С9
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени А. А. ЖДАНОВА
Г. Ф. ДРУКАРЕВ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
физических специальностей вузов
ЛЕНИНГРАД
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1988
Рецензенты: Кафедра теор. физики Ленингр.
нед ин-та им. А. И. Герцена (зав. кафедрой д-р физ.-
мат. наук Е Д Трифонов), д-р физ.-мат. наук
А. А. Гриб (Ленингр. финаисово-экон ин-т им.
Н. А. Вознесенского).
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
УДК 530.145
Друкарев Г. Ф. Квантовая механика:
Учеб, пособие. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1988. 200 с.
ISBN 5-283-00292-4
В учебном пособии дается углубленное изложение
основных идей и математического аппарата как нере-
лятивистской, так и релятивистской квантовой теории
в современной форме. В ием освещается рид
тем, отсутствующих или недостаточно подробно изло-
женных в традиционных курсах квантовой механики:
функция Грина и континуальный интеграл Фейнмана,
аналитические свойства функции Носта, теория ква
зистацнонариых состояний и г д.
Пособие предназначено студентам университетов,
вузов и втузов, а также будет полезно аспирантам
по самым различным направлениям современной фи
пики и химии.
Библиогр. 11 назв Ил 12.
(су 11здательство
п 1 704 020 000-025	' Ленинградского
Д 076(02)—88 КБ 40 б8~ 987 университета,
v	1988 г.
ISBN 5-288-00292-4
НЛУЧНО-ТЕуНИЧЕСКАЯ| |
БИЬЛИОТЕКАН___J •
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является расширенным изложением лек-
ций по квантовой механике, читаемых для студентов Ленин-
1радского университета, специализирующихся по теоретической
и математической физике, и предназначается в качестве учеб-
ного пособия при изучении квантовой механики.
Предполагается знакомство читателя с основами физики,
классической механикой, электродинамикой и высшей матема-
тикой в объеме университета. В книге представлены основные
положения квантовой механики, математический аппарат и
важнейшие конкретные задачи. Излагаются как нереляти-
вистская теория, так и основы релятивистской теории, вклю-
чая квантование свободных полей со спином 0 и 1/2, свободного
электромагнитного поля и теорию взаимодействия квантован-
ного электромагнитного поля с атомом. Используются понятия
вектора состояния, проекционного оператора и оператора эво-
люции, что позволяет сделать изложение общих вопросов весь-
ма сжатым и прозрачным. Подробно рассматривается ряд во-
просов, недостаточно освещенных в учебной литературе по
квантовой механике, в том числе: функция Грина, ее выраже-
ние через классическое действие для определенного класса по-
тенциалов и представление в виде континуального интеграла;
функция Иоста, ее применение к теории волновых функций
сплошного спектра и теории резонансного рассеяния частиц;
распад квазистационарных состояний в одно- и двухчастичных
системах, а также некоторые вопросы теории рассеяния частиц
и теории переходов под действием зависящего от времени воз-
мущения.
В тех случаях, когда та или иная тема не могла быть изло-
жена с достаточной полнотой из-за ограниченного объема кни-
ги, приводятся ссылки на литературные источники, содержащие
более полное и развернутое изложение. .
3
Книга может служить введением при изучении теории атом-
ного ядра, атомов и молекул, теории столкновений, теории кон-
денсированных сред, квантовой электродинамики и квантовой
теории поля.
Автор приносит благодарность профессорам М А. Брауну,
А. А. Грибу, Ю. Н. Демкову и Е. Д. Трифонову, прочитавшим
книгу в рукописи и сделавшим ряд ценных замечаний, учтен-
ных при подготовке книги к печати.
Трактовка ряда вопросов, излагаемых в книге, сложилась
в результате многочисленных обсуждений с проф. Ю. Н. Дем-
ковым. которому автор особенно благодарен.
Глава 1
ПРЕДПОСЫЛКИ И ОСНОВНЫЕ ИДЕИ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Предметом квантовой механики являются общие законы
движения и взаимодействия частиц в атомных масштабах и
основанная на этих законах теория строения и свойств атом-
ных ядер, атомов, молекул п твердых тел.
Необходимость создания квантовой механики была вызвана
неспособностью классической физики объяснить строение и
свойства атомов и закономерности их взаимодействия со свс-
1ОМ.
Квантовая механика, как и всякая физическая теория, прсд-
с'авляет собой математический образ реальных физических яв-
лений. Этот образ складывается из объектов математики: функ-
ций, матриц, операторов и т. п. и соотношений между ними.
Соответствие между математическим образом и предметами
физического мира — электронами, атомами, молекулами и т. д.
устанавливается с помощью физических понятий, играющих
роль посредника, что обусловливает их двойственную природу.
Эти понятия должны изображаться математическими объекта-
ми, чтобы к ним можно было применять правила и методы ма-
тематики, а их физическое содержание раскрывается при рас-
смотрении физических явлений, экспериментов.
Несомненно, все, что есть в физике, в том числе и теории,
так или иначе происходит из опыта или проверяется опытом.
Но не следует это понимать чересчур буквально и прямолиней-
но. Теория никогда не выводится непосредственно из результа-
тов опыта. Теорию строят, отчасти размышляя над данными
опыта, отчасти руководствуясь интуитивными представлениями
об устройстве мира и характере физических законов и отчасти
заглядывая в математику, стремясь отыскать в ее построениях
наводящие соображения Все эти пути были использованы при
построении квантовой механики.
5
Прежде чем излагать квантовую механику в логической
последовательности, мы рассмотрим вкратце происхождение
основных идей квантовой механики.
Построению последовательной теории предшествовало вве-
дение ряда новых понятий. Полагая их известными из курса
общей физики, мы ограничимся лишь кратким напоминанием.
Кванты энергии (М. Планк, 1900 г.). Предполагается, чго
энергия (£) гармонического осциллятора с частотой <о может
иметь лишь значения, кратные элементарной порции — кванту
Йо (Й = 1,054-10~27 эрг-с): Е„ =пНы. С помощью этого предпо-
ложения М. Планку удалось преодолеть трудности классиче-
ской теории излучения абсолютно черного тела и вывести фор-
мулу для спектрального распределения, согласующуюся с
опытом.
Фотоны (А. Эйнштейн, 1905, 1916 гг ). Пучок монохромати-
ческого света с частотой ю и волновым вектором к рассматри-
вается, как поток фотонов — частиц с энергией Йю и импульсом
h к. На основе представления о фотонах с использованием за-
конов сохранения энергии и импульса были объяснены законо-
мерности фотоэлектрического эффекта и рассеяния света сво-
бодными электронами.
Уровни энергии атома (Н. Бор, 1913 г.). Предполагается,
что энергия атома может иметь лишь дискретные значения
Elt Е%,... Для определения этих значений в простейшем слу-
чае — в атоме водорода — считается, что под действием куло-
новского поля ядра электрон может двигаться лишь по таким
орбитам, для которых момент импульса является кратным h
(правило квантования, сфопмулированчое первоначально Н. Бо-
ром для круговых орбит и обобщенное впоследствии А. Зом-
мерфельдом на случай эллиптических орбит). Получается серия
дискретных уровней энергии
(^1-2, ...«>)	(1.1)
(т — масса электрона: е — его заряд).
Испускание света происходит при переходе электрона из
состояния с энергией Е„ в состояние с энергией Ek. Частота
света определяется соотношением Бора
(1-2)
Это же соотношение определяет частоту поглощаемого света
при переходе с уровня Ek на уровень Еп.
Формула (1.2) согласуется с наблюдаемым спектром атома
водорода. Наличие дискретных уровней энергии атомов и дис-
кретных возможных значений момента импульса было впослед-
ствии подтверждено экспериментально.
6
Волновые свойства частиц (Л. де Бройль, 1924 г.). Предпо-
лагается, что частицам должны быть присущи свойства волн.
Свободной частице с импульсом р и энергией £=р2/(2т) сопо-
ставляется волна с частотой Ejh и волновым вектором к=рДг—
так называемая волна де Бройля
V; ' л	(1.3)
Предсказанные Л. дс Бройлем волновые свойства частиц
были впоследствии обнаружены в опытах по дифракции элек-
тронов и нейтронов в кристаллах.
Перечисленные понятия позволили объяснить на единой ос-
нове широкий круг явлений и даже предсказать новые, еще
неизвестные явления, что свидетельствует об определенной по-
знавательной ценности этих понятий. Вместе с тем сочетание
свойств волны и частицы в одном объекте в рамках классиче-
ской физики представлялось невозможным. Что касается пра-
вил квантования, то они казались весьма искусственными и не-
последовательными. Для их формулировки использовались по-
нятия классической механики (например, орбита электрона),
хотя сама идея квантования ей чужда. Поэтому в своем перво-
начальном виде перечисленные понятия не могли быть поло-
жены в основу последовательной теории.
Указанные трудности и противоречия были преодолены
Э. Шредингером (1926 г.) и М. Борном (1926 г.), работы кото-
рых составили фундамент квантовой механики.
Мы изложим результаты этих работ (не повторяя буквально
аргументацию авторов) применительно к простейшему случаю
свободной частицы, а затем рассмотрим обобщение на случай
присутствия силового поля.
Начнем с того, что выпишем линейное дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет волна де Бройля:
,,4’Г==-'&Д||Г-	1141
Оно называется уравнением Шредингера.
Волна де Бройля есть лишь частное решение (1.4). Мы бу-
дем считать, что любое решение уравнения (1.4) описывает
свободную частицу, и называть его волновой функцией.
Рассмотрим суперпозицию волн де Бройля
./« РП
Ч’(г, /) = (2л7г)-3/2 J е~ ~ »Ч(рМР,	(1.5)
где <р(р) — функция, обладающая тем свойством, что интеграл
f I <Р(Р) I2 имеет конечное значение, а в остальном произ-
вольная (множитель (2л й) 3/2 введен для удобства дальнейших
выкладок).
7
Выражение (1.5) удовлетворяет уравнению (1.4) н, следо-
вательно, описывает свободную частицу, но в отличие от (1.3)
здесь частице не сопоставляется какой-либо определенный им-
пульс.
Исследуем математические свойства волновой функции
(1.5), на которые опирается ее физическая интерпретация. По-
д-
ложим е h <р(р)=Ф(рД) и перепишем (1.5) в виде
. рг
Ф(Г, 0=(2^)"s/2 J е йФ(р, i)clp.	(1.6)
Выражение (1.6) представляет собой интеграл Фурье. Его об-
ращение, как известно, есть
Ф(р, 0 = (2^)“3/2 f е Л Ч'(Г, t)dr. (1.7)
Кроме того, из теории интеграла Фурье вытекает, что
Л Ж /)l2dr= J|O(p, О|Мр-	(1-8)
Далее, интеграл j | Чг(г, t) |2Jr не зависит от t. Это следует из
уравнения (1.4). Напишем уравнение, комплексно-сопряжен-
ное (1.4):
Умножив (1.4) на V*. (1.4а) на Чг и вычитая, получим
I h ~ I Чг I3 = ~ (Ч’АТ *- ‘Г *Д'Г).
dt 1	1 2т'	'
Проинтегрируем левую и правую части этого равенства по
объему, ограниченному замкнутой поверхностью. Объемный
интеграл от правой части равен интегралу по поверхности ог
выражения (Л2/ (2m)) (Ч‘‘ v Ч1'* — Ч’*у W). Устремляя поверх-
ность к бесконечности и учитывая характер убывания W, необ
ходимый для обеспечения сходимости объемного интеграла от
| Чг|2, получим, что поверхностный интеграл обращается в
нуль. Следовательно, j | Ч‘ ]2cfr =0. Поскольку уравнение
(1.4) является однородным и линейным, можно умножить W
на подходящий множитель с тем, чтобы нормировать Ф’ по
условию
J |ЧГ|ЗДг—1-	(1.9)
Смысл такой нормировки выяснится дальше.
В формулах (1.6), (1.7), (1.8) функции ф и Т входят сим-
метричным образом и совершенно равноправны. Эта симметрия
подсказывает, что трактовка Чг и ф должна быть единообраз-
ной. Кроме того, в трактовке Т должно найти отражение со-
хранение интеграла J | Ф |Мг. Всем этим требованиям удов-
8
летворяет вероятностная трактовка волновой функции, предло-
женная М. Борном.
Предполагается, что данная физическая величина в фикси-
рованных условиях, вообще говоря, может и не иметь опреде-
ленного значения. Тогда при многократном ее измерении в од-
них и тех же условиях будут случайно получаться те или иные
значения, так что в серии измерений будет существовать неуст-
ранимый статистический разброс. (Количественной мерой раз_-
броса некоторой величины X относительно среднего значения ?.
принято считать выражение (X,—X)2.)
Этот неустранимый разброс считается первичным фактором,
законом природы.
Выражение dW (г,	| Ф \2dr трактуется как вероятность
того, что при измерении координаты частицы в момент t полу-
чатся значения, лежащие в интервале (г, г-рс/г). Величина
| Ф |2 представляет собой плотность вероятности. Сама же вол-
новая функция Чт(г,/) есть амплитуда вероятности координат.
Интеграл (|Ф|2т/г представляет сумму вероятностей всех
возможных значений координат, которая по определению долж-
на равняться единице. Мы получаем, таким образом, истолко-
вание условия нормировки (1.9). Аналогично выражение
c/IF(p) = | Ф(р, 0l2flfP трактуется как вероятность того, что
при измерении импульса будут получены значения в интервале
(р, Р+^р). (Заметим, чго dW(p) у пас получилось независя-
щим о г /. Эго — особенность, свойственная только свободной
частице.) Величина Ф(р,/), которую называют волновой функ-
цией в пространстве импульсов, или волновой функцией в им-
пульсном представлении, есть амплитуда вероятности импуль-
сов.
Вышеизложенная вероятностная трактовка дает, в частно-
сти. последовательное и непротиворечивое толкование наблю-
даемых волновых свойств частиц. Именно: характерное распре-
деление интенсивности в явлениях дифракции и интерференции
воспроизводит в определенном масштабе распределение веро-
ятности обнаружения частицы. Заметим, что связь амплитуд
вероятностей импульсов и координат, выражаемая соотноше-
ниями (1.6) и (1.7), представляет собой частный случай связи
амплитуд вероятностей любых величин. Эта связь составляет
содержание общего принципа суперпозиции, который излагает-
ся в гл. 2.
Рассмотрим более подробно связь между функциями ф и Ф.
Из общих свойств интеграла Фурье следует, что если Дх, Д;/,
Д^ — интервалы координат, в которых сосредоточена основная
часть | Ф | (эти интервалы определяют порядок величины раз-
броса координат), а Дрх, Др},, Дрг— интервалы импульсов, в
которых сосредоточена основная часть | Ф| (они определяют
9
Рассмотрим теперь частное решение уравнения (1.4) вида
'Г(г, t)=e1^ ф(г)
(1.11)
порядок величины разброса импульсов), то между ними име-
ются соотношения
ДхАрд-Хй, ДуДру~Й, ДгА/гЛЛ.	(1-Ю)
Это — так называемые соотношения неопределенностей, сфор- ...... ....... ......................_________________
мулированные Гейзенбергом (1927 г.). Они несущественны для 1уЛЬтате измерения. Например, если в некоторый момент t
макроскопических тел, но оказываются весьма важными в атом- L 3уЛЬтате измерения получено какое-то значение координаты
ных масштабах. Из (1.10) следует, что условия, при которых цистины (благодаря чему оно достоверно известно), то распре-
частица имеет определенные координаты (Ах, Ay, Az->0), не Деление вероятностей, характеризуемое функцией Ч7. перестает
совместимы с условиями, при которых она имеет определенные существовать. Такое скачкообразное изменение называется ре-
проекции импульса (Ap v, Дд, Apz->0). Здесь мы встречаемся дукцией. Следует ясно понимать, что редукция отнюдь не яв-
с примером особого рода взаимоотношения между некоторыми дяется реальным физическим процессом Это — логическая опе-
свойствами объекта, указанного Н. Бором (1927 г.) и назван-рация.
него им дополнительностью, когда эти свойства достаточно от-
четливо проявляются при взаимноисключающих условиях и их
невозможно непротиворечивым образом объединить в одну кар
тину.
В любом измерении не только определяется числовое значе-^у? _ энергия частицы). В этом случае |Ч'|2 не зависит от t.
ние данной величины, но и создается разброс по другим вели-ракоё состояние называется стационарным.
чинам. Обе эти стороны процесса измерения неразрывно свя для фуНКЦИИ я,(г) получается уравнение
заны друг с другом. Ввиду этого-любое промежуточное измере-	•
ние, вставляемое в некоторый опыт, вообще говоря, существен-	[—й2/(2т)]Д,р=£'ф.	(1.12)
ио изменяет его результаты. Все эти особенности процесса из
мерения указаны Н. Бором (1927 г.), и продемопстрироваигвравнениц (I 12) принадлежит к категории известных задач ил
на ряде мысленных экспериментов в статье |1. с 51—95]. нзу юбственные значения. Классическим примером являются зада
чение которой весьма поучительно.	ш на определение собственных частот колеблющихся тел (стру-
Важное значение имеет вопрос о соотношении междхча, мембрана). В упомянутых задачах решения соответствую
понятиями волновой функции и статистического коллектива гЦих уравнений подчиняются определенным граничным усло-
квантовой механике. Как указал В. А. Фок {2, ч. 1, гл. IV, § бриям. В квантовой механике вместо граничных условий требуют
волновая функция не является характеристикой какого-лпбеюнечности, непрерывности и однозначности решений. Согласно
определенного статистического коллектива. Дело в том, непринятой терминологии решение (1-12), обладающее требуемы-
статнстический коллектив составляют результаты серии опытоПи свойствами, называется собственной функцией оператора
по измерению некоторой величины в одних и тех же условиях—й/(2m) )Д, а энергия Е — собственным значением этого опе-
Разным величинам соответствуют различные статистическиеатора. Естественно назвать его оператором энергии. Посколь-
коллективы (например, коллектив результатов опытов по измеУ у свободной частицы не существует другой энергии, кроме
рению координаты частицы или коллектив результатов опытокинетической, то следует считать (—7г2/(2т))Д оператором ки-
ло измерению импульсов). Между тем распределение вероятноетической энергии. По примеру уравнения (1.12) в квантовой
стей вычисляется из одной и той же волновой функции (напрп^ханике каждой физической величине сопоставляется свой
мер. функция ф согласно (1.7) вычисляется по данной Ч7, таеператор (Систематический метод, позволяющий находить
что, задавая Ч7, мы по существу определяем распределение кагПератор для данной физической величины, предложенный
по координатам, так и по импульсам). Причина, по которо: • Дираком, излагается в гл. 3.) Возможные значения данной
волновая функция не связана ни с каким определенным кол,изической величины, согласно Шредингеру, отождествляются
лективом, состоит в том, что она характеризует потенциальнук собственными значениями соответствующего оператора. Со-
возможность того или иного результата еще не произведенног(°купность собственных значений составляет спектр оператора,
опыта, тогда как статистической обработке подвергаются рсСли спектр состоит из множества дискретных собственных
зультаты уже законченных опытов.	_ J '1ений, то он называется дискретным. Если же возможны
Обсудим вкратце вопрос о причинности в квантовой меха-1 значения в некотором интервале, то спектр называется
нике. Поскольку уравнение (1.4) первого порядка по t, то за лошным.
10
даипе начального значения Ч' при /=0 однозначно определя-
ет Ч7 для всех /, так что волновая функция развивается во вре-
мени причинным образом, хотя сама она определяет вероят-
ность случайного события. Наряду с таким причинным измене-
нием Ч7 имеет место также скачкообразное изменение Ч7 в ре-
’ в
11
_	/11о\	~	„ К стационарном состоянии волновая функция поелставпя-
В нашем случае решения уравнения (1.12). удовлетворяю- етСЯ в впдс (1 И) Для определения собственных значений
шие требуемым условиям существуют при всех £>0 апедова- ги„ £ выесто (] ,2) имеем ение ш
тельно, спектр сплошной. Одним из возможных решении (1.12)	1 а р
является волна де Бройля ф=Ае,рГ/й.
Нормировочный интеграл J [ф(£Г, г) |2dr обращается i
бесконечность. Но конечное значение имеет интеграл
Е+е
f dr<p(£, г) J d£'<p*(£', г),
Е-е
Нф(г)=£ф(г).	(1.15)
Шредингер показал, в частности, что для частицы в кулонов-
|ском поле притяжения, когда V^—e2/r, при £<0 конечные,
непрерывные и однозначные решения существуют лишь при
значениях энергии £1( £2.....совпадающих с уровнями энер-
|гин (1.1), найденными Н. Бором. Для собственных функций
дискретного спектра нормировочный интеграл j | ф |2dr яв-
ляется конечным. В силу однородности и линейности уравне-
верить на примере волн де Бройля.	“ия можно умножить его решение на подходящий коэф-
Фиииент с тем> чтобы сделать нормировочный интеграл равным
Так как уравнение (1.12) однородное и	,	' единице. При £>0 спектр для рассматриваемого случая куло-
умножить его решение на подходящий множитель с тем, i <6i новского поля притяжения оказывается сплошным
сделать этот интеграл равным единице, как принято	в заключение упОмянем соображения о роли ‘ релятивист-
Поскольку интеграл от |ф|2 расходится, то |ф| дольз Ских эффектов, принадлежащие Л. Д. Ландау и Р. Пайерлсу
непосредственно трактовать, как плотность вероятности. Одиа (1930 г.). В том случае, когда в (1.10) Дрх достигает величин
ко отношение | <!»(£, П)I2/1Ф(£\ |2	определяет отно|~тс (с—скорость света), мы оказываемся в такой области
сительную вероятность в двух точках г, и г2. В случае волн энергий, в которой становится возможным рождение пар час-
де Бройля относительная вероятность одинакова для всех г тиц и античастиц (например, рождение позитрона и электрона
и г2.	при столкновении двух электронов). Этому значению Ар, со-
Персйдем к обобщению теории на случай присутствия ш ответствует Дх~й/(тс). Поэтому при х<й/(тс) понятие ко-
дового поля, характеризуемого классической потенциально ординаты частицы теряет смысл.
энергией V. Оператор энергии естественно определить как cyh	nn-uz	..... г? —------- I _
му оператора кинетической энергии (—7?2/(2wi))A и потенциал!
поп энергии V:
(1-1
а вместо (1.4) для волновой функции частицы написать ура
неиие
Эффект рождения пар при больших Е не только ограничи-
вает смысл понятия координаты, но и делает невозможной по-
следовательную теорию движения одного тела.
Однако существует очень широкий круг задач, в которых
релятивистские эффекты несущественны. Они образуют область
верелягивнстскоп квантовой механики, которая излагается в
1л. 2—15. Релятивистской квантовой теории посвящены
гл. 16—18.
Н4;.
ut
(1-1
Глава 2
Оправданием выражения (1.13) и уравнения (1-14) служит т Д^ПЛИТУЛА ВЕРОЯТНОСТИ
называемый принцип соответствия (Н. Бор, 1923 г.), соглас
которому результаты квантовой теории должны совпадать L состояниг
результатами классической механики в той области, в котор<
последняя заведомо применима	ппржнему coxd . Усматривая некоторую физическую величину X, следует
Нормировочный интеграл J |Чdr ™-пРе^^мУ С“Р Различать два случая: а) в данных условиях она имеет onje-
няется, что следует из (1.14)^ На решение уравнения (1Л4) деленн°е значение> которое и находится путем измерен£Я;
его фурье-образ Ф(р, t) - J ехР<	Рг У ' ' с) в данных условиях она не имеет определенного значения, а
распространяется вероятностная ^Р^овк^^но^ Ф,У>к^не « Может с разной вероятностью принимать различные значения.
. мо-
13
~/лVIA	---*' *Г**"“^* nvuviupjxv yriOniCVRVIV ВСУШЧШП' Л, СЛСДуСТ
по-прежнему сохр различать два случая: а) в данных условиях она имеет опре-
чпавнения (1.14) лот.»,,,,— ------- _________-  --	г
f — 7огШ’(г t}i rV‘~“'w ’"-‘‘спие, котор
--------------r_ -................... J	H в данных условиях она не имеет определенного зг
распространяется вероятностная трактовка (но Ф уже Хюжет с разной вероятностью принимать различные знаш
жет быть представлена в виде ехр[—ip Г/(ZW«)J<p(P 1 как д. Например, в случае дискретного спектра значения Л2,..
случая свободной частицы).
12
гут быть найдены с вероятностью Жь W2, — В этой ситуацщ
каждое отдельное измерение дает какое-либо одно значение и
числа Ль Лг,... При многократном повторении опыта в одних\
тех же условиях наблюдается неустранимый разброс результа
тов. Относительные частоты появления Ль Ла,— при неогранц
ченном увеличении числа испытаний приближаются к вероят
ностям W2,...
Несколько величин р, п,... являются совместно измеримыми
если в одних и тех же условиях все они могут иметь определен
ные значения. Совокупность всех совместно измеримых вели
чин образует полный набор.
Состояние в квантовой механике определяется указание^
конкретных значений всех величин, образующих полный набор
(Более общий способ задания состояния рассмотрен далее.)
Все остальные величины, не измеримые совместно с полным
набором, не имеют в данном состоянии определенных значений
Среди величин, от которых зависит распределение вероятностей
фигурирует также время. В данном разделе изменение во ври
мени, т. е. динамика, не рассматривается, и поэтому мы поло
жим /=0. Наиболее простой случай — состояние, характери
зуемое всего одной величиной: р.
Будем сначала рассматривать случай дискретного спектра
2	. АМПЛИТУДА ВЕРОЯТНОСТИ
Амплитуда вероятности обозначается по Дираку (3J чер.
<лв|р*>. Здесь рл называется индексом состояния, кп -
индексом представления. Квадрат абсолютной величины амплп
туды: | < Хл|рй > |2 есть вероятность того, что Л=ЛЛ в состоя
нии, в котором с достоверностью	Поскольку вероятное!
достоверного события считается равной единице, то
2|<МНа>12=1-	(2J
п
При данных Л„ и р* амплитуда представляет собой число, вс
обще говоря, комплексное. Совокупность <Хл|рл> ПРИ вс
Хл и данном pft образует волновую функцию состояния рА
Л-пре,оставлении.
Амплитуды определяются в результате решения задач Н
собственные значения, о которых мы уже упоминали в гл.
Эти задачи будут рассмотрены в гл. 3. Здесь же мы установи'
общие свойства амплитуд, не используя явно уравнений, кот
рым они удовлетворяют.
Можно рассматривать распределение по Л, не конкретиз^
руя явно условий, в которых оно реализуется, т. е просто з
дать некоторый набор чисел <Х,|а>, <А2|а>, ... (произвол
ную волновую функцию), подчиняющийся лишь условию нор
мировки 2л| <Хл |а> |2=1 (а — некоторое состояние).
Отметим два очевидных следствия, вытекающих из опреде-
ления амплитуды:
<МЛл>— О при
<\Рч> —1
(с точностью до произвольного фазового множителя е1<? , кото-
рый мы отбросим). Эти два соотношения можно объединить в
одно:
<\P*>=V	(2.2)
з	, ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
Одним из основных положений квантовой механики являет-
ся принцип суперпозиции, выражающийся соотношением
<Ч«> = 2 <Ш> <Рл1«>-	(2-3)
%
(Это соотношение можно было бы назвать законом компози-
ции амплитуд.) Согласно (2.3) амплитуда вероятности <Az|a>
выражается в виде линейной суперпозиции амплитуд <Х,- |р„ >
со всевозможными значениями у,„.
Соотношение (2.3) допускает и другую трактовку: оно свя-
зывает распределение по А, в состоянии а с распределением по ц
в гом же состоянии а. Другими словами, (2.3) представляет
собой преобразование от ^-представления, выражаемого амп-
литудами <!^01л>, к ^-представлению, выражаемому <А(|а>.
Собственные функции <'-/|!*„> осуществляют это преобразо-
вание.
4	ВЗАИМНОСТЬ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
Соотношение (2.3) совместно с формулами (2.1), (2.2) поз
воляет вывести два важных свойства амплитуд.
1)	Положим в (2.3) а=*А,(. Учитывая (2.2), имеем
1= 5 <\|р„> <РлР-|>-
но согласно условию нормировки

Сравнивая оба эти соотношения, имеем
2 <\|Рл> <РлР*> = 2 <РлР1>* <РпР/>-
%	*л
^скольку обе суммы равны для всех А, (т. е. для А,ь А^,...), то
°лЖны быть равны и слагаемые по отдельности, откуда
<!\Р/> = <Ш>‘-	(2-4)
Это — соотношение взаимности. Из него следует, что
|<bJ'7>|2=l<4ft> I2,
т. е. распределение по ц при данном X совпадает с распределе-
нием по 7 при данном р.
Соотношение (2.4) можно обобщить, написав вместо р„
произвольное а:
<a|).t> = <\.|a>*.	(2.5)
Это соотношение определяет смысл символа <а|Х(>.
2)	Положим в (2.3) а=ХА, причем i^k. Учитывая (2.2),
получим
<HrtRft>=0.
Принимая во внимание (2.4), имеем
'‘п
Переобозначив в последнем равенстве X и р, имеем
2	<x„|pft>=0.	(2.7)
Соотношения (2.6) и (2.7) выражают свойства ортогональности
амплитуд <X/||ift>. Эти соотношения можно объединить с
соотношениями нормировки:
2 <Uh>*<Mh>=k	(2.8)
лл
2	(2-9)
Свойства (2.8) и (2.9) необходимы, чтобы согласовать принцип
суперпозиции (2.3) с элементарными свойствами амплитуд, вы-
текающими из определения, т. е. с (2.2). (Поскольку амплиту-
ды вычисляются из уравнений на собственные значения, необ-
ходимо убедиться, что решения их действительно ортогональны
в смысле (2.6) и (2.7). Как будет показано в гл. 3, собственные
функции операторов, имеющих только вещественные собствен-
ные значения, — а такими должны быть физические величи-
ны — обладают требуемой ортогональностью.) Общие свойства
амплитуд <\|ря> можно представить в другой форме, ис-
ходя из того, что они осуществляют переход от ц к А-представ-
лению.
Совокупность амплитуд <Хг|рл> образует матрицу (U),
так что <Х||р„> = Uin. Если в матрице U поменять строки на
столбцы и перейти к комплексно-сопряженным величинам, то
получится эрмитово-сопряженная матрица U+:
16
Uin — Uni —	> *
Далее, обратное преобразование от X-
осушествляется матрицей U-1 , элементы
== <Р-|хя>- Соотношение взаимности (2.4)
и-*=и+.
к р-представлению
которой (t7-1),.„ =
означает, что
(2.10)
Соотношение (2.10) можно переписать в виде U+ U — 1, что
эквивалентно условию (2.8). Матрицы, обладающие свойством
(2.Ю), называются унитарными. Таким образом, мы приходим
к заключению, что амплитуды <Х;|рл> образуют унитарную
матрицу.
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Рассмотрим абстрактное бесконечномерное пространство, в
котором определена система ортов — базисных комплексных
векторов еь е2,..., удовлетворяющих соотношению
e*eft=(e„ eft)=8Zft.	(2.11)
Произвольный вектор а представляется в виде
а = 2,- efaf	(2-12)
F Составляющие аг=е’а = (е., а).
Перейдем к новой системе базисных векторов ej.ej,..., удов
летворяющих соотношению, аналогичному (2.11): e/’e* s
^(е;, e;) = 8/ft. Разложение а по системе ej, е^,... имеет вид
а= 2- еА-	(2.13)
Приравнивая (2.12) и (2.13), получаем закон преобразования
составляющих
<= Uklan	(2.14)
где иы = (е^, е,). Преобразование, обратное (2.14), есть
ак— 2; (U~')kta.. Матрица обратного преобразования (.U^)ki=
~ (е*. е,-)- Сравнивая выражения Uki и (П'1)^- , находим,
что U-1 = U+, т. е. матрица U унитарна. Проекции и а'
можно рассматривать, как геометрическую интерпретацию ам-
плитуд <Хг|а> и Oja>, а соотношение (2.14) — как гео-
метрическую интерпретацию (2.3).
6 ВЕКТОР состояния
В духе изложенной геометрической интерпретации П. Дирак
предложил рассматривать <Х/|р-„> как скалярное произведе-
ние вектора |р„> (так называемого вектора состояния) на орт
<\|. Разделив слово bracket (скобка — англ.) на две части,
П. Дирак образовал термины <Х| — бра и |р> — кет. Соот-
2- 3»к. 1859
[' НАУЧНО ТЕХНИЧЕСКАЯ;
I БИБЛИОТЕКА-1 I
17
ношение взаимности <л,|;-*я> = <ряРч>* трактуется как
сопряженность (дуальность) векторов бра и кет: <М “ Рт>+-
Условие <Х,|л|.>= 1 фиксирует норму векторов бра и кет.
Все общие соотношения квантовой механики можно записи
вать в компактном виде, если пользоваться символом вектора
состояния, не конкретизируя представление. При этом соотно-
шения имеют символический характер, подобно соотношениям
для векторных величин в векторной алгебре и векторном ана
лизе. Конкретное содержание соотношений выявляется при ис-
пользовании определенного представления.
К векторам бра и кет в полной мере применимо замечание
Е. Вигнера, что о глубине идеи, заложенной в формулировке
нового математического понятия, можно судить лишь впослед-
ствии по тому, насколько искусно удается использовать это
понятие.
7. ОПЕРАТОР ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Оператор проектирования на некоторое состояние пред
ставляет собой следующую конструкцию нз векторов бра и кет:
^л=к„> Оя|-
(2.15)
Его действие на (а> определяется соотношением PpJa> =
— |рп> <|ля|а>, т. е. оно превращает |а> в |ря> и умно-
жает на амплитуду вероятности Оя|а>. Аналогично
<а|РИл= <а|р„> Оя| = <РЯ|«>* <РЯ|.
Основное свойство оператора РИп состоит в том, что Р* —
— Ру. . Это следует непосредственно из определения (2.15):
^п=%п> <Р'л11хл> <^1- Но так как <p„h„> = b то
^п~ I I =
Операторы проектирования удовлетворяют соотношению,
называемому формулой Дирака:
2Ж> <Рл1=1-	(2-16)
С помощью этой формулы, умножая слева на <л( |, а справа
на |а> или рА>, получим принцип суперпозиции (2.3) или
соотношение ортогональности и нормировки (2.8), так что фор-
мула Дирака полностью им эквивалентна и выражает эти со
отношения в наиболее сжатом и общем виде.
8. СПЛОШНОЙ СПЕКТР
Рассмотрим случай, когда индекс представления относите!
к сплошному спектру, а индекс состояния — по-прежнему
дискретному: например, <£| ;-*„> Такая амплитуда являете
18
функцией непрерывной переменной £ — волновой функцией со-
стояния р„ в ^-представлении. Значение | <£|р-„> |2 при дан-
ном р„ трактуется как плотность вероятности, так что выраже-
ние dW =| < с| > |2*Д означает вероятность в состоянии
обнаружить величину g в интервале между g и g+d t..
Условия ортонормировки имеют вид
У ds<£|p„>* <e|p*>=sn*.	(2-17)
(Здесь и далее знак интеграла без указания пределов означает
интегрирование по всей области изменения переменной.)
Обратимся теперь к случаю сплошного спектра индекса со-
стояния р. Принцип суперпозиции /2.3) принимает вид
<Е|а>= С <?|р> <p|a>dp.	(2.18)
Рассмотрим вопрос о нормировке волновых функций сплош-
ного спектра. Пользуясь соотношением (2.18), можно получить
<£]«„>= J d^'<5|p.>x
X<E|l*/>*<p/lat>*<l1|an>-	(2.19)
Интегрируя его по £ и учитывая соотношение ортонормировки
(2.17), в котором заменено ак, получим
8*„= f dp-d'/ <Иал>*<111ал> X
X fd;<E|p> <?|р'>*.	(2.20)
Но в ^-представлении, как и в ^-представлении, должно быть
У dp.<|x|aft>*<p.|a„>=8An.
Соотношение (2.20) приводится к такому виду, если положить
f <5|Н> <Е|н'>*^=8(|л-И'),	(2.21)
где 6 — дельта-функция Дирака, обладающая свойствами
6(x)=s0 при х=/=0, б(х) = оо при х=0, У 6(x)dx=l. (Теория
б-функции изложена, например, в книге [8].)
Аналогичный результат получился бы и в том случае, если
в качестве индекса представления была бы взята величина, от-
носящаяся к дискретному спектру:
S <Ми> <Мр/>*==8(!л—Н')-	(2.22)
Ввиду расходимости нормировочного интеграла (2.21) или
суммы (2.22) невозможно отождествить |<£|р>|2 с плотно-
стью вероятности или | <'*|р-> I2 с вероятностью. Но можно
считать, что отношение |	| р> I2/1 I Iх> I2 или I <'•« I Н> I2/
/|<'*|р>|2 выражает относительную вероятность.
2*
19
Итак, в наиболее сжатой формулировке модификация для
сплошного спектра сводится к тому, что:
а)	суммы по дискретной переменной заменяются интегра
лами по непрерывной: в частности, формула Дирака записыва-
ется в виде
I |р> <p|dp-=l;
б)	Ьтп заменяется Л-функпией от соответствующих непре-
рывных переменных.
Если спектр р состоит из дискретной и сплошной частей, то
формула Дирака приобретает вид
2 |р*> <Р*1 + Г cfp-1 Р-> <р| =1.
Мы рассмотрели простейший случай, когда в качестве ин
декса состояния и индекса представления фигурировала одна
величина, относящаяся к дискретному или сплошному спектру.
Однако возможны такие случаи, когда для полной характери-
стики состояния необходимо указать значения нескольких вели-
чин. Равным образом и представление может характеризовать-
ся несколькими величинами. Например, в координатном пред-
ставлении амплитуда зависит от трех декартовых координат
частицы х, у, z, а если рассматривается система частиц — то
от координат всех частиц. Тогда в качестве индексов состоя-
ния и индексов представления будет фигурировать несколько
величин, и мы будем иметь дело с амплитудами вида
<х, у, z ...\рп \т Обобщением формулы Дирака (2.16)
на этот случай является соотношение
S IlV’rn ...> <у.пчт ...|=1.
*n’m
Если какая-либо из величин v, р относится к сплошному спект-
ру, то по ней проводится интегрирование вместо суммирования.
Глава 3
ОПЕРАТОРЫ
1.	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В рассмотренном абстрактном пространстве можно опреде-
лить линейный оператор М, превращающий вектор а в вектор
Ма, составляющие которого линейно выражаются через состав-
ляющие а: (Ма),= £*М|Ла*.
20
Аналогично в квантовой механике действие линейного опе-
ратора М. на вектор состояния |а>, символически обозначае-
мое через М|а>, определяется соотношением
<Х(|М|а> = 2 |гХЛ>	(3.1)
Соотношение (3.1) выражает результат действия оператора М
на вектор |а^ в ^-представлении, т. е. <\|М|а>, через
амплитуды <\|а>. Числа <\|Mpfc> образуют матрицу,
изображающую оператор М в Х-представленип. То, что это
именно матрица, подчиняющаяся матричному закону умноже-
ния, следует из (2.16):
<X,|MN|Xft>= 2 <Xf|M|Xm>	(3.2)
^fn
Эрмитово-сопряженным оператором М+ будем называть такой
оператор, которому соответствует эрмитово-сопряженная мат-
рица, т. е.
km|M+|X„> = <A„|M|Am>*.	(3.3)
В символической форме эрмитово-сопряженное от выражения
М|а> есть <а|М+ (причем оператор М+ считается дейст-
вующим налево). Соотношение, аналогичное (3.1), для М+
имеет вид
<а.|М+|/.г>= 2 <а\/к> <ММ+Р-г>.
Учитывая (3.3), получаем <а|М+|Х/> = </7|М|а>.
Выведем важное в дальнейшем соотношение для (MNi+:
|(mnj+| \> = <х. । (MN) | /.„> *=
= 2 <4|M|/.m>*<km|N|Z„>*=
= 2 <АЛ | N+1	<cm |М+1 /..> = </.„ I N+M+1.
T. e. (MN)+=N+M+.
Для сплошного спектра вместо (3.1) имеем
<5|М|а> = J <5|M|S' > < £'| a>d5',	(3.4)
так что М является интегральным оператором; <Е|М|£'> на-
зывается ядром оператора. (В литературе применяется также
обозначение М(£,£') для ядра.)
Можно считать ядро <Е|М|£'> обобщением понятия мат-
рицы оператора на случай сплошного спектра. Полагая в
(3.4) М=1, имеем <5|а> = Г 8(5 — 5') < V| a	, так что
21
d-функцию можно трактовать как ядро единичного интеграль-
ного оператора.
В дальнейшем нам придется иметь дело с такими операто-
рами, для которых
<'|М|а>=М<£| а>.	(3.5)
Здесь М — оператор, действующий на <£|а> (например
дифференцирование по g, умножение на некоторую функцию
л
от £ и т. д.). Запишем М<5|а> в виде
М<с|а>=М f 8G -
Если поменять местами знак интегрирования по % и символ
оператора М, действующего на переменную g, то получим
M<S|a> = J МВ(£-Г)<Ил>^'-	(3-6)
Отсюда следует, что оператор, действующий по правилу (3.5),
можно рассматривать как интегральный с ядром
<ЧМ|5'>=М8(е-£').	(3.7)
Мы будем в дальнейшем понимать операторное произведе-
ние M6(g—£') в смысле равенства (3.6).
2.	САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Оператор называется самосопряженным, если
или (что то же самое)
<ХЛ|М| ).,>*= <Х/|М|л>>.
Заметим, что для произвольных <а| и \Ь > соотношение
между <а|М|Ь~> и <6|М|а>* зависит не только от при-
роды оператора М, но и от характера состояний |а> и |£>,
так что свойство самосопряженности оператора должно фор
аудироваться для определенного класса функций, на которые
он действует.
3.	СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Задача на собственные значения линейного оператора М в
символической записи имеет вид
М |и. >	| ti>,	(3.8)
22
рассмотрим конкретные формы этого соотношения в раз-
личных представлениях.
1)	Индекс представления относится к дискретному спектру:
2 <Х„|М|л*> <Х*|р>	>л|р>-	(3.9)
>ь
2)	Индекс представления относится к сплошному спектру;
J <?|М|?/> <V|p>d£'=р<£|р>-	(3.10)
л
Если ядро <? | М| £'> имеет вид (3.7), то М<с|р>—р<?|р>.
Для случая дискретного спектра из (3.9) следует, что в
своем собственном представлении матрица оператора И диаго-
нальна, причем по диагонали стоят собственные значения:
<Р„ | М | pfc>	(3.11)
Аналогично имеем для случая сплошного спектра:
<р,|М|р'>=р8(и,—р').
Отождествляя собственные значения операторов физических
величин с наблюдаемыми на опыте значениями, мы должны
потребовать, чтобы собственные значения были вещественны-
ми. Это требование будет выполнено, если оператор является
самосопряженным, так как у эрмитовой матрицы диагональные
матричные элементы вещественны.
Покажем теперь, что собственные функции самосопряжен-
ных операторов, отвечающие разным собственным значениям,
ортогональны.
Рассмотрим, например, уравнение (3.10).
Напишем аналогичное уравнение для другого собственного
значения ц' и перейдем в нем к комплексно-сопряженным ве-
личинам:
J <? | М |	*<Г| р'> *d?'=p'<; К>*.
(3.12)
Умножая (3.10) на <;|р'>*, (3.12) на <В|р>, вычитая
и интегрируя по ij, получим после простых преобразований
f	<Е'|М|е>| <Е|р> <Е|р,>
= (р' — (X) J <*||1>

Для самосопряженных операторов левая часть равна нулю.
Отсюда следует, что при J <£|р> < 51р' > *dg=O. Что
касается нормировки, то для дискретного спектра интеграл
J^|<s|p„>|2 имеет конечное значение и может быть без
ограничения общности сделан равным единице. Это согласуется
с условием нормировки для волновых функций дискретного
спектра (2.17). Для сплошного спектра в гл. 1 было сформули-
ровано условие нормировки
23
li-e
Меняя местами порядок интегрирования по g и |х, можно убе
диться, что нормировка амплитуд <£|р> на 6(ц—р'), при
пятая в гл. 2 (см. (2.21)), согласуется с этим условием.
Итак, соотношения ортогональности и нормировки амплц
туд, вытекающие из того условия, что амплитуды являются
собственными функциями линейных самосопряженных операт
ров, оказываются теми же, которые были сформулированы
гл. 2, исходя из соображений, использующих принцип суперпо
зиции.
Соотношения (2.3) или (2.18), выражающие этот принцип
представляют собой фактически разложение произвольной вол
новой функции в ряд или интеграл по системе собственны?
функций линейного самосопряженного оператора, которая пред-
полагается полной.
Приведем полезное символическое соотношение, которое
вытекает из (3.8): для дискретного спектра М — У,|р-л>р-л<рп|:
г
для сплошного М = | сф.|р.> у. <р|; для спектра, состоящего
из дискретной и сплошной частей, нужно написать сумму по
дискретной части и интеграл по сплошной.
4.	УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Согласно изложенному в гл. 2 амплитуды вероятности
образуют унитарную матрицу U, осуществляющую
переход от у- к ^-представлению .
Посмотрим, как преобразуются матричные элементы опера-
торов при переходе от у- к 1-представлению. Используя (2.16),
получаем
<Z?|F|Xm> = 5 <Л|Р*> <P*r,F|P7> <Р/|>т>. (3.13)
Wl
Заметим, что отсюда вытекает инвариантность следа мат-
рицы при преобразовании. Полагая 1=т и суммируя по Хт-
получаем
2	2 <pft|F|pft>.
т	v'k
Обозначим через F матрицу оператора в p-представлении, а
через F' — матрицу того же оператора в ^-представлении. Тог-
да (3.13) можно записать в виде
F'-UFir’.	(3.14)
Для случая сплошного спектра (3.14) принимает вид
24
<xjF|Xm>= f <Mi*> <f|F|p'> <p'|xm>dMp'.
Если <p|F|p'> = W~p), то
<X{|F|Xm>= f <Xl||*>F<p.Rm>tZp.= f <р|Х,>*Р<р|лт>ф.
Рассмотрим теперь преобразование, состоящее в том, что
вектор состояния |а> превращается в вектор | а'> с по-
мощью некоторого линейного оператора D:
|a'>=D|a>.	(3-15)
Соотношение, сопряженное (3.15), есть
<a'|=<a|D+.	(3-16)
Поскольку <а'\а’> должно равняться <а|а>, то
D+D=DD+=1,	(3.17)
т. е. D является унитарным оператором. Из соотношений (3.16)
и (3.17) следует, что
<a'|D-=<a|.	(3.18)
Итак, оператор D преобразует кет |а> в |а'> и бра
<а'| — в <«|. К таким преобразованиям относятся, в част-
ности, сдвиг и поворот системы координат, рассматриваемые
подробно далее.
Рассмотрим действие какого-либо оператора F на вектор со-
стояния |а>. При преобразовании (3.15) F|a> переходит в
DF|a>. Определим преобразованный оператор F' соотноше-
нием DF|a> = F'D|a>. Переписывая его в виде DFD-1D|«> =
= F'D | а>, находим
F'^DFD-1.	(3-19)
Отметим аналогию (3.19) и (3.14).
Перечислим свойства операторов, инвариантные относитель-
но унитарных преобразований любой природы (т. е. выражаю-
щихся соотношениями (3.14) или (3.19): 1) спектр собствен-
ных значений; 2) свойство самосопряженности; 3) любое ал-
гебраическое соотношение между операторами.
5- СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ.
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ.
ЧИСТЫЕ И СМЕШАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Рассмотрим выражение <a|M|fl>. Пользуясь (3.11),
имеем
<а|М|а> = 5 <р„|а>*<р„|а>р„.
•‘п
25
Правая часть этого выражения по определению есть среднее
значение М в состоянии а. Выразим это среднее значение в
некотором ^-представлении:
<а|М|а> =5 <\nk>*Om|М|кп> <лп|а>.
(Обратим внимание на то, что здесь фигурируют все элементы
матрицы <\п|М1'-л>> а не только диагональные.) Введем
матрицу плотности р- состояния а:
<ХЯ|р|Хт>=<Х«И> <Хт !«>*=<>„ |а>	(3.20)
Как видно из правой части этого выражения, матрица плотно-
сти <'-я|Ррт> состояния а есть по существу матричный
элемент оператора проектирования |а> <а| в Х-представле-
нии. С помощью матрицы плотности среднее значение может
быть записано в компактной форме:
<a|M|a> = sp(pM).	(3.21)
Оператор	р	обладает следующими свойствами,	вытекаю-
щими из определения (3.20):
р=р+; р2=р; sp р=1.	(3.22)
Эти формулы получены в предположении, что	существуют амп-
литуды <Х„|а>, т. е. волновая функция состояния а. Для
изолированного объекта (частицы) такое предположение впол-
не оправдано. Но если рассматриваемый объект взаимодейст-
вует с некоторой системой, то состояние а может и не обладать
определенной волновой функцией. Параметры этого состояния
могут быть подвержены неконтролируемым флуктуациям, по
которым следует усреднить, т. е. определить матрицу плотно-
сти выражением
<п|р|т> = <л|а> <т|а>*.	(3-23)
Определенная таким образом матрица р по-прежнему обладает
свойствами р=р+ и spp=l, но р2=/=р. Принято называть такое
состояние смешанным в отличие от чистого состояния, когда
р2=р. Очевидно, что при усреднении (3.23) теряется часть ин-
формации, так что в смешанном состоянии мы имеем неполную
информацию о системе. Если невозможно провести усреднение
(3.23) в явном виде, то невозможно и вычислить матрицу
плотности, но можно определить ее параметры эмпирически.
Нужно измерить средние значения надлежащего числа физиче-
ских величин и употребить (3.21) для того, чтобы выразить
параметры р через измеренные средние. Тогда для остальных
величин (3.21) можно использовать уже как средство вычисле-
ния средних.
Другой случай, когда р2¥=л, возникает при наличии несколь-
ких индексов представления.
26
рассмотрим амплитуду <лп, u.*|tz >. Если мы хотим вычис-
нть среднее значение некоторого оператора, действующего на
величину Хя безотносительно к конкретным значениям
т0 роль матрицы плотности в формуле (3.21) будет играть вы-
ражение
</г|р|дг> = 5 <хп. <хт, Нл|«>-	(3.24)
Непосредственное вычисление показывает, что при этом q2^=q.
Рассмотрим случай, обычно встречающийся в приложениях:
матрицу плотности конечного ранга, и определим число неза-
висимых вещественных параметров.
а)	Чистое состояние. Имеется N амплитуд <\,|а>, т. е.
2N вещественных чисел. Отбрасывая несущественную общую
фазу, получаем 2Л'—1 вещественных чисел. Условие нормиров-
ки уменьшает число параметров до 2Л’—2.
б)	Смешанное состояние. Матрица NXN имеет 2№ вещест-
венных параметров. Условие эрмитовости р* =р уменьшает это
число до N2, а условие нормировки — до N2—1.
Итак, имеем для чистого состояния 2N—2 веществен-
ных параметров, для смешанного N2—1. Разность N2—1—
—2(W—1)=(М—1)2>0. Удобно выразить матрицу р через еди-
ничную матриц}7 и систему №—1 ортогональных матриц V, с
пулевым следом:
spV;=O, sp(V+V*)=7V8;*.	(3.25)
Тогда р = Л'~1(1 +2'C/V,). Коэффициенты С, могут быть вы-
ражены через средние V + . Умножив р на V(+, взяв след и
пользуясь (3.21), получим
V^ = sp(vrp)=c/,	(3.26)
так что р=М~1 (1 + у, V±VZ). В гл. 5 мы рассмотрим один
из вариантов такой параметризации.
6.	КОММУТАТИВНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ
И СОВМЕСТНАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Операторы L и М называются коммутативными, если их
последовательное действие на произвольный вектор состояния
не зависит от порядка действия, т. е.
LM|a>=ML|a>	(3.27)
или (LM—ML)|a>=0.	(3.28)
Соотношение (3.28) можно символически записать в виде ра-
венства нулю коммутатора LM — ML — 0. Если (3.28) выпол-
27
няется, то L и М имеют общую систему собственных векторов
Пусть ЦХ>=Х|Х>. Действуем коммутатором LM—ML
на |1>:
(LM—ML)|X>=(LM—ХМ)|Х>=0,
откуда	LM | Х> =ХМ | Х> ,	(3.29)
т. е. М|Х> является собственным вектором L с тем же собст-
венным значением X. Если собственному значению X отвечает
один собственный вектор, то
M|X>=const|X>.	(3.30)
По определению const=p, так что |Х> является одновре-
менно собственным вектором М и его следует обозначать сим-
волом | X, [х >. Допустим теперь, что одному собственному
значению X, отвечает несколько собственных векторов |Х>(.
Тогда из соотношения LM |Х>/ = ХМ|Х>; аналогично (3.29),
вообще говоря, следует вместо (3.30)
м|х>/= 2* с/й|х>*.	(3.31)
Но можно без ограничения общности выбрать такую линейную
комбинацию векторов |Х>г, для которой матрица Ctk диаго-
нальна, и тогда соотношение (3.31) сводится к предыдущему.
Итак, можно утверждать, что из коммутативности операторов
следует совместная измеримость соответствующих физических
величин.
Если же операторы не коммутируют, то, вообще говоря, со-
ответствующие физические величины не измеримы совместно.
Принято обозначать LM — ML = [LM].
7.	АЛГЕБРА КОММУТАТОРОВ.
СВЯЗЬ СО СКОБКАМИ ПУАССОНА
Пусть А, В, С — три линейных оператора, вообще говоря,
не коммутирующих друг с другом. Имеют место следующие со-
отношения:
[АВ]= - [ВА];
[АВ, С)=А[ВС]+[АС]В;
[А+В,С]=[АС] + [ВС];
[А[ВС]]+[С[АВ]] + [В[СА]]=О.
Аналогичными свойствами обладают классические скобки
Пуассона:
pi,. V / МдВ дБ дА \
1 ’ °' ~ Zi \dpk dqk дРк d4J •
28
Полнимая во внимание, что г[АВ] — эрмитов оператор (при
Условии, что А и В эрмитовы), т. е. (i[AB])+=<АВ], положим,
следуя П. Дираку: [А,В] -► const t [АВ], где -> означает соот-
ветствие. Для согласования с опытом нужно положить const=
= Тогда
[АВ]-> -ih{A, В}.	(3.32)
Если скобка Пуассона есть число (например, {рх, х| = 1), то
соответствие сводится к буквальному равенству: [АВ]=
__ —/й( А, В). Если же скобка Пуассона двух величин А и В
равна некоторой третьей величине С, так что(АВ) — С, то со-
ответствие [А, В] и —состоит в замене классической
величины С оператором: [АВ]=—VhC.
Соотношение (3.32) служит руководящим принципом для
определения операторов физических величин, и оно же обеспе-
чивает переход в классическую механику в области ее приме-
нимости.
Глава 4
ИМПУЛЬС
I. ОПЕРАТОР ИМПУЛЬСА
В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Классические скобки Пуассона имеют вид{рх, х) = 1. Сле-
довательно, на основании (3.32)
хрх—рлх=тй.	(4.1)
Пока мы не фиксируем конкретного представления, форму-
ла (4.1) имеет смысл символического соотношения между опе-
раторами координаты и проекции импульса. Рассмотрим (4.1)
в координатном представлении.
Из (4.1) вытекает следующее соотношение для матричных
элементов:
<x|xpx—pAx|x'> =ih<x\x'>
или f (<х| х |х"> <х" | px|х'> —
— <х | рх | х"> <х" | х | х'> )dx—lt$(x—x').
Учитывая, что <х\ х \х">=хЦх—х") и <х"|х |х'> —х'(>(х"—
~х'), имеем
(х—х') <_х | рх | х'> =ihtyx—x'),	(4.2)
откуда следует, что матричный элемент <х\рх\х'> должен
иметь вид
29
<х|рж|л:,>=рж8(л:—%')•	(4.3)
л
Подставив (4.3) в (4.2) и учитывая, что рх коммутирует с х'
(но не коммутирует с х), можно получить соотношение
Л А	Л
(хрА —	•И+РжС*— х')Ч*—x')=itlb(x—х').
Умножив на произвольную функцию <х'\а> и интегрируя
Л Л
по х', находим (хрА—рЛх) <х|а> =/й<х|а>, откуда вы-
текает операторное соотношение
л л
Хрх—pxx=ih	(4.4)
— реализация общего соотношения (4.1) в координатном пред-
ставлении.
Перестановочному соотношению (4.4) удовлетворяет выра-
жение
рЛ= —th д/дх.	(4.5)
Заметим, что для любой степени оператора р" справедливо
выражение вида (4.3):
<х|р£|х'>=р;8(х— х').	(4.6)
Действительно, по аналогии с классическими скобками Пуассо-
на имеет место перестановочное соотношение [х, pj] = in^p"-1 •
В координатном представлении получаем
(х—х')<х | р” | х'> —inh<x | р"-11 х'>.
Подставив сюда (4.6) и повторяя приведенные выкладки, по-
лучаем перестановочное соотношение
[х,	рГ1,
которое оправдывает выражение (4.6).
Л Л
Для проекций импульсов рЛ, и рг можно получить выраже-
ния, аналогичные (4.5):
Л . д л	д
ру=	~ Й ~дг ’
л
так что р = —/Тгу •
30
2 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Собственная функция рл удовлетворяет уравнению
Ра <Х I рх> =рх <х I рх>	(4.7)
или -1Ъ ^<х\рх>=рх<х\рх>.
Решение (4.7), нормированное па Ь(рх—р'х ), есть
<х|рх>=(2кй)-’ 2ехр
Спектр рх сплошной.
Собственная функция оператора р
<г|р>=<л|рг> <у|Ру> <z|pz>=(2nfi)-3«exp(z^).
Она нормирована согласно соотношению
J <г I Р> *<г I р'>4/г=8(/?х—рх^{ру-р'у)4рг—Рг) =8(Р-р')-
В соответствии с общей теорией <г|р> осуществляет пе-
реход от г- к р-представлению и обратно. Этот переход факти-
чески есть фурье-преобразование. Наряду с функциями<г| р>
часто используются функции <r|k> = (2л )~3'2 exp(Zkr), нор-
мированные по условию
J <г|к> <r|k/>*dr—8(к—к').
Применяются также функции <r|E, v>, где Е=р2/(2т) =
==Й2/г2/(2ти), a v— есть единичный вектор к. Они нормированы
по условию
f <r|E, v> <г|£', v'>*dr=8(E—Е')8(*—
Чтобы установить соотношение между <г|к> и <r|£, v> ,
заметим, что
J б(к—k')dk'= f 8(k-k')A'2d/j'd2= f 8(k-k')k'2 dE'dQ.
Следовательно,
A2g8(k-k')=8(E-£')8(v-/),
<r|E, »>= ]A3^<r|k>.
В дальнейшем мы будем иногда вместо сплошного спектра
импульса рассматривать дискретный, состоящий из близко ле-
жащих уровней, чтобы иметь дело со счетным множеством ве-
31
личин. Такой спектр можно получить, если рассматривать час-
тицу в ограниченной области пространства, например внутри
куба со стороной L: 0<х^£,	0<z<L, причем L до-
статочно велико в соответствующем масштабе. При больших
значениях L спектр очень слабо зависит от конкретного вида
граничных условий. Поэтому мы выберем такие условия, при
которых задача имеет простейшее решение. Потребуем, чтобы
волновая функция принимала одинаковые значения на проти-
воположных гранях куба. Тогда возможные значения проекций
импульса рх, ру, рг будут
равны
Ру= ~Гп:
2nh
Рг=-Г^.
Здесь пх, пу, nz — целые числа («Л.у,г=0, ±1, ±2,...). Собст-
венные функции дискретного спектра, нормированные на 6р.р-.
имеют вид
<г [ р> =£-з/2 exp (i .
Принимая во внимание соотношение
~(2^)3~2"J ехр[4-Р(г-г')рР= f <r|P> <P|r'>dp=8(r-r')
для сплошного спектра и
77 2 eXp[vP(r2 <Г|Р> <Plr'>=s(r~ г')
р	р
— для дискретного, можно сформулировать правило перехода
от суммирования по дискретному спектру к интегрированию ио
сплошному:
2-—* cwpp -
р
Заметим, что величина Lzdpl(2пЪ. )3 представляет собой число
dn состояний импульса в интервале между р и p+dp. Действи-
тельно, с учетом значений проекций импульса
dn=dnxdnvdnz=^^dpxdpydpz.
Длина L является вспомогательной величиной, которая не
должна фигурировать ни в каких окончательных физических
результатах. Поэтому для упрощения формул мы будем счи-
тать £=1.
Импульс является аддитивной величиной, т. е. для системы
частиц полный импульс равен р= ^(рр
Рассмотрим вопрос о собственной функции оператора им-
пульса системы невзаимодействующих частиц, например двух.
Она имеет вид
32
< Г), г2|р„ Р2 > = (2кй)-8 ехр [у (р1Г1 + р2г2)],
е представляет собой плоскую волну в шестимерном прост-
ранстве, образованном координатами обеих частиц х>, t/b Z\ и
Р z2. (Отметим, что такой вид <гь г2| рь р2> совершенно
не соответствует интерпретации «волновых свойств» частиц в
духе классической физики, при которой следовало бы скорее
( жидать для двух частиц двух волн в трехмерном простран-
стве.)
3. ОПЕРАТОР СДВИГА
Пусть начало координат сдвигается вдоль оси х на величи-
ну Хо- Тогда преобразованные координаты равны
Х=х —х0.	(4.8)
Этому преобразованию соответствует унитарный оператор D.
Согласно (3.19) X=DxD~*. Из этого соотношения можно вы-
вести явное выражение D. Поскольку D — унитарный оператор,
то его можно представить в виде e/s, где s — эрмитов опера-
тор, зависящий от х0. Эту зависимость можно уточнить, если
потребовать, чтобы последовательное применение операции
сдвига на х0 и Xi было бы равносильно сдвигу на х0+Х[. Оче-
видно, что s должно быть пропорционально Хо, т. е. s=dx0. Та-
ким образом, Z)=exp (idx0). Чтобы установить вид оператора d,
учтем, что согласно (4.8) (д/дх0)Х=—1. С другой стороны,
дХ dD _ . „ dD'1 ...	,,
лгг=йГ0 xD +Dx =4dx-xd).
Следовательно, xd—dx= —i. Сравнивая это соотношение с
(4.1), находим d=—Й_1рЛ. Окончательно имеем
D=exp(-i^).	(4-9)
Рассмотрим действие (4.9) на |х>. Поскольку в импульс-
ном представлении оператор рЛ можно заменить собственным
значением, то
D|x>= J П|рЛ> <px\x>dpx=
= 3SF f «р (~tC!r W ~гт9 -
.	= У \рх> <рА|х+хо>#Л=|х+х0>.	(4.10)
Аналогично
<x+x0|D= f <х+х0|рЛ> <рх | Ырх= X
Х ехР[4г]ехР (—<Px\dpx=<x\. (4.11)
3- Зак. 1859	33
Это полностью соответствует формулам (3.15) и (3.18).
Из выражений (4.10) и (4.11) следует, что <x'|D|x>4
= д(х'—х—х0). Матричный элемент <х' |D|x> можно пред
ставить в другой форме, исходя из выражения (4.9). Разлагд
операторную экспоненту в ряд по степеням Хо и пользуясь фор"
мулой (4.6) для каждого члена ряда, получим
л
<х' |D |х> = ехр	i^у^8(х—х').
Наконец, пользуясь соотношением (3.6), учитывая (4.11)
(4.5), имеем
<х—х0|а>=ехр( —	<х\а>,
что представляет собой операторную запись в символической
форме разложения функции ф(х—х0) в ряд по степеням х0.
Обобщение (4.9) на случай трехмерного сдвига г0 очевидно
4.	СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Рассмотрим произвольное состояние <х|а> =ф(х). В этом
состоянии ни импульс, ни координата, вообще говоря, не имею,
определенных значений. В качестве меры разброса по х и р.
принято считать Дх2=(х—х)2, Др1 = (рх—рх)2. Без ограниче-
ния общности можно положить х=^0 и р,.=0, что достигается
подходящим выбором системы отсчета и скоростью ее движе-
ния.
Составим выражение
/= J	I
— со 1	е
По определению /(а)^0. Раскрывая | axty + dty/dx\2, имеем
СО	СО	со
/-a2 J x2|tp|2dx+a j	J
— OQ	— CO	— OO
Первый интеграл есть x2, последний — h~2p\. Второй интеграл
путем элементарных преобразований с учетом условия норми-
со
ровки J |ф|2 dx—\ сводится к —1. Таким образом,
— оо
ЛЛ-а + А ~р\>0.	(4.12)
Условие неотрицательности (4.12) состоит в том, что х2р2 >
-Й2/4 или V Ах2 Др* й/2. Знай равенства достигается
лишь для функции ф специального вида: ip=;constexp (—ах2/2)
34
Глава 5
УГЛОВОЙ МОМЕНТ
! ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В классической механике существует величина, называемая
моментом количества движения или моментом импульса части-
цы Это псевдовектор, составляющие которого
Lx=yPz-zpy, Ly=zpx—xpx, Lz=xpy—ypx. (5.1)
Скобки Пуассона равны
{£л, Ly\— Lz, [Lu, Lz\= Lx, [Lt, Lx]= Ly. (5.2)
Возникает вопрос, как построить соответствующие операторы в
квантовой механике? Можно исходить из выражений (5.1), за-
л
менив рх, у, z операторами рХ1 г. Но можно взять за основу
(5.2) и заменить их коммутаторами согласно общему правилу
(3.32), не используя соотношения (5.1). Оказывается, что во
втором случае результаты получаются более общими. Теория,
опирающаяся только на перестановочные соотношения (3.32),
содержит в себе как частный случай квантовый аналог (5.1)
(в котором рл, у, г заменены операторами). В этом случае
операторы (5.1) определяют так называемый орбитальный мо-
мент L. Но, кроме того, теория, основанная на перестановочных
соотношениях, описывает также собственный момент частиц
S — так называемый спин, для которого (5.1) не существует.
Мы будем пользоваться общим термином угловой момент,
включающим как орбитальный момент, так и спин, и обозна-
чать оператор углового момента любой природы (L или S или
их сумму) через J.
Обратимся к теории углового момента, основанной на пере-
становочных соотношениях. Они имеют вид [Jx JJ ~ihJ2,
Положим J = 7ij. Тогда
lJJy]=/k [JJxWL. [UWL. (5.3)
Легко проверить, что каждая из проекций углового момента jt
коммутирует с j2=sj2 +j2+j|, т. е. [j2, jz ] = 0. Введем необхо-
димые для дальнейшего эрмитово-сопряженные операторы
j±=L±flr	М)
Они удовлетворяют следующим перестановочным соотноше-
ниям:
UJ + ]=J+>	(5-5)
Кроме того, имеют место равенства
}2=JJ++J2+L, Г=М-+И-Ь-	(5.6)
з»
35
Момент подобно импульсу аддитивен, т. е. для системы «1астц
j =*
2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ-
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРОВ
Поскольку операторы различных компонент jXi J> z угловог
момента не коммутируют, то может иметь определенное значе
ние лишь одна из них, например j,. Из коммутации jz с j2 ело
дует, что одновременно определенное значение может иметь
также j2.
Таким образом, вектор состояния может быть собственным
вектором j2 и jz. Обозначая собственные значения j2 через X,
а собственные значения ]\ — через т, имеем
j21X, m>=X|X, т>, JJX, т>—т\к, т>.	(5.7)
Поскольку j2—j2 =j2 -|-j2 — оператор положительной величи-
ны, то при данном X величина т2 имеет верхнюю границу, не
превосходящую А. Обозначим верхнюю границу т через /. Уч-
тем, что поскольку оба направления оси z физически эквива-
лентны, то для каждого возможного значения т существует
также значение — т. Следовательно, нижняя граница т рав-
на —j, так что
(5-8)
Рассмотрим теперь действие j+ и j_.
Подействуем j+ на |Х, т>. Из (5.5) имеем jz]+=J+(J2+l),
так что
LJ+P-, /n>=J+(J2+l)|X, m> = (zn+l)j+|X, т>.
Отсюда вытекает, что
J+P-, m>=Cm|X, zn+l>.	(5.9)
Следовательно, j+ — повышающий оператор, увеличивающий
т на единицу. От минимального значения т~ —j до макси-
мального m—j можно добраться за 2/ шагов единичной длины.
Следовательно, 2/ — целое число.
Смысл постоянной Ст в (5.9) можно выяснить, умножив
слева на <Х, т+1 |. Получим
Cm=<X, m+l|J+P, т>,	(5.10)
т. е. Ст — матричный элемент j+ в /n-представлении. Он дол-
жен обратиться в нуль при m=j, чтобы предотвратить дальней-
ший рост т. Аналогично
J_|X, m>=C^|X, т—1>,	(5.11)
С^= <Х, т— 1|]_|Х, т>.	(5.12)
36
„ из определения операторов j+, j_ и эрмитовости
бедует j+ =ji. откуда
L> jy
(5.13)
<}., т|j_|л, /«+!>*=<+, /«4-l|j+p, т>.
Сравнивая (5.12), (5.10) и (5.13), имеем
С'=С*	(5-14)
/п+1 т	4	7
Выражая с помощью (5.4) jx и через j± и учитывая (5.9),
(511) и (5.14), получим правила действия jx и jy на | X, т>:
=	/га+1>+Ст-1Р’ ™-1>Ь /е 1гх
(5.15)
jy|/, m> = — (C;_JX, т-1>~Ст\)., /п+1».
Чтобы определить условия обращения в нуль С„, подста-
вим в (5.7) выражение (5.6), учтем (5.9), (5.11) и (5.14). По-
лучим
(1С/п|2 + /^+/п)|Х, т>=Х|>, /п>,
откуда |Ст| = JZX— (т-\-\)т . Величина Ст должна обра-
титься в нуль при m=j. Отсюда следует
Х=/(/+1),	(5.16)
I Ст I Л/+1)-/«(/«+1).	(5.17)
Соотношение (5.17) определяет абсолютную величину Ст.
Фаза же Ст остается неопределенной. Поскольку она не влияет
ни на какие физические результаты, мы положим ее равной
нулю, т. е. будем считать матричные элементы (5.13) вещест-
венными. Соотношения (5.8) и (5.16) совместно с выводом о
том, что 2 j — целое неотрицательное число, позволяют опреде-
лить собственные значения (с. зн.) J2 и р
с. зн. 32=й2/(/+1) при /=0, 1,2, ..., или	../(5.18)
с. зн. S2=hm.
При данном / т= —j, ..., /. Пользуясь (5.17), мы можем теперь
определить отличные от нуля матричные элементы ]Л и jy-
Употребляя число / вместо к, как принято, имеем
<j, tn± 11 L |7, т> =	VJ(/+1)-Mm±l),
</, /n±l|Jy|y, т> =+ —Vу(/+1)-т(щ± 1).
Матрица j г в выбранном представлении диагональна.
37
3.	ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ
Воспользуемся теперь выражениями (5.1). В координатное
представлении < г | LXi 21 г'> = Lr у, г8(г— г'), причем
AAAAAAAAA
Ьх=УРх-гру, Ly=zpx-xp„ Ьг—хру—урл. (5.19)
л
Рассмотрим, в частности, Lz. Введем в плоскости (х, у) по-
л
лярные координаты x=Qcos<jp, f/=psin<p. Тогда Lz =—ihd/dyt
т. е. Lz — импульс, канонически сопряженный угловой коорди-
нате <р. Аналогично обстоит дело и в классической механике.
АЛ	Л
Для оператора 1г =й“1Ь2 получаем выражение 1г = — i д/ду.
л	___
Собственные функции 1г имеют вид <о|тп> = (]/ 2пД|е'т'?.
Функция <<р|пг> не должна меняться при добавлении к углу
Ф величины 2л. Отсюда вытекает, что т должно быть целым
числом. Следовательно, из двух вариантов спектра собствен-
ных значений (5.18) для орбитального момента осуществляется
лишь целочисленный вариант:
с. зн. L2=/(/+l)ft2, /=о, 1, 2,...,
с. зн- = т= —I, ..., Z.
4.	операторы 1Х, lv, 1г и 13
В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В сферических координатах х=г созф sin 9 , у=г эшф sin6,
Л	АЛЛ
z=rcos б имеем для операторов 1Х, у. z=?z_1Lx, у. 2 и 12= й-2Ь3
выражения
lx=z(sin?-^-4-ctg9cos? — ),
= Z ( - cos? + ctg0 sin? ,
А	А
12= -Z^-,
г	д-f *
1___
sin20 d-~f2 J ’
12= - Г 1 д
[ sinO 00
Л Л
С ПОМОЩЬЮ 1Х И 1у МОЖНО построить U —	±^/d6+/ctg6r)/(9y].
Уравнение 12<б, ?|Z,	+ 1) < 0, ?| Z, tn > совпадает с
уравнением для сферических функций, так что
38
<6, ®|/, m>=r,. m(6, q>).	(5.20)
Представим Ул „ в виде
Гл т= -±=-е'^е1т (6).	(5.21)
функции О/, т можно построить рекуррентным образом с по-
мощью операторов 1±. Подействовав на У;, т оператором 1±,
имеем
1±У, m==^=e'(m±1)f [±-^-mctg6]ez, т.
л
Исходим из соотношения 1+K/ Z = O, т. е.
4e/<z-/ctge eu=o.
Т.
Решение этого уравнения, нормированное условием [ |©/, Z|2X
О
Xsin(W0 = l, имеет вид
А
Действуя на Ул t оператором !., можно получить У,. z_, и
т. д. до Yi,~i, а’следовательно, и 0z,m. Общая Формула для
т^О
р _/ 1у-1Л(_Z£iL\ и+тУ 1__________________dl~'n (sin0)2/
Wz,m --(	2 ; (Z-m)l 2'Z!(slnfiF ^cose)'-'" tsin0) •
(Подробнее см. [6, гл. 4, с. 118].) Для случая т<0 нужно 0(1 т
заменить на (—I)"1©/, |т|. В частности, при 1—\
п.»= /i	Г'- =' т V8Te±,’slne-
Состояния с 1—0, 1, 2, 3, 4, 5 называются s,p,d,f^-состоя-
ниями. При инверсии координат (х, у, z-*-—х, —у, —z) углы
б и ср меняются на л— 6, <р+л. При этом Yh т умножается на
(—l)z. Множитель (—1)' называется четностью состояния с
данным I.
5.	СПИН
Для собственного момента частицы не существует коорди-
натного представления (5.19). Нс существует, следовательно,
и амплитуды <<р | m >. Поэтому отпадают аргументы, в силу
которых m должно быть непременно целым.
39
Допустимы как целые, так и полуцелые значения.
Мы будем обозначать операторы квадрата спина и его пр0
екции в единицах й через s2 и sz, а собственные значения .
соответственно через s(s + l) и ц. Для частицы со спином чнсд
р, должно фигурировать среди индексов представления наря>
с другими переменными. Например, в координатном представ
лении волновая функция некоторого произвольного состояние
записывается в виде <г, р.|а>, ф(г, р) или фДг), и вся со.
вокупность фр. изображается в виде матричного столбца. Прц
этом столбец называется многокомпонентной волновой функ-
цией, а отдельные фр — компонентами. Если достоверно из-
вестно, что проекция спина на ось z равна р0, то из всех ком-
понент остается лишь фр0, а остальные обращаются в нуль.
Рассмотрим простейший и наиболее распространенный слу.
чай: s=l/2. Таким спином обладают, в частности, электроны,
протоны и нейтроны. Удобно вместо операторов sv, sy, sz ввес-
ти пропорциональные им °х = 2sx, оу — 2syJ oz = 2sz. Посколь-
ку собственные значения операторов sXiyiZ равны ±1/2, то соб-
ственные значения ох, у, г= ±1, а собственные значения о2 z~
= 1. Другими словами,
С2 = с2 = в2=1.	(5.22)
В сочетании с соотношениями вхоу—ayax=2ioz, Oyaz—azay=2icx,
azax—axaz=2ioy, вытекающими из (5.3), это дает
ОХОу + °уОХ = 05 °XOz+OZ°X = 0,	<’y°2 + OZay=0)
ахау=г’б2., ozax=Wy, ayaz—iax.
Для доказательства умножим, например, соотношение охау —
—ayax—2iaz слева на ах. Учитывая (5.22), получаем оу—ахауах—
— 2iaxaz. Умножая то же соотношение справа на ох.
получаем ох°у3х ~ ау — 2iaz^x. Складывая, имеем второе из
соотношений (5.23). Соотношения (5.24) выводим из переста-
новочных соотношений аха — о о = 2ic и т. д., если учесть
(5.23).
Рассмотрим действие ох, оу, az на вектор состояния | s,p->.
(Символ s для краткости будем в дальнейшем опускать.) Опе-
ратор az действует (по определению) следующим образом:
2 >‘
Правила действия ах и ау вытекают из общих формул (5.15):
— j 2 > :
(5.23)
(5.24)
аг
аг
о
а
°y|-4-> = -d4>- (5-25)
40
умножая слева на < ± 1/2 |, получим матричные элементы опе-
раторов. Мы выпишем здесь полностью матрицы
/0 1 \
1 0
раторов.
о
1 о
0 -1
аг
°У
произвольного со-
М1,2 \
1	1 кото
0 -М
i 0)’
Они называются матрицами Паули.
Многокомпонентная волновая функция
стояния сводится к столбцу из двух элементов
рый называется спинором.
Наконец, рассмотрим спиновую матрицу плотности. Матри -
цы Паули как раз обладают свойствами (3.25), так что g мож-
но представить в виде
р=4-(1+Рл4-РуОу+Рл).	(5.26)
Как следует из (3.26), Р, =af. Числа Рх, Ру, Pz представляют
собой компоненты псевдовектора Р, характеризующего спино-
вую поляризацию,— так называемого вектора поляризации.
В чистом состоянии Р2=1 (это следует из е2—£?)• в смешанном
Р2<1, в случае отсутствия поляризации Р = 0.
6.	СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
Рассмотрим два коммутирующих оператора ji и j2. (Это мо-
гут быть, например, угловые моменты двух частиц или спи-
новый и орбитальный моменты одной частицы.) Собственные
значения j2 и j1z равны /i(/i + l) и тх, собственные значения
J1 и J2z равны M/z+l) и т2. Составим сумму операторов ji и j2.'-
ji+j2=j-	(5-27)
а также квадрат суммы:
J2=H + Н + 2(h Л2х+11УЬ+кк)-	(5-28)
Обозначим собственные значения j2 и jz через /(/4-1) и т соот-
ветственно. Задача состоит в том, чтобы найти возможные зна-
чения /, т при данных /ь и /2, т2 и построить собственные
векторы j2 и jz. (Следует иметь в виду, что в реальных систе-
мах из-за взаимодействия между частицами и релятивистских
эффектов ji и j2 не коммутируют с оператором энергии систе-
мы. Излагаемая теория применима к таким случаям, когда
этой некоммутативностью можно в первом приближении прене-
бречь.) Из выражения (5.28) следует, что j2 коммутирует с
I2 и j2. Кроме того, j2 (как и должно быть) коммутирует с
L=Ju -j- j2z. Но j2 не коммутирует с jIz и j2z по отдельности.
Поэтому существуют два альтернативных способа описания
состояния — два набора операторов: 1) j2 JZJ?J2> 2) j? Jlz J2 J2z.
41
Оба эти представления связаны унитарным преобразованием.
В варианте 1) имеем собственный вектор \jm>, в варианте
2) — собственный вектор | ртф2т2 > Соотношение между
ними
2’?|У>1У?«2> <J1CT1y2/7Z2|7/n> = \jm>,	(5.29)
ГПч
причем гП]+т2 — т, как вытекает из (5.27).
Величины <j\tnij2m2 | jm>, которые считаются веществен-
ными — так называемые коэффициенты Клебша—Гордана, со-
ставляют матрицу преобразования. Они удовлетворяют стан-
дартным соотношениям ортогональности и нормировки
та
Коэффициенты Клебша—Гордана’</|Щ|/2^2 |/т> можно так-
же трактовать как волновую функцию состояния |/т> в Ш\-,
т2-представлении.
Альтернативные обозначения коэффициента Клебша—Гор-
дана:
(-1)А-Ь+- J/2T+1 lJ' J* 7 У
\ TZlj гп2 —тч /
Обозначение (	7‘ 7з ) называется 3 i-символом Вигнера
\ tn{ m2 mt !	г
Свойства симметрии и явные выражения см. в книге [4]. Пре-
образование, обратное (5.29), записывается так:
S |ум>	У2™2>= \jxtnx j2m2> .	(5. 30)
i
Определим возможные значения j при данных jx и /2. За-
метим прежде всего, что имеются (2/1+1 )(2/2+1) разных со-
стояний mt и ш2 при данных р н /2, т. е. разных произведений
I hmi > | /2ш2> . Следовательно, тому же числу (2 /| + 1) (2 /2 +
+1) должно быть равно число соотношений (5.30) прн всех
возможных j и т. При гщ=р и т2=/2 мы имеем одно соотно-
шение, соответствующее т„1а]1 =j= (/i + /2).
Далее,, имеются два состояния с mi=ji—1, m2=j2 и mi=;/i,
/и2=/2—1. Оба эти состояния соответствуют одному и тому же
m=/i+/2—1- Следовательно, должны быть два разных значе-
ния j (т. е. два вектора |y7n>): у=y’i+y2 и J=j\ + j?— 1.
Имеются три состояния: tnp=j\—2, т2=	тл = j\—1, т2 =
= j2—I, тл~ j\i rn2=j2—2, которые отвечают	—2.
Соответственно / имеет три значения: У=У1+у2. j — j\ + j2 — 1,
У=/1+У2—2 н т. д. Таким путем можно дойти до /,rill= |у\ — у2|
(это проще всего можно увидеть на конкретном примере), так
что
42
1Л-ЛК/</1+Л-	(5.31)
Число состояний Sj mkf (2 j + 1) при подстановке /min= 1/1 — Л1
и /тах= Л + /2 будет равно (2 /, +1) (2 /2+ 1).
Соотношение (5.31) называется правилом треугольника (так
как напоминает соотношение между длинами сторон в тре-
угольнике). Далее мы рассмотрим два случая сложения угло-
вых моментов, часто встречающихся в различных задачах:
сложение орбитального и спинового моментов для частиц со
спином 1/2 и спин системы двух частиц (каждая со спи-
ном 1/2).
7.	ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ
В случае сложения спинового и орбитального моментов час-
тицы со спином 1/2 имеем в соответствии с (5.30) (изменив
обозначения проекций)
2 \l, w>|4- ?>
m, |л	z
(т+|л=М)
Умножив слева на <0'#//|, принимая во внимание (5.20) и
обозначая < 0^'|//И> = 2;1Л1|Л', получим
?)= 2	?) ^+^1/2, |Л. l.m-
m, р.
Этот результат можно представить в форме двухкомпонентной
волновой функции — шарового спинора Йу/.м:
Ж—1/2 (9,?) Q/zJ 1,2. 1, Л1-1/2 \
I ;iz		(0.32)
M+l/2 (°, f) ^Р2, -1/2, I, /ИИ;2 /
Из правила треугольника следует, что при данном / имеют-
ся два возможных значения I: j +1/2 и /—1/2. Обозначим одно
из них через I, а другое — через V. Очевидно, что l+l' = 2/. a
I—1'= ±1. Поскольку l и l’ отличаются на единицу, то шаро-
вые спиноры Qjim и Q;7' м обладают противоположными чет-
ностями. Приведем выражения для коэффициентов Клебша —
Гордана, фигурирующих в (5.32):
г7м	i/Z+Af	rjM	_ ,/7—АГ
^1/2, 1/2, 7-1/2, Ж-1/2 = у 2J '	Ь1(2, -1<2./-1'2, Ж-И.2 — J ~7]~ •
1/2, 1/2. 7+1/2, Ж-1/2—~ )
/-•jM	i/'y+zM+l
Cl/2, -1/2, 7 + 1/2, Ж+1/2 — у  2у_|_2  •
Спиноры Q/iM и Q ]гм связаны соотношением
43
A.QjiM=^2ji'M —t),	(5.33)
где A — оператор, вид которого с точностью до постоянного
множителя может быть установлен из следующих соображений.
Он представляет собой матрицу 2x2 и в смысле матричной
структуры может быть выражен в виде суперпозиции единич-
ной матрицы и трех матриц Паули: ах- ау. az. Из свойств мат-
риц Паули следует, что достаточно ограничиться выражениями,
линейными по оу, аг. Коэффициенты этой суперпозиции
являются функциями углов б и ср.
Далее, оператор Л должен быть инвариантным относитель-
но поворотов координатных осей, но должен менять знак при
инверсии координат, так как четности Qj/u и Пдмг противо-
положны. Следовательно, оператор Л должен быть псевдоска-
ляром, т. е. представлять собой скалярное произведение псев-
довектора а на некоторый вектор, компоненты которого зави-
сят от 0 и ср. Единственным вектором такого рода, существую-
щим в данной задаче, является с точностью до множителя еди-
ничный радиус-вектор п в направлении 0 , ср, компоненты ко-
торого пх — sin 0 cosep, /г у — sin Osins, nz =cos0. Отсюда сле-
дует, что Л имеет вид
Л =(2ап,	(5.34)
где а — некоторая постоянная, не зависящая от углов. Для ее
определения достаточно рассмотреть (5.33) при 0=0, ср=О.
Принимая во внимание, что
П.т(0,0)=
получаем
2/, 7-1/2, 1/2(0, 0) =
£2/, /+1.2, 1/2(0, 0) =
7+1/2
2/^2
Сравнивая эти выражения с (5.33) и (5.34), находим а=—1.
Окончательно
Q/rAf= — сгп2рл(.
8.	СПИН СИСТЕМЫ ДВУХ ЧАСТИЦ
Рассмотрим систему двух частиц с s=I/2. На примере этой
простейшей системы мы, помимо всего прочего, продемонстри-
44
м один иЗ методов вычисления коэффициентов Клебша—-
Гордзна.
Введем обозначения 11/2, 1/2> = и, 11/2,—1/2> =v, здесь
первый индекс означает квантовое число s, второй — квантовое
число р-
Суммарный спин s может иметь два значения: s= 1 — три-
плетное состояние и s=0 — синглетное. Сначала рассмотрим
триплетное состояние. Имеются три вектора состояния, отве-
чающие проекциям р= —1, О, 1: |1, —1>; | 1, 0>; |1Д>.
Очевидно,
что
Применим
рагор
к обеим
11, -1>	(5-35)
частям этого равенства повышающий опе-
S+— Sl+ + S2+-
(5.36)
Учитывая,
что
получаем
s1+‘i'l=«i,	s2+-n2=u,5	(5.37)
s+ 11, — 1> = (и^2 + «2-П]). С другой стороны,
тельно,
I1’ 0>=
Действуя еще раз повышающим оператором, находим,
следовало ожидать:
(5.38)
как и
(5-39)
Сравнивая с общей
_ 1
формулой (5.29), находим
1
2 ’ 2 ’
1 1
£
2 ’
1
2 ’	2’2’
1
/г-
Обратим внимание на то, что формула (5.38) описывает со-
стояние, в котором с равной вероятностью первая частица име-
ет проекцию спина 1/2, а вторая — проекцию спина —1/2, и
наоборот. Происходит, как говорят, делокализация спина. От-
метим также, что векторы состояний (5.35), (5.38) и (5.39)
симметричны относительно перестановки индексов 1 и 2.
Перейдем теперь к синглетному состоянию. В представлении
полного спина имеется всего один вектор | 0, 0>. Запишем
его в следующем виде: 10, 0> =cxu}v2+c2u2V\. Действуя опе-
ратором s+ (5.36), пользуясь соотношениями (5.37) и учитывая,
что должно быть s+ 10, 0> =0, получаем 0= (С] 4-с2)«1ц2. от-
куда следует, что С\ = —с2.
45
Из условия нормировки получаем, что С\—2) *. Таким
образом,
Окончательно имеем
|0, 0>=:у=(и1-и2-«2т»1).
Заметим, что в синглетном состоянии также происходит дело-
кализация спина.
Вектор состояния 10, 0> в отличие от векторов состояния
для триплета антисимметричен относительно перестановки.ин-
дексов 1 и 2.
9.	ОПЕРАТОР ПОВОРОТА.
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА
Повороту системы координат соответствует некоторый уни-
тарный оператор D (подобно оператору сдвига в гл. 4). Для
построения этого оператора мы воспользуемся законом преоб-
разования операторов проекций момента при повороте, кото-
рый аналогичен закону преобразования векторов. Пусть вра-
щение происходит на угол а вокруг оси г. Тогда, как известно,
J,r'=Lcosa+Jysina,
Jy' =]ycosa—J j-sincz.
Из этих формул следует, что
~	’	да —	’
(5.40)
С другой стороны, по общей теории унитарных преобразовании
(см. (3.19)) должно быть = Dj^D-1, р = Dj^D1. Пока-
жем, что этим соотношениям удовлетворяет оператор D =
= ехр(—ijza). Вычисляя д]Х'/да, получаем djx7do=—
X exp (—i a j J (JJX - jJz) exp (zajj.	Поскольку — jxjz — ijy,
то djX'/da = exp (— zajz) jy exp(zajz)= J,.*. Аналогично получаем
д]у'/да= —jX', что соответствует (5.40).
Наиболее общий поворот подвижной координатной системы
(К') относительно неподвижной (К) может быть описан с по-
мощью трех углов Эйлера, соответствующих разбиению пово-
рота на три этапа: 1) поворот на угол а вокруг оси z (0^а^2л);
2) поворот на угол 0 (О^р^л) вокруг нового положения оси у
(так называемой линии узлов)-, 3) поворот на угол у вокруг
46
новой оси z' (0<y<2jt). (Заметим, что углы аир совпадают
со сферическими углами ср и 6 подвижной оси z’ в неподвижной
системе Л.) Этим поворотам соответствуют операторы
ехр (—exp(-Zpjy-)5 ехр(—так что D = exp(— qj^) х
X ехр( — *₽jy') ехр( —й]г). Рассматривая положение систе-
мы К' относительно К при разных поворотах, можно убедить-
ся (см., например, книгу [4]), что тот же результат может быть
достигнут следующим образом: 1) поворотом на угол у вокруг
оси z системы К; 2) поворотом на угол р вокруг оси у системы
/(; 3) поворотом на угол а вокруг оси z системы К, т. е. D=
=’ехр ( — ia-\z) exp ( — f₽jy) exp (—qJJ. Этим выражением мы и
будем в дальнейшем пользоваться.
Рассмотрим теперь изменение вектора состояния углового
момента любой природы (орбитального, спинового): |/7и'>
под действием оператора D:	= D|/ot'>. Преобразован-
ный вектор D|/m'> можно представить в виде
X \jm> </m|D|//«'>=D |(5.41)
m=->
Рассмотрим матричный элемент <jm | D|y/ra' >. Принимая
во внимание, что ехр(—q]J|m'>=exp(—q/n')lm/>. <ml X
Хехр(—Z«h)= <т\ехр(—iam), имеем
<jm | D(a, р, т) \jm'> =ехр(— io.m)<jm\x
Хехр(—z₽jy) |/m'>exp( — Г(т').	(5.42)
Принято обозначать
</7/z|D(«, р,	p, 7),
< JmI exp( - ipjy) | jm'>
В этих обозначениях (5.42) принимает вид
Dmm-^ ₽> 7)=exp(-im«)^m.(p)exp(-tm,7).
Функции Djmm, (а, р,у) были введены Вигнером и носят его
имя. В силу унитарности D функция DJmm, удовлетворяет стан-
дартным соотношениям ортогональности и нормировки:
J
У| Z7J' , D] „ - Sm’m".
, т т тт 1,1
т--1
В литературе встречаются также другие определения, отли-
чающиеся последовательностью индексов тит', знаком и по-
следовательностью углов поворота. Сводка различных обозна-
чений и соответствие между ними содержатся в книге [4]. На
величинах |£Нт, |2 эти различия не отражаются. Заметим еще,
что т, вещественно.
47
Как видно из (5.41), величина №тт'= |^т-|2—№тт'\2 есть
вероятность того, что в системе К собственное значение /г
равно т при условии, что в системе К' собственное значение /г.
равно пг'.
Рассмотрим простейший пример: /= 1/2. Имеем
а'тпе = <тI ехр ( - I 4- °у₽) Iт’ >•
Раскладывая ехр(—icry(3/2) в ряд и учитывая, что а2=1, имеем
exp (—wyP/2)=cos₽/2—iaysin₽/2. Учитывая, что—gj,
имеем d'^ _112 = Щ 1/2 =cosp/2, d^1/2i 1/2= - d*-2 _1/2 = sin₽,2.
Следовательно,
U^l/2, 1/2= W^-l/2, -1/2=COS2^-1/2, 1/2= 1^1/2, -1/2 = Sin2.
Выражения для dmm' при более высоких / приведены в кни-
ге [4].
Для орбитального углового момента j=4 из общего соотно-
шения (5.41) вытекает закон преобразования сферических
функций:
2 <б<р | jrn> <Jm\V ]jm'> = <6<р |D|ym'>.
m
Принимая во внимание, что <6tp|D=<6'</ |, имеем
V <(h | /от> <jm | D \jm'>= <9 V| J tn' >
m
ИЛИ 2 4,(M$im'(a> ₽, -f)=Xlm’(0V)-
m
10.	НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ТЕОРЕМА ВИГНЕРА—ЭККАРТА
Понятие неприводимого тензора можно пояснить на примере
тензора 2-го ранга: Tik . Любой тензор 2-го ранга можно пред-
ставить как сумму симметричной и антисимметричной частей:
Tfk= — Т^, Tcik—TQki (i, £=1,2, 3 или i,k=x,y,z). Имеются три
независимые компоненты Та и шесть независимых компонент
Тс. Независимые компоненты антисимметричного тензора обо-
значим через . При вращении системы координат они пре-
образуются подобно Ytm с помощью
=2 ГМ^.	(5.43)
т
Что касается симметричной части, то из нее можно выделить
след X Гу., являющийся инвариантом, т. е. скаляром. Ос-
тавшаяся часть — симметричный тензор 2-го ранга со следом,
48
авным нулю, Tty содержит пять независимых величин, из
которых уже нельзя выделить совокупности, образующие инва-
риантные относительно вращений пространства меньшей раз-
мерности. В этом смысле является неприводимым. Эти
пять величин преобразуются подобно У2т , т. е. по закону
7Ч2)'__ V1 уЧ2)г)2
* m —	1 m L-Jmm •
m
(5.44)
Обобщая формулы (5.43) и (5.44), определим неприводимый
тензорный оператор соотношением
___ V1 'т>( J) r~\J
— Zj Im •
(Отметим, что неприводимые тензорные операторы использу-
ются в качестве матриц Vz (3.25) для построения матрицы
плотности.)
Рассмотрим действие неприводимого тензорного оператора
Т£ на вектор состояния |у2/п2>. Представим результат в
виде
2 |	< jrtl I Т m, I У2Я12 — I'm, I J2^2 > •
Сравнивая его с соотношением (5.30) и принимая во внимание,
что при вращении системы координат ТД преобразуется по-
добно |/!«!>, т. е. через функцию Dfam, , можно утверждать,
что матричный элемент	|/2/ц2> пропорционален ко-
эффициенту Клебша—Гордана
<Jm\j\nhj2m2>	,
и вся зависимость <Jfn\Tj^\j2m2> от квантовых чисел т,
т\, т2 передается именно коэффициентом Cj^ л . Это и
есть теорема Вигнера—Эккарта.
Множитель пропорциональности зависит лишь от /ь /2 и j
(и других квантовых чисел, если они есть). Отсюда сразу сле-
дуют правила отбора: m=mt+m2, [у,—У21/1 +/г- Приня-
то писать
J i пи	' Jitni hm* _ / 9/-1 ~
где <у|]ТД||/2> — так называемый приведенный матричный
элемент (одинаковый для всех проекций т, т\, т2).
*• 3»м. 1859	49
Глава 6
ЭНЕРГИЯ
1. ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ
ДЛЯ ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Для одной частицы оператор энергии в нерелятивистской
теории имеет вид
Н = p2/(2m)+V.
p2/(2m) — оператор кинетической энергии; V — оператор по-
тенциальной энергии. В координатном представлении
< Г|Н| г’> = Лцг-г')
Л=^/(2/п)+К(г),
где р2= —Й2Д, а И — классическая потенциальная энергия.
А	Л
Поскольку р2 не коммутирует с И, то в состоянии с определен-
ной энергией Е кинетическая энергия не имеет определенного
значения. Поэтому частица может находиться в тех участках
пространства, где £<V, хотя по классической механике это не-
возможно.
Для заряженной частицы без спина, находящейся в электро-
магнитном поле, по аналогии с классической электродинамикой
полагаем
Л 1 / Л р \2
Н=^(Р-7-А)+еФ,
где АиФ — векторный и скалярный потенциалы.
Если же частица обладает спином, то у нее, вообще говоря,
есть также магнитный момент, оператор которого М пропор-
ционален спиновому моменту S: M = yS (у — гиромагнитное
отношение). Выражая спнн в единицах й, т. е. полагая S=Ss,
имеем M—ftys.
В классической электродинамике укл = е/(2/ис). Однако, как
показывает опыт, у отличается от укл. Если представить у в
виде у=#Укл> то эксперимент дает для электрона £^2,002, для
протона g~5,8. Даже у нейтрона есть магнитный момент (хо-
тя нейтрон и не имеет электрического заряда). Для нейтрона
= —0,684 ур, знак минус означает, что магнитный момент
нейтрона направлен противоположно спину.
В гл. 17 будет показано, что из уравнения Дирака для за-
ряженной частицы со спином 1/2 следует g’=2. Эта величина
близка к экспериментальному значению для электрона. Отли-
чие наблюдаемого значения g от 2 вызывается так называемы-
ми радиационными поправками, которые вычисляются в кван-
50
вОй электродинамике (в хорошем согласии с экспериментом).
Принимая для электрона приближенно £=2, получим, что в
сЛучае, когда sz= 1/2, будет Мг = ей/(2тс). Поскольку заряд
электрона отрицательный, то Mz=—|е|й/(2тс). Величина
|f|?z/(2mc) называется магнетоном Бора.
Что касается протона и нейтрона, то теория их магнитных
моментов выходит за пределы данной книги.
Оператор энергии для частицы со спином
»=i(p—гА)2+еФ~м^’	(6Л)
где off— напряженность магнитного поля.
Оператор энергии для частицы в электромагнитном поле оп-
ределен неоднозначно, поскольку потенциалы, как известно,
можно подвергать преобразованию калибровки:
А'=А + уДг, О, ®'=Ф - 4 4 Кг’
не меняющему величин напряженности электрического и маг-
нитного поля. В гл. 7 мы выясним, к каким последствиям в
квантовой механике приводит эта неоднозначность.
2. ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ
ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИИ
Для системы частиц
Здесь первый член представляет собой оператор кинетической
энергии системы частиц, а второй — оператор потенциальной
энергии системы.
В координатном представлении
<г; ... r^Hfn ... r„> =Ho(rj - <) ... 8(г„-гД
п
H=2-irp?+lZ(ri •••Гя)-
1
Потенциальная энергия И(Г] ... г„) представляет собой энергию
взаимодействия частиц друг с другом. Если есть внешнее поле,
то V содержит также энергию взаимодействия частиц с полем.
Энергию взаимодействия с внешним полем можно представить
в виде суммы энергий взаимодействия с полем каждой из час-
тиц: £,ИДГ,).
Что касается энергии взаимодействия частиц друг с другом,
то для многих систем, например электронов в атомах, молеку-
4*	61
лах и твердых телах, ее можно представить как сумму энергий
взаимодействия пар частиц 2 Ц,й(г,- ~ г*)/2- Однако, напри,
мер, взаимодействие нуклонов в атомных ядрах, строго говоря,
не сводится к сумме парных взаимодействий (хотя такое пред’
ставление может быть принято в качестве первого приближе-
ния).
Для системы частиц, находящейся во внешнем электромаг-
нитном поле,
2 -i- (Р'~ -таМ2+ 22 м' v-
i	i
Здесь V — потенциальная энергия взаимодействия частиц. Ес-
ли система частиц изолирована (т. е. на нее не действует внеш-
нее поле), то можно, как и в классической механике, отделить
движение центра инерции.
Рассмотрим простейший случай системы двух частиц. Имеем
Н=-	—-(-(/(п-г,).
Вводим относительные координаты г=г1—г2 и координаты
центра инерции R =	и полагаем ш12 =
л
==/z21/zz2/(m1Тогда Н приводится к виду
Л Л2	tfi
Здесь Дг означает дифференцирование по относительным коор-
динатам, Ал? — дифференцирование по координатам центра
инерции. Член [—й2/(2/п)]Д# представляет собой оператор
кинетической энергии движения центра инерции.
Изолированная система частиц обладает следующим оче-
видным свойством: ее оператор энергии должен быть инвари-
антным относительно поворота и сдвига системы как целого,
или (что то же самое) относительно сдвига начала координат и
поворота координатных осей. Математическим выражением
этого является соотношение
DHD-1»!!,
где D — оператор поворота или сдвига. Умножая справа на D,
получаем DH = HD, т. е. D и Н коммутируют. Оператор сдвига
на вектор а имеет вид D=^exp(—zpa/й), где р — оператор пол-
ного импульса системы: р=;Ёгрг.При бесконечно малом сдви-
ге D-=l—(г'/Й )ра, так что из коммутации D и Н следует, что Н
коммутирует с оператором полного импульса.
Аналогично выясняется, что Н коммутирует с полным угло-
вым моментом j = 2/ Jo
52
ВАРИАЦИОННЫЙ принцип.
ТЕОРЕМА вириала
Рассмотрим среднее значение оператора энергии в некото-
ром произвольном состоянии |а>: Н= <а|Н|а>. Если Н
обладает дискретным спектром, то
/?= ^<а\Еп> <Еп\Н\Ет> <Ет\а,> — ^\<Е„\а>^Еп.
п. т	п	. ~
(6-2)
(В том случае, если имеется область сплошного спектра, знак
2 включает в себя также интегрирование по сплошному
спектру.) Из (6.2) следует, что
Н>Е0 2 |<£л]а>|2,
п
где Ео — наинизшее собственное значение. Так как
2л I <Еп\ «>|2=1, то Н^Е0. Наименьшее возможное значе-
ние Н=Е0 достигается в том случае, когда \а> — |£0> , т. е.
|д > является собственным вектором Н, соответствующим
собственному значению £0. Это утверждение называется ва-
риационным принципом. На нем основан вариационный метод
оценки величины £0 сверху. Рассмотрим простейший случай
одной частицы. Составим выражение
Н= ( ф*(г)Нф(г)</г.
где 4(г) — так называемая пробная функция, содержащая не-
сколько варьируемых параметров ch с2,... и удовлетворяющая
условию нормировки f |Фр rfr— 1, а в остальном произволь-
ная. Величина Н является функцией параметров С\,с2,....
Из условий dH/dci=Q, дН/дс2=0... находим экстремальное
значение Н, которое дает оценку сверху значения £q. С помо-
щью вариационного метода можно также доказать теорему ви-
риала [2, ч. II, гл. V,§ 17].
Допустим, что потенциальная энергия V является однород-
ной функцией степени q от координат, т. е. lz(Ar)=W(r). Со-
ставим выражение
Н= f Г(г)(-^-Д+ Иг))ф(г)Л,
где ф — пробная функция, дающая минимальное значение Н,
и заменим в нем г на Хг (т. е. произведем вариацию масшта-
ба). Тогда
77(Х)=л2Г0-р-₽1/0,
где То — средняя кинетическая энергия (при X—I),
Л>= У Ф*(г)(—
a Vo - средняя потенциальная энергия (при Х=1),
БЗ
Vo= f yVtyir.
Дифференцируя //(X) по X, имеем
^77(X)=2kr0-x-₽-ipl/0.
Требуя, чтобы /Y(X)=O при Л=Д, получаем 27’o=qV'o. Это
соотношение эквивалентно теореме вириала в классической
механике. (Само собой разумеется, что теорема вириала спра-
ведлива и в том случае, когда вместо пробной функции в Уо и
То фигурирует точная собственная функция оператора Н.)
Если выбрать пробную функцию так, чтобы в (6.2)
<f0|<2>=0, < Ех | а > =0,.... <£n-i|a> =0, то получим
Н^Еп, т. е. вариационную оценку уровня Еп сверху. Условие
<Ek\a> =0 (й=0, ...,п—1) можно представить в виде
I фй(г)<|>(г)^г=0,
где Фа — собственная функция оператора Н, соответствующая
собственному значению Ek. Другими словами, пробная функция
должна быть ортогональной к точным собственным функциям
Фа . Для того чтобы этому условию можно было удовлетво-
рить, функции ф>А должны быть известны.
Глава 7
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
ВО ВРЕМЕНИ
1.	ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ И ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Приступим к рассмотрению изменения состояния во време-
ни. Заметим прежде всего, что время в квантовой механике
считается чисто классической величиной. Не существует опера-
тора, собственным значением которого было бы время.
Употребляются два способа описания изменения во време-
ни. Один из них называется шредингеровским представлением,
другой — гейзенберговским. В шредингеровском представлении
вектор состояния зависит от времени. Допустим, что в момент
t' задан определенный вектор состояния |Г>. (Мы не выпи-
сываем остальных индексов состояния для упрощения формул.)
Вектор состояния в момент / получается в результате действия
унитарного оператора сдвига по времени U(/—/')> называемого
оператором эволюции, на|Г>:
54
|t> _Ц(г-/Ж>	(7.1)
Оператор U удовлетворяет соотношениям LT+(< — f') = U'1(^ —
___ f) = U(t' —t). Явное выражение для U приводится ниже.
Чтобы ввести гейзенберговское представление, рассмотрим
среднее значение некоторой величины М в момент /:
ЛЬ</|М|£>.	(7.2)
Пользуясь соотношениями
реписывасм (7.2) в виде
|/> = U ]/'>- </|	</'|Д+, нс-
ТИ <f|U+MU |Г>.
(7.3)
Это выражение можно трактовать как среднее значение зави-
сящего от t оператора
M(/) = U+MU,
(7-4)
вычисленное с помощью начальных векторов состояния. Здесь
вся зависимость от времени переносится на операторы. Эго и
есть гейзенберговское представление. Выразив среднее через
матрицу плотности A1 = sp(oM) п подставив в (7.4), получим
М = sp(pU+MU).
Поскольку след матрицы инвариантен__ относительно цикличе-
ской перестановки сомножителей, то Af=sp(UoU+M). Отсюда
вытекает закон изменения во времени матрицы плотности:
^)=Up(/,)U*-	(7.5)
Обратим внимание на обратный здесь по сравнению с (7.4) по-
рядок (7+ и U.
Для оператора эволюции принимается выражение
и(*-Г)=ехр {-Н(/-Г)].	(7.6)
Покажем, что при этом для М получается соотношение, соот-
ветствующее классическим уравнениям движения (что и слу-
жит оправданием выражения (7.6)). Предположим, что в шре-
дингеровском представлении Л1 не зависит от t явным образом,
так что вся зависимость гейзенберговского оператора М(/)
происходит от U. Тогда
Подставив сюда выражение для U и учитывая, что U комму-
тирует с Н, имеем
55
(U+HMU - U+MHU),
т- е-т? = -Нн’ M^)i-
(7.7)
Поскольку [Н, М(/)] соответствует классической скобке Пуас-
сона: //Й[Н,М] —> \Н,М}, то соотношение (7.7) соответствует
классическим уравнениям движения dM/dt={ Н, М } . Соотно-
шение (7.7) называется уравнением движения для гейзенбер-
говского оператора. Из (7.5) вытекает уравнение для р (0:
ihdpldl — [H, р].
2.	ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ.
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Интеграл движения определяется соотношением
JM(0/^=O.	(7.8)
Согласно (7.7) это эквивалентно [НМ(/)]=0, т. е. интегралом
движения является такая величина, оператор которой комму-
тирует с Н. Из коммутации М(0 с Н вытекает, что этот опера-
тор и в шредингеровском представлении также коммутирует
с Н; [НМ]=>0. Все интегралы движения, а также и сам гамиль-
тониан обладают замечательным свойством: их средние в про-
извольном состоянии не зависят от времени в силу (7.8). Ин-
тегралами движения, в частности, являются полный импульс и
угловой момент изолированной системы, поскольку они комму-
тируют с оператором энергии (гл. 6).
Рассмотрим состояние с определенной энергией Е в момент
/ = 0. На основании (7.1) и (7.6) в любой момент t состояние
также будет характеризоваться энергией Е, причем
|Е, />=ехр(—
Отсюда следует, что распределение вероятностей любой физи-
ческой величины в состоянии | Е, t > не зависит от времени:
|<W>|* = |<X|F>|2.
Такое состояние называется стационарным.
Заметим, что если существует несколько некоммутирующих
друг с другом интегралов движения, то имеет место вырожде-
ние: одному и тому же значению энергии соответствует не-
сколько разных векторов состояния.
3.	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.
ПЛОТНОСТЬ ТОКА ВЕРОЯТНОСТИ
И УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Соотношение (7.1) в координатном представлении при Г=0
имеет вид
66
дифференцируя по времени, учитывая, что в координатном
представлении <r | Н |г'> =/У8(г — г'), и обозначая <г|/>
"срез Т(г,/), имеем
(7-9)
ЛИГ Л
=Н'1Г.
01
gTO — уравнение Шредингера.
Проделаем теперь следующую выкладку. Запишем уравне-
ние Шредингера для одной частицы в поле V:
и аналогичное уравнение для Y*:
Умножив первое на Чг*, второе — на Чг и вычитая, получим
4|ф12+ .^dlvpFv^-'rVD-
(7.10)
Это соотношение можно рассматривать, как уравнение нераз-
рывности, в котором | W |2 — плотность вероятности, а
— плотность тока вероятности. В стационарном состоянии
<?/<?/( Ф|2 =0. Уравнение (7.10) в этом случае дает div j =0.
Понятие плотности тока вероятности позволяет ввести дру-
гой способ нормировки функций сплошного спектра. Рассмот-
рим простейший пример — плоскую волну: ip=e,kr . Тогда
) = Лк/«1=у Сопоставляя этот результат с известным класси-
ческим выражением для плотности тока в пучке частиц, содер-
жащего р частиц в единице объема: j = QV, приходим к заклю-
чению, что плоская волна е,|<г с единичной амплитудой норми-
рована на одну частицу в единице объема.
Для заряженной частицы в электромагнитном поле уравне-
ние Шредингера имеет вид
Оно не меняется при изменении калибровки потенциалов: А'=
= A +vf, Ф,= Ф — с~гд[/dt и одновременной замене V на
V exp [ie(ftc)-1 f], Это свойство уравнения называется калибро-
вочной инвариантностью.
57
4.	ФУНКЦИЯ ГРИНА
Рассмотрим соотношение |/> =^U(/ Zz )|/'> в координа)
ном представлении. Пользуясь обозначением <г11> = 'К(г, />
имеем
>Г(г. /)= J <r|U(^-f)|r'>4-(r'. l')dr',	(7.Ц)
причем Соотношение (7.11) совместно с условием
выражает формальное решение задачи Коши. Чтобы автомата,
чески выполнялось условие введем ступенчатую функции)
9(т) = 0 при т<0, 9 (т) = 1 при т>0. (Заметим, что d6/dT=.
= 6(т)). Положим
Тогда
G(r, r'; t-t’) <г |и(г-/')|г'>9(г- Г).
Ч‘(г, 0=1 О(г, г',	t')dr'.
(7-12)
Здесь G представляет.собой функцию Грина.
развитие «вперед» во времени. В литературе
звания временная или зависящая от времени
Выведем дифференциальное уравнение для
определения (7.12). Учитываем, что при t^i’
Она описывасг
встречаются на
функция Грина
G. Исходим из

<г|П|г'> = Н<г |U|r'>,
а при t=t'
<r|U(/-/')|r'>=8(r-r'),
и используем соотношение dG/dr = ft(r). Тогда получаем
ifi - HG = (t - V) В (г - г').
Тесным образом с оператором эволюции связана резольвен
та R(z)=(H—z)	где z=E-j-ie, е->0. Именно:
ТПгНг J exp(/-J-z)U(T)^.
и
(7.13)
Резольвенту
предел R(z)
(H-£)R = 1
для вещественной энергии будем понимать как
при z->£ + i’O. Умножая очевидное равенство
слева на <г| и справа на | г'> , имеем
(Н-£) <г|R| г'> — 6(г — г'),
откуда следует, что g(r, г')=^ <г| R |г'>
функцию Грина стационарного уравнения
вернутой записи
представляет
Шредингера.
собой
В раз
г') = В(г-г').
58
гротношение (7.13), записанное в координатном представле-
нии устанавливает связь между функциями g(r, г') и G(r, г',т):
со
TH ехр(/^)б(г, г', т)Л.
о
g(r, r') =
Переходя от координатного к энергетическому представле-
нии, получаем так называемое спектральное представление
функции Грина. Для чисто дискретного спектра
<r|U[r'> = 2 <г\Еп> < Е„\ехр [—^-Н(^-Г)]|Дт>Х
/?, гп	I	J
х <£'m|r'>=2 <г |Ъ> <1, |г'> е'Г
п

В случае сплошною спектра сумма заменяется интегралом. Ес-
ли есть вырождение, то кроме 2j« еще нужно суммировать
(или интегрировать) по другим переменным.
Для свободной частицы (Е=0) можно получить выражение
<r|U|r'> в явном виде. В этом случае удобно пользоваться
импульсным представлением
<r[U|r'> = f <г|р> .<1 |ехр[—О]l Р'> X
X < р'|г'>dp dp'.
Принимая во внимание, что Н=р2(2т)~1, имеем
<р|ехр [~1^-(^-И]|р'>=ехр [-г^(^-Г)]8(р-р')
Учитывая, что <г| р >==(2лй)~3'/2ехр(грг/7г) и полагая г— г'=о,
t—t'=x, имеем
<rIU|r>-?2^-sfdpexp[4(pp- jg-t)].
Вычисляя интеграл, получаем
.... . Г ГП 13/2	/ . щ I Г—г'|3\	Z-7 1 о
<r|U|r > —	J exP\z 2Л (t—t') )'
Выражение (щ/2) | г—г'|г(/—f)-1 , стоящее в показателе,
представляет собой классическое действие S= \‘f mv2dt'12.
Возникает вопрос, в каких еще случаях < г | U | г'> выража-
ется через классическое действие? Ответ можно получить, если,
следуя Р. Фейнману, искать решение уравнения Шредингера
в виде
Ч’(х. /);=Л(Оехр(г^^).
(7-15)
(Мы рассмотрим здесь лишь одномерный случай.)
59
Подставив (7.15) в уравнение Шредингера
шественную и мнимую части, находим
1 ОА_ , J_ MS „
A clt ' 2т d.v2 =и ’
и отделяя ве.
(7.16)
£+i(£)2+^o-
(7.17)
Уравнение (7.17) имеет вид уравнения Гамильтона—Якоби.
Следовательно, S совпадает с классическим действием. В урав-
нении (7.16) первое слагаемое по условию зависит только от t.
Но тогда и d2Sfdx2 должно зависеть только от t. Это будет так,
если
V=a(/) + ₽(f)x-H(/)z2.	(7.18)
Таким образом, выражение (7.15), где S — классическое
действие, справедливо для всех потенциалов вида (7.18). В
частности, сюда относятся однородные, произвольно зависящие
от времени электрические и магнитные поля и гармонический
осциллятор с переменной частотой, на который действует про-
извольно зависящая от времени сила. Пользуясь этими резуль-
татами, можно построить соответствующие функции Грина
[5, гл. IV, § 12; гл. V, § 1].
В качестве примера вычислим одномерную функцию Грина
<x\U\x'> для частицы в однородном поле. Мы не будем ре
шать уравнение Гамильтона—Якоби (7.17), а вычислим дейст-
вие по формуле
5- fl	(7.19)
где L — функция Лагранжа, которая в данном случае равна
L=^-^(0 + Fa(/).
В качестве x(t) и v(t) нужно подставить решение задачи о
движении частицы в однородном поле:
x(0«x'+^(/-F) +
Здесь х' и v' — координата и скорость в момент f. Тогда L
принимает вид
L =	v'2 + Fx' 4- 2 Fv'(t - t') + (t - V)2.
Для действия S получается выражение
60
s- J + Fx' ) (t-F) + Fv'(t~t'Y+ ~ F)s.
Далее, из выражения для x(t) следует
, Х—х'	1	г-/,	....
Пользуясь этим соотношением, получаем
S= f + 4- F(x + х’) (I
Подставив его в (7.16), находим A = ClyA t—1'. Постоянная С
выбирается так, чтобы при F->0 получалась функция Грина
свободной частицы:
с—( .'0—Y'2
Ь ~ \ 2nifi J
Итак, функция Грина имеет вид
_	Г т I1'2	1 Г т (х—х')^ .
<х|7/|х> — |	/') J ехр h L 2 t-t' +
+ -1- Л(х + x') (t-F)	F)s ].
Приведем для справок выражения <r|U|r'> для заря-
женной частицы в однородном электрическом или магнитном
поле. Электрическое поле напряженностью 6 :
.... , Г т W i Г т I Г—г'I2 .
<r|i/|r'> = [-5-^7-r7TJ ехр-^-^Ь^Ч-
ч-^-(г-ьг')
Магнитное поле напряженностью <эЗИ, направленное по оси z:
<г | и I г'>	(________У"	exp - /	4-
^г)О)г;>	^2тай(/-/')	/	slnM'—0/2} P Л I	2»(/-/')
+	Z)] [(x-x')2+(y-y'):i|+ <u(xy'-yx')},
где ы = ее^'/(/«с).
Для потенциалов произвольного вида представление (7.15)
неприменимо. Однако можно построить представление в виде
континуального интеграла, содержащего действие. Впервые это
было сделано Р. Фейнманом. Рассмотрим вывод фейнманов-
ского представления, данный Л. Д. Фаддеевым. Ограничимся
простейшим одномерным случаем. Предварительно выпишем
соотношение, которое будет использовано в ходе вывода:
</?|Н|х> = <р|х>//к(^ х)
(Нк — классический гамильтониан). Действительно,
61
<р| Н | х>	\ <р\х’> <х' |H|x>tfx=
- J < р\х'> (^- + V'y>(x-x')dx-<p\x>	+ v)
Рассмотрим теперь <x\\J(t — t')x'>. Разобьем интервал
t t' на N равных частей At. Учитывая, что U(/ — tf)~ \J(tN
—£v-i)U(fjv-i—tN-i) ... и(Л t0), tN = t, получим
<x|U(/-f)|x'> = <x|U(A/)U(A/) ,.. U(A£) I -*'> =
= f <ХдгЦ_1(Д/) |xjv~t> <Хд?-1 |П(Д/) |Хд>-2> •••
... <x1|U(A^)|x0>rfxw-i ... dx„	(7-20)
причем x^i—x, x0=xr. В свою очередь, каждый элемент
<л>| U(A/) | Xk-i > представим в виде
<xk |U| Xk-i>- j* <xk\pk> <p/l\U\Xk-1>dp/l.
При малых значениях At U(A/)=1—/й-1Д/Н+ .... так что
< pk |U|xft_1> = <pA| 1 - 4-ДЖ 4- ...|xft i> =
x=<p*|xw> (1 - 4 A//7K+... ) =
= <рл|хл-1>ехр [-----1-}-МНк(Рк,
Следовательно,
<Хл|и(Д/)|хй_1> = j" <xk\pk> <pk [ xft_i>exp 4~ x
XAtHK( pk, xk-Sypk=	J exp-^~ [ pk(Xk—Xk-i)
—^tHK(pk, xk-i)]dpk.	(7.21)
Подставив (7.21) в формулу (7.20), имеем
<x|U|x'> = f exp-^-{/>N(xN —хдг_1)+ ... +a(-Xi—-*o)-
— Д/[//к(Р^ xa_()+ ... 4-Як(р, x0)]}X
dPN . dp, dxN-\ . dx,
X	"(2ЛЛ)1'2 (2лй)1/2	(2ПЙ)1'2’
Переходя к пределу N-> оо, Д/->0, получим
{pN(XN—Xjv~i)... -4- р^х,— х0)-Д7[//к(рл, xn_i)4-...4-
+ЯК(А, *0)|}-> j	-HMt), x(t))]dt.
62
Введем обозначения-
D(p) = lim N -*-оо	dpN	dPv
	(2пй)1/2	(2пй)1/2 ’
£)(x)=lim A'-oo		dxt
	(2лй)1/2	(2лй)1/2
Тогда <х | U | х' > = J exp (j, dt[p — Щр, x)^£)(/?)D(x).
•	1	(7.22)
Считывая, что Нк=>р2(2т)~1 + V, и полагая p=p-\-tndxldt, по-
лучаем
t	t	t _

Выражение m(dx/dt)2—V(x(t)) есть классическая функция
Лагранжа (L), а величина jr Ldt — классическое действие
Idt^S.
Принимая все это во внимание, можно привести формулу
(7.22) к виду
<x|U|x'> = C(O J exp[4-s(x, ^-)]ОД,	(7.23)
С(/)= J ехр(--4-£, -^dt)D(p).
Выражение (7.23) и есть фейнманов интеграл по всему кон-
тинууму траекторий x(t), начинающихся в точке х' в момент t'
и кончающихся в точке х в момент t.
5. РАСПАД НЕСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ-
ТЕОРЕМА ФОКА—КРЫЛОВА
Рассмотрим среднее значение оператора эволюции U по не-
которому произвольному нестационарному состоянию |о>,
т. е. выражение <a|U(/)|a>. Оно имеет следующий физиче-
ский смысл: это амплитуда вероятности того, что в момент t
система находится в том же состоянии |а>, что и в начальный
момент t=0. Свойства этого выражения существенно различны
для дискретного и сплошного спектров.
Воспользуемся спектральным представлением. Тогда будем
иметь:
а) В случае дискретного спектра (предполагая отсутствие
вырождения)
63
<a|U|a>=	|<£„|a> |2exp(—
Для вероятности W =|<a|U|a> j2 получаем
2 |<£„|a>|21 <£m|a>|2exp|-i-(£m~En)t ].
л, m	L 71	J
Принимая во внимание, что <£'n|a> <Дш|а>* представля-
ет собой элемент матрицы плотности Qnm в состоянии |а> в
энергетическом представлении, переписываем W в виде
2|Рлт|гехрГ-^-(Дт-Д„)И.
л, т	L 11	J
Это выражение можно подвергнуть дальнейшему преобразова-
нию, если учесть, что spg= 1, q=q+ и р2=р ( в чистом состоя-
нии). Тогда
U7=l-4 2 |p„m|2sin2(-^2-M.
п<т	\ zn /
Как видно, W представляет собой, вообще говоря, сложную
осциллирующую функцию t и не стремится ни к какому опре-
деленному пределу при оо. Но во всяком случае
^>1-4 2 |Рлт |2.
п<т
Следовательно, имеется всегда отличная от нуля вероятность
найти систему в том же состоянии, что н в начальный момент.
В некоторых специальных случаях, когда расстояния между
уровнями Ет —Еп являются кратными величины Д£, т. е.
Ет— En=Nmnb.E (Nтп—целое число), все величины sin2[(^m—
— £Л)/(2Й)/] обращаются в нуль при t — л (2Й/ДД), 2л (2Й/ДД)
и т. д. При этих значениях t начальное состояние | а> восста-
навливается полностью, т. е. W — I.
Такой случай, в частности, имеет место для гармонического
осциллятора, где разность энергии между соседними уровнями
равна постоянной величине /га.
б)	Для сплошного спектра имеем
<л|и|я>= J | <Д|О|2ехр( -i^dE. (7.24)
Как видно <a|U|a> представляет собой фурье-образ рас-
пределения энергии w ~ | <Д|а>|2. В этом состоит теорема
Фока—Крылова.
В отличие от дискретного спектра здесь lim<a|U|a> =0,
оо
так что в пределе /-> оо происходит полный распад начального
состояния. Выражение W — | <а | U | о> |2 представляет собой
закон распада.
64
Хотя интеграл в (7.24) берется по вещественным энергиям,
Однако, как оказывается, его значение существенным образом
зависит от свойств w(E) при комплексных энергиях, в особен-
ности от наличия полюсов вблизи вещественной оси. Заметим,
что поскольку w вещественна на вещественной оси, то полю-
сы расположены парами симметрично относительно веществен-
ной оси.
В ряде практически важных случаев имеется характерная
ситуация, когда существуют два полюса w с малой мнимой
частью £0±tT/2, Г<^ £о- Вблизи точки Ео
(£-£0)2+Г-/4
и представляет собой острый пик с шириной Г на половине вы-
соты. Величина D(E) определяется остальными полюсами
W(E), расположенными по предположению далеко. Их дейст-
вие мы учтем косвенно, заменив D на постоянную, которую оп-
ределим из условия нормировки j^wdE=l. Тогда
2п	’
Подставим это выражение в интеграл (7.24). Полагая £—£0 +
4-хГ/2, получим
<a|U|a>=exp(-Z^)4- J	(7.25)
Считая Г^£о, мы заменим (7.25) в первом порядке по Г/£о
выражением
<a|U|a>=exp(-(f j exp(7.26)
Здесь интеграл вычисляется путем перехода к комплексным х
и применения теоремы вычетов. В результате
in,	г/ \
<а|И|а>=ехр ------------^),
откуда для вероятности W <а | U |а>|2 получаем
U7=exp(—Г7/Й).	(7.27)
При достаточно малых значениях Г характерное время т=Й/Г,
за которое W уменьшается в е раз, оказывается большим. Ина-
че говоря, начальное состояние является долгоживущим, в связи
с чем оно называется квазистационарным.
Закон распада (7.27) обладает замечательными свойствами.
Он не зависит ни от деталей волновой функции начального со-
стояния, ни от способа его формирования. В (7.27) фигурирует
5. Зак. 1859	65
только один параметр — ширина Г. Отметим однородность
во времени: сдвиг начального момента на любую величину не
меняет экспоненциальной зависимости. Напомним, что в про
цессе вывода существенную роль играло условие Г/Ео1. В
этом смысле закон распада является асимптотическим, верным
тем точнее, чем меньше Г/Ео.
Если имеется несколько полюсов w с малой мнимой частью,
расстояние между которыми существенно превышает ширину Г,
то w на вещественной оси имеет вид нескольких пиков, так что
будет несколько квазпстационарных состояний. Каждое из них
распадается по экспоненциальному закону. В тех же случаях,
когда нет полюсов w с Г<Е0, а осуществляется ситуация
Г > £о. становятся существенными детали начального состоя-
ния, а также, возможно, и способ его формирования. При та-
ких условиях не существует универсального закона распада.
Глава 8
ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
I.	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
Предположим, что потенциальная энергия V и собственная
функция оператора энергии ф зависят лишь от одной коорди-
наты х. Для функции ф(х) имеем уравнение
2’	<8Л)
Рассмотрим случай, когда
£<0, то мы положим
(рис. 1) V(x)<0, lim V(x)=0. Если
Х-*±оо
£= -л2а2/(2т).
(8.2)
Согласно законам классиче-
ской механики частица не мо-
жет выйти за пределы точек
поворота а и Ь. Однако ф за
пределами этих точек отлична
от нуля. Асимптотика ф при
х->оо имеет вид ф^А^^-Ь
4-А2е ~ах , а при х -> — со
ф~ А3еа-*'4-А4е"аг. Выбираем решение, в котором Ai=0. В та-
ком решении, вообще говоря, А3^0 и А4=А=0. Лишь при опре-
деленных энергиях Et, Е2, .... образующих дискретный спектр,
коэффициент А4—О, и мы получаем решение, убывающее экспо-
ненциально как при х->оо, так и при х->—со. Решение (8.1),
соответствующее энергии Е„, обозначим через фл. Можно пока-
66
зать, что число узлов функции фл равно п~ 1 (если нумеровать
уровни Еп по порядку, начиная с наиболее глубокого Если
£>0, то вместо (8.2) положим £=7z27e2/(2m). Тогда асимпто-
тика ф имеет следующий вид: при х->оо
(8.3)
при х-^>-------ОО
ф~А3е~ ikx-rAieikx.
(8.4)
Спектр энергии сплошной. По законам классической меха-
ники частица с £>0 может беспрепятственно пройти над ямой,
скажем, слева направо. Полагая в (8.3) Л1 = 0, имеем
ф — Аге'Ч что соответствует свободному движению частицы
по направлению оси х. Однако при х-^>— оо в асимптотике
(8.4) присутствуют, вообще говоря, оба члена, что соответст-
вует суперпозиции движения как по оси х, так и в противопо-
ложном направлении. Величина £= | Л3/Л412 называется коэф
фициентом отражения, a D= [А^А^2 — коэффициентом про-
хождения. Из соображений сохранения тока R-\-D=\.
Уровни энергии в яме можно определить как полюсы коэф
фициента D или R при k—ia. Чтобы в этом убедиться, рассмот
рим выражение (8.4) при k—ia. Имеем ф~А3еадг+ Л4е-адг. При
х->— оо член А^е~ах экспоненциально возрастает и не имеет
никакого физического смысла. Но если Л4=0, то ф экспоненци-
ально убывает, что соответствует связанному состоянию. Из
выражений для D и R видно, что они при этом обращаются в
бесконечность. Заметим, что соотношение R+D= 1 при мнимых
k уже не имеет смысла, так как плотность тока для функций
вида е±ах равна нулю.
2.	ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
Рассмотрим теперь случай -У(х)>0, 1ппУ(х) = 0 (рис. 2).
Области £<0 здесь не существует. При
имеет вид (8.3) и (8.4). Трактовка
асимптотики и коэффициенты D и R
имеют тот же смысл, что и для ямы,
как при Е > У™* (надбарьерное отра-
жение), так и при £< Утах- Согласно
законам классической механики части-
ца не может находиться между точка-
ми а и b при £ < Угаа1. Прохождение
частицы из области х < а в область
£>0 асимптотика ф
х > Ь, предсказываемое квантовой механикой, называется тун-
нелированием. Ясно, что туннелирование происходит благодаря
наличию экспоненциального хвоста волновой функции в клас-
сически недоступной области, и поэтому коэффициент прохож-
67
дения должен быть экспоненциально малым, если только Е не
лежит близко к вершине барьера.
Рассмотрим еще задачу, в которой V(x) имеет вид двух ям,
разделенных барьером (рис. 3). Будем считать, что V(x) =
= У(—х). Тогда оператор энергии не меняется при инверсии
(замене х на —х). Что касается собственной функции, то она
при инверсии умножается, вообще говоря, на некоторое чис-
ло С. Поскольку в результате двукратной инверсии мы прихо-
дим к первоначальному положению, то должно быть С2=1,
откуда ±1. Решения, соответствующие С=1, являются сим-
метричными относительно инвер-
ГУ	сии, а соответствующие С=—1—
I |	антисимметричными.
/ I	Уровни энергии разбиваются на
I I	две группы, соответствующие С—
—«>-----г-р-|----р*-1	=+1 и С =—1. Рассмотрим про-
/ I /	стейший случай, когда имеется
\J	всего два уровня: £ь соответствую-
щий С=+1, и Е2, соответствую-
Рис. 3.	щий С=—1. Очевидно, что £2>£ь
Если барьер имеет большую ши-
рину и высоту, то уровни £2 и Е{ близки друг к дру-
гу. Это вытекает из следующих соображений. Различие
уровней Et и Е2 возникает из-за того, что симметричная
функция ф, не имеет узлов, тогда как антисимметричная функ-
ция ф2 обращается в нуль при х==0. Но если барьер высокий и
широкий, то ф|(х) в точке х=0 оказывается очень малой по
сравнению со своими значениями внутри ямы вследствие силь-
ного экспоненциального затухания. В результате функции ф| и
ф2, а тем самым и энергии, фактически мало отличаются друг
от друга. Расчет (см. книгу [6, §50, задачу 3]) подтверждает
эти соображения. Как | ij2, так и | ф212 не меняются при ин-
версии, так что в стационарном состоянии частица с одинако-
вой вероятностью находится слева и справа от барьера.
Состояние, в котором частица локализована в какой-либо
одной яме, является нестационарным. Оно описывается волно-
вой функцией вида
Ф=ф1ехр (-1^)тф2ехр(-^)
(8-5)
(с точностью до нормировочного множителя). Действительно,
в момент (=0 Ч,=ф1±ф2. Пусть ф2 и ф( имеют одинаковые зна-
ки при х>0. Тогда |ф1(х)+ф2(х) | при х<0 мала по сравнению
с |ф1(х) + ф2(х) | при х>0, и, следовательно, ф+=ф1+ф2 опи-
сывает состояние, локализованное при /=0 в яме справа от
барьера.
Наоборот, ф_=ф1(*)—ф2(х) описывает состояние, локали-
зованное при /=0 слева от барьера. Выберем в (8.5) знак
С8
плюс, что соответствует Т(х,0)=ф + При t^Q можно предста-
вить (8.5) в виде
Отсюда следует, что с вероятностью
^+= 41 ехр (+ ехр( -х |2 -cos2 )
частица находится в яме справа от барьера, а с вероятностью
ivz 'I /	£]/ \	/	• E2t \ I2 . 2! Ет—Ег /
U7_=v|exp( -»-f )-exp(-t-r)| = sin 2(—
слева от барьера. Таким образом, частица периодически ока-
зывается то слева, то справа от барьера. Период колебаний
Т=2лЛ!(Е2—Ei).
3.	ОДНОРОДНОЕ ПОЛЕ
Потенциальная энергия У=—Fx. Так выражается, в част-
ности, потенциальная энергия заряженной^ частицы в однород-
ном электрическом поле. Уравнение Шрёдингера с такой по-
тенциальной энергией интересно также тем, что его решение
используется для связи асимптотик в классически разрешенной
и запрещенной областях. Будем считать для определенности,
что F>0; случай F<0 сводится к случаю F>0 путем замены
х->—х. Уравнение Шредингера в этом случае удобно решать
в импульсном представлении. Оператор р заменяется при этом
числом р, зато координата становится оператором. Для того
чтобы установить вид оператора, заметим, что<д|х> =
= <х| р>* — (]^2кй)-1ехр(— ipxITi). Должно быть выполнено
соотношение х <р | х> —х<р | х>, откуда следует х=ЛЪд/др.
Тогда уравнение Шредингера принимает вид
(-af57 + ^--£)<'’l£>=°-
Его решение, нормированное на б(£—Е'), будет
<р 1 Е> ~ ехр 1st - тяг) 1 •
Волновая функция в х-представлении, нормированная на
д(Е—£'), есть
<х\Е>= f <х | р> <р | £> dp—
69
---L_ C exp{-^-[(%+ f	^8‘6^
2i№'2 J
Координата классической точки поворота, в которой V~E, есть
______E/F. Пользуясь этим соотношением, переписываем фор-
мулу (8.6) в виде'
<х । Е> =	J ехр { 4-[(л-л:0)р-	] }dp.
— оо
Введем обозначения:
„ р	/ 2mF \W. х
(2тЛГ)1/3’	Z-(~) (Хо-Х).
Тогда
. „ I г- /2т \ 1/3 1 г [	. / и3 .	. 1 ,
<xl£> = fcH -2к j ехР \-^—-\-zu)\du.
—-OQ
Интеграл
оо
v(z)=	$ expf-i(-y-4-z«)p«
— DO
(8.7)
(8.8)
называется функцией Эйри. В таком виде определение функции
Эйри был отдано В. А. Фоком. В литературе встречается также
Ai(z) =
Рассмотрим асмптотику v(z) при z-> оо. Исследование
асимптотики проводится методом перевала. Соответствующие
выкладки во всех подробностях представлены в учебной лите-
ратуре, и мы приведем здесь лишь окончательные результаты.
При z>0 (классически недоступная область)
ф~‘14-ехр(“4г3'2)’
при г<0 (классически разрешенная область)
^т^со8(4из,2~ 4)-
В дальнейшем нам понадобится решение уравнения Шредин-
гера в однородном поле, имеющее при z<0 асимптотику вида
Такое решение можно получить, проведя в (8.8) интегрирова-
ние по вещественной оси от —оо до 0 и по мнимой оси от О
до 1 оо и умножив (8.8) на 2/i:
70

При z>0 w—z~l4exp(2 z3/2/3).
Заметим, что при z<0
4-и«= ±у^(х_х^
=- /т Jw- - 4 ,f rtx,rfx
x„	x„
(p(x) = V 2m(E—V) = 1 2mF(x—x0) — классический им-
пульс).
При z>0
Л-z8'2» -у J | p(x) | dx
X
(здесь |p |=1 2mF(xc—x)). Что касается величины |z|14. то
ее можно представить в виде (2mF7?),/6/p1/2.
Итак, волновая функция ip(x)s <х [/?> согласно (8.7)
имеет следующие асимптотики: в классически разрешенной
области (х>х0)
’^S),/2V7cos(4-f Pdx—г)’	(8,9)
в классически недоступной (х<х0) —
•>~(-^)М2ТДЙе’‘[,(-т JlHrfx).	(8.10)
А'
Решение, экспоненциально растущее в классически недоступ-
ную область:
?~-^=-exp[z (-J- j pdx +-£-) ’ , x>xv. (8.11)
Хп
.exp
» I Pl
X <X(j
71
4. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Положим в (8.1)
ф=ехр(/о/й).	(8-12)
Для ст(х1 получаем
1 / da \2	. /;2 rf2o
sk)-‘SB-£-k	<813)
Будем искать решение в виде ряда з—a0+(fe/Z)a1(7гД)2°2 + —
Сохраняя лишь величины не старше первого порядка по й,
имеем (о0)2=р2(х) (р(х) =	2т(Е—V) — классический им-
пульс), откуда Оо= ± J pdx;
=о = — 2о'<, откуда Oj = — In (V».
Таким образом, в классически разрешенной области мы имеем
две линейно независимые функции:
и ,]'2=77exp(“-rf^JC)- <8Л4>
Выражения (8.14) можно применять и в классически запре-
щенной области (V>E):
ф,=7^Гехр(“4-J и Ф2=7^ехр(-г У
(8.15)
где | р |= / 2m(V—Е).
Условия применимости (8.14) и (8.15) получаются с учетом
2
требования, чтобы в уравнении (8.13) было |Йо"| < а' . Под-
ставляя в это неравенство для оценки сто вместо о, имеем
|rf/dx(^)|«l.	(8.16)
Это условие заведомо нарушается в классических точках пово-
рота, где по определению р—0.
Рассмотрим теперь подробнее случай, когда есть одна точка
поворота х0, разделяющая классически разрешенную и запре-
щенную области. Будем считать для определенности, что в точ-
ке поворота (dV/dx)x„ <0, так что разрешенная область лежит
справа от точки поворота. Тогда в этой области мы в качестве
волновой функции возьмем линейную комбинацию ф1 и ф2
(8.14) и представим ф в виде
72
ф = cos (
ч/ п \
X
pdX-\-a
Хв
В классически запрещенной области мы положим
*=ттаехр(--г J
X
Этими выражениями можно пользоваться, лишь начиная с не-
которого расстояния ±L от точки поворота, чтобы условие
(8.16) было выполнено. Но сначала следует выяснить, чему
равны фаза а и отношение С1С\. Допустим, что на интервале
(—L, L) вокруг точки поворота потенциальную энергию V мож-
но считать с достаточной точностью линейной функцией, т. е.
V(x) = V(x0)—F(x—x0).
Тогда очевидно, что фаза а и отношение С/С{ будут такими же,
как и для однородного поля (см. формулы (8.9) и (8.10)):
а= —л/4, С] = С/2, так что при x>x0+L
^ = V=PCOS(~T J ?dx ~г)’	<8Л7>
xo
а при x<Xq—L
*0
* =	(8.18)
X
Если в точке поворота (dVldx)Xo>0, то классически разрешен-
ная область расположена при х<х0 слева от точки поворота,
а классически запрещенная область при х>х0 — справа, и
вместо выражения (8.17) будем писать У(х) = Ё(х0) + Е(х—х0).
Тогда при х<х0—L
Ф = -^т= cos (~ Г pdx- -J-),	(8.19)
v р п J 4 '
х
а при x>xo+L
^ = 2^ехР(-^ j 1^1^)-	(8'20)
ХО
Существует другой метод установления связи квазикласси-
ческих волновых функций по обе стороны от точки поворота
Он состоит в том, чтобы проследить за изменением этих функ-
ций при обходе вокруг точки поворота в комплексной плоско
73
сти х Поскольку на контуре, по которому происходит обход,
функция р(х) нигде не обращается в нуль, то отпадает труд,
ность, связанная с неприменимостью квазиклассического при-
ближения в точке поворота. Однако при этом возникает дру,
гая трудность, связанная с тем, что коэффициенты С| и С, в
выражении
JCn
скачком меняются при пересечении определенных линий в
комплексной плоскости х, исходящих из точки поворота. Скач-
кообразное изменение Ci и С2 называется явлением Стокса, а
линии, при пересечении которых Ci и С2 меняются, называются
линиями Стокса. Задача, решаемая этим методом, сводится к
установлению соотношений между коэффициентами по обе
стороны линии Стокса. Вывод связи между квазиклассически-
ми функциями в классически разрешенной и запрещенной об-
ластях путем обхода точки поворота в комплексной плоско-
сти х содержится в книге [6, § 47].
Рассмотрим теперь применение квазиклассического прибли-
жения к двум задачам.
Уровни энергии в потенциальной яме. Имеем две точки по-
ворота: а и b (см. рис. 1). Будем считать, что расстояние b—а
достаточно велико, так что можно рассматривать точки а и b
независимо. Тогда на основании (8.17) (заменяя хо на а) мож-
но для волновой функции записать.
а
а на основании (8.18) (заменяя х0 на Ь)
♦=-^'cos(t
Эти выражения должны быть равны друг другу. Отсюда сле-
дует, что
ь
4 f Pdx= («+4)я-
а
(8.21)
С'=(— 1)"С.
Соотношение (8.21) представляет собой условие квантова-
ния Бора—Зоммерфельда.
74
Определим нормировочную постоянную С. Пренебрегая экс-
поненциально убывающими частями волновой функции в клас-
сически недоступной области, имеем
ъ	х
а	а
Считая п достаточно большим, заменяя cos2 средним значением
1/2, имеем
ь
£1 С dx — —
2 J р(х) 2 тш
Здесь со — классическая частота колебаний. Следовательно,
С— (2т со/л)1'2.
Коэффициент прохождения через потенциальный барьер.
Как и ранее, считаем, что точки а и b достаточно удалены друг
от друга (см. рис. 2). Полагаем, что в классически доступной
области x^b + L функция

Чтобы найти соответствующее выражение в классически недо-
ступной области: х^б—L, опять заменяем У(х) вблизи точ-
ки b линейной функцией и пользуемся формулами (8.11), в
которых полагаем хй=-Ь. Тогда
ь
Ф~
Вехп(—/п '4)
vTFl
ех₽(4- f
(8.22)
Для дальнейшего удобно представить это выражение в виде
ь	х
^^Be/j5?/4)exp(4- j |pl^)exp(—i-J 1^1^)-
а	а
Далее, установим выражение ф в классически разрешенной
области слева от точки а при х^а—L. Пользуясь формулами
(8.19), (8.20), в которых полагаем хо=а, имеем
а
f pdx- ,
75
т. е. ф ~
+ехр(—7Г j 
Г
Сравнивая асимптотику ф при х-> — оо и л-*- оо, получаем, чгс
по определению коэффициент прохождения
ь
О=ехр(—J |р|с/х).	(8.23)
а
Коэффициент отражения в данном расчете получается равным
единице. Его фактическое отличие от единицы не может быть
получено ввиду потери экспоненциально-убывающей части ф
под потенциальным барьером на фоне экспоненциально-расту-
щей.
Выражение (8.23) справедливо в том случае, когда показа
тель достаточно велик, т. е. точки а и Ь достаточно далеки друг
от друга. В том случае, когда точки а и b близки, следует про-
вести более точный расчет, основанный на аппроксимации вер-
хушки барьера куском параболы (см. книгу [6, § 50, задача 4]).
В результате получается формула
ь
D= [1 + ехр(-|- J* |р|
5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Оператор энергии имеет вид
н=. £ +	(8.24)
г. е. является квадратичной функцией координат и импульсов.
Преобразуем Н, не фиксируя пока определенного представле-
ния. Введем следующие операторы:
а- '	>	р),	(8.25)
у 2 ' г п у тшп '
а’=4г(г ¥*-<т=Чр)-	<«-2б>
у 2 ' * п	у main /
Из определения операторов а и а+ вытекают перестановочные
соотношения аа+—а+а=1, а также Н=й(о(аа++а+а)/2. Вве-
дем еще оператор N = a+a, удовлетворяющий перестановочным
соотношениям
76
|aN]=a,	|Na+] = a\
Тогда гамильтониан приводится к виду
Н=Й<» (N^4“)-
(8.27)
(8.28)
Поскольку гамильтониан (8.24) — оператор положительной
величины, собственные значения Н не могут быть отрицатель
иыми. Следовательно, спектр Н ограничен снизу. Кроме того,
заранее очевидно, что спектр должен быть чисто дискретным.
Как следует из (8.28), аналогичными свойствами должен обла-
дать спектр N. Удобно решать задачу в том представлении, в
котором оператор N изображается диагональной матрицей.
Обозначим через |п> собственный вектор N, так что
N | «> = п | п> 	(8.29)
Из (8.28) и /8.29) следует, что собственные значения энергии
£'я=Йи> («+4")-
Рассмотрим выражение а|п>. Применим оператор N к
а|п>. Учитывая соотношения (8.27), имеем Na \п> =a(N—
—1)|/г>=а(п—1) | n>= (n—1 )а |rt>, откуда следует, что
a|rt> с точностью до нормировки есть | п—1>, т. е.
а | п> —Сп\п— 1 >.
(8.30)
Аналогично
а+ \п>	>
(8.31)
Оператор а понижает собственное значение на единицу, а
оператор а+ повышает его на единицу (подобно операторам
j+ и j_ в теории углового момента). Отсюда следует, что
исходя из минимального собственного значения нШ1П мы мо-
жем получить весь спектр N, последовательно прибавляя еди-
ницу. Значение пш1п мы определим далее из условия невозмож-
ности его понижения с помощью оператора а.
Из соотношений (8.30), (8.31) следует, что Сл = <л—1|а|«>
С'п— <«+1 | а+ | п>. По определению эрмитова сопряжения
<«.Д-1 | а+ | п> =<п|а|«4-1 >*, т. е. С*+] ~С'п. Для того, что-
бы найти Сп, напишем соотношение
п— <п | /V| п> = <« 1 а+а | «> =
= <«|а+| и —1> <п — 1 | а | п> =Сп_х Сп= I С„ |2,
из которого следует, что | С„ | =]/п.
Мы определили абсолютную величину | Сп |, а фаза Сп ос-
талась неопределенной. Поскольку фаза Сп не влияет ни па
какие физические результаты, мы положим ее равной нулю.
77
Тогда имеем	___
а |Л> = |/л| л-1>, а*| л>=К«+1|л4-1>- (8.32)
Рассматривая первое из выражений (8.32), легко видеть, что
процесс понижения собственных значений прекращается лищь
в том случае, если среди них есть нуль. Он и является мини-
мальным собственным значением nraill. Таким образом, выяс-
няется, что спектр N целочисленный: n=sO, 1,2,...
Собственный вектор основного состояния определяется со-
отношением а 10 > =0. Найдем соответствующую собственную
функцию в координатном представлении. Согласно (8.25)
имеем
( ]^1Гл + 4’Р~7==Г'<л10> =0
\ 9 н	у тлап
ИЛИ	(^.+=Х)<Х|О>=О.
Нормированное решение этого уравнения есть
<х | 0>— ехР1ч 2hx)’	(8.33)
Пользуясь вторым из соотношений (8.32), мы можем вы-
полнить рекуррентное построение всех собственных функций.
Имеем: а+|0> —Z1 | 1 >, а+| 1> = J/2 | 2>, а+|2>=]/3 |3>
и т. д. Отсюда
Перейдем к координатному представлению. Принимая во
внимание формулы (8.26), (8.33) и вводя для удобства пере-
менную g=x У multi, имеем
<H«>-(^r^(t-i)-exp(-4.). (8.34)
Это равенство можно также представить в виде
где оЯГп — полином Эрмита.
В заключение рассмотрим так называемое когерентное со-
стояние — специальный вид нестационарного состояния, кото-
рое при t~0 является собственным вектором оператора а:
а|а>=а|а>.	(8.35)
В координатном представлении, используя введенное обозна-
чение g, имеем
78
При О О вектор состояния |*> переходит в ехр(—/Н//Й)|а>,
так что волновая функция
ф(£, 0= <М ехр (—Z ijp j | а >.
Докажем, что
| ф |2=Л2ехр| — (£—EjcoswZ)2].	(8.38)
Представим ф в виде
Ф = 2 <£ 1«> <" I ехр (—4 пг) I п’> <п' | а> =
п, п'	'	*
= 2 <£ | «>ехр Inwt—<тг|а>.	(8.39)
Найдем < л| а>. Принимая во внимание выражение для
п> (см. с. 76). имеем
<п | а> —<а | /£>*=<а |о>*.
I Vn\ |
По определению эрмитова сопряжения
<а|(^о>*=<о|^|«>-
|/л1	1/Й1|
Учитывая определение (8.35), получаем
Используем соотношение	= 1; тогда
| <0 | а> |2еа =1, откуда <0 | а> = ехр (—а2/2). Окончательно
получим
</г|а>=-^=ехр'----(8-40)
Подставим выражение (8.40) в формулу (8.39):
ф = ехр(--г--) Ъ <£|n>L—
Это выражение можно представить в виде
79
Ф=ехр ( — -2	4 2 )	/л! L 2
'	n
d-(ae ‘“')2J = ехрГ— у —	+ 4-(ад ,w)2] <* I ^e-lu,t>.
у читывая (8.36) и (8.37), имеем
ф=Лехр {-J- e~2iu>‘ — -L —	— JL G — Ге- “О2 ).
После элементарных преобразований отсюда следует соотноше
ние (8.38).
Рассмотрим подробнее выражение
И7„ = | <л|я>
Найдем п:
лг =<а |/V | а> =<а | а+а | а> = а2-	(8-41)
Следовательно, Wn—[(n)n/n\] ехр(—п), что представляет собой
распределение Пуассона. 
Вычислим дисперсию, т. е. (п—п)2=п2—(п)2. Величина (п)2
согласно (8.41) равна а4. Что касается п2, то п2=<а|Л’2|а> =
= <а | a+aa+a | а>. Пользуясь перестановочными соотношения-
ми, приводим га2 к виду
П2 —	| а+а+аа | а> + <а | a+a | а> =а4-)-а2.
Следовательно, п2—(и)2=а2. Отсюда следует, что относитель-
ный разброс по п равен (н)-1]^(и—п)2=(Уп )-1. Как видим,
с ростом п относительный разброс убывает, так что когерентные
состояния при больших п обладают почти определенной энер-
гией, приближаясь по своим свойствам к классическому осцил-
лятору.
Глава 9
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА
В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
УРОВНИ ЛАНДАУ
В своей наиболее существенной части задача о движении
заряженной частицы в однородном магнитном поле сводится к
задаче о гармоническом осцилляторе. Однако существуют в
80
теории движения заряженной частицы в однородном магнитном
поле дополнительные детали, изучение которых поучительно.
Оператор энергии согласно (6.1) имеет влд
н=2^г(р------а) Н-е?ф—	(9.1)
Предположим, что проекция спина на направление магнит-
ного поля имеет определенное значение, т. е. волновая функция
является собственной функцией оператора 83$ . Тогда член
превращается в число, которое входит в качестве сла-
гаемого в собственное значение энергии, и задача сводится к
нахождению собственной функции оператора:
Л I / Л р \2
H«“i(p-vA)+<гф-	<92>
Выберем калибровку:
Ау = 4=0, Ф=0.	(9-3)
Тогда Но примет вид
Л 2	Л2
Рассмотрим интегралы движения. Имеются три оператора,
А л л л f л	л
коммутирующие с Н: рг, рЛи х0= j-^.py+x.Однако х0 не ком-
Л
мутирует с рл. Это обстоятельство приводит к существенному
отличию квантовой и классической картины движения. В клас-
сической теории интегралам движения х0 и рх соответствует
движение в плоскости (х, у) по окружности с центром в точке
х0=сру1(е^)+х, у0=—срх1(ее%''). В квантовой теории соот-
Л л
ветствующие операторы х0 и рх не могут иметь одновременно
определенных значений, так что нет ни центра, ни окружности.
л
Перейдем в такую систему координат, в которой рг=0.
л
Обозначим собственную функцию оператора Но через ф и
представим ее в виде
Ф=ехр (г }<?(у).	(9.4)
Л
Подставив (9.4) в уравнение Ноф = еф, получим
[ е- (У- Уо)2}= 0,	(9.5)
<uo = |е | &77"(тс)~х, у0 = ~срх(ео^ух. (9.6)
Положим у—Уо~Ч- Тогда уравнение (9.5) примет вид
6. Зак. 1859
81
т. е. совпадет с уравнением для гармонического осциллятора
частоты й0. Следовательно,
еп=Йш0(/г+1/2)>	(9.7)
а <р представляет собой волновую функцию гармонического ос-
циллятора: qn(y+cpx(e Л/')~'). Энергия Е, т. е. собственное
Л
значение Н, равна
E=h<o0 («+ 4") + £ —.
Уровни энергии (9.7) называются уровнями Ландау (впервые
рассмотревшего данную задачу). Энергия не зависит от значе-
ний рх в (9.4). Следовательно, имеется вырождение: одному и
тому же значению Е соответствует бесконечный набор функ-
ций, отличающихся значениями рх.
Итак, заряженная частица в магнитном поле при калибров-
ке (9.3) описывается волновыми функциями
У, Рх) = ехр	(у +	,	(9-8)
n=0, 1, 2, ...
Рассмотрим теперь калибровку Ах~0, Ау— Jfx, AZ=Q>
Ф=0. При этом собственные функции Но есть
у. л)=ехР (11-тУ^(х~	•	<9-9)
Функции фл (х, у, ру) и фп (х, у, Рх) связаны унитарным преоб-
разованием
Ф'(*> У, Ру)- 1 i/офДх, у, px)dpx.
— оо
Приведем явное выражение для С7о- Принимая во внимание,
что <p0(zz) = [тш0/(тг/г) J,-/4ехр[ — /пч>0«2/(2й)] и учитывая фор-
мулу (9.6), имеем
Как и должно быть,
©о
f ЩРХ> PMlPx, Py)dpX^(Py- Ру)-
— ©о
Волновые функции (9.8) и (9.9) различаются тем, что они
убывают подобно осцилляторным функциям лишь в одном на-
82
правлении: при|у|->оо в (9.8), при |х|->оо в (9.9). Можно
построить волновую функцию, убывающую как при |л[->-оо,
так и при |у| -> оо. Для этого нужно воспользоваться симмет-
ричной калибровкой: Ф = 0, Ал — — е^у/2, Ау= q^x/2, Аг=0.
Гамильтониан примет вид
л 1 Л9 л'9	% е У л 1	1 ie.Q% \2
Н<>= ^7 (Рл- +ру +Pz )- (Рух-РлУ)+ (-7-) (х2 + у2).
(9.10)
л л	л
Выражение рух—рху представляет собой оператор Lz. Он
коммутирует с Но и поэтому является интегралом движения
Л
наряду с рг.
Чтобы продемонстрировать убывание собственной функции
ф оператора (9.10) при | х [-► оо и|у|->оо, достаточно рас-
смотреть простейший случай состояния с наинизшим значением
Л
энергии (п = 0) и считать Цф=0, ргф = 0. Уравнение для ф при
этом условии имеет вид
fe + fe—?(^)V+y’)>«>.	(9.П)
причем здесь мы воспользовались обозначением (9.6). Волно
вая функция ф, отвечающая наинизшему значению энергии,
представляется в виде произведения фо=фо(х)фо(У), где ф0 —
волновая функция гармонического осциллятора с частотой
о)о/2 в основном состоянии;
<-•- (В)
1/2
ехр

(9.12)
Тогда из уравнения (9.11) находим е=Й(оо/2 в согласии с (9.7).
(Рассмотрение задачи в общем виде в случае симметричной
л
калибровки при произвольных значениях Lz и п дано в книге
[6, § 112, задача 1].)
Функция вида (9.12) также может быть получена из функ-
ций фо(х, у, рх) или фр (х, у, ру) с помощью подходящего уни-
тарного преобразования.
Значение энергии при всех калибровках получается одним
и тем же. Это — следствие калибровочной инвариантности. Что
касается выбора калибровки для вычисления волновых функ-
ций, то это зависит от конкретных обстоятельств задачи, т. е.
от того, какой интеграл движения считать заданным, рЛ, ру
или L2.
83
6*
2. ПРЕЦЕССИЯ СПИНА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Если проекция спина на направление магнитного поля не
имеет определенного значения, то состояние частицы в магнит-
ном поле будет нестационарным.
Мы рассмотрим простейший случай — нейтральную частицу
со спином 1/2, например нейтрон или атом с суммарным спи-
ном 1/2. В случае атома мы будем предполагать поле доста-
точно слабым, чтобы можно было пренебречь его влиянием на
структуру атома, и будем атом рассматривать как целое.
Поскольку в однородном поле(%1 оператор взаимодействия
магнитного момента частицы с полем не содержит координат,
мы можем представить волновую функцию в виде произведения
спиновой и координатной частей. Для нейтральной частицы
координатная часть волновой функции не зависит от магнитно-
го поля, и она описывает просто свободное движение частицы.
Интересующие нас эффекты связаны со спиновой частью вол-
новой функции, и поэтому мы будем рассматривать только ее.
Как следует из (9.1), спиновая часть гамильтониана Н5 для
№=1/2 есть
Н5= —•	(9.13)
Обозначим через п единичный вектор вдоль направления поля.
Его декартовы составляющие пх, пу, nz выражаются через
углы G, ф сферической системы координат:
nx=sin6cos<f>,
ny=sin6sin<p,	(9.14)
ne=cos6.
Тогда выражение (9.13) приводится к виду
=	(9.15)
Соответственно оператор эволюции спиновой части есть
С оператором такого вида мы уже встречались ранее (см.
гл. 5). Разлагая экспоненту в ряд и пользуясь свойствами мат-
риц Паули, в силу которых (о п)2 = 1, можно привести U к виду
U = cos (^^£)+t(3n)sin	)•	(9.16)
Допустим, что в начальный момент спин частицы имел проек-
цию 1/2 на ось z. Тогда амплитуда вероятности иметь проек-
цию —1/2 на ось z в момент t равна
84
A-1/2, 1/2 = <----2” U Hr > '
Пользуясь правилами действия ох, av, на 11/2 > (см. (5.25)),
получаем
^-1/2, i/2==te,fsiti0sln(:^^1 ).	(9. 17)
Величину sin 0 можно выразить через поперечную составляю-
щую магнитного поля еЯГх = Ve%^x-\-Q%"y > а именно
еГх _ еГх
~ 1 e^l+e/П ‘
(9.18)
Для вероятности W-w, 1/2 = | A -1/2,1/212 получим на основании
формул (9.17), (9.18)
1/2~;егг+^sin (—z) •
Чтобы более наглядно представить картину движения, рас-
смотрим среднее значение а, которое мы обозначим через Р.
Согласно (3.21) Р=щр(ра). В свою очередь, q удовлетворяет
уравнению	р]. Следовательно,
Z^=Z7isp(a-^-) = sp(:;[H5p]).
В правую часть этой формулы нужно подставить выражения
(9.13) для Н5 и (5.26) для р. Пользуясь соотношением
(аа) (стЬ) = ab -f-Za[a X Ь], вытекающим из свойств матриц
Паули ([axb] — векторное произведение а и Ь), и учитывая,
что spsl=sp-Jy=sp3|=2, получаем
^=ТеГ|РХп].	(9.19)
Это классическое уравнение прецессии вектора Р вокруг на-
правления п.
Весьма существенно, что уравнение (9.19) справедливо так-
же и для смешанного состояния, когда не существует опреде-
ленного вектора состояния. В частности, для такого смешан-
ного состояния, в котором Qi2=0, отличной от нуля оказывает-
ся лишь величина Pz, а Рх=Ру =0. При этом, как вытекает из
(9.19), dPJdt—Q, т. е. Рz сохраняет постоянное значение.
Интересным обобщением рассмотренной задачи является
поведение спина во вращающемся поле:
sin 6 cos 10/,
еЯГу = sin 6 sin wZ,
е^ = е^" cos 6.
85
Путем перехода к вращающейся системе координат Можно
свести этот случай к статическому полю с тем отличием, что
появляется новый параметр — частота ы.
Рассмотрим уравнение для оператора эволюции ih(d/dt)U~
= H5U. Гамильтониан Hs представим в виде (9.15), где со-
ставляющие вектора п даются соотношениями (9.14), причем
Ф = (в/, т. е. nx=sinGcosiuZ, ny=sin6sinwZ, nz=cos6. Положим
U=exp(-Z<os^)U'.	(9.20)
(Для удобства дальнейших выкладок мы перешли к оператору
спина s= (а/2)). Для U' получим
ih	“М	sn 	} и(9.21)
Скалярное произведение sn удобно представить в 'виде
sn=cos6s2+ -i- sinO(s+e-‘w +s_e'u,z),
где s± = sjr + Zsy. Пользуясь известными перестановочными со-
отношениями между s± и s2 (см. гл. 5), имеем
iios /	— pos / iu>t
е г s+e » =е s±.
На основании этого соотношения получаем
e‘“sz'	=s,cos0-|-svsln0.
Подставив это соотношение в формулу (9.21), найдем
i	— {(u>4 x^cos6)sz4-7-//sin6sJl.} U'.
Отсюда
U' = expZZ {(“ + i<i/F'cos&)sz 4-7 v/sinGsj,.}.
Выбирая 6>л/2 при у>0 и 0 <л/2 при у<0, вводя обозначе-
ния
w0= — t ^'cosG, iDj^-p^slnG, £2 = ) (w — %)2 Н’>и
/Д==(01/2, п;=(ш—GJO)/S	(9.22)
и переходя снова к оператору о, имеем
U'=exp(z -^-п'а ).
Это выражение может быть приведено к виду, аналогичному
(9.16):
U'=cos (^-)+Zn'asln
Заметим, что оператор ехр(—i ы szt), фигурирующий в (9.20),
равен ехр ( — iwazt/2) = coswZ/2—Zo2sinwZ/2 и изображается
диагональной матрицей
86
ехр (t‘4)
о
Поэтому амплитуды, вычисляемые с помощью оператора U, от-
личаются лишь фазовым множителем от амплитуд, вычисляе-
мых с помощью оператора U', а вероятности переходов просто
равны. Амплитуда
а вероятность
^-1/2, 1/2= 7-Sin2 .
'	'	(Ш—Шй)-+ <4	\ 2 J
(9.23)
Множитель ы'(/[(ы—<оо)24“Ы1] имеет вид пика с вершиной при
(0=0)0 и шириной на половине высоты 2ti)i; при о)=юо IF-i/2,1/2 =
=sin2<oi //2. В этом случае W-w,1,2 периодически становится
равным единице. Следовательно, мы имеем здесь дело с резо
нансным переворачиванием спина.
Что касается вектора Р=°, то во вращающейся системе ко-
ординат он прецессирует вокруг направления п' (9.22). При
(о=(оо вектор п' направлен вдоль оси х вращающейся системы
координат. При этих условиях вектор Р вращается в плоскости
(у г) вокруг оси х и периодически направлен то по оси г, то
против нее.
Рассматривая формулу (9.23), можно увидеть, что при
wi<Cw0 резонанс оказывается очень острым. Резонансная час
тота «о, как видно из (9.22), пропорциональна величине у. От-
сюда следует, что наблюдение резонансного переворачивания
спина является эффективным методом измерения у с большой
точностью.
Эффект резонансного переворачивания спина лежит в осно-
ве радиоспектроскопии твердых и жидких тел и магнитного
резонансного метода исследования атомных пучков, что делает
задачу о движении спина во вращающемся поле чрезвычайно
важной.
Отметим еще, что переход к вращающейся системе коорди-
нат, использованный здесь, оказывается полезным и в ряде
других задач (см, например, гл. 12, §3).
Глава 10
ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Поле называется центральным, если потенциальная энергия
V (х, у, z) зависит только от одной переменной r= }^x2+y2+z2,
т. е. имеет вид V(r). Сферическая симметрия У(г) подсказы-
вает использование сферической системы координат, в которой
А
уравнение Нф=£ф имеет вид
 2	, 1 f 1 д .д__________1_±_1 1 д_
дг- ' г дг [ slnfl дО S П dO-*" sin2ti dy-J '*
+ ^(£-П(г))<Ь=0.	(10.1)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, с точностью до
знака совпадает с оператором I2, так что (10.1) приводится к

А
Поскольку оператор I2 действует на угловые переменные, а
V(r) от них не зависит, то Н коммутирует с I2, и, следователь-
но, угловой момент является интегралом движения.
Будем рассматривать состояние с определенной энергией,
квадратом момента и его проекцией. Этому соответствует пред-
ставление волновой функции в виде ф=7?,(г)Уz,m (0, <р).
(Опасность смешения проекции момента и массы, обозначае-
мых одинаковыми буквами, не возникает, так как проекция
момента в уравнение (10.2) не входит.) Ввиду того, что 12УЛт =
— 1(1+1 )Ylim, получаем для радиальной функции уравнение
+ 4	<10-2)
Вводя функцию Ф((г)—гК, (г), получаем для Oz урав-
нение
^ + [^(£-V)_ М]ф,=о,	(10.3)
так что задача сводится к одномерной на полуоси (У>0) с эф-
фективной потенциальной энергией:
V3=V(r)
, A2 /(Z4-1)
2m г2
88
(Здесь второй член представляет собой центробежную энер-
гию. )
В отличие от одномерной задачи на всей оси (—оо, оо)
здесь Ф; (0)=0.
Интегралом движения является также четность, поскольку
оператор инверсии коммутирует с гамильтонианом частицы в
центральном поле. Из свойств функции УЛт (гл. 5, §4) выте-
кает, что четность состояния есть (—l)z.
Рассмотрим асимптотику радиальной волновой функции при
г->- 0 и г-> оо.
Сначала рассмотрим случай г—>0. Удобно пользоваться урав-
нением (10.3). Положим Ф/=гА (H-Cir+ —) и подставим в
(10.3), считая, что Пт Кг2=0. Тогда Х(2,—!) = /(/+!). Корня-
г-*-0
ми этого уравнения будут 2ц=/+1, 2.2= —L Регулярное при
г->-0 решение (10.2) соответствует корню 2ц. Следовательно,
при г—>-0 Rt ~const rz. Если же (2m/k2}V ведет себя при г->0 как
—air2, то для определения 2, получим уравнение 2,(Z—1) =
= /(/+1)—а. При а>!\1+ 1 )Т 1/4 корни будут комплексными:
Н,2= 4 ±П 4а-1-4/(/+1)).
Регулярных при г->-0 решений (10.2) в этом случае не будет.
Одно из решений ведет себя как г~1/2ехр(г у In г), другое — как
г~,/2ехр(—/у!пг), где у= } 4а—1—4/(/-]-1). Общее решение
(10.2) при г->0 будет их линейной комбинацией, т. е. R—
— С г 112 cos (ylnr -f- а). Эта функция при г->0 имеет бесконеч-
ное число нулей (так как In оо при г->0). Но из опыта ре-
шения одномерной задачи о частице в потенциальной яме из-
вестно, что число узлов (нулей) волновой функции совпадает
с номером уровня, отсчитываемого от основного состояния. На-
личие бесконечного числа нулей означает, что основное состоя-
ние находится при £ =— °о. Этот результат соответствует
классическому падению частицы на центр (подробнее см. книгу
[6, §35]).
Обратимся теперь к асимптотике при г->оо. Пусть V убы-
вает быстрее, чем г-1 при г-> сю. Пренебрегая членами V _и
l(l+l)/r~2 , получим для случая	при Е=й2/г2(2т) 1
(l)i~cieikr-i-cse ikr. Все значения k допустимы, так что спектр
энергии сплошной. Для случая £<0 при Е=— й2а2(2т)-1
Ф1'^схеаг+сге~аг.	(10-4)
Если выбрано регулярное при г=0 решение (10.3), то, вообще
говоря, оба коэффициента в (10.4) отличны от нуля. Лишь при
определенных значениях энергии Ci=0. Это и есть собственные
значения энергии. Как правило, они зависят от I. Радиальная
волновая функция £г при этом имеет асимптотику
89
R^ce-"lr.	(10.5)
Если при г->оо V убывает как —т/г, то асимптотика видоизме-
няется. Сохраняя лишь ведущие члены в асимптотике, имеем
для случая £>0, полагая E=ti2k2(2m)~l и т=Й2(2/п)“1р,
ехр[/ (Лг-f- A-]nr-)j+ -^-expf-i^r+^lnr)].
Для случая £<0 вместо (10.5) будем иметь
Rl^ — r^2ae~ar.
2. ЧАСТИЦА В ПРЯЛЮУГОЛЬНОП ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ.
УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ УРОВНЯ-
СЛАБО СВЯЗАННОЕ СОСТОЯНИЕ
Задача о частице в прямоугольной потенциальной яме
1/(г)= — | при г <r0, V(r)=0 при г>г0 (10-6)
является простейшим примером, на котором могут быть пояс-
нены некоторые принципиальные вопросы. Кроме того, эта за-
дача служит основой для формулировки методов приближенно-
го решения ряда задач, не поддающихся точному решению.
Разберем сначала случай /=;0. Для функции Ф (опускаем
индекс) имеем при г<г0 уравнение
^+РФ=0, где ₽2=^(£+| 1/|).
Решение, регулярное при г=0, есть Ф=Лз1прг. При r^rQ
имеем
где а2= —l2mE/fE. Мы рассматриваем связанное состояние и
считаем £<0. Решение, убывающее при г-> оо, есть Ф=Ве~аг.
В точке г0 оба решения должны быть сшиты при условии
непрерывности функций и их производных. (Удобно требовать
равенства логарифмических производных ф-'г/фД/г.) Получа-
ется соотношение р ctg р г0= —а, представляющее собой урав-
нение для определения энергии Е. Из него следует условие по-
явления уровня с энергией £=0:
Первый уровень (основное состояние) появляется при
V(2т/Пг) |1/| г0 = к/2. В отличие от одномерного случая
здесь уровень не существует, если при данном радиусе г0 глу-
бина ямы ( V | недостаточно велика. Это объясняется тем, что
90
функция Ф дДя основного состояния имеет один узел (йри
fio) и соответствует не основному состоянию в одномерной
яме (описываемому безузловой функцией), а первому воз-
бужденному. Ясно, что это обстоятельство не является свойст-
вом, присущим лишь прямоугольной яме, а имеет общий ха-
рактер.
При дальнейшем углублении ямы появляется второй, третий
н т. д. уровни. Условие появления н-го уровня есть
( (2/и/>г)| И| Xг0= лк/2.
Важным специальным случаем является слабо связанное
состояние, для которого |£’| <^| И|, так что уровень лежит
близко к границе сплошного спектра. (Примерами могуг слу-
жить дейтрон и отрицательный атомный ион.) При этом
аг0<<1. Действительно, записав цг0 в виде ar0= (j Е |/ [ V |)' 2Х
Х((2т/й2) | И|]1/2г0 и замечая, что |(2лг/й2) |	]*'%• незначи-
тельно превышает величину л/2, при которой уровень появляет-
ся в яме, приходим к заключению, что при (|Д|/| V) )<С I будет
aro< 1-
Условие аго<С1 означает, что «радиус» волновой функции
вне ямы, т. е. характерная величина 1/а значительно превы-
шает размер потенциальной ямы.
Такая особенность волновой функции свойственна не толь-
ко слабо связанному состоянию в прямоугольной яме, но и
любой короткодействующей яме произвольной формы.
На этом свойстве основана так называемая модель потен
циала нулевого радиуса, состоящая в том, что последователь-
ное рассмотрение волновой функции внутри ямы с помощью
уравнения Шредингера заменяется граничным условием в точ-
ке г=0:
-^.^(гф)|г=0=-а.	(10.8)
Волновая функция ф оказывается сингулярной в точке
г=0 и при малых г имеет вид Чг=Д(г~1—а). Условию (10.8)
удовлетворяет, очевидно, функция ф=Де-аг/г.
Однако граничное условие считается справедливым (в опре-
деленных рамках) и в других случаях, когда ф уже не имеет
указанного вида. Например, можно применить это условие для
рассмотрения действия электрического или магнитного поля на
слабо связанную частицу в потенциальной яме. Такие задачи
не поддаются точному решению в их буквальной постановке.
Но если заменить потенциальную яму граничным условием, то
задача сводится к нахождению сингулярного в точке г=0 ре-
шения уравнения Шредингера в электрическом или магнитном
поле, удовлетворяющего условию (10.8).
Можно расширить область применения модели, включив в
рассмотрение такой случай, когда в яме не существует слабо
связанного уровня, но при незначительном углублении ямы та-
91
кой уровень уже появляется. Принято говорить, что это cziy.
чай виртуального уровня. При этом параметр а в (10.8) отри-
цателен. Многочисленные примеры применения модели потен-
циала нулевого радиуса содержатся в книге [7].
Обратимся теперь к случаю /=И=0. Предварительно приведем
некоторые необходимые в дальнейшем сведения из теории функ*
ций Бесселя. Рассмотрим уравнение
^ + 4^+(>-^)Л-о-	(Ю.9)
Его решение называется сферической бесселевой функцией.
С помощью элементарных выкладок можно показать, что урав-
нение (10.9) эквивалентно системе уравнений первого порядка
75Г00-10)
О»-)))
Уравнением (10.11) можно воспользоваться для рекуррент-
ного построения функций ft. Начнем с /о- Произведение foz
удовлетворяет уравнению
5-(П^)+(М)=0.	(10-12)
Выбирая различные линейно независимые решения уравнения
(10.12), получаем разные виды сферических бесселевых функ-
ций. Так, выбирая решения (10.12) в виде sinz и —cos г, по-
лучаем сферические функции Бесселя j0(z) и Неймана n0(z):
jo=sinz/z, n0= —cosz/z.
Выбирая решения (10.12) в виде exp(±t'z), получаем сфе-
рические функции Ганкеля и Zi<2):	= (iz)~le,z, =
= (— iz)~le~iz.
Теперь с помощью уравнения (10.11) получаем
. _ Sinz COSZ	_ cosz sinz
71— Z2 ~ • Л1	$2	~’
г-)л	*12)=—Hi+vk"
и т. д. Между функциями п, и Л|О’ (2> существует соотноше-
ние, вытекающее из их определения:	—jt±inПри z->0
функции jt и nt имеют вид
— г1 Г( г2 I 1
Jl~~ 1-3-5 ... (2Z+1) [1— 2(2/+3) +•••]’
1-3 ...(2/-1) Г ,	_ i_ 1
П‘ ~	L 1	2(1-2/) -Г - J’
Асимптотика при z-> оо будет следующей:
92
jl~ cos
(*-'4“
1	/ u+l) \
ni~ — sin (z-— *)•
Лр. (2) exp ±t[z —
Радиальные волновые функции частицы в прямоугольной
потенциальной яме (10.6) выражаются через сферические бес-
селевы функции. При Г<Го
Rt=Ajt^r),	(10-13)
при г^г0
(10.14)
а и р имеют те же значения, что и при / = 0.
Для сшивания решений удобно приравнивать на границе
ямы при г=Го величины
Рассмотрим слабо связанное состояние аг0<^А- Вычислим
величину Ft, подставляя выражение (10.14) для Дг. Принимая
во внимание поведение (г) при малых ] z | , получаем
Ft~—a?r0/(2l—1). При а=0 ^обращается в нуль, как и в
случае /=0. Подставив (10.13) в выражение для F, и учитывая
(10.10), получим условие появления уровня
И^О-	(10.15)
При а¥=0 F[ существенно отличается от случая 1=0 в том от-
ношении, что F; пропорционально г0, тогда как Fo от г0 не за-
висит. Отличается также и поведение подынтегрального выра-
жения в нормированном интеграле f“ R]r2dr. При 1=0 даже
с сингулярной функцией R t=Ae~ar R интеграл сходится. В слу-
чае /=й=0 нормировочный интеграл при гп-Ч) расходится.
Ввиду всего этого модель потенциала нулевого радиуса
(т. е. граничное условие вида (10.8)) при 1=А0 невозможна.
В случае /#=0 нужно граничное условие ставить на сфере ко-
нечного радиуса.
3. КУЛОНОВСКОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ.
ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР
Эта задача лежит в основе теории строения атома, чем и
определяется ее значение. Вместе с тем задача имёет ряд осо-
бенностей, заставляющих рассматривать ее отдельно.
93
Представим потенциальную энергию двух противоположно
заряженных частиц с зарядами Zie и Z2e в виде V Ze /г, где
______ZtZ2- Уравнение (10.3) принимает вид
$+(¥ +	00.16)
Введем безразмерные переменные: Q=r/r0, ? — Е/Е0, где
г0=йг'(raiZe2), E,o=7)2'(wro)=ra?Z2e4/fi2.	(10.17)
Это эквивалентно выбору системы единиц, в которой й =т =
— \rZe=\. Положим
f=(—2га2)-1.	(10.18)
Тогда (10.16) примет вид
^+(-^ + 4-^*>-0.	(10.19)
При п->0 регулярное решение (10.19) ведет себя как Ф/-^р/+,1
при q-> оо ф, ~ р~пг? ₽». Пас интересует экспоненциально-
убывающее решение
Ф,-рле	(10.20)
Представим Ф, в виде
ф,=р'+'U7eOT'n	(10.21)
и займемся исследованием W.
Для ГГ получается уравнение
P^+2('+«-^)^+2('-^)^0.
Вводя новую переменную х=2р/п, получаем
+ (2^+2-х)^-+(га-/-1)И7=0.
Это уравнение является частным случаем уравнения
d*W , . .dW	_
х~^ +(7-^) —-а^=0,
определяющего так называемую вырожденную гипергеометри-
ческую функцию. Его решение, регулярное при х=0 и обра-
щающееся в точке х=0 в единицу, принято обозначать как
F(a, у, х). Таким образом, с точностью до нормировочного мно-
жителя W=CF(—га-М-Н. 2/+2, х). Функция F(a, у.х) может
быть представлена по методу Лапласа в виде контурного
интеграла:
Д(а, ъ Х)=^ f e‘(t—x)
94
Контур охватывает обе особые точки: Z=0 и t—х и уходит кон-
цами на — оо. Положим, что а не целое. Рассмотрим асимпто-
тику при оо. Главный вклад дает область вблизи /=х. По-
лагаем /=т4-х. Тогда при х-+<х> имеем F-^exxa^'< или, воз-
вращаясь к исходным обозначениям, W ехр(2е/п)(Нп+,+1).
При подстановке в (10.21) получаем Ф — р~перп, т. е. расту-
щее решение.
Если а целое и отрицательное, то контур С обходит только
одну особую точку: /=0, а точка /=х уже не является особой
(и не является точкой ветвления). Выражение (t—х) а в на-
шем случае равно (t—х)п-/_| и представляет собой полином
по х степени п—I—1. Следовательно, и F будет полиномом сте-
пени п—I—1 от 2q/h — так называемым полиномом Лагерра.
Тогда (10.21) при Q-* оо переходит в (10.20) Отсюда следует,
что п должно быть целым положительным числом 1, 2, ..., и
при данном п квантовое число I может принимать значения от
нуля до п—1. Окончательно Rnl — Co'exp( — pln)-F( — п ф I 4- 1,
2Z+2, 2p/n). -
Для энергии в соответствии с выражениями (10.17) и (10.1Я)
мы получаем формулу Бора :
Еп— —mZ,2eii(2h2n2).
Замечательной особенностью этой формулы является независи
мость Еп от /, т. е. имеется вырождение по I: одной и той же
энергии соответствуют состояния с разными значениями I. По-
скольку п—I—1^0, то —I. Следовательно, при данной
энергии наиболее общее выражение представляет собой су-
перпозицию вида
п-1 I
Ф„= 2 S	„(о, -р).
Z=0 т = —1
Волновая функция такого вида не обладает, вообще говоря,
определенной четностью (за исключением основного состояния
п=1, которое невырождено). Следствием этого является воз-
можность существования электрического дипольного момента в
возбужденном состоянии. Например, при п = 2 и ш = 0 наибо-
лее общая волновая функция содержит как Уп.о, так и У1>0 и
может быть представлена в виде
Фг=°о/?2о(/')+й1^21(/')сок6
или, учитывая, что z=rcos G:
Ф2 = «0^2о('')+«1^21('-) V-
Очевидно, что в состоянии, описываемом такой функцией,
z ~ f z I ’?2 \2dxdydz=£ 0,
95
т. е. имеется асимметрия в распределении электронного заряда
относительно плоскости z=0, что и приводит к появлению по-
стоянного дипольного момента.
Возникает вопрос, какова природа вырождения по /? Пред-
ставляет интерес также нахождение подходящего способа опи-
сания состояния с несимметричным распределением заряда,
приводящим к появлению постоянного дипольного момента.
Ответ на первый вопрос дается существованием специального
интеграла движения в кулоновском поле — вектора Рунге—
Ленца. Что же касается подходящего способа описания несим-
метричных состояний, то таковым является применение пара-
болической системы координат.
Рассмотрим сначала вектор Рунге—Ленца. В классической
механике он выражается как
A=-L.- |р/1|.
Соответствующий оператор имеет вид
а=-^-4-(1р <1]-[’хр])
(мы употребили здесь знак умножения для обозначения век-
торного произведения, чтобы отличать его от коммутатора).
Этот оператор коммутирует с гамильтонианом Н = р2/2—1/г.
л л	л
Имеют место перестановочные соотношения: [12 Ах] = iAy,
[ JyA2]=tAr, J Uy]=iAy [AXAV]= -2/hL [AzAx] = - 2/HL,
[AyAJ =—2/H L. В этих соотношениях для состояний дискрет-
л
ного спектра с данной энергией можно заменить Н на Е„; если
'	'	_____ \	А
вместо А,- ввести операторы ц( = (у —2E„)~lnA(, то при-
л л л
веденные соотношения можно переписать в виде [lvuv] =
[T2uJ=zuy, [lyuz]=Zur, [u2ux] = zly, [uyu2]=zlr, [uxuv|=zl2.
Эти соотношения аналогичны известным соотношениям тео-
рии углового момента , 1у]=й2 и могут быть истолкованы
как соотношения коммутации для поворотов в четырехмерном
евклидовом пространстве с осями х, у, z, и. При этом операто-
ры ljyl2 связаны с поворотами в плоскостях yz, xz, ху, а опе-
раторы и,., иу , и2— соответственно с поворотами в плоскостях
хи, уи, zu. Следовательно, вырождение по квантовому числу I
может быть истолковано как проявление скрытой симметрии
относительно вращения в четырехмерном пространстве х, у,
z, и. В явном виде эта симметрия была показана В. А. Фоком
96
[2, ч. IV, § 6], приведшим уравнение Шредингера рассматривае-
мой задачи к виду уравнения для четырехмерных сферических
функций.
Рассмотрим теперь задачу о частице в кулоновском поле в
параболических координатах g=r+z, т}=г—z, <р —arctgi//x и
будем пользоваться системой единиц в которой Ъ. = т —
== KZ-e=l.
Оператор Лапласа имеет вид
л_ 4 Г д /\ д \ , д ( д \1	1
L v / ' ch] д'] /] ' gvj ^<р2 ’
а уравнение Шредингера —
w $+(- v+
(10.22)
Полагаем (g)/г (n (Здесь т — проекция орбитального
момента на ось z в единицах й.) Подставляя это выражение в
(10.22) и разделяя переменные, получаем
i-(E^) + (-4»'-% +₽.)/,=0,	<10.23)
^(’!^’)+(-ia-’’-^+fe)f«=0'	('0.24)
₽,+₽,= !•	(10.25)
Решение (10.23), регулярное при |==0 и экспоненциально убы-
вающее при оо, имеет вид
f^V-'^exp (-^)-
Для Fi получается уравнение вырожденной гипергеометриче-
ской функции, решение которого — полином степени
Л1= -	(10.26)
Аналогично решение (10.24) есть
f2=7jim,'2F2exp(— 2J-),
где F? — полином степени
„!=_ ЩД + м.
(10.27)
Складывая (10.26) и (10.27) и учитывая условие (10.25), имеем
n=ni+n2+\m |+1. Здесь п,, п2 — так называемые параболи-
ческие квантовые числа — целые, неотрицательные.
Волновые функции в параболических координатах несим-
метричны относительно плоскости z=0: при П1>«2 превалирует
7. Зак. 1859

вероятность нахождения на стороне г>0, при Щ<п2 - на-
°б°3аметнм, что среднее значение z-компоненты вектора Рун-
ре—-Ленца
<Wi I Az I пхп2т > =
Вырождение по I свойственно также изотропному гармони-
ческому осциллятору: V—m g>2(x2-|-t/2-|-z2)/2.
Особые свойства движения частицы в кулоновском поле и
поле осциллятора /no2(x2+y2+z2)/2, в частности наличие ди-
польного момента в возбужденных состояниях, соответствуют
существованию замкнутых траекторий в классической теории
этих систем.
4 РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
СПЛОШНОГО СПЕКТРА
Обратимся к волновым функциям сплошного спектра.
В отличие от дискретного спектра имеется бесконечное вы-
рождение по I, т. е. одному и тому же значению энергии соот-
ветствуют радиальные волновые функции со всевозможными
значениями I. Следовательно, общее решение уравнения Шре-
дингера при £ь>0 представляет собой суперпозицию частных
решений со всеми / ряд по сферическим функциям. Простей-
шим примером такой суперпозиции является плоская волна.
Волновые функции такого вида используются в теории столкно
венпй частиц. Мы будем рассматривать их в гл. 13.
Здесь же мы будем рассматривать радиальные волновые
функции с определенным моментом /, удовлетворяющие урав-
нению (10.2), причем предположим, что lini Vr—0. Введем
Г-*оо
обозначения: 2mElh2—k2, 2mVjh2 ~v. Уравнение для тогда
примет вид
+	(Ю-28)
Вместо того чтобы подчинить решение (10.28) определенно-
му условию нормировки, мы потребуем определенного поведе-
ния при г-Ч). Положим
/?z(r)—>jz(fer) при г—>0,	(10.29)
г. е. потребуем, чтобы разложение Rt по степеням г начиналось
с члена (fer)z/(2/+1)!! При /=0 положим /?о(0) = 1.
Заметим, что при любых конечных г решение^ (10.28) с ус-
ловиями (10.29) является аналитической функцией k.
Выведем асимптотическое выражение при г-> оо. С этой
целью приведем уравнение (10.28) совместно с условием
98
(10.29) к интегральному уравнению. Перенося член vR, в
(10 28) в правую часть и рассматривая его формально как не-
однородность, получим
/?,(г)=Л(Аг)+ J gi(r, r'^r^R^^dr',	(10.80)
где St(r>r') — функция Грина (резольвента), удовлетворяю-
щая по аргументу г уравнению
dr% ' r dr ' \ r2 )Si 0
и условиям g,(r, r) —Q, (dg[ldr)r'=r~ 1. Она имеет вид
Si(r. r') = ^ [й<»(йг)йР(Аг')-Л!2’(МйГ>(^')].
Принимая во внимание, что jt = (й<*> + h^)/2, представим
(10.30) в более симметричном виде:
R,= A-h^kr)[l-ik\ h^(kr')Rl(rf)v(r'y2dr’] +
4	о
+ ±hm(/ir)[l + ik j h^kr^R^-vyy^r'].
Устремляя г к oo и учитывая, что
Лр. (2>(Аг)~ ± _Lexp[i (kr+ ,
получаем
Ri- 2^7(exP P
—exp i (kr— -tt)]/z(&) },	(10.31)
Zz(A)=l+Z*r	(10.32)
It (k) называется функцией Поста. Выражение (10.32) является
интегральным представлением /,. Оно не дает возможности
вычислить ее (так как содержит неизвестную /?;(7) под зна-
ком интеграла), но позволяет исследовать аналитические свой-
ства Из (10.32) вытекает в силу вещественности Ri, что
Л (-й)=/; (А).
Асимптотику (10.31) можно представить в другой форме,
если записать как
/z= | ц | е~а1.	(10-33)
Тогда
У9
7*
/?z~-^l/ilsin (^--7- +81)-	<10-34)
Вычислим нормировочный интеграл для функций Rt. Поль-
зуясь асимптотическим выражением (10.31), получим
f Rt(k', r)Rt(k, r)r2dr=
Отсюда следует, что нормированная на 6(Е—Е') радиальная
функция <г | Е, 1> имеет вид
<r\E, l> =	г).	(10.35)
Рассмотрим случай /=0. Он представляет особый интерес,
так как только прн /=0 радиальная волновая функция отлична
от нуля в точке г = 0. При условии (10.29) /?о(О ) = 1. Для упро-
щения формул в этом случае мы не будем выписывать ин-
декс I в <г\Е, 1>. Согласно (10.35) в точке г=^0 имеем
<0|£>=y'Og, Щ-.	(10.36)
В силу соотношения взаимности эго выражение одновременно
определяет амплитуду энергетического распределения <А|0>
нестационарной волновой функции частицы, находящейся в
точке г=0 в момент / —0. Отсюда следует, что комплексные по-
люсы энергетического распределения, определяющие по тео-
реме Фока—Крылова закон распада нестационарного состоя-
ния, представляют собой фактически комплексные пули функ-
ции Поста.
Как мы увидим в гл. 13, комплексные нули функции Иосга
с малой мнимой частью играют также важную роль в рассея-
нии частиц. Эти обстоятельства придают особый интерес иссле-
дованию аналитических свойств функции Поста.
5. ФУНКЦИЯ ПОСТА
И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Аналитические свойства функции Поста Д (k) весьма су-
щественно зависят от свойств v(г).
В реальных физических условиях встречаются два вида по-
тенциалов. Один из них — так называемые короткодействую-
щие потенциалы, характеризующиеся некоторым радиусом дей-
ствия Го. вне которого они быстро стремятся к нулю при уве-
личении г. В качестве примера приведем выражение v(r) =
= сг~’ехр(—г/г0), встречающееся во многих случаях. Другой
вид — так называемые дальнодействующие потенциалы, для
которых не существует характерного радиуса г0. К ним
100
относятся, в частности, те, которые убывают при оо, как не-
которая степень г, так что v^-r~n .
Мы будем здесь рассматривать только короткодействующие
потенциалы. Заметим, что наличие характерного радиуса г0 ус-
танавливает естественный масштаб 1/г0 в комплексной плоско-
сти k.
Область вблизи вещественной оси, которой мы будем глав-
ным образом интересоваться, определяется соотношением
\k\ To-Cl. Рассмотрим сначала свойства It при вещественных k.
Воспользовавшись соотношением h\^ ~jt +inh запишем выра-
жение (10.32) в виде
= f nft^ryur^dr+ik I jtRiVr2dr.
о	о
Если | v | убывает быстрее любой степени г при г->- оо, го функ-
ции п, и Ri иод знаком интеграла можно разложить в ряд.
Учитывая, что разложение /z и Rt начинается с члена (kr)1, а
разложение /г, — с члена	, можно представить функцию
Поста в виде
/f=Q(/?r)+/A!2Z+'5z(^),	(10-37)
причем С, и В/ — аналитические функции k2.
Обратимся теперь к комплексным k. Для выяснения области
аналитичности Ц нужно исследовать сходимость интеграла в
(10.32). В свою очередь, для исследования сходимости ча
верхнем пределе достаточно воспользоваться асимптотическими
выражениями /г)1’ , Rt и v При этом выясняется, что в верхней
полуплоскости (1т&>0) интеграл сходится, если | т’| убывает
при г-> оо быстрее, чем г~2, и значит I, будет аналитической
функцией k во всей верхней полуплоскости. В нижней полу-
плоскости интеграл в (10.32) сходится при всех Im k лишь для
v(r), убывающих быстрее экспоненциальной функции. Если же
v (г) ~ ехр(— г/г0), то интеграл сходится при | Im k | <rj-’/2.
Мы будем рассматривать здесь лишь область, в которой
аналитична. Единственными характерными точками в этой об-
ласти будут нули.
Как видно из (10.31), в верхней полуплоскости Imfe>0 в
той точке, где Ii(k) — 0 волновая функция Rt экспоненциаль-
но убывает при г—> оо, т. е. описывает связанное состояние в
поле о (г). Энергия Е будет вещественной и отрицательной
(как и должно быть в связанном состоянии), если k является
чисто мнимым. Таким образом, нули /f (k) в верхней полупло-
скости (если они есть) являются чисто мнимыми (k — ia) и оп-
ределяют связанные состояния частицы в поле V.
В противоположность этому в нижней полуплоскости
Imfe<0 в той точке, где Il(k)=0, волновая функция Rt экспо-
ненциально возрастает с увеличением г и не соответствует ни-
101
какому связанному состоянию. Нули могут быть как чисто
мнимые так и комплексные, причем в последнем случае оН11
расположены парами симметрично относительно мнимой оси:
k2=(10.38)
Это свойство вытекает из следующих соображений. Как
видно из (10.32), Ii вещественна на мнимой оси. Но если I
вещественна на мнимой оси плоскости k и аналитична в неко-
торой области, то она должна принимать комплексно-сопряжен-
ные значения в точках, лежащих симметрично относительно
мнимой оси, т. е. /*(&*)=/,(—k).
Рассмотрим нули функции Иоста при малых | k |, располо
женные в области | k Изучим сначала случай /=0. Раз-
ложим С0(Л2) в ряд, ограничившись двумя членами: Со=ао+
+ М2, а член -В0(й2) возьмем при 6=0, обозначив Во(0)=уп.
Тогда для определения нулей Io(k) будем иметь уравнение
M2+«To^+«n=O.
Его корни равны
ь - / to । 1
®'-2~ 2fJ0 ± 2₽0
К—4₽оао-То •
Поскольку комплексные нули в верхней полуплоскости быть не
могут, то уо/(2ро)>О.
Очевидно, что если о(г)^0, то связанных состояний не су-
ществует, так что 4роао/у2<—1. Для случая потенциальной
ямы (ц^О), окруженной барьером (tc>0), отношение 4роао/То
может принимать разные значения: как отрицательные, так и
положительные. При 4р0а0/уо>0 оба ну-
ля ki и k2 чисто мнимые, причем один
< = о из них расположен в верхней полуплос
't	п кости и соответствует связанному со
f — ReA стоянию в яме, а другой находится в
„_____|(_____ нижней полуплоскости. При —К
1	<4р0ао/уо<0 fej и k2 по-прежнему чисто
мнимые, но уже оба находятся в ниж-
ней полуплоскости. Нуль k\ теперь соот-
рис 4	ветствует виртуальному состоянию. При
4Роао/Уо— —1 °ба нуля совпадают. На-
конец, при 4ро«о/у2 < —1 получаются комплексные нули. Если
уменьшать 40оао/у2. начиная от положительных значений, что
соответствует уменьшению глубины ямы, то нули k\ и k2 будут
двигаться навстречу друг другу, затем сольются в точке
4ctoPo=y2, после чего будут расходиться направо и налево от
мнимой оси (рис. 4).
Положение точки слияния k\=k2 определяется коэффициен-
том прохождения через потенциальный барьер при 6=0. В том
102
случае, когда коэффициент мал, точка слияния попадает в об-
ласть | k |г0< 1.
Для потенциальной ямы без барьера (о^О) также имеет
место крестообразное движение нулей функции Поста при из-
менении глубины ямы, но точка слияния находится в области
| k |г0— 1. Точный расчет для прямоугольной ямы с радиусом
го показывает, что точка слияния находится при |&|г0—1. В
этом случае в область | k |г0«С 1 может попасть лишь мнимый
нуль, соответствующий слабо связанному или виртуальному со-
стоянию.
Обратимся теперь к случаю /=т^=0 Применим то же приб i т
женное представление для С, и Bt, как при 1—0. Положим
fe—ц—ix. Тогда выражение (10.37) примет вид
«/+81(7J2 — х2) — 2/i7z₽i+^(1l **)2/+* и
В выражении Дц — ix)’z+l мы должны пренебречь членом т.
так как сохранение его привело бы к появлению в веществен-
ной части /; членов с более высокими степенями ц и х, чем от-
брошенные ранее при замене С, приближенным выражением
ai + Pr к2. Тогда
Л - "t Ж7!2 ~ *2) *'й12уР/ y2/ii I 
Приравнивая нулю мнимую часть /,, получаем
'.(ЗхЗ,-^,) О-
Отсюда следует, что либо -q = 0, либо х=у//(2р/)т]2'. Дтя
потенциальной ямы или ямы, окруженной барьером, возможны
оба случая.
Поскольку в верхней полунлоскосiи не может быть комн
лексных нулей, то у,/(2pz)>0. Обратимся к вещественной ча-
сти h. Приравнивая ее пулю в слу-
чае i] = 0, имеем и.,—pzx2='O, откуда
х=±) az 3, (этот случай реали-
зуется при az/pz>0); приравнивая
нулю вещественную часть 7Z в случае
х= yz/(2pz) t]2Z и пренебрегая х2 по
сравнению с ц2, получаем аг+Р;Л2==
—0, откуда т]=±|-"—az/Pz (этот
случай реализуется при az/pzC0).
В достаточно глубокой потенциаль-
ной яме, когда есть слабо связанное
состояние, мы имеем два мнимых нуля /z, лежащих (в нашем
приближении) симметрично относительно /г = 0. При уменьше-
нии глубины ямы они движутся навстречу друг другу, сли-
ваются при k=0, а затем расходятся вдоль кривой: х—
=constr]2' (рис. 5). Положение точки слияния при k=0
объясняется тем, что при Л->0 коэффициент прохождения через
103
центробежный потенциальный барьер /(/-(-1)/г2 стремится
к нулю.
В отличие от случая /=0 здесь не существует виртуальных
состояний.
6. ЧАСТИЦА В ПОЛЕ
ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА
Рассмотрим частицу с моментом /=0 в поле барьера
н(г)Х) с малым коэффициентом прохождения (рис. 6). Чтобы
выяснить влияние нулей /0(&) на
волновую функцию, рассмотрим ее
значение в центре (т. е. <0|£>),
выражающееся через функцию
Io(k) в соответствии с (10.36).
Представим I0(k) в виде
/0=Z.(/j)(fe-A!i)(fe-/{2), (10.39)
где k\ и /г2 — нули вблизи вещест-
венной оси. Подставив (10.38) в
выражение (10.39) и введя обозначения Ео=Й2(2т)~’(т]24->с2)>
Г==2й2/7Г’х k, найдем
4=^ ад (£4).	(10.40)
Подставив, в свою очередь, эту формулу в (10.36), получим
I < 0 I Е~> 12=___- -------
|	|	|	(£_£о)2+Г2/4 •
Здесь D — совокупность различных множителей. При Г'СЕ'о
выражение [(Е—£’о)2+Г2/4]-1 представляет собой острый пик
с вершиной в точке Ео и
шириной на половине высо-
ты, равной Г. На протяже-
нии этого пика величину D
можно считать постоянной.
Таким образом, при
энергии Ео резко увеличи-
вается величина jcO j |2
по сравнению с другими
энергиями (рис. 7). Как
видно из рисунка, волновая
функция <г|£'о> при ма-
лых г радикально отличает-
ся от <.г\Е> и напоминает ход волновой функции связанного
состояния внутри ямы. Подобно тому, как говорят об уровне
энергии, соответствующем истинному связанному состоянию,
104
можно говорить о квазиуровне (или квазидискретном уровне),
соответствующем квазисвязанному состоянию. Отличие состоит
в том, что квазиуровню соответствует не одна энергия, а поло-
са, простирающаяся по порядку величины от Ео—Г/2 до Ео+
4-Г/2. Фактор [(£—Ео)24-Г2/4]~1 можно назвать формой ква-
зиуровня. Заметим, что этот фактор передает наиболее суще-
ственную часть энергетической зависимости |<0|£’>|2 вблизи
вершины пика. Однако вдали от вершины энергетическая зави-
симость <0| Е> совершенно другая. Поскольку /п->1 при
k-+oo, то	при больших значениях k ведет себя как
У{2ln)k2dkldE, т. е. растет пропорционально k. Это поведе-
ние не зависит от потенциала и не имеет отношения к делу.
Заметим еще, что чисто мнимые нули функции Io(k) не
оказывают никакого влияния на <0|2:>, так как фактор
(2ln)k2dkldE обращается в нуль при А = 0.
Итак, величина Ес определяет положение центра квазпуров-
ня на энергетической шкале, а Г определяет его ширину.
Но параметр Г можно также связать с законом распада
квазпетационарного состояния. В данном случае в качестве
такого состояния мы рассмотрим волновую функцию частицы
<г|а>, которая при / = 0 сосредоточена вблизи г—О, а в под-
барьерной области и вне барьера равна нулю. Будем считать
для простоты, что волновая функция <г | л> сферически сим-
метрична. Амплитуда распределения энергии в этом состоянии
<2?| <z> дается выражением
<Е|а> = f <E\r> <r \a>r2dr.
о
Пользуясь формулами (10.35), (10 36) и учитывая веществен
иость функции R(г), имеем
<Е | а> = <Е | 0> f R<r \ a>r2dr. (10 41)
о
Как видно, <£ | а> распадается на множители (факторизу-
оо
ется). Множитель f R< г | а > r2dr зависит от деталей на-
о
чального состояния, множитель <Е 10> определяется только
видом потенциальной энергии и никак не связан с видом
<г\а>.
оо
Фактически интегрирование в ( 7?<г | а> r2dr происходит
’ о
по области, в которой сосредоточена функция <г|а>. Если
характерный размер этой области г0, то при ftr0^l интеграл
слабо зависит от k и главная зависимость <Е | а> от k опре-
деляется фактором <Е 10> . Таким образом, оказывается,
что форма энергетического распределения квазпетационарного
105
состояния на наиболее важном участке совпадает с формой
квазиуровня.
При больших энергиях имеется различие: энергетическое
распределение | < £| а > (2 убывает с ростом энергии так, что
оо
f | < Е | а > \2dE сходится и равен единице. Это достигается
о
оо
за счет фактора j R<r | а> r2dr в то время, как величина
о
| <01Е >|2 растет ~k. Но это различие несущественно,
так как закон распада при Г<с£о всецело обусловлен факто-
ром [(£—£о)2+Г2/4]-’ (см. § 5 в гл. 7).
Представляет интерес исследование асимптотики нестацио-
нарной волновой функции <r|U(0lc> вне барьера при г->оо
п /-> оо. Интересующая нас функция может быть представлена
в виде
<г | U | а> = f <r\E> <Е \ а>ехр ^—i — 'jdE.
(10.42)
Подставим сюда выражения (10.35) для <г | £> и (10.41)
для <Е\а>. Воспользуемся для R асимптотическим выраже
пнем (10.31) и представим /0 в виде (10.40). Имея в виду, что
Г<С£о. мы предпримем упрощение получившегося интеграла.
Вынесем все медленно меняющиеся функции энергии за интег-
рал в точке Е=Е0 и обозначим их вместе со всеми постоянны
ми коэффициентами через С. В показателе разложим k(E) в
ряд вблизи точки £п и ограничимся первыми двумя членами:
k = ^+(^\(E-E(>)^kB Н-±-(£-£р).	(Ю.13)
Наконец введем новую переменную интегрирования: л
= 2Г“* (£—£0) п заменим нижний предел в интеграле —2£С/Г
па — оо. В результате всего этого получим
<r|U|«> - 4- exp ( _;^)[ехр(ад f
•	\	fl /	г	Л I
-ехр(-ад J ехр|~4Г^/^г/Го)х| dx .
Вычисляя интегралы, находим
2шехр[ -
0
при /> —. или	соответственно.
106
L eXp[ 1 2h (Z+ vo)^}^-0’
чак что
f-f-exp[-z(¥ -M]exp[~i(z-^-)]
о ]
(0
(10.44)
при t> —, или t< — соответственно.
E Vu ’	Ц>
Время t=rfv0 соответствует тому моменту, в который частица
дойдет до точки г, двигаясь с классической скоростью о0. Фик-
сируя некоторое значение г и рассматривая зависимость
<г | U | а > от t, получаем известный уже результат
ехр[—Г</(2й)]. Фиксируя t и меняя г, получаем
<г |U [«>-' —exp[f (й0 — i	(10-45)
здесь независящие от г множители опущены; величина й0 по
смыслу равна т); что касается Г/(2Й1»о)> то в соответствии с вве-
денным ранее (см. с. 102) обозначением эта величина рарна х.
Следовательно, формула (10.45) может быть переписана в
виде
<r |U | п> expftfjj — iv)r], r<vot.
Таким образом, волновая функция рассматриваемого неста-
ционарного состояния вне барьера экспоненциально возрастает
с расстоянием до точки r = vot и скачком обращается в нуль в
области r>Vot. Заметим, что если не пользоваться разложением
(10.43), а учесть точно зависимость k от Е, то интеграл в
(10.42) тоже можно вычислить, хотя это и сложнее (см. [5,
гл. VII, §4]). Результат отличается от (10.44) тем, чго при
r>vot не происходит скачком обращение в нуль, а имеется об-
ласть крутого, но непрерывного спада функции до нуля.
Глава 11
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Теорией возмущений называют метод вычисления поправок
к собственным значениям энергии и собственным функциям
при небольшом изменении гамильтониана. Этот метод приме-
няется в том случае, если не удается вычислить точный спектр
и точные собственные функции гамильтониана Н, но известны
точный спектр и собственные функции гамильтониана Но, прн-
107
чем разность Н—Но является в определенном смысле малой
(критерий малости будет выяснен далее).
Представим Н в виде H = H0 + V. Обозначим через |£*0)> и
£(°) некоторый собственный вектор и собственное значение Н01
так что
Нп| Е^> =£<°>|	(11.1)
Рассмотрим сначала случай отсутствия вырождения. Будем
искать поправки к Е£} и	Исходим из уравнения
(E-H0)|£>~V|£>,	(11.2)
где | Е> — собственный вектор Н; Е — соответствующее соб-
ственное значение. Полагаем
|£>=|£'W> + |^)>+|^)> +	(П-3)
F = £(o)+E(”+^>+...
Подставив выражения (11.3) в уравнение (11.2), считая возму-
щение V величиной первого порядка малости и уравнивая сле-
ва и справа члены одного порядка, имеем
(Ей»-Н0)| Е<„*)>+£П) | £<°» =V | Е™>,
(£<*”-Н0) |	I Е^>+Е^ |£W> = V | £<’)>.(11.4)
Рассмотрим сначала первое из уравнений (11.4),
а. Умножая слева на <Е*,0) | и учитывая (11.1). имеем
£(” = <£(0) | V | £(<»>.
б. Умножая слева на <Е^| при т=£п, имеем
(£(0) _ £(0)) <Ет | £(!)> = <£(0) | у | £(0)>.
Отсюда
£<0)___
т j п
(П-5)
Из этого соотношения выпадает величина < Е<г0)| Е’ >. Мы
положим	=0, чтобы обеспечить выполнение
<Е\Е> =1 с точностью до малых первого порядка включи-
тельно. Требуя, чтобы величина <Е^)|Е\1)> была малой, по-
лучаем соотношение
108
<£%>|У|£<„0)>
£(0)___£(0)
« I,
(И.6)
представляющее собой критерий малости V.
Обратимся теперь ко второму уравнению (11.4). Умножив
слева на	получаем
^‘2) = <^0)|V| £'*’>•	С11-7)
Учитывая (11.5), переписываем соотношение (11.7) в виде
Е1п> = 2 <£10)| V | Е^ > < Ек0) | 4’ ’ > =
т
V i<40)|v|£'?)>i2
-	£(о)_£;о)	•
п*т
Из полученного выражения, в частности, следует, что для ос-
новного состояния всегда Е^ <0.
Возможен случай, когда в спектре оператора Но имеется
группа близких друг к другу уровней £<0) ,...,, для которых
условие (11.6) не выполняется, и в то же время для остальных
уровней оно выполнено. Сюда, в частности, относится случай
вырождения, когда все Е}0),..., Е$ равны друг другу. Тогда
применяется другой подход.
Рассмотрим соотношение Н| £>=£[£'> в Но-представ-
лении, т. е. систему уравнений
2 <^)|Н|^0)><£10)|Е>=£<^)|£>.	(П.8)
k
В первом приближении мы сохраним здесь величины
<£(г°) | £> для	N, т. е. относящиеся к группе близ-
ких уровней, а остальные отбросим. Получим
V <£т|Н|4°)> <Е<? | £> =Е<Е% | Е>
1
(/тг=1,..., М). Система N линейных уравнений для
имеет нетривиальное решение лишь в том случае, если Е явля-
ется корнем характеристического уравнения
||<£W|H|£(0)>-^ffl„ || = 0,
из которого находятся уровни энергии первого приближения Ел.
Если в спектре Н имеется вырождение, т. е.	= ..., то
необходимо ввести дополнительный индекс аА, отличающий раз-
ные состояния, которые отвечают данному вырожденному уров-
ню Е(0>, т. е. следует писать | Е<°\ аА> вместо |£^,0)>. Мы
будем для краткости употреблять обозначения
109
<л । л> = <^Т 1Л> или <£“”> я*|£>,
Л	<£"» I Н | Е^> или <£<°), а„ | н | Е<°\ «*> ,
позволяющие объединить как вырожденный, так и невырож-
денный случаи. Тогда уравнения для <k\E> будут иметь
вид
2	| Е>=Е<т | Е>,	(11.9)
k
а характеристическое уравнение —
11 Hmk~Elmk 11 =0.	(11.10)
Если все корни уравнения (11.10) разные, то возмущение пол-
ностью снимает вырождение. Но, вообще говоря, возможно,
что (11.10) имеет кратные корни, так что часть вырождения
остается.
Рассмотрим подробно случай двух близких или вырожден-
ных уровней. Уравнение (11.10) дает
(Яи-£)(Л722 -£)- |А712|*=0,
откуда
£1.г= 4	± /(М1-ад+4|//12|2).	(н.п)
Подставляя в (11.9) вместо Е значения Е{ или Е2,
найдем выражения для отношений < 1|£1>/<2|£1> и
<1 \Е2>/<2|£г>, а при учете нормировки — и сами величины
< 1 I £1,2 > и < 2 | £1>2 > . Результат удобно представить в
следующей форме. Положим 2Я12/(//ц—#22)=tgaexp(ip).
Тогда
<1 I £i>=cos -^-exp(i А), <2 | £]> =sin -£- ехр( —i А)»
(11.12)
<11 £г> = — sin-£-exp(i
<2|£i>=cos 4exp(~z'2“)-
Обсудим возможность совпадения уровней Е\ и £2. Как
видно из выражения (11.11),
£i - £2 = К(М1-//22)2+4 |Л/12|2.	(11-13)
Допустим, что возмущение V зависит от некоторого параметра.
Тогда, изменяя этот параметр, можно добиться либо равенства
/7ц—7/22==0, либо £12=0, но не одновременно того и другого,
так что правая часть (11.13) не обращается в нуль. Но если по
соображениям симметрии Н\2— 0, то выбором параметра можно
обратить в нуль правую часть выражения (11.13), и уровни
£i и £2 совпадут.
ПО
В качестве примера рассмотрим расщепление вырожденных
уровней атома водорода при н=2 в однородном электрическом
поле. (Строго говоря, при включении электрического поля ста-
ционарные состояния превращаются в квазистационарные, так
как может происходить ионизация атома в результате прохож-
дения электрона через барьер. Однако при слабом поле влия-
ние этого эффекта на положение уровней ничтожно, и мы им
пренебрежем.)
Рассмотрим состояние с проекцией момента на направление
поля, равной нулю. Волновые функции представим в виде (см.
гл. 10, §3)
< I 0 > = /?2о(Г) По, < Г ( 1 > =	) Г10,
Г“=/?Г. jAg-cosO,
^.= -^^’(1—г). '?2'=Йе"°г (1|Л4)
(мы пользуемся здесь системой единиц ti—m=e=\). Возму-
щение V = Fz—Fr cos б. Диагональные матричные элементы
обращаются в нуль, и остается лишь недиагональный элемент,
который мы обозначим через Рю:
VW=F j RzlYwrcosf)Ri0Y00r2drdQ=3F. (11.15)
Секулярное уравнение принимает вид (Е—£(°) )2= (3F)2, откуда
Екг=Е^ ±3F и ДЕ=Д1—Д2=6Д
Аналогичный расчет может быть выполнен и для любого
уровня п. Расчет технически удобнее проводить в параболиче-
ских координатах, так как все матричные элементы при этом
диагонал! ны по параболическим квантовым числам nt, п2 и tn.
Поправка 1-го порядка к п му уровню равна ([6, § 77]) £<1) =
= 3F/i(«i—Иг)/2. Две крайние компоненты расщепившегося
уровня соответствуют П\ — п—1, п2 = 0 и п2=п—1, п^ — й. Рас-
стояние между ними i\E=3F п(п—1).
F.taea 12
ПЕРЕХОДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ ВОЗМУЩЕНИЯ
I. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
АМПЛИТУДЫ ПЕРЕХОДА
Предположим, что гамильтониан Н имеет вид
H=H„+V(/),
111
где V(/) — зависящее от времени возмущение. (Другие пере-
менные, от которых зависит V, мы для краткости не указыва-
ем.) При таком гамильтониане не существует стационарных
состояний, т. е. уравнение Шредингера не имеет решений вида
ехр(—iEt(h) | £> . Но существуют стационарные состояния Но.
Динамику развития нестационарного состояния можно опи-
сывать в терминах переходов между стационарными состояния-
ми оператора Н«. Пусть до начала действия возмущения си-
стема находилась в одном из стационарных состояний |£°>.
Через некоторое время после включения возмущения получит-
ся, вообще говоря, суперпозиция стационарных состояний
2 I Е{т > Атп (О- Величина Атп называется амплитудой пе-
т
рехода, a W= | Атп |2 — вероятностью перехода.
В этой главе мы будем рассматривать только такие началь-
ные состояния, которые принадлежат дискретному спектру; ко-
нечные же могут принадлежать как дискретному, так и сплош-
ному. Если начальное состояние принадлежит сплошному
спектру, то требуется особое рассмотрение. (Важнейшая зада-
ча такого рода — рассеяние частиц, которому будет посвящена
следующая глава.)
Специальным случаем является постоянное (не зависящее
от времени) возмущение, включающееся в некоторый момент
времени, принимаемый за начало отсчета. Разумеется, в реаль-
ных условиях возмущение включается постепенно. Но если ха-
рактерное время включения мало по сравнению с Й/Д£
(Д£ — среднее расстояние между уровнями), то можно счи-
тать, что включение происходит мгновенно. В этом случае су-
ществуют не только стационарные состояния Но, но и Н. Тогда
амплитуда перехода может быть выражена через собственные
векторы Но и Н, т. е. | £'0)> и | £„> . Амплитуда вероятности
того, что в момент t система находится в состоянии |£т> га-
мильтониана Н, если при /=0 она находилась в состоянии
| гамильтониана Но, равна
А’тп= <Ет | ехр (-**£) |	> = ехр(-1 ^f)<Em\	.
(12-1)
Вероятность перехода Wmn— | <Ет | Е^ >|2 не зависит от
времени. Но можно поставить вопрос, какова амплитуда веро-
ятности найти систему в момент t в состоянии | Е^ > гамиль-
тониана Но, если при /=0 она была в состоянии | Е(°> > ? От-
вет дается матричным элементом оператора эволюции
Аа„=<£(о>| ехр(-^)|£<°>>,
который равен
112
Ля=2<^0,1^т> <£m|^>exp(-Z^-). (12.2)
т
Очевидно, что вероятность перехода при этом зависит от вре-
мени осциллирующим образом. Каким из выражений: (12.1)
или (12.2) пользоваться — зависит от конкретных обстоя
гельств.
Примером задачи, в которой нужно использовать формулу
(12.1), является «встряска» атома при внезапном изменении
заряда ядра, вызванном, скажем, радиоактивным распадом.
После распада состояния электронов в поле старого ядра уже
не существуют, и физический смысл имеют лишь вопросы, о г
носящиеся к состояниям в поле нового ядра.
Другая ситуация — это, например, рассмотренная ранее за-
дача о прецессии спина в магнитном поле. Оператор Н выра-
жается как —уйа Зв /2 (см. (9.13)), а в качестве оператора
Но можно рассматривать —уйо* еЯ£/2.
Собственные векторы | EJf’ > оператора Но — это состоя-
ния с определенной проекцией спина на ось z, которая, в прин-
ципе, может быть измерена даже при наличии составляющих
магнитного поля по осям х и у. В этом случае амплитуда пере-
хода между состояниями с разными проекциями спина на
ось z дается формулой (12.2)
Для вычисления в общем случае V(t) амплитуд П. Дирак
разработал так называемое представление взаимодействия. В
уравнении Шредингера
^4i^>=<Ho+v(O)i^>
делаем подстановку:
|/>=ехр(-г-^)|*>д.
Получаем
a£|<>.=W|f>„	(12.3)
W=exp(z^) V exp (— г’^)-	(12.4)
Вводим оператор эволюции 11д : It >д — Ид(Л /0)|/п >д. где
110 > д — начальный вектор состояния, заданный при t=to.
Оператор Un подчиняется уравнению
Zft-^T=W)Ufl	(12.5)
с начальным условием Ид (/0, /0) = 1- Уравнение (12.5) совмест-
но с этим начальным условием эквивалентно интегральному
уравнению
8 Зак. 1859	113
U = l + -^ J WtftHW, W-
(12.6)
Рассмотрим матричный элемент оператора:
Дтл(О=<£Й>|ид(Л ^)|В„°)>.
(12.7)
Он представляет собой интересующую нас амплитуду перехода
из состояния |Е<°>> в состояние |Е^> в представлении
взаимодействия. (Определенная ранее амплитуда перехода от-
личается от (12.7) фазовым множителем ехр (—itEp/h ), ко-
торый на величину вероятности перехода | Атп |2 не оказывает
никакого влияния.)
Из (12.5) вытекает система уравнений для матричных эле-
ментов. Учитывая, что согласно (12.4)
<£W | W | £<«»> = <EW| V |£<о) >ехр[4- (Ep~Ep)t],
получаем
= 2 <£W | V | Ep > exp [4-	< ^0) I ил 1 Ep > .
(12.8)
В том случае, когда существует вырождение, нужно ввести до-
полнительный индекс помимо энергии и в 2л предусмотреть
также суммирование по этому индексу. Следует иметь в виду,
что знак 2л подразумевает интегрирование по состояниям
сплошного спектра.
Можно построить ряд последовательных приближений для
амплитуд перехода. С этой целью воспользуемся интегральным
уравнением (12.6). Решая его путем последовательных итера-
ций, имеем
/	t	t,
ид(Л М = 1 + 4- J W(/I)^1+ J W,)^ J w(/2)^2+ ...
^0	D	to
Переходя к матричным элементам, получим
<^mo)i ад/oW’>=
= ^тп + Атп + ЛР„ 4- ...
(12.9)
114
л<«= -л! <£? । v('') । ч’Мт w-w К
(12.10)
J <£S’I V(/,)l ^'>exp[4-X
k Г
X J <^)|Va2)|£W>exp[4(^’ - £T)]^2-
^0
Первое приближение описывает прямые переходы из состояния
|£<о)> в	а втоРое и все приближения более высокого
порядка — переходы через промежуточные состояния.
Вычисление Атп с помощью последовательных приближений
(12.10) эффективно лишь в том случае, если возмущение до-
статочно мало. Однако существует широкий круг задач, в ко-
торых мала скорость изменения V(Z), а сама величина V может
быть и не малой. В частности, такие задачи возникают при рас-
смотрении различных процессов, протекающих при медленных
атомных столкновениях. В подобных случаях применяется
адиабатическое приближение, основанное на использовании
собственных функций <р(г,/) и собственных значений E(t)
«мгновенного» гамильтониана Н(/):
Н(0?„(г, O=£n(*)v«(r. 0-	(12.11)
Будем считать ф„ вещественными и подчиним их условию
сохранения нормировки d/dt ( <р^г=О, т. е.
Представим волновую функцию W(r, t) в виде
t
»F= 2 C„(0?n(r, /)exp(--^j En(f)dt}. (12.12)
Здесь C„(/) — амплитуда вероятности найти систему в момент
t в состоянии фя. Подставив (12.12) в уравнение Шредингера,
получим систему уравнений для амплитуд Сп‘
8*
115
сГСл = _ У [4- / J ^dr- <12Л3)
г//	1	‘*
спавнивая формулы (12.8) и (12.13), можно видеть, что р0Ль
возмущения, вызывающего переходы, играет теперь член
f <?k(d<pn/dt)dr. С помощью простых выкладок, используя
(12.11), можно преобразовать этот член к виду
J Ф* dr = £Я(О-Ё*(0 J ~дГ ^ndr-
Отсюда следует, что с наибольшей вероятностью происходят
переходы между наиболее близкими уровнями Еп и Ец, если
только матричный элемент f ср* (дН/д/)^ dr не очень мал. По-
этому в простейшем приближении можно выделить в системе
(12.13) два уравнения, отвечающие состояниям, между кото-
рыми переходы происходят с наибольшей интенсивностью, а
остальными пренебречь. Тогда получим систему уравнений вида
^ = C2<l|-4|2>exp(i I w12^),
^<21-41 l>exp(-t f «12^),	(12.14)
где мы обозначили (Ех—E2)/h через <oi2 и использовали сокра
щенные обозначения для матричного элемента оператора
—d/dt. Существует особый случай, когда по соображениям сим-
метрии < 11 d/dt |2 > =0. Тогда в рамках приближения двух
состояний C| = const и C2=const и волновая функция Т равна
t	t
Ф-С.ехр ( - 4 J E'dt ) + С*ехр( - 4 J E*dt)
Постоянные С\ и С2 определяются из начальных условий.
2. ПЕРЕХОДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПОСТОЯННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Рассмотрим сначала переходы между дискретными уровня-
ми. Воспользуемся (12.2) для амплитуды перехода, предпола-
гая, что вырождение отсутствует. Если возмущение является
слабым, то можно применять теорию возмущений. В первом по-
рядке по V достаточно учесть лишь члены с k = т и k = и; ос-
116

тальные будут более высокого порядка малости. Принимая во
рнимание, что в первом порядке по V
< £<°> I £ > = 1	< £t°) I Е ъ- __.
*•	I n'*	₽(0)_г(0> ’
я т
l/m„ = <£W|V|£<o)>,
имеем
iz г z £(0) \	,	Е{0) Х.П
"X »р( -'-г-О-^Н т-')]- <12 |5>
п т
Для вероятности перехода получим отсюда
1Гга„=|Л0>|2=4	(12.16)
Отметим, что тот же результат можно получить из первой
формулы (12.10), если считать, что возмущение включается
при /=0.
В том случае, если состояния Но вырождены, нужно ввести
дополнительный индекс, чтобы различать состояния.
Рассмотрим простейший случай двукратного вырождения.
Тогда в первом приближении имеем для амплитуды перехода
Л<}»=<2|£1> <£J 1 >ехр(—i—)ч-<2|£2>Х
х <£21 1>ехр	•
Подставив сюда выражения (11.11) для £i и £2 и (11.12) для
<1|£1>, <1|£2>, <2|£1> и <2 | £2> .получим
Это выражение совпадает по форме с (12.15), существенное же
его отличие в том, что для него не требуется выполнения усло-
вия | И21 К | fi—^2 I
Обратимся теперь к переходам в сплошной спектр. Наибо-
лее интересным случаем является такое положение, когда в
операторе Но существует дискретный уровень на фоне сплош-
ного спектра. Такая ситуация не возникает в задачах, относя-
щихся к состояниям одной частицы в потенциальной яме, здесь
всегда сплошной спектр на шкале энергии лежит выше дискрет-
ного. Другое дело — система нескольких частиц. Простейшим
примером может служить атом гелия. Если мысленно выклю-
чить кулоновское взаимодействие между электронами, то мож-
но говорить о состояниях каждого из электронов по отдельно-
сти в поле ядра. В таком случае состояния дискретного спектра
117
атома гелия в целом, образованные возбужденными состояния-
ми обоих электронов, и состояния сплошного спектра двухэлек-
тронной системы, образованные ионом гелия в основном состоя-
нии и электроном, находящимся в сплошном спектре, могут
быть расположены на одном и том же участке энергетической
шкалы.
Учет взаимодействия между электронами приводит к тому,
что, строго говоря, одноэлектронных состояний не существует.
Этим понятием можно пользоваться лишь с известным прибли-
жением. Но главное состоит в том, что «дискретный уровень на
фоне сплошного спектра» перестает быть стационарным со-
стоянием.
Возбужденный атом гелия, энергия которого превосходит
суммарную энергию иона в основном состоянии и свободного
электрона, распадается, превращаясь в ион гелия и свободный
электрон под влиянием межэлектронного взаимодействия. Та-
кой процесс называется автоионизацией.
Атом может быть приведен в такое возбужденное состояние,
например, при столкновении с какой-либо частицей (электро-
ном, атомом и т. д.) или путем поглощения фотона. Следует
заметить, что взаимодействие частицы или фотона с атомом
есть единый процесс, и его, строго говоря, нельзя подразделять
на этапы формирования возбужденного состояния и последую
щий распад. Это можно допустить лишь как некоторое прибли
жение.
Мы будем считать, что возмущение, вызывающее распад
состояния «дискретный уровень на фоне сплошного спектра»,
включается внезапно при /=0. Сама постановка такой задачи,
как следует из предыдущего замечания, является приближен-
ной, и поэтому нет смысла решать ее чересчур точно.
Обратимся теперь к расчету.
Поскольку конечное состояние относится к сплошному спек
тру, то следует рассматривать вероятность того, что в конеч-
ном состоянии система будет иметь энергию в интервале от Е
до E+dE. В рассматриваемой задаче сохраняется полный уг-
ловой момент системы, равный угловому моменту возбужден
ного атома. Для упрощения формул мы не будем выписывать
квантовое число /, указывающее момент. Вычислим сначала
вероятность перехода в первом приближении (12.9).
Обозначим энергию исходного состояния дискретного спект-
ра через До, а энергию сплошного спектра — через Е. Для ве-
роятности dW перехода системы в интервал энергии Е, E+dE
получим выражение, аналогичное (12.16):
<ЛГ=4 -1sin» ( \dE.
Заметим, что матричный элемент «СД) V|f0>, в котором
одна из волновых функций относится к сплошному спектру и
J18
нормирована на 6(Е—Е'), имеет размерность (энергия)1'2 так
что величина dW оказывается безразмерной. Воспользуемся
формулой
Sin-(a/)	5,.
llm ~Wt-------= к8(а)-	(12.18)
Действительно,
11m
Sin2(a<)
a^t
{со при а = 0,
О при а#=0,
f sin2(af)
— оо
da—т:.
Считая, что (a2Z)~1sln2a/=T:8(a) не только в
случае при t-+- 00, но также и при конечном, но
большом t, получим
dW=t%-\ < Е | V | Ео> \4(E-E0)dE.
предельном
достаточно
Проинтегрировав по энергии, находим полную вероятность пе-
рехода в сплошной спектр;
<E|V |Е0>
Условие £=Ео здесь означает, что вектор <Е| конечного со-
стояния сплошного спектра берется при энергии, численно рав-
ной энергии £0 начального состояния дискретного спектра |Е0>.
Вероятность W оказывается пропорциональной времени, так
что естественно ввести понятие вероятности перехода в едини-
цу времени:
^^|<E|V|Ec>|2£=£-,!.
Чтобы можно было удовлетвориться первым приближением,
вероятность 1Г должна быть достаточно малой, т. е. должно
выполняться условие | <Е | V | Еп> |2<О-
Узнать, что происходит при (2л/А)/| <Е | V [ Ео > |2 >1 , в
рамках первого приближения невозможно. Необходимо более
точное рассмотрение, основанное непосредственно на системе
уравнений (12.8) (в которой суммирование по промежуточным
состояниям заменено интегрированием).
Учтем лишь одно состояние ( Ео > дискретного спектра Но.
Будем отсчитывать энергию от границы сплошного спектра.
Рассматривая уравнения для <Е | Ид | Ер> и <Е0111д |Е0>,
можно увидеть, что они описывают переход из состояния 1Е0 >
в состояние | Е> с учетом сдвига уровня энергии Ео (член
<Eo|V|E0>) и возмущения сплошного спектра (член
<E|V|E/>). Считая возмущение V малым, мы пренебрежем
119
этими членами и оставим . уравнении лиши те, которые играют
главную роль в переходе.
I ид| £•«> =
at
= <£| V |£п><£0|ид|£0>ехр|Ц-(Е'—Ео)/|, (12.19)
th <£01 Щ | Ео> =
= f < £о I v I Е > <-£ I ид I Ео > ехр [-£- (Ео-Е )^Е.
Начальные условия следующие: при /=fo=O
<£0|ид|£0> = 1, <Е | Ид | £'0>=0.	(12.20)
Найдем приближенное решение (12.19), в котором мы пре-
небрежем величинами того же порядка малости, что и отбро-
шенные ранее при формулировке этих уравнений. Положим
<Е0 | ид | £0>=ехр ( —	.
Подставив это выражение в первое из уравнений (12.19), по-
лучим
ifi-^-<E \\Ja I Ео> = <£| V | £0>ехр[-|-^£—j.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным усло-
виям (12.20), имеет вид
<£ | Цд | £0> = <Е | V | Ео> Ь_е-яРКу)fe^+fr/2)ZJ .	(12.21)
Для определения Г подставим (12.21) во второе уравнение
Г=2г J | <£ | V | Ео> |2	^+/Г/2)Н Z1 dE.
Положим E—E0—xVI'2.. Нижний предел в интеграле по х равен
—2£0/Г. Считая возмущение малым и предполагая, что вслед-
ствие этого Г<£о (что подтверждается результатом расчета),
мы заменим нижний предел на — оо. Тогда
Г=21(Л-Л),	(12.22)
Л = f | <Е | V | Ео >|2 ехр[~г(Д±/^12?.^  dx,
— оо	x-f-l
J2= Г I <£|V|£o>I2t&-.
120
Первый интеграл вычисляется с помощью теоремы вычетов
и оказывается равным J{ = —2ni\ <Е | V | Ео> |2н=£„. Интеграл
/2 представляет собой комплексное число, от которого нам нуж-
на лишь мнимая часть. Вещественная часть интеграла привела
бы к появлению мнимой части у Г, а это, в свою очередь, экви-
валентно появлению вещественной добавки к энергии Ео. Но
мы уже ранее отбросили члены, описывающие сдвиг Ео. По-
этому следует отбросить и вещественную часть интеграла и
считать
Jz=-i n<f|V|/?0>|2^r.
На всем существенном для интегрирования участке х можно
считать член | <Е | V | Ео > |2 постоянным, равным его зна-
чению при Е^Е0, и можно вынести этот член за знак интегра-
ла. Тогда /2= —«л |	| V | £'о>|2£=в„. Подставив вычислен-
ные значения Д и J2 в (12.22), получаем
Г = 2л| <£| V|£‘0>|e-e„.	(12.23)
С помощью выражений (12.21) и (12.23) мы теперь можем вы-
числить вероятность перехода dW в интервал энергий силою
него спектра от Е до E+dE:
Г 1—2ехр[—J7/(2ft)]cosp(£—£,)/Й]+ехр(—17/Й)	z199zU
aW~ 2л	(£_£о)»+Г2/4	аС"
Обратим внимание на осциллирующий характер зависимо-
сти dWldE от t. При >-оо, т. е. после того, как переход за
кончен, имеем
Г	1
d IV(оо) =	£0)2+Г2/4 dE
Вероятность, рассчитанная на единичный интервал энергии,
имеет вид острого пика с шириной Г на половине высоты, в точ-
ности такого же вида, что и форма квазиуровня.
Вычислим полную вероятность перехода системы W в сплош-
ной спектр в момент t. Интегрируя выражение (12.24), полу-
чаем
Г f 1- 2ехр|-17/(2A)]cos(Z(£-£0)/AJ+exp (-17, Л)
W~ 2л J	(£-£о)*+Г2/4
Полагая Е—Е0—хГ/2, заменяя нижний предел в интеграле
по х на — оо и принимая во внимание, что
J -•
имеем VF(O = 1—ехр(—Г//й).
121
На интервале времени Г //7г<§С 1 величина W приблизительно
равна W~rt/h или, с учетом (12.23):
^=^1 <Е |V|£0>|2e=£<,
Это выражение совпадает е результатом первого приближения
3.	ПЕРЕХОДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Предположим, что при /=0 начинает действовать возмуще-
ние вида
V = Vne-to4-V+e^,	(12.25)
причем Vo и не зависят от t.
Рассмотрим выражение для амплитуды перехода в первом
приближении (12.10). Обозначим начальное состояние индек-
сом 0, конечное — индексом 1 и будем считать для определен-
ности, что £i>£o. Тогда оказывается, что в первом приближе-
нии к переходу приводит лишь член Voe~'“' в (12.25). Обозна-
чим £<°>—£(°> = Тогда для амплитуды перехода получим
Д(1)= -L <£(0) | Vo I ЕР>> —-ехр-[/^10-..№>.1.
Вероятность перехода
1Г= I <Е<°> I V„ I £J»>> F4	
При со—>(О1о первое приближение оказывается недостаточным
и необходимо более точное исследование, основанное на систе-
ме уравнений (12.8). Мы оставим в этой системе лишь два
уравнения, связывающие начальное и конечное состояния. Наи-
более существенную роль будут играть члены, содержащие
ехр[±1((ою—®)(|, которые мы и сохраним.
Введем обозначения:
в=<1>10-ш; /е«/2= <£(°> | Vo | £})0)> /й;
<0|ид|0> = <£'0)|ид|£«»>:	(12.26)
<1 | Пд|С>е*= <£<°>| Ид | £’0°) > 
Тогда получим
L 4 <1 | ид | 0> = 4-/^<0 1 Ьд | 0> ,
(12 27)
i-J <0|Ufl|0> = ^-A-‘^<l |ид|0>.
122
В пространстве двух состояний эта система для матричных
элементов оператора эволюции соответствует операторному
уравнению для Ид:
t ^-Ufl=/’(sxcosE/+SySineOUfl.
где sx и sy — спиновые операторы для спина 1/2, действую-
щие в пространстве двух состояний I 0>, | 1>. Уравнение та-
кого вида встречалось нам уже при рассмотрении спина зо
вращающемся магнитном поле в гл. 9, § 2. Мы применим здесь
тот же прием — переход к вращающейся системе координат.
Полагаем
Un=exp(-«5sz0U'-	(12.28)
Для U' получаем уравнение
— [— esi-j-/efiSiZ(sJlcose/4-sysine/)e_USi:/]U'. (12.29)
Как было показано в гл. 9, § 2,
e,as*7 sxcosef+sy sine/) е ~,3t* ‘=sx.
Следовательно,
=(fsx-esz)U'.
U'=exp[—/( f sx—esj/].	(12.30)
Вводим единичный вектор n с компонентами nx=flV f2+ez,
пг=> —e/p72+e2, ny=0 и обозначаем }/Л/2+е2=П. Выражая
операторы sx, sz через матрицы Паули ах, переписываем
(12.30) в виде
U'=exp( — i-^-ont } — cos-g---tcnsin-y.	(12.31)
Подобно тому, как в задаче о спине во вращающемся поле,
оператор ехр(—iesxt), фигурирующий в (12.28). представляет
собой диагональную матрицу
так что амплитуды перехода, рассчитанные с помощью операто-
ров U и U', отличаются лишь фазовыми множителями, а ве-
роятности перехода совпадают.
Вычисленная с помощью (12.31) амплитуда перехода равна
<4U'IO>-7X^sm(4-VT+?-«).
Для вероятности перехода находим
123
1Г_;5£7г51п’(4-Г/1+еЧ ).	(12.32)
что с точностью ДО обозначений совпадает с вероятностью ре-
зонансного переворачивания спина во вращающемся магнит-
ном поле.
В резонансе при е=0 мы получаем W= sin2(///2). Видно, что
в резонансе W периодически обращается в единицу, т. е. про-
исходит полная перекачка вероятности пребывания с первого
уровня на второй с периодом 7’=2л/Л Он тем больше, чем
меньше f, и никак не связан с величиной Е^—Е$>.
Глава 13
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ
1.	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Со времени опытов Э. Резерфорда по рассеянию а-частиц,
в результате которых была установлена структура атома, изу-
чение столкновений частиц служит одним из важнейших источ-
ников информации об их структуре и особенностях взаимодей-
ствия. Типичная схе-
/Ч	ма эксперимента по
Устолкновениям изобра-
/	жена на рис. 8. В ис-
точнике S формирует-
//у	ся пучок частиц, дви-
///&	жущихся с энергией Е
///	в направлении п<>
///	(строго говоря, суще-
/у	ствует небольшой раз-
—।	брос вокруг этих зна-
51	Т~~——————п0 чений, так что Е и п0
представляют собой
рис 8.	средние по разбросу).
Плотность тока в пуч-
ке обозначим через /0. Пучок падает на мишень Т. В ре-
зультате взаимодействия с мишенью пучок рассеивается во
все стороны, а частицы, вообще говоря, переходят из началь-
ного состояния в различные конечные (совместимые с закона-
ми сохранения). С помощью детектора Д измеряется ток dj
частиц, претерпевших рассеяние в телесном угле d Q вокруг
направления п. При достаточно малой плотности частиц в пуч-
ке и мишени их взаимодействие сводится к большому числу
парных столкновений, проходящих независимо друг от друга.
В этих условиях величина j пропорциональна числу частиц (N)
*24
в рабочем объеме мишени, плотности тока пучка частиц, выхо-
дящих из источника, и величине телесного угла d£2: dj=
=qNjodQ. Величина djlNj0=qd£l=da имеет размерность площа-
ди и называется эффективным сечением рассеяния в телесный
угол Сечение рассеяния в единичный телесный угол
dcsld^l=^q называется дифференциальным эффективным сече-
нием. Интеграл а= f qdQ называется полным эффективным
сечением, или сечением.
Мы ограничимся здесь рассмотрением простейшего случая
упругого столкновения частиц (в таких условиях, когда не про-
исходит изменения их состояния). В этом случае дифференци-
альное сечение рассеяния всецело определяется потенциальной
энергией взаимодействия сталкивающихся частиц. Отделяя
движение центра инерции, мы приходим к задаче о движении
частицы в поле неподвижного силового центра. Будем считать
пока, что взаимодействие частицы с центром не зависит от
спина.
Нестационарный характер задачи обусловливается тем об-
стоятельством, что частица первоначально локализована в ис-
точнике, и ее энергия и импульс, строго говоря, не имеют опре
деленного значения. Начальное состояние частицы |/> мож-
но характеризовать распределением по импульсам, конечное
состояние частицы, регистрируемой детектором </|, также
характеризуется распределением по импульсам.
В рамках представления взаимодействия, в котором в каче-
стве оператора Но выбирается кинетическая энергия (2m)-1 р2,
задача сводится к рассмотрению предельного значения матрич-
ного элемента оператора эволюции, <f | Пд(/, t') | z> при
/—>оо, /'—>—сю, т. е. <f|U4(oo, —оо)|г>. Существование оп-
ределенного предела может быть строго доказано в предполо-
жении, что потенциальная энергия V убывает быстрее, чем г~3
при г-> оо, а при г-»-0 растет не быстрее, чем г-1 . Величина
</|ид(оо, — оо)| t> называется матрицей рассеяния и обо-
значается через S(f,i):
S(f, 6=<f I ид(оо, -oo)|i>.
Заметим, что размеры отверстий диафрагм и других дета-
лей, ограничивающих координаты частиц в источнике, очень
велики по сравнению с характерными величинами атомных
масштабов Л1/(те2) (т — масса электрона; й2/(те2) ~0,5х
X 10~8 см). Следовательно, разброс по импульсам будет малым
в атомных масштабах.
Поэтому, несколько идеализируя задачу, заменим началь-
ное состояние плоской волной (2лй)_3'2в'кг, т. е. состоянием с
определенным импульсом, и вместо | »> будем писать | к>.
Соответственно вместо конечного состояния будем употреблять
<к'|. Будем вычислять <к'| Пд(/, /0) | к> , суммируя ряд по-
следовательных приближений (12.9), в котором сумма по энер-
125
гиям промежуточных состояний заменяется интегралом по со-
стояниям сплошного спектра:
t
<к' | ид(£, ^0)|к> = (~ J cttiexp[-^-(£'—2=,)/1J<k/| V ]к> -f-
t ti
+ J dtl J dt* J ^"expf-T-^-^^jexpf^'-fJ^X
to tc
IP
X <k' I V I k"> <k" I V | k>4- f di. f dt2 f dt^
\irt/ У v У
tD to
X J dk"dk"'exp [4- (E'-E'^t, ] exp [4* (E"-E"')t2 ] x
X exp[4- (E"'-E)ta ] < k'| V | k">< k" | V | к'"> < k"'| V | k>+...
Выполняя сначала интегрирование по времени, а затем по
dk=k2(dk!dE)dE dQ, мы получим выражения вида
/= J ехр [4-(£'-£Х]
/(£')
Е'—Е
dE',
здесь f (Е') — плавная функция энергии. В точке Е'—Е подын-
тегральное выражение имеет особенность, и необходимо ука-
зать способ вычисления интеграла. Мы потребуем, чтобы при
t->--оо интеграл I обратился в нуль, для чего нужно вычис-
лить интеграл при комплексной энергии E+ie. и затем устре-
мить е к нулю с положительной стороны (е->+0). Принято за-
писывать такой интеграл в виде
Иначе говоря, путь интегрирования в комплексной плоскости
должен обходить особую точку Е снизу.
Покажем, что интеграл (13.1) действительно исчезает при
t->--оо, а заодно исследуем противоположный предельный
случай /-> оо.
При /<0 полагая в (13.1) (Е1—1 =лс,-е|фГ1 ==р, по-
лучим
' = J	{E+^dx.
I л
Переходя к пределу	—со и е-*0 при условии, что е/
остается конечным, получим
126
J	dx.
—C£>
Вычисляя интеграл в комплексной плоскости х, получим /=0.
При положительных t полагаем ЦЕ'—E)jh=x, ztjh = ₽ ив
пределе £-»- оо получаем
/-/(£) J «Plg-A)i ^=2rtf(g).
— оо
Выкладки с интегралом можно резюмировать в виде симво-
лических соотношений
Um (о-	(13.2)
На основании всего изложенного мы можем написать
<к'|ид(/, -оо)|к> =8(к-к')-
_<к№> - pk^ny^^yi^ +
, Г L " <к'1уН<"> <к"|У|к" > <к'" | V | к> • I
tJUKUh	(£"-£—гО)	— Е — /0)	• •••/•
Ряд, стоящий в фигурных скобках, представляет собой сумму
последовательных приближений для величины <k'|T| к>, оп-
ределяемой интегральным уравнением
<к' | Т| к> = <к' j V | к | > — j <к |V lgJ?£^Ql'r|k> rfk//,
(13.3)
так что
<к' I ид(^, -эо) |к > =8(к'-к) -	<к'|т|к>.
(13-4)
Устремив t к бесконечности и учитывая соотношение (13.2),
получаем S-матрицу:
S(k', k)=S(k,-k)-2Ki8(£,/-Z?) <к'|Т|к>.	(13.5)
В литературе встречается другой способ обеспечения сходи-
мости <к'|ид(^, /0)|к> при /о-»—оо: включение взаимо-
действия с помощью умножения V на ее//Л и последующего
перехода к пределу е-Ч). Фактически он эквивалентен исполь-
зованному здесь, так как приводит к замене энергетического
знаменателя Е'—Е на Е'—Е—г'О и дает то же выражение для
S(k', к).
127
S-матрица обладает двумя основными свойствами: 1) оца
унитарна по построению
f S(k', k")S*(k, k")cf к"=В( к'—к);	(13.6)
2) она удовлетворяет соотношению
S(k', k)=S(—к, -к').
Второе свойство основано на инвариантности уравнения Шре-
дингера относительно замены t на —t и замены волновой функ-
ции на комплексно-сопряженную (при этом к заменяется на
—к, так как (e'kr)*=e_'kr).
Из условия унитарности S-матрицы вытекает соотношение
для <k'|T|k> . Подставив (13.5) в (13.6), обозначая <k'|T|k>
через Т(к'. к) и представляя векторы к' и к в виде k'n' и £п0,
имеем
T(kn , knD) — T*(kn', fen0) =
= -2^ik2~ J 7(An0, kn")T*(kn', kn”)dQ". (13.7)
Полагая здесь n'=n0, получаем
’1тЩп0, Ап0)=кА’ — J | 7’(An0, fen")№".
Выведем теперь выражение для эффективного сечения. Сле-
дует иметь в виду, что начальное состояние характеризуется
определенным током вероятности. Ему соответствует в экспе-
рименте определенное число частиц, выходящих из источника
в единицу времени через единичную площадку, перпендикуляр-
ную пучку. Детектор в эксперименте измеряет определенное
число частиц, движущихся внутри данного телесного угла и
попадающих в детектор, в единицу времени. Поэтому показа-
ниям детектора нужно сопоставить вероятность перехода в еди-
ницу времени. (При переходах между состояниями сплошного
спектра это понятие имеет точный смысл в отличие от перехо-
дов из состояния дискретного спектра в сплошной.)
Вероятность перехода в интервал dk' в единицу времени оп-
ределяется выражением
<к'иш -oo)i к>|».
Мы вычислим dd^npH к'у=к, подставив выражение (13.4) при
комплексной энергии £-Н'е, а затем устремив е к нулю. Прини-
мая во внимание, что
Нт =к8(л),
получаем
128
Im exp(^)4- (£_;T + ., | < k' | T|к > | W =
=-^1 < k' | T |к > |2 8(£ — E')dk'.
Вероятность перехода в единицу времени в телесный угол dQ.
и интервал энергии dE' есть
d<^=^~ | < к' | Т | к > \2k'2-^rdE'd9J>(E- Е').
Проинтегрировав по малому разбросу значений вокруг Е, по-
лучаем
d<^=	1 < к' | Т | к > |%-=Л k2 dQ.
Наконец, разделив на плотность тока /о в начальном состоя-
нии <г | к> = (2л) ~3/2 еЛг:
 — 1 hk
(2к)а т ’
получим в соответствии с определением выражение для диф-
ференциального эффективного сечения
Л = (2^ J < к,! т (к > |2Г	(13.8)
2.	ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
СПЛОШНОГО СПЕКТРА
«СОСТОЯНИЯ РАССЕЯНИЯ»
Рассмотрим выражение < к7 | Ид (0, — оо) | к>. Оно пред-
ставляет собой волновую функцию стационарного состояния
частицы в поле V при £=0. Действительно, как было упомяну-
то, выражение (13.4) может быть получено путем включения
поля с помощью множителя ехр (е//й) при е->0. Мы приведем
далее прямое доказательство того, что <к/|Пд(0,— оо)|к>
есть собственная функция Н.
Используемый здесь способ построения дает не общее ре-
шение уравнения Шредингера для сплошного спектра, и выби-
рает из бесконечного множества функций, отвечающих данной
энергии, одну определенную, которую мы сейчас изучим. Бу-
дем обозначать ее через <р(к', к). Полагая в (13.4) /=0, имеем
Т(к', к)	(13-9)
Докажем, что <р(к', к) есть собственная функция Н в к -пред-
ставлении.
Составим выражение J <kz | V|k"><p(k", k)dk". Согласно
(13.9) имеем
9 Зах. 1859	, 29
f <k'I V I к"><р(к", k)rfk" =
= <k' | v | k>- J
Но правая часть здесь есть как раз <к' |Т| к> . Таким обра-
зом,
f <к'| V | к">?(к", k)dk"=<k'|T|k>.	(13.10)
Подставив (13.10) в (13.9), умножая на Е'—Е—10 и опуская
ненужный после этого символ 10, получим
(Е'—Е)<?(к', k)+f <к' | V | к"><р(к", k)dk"=0,
что и представляет собой уравнение Шредингера в ^-представ-
лении.
Переходя к координатному представлению и умножая на
(2л )3/2 , имеем
<]»(r, k)= f eik’r<p(k', k)dk'.	(13.11)
Подставив сюда (13.9), получаем
ф(г, к)=еЖг— J ежт	(13.12)
Рассмотрим вопрос о нормировке ф. Она должна быть нор-
мирована так же, как и плоская волна e<kr , либо получена пу-
тем действия оператора эволюции на плоскую волну, что не
могло изменить нормировку. Итак,
J Ф*(г,	k)dr=(2n)33(k'-k).
Поскольку (см. гл. 4, §2)
S(k'-k)= i ^8(Д'-£)8(п'-п0),
то f ф*(г, к')ф(г, k)dr=(2K)3-l-^S(£'-£)8(n'-n0).
(13.13)
Отсюда вытекает, что ф(г, к) связана с функцией <r| Е, п0 >
нормированной по условию
J <г | £', v'>*<r|£, у>г/г=8(Д'-£’)8(7->),
соотношением
Ф(Г, k)=(2^(2.g)1/2<r|E, п0>.	(13.14)
Исследуем асимптотику ф(г, к) при г-> оо. Дело сводится к
исследованию интегрального члена (13.12), который мы запи-
шем в форме
130
/== 2m J Г^'п', Лп0) eik-rn-ni>k>2dk,dQt
Л2 J А'2-Л2-/О
где n, n0, n' — единичные векторы по г, к, к' соответственно. Рас-
смотрим сначала интеграл по углам. Полагая п'п = р., имеем
/1=2л J eik'^T(k'n', kn0)dp-.
i
Деформируем путь интегрирования в верхнюю полуплоскость
комплексного ц:
/1 = 2~ J eik'rvTd\>-~ -2т J elkrv-Tdy.
При k'r~^> 1 функция eikrv- быстро убывает с ростом | р. |. По-
этому можно вынести за знак интеграла Т в первом интеграле
при ц= —I, т. е. п'= —п, а во втором — при р=И, т. е. п' = п.
Тогда
kn0)e*’'-T(-k'n, kn0)e~ik'r].
Теперь интегрируем по k':
оо
J dk'kn0).
п г Ло	Л' —Л2—/О
Стоящее в знаменателе выражение А'2 —№—10 следует пони-
мать как lim (k'—k—ie) (k'+k+ie), так что путь интегрирова-
ло
ния должен обходить полюс k'—k снизу, а полюс k'——k —
сверху.
Будем считать k' комплексной переменной. Деформируем
путь интегрирования, представив его в виде прямой, парал-
лельной вещественной оси на некотором малом расстоянии 6
от нее и окружности вокруг полюса k'—k-yiO. Интеграл по пря-
мой будет содержать в подынтегральном выражении множитель
e~lr и при г-> оо обращается в нуль. Оставшийся интеграл во-
круг полюса
. (Qr.ym , L, \eikr
I^-^-T(kn, £n0) —.
Обозначим
_<2^7-(Ап, /гп0)=Д(п, п0).	(13.15)
Итак, асимптотика ф при г-* оо имеет вид
plkr
+	(13.16)
9*	131
Величина А называется амплитудой рассеяния. Подставив
(13.15) в (13.8), получаем, что do/dL2= |Л(п, п0)|2, а подста-
вив (13.15) в (13.7). получим соотношение
1шЛ(п0, По)=А0.
Это равенство называется оптической теоремой.
Таким образом, существуют три пути определения матрицы
T(kn, Лпо), а тем самым и амплитуды:
1)	с помощью интегрального уравнения (13.3);
2)	из асимптотики (13.16) волновой функции ф;
3)	как вычета в полюсе волновой функции ср (см. (13.9)).
Выведем необходимое для дальнейшего интегральное выра-
жение амплитуды А через ф. Подставив в выражение (13.10)
<к'| 1/|к"> =-^2— j I/(r')dr'.
учитывая соотношения (13.11) и (13.15) и пользуясь обозначе-
нием ц=(2т/й2)У, получим
Л(п, п0)=-^ j е-“”^(r')Hr',	(13.17)
3.	РАССЕЯНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОЛЕМ.
ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ
Если поле v центральное, то выражение (13.17) для ампли-
туды можно подвергнуть дальнейшему преобразованию. Вос-
пользуемся соотношением, доказываемым в теории Бесселевых
функций:
e'kr = 4к Ц Д(2/ + 1)Л(Аг) Г%(п)Г|т(п0),	(13.18)
I, m
где п, по — единичные векторы по г и к соответственно. Далее,
с помощью соотношений (10.35) и (13.14) можно построить
аналогичный ряд для ф:
Ф(Г, к) = 4тс 2	ИК*гт(п)У|т(п0) (13.19)
i, tn
(множитель il введен для удобства). Подставив (13.19) и
комплексно-сопряженное от (13.18) в выражение (13.17), ин-
тегрируя по углам и учитывая, что согласно (10.32)
Im /, = k j Ji(k, r^RiVr'^dr',
получим
Л(п, п0) = 47г2Д,Г*ст(п)Г/т(п0).
I, m
где величина А/ равна	«
132
Д=_	(13.20)
1	к
и называется парциальной амплитудой.
Выражение (13.20) весьма важно. Из результатов гл. 10 мы
уже знаем, что функция Поста содержит информацию о ста-
ционарных, виртуальных и квазистационарных состояниях час-
тицы в поле и (г). Эти состояния определяют расположение ну-
лей Ii(k) в комплексной плоскости k. В свою очередь, нули
функции Поста определяют аналитические свойства парциаль-
ной амплитуды рассеяния А,. Благодаря этому удается непо-
средственно выразить амплитуду через характеристики этих
состояний (т. е. их энергию и ширину). Учитывая выражение
(10.37), можно представить А, в виде
д =__________k^Bt(^)_____.	0 3 2I)
1	Ct(kt)+ikst+'Bt(k^
(Это соотношение, как и (10.37), имеет место для короткодей-
ствующего поля.) Пользуясь формулой (10.33), можно выра-
зить амплитуду At через фазу 6zs
At ’ e"7sin8z=	(13.22)
1 k	‘	tfctgfy — IK
Выразим сечение рассеяния J | A |2dQ через фазы 6Z. Для
этого воспользуемся теоремой сложения сферических функций:
4* S У1т (n) Ylm (п0) = (2/ + l)Pz(cos0),
m--l
где Pz— полином Лежандра; 6—угол между п и п0. Уч-
тем, что
J Pi(?)Pi (р-)^ = 2Щг,г’
и воспользуемся соотношением (13.22). Тогда получим
°=^-2 <2z+i)s,n^-
I
Отсюда, между прочим, следует, что парциальное сечение о,,
соответствующее моменту I, не превосходит (4л/&2) (2/+1).
Из выражения (13.21) вытекает, что при &->0 парциальные
амплитуды убывают как k2', и в пределе при k=0, отличной
от нуля оказывается только Лп- Дифференциальное сечение в
этом предельном случае не зависит от угла рассеяния.
Величина а — —АДО) называется длиной рассеяния. Она
зависит от вида поля V(r). Поясним эту зависимость на
примере прямоугольной ямы радиусом г0 и глубиной | V | =
= [й2/(2т)!М.
133
Простои расчет дает
а = г0[1- I I"
Зависимость а от глубины
В точках v\ v2,... происходит
Рис. 9.
квазиуровень. Все эти случаи
резонансное рассеяние.
,/2г0~Чё(1 v р/2Го)].	(13.23)
ямы | v | изображена на рис. 9.
появление первого, второго и т. д.
связанных состояний. Со-
гласно формуле (10.7) при
этом tg(|T'|1;2r0) обращается
в ± оо. Периодическое об-
ращение а в ± оо в точках
появления уровня свойст-
венно яме произвольной
—► формы, а не только прямо-
И угольной. (Это можно до-
казать, исследуя волновую
функцию сплошного спект-
ра (10.28)—(10.29) для слу-
чая /=0, k—О.) В следую-
щих разделах мы рассмот-
рим рассеяние медленной
частицы при тех условиях,
когда в поле V существует
слабо связанное или вирту-
альное состояние, или же
объединяются общим названием
4. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ
ПРИ 1=0
Рассчитаем сначала величину Actg60 Для прямоугольной
ямы, радиус которой г0, а глубина | V| = [S2/(2m)] | v |.
Предварительно рассмотрим слабо связанное состояние в
яме с энергией Е== [— 7г2/(2т) ] а2.
Внутри ямы волновая функция имеет вид
/?0=-^sin[(-a24- М)>'2г].
Вне ямы
П В	.	V
Rn= — ехр(—аг).
Составим выражение
Используя выражение для Ro внутри ямы, имеем
f=(—а2+ I v | )1/2ctg[(—а2+ I 1 )’ Ч].
134
Пусть v0 — критическое значение, при котором появляется уро-
вень в яме. Положим | v | — |г>0 |+Х и проделаем следующие
выкладки. Разложим F в ряд по А—а2. Принимая во внимание,
что по условию задачи | и a2<d | т>01, ограничимся чле-
нами не выше первого порядка. Учтем, что согласно (10.7)
ctg( | I12fo) = O. Тогда для F получим
Воспользовавшись выражением Ro вне ямы, имеем F— —а.
Приравнивая оба выражения для F, находим Х=а24-2а/го- Воз-
вратимся теперь к интересующей нас задаче рассеяния.
Внутри ямы имеем
sin[(A2+ ыт
Вне ямы
Ro= -^-sin(fer+80)-
Выполняя те же выкладки, что и выше, получим при использо
вании волновой функции внутри ямы
F=
Подставив сюда соотношение между Z и а, найдем
F= -а- -^(/г2+«2)-
Используя волновую функцию вне ямы, имеем
F=kctg(kr0+b0).
Подставив полученное выражение для F, найдем
-|(«2+^)-«=Mg(fer0+80).
Принимая во внимание, что аг0<С1 и £го<С1, получаем
6ctg60 =—а + [(^2+“2)/2] г0. По определению lim k ctg%= —l/<z,
k-t-0
так что
-L=a-^.	(13.24)
Окончательно
k ctg80= -l/a+(l 2)/?2r0.	(13.25)
Выражение (13.25) можно распространить на случай ямы про-
извольной формы, в которой есть слабо связанное состояние.
Величина г0 при этом уже не является в буквальном смысле
135
радиусом ямы, а представляет собой феноменологический па-
раметр, который называется эффективным радиусом. Он ха
рактеризует область действия поля V. Выражение (13.25) в
применении к яме произвольной формы называется приближе-
нием эффективного радиуса.
Для того чтобы убедиться в том, что выражение (13.25)
справедливо и в случае ямы произвольной формы, мы рассчи-
таем Actg60 другим способом, исходя из общих свойств функ-
ции Иоста Io(k). Представим /0(k) в виде
Здесь выделен вклад одного нуля k=ia. Действие всего осталь-
ного фона представлено множителем L(k). Положим б0=
= боЧ-бо, где бр и бо определяются выражениями
ехР (2г8°) = L(k) ’ ехР (2*°°) =^+ik ’
Из выражения для ехр(2г’8”) следует, что ctg6o =— a/k. При-
нимая это во внимание, получаем
fecfg80=^ctg?°V8-.
60 а — k ctg 80
Предполагая, что |а| <|Actg6g |, получаем
6 0	*ctg50
Это выражение совпадает с (13.25), если определить г0 соот-
ношением Actg6^=—2/г0. В приведенном выводе мы не ис-
пользовали никаких предположений о форме v(г). Однако, ес-
ли потребовать, чтобы г0 было положительным, то величина
ctg б', должна быть отрицательной, и это накладывает опре-
деленные ограничения на v(r). Для потенциальной ямы г0
действительно оказывается положительным.
Рассмотрим выражение для длины рассеяния (13.24).
Поскольку в слабо связанном состоянии aro<tU, то согласно
(13.24) я^>г0. Следовательно, сечение рассеяния при нулевой
энергии, равное по определению 4ло2, значительно превышает
«геометрическое» сечение 4тгг2. По этой причине рассеяние при
наличии слабо связанного или виртуального состояния назы-
вают резонансным.
При выводе (13.25) мы предполагали, что arc'd и fer0<d.
Если пренебречь этими параметрами, то мы получим более
простое приближение /ectg б(' =— а.
Амплитуда рассеяния при этом равна До = — (a + ik}~x , а
эффективное сечение o=4n/(fe2+a2). Это выражение для о на-
зывается формулой Вигнера. Ее можно получить с помощью
модели потенциала нулевого радиуса. Представляя волновую
функцию в виде ф=е/кг + Ae,kr/г и подставляя это выражение
136
в граничное условие (10.8), получаем для А приведенное ранее
выражение.
Обратимся теперь к случаю существования квазиуровня в
поле V.
Предположим, что имеются два нуля функции Поста 70 в
иижней полуплоскости комплексного k: £i = p—ix, k2— — rj—гх,
причем х<^ту
Представим /0 в виде
Io = L (k) (k — k{) (k — k2).
Положим 6о=до+бо, где
exo (2td”) — L	exp (2i6n) — (А1_+_АЦА__|_А)
exp^ztoj— L(k) , exP^zlcol -	'
Пользуясь обозначениями
г, A2 2	v 2 A2 ,
^o = 2^(^ + *2)>
получим
£-£(, -jr/2
exp (2rd0)----------L-------
E — E0 + i.r/2 •

При Г<СЕП фаза &"в резко,
меняется почти на л. Если
д' = 0, то для эффективно-
го сечения получается фор-
мула Брейта—Вигнера
К	Г2
° ~ А2 (£	£)2 + Г2/4 •
(13.26)
В точке Е=Е0 сечете ста-
новится равным сг=4п//?2, а
так как мы считаем kr0<^l,
то сечение снова оказыва-
ется- значительно превыша-
ющим «геометрическое»
4лг20.
Если учесть фоновое рас-
сеяние, то формула для се-
чения получается более
сложной. Мы представим
ее в форме, предложенной
Фано.
Вводя обозначения
_ 2(^о-£) п =
Е —	jt	»	•
получаем с помощью простых
на малом интервале вокруг Ео, из-
пренебречь фоном, т. е. считать
Рис. 10.
ctg 8о5 °' - р" sin28o,
выкладок
а=а'(<7+*)7(1+е2)-	(13.27)
Величина o' представляет собой сечение рассеяния, которое
было бы при отсутствии квазиуровня. На рис. 10 изображено
отношение о/о' как функция е. В масштабе рисунка q можно
считать постоянным. В случае <?<0 зависимость о/о' от е изо-
бражается кривой, являющейся зеркальным отражением
рис. 10.
5. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ
ПРИ
Рассчитаем величину /г2,+1 cig 6, для прямоугольной потен-
циальной ямы. глубина которой незначительно превышает кри-
тическое значение, при котором появляется уровень энергии с
данным моментом I.
Подобно случаю /=0 рассмотрим предварительно слабо
связанное состояние. Внутри ямы волновая функция
^ = Сл[(-аЧ-Ы),2г],
вне ямы
Rt=Bh\"(iar).
Составим выражение
Подставим сюда волновую функцию внутри ямы. Пользуясь
соотношением (10.10), получим
__„2 I I 7) I V '2	I v |)1ДУп]
1 + |	лк-<*+М),'Ч] •
Проведем следующие выкладки. Положим | v | = | о0 I +Х и
разложим и jt в ряд по X—а2, ограничиваясь членами пер-
вого порядка. Учтем, что (| 11/2 г0) = 0. Воспользуемся со-
отношением (10.11) и выражением для /z при малых значе-
ниях аргумента. Тогда fz=[(a2—Х)/2] г0.
Аналогичные выкладки с использованием волновой функции
вне ямы дают Fz=[—а2'(2/—1)]г0. Приравнивая оба эти выра-
жения, находим связь между X и a: X = a2(2/+1)/(2Z—1).
Для состояний сплошного спектра волновая функция внут-
ри ямы имеет вид
R^Cj\[(^+ | -ц |)’'2г].
Проводя те же выкладки, что и выше, и учитывая найденную
связь между а и X, получим
138
Волновую функцию вне ямы представим в виде
/?I=5[yz(Mctg8z-«z(^r)].
Используя это выражение, имеем
_ Л2'+1ГО2'	„	£2Г0
^2— (21—1)!! ctS8i+ 2/—1 '
Приравнивая оба выражения для Ft, находим
(13.28)
'о
9z=|^[(2/-l)!!]2.
Выражением (13.28) можно пользоваться и для потенциальной
ямы произвольной формы, если рассматривать гп как феноме-
нологический параметр — эффективный радиус. В этом случае
выражение (13.28) представляет собой приближение эффек-
тивного радиуса.
Отметим, что случай 1=0 не может быть получен из (13.28),
поскольку при 1=0 для слабо связанного состояния Fo= —а.
т. е. не зависит от г0, в то время как при l=/^0 F=[—а2/(21—
—1 )]г0, т. е. пропорциональна г0-
Если глубина ямы несколько меньше | %| , то связанного
состояния нет, а есть квазиуровень с энергией Ео и шириной Г.
(Напомним, что в отличие от случая 1=0 при изменении глу-
бины ямы слияние нулей происходит в точке k=0, так что вир
туального состояния при 1^=0 не существует.) Тогда вместо
(13.28) будем иметь
Это выражение можно представить в виде
ctg8z=₽2(E0—£:)/Г,
r = (4^z)(^0)2Z-’.	(13.29)
Поскольку kro^l, то при Е=Е0 отношение Г/Ео оказывается
малым, тем меньшим, чем больше I.
Рассмотрим теперь выражение для парциальной амплиту-
ды А,.
В том случае, когда есть слабо связанное состояние,
А =________________________2r0^-i k*
1	+ a2)+i*2Z+1r02Z->
Поскольку ft2+a2¥=0, сохранение члена г&2/+,г2'-’ есть пре-
вышение точности, и следует писать
139
А^^^у	(13.30)
Если же слабо связанного состояния нет, а есть квазиуровень
так что вместо а2 в формуле для Л, стоит —2mE0/h2, член
/Л2/+,Го'~’ необходимо учитывать. Выражение для А, прини-
мает вид
А - т 1
2А(£-£р)+«Г/2’
а для сечения будем иметь формулу Брейта—Вигнера
о = (21 +	+ Г2/4'	(13.31)
6.	ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА
Приближение Борна для амплитуды рассеяния получается
при подстановке в выражение (13.15) первого члена итераци-
онного ряда для <k/|Tlk>, т. е. <k'|V|k>:
т
^(п, пп) =
f exp (//f'(n0 — п) г'] Vdr'.*
Как видно из этой формулы, амплитуда зависит от величины
А' = А|п0-п|,	(13.32)
которая с точностью до множителя h представляет собой им-
пульс, переданный силовому центру при рассеянии частицы.
Обозначив через 9 угол между п0 и п (т. е. угол рассеяния),
имеем из (13.32) А=2£sin (0/2).
Приближением Борна можно пользоваться для оценки в том
случае, если сечение оказывается значительно меньше геомет-
рического 4пг2 . (Вопрос о применимости приближения Борна
к таким потенциалам, которые не могут быть охарактеризованы
радиусом действия г0. например убывающим при г-> оо, как г~п,
требует специального исследования.).
Рассмотрим случай медленных частиц: kr0^\. При этом по-
казатель экспоненты под интегралом можно считать равным
нулю на всем существенном для интегрирования интервале г.
Тогда
(13.33)
где V — среднее значение V. Сечение
« =	Ж)2-	(13.34)
Отсюда следует, что о/(4лг2 ) будет малой величиной, если
JlH'Ml-	(13.35)
140
Для V, имеющего форму ямы, условие (13.35) означает заве*
домо отсутствие связанных состояний.
В случае быстрых частиц (kr0^>l) показатель экспоненты
будет малым лишь в области малых углов рассеяния: (1гг0)~'.
Рассеяние является резко анизотропным, сосредоточенным
в узком конусе с раствором ~ (/гг0)“‘. Внутри этого конуса
по-прежнему можно пользоваться оценкой порядка величины
амплитуды (1з.3з). Но для сечения мы получим в отличие от
(13.34) другой результат, поскольку при интегрировании по те-
лесному углу заметный вклад вносит лишь область (кг0)~*.
Ври малых значениях иди = иаЬйср. Поэтому сечение оказы-
вается уменьшенным в (кг0)~2 раз;
а — 4кг2 —-— ( — Vr~ 'j
um)2V2 v ' i *
Отношение а/(4лг£) будет малым теперь при
77-|Vjr0<l или Ц^/гГо^!-
Отсюда следует, что при достаточно большой энергии частицы
приближение Борна применимо для любого поля.
7.	РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ
СО СПИНОМ 1/2
НА МИШЕНИ СО СПИНОМ О
В предыдущих разделах мы рассматриваем рассеяние час-
тиц, не имеющих спина. Выясним теперь, какие изменения воз-
никают в теории при наличии спина. Сначала мы разберем
простейший случай рассеяния частицы со спином 1/2 на ми-
шени со спином 0. Прежде всего вместо одной амплитуды рас-
сеяния Д(п, п0) будет четыре амплитуды <ц/|А(п, п0) |ц>,
различающиеся проекциями спина в начальном состоянии
(р,= 1/2, —1/2) и конечном состоянии (р.,= 1/2, —1/2). Величи-
на | <р/	| ц> |2 представляет собой дифференциальное се-
чение рассеяния частицы с начальной проекцией спина р. и ко-
нечной ц,'.
Мы будем пользоваться проекцией спина на некоторое фик-
сированное направление, что приведет кратчайшим путем к
нужным общим формулам. Однако для построения разложения
на парциальные волны удобнее пользоваться проекцией спина
на направление импульса свободной частицы. Такое представ-
ление становится необходимым в релятивистской теории рас-
сеяния (см. книгу [10, §§68, 69, 70]).
Четыре амплитуды <ц/|А|ц> могут быть выражены че-
рез две функции от п и п0, исходя из следующих соображений.
Будем рассматривать амплитуду <ц'|А|р> как матричный
элемент оператора А, действующего на спиновые индексы. Этот
141
оператор может быть представлен в виде линейной комбинации
единичной двухрядной матрицы и матриц Паули ах, ау,
(Из свойств матриц Паули следует, что достаточно рассматри-
вать выражения, линейные по ох, оу, аг.)
Очевидно, что оператор А должен быть инвариантным отно-
сительно вращения и отражения координатных осей. Существу-
ют всего два независимых инварианта такого рода: единичная
матрица и скалярное произведение а на некоторый псевдовек-
тор т. Единственный псевдовектор, который можно построить
из величин, имеющих отношение к процессу рассеяния, есть
векторное произведение импульсов в начальном и конечном со-
стояниях. Принято определять t так, чтобы он был единичным:
InXno]
I [пхпо| | •
Из определения следует, что т направлен по нормали к пло-
скости рассеяния.
На основании всего изложенного представляем А в виде
А= f(n, п0)+^(п, п0)зт. Мы не рассматриваем здесь вопрос
о том, как вычисляются f и g. Заметим только, что член gat
появляется при учете релятивистских эффектов во взаимодей-
ствии. В нерелятивистской теории g=0, и никакой зависимости
амплитуды от спина не существует.
Дифференциальное сечение рассеяния при данных ц. и ц'
равно (Gfa/cZ£2)pL'(X= |<р.' | А |	|2. Если детектор не различает
величину проекции спина, т. е. регистрирует частицу как при
р/=1/2, так и при —1/2, то этому соответствует дифферен-
циальное сечение, просуммированное по двум значениям р':
= 2 <f? । А । I А | р>*.
Р-'
Переписав это соотношение в виде
= 2 <V-lA+lH'> <н' | А | И> = <И | А+А | И>,
р-'
видим, что da/dO. представляет собой среднее значение опера-
тора А+А в состоянии с данным начальным значением проек-
ции ц. Если начальное спиновое состояние | а> представляет
собой произвольную линейную суперпозицию |1/2> и |—1/2>>,
то, обозначая усредненное по этому состоянию дифференци-
альное сечение через Q, имеем Q = <а \ А+А |а>. С помощью
матрицы плотности <р| р | р"> это выражение может быть за-
писано в виде
Q= 2 <а | р"> <|л" | А+А | р> <р. |а> =
ш и’
142
= 2 <p I p I ?"> <р" I а+а I ц> =
и, и’
= У I рА+А | р> =sp(pA+A).
и
Полученный результат непосредственно обобщается на случай
смешанного состояния. Заметим, что в силу инвариантности
следа произведения матриц относительно циклической переста-
новки сомножителей можно также написать: Q = sp(AgA+).
Спиновая матрица плотности пучка частиц со спином 1/2, как
было показано в гл. 5, имеет вид g = (1/2)(1 +Ра), Р — вектор
поляризации. Выражение g'=AgA+ IQ представляет собой спи-
новую матрицу плотности после рассеяния. (Действительно, это
выражение обладает необходимыми свойствами: g/ = (g/) + и
2
spg =1. Кроме того, в чистом состоянии g = g.).
Зная матрицу плотности g', можно вычислить поляризацию
частиц после рассеяния по формуле
P'=sp(cp').
Величины Q и Р' выражаются через функции f и g. Можно за-
ранее предвидеть общую структуру этих выражений.
Оператор А содержит вектор т, матрица плотности содер-
жит вектор Р. Поскольку Q должно быть скаляром, то можно
ожидать, что
Q=Qo+QiPt-
Прямое вычисление действительно приводит к такому выраже-
нию, причем
Q0=lfl2+|£T> Qi=fg*+gf*-
Из выражения для Q следует, что Q зависит от угла между на-
правлением поляризации пучка частиц Р и вектором нормали
к плоскости рассеяния т. Эта зависимость лежит в основе ме-
тода измерения поляризации пучка частиц.
Обратимся к анализу поляризации после рассеяния Р'. Вы-
ражение для Р' должно содержать Р в степени не выше первой,
а также линейные и билинейные по т члены (поскольку ~
входит в А и А+ ). Можно построить следующие комбинации,
образующие псевдовектор: Р, т, [Рт], т(Рт). В соответствии
с этим выражение для Р должно иметь вид
QP' =	Р+с3[ Рт] +с4-г(Рт).
Прямой расчет действительно приводит к такому выражению,
причем
fg*+ fg*, с2= | f |2 - |g |2, ca=(f g*-gf*), c4=2|g|2.
Как видно из выражения для Р', если до рассеяния пучок был
неполяризован, т. е. Р~0, то после рассеяния появится поля-
143
рйзаЦйй в направлении нормали к плоскости рассеяния. Заме*
тим, что коэффициент сь определяющий составляющую Р' по
нормали т, совпадает с коэффициентом Qb определяющим
осевую асимметрию сечения Q. Если Р=#0, то помимо состав-
ляющих по направлению т и Р будет еще составляющая, пер-
пендикулярная к т и Р, т. е. направленная по [Рт].
8.	РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ
СО СПИНОМ 1/2
НА МИШЕНИ СО СПИНОМ 1/2
Рассеяние описывается амплитудами <|1jP2 |Д|рф2>. где
Мь цг — проекции спинов налетающей частицы и мишени соот-
ветственно в начальном состоянии, pi и рг — в конечном
состоянии. Имеется 16 таких амплитуд. Если ограничиться
нерелятивистской теорией, то все они выражаются через две
функции от п и п0: амплитуды рассеяния Ао и А! в синглет-
ном и триплетном состояниях системы частица плюс ми-
шень, поскольку суммарный спин системы частиц является
в нерелятивистской теории интегралом движения и сохраняет-
ся при рассеянии.
Амплитуды Ао и А[ не зависят от проекций суммарного спи-
на. Согласно теории сложения моментов
< PiP2|A|p.!p.2 > = s СТ1 , 1 ,ASCS1 1 ,
s=o	ТН..-2.1Ч
причем р = pi + рг = р i + Р2. Подставив значения коэффициен-
тов Клебша—Гордана, получим следующие выражения для
амплитуд:
< р, — р|А|р, — Р> =-1(А0 +AJ,
< -р, р|А|р, -р> =1(А0-А,),
<РР |А|рр > = Аи
где р = ± 1/2. Остальные амплитуды обращаются в нуль в не-
релятивистской теории. Оператор А, матричные элементы ко-
торого имеют такие выражения, может быть представлен в
виде
А=,-=2Л.л, + ’+рД,.
(Убедиться в справедливости этого выражения можно с помо-
щью следующей выкладки. Квадрат оператора суммарного спи-
на в единицах Й равен
144
S2 = 4~ (®l + °2)2= 4" (3 + °1°2)-
B синглетном состоянии собственное значение s2 равно нулю,
следовательно, собственное значение 3j®2 — —3. В триплетном
состоянии собственное значение s2 равно 2, следовательно,
собственное значение =1.) Можно переписать это выра-
жение в другой форме:
А.=	(•^i~ ^o)ai°2-
Матрица плотности системы частица плюс мишень при
статистической независимости их спиновых состояний имеет
вид
p=4-(1+°ip«)><4-(1+<’2P2)'
(Здесь X означает прямое произведение.)
Дифференциальное эффективное сечение, просуммированное
по проекциям спинов в конечном состоянии и усредненное по
проекциям спинов в начальном состоянии, выражается по-преж-
нему формулой
Q==sp(ApA+),
а поляризация частиц после рассеяния
QPj = sp(a1ApA+).
Сечение Q должно быть скаляром, и, следовательно, векторы
Pt и Р2 должны входить лишь в виде скалярного произведения
Р:Р2, так что
Q-Qo+QtPiP2-
Расчет дает для <2о и Qi выражения
Qo = -гIА14- 41 A I2’ Q1 = -г (I A I2-1 АI2).
Выражение для поляризации Р может содержать помимо Pi,2
еще (Pi X Р2], так что
Q1P>c1P1+c2P2+c3[P1XP2].
Вычисление дает
с1=|А|2+4-(л’А+л^1)>
с2=1А 12-4-иИо+лод1)’
с8= (AjA А0А,).
10 3»К. 1859
145
При учете релятивистских эффектов во взаимодействии час-
тиц теория существенно усложняется. Выражение для опера.
тора А содержит помимо единичной матрицы пять инвариантов
(относительно вращения и отражения координат). Эти инвари-
анты построены из спиновых матриц Qj и с2 и трех векторов-
— [ПХ По] ,  Пс~п	__ П()гП
|["ХП(,]|’	 |п0-п| ’	I по+п I
и имеют вид (OjT) (в2т); (а^) (о26); (а^) (а^);	(а, -
—°2Х)> (°1~32)'с- Инвариант (ai + <32)t эквивалентен члену от
в случае рассеяния частицы со спином 1/2 на мишени со спи-
ном 0.
При учете всех этих членов ни суммарный спин, ни его про-
екция уже не сохраняются в процессе рассеяния.
Глава 14
СИСТЕМА ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
1.	СИММЕТРИЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ.
БОЗОНЫ И ФЕРМИОНЫ
Рассмотрим волновую функцию двух тождественных час-
тиц, учитывая их спин<г1р1, г2р.2|а>. Частицы могут быть
свободными или находиться под действием силового поля (на
пример, электроны в атоме или молекуле). Будем обозначать
совокупность переменных (г, ц) через т). Тождественность час
гиц Проявляется в том, что Сцгтц|о> ==C<-q1r]2 |а>, где С
число. Поскольку двукратная перестановка -qi и т]2 возвращает
нас к первоначальному положению, то С2=1, откуда вытекает,
что С— ±1. Таким образом,
<7!^! | а> = ±<т]1Г|21 а>.	(14.1)
Это верно также и для перестановки любой пары аргументов
в волновой функции системы N частиц < т]ь t]2,..., iq/v | «> .
Как показывает анализ экспериментальных результатов,
для всех частиц с целым спином имеет место знак плюс в
(14.1) (симметричная функция), а для всех частиц с полуце-
лым спином — знак минус в (14.1) (антисимметричная функ-
ция).
Симметрия волновой функции сохраняется с течением вре-
мени, поскольку гамильтониан системы тождественных частиц
симметричен относительно перестановки переменных.
Отметим, что привлечение данных эксперимента для выяс-
нения связи знака в (14.1) с величиной спина необходимо лишь
в рамках нерелятивистской квантовой механики. Как мы уви-
146
дим дальше, в релятивистской теории эта связь может быть
обоснована чисто теоретическими соображениями, без обраще-
ния к данным эксперимента.
Для системы невзаимодействующих частиц можно получить
дальнейшие следствия тождественности. (Выражение «невзаи-
модействующие частицы» не следует понимать чересчур бук-
вально. Любые частицы взаимодействуют, но можно не учиты-
вать этого взаимодействия в качестве первого приближения в
теоретическом рассмотрении. Именно в этом смысле мы и го-
ворим здесь о невзаимодействующих частицах.) При отсутствии
взаимодействия существуют состояния каждой из частиц в от-
дельности, описываемые одночастичными волновыми функция
ми. Свойства симметрии волновой функции системы определя-
ют, как должна строиться волновая функция системы из одно-
частичных волновых функций.
Рассмотрим стационарное состояние системы двух невзаимо-
действующих частиц.
Одночастпчные состояния будем обозначать индексом р,-.
Одночастпчную волновую функцию будем записывать в виде
<T]|pj >, а волновую функцию системы двух частиц — в виде
< ’li’lz I P;Pk >, илп 4’01ь Пг)- Для системы двух частиц с це-
лым спином
ФОй, Ъ) = “лГ (<41 I Pl> <\2 I Pk> <% I Р> <'h I Pk>)-
I
Для системы с полуцелым спином
ФОъ 7и)= ТУ I Pi> <72г I Рк> ~ <41 IPk> <TI2 I Pi> )
(14.2)
Множитель (|^2)~1 написан по соображениям нормировки. При
р, =рк, как видно из (14.2), ф = 0, т. е. две частицы с полуце-
лым спином не могут находиться в одном и том же состоянии.
Это — принцип Паули.
Для системы п частиц имеем: в случае целого спина
<?], ... ъп I А, - Рхп> =	1^> -<^|А„>
(14-3)
Сумма берется по всем перестановкам различающихся индек-
сов из совокупности Z, ... а числа nf указывают, сколько из
них имеют одинаковые значения i. В случае полуцелого спина
1
<•>], ...	| А, -Р*п>
10*
<У1 | 7Ъ.,> ... <7]п I Р>.,>
<41 |рх,> ... <>)„ |рх,>
<711 I рхп> ... <т(и|рхп>
(14.4)
147
По свойствам определителя он обращается в нуль, если два
или несколько из чисел л(... равны друг другу.
Различные свойства симметрии приводят к разным типам
распределения по состояниям в системе невзаимодействующих
частиц. Покажем это на примере двух частиц.
Целый спин. Возможны три варианта: либо две части-
цы в состоянии plt либо две частицы в состоянии р* , либо одна
в состоянии рп другая — в pk. В последнем случае неизвестно,
какая именно частица в состоянии р(, а какая — в рь
Полуцелый спин. Возможен один вариант: одна час-
тица в состоянии pj, другая — в pk 
В соответствии с двумя типами распределения существуют
два типа статистики идеального газа: Бозе—Эйнштейна для це-
лого спина и Ферми—Дирака для полуцелого. В связи с этим
принято называть частицы с целым спином бозонами, а с полу-
целым — фермионами.
2.	СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
КООРДИНАТНОЙ ЧАСТИ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим следствия, к которым приводит симметрия вол-
новой функции в конкретном случае двухэлектронной системы.
Пренебрежем сначала взаимодействием частиц.
В рамках нерелятивистской теории можно представить од-
ночастпчную волновую функцию	в виде произведения
координатной части - г | pt> и спиновой О | «> (р = ±1/2):
О|р(> = О \Pt> <р|а>.	(14.5)
Наиболее общий спиновый вектор состояния | а> представляет
собой суперпозицию векторов | 1/2 X и |—1/2 >. (Мы указы
ваем только проекцию спина и не выписываем индекса s= 1/2.)
Как следует из теории сложения угловых моментов (см. гл. 5),
произведение | сц> | а2> может быть выражено в виде супер-
позиции синглетного и трех триплетных состояний:
I ai> |“2> =^о I 0,0>+с1 | 1,1>-Н?2 |1.0>+cs | 1,—1 >.
Отсюда вытекает, что
Oil “1> О2| «2> =C0<p-lP-2 I 0,0>+Cj<|*i|l2 I 1,1> +
Н-СгО^г I bO>+ct011*21 1> -1>.	(14-6)
Величины <р.1Цо|	> (подробнее, < 1/2ць 1/2р21 «ц >) пред-
ставляют собой коэффициенты Клебша—Гордана, вычисленные
в гл. 5 как раз для интересующего нас случая сложения двух
спинов 1/2. Для всех триплетпых состояний они симметричны
относительно перестановки р( и ц2, а для синглетного — анти-
симметричны.
148
Обратимся теперь к формуле (14.2). Представив одночастич-
ные функции	в виде (14.5), учитывая (14.6) и пола-
гая
Ф’(НН2>=^1<1Х11А21 U >+с.<№ | 1,0> +с3<РчР-2 I 1> 1 > ,
ф°(!11!х2)==^о<:11:х2 I о.о>,	(14.7)
ф'(г1г2)=-7^(<г1 |д> <г2|/?*> —<г, \рк> <г2|Л>),
Ф"(П Г2)--^-( < Г; \р}> <г3\ рк> , <г1|рА-> <г, |/>(>),
получим
'И4П12) = Ф1(г1гг)Ф'(И11х2) + Ф1'(г1Г2)Ф1'([11!’-2).	(Ы.8)
Как видно из (14.7), ф1 антисимметрична, а Ф° симмет-
рична относительно перестановки аргументов: ф0(Г1Г2)==ф:°(г2г|),
•фЧпгг)^ —ф*(г2Г1).
Что изменится, если мы учтем взаимодействие частпп? Пре-
жде всего функции ф° и ф* уже нельзя представлягь в виде
комбинации одночастичных функций (14.7), так как в системе
взаимодействующих частиц их не сущес1вуст. Но свойства сим-
метрии ф1 и ф° относительно перестановки аргументов сохрани
ютея и в этом случае, потому что гамильтониан системы двух
электронов симметричен относительно перестановки г( и г
Решения уравнения Нф(r(, r2) =s Еф(Г|, г2) благодаря симмет-
рии гамильтониана разбиваются на два класса: симметричные
ф°(Г1, г2) —ф°(г2, г,) и антисимметричные ф‘(гь г.)-— - ф’(г2, г,).
В системе невзаимодействующих частиц как ф°, так и ф1 от
вечают одной и той же энергии. При учете взаимодействия ф° и
ф1 отвечают разным значениям энергии. Поэтому в системе
взаимодействующих частиц выражение вида (14.8), содержа-
щее сумму синглетных и триплетных состояний, невозможно
При данной энергии может быть либо
Ф (’ll- '42) = Ф<)(го г2)Ф0(91РтФ	(14.9)
либо	ф (тц. vi2)==<J>’(ri, г2)Ф’(!х1Р-2)-	(14.10)
Итак, благодаря антисимметрии спиново-координатной вол-
новой функции ф(т]11]2) существует связь между суммарным
спином системы п свойствами симметрии координатной части
волновой функции. В свою очередь, свойства симметрии коор-
динатной функции влияют на значение энергии. Таким обра
зом, в двухэлектронной системе образуются две серии уровней
энергии: синглетные и триплетные.
Классификация уровней энергии по величине полного спина
имеется и в любой многоэлектронной системе в силу связи ме-
жду величиной спина и свойствами симметрии координатной
149
волновой функции, которая устанавливается благодаря анти-
симметрии полной спиново-координатной функции системы.
Представление спиново-координатной волновой функции в
виде произведения координатной и спиновой частей, как в
(14.9) или (14.10), имеет место лишь для двухэлектронной си-
стемы. При числе электронов больше двух необходимо образо-
вать симметризованную должным образом комбинацию таких
произведений со всевозможными перестановками аргументов.
Вопрос о свойствах симметрии координатной волновой функ-
ции многоэлектронной системы с данным спином s и о построе-
нии полной спиново-координатной функции был исследован в
обшем виде В. А. Фоком [2, часть IV, § 1]. Окончательный ре-
зультат формулируется в виде трех условий, которым должна
подчиняться координатная функция. Координаты и ... гя разби-
ваются на две группы: п ... г* и r*+J... г„, где число k определя-
ется соотношением k=til2—s. Координатная волновая функция
ip(rt... r*|r*+i... гп) должна быть антисимметричной относитель-
но перестановки любой пары аргументов г;, г у до черты, т. е.
руф==—ф, i<k, j^k	(14.11)
(здесь Pij — оператор перестановки), должна быть антисим-
метричной относительно перестановки любой пары аргументов
после черты:
Р£УФ=-Ф, i>k, j>k,	(14.12)
а также должна обладать свойством, названным В. А. Фоком
циклической симметрией:
п
Ф= S Pk^-
)-k+\
(14.13)
Способ построения функции, удовлетворяющей требованиям
(14.11)—(14.13), с помощью так называемых схем Юнга изло-
жен в книге [6, § 63]. (С точки зрения теории группы перестано-
вок условия (14.11)—(14.13) рассмотрены в книге [9].)
3.	ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
В ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ
В стационарных состояниях двухэлектронных систем, как
уже было выяснено, энергии триплетных и синглетных состоя-
ний различны. Вычислим в первом приближении теории возму-
щений разность энергии синглетного и триплетного состояний
в атоме Не.
Гамильтониан атома Не имеет следующий вид в атомной
системе единиц (й —/и=е=1):
150
где —2/гь —2/г2 и l/ri2 — энергии взаимодействия первого и
второго электронов с ядром и электронов друг с другом соот-
ветственно. Будем считать г12’ возмущением.
Поправка к энергии в синглетном и триплетном состояниях
равна
£?•’= У (^1)*2_ф0^Г1 tfr2.
Выразим согласно (14.7) через одпоэлектронные волновые
функции <г|1> и <г|2> в кулоновском поле ядра с заря-
дом Z=2 (символами 1 и 2 отмечены два различных одноэлек-
тронных состояния). Тогда для £°'' получим
£0.1 = (2±л,	(14.14)
Q = f | СП | 1> |21 <г3 | 2 > |2 ±dr,dr2,
(14.15)
Л= f <rj 1> <г, |2>* 7~<«2l 1>* <r2|2>cfr1cfr2.
Величина Q называется кулоновским интегралом. Это название
связано с тем, что Q можно трактовать как энергию взаимодей-
ствия двух распределенных электрических зарядов с плотно-
стями | <Г] | 1>|2 и | <г2|2>|2.
Величина А называется обменным интегралом. Разность
энергий синглетного и триплетного состояний Д£=£1—Е° рав-
на Д£=2Л. Оказывается, что Л>0, так что все триплетные
уровни лежат ниже парных им синглетных. Исключение со-
ставляет основное состояние. С одной стороны, оно, подчиняясь
общему правилу, должно было бы принадлежать к серии три-
плетных состояний, но, с другой — наинизшее по значению
энергии состояние должно описываться безузловой волновой
функцией. Между тем координатная часть волновой функции
триплетного состояния должна быть антисимметричной и
должна поэтому обращаться в нуль при г, = г2, т. е. заведомо
имеет узловую поверхность. Поэтому основным состоянием
оказывается синглетное (для которого координатная волновая
функция симметрична), а парное ему триплетное не сущест-
вует.
Упомянутый ранее принцип Паули для системы невзаимо-
действующих частиц можно распространить и на системы
взаимодействующих частиц, если трактовать его как принцип
исключения определенных состояний по соображениям сим-
метрии волновой функции.
Обменный интеграл типа (14.15) встречается также в рас-
чете энергии взаимодействия двух атомов водорода, ядра ко-
торых считаются неподвижными силовыми центрами, располо-
женными на заданном расстоянии (£) друг от друга. Как бу-
151
дет видно из расчета, различие в энергии взаимодействия ато-
мов в триплетном и синглетном состояниях системы, обуслов-
ленное обменным интегралом, выражается в том, что в три
плетном состоянии агомы отталкиваются, а в синглетном на
больших расстояниях притягива-
,	г><	ются. Это притяжение, переходя-
щее в отталкивание па малых рас-
г,0/ '\гп стояниях, приводит к образованию
°/	1 связанного состояния — молекулы
водорода.
р	ft	Введем взаимные расстояния
между частицами и обозначения
рис и	для них, как показано на рис. 11.
Представим приближенно коорди-
натную волновую функцию ф в виде
фол = Л'1ф(г1а)ф(ггь) ±<|»(г2о)ф(г1ь)],	(14.16)
где N — нормировочный множитель; ф(г) — одноэлектронная
волновая функция, описывающая основное состояние электро-
на в кулоновском поле ядра. Рассмотрим сначала нормировоч-
ный интеграл
J |	tZr1(Zr2=2№(l±S’2),
5= f ПгиЖгиМП
— так называемый интеграл наложения. (Интегрирование про-
изводится по всем положениям электрона.) Требуя, чтобы
J | фод |2rfr1rfr2=l, получаем W=[2(1±S2)]~I/2. Обратимся те-
перь к выражению для средней энергии
£o,i= J (фО,1)*НфО-14/МГ2.	(14.17)
Оператор Н в принятых обозначениях имеет вид
Л_______1_.___J.	1 . _1____1_______1___I_____1_
—	2	2 Л2 +	R + Па	rin	rlt	r3a	r2b •
(14.18)
В (14.17) подставляем выражения (14.16) и (14.18) и учиты-
ваем уравнение, которому подчиняется одноэлектронная функ-
ция ф(г): (—Д/2—1/г)ф = вф. Тогда, после элементарных пре-
образований получаем
£'°=2е4- —___I-
R ~ 1+5'2 ’

152
<?= f I ♦('.,) И «'•«)!’
-J	Will*,,
^bl	Гa2
Л= f ф*(гв1)Ф*(''и) ( 7- —r~ ~ 7^WO3)'t»('’6f)dr1dr2.
X 'll? ' (?1	' 02 f
Кулоновский интеграл Q имеет трактовку, аналогичную
рассмотренному случаю атома гелия. Обменный интеграл в
отличие от случая атома гелия отрицателен. Поэтому энергия
триплетного состояния оказывается выше, чем энергия синглет-
ного. Общий вид зависимости энергии от расстояния показан
на рис. 12. Как видим, в синглетном состоянии энергия как
функция расстояния между
ядрами имеет вид потенциаль-
ной ямы, что и приводит к
возможности связанного со-
стояния системы.
Соединение двух одинако-
вых атомов в молекулу назы-
вается гомеополярной связью.
Классическая физика не мог-
ла объяснить происхождение
этой связи. Только на основе
квантовой механики удалось понять ее природу.
Дело в том, что симметризация координатной волновой
функции, предусматриваемая выражением (14.16), приводит к
определенной корреляции в расположении электронов. Вероят-
ность нахождения первого электрона в элементе объема
а второго — в элементе dr2 равна согласно (14.16)
| ф(га1) (2| ф(г62) Р+ | ф(Гй9) |2 | ф(Гм) |2±
± ('?(гО1)Ф(гь2)’>*(''П2)Ф*(Гя)+Ф*(г01Н*(''62)Ж2)Ф(г61))1-	(14.19)
Первые два члена в фигурных скобках соответствуют извест-
ному правилу умножения вероятностей двух статистически не-
зависимых событий. Наличие третьего члена как раз и озна-
чает существование корреляции, в силу которой события — в
данном случае нахождение электронов в выбранных элементах
объема — не являются статистически независимыми. Именно
эта корреляция приводит к появлению обменного интеграла
(а также интеграла наложения в N).
Из выражения (14.19) видно, что величина корреляцион-
ного члена быстро убывает при удалении ядер а и b друг от
друга (в силу экспоненциального убывания волновых функций
электронов с увеличением координаты электрона относительно
ядра). Поэтому при достаточно больших расстояниях между
ядрами корреляцией можно пренебречь, а значит, можно не
153
учитывать свойств симметрии волновой функции. Отсюда еле
дует, что хотя, строго говоря, волновая функция всех электро
нов в мире должна быть симметризована по их координатам,
однако практически этого можно не делать, а ограничиваться
симметризацией лишь там, где корреляция в положениях элек-
тронов существенна.
4.	СТОЛКНОВЕНИЕ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
При рассмотрении столкновения двух тождественных час
тиц в системе центра инерции невозможно отличить часгицу-
снаряд от частицы-мишени и следует видоизменить постановку
задачи. Нужно рассматривать взаимное рассеяние. Дело сво-
дится к тому, чтобы рассматривать енмметризованную долж-
ным образом волновую функцию, описывающую относительное
движение частиц. Рассмотрим сначала две частицы с нулевым
спином. Асимптотику волновой функции «состояния рассеяния»
мы представим в виде
fllkr
<|	)~e,kr4-e-,kr+[ А(б)+А(г—6) ]е—.
Амплитуда взаимного рассеяния равна сумме А(б) + А(п— б),
а дифференциальное сечение взаимного рассеяния do/d£l =
= |А(б )4-А(л— б ) |2. В случае частиц со спином 1/2 ампли-
туда взаимного рассеяния в синглетном состоянии равна
Ао(0) + Ао(л—б), а в триплетном АД б)—АДл—б) Сечение
взаимного рассеяния неполяризованных пучков равно
da/dQ = 2-1 А>(0)+А(*-б) |2+ 41 Адб)—АДк—б) I2.
Глава 15
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
1.	БОЗОНЫ
Симметризованный набор одночастичных состояний (14.3)
можно использовать в качестве базиса для разложения произ-
вольной волновой функции системы взаимодействующих бозо-
нов. Предварительно целесообразно преобразовать выражение
< т]1 ... т]п |рх, ... р>.п > к такому виду, когда в качестве индек-
сов состояния указываются не рх, , Рх„,..., а числа пь п2.
показывающие, сколько частиц находится в каждом из состоя
ний рьРг,... Числа rii,n2, .. называются числами заполнения.
Очевидно, что nt ~п- Возможных состояний больше, чем
число частиц п, так что большинство чисел заполнения будут
154
равны нулю. Мы не будем их выписывать. Таким образом вме
СТО функции <Т)1 |рх,...рхп > МЫ будем использовать
функцию <1)1 ... Т)л | И] ... «п> 
Произвольную функцию V(i)i .. Цл, П представим в виде
^(ll ... 7J„, 0 = 2 <71! ... 7J„ | ff, ... «„> <nl... nn I t>.
nxn2...
Согласно общим правилам < nqi? . |/> есть волновая функ
ция в представлении чисел заполнения. Такое представление
очень удобно, так как позволяет выразить в весьма сжатом и
прозрачном виде общие соотношения теории систем тождест-
венных частиц. Замечательной особенностью представления чи-
сел заполнения является возможность непосредственного обоб-
щения на случай систем с переменным числом частиц, что не-
обходимо в релятивистской теории.
Уравнение Шредингера в представлении чисел заполнения
имеет следующий вид:
<П1’ П2' "• । *> = 2 <Ms... | Н | пХ ...> <«А ...|*>.
Л1...
Матричный элемент
<«! ... | Н I n't ...>= f <>11 —1«1 —>*н <1)1 ...|«; ...>Й71! . ,dv,„.
(15-1)
л -	л
Здесь Н = 2ja h(7ia) 4- 2jo, ь w(7]a, Tib)/2; Ь(ца) одночас-
тичный гамильтониан; w — энергия взаимодействия частиц
Суммирование производится по всем частицам. Разобьем Н на
две части;
л л	л 1 X?
Н0”	h(7ja), Hj = Zj w(tU’ Y/b),
а	а, Ь
соответственно на две части разобьем и (15.1). Матричные
элементы Но и Hi в конечном счете сводятся к одночастичным
матричным элементам
л
<11 h | k> = J <ria | pt > *h (7}a) <rla | PkXlf^
(здесь и далее в этой главе интегрирование по т> означает ин-
тегрирование по г и суммирование по р),
<1т | w\pq> = f <rla |/?/>*<716 | рт>*Х
У^<Г1а\рр> <Т1Ь | Pq >d7iady}b.
\	л
Если <v\Pi> — собственная функция h, то h<7]|p;> =
-e <ti|/?j>, но, вообще говоря, не обязательно, чтобы <Т||р,>
были собственными функциями h. Это может быть любая
155
полная система ортогональных функции. Часто в качестве
употребляются плоские волны. (Чтобы сделать им-
пульс дискретной величиной, вводится большой, но конечный
объем, см. гл. 4.)
Рассмотрим сначала матричные элементы Но. Среди них
будут как диагональные, так и недиагональные. Очевидно, что
диагональные элементы
<nlfi2 ... | Но | л,л2 .,.> =	</ | h | i>wz. (15.2)
Среди недиагональных элементов отличны от нуля лишь такие:
<... nt... nk— 1 ... | Но | ...л,—1 ... nk .• > = Vn-^k <i | li | A>.
(15. 3)
Числа \/nl и n* происходят от соответствующих факториа-
лов в нормировочном множителе (14.3).
Введем операторы az и ал , действующие на вектор состоя-
ния | и> так же, как в задаче о гармоническом осцилляторе:
а,| ... п, ...>	... nz-l ...>,
а(+ |...	1 .._> =	| ... nt ...> .	(15.4)
Они удовлетворяют перестановочным соотношениям
aza+—a+az-8z*, a,aft—a*az=0, a: a; — a*a.+ =O. (15-5)
Тогда в смысле действия на вектор состояния |nz... > можно
Hrj представить в виде
Но- X </1 111/п> azram.	(15.6)
1т
В силу выражений (15.4) получаются матричные элементы
(15.2) и (15.3). Аналогично
/yi^4"2 <1т । w । pq> аГа«а9ар- (15.7)
Impq
(Обратим внимание на различие в порядке следования индек-
сов р и q в матричном элементе и операторах. Это несущест-
венно для бозонов, но существенно, как мы увидим дальше,
для фермионов.) В выражениях (15 6) и (15.7) сумма берется
по всем одночастичным состояниям (в отличие от формулы
(14.3), где фигурируют лишь занятые частицами состояния и
суммирование производится лишь по различным распределе-
ниям частиц). Итак,
2 <ZI h I т> ai am+ 4“ 2 <lm I w lw>a/+ama<7ap-
im	impq
Если одночастичные состояния являются собственными функ-
циями h, то
156
Н= 2 ^атат+ 4“ 2 <1т 1 W 1 Pq>
т	Lmpq
Далее, введем операторы
№)= 2 <ЧА>аг, Г(*!)= 2 <>г|А>Ч+-	и5-8)
i	i
Л Л
Выясним смысл ф и ф+. Согласно второй из формул (15.4)
оператор at создает частицу в состоянии <vj | р, >. Следова-
л
тельно, оператор ф+ (т)о) рождает частицу в состоянии
2 <т)о1 А>* <^| A>=8(’1-7Jo)
i
(здесь 8(т] — т]0) = 6(г — го)8и.р.о), т. е. частицу в точке г0 с про-
'л
екцией спина ц0- Оператор ф(т]0) уничтожает частицу в точ-
ке г0
Выражения (15.8) поясняют смысл термина вторичное кван-
тование: волновая функция ф, являющаяся, так сказать, носи-
телем квантовых свойств, превращается в оператор, действую-
щий в пространстве чисел заполнения, т. е. как бы квантуется
еще раз.
Л Л
Выведем перестановочные соотношения для фиф*. Поль-
зуясь формулами (15.8) и учитывая (15.5), имеем
ФО])Ф+С*]')—FOi'M7;) =8(^—л'),
’И’О’И'ч')—Ф(7з')Ф(т))=о,
Ф*(7!,)Ф+('1) =0-
Л Л
Через ф и ф+ могут быть выражены гамильтониан и оператор
полного числа частиц:
Н= I ^$+01)h(i])$(7])-f-
+ 4" J rfW4'+hH+(>j,)w(7]-<)<l>(V)'}'(Ti),	(15.9)
N= f	(15.10)
Обратим внимание на то, что формально выражения (15.9)
и (15 10) выглядят как соотношения, написанные для одной
'	Ад
частицы Лишь присутствие операторов ф и ф+ вместо одно-
частичных функций означает, что на самом деле речь идет о си-
157
стеме тождественных частиц. Таким образом, употребление ц,
и ф позволяет в наиболее сжатом виде выразить операторы
физических величин, действующие в пространстве чисел запол-
нения.
2.	ФЕРМИОНЫ
Набор одночастичных состояний, используемый в качестве
базиса для разложения произвольной волновой функции систе-
мы фермионов, изображается в виде определителя (14.4). Ус-
ловимся, что всегда
(15.11)
••• < ^п-
Все числа л; различны, поэтому числа заполнения равны нулю
или единице.
Рассмотрим снова матричный элемент <nt ... | Но | п[ ...> .
Диагональный элемент равен, как и в случае бозонов:
<пх ... | Но | rtj ...> = У <д | h 14>Л,-.
Но для недиагональных элементов результат будет
другим: отличными от нуля будут элементы вида
< ... 1; ... О* ... | Ho|...Of... Д ... >, причем в соответствии с ус-
ловием (15.11) i<k. Такой элемент
fc-i
2 ",
<... 1,- ... Ofc ... I Но I ... О,... Ifc ..•> = <11 h I Л>(-1) s==,+ 1
Введем обозначение £(/+1, k—1) = 2?+/ «s и будем пи-
сать (—1)Е(> /-1) Этот множитель возникает вследствие анти-
симметрии определителя относительно перестановки столбцов.
Чтобы представить Но в форме, аналогичной (15.6), а Н1 — в
форме, аналогичной (15.7), нужно ввести операторы а и а+,
действующие следующим образом:
af|... tti ...> =(-1)Е0. ‘-П/гД.../if_i ...>,
(15.12)
а+ | ... /г,- ...>=(- 1Г-<’- '-*’(!-Л/) |... /г/+1 ...>.
Последнее соотношение обеспечивает автоматическое выполне-
ние принципа Паули. Действительно, если nz = l, то действие
оператора а+ на |... /г^...> дает нуль.
Правила действия операторов (15.12) эквивалентны пере-
становочным соотношениям
а+а+ +а^а+=0, afafc4-aftaf=0, а^а+ф-а+а^В,-*.
158
Сравнивая их с формулами (15.5), мы видим, что знак минус
в коммутаторе заменен плюсом. Получившееся выражение на-
л
зывается антикоммутатором. Соответственно для операторов ф
л
и ф+ получаем
Ф(тг)ф+(^)+Ф W)№)=8h—V),
(15.13)
ФООФО/) =о,
Ф+01)Ф + (-!?')+ Ф+ (^')Ф + (-5Q) = 0.
С учетом этих соотношений выражения (15.9) и (15.10) спра-
ведливы и для фермионов.
В заключение рассмотрим вопрос о переходе к гейзенбер-
говской форме для операторов а и а+. В выражении
0=5 <ч1 А>ехр (-*^г)аА
можно присоединить экспоненциальный множитель в волновой
функции к оператору а*. Тогда получим гейзенберговскую
форму
aft(0 = aftexp(-ZE4).	(15.14)
Для ф+ (т], /) имеем
<]>+(?;, 0=5 <7]|/?*>*ехр(^)а^,
k
откуда следует гейзенберговская форма для оператора а^(/):
а^(0=а+ехр	(15.15)
3.	МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
В качестве примера применения техники вторичного кван-
тования мы изложим вывод уравнений метода самосогласован-
ного поля Хартри—Фока, составляющих основу теории много-
электронных атомов. Рассмотрим систему электронов, находя-
щихся в поле ядра. Представим приближенно волновую функ-
цию системы в виде детерминанта (14.4), составленного из од-
ноэлектронных функций, и установим уравнения, которым они
удовлетворяют, исходя из требования минимума средней энер-
гии. Воспользуемся формулами (15.6) и (15.7). Среднее зна-
чение Но равно
159
Но — <СЛ] ... |Н(, ] И] •••> —
=2<«i ... | az+am | «j ...> <Z[h|m>.
Im
В силу соотношений (15.12) действие оператора а+а,и на
|... fij... пт ... > с точностью до знака дает пт (nl — 1) X
—!...>. Так что в силу ортогональности
лт...|и [...«;+!••.«„!—!...> вклад в среднее значение дают лишь
члены с 1—т, а так как аг' а; | ... nt ...> =nt | ... rtt ...> , то
оо
Но= 2 «,<z|h|Z>.
Обратимся к среднему значению Нр ,
Н]= </г( ... | Hj | пх ...> =
= 4" 2 <Л1 - I a/+ama?aP I -> <im\w\pq>.
1тр<1
Матричный элемент произведения операторов az а+а9ар отли-
чен от нуля лишь при l=q, т=р или l=p, tn = q, что следует
из выкладок, аналогичных приведенным выше. Принимая во
внимание, что а?ар = — араг, получаем
<п{ ... | Hj | Л1 ...> =
=--2"2 <Л1 ••• I aiamaiam I ••> I <Zrn|w|mZ> — <lm\w\lm>\.
tm
Далее, в силу соотношений антикоммутации имеем
a/ama/am= -а1Ча£ат+а/+ат6/т>
так что окончательно
<«! ... | Hi | «!...>= — V ntnm[ <lm |w|Z/n>— <lm |w| ml >].
Im
Распишем подробно матричные элементы <l\h\l>, <Zm|w|Zm>
и <Z/n|w|/nZ>. Волновую функцию <ti|Z> представим в виде
<>11 Z>=<rp. | Z> =?/(г)<р. | р./>
Тогда
<Z| h | Z>= 2 f Л'?’(г)11(г)<р/(г)811(х/81111г= f dr^rjh^r^^r),
<lm | w | lm> = 2 f ^rrZr'?;(r)^(r')w(r,
ixp.'
= J drdr <pz(r)'pm(r/)w(r, r,)<P/(r)<pm(r/),
160
<1т | w | ml> = S f drdr'q>*(r)'fm(r') X
P-P-'
< W(r, Г,)<Рт(г)э/(г')81Чх18Р.'1хт8№я,8н’н/==Чнт f drdr'^(r) x
X<?m(r')w(r, Г/)<?т(г)ф/(Г')-
В атомных единицах й=/п=е=1 имеем
Л	1	7
ад=-4-д-4-.
w(r. ')= -[71РТ •
С учетом всего этого выражение для среднего значения Н при
нимает вид
н- 2 J rfr^(r)^ — 4-д—-7']^г)+
г 2 [f dxd г | <h(r) |21	|2 -|r-_!p |-
-8^m j drdr'$r)<M г') -у7т^?1(г')Т,п(г)]-
Будем теперь искать минимум Н относительно вариации
функций ф, при дополнительных условиях, налагаемых на од
ночастичные функции с одинаковой проекцией спина (ц, =
= М«):
f =8;m-
Пользуясь стандартным методом неопределенных множителей
Лагранжа, получим уравнения Хартри—Фока
(---2“^ ——)'й(г) + 5 f	| r7L~PT?l (**z —
- S 8^m J <P*m (r') q>f(rz) |rzbq-^(r) “
— — S lm тт(г)-
m
Здесь ?v/m —множители Лагранжа.
С помощью подходящего унитарного преобразования функ-
ций ф/ можно добиться того, чтобы матрица стала диаго-
нальной. Дальнейшие сведения, относящиеся к уравнениям
Хартри—Фока, и применение этих уравнении в теории атома
см в книге [11].
11 Зак. 1859
161
4. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
КАК ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Уравнение Шредингера можно рассматривать как уравне-
ние Эйлера—Лагранжа, вытекающее из вариационного прин-
ципа
б f (Ф, Ф*, dkW, o^jdrdt = 0.	(15.16)
Здесь дк означает дифференцирование по времени и коорди-
натам, k=x, у, z, t. (Считаем для простоты спин равным ну-
лю.) Лагранжиан X имеет вид
^ = -^-(’2’44'-	_ 1/Ф*Ф) (15-17)
(Ч7 и Ч7* варьируются независимо).
Такой подход характерен для теории поля. Так, например,
в электродинамике £ зависит от компонент тензора электро-
магнитного поля. Вариационный принцип приводит к уравне-
ниям Максвелла.
В уравнении Шредингера W является функцией координат
и времени, так что поле, описываемое лагранжианом (15.17),
представляет собой классический объект.
Если теперь перейти к системе тождественных частиц, то,
как мы уже видели, Ч7 становится оператором, действующим
на вектор состояния в представлении чисел заполнения. Это
означает, что лагранжиан £ также становится оператором и
описывает, таким образом, квантованное поле.
Рассмотрим еще вопрос об энергии поля. Она определяется
как интеграл от компоненты Тоо тензора энергии импульса
Н~ J Toodr. В классической теории поля общее выражение
для Тю через лагранжиан имеет вид
Г°о =	д,д
где q — обобщенные координаты. В нашем случае имеются
две обобщенные координаты: Ч7 и 4f+ . Пользуясь выражением
(15.17), получаем
откуда	?/== ( Ф*(—	I/) Фг/г.
л
При замене Чг и Чг* операторами Т и Т это выражение сов-
падает с гамильтонианом системы невзаимодействующих час-
тиц во внешнем поле V, как и должно быть.
162
В нерелятивистской квантовой механике полевая трактовка
хотя и возможна, но не необходима. Однако, как мы увидим
дальше, в релятивистской теории полевая трактовка является
необходимой и единственно приемлемой основой для построе-
ния непротиворечивой теории.
Глава 16
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЧАСТИЦ
БЕЗ СПИНА
1. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА—ФОКА
ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Уравнение Шредингера невозможно применять для описа-
ния движения частицы с учетом релятивистских эффектов, так
как оно не инвариантно относительно преобразований Лорен-
ца. Однако попытки непосредственного обобщения квантовой
механики на релятивистскую область в рамках теории одной
частицы наталкиваются на трудности. Характер возникающих
здесь проблем можно увидеть на примере одной свободной
частицы без спина.
В поисках подходящего уравнения мы будем руководство-
ваться соображениями релятивистской инвариантности. Поми-
мо этого мы потребуем, чтобы в нерелятивистском пределе,
когда скорость света с->оо, получалось уравнение Шрединге-
ра. Будем придерживаться общепринятых релятивистских
обозначений. Напомним, что в теории относительности вводят-
ся обозначения х° = ct, х1 — х, х2 ~ у, х3 = г, 4-вектор а11 имеет
временную компоненту а0 и пространственные а1, а2, а'-, или
а^ = (а0, а).
Скалярное произведение двух векторов определяется как
(ab) =a°b‘— ab. Для сокращения записи таких выражений вво-
дится метрический тензорgv, (g00=^ 1,gu = g22 = g33 = — 1. не-
диагональные компоненты равны нулю). Тогда (ab)=g^ а^-а'.
по дважды повторяющимся индексам сверху и снизу подразу-
мевается суммирование. Величины а‘ называются контравари-
антными составляющими. Вводятся также ковариантные со-
ставляющие по правилу a^—g^a\ так что а°=а0, ai——а1,
а2=—а2, аз=—а'. Пользуясь этими обозначениями, можно
скалярное произведение представить в виде (ab) —aJF — a^b^.
Производные д/дх^ и д/д^ будем обозначать через и д^.
Кроме того, будем использовать систему единиц, в которой
Й=с=1 (за исключением некоторых случаев, например при
рассмотрении предельного перехода с->-со).
н*	163
Простейшее релятивистски-инвариантное уравнение для
свободной частицы было предложено О. Клейном и В. А. Фо-
ком:
^о>ф + /п2ф = 0	(16.1)
Частным его решением является плоская волна
ФР = Aexp(-Z(pc)] = Аехр[— i(Et - рг)|,	(16.2)
причем (как и должно быть)
Е2 = р2 + т2.	(16.3)
Предельным переходом с-*оо можно получить из (16.1) урав-
нение Шредингера. Возвращаясь к обычным единицам, пере-
писываем (16.1) в виде
(“^£ + й2А)^ = тМ^-
Представим ф как
ф = ЧГехр( —
Подставив ф в предыдущее уравнение и устремляя с к оо, на-
ходим
Итак, мы написали релятивистски-инвариантное уравнение
(16.1), переходящее в нерелятивистском пределе в уравнение
Шредингера. Казалось бы, достигнуто релятивистское обобще-
ние квантовой механики. Однако возникают трудности при по-
пытке установить физический смысл решения уравнения Клей-
на—Фока.
Начнем с того, что согласно (16.3) энергия частицы Е мо-
жет иметь два знака:
Е = ± Ур2 + т2.	(16.4)
Отрицательные энергии у свободной частицы не могут быть.
Но отбросить просто решение с отрицательным знаком перед
квадратным корнем мы не можем, так как полную систему ре-
шений в виде плоских волн образуют именно решения с обои-
ми знаками.
Обозначим через е положительное значение квадратного
корня (16.4): е=+Р р2+т2. Общее решение (16.1) пред-
ставляет собой суперпозицию плоских волн с энергиями Е—е
и Е——е. Рассматривая плоские волны в конечном объеме
(чтобы сделать спектр импульса дискретным), напишем
~^(apel<Pr в/’ +^ре/<₽г+Е
164
(Множитель (|/2е)-1 введен с целью нормировки, смысл ко-
торой выяснится ниже.)
Далее, разберем вопрос о плотности тока и уравнении не-
разрывности. Чтобы построить выражение плотности тока, на-
пишем уравнение для комплексно-сопряженной функции ф*,
которое будет иметь тот же вид, что и (16.1). С помощью про-
стых выкладок из уравнений для ф и ф* можно получить
уравнение неразрывности
(16.5)
где компоненты 4-вектора плотности тока J*1 (/°, j) равны

(16.6)
(16.7)
Мы ввели множитель i, чтобы получить выражение (16.6) для
j, совпадающее с нерелятивистским вектором плотности тока.
Но выражение для /° (16.7) существенно отличается от нере-
лятивистского случая. Подставим в (16.5) решение в виде
плоских волн (16.2). Тогда
J° =
Это выражение может быть отрицательным, и поэтому /° нель-
зя интерпретировать как птотность вероятности. Трудности ин-
терпретации можно преодолеть, если считать, что уравнение
(16.1) относится не к одной частице, а к системе частиц, и
трактовать ф как оператор, действующий на вектор состояния
в представлении чисел заполнения. Способ, с помощью кото-
рого можно избежать появления в формулах свободных частиц
с отрицательной энергией, подсказывается выражениями
(15.14), (15.15) для операторов рождения и уничтожения в
гейзенберговском представлении. Именно, вместо того, чтобы
говорить о рождении частицы с отрицательной энергией, будем
говорить об уничтожении античастицы с положительной энер-
гией, а вместо того, чтобы говорить об уничтожении частицы
с отрицательной энергией, будем говорить о рождении анти-
частицы с положительной энергией.
2. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
С НУЛЕВЫМ СПИНОМ
Представим операторы ф и ф+ в виде
?= 2	+ьре,(рхуу (16-8)
р
165
<lr = У -L- (a+e^-hbpe-''^),	(16-9)
p 1-6
где операторы ap и ap относятся к частицам, а операторы Ьр и
Ь+ — к античастицам и (рх)-рг—et. В формулах (16.8) и
(16.9) частицы и античастицы присутствуют на равных пра-
вах п имеют одинаковые массы. Равноправие частиц и анти-
частиц проявляется, в частности, в том, что имеется симметрия
относительно замены частиц античастицами. Именно при за-
мене ар->Ьр, ар->Ь+ (16.8) переходит в (16.9). Такая про-
цедура называется зарядовым сопряжением. (Это название
связано с тем обстоятельством, что при наличии электрического
заряда частицы и античастицы должны иметь противополож-
ные заряды, см. далее.)
Уравнение (16.1) может быть выведено из лагранжиана
=	т2ф+ф.	(16-10)
Компонента тензора Too, играющая роль плотности энергии,
равна
?ы> = уф+?ф+тг6+Ф-	(16.11)
Рассмотрим оператор энергии Н. Он равен H=f T00dr.
Подставив в (16.11) выражения (16.8) и (16.9) и учитывая ор-
тогональность плоских волн с разными импульсами, получаем
Н= 2 е(а+ар+ЬрЬ+).
р
В теории вторичного квантования существуют два вида пе-
рестановочных соотношений: для бозонов и для фермионов.
Если принять бозонный вариант, т. е. считать, что
IaP’ aqJ—^Р-Ф Ibp.bq ] =^p,q	(16.12)
и что операторы для частиц и античастиц коммутируют друг с
другом, то получаем
Н = 2 £(apap4-bpbp+ 1).	(16.13)
г
Собственные значения а+ар и b^bp представляют собой
целые положительные числа (или нули) — числа частиц Np и
античастиц Np . Выбирая начало отсчета энергии так, чтобы
при Np=0 и Np =0 было Е~0, мы должны отбросить единицу
в (16.13). Тогда
Е= 2 е(Л<р+Ч).	(16-14)
р
166
Это выражение имеет очевидный смысл: энергия Е системы
представляет собой сумму энергий (положительных!) частиц и
античастиц со всевозможными импульсами.
Нормировочный множитель (]^2е )-1 в (16.8) и (16.9) вы-
бран как раз так, чтобы при перестановочных соотношениях
(16.12) получилась формула (16.14).
Рассмотрим теперь оператор тока. Его выражение можно
вывести, пользуясь инвариантностью лагранжиана (16.10) по
отношению к калибровочному преобразованию ф->е,пф, ф -*•
-*а-/в ф+ . В частности, лагранжиан не меняется при бесконеч-
но малом калибровочном преобразовании:	ф+->
->Ф+ _ /8аф+. Подсчитывая вариацию лагранжиана, имеем
Отсюда следует, что обращение в нуль величины равно-
сильно уравнению неразрывности dvjv' =0 для оператора
/7+	7	\
.Г==ЧФ+ —-------ф-----— )—
~	(д,Лф+)ф).
В свою очередь, уравнение неразрывности означает сохране-
ние величины Q = Г j°dr. Для Q получаем следующее выраже-
ние:
Q=S(NP-NP).	(16.15)
р
Поскольку Np и Np по отдельности сохраняются для невзаимо
действующих частиц (так как Np и Np коммутируют с Н), то
сохранение их разности не вносит ничего нового. Однако если
учесть взаимодействие, то сохранение Q в этом случае озна-
чает, что частицы и античастицы могут появляться и исчезать
только попарно.
Если частицы имеют электрический заряд, то из (16.15)
вытекает, что античастицы должны иметь противоположный
заряд. Именно при этом условии в процессах рождения или
уничтожения пар частица — античастица будет выполняться
закон сохранения полного заряда.
Если бы мы приняли фермионный вариант перестановочных
соотношений, т. е. bp+bp+ bpb+ = 1, то для энергии получили
бы выражение
£ ep((Vp-/Vp).
р
167
Оно может быть как положительным, так и отрицательным.
Между тем энергия системы свободных частиц не может быть
отрицательной. Таким образом, фермионный вариант оказыва-
ется неприемлемым. Тем самым, исходя из чисто теоретиче-
ских соображений, мы установили, что частицы с нулевым спи-
ном являются бозонами.
Рассматривая уравнение Клейна—Фока, мы считали ф
комплексной функцией. Выясним, что изменится, если ф счи-
тать вещественной функцией. Прежде всего изменится лаг-
ранжиан. Вместо (16.10) будем иметь
<$? = -j-т2ф2).
Тензор энергии-импульса
так что плотность энергии
=4'[(sl)2+(^)2+w2'Jj2]>
^-операторы поля будут иметь вид
’^г(сре“/<рх)+сР+е<<рх,)’
р
где Ср —оператор рождения; ср—оператор уничтожения. Как
видно, античастицы теперь совпадают с частицами. Оператор
энергии есть
н=4- е(ср+с₽+сРср )•	(16.16)
р
Ни плотности тока, ни закона сохранения Q не существует.
Это означает, что частицы могут возникать и исчезать пооди-
ночке. Такие частицы называются истинно нейтральными, так
как они не могут обладать электрическим зарядом. (В про-
тивном случае не выполнялся бы закон сохранения заряда.)
Глава 17
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЧАСТИЦ
СО СПИНОМ 1/2
1.	УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ.
ПЛОТНОСТЬ ТОКА
В системе координат, в которой частица покоится,
она описывается двухкомпонентной волновой функцией-спино-
168
ром н1). При переходе к произвольно движущейся системе
координат одного двухкомпонентного спинора оказывается не-
достаточно. Это можно увидеть из следующих соображений.
Рассмотрим преобразования Лоренца при движении вдоль оси х:
x+vt	__ t+vx
(напомним, что скорость света с принята за единицу). Поло-
жим v = thw. Тогда
x^xchw-Hslrzc, /'=xshw4-^chw.
Эти соотношения напоминают преобразования координат, если
считать угол вращения <р мнимым, т. е. q>—iw.
По аналогии с оператором вращения ехр[—1(ох/2)<р] мы
можем определить оператор преобразования Лоренца как
ехр (Ддда/2). Спинор (у1) преобразуется по закону
\9г 1
(ф;) = ехр (т-«) Сь)-
При инверсии координат (j переходит в
($>«4 (-ЭД).
Если мы хотим иметь уравнение, решение которого при ин-
версии координат преобразуется само через себя, то нужно
построить его из комбинации двух двухкомпонентных спиноров
типа и . Иначе говоря, надо ввести четырехкомпо-
нентную волновую функцию
/Ф1\
Ф=| I
I м
\Ф4/
Систему уравнений для компонент фо, линейную по им-
пульсам, мы запишем в виде
ТаррцФр^тф»,	(17.1)
где — числовые матрицы. В матричном обозначении имеем
(Гри-/п)ф = 0,	(17.2)
причем ур'рР.= ТоРо—TZP((Po — ididt). Это — уравнение Дира-
169
ка для свободной частицы. Частным его решением при опре
деленном импульсе и энергии частицы должна быть плоская
волна ф=Дехр[—«(рх)]. При подстановке этого выражения в
уравнение (17.2) получаем y'lpv.A = mA. Возводя это соотноше-
ние в квадрат и требуя, чтобы e2=p2 + m2, получаем (у0)2 =
= 1. (у1)2 — (у2)2 — (-у3)2 — — 1, yl*y’ у’уИ — Q прИ	Эти
соотношения можно объединить в одно:
y^y’+yV^2^-	(17.3)
В пределах перестановочных соотношений (17.3) можно вы
бирать различные конкретные выражения для матриц у11 и по-
лучать различные формы уравнения Дирака. Они могут быть
получены друг из друга унитарным преобразованием:
ф'==иф, y^UyU"1.	(17.4)
Различные конкретные формы уравнения Дирака мы расмот-
рим дальше.
При рассмотрении какой-либо конкретной формы у выяс-
няется (см. далее), что
(уо)+=7о, (у')+ = -у'.	(17.5)
Это свойство также инвариантно относительно преобразова-
ния (17-4).
Продолжим рассмотрение общего уравнения (17.2). Введем
необходимое в дальнейшем понятие дираковского сопряжения.
Дираковски-сопряженная функция ф определяется соотноше-
нием
ф=Ф+7°,	(17.6)
где ф + — матричная строка: ф+ = ф’ФаФзФ!- Выведем уравне
ние для ф. Выписываем эрмитово-сопряженное уравнение по
отношению к (17.2): (у|1рЛ')+ =тф+, или ф+Ри(уи)+ = тф+-
Знак эрмитова сопряжения + здесь относится к матрицам у*
н столбцу ф. Что касается оператора импульса ри, то для
него 4- означает просто комплексное сопряжение. Поэтому
(Pp-)+sPh— — Ри- Таким образом,получаем ф^Рр.(уи’)+= —ч
причем оператор импульса здесь считается действующим на-
лево, на функцию ф + . Учитываем (17.5): ф-1 (p07° + Р,У*) =
= —тф+. Наконец, умножая на у0 справа, учитывая, что у0
антикоммутирует с у' и пользуясь обозначением (17.6), по-
лучаем
Ф(РЛ,1+^)=О.	(17.7)
170
Пользуясь уравнениями (17.2) и (17.7), можно получить вы-
ражение для 4-вектора плотности тока. Именно: умножая
(17.2) на чр слева, (17.7) — на яр справа и складывая, находим,
что
?Г(РЛ)+(Рн Ф)Т|ХФ= Р.х (=0-
Полученное равенство имеет вид уравнения неразрывности
<?р.У>=0, где /,1=чру,1ф —4-вектор плотности тока. Его времен-
ная компонента /0=чру°чр=-ф чр всегда положительна в отличие
от (16.7).
2.	РАЗНЫЕ ФОРМЫ
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА.
ГАМИЛЬТОНИАН
Для изучения низкоэнергетического предела удобна так
называемая стандартная форма: чр представляется в виде
столбца из двух двухкомпонентных спиноров:
Ф=(х).	(17-8>
Матрицы у выбираются в блочном виде:
(17.9)
Здесь 1 и 0 — двухкомпонентные единичная и нулевая матри-
цы; — матрицы Паули. Уравнение (17.2) принимает вид
системы уравнений для <р и %:
(p0-m)<P = p<»b (po4-w)X=po?-	(17.10)
Для изучения ультрарелятивистского случая удобна спи-
норная форма: чр представляется
(17.10),
Т°=
в виде. аналогичном
, но матрицы у11 выбираются в виде
0 —а(
а, 0
(17.11)
Получается следующая система:
(Po4-P°h=^.
(Ро—Р3К="Ц
Важную роль в теории играет форма уравнения Дирака,
разрешенная относительно d/dt:
^=Нф.	(17.12)
171
Эта форма представляет собой в сущности объединение систе
мы (17.10) в одно уравнение, причем члены ту и т% перене-
сены в правую часть.
Вводя обозначения
(17.13)
получаем
Н=ар-|-Р/и.	(17.14)
Это — релятивистский гамильтониан частицы. Именно в такой
форме уравнение (17.12) впервые было написано П. Дираком.
Здесь опять имеется существенное отличие от уравнения
Клейна—Фока, для которого форма (17.12) не существует.
Зная гамильтониан, мы можем выяснить, какие интегралы
движения имеются у свободной частицы (т. е. какие операторы
коммутируют с Н). Очевидным интегралом движения является
импульс р. Кроме того, интегралом движения должен быть уг-
ловой момент. Вычисляя коммутатор [LX,H], где Lx=ypz—
—zpy — составляющая орбитального момента по оси х, на-
ходим
[Lx, H]=i(aypz-axPi.).
Таким образом, орбитальный момент не является интегра-
лом движения. С другой стороны, вычисляя коммутатор
[ Sx, Н], где
ах 0
О
(17.15)
— четырехмерная матрица спина, имеем (2ж , H]=2i(a2py-
— a_pPz)> откуда видно, что и спиновый момент сам по себе
ие является интегралом движения. Но их сумма, J = L+2/2
коммутирует с оператором энергии и является интегралом
движения. Таким образом, имеется существенное отличие от
нерелятивистской теории, в которой для свободной частицы
орбитальный момент является интегралом движения безотно-
сительно к спину.
172
3.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА,
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПОВОРОТЫ
И ИНВЕРСИЯ КООРДИНАТ
Рассмотрим изменение волновых функций и матриц у11 при
линейном преобразовании координат: инверсии, вращении или
преобразованиях Лоренца. Эти преобразования можно запи
сать в виде
д-'р.—Др.д-У,
(17.16)
или в матричной форме: х'=Ах. Волновая функция при этом
изменяется по закону ф'(х')=5(Л)ф(х), где S — матрица, за-
висящая от коэффициентов А* в (17.16). Тогда
ф(х)=5-,ф,(-х')-	(17.17)
Дираковски-сопряженная функция ф преобразуется по закону
ф(х)=ф'.(х')5, а операторы импульса как
д
дх»
д
дх' ‘

(17.18)
На основании соотношений (17.17) и (17.18) записываем урав-
нение (17.2) в виде
(—S^+mS'1 U'(x')=O.
\	дх	/
Умножив его слева на S, имеем

•|-/и
0.
Чтобы последнее уравнение имело вид
(—iv4-mW(x')=0,
\ дх )
необходимо потребовав Sy^AjS-1 =yv или у^А* =S-1y’S.
Рассмотрим конкретно поворот системы координат вокруг
оси х на угол <р. В нерелятивистской теории такому повороту
соответствует оператор ехр [—z(<p/2)ox] (гл. 5). Имея дело с
четырехкомпонентной функцией, мы должны вместо <ух упот-
ребить оператор (17.15), так что S=exp[—г(ф/2)2х].
Обратимся к преобразованию Лоренца. Если происходит
переход к системе координат, движущейся вдоль оси х со ско-
ростью v = thw, то S = ехр (wax/2). Инверсии координат соот-
ветствует оператор S=iy°. Инвариантность уравнения Дирака
относительно этого преобразования очевидна. Заменив в урав-
нении (17.2) р на —р и одновременно ф на ту°ф, имеем
(Ро7°+ РТ-т)7°ф=0.
173
Умножив это уравнение слева на у0 и учитывая антикоммута
тнвность у0 и у, возвращаемся к (17.2).
В заключение этого раздела перечислим билинейные ком-
бинации, содержащие ф, ф И—У11 и обладающие определенным
характером преобразования: фф — скаляр; 1фу5ф — псевдо-
скаляр (у5=—iY°Y1Y2T3); 'ФУИ'Ф — 4-вектор; <р7*17ьф—псевдовек-
тор (аксиальный вектор); Ф(у|Х7’ —т',?р')ф — антисимметричный
тензор.
4.	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим решение уравнения Дирака в виде плоской вол-
ны, соответствующей определенной энергии е= + J^p24~m2 и
импульсу р:
Спинорную амплитуду Vр будем нормировать по условию
UpUp—2m.	(17.19)
Уравнению Дирака удовлетворяет также функция
Это решение соответствует отрицательной энергии частицы и
в рамках одночастичной теории не имеет разумной трактовки.
Амплитуду U_p мы будем нормировать условием
Tj_pLLp — —2m.	(17.20)
(Смысл условий (17.19) и (17.20) выяснится далее.) Амплиту-
ды U±р удовлетворяют уравнениям
lpU±p— +mU±P.	(17.21)
Умножив их слева на U±р и учитывая условия (17.19), (17.20),
получим
U^pU±p=2m2 = 2р2,
U±p^U±p^2p\	(17.22)
Пользуясь соотношением (17.22), для 4-вектора плотности то-
ка будем иметь j»-—	— р^/е, т. е. /°=1, j=p/e=v (v —
скорость). Равенство j=v соответствует нерелятивистскому
выражению для плоской волны единичной амплитуды.
Дальнейшее рассмотрение мы проведем в стандартном
I Up}
представлении. Полагаем ^Р== 1^/(2) b ^р’ и ^’удовлетво-
ряют системе уравнений
174
(e—m){7<,1>=ap67<2>.
(17.23)
(е+т)Ц2’=ор7/<,ч.
Полагаем 0^ = 0^, СЛ2) ~a2w, w — двухкомпоиентный спи-
нор, нормированный на единицу:
®+®>=1.	(17.24)
Тогда из (17.19) получаем a2/ai=op(e+zn)~t, а из (17.22) с
учетом (17.9) —al=2tn.
Вводя единичный вектор 3-мерного импульса п, получаем
окончательно
(Уе4- mw \
________ I.
Ve— т(пз)ю/
Аналогичные выкладки дают для U.p
(У Ч—т (an)w'
У е 4- т w' /
Для покоящейся частицы (е=т) получаем
_______________________/ w \	г— /0 \
Что касается спинора w, то он может быть выбран произ-
вольно (но в соответствии с условием нормировки (17.24)). Мы
положим, что спинор w описывает состояние с определенной
проекцией спина на ось z:
зг®>=р.®’.	(17.25)
Спинор w' выберем в виде
аг®' = —fx®'.	(17.26)
Таким образом, у амплитуды U ±р появляется дополнитель-
ный спиновый индекс р. При выборе спиноров (17.25), (17.26)
будем иметь U+р, ±(1 . Непосредственное вычисление с учетом
(17.8) и (17.25) показывает, что U-p-p может быть получено
из Up ц действием оператора зарядового сопряжения, имеюще-
го в стандартном представлении (17.11) вид /у2 (происхож-
дение его выяснится в дальнейшем): С/-р-р. =/у2 t7p, и.
Обратимся теперь к ультрарелятивистскому случаю Е^>т.
Воспользуемся уравнениями (17.13) и (17.14). Подставляем ц
и § в виде тl = т]oe~^(₽r,, ^ = ^ое_,(рл)  Пренебрегая т по сравне-
нию с е, имеем
('П)т)о= 'Чо’ (а*’)^о“^о’	(17.27)
175
Здесь n — единичный вектор трехмерного импульса р.
Система (17.13), (17.14) распадается на два отдельных
уравнения (17.27). Возникает вопрос, можно ли в ультрареля-
тивистском случае характеризовать состояние частицы одним
ДВуХКОМПОНеНТНЫМ СПИНОРОМ Цо или go? Если это возможно, то
состояния характеризуются определенным значением проекции
спина на направление импульса.
Обозначим оп=Л. Спиноры ц0 и g0 являются собственны-
ми функциями оператора Л с собственными значениями ±1.
Собственные значения Л называются спиральностью.
Длительное время такая возможность отвергалась на том
основании, что Л является псевдоскаляром; при инверсии
А—>—Л. Казалось очевидным, что физическая характеристика
не должна меняться при инверсии. Однако теоретические и
экспериментальные исследования, выполненные в 50-х годах,
привели к радикальному изменению физических представлений
в этом вопросе. Оказалось, что «продольно-поляризованные»,
т. е. обладающие определенной спиральностью электроны - и
нейтрино действительно появляются в процессах, обусловлен-
ных слабым взаимодействием (0—распад атомных ядер, рас-
пад мюона). В этих процессах вместо требования инвариантно-
сти физических величин относительно инверсии выдвигается
требование инвариантности относительно инверсии и одновре-
менно замены частицы античастицей — так называемый закон
сохранения комбинированной четности.
Уравнения (17.27) инвариантны относительно инверсии коор-
динат и замены цо^ёо-
3. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
СО СПИНОМ 1/2
На основании тех же рассуждений, которые привели к фор-
мулам (16.8) и (16.9), выпишем соответствующие формулы
для частиц со спином 1/2:
S Йг (арн^-^)+Ь+ U-p.
р» р-
(17.28)
Ф —	у-у ' (аРР-	U-р, -цв *'РХ>).
р- и
Здесь а+и аР!1 — операторы рождения и уничтожения частицы
с импульсом р и проекцией спина р; Ь+, и bp!i — операторы
рождения и уничтожения античастиц с импульсом р и проек-
цией спина р.
Рассмотрим оператор энергии. Его можно определить через
одночастичный гамильтониан Но как интеграл
176
н= £гнофаг.
Заменяя Ноф на idtf/dt и ф1 на у°ф, имеем
H = i j ф Т°^-Ф^г-
Подставив сюда выражения (17.28) и учитывая соотношение
^|+р±р.т°^±р±ц =2е, получим
Н= 2 е(а+аР11—ЬриЬ^).
р. и
Отсюда следует, что операторы рождения и уничтожения
должны удовлетворять перестановочным соотношениям для
фермионов:
аррар£ + арр.арн = 1 •
Ьр^Ьрц+ЬррЬрр. = 1,
а все другие пары а, а+, b и Ь+ антикоммутируют. Тогда
Н- 2 e(ap>pp+bpVbpp-l).
Собственные значения энергии (за вычетом постоянной 2р, Ре>
выбираемой в качестве начала отсчета энергии) £= Sp, иеХ
Х(Лрр4~Лр р)•
Для оператора Q= J фу°ф</г получаем
Q=2 (a^ap.p-b+bpp+1).
р, р	t
Его собственные значения (за вычетом постоянной) равны
Q= 2 (Wpp-TVpp).
р. и
Употребление бозонного варианта перестановочных соотноше-
ний привело бы к физически бессмысленным выражениям для
Е и Q.
Таким образом, и для частиц со спином 1/2 мы установили
связь между спином и типом статистики на основании теорети
ческих соображений.
В заключение этого раздела выпишем лагранжиан поля со
спином 1/2:
X = ^-Пт^рф-дрфГФ)-
12 Зак. 1859	177
6. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
ПРИ НАЛИЧИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В тех случаях, когда процессы с участием античастиц не
играют существенной роли, можно применять уравнение Ди-
рака для описания состояния одной частицы. Поскольку
— положительно определенная величина, мы можем сохра-
нить вероятностную трактовку -ф, принятую в нерелятивистской
квантовой механике.
В рамках этого подхода можно рассмотреть электрон, на
который действует электромагнитное поле, характеризуемое
четырехмерным потенциалом Л (Ф,Л). Заменяя в (17.2) по
аналогии с классической электродинамикой рр. на рр. —еД,,
получим уравнение Дирака при наличии электромагнитного
поля:
7и(ри—еДЭф = tnty.	(17.29)
Покажем, что функция фс, получаемая с помощью опера-
ции зарядового сопряжения фс=/у2ф (у2 взята в стандартном
представлении (17.9)), удовлетворяет уравнению (17.29) с
противоположным знаком заряда. С этой целью перейдем сна-
чала в (17.29) к комплексно-сопряженным величинам. Пишем
(Т|‘)*(Ри+«Лр)ф* = — mty*.
Умножим это равенство слева на некоторую четырехрядную
матрицу U (не уточняя пока ее вида):
^Л('Ги)*(РиН_ еДр)1]>*= — mUty*.
Если выбрать U так, что
W)*=-r^5	(17.30)
то получим
7и(р;1+*?Лр.)Мр* =
т. е. Дф* удовлетворяет (17.1) с заменой е на —е. Положим
U—iy2. В стандартном представлении у0, у1 и у3 вещественны.
Для них соотношение (17.30) выполняется в силу антикомму-
тации у11 с разными индексами. Для у2 соотношение (17.30)
выполняется в силу (у2)2= —1.
Займемся теперь исследованием перехода к нерелятпвист-
скому случаю. Для этого выпишем уравнение в форме, разре-
шенной относительно d\]:/dt, причем вернемся к обычной систе-
ме единиц:
ih = [с(р— V А)а+/ис2?+еФ] Ф-
178
Положим гр=ф'ехр[—/(тс5/й)£]и представим -ф' в виде
(не смешивать с (17.8)1). Для ср и % получим
(гй4 -еф)?=*>(р-НгА)Х’
(17.31)
(ifli — ^Ф+2тс2)х=со(р —-£-д)¥.
В первом приближении
Х«^(р—ГА>	(17.32)
Подставив (17.32) в первое из уравнений (17.31), получим
z^=i{[e(p-^А)Т+ефЬ
Учитывая, что (оа) (a b) = ab + м[аХ Ь] и что rotA= 3$,
имеем
z^ = {i(p--rA)2-^-0^ +*ф}?
— уравнение Паули. Замечательно, что здесь автоматически
получился магнитный момент электрона, который в нереляти-
вистской теории заимствовался из опыта.
7. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ
К УРАВНЕНИЮ ПАУЛИ
Рассмотрим уравнение (17.31) в более точном приближении
с учетом членов —с~2. Ограничимся случаем стационарных
состояний и заменим ihdldt на Е. Кроме того, будем считать,
что /1=0. Тогда система (17.31) примет вид
(£— еФ)<?=сорх,
(17.33)
(Е — еФ -l-2me2)x=cap'f.
Из последнего уравнения с учетом членов более высокой сте
пени малости по с'1, чем в (17.33), имеем
—-—Г1 — —— IfaP)?-
z 2тс L 2т& Н
Подставив это выражение х в первое из уравнений (17.33).
получим уравнение для <р:
(£-еФ> = ± (о р) [ 1 -	(17-34>
12
179
Однако оно еще не является уравнением Паули с учетом
нов ~с-2, так как плотность вероятности в этом случае пяЧЛе’
I .. 19 I I .. 12_I 12 I n 1 -y—7	19
I oV<? I2.
4т"с2
Но уравнение Паули формулируется для двухкомпонентной
функции а' через которую плотность вероятности выражается
соотношением q= | < I2- Требуя, чтобы с точностью до членов
~с~2 выполнялось равенство f (| <|2 + I k 12ИГ = J I ?'|2rfr.
имеем	_
fl	Р2	1	Z
v	8м2с2
(17.35)
/	Р2	I
?' =	V +	8/пЧ»“ Г-
Подставив (17.35) в уравнение для ф (17.34), опуская члены
более высокого порядка малости, чем с~2 и представив резуль-
тат в виде Н <р' = Е ф', находим
Н = — +еФ----------—----1---— х
п 2т	Т- 4те2с2 А
Х{(ар)Ф(ар)-4-(Р2Ф+ Фр2)} •
(17.36)
Преобразуя последний член этого выражения с помощью фор-
мул
(ар)Ф(ар)=Фр2+тЙ(о^) (ар),
р2 Ф -Ф р2 = - tfb Ф + 2ih% р,
получаем окончательно
Н = ^-+г?Ф— 8^— W<> [% Хр] — 8/нМ dlV (17.37)
Поправка ~с~2 состоит из трех частей:
1)	р4/(8/п3с2) — поправка на релятивистскую зависимость
кинетической энергии от импульса;
2)	член, пропорциональный а [% Хр] — так называемое
спин-орбитальное взаимодействие — энергия взаимодействия
движущегося магнитного момента с электрическим пол®^’, , •.
случае сферически-симметричного поля:	= (—г/г)(йФ/-г)’
оператор спин-орбитального взаимодействия представляется
виде
180
eh г 21	eh* аФ :
Wc2r °* r X PL/r “ 2m2c«r rf7 s;
3)	член —div отличен от нуля только в точках нахож-
дения зарядов, являющихся источниками поля.
Полученные выражения можно применить для расчета ре-
лятивистских поправок к уровням энергии электрона в куло-
новском поле — Ze/r. В этом случае релятивистские члены в
(17.37) равны
,,	Р‘ 1 Ze? f" . Zez№ s .
~	8/nV2 2г3тгс2^ S 2т2с27'°(Г)-
Рассматривая V как возмущение, можно вычислить в первом
приближении теории возмущений поправку к нерелятивист-
ским уровням энергии в кулоновском поле. Детали расчета
см. в книге [10, § 34].
Приведем здесь окончательный результат для поправки
&Е к п-му уровню:
<17-38)
где /=/±1/2; а = е2(/гс)-1~ 1/137 — так называемая постоян-
ная тонкой структуры.
Согласно формуле (17.38) вырождение кулоновских уров-
ней по / частично снимается (расщепление уровня с данным п
на группу близко лежащих уровней называется тонкой струк-
турой). Последовательность уровней с учетом тонкой структу-
ры такова: lsi/2; (2sI/2, 2pi/o); 2рз/2 и т. д. Здесь символы 5, р
и т. д. означают, как всегда, что /=0, 1,...; индексы — значе-
ния величины /; в скобках объединены уровни, остающиеся
вырожденными. Это вырождение, как мы увидим, сохраняется
и в точном решении уравнения Дирака для кулоновского поля.
В опытах же обнаруживается небольшое расщепление уровней
2pi/o и 251,2 (лэмбовский сдвиг). Это расхождение теории и
эксперимента свидетельствует об ограниченной применимости
уравнения Дирака для одной частицы в данном поле. Объяс-
нение лэмбовского сдвига дается в квантовой электродина-
мике.
В- СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
в КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
В случае кулоновского поля Ф=—Ze/r уравнение Дирака
имеет точное решение.
В стандартном представлении задача сводится к системе
Уравнений
181
/ , Za\ .
(e+z«+ —)x=(eP)?-
(17.39)
(17.40)
Прежде всего проведем отделение угловых переменных. По-
скольку ф и х обладают противоположной четностью, мы по-
ложим
(17.41)
(Г=2/—/), где fi/iM и Пугм — шаровые спиноры, построенные
в гл 5 §7. Подставим (17.41) в (17.39) и учтем, что £2Л-М =
^—(an)QjiM = ~ ^r)QjiM/r. Тогда уравнение (17.39) при-
мет вид
(е-т+	)/2yMf= -t(«p) (or) 2у/Л1.	(17.42)
Преобразуем (ор) (а г) по формуле
(ар) (ог)= рг 4-«а[р г].
Принимая во внимание, что
[rPl=b	4-g,
приводим правую часть уравнения (17.42) к виду
Далее, a l=2s 1 = j2 — I2— s2. Собственные значения
равны /(/+1)—/(/ +1)—3/4, т. е. j—1/2 при /=/—1/2 и —/—3/2
при /=/+1/2. Обозначим собственные значения о! через
—(1+х), где
_ (	J+1/2 при l=j+ 1/2,
1-04-1/2) при /=/-1/2
(х пробегает все целочисленные значения, за исключением ну-
ля). Тогда
а12/гл1= —(1+х)2дм*
В итоге сокращается в левой и правой частях уравнения
(17.42), и мы получаем уравнение
^ + +^г+(.-т + ^)/-0.	(17.43)
182
Аналогично из уравнения (17.40) получим
^-+^r-(e+m+^-)g=0.	(17.44)
Рассмотрим сначала поведение решений (17.43)—(17.44)
при малых г. Пренебрегая членами е + т и е—т и полагая
t^=ar'l~i, g=br~>~1, получим
а(тН-х)—feZa=0, aZa -b(y — х)=0-
Условие существования нетривиального решения этой системы
есТЬ у2_х2—(Za)2. Таким образом, регулярное при г-*~0 реше-
ние есть
f=-^-^=constXr-,±/;r^
7+* °
Если (Za)2<x2, то выбираем знак плюс перед | Лх2—(Za)2.
(Знак минус привел бы к расходимости нормировочного интег-
рала.) В том случае, если (Za)2 > х2, величина у —
= ± Ух2— (Za)2 оказывается мнимой, и функции fug ведут
себя при г->0 как cos ([ у | In r)/r. т ,е. содержат бесконечное
число узлов. В нерелятнвистском случае это соответствует
уходу энергии основного состояния на — оо и падению на
центр (причем в нерелятивистской теории такая ситуация в
кулоновском поле вообще не возникает, а появляется лишь в
поле — С/r2 при достаточно большом С). В релятивистской
теории, как будет видно ниже, при (Za)2>l энергия основного
состояния (х2= 1) становится мнимой. Отсюда следует, что
чисто кулоновское поле можно рассматривать в релятивист-
ской теории лишь при Za<l, т. е. при Z<137.
Перейдем к построению решения и определению энергии.
Представим f и g в виде
f=Vr
g= — Ую — ее~р/2Рт ’(Qi —Q2),
где р=2Хг, )=]m2—₽2.	(17.45)
Подставив предполагаемые выражения для f и g в уравнения
(17.43), (17 44) и учитывая (17.45). получаем
(17.46)
р^ + (т+^-р)й+(’+т)<5.-0-
Система уравнений (17.46) приводится к двум независимым
Уравнениям второго порядка:
18
^ + (21+l-P)^L-(l-T1)Q1=0,
(17.47)
P^+Рт+1-р)	-(i+' -
(причем учтено, что 72 — (Zae/л)2 = x2 — (Za/ra/k)2). Решения
уравнений (17.47) выражаются через вырожденную гипергео-
метрическую функцию
27 + 1, р),
(17.48)
Q2=Z?f( 7+I-	27+1. р).
Положив в одном из уравнений (17.46) q=0, находим соотно-
шение между Л и В:
о_	7-(Zas/k) л
В~	%—(Zam/K) А-	(17.49)
Обе гипергеометрические функции в (17.48) должны обра-
щаться в полиномы (в противном случае Q] и Q2 будут экспо-
ненциально расти при q-^-oo). В частности, функция Q! явля-
ется полиномом при
7-^ = —пг,	(17.50)
где пг — целое положительное число или нуль; Q2 обращается
в полином только при пг целом и положительном, т. е. значе-
ние пг=0 исключается. Однако при пг =0, т. е. y=Zae/k, имеет
место соотношение Zam/‘k= |х| . Если х<0, то согласно (17.49)
коэффициент В обращается в нуль, а с ним и вся функция 02.
Мы приходим к заключению, что допустимы следующие
значения числа пг: пг = 0, 1,2,... при х<0, пг =*1,2,... при х>0.
Из формулы (17.50) находим спектр энергии, выраженный че-
рез квантовое число лг:
2_=1 ,	(Za)2	Г1/2
т 1(/*2-(2я)2+п,)2.
(17.51)
В частности, энергия основного состояния (|х| = 1, пг «0) рав-
на Ei = m V 1—(Za)2.
В точной формуле (17.51) сохраняется вырождение по зна-
ку х, т. е. состояния с данным j и двумя возможными I имеют
одинаковые энергии. Основное состояние является невырож-
денным.
Вернемся к вопросу о поведении решения при Za>l. Пред-
ставление о точечном ядре атома при больших Z является че-
ресчур грубым упрощением. Более реалистическое предполо-
184
HIie — ядро конечного объема.
* решение уравнения Дирака для этой модели приводит к
следующему результату: связанные состояния существуют и
п’ри Za>l- С ростом Z уровни энергии понижаются, и при
некотором критическом значении ZKp энергия основного состоя-
ния становится равной —т (т. е. —тс2 в обычных единицах).
При дальнейшем росте Z становится возможным самопроиз-
вольное рождение пар электронов и позитронов, так что зна-
чение ZKp — это максимальный заряд, которым может обла-
дать ядро радиусом г0. Предполагая, что заряд ядра равно-
мерно распределен в сфере радиусом г0= 1,2-10~12 см (значе-
ние, вытекающее из экспериментов), можно получить ZKp =Л70.
Глава 18
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
1.	РАЗЛОЖЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим электромагнитное поле в области пространства,
свободной от зарядов, занимающей некоторый ограниченный
объем. Выберем калибровку
divA=0, Ф=0.	(18.1)
В релятивистских единицах напряженность электрического
(<? ) и магнитного (^ ) полей выражается через вектор-по-
тенциал А соотношениями <5 = —дА/д/, 3€ =rotA. При вы-
бранной калибровке А удовлетворяет уравнению
ДА—д2А/д/2=0.
Разложим А на плоские волны. В конечном объеме при на-
ложении определенных граничных условий волновой вектор яв-
ляется дискретной величиной (см. гл. 4, § 2):
А = /47 3^	[ехр[—/(«>/—рг)]Ср«-^ехр[/(<и/—рг)]с*п],
р-«	__ _____________________
причем и2=р2; величина (у/2(d)-1 и множитель у 4л выбра-
ны для удобства дальнейших выкладок; е„ — вектор поляри-
зации.
Условие divA=0 приводит к тому, что еар=0 (поперечность
поля). Таким образом, вектор поляризации имеет всего две
независимые компоненты в плоскости, перпендикулярной им-
пульсу р. Вычислим энергию поля:
185
H= §L J (g2 + ^)dr.
Выражаем g и Зв в виде разложения на плоские волны с
помошью соотношения (18.1) и учитываем ортогональность
плоских волн с разными импульсами (в силу граничных усло-
вий). Тогда
Н= -‘-2	(18.2)
р,«
Здесь ср, и с*, — пока еще числа. Мы выписали их в таком
виде, чтобы сделать наиболее коротким переход к квантовой
теории.
2.	КВАНТОВАНИЕ
ПОПЕРЕЧНОГО ПОЛЯ
Все, что нужно сделать в формуле (18 2) для перехода к
квантовой теории, — это заменить с*5 и ср, операторами рож-
дения и уничтожения, действующими на вектор состояния в
пространстве чисел заполнения:
н= 4 S U’(^+Cp,c;e).	(18.3)
р,«
Здесь энергия поля представлена как энергия системы гармо-
нических осцилляторов. Эта трактовка (18.3) сразу опреде-
ляет перестановочные соотношения [сряср+ ]=6РР	. Вводя
оператор при = ср;ср,, переписываем (18.3) в виде
н=2 (пр,+ 4У
Отбрасывая нулевую энергию (что равносильно выбору нача-
ла отсчета), получаем
Н= S пр1<».
р 1
(18.4)
Собственные значения энергии будут равны Е = 2р «ПР“И’ а в
обычных единицах Е = J£p ,/гр,й<и. Это выражение соответствует
представлению поля как совокупности фотонов. Заметим, что
(18.3) аналогична формуле (16.16). Отсюда следует, что фо-
гоны есть истинно нейтральные частицы, тождественные своим
античастицам. Кроме того, отсутствие вектора плотности тока
приводит к тому, что фотоны могут появляться и исчезать по-
одиночке (т. е. поглощаться или испускаться).
186
Вектор-потенциал, а с ним и напряженность электрического
й магнитного полей становятся теперь операторами. Весьма
существенно, что А не коммутирует с Н. Это означает, что не-
возможно такое состояние свободного поля, в котором и Н и А
имеют определенные значения. В частности, если число фото-
нов равно нулю (что соответствует наинизшей энергии поля
£=0), то средние значения*?2 и ^2 отличны от нуля. Наобо-
рот, состояние поля с определенным значением <? является
нестационарным, с неопределенным числом фотонов (анало-
гичным когерентным состояниям осциллятора).
з.	СПИН ФОТОНА
Фотон можно характеризовать спиральностью — проекцией
спина на направление импульса
Рассмотрим плоскую волну
А= ]/^-е,ехр[ -Z(u>f—рг)].
Введем декартову систему координат g, р, £. в которой ось £
направлена по импульсу р. Тогда А=(А;, АТ|, 0). При пово-
роте на угол б<р вокруг оси £
А^=АеАТ|8ср, А^=А^—Asixs.
Введем величины А±=Ае±гАч. Тогда Al = (l +i8<p)A±. от-
куда следует, что А± описывают состояния со спирально-
стью ±1. В этом смысле можно говорить, что спин фотопа ра-
вен единице.
4.	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
КВАНТОВАННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
С АТОМОМ.
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД
В свободном квантованном электромагнитном поле число
фотонов с данным импульсом и поляризацией постоянно. Од-
нако при взаимодействии с системой, содержащей заряженные
частицы, например с атомом, происходят процессы поглоще-
ния, испускания и рассеяния фотонов. Описание этих процес-
сов производится в духе теории переходов под действием за-
висящего от времени возмущения (см. гл. 12). Представим
оператор энергии системы атом + поле в виде суммы опера-
торов энергии атома (На), свободного поля (Н„) и взаимо-
действия между ними (V):
H=Ha+V+Hn
(явное выражение для V будет построено далее).
187
В уравнении Шредингера для вектора состояния системы
|^> = <H.+v+Hn)|/>
делаем подстановку
11> =ехр ( —г
На+Нп , \ . ,
h	Л-
что соответствует переходу к представлению взаимодействия
Для |/>3 получаем уравнение
Л#|О,-«р (< -ЬЦ^-/)Уехр(-1-Ь+й! ф>я.
Вводя оператор эволюции 1_1Л согласно соотношению |<>д =
= Цп(/,/о)|/о >л получаем для него уравнение
it, dlT =ехР[4- <На + ]Vexp[- (I1а 4- Hn)Z К (18. 5)
Здесь оператор V подразумевается взятым в шредиигеровском
представлении. Поскольку операторы поля берутся в гейзен-
берговском представлении, то мы положим
схр (4 H„Z )Vexp ( - 4 Hnz)=V(Z),
что соответствует переходу к гейзенберговскому представле-
нию по переменным, описывающим поле. Тогда (18.5) примет
вид, аналогичный (12.5):
th	=ехр (4 НД ) V(Oexp ( - 4Haz) -
Отсюда получатся уравнения для амплитуд. Но в отличие от
(12.8) индексы у амплитуд будут включать как энергию атома
(и другие квантовые числа, не выписываемые явно), так
и числа фотонов: п.\ с волновым вектором kj и поляризацией ер,
п2 с волновым вектором к2 и поляризацией е2; и т. д. Поль-
зуясь обозначением ®Пр= h~l(EW>—Д^0'), получим
ГЙ 4 <Д0,ЛЛ2 •" I U Д I Ес ПуП.2 ...> =
= 2 <E°nn{...i\ V(/)|£^rti...>X
_0 " ”.
X <ЕрП1... I	...>exp[fwnpZ].
'(18.6)
У становии вид оператора V(Z). Мы ограничимся здесь про-
стейшим случаем одноэлектронного атома, который будем
описывать нерелятивистским уравнением Шредингера.
188
Согласно (6.1) оператор энергии заряженной частицы в
электромагнитном поле (без учета спина) имеет вид
1 /-	о \2
H=-Lp — —А +еФ.
2т \'	с 1
Его можно переписать в виде
Н= Ё +еФ (РА+АРН АЛ (18.7)
Заметим, что имеет место соотношение
[р, A]=tfcdivA.	(18-8)
Электромагнитное поле, действующее на частицу, мы раз-
делим на две части: статическое поле, описываемое скалярным
потенциалом Ф, и поперечное поле, описываемое векторным
потенциалом А, который удовлетворяет условию divA = 0.
В силу соотношения (18.8) А и р коммутируют, так что вы-
ражение (18.7) можно переписать в виде
Н= Д 4-еФ —— Ар
2т ' тс г
&
2тс2
А2.
Здесь
ц.=£+еф
представляет собой оператор энергии атома, а
» ,	С* Л	А Ч
V =----Ар----я—j-А2
тс г	2т&
— энергию взаимодействия атома с поперечным полем.
При переходе к квантованному поперечному полю вектор-
потенциал А становится оператором
ео [ехр[ - z(w/- к г)]ск, «+ехр[г(ш/— к г)] с+ J.
Соответственно
V = — Ар—	А2= V'+V".
тс г 2тс2	1
(18.9)
Член V' содержит операторы скв и ска линейно. Под действием
ска и скс число фотонов пко меняется на единицу. Член V"
содержит билинейные комбинации ск-Я'Ско, с£а,ск«, с£,а,
ска , под действием которых меняются одновременно чис-
ла фотонов Пка И Пк'а'.
189
Для расчета процессов
фотона достаточно учесть
(18.9).
испускания и поглощения одного
лишь первый член в выражении
5.	ИСПУСКАНИЕ
И ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНА
Рассмотрим матричный элемент М = <Е„п.\ ...| V' | Е^п^.. >
Принимая во внимание, что ср|... пр... > = \ пр\...прн...
ср |... пр... > = К«р4-1 | —Пр+1... > , приходим к выводу, что
матричный элемент М отличен от нуля лишь в том случае
когда для некоторого данного волнового вектора к и поляри-
зации а числа фотонов Пка и пкя отличаются на единицу:
пка ~nk« ± 1, а по всем остальным числам фотонов (для дру.
гих значений волнового вектора и поляризации) Л1 диагоналей.
Выпишем выражение для матричных элементов, опуская
индексы, по которым они днагональны:
<Е^пка+1 | V' | E°tnka >
= -/пк.Н-1 -^j/^e^<£nu|pea6-^|E°m>,
(18.10)
Cfn/lka— 1 | ¥'|Ет«ка> =
= - Уъ* У~ е~1ш‘ <Е°п | реве‘“'| Е°т>.
Рассмотрим испускание фотонов. Проведем расчет в первом
приближении. Это означает, что в системе уравнений (18.6) мы
в правой части вместо <Ерп} ...|Ид | Еатпх...у>- подставим на-
чальное значение при t—Q, т. е. Ьрт бп"п. dn"„Q.
Будем считать, что в начальном состоянии имеется пка фо-
тонов с волновым вектором к и поляризацией е„ и что атом
находится в состоянии |Е^> . Вычислим амплитуду перехода
в конечное состояние, характеризуемое вектором состояния
атома |£0°> и числом фотонов Пка +1. Введем обозначение
Ц) = —^/^<£о°|Ре’е"кГ|£?>-
Тогда
<E'Srek«+l|Ufl|fi'inka> =
= V »k«+ 1 1/оехр[1(и>— u>10)Z],
откуда
190
<£*Лк«+ 1 | Ufl |	=
= V йк« +1 Vo
exp[t(o>-tolb)t]—1
“ю)Л
Считая спектр фотонов сплошным, мы должны рассматри-
вать переход в группу состояний с волновым вектором в ин-
тервале k, k+dk. Число таких состояний в единичном объеме
(см. гл. 4) равно
dkydky^k

WdkdQ   ui2/<i>	,Q
(2я)3	(2nc)3
Здесь d Q — элемент телесного угла, внутри которого нахо-
дится направление вектора к. Соответственно вероятность пе-
рехода дается выражением
+1)| И0|2
4 Sin2[(M|0—ш)//2] а>адц>
Л«	(ш1С—<о)2	(2лс)3 4Л
Применяя формулу (12.18), подставив значение Vo и разделив
на /, получим выражение для вероятности перехода в едини-
цу времени:
d<&=(пка+1)	| < Eg| реГ*' | E°> |2dL?B(<o10— w)т/u. (18.11)
Проинтегрировав это выражение по небольшому интервалу
частоты и вокруг значения сою, находим окончательно
^Л„=(пк«+1)^£;г1<^|Ре«е	|£?>|2d2, (18.12)
причем в этой формуле подразумевается, что a=ck=ш10. Фак-
тор (лка +1) означает, что испускание может происходить как
при отсутствии фотонов в начальном состоянии (/ika =0) —
так называемое спонтанное излучение, так и при наличии Пк«
фотонов в начальном состоянии — индуцированное излучение.
Наличие фотонов в начальном состоянии (с соответствующим
волновым вектором к и поляризацией е„) стимулирует испус-
кание, поскольку вероятность растет как Пка +1.
Расчет поглощения фотонов производится аналогичным об-
разом и приводит к выражению для вероятности поглощения
в единицу времени фотона с частотой со и поляризацией еа,
волновой вектор которого находится внутри угла dQ:
^^ПОГ1==«ка1^г1<^|Рео^|^>|2да.	(18.13)
191
6.	ДИПОЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Рассмотрим матричный элемент <£о|peae~'br|£i> , опре-
деляющий вероятность испускания. Он представляет собой
интеграл, содержащий волновые функции начального и конеч-
ного состояний и фо:
<Ео| ре«е-/кг|£?>=е« f ^p<M^ikrd г. (18.14)
Обычно длина волны излучения, испускаемого при переходе
между атомными состояниями, т. е. величина 2n/fe, значитель-
но превышает характерный радиус а, за пределами которого
волновые функции ф0>1 пренебрежимо малы. Поэтому во всей
существенной для интегрирования области в (18.14) можно
положить ехр(—ткг)~ 1. Полученное приближенное выраже-
ние f фоР'Ф1^г можно преобразовать, воспользовавшись урав-
нением для гейзенберговских операторов: ifi dr/dt=[r,H] и за-
мечая, что $=tndr/dt. Тогда получим
f ^PMr = -g-(£0-£,) J =
/ГТ f \
"— ih	Го1.
Вероятность спонтанного излучения в единицу времени в те-
лесный угол dQ. принимает вид
25r|eod01|M2,	(18.15)
где d — дипольный момент, d = er. Выражение (18.15) называ-
ется дипольным приближением.
Представим скалярное произведение d01eo в виде d0icos6<i е-
Пользуясь известным соотношением cos6d,e=cos6<j,kcos6k,e+
4-sin6<i, kSin6k, ecos<p и учитывая, что ea_L к, получим
2^-1 ^oi |2sin2ed,k cosMS.
Проинтегрировав по углам и умножив результат на 2 (число
независимых векторов поляризации), получим выражение для
вероятности перехода
3 йсз Pot I •
В том случае, когда начальное и конечное состояния обла-
дают определенным угловым моментом, характеризуемым
квантовыми числами I и т, матричный элемент дипольного
момента оказывается отличным от нуля лишь при выполнении
192
условий h—10—±1, nil—nto=O, ±1. Эти соотношения называ-
ются правилами отбора. Если они не выполнены, то в диполь-
ном приближении излучение не происходит. Отличная от нуля
вероятность перехода получается лишь при учете членов
~ (kr)2 и выше в разложении ехр (—/кг) в (18.14).
7.	ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА
СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Теория, основанная на первом приближении для вероятно-
сти перехода, не может дать спектральное распределение фо-
тонов, испускаемых атомом (оно заменяется 6-функцией). Что-
бы получить это распределение, необходимо обратиться к си-
стеме уравнений (18.6). Мы учтем только два состояния дис-
кретного спектра: |£?> и |£'о> . Принимая во внимание фор-
мулы (18.10), заменяя суммирование по дискретному спектру
импульса фотонов в промежуточных состояниях интегрирова-
нием по сплошному спектру согласно правилу (см. гл. 4)
(2n)s dk
и пользуясь введенным выше обозначением Vo. получим
Ш-^<Е°1ка |U д |	= Voe^~^<E* | Ид |	,
ih <Е°| Ид | £°> =(2я)“3 J d k “»>' X
Х<фк«|ид|£?>.
Эта система уравнений аналогична системе (12.19) и отлича-
ется от нее лишь обозначениями, а также учетом вырождения
в сплошном спектре. Вместо энергии сплошного спектра Е, вхо-
дящей в (12.19), мы имеем здесь Е°+ h<£>. Поэтому мы не бу-
дем повторять всех выкладок (см. гл. 12), а выпишем сразу
интересующий нас окончательный результат. Распределение
по спектру фотонов, устанавливающееся при /->- оо, имеет уже
знакомый вид:
причем ширина
1==Т J ।
Как и в гл. 12, величина Г/h совпадает с вероятностью пере-
хода в единицу времени	получающейся интегрирова-
нием выражения (18.12) по углам (при пк« —0).
193
УКАЗАТЕЛЬ
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Бор Н. Атомная физика и человеческое познание. М., 1961. 151 с.
2.	Фок В. А. Начала квантовой механики. М., 1976. 376 с.
3.	Дирак П. Принципы квантовой механики. М., 1975. 480 с.
4.	Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К.
Квантовая теория углового момента. М., 1975. 440 с.
5.	Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние,
реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М., 1971.
544 с.
6.	Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика Изд. 3-е. М.,
1974. 752 с.
7.	Дем ков Ю. Н., Островский В. II. Метод потенциалов нулевого
радиуса в атомной физике. Л., 1975. 240 с.
8	Владимиров В. С. Уравнения математической физики М., 1967
436 с.
9.	П е т р а ш е н ь М. И., Трифонов Е. Д. Применение теории групп в
квантовой механике. М., 1967. 308 с.
10.	Б ер ест ец кий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П Кван-
товая электродинамика. Изд. 2-е. М., 1980. 704 с.
11.	Веселов М. Г., Лабзовскпй Л. Н. Теория атомов Строение элек-
тронных оболочек. М., 1985.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................ J
Глава 1. Предпосылки и основные идеи квантовой механики	.	5
Г юва 2. Амплитуда вероятности..............................-	. .	13
1.	Состояние.........................................    •
2.	Амплитуда вероятности................ .	....... 14
3.	Принцип суперпозиции...................................... 15
4.	Взаимность и ортогональность............................... —
5.	Геометрическая интерпретация.............................. 17
6.	Вектор состояния........................................... —
7.	Оператор проектирования................................... 18
8.	Сплошной спектр............................................ —
Глава 3. Операторы................................................. 20
1.	Линейные операторы. Матричное представление................ —
2.	Самосопряженные операторы................................. 22
3.	Собственные функции и собственные значения линейных са-
мосопряженных операторов ..................................
4.	Унитарные преобразования.................................. 24
5.	Средние значения. Матрица плотности Чистые и смешанные
состояния..................................................... 25
6.	Коммутативность операторов и совместная измеримость фи-
зических величин.............................................. 27
7.	Алгебра коммутаторов.	Связь со скобками Пуассона ....	28
195
Г лава 4. Импульс ................................................ 29
1.	Оператор импульса в координатном представлении.........	.
2.	Собственные функции....................................... 31
3.	Оператор сдвига........................................... 33
4.	Соотношение неопределенностей............................. 34
Глава 5.	Угловой момент.........................................  35
1.	Перестановочные соотношения............................... __
2.	Собственные значения. Матричные элементы операторов . . зд
3.	Орбитальный момент........................................ 38
4.	Операторы 1Х, 1у, 1г и I2 в сферической системе координат.
Собственные функции.......................................... —
5.	Спин..................................................... 39
6.	Сложение моментов........................................ 41
7.	Шаровые спиноры.......................................... 43
8.	Спин системы двух частиц................................. 44
9.	Оператор поворота. Функция Вигнера....................... 46
10.	Неприводимые тензорные операторы. Теорема Вигнера—Эк-
карта ...................................................... 48
Глава 6. Энергия.................................................. 50
1.	Оператор энергии для одной частицы.....................
2.	Оператор энергии для системы частиц...................... 51
3.	Вариационный принцип. Теорема вириала ................... 53
Глава 7. Изменение состояния во времени........................... 54
1.	Шредингеровское и гейзенберговское представления. Урав-
нения движения для гейзенберговских операторов............	—
2.	Интегралы движения. Стационарные состояния . ............ 56
3.	Уравнение Шредингера. Плотность тока вероятности н урав-
нение неразрывности......................................     —
4.	Функция Грина...........................................  58
5.	Распад нестационарного состояния. Теорема Фока—Крылова 63
Глава 8. Одномерные задачи ....................................... 66
1.	Потенциальная яма......................................... —
2.	Потенциальный барьер..................................... 67
3.	Однородное поле.......................................... 69
4.	Квазнклассическое приближение ..........................  72
5.	Гармонический осциллятор...............................   76
Глава 9. Движение в магнитном поле................................ 8®
1. Заряженная частица в однородном магнитном поле. Уровни
Ландау..................................................
,,	04
2. Прецессия спина в магнитном поле..................
196
Глава 10. Частица в центральном поле............................... 88
1.	Общие свойства движения в центральном поле................. —
2.	Частица в прямоугольной потенциальной яме. Условие су-
ществования уровня Слабо связанное состояние................. 90
3.	Кулоновское поле притяжения.	Дискретный спектр........... 93
4.	Радиальные волновые функции	сплошного спектра........... 98
.5. Функция Поста и ее аналитические свойства............... 100
6. Частица в поле потенциального	барьера.................... 104
Глава 11. Теория возмущений....................................... 107
Глава 12. Переходы под действием зависящего от времени возмуще-
ния .............................................................. 111
1.	Методы вычисления амплитуды перехода....................... —
2.	Переходы	под	действием	постоянного возмущения.......... 116
3.	Переходы	под	действием	периодического	возмущения ....	122
Глава 13. Рассеяние частиц........................................ 124
1.	Матрица рассеянии.......................................
2.	Волновые функции сплошного спектра «состояния рассеяния»	129
3.	Рассеяние центральным полем. Парциальные амплитуды .	.	132
4.	Резонансное рассеяние при / =0.......................... 134
5.	Резонансное рассеяние при /=/=0......................... 138
6.	Приближение Борна....................................... 140
7.	Рассеяние частиц со спином 1/2 на мишенн со спином 0 .	.	141
8	Рассеяние частиц со спином 1/2 на мишени со спином 1/2-	.	144
Глава 14. Система тождественных частиц ........................... 146
1.	Симметрия волновой функции. Бозоны и фермионы ....	—
2.	Свойства симметрии координатной части волновой функции
многоэлектронных систем..................................... 148
3.	Обменное взаимодействие в двухэлектронных системах . . .	150
4.	Столкновение тождественных частиц........................ 154
Глава 15. Вторичное квантование................................... 154
1.	Бозоны..................................................
2.	Фермионы................................................. 158
3.	Метод самосогласованного поля............................ 159
4.	Квантовая механика как теория	поля....................... 162
Глава 16. Релятивистская квантовая теория частиц без спина ...	163
1. Уравнение Клейна-^Фока для свободной частицы............... —
2. Квантование поля с нулевым спином........................ 165
Глава 17. Релятивистская квантовая теория частиц со спином 1/2	168
1.	Уравнение Дирака	для	свободной	частицы.	Плотность тока	—
2.	Разные формы уравнения	Дирака.	Гамильтониан............ 171
3.	Преобразования Лоренца, пространственные повороты и ин-
версия координат............................................. 173
4,	Плоские волны ........................................... 174
197
5.	Квантование поля со спином 1/2............................ ]?6
6.	Уравнение Дирака при наличии электромагнитного поля 17g
7.	Релятивистские поправки к уравнению Паули................. ,7g
8.	Связанные состояния электрона в кулоновском поле ...
Глава 18 Квантование электромагнитного поля. Испускание и погло-
щение фотонов..................................................... 18g
1.	Разложение поперечного электромагнитного поля на плоские
волны....................................................... ......
2.	Квантование поперечного поля.............................. 18g
3.	Спин фотона............................................... 187
4.	Взаимодействие квантованного электромагнитного поля с
атомом. Уравнения для амплитуд..............................
5.	Испускание и поглощение фотона............................ 190
6.	Дипольное приближение..................................... 191
7.	Естественная ширина спектральных липни.................... 193
Указатель рекомендуемой литературы...............................   195
ИБ № 2352
Друкарев Григорий Филиппович
Квантовая механика
Учебное пособие
Редактор Т. В. Мызникова
Художественный редактор А. Г. Голубев
Обложка художника П. П. Николаева
Технический редактор Л. А. Топорина
Корректоры Е. К. Терентьева, И. Э. Брант
Сдано в набор 28.11.85. Подписано в печать 15.12.87. М—30228.
Формат 60х90]/|6. Бум. тип № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая
Усл печ. л. 12,5. Усл кр отт 12,69. Уч.-изд л 11,64. Тираж 5134
Заказ 1859. Цена 40 коп
Издательство ЛГУ им А А. Жданова. 199034, Ленинград,
Университетская наб., 7/9
Типография ЛЭИС, 198320, Ленинград, ул. Свободы, 31.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра- ница	Строка	Напечатано	Должно быть
89	8-я		
	снизу	~ c,eikr Ц- c2eiftr.	~ c}e'kr + с-.е~‘кг.
119	13-я		
	снизу	(2п/Л)/| < £|V|E0>|2< 1.	(2^/Л)<|< E|V|£O>|2«1.
	12-я		
	снизу	(2к/Л)/|<Е|У|Е0>р>1,	(2х/Й)/|<Е|¥;|Е0>|2>1,
127	5-я снизу	на eellh	на е .
187	7-я	Е=0), та средние значе-	Е=0), то 8 и Зё не имеют
	сверху	ння...	определенных значений и
			средние значения...
Зак. 1859.