (т.е. вместо г)
следующие переменные:
х + iy = a sin Фе'ф, A1.12)
х — iy = a sin Ъе~**. A1.13)
С физической точки зрения это эквивалентно разложению
движения ротатора на три части: на колебание вдоль оси г, опи-
описываемое составляющей г, а также на лежащие в плоскости ху
правое и левое вращения, характеризуемые соответственно со-
составляющими х + iy их — iy\ при этом в совокупности все три
составляющие должны описывать полное движение материаль-
материальной точки по сфере.
Определение правил отбора в новых переменных сведется к
вычислению следующих матричных элементов:
(I'm' I г | lm) = ф (УгТ cos W? dQ, A1.14)
(Гт'\х + iy |/m> = § (У"Т sin bel*Y? dQ, A1.15)
(I'm' \x - iy I lm) = § (Y?'Y sin be^Y? dQ, A1.16)
где ради простоты мы положили а — 1.
Учитывая рекуррентные соотношения между шаровыми функ-
функциями
cos W? = AY?+l + BY?-u A1.17)
slnte±i*Y? = A±Y?+V + B±Y?3\ (И.18)
а также условие ортонормированности для шаровых функций
A0.68), имеем
(I'm' \z\lm) = brn'miAbf,,+1 + B6r,,_,), A1.19)
(I'm' \x + iu \lm)~bm, ,, МД, ,,, + В,б„ , A, ni олч
(l'm'\x — iy\lm) = 6m, m_! (Л_6Г /+1 + В^б^ ^Л. (Ц.21)
Примечание. Коэффициенты Л и В могут быть найдены сравнитель-
сравнительно просто. Для этого в формулу A1.17) следует подставить разложения
*) Точнее, для запрещенных переходов возможно менее вероятное муль-
типольное (например» квадрупольное) излучение (см. § 9),

§ 11] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 199
A0.67), положив в них
- ш) (/- m - 1) ^/-m-2 , )
р ( у x ^
/ 2ll\(l-m)l \ 2B/ — 1)
Тогда, сокращая все равенство на е*тф (l — х2) и приравнивая в левых и
правых частях коэфициенты при х1~т+1 и xl-m~i (приравнивание коэффи-
коэффициентов при остальных степенях х ничего нового не дает), получаем
A1.17а)
В (I,
Аналогичным путем находим
А± (I, т) = ± д/-
(/ + 2 ± /п) (/ + 1 ± т)
B+(/)m) = =F-'('Tm)(/-l:F^
B1 + 1) B1 - 1) *
Из этих формул легко найти численные значения для отличных от нуля мат-
матричных элементов (а = 1)
1, т|2|/«)=д/1
(/—1, т\г\1т) =
(„.20а,
причем в последних двух равенствах мы должны всюду взять или только
верхние, или только нижние знаки.
Отсюда получаем следующие правила отбора:
а) соответствующие колебаниям вдоль оси z
т-т' = Ъ, Д/ = /-Г = ± 1; A1.22)
б) соответствующие правому вращению (a: -f- iy)
Дт = -1, Д/ = ±1; A1.23)
в) соответствующие левому вращению (а: — iy)
Дт=+1, Д/ = ±1. A1.24)
Таким образом, разрешенными будут только те переходы,
Для которых изменения магнитного квантового числа т и орби-

200 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. t
тального квантового числа / равны
Дт = 0, ±1, A1.25)
Д/ = ±1. A1.26)
Заметим, что эти же правила отбора для квантовых чисел т
и / имеют место для любых центрально-симметричных систем
и, в частности, для атома водорода.
Зная правила отбора, найдем для ротатора возможные ча-
частоты излучения (или поглощения)
A1.27)
Подставляя сюда выражение для энергии Ei (см. A1.2)) и
учитывая, что в данном случае момент инерции ротатора оста-
остается неизменным, формулу A1.27) мо-
/^ 1 жно привести к виду
М)-/'(/'+1)]. A1.28)
Отсюда на основании A1.26) полу-
получаем
@,^ = 4/, A1.29)
t CD, = —-5_(/+ 1), (Ц.30)
w10 to j (о (о причем частота со/, /-i соответствует пе-
21 32 реходу с верхнего энергетического
Рис. 11.2. Спектр ротатора. урОВНЯ На НИЖНИЙ (т. е. Сверху ВНИЗ),
а @/^4.1 наоборот, снизу вверх.
Ротационные спектры встречаются, например, при исследова-
исследовании спектра молекул.
В случае, когда излучение молекулы обусловлено только ро-
ротационными переходами, его частота определяется выражением
A1.29).
Из этой формулы видно, что чисто ротационный спектр пред-
представляет собой нзбор равноотстоящих (рис. 11.2) друг от друга
линий. Эти линии расположены в далекой инфракрасной обла-
области (с длиной волны порядка 100—300 мкм), и поэтому их ис-
исследование сопряжено с рядом экспериментальных трудностей.
Промер расстояния между спектральными линиями позволяет
судить о моменте инерции молекулы. Чаще всего ротационный
спектр наблюдается в виде полос, когда он накладывается на
вибрационный спектр молекулы или даже на спектральные ли-

§ 11] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 201
нии атомов. Более подробно мы разберем это в § 26, специаль-
специально посвященном молекуле.
в) Вырождение по магнитному квантовому числу. На при-
примере ротатора рассмотрим еще вопрос о квантовом вырождении.
Полученные нами волновые функции ротатора, равные шаровым
функциям КГ> согласно A0.87) и A0.90) являются собственны-
собственными для оператора Гамильтона
2т0а2 2] f
а вместе с тем и для квадрата момента L2 = — Й2У|, ф и проек-
проекции момента на ось z
т — ь д
Lz~ i dq '
Учитывая, что эти три оператора коммутируют между со-
собой, мы можем написать
A1.31)
Ь2УГ@, Ф) = ЙтУ?(<>, Ф). A1.32)
Исходя из общего выражения для волновой функции
Et
Ф @ — 2 CimYfe н A1 #з3)
/, т
(энергия зависит только от орбитального квантового числа /),
нетрудно показать, что средние значения рассматриваемых опе-
операторов не зависят от времени:
t mCi, m, A1.34)
(L2) = § ф* @ Ь2г|) @ d3x = J] НпгСшСш. A1.35)
Это связано с тем обстоятельством, что временной множи-
множитель исчезает в силу ортогональности волновых функций.
Среднее значение любых других операторов, для которых Y?
не является собственной функцией, как правило, должно зави-
зависеть от времени. Так, например, для среднего значения опера-
оператора координаты 2, коммутирующего с Lz, но не коммутирую-
коммутирующего с Н, мы получим с учетом соотношений A1.17)
e~*'1-1' +АСш,тС1>теш1+>,1% A1.36)

202 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
где коэффициенты АA, т) и ВA,т) определены формулами
A1.17а).
Рассмотрим теперь еще два оператора: L* + iLy иЦ — iLy,
которые, наоборот, коммутируют с гамильтонианом Н, но не
коммутируют с оператором Lz. На основании A0.89) для сред-
среднего значения этих операторов нетрудно получить выражение
(Lx) ± i (Ly) = - ? А У(/ - 1 ± т) (I =F т)Си Ж±|С/, *, A1.37)
которое не зависит от времени, так как хотя среднее значение
этих операторов пропорционально сумме квадратичных комби-
комбинаций амплитуд C/,m±iC/m, относящихся к различным состоя-
состояниям, но эти состояния обладают одним и тем же значением
энергии, поскольку уровни являются вырожденными. Очевидно,
что если бы не было вырождения энергетических уровней, т. е.
энергия зависела бы не только от /, но и от магнитного кванто-
квантового числа т, то в полной аналогии с A1.36) средние значения
операторов Lx ± iLy, для которых Y? не является собственной,
также были бы функциями времени *). Таким образом, на осно-
основе анализа этого примера можно сделать общий вывод о том,
что наличие двух и более операторов, коммутирующих с гамиль-
гамильтонианом Н, но не коммутирующих между собой, говорит о на-
наличии вырождения квантовой системы.
г) Свободное движение. Другим простейшим примером дви-
движения под действием центральных сил является случай свобод-
свободного движения, когда потенциальную энергию можно вообще по-
положить равной нулю A/ = 0). Тогда решение можно искать в
виДе плоской волны (см. § 4), либо в виде сферической волны,
поскольку случай V = О можно отнести также и к сферически-
симметричному. При решении задачи в сферических координа-
координатах для определения радиальной функции имеем уравнение
(см. A0.21))
4^+{k ? Ja = O, A1.39)
*) Мы можем подобрать решение, являющееся собственной функцией опе-
операторов Н и Lx. Например, полагая / = 1 и L^ = 0, имеем
A1.38)
Хотя это решение удовлетворяет уравнению Шредингера, но при действии
оператора L2 оно не будет иметь собственного значения, поскольку решение
A1.38) представляет собой линейную комбинацию решений, имеющих раз-
различные значения квантовых чисел т.

§ 111 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 203
где
Вводя новую функцию % = y\/r Ri = -j=rt преобразуем A1.39)
к виду
f (%1/J) AL40)
Последнее уравнение представляет собой уравнение Бесселя по-
полуцелого порядка =Ь(/+ !А) от вещественного аргумента. Учи-
Учитывая, что волновая функция должна оставаться конечной в'
точке г-»-0, мы должны оставить в решении только функцию
Бесселя положительного порядка, когда *)
g A1.41)
Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения для
свободной частицы в сферических координатах с заданной энер-
энергией может быть представлено в виде (см. A0.19))
* (О, Ф, г) = ? ? CfYT (О, ф) -~ /,+.„ (kr). A1.42)
Коэффициенты СТ могут быть найдены из дополнительных
условий, а функция YT является шаровой функцией (сщ.
A0.67)).
С помощью последней формулы мы сможем произвести раз-
разложение плоской волны я|) = eik2t которая также удовлетворяет
уравнению Шредингера для свободного движения
0, A1.43)
по сферическим волнам.
Представляя плоскую волну в виде
== Qikr cos d
_-_ giyx n\ 4
где y — kr, x = cos'6i, мы должны для шаровой функции поло-
положить m = 0 (поскольку eikz не зависит от угла ф) и искать ре-
решение в виде разложения только по полиномам Лежандра
. A1.45)
*) Решение A1.41) при г-^0 имеет вид #/-*/•'. Функция Бесселя отри-
отрицательного порядка — (/ + 7г) дает в нуле расходящийся результат
J?/ ~ г~1~~1 и поэтому должна быть отброшена.

204 НЕРЕЛЯТИВИГТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА |Ч. Г
Учитывая условие ортонормированности для полиномов Ле-
жандра
+1
2
dxPi (х) Ру (х) = 2« , . б//', A1.46)
-1
которое легко получить из равенств A0.67) и A0.68), полагая
в последних т = 0, находим
1
Bt (у) = 72 B/ + 1) J eiyxPt (x) dx. A1.47)
-1
Подставляя сюда для полиномов Лежандра выражение A0.59)
и перебрасывая / раз производную с функции (х2— 1)' на функ-
функцию eiyx, имеем
1
^(^ = —1^B/+ 1)/У [ A —x2)leiyxdx. A1.48)
Далее, воспользовавшись известным из теории бесселевых функ-
функций равенством *)
1
J A - х2I eixy dx = д/я И (уУ+1/2 '/+V* (i/)» (П.49)
находим значение для коэффициента
Отсюда искомое разложение плоской волны по сферическим
волнам принимает вид
etkr cos о = ^JjL ^ il B1 + 1) h
^ ^ Pi (cos О). A1.50)
Как известно, при г->оо мы можем воспользоваться асимп-
асимптотическим выражением для функции Бесселя
*) См., например: Кузьмин Р. О. Бесселевы функции. — 2-е изд. перераб.
и дополн. — М. — Л.: ОНТИ, 1935, с. 65, см. также Бейтмен Г., Эрдейи Л.
Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1974, т. II, с. 92.

§ II] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 205
и поэтому асимптотическое поведение плоской волны будет опре-
определяться равенством
4
D)
ikr cos * в ? /' B1 + 1) kr Pi (cos ф). A1.52)
/«0
5) Асимптотическое решение в случае короткодействующих
сил. В общем виде уравнение Шредингера для любых централь-
центральных сил согласно A0.21) имеет вид*)
' = 0, A1.53)
где и' = rRl.
В случае V = 0 (свободное движение — это простейший слу-
случай короткодействующей силы) решение определяется равен-
равенством A1.41), которое, учитывая асимптотическую формулу
A1.51) в случае больших г ->¦ оо, дает
1 v г . A1.54)
Поскольку решение A1.54) принадлежит непрерывному спектру,
коэффициент Ci может быть найден из нормировки на 6-функ-
цию
оо
J r2Rt (kr) Rt (k'r) dr = b(k- k'). A1.55)
о
Отсюда, принимая во внимание, что
sin (kr - -f) sin (ftV - Ц-) dr
J
о о
мы найдем
Ct = k. A1.56)
Поэтому нормированное радиальное решение для случая свобод-
свободного движения для достаточно больших значений г принимает
вид
*) Через /^/ мы будем обозначать радиальную функцию свободного дай*
жения.

206 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Зная решение для свободного движения, мы сможем найти
также асимптотическое решение для других короткодействую-
короткодействующих сил при условии, что V{r) при г-*-0 возрастает слабее,
чем г~2, а при г->оо убывает, наоборот, сильнее, чем г~2 (на-
(например, по экспоненциальному закону).
Зависимость асимптотического выражения от синуса при на-
наличии короткодействующей силы мы можем написать сравни-
сравнительно просто, а именно, отбрасывая при г->оо в A1.53) члены,
пропорциональные V(г) и ——¦$—-, мы имеем*)
т——г L- AL58>
Единственной неопределенной величиной является фаза б/, кото-
которая должна быть пропорциональна короткодействующему по-
потенциалу V, так как при V = 0 она обращается в нуль (свобод-
(свободное движение).
Наша задача заключается в том, чтобы найти б/ пока что в
линейном приближении по V.
Для этого мы умножим уравнение A1.39) на и\ а уравнение
A1.53) на и, и вычтем одно уравнение из другого. Тогда будем
имет1>
Интегрируя последнее выражение от 0 до достаточно больших
значений г, мы имеем право в левую часть A1.59), зависящую
после подстановки пределов только от конечного значения г,
подставить асимптотические решения A1.57) и A1.58). После
простых преобразований мы найдем
Верхний предел интегрирования в правой части для короткодей-
короткодействующего потенциала мы имеем право распространить до бес-
бесконечности, и при малых значениях б/ ~ sin б/ ограничиться
лишь линейными членами относительно V. В правой части по-
последнего равенства в функции и! мы вообще можем прене-
пренебречь V, т. е. положить и' = м. Тогда, подставляя в правую
часть равенства выражение A1.41) и полагая Ct — k (см.
*) Условия нормировки в этом случае будут такими же, как и для сво-
свободного движения. Поэтому нормировочный коэффициент мы оставляем та-
таким же, как и в формуле A1.57),

§ 121 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 207
A1.56)), получаем
оо
^ J Vrfi+Чш (kr) dr. A1.60)
Формулы A1.58) и A1.60) и определяют асимптотическое пове-
поведение радиальной части волновой функции при малых значе-
значениях б/ (б/ <С 1).
§ 12. ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
(ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА)
Исследование движения одного электрона в кулоновском
поле ядра (водородоподобный атом) с помощью квантовой ме-
механики открывает путь к изучению структуры атома вообще.
Эта теория представляет собой в математическом отношении
квантовое обобщение классической теории движения планеты
вокруг Солнца (проблема Кеплера). Она интересна еще и в
методическом отношении, так как наряду с задачей о гармони-
гармоническом осцилляторе и ротаторе допускает точное решение.
а) Радиальное уравнение. Энергия взаимодействия электро-
электрона с ядром равна
V —i?. A2.1)
где г — расстояние между ними, Z— порядковый номер атома
(для водорода Z = 1, для гелия Z = 2 и т. д.), а заряд электро-
электрона и заряд ядра равны соответственно — во и Zeo.
Во многих задачах ядро в атоме можно считать покоящим-
покоящимся*), и естественно поместить туда начало координат. Тогда
угловую часть Yf волновой функции ф можно считать известной
(см. A0.67)), а для нахождения уровней энергии и радиальной
части R(r) воспользоваться уравнением A0.21), которое в на-
нашем случае принимает вид
*) Строго говоря, неподвижным может оставаться только центр тяже-
тяжести системы. Однако, учитывая, что масса самого легкого атома — водоро-
водорода—примерно в 1840 раз больше массы электрона, центр тяжести должен
лежать от ядра на расстоянии, в 1840 раз меньшем, чем от электрона, т. е.
в первом приближении можно считать, что он совпадает с положением ядра,
куда мы и помещаем начало координат. Поправки, которые вносит учет дви-
движения ядра, мы рассмотрим в конце этого параграфа.

208 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ MFXAHHKA [Ч. Г
Введем эффективную потенциальную энергию электрона
о*-»
первый член которой обусловлен кулоновским взаимодействием,
а второй — центробежными силами.
Попытаемся дать интерпретацию выражения A2.3) с точки зрения клас-
классической теории. Будем исходить из классического соотношения (см. также
A0.70))
2т0
Учитывая, далее, что для центральных сил р<р = const, можем написать:
Для того чтобы обобщить это выра кение на квантовый случай, следует
вместо Рф подставить его квантовое значение рф = Й2/(/ + 1). Точно так же
в формуле A2.2) выражение -~—( — Vr J можно согласно классической
Р2г
теории трактовать как ——•
Графически Уэфф представлена на рис. 12.1. Из этого графи-
графика, в частности, следует, что если полная энергия электрона от-
отрицательна Е < 0, то его движение будет происходить в области,
ограниченной с обеих сторон потенциальными барьерами (клас-
(классический аналог — эллиптические орбиты), благодаря чему энер-
энергетический спектр должен иметь дискретный характер.
При Е > 0 барьер справа (/•->• оо) будет отсутствовать, и
положение электрона перестает быть ограниченным со стороны
больших г (классический аналог — гиперболические орбиты).
Так как в атоме положение электрона должно быть ограни-
ограничено некоторым значением гмаКс (эллиптические орбиты), то при
построении теории атома следует считать Е < 0. Тогда уравне-
уравнение A2.2) принимает вид
lHfH ^^)=<>. 02.4)
где
^i = B>0 и _^! = Д>0. A2.5)
Вводя новую переменную
У A2.6)

§ 121 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
получаем уравнение
209
1 = 0, A2.7)
где *' = («/*) л .
Исходя из графика для Уэфф, можно судить об общем ха-
характере решения. Ясно, что внутри ямы гМИн < г < гмакс оно
будет иметь колебательный характер, а вне ее (г-*0 и г-> оо)
о
Е<0
Рис. 12.1. График зависимости эффективной потенциальной энергии (сплошная кривая)
от расстояния (см. формулу A2.3)). Штрихпунктирной кривой показан ход волновой
функции.
возникнут как неограниченно возрастающие, так и убывающие
решения. Необходимо подобрать такие условия, которые позво-
позволят исключить неограниченно возрастающие решения. Это тре-
требование, так же как и в задаче гармонического осциллятора,
должно привести к нахождению дискретных уровней энергии
электрона.
Поскольку яма не обладает симметрией, асимптотические ре-
решения будем искать по отдельности, как при р-*0, так и при
р -> оо.
Асимптотическое решение при р -> оо можно найти согласно
A2.7) из уравнения
/&-74#оо = 0, A2.8)
R^de-^' + C*4". A2.9)
Чтобы исключить экспоненциально возрастающее решение,
следует положить С2=0. Коэффициент же С\ может быть вклю-

210 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
чеи в общий нормировочный множитель волновой функции, и по-
поэтому его можно приравнять единице. Тогда
Roo=e~ih9. A2.10)
Для определения асимптотического решения при р->0 на
основании A2.7) будем иметь уравнение*)
/?J + i./J5_ii^llI^ = Of A2.11)
откуда, полагая R0 = pq, находим: q(q + I) —1A+1) = 0, т.е.
q\ = U 42 = — (I + 0- Следовательно,
-1. A2.12)
Полагая С^ = 0 (при этом неограниченно возрастающее реше-
решение при р = 0 исключается), а С\ = 1, получаем
Яо = р'- A2.13)
Общее решение уравнения A2.7), которое можно также за-
записать в виде
+ЩрП , A2.7а)
4 9Л р2 J
выберем в форме
R = RooR0u. A2.14)
В этом случае
и для определения неизвестной функции w получаем уравнение
Be0. A2.76)
v ' ( v 4 pV<4 P2
Замечая, что
находим
Далее имеем
*) При р -> 0 члены — lU и —72=— по порядку будут много меньше
л/А р
члена 5 * и поэтому могут быть отброшены
Р

§ 12] ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 211
а
'/' = 1 / + !./(/ + !)
V 4 р "•"* р2
Пользуясь найденными формулами, преобразуем A2.76)
к виду
[^-/-l]w==0. A2.15)
б) Круговые орбиты. Разберем вначале частный случай,
когда коэффициент перед функцией и в уравнении A2.15) обра-
обращается в нуль:
?=- — / — 1=0, A2.16)
А
и поэтому уравнение имеет решение и = const = С. Отсюда
следует, что отношение В/'д/А равно целому положительному
числу п = 1, 2, 3, ... :
* =„ = / + 1 = 1, 2, 3, .,., A2.17)
ул
которое носит название главного квантового числа. Решая по-
последнее уравнение A2.17) с помощью определения A2.5), нахо-
находим спектр энергии водородоподобного атома
Z2eim, RhZ2
Еп = - -^?? = - -jr-, A2.18)
где постоянная Ридберга
Радиальная функция A2.14) при условии A2.16) имеет осо-
особенно простой вид
Rnl = Cf>le-l'*°, A2.19)
где С — нормировочная константа. Для ее определения необхо-
необходимо вычислить интеграл
r2/?^dr=l, A2.20)
который в силу условия нормировки должен равняться единице.
Величина
D(r) = r2R2(r), A2.21)
стоящая под знаком интеграла A2.20), характеризует распреде-
распределение плотности вероятности по радиусу. Принимая во внима-

212
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИК^
[Ч. I
ние вид функции A2.19) и соотношения ( \6), \12.17), для
плотности D(r) найдем следующее значение:
D (г) = const
A2.22)
Эта функция имеет только один максимум (рлс. 12.2), и по-
поэтому условие A2.16) соответствует движению по круговым ор-
0
Рис. 12.2. Распределение радиальной плотности вероятности в случае круговых орбит.
битам. Определяя то значение г, при котором функция D(r) до-
достигает максимального значения
¦о,
* )г-гя
находим рп = 2п, т. е. радиусы круговых орбит равны
г — Р" — п* я„ П9 9ЧЪ
Здесь величина
иг
A2.24)
ft2
ао = -2-2-г*О,б-ИГвсм
является радиусом первой боровской орбиты. Она соответствует
наинизшему, т.е. основному состоянию атома водорода (Z = 1)
при п = 1. С учетом значения воровского радиуса ао связь
A2.6) г и р можно записать теперь в виде г = naop/2Z. Тогда,
вычисляя нормировочный интеграл A2.20) для функции A2.19)
с помощью соотношения
Jпе-° dp = B/гI,
получим нормировочный коэффициент
С =
V8Z3
«За3иBпI
A2.25)

§ 121 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 21$
Таким образом, радиальная функция Rni в случае круговых
орбит оказывается равной
Отсюда, в частности, для основного состояния л = 1 (/=я—1=0»
т = 0), когда угловая часть УO1 волновой функции фя/т«/j^yj1
представляет собой константу Уо=1/д/4л;, получим
Фюо = Яш^о = -Щ—)V^\ A2.27)
Заметим, однако, что состояние \|)юо не имеет классического
аналога.
в) Эллиптические орбиты. Найдем теперь радиальную функ-
функцию A2.14) в случае, когда коэффициент перед и в уравнении
A2.15) отличен от нуля: В/л/А — / — 1 =т^= 0. Как будет видно иа
дальнейшего, этот случай в классическом приближении соответ-
соответствует движению по эллиптическим орбитам. Заметим, что урав-
уравнение A2.15) является частным случаем дифференциального
уравнения с произвольными комплексными параметрами аир
где переменная х может быть также комплексной. Уравнению
A2.28) удовлетворяет вырожденная гипергеометрическая функ-
функция /=' = Ф(а,р,л:)*)
O(«,M)«l+«.i + .«U?ii.2?+... A2.29)
Как видно, эта функция принимает конечное значение в нуле
х = 0, т. е. Ф (а, р, 0) = 1. При | х \ -* оо функция Ф имеет асимп-
асимптотический вид **)
Ф(а, р, х)^ Г(Гр(Р>а) (-хГ[
[+(^РН^1)+>>>]> A2.30)
где Г (а) —гамма-функция, а выражения в квадратных скобках
представляют собой асимптотические ряды по обратным степе-
степеням х.
*) См. Градштейн И. М., Рыжик И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. 4-е изд. перераб. — М.: Физматгиз, 1962.
**) См Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. — М:
Мир, 1970, вып. 3.

214 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА f4. I
Из A2.6) следует, что и — СФ(а, р, р), причем параметры а
и р имеют следующие значения:
а=1+1--2=, р = 2(/+1),
а С — произвольная постоянная.
Таким образом, радиальная функция A2.14) становится рав-
равной
{(^) } A2.31)
Асимптотическое поведение гипергеометрической функции
A2.30) показывает, что она возрастает при р-*оо как е<>. По-
Поэтому, для того чтобы обеспечить условие конечности радиаль-
радиальной функции _^12.31), следует положить параметр а =
= 1+/ — В/л/А равным целому отрицательному числу, вклю-
включая нуль, а = —пг = 0, —1, —2, .... При этом условии гамма-
функция Г(—Пг) обращается в бесконечность, и экспоненциаль-
экспоненциально возрастающая ветвь в A2.30) исчезает. Отсюда для опреде-
определения энергии, связанной с величинами А я В соотношениями
A2.5), получим уравнение
в Пг + 1+1=п. A2.32)
Здесь квантовое число п, на единицу большее суммы орбиталь-
орбитального
/ = 0, 1, 2, 3, ...
и радиального
яг = 0, 1, 2, 3, ... A2.33)
квантовых чисел, получило название главного квантового чис-
числа п. Оно, так же как и в случае круговых орбит A2.17), может
принимать значения
/1=1, 2, 3, ... A2.33а)
При условии <х = —пг гипергеометрический ряд A2.29) обры-
обрывается и становится полиномом степени пг
ф (- пг, г/+2, р) = B<(*+°1Г). q»;1 (p)- A2-34)
Здесь Q2/+l(p) обозначает так называемый обобщенный полином
пг
Лагерра, имеющий вид
/-0

§ 121 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБИОГО АТОМА 215
где s = 2/+ I, к = пг. Полином A2.35) может быть представлен
в замкнутой форме
и = Q% (р) = *у ^Т (e~V+9)- A2.36)
Примечание. Покажем, что функция ы, записанная в замкнутой фор-
форме A2.36), действительно удовлетворяет уравнению A2.15). В самом деле,
функция v — e~~ppK+s подчиняется уравнению р»' + (р — к — s)v = 0, в чем
нетрудно убедиться, взяв от v первую производную по р. Дифференцируя это
уравнение (к+1) раз по правилу Лейбница, легко приведем его к виду
руОс+2) + (р _ 5 + 1} v(k+\) + (Л + 1) v{K) = 0.
Отсюда, вводя новую функцию w = vtK^ePp"s$ получаем для нее уравне-
ние
рад" + (s + 1 — р) w' + kw = 0,
совпадающее с уравнением A2.15) для функции и (так как (?/V<4~) — / —
— 1 = к). Поскольку при этом легко показать, что коэффициент при старшем
члене р* функции
будет совпадать с соответствующим коэффициентом равенства A2.35), мы
тем самым доказываем справедливость соотношения A2.36).
Таким образом, для радиальной функции Rni(r) окончатель-
окончательно имеем
Ki (P) = С^-'АРрЧеи., (р), A2.37)
2Zr
где р = -JJJ- и ао~ боровский радиус A2.24).
Полученное решение A2.37) при /<я-—1 (пг ф 0) описы-
описывает эллиптическое движение. При анализе этого движения в
квантовом случае мы должны исследовать распределение плот-
плотности вероятности по радиусу
2Zr
D (г) = const r2l+2e ««• (QJfJiLO2 = const
Нетрудно показать, что функция D(r) имеет при р = 0, р=оо
и Q^J/Li — О (n — l—\=nr корней) Пг + 2 минимумов, когда
она обращается в нуль, и яг + 1 максимумов, которые могут
быть найдены из уравнения dD/dr = 0. Область изменения ра-
радиуса (а*! < г < г2), в которой функция Z)(r) описывает колеба-
колебательный процесс, соответствует в классическом приближении
эллиптической орбите, когда расстояние частицы до центра так-
также изменяется в этих пределах.
Наконец, вычисляя коэффициент Cnt из условия нормировки
оо
2Kt dr = \ D(r)dr=l, A2.38)
о

216 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
получаем
с""Ш'"лЛс-Лк.-ы)г- <12-39)
т. е.
/2 л /
A2.40)
Примечание. Вычисление коэффициента Ся/ проводится следующим
образом.
Подставляя в условие нормировки A2.38) вместо Rni его выражение
A2.37) и заменяя г на ° р, получаем (яг = я)
Представим теперь один из полиномов Q^+1 в виде ряда A2.35), оставив
для другого замкнутую форму A2.36). Тогда условие нормировки, записанное
выше/примет вид
C2nl
оо
\ p(-lLpK-
Отсюда, пользуясь теоремой о перебросе производной (см. F.14)), найдем
оо
С2п1 (-Ц-K J в-' [(к + 1)! р2'+*+2 - «be B1 + K+ 1) р«+«+Ч ф = 1.
о
Легко видеть, что остальные члены ряда для функции QSK дают нуль, так
как от них берутся производные более высокого порядка, чем соответствую-
соответствующий показатель степени р.
оо
Используя далее известный интеграл \ e~~0ps dp = s!, легко находим для
о
Cni выражение A2.39)*). Аналогичным способом можно определить также
*) Легко также показать, что для радиальных функций имеют место
условия ортогональности, а вместе с тем и ортонормированности
Отсюда, учитывая еще соотношение A0.68), можно записать условие орто-
ортонормированности для полной волновой функции проблемы Кеплера
где

§ 12] ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБТЮГО АТОМА 217
средние значения (r~v) (v == 1, 2, 3, 4), которые нам понадобятся в дальней*
шем:
\
dr.
На основании приведенных выше формул последнее выражение можно
представить в виде
! о K_i кB/+ж+
2!B/ + 3)! Р +(-!> BЛ-2)!
Полагая в этом выражении соответственно v = 1, 2, 3 и 4 и вновь при-
прибегая к теореме о перебросе производной, после несложных выкладок нахо-
находим
02.40а>
Здесь при вычислении (г-1) мы должны оставить в полиноме QSK лишь
старший член р\ При вычислении же (г~2), наоборот, — один последний р°,
для (г-3) —два последних и т. д. Выражения для (/—3) и (г~4) получены
в предположении /=^ 0. Для s-состояний (/ = 0), как правило, вместо вза-
взаимодействий, пропорциональных подобным членам, появляется контактное
взаимодействие (см. ниже § 20).
Спектр энергии водородоподобного атома легко может быть
найден из формул A2.32) и A2.5)
RhZ2
02.41)
Заметим, что это выражение для энергии полиостью совпа-
совпадает с соответствующим выражением A2.18), полученным в слу-
случае круговых орбит, когда главное квантовое число принима-
принималось равным лг ===== / —f- 1, а радиальное число Пг = 0. В общем
случае эллиптических орбит выражение для энергии A2.41) так-
также зависит лишь от одного главного квантового числа п =
= / + пг-\- 1, т.е. от суммы орбитального / и радиального пг

218 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
квантовых чисел, и не зависит от магнитного квантового чис-
числа га. В то же самое время волновая функция o|)ft/m = RniY? за-
зависит от всех трех квантовых чисел п, I и /п по отдельности.
Следовательно, уровни энергии, согласно волновой теории Шре-
дингера, оказываются вырожденными. Поскольку т изменяется
в пределах от —/ до +/, принимая 2/ + 1 значение, то полная
кратность вырождения с учетом изменения / от 0 до п— 1 бу-
будет равна
Z
Как мы видели в § 11, вырождение по т характерно для лю-
любого центрального силового поля и связано с равноправностью
всевозможных направлений, проходящих через начало коорди-
координат.
Вырождение же по орбитальному квантовому числу / имеет
место в теории Шредингера только в случае чисто кулоновского
взаимодействия. В других же центрально-симметричных систе-
системах вырождение по / отсутствует, т. е. уровень энергии с задан-
заданным значением п расщепляется на п подуровней, отвечающих
различным /*). Если же систе*ма находится еще и в некотором
внешнем поле (например, в магнитном), снимающем централь-
центральную симметрию, то исчезает вырождение и по т, т. е. энергети-
энергетический уровень будет состоять в этом случае из п2 различных
подуровней.
г) Исследование вырождения по I для кулоновского поля.
С точки зрения формального математического аппарата выро-
вырождение по / связано с наличием в случае кулоновского поля еще
одного оператора е, мы назовем его вектором эксцентриситета,
который является интегралом движения и который не коммути-
коммутирует с оператором L2.
В классическом приближении этот вектор имеет вид
e = eI + e2, A2.42)
где
е2 = -, L = [rp]. A2.43)
r
r
*) В частности, как мы увидим в дальнейшем, даже в атоме водорода
учет релятивистских эффектов, объема ядра или так называемых вакуумных
поправок снимает вырождение по /. Аналогично в спектре щелочных метал-
металлов, имеющих на последнем слое один электрон, воздействие электронов, на-
находящихся во внутренних слоях, снимает вырождение по /.

§ 12] ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБИОГО АТОМА 219
Принимая во внимание, что в классическом случае
1 = 0, р = шог> = -^-г, A2.44)
получаем
^k*^ A2-45)
Точно так же
d^= rr*-r(rr)
= =Щ A245а)
dt гъ тс**3
Отсюда находим закон сохранения для вектора эксцентриситета
dzL_dzL dz2 __n
dt ~ dt ^ dt ~u*
Для выяснения физического смысла вектора 8 умножим ра-
равенство A2.42) скалярно на вектор г и, учитывая A2.43), бу-
будем иметь
И
ZeQmQ
Отсюда находим
L2
— | г | cos ф '
A2.46)
т.е. модуль вектора |е| = е играет роль эксцентриситета, а сам
вектор направлен от фокуса по большой оси к наиболее удален-
удаленной точке эллиптической траектории. Абсолютную величину экс-
эксцентриситета нетрудно найти, возводя равенство A2.42) в ква-
квадрат:
Ze'i\ 2L2E
Z BqITIq \ ZtilQ Г J
или
A2.47)
т.е. при ? < 0 мы будем иметь эллиптические орбиты (е < 1),
при Е > 0 — гиперболические (е > 1), а при Е = 0 — парабо-
параболические (е = 1).
Квантовое обобщение вектора эксцентриситета г мы выберем
в виде оператора
* = е, + е2, A2.48)
где
*i = ^Г" ([Lp]-[pL]), ?2 = -^. A2.49)

220 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА R. I
Покажем, что в кулоновском поле, когда гамильтониан имеет
вид
оператор вектора эксцентриситета в сохраняется.
В самом деле, учитывая изменение квантовых величин
it_i<HL-LH)-0,
— i*. (,2.5„
для которых имеют место по существу классические законы (см.
A2.44)), мы найдем
49—-Н
Раскрывая последнее выражение, получаем
Точно так же находим
или
Ао 1/1 *. fc -«. Ч
A2.54)
Из A2.52) и A2.54) следует квантовый закон сохранения для
оператора е:
¦2Г-0. A2.55)
Однако оператор эксцентриситета не коммутирует с квадра-
квадратом орбитального момента. Действительно, взяв проекцию этого
оператора на ось z
+ 7
нетрудно получить следующие правила коммутации:
L^-e2L,==48*' A2.57)
— e2Ly = — -у ех, A2.58)
— егЬг = 0. A2.59)

§ 121 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 221
Отсюда, в частности, следует, что оператор е2, хотя и коммути-
коммутирует с гамильтонианом Н и проекцией момента L*, но он не
коммутирует с оператором L2:
L4 - e,L2 = - Щ- ([8L]2 + \ в,) , A2.60)
что автоматически ведет к вырождению по /, являющемуся спе-
специфической особенностью лишь для кулоновского поля, посколь-
поскольку для других центральных сил мы не можем ввести сохраняю-
сохраняющийся оператор г.
Заметим, что проблему Кеплера наряду со сферическими ко-
координатами, когда сохраняются операторы Н, L2, L* (квантовые
числа п, /, т), мы можем решать также в параболических коор-
координатах, когда сохраняются операторы Н, eZy Lz (квантовые чис-
числа я, Я, т) (см. § 13, п. а)).
Физически это означает, что при одной и той же энергии воз-
возможны различные орбиты, отличающиеся друг от друга различ-
различными значениями эксцентриситета е.
Для определения эксцентриситета возведем равенство A2.48)
в квадрат.
Тогда мы будем иметь *)
82=i+ 2—(L2 + ft2)H> A2.61)
Z2e%m0
где Н — гамильтониан системы (см. A2.50)).
Учитывая, что для водородоподобного атома собственные
значения операторов Н и L2 соответственно равны
Z2eimrx
?„ = Щ-Г-- L2=h2l(l+l), A2.62)
мы найдем
е^д/1 - /2+J*+1 - A2.63)
Отсюда видно, что эксцентриситет достигает минимального зна-
значения при 1 = п— \
A2.64)
и при классическом сопоставлении соответствует круговым ор-
орбитам. В частности, при п = 1 (наинизшее энергетическое со-
состояние) эксцентриситет 8 обращается в нуль (е = 0). Посколь-
*) Для того чтобы доказать соотношение A2.61), мы можем оператор
A2.48) представить в виде
_

222 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
ку в этом случае орбитальный магнитный момент не имеет пре-
преимущественного направления (заметим, что в s-состоянии
/ = /п = 0), поэтому мы по существу будем иметь равновероят-
равновероятное пребывание электрона на сфере. Для всех других состояний
(п = 2, 3, 4, ...) минимальное значение для е будет отлично
от нуля при / = я— 1 = 1, 2, 3, ... В этом случае мы будем
иметь преимущественную ориентацию орбиты внутри некоторого
телесного угла, характеризуемого квантовым числом /п.
д) Правила отбора. Спектр излучения водородоподобных
атомов. Чтобы определить правила отбора в проблеме Кеплера,
необходимо вычислить матричные элементы
<rt'/'m' \r\nlm)=\ ^Vm^nlm d4. A2.65)
Подставляя сюда tynlm= YfR^, получаем
oo
{n'l'm' | r | nlm) = | dQ. {УР')*у Yf \ Rn,,,r3Rn[ dr. A2.66)
Интегрирование по углам Фиф дает, как известно (см. A1.24) —
A1.26)), правила отбора для орбитального квантового числа
А/ = /— Г=±1 и магнитного квантового числа Am=m — m'=
= 0, ±1, пользуясь которыми, вместо A2.66) будем иметь
{n'l'm' | г | nlm) = const \ ™'т \ 6/-, /±1 [ Rn>, i±lr*Rm dr. A2.67)
Kom>>m±l) J
Однако если вычислить интеграл (к = пг)
*,,/** dr~ $"г""±Т * t^Q* (|?) (?=" (-fg.) dr.
A2.68)
то легко показать, что он не обращается в нуль ни при каких
значениях п', т. е. для всех разрешенных переходов главное
квантовое число может изменяться произвольно.
В общем случае этот интеграл выражается через гипергеометрические
функции (см., например, Бете Г. Квантовая механика простейших систем. —
Л. — М.: ОНТИ, 1935, с. 230). В частности, при переходе электрона на наи-
наинизший энергетический уровень Is (серия Лаймана) легко показать, что
\ dr - 2"*1)?+ь «о. A2.69)
Отсюда видно, что при любых возможных значениях п = 2, 3, 4а ... этот ин-
интеграл отличен от нуля.

12]
ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
223
Принимая во внимание правила отбора водородоподобного
атома, перейдем к исследованию его спектра излучения. Для
этого введем некоторые условные символы для обозначения
энергетических уровней в атоме. Прежде всего спектральные
Е,эВк
13
12
11
10
9
8
7
6
5
3
2
1
О
р
Серия Серая
б альм ера Пашен с
у%
Рис. 12.3. Спектральные серии атома водорода. Длины волн, соответствующее указанным
переходам, выражены в ангстремах.
термы атомов (—Eni/h), зависящие в общем случае не только
от п, но и от /, будем обозначать через (nl), т. е.
A2.70)
где п = 1, 2, 3, ..., а для /, как уже указывалось в § 11, при-
приняты буквенные обозначения: s, p, d, /, gy Л, ..., соответствую-
соответствующие /=0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Поскольку квантовые числа / ^ п — 1,
то могут быть только термы Is; 2s, 2p; 3s, Зр, 3d; 4s, 4p, 4d, 4f;
5s, 5p, 5d, 5/, 5g, ... и т. д., но не может быть, например, тер-
терма 1р, поскольку здесь п = 1 и /= 1, или не может быть тер-
терма 3f, так как при этом п = / = 3 и т. д. Частота излучения в
обозначениях (nl) принимает вид
Е„-
= (пГ)-(п1),
A2.71)

224
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. I
причем здесь необходимо учитывать правила отбора для орби-
орбитального квантового числа /: V = / ± 1.
Пользуясь выражением A2.41), терм {nl) можно еще пред-
представить в форме
«-Л Zl RZ2
;г = -7^-> A2.72)
где постоянная Ридберга
Я = ^5Г- A2.73)
Для частоты излучения gw при этом получаем формулу
A2.74)
Отсюда видно, что в случае атома водорода (Z = 1) для серии
Лаймана, соответствующей пе-
e«| ^ ^ t4 реходу на наинизший энергети-
!§ || ^ I*4 ческий уровень п'я= 1, т. е. на
уровень Is, имеем (рис. 12.3)
©Лайм
"fi
Ну Мб
Рис. 12.4, Спектральная серия Бальмера.
Длины волн, соответствующие видимым гпо « о о л
линиям Яа, Я«, Я и Я6, приведены в анг- ! дс п — л, о, t, . . .
стремах (А); Н^ дает теоретическое поло- ДЛЯ Серии БаЛЬМера (рИС.
жение границы серии. 12.4), соответствующей пере-
ходу на уровень пг = 2 с уров-
уровней п > 2, имеем три типа возможных частот ¦):
A2.76)
*) Для вероятности дипольного перехода np->-ls согласно (9.95) имеем
л _
т. е. время жизни для атома водорода (Z = 1) в состоянии 2р равно
^9

§ 12] ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБЫОГО АТОМА 225
Так как для атома водорода по орбитальному квантовому числу
имеет место вырождение, то эти три линии сольются в одну:
_D( 1 1 \
©Бальм — А \~^ п2 J •
Аналогичная картина получается и для серии Пашена:
<0Паш = R (-p- — "JJT
где м = 4, 5, 6, ...
Схема энергетических уровней в атоме водорода (с учетом
как дискретных уровней, так и непрерывного спектра) представ-
представлена на рис. 12.3. На этой схеме наглядно демонстрируется вы-
вырождение по /, проявляющееся в слиянии всех уровней с одина-
одинаковым п в один.
Помимо обычных переходов, между дискретными уровнями в
атоме возможны по существу еще два обратных друг другу
процесса, а именно процессы ионизации и захвата. При иони-
ионизации электрон переходит с дискретного уровня (Е < 0), напри-
например, из низшего состояния, в область положительных энергий
(Е > 0), образующих непрерывный спектр (гиперболические
орбиты). Этот процесс происходит с поглощением энергии.
Наоборот, при захвате свободный электрон переходит на
один из возможных дискретных уровней, выделяя при этом соот-
соответствующую энергию. Для того чтобы перевести электрон из
низшего энергетического состояния (/2=1) в область Е > 0,
необходимо затратить энергию (рис. 12.3)
где Г = -^~ кинетическая энергия электрона, практически
не связанного с ядром. Энергия ?ион определяет так называемую
энергию ионизации атома. Своего минимального значения энер-
энергия ионизации достигает при Т = О, что соответствует переводу
электрона с уровня п=1 в состояние непрерывного спектра с
минимальной энергией (Е = 0), когда электрон может покинуть
атом. Для атома водорода
эВ.
е) Учет движения ядра. До сих пор все наши расчеты про-
производились без учета движения ядра. Поэтому построенная
выше теория водородоподобного атома будет строгой лишь в
случае, когда масса ядра бесконечно большая, что, вообще гово-
говоря, в особенности для легких эле*ментов (например, для водо-
водорода и гелия) можно принять лишь в первом приближении.
8 А. А. Соколов и др.

226 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Учет движения ядра привел к объяснению ряда эксперименталь-
экспериментальных фактов.
С учетом движения ядра оператор Гамильтона системы двух
тел — ядра и электрона — записывается в виде
K^tf + WPi+^K-^l). 02-77)
где то и М являются соответственно массами электрона и ядра,
а Г\ и г2 — их координатами. Энергия взаимодействия электрона
с ядром V(\r\ — г2\) зависит от относительного радиус-вектора
Г = Г\ — Г2.
Введем вектор центра масс системы
ш0 + М
и перейдем от переменных гь r2, pi = —itiVj, p2 = -~ihV2 к но-
новым координатам rt R и импульсам р = —ihS7r, рц. м. = —HiVr.
Для этого необходимо воспользоваться известным правилом
дифференцирования сложной функции, например
д . дг « , , dR
и т. д. В новых координатах уравнение Шредингера теперь при-
примет вид
-^^ = 0> A2.78)
где приведенная масса определяется равенством
1 = 1 | 1
т0 Л4 '
т
пр
т. е.
т0М
М
Волновая функция г|5, удовлетворяющая уравнению A2.78), мо-
может быть записана в виде произведения -ф=-ф (г-)чр (/?), где (R
описывает свободное движение центра масс
R/h
= const eip*"
Предполагая, что центр масс покоится, т. е. соответствующий
импульс рц. м. = 0, для функции, описывающей относительное
движение ф(г), находим уравнение

§ 12] ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 227
Это уравнение отличается от соответствующего уравнения для
атома водорода тем, что вместо массы покоя электрона то сле-
следует взять приведенную массу тПр.
Поэтому для спектральных уровней мы получим то же самое
выражение, что и для покоящегося ядра с заменой постоянной
Ридберга R==Roo = —c~j?- для бесконечной массы ядра (Af->oo)
постоянной Ридберга, соответствующей конечной массе ядра Af,
02.81)
В этом случае несколько изменяются и значения для термов:
Поэтому частота излучения будет определяться выражением
отличающимся от прежнего (см. A2.74)) наличием множителя
м )'
В силу зависимости частоты излучения атомов от массы ядра
М определение атомного веса можно производить не только
обычными химическими, но и спектроскопическими методами.
Благодаря этому удалось, в частности, доказать существование
тяжелого водорода, ионизованных атомов гелия и т. д. Как из-
известно, атомный вес водорода был определен в среднем относи-
относительно кислорода на основании химических исследований. Для
каждого же атома в отдельности атомный вес был найден с по-
помощью масс-спектрографа.
При этом были получены несколько отличающиеся значения
AWM A2.84)
На основании этого Берджем и Ментцелем было выдвинуто
предположение о существовании изотопа водорода — дейтерия
D = ?H (или тяжелого водорода), имеющего атомный вес, в два
раза больший, чем у обычного водорода. В самом деле, при
определении атомного веса естественной смеси водорода вклад
должен внести и дейтерий; в масс-спектрографе же измеряется
лишь атомный вес iH» поскольку спектральные линии атомов
?Н ложатся в другом месте шкалы.
Так же как и водород, дейтерий может вступить в реакцию,
образуя, например, так называемую тяжелую воду D2O. Впервые

228
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. Г
тяжелая вода была открыта Юри и Осборном в 1932 г. Основ-
Основной метод получения дейтерия —это электролитическое разло-
разложение воды. Скорость выделения обычного водорода на катоде
значительно превосходит скорость выделения дейтерия, в ре-
результате чего происходит значительная концентрация дейтерия
в остатке жидкого электролита, где он может быть обнаружен.
Ввиду же малого количества тяжелого водорода в естественной
воде обнаружить его там почти невозможно. Наличие дейтерия
подтверждается спектроскопическими исследованиями, показав-
показавшими, что в серии Бальмера {пг = 2) наряду с линиями
02.8Б)
существуют линии (рис. 12.5), расположенные несколько правее
и укладывающиеся в формулу *)
ВадородРЪ)
ДейтерийB Н)
A2.86)
которую нетрудно получить из A2.83), если положить там мас-
массу М равной удвоенной массе ядра атома водорода и Z= 1.
Следует заметить, что ввиду большой относительной разницы
в массах атома дейтерия и атома водорода они отличаются по
своим физическим и химическим
свойствам гораздо сильнее, чем изо-
изотопы других элементов. Так, напри-
например, хотя тяжелая вода внешне и
похожа на обыкновенную воду, по
физическим свойствам она отли-
отличается от обыкновенной. В частно-
частности, температуры плавления и кипе-
кипения ее при 1 атм равны соответ-
соответственно 3,81 °С и 101,4 °С. Она имеет
большую вязкость и хуже раство-
растворяет соли, чем обычная вода. В свя-
связи с развитием ядерной физики тя-
тяжелая вода приобретает особое зна-
значение, так как она является хорошим замедлителем быстрых
нейтронов, а также используется как источник получения дейте-
дейтерия. В настоящее время известен еще один изотоп водорода —
тритий iH, ядро которого состоит из двух нейтронов и одного
протона. Его соединения с кислородом образуют так называемую
тритиевую воду. В природной воде отношение числа атомов три-
трития к числу атомов }н равно примерно 10~18, в то время как
*) Согласно экспериментальным данным R =2яс • 109 737, #н-
X Ю9 678, RD = 2лс • 109 707. П
i
Рис. 12.5. Схема относительного
расположения спектральных линий
атома водорода и его изотопов.

§ 121 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО ATOiMA 229
отношение числа атомов ?Н к числу атомов водорода }Н равно
1/6800. Тритий в смеси с дейтерием является важнейшим ве-
веществом для осуществления термоядерных реакций.
Спектральные линии атома трития несколько сдвинуты как
относительно водородных, так и относительно дейтериевых ли-
линий (рис. 12.5) и находятся по формуле
}) A2-87)
Другим очень важным следствием учета движения ядра было
открытие ионизованного атома гелия, обнаруженного впервые
спектроскопическим способом на Солнце. При исследовании сол-
солнечного спектра была найдена серия линий, располагающихся
по закону
где П\ принимает значения
пх = % 3, 7/2, 4, 9/2, ... A2.89)
Эта серия представляла собой по существу водородную серию
Бальмера (п\ = 3, 4, 5, ...) с рядом промежуточных линий, об-
образующих серию, получившую название серии Пикеринга, ха-
характеризующуюся полуцелыми квантовыми числами П\ = 5/г,
ч\ъ 9/2, . • • Вначале для объяснения серии Пикеринга предпола-
предполагали, что водород на Солнце находится в особом состоянии, так
что квантовое число может принимать полуцелые значения. Од-
Однако в дальнейшем оказалось, что экспериментальные линии
располагаются правее, нежели это следует из формулы A2.85).
Поэтому выдвинутое предположение пришлось оставить. Затем
была предложена другая гипотеза, согласно которой обнару-
обнаруженный спектр обязан своим происхождением однократно иони-
ионизованному атому гелия 2Не+> масса ядра которого М = 7360т0,
заряд Z = 2, а частоты согласно A2.83) определяются выра-
выражением
СОНе = 22#не Г^Г - \Л . A2.90)
Полагая здесь п' = 4, приводим A2.90) к виду
A2.91)
где п = 5, 6, 7, 8, ...
Чтобы решить вопрос о том, обязана ли серия Пикеринга
излучению атомов водорода (с предположением, что квантовые
числа могут принимать полуцелые значения) или излучению

230 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
ионизованного атома гелия (с нормальным значением кванто-
квантовых чисел), необходимо было найти экспериментальное значе-
значение постоянной Ридберга. В случае водорода
Цщо) A2.92)
Для атома гелия
(^) A2.93)
Тщательное изучение этого вопроса спектроскопистами подтвер-
подтвердило для постоянной Ридберга значение A2.93), и тем самым
однозначно было доказано, что серия Пикериига представляет
собой спектр ионизованного атома гелия.
ж) Атом водорода в квазиклассическом приближении. В слу-
случае эллиптических орбит (Е < 0) уравнение для радиальной
функции атома водорода может быть записано в виде (см.
A2.4))
$ ( ^^) 02.94)
где и = rRi< значения коэффициентов А и В определены форму-
формулой A2.5). Поскольку особенность уравнения A2.94) при г->0,
/(/+1)
определяемая членом §—> лежит вблизи потенциального
барьера, сшивание решений с помощью функции Эйри (см. § 5)
не может дать хорошего результата, так как в области г->0
нельзя перейти к асимптотике этой функции. Поэтому можно
попытаться с помощью введения нового аргумента г = ех уда-
удалить эту особенность из точки г->0в точку х-> —оо.
Переходя к аргументу х с помощью замены г==ех и вводя
новую волновую функцию
и = ех/2%(х),
приведем уравнение A2.94) к виду
.0. + ер* (_ а + 2Ве~х - (/ + '/2J е~2Х) % = 0. A2.95).
К этому уравнению применима аппроксимация ВКБ, и с по-
помощью формулы E.39) мы можем найти спектр собственных
значений
\е*(-А + 2Ве~х -A + '/2J е*O' dx = п (п, + 72)> A2.96)
где пт = 0, 1, 2, ... — радиальное квантовое число.

§ 13] АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 231
Возвращаясь в последнем интеграле к прежней переменной
г = еху будем иметь
Ц- А + Щ-- Ц^У' dr-n(nr + U A2.97)
где г\ и г2 > п — корни подынтегральной функции.
Вычисляя последний интеграл (точно), найдем:
л
- I - 72) = я (Яг + 7а). A2.98)
Подставим сюда вместо Л и В их значения из A2.5) и введем
главное квантовое число п = I -\- пг -{- I. Тогда для спектра
энергии получим ту же самую формулу, которая была найдена
по теории Шредингера (см. A2.32)):
Этот вывод не является случайным, поскольку в теории Шре-
Шредингера квантовые уровни получаются в членах, пропорциональ-
пропорциональных Й, а квазиклассический метод позволяет их точно учиты-
учитывать.
Из формулы A2.97) можно сделать важный вывод о том, что
при использовании квазиклассических выражений для централь-
центральных сил в орбитальном моменте необходимо сделать замену
/(/+1)-+(/+72J. A2.99)
§ 13. АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Если атом поместить во внешнее постоянное электрическое
поле, то его спектральные линии, вообще говоря, могут расщеп-
расщепляться. Такое явление было обнаружено в 1913 г. в опытах
Штарка. В этом параграфе построена квантовая теория эффек-
эффекта Штарка для атома водорода.
Внешнее электрическое поле выделяет определенное направ-
направление в пространстве. Поэтому решение уравнения Шредиигера
для атома водорода в электрическом поле удобно искать не в
сферических координатах, как в § 12, а в параболических коор-
координатах. Рассмотрим вначале решение уравнения Шредингера
для атома водорода, разделяя переменные в параболических
координатах.
а) Квантование атома водорода в параболических координа-
координатах. Вырождение в кулоновском поле по квантовому числу /
связано с тем, что переменные в уравнении Шредингера могут

232 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
быть разделены не только в сферических координатах, как в
любом другом центральном поле, но также и в параболических
координатах. Эта возможность является специфической для ку-
лоновского поля.
Если в сферических координатах имелись три коммутирую-
коммутирующих оператора Н, L2 и Lz, собственные функции которых опре-
определяли полный набор состояний атома водорода, то в параболи-
параболических координатах мы можем выбрать другую тройку операто-
операторов Н, ez и Ьг, которые также, согласно A2.55) и A2.59), ком-
коммутируют между собой и, стало быть, сохраняются. Новый набор
состояний, задаваемый этими операторами, из-за некоммутатив-
некоммутативности операторов L2 и гг (см. A2.60)) не будет, очевидно, сов-
совпадать с прежним.
Для того чтобы отыскать собственные функции операторов
Н, гг и Ьг, запишем уравнение Шредингера для электрона в ку-
лоновском поле ядра
в параболических координатах с помощью полученного в § 10
выражения A0.16) для лапласиана V2:
e\ \ Г 4 Г д ( д
Разделяя переменные
Ф&Л,ф) = ЫЭЫл)Ф(ф), A3.3)
получим для функций Ф, f[ и /2 уравнения
где так же, как и в A2.5),
A=__t
а т2, В\ и В2 — постоянные разделения, причем
A3.6)

§ 13] АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 233
Решение первого из этих уравнений
ф(ф)==^тф A3.7)
при т = 0, ±1, ±2, ±3, ... является, очевидно, собственной
функцией оператора L2. Остальные два уравнения после введе-
введения новых переменных
A3.8)
и параметров
P== k^ P + P=^ A3.9)
запишем в виде
itHtt]-0' (Ш0)
и точно такое же уравнение получится для /2(р2) с парамет-
параметром р2-
Предположим вначале, что т ^ 0. Тогда, аналогично тому,
как это было сделано при решении уравнения A2.7), отделяем
конечные при pi ->- оо и pi -^ 0 асимптотики
- 03-1D
Функция «1 (pi) удовлетворяет уравнению
2^>-0. A3.12)
Подобно решению уравнения A2.15) функция щ будет полино-
полиномом, и характер поведения решения fi(pi) в нуле и на бесконеч-
бесконечности будет определяться множителями перед т в формуле
A3.11), если коэффициент в последнем члене уравнения A3.12)
Pi-^1y-L = n1 A3.13)
удовлетворяет условию
Л! = 0, 1,2Э3, ... (т>0). A3.14)
В этом случае п\ представляет собой полином Лагерра сте-
степени пи определенный равенством A2.36)
а п\ называют параболическим квантовым числом.
Второе уравнение для Мг(р2) решается точно так же, и мы
получаем
И2(Р2) = 0?Ы, A3.16)

234 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. 1
где
 = 02-^^. A3Л7)
причем
«2 = 0, 1,2, ... (т>0). A3.18)
Аналогично мы могли бы рассмотреть случай отрицательных
ш, однако проще всего это сделать с помощью соотношения
<ff(p) = (- l)m9~mQn[nm(9h A3.19)
которое выполняется для полиномов Лагерра A2.36). Тогда
этот случай сводится к предыдущему с той разницей, что сле-
следует ввести новые квантовые числа п\ и Я2, которые должны
быть целыми и неотрицательными:
П\ = Щ + т = 0, 1, 2, ...,
п2 = п2 + т = 0, 1,2, ... (т<0).
Таким образом, стационарное состояние атома водорода можно
задать тремя квантовыми числами: магнитным т = 0, ±1,
±2, ... и двумя параболическими п\ и /г2, пределы изменения
которых при т ^ 0 и m < 0 задаются соответственно усло-
условиями A3.14), A3.18) и A3.20). Волновая функция, определяю-
определяющая это состояние, может быть записана в виде
X (Pi) Q? (p2) e/m<p, A3.21)
где Сп^т — нормировочный коэффициент.
Складывая A3.13) и A3.17) с учетом A3.9), находим
L = /Zl + rt2 + m+ l=n{ + n2 — m+l=n. A3.22)
Отсюда следует, что главное квантовое число п принимает толь-
только целые положительные значения п = 1, 2, 3, ... и, согласно
A3.5), определяет уровни энергии, для которых получаем преж-
прежнее выражение A2.41). Из равенства A3.22) ясно также, что
уровень с номером п вырожден по т и одному из чисел п\ или
я2, причем п\ изменяется в пределах от 0 до п — т — 1 при
фиксированном значении т ^ 0.
Точно так же легко найти изменение квантового числа п\ в
пределах от 0 до п — | /72 | — 1 при т <С 0. Поэтому кратность
вырождения равна
п—\
п + 2 ? (п-т) = п\
m=l

§ 13] АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 235
т. е. она такая же, как и при использовании сферических ко-
координат.
Учитывая выражение A0.16) для элемента объема в пара-
параболических координатах и вычисляя интегралы по g и ц так же,
как это было сделано в примечании после формулы A2.40),
можно доказать ортонормированность функций
при соответствующем выборе коэффициента Сп п т. Вводя функ-
функции Лагерра
/„ (р) = -±=г е~э/2р~ОГ* (Р). A3.24)
\n\s\
запишем нормированные волновые функции атома водорода
в параболических координатах
(Z V/2 ?*тф
) о /- ^Я|+т. ni (pl) /щ+т. пг (р2), A3.25)
z h2
где ао = — = 2"— радиус первой боровской орбиты.
В ^ оео
Покажем теперь, что t|5ni/l2m, будучи собственными функция-
функциями операторов НиЦс собственными значениями соответствен-
соответственно Еп и т, удовлетворяют также уравнению
A3.26)
т. е. являются собственными функциями оператора проекции экс-
эксцентриситета (см. § 12) на ось г. Оператор ег можно записать в
следующем виде:
lf - A + rVyf\ + -5.. A3.27)
Воспользуемся далее выражением для V2 в параболических ко-
координатах A0.16) и соотношением
^-ч1^-^). <13-28>
после чего, переходя к новым переменным pi и рг (см. A3.8)),
получим
,— 1 [ 2pip2 ( д^_ 1 д . д2 . 1 д ^
dpj Pj dpj dp2 p2
ш2 pi —(
PlP2

236 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
где мы учли, что оператор гг действует на фплт» и поэтому вве-
ввели главное квантовое число /г, а оператор —д2/д(р2 заменили его
собственным значением т2.
Действуя теперь оператором A3.29) на функцию ^пхп2т
A3.25) и принимая во внимание уравнения A3.10), которым
подчиняются функции In^m.n, и Ai2+m,n2> получаем собственное
значение
Х= П1~П2 . A3.30)
Величина X при заданном п принимает 2п—1 значение, изме-
изменяясь в пределах
A3.31)
Выражение A3.30) для собственного значения К вектора экс-
эксцентриситета гг помогает понять физический смысл квантовых
чисел п\ и п2. В квазиклассическом приближении вектор е на-
направлен от фокуса по большой оси эллипса, и поэтому при
п\ > п2 величина X > 0, т. е. большая часть орбиты располо-
расположена в области z > 0, а при п\ < яг, наоборот, в области
г<0.
б) Эффект Штарка. Расщепление спектральных линий ато-
атома, помещенного в электрическое поле, т. е. эффект Штарка, не
нашло своего объяснения в классической теории, и только кван-
квантовая механика позволила построить теорию этого эффекта.
В самом деле, согласно классическим представлениям дви-
движение электрона в атоме всегда можно разложить на три вза-
взаимно ортогональных колебания. Направим ось г параллельно
постоянному электрическому полю $ (Sх = <$у = 0, <§г = %).
Тогда энергия взаимодействия электрона с полем & будет равна
V' = — er& = eQz& (e = — e0), A3.32)
а колебания вдоль оси z будут описываться уравнением
mQz + m^\z = — eQ&, A3.33)
где mo — масса электрона, а ©о — круговая частота его колеба-
колебаний.
Нетрудно видеть, что решение уравнения A3.33) имеет вид
z = — -** + A cos (©о/ + ф). A3.34)
Таким образом, действие постоянной силы (—e&?) по клас-
классической теории приводит лишь к изменению положения точки

§ 13] АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 237
равновесия системы, но никоим образом не сказывается на ча-
частоте колебаний. Следовательно, в соответствии с классическими
представлениями частота излучения атомов, определяемая ча-
частотой механических колебаний атомных электронов, вопреки
экспериментам, не должна зависеть от того, помещен ли атом
в электрическое поле или нет.
Рассмотрим теперь эффект Штарка, основываясь на кванто-
квантовых представлениях.
Существуют линейный и нелинейный штарк-эффект.
Первый из них характерен лишь для водородоподобных ато-
атомов. Это связано с тем обстоятельством, что для водородопо-
водородоподобных атомов имеет место вырождение не только по магнит-
магнитному квантовому числу т, но и по орбитальному квантовому
числу / (см. § 12), и поэтому состояние с определенной энер-
энергией является суперпозицией состояний с различными значения-
значениями /. Следовательно, такое состояние не обладает определенной
четностью (см. § 10) и среднее значение оператора возмущения
A3.32), пропорциональное электрическому дипольному моменту
атома, может быть отлично от нуля, что и обусловливает линей-
линейный штарк-эффект. Для всех же других атомов вырождение по /
отсутствует, дипольный момент равен нулю и линейный эффект
Штарка не наблюдается.
Рассмотрим более подробно теорию линейного эффекта
Штарка для атома водорода.
Поскольку внешнее электрическое поле & (в опытах оно
имело порядок 104—105 В/см) много меньше внутриатомного,
создаваемого ядром и равного
(здесь ао —радиус первой боровской орбиты), для решения по-
поставленной задачи можно использовать теорию возмущений, от-
относящуюся к вырожденному случаю, причем в качестве возму-
возмущения мы должны взять потенциальную энергию электрона во
внешнем электрическом поле в виде A3.32).
Внешнее электрическое поле выделяет в пространстве напра-
направление (ось г), и поэтому для расчета штарк-эффекта удобнее
использовать в качестве базисных функций нулевого приближе-
приближения решения уравнения Шредингера в параболических коорди-
координатах ^пхпгт A3.25). Каждому энергетическому уровню п соот-
соответствуют п2 состояний ^Пупгт с квантовыми числами пи п2 и т%
удовлетворяющими условию
п\ + п2 + т + 1 = п. A3,35)

238 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Оператор возмущения A3.32) в параболических координатах
у-т|) A3.36)
имеет только диагональные матричные элементы в группе со-
состояний, соответствующих уровню м,
(n[n'2mf | V | пхп2т} =
оо оо 2я
= 1 ejS \dl \ d4 J
Действительно, диагональность по т очевидна в силу неза-
независимости V от угла ф, а диагональность по параболическим
квантовым числам следует из ортогональности функций Лагер-
ра //+S, s
оо
\ dp It+s>tS> (p) Ii+$,s (p) = &ss> A3.38)
о
и условия A3.35).
Интегралы vnitn и vn^m
^ «-1.2) A3.39)
вычисляются с помощью мотода, примененного в § 12 при нор-
нормировке радиальных функций атома водорода. Один из полино-
полиномов представляется в виде ряда, а другой — в замкнутой диффе-
дифференциальной форме A2.36), после чего интегрирование по частям
соответствующее число раз дает
)ni (/=1,2). A3.40)
Для разности интегралов vn{tn — vn2m с учетом соотношения
A3.35) находим
Vnim — Vn2m = 6n (tl{ - П2). A3.41)
Поскольку возмущение A3.37) диагонально, то оно не сме-
смешивает вырожденные состояния, а лишь расщепляет их, причем
величина расщепления определяется средним значением V
E' = {V). A3.42)

§ 13] АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 239
Подставляя A3.41) в соотношение A3.37), находим
Епх = Y еоао&п (пу — п2) = у ео&сцп\ A3.43)
где К= (п\ — П2)/п — собственное значение проекции е2 векто-
вектора эксцентриситета. Как видно из данного равенства, величина
расщепления уровня п зависит от разности квантовых чисел
П\ — пч (или от X), которая принимает, как было показано
выше, 2п— 1 значение от —(п— 1) до п— 1. Поэтому электри-
электрическое поле расщепляет уровень п на 2п — 1 подуровней, сни-
снимая таким образом л2-кратное вырождение не полностью.
Рассмотрим для примера первый возбужденный уровень
и = 2*), вырожденный четырехкратно. В отсутствие возмуще-
возмущения его энергия равна
° A3.44)
а состояния tynin2m задаются выражениями A3.25). Под влия-
влиянием электрического поля данный уровень расщепляется на 3
подуровня, соответствующие значениям X = ±72, О,
Гэ 0. A3.45)
Таким образом, в состояниях с/и =
^ (^^ ^^?)
^ A3.46)
5
вырождение снимается, а состояния с т = ±1
Rh A3.47)
'Фоо± 1 = R2\Yt~ , Я.^
остаются вырожденными даже при наличии электрического
поля.
Заметим, что если бы мы в качестве базисных состояний вы-
выбрали решения невозмущенного уравнения Шредингера ^nim,
являющиеся собственными функциями операторов L2 и Ьг, то в
этом случае возмущение не было бы диагональным. Оно приве-
привело бы согласно изложенной в § 8 теории к смешиванию
*) Основной уровень п = 1 невырожден и поэтому не будет расщеп-
расщепляться.

240 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
невозмущенных состояний, и в результате получились бы пра-
правильные комбинации функций г|эл/т нулевого приближения и со-
соответствующие им уровни энергии первого приближения теории
возмущений, совпадающие с только что полученным результа-
результатом A3.46) —A3.47).
Качественно эффект Штарка можно интерпретировать сле-
следующим образом: в силу того, что возбужденные состояния не
обладают центральной симметрией и не имеют определенной
четности, у атома водорода появляется отличный от нуля сред-
средний электрический дипольный момент <р>. Поскольку энергию
возмущения A3.32) можно также записать в виде 1// = — (рЕ)9
то, сравнивая это выражение с выражением для поправки к
энергии A3.43), получим z-компоненту электрического диполь-
ного момента атома в состоянии (/г, X, т)
A3.48)
В рассматриваемом выше примере с уровнем п = 2 в состоя-
состояниях Х=±1/2, т = 0 электрон находится преимущественно
либо в области г>0 (при Х= + 72)> либо в области ? < 0
(при Х = — 72). Поэтому и дипольный момент в этих состоя-
состояниях направлен либо против внешнего поля (А, = +72, (РгУ =
= — Зе0а0), либо вдоль поля (А, = —72, </?*> = Зе0а0). в состоя-
состояниях X = 0, т = ±1 (и определенным значением / = 1) диполь-
дипольный момент равен нулю <рг> = 0, и поэтому никакой дополни-
дополнительной энергии Ег не возникает.
Таким образом, причиной, обусловливающей линейный эф-
эффект Штарка у атома водорода, является присущий ему в воз-
возбужденных состояниях электрический дипольный момент.
Результаты, полученные на основе линейного приближения,
находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными
только в слабых полях {& ~ 104 В/см). В более сильных полях
(& ~ 105 В/см) появляется дополнительное расщепление (квад-
(квадратичный эффект Штарка), вызванное снятием вырождения по
магнитному квантовому числу т. Наконец, в полях, напряжен-
напряженность которых превышает величину 105 В/см, эффект Штарка
вообще исчезает. Это связано с появлением автоионизации ато-
атомов, т. е. с вырыванием электронов, находящихся на возбужден-
возбужденных уровнях.
§ 14. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Рассмотрим вначале рассеяние частиц силовым центром, по-
потенциальная энергия которого уменьшается на бесконечности
сильнее, чем а—1.
В этом случае на бесконечности (*-^оо) волновая функция
может быть аппроксимирована плоскими волнами. Предельный

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 241
случай кулоновского потенциала V ~ г (т. е. силу дальнего
действия) также в ряде случаев можно включить в рассматри-
рассматриваемое приближение, поскольку, как будет показано ниже, иска-
искажение плоской волны на бесконечности кулоновским полем дает
лишь логарифмический сдвиг фазы, который оказывается несу-
несущественным при определении дифференциального эффективного
сечения при сравнительно больших углах рассеяния.
а) Борновское приближение. Допустим, что в течение вре-
времени t ^ О частица была свободной, т. е. двигалась равномерно
и прямолинейно с импульсом р = hk и энергией
Пусть, начиная с момента времени t = О, на нее начинает дей-
действовать возмущение, характеризуемое потенциальной энергией
V(r). Тогда частица обладает определенной вероятностью пе-
перейти в другое состояние с импульсом р' = %k' и энергией
/(/ = -^-1, т.е. в результате действия возмущения
должно произойти рассеяние частицы.
Волновые функции начального и конечного состояний, опи-
описывающие свободное движение (нулевое приближение), будут в
этом случае равны
^@ LV
где L3 — объем основного куба периодичности, а составляющие
импульса kt и k\ (/ = 1, 2, 3) связаны с целыми числами т и
п\ с помощью соотношений
2nnt
Волновые функции A4.1) удовлетворяют невозмущенному
уравнению Шредингера
и являются частным случаем общего его решения
A4.3)
где коэффициенты С зависят от импульсов k'.
При учете энергии возмущения V = V(r) решение будем
искать по нестационарной теории возмущений, согласно кото-

242 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. *
рой следует предположить, что вероятностные коэффициенты Сг
должны стать функциями времени. Поскольку в начальный мо-
момент времени частица находилась в состоянии k, мы должны
положить
С/(/ = 0) = 6^. A4.4)
Тогда для коэффициентов C'(t) (k' Ф k) получаем (см. (8.56))
c' = — jr\ dieict(K'~K)Vk'k> A4.5)
о
где
Подставляя сюда вместо волновых функций их значение A4.1),
найдем после интегрирования по времени
С/@ = ~г
где
_ eict (К'-К)
Vx = \ el*rV (r) d3x, х = k - k'. A4.6)
Отсюда для вероятности перехода имеем
д Y*l/°'|2 1 V, i; ю 2 sin
v р
Учитывая далее равенство
!ZS'TlK'-~K?=W'-V, A4.8)
мы приведем A4.7) к виду
k'
Наличие б-функции под знаком суммы приводит к сохранению
энергии рассеивающейся частицы, т. е. К! = К. Такое рассея-
рассеяние называется упругим *).
При переходе в равенстве A4.9) от суммы к интегралу мы
должны использовать соотношение
-|^K= J k'2dk'dQ= J kok'dK'dQ. A4.10)
*) В качестве примера неупругого рассеяния можно привести тормозное
излучение, когда при рассеянии электрон испускает фотон, благодаря чему
К' <К.

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯ1 1 ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 243
Обычно рассеяние хара геризуют эффективным сечением,
равным отношению вероятности перехода w к числу частиц N,
падающих в единицу времени на единицу поверхности S=l см2,
перпендикулярной падающему пучку частиц — потоку частиц.
На эту поверхность в единицу времени, очевидно, попадут те
частицы, которые расположены от нее на расстоянии, не превы-
превышающем значения скорости частицы v, т. е. находящиеся в объ-
объеме vS = v. Это число N равно произведению плотности числа
частиц ро = L на объем, численно равный скорости частицы
С помощью соотношений A4.9) — A4.11) для эффективного
сечения рассеяния находим следующее выражение:
* = -?=$ о«К <p)dQ, A4.12)
где подынтегральное выражение, характеризующее число рас-
рассеянных частиц, попадающих в телесный угол dQ (dQ =
= sin Ф db d(p) (О и ф — сферические углы рассеяния, т. е. век-
вектора ft), называется дифференциальным эффективным сечением.
Оно определяется выражением
or (Of V)=S(^.)V.P. A4.13)
В частности, когда рассеивающий центр обладает сферической
симметрией, имеем
где dQ.' — телесный угол в пространстве вектора г, в то время
как в формуле A4.12) dQ — телесный угол в пространстве век-
вектора k'.
Интегрируя последнее выражение по телесному углу, найдем
Vx = ^-) r sin %r -V (r) dr.
0
Отсюда видно, что дифференциальное эффективное сечение
упругого рассеяния равно
A4.14)
где
н = | k - Ь' |= 2k sin-^. A4.14a)

244 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТ ЗАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
а величина
оо
/ (О) = - -|g- J r sin %r • F(r) dr A4.15)
о
называется амплитудой рассеяния.
Формула A4.14) описывает упругое рассеяние частиц в пер-
первом приближении теории возмущений, которое носит название
борновского приближения.
Заметим, что эта же задача может быть решена и по ста-
стационарной теории возмущений, так как потенциальная энергия
взаимодействия не зависит от времени. Однако для получения
эффективного сечения рассеяния мы использовали нестационар-
нестационарную теорию возмущений, математический аппарат которой об-
обладает большей общностью. Он, в частности, позволяет решать
многие задачи современной квантовой электродинамики с уче-
учетом взаимодействия электронов с вторично квантованным элек-
электромагнитным полем.
Выражение для а('&), найденное по методу теории возмуще-
возмущений, имеет определенные границы применимости. В случае ко-
короткодействующих сил (ядерные силы, нейтральный атом, не-
непроницаемая сфера и т. д.), которыми на расстояниях г от цен-
центра, превышающих некоторый эффективный радиус а, можно
пренебречь, величина эффективного сечения (даже когда эти
силы создают барьер, абсолютно непроницаемый для частиц) не
может превышать геометрического сечения области действия
этих сил (если при этом не возникает резонансного рассеяния,
см. ниже). Поэтому для короткодействующих сил находим сле-
следующее условие применимости метода теории возмущений:
<т<сг', A4.16)
где
о/ ~ па2.
б) Рассеяние на потенциале Юкавы. Как известно, потен-
потенциальная энергия взаимодействия, введенная Юкавой, имеет
следующий вид:
где А — некоторая постоянная, а величина -г- = а представляет
собой эффективный радиус действия сил. Взаимодействие
A4.17) может найти самое широкое применение.
Этому закону удовлетворяет простейший потенциал ядерных
сил (потенциал Юкавы). В этом случае величина А = g2, где
g — ядерный заряд, превышающий электрический более чем в
10 раз, а радиус действия ядерных сил равен комптоновской

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 245
длине волны пи-мезонного поля
^~1(Г13 см. A4.18)
Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа-
частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следую-
следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать вы-
выражением A4.17) *).
В последнем случае величина А = Ze2 (где Z — порядковый
номер атома), а эффективный радиус атома в модели Томаса —
Ферми равен (см. ниже B5.66))
«~5г. A4Л9>
где у — коэффициент порядка единицы.
Наконец, полагая а -* оо, получаем потенциал кулоновского
поля ядра, который также можно рассматривать как частный
случай выражения A4.17).
Подставляя A4.17) в формулу A4.14) и учитывая, что
оо оо
\ г sin кг • V (г) dr = — А \ sin кг • e~k°r dr = — А 9 х 9,
J J х2 + ^
приходим к следующему выражению для дифференциального
эффективного сечения упругого рассеяния:
4т20А2а4
ffW—Fow+TF- A4-20>
Здесь согласно A4.14а)
х2 = 4k2 sin2 ^ = 4 ¦? sin24 • <14-2I>
где р — импульс частицы.
При исследовании формулы A4.20) следует различать два
случая:
1. Случай расеяния сравнительно медленных частиц, когда
для любых углов рассеяния ка <С 1.
Как видно из формулы A4.20), при этом величина а (О) не
будет зависеть от угла Ф и становится равной
. A4.22,
*) Результаты других аппроксимаций мало отличаются от A4.17) вслед-
вследствие короткодействующего характера сил, а в задаче рассеяния аппроксима-
аппроксимация A4.17) является более удобной для расчета, чем другие.

246 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Независимость сечения рассеяния от угла # (изотропность) яв-
является характерной чертой рассеяния частиц сравнительно низ-
низких энергий центром короткодействующих сил.
2. При рассеянии сравнительно быстрых частиц для углов,
удовлетворяющих условию ха > 1, дифференциальное эффек-
эффективное сечение не будет зависеть от величины радиуса действия
сил а и становится равным
ч 4т20А2
a(*) = -a?i-. A4.23)
Отсюда видно, что для таких углов рассеяние на потенциале
Юкавы будет таким же, как и при рассеянии на кулоновском
центре. Поэтому при рассеянии быстрых электронов или а-ча-
стиц нейтральным атомом на сравнительно большие углы атом-
атомные электроны особой роли не играют, а рассеяние определя-
определяется лишь потенциалом ядра.
Полагая в A4.20) A = Ze\ и х = -? s*n~2~» приходим к фор-
формуле Резерфорда
o(i»= 2Чпг\ . A4.24)
Из формулы A4.24) видно, что для сил с большим радиусом
действия имеет место сильная зависимость сечения от угла рас-
рассеяния.
Однако для любых больших значений волнового вектора
А=-^- найдутся такие малые углы Ф, при которых будет вы-
выполняться неравенство
¦^sin4<l. (H.25)
В частности, при Ф->0 формула Резерфорда дает для a (ft)
расходящееся значение; в этом случае должен сказаться корот-
короткодействующий характер сил, что обусловлено экранирующим
действием электронной оболочки. Условие A4.25) в этом случае
определяет область, где формула Резерфорда неприменима.
Из равенств A4.19) и A4.20) при Ь = 0, т.е. для рассеяния
вперед, находим следующее выражение для дифференциального
эффективного сечения:
A4.26)
Для полного эффективного сечения согласно A4.21) после
интегрирования по углу Ф получим выражение

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 247
Отсюда с помощью формулы A4.16) можно найти следую-
следующие пределы применимости метода теории возмущений для на-
нашей задачи в двух крайних случаях:
Y2 = Jg?- < 1 при ka > 1 *), A4.29)
т. е. при ka «С 1 параметром разложения является величина у\у
а при ka ^$> 1 — величина ^2- Только при этих условиях мы мо-
можем ограничиться борновским приближением. В противном слу-
случае следует использовать более точные методы решения задачи
(см. ниже).
в) Парциальные эффективные сечения. Для того чтобы най-
найти эффективное сечение рассеяния не только при малых, но и
при больших значениях у\ и Y2 (см. A4.27), A4.28), A4.29)),.
мы должны искать решение в виде суммы парциальных эффек-
эффективных сечений, каждое из которых зависит от орбитального
квантового числа /. Тогда мы должны прежде всего падающую
плоскую волну
Фпад = е'*2 = ^*гс03* A4.30)
для частиц, распространяющихся вдоль оси z со скоростью
v =—, разложить по сферическим волнам, т.е. согласно
A1.52) представить в виде
<кг'» 1» I> W +D kr Pi (cos ft). A4.31)
Для частицы в потенциальном поле V(r) асимптотическое выра-
выражение для волновой функции следующее (см. A1.45) и A1.58)):
/=0
*) Критерий A4.29) ka > 1 может быть применен и для кулоновского
потенциала (а->оо). Полагая A~Ze^, hk = moc$ = mov, найдем, что бор-
новское приближение применимо для не слишком малых скоростей
*-¦?«:..
'i i
где а == —г- = -Гоу ~ постоянная тонкой структуры.

248 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
причем в первом приближении фазу 6/ можно определить фор-
формулой A1.60). Однако в некоторых частных случаях она может
быть найдена более точно (см. ниже).
Рассеянная волна, очевидно, определяется формулой
оо
•Фрасс = Фас - Фпад = | ? Ж Р{ (C0S ^ Х
X {е (kr-^Xcteibi-il B1 + I)]-*"' (ь-т)[С/в-«,_/« B/+1)]}.
Неизвестный коэффициент С* может быть найден из условия,
что функция i|)Pacc должна представлять собой расходящуюся
сферическую волну. Для этого коэффициент при сходящейся
i(kr)
сферической волне е v 2 J необходимо положить равным
нулю. Тогда
и для рассеянной волны получим
трасс г
Функция f(b) является амплитудой рассеяния (см. A4.15)),
для которой по точной теории находим
ж
Как известно, дифференциальное эффективное сечение, ха-
характеризующее рассеяние частиц на угол Ф, равно отношению
вероятности рассеянной частице пройти в единицу времени че-
через элемент сферической поверхности dS = r2dQ
- о I / W i» <ю
к падающему потоку, т. е. к числу частиц, падающих в единицу
времени на единицу поверхности, перпендикулярной их скоро-
скорости:
Отсюда для дифференциального эффективного сечения находим
выражение
^^ A4.34)

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 249
Здесь, предполагая аксиальную симметрию рассеивающего поля>
мы положили телесный угол равным
Подставляя сюда полученное значение для амплитуды рассея-
рассеяния и учитывая при интегрировании по углам условие ортого-
ортогональности для полиномов Лежандра
п
SPi (cos *) Pt' (cos *) sin * d* = of , . 6/r,
0
находим следующее выражение для полного эффективного сече-
сечения:
оо
а=2>/, A4.35)
где парциальные сечения равны
A4.35а)
При / = 0 имеем 5-рассеяние, при I = 1 имеем р-рассеяние
и т. д.
Сопоставляя друг с другом формулы A4.35) и A4.33), а так-
также учитывая, что Pi(l) = 1, докажем так называемую оптиче-
оптическую теорему
f@)]=-f Imf(O),
устанавливающую связь между полным эффективным сечением
а и мнимой частью (Im) амплитуды f('0>), соответствующей рас-
рассеянию вперед, т. е. Ф = 0.
Заметим, что точное выражение для амплитуды рассеяния
(см. A4.33)) переходит в приближенное, найденное в борнов-
ском приближении (см. A4.15)), когда выполняются следующие
два условия:
1) 8i -С 1, и поэтому для амплитуды рассеяния A4.33) мо-
можем написать:
оо
f (*) = -j5]BZ+ l)e,P,(cos*); A4.356)
2) для б/ имеет место приближение A1.60), согласно кото-
которому
00
5 V(r)rJi+H,{kr)dr. A4.36)
о

250 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
В самом деле, подставляя A4.36) в равенство A4.356), находим
V{r)dr2^j{2l+ 1) Pi (cos «)//+!/,. A4.37)
0 Z=0
Принимая во внимание далее соотношение
= ¦— sinx*r , A4.38)
/=o
где
Л. . ft
a/ *) h Qin
амплитуду рассеяния A4.356) можно привести к виду, найден-
найденному в борновском приближении (см. A4.15)):
оо
/(¦) = -•§?¦$/• sin хг • V (г) dr. A4.39)
О
г) Рассеяние потенциальным барьером. Исследуем рассеяние
частиц сферически-симметричным прямоугольным потенциаль-
потенциальным барьером, когда потенциальная энергия изменяется по за-
закону:
Ко при г < а,
О при г> а.
Этот пример имеет большое методическое значение, так как он
допускает точные решения и позволяет выйти за рамки борнов-
ского приближения.
Конкретно теория рассеяния потенциальным барьером нахо-
находит свое применение в ядерной физике. При не слишком высо-
высоких энергиях результаты исследования с короткодействующими
ядерными силами практически не зависят от формы потенциаль-
потенциального барьера и в основном зависят от его высоты (т. е. Ко) и
радиуса действия (т.е. расстояния а).
Поскольку прямоугольный потенциальный барьер (или по-
потенциальная яма) представляет собой простейшее описание ко-
короткодействующих сил, то, естественно, им и следует аппрокси-
аппроксимировать ядерные силы.
Исследуем случай, когда ka < 1. Физически он означает, что
дебройлевская длина волны много больше радиуса потенциаль-
потенциального барьера
A4.41)

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 251
Прежде всего с помощью приближенной формулы A1.60)
найдем фазу б* рассеяния в зависимости от /.
При малых значениях kr ^ ka функцию Бесселя, входящую
в A1.60), мы можем представить в виде
=V A442>
Тогда для фазы б/ находим
«'"^(таг)'^ (R43)
где
бо = _ 2^о^1. A4.44)
Отсюда видно, что основной вклад вносит s-волна (Z = 0). Пар-
Парциальные волны с 1= 1 (р-волна), 1 = 2 (d-волна) и т. д. дают
вклад, примерно в (kaJ1 меньший по сравнению с бо, и поэтому
в первом приближении ими можно вообще пренебречь.
Эффективное сечение, которое дает s-волна, согласно A4.35)
равно
gg6
Оно фактически и определяет полное эффективное сечение. Ана-
Аналогичный результат мы получим, если вычислим а в борновском
приближении с помощью формулы A4.12). Наконец, найдем
фазу рассеяния из точных уравнений. При этом мы ограничимся
вычислением фазы для s-волны (Z = 0), которая, как было ука-
указано выше, дает при ka <C 1 основной вклад в эффективное се-
сечение. Согласно A1.53) для радиальных функций при наличии
потенциальной энергии A4.40) имеем уравнения:
и" + k2u = 0 при г > а,
,2 A4.46)
и" — к и = 0 при г < а,
где
u = rROy k2 = ^Ey v!2=^{V<>-E) = tf-k2. A4.47)
Кроме того, мы введем условие, что
VQ>E>0. A4.48)
Решение уравнений A4.46) можем записать в виде
и = A sin (kr + б0) при г> а,
u = Bsh>t'r при г<а. A4*49)
Решения выбраны таким образОхМ, чтобы функция и при г->0
обратилась в нуль.

252 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
Приравнивая на границе области г = а волновые функции и
их производные, легко сможем найти искомую s-фазу
б0 = arctg (^ th %'a) - ka. A4.50)
Последнее выражение мы можем упростить при ш ]> ka {Vo *> Е):
b*™ka{^-l)> A4'50a>
где
Подставляя A4.50а) в A4.35а) и учитывая, что при ka <C 1
основной вклад дает s-рассеяние, найдем следующее выражение
для эффективного сечения:
(^) A4.52)
В случае
ш < 1 A4.53)
можно положить
1h уса 1
«1
Тогда, подставляя последнее выражение в A4.52), найдем эф-
эффективное сечение для а0, соответствующее борновскому при-
приближению (см. A4.45)).
При ка » 1 (например Vq-^00) эффективное сечение A4.52)
достигает своего максимального значения
th уса 1 Л\
и становится равным (см. также A4.16))
сго = 4яа2, A4.54)
т. е. эффективное сечение в четыре раза превышает классическое
значение, равное площади поперечного сечения, образуемого
сферическим потенциальным барьером (аКл = яа2).
Причина этого, на первый взгляд парадоксального, результата заключает-
заключается в том, что рассеяние следует учитывать дважды: первый раз — непрони-
непроницаемой сферой (классический результат); второй раз — в теневой области,
возникающей благодаря тому, что рассеивающая сфера вырезает в пучке па-
падающих частиц цилиндр с основанием па2 и нарушает равномерность распро-
распространения плоской волны.
Если бы рассеивались классические частицы, то после прохождения сфе-
сферы они продолжали бы двигаться равномерно и прямолинейно, оставляя пу-
пустым это цилиндрическое пространство. Волны же так распространяться не
могут. Они частично начнут заполнять это пространство (дифракция), благо-
благодаря чему будет происходить новое их рассеяние. Это и увеличивает значе-
значение эффективного сечения.

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 253
Дифракционные явления сохраняются и при больших энергиях ka > 1
(Х-*0), приводя при учете всех парциальных составляющих к удвоенному,
по сравнению с классическим, сечению рассеяния а = 2яа2.
Выражение A4.54) не может быть получено в борновском
приближении. Отсюда мы получаем критерий применимости бор-
новского приближения
ха<1, или ^ <,
который для случая ka <C 1 совпадает с соответствующим выра-
выражением, полученным нами выше (см. A4.28)).
Последние формулы легко обобщить на случай рассеяния
прямоугольной потенциальной сферически-симметричной ямой.
В этом случае в формуле A4.40) следует сделать замену
Vo->—Vo. Если производить вычисления в борновском прибли-
приближении, то мы получим результат A4.45), поскольку квадрат Vo
при такой замене остается без изменения.
Если производить расчет при больших значениях Vo, то при
изменении знака у Vo мы должны в формуле A4.50) 'сделать
замену К-+-Ы.
Тогда для определения нулевой фазы вместо A4.50) находим
выражение
б0 = arctg (-^ tg x'a) - ka, A4.55)
где
Сопоставляя формулы A4.55) и A4.50), мы видим, что в обла-
области малых значений х'а получим одинаковые значения фаз, а
вместе с тем и эффективных сечений.
При возрастании Vo (а также к'а) в случае потенциального
барьера величина ^/д монотонно убывает, в то время как
соответствующая величина в случае потенциальной ямы g,xa
УС а
начинает изменяться периодически в пределах от 0 до сю. В част-
частности, при и'а=-тгфаза обращается в -у (sin 60=1), а для
эффективного сечения A4.35), соответствующего s-волне, хмы
получаем резонананое значение
Ала2
которое при ka <C 1 во много раз превышает классическое эф-
эффективное сечение. Аналогичные резонансы должны иметь место
при рассеянии других гармоник. Однако более детальные вычис-
вычисления мы здесь опускаем. Основные особенности, которые на
этом простом примере были нами установлены, в качественном

254 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
отношении должны проявляться при рассеянии и от потенциалов
других короткодействующих сил.
д) Рассеяние в кулоновском поле. Рассмотрим теперь рас-
рассеяние потока частиц с зарядом Z'e§ в поле ядра с зарядом Zeo.
Энергия взаимодействия в этом случае определяется законом
Кулона
V(r) = ^~. A4.56)
Этот потенциал, в отличие от короткодействующих потенциалов
типа потенциала Юкавы A4.17), слабо убывает с расстоянием г,
что приводит, как мы увидим ниже, к существенным особенно-
особенностям в поведении волновой функции в асимптотической области
больших г.
Задаче о рассеянии в кулоновском поле A4.56) в классиче-
классическом случае соответствуют гиперболические орбиты и, соответ-
соответственно, положительные значения энергии частицы Е > 0.
В квантовой механике эта задача, так же как и проблема Кеп-
Кеплера для Е < 0 (см. § 12), может быть решена точно.
Поскольку рассеяние предполагает аксиальную симметрию
относительно направления падающих частиц (ось г), то удобнее
перейти от сферических координат г, в, ф к параболическим
g = r + z = r(l +cos*),
r\ = r — z = r(\ — cos О), A4.57)
<p = arctg-|-,
в которых, как было показано в § 13, уравнение Шредингера в
случае кулоновского поля также допускает разделение перемен-
переменных.
Для аксиально-симметричного решения уравнения Шредин-
Шредингера угловая часть волновой функции Ф(ф) не должна зависеть
от ф, и поэтому мы положим
ф (ф) = const =1, A4.58)
и, таким образом, полная волновая функция г|) может быть пред-
представлена в виде произведения
Ф = ЫШ2(Л)> A4.59)
где функции fi(l) и /2(л) удовлетворяют уравнениям
( '

$ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 255
В этих уравнениях k = л/ тЛ , Е > О, а постоянные разде-
разделения В\ и В2 связаны соотношением
ZZ'e2
A4.61)
Будем искать частное решение уравнений A4.60), которое
для волновой функции г|) A4.59) при г->—оо обеспечивает сле-
следующее асимптотическое поведение:
<§~eikz, z->—оо, A4.62)
что соответствует плоской волне, падающей из бесконечности в
положительном направлении оси z на кулоновский центр. В па-
параболических координатах это условие примет вид
<ф /ч/ eik F-t|)/2 A4.63)
при ц ->• оо и произвольных значениях |.
Поэтому для fi(l) выбираем частное решение
•которое удовлетворяет первому уравнению A4.60), если посто-
постоянную разделения В\ положить равной
B{ = -^k. A4.65)
При этом, для того чтобы обеспечить асимптотическое условие
A4.63), функция /гСп) должна вести себя следующим образом:
h(T\)c~e 2, л->°^. A4.66)
Во втором уравнении A4.60) вместо ц введем новую безразмер-
безразмерную переменную
9 = kx\ A4.67)
и будем в соответствии с условием A4.66) искать его решение
в форме
е"'««<Р). A4'68>
Тогда для определения неизвестной функции и(р) получаем
уравнение
где
^ A4.69)

256 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Этому уравнению удовлетворяет вырожденная гипергеометриче-
гипергеометрическая функция (см. также A2.29))
§±#.?+ ... A4.70)
при следующих значениях параметров а, р и аргумента х:
a = -*Y, P=l, x = ip. A4.71)
Таким образом, для волновой функции г|э получим частное
решение
<ф = Сг 2е 2Ф(-гу, 1,Ф) A4.72)
с неопределенной пока нормировочной константой С. Это реше-
решение конечно при р = 0, а его поведение при р -> оо определяет-
определяется асимптотикой функции Ф в соответствующей области. В § 12
была приведена асимптотическая формула A2.30) для вырож-
вырожденной гипергеометрической функции Ф(а, Р, х) при |*|—*оо.
Применяя эту формулу в случае A4.71), следует иметь в виду,
что величины х и —х при воздействии в степень берутся с наи-
наименьшими по величине значениями аргумента, т. е.
х A4.73)
д.а-0 L еП 2 e-iy In p
Р
Учитывая эти равенства, с помощью разложения A2.30) на-
находим при р > 1
Воспользуемся этим результатом, чтобы найти асимптотическое
значение ф-функции A4.72) при z->—оо (р-*+оо):
A4.75)
Как видно из этой формулы, в показателе экспоненты возникает
дополнительный логарифмический член iy In p, который иска-
искажает плоскую волну даже на бесконечности. Полагая
C = e~"^r(l+/Y), A4.76)

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 257
получим, что требуемое асимптотическое условие A4.62) удовле-
удовлетворяется с точностью до кулоновского логарифма у In p.
Найдем теперь асимптотическое поведение -ф-функции A4.72)
при г->оо, включая в рассмотрение, таким образом, не только
прошедшую, но и рассеянную волну. В этом случае (т) =
= г — г-^оо) также применима асимптотика A4.74), с по-
помощью которой, переходя к исходным переменным г и Ь и учи-
учитывая A4.76), будем иметь при г-> оо:
У. U I pikz+iy In fcr(l-cosO)
-cosO) ^ '"Г
Г 0 - /Y) 2^г sin2 ± I ^ ikr A - cosO) ^ • • • J-
A4.77)
Ясно, что это разложение применимо для не слишком малых
углов рассеяния О, т. е. когда
Это ограничение, однако, ослабляется с ростом г и на очень
больших расстояниях от кулоновского центра становится прак-
практически несущественным.
Отбрасывая малые члены в квадратных скобках A4,77) с
учетом неравенств A4.78), можно записать волновую функцию
в виде суммы
\|) ~ eikz+iy In [kr A-cos О)] _|_ f W eikr-iy in 2ftr ? A4,79)
где первое слагаемое представляет собой прошедшую волну (не
плоскую, а искаженную логарифмическим членом), а второе
слагаемое — рассеянную сферическую волну, также искаженную
кулоновским логарифмом, зависящим от г. Амплитуда рассеяния
f (Ф) в кулоновском поле согласно A4.77) равна
-*Y In sin2 4-
Г <* + ^ Yf1
Если определить дифференциальное эффективное сечение рас-
рассеяния по общей формуле A4.34)
то зависимость от логарифмической фазы исчезает, и мы най-
найдем
y 4p4sin4
Я А, А. Соколов и др.
A4.81)

258 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
т.е. формулу Резерфорда A4.24) для рассеяния заряда Z'e0
в кулоновском поле заряда Zeo.
Полученная нами волновая функция A4.79) в отличие от слу-
случая короткодействующего центра A4.30), A4.32) содержит до-
дополнительную логарифмическую зависимость от г и ft. Поэтому
при выводе разложения амплитуды рассеяния A4.80) по сфери-
сферическим волнам A4.33) в кулоновском случае эта зависимость
должна быть учтена.
Рассмотрим интеграл Si от произведения амплитуды f(ft)
A4.80) на полином Лежандра P/(cos ft):
ik \ db sin bf (P) Pi (cos ¦&) =
J
COS Фо
— ix ГA + /^ 2iy [ dr(\ гГ1~{у Р (r)— 9 M4ft9\
— — »Y r» /i rT^^ \ ь*л 11 — ATI r^/ 1лi — o/, 114.oZ)
l vl — iY-) J * \ / *> \ /
-l
где в качестве нижнего предела интеграла по ft мы выбрали не-
некоторый малый угол fto <C 1 такой, чтобы для всех ft > fto вы-
выполнялись неравенства A4.78), обеспечивающие асимптотиче-
асимптотическое разложение волновой функции.
Умножив правую и левую части равенства A4.82) на
Pi (cos ft') при ft'> ft0 и просуммировав по / с помощью усло-
условия полноты полиномов Лежандра
-2Ш Рг (cos ft) Pt (cos ft') = 6 (cos ft - cos ft'), A4.83)
1=0
запишем амплитуду в форме
^Цг-StPi (cos ft), A4.84)
причем здесь угол ft > fto.
Однако для того чтобы получить разложение f(ft) по полино-
полиномам Лежандра в виде A4.33), мы должны исключить зависи-
зависимость от угла ft0 в интеграле S/ путем перехода к пределу fto->О.
Такой переход непосредственно в интеграле A4.82) приводит
к неопределенности вида fto~2iY> связанной с неприменимостью
выражения A4.80) для амплитуды f(ft) при ft = 0. Мы можем
обойти эту трудность с помощью следующего приема. Заменим у
в интеграле A4.82) комплексной величиной, содержащей малую
мнимую добавку у -^ у + ie, причем е > 0. Тогда, перейдя к пре-

§ 14] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 259
делу Фо ->¦ 0, вычислим интеграл по х
1
\ dx(l-x)-l+e^Pt(x)9 A4.85)
-1
после чего устремим е к нулю.
Представим полином Pi(x) в дифференциальной форме
и возьмем интеграл I раз по частям. Тогда вместо A4.85) по-
получим
-1
A)
2 /! J
где X = —1 +е — iy.
Воспользуемся далее известным интегралом
1
\(l-x?(\+x)ldx, A4.8в>
— 1
справедливым, когда ReA,>—1 (Re — действительная часть).
Подставим этот интеграл в выражение A4.86) и устремим е
к нулю; это дает
Р (у\ — 2"/Y (! + *У> <2 + fV> - - У + ^У) Г (- fY)
^ nw— г (/ + 1 — /y)
A4.87)
Поскольку — /уГ (— /y) = Г A — /y)> to окончательно найдем
Таким образом, разложение амплитуды может быть записано
в виде
оо
!! ^(cos*) A4.89)
причем оно справедливо при Ф > 0. Как видно, это разложение
соответствует общей формуле A4.33), при применении которой

260 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. Т
нужно учесть, что согласно A4.83) при Ф ф 0
Сравнивая A4.89) и A4.33), определяем фазу рассеяния б/:
6, = - arg Г (/ + 1 - /v). A4.90)
Нужно, однако, учитывать, что фаза б/ отличается от полной
фазы рассеяния на величину кулоновского логарифма (см.
A4.79)), который растет с ростом г, но не зависит от /.
Если бы мы с самого начала искали решение уравнения Шре-
дингера с определенным орбитальным моментом /, то уравнение
для радиальной функции и = rRi можно было бы записать в
виде
Р
При больших значениях г, когда можно пренебречь величи-
величинами порядка -рг, асимптотическое решение уравнения A4.91)
принимает вид
V—
В этом нетрудно убедиться, если подставить последнее выраже-
выражение в A4.91). Тогда сократится не только основной член, про-
пропорциональный м, но благодаря введению фазы у In 2kr и член,
пропорциональный —. Фазу -g- мы написали для того, чтобы
при у = 0 величина б/ также обратилась в нуль, поскольку
асимптотическое решение A4.92) должно перейти в асимптоти-
асимптотическое решение для свободной частицы.
Для того чтобы найти фазу б/, мы должны прежде всего на-
написать точное решение уравнения A4.91), которое имело бы
место как при малых, так и при больших значениях г. Это ре-
решение может быть записано через вырожденную гипергеометри-
гипергеометрическую функцию Ф(а, Р, у) A4.70) при помощи соотношения
Rt — const rle-ikr<Z> (/ + 1 — iy, 2/ + 2, 2ikr).
Затем следует учесть поведение функции Ф при г—*оо, которое
следует из асимптотической формулы A2.30). Тогда найдем, что
i (kr~ I- y In 2kr) - i (kr ~ I- y In 2kr) "]
const I e v 2 ' e v 2 ^1
n __ const
A/ — — I

§ 15] МЕТОД РЕДЖЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 261
Далее, полагая
где
6l==-argr(Z+l-/Y), A4.93)
получаем асимптотическую формулу A4.92), но уже с заданной
фазой б/, которая совпадает с выведенным выше значением
A4.90).
В случае, когда \l — iy\^ 1> воспользовавшись формулой
Стирлинга
, г (/ + 1 - /Y) I."»'
можно найти для фазы значение
6/ ~ (/ + l/2)arctgTX^ + Y On V(/ + V2J + Y2~ О- A4.94)
Как и следовало ожидать, при у-^0 (отсутствие кулоновских
сил) б/->0.
§ 15. МЕТОД РЕДЖЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
а) Понятие о полюсах Редже. При исследовании движения
частиц в центрально-симметричном поле и в задаче о рассеянии
весьма плодотворным оказался метод Редже, который заклю-
заключается в том, чтобы рассматривать волновую функцию и ампли-
амплитуду рассеяния как функции комплексной переменной орбиталь-
орбитального момента I. Покажем, как с помощью метода Редже может
быть установлена связь между задачей о рассеянии и проблемой
отыскания дискретных уровней энергии связанных состояний в
поле У (г).
Запишем уравнение Шредингера A1.53) для радиальной
функции u = rR(r) в центрально-симметричном поле V{r)
^ (^^Ь = 0, A5.1),
где
2&
Общий вид решения этого уравнения при малых г, когда можно
пренебречь членом k2 — 2m0V{r)/ft2, таков (см. A2.12)):
0
Исключим неограниченно возрастающее при г = 0 решение, по-
полагая Сг — 0, и выберем С\ = 1, тогда
W/~r/+1, r-»0. A5.2)

262 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ГЧ. I
Будем считать, что величина / может принимать также и про-
произвольные комплексные значения, тогда выделить второе реше-
решение на фоне первого можно только, если
где Re — действительная часть, т. е.
72)>0. A5.3)
Если же Re(/ + V2)<0, T0 второе решение убывает быстрее
первого и его всегда можно добавить к первому, не изменяя ха-
характера асимптотического поведения функции щ при малых г.
Ясно, что в этом случае теряется однозначность выбора реше-
решения. Итак, уравнение A5.1) и граничное условие A5.2) с учетом
A5.3) определяют функцию щ единственным образом.
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение ш при боль-
больших значениях г. При г->оо потенциал V(r) ->0 и в уравнении
A5.1) можно пренебречь членами, пропорциональными V(r) и
1A + 1)А2> тогда
^ 0. A5.4)
Общее решение этого уравнения
Щ =ft(k2)e^ + gl{k2)eikr AБ.б)
Г~>оо
описывает асимптотическое поведение любого решения уравне-
уравнения A5.1) и, в частности, искомого, удовлетворяющего гранич-
граничному условию A5.2). При этом считается, что поле V(r) убы-
убывает на бесконечности быстрее кулоновского.
Поскольку уравнение A5.1) и граничное условие A5.2) со-
содержат зависимость от параметра / аналитическим образом, то
решение т{г) также должно быть аналитической функцией пе-
переменной /. При вещественном I и А2 > 0 из вещественности
функции ш следует, что
g, = f*i. A5.6)
Если же I комплексно, то из условия A5.2) получаем
UlAr) = u\(r), A5.7)
и поэтому в случае k2 > 0 соотношение A5.6) заменяется сле-
следующим:
?,* = /;. A5.8)

§ 15] МЕТОД РЕДЖЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 263
С другой стороны, согласно полученному ранее выражению
A4.32) функцию ui — rRt при г-^оо можно записать в виде
щ (г) = Ct sin (kr - -5L + б
= - -§-e-M»+ibi {e~ikr - *-ы+2'V*')- A5.9)
При этом необходимо отметить, что для комплексных значений /
фаза б; уже не будет вещественной.
Сравнивая A5.9) с A5.5), для функции
St = e2i\ A5.10)
входящей в разложение A4.33) амплитуды рассеяния /(*) по
парциальным волнам, получим следующее выражение:
i = e 1 = —т-е , A5.11)
'/
определяющее аналитическое продолжение функции Si на ком-
комплексную область переменной /. Учитывая связь A5.8) при ком-
комплексных /, вместо условия | 5/ |2 = 1 будем иметь
S,S;,= 1. A5.12)
Функция щ(г), а вместе с ней // и gi представляют собой,
как уже отмечалось, аналитические функции / в полуплоскости
Re I > —Х1ъ Поэтому функция Si в этой же области не может
иметь никаких особенностей, кроме полюсов в тех точках, где fi
обращается в нуль:
h(k*) = O. A5.13)
Решения этого уравнения будем нумеровать индексом г.
l = at(k2). A5.14)
Полюсы функции Si в комплексной /-плоскости обычно называ-
называются полюсами Редже. Функции а*(А2), определяющие движение
полюсов Редже в /-плоскости при изменении энергии, называют-
называются траекториями Редже.
Покажем теперь, что при k2 > 0 полюсы Редже расположены
в верхней полуплоскости Im / > 0. Для этого запишем уравне-
уравнение A5.1) и аналогичное уравнение с комплексно-сопряженным
значением L
Умножив первое уравнение на и^, а второе на щу вычтем
одно из другого:
^ ^. A5.15)

264 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Проинтегрируем это равенство по г в пределах от 0 до оо, учи-
учитывая, что
Подстановка нижнего предела г = 0, благодаря условию
Re/>— V2, дает нуль, а на верхнем пределе подставляем
асимптотическое выражение A5.5)
Принимая во внимание соотношение A5.7), в результате нахо-
находим
оо
2 Im I • Re (/ + '/2) \ ^- dr = k (gj,. - 8ftft). A5.16)
О
Интеграл в левой части равенства сходится, так как на нижнем
пределе согласно A5.2) и A5.3) имеем
I и, Р
М^г2', Re2/> — 1,
а на верхнем пределе щ при k2 > 0 осциллирует по закону
A5.5).
Пусть / лежит на траектории Редже l = at(k2) при k2 > О,
т.е. Е > 0, что соответствует несвязанным состояниям в задаче
о рассеянии. Тогда, вспоминая равенство A5.8) и принимая во
внимание, что на траекториях Редже // = 0, получим
$ l-^dr = k\gl?. A5.17)
о
Отсюда, очевидно, следует неравенство Im / > 0, если k > 0 и
ReJ>-72.
Рассмотрим теперь траектории Редже в области отрицатель-
отрицательных энергий Е < 0, когда *2<0и следует положить
* = /и, и>0. A5.18)
В этом случае вместо решения A5.5) будем иметь при г-^оо
Щ (г) = gt (~ и2) е-*' + // (- х2) ё". A5.19)
Г->оо
На траектории Редже 1 = ш(—и2) коэффициент f/(—x2) =0,
поэтому экспоненциально возрастающее решение отсутствует и

§ 15) МЕТОД РЕДЖЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 265
остается только затухающее при г ->- оо решение
Щ(г) = ё1е-«г. A5.20)
Г->оо
Условие A5.7) при k = ix (% > 0) дает
ei* = g/, f /* = f *,
и тогда из соотношения A5.16), в котором сходимость интеграла
очевидна из равенства A5.20), следует Im / = 0, т. е. в этом слу-
случае полюсы Редже лежат на вещественной оси.
При изменении вдоль вещественной оси величина 1=ш(—и2)
может принимать физические значения, т. е. равняться целому
неотрицательному числу
/ = a,(-K2) = 0, 1, 2, ... A5.21)
При этих значениях / функция ui(r) описывает связанные со-
состояния системы, затухающие на бесконечности согласно A5.20)
и отвечающие дискретным уровням энергии ?<0, которые опре-
определяются из уравнения A5.21). На одной траектории с номе-
номером i может лежать несколько связанных состояний, отвечаю-
отвечающих значениям / = 0, 1, 2, ... Они образуют семейство, харак-
характеризуемое квантовым числом и
Полученные таким образом уровни энергии системы должны
совпадать со спектром энергии, задаваемым решением уравне-
уравнения Шредингера.
Рассмотрим в качестве примера кулоновское поле, в котором,
как было показано выше (см. A4.88)):
^l Г (/ + 1 ly) ' \iw.aa/
где y = ZZfelmojh2k. Как известно, гамма-функция обращается
в нуль, когда ее аргумент равен целому отрицательному числу
или нулю. Поэтому полюсы функции A5.22) будут лежать на
траекториях
/+ 1 — /y = — nr = 0, — 1, —2, ... A5.23)
Как видно, на каждой траектории Редже имеется бесконеч-
бесконечное число связанных состояний, которые характеризуются об-
общим квантовым числом пг, т. е. числом нулей радиальной функ-
функции Ri, и разными значениями /, так что при / = 0, 1, 2, ... на-
находим Пг + / + 1 = п = 1, 2, 3, ...
Пусть заряд ядра Z > 0, а заряд частицы Z7_=—1 (элек*
трон). Поскольку

266 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
то из уравнения A5.23) получаем энергетический спектр водоро-
доподобного атома A2.41)
Пп~ 2h2n2 '
Таким образом, наряду с уравнением Шредингера мы получаем
эквивалентный ему способ оцисания стационарных связанных
состояний по траекториям Редже.
б) Резонансы. Заметим, что, ломимо связанных состояний,
полюсы Редже могут определять и так называемые квазистацио-
квазистационарные состояния, или резонансы. Им отвечают комплексные
значения «энергии»
A5.24)
где ?о > 0, а малая величина X > О равняется вероятности рас-
распада резонанса, поскольку квадрат модуля волновой функции,
равный вероятности исходного состояния w0:
Щ = | г|э р = const е~м,
оказывается экспоненциально убывающим с течением времени
(см. также § 5, формула E.130)). При этом в асимптотическом
при г —> оо решении остается только расходящаяся волна
щ c-Lgxeik\
Г->оо
что как раз и соответствует тому, что в результате распада ча-
сгица уходит на бесконечность.
Для того чтобы определить постоянную распада Я, предполо-
предположим, что траектория Редже проходит недалеко от действитель-
действительной оси рядом с физическим значением момента // — целым и
положительным:
о (?0) =/о = // + «//, A5.25)
где // = Re а(?о) = 0, 1, 2, ..., а мнимая добавка ///, согласно
доказанному выше, положительна (/// > 0) и при этом /// <§С 1.
Тогда вблизи полюса /0 имеем разложение
*-*>• A5-26>
На траектории Редже //о(?0) = 0, очевидно,
V а/о /о V дЕ /о
т. е.
(dfldE)o _ / dl \ да
(dfldl) ~ \дЕ)~ дЕ'

§ 161 АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 267
Тогда в точках / == // = 0, 1, 2, ... имеем
ь<?)=(©о Iе - *°+«"/(ж)] • A5-27)
Как видно из этого соотношения, нулям функции fi{E) соответ-
соответствуют комплексные значения энергии вида A5.24), причем ве-
величина Я равняется
4S) A5-28)
Для того чтобы состояние было затухающим во времени, про-
производная да/дЕо должна быть положительной.
Таким образом, траектория Редже, проходя через положи-
положительные целые значения / на вещественной оси при отрицатель-
отрицательных значениях энергии, определяет связанные состояния. С рос-
ростом энергии, когда она становится положительной, траектория
Редже выходит в комплексную верхнюю полуплоскость Im / > О
и, проходя вблизи физических значений /, может обеспечивать
появление резонансных состояний.
Метод комплексных полюсов Редже, некоторые применения
которого в нерелятивистской квантовой механике мы только что
продемонстрировали, в настоящее время находит широкое при-
применение в физике высоких энергий. При этом оказывается
возможным не только обобщить классификацию связанных со-
состояний и резонансов по траекториям Редже для систематики
элементарных частиц, но также и сделать весьма существенные
выводы об асимптотическом поведении сечений реакций частиц
при высоких энергиях.
§ 16. АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Напишем уравнение Шредингера при наличии не только ста-
статического электрического поля (скалярный потенциал Ф), но и
статического магнитного поля (вектор-потенциал А).
При этом будем исходить из классического выражения для
энергии
где
— кинетический импульс.
Для того чтобы сделать переход к квантовому уравнению, мы
должны, как обычно, в A6.1) вместо импульса р подставить
оператор

268 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
и подействовать операторным выражением на волновую функ-
функцию ф (см. также B.33)):
Раскроем далее соотношение
(р - ± А)\= (р»—?(рА) —е7(Ар) + -^
где мы в линейном приближении имеем право отбросить члены
второго порядка малости е2А2/с2у а для статического магнитного
поля (div4 = 0) можно положить
Тогда уравнение Шредингера для электрона при наличии не
только электрического, но и магнитного поля принимает форму
-0- <16-4)
а) Эффект Зеемана. В 1896 г. Зееман обнаружил, что спек-
спектральные линии атомов, помещенных в магнитное поле, расщеп-
расщепляются на несколько компонент. Это явление получило название
эффекта Зеемана.
С тех пор эффект Зеемана играет большую роль в исследо-
исследовании строения атома и в особенности его магнитных свойств.
Вместе с экспериментальным обнаружением все новых особен-
особенностей зеемановского расщепления развивалась также и его
теория.
Рассмотрим прежде всего с помощью уравнения A6.4) зее-
мановское расщепление спектральных линий водородоподобного
атома, помещенного в постоянное и однородное магнитное поле,
которое мы направим по оси z.
Полагая в этом случае
__?f° -ж — —
— ~> х— у— > г— > A6.5)
находим
Lz,
У дх) 2mQc
где оператор проекции момента на ось z равен
т п д

i 16] ATOM В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 269
Подставляя последние соотношения в A6.4), запишем урав-
уравнение Шредингера для атома в постоянном магнитном поле
Последнему уравнению удовлетворяет волновая функция вида
где Yf — шаровая функция (см. A0.67)), a Rni(r) —радиальная
составляющая функции водородоподобного атома (см. A2.37)).
В этом нетрудно убедиться, если учесть соотношение Ь2УГ =
= ЙтУТ> с помощью которого A6.6) можно привести к виду
{^( )}_o. A6.8)
где
Уравнение A6.8) точно совпадает по математической форме
с уравнением Шредингера для водородоподобного атома, соб-
собственные функции которого описываются формулой A6.7), а
для определения собственных значений имеем соотношение
Е, = hRZ2
П ft2
Отсюда находим энергию водородоподобного атома, помещенно-
помещенного в магнитном поле,
Из последней формулы видно, что магнитное поле нарушает
центральную симметрию, а вместе с тем снимает вырождение
по магнитному квантовому числу т, свойственное любым цен-
центральным силам.
При переходе электрона из квантового состояния л, т в кван-
квантовое состояние я', т! должна излучаться частота
A6.11)
где ларморова частота
Отсюда видно, что на частоту спектра водородоподобного атома

270 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
должно накладываться зеемановское расщепление спектральных
линий, которое, учитывая правила отбора для магнитного кван-
квантового числа (Дт = 0, ±1), дает триплет (нормальный эффект
Зеемана)
Последний результат совпадает с известным результатом,
полученным по классической теории Лоренца, согласно которой
каждая спектральная линия атома, помещенного в магнитное
поле, расщепляется на три или две линии (по направлению
поля, так как несмещенная компонента, обязанная колебаниям
вдоль оси z, должна отсутствовать).
Заметим, однако, что нормальное зеемановское расщепление
спектральных линий (триплеты и дублеты) встречается сравни-
сравнительно редко, а именно, в следующих случаях: 1) в сильных маг-
магнитных полях (эффект Пашена — Бака); 2) когда суммарный
спин электронов в атоме равняется нулю (например, в параге-
парагелии, у которого на внешней оболочке имеется два электрона с
противоположно направленными спинами).
В противном случае мы имеем более сложное расщепление
(более чем на три линии), получившее название аномального
эффекта Зеемана, который связан со спиновыми свойствами
электронов. При этом так называемое спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие приводит к возникновению мультиплетной структуры
спектра атома, и приложенное магнитное поле расщепляет от-
отдельные компоненты мультиплетов. Это расщепление не нару-
нарушит мультиплетную структуру, если энергия расщепления будет
меньше расстояния между компонентами мультиплета. Для
этого необходимо, чтобы магнитное поле не было слишком силь-
сильным. Теория аномального эффекта Зеемана может быть построе-
построена только на основе уравнения Дирака, что и будет сделано в
§ 20.
В теории, не учитывающей спин электрона, появление допол-
дополнительного члена для энергии при включении магнитного поля
(см. A6.10)) может быть интерпретировано как наличие у атома
орбитального магнитного момента, который и дает дополнитель-
дополнительную энергию
Отсюда для орбитального момента получаем значение
Ц2=-*хот, A6.12)
где элементарный магнитный момент
^ = 1^-9,3. КГ21 эрг-Тс
получил название магнеюна Бора,

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 271
Магнетону Бора должны быть кратны все магнитные момен-
моменты атомов.
Принимая во внимание, что для проекции механического мо-
момента на ось z мы имеем
Lz = ftra,
находим соотношение между моментами (гиромагнитное отно-
отношение)
¦Й-"-5&Г- <16ЛЗ>
известное также и из классических соображений.
б) Спин электрона. Теория Шредингера объясняет наличие
лишь орбитальных механического и магнитного моментов, т. е.
моментов, возникающих благодаря движению заряженного элек-
электрона в атоме. Основными формулами, которые характеризуют
эти свойства, являются формула A6.13) для отношения орби-
орбитального магнитного и орбитального механического моментов и
формула A6.12), указывающая на то, что число возможных
ориентации магнитного момента относительно оси z должно
быть обязательно нечетным, так как число состояний с различ-
различными квантовыми числами га равняется 2/+ 1.
Экспериментальная проверка показала, что выводы теории
Шредингера не укладываются в общую схему опытных данных,
анализ которых привел к открытию спиновых свойств электрона.'
Остановимся кратко на результатах этих экспериментов.
В опытах Эйнштейна — де-Гааза A915 г.) по эксперимен-
экспериментальной проверке гиромагнитного отношения A6.13), которое
мы представим в виде
¦&—«а?г- <16Л4>
значение множителя Ланде g, вопреки теории Шредингера (а
также и классической механике), было найдено равным не еди-
единице, а двум (g = 2).
В опытах Штерна и Герлаха A921 г.) изучалось поведение
пучков атомов в неоднородном магнитном поле.
Исследуя расщепление пучка атомов в s-состоянии, когда
орбитальные (механический и магнитный) моменты атома со-
согласно A6.12) равны нулю (т = 0), Штерн и Герлах нашли,
что атомы в s-состоянии обладают все же магнитным моментом,
причем проекция этого момента на выделенное направление z
принимает два значения:
Ъ = ±1*. A6.15)

272 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
Результаты измерений величины \i показали, что этот маг-
магнитный момент равен магнетону Бора
Чтобы объяснить и согласовать между собой результаты
этих двух классических опытов, Уленбек и Гаудсмит выдвинули
гипотезу, согласно которой электрон наряду с орбитальным мо-
моментом должен обладать еще собственным механическим, а сле-
следовательно, и собственным магнитным моментом. Этот механи-
механический момент получил название спина электрона в связи с по-
попыткой связать его с внутренними вращательными степенями
свободы (классическая модель вращающегося волчка; по-анг-
по-английски to spin — вертеть). Следует сразу же подчеркнуть, что
никакой классической теории спина не существует. Согласно ги-
гипотезе Уленбека и Гаудсмита, собственный механический мо-
момент электрона должен быть равен xl&y так что
Sz=±j, A6.17)
т. е. квантовое число, которое характеризует проекцию спина на
ось z, должно принимать не целые, а полуцелые значения
(ms = ±!/2). Характерное отличие целых (например, орбиталь-
орбитального /, магнитного ш) от полуцелых (спинового ms) квантовых
чисел сводится прежде всего к числу возможных состояний. Це-
Целые числа всегда дают нечетное число состояний (при / = О
существует одно состояние m = 0; при / = 1 — три состояния
m = 0, +1» —1 и т- Д-)- Полуцелые же квантовые числа дают
четное число состояний (например, при 5 = 1/2 мы имеем два
состояния: ms = +72, —72; при s = 3/г — четыре и т. д.).
Предположение о существовании полуцелых квантовых чи-
чисел было введено еще до гипотезы Уленбека и Гаудсмита как
попытка объяснить дублетное расщепление термов одновалент-
одновалентных атомов. Опыты Штерна и Герлаха показали, что возможны
два внутренних состояния электрона в одновалентных атомах,
т. е. доказали, что спин электрона следует характеризовать полу-
полуцелыми квантовыми числами, которые соответствуют двум его
противоположным ориентациям. Поскольку из опытов Эйнштей-
Эйнштейна— де Гааза следовало, что в формуле A6.14) множитель
Ланде g = 2, то принимая во внимание значение для соответ-
соответствующего механического момента A6.17), было установлено,
что проекция собственного магнитного момента на ось z должна
равняться магнетону Бора
^ = ~~S, = ^lh. A6.18)

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 273
После введения спина электрона не только магнитные свойства,
но и мультиплетное расщепление спектральных линий атомов
нашли свое объяснение.
в) Уравнение Паули. Нерелятивистское волновое уравнение,
учитывающее собственный магнитный момент электрона, впер-
впервые бьГло предложено Паули. С этой целью обычный гамильто-
гамильтониан уравнения Шредингера был дополнен членом, который учи-
учитывал еще взаимодействие собственного магнитного момента
электрона с внешним магнитным полем Ж:
Уп = -{\хЖ). A6.19)
Тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид:
{Е - Нш + (М?)} i|) = 0, A6.20)
где гамильтониан уравнения Шредингера
Далее необходимо было найти соответствующие величины
для описания собственного магнитного момента электрона. Как
известно, введение спина связано с введением четвертого кван-
квантового числа, которое должно характеризовать внутренние свой-
свойства электрона. Волновая функция г|) частицы может зависеть
только от трех квантовых чисел, соответствующих квантованию
трех пространственных координат. Для описания спина и вве-
введения четвертого квантового числа Паули вводит вместо одной
волновой функции г|э две волновые функции 4^i и Тг. В этом слу-
случае одна волновая функция будет описывать состояние с одним
направлением спина, а другая — с противоположным; само же
волновое уравнение должно представлять собой систему двух
уравнений.
Как известно, система двух уравнений, например
«„*,+«„*,-<>.
может быть представлена одним уравнением в матричной
записи:
если учитывать при этом закон умножения матриц (с) = (а) (Ь):
элементы матрицы-произведения равны сумме произведений эле-
элементов строк первой матрицы на соответствующие элементы
столбцов второй матрицы, т. е.
H A6.24)

274 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
Паули предложил выбрать волновую функцию ? в виде матри-
^ J, а собственный магнитный мо-
момент электрона положить равным
ji=-^a', A6.25)
где Цэ — магнетон Бора, о' — три двухрядных матрицы Паули
которые будем обозначать буквой о[ (той же буквой без штриха
описываются четырехрядные матрицы Дирака). Матрицы
A6.26) характеризуют проекции вектора спина на оси коорди-
координат.
Используя правила умножения матриц A6.24), легко пока-
показать, что матрицы Паули обладают следующими свойствами.
1) Квадрат каждой матрицы равен единице:
of «of = < = /', A6.27)
где через V обозначена двухрядная единичная матрица @ -}.
2) Различные матрицы антикоммутируют друг с другом,
причем
A6.28)
= •"- а1аз = i
Учитывая значения матриц, нерелятизистское уравнение Пау-
Паули можно представить в виде
Это матричное уравнение эквивалентно системе двух обычных
уравнений:
/ ТТТ \ (iO.OO)
(Е - Нш + ^0^г) ^2 - Цо E»Ж + 13№у) xYi = 0.
В частности, рассмотрим случай движения электрона в маг-
магнитном поле, направленном по оси z {Жх = 2ёу — 0, Жг = 2в).
Учитывая при этом гамильтониан уравнения Шредингера при
наличии магнитного поля A6.8), находим для описания движе-

§ 161 АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 275
ния электрона два уравнения:
[Е + е0Ф -
где энергии \х^06т и ±.^Ж характеризуют соответственно вза-
взаимодействие орбитального и спинового моментов с магнитным
полем Ж В частности, для s-состояний магнитное квантовое
число т равно нулю, и поэтому уравнение Паули принимает вид
т. е. волновая функция ^?\ описывает состояние, в котором соб-
собственный механический момент электрона (т. е. спин) направлен
по оси г, а волновая функция W2 — против оси г. Эти две воз-
возможные ориентации собственного магнитного момента, направ-
направленного антипараллельно механическому, и наблюдались в опы-
опытах Штерна и Герлаха.
В качестве функции Ч?+ Паули предложил выбрать так на-
называемую эрмитово сопряженную волновую функцию, т. е. мат-
матрицу Чг+ = (*1, W2), элементы которой не только комплексно
сопряжены, но и транспонированы, т. е. строки заменены столб-
столбцами. Иначе говоря, если ЧГ есть матрица — столбец, то *F+ бу-
будет матрицей — строкой с комплексно сопряженными элемента-
элементами. Тогда для плотности вероятности будем иметь выражение
A6#33)
в котором учтена возможность двух направлений спина.
Аналогичным образом должны образовываться и другие мат-
матричные элементы.
Например,
(ОД) ( J Л ) ( J ) № #F2, A6.34)
т. е. ^Pi^i и WP2 характеризуют плотности вероятности со-
состояний, в которых электрон имеет ориентацию спина соответ-
соответственно по и против оси г. Зная выражение для собственного
магнитного момента в теории Паули

276 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. I
а также соотношение между собственными магнитным и меха-
механическим моментами, которое следует из экспериментов Эйн-
Эйнштейна — де Гааза
находим, что
A6.35)
т. е. в согласии с другими опытными фактами проекция механи-
механического момента на ось z равна ±Й/2.
Поскольку оператор спина выражается через матрицы Паули,
его составляющие не должны коммутировать между собой, и
для них с помощью равенств A6.28) и A6.35) можно найти пе-
перестановочные соотношения:
SyS2 - SzSy = /AS*, A6.36)
Следует указать, что аналогичные перестановочные соотношения
были установлены для составляющих орбитального момента
(см. A0.75) и A0.76)), которые были операторами, составлен-
составленными из производных.
Заметим также, что в теории Паули абсолютное значение
собственных механического и магнитного моментов вводится по
существу эмпирически.
г) Разделение спиновых и координатных функций. Рассмо-
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле Ж. По-
Покажем, что в этом случае решение уравнения Паули распадается
на произведение координатной и спиновой частей.
Для этого решение ищем в виде
i(r, t)\_
Тогда легко показать, что «координатная» часть волновой функ-
функции ty(r,t) удовлетворяет обычному уравнению Шредингера, не
учитывающему спин
а спиновая часть волновой функции может быть найдена из
уравнения
^()*) (SI!!)- <ш-з9>

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 277
Нормировка спиновой части волновой функции будет
= 1. A6.40)
В случае постоянного во времени магнитного поля в послед-
последних уравнениях легко вычислить еще и временную часть. Для
этого следует положить
A6.42)
Тогда для определения не зависящих от времени частей волно-
волновой функции, а также энергии Es имеем
(E-Es)$ = Hm1p, A6.43)
Далее найдем собственные значения проекции спинового мо-
момента, если ось z направлена по магнитному полю. Тогда ис-
исходное уравнение принимает вид
где
Матричное уравнение A6.45) эквивалентно двум однородным
алгебраическим уравнениям
! A6.47)
Нормированные решения этих уравнений имеют вид
-i) = (?). A6.48>
Первое, очевидно, соответствует случаю, когда спин направлен
по оси 2, второе — случаю, когда спин направлен против оси г.
Согласно A6.44) энергия для обоих состояний соответствен-
соответственно равна
= -~. A6.49)
для Я = 4 и ?*=-Mf Для

'278 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
д) Электрон в магнитном поле. Предположим, что электри-
электрическое поле равняется нулю, т. е. Ф = 0, и имеется постоянное
и однородное магнитное поле Ж. В этом случае уравнение Шре-
дингера для электрона, так же как и в задаче Кеплера, может
быть решено точно. При этом спиновая часть волновой функции
и соответствующий член в энергии определяется формулами
A6.48) и A6.49), полученными в предыдущем п. г).
Рассмотрим уравнение Шредингера A6.3), в котором поло-
положим Ф = 0, и, кроме линейных, учтем также квадратичные чле-
члены по вектор-потенциалу А. Тогда с помощью соотношений
A6.5), в которых для потенциальной энергии следует взять зна-
значение заряда ядра Z = 0, получим следующее уравнение:
-^- <16-50>
Решение этого уравнения, в которое вектор-потенциал А подста-
подставлен в симметричном виде A6.5), необходимо искать в цилин-
цилиндрических координатах г, ф, г. Они связаны с декартовыми ко-
координатами Ху уу z соотношениями
x = rcosqp, # = rsinq>, z = z, A6.51)
так что
г2 = х2 + у2. A6.52)
Принимая во внимание обшие формулы для лапласиана в кри-
криволинейных координатах A0.14), в цилиндрических координатах
с помощью A6.51) уравнение A6.50) запишем в виде
A6.53)
тде у = еъЖ/2%с.
Решение последнего уравнения ищем в виде, явно учитываю-
учитывающем разделение переменных:
A6'54)
где / — азимутальное квантовое число, принимающее значения
/ = 0, ±1, ±2, ..., &з — проекция волнового вектора на ось г.
Тогда для определения радиальной функции R(r) получаем
уравнение
( d2 , 1 d I2 о/ л%2^ , 2m0E U2\ D n /1A K-v
l7r + T7""'7F"Y/""Yr +~2 ^3j/? = 0, A6.55)
которое можно привести к более удобной форме, вводя безраз-
безразмерную переменную р = уг2:
?) = 0' A6.56)

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 279'
где
2/яД^
A6>57>
Будем вначале считать, что орбитальное число /^ 0, тогда
решение уравнения A6.56), учитывая асимптотическое поведе-
поведение радиальной функции
/J — в-р/2 (р^оо)^ #~р//2 (р->0), A6.58)
может быть выражено через функции Лагерра, введенные в § 13
(см. A3.24)). Таким образом, решение A6.56), конечное в нуле
и на бесконечности, будет следующим:
Rns(9) = const /M(p),. A6.59)
где функция Лагерра равна
n-s
"р/2р 2 Q*~5(p)> A6.60>
a Q""~s — полином Лагерра (см. A2.36)).
Решение A6.59) характеризуется радиальным квантовым
числом 5 = 0, 1, 2, ..., задающим степень полинома Qs~s. При
этом для того чтобы остающаяся после выделения асимптотик
A6.58) функция были полиномом, как было показано в § 12,
коэффициенты уравнения A6.56) должны быть связаны с 5 со-
соотношением
т. е. X = l + s+± = n+±-, где /г = /, /+1, / + 2, ...-
главное квантовое число. Подставляя сюда значение к из
A6.57), получим уравнение для энергии
2т0Е — h2k\ 1
V =П+-2- <16'62>
Из последнего равенства находим спектр энергий электрона а
магнитном поле
( i) ^ii A6.63)
где Q = е^Ж/тоС — циклотронная частота, а Шъ — значения
(непрерывные) проекции импульса на ось z вдоль направления
магнитного поля (—оо < &3 < оо).
Первое слагаемое в формуле A6.63)
A6.64)

280 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. Г
представляет собой энергию поперечного движения, которая, в
отличие от энергии свободного продольного движения Й26з/2то,
квантуется. Таким образом, для поперечной энергии в магнит-
магнитном поле мы получаем дискретные уровни (Ландау, 1930 г.),
которые задаются главным квантовым числом п (уровни Лан-
Ландау).
Полное нормированное на единицу решение уравнения Шре-
дингера для электрона в магнитном поле, после объединения
равенств A6.64) и A6.59) и введения нормировочной постоян-
постоянной const = У2у, принимает вид
VI7/B) A6-65)
Отсюда видно, что спектр энергий A6.63) вырожден, так как он
не зависит от радиального квантового числа s, входящего в
волновую функцию A6.65). Это вырождение физически связано
с тем обстоятельством, что в классическом случае в однородном
магнитном поле при заданной энергии Е фиксируется только
радиус орбиты вращения, но не центр орбиты.
Смысл квантовых чисел п и s выясняется при переходе к
классическому пределу. Для этого запишем классическое соот-
соотношение между радиусом и скоростью при движении в магнит-
магнитном поле, предполагая, что продольное движение отсутствует
(* 0)
L_Lato. A6.66)
I\ С
Отсюда находим выражение для энергии
m0v2 _ (ео2ёЯJ
2тос2
сравнивая которое с квантовой формулой A6.64), получим:
A6.67)
Вычислим теперь среднее квадратичное расстояние электро-
электрона от начала координат в состоянии ^pnski:
A6-68)
При получении этого равенства необходимо использовать соот-
соотношение для функции Лагерра 1Пч(х):
х1™ = {n + s) In? — 2 (xl

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 281
и учесть условие ортонормированности A3.38). Результат A6.68)
можно интерпретировать следующим образом. Пусть классиче-
классическое движение происходит по льакроскопической круговой траек-
траектории с радиусом R, центр которой отстоит от начала координат
на расстоянии а и лежит на оси х. Тогда уравнение траектории
электрона будет иметь вид
г2 = R* + а2 + 2aR cos Ф. A6.69)
Среднее квадратичное расстояние в этом классическом случае
будет равно
2л
J Жр (R2 + а2 + 2aR cos qp) dq> = R2 + a2. A6.70)
о
Заметим теперь, что волновая функция tynski описывает состоя-
состояние электрона, симметричное относительно оси 2, проходящей
через начало координат. Поэтому, сравнивая классическое
A6.70) и квантовое A6.68) средние для г2, мы можем заклю-
заключить, что квантовое число 5 связано со среднеквадратичным рас-
расстоянием а между началом координат и центрами круговых
траекторий, расположенных симметрично относительно оси z и
соответствующих классическому движению, т. е.
а .
Заметим, что при / = п — s > 0 начало координат будет лежать
внутри круговой орбиты (R > а), а при 1 = п — s < 0 — вне ее
(R<a).
Состояния с отрицательными / = —1, —2, —3, ... также
можно описать с помощью решения A6.65), если учесть соотно-
соотношение для полиномов Лагерра
Qi(p) = (~l)/P|/IQl-,l/i(p). A6.72)
В этом случае необходимо, чтобы нижний индекс, т. е. степень
полинома Q7+i> был положительным: s + 1 = s — | / | > 0. От-
Отсюда следует, что при / < 0 область изменения квантовых чи-
чисел п и s изменяется по сравнению со случаем />0 и записы-
записывается так:
м = 0, 1, 2, ...; s = UI, |/|+1, |/| + 2, ... A6.73)
При этом уровни энергии Е± по-прежнему определяются фор-
формулой A6.64), т.е. зависят от главного квантового числа п.
Заметим также, что квантовое число / представляет собой
собственное значение оператора проекции канонического момен-
момента L* я= [гр] г, связанного с каноническим импульсом р. При на-

282 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I
личии магнитного поля (векторный потенциал А Ф 0) он отли-
отличается от кинетического момента, связанного с кинетическим
импульсом Р = р + -у-Л. Поэтому независимо от знака / враще-
вращение электрона, как и должно быть в магнитном поле, сохраняет
свое положительное направление.
Рассмотренная в данном пункте задача позволяет объяснить
магнитные свойства металлов. Основной вклад в намагничен-
намагниченность металла должны давать электроны проводимости, которые
согласно современным представлениям являются почти свобод-
свободными. С учетом спина электронам необходимо приписать соб-
собственный магнитный момент, который в магнитном поле может
ориентироваться либо вдоль, либо против его направления (см.
A6.49)). Наиболее выгодным с энергетической точки зрения
представляется ориентация вдоль поля, что приводит к положи-
положительному вкладу в магнитную восприимчивость металла. Таким
образом, восприимчивость, связанная с собственными магнит-
магнитными моментами электронов металла, или парамагнитная вос-
восприимчивость, оказывается положительной (Паули, 1927 г.).
В то же время квантование орбитального движения свобод-
свободных электронов металла в магнитном поле A6.64) приводит к
тому, что возникает суммарный магнитный момент, направлен-
направленный против магнитного поля. Связанная с этим моментом диа-
диамагнитная восприимчивость металла дает, таким образом, отри-
отрицательный вклад в суммарную магнитную восприимчивость
(диамагнетизм «Ландау, 1930 г.). Величина магнитной восприим-
восприимчивости зависит в конечном счете от температуры и напряжен-
напряженности приложенного магнитного поля.
При относительно высоких температурах Т и слабых маг-
магнитных полях 2ё(hQ = heo2e/moc<g:kBT, kB —постоянная Больц-
мана) электронный газ в целом обладает положительной вос-
восприимчивостью, т. е. парамагнетизм превышает по величине диа-
диамагнетизм. С ростом напряженности поля, а именно, в случае
HQ^>,kbT, средний магнитный момент электронного газа носит
осциллирующий характер.
е) Атом водорода в экстремально сильном магнитном поле.
Относительно слабое магнитное поле, приложенное к атому, при-
приводит к расщеплению энергетических уровней атома, т. е. к эф-
эффекту Зеемана, рассмотренному выше. При этом сам атом не
деформируется. Предположим теперь, что атом водорода нахо-
находится в настолько сильном магнитном поле, что движение элек-
электрона в плоскости, перпендикулярной направлению поля, цели-
целиком определяется этим магнитным полем, а не кулоновским
полем ядра, и поэтому в поперечном направлении атом оказы-
оказывается деформированным. В то же время на продольное движе-

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 28$
ние магнитное поле не должно оказывать влияния, и в этом
направлении атом не изменяет своих размеров.
Можно легко оценить величину напряженности магнитного
поля, при которой наступает деформация электронной оболочки
атома. Для этого необходимо сравнить величину боровского ра-
радиуса по == Н2/тое2 с характерным размером области локализа-
локализации электронов в магнитном поле в основном состоянии при
лг ===== 0, s == 0, который получается из формулы A6.67), т.е. с
величиной % = 11л/2у — ^Нс/е0Ж. Если ам < а0, то магнитное
поле оказывает определяющее воздействие. Это условие приво-
приводит к следующей оценке величины экстремально сильного поля:
2 3
Ж > -^г1 = ^кР = 2,35 • 109 Гс, A6.74>
при котором деформируется атом.
Рассмотрим задачу об атоме водорода в сильном магнитном
поле более подробно. Прежде всего запишем уравнение Шредин-
гера для электрона при наличии одновременно магнитного и ку-
лоновского полей. При этом удобно воспользоваться цилиндри-
цилиндрическими координатами г, ф, г. Тогда уравнение будет отличаться
от A6.53) только слагаемым с потенциальной энергией V =•
— — еЦл/г2 + г2 (мы положили заряд ядра Z==l):
= ?*. A6.75)
В последнем уравнении из-за наличия кулоновского слагае-
слагаемого переменные не разделяются. Поэтому точного решения
получить не удается. Однако при условии A6.74) можно найти
приближенное решение уравнения A6.75), если учесть^ что по-
поперечное движение должно определяться только магнитным
полем.
Рассмотрим основное состояние в магнитном поле п = 0 при
5 = 0, / ===== 0, тогда решение можно искать в виде
¦ (г, <р, z) = -i=-/oo(p)x(z), A6.76)
где функция /оо, зависящая от радиальной переменной р = уг2г
согласно A6.29) равна
/оо(р) = е-р/2, A6.77)
а функция х(г), зависящая от г, подлежит определению. Под-
Подставим A6.76) в уравнение A6.75) и, учитывая, что функция

284 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Г
A6.77) удовлетворяет уравнению A6.56) с собственным значе-
значением X = Уг, получим
Умножим это уравнение на е/2/^/2п и возьмем интеграл по
плоскости ху в координатах г и ср. Поскольку интеграл по Ф
равен 2зх, а от г зависит только последнее слагаемое в квадрат-
квадратных скобках в A6.78), то в результате находим
=а- A6-79)
Рассмотрим такие состояния атома, в которых размеры
.атома вдоль оси z определяются кулоновским полем, т. е.
{z2)~al*). По условию имеем яо»а^, что означает (г2) > а2^
или, иначе, у(г2)^>1- Таким образом, в уравнении A6.79)
можно пренебречь величиной р под корнем в подынтегральном
выражении. Это дает нам
— уравнение Шредингера в одномерном кулоновском поле
еЦ\г\. С помощью подстановки % = 2ф(г) оно приводится к
стандартному виду
e2
который имеет уравнение для радиальной функции в задаче
Кеплера A2.4) для состояний с / = 0, Соответствующий спектр
известен. Он описывается формулой A2.18), т.е. в данном слу-
случае
Е-^ ^4", A6.82)
где nz = 1, 2, 3, ... Решения <р(г) также известны и выражают-
выражаются формулой A2.40) при / = 0. Характерной особенностью этих
решений является их экспоненциальное спадание при г > а^
Так, в случае пг = 1 мы получаем
'/а°. A6,83)
*) Заметим, что кроме указанных состояний, возможно еще одно (основ-
(основное) состояние, волновая функция которого отлична от нуля при ||^
Это состояние мы здесь не рассматриваем.

§ 16] АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 285
В то же время волновая функция в поперечном направлении
ведет себя согласно A6.77) как ехр(— р/2) = ехр (— г2/4а^), т. е.
затухает на существенно меньших расстояниях ''~#^<Ся0 от
начала координат. Таким образом, экстремально сильное маг-
магнитное поле деформирует атом в поперечном направлении, бла-
благодаря чему он приобретает своеобразную «игольчатую» форму.
Заметим, что необходимые для этого магнитные поля, напряжен-
напряженность которых определяется условием A6.74), по современным
представлениям, могут существовать на поверхности некоторых
астрофизических объектов. К ним относятся нейтронные звезды
(или пульсары), возникающие в результате коллапса вспыхи-
вспыхивающих сверхновых звезд. Поэтому дальнейшее изучение строе-
строения вещества в условиях экстремально сильных магнитных по-
полей представляет несомненный интерес.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА

§ 17. СКАЛЯРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
а) Классическая релятивистская механика и уравнение Клей-
Клейна — Гордона. Уравнение Шредингера, подробно рассмотренное
нами, применимо для описания движения частиц, скорость кото-
которых v значительно меньше скорости света с. Нерелятивистское
волновое уравнение Шредингера неинвариантно относительно
преобразований специальной теории относительности (преобра-
(преобразований Лоренца), поскольку координаты времени и простран-
пространства входят в него неравноправно: уравнение содержит первую
производную по времени и вторые,производные по координатам,
в то время как специальная теория относительности требует та-
такой записи уравнения, чтобы пространственные и временные
координаты формально входили на одинаковых основаниях.
Для того чтобы получить релятивистское волновое уравне-
уравнение, будем исходить из классического релятивистского соотно-
соотношения между массой и энергией, которое вначале запишем для
свободных частиц:
E = ^c2p2 + m20c4. A7.1)
Далее следовало бы использовать тот же прием, что и при полу-
получении нерелятивистского уравнения, Шредингера, т. е. вместо
энергии и импульса ввести операторы
Я^Е=-4^-, p-»P-yV. A7.2)
Однако неизвестно, как операторы, стоящие под знаком квад-
квадратного корня, должны действовать на волновую функцию. По-
Поэтому при переходе от классического к волновому уравнению
в релятивистском случае мы должны прежде всего избавиться
от квадратного корня. Это можно сделать двояким путем: либо
возвести обе части равенства в квадрат и получить скалярное
Уравнение Клейна — Гордона, либо с помощью матриц извлечь
квадратный корень и получить спинорное уравнение Дирака,
учитывающее наряду с релятивистскими (так же как и уравне-
уравнение Клейна — Гордона) еще и спиновые эффекты.
В настоящем параграфе мы рассмотрим первый способ, раз-
развитый также и Фоком. Возводя обе части равенства A7.1) в
10 At А. Соколов и др.

290 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
квадрат, имеем:
Е2-с2р2-т1с4 = 0. A7.3)
Подставляя сюда значение операторов A7.2), мы найдем
уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы*):
(>Й2У2 - Й2 ^г - ту) ф = 0. A7.4)
При наличии электромагнитного поля вместо A7.2) следует под-
подставить обобщенные операторы **):
,-P-lv-iA °7-5)
r i с
Тогда получаем релятивистское уравнение при наличии поля
[(- т it ~ *фJ -с2 (т v - т АJ - ™И ¦ - °- <17-6>
В отличие от уравнения Шредингера релятивистское волно-
волновое уравнение A7.6), так же как и классическое выражение
A7.1), инвариантно относительно преобразований Лоренца, по-
поскольку время и пространственные координаты входят формаль-
формально в уравнение A7.6) на равных основаниях, и равенство A7.6)
может быть записано в релятивистски инвариантной форме
где
б) Плотность заряда и плотность тока. Выражение для плот-
плотности заряда и тока найдем для случая отсутствия электромаг-
электромагнитных полей (Ф = А = 0).
*) В уравнении A7.4) волновая функция г|э зависит не только от радиус-
вектора г, но и от времени t. Однако читатель легко может сообразить, зави-
зависит ли волновая функция от / (например, в уравнении стоит производная по
времени). Поэтому в дальнейшем зависимость ф от / мы, как правило, будем
указывать только в том случае, когда это не является очевидным.
**) В классическом случае при наличии поля вместо соотношения A7.1)
находим:
Е = дДгР2 -f mjjc4 +еФ или F = ^с2Р2 +
что и эквивалентно введению операторов A7.5).

$ 17J УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА 291
Так же как и в теории Шредингера, в основу вывода поло-
положим уравнение непрерывности
div/ + ^7 = 0, A7.7)
имеющее, как известно, релятивистски инвариантную форму.
Умножая уравнение A7.4) слева на г|)*, а комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженное уравнение (аналогичное A7.4), но с заменой -ф на ф*) —на
ф, и производя вычитание, получаем
*• V4 - *VV - jr (У -щг Ч> - ^Ч>') = 0. A7.8)
Последнее равенство можно преобразовать к виду
div М> grad V -1>' grad ч>} + -i- -^ { ф ± ф - * -|- Ц>*} = 0.
A7.9)
Определяя теперь плотность заряда и плотность тока соответ-
соответственно выражениями
замечаем, что они удовлетворяют уравнению непрерывности
A7.7) и, кроме того, образуют четырехмерный вектор:
где
x4 = ict, jA = icp. A7.13)
Формула для плотности тока A7.11) совпадает с нерелятивисг-
ской формулой B.26). Плотность заряда переходит в нереляти-
нерелятивистское выражение при v <C с (см. B.26)). Действительно, вос-
воспользовавшись заменой /А-^т-—>? (см. A7.4)), с помощью
A7.10) для плотности заряда получаем выражение
которое в нерелятивистском приближении Е « т0с2 переходит в
обычную формулу р = ?i|)*i|). Однако в релятивистской теории
возможно и второе решение с отрицательными значениями Е
(?<0). Тогда для плотности р мы получим знак, противопо-
противоположный е.
Таким образом, релятивистское уравнение в принципе может
описывать частицы не только с отрицательным, но и с положи-
10*

292 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
тельным зарядом (например, заряженные пи-мезоны, к которым
применимо это уравнение).
Понятие же плотности частиц (в отличие от плотности за-
заряда)
в общем случае теряет свой смысл, поскольку это выражение не
является положительно определенной величиной в отличие от со-
соответствующего выражения нерелятивистской теории *)
й> = *4>. A7.16)
в) Релятивистская теория водородоподобного атома (без
учета спина электрона). Эту задачу мы должны решать с по-
помощью волнового уравнения A7.6), в котором следует положить
Ze2
Л = 0, еФ=У = ^. A7.17)
Тогда имеем
+ ^ {(Е - V? - тУ} Ц) - 0. A7.18)
Поскольку потенциальная энергия в последнем уравнении от
времени не зависит, можно перейти к стационарному случаю,
выделив из общей энергии, которую мы считаем положительной
Е + fnoc2 > 0, собственную энергию частицы 2
] A7.19)
Далее, учитывая действие оператора энергии
Еф (г, /) - (Е + т0с2)«(r)exp[- j(E + m0c2) t], A7.20)
приведем уравнение A7.18) к виду
У ] = 0. A7.21)
Так же как и в теории Шредингера, решение последнего
уравнения ищем в форме
¦ = Я(г)УГ(О, Ф). A7.22)
Тогда для радиальной части получим уравнение:
? - А + Ц-- /(' + 1;Га222) R - 0. A7.23)
*) Понятие ро можно ввести лишь условно, например, для случая, когда
имеются частицы только с положительной энергией.

§ 17] УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА 293
4 1
Здесь а = "^г ^|37 яв^яется безразмерной величиной, поЛучив-
шей название постоянной тонкой структуры;
A7.24)
При с2->оо последние выражения точно переходят в соответ-
соответствующие выражения нерелятивистской теории (см. § 12).
Несколько уточненные (путем учета релятивистских эффек-
эффектов) значения для постоянных Л и В не могут каким-либо обра-
образом сказаться на характере решения релятивистского волнового
уравнения по сравнению с решением уравнения Шредингера.
Z2o?
Появление же в уравнении A7.23) дополнительного члена —^-
можно формально рассматривать как введение дополнительной
релятивистской потенциальной энергии притяжения, обратно
пропорциональной квадрату расстояния, которая может при не-
некоторых условиях изменить характер решения, что будет более
подробно проанализировано ниже.
Прежде всего исследуем асимптотическое решение /?о при
г->0.
В этом случае уравнение A7.23) принимает вид
ligfrftL^iff + o-w Rq==0 A725)
Решение последнего уравнения ищем в форме
Ro = Crs.
Тогда для определения s получаем уравнение
s(s + 1) - 1A + 1) + Z2a2 = 0 A7.26)
с решением
5i,2 = - 72 ± V(/ + 72J-Z2a2. A7.27)
В этом случае
/?0 = С1г^ + С2гЧ A7.28)
Если
Za < %
то оба корня s\ и s2 при любых значениях / = 0, 1, 2, ... будут
вещественными величинами и мы можем ограничиться реше-
решением /?о, для которого rR0 не расходится в нуле, т. е. можем по-
положить С2 = 0. Кроме того, при Е < 0 (когда А > 0) в выра-
выражении для волновой функции при г-^оо следует ограничиться
экспоненциально убывающим решением.

294 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Ограничение с обеих сторон убывающими решениями дает
для определения спектра энергии такое же выражение, какое
было получено по теории Шредингера (см. уравнение A2.32),
если в последнем I заменить на s\). Тогда для определения соб-
собственных значений будем иметь уравнение
/_ = пг + 72 + V (* Н~ /2Г — % а • A7.29)
Подставляя сюда вместо постоянных В и Л их релятивистские
значения A7.24), получаем (п = пг + / + 1)
Разлагая последнее выражение в ряд по Z2a2 и оставляя первые
два не обращающиеся в нуль члена, находим спектр энергии
Первый член совпадает с соответствующим выражением нереля-
нерелятивистской теории; второй член, пропорциональный квадрату
постоянной тонкой структуры a « 1/137, дает релятивистские
поправки.
Учет релятивистских поправок для атома водорода (Z= 1)
интересен в том отношении, что он снимает вырождение по /,
благодаря чему уровни с заданным значением п расщепляются
на п близких (ввиду малости а2) подуровней, поскольку орби-
орбитальное квантовое число / может принимать п значений (/ = 0,
1,2,...,/1-1).
Для сравнения с экспериментом можно рассчитать дублетное
расщепление для серии Бальмера (п==2). Для величины этого
расщепления с помощью A7.31) получим
A7.32)
Сравнение результатов с данными эксперимента показывает,
что истинная величина расщепления для серии Бальмера ока-
оказывается примерно в три раза меньшей, чем это следует из фор-
формулы A7.32). Причина этого противоречия заключается в том,
что тонкая структура уровней атома водорода не исчерпывается
релятивистской зависимостью массы от скорости. Как будет
показано ниже, при этом следует учитывать также и спин элек-
электрона, т. е. собственный механический момент. Вначале предпо-
предполагалось, что уравнение Клейна — Гордона пригодно для опи-
описания релятивистского электрона. Однако это — уравнение дви-
движения частицы со спином, равным нулю, в то время как спин
электронов оказался равным Уг. Уравнение Клейна — Гордона,

§ 18] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 295
по-видимому применимо для пи-мезонов — частиц со спином,
равным нулю. Оно, в частности, может описывать движение от-
отрицательных пи-мезонов вокруг ядра. Подобные так называе-
называемые пи-мезоатомы уже получены экспериментально.
Примечание. Наконец, рассмотрим другой случай, когда в уравне-
уравнении A7.27)
Za > i/2. A7.33)
При этом появляется принципиально новое решение.
В самом деле, когда / = 0, оба корня sx и s2 становятся комплексными, и
поэтому асимптотическое решение A7.28) принимает вид
J 1r-*). A7.34)
Л/г
где y я *JZ2<& — lU • Мы не можем ограничить нашу задачу условием Сг —
0 или С\ = 0, так как оба решения имеют одинаковую сингулярность при
0
Поэтому при / = 0 получается непрерывный спектр, что, в частности, де-
делает возможным «падение» частицы на центр.
§ 18. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Как было указано в предыдущем параграфе, в основе по-
построения квантовой релятивистской механики лежит известное
релятивистское соотношение между энергией ?, импульсом р и
массой покоя частиц то (см. A7.1)).
Для того чтобы избавиться от квадратного корня, можно обе
части равенства возвести в квадрат. Этим способом было полу-
получено уравнение Клейна — Гордона, которое описывает движе-
движение бесспиновых частиц. Поэтому оно не применимо к электро-
электронам, спин которых равен !/г (в единицах %).
Другой путь был предложен Дираком в 1928 г. Он сводится
к «линеаризации» соотношения A7.1). Это привело к открытию
релятивистского волнового уравнения для электрона со спи-
спином Х1ъ Следует заметить, что после уравнений классической
электродинамики Максвелла — Лоренца следующий важный
этап развития учения об электроне связан с уравнением Дирака.
Нерелятивистская квантовая механика Шредингера и уравнение
Паули могут быть получены как некоторые приближения урав-
уравнения Дирака.
а) «Линеаризация» оператора энергии. Для «линеаризации»
релятивистского соотношения между энергией и импульсом или
«извлечения» квадратного корня из четырехчлена представим
A7.1) в следующем виде:
A8.1)
где
Pz- A8.2)

296 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
При этом мы имеем:
& = с2 t Р^ = с2 (р2 + т'с2). A8.3)
Чтобы установить, каким условиям должны удовлетворять вели-
величины а,х, возведем обе части соотношения A8.1) в квадрат.
Тогда в случае, если импульсы ри и pw коммутируют друг с
другом.*), найдем
* - °2 Z E ww=4 ZI /w Kv+%>%y A8.4)
Последнее равенство совпадает с A8.3) только в том случае,
когда
т. е. если все четыре величины а^ антикоммутируют друг с дру-
другом:
и квадрат каждой из них равен единице
с?.= 1. A8.7)
Напомним, что аналогичными свойствами обладают также двух-
двухрядные матрицы Паули (см. A6.26))
-«-(?
а именно: все они антикоммутируют между собой (см. A6.28)),
и квадрат каждой из них равен единице (см. A6.27)).
Однако для «извлечения» квадратного корня из четырехчле-
на необходимо иметь четыре соотношения A8.5) (|i=0, 1, 2, 3),
а не три, которым удовлетворяют матрицы Паули.
Чтобы обойти эту трудность Дирак предложил взять сово-
совокупность четырехрядных матриц оп и рПу связанных с двухряд-
двухрядными матрицами при помощи соотношений
°? ,)
О оп/
(«=1,2,3), A8.9)
Рг = {у о')' Р2=(,г о')' P-^lo' -/')• <18Л0>
*) Они коммутируют друг с другом и при переходе к операторам, когда
отсутствует электромагнитное поле. Таким образом, в квантовом случае сна-
сначала необходимо извлечь квадратный корень из оператора для свободной ча-
частицы, а затем обобщить полученное уравнение на случай наличия полей.

18] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 297
где ей —матрицы Паули,
Эти четырехрядные матрицы удовлетворяют тем же соотноше-
соотношениям, что и матрицы Паули:
(00 04
;i:°о • (>••¦»
0 0 0 1/
g{g2 = — а2а1 = ш3 и т.д., A8.13)
Р1Р2 = — Р2Р1 = *Рз и т. д. A8.14)
Последние соотношения мы можем записать в виде
% + °п"п =ЛР»' + РА = 2вяя. A8.15)
К этим равенствам мы должны добавить коммутативность
матриц ап и ря,:
°п9п> = 9п>°п> A8Лб)
что проще всего доказать непосредственным вычислением, ис-
исходя из формул A8.9) и A8.10).
В качестве матриц а^ в равенстве A8.1) Дирак предложил
выбрать следующие:
(п= 1,2,3),
A8.17)
_( Г 0' \
«о — Рз — ^ 0/ _ // ) .
которые согласно A8.15) и {18.16) удовлетворяют условиям
A8.5). В самом деле,
«з«2 = рКог2^ + (Узог2)=0' A8Л8)
+ сцао = O\ (PaPi + P1P3) = О
и т. д.
Расписывая эти матрицы, мы найдем
ai= п 1 п п I» «2 =
0
0
0
1
о
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
—1
1
о
о
0
1
0
0
0
1
у
/
0
-1
0
0
о ' «о = Рз= - • A8Л9)
0
О
О
1
О
О
О
/1
. о
i о
О
/
О
О
О
1
О
О
-1\
о
о
Q/
О
О
1
О
1
у
О
О
О
—1

298 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
б) Уравнение Дирака. Плотность заряда и тока. Переходя
к операторам в линеаризованном с помощью матриц а^ реляти-
релятивистском соотношении между энергией и импульсом A8.1), мы
получаем уравнение Дирака для свободной частицы
0, A8.20)
где операторы Е и р, как и обычно, равны
а гамильтониан Н определяется выражением
Н = с (ар) + ргт0с2. A8.21)
При движении электрона в электромагнитном поле, заданном
векторным и скалярным (А, Ф) потенциалами, мы можем поль-
пользоваться теми же уравнениями A8.20) и A8.21), только в соот-
соответствии с общими правилами волновой механики в качестве
операторов энергии и импульса должны быть взяты их обобщен-
обобщенные значения (см. A7.5)):
F = ih -§f - еФ, Р = - /ftV - у А. A8.22)
Поэтому волновое уравнение Дирака при наличии электро-
электромагнитного поля может быть записано в виде
(F - с (аР) - рзтос2) ф = 0. A8.23)
В соответствии с числом строк и столбцов матриц аи рз вол-
волновая функция "ф должна иметь четыре компоненты, которые мы
объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца:
A8.24)
понимая под сопряженной функцией эрмитово-сопряженную
матрицу, состоящую из одной строки:
V- = (WW- A8-25>
Таким образом, матричное волновое уравнение Дирака 48.23)
эквивалентно системе четырех уравнений:
(F - тс2) ^1 -с(Рх- iPy) г|L - сР^з = 0,
(F - т0с2) ф2 - с (Рх + iPy) г|K + <ЗД4 = 0,
(F + гщс2) г|K - с (Рх - iPy) а|J - сР^ = 0,
(F + тс2) *4 - с (Рх + iPy) ih + сРгЬ = 0-

§ 18] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 299
Комплексно-сопряженное волновое уравнение также может быть
представлено в виде одного матричного уравнения
г|)+ (F - с (аР) - Рггщс2) = О, A8.27)
в котором действие операторов ih-щ- и —tftV на волновую функ-
функцию, стоящую слева от них, следует понимать в несколько не-
необычном смысле
А
A8.28)
Таким образом, уравнения A8.23) и A8.27) могут быть за-
записаны в виде
(/А -?- - e<S>)^ - с (а (- *AV - у А)) ф - Рзтос2я|) = 0, A8.29)
A8.30)
Умножая уравнение A8.29) слева на \|)+, а A8.30) справа на ф
и вычитая второе уравнение из первого, получаем соотношение
H^ + divfa^O, A8.31)
которое можно рассматривать как уравнение непрерывности для
плотности вероятности р и плотности тока /:
|p + div/ = O, A8.32)
где
Из последней формулы видно, что матрицу са можно интер-
интерпретировать как оператор скорости.
Если раскрыть равенства A8.32), найдем:
A8.33)
т. е. ро является матрицей, состоящей из одного элемента, и по-
поэтому представляет собой обычную функцию.

300 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА |Ч. II
Точно так же легко показать, что
0 0 0 1
10 0
A8.34)
Заметим, что здесь в отличие от уравнения Клейна — Гордо-
Гордона плотность ро является положительно определенной величиной.
Однако это не означает, что в теории Дирака ро следует рассма-
рассматривать как плотность числа частиц. Так же как и в теории
Клейна — Гордона, в теории Дирака наряду с электронами
должны существовать частицы противоположного заряда — по-
позитроны (см. ниже § 22).
в) Трансформационные свойства волновой функции при пре-
преобразованиях Лоренца и пространственных вращениях. Согласно
специальной теории относительности физические законы не
должны зависеть от выбора лоренцевой системы координат. По-
Поэтому как уравнение Максвелла, так и уравнение Клейна — Гор-
Гордона и уравнение Дирака должны быть инвариантными относи-
относительно преобразований Лоренца,
Исследуем трансформационные свойства волновой функции
Дирака. С этой целью прежде всего запишем преобразования
Лоренца
г/'=*= с/ch Y ¦— *sh y> x' — xchy — ctshy, y' — y> z' = z> A8.35)
где
sh y =
Этому же преобразованию должен удовлетворять любой че-
четырехмерный вектор и, в частности, плотность заряда и тока:
ср' = ср ch у — lx sh y, fx = jx ch Y — cp sh y, Yy% z = jy> z.
Исходя из определения этих величин, по теории Дирака имеем
•ф/+1|/ = -ф+ (ch y — «1 sh y) i|> = i|>"VYC4,
+ = г|)+ (a{ ch Y — sh y) * = г^а^^ф, A8.36>
Ф2,3Ф Ф2,3*
Здесь мы приняли во внимание, что
g-vai = ch y«i — sh y«i = ch y — «i sh y,
поскольку a^rt=l, aj/l+1s=a1, где n — целое число.

§ 18] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 301
Чтобы удовлетворить последним соотношениям, мы должны
положить
¦' = (ch J - a, sh ?) ф = в~* °Ч,
| _ ai sh |) = +V J * A8<37)
Тогда, принимая во внимание, что
V V V V
сце 2 = e 2 ab a2e 2 = e2 a2, A8.38)
легко показать справедливость соотношения A8.36). Из A8.37)
видно, что волновые функции преобразуются не как вектор (це-
(целые углы v) и не как тензор (двойные углы v), а как полувек-
полувектор, преобразование которого характеризуется углом у. Вели-
Величины, преобразующиеся по закону A8.37), получили название
спиноров или тензоров половинного ранга.
Аналогичным способом* можно показать, что при обычном
пространственном вращении (например, вокруг оси z на угол ср)
спинор преобразуется по закону
Ъ' = е**Ъ <ф'+ = <ф+<Г<аз^ A8.39)
Последние соотношения следуют из преобразований для век-
вектора тока
? /
= iy cos ф — jx sin ф, A8.40)
iy
которые в теории Дирака могут быть представлены в виде
г|/+а1'ф/ = i|)+ (ai cos ф + а2 sin ф) г|),
и т. д. Подставляя сюда значения для г|/ из A8.39) и принимая
во внимание, что
ф
^. + |СГз sin xj = ^cos ^ — ш3 sin fj a, =
-*°Л юЛ юЛ
— е 2аи а6е 2=е 2а3,
приходим к соотношениям A8.40).

302 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
§ 19. ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКОГО ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ
ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
а) Орбитальный, спиновый и полный моменты количества
движения. Исследуем прежде всего законы сохранения момента
количества движения в поле центральных сил:
A9.1)
Как было показано в нерелятивистской теории Шредингера, в
этом случае сохраняется орбитальный момент количества дви-
движения
L = [rp].
Однако в теории Дирака, где учитывается также и спин
электрона, оператор орбитального момента количества движе-
движения не коммутирует с гамильтонианом, т. е. не является интегра-
интегралом движения. В самом деле, представив гамильтониан в виде
Н = са{рх + са2ру + са3р2 + р3пг0с2 + V (г), A9.2)
мы видим, что с составляющей *) Lz = (хру — урх) не коммути-
коммутируют два первых его члена
НЬг — LZH = са{ру (рхх — хрх) — са2рх (руу — уру). A9.3)
Принимая во внимание, что
{рхх — хрх) = (руу — уру) = у,
находим
HL2 - L2H = -у- (а{ру - а2рх) Ф 0. A9.3а)
Для того чтобы найти закон сохранения момента для частиц,
обладающих спином, воспользуемся еще соотношением
На3 — ог3Н = сряр! (а{а$ — (ТзаО + срурх (а2ог3 — ог3ст2) =
= ^гЫх~Щру)- A9.36)
Вводя понятие оператора полного момента количества движения
J = L + S, A9.4)
равного сумме орбитального L и спинового
S = lfta A9.4а)
*) Заметим, что составляющую Lz можно записать в виде L^ = -r-^—9
I С/ф
и поэтому в случае центральных сил она коммутирует с потенциальной энер-
энергией V(r)t

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 303
моментов, мы видим из равенств A9.3а) и A9.36), что только
составляющая полного момента (в данном случае Jz) коммути-
коммутирует с гамильтонианом, т. е. удовлетворяет закону сохранения.
б) Перестановочные соотношения для операторов момента.
Как было показано в § 10, составляющие оператора орбиталь-
орбитального момента не коммутируют между собой и подчиняются пе-
перестановочным соотношениям
LxLy — LyLx = ihL9 A9.5)
И Т. Д. (Х-+У-+2-+Х ...).
Оператор собственного момента (спин) пропорционален мат-
матрицам Дирака
S = ]-fta, A9.6)
поэтому его составляющие также не должны коммутировать ме-
между собой. Поскольку двухрядные матрицы Паули а' и четырех-
четырехрядные матрицы Дирака а подчиняются одним и тем же прави-
правилам коммутации (см. A6.28) и A8.13)), мы найдем для дира-
ковского спина A9.6) такие же перестановочные соотношения,
какие были установлены нами для паулевского спина (см.
A6.36)), т.е.
S^ — SySx = ihS2 A9.6a)
и т. д.
Несмотря на то что компоненты орбитального и спинового
моментов являются операторами и подчиняются совершенно
тождественным перестановочным соотношениям, друг с другом
они коммутируют, поскольку операторы, образующие эти состав-
составляющие, носят совершенно различный и независимый характер
(производные и матрицы).
Учитывая эти замечания для составляющих оператора пол-
полного момента A9.4), легко получить аналогичные с A9.5) и
A9.6а) перестановочные соотношения
J^ - V, = (L, + Sx) (Ly + Sy) - (Ly + Sy) (Lx + Sx) =
Отсюда находим
** x* у « yJ x =z '**« z>
V*-JA = 'VtJ*. A9.7)
Два последних соотношения получены из первого путем цик-.
лической перестановки координат: х—*у, у-*г, г-*-х,
...

304 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Оператор квадрата полного момента
J2 = L2+S2 + 2(LS) A9.8)
содержит три члена.
Первый член
Ь2 = -йЧФ A9.9)
соответствует квадрату оператора орбитального момента. При
действии на шаровую функцию Yf его собственное значение
равно
Ь2Й2/(/+1), A9.9а)
т. е. он описывает состояния, когда орбитальный момент равен /
(в единицах %).
Второй член
S2={fi2(a2 + ^ + a2)={ft2 = 5(s+l)A2 A9.10)
является числом и описывает спин (в единицах К), равный по-
половине (s = у2).
Наконец, третий член
2 (LS) = 2 (L*S* + L^S, + L,S,) A9.10а)
характеризует так называемую спин-орбитальную связь. Сле-
Следует отметить, что составляющие моментов Lz и Sz коммутируют
по отдельности как с оператором A9.9), так и с A9.10), но со
спин-орбитальной связью они по отдельности не коммутируют.
В самом деле, учитывая равенства A9.5) и A9.6а), легко
показать, что
L2 (LS) ~ (LS) L2 = ih (L^S, - L,Sy),
S, (LS) - (LS) Sz = ih (L,S, - LySx). (9Л1)
Отсюда видно, что только составляющая полного момента
должна коммутировать с этим членом
(L2+S2)(LS)-(LS)(L2+S2)==O, A9.12)
а вместе с тем и с квадратом полного момента
J*J2-J2J2 = O. A9.13)
Поэтому в задачах, в которых сохраняется полный момент
количества движения (например, спиновая частица в поле цен-
центральных сил), квадрат полного момента и любая из его со-
составляющих (например, на ось г) могут иметь общие собствен-
собственные функции. Заметим, что две составляющие полного момента
одновременно не могут иметь общей волновой функции, по-
поскольку они не коммутируют между собой (см. A9.7)).

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 305
в) Сложение моментов. Найдем угловую часть волновой
функции, которая удовлетворяет закону сохранения для полного
момента. Поскольку полный момент равняется сумме орбиталь-
орбитального и спинового, подобная задача называется задачей на сло-
сложение моментов.
Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин
описывается двухрядными матрицами а'. В этом случае решение
следует искать в виде двухкомпонентной матрицы
между элементами которой может быть установлена связь, учи-
учитывающая закон сохранения полного момента количества дви-
движения:
, ,
где L= [rp] —оператор орбитального момента, в' — двухком-
понентные матрицы Паули. Решение системы уравнений A9.15)
ищем в виде *)
xpi = CiY?'9 4r2 = C2Y?, A9.16)
где Yf — шаровые функции (см. § 10). Тогда, принимая во вни-
внимание, что
(J) (?) A9.17)
согласно A9.15), A9.12) и A9.13) имеем
или
±[(Lx-iLyL'2 + LzV1] = q4'l,
. A9.18)
•y[(Lx + *L,)?,-L,4y = A
где
3
)-3/4. A9.18а)
Воспользуемся далее соотношениями A0.87) и A0.89)
L,Y? = -th-gjY? = mhY?, A9.19)
(L*±ihy)Y? = -h Va + l±m)(/=Fm)Y?±l. A9.20)
*) При различных значениях /пит' сохраняется лишь квадрат орби-
орбитального момента, но не его проекция на ось г.

306 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Отсюда видно, что мы сможем сократить в левых и правых ча-
частях A9.18) шаровые функции, если положим т' = т— 1.
Тогда найдем следующие соотношения между коэффициентами*
У(/ + 1 - т) (/ + т) Сх + (q + т) С2 = 0.
Из условия равенства нулю определителя системы находим два
значения величины q, соответствующие двум возможным типам
решения:
<? = /, /-/ + j. С»" V'T+m* Сх% A9.22)
Коэффициенты Ci и Сг, определяющие соотношения между ша-
шаровыми функциями, при сложении двух моментов (в данном слу-
случае орбитального и спинового) носят название коэффициентов
Клебша — Гордана.
Воспользовавшись также условием нормировки C2i + d=l,
решение первого типа, когда / = / + у2, / = 0,1, •¦», запишем
в виде **)
A9.24)
В случае же, если / = / — У г, / = 1, 2, ... (второй тип реше-
решения), волновая функция равна
2/ + 1 Yl
2/+ 1
где Y{/m — так называемые шаровые спиноры, условие ортонор-
мнрованности для которых имеет вид
rc = 6//'6//'6wm', A9.26)
где / == / + Уг соответствует случаю, когда спиновый и орби-
орбитальный моменты параллельны, а / = /—Уг — когда они анти-
*) Кроме того, имеется также другое решение с отрицательными значе-
значениями /, которое мы просто отбрасываем.
**) Заметим, что эта связь между шаровыми функциями устанавливает-
устанавливается только при наличии спин-орбитального взаимодействия.

§ !9] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 307
параллельны. Условие A9.26) может быть легко получено, если
учесть, что шаровой спинор К/т+ представляет собой матрицу
с одной строкой, и также принять во внимание условие орто-
нормированности шаровых функций. Шаровые спиноры A9.24)
и A9.25) являются спинорным обобщением обычных шаровых
функций (см. § 10) и представляют собой угловую часть реше-
решения для любых задач, связанных с движением частицы с полу-
полуцелым спином в поле центральных сил.
Подставляя эти решения для функции Ч? в A9.14), находим,
что проекция Jz полного момента количества движения прини-
принимает значения Jz = Am/, причем квантовое число т7- равно
т\ = т — 72- Для решений первого типа (/ = /+ V2), как вид-
видно из A9.24), т может изменяться в пределах от —/ \т\ =
= —/ — !Д = —/) до / + 1 (т/ = / + 72 = /). Точно так же
согласно A9.25) для решений второго типа (/=/—1Д) число m
может изменяться в пределах от —/ + 1 (т/ = —/) до /
(т/ = /)*). Таким образом, наши результаты сводятся к сле-
следующему: квадрат полного момента количества движения имеет
собственные значения
{/=^/2' ^°' A9.26а)
т. е. квантуется подобно орбитальному моменту, но при этом
квантовое число /, называемое внутренним квантовым числом **),
принимает полуцелые значения. Собственные значения проекции
момента на ось z также характеризуются полуцелыми кванто-
квантовыми числами
/г = Йт/, ту = -/,...,+/. A9.27)
Исходя из соотношений A9.8) — A9.10), а также правил
квантования A9.26а), нетрудно получить важные в спектроско-
спектроскопии формулы квантования скалярных произведений
A9.28)
A9.29)
= 1(J2-L2+S2)=|- {/(/ + l)-
*) Эти пределы установлены с учетом того, что шаровая функция Y™
при \tn\> l обращается в нуль.
**) Это название .связано с историей вопроса: число / было введено спек-
спектроскопистами до открытия спина чисто эмпирически. Термин «внутреннее»
отражал неясные на этом этапе какие-то внутренние свойства частиц.

308 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14. II
г) Движение частиц, обладающих спином, в поле централь-
центральных сил. Ротатор. Если мы хотим исследовать движение частицы
в поле центральных сил в нерелятивистском приближении, но с
учетом спиновых эффектов, то вместо шаровых функций Yf,
характеризующих соотношения, в которых сохраняется орби-
орбитальный момент количества движения, мы должны использовать
шаровые спиноры У/т, характеризующие состояния, в которых
сохраняется полный момент количества движения (орбитальный
плюс спиновый).
Поскольку шаровые спиноры в нерелятивистском приближе-
приближении составляются из шаровых функций, имеющих одно и то же
значение квантового числа /, то для радиальной части в этом
случае получим то же самое уравнение, что и для нерелятивист-
нерелятивистской бесспиновой частицы, т. е.
> = 0. A9.30)
Таким образом, волновые функции для электрона в поле цен-
центральных сил имеют вид
iL A9.31)
где шаровой спинор Уш определяется выражениями A9.24)
или A9.25).
В частности, для ротатора мы можем положить r = a = const,
а радиальную часть волновой функции положить равной еди-
единице (# = 1). Тогда спиновые эффекты в данном приближении
не дадут каких-либо дополнительных членов для энергии рота-
ротатора, которая будет определяться выражением, установленным
для бесспиновой частицы, т. е.
р »i (I + 1) /1QQO4
Что касается волновой функции, то она характеризуется ша-
шаровым спинором Y{im\ поэтому мы должны прежде всего для
квантовых чисел /, т/ и / установить правила отбора, которые
должны иметь место не только для задачи о ротаторе, но и для
любой задачи о движении частицы в поле центральных сил, в
том числе и для атома водорода.
Вместо формул (см. § 11), на основе которых были установ-
установлены правила отбора для бесспиновых частиц, теперь имеем
(I'm'j' \q\ Imj) = § №') V(/m dQ9 A9.33)
причем в последней формуле q может принимать три значения:
q = 2 = cos #, q = x±iy=sinfte±i{P A9.34)
(для простоты примем радиус ротатора равным единице: а=1).

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 309
Если вместо шаровых спиноров подставить их значения
A9.24) или A9.25), то для этого матричного элемента получаем
(l'm'j'\q\lmj) =
= D(n) § (У?)* qY?~l du + C(/7) § (Y?T qY? du. A9.35)
Отсюда видно, что оба интеграла в A9.35) будут точно совпа-
совпадать с интегралами A1.14) — A1.16). Поэтому для квантовых
чисел I и т находим, такие же правила отбора, какие были
установлены для ротатора без спина, т. е.
А1 = 1 — V =± 1, Am = 0 (q = 2), Am = ± 1 (q = x ±iy).
A9.36)
Найдем далее правила отбора для квантовых чисел т/ и /.
Поскольку т\ для обоих типов решений связано с т одним и
тем же соотношением: т\ = т—х/% правила отбора для т\ и
т должны быть одинаковыми, т. е.
Дт/ = 0, ±1. A9.37)
Если при определении правил отбора для / рассматривается слу-
случай, когда переходы совершаются между состояниями, характе-
характеризуемыми одинаковыми типами решений (/7 = I' + Y2"*/ =
= / + Ya или / = V — l/2-*j = l — Y2), коэффициенты D</'/> и
С(///), как видно из A9.24) и A9.25), всегда положительны, и
поэтому подобные переходы разрешены. В этом случае возмож-
возможное изменение / должно также совпадать с изменением орби-
орбитального квантового числа /, т. е. А/ = А/ = ±1.
В том же случае, когда переходы совершаются между состоя-
состояниями, характеризуемыми различными типами решений (/' =
= /'+ Y2~~>/= ^ — Y2 или ]'= 1'—Y2""*/= ^ +Y2)» то> Учи*
тывая, что А/=±1, получаем три возможных значения для
Д/ = о, +2, —2. Однако здесь следует учесть то обстоятельство,
что коэффициенты D^'^ и C{J/i) Ихмеют различные знаки. Более
того, оказывается, что при А/ = ±2 оба члена взаимно компен-
компенсируют друг друга, благодаря чему этот переход становится за-
запрещенным. При А/ = 0 эта разность не обращается в нуль, од-
однако благодаря тому, что оба члена входят с разными знаками,
интенсивность излучения становится слабее, чем при переходах
между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами ре-
решений, когда А/ = ±1.
Итак, окончательно правила отбора для квантовых чисел в
поле центральных сил с учетом спина принимают вид
Л/=±1, ЛОТ/ = 0, ±1, (
±1 (нормальная интенсивность),
0 (ослабленная интенсивность).

310 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
д) Уравнение Дирака в нерелятивистском (nayлевеком) и
слаборелятивистском приближениях. Если с помощью уравнения
Дирака мы хотим описать движение электронов со сравнительно
небольшими скоростями (v/c <С 1), то влияние магнитного поля
на движение электрона, связанное с проявлением спина, сказы-
сказывается уже при учете членов порядка v/c (нерелятивистское при-
приближение Паули), в то время как при движении в электриче-
электрическом поле спиновые эффекты проявляются в членах второго по-
порядка, пропорциональных (v/cJ (слаборелятивистское прибли-
приближение) *). Поэтому при сравнительно небольших скоростях мы
запишем уравнение Дирака в приближенной форме, учтя в нем
лишь величины порядка не выше (о/сJ. Как будет показано
ниже, при таком приближении особенно отчетливо вырисовы-
вырисовывается роль как релятивистских, так и спиновых членов.
С этой целью прежде всего представим уравнение Дирака
A8.23) в виде матричного уравнения
Тогда, разбивая его на два матричных уравнения с двухрядны-
двухрядными матрицами (см. A8.17) и A8.11)), мы получаем вместо
одного уравнения с четырехрядными матрицами два уравнения
с двухрядными матрицами:
Заметим, что последнее уравнение является по форме хотя
новой, но точной записью того же уравнения Дирака (см.
A8.26)).
Вообще говоря, в уравнении A9.39) компоненты волновой
функции -фр зависят от времени, т. е. t|>p (г, t). Если же электри-
электрическое и магнитное поля не зависят от времени, то мы можем
перейти к стационарному случаю
¦Р (г, t) = ехр [- \ (Е + ш0с2) t] % (г) A9.40)
и ограничиться только положительными значениями энергии
*) Напомним, что в нерелятивистской электродинамике учитываются чле-
члены первого порядка малости по v/с, поскольку при наличии электрического
и магнитного полей величина с, равная скорости света, выражает отноше-
отношение величин, измеренных в электростатических и магнитных единицах. Реля-
Релятивистская электродинамика начинается с учета членов второго порядка

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 311
Е + т0с2 > 0, выделив из общей энергии собственную энергию
тос2. Это оказывается очень удобным при исследовании движе-
движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад
дают нерелятивистские члены.
Подставляя A9.40) в A9.39) и сокращая все члены уравне-
уравнения на временной множитель ехр—4-(? + я*ос2) / ь мы получим
B/ПоС2 + Е - еФ) ( ¦;) = с (о'Р) ( *|). A9.42)
Из последнего уравнения следует
В отличие от A9.39) в уравнениях A9.41) и A9.43) компоненты
волновой функции не должны зависеть от времени.
Рассмотрим прежде всего переход от уравнения Дирака,
представленного A9.41) и A9.43), к уравнению Паули, в кото-
котором учитываются лишь члены порядка v/c (нерелятивистское
приближение).
Принимая во внимание, что Е — еФ = т°° , мы можем
в данном приближении пренебречь величиной 2~*2 по сравне-
сравнению с единицей.
Тогда из A9.43) найдем
($)-¦??(*)• <19-«>
Отсюда видно, что при положительной энергии компоненты ( *3
являются «малыми» и имеют порядок v/c относительно «боль-
ших>> UJ' поскольку '
Подставляя A9.44) в A9.41), мы исключим «малые» компо-
компоненты, а для определения «больших» получаем
*) Для отрицательных энергий Е-> — \Е\ — т0с2 мы найдем, что, на-
наоборот, компоненты ( Т1 ) будут «малыми», а компоненты ( , ) •— «боль-

«боль312 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Далее, принимая во внимание равенство *)
(оЪ) (а'&) = (aft) + i (</ [ab]), A9.45)
справедливое как в случае матриц Паули, так и в случае мат-
матриц Дирака, имеем
Подставляя сюда значение для
находим
Учитывая, что оператор р действует на все функции, стоящие
справа от него, можем написать:
[рД] ^ = - [Др] ф + ф [РА] = - [Ар] ф + А^
где <Ж = rot A — напряженность магнитного поля. Следова-
Следовательно,
и поэтому
(а'Р) (о'Р) = Р2 — -у- (о7*).
Таким образом, уравнение Дирака при учете членов, пропорцио-
пропорциональных только у/с, переходит в уравнение Паули (см. A6.20))
Появление дополнительного выражения для энергии электрона в
магнитном поле
*) Для того чтобы обосновать это равенство, представим левую часть
A9.45) в виде
(о'а) (<т'б) = (о[ах + о'2ау + or3az) (a{bx + o'2by + a^z).
Учитывая, что о[ = /' и т. д., a^g = — а'2<*'\ = ^з и т- А- (см- A6-27)» 16.28)),
/2
[вая, что о
имеем
! ахЬх + ауЬу + агЬг + 1ог (ахЬу ~ ауЬх) '
откуда и следует A9.45).

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 313
автоматически приводит к существованию магнитного момента
электрона
величина которого в теории Паули постулировалась, исходя из
анализа экспериментальных данных.
Заметим, что, поскольку этот магнитный момент (его назы-
называют кинематическим или дираковским магнитным моментом)
появляется при переходе к нерелятивистскому приближению,
учитывающему только члены первого порядка малости по v/c,
дополнительная энергия 1/магн относительно нерелятивистских
энергий должна иметь порядок v/c.
Принимая во внимание значение механического момента
электрона (см. A9.4а))
как следствие теории Дирака находим соотношение
»=its> <19-48>
которое ранее было введено для объяснения опытов Эйнштей-
Эйнштейна — де Гааза.
Рассмотрим теперь влияние релятивистских и спиновых эф-
эффектов на движение электрона в электрическом (например, ку-
лоновском) поле. Для этого в уравнении Дирака мы должны
удержать наряду с нерелятивистскими членами также члены по-
порядка (v/cJ, отбрасывая при этом вектор-потенциал (А = 0),
т. е. полагая Р = р.
Кроме того, при переходе в указанном приближении от четы-
рехкомпонентных функций к двухкомпонентным мы должны про-
произвести «перенормировку», исходя из соотношения
51 - ста (J;) •
Полагая
получим следующее выражение «малых» компонент через «боль-
«большие» с точностью до величины порядка (v/cJ:
Принимая во внимание, что (<т'р) (а'р) = р2, и удерживая в даль-
дальнейшем только члены, не превышающие второго порядка мало-

314 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. И
сти по (v/cJ с помощью условия «перенормировки» A9.49),
находим
Отсюда получаем
в чем нетрудно убедиться, подставляя это значение N в преды-
предыдущее равенство. Поэтому в данном приближении
i
_
2т0с \ 2т0с2 Sm2c2
Между прочим, заметим, что в приближении Паули (учитываю-
(учитывающем только члены порядка v/c) перенормировочный коэффици-
коэффициент обращается в единицу.
Подставляя последние выражения в уравнение A9.41), нахо-
находим
Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими
соотношениями *) :
(а'р) (Е - еФ) (а'р) = (? - вФ) р2 - the (o'&) (а'р) =
= (Е - еФ) р2 - the (8p) + eh (а' [ffp]) A9.54)
= р2 (? - еф) = (Е - еФ) р2 + Щ^ (Яр) + Й2еУ2Ф, A9.55)
где й? == — S/Ф — вектор напряженности электрического поля, а
операторы V и ?2 действуют только на потенциал Ф.
Из A9.55) следует, что
(Е - еФ) р2 = -^ + 2/fte (ffp) - ft^V2©. A9.56)
*) Эти соотношения носят операторный характер, и поэтому для их дока-
доказательства необходимо оператором р и матрицей о' действовать еще и на
подразумеваемую справа волновую функцию (матрицу).

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 315
Подставляя A9.54) и A9.56) в A9.53), найдем уравнение Ди-
Дирака в рассматриваемом приближении:
где дополнительная к нерелятивистскому уравнению Шрединге-
ра энергия, имеющая порядок (v/cJ, равна
V' = —At ~ -гтт
Левая часть уравнения A9.57) описывает движение частицы в
нерелятивистском приближении в постоянном во времени элек-
электрическом поле. В правой части этого уравнения стоит дополни-
дополнительная энергия взаимодействия, описывающая релятивистские
и спиновые эффекты.
Первый член в правой части последнего равенства
•""—¦4?- A9-59)
дает поправку на релятивистскую скорость частицы. Аналогич-
Аналогичная дополнительная энергия должна появиться также и в реля-
релятивистском уравнении Клейна — Гордона. Классический аналог
этого члена мы получим, если релятивистское выражение для
гамильтониана разложим в ряд, удерживая члены порядка
МI
Следующий член разложения характеризует так называемое
спин-орбитальное взаимодействие
ф A9'60>
которое описывает взаимодействие магнитного момента движу-
движущейся частицы с электрическим полем.
Примечание. Появление этого взаимодействия может быть интерпре-
интерпретировано по классической теории следующим образом: магнитный момент ча-
частицы, движущейся со скоростью v, как пространственная составляющая тен-
тензорной величины приобретает дополнительный электрический момент, являю-
являющийся пространственно-временной составляющей той же тензорной величины
Благодаря появлению \х9л электрон получает дополнительное взаимодей-
взаимодействие с электрическим полем ядра
jg (ог/ [ад )в A9.62>

316 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Это классическое выражение для энергии взаимодействия в два раза больше
соответствующего квантового выражения (см. 19.60)). Заметим, что еще до
появления теории Дирака была сделана попытка объяснить тонкую струк-
структуру с помощью полуклассического введения спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия. Однако, чтобы получить согласие с экспериментом, Л. Томас и совет-
советский теоретик Я. И. Френкель предложили в классическом выражении для
энергии взаимодействия A9.62) поставить коэффициент 72- Этот коэффи-
коэффициент, который совершенно автоматически следует из теории Дирака, полу?
чил название поправки Томаса — Френкеля.
В частности, для кулоновского поля ядра
в —во. A9.63)
Взаимодействие движущегося магнитного момента с ядром со-
согласно A9.60) становится равным:
где S = -у а' — спиновый, a L = [гр] — орбитальный моменты.
Заметим, что спин-орбитальное взаимодействие A9.64) долж-
должно отсутствовать для s-состояния, у которого орбитальный мо-
момент обращается в нуль.
Последний член взаимодействия, который в случае кулонов-
кулоновского поля равен
носит название контактного взаимодействия. Соответствующая
ему дополнительная энергия
ддконтe J .р+уконт^ ^ A9.65а)
пропорциональная | ?(()) |2, отлична от нуля лишь для s-состоя-
ния (/ = 0), поскольку только в этом случае | ?@) |2 ф 0. Для
всех же других состояний (I ф 0) этот квадрат волновой функ-
функции при г = 0 обращается в нуль. В этом смысле контактный
член можно рассматривать как спин-орбитальное взаимодей-
взаимодействие для 5-состояний. Таким образом, два последних члена в
энергии взаимодействия A9.58) характеризуют спиновые свой-
свойства электрона.
е) Уравнение Дирака для нейтрона и протона. Как известно,
уравнение Дирака описывает движение частиц со спином хI*
Оно применимо не только к электрону, но и к протону, и к ней-
нейтрону. При наличии электромагнитного поля следует учитывать
наличие заряда лишь у протона, а также наличие у протона и
нейтрона особого врожденного магнитного момента, который

§ 19] ДИРАКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 317
получил название аномального. Здесь следует напомнить, что
энергия взаимодействия заряженной дираковской частицы с
электромагнитным полем
Уе = еФ-е(аА) A9.66)
благодаря наличию собственного механического момента ( -х-
содержит в себе также в нерелятивистском приближении еще и
дираковский магнитный момент
^- <19-66a)
Однако при переходе к релятивистскому случаю в последнем вы-
выражении вместо массы т0 мы должны подставить ее реляти-
релятивистское значение ~~==, и поэтому с увеличением скорости
движения до ультрарелятивистской (v ~ с) дираковский маг-
магнитный момент обращается в нуль.
Наряду с дираковским магнитным моментом, который прояв-
проявляется только в нерелятивистском приближении и величина ко-
которого определяется зарядом, частица может обладать еще ано-
аномальным магнитным моментом, не исчезающим даже в ультра-
ультрарелятивистском случае и не зависящим от заряда частицы.
Составим теперь выражение для энергии взаимодействия
аномального магнитного момента с электромагнитным полем.
Энергия взаимодействия A9.66) электрона с электромагнитным
полем с точки зрения четырехмерного пространства представ-
представляет собой скаляр. В самом деле, скалярный и векторный потен-
потенциалы образуют четырехмерный вектор
Точно так же единичная матрица / есть четвертая составляю-
составляющая матрицы скорости а* = // *).
Отсюда энергию взаимодействия A9.66) мы можем предста-
представить в четырехмерной записи как скалярную величину
4
Ve = — eY* a»An- A9.666)
Как известно, электромагнитное поле образует антисиммет-
антисимметричный тензор 2-го ранга:
dA d4
где
*) Точнее, закону преобразования четырехмерного вектора будут под-
подчиняться величины /ц == еса|)+айг|) (см. A8.32)), где ай = (аь а2, а3, //).

318 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Отсюда имеем:
*?*=223' йг*=#"' /?=?' A9*68)
Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного мо-
момента |х с электромагнитным полем должна определяться фор-
формулой
Vm = \i Z <W*nv. A9.69)
где a^v — тензор 2-го ранга, составленный из матриц Дирака *).
Воспользовавшись правилом преобразования волновой функ-
функции как при лоренцевых (см. A8.37)), так и при пространствен-
пространственных поворотах (см. A8.39)), можно показать, что матрицей, об-
образующей тензор 2-го ранга, являются величины **)
«23 = Рз<*Ь а31 = РЗ<*2> «12 = РЗ<*3> «41 = — P^li
«42 ^ "~ Ф2^2| «43 = — Ф<*
Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного мо-
момента с электромагнитным полем принимает вид
Vm = Vi [Рз (оЖ) + р2 (off)]. A9.71)
В качестве единицы измерения магнитных моментов протона,
нейтрона и вообще ядер выбирается ядерный магнетон
который равен дираковскому значению магнитного момента про-
протона ([А^ир= Цяд) и связан с наличием у протона заряда (ер=ео)
и собственного механического момента (т.е. спина). Здесь тр
является массой протона, а м-о — магнетоном Бора. Кроме этого
момента, протон, как показывают экспериментальные данные,
обладает еще и аномальным магнитным моментом, равным
который и следует подставлять во взаимодействие A9.71).
В противоположность дираковскому магнитному моменту
аномальный момент не только сохраняет свое значение в нере-
нерелятивистском приближении, но и не исчезает в ультрареляти-
ультрарелятивистском приближении.
*) Точнее, тензором 2-го ранга является величина a|)+aM>v'^.
**) Более подробно см.: Соколов Л. Л. Введение в квантовую электро-
электродинамику.— М.: Физматгиз, 1958, § 19,

§ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 319
Таким образом, в нерелятивистском приближении общий
магнитный момент протона равен
Поскольку электрический заряд нейтрона равен нулю, то ди-
раковский магнитный момент у него должен отсутствовать. Од-
Однако, как показали опыты Блоха — Альвареца, нейтрон обладает
аномальным магнитным моментОхМ, равным
Возникновение аномальных моментов протона и нейтрона свя-
связано с их ядерным взаимодействием с пи-мезонным полем (силь-
(сильное взаимодействие *)).
§ 20. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА
ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
а) Постановка вопроса. Теория движения электрона в куло-
новском поле ядра (водородоподобный атом) по уравнению
Шредингера дает выражение для энергии (см. § 12)
B0.1)
согласующееся с экспериментальными данными. Однако это зна-
значение энергии можно принять только в качестве нулевого при-
приближения. Более детальное изучение спектров атомов показы-
показывает, что спектральные линии обладают тонкой структурой, ко-
которую не может описать теория Шредингера, где не учитывается
релятивистская зависимость массы электрона от скорости и спи-
спиновые эффекты.
Теорию атома водорода с учетом тонкой структуры можно
построить с помощью уравнения Дирака.
Заметим, что проблему Кеплера по теории Дирака можно ре-
решить точно. Однако это решение в математическом отношении
требует весьма громоздких выкладок, более сложных, чем по
теории Шредингера. За этими выкладками не всегда удается
уловить физический смысл полученных результатов. Поэтому мы
используем более элементарный метод решения, основанный на
приближенных формулах предыдущего параграфа. Этот метод
позволяет не только получить с точностью до членов порядка
\~) формулы, характеризующие тонкую структуру, но и дать
*) Заметим, что сильное взаимодействие между протонами и нейтронами
превалирует над электромагнитным лишь на малых ядерных расстояниях по-
порядка 10~13 см. На больших атомных расстояниях (порядка 10~9 и 10~8 см)
короткодействующее сильное взаимодействие обращается практически в нуль.

320 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. И
интерпретацию отдельных членов как результат проявления ре-
релятивистских или спиновых свойств электрона.
б) Учет релятивистских и спиновых эффектов. Как следует
из § 19 (см. A9.24) и A9.25)), волновая функция частицы с
учетом спина имеет вид
^^RmY'/L B0.2)
Здесь У/т —шаровой спинор, причем при / = /-{-!/2 спин па-
параллелен орбитальному моменту, а при / = / — Уг — антипарал-
лелен; Rni — радиальная часть волновой функции.
Хотя решение B0.2) формально относится к нулевому при-
приближению, однако оно может быть использовано для определе-
определения энергетических уровней с учетом членов порядка (— J , ко-
которые содержат спин-орбитальное взаимодействие пропорцио-
пропорциональное (LS) (см. A9.64)).
Это.связано с тем обстоятельством, что с оператором спин-
орбитального взаимодействия коммутирует лишь составляющая
полного момента h (см. A9.11) и A9.12)), а решение B0.2)
как раз и является собственной функцией этого оператора *).
Поэтому решением B0.2) можно пользоваться, когда на атом
не действуют еще какие-то внешние возмущающие силы, по по-
порядку величины превышающие спин-орбитальные. Иначе спин-
орбитальная связь, как говорят, рвется, и соотношение между
шаровыми функциями, входящими в B0.2), должно быть уста-
установлено, исходя из новой постановки задачи.
Шаровые спиноры, так же как и шаровые функции, удовле-
удовлетворяют уравнению
Л = - / (/ + 1) Y\i) B0.3)
поэтому, учитывая равенство A0.21), для определения радиаль-
радиальной функции в равенстве B0.2) находим то же самое уравнение,
которое было установлено в нерелятивистской теории Шредин-
гера:
*) В связи с этим заметим, что решение в нулевом приближении мы мог-
могли бы выбрать также в виде
¦ -ЯЛ B0.2а)
где Y™ — шаровая функция. Однако выражение B0.2а) является собственной
функцией оператора Lz, который не коммутирует с оператором спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия. Поэтому решение B0.2а) оказывается непригодным для
вычисления тонкой структуры, обязанной, в частности, спин-орбитальному
взаимодействию.

§ Щ ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 321
Волновая функция B0.2) полностью определяет правила от-
отбора для всех квантовых чисел: правила отбора для квантовых
чисел /, j и т/ задаются формулой A9.38), а правила отбора
для главного квантового числа п, очевидно, будут такими же,
как и в теории Шредингера (см. A2.68)). Учитывая все это,
приходим к следующим правилам отбора в теории водородопо-
добного атома с учетом спиновых эффектов:
Д/ = ±1, Д; = 0, ±1, Дту = 0, ±1,
Дга — любое целое число.
В данной задаче, зная нулевое приближение волновой функ-
функции B0.2), а также дополнительную энергию взаимодействия,
описывающую релятивистские (см. A9.59)) и спиновые (см.
A9.64) и A9.65)) эффекты, мы можем найти соответствующую
поправку к энергии B0.1) нулевого приближения.
Согласно формуле A9.59) релятивистская поправка к энер-
энергетическим уровням равна
= _ С
J
fa
В рассматриваемом случае
P цг</> =
2"° ^ " ' B0.6)
это дополнительное взаимодействие не зависит от сферических
углов Ф, ф. Поэтому, учитывая, что при интегрировании по телес-
телесному углу
$(ffi)+ul, B0.7)
для дополнительной энергии, характеризующей релятивистские
эффекты, получаем
el I
где a == -^- — "i^ "- постоянная тонкой структуры.
11 А. А. Соколов а др.

322 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
При выводе последней формулы мы воспользовались равен-
равенством A2.40а), согласно которому
/г-1\— Z 1 — 2RHZ
9* *"~"* 9 9»
а0 п2 еУ
/г-2\ =
а0
Формула B0.8) точно совпадает с выражением для допол-
дополнительной релятивистской энергии, которая была вычислена в
том же приближении при помощи релятивистского уравнения
Клейна — Гордона (см. A7.31)).
Аналогичным способом с помощью формулы A9.64) найдем
дополнительную энергию, обязанную спин-орбитальному взаимо-
взаимодействию
^3>- B0>9)
Воспользовавшись далее для (г-3) выражением A2.40а)
/г-з\ = A. V '
а для (SL) — выражениями A9.28) и A9.18а)
-к- q при I ф 0,
(SL)=.
О при / = 0,
получим для энергии B0.9) следующее значение:
В последних формулах
,e/(/+1)_/(/+1)_e(e+1)e(_(/'+i) 21 [2\+Л
B0.11)
а величина
*.-{? Z «-i
Наконец, для энергии, соответствующей контактному взаимо-
взаимодействию, согласно A9.65) получаем
где
f=/Й|@) У(/ГУЯ B0.13)

§ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 323
Принимая далее во внимание выражение для
(см. A2.40)), а также, что \у\%\2 = — при / = 0 и / = 72> на-
находим
т. е.
Отсюда для дополнительной энергии, в которой учтены реляти-
релятивистские эффекты, а также спин-орбитальные и контактные вза-
взаимодействия, находим:
Д?с"°' + Д?конт =
+ V2 4 2/ (/ + У2) (/ + 1)
Подставляя сюда значение ц из B0.11), имеем
Учитывая оба результата B0.1) и B0.16), получаем формулу
тонкой структуры спектра водородоподобного атома
^-1)]. да.,7)
Отсюда видно, что расщепление уровней пропорционально квад-
квадрату постоянной тонкой структуры.
Примечание. Точное решение уравнения Дирака дает следующее об-
обобщение формулы A7.30), учитывающей релятивистские эффекты, на случай
наличия также и спина:
Г72п2 -i—Vi
'+,,. , „ ¦ .>,?. .„. ,._,J -m°cK B0Л7а>
*) Кстати заметим, что формула B0.15) для контактного взаимодействия
может быть получена как предел выражения B0.10) для спин-орбитального
взаимодействия при /~>0, если в последнем отбросить множитель б/о, огра-
ограничивающий его применимость. Поэтому многие авторы получают формулу
тонкой структуры, совпадающую с B0.17) (см. ниже), не вводя предположе-
предположения о существовании контактного взаимодействия. Однако такое совпадение
носит «случайный» характер, поскольку в числителе формулы B0.10) мы
имеем для s-состояний всегда нуль, а в знаменателе нуль — только в нереля-
нерелятивистском приближении. В 'ряде других задач, например, при наличии в ато-
атоме нескольких электронов, выражение для энергии, связанной с контактным
взаимодействием, не может быть получено как частный случай спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия.
11*

324 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч II
Формула B0.17) может быть получена из B0.17а), если последнюю разло-
разложить в ряд по Z2a2 и ограничиться первыми двумя членами. Взяв минималь-
минимальное значение / = Уг, мы найдем, что устойчивое движение в кулоновском
поле точечного ядра согласно теории Дирака простирается до ZKP =137, в
то время как в теории Клейна — Гордона оно было ограничено ZKP = V2-137
(см. A7.33)). Такое увеличение ZKP связано с тем обстоятельством, что спи-
спиновые эффекты несколько компенсируют релятивистские.
Таким образом, устойчивое состояние (включая наинизшее) электрона в
1е\
кулоновском поле V«— ¦ г ¦¦ (т. е. движение с отрицательной энергией
Е < 0) ограничено некоторым максимальным значением потенциальной энер-
энергии (ZKP = 137), что приводит к критической энергии ?Кр = —m0c2.
При Z > ZKP в кулоновской потенциальной яме становится возможным
появление электрон-позитронных пар (парадокс Клейна), и проблема одного
Тела теряет свой смысл.
В связи с этим следует заметить, что мы сможем получить устойчивые
связанные состояния (включая наинизшее состояние) при любых энергиях,
если поместим электроны в постоянное и однородное магнитное поле*).
б) Исследование тонкой структуры по теории Дирака. С уче-
учетом тонкой структуры энергетические уровни атома водорода
оказываются зависящими также от вну-
> ¦ ¦ •'EJD-O треннего квантового числа /. Соответ-
Соответствующие термы равны
2 rid этой формулы видно, что тонкая
У* структура по теории Дирака зависит
лишь от главного квантового числа п и
—— fef/г внутреннего квантового числа /. От орби-
_ ОЛ1 _ тального же квантового числа /, в проти-
Рис 201. Схема энергетиче- -• » ¦& *
ских уровней атома водо- ВОПОЛОЖНОСТЬ беССПИНОВОИ ТеорИИ КлвИ-
роАа- на — Гордона, тонкая структура уровней
не зависит. Из приведенной на рис. 20.1
схемы видно, что все термы являются двукратно расщеплен-
расщепленными, так как каждому значению / соответствуют два значе-
значения /; например, вместо одного терма 2р (/=1) имеем теперь
два терма: 2pXJ2 и 2ръ. Исключение представляют s-термы
(/==0), для которых / может принимать лишь одно значение
(/ = |А)- Таким образом, учет релятивистских и спиновых эф-
эффектов несколько понижает, но не расщепляет s-термы (рис. 20.1).
Заметим, что благодаря расщеплению энергетических уров-
уровней кратность вырождения несколько изменяется. В самом деле,
*) Более подробно см.: Соколов Л. Л., Тернов И. М. Релятивистский
©лектрон, — М.: Наука, 1974.

§ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 325
главное квантовое число может принимать следующие значения:
п = 1, 2, 3, 4, ... Орбитальное квантовое число / изменяется в
пределах от / = 0 (s-состояние) до п— 1. Внутреннее квантовое
число / принимает значения / = / ± х 1г AФ0) и / — 7г ('==0)»
и, наконец, для квантового числа т\ имеем: т/ = —/', ..., +/,
т. е. при заданном / оно принимает 2/ 4- 1 полуцелых значений.
Таким образом, кратность вырождения, характерная для лю-
любого центрального поля, связанная с равноправностью различ-
различных направлений, для частиц спина !/г равняется 2/ + 1 (на-
(напомним, что для бесспиновых частиц она равнялась 2/+1)«
Кроме того, в случае кулоновского поля остается еще специфи-
специфическое вырождение по / (так как энергия от / не зависит). По-
Поскольку при заданном / квантовое число / может принимать два
значения: I = / ± х/2, то полная кратность вырождения в куло-
новском поле равна 2B/+ 1). Исключением является состояние
с максимальным значением j = п — х 1% поскольку I в этом слу-
случае может принимать лишь одно значение: / = / — ]/г (напо-
(напомним, что состояние 1 = п запрещено). Для него кратность вы-
вырождения будет равна 2/+ 1. Заметим, что учет любого нару-
нарушения кулоновского поля точечного заряда (учет конечности
размеров ядра, учет вакуумных поправок) полностью снимает
вырождение по /.
При определении величины расщепления спектральных ли-
линий необходимо учесть правила отбора B0.4). Тогда вместо од-
одной линии серии Лаймана имеем две:
(линия слабой интенсивности, так как Д/ = 0),
. B0.19)
Для линий серии Бальмера находим следующие расщепления:
B0.20)
причем линия B/?1/г) — (я^5/г) должна отсутствовать, так как в
этом случае Д/ = 2 (запрещенный переход).

326 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч П
Заметим, что если вырождение по / не снято, то линии (о<2) и
»C) (а также соB) и <о<4)) совпадают друг с другом, поскольку
начальный и конечный уровни имеют одно и то же значение для
главного п и внутреннего / квантовых чисел. Аналогичным спо-
способом можно определить закон расщепления для других линий.
При этом низшим энергетическим уровнем, претерпевающим
расщепление, является уровень п = 2. В случае атома водорода
{Z = 1) расщепление этого уровня наиболее тщательно изуча-
изучалось экспериментально. Вообще говоря, уровень п = 2 должен
расщепляться на три, причем согласно изложенной здесь теории
два из этих уровней оказываются слившимися:
р*)~Н«+40-4)]-
Для частоты переходов между этими уровнями, согласно теории
Дирака, находим
АшД = BР%) - Bp1/t) = R^r. B0.22)
что составляет 1,095-104 МГц.
В то же время с учетом лишь релятивистских эффектов
(уравнение Клейна — Гордона) соответствующее расщепление
равно (см. A7.32))
*-г = B5) - Bр)- | ^, B0.23)
т. е. почти в три раза больше расщепления, найденного по тео-
теории Дирака. Таким образом, учет спиновых свойств частиц не-
несколько уменьшает влияние релятивистских эффектов.
Эксперимент с большой точностью подтвердил правильность
выводов теории Дирака.
В связи с этим интересно отметить, что тонкая структура
спектра атома водорода теоретически впервые была рассчитана
Зоммерфельдом по полуклассической теории Бора, причем в
основу теории было положено релятивистское выражение для
гамильтониана. Зоммерфельд получил для бесспиновой реляти-
релятивистской теории выражение (см. 20.22):
Дй)зомм = Bs) - Bр) = ~. B0.24)
Однако такое совпадение результатов Зоммерфельда и Дирака
оказалось до некоторой степени случайным, поскольку в теории
Зоммерфельда не были учтены спиновые эффекты, и поэтому он
не мог получить при п = 2 трех уровней, наличие которых затем
было подтверждено экспериментально.

§ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 327
г) Экспериментальная проверка теории тонкой структуры.
Большим достижением теории Дирака является объяснение тон-
тонкой структуры атомных спектров как проявления релятивист-
релятивистских и спиновых эффектов. Однако более тщательный анализ не
дал полного согласия теории и опыта. Предметом специальных
исследований явился вопрос об уровнях 2s1/a и 2р1/г> которые, со-
согласно теории Дирака (см. B0.21)), в атоме водорода должны
точно совпадать друг с другом. Начиная с 1934 г., спектроско-
спектроскописты высказывали некоторые сомнения в правильности такого
теоретического вывода, однако эти исследования с помощью оп-
оптического метода были далеки от совершенства. Полная уверен-
уверенность в правильности экспериментальных данных о сдвиге уров-
уровней появилась значительно позднее, после их промера радио-
радиоспектроскопическим методом.
Радиоспектроскопический метод возник и получил бурное
развитие только в послевоенные годы в результате технического
прогресса в микроволновой радиотехнике*). Радиоспектроско-
Радиоспектроскопия, выделившаяся сейчас в особую область физики, дает цен-
ценные результаты при исследовании ядер, атомов и молекул. Ра-
Радиоспектроскопические методы находят приложение также в фи-
физике твердых и жидких тел и др.
В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд применили радиоспектроскопиче-
радиоспектроскопический метод к исследованию положения уровней 2sl/t и 2р1/г При
этом они воспользовались особым свойством 2&1/2-состояния. Это
состояние является метастабильным, т. е, дипольный переход из
него в нижнее состояние lsl/z запрещен правилами отбора, по-
поскольку в этом случае А/ = 0 **).
Переход из метастабильного состояния возможен или с испу-
испусканием двух фотонов (вероятность такого перехода уменьшает-
уменьшается по сравнению с разрешенным переходом в 108 раз), или с
предварительным переходом на уровни 2/7. Лэмб и Ризерфорд
поставили своей целью исследовать последний способ перехода.
Опишем в общих чертах схему их опыта (рис. 20.2). Пучок
атомов в невозбужденном ls^-состоянии получается в резуль-
результате диссоциации молекулярного водорода при высокой темпе-
*) Под микроволновым сверхвысокочастотным радиоизлучением пони-
понимают область электромагнитного спектра, заключенную между длинами волн
от миллиметра до десятков сантиметров A06—10* МГц). Успех радиоспектро-
радиоспектроскопии в применении к исследованию спектров атомов связан с тем обстоя-
обстоятельством, что расстояния между компонентами уровней, расщепленных бла-
благодаря релятивистским, спиновым и вакуумным эффектам, соответствуют
длинам волн радиочастотного диапазона.
**) Это справедливо для дипольного перехода, однако расчет показы-
показывает, что между состояниями lsya и 2$у2 запрещен также и квадрупольньш
переход.

S28
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
14. И
ратуре (вольфрамовая печь). Бомбардирующий поток злектро-
нов возбуждает далее некоторую часть атомов пучка (примерно
один из ста миллионов) до метастабильного состояния 2sy. Me-
тастабильные атомы, в противоположность невозбужденным, при
попадании на металлическую мишень легко отдают свою энер-
энергию возбуждения, вырывая электроны из металла. Электронный
ток измерялся чувствительным гальванометром.
Если пучок метастабильных атомов подвергнуть воздействию
возмущения, которое вызывает переходы 2s—>2p, то атомы
практически мгновенно вслед за этим переходят в ls-ссстояние,
не успевая достигнуть мишени, в результате чего ток в гальва-
гальванометре уменьшается.
Рис. 20.2. Схема опытов Лэмба — Ризерфорда по экспериментальному обнаружению pa<f-
щепления уровней 2sy2 и 2p\j%, /—вольфрамовая печь, испускающая пучок атомов водо-
водорода; 2—поток электронов, возбуждающих атомы водорода; 3—радиочастотное поле;
4—мишень; 5—гальванометр.
Такие переходы в опыте Лэмба и Ризерфорда индуцирова-
индуцировались радиочастотным излучением (вероятность соответствую-
соответствующего спонтанного перехода исчезающе мала), причем при неко-
некоторой частоте наблюдается сильное гасящее действие, в резуль-
результате которого ток на мишень прекращается. Эта частота ш ис-
истолковывается как резонансная, вызывающая вынужденные пе-
переходы 2$,/2->2р1/2 или 2slfi -> 2pe/j с последующим практически
мгновенным переходом на уровень lsJ//?. Энергия Ясо соответствует
разности энергий между этими состояниями. Таким образом, от-
открывается возможность весьма точного измерения относитель-
относительного положения уровней
2sI/a, 2р1/я и 2р3/2*).
*) В опытах Лэмба и Ризерфорда фиксировалась волна радиочастотного
излучения. Условие резонанса, которое соответствовало разности зееманов-
ских компонент между состояниями 2s%j% и 2р1у»2 или 2/?3/v, подбиралось путем
изменения магнитного поля Ж Затем, экстраполируя результаты на случай
26 = 0, авторы находили сдвиг уровня.

20]
ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА
329
В результате проведенных измерений было установлено, что
уровень 2Sy2 сдвинут вверх относительно уровня 2р,/г примерно
на Vio часть расстояния между уровнями дублета Bр./г) — B%),
а2
равного -jg- R. Расположение уровней водородоподобного ато-
атома при п = 2, полученное на основе опытов Лэмба и Ризерфор-
да, приведено на рис. 20.3. Для сравнения на том же рисунке
те
^3/2
а) б)
Рис. 20.3. Расщепление термов в атоме водорода, а —экспериментальные данные; б—по
теории Дирака (без учета вакуумных эффектов). Частоты соответствующих переходов
указаны в мегагериах.
приведено расположение тех же уровней по теории Дирака. Рас-
Расстояния между уровнями даны в мегагерцах. Согласно новей-
новейшим данным сдвиг уровня 2si/t составляет примерно 1057,86 МГц,
или в длинах волн «28 см.
Это, казалось бы, ничтожное расхождение теории и экспери-
эксперимента привело к замечательному прогрессу в квантовой электро-
электродинамике (более подробно см. § 21).
д) Сверхтонкая структура спектра атома водорода. Сверх-
Сверхтонкая структура спектральных линий связана с взаимодей-
взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным моментом элек-
электрона.
Если ядро атома водорода (Z = 1) обладает магнитным мо-
моментом цр = М^р^р — спиновые матрицы протона), то оно соз-
создает магнитное поле
= rot А.
B0.25)
Это магнитное поле ядра должно действовать на магнитный мо-
момент электрона \х = —цоа' (о^ — спиновые матрицы электрона),
в результате чего между ядром и электроном возникает допол-
дополнительное взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре
VC'T' = - (м#) =
rot rot -^) =.
B0.26)

330 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч 1Г
В первом приближении можно считать, что нет выделенных
направлений, и поэтому, учитывая равенства
(o/V)(<j;V) = l(a/a;)V2 и У2~=-4я6(г), B0.27)
будем иметь
. B0-28)
т. е. в первом приближении взаимодействие магнитных момен-
моментов, так же как и контактное взаимодействие, окажет влияние
лишь на s-состояние. Выражение (a'ffp)> входящее в формулу
B0.28), может быть найдено из следующих простых сообра-
соображений.
Из матриц протона о? и электрона a' можно построить one*
ратор суммарного спина
S = T(a' + ap)> B0-29>
квадрат которого имеет собственные значения /i2S(S + l), т. е.
S2 == \ W2 + о» + 2 (aVp)] -> S (S + 1).
Величина суммарного спина S может равняться либо нулю (спи-
(спины антипараллельны), либо единице (спины параллельны).
Принимая во внимание, что о'2 + о'р =Ъ, находим
(oVp) -> 2S (S + 1) - 3. B0.30)
Поскольку интегрирование при наличии б-функции дает
для сдвига s-уровней атома водорода (сверхтонкая структура)]
получим следующее выражение:
|)-3], B0.31)
AJEs ||io|ipYT
6 п а0
Ь2
где ао = —2* —радиус первой боровской орбиты, а значение
для | ^(О) |2 взято из равенства B0.14).
В последней формуле следует различать два случая:
1) спины протона и электрона антипараллельны (S = 0);
тогда
г8-; B0.32)
п а

\ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 331
2) спины протона и электрона параллельны (S=l); тогда
4т- B0-33)
Разность между этими уровнями характеризует расщепление
s-терма благодаря взаимодействию электрона с магнитным мо-
моментом ядра
Aco^^'-^^J^-iy- B0-34)
А ЗА пъа\
Если подсчитать по последней формуле расщепление s-уровня
для случая м=1, подставив туда значение \хр, найденное из
эксперимента Раби, а вместо \xq — магнетон Бора, то найдем
Д(отеоР= 1417 МГц.
С другой стороны, тщательная экспериментальная проверка рас-
расщепления этого уровня с помощью радиоспектроскопических ме-
методов показала, что
Д<в9КСП = И20 МГц *).
Учет релятивистских поправок или конечности массы ядра не
дает увеличения частоты Асотеор до требуемого Асоэксп. Магнит-
Магнитный момент протона также весьма точно измерен эксперимен-
экспериментально. Поэтому для объяснения этой аномалии осталось лишь
одно, а именно, принять, что магнитный момент электрона не
равен точно магнетону Бора, а несколько больше его. Чтобы
получить согласие с экспериментом, как было показано Кушем
и Фолли, для магнитного момента электрона следует взять зна-
значение
B0.35)
причем согласно последним данным
6 = 0,00116.
Таким образом, электрон наряду с дираковским, т. е. кинема-
кинематическим (—мю), магнитным моментом должен обладать весьма
*) Таким образом, длина волны, соответствующая переходу между двумя
наинизшими состояниями сверхтонкой структуры атомарного водорода, состав-
составляет 21,1 см. Эта длина волны играет важную роль в радиоастрономии при
изучении Вселенной. В частности, с помощью радиоволн длиной 21,1 см уда-
удалось измерить распределение плотности водорода в Галактике и скорость его
движения по допплеровскому изменению частоты излучения. Это позволило в
свою очередь определить скорость вращения Галактики, а также уточнить
структуру Магеллановых облаков — ближайших к нашей Галактике звездных
скоплений.
П<&тому не удивительно, что многие современные радиотелескопы на-
настроены именно на эту волну. На важность этого радиоизлучения впервые об-
обратил внимание советский астрофизик И. С. Шкловский,

332 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (Ч II
малым аномальным магнитным моментом \i™™ — — |хоб. О при-
природе аномальных магнитных моментов мы несколько слов ска-
скажем в § 22.
е) Нормальный и аномальный эффект Зеемана. В § 16 мы
рассмотрели эффект Зеемана по нерелятивистской теории Шре-
дишера, которая может объяснить лишь нормальный эффект
Зеемана, т. е. триплетное расщепление спектральных линий ато-
атомов, помещенных в магнитное поле.
Полная теория эффекта Зеемана как аномального (т. е. муль-
типлетное расщепление спектральных линий), так и нормального
(триплетное расщепление), может быть построена только на
основе теории Дирака, в которой учитываются не только реля-
релятивистские, но и спиновые эффекты. Поскольку аномальный
эффект Зеемана обусловлен спиновыми эффектами, то ни клас-
классическая теория, ни волновая механика Шредингера не могли
его объяснить.
В основу теории достаточно положить уравнение Дирака
A9.57) в слаборелятивистском приближении, в котором учиты-
учитываются спиновые эффекты. Пусть магнитное поле направлено
по оси г, т. е. 26 х = 26 у = О, 26 г = 26. Тогда согласно A6.4)
и поэтому уравнение A9.57) принимает вид
B0.37)
где Vpe\ Vc--°- и укоит определяются соответственно формулами
A9.59), A9.64) и A9.65) и при своем усреднении
* + Vе-'0- + VK0I1T) ( Jj) d3x B0.38)
дают формулу тонкой структуры B0.16), т.е.
При наличии магнитного поля в правой части B0.37) появ-
появляется еще взаимодействие
B0.40)

§ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 33
(в'3 — матрица Паули A6.26)), которое дает для дополнительной
энергии атома следующее значение:
- НЖ \ (Ч^) (- *¦? + oj) ( 5;) Л. B0.41)
Заметим, что в правой части уравнения B0.37) от соотношения
между дополнительными энергиями и зависит появление либо
аномального (случай слабого магнитного поля), либо нормаль-
нормального (случай сильного магнитного поля) эффекта Зеемана.
Допустим, что мы имеем сравнительно слабое магнитное
поле, взаимодействие атомных электронов с которым будет
меньше, чем релятивистское или спин-орбитальное взаимодей-
взаимодействие.
Тогда за нулевое приближение мы дрлжиы взять волновую
функцию B0.2), которая получена при учете спин-орбитальной
связи.
Подставляя эту функцию в B0.41), для дополнительной энер-
энергии получаем выражение
§+ (JL )\idu. B0.42)
В последнем равенстве следует принять во внимание, что ин-
интеграл по г равняется единице
Подставляя же вместо шаровых спиноров их значения из
A9.24), A9.25) и учитывая при этом условие нормировки для
шаровых функций
находим следующее выражение для дополнительной энергии при
1 = / + 'А:
Точно так же при / = / — '/г имеем:
Д?магн = -0J- [(I - т + 1) т + (/ + т) (т - 1)]

?34 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Отсюда, учитывая, что т/ = т — 1/2, оба последних выражения
можно записать в виде одной формулы:
B0.43)
где о = -~ частота ларморовой прецессии, а множитель
Лайде равен
8-irt- B0-44)
Таким образом, в случае аномального эффекта Зеемана в до-
дополнительной энергии появляется множитель Ланде g> который
в случае нормального эффекта Зеемана (см. A6.10)) равняется
единице. Дополнительная энергия B0.43) ведет не к обычному
триплетному расщеплению (нормальный эффект Зеемана), а
дает более сложную картину расщепления (аномальный эффект
Зеемана).
Ввиду того что ш/ может принимать 2/ + 1 различных зна-
значений, каждый уровень при аномальном эффекте Зеемаиа рас-
расщепляется на 2/ + 1 отдельных подуровней, т. е. внешнее маг-
магнитное поле полностью снимает вырождение, имеющее место
даже в релятивистской теории атома водорода.
Для получения картины расщепления необходимо учесть зна-
значения множителя Ланде g = 2 для s^-состояний, g — 2U Для plf-
состояний, g = 4/з Для р3/г-состояний и т. д., а также правила от-
отбора для магнитного квантового числа mj. В частности, при
Дт/ = 0 испускаются компоненты, поляризованные параллельно
оси z (т.е. параллельно магнитному полю), а при А/п/ = ±1
находим компоненты, поляризованные перпендикулярно магнит-
магнитному полю.
Формула B0.43) приводит нас к следующему значению для
частоты излучения:
B0.45)
где соо — частота излучения в отсутствие магнитного поля
(^ = 0), g° и g — множители Ланде начального и конечного
состояний; магнитное квантовое число т/ конечного состояния
может принимать три значения: т( = т°г т^±\.
На рис. 20.4 изображено расщепление спектральных уровней
l2si/2 и 22p1/z в слабом магнитном поле, причем за единицу рас-
расщепления взята ларморова частота. На рис. 20.4, б видно, что в
этом случае мы будем иметь не три (как в случае нормального
эффекта Зеемана), а четыре смещенные линии. Величина сме-
смещения определяется формулой B0.45). В случае слабого поля
согласно B0.44) находим

§20]
Отсюда
ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА
A(D3 =
335
B0.46)
Формула B0.44) для множителя «Панде применима для атома
водорода, а также для атомов,' обладающих одним валентным
электроном. В общем случае множитель Ланде принимает зна-
значение
g - 1 +
2/G+1) ' ^ЛП
где L, S, J — общие орбитальный, спиновый и полный моменты
атомов, причем
/ = |L-S|, IL-S+H ..., L + S-h L + S.
В частности, для элементов первой группы (/ = /, L = /, 5=1/2)
2/?-
/77=-/
/77=/
--777-^7
— 777=*-/
Рис 20.4. Эффект Зеемана: а —расположение уровней без поля; б—аномальный эффект
Зеемана: е—нормальный эффект Зеемана.
формулы B0.47) и B0.44) тождественно совпадают друг с дру-
другом. Для 5-состояний (/ = 0, / = 5 = 7г) множитель Ланде до-
достигает максимального значения
, = 2.
B0.48)
Для атомов с двумя электронами на внешней оболочке (на-
(например, атомов гелия) наряду с триплетным состоянием S = 1
возможны также одиночные линии E = 0, / = L). Для послед-
последних спиновые эффекты должны отсутствовать. Поэтому мы
должны при любых полях наблюдать нормальный эффект Зее-
Зеемана.

336 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч II
ж) Случай сильных магнитных полей. Эффект Пашена —•
Бака. Как было указано, аномальный эффект Зеемана появляет-
появляется в случае слабых полей, когда внешнее магнитное поле не мо-
^ет нарушить спин-орбитальную связь.
Математически это означает, что Д?магн ~ \ло2ё (см. B0.43))
будет много меньше естественного расщепления линий
А? ~ | Епц — Entr I
определяемого формулой B0.39), т. е.
Д?с'-°- > А?магн. B0.49)
В последнем случае сначала мы должны решить задачу с уче-
учетом спин-орбитального взаимодействия и установить связь ме-
между шаровыми функциями, образующими шаровой спинор, а за-
затем найти дополнительную энергию, которая приводит к ано-
аномальному эффекту Зеемана, поскольку множитель Ланде g не
равен единице.
В случае сильных полей, когда, наоборот, расщепление за
счет внешнего магнитного поля больше, чем за счет спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия
д^магн > Д?с.ч^ B0.49а)
магнитное поле «разрывает» спин-орбитальную связь, и решение
для нулевого приближения через шаровые спиноры (см. A9.24)
и A9.25)) не должно иметь места.
Тогда в B0.37) мы можем пренебречь взаимодействием Крел,
ус-о. и уконт^ и ПОэтому это уравнение с учетом B0.40) прини-
принимает вид
Поскольку в этом уравнении спиновые и координатные перемен-
переменные разделяются, то решение его можно искать в виде (см.
A6.37)):
()(g) <2(Ш>
где координатная часть волновой функции
является решением уравнения Шредингера для атома
водорода и описывает невозмущениое состояние атома с энер-
энергией
? *?? B0.52)

§ 20] ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА 337
и определенными значениями орбитального момента L2 =
— fi2l(l + 1) и его проекции на ось г, равной Нгп\^-
Для того чтобы волновая функция W удовлетворяла уравне-
уравнению B0.50), ее спиновая часть должна быть собственной функ-
функцией оператора проекции спина Sz на направление магнитного
поля.
Согласно A6.47) соответствующие спиновые функции пред-
представляются следующими столбцами C(ms):
J = 7» и С(-72)=(?)> mf=-V2. <20-53>
Решение С(]/2) соответствует ориентации спина вдоль маг-
магнитного поля (ms = l/2)y а С(—V2)— против поля (ms = —1/2).
Таким образом, полная волновая функция для уравнения
B0.50) должна иметь вид
(?) V7l'2C (mj, B0.54)
при этом уровни энергии атома в магнитном поле будут опре-
определяться выражением
У% »ъ2ё (mlf 2 + 2mf), B0.55)
где магнитное квантовое число т\% 2 = —/, —/ + 1, ..., / — 1, ^
а спиновое квантовое число ms = ±V2«
Как видно из равенства B0.55), магнитное взаимодействие
приводит к расщеплению уровня ?« на две системы подуровней,
отвечающих значениям ms = —xj% т. е. Д?магн = ух0в(т\ — 1),
и ms — 7г, т. е. Д?магн = \io3@(m2 +1). Вводя вместо комбина-
комбинации т\у 2 + 2ms одно квантовое число т, запишем энергию в
виде
*?? , B0.56)
где m = mi, 2 + 2ms.
Заметим, ito квантовое число /п может принимать 2/ + 3
значения: —(/+ 1)^ m ^ 1+ 1, т.е. каждый уровень ?« рас-
расщепляется на 21 + 3 подуровня (эффект Пашена — Бака). На
рис. 20.4, б изображено расщепление 2/?-уровня атома водорода.
Состояние 2/7 с т = 0 оказывается двукратно вырожденным, и
волновая функция определяется суперпозицией
( J ) + C2R2lY\ ( J ) B0.57)
при условии, что C2[ + Cl =1.
Заметим, что состояние Is с т = 0 оказывается запрещен-
запрещенным.

338 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Рассмотрим теперь переходы между уровнями атома, связан-
связанные с излучением. С достаточно хорошим приближением можно
Считать, что при таких переходах спиновое квантовое число не
меняется, т. е. Ams = 0. Действительно, для его изменения не-
необходимо, чтобы с полем излучения взаимодействовал спиновый
магнитный момент электрона, пропорциональный матрицам
Паули и равный по величине магнетону Бора, а это взаимодей-
взаимодействие очень мало по сравнению с обычным дипольным взаимо-
взаимодействием. Для магнитного квантового числа имеют место из-
известные правила отбора Ami, 2 = 0, ±1.
Как следует из B0.56), переходы между уровнями при излу-
излучении с учетом указанных правил отбора дают обычное триплет-
ное расщепление частот
Дсо = оДт; Ат = 0, ±1, B0.58)
где
о = ytfg/h = еоШтоС. B0.59)
Таким образом, в сильных полях (см. B0.49а)) аномальный эф-
эффект Зеемана переходит в нормальный, т. е. вместо четырех ком-
компонент расщепления мы получаем три. При этом, как видно из
рис. 20.4, в, с учетом еще правила отбора Am = 0, ±1 триплет -
ное расщепление, так же как и в теории Шредингера (см. § 16),
определяется соотношением
А»! = А@2 = 01 ~ С00 = 0, Д<03 = А©4 = Ю3 — СОо = О,
Дсо5 = A<jN = cd5 — ш0 = ~~ о-
Формально нормальный эффект Зеемана можно получить и из
рис. 20.4,6, т.е. из аномального эффекта, если положить g=l.
В особых случаях, когда для одного энергетического уровня
Д?с-о. < д?магН) а для ДруГОГо, наоборот, Д?<\ °- > Д?магн или
когда для обоих уровней А?с-"°- и Д?магн имеют одинаковый по-
порядок, зеемановское расщепление становится еще более слож-
сложным. Поскольку эти вопросы имеют узкоспециальный характер,
мы не будем здесь на них останавливаться.
§ 21. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ УРОВНЕЙ
а) Электромагнитный вакуум. При движении электрона в
атоме он взаимодействует не только с атомным ядром, но также
и с нулевыми колебаниями свободного электромагнитного поля,
т. е. с электромагнитным вакуумом. Действительно, как было
показано в § 9, даже в отсутствие реальных фотонов, т. е. при
#к,л —0, флуктуации электромагнитного поля отличны от нуля
(см. (9.53)). Взаимодействие с вакуумом приводит к тому, что
электрон в атоме начинает «дрожать» на своей орбите. В ре-
результате он как бы размазывается в пространстве, и вследствие

§ 21J ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ УРОВНЕЙ 339
этого меняется его взаимодействие с ядром. Притяжение к ядру
ослабевает, и уровни энергии стационарных состояний повы-
повышаются.
Теория сдвига атомных уровней за счет взаимодействия с
электромагнитным вакуумом основывается на вторичном кван-
квантовании электромагнитного поля. Поскольку соответствующий
расчет довольно сложен, то мы приведем здесь полуклассиче-
полуклассическую нерелятивистскую теорию движения электрона под влия-
влиянием нулевых флуктуации вакуума, предложенную Вельтоном.
б) Метод Вельтона. В грубом приближении учтем взаимо-
взаимодействие вакуумного поля с электроном с помощью обычного
классического уравнения
тфг = е&в&к -г ~ [дг<Жвак]« е&ъ&К9 B1.1)
где 6г — отклонение электрона от равновесной орбиты в атоме,
а <?Вак— вакуумное поле. Заметим, что в нерелятивистском при-
приближении мы отбросили в правой части этого уравнения член
с магнитным полем Ж$ак, пропорциональный (| 6г |/с)<С 1.
Разложим напряженность вакуумного поля в ряд Фурье
#вак = Е &п cos (pj - kr) « Е **х cos %к*> B1 -2)
ft, Л л, Л
где tokX = kc, а зависимостью от координат можно пренебречь,
поскольку ftr<l (в справедливости этого- предположения мы в
дальнейшем убедимся).
Каждой гармонике k соответствуют две различные поляриза-
поляризации: А,= 1, 2.
Подставляя B1.2) в уравнение B1.1) и интегрируя, находим
смещение координаты электрона под действием вакуумного поля
Средний квадрат смещения будет равен
поскольку
COS Ш COS (d't = -5" &(№>',
при этом 8г = 0, так как cos со? = 0.
Вспомним, что согласно (9.53) энергия нулевых колебаний
равна

340 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Подставим сюда разложение B1.2), сохранив зависимость от г,
и учтем, что
Тогда после интегрирования по объему в равенстве B1.5) полу-
получим
^Ет*»^ BК6)
т. е. квадрат фурье-компоненты вакуумного поля равен
«•**—&*«*. <21-7>
Это выражение можно теперь использовать для вычисления сред-
среднего квадрата смещения B1.4):
В последнем равенстве заменим сумму на интеграл по частотам
<ukK — kc с помощью соотношения
где учтено, что частоты ю не зависят от поляризации А, = 1, 2,
и в силу сферической симметрии интегрирование по телесному
углу Q дает 4я.
Таким образом, для (бгJ получаем следующий, вообще го-
говоря, расходящийся интеграл
В последнем интеграле можно выделить сходящуюся (наблюдае-
(наблюдаемую) часть, если учесть, что по предположению движение элек-
электрона должно быть нерелятивистским. Это значит, что импульс,
приобретаемый электроном при дрожании за счет взаимодей-
взаимодействия с вакуумом, не должен превосходить тос, т. е. fik < moc,
откуда следует верхний предел интеграла
^-. B1.11)
Нижний предел соМИн получается из условия, чтобы частота дро-
дрожания со была не меньше частоты, соответствующей энергии

§ 211 ЛЭМВОВСКИЯ СДВИГ УРОВНЕЙ 341
связи электрона в атоме:
где Z — заряд ядра.
Подставляя пределы B1.11) и B1.12) в интеграл B1.10),
находим
где a — el/hc= 1/137 — постоянная тонкой структуры*).
Как видно из последнего выражения, вакуумные колебания
приводят к некоторой эффективной размазанности точечного
электрона, причем размеры соответствующей области, по котэ-
рой «размазан» электрон, определяются средним геометриче-
геометрическим между классическим радиусом электрона /*кл = е2/тос2 и
комптоновской длиной волны X = ' '
B1.14)
При этом величина kr, которой мы пренебрегли в равенстве
B1.2), имеет порядок (тос/Н) гвак ~ У а <С 1.
Вследствие этой размазанности электрона его взаимодей-
взаимодействие с ядром вместо обычного выражения
F= — ??0Ф(г) (ео= — е>О) B1.15)
примет теперь вид
г \ -1
B1.16)
Усредним это выражение по дрожанию электрона с учетом
соотношений
Тогда
= -J- Erp Vя, B1.17)
следовательно, дополнительная энергия взаимодействия электро-
электрона с ядром за счет вакуумных колебаний равна
B1.18)
*) Заметим, что более аккуратно пределы изменения частот й>МИн и соМакс
могут быть определены в теории регуляризации. Однако, поскольку величина
смещения B1.13) логарифмически зависит от и)МИн и соМакс» то неточность в
их определении в нашем приближенном расчете несущественна.

342 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
При получении последнего равенства учтено, что потенциал ку-
лоновского поля ядра атома водорода удовлетворяет уравнению
Пуассона
V2U 4Z6() B1.19)
Для того чтобы найти окончательное выражение для сдвига
уровней в атоме водорода, необходимо усреднить величину бУвак
по соответствующему состоянию атома ty(r). Тогда формула для
сдвига уровней примет вид
«*« = $ V М в^мж* И Л - 4 Zela (JL-J1 * @) р In
B1.20)
т. е. этот сдвиг, который получил название лэмбовского смеще*
ния, определяется значением волновой функции в начале коор-
координат. Поэтому он имеет место только для s состояний, а для
других состояний (/=1, 2, ...) величина 1^@) |2 в рассматри-
рассматриваемом приближении обращается в нуль. Но для s-состояния
(см. A2.40))
<2121)
где а0 = h2ltnQel ~~ боровский радиус, а п — главное квантовое
число. Если теперь подставить это значение в B1.20), то для
сдвига s-уровней получим формулу
#|5 B1.22)
впервые установленную Г. Бете A947 г.). В этой формуле
R == mQey2hs — постоянная Ридберга.
Как видно, лэмбовское смещение уровней водородоподобного
атома по отношению к энергии невозмущенных уровней имеет
порядок
По отношению к расщеплению уровней АБЯ/, соответствующему
тонкой структуре B0.16) и имеющему порядок RfiZ4a2, лэмбов-
ский сдвиг оказывается в а раз меньшим.
Рассмотрим состояния 2s,A и 2р1/г в атоме водорода (Z= 1).
Даже с учетом тонкой структуры они обладают одинаковой
энергией, так как соответствуют одинаковым значениям кванто-
квантового числа / = Уг- Вакуумное взаимодействие приводит к лэм-
бовскому сдвигу уровня 2s1/a, так что уровень 2s1/a будет лежать
выше уровня 2р1/г. Такое положение этих уровней и было экспе-
экспериментально обнаружено в опытах Лэмба и Ризерфорда
A947 г.) (см. §20).

§ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 343
Численная оценка результата B1.22) для 25-состояния
(л = 2):
б?вак= 17,8Я= 1040 МГц B1.24)
показывает сравнительно хорошее согласие с последними экспе-
экспериментальными данными для лэмбовского сдвига уровней
(8?= 1057,86 МГц).
Заметим, что полное исследование сдвига уровней атомных
электронов, проведенное на базе релятивистской квантовой тео-
теории поля, дает значительно лучшее количественное совпадение
результатов теории и эксперимента, чем по полуклассической
формуле B1.22). Расхождение составляет менее 10-3 МГц.
§ 22. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
В настоящем параграфе мы хотим более подробно исследо-
исследовать полное решение уравнения Дирака, учитывая состояния не
только с положительной, но и с отрицательной энергией. В связи
с этим заметим, что анализ решений с отрицательной энергией
привел к предсказанию существования позитрона, т. е. к откры-
открытию нового фундаментального свойства элементарных частиц, а
именно к существованию античастиц и возможности превраще-
превращения одних элементарных частиц в другие.
а) Решение уравнения Дирака для свободной частицы с уче-
учетом положительных и отрицательных энергий. Исследуем прежде
всего уравнение Дирака для свободной частицы, которое имеет
вид
где гамильтониан определяется выражением
^ B2.2)
Свободное движение можно рассматривать как частный слу-
случай движения под действием центральных сил, и поэтому дол-
должен соблюдаться закон сохранения полного момента (см. A9.4))
J = [rpj + 1 По = const. B2.3)
На языке квантовой механики это означает, что полный мо-
момент количества движения должен коммутировать с гамильто-
гамильтонианом.
Мы можем избавиться от орбитального момента [гр], если
возьмем проекцию полного момента на направление импульса,
поскольку проекция орбитального момента на направление

344 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч II
импульса обращается в нуль:
(Р кр]) = рх (Ург ~ гру) + Ру (*Рх — хрг) + рг (хру — урх) = 0.
Для дальнейших расчетов нам более удобно ввести оператор
проекции момента количества движения на направление им-
импульса (в единицах 'ДА)
о = о (JP) = (aV> = (qV) B2 4)
Лр <№ ik '
где импульс р = hky а собственное значение оператора V2 рав-
равно —k2.
Этот оператор, очевидно, должен коммутировать с гамильто-
гамильтонианом B2.2), в чем нетрудно убедиться с помощью непосред-
непосредственной проверки HS — SH = 0.
Частное решение уравнения Дирака мы будем искать в виде
ф (ft) = -L te-<«w+**rf B2.5)
где
М B2.6)
— четырехрядная матрица, L3 — объем основного параллелепи-
параллелепипеда, а составляющие волнового вектора k(k\, #2, &з) связаны с
целыми числами п\, п2, п3 = 0, ±1, ±2, ±3, ... соотношениями
k\ = -j-n\ и т. д. (см. § 4, решение уравнения Шредингера в
случае свободного движения). Энергия Е связана с величиной
где k = Vk\ + ^2 + k\ и Ло = -^р» соотношением
E = cheK, B2.7)
причем параметр е остается пока что неопределенным.
Учитывая коммутацию оператора S с гамильтонианом B2.2),
мы можем волновую функцию подчинить дополнительному усло-
условию:
-^ ¦(*) = *¦(*), B2.8)
где величина 5 представляет собой собственное значение опера-
оператора B2.4).
Подставляя волновую функцию B2.5) в уравнения B2.8) и
B2.1), мы найдем для определения матрицы Ъ следующие два
уравнения:
(ks-(ok))b = 0, B2.9)
- spfi - р3?о) b = 0. B2.10)

$ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 345
Учитывая значения для матриц оп и рп A8.9) и A8.10), а
также равенство B2.6), мы запишем два последних матричных
уравнения в виде системы уравнений:
(Sk + h) Ь2, 4 = k{2bU з,
где
Последним уравнениям мы сможем удовлетворить, если
положим
Тогда для определения Л112 и В\у2 получаем:
(«А - А») В, - «А.
Из равенств B2.13) легко найти собственные значения для s:
5 = ±1, B2.14)
а из B2.13а) значения для е:
е = ±1, B2.14а)
т. е. параметр е определяет знак энергии.
Учитывая далее условие нормировки
b b = &i&i -}- 6262 + blbz + blbi —
= V4 (Л!Л! + AIA2) (BIB, + B^B2) = 1, B2.15)
найдем:
= se-1/.«ф Vl +5cos'&, B2.16)
= в'/г/Ф yi — s cos ft,

346
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
[Ч. И
где О и ф являются сферическими углами волнового вектора k
(kl2 = k sin fte1*, h = k cos d).
Для анализа полученных решений, не нарушая общности,
мы направим импульс по оси z (О = 0, ср = 0, kx = ky = 0,
kz = k).
Этому импульсу соответствуют четыре решения, отличаю-
отличающиеся друг от друга знаком или энергии (е = ±1), или спина
(s = ±1), которые дают следующие значения для матриц Ь\
b(k, s=l, е = ± 1) =
V2-
b(k, s = -l, е=±1) =
Л/2"
k0
к
_
К
к
B2.17)
Решение с s = 1 описывает случай, когда спин направлен по
импульсу, а с s = —1—против импульса. Знак величины 8
определяет знак энергии. Нетрудно показать, что эти матрицы
удовлетворяют условию ортонормированности
6+(й, S'9 B')b{k, S, 8) = б^бе8'.
б) Исследование спиновых свойств свободного электрона.
Исследуем прежде всего спиновые свойства частиц, органичи-
ваясь лишь состояниями с положительными энергиями (е = 1).
Тогда волновая функция (для случая, когда импульс направлен
по оси z) принимает вид
е=1) =
-V-*
. B2.18)
Оказывается, можно ввести такое понятие спина, когда не
только его составляющая вдоль импульса, но и вообще любая
составляющая спина (без орбитального момента) остается ин-
интегралом движения. Этот сохраняющийся в случае свободного

§ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЬНИЯ ДИРАКА 347
движения спин равен (в единицах 1 Д/г) *)
oO = .*^l + p3^-*W. B2.19)
Сохранение спина, определяемого равенством B2.19), следует
из того обстоятельства, что любая его составляющая коммути-
коммутирует с гамильтонианом B2.2).
Если импульс направлен по оси г, то составляющая опера-
оператора а0 по импульсу о^и составляющие, направленные перпенди-
перпендикулярно к импульсу, б°х и cfl, соответственно равны
Обозначая собственные значения этого оператора через s°,
находим:
для продольной составляющей
si = J г|)+а3гИ3л; = C\d — CliC-i;
для поперечных составляющих
Если мы выберем волновую функцию как сумму состояний,
обладающих различной энергией (в том числе и отрицательной),
то при вычислении средних значений временные члены исчезнут,
так как оператор обобщенного спина коммутирует с гамильто-
гамильтонианом. Некоммутативность же друг с другом различных опера-
операторов, являющихся в то же время интегралами движения (т.е.
коммутирующими с гамильтонианом), говорит о том, что систе-
система является вырожденной (заданному импульсу и энергии могут
соответствовать различные направления спина), и поэтому сред-
средние значения вектора s° зависят от различных комбинаций ам-
амплитуд С\ и С-ь Можно показать, что вектор $° является трех*
мерным единичным вектором, так как (s^J + (s?J + (s§J =
==(C*Cl+ C11C_1J= 1, а его компоненты при лоренцевых по-
поворотах преобразуются по закону
si° = si cos у+ sUiny,
*) Более подробно см.: Соколов А, Л.а Тернов Я. М, Релятивистский элек*
трон. — М.: Наука, 1974 г.

348 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
где
Р, — Р cos Ф
cos y = •
В = *J(p{ — р cos ftJ + р2 A — j}2) sin2 ft .
Здесь c|3i = с -tst — скорость частицы в первоначальной системе
координат направлена по оси г, причем ф — скорость штрихо-
штрихованной системы координат, составляющая с осью г угол ft, —
должна лежать в плоскости гх. Под sf следует понимать про-
продольную составляющую спина относительно нового направления
импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в
результате лоренцевых преобразований остается трехмерным
единичным вектором.
Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляризации
относительно импульса, когда s\= 1 (С\ = 1, С-{ = 0). В этом
случае, как видно из B2.18),
<зго<ф= —iuH* B2.21а)
Учитывая еще зависимость волновой функции от времени
<ф ~ ericKt, находим, что вращение будет совершаться в плоско-
плоскости ху (от оси х к оси у), расположенной перпендикулярно к им-
импульсу (ось z). Следовательно, в правой системе координат слу-
случай $з=1 описывает правовинтовую спиральность, а в левой
системе координат — левовинтовую. Этот результат является
вполне естественным, так как в скалярном произведении
$о=($°й0) вектор k° — единичный полярный вектор импульса, а
s° — единичный аксиальный вектор спина. При переходе от пра-
правой системы координат к левой направление k° изменяется на
противоположное, a s° остается без изменения, т. е. в этом случае
изменяется лишь математическая форма описания спиральности.
в) Состояния с отрицательной энергией. Дираковская теория
«дырок». Открытие позитрона. Наряду с состояниями с положи-
положительной энергией (е = 1) (см. решение B2.18)) теория Дирака
допускает также решения, соответствующие отрицательным
энергиям (е = —1)
? = — chK. B2.216)
Заметим, что решения с отрицательной энергией являются ха-
характерными не только для теории Дирака — они должны появ-
появляться в любой релятивистской теории, включая даже классиче-
классическую. В самом деле, в релятивистской механике энергия свобод-
свободной частицы, как известно, связана с ее импульсом и массой

§ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 349
покоя соотношением, допускающим два равноправных решения:
г
?=± ^c2p2 + mlc\
причем две области значений энергии (положительных и отри-
отрицательных) оказываются разделенными интервалом 2т0с2
(рис. 22.1). Состояния, соответствующие отрицательной энергии,
с первого взгляда кажутся нереаль-
нереальными, поскольку область отрица-
отрицательных энергий простирается до
бесконечности (Е-— оо), и поэто-
му не должно существовать наиниз-
наинизшего энергетического состояния.
Зто означает, в частности, что ни
одно из обычных состояний не мо-
жет быть устойчивым, ибо всегда
возможен спонтанный переход в бо-
более НИЗКОе ЭНерГеТИЧеСКОе СОСТОЯ- Рис. 22Л. Схема возможных уро-
НИе. Кроме ТОГО, ЧаСТИЦа С ОТрИЦа- вней энергии свободной дираковской
тельной массой (отрицательной
энергией) должна обладать рядом
странных свойств: например, притягиваясь частицей с положи-
положительной массой, она должна отталкивать последнюю. В частно-
частности, при гипотетическом взаимодействии двух электронов, об-
обладающих различным знаком массы, электрон с положительной
массой должен «убегать», а электрон с отрицательной массой
должен его «догонять», так чтобы центр тяжести (с учетом от-
отрицательной массы) оставался неподвижным.
В классической физике состояния с отрицательной энергией
вообще не имеет смысла рассматривать, ибо при движении ча-
частицы ее энергия может изменяться только непрерывным обра-
образом и переходы из состояния с положительной энергией в
состояния с отрицательной энергией, когда энергия меняется
скачком на величину Д? ^ 2т0с2, являются невозможными. По-
Поэтому, исключив в начальный момент времени состояния с отри-
отрицательной энергией, мы можем в дальнейшем их вообще не рас-
рассматривать.
Совершенно иное положение в квантовой теории, согласно
которой возможны переходы между состояниями не только не-
непрерывного, но и дискретного спектра. Теперь состояния с отри-
отрицательной энергией не могут быть механически исключены, так
как вероятность перехода между уровнями с энергией +тос2 и
~-тос2 оказывается отличной от нуля.
Чтобы избежать перехода электрона в состояние с отрица-
отрицательной энергией, Дирак предложил A931 г.) считать все
Уровни с отрицательной энергией заполненными электронами

350 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, [Ч. II
(рис. 22.2), благодаря чему электроны с положительной энер-
энергией не могут в обычных условиях переходить на эти уровни.
Допустим теперь, что гамма-квант с энергией Е > 2т0с2у
действуя на электрон вакуума, т. е. на электрон с отрицательной
энергией, переводит его в состояние с положительной энергией.
"-тасг
J
\
-•
-mgc2
Рис. 22.2. Схема нулевого состояния Рис. 22.3. Схема образования дары
электрон-позитронного вакуума. электрон—позитрон.
В этом случае вместо поглощенного, например, ядром, гамма-
кванта (рис. 22.3) появляются электрон с положительной энер-
энергией и одновременно «дырка» в фоне заполненных электронами
отрицательных энергетических уровней.
Решающий успех гипотезы Дирака заключается в том, что
эту «дырку» он интерпретировал как частицу с положительной
массой, равной массе электрона, но с зарядом, противополож-
противоположным заряду электрона (позитрон). Действительно, пусть в на-
начальный момент частицы отсутствуют, тогда «нулевая» энергия
фона Явак равна сумме энергий электронов в отрицательных
энергетических состояниях п-
?зак = ? EnL, B2.22)
а «нулевой» заряд равен
евак=-Еео- B2.23)
Таким образом, когда реальная частица отсутствует, с точки
зрения теории «дырок» это означает, что все состояния с поло-
положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной
энергией заняты. Это состояние мы примем за нулевое состоя-
состояние (рис. 22.2).
В случае же перехода электрона из состояния с отрицатель-
отрицательной энергией п_ в некоторое состояние с положительной энер-
энергией л+ общее изменение энергии системы

§ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 351
или
А? = Еп+ - Еп_ = Еп+ + | ?„_ | B2.25)
будет уже соответствовать сумме положительных энергий двух
образующихся частиц*). Аналогичные рассуждения, проведен-
проведенные в отношении заряда, показывают, что знак заряда одной из
образовавшихся при этом частиц, соответствующей «дырке»г
противоположен знаку заряда электрона:
е == — еп, — Z' ^0 + Z ?о = "" ?л, + еп = — е0 + е0. B2.26)
*. ' ¦/ -г —
Таким образом, переход электрона из состояния с отрицатель-
отрицательной энергией в состояние с положительной энергией (очевидно,
в результате поглощения гамма-кванта с энергией, большей чем
2тоС2) ведет к рождению двух частиц. В этом случае незапол-
незаполненное состояние электрона с отрицательной энергией («дырка»)
может рассматриваться как состояние, занятое частицей с поло-
положительным зарядом +?о и положительной энергией**). Такая
частица, предсказанная Дираком, получила название позитрон
и была открыта Андерсоном A932) в составе космических лучей.
Теперь теория Дирака естественным образом включает в рас-
рассмотрение, наряду с электроном (частицей), позитрон (антича-
(античастицу), волновая функция которого подчиняется уравнению Ди-
Дирака с положительным значением энергии и положительным
знаком заряда (см. ниже).
Последняя теория не исключает возможности процесса, об-
обратного только что рассмотренному: при наличии «дырки» элек-
электрон с положительной энергией может перейти на свободный
уровень состояний с отрицательной энергией. В этом случае
электрон и позитрон превращаются в гамма-кванты. Законы со-
сохранения энергии и импульса, которые должны соблюдаться при
этом превращении, требуют, чтобы число гамма-квантов было не
менее двух.
г) Понятие об электрон-позитронном вакууме. Формула
B1.22) для лэмбовского сдвига уровней была получена в ре-
результате учета взаимодействия электронов с электромагнитным
*) Штрих у символа суммы (^ ) означает, что суммирование произ-
производится по всем состояниям я_, за исключением состояния /г_ = л_.
**) Заметим, что, используя методы квантовой теории поля, можно по-
построить симметричную относительно знака заряда теорию электрон-позитрон-
ного вакуума. Однако даже с помощью данной, несимметричной относительно
электронов и позитронов, теории (электрон — частица, позитрон — «дырка»)
Удается весьма наглядно объяснить многие явления, связанные с превраще-
превращением частиц.

352 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч II
вакуумом. Но наряду с электромагнитным вакуумом существует
электрон-позитронный вакуум и вакуум других частиц. Метод
вторичного квантования, являющийся в известной степени об-
общим для всех полей, позволяет учесть влияние электрон-пози-
тронного вакуума.
В современной квантовой теории поля изучение свойств ваку-
вакуума различных частиц играет исключительно важную роль. Ва-
Вакуум обусловливает прежде всего взаимодействие между части-
частицами. В частности, электромагнитное взаимодействие (закон
Кулона) можно рассматривать как результат взаимодействия
между двумя зарядами через электромагнитный вакуум, когда
один электрон испускает «псевдофотон», а другой его поглощает.
Таким образом, электрическое поле представляет собой возбу-
возбужденное состояние электромагнитного вакуума.
С другой стороны, вакуум представляет собой своеобразный
резервуар, откуда «извлекаются» реальные частицы при их по-
порождении и куда они «переходят» в результате аннигиляции.
Электрон-позитронный вакуум по существу является знакомым
нам фоном электронов в состояниях с отрицательной энергией.
К сожалению, он не имеет классического аналога и поэтому не
допускает полуклассической интерпретации, которая возможна
в случае электромагнитного вакуума. Кулоновское поле ядра
может поляризовать этот вакуум (т. е. электрон находится как
бы в диэлектрике), благодаря чему возникает дополнительная
энергия взаимодействия, определяемая выражением
Нг). B2.27)
Сопоставляя последнюю формулу с формулой B1.18), мы ви-
видим, что сдвиг уровней, связанный с флуктуациями электромаг-
электромагнитного поля, имеет по сравнению с B2.27) противоположный
знак.
Особенно сильное влияние электрон-позитронный вакуум
оказывает на магнитные свойства электрона, благодаря чему
магнитный момент электрона, как показал Швингер, становится
несколько большим, чем магнетон Бора:
B2.28)
Дополнительная поправка к магнитному моменту электрона, вы-
вычисленная с учетом следующих членов:
А^э.-п==-"(-^ - 0,328-J + 0,13-?) щ= -0,0011596^0, B2.29)
находится в хорошем согласии с экспериментальными данными,
полученными с помощью радиоспектроскопических методов (см.
B0.35) Ь

§ 22] , ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 353
д) Волновое уравнение для позитрона. Для выяснения физи-
физического смысла решений с отрицательными значениями для энер-
энергий при наличии электромагнитного поля наряду с основным
уравнением Дирака
~k - 7 А* )] - Рз^ос2} Ъ = 0 B2.30)
запишем также и комплексно-сопряженное уравнение
д ,^, Г ( h д . е л \ ( h д . е
которое легко может быть получено, если учесть, что а? —а(
0^ = — а2, а* —а3, Рз:==Рз» a комплексно-сопряженная волновая
функция
^ 1. B2.32)
«¦;/
как видно, отличается от эрмитово-сопряженной
Заметим, что комплексно-сопряженное уразненяе совершен-
совершенно эквивалентно эрмитово-сопряженному уравнению
в чем нетрудно убедиться, если расписать в виде системы четы-
четырех уравнений как уравнение B2.31), так и уравнение B2.34),
и учесть при этом правило действия оператора, стоящего после
волновой функции:
Сделаем замену в комплексно-сопряженном уравнении
Дирака
Ф* = '<»2РоФ- B2.36)
12 А. А. Соколов и др.

354 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. Iff
Тогда, учитывая правило коммутации матриц Дирака, мы най-
найдем для волновой функции уравнение
А д . _ Г / А д , <?
а* (т "И" + 7 л*I ~ рзт°'2} ф = °' B2'37)
которое описывает движение позитрона, поскольку отличается от
основного B2.30) заменой заряда е на —е. Кроме того, прини-
мая во внимание, что состояние i|>(r, i) — e h i|)(r) тракту-
трактуется как состояние с положительной энергией, а состояние
i|)*(r, t) — e H г|)*(г) —как состояние с отрицательной энер-
энергией, мы должны у функции Ф трактовать знак энергии иначе,
чем у функции t|)*. Иными словами, состояние с положительной
энергией уравнения B2.37) следует отнести уже к позитронам,
а состояния с отрицательной энергией — к электронам.
е) Понятие о теореме Людерса — Паули. Заметим, что урав-
уравнение Дирака должно быть инвариантным относительно слабого
обращения времени (СГ-преобразование), сводящегося к сов-
совместному зарядово-сопряженному преобразованию (е -> —е,
С-преобразование) и сильному обращению времени (/->—/,
Ф->-—Ф, Г-преобразование).
В самом деле, в случае СТ-преобразования уравнение B2.30)
принимает вид
еф
(т ~k
т ~k+т л0] ~ рзШоС1 *=°- B2-38)
Последнее уравнение в результате замены i|5->O2i|5* перехо-
переходит в комплексно-сопряженное уравнение B2:31) (аналогично
комплексно-сопряженное уравнение переходит в основное).
Можно также показать инвариантность уравнения Дирака
относительно инверсии пространства (г -> —г, А —* —Л, Р-пре-
образование).
В самом деле, в результате Р-преобразования уравнение Ди-
Дирака принимает вид
{А д ^ . Г / А д е л \ . (h д е
+°з (т ~к - 7 А*)] ~ ^тА *=°- B2-39>
Сделав в этом уравнении замену ¦ф-э-рз'ф, мы преобразуем
его к первоначальному виду B2.30).

§ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 355
Таким образом, уравнение Дирака должно быть инвариант-
инвариантным относительно совместного тройного СГР-преобразования
(теорема Людерса — Паули).
ж) Волновое уравнение для нейтрино. Для описания движе-
движения частиц со спином, равным половине, и массой покоя, равной
нулю (нейтрино), можно использовать либо уравнение с двух-
двухрядными матрицами Паули (уравнение Вейля), либо уравнение
Дирака, расщепляющееся на два независимых уравнения.
В самом деле, как видно из A8.1), квадратный корень при
т0 = 0 может быть извлечен с помощью двухрядных матриц
Паули, и поэтому вместо уравнения Дирака можно написать
уравнение с двухкомпонентной функцией <р = ( ф1) (уравнение
Вейля):
(?-с(о'р))ср = 0. B2.40)
Это уравнение, в противоположность уравнению Дирака, не
инвариантно относительно инверсии пространства, поскольку
после замены р ->—р мы никакими преобразованиями волновой
функции не сможем вернуть его к первоначальному виду. С дру-
другой стороны, для частиц с т0 = 0 четырехкомпонентное уравне-
уравнение Дирака разбивается на два независимых волновых уравне-
уравнения.
Для первого решения выбираем
^=-6 = --^, B2.41)
т.е. будем считать, что частицы с положительной энергией е=1
(нейтрино) обладают левой спиральностью^ а с отрицательной
е = —1 (антинейтрино)— правой.
Тогда для второго решения имеем
5 = е =
т. е., наоборот, частицы с положительной энергией е = 1 (ней-
(нейтрино) должны обладать правой спиральностью, а с отрица-
отрицательной (антинейтрино) — левой.
Соотношения B2.41) и B2.42) остаются инвариантными от-
относительно преобразований Лоренца. Это видно из равенств
B2,20) и B2.21), где следует положить $х = 1.
В связи с открытием явлений, известных под названием не*
Сохранения четности, что оказалось связанным со* спираль-
спиральностью нейтрино, Ли и Янг, а также Л-андау предложили массу
нейтрино положить равной нулю, а для ей) описания взять двух-
комтгонентное уравнение Вейлж
12*

356 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
Неинвариантность уравнения Вейля относительно Р-преобра-
зования они предложили скомпенсировать неинвариантностью
относительно С-преобразования (при переходе нейтрино к анти-
антинейтрино спиральность нейтрино должна измениться). Таким
образом, уравнение Вейля должно остаться инвариантным отно-
относительно совместного СЯ-преобразования (комбинированная ин-
инверсия), а также Г-преобразования для того, чтобы выполня-
выполнялась теорема Людерса — Паули (СРТ = const).
С другой стороны, для описания нейтрино можно также взять
уравнение Дирака с массой покоя, равной нулю, и выделить в
нем нейтрино определенной спиральности. Однако в четырех-
компонентной теории наряду с одним решением (нейтрино — ле-
вовинтовое, антинейтрино — правовинтовое) имеется второе со-
совершенно равноправное решение (нейтрино — правовинтовое,
антинейтрино — левовинтовое). Было бы весьма странным, если
бы второе решение не имело никакого физического применения.
Недавно наряду с электронным нейтрино (т. е. нейтрино вы-
вылетает с позитроном, а антинейтрино — с электроном) было от-
открыто второе, так называемое мюонное нейтрино, которое, по-
видимому, и описывается вторым решением уравнения Дирака.
В этом случае с отрицательным мюоном должно вылетать
правовинтовое нейтрино, а с электроном — правовинтовое анти-
антинейтрино. По этой теории электроны (е-) и отрицательный мюон
(и~) должны обладать различным лептонным зарядом (элек-
(электрон — нейтринным; а отрицательный мюон — антинейтрин-
антинейтринным), и поэтому распад |i-->e~ + Y должен быть запрещенным.
з) Вторичное квантование уравнения Дирака. Ограничимся
рассмотрением случая свободного движения. В этом случае пол-
полное решение уравнения Дирака может быть записано в виде
(см. B2.5))
Ф (г, 0 = -jj% Yjb V*> s> e) C (fe' s' e> е-1"**"», B2.43)
k, t,s
где fc(ft, 5, e) — матрицы B2.12), удовлетворяющие условию
нормировки
6+ (ft, s', е') b (ft, s, e) = 6SS'688', B2.44)
а С (ft, s, e)— амплитуды (не матрицы), квадраты модулей кото-
которых определяют вероятность нахождения частицы в состоянии
(ft, 5,8).
Если уравнение Дирака рассматривать как результат пер-
первого квантования, то i|)(r, /) описывает состояния одной частицы,
причем постоянные амплитуды С (ft, s, г) являются обычными
числами (с-числа), т. е. должны коммутировать друг с другом.

$ 22] ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 357
Вычисляя средние значения по состоянию B2.43), мы полу-
получим:
для функции Гамильтона
3 ? сЛгКС+С; B2.45)
ft. s, г
для трехмерного импульса частиц
ft, s, e
для заряда частицы
ft. S, 8
для проекции спина на направление импульса (см. B2.4))
sC+c' B2-48)
ft, 5, 8
где
C = C(ft, s, e). B2.49)
При получении выражений B2.45) — B2.48) мы использовали
решение B2.43) и учли соотношение
? \ 6М,, B2.50)
а также условие ортонормированности B2.44).
Для вторичного квантования уравнения Дирака, т. е. для
описания системы с переменным числом частиц, мы, аналогично
квантованию электромагнитного поля (см. § 9), воспользуемся
квантовыми скобками Пуассона (см. F.45)), которые имеют
вид
1 (НС - СН), B2.51)
т. е.
t' + G'C)], B2-52)
где
C'-Cflfc'.a'.e').
Для того чтобы удовлетворить соотношениям B2.51) и
B2.52), мы должны написать следующие перестановочные

358 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. IT
соотношения:
СС + СС = О, С'+С+ + С+С'+ = 0, B2.53)
т. е. отличным от нуля будет только один антикоммутатор
С+С + СС+ = 1. B2.54)
Эти перестановочные соотношения соответствуют статистике
Ферми — Дирака (см. ниже § 24). В этом случае мы сможем
сделать так, что энергия всех частиц будет положительной как
с е = 1, так и с е = —1.
Вообще говоря, если гамильтониан имеет вид
то при наличии знака плюс (см., например, поле фотонов, § 9)
при вторичном квантовании мы должны ввести бозевские пере-
перестановочные соотношения, при наличии же знака минус — фер-
миевские. Мы сможем удовлетворить перестановочным соотно-
соотношениям B2.54), если положим
= 1-JV, B2.55)
где N— число частиц в состоянии (ft, s, e). Поскольку эти про-
произведения входят симметрично, то вторым решением, удовлетво-
удовлетворяющим уравнению B2.54), будет
= ЛЛ B2.56)
Для того чтобы энергия частиц оставалась положительной
величиной, мы должны для частиц се = 1 выбрать соотношения
B2.55), а для частиц се = — 1 соотношения B2.56).
Кроме того, в соответствии с формулами B2.45) — B2.48)
мы должны положить
С (ft, s, е = 1) = С (ft, 5), С+ (ft, s) С (ft, s) = Ns (ft), B2.57)
C(ft, s, e = - l) = C+(-ft, s), C+(-ft, s)C(-ft, s) = N8(-k).
Тогда находим:
для функции Гамильтона *)
Н=^сПК (Na + NS- 2), B2.58)
k,s
*) Если подчинить дираковские частицы статистике Бозе — Эйнштейна,
то мы не смогли бы избавиться от состояний е отрицательной энергией, так
как гамильтониан равнялся бы
ЯБ - ? сПК (Ns - Ns). B2.58a)

§ 221 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 359
для трехмерного импульса
G=Zhk(Ns + N$), ,22.59)
k, s
для заряда частицы
Q = e?(tf,--Ar, + 2)f B2.60)
k, S
для проекции спина на направление импульса
S=Zs(Ns + Ns), B2.61)
где
Ns (k) = N8(k9 8=1), Ns(k) = Ns(-kt e = - 1).
Отсюда можно сделать следующее заключение: только реше-
решения, соответствующие статистике Ферми — Дирака, ведут к тому,
что оба сорта частиц Ns и fis обладают положительной энер-
энергией. Знак заряда обоих сортов частиц будет противоположным,
т. е., если частицы Ns соответствуют электронам, то частицы
f}s — позитронам (античастицам). Величина s = ±1 описывает
две возможные ориентации спина как у электронов, так и у по-
позитронов. Вектор спина S, так же как и вектор импульса kt при
переходе от частиц с отрицательной энергией к частицам с поло-
положительной энергией изменяет свое направление, а величина s,
равная скалярному произведению соответствующих единичных
векторов, s=(ftM), должна оставаться без изменения. Кроме
того, у нас появляется бесконечная нулевая отрицательная энер-
энергия
#о=- S2cft/C B2.62)
к
и бесконечный нулевой заряд
Qo=Z2e; B2.63)
нулевое же значение спина и импульса исчезает.
Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотноше-
соотношениям Бозе — Эйнштейна (например для поля фотонов), мы вве-
ввели бесконечные матрицы как для вторично квантованных ампли-
амплитуд (см. формулу (9.38)), так и для состояний, описывающих
различное число частиц (см. (9.43)). Эти бесконечные матрицы
соответствовали тому, что в любом квантовом состоянии могло
быть любое число частиц.
Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотноше-
соотношениям Ферми — Дирака:
С+С-ЬСС+ = 1, B2.64)

360 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. II
мы должны вместо бесконечных матриц выбрать двухрядные
матрицы как для амплитуд:
так и для числа частиц:
причем f@) описывает состояние, в котором частицы отсут-
отсутствуют, a f(l) — состояние с одной частицей. Тогда автомати-
автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения
B2.64). Кроме того, амплитуды С являются операторами уни-
уничтожения, поскольку их действие на функцию от числа частиц
по законам матричного исчисления равно
С/@) = 0, С/A) = /@), B2.67)
а амплитуды С+ — операторами рождения
С+/ @) = f A), С+/ A) = 0. B2.68)
Отсюда видно, что в каждом квантовом состоянии может быть
не более одной частицы.
С помощью равенств B2.67) и B2.68) легко показать, что
С+С/ (N) = Nf (N), CC+f (АО = A - Л) / (N), B2.69)
т. е. квадраты амплитуд имеют собственные значения B2.55) и
B2.56).

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРИЯ
МНОГИХ ЧАСТИЦ

§ 23. ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯ
БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ
а) Основные положения. Атом гелия представляет собой про-
простейший многоэлектронный атом. Вокруг его ядра с Z = 2 дви-
движутся два электрона. Однако уже в такой простой системе от-
отчетливо проявляются основные качественные особенности кван-
квантовой теории многих частиц.
В классической теории при наличии двух электронов всегда
можно одному электрону приписать индекс 1, а второму — ин-
индекс 2, а затем проследить от начала до конца за движением
каждого из этих электронов по отдельности.
Согласно квантовой теории только в том случае, когда элек-
электроны находятся на большом расстоянии друг от друга, практи-
практически их можно перенумеровать.
Когда электроны 1 и 2 находятся настолько близко друг к
другу, что имеются такие точки в пространстве, где волновые
функции обоих электронов отличны от нуля, в силу тождествен-
тождественности электронов мы не сможем различить, в какой точке про-
пространства находится электрон 1 и в какой электрон 2.
Подобная неразличимость (или тождественность) электронов
является специфической особенностью микромира. Она приво-
приводит к специфическим обменным силам, не имеющим классиче-
классического аналога.
Кроме того, в атомах со многими электронами доминирую-
доминирующее значение приобретают спиновые свойства, которые ни в
классической, ни в боровской теории не учитываются. Кстати
заметим, что только в атоме с одним электроном спиновые силы
играют роль поправок, которыми в первом приближении вообще
можно пренебречь. Поэтому теория Бора смогла объяснить ряд
явлений только в водородоподобных атомах с одним электро-
электроном. Теорию же атомов с двумя и более электронами по боров-
боровской теории построить было нельзя, так как в ней нельзя учесть
ни обменных сил, ни спиновых состояний.
Чтобы уяснить сущность квантовой теории многих тожде-
тождественных частиц со всеми ее особенностями, рассмотрим более
подробно проблему гелиеподобных атомов, каковыми являются,
например, сам нейтральный атом гелия, однократно ионизован-
ионизованный атом Li+j дважды ионизованный атом Be** и т. д.

ЗС4
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
. Ш.
б) Основные уравнения. Прежде всего выясним физическую
природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с
неразличимостью электронов. В этом параграфе мы не будем
учитывать спиновых свойств частиц *).
Допустим, что положение первого и второго электронов ха-
характеризуется соответственно радиус-векторами Г\ и г2 (при
этом их начало совпадает с неподвижным ядром) (рис. 23.1).
Состояния с квантовыми числами (п\, 1\9 т{) и (п2, h, т^) соот-
соответственно будем обозначать ради краткости через п\ и д2, под-
подразумевая под ними совокупность квантовых чисел (пу /, т).
Для определения движения каждого
из электронов в отдельности без учета
взаимодействия между ними мы имеем
уравнение Шредннгера вида
(Enj — Н/) i|)rt (г/) = 0, B3.1)
где
Рис. 23.1. Атом гелия.
—~. B3.2)
а индекс / принимает два значения: / = 1 — в случае первого
электрона, / == 2 — в случае второго.
Для энергии ?rt/ при этом полумаются значения (см. § 12)
а собственные функции tyn должны совпадать с волновыми
функциями водородоподобного атома, удовлетворяющими усло-
условию ортонормированности
]ЪпЛг)<Рх = йПп г B3.4)
Если далее учесть еще взаимодействие двух электронов
р? р?
B3.5)
— Г2\
Г12
то их движения нельзя рассматривать как независимые, и по-
поэтому для описания полной системы, имеющей гамильтониан
Н = Н1 + Н2 + V *а Н° + V, B3.6)
*) Это можно сделать, так как задача в данном приближении допускает
решение путем разделения пространственных и спиновых переменных. Спин
частиц мы учтем в § 24.

Ь 23] ЛТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 365
мы должны взять уравнение Шредингера в виде
(E-H°-V'H(rl9 r2) = 0, B3.7)
где Е — суммарная энергия, a г|)(гьг2) —общая волновая функ-
функция, зависящая от координат как первого, так и второго элек-
электронов.
Здесь, как и в случае одноэлектронной задачи, величина
ф*(гь *2)Ф(П, г2) характеризует плотность вероятности обнару-
обнаружения первого электрона в положении ги а второго — в положе-
положении г2. Поэтому для г|)(гьг2) условие нормировки принимает вид
r2)d*x=l, B3.8)
где d6x — d3x\d3x2 и интегрирование проводится по координатам
обеих частиц.
Поскольку точное решение уравнения B3.7) встречает не-
непреодолимые' трудности, воспользуемся развитым в § 8 методом
теории возмущений Шредингера *), предполагая, что взаимодей-
взаимодействие электронов между собой (энергия V) вносит лишь малое
изменение в независимое движение каждого электрона в куло-
новском поле ядра (в дальнейшем точность такого приближения
мы оценим более подробно).
Рассмотрим сначала нулевое приближение, в котором энер-
энергией возмущения V можно пренебречь. Тогда уравнение Шре-
Шредингера B3.7) принимает вид
(?° - И») ф° (г и г2) = 0. B3.9)
В связи с тем, что гамильтониан Н° распадается на сумму
двух гамильтонианов Hi + H2, каждый из которых зависит
только от одной переменной (либо от Г\, либо от г2), волновая
функция в нулевом приближении может быть записана в виде
«-¦«.М ¦%(*•«)• B3Л0>
В самом деле,, подставляя B3.10) в B3.9) и учитывая B3.1),
имеем
(?0 _ Н0)Ы « (?0 _ (Н( + Н2)} %1 (Г,) *„, (Г2) -
- {Ф„, (г2) НЛ, (г,) + *„, (г,) Н,¦„ (г2)} -
*) Поставленная задача представляет собой проблему трех тел и не мо-
может быть решена точно даже в классическом приближении. Поэтому ее ис-
исследование мы проведем с шжощью приближенного метода теории возму-
возмущений.

366 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч 1ГГ
Отсюда находим значение энергии в нулевом приближении
Е° = ЕП1 + ЕП2, B3.1!)
где ЕП{ и ЕПг — энергии каждого из невзаимодействующих меж-
между собой электронов.
Этот результат можно интерпретировать следующим обра-
образом. При отсутствии возмущения V' движение электронов опре-
определяется их взаимодействием с ядром Ze§, т. е. полностью опи-
описывается уравнением Шредингера B3.1), имеющим в качестве
решений собственные значения Еп (см. B3.3)) и собственные
функции tyn,* Так как один из электронов находится в состоя-
состоянии Ль а второй — в состоянии п2, то при V = О полная энер-
энергия системы равна ЕПх + ЕПг.
В силу же независимости движения электронов общая вол-
волновая функция, имеющая, как известно, статистический харак-
характер, равна произведению соответствующих двух независимых
одноэлектронных волновых функций. Однако путем непосред-
непосредственной подстановки в уравнение B3.9) нетрудно убедиться,
что наряду с первым решением B3.10) при том же значении
энергии B3.11) существует еще второе решение (г|)° = v)
v=K(r2)%Ard> <23Л2>
отличающееся от и перестановкой электронов. Теперь уже пер*
вый электрон находится в состоянии яг, а второй — в состоя-
состоянии П\.
Таким образом,, рассматриваемое состояние системы имеет
дополнительное вырождение, которое целиком и полностью об-
обусловлено неразличимостью электронов, его называют обменным
вырождением.
Если оба электрона находятся в одинаковых состояниях
П\ = п2, то волновые функции и и v становятся равными, и об-
обменное вырождение не должно иметь места, так как
В случае же п\ Ф п2 функции и и v различны, и поэтому в
качестве общего нулевого решения \|)° уравнения Шредингера
B3.9) следует взять линейную комбинацию
ty° = C[ti + C2v, B3.13\
где С\ и С2 — произвольные постоянные коэффициенты, связан-
связанные между собой лишь условием нормировки
)°*ib°dejc= 1.

§ 23] АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 367
Для того чтобы найти значения коэффициентов С\ и С2, а
также уровни энергии Е возмущенной системы (т. е. при учете
взаимодействия V"), следует искать согласно методу теории воз-
возмущений решения для Е и -ф в виде
Для решения этой задачи используем первое приближение
уравнения Шредингера B3.7), которое в данном случае может
быть записано в форме
(?0 _ но) +/ = _ (?/ _ F/) (CiU + Q2v)m B3.15)
Пользуясь теоремой об ортогональности, согласно которой
решение однородного уравнения невозмущенной задачи должно
быть ортогональным правой части соответствующего неоднород-
неоднородного уравнения (см. (8.13)), и учитывая, что в нашем случае
решениями невозмущенной задачи являются функции и к v,
имеем
J и* {Е' - V) {Схи + C2v) d6x = 0, B3.16)
v* (Е' - Г) (Схи + C2v) dH = 0. B3.17)
Если теперь в уравнении B3.17) сделать замену г2 на г\ и г\
на г2, то в силу того, что функция v (см. B3.12)) при этом пе-
перейдет в функцию и (см. B3.10)) и наоборот, причем энергия
возмущения остается при этом без изменения, так как
ki — г2\ = \г2 — г\\, второе уравнение примет форму
и* (Е' - V) (С2и + Cxv) d*x = 0. B3.17а)
Поэтому, проделав в дальнейшем преобразования лишь с урав-
уравнением B3.16), мы можем обобщить полученные результаты
также и на уравнение B3.17а) путем замены в конечных резуль-
результатах С\—>С2 и C2->Ci.
Подставим в уравнение B3.16) вместо функций и и v их яв-
явные выражения из B3.10) и B3.12) и введем обозначения?
<('"i)*«.(ri)ePii(ri). B3-18)
К(г2)ЬЛг2) = (>22(г2), B3.19)
**(ri)**(ri)ePu('-i). B3-20)
¦;('*)¦«, ('2) = Ра,(»2)- B3.21)
Здесь pn(ri) и Р22(*2) характеризуют распределение плотно-
плотности вероятности в пространстве электронов, находящихся соот-

368 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. Ш
ветственно в состояниях п\ и n2, a pi2(^i) и Р21 (^2) описывают
так называемую плотность смешанного*) (или обменного) со-
состояния, когда каждый из электронов частично находится и в
состоянии пи и в состоянии /22.
Принимая во внимание также, что з силу условия ортонор-
мированности
и и dbx = J рн (г,) d3x{ { р22 (r2) d3x2 = 1,
= J р12 (г 0 й3д:1 J р21 (г2) d3x2 = О,
приводим B3.16) к виду
B3.22)
Первый из интегралов в выражении B3.22) представляет собой
энергию кулоновского взаимодействия двух электронов
Второй же интеграл характеризует так называемую обменную
энергию
А = е20 Jlii^ilMM ^, B3.24)
соответствующую взаимодействию двух электронов, когда каж-
каждый из них находится в смешанном состоянии п\ и n<i.
В противоположность кулоновской энергии Ку обменная энер-
энергия А не имеет классического аналога и носит сугубо квантовую
лрироду.
Пользуясь соотношениями B3.23) и B3.24), вместо B3.22)
получаем уравнение
d (?' - К) — С2А = 0. B3.25)
Второе уравнение, т. е. уравнение B3.17а), мы найдем, если, как
было уже указано, в B3.25) произведем замену С2 -> С\ и
Сх -> С2:
С2 (?' - К) - СИ = 0, B3.26)
Из двух последних уравнений находим:
1) Е' = К + А, C{ = C2i B3.27)
2) Е' = К-А, Сх = -С2. B3.28)
*) Заметим, что эти плотности не имеют классического аналога.

23]
АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ
3G9
В соответствии с этим для волновой функции (см. B3.13)) и
для полной энергии находим также два решения:
1) симметричное
V=C{(u + v), B3.29)
ЕС = Е°+К + А, B3.30)
и
2) антисимметричное *)
¦a = C,(a-t0, B3.31)
Е* = Е°+К-А. B3.32)
Чтобы определить коэффициент Сь воспользуемся условием
нормировки волновых функций -ф0 и \|)а
Тогда получим 2С*=1, или С{=—р=г. Таким образом, для г|)с
и tya окончательно имеем **)
L tO, B3.29а)
о). B3.31а)
-
В том случае, когда оба электрона находятся в одном и том
же квантовом состоянии (п\ = п2), функции и и v, как уже от-
отмечалось выше, будут тождественными. В этом случае уравне-
уравнения B3.16) и B3.17) сводятся к одному:
J и* (?' - V) и dQx
Отсюда легко видеть, что
0. B3.33)
Р = К, B3.34)
т. е. никакой обменной энергии здесь не возникает.
Для волновой же функции получается одно-единственное сим-
симметричное решение:
*е = «-Ф„1(г1)*|.1(гя)' <23-35)
*) Напомним, что при перестановке координат (т. е. при замене г2 на *ч
и п на г2) функции и и v переходят одна в другую. Поэтому волновая функ-
функция фс в результате такой операции не изменяет своего знака (симметричная
функция), в то время как функция г|)а изменяет его и а противоположный (ан-
(антисимметричная функция).
**) Здесь, так же как и в эффекте Штарка (см. § 13), возмущение сни-
снимает вырождение, и поэтому коэффициенты С\ и С2, которые в нулевом при-
приближении из-за вырождения оставались неопределенными, принимают опре-
определенные значения.

370 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. III
соответствующее энергии системы
?С = ?° + /С. B3.36)
Резюмируя, можно сказать, что, применяя метод возмущений
к рассматриваемой проблеме, мы приходим к одному из двух
типов решений — либо симметричному, либо антисимметрично-
антисимметричному, что находится в полном согласии с общей теорией систем
тождественных частиц (см. ниже).
в) Кулоновское взаимодействие электронов. Найдем выраже-
выражение кулоновской энергии двух электронов, которые находятся в
наинизших энергетических состояниях (п\ = п2=1). В это?д
случае энергия каждого электрона и его волновая функция бу-
будут соответственно равны
z2e2
B3-37)
h2
где а0 = —2— РаДиУС первой боровской орбиты.
mQe0
Для кулоновской энергии взаимодействия двух электронов
имеем
к = № ('.) ** ('О т^тгт **• B3-38>
Здесь \г{ — г2| = Vri +/*2"~ 2г/2 cos О, а Ф — угол между век-
векторами Г\ И Г2,
При интегрировании в B3.38) направим ось z по г\. Тогда,
подставляя сюда вместо волновых функций i|?i их выражение
B3.37), в результате интегрирования по углам находим
V — Я 1 г2 //г p-2Zri/a0 \ г р- 2Zr2/a0 //*• /OQ QQo\
*\ ~™~" а. 11 1 1 2 2* \«iv«uOa^
Примечание. При интегрировании по углу Ф(х = cosФ) мы учли со-
соотношение
{о
—
Г2
— При Г! < Г2,
Г2
при гх > г2.
Принимая во внимание, что выражение ^(^Ф?^) симметрично отно-
относительно иеременных гх и г2, мы можем при вычислении интеграла заменить
Ь случае г\ >.г2 радиус гх на г2 и радиус г2 на гь Тогда найдем для B3.38.)

Г 4
I ПрИ Г\ < Г2>
n 0 при Г\ > г2.
§ 23] АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 371
тот же результат, если положим
/:
I
при
Далее, интегрируя по г{ и г2, окончательно получаем
K=L^L9 B3.39)
Учитывая, что нулевая энергия в этом случае будет равна
/70 — о/7 — _ g° /oQ 4ГА
1 а0 х 7
получаем для полной энергии двух электронов, находящихся в
низшем состоянии, следующее выражение:
В качестве примера применения формулы B3.41) найдем те-
теперь энергию ионизации атома гелия, т. е. ту энергию, которую
необходимо затратить, чтобы вырвать из атома один электрон,
находящийся на первой орбите.
Для однократно ионизованного атома гелия (т. е. водородо-
подобного атома) энергия связи электрона с ядром равна про-
просто Е\ (см. B3.37)). Отсюда для энергии однократной иониза-
ионизации гелиеподобного атома находим
B3.42)
Т. е. для гелия (Z = 2) будем иметь
?ИОН = 0,75-^. B3.43)
Энергия ионизации гелия хорошо известна из эксперимента
е2
?эксп = 0,9 -^ = 24,48 эВ. B3,43а)
Такое расхождение теоретического значения с эксперимен-
экспериментальными данными связано с тем обстоятельством, что энергия
5 е^
возмущения К= ~?~ не очень мала по сравнению с нулевой
энергией | ?° | = —- (их отношение оказывается порвдка Уз).
Поэтому метод возмущений в данной задаче позволяет сделать

372 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. Ш
лишь ряд правильных качественных заключений. Точность же
этого метода в количественном отношении, в силу того что К и
|?°| сравнимы между собой, не очень велика.
г) Вариационный метод. Вариационные методы, развитые в
работах Ритца, Хиллерааса и других, были с успехом использо-
использованы для нахождения энергий основных состояний атомов.
Как известно, средняя энергия системы может быть найдена
с помощью формулы
B3.44)
Если волновую функцию представим в виде
^ = SCrt^, B3.44а)
где коэффициенты Сп характеризуют вероятность пребывания
электрона в состоянии /г, то, как было показано в § 6, среднее
значение энергии определяется формулой (см. F.19))
(E)=Z\Cn?En. B3.45)
п
Заменяя в последней сумме каждое собственное значение Еп
наименьшим собственным значением Eq и принимая во внима-
внимание, что для нормированных функций
Е|слр-1.
п
находим, что
Наименьшее же значение интеграла \ г|)*Нг|э Лс == ZTMI1H дает воз-
возможность определить верхний предел энергии основного состоя*
ния системы
ЕО<ЕШЛЯ. B3.46)
Вариационный метод можно использовать в том случае,
когда дополнительная энергия взаимодействия Е' соизмерима с
энергией Е° нулевого приближения, и поэтому метод возмуще-
возмущений не может дать хороших результатов.
При решении задачи вариационным методом в гамильтониа-
гамильтониане Н уравнения B3.7) можно оставить на равных правах не
только основную часть, но и дополнительную энергию взаимо-
взаимодействия V. Затем следует подобрать пробную функцию \|) как
функцию некоторых параметров таким образом, чтобы интеграл
мог быть вычислен точно. После этого энергия Е становится
функцией введенных параметров. Минимальное значение этой
функции должно приближаться к действительному.

§ 23] АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 373
Наибольшая трудность в этой задаче заключается в выборе
пробной функции. При выборе ее используется любая доступная
информация о свойствах системы.
В общем случае нельзя указать определенного выбора проб-
пробной функции. Здесь порой вопрос решает изобретательность или,
точнее, физическая, а также математическая интуиция автора.
Очень часто пробные функции подбираются таким образом,
чтобы они хотя бы по форме напоминали решения уравнения без
возмущения.
Конкретно с помощью вариационного метода решим задачу
об определении низшего энергетического состояния атома гелия
(Хиллераас, 1927 г.). Мы только что показали, как эта задача
решается методом теории возмущений, и поэтому сможем срав-
сравнить результаты обоих методов.
В качестве пробной функции Хиллераас выбрал функцию
основного состояния атома водорода B3.37), заменив в ней за-
заряд Z некоторым эффективным зарядом Z'. Величина Z' и
представляет собой тот неизвестный параметр, который следует
определить из вариационного принципа. Пробная функция
+, (г) = -±= (Z~)h *-*''/*, B3.47)
так же как и функция B3.37), нормирована на единицу, по-
поскольку ее нормировка не зависит от значения Z'. Гамильтониан
же Н в соотношении B3.44) должен включать не только гамиль-
гамильтониан Н° нулевого приближения, но и потенциальную энергию
возмущения. Тогда имеем
Н » Т, + V{ + Т2 + V2 + V, B3.48)
где Т/ и Vj (/=1, 2) определяются равенством B3.2), а потен-
потенциальная энергия возмущения V задается соотношением B3.5).
Учитывая нормировку волновых функций, а также то, что
оба электрона находятся в одном и том же квантовом состоя-
состоянии, когда <Г1> = <Г2>, <Vi> = <Уг>, для среднего значения га-
гамильтониана находим:
(т
B3.49)
где
$ т
B3.50а)
B3.506)

374 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Поскольку интеграл B3.506) точно совпадает с интегралом
B3.38), если в последнем положить Z = Z\ для <V> согласно
B3.39) имеем
<*">-т4г- <23-51>
В формуле B3.50) величина <Ti> представляет собой среднее
значение кинетической энергии водородоподобного атома с по-
порядковым номером Z', когда электрон находится в низшем со-
состоянии.
Это среднее значение, как известно, связано с соответствую-
соответствующей полной энергией водородоподобного атома соотношением
z'V
<Г1> = -?1-^-. B3.52)
Точно так же мы получили бы среднее значение для потен-
потенциальной энергии водородоподобного атома, которая, как из-
известно, равна удвоенной полной энергии (<Fi> = 2?i), если в
формуле B3.50а) вместо Z поставили бы Z'. Следовательно, мо-
можем написать
|r2?1 = -i^. B3.53)
Отсюда для среднего значения энергии согласно формуле
B3.49) находим выражение
Е (Z') = -J (z'2 - 2ZZ' + |,Z'), B3.54)
являющееся функцией параметра Z'.
Определим теперь значение параметра Z', соответствующее
минимуму энергии системы.
Дифференцируя выражение для E(Z') no Z' и приравнивая
нулю полученное выражение, находим:
Отсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелия по-
получаем
.. B3.55)
При этом для энергии ионизации имеем
е0 (у27 А
dmiih
— 2вД4 4Z+ 128;-

? 23] АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 375
В частности, в случае атома гелия (Z = 2)
?ИОН«0,85-^-. B3.56)
Это значение значительно ближе к экспериментальному (см.
B3.43а)), чем B3.43), найденное методом теории возмущений.
Хиллераас впоследствии получил еще лучшее совпадение с экс-
экспериментом, вводя не один, а несколько вариационных пара-
параметров.
Результат B3.55) для ?мин находит простую физическую
интерпретацию, а именно: действие одного электрона на другой
сводится к экранировке положительного заряда ядра.
Вариационный метод можно использовать также для нахо-
нахождения верхнего предела энергий одного или нескольких воз-
возбужденных состояний. Для этого пробную функцию следует вы-
выбрать таким образом, чтобы она была ортогональной всем вол-
волновым функциям более низких состояний.
д) Получение уравнения Шредингера вариационным мето-
методом. Рассмотрим один из наиболее общих случаев вариационной
задачи, когда выбор пробной волновой функции ty при отыска-
отыскании среднего значения гамильтониана
(?>= J^H^d3* B3.57)
для движения одной частицы ограничен только условием норми-
нормировки
J B3.58)
Варьируя <?> по г|) и учитывая самосопряженность операто-
оператора Н, получаем
*<?)=$ FЧ>*НЧ> + бфНV) d3x = 0. B3.59)
Здесь вариации 6г|) и 6г|)* мы не можем считать независимыми,
так как они связаны между собой условием нормировки B3.58);
чтобы эти вариации сделать независимыми, проварьируем усло-
условие B3.58)
J J = 0.
Умножая последнее равенство на постоянный множитель
Лагранжа К и подбирая его так, чтобы вариации были уже не-
независимыми, сложим полученное равенство с B3.59). Поскольку
теперь все вариации 6ч|) и 6г|)* произвольны, из вариационного
принципа автоматически следует уравнение Шредингера для ф

376 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. Ill
И * ' (Н - Е) г|) = О, (Н* - Е) Ц* = 0, B3.60)
и становится ясным физический смысл параметра X, равного
энергии с обратным знаком (А, == —?).
Таким образом, вариационный принцип с учетом лишь усло-
условия нормировки приводит к уравнению Шредингера. Из полу-
полученного результата видно, что собственные значения уравнения
Шредингера B3.60) дают экстремумы вариационного интеграла.
Более детальный анализ показывает, что эти экстремумы яв-
являются минимумами, причем энергии основного состояния соот-
соответствует абсолютный минимум — наименьшее возможное зна-
значение энергии. Расчет возбужденных состояний, как было только
что отмечено, требует подчинения волновых функций не только
условию нормировки, но и дополнительным условиям ортого-
ортогональности волновым функциям более низких энергетических со-
состояний, что в теории Шредингера выполняется автоматически.
е) Метод самосогласованного поля Хартри — Фока. Мы рас-
рассмотрели два крайних случая вариационного метода решения за-
задачи. В одном случае (метод Ритца — Хиллерааса) вариация
волновой функции сводилась к нахождению «наилучших» зна-
значений параметров, введенных в выбранное выражение для вол-
волновой функции. В другом же выбор пробных функций ничем
(кроме условия нормировки) не ограничивался. Последний слу-
случай привел нас к уравнению Шредингера.
Возможен также и промежуточный случай. Волновая функ-
функция хотя и остается неопределенной, но равняется произведению
функций, каждая из которых зависит лишь от координат, харак-
характеризующих положение одного электрона. Конкретный вид этих
отдельных функций может быть найден путем решения методом
последовательных приближений некоторого уравнения, следую-
следующего из вариационного принципа.
Один из таких методов был предложен Хартри A928 г.).
Суть этого метода с точки зрения вариационного принципа, ко-
который впоследствии был сформулирован Фоком, состоит в сле-
следующем.
Запишем вариационный принцип для двух частиц в общем
виде *)
$ ь r2)d3xld3x2 = min. B3.61)
В качестве дополнительного условия потребуем, чтобы общая
волновая функция равнялась произведению функций, зависящих
*) Аналогичным путем этот принцип можно обобщить также на случай
трех и более частиц.

% 23] АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 377
от координат каждой из частиц в отдельности:
B3.62)
Кроме того, необходимо учесть условие нормировки
которое может быть записано отдельно для каждой частицы
Подставляя пробную функцию B3.62) в выражение для энергии
B3.61) и варьируя его отдельно по i|)i и г|J, получаем
+ <,; 6^) (н, + н2 + 4) ¦ А
l + H2 + т^) (*2 e*t + ^ бф2) J d V4 = О, B3.64)
где Ну = -5—py+^(Гу)—гамильтониан, описывающий движе-
ние одного электрона (/ = 1, 2), а -~ представляет собойэнер-
гию взаимодействия двух электронов.
Из условия нормировки B3.63) находим связь между вариа-
вариациями:
Умножая последнее соотношение на множитель Лагранжа
^_ Е и складывая его с B3.64), можем выбрать К таким об-
образом, чтобы все вариации 6ф*, бф* и т. д. были бы независи-
независимыми. Отсюда получаем уравнения Хартри
ft ; ч Bз-б5)
Аналогичные уравнения находим также и для комплексно-со-
комплексно-сопряженных функций.
Умножая первое уравнение на 'ф* и интегрируя его по всему
пространству первой частицы, а второе — на-ф* и интегрируя его
по всему пространству второй частицы, и взяв полусумму от по-

378 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч II!
лученных уравнений, находим выражение для энергии
в -1 $ 4>;W4+1 ? ?' $ W 4" W W B3-66)
причем в случае двух частиц /, /' = 1, 2. Однако этим же выра-
выражением с успехом можно пользоваться также и в случае боль-
большего числа частиц.
Если пренебречь энергией взаимодействия, т. е. положить
члены, содержащие ^o/ri2» равными нулю, то, принимая во вни-
внимание, что
Е = Е{ + Е2 и ^«
уравнение Хартри можно разбить на систему двух независимых
уравнений
(Н,-?,)*, = О,
описывающих движение каждой частицы в отдельности.
Поскольку в задачах, решаемых методом Хартри, электроны
(или другие частицы), как правило, движутся во внешнем поле
(например, в поле ядра) и в поле самих же электронов, этот
метод получил название метода самосогласованного поля.
Фок A930 г.) обобщил метод Хартри, последовательно про-
проведя учет обменных эффектов. Согласно Фоку, пробная функция
в первоначальном уравнении B3.61) выбирается с учетом прин-
принципа Паули. Поэтому класс пробных функций ограничивается
еще требованием антисимметрии (более подробно выбор анти-
антисимметричных функций, удовлетворяющих принципу Паули, бу-
будет рассмотрен нами в следующем параграфе).
Система уравнений Хартри (а также Фока), например, для
электронной оболочки атома, решается методом последователь-
последовательных приближений. Вначале определяется волновая функция в ну-
нулевом приближении (без учета потенциала взаимодействия ме-
между электронами). Учитывая далее потенциал взаимодействия
между электронами, получают уравнения первого приближения.
Затем решение с учетом первого приближения вновь подстав-
подставляется в уравнения Хартри — Фока, и находится следующее при-
приближение и т. д.
Расчет повторяется до тех пор, пока решения не начнут вос-
воспроизводить друг друга, т. е. пока не будет получено самосогла-
самосогласованное решение. Заметим, что эффективное решение этой си-
системы возможно только численными методами интегрирования.
С помощью современных счетных машин удалось определить
энергии, а также волновые функции не только для легких, но и
для тяжелых элементов.

§ 231 АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ В79
Кроме этих приближенных методов, для исследования тяже-;
лых атомов применяется также статистический метод Томаса —
Ферми, который, хотя и не является столь точным, как ме-
метод самосогласованного поля Хартри — Фока, но позволяет
вскрыть сравнительно просто многие закономерности в сложных
атомах. Этот метод мы используем в наших дальнейших иссле-
исследованиях и рассмотрим его в § 25 в связи с теорией периодиче-
периодической системы элементов Менделеева.
ж) Исследование обменной энергии. Остановимся несколько
подробнее на выяснении физической сущности полученной нами
выше обменной энергии B3.24), которая, как мы уже упоми-
упоминали, представляет собой среднее значение кулоновской энергии
взаимодействия двух электронов, когда оба они находятся в
смешанных состояниях, т. е. частично в состоянии п\ и частично
в состоянии я2. Согласно формулам B3.30) и B3.32) общая
энергия системы связана с кулоновской энергией Л'и обменной Л
соотношением
Е = Е? + К±А, B3.67)
причем здесь знак плюс соответствует функции ф0» а минус —
функции г|)а.
Чтобы проанализировать обменную энергию более детально,
рассмотрим поведение системы с течением времени при учете
обменной энергии. Волновые функции симметричного и анти-
антисимметричного состояний можно записать в виде
f(/) = ^"Trt и г|)а(/) = г|>ае~?\ B3.68)
Вводя обозначения
соотношение B3.68) можно представить в виде
o])(/)==-i=r(« + t>)e,
, B3.70)
V2
Рассмотрим состояние системы, описываемое суперпозицией
решений i|>c@ и V(t)*Y-
t) + Ca^(t). B3.71)
*) Такая суперпозиция симметричного и антисимметричного состояний воз-
можна лишь без учета спина частиц, когда мы не можем указать физического
различия между ними. С учетом же спина симметричное состояние соответч

ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. Ill
Нетрудно убедиться в том, что функция ?(/) представляет со-
собой общее решение уравнения Шредингера B3.7) для первого
приближения теории возмущений.
Предположим далее, что в начальный момент времени
(/ = 0) один из электронов находится в состоянии п\у а вто-
второй — в состоянии п2. Тогда функция
Ч' @) = 4г «СС + Са)и + (С° ~ СЭ) °>
должна быть равной функции и. Отсюда следует, что
-^(C'-bC3) — !, а Сс~Са = 0,
V2
ИЛИ
Cc = Ca = -U. B3.73)
V2 v
Из последних равенств для функции B3.71) находим
цг (() = е-ш {и Cos б/ - lv sin б/} = е~ш {Сии + Cov}9 B3.74)
где
Си = cos 6/, Cv == - I sin б/. B3.75)
Очевидно, что амплитуды Си и CVy удовлетворяющие условию
нормировки
|Сир + |Сор=1, B3.76)
характеризуют соответственно вероятности пребывания системы
в состоянии, описываемом либо функцией и, либо функцией и.
При * = 0 коэффициенты равны Cv = 0, Си = 1. Это озна-
означает, что cncteMa в начальный момент времени находилась в со-
состоянии, описываемом функцией и. Однако спустя время
коэффициенты Си и Со согласно B3.75) становятся равными
Си = 0 и Cv = — /,
т. е. состояние системы описывается уже не функцией а, а функ-
функцией v. Это говорит- о том, что если в момент времени t = 0
один из электронов находился в состоянии П\, а другой — в со-
состоянии лг, то по истечении промежутка времени т, наоборот,
первый электрон окажется в состоянии я2, а второй в состоя-
состоянии п\. Время т, за которое происходит «обмен» электронными
ствует спину, равному нулю, а антисимметричное — единице (см. § 24), и по-
поэтому подобное смешение будет носить чисто формальный характер, тем бо-
более что переход с изменением спина относится к запрещенным.

§ 24] УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕЛОЛОБНЫХ АТОМАХ 38L
состояниями, называется временен «обмена». Оно связано с об-
обменной энергией А простым соотношением:
'-S-&- B3.78)
В частности, отсюда следует, что если обменная энергия отсут-
отсутствует (А = 0), то т = оо.
В заключение укажем, что обменная энергия играет замет-
заметную роль только в том случае, когда волновые функции, а вме-
вместе с тем и плотности вероятностей различных состояний, пере-
перекрываются между собой *). Если же перекрытие волновых функ-
функций незначительно, то обменная энергия практически исчезает.
Все это напоминает собой перекачку энергии от одного связан-
связанного маятника к другому. Известно, что если в начальный мо-
момент качается только один из связанных маятников, то через
некоторый промежуток времени его амплитуда станет равной
нулю, поскольку вся энергия колебаний перейдет ко второму
маятнику. При этом время обмена энергией колебаний зависит
от соотношения между собственными частотами колебаний ма-
маятников, достигая максимального значения, когда эти частоты
совпадают (случай резонанса).
Следует подчеркнуть, что приведенная аналогия является чи-
чисто внешней и имеет место только в силу проявления волновых
свойств в обоих явлениях.
§ 24. УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ
а) Симметричные и антисимметричные состояния. Как было
указано в начале § 23, квантовая теория многих одинаковых ча-
частиц обладает рядом специфических особенностей, не имеющих
классического аналога. Основная особенность связана с прин-
принципом тождественности, согласно которому состояние системы
остается неизменным при обмене частиц местами. Рассмотрим
проявление этих свойств на простейшем примере двух тожде-
тождественных частиц. Состояние отдельной частицы с радиус-векто-
радиус-вектором г будем характеризовать тремя пространственными кванто-
квантовыми числами (п — главное, / — орбитальное, m — магнитное),
обозначаемыми сокращенно через п, и четвертым — спиновым
квантовым числом s. Волновая функция двух частиц согласно
упрощенным обозначениям имеет вид
ь su rг; п2, 52, г2), B4.1)
•) Простые расчеты показывают, что в атоме гелия время обмена двух
электронов, находящихся соответственно в состояниях 15 и 2s, имеет поря-
порядок Ю-15 с.
Если же второй электрон удалить в состояние 105, то тогда волновые
функции фактически не будут перекрываться и время обмена увеличивается
До нескольких лет, т. е. практически до бесконечности.

382 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
где индексы 1 и 2 относятся соответственно к первой и второй
частицам.
Введем далее оператор перестановки частиц Р, действие ко-
которого на волновую функцию заключается в том, что он меняет
местами квантовые числа п\, s\ и п2, s2 *) у частиц, т. е.
si, rи п2у 52, г2) = Чг(п2, 52, гх\ пи $х, г2). B4.2)
Нетрудно найти собственные значения этого оператора
P^Ffa, sx, r{; пъ 52, r2) = W(n{, sb r{; п2, s2, г2). B4.3)
В самом деле, как следует из B4.2), двукратное применение
этого оператора Р должно привести систему к исходному со-
состоянию
Р2^^, sb r{; пъ s2, r2) = y?(nif s,, rx\ n2, s2, r2). B4.4)
С другой стороны, из B4.3) следует, что
Р2х?(пь s,, r{\ n2t s2, r2) = X24(nu slf rf, n2f s2, r2). B4.5)
Таким образом, собственные значения оператора перестановки
равны
Я, = ±1. B4.6)
Этот результат означает, что при перестановке частиц местами
волновая функция либо остается без изменений: К = 1 (такие
функции называются симметричными)
ЧгЦпц, sif г{; пъ s2, r^ — W{n2, s2, r{\ nu 5i, r2), B4.7)
либо меняет знак: к = —1 (такие функции называются анти-
антисимметричными)
Wa(%, s{t г и п2, s2, r2) = — W («2, s2, r и п{, s{, г2). B4.8)
Квантовая механика утверждает, что совокупность тожде-
тождественных частиц может находиться в состояниях только с опре-
определенным типом симметрии. В частности, в природе реализуют-
реализуются либо симметричные состояния (волновая функция симметрич-
симметрична), либо состояния антисимметричные (волновая функция ан-
антисимметрична).
б) Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна. Как
известно, тождественные частицы делятся на два класса с прин-
принципиально различными статистическими свойствами. Различия
в статистических свойствах оказываются существенно связанны-
связанными со спином частиц.
В частности, оказывается, что частицы с полуцелым спином
(в единицах постоянной Планка ft; 5 = l/2i 3Д> ...) подчиняют-
*) Это эквивалентно переетяновя-е обеих частиц.

§ 24] УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ 383
ся статистике Ферми —Дирака (фермионы). К числу фермио-
нов относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, мю-ме-
зоны (спин у всех равен Уг)- В отличие от фермионов частицы
с целым спином E = 0, 1, ...) подчиняются статистике Бозе-^
Эйнштейна (бозоны). К числу бозонов относятся, например, пи-
мезоны, ка-мезоны (спин равен 0), фотоны (спин равен 1) и т.д.
Не имея возможности детально останавливаться на анализе
статистических свойств совокупности частиц, укажем, что в слу-
случае статистике Бозе — Эйнштейна в каждом состоянии может
находиться любое (без ограничения) число частиц. В случае же
статистики Ферми — Дирака в каждом состоянии, характеризуе-
характеризуемом четырьмя квантовыми числами, может находиться не более
одной частицы (см. § 22). Эта характерная для фермионов осо-
особенность была установлена эмпирически Паули A923 г.) еще до
создания квантовой статистики и известна под названием прин-
принципа Паули (запрета Паули).
Для того чтобы установить связь типа симметрии состояния
со статистикой, рассмотрим систему двух частиц, каждая из ко-
которых описывается функциями
Для описания фермионов мы должны составить из этих функ*
ций антисимметричное решение *)
*'=w (¦-.* (ri) ¦- (г«) - ¦-* (г>) ¦«.« ('*))' B4-9)
поскольку состояние, когда обе частицы обладают одними и
теми же квантовыми числами
п1 = п2} sl = s2, B4.10)
становится невозможным, так как волновая функция B4.9) об-
обращается в нуль:
Ч*(пи su г и пи sl9 г2) = 0, B4.11)
что находится в согласии с принципом Паули.
Точно так же для описания бозонов следует взять симмет-
симметричное решение
^(%*>(ri) **»(Гг)+¦-*(ri) ¦•* ('«)>• B4Л 2)
*) Мы предполагаем, что функции ^П{$1 и фпл взаимно ортогональны и
нормированы на единицу. Поэтому для нормировки 4fa введен множи-
множитель ——.
V2

384 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч Ш
которое не запрещает наличия в одном и том же квантовом со-
состоянии (см. B4.10)) обеих частиц, поскольку
Vc(nusu n; nl9 5„ г2)^0. B4.13)
в) Связь Рессела — Саундерса и (jj)-связь. Поскольку в
дальнейшем мы будем иметь дело с двумя электронами, то для
их описания следует взять антисимметричное решение B4.9).
Одной из важнейших задач, которая при этом возникает, яв-
является установление порядка сложения четырех мОхМентоз: двух
орбитальных (U и h) и двух спиновых (s\ и s2).
По классической теории этот порядок был бы совершенно
безразличен. По квантовой же теории это не так! Согласно век-
векторной модели сложение векторов должно происходить под та-
такими углами, чтобы в геометрической сумме мы имели либо
целое, либо полуцелое значения в зависимости от того, является
ли алгебраическая сумма целым, либо полуцелым числом.
Поэтому сложение этих четырех векторов мы можем произ-
произвести двумя путями.
Можно сначала сложить по отдельности орбитальные и спи-
спиновые моменты (в сумме мы должны иметь целые числа)
? = /, + /2, B4.14)
S = 8{ + 829 B4.15)
а затем найти общий момент (целое число)
J = L + S. B4.16)
Такая связь носит название LS-связи или связи Рессела — Са-
Саундерса.
Она соответствует наличию двух независимых законов сохра-
сохранения для орбитальных (см. B4.14)) и спиновых (см. B4.15))
моментов. Чаще всего она осуществляется у легких элементов
(см. ниже). Возможна и другая схема сложения моментов, а
именно: вначале можно сложить для каждого электрона спино-
спиновый и орбитальный моменты (полуцелые значения):
/i = *i + *i> B4.17)
Л = /2 + *2, B4.18)
а затем найти полный момент обоих электронов (целое зна-
значение)
/ / + B4.19)
Такая связь называется (jj)-связью и встречается преиму-
преимущественно у тяжелых элементов. Очевидно, что суммарное зна-

§ 24] УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ 3f5
чение всех моментов в обоих случаях по квантовой геометриче-
геометрической модели может быть различным:
Ь + ЗФЬ + Ь. B4.20)
Осуществление той или другой связи зависит от соотношения
между кулоновской энергией двух электронов и энергией спин-
орбитального взаимодействия. Кулоновская энергия взаимодей-
взаимодействия между двумя электронами (см. формулу B3.39)) равна
|г,-г,|
Спин-орбитальное же взаимодействие определяется выражением
(см. B0.9))
B4.22)
Оно при Z = 2 оказывается значительно меньше кулоновского,
поэтому для атома гелия осуществляется рессел-саундерсовскай
связь.
Как видно из последней формулы, порядок величины спин-
орбитального взаимодействия сильно зависит от заряда ядра
Z(~Z4), так что для больших значений Z (тяжелые элементы)
величина ?с-- °- может оказаться существеннее, чем кулоновская,
В этом случае реализуется (//) -связь.
г) Волновая функция атома гелия с учетом спина. Рассмо-
Рассмотрим более подробно волновую функцию атома гелия, где вза-
взаимодействие спинов и орбитальных моментов электронов долж«
но носить характер рессел-саундерсовской связи.
Поскольку в последнем случае независимо складываются
орбитальные и спиновые моменты, волновая функция может
быть записана в виде произведения двух частей, одна из кото-
которых зависит от спинов частиц, другая — от их координат.
Учтем, что волновая функция должна быть антисимметрична
относительно перестановки четырех квантовых чисел
Ч> = С (Sl> s2) %ini (г,, r2) = -C (s2, s,) ^ (r,, r2) =
= -C(s2, s,)W2. '.). B4-23)
причем здесь перестановка координат эквивалентна перестанов-
перестановке не четырех квантовых чисел (пространственных и спиновых),
как в B4.9), а только трех пространственных. Это реализуется
в двух случаях: либо в случае, когда функция является симмет-
симметричной относительно спинов и антисимметричной относительно
координат, либо наоборот. Поэтому мы имеем следующие два
13 А. А, Соколов и др.

386 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. ITI
типа решений *):
V'-C'^.s,)^^,^, B4.24)
^-C^Sl,s2)^n!(rvr2). B4.25)
Напомним, что координатная часть волновой функции нами
получена (см. § 23). При п\ Ф п2 имеем
¦U('i»'«)—^ («+*)• <24-26>
<«Arvr2) = ^={u-v), B4.27)
где
«-¦,('.)¦..(',).
Обратимся теперь к исследованию спиновой части волновой
фушодш двух .злектродав. В случае свшм йессела — Сауаддереа
сшшоше моменты ^складываются независимо от орбитальных.
Спиновые функции для каждого электрона выберем в виде
собственных функций оператора прашадш спиш на шь г
S,«f** B4.29)
а также оператора квадрата спяновот .момента
Здесь двухрядные матрицы Паули .о (см. A6,26)) мы „будем
писать без штриха:
•¦-(¦? 1). «'=(?-
Спиновая функция C=(Cl) одной частицы удовлетворяет,
таким образом, двум уравнениям:
B4.31)
= -$.. (о? + оН*») (^ ) = А% С;) • B4-32)
Учитывая, что 0^= 1 и т. д., из ураанения B4.32) находим
Х2 = 3/4- Матричное же уравнение B4:31) для определения X?
*) Обе функции ?а и 4го являются антисимметричными пр^и лереставокке
всея летырех-квантовых чисел. В данном случае «индексы у этих функций ш-
ределяют .характер симметрии относительно дространственных координат8

§ 24] УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ 387
эквивалентно системе двух однородных алгебраических урав-
уравнений:
Cl(V2-*l)==0> B4 33)
MYi + *i)-o, B4'33)
из которых следует, что существуют два решения, соответствую-
соответствующие двум возможным ориентациям спина относительно оси г:
1)^1 = V2, Ci=U с2 = 0.
При этом спин, направлен параллельно оси г. Волновая функ-
функция, принадлежащая собственному значению V2, имеет вид (см.
A6.48))
C(V2>=(J); B4.34)
2) А,, = —72> Ci = 0, c2=\.
В этом случае спил направлен антипараллельно оси г. Соот-
Соответствующая волновая функция равна
B4.35)
В решениях B4.34) и B4.35) в скобках у амплитуд С указано
значение проекции спина на ось г. Нетрудно заметить, что обе
спиновые части волновой функции удовлетворяют условию орто-
нормированности. Действительно, если под сопряженной (точ-
(точнее, эрмитово-сопряженной) спиновой функцией понимать, как
обычно, матрицу из одной строки
то из B4.-34) и B4.35) следует, что
с+ G2) с G2) - с+ (-72) с (-72) -
Действие же матриц Паули на спиновые функции B4.34) и
B4.35) будет следующим:
& cr2C(±72) = ±/C(=F72), ,0. _
При наличии двух электронов оператор проекции полного
спина на ось г, а также оператор квадрата полвого спина соот-
соответственно равны
К = К + К = !/2Й К + <), B4.37)
S2 = /i2C/2 + 72(aV0). B4.38)
13*

388 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
Здесь штрих и два штриха у матриц Паули означают, что
эти матрицы должны действовать на спиновые функции соответ-
соответственно первого (С/(±1/2)) и второго (С"(±1/2)) электронов.
Из спиновых функций обоих электронов мы можем составить
три симметричные комбинации:
= С (-%)(?'{-Ч*)9 B4.39)
=~ij?[с'A/2) с" {~1/2)+с' (
н одну антисимметричную:
С*==~ [С G2) С" (~72) - С (-Уя) С" G2)]. B4.40)
Для того чтобы найти ориентацию спина относительно оси г,
подействуем на спиновые симметричные функции оператором
B4.37).
С помощью равенств B4.36) можно показать, что
SzCcx = hCcu B4.41)
S2C!=-ftC2c, B4.42)
S*C§ = 0, B4.43)
т. е. в состоянии Ci спины обоих электронов направлены по
оси 2(ff), в состоянии С2— против оси 2(j|) и в состоянии
Сз— перпендикулярно к оси z(zt).
Для того чтобы найти абсолютное значение общего спина,
воспользуемся соотношением, которое легко получить, учитывая
B4.36):
S2Cl 2, з = h2 [3/2 + V2 (aV')] Cl 2, з = h2S (S + 1) Ci 2,3> B4.44)
где S == 1, т. е. общий спин симметричного состояния равен еди-
единице (спины обоих электронов параллельны).
Учитывая B4.36), равенства B4.41) —B4.44) можно получить по сле-
следующей схеме:
(*з + О С* - с" (Vi) °*С' (Vi) + С'Ш <у%С" (У,) - 2С7 (У2) С7/ (У,) - 2С^,
(а V) С^ - о^С7 (У2) а^С/7 (У2) + о?г (У,) а^С7/ (У2) +
+ <ТзС7 (У«) <^7 Ш = С7 (~У2) С77 (-У2) - С7 (-У2) С7/ (-у2) +
+ С7 (У2) С" (У,) = CJ и т. д. B4.45)
При действии спиновых операторов на антисимметричную
спиновую комбинацию B4.40) аналогичным путем легко пока*.

2А]
УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОЬНЫХ АТОМАХ
389
зать, что
B4.46)
B4.47)
т. е. антисимметричное спиновое состояние Са описывает случай,
когда спины обоих электронов направлены антипараллельно
друг другу.
В случае, если оба электрона находятся в одном и том же
состоянии п\ = п2, существует только одно решение с симмет-
симметричной координатной частью (см. замечание к формуле B4.24))
\ec~Ca(s[9 s2)^cf B4.48)
^с — и = ФЙ1 (гд %t (r2)- B4.49)
д) Пара-, ортогелий. Мы получили волновые функции, кото-
которые характеризуют две системы состояний. Одна система со-
состояний (парагелий) имеет место, когда волновая функция сим*
метрична относительно перестановки координат (см. B4.25)) и
общий спин равен нулю, дру-
другая (ортогелий)—когда вол-
волновая функция антисимметрич-
антисимметрична относительно перестановки
координат (см. B4.24)) и об-
общий спин равен единице (рис. Ларагелш
24.1). Заметим, что оба типа
атомов гелия — парагелий и
ортогелий — являются замкну-
замкнутыми, т. е. не переходящими
друг в друга. В замкнутости обеих систем можно убедиться не-
непосредственным расчетом. Действительно, матричный элемент,
соответствующий дипольному переходу из ортогелия в параге-
парагелий (дипольный момент системы пропорционален
Ортаеелии
Рис. 24.1. Ориентация спинов электронов
в атоме гелия.
('с а> = \ t*C (Ги Г2) (Г! + Г2) Г (Г{9 Г2) dQX =
= \ 'Ф*0 (f2> f i) (г2 + П) <Фа (г2, r{) dQx =
= — \ Ф*0 (г\, г2) (г{ + ^2) V {г\9 r2) d^Xy B4.50)
оказывается равным нулю, поскольку*)
(гс ва> = — (гс .а) == 0. B4.51)
*) В B4.50) мы произвели замену переменных интегрирования и восполь-
воспользовались свойством симметрии волновых функций.

390 теория многих частиц [ч. in
е) Энергетический спектр атома гелия. Общий орбитальный
доомент L, получающийся в результате сложения орбитальных
моментов двух электронов U и U (рессел-саундерсовская связь)',
должен принимать целочисленные значения. В частном случае,
если h = k = 1 (оба электрона в р-состоянии), общий орби-
орбитальный момент может быть равным L = 2, 1, 0. Это соответ-
соответствует сложению моментов по векторной модели:
1) L = 2. Моменты параллельны: 7iff/2, L = /i + '2 = 2.
2) L = 1. Складываемые моменты расположены под углом
60°: I = /i + /2—1 = 1.
3) L = 0. Моменты антипараллельны: l\\\t2^ L = lx — 1% = 0.
В общем случае при l\ ^ k число L принимает всевозможные
целые значения
L = /1 + /2, /, + /2-l, h + k-2, ..., /1-/2. B4.52)
В отличие от водородоподобного атома, .термы сложных атомов
с определенным орбитальным моментом L обозначаются боль-
большими латинскими буквами:
L = 0, S-состояние;
L = 1, Р-состояние;
L = 2, .D-состояние;
L = 3, F-состояние и т. д.
Мультиплетность этих термов определяется согласно вектор-
векторной модели числом значений, которые может принимать при за-
заданном L полный момент количества движения
J = L + S, L + S— 1, ..., |L —51. B4.53)
Отсюда видно, что число этих значений при L^S равно
v = 2S+l, B4.54)
а при L < S
v = 2L+l. B4.55)
Поэтому все уровни парагелия (S = 0) должны быть син-
глетными (v=l, / = L) и при любых полях должен наблю-
наблюдаться нормальный эффект Зеемана.
Для ортогелия (S = 1) уровни, как правило, должны пред-
представлять собой триплеты (v=3, / = L + 1, Lt L —1),.за исклю-

Г 24]
УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМА^
391
чением состояния с L = 0 (см. B4.55)), когда уровни должны
быть синглетными *).
Несмотря на это исключение, все уровни ортогелия обозна*
чаются индексом v = 3. В случае слабых магнитных полей в
ортогелии^ должен наблю-
наблюдаться аномальный эффект
Зеемана.
Перечислим теперь наи-
наиболее низкие уровни атома
гелия с П\ = 1 и М2 = 1,2.
В случае парагелия мы
можем написать следующие
ггермы:
(Is, ls)lSbt
(Is, 2p)'P,.
1д
16
и
12
10
6
6
уро
Рис. 24.2. Схема энергетических уровней атома
гелия. Расщепление 3Р-уровней дано не в мас>
штабе. Длина волны задается в ангстремах (А),
причем 1 А = 10~8 см.
В скобках указаны со-
состояния отдельных электро-
электронов, образующих атом ге-
гелия. Большой буквой обо-
обозначен суммарный орби-
орбитальный момент. Индекс
вверху указывает принад-
принадлежность еГО ТОЙ ИЛИ ИНОЙ
МуЛЬТЯПЛеТНОЙ Структуре
(v = 1 — парагелий, v = 3 —
ортогелий) и, наконец, индекс внизу указывает значение пол-
полного момента количества движения.
Точно так же низшими термами ортогелия являются:
(ls,2s)*Slf
(Is, 2pKP2,
(Is, 2p)*Pl9
(Is, 2рУР0.
Состояние, для которого rt\ = ti2 = 1, в ортогелии в силу за-
запрета Паули должно отсутствовать, и поэтому наинизшим уров-
уровнем в ортогелии является уровень (Is, 2sK5i, который оказы-
оказывается метастабильным, ибо переход на более- низкий уровень
*) То же самое мы имеем и для водородоподобного атома. Дублетными
являются состояния, начиная с / = 1 (р-терм), / = 2 (d-терм) и т. д., со-
состояния с / = 0 (s-терм) остаются синглетными,

392 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч 111
(Is, Is), принадлежащий парагелию, запрещен правилами от-
отбора.
Общая схема энергетических уровней пара- и ортогелия при-
приведена на рис. 24.2.
Для элементов третьей группы (S = 'Д или 3А) мы будем
иметь соответственно дублеты и квартеты и т. д. Таким образом,
общее число валентных электронов полностью определяет ха-
характер расщепления спектральных линий.
§ 25. СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
а) Общие сведения. Согласно современным представлениям
атомы состоят из атомных ядер, вокруг которых вращаются
электроны. Число протонов Z в ядре характеризует порядковый
номер атома, а общее число протонов и нейтронов (т. е. нукло-
нуклонов) определяет массовое число А (модель Иваненко — Гейзен-
берга, 1932 г.).
Поскольку число электронов в нейтральном атоме также
должно равняться Z (напомним, что заряды протона и электро-
электрона равны по абсолютному значению, но имеют противоположные
знаки), то порядковый номер Z должен определять основные
свойства атома.
Атомы, имеющие одно и то же значение Z, но разные значе-
значения Л, образуют изотопы. Например, изотопы урана 2Ци и 2Ц{]
имеют одно и то же число протонов и электронов (Z = 92), но
разное число нейтронов (А—Z = 146 и 143). Несколько слов
скажем о массе атома и единице ее измерения. В атомной фи-
физике массу частицы принято выражать в единицах ее собствен-
собственной энергии, которая в свою очередь задается в миллионах элек-
тронвольт (МэВ). Простой расчет показывает, что масса в
1 МэВ = 1,8- Ю-27 г.
В энергетических единицах массы покоя электрона (т0), про-
протона (Мр) и нейтрона (Afn) соответственно равны:
то = 0,51 МэВ,
Мр = 938,3 МэВ,
Afn = 939,5 МэВ.
Экспериментальные данные показывают, что масса атома
всегда меньше суммы масс свободных электронов, протонов и
нейтронов (в первом приближении массой электронов вообще
можно пренебречь).
Это уменьшение обусловлено ядерным взаимодействием нук-
нуклонов. Энергия, удерживающая нуклоны (т. е. протоны и ней-
нейтроны) в ядре, отрицательна, и поэтому масса ядра должна

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 393
быть равна
Дефект массы AAf = J-yL. как показывают эмпирические
данные, примерно пропорционален массовому числу Л, так что
отношение-д-= ДМ0 (удельный дефект массы) для большин-
большинства элементов лежит в пределах от 7 до 8,5 МэВ. Исключение
составляют лишь самые легкие ядра A,1 МзВ у iH, 2,8 МэВ
у ?Н и достигает практически насыщения 7 МэВ у гНе). У тя-
тяжелых элементов ДМ0 слабо понижается с увеличением Л. Ма-
Максимум для АМ0 наблюдается примерно в середине периодиче-
периодической системы.
Из сказанного выше становится ясным, что за атомную еди-
единицу массы следует выбрать массу любого достаточно тяжелого
элемента, деленную на Л. В этом случае масса других элемен-
элементов будет примерно кратна этой массе*). До 1961 г. за единицу
массы выбиралась единица, равная 1/16 массы атома кислорода.
Однако после открытия редких изотопов кислорода ^О и ^О
появились две единицы: химическая и физическая.
В химических единицах Лх за единицу массы берут 1/16 сред-
средней массы естественной смеси кислорода**), а в физических
единицах Лф— 1/16 массы изотопа ^О.
Переход от химической шкалы (до 1961 г. фактически ее
главным образом и использовали) к физической повел бы к за-
заметному увеличению атомных весов (Лф = Ах* 1,000275). При-
Приемлемой оказалась углеродная единица {Ас), равная 1/12 части
массы изотопа *бС. С прежними химическими весами она свя-
связана соотношением: Ас = Лх-1,000043, что практически на мно-
многих химических расчетах просто не скажется. В 1961 г. углерод-
углеродная единица была окончательно принята.
В другие детали строения атомного ядра мы вдаваться не
будем, а остановимся здесь более подробно на вопросе о распре-
распределении электронов по энергетическим уровням атома.
При нахождении энергетических уровней в атоме необходимо
учесть не только кулоновское притяжение электронов к ядру,
приводящее к энергии водородоподобного атома
В—eg-. B5.1)
*) Если бы мы выбрали за единицу массы массу водорода JH, то масса
других элементов была бы далеко не кратна этой массе, поскольку энергия
связи для ядра водорода, очевидно, равна нулю.
**) Заметим, что пропорция изотопов с каждым годом все время уточ-
уточняется, и это вносит известные неудобства в определение Лх.

394 теория многих частиц [ч. ш
но и взаимодействие между всеми электронами, которое должно
уменьшить по абсолютному значению эту энергию.
Каждый электрон в сложном атоме, так же как и в атоме
водорода, характеризуется четырьмя квантовыми числами. При
наличии связи Рессела — Саундерса, когда спиновые и орби-
орбитальные моменты отдельных электронов складываются незави-
независимо друг от друга, за эти квантовые числа следует взять:
1) главное квантовое число п— 1, 2Г 3, ...,
2) орбитальное Г=0, 1, 2, ..., (п—1),
3) магнитное т = О, ± 1, ..., ± /,
4) спиновое rns^x±l/2t характеризующее про-
проекцию спина на ось г.
При наличии же (//)'-связи в качестве четырех квантовых
чисел выбираются:
1) главное п,
2) орбитальное /,
3) внутреннее / = |/ ± V2I,
4) trif = —j, —/ + 1, ..., / — 1, /, характеризующее проек-
проекцию полного момента количества движения на ось г.
Как известно, для легких элементов имеет место связь Рессе-
Рессела— Саундерса, а для тяжелых (//)-связь. Оказывается, оба
типа связи дают одинаковое число состояний с заданными зна-
значениями / и п:
Группа энергетических уровней, описываемых одним и тем
же значением главного квантового числа /г, образует так назы-
называемый слой.
В зависимости от значения п для слоев введено следующее
буквенное обозначение (рентгеновская классификация слоев):
К{п = 1), Цп =* 2), М (п = 3), N (п = 4),
О (м==5)> Р (л = 6), Q (л = 7).
Внутри слоя электроны, обладающие различными значения^
ми орбитального квантового числа / = 0, 1, 2, 3, ..., образуют
s-, p-, d-, f- и т. д. оболочки. При заполнении слоев и оболочек
следует учитывать принцип Паули, согласно которому в каждом
квантовом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми
числами, не может находиться более одного электрона.
Поэтому в состоянии с фиксированными значениями n, /, m
может находиться максимум, два электрона, отличающихся друг
от друга направлением спина (ms = ±72). Принимая также во
внимание, что квантовое число т, изменяющееся в пределах от
—/ до +1, может принимать 2/+ 1 значений, находим следую-
следующее выражение для максимального числа электронов в задан-
заданной оболочке:
#„, = #! = 2 B/+ 1). B5.2)

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 395
Из последней формулы следует, что максимальное число
электронов в заданной оболочке s (/ = 0), р (/ = 1), d (/ = 2)
и / (/ = 3) будет соответственно равно
/Vs = 2, Wp = 6, Nd=l0, Nf=l4.
Оболочки с более высоким значением / в невозбужденных
атомах не встречаются.
Наконец, найдем максимальное число электронов, которое
может находиться в заданном слое:
= 2п -^Ц^—L = 2n\ B5.2a)
Отсюда видно, что в /(-слое может находиться максимум 2 элек-
троца, в L-слое — 8 электронов, в М-слое — 18 электронов, в
TV-слое — 32 электрона и т. д.
Чтобы установить порядок заполнения слоев, и в особенно-
особенности оболочек,;В сложных атомах, необходимо учесть еще взаимо-
взаимодействие между электронами.
Квантовая механика позволила развить приближенные мето-
методы, которые в применении к сложным атомам дают правила за*
волнения оболочек и,энергию связи.
Наиболее простыми в этом отношении являются, как указы-
указывалось в.§ 23, вариационные методы (Ритца, Хиллерааса и др.)л
которые применимы к исследованию легких атомов (примерно
до калия). Более полный анализ строения атома можно произ-
производить с помощью метода самосогласованного поля, развитого
в работах Хартри и Фока (см. § 23). Этим методом удалось
определить распределения электронов по слоям и оболочкам не
только в легких, но и в тяжелых атомах. Метод самосогласован-
самосогласованного поля позволяет даже обнаружить оболочечную структуру
сложных атомов.
К сожалению, использование этого метода связано с очень
большой вычислительной работой, которая может быть выпол-
выполнена только при помощи сложных вычислительных машин; при
этом для собственных функций, характеризующих распределе-
распределение электронов, получаются не аналитические выражения, а
лишь числовые таблицы.
Менее точные результаты могут быть получены с помощью
статистического метода Томаса — Ферми. Однако благодаря
своей сравнительной простоте он нашел довольно широкое при-
применение к расчетам сложных атомов (см. конец этого пара*
графа).

396
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
III
б) Спектр щелочных металлов. При исследовании спектраль-
спектральных линий в сложных атомах следует различать внешние и вну-
внутренние слои.
В атоме водорода имеется только внешний слой, в котором
находится один электрон (/(-слой). У гелия (Z = 2) заканчи-
заканчивается построение /(-слоя (инертный газ). У лития (Z = 3) вну-
внутренний слой (/(-слой) заполнен, а во внешнем L-слое находится
один электрон (щелочной
металл, элемент первой
группы); у Ne (Z = 10) за-
заканчивается заполнение
L-слоя. Далее, у натрия
(Z=ll) внутренние слои
К и L заполнены полностью,
а во внешнем М-слое нахо-
находится один электрон (ще-
(щелочной металл) и т. д. За-
Заполнение слоев у этих ато-
атомов изображено на рис. 25.1.
Следует заметить, что
энергия связи, приходящая-
ся на один электР0Н внУв
треннего слоя,гораздо боль-
больше, чем для электрона, на-
находящегося во внешнем слое.
Так, например, отрыв перво-
первого валентного электрона у
лития требует затраты энер-
энергии только 5,39 эВ. При от-
отрыве же второго и третьего
электронов, лежащих во внутренних слоях, требуется соответ-
соответственно энергия 76 и 122 эВ.
Поскольку у атомов первой группы (Li, Na, К, Rb, Cs и т.д.),
получивших название, щелочных металлов, во внешнем слое на-
находится, так же как у атома водорода, по одному электрону, то
поэтому их оптические и химические свойства в основном долж-
должны напоминать свойства атома водорода (например, как извест-
известно, все эти элементы являются одновалентными, и у всех
у них обнаруживается дублетное расщепление спектральных
термов).
Оптический спектр возникает, когда переход совершает ва-
валентный электрон (т.е. электрон внешней орбиты), оказавшийся
до этого благодаря возбуждению атома на более высоком
уровне.
Возбуждение же электронов внутренних орбит требует, как
правило, значительно большей энергии, а переходы электронов
Рис. 25.1. Схема заполнения электронных обо-
оболочек в различных атомах. Слева—-атомы,
у которых начинается заполнение внешних
оболочек (водород, щелочные металлы); спра-
справа—атомы с заполненными оболочками
(инертные газы). Черными точками обозна-
обозначены электроны, а светлыми кружками (с плю-
плюсом)—ядра.

§ 25] СТРОЕ!ШЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 397
из возбужденных состояний обратно в основные состояния вну-
внутренних орбит сопровождаются рентгеновским излучением.
Ядро атома вместе с электронами внутренних орбит образует
так называемый атомный остов, заряд которого равен Za =
= Z — N9 где N — число электронов на внутренних орбитах.
Для щелочных металлов (Li, Na и т. д.) величина N = Z — 1
и заряд «атомного остова» для них равен единице (Za=l).
Поэтому основная часть потенциальной энергии, удерживающая
внешний электрон в щелочном металле, будет такая же, как и в
атоме водорода, т. е.
2 JI
в основу исследования спектра щелочных металлов мы можем
положить соответствующее выражение энергии, полученное для
атома водорода (см. § 12):
??«=--!?. B5.3)
Точно так же за основное приближение волновых функций
мы можем взять волновые функции атома водорода
¦° «=+«/«. B5.4)
Однако в щелочных металлах при рассмотрении взаимодей-
взаимодействия между валентным электроном и атомным остовом, помимо
кулоновского взаимодействия, следует также учитывать силы
поляризации и эффект размазанности атомного остова по неко-
некоторому объему, что дает в энергии B5.3) некоторые добавки и
снимает вырождение по /, которое имеет место для атома во-
водорода.
В боровской полуклассической теории орбиты валентных
электронов строго разделялись на «непроникающие» и «прони-
«проникающие» внутрь атомного остова.
В случае «непроникающих» орбит (каковыми являются орби-
орбиты с траекторией, близкой к круговой) следует учитывать лишь
силы поляризации, так как потенциал за пределами атохмного
остова (т. е. за пределами внутренних орбит) при сферически-
симметричном распределении заряда совершенно не зависит от
закона распределения этого заряда по радиусу. Только для
«проникающих» орбит (вытянутых эллипсов) этот закон распре-
распределения заряда является весьма существенным (рис. 25.2).
В квантовой теории понятие траектории теряет свой смысл;
само же разделение на «непроникающие» и «проникающие» ор-
орбиты является условным и означает: можно ли положить внутри
атомного остова волновую функцию, описывающую движение
валентного электрона, равной нулю (для «непроникающих» ор-
орбит), или нет (для «проникающих» орбит).

398
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. III
В связи с этим следует заметить, что s-орбита электрона в
сложном атоме всегда является «проникающей», так как ее вол-
волновая функция отлична от нуля не только внутри атомного осто-
остова, но даже и в центральной части атома, т. е. в области ядра,
~Тз- B5.5)
Вычислим прежде всего силы поляризации, которые возни-
возникают между внешним электроном и атомным остовом. Внешний
электрон должен отталкивать электроны внутренних слоев и
притягивать ядро. Благодаря этому атомный остов поляризуется,
и между ним и внешним
онинающая"* эл
электроном возникают до-
полнительные силы поляри-
„Лроникающая" зации
орбита
[1
2e'0(Z-l)x
B5.6)
Рис. 25.2. «Непроникающие» и «проникающие»
орбиты в атомах щелочных металлов.
Величина во (Z — 1) х = р
представляет собой поляри-
поляризацию атомного остова.
Рассматривая атомный остов как упругий диполь, мы можем,
с другой стороны, положить
р = р<?Г, B5.7)
где р — поляризуемость атома, а
ер
Г2
B5.8)
— абсолютная величина электрического поля, создаваемого
электроном внешней орбиты в центре атомного остова. Учиты-
Учитывая последние соотношения, получаем следующее выражение
для потенциальной энергии поляризации:
2r*
B5.9)
Тогда для дополнительной энергии поляризации, которую в дан-
данной задаче можно рассматривать как возмущение, находим:

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
Так как согласно A2.40а)
3 * ъг?
соотношение B5.10) можно привести к виду
где
/25
A -
02 —
Отсюда для полной энергии, которая в данном случае зависит
не только от п, но и от / (спиновые поправки мы пока не учи-
учитываем), находим
Подставляя сюда вместо АЯпол значение B5.11) и принимая во
внимание соотношение
B5.13)
получаем
поскольку
el
2a,Qti2
п2 ~
el
2ао
4
2аоп2 '
26
el
2д0 (ft бJ
1 ,Wi _ A
-бJ ~ /г2 V1 «
(л-б)
Вводя далее эффективное главное квантовое число пЭ
= п — 6, имеем
Е -
Заметим, что формулой B5.12) мы не можем пользоваться
для s-состояний, поскольку при /=0 коэффициент 6i обра-
обращается в бесконечность. Это обусловлено тем обстоятельством,
что силы поляризации имеет смысл вводить лишь в случае,
когда внешний электрон удален достаточно далеко от атомного
остова. Для 5-орбиты волновая функция не обращается в нуль
даже при г = 0 (см. B5.5)),

400 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Влияние внутренних электронов на s-орбиты, которые яв-
являются «проникающими», связано главным образом с размазан-
размазанностью электронного облака атомного остова. Вообще же допол-
дополнительная энергия, обусловленная размазанностью электронов
по объему атомного остова, должна определяться выражением
B5.14)
где Уоб — разность потенциальных энергий, создаваемых элек-
электронами атомного остова с учетом реального распределения их
по некоторому объему и эквивалентным зарядом, сосредоточен-
сосредоточенным в центре.
Для того чтобы оценить хотя бы порядок величины поправ-
поправки S для s-орбит, предположим, что Z — 1 электронов внутрен-
внутренних орбит равномерно заполняют объем радиуса R. Тогда имеем
Уоб = - г Ч1~3/»1Г + 1/8-^>)- B5Л5)
Далее, заменяя волновую функцию ее значением в нуле (см.
B5.5)), найдем следующее приближенное выражение для до-
дополнительной энергии 5-орбит:
Д/7 /¦«¦»/ __ 2/ ^ .— . _, (О^л 1 (л\
причем величина
б = 2/5-^- B5.17)
a0
уже не расходится.
Здесь следует учесть, что согласно модели Томаса — Ферми
(см. ниже) радиус атома равен
# = ^Г> B5.18)
где у — коэффициент, характеризующий закон распределения
заряда внутри атома, — им^ет порядок единицы.
Следовательно, для полной энергии электрона в случае «про-
. пикающих» s-орбит вновь получаем формулу вида B5.13):
(п - бJ о^фф
где пЭфф = п — б, но теперь б определяется выражением B5.17).
Для того чтобы проанализировать различие поправок для
«проникающих» и «непроникающих» орбит, рассмотрим для
примера атом Li,

$25]
СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
401
У него /ьорбита (/= 1) является «непроникающей». Форму-
Формула B5.12) дает для наинизшего состояния (п = 2) значение
б/? ~ 0,04. В то же самое время для «проникающей» s-орбиты
соответствующее выражение для б* согласно формуле B5.17)
должно быть на порядок больше.
Следует заметить, что с увеличением п при / = const экс-
эксцентриситет орбиты приближается к единице, т. е. эллиптиче-
эллиптические орбиты становятся все более вытянутыми (см. A2.63)):
+1 , B5.20)
благодаря чему к числу «проникающих» орбит для тяжелых
ядер следует постепенно относить не только орбиты с / = 0, но
и все орбиты с большими значениями L
Примечание. Заметим, что поправка б для «проникающих» орбит
значительно больше, чем для «непроникающих».
Соответствующие значения, установленные на основе эмпирических дан-
данных, приведены в следующей таблице (табл. 25.1) (б для «проникающих»
орбит отмечены звездочкой), которая заимствована из книги В. Н. Кон-
Кондратьева. Структура атомов и молекул. — М.: Наука, 1959, с. 181.
Таблица 25.1
г
1
3
11
19
37
55
Поправка 6 к спектрам щелочных
Элемент
н
Li
Na
К
Rb
Cs
б
0,000
0,412*
1,373*
2,230*
3,195*
4,131*
0,000
0,041
0,883*
1,776*
2,711*
3,649*
металлов
6а
0,000
0,002
0,010
0,146*
1,233*
2,448*
0,000
0,000
0,001
0,007
0,012
0,022
Рассмотрим теперь основные спектральные серии атомов ще-
щелочных металлов.
Как известно, энергетические термы атома водорода без уче-
учета релятивистских поправок определяются соотношением
Отсюда находим
(Is) = -? = /?,
Bs) = Bp)=* ¦?- = -?-•
Cs) «(Зр) = Cd) = -§¦=,.*,
B5.21)
B5.22)

402
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
14. Ш
т. е. в атоме Н состояния являются вырожденными не только
по т, но и по /. Схема энергетических уровней в атоме водорода
изображена на рис. 25.3.
В случае атома Li энергетические уровни /(-слоя (п = 1) за-
заполнены (рис. 25.1), и поэтому внешним слоем является L-слой.
Наиболее сильное влияние
Н Li Na /(-слой оказывает на s-орби-
ты, причем соответствующий
сдвиг оказывается настоль*
ко большим, что трудно бы-
было экспериментально опре-
определить, к какому состоянию
п или лг — 1 он относится.
Поэтому, чтобы обозначение
термов напоминало обозна-
обозначение термов атома водоро-
водорода, спектроскописты перво-
первоначально относили его к со-
состоянию/г— И)
(„S) = (/Л) =
= R = R
B5.23)
где /1* = я—1; 6S = 0,412;
s = 1 — ds = 0,588. Для от-
отличия первоначального обо-
обозначения этого терма (n*s)
от истинного (ns) мы в пер-
первом случае будем ставить
звездочку.
Сдвиг других термов
атома лития (/=1, 2) по
сравнению с соответствую-
соответствующими термами атома водорода ничтожен, и принадлежность их
к тому или иному слою решается однозначно.
Таким образом, если в старых обозначениях в атоме Li тер-
термы р, d и т. д. размещались в тех слоях, которые были найдены
для них и теоретически (п* = п), то для s-терма главное кван-
квантовое число было понижено на единицу (л*=я — 1) (рис. 25.3),
Рис. 253. Схема энергетических уровней одно
валентных атомов. Обычно отсчет потенциала
(в эВ) ведется, начиная с нижнего уровня
вверх. Здесь же мы хотим сравнить энергети-
энергетические уровни различных атомов, и за нулевой
уровень взяли потенциал внешнего простран
ства.
*) Если для лития главное квантовое число п принимает значения п =
= 2, 3, 4, ... (состояние п = 1 занято двумя электронами и образует внут-
внутренний слой), то квантовое число п* принимает значения п* = (л— 1) =
= 1, 2, 3, i * •

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 403
В спектрах щелочных металлов известны следующие серии,
которые обозначаются различными буквами, входящими в пере-
переменные термы.
1. Главная серия. Переменным является /?-терм (princi-
(principal — главный). Для этой серии можно записать
<o = (l*s)-(n»,
что означает:
для Н: (Is) — (np) (серия Лаймана), п* — п,
для Li: Bs)-(np), n* = n, B5,24)
для Na: Cs) —(np), n* — n— 1.
2. Вторая побочная (или резкая) серия. Перемен-
Переменным является s-терм (sharp — резкий.):
что означает:
для Н: Bp)~(ns) (серия Бальмера), п* = Пь
для Li: Bp)-(ns), n* = n-ly B5.25)
для Na: C/?) — (ns), n* — n — 2.
3. Первая побочная (или диффузная) серия. Пе-
Переменным является d-терм (diffuse — размытый):
со = B»-(Л0. B5.26)
4. Фундаментальная серия
<j> = C*d)-(n*f). B5.27)
Переменным является f-терм (fundamental).
Эти серии приведены с учетом правила отбора, согласно ко-
которому
А/=±К
Названия этих серий отчасти отражают характер их мультиплет*
ной структуры.
Как и в атоме водорода, мультиплетная структура спек-
спектральных линий щелочных металлов объясняется влиянием спи-
спиновых и релятивистских эффектов.
Чтобы найти расщепление термов, воспользуемся формулой,
учитывающей релятивистские и спин-орбитальные поправки для
водородоподобного атома (см. B0.18)):
где а — еЦНс— 1/137 — постоянная тонкой структуры.

404 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч И!
В щелочных металлах действие электронов внутренних слоев
можно учесть, заменив, например, Z на некоторое эффективное
значение Zэфф < Z:
АЕЖ. =, Л± 7".. (JL 8,Л B5.29)
Для «непроникающих» орбит, очевидно, можно положить
'29фф и 1, так как для них все Z — 1 электронов экранируют по-
положительный заряд ядра. Для «проникающих» орбит ^эфф луч-
лучше всего подобрать из сравнения с экспериментом.
Поскольку внутреннее квантовое число / принимает значения
/ = 7г при / = 0,
/ = /±72 при 1ф0,
можно заключить, что все спектральные термы щелочных метал-
металлов должны быть дублетными, кроме s-терма, который вообще
не расщепляется.
Чтобы найти величину расщепления, вычислим значение
спектральных термов для двух случаев: во-первых, когда спин и
орбитальный момент параллельны друг другу:
h ti
и, во-вторых, когда они антипараллельны (/ ф 0)
» _ 8/Л
<25-30>
B5.31)
Для расщепления термов, равного разности выражений B5.31)
и B5.30), получаем
24
B5.32)
Отсюда видно, что расщепление Ао>п убывает обратно про-
пропорционально кубу главного квантового числа д.
Поскольку в главной серии начальный s-терм не расщепля-
расщепляется, а бегущим является расщепленный р-терм (/= 1), ее спек-
спектральные линии должны представлять собой сужающиеся дуб-
дублеты:
в то время как для второй побочной серии, наоборот, расщеп-
расщепленным /7-термом (/=1) является начальный (я = 2), а бегу-
бегущим является s-терм, поэтому расщепление для всех линий се-

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 405
рии оказывается неизменным (эквидистантные дублеты):
Асо2==-
"эфф
16
Для остальных серий мультиплетное расщепление носит бо-
более сложный характер, так как и начальный, и конечный терм
оказываются расщепленными.
в) Рентгеновские спектры атомов. Экспериментальные све-
сведения о строении внутренних слоев атома были получены при
изучении рентгеновских спектров. Напомним, что рентгеновские
лучи возникают при бомбирдировке пучком быстрых электронов
антикатода электронной трубки (рис. 25.4).
Ч
/ Рентгеновские
J7/VU
Рис. 25.4. Схема рентгеновской трубки: К—катод; АК — а^икатод, с которым соединен
также анод, что является необязательным.
Анализ спектров рентгеновского излучения обнаруживает два
различных типа спектров: сплошной и линейчатый. Сплошной
спектр возникает вследствие торможения электронов при попа-
попадании их на антикатод, в связи с чем его называют также спек-
спектром торможения. Когда энергия падающих на антикатод элек-
электронов превосходит некоторую критическую величину, то на
фоне сплошного возникает линейчатый, или характеристический
спектр.
Свойства линейчатого спектра остаются неизменными для
всех химических соединений данного вещества. Здесь проявляет-
проявляется отличие характеристического спектра от оптического спектра,
поскольку последний зависит от того, находится ли вещество в
атомном или молекулярном состоянии.
Спектральные линии характеристического излучения, так же
как и оптические линии атомов, образуют закономерные после-
последовательности, или серии. Эти серии обозначаются латинскими
буквами К> Ly M, N и т. д., самой коротковолновой из этих серий
является /(-серия, затем идет L-серия и т. д.

406
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч III
Механизм возникновения характеристического (рентгенов-
(рентгеновского) спектра, зависящего от материала антикатода, был объ-
объяснен Косселем A914 г.). Падающий на антикатод электрон, вы-
выбивая электрон, например, из /(-слоя атома антикатода, остав-
оставляет в /(-слое одно вакантное место (рис. 25.5). На это вакант-
вакантное место может перейти электрон со слоя X, М, -N, ..., образуя
тем самым рентгеновские линии, обо-
обозначаемые Ка, /Ср, /CY, ... При таком
переходе электронов с одного внутрен-
внутреннего слоя на другой и возникает ха-
характеристический спектр. Поскольку
энергия связи электронов на внутрен-
внутренних орбитах гораздо больше энергии
связи внешних электронов, для возбу-
возбуждения характеристического рентге-
рентгеновского спектра следует использовать
электроны гораздо больших энергий
(несколько десятков кэВ), чем для
возбуждения оптических спектров (не-
(несколько десятков эВ).
При построении теории сложного
атома с учетом взаимодействия атом-
атомных электронов возможны два подхода. В первом за основной
потенциал можно взять потенциал ядра, полностью экраниро-
экранированного внутренними электронами. Этот подход был нами ис-
использован при построении теории оптических спектров щелоч-
щелочных металлов. При этом основной потенциал определялся за-
зарядом ядра Zeo и зарядом электронов внутренних орбит
— (Z—1)е0..Суммарный потенциал в этом случае равнялся
,O = -?L(Z-(Z-1))=--^, B5.33)
Затем в качестве возмущенного потенциала выбирался дополни-
дополнительный потенциал, учитывающий поляризацию и объемное рас-
распределение электронного облака. Этот путь целесообразно ис-
использовать для описания движения внешних электронов, напри-
например, в атомах щелочных металлов.
Наоборот,.при исследовании движения электронов внутрен-
внутренних слоев за основу.удобно взять потенциал ядра
Рис. 25.5. Схема возникновения
характеристического спектра
по Косселю: J^*— электроны.
Штриховой линией показан про-
процесс выбивания электрона
с /(-оболочки.
ZeQ
г
B5.34)
а дополнительный потенциал, создаваемый электронным.слоем,
рассматривать как лоправку. В этом случае учет электронного
слоя приводит к экранировке (эффективному уменьшению) аа-
ряда ядра ZeQ на величину SneOi благодаря чему общий потен-

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 407
циал становится равным^
Ф = (Z - *п) е° , B5.35)
Например, при исследовании гелиеподобных атомов (см. § 23)
было показано, что учет взаимодействия электронов /(-слоя сво-
сводится в конечном счете к уменьшению эффективного, заряда
ядра, который формально можно положить равным Z* = Z —jg-,
т, е. величина Sn в этом случае равнялась 5/16.
Поправка на экранирование Sn может быть функдией не
только п, но и /. С увеличением п эта поттра&ка возрастает;* так
как следует учитывать все* большее число электронов, экрани-
экранирующих ядро. С увеличением же / она также должна (но не
так сильно) возрастать, так как орбиты будут становиться все-
менее «проникающими», и поэтому эффвкттшгай заряд должен'
в среднем несколько уменьшаться* Б первом1 щтХшптшюь^шуж-*
но считать, что поправка на экранирование не зависит от /.
Потенциал B5.35) дает для .спектральных термов формулу,
полученную для водородшподобного атома, в которой величину Z
следует заменить на Z —-S*:
tn= ^ . Bo.ob;
Из последней формулы для частоты линии 7(а находим выраже-
выражение
B5.37)
Отсюда видно, что частота линии рентгеновского спектра моно-
монотонно возрастает с увеличением порядкового нЬмера Z. Этот за-
закон впервые был открыт из анализа эмпирических данных Моз-
ли A914 г.), который записал его в несколько другом виде:
Эта формула может быть получена из B5.37), если в последней
положить, что поправка на экранирование для /С- и L-слоев
одна и та же, т. е. Si = 52 = S.
Однако мы знаем, что это не совсем так, и поэтому при ис-
исследовании рентгеновских спектров, как и при исследовании оп-
оптических спектров, следует сделать пересчет частот на соответ-
соответствующие термь^ которые согласно B5.36) можно представить
в виде
Последняя зависимость и получила название закона Мозли?
она, как правило, исследуется графически.

408
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
14 III
Придавая главному квантовому числу п различные значения,
имеем (см. рис. 25.6):
для /(-термов (п=1)
Z-,
для L-термов (п = 2)
для М-термов (/г =
B5.38а)
B5.386)
t) L-mepMbi(n~2)
B5.38в)
Исследование экспериментальных кривых д/-7Г«/B) позво-
позволило найти значения поправок на экранирование, которые в
среднем оказались равными
S, = 1, S2 = 3,5, S3 = 10,5 и т. д.
Кроме того, было установлено,
что рентгеновские спектры изме-
изменяются с увеличением Z монотон-
монотонно и никаких периодических за-
закономерностей не наблюдается.
Это представляет собой еще одно
отличие их от оптических спект-
спектров, где обнаруживается перио-
периодичность.
Заметим, что более детальное
исследование показало мульти-
плетную структуру рентгеновских
спектров. С одной стороны, сле-
следует учесть, что поправка на
экранирование зависит не только от главного квантового числа,
но и от орбитального квантового числа /.
С другой стороны, при учете релятивистских поправок, кото-
которые зависят еще от внутреннего квантового числа /, в основу
исследований должны положить формулу B0.18). Тогда вместо
формулы B5.38) имеем
г 20 40 60 80 Z
Рис. 25.6. Диаграмма Мозли.
V R —
z-s
nl
/2
-Т • B5.39)
Из B5.39) следует, что для /(-термов расщепления нет, так
как возможно лишь одно состояние lsJ/2 (п = 1, / = 0, / = Уг)-
Для L-термов имеем три компоненты:
и Li

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 409
Учитывая зависимость поправки на экранирование от /, ког-
когда S2s = 3 и S2P = 4, для L-термов получаем
L, V^^ ^
/^р ?г! ^4)», B6.39а)
Параллельные дублеты L\ и Ln, связанные с различной экра-
экранировкой ядра, получили название иррегулярных дублетов; рас-
расходящиеся же L\ и Lin, обязанные учету спиновых и релятивист-
релятивистских эффектов, — регулярных дублетов.
Точно так же Af-термы должны содержать пять компонент
C5l/2, 3pJ/2, Зрз/2, 3d3/2, 3d5/J.
Изучение характеристических рентгеновских спектров имеет
не только практическое, но и большое теоретическое значение.
В самом деле, кривые Мозли показывают, что периодические
свойства атомов обязаны лишь валентным, а не внутренним
электронам. Окончательно было выяснено, что порядковый но-
номер Z, введенный Менделеевым, определяется лишь зарядом
ядра.
По некоторым аномалиям кривых Мозли можно было судить
о заполнении внутренних оболочек: например, 3d (ферромагнит-
(ферромагнитные элементы) и Ы (лантаниды). Наличие мультиплетнойструк-*
туры и спин-релятивистских поправок может быть правильно по-
понято только после введения спина. Таким образом, теория рент-
рентгеновских спектров хорошо укладывается в квантовую теорию
атомов, в основе которой лежит теория Дирака и проблема мно-
многих частиц с учетом спина.
г) Открытие периодического закона Менделеева, Менделеев
расположил известные в то время элементы в порядке возраста-
возрастания атомного веса и обнаружил, что через определенное число
элементов химические свойства элементов повторяются. Напри-
Например, натрий, калий и т. д. (щелочные металлы) повторяют хи-
химические свойства лития; хлор, бром, иод и т. д. (группа гало-
галогенов) повторяют химические свойства фтора.
Менделеев приписал каждому элементу порядковый номер,
" определяющий его положение в периодической системе. Хотя
возрастание Z идет обычно параллельно возрастанию массы
атома элемента, имеется ряд исключений:
39тг\ Л28Тл 127т\

4jo ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
& которых элемент с большим атомным весом предшествует бо-
более легкому элементу. Кроме того, в настоящее время открыто
множество изотопов, т. е. разновидностей атомов, обладающих
одинаковым Z, но разной массой (нагпример |Н, ?Н» ?Н).
Сам Менделеев не раз подчеркивал, что будущее не грозит
периодическому закону разрушением, а обещает только над-
надстройку и дальнейшее развитие.
В свете последних открытий в области, строения атома и
ядра периодический закон приобрел особенно важное зна-
значение.
В^ч^егаоетя/ изучение рентгеновских-; спектров и в особенно-
особенности экшериментш пофаосешшю > альфа -частиц.на атомах окон-
окончательно дадсазали^ что порядковый номер Z характеризует за-
заряд ядра, а вместе с тем и количество электронов в нейтраль-
нейтральном* атома*
Во время открытия периодического закона A869 г.) было из-
известно 63 элемента. Менделеев предсказал существование еще
более-10 элементов, причем? для трех были предсказаны даже их
основные, химические и физические свойства: скандий BiSc),
галлий* CiQa) и германий (вгОе). В койце XIX в. были открыты
инертные- газы- Во времена Менделеева были известны только
три-элементаiиз группы лантанидов (редких-земель): церий, ди-
дам (смесь празеодима и неодима) и эрбий, В настоящее время
изучены свойства всех 14 редкоземельных элементов.
К 1937 г. были известны 92 элемента, за исключением четы-
четырех элементов,,которые, как потом выяснилось, оказались радио-
радиоактивными и практически не встречаются в природе. Эти четыре
элемента были получены в лабораторных условиях.
В-1937 г. Э. Сегръ путем бомбардировки молибдена дейтро-
вами получил элемент с Z = 43, названный техйецием. Период
полураспада наиболее устойчивого изотопа !зТс равен 2 • 105 лет.
Первое сообщение о получении изотопа последнего редкозе-
редкоземельного элемента с Z = 61 в результате бомбардировки неоди-
неодима дейтронами было сделано в 1938 г. Однако в сравнительно
большом количестве A,5 г) он был получен лишь в 1947 г. и
назван прометием: Период полураспада наиболее устойчивого
изотопа l6iPm составляет примерно 2,5 года.
В 1940 г. Э. Сегре открыл элемент с Z = 85, названный им
астатином, который получается при облучении висмута альфа-
частицами. Период полураспада наиболее устойчивого изотопа
28&At составляет всего 8,3 часа.
Короткоживущий элемент с Z =* 87, названный францием,
был открыт в 1939 г. французом М. Пере. Период полураспада
наиболее устойчивого изотопа ^Fr равен 22 минутам.

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 411
Наконец, следует подчеркнуть, что сразвитием ядерной фи-
физики оказалось возможным получить транеурано-вые элементы,
начиная с нептуния (Z = 93).
В настоящее время синтезировано уже 14 трансурановых эле-
элементов. Последним нз надежно установленных является хими-
химический элемент с порядковым номером Z = 106. Было также
предварительное сообщение о наблюдении в Дубне кароткожи-
вущего спонтанноделящегося изотопа элемента с Z = 1Q7.
д) Заполнение слоев. Заполнение уровней электронных слоев
согласно квантовой механике происходит в соответствий €0 сле-
следующими правилами:
а) В силу принципа Паули в каждом квантовом состоянии
не может быть более одного электрона; поэтому максимальное
число электронов с заданным / равно 2B1+ 1). Так, в-обояоч-
ках 5, р, d и / соответственно может находиться максимум 2, 6,
10 и 14 электронов.
б) Электроны стремятся занять более низкие энергетические
уровни. Поэтому вначале должны-заполняться слои с п ===== 1, за-
затем с п = 2, с п = 3 и т. д.
Такое заполнение имело бы место _в так называемой идеаль-
идеальной схеме, когда в атоме с порядковым номером Z действие
ядра и оставшихся Z — 1 электронов определяется потенциалом
B5.33) в предположении, что все эти заряды находятся в центре.
Тогда для оставшегося электрона мы получаем вырожденную
по / систему уровней атома водорода.
Однако, как было показано при исследовании щелочных ме-
металлов, учет взаимодействия между электронами снимает вы-
вырождение по /. Оболочки в определенном слое (т. е. с фиксиро-
фиксированным значением главного квантового числа п) располагаются
в порядке возрастания /.
Поэтому сначала заполняются s-, затем р- и, наконец, rf-Oj&o-
лочки. Более того, оболочка As оказывается , расположенной
ниже оболочки 3d (точно так же 5s — ниже 4d), а оболочка 6s
ниже не только оболочки 5d, но даже ниже оболочки 4/ (анало-
(аналогично 7s ниже 5/).
В итоге оказывается, что внешний слой (для невозбужден-
невозбужденных атомов) может состоять только из оболочек sup.
Оболочки d и / могут заполняться, когда они лежат соответ-
соответственно в первом и втором внутреннем слое, если за дервый
внутренний слой взять слой, расположенный непосредственно
вблизи к внешнему, и т. д.
Примечание. Последовательность заполнения электронных оболочек
наиболее просто можно запомнить, исходя из следующего правила: залолне-
ние уровней происходит в порядке возрастания.суммы главного и,рр&италь-
ного квантовых чисел п + /, причем уровни с одинаковым значением зтх>й>сум-

412 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. Ш
мы заполняются, как правило, в порядке возрастания п (правило Клечков-
ского). Учитывая, что / принимает значения 0, 1, 2, ..., п— 1, мы найдем
правило заполнения термов в любом слое. Например, последовательность за-
заполнения четвертого периода (см. ниже) должна быть:
или шестого периода:
и т. д. (Клечковский В. М. — ДАН СССР, 1951, 80, с. 603. См. также: Клеч*
ковский В. М. Распределение атомных электронов и правило последователь-
последовательного заполнения (п + I) -групп. — М.: Наука, 1968).
Попробуем это показать на конкретных примерах. В преде-
пределах первого и второго периодов системы Менделеева порядок
заполнения уровней согласуется со схемой уровней в атоме во-
водорода. В слое п = 1 заполняется только s-оболочка; в слое
п = 2 сначала заполняется s-, а затем и р-оболочка.
Если бы для сложных атомов была применима эта идеаль-
идеальная схема, то можно было бы ожидать, что у калия с Z = 19
должна начать заполняться оболочка 3d.
Однако, согласно таблице 25.1, для калия 6^ = 0,146, а
&s = 2,23, поэтому энергии электронов, находящихся в состоя-
состояниях 3d и 4s, соответственно равны:
FRh Rh
~ 2,8542 '
Rh ___ Rh
^45— D-2,23J ~ 1,77* *
Отсюда следует, что Ега > EASy а поэтому раньше будет запол-
заполняться более глубокий уровень 4s и лишь затем 3d. Следова-
Следовательно, третий период содержит так же, как и второй период,
только восемь элементов (nNa — i8Ar) и состоит из 3s- и 3/?-обо-
лочек.
После того как оболочка 4s у кальция (Z = 20) будет запол-
заполнена, можно ожидать, что у скандия (Z = 21) начнет образовы-
образовываться 4/7-оболочка. Однако изучение спектров показывает, что
у последующих элементов B1SC — 2sNi) заполняется сначала
оболочка 3d (включая ферромагнитные элементы), а затем уже,
начиная с гэСи и кончая 3oZn, продолжается нормальное запол-
заполнение оболочек. Таким образом, четвертый период содержит
18 элементов и состоит из оболочек 4s, 3d, 4р.
Следующий, пятый, период целиком повторяет четвертый пе-
период (з7ИЬ — 54Хе), т.е. содержит также 18 элементов (запол-
(заполняются оболочки 5s, 4d, 5р).

25]
СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
413
V/f
C2) период
Vf
Шестой период содержит 32 элемента E5CS — 86Rn), так как
наряду с внешним слоем 6s, 6/7 заполняется первая внутренняя
оболочка bd A0 электронов) и вторая внутренняя оболочка 4/
A4 элементов группы ланта-
лантанидов). 113*418*
Точно так же седьмой пе-
период должен был бы целиком
повторить шестой период, т. е. i Ой'^_ Ra 6d
содержать 32 элемента (обо- —— 7s
ЛОЧКИ 7S, 5/, 6d, 7p). rtTl~fl?Rn
Однако к настоящему вре-
времени открыто лишь 18 элемен-
тов этого периода. Так назы- [ 57^
ваемые актиниды, у которых
происходит заполнение второй
внутренней оболочки 5/ (soTh—
ЮзЬг), ДОЛЖНЫ ПОВТОРИТЬ СВОЙ- 39*48™ ^
ства лантанидов. 37*b~38Sr 5$
Итак, первый период содер-
содержит всего 2 элемента, второй 31\ 56_ 4р
и третий по 8, четвертый и пя-
пятый по 18, а шестой и седьмой
по 32 элемента (седьмой пе-
период является незаконченным).
-5d
-4f(ft)\C2) период
-5d
-6s >
V
\A8) период
-3d(wmi8) период
-4s J
*Р
-Js
\ ш
ш) период
(8)период
M2)){2)период
Порядок заполнения слоев и
оболочек в атомах изображен
на рис. 25.7.
е) Периодичность свойств
элементов. Периодичность
свойств элементов, открытая
Менделеевым, получает на
основе квантовой механики
естественное объяснение. Она
связана с периодичностью в
заполнении внешнего слоя, на
котором может быть максимум
8 электронов (s- и р-термы) и
который определяет не только оптические, но и химические (см.
ниже § 27) свойства атомов. Поэтому в зависимости от числа
электронов на внешней орбите все элементы делятся на восемь
групп (см. таблицу Менделеева на форзаце книги).
У элементов первой группы (водород и щелочные металлы)
во внешнем слое имеется один электрон. Это приводит к тому,
что оптические термы (за исключением s-терма) имеют дублет-
дублетную структуру, а сами элементы, как будет показано ниже, яв-.
Рис. 25.7. Схема заполнения электронами
энергетических уровней в атомах i ерио; и-
ческой системы элементов Менделеева.
Оболочки sup могут лежать во внешнем
слое. Оболочки d могут лежать, начиная
с первого внутреннего слоя. Оболочки f
могут лежать, начиная со второго внутрен-
внутреннего слоя (звездочкой обозначены номера
неоткрытых элементов).

414 теория многих частиц [ч ш
ляются одновалентными*). У элементов второй группы — ще-
щелочноземельные металлы (бериллий, магний, кальций и т. д.) —
имеется два валентных электрона, и поэтому спектральные тер*
мы их должны быть синглетными и триплетными, а валентность
равняться двум. У элементов третьей группы во внешнем слое4
находится три электрона, и поэтому максимальное расщепление
их оптических термов должно равняться четырем (квартеты),
& максимальная валентность — трем.
В седьмой группе галогенов (фтор, хлор и т. д.), наоборот,
не х&атает до заполнения слоя одного электрона; Поэтому наряду
с максимальной положительной валентностью, равной семи, они
мо^ут быть в так называемых ионных соединениях одновалент-
одновалентными, т. е. обладать одной отрицательной валентностью. Нако-
Наконец, 6 группе инертных газов (неон, аргон, криптон и т. д.-) ста-
старый внешний слой полностью заполнен, а новый еще не начал
заполняться, благодаря чему их относят к восьмой группе.
Однако из этого общего правила (наличие в каждом периоде
восьми элементов) имеется ряд исключений. Первое исключение
представляет собой водород (Z=1)h гелий (Z = 2), образую-
щие^ первый период. В этом периоде имеется не восемь элемен-
элементов, а всего лишь два. Это связано с тем обстоятельством, что
/(-слой не включает р-оболочки. Следовательно, эти элементы
обладают до некоторой степени двойственными свойствами.
В самом деле, по числу электронов во внешнем слое водород,
как мы уже отмечали, должен повторять химические и оптиче-
оптические свойства щелочных металлов. Как известно, у тех и других
максимальное расщепление спектральных термов равняется
двум, а валентность — единице. Однако по числу недостающих
электронов водород напоминает группу галогеноз (не хватает до
заполнения внешнего слоя одного электрона), а поэтому он мо-
может присоединять лишний второй электрон, образуя, подобно
галогенам* отрицательно заряженный ион.
Гелий по числу электронов во внешнем слое (два электрона)
должен напоминать собой щелочноземельные элементы второй
группы. Как у гелия, так и у щелочноземельных элементов спек-
спектральные термы должны представлять собой либо синглеты
!(спин равен нулю), либо триплеты (спин равен единице). Одна-
Однако по своим химическим свойствам гелий является типичным
представителем инертных газов, так как у него внешний /(-слой
полностью заполнен, и поэтому он ни в какие химические реак-
реакции в принципе не должен вступать (см. стр. 453).
*) Более подробно проблему валентности мы разберем в § 27, посвящен-
посвященном образованию молекул. Здесь же, забегая вперед, ограничимся небольшим
замечанием о томг что число электронов во внешнем слое определяет поло-
положительную ионную валентность (или минимальную спиновую), а число недо-
ртающих до восьми — отрицательную»

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 415
Как видно из периодической таблицы Менделеева (см. фор-
форзац книги), начиная со скандия (Z==21) и кончая никелем
(Z = 28), идет заполнение внутренней Зй-оболочки. Если в по-
последнем случае группу определить общим числом электро-
электронов, находящихся в оболочках 3d и 4s, то приходится вво-
вводить еще группы (IX) и (X). Последние носят формальный ха«
рактер и никоим образом не характеризуют валентность, опре-
определяемую вообще числом некомпенсированных спинов (см<
стр. 452), которых не может быть более восьми. По своим свой-*
ствам железо (Z = 26), кобальт (Z = 27) и никель (Z = 28)
похожи друг на друга, и поэтому, если исходить из химических
или физических свойств, их часто объединяют в одну группу.
В частности, они обладают особыми ферромагнитными свой"
ствами, обусловленными некомпенсированными спинами
З^-электронов во внутреннем слое. Это связано с тем обстоя-
обстоятельством, что при образовании кристаллической решетки тер*
мы 3d.оказываются энергетически более выгодными, чем остав-
оставшиеся т^рмы, где спины этих электронов скомпенсированы*)*
После ферромагнитных атомов, начиная с меди (Z=29) и
кончая криптоном (Z = 36), заполняются сначала 4s-, а затем
4р-обояочки. Кряптон завершает построение М-слоя (п = 4), и
поэтому по своим оптическим и химическим свойствам относится
к инертным газам. Как мы отметили, пятый период, начиная со
щелочного металла рубидия (Z = 37) и кончая инертным газом
ксеноном (Z = 54), целиком повторяет четвертый период и ни-
никаких новых особенностей не содержит.
Квантовая теория позволила также вскрыть особенности за*,
полнения электронных слоев элементов группы лантанидов.
Для атомов этих элементов характерно последовательное за-
заполнение глубоко лежащей 4/-оболочки (второй внутренний
Л/-слой), начиная от церия (Z=58) и кончая лютецием (Z=71)«
Поскольку химические свойства определяются в основном элек-
электронами внешнего слоя, все элементы группы лантанидов ока-
оказываются еще более близкими в химическом отношении, чем
элементы, у которых заполняется первая внутренняя оболочка d*
В связи с анализом группы лантанидов следует заметить, что
долгое время гафний (Z = 72) также относился к этой группе.
Однако теоретический анализ, проведенный Бором, показал, что
в этой группе не может быть более 14 элементов (возможное
число /-состояний). Тщательные эксперименты подтвердили, что
гафний повторяет свойства циркония.
*) Кстати заметим, что ферромагнитными свойствами могут обладать
элементы, у которых не скомпенсированы спины и во втором внутреннем слое
D/-оболочка). Такой ферромагнитный элемент был открыт в группе редких
земель; им оказался гадолиний (Z =а 64),

415 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Аналогом группы лантанидов в последнем, седьмом, периоде
является группа актинидов. Для элементов этой группы, следую-
следующих за актинием, начиная с тория (Z = 90), характерно запол-
заполнение глубоко лежащих 5/-термов О-слоя A4 элементов) при
полностью заполненных 6s-, 6p- 7я-термах. Заканчивается груп-
группа актинидов лоуренсием (Z = 103).
ж) Статистический метод Томаса — Ферми. Наряду с при-
приближенными методами, в основе которых фактически лежат ме-
методы квантовой механики, развивались, в особенности примени-
применительно к случаю тяжелых атомов, статистические методы, осно-
основы которых были заложены в работах Томаса и Ферми.
При статистическом подходе электроны атома по аналогии с
теорией металла рассматриваются как вырожденный электрон-
электронный газ при Т — 0. Статистический метод Томаса — Ферми дает,
конечно, меньшую точность, чем метод самосогласованного поля
Хартри — Фока, поскольку при статистическом подходе нельзя
учесть многих деталей, относящихся к поведению отдельных
электронов.
Несмотря на эти общие недостатки, метод Томаса — Ферми
играет существенную роль, поскольку он позволяет достаточно
просто объяснить многие важные свойства атома в среднем.
Хотя этот метод и не дает возможности обнаружить оболо-
чечную структуру атома, с его помощью были объяснены неко-
некоторые важные особенности заполнения электронных оболочек.
После этих замечаний перейдем к выводу уравнения Тома-
Томаса — Ферми.
В сравнительно тяжелых атомах положительно заряженное
ядро окружено облаком отрицательно заряженных электронов,
которые частично экранируют электрический заряд ядра. В иони-
ионизированном атоме на расстояниях, превышающих его размеры,
потенциал в первом приближении определяется выражением
Фсо=<г-*>е°, B5.40)
где Z — порядковый номер, & N — число электронов.
Для нейтрального атома Z = N, и поэтому Ф«> = 0, т. е. элек-
электроны полностью экранируют заряд ядра.
При построении статистической теории следует учесть три
вида энергии взаимодействия:
1. Электростатическую энергию притяжения электронов к
ядру. Эта энергия связана с плотностью электронов ро (число
электронов, находящихся в единице объема) соотношением
Л, B5.41)
где е = — е0 — заряд электрона, аФ, = -— — потенциал.

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 417
2. Электростатическую энергию отталкивания между элек-
электронами
П.-э = --^$РоФА B5,41а)
где
Ф.(г) —
3. Кинетическую энергию электронов атома. Так же как и
при построении теории твердого тела при абсолютном нуле тем-
температуры, средняя кинетическая энергия отдельного электрона
согласно формулам E.78) и E.79) *) связана с плотностью
электронов ро соотношением (Гср = ?ср)
Tcp = X9f, B5.416)
где
? '" ? * <25-42)
Отсюда для кинетической энергии электронов находим:
?'*3*. B5.43)
Таким образом, полная энергия электронного газа в поле
ядра, равная сумме потенциальной, состоящей из двух частей
(см. B5.41) и B5.41а)), и кинетической (см. B5.43)) энергий,
равна
-X \ РК* ~ е0 \ РоФя
При этом плотность электронного газа должна удовлетворять
условию
\ B5,45)
где N — число электронов в атоме.
Исходя из вариационного принципа, который при дополни*
тельном условии B5.45) можно сформулировать следующим об-
образом:
6{? + ФЛГ} = О, B5.46)
*) Эти формулы были получены нами в предположении, что в каждом
квантовом состоянии, характеризуемом тремя квантовыми числами, не может
быть более двух электронов. Таким образом, статистическая теория Томаса —
Ферми автоматически учитывает принцип Паули, играющий фундаменталь-
фундаментальную роль в теории сложных атомов;
14 А. А. Соколов и др.

418
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. 1A
находим соотношение между полным потенциалом
и плотностью электронов р0
ОТ <2m°*° <ф ~ ф°)Oа' <25 -47>
где множитель Лагранжа Фо, играющий роль некоторого посто-
постоянного потенциала, должен быть найден из граничных условий.
При выводе последнего соотношения мы учли, что
J Ir-r'l d * d Y e "^ *° J Фэб Ро d *-
B5.48)
Подставляя найденное выражение B5.47) для плотности
электронов в уравнение Пуассона (в случае сферически-симмет-
сферически-симметричного распределения электронов)
У2Ф = 1 -?г гФ = 4пеоРо B5.49)
и принимая во внимание, что Фо = const, получаем уравнение
Томаса — Ферми, лежащее в основе статистической модели
атома,
? ' (Ф Ф) f Bne)8/a (Ф - Фо)8/г- B5.50)
7
Для исследования конкретных вопросов уравнение B5.50)
следует решать при определенных граничных условиях. В случае
ионизованного атома граничные условия могут быть заданы в
виде
^ г_»о, B5.51)
ф= <Z-^>g« при г = Го# B5.52)
Здесь го определяется условием, что при г = го плотность элек-
электронов можно считать равной нулю, т.е. ро(/'о)==О. Отсюда со-
согласно B5.47) находим
Фо=
г©

§ 25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 419
Принимая во внимание уравнение Пуассона B5.49) (см. так*
же B5.50)), условие B5.45) можно представить в виде
B5.54)
Из B5.53) следует, что для нейтрального атома (N = Z) Фо—0,
а го = оо. Поэтому вместо B5.54) имеем
а вместо B5.52)
НтгФ = 0. B5.55)
Г->оо
Заметим, что уравнение Томаса — Ф^рми B5.50) имеет одно
точное решение
в чем нетрудно убедиться, подставляя B5.56) в B5.50).
Это решение для нейтрального атома (Фо — 0) удовлетво-
удовлетворяет одному из граничных условий при г-^оо B5.55). Однако
второе граничное условие при г->0 (см. B5.51)) при этом не
выполняется.
К сожалению, решения уравнения Томаса — Ферми, удовле-
удовлетворяющие обоим граничным условиям, не могут быть выраже-
выражены в простой аналитической форме.
Примечание. Заметим, что численное интегрирование этого уравнения
имеет известное преимущество перед численным интегрированием уравнений
Хартри — Фока в двух отношениях: во-первых, уравнение Томаса — Ферми
значительно проще уравнений Хартри — Фока, во-вторых, это уравнение, а
также граничные условия (например, для нейтрального атома Z = N, Фо =*
s= 0) можно преобразовать к универсальному виду, не зависящему от Z,
Для этого мы должны вместо Ф(г) ввести новую функцию
_2?ор ,
где
г
а
¦)•
Тогда уравнение B5.50) принимает вид
B5.50а)
Из граничных условий B5.51) и B5.55) следует:
/(*) « 1 при *-*0, f(x) =0 при *->оо, B5.51а)
14*

420 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч Щ
Последние уравнения носят универсальный характер, т. е. не зависят от ве-
величины Z. Поэтому, проинтегрировав численно уравнение Томаса — Ферми,
мы можем с помощью изменения масштаба (зависящего от Z) использовать
его для исследования любых тяжелых атомов.
Подставляя B5.51) в B5.47), находим закон изменения
плотности ро при г-* О, который имеет вид
ро = const r~\ B5.57)
Решение B5.56) для нейтрального атома дает завышенное
значение для Ф при r-^оо. При г->оо более точный метод
Хартри — Фока показывает, что плотность электронов должна
изменяться по экспоненциальному закону.
Поскольку нас интересует лишь принципиальная сторона во-
вопроса, то мы построим статистическую теорию атома прибли-
приближенно с помощью вариационного метода, что позволит сформу-
сформулировать решение задачи в аналитической форме, с несуще-
несущественными для нас количественными отступлениями.
з) Решение задачи Томаса — Ферми вариационным методом
Ритца. При решении задач вариационным методом Ритца мож-
можно предложить бесчисленное множество пробных функций, зави-
зависящих от различных вариационных параметров X.
- Подберем пробную функцию, исходя из следующих сообра-
соображений: потребуем, чтобы она примерно совпадала с решением
уравнения Томаса — Ферми при г->0 (эта область является
наиболее существенной при решении всей проблемы в целом), а
также имела бы сравнительно простой вид, допускающий при
вычислении полной энергии точное интегрирование. В качестве
пробной функции, удовлетворяющей этим требованиям, возьмем
следующую:
^v B5-58)
Эта функция уже нормирована на общее число электронов
= N, B5.58a)
и поэтому дополнительное условие B5.45) должно выполняться
автоматически.
При г-*-О пробная функция B5.58) изменяется по тому же
закону (Ро~г~~8'2)> что и решение уравнения Томаса — Ферми
(см. B5.57)); этим, по-видимому, и объясняется, как мы уви-
увидим дальше, хорошее количественное совпадение результатов,
найденных, с одной стороны, с помощью пробной функции

§'25] СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 421
B5.58), а с другой — с помощью потенциала, удовлетворяющего
уравнению Томаса — Ферми.
Потенциал, создаваемый электронами атома, при этом равен
B5.59)
В этом нетрудно убедиться, подставив соответственно выраже-
выражения B5.58) и B5.59) для ро и Фэ в уравнение
Кроме того, учитывая выражение для Оя = Zeo/r, находим,
что общий потенциал удовлетворяет граничному условию B5.52)
при г = го-+- оо, когда ^плотность заряда, а вместе с тем экспо-
экспоненциальный член е-л/ьг9 обращаются в нуль.
Найдем, далее, выражение для кинетической энергии через
вариационный параметр X. Согласно формулам B5.43) и B5.58)
имеем
Для потенциальной энергии взаимодействия ядра с электро-
электронами (см. B5.41)), а также для энергии взаимодействия между
электронами (см. B5.41а)) соответственно находим выражения:
v..-.=-
'•"""* = 8 J л/7 6
о
B5.62)
Складывая выражения B5.60) — B5.62), для полной энергии
электронного облака B5.44) получаем
где
Вариационный параметр К, который играет роль обратной
величины эффективного радиуса атома, может быть найден из
А Р
условия минимума полной энергии Е атома, т. е.-дт- = 0. Отсюда

422
находим
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
9 / Зя V/
1)
J4, Ш
B5e64)
В частности, для нейтрального атома (N==2) имеем
Интересно отметить, что численное интегрирование уравне-
уравнения Томаса — Ферми приводит к весьма близкому значению для
энергии атома
о
?Т'~Ф = -0,769 ... ^ 2?/з = -20,94Z7/j эВ. B5.66а)
Последнее выражение, взятое со знаком минус, характеры*
зует полную энергию связи (ионизации) нейтрального атома,
т. е. энергию, необходимую для удаления всех электронов из
атома.
Эти теоретические значения, хотя и дают весьма разумные
результаты даже для атома водорода, но все же они несколько
превышают соответствующие экспериментальные значения, при-
причем с увеличением Z относительная ошибка уменьшается (см„
табл. 25.2).
Таблица 25.2
Теоретические и экспериментальные значения
полной энергии ионизации (в единицах /)
Элемент
Н
Li
Na
Hg
Теор.
0J69
9,982
206,9
21207
Эксп.
0,5
7,5
162
18 130
и) Применение метода Томаса — Ферми к теории периодичен
ской системы элементов. Попробуем с помощью метода Тома-
Томаса — Фе$шн обосновать порядок заполнения электронных оболо-
оболочек. В частности, вычислим минимальные значения Z, при кото<*
рых в атомах возможно заполнение $-, р-, d- и f-состояний.

1 S 25J СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ 423
Эти значения Z могут быть найдены, исходя из следующих
квазиклассических представлений (Ферми, 1928 г.).
Как известно, в классической теории момент количества дви-
движения частицы L связан с импульсом р соотношением
Отсюда следует, что
где рп — проекция импульса на направление, перпендикулярное
радиус-вектору г.
Очевидно, что квадрат проекции импульса р\ не может пре-
превосходить значения квадрата максимального импульса, который
мы обозначим через Р = рмакс, поэтому при заданном Риг воз-
возможны такие значения момента количества движения L, которые
удовлетворяют неравенству
Р2>-~-- B5.67)
Как было показано в § 12, при квазиклассическом рассмотре-
рассмотрении проблемы атома квадрат момента количества движения сле-
следует полагать равным (см. A2.99))
L2 = ft2(/ + V2J. B5.68)
Последняя формула практически является некоторым компро-
компромиссом между боровской L| = ft2(/+if и квантовомеханиче-
ской L2 —Й2/(/ + 1) формулами для квадрата момента количе-
количества движения.
Как известно, максимальный импульс Р = Рмакс связан с
плотностью электронного газа ро выражением E.77)
^«^(Зя^I''. B5.69)
Плотность электронов ро может быть найдена из уравнения То-
Томаса — Ферми, которое, как мы указывали, решается лишь при-
приближенными или численными способами. Хорошей аппроксима-
аппроксимацией ро, следующей из решения уравнения Томаса — Ферми, яв-
является выражение (см. B5.58))
^ B5-70>
причем коэффициент А» был найден нами вариационным методом
Ритца.
Подставляя указанные значения для Р2 п L2 в неравенство
B5.67), получаем
f)"^*^» B571)

424 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Вводя новую переменную кг = х, имеем
e-«/,V2"> JL9 B5.72)
где
(&У/3- B5J3)
Из неравенства B5.72) видно, что как при х->0 (г->0), так и
при х -> оо, правая часть B5.72) становится больше левой. По-
Поэтому электроны в атоме смогут обладать заданным значением /,
когда х лежит в области х\ < х < х2, при которых удовлетво-
удовлетворяется неравенство B5.72). Здесь х\ и Х2 — корни уравнения
<r«/,VF = _|.. B5.74)
Условием же появления состояний с заданным значением /
является равенство обоих корней
Х\ = X<i.
В этом случае мы должны приравнять не только сами функции,
но и их производные, т. е. наряду с равенством B5.74) получаем
1 i B5.75)
3 ух х2
Эти два соотношения будут удовлетворены при
т. е. при
D = 9e~2.
Подставляя сюда значение для /> из B5.73), находим Z, при ко-
котором впервые появляются электроны с заданным /:
Z - шB/ +1K=у B/ +1K> {25J6)
где е = 2,718 ... — основание натуральных логарифмов, а коэф-
коэффициент у = 0,158.
Если в аналогичном расчете воспользоваться численным ре-
решением уравнения Томаса — Ферми, то для коэффициента y
найдем весьма близкое значение
ут._ф = 0,155.
Отсюда мы еще раз убеждаемся, что плотность B5.70) представ-
представляет собой хорошую аппроксимацию плотности, следующей из
численного решения уравнения Томаса — Ферми.

> 25)
СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
425
Таблица 25.3
Числа первого появления уровней с данным /
Теоретическое значение
Z (по Томасу — Ферми)
Эмпирическое значе-
значение Z
S
0
1 1
1(Н)
р
1
4,2
5
5 (В)
d
2
19,4
20
21 (Sc)
f
3
53,2
54
58 (Се)
Подсчитаем с помощью формулы B5.76) значения Z, при ко-
которых могут начать заполняться s-, p-, d-, /-состояния.
Результаты вычисления даны в табл. 25.3. Первая строка
дает дробные значения Z, вычисленные по формуле B5.76) с
Yt.-ф. = 0,155. Во второй строке даны ближайшие со стороны
больших значений целые значения Z. В последней строке табли-
таблицы приведены эмпирические значения чисел первого появле-
появления Z, а также наименование соответствующего элемента.
Из этой таблицы видно, что подобная приближенная теория
находится в хорошем согласии с экспериментальными данными.
Заметим, кстати, что совсем точное совладение получается, если
для коэффициента у вместо 0,155 взять 0,169.
Хорошо известно, что у легких элементов (Z=l, 2, 3, 4)
могут заполняться только s-термы. Заполнение р-термов начи-
начинается с бора (Z = 5), что полиостью совпадает с теоретически-
теоретическими данными. Из табл. 25.3 видно (несмотря на некоторую гру-
грубость статистической модели), что заполнение оболочки 3d на-
начинается, как можно было ожидать, не с калия (Z = 19), а ото-
отодвигается до элемента Sc (Z = 21), т.е. пока не будет построе-
построена 45-оболочка. Точно так же модель Томаса — Ферми объяс-
объясняет некоторую «задержку» в заполнении 4/-оболочки, которая
могла бы начать заполняться у Ag (Z = 47). Однако в согласии
с теорией ее заполнение должно быть отодвинуто и начинается
лишь у церия (Z = 58), образуя группу лантанидов. Из форму-
формулы B5.76) следует, что заполнение 5#-оболочки (I = 4) впервые
могло бы начаться у элемента с Z = 124.
Таким образом, модель Томаса — Ферми дает весьма убеди-
убедительное объяснение порядка заполнения оболочек в сложных
атомах.
Кроме того, с помощью этой модели мы нашли радиусы тя-
тяжелых атомов, а также энергию связи B5.66).
Модель Томаса — Ферми позволяет учесть также влияние
экранирующих электронных слоез на рассеяние быстрых элек-
электронов атомами (см. A4.19)), на тормозное излучение, на ро-
рождение электрон-позитронных пар и т. д.

426 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
§ 26. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
а) Адиабатическое приближение. Молекула представляет со-
собой систему, состоящую из электронов и нескольких атомных
ядер. Поскольку атомные ядра даже наилегчайшей молекулы
водорода (протоны) обладают массой примерно в две тысячи
раз большей, чем масса электрона, оказалось возможным все
движения в молекуле разбить на две части: на медленное дви-
движение ядер и быстрое движение электронов.
При исследовании движения электронов координаты ядер из-
изменяются настолько медленно, что их можно считать неизмен-
неизменными (адиабатическое приближение).
Волновое уравнение системы частиц в молекуле имеет вид
(Я-Н) ¦(!-,, *,)«<>. B6.1)
где t\ — координаты электронов, Rj — координаты ядер, а га-
гамильтониан системы Н связан с операторами кинетической энер-
энергии электронов (масса т0)
и ядер (масса Mf)
ЕЧ B63)
а также с потенциальной энергией VfaRj) всех частиц соотно-
соотношением
Н = Т, + Т*+1'(г„ */). B6.4)
Решение уравнения B6Л) будем искать в виде
1|>(г„ Л/) = 1М)Л, B6.5)
где фг является функцией координат электронов г*, а \|)/? будет
зависеть только от координат ядер Я/. При этом \|v параметри-
параметрически зависит также и от /?/, однако по сравнению с быстрым
движением электронов мы можем считать Rj = const (адиаба-
(адиабатическое приближение).
Подставляя B6.5) в B6.1) и производя разделение перемен-
переменных, найдем
^-(E-Tr-V(ri9 J?;)) 4V = -^ Тлф* = ER-U (*;), B6.6)
где ER — U(R}) является величиной разделения, которую для
электронов следует принять за постоянную *).
*) В нашем приближении постоянная разделения может быть функ-
функцией R/.
Однако из этой функции мы выделяем часть ER, не зависящую от /?/,
которая является энергией движения ядер, в то время как V(Rj) определяет
потенциальную энергию взаимодействия*

$ Ш МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ 427
Таким образом, адиабатическое приближение позволяет урав«
нение Шредингера для молекулы разбить на два:
уравнение для ядер
{ER-U(R,)-TR)$R = 0 B6.7)
и уравнение для электронов
{Ег (/?/) - Тг - V (r{, R,)) $г = 0, B6.8)
где
Er = E-ER + U(R,)
при условии, что в B6.8) ядра покоятся
R! = const. B6.9)
В дальнейшем мы ограничимся исследованием двухатомных
молекул. Тогда величину U следует рассматривать как энергию
связи атомов в молекуле. Для сложных атомов ее проще всего
задавать с помощью полуэмпирического закона, хотя в некото-
некоторых простейших случаях, например, молекулы водорода, энер-
гию можно вычислить в принципе из теоретических соображений
(см. ниже) путем решения уравнения B6.8).
б) Спектры двухатомной молекулы. Рассмотрим прежде
всего движение ядер в двухатомной молекуле, масса одного из
которых равна М\, а второго -Мг, а энергия взаимодействия ме-
между которыми равна
Если мы поместим начало координат в центр инерции и вве-
введем относительную координату (см. § 12, п. е))
*• = #!-#2, B6.10,
то тогда мы можем написать
где
^—ЬЧ' *y = lfy-> V* = 1F- <2(Ш>
Тогда уравнение Шредингера, описывающее движение ядер (см*
B6.7)), принимает вид
?Ча + -^р2- (ER - U (r)) $R = 0, B6.12)
где приведенная масса Afnp может быть найдена из соотно*
шения

42g ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
Хотя потенциальная энергия U(r) у нас не задана, мы все же
можем сделать некоторые общие выводы о характере ее измене-
изменения, необходимом для того, чтобы могла образоваться устойчи-
устойчивая молекула.
Прежде всего мы положим, что потенциальная энергия обла-
обладает центральной симметрией, т. е. зависит только от абсолют-
абсолютного значения г. Далее, учитывая, что атомы не могут находить-
находиться сколь угодно близко друг к другу, мы должны положить
U(r-^O) -* оо. Кроме того, при г->оо взаимодействие атомов
должно стать пренебрежимо
малым, и поэтому /У(г-> оо)-*-
->0. Далее, поскольку молеку-
молекула должна представлять собой
устойчивую систему, при неко-
некотором конечном значении рас-
расстояния между атомами (г=а)
потенциальная энергия около
этой точки должна стать отри-
отрицательной величиной и дости-
достигать некоторого минимального
г=а значения (в противном случае
молекула должна была бы рас-
\
X ! —у^^ пасться). Общий характер из-
^*Е менения потенциальной энер-
0 гии изображен на рис. 26.1.
Рис. 26.1. Кривая потенциальной энергии ЕсЛИ ОТКЛОНеНИЯ X = Г - п
двухатомной молекулы, МОЛекуЛЫ ОТ раВНОВеСНОГО СО-
СОСТОЯНИЯ (определяемого значе-
значением а) сравнительно невелики (я <С а), то потенциальную энер-
энергию U(г) можно разложить в ряд вблизи точки г = а:
U {г) = и (а + х) = U (а) + xV (а) + -4- U" {о) + • •. B6.14)
Ограничиваясь первыми тремя членами разложения и учиты-
учитывая, что в точке г = а функция U имеет минимум, т. е. U'(a)=O9
а ?/"(а)>0, выражение B6.14) можно привести к виду
Bв,5)
*) Обычно в качестве U(r) выбирают эмпирический закон
введенный Морзе, который при соответствующем подборе постоянных при-
приблизительно правильно передает зависимость потенциальной энергии молекулы

§ 26] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ 429
Здесь U"(а) =Мпр(о2 и U(a) = —D представляют собой соответ-
соответственно коэффициент упругости и энергию диссоциации моле-
молекулы *).
Чтобы найти энергетические уровни рассматриваемой моле-
молекулы (а тем самым и ее спектр), обратимся к уравнению Шре-
дингера A0.21) для радиальной части волновой функции, по-
поскольку потенциальная энергия B6.15) в нашем приближении
обладает сферической симметрией.
Поскольку нас интересует только относительное движение
атомов, заменим в A0.21) массу то на Мпр. В результате полу-
получим уравнение
[^^]=0. B6.16)
Замечая, что
и вводя функцию
rR = u, B6.17)
после подстановки B6.15) в B6.16) будем иметь:
^o. B6.18)
Так как х «С а, то в малом последнем члене можно считать
— = ^_t Тогда, полагая
? + D - ВМ (I + 1) = ?', B6.19)
где В = -27*» а / = Мпря2, приведем B6.18) к виду
и" + ^(е'- Мпр ^f-) и = 0. B6.20)
Это уравнение точно совпадает с уравнением G.14) для гармо-
гармонического осциллятора, и поэтому
?" = йсо {к + 72)> B6.21)
где квантовое число
К — U, I, Z, О, ....
от межатомного расстояния. Физическая сторона вопроса о возникновении
межмолекулярных сил с учетом квантовой теории будет рассмотрена нами
в § 27.
*) Энергия диссоциации D определяется работой, которую необходимо
совершить (с точностью до нулевой энергии колебаний), чтобы разорвать мо-
молекулу. Эта энергия по порядку величины, как правило, равна нескольким
&лектронвольтам.

430 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
Таким образом, для энергии Е молекулы при учете не только
ротационного, но и колебательного движения имеем
? = - D+- ВМ{1 + 1) + /ко (/с + 72). B6.22)
Здесь первый член является энергией диссоциации, а второй
и третий обусловлены соответственно вращением и колебанием
молекулы.
Заметим попутно, что для молекулы существует лишь конеч-
конечное число дискретных энергетических уровней. Это связано с тем
обстоятельством, что при
молекула должна распасться.
Качественно распад молекулы при больших квантовых чис-
числах можно объяснить следующим образом. При к » 1 ампли-
амплитуда колебаний может стать настолько большой, что атомы на
этих расстояниях практически не будут взаимодействовать и мо-
молекула как связанная система перестанет существовать. В слу-
случае же слишком больших орбитальных квантовых чисел /, ха-
характеризующих энергию вращения, центробежные силы также
могут разорвать молекулу.
Перейдем теперь к изучению вибрационно-ротационйого спек-
спектра. При этом учтем, что положение на шкале спектра в основ-
основном определяется вибрационной энергией, так как она по своей
величине превосходит ротационную энергию (А,ВИбр ~ Ю"8 см, а
Ярот ~ КН см). Тогда, принимая во внимание, что спонтанные
переходы могут происходить только сверху вниз, т. ё. с измене-
изменением к на /с — 1, квантовое число I согласно правилам отбора
может измениться как в сторону меньших (/-*/—1), так и в
сторону больших (/-W+1) значений, для частоты излучения
, Е{к, 1)~Е(к-\, 1±\)
СО = г—¦
согласно B6.22) находим
со'== ю + ю/г. B6.23)
Здесь в соответствии с A1.29) и A1.30) со/, ;_1 =
а
со
п
Таким образом, получаем две ветви (рис. 26.2)
и со- = <овибр-2В(/-Н). B6.24)

\ 26]
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
431
Подобные вибрационно-ротационные спектры наблюдаются,
например, в молекулах НС1 и СО,
Исследование вибрационно-ротационных спектров имеет важ-
важное значение для изучения структуры молекул. С их помощью
можно, например, определить моменты инерции молекул, их изо-
изотопический состав (моменты инерции молекул, состоящих из
различных изотопов того или иного элемента, будут несколько
различны) и т. д.
Отрицательная
йетбь
1
1
1
1
1
1
Наложи тельная
#ет$ь
Рис. 26.2. Вибрачионно-ротачионный спектр двухатомной молеч/лы,
В заключение рассмотрим спектр молекулы, когда один из
атомов находится в возбужденном состоянии, т. е. когда наряду
с вибрационно-ротационным излучением один из электронов ато-
атома переходит с одного, более высокого, энергетического уровня п
на другой, более низкий, п'.
Энергию такой молекулы можно записать в виде
Еи = Еп + Ек + Eh B6.25)
где Еп — энергия возбужденного атома, определяемая, напри-
например, для атома водорода формулой Бальмера (см. § 12)
«2
B6.26)
Для энергии колебательного и вращательного движения соот-
соответственно имеем
Ек = - D + /ко (к + 72) B6.27)
и
Et^Bhlil+l). B6.28)
В результате перехода энергия ?М' молекулы изменится и
станет равной
B6.25а)

432 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
Поскольку теперь основная часть энергии излучения будет уже
обязана электронному переходу п-*п! в атоме, квантовые числа
к и / могут как увеличиваться, так и уменьшаться:
к' = к±1, /' = /±1. B6.29)
При этом в целом должна иметь место потеря энергии на из-
излучение за счет перехода электрона в атоме.
В этом случае возникает еще одна важная особенность, а
именно, энергия связи атомов в молекуле очень сильно зависит
от номера той оболочки, на которой находится электрон. Поэто-
Поэтому в результате переходов энергия связи, естественно, должна
изменяться, что приводит в свою очередь к изменению расстоя-
расстояния между атомами. Конкретно мы рассмотрим прежде всего
случаи, когда при переходах с возбужденного уровня на основ-
основной это расстояние, а вместе с тем и момент инерции / = Mapa2t
увеличиваются, а величина В — -^- уменьшается. За счет этого
ротационная часть энергии еще несколько изменяется и стано-
становится равной
?г=В'А/'(/'+1). B6.28а)
Дальнейший анализ мы проведем для случая В' < В.
? ?
Для частоты излучения еом= м h—— с учетом всевозмож-
всевозможных вибрационных и ротационных переходов найдем
где
©/§ v = Bl (I + 1) - В'I' (/' + 1). B6,31)
? ?
Вводя обозначения щ = -^—^—— ±оо, приведем B6.30) к виду
Отсюда для полосатых спектров молекулы получаем три ветви
частот:
ю+ = юо + ю/./-! (/?-ветвь), B6.32)
о- = щ 4- щ9 /+i (Р-ветвь), B6.33)
(о<> =®о + ®/.! (Q-ветвь). B6.34)
В этих формулах первая, положительная, ветвь (/?-ветвь)
соответствует переходам между ротационными уровнями сверху
вниз, вторая, отрицательная (Р-ветвь), — снизу вверх, и, нако-
наконец, третья, так называемая нулевая ветвь (Q-ветвь), возникает
при отсутствии переходов между ротационными уровнями и

§261
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
433
всецело обязана изменению момента инерции, обусловленному
переходами внутри атома.
Принимая во внимание B6.31), представим со+, ог~ и со0 в
форме
со+ = соо + (В — В') Р + (В + В') U B6.32а)
со- =Шо + (В — В'){1 + IJ — (В + В') (/ + 1), B6.33а)
о0 = щ + (В — В") (I2 + 0, B6.34а)
и изобразим эти ветви графически (рис. 26.3), откладывая по
оси абсцисс частоту, а по оси ординат — орбитальное квантовое
число / (диаграмма Форт-
ра). Таким образом, видно,
что в результате наложе-
наложения ротационных линий ю, г
на электронно-вибрацион- 72
ную, определяемую частотой /0
8
б
74
iiiK
А-
-to*
6789 10 11 12 13
(О
15 16
О ОП 5 U 5 6
вместо одной линии по-
получится целая полоса с рез-
резкой границей слева и раз-
размытой границей справа, что
находится в полном согла-
согласии с экспериментальными
фактами.*),
В заключение заметим,
что известны три основные
разновидности спектров: не-
непрерывный спектр, испускае-
испускаемый нагретым телом (на-
(например, излучение абсолют-
абсолютно черного тела, спектраль-
спектральное распределение которого
характеризуется формулой
Планка), линейчатые спек-
спектры (или атомные),обуслов-
атомные),обусловленные переходами электро-
электронов в атомах с одних энер-
энергетических уровней на дру-
другие (примером может служить серия Бальмера для атома водо-
водорода), и, наконец, полосатые спектры излучения молекул. По-
Последние представляют собой светлую полосу с резкой границей
со стороны более низких частот и с размытой границей со сто-
стороны более высоких частот. Только спектрографы с высокой
разрешающей силой позволяют установить, что полоса состоит
из множества отдельных линий.
О 1 Z
Рис. 26.3. Полосатые спектры молекул (диа-
(диаграмма Фортра): <й+ —положительная R ветвь;
©" — отрицательная Р-ветвь; й)°—ну,левая
Q-ветвь.
*) Аналогично легко провести анализ в случае В < В' я В = В\

434 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Как только что было показано, эти полосатые спектры непо-
непосредственно связаны с вращательным характером движений мо-
молекул.
§ 27. ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ
а) Основные виды химической связи. Химические свойства
элементов, так же как и их оптические спектры, определяются
в основном электронами внешнего слоя, который может содер-
содержать только s- и р-оболочки. Поэтому закономерности, лежащие
в основе оптической периодичности (например, повторяемость
расщепления термов в атомных спектрах и т. д.), должны слу-
служить также основой и в построении теории периодически повто-
повторяющихся химических свойств элементов. Кстати, заметим, что
последние свойства проявляются не у изолированного атома, а
при наличии нескольких атомов, образующих молекулу.
Электроны внутренних слоев почти не оказывают влияния на
химические процессы, так как они гораздо сильнее связаны с
ядром, чем внешние. Поэтому энергия, выделяемая при химиче-
химических реакциях, гораздо меньше, чем энергия связи электронов
внутренних слрев.
Следует различать два основных типа химической связи:
ионная (гетерополярная) и атомная (гомеополярная или спи*
новая). Рассмотрим более подробно каждые из этих типов хи-
химической связи.
б) Гетерополярные молекулы. Известно, что неорганические
соли построены из положительных и отрицательных ионов, ме-
между которыми имеет место электрическое (кулоновское) притя-
притяжение, удерживающее атомы в молекуле.
Соединения этого типа называются ионными, а соответствую-
соответствующие молекулы — гетерополярными. Как известно, ионы могут
быть двоякого рода: положительные и отрицательные. Знак за-
заряда иона зависит, с одной стороны, от потенциала ионизации,
т. е. от той энергии, которую необходимо затратить, чтобы уда-
удалить внешний электрон, а с другой — от степени сродства к элек-
электрону, т. е. от той энергии, с которой нейтральный атом может
удерживать дополнительный электрон на внешнем слое.
Допустим, что нейтральный атом с порядковым номером Z
имеет N электронов на внутренних орбитах и Za == Z — N — на
внешней. Тогда для электронов внешнего слоя электроны вну-
внутренних орбит будут полностью экранировать соответствующую
часть заряда ядра. Поэтому кулоновская потенциальная энергия,
удерживающая внешние электроны, равна

§27]
ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ
435
Точно так же внешние электроны должны полностью экраниро-
экранировать оставшуюся часть заряда ядра Za?o для оболочек, лежащих
за пределами внешней (т.е. оболочек возбужденных состояний).
В самом же внешнем слое этот заряд будет скомпенсирован не-
неполностью, и поэтому оставшаяся часть заряда ядра спо<
собна удержать во внешнем слое дополнительные электроны,
что может привести к образованию отрицательных ионов
атома *).
Кривая зависимости потенциала ионизации от Z изображена
на рис. 27.1. Она имеет минимум для щелочных металлов и до-
достигает максимального значения у инертных газов. Вообще же
Ч
I*7
5-
¦
: Tie1
Ар
0
Ш
Кгъ
A
kt
1 Г
•A
Xe
Y
i
Pn
Я
M
V
V^ 10 20 9Q 4ff 50 ffO W 60 90 Z
Рис. 27.Ь Зависимость энергии ионизации нейтрального атома от атомного номера.
эта кривая повторяет периодичность чисел электронов во внеш-
внешнем слое.
Прежде всего следует заметить, что атомам инертных газов,
у которых потенциал ионизации достигает наибольшего значе-
значения, энергетически невыгодно отдавать внешний электрон дру-
другому атому. Точно так же атомы инертного газа не смогут удер-
удерживать дополнительные электроны во внешнем слое, который
целиком заполнен, и поэтому, согласно принципу Паули, туда
не может быть помещен еще девятый электрон. Долгое время
*) Например, у натрия BГ ===== 11) десять электронов внутренней орбиты
полностью экранируют десять единиц заряда ядра и только один электрон
внешнего слоя экранирует частично заряд ядра во внешнем слое. У хлора же*
(Z = 17) десять электронов полностью экранируют внешний слой, ос/гальные
семь электронов лишь частично. Поэтому атом хлора легче удержит дополни*
тельный электрон и тем самым легче превратится в отрицательный ион С1-«
чем атом натрия. Наоборот, атом натрия легче отдаст свой внешний электрон
и образует положительный нон Na+,

436
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. IIГ
вообще считалось, что инертные газы существуют лишь в атом-
атомном состоянии, и только недавно были открыты их химические
соединения (см. ниже).
Атомы щелочных и щелочноземельных металлов легко от-
отдают свой валентный электрон другому атому (потенциал иони-
ионизации для них наименьший), превращаясь при этом в положи-
положительный ион (например, в ион Na+).
Наоборот, атомы VII группы (галогены), а также VI группы
(кислород и др.) обладают наибольшим по сравнению с други-
другими элехментами значением потенциала сродства к электрону (см.
табл. 27.1).
Энергия сродства к электрону у натрия практически, так же
как и у инертных газов, равна нулю.
Первая попытка построить теорию ионной связи принадле-
принадлежит Косселю A916 г.), исходившему из представлений боров-
ской теории атома.
Таблица 27.1
Энергия сродства элементов к электрону
Элемент
н
F
Энергия сродства
к электрону, эВ
0,71
4,13
Элемент
С1
О
Энергия сродства
к электрону, »В
3,72
3,07
В основу его теории была положена замкнутость восьмизлек-
тронных слоев атомов инертных газов, не обладающих никакой
валентностью.
Положительная валентность (или валентность по отношению
к водороду) определяется числом электронов во внешнем слое,
который особенно легко теряет электроны (атомы I и II груп-
группы). Отрицательная же валентность (т.е. валентность относи-
относительно фтора или удвоенная относительно кислорода) опреде-
определяется числом электронов, которые может присоединить к себе
атом, т. е. числом вакантных мест (недостающих до восьми) во
внешнем слое (см. также § 25), Особенно ярко выражена отри-
отрицательная валентность у элементов VI и VII групп. В принципе
же у каждого элемента может проявляться как та, так и другая
валентность. Мы не собираемся здесь особенно подробно разви-
развивать теорию гетерополярной химической связи и ограничимся
в общих чертах рассмотрением образования одной из типичных
ионных молекул, а именно молекулы NaCl.
При переходе валентного электрона натрия на внешнюю ор-
орбиту хлора, т. е. при образовании ионов Na+ и С1~~ (рис, 27.2 и
27.3), мы имеем некоторую потерю энергии.

ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ
437
В самом деле, при этом переходе атом натрия теряет энер-
энергию —?Na = 5,1 эВ *) (энергия ионизации), в то время как
атом хлора приобретает энергию сродства, равную только
—Ес\ = 3,7 эВ. Однако эта потеря компенсируется при образо-
вании молекулы кулоновской энергией притяжения —?кул = "/Г
между ионами Na+ и С1~ (рис. 27.3).
Рис 27.2. Два независимых и нейтральных атома Na и С1. Черными точками указаны
электроны: светлой— свободное для электронов место, которое может занять электрон
благодаря энергии сродства.
Рис. 27.3. Образование молекулы NaCl из ионов Na+ и Cl . В скобках указаны энергия
ионизз ии натрия E,1 эВ) и энергия сродства атома хлора к электрону C,7 эВ). Куло-
новская энергия связи между ионами в молекуле равна 5,6 эВ.
Для энергии связи атома в молекуле мы можем написать:
Эта энергия связи хорошо известна из эмпирических данных
4,2 эВ.
5,6
Отсюда как для кулоновской энергии
— ?кул = — ^NaCl — ?*Na + ?ci
так и для размеров молекулы /? = 2,5-1(Н см получаем вполне
разумные значения.
*) Энергия —/?Na равна той работе внешних сил W, которую необходимо
затратить, чтобы вырвать электрон из атома (UP = —Ей* > 0)%

438
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. Ш
Следует заметить, что в подобных рассуждениях учтены да-
леко не все взаимодействия, которые имеют место в гетеропо-
ляриой молекуле. В самом деле, наряду с кулоновскими силами
притяжения должны действовать (на малых расстояниях) так-
также и силы отталкивания, которые не позволяют двум атомам
сблизиться на расстояние значительно меньшее, чем R. Во вся-
всяком случае, данное здесь элементарное рассмотрение позволяет,
выявить основные черты физич$-
/ г,2 | ск°й природы возникновения ге«
/^^ г "*т'**\ терополярной молекулы, а также
r I ^xf" , \/%* хотя бы качественно понять дис*
1 ^^"'" ^^^^ \ социацию этих молекул на отдель-
/-сС*! 312м иые ионы в растворах.
а Я а'
2 __/^ / в) Гомеополярные молекулы.
/^Z~ ^7"^V Наряду с ионными соединениями
/ ^xf" , \р' существуют молекулы, которые
у ^^-*" ^^^ X образуются не из ионов, а непо-
©4^:1 •"^•^^ средственно из нейтральных ато-
a R а мов. Простейшей из них являет-
Рис. 27.4. Схемы взаимодействий в мо- СЯ МОЛеКУЛЗ Н2. Подобные МОЛв-
лекуле Н^. Сплошные линии соединяют КУЛЫ ПОЛУЧИЛИ Название пТОМНЫХ
частицы, взаимодействие между кото- J рпмрпппляпныг
рыми учтено в нулевом приближении. ИЛИ симеипилнрныл.
%%&VS? ЛИрасясМмНаТ°рби0в3а^еВЫ ^к Заметим, что образование у>.
возмущения; а и а' —ядра атомов водо- меОПОЛЯрНЫХ МОЛекуЛ НеЛЬЗЯ ПО-»
рода; I и ^-электроны. нять даже качественно на ОСНОВе
классических или полуклассиче-
ских (боровских) представлений. Эти теории могут подойти к
объяснению молекулярных соединений только в том случае,
когда в основе их образования лежат силы электростатического
происхождения, например, гетерополярные молекулы.
Теория простейшей гомеополярной молекулы водорода впер-
вые была построена Гайтлером и Лондоном A927 r.) с помощью
введения квантовых обменных сил.
Гайтлер и Лондон, теорию которых мы хотим изложить, ис-
использовали в своих расчетах метод теории возмущений. Этот
метод хотя и дает не слишком хорошие количественные резуль-
результаты (это связано с тем, что параметр разложения оказался не
очень малой величиной), однако он позволяет полностью
вскрыть физическую природу происхождения гомеополярной
связи *).
*) Более точные количественные результаты можно получить, если в ос-
основу теории положить (как и в атоме гелия) вариационный метод, который
позволяет исследовать образование и более сложных гомеополярных молекул^

§ 27] ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 439
Молекула водорода состоит из двух протонов (ядер) я, а*
(рис. 27.4) и двух электронов, которые пронумерованы индекса-
индексами 1 и 2.
Обозначим через R расстояние между ядрами, которое при
исследовании движения электронов можно считать постоянной
величиной (адиабатическое приближение, см. § 26).
Обозначим далее через Г\ и г2 радиусы-векторы, характери-
характеризующие положение первого и второго электрона относительно
ядра а, а через г[ и т'2 — относительно ядра а\ причем
т\=*тх-Ъ r'2 = r2-R. B7.1)
может
B7.2)
Тогда уравнение Шредингера для молекулы водорода может
быть записано в виде
причем в гамильтониане
H = T+I^a'+VVa+Pi2 B7.3)
учтены все шесть возможных кулоновских энергий взаимодей-
взаимодействия между электронами и ядрами
Vaa>= — - т. Va'a=* — *-r — —9 Vi2 = —+ — . B7 А)
Принимай во внимание, что при J? = const
vi = vi> V2 = V2> B7.5)
мы можем оператор кинетической энергии записать как через
нештрихованные, так и через штрихованные координаты
где
Т =
2/яо V / VV 2m0
Решая эту задачу по методу теории возмущений, мы должны
гамильтониан B7.3) разбить на нулевое и первое приближение,
Здесь возможны два случая.
Случай 1: электрон 1 находится у ядра а, а электрон 2 —
у ядра а' (см. верхний рис. 27.4).
Тогда в нулевом приближении можем написать
S B7.8)

440 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
а энергию возмущения принять равной
V'a*=Va>a+ Vi2. B7.9)
Волновая функция в нулевом приближении удовлетворяет
уравнению
(EP-T-VaadVaa'^O. B7.10)
Поскольку нулевое приближение B7.10) описывает состояние
двух несвязанных атомов, то волновая функция должна рав-
равняться произведению волновых функций, описывающих движе-
движение электрона в двух изолированных атомах водорода
¦«--¦.('.)М'Э. <27Л1>
причем *фа и t|v удовлетворяют уравнениям
=0' <27Л2>
-°. <2713>
Е° = Еа + Еа-.
Если мы предположим, что электроны в обоих атомах водо-
водорода находятся в основном состоянии Is (п = 1, / = /п = 0), то
волновые функции и соответствующие энергии равны (см. § 12)
4>«(ri) = *i(ri)' М^)=М^)> B7. Н)
где
е2
?а = ?а^ = -/?/г = ~-^, B7.15)
2
э --^, B7.16)
а ао = 2" является радиусом первой боровской орбиты.
mQe0
Случай 2: электрон 2 находится у ядра а, а электрон / у яд-
ядра а' (см. нижний рис. 27.4). Тогда гамильтониан в нулевом
приближении, а также энергия возмущения соответственно
равны
Н^ = т+^-а> B7.17)
У?'а=Уаа'+К12. B7.18)

§ 27] ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 441
Для волновой функции и энергии в нулевом приближении имеем
Ь>а - Ь Ы ¦«- ('0 = -1?*""^. ^° = - 2RH = - А. B7.19)
Таким образом, в нулевом приближении общую энергию, а так-
также волновую функцию мы можем записать в виде
Е° = — 2Rh = — —
2/</2 «о' B7.20)
Неопределенность в выражении для \Ь° связана с тем обстоя-
обстоятельством, что наличие двух атомов создает дополнительное вы-
вырождение, связанное с неразличимостью электронов.
При решении уравнения B7.2) методом теории возмущения
мы должны положить
Е = Е° + Е'+ ...,
¦«¦ч^ч-... B7-21)
Подставляя B7.21) в B7.2) и оставляя члены лишь первого
порядка малости, найдем
— С, (?' - У'аа) ¦«, - С2 (?' - V'a.a) Ъа.а, B7.22)
причем если волновая функция первого приближения t|/ описы-
описывает состояние, в котором электрон 1 находится у ядра а, то в
левой части уравнения B7.22) член Кд'д'ф7 будет величиной вто-
второго порядка малости и может быть отброшен. Точно так же,
если у ядра а находится электрон 2, в левой части уравнения
B7.22) может быть отброшен член Vaa'ty'.
Из последнего уравнения найдем дополнительную энер-
энергию ?', а также соотношение между коэффициентами С\ и С2,
поскольку энергия возмущения, так же как и в атоме гелия, сни-
снимает вырождение, связанное с неразличимостью электронов.
Для решения поставленной задачи воспользуемся так же,
как и в теории атома гелия, теоремой, согласно которой решение
однородного уравнения (в нашем случае уравнения B7.22) без
правой части) должно быть ортогональным к правой части.
Предполагая, что электрон 1 находится у ядра а, мы найдем,
что решением однородного уравнения B7.22) является функ-
функция г^дд', ортогональность которой к правой части дает следую-
следующее равенство:
$ = 0,
B7.23)

442
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч Ш
где d6x — d3xi cPx2- Точно так же ортогональной к правой части
должна быть и функция ^afai что приводит ко второму равен-
равенству
>а {? - К>а) **&* + С, J Фа'а (Е' ~ Ка') Ьа' ** « 0.
B7.24)
Учтем теперь следующие интегралы:
а) Условие нормировки:
J ФаЛА = J ¦! (*"l) A S Ф? W А = ! • B7-25>
б) Квадрат интеграла перекрытия:
J Ф-'Ф.'в^* = J Ъ*А**х = S2, B7.26)
где
5 = J Ф1М Ф1 (ri - «)^1- B7.26а)
в) Кулоновское взаимодействие атомов:
г) Обменное взаимодействие двух атомов:
А = J Ъа'аЪаа' (П'а + К») Л. B7.28)
В этих нодынтегрялышх выражениях мы можем заменить ко-
координаты п-н^Гаг и Г2-+-ги что эквивалентно перестановке ин-
индексов а и а'.
Учитывая интегралы B7.25) — B7.28), а также последнее за-
замечание, мы можем равенства B7.23) и B7.24) записать в виде
Сх (?' -К) + С2 (E'S2 - А) = О,
ClFf к\ Ju Г1 /P'Q2 л\ а B7.29)
2 \-*-* +\/ 1^ *~* 1 v **^ ~~" ^/ "**"""" ^>
причем коэффициенты Ci и С2 связаны между собой еще усло-
условием нормировки
J (ф0J Л - С? + 2CAS2 + С| = 1. B7.30)
Из уравнения B7.29) мы найдем два решения;
а) симметричное
B7>31)
B7.32)

27] ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 443
б) антисимметричное
^ - ¦•«), B7.33)
B7.34)
Функции UC{R) и UZ(R) представляют собой потенциальные
энергии взаимодействия атомов (см. предыдущий параграф),
соответствующие симметричному и антисимметричному состоя-
состояниям.
Для того чтобы их найти, мы должны прежде всего раскрыть
интегралы, определяющие зависимость S, К и А от R. Все эти
интегралы можно вычислить путем подстановки волновых функ-
функций B7.16) и B7.19) в выражения B7.26) —B7.28). В резуль-
результате довольно несложных вычислений можно получить следую-
следующее выражение для интеграла перекрытия:
1} B7-35)
К и следовало ожидать, эта величина при /?—»0 обращается
в единицу (условие нормировки), а при R-+oo в нуль (изоли-
(изолированные атомы). Для сравнительно мзлых значений R <С Яо
находим:
*-«-*(¦?)'+*(•?)'-- <»•»>
Примечание. Величина S может <5ыть вычислена следующим образом:
волновую функцию основного состояния атома водорода (см. B7.15)) мы мо-
можем представить в виде интеграла Фурье
где
а0
Подставляя это разложение в равенство B7.26а) и принимая во вни-
внимание соотношение
найдем
Ski f eikR
Для того чтобы вычислить последний интеграл, мы воспользуемся равен-
равенством
1

444 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ f4. lit
которое следует три раза продифференцировать по k\. Тогда мы получим
для величины 5 значение B7.35). Обменное взаимодействие А не может быть
представлено в виде простых функций. Как показал японский физик Сугиура,
оно выражается следующим образом*):
el
А = 2AXS + А2 + -?- S\ B7.36а)
А
где
В этих формулах S —интеграл перекрытия B7.35), интеграл S' равен
С — постоянная Эйлора
1
-^ ^^/«0,57722,
0
Ei (— дс) — интегральная показательная функция
Аналогичным образом можно получить выражение для куло-
новской энергии B7.27)
причем в случае малых значений /?<Соо имеем:
Точно так же при малых значениях R ^ ао из B7.36а) после
довольно сложных выкладок получаем
*) См.: Слэтер Джч Электронная структура молекул. — М.: Мир, 1965,
с. 69.

§2?!
ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ
446
Найдем, наконец, изменение потенциальной энергии взаимо-
взаимодействия двух атомов водорода в зависимости от симметрии со-
состояния. При этом мы ограничимся случаем R < а0, поскольку
это приближение вполне достаточно для выводов, носящих каче-
качественный характер.
Для симметричного состояния согласно B7.32) потенциаль-
потенциальная энергия равна
Для антисимметричного же состояния (см. B7.34)) получаем
-Л
#i7'
B7.41)
Из этих формул видно, что при /?->0 взаимодействие между
атомами в основном обусловлено кулоновской энергией отталки-
отталкивания (U > 0) двух ядер. При увеличении же R в случае анти-
антисимметричного состояния (см. B7.41)) это отталкивание будет
еще сильнее, и поэтому об-
образование молекулы стано-
становится невозможным.
Наоборот, для симмет-
симметричного состояния энергия
взаимодействия B7.40)
меньше кулоновской энергии
отталкивания, которая при
R > -j-j- aQ может стать даже
отрицательной величиной,
т. е. обусловить притяжение
(U < 0). Поскольку при
R-+OQ должен начать дей-
действовать экспоненциальный
множитель e~2R^a\ энергия и 12 3 R/a0
взаимодействия с увеличе-
80
15
W
Рис. 27.5. Кривые зависимости потенциальной
энергии взаимодействия двух атомов водорода
для симметричного (t/c) и антисимметричного
(t/a) состояний. Штриховой линией дана экс-
экспериментальная кривая.
нием расстояния должна
стремиться по абсолютному
значению к нулю.
Графики, построенные на
основе теоретических (без
разложения по R/a0) и экспериментальных данных, приведены
на рис. 27.5.
Теоретические значения, полученные из графиков Гайтлера —
Лондона для случая устойчивого состояния, дают /?о=1,518 ао=?
= 0,80 А. При этом энергия диссоциации оказывается равной
D = —U(Rq)= 3,14 эВ. В то же время соответствующие экспе-

446 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч щ
риментальные значения равны
RlKea = 0,7395А, D3KCn = 4,48 эВ
(нулевая энергия исключена из рассмотрения)*).
Такое расхождение теоретических и экспериментальных дан-
данных связано с тем обстоятельством, что в рассматриваемом слу-
случае, так же как и в атоме гелия, энергия возмущения соизме-
соизмерима с энергией нулевого приближения. Если эту задачу решать
вариационным методом (как было сделано в атоме гелия по
методу Хиллерааса), выбрав пробную функцию в виде
B7.42)
G/3 \ 1/2
где Z' — эффективный заряд ядра, который рассматривается как
вариационный параметр, то для величин /?о и D получается ре-
результат, найденный Вангом, значительно лучше совпадающий с
экспериментом:
Подбор большего числа параметров позволил еще несколько
улучшить эти численные результаты **).
Плотность вероятности распределения электронов в симмет*
ричном состоянии равна
Ы И € + ^\1B7.43)
Соответствующая вероятность для антисимметричного состояния
определяется выражением
w) - + €-« - 21W*. J • B7.44)
Если изобразить графически кривые равной плотности электро-
электронов (рис. 27.6), то мы получим, что вероятность пребывания
электронов в середине линии, соединяющей оба ядра, в случае
*) Следует заметить, что если по методу Гайтлера — Лондона найти вто-
рое приближение, то соответствующая энергия возмущения оказывается при-
пригодной лишь для описания ван-дер-ваальсовых сил, т. е энергии взаимодей-
взаимодействия атомов на сравнительно больших расстояниях между ядрами.
**) В настоящее время использование вычислительных машин позволило
теоретически численно рассчитать молекулу водорода с введением более ста
параметров. Тогда практически никакого расхождения теоретических и экспе-
экспериментальных данных не наблюдается. Это говорит о том, что теория Гайт-
Йера и Лондона в принципе описывает все особенности образования моле-
молекулы водорода. Расхождение же теоретических и экспериментальных резуль-
результатов следует отнести за счет математического несовершенства метода тео-
рии возмущений в применении к этой задаче..

§27)
ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ
447
симметричного решения — наибольшая, а в случае антисиммет^
ричного решения, наоборот, обращается в нуль. Поскольку в
средней точке электроны наиболее сильно связывают оба ядра,
то естественно ожидать, что первое решение скорее приведет
к образованию молекулы, чем второе. Кроме того, в случае пер-
первого (т. е. симметричного) решения при сближении ядер кривые,
Симметричное
состояние
Антисимметричное
состояние
Рис. 27.6. Распределение плотности электронов в ионе молекулы водорода*
характеризующие распределение электронов вокруг ядер, как
бы сливаются друг с другом, и это может наглядно характерна
зовать гомеополярную связь,
г) Спин и симметрия состояний. В теории молекулы водо*
рода спин играет существенную роль, хотя абсолютное значение
спин-орбитального и также спин-спинового взаимодействия дает
лишь небольшие поправки. В молекуле водорода по аналогии
с атомом гелия взаимные ориентации спинов двух электронов
определяют свойство симметрии пространственной части водрр-
вой функции, что имеет в вопросах устойчивости молекулы пер-»
востепенное значение. Поэтому рассмотрим более подробно вси
прос о связи спина со свойствами симметрии молекулы.
Полная волновая функция *ф наряду с координатной частью
должна содержать еще и спиновую. В нашем нерелятивистском
случае можно пренебречь потенциальной энергией спин-орби-»
тального взаимодействия, поэтому, как и в случае связи Рессё*
ла — Саундерса, общую волновую функцию можно разбить на
произведение координатной и спиновой частей. Учитывая, чтр
для электронов (статистика Ферми) эта полная волновая функг
ция должна менять свой знак при перестановке координат и
спинов (антисимметричное решение), имеем две возможности*
Га).
B7.45)
B7.46)

448 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Как было показано в § 24, решение, содержащее антисиммет-
антисимметричную спиновую функцию Са и симметричную координатную
функцию (см. B7.45)), соответствует состоянию с общим спи-
спином, равным нулю (спины антипараллельны).
Точно так же симметричная спиновая функция Сс вместе с
антисимметричной координатной функцией г|)а описывает состоя*
ние с общим спином, равным единице (спины параллельны) *).
В молекуле водорода лишь симметричное координатное решение
приводит к силам притяжения. Поэтому устойчивая молекула
соответствует случаю, когда спины электронов антипараллельны.
Перейдем далее к общему анализу состояний молекулы на
основе свойств симметрии. В связи с этим заметим, что в двух-
двухатомных молекулах силовое поле обладает аксиальной симмет-
симметрией относительно линии, проходящей через оба ядра (ось сим*
метрии молекулы). Абсолютное значение проекции общего орби-
орбитального момента на эту ось симметрии обычно обозначают
через Л. Конкретные состояния с различными Л „записывают
буквами: 2 (термы с Л = 0), П (Л = 1), Д (Л == 2) и т. д.
Кроме того, каждое электронное состояние должно характе-
характеризоваться полным спином 5 всех электронов в молекуле. При
заданном значении S возможно v = 2S + 1 состояний. Величи-
Величина v, так же как и в атоме, определяет мультиплетность терма.
В случае, если общий спин равен нулю E = 0), то мульти-
мультиплетность v = 1. Для состояний с S = 1 мультиплетность v = 3
и т. д.
Таким образом, в молекуле спин электронов фактически
определен мультиплетностью v. Соответствующий терм обозна-
обозначается так: VA.
В этих обозначениях симметричное решение для координат-
координатной части волновой функции г|)с (одно состояние) соответствует
терму *2 (Л = 0, 5 = 0, v=l), а антисимметричное г|?а (три
Состояния)**) 32-терму (Л = 0, 5 = 1, v = 3).
Посмотрим, как изменяются проекции моментов на ось сим-
симметрии z при зеркальном отражении в плоскости, проходящей
через эту ось ***).
Для простоты ограничимся рассмотрением состояний, когда
орбитальный момент равен нулю, т.е. Л = 0 B-термы). Если
*) Значения для симметричной и антисимметричной спиновых функций
будут такими же, как и в атоме гелия, т. е. они определены соответственно
формулам B4.39) и B4.40).
**) Спин может быть направлен либо параллельно, либо антипараллель-
но, либо перпендикулярно относительно оси симметрии.
***) Как известно, момент количества движения, равный векторному про-
произведению L = [гр\, является аксиальным вектором, направление которого
имеет лишь условный характер (в правой системе координат одно, а в ле-
левой— противоположное). Однако направление контура, ограничивающего пло-

§ 27] . ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 449
при этом также и общий спин электронов обращается в нуль,
т. е. S = 0, то при зеркальном отражении никакого изменения
состояний не должно произойти.
Когда же спины обоих электронов параллельны (S = 1), то
возможны следующие случаи:
а) Проекция спина на ось симметрии равна нулю (Sz = 0),
Тогда вращение, характеризующее спин, в результате этого зер-
зеркального отражения, в плоскости которого оно лежит, остается
неизменным (рис. 27.7, первоначальный и зеркально отражен-
отраженный спины характеризуются вращениями // = //'). Соответ-
Соответствующие термы с неизменным при зеркальном отражении вра-
вращением обозначаются символом 2+.
В 8Г
Рис. 27.7. Изменение момента количества движения при отражении в плоскости АА'В'В,
проходящей через ось симметрии. Если вращение, характеризующее момент количества
движения, происходит в плоскости, перпендикулярной к плоскости АА'В'В (см. /), то
после отражения направление этого вращения будет противоположным (см. /')• Если
же вращение происходит в плоскости отражения, то при отражении оно не меняется
б) Проекция спина на ось симметрии г отлична от нуля
(Sz — dzl). Тогда при зеркальном отражении вращение, которое
мы можем сопоставить спину, изменит свое направление на об-
обратное (см. рис. 27.7, первоначальный спин характеризуется
вращением / и зеркально отраженный — вращением Г). Соот-
Соответствующие термы с изменяющимся вращением обозначаются
символом 2".
Таким образом, возможны следующие термы молекулы водо-
водорода с Л = 0:
!2+ (Л = 0, S = 0),
32+ (Л = 0, S=l, S2 = 0), B7.47)
32Г (Л = 0, S=U S2=±l),
щадь и построенного на векторах г и р, как в правой, так и левой система*
координат остается неизменным. Аналогичное замечание можно сделать и о
спине; значение которого можно характеризовать или аксиальным вектором,
или контуром, указывающим направление круговой поляризации.
15 А. А, Соколов в др.

450
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. III
причем последний терм является, очевидно, двукратно вырож-
вырожденным.
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то появ-
появляется еще новое свойство симметрии, а вместе с тем и дополни-
дополнительная характеристика термов.
В самом деле, двухатомная молекула с одинаковыми ядрами
должна обладать не только плоскостью, но еще и центром сим-
симметрии. Этим центром симметрии является точка, делящая по-
пополам линию, соединяющую ядра. На рис. 27.7 она находится в
начале координат, т. е. в точке г = 0. При этом преобразовании
симметрии мы должны изменить знаки координат всех электро-
электронов. В частности, для молекулы водорода (при неизменных ко-
координатах ядер) при этом преобразовании симметрии электрон /
и электрон 2 должны обменяться своими местами (т. е. коорди-
координатами).
Тогда симметричная волновая функция г|)с остается неизмен-
неизменной, т.е. будет четной (что обозначается индексом g), а анти-
антисимметричная функция г|)а изменяет свой знак, т. е. будет нечет-
нечетной (что обозначается буквой и). Таким образом, возможные
состояния молекулы водорода с учетом обоих свойств симмет-
симметрии следует обозначать так:
и т. д.
Насколько важную роль играют вопросы симметрии при об-
образовании молекулы, видно из того факта, что для большинства
двухатомных молекул (здесь мы это показали для молекулы во-
водорода) из всех возможных состояний осуществляется такое со-
состояние, для которого волновая функция инвариантна по отно-
отношению ко всем преобразованиям симметрии молекул, т. е. основ-
основным термом молекулы водорода является терм !2^\ Однако в
настоящей книге мы не имеем возможности останавливаться
более подробно на всех этих вопросах симметрии.
Следует также заметить, что в устойчивом состоянии моле-
молекулы водорода спины двух электронов всегда имеют противопо-
противоположное направление. В то же самое время известны два тила
молекул водорода, называемых параводородом и ортоводоро-
дом. Эта терминология относится не к ориентации спинов элек-
электронов, а к ориентации спинов ядер. У параводорода спины ядер
направлены антипараллельно, а у ортоводорода — параллельно.
Поскольку число возможных состояний двух частиц с параллель-
параллельными спинами в три раза больше, чем с антипараллельными^
то поэтому при комнатной температуре обычный водород пред-
представляет собой равновесную смесь 25% параводорода и 75%1
ортоводорода. При понижении температуры при наличии ката-
катализатора (например, угля) процент параводорода в равновесной

§ 27] ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 451
смеси увеличивается и при О К достигает практически 100%.
Полученный при низких температурах параводород весьма
устойчив и может сохраняться в течение нескольких недель при
комнатной температуре в такой неравновесной системе. Орто-
водород в чистом виде не получен. Различие в теплопроводно-
стях при низких температурах (у параводорода большая) ис-
используется для определения процентного содержания смеси.
Точно так же у пара- и ортоводорода несколько различы энер-
энергия диссоциации и оптические свойства.
д) Теория валентности. Остановимся теперь на объяснении
понятия химической валентности на основе квантовой механики.
Под химической валентностью понимается свойство атомов
одного элемента соединяться с определенным числом атомов
другого элемента. Как было отмечено, первым успехом кванто-
квантовой теории в области химических свойств атома явилось объяс-
объяснение гетеронолярных химических соединений (теория Косселя),
образующихся благодаря перераспределению электронов во
внешних слоях атомов. По этой теории численная величина ва-
валентности (гетерополярная) определяется числом электронов,
которые атом отдает другому атому (положительная ионная
валентность) или получает от него (отрицательная ионная ва-
валентность). При образовании молекулы электроны во внешних
оболочках атомов перераспределяются так, что валентности ато-
атомов насыщаются.
Дальнейшим успехом квантовой теории в исследовании об-
образования молекулы явилась теория Гайтлера — Лондона. С по-
помощью последней удалось объяснить образование простейшей
гомеополярной молекулы Нг, что было положено в основу со-
современных представлений о так называемой ковалентной связи.
Согласно этой теории при образовании гомеополярной молекулы
водорода имеет место взаимная компенсация спинов валентных
электронов. Обобщая эти результаты, можно сделать вывод
о том, что вообще образование гомеополярных молекул происхо-
происходит при условии взаимной компенсации спинов валентных элек-
электронов, и поэтому подобную валентность иногда называют так-
также спиновой.
Поскольку насыщение валентностей состоит из взаимной
компенсации спинов валентных электронов, химическую валент-
валентность атомов (гомеополярную) следует определять числом элек-
электронов внешнего слоя с некомпенсированными спинами.
С целью иллюстрации этих положений рассмотрим конкрет-
конкретные примеры. На рис. 27.8 приведены конфигурации основных
состояний нескольких элементов периодической системы. Злек-
тронные состояния изображены в виде ячеек, причем электроны
изображены стрелками, направления которых соответствуют
15*

452
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. Ш
ориентации их спинов. Из рис. 27.8 видно, что конфигурация
внешнего слоя атома водорода A5!J5 соответствует однова-
одновалентной связи. Валентность, равная единице для водорода, на
единицу меньше мультиплетности его термов, равной двум (муль-
типлетность обозначается индексом слева сверху у символа тер-
терма 5). Точно так же основное со-
состояние атома гелия имеет кон-
фигурацию (Is2), откуда видно,
что мультиплетность равняется
единице (]5), а валентность в
\As22s22d1) пРИН1*ипе должна отсутствовать
J( pj ( 453)
Is 2s
2р
Н
НеПЩ
4(fsf)
в ft
¦ I
В [т *| I | т I t [ 1 (fss2sf2p2)
(см. стр. 453).
Атом бора (Z = 5) имеет
-»I а , ia 11 ж i I i а 1 / основное состояние (Is22s22p4,
N ¦ ф \\ I I tJ_JJ №&г2р3) соответствующее дублету BР), и,
N |t i|| ||t || т [ ~~\(?s22s22p3) следовательно, валентность, рав-
равную единице. Однако воз-
N*|t 1| ¦ I t I i I t \As22d12p3) можно возбужденное состояние
б U lU lit II Н И №&*&*) (l5225l2P2). , соответствующее
' А квартету DР) и являющееся
0"it l|t l|t l|t I|t *i\(№2sZ2p6) трехвалентным. Таким образом,
г- Га » и '. u , i A , i . i , ллл/,„ сравнительно просто объясняется
F ¦¦¦¦¦¦! I] ¦] <fe^^; н^личие нескол^ких ваЛентностей
Рис. 2? 8. Схема заполнения эпектрон-
ных ойолсчек некоторых атомов с уче-
учетом ^пи^а. Гоуеополярная ватемтность
агомоичртмечена точкой, а ионная ва«
.геитность — знаком « + » (положитель-
(положительная) или «с—» (отрицательная).
F'|t l|l ф ф ф Г| GsZ2s?2pe) У элементов различных групп пе-
периодической системы (см. табл.
27.2).
Интересно отметить, что, в то
время как элементы группы кис-
кислорода и галогены в согласии с
экспериментом могут обладать
несколькими различными валентностями, атомы О и F обнару-
обнаруживают лишь основную валентность. Последнее объясняется
тем обстоятельством, что для повышения мультиплетности этих
атомов электрон должен быть переведен в слой с большим
Таблица 27.2
Мультиплетность и гомеополярная валентность
Группа
периодической
системы
Мультиплетность
Валентность
*) Жирным
I
2
1*)
II
1, 3
0, 2
III
2, 4
1,
0,
IV
з,
2,
5
4
2,
1,
V
4,
3,
6
5
VI
1,3,5,
0,2,4,
шрифтом указана основная валентность.
7
6
2,
1,
VII
4,6,
3,5,
8
7

§ 27] ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 453
значением главного квантового числа, что является энергетиче-
энергетически невыгодным (оболочка d у них отсутствует).
Отметим также, что согласно приведенной на рис. 27.8 кон-
конфигурации азот в основном состоянии (Is22s22p3) является трех-
трехвалентным (три электрона в 2/?-оболочке имеют параллельные
спины). Однако он может быть также одновалентным (спины
двух электронов в 2/7-оболочке антипараллельны) и даже пяти-
валентным (Is22sl2p*), когда к четырем спиновым валентностям,
обусловленным тем, что спины электронов в 2s — 2р оболочках
параллельны, добавляется пятая ионная валентность, связанная
с удалением второго электрона из оболочки 25. В связи с этим
отметим, что ионная валентность кислорода и фтора такая же,
как и спиновая.
Инертные газы в принципе не должны вступать ни в какие
химические соединения, так как спины внешнего слоя (s2, /?6)ч
должны быть полностью скомпенсированы. Однако недавно
A962 г.) были открыты соединения тяжелого инертного газа
54Хе, например XeF2. Появление гомеополяриой валентности,
равной 2, 4, 6 или 8, у инертных газов обусловлено тем, что
энергия связи молекулы, по-видимому, разрывает спин-спиио-
вую связь электронов внешней оболочки. Подчеркнем также, что
строгое разделение химических связей на гомеополярные и гете-
рополярные, вообще говоря, невозможно. Оба типа связи соот-
соответствуют двум крайним случаям распределения электронной
плотности в незаполненных слоях. Случай крайней асимметрии
в распределении электронной плотности между атомами соответ-
соответствует гетерополярной молекуле. Такая молекула обладает ди-
польным моментом, и ее можно рассматривать как ионное об-
разование.
Случай одинакового закона распределения электронной плот-
плотности относительно атомов водорода в молекуле соответствует
гомеополярной связи (дипольный момент равен нулю). Водород
может обладать отрицательной ионной валентностью (Н~),
если при образовании молекулы он, как и фтор (F~), при-
присоединит еще второй электрон (дипольный момент отличен от
нуля).
Квантовая теория дает общий подход к объяснению валент-
валентных сил и включает оба типа связи (гомео- и гетерополярную)
в единую схему. Одним из важных достоинств квантовомехани-
ческой теории молекулы Н2 является то, что она сумела объяс-
объяснить насыщение гомеополярных соединений как насыщение спи-
спинов электронных слоев при объединении электронов в пары с
антипараллельными спинами.
В частности, благодаря этому не может образоваться моле-
молекула Нз, поскольку в этом случае нельзя скомпенсировать спины
трех электронов.

454 теория многих частиц [ч. ш
В заключение все же подчеркнем, что теория Гайтлера —'
Лондона разработана только для молекулы водорода Нг, являю-
являющейся простейшей, и поэтому распространение ее выводов на
сложные молекулы пока что носит качественный характер.
е) Силы Ван-дер-Ваальса. Помимо рассмотренных нами ва-
валентных сил, существенную роль в межмолекулярных взаимо-
взаимодействиях играют особые силы притяжения, так называемые
силы Ван-дер-Ваальса.
Силы Ван-дер-Ваальса можно рассчитать в рассмотренной
нами задаче о молекуле водорода, если перейти ко второму при-
приближению теории возмущений. Однако мы ограничимся упро-
упрощенным рассмотрением на примере взаимодействия двух осцил-;
ляторов.
Пусть два одинаковых осциллятора с дитюльными электри-
электрическими моментами р\ = ехи р2 = ех2 находятся друг от друга
Рис. 27.5. Взаимодействие двух электрических диполей (сила Ван-дер-Ваальса).
на расстоянии /?, значительно большем, чем размеры диполей
(рис. 27.9). Тогда потенциальная энергия взаимодействия равна
По классической теории, в случае когда оба осциллятора не ко-
колеблются (х\ = х2 = 0), взаимодействие между ними отсут-
отсутствует: V = 0. Согласно квантовой механике (см. § 7) должны
сущестовать нулевые колебания. Это приводит к тому, что вза-
взаимодействие осцилляторов не прекращается, даже когда они не
возбуждены.
Рассмотрим связанные колебания двух гармонических осцил-
осцилляторов, между которыми действуют силы притяжения с потен-
потенциальной энергией B7.48). Уравнение Шредингера для стацио-
стационарных состояний принимает вид
где
2тпрЕ

§ 27] ПРОСТЕЙШИЕ МОЛЕКУЛЫ 455
mnp — приведенная масса*), а со — частота колебаний каждого
из осцилляторов. В случае отсутствия взаимодействия энергия
равна сумме энергий осциллятороз
Е = Ех + Е2 = Йсо (пг + п2 + 1), B7.50)
причем в отсутствие возбуждения (п\ = Пъ = 0) нулевая энер-
энергия равна
? 22 = Йсо, B7.51)
где а — амплитуда нулевого колебания. При учете взаимодей-
взаимодействия введем нормальные координаты
* (У + У) Х
-~r
— IJ2).
Тогда уравнение B7.49) переходит в уравнение с разделяющи-
разделяющимися переменными
1^У2)==0у B7.52)
а нулевая энергия становится равной
Раскладывая последнее выражение в ряд по малой величине
мы найдем, что нулевая энергия с учетом взаимодействия между
осцилляторами несколько уменьшается и становится равной
где величина
yS5B_i.ft<D_*_' B7.55)
z mnco /<
трактуется как потенциальная энергия ван-дер-ваальсовых сил,
которая носит явно квантовую природу, поскольку при Н->0
она обращается в нуль.
Исключая из B7.55) частоту колебаний с помощью формулы
B7.51) и полагая амплитуду колебаний пропорциональной ра-
радиусу первого боровского круга а = у -—? = уа0 {у — коэффи-
коэффициент порядка единицы), представим потенциальную энергию
*) В дальнейшем приведенную массу мы положим равной массе элек-
электрона (wnp = m0) *

45$ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
B7.55) в виде
K==""T"F# B7'56)
Расчет, проделанный для случая взаимодействия двух невоз-
невозбужденных атомов водорода по методу теории возмущения, так-
также дает формулу B7.56) с коэффициентом тг^6 —8.
Силы Ван-дер-Ваальса,убывают на бесконечности достаточ-
достаточно быстро ~R~~7, но не по экспоненциальному закону, как ва-
валентные силы. Это приводит к тому, что межмолекулярные силы
заметны не только на расстояниях порядка радиуса молекулы,
но и на значительно больших расстояниях (вне молекулы), иг-
играя существенную роль при выводе уравнения состояния Ван-
дер-Ваальса.
§ 28. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА*)
Применение методов квантовой механики оказалось очень
плодотворным при объяснении многих свойств твердых тел, ко-
которые нельзя было понять на основе классической теории. Как
и во многих других случаях, квантовая механика открыла воз-
возможность не только качественного, но и количественного описа-
описания важнейших закономерностей, вытекающих из особенностей
структуры твердого тела. При этом физическая картина явлений
получила особую законченность и ясность.
а) Движение электрона в периодическом поле. Функции Бло-
Блоха. Как известно, наиболее характерным свойством твердых тел
является их кристаллическая структура — структура решетки,
т. е. такое положение ядер атомов, которое может быть получено
путем повторения элементарной ячейки. В силу этой особенно-
особенности (трансляционная инвариантность) мы можем определить
структуру кристалла, зная структуру лишь одной ячейки. Дей-
Действительно, вводя вектор решетки
П = П\п\ -f- #2#2 Ч" ^3#3» B8.1)
где аи а2, из — единичные некомпланарные базисные векторы,
а пи ^2 и пг — любые целые числа, можно сказать, что транс-
трансляционная инвариантность кристалла проявляется в неизменно-
*) Более подробное изложение теории твердого тела см., например:
Давыдов А. С. Теория твердого тела. — М: Наука, 1976; Киттель Ч. Кван-
Квантовая теория твердых тел. — М.: Наука, 1967; Харрисон У. Теория твердого
тела. —М.: Мир, 1972; Займан Дж, Принципы теории твердого тела. — М:
Мир, 1974.

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 457
сти его структуры относительно смещений на вектор п при лю-
любых целых числах т.
Электроны твердого тела движутся в электрическом поле
атомных ядер, а также взаимодействуют между собой. Среди
различных методов приближенного рассмотрения общей слож-
сложной задачи движения таких электронов оказался весьма плодо-
плодотворным метод одноэлектронного приближения. Согласно этому
методу движение многих электронов заменяется движением од-
одного электрона в поле заданного эффективного потенциала, учи-
учитывающего наряду с полем ядер частично и взаимодействие с
остальными электронами.
Волновая функция одноэлектронной задачи должна, таким
образом, удовлетворять стационарному уравнению Шредингера
, B8.2)
где оператор Гамильтона
Н = - Jjlv2+V(r) B8.3)
включает в себя эффективную потенциальную энергию V(r).
В силу изложенного функция V(r) должна обладать трансля-
трансляционной симметрией, т. е. являться периодической функцией с
периодом решетки
V(r + n) = V(r). B8.4)
В дальнейшем будем предполагать кристалл безграничным,
что позволяет ввести граничные циклические условия.
Обсудим теперь ряд общих свойств собственных функций,
вытекающих из периодической структуры кристалла. Прежде
всего рассмотрим оператор трансляции Т„, действие которого
на волновую функцию заключается в смещении координаты на
период решетки
Тф() Ч>(г+л). B8.5)
В силу B8.4) очевидно, что оператор Т« коммутирует с гамиль-
гамильтонианом B8.3) и поэтому обладает общими с ним собствен-
собственными функциями
(Н —?)ф = 0,
(г.-«¦_«. <286)
Заметим далее, что нормировка волновой функции не долж-
должна зависеть от смещения начала координат. Поэтому собствен-
собственные значения оператора трансляции tn
ТИ> (г) = ф (г + п) = tnq> (r) B8.7)
должны равняться по модулю единице. Запишем это в виде
/Л = е'**Л, B8.8)

458 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
где k — волновой вектор, причем tik называется квазиимпуль-
квазиимпульсом. Свойства этого вектора мы рассмотрим несколько позже,
пока лишь заметим, что в случае свободного движения электро-
электронов (V(r) = 0) hk является истинным импульсом. Таким обра-
образом, состояния электронов в кристалле можно характеризовать
значениями квазиимпульса hk:
т Л, к W = %, *(' + *) = eikn%, к W> B8-9)
где под А, будем понимать другие (кроме k) квантовые числа.
Перейдем теперь к более удобной и физически более нагляд-
наглядной форме записи волновой функции B8.9) и представим
(г) в виде
()
Функции B8.10), называемые функциями Блоха, представляют
собою плоские модулированные волны, причем амплитуда моду-
модуляции зависит от вида периодического потенциала V(r) и вели-
величины квазиимпульса. Существенной особенностью функций
UkAr) является их периодичность. Действительно, возвращаясь
к B8.9) и подставляя в это уравнение функцию Блоха B8.10),
получаем
eik (r+n)Ukt к (г + п) = eikneikrUk х (г)> B8.11)
т. е. функция Uk,i(r)y характеризующая амплитуду модуляции
плоской волны, обладает периодом решетки
икЛ(г + п) = икЛ(г). B8.12)
Подставляя, наконец, функцию Блоха B8.10) в исходное
уравнение Шредингера B8.2), получаем уравнение для функ-
функции U и, к
{^ )kiK{r)^Q> B8.13)
которое достаточно решить для области одной элементарной
ячейки. При этом циклические граничные условия дадут воз-
возможность периодического продолжения этих решений в сосед-
соседние ячейки.
б) Квазиимпульс. Вектор tik, входящий в выражение функ-
функции Блоха B8.10), как уже отмечалось, называется квазиим-
пульсом, причем в случае перехода к свободному движению
электрона, когда V(r)->0, эта величина переходит в истинный
импульс. В общем случае функции Блоха не являются собствен-
собственными для оператора импульса р = —fftV и, соответственно, hk
не будет собственным значением этого оператора,

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 45 Э
Кроме того, в силу периодичности потенциальной энергии
квазиимпульс определяется неоднозначно. Действительно, век-
вектор k определяется с точностью до преобразования
t = m{b{ + m2b2 + tnsbz. *
Здесь rtii — целые числа, т — вектор так называемой обратной
решетки, а 6/ — ее базисные векторы, связанные с основными
векторами прямой решетки соотношениями
[] /по 1 с\
B8Л5)
где 1/о = | («1 [а2а3]) \ — объем элементарной ячейки. Из опре-
определения B8.15) следуют равенства
aibj = 6iJ. B8.16)
Учитывая разложение «и т по базисным векторам
B8.17)
получаем, что
elb'n = eikneiQn = eiknf B8.18)
так как
Gn = 2зхтп = 2л X mittfiiaj = 2л X tntnfiu = 2я 2 т*п*, B8.19)
а сумма произведений целых чисел равна целому числу.
Рассмотрим теперь состояние ^^(г) с энергией
В силу B8.14) можно записать, что
При этом функция
?/*+o,;i (г) = ??-<<*?/*,;, (г) B8.21)
обладает периодичностью прямой решетки.
Таким образом, волновые функции tyktX и $к+ол соответ*
ствуют одному и тому же энергетическому состоянию, другими
словами, собственные значения энергии электрона, находящегося
в периодическом поле, периодичны в обратной решетке
B8.22)
С целью однозначности определения квазиимпульса обычно
отбирается его наименьшее значение, т. е. k рассматривается
только в пределах первой ячейки обратной решетки, линейные
размеры которой умножены на. 2я. Эта ячейка носит название
&оны Бриллюэна,

450 теория многих частиц [ч ш
С целью выяснения физического смысла квазиимпульса рас-
рассмотрим движение электрона в периодическом поле при воздей-
воздействии на него внешней силы F, например, внешнего электриче-
электрического поля. Движение локализованной частицы мы можем опи-
описать, составив волновой пакет из функций Блоха в области вол-
волновых чисел (feo — Aft, fco + Aft)
ф(г, 0= J икЛ(г)е*г~*~(Р1г, E = E(k). B8.23)
Как известно (см. A.48)), центр тяжести такого волнового
пакета перемещается с групповой скоростью
gdE(k) B8.24)
совпадающей со скоростью движения частицы. Действительно,
выбирая интервал волновых чисел Aft достаточно малым,
|Aft| <C |fto|, мы можем считать амплитуду Uk>k(r) в этом ин-
интервале практически постоянной, и тогда можно воспользоваться
общими выводами о движении волнового пакета (см. § 1).
С другой стороны, работа внешней силы F изменяет энергию
частицы, в частности, имеем:
= grad* ? (ft) -g- - vF. B8.25)
Но тогда
jj-. B8.26)
откуда следует, что
1h S— /jfr /Oft 07\
Это уравнение представляет собой, очевидно, закон Ньютона, в
котором импульс заменен на квазиимпульс. Оно остается, таким
образом, справедливым не только для свободного электрона, но
и для электрона, движущегося в периодическом поле.
в) Зонная структура спектра энергии. Одной из важнейших
особенностей движения электрона в периодическом поле яв-
является так называемая зонная структура энергетического
спектра.
Как видно из уравнения Шредингера
*2 « . у (г) _ ^ до J ^ (г) = 0> B828)
в простейшем случае, когда потенциальная энергия V(r) явля-
является постоянной величиной, функция Блоха переходит в обыч-

§ 28J КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГб ТЕЛА 4Й
ную плоскую волну
^ к (г) = eikrUk х (г) -> Ceikr = ^k (г), B8.29)
ибо [/*, % (г) ~> const, а энергия электрона оказывается связан-
связанной с импульсом hk обычным соотношением, характерным для
свободного движения частицы
?(й) = ^1. B8.30)
В общем случае движения частицы в периодическом поле энер-
энергия E(k) уже не является всюду непрерывной функцией импуль-
импульса. Вместо этого E(k) распадается на ряд зон (или полос), т.е.
энергия непрерывна в широких областях изменения tik и претер-
претерпевает разрывы при определенных значениях fe. Весь энергети-
энергетический спектр разбивается при этом на ряд зон (или полос) так
называемых разрешенных значений энергии, разделенных энер-
энергетическими щелями — областями запрещенных значений*).
Рассмотрим конкретные примеры движения электронов в пе-
периодическом поле с целью определения энергетического спектра,
г) Случай почти свободных электронов. Рассмотрим для про-
простоты одномерное движение электрона в потенциальном поле
У (л:), обладающем периодом решетки а
V(x + a)=V(x). B8.31)
Тогда уравнение Шредингера B8.28) принимает следующий вид:
>*(*) = <>. B8.32)
Будем далее предполагать, что поле V(x) является очень сла-
слабым, т.е. таким, что его можно учесть по теории возмущений.
При таком допущении в отсутствие возмущения решением урав-
уравнения B8.32) являются плоские волны де Бройля
^(jc) = ^L-*'4 B8.33)
Здесь L — Na — нормировочная длина, равная области, соот-
соответствующе» размерам кристалла.
При этом энергия электрона имеет вид
B8.34)
и весь энергетический спектр является непрерывным.
*) Зонная структура энергетического спектра характерна для любого
уравнения (определяющего собственные значения), остающегося инвариант*
ным относительно трансляции решетки.

ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
14 III
Далее применим метод теории возмущений, согласно кото-
которому поправки к волновой функции и к энергии имеют вид (см.
(8.22), (8.33))
к'фк
Уь>ъ
B8.35)
к'Фк
e(k') '
Здесь матричные элементы оператора потенциальной энергии
равны
L
vk>k = \ *** "Ф* ^=т \ei {k~k'] xy W d*- B8-36)
о
При этом мы учитываем поправки к энергии второго порядка
теории возмущений, так как поправка первого порядка Vo, рав-
равная диагональному матричному элементу (Vo= Vkk), не зави-
зависит от k и приводит лишь к незначительному сдвигу всех зна-
значений энергии на одинаковую величину. Этот сдвиг мы в даль-
дальнейшем не будем принимать во внимание, полагая Vo = 0.
Заметим далее, что недиагональные члены выражения для
матричных элементов B8.36) содержат под знаком интеграла
периодическую функцию. Очевидно, что такие интегралы будут
отличны от нуля только в том случае, если экспоненты имеют ту
же периодичность, что и функция V{x), т.е. а. Тогда должно
выполняться условие
ei {k-k') (x+a) _ ei (k-k') х^
ИЛИ
Другими словами, матричные элементы оператора потенциаль-
потенциальной энергии B8.36) дают отличный от нуля вклад только в том
случае, если
^ G, m = ±l, ±2, ... B8.37)
Напомним, что вектор G связан с вектором обратной решетки
соотношением B8.15). С учетом этих замечаний для энергии
E(k) в B8.35) мы получаем следующее выражение:
| V 2
1Т
Е(к)-е(А) +
(к
v

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 463
Нетрудно заметить, что в этом выражении есть быстро растущие
члены суммы, для которых знаменатель близок к нулю. В слу-
случае, если
* 2 (и 2ят \2 , тип G /OQ qq\
k2=\k — J или же ? = —= -y, B8.39)
(m==±l, ±2, ...)>
метод теории возмущений, которому мы следовали, неприменим.
Полученные нами формулы справедливы только вдали от гра-
границ зон Бриллюэна *)'&===^-, которые, как мы сейчас пока-
покажем, оказываются точками разрыва функции E(k).
Для того чтобы получить результаты, справедливые вблизи
от точек разрыва, т. е. вблизи от границ зон Бриллюэна, учтем
неоднозначность определения квазиимпульса B8.14). Тогда в ну-
нулевом приближении задача оказывается вырожденной,, ибо со-
состояния ty°k (х) и tyl_G {х) относятся к одному и тому же значе-
значению энергии.
Таким образом, в нулевом приближении мы имеем
?0 {k) = 8 {k) _ »?., +о {Х) = А% (х) + В*к_0 (х)9 B8.40)
где А и В — произвольные коэффициенты, a tyk(x} — плоские
волны
^'Ч B8.41)
При фиксированном значении т задача имеет двукратное выро-
вырождение.
В соответствии с общими положениями теории возмущений
при наличии вырождения (см. § 8, п. д)) в первом приближении
получаем
E(k) = e (k) ± Vl Vk, ь-g I2 = e (k) ± /\Vnrn_ n^f , B8.42)
VI a >- a I
причем соответственно
A = ±B. B8.43)
Отсюда следует, что на границах зон Бриллюэна энергия тер-
терпит разрыв, причем величина разрыва оказывается конечной
A?==2|Vr_jmL _.я™|# B8.44)
I а ' а \
*) Просьба не путать термины: зоны Бриллюэна, относящиеся к обратной
решетке и в одномерном случае определяемые соотношением fc = ( пер-
п яг \
вая зона простирается от — — до — J, и анергетические зоны — полосы
разрешенных и запрещенных значений- энергии»

464
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
14.
\
itiit
\1
V///////A
гп я о
а " а
i
«щи
/
У//Ш//Л
Волновая функция при этом имеет вид
/ inmx inmx \
¦*«-vru a +е~~1Г}' <28-45)
Типичный вид зависимости E(k) для случая почти свободных
электронов представлен на рис. 28.1. Энергия теперь не является
непрерывной функцией квазиим-
квазиимпульса hk. Вместо этого энергия рас-
распадается на зоны или полосы, пре-
претерпевая разрывы вблизи опреде-
определенных значений k (на границах
зон Бриллюэна). В энергетическом
спектре возникают области запре-
запрещенных значений энергии — энерге-
энергетические щели, В зонах разрешен-
разрешенных значений энергия • по-прежнему
остается непрерывной функцией ft.
Заметим, что энергетические зо-
зоны являются следствием периодиче-
периодической структуры кристалла *) и вме-
вместе с тем они представляют собою
фундаментальные характеристики
электронной структуры твердого те-
тела. Расчет энергетических зон в ка-
каждом конкретном случае — доста-
достаточно сложная и трудоемкая задача. Мы здесь ограничимся
лишь еще одним примером — так называемой задачей Кронига
и Пенни.
д) Задана Кронига и Пенни, Один из простейших примеров
одномерного периодического поля, рассмотренный Кронигом и
Пенни A931 г.), допускает точное решение задачи. Несмотря на
схематичность модели кристалла, этот пример заслуживает вни-
внимания, ибо он наглядно показывает природу возникновения зон-
зонной структуры энергетического спектра.
Рассмотрим движение электрона в одномерном периодиче-
периодическом поле, изображенном на рис. 28.2.
Решения уравнения Шредингера выберем в виде
Пврбаязона
бриллкзэна
Рис. 28.1. Зависимость энергии для
случая почти свободных электронов.
Заштрихованы области запрещенных
значений энергий.
= Ае***
а =
B8.46)
*) Заметим, что важные зонные соотношения k' — k = Gt k'2 = k2 встре-
встречаются в теории дифракции рентгеновских лучей на кристаллах (так назы-
называемое уравнение Лауэ). Это указывает на тесную связь появления зон энер-
энергии с волновыми свойствами электронов.

§ 281 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 465
— в областях, где потенциальная энергия равна нулю, и
ajJ (х) = Се&* + De-*\ р == ^2т° (J°~" E) B8.47)
•— в области барьера.
Условия сшивания функции и ее производной на границах
—6, 0, а — b запишем в виде
о1J(О) = 'ф1(О), 1^@) = i|)' @), B8.481
B8.49)
а также
2 (— 6) = e-'^4>i (а — 6),
?(-6) = *-'*¦; (а-ft),
где % — действительная величина.
В последних соотношениях мы воспользовались общими свой-
свойствами волновых функций электрона в периодическом поле, под-
подчиняющихся закону трансляции (см. B8.9))
Подставляя решения уравнения Шредиигера B8.46) и B8.47)
в условия сшивания B8.48) и B8.49), получаем уравнения для
определения неизвестных постоян-
постоянных А, В, C.D, Я:
e~iKa
la
Р
-Ь О а,~Ь a &j
Рис. 28.2. Потенциал Кронига—
Пении.
B8.50)
Комбинируя эти равенства, нетрудно получить
(А + В) [ch р& — e-iKa cos а (а — Ь)] —
= / (А - В) [j sh p& + е~аа sin а (а - 6)],
(А + В) [sh рб - |. е-'^ sin а (а - &)] = B8'51)
Эти уравнения совместны, если определитель равен нулю,
т. е. если
cos ha — Р 2""8а sh рб sin а (а — 6) + ch p& cos а (а — 6). B8.52)

466
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. III
Отсюда графическим методом можно определить энергетический
спектр, имея в виду, что правая часть равенства по модулю не
должна превышать значение, равное единице. С целью упроще-
упрощения задачи и большей наглядности ее решения перейдем в вы-
выражении для потенциальной функции (рис. 28.2) к цепочке дель-
дельта-функций, полагая, что &->0, Vo-+oo. Но при этом предель-
предельном переходе величина
^b = y, B8.53)
пропорциональная площади внутри барьера, остается конечной.
Тогда, учитывая, что в этом приближении sh P& ~ 6C, ch C6 ~ 1,
вместо B8.52) получаем
eos ha — у
+ cos aa.
B8.54)
Поскольку Я — действительная величина, это уравнение удовле-
удовлетворяется в случае» если правая его часть изменяется в преде-
пределах от —1 до +1 (ем. рис. 28.3).
\ cut,-
•7
Рис. 28.3. График допустимых значений энергия в модели Кронига—Пенни. Допустимые
значения энергии (cm) показаны жирной чертой.
Таким образом» и в этом примере энергетический спектр об-
обнаруживает зонную структуру — чередующиеся полосы разре-
разрешенных и запрещенных значений энергии.
В рассмотренных двух частных случаях движения электрона
в периодическом поле вскрывается общая характерная особен-
особенность спектра энергии: чередование зон (или полос) разрешен-
разрешенных и запрещенных значений. В общем случае, независимо от
конкретной модели периодического поля, этот вывод остается
справедливым. Однако структура зон энергии может быть более
сложной и, в частности, зоны разрешенных значений иногда мо-
могут перекрываться между собою.

§ 28) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 467
Следует заметить, что расчет зон для конкретных кристаллов
является сложной и трудоемкой задачей *).
Мы рассмотрели некоторые общие вопросы приложений кван-
квантовой механики к движению электронов в кристалле. Несмотря
на ряд идеализации, допущенных нами при решении этой зада-
задачи, выводы, особенно касающиеся структуры энергетического
спектра, имеют в физике твердого тела важное значение.
Одним из наиболее существенных достижений теории яви-
явилось объяснение ряда закономерностей при изучении электро-
электропроводности твердых тел.
е) Свойства электропроводности твердых тел с точки зрения
зонной структуры спектра энергии. Основываясь на зонной
структуре энергетического спектра твердых тел, попытаемся
классифицировать их электропроводящие свойства в зависимо*
сти от характера заполнения этих зон электронами.
Будем предполагать, так же как и при рассмотрении атомов,
что в нормальном состоянии твердого тела электроны стремятся
занять наинизшее энергетическое состояние. Напомним (см*
E.78)), что при температуре абсолютного нуля электроны за-
заполняют все энергетические уровни вплоть до граничного верх-
верхнего уровня Ферми.
Таким образом, в основном состоянии кристалла будут заня-
заняты все состояния внутри некоторой поверхности в пространстве
волновых векторов (импульсов), все же состояния вне этой по-
поверхности оказываются свободными. Такая поверхность, назы-
называется поверхностью Ферми. Соответствующая энергия Ef, от-
отсчитанная от дна зоны, называется энергией Ферми.
Заметим, что в случае почти свободных электронов, энергия
которых квадратично зависит от импульса (см. B8.40)), поверх-
поверхность Ферми представляет собой сферу h2k2 ^ 2moEF (сфера
Ферми).
Структура зон энергии твердого тела и характер их заполне-
заполнения (положение уровня Ферми) позволяют разделить твердые
тела по характеру их проводимости.
1. Проводники.
Характерной чертой проводников (металлов) является суще-
существование в основном состоянии частично заполненных зон раз-
разрешенных значений энергии (рис. 28.4)**).
Действительно, электроны в твердом теле можно себе пред-
представить разбитыми на пары, в каждой из которых электроны
движутся в противоположных направлениях с одинаковой ско-
*) См. специальную литературу, цитированную на стр. 456.
**) Поскольку электроны обладают спином 1/2 (см. § 16), то в соответ-
соответствии с принципом Паули (см. § 24) в каждом обозначенном на рис. 28.4 со-
состоянии могут находиться два электрона, отличающихся проекцией спина.

468
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. III
Рис. 28.4. Частично заполненная энергети-
энергетическая зона, характерная для металла.
ростыо. Тогда средний ток оказывается равным нулю, поскольку
токи, текущие в различных направлениях, взаимно компенси-
компенсируются. В случае не полностью заполненной зоны такое стати-
статистическое равновесие может быть легко нарушено, напри-
например, наложением слабого элек-
электростатического поля. Тогда
электрон переходит на близле-
близлежащий свободный уровень, и
средняя скорость электронов
становится отличной от нуля —
появляется ток. Поскольку
3 I Занятые уровни энергии вблизи грани-
\шстаяния цы Ферми располагаются близ-
^ ко друг к другу, возникновение
тока может произойти при на-
наложении весьма слабого поля.
Такая картина заполнения
энергетических уровней свой-
свойственна металлам. Положение
меняется, если основная зона, над которой имеется энергетиче-
энергетическая щель, заполнена полностью.
2. Диэлектрики.
В случае, если основная зона (валентная зона) в твердом
теле заполнена полностью, а свободные состояния последующей
зоны отделены энергетической щелью (зоной запрещенных зна-
значений энергии) (см. рис. 28.5), то тогда для возбуждения тока,
\3она проводимости
ХЗалрещзнная зона
Заполненная (валентная).
зона
Рис» 28.5. Заполнение энергетических гон, характерное для диэлектриков.
т. е. преодоления этой щели, потребуется очень сильное электри-
электрическое поле и большие затраты энергии. Поэтому твердое тело
с такими свойствами является изолятором, хотя его электроны
и движутся в кристаллической решетке. Наличие в основном
состоянии целиком заполненных нижних зон и пустых более вы-
соколежащих зон, отделенных энергетическими щелями, типично
и для полупроводников. Изоляторы суть полупроводники, энер-

. 28]
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
469
гетические щели у которых достигают больших размеров. В са-
самом деле, в чистом виде (без примесей) все тела с заполненной
энергетической зоной при температуре абсолютного нуля яв-
являются изоляторами. Однако поскольку величина запрещенной
зоны энергии (энергетической щели) у них различна, с возра-
возрастанием температуры обнаруживается также и различие в свой-
свойствах электропроводности. Так, в частности, у алмаза ширина
энергетической щели достаточно большая F—7 эВ), поэтому
алмаз остается изолятором не только при абсолютном нуле, но
и при комнатной температуре. У германия заполненная и сво-
свободная зоны близко расположены друг к другу — энергетиче-
энергетическая щель мала @,72 эВ). Поэтому уже при комнатной темпе-
температуре в результате тепловых флуктуации заметное число элек-
электронов перебрасывается в свободную (незаполненную) зону про-
проводимости. Кристалл германия становится проводником. Таким
образом, полупроводниками являются твердые тела, проводи-
проводимость которых равна нулю при Т = 0 и заметно растет при
увеличении температуры.
Остановимся несколько подробнее на проводимости полупро-
полупроводников.
1. Собственная проводимость.
Заметим, что при возбуждении электрона он перебрасывает-
перебрасывается из нижней зоны через энергетическую щель в более высоко-
высокорасположенную зону (см. рис. 28.6). Одновременно в заполнен-
\3она прободцмости
Kапрещенная зона
аполненнаяСвалентная)
зойа
Рис. 28.6. Схема электронной и дырочной проводимости полупроводника.
ной зоне образуется пустое место — «дырка». Движение «дыр-
«дырки» оказывается возможным интерпретировать как движение
положительно заряженной частицы (Гейзенберг, 1931 г.). Таким
образом, проводимость чистого полупроводника {собственная
проводимость) может рассматриваться как движение электро-
электронов в верхней зоне (электронная проводимость) и движение ды-
дырок в нижней почти заполненной зоне (дырочная проводи-
проводимость) *).
*) Эта интерпретация имеет тесную аналогию с фоном Дирака (см. § 22).

470
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
14. Ш
2. Примесная проводимость.
, Пока речь шла только о чистых полупроводниках. Следует
заметить, что включение примесей в кристалл полупроводника
может оказать существенное влияние на его проводимость. Так,
например, включение одного атома бора на 105 атомов увеличи-
увеличивает прежнюю проводимость в 1000 раз.
Атомы примеси могут отдавать свои электроны в свободную
зону проводимости кристалла — так называемые донорные при-
примеси. Тогда в процессе проводимости участвуют электроны, ко-
которые движутся в незаполненной зоне проводимости. Такие
электроны называются электронами проводимости, а полупро-
полупроводники, легированные донорами, называются полупроводника-
полупроводниками п-типа (п — negative). Атомы примеси могут захватывать элек-
электроны из нижней заполненной зоны кристалла — так называе-
называемые акцепторные примеси. Тогда в почти заполненной нижней
зоне образуется дырка, движение которой можно рассматривать
как движение положительно заряженной частицы. Полупровод-
Полупроводники, легированные акцепторами, обладают дырочной проводи-
проводимостью и называются полупроводниками р-типа {р—positive)
(см. рис. 28.7). Таковы основные следствия зонной теории энер-
энергетического спектра, которые объясняют проводимость твердых
Акцепторный—
уровень примеси
-Донарныйуробень
?_ примеси
Рис. 28-7. Схема примесной проводимости полупроводника.
тел. Мы рассмотрели здесь только идеальные кристаллы. Де-
Дефекты решетки могут оказывать существенное влияние на элек-
электропроводность, однако эти и другие вопросы выходят за рам-
рамки нашего изложения, и мы отсылаем читателя к специальной
литературе *).
Заметим, что зонная теория энергетического спектра твер-
твердых тел является приближенной моделью. Ряд выводов этой
теории позволяет описать многие важные свойства твердого тела
простым и наглядным способом. Однако такое описание нельзя
*} См. на стр. 456 монографии по теории твердого тела.

§28] КВАНТОВАЯ ТСОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 471
считать совершенным, ибо исходные положения теории являют-
являются во многом идеализированными.
ж) Движение электрона в зоне проводимости. Эффективная
масса. Рассмотрим теперь движение электронов в зоне проводи-
проводимости и введем понятие эффективной массы. В общем случае
движения электронов в кристалле кинетическая и потейвдаль-
ная энергии ведут себя довольно сложным образяш. Подаая
энергия частицы поэтому не может быть аыражяна элементарно
так, как это было в случае свободного движения..
Рассмотрим для простоты одномерный кристалл и разложим
энергию E(k) в ряд Тейлора в окрестности точки feo*.
k0)^?^- + \(к-Ьо?Щ+ ... B8.55)
Выберем далее точку &о так, чтобы она соответствовала экстре-
экстремуму функции E(k), и положим
E(k) = E (k0) + -~r(k-koJ+ . ¦., B8.56)
где эффективная масса /л* равна
Таким образом, в указанном приближении (приближение
Блоха) электрон в полосе разрешенных значений энергии дви-
движется как частица с эффективной массой, определяемой соотно-
соотношением B8.57). Легко заметить, что эффективная масса элек-
электрона отличается от истинной — это отличие касается и абсо-
абсолютной величины и знака.
Действительно, пусть электрон движется в зоне проводимо-
проводимости, содержащей небольшое число частиц. Тогда электрон нахо-
находится в состояниях, близких к дну зоны (т. е. к минимуму энер-
гии), и поэтому ko — точка минимума E(k), а-^г>0. Следова-
Следовательно, электронная проводимость характеризуется положитель-
положительной эффективной массой.
Напротив, если в энергетической зоне много электронов
(почти заполненная зона), то k0 будет соответствовать максиму-
максимуму энергии. При этом, очевидно, d2E/dk2 < 0 и эффективная
*) В случае трехмерного кристалла это выражение переходит в тензор
эффективной массы
д2Е

472 теория многих частиц [ч тп
масса отрицательна. Таким образом, вблизи верхнего края зоны
электрон ведет себя как частица с отрицательной эффективной
массой т* < 0.
Как уже было отмечено, в энергетических зонах, почти за-
заполненных электронами, удобно учитывать не занятые состоя-
состояния, а свободные, т. е. дырки. Отсутствие электрона в заполнен-
заполненной зоне эквивалентно появлению положительно заряженной ча-
частицы с эффективной массой ^*ырки = — т > 0. Поэтому дви*
жение электронов с отрицательной эффективной массой соответ-
соответствует так называемой дырочной проводимости. Это нетрудно
проиллюстрировать также общей формулой, являющейся анало-
аналогом закона Ньютона классической механики. С помощью выра-
выражений B8.24) для скорости электрона и B8.27) для квазиим-
квазиимпульса йолуВДем
dv I d дЕ 1 д*Е dhk 1 д2Е д. 1 д.
где m* — эффективная масса.
Если теперь речь идет о движении электрона под действием
электромагнитных сил, то F — сила Лоренца:
F = - etf - i<L [vjg]. B8.59)
с
Тогда из B8.58) следует, что электрон с отрицательной эффек-
эффективной массой эквивалентен частице с положительным зарядом
и положительной эффективной массой *).
Как мы уже говорили, когда электрон диэлектрика забрасы-
забрасывается в зону проводимости, в нижней зоне остается незанятое
состояние — дырка. Эта дырка, как было установлено, обладает
положительным зарядом. Таким образом, возбужденный элек-
электрон должен испытывать взаимодействие с положительно заря-
заряженной дыркой. Можно представить себе электрон и дырку вра-
вращающимися друг относительно друга. Такая связанная пара на-
называется экситоном **).
з) Колебания решетки. Фононы. В предыдущем изложении
этого параграфа было рассмотрено движение электронов в пе-
периодическом поле. Эта задача относится к основам теории твер-
твердого тела, поскольку кристаллическая структура является для
него характерной и определяющей ряд важнейших свойств. Об-
Общие выводы рассмотренной нами теории были основаны на
предположении о неподвижности атомов (ионов), составляющих
решетку. В действительности такая постановка задачи является
*) Ср. с фоном Дирака, § 22.
**) См., например, Давыдов А. С. Экситоны. — М,: Наука, 1968.

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 473
идеализацией, поскольку атомы (ионы) решетки подвержены ко-
колебаниям. Эти колебания оказываются весьма существенными,
так как они определяют такие физические свойства твердых тел,
как например, теплоемкость, электрическое сопротивление и др.
Рассмотрим движение решетки более подробно. При этом мы
будем предполагать, что атомы совершают гармонические коле-
колебания относительно своих положений равновесия в узлах решет-*
ки. Детальное описание движения атомов весьма затрудни-
затруднительно, так как требует знания особенностей структуры данного
кристалла. Между тем колебания с малой частотой (длрнновол-
новые колебания) можно описать сравнительно прбсто. При
этом используется следующая идеализация: длинноволновые ко-
колебания суть звуковые колебания твердого тела, которые пред-
представляют собой коллективные движения атомов твердого тела.
Эти движения можно рассматривать, таким образом, как волны
деформации (звуковые волны), распространяющиеся в твердом
теле, не интересуясь деталями перемещения каждого атома в от-
отдельности.
Для простоты вначале будем предполагать, что возможны
только одномерные колебания, причем в каждой ячейке нахо-
находится один атом. Положение ячейки будем характеризовать век*
тором B8.1)
п = ща\ + п2а2 + п3аг, B8.60)
где di — базисные векторы решетки, а т — целые числа. Обозна-
Обозначим через ^.смещение атома от своего положения равновесия ri
я-й ячейке. Тогда энергия колебаний решетки может быть запи-
записана в виде
%ЦТТ B8-61)
где М — масса атома, а коэффициенты Ст удовлетворяют уело*
вию
Ст^С-т. B8.62)
Второе слагаемое в равенстве B8.61) представляет собой пси
тенциальную энергию взаимодействия атомов между собой. Его
явный вид и условие B8.62), наложенное на коэффициенты Ст,
определяются тем требованием, чтобы силы взаимодействия ме*
жду атомами зависели только от относительного расстояния
между ячейками, в которых они расположены.
Классическое уравнение движения для и-й ячейки, соответ-
соответствующее энергии B8.61), с учетом условия B8.62) получается
в виде
МХп = - ? СтХп+т. B8.63)

474 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Решение последнего уравнения представим в виде разложе-
разложения в ряд Фурье
Хп =
я
где N — число ячеек в кристалле, а суммирование ограничено
значениями волновых векторов q, лежащих внутри области
—я ^ qut ^ я (/=1, 2, 3), т.е. в пределах ячейки обратной
решетки B8Л5).
Коэффициенты разложения Хд должны следующим образом
зависеть от времени:
*«(/) = *V"to< B8.65)
тогда уравнение B8.63)- удовлетворяется, а для частот а>д нахо-
находим
Y B8.66)
Обозначая реаультат преобразования Фурье для коэффи-
коэффициентов Ст через Cqi
С^ЪСте1**», B8.67)
т
получим собственные, частоты колебаний со^ = CJM.
Преобразуем теперь выражение для энергии B8.61) с по-
помощью разложения B8.64) и равенства B8.65). Для кинетиче-
кинетической энергии, таким образом, получаем
T Mkl = Z Т Ш1 (ХяГя + КХя - ХяХ-я ~ Х*яХ-я)>
я q
причем здесь использовано соотношение
6 / = бл 'б 'б ' —трехмерный символ Кроне-
кера.
Аналогично, для потенциальной энергии находим
1
п т
2
m « B8.69)
Используя далее уравнение для частот колебаний B8.66), потен-
потенциальную энергию можно записать в той же форме, что и кине-

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 475
тическую энергию B8.68), однако знаки перед последними дву-
двумя членами будут, согласно B8.69), положительными. В сумме
получаем энергию колебаний
Перейдем теперь к квантованию колебаний кристалла, для
чего классические смещения Xq и X*q следует заменить опера-
операторами Х^ и Xq (ср. с квантованием электромагнитного поля,
§ 9). Квантовое уравнение движения с учетом явной зависимо-
зависимости Xq от t B8.65) имеет вид
—jp = j[H, Xq] = —-i(x>qXq.
Это уравнение будет удовлетворено, если операторы Xq и
подчинить следующим коммутационным соотношениям:
[Xq, Хд\ = м& 6g'} q9
[Xq, Xq'] = [Xq , X^'J == 0.
Введем вместо Х^ и X^ новые операторы*)
для которых получим
Заметим, что точно таким же коммутационным соотношениям
удовлетворяют операторы, введенные нами ранее (см. § 7) при
изучении гармонического осциллятора.
Используя операторы aq и а+ гамильтониан системы с уче-
учетом условия B8.71) запишем в виде
H = E/to,(a+a, + V2). B8.72)
Квадратичная комбинация а+а^, как было показано в § 7,
представляет собой диагональный оператор, собственные значе-
значения которого — целые числа: пя = 0, 1, 2, ... Поэтому энергия
системы, т.е. собственное значение гамильтониана B8.72), ока-
оказывается равной
? = Е(%+72)Й<о,/. B8.73)
я
*) Здесь и далее, в отличие от § 9, операторы а и а+ удобнее обозначать
прямым шрифтом,

4^6 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
Этому выражению можно дать следующую интерпретацию.
Целые числа nq, стоящие под знаком суммы, можно понимать
как числа элементарных возбуждений, или квазичастиц, каждая
из которых обладает энергией йсо^. Эти квазичастицы, называе-
называемые фононами, сопоставляются звуковым колебаниям кристал-
кристалла. Сумма по всем значениям q представляет колебательную
энергию кристалла как полную энергию всех фононов, находя-
находящихся в состояниях с энергией h®q и квазиимпульсом hq*).
При этом оператор а+, увеличивающий число nq на едини-
ДУ (nq~*nq^~l) (§ 7)> можно интерпретировать как оператор
рождения фононов, а оператор aqy уменьшающий число nq
(nq->nq — 1) — как оператор уничтожения фононов.
Здесь мы рассмотрели частный случай одномерных колеба-
колебаний при условии, что в каждой элементарной ячейке находится
по одному атому. Точно так же проводится квантование и в об-
общем случае, когда число атомов ячейки равно v, причем каждый
из них может совершать колебания в трех взаимно перпендику-
перпендикулярных направлениях. В результате элементарным возбужде-
возбуждениям кроме квазиимпульса Tiq мы должны приписать в соответ-
соответствии с увеличившимся числом степеней свободы еще индексы а,
указывающие тип колебания и изхменяющиеся от 1 до 3v. Фор-
Формула для гамильтониана будет иметь, очевидно, тот же вид, что
и B8.72), с заменой <о^->ш^а, а^->а^,а, пд->пд>а, причем
суммирование следует производить не только по </, но также и
по индексам а, а энергия системы будет равна
^ЕКа + '/^Ц.а. B8.74)
Я, а
и) Взаимодействие электронов с фононами. Электропровод-
Электропроводность. Электроны проводимости при своем движении восприни-
воспринимают любые нарушения идеальной периодичности решетки. По-
Поэтому колебания решетки, о которых идет речь в этом разделе,
являются существенным дополнением общей картины движения
электронов в кристалле. Взаимодействие электронов с колеблю-
колеблющимися атомами (ионами) решетки оказывается удобным рас-
рассматривать методом квантовой теории как взаимодействие с фо-
фононами. При этом имеет место известная аналогия такого рас-
рассмотрения с проблемой взаимодействия электронов с квантован-
квантованным электромагнитным полем. На языке квантовой теории та-
такое взаимодействие электронов с решеткой выражается в кван-
квантовых переходах электронов при поглощении и испускании
фононов. Такое взаимодействие электронов с фононами может
*) Энергия основного состояния l/2 J] ft®q может быть заменена нулем,
я
если перейти к другому началу отсчета энергии. /

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 477
приводить к ряду эффектов, из которых мы здесь остановимся
на двух: рассеяние электронов на фононах (процесс, лежащий
в основе явления электрического сопротивления) и сверхпро-
сверхпроводимость.
Очевидно, что в идеальной кристаллической решетке с покоя-
покоящимися остовами средняя длина пробега электронов должна
быть бесконечной. Действительно, в модели Блоха состояние
электрона задается функцией tyk = Uk (r) eikr, причем скорость
электрона в этом состоянии определяется какг> = -т- gradft?(&).
В случае отсутствия каких-либо возмущений электрон остается
в этом состоянии без всяких изменений сколь угодно долго.
Однако в обычных условиях (металл) имеются существенные
отступления от идеальной решетки. В частности, решетка под-
подвержена тепловым колебаниям, вследствие которых электроны
могут испытывать рассеяние*). Участвуя в актах поглощения и
испускания фононов, электрон меняет свой квазиимпульс, что
приводит к хаотическому движению. Это и обусловливает элек-
электрическое сопротивление металлов.
Рассмотрим сейчас задачу о рассеянии электронов на про-
продольных (акустических) колебаниях решетки. Решение этой за-
задачи мы проведем методом теории возмущений, рассматривая в
качестве энергии возмущения некоторый эффективный потен-
потенциал, включающий в себя квантованные амплитуды колебаний
решетки.
Пусть, например, имеется ионный кристалл, причем положи-
положительные и отрицательные ионы колеблются по периодическому
закону с одинаковой амплитудой. Тогда смещение этих ионов
в противоположных направлениях можно представить в виде
следующих фурье-компонент:
« 'К0 i'fo"-'). B8.75)
Здесь N — число ионов кристалла, Q—амплитуда колебаний,
q — волновой вектор.
Пренебрегая далее разностью координат ионов, входящих в
одну и ту же ячейку, можно записать выражение для диполь-
ного момента системы двух ионов, рассчитанного на единицу
объема
H « * («г_в,) B8 76)
*) Мы не рассматриваем здесь дефекты решетки, также играющие суще-
существенную роль в процессе рассеяния электронов. См. выше литературу по фи-
физике твердого тела на стр. 456.

478 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
Здесь ?2о — объем ячейки, Ze0 — заряд иона,<^— вектор поляри-
еации (в соответствии с определением, известным в электроди-
электродинамике).
Йри этом возникает плотность локального заряда р:
div<^ = — p,
исключая которую с помощью уравнения Пуассона
У2ф = -4яр, B8.77)
дааходим выражение для электростатического потенциала
«. B8.78)
Следовательно, дополнительная энергия электрон-фононного
взаимодействия может быть записана в виде
где
Полученный здесь вывод, основанный на рассуждении примени-
применительно к ионным кристаллам, может быть обобщен введением
так называемого потенциала деформации, характеризующего
электрон-фононное взаимодействие
В дальнейшем мы рассматриваем только продольные колеба-
колебания решетки (звуковые колебания), для которых q и Q парал-
параллельны. Поэтому
V (г) = ? D -Й2г е1 <«'-•<>. B8.82)
я **
В этом выражении теперь необходимо заменить амплитуду гар-
гармонических колебаний Q соответствующим выражением через
операторы рождения и уничтожения фононов B8.70)
Напомним, что здесь aq — оператор уничтожения, а а+ —
оператор рождения фонона с частотой <oqi M — масса колеблю-
колеблющегося атома (иона)«

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 479
Рассмотрим далее поглощение фоноков методом теории воз-
возмущений и с этой целью запишем соответствующую поглощению
часть оператора электрон-фононного взаимодействия
упогл(г) = ?УГЛ. VS°m = D л/ wnM(s> iqaqe'qr-ia"t. B8.84)
Обозначая теперь
V9 = iqD(-^-Y, B8.85)
запишем окончательное выражение для энергии возмущения, вы-
выделяя не зависящую от времени часть
Упогл т70 погл „-itoqt т/0 погл Vq J4r tc\o oc\
q = Vq 2Lqe ч , Vq =—т=г в • (ZO.OO;
Воспользуемся нестационарной теорией возмущений. В соот-
соответствии с формулами § 8, п. ж), аналогично тому, как это было
сделано в теории излучения (§ 9, п. в)), для вероятности кван-
квантовых переходов электрона из состояния k в состояние Ы с по-
поглощением фононов получаем следующее выражение:
^ | к) |2 б (е (V) - в (*) - Ыя). B8.87)
h2k2
Здесь пя — число фононов с энергией Нщ\ eW^"^ знер*
гия электрона, свободно перемещающегося в зоне проводимо-
проводимости, а матричный элемент оператора Vqn0™ должен быть рас-
рассчитан с помощью электронных волновых функций свободного
движения
^^г- <28-88>
Строго говоря, для состояния электронов в кристалле в невоз-
невозмущенной задаче мы должны были бы в качестве волновых
функций взять функции Блоха. Однако с хорошим приближе-
приближением для движения электронов в зоне проводимости можно взять
плоские волны B8.88). Тогда для матричных элементов в B8.87)
получаем
J ^ B8.89)
—L/2
Таким образом, процесс поглощения фонона происходит при
соблюдении законов сохранения энергии и импульса;
B8.90)
B8.91)

480 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч Ш
Поэтому окончательно для вероятности перехода, связанного с
поглощением фононов, имеем выражение
2я I V Р
— Чг~ п«Ь (е (* + 9) - е (к) - й©,). B8.92)
Мы рассмотрели сейчас процесс поглощения электроном фо-
нона с импульсом hq, т. е. квантовый переход ft' = ft + q. Очевид-
Очевидно, что тому же самому переходу ft' = ft + q отвечает процесс
испускания фонона с импульсом —tiq {при этом ft' = ft — (—q) =
= k + q). Расчет, аналогичный проведенному, приведет нас к
формуле
^Щ %). B8.93)
Полную вероятность такого квантового перехода можно полу-
получить, несколько упростив результаты. Для этого заметим, что
энергия фонона Нщ значительно меньше, чем энергия электро-
электрона е (ft).
Действительно, полагая ft®g = hqvQ, где v0 — скорость зву-
h2k* hk
ка, имеем также, что энергия электрона равна 2^ ~ о
Но скорость электронов ve намного больше скорости звука.
Поэтому в дальнейших вычислениях мы пренебрегаем членами
h(oqy входящими в аргумент дельта-функции, и, объединяя B8.93)
и B8.92), получаем
2я D2n
^-ti(i>gb[e(k + q)-e(k)]. B8.94)
h NMv20
Заметим, что, полагая число фононов достаточно большим
пя ^> 1, мы отбросили в B8.94) единицу по сравнению с nq.
Вообще говоря, как это видно из B8.93), процесс рассеяния
может происходить даже, если в начальном состоянии фононы
отсутствуют. Это следует из того, что множитель nq + 1 никогда
не обращается в нуль. Среднее число фононов в зависимости
от температуры решетки удобно выразить с помощью функции
распределения Бозе — Эйнштейна
" T B8'95)
Итак, вероятность квантовых переходов электрона ft -> ft' =,
= ft + Ч при рассеянии имеет следующее выражение:
B8-96)

§ 28] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 481
При вычислении электрического сопротивления металлов
обычно интересуются так называемой скоростью хаотизации им-
импульса
' . . \ (If —_ Ъ\ to)« «/ — _- /OQ Q7\
sit ~""~~ / \ ") ^Sflt k " ^^ ——— ^ \^О»%// /
А'
где т — параметр, называемый временем релаксации. Смысл
этой величины непосредственно вытекает из определения, по-
поскольку решением B8.97) является
<*(/)> = ft @)<г<*. B8.98)
Заметим, что проводимость металла а связана со временем ре-
релаксации т соотношением *)
"-^. B8-99)
где We — число свободных электронов в единице объема.
Итак, для нахождения проводимости необходимо найти сум-
сумму B8.97), имея в виду, что V = k + q. Вводя далее угол 0
между векторами k и </, имеем с помощью B8.97)
7 =-J^*. *+*-¦[• cos 8. B8.100)
я
Рассмотрим два предельных случая.
1. Случай высоких температур.
В этом случае къТ > Йсо^, и тогда из B8.95) получаем
^ <28-101>
Подставляя это выражение в формулу B8.96) и переходя от
суммы B8.100) по q к интегралу
3<7, B8.102)
JT ЦЫЦ I I \«»v/ ^J
я
получаем
2я
B8Л03)
*) См. литературу, цитированную на стр. 456.
16 А. А, Соколов и др.

482 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ (Ч. III
Мы здесь сделали замену, полагая со^ = qvo, где ^о — скорость
звука. Проводя интегрирование по углу 0 с помощью дельта-
функции и восстанавливая правильный предел интеграла по dq
по обычным правилам интегрирования дельта-функций, полу-
получаем
2k
т 4kHMvq k3hr J я hsMvl
Как следует из этой формулы, время релаксации зависит от
энергии рассеиваемого электрона, поскольку входит множи-
множитель &, пропорциональный импульсу электрона tik. Далее, учи-
учитывая B8.99), можно утверждать, что для металлов при высо-
высокой температуре сопротивление линейно зависит от Т.
2. Случай низких температур.
В этом случае необходимо использовать полный вид распре-
распределения Бозе — Эйнштейна B8.95). Тогда интегрирование по
углу 6 в B8.103) снимается, а интеграл по q получает следую-
следующий вид:
1 а0 я2
zbTf С хЧх
B8.105)
т 4я Й3
где
^ТГТ-^ТГТ' B8.106)
причем верхний предел с учетом экспоненты под знаком инте-
интеграла при kT<^.h(.oq можно положить равным оо *).
Характерная зависимость этого результата от температуры
наблюдалась при низких температурах для многих металлов.
Не вдаваясь в более детальное рассмотрение проблемы элек-
электрического сопротивления твердых тел, заметим еще раз, что
физической причиной этого является рассеяние электронов про-
проводимости при их взаимодействии с фононами, т. е. с акустиче-
акустическими колебаниями решетки.
*) Интеграл, входящий в равенство B8.105), равен
оо
о
где С E) « 1,037 —значение ^-функции Римана ?(*) при х = 5.

§ 29] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 483
§ 29. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
а) Сверхпроводящее состояние. Как ни парадоксально на
первый взгляд, но оказывается, что и явление сверхпроводимо-
сверхпроводимости тоже вызвано взаимодействием электронов с фононами. Вза-
Взаимодействие электронов с колебаниями решетки может, таким
образом, приводить и к рассеянию, обусловливая электрическое
сопротивление, и к сверхпроводимости. Действительно интерес-
интересно заметить, что хорошие проводники (Ag, Аи, Си) не переходят
в сверхпроводящее состояние. Вместе с тем сильное электрон-
фононное взаимодействие (Pb, Sn), приводящее к большому со-
сопротивлению, способствует также и образованию сверхпроводя-
сверхпроводящего состояния.
Как известно, явление сверхпроводимости было эксперимен-
экспериментально обнаружено задолго до создания микроскопической тео-
теории этого явления. Действительно, еще в 1911 году было обна-
обнаружено, что сопротивление некоторых металлов при низкой тем-
температуре (Г->0) падает до неизмеримо малой величины (Ка-
мерлинг-Оннес). В 1933 году было установлено также на опыте,
что сверхпроводящее тело выталкивает приложенное извне маг-
магнитное поле, — явление, получившее название эффекта Мейссне-
ра (Мейсснер, 1933 г.).
Развитие теории началось значительно позже. Разработка
феноменологической теории сверхпроводимости Ландау — Гинз-
Гинзбурга в 1950 г. явилась важным этапом, поскольку эта теория
одержала ряд успехов и оказалась хорошим аппаратом в при-
приложениях. Однако микроскопический подход к явлению сверх-
сверхпроводимости долгое время не удавался. В 1950 г. было выска-
высказано предположение о том, что косвенное взаимодействие элек-
электронов посредством фононов приводит к их особому притяжению
(Фрелих, 1950 г.). И только более чем через 40 лет после экспе-
экспериментального открытия явление сверхпроводимости получило
теоретическое объяснение в рамках микроскопической теории.
Это было сделано трудами Бардина, Купера и Щриффера
(США), а также Н. Н. Боголюбова, давшего наиболее полную
теорию этого явления. Микроскопическая теория сверхпроводи-
сверхпроводимости явилась очень большим успехом квантовой теории. Раз-
Развитие теории сверхпроводимости продолжается до настоящего
времени.
Надо заметить, что математический аппарат теории обладает
известной сложностью. Дело не только в том, что последователь-
последовательное описание электрон-электронного взаимодействия посред-
посредством переноса его фононами требует квантования не только
звукового поля, но и поля электронов и позитронов. Задача
о расчете электрон-электронного взаимодействия оказывается
сложной еще и потому, что обычный метод теории возмущений
16*

484 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. II!
для электрон-фононного взаимодействия оказывается неприме-
неприменимым.
Не имея здесь возможности дать полное решение задачи*),
постараемся передать физический смысл теории.
Одним из решающих моментов всей теории является элек-
трон-фононное взаимодействие, или обмен виртуальными фоно-
нами между парой электронов. Физически это означает, что
один электрон испытывает на себе деформацию решетки, вы-
вызываемую другим электроном. При этом оказывается (Купер,
1956 г.), что испускание электроном с импульсом hk фонона q и
поглощение этого фонона электроном с импульсом Ъкг обуслов-
обусловливает взаимодействие электронов, имеющее характер притя-
притяжения. Образуется связанное состояние электронов — спарива-
спаривание электронов (куперовские пары). Важно отметить, что наи-
наименьшая энергия такого спаривания достигается при условии
противоположности импульсов и спинов обоих электронов. Ха-
Характер движения электронов в этих условиях меняется: они
движутся коррелированно, т. е. будучи попарно связанными.
Энергетически это означает, что для куперовской пары мини-
минимальная энергия становится более низкой, чем EF для обычных
электронов. Тогда верхняя граница нормального состояния
(верхняя граница Ферми) становится неустойчивой, и образова-
образование пары оказывается энергетически выгодным процессом.
Покажем, что межэлектронное взаимодействие может приве-
привести к неустойчивости нормального (несверхпроводящего) состоя-
состояния электронов. Рассмотрим два выделенных электрона системы,
взаимодействующих друг с другом. Остальными взаимодей-
взаимодействиями между электронами будем пренебрегать. Тогда можно
построить волновую функцию для двух электронов, зависящую
только от их координат.
Поскольку оказывается, что наименьшей энергией при спари-
спаривании обладают электроны с противоположными импульсами
и спинами, суммарный импульс и суммарный спин пары рав-
равняются нулю:
k =zkx + k2 = О, s = s{ + s2 = 0. B9.1)
Волновую функцию такой пары можно записать в виде
Ч B9.2)
где Q — нормировочный объем.
*) Мы отсылаем читателя к специальной литературе, см., например, Бо-
Боголюбов Н. #., Толмачев Б. В., Ширков Д. Б. Новый метод в теории сверх-
сверхпроводимости.— М: Изд. АН СССР, 1958, а также сб. статей под ред.
И. Н. Боголюбова «Теория сверхпроводимости». — М: ИЛ, 1960.

. 29]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
485
Эта волновая функция отвечает нормальному состоянию без
взаимодействия между электронами с энергией ?Мин = 2EF (см.
ниже).
Теперь рассмотрим сверхпроводящее состояние системы двух
электронов с учетом их взаимодействия. Природу этого взаимо-
взаимодействия можно пока не конкретизировать.
В связи с тем, что все уровни с энергией Е <С EF мы предпо-
предполагаем занятыми другими электронами, т. е. считаем, что заняты
состояния с импульсом \k\ < kFi минимальная энергия двух
выделенных взаимодействующих электронов составляет 2EF (см.
B9.2)). Для нахождения наинизшей энергии системы двух элек-
электронов со взаимодействием будем
искать волновую функцию в виде су-
суперпозиции состояний пар с импульса-
импульсами, лежащими вне сферы Ферми (см.
рис-29Л): I * I м
= Z
i k'\>
B9.3)
EF-~J^~
Рис. 29.1. Сфера Ферми. Все со-
k < kp являются за-
стояния с
где Н = гх — г2.
Если электрон-электронное взаимо-
взаимодействие отсутствует, то энергия тако-
такого состояния будет, конечно, выше, чем нятыми.
2Ер. Однако учет взаимодействия мо-
может изменить эту картину. Итак, постараемся найти совокуп-
совокупность коэффициентов ak,, учитывая взаимодействие электронов
друг с другом. Тогда -ф-функция B9.3) должна удовлетворять
уравнению Шредингера
{Но+V}* = ?*i B9.4)
где V = Vee — энергия взаимодействия электронов, а Но — га-
гамильтониан системы без взаимодействия, т. е. только оператор
кинетической энергии. Подставим в B9.4) уравнение B9.3).
Тогда
S а, (Я-Но) *'*'*= Z eWRVav. B9.5)
Учитывая далее, что
из B9.5) получаем
2 Ч> (Е - 2е (*')) eik'H = ? ak,elk'«V.
к'>кР к'
B9.6)
B9.7)

486 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
Умножим теперь левую и правую части B9.7) на сопряжен-
сопряженную функцию
Ф* = ±е~(к« (R = r{-r2) B9.8)
и проинтегрируем по всему пространству. Тогда будем иметь
-i- ? ak>(E-2e(k'))\eiR(k'-k)ЛД =
k'>kF
= i ? a*>\emi"~k)Vd\d\. B9.9)
k'>kF
Учитывая, что
B9.10)
окончательно получаем
± ? a« \eVdh{d\r B9.11)
k'>kF
Здесь К = V — k, R = r\ — г2. Таким образом, мы получили
уравнение для определения коэффициентов ak, в общем виде.
Заметим, что метод теории возмущений, как будет показано
ниже, здесь неприменим — он приводит к противоречию и не-
неправильным результатам.
Сделаем некоторые допущения, позволяющие довести расчет
до конца. Решение же в общем виде оказывается невозможным.
Допустим, что взаимодействие V имеет достаточно простую
форму, такую, что интеграл в B9.11) можно представить в виде
произведения
~? J eiKRVdzxxd\ = WkWh>, B9.12)
где постоянная величина к соответствует либо притяжению
(К < 0), либо отталкиванию (Я > 0) электронов. Тогда мы по-
получаем из B9.11), что
ak(E-2e(k)) = XWk ? ak,Wk,y B9.13)
k'>kF
причем сумма в правой части не зависит от к, т. е. является по-
постоянной величиной
C=2>H*V B9.14)
Следовательно,
<29Л5>

§ 29] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 487
Подставляя B9.15) в B9.14) и исключая тем самым ak, мы
приходим к условию существования отличного от нуля решения
уравнения B9.13) в виде
ZW2
ZW2
Т=Щ»- B9.1
k
k>kp
Из этого уравнения следует, что если взаимодействие электро-
электронов соответствует отталкиванию (X >> 0), то решение с энергией
Е < 2Ер для системы не существует, ибо правая часть будет
отрицательной. Если же электронное взаимодействие является
притяжением, то тогда при подстановке в B9.16) Е < 2EF мы
получаем сумму положительных членов в силу того, что X <С 0.
Таким образом, при X < 0 (притяжение) существует состояние
для системы двух электронов с энергией, лежащей ниже 2EFy
т. е. ниже энергии Ферми системы без взаимодействия. Следова-
Следовательно, существует особое когерентное состояние с наименьшей
энергией, лежащей ниже, чем энергия нормального состояния.
Тем самым показано, что образование пар (спаривание) явля-
является энергетически выгодным процессом.
Можно оценить далее величину энергии связи такой пары.
Вернемся к выражению B9.16) и постараемся довести вычисле-
вычисления до количественных результатов. Для оценки сделаем пред-
предположение, что
F <Cp<C F — F
г>Е B9Л7)
ь ,> .смаКс.
Здесь G является некоторой константой, 8 = ft2?2/2m0, а сумми-
суммирование теперь следует производить по достаточно малому ин-
интервалу k вблизи поверхности сферы Ферми.
Вводя плотность двухэлектронных состояний на единицу ин-
интервала энергий g(&) и переходя от суммы к интегралу, полу-
получим, что
Ер
Здесь введен множитель !/2, ибо из всех электронных состояний
пар мы берем только такие, в которых спины ориентированы
противоположно. Ввиду малости интервалов интегрирования
можно вынести функцию g в точке е = EF за знак интеграла,
и тогда
B9.19)

488 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. Ill
где А = 2EF — Е — величина, характеризующая энергию связи
пары. При спаривании электронов и переходе их к коррелиро-
коррелированному движению верхняя граница Ферми понижается на ве-
величину
? = 2?F-A. B9.20)
Положим Ет — EF = ED, где Ed = Thud и g)z> — соответствен-
соответственно энергия и частота Дебая. Эта частота, согласно модели Де-
бая, представляет собой максимальную частоту колебаний ре-
решетки, т. е. максимальную частоту фонона. В этом случае урав-
уравнение B9.19) запишется в виде
l = ^ln
д
B9.21)
откуда для энергии связи Л находим
д=: ??о . B9.22)
Поскольку взаимодействие электронов, характеризуемое факто-
фактором KG2, является очень слабым, в показателе экспоненты стоит
очень большая положительная величина. Тогда для энергии свя-
связи имеем приближенно
4
~ B9.23)
Таким образом энергия связи когерентного состояния — купе-
ровской пары — пропорциональна энергии Дебая ED = hayD. Из
вида выражения B9.23) следует, что оно не может быть пред-
представлено степенным рядом (величина показателя экспоненты на-
намного больше единицы). Поэтому мы убеждаемся здесь в не-
неприменимости метода теории возмущений.
Итак, если между электронами, движущимися в кристалли-
кристаллической решетке, существуют силы притяжения, то электроны на-
начинают переходить в когерентное состояние: они движутся по-
попарно, с противоположно направленными импульсами (k\l\k2)
и спинами (s^f^). Такое коррелированное движение очень
важно еще и в том отношении, что полный спин пары равен
нулю, т. е. пара электронов подчиняется статистике Бозе — Эйн-
Эйнштейна — пара является бозе-квазичастицей. Поэтому все пары
(их число не фиксировано) могут находиться в одном и том же
когерентном состоянии.
В рассматриваемом примере мы не оговаривали специально
вопроса о природе взаимодействия электронов %G2. Как уже
упоминалось, в решетке электроны взаимодействуют друг с дру-
другом посредством виртуальных квантов звукового поля кристал-
кристалла — виртуальных продольных фононов. Эта взаимодействие

. 29]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
480
имеет характер притяжения и может превышать кулоновское
отталкивание. Такое взаимодействие электронов проявляется в
узкой области квазиимпульсов в непосредственной близости к
границе Ферми, ограниченной условием
Отсюда с учетом
получаем (см. рис. 29.2)
h2k2
2/Ио
bk + hi
2mo
9.2)
1 к —
h2k2F
2mQ
</
m0
@
- Kp\ <
= Vp
B9.24)
Рис. 29.2. Область эффективного
взаимодействия электронов в
процессе образования пар.
Так возникает механизм, создающий условие для образования
куперовских пар. Движение электронов становится коррелиро-
коррелированным, причем все пары движутся
когерентно как бозе-квазичастицы.
Энергия спаривания, вообще гово-
говоря, очень мала. Достаточно повысить
температуру, и тепловое возбуждение
может разрушить пару — разрушить
когерентное состояние. Однако, для
того чтобы разрушить пару, надо за-
затратить энергию, не меньшую чем А —
энергия связи пары. Поэтому при низ-
низких температурах когерентное движе-
движение электронов становится устойчи-
устойчивым. Все пары электронов, подчиняю-
подчиняющиеся статистике Бозе, находятся в
одном и том же состоянии, образуя конденсат; пары при этом
движутся когерентно.
В последовательной микроскопической квантовой теории
сверхпроводимости (см. сноску на стр. 484) наряду с понятием
основного состояния сверхпроводника, т. е. совокупности спарен-
спаренных электронов — куперовских пар, вводится также понятие воз-
возбуждений, или квазичастиц, с энергетическим спектром
/t2 /АЛ I Д2/М /OQ 9^
-^~r>v~/ —, —--и -- «¦,—u -кинетическая энергия возбуждения
отсчитанная от поверхности Ферми, а А — энергетическая щель,
довольно сложным образом зависящая от величины квазиим-
квазиимпульса.
Для эффективной области взаимодействия электронов /Ig)d
(дебаевская энергия) энергия связи пары А мож&т считаться
приблизительно постоянной величиной, определяемой формулой

490 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
B9.22). Однако такое значение энергетическая щель А прини-
принимает лишь при достаточно низких температурах Г->0. С ростом
температуры А начинает убывать, и при некоторой критической
температуре Тс она обращается в нуль. Выше этой температуры,
Т > Тс, сверхпроводящее состояние невозможно, так как энер-
энергетическая щель отсутствует Д(Г > Тс)= 0. Максимальная ве-
величина энергии А связана с критической температурой фазового
перехода в сверхпроводящее состояние:
Л « кБТСу B9.26)
где кв — постоянная Больцмана, Тс ~ 20 К (TD ~ 100 К).
Решающим моментом в теории сверхпроводимости является
наличие в спектре энергии возбуждений энергетической щели.
Здесь нет состояний, отстоящих от основного состояния на бес-
бесконечно малую величину, как это имеет место в нормальном ме-
металле. Поэтому сверхпроводящее состояние в этом смысле по-
подобно полупроводнику с запрещенной зоной шириной 2А (в фор-
формуле B9.25) показана только положительная ветвь квадратного
корня, соответствующая возбуждениям электронного типа; воз-
возбуждение дырочного типа описывается отрицательной ветвью).
Следовательно, наименьшая энергия возбуждения равняется 2А,
если при этом квазиимпульс k = k,F. Если в сверхпроводнике
возбудить ток, то обычные процессы рассеяния не могут вызвать
затухание тока, ибо когерентное основное состояние устойчиво,
и для его разрушения, т. е. для возникновения возбуждений,
надо затратить энергию, равную энергии связи куперовских пар
2А. Этим и объясняется поразительное свойство сверхпроводни-
сверхпроводников, состоящее в том, что их сопротивление равно нулю.
Остановимся теперь на понятии о сверхпроводящей волновой
функции. Как уже было сказано, при близких к абсолютному
нулю температурах происходит внутренняя упорядоченность
движения электронов — спаривание. Пары образуют макроско-
макроскопическую квантовую систему — конденсат, который представ-
представляет собой основное состояние системы электронных пар, под-
подчиняющихся статистике Бозе.
Исходя из соображений о полной упорядоченности движения
пар, разумно ввести волновую функцию сверхпроводящего со-
состояния я|), отнесенную к конденсату. Эту функцию можно запи-
записать в виде __
V Л B9.27)
где p(r, t) и ср(г, t) — действительные функции.
Тогда из общего выражения для плотности вероятности тока
пары с зарядом q = 2е в магнитном поле Ж = rot А получим
й й *¦• <29-28>

^ 29]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
491
для волновой функции B9.27)
/ = { -А- уФ
тос
A ) р.
B9.29)
Фаза ф здесь входит как наблюдаемая величина. Важно еще
раз подчеркнуть, что для сверхпроводящего состояния характер-
характерна макроскопическая когерентность, поэтому волновая функция
B9.27) является единой для всего образца и описывает весь
коллектив.
В строгой теории сверхпроводящая волновая функция кон-
конструируется из обычных электронных функций достаточно слож-
сложным образом. Заметим, что порядок абсолютной величины
г|)-функции в рамках теории вторичного квантования получает
следующую оценку:
(q)^J-, B9.30)
У вз
где А — энергия связи пары, а Квз — средняя энергия взаимо-
взаимодействия электронов. При разрушении сверхпроводящего состоя-
состояния, когда А -> 0, сверхпроводящая волновая функция стремится
к нулю.
б) Квантование магнитного потока в сверхпроводниках.
Свойствами сверхпроводящего состояния можно объяснить ряд
эффектов, наблюдаемых в сверхпроводниках. Прежде всего об-
обратимся к описанию весьма интересного явления — квантованию
магнитного потока, проходящего сквозь сверхпроводящее кольцо.
Рассмотрим сверхпроводящее кольцо, помещенное в магнит-
магнитное поле при обычной температуре (рис. 29.3, а). Магнитные
Рис. 29.3. Прохождение магнитного потока сквозь сверхпроводящее кольцо.
силовые линии проходят через толщу кольца, однако при охла-
охлаждении кольца до температуры, близкой к абсолютному нулю,
магнитное поле выталкивается из сверхпроводника (эффект
Мейсснера, 1933 г.) (см. рис. 29.3,6). При этом после перехода
в сверхпроводящее состояние остается некоторый магнитный по-
поток сквозь отверстие кольца даже при полном снятии внешнего
магнитного поля (см. рис. 29.3, в). По кольцу течет сверхпрово-

492 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
дящий ток, сохраняя поток магнитного поля через отверстие
кольца неизменным. Магнитное поле оказывается, таким обра-
образом, «замороженным» в сверхпроводнике.
Поскольку в сверхпроводящем кольце движется много элек-
электронов в коррелированном состоянии, квантовые свойства ми-
микрочастиц должны проявиться в макросистеме: захваченный
магнитный поток оказывается квантованным.
Рассмотрим это явление, исходя из вида сверхпроводящей
функции B9.27) и выражения для плотности тока B9.29).
В толще сверхпроводящего кольца при Т = О магнитного поля
нет, поэтому
Ж = 0, rot^ = — / = 0, / = 0. B9.31)
с
Ток, отличный от нуля, может наблюдаться только вблизи по-
поверхности кольца на глубине проникновения магнитного поля.
Выберем теперь контур интегрирования / в толще кольца в ка-
качестве пути интегрирования (см. рис. 29.3, в). Тогда
= 0. B9.32)
z
Возьмем далее плотность тока в виде выражения B9.29),
записанного нами для сверхпроводящего состояния:
-*-Vq> q—A)P.
m0 moC )v
Учитывая, что р = po на контуре является постоянной величи-
величиной, перепишем B9.32) в виде
— (j) grad ф dl = § A dl. B9.33)
Но поскольку
§ A dl = ^ rot A dS = \^Ж dS — Ф, B9.34)
где Ф — захваченный в кольце магнитный поток, и
grad ФЛ= ф-^Л=флр = 2яя, B9.35)
где п = 0, 1, 2, ... — целое число, характеризующее полное из-
изменение фазы, мы получаем
ф = 2шг-у-, B9.36)
т. е. захваченный магнитный поток оказывается квантованным:
его величина может быть лишь целой кратной от кванта потока

§ 29] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 493
Фо, равного
^ B9.37)
Его величина очень мала
где \10 = е0Н/2т0с — магнетон Бора, а го = е2/тос2— классиче-
классический радиус электрона. Поэтому экспериментальная проверка
этого явления требует особо прецизионных измерений. Действи-
Действительно, Фо соответствует магнитному потоку, обусловленному
магнитным моментом одного электрона. В реальных условиях
магнитное поле B9.36) составляет величину порядка процента
от магнитного поля Земли. Экспериментальная проверка соотно-
соотношения B9.36) (Р. Долл, М. Небауэр, Дж. Файрбэнк, Б. Дивер,
1961 г.) показала полное подтверждение выводов теории. При
этом оказалось, что величина заряда q равна удвоенному заряду
электрона q=2e$. Это является решающим аргументом в пользу
микроскопической теории сверхпроводимости, согласно которой
магнитный поток создается движением спаренных электронов.
Так было открыто принципиально новое проявление квантово-
механических законов в крупномасштабных явлениях.
в) Туннельный эффект в сверхпроводниках (эффект Джо-
зефсона). Туннельный эффект является одним из ярких прояв-
проявлений волновых свойств частиц и вместе с тем успехов кванто-
квантовой механики в раскрытии закономерностей микромира. В по-
последние годы особое внимание исследователей привлек туннель-
туннельный эффект в сверхпроводниках, поскольку теоретически пред-
предсказанные и установленные экспериментально свойства такого
туннелирования имеют важное практическое значение*).
Для лучшего понимания существа эффекта Джозефсона рас-
рассмотрим вначале обычный туннельный эффект в металлах. Этот
процесс в известном смысле является обратным по отношению к
явлению контактной разности потенциалов.
Рассмотрим модель, состоящую из двух металлов, разделен-
разделенных диэлектриком толщины б. Поскольку границы Ферми мы
предполагаем у этих металлов одинаковыми — ток будет отсут-
отсутствовать,— электроны будут находиться в равновесии (см.
рис. 29.4, а).
Если теперь к металлам приложена разность потенциалов
еф = 1/, то границы Ферми смещаются друг относительно друга
*) Туннельный эффект в сверхпроводниках был теоретически предсказан
Джозефсоном и наблюдался экспериментально (П. Андерсон, Дж. Роуэлл,
1963). За исследование туннельного эффекта в твердых телах Джозефсону
в числе других исследователей в 1973 году была присуждена Нобелевская
премия.

494
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
[Ч. III
(см. рис. 29.4,6), и тогда возникает ток, величина которого про-
пропорциональна приложенной разности потенциалов. Действи-
Действительно, смещение уровней энергии электронов на величину
Д? = еФ = V приводит к возникновению электрического поля в
А
Т
а) б)
Рис. 29.4. Туннелирование электронов в металлах.
контакте <S = Ф/б, которое и вызывает ток. Заряжения метал-
металлов при этом, очевидно, не происходит. Поэтому и плотность
электронов, и положение уровней Ферми не меняется.
Рассмотрим сейчас величину тока туннелирования. Пусть
электрон находится в состоянии с квазиимпульсом hk, т. е.
E = E(k). Тогда величину тока туннелирования мы можем за-
записать в виде
±^j ^r. B9.38)
Здесь D(k)—коэффициент прозрачности барьера, е — заряд
г дЕ
электрона, L — толщина металла, v = -щ— скорость электрона.
Тогда полный ток / будет равен
eD(k) дЕ 2е
Ер
)
ЕР-еФ
где суммирование по спину s дает коэффициент 2, а от суммы
по k мы сделали переход к интегралу. Поскольку, далее, коэф-
коэффициент прозрачности (см. E.56))
exp
Г~Ч*
-Е) dx
B9.40)
содержит потенциал Ф —малую величину — и является доста-
достаточно плавной функцией, на интервале интегрирования мы мо-
можем считать D приближенно постоянной величиной и вынести ее

29]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
495
из-под знака интеграла:
При этом
где
= -L- ЗеФ = const Ф = ?,
= -^_. — электрическое сопротивление.
eD
B9.41)
B9.42)
I I
Таким образом, туннелирование в обычных металлах приво-
приводит к электрическому току, величина которого пропорциональна
приложенной разности потенциалов, т. е. в этом
случае справедлив закон Ома. J * \^
Теперь рассмотрим туннелирование в сверх-
сверхпроводниках. Это является новым примером про-
прохождения частиц сквозь потенциальный барьер
(в данном случае спаренных электронов). При
сближении двух сверхпроводников на близкое
расстояние (рис. 29.5) реализуются особые кван-
квантовые переходы Джозефсона с неожиданными,
на первый взгляд, свойствами.
Дадим сейчас приближенную качественную
теорию этого явления. При этом мы будем сле-
следовать предложенному Фейнманом методу*), который благо-
благодаря своей наглядности и простоте находит сейчас ряд приме-
применений**). Будем описывать поведение спаренных электронов в
сверхпроводящем состоянии с помощью сверхпроводящей функ-
функции B9.27). Тогда система уравнений Шредингера для волновых
функций i|)i и г|J первого и второго сверхпроводников должна
иметь вид
Рис. 29.5. Схема
туннельного эф-
эффекта в сверхпро-
сверхпроводниках.
ih
B9.43)
Здесь рассматривается основное состояние, поэтому кинетиче-
кинетическая энергия может быть опущена ввиду малости импульсов.
В этом выражении V\ и Кг — потенциальные энергии соответ-
соответственно для первого и второго сверхпроводников, к — некоторая
константа, характеризующая переход, т. е. определяющая связь
сверхпроводников друг с другом. В точной микроскопической
теории коэффициент k получает полную расшифровку. Здесь же
*) Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1962,
гл. 19.
**) Мы отсылаем читателя по рассматриваемой проблеме к монографии:
Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение. — М.:
Мир, 1974.

496 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. III
мы его вводим чисто феноменологически. Пусть к сверхпровод-
сверхпроводникам приложена разность потенциалов, равная
Vx-V2 = qV, B9.44)
где q = 2e— заряд пары, V— разность потенциалов батареи.
Положим для удобства расчета V\=qV/2, V2 = —qV/2,
тогда система уравнений Шредингера будет иметь вид
B9.45)
Перейдем далее к выражению для сверхпроводящей функ-
функции B9.27)
p = p(r, t), ф = ф(г,/). B9.46)
Тогда получаем систему четырех уравнений, связывающих р и ф,
sin а, ф! = —j л/— cos а — -|^-, B9.47)
2k I . . k ГрГ , qV
Р2= — if VP1P2 sin а, ф2 = — -J- Д/^7 cosa + i^"»
где а = фг — фь
Из этих уравнений прежде всего следует, что pi + Р2 = О,
т. е. один сверхпроводник теряет заряд с той же скоростью, с ко-
которой другой сверхпроводник его приобретает. Поскольку любая
убыль заряда восстанавливается батареей — источником напря-
напряжения, содержащийся в общей цепи заряд в среднем остается
постоянным, и мы можем положить
Pl«p2 = p0. B9.48)
Таким образом, между сверхпроводниками начинает течь ток
2k
/ = pi == — р2 = -г- Ро sin a = /0 sin a. B9.49)
Заметим, что в строгой теории /о ~ /5Д, где А — ширина энерге-
энергетической щели сверхпроводника.
Вторая пара уравнений B9.47) при этих предположениях
дает
ф2 — Ф1=== о, = —г—, B9.50)
где учтено, что р2 = р1 = р0, и поэтому
t
= ao + -f-J V dt. B9.51)

§ 291 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 497
Уравнения
У = /0 sin a,
а Г
* = <** +j)Vdt
о
B9.52)
описывают эффект туннелирования в сверхпроводниках (эффект
Джозефсона).
Рассмотрим следствия этих уравнений.
1. Стационарный эффект Джозефсона.
Пусть к системе сверхпроводников вообще не приложена раз-
разность потенциалов, т. е. V = 0. В этом случае тем не менее ток
отличен от нуля:
B9.53)
йричем величина его определяется разностью фаз ф2 — q>i. От-
Отметим, что фаза ср, входящая в сверхпроводящую функцию
B9.27), является наблюдаемой величиной, поскольку сама функ?
дия отнесена к когерентному сверхпроводящему состоянию. По-
Полученный нами вывод V — 0, / ф 0 находится в резкой противо-
противоположности обычным законам туннелирования (см. B9.42)).
2. Нестационарный эффект Джозефсона.
Пусть теперь к системе сверхпроводников приложена посто-
постоянная разность потенциалов V = Vo. Тогда из B9.52) мы полу-
получаем, что
t
?$ ао + -2?-/, B9.54)
о
тогда ток имеет вид
/ = /0 sin а = /0 sin (а0 + -^). B9.55)
2eV
Заметим, что Юу=~у1 является большой величиной (частота
Джозефсона), поэтому (и этот вывод является наиболее неожи-
неожиданным) при постоянной разности потенциалов на контакте двух
сверхпроводников должен возникать быстро осциллирующий во
времени ток с частотой 0)/ = —^-. При усреднении по времени
jok обращается в нуль.
3. Резонансный эффект.
Рассмотрим далее случай приложенного к сверхпроводнику
переменного напряжения
V = Ко + v cos (Q/ + в). B9.56)
17 А. А. Соколов и др»

498 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. 1П
Тогда
t
?$ gsinQ/ B9.57)
(для упрощения здесь мы положили 0 = 0). При этом ток тун-*
нелирования равен
/ = /0 sin { a0 + (*jt + -g. Sin Q/}. B9.58)
С целью анализа этого выражения выберем v «С V% тогда при*
ближенно получим, что
sin Ja0 + tojt + -|^- sin Q/] ~ sin (a0 + a>j() +
+ -g- sin Q/ cos (a0 + ©,/) + ..., B9.59)
и ток получает следующее выражение:
-f^-cos (a0 + ©,/) sin оф B9.60)
При наблюдении среднего по времени тока первый член иэ-за
быстрых осцилляции исчезает, а второй дает оклад, если только
выполняется условие резонанса Q = ш/.
Итак, мы рассмотрели туннельные переходы спаренных элек-
электронов в сверхпроводниках. Эффект Джозефсона явился не
только интересным следствием общей теории сверхпроводящего
состояния, но и важным достижением теории для целей практи-
практического приложения: в проблемах квантовой генерации электро-
электромагнитных волн, в создании сверхпроводящих туннельных дио-
диодов для СВЧ и инфракрасного диапазонов, ячеек памяти для
ЭВМ и других прикладных задач. По этим вопросам мы отсы-
отсылаем, читателя к специальной литературе*).
§ за движение электрона в постоянном
И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В раде эадач современной теории взаимодействия частиц и
полей оказывается важным располагать точными решениями
уравнения Дирака, описывающими квантовые состояния фери
миона во внешнем поле. С помощью таких решений можно ие-
следовать поведение частиц в условиях больших энергий, игесле-
довать нелинейные эффекты в задаче об излучении, рассмотреть
взаишщейетвие частицы е мощными электромагнитными йолна-
ми (с лазерными пучками) и др. При этом во всех этих задачах
*) См. ссылку на стр. 496,

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 499
частица полагается не свободной, электромагнитное поле входит
в точное описание квантового состояния; Последующие этапы
решения задачи о взаимодействии такой частицы с фотонами
базируются на точном знании волновой функции с учетом внеш-
внешних полей (представление Фарри).
а) Волновая функция. Начнем с того, что рассмотрим реше-
решение уравнения Дирака для релятивистского электрона, движу-
движущегося в постоянном и однородном магнитном поле, направлен-
направленном по оси z цилиндрической системы координат (г, ср, г). За-
Заметим, что цилиндрические координаты наиболее естественно
связаны с характером движения электрона. В соответствии с
этим вектор-потенциал А задачи выберем в виде
^ (ЗОЛ)
Эта величина не зависит от времени, поэтому уравнение Дирака
(/Й-Jj- —н)-ф = 0 C0.2)
допускает переход к стационарной задаче, ибо гамильтониан
^ ^A C0.3)
не имеет явно» зависимости от времени.
Положим
¦ (г, /) = *"е?Ч(г), C0.4)
Где е = ±1 характеризует знак энергии, а Е = с%К > 0 — ее
абсолютное значение. Для компоненты волновой функции ф(г)
при этом мы получаем систему уравнений
(гЕ =F т0с2)Ъь*-с (Рх - &,)*4,2 - cPz^, i = 0,
(гЕ =F m0c2) !>2i 4 - с (Рх + iPy) 1>з, 1 + сРЖ 2 = 0, (д{)'Ъ)
в которой переменные г, ср, z разделяются (в этом проявляется
простота задачи, связанная с однородностью магнитного поля).
Положим далее
Ч>(г) = Ч>(/. *з)/> C0.6)
где функции
v C0J)
ортонормированы:
йф \ dz ъ* (/', К) ъ (/, нъ) = в^в№ (за.8)
17*

500
ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
14. Ill
Здесь ?3 = 2шг3/?, пъ = 0, ±1, ±2, ..., / = 0, ± 1, db2, ... —
орбитальное число, характеризующее проекцию полного момен-
момента на ось z (т.е. на направление магнитного поля) (см. ниже
C0.29)).
Значение матрицы f радиальной части функции удобно
искать в виде
¦ ы-т
/¦
C0.9)
При переходе к цилиндрической системе координат (х = г cos <p,
у ~ г sin ф, г) оператор кинетического импульса преобразуется
к виду
dz'
V =: ¦
2ch "
Далее удобно ввести новую безразмерную переменную р = уг2,
тогда система уравнений для определения компонент / получает
следующий вид:
(etf =F k0) fu з + Ш4,2 - *з/з. 1 = 0,
=F h) /2,4 + iR^a. i + ЛЛ.2 = 0.
C0.11)
Здесь верхние знаки относятся к компонентам волновой функ-
функции с первым индексом, а нижние — к компонентам со вторым
индексом. Операторы Ri и R2 равны
Ri-Vw^-i--^]. Ri-Vw[2-^+1+7]. C0.12)
Квадрируя C0.11), т.е. исключая последовательно компоненты
волновой функции f\, з или /г, 4, получим систему уравнений вто-
второго порядка
rf2 J_ d
- D
C0.13)
причем
4Y
Решения этих двух уравнений вполне аналогичны.

§ 30} ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 601
Рассмотрим второе уравнение из системы C0.13). Учитывая
асимптотическое поведение волновой функции в начале коорди-
координат
/Wo = P</2 C0.14)
и на бесконечности (р -> оо)
/->/оо = е-р/2> C0.15)
сделаем переход к волновой функции м(р)
f = foLu = e-^9l/2u(p). C0.16)
Тогда решение дифференциального уравнения для м(р)
как известно, есть вырожденная гипергеометрическая функция
(см. § 12)
а = Ф{-(Л-/), /+1, Р}. C0.17)
Для убывающих при р->- оо решений необходим обрыв ряда ги-
гипергеометрической функции по аналогии с задачей о водородо-
подобном атоме (см. § 13). Это реализуется, если К — /==5, где
s==0, 1, 2, ... — радиальное квантовое число. Поэтому пара-
параметр % приобретает целочисленные значения К = 5 + I = п =
= 0, 1, 2, ..., где п — главное или энергетическое число. С по-
помощью C0.13) находим спектр энергии
К = V*o + *3 + 4y*. C0.18)
где квантовое число п соответствует периодическому движению
электрона в перпендикулярной к магнитному полю плоскости
(уровни Ландау, см. § 16), a hk3 — собственное значение опера-
оператора проекции импульса на направление магнитного поля (сво-
(свободное движение вдоль поля).
В предположении целочисленности параметра К гипергеоме-
гипергеометрическая функция C0.17) переходит в полином Лагерра Q«(p)
(см. A2.35)):
Ф{-89 /+l>p) = 77|7yrQUp),
Таким образом, волновые функции радиального движения долж-
должны быть пропорциональны функциям Лагерра (см. A3.24)):
C0.20)

502 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. Ш
Возвращаясь теперь к системе уравнений C0.11J и учитывая
действие операторов Ri и R2
^i.s(p)) C0.21)
находим для радиальной функции /(р) выражение
в котором постоянные Сц удовлетворяют системе алгебраиче-
алгебраических уравнений
(еК 4= h) Си з - V^Y C4l 2 - ?3С3. i = 0,
=F h) C2l 4 — V^ry" C3, l + fe3C4,2 = 0.
Из условия нормировки радиальной функции
оо
J rdrf+f=l C0.24)
о
с учетом
оо
\ ils (p) dp = 1 C0.25)
о
находим, что
? СцС^=1. C0.26)
б) Спиновые состояния. Заметим, что волновая функция t|),
полученная нами, является собственной для:
оператора энергии
"" =е?ф, C0.27)
оператора проекции импульса на направление магнитного
поля
РЛ«ЙМ>, C0.28)
а также оператора проекции полного момента на направление
магнитного поля
()- C0.29)
Операторы р* и J* коммутируют между собою и коммутируют
С оператором Гамильтона Н. В силу этого они имеют общие с
гамильтонианом волновые функции. Соответствующие операто-*
рам C0.28) и C0,29) механические величины являются инте*

§301 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 503
гралами движения. Для полного определения квантового состоя-
состояния ферми-частицы необходимо ввести оператор, характеризую-
характеризующий проекцию спина, т. е. ввести четвертое квантовое число,
характеризующее спиновые свойства электрона. Оператор про-
проекции спина — оператор поляризации — должен обладать необ-
необходимыми ковариантными свойствами, а также являться инте-
интегралом движения. Только в этом случае такой оператор будет
иметь общие с гамильтонианом волновые функции. Вопрос о вы-
выборе оператора поляризации является особенно важным, если
речь идет не о свободной частице, а об электроне, движущемся
в электромагнитном поле.
В нашей задаче описание спиновых свойств электрона можно
произвести несколькими способами*):
а) С помощью введения единичного трехмерного вектора
спина
+ сргт- Е{ЕК+П^) • C0.30)
Эта величина не является ковариантной (у нее нет 4-й состав*
ляющей), однако проекция <т° на поле Ж является интегралам
движения, в силу чего о? можно выбрать в качестве оператора
поляризации.
б) С помощью введения четырехмерного вектора поляриза-
поляризации Баргмана — Вигнера
л Р Q (*Р) C0.31)
Временная компонента этого 4-вектора является интегралом
движения в магнитном поле и описывает состояния продольной
поляризации, т. е. проекцию спина на кинетический импульс (на
направление скорости частицы)**). Интегралом движения яв-
является также проекция вектора S на направление магнитного
поля (т.е. Бз-компонента).
в) С помощью тензора поляризации
/М23 Мы М12 \ /,ц ц2 ^
\Ми Ми Miz) V/ex ie2 /
где
»—+ р.^. —P.-S- №33)
— пространственные и временные компоненты тензоров.
*) См. книгу Соколов Л. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон —
М.: Наука, 1974. г
•*) Заметим, что состояния продольной поляризации электрона, движу-
щегося в магнитном поле, становятся неустойчивыми вследствие аномального
(вакуумного) магнитного момента электрона^

504 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ |Ч. Щ
В случае движения электрона в постоянном и однородном
магнитном поле ^-компонента (проекция спина на направление
магнитного поля) становится интегралом движения, и оператор
описывает состояния поперечной поляризации (если движения
вдоль поля нет).
Следует заметить, что все перечисленные операторы: ajj, S3,
S*, jLt3 в нерелятивистском приближении переходят в обычный
оператор паулевского магнитного момента и тем самым допу-
допускают довольно простую и очевидную интерпретацию. В общем
случае релятивистского движения электрона операторы спина
такой простой интерпретации не имеют. Это связано с тем об-
обстоятельством, что в случае больших значений энергии электро-
электрона оказывается невозможным разделение спинового и орбиталь-
орбитального движения частицы.
Итак, для разделения решений уравнения Дирака C0.22) по
спиновым состояниям воспользуемся оператором тензора поля-
поляризации C0.32), компонента jx3 которого коммутирует с га-
гамильтонианом, и подчиним волновую функцию -ф дополнитель-
дополнительному уравнению
/^^Щ9 5 = ±1. C0.34)
Здесь ? = 1 соответствует ориентации спина электрона по на-
направлению магнитного поля, а ? =—1—против направления
магнитного поля. В соответствии с C0.34) находим систему
уравнений для определения коэффициентов Сп (см. C0.22)):
(в/С 4= С/Со) С,, з = hCz>,;
которую необходимо решить совместно с системой C0.23). Ре-
Решение этих алгебраических уравнений приводит нас к следую-
следующему выражению:
C0.36)
где
~^ " " •¦•-—•- C0.37)
В, = V1 + ШК0, В4 = I V1 ~
Таким образом, найдено полное точное решение уравнения
Дирака для электрона, движущегося в постоянном и однород-
однородном магнитном поле, разделенное по состояниям поляризации

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 505
электрона:
C0>38)
где матрица / определена формулами C0.22), C0.36), C0.37).
в) Спектр энергии. Физический смысл радиального кванто-
квантового числа. Энергетический спектр электрона в нашей задаче
релятивистского движения электрона нелинейно зависит от на-
напряженности магнитного поля (см. C0.18)) и определяется
главным, или энергетическим числом п = / + s:
= E/ch = л/Ж+Ж+^уп. C0.39)
В нерелятивистском приближении спектр становится эквиди-
эквидистантным
2
Е ~ пг0с2 + j~q + пйп> C0.40)
где Q = еъЖ/гпоС— циклотронная частота.
Заметим, что спектр энергии электрона имеет вырождение по
радиальному квантовому числу s — 0, 1, 2, ... Это вырождение
физически связано с тем обстоятельством, что в однородном
магнитном поле при заданном значении энергии частицы фикси-
фиксируется только радиус ее орбиты вращения, но не центр орбиты.
Радиус окружности можно определить, воспользовавшись извест-
известным соотношением классической теории
Р? = е<де. C0.41)
Предполагая далее, что движение происходит в плоскости ор-
орбиты вращения (?3 —0), и сравнивая это выражение с форму-
формулой C0.39), получаем
я-V"?"- C0-42)
Таким образом, главное квантовое число п определяет радиус
квазиклассической орбиты вращения.
Если движение происходит по окружности, центр которой от-
отстоит от начала координат на расстоянии а, то средний квадрат
радиуса будет равен (см. также нерелятивистский случай § 16)
^л = "ST S rf(P(/?2 + а* - 2а/? cos <Р) = Я2 + я2- C0-43)
о
Определяя далее ту же величину по квантовой теории, находим
(г\а = ? J r^W* - SL~L> C0-44)

606 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч III
откуда следует, что квантовое число 5 характеризует расстояние
между началом координат и центром круговой траектории
C0.45)
Таким образом, движение заряда в магнитном поле с заданны-
заданными значениями п и s можно рассматривать как наложение кру-
круговых орбит с одним и тем же значением радиуса (п = const),
но обладающих различными центрами, отстоящими от начала
координат на расстоянии a (s = 0, 1, 2, ...).
В последовательной квантовой теории для характеристики
колебаний радиуса можно ввести квадратичную флуктуацию
этой величины в соответствии с общим определением
: = (г\в-(г)\в^. C0.46)
При этом мы учли, что
C0.4.7)
-ZJ
в предположении макроскопического характера движения
(я» 1) и достаточно малых колебаний центра орбиты (флук-
(флуктуации радиуса) (п » s).
г) Квантовая теория синхротронного излучения. Поляриза-
Поляризационные эффекты. Рассмотрим взаимодействие электрона, дви-
движущегося в магнитном поле с вторично квантованным полем
фотонов. Электроны подчинены уравнению Дирака с гамильто-
гамильтонианом C0.3)
/А-|г=ноФэ Но = с(аР) + рзтоС2. C0.48)
Электромагнитное поле фотонов можно представить в виде на-
набора плоских волн, и тогда энергия взаимодействия электрона,
дополнительная к C0.48), примет вид
где
C0.49)
Здесь амплитуды вектор-потенциала являются операторами
рождения а+ и уничтожения а фотонов (см.§ 9). Рассмотрим да-
далее два квантовых состояния а и Ь (Еь > Еа) и найдем в соот-

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 507
ветствии с общими методами нестационарной теории возмуще-
возмущений Дирака (см. § 8) вероятность квантового перехода Ь-*а
в единицу времени Wba.
Тогда мы получим
^~Ь{^-ща)Ф, C0.50)
где _
ф = (а* а) - (и°сО (иРа). C0.51)
В этом выражении х° = х/1 х | —единичный вектор в направле-
направлении распространения фотона, сНкьа = Еь— Еа характеризует
изменение энергии электрона (рассматриваются спонтанные пе-
переходы), и матричный элемент матриц Дирака а в C0.51) имеет
вид
C0.52)
Поскольку энергия излучаемого фотона пропорциональна ча-
частоте (e = cftx), для интенсивности излучения с помощью
C0.50) после суммирования по конечным состояниям электрона
получаем формулу
2
W = ? сЫЬатЬа = ^- ? \йЧЬ (и - ща) Ф. C0.53)
ь ь
Покажем далее, каким образом могут быть учтены поляри-
поляризационные свойства излучения.
Для линейно поляризованных фотонов амплитуду вектор-по-
вектор-потенциала а следует представить в виде суммы двух взаимно
перпендикулярных составляющих
C0.54)
где отличная от нуля квадратичная комбинация вторично кван-
квантованных амплитуд равна
4A+' = 6ss' (*,*' = 2,3), C0.55)
а 02 и 0з — произвольные единичные векторы, перпендикуляр-
перпендикулярные друг к другу и к направлению вектора импульса фотона х:
& = [*%], (^) = (Р2Рз) = 0 (Я = 2,3). C0.56)
В силу этих соотношений единичные векторы 02 и 0з можно по-
положить равными
02= . {*°'>0] . р *°(»0/«1-/° C0.57)
где /° — выделенное направление в пространстве (j° — единич-
единичный вектор).

508 теория многих частиц [ч. ш
В нашей задаче об излучении движущегося в магнитном поле
заряда в качестве такого выделенного направления естественно
принять направление внешнего магнитного поля *).
Если мы теперь хотим учесть в интенсивности излучения
C0.53) поляризацию фотонов, то вместо C0.53) необходимо
записать
2
|Е J C0.58)
где Ф* зависит от типа поляризации. В частности, для линейной
поляризации
Й C0.59)
Здесь А, = 2 соответствует Wiy т. е. так называемой а-компоненте
излучения, характерной тем, что электрический вектор поля из-
излучения лежит в плоскости орбиты вращения и направлен к ее
центру; А, = 3 соответствует л-компоненте излучения, в которой
электрический вектор излучения направлен по внешнему полю
(рис. 30.1). Для круговой поляризации (/==±1—правая и ле-
левая соответственно) имеем
Очевидно, чго величина Ф, представляющая собой суммарную
(по состояниям поляризации) интенсивность излучения (см.
C0.53)), будет равна
ф^Фз + Фз^ф^ Ф_1. C0.61)
Полученные нами формулы для вероятности квантовых перехо-
переходов и интенсивности излучения имеют общий характер. Рассмо-
Рассмотрим теперь задачу о синхротронном излучении, т. е. когда на-
начальное состояние EaNpn$k Л и конечное Eb(ty / / / Л определены
волновыми функциями в виде точного решения уравнения Ди-
Дирака для электрона, движущегося в постоянном и однородном
магнитном поле (см. формулы C0.22), C0.36) —C0.38)).
*) Для исследования круговой поляризации фотонную амплитуду а удоб-
удобно разбить на компоненты
причем отличная от нуля квадратичная комбинация равна q^q^sss ЪцГ Единич-
Единичные векторы 0/ связаны с fr и р3 соотношениями
причем /=1 соответствует правой^ а / = —I—левой поляризации.

\ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Матричный элемент матриц Дирака а (см. C0.52))
n s
509
C0.62)
можно проще всего рассчитать введением для волнового век-
вектора и сферических координат:
Xj r= % sin 8 cosф', и2 —и sin 6 зшф', >c3 = xcos8. C0.63)
В силу аксиальной симметрии внешнего магнитного поля интен-
интенсивность излучения не должна зависеть от угла ip'. Поэтому, не
нарушая общности рассуждений, можно положить этот угол
равным любому значению, например, ф' = я/2. Тогда находим
hJ = O, >c!j=-=sin8, x° = cos8 C0.64)
и для Ф,- (см. C0.59)) получаем
Ф2 = а;а., C0.65)
ф3 = (а2 cos 8 — а3 sin 8J,
C0.66)
C0,67)
где
Ф4 = (а^а2 — a*aj) cos в — (а*а3 — а*^) sin в. C0.68)
Эти формулы лежат в основе теории синхротронного излучения,
Рис. 30.1. Синхротронное излучение.
Найдем теперь общие выражения для вероятности перехода
и интенсивности излучения с учетом поляризации фотонов. Мат-
Матричный элемент матриц Дирака C0.62) можно записать доста-
достаточно просто, полагая, что в начальном состоянии электрон не
имел движения вдоль поля (кг = 0):
L/2 2я со
a = ^- J exp [~ iz (*$ + и cos e)]tfz^ \ dyirdrX
-L/2 0 0
X exp [— шг sin 8 sin ф + / (/ — Г) ф] //+а/, C0.69)

510 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ {Ч ИГ
где 9 — угол вектора н с осью г, а ср — полярный угол цилиндри-
цилиндрической системы координат электрона. Воспользуемся известны-
известными соотношениями
JUf.
T \
1/2
J
-JL/2
—- \ rfq>exp[— шг sin 6 sin ф + / (/ - Г) ф] = J^M? sin 9), C0.71)
о
в которых б — символ Кронекера — Вейерштрасса, a h-v —
функция Бесселя, а также учтем значение интеграла от функций
Лагерра /w(p) C0.20)
оо
/,_,, B VSSX, (Р) /„,» ^Р = /„«, (х) /,„ W. C0.72)
/ «/ i / * i о sin 9
в котором п ==/ +5» n=^=Z + s, х = х2-^—.
Тогда, суммируя по k%> получаем, что
-'-' \ - т W + * А) дал. „--. W *
«2;
а3 - т(Лз4 - ^Л) (W-t. n-i W +
+ %^W)^W. C0.73)
где спиновые коэффициенты начального (Л, В) и конечного
(Л', В') состояний определены формулами C0.73). Мы всюду
ограничиваемся случаем положительных значений энергии, по-
полагая в волновой функции е = г' = 1.
Аргумент функций Лагерра х в C0.73) зависит от частоты
фотона со ¦=» ос;
x-2*2g±. C0.74)
Учитывая, что движение электрона происходит в начальный мо-
момент (до излучения) в плоскости орбиты вращения, т. е. &3 = 0,
спиновых коэффициентов C0.37)i получим точные выраже-

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 511
ния простого вида;
0-0-
C0.75)
где е0 = 1 — Р2, Р = v/c.
Полную интенсивность излучения мы можем получить сумми-
суммированием по v = п — пг (номеру гармоники), $', V
W= ? Wi9
t-2,3
где с%ш, = -y^-^,),©^ определено формулами C0.65) —
C0.68). Записанные здесь выражения являются точными и по-
позволяют рассмотреть полностью все вопросы квантовой теории
синхротронного излучения без всяких ограничений на энергию
электрона.
д) Классическая формула Шотта с учетом поляризации
хротронного излучения. Рассмотрим классическую теорию сип-
хротронного излучения, отвлекаясь от квантовых эффектов.
Предполагая, что движение электрона происходит по макроско-
макроскопической траектории и частица имеет большую энергию
(Е ^> /лос2), мы встречаемся здесь с квазиклассическим случаем
квантовой механики, характерным большими значениями кван-
квантовых чисел. Поэтому прежде всего запишем приближение для
функций Лагерра 1пп,(х), входящих в выражения для матричных
элементов матриц Дирака а.
Как известно*), функции Лагерра в предельном случае боль-»
ших квантовых чисел могут быть выражены через функции Бес-
Бесселя
= /vW, C0.77)
*) См., например, Соколов Л» А.у Тернов Я, М. Релятивистский элек«
трон. — М.: Наука, 1974,

512 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ (Ч. III
удовлетворяющие рекуррентным соотношениям
2v
/v^w+/v+1w-—/vw,
В классической теории переворот спина не вносит вклада в мощ-
мощность излучения. Этот вклад пропорционален Н2 (см. ниже), и
поэтому можно во всех расчетах положить ?' = ?.
Тогда для матричных элементов матриц Дирака а получаем
— /di
Все функции здесь зависят от аргумента х C0.74).
Подставляя эти выражения в формулу для интенсивности
излучения C0.76), производя суммирование по спину (т.е. пола-
полагая ?' = ?) и радиальному квантозому числу s':
L-(*)==! C0.80)
и переходя к классическому пределу C0.77), получаем обобще-
обобщение формулы Шотта, учитывающее не только спектрально-угло-
спектрально-угловое, но также и поляризационные свойства синхротронного из-
излучения *)
v2 J sin 9 rf9 {/ар/С (v? sin 9) + /Л ctg 6/v (vp sin 8)}2,
v=sl ° C0.81)
где wo = ф/R = e<06c/E — частота обращения электрона по
орбите, с которой связана частота излучения со = vo)O гармоники
v = 1, 2, 3, ...
Если в этой формуле положить 1а — 1 и 1п = 0, то мы полу-
получим интенсивность а-компоненты линейной поляризации излуче-
излучения, характерной тем, что вектор электрического поля излучения
лежит в плоскости орбиты вращения электрона и направлен
почти к центру. Интенсивность ^-компоненты линейной поляри-
поляризации синхротронного излучения может быть получена, если в
{30,81) положить /% = 0; /я^=1. Вектор электрического поля
излучения, соответствующий этой компоненте, направлен прак-
практически вдоль внешнего магнитного поля (ось г).
¦> Соколов Л. A.t Tephoe И. Д|, г-ЖЭТФ, 31, 1956, с. 473.

§30]
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
513
Угловое распределение компонент линейной поляризации из-
излучения оказывается существенно различным (рис. 30.2). Доми-
Доминирующая а-компонента имеет резко выраженный максимум в
плоскости орбиты вращения, напротив, я-компонента в этой пло-
плоскости обращается в нуль. Два максимума излучения я-компо-
ненты смещены на равные интервалы вниз и вверх ог плоскости
2 = 0 (положение равновесной орбиты электрона).
Анализ спектральных и угловых свойств синхротронного из-
излучения удобно провести путем аппроксимации функций Бесселя
в C0.81), ибо эти выражения
малоудобны для рассмотрения:
большая величина v ^> 1 входи г
одновременно и в индекс, и в
аргумент функции /v(vpsin6).
Методом Вентцеля — Крамер-
са — Бриллюэна (см. § 5) было
показано*), . что при v»l
(x-+v — 0)
в) _
C0.82)
30' 40''Я* 90° № 20'30' В
Рис. 30.2. Теоретические и эксперимен-
экспериментальные данные, характеризующие ли-
линейную поляризацию синхротронного
излучения.
Здесь /Сц — бесселева функция
мнимого аргумента (функция
Макдональда), е= 1 — -^-, * = vpsin8; производная /v взята
по всему аргументу. Тогда формула C0.81) может быть зашь
сана в более удобной для анализа форме:
2
w0. п - -gfe
sin еде
, (} в-'-) +
(зо.83)
Интегрируя это выражение по углу 9, получим
C0.84)
•) Иваненко Д. Д., Соколов А, Д.— ДАН СССР, 69. 1948, с. 1551.

514 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч. Ill
где спектральное распределение а- и я-компонент поляризаций
имеет вид
\ J */,(*) dx±K'h(y)\.
^ У '
\ C0.85)
У
В равенстве C0.83J от суммы по v мы перешли к интегралу
оо оо
(эффективная область гармоник v ^> l)^ -* \ dv, причем здесь
i о
положено
а под WKJl имеется в виду полная интенсивность излучения в
классическом приближении
V
Складывая выражения C0.85), для спектрального распреде-
распределения суммарной интенсивности обеих компонент поляризации
находим *)
W (у) = W™ -^ у J % (дс) dx. C0.87)
2/
Кривая спектрального распределения по переменной у приве-
приведена на рис. ЗОЛ Как видно, это распределение имеет максимум
в области у ~ 1 (точнее, при у «* 0,3), что соответствует частоте
излучения
Таким образом, в ультрарелятивистском случае (Е ^> гпос2)'
синхротронное излучение состоит в основном из весьма высоких
гармоник v основной частоты coo = c/R порядка v ~ (Е/тоС2K.
Это обстоятельство оправдывает проведенный выше переход от
распределения по дискретным гармоникам v к непрерывному
распределению по частотам со и к интегралу по переменной
Интегрируя C0.85) по спектру, т. е. по переменной у, полу-
ЧТО
W WK\ W ^WK\
•) Иваненко Д, Д., Соколов А Л.-ДАН СССР, 59, 1948, с, 1551,

130]
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
515
Кроме того, синхротронное излучение обладает сильной ли-
линейной поляризацией. Поляризационные свойства синхротрон-
синхротронного излучения имеют особое значение, поскольку, будучи очень
характерным признаком синхротронного излучения, поляриза-
поляризация может служить критерием при экспериментальной проверке
приходящего к нам радиоизлу-
радиоизлучения из галактик*).
Мы ограничились в наших
расчетах классическим при-
приближением. Вместе с тем изло-
изложенная здесь теория позволяет
рассчитать также интенсив-
интенсивность излучения и в квантовом
случае. Не проводя здесь де-
детальных выкладок, укажем, что
в квантовой теории играют
важную роль два параметра
ь <>
2 Ж
mQc2
Рис. 30.3. Универсальная кривая, характери-
характеризующая зависимость интенсивности сии*
хротронаого излучения от частоты.
где д№0 = mlc3/heQ = 4,41 • 1013 Гс — так называемое швингеров*
ское магнитное поле, а критическое значение энергии ?у, равно
Еч% = тос2 (у И^ау*. C6.89)
Если |<С 1, т\ е, Е <С ?\/2, и Ж <. 3?щ (энергия и поле значи-
значительно меньше критических величин), то квантовые эффекты
проявляются в качестве малых поправок к классической интен-
интенсивности излучения. При этом, поскольку электрон предпола-
предполагается ультрарелятивистским (?^>тос2), то параметр f мал
также и по сравнению с g (/<С?). В этом случае квантовые
эффекты в интенсивности появляются в членах разложения ito
величине g, пропорциональной постоянной Планка ft. В частно-
частности, ограничиваясь линейными по g членами, получим
C0.90)
где ? = ±1 характеризует поперечную поляризацию электронов,
a g — квантовый параметр C0.88). Если электрон не имеет пре-
*) Теоретические формулы, характеризующие поляризацию синхротронного
излучения, были проверены в опытах Ф. А. Королева и О. Ф. Куликова (К&*
ролев Ф. А.4 Марков В. С, Акимов Е. М., Куликов О. Ф. —ДАН СССР, НО,
1956,Х..542). Экспериментальные результаты оказались в прекрасном совпа-
совпадении с теорией (см. рис. 30.2) %

516 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч 1П
имущественной поляризации, то, усредняя C0.90) по спину, по-
получаем *)
C0.91)
Из этих результатов следует, что классическая теория синхро-
тронного излучения оказывается справедливой вплоть до очень
больших значений энергии Е ~ ?у2, что при полях Ж ~ 104 Гс
составляет Eytc* 10!3 эВ. Этот предел имеет ясную физическую
интерпретацию: классическая теория применима, пока энергия
излучаемого фотона меньше, чем энергия электрона
) C0.92)
откуда и следует критерий Е -С E\j%.
Эти результаты получаются в предположении о том, что кван-
квантовые числа электрона до и после излучения остаются большими
п> I, п'>1 (квазиклассичность движения), при условии, что
напряженность поля 36 мала по сравнению с критической вели-
величиной 5^о (/ <. 1). Используемые при этом методы являются
замкнутыми и полученные формулы описывают весь спектр из-
излучения, поскольку энергия электрона после излучения предпо-
предполагается также релятивистской (Е' ^> nioc2, пг *Э> 1). Переходы
электрона в основное или слабовозбужденные состояния
(п' = 0, 1,2,...) при условии Ж <С <5^о экспоненциально малы
и дают исчезающий вклад в полную интенсивность излучения.
Положение, однако, существенно меняется, если напряженность
поля Ж приближается к критической величине 5^о или превос-
превосходит ее (З/ё^З/бо). При этом конечное состояние электрона
после излучения перестает быть квазиклассическим, поскольку
переходы в состояния с малыми квантовыми числами п? = 0,
1, 2, ... дают существенный вклад в полную вероятность пере-
перехода **).
В ультраквантовом случае, когда %^> 1, квантовые эффекты
оказываются определяющими, и поэтохму переход к классиче-
классическому приближению становится невозможным:
Wy'KB — -^ Г (%) W клГ4/э. C0.93)
Ультраквантовый случай может приобрести реальное значение
¦) Соколов А. А., Клепиков Н. Я., Тернов И. М. — ЖЭТФ, 23, 1952,
с. 632.
**) Sokolpv А. Л., Zhukovskit V. C/i., Nikltina N. S Phys. Letts. 43A, 1973,
p. 85; Sokolov A. A., Ternov U M.t Borisov Л. V., Zhukovskii VP Ch.^ Phys,
Letts. 49A, 1974, p. 9.

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛРКТРОПА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 517
при исследовании нетеплового излучения пульсаров, где имеется
основание предполагать, что магнитное поле достигает значений
Зв ~ Ю10—1013 Гс.
е) Влияние квантовых флуктуации на траекторию движе-
движения электрона. Оценим среднее число фотонов, излучаемых элек-
электроном за время одного оборота т = 2nR/c. С этой целью най-
найдем отношение излучаемой электроном за один оборот энергии
W06 = W™ ^~ C0.94)
к энергии фотона в максимуме излученияfta)m=ft(c/
Тогда
Wo6 e2 E
"h C0-95)
Отсюда видно, что синхротронные кванты излучаются флуктуа-
ционио; например, при Е = 500 МэВ число излучаемых фотонов
за один оборот будет равно 20. Синхротронное излучение при
высоких энергиях, таким образом, характерно дискретным вы-
выбросом мощных фотонов.
Флуктуационный характер синхротронного излучения накла-»
дывает свой отпечаток на движение электрона. Физически это
связано с тем обстоятельством, что при испускании фотона боль-
большой частоты электрон должен получить заметную квантовую
отдачу (своеобразную «встряску»). При этом возникает явление
квантовых флуктуации радиуса орбиты электрона, сам же элек-
электрон должен двигаться подобно броуновской частице, получая
своеобразные «удары» со стороны излучаемых фотонов.
Рассмотрим вероятность квантовых переходов в единицу вре-
времени. Формулу для вероятности можно получить из C0.83) де-
делением интенсивности излучения на энергию фотона cftx и сум-
суммированием по состояниям линейной поляризации:
C0.96)
Заметим, что в это выражение входит множитель () ру
мент которого пропорционален постоянной Планка (см. C0.74)).
При вычислении интенсивности излучения в силу того, что
2111$,(х) = I, этот множитель не вносит вклада в классическую
величину. Однако отдача со стороны излучаемых фотонов при-
приводит к скачкам центра круговой траектории, т. е. к росту квад*
ратичиой флуктуации радиуса |2 = s/2y.

518 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. III
Найдем изменение во времени радиального квантового чис-
числа s:
-§ = ? J sin 6 db (s' -s)w (v, s', 9). C0.97)
s\ v О
Учитывая, что
Z'-s)Pss,(x)=x> C0.98)
находим с помощью C0.96)
ds 55
1Гlivf ^v \^7)' C0*99)
откуда следует, что квадратичная флуктуация радиуса растет
пропорционально времени *):
42 55
dt
—-j=rc—^ ~( 2") . C0.100)
48 д/З moc2 mocR \ т0с2 ) '
Заметим, что это изменение пропорционально постоянной
Планка, т. е. является существенно квантовым эффектом.
Анализ полученных результатов показывает, что возбужде-
возбуждение квантовых флуктуации радиуса возможно при энергиях
электрона
(^ff C0.101)
(величина ?»/3 ~ 500 МэВ), что может наблюдаться в ускорите-
ускорителях электронов и позитронов **). Таким образом, в области энер-
энергий электрона порядка ?'д может возникнуть несколько неожи*
данная ситуация: вращение электрона вокруг направления маг-
магнитного поля может быть описано классической теорией, а дви-
движение в радиальном направлении, будучи макроскопическим по
величине, подчиняется квантовым законам: радиальная коорди-
координата может быть определена лишь с известной вероятностью.
Такое движение электрона естественно назвать макроатомом.
Квантовые флуктуации орбиты электрона в магнитном поле
имеют большое практическое значение, в особенности при соору-
сооружении так называемых электронных и позитронных накопитель-
*) Соколов А. А., Тернов Я. М. — ЖЭТФ, 25, 1953, с. 698; ДАН СССР,
92, 1953, с. 537.
**) Эффект квантовых флуктуации радиуса наблюдался косвенно Сэндсом
(Sands M Proceedings of the CERN Conference ot high energy accelerators
and instruments, Geneva, 1959) и непосредственно в опытах Ф. А. Королева и
О. Ф. Куликова (см, сб.: Синхротронное излучение под ред. Л, Л. Соколова и
И, М. Тернова — №.: Наука, 1966),

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 519
ных колец. В неоднородном магнитном поле, применяемом в'
реальных накопителях с целью фокусировки электронов и пози-
позитронов, возникает дополнительное затухание колебаний (дем*
пинг-эффект), уменьшающее их амплитуду, В результате насту-
наступает равновесие между квантовым уширением и классическим
сжатием орбиты, что приводит к конечным радиальным разме-
размерам пучка ускоряемых частиц. Более подробно на этих вопросах
здесь мы останавливаться не можем *).
ж) Эффект радиационной самополяризации электронов. Если
мы обратим внимание на формулу интенсивности излучения
,C0.90) с учетом квантовых поправок, то нетрудно заметить, что
энергия излучения зависит от ориентации спина электрона по
отношению к направлению магнитного поля. Отсюда можно
прийти к заключению, что излучение должно способствовать
возникновению поперечной поляризации электронов. С целью
анализа этого эффекта обратимся к величине вероятности пере-
переходов в 1 секунду
2 п °°
ш(С О =*"gar $<*v$'j*tfx$ <Ю6(х-Н('-К)(Ф2 + Фз). C0.102)
о а
Здесь произведено суммирование по s' — радиальному числу, а
также по поляризациям фотонов, сумма по номеру гармоники v
заменена интегралом.
Рассмотрим это выражение для квантовых переходов, сопро-
сопровождающихся изменением ориентации спина, т. е. всюду в мат*
ричных элементах матриц а положим ?' = —?.
Тогда мы получим, сохраняя неисчезающие по % члены:
^ C„,„3)
бз = Т V «-bn'-l (*) ~" Inn' (*) —
3.104)
*) См., например, Соколов Л. Л., Тернов #, М. Релятивистский элек*
трон. — М.: Наука, 1974.

520 ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 14. III
Здесь при интегрировании сделана замена
Х = &- C0.105)
Поскольку матричные элементы всех трех матриц пропорцио-
пропорциональны I (т. е. постоянной Планка ft), функции Лагерра допу-
допускают квазиквантовое приближение через функции Бесселя
C0.77) с последующим их выражением через Кхп и Къ (см.
30.82)).
Следует также учесть рекуррентное соотношение
/„-...... (х)=-^(п + п2'х-х im, (х) - /;„, <*)), C0.106)
из которого следует (jt<« + n', п + п' « 2 л/пп')
/„_,, „<_! (jc) - /„„< (х) = - ¦*- I'nn' (x) = - 1уК (vp sin 6), C0.107)
поскольку
Inn' (x) = /v B-v^n), Inn' (x) = -^- К {2л/m). C0.108)
у x
Таким образом, для вероятности переходов мы получаем выра-
выражение, в которое входят функции Бесселя от мнимого аргумента
/О/зэ /0/з« Интегрируя по углам &dQ в C0.102), получим, что
оо
»(?, - Он = Ш Т ТЯГ \ йУ ^ Т ^-(^) + 5 */. (УI. C0.109)
о
откуда следует окончательный результат
в котором время поляризации т0 равно
Из этого выражения следует, что вероятность перехода из со-
состояния ? = 1 (спин направлен по магнитному полю) в состоя-
состояние %' = —1 (спин направлен против магнитного поля) будет
значительно больше, чем обратный переход.
Найдем закон изменения среднего спина (т. е. поляризации)
во времени:
Е?(#)•(зол12)

§ 30] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 521
Интегрируя это уравнение, имеем
™. C0.113)
Таким образом, для промежутков времени t ^> т0, больших, чем
время поляризации то, мы получаем, что электроны приобретают
преимущественную ориентацию спина против внешнего Mai кит-
ного поля независимо от начального состояния спина*):
_---0,924. C0.114)
Если начальный пучок электронов не был поляризован ?@) = 0,
то C0.113) приобретает вид
--^— A-е-""). C0.115)
Заметим, что спин позитронов будет ориентирован противо-
противоположно электронному. Время то, в течение которого происходит
процесс поляризации, составляет порядок 1 часа при Е ~ 1 ГэВ
и Ж ~ 104 Гс. Поэтому рассмотренный эффект может представ-
представлять интерес для движения электронно-позитронных пучков в
накопительных кольцах. Эксперименты, проведенные во Фран-
Франции, СССР (Новосибирск) и США, подтвердили существование
эффекта самополяризации электронов и позитронов, имеющего
важное значение для получения пучков быстрых поляризован-
поляризованных частиц, что существенно расширяет возможности физиче-
физических экспериментов в физике высоких энергий.
*) Соколов Л. Л., Тернов И. M. — RAH СССР, 153, 1963, с. 1053.

ПОЯСНЕНИЕ К ТАБЛИЦЕ
«ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА»
Под символом химического элемента приведен атомный вес (в углерод-
углеродных единицах Vi2 массы изотопа 12С) естественной смеси существующих в
природе стабильных (включая уран и торий) элементов, или в квадратных
скобках дано массовое число изотопа, обладающего наибольшим временем
жизни, когда элемент является радиоактивным.
До 1961 г. в качестве единицы атомного веса была принята Vie средней
массы естественной смеси кислорода (химическая шкала А*).
Атомные веса в новых Ас и старых Ах единицах связаны соотношением:
Л* =» Л*-Л ,000043.
Все элементы разбиты на десять групп, номер которых определяется об-
общим числом электронов или во внешнем слое, состоящем* из s- и р-оболочек,
или во внешней s-оболочке и строящейся ^-оболочке.
После открытия A962т-1963 гг.) химических соединений инертных газов
(Кг, Хе> R&) их стали ашосять не к нулевой, а к восьмой группе. Например,
у криптона (Z = 36) во внешнем слое Ds- и 4р-оболочки) находится такое
же число электронов, которое имеется и у железа B = 26) во внешней 4s-
оболочке » строящейся 3^-оболочке (т. е. восемь). Кобальт (Z = 27) и ни-
никель (Z я» 28) ко этим признакам помещают соответственно в (IX) и (X)
группы. Две последние группы заключены в скобках, поскольку эти обозна-
обозначения носят формальный характер и не связаны с максимальной валентностью
элемента. Лантаниды (редкоземельные элементы) и актиниды, у которых идет
заполнение второй внутренней f-оболочки, помещены отдельно. Вообще же
в таблице указаны лишь строящиеся оболочки.
Элементы одной и той же группы разбиты на две подгруппы, в которых
сгруппированы элементы, наиболее близкие по своим химическим и основным
физическим свойствам (например, у элементов левой подгруппы металличе-
металлические свойства выражены особенно ярко).
Названия 104 и 105 элементов • (Курчатовий и Нильсборий) заключены
в скобках, так как для них были предложены также и другие названия —
соответственно Резерфордий и Ханий, однако, ни те, ни другие наименования
пока что не получили официального признания. Для недавно открытых эле-
элементов 106 и 107 названия предложены не были. Массовые числа радиоак-
радиоактивных элементов даны для наиболее стабильных из известных в настоящее
время изотопов. В качестве критерий стабильности принималось время жизни
относительно всех распадов, т. е. а-распада, р-распада и спонтанного деле-
деления *).
*) Колесников Н. H.t Демин А. Г.— Препринт ОИЯИ Р6-9421, Дубна,
1975 г.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авогадро 76
Андерсон 351
Бак 270, 336
Бальмер 224, 325, 431
Бардин 483
Басов 167
Бердж 227
Бете 222, 342
Блох 456, 471
Боголюбов 483
Бозе 480
Больцман 15
Бор 8, 37, 42, 104, 107, 270, 331
Борн 34, 39, 47, 241
Бриллюэн 59, 453, 513
Ванг 446
Ван-дер-Ваальс 454
Вебер ПО
Вейль 355
Вельтон 339
Вентцель 59, 513
Вин 15
Гайтлер 438, 451
Гамильтон 13, 28
Гамов 81
Гаудсмит 272
Гейгер 81
Гейзенберг 8, 27, 42, 120, 127
Гер л ах 271, 275
Герц 17
Гинзбург 483
Глаубер 114
Гордан 306
Гордон 290, 324
Дебай 20, 488
Де Бройль 8, 20
Де Гааз 272» 275
Джермер 20
Джине 16
Джозефсон 493, 497.
Дивер 493
Дирак 9, 47, 49, 75, 122, 132, 274,
296, 326, 351, 507
Долл 493
Друде 74
Дэвиссон 20
Зееман 268, 270
Зоммерфельд 75, 104, 326
Камерлинг-Оннес 483
Кеплер 207, 221
Клебш 306
Клейн 290, 324
Клечковский 412
Комптон 8, 18
Кондон 81
Кондратьев 401
Коссель 406, 436
Крамере 59, 513
Кришнан 177
Крониг 464
Кулон 352
Купер 483
Куш 331
Кюри 80
Лагранж 13, 418
Ладенбург 175
Лайман 222, 325
Ландау 280, 355, 483
Ланде 271, 334
Ландсберг 177
Лауэ 20, 464
Лежандр 187
Лейбниц 215
Ленин 9
Ли 355
Лондон 438, 451
Лоренц 13, 74, 300
Лэмб 327, 342
Людерс 354
Максвелл 13
Мандельштам 177

624
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Мейсснер 483
Менделеев 379, 409
Ментцель 227
Милликен 79
Мозли 409, 410
Морзе 428
Небауэр 493
Нейман 88
Неттол 83
Ньютон 13, 88
Осборн 228
Паули 75, 274, 354
Пашен 225, 270, 336
Пенни 464, 466
Перре 410
Пикеринг 229
Планк 8, 15, 16, 37, 147
Прохоров 167
Пуассон 95
Раби 331
Раман 177
Редже 9, 261, 263
Резерфорд 8, 246
Рессел 384, 447
Ридберг 224, 227
Ризерфорд 327, 342
Ритц 372, 376, 395
Рождественский 175
Рэлей 16
Саундерс 384, 447
Сегре 410
Сигиура 444
Стефан 15
Столетов 17
Тартаковский 20
Томас 245, 316, 379, 395
Томсон 20
Уленбек 272
Файрбэнк 493
Фарри 499
Фейнман 495
Ферми 75, 77, 245, 358, 379, 395, 467,
489
Фок 290, 376, 395
Фолли 331
Фортр 433
Фрелих 483
Френкель 316
Хартри 372, 373, 395
Хиллераас 375, 378, 395
Швингер 352
Шеррер 20
Шкловский 331
Шотт 511
Шредингер 9, 30, 34, 112, 127, 132,
271, 332
Шриффер 483
Штарк 231
Штерн 20, 271, 275
Эйнштейн 8, 17, 19, 77, 144, 272, 275,
480
Эренфест 16, 100
Эстерман 20
Юкава 244, 254
Юри 228
Якоби 13, 28
Янг 355

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно черное тело 14
Альфа-распад 80
Боровский радиус 212
Вариационный метод 372
Вектор состояния 121
* , зависимость от времени 127
— эксцентриситета 218
Взаимодействие контактное 316, 323
— обменное 442
— спии-орбитальное 315, 323
Водородоподобный атом 207
— —, квазиклассическое приближе-
приближение 230
¦ , релятивистская теория 292
, учет- движения ядра 225
Волновая функция 32
атома гелия 385
, нормировка (метод* Борна) 47
-— —преобразование Лоренца 300
собственная 38
— —.статистическая интерпретация
41
Волновое уравнение 35
Волновой вектор 13
— пакет 22, 23
, время расплывания 27
Восприимчивость диамагнитная 282
— парамагнитная 282
Вырождение 36, 218
— обменное 366
— по магнитному квантовому числу
201
Гипотеза де Бройля 21
— Планка 15
Дельта-символ 38, 49
Дельта-функция 49, 51
— размазанная 52
¦ , производная 53
Диаграмма Фортра 433
Дисперсионная формула 174
Дисперсия аномальная 171
— нормальная 171
— отрицательная 175
Диэлектрики 468
Длина волны дебройлевская 19
— периодичности Борна 47
Дублеты иррегулярные 409
— регулярные 409
Задача Кронига и Пенни 464
Закон Гейгера — Неттола 81
— Кулона 352
— радиоактивного распада Кюри 80
— смещения Вина 15
— Стефана — Больцмана 15
Зоны Бриллюэна 463
Излучение гармонического осцилля-
осциллятора 164
— дипольное 147
— —, вывод коэффициентов Эйн-
Эйнштейна 156
, магнитное и квадрупольное 161
, правило отбора 165
— некогерентное 167
— синхротронное 167
Квазиуровни 83
Квантование вторичное 152
— магнитного потока в сверхпровод-
сверхпроводниках 491
— потенциальной ямы 65
Квантовое число главное 211
магнитное 183
, физический смысл 190
орбитальное 185, 214
параболическое 233
радиальное 214, 501
, физический смысл 505
Квантовые ансамбли 40
чистые 40
— усилители и генераторы 167

526
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Квантовые числа 36
Кеплера проблема 211, 278
Классическая теория 13
Когерентные состояния 111, 114
Коэффициенты Клебша — Гордана
306
¦— отражения барьера 71
•— прозрачности барьера 71
i— Эйнштейна 144
Линеаризация оператора энергии 295
Линии антистоксовы 177
~- стоксовы 177
Лучистое трение Планка 147
Магнетон Бора 270
Магнитный мОхМент 272
г— ~- аномальный 316
— — дираковский 312
Матрицы Дирака 274
— Паули 274, 297
Матричные элементы координаты и
•импульса 116
Метод Вельтона 339
— самосогласованного поля 378
#— статистический Томаса — Ферми
379, 395, 416
*— Хартри — Фока 376
Механический момент 272
Модель Томаса —Ферми 24S
Момент количества движения орби-
. тальный 302
*— полный 302
—• спиновый 302
Населенность уровней 168
<г- — инверсная 159
Нейтрино 355
9— мюонное 356
,*- электронное 3.56
Нормировка, метод Борна 47
*— непрерывно^ ,спектра на дельта*
функцию 55
Нулевая энергия 67
Оператор в квантовой механике 87
— испускания фотонов 154
*- момента, перестановочные соотно-
соотношения 507
*— поглощения фотонов 154
*— поляризации 503
•— самосопряженный 89
— эрмитов 89
Оптическая теорема 249
Орбиты круговые 211
— эллиптические 213
Осциллятор ангармонический 139
Осциллятор линейный гармонический
108
, f импульсное представление
, матричное представление 119
Отражение надбарьерное 74
Парадокс Клейна 324
Параметр скрытый 88
Переходы разрешенные 174
— спонтанные и вынужденные 143
Периодическая система элементов 409
Плотность вероятности 34
— заряда 33, 290, 298
— тока 33, 290
Поверхность Ферми 467
Позитрон 351
—, волновое уравнение 352
Полином Лагерра 214, 233, 281, 501
— Эрмита НО
Полюсы Редже 261, 263
Поправка Томаса — Френкеля 316
Постоянная Вина 16
— разделения 181
— Ридберга 224, 227
— Стефана — Больцмана 16
— тонкой структуры 170
Постулат Бора второй 37, 67
— устойчивых состояний 37
Потенциал деформации 473
Потенциальная яма 43
• , квазикласоическое квантование
65
прямоугольная 43
— —собственные значения энергии
44
Потенциальный барьер 68
прямоугольный 71
Правила отбора 222
Правило квантования Бора — Зом-
мерфельда 104
Представление взаимодействия 130
— Фарри 499
— Шредингера и Гейзенберга 127
Преобразования Лоренца 300
Приближение Блоха 471
Принцип дополнительности 42
— Паули 75, 383
Пробная функция 372
Проводимость металла 481
— полупроводников примесная 470
• собственная 469
Проводники 467
Работа выхода'74
Равновесное излучение 14
Раман-эффект 177

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
527
Распределение Максвелла — Больц-
мана 114, 115
— Пуассона 114
Рассеяние света комбинационное 176
— частиц 240
, борновское приближение 241,
244
быстрых 246
в кулоновском поле 254
медленных 245
на потенциале Юкавы 244
потенциальным барьером 250
упругое 242
эффективное сечение 243, 247,
249
Рассеяния амплитуда 248
Резонансы 266
Релаксации время 471
Ротатор 194
Сверхпроводимость 483-
Связь гетерополярная 434
— гомеополярная 438
— ковалентная 451
— Ресселя — Саундерса 384, 447
— спин-орбитальная 304
Серия Бальмера 224, 325, 403
— Лаймана 222, 224, 325, 403
— Пашена 225
— Пикеринга 229, 230
Сечение рассеяния дифференциальное
эффективное 243
1 парциальное эффективное 247
полное эффективное 249
— — эффективное 24$
Сила Лоренца 472
Силы Ван-дер-Ваальса 454
Скобки Пуассона 95
Скорость групповая 22
— фазовая 21
Соединения ионные 434
Соотношение неопределенностей 27,
92, 95
Состояния симметричные и антисим-
антисимметричные 381
— с отрицательной энергией 348
Спектр двухатомной молекулы 427
— квазидискретный 84
— линейчатый 405, 433
—, молекулярное адиабатическое
приближение 426
— полосатый 433
— рентгеновский 405
—,сверхтонкая структура 329
—, тонкая структура 319
— щелочных металлов 396
Спектр энергии, зонная структура 460
Спин 271
Спинор 301
Спин-орбитальное взаимодействие 315
Спиральность 348
Статистика Бозе — Эйнштейна 155,
382
— Максвелла — Больцмана 74
— Ферми —Дирака 75, 155, 358, 382
Теорема Людерса- — Паули 354
— Эренфеста 100
Теория Бора 107
— валентности 451
— возмущений 131
, второй порядок 138
, вырожденный случай 136
Дирака 132, 324
, невырожденный случай 134
нестационарная 141
, основные уравнения 132
, первое приближение 133
стационарная, Шредингера 132
, условие применимости 136
— Гайтлера — Лондона 451
— многих частиц 363
— , основные направления 364
> уравнение Шредингера 378
— Паули 275
— представлений 114
— Шредингера 30, 112
> линейные операторы 34
Термодинамическое равновесие 145
Тонкой структуры постоянная 170
Траектории Редже 263, 267
Туннельный эффект 68
Уравнение Гамильтона — Якоби 28,
59
— Дирака 152, 295, 298, 310, 316, 343
,вторичное квантование 356
спинорное 289
— Клейна — Гордона 290, 294
— Ньютона 88, 101
— Паули 272, 225
— Пуассона для точечного заряда 57
— радиальное 207
— Томаса — Ферми 418
— Хартри 378
— Шредингера 30
, квазиклассическое приближение
58
, метод ВКБ 59
, общее решение 37, 375
, решение 58
, собственные функции 36, 60
• стационарное 32, 98

528
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение Шредингера стационарное,
решение 36
— Эйнштейна 77
Уровень Ферми 76
— энергетический 36
вырожденный Л^-кратно 195
невырожденный 195
Уровни Ландау 280
Ферромагнетизм 415
Фононы 472
Формула Планка 16, 161
— Резерфорда 246
— Рэлея — Джинса 16
— Шотта 511
Фотон 17
—,,оператор испускания 155
—:,— поглощения 154
Фотоэффект 17
Функция Блоха 456, 458
— Вебера — Эрмита 110
— Лагерра 235, 280, 501
— Лежандра 187
— шаровая 181
— Эйри 63
Частота Джозефсона 497
Шаровая функция 181
,условие ортогональности 198
, четность 189
Электромагнитный вакуум 147, 338
Электрон, взаимодействие с фоиона-
ми 476
—, волновые свойства 19
—, — уравнения 29
—, комптоновская длина волны 19
—, кулоновское взаимодействие 370
—, радиационная самополяризация
519
—, собственные значения энергии 44
—, спиновые свойства 346
Электрон-позитронный вакуум 351
Эмиссия 74
— термоэлектронная 77
— холодная 74
Энергетические уровни 36
Энергия ионизации 225
— нулевая 67
— обменная 368, 379
— связи пары 488
—, собственные функции и собствен-
собственные значения 105
— Ферми 77, 467
Эффект Джозефсона 493
нестационарный 506
стационарный 497
— Зеемана 268
аномальный 270, 332
нормальный 270, 332
— Комптона 18
— Мейсснера 483
— Пашена — Бака 270, 336
— поляризационный 506
— резонансный 497
— Штарка 231
линейный и нелинейный 236