Элементы математической логики и теория множеств - Слупецкий Е., Борковский Л.

Автор: Слупецкий Е. Борковский Л.

Теги: математика теория множеств

Год: 1965

Похожие

Элементы теории множеств и математической логики

Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов

Множества. Логика. Аксиоматические теории

Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов

Текст

JERZY SLUPECKI, LUDWIK BORKOWSKI
ELEMENTY
LOGIKI
MATEMATYCZNEJ
I TEORII MNOGOSCI
WARSZAWA 1963
PANSTWOWE
WYDAWNICTWO
NAUKOWE

Е. СЛУПЕЦКИЙ,
Л. БОРКОВСКИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ
И ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ
Перевод с польского
О. Ф. СЕРЕБРЯННИКОВА
Спецредакция доктора
технических наук,
профессора
И. Н. КОВАЛЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОГРЕСС»
Москва 1965

Книга, принадлежащая перу известных польских ло-
логиков, посвящена изложению основ современной фор-
формальной (математической или теоретической, или сим-
символической) логики и теории множеств для читателей
гуманитарного профиля. В ней содержится систематиче-
систематическое изложение широкого круга вопросов из различных
разделов математической логики, разъясняются основ-
основные теоретико-множественные понятия и аппарат, а
также освещаются некоторые важнейшие методологиче-
методологические аспекты математической логики и оснований мате-
математики.
Книга Е. Слупецкого и Л. Борковского является хо-
хорошей основой для дальнейшего изучения более труд-
трудных и обстоятельных работ по современной логике и
основаниям математики.
Редакция литературы по вопросам философии и права

Введение
Данный учебник состоит из двух частей.
Сведения из логики, помещенные в части I, ограни-
ограничиваются в основном простейшими и имеющими наибо-
наиболее широкое применение логическими исчислениями:
классическим исчислением предложений [высказываний]
и основанным н& нем исчислением предикатов. Некото-
Некоторые сведения из исчисления отношений содержатся в
части II и в «Приложении». Вопросы методологии де-
дедуктивных наук не являются предметом специального
рассмотрения в данном учебнике, поэтому мы ограничи-
ограничиваемся лишь изложением наиболее элементарных све-
сведений из этой области.
Логические исчисления, описываемые в этом учеб-
учебнике, основываются на некоторой системе правил,
определяющих методы построения доказательств путем
введения допущений. Такой подход — как показала
педагогическая практика авторов — имеет большие ди-
дидактические преимущества. Поэтому мы надеемся, что
настоящий учебник, в котором впервые эта система
обстоятельно изложена, будет способствовать распро-
распространению Данной системы в преподавании математиче-
математической логики.
В части II содержатся в достаточно большом объеме
сведения из теории множеств, изложенные, однако, по
возможности элементарно. По объему изложение мате-
материала в этой части занимает среднее место в сравнении
с существующими изложениями этого раздела матема-.
тики в польской учебной литературе. С одной стороны,
оно превосходит по объему изложение теории множеств
во «Введении в теорию множеств и топологию» Серпин-

ского и в одноименном учебнике Куратовского. С другой
стороны, оно значительно уступает по объему изложе-
изложению данного раздела математики в «Очерке теории
множеств» и в «Теории множеств» Куратовского и Мо-
Моего вского 1.
Изложение сведений из теории множеств во II части
учебника характеризуется применением в достаточно
большой степени логических средств, описанных в ча-
части I, что должно облегчить читателю изучение мате-
материала. Определения и теоремы записываются, вообще
говоря, с помощью логической символики, доказатель-
доказательства проводятся по мере возможности в формализован-
формализованном (правда, иногда с сокращениями) виде методами,
описанными в части I.
Для того чтобы читателю было легче следить за до-
доказательствами, в книге помещена сводка всех опреде-
определений и часто используемых теорем.
Исходя из дидактических соображений, мы не стали
излагать содержащиеся в ча<сти II сведения из теории
множеств ни в аксиоматической форме, ни в форме,
основанной на теории типов. Однако в «Приложении»
оба эти способа изложения обсуждаются достаточно
детально с подчеркиванием существующих между ними
связей и различий.
Данный учебник предназначен для студентов-фило-
студентов-философов. Представляется, что знакомство с содержащимся
в этом учебнике материалом из теории множеств необ-
необходимо для данной категории читателей. Особенно важ-
важно это для студентов, специализирующихся в логике.
Впрочем, существует тесная связь между логикой и тео-
теорией множеств, и обычно в более обстоятельных курсах
математической логики имеются разделы, посвященные
теории множеств.
Мы надеемся, что этот учебник окажется полезным
и для студентов-математиков, желающих ознакомиться
с элементами математической логики и теории множеств
в относительно несложном изложении.
1 Авторы имеют в виду следующие работы: W. Sierpinsky,
Wstgp do teorii mnogosci i topologii, wyd. II. Warszawa, 1947; K. Ku-
ratowski, Wstgp do teorii mnogosci i topologii, wyd. II, Warsza-
Warszawa, 1962; W. Sierpifiski, Zarys teorii mnogoici, Warszawa, 1928;
K. Kufatowski i A. Mostowski, Teoria mnogoSci, Warsza-
Warszawa— Wroslaw, 1952.— Прим. перев.
6

Изучив это пособие, читатель сможет приступить к
чтению специальных работ и более обстоятельных учеб-
учебников. Более обстоятельное изложение математической
логики можно найти в монографии Мостовского «Мате-
«Математическая логика»', теории множеств — в перечислен-
перечисленных выше книгах Серпинского, а также Куратовского и
Мостовского.
В заключение мы выражаем сердечную благодар-
благодарность доктору Витольду Погожельскому за многочис-
многочисленные и ценные замечания, которые он сообщил нам
при окончательной редакции учебника. Мы сердечно
благодарим и профессора Клемента Шанявского, на
основе замечаний которого в рецензии в учебник были
внесены некоторые дополнения.
Ежи Слупецкий,
Людвик Борковский
1 Авторы имеют в виду работу: A. Mostowski, Logika mate-
matyczna, Warszawa — Wroslaw, 1948.— Прим. перев.

ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ
ЛОГИЧЕСКИЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ
Раздел I
Исчисление предложений
§ 1. Символы и выражения
Выражения исчисления предложений строят-
строятся из символов следующих видов: 1) пропозициональ-
пропозициональных ! переменных, 2) постоянных, 3) скобок.
В качестве пропозициональных переменных мы будем
употреблять буквы:
P,q,r,S, />!,?!,/¦!,«!, ...
При применении формул исчисления предложений к
некоторому конкретному рассуждению вместо этих пе-
переменных можно подставлять произвольные предложе-
предложения. Здесь следует подчеркнуть, что термин «предложе-
«предложение» в том смысле, в каком он употребляется в логике,
обозначает те, и только те фразы, которые истинны
или ложны. Таким образом, предложениями в этом
смысле являются лишь повествовательные пред-
предложения, тем самым ни вопросительные, ни
побудительные предложения, о которых говорят в
грамматике, не относятся к предложениям в указанном
смысле.
Постоянные исчисления предложений — это союзы,
с помощью которых из некоторых исходных предложе-
предложений образуются сложные предложения. Наиболее упо-
употребительными союзами такого рода являются слова:
не; и; или; если... то; тогда, и только тогда, когда.
1 В подлиннике: zdaniowych (буквально, предложенческих).—
Прим. перев.

/' Вместо этих слов в качестве постоянных исчисления
' предложений мы будем употреблять символы:
A) ~, Л, V, ->, si.
Знак «~» называется знаком отрицания; выраже-
выражение «~р» читается: не—р (или же: не имеет места,
что р; или же: неверно, что р). Знаки Л» V, -», ^ назы-
называются соответственно знаками конъюнкции (логи-
(логического произведения), дизъюнкции (логической
суммы), импликации, эквивалентности.
Выражение: «р Л 9* читается р и q;
» «p\J q» » p или q;
» «р -»<7» » если р, то 9;
» «р1= ф> » Р тогда, и только
тогда ?когда <7.
Сложные предложения, образованные из данного
предложения (соответственно из данных предложений)
с помощью знаков A), называются соответственно отри-
отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией (или
условным предложением), эквивалентностью данных
предложений. Составляющие предложения, из которых
образовано сложное предложение, называются его
членами. Члены конъюнкции часто называют сомно-
сомножителями, члены дизъюнкции — слагаемыми.
Первый член импликации называют антецедентом,
а второй — консеквентом.
Постоянные исчисления предложений относятся к тем
выражениям, которые пригодны и необходимы для фор-
формулирования утверждений в любой области знания.
Благодаря этому обстоятельству, а также и тому, что
вместо пропозициональных переменных можно подста-
подставить произвольные предложения, законы и правила
исчисления предложений могут применяться в любой
науке и к обычным рассуждениям.
Постоянные исчисления предложений относятся к
выражениям, . которые называются функторами.
Функторы — это выражения, которые вместе с некото-
некоторыми исходными выражениями, называемыми аргу-
1 То есть знаков: ~, Л , V , -*, =¦ — Прим. перев.

\
ментами (функторов), образуют сложные правильно
построенные выражения. Постоянные исчисления пред-
предложений относятся к пропозициональным функторам ',
потому что вместе с исходными предложениями они
образуют новые предложения.
Функтор отрицания — одноаргументный функтор,
так как вместе с одним предложением этот знак обра-
образует сложное предложение, функторы A,V. —», = —
двухаргументные функторы,- так как они связывают два
предложения в новое сложное предложение. В исчисле-
исчислении предложений из функторов могут фигурировать
только пропозициональные функторы от пропозицио-
пропозициональных аргументов2. Функторы, которые мы перечис-
перечислили, являются важнейшими, но не единственными
функторами этого исчисления.
Пропозициональные выражения исчис-
исчисления предложений — это пропозициональные перемен-
переменные и образованные из них с помощью функторов исчис-
исчисления предложений сложные предложения. Более точно
понятие пропозиционального выражения (исчисления
предложений) раскрывается в следующем определении,
состоящем из трех пунктов3:
1) пропозициональная переменная есть пропозицио-
пропозициональное выражение;
2) если ф и г{> — пропозициональные выражения, то и
Мф), (ф) Л (*), (ф) V (Ю, (ф)-КФ), (ф).= (Ю-
пропозициональные выражения;
3) всякое пропозициональное выражение исчисления
предложений или является пропозициональной пере-
переменной, или же образуется из пропозициональных
переменных последовательным применением пра-
правила 2).
Греческие буквы «ф», «г])», «%» используются здесь
в качестве переменных, вместо которых можно подста-
подставить имена произвольных выражений исчисления пред-
предложений, в то время как вместо пропозициональных
переменных «р», «<?» и т. д. в пределах исчисления пред-
1 В подлиннике: do funktor6w zdaniotworczych (дословно, к функ-
функторам, посредством которых образуются предложения). — Прим.
перев.
2 То есть функторы, аргументами которых являются предложе-
предложения. — Прим, перев.
3 Ср. ниже, стр. 146—147.
10

(ложений мбжно подставить произвольные пропозицио-
пропозициональные выражения этого исчисления. Составные
символы ~ф, ф Л ^ и т. п. обозначают соответственно
сложное выражение, построенное из знака отрицания и
следующего за ним выражения ф, выражение, построен-
построенное из выражения ф, знака конъюнкции и выражения \|з
(следующих друг за другом) и т. п. Переменные «<р»,
«1]з», «х» и сложные выражения, такие, как, например,
«~<р», «фЛ'Ф», относятся не к символам и выраже-
выражениям исчисления предложений, а к символам и выра-
выражениям системы, в которой мы говорим об исчислении
предложений и его выражениях. Последняя называется
метасистемой исчисления предложений. К метасистеме
относятся также имена определенных символов и выра-
выражений системы. Как уже мог заметить читатель, эти
имена образуются заключением именуемых выражений
в кавычки. В тех случаях, когда имя с кавычками неко-
некоторого символа или выражения системы стоит после
одного из следующих слов: символ, знак, функтор,
выражение, кавычки этого рода мы будем иногда
опускать.
А поэтому, например, вместо символа (знак, функ-
функтор) «~» мы можем написать: символ (знак, функ-
функтор) ~; вместо переменная «р» мы можем написать:
переменная р; вместо выражение «p-+q» мы можем
написать: выражение р-и?-
В силу пункта 2) сложные выражения образуются с
помощью функторов исчисления предложений путем
заключения их аргументов в скобки. Введение скобок
обеспечивает однозначность чтения сложных выраже-
выражений. Для того чтобы избежать слишком большого коли-
количества скобок, мы согласимся в сложных выражениях
опускать скобки, объемлющие отдельные переменные.
А потому вместо ~ (р) мы будем писать: ~р; вме-
вместо (р)Д (?) мы напишем :р Л ? и т. д.
Согласимся также, что вместо выражений (•~ф)Л11)
ифЛ(~ф) можно писать соответственно выражения
— 9 Л xt> и ^Л~ф-
Аналогичное соглашение мы принимаем и для выра-
выражений, содержащих знак ~ и один из знаков V» ~*> —•
Далее, мы будем считать, что знак конъюнкции свя-
связывает сильнее, чем знак дизъюнкции, иначе говоря, в
выражениях (ф Л ty) V %» % V (ф Л ty) можно опускать
11

1
выделенные скобки. Это соглашение аналогично приня-i
тому в арифметике, по которому в выражении a+\b-c) \
скобки излишни. Что касается знаков V>-», ss, то мы '
будем считать, что знак V связывает сильнее, чем
знак ->-, а этот последний — сильнее, чем знак ss.
А потому вместо выражения (фХ/'Ф^Хмы пишем выражение
ф\/Ч-*Х.
вместо выражения (ф-»г|))=%мы пишем выражение
вместо выражения ф = (грЛх)мы пишем выражение
и т. п.
Из сформулированного выше определения следует,
что всякое пропозициональное выражение исчисления
предложений состоит из конечного множества символов.
В самом деле, этим свойством обладают простейшие
пропозициональные выражения, т. е. пропозициональные
переменные, и это свойство принадлежит также слож-
сложным выражениям, образованным по правилу 2) из выра-
выражений, обладающих этим свойством.
Упражнения:
1. Опустите скобки в следующих выражениях:
Кр.Уч)Лг]-*(рЛг);
[(р ЛФЛ(гЛ«)] = (р = s);
2. Польский логик Ян Лукасевич ввел бесскобочную символику
(называемую в литературе по логике символикой Лукасевича, или
польской символикой). Согласно такому способу записи, сначала
пишутся функторы, а затем — их аргументы, при этом буквы N, К,,
А, С, Е используются в качестве знаков отрицания, конъюнкции,
дизъюнкции, импликации, эквивалентности. Например, вместо
*Р Л Я* в этой символике пишут «Kpq», вместо «р Л Я ~*r* — CK,pq
и т. п.
Запишите выражения исчисления предложений из упр. 1 в сим-
символике Лукасевича.
3. Запишите в символике данного учебника следующие выраже-
выражения, записанные в символике Лукасевича:
NCKpqArs;
ECpqCqp;
NNCpCqp.
12

4. Запишите с помощью символики данного учебника выра-
выражения:
Если р и q, то г,
Если р, то если q, то г;
Если р тогда, и только тогда, когда q, то если р, то <?.
5. Выявите с помощью символики данного учебника различные
толкования следующих выражений:
Если р и q или г, то s;
Если р и q или г и s, то q или s.
?2. Основные правила
Имеются два метода построения исчисления
предложений: аксиоматический метод и метод допуще-
допущений. Об аксиоматическом методе речь будет идти в § 5.
Система же, которую мы детально опишем, будет систе-
системой, использующей допущения'. Системы такого рода
ближе к обычным содержательно очевидным представ-
представлениям в том отношении, что доказательства в этих
системах почти не отличаются от математических дока-
доказательств и от рассуждений в других науках. Благодаря
этим преимуществам системы, использующие допуще-
допущения, иногда также называют системами натур а л ь-
ной дедукции.
Первые системы, использующие допущения, появи-
появились в 1934, 1935 годах. Создателями их были Яськов-
ский и Генцен. Система, которую мы здесь опишем,
отличается от них некоторыми деталями.
Чтобы облегчить читателям усвоение вводимых ниже
понятий, мы рассмотрим два примера доказательств.
Пример 1. В этом примере мы будем полагать, что
переменные пробегают множество целых чисел2.
Доказываемое утверждение имеет вид:
Если а,\ и а% делятся на Ь, то Cj • сх + аг • с2 делится на Ь.
Доказательство развертывается так:
Допустим, что
A) ах и а2 -делятся на Ь.
1 В подлиннике: systemem zaiozeniowym (буквально, допущен-
ческой системой). — Прим.. перев.
2 Иначе говоря, переменные принимают значения из множества
целых чисел. — Прим. перев.
13

Из A) по определению делимости • следует, что
Из B) следует, что
Из C) следует, что
D) a1-c1 = at-cu = (m1-cl + tn2-ci)-b.
Но отсюда по определению делимости следует, что
ai>ci + <Vc« Делится на Ь.
Пример 2. В этом примере мы также будем пола-
полагать, что переменные пробегают множество целых чисел.
Доказываемое утверждение:
ь Если л делит а-а, то л делит а.
Док. Допустим, что
A) л делит а-а.
Кроме того, в качестве допущения косвенного доказа-
доказательства2 мы принимаем, что
B) гГне делит а.
По закону:
C) Если л делит а-Ь и я не делит а, то п делит b
мы получаем:
D) Если п делит a-a и л не делит а, то п делит а.
Из A) и B) следует:
E) п делит a-a и л не делит а.
1 Напомним читателю это определение: а делится на Ь тогда,
и только тогда, когда существует такое целое число т, что а=т • Ь.
2 Косвенные доказательства также называются доказательства-
доказательствами от противного. — Прим. перев.
14

Из D) и E) следует, что
F) п делит а.
Это последнее предложение, однако, противоречит пред-
предложению B).
Констатация противоречия означает, что доказатель-
доказательство данного утверждения закончено.
Рассматривая эти доказательства как типичные при-
примеры, мы можем сформулировать правила, определяю-
определяющие их структуру. Оба доказываемые утверждения —
условные предложения. Доказательства этих предложе-
предложений представляют собой некоторые последовательности
предложений (формул), которые называются строками
данных доказательств. Однако они различаются своей
структурой. В первом примере в качестве допущения
мы принимаем антецедент доказываемого утверждения.
Из этого допущения мы, используя известные положе-
положения, выводим следствия. Доказательство считается за-
законченным, когда мы получаем консеквент доказывае-
доказываемого утверждения. Во втором примере мы принимаем в
качестве допущений антецедент и отрицание консеквен-
та (допущение косвенного доказательства) доказывае-
доказываемого утверждения. Из этих допущений мы выводим
следствия. Доказательство считается законченным,
когда мы получаем противоречащие предложения.
Правила, определяющие структуру каждого из этих
доказательств, мы будем называть правилами построе-
построения доказательства. Анализируя приведенные доказа-
доказательства, мы, кроме этих правил, можем выявить в них
применение правил и иного рода. Например, переходя
во втором доказательстве от строки D) и E) к стро-
строке F), мы пользуемся правилом, которое позволяет из
условного предложения и его антецедента получить его
консеквент в качестве следствия. Строку E) этого же
доказательства мы получаем из строк A) и B) по пра-
правилу, которое позволяет из двух предложений вывести
их конъюнкцию. Правила этого рода мы будем называть
правилами присоединения новых строк (к доказатель-
доказательству). Эти правила устанавливают, в каких условиях
можно присоединять к доказательству новые выраже-
выражения определенного вида, следующие из тех выражений,
которые уже имеются в доказательстве.
Как среди правил построения доказательства, так и
15

среди правил присоединения новых строк различают
основные и производные правила. Основные правила мы
принимаем без доказательства, стараясь при этом выби-
выбирать их так, чтобы они были содержательно наиболее
очевидными. Производные правила обосновываются с
помощью основных правил и теорем, которые можно
доказать с помощью основных правил. Производные
правила вводятся с целью сокращения доказательств.
Теоретически, однако, можно обойтись без этих правил:
любую теорему, доказанную с помощью производных
правил, можно доказать с помощью одних лишь основ-
основных правил.
В исчислении предложений мы принимаем следую-
следующие основные правила присоединения новых строк
(к доказательству) на основании уже имеющихся строк:
1) Правило отделения.
Это правило устанавливает, что если в доказатель-
доказательстве имеется импликация и ее антецедент, то к доказа-
доказательству можно присоединить консеквент данной импли-
импликации.
Правило отделения, которое мы будем обозна-
обозначать ПО,- записывается в виде следующей схемы,
состоящей из двух частей (верхней и нижней), разде-
разделенных горизонтальной чертой:
ПО <р-»1|)
Ф
Так, записанное правило устанавливает, что к доказа-
доказательству можно присоединить в качестве новой строки
доказательства выражение ip, если в доказательстве
имеются уже выражения ф-мр и выражение ф (если
выражения ф-^-ip и ф образуют некоторые из уже имею-
имеющихся строк доказательства) независимо от порядка,
в каком эти выражения входят в доказательство.
Остальные правила присоединения новых строк мы
также будем записывать в виде аналогичных схем.
Правило отделения применяется, например, в сле-
следующем рассуждении:
Если сумма цифр~числа 30612 делится на 3,
то число 30 612 делится на 3.
Сумма цифр числа 30612 делится на 3
Число 30 612 делится на 3
16

2) Правило введения конъюнкции:
вк ф
ф Л1* "
Правило введения конъюнкции устанавливает, что к
доказательству можно присоединить конъюнкцию, если
в доказательстве имеются оба ее члена.
Пример рассуждения по правилу введения конъюнк-
конъюнкции:
а < х
х<Ь
а<хЛ х<Ь
(или сокращенно: а<х<Ь).
3) Правило удаления конъюнкции:
>
ф ¦*
Правило удаления конъюнкции устанавливает, что
если в доказательстве имеется конъюнкция, то к доказа-
доказательству можно присоединить произвольный член этой
конъюнкции.
Правило УК можно записать в виде одной схемы:
Вообще правило, имеющее схему
ф/1
устанавливает, что если в доказательстве имеются выра-
выражения фь.... фп, то к доказательству можно присоеди-
присоединить любое из выражений 4*i» ---» Ч* fe-
17

Пример рассуждения по правилу удаления конъюнк-
конъюнкции: ' J.
а < х Д х < b (или а < х < b) a<jx /\x<jb
4) Правило введения дизъюнкции:
вд -4-;—^—.
Правило введения дизъюнкции устанавливает, что к
доказательству можно присоединить дизъюнкцию, если
какой-либо член этой дизъюнкции уже имеется в дока-
доказательстве.
Пример рассуждения по правилу введения дизъюнк-
дизъюнкции:
а>0 . а=0
а > О V а = 0 (или а > 0) а>0\/а = 0 '
5) Правило удаления дизъюнкции:
q>V1>
УД ~ф .
Правило удаления дизъюнкции устанавливает, что
если в доказательстве имеются дизъюнкция и отрицание
ее первого члена, то к доказательству можно присоеди-
присоединить второй член этой дизъюнкции.
Пример рассуждения по правилу удаления дизъюнк-
дизъюнкции:
g>0
[а = 0
6) Правило введения эквивалентности:
ВЭ
Правило введения эквивалентности устанавливает,
что к доказательству можно присоединить эквивалент-
эквивалентность ф= о|), если в доказательстве имеются имплика-
18

ция ч^-мр и обратная по отношению к ней импликация
¦ф-»-<р (полученная из первой перестановкой антецеден-
антецедента и консеквента).
Пример рассуждения по правилу введения эквива-
эквивалентности:
Если стороны а и Ь треугольника равны, то углы,
лежащие против сторон а и Ь, равны.
Если углы, лежащие против сторон а и Ь, равны, то
стороны а и Ь в треугольнике равны.
Стороны а и Ъ треугольника равны тогда, и только тогда,
когда углы, лежащие против сторон а и Ь, равны.
7) Правило удаления эквивалентности:
УЭ Ф=^ . Ф = Ф
Правило удаления эквивалентности устанавливает,
что к доказательству можно присоединить как имплика-
импликацию, антецедентом которой является первый член экви-
эквивалентности, а консеквентом — второй ее член, так и
импликацию, обратную по отношению к первой импли-
импликации. Эту первую импликацию мы будем называть
прямой импликацией.
Пример рассуждения по правилу удаления эквива-
эквивалентности:
~ х > у = у<х . ~ х> у = у<х1
~х>у-*у<х' у<х-+~х>у
Чтобы облегчить запоминание этих правил, мы обра-
обращаем внимание на то, что для импликации имеется всего
одно основное правило — правило отделения; Для каж-
каждого же из остальных функторов имеются два правила:
правило введения и правило удаления. Кроме того, в
правиле введения соответствующая постоянная фигури-
фигурирует в нижней части схемы, но не в верхней; в правиле
удаления данная постоянная фигурирует в верхней части
схемы, но не в нижней.
Перечисленные здесь основные правила присоедине-
присоединения новых строк полноЪъю очевидны на основании
1 В подлиннике:
х>у = у>х ~х> у = у>х
— ; — . —Прим. перев.
х> у*у>х у>х*слх> у
¦ х> у-*у>х у>х-*слх> у
19

указанного в § 1 значения функторов: присоединяемые
по этим правилам выражения следуют из тех выраже-
выражений, которые служат основанием для присоединения
первых. Например, из конъюнкции следует каждый из
ее членов, из импликации и ее антецедента — ее консек-
вент и т п.
Вообще говоря, эти правила были уже давно извест-
известны и сформулированы в логике. Например, .правило
отделения было уже сформулировано стоиками (III век
до н.э.) в качестве одного из основных («недоказуемых»)
правил построенной ими — впервые в истории логики—
системы исчисления предложений'. Это правило было
известно под названием «modus ponens» (или точнее:
«modus ponendo ponens»). У стоиков фигурирует также
правило удаления дизъюнкции, сформулированное, од-
однако, для исключающей дизъюнкции2, для которой не
проходит правило введения дизъюнкции. Правило уда-
удаления дизъюнкции было известно под названием
«modus tollendo ponens». Правило введения дизъюнкции
имеется у логиков XIII и XIV веков (Роберт Килуорди,
Альберт Саксонский, Иоанн Буридан), которые также
сформулировали правило удаления неисключающей
дизъюнкции. Например, Роберт Килуорди (XIII век)
формулирует правило удаления дизъюнкции, как прави-
правило, устанавливающее, что дизъюнкция3 следует из лю-
1 Приведенные в данном учебнике исторические сведения мы
почерпнули главным образом из работ: I. М. В о ch е й s k i, Formale
Logik, 1956; I. M. Bochenski, Ancient Formal Logic, 1951;
T. Kotarbinski, Wyklady z dziejdw logiki, 1957 (имеется рус-
русский перевод этой работы; см. Т. Котарбиньский, Избранные
произведения, Издательство иностранкой литературы, 1963. — Прим.
перев.); J. L u k a s i e w i с z. Z historii logiki zdan, 1934; Е. А. М о о-
d у, Trutht and Consequence in Mediaeval Logic, 1953.
2 Ср. ниже, § 4, стр. 64—65. Дизъюнкцию, для которой были
сформулированы правила ВД и УД, называют также неисключаю-
неисключающей дизъюнкцией.
3 В подлиннике к этому месту имеется следующее подстрочное
примечание: Dla oznaczania alternatywy uzywano wtedy terminu
«dysjunkcja»(дословно, «Для обозначения альтернативы тогда поль-
пользовались термином «дизъюнкция»). Польское «alternatywa» мы пе-
переводим как «дизъюнкция», а польское «dysjunkcja» — как «несов-
«несовместность», когда последний термин употребляется для обозначения
выражения: не — ф или не — г|з (или то и другое), и как «дизъюнк-
«дизъюнкция», когда «dysjunkcja» употребляется в неуточненном смысле в тех
местах оригинала, где сообщаются исторические сведения. (Подоб-
(Подобных примечаний мы больше не будем делать.) — Прим. перев.
20

бого своего члена. Он же приводит следующий пример
рассуждения по этому правилу: ты сидишь, следова-
следовательно, ты сидишь или ты не сидишь.
У Альберта Саксонского также формулируется пра-
правило удаления конъюнкции («произвольный член
конъюнкции следует из конъюнкции, членом которой он
является»). Введение конъюнкции было известно уже
стоикам, которые утверждали, что конъюнкция истинна
тогда, и только тогда, когда истинны оба ее члена.
Хотя некоторые правила для эквивалентности фор-
формулирует уже Боэций, живший в конце V и начале
VI веков, однако, по-видимому, правила введения и уда-
удаления эквивалентности, устанавливающие связь между
эквивалентностью и импликацией, формулируются лишь
в новое время.
Среди правил построения доказательства мы разли-
различаем правило построения прямого доказательства (по-
(посредством допущений) и правило построения косвенного
доказательства (посредством допущений).
Способ построения прямого доказательства мы рас-
рассмотрим сначала на примере доказательства закона
гипотетического (условного) силлогизма:
0>-*Я)-* 1(Яг* г)-*(р-*г)].
Доказательство этой теоремы мы начнем с выписы-
выписывания (в качестве допущений) условий теоремы. Первое
допущение — антецедент всей импликации, то есть выра-
выражение p^-q. Второе допущение — антецедент остальной
части выражения (полученной из всего выражения
вычеркиванием первого допущения и непосредственно
следующего за ним знака импликации), то есть выраже-
выражение ц-^-т. Третье допущение — антецедент остальной
части выражения (полученной вычеркиванием предшест-
предшествующих допущений и следующих непосредственно за
ними знаков импликации), то есть выражение р. На этом
мы заканчиваем выписывание допущений, потому что
остальная часть выражения уже не является имплика-
импликацией. После выписывания допущений мы продолжаем
доказательство, стремясь к тому, чтобы получить в ка-
качестве последней строки доказательства выражение,
остающееся после вычеркивания допущений и непосред-
непосредственно следующих за ними знаков импликации, то есть
в нашем примере выражение г. При этом к доказатель-
21

ству мы можем присоединять новые строки на основа-
основании уже имеющихся строк по приведенным выше основ-
основным правилам присоединения новых строк. Справа от
каждой полученной таким путем строки мы будем ука-
указывать, на основании каких правил и строк была она
получена. Таким способом мы получаем следующее
доказательство теоремы:
(Р -»¦ Я) -» [(Я -* г) -» (р -» г)].
Док.
A)
B)
C)
D)
Р-+Я'
q->r
Р
Я
г
{допущения]
{ПО: 1; 3}
{ПО: 2; 4}
Вообще прямое доказательство выражения
A) ф! -» {фа -» [ф8 -» ... ~-> (фл_х -» Ф„)...]}
строится следующим образом:
1. В первых п—1 строках выписываются последова-
последовательно выражения фь фг,..., фп-i в качестве условий
теоремы.
2. К доказательству можно присоединять:
а) ранее доказанные теоремы в качестве новых
строк,
б) новые строки на основании уже имеющихся строк
по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.
3. Доказательство закончено, если его последняя
строка есть выражение фп. Последняя строка доказа-
доказательства не нумеруется; тем самым отмечается, что
доказательство закончено.
Если доказываемая теорема не имеет вида имплика-
импликации, то в доказательство не вводится допущений. В этом
случае доказательство начинается выписыванием одной
или более ранее доказанных теорем, что предусматри-
предусматривается пунктом 2, а) в описании прямого доказатель-
доказательства. В этом случае все строки доказательства будут
теоремами. Доказательство этого рода мы называем
обычным прямым доказательством. Примером такого
доказательства является доказательство теоремы Т2Ь
22

следующего параграфа. Таким образом, не исключает-
исключается, что выражение (I) может иметь вид <pi, то есть п
может быть равно 1.
Способ построения косвенного доказательства мы
рассмотрим вначале на примере доказательства одного
из законов контрапозиции:
Так же как и в случае прямого доказательства, косвен-
косвенное доказательство мы начинаем с выписывания допу-
допущений, которыми в нашем примере являются выраже-
выражения: ~p-+q, ~q. Затем мы выписываем отрицание
остальной части выражения (полученной вычеркиванием
допущений и соответствующих знаков импликации)
в качестве допущения косвенного доказа-
доказательства. В нашем примере допущение косвенного
доказательства — выражение ~р. Мы продолжаем до-
доказательство, присоединяя новые строки на основании
принятых правил; причем мы стремимся к тому, чтобы
получить две противоречащие строки, иначе говоря,
строки вида \|э и ~ф. Таким способом мы получаем
следующее доказательство теоремы:
Д0К' ?> ZP~*q] ^пушения}
C) —р /допущение косвенного!
\ доказательства J
D) q {ПО: 1; 3}
противоречие {2; 4}
Вообще косвенное доказательство выражения (I)
строится следующим образом:
1. а) В первых п—1 строках выписываются последо-
последовательно выражения <рь ф2,..., q>i-n в качестве условий
теоремы,
б) в я-й строке выписывается выражение ~<рп
в качестве допущения косвенного доказательства.
2. К доказательству можно присоединять:
а) ранее доказанные теоремы в качестве новых
строк,
23

б) новые строки на основании уже имеющихся строк
по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.
3. Доказательство закончено, если в нем имеются
две противоречащие строки. Окончание доказательства
отмечается написанием в последней (ненумерованной)
строке «ПРТВРЧ» (сокращение слова «противоречие»)
и указанием справа номеров двух противоречащих
строк.
Условия теоремы и допущение косвенного доказа-
доказательства мы будем называть допущениями доказатель-
доказательства.
Если доказываемая теорема не является имплика-
импликацией, то доказательство начинается допущением кос-
косвенного доказательства, которое в этом случае есть
отрицание доказываемой теоремы. Доказательство тогда
мы называем обычным косвенным доказательством.
Примером такого доказательства является доказатель-
доказательство теоремы Т22 следующего параграфа. Как и в слу-
случае прямого доказательства не исключается, следова-
следовательно, что выражение (I) может иметь вид <pi.
Легко заметить, что любое прямое доказательство
выражения (I) можно преобразовать в косвенное дока-
доказательство того же выражения. С этой целью достаточно
после (п—1)-й строки вставить выражение ~ц>п- Тогда
эта вставленная строка я последняя строка прямого
доказательства выражения A),а именно выражение ц>п,
образуют пару противоречащих строк, при наличии
которых заканчивается косвенное доказательство. Отсю-
Отсюда следует, что достаточно принять правило построения
косвенного доказательства в качестве единственного
основного правила построения доказательства, ибо пра-
правило построения прямого доказательства производно
относительно правила косвенного доказательства.
(Вообще мы говорим, что правило Ri построения дока-
доказательства производно относительно правила R2 по-
построения доказательства и теорем Т или правил R
тогда, и только тогда, когда для доказательства любой
теоремы, построенного по правилу Ri, существует по-
построенное по правилу 7?2 доказательство той же тео-
теоремы, в котором используются теоремы Т или прави-
правила R.) В доказательствах теорем и правил исчисления
предложений (как и исчисления предикатов, изложен-
изложенного в разделе II) мы не будем, однако, ограничиваться
24

только основными правилами, а будем применять также
некоторые производные правила, позволяющие сокра-
сокращать те или иные доказательства.
Доказательства посредством допущений издавна
применялись в логике и математике. Уже у создателя
логики Аристотеля C84—322 гг. до н. э.) мы находим
примеры прямых и косвенных доказательств посред-
посредством допущений. Рассмотрим, например, следующие
доказательства, которые имеются в текстах Аристотеля.
Пример 1. «Если М не присуще ни одному N1
и присуще некоторым X, то необходимо N не присуще
некоторым X. Так как отрицательная посылка обратима,
то и N не будет присуще ни одному М. Однако было
принято, что М присуще некоторым X, а потому N не
будет присуще некоторым X. Заключение мы получаем
по первой фигуре».
Здесь Аристотель доказывает модус второй фигуры
силлогизма (известный под названием «модус Festino»):
Если ни одно N не есть М и некоторые X суть М,
то некоторые X не суть N.
Данное доказательство Аристотель проводит так:
в качестве допущения (посылок) он принимает оба члена
конъюнкции, образующей антецедент этого модуса. Из
первой посылки на основании закона обращения обще-
общеотрицательного предложения (то есть закона: Если ни
одно N не есть М, то ни одно М не есть N) Аристотель
выводит предложение: Ни одно М не есть N, а из послед-
последнего предложения и второй посылки получает в каче-
качестве следствия консеквент доказываемой теоремы:
Некоторые X не суть N — на основании модуса первой
фигуры (называемого «модусом Ferio»): Если ни одно
М не есть N и некоторые X суть М, то некоторые X не
суть N. Таким образом, здесь мы имеем пример прямого
доказательства посредством допущений. Аналогично и
другие доказательства модусов второй и третьей фигур
на основании модусов первой фигуры, которые назы-
называются доказательствами через обращение, относятся к
прямым доказательствам посредством допущений.
1 Формулируя модусы силлогизма, Аристотель пользуется вы-
выражением «М не присуще ни одному N» вместо выражения «Ни од-
одно ./V не есть М», вместо выражения «Некоторые X суть М»,— вы-
выражением «М присуще некоторым X», вместо выражения «Некото-
«Некоторые X не суть N» — выражением «./V не присуще некоторым X».
25

П р и м е р 2. «Если М присуще всем N1 и не присуще
некоторым л, то необходимо N не присуще некоторым X,
ибо если N присуще всем X, то М же сказывается о
всех N, и тогда N должно быть присуще всем X; однако
было принято, что М не присуще некоторым X».
Здесь Аристотель доказывает модус второй фигуры
(известный под названием «модус Вагосо»):
Если все N суть М и некоторые X не суть М\ то не-
некоторые X не суть N.
Данное доказательство Аристотель проводит так: он
принимает обе посылки этого модуса (в качестве усло-
условий теоремы) и предложение, противоречащее его кон-
секвенту (в качестве допущения косвенного доказатель-
доказательства), то есть предложение «Все X суть N». Из этого
предложения и первой посылки Аристотель выводит
предложение: Все X суть М — на основании модуса пер-
первой фигуры, называемого «модусом Barbara»:
Если все X суть N и все N суть М, то всеХ сутьМ.
Однако полученное таким путем предложение противо-
противоречит второй посылке. Констатацией этого противоречия
доказательство заканчивается. Таким образом, это —
типичный пример косвенного доказательства посред-
посредством допущений.
Аналогично и другие аристотелевские доказательства
модусов второй и третьей фигур через приведение к
невозможному («reductio ad impossibile») относятся к
косвенным доказательствам такого типа. В качестве
допущений Аристотель принимает посылки доказывае-
доказываемого модуса и предложение, противоречащее его кон-
секвенту. Доказательство заканчивается после выведе-
выведения из этих допущений предложения, противоречащего
одной из посылок.
У стоиков мы также находим доказательства правил
исчисления предложений, которые являются примерами
доказательств посредством допущений.
Приведенное на стр. 14 косвенное доказательство
теоремы
Если п делит аа, то п делит'а
1 Вместо выражения «Все N суть М» Аристотель также поль-
пользуется выражением «М присуще всем N» или выражением «М ска-
сказывается о всех N».
26

имеется у греческого математика Евклида,' жившего
после Аристотеля.
Хотя в практике математики и логики доказатель-
доказательства посредством допущений давно применяются, пра-
правила для этих доказательств сформулированы в совре-
современной логике лишь недавно. Насколько нам известно,
правило построения косвенного доказательства, приня-
принятое здесь в качестве основного правила, не было сформу-
сформулировано в ранее построенных системах, использующих
допущения.
Среди теорем исчисления предложений различаются
теоремы ранга 1, ранга 2 и т. д., вообще теоремы ран-
ранга п, где п — натуральное число > 1. Это понятие имеет
следующее определение1:
Ф — теорема ранга 1 тогда, и только тогда,
когда существует (прямое или косвенное) доказатель-
доказательство выражения <р, в котором, присоединяя новые стро-
строки, пользуются только правилами, перечисленными в
пункте 26) описания правила построения (прямого или
косвенного) доказательства.
Ф — теорема ранга п тогда, и только тогда,
когда существует доказательство выражения ф, в кото-
котором пользуются — в соответствии с пунктом 2а) описа-
описания такого доказательства — теоремами, имеющими
ранг не выше п—1 и когда ф не есть теорема ранга
меньше п.
Ф — теорема тогда, и только тогда, когда суще-
существует такое натуральное число п, что ф — теорема
ранга п.
§3. Теоремы и производные"правила
Основываясь на правиле УК, мы будем при-
применять в качестве производного правила правило по-
построения (косвенного или прямого) доказательства, по
которому при выписывании условий теоремы можно
разбить на отдельные члены каждое условие, имеющее
вид конъюнкции, и выписывать в качестве допущений
эти отдельные члены. В самом деле, если какое-либо
условие теоремы, выписанное по основному правилу,
является конъюнкцией некоторых выражений, то после
1 Данное определение является индуктивным. Ср. разд. И, § 5.
27

применения к нему правила УК мы получим в доказа-
доказательстве отдельные члены данной конъюнкции.
Этим способом мы докажем, например, второй закон
гипотетического силлогизма (доказательство первого —
(р->-<7)—Н[(<7->-г)—>-(р-и")] — было дано в предыдущем
параграфе):
Т1. (р -»- q) Д (<7 -> г) -* (р -> г).
Док. A) р_»
B) q. -¦ {Д°ПУЩ-}1
C) Р
D) q {ПО: 1; 3}
г {ПО: 2; 4}
В древности различали гипотетические (условные)
силлогизмы, сформулированные для условных высказы-
высказываний, и аристотелевские категорические силлогизмы,
сформулированные для категорических предложений.
Отсюда и происходит название теоремы Т1 как закона
гипотетического силлогизма.
Т2. (рЛ<7-»г)-»[р->(<7-»г)]закон экспортации.
Док. A) pAq-
B)
C)
D)
Т2а. [р->
Док. A)
B)
C)
. D)
Р
q
pt\q
г
{q-+r)]
p-*(q
р
q
q->r
г
1
->(рЛ
-*r)
{допущ.}
{ВК: 2; 3}
{ПО: 1; 4}
q->r) закон импортации.
{допущ.}
{ПО: 1; 2}
{ПО: 4; 3}
1 «допущ.» — сокращение выражения «допущения».
28

Приведенные до сих пор теоремы были теоремами
1-го ранга, потому что в их доказательствах мы не
использовали ранее доказанных теорем. Следующая
теорема является теоремой 2-го ранга.
T2b. p/\q-^r = p-^(q-^r).
Док. A) (pAq-*r)-*\p-+(q-+r)] {T2}
B) \p->iq-+r)]-*(p/\q-r) {T2a}
p/\q^r==p-*{q-*r) {ВЭ: 1; 2}
Доказательство теоремы Т2Ь — обычное прямое до-
доказательство. В таком доказательстве каждая строка —
теорема. В доказательствах же посредством допущений
строки доказательства чаще всего не являются теоре-
теоремами. Доказательства почти всех теорем вида эквива-
эквивалентности проводятся по такому же плану, что и доказа-
доказательство теоремы Т2Ь: сначала доказываются соответ-
соответствующие прямая и обратная импликации, а затем к
ним применяется правило введения эквивалентности.
В дальнейшем доказательства теорем вида эквивалент-
эквивалентности мы будем записывать так, что запись данного
доказательства будет состоять из двух частей (а) и (Ь),
где часть (а)—доказательство прямой, а часть (Ь) —
доказательство обратной импликации.
ТЗ. р-> (q-*r) ==<7-> (р-> г) закон перестановки
антецедентов.
Этот закон позволяет поменять местами антецедент
импликации и антецедент консеквента данной имплика-
импликации. Доказательство этого закона мы предоставляем
читателю.
Доказательство следующей теоремы является кос-
косвенным доказательством посредством допущений.
Т4. p\J q-*{~q-^p).
Док. A) pVq) . ,
C) ~р {допущ. к. д.1}
D) q {УД: I; 3}
пртврч. {2; 4}
1 «допущ. к. д.» — сокращение выражения «допущение косвен-
косвенного доказательства».
29

Легко заметить, что так же, как доказывалась тео-
теорема Т4, можно доказать любое выражение вида
Ф V ¦ф—*- (~ ф->-ф), где ф и Ир — произвольные выраже-
выражения исчисления предложений. Доказательство каждого
такого выражения строится так, что в качестве допуще-
допущений A) и B) принимаются выражения <pV^ и ~0р,
а в качестве допущения косвенного доказательства —
выражение ~q>. Применяя к A) и C) правило УД, мы
получаем в строке D) выражение ф, противоречащее
входящему в строку B) выражению ~\|з. Схема этого
доказательства имеет, таким образом, следующий вид:
A)
B)
C)
D)
~Ф
пртврч.
{допущ:
{допущ.
{УД: 1;
{2; 4}.
к. д.}
3}
Например, выражение
(a) (P**q)\/ p
является выражением вида ср\/'ф->(~*1>->-ф) (в
ном случае ф=«р=<7», ty = «p/\г»). Под приведенную
выше схему подпадает следующее доказательство выра-
выражения (а):
A)
B)
C)
D)
(p = q)\/pAr)
Р/\Г
пртврч.
{допущ.}
{допущ. к.
{УД: 1; 3)
{2; 4}
д.}
Таким образом, с помощью основных правил системы
мы можем доказать следующее утверждение.
М4. В исчислении предложений любое выражение вида
Ф V Ч> -»(— Ч> -»Ф)
есть теорема.
30

Введя обозначение «(— ф» в качестве сокращения
предложения «выражение ф есть теорема», мы можем
М4 записать так:
М4. I- ф V 'Ф ->¦ (~ *t> -» ф).
Предложение М4 не является теоремой исчисления
предложений. Предложение М4 мы будем называть
метатеоремой, соответствующей теореме Т4. Вообще
метатеоремой, соответствующей данной теореме Т
(исчисления предложений), называется утверждение М
метасистемы, устанавливающее, что теоремой исчисле-
исчисления предложений является любое выражение, схему
которого мы получаем, заменяя в Т пропозициональные
переменные переменными «ф», «ф» и т. п., так что одна
и та же пропозициональная переменная заменяется на
всех местах одной и той же переменной, а различные
пропозициональные переменные заменяются различны-
различными переменными.
Мы покажем, что имеет место следующее утвержде-
утверждение. Утв. 1. Для любой теоремы исчисления предложе-
предложений можно доказать соответствующую метатеорему.
Доказательство проводится индукцией по рангу тео-
теоремы.
1) Если Т — теорема 1-го ранга, а М — соответствую-
соответствующая ей метатеорема, то схему доказательства любого
выражения (исчисления предложений), для которого
из М следует, что данное выражение — теорема, мы
получаем, заменяя в доказательстве теоремы Т пропо-
пропозициональные переменные переменными «ф», «ф» и т. д.,
так что одна и та же пропозициональная переменная на
всех местах заменяется одной и той же переменной, а
различные пропозициональные переменные заменяются
различными переменными, т. е. тем же путем, каким
доказательство теоремы Т4 мы преобразовали в дока-
доказательство М4.
2) Допустим, что Утв. 1 верно для всех теорем, ранг
которых не превосходит ги Пусть Т — теорема ранга п,
а М — соответствующая ей метатеорема. Схему доказа-
доказательства любого выражения (исчисления предложений),
для которого из М следует, что данное выражение —
теорема, мы получаем так же, как и в случае 1). Пред-
Предположение гарантирует, что метатеоремы, соответствую-
31

щие теоремам ранга, не превосходящего п, можно
доказать.
С помощью метатеоремы М4 можно обосновать про-
производное правило удаления дизъюнкции вида
4>V1>
уд ~* .
ф
В самом деле, если в доказательстве имеются выраже-
выражения ф V^ и ~г|), то, присоединяя к этому доказатель-
доказательству теорему q> V ф-*- (,~"ф-»-ф) и дважды применяя
правило отделения, мы получаем выражение ф. Сформу-
Сформулированное выше правило позволяет на основании
дизъюнкции и отрицания второго ее члена присоединить
к доказательству первый ее член.
Оба правила удаления дизъюнкции — основное и
производное относительно М4 — можно охватить сле-
следующей формулировкой: к доказательству можно при-
присоединить один из членов дизъюнкции, если в доказа-
доказательстве имеются дизъюнкция и отрицание ее другого
члена.
Вместо того чтобы говорить о правиле, производном
относительно метатеоремы, соответствующей данной
теореме, мы просто будем говорить о правиле, производ-
производном относительно этой теоремы. (Вообще мы говорим,
что правило Ri присоединения новых строк к доказа-
доказательству производно относительно правил R или тео-
теорем Т тогда, и только тогда, когда всякий раз, как
правило /?i позволяет присоединить к доказательству
какое-либо выражение, последнее можно также присое-
присоединить на основании правил R или теорем Т.)
С помощью любой теоремы вида импликации можно
обосновать некоторое производное правило. Мы дока-
докажем это замечание.
Пусть Т — теорема исчисления предложений, имею-
имеющая вид импликации, т. е. теорема вида
(I) ф! _* {ф8 -*...-* (ф^ -¦ ф„) . . .},
где и>2. Тогда правило, схема которого
Ф1
Фа
фп-1
фл
32

производно. В самом деле, если в некоторое доказа-
доказательство входит каждое из выражений q>i, q>2,..., фп, то
на основании метатеоремы, соответствующей теореме Т,
(п—1)-кратным применением правила отделения мы
получаем в доказательстве выражение q>.
Можно заметить, что вид (I) не определяется един-
единственным для каждой теоремы образом. Например, тео-
теорему Т4 мы можем рассматривать как теорему вида
q>i-v (ф2-крз), полагая, что ф1 —«pV<7». ф2=«~<7»,
ф3 = «р». Но эту же теорему мы можем рассматривать
и как теорему вида ф1-ир2, полагая, что ф1 = «р V <pf
ф2=«~<7-ур». Вследствие этого с помощью некоторой
теоремы можно обосновывать правила, имеющие, вооб-
вообще говоря, различные схемы. Таким образом, с помощью
теоремы Т4, например, кроме правила УД, обосновы-
обосновывается производное правило, схема которого:
Сходным образом можно показать, что правило, произ-
производное относительно теоремы вида
и правил ВК и УК, — это правило, схема которого:
Ф1
Фп
Одно из производных правил, обосновываемое с по-
помощью некоторой теоремы, мы будем обозначать тем
же именем, которое используетея для обозначения дан-
данной теоремы. Например, правилом гипотетического сил-
силлогизма, производным относительно Т1, мы называем
правило, схема которого:
Ф-»Х
2 Зак. 834 33

Результатом подстановки в выражение ф исчисле-
исчисления предложений называется выражение, которое полу-
получается из ф заменой переменной, например р, входящей
в это выражение, произвольным выражением, причем
если переменная входит в ф несколько раз, то она заме-
заменяется тем же самым выражением на всех тех местах,
где она входит в выражение ф. Если в выражение ф
входит более одной переменной, то можно одновременно
заменять несколько переменных произвольными выра-
выражениями, обращая внимание, однако, на то, чтобы оди-
одинаковые переменные были заменены одинаковыми
выражениями. Так, например, выражение (а), приведен-
приведенное выше на стр. SO, — результат подстановки в Т4,
полученный заменой переменной р выражением р=<7
и переменной q — выражением р/\г. Выражение (а),
как и любой другой результат подстановки в Т4, есть
выражение вида ф\/г|)-у~г|)-мр, а потому — в силу
М4 — является теоремой.
Вообще всякий результат подстановки в теорему
исчисления предложений есть выражение вида, который
имеет метатеорема, соответствующая этой теореме, и—
в силу данной метатеоремы — также является теоремой.
Таким образом, правило подстановки, устанавливаю-
устанавливающее, что результат подстановки в произвольную теорему
также есть теорема, производно.
Доказательство следующей теоремы аналогично до-
доказательству Т4.
Т4а. р V q-*(~p-*q).
С помощью производного правила УД мы доказываем
T4b.
Док.
A)
B)
C)
D)
~p\J q
P
~q
~P
пртврч.
)
{допущ.
{допущ.
{УД: 1
{2; 4}.
}
. к. д.}
; 3}
Теоремы Т4, Т4а, Т4Ь можно назвать законами
связи между дизъюнкцией и имплика-
импликацией. Следует заметить, что можно привести содержа-
34

тельно весьма очевидные примеры построения выводов,
согласно производным правилам относительно этих тео-
теорем. Например,
Я сегодня отправляюсь в Варшаву поездом или я сегодня отправля-
отправляюсь в Варшаву самолетом
Если я сегодня не отправляюсь в Варшаву поездом, то я отправля-*
юсь сегодня в Варшаву самолетом
В приводимом ниже примере буквы а, Ъ обозначают
стороны треугольника, а буквы а, р обозначают углы,
лежащие против этих сторон.
афЬ\/ а = Р .
Сейчас не день или сейчас не ночь
Если сейчас день, то сейчас не ночь
Мы подчеркиваем здесь содержательную очевид-
очевидность этих правил, потому что одним из них, а именно
производным правилом относительно Т4Ь, мы будем
пользоваться в § 4 при обосновании матричной таблицы
для импликации.
T5.
Док.
A)
B)
~ ~ р
~Р
пртврч.
~~р-»р.
{допущ.
{допущ.
{1; 2}
}
к.
д-}
Производное относительно Т5 правило удаления
двойного отрицания мы будем обозначать символом УО.
Т5а. р ->- ~ ~р.
Док.
A)
B)
C)
Р
. . -~^< р
~р
пртврч.
{допущ.}
{допущ. к.
{УО: 2}
. {1; 3}
д.}
Правило введения двойного отрицания, производное
относительно Т5а, мы будем обозначать символом ВО.
Т5Ь. р==р {ВЭ: Т5; Т5а}.
2* 35

Теоремы Т5, Т5а, Т5Ь называются законами двой-
двойного отрицания. Закон Т5Ь, устанавливающий, что
двойное отрицание предложения эквивалентно самому
этому предложению, был известен уже стоикам.
Производным относительно правила ВО является
правило удаления дизъюнкции, имеющее вид:
УД
Док.
Док.
A)
B)
C)
О)
B)
C)
Ф
Ф
Ф
Ф
ф
Ф
ф V Ф
ф
| {допущ.}
{ВО: 2}
{УД: 1;
| {допущ.}
{ВО: 2}
{УД: 1;
Ф V ~ "Ф
ф
3}
3}
Содержательный смысл этого правила такой же, что и
содержательный смысл правила УД в ранее приведен-
приведенной форме. В самом деле, эти правила устанавливают,
что из дизъюнкции и выражения, противоречащего од-
одному из ее членов, следует другой член данной дизъюнк-
дизъюнкции.
На основании Т5а или же правила ВО можно выве-
вывести в качестве производного правила — правило по-
построения косвенного доказательства посредством
допущений, которое лишь тем отличается от правила,
сформулированного в предыдущем параграфе, что в
случае, когда в выражении (I) ф„ имеет вид ~г|), оно
позволяет принимать в качестве допущения косвенного
доказательства выражение г|з. В самом деле, применяя
к этому выражению правило ВО, мы получим выраже-
выражение ~ ~г|), которое, согласно основному правилу, яв-
является допущением косвенного доказательства. Этим
производным правилом мы воспользуемся в доказатель-
доказательстве Т6.
36

T6. jd-*<7==~<7-*~jd закон контрапозиции.
Док. (а) A) p-*q 1 , ,
' {Допущ.}
C) р {допущ. к. д.}
D) q {ПО: 1; 3}
пртврч. {2; 4}
Построение части (Ь) доказательства мы предоставляем
читателю.
Контрапозицией данной импликации называется
импликация, которая получается из первой перестанов-
перестановкой антецедента и консеквента с одновременным отри-
отрицанием обоих этих членов. Правило контрапозиции
позволяет присоединить к доказательству контрапози-
цию импликации, имеющейся в доказательстве.
Пример рассуждения по правилу контрапозиции:
а— 6->а = 6
(Буквы а, Ъ обозначают здесь стороны треугольника, а
буквы а, р — углы, лежащие против этих сторон.)
Закон контрапозиции (в виде импликации) относит-
относится к тем немногим законам исчисления предложений,
которые были известны уже Аристотелю.
Т7. рf\q-*r = pЛ~г-»~<7 закон сложной
контрапозиции.
Док. (а) A) p/\q-*r j
B) р \ {допущ.}
C) ~г )
D) q ^ {допущ. к. д.}
E) p/\q * {ВК: 2; 4}
F) г {ПО: 1; 5}
пртврч. {3; 6}
37

Доказательство обратной импликации мы предостав-
предоставляем читателю.
Пример рассуждения по правилу сложной контра-
нозииии:
Если последовательность ап монотонна и последовательность ап
ограниченна, то последовательность ап сходится
Если последовательность ап монотонна и последовательность ап не
сходится, то последовательность ап неограниченна
Среди правил, доказанных стоиками с помощью их
основных правил, мы находим следующее, производное
относительно закона сложной контрапозиции:
Т8. (р -» q) Д — q-+ — р modus tollendo tollens
(отрицающе-отрицающий модус).
Доказательство этого закона мы предоставляем чита-
читателю.
Производным относительно Т8 является правило:
Тол.1
~Ф
Это правило, которым мы неоднократно будем поль-
пользоваться в дальнейшем, позволяет получить отрицание
антецедента произвольной импликации на основании
этой импликации и отрицания ее консеквента. Напри-
Например:
Если число 306 121 делится на 3, то сумма цифр числа 306 121
делится на 3
Сумма цифр числа 306 121 не делится на 3
Число 306 121 не делится на 3
Производными относительно сформулированного выше
правила и правила УО соответственно ВО являются
правила, схемы которых:
Тол.
~ ф ф
1 Сокращение выражения «толленс».
38

Вообще правило Тол. позволяет на основании им-
импликации и выражения, противоречащего ее консеквен-
ту, получить выражение, противоречащее ее антеце-
антецеденту.
В качестве примера мы докажем последнюю форму
этого правила. В доказательстве мы воспользуемся пра-
правилом Тол. в его первой формулировке.
Док. A) — ф —^ — 1|э 1
B! \ ! {допущ-}
C) 1|з {ВО: 2}
D) Ф {Тол.: 1; 3}
Ф {УО: 4}
Правило modus tollendo tollens (или сокращенно:
modus tollens) в своей первой формулировке фигуриро-
фигурировало в качестве одного из основных («недоказуемых»)
правил исчисления предложений, принятых стоиками.
Все четыре формулировки этого правила мы находим
у Боэция.
Т9. p-+(^p-»q).
Док. A) р
B) , {допущ.}
C) ~<7 {допущ. к. д.}
пртврч. '{1; 2}
Этот закон обращает внимание на опасность проти-
противоречия. Именно на основе этого закона из двух проти-
противоречащих предложений можно получить произвольное
предложение. Здесь следует подчеркнуть, что из двух
противоречащих предложений ф и ~<р можно получить
любое предложение ip, пользуясь лишь правилами ВД
и УД:
О)
C) ф\/^ {ВД: 1}
* {УД: 3; 2}
39

Теорему Т9 Лукасевич назвал законом Дуне
Скота по имени одного из выдающихся средневековых
философов, жившего в конце XIII — начале XIV веков,
так как теорему Т9 можно вывести на основе закона
экспортации и теоремы: pf\~p^>~q. Но этой теореме
соответствует утверждение, сформулированное Дуне
Скотом, которое гласит, что из противоречивого предло-
предложения следует любое предложение. Дуне Скот проводит
доказательство данного утверждения на следующем
примере, пользуясь при этом явно сформулированными
правилами УК, ВД, УД:
Сократ бежит и Сократ не бежит, а, следовательно, ты
в Риме.
Док. A) Сократ бежит и Сократ не бежит, {допущ.}
B) Сократ бежит. 1 {УК* 1}
C) Сократ не бежит. J
D) Сократ бежит или ты в Риме. {ВД: 2}
Ты в Риме. {УД: 4; 3}
Т10. <7 —*(р —*9) закон упрощения.
Д°к- A) Я 1 i ,
<2),\ ¦{допуи-1
C) ~? {допущ. к. д.}
пртврч. {1; 3}
Т11. р-*р закон тождества для импликации.
Док. A) р {допущ.}
B) ~р {допущ. к. д.}
пртврч. {1; 2}
ТПа. р^р закон тождества для эквива-
эквивалентности.
Док. A) р-*р {Т11}
р==р {ВЭ: 1; 1}
Законы тождества относятся к тем логическим тео-
теоремам, которыми иногда пользуются как посылками в
40

математических доказательствах (это мы увидим в
части II).
T12.
Док.
(/>
A) Р^Я
B) p-q
C) q-+p
q==p
= q)-*(q = p),
{допущ.}
{УЭ: 1}
{УЭ: 1}
{ВЭ: 3; 2}
Т13. - (p = q)A(q==r)-*(p^r).
Доказательство этой теоремы мы предоставляем чита-
читателю.
Теоремы Tlla, T12, Т13 устанавливают, что эквива-
эквивалентность рефлексивна, симметрична и транзитивна1.
Но для импликации проходят лишь законы рефлексив-
рефлексивности (Т11) и транзитивности A) и не проходит закон
симметричности, потому что импликация не всегда обра-
обратима.
Связь между импликацией и эквивалентностью уста-
устанавливает теорема
Т14. (p = q)=*{p-*q)f\{q^p).
Несложное доказательство этой теоремы мы предостав-
предоставляем читателю.
Для эквивалентности проходит следующее правило
отделения:
ПОЭ
* ; Ф
Это правило производно относительно УЭ и ПО:
{допущ.}
C) ф —> гр {УЭ: 1} . C) ^-»ф {УЭ: 1}
г|; {ПО: 3; 2} <р {ПО: 3; 2}
1 Ср. сноску на стр. 135. •
41

T15. (p-*
T15a. (~p
b (Р-»?
с (~p
d (p-*
Доказательства этих теорем, которые иногда называют-
называются законами приведения к абсурду, мы предоставляем
читателю.
Производное относительно T15d правило, схема ко-
которого
было сформулировано уже стоиками, от которых про-
происходит следующий пример рассуждения по этому пра-
правилу:
Если ты знаешь, что ты умер, то ты умер
Если ты знаешь, что ты умер, то ты не умер
Ты не знаешь, что ты умер
Т16. (p-*q) Л (Р~*г) -*(Р-»<7Лг) закон умноже-
умножения консеквентов.
Доказательство этого закона мы предоставляем чи-
читателю.
В доказательстве теоремы, обратной к Т16, мы вос-
воспользуемся производным правилом присоединения
импликации к доказательству. По этому правилу в
(прямое или косвенное) доказательство выражения (I)
можно ввести произвольное выражение г|; в качестве
добавочного допущения доказательства. Если на осно-
основании этого добавочного допущения и допущений дока-
доказательства мы получим в доказательстве выражение %,
то к доказательству можно присоединить импликацию
Действительно, получая на основании допущений
доказательства фь....фп-i (~фп) и добавочного допу-
допущения i|j выражение %, мы тем самым доказываем
теорему: ф1->{ф2->...-н[фп-1->-(ф-ч*5с)]—} (или теорему:
42

фФп->(г|;->х) )]¦••})¦ Присоединяя
эту теорему к доказательству, выражения (I) и от-
отделяя допущения ф1,..., фп-i (-~Фп), мы получим выра-
выражение г|;->х- Очевидно, что добавочным допущением
доказательства i|) и выражениями, полученными на осно-
основании этого выражения, за исключением последнего
выражения i|)-»-x» нельзя пользоваться в остальных ча-
частях доказательства. Очевидно также, что в доказатель-
доказательстве могут фигурировать несколько добавочных допу-
допущений.
Добавочные допущения мы будем снабжать двойны-
двойными номерами, поэтому первое, например, такое
добавочное допущение будет иметь номер «1.1», вто-
второе— номер «2.1» и т. д. Каждая строка, полученная на
основании строки, имеющей двойной номер, получает
также двойной номер с той же самой первой цифрой,
указывающей, на основе какого допущения она была
получена, а в качестве второй цифры пишем очередную
цифру. Но строки, полученные на основании правила
присоединения импликации к доказательству, снаб-
снабжаются обычными номерами. Если на основании доба-
добавочного допущения доказательства i|), имеющего номер,
например, 1.1, мы получили в доказательстве выраже-
выражение х, имеющее номер, скажем, 1.3, и на основании
правила присоединения импликации к доказательству
мы присоединяем к доказательству строку i|)-»-x» т0 в
фигурных скобках справа от этого выражения мы будем
писать: 1.1->1.3, обозначая таким образом, что в дока-
доказательстве было применено правило присоединения
импликации.
T16a.
Док.
A)
A.1)
A.2)
A.3)
A.4)
(p-*qAr)
Р-+
Р
Я А
я
г
Я/\г
г
-*(р-*ч) ЛСр-3
>г).
{допущ.}
{доб.
{ПО:
{УК:
{УК:
допущ.}1
1; 1.1}
1.2}
1.2}
1 «доб. допущ.» — сокращение выражения «добавочное допу-
допущение».
43

B) p-*q {1.1 -* 1.3}
C) p-»r {1.1 -7*1-4}
(Р-*Я)Л(р-*г) {ВЮ 2; 3)
Чтобы облегчить читателям правильное понимание
только что введенного производного правила, мы дадим
доказательство Т16а, в котором не используется это
правило. Но тогда мы должны сначала доказать две
следующие вспомогательные теоремы:
(a) . (p-*q Ar)-^(p -»• q).
(b) (р-+яЛг)->(р-*г).
Несложные доказательства этих теорем мы предостав-
предоставляем читателю.
Доказательство Т16а имеет теперь вид:
{допущ.}
'Я) \а\
¦ г) {Ь}
{ПО: 2; 1}
{ПО: 3; 1}
{ВК: 4; 5}
Благодаря правилу присоединения импликации к дока-
доказательству мы избегаем введения в систему излишних
вспомогательных теорем
{ВЭ: Т16; Т16а}.
A)
B)
C)
D)
E)
Р-*
(рч
(РЧ
р "~*
р *">*
(р-
q f\r
»Я/\г)-*
>q Л г) -»
я
г
(р-
(р-
*q)A(p-*r)
Т16Ь.
Т17.
Док.
44
Р-*<?
(а) A)
B)
C)
D)
E)
F)
Л
CS.
q
р
Г = (
(Р-*
\/q
¦ г
р
¦q
р -»¦ q) Л (р -
r)/\(q->r)*
{допущ.
{допущ.
{Тол.: 1
{Тол.: 2
*г) ,<
к. д.]
; 4}
; 4}

G) q {УД: 3; 5}
пртврч, {6; 7}
(b) A) p\/q-*r {допущ.}
A.1) p {доб. допущ.)
. A.2) p\Jq {ВД: 1.1}
A.3) г {ПО: 1; 1.2}
B) р->г {1.1-• 1.3}
B.1) q {доб. допущ.}
B.2) pyq {ВД: 2.1}
B.3) г {ПО: If 2.2}
C) q-r {2.1-* 2.3}
(p-*r)/\(q-*r) {BK: 2; 3}
По Т17 условие jc<—2->/(jc)>0, или условие
х<—2V х = —2-*~f(x)>0, эквивалентно конъюнкции
условий х<— 2-^f(x)>0, x = —2-+f(x)>0.
Прямую импликацию, содержащуюся в Т17, назы-
называют законом сложения а нт е цеден т о в. Про-
Производным относительно него является правило сложения
антецедентов, схема которого:
Из закона сложения антецедентов мы получаем на осно-
основании закона импортации (Т2а) закон простой конструк-
конструктивной дилеммы:
Т18. (p-*r)/\D-*r)/\(p\/j)-+r.
Производное относительно Т18 правило простой кон-
конструктивной дилеммы позволяет из двух импликаций с
тем же самым консеквентом и дизъюнкции их антеце-
антецедентов вывести консеквент этих импликаций.
45

Пример рассуждения по правилу простой конструк-
конструктивной дилеммы:
га = 1 -+(п + \J>п2
n>l-*(n+lJ>n2
п = Гу п > 1
{п+\J>п2
Производным относительно правила присоединения
импликации к доказательству является правило, уста-
устанавливающее, что если на основании некоторого доба-
добавочного допущения доказательства мы получим в дока-
доказательстве два противоречащих выражения, то к
доказательству можно присоединить выражение, проти-
противоречащее этому добавочному допущению. В самом
деле, если на основании добавочного допущения г|з мы
получаем в доказательстве две противоречащие строки
X и ~%, то по правилу ВК и правилу присоединения
импликации к доказательству можно к доказательству
присоединить импликацию г|з->хЛ-~Х- Но отсюда на
основании Т15Ь мы получаем выражение -~г|з. Сходным
образом, если на основании добавочного допущения
-~г|з мы получаем в доказательстве две противоречащие
строки х и ~х> то к доказательству можно присоеди-
присоединить импликацию -~ г|з->% Л -~ %. Но отсюда на основа-
основании Т15с мы получаем выражение г|з.
Этим правилом мы воспользуемся в доказательстве
следующей теоремы:
T19. -
зъюнкции.
Док. (а) A) ~(pV?)
A.1) р
A-2) PV?
B) ~р
B.1) q
B.2) p\J q
C) ~q
¦ q закон отрицания ди-
{допущ.}
{доб. допущ.}
{ВД: 1.1}
{1.1 -*пртврч. A; 1.2)}
{доб. допущ.}
{ВД: 2.1}
{2.1 -*пртврч. A; 2.2)}
{ВК: 2; 3}
46

Часть (Ь) доказательства мы предоставляем читателю.
По Т19 отрицание дизъюнкции эквивалентно конъ-
конъюнкции отрицаний ее членов. Например, предложение
~а>6, или предложение ~(a>b\/a = b), эквивалентно
предложению ~a>bf\~a = b.
Производным относительно Т19 является правило
отрицания дизъюнкции:
~ (Ф V ¦) ~ (Ф V Ч>)
ОД ~ф •
Т20. ~(рл?)-~р\/~
конъюнкции.
Док. (а) A) ~(рЛ?)
B) ~(~pV~?
C) р
D) q
E) Р
F) q
G) Phq
пртврч.
q закон отрицания
{допущ.}
) {допущ. к. д.}
{ОД: 2}
(ОД: 2}
{УО: 3}
{УО: 4}
{ВК: 5; 6}
{1; 7}
Часть (Ь) доказательства мы предоставляем читателю.
По Т20 отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнк-
дизъюнкции отрицаний ее членов. Например, предложение
~(а<х<Ь), или предложение ~ (а<х/\х<Ь), эквива-
эквивалентно предложению ~а<х\/~х<Ь.
Теоремы Т19 и Т20 имеют аналогичную структуру.
Их называют законами Де Моргана по имени англий-
английского логика XIX века. Однако эти законы были из-
известны уже в средние века. Их мы находим, например,
у Оккама (XIV век), у Буридана (XIV век) и других
логиков XIV и XV веков.
Т21. ~ (р-»q) == р Д—q закон отрицания им-
импликации, j
Доказательство этой теоремы мы предоставляем чита-
читателю.
47

T22.
Док.
A)
B)
C)
~(РЛ~Р)
РЛ~<7
пртврч.
закон противоречия.
{допущ. к. д.}
{УК: 1}
{2; 3}
Доказательство этой теоремы является обычным
косвенным доказательством. В этом доказательстве
фигурируют не условия теоремы, а лишь допущение
косвенного доказательства, которым является предло-
предложение, противоречащее доказываемой теореме.
Закон противоречия сформулировал Аристотель.
У него имеется также металогическая формулировка
этого закона, гласящая, что два противоречащих пред-
предложения не могут быть сразу истинными (или же в
эквивалентной формулировке: из двух противоречащих
предложений одно ложно).
Т23.
Док.
PV
A)
B)
C)
—р закон
~(pV~
~р)
пртврч.
~Р)
исключенн
{допущ.
{ОД: 1]
{2; 3}
ого
к. д.
\
третьего.
Закон исключенного третьего относится к тем логи-
логическим теоремам, которыми нередко пользуются в мате-
математических доказательствах как посылками, именно в
ветвящихся доказательствах с присоединением добавоч-
добавочных допущений, о чем речь будет идти ниже.
Закон исключенного третьего также сформулировал
Аристотель. Он же дал и металогическую формули-
формулировку этого закона, по которой из двух противоречащих
предложений одно истинно.
В своих трудах Аристотель полагает этот закон
истинным и даже посвящает один из разделов «Мета-
«Метафизики» защите закона исключенного третьего. Все же
в одном из своих текстов он высказывает сомнения в
справедливости этого закона для предложений, относя-
относящихся к будущим случайным событиям. Именно он
замечает, что принятие этого закона для таких предло-
48

жений привело бы в конечном счете к следующей кон-
концепции: все, что будет происходить, необходимо.
Ссылаясь на эту концепцию, Ян Лукасевич построил в
1918—1920 годах систему так называемого трехзнач-
трехзначного исчисления высказываний, в которой не имеет
места закон исключенного третьего.
Т24. (p-*Q) -» (р Дг ~*ЯЛг) закон нового сомно-
сомножителя.
<
Доказательство этого закона мы предоставляем чита-
читателю.
Пример рассуждения по закону нового сомножителя:
а>2-а>0
о>2Ла<9->а>0Да<9
или:
2<а<9-»0<а<9.
Т25. (p-*q) Д (г -*s) -*(р Л г -> <7 As) закон почлен-
почленного умножения для импликации.
Доказательство этого закона мы предоставляем
читателю. Пример рассуждения по правилу почленного
умножения для импликации:
a<x-*c<f(x)
a<x/\x<b-*c<f(x)hf(x)<d
или:
а<х <.6-> с</(*)<d.
Теперь мы обоснуем производное правило по-
построения ветвящегося доказательства с
присоединением добавочных допущений.
По этому правилу:
{а) прямое доказательство выражения (II закончено,
если в нем получено фп на основании каждого из доба-
добавочных допущений i|)i,..., i|;fc, дизъюнкция которых яв-
является одной из строк доказательства;
F) косвенное доказательство выражения (I) закончено,
если в нем получено противоречие на основании каждого
из добавочных допущений i|)i,..., tyh, дизъюнкция кото-
которых является одной из строк доказательства.
1 Это выражение было приведено на стр. 22.
49

Для обоснования (а) достаточно заметить, что, полу-
получая в прямом доказательстве выражения (I) выраже-
выражение ф„ на основании каждого из добавочных допущений
¦фи ..., tyk, мы можем по правилу присоединения имплика-
импликации к доказательству присоединить в качестве новых
строк ¦фг-мрп, г|;2->-фп, ..., ¦фь-мрп. Применяя к этим выра-
выражениям правило сложения антецедентов (обобщен-
(обобщенное на k импликаций), мы получаем выражение:
¦ф1 V^aV'-'V 'фй-*-фп. Применяя к нему и к дизъюнкции
¦ф! у'Фг V--V'Ф* (о которой известно, что она является
одной из строк доказательства) правило отделения, мы
получим выражение ц>п в качестве последней строки
доказательства.
Для обоснования (Ь) достаточно заметить, что, полу-
получая в косвенном доказательстве выражения (I) противо-
противоречие на основании каждого из добавочных допущений
i|)i,..., tyh, мы можем — по производному правилу, при-
приведенному на стр. 32, — присоединить к доказательству
отрицание каждого из этих добавочных допущений, т. е.
выражения ~i|)i,..., ~т|)ь. Но применяя к дизъюнкции
¦фх V 'Фг V ••• V 'Фл (о которой известно, что она является
одной из строк доказательства) и к выражениям
~i|)i,..., ~i|)fc-i правило УД, мы получим выражение
¦фл, противоречащее полученному ранее выражению
~i|jfc. Наличием этого противоречия заканчивается
косвенное доказательство выражения (I).
Примерами доказательств, в которых мы пользуемся
первым из только что приведенных производных правил,
являются доказательства Т26 и Т27. Второе правило,
которое мы сформулировали потому, что оно часто при-
применяется в математических рассуждениях, проиллю-
проиллюстрируем на следующем примере:
Теорема: (р -* q)]Д (г -н
Док.
50
A)
B)
C) -
D)
A.1)
Р-+Я ]
г -* s \
1
pVr
Р
{допущ.}
{допущ. к. д.}
{доб. допущ.}

A.2)
A.3)
B.1)
B.2)
B.3)
T26. (p-*q)
емого.
Док. A) р
B) Р
A.1)
A.2)
A.3)
B.1)
B.2)
Т27. (p^q)
Я
ЯУ s
г
S
{ПО: 1; 1.1}
{ВД: 1.2}
{доб. допущ.}
{ПО: 2; 2.1}
{ВД: 2.2}
A.1-*пртврч. A.3; 3); 1
пртврч. { \
12.1-*пртврч. B.3; 3); 4J
+ (pV
-*я\
У г\
Р
Я
я\/>
г
ЯУ >
яУ>
г -*q\Js) закон нового слага-
{допущ.}
{доб. допущ.}
{ПО: 1; 1.1}
{ВД: 1.2}
{доб. допущ.}
{ВД : 2.1}
{1.1-¦ 1.3; 2.1 -^ 2.2; 2}
Л (/¦ -»s) -»(p\J r-» q V s) закон почлен-
ного сложения
Док. A)
B)
C)
A.1)
A.2)
A.3)
B.1)
B.2)
B.3)
pVr
Я
яУ
г
S
ЯУ
ЯУ
для импликации.
(допущ.}
{доб. допущ.}
{ПО: 1; 1.1}
s {ВД: 1.2}
{доб. допущ.}
{ПО: 2; 2.1}
в {ВД: 2.2}
s {1.1-* 1.3; 2.1^2.3; 3}
51

Пример рассуждения по правилу почленного сложений
для импликации:
или:
a>
Из Т27 на основании закона импортации мы получаем
закон сложной конструктивной дилеммы:
Т28. {p-*q)A(r-+s)A0>Vr)-+(q\/8).
Производное относительно Т28 правило сложной кон-
конструктивной дилеммы позволяет из двух импликаций и
дизъюнкции их антецедентов вывести дизъюнкцию их
консеквентов.
Пример рассуждения по правилу сложной конструк-
конструктивной дилеммы:
л = 1 -* 2л = 2
л > 1 -> 2л > 2
п~1 V л > 1
2л = 2 V 2л > 2
Рассуждения, которые называются дилеммами, бы-
были известны уже в древности. Кроме простой и сложной
конструктивных дилемм, различали еще простую и слож-
сложную деструктивные дилеммы. Правило простой деструк-
деструктивной дилеммы позволяет из двух импликаций с оди-
одинаковым антецедентом и дизъюнкции отрицаний их
консеквентов вывести отрицание антецедента этих
импликаций. Правило сложной деструктивной дилеммы
позволяет из двух импликаций и дизъюнкций отрицаний
их консеквентов вывести дизъюнкцию отрицаний их
антецедентов. Формулировки законов, на которых осно-
основываются эти правила, а также их доказательства мы
предоставляем читателю.
Т29. ~
Прямая импликация для этой эквивалентности есть тео-
теорема Т4Ь. Поэтому мы приводим только часть (Ь) дока-
доказательства.
52

Док. (b) A)' p-*q {допущ.}
A.1) p {доб. допущ.}
A.2) q {ПО: 1; 1.1}
A.3) ~p\/q {ВД: 1.2}
B.1) — ^ {доб. допущ.}
B.2)~pV<7 {ВД: 2.1}
~р V<7 {1.1-» 1.3; 2.1-^2.2}
Доказательство обратной импликации в теореме Т29
является ветвящимся доказательством, в котором дизъ-
дизъюнкция добавочных допущений — логическая теорема,
именно закон исключенного третьего. Нередко матема-
математические доказательства проводятся таким образом, что
дизъюнкция добавочных допущений является частным
случаем закона исключенного третьего, например когда
доказывается некоторая теорема при допущении х — 0,
а затем при допущении хфО. В других же случаях
дизъюнкция добавочных допущений является теоремой
или частным случаем теоремы ¦ данной дисциплины;
например когда доказательство проводится в допуще-
допущениях д:>0, л;=0, х<0, то молчаливо пользуются законом
трихотомии: je>0V-*;=0V*<O. В ветвящихся доказа-
доказательствах, где дизъюнкция добавочных допущений
является законом исключенного третьего или результа-
результатом подстановки в него» мы не будем выписывать в до-
доказательстве этот закон, а также не будем и указывать
в фигурных скобках последней строки доказательства,
что мы пользуемся этим законом.
Т29а. p\/q = (~p^q).
Прямая импликация — это теорема Т4а. Доказатель-
Доказательство обратной импликации аналогично части (Ь) дока-
доказательства Т29.
Правило, соответствующее обратной импликации,
содержащейся в Т29, мы находим у Павла из Венеции,
жившего в конце XIV — начале XV веков, автора обшир-
обширного учебника логики. Именно он утверждает, что из
условного предложения следует дизъюнкция, образо-
образованная из предложения, противоречащего антецеденту,
53

и его консеквента. Он также приводит следующий при-
пример рассуждения по этому правилу: Если ты — человек,
то ты — живое существо; следовательно, или ты не
человек, или ты живое существо.
ТЗО. p
Мы приводим только часть (Ь) доказательства.
Док. (b) (I) p/\q VpAr {допущ.}
A.1)
A.2)
A.3)
A.4)
A.5)
B.1)
B.2)
B.3)
B.4)
B.5)
P
P
q
p
p
p
q
q
p
p
A
)
V
л
Л
}
V
Л
л
q
г
(qVr)
г
г
(qvr)
(q\/r)
{доб. допущ.}
{УК: 1.1}
{ВД: 1.3}
{ВК: 1.2; 1.4}
{доб. допущ.}
{УК: 2.1}
{ВД: 2.3}
{ВК: 2.2; 2.4}
{1.1-И.5; 2.1
¦2.5; 1}
По ТЗО следующие условия эквивалентны:.
х есть рациональное число Л {х<С — 2 V л: > 5),
х есть рациональное число Л х < — 2 V,
х есть рациональное число Л х ]> 5.
Теорема 30 — закон дистрибутивности конъ-
конъюнкции относительно дизъюнкции, анало-
аналогичный арифметическому закону дистрибутивности
умножения относительно сложения: а- (b + с) —а-Ь + а-с.
Т31. pyq/\r = (p\/q) A(PV г).
Теорема 31, доказательство которой мы предоставляем
читателю, — это закон дистрибутивности дизъюнкции
54

относительно конъюнкции. По этой теореме (и закону
симметричности для эквивалентности) условия
(a\b-cV ~a\b) /\(a\b.cy ~а\с),
эквивалентны
Док. A)
B)
C)
D)
E)
A.1)
A.2)
A.3)
A.4)
F)
B.1)
B.2)
B.3)
B.4)
G)
(T^S)A(PV
Г-* S )
PVr \
1
Я
~s
~r
P
Я-+Р
s
~p
r
s-> r
(q-*p)/\{8~
г)Л (<?As)-(<?
{допущ.}
{ОД: 4}
{доб. допущ.}
{УД: 5; 1.1}
{Тол: 2; 1.2}
{УД: 3; 1.3}
{1.1-* 1.4}
{доб. допущ.}
{УД: 5; 2.1}
{Тол.: 1; 2.2}
{УД: 3; 2.3}
{2.1-* 2.4}
-г) {ВК: 6; 7}
Теорема Т32 называется законом замкнутой си-
системы у т в е р ж д е н и й,или законом Гаубера. Ее
можно было бы также назвать законом обраще-
обращения импликаций. На теореме Т32 основывается
следующее правило обращения импликаций:
1 «а | Ь» означает: а делит Ь.
55

Ф1 V4>i
A
^2 -» Ф2
Теорему Т32 и соответствующее ей правило можно
обобщить на п импликаций. •
Правило обращения импликаций принимает тогда
вид:
Ф* -» Фя
Ф1 V Фг V • • • V Фл
( Л ) где 1< t ^ / < »
Ф1
*„ "* Фя
Таким образом, если утверждается п импликаций и
дизъюнкция их антецедентов, причем консеквенты этих
импликаций взаимно исключают друг друга, то можно
каждую из данных импликаций обратить.
Пример применения правила обращения импликаций
(в этом примере буквы «а», «6» обозначают стороны
треугольника, а буквы «а», «($» — углы, лежащие против
этих сторон):
а — Ь ->а = р
а>6->а>р '
а<6->а<р
а = Ь\/ a>b\/ a<b
р->а = b
р>6
56

ТЗЗа.
Ъ.
с.
d.
e.
f.
f\p = rf\q)
\/r = q\/r)
q)-»(r\/p = r\fq)
законы экстен-
экстенсиональности
для эквивалент-
эквивалентности
Доказательства теорем ТЗЗ а—g в некотором отно-
отношении аналогичны. Их можно доказать, пользуясь пра-
правилом УЭ, соответствующими законами для импликации
и правилом ВЭ. В доказательствах теорем ТЗЗ h,i ис-
используются законы, устанавливающие симметричность
и транзитивность эквивалентности. Здесь мы приведем
для примера доказательство ТЗЗ f.
A)
C)
D)
E)
F)
G)
P =
p->
q-*
(p-
D-
(?-
г* \
p)
*q)-*
*p)-*
(p-*r)-*
p-*
' r = q
l(q-*
(p-*r
(q-*t
-*r
r)-+(p
¦)
¦)
{допущ.}
{УЭ: 1}
{ПО: 4;
{ПО: 5;
{ВЭ: 6;
2}
3}
7}
С помощью теорем ТЗЗ обосновывается производное
правило экстенсиональности исчисления предложений,
схема которого
Здесь символ х(ф1№) обозначает выражение, полу-
полученное из % заменой некоторой его части г|) выраже-
57

нием ф. Если выражения %, г|) и ф являются соответст-
соответственно выражениями
то выражение х(ф||'ф) есть выражение
(Р-* q)-+[(~ г-* ~ q)-* (р-> г)].
Заметим, что если в выражение % несколько раз вхо-
входит в качестве части выражение if», то символ %(ф||г|))
обозначает любое выражение, которое получается из %
заменой выражения г|) выражением ф на одном или
более (не обязательно всех) местах. В этом случае сим-
символ 5С(фИЧ') не является однозначным.
Доказательство правила экстенсиональности прово-
проводится индукцией:
1) В случае, когда % представимо в одном из следую-
следующих видов:
эквивалентность % =%(ф||г|)) следует из допущения ф=|ф
и законов экстенсиональности.
2) Допустим, что приведенные ниже эквивалентности
следуют из выражения фе=г|):
Из этих эквивалентностей и законов экстенсиональности
следует эквивалентность х^х(ф|1г15) тогда, когда % есть
отрицание %ь а также тогда, когда % есть импликация,
дизъюнкция, конъюнкция и эквивалентность, построен-
построенная из выражений %i и %2- Таким образом, правило
экстенсиональности производно. На основании правила
экстенсиональности и ПОЭ мы устанавливаем, что и
правило, схема которого
Х(Ф/ЛЮ
1 Не исключается случай, когда в одном лишь выражении
или %2 выражение о|) было заменено выражением ф.
5S

производно. Это правило также называется правилом
экстенсиональности.
Из Т20 на основании ТЗЗа и Т5Ь мы получаем
Т34. PA? = ~(~PV~?)-
Приведем еще две теоремы, опуская, однако, их доказа-
доказательства:
Т35.
Т36. (p/\q)/\r^p/\(q/\r).
Эти теоремы — законы ассоциативности. На основа-
основании этих законов можно опускать скобки, посредством
которых осуществляется группировка членов многочлен-
многочленных дизъюнкций или конъюнкций.
В заключение мы приводим сводку производных
правил построения доказательства, а также важнейших
правил присоединения новых строк к доказательству,
обоснованных в этом параграфе.
Мы обосновали следующие производные правила
построения доказательств (посредством допущений):
1) Правило, позволяющее разбивать допущения,
имеющие вид конъюнкции, на их члены, и выписывать
эти члены в качестве допущений (стр. 27).
2) Правило, по которому записываются доказатель-
доказательства теорем, имеющих вид эквивалентности (стр. 29).
3) Правило, позволяющее выписывать допущение
косвенного доказательства, опуская знак отрицания
(стр. 35—38).
4) Правило введения добавочных допущений и при-
присоединения импликации к доказательству (стр. 42, 43).
5) Правило введения в доказательство выражения,
противоречащего добавочному допущению (стр. 46).
6) Правило построения ветвящихся доказательств
(стр. 49—51).
В доказательствах теорем или правил мы пользова-
пользовались следующими производными правилами присоеди-
присоединения новых строк:
1) Производными правилами удаления дизъюнкции
(стр. 32, 36).
2) Правилами удаления и введения двойного отри-
отрицания (УО и ВО, стр. 35—36).
3) Правилами modus tollens (Тол., стр. 38—39).
59

4) Правилом отрицания дизъюнкции (ОД, стр. 47).
5) Правилами отделения для эквивалентности (ПОЭ,
стр. 41).
6) Правилом сложения антецедентов (стр. 45).
Мы доказали, что правило подстановки (стр. 34) и
правило экстенсиональности (стр. 57, 58) производны.
Упражнения:
1. Докажите следующие законы исчисления предложений:
a) Р Л Я = Ч Л Р;
b) p v q = я V р;
c) (р = q) Л ~ р - ~ ?;
Ф (р = ?)Л ~<7-»~р;
е) (р s ?) = р л ? V ~ р Л ~ <?;
О Р l\{q-+r)-+{p /\q-+r);
i) P -»<7 V г = (p -» q) V (p
2. Используя правило экстенсиональности, докажите:
a) законы симметричности и транзитивности для эквивалент-
эквивалентности;
b) на основании теорем p\Jq = ~ p-*q к р = р теорему (p\Jq) -»
-»г s ( ~ р-»^)-»'';
c) на основании теорем р=р и (~р—*р)—*р теорему (р—»~р)->
-»~ р;
d) на основании теорем p\Jq=~p—*q и р—*(рУq) теорему
()
3. а) Сформулируйте и докажите логический закон, с помощью
которого на основании теоремы
(I) через две различные точки проходит не более одной прямой,
можно доказать теорему;
(II) две различные прямые имеют не более одной общей точки
и обратно, на основании (II) можно доказать (I).
Указание: запишите (I) в виде:
лежат иааиб—»а=6
и сходным образом запишите и (II).
Ь) Сформулируйте и докажите логический закон, на основании ко-
которого из предложений: \ а\ > \ Ъ \ —> а2 > б2; с > О Д а2 > Ь2 —> сФ >
>cb2 следует предложение: с>0 h\a\>\b\->cd?> сЬ1.
60

4. Проведите формализованные доказательства:
a) теоремы ~ (д; > л:) на основании теоремы х •> у —» ~ (у > х);
b) теоремы а > Ь Д ~ (с = 0) -> ~ (ас = be) на основании теорем
а > Ь Л с > 0 -»ас> be, a>b Л с < 0 -»ас < 6с ~ (a= 6) =
= а>6 V а<6.
5. Докажите на основании теорем: a>b\] a= b\j a<b, a3>
> р _ _ (аз = /,3 \/ аз < fts), аз = &з _» ^, (аз < из у а» > Ь3),
а3<63-» ~ (а3= б3 V а3 > Ь3), а>Ь-*-а3>Ь*, а=6->
-» а3 = б3, а < Ь -*¦ а3 < б3 следующие теоремы: а8>63-»а>6,
аЗ=63-»а=6, а3<63-»а<6. Почему аналогичное доказа-
доказательство для других степеней чисел и не может быть приведено?
? 4. Нуль —единичная проверка.
Истинностные функторы
Нуль — единичный метод проверки выраже-
выражений исчисления предложений — позволяет для каждого
выражения этого исчисления конечным числом опреде-
определенных шагов решить, истинно ли данное выражение,
то есть все ли предложения, которые можно получить
из этого выражения подстановкой произвольных предло-
предложений вместо переменных, истинны. Само название это-
этого метода мотивируется тем, что при его применении
чаще всего используется символ «1» для обозначения
истинности предложения, а символ «0» — для обозна-
обозначения ложности предложения. Истина и ложь назы-
называются логическими значениями. В методологии дедук-
дедуктивных наук понятие истины строго определяется.
Однако здесь мы не будем входить в рассмотрение этого
определения. Мы ограничимся лишь замечанием, что —
в соответствии с содержательным смыслом терминов
«истина», «ложь» — принимается принцип двузначности,
согласно которому существуют только два логических
значения, то есть всякое предложение истинно или
ложно. Принимается и равным образом очевидный
принцип, что эти два логических значения исключают
друг друга, то есть ни одно предложение не является
сразу истинным и ложным.
Нуль — единичный метод — называется также
матричным методом, поскольку в нем пользуются
матричными таблицами, которые показывают, как логи-
логическое значение сложного предложения, образованного
с помощью данного функтора исчисления предложений,
определяется логическими значениями составляющих
предложений.
61

Свойства отрицания представляет следующая таб-
таблица:
ф
1
0
~ф
0
1
Первая под чертой строка таблицы устанавливает, что
предложения ~<р ложно, если <р истинно, а вторая —
что ~<р истинно, если <р ложно. Эти свойства отрицания
вполне согласуются с его обычным смыслом.
Свойства отрицания мы смогли представить с по-
помощью простой таблицы благодаря тому, что логиче-
логическое значение отрицания зависит лишь от логического
значения отрицаемого предложения, а не от его содер-
содержания. Аналогичным свойством обладают конъюнкция,
дизъюнкция, импликация и эквивалентность; логиче-
логическое значение этих сложных предложений определяется
логическими значениями составляющих их предло-
предложений.
Функторы, образующие из своих аргументов сложные
предложения, которые имеют отмеченное выше свой-
свойство, называются истинностными функторами. Но не
каждый функтор от пропозициональных аргументов
является истинностным функтором. Например, функтор
«Ян знает, что», входящий в выражение
Ян знает, что р
не является истинностным функтором хотя бы потому,
что Ян знает не все.
Основываясь на таблице для отрицания, можно полу-
получить таблицы для конъюнкции, дизъюнкции, имплика-
импликации и эквивалентности, если мы принимаем, что резуль-
результат применения к истинным предложениям основных
правил присоединения новых строк к доказательству
всегда является истинным предложением и что выраже-
выражения, которые можно доказать с помощью правила по-
построения косвенного доказательства (посредством допу-
допущений), истинны. Отсюда следует, что и результат
применения производных правил к истинным предложе-
предложениям также всегда является истинным предложением.
Поэтому если все выражения, фигурирующие в схеме
62

некоторого правила над горизонтальной чертой, истинны,
то должно быть истинным и выражение под чертой, но
в случае, когда ато выражение ложно, истинными не
могут быть все выражения над чертой. Так, например,
на основании схемы правила ВК
Ф
мы заключаем, что конъюнкция двух истинных предло-
предложений истинна, а на основании схем правила УК
Ф л 1|з , ф л 1|з
Ф 'Ф
мы заключаем, что конъюнкция, в которой первый или
второй член ложен, ложна. Тем самым мы обосновали
таблицу для конъюнкции:
ф
1
0
1
0
1
1
0
0
ф Л 1|з
1
0
0
0
Согласно этой таблице, конъюнкция истинна тогда, и
только тогда, когда оба ее члена истинны, и ложна,
когда хотя бы один из ее членов ложен.
Далее, мы обоснуем таблицу для дизъюнкции.
На основании правила ВД
Ф . *
Ф Vt <р\/ i>
мы заключаем, что дизъюнкция, в которой первый или
второй член истинен, истинна. Допустим теперь, что
выражение ip, фигурирующее в схеме
Ф
правила УД под чертой, ложно. Если же и выражение <р
ложно, а значит, истинно выражение ~<р, то ложной
63

должна быть и дизъюнкция «рЛ'Ф. так как если под
чертой фигурирует ложное предложение, то оба пред-
предложения над чертой не могут быть истинными. Таблица
для дизъюнкции имеет, следовательно, вид
ф
1
0
1
.0
1
1.
0
0
q>V1>
1
1
1
0
Согласно этой таблице, дизъюнкция истинна тогда,
и только тогда, когда хотя бы один из ее членов истинен,
и ложна, если оба ее члена ложны.
От дизъюнкции, образованной с помощью функтора
« А», следует отличать исключающую дизъюнкцию, ха-
характеризуемую таблицей
ф
1
0
1
0
1
1
0
0
Ф\/Ч>
0
1
1
0
Таким образом, исключающая дизъюнкция истинна
тогда, и только тогда, когда лишь один из ее членов
истинен, и ложна, когда оба ее члена истинны или оба
ложны. Такая дизъюнкция называется исключающей
потому, что истинность одного из ее членов исключает—
при истинности всей дизъюнкции — истинность другого
ее члена. В отличие от исключающей дизъюнкции
дизъюнкцию, образованную с помощью функтора «V*»
называют иногда неисключающей дизъюнкцией, так как
истинность одного из ее членов не исключает — при
истинности всей дизъюнкции — истинности другого ее
члена.
В русском' языке выражения «или», «либо.., либо...»
употребляются и в качестве функторов неисключающей
дизъюнкции... и исключающей дизъюнкции. Поскольку
1 В подлиннике: в польском. — Прим. перев.
64

нашем распоряжении имеются эти два союза, мы
в|условимся, что выражение «p\/q» будет читаться: р или
| q, а выражение «р v.<7» будет читаться: либо р, либо q.
При обосновании таблицы для импликации мы вос-
воспользуемся правилом ПО, а также производным отно-
относительно Т4Ь правилом связи между дизъюнкцией и
импликацией, схема которого
На основании этого последнего правила и таблицы для
отрицания и дизъюнкции мы получаем следующую вспо-
вспомогательную таблицу:
ф
1
0
1
0
1
1
0
0
~ф
0
1
0
1
~ ф V У
1
1
1
Ф-+Ф
1
1
1
Таким образом, в 1-м, 2-м и 4-м случаях импликация
истинна. В 3-м случае импликация должна быть ложна
на основании правила ПО:
Ф
Ф
В самом деле, если ip ложно, а <р истинно, то <р-мр не
может быть истинным, а потому ложно.
Поэтому мы получаем следующую таблицу для
импликации: |
ф
1
0
1
0
ч>
1
1
0
0"
ф-»1|>
1
1
' 0
1
Согласно этой таблице, импликация ложна тогда, и
только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент
ложен; в остальных же случаях импликация истинна.
3 Зак. 834 65

Таблицу для эквивалентности мы получим на осно-
основании таблиц для импликации и правил ВЭ и УЭ сле-
следующим образом:
ф
1
0
1
0
1
1
0
0
ф-»ч>
1
1
0
1 •
г|>-+ф
1
0
1
1
q> = il>
1
0
0
1
В 1-м и 4-м случаях эквивалентность истинна в соответ-
соответствии с ВЭ, которое устанавливает, что если имплика-
импликации прямая и обратная истинны, то эквивалентность
истинна. Во 2-м случае обратная импликация а|з->-<р
ложна, но отсюда следует на основании второй схемы
правила УЭ
что и эквивалентность ф —»t|> ложна. В 3-м случае пря-
прямая импликация ф-м|5 ложна, а отсюда на основании
первой схемы правила УЭ
следует, что и эквивалентность ф=о|з ложна.
Согласно этой таблице, эквивалентность истинна
тогда, и только тогда, когда оба ее члена имеют одно и
то же логическое значение, и ложна, когда ее члены
имеют противоположные логические значения.
С помощью приведенных выше таблиц мы осущест-
осуществляем нуль — единичную проверку выражений исчисле-
исчисления предложений. Эту проверку можно применять в
несокращенной и сокращенной форме.
Несокращенную форму проверки мы объясним на
примере выражения
В это выражение входят две различные переменные:
р и q. Прежде всего мы допустим, что значение перемен-
переменной р есть 1, а значение переменной q — 0. Чтобы это
66

обозначить, мы перепишем еще раз выражение (а), под-
подписывая всюду под буквой р символ 1, где эта перемен-
переменная входит в выражение (а); сходным образом мы под-
подпишем под буквой q символ 0:
(pA7)(V
10 1 0 •
Теперь мы можем вычислить значение выражений
р\/ q, ~p, ~q. В соответствии с таблицами для конъ-
конъюнкции и отрицания первые два из этих выражений
имеют в рассматриваемом случае значение 0, а третье
выражение имеет значение 1. Снова перепишем выраже-
выражение (а), подписывая под функторами конъюнкции и
отрицания значения сложных выражений, образованных
с помощью этих функторов:
(РЛ7)(РЛ7)
0 0 1
Далее, мы вычисляем значения выражений ~ (р f\q) и
~p\/~q. Значение каждого из этих выражений есть 1,
что мы обозначаем, подписывая символ 1 под знаком
отрицания, стоящим в начале выражения (а), и под
знаком дизъюнкции:
(РЛ7)(\7).
Таким образом, в случае, если значения переменных
соответственно 1 и 0, антецедент и консеквент выраже-
выражения (а) имеют значение 1, а потому в соответствии с
таблицей для импликации значение выражения (а)
в этом случае есть 1, что можно было бы обозначить,
подписав этот символ под знаком импликации.
Рассматриваемая процедура складывается из не-
нескольких «уровней». Практически, однако, мы выписы-
выписываем под переменными и постоянными проверяемого
выражения символы 1 и (Г рядом друг с другом и в од-
одной строке. В случае выражения (а) запись имеет вид:
~(PA<?)-»-(~pV~<7)
1_ 1 0 0 1_ 0 1 1_ 10 •
3* 67

Символы, подчеркнутые одинаковое число раз, мы
получили на одном и том же «уровне» проверки, причем
чем больше черточек, тем выше «уровень», на котором
мы получим данное значение. Вопрос, принимает ли при
данном наборе значений для переменных выражение
значение 1, можно решить, обратившись к значению,
подчеркнутому наибольшим числом черточек. Чтобы вы-
выражение было выполнимым, это значение должно быть 1.
Мы проверили выражение (а) в случае, когда значе-
значениями переменных р и q были 1 и 0. Нужно проверить
еще выражение (а) при остальных трех наборах значе-
значений для этих переменных. Приводим запись проверки
выражения (а) во всех четырех возможных случаях:
(рЛ?)Ч>)
0 1 ! 1 I. 0 1 00 1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
ч
1
0
0
Мы видим, что рассматриваемое выражение всегда
имеет значение 1. Следовательно, это выражение отно-
относится к истинным выражениям. Если же рассматривае-
рассматриваемое выражение принимает значение 0 хотя бы при од-
одном наборе значений для своих переменных, то оно
относится к выражениям ложным. Так, например, выра-
выражение (p-+q)-+(q-+p) ложно, потому что оно принимает
значение 0, когда переменная р имеет значение 0, а пе-
переменная q — значение 1:
(Р-*<7)-»(?-*/>)
ОМ 0 1 00-
Выражения, принимающие значение 1 при любом
наборе значений для своих переменных, истинны также
и в том смысле, что каждое предложение, которое мы
получаем из них в результате подстановки вместо всех
переменных произвольных предложений, независимо от
того, из какой области знания взяты эти предложения и
каково их содержание, являются истинными предложе-
предложениями. Это следует из того, что всякое предложение
имеет одно из двух логических значений — «истинно»,
«ложно», — а также из того, что логическое значение
68

отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и
эквивалентности зависит не от содержания составляю-
составляющих предложений, а лишь от их логических значений.
Мы проведем несокращенную проверку еще двух вы-
выражений. В первое входит лишь переменная р, а во вто-
второе — три переменных: р, q, r.
p
1
0
1
0
1
0
1
0
_,.
1
1
0
1
1
1
0
1
4)
1
1
0
0
1
1
0
0
—i
1
1
1
1
1
1
1
1
/Л/
о Т
о
1
•[(</-»
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
-p
0
r)-
1
1
1
1
0
0
0
0
1
T
1
1
1
1
0
1
(p
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
r)\
1
1
1
1
0
0
0
0
Заметим, что, подписывая под переменными их логи-
логические значения, мы под первой переменной поочередно
пишем 1 и 0, под второй поочередно — два раза 1 и два
раза 0, под третьей поочередно — четыре раза 1 и че-
четыре раза 0 и т. п. Легко видеть, что таким путем при-
принимаются во внимание все возможные наборы логиче-
логических значений для переменных. Заметим также, что
если в проверяемых выражениях увеличивается число
различных переменных на единицу, то число наборов
логических значений для переменных удваивается.
Сокращенная форма проверки чаще всего приме-
применяется к выражениям, имеющим вид импликации. В этом
случае мы допускаем, что антецедент всей импликации
истинен, и исследуем, может ли в этих условиях быть
ложным ее консеквент, или же допускаем, что консек-
вент всей импликации ложен, и исследуем, может ли,,
быть истинным ее антецедент. Если исключается, чтобы
антецедент был истинным, а консеквент ложным, то все
выражение — согласно таблице для импликации —
истинно. Если же такая возможность не исключается
хотя бы в одном случае, то все выражение ложно.
69

Примеры сокращенной проверки:
10 0 1 1 0 0 0 Г
Объяснение: допустим, что консеквент всей импликации,
т. е. выражение ~<7->-~р, имеет значение 0. Тогда
«~<7» должно иметь значение 1, а «~р»— значение 0.
Поэтому «р» имеет значение 1, a «q» — значение 0, от-
откуда следует, что антецедент «р->-<7» имеет значение 0.
Таким образом, случай, когда антецедент всей имплика-
импликации имеет значение 1, а ее консеквент — 0, исключен, а
потому вся импликация истинна.
B) (p-*q)->(q-+ p)
0 11 0 10 0*
Мы допускаем, что консеквент имеет значение 0. Тогда
«q» имеет значение 1, а «р» имеет значение 0, откуда
следует, что антецедент «p-^-q-» имеет значение 1. Таким
образом, все выражение имеет значение 0.
10 0 0 110 110*
Мы допускаем, что антецедент, то есть выражение
«~ (p\Jq)», имеет значение 1. Тогда «pV<7» имеет зна-
значение 0, а потому «р» и «<7» имеют значение 0. Однако
тогда «~р» и «~<7» имеют значение 1, а потому и вы-
выражение «~рЛ~<7» имеет значение 1. Следовательно,
при истинном антецеденте истинен и консеквент, а пото-
потому все выражение истинно.
С помощью нуль — единичного метода можно прове-
проверять не только выражения исчисления предложений, но
и исследовать корректность схем правил исчисления
предложений. Правило исчисления предложений кор-
корректно, если исключается, чтобы результат применения
данного правила к истинным выражениям был ложным
выражением. Корректность правил можно исследовать
как несокращенным, так и сокращенным способом.
Примеры сокращенной проверки схем правил исчис-
исчисления предложений:
w ill
0 1
о 1
70

Если заключение, то есть ~ф, ложно, то ф имеет значе-
значение 1. Для того чтобы первая посылка была истинной,
ф должно иметь значение 1, но тогда ~--ip, а, значит,
другая посылка имеет значение 0. Поэтому исключает-
исключается, чтобы обе посылки были истинными, а заключение —
ложным, и следовательно, это правило корректно.
B)
1
1
ф
0
с
Л'
1
' V
1 0
1
0
Ч>)
0
Если посылка истинна, то ф и ар имеют значение 0. Тогда
Ф V 'Ф имеет значение 0, а заключение, то есть ~ (ф\7^)>
имеет значение 1. Поэтому если посылка истинна, то и
заключение истинно, а следовательно, это правило кор-
корректно.
Функторы, таблицы для которых были рассмотрены,
не исчерпывают всех истинностных функторов. Напри-
Например, имеется четыре одноаргументных функтора, как
показывает следующая таблица:
ф
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
Среди этих функторов интересным является только
функтор отрицания. Имеется шестнадцать двухаргу-
ментных истинностных функторов, потому что сущест-
существует столько же способов заполнения последнего столб-
столбца таблицы:
ф
1
0
1
0
1
1
0
0
-•*
Здесь мы приведем таблицы еще для двух двухаргу-
ментных истинностных функторов, а именно: знака не-
несовместности «/» и знака соединенного отрицания «j».
Выражение «plq» читается: не — р или не — q; выраже-
71

ние «р|<7» читается: ни р, ни q х. Выражение «р/<7» —
отрицание выражения «p/\q», выражение «p\q» — от-
отрицание выражения «p\/q». Эти функторы определяют-
определяются следующими таблицами:
ф
1
0
1
0
¦
1
1
0
0
ФЛР
0
• 1
1
1
ф 1Ч>
0
0
0
1
Эти функторы можно включить в систему исчисле-
исчисления предложений с помощью следующих правил введе-
введения и удаления:
ВН
Ф
ФЛР
УН
ВС
УС
ФЛ1>
ф
¦¦
ф
Ф 1 Ф
' . Ф I
Знаки несовместности и соединенного отрицания выде-
выделяются среди двухаргументных истинностных функто-
функторов тем, что через любой из них можно определить все
остальные истинностные функторы2: Поясним послед-
последнее на примере знака несовместности и знака конъюнк-
конъюнкции. Знак конъюнкции можно определить через знак
несовместности. Это означает, что существует выраже-
выражение, записанное с помощью знака несовместности и пе-
переменных р и q, принимающего при любом наборе зна-
значений переменных те же значения, какие принимает
выражение р /\q для того же набора.
1 «Р 19» можно также читать: «не — р и не — q». — Прим. перев.
2 Отдельные замечания об определениях в исчислении предложе-
предложений мы сделаем в следующем параграфе.
72

Мы приводим в качестве примеров определения от-
отрицания, конъюнкции и дизъюнкции через знаки несо-
несовместности и соединенного отрицания:
«г
р v q =
of
р
df
PAq = (
щ
PVq =
of
Эти определения можно проверить с помощью нуль—
единичного метода и убедиться в каждом случае, что
выражения в левой и правой частях определения имеют
одно и то же логическое значение при одинаковых на-
наборах логических значений переменных. Таким же спо-
способом проверяются все определения в исчислении пред^
ложений.
В исчисление предложений можно также ввести
функторы от трех, четырех и более аргументов. Однако
эти функторы не интересны ни с формальной, ни t со-
содержательной точки зрения. Заметим также, что все
истинностные функторы более чем от двух аргументов
можно легко определить через истинностные функторы
от одного и двух аргументов. Как уже подчеркивалось
выше, знаки ~, Д, V, -»> — являются истинностными
функторами, а, следовательно, логическое значение
предложений, образованных с помощью этих функто-
функторов, не зависит от содержания составляющих предло-
предложений. Это не вызывает возражений с содержательной
точки зрения в случае первых трех функторов. Иначе
обстоит дело со знаками импликации и эквивалентно-
эквивалентности.
Согласно приведенной таблице, импликация истинна,
если ее антецедент ложен. Она также истинна, если
консеквент истинен. Поэтому истинными являются сле-
следующие импликации:
73

(а) Париж столица Турции -» Краков расположен на Одере
Ь) Варшава расположена на берегу моря-»Марс—планета.
Примеры такого рода вызывают, однако, возраже-
возражения содержательного характера. Источником этих воз-
возражений является то, что выражение «р->-<7» читается:
если р, то q, а союз «если.., то...» часто употребляется в
значениях, при которых предложения, полученные из
импликаций (а), (Ь) заменой знака «-»> союзом «если..,
то...», не являются истинными. Среди них можно выде-
выделить следующие значения оборота «если р, то q»:
1) Из того, что р, следует то, что q (или; из предло-
предложения р следует предложение q).
2) Невозможно, чтобы (р и не — q).
3) Неверно, что (р и не — q).
4) То, что р, есть причина того, что q.
Как видно из таблицы для импликации, знаку им-
импликации соответствует третье ,из приведенных выше
значений союза «если.., то». Если имеется в виду это
значение, то, очевидно, импликация (а) истинна, так
как она полагает лишь то, что и предложение:
Неверно, что (Париж — столица Турции и Краков не
расположен на Одере).
В самом деле, конъюнкция, отрицаемая в данном
предложении, ложна вследствие ложности ее первого
члена, а потому ее отрицание истинно.
Нужно, однако, признать, что союз «если.., то..» в
обычной речи, пожалуй, редко употребляется в третьем
значении и чаще употребляется в трех остальных. Если
имеются в виду эти остальные значения, то неверно, что
условное предложение с ложным антецедентом или
истинным консеквентом истинно.
Первые два из упомянутых выше значений союза
«если.., то...» были уточнены в логике, а именно: второй
из этих смыслов уточнен в системе строгой импликации
Льюиса. В этой системе не имеют места аналоги неко-
некоторых теорем, приведенных в предыдущем параграфе,
получаемые из них заменой знака «->» знаком строгой
импликации, в частности аналог теоремы
~ р V д -»(р -* q)
так же, как и аналоги теорем
74

о помощью которых можно было бы обосновать таблицу
для импликации.
В отличие от строгой импликации импликация, обра-
ованная с помощью истинностного функтора «->», на-
ывается материальной импликацией.
Понятие следования' определяется в методологии
дедуктивных наук. Здесь мы приведем одно из опреде-
определений этого понятия, в котором используется понятие
логического закона. В определении этого последнего
ионятия мы снова воспользуемся понятием логической
постоянной.
К логическим постоянным относятся функторы ис-
исчисления предложений, символы «a», «t», «e», «о» сил-
силлогистики Аристотеля, слово «есть», ¦ кванторы, знак
тождества2 и т. п. Логические постоянные — это терми-
термины, которыми пользуются при формулировке утвержде-
утверждений, относящихся к различным областям знания.
Логические законы — это формулы, обладающие
двумя свойствами:
1) они построены лишь из переменных и логических
постоянных;
2) они истинны3, то есть при проверке принимают
значение 1 для всех значений переменных.
Примерами логических законов являются теоремы
исчисления предложений, а также известные, наверное,
читателям из средней школы законы:
(a) Если ни одно S не есть Р, то ни одно Р не есть S;
символически: SeP-+PeS.
(b) Если все S суть Р, то неверно, что некоторые S не
суть Р; символически: SaP-+~(SoP):
С многими логическими законами мы познакомимся
в следующем разделе.
Через понятие логического закона понятие (логиче-
(логического) следования определяется так4:
Из предложения Z\ следует предложение Z2 тогда, и
только тогда, когда импликация, в которой антеце-
1 Термин «следование» используется нами в качестве синонима
термина «логическое следование».
2 О кванторах и отношении тождества речь будет идти в сле-
следующем разделе.
3 О понятии истинности ср. разд. II, § 3, стр. 130—131.
4 Это определение дал К. Айдукевич в работе: К. A j d u k i е-
w i с z, Logiczne podstawy nauczania, 1934.
75

дент — Zb а консеквент — Z2, есть результат подстанов-
подстановки в некоторый логический закон. i
Из предложений Zu Z2,..., Zn следует предложение Z
тогда, и только тогда, когда импликация, в которой
антецедент — конъюнкция предложений Zb Z2,..., Zn, la
консеквент — предложение Z, есть результат подстанов-
подстановки в некоторый логический закон.
Примеры:
Из предложения A) «Ни один кит не есть рыба!»
следует предложение B) «Ни одна рыба не есть кит»,
потому что импликация с антецедентом A) и консеквен-
том B) является результатом подстановки в логический
закон (а).
Из предложения C) «Все квадраты суть прямоуголь-
прямоугольники» следует предложение D) «Неверно, что некоторые
квадраты не суть прямоугольники», потому что импли-
импликация с антецедентом C) и консеквентом D) является
результатом подстановки в логический закон (Ь).
Из предложений E) «Если сегодня пятница, то зав-
завтра суббота», F) «Если завтра суббота, то послезавтра
понедельник» следует G) «Если сегодня пятница, то
послезавтра понедельник». В самом деле, импликация,
в которой антецедент есть конъюнкция предложений
E) и F) и консеквент предложения G), является ре-
результатом подстановки в- логический закон
На основании приведенного выше определения невер-
неверно, что из ложного предложения следует любое предло-
предложение. Поэтому чтение «из р следует q» выражения
q нельзя считать корректным.
Понятие (логического) следования — важное поня-
понятие, используемое при построении классификации умо-
умозаключений и осуществлении подразделения наук. Де-
Дедуктивное умозаключение определяется как такое умо-
умозаключение, заключение которого логически следует из
посылок. Все схемы правильных умозаключений, сфор-
сформулированные в данном учебнике, являются собственно
схемами дедуктивных умозаключений. Науки, в которых
применяются исключительно дедуктивные методы умо-
умозаключения, называются дедуктивными науками.
Отдавая себе отчет в существовании других смыслов
союза «если.., то...», следует, однако, заметить, что
76

таблица для импликаций была введена через основные
травила, приведенные в § 2, и некоторые правила, про-
«водные относительно этих основных правил. Но среди
)сновных правил правила присоединения новых строк
< доказательству вполне согласуются с содержательны-
содержательными представлениями (они имеют место и в системе стро-
строгой импликации). Правила же построения доказа-
доказательств, по-видимому, не вызывают сильных возражений
: содержательной точки зрения: они также широко при-
применяются в математических доказательствах.
, Различение смыслов, аналогичное тому, которое мы
рделали для импликации, можно провести и для экви-
эквивалентности. Эквивалентность есть конъюнкция двух
импликаций, прямой и обратной. Если эти импликации
являются материальными, то говорят о материальной
эквивалентности; если же они являются строгими им-
импликациями, то говорят о строгой эквивалентности. Два
предложения называются логически эквивалентными,
если они следуют друг из друга.
Истинностные функции, то есть выражения, образо-
образованные с помощью истинностных функторов, рассматри-
рассматривались уже в древности (стоики и мегарики), а также
в средние века (главным образом в XIII—XV веках).
Стоики обратили внимание на то, что отрицание
предложения образуется помещением перед этим пред-
предложением знака пропозиционального отрицания, и раз-
различали отрицание всего предложения и выражений, в
которых знак отрицания относится к некоторым частям
предложения. Однако мы не находим у них законов,
соответствующих таблице для отрицания. Эти законы
можно найти у средневековых логиков, например у Бу-
ридана (XIV век).
Стоики определяли конъюнкцию как сложное пред-
предложение, образованное с помощью союза «и». Они по-
полагали, что конъюнкция истинна тогда, и только тогда,
когда оба ее члена истинны. Те же самые условия
истинности для конъюнкции сформулировали и средне-
средневековые логики.
Термин «дизъюнкция»^использовался стоиками преж-
прежде всего для обозначения исключающей дизъюнкции.
Имеются, однако, некоторые тексты, которые свидетель-
свидетельствуют, что они пользовались этим термином и для обо-
обозначения несовместности.
77

С XIII века термин «дизъюнкция» используете?
главным образом для обозначения неисключающен
дизъюнкции, хотя еще и в XIV веке были сторонники
свойственного стоикам понимания данного термина.
Петр Испанец (XIII век) считает, что для истинности
дизъюнкции требуется истинность одного из ее членоь
и допускается возможность истинности обоих ее членов,
а для ложности дизъюнкции требуется ложность обоих
ее членов. Решительным сторонником понимания дизъ|
юнкции как неисключающей дизъюнкции является Бур|
лейг (XIV век), который обращает внимание на то, что(
дизъюнкция следует из любого своего члена; поэтому
если оба члена дизъюнкции истинны, то и вся дизъюнк-
дизъюнкция истинна.
Больше всего споров в древности и в средние века,
как, впрочем, и в настоящее время, было связано с ин-
интерпретацией условного предложения.
Филон Мегарский (около 300 года до н. э.) первый
определил условное предложение как такое предложе-
предложение, которое ложно тогда, и только тогда, когда его
антецедент истинен, а консеквент ложен, и которое
истинно в трех остальных случаях. Это определение по-
положило начало спорам о смысле импликации, которые
привели в мегарской школе к формулировке еще трех
определений. Среди них фигурирует античная форма
строгой импликации, имеющей следующее определение:
условное предложение истинно, когда отрицание его
консеквента несовместно с его антецедентом. Должно
быть, споры по этому вопросу были очень оживленными,
коль скоро Каллимах, библиотекарь в Александрии во
II веке до н. э., увековечил их в эпиграмме: «Уже воро-
вороны на крыше каркают, какая же импликация правиль-
правильна».
Споры по этому вопросу оживились еще более в XIV
и XV веках и привели к выявлению различных смыслов
условного предложения, а также к построению различ-
различных систем исчисления предложений, в частности систе-
системы, соответствующей, с одной стороны, современной си-
системе материальной импликации, а с другой — современ-
современной системе строгой импликации.
Создателем современного исчисления предложений
является Г. Фреге A842—1912), один из самых значи-
значительных логиков в период от Аристотеля до XX века.
78

i своей системе, опубликованной в 1879 году, Фреге
финимает отрицание и импликацию, определенную так
ке, как ее определил Филон Мегарский, в качестве ис-
содных логических знаков. Современные таблицы для
шпликации и других истинностных функторов ввел око-
ю 1885 года американский логик Пирс. Он также об-
обратил внимание на то, что Филон Мегарский первый
^ал определение материальной импликации. Пирсу так-
также был известен (около 1880 года) тот факт, что при
юмощи знака несовместности или знака соединенного
отрицания можно определить остальные истинностные
!функторы. Этот результат, однако, им не был опублико-
опубликован. В 1921 году Шеффер обратил внимание на опреде-
)лимость других истинностных функторов через знак не-
несовместности. Он же ввел и символ «/», который поэтому
часто называют штрихом Шеффера.
В сыгравшем важную роль и в истории логики труде
Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда «Principia Mathematica»,
первый том которого появился в 1910 году, фигурирует
неточный способ чтения выражения «р-><7» как «из р
следует q». Однако такое истолкование приводит к па-
парадоксальным следствиям, например к тому, что для
любых двух произвольных предложений или первое сле-
следует из второго, или второе из первого. В самом деле,
для материальной импликации имеет место закон
(p-+q) \/(q-*-p), который читатель легко может прове-
проверить нуль—единичным методом. В качестве реакции на
такое истолкование появляется система строгой импли-
импликации Льюиса A918 г.), в которую автор вводит функ-
функтор возможности «О» (выражение «<>Р» читается: воз-
возможно, что р) и определяет знак строгой импликации
ф следующим образом:
Выражение «p~$q» Льюис также читает: «из р следует
<7». А потому из р следует q тогда, и только тогда, ког-
когда невозможно, что (р и не — q).
Однако позже было обращено внимание на то, что
понятие следования относится к понятиям метасистемы
и может быть определено без модификации исчисления
предложений.
В системе Льюиса « = » — знак строгой эквивалентности.
79

Первые в истории логики попытки определения ло№
ческого следования принадлежат логикам XIII—XV ве
ков, которые говорят о «формальном следовании» (от
личая его от материального следования, соответствую
щего современной материальной импликации). Это по
нятие они определяют с помощью формы предложения
соответственно следования (или вывода). Согласно, на-
например, определению Буридана, к логической форме от-]
носятся так называемые синкатегорематические слова]
которые теперь называются логическими постоянными]
а также количество и порядок слов. В силу этого
определения, например, предложения «Человек есть че-(
ловек» и «Человек есть осел» (примеры Буридана)
имеют различную форму (относительно количества тер-)
минов). Различную форму имеют также предложения,
«Каждый человек есть живое существо» и «Живое су-
существо есть каждый человек» (относительно порядка
слов). Также и следования «Все В суть А, следователь-
следовательно, некоторые В суть Л» и «Все В суть А, следователь-
следовательно, некоторые А суть В» имеют различную форму.
Это определение логической формы очень близко к
современному определению, которое можно было бы
сформулировать так: логическая форма предложения
(соответственно вывода, понимаемого в качестве неко-
некоторой последовательности предложений) есть выраже-
выражение (соответственно последовательность выражений),
полученное (соответственно полученные) из данного
предложения (соответственно последовательности пред-
предложений) заменой внелогических постоянных перемен-
переменными; при этом одинаковые постоянные заменяются
одинаковыми переменными, а различные постоянные —
различными'переменными.
По Альберту Саксонскому, формальное следование
зависит от формы предложений, связанных этим отно-
отношением (то есть формальное следование не ведет от
истины ко лжи). Еще раньше сходное определение мы
находим у Дуне Скота.
В первой половине XIX века Больцано дал определе-
определение следования, близкое к современному нам определе-
определению Тарского A935 г.). Определение Тарского эквива-
эквивалентно определению Айдукевича, если рассматривать
следование данного предложения из конечного класса
предложений. Однако определение Тарского является
80

более общим постольку, поскольку на его основании
'можно говорить также о следовании данного предложе-
предложения из бесконечного класса" предложений.
упражнения:
1. Проверьте нуль—единичным методом следующие выражения
^счисления предложений:
a) (Р-»<7)Л ~р-»~?;
b) ~(РЛ<7)-»~РЛ~Т.
c) ~ р V ~ q -* ~ (р V Я)',
О l(p-*4)-*q]->q;
g) (p-*q/\r)-+(p\/r-*qy.
h) Up = q) = r] = [q = (p = r)].
2. Определите:
a) знаки дизъюнкции, импликации и несовместности через зна-
знаки конъюнкции и отрицания;
b) знаки конъюнкции, импликации и несовместности через зна-
знаки дизъюнкции и отрицания;
c) знаки конъюнкции, дизъюнкции и несовместности через знаки
импликации и отрицания;
d) знак импликации через знак несовместности;
e) знак импликации через знак соединенного отрицания.
3. Исследуйте с помощью нуль—единичного метода, какие из
законов, имеющих место для неисключающей дизъюнкции, имеют
место и для исключающей дизъюнкции.
4. а) Покажите, что через импликацию нельзя определить от-
отрицание.
Ь) Покажите, что через отрицание и эквивалентность нельзя
определить импликацию.
5. Покажите, что через знаки дизъюнкции, конъюнкции и отри-
отрицания можно определить любой из остальных истинностных функ-
функторов.
Указание: обратите внимание на то, что на основании таблицы
для n-аргументного истинностного функтора можно для выражения,
образованного с помощью этого функтора и переменных, построить
эквивалентное выражение, записанное с помощью тех же перемен-
переменных и знаков отрицания конъюнкции и дизъюнкции; например, для
выражения р—*q таким эквивалентным выражением является выра-
выражение р t\q\J ~P f\q\J ~p f\~q.
§. 5. Аксиоматическое представление
исчисления предложений
При построении дедуктивной системы с по-
помощью аксиоматического метода выбирают некоторое,
обычно небольшое, количество предложений, которые
81

включают в систему без доказательства; это — аксиомы
системы. Остальные предложения могут быть присоеди-
присоединены к системе только тогда, когда они следуют из
аксиом системы или являются определениями. Также и
не все термины системы определяются. Термины, вклю4
ченные в систему без определения, называются исход-
исходными терминами. Все остальные термины системы долж-
должны быть определены через исходные или ранее опреде-
определенные термины.
Аксиомы обычно записываются исключительно с по-
помощью исходных терминов, причем каждый исходный
термин должен входить хотя бы в одну аксиому.
Выбор аксиом и исходных терминов системы в неко-
некоторой степени произволен. Одна и та же система может
основываться на различных совокупностях аксиом, в ко-
которые входят различные исходные термины. Но этот
выбор не является полностью произвольным, потому что
он должен удовлетворять некоторым требованиям. Об
этих требованиях мы скажем несколько слов, когда бу-
будем говорить о свойствах аксиоматических систем ис-
исчисления предложений.
Существует много эквивалентных' систем исчисле-
исчисления предложений, различающихся аксиомами и исход-
исходными терминами. Здесь мы опишем систему Лукасеви-
ча2, потому что она является самой простой и совершен-
совершенной среди известных в настоящее время аксиоматиче-
аксиоматических систем исчисления предложений. К исходным тер-
терминам системы Лукасевича относятся знаки импликации
и отрицания. Эти термины независимы, то есть ни один
из них нельзя определить через другой. Но, располагая
обоими терминами, можно определить все остальные
функторы исчисления предложений. Приведем здесь
лишь определения дизъюнкции, конъюнкции и эквива-
эквивалентности:
Dl. tpVl3 — —ф-*^-
1 Две системы эквивалентны, если каждая аксиома и теорема
одной из них является аксиомой или теоремой второй, и обратно:
каждая аксиома и теорема второй представляет собой аксиому или
теорему первой.
2 Эта система детально описывается в книге: J. Lukasiewicz,
Elementy logiki matematycznej, wyd. II, 1958.
82

D2. фЛ*
of
D3. Ф = Ф
o
Символ «=», называемый знаком равенства по опре-
делению,—не функтор исчисления предложений, а мета-
металогический символ. Определения, по взглядам Лукасе-
вича, являются не теоремами системы, а частями так
называемого правила замены по определению. Общая
схема этого правила имеет вид:
Таким образом, правило замены по определению позво-
позволяет присоединить к системе выражение, которое полу-
получается из произвольной теоремы % заменой некоторой
ее части, совпадающей с правой частью произвольного
определения, левой частью данного определения. Это
правило почти не отличается от правила экстенсиональ-
экстенсиональности, поэтому мы не будем приводить примеры его
применения. Заметим лишь, что в математических си-
системах определения обычно записываются с помощью
знака эквивалентности и представляют собой теоремы
системы.
Аксиомами системы Лукасевича являются следую-
следующие выражения:
Al. (p-*<7)-*[(<7-*r)-»(p-*r)].
А2. (г.р-*р)-*р.
A3. p-+(~p->q).
В системе, использующей допущения, которая была при-
приведена в предшествующих параграфах, данные аксиомы
фигурировали в качестве теорем; это были теоремы
Т1а,Т15аиТ9.
В системе Лукасевича, кроме правила замены по
определению, имеются правило отделения (ПО) и пра-
правило подстановки. О смысле этих правил уже говори-
говорилось в §§ 2 и 3.
83

В качестве примера доказательств в системе Лукасе-
вича мы приведем доказательство теоремы
(а) р-*р.
Подставляя в А1 вместо переменной q выражение
~p-*-q, мы получаем теорему:
[р г* (~ Р -* Я)] -* {[(— Р -* <7) -* г) -> (р -* г)},
Применяя к этой теореме и A3 правило отделения, по-
получаем теорему:
В эту теорему мы подставляем вместо переменных qnr
переменную р:
Применяя к этой теореме и А2 правило отделения, по-
получаем выражение (а).
Лукасевич пользуется простым и понятным спосо-
способом записи доказательств. Но, несмотря на это, доказа-
доказательства в аксиоматической системе являются более
трудными и более сложными, чем в системе, использую-
использующей допущения. Заметим еще, что в аксиоматической
системе всякая посылка доказательства представляет
собой теорему. Эти доказательства являются, сле-
следовательно, обычными прямыми доказательствами
(ср. стр. 22).
Система Лукасевича полна1, иначе говоря, каж-
каждое истинное выражение исчисления предложений есть
теорема данной системы, при этом под «истинным выра-
выражением» понимается выражение, всегда принимающее
значение 1 при проверке нуль—единичным методом. До-
Доказательство этого свойства системы Лукасевича отно-
относительно длинно, поэтому мы не будем его приводить2.
Однако легко показать, что теоремами системы Лукасе-
Лукасевича являются лишь истинные выражения. С этой целью
следует проверить нуль—единичным методом аксиомы
А1—A3, а также проверить, что правило отделения,
подстановки и замены по определению корректны, а по-
1 В подлиннике: pelny.— Прим. перев.
2 Это доказательство имеется в цитированной выше на стр. 82
книге Лукасевича (стр. 70—77).
84

тому их применение к истинным выражениям дает истин-
истинные следствия. Из этого свойства системы Лукасевича
непосредственно следует ее непротиворечивость, то есть
в этой системе не могут быть одновременно теоремами
два противоречащих выражения; действительно, если
одно выражение истинно, то его отрицание обязательно
ложно.
Система Лукасевича непополнима1, иначе го-
говоря, добавление к ней некоторого выражения, не являю-
являющегося теоремой, дает противоречивую систему. Нако-
Наконец, аксиомы Лукасевича независимы. Иначе го-
говоря, ни одна из них не следует из двух других.
Последние два свойства описываемой системы мы
приводим без доказательства, отсылая читателя к цити-
цитированной книге Лукасевича.
Строя аксиоматические системы в области логики и
математики, стремятся к тому/чтобы они обладали свой-
свойствами, аналогичными тем, которыми обладает исчисле-
исчисление предложений. Непротиворечивость — наиболее важ-
важное свойство дедуктивной системы. Противоречивая си-
система лишена какого-либо познавательного значения,
потому что теоремой этой системы, как мы знаем,
является всякое осмысленное выражение, записанное в
терминах данной системы. Требованиям полноты и непо-
непополнимости удовлетворяют лишь немногие и притом
очень бедные математические системы. Обычно можно
достичь выполнения требования независимости аксиом
и исходных терминов, однако это требование менее су-
существенно, чем предыдущие.
Сейчас мы покажем, что система Лукасевича, в ко-
которой принимаются лишь определения Dl—D3, эквива-
эквивалентна системе, использующей допущения и представ-
представленной в предшествующих параграфах. Докажем снача-
сначала, что каждая теорема системы Лукасевича есть тео-
теорема системы, использующей допущения.
Ранее мы уже установили, что аксиомы А1—A3 Лу-
Лукасевича являются теоремами системы, использующей
допущения. Правило отделения, имеющееся в системе
Лукасевича, — одно из исходных правил системы, ис-
использующей допущения. Второе правило системы Лука-
Лукасевича — правило подстановки — производно в системе,
1 В подлиннике: zupelny. — Прим. перев.
85

использующей допущения, что было показано в § 3. За-
Заметим далее, что теоремы Т29а, Т34 и Т14 системы,
использующей допущения, — аналоги определений
Dl—D3 системы Лукасевича. На основе этих теорем
(или результатов подстановки в эти теоремы) и правила
экстенсиональности, приведенного в конце § 3, можно в
системе, использующей допущения, получить все те тео-
теоремы, которые получаются в системе Лукасевича на
основании Dl—D3 и правила- замены по определению.
Из этих замечаний и из того, что правило обычного пря-
прямого доказательства производно в системе, использую-
использующей допущения (ср. § 2, стр. 23), уже легко следует, что
каждая теорема системы Лукасевича есть теорема си-
системы, использующей допущения.
Допустим теперь, что выражение
(I) ф! -> {ф, -> [ф8 ->...-» (фЛ-1 -» Ф„) . . . ]}
теорема системы, использующей допущения. Очевид-
Очевидно, мы можем считать, что доказательство теоремы (I)
получено исключительно с помощью основных правил,
в частности, это доказательство косвенное. Значит, в
этом доказательстве обязательно имеется пара противо-
противоречащих выражений. Покажем, что выражение (I)
истинно. Доказательство, которое мы дадим, проводит-
проводится индукцией по рангу теоремы '. Поэтому допустим, что
выражение (I) —теорема 1-го ранга, значит, в доказа-
доказательстве этого выражения мы не пользуемся ранее до-
доказанными теоремами. Временно мы будем полагать,
что выражение (I) ложно. Из этого предположения сле-
следует, что для некоторого набора логических значений
своих переменных выражение (I) принимает значение 0.
Из таблицы для импликаций легко понять, что тогда
выражения <pi,.... ф„_1 принимают значение 1, а выра-
выражение ф„ — значение 0. Следовательно, выражение ~фп
имеет значение 1. Поэтому все допущения доказатель-
доказательства теоремы (I) имеют значение 1. Заметим далее, что
правила ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ обладают тем
свойством, что если в схемах этих правил выражения
над чертой имеют для некоторого набора значений пере-
переменных значение 1, то тогда и выражение под чертой
принимает значение 1. Отсюда следует, что каждое вы-
1 Понятие теоремы было введено в конце § 2.
86

ражение доказательства теоремы (I) имеет значение 1.
Следовательно, в этом доказательстве не может нахо-
находиться вопреки ранее сделанному замечанию пара про-
противоречащих выражений.
Допустим теперь, что выражение (I)—теорема
(п+1)-го ранга и что каждая теорема ранга, не превос-
превосходящего п, — истинное выражение. Доказательство в
этом случае отличается от предыдущего доказательства
лишь в одном пункте, связанном с тем, что в доказа-
доказательстве теоремы (п+1)-го ранга имеются ранее дока-
доказанные теоремы. Это — теоремы ранга не более п-го.
Однако, по предположению, эти теоремы являются
истинными предложениями. Поэтому следствие предше-
предшествующего рассуждения, что в доказательстве теоремы
(I) имеются лишь выражения, принимающие для неко-
некоторого набора значение 1, остается истинным и в рас-
рассматриваемом случае.
Следовательно, мы доказали, что каждая теорема
системы, использующей допущения, является истинным
выражением исчисления предложений. Но из полноты
системы Лукасевича следует, что каждое истинное вы-
выражение— теорема этой системы. Поэтому каждая тео-
теорема системы, использующей допущения, представляет
собой теорему системы Лукасевича. Отсюда и из дока-
доказанного ранее утверждения, что каждая теорема систе-
системы Лукасевича является теоремой системы, использую-
использующей допущения, следует эквивалентность этих систем.
Легко видеть, что если одна из эквивалентных си-
систем непротиворечива и полна, то и другая система так-
также непротиворечива и полна. Отсюда следует, что обо-
обоими этими свойствами обладает система, использующая
допущения, потому что этими свойствами обладает эк-
эквивалентная ей система Лукасевича. Нетрудно также
доказать, что система, использующая допущения, непо-
полнима и что ее правила независимы, иначе говоря, ни
одно из них не является производным относительно
остальных.
Первая аксиоматическая система исчисления пред-
предложений была построена Фреге. В своей статье под на-
названием «Из истории логики предложений»! Лукасевич
так пишет об этом факте: «И вот мы неожиданно стал-
В подлиннике: «Z historii logiki zdarb. —Прим. перрв.
87

киваемся с явлением единственным в своем роде в исто-
истории логики. Без какого-либо посредничества, так что
невозможно для себя найти историческое объяснение
этого факта, появляется современная логика предложе-
предложений в совершенном почти во всех отношениях виде из
гениальной головы Готлоба Фреге, этого выдающегося
логика нашего времени. В 1879 году Фреге публикует
небольшую, но важную по своему содержанию работу
под названием «Begriffschrift, eine der arithmetischen
nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens». В этой
работе вся логика предложений представлена впервые
в строго аксиоматической форме как дедуктивная си-
система».
Система Фреге, в которой исходными терминами яв-
являются знаки импликации и отрицания, имеет шесть
аксиом, правило подстановки и правило отделения.
Аксиомами являются приведенные в § 3 теоремы Т10,
Т6, Т5, теорема [p-+(q^>-r)}-+[(p-+q)^>-(p-+r)], называе-
называемая силлогизмом Фреге, а также закон коммутативно-
коммутативности (ТЗ) в импликативной форме. Эту последнюю теоре-
теорему, как показал Лукасевич, можно доказать с помощью
остальных аксиом, которые образуют независимую си-
систему аксиом исчисления предложений.
В «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела ис-
исчисление предложений имеет в качестве исходных знаков
знаки дизъюнкции и отрицания. Основываясь на резуль-
результате Шеффера, состоящем в определении остальных
истинностных функторов через знак несовместности, Ни-
ко построил систему, имеющую в качестве исходного
знака знак несовместности и лишь одну аксиому. Опи-
Описанная в этом параграфе система Лукасевича, которая
относится к 1924 году, — одна из многих аксиоматиче-
аксиоматических систем исчисления предложений, построенных этим
автором. Среди них имеются также импликативно-нега-
тивные' системы с одной аксиомой.
Как мы видим, аксиоматические системы исчисления
возникли раньше, чем системы, использующие допуще-
допущения, которые — как мы уже говорили об этом в начале
§ 2 — возникли только в тридцатых годах нашего сто-
столетия. Этот факт можно объяснить тем, что аксиомати-
1 То есть системы, имеющие в качестве исходных знаков знаки
импликации и отрицания.-— Прим. перев.
88

ческий метод построения систем был давно известен и
применялся в логике и математике. Первой в истории
человеческой мысли аксиоматической системой являет-
является, как это показал Лукасевич, силлогистика Аристоте-
Аристотеля, следующей — геометрия Евклида. В настоящее вре-
время все математические науки, на соответствующем эта-
этапе развития, строятся в виде аксиоматических систем
(хотя при этом математики содержательно используют
метод построения доказательств посредством допуще-
допущений). Кроме того, методологическая структура аксиома-
аксиоматической системы в принципе проще методологической
структуры систем, использующих допущения, хотя — как
мы уже ранее заметили — методы доказательств посред-
посредством допущений значительно проще методов доказа-
доказательств, которые применяются в системах, построенных
исключительно аксиоматическим методом.
Исчисление предложений, представленное в §§ 3—5
с помощью метода допущений, матричным и аксиомати-
аксиоматическим методами, называется классическим или двузнач-
двузначным исчислением предложений. Станислав Лесьневский
(умер в 1939 г.), выдающийся, наряду с Лукасевичем,
польский логик, ввел в исчисление предложений пере-
переменные, представляющие1 истинностные функторы, и
построил более общую систему, названную им протети-
кой. Эту систему можно' построить на одной аксиоме,
которая является аналогом принципа двузначности
(ср. выше, стр. 61).
Кроме классического .исчисления предложений, в на-
настоящее время построены неклассические системы ис-
исчисления предложений. Среди них наиболее известны:
1) Модальные системы, в которых фигури-
фигурируют модальные функторы, такие, как, например: «необ-
«необходимо, что...», «возможно, что...» и т. п. В конце § 4 мы
упоминали об одной из наиболее известных систем это-
этого рода, а именно о системе строгой импликации Льюи-
Льюиса. Вначале эта система была построена аксиоматиче-
аксиоматическим методом, затем для нее были лайдены матричные
таблицы (которые оказалиеь бесконечно многозначны-
многозначными), наконец, в последнее время эта система была по-
построена также и методом допущений.
2) Многозначные системы Лукасевича. На-
Начиная с 1918 года Лукасевич матричным методом по-
построил трехзначную логику, а затем и многозначные
89

логики. Построение многозначных логик относится к
важнейшим открытиям в области логики в XX веке.
Трехзначную логику Лукасевич построил как модаль-
модальную систему, логику бесконечно многозначную пытают-
пытаются связать с теорией вероятностей. Независимо от Лука-
севича американский логик Пост построил также много-
многозначные логики, не приводя, однако, для них интерпре-
интерпретации. Многозначные системы исчисления предложений
были построены сначала матричными, а потом аксиома-
аксиоматическим методами.
3) Система интуиционистского исчис-
исчисления предложений построена аксиоматическим
методом Рейтингом в соответствии с идеями голландско-
голландского математика Брауэра.
Для функторов интуиционистского исчисления пред-
предложений не имеют места аналоги законов классического
исчисления предложений, как, например, законы исклю-
исключенного третьего, теоремы ~ ~р-+р, (~/?->р)->-р и т. д.
Интуиционисты модифицируют исчисление предложений
с тем, чтобы с помощью логики, основанной на этом
исчислении, нельзя было доказать существования пред-
предметов такого рода, примеры которых мы не можем при-
привести (сконструировать). Интуиционизм является одним
из направлений в области оснований математики. Ин-
Интуиционистское исчисление -предложений было впослед-
впоследствии построено также и методом допущений, а матрич-
матричные таблицы, которые были найдены для этой системы,
оказались бесконечно многозначными.
Следует подчеркнуть, что построение неклассических
систем мы не должны связывать с «отбрасыванием»
классической системы. Ибо в каждой из упомянутых
неклассических систем можно получить — после введе-
введения соответствующих определений — в качестве части
этой системы классическое исчисление предложений.
Следовательно, можно интерпретировать построение та-
таких систем, как дополнение классической системы, по-
построение более обширной системы. В частности, если мы
хотим ввести в исчисление модальные функторы, мы
должны — как это показал Лукасевич — выйти за пре-
пределы классического исчисления предложений, в котором
эти функторы нельзя выразить.

Раздел II.
Исчисление предикатов1
§ 1. Символы и выражения узкого
исчисления предикатов
Исчисление предикатов, которое часто назы-
называют также функциональным исчислением, или исчисле-
исчислением кванторов, мы строим на основе исчисления пред-
предложений в том смысле, что все символы последнего
включаются в запас символов исчисления предикатов,
который, разумеется, содержит также и новые символы.
Сходным образом правила (как основные, так и произ-
производные) исчисления предложений, принимаемые нами в
исчислении предикатов, не исчерпывают всех пра'вил
этого исчисления.
В исчислении предикатов, кроме символов исчисле-
исчисления предложений, фигурируют следующие символы;
1) Именные (индивидуальные) пере-
переменные:
х, У, г, хи уи ги ...
При применении формул исчисления предикатов к кон-
конкретному рассуждению вместо этих переменных под-
подставляются собственные имена 2, то есть имена, обозна-
обозначающие лишь один предмет. Сделанное замечание часто
выражают так: именные переменные представляют соб-
собственные имена. Вообще будем говорить, что переменная
1 В подлиннике: rachunek kwantifika torow (дословно: исчисле-
исчисление кванторов). В дальнейшем подобных примечаний мы не будем
делать — Прим. перев.
2 В подлиннике: nazwy jednostkowe (буквально: единичные
имена). — Прим. перев.
91

представляет некоторые постоянные, если эти постоян-
постоянные можно подставлять вместо данной переменной.
Именно в этом смысле пропозициональные переменные
представляют предложения.
2) Переменные, представляющие про-
пропозициональные функторы от именных
аргументов, то есть выражения, которые вместе с
некоторой совокупностью имен образуют пропозицио-
пропозициональные выражения. Эти функторы называются преди-
предикатами. Предикаты подразделяются на одноаргумент-
ные, двухаргументные и т. п. Одноаргументными преди-
предикатами, например, являются:
. слово «светит» в предложении «Солнце светит»,
выражение «четное число» в предложении
A) «4 —четное число».
Двухаргументные предикаты, например, представля-
представляют собой:
символ «>» в предложении
B) «5>3>,
выражение «кратно» в предложении «15 кратно 5»,
выражение «отец» в предложении «Ян отец Петра».
Трехаргументными предикатами, например, явля-
являются:
выражение «расположен между ... и ...» в предложе-
предложении «Тарнув расположен между Краковом и Перемышлем»,
выражение «общий делитель ... и ...» в предложении
C) «4 — общий'делитель 12 и 20».
В качестве переменных, представляющих одноаргу-
ментные предикаты, мы будем пользоваться буквами:
А, В, С, Аъ ВигСи ...
В качестве переменных, представляющих предикаты
от двух и более аргументов, мы будем пользоваться
буквами:
Р, Q, R, S, Pu Qu Rt, St
причем из контекста всегда будет ясно число аргумен-
аргументов предиката, представляемого данной переменной.
3) Постоянные: П, 2. Эти постоянные называ-
называются кванторами, а именно: символ П называется
92

квантором общности, а символ S — квантором сущест-
существования. Символ П читается: «для всех»; символ S чи-
читается:-«для некоторых» или «существует такое...».
Перечисленные символы вместе с символами исчис-
исчисления предложений исчерпывают запас (исходных) сим-
символов той части исчисления предикатов, которая назы-
называется, узким исчислением предикатов первого порядка.
В §§ 1—3 этого раздела мы будем рассматривать узкое
исчисление предикатов.
Сформулируем индуктивное определение пропо-
пропозиционального выражения узкого исчисления
предикатов:
1а) пропозициональная переменная есть пропозициог
нальное выражение узкого исчисления предикатов;
16) выражение, построенное из переменной, пред-
представляющей п-аргументные предикаты, и следующей за
ней последовательности из п («> 1) именных перемен-
переменных, заключенной в скобки, есть пропозициональное
выражение узкого исчисления предикатов. Эти выраже-
выражения называются элементарными'. Элементарными вы-
выражениями, следовательно, являются, например: А(х),
А(у), В(х), R(xu... хп). В случае двухаргументных пре-
предикатов мы пишем «xRy» вместо «R(x, г/)»; «jeSt/» — вме-
вместо «S (х, у)» и т. п.
2а) Если ф и г|э — пропозициональные выражения
узкого исчисления предикатов, то и ~ (<р), (<р) Д (т|э),
(<p)V(^). (<p)-*-(ty), (ф) — (Ф) —пропозициональные
выражения этого исчисления.
26) Если ф — пропозициональное выражение узкого
исчисления предикатов и а — именная переменная, то
П(ф) и 2(ф)—пропозициональные выражения этого
а а
исчисления.
3) Множеству пропозициональных выражений узкого
" исчисления предикатов принадлежат только те выраже-
выражения, которые являются пропозициональными переменны-
переменными или элементарными выражениями или построены из
этих простейших выражений последовательным приме-
применением правил 2а") и 26).
1 В подлиннике: atompwymi lub molekularnymi (буквально: ато-
атомарными или молекулярными). В дальнейшем польское прилагатель-
прилагательное «molekularny» переводится на русский язык как «элементар-
«элементарный». — Прим. перев,
93

Из пунктов la) и 2а) следует, что любое выражение
исчисления предложений является и выражением исчис-
исчисления предикатов.
Выражения, построенные согласно пункту 26), со-
состоят из трех частей:
1) квантора «П» или «2»,
2) именной переменной, входящей под квантор,
3) пропозиционального выражения <р, помещенного
в скобках, которое называется областью действия.кван-
действия.квантора, предшествующего этому выражению.
Скобки мы опускаем, если <р — элементарное выра-
выражение, а поэтому, например, вместо «Yl(A(x))» пишем
X
<ПА(х)»1. Опускаем также скобки, если <р в свою оче-
х
редь начинается квантором, а поэтому, например, вме-
вместо «U(ExRy)» пишем «YlExRy».
х у х у
Примерами выражений узкого исчисления предика-
предикатов являются следующие выражения:
D) П
E)
F) U[
х у
х у г
На этих примерах мы проиллюстрируем введенное
выше понятие области действия квантора. Так, напри-
например, в выражении D) область действия квантора «П» —
выражение «xRx»; в выражении E) область действия
квантора «2» — выражение «xRy», а область действия
квантора «П» — выражение «UnRy»; в выражении F)
у
область действия квантора «2» — выражение «xRz Д
/\zRy», а область действия квантора «П» с переменной
«у» внизу — выражение в квадратных скобках, а область
1 Это выражение читается: для всех хА(х); выражение
х
читается: для некоторых хА {х) (или существует х такое, что А (х) —
Перев.).
94

действия квантора «П» с переменной «х» внизу — выра-
выражение Il[xRy-+L(xRz/\zRy)]».
У г
Будем говорить, что данная переменная, не входящая
под квантор, связана в выражении <р тогда, и только
тогда, когда в <р данная переменная находится в обла-
области действия некоторого квантора и совпадает с пере-
переменной, входящей под этот квантор. Будем говорить
также, что квантор связывает ту переменную, которая
входит под данный квантор. Например, в выражении D)
переменная «х», непосредственно предшествующая пе-
переменной «/?», связана.
Будем говорить, что данная переменная, не входя-
входящая под квантор, свободна в выражении <р тогда, и
только тогда, когда не имеет места то, что в выраже-
выражении ф данная переменная связана.
Например, переменная «х-» свободна в выражении
«2 xRy». В выражении «П А(х)->-Л (х)» переменная «х»,
у х
входящая в конец этого выражения, свободна, а пере-
переменная «х», предшествующая в этом выражении знаку
импликации, связана.
Принимая во внимание пункты 26) и 16) определе-
определения пропозиционального выражения узкого исчисления
предикатов, эту систему можно охарактеризовать как ту
часть исчисления предикатов вообще, в которой кванто-
кванторы связывают лишь именные переменные и элементар-
элементарные выражения из функторов содержат лишь пропози-
пропозициональные функторы от именных аргументов (и не со-
содержат пропозициональных функторов, имеющих в свою
очередь среди аргументов функторы).
Введем теперь важное понятие — понятие пропози-
пропозициональной функции: пропозициональной функцией на-
называется выражение, которое содержит свободные пере-
переменные и из которого можно получить предложения,
подставляя постоянные вместо всех этих переменных.
Среди пропозициональных функций различают про-
пропозициональные функции от одной свободной перемен-
переменной например, «х— четное^число»; от двух свободных
переменных, например «х>у»; от трех свободных пере-
переменных, например «х — общий делитель у и г» ', и т. п.
' В подлиннике: «х — делитель у и г» (по-видимому, опечатка).—
Прим. перев.
95

Подставляя в эти пропозициональные функции вместо
переменных имена соответствующих чисел, мы получаем
приведенные в начале данного параграфа предложения
A) — C). Хорошо известными примерами пропозицио-
пропозициональных функций являются уравнения. Для обозначения
пропозициональных функций часто пользуются терми-
термином «условие».
Очевидно, следует различать понятие пропозицио-
пропозициональной функции и понятие функции в математическом
смысле. Пропозициональные функции — это некоторые
выражения, в то время как функции в математическом
смысле являются не выражениями, а некоторыми отно-
отношениями (ср. ч. II, разд. I, § 5).
Формулы исчисления предикатов интерпретируют та-
таким образом, что, например, выражение «Л(*)» пред-
представляет пропозициональную функцию, содержащую
«я» в качестве свободной переменной, а выражение
«R(xu..., хп)» — пропозициональную функцию, содер-
содержащую «i»,..., «яп» в качестве свободных переменных.
Другими словами, вместо «Л(*)» можно подставлять
пропозициональные функции, содержащие «я» в каче-
качестве свободной переменной, вместо «R(xu ..., хп)» — про-
пропозициональные функции, содержащие «i»,..., «хп» в
качестве свободных переменных'.
Так, например, из выражения E) подстановкой вме-
вместо выражения «xRy» пропозициональной функции
«*=«/+1» мы получаем предложение • .
а из выражения G) подстановкой вместо выражения
<nR(z, х, у)» пропозициональной функции «z = x+y» мы
получаем предложение
х у г
Часто принимается следующая интерпретация исчис-
исчисления предикатов:
Одноаргументные предикаты обозначают свойства
(признаки), двух- или многоаргументные предикаты
1 Точная формулировка этого правила подстановки, которое на-
называется правилом подстановки вместо функциональных выражений,
даиа в § 5.
96

обозначают дбух- или многочленные отношения (соот-
(соотношения). Тогда элементарные выражения вида «А(х)>>
читаются: «свойство (признак) А принадлежит предме-
предмету л> или же: «предмет х обладает свойством (призна-
(признаком) Л»; выражения вида «R(xi,..., хп)» читаются: «от-
«отношение R имеет место между предметами Х\,..., хп»;
выражения вида «xRy» читаются также: «х находится
в отношении R к г/». При этой интерпретации термины
«свойство», «отношение» можно понимать столь широко,
что любая пропозициональная функция с одной свобод-
свободной именной переменной определяет некоторое свойство,
а любая пропозициональная функция от п (я>1) сво-
свободных переменных определяет некоторое «-членное от-
отношение.
Кроме обычных кванторов, о которых говорилось вы-
выше, в исчислении предикатов фигурируют так называе-
называемые ограниченные кванторы.
Примерами выражений, содержащих такие кванто-
кванторы, являются следующие выражения:
(8) ПМ = *;
хфО
Выражение «П» читается: «для каждого х больше О»,
выражение «2» читается: «для некоторых х, отличных от 0».
хфО
Выражение (8) — сокращение выражения «П (х > 0 —»
X
->\х\ = х)».
Выражение (9) — сокращение выражения «2 (хфО Л
X
Вообще:
выражение П \|э (а) — сокращение выражения П [ф (а) -»
Ф(а) а
выражение 2 ^ (а) — сокращение выражения 2 [ф («) Л
Л1!3 («Я,
где ф(а), \jj(a) —пропозициональные функции, в кото-
которых а —свободная переменная.
4 Зак. 834 п«

Если выражение <р(а), входящее под ограниченный
квантор, содержит более одной свободной переменной,
то, вообще говоря, не ясно, какую из них связывает дан-
данный квантор. Например, не ясно, является ли выраже-
выражение
(Ю) п *2>уг
\х\>\1/\
сокращением выражения II (|* |> | у\ -*х* > у%), или
X
же оно является сокращением выражения
>\у\**>№ у
Для устранения подобных неясностей мы будем счи-
считать, что ограниченный квантор связывает ту перемен-
переменную, которая написана непосредственно под ним. А по-
потому, например, в выражении A0) связана перемен-
переменная х, а в выражении П х2 >у2 связана переменная у.
\1/\<\х\
Кванторы, особенно ограниченные кванторы, часто
используются при записи математических определений
и теорем. Приведем несколько примеров такого рода.
В этих примерах переменные х, у, г пробегают множе-
множество действительных чисел, а переменные k, m, n — мно-
множество натуральных чисел.
2Х>
Определение предела последовательности:
и—>оо
е>0 тп>т
Определение непрерывной функции:
/ — непрерывная функция = ППП2 (| *
8>0* у 8Х)
/
98

Определение равномерно непрерывной функции:
/ — равномерно непрерывная функция = П 2 П П (| х —
' е>Об>Од; у
-y\<b->\f{x)-f{y)\<*).
Первым логиком, который ввел кцанторы, был Фре-
ге. Но труд Фреге от 1879 года, цитированный в пред-
предшествующем разделе, остался незамеченным (возможно,
вследствие очень трудной символики). Около 1885 года
Пирс вводит символы ПиЕ для кванторов. Пирс также
замечает, что предложение IL4(*) можно рассматривать
X
как конъюнкцию:
A(Xl)/\A(x2)/\A(x3)>...,
а предложение 2 А (х) — как дизъюнкцию:
X
A(Xl)\/A(x2)\/A(x3)\/ ...
Однако он при этом подчеркивает, что речь идет здесь
только об аналогии, так как предметов может быть бес-
бесконечно много (а, как известно, конъюнкция и дизъюнк-
дизъюнкция строятся лишь из конечного числа членов).
Термин «пропозициональная функция» ввел Рассел
A903 г.), еще раньше пропозициональными функциями
от многих переменных занимались Пирс - и Фреге
(в 1892—1893 годы).
Обширное и обстоятельное изложение исчисления
предикатов было дано в I томе «Principia Mathematica»
Уайтхеда и Рассела A910 г.). Гам этот раздел назы-
называется теорией кажущейся переменной, потому что свя-
связанные переменные называются, также кажущимися пе-
переменными (а свободные переменные тогда называются
действительными переменными).
Упражнения:
1. Запишите, используя кванторы, следующие предложения:
a) Числа 3 и 10 не имеют общих делителей, отличных от 1.
b) Ни одно натуральное число» не меньше 0.
c) Для любого натурального числа существует натуральное
число, которое больше его.
а) Существует такое натуральное число, меньше которого нет
натуральных чисел.
е) Система уравнений
д:+2=5
4*
4 99

2x + 4 = 6
несовместна.
f) Каждый ученик 2-го класса прочитал хотя бы одну книгу.
g) Существует такая книга, которую прочитал каждый ученик
2-го класса.
2. Запишите, используя кванторы, определения:
a) непрерывности функции на множестве Z;
b) равномерной непрерывности функции на множестве Z;
c) сходимости последовательности функций {fn} • в каждой
точке множества Z;
d) равномерной сходимости последовательности функций {/п}
на множестве Z.
3. Укажите, какие переменные свободны и какие переменные
связаны в следующих выражениях:
П[А(х)->В(х)]; ПА(х)-*В(х);
X X
I12W)->Wi П И (л:) V Л (</)];
х у xRy
П [А(х)\1 А{у)\.
xRy
4. Перепишите следующие выражения, не пользуясь ограничен-
ограниченными кванторами:
П 2 [A(x)-*B(y)]i 2 ПхЯу.
А(х) В(у) хРу yQx
§ 2. Основные правила\узкого исчисления
предикатов
Основными правилами узкого исчисления
предикатов являются:
1) Все основные правила исчисления
предложений, распространенные на пропозицио-
пропозициональные выражения исчисления предикатов. Следова-
Следовательно, мы полагаем, что в схемах правил ПО, ВК, УК,
ВД, УД, ВЭ, УЭ символы ф и гр обозначают произволь-
произвольные пропозициональные выражения исчисления преди-
предикатов. Сходным образом истолковываются компоненты
Фь ..., ф„ выражения (II, о котором речь идет в опреде-
определении правила построения косвенного доказательства
(ср. разд. 1, § 2, стр. 21—24). Правило присоединения к
1 То есть выражения
Ф1 -» {фг -»[<Рз -»...-»(ф.т-1 -»Фп) -..]}•— Прим. перев.
100

доказательству ранее доказанных теорем мы усиливаем
тем, что распространяем его и на теоремы исчисления
предикатов.
2) Правила введения и удаления кван-
кванторов общности и существования.
Для записи схем правил введения и удаления кван-
кванторов мы будем пользоваться символом ф(а/|), обозна-
обозначающим выражение, полученное из ф подстановкой вме-
вместо именной переменной а выражения | при выполнении
следующих условий:
1) В выражении ф замена переменной а производит-
производится лишь на тех местах, где она свободна. Если а входит
в ф несколько раз в качестве свободной переменной, то
столько же раз она заменяется выражением |.
2) Если в ф переменная а находится в области дей-
действия квантора, связывающего переменную р, то вместо
переменной а не подставляются выражения, содержа-
содержащие р в качестве свободной переменной. Короче говоря,
подстановку следует производить так, чтобы свободные
переменные подставляемого выражения не оказывались
связанными в выражении, полученном в результате
подстановки.
Второе условие необходимо, потому что иначе пред-
предложение, полученное в результате подстановки в истин-
истинное предложение, может оказаться ложным. Так, напри-
например, выражение «2 т>п», где переменные т, п пробе-
т
гают множество натуральных чисел, истинно, так как
означает, что для произвольного натурального числа п
существует число т, превосходящее п. В это выражение
нельзя, однако, подставить вместо свободной перемен-
переменной «п» выражение «т+1», потому что свободная пере-
переменная данного выражения оказалась бы связанной в
результате подстановки, то есть в предложении «2т>
т
>т + 1». Очевидно, что это последнее предложение
ложно.
Правило удаления квантора общности можно запи-
записать в виде схемы
уп Пф
а
<Р(а/Ю *
101

Пример рассуждения по правилу УП:
гь=*
2=2
Правило введения квантора общности
ВП ф
Пф '
о
¦применятся лишь при условии, что переменная а не вхо-
входит в качестве свободной переменной в допущения до-
доказательств.
Это ограничение мы поясним на примере следующей
теоремы арифметики действительных чисел:
Предположим, что доказательство этой теоремы мы на-
начали введением допущения:
В следствиях из этого допущения, например в следст-
следствии, полученном по правилу ВД,
переменная пробегает лишь положительные, но не про-
произвольные действительные числа. Поэтому следствие,
что
Г\(х>0\/ х = 0),
было бы получено некорректно.
Пример рассуждения по правилу ВП:
х-1 — х
Правило введения квантора существования опреде-
определяется схемой
BS
102

Это правило, как и правило УП, можно применять без
ограничений.
Пример рассуждения по правилу:
2 — четное и простое число'
— четное и простое число)
Правило В2 применяется в доказательствах существо-
существования предметов некоторого рода посредством прнведе:
ния примера такого предмета.
Формулировку правила удаления квантора сущест-
существования мы предварим разъяснением его содержатель-
содержательного смысла. В этом правиле находит свое формализо-
формализованное представление некоторый шаг рассуждения, ча-
часто применяемый в математических доказательствах.
В этих доказательствах часто проводится следующее
рассуждение: известно, что существует хотя бы один
предмет, удовлетворяющий условию <р.. Обозначим че-
через а один (произвольный) из таких предметов. Тем
самым а удовлетворяет условию <р. Здесь символ «а» —
не переменная, а постоянная, обозначающая некоторый
определенный предмет и притом такой, который удов-
удовлетворяет условию ф. Для формализованного представ-
представления данного шага рассуждения мы прежде всего вве-
введем, кроме именных переменных х, у, z,..., еще и имен-
именные постоянные а, Ь, с,..., которые будут входить лишь
в строки доказательств, но не будут входить в теоремы
исчисления предикатов. .
Правило удаления квантора существования (У2)
позволяет присоединить к доказательству, например, вы-
выражение «Л(а)», если в доказательстве имеется выра-
выражение «ЕЛ(ж)». Но это правило применяется обяза-
х '"¦.'¦
тельно с некоторыми ограничениями, содержательный
смысл которых мы сейчас выясним. Именно, если в до-
доказательстве имеются строки: A) 2ф(л;) и B) 2t|>(*)
(или 2\|з(г/)), и мы, применяя правило У2 к A), полу-
получили ф(д;/а), то, применяя затем пр-авило У2 к B), мы
не можем присоединять к доказательству $(х/а). В са-
самом деле, в строках A) и B) утверждается лишь то,
что существует предмет, удовлетворяющий условию ф,
и что существует предмет, удовлетворяющий условию \|з.
103

Эти предметы, очевидно, могут быть различными, и даже
может случиться так, что они обязательно различны,
если условия q> и ty исключают друг друга. Следова-
Следовательно, применяя последовательно правило У2 в том же
самом доказательстве, мы должны каждый раз вводить
новую постоянную, не фигурировавшую ранее в доказа-
доказательстве.
Для понимания содержательного смысла еще одного
ограничения, обязательного при применении правила
У2, мы обратимся к следующему примеру:
Выражение C) 2 у>х, где переменные хну пробе-
v
гают множество натуральных чисел, означает, что для
произвольного натурального числа х существует нату-
натуральное число у больше х; таким образом, C), очевид-
очевидно, истинно. Но здесь мы не можем из C) вывести вы-
выражение «а>х», так как это последнее означало бы:
некоторое определенное натуральное число а больше
произвольного натурального числа х, что, очевидно,
ложно. Чтобы и в этом случае иметь возможность при-
применить правило У2, мы отметим «а» нижним индексом
«х» и из выражения C) выведем выражение «аж>х».
Оно означает, что для произвольного натурального чис-
числа х имеется некоторое определенное число, зависящее
как-то от х (это число может быть, например, числом
х+1).
Сходным образом из выражения D) Ъ L(x, у, г),
у
означающего, что для произвольных двух (различных)
точек гиг/, существует точка г, лежащая между х и у,
можно вывести выражение L(x, ax>z, z), означающее:
между двумя произвольными точками х, z лежит неко-
некоторая определенная точка ох,2, зависящая от точек х и z.
Принимая во внимание приведенные выше замеча-
замечания, мы запишем правило удаления квантора существо-
существования в виде схемы
где 01,..., р„ — все свободные именные переменные вы-
выражения ф, отличные от переменной а, а выражение
ф(а/аэ, ,..., р„) — результат подстановки в выражение ф
104

постоянной а, отмеченной индексами Рь ..., р„, вместо а.
Заметим, что переменные рь ..., р„, входящие в выраже-
выражение orPt,..., р„, рассматриваются в качестве свободных.
Поэтому выражение ар, ,..., рл можно подставлять в
выражение <р вместо переменной а тогда, и только тогда,
когда эта переменная не находится в области действия
квантора, связывающего переменные рь ..., р„.
Ограниченные кванторы можно вводить или с помо-
помощью определений или же с помощью основных правил
введения и удаления, схемы которых:
УП*
Ф(а)
ВП* ф (а) -* г|) (а)
4>(о)
(если а не входит в качестве свободной переменной в
допущения доказательства).
В2* Ф(а/Е)
5>
Ф(а)
2
Ф(а)
(при ограничениях, аналогичных ограничениям для пра-
правила У2).
Упражнен и я:
1. Пусть именные переменные исчисления предикатов представ-
представляют лишь три постоянные а, Ь, с. Тогда выражение Пф(*) можно
х
интерпретировать как конъюнкцию выражений
ф(*/а), ф(*/6), <р(х/с),
а выражение 2ф(х)—как дизъюнкцию этих выражений. Проверьте,
какой смысл при этой интерпретации получают правила УП н BS.
105

2. Пользуясь правиламчУП*, ВП*, У2*, BS*, докажите эквива-
эквивалентности:
(I) П
<р(а)
(П) 2
4>(а)
¦ 3. Принимая в качестве определений эквивалентности '(!)> (II),
приведенные в предыдущем упражнении, докажите правила УП*,
ВП*, У2* BS*.
§ 3. Теоремы и производные правила
узкого исчисления предикатов
Из приведенного в начале предыдущего па-
параграфа замечания, что все основные правила исчисле-
исчисления предложений — одновременно и основные правила
исчисления предикатов, следует, что каждая теорема
исчисления предложений является и теоремой исчисле-
исчисления предикатов, а каждое производное правило исчис-
исчисления предложений является в то же время производ-
производным правилом исчисления предикатов.
Производные правила исчисления предложений рас-
распространяются на пропозициональные выражения ис-
исчисления предикатов так же, как в начале предыдущего
параграфа это было сделано с основными правилами.
Здесь следует подчеркнуть, что в случае применения
правила ВП к добавочным допущениям доказательства
или к выражениям, полученным на основании этих до-
допущений, нельзя приписывать к ним слева квантор
общности, связывающий переменную, входящую в доба-
добавочное допущение доказательства в качестве свободной
переменной.
Ti ГИ(*)-
. X
Док. A) \\А(х) {допущ.}
х
А{У) {УП:1}
Т 2. Л(#)^уЛ(л:),
106

Док. A) А (у) {допущ.}
Так же как в исчислении предложений, в этом пара-
параграфе мы приведем теоремы исчисления предикатов, со-
соответствующие некоторым метатеоремам, доказательст-
доказательство которых аналогично доказательству данных теорем.
Теоремам Т1 и Т2 соответствуют метатеоремы
Ml. Н[](р-»я>'^-
а
М2. f-ф (<*/?)-
Их доказательства полностью аналогичны доказатель-
доказательствам Т1 и Т2.
По М2 теоремами считаются, например, следующие
выражения:
и т. п.
Делая ссылки в дальнейших доказательствах на Т1 и
Т2, мы будем иметь в виду также и выражения, кото-
которые являются теоремами в силу метатеорем Ml или М2.
Док. (а) A) ~I~MW {доиущ.}
X
B) ~?~Л(*) {допущ. к. д.}
х •*
C) ~Л(*)-»2~Л(*) {Т2}
х ¦ ¦
D) А(х) {Тол. :3; 2}
107

E) \-[А(х) {ВП:4}
X
пртврч. {1; 5}
(b) A) 2~Л(х) {допущ.}
х
B) ЦА(Х) {Допущ. к. д.}
X
C) ~А(а)
D) А (а) {УП:2}
пртврч. {3; 4}
Присоединяя строку E) части (а) доказательства,
мы корректно применили правило ВП, потому что пере-
переменная не входит в качестве свободной переменной в
допущения доказательства.
Теорему ТЗ можно прочитать так:
Неверно, что каждый предмет обладает данным
свойством тогда, и только тогда, когда существуют пред-
предметы, не обладающие этим свойством.
Приведенные в этом параграфе теоремы, начиная с
ТЗ, обладают тем свойством, что ни в одну из них не
входят элементарные выражения, которые имеют оди-
одинаковые предикаты и в то же время различаются имен-
именными переменными (заметим, что теоремы Т1 и Т2 не
обладают этим свойством, потому что в каждую из них
входят два элементарных выражения А(х), А (у), содер-
содержащие одинаковый предикат, но при этом различаю-
различающиеся именными переменными — аргументами данного
предиката). Эти теоремы можно подразделить на два
типа. В теоремы первого типа, к которому относятся
ТЗ—Т10, а также Т19—Т25, не входят пропозициональ-
пропозициональные переменные. В теоремы второго типа, к которому
относятся теоремы Т11—Т18, входят пропозициональные
переменные.
Для теоремы первого типа, схема выражения, входя-
входящего в соответствующую метатеорему, строится следую-
следующим образом:
108

Именные переменные, входящие в данную теорему,
заменяются переменными а, р, у, ..., элементарные выра-
выражения исчисления предикатов заменяются переменными
Ф, ip, Х> •••> причем одинаковые переменные (одинако-
(одинаковые элементарные выражения) заменяются одинаковы-
одинаковыми переменными, а различные переменные (различные
элементарные выражения) — различными переменными.
Теореме ТЗ соответствует в силу сформулированного
выше определения метатеорема
МЗ. | ~П фг
а
теореме А (х)-^-^А(х) соответствует метатеорема
X
а
По ТЗ (МЗ) следующие условия эквивалентны:
Доказательство утверждения, что для каждой тео-
теоремы рассматриваемого типа можно доказать соответ-
соответствующую ей метатеорему, проводится индукцией анало-
аналогично доказательству соответствующего утверждения
для исчисления предложений.
Так же как и в случае производных правил исчисле-
исчисления высказываний, в исчислении предикатов мы будем
говорить о производных правилах относительно мета-
теорем, соответствующих этим теоремам. Таким обра-
образом, мы будем говорить, например, что следующее про-
производное относительно МЗ правило отрицания квантора
общности
ОП ~Пф
а
производно относительно ТЗ.
109

Теорема ТЗ называется законом отрицания
квантора общности. Следующая теорема яв-
является законом отрицания квантора суще-
существования. (Законы отрицания кванторов назы-
называются также законами Де Моргана для исчисления
предикатов.)
Т4.
{допущ.}
{Т2} .
{Тол.; 2; 1}
{ВП:3}
{допущ.}
{допущ. к. д.}
Док. (а) A)
B) А(х)-+..УА{х)
х
C) ~А{х)
X
(b) (I) U-A(x)
B)
C) А (а)
D) ~Л.(а)
пртврч. {3; 4}
По Т4 следующие условия эквивалентны:
I О — у
-+- Z — Л,
с + 2=х).
С помощью теоремы Т4 можно обосновать правило
отрицания квантора существования:
02 _2ф
НО

На основании теорем ТЗ и Т4 мы устанавливаем, что
отрицание выражения, начинающегося некоторой цепоч-
цепочкой кванторов общности и существования, эквивалентно
выражению, которое получается из данного так, что
каждый квантор общности заменяется квантором суще-
существования и наоборот, а выражение, следующее за дан-
данным квантором, отрицается. Например,
х у г х у г
Теперь мы познакомимся с так называемыми зако-
законами распределения кванторов. Эти теоре-
теоремы позволяют определенным образом распределять
кванторы, находящиеся перед сложными выражениями,
по членам этих сложных выражений или же вытаскивать
кванторы, находящиеся перед членами сложных выра-
выражений, и помещать их перед всем сложным выраже-
выражением.
Т5.
П (А (х) -» В (х)) -> (П А (х)) -* (П) В (х)
Док. A) ПИ(*)-Я
X
B) Y\A(x)
X
C) А(х)-+В(х)
D) А(х)
E) В(х)
ПОД
{допущ.}
{УП: 1}
{УП: 2}
{ПО: 3; 4}
{ВП: 5}
Пример рассуждения по правилу производному отно-
относительно Т5
П (•* =^х -* х < х)
X
111

те.
A)
B)
C)
D)
E)
X
X
А (а)
А (а)
В (а)
1(х)-*В(х))
(х)
->В
(х)
(а)
{допущ.}
{У2: 2}
{УП: 1}
{ПО: 3; 4}
{В2: 5}
Пример рассуждения по производному относительно
Т6 правилу:
<5
Т7.
Доказательство этой теоремы мы предоставляем чита-
читателю.
На основании Т7 следующие условия равносильны:
U(f(x) = 0Ag(x)= 0),
Т8. иМ
X
Док. A) f[A(x)V \~\В(х) {допущ,}
X X
112

A.1) ПЛ(*) {Доб. допущ.}
X
A.2) А(х) {УПг 1.1}
A.3) А(х)\/В(х) {ВД: 1.2}
A.4) n^WV-SWI (ВП: 1.3}
X
B.1) Г\в(х) {Д06- Д°пУЩ-1
X
B.2) В (х) {УП: 2.1}
B.3) ^
B.4) n^WV-SW) {ВП: 2.3}
П(А(Х)УВ(Х)) {1-1 —* 14; 2.1-^2.4; 1}
Пример рассуждения по правилу, производному относи-
относительно Т8:
Т8. П/(*)>0\/П/(*)<0
Импликация, обратная к Т8, ложна, что легко усмотреть
из следующего выражения:
где антецедент истинен, а консеквент ложен.
Т9. ? (А (х) Д В (х)) ^ J А (х) Л ? В (х).
1 Правило ВП здесь можно было применить, потому что в до-
добавочное допущение доказательства A.1), на основании которого
мы получили A. 3), «х» не входит в качестве свободной переменной
(«х» также не входит в качестве свободной переменной и в допуще-
допущение доказательства),
ИЗ

Док. A) %(А(х),\В(х)) {допущ.}
х
B) А (а) А В (а) {У2: 1}
C) А (а)
{УК: 2}
D) В (a) J '
E) ?М(*) {В2:3}
F) ?fi(*) {В2: 4}
: 5; 6}
Пример рассуждения по правилу, производному отно-
относительно
Обратная к Т9 импликация ложна, что легко усматри-
усматривается из следующего примера:
В самом деле, антецедент этого выражения истинен, а
консеквент ложен.
Т10.
Док. (а) A) ^ (А W V В (х)) {допущ.}
B) A(a)VB(a) {У2: 1}
A.1) Л (а) {доб. допущ.}

A.2) 2A(x) {B2: 1.1}
B.1) B(x) {доб. допущ.}
B.2) %B(x) {B2: 2.1}
W {i-l —¦ 1-3; 2.1 -*2.3; 2}
A) ^А(х)У^В(х) {допущ.}
X X
A.1) ^M(*) {доб. допущ.}
A.2) Л (а) {У2: 1.1}
A.3) А(а)\/В(а) {ВД: 1.2}
A.4) ^(А(х)\/В(х)) {В2: 1.3}
B.1) ^В(х) ' {доб. допущ.}
B.2) В (а) . {У2: 2.1)
B.3) А (а) У В (а) {ВД: 2.2}
(*)) {B2: 2.3}
{1.1-» 1.4; 2.1-»2.4; 1}
По теореме Т10 следующие условия эквивалентны:
115

2хй < О V ? 2л-2 = 0
Теперь мы познакомимся с несколькими законами, в
которые входят пропозициональные переменные. Вместо
этих переменных можно подставлять произвольные
пропозициональные выражения, но при соблюдении сле-
следующего ограничения, аналогичного условию B), отно-
относящемуся к подстановке вместо именных переменных:
если данная пропозициональная переменная находится
в области действия квантора, связывающего именную
переменную а, то вместо данной пропозициональной
переменной нельзя подставлять пропозициональных вы-
выражений, содержащих а в качестве свободной перемен-
переменной.
Теоремы, которые мы сейчас сформулируем, назы-
называются законами пронесения кванторов.
Мы приведем только часть (Ь) доказательства:
Док. (b)
A-
A.
О-
B)
A)
1)
2)
3)
Р
Р
Г
X
А
Р
Г
\А(.
(X)
-*А
[(Р-
X)
(X)
(X)
{допущ.}
{доб. допущ.}
{ПО: 1, 1.1}
{УП: 1.2}
{1.1 -»1.3}
{ВП: 2}.
Для выделенных на стр. 109 теорем второго типа, к
которым относится и Т11, схемы выражений, входящих
в соответствующие им метатеоремы, строятся по тому
же плану, что и для упоминаемых там же выражений
первого типа, с тем, однако, отличием, что пропозицио-
пропозициональные переменные заменяются переменными ф, ч|з,
X, -.., не совпадающими с переменными, которыми заме-
заменяются входящие в данную теорему элементарные выра-
116

жения исчисления предикатов (различные пропозицио-
пропозициональные переменные, очевидно, заменяются различными
переменными, и одинаковые пропозициональные пере-
переменные ¦— одинаковыми переменными).
Кроме того, принимается следующее ограничение:
Если какая-либо пропозициональная переменная,
например р, в данной теореме находится в области дей-
действия квантора, связывающего переменную а, а в мета-
теореме ей отвечает переменная q>, то к соответствующей
метатеореме мы • должны присоединить условие: а не
входит в качестве свободной переменной в выражение ф
(потому что по сформулированному выше ограничению
вместо пропозициональной переменной р нельзя под-
подставлять выражений, содержащих а в качестве свобод-
свободной переменной).
В силу этих замечаний теореме Т11 соответствует
метатеорема
Ml 1. |— Y\ (ф ^-» г|)) = ф -* [~J г|), если а не свободно в ф.
а а
По теореме Т11 (МП) следующие условия эквива-
эквивалентны:
Т12.
Мы приводим только часть (Ь) доказательства.
Док. (Ь) A) р-»?Д(*) {допущ.}
X
A.1) р - {доб. допущ.} .
A.2) ?Д(*) {ПО: 1; 1.1}
A.3) А(а) {У2: 1.2}
117

B) p-*A{x) {1.1-»1.3}
Л(*)) {В2:2}
Таким образом, условия
V (Ь2 — 4ас>0->ахг + Ьх + с=0)
X
Ь2 — 4ас > 0 -» ? (ах2 + Ьх + с = 0)
эквивалентны.
Доказательства следующих двух теорем мы предо-
предоставляем читателю.
из.
Таким образом, условия
эквивалентны.
Т14.
По теореме Т14 следующие условия:
V (ах2 + Ьх + с ф 0 -» б2 — 4ас< 0),
П (ал:2 + ** + с^О) -»б2 — 4ас<0
эквивалентны.
Т15.
Док. (а) A) FKpV^W) {Допущ.}
х
118

B)
A.1)
A.2)
B.1)
B.2)
B.3)
B.4)
P
P
P
A
Г
X
p
p
V
V
-p
(X)
]A
V
V
A(x)
[\A(x)
X
:(x)
UA(x)
X
ПА(х)
{УП: 1}
{доб. допущ.}
{ВД: 1.1}
{доб. допущ.}
{УД: 2; 2.1}
ЛЭТ~Г» О О1
\ D11. & > & \
{ВД: 2.3}
{1.1-» 1.2; 2.1-»2.4}.
Часть (Ь) доказательства аналогична доказательству Т8.
Доказательства следующих трех теорем мы предо-
предоставляем читателям:
Т16.
Т17.
Т18.
Мы познакомимся теперь с законами пере-
перестановки кванторов.
Ti9. ПП^вПП^-
х у ух
Док. (а) A) ПП^ - {Допущ.}
х У
B) UxRy {УП: 1}
у
C) xRy {УП: 2}
И9

D) U*Ry <ВП:3}
X
П П *RV {ВП: 4}.
Часть (Ь) доказательства аналогична.
Т20. %Zx*ys%?xRy.
х у ух
Док. (а) A) 22*Я</ {допущ.}
B)
C)
Г4)
^Ry
у
aRb
YxRb
{У2: 1}
{У2: 2}
{BS: 3}
{BE: 4}
Часть (b) доказательства аналогична.
Теореме Т20 соответствует метатеорема
М20.
По М20 теоремой считается, например, следующее выра-
выражение:
Часть (а) доказательства этого выражения имеет сле-
следующий вид:
Док. (а)A) ^Жх.у.г) {допущ.}
х у
B) ?#(аг, у, г) {У2: 1}
C) /?(аг,6,, г) {У2: 2}
120

D) %R(x,bz,z) {B2: 3}
X
'(x,y,z) {B2: 4}
В этом доказательстве мы впервые воспользовались
именами, зависящими от переменных (постоянными с
индексами), а именно выражениями «az», «bz». Два по-
последних шага доказательства корректны, потому что
выражение «R(az, bz, z)»— результат подстановки в
выражение «R(x, bz, z)», а выражение «ZR{x, bz, z) —
X
результат подстановки в выражение «2R(х, у, г)».
Т21.
х у ух
Док.
A)
B)
C)
D)
2j 11 x%y
X У
Y\aRy
У
aRy
VxRy
{допущ.}
{У2: 1}
{У2: 2}
{B2: 3}
: 4}
Пример рассуждения по правилу, производному отно-
относительно Т21:
X У
У х
Импликация, обратная Т2Г, ложна, что нетрудно усмот-
усмотреть из следующего выражения арифметики натураль-
натуральных чисел:
Ух X У
121

Это выражение ложно, потому что его антецедент исти-
истинен (в самом деле, он означает: для любого натураль-
натурального числа у существует натуральное число х, такое,
что х больше у), а консеквент ложен (в самом деле, он
означает: существует натуральное число, которое боль-
больше любого натурального числа).
Импликацию, обратную Т21, нельзя доказать путем,
аналогичным доказательству Т21, вследствие ограниче-
ограничений, наложенных на правила оперирования кванторами.
Из допущения «HZxRy» мы получим по правилу УП
у х
выражение «2xRy», а отсюда по правилу У2 мы полу-
полуде
чаем «ciyRy». Применяя к этому выражению правило ВП,
мы получаем «IiayRy». Из последнего выражения, одна-
у
ко, нельзя по правилу В2 вывести выражение «21Ш?г/»,
х у
потому что в выражение «HxRy» вместо переменной «х»
у
нельзя подставить выражение «av», так как входящая в
него в качестве свободной переменной индексная пере-
переменная «г/», оказалась бы связанной в результате такой
подстановки.
Т22.
Док. A) П№) = В(*)) {допущ.}
X
B) А(х)**В(х) {УП: 1}
C) А(х)-*В(х)
{УЭ: 2}
D) В(х)-*А(х) )
E) П(Мх)-+В(х)) {ВП: 3}
X
F) Y\(B(x)->A(x)) {ВП: 4}
122

G) ПМх)-*Т\В(х) ЩО: Т5; 5}1
(8) П*(х)-*ПМх) ЩО: Т5; 6}
= Т\В(х) {ВЭ: 7; 8}.
Пример рассуждения по правилу, производному отно-
относительно
Т22. ПB(* + 3)-5>2л::
ПB(л:+3)-5>2л:) =
Т23.
Док. A) \~[(А(х)='В(х)) {допущ.}
B) А(х)^В(х) {УП: 1}
C) А(х)-*В(х)
{УЭ: 2}
D) В(х)-А(х) J
E) Y\(A(x)-*B(x)) {ВП: 3}
F) ПР(х)-*А(х)) {ВП: 4}
G) ^А(х)-*^В(х) {ПО: Т6; 5}
(8) ^В(х)^А(х) {ПО: Т6; 6}
X X
{ВЭ:7,8}
1 Здесь мы пользуемся правилом присоединения к доказатель-
доказательству ранее доказанных теорем. Но в целях сокращения записи мы
не вписываем в доказательство теорему, которой мы пользуемся,
а лишь указываем в фигурных скобках ее номер.
123

Пример рассуждения по правилу, производному относи-
относительно Т23:
П C (х — 1) + 1 = 2 (х ~ 3) = х + 4 = 0)
На основании правила экстенсиональности из.исчисле-
из.исчисления предложений 1 и теорем Т22 и Т23 можно аналогич-
аналогичным путем доказать правило экстенсиональности в ис-
исчислении предикатов. Данное правило имеет следующие
схемы:
П (Ф =
а
X
Из теорем ТЗ и Т4 на основании закона двойного
отрицания (Т5Ь, § 3, разд. I) и закона, позволяющего
приписывать отрицания к обеим сторонам эквивалент-
эквивалентности (ТЗЗа, § 3, разд. I), мы получаем теоремы:
Т24.
Т25.
Отсюда видно, что квантор общности, можно определить
через отрицание и квантор существования. Сходным
образом квантор существования можно определить через
отрицание и квантор общности.
Многие из приведенных в этом параграфе теорем
имеют место в аналогичной форме и для ограниченных
кванторов. Такие теоремы для ограниченных кванторов
мы будем обозначать теми же номерами, которые имеют
соответствующие им теоремы для обычных кванторов,
отмечая сверху данные номера звездочками. Доказа-
1 Ср. стр. 57.
124

тельства этих теорем, проводимые с помощью УП*, ВП*,
УЕ*, BE*, отчасти аналогичны доказательствам соответ-
соответствующих им теорем, сформулированных с помощью
обычных кванторов. Приведем здесь для примера дока-
доказательство теоремы, соответствующей Т21:
Т21*.
Док.
A)
B)
C)
D)
A.1)
A.2)
A.3)
E)
2 п м
Чу-»
А{х) В(х)
V П xRy
А(х) В(У)
А (а)
В(У) '
B(y)-*aRy
в (у) .
aRy ,
VxRy
Щ
в (у)-* YixR
Л(х)
П У **у.
П 2 xRy.
В(х) А(х)
{допущ.}
{УЕ*: 1}
{УП*: 3}
{доб. допущ.}
{ПО: 4; 1.1}
{BE*: 2; 1. 2}
У {1.1 -* 1.3}
{ВП*: 5}
?(</) А(х)
Пример рассуждения по правилу, производному отно-
относительно Т21:
S' П
„ ц прочитал х
х — книга у — ученик 2-го класса J r
„ , •*J и прочитал х
у — ученик 2-го класса] х — книга J r
Иначе говоря, из посылки:,«Сущест'вует книга, которую
прочитал каждый ученик второго класса», мы можем
вывести следствие: «Каждый ученик второго класса
прочитал хотя бы одну книгу».
Импликация, обратная Т21, ложна, что легко усмот-
усмотреть из следующего примера;
125

П У
¦^ у столица х-*
х — государство у — город
столица
-2 п
у — город х — государство
Антецедент этой импликации истинен (так как он озна-
означает: каждое государство имеет свою столицу), а кон-
секвент ложен (так как он означает: существует город,
который является столицей каждого государства).
К. чаще всего применяемым теоремам для ограничен-
ограниченных кванторов относятся, кроме Т21*1, теоремы ТЗ*,
Т4*, Т19*, Т20*, Т22*, Т23*, которые приведены в свод-
сводке теорем.
В описываемой здесь системе следующие правила
производны:
1) Правило введения квантора общности в антецедент
импликации:
2) Правило введения квантора общности в консеквент
импликации:
П2. Ф-Ф
ф-»Пг|5
а
(если а не входит в качестве свободной переменной ни в
Ф, ни в допущения доказательства).
3) Правило введения квантора сущестбования в консек-
консеквент импликации:
ПЗ. ' ф->Ф
4) Правило введения квантора существования в анте-
антецедент импликации:
П4. ф-»г|?
126

(если а не входит в качестве свободной^ переменной ни в
Ф, ни в допущение доказательства).
5) Правило удаления квантора общности из консеквен-
та импликации:
П1\ ср^Пг|>
6) Правило удаления квантора существования из анте-
антецедента импликации:
П3\ 2ф-Ч>
Несложные доказательства этих правил мы предостав-
предоставляем читателю.
7) Правило подстановки вместо свободных именных
переменных:
Если |— ф, то |— ф (а/1).
Док. A) Нф
B) НПФ
а
[Нф(а/Е) {УП: 2}
8) Правило подстановки вместо переменных, представ-
представляющих предикаты:
Если |- Ф, то h Ф ЫФ»),
где ф1 и ф2 — переменные, представляющие предикаты.
Доказательство этого правила проводится индукцией
по рангу теоремы. Для теорем первого ранга мы строим
доказательство теоремы ф(ф1/ф2), заменяя всюду в до-
доказательстве теоремы ф переменную ф1 переменной фг-
Затем, допустив, что это правило имеет место для теорем
рангов меньших, чем п, мы Доказываем это правило для
теорем я-го ранга аналогично тому, как на первом шаге.
9) Правило переименования связанных переменных.
Это правило позволяет в каждом выражении ф при
условии, что р не входит в качестве свободной перемен-
127

ной в ф, а) заменить (на некотором месте) выражение
П выражением
3
Ь) заменить (на некотором месте) выражение 2г|з выра-
к
жением
Поэтому, например, выражение «ПЛ(л:)» можно заме-
X
нить выражением «1Ъ4 («(/)», выражение «IbcRy» можно
г/ *
заменить выражением «Пг^г/». Сходным образом, на-
Z
пример, выражение «2Л(л:)» можно заменить выраже-
X
нием «ЕЛ ((/)», выражение «ЪхЯу?» — выражением
У
«llzRy».
г
Условие, что переменная р не входит в качестве сво-
свободной переменной в г|з, здесь существенно, так как в
противном случае может оказаться, что выражение,
полученное в результате замены, не эквивалентно исход-
исходному, что, например, имеет место в случае выражений
«UxRy» и «IlyRy» или же выражений «llxRy» и «HyRy».
х у х у
Это правило мы докажем с помощью правила экс-
экстенсиональности и метатеорем:
(a) h П ^ = П ^ (а/Р). если Р не входит в ка-
честве свободной переменной в \|з;
(b) |— у ф = у ij) (а/Р), если р не входит в ка-
а з
честве свободной переменной в \|з.
Приведем доказательство метатеоремы (а). Из выра-
выражения П\|з мы Получаем по правилу УП выражение
а
\|з(а/р), а отсюда мы получаем выражение П\|з(а/р)
по правилу ВП, которое здесь можно применить, пото-
128

му что — по условию — р не входит в выражение
а
в качестве свободной переменной.
С другой стороны, из выражения Щ>(а/В) по прави-
р
лу УП мы получаем выражение (if>(a/p)) (p/a), кото-
которое при условии, что р не входит в -ф в качестве свобод-
свободной переменной, совпадает с выражением if>. Отсюда же
мы получаем выражение Пд|э по правилу ВП. Здесь это
a
правило можно применить, потому что в выражение
Пд|э(а/Р) переменная а не входит в качестве свободной
Р
переменной.
Метатеорема (Ь) доказывается аналогично.
Производно и так называемое правило подстановки
вместо функциональных выражений. Но доказательство
по индукции этого правила достаточно сложно. Более
простым является его доказательство с помощью пра-
правила введения определений в доказательство, которое
мы рассмотрим в § 5. Там же мы сформулируем и под-
подробнее рассмотрим правило подстановки вместо функ-
функциональных выражений.
Перечисленные выше правила играют роль основных
правил в некоторых представлениях узкого исчисления
предикатов, о которых мы сейчас коротко упомянем.
Узкое исчисление предикатов можно, собственно,
построить, добавляя к аксиомам и правилам исчисления
предложений в § 5 разд. I правило подстановки вместо
свободных именных переменных и правила П1—П4.
При этом вместо правил П1 и ПЗ можно принять пра-
правила ПГ и ПЗ'.
Узкое исчисление предикатов можно построить так-
также и аксиоматическим методом, добавляя к аксиомам
и основным правилам исчисления предложений в § 5
разд. I, в качестве аксиом исчисления предикатов тео-
теоремы Т1 и Т11', а в качестве исходных правил—правило
введения квантора общности в теоремы, правило подста-
подстановки вместо свободных именных переменных и функ-
функциональных выражений и, -наконец, правило переимено-
1 То есть A) П А (х) -> А (у) и B) П (Р -> А (х)) = р -> П А (х); при этом
XXX
вместо B) можно взять более слабое выражение П (Р -> А (х)) ->
-> (Р -> П А (х)). ~ Прим. перев. *
X
5 Зак. 834 129

вания переменных, связанных квантором общности.
Квантор существования вводится по определению
df
(ср. Т25).
Построенные таким путем системы эквивалентны систе-
системе узкого исчисления предикатов, описанной- в этом
учебнике. ¦
В связи с системой узкого исчисления предикатов
возникают — так же как и в связи с ^счислением пред-
предложений — проблемы непротиворечивости, независимо-
независимости, непополнимости и полноты, которым мы сейчас
посвятим несколько замечаний.
Можно показать, что данная система непротиворе-
непротиворечива и что ее основные правила независимы. В противо-
противоположность исчислению предложений узкое исчисление
предикатов не является непополнимым. Именно, можно
показать, что добавление, например, выражения
«ЕЛ(x)->IL4(x)» к аксиомам узкого исчисления преди-
X X
катов не приводит к противоречию, хотя данное выра-
выражение не является теоремой. Однако узкое исчисление
предикатов полно, а поэтому каждое истинное выраже-
выражение данного исчисления есть его теорема. Это утвержде-
утверждение доказал К. Гедель в 1930 году.
Используемое здесь понятие истинности определяется
через понятие выполнимости. Содержательный смысл
этого последнего понятия мы разъясним на следующих
примерах.
Говорят, что уравнение х+3 = 5 выполняется для
числа 2, условие х+у = 4 выполняется для чисел 1 и 3.
Но уравнение х+3=5 не выполняется для числа 1, а ус-
условие х+у=4 не выполняется для чисел 1 и 2. Если дан-
данное выражение выполняется для любой последователь-
последовательности предметов некоторого непустого множества или,
как обычно говорят, некоторой области, то говорят, что
данное выражение истинно в данной области. Например,
выражение «x<(/->Sx<z<(/» истинно в области чсех
г
рациональных чисел, но не истинно в области всех нату-
натуральных чисел, потому что это выражение не выполняет-
выполняется для натуральных чисел 2 и 3. Выражение, истинное
130

в любой непустой области (иначе говоря, в области, в
которой имеется хотя бы один предмет), называется
истинным выражением1. В этом смысле каждая тео-
теорема узкого исчисления предикатов истинна, а каждое
истинное выражение данного исчисления является в нем
теоремой. Ограничение, относящееся к непустоте обла-
области, существенно. Ибо некоторые теоремы узкого исчис-
исчисления предикатов не истинны в пустой области. Напри-
Например, выражение «~2~Л(я:)->-2Л(л:)»— теорема, но в
X X
пустой области оно ложно. В самом деле, в пустой обла-
области антецедент данного выражения истинен (так как
коль скоро не существует предметов, принадлежащих
области, то не существует также в этой области и пред-
предметов, не обладающих свойством А), а консеквент
ложен (так как он означает, что в данной области суще-
существуют предметы, обладающие свойством А).
Хотя для каждого истинного- выражения узкого
исчисления предикатов есть доказательство этого выра-
выражения, но не существует общего метода, позволяющего
конечным числом определенных шагов решить для
любого выражения этого исчисления, истинно ли оно.
Узкое исчисление предикатов, таким образом, — в про-
противоположность исчислению предложений — неразре-
неразрешимая система2. Поэтому мы не сможем дать для
узкого исчисления предикатов такого метода проверки,
как нуль — единичный метод для исчисления предложе-
предложений. Но некоторые части рассматриваемой системы, как,
например, узкое одноаргументное исчисление кванторов
(к которому относятся все теоремы, приведенные в этом
параграфе, за исключением законов перестановки кван-
кванторов), разрешимы, и для них в более обстоятельных
курсах описываются методы разрешения (проверки).
Как мы видели в разд. I, § 3 и в данном параграфе,
теоремы исчисления предложений или же исчисления
предикатов могут быть сформулированы двояким спосо-
способом: 1) в качестве теорем системы и 2) в качестве
Строгое определение понятия выполнимости и истины [приме-
[применительно к формализованным языкам.— Прим. перев.] дал А. Тар-
ский в работе «Понятие истины в языках дедуктивных наук», 1933
(А. Та г ski. Pojgcie prawdy w jgzykoch nauk dedukcyjnych, 1933).
Это утверждение доказал А. Черч в 1936 году. Понятие разре-
разрешимости уточняется с помощью понятия рекурсивных функций.
131

утверждении метасистемы, устанавливающих, что выра-
выражения определенной структуры являются теоремами.
Этот второй способ мы будем называть металогическим.
Поэтому, применяя исчисление предложений или же
узкое исчисление предикатов в какой-либо области
знания, мы можем также поступать двояко.
Первый способ состоит в том, что в основу системы
утверждений данной области знания кладут исчисление
предложений или же на узкое исчисление предикатов
так же, как мы основывали узкое исчисление предика-
предикатов, на исчислении предложений. В этом случае все
символы исчисления предложений или же узкого исчис-
исчисления предикатов, в частности пропозициональные пере-
переменные или же переменные, представляющие предикаты,
считаются принадлежащими данной системе, а все тео-
теоремы исчисления предложений или же узкого исчисле-
исчисления предикатов относятся к теоремам данной системы.
При другом способе мы пользуемся металогической
формулировкой теорем исчисления предложений или же
узкого исчисления предикатов. Тем самым мы не вводим
в систему ни пропозициональных переменных, ни пере-
переменных, представляющих предикаты. Греческие буквы
Ф, г|\ х,..., входящие в металогическую формулировку
теорем исчисления предложений или узкого исчисления
предикатов, обозначают" тогда произвольные выражения
данной системы. В таком представлении исчисление
предложений (узкое исчисление предикатов) называют
иногда прикладным исчислением предложений (при-
(прикладным узким исчислением предикатов).
Основные правила исчисления предложений так же,
как и узкого исчисления предикатов,, которые мы при-
привели в этих разделах, позволяют постооить эти исчисле-
исчисления как первым, так и вторым способами.
У п р а жнен и я:
1. Докажите теоремы:
аJ
Ь)
х у ух
с)
X
132

d)
Покажите на примерах, что импликации, обратные с) и d),
ложны.
2. Докажите следующие законы отрицания, распределения, про-
пронесения и перестановки ограниченных кванторов:
а) ~ П В(х)= 2 ~В(х);
А{х) А(х)
2
А{х) А{х)
c) П (В(ж)-»С(ж))-(Пв(ж)-» ПС(ж));
А(х) А(х) А(х)
d) П (В(х)-»С(х))-+(%В(х)~* 2 С (ж));
Л Л() 4()
е) ПВ(*)\/ П С (ж)-» П(В(ж)уС(ж));
А(х) А(х) А{х)
с (ж» = 2 2
А{х)
g) 2 (s W Л с (ж» - 2 в(х) Л 2
h) П(р-»-В(ж)) 5Р-П В (ж);
О 2(P^S(*))^(p-^2 в (ж));
j) п (в (ж)-»/>)= 21в <*)-*«
к) 2
1) П П жф = П П
В(У) А(х)
2S
В{У)А{х)
Покажите на примерах, что импликации, обратные к i) и к), не
являются теоремами. Докажите эти обратные импликации при
условии ЪА(х). •
X
, 133

§ 4. Тождество
К логическим терминам, кроме постоянных
исчисления предложений и исчисления предикатов, от-
относят также знак « = », который называют знаком тож-
тождества, или равенства. С помощью этого знака записы-
записывается большинство математических формул. Выраже-
Выражение «х=у» читается: «лс тождественно у», или же «х рав-
равно у».
Вводя в логику знак тождества, мы принимаем ак-
аксиому
А1. х = х.
Это единственная аксиома, которую мы вводим в логи-
логические системы, развиваемые в этой книге. Эта аксиома;
содержательно полностью очевидна.
Столь же содержательно очевидно и правило присое-;
динения новых строк к доказательству, схема которого;
ЭТ а=р
Ф
Буквы аир — именные переменные, ф — произвольное-
пропозициональное выражение, ф(р//а) — выражение,
полученное заменой свободной переменной а, не нахо-
находящейся в области действия квантора, связывающего
переменную р, переменной р. Если переменная а входит
несколько раз в ф, то не обязательно заменять ее всюду
переменной р. Таким образом, если ф обозначает выра-:
жение «х=у-+у=х», то ф(^||я) обозначает как выраже-1
ние <nt=y^-y==t», так и выражения «t—y^>-y=x» и
«x=y->-y = ty>. Введенное правило называется правилом;
экстенсиональности для тождества. Оно аналогично
правилу экстенсиональности для эквивалентности. Одна- >
ко если это второе правило производно в исчислении
предложений, то правило экстенсиональности для тож-
тождества — основное правило.
Присоединяя к узкому исчислению предикатов ак-
аксиому А1, правило-ЭТ и одновременно распространяя
правила этого исчисления на выражения, записанные с
помощью знака тождества, мы получаем так называемое
узкое исчисление предикатов с тождеством. Приведем |
134

несколько примеров простейших теорем этого исчисле-
исчисления:
Т1. х = у-+у = х.
Док. A) х = у {допущ.}
B) х^х {А1}
у = х {ЭТ: 1; 2}
Следующее правило, которое мы также будем обо-
обозначать символом ЭТ, производно относительно ЭТ и Т1.
ЭТ « = Р
ф
Ф(а//Р)
Т2. x = y/\y = z->x = ,
Док. A) х = у
B) у = Z
x = z {ЭТ: 1; 2}
Аксиома А1 и теоремы Tl, T2 устанавливают, что тож-
тождество рефлексивно, симметрично и транзитивно1. ИзТ1
и Т2 следует :
Т2а. лс = 2/\y=zz-* х = у.
Применение правила экстенсиональности ЭТ ограни-
ограничивается двумя условиями:
1) заменяются только свободные переменные,
2) заменяемая в ф переменная а не находится в обла-
области действия квантора, связывающего переменную,
которая вставляется на место переменной а.
Мы покажем, что оба эти ограничения существенны:
С этой целью мы заметим, что выражения
(а) П х = х;
(b)
У
1 Отношение R рефлексивно, если YlxRx; оно симметрично, если
X
и транзитивно, если П П П(* R У /\yRz
х у
135

— теоремы узкого исчисления предикатов с тождеством.
Выражение а) мы получаем из Д1, применяя правило
приписывания слева к теоремам квантора общности,
выражение Ь) мы получаем по правилу УП.
Выражение
где переменные представляют натуральные числа, оче-
очевидно, ложно. Но, не соблюдая ограничений 1), 2), мы
могли бы доказать это выражение.
Док. A) х = у {допущ.}
B) П* = * W
х
C) X\x = y-+z = y {b}
х
D) Y\x = x-*z = y {ЭТ: 1; 3}
X
г = у {ПО: 4; 2}
Получая выражение D), мы заменили вопреки ограни-
ограничению 2) переменную «у», входящую в область действия
квантора, связывающего переменную «jc», этой же
переменной.
Приведем другое (также некорректное) доказатель-
доказательство рассматриваемого выражения:
Док. (Г) х = у
/О'\ 1 I *, v
\А ) \\Х *
X
C') Y\x = y
X
D') П* = </
X
z = y
{допущ.}
{а}
-г = У (Ь)
{ЭТ: Г;
{ПО: 3';
136

Получая выражение D'), мы заменили вопреки огра-
ограничению 1) связанную переменную «лс» переменной «у».
ТЗ. x = yf\A{x)-+A{y).
Несложное доказательство этой теоремы мы предостав-
предоставляем читателям.
По одному из законов сложной контрапозиции иы
получаем из ТЗ
ТЗа. А(х)/\~А(у)-+хфу.
Выражение «хфу» употребляется здесь в качестве со-
сокращения выражения «~ (х=у)». Теорему ТЗ можно
прочитать так: Если какое-либо свойство принадлежит
некоторому предмету, то оно принадлежит и предмету,
тождественному первому.
По ТЗа, если какое-либо свойство принадлежит пред-
предмету х и не принадлежит предмету у, то предметы х и у
различны.
Некоторые формулировки теорем ТЗ и ТЗа мы нахо-
находим уже у Аристотеля, который сформулировал также
еще несколько других утверждений, относящихся к тож-
тождеству (среди них, например, Т2а).
у=х
Док. (а) A) Л (л:) {допуш.}
B) х^х {А1}
{BS*: 2; 1}
(Ь) A) у А(у) {допущ.}
B)
{У2*: 1}
C) А(ах) ' ~ Х
А(х) {ЭТ: 2; 3}.
Теорему Т4 Г. Шольц назвал обобщенной ос-
основной теоремой Декарта. В своем известном
рассуждении, имеющем целью получить утверждение,
137

которое не может быть подвергнуто сомнению, Декарт
приходит к заключению, что таким утверждением яв-
является: «я мыслю». И далее он заключает: «я мыслю,
следовательно, я существую». По теореме Т4 предложе-
предложение «я мыслю» эквивалентно предложению «сущест-
«существует х, такое, что х тождественно мне и х мыслит»
(иначе говоря, «существует мыслящий индивид, тож-
тождественный мне»). Но из этого последнего предположе-
предположения следует предложение: «существует х, такое, что х
тождественно мне» (или «я существую»). Собственной
основной теоремой Декарта Шольц называет теорему
А (х)->-Ъу=х, на основании, которой можно непосред-
у ' ¦
ственно провести рассмотренное здесь рассуждение.
Предложение вида «Л(лс)», в которое на месте пере-
переменной «лс» входит некоторое собственное имя, назы-
называется единичным предложением. Теорема Т4 позволяет
заменить единичное предложение логически эквивалент-
эквивалентным предложением, начинающимся квантором сущест-
существования.
Следующая теорема, доказательство которой мы
предоставляем читателям, позволяет единичное предло-
предложение заменить логически эквивалентным ему предло-
предложением, начинающимся квантором общности.
Т5. #)е[
В применениях узкого исчисления предикатов с тож-
тождеством к системам, в которых вместо именных перемен-
переменных можно подставлять сложные именные выражения
(например, выражения а + b, а-Ь и т. п.), мы пользуем-
пользуемся производным правилом экстенсиональности для тож-
тождества, которое позволяет заменять сложные именные
выражения. Здесь мы приведем одну из формулировок
этого производного правила.
Пусть ? и г\ — произвольные именные выражения.
Правило, схема которого
Ф
позволяет заменять выражение ? выражением т), если
выполняются следующие два условия (обобщения усло-
138

вий 1) и 2), приведенных^ формулировке правила ЭТ):
1) ни одна свободная переменная выражения % не свя-
связана в ф на том месте, где заменяется выражение I;
2) ни одна свободная переменная выражения т] не мо-
может оказаться связанной р ф(л11?) на том месте,
где I заменяется на ц (то ебоъ выражение % не нахо-
находится в ф на том месте, где оно заменяется, в обла-
области действия квантора, связывающего некоторую
переменную, которая свободна в выражении т\).
Доказательство этого правила мы предоставляем
читателю.
По этому правилу, например, на основании-теоремы
(a + bJ=a2+2ab + b2 мы из выражения <<(а + ЬJ=х»
получаем выражение «a2+2ab + b2=x».
В узком исчислении предикатов с тождеством можно
определить квантор единственности:
di. 2П()?()Л
* А(х) А(у)
Выражение «ЕЙ(л:)» читается: существует в точности
X
одно х, такое, что А (х).
С помощью квантора единственности следующему
утверждению арифметики действительных чисел
мы можем придать более простой вид:
V Xй = 2.
1м.
х
По закону отрицания конъюнкций и закону отрицания
ограниченного квантора общности из определения D1
мы получаем теорему
те. ~?/(*)^~2Л(*)у? %х^у-
х ^х А(х) А(у)
По Т6 предложение «неверно, что существует в точ-
точности один предмет, обладающий свойством А» экви-
эквивалентно предложению «не существует предмета,
обладающего свойством А или же существуют два раз-
различных предмета, обладающих свойством А».
139

Упрэжиеиия
1. Докажите
х У
Ь) х=у = Т\
г
с) u= z /\v =
d) и = z Д v s
е) дс/ty = 2
0 xRy= П
2. Докажите
а) 2г -^ (*) г
теоремы:
/ — FT FT iv
х У
— t = П П (* =.
X У
и=у
П zRu.
ш=у
эквивалентности:
; 2 Пу=*;
А(х) А(у)
=v = x = z\/ y = t);
Ь) 2лА(х)=
х х у
Покажите, что, принимая любую из этих эквивалеитиостей в
качестве определения квантора едииствеииости, можно из нее вы-
вывести эквивалентность, приведенную в D1.
3. Определите численные кванторы, входящие в следующие кон-
контексты:
a) существуют в точности два х, таких, что А (х),
b) существуют ие менее двух х, таких, что А (х),
c) существуют ие более двух х, таких, что А (х),
d) существуют в точности три х, таких, что А (х).
§ 5. Определение
В системах, в основе которых лежит узкое
исчисление предикатов (с тождеством), обычно поль-
пользуются еще одним правилом, до сих пор еще не описан-
описанным: правилом введения определений в доказательство.
Формулировке этого правила мы предпошлем несколько
общих замечаний об определениях.
Почти в каждой науке вводятся определения новых
терминов через термины, значение которых было ранее
установлено. При построении аксиоматической системы
140

мы стремимся к тому,\чтобы число исходных терминов
было возможно менышш. Остальные термины такой
системы мы определяем через исходные термины.
Используя определений можно для каждого выра-
выражения, содержащего определяемый термин, привести
эквивалентное выражение, це содержащее этого тер-
термина, или — как иногда говорят — можно элиминиро-
элиминировать определяемый термин в любом контексте.
Определения формулируются или в качестве правил
(относящихся к метасистеме), пЬзволяющих заменять
некоторое выражение системы другими выражениями,
или в качестве выражений специального вида, причис-
причисляемых к теоремам системы. О первом способе гово-
говорилось в связи с определениями в аксиоматической
системе исчисления предложений (разд. I, § 5). Из оп-
определений второго типа мы рассмотрим здесь вкратце
нормальные определения, условные определения и ин-
индуктивные определения.
Нормальные определения имеют вид эквивалентно-
стей или равенств. В левой части таких определений
фигурирует определяемый термин. Член нормального
определения, содержащий определяемый термин, назы-
называется определяемым, а второй его член назы-
называется определяющим.
Примерами определений такого рода являются сле-
следующие определения:
A)
B)
C)
D)
EI*1 = 1
F)
x>y = x>y\/ x = y;
l=seq(O);
seq(rt)=n-f 1;
< = (x>0/\y = xVx<0
x~y^z=z+y=x
В определениях A) ""и D) переменные пробегают
множество всех натуральных чисел, а в остальных —
множество всех действительных чисел.
В определении A) определяемый термин — одно-
аргументный предикат, в определении B) — двухаргу-
141

ментный предикат, в определении C) определяемым
термином является постоянное имя, в определениях D)
и E) — именной' функтор от/одного именного аргу-
аргумента, в определении F) —именной функтор от двух
именных аргументов.
Для того чтобы нормальное определение было кор-
корректным, должны выполняться следующие условия:
1) В определяющее/могут входить лишь исходные
термины или ранее/корректно определенные терми-
термины. Определяемый/термин должен быть отличным от
всех терминов, уже фигурирующих в системе. Таким
образом, в определяющее не может входить ни опре-
определяемый термин, ни термин, который определяется
через определяемый термин.
Если это последнее условие не выполняется, то гово-
говорят о «порочном» круге в определении.
2) В определяемое любая переменная может вхо-
входить лишь один раз.
Если это условие не выполняется, то с помощью оп-
определения нельзя элиминировать определяемый термин
в некоторых контекстах.
Например, с помощью эквивалентности
не удовлетворяющей условию 2), нельзя элиминировать
знак «log», например в контексте «Iogiol00 = 2».
3) Условие однородности: любая свободная пере-
переменная, входящая в одну часть определения, должна
входить в качестве свободной переменной и в другую
его часть.
Если это условие не выполняется, то определение
может привести к противоречию. Например, из опреде-
определения:
G) а || Ь = а и Ь лежат на плоскости а и не
имеют общей точки
можно следующим образом получить противоречие:
Пусть а\ и а2 не имеют общей точки, лежат на пло-
плоскости он и не лежат на плоскости <хг. Подставляя в G)
al°i» ^l^i»alai и применяя правило отделения относи-
1 В подлиннике: nazwotwdrczy (буквально: образующий име-
имена) . — Прим.. перев.
142

тельно правой части результата данной подстановки, мы
получаем OiPi1. Но, поставляя в G) a\alt b\blt aldj,
отрицая обе части результата данной подстановки и
применяя относительно пр\вой части этой эквивалент-
эквивалентности правило отделения, m^i получаем — (cxil|i»iJ.
Условия 1), 2), 3) —достаточные условия корректно-
корректности таких нормальных определений, в которых в опре-
определяемое, кроме определяемогоХтермина, входят только
переменные (как, например, в определениях A) — D)).
В определениях E) и F) в\определяемое, кроме
определяемого термина, входит еще знак равенства.
Общий вид таких определений следующий:
(а) /К хп) = уs>'(^;... ,хп,у),
где «/» — определяемый именной функтор от п именных
или функтарных аргументов, а определяющее — пропо-
пропозициональная функция,в которую в качестве свободных
переменных входят х\, ..., хп, у и только эти переменные.
Нормальное определение вида (а), кроме условий 1),
2), 3), должно еще удовлетворять так называемому
условию существования и единственности. Говорят, что
нормальное определение удовлетворяет этому условию,
если выражение
— теорема.
Если же выражение (8) ложно, то определение ви-
вида (а) может привести к противоречию. Например,
определение
(9) .у~х**ушр*=х
не удовлетворяет условию существования и единствен-
единственности, так как неверно, что IlSit/2 = x. Осуществляя сна-
* у
чала в (9) подстановку х/А, у 12, а затем подстановку
*/4, у/—2, мы выводим следствие 2=—2, противореча-
противоречащее теореме 2=^—2.
1 В подлиннике: а\\ Ь (по-видимому, опечатка). — Прим. перев.
2 В подлиннике: ~ а\\ Ъ (по-видимому, опечатка). —Прим, перев.
143

Условия 1), 2), 3) и условие/существования и един-"
ственности являются достаточными условиями коррект-
корректности нормальных определения вида (а).
Примером условного определения является следую-
следующее определение:
A0)
Если бы в определенною) мы опустили антецедент, то
оно привело бы к противоречию, так как определяющее
не удовлетворяло бы тогда условию существования и
единственности (в самом деле, 0-2=0 и 0-3 = 0, а сле-
следовательно, неверно, что ШП*\у-г=х).
х у г
Общий вид условных определений следующий:
(Ь)
где переменные х{ ,..., х{—некоторые (иногда все)
среди переменных хи ..., хп; ^ (хп ,..., х j)—пропози-
j)—пропозициональное выражение, в которое в качестве свободных
переменных входят лишь переменные xlt,..., x lk , а кон-
секвент выражения (Ь) является выражением вида (а).
Определение вида (Ь) корректно, если его консек-
вент удовлетворяет условиям 1), 2), 3), предъявляемым
к нормальным определениям, а также условию сущест-
существования и единственности для предметов, удовлетворяю-
удовлетворяющих антецеденту определения. Поэтому здесь условие
существования и единственности имеет вид:
fl [*<*<i. • ••*<*)-* 2л '<*. ••-.*»• у)]-
Например, для определения A0) это условие имеет
вид:
5
х у+0 г
Определяя термины с помощью условных определе-
определений, мы принимаем тем самым некоторые ограничения,
относящиеся к осмысленности выражений, содержащих
144

эти термины. Именно осмысленными считаются все те
и только те выраженияДиз которых определяемый тер-
термин можно элиминировать с помощью условных опреде-
определений. N ч
В частности, осмысленныЧвыражения, полученные из
выражения «f(xi,..., хп)» подстановкой вместо перемен-
переменных x{l,..., х i таких значений^ для которых имеет место
условие данного определения. \
Например, когда термин определяется с помощью
определения A0), осмысленны выражения:—, — и т.п.,
О О
потому что условие уФО имеет место для 3.
Осмысленны также и выражения, имеющие вид
импликации, где консеквент содержит лишь тот резуль-
результат подстановки в выражение «/(*ь—, *„)». в котором
на местах некоторых из переменных х, ,..., х lk содер-
содержатся выражения с переменными, а антецедент полу-
получается соответствующей подстановкой из выражения
У (х{1,..., xik ).
Например, в рассматриваемом примере выражение
а + Ьф0->—- f-l =z
а+ b
осмысленно.
Если в консеквент определяемый термин входит не-
несколько раз в различных контекстах, то антецедент
должен быть конъюнкцией соответствующих условий
или выражением, из которого следует такая конъюнк-
конъюнкция.
Например, в рассматриваемом примере выражения
а ¦ b a b
осмысленны.
Однако осмысленными не считаются те выражения,
которые получены из выражения «f(xi,..., xn)» подста-
подстановкой вместо переменных х h,..., х lk таких постоянных,
которые не удовлетворяют условию данного определе-
определения.
145

Например, в рассматриваемом примере выражение
«—=z» не является осмысленным, потому что 0 не удов-
удовлетворяет условию уФО.
Примером индуктивного/определения является отно-
относящееся к арифметике натуральных чисел определение:
A2) )/Л=а
(л+ 1) — а-п-\-а
Это определение состоит из двух равенств. В первом
равенстве определяемый термин входит только в одну
часть определения, а одним из его аргументов является
постоянная «1». В другом равенстве определяемый тер-
термин входит в обе части, но в правой части одним из его
аргументов является «п», а в левой части соответствую-
соответствующий аргумент — «п+1».
Индуктивные определения могут иметь также и бо-
более сложный вид.
Индуктивное определение можно привести к нор-
нормальному виду1, например, для определения A2) та-
таким видом является каждое из выражений:
A3')
f
= « Л П П t/(«. "+ 1) =-f(a,n)+a) - f(a, b) = с]\
а п
Выражение «/(а, 1)=аЛ/(а, n+l)=f(a, n)+a», входя-
входящее в A3) и A3'), мы получаем, образуя конъюнкцию
двух равенств, составляющих определение A2), и заме-
заменяя переменной определяемый функтор «•».
Сходным ч обр азом мы поступаем и в других приме-
оах.
1 То есть к виду нормальных определений. — Прим. перев.
2 Доказательство, что из формул A2) следует каждая из фор-
формул A3) и (НУ) и, обратно, что из каждой из этих формул следуют
формулы A2), мы опускаем.
146

В выражения A3) \i A3') входят кванторы, связы-
связывающие переменную, представляющую функторы. Сле-
Следовательно, здесь мы выходим за рамки узкого исчисле-
исчисления предикатов. \
К индуктивным определениям относится и определе-
определение теоремы и-го ранга на \тр. 27. Сходным образом
можно сформулировать определение пропозициональ-
пропозиционального выражения n-го ранга. Эти определения также
можно привести к нормальному виду. На примере опре-
определения пропозиционального выражения исчисления
предложений (ср. выше, стр. 10) мы- познакомим здесь
читателя с некоторой формулировкой нормального вида
для таких определений, часто применяемых в аналогич-
аналогичных случаях. В этой формулировке мы пользуемся
понятием множества замкнутого относительно некото-
некоторых операций, и понятием наименьшего множества,
обладающего данным свойством. Сформулируем опре-
определения этих понятий.
Множество Z замкнуто относительно операции О
тогда, и только тогда, когда применение операции О
к элементам множества Z дает в результате снова эле-
элементы множества Z.
Множество Z — наименьшее множество, обладающее
свойством W тогда, и только тогда, когда множество Z
обладает свойством W и множество Z содержится в каж-
каждом множестве, обладающем свойством W.
С помощью этих понятий определение, данное на
стр. 10, можно сформулировать так:
Множество пропозициональных выражений исчисле-
исчисления предложений есть наименьшее множество, которому
принадлежат пропозициональные переменные и которое
замкнуто относительно операций образования отрица-
отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквива-
эквивалентности.
Аналогично определяется множество теорем данной
аксиоматической системы как наименьшее множество,
содержащее аксиомы этой системы и замкнутое относи-
относительно ее правил вывода. ^
Если бы мы записали эти определения в символиче-
символической форме, то нам пришлось бы использовать кван-
кванторы, связывающие переменные, представляющие уже
не индивиды, в качестве которых фигурируют в этом
случае .выражения, а множества таких индивидов,
147

Правило введения определении позволяет:
1) вводить в качестве теорем/системы корректно по-
построенные определения новых терминов через исход-
исходные или ранее корректно определенные термины;
2) присоединять к доказательству в качестве новых
строк корректно построенные определения новых тер-
терминов через (исходные или ранее корректно опре-
определенные) термины системы или через постоянные,
введенные в данное/доказательство по правилу УЕ.
В приведенной вьуие формулировке мы не делаем
никаких ограничений относительно вида определений, а
поэтому мы можем вводить в доказательство не только
нормальные определения, но и условные или индуктив-
индуктивные определения. Например, введя в доказательство по
правилу У2 постоянные «а» и «6», обозначающие неко-
некоторые числа, мы можем определить индуктивно после-
последовательность {сп}:
Рассмотрение определений и правил введения опре-
определений обусловлено главным образом тем, что во вто-
второй части этого учебника мы будем пользоваться опре-
определениями описанных здесь видов. Кроме того, уже в
данной части учебника мы вводим различные опреде-
определения. Поэтому необходимо было познакомиться с усло-
условиями на корректности.
Правилом введения определений мы обычно поль-
пользуемся в системах, в основе которых лежит узкое исчис-
исчисление предикатов. В рамках самого исчисления преди-
предикатов нет необходимости принимать это правило в
качестве нового основного правила, потому что перечис-
перечисленных ранее правил достаточно для доказательства
всех истинных выражений этой системы.
Однако здесь мы покажем, как с помощью правила
введения определений можно обосновать правило под-
подстановки вместо функциональных выражений, которое
относится к наиболее сложным логическим правилам и
индуктивное доказательство которого также является
сложным. Путь, который мы выберем, позволяет понять
необходимость введения ограничений, фигурирующих в
формулировке рассматриваемого правила.
148

Основная мысль\правила подстановки вместо функ-
функциональных выражений связана с интерпретацией эле-
элементарных выражений узкого исчисления предикатов,
согласно которой, например, выражение «А(х)-» пред-
представляет произвольные, со держащие «х» в качестве сво-
свободной переменной пропозициональные функции, кото-
которые можно подставлять \вместо выражения «А(х)»
(ср. выше, стр. 94, 95). Но при точной формулировке
этого правила мы должны принять во внимание, во-
первых, то обстоятельство, что в данной формуле,
например в теореме Т1 (§ 3, разд. II), переменная, пред-
представляющая предикаты, может входить на разных
местах с разными аргументами; во-вторых, мы должны
ввести некоторые ограничения, относящиеся к свобод-
свободным и связанным переменным, без соблюдения которых
применение данного правила могло бы от истинных
выражений привести к ложным выражениям. Так как
формулировка этого правила — вследствие перечислен-
перечисленных обстоятельств — достаточно сложна, мы приведем
сначала пример применения данного правила.
Пример 1. По этому правилу из теоремы
A) ПМх)-
мы получаем теорему
B) ПЖ*. х,и)-* R(z, у, и),
х
осуществляя в A) следующие подстановки:
A(x)lR(z, х, и);
A(y)fR(z,y,u).
Подставляемые выражения отличаются лишь тем, что
в выражение, подставляемое вместо «Л(х)>>, на некото-
некотором месте входит <ос», а в выражение, подставляемое
вместо «Л(у)», на том же месте входит «у». Чтобы обо-
обозначить в общей форме ^эту подстановку, мы выбираем
переменную «Ь>, не входящую ни в теорему, в которой
осуществляется подстановка, ни в подставляемые выра-
выражения. Осуществляемую подстановку мы обозначим так:
A(t)lR(z,t,u).
149

/
Сейчас мы приводим общую формулировку правила -
подстановки вместо функциональных выражений.
Пусть ф — произвольная теооема узкого исчисления
предикатов, в которую входит переменная ф, представ-
представляющая предикаты. Мы определим, каким путем мы
получаем из теоремы ф новую теорему, заменяя в ф все
выражения, построенные и^ предиката ф и каких-либо
его аргументов, выражениями, отличающимися от неко-
некоторого выражения i|) лишь переменными. В приведен-
приведенном выше примере роль выражения i|) играло выраже-
выражение «/?(г, t, и)».
Пусть ф(рь..., pft)—часть выражения ф, и пусть
¦ф(аь..., ал) — произвольное выражение, содержащее
в качестве свободных переменных сц, ..., аь, которые не
входят ни в качестве свободных, ни в качестве связан-
связанных переменных в ф. Переменные си,..., аь. необязатель-
необязательно все переменные, входящие свободно в выражения i|).
Мы вставляем на место выражения ф(Рь..., Рл) выраже*
ние, которое получается из i|)(<xi,..., ан) подстановкой Pi
вместо аь рг вместо <Х2,..., рл вместо а&. Аналогично по-
поступаем с каждой частью выражения ф, имеющей вид
<p(Yi.-. Yft)-
При этом предполагается, что:
1) Ни одна из переменных аь..., аь. не находится
в ij) в области действия квантора, связывающего пере-
переменные, которые мы подставляем в выражение i|) вместо
переменных сц,..., аь, а значит, — квантора, связываю-
связывающего, например, переменные рь ..., р* или vi. —. Yft-
2)Если одно из выражений ф(рь..., pft), ф(уь-, Yft)
и т. п. находится в ф в области действия квантора, свя-
связывающего некоторую переменную y. to в выражение
¦ф(аь..., ал) переменная y не может входить в качестве
свободной переменной.
Теперь мы приведем пример некорректных подстано-
подстановок, при осуществлении которых не соблюдается одно
из ограничений 1), 2).
Пример 2.
A) ПА(х)-
150

B)
XV У
При осуществлении данной подстановки не соблюдалось
ограничение 1), потому что переменная «Ь, находящая-
находящаяся в выражении <?ZtRy» в области действия квантора,
у
связывающего переменную «у», которую мы подставили
(вопреки общим ограничениям правила подстановки)
вместо переменной <Ф. Выражение B) ложно, что мож-
можно усмотреть из следующего результата подстановки
в B):
х у У
где антецедент истинен, а консеквент ложен.
Пример 3.
A) П ^ (х) -г> А {у),
X
A{t)/xRt,
: B) П xRx -»xRy-
При данной подстановке не соблюдается огарничение 2),
потому что выражение «А(х)» находится в выраже-
выражении A), в которое осуществляется подстановка, в обла-
области действия квантора, связывающего переменную «я»,
входящую одновременно в качестве свободной перемен-
переменной в выражение «xRt». Ложность выражения B) мож-
можно усмотреть из следующего результата подстановки в
данное выражение:
f[ х = х -* X = у,
где антецедент истинен, а консеквент ложен.
Покажем, как в примере 1 из выражения A) можно
вывести выражение B) по правилам подстановки вме-
вместо переменных * (именных и представляющих преди-
предикаты) и введения определений.
151

В это доказательство вводим определение
f1(R,z,u)(t)^R(z,t,u).
В данном определении выражение «/i ( R, z, и)—одно-
аргументный предикат. Выражения типа «/i ( R, z, ы}»
называются предикатами, зависящими от параметров.
В рассматриваемом примере параметрами являются
переменные «Я», «г», «ы».
Пример 1.
A) у]А(х)^А(у),
B) П (Л <*.*,"> (9 = /?(*,', "И
t
C) М
X
{A): Л/Л (/?, г, а)}
D) Л <Л, г, ")(*) =/? (г,**")
E) Л (/?, г, и) (у) s/? (г, у, и)
П /?(г, дс, а) -* й (г, у, а) {ПЭ : 3; 4; 5}»
Аналогично мы поступаем в других примерах такого
рода: вводим определение предиката, зависящего от
параметров, подставляем его вместо переменной, пред-
представляющей предикаты, а затем результат подстановки
в левую часть определения заменяем результатом под-
подстановки в правую часть.
Для того чтобы уяснить роль ограничений 1), 2),
приведенных в формулировке правила подстановки вме-
вместо функциональных выражений, мы рассмотрим, поче-
почему в примерах 2 и 3 не удается провести аналогичное
доказательство.
1 Здесь мы пользуемся правилом экстенсноиальностн исчисления
предикатов (см. стр. 124).
152

При мер" 2.
A)
B)
О)
D) М*> (*) = ?**& {УП:2}
Дальше доказательство обрывается, потому что под-
подстановка в B) «у» вместо «t» нарушала бы ограничение
правила подстановки вместо переменных, так как сво-
свободная переменная «.у» оказалась бы связанной в ре-
результате подстановки.
Пример 3.
A) ПМ*)-*А(у)
X
B) П [/¦<*.*>(')«*#] РП
Дальше доказательство обрывается уже на этом месте,
потому что в A) нельзя подставить «fz<R,x>» вме-
вместо А, так как свободная переменная «х» оказалась бы
связанной в результате подстановки.
Вообще:
Если ограничение 1) не выполняется и поэтому, на-
например, переменная щ находится в я|э в области действия
квантора, связывающего, например, переменную Pj, to
в определение
• • • Sm) (°1. • • • . ак) = Ф (Sl. • • • . Sm. °1. • • • , ак)
вместо переменной а» нельзя подставить переменную Pj,
и так же, как в примере 2, мы не сможем заменить
выражение ф(рь..., рз,..., pft) выражением -фFi, ...,6m,
Pi,..., Pj, ..., Ра).
Если ограничение 2) не выполняется и поэтому, на-
например, ф(рь..., pft) находится в ф в области действия
153

квантора, связывающего переменную у, и перемен-
переменная у свободна в выражении -ф (ai,..., ah), то после введе-
введения определения
/ <Y 8Х, - ¦ • ' О («1. ¦ • • - а*) = Ф К, • • • . ak> Y. \, • ¦ •. SJ
в выражение ф вместо переменной ф нельзя '¦— как в
примере 3—подставить выражение «/<y> Si.-», &m>»,
потому что свободная переменная у оказалась бы свя-
связанной в результате подстановки.
После этих замечаний становится понятным, что если
выполнены ограничения 1), 2), то теорему, которая по-
получается по правилу подстановки вместо функциональ-
функциональных выражений, можно также получить с помощью
соответствующего определения и подстановки вместо
переменных. В самом деле, если выполняется условие 2),
то после введения соответствующего определения можно
осуществить подстановки вместо переменных, представ-
представляющих предикаты, и если при этом выполнено еще
условие 1), то всюду можно заменить левую часть ре-
результата подстановки в соответствующее определение
его правой частью.
Правило подстановки вместо функциональных выра-
выражений мы подробно описали прежде всего потому, что
при применении формул исчисления предикатов в неко-
некоторой области знания мы осуществляем собственно
подстановки вместо функциональных выражений.
Таким образом, нужно ясно представлять себе суще-
существо тех ограничений, которые при этом необходимо
соблюдать.
Заметим еще, что выражение B), которое получено
(корректно) в примере 1, является теоремой по мета-
теореме Ml (ср.- выше, стр. 107), соответствующей тео-
теореме A), так как выражение «R(z, у, ы)» можно полу-
получить из выражения «R(z, х, и)» подстановкой «у»
вместо «х».
Однако выражения B), которые мы получаем (не-
(некорректно) в примерах 2 и 3, не подпадают под схему
метатеоремы Ml, потому что выражение «ЪуЯу» нельзя
у
получить из выражения «LxRy» подстановкой «у», вме-
у .
сто «х», и точно так же выражение «xRy» не является
результатом подстановки в выражение «xRx».
Как в этом, так и во многих других случаях приме-
154

нение метатеорем исчисления предикатов является
делом более легким, чем применение соответствующих
теорем, которое требует использования подстановок
вместо функциональных выражений.
Упражнения:
1. Приведете определения сложения и возведения в степень нату-
натуральных чисел, а затем преобразуйте их в нормальные определения.
2. В теореме: ZUR{x, у) —»2/?(*, х) осуществите подстановку:
х у х
R(U, ti)IY,R(ti, z, U, и). Выведите теорему, полученную из данной
и
подстановки, с помощью соответствующего определения.
3. В теореме, приведенной в упражнении 2, осуществите под-
подстановку:
§ 6. Исчисление предикатов высших
порядков
В предыдущих параграфах этого раздела
было описано узкое исчисление предикатов, которое
называют также исчислением предикатов 1-го порядка.
Напомним некоторые самые существенные его свойства.
Переменными узкого исчисления предикатов, кроме
пропозициональных переменных, являются лишь имен-
именные переменные и переменные, представляющие преди-
предикаты. В выражениях этого исчисления кванторы связы-
связывают только именные .переменные. Элементарные выра-
выражения узкого исчисления предикат — это пропозицио-
пропозициональные переменные и выражения, построенные из пре-
предиката' и его аргументов, а значит, такие выражения, как
А(х), В (у), xRy, R(x,y,z).
Мы введём более общее понятие элементарного вы-
выражения. Определение этого понятия достаточно сложно,
поэтому мы предпошлем ему несколько примеров. Сле-
Следующая эквивалентность,
DI. d-XAf
1 Точнее говоря, из предиката или переменной, представляющей
предикаты. Этим и аналогичными сокращениями мы будем пользо-
пользоваться неоднократно' в данном параграфе.
155

определяет символ а. При интерпретации одноаргумент-'
ных предикатов как выражений, обозначающих свойства
предметов (индивидов), выражение а (Л) можно Читать:
А есть свойство, принадлежащее только одному пред-
предмету.
Выражение АрВ можно читать: не существует предмета,
которому свойство А принадлежит только в том случае,
когда ему принадлежит и свойство В.
Символы аир относятся, подобно предикатам, к
пропозициональным функторам, потому что образуют
вместе со своими аргументами пропозициональные выра-
выражения. Но аргументы этих функторов — не имена, а
предикаты.
Приведем еще определение:
Dili. хоАв>А(х)Ла(А).
Определяемое выражение читается: х — единственный
предмет, обладающий свойством А. Первый аргумент
функтора а — имя, а другой — предикат.
Предикаты иначе называются функторами 1-го по-
порядка, а элементарные выражения узкого исчисления
предикатов — элементарными выражениями 1-го поряд-
порядка. Функторы 2-го порядка — это пропозициональные
функторы от аргументов, которые являются именами или
функторами 1-го порядка, причем хотя бы один аргумент
является функтором 1-го порядка.
Выражения, построенные из функтора 2-го порядка
и аргументов, называются элементарными выражениями
2-го порядка. Определенные выше символы а, р, а явля-
являются, следовательно, Функторами 2-го порядка, а выра-
выражения а(А), АрВ, хоА — элементарными выражениями
2-го порядка.
Будем считать, что «жирные» буквы А, В, С,... пред-
представляют одноаргументные функторы 2-го порядка, а
буквы R, S, Т — функторы 2-го порядка от большего
числа аргументов.
Следующие выражения относятся к элементарным
выражениям 2-го порядка, записанным исключительно
с помощью переменных:
А(Л), В (Л), ARB, xKA, S(A,x,y).
156

Подобно тому как узкое исчисление предикатов бы-
было надстроено над исчислением предложений, мы можем
над узким исчислением предикатов надстроить более
богатую систему, элементарными выражениями которой
являются пропозициональные переменные, а также эле-
элементарные выражения 1-го и 2-го порядков. Эта система
называется расширенным исчислением предикатов, или
исчислением предикатов 2-го порядка.
В этом исчислении кванторы связывают именные пе-
переменные и переменные, представляющие предикаты, но
не связывают переменных, представляющих функторы
2-го порядка.
Мы приведем несколько теорем расширенного исчис-
исчисления предикатов. Первые три из них являются анало-
аналогами некоторых теорем узкого исчисления предикатов,
в частности, например, fill соответствует теореме Т21
(§ 3, разд. II), ТП соответствует прямой импликации,
содержащейся в Т7 (§ 3, разд. II).
ТП. П [А (А) Д В (А)] - П А (А) Л П В (А).
А А А
тш. ?П(^в)-*ПХОВД.
А В В А
TIV. П?Л(л:).
х А
Теорему TIV можно читать: для любого предмета
существует свойство, принадлежащее этому предмету.
В эту теорему не входят элементарные выражения 2-го
порядка, но тем не менее она не относится к узкому ис-
исчислению предикатов, потому что квантор существова-
существования связывает в ней переменную, представляющую пре-
предикаты.
TV. ?(x/foBylfr).
По этой теореме существует отношение, которое имеет
место между предметами х и у тогда, и только тогда,
когда оно имеет место между предметами у и х.
157

Правила оперирования кванторами, связывающими
переменные, представляющие предикаты, полностью
аналогичны правилам узкого исчисления предикатов.
Это замечание мы проиллюстрируем на примере доказа-
доказательства ТН:
Док. TIL A)
B)
C)
D)
E)
F)
1 | [А (Л) Д В (Л)]
А
А (Л) Л В (Л)
А(Л)|
В(Л)|
ПА (Л)
А
ПВ(Л)
{допущ.}
{УПЛ}
{УК: 2}
{ВП: 3}
{ВП:4}
{ВК:5;6}
В доказательствах теорем расширенного исчисления
предикатов часто пользуются определениями. Так, на-
например, доказательство~Т1У основывается на следую-
следующем определении:
(a) ^ (х) (у) = х = у.
Введенное этим определением выражение «yf<x>»
является одноаргументным функтором, зависящим от
параметра «л;». Это выражение можно интерпретировать
как выражение, обозначающее свойство, присущее пред-
предмету тогда, и только тогда, когда он тождествен предме-
предмету х, — характеристическое свойство предмета х.
Из определения (а) и аксиомы А1, приведенной в
§ 4 разд. II, легко следует
(b) *<*>(*)¦
Этой формулой мы воспользуемся в дальнейших дока-
доказательствах.
Док. TIV. A) *<*>(*) {Ь}
B)
158

2^<*> {ВП:2>
х А
TV доказывается на основании теоремы: х = у^у=х.
Докажем еще следующую важную теорему:
TVI. * = УеП(Л(*)еЛ(у)).
А
Док. (а) A) хг=у {допущ.}
B) А(х)==А(х) {ТПа, §3, разд. 1}
C) А(х)^А(у) {ЭТ:1;2}
П(А(х)^А(у)) {ВП:3}
А
(Ь) A) П(Л(х)^А(у)) {допущ.}
А
B) *<*>(*) = *<*>(</) {УП:1}
C) *<*Ш {ПОЭ:2;Ь}
*=*/ {ПОэ:а;з}
В соответствии с TVI предметы х и у тождественны
тогда, и только тогда, когда любое свойство, принадле-
принадлежащее одному из них, принадлежит также и другому.
Таким образом, ни одно, свойство не может принадле-
принадлежать предмету х, не принадлежа в то же время тожде-
тождественному ему предмету у.
Теорему TVI можно рассматривать как опреде-
определение тождества. Ее основная мысль имеется уже
у Аристотеля, который считал, что только тождествен-
тождественным предметам присущи все одинаковые сьойства. По
определению Фомы Аквинского ^лН1 век), предметы
тождественны тогда, когда все, что принадлежит одно-
одному из них, принадлежит и другому. Наиболее известно
определение Лейбница (XVII век), по которому тожде-
тождественные предметы не различаются ни одним свойством
(principium identitatis indiscernibilium). Символическую
формулировку теоремы TVI в качестве определения
тождества дал впервые Пирс в 1885 году. Это определе-
определение получило распространение после помещения его в
«Principia Mathematical Уайтхеда и Рассела. Его иног-
иногда называют расселовским или лейбницевско-расселов-
ским определением тождества.
159

Функторами 3-го порядка называются пропозицио-
пропозициональные функторы, аргументы которых — имена или
функторы 1-го и 2-го порядков, причем хотя бы один
аргумент — обязательно функтор 2-го порядка. Подоб-
Подобно тому как мы определили элементарное выражение
2-го порядка, мы определим элементарное выражение
3-го порядка.
Исчислением предикатов 3-го порядка называется
система, надстроенная над. расширенным исчислением
предикатов так же, как расширенное исчисление над-
надстроено над узким исчислением предикатов, то есть си-
система, элементарными выражениями которой являются
пропозициональные переменные, а также элементарные
выражения 1-го, 2-го и 3-го порядков. В этом исчислении
кванторы связывают именные переменные, а также пере-
переменные, представляющие функторы 1-го и 2-го поряд-
порядков, но не связывают переменные, представляющие
функторы 3-го порядка. Сходным образом строятся ис-
исчисления предикатов 4-го, 5-го и т. п. порядков. Понят-
Понятно, что чем выше порядок исчисления предикатов, тем
меньше применений имеют в рассуждениях отдельных
наук те теоремы этого исчисления, которые не относятся
к теоремам исчислений низших порядков. Однако раз-
развитие современной математики опирается на то, что в
основу ее отдельных разделов кладут исчисления пре-
предикатов все более высоких порядков.
На основании теоремы TVI мы заключаем, что тож-
тождество индивидов можно определить в рамках расши-
расширенного исчисления предикатов. Аналогично отношение
которое можно прочитать: свойство А тождественно
свойству В, можно определить в исчислении предикатов
3-го порядка. Но мы можем отношение тождества для
свойств ввести в расширенное исчисление предикатов,
принимая аксиому
А1*. А = А,
аналогичную аксиоме А1, и принимая правило, анало-
аналогичное правилу ЭТ.
К рассмотрению вопросов, затронутых в этом пара-
параграфе, мы вернемся в § 3 «Приложения».
160

Упражнения:
1. Докажите теоремы:
а) 2П[П(Л(*)-»вМ)л ПИ(*
Ъ)
d) л (*) = 2 [ПИ« = в (*)) л гi (*)].
В х
2. Принимая теорему TVI как определение тождества, докажи-
докажите А1 и правило ЭТ.
3. Покажите, что знак тождества можно также ввести с помо-
помощью следующих основных правил введения и удаления:
УТ
вт А(х) = А(у)
х=у
В ВТ предполагается, что «.А» не входит в качестве свободной
переменной в допущения доказательства.
Докажите с помощью правил УТ и ВТ теорему TVI, а с по-
помощью теоремы TVI докажите правила УТ и ВТ.
4. Докажите эквивалентность теоремы TVI и теоремы
5. Докажите теоремы:
а) хфу = 2И(*) Л ~ AM V А(у) Л ~ А{х));
§7. Примеры формализованных
математических доказательств
Пример 1.
Доказательство теоремы о существовании ле-
левого модуля умножения на основе' следующих аксиом
теории групп:
АИ. 20/2 = *).
z
6 Зак. 834 ' 161

AIII.
Теорема:
Док. A)
2 п <*¦*=*>¦
у х
{AIII}
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
ау-У = У
У-Ьх,у = х
аУ-(У-Ьх,у) = (ау-у)-Ьх,у
аУ-х = {ау-у)-Ьх,у
ау-х = у-Ьх,у
ау-х = х
П (су-х = х)
{У2:1}
{У2: ЛИ}
{AI}
{ЭТ:3;4}
{ЭТ: 2; 5}
{ЭТ:3; 6}
{ВП:7}
{BS: 8}
Пример 2.
Доказательство теоремы о существовании биссектри-
биссектрисы '. Мы введем следующие сокращения, с помощью ко-
которых будет записываться доказательство:
Буква X — сокращение для набора переменных О, А,
А', В, В', представляющих точки, указанные на рисунке.
1 Ср. A. Mostowski. Logika matematyczna, 1948, str. 68—68..
162

Выражение «Ф(Х)>>—сокращение предложения «точ-
«точки А, В лежат на одном луче угла, точки А', В' лежат
на другом луче угла, а отрезки ОА, АВ, ОА', А'В' кон-
конгруэнтны».
Выражение «^(Х, С)»— сокращение предложения
«точка С лежит на прямых АВ' и А'В-».
Выражение «в(С, k)» — сокращение предложения
«k — прямая ОС-».
Выражение «Л(&)»— сокращение предложения «пря-
«прямая k — биссектриса данного угла».
Применяя в доказательстве правило У2, мы будем
использовать в качестве постоянных буквы X, С, k с
нижними индексами, то есть Х\, С\, k\.
Мы без доказательства принимаем следующие утвер-
утверждения:
г. Щ<ъ(Х)-*у;
X С
Словами: при условии Ф(Х) прямые АВ' и Л'В_пересе-
каются '
II. П ГФ(Х) Л Ч(Х, С) Лв(С, к) -+ А (к)]
X,C,k
(в условиях Ф(Х), W(X, С) и в (С, k) углы СО А и СО А'
конгруэнтны).
ш. 2Ф(Х)
X
(на каждом из лучей.угла можно отложить конгруэнт-
конгруэнтные отрезки ОА, АВ, ОА', А'В).
IV. 2
с k
(через точки О и С всегда проходит прямая).
Теорема:
A (k) (существует биссектриса данного угла)..
Док. A) Ф(Хг) {У2:Ш}
B)
163

2*(*ь9 {П0:2М}
с
DL4*», С») {У2:Ш}
E) 2 в (С», А) {УП:1У}
FN (С^) {У.2:5}
G) Ф (X,) Д V (Xlf Q) Л в (Си kx) -» A (kt) {УП:11}
(8) Ф(Xt) Д V(Xv С,) Л в(Си kj {BK:l;4;6}
(9)A(fti) {ПО:7; 8}
2
Пример 3.
Доказательство обычного принципа индукции;
Здесь предполагается, что переменные а, Ь, с пробегают
множество натуральных чисел, к которым относится и
число 0. В доказательстве мы пользуемся следующими
теоремами:
"• П{[П Mb)]-* А (а)}-+А(а?.
а Ь<а
Т1.
Т2.
ТЗ.
Т4. •
Т5.
a + b = b-
а + 0-
афО /\аФ\
a<bs=S?a-\
СФО
1 Ф 0.
1 Эту теорему часто также нагзывают принципом индукции.
164

Теорема:
А@)АП 1А(а)-+А(а
а
Док. A) Л@)
C) ~Л(а) {допущ. к. д.}
D) А (О)-» Л @ + 1) {УП:2}|
EH+1 = 1 {Tl; T2}
F) ЛA) {ПО, ЭТ:4;1; 5}
G) -П{[П А(Ь)]-^А(а)} {Тол.:И;3}
а 6<а
(8) ?{[П Л<6)]л~4(а)} {ОП,Т21,§3,разд. 1:7}
(9) ГМ(*)]
б<а, {У2, УК: 8}
A0) ~А(аД.
A1) ЪФО {10;l;T3a,§4, разд. II}
A2) ахф\ {10;6;ТЗа,§4, разд. II}
A3) 1 <at {ПО:ТЗ; 11; 12}
A4) 2A+с = %) {ПОЭ:Т4;13}
A5) 1+о^а, ]
A6) С1ФО j
A7)в1+1=а1 {ЭТ:Т1;15}
A8) cl<a1 {ПОЭ,В2^:17;Т5;Т4}
B0) A(Cl) {ПО: 19,18}
B1) A(oJ->A(Cl+l) {УП:2}
B2) A(aJ {ПО, ЭТ: 21,20; 17}
пртврч. {10; 22}
165

4ACTЬ II
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
Раздел I
Общая теория множеств
§ I. Алгебра множеств
Понятие множества относится к тем по-
понятиям, которыми пользуются в различных науках так
же широко, как и постоянными исчисления предложе-
предложений и предикатов. Издавна этим понятием пользовались
и в логике, хотя в течение долгого времени оно не под-
подвергалось точному анализу. Так называемые объемы
терминов (понятий) — это множества предметов, обо-
обозначенных данными терминами (подпадающих под дан-
данные понятия), а отношения между объемами — это не-
некоторые отношения между множествами. Особенно ча-
часто используется понятие множества в различных раз-
разделах математики. Например, в анализе рассматрива-
рассматриваются, в частности, множества чисел и функций, в алгеб-
алгебре — множества многочленов и уравнений, в геомет-
геометрии — множества точек, прямых и плоскостей. Раздел
математики, в котором изучаются свойства множеств,
независимо от того, каковы элементы этих множеств,
называется теорией множеств.
Основным понятием теории множеств является поня-
понятие принадлежности элемента множеству. В качестве
обозначения того, что предмет а принадлежит
множеству А, пишут
ае А.
Часто эта формула также читается: множество А со-
содержит элемент а, или кратко: а есть А.
166

Если 5R,2B , 91 обозначают соответственно множест-
множества всех натуральных (иначе говоря, положительных це-
целых), рациональных и действительных чисел, то сле-
следующие формулы:
2еЗ*, 10е«, — е®
3
истинны, а формулы
л
ложны.
В рассуждениях, относящихся к различным как де-
дедуктивным, так и естественным, наукам, обычно фикси-
фиксируется множество предметов, свойства которых исследу-
исследуются в данной науке. Это множество мы назовем пол-
полным множеством1 и обозначим символом 1.
В арифметике действительных чисел полным множест-
множеством является множество всех действительных чисел, в
арифметике натуральных чисел — множество всех нату-
натуральных чисел, в антропологии — множество всех людей.
В теории множеств можно определить — через поня-
понятие множества — широкий круг важных математических
понятий, таких, как понятие функции, последовательно-
последовательности и т. п. Здесь же было подвергнуто точному анализу
понятие числа. Следовательно, теория множеств являет-
является основной математической дисциплиной.
В разных разделах математики часто различают
множества, содержащие . бесконечно много элементов.
В теории множеств рассматриваются характеристики
таких множеств и их различные виды. Собственно, воз-
возникновение и развитие теории множеств связано с иссле-
исследованием бесконечных множеств. Создателем этого
раздела математики был Георг Кантор A845—1918).
Первые работы Кантора встретили непонимание и со-
сопротивление со стороны многих современных ему мате-
математиков, ибо даже выдающиеся математики считали,
что бесконечность не войдет никогда-в состав математи-
математических понятий. Этот взгляд», например, разделял Гаусс,
научное творчество которого относится к периоду, не-
несколько предшествующему появлению первых работ
1 Полное множество называют также универсальным классом. —
Прим. перев.
167

Кантора. Однако эти прогнозы оказались неоснователь-
неосновательными, а теория множеств быстро развивалась, 'став в
короткое время основной математической дисциплиной
и получив применение в различных разделах матема-
математики.
Возникновению и развитию канторовской теории
множеств предшествовала разработка некоторых поня-
понятий, относящихся к множествам, в так называемой ал-
алгебре множеств1. В этом параграфе при построении
алгебры множеств мы принимаем в качестве ее исход-
исходных терминов символ 6, обозначающий отношение при-
принадлежности элемента множеству, и символ 1, обозна-
обозначающий полное множество.
Мы принимаем следующие соглашения, относящие-
относящиеся к символике:
Малые буквы латинского алфавита
х, у, z,t,u,...
будут обозначать произвольные предметы, не являю-
являющиеся множествами. Эти предметы мы будем называть
индивидами. Произвольные множества индивидов мы
будем обозначать буквами
X,Y,Z,T,U
«Жирными» буквами
X, Y, Z, T, U,...
мы будем обозначать множества, все элементы которых
являются множествами. Такие множества называются
семействами множеств. Нами принимается аксиома
А1.1. хе\.
Таким образом, мы рассматриваем лишь те индиви-
индивиды, которые относятся к элементам некоторого фиксиро-
фиксированного полного множества. Дальнейшие аксиомы тео-
теории множеств мы будем вводить постепенно.
1 Алгебра множеств была основательно исследована английским
математиком Джорджем Булем. Первая работа Буля в этой облас-
области появилась в 1854 году. Многие теоремы алгебры множеств были
ранее известны Лейбницу (XVII век).
168

Сформулируем определение двух основных понятий
алгебры множеств:
Выражение Х-^ Y читается: множество X равнообъ-
емно множеству Y. Таким образом, всякий индивид, ко-
который является элементом одного из равнообъемных
множеств, является также и элементом другого.
D1.2.
X
Выражение Xc:Y читается: множество X содержится
(включается) в множестве(о) Y, или же: множество X
есть часть множества Y, или еще: множество X есть
подмножество множества Y.
Таким образом, X — часть множества Y тогда, и
только тогда, когда всякий элемент множества X являет-
является элементом множества У; при этом множество Y мо-
может содержать (но не обязательно содержит!) элемен-
элементы, не принадлежащие множеству X.
Мы докажем несколько теорем алгебры множеств.
Доказательства этих теорем мы будем записывать так
же, как и доказательства логических теорем, но, вообще
говоря, не будем указывать в фигурных скобках логи-
логических правил, которыми мы пользуемся. В доказатель-
доказательствах мы будем пользоваться некоторыми сокращения-
сокращениями. Однако заполнение э сокращенных доказательствах
пробелов не должно представлять трудностей для чита-
читателей.
Т1.1. ХС1.
Эта формула означает, что любое множество индивидов
есть подмножество полного множества.
Док. A)
B)
C) Y\(xsX^xsl)- {2}
X(Zl {D1.2,3}
1 Вместо номера мы привели саму теорему. Аналогично мы бу-
будем поступать и в дальнейшем.
169

Tl. 2a. X = X.
Эту теорему словесно можно сформулировать так: отно-
отношение равнообъемности множеств рефлексивно, симмет-
симметрично и транзитивно.
Мы приведем лишь доказательство формулы с, предо-
предоставляя доказательство остальных формул читателю.
Док. A)Х = К- 1
\ {Допущ.}
B) Y = Z J
C) [\(xzX=sxzYI {Dl.1,1}
X
D) f] (xeY = xeZ) {Dl.1,2}
E) xeX^xsY {3}
F) xbY=sxbZ {4}
(8) f[(xeX^xeZ) {7}
X
X = Z {Dl.1,8}
Tl. 3a.
b.
Мы докажем лишь формулу а, предоставив читате-
читателю доказательство формулы Ь.
Док. а. A) X = Y {допущ.}
B) xbX=xbY {Dl.1,1}
C) xeX->xeY {2}
D) Y](xeX->xeY) {3}
1 Здесь н ниже е обозначает 6 Прим. ред.
170

{D1.2,4}
Tl. 4a. XdX. {T1.3a, Tl. 2a}
b.
Таким образом, отношение с рефлексивно и транзи-
тивно, но оно не является симметричным, так как, на-
например, множество простых чисел содержится в множе-
множестве натуральных чисел, но не наоборот. Несложное
доказательство этой теоремы мы предоставляем чита-
читателю.
Ll.l. x = y^Y\ixiX = yi^'7T.
Док. A) х = у {допущ.}
B) хгХ^хгХ {р^р}\
C) х&Х'^уеХ {ЭТ:1,2}
\ угХ) {3} '
D1. За. х?{у}==х = у.
Ъ. xe{yuyt Уп} = х = уг\/х = уг \J ...\Jx=yn.
Таким образом, символ (у) обозначает множество,
единственным элементом которого является у, символ
{Уи У2, ¦¦¦, Уп} — множество, элементами которого явля-
являются индивиды уи у2,..., Уп, и только эти индивиды.
Множество {у} называется одноэлементным, или еди-
единичным, множеством.
L1.2. ]~[(xeXssyeX)-*x = y.
х
Док. A) П (xaXzsyeX) {допущ.}
х
B) хг{у\^уг{у}
Т1.5.
{1}
{Dl
{LI
.За
•1,
,2}
LI.
i
.2}.
1 Здесь мы воспользовались правилом экстенсиональности для
исчисления высказываний (ср. ч. I, разд. I, § 3).
171

Таким образом, два индивида тождественны- тогда,
и только тогда, когда они или оба являются, или оба не
являются элементами произвольного множества. Т1.5
может служить определением тождества индивидов. Од-
Однако часто знак тождества рассматривается в алгебре
множеств как исходный термин. Теорема Т1.5 явно ана-
аналогична теореме TVI, приведенной в § 6 раздела II пер-
первой части. Эти теоремы различаются лишь тем, что в
одной из них говорится о множествах, а в другой о
свойствах. Между ними существует и более тесная
связь, так как каждую из них можно доказать с помо-
помощью другой (ср. § 5, стр. 202—203).
Т1.6. X^Y-*X~Y.
Док. A) X = Y {допущ.}
1, Т1.2а}
Таким образом, если множества тождественны, то
они и равнообъемны.
Возникает вопрос, верно ли также обратное утверж-
утверждение, то есть тождественны ли равнообъемные множе-
множества. Содержательно это утверждение не вызывает со-
сомнений, но на основании до сих пор принятых посылок
оно не может быть доказано. Поэтому мы вводим но-
новую аксиому:
А1.2. X = Y-*X=Y.
По этой аксиоме, называемой аксиомой экстенсиональ-
экстенсиональности для множеств, множества, содержащие одни и те
же элементы, тождественны. Отсюда множество полно-
полностью определяется указанием тех предметов, которые
ему принадлежат.
Таким образом, имеет место эквивалентность:
Т1.7. X^=Y = X = Y {A1.2, Т1.6}
Тем самым любое выражение вида X±=Y мы можем
заменить выражением вида X=Y. Вследствие этого в
дальнейших рассуждениях мы будем пользоваться иск-
исключительно символом « = ».
Мы обращаем внимание: из Т1.7 и замечания, что
отношение тождества рефлексивно, симметрично и тран-
172

зитивно, непосредственно следует Т1.2. Но если бы эта
теорема не была ранее доказана, мы не могли бы при-
принять аксиому А1.2 без опасения сразу получить проти-
противоречие.
Введем другие понятия алгебры множеств. Для их
записи мы будем пользоваться символом €. Выражение
хе X равнозначно выражению ~ (х 6 X).
D1.4.
D1.5.
D1.6.
D1.7.
D1.8.
xeX + Ys
xeXY^
XBX—Ys
хгХ
хгО
s xeX V xeY.
хгХ Л x&Y.
= хгХ Д xeY.
'вхвХ.
= хеГ.
В первых трех из этих определений мы воспользова-
воспользовались символами, взятыми из арифметики. Мы сохраним
также и соответствующую терминологию. Так, напри-
например, операцию, определенную в D1.4, мы будем назы-
называть сложением, результат этой операции — сум-
суммой, а складываемые множества — слагаемыми.
Множество X', определенное в D1.7, называется до-
дополнением множества X; множество 0, определен-
определенное в D1.8, — пустым множеством.
Мы видим, что сумме двух множеств принадлежат
те, и только те, элементы, которые принадлежат хотя
бы одному из слагаемых; произведению — элементы,
принадлежащие одновременно обоим сомножителям;
разности — элементы уменьшаемого, не принадлежащие
вычитаемому, дополнению множества — элементы, не
принадлежащие данному множеству; и, наконец, пусто-
пустому множеству — элементы, принадлежащие дополнению
полного множества.
Для примера мы приведем две теоремы, в которые
входят определяемые термины:
Т1.8. {х1,х%,...,хя\ = {х1} + {х%У+...+{хп}
{D1.3a, b, D1.4, D1.1}.
Т1.9. хеО.
173

По этой теореме ни один предмет не является элемен-
элементом пустого множества.
Док. A) хгО {йопущ. к. д.}
B)*el' {D1.8, 1}
C) дгё! {D1.7, 2}
пртврч. ¦ {А1.1,3}
Т1. 10а. 0=1'.
Ь. 1=0'.
Таким образом, множества 0 и 1 являются дополне-
дополнениями по отношению друг к другу.
Док. а A) П(*еО = хеГ) {D1.8}
X
B) 0 = 1' 401.1,1}
0 = Г {А1.2,2}
В дальнейших доказательствах мы, опуская часть
доказательства, ведущую от выражения вида X = Y к
выражению вида X=Y, будем сразу писать следствие:
X=Y.
Док. b A) хеО' {D1.7, Т1.9}
B)xelsxeO' {p-+iq-* {p = q)\, Al.l, 1}
1=0' {01,1,2}
Tl. lla. X + 0 = X
b.X-l=X ¦
с X + 1 - 1
d. X-0 = 0.
Формула а означает, что пустое множество — модуль
сложения множеств; формула b означает, что полное
множество — модуль умножения множеств.
174

Док. а. A)
B)
Доказательства остальных формул аналогичны, при-
причем в доказательстве
формулы b мы пользуемся А 1.1, D1.5 и теоремой
q -> {р Л Я ¦ р)\
формулы с мы пользуемся А 1.1, D1.4 и теоремой
q-*{p\Jq = q);
формулы d мы пользуемся Т1.9, D1.5 и теоремой
~<7-Ч/>Л<7 = ?).
Введем еще одно определение из алгебры множеств:
D1.9. X&Y&zX<ZY/\X=?Y.
Определяемое отношение читается: X есть собствен-
собственная часть множества У.
Заметим еще, что вместо х еХДг/еХ мы обычно бу-
будем писать, что х, у е X, а множества, произведение ко-
которых пусто, мы будем называть непересекающи-
непересекающимися.
Мы опишем один графический метод проверки фор-
формул алгебры множеств. Это так называемый метод диа-
диаграмм Венна. Множества — за исключением полного
множества — мы будем символизировать с помощью
кругов. Когда мы имеем дело с двумя множествами
X, Y, рисуем два пересекающихся круга, из которых
один символизирует множество X, а другой — У. Тем
самым мы получаем диаграмму
(А)
175

Произведение X-Y символизируется частью плоско-
плоскости I, разность X—Y — частью плоскости II, а сумма
X+Y — частью плоскости, образованной I, II, III.
Для символического представления дополнения мно-
множества мы вводим прямоугольник, соответствующий
полному множеству. Помещая в этом прямоугольнике
круг, символизирующий множество X, мы получаем диа-
диаграмму
где часть прямоугольника, находящаяся вне круга, со-
соответствующего множеству X, символически представ-
представляет дополнение этого множества, то есть множе-
множество X'.
Множество X содержится в множестве Y тогда, и
только тогда, когда часть плоскости, символизирующая
X, находится в части плоскости, символизирующей Y,
или же совпадает с последней.
Имея в виду сказанное, мы легко, сможем «прочи-
«прочитать» по диаграмме (А), что верны, например, следую-
следующие формулы: X-YczX, X-YcY, XczX+Y, YczX+Y,
X-YcX.
Множество Х равно множеству Y тогда, и только
тогда, когда они символизируются одной и той же ча-
частью плоскости. Поэтому из диаграммы (А) очевидно,
что верны формулы
а из диаграммы (В) очевидно, что верны формулы
Л • 1 = Л, Л -J- Л = I.
176

Выражение
X + Y-Z = (X + Y)-(X + Z)
мы проверяем, нарисовав диаграмму
(С)
и заштриховав на ней сначала часть плоскости, симво-
символизирующую множество X+Y-Z, а затем часть плоско-
плоскости, символизирующую (X + Y) ¦ (X+Z).
Для левой части проверяемого равенства мы полу-
получаем тем самым диаграмму
(О)
177

где заштрихованная часть плоскости символизирует
множество X+Y-Z.
Для правой стороны этого равенства мы получаем
диаграмму
1
Часть плоскости, заштрихованная горизонтальными
черточками, символизирует здесь множество X + Y, часть
плоскости, заштрихованная вертикальными черточка-
черточками, — множество X+Z, их общая часть, заштрихованная
дважды, символически представляет произведение
(X+Y) ¦ (X+Z). Так как части плоскости, символизи-
символизирующие множества X+Y-Z и (X+Y) -{X+Z), совпада-
совпадают, то эти множества равны, а потому проверяемое вы-
выражение истинно.
В данной проверке мы пользовались прерывистыми
линиями, потому что непрерывные линии используются
для обозначения пустоты множества. Так, например,
истинность выражения XczY отмечаем на диаграмме
(А), заштриховывая часть II плоскости непрерывными
линиями.
В силу приведенных выше разъяснений выражение
XczY истинно тогда, и только тогда, когда часть плос-
плоскости, символизирующая множество X, находится в ча-
части плоскости, символизирующей множество У (или со-
совпадает с этой последней частью плоскости). То же
имеет место тогда, и только тогда, когда множество
X—У, символически представляемое частью II плоско-
178

сти, пусто. Таким образом, истинность выражения
XaY мы символизируем с помощью диаграммы
В то же время ложность этого выражения мы обо-
обозначаем с помощью диаграммы
К
Посредством знака « + », помещаемого на некоторой
части плоскости, мы обозначаем непустоту множества,
символизируемого данной частью плоскости.
В силу этих замечаний в D1.9 истинность выражения
Y символизирует диаграмма
179

Выражения алгебры множеств, имеющие вид импли-
импликации, мы проверяем при помощи диаграмм Венна,
пользуясь при этом сокращенным нуль—единичным ме-
методом проверки выражений исчисления предложений.
Поэтому, допуская, например, что антецедент имплика-
импликации истинен, мы графически символизируем истинность
антецедента на соответствующей диаграмме и иссле-
исследуем, может ли быть в этих условиях консеквент лож-
ложным. В других примерах мы допускаем, что консеквент
данной импликации ложен, и графически символизируем
ложность этого консеквента на соответствующей диа-
диаграмме, а затем исследуем, может ли быть истинным
антецедент данной импликации.
Этим способом мы проверим, например, Т1.4Ь с по-
помощью диаграммы
Из диаграммы (Сз) видно, что если антецедент Т1.4Ь
истинен, а следовательно, если XcY и YczZ, то тогда
верно, что и множество X содержится в множестве Y
(так как при графической символизации истинности
антецедента вся часть круга X, находящаяся вне кру-
круга Z, оказалась заштрихованной). И поэтому формула
Т1.4Ь истинна.
На ложность выражения
указывает следующая диаграмма:
180

(C4)
из которой видно, что при истинном антецеденте этой
импликации ее консеквент ложен, так как множество
X—Y непусто.
Выражения, содержащие четыре переменные, мы
проверяем с помощью следующей диаграммы, построен-
построенной из четырех пересекающихся эллипсов1:
х
Y
1 Обобщение графического метода проверки с помощью диаграмм
Венна дается в статье проф. Лушчевской-Романовой (см. S. L u s z с-
z e w s k a-R ohmanowa, Analiza i uog61pience metody sprawdza-
nia formul logicznych przy pomocy diagramow Venna.—«Studia Logi-
ca», t. I A953).
181

На истинность формулы
/\Y(ZT-*XY(ZZT
указывает диаграмма
х
На ложность выражения
указывает диаграмма-
(D2)
182

Упражнения:
1. Докажите следующие формулы:
a) X' = 1 — X;
b) X— У = X-Y';
d) X=Y = X' =
e)
0
h)
2. Покажите на примерах ложность следующих формул:
a)(X-Y) + Y=X;
Ъ) (X + Y) — Y = X.
3. Проверьте, что Tl.ll является простым следствием из формул
с)> 0> ё) упражнения 1, Т1.1 и следующих двух формул, доказатель-
доказательство которых будет дано в § 3:
X-Y = Y-X.
4. Сумму и произведение множеств можно определить так:
и
и
В силу этих определений сумма двух множеств является «наимень-
«наименьшим» множеством, содержащим оба слагаемых; произведение двух
множеств является «наибольшим» множеством, содержащимся в
обоих сомножителях.
a) На основании этих определений докажите формулы, приве-
приведенные в упражнении 3, а также формулы
(X + Y) + Z = X +(У + Z), (X-Y)Z = Х- (Y-Z);
(X + Y)Z = XZ + YZ, X-Y + Z = (X + Z)(Y + Z).
b) Покажите эквивалентность приведенных здесь определений
суммы и произведения определениям D1.4 и D1.5.
5. Проверьте с помощью диаграмм Венна следующие формулы:
183

Y-Z=OaX — Y = O — XZ=O.
6. Введя постоянные силлогистики Аристотеля с помощыр
определений
SePsS-P=0;
SiP s
проверьте графически следующие законы непосредственных умозак-
умозаключений и силлогистические модусы:
SaP -» ~ SoP;
SaP -» ~ SeP;
~ SIP -> SoP;
МаР Л SaM -> SiP;
МеР Л SIM - SoP;
МаР Л SeM -»SeP;
РеМ Л SaM - SeP;
РаМ Л SeM— SoP.
Какие из этих законов верны лишь при допущении непустоты
рассматриваемых множеств?
7. Проверьте графически формулы
X CZZ Л Y CZT-+X + YC1Z + Т;
ХС1У /\TCL2. aY + zcZX + t ax-y = oaz-tcZY-*
X + Z=1 aY-T=O-*YCZXATCZZ.
При проверке последней формулы — аналога закона о замкну-
замкнутой системе утверждении из исчисления высказываний — диаграм-
диаграмму (D) следует поместить в прямоугольнике, символизирующем пол-
полное множество.
8. Покажите, что верны следующие теоремы:
a)
b) X-Y =
c) YCZX
d) ХфУ
184

e) Z = X — Y->Y-Z = O;
f) XC1Y AY-Z=*O-*X-Z = O;
g) ХфУ-+У-ХфО;
h) ХфУ AYdZ-*X<tZ.
Проверьте эти формулы с помощью диаграмм Венна.
9. Формула X—Y=(X—Y) + (Y—X) определяет операцию на
множествах, отличную от ранее введенных. Множество X—Y назы-
называется симметричной разностью множеств X и Y.
Докажите формулы:
a) Х^-Х=0;
b) X — Y = Y -*- X;
c) X — Y=
d) X-
е)
Постройте диаграмму для симметричной разности и проверьте
с ее помощью формулы b)—d).
10. Докажите следующие теоремы:
a) x&X^-Y =
b) X = Y = X^-Y =
c) X-Y=0-*X^Y
d) XC1Y -*Y — X = Y — X,
§2. Связь между исчислением
предложений и алгеброй множеств
В рассуждениях этого параграфа удобно
считать, что переменными исчисления предложений яв-
являются символы
Pi, Pi, Pa, • • •
Будем также считать, что
Zlt Za, Z9, ....
обозначают произвольные множества, а символы а, р,
Y — произвольные выражения исчисления предложений,
в которые из постоянных входят лишь следующие:
V. Л. ~
185

I. Через а * мы обозначим выражение, которое по-
получается из а подстановкой вместо переменных
Ри Pi, Pi, — соответственно выражений xeZu xe Z2,
хе Z3
II. Через Za мы обозначим выражение, которое по-
получается из выражения а заменой переменных ри р2, р3)...
соответственно символами Zb Z2, Z3,... и символов V.A.
~ соответственно символами +,-,'.
Примеры:
a a* Za
Pi V Р% ^ ^ 1 V ^ ^ 2 "I "T" ^2
— C°i Л Ра) ~(•«6Zt Л •«6Z2) {Z\-Z$
L2. 1а.
b.
Эти формулы непосредственно следуют из правил
обозначения I.
L2. 2а.
Ь.
С. Z^a = (Za)'.
Эти формулы непосредственно следуют из правил
обозначения II.
L2.3. Эквивалентность
A) a ^xeZa
есть теорема алгебры множеств.
Док. Лемма будет доказана путем индукции по
числу вхождений в а символов логических постоянных.
Если в а не входят символы логических постоянных
и поэтому а есть отдельная переменная, например пере-
переменная pi, то на основании правил обозначения I и II
мы устанавливаем, что в рассматриваемом случае как
выражение а®, так и выражение х eZa принимают вид
186

Следовательно, в рассматриваемом случае фор-
формула A) имеет вид.
х е Zj,s х е Zj
и, очевидно, истинна.
Теперь мы допустим, что в а входит k (k>0) симво-
символов логических постоянных и что для выражений, в ко-
которые входит меньше, чем k, этих символов, формула A)
истинна.
Выражение а имеет один из следующих видов:
а) Р V Y;
b) pay;
с) ~р.
В каждое из выражений р и у входит меньше, чем k,
символов логических постоянных. Отсюда и из индук-
индуктивного предположения следуют формулы
B) P*s*6ZB;
C) y»^xeZy.
Мы докажем лемму для случая а.
D) а* ш (Р V Y)* « Р* V Y* {L2. la}
E) а*е=хгг&\/ xzZy {4,2,3}
\ {5, D1.4, L2. 2a}
Таким образом, для случая а формула истинна. Доказа-
Доказательство леммы для случаев b и с аналогично.
Т2.1. Если выражение
a. a s= p есть теорема исчисления предложений, то Za — Zf,
b. а-»р » » » » . » ZdC-Zp;
c. а » » » » »Za=»l.
Док. а. A) as=p " {допущ.}
B) a*Sp^ {1,1}
1 Выражение <р = "$ = х — конъюнкция выражений <р = ф и
187

C) xeZa = xeZfi {L2. 3, 2}
Za = Zt {Dl. 1,3}
Док. b. A) a-»p {допущ.}
B)a* + p* {1,1}
C) xeZa-*xeZfi {L2. 3, 2}
ZaaZp {Dl.2,3}
Док. с. A) a {допущ.}
B) a* {1,1}
C) xeZa {L 2.3, 2}
D) xeZassxel \p-> [(p-*(p^q)], 3, A 1.1}
Z. = l {Dl.l, 4}
Доказанная теорема указывает на тесную связь
между исчислением предложений и алгеброй множеств.
Она позволяет получать непосредственно из теорем ис-
исчисления предложений теоремы алгебры множеств, об-
образованные из двух выражений, записанных с помощью
знаков операций на множествах и связанных знаком
равенства или включения'.-Эти теоремы представляют
собой совокупность чаще всего применяемых формул
алгебры множеств. В следующей теореме приводятся
формулы алгебры множеств, рядом с каждой из них
помещается теорема исчисления предложений, из кото-
которой на основании Т2.1 следует данная формула.
Т2.2а. X+Y=Y+X {pVq = q.V'p}.
b. X-Y-Y-X {pAq^q/Kp}.
с (X+Y)+Z=X+(Y+Z)
d. (X.Y).Z = X.(Y-Z)
e. X-(Y+Z)=X-Y+X.Z
f.
g.
1 To есть знаком СГ - — Прим. перев.
188

5 /V I V\' V V
1, ^Л "у- / f ^ Л * /
]. {X-Y)**X' + Yi
k.
1.
m. X+'X'^l
Упражнения:
1. На основании каких теорем исчисления предложений мы по-
получаем следующие формулы алгебры множеств:
а)
Ь)
с)
(
X
(X
Х'у =
¦Y + X
+ Y)-X
X;
— X;
= х.
2. Приведите формулы алгебры множеств, которые получаются
на основании следующих теорем исчисления предложений:
а)~(~р\/ ~q) = pf\q;
с) Р /\q-*p\/q.
3. Обобщите теоремы и леммы этого параграфа так, чтобы они
относились и к операции вычитания множеств.
4. Выражение р='Ц имеет следующее определение:
р= 'q= ~(p = q).
щ
Дополните результаты этого параграфа так, чтобы они относи-
относились не только к логическим постоянным. V> Л>~> но и к посто-
постоянной = ', сопоставляя этой постоянной знак симметричной разно-
разности — (ср. упражнение 10 предыдущего параграфа).
5. Покажите, что если выражение ~ а — теорема исчисления
предложений, то
6. Докажите формулу:
XX'=0.
§13. Алгебра Буля2
Почти во все теоремы предшествующих двух
параграфов входили переменные, представляющие мно-
множества, но не входили переменные, представляющие
индивиды. В эти теоремы не входил, следовательно, и
1 Формулы i и ] называются законами Де-Моргана для множеств.
2 В остальных частях учебника мы не будем пользоваться опре-
определениями и теоремами, приведенными в этом параграфе.
189

символ «?», однако в них входили знаки операций на
множествах и знаки отношений между множествами.
Но для определения этих операций и отношений так
же, как и для доказательства теорем, говорящих о свой-
свойствах этих операций и отношений, требовалось понятие
принадлежности предмета множеству. Возникает во-
вопрос, нельзя ли построить теорию, содержащую все тео-
теоремы алгебры множеств, которые не имеют других пе-
переменных, кроме переменных, представляющих множе-
множества; причем для обоснования данной теории не требует-
требуется понятия принадлежности элемента множеству. Имен-
Именно такую теорию и создал Джордж Буль (ср. подстроч-
подстрочное примечание к сто. 168). Она была названа по имени
ее автора алгеброй Буля. Значение этой теории состоит
прежде всего в ее приложениях. Мы дадим краткое
описание этой теории.
Исходными терминами алгебры Буля являются сим-
символы- + , •, ' и В. Первые три — это знаки сложения,
умножения и дополнения множеств. Символ В обозна-
обозначает семейство всех подмножеств некоторого фиксиро-
фиксированного непустого множества. Считается, что перемен-
переменные
u, v, и>,\ ..
представляют множества семейства В. Далее прини-
принимается, что сумма, произведение и дополнение элемен-
элементов множества В принадлежат В. Записывая теоремы
алгебры множеств, мы пользуемся логическими симво-
символами, в частности знаком равенства.
Мы приведем аксиомы алгебры Буля, опуская усло-
условия, относящиеся к множеству В, которые были выше
сформулированы словесно. Способ нумерации теорем
этой алгебры выясним ниже.
rI. u +4) =* v + и.
II.
и*.
III.
190
U- (V + W) = U-V-\-U-W.
u + v- w = (u + v)-(u + w)
« + «•«' = u.

IV. u + u'=v+y.
IV*. u-u' = v-v'.
Формулы I, II и II* были доказаны в § 2 как теоре-
теоремы Т2а, е, f. Аналогично можно доказать формулы III,
IV и IV*.
Прежде всего заметим, что из приведенных аксиом
выводятся следующие формулы, относительно трудные
доказательства которых мы опускаем:
I*. u-v = v-u.
III*. и-(и + и') = и.
Нетрудно заметить связь между формулами, обо-
обозначенными той же самой римской цифрой (один раз
без звездочки, а другой раз со звездочкой). Каждая из
таких формул получается из другой формулы данной
пары заменой знака + знаком • и знака • знаком +.
О формулах, удовлетворяющих данному условию, гово-
говорят, что они двойственны.
Таким образом, для каждой аксиомы алгебры Буля
существует двойственная ей аксиома или теорема. От-
Отсюда следует, что и каждая теорема алгебры Буля
обладает этим свойством. Последнее замечание мы
проиллюстрируем примером:
V. « = « + «.
Док. A) и = и + и-и' {III}
B) и + и-и'=(и + и)-(и + и') {II*}
C) (и + и)(и + и') = и + и {III*}
и = и + и {1—3}
V*. и = и-и.
Док. A*) « = «•(« + «')- {HI*}
B*) и- (и + и') = и-и + и-и' {II}
C*) и-и + и-и' = и-и {III}
« = «•« {1* —3*}
..~ 191

Заметим, что соответственные строки этих доказательств
содержат двойственные формулы.
Терминами алгебры множеств, введенными в § 1 и
не относящимися к исходным терминам алгебры Буля,
являются: 1, 0, —, с: (термин = мы опускаем, потому
что его заменяет символ =). Эти термины можно сле-
следующим образом определить в алгебре Буля:
VI. 1 =« + «'•
VI*. 0 = ии'.
VII. и — v = u-v'.
Заметим, что выражения, входящие в формулы VI и
* справа от знака равенства, двойственны. Отсюда
следует, что для получения из выражения а, в которое
наряду с исходными терминами алгебры Буля входят
термины 0 и 1, двойственного выражения нужно заме-
заменить в а символ 1 символом 0 и символ 0 символом 1.
Теперь мы можем заменить формулы III, III*, IV и
IV* более простыми формулами:
IX. и + 0 = и.
IX*. w-l=u.
X. u + u' = l.
X*. и-и' = 0.
В качестве примеров мы приведем еще две теоремы
алгебры Буля.
XI. u = u-v + u-v'.
Док. A) и = и-(и + и') {III*}
B) u-(u + u') = u(v + v') {IV}
C) и- (v + v') = u-v + u-v' {11}
u~u-v + u-v' {1 — 3}
В строке B) доказательства мы воспользовались
правилом экстенсиональности для тождества.
192

Двойственной по отношению к XI является формула
XI*. u = (
В следующую теорему входят термины исчисления
предложений:
XII. и4-»=1Л«Ч»' = 1-*« = »'.
Док. A) u+v = 1
C) u = u + v-v' {III,
D) u + v-v' = (u + v)-(u + v') {II*}
E) (u + v).(u + v') = u + vf {IX* 1, I*}
F) u + v' = (v' + u). (v' + u') {IX* 2, 1}
G) (v' + u)-(v' + u') = vr {XI*}
u = v' {3 — 7}
Теоремой, двойственной к теореме XII, является
XII*. u-v = 0/\u'-v' = 0-*u = v'.
Алгебра Буля имеет интерпретацию во многих раз-
различных теориях. Это и составляет ее наибольшую тео-
теоретическую ценность. Выясним, что понимается под обо-
оборотом: некоторая теория имеет интерпретацию в другой
теории.
Пусть щ,..., пи — все исходные термины некоторой
теории Т; я?,..., я* — исходные или определяемые тер-
термины другой теории Т*. Если аксиомы теории Т в ре-
результате замены в них символа Я1 символом nf, симво-
символа яг символом я? и т. д. становятся аксиомами или
теоремами теории Т*, то говорят, что теория Т имеет
интерпретацию в теории Т*. Менее точным, но, может
быть, более понятным определением этого понятия яв-
является следующее:
Теория Т имеет интерпретацию в теории Т*, если
аксиомы теории Т останутся истинными предложениями,
когда входящим в них исходным терминам придается
смысл терминов теории Т*.
7 Зак. 834 193

Таким образом, если мы интерпретируем алгебру
Буля в некоторой теории Т*, то мы должны прежде
всего из всех ее понятий (исходных или определяемых)
выбрать некоторое множество В^, имеющее хотя бы два
элемента, а также операции + *, • *, '*, из которых
первые две — двухаргументные, а третья — одноаргу-
ментная операции. Эти операции должны обладать тем
свойством, что результаты их применения к элементам
множества В* всегда принадлежат к этому множеству.
Затем следует проверить, становятся ли аксиомы алгеб-
алгебры Буля, если заменить в них символы +, •, ' соответст-
соответственно символами +*,•, *, '*, аксиомами или теоремами
теории Т*.
Очевидно, что если теория Т имеет интерпретацию в
теории Т*, то всякая теорема теории Т имеет аналог
среди теорем теории Т*. Таким образом, результаты,
полученные в Т, можно автоматически переносить в лю-
любую теорию, в которой Т имеет интерпретацию. В част-
частности, в любой теории, в которой может быть интерпре-
интерпретирована алгебра Буля, существует фрагмент, с фор-
формальной точки зрения не отличающийся от этой ал-
алгебры.
Простейшую интерпретацию алгебры Буля мы полу-
получим, когда за символами +, •, ' сохраним их смысл, а
символ В будем понимать как произвольное тело мно-
множеств, то есть как семейство множеств, насчитывающее
не менее двух элементов и обладающее тем свойством,
что сумма, произведение и дополнение принадлежащих
этому семейству множеств принадлежат также этому
семейству. Очевидно, семейство всех подмножеств про-
произвольного непустого множества является телом мно-
множеств, но не обратно. Примером тела множеств, которое
не является семейством всех подмножеств какого-либо
множества, служит семейство множеств, не содержащее
других элементов, кроме пустого множества и множест-
множества всех натуральных чисел, рассматриваемого в каче-
качестве полного множества.
Значительно важнее следующая интерпретация ал-
алгебры Буля в теории вероятностей: пусть В — множест-
множество всех возможных событий; под
а + 6, а-b, а'
194

понимаются соответственно события, которые имеют ме-
место, когда хотя бы одно из событий, а или Ь, имеет ме-
место, когда имеют место оба эти события, когда не име-
имеет место событие а.
Существует также интерпретация алгебры Буля в
теории электрических сетей. Эта интерпретация имеет
большое практическое значение. В дальнейших пара-
параграфах мы будем говорить еще об одной интерпрета-
интерпретации алгебры Буля.
Упражнения:
1. Приведите выражения, двойственные следующим выраже-
выражениям:
a) (u + v)' = u'-v';
b) u + u'=l;
сH'=1.
2. Покажите, что если выражения а^ и Р^ соответственно
двойственны выражениям а и Р^, то выражения аС1 Р и Р Са
эквивалентны.
§ 4. Бесконечные операции
Пусть
A) ХиХ%,Ха,...
— произвольная последовательность множеств, и пусть
— функция, определенная для каждого члена последо-
последовательности A), значения этой функции — множества.
D4.1. хг И ф (X.) = 2 хгц, (Х,I.4
/1 /K]
D4.2. хг П ф'№) в П хец, (X,).
/=1 /еж
00
Множество!! ф(Хг) называется суммой членов по-
/=i
следовательности:
B)Ф (Xj). Ф (Х2), Ф (Ха), ....
1 Напоминаем, что символ 91 обозначает множество всех нату-
натуральных чисел.
7* 195

00
а множество f] (p(Xt) — произведением членов
этой последовательности. Таким образом, множеству
•а
М (р(Х{) принадлежат лишь те элементы, которые при-
надлежат хотя бы одному из множеств B), а множеству
—лишь те элементы, которые принадлежат
00
каждому из множеств B). В частности, символы (J Х{ и
оо
П Xi (в случае, когда <р(Х)=Х) обозначают сумму и
оо оо
произведение множеств A), а символы И Х'( и Q Xt
(в случае, когда q>(X)=Xf) обозначают сумму и произ-
произведение членов последовательности
Х\, .Хг, ^з,
Следующие две формулы являются обобщениями за-
законов Де-Моргана:
Т4. 1а. @^)'-= ПХ.
ь.
Док. а. A) л
B JteA", ) в П (^
= л:е ПХ {Dl-7, D4.1, D1.7, D4.2}
B) П[л@*,)'з» ПХ] {1}
196

Доказательство формулы b аналогично.
Пусть X — произвольное семейство множеств. Будем
считать, что функция Y=<p(X) определена для каждого
элемента семейства X множеств и что значениями этой
функции являются множества.
Следующие два определения являются обобщениями
D4.1 и D4.2:
D4.3. хг U ф (X) т 2 хгу(Х).
ХгХ ХгХ
D4.4. хг П ф (X) = П *eq> (X).
Х*Х ХгХ
В частности, символы И X и П X (в случае, когда
ХеХ Х?Х
у(Х)=Х) обозначают сумму и произведение всех мно-
множеств, принадлежащих семейству А".
У п р а
1.
а)
b)
0
d)
ж н е н и я:
Докажите следующие формулы:
\J(XYt) =
OO
oo
M (Xi -\- Yi)
00
X-
=
oo
n
oo
oo
oo
У,
xr
Yt;
'«;
Гоо
2. Докажите формулы1:
Xe
3. Докажите следующие теоремы:
1 Эти формулы также называются законами Де-Моргана для
множеств,
197

ь) п 2 с* с: >о- и*<= Uy-
ХеХ YeY ХеХ YeY
4. Покажите, что в случае, когда X—пустое множество, мно-
множество И w(X) также пусто, а множество (| ф (X)—полное множе-
Х?Х Х&Х
ство независимо от того, как определяется функция ср.
5. Докажите, что в случае, когда Х= {Z, U},
М
ХеХ
П
ХъХ
6. Дайте определения I J Хи П X, аналогичные определениям
хех хех
суммы и произведения множеств, данных в упражнении 4, § 1. На
основании полученных определений докажите формулы, приведен-
приведенные в предыдущих упражнениях, а также покажите эквивалентность
этих определений D4.3 и D4.4.
§ 5. Декартово произведение
множеств
Мы вводим новое исходное понятие — поня-
понятие упорядоченной пары'. Упорядоченную пару с пер-
первым элементом х и вторым элементом у мы обозначим
через {х, у). Комплексные числа — это упорядоченные
пары, элементы которых — действительные числа.
Основное свойство упорядоченных пар определяется
следующей аксиомой:
А5.1. (х, y) = {Z,t)^x = Z/\y = t.
Таким образом, упорядоченные пары тождественны тог-
тогда, и только тогда, когда тождественны их первые и
тождественны их вторые элементы. Поэтому, если афЬ,
то пары {а, Ъ) и (Ь, а) различны. Вместо ({х, у), г)
мы будем писать (x,y,z), сходным образом вместо
{{х, у, z), t) мы будем писать {х, у, z, t). Вообще
упорядоченную /г-ку предметов, обозначенных символа-
символами Х\,..., хп, мы будем обозначать через (xlt ...,xn).
1 Понятие упорядоченной пары необязательно относить к ис-
исходным понятиям теории множеств: его можно ввести с помощью
определения. Определение упорядоченной пары формулируется в § 4
«Приложения».
198

Из этих предметов некоторые или даже все могут быть
тождественны.
D5.1. (х, у)ъХ х Y == хеХ Л У&.
Точная формула этого определения следующая:
xeXysY
Множество XxY называется декартовым произ-
произведением, или геометрическим произве-
произведением, множеств X и Y. Очевидно, что для любых
двух множеств существует их геометрическое произве-
произведение.
Если через й мы обозначим множество всех целых
чисел, а через 31, как и выше, — множество всех нату-
натуральных чисел, то произведение ? X tR будет множест-
множеством всех упорядоченных пар, первые элементы кото-
которых — целые числа, а вторые — натуральные числа.
В теоретической арифметике через это множество опре-
определяется понятие рационального числа.
Следующей теоремой мы будем пользоваться в даль-
дальнейших параграфах:
Т5.1 a. (X + Y)xZ = XxZ + YxZ.
Ъ. XY = 0-*(X xZ)(YxZ) = 0.
с {1, 2 п)хХ = {1}хХ+{2}хХ+ ...
d.
Мы приведем лишь доказательство формулы с, пре-
предоставляя читателю несложные доказательства формул
a, b и d.
Док. с. Для доказательства формулы с достаточно
заметить, что упорядоченная пара (I, х) является эле-
элементом множества {1, 2,... „п}хХ так же, как и элемен-
элементом множества {1}хХ+{2}Х^+ ... +{п} XX, тогда, и
только тогда, когда i — натуральное число •< п, а эле-
элемент х принадлежит множеству X.
Пусть Ф(д:)—произвольное условие, записанное с
помощью свободной переменной х; в это выражение мо-
199

гут входить и другие свободные переменные. Через Ф (а)
обозначим выражение, полученное из Ф(х) подстанов-
подстановкой вместо переменной х переменной а. Аналогичный
смысл имеют символы Ф (г, t) и Ф (а, Ь).
Введем два определения, позволяющие простым спо-
способом обозначать множества, элементы которых удов-
удовлетворяют данным условиям:
D5.2. хеЕФ(а) = Ф{х)К
а
Таким образом, множество Еф(а) —это множество всех
а
предметов, удовлетворяющих условию Ф(х).
С помощью D5.2 можно доказать эквивалентность
Т1.5 и TVI (ч. I, разд. II, § 6). Именно из привой сторо-
стороны эквивалентности Т1.5 мы получаем левую сторону
эквивалентности TVI, подставляя вместо «.X» выраже-
выражение «ЯЛ(а)» и используя D5.2. Из правой стороны экви-
эквивалентности TVI мы получаем левую сторону эквива-
эквивалентности Т1.5 с помощью подстановки2: A(t)/t? X.
D5.3. аеЯФ (а, Ь) = У У [а =, (г, t) А Ф (г, t)].
Смысл этого понятия раскрывается теоремой
Т5.2. (х, у)еЕФ(а,Ь)=Ф(х,у).
а,Ь
Таким образом, множество ЯФ(а, Ь)—это множество
а,Ь
упорядоченных пар, элементы которых удовлетворяют
условию Ф(х, у).
Док. A.1) (х, у) вЕФ(а, Ь) {доб. допущ.}
а,Ь
A.2) 22К*. у) = (г,ОАФ(г,т {D5.3, 1.1}
A.3) ' ' . (х, У) = (zlt tj)
A.4) Ф(гЛ) /
A.6) * = ?iA# = 'i {A 5.1, 1.3}
1 Буква Е — первая буква французского слова ensemble (мно-
(множество).
2 Здесь мы применяем правило подстановки вместо функцио-
функциональных выражений, описанное в ч. I, разд. II, § б.
200

A.6)
B.1)
B.2)
B-3) 2.
2
B.4)
Ф(*. У)
Ф(х,у)
(х, у) = (*, у) Л
<*, у)€ЕФ(а,
а,Ь
теорема
Ф(*.#)
ЛФ(*.
{1.1 -ч
{1.4,
, 1.5}
{доб. допущ.}
0)
{D 5.3,
>1.6, 2.1 -н
{2.1}
{2.2}
2.3}
> 2.4}
В соответствии с D5.2 множество всех положитель-
положительных действительных чисел мы можем обозначить через
?(а>0Да?$), множество всех корней многочлена
W(a) —через E(W(a)=0). По теореме же T5.2 множе-
а
ство всех упорядоченных пар, в которых первый элеимдат
равен второму, мы можем обозначить через Е(а**Ь),
множество всех решений уравнения х2+у2= 10 — через
Е(а2+Ь2=10).
а.Ь
Упражнения".
1. Покажите, что
(*i. Уи Zi) =
2. Докажите эквивалентность
(*. У)={У, х) = х=у.
3. Докажите формулы
a) (X-y)XZ=(XxZ)-(yxZ);
4. Покажите на примере ложность формулы
XXV =YXX.
5. Докажите следующие формулы:
a) Е [Ф(а) V V(а)] = ЕФ(а) + ЕУ (а);
а а
b) ? [Ф (а) Д V (а)] = ЕФ (of- ?Y (а);
а а а
c) П1ф W = т W1 = ? Ф (о) = ?Y (а);
d)
х
201

§ 6. Элементы теории отношений
Теория отношений составляет один из важ-
важнейших разделов математической логики. Но здесь мы
ограничимся рассмотрением лишь тех понятий этой тео-
теории, которые необходимы для обоснования теории мно-
множеств.
Прежде всего мы определим основное для матема-
математики понятие функции:
D6.1. Re функц в П П П {xRy Л xRz -*у=г).
х у г
Таким образом, отношение есть функция тогда, и толь-
только тогда, когда произвольный предмет может находить-
находиться в этом отношении не более, чем к одному предмету.
Тем самым к функциям относятся, например, следую-
следующие отношения:
xR2y s=y = x*.
Из Т5.2 и D6.1 следует:
Следствие 6.1. Отношение R есть функция тогда, и
только тогда, когда множеству E{aRb) не принадлежит
а,Ь
двух упорядоченных пар, первые элементы которых оди-
одинаковы, а вторые различны.
D6.2a. xeD, (R) =s ^ xRy.
v
b.
Множества Dt(R) и DP(R) называются левой и
правой областями отношения R '. Если полным
множеством является множество всех натуральных чи-
чисел, то левая область отношения «больше» — множество
всех натуральных чисел >1, а правая область — множе-
множество всех натуральных чисел. Левая область отношения:
1 Часто левую область называют областью отношений и обозна-
обозначают символом D(R), а правую область — обратной областью и
обозначают <f (R) ¦
202

х отец у — подмножество множества всех мужчин, а
правая область — множество всех людей.
Из теорем Т5.2 и D6.2 a, b следует:
Следствие 6.2. Мноокество Dt(R) есть множество
всех первых элементов, а множество Dp(R) есть мнооке-
мноокество всех вторых элементов упорядоченных пар, принад-
принадлежащих мноокеству Е (aRb).
а,Ь
D6.3. Re функц Л xeDx (R) -*[y = R(x) = xRy].
Элемент R{x) называется значением функ-
функции R для аргумента х. Заметим, что в случае, когда
R не есть функция или когда хё Dt(R), символ R(x) не
имеет определенного смысла.
H3.D6.2 a, b и D6.3 легко следует:
Следствие 6.3 a. xeD^R)^ \ xRy
yeDp(R)
c. Re, функц /\xzDt (R) -» R (x) eDp(R).
D6.4.
xeX
Множество R(X) называется ^-образом множест-
множества X, а в случае, когда R есть функция, — множест-
множеством значений этой функции для аргументов, при-
принадлежащих X. Если X — множество, единственным эле-
элементом которого является нуль, a R — отношение
«меньше», то R (X) — множество всех положительных
чисел. Заметим, что символ R(x) обозначает некоторый
индивид, а символ R{X) —некоторое множество. Пер-
Первый из этих символов имеет смысл только тогда, когда
R — функция и xsDi(R), а второй имеет смысл всегда.
Примером теоремы, в ^которую входит определенное
выше понятие, является
Т6.1.
Несложное доказательство этой теоремы мы предостав-
предоставляем читателю.
Понятие последовательности — частный случай по-
203

нятия функции. А именно: бесконечная последователь-
последовательность есть функция, левая область которой — множество
всех натуральных чисел, а я-й член данной последова-
последовательности — значение этой функции для аргумента я.
Бесконечную последовательность щ, а2, аз,... мы будем
обозначать через {ап}.
Конечная n-членная последовательность — это функ-
функция, левая область которой — множество натуральных
чисел ¦<«.
D6.5. xR-xy==yRx.
Отношение R~* называется конверсией отношения R.
Конверсия отношения <есть отношение> и обратно.
Конверсия отношения х — муж у есть отношение у —
жена х.
Следствие 6.4. (х, у) гЕ (aR^b) = (у, х) гЕ (aRb)
а,Ь а,Ь
{Т5. 2, D6.5}.
L6.1 a. D,(R)=Dp(R-1).
Ъ.
Док. а. A) ^i
V V
= x&Dp{R-1) {D6.2a, D6.5, D6.2b}
Dt(R) = Dp(R-i) {Dl.l, 1}
Доказательство формулы b аналогично.
D6.6. Rel — ls=R, R-Xe функц.
Выражение R 6 1—1 читается: отношение R взаим-
взаимнооднозначно, или: отношение R — одно —
однозначно. Таким образом, отношение взаимно-
взаимнооднозначно тогда, и только тогда, когда оно и его кон-
конверсия являются функциями.
Примерами взаимнооднозначных отношений явля-
являются следующие арифметические отношения:
xRty = y = 2x/\x,
xR2yesy = x*/\x,
xR,y = у = Xs Л х,
204

Из следствий 6.1, 6.4 и D6.6 следует:
Следствие 6.5. Отношение R взаимнооднозначно тог-
тогда, и только тогда, когда множеству E{aRb) не принад-
а,Ь
лежат никакие две {различные) упорядоченные пары, пер-
первые или вторые элементы которых тоокдественны.
L6.2. Rel — l-*R-*el — 1.
Док. Из того, что Re 1—1, и следствия 6.5 следует,
что множеству E{aRb) не принадлежат никакие две
о.*
(различные) упорядоченные пары, первые или вторые
элементы которых тождественны. Отсюда и из следствия
6.4 следует, что и множеству E(aR~lb) не принадлежат
две такие пары. Еще раз ссылаясь на следствие 6.5, мы
устанавливаем истинность леммы1:
L6.3 a. RbI — 1 Л xeDt (Я) -* x = R{R-1 (*))•
b. Rzl-1 /\x,yвDl{R)f\x=?y-*R{x)фR(!/).
Док. а. A) R&l — l
{допущЛ
B) [>(*>) ' *А Г
C) R, R-1b функц {D6.6, 1}
D) R-1 {x) =
= R-i {x) в xR~lR-1 {x) {D6.3, 3, 2}
E) xR~lR-l{x). {4}
F) ?-»(*) Я* {D6.5, 5}
G) R-1{x)bD1{R) {D6.2a, 6}
л: = Я [#-1 (*)] (D6.3, 3, 7, 6}
Док. b. A) RbI — 1
B) л, ^Dz(^) {допущ.}
C) хфу
1 Доказательство L6.2 явно менее детально, чем предыдущие
доказательства. Нетрудно также построить доказательство леммы
L6.2, записанное исключительно с помощью формул. Но такое до-
доказательство не способствовало бы выяснению неформальной сторо-
стороны рассуждения. В дальнейших частях учебника мы часто будем
формулировать доказательства словесно.
205

D) R (x) = R(y) {допущ. к. д.-}
E) R, R~le функц {D6.6, 1}
F) xRR (x) Л yRR (У) {D6.3, 5, 2}
G) R (x) R~lx/\R (y) R~ly {D6.5, 6}
(8)x = y {06.1,5,4,7}
пртврч. {3, 8} ¦
T6.2. Re 1 -- 1 Д X С Dl (R) -> R~l [R (X)] = X.
Несложное, но достаточно длинное доказательство этой
теоремы мы предоставляем читателю.
D6.7. xRxy a xRy Д хеХ.
Отношение^ называется отношением, ограни-
ограниченным множеством X.
Из D5.3 и D6.7 следует:
Следствие 6.6. Множеству E(aRxb) принадлежат те,
а,Ь
и только те, упорядоченные пары, которые принадлежат
множеству E{aRb) и первые элементы которых принад-
а,Ь
лежат X.
L6.4. Rel — 1->RxbI — 1.
Док. Из того, что R е 1 — 1, и из следствия 6.5 сле-
следует, что множеству E(aRb) не принадлежат никакие
а,Ь
две различные упорядоченные пары, в которых первые
или вторые элементы тождественны. Отсюда и из след-
следствия 6.6 следует, что также множеству E(aRxb) не
а,Ь
принадлежат две такие пары. Отсюда и из следствия
6.5 следует лемма:
L6.5 a.
b.
Док. a.
206
XCZD^l
X(ZDt(R)
A) XCZD[(R)
A.1) XEDt(Rx)
A.2) xRxy-i
A.3) хгХ
I) -» D/ (/?x) = X.
-» Dp (/?^) = R (X).
{допущ.}
{доб. допущ.}
{D6.2a, 1.1}
{D6.7, 1.2}

B.1) хъХ {доб. допущ.}
B.2) xbD^R) {1, 2.1}
B.3) xRy2 {D6.2a, 2.2}
B.4) xRxy% {D6.7, 2.3, 2.1}
B.5) xzD,(Rx) {D6.2a, 2.4}
Dt(Rx) = X {Dl, 1.1-» 1.3, 2.1-» 2.5}
Доказательство формулы b мы предоставляем чита-
читателю.
D6.8. xR; Sy =
Отношение ^; S называется относительным
произведением отношений R и S. Отношение пер-
перпендикулярности прямых в пространстве есть относи-
относительное произведение отношений параллельности пря'
мых и перпендикулярности прямых на плоскости, пото-
потому что прямая / перпендикулярна в пространстве пря-
прямой т тогда, и только тогда, когда существует прямая,
параллельная / и одновременно пересекающая т под
прямым углом. Отношение х тесть у—относительное
произведение отношения х — отец г и отношения z —
жена у.
Из Т5.2 и D6.8 следует:
Следствие 6.7. Упорядоченная пара {х, у) принад-
принадлежит множеству Е (aR; Sb) тогда, и только тогда, ког-
а,Ь
да для некоторого г — пара {х, z)sE(aRb) и одновремен-
одновременно пара {г, у) еЕ (aSb).
L6.6. R, Sel — 1-*R; Sel — 1».
Док. Допустим, что отношение R; S не является
взаимнооднозначным. Тогда по следствию 6.5 сущест-
существуют такие х, у, z, что уфг и
а. (х, у), (х, z)tE(aR; Sb)
a,b
1 Напоминаем, что R, S € 1—1 есть сокращение выражения
#61—1aS6 1—1. — Прим. перев.
207

или
b. {у, х), {г, х) eE(aR; 56).
а,Ь
Рассмотрим случай а. Из следствия 6.7 следует су-
существование ti и ti, таких, что
A) (х, *,), (х, tt)eE(aRb)]
B) (tlt у), (tt, z)eE(aSb).
a,b
Если U = t2, то формула B) противоречит условию, что
S? 1—1. Если же Ь\Фг2, то формула A) противоречит
условию, что R ? 1—1. Поэтому случай а не может
иметь места. Сходным образом мы показываем и невоз-
невозможность случая Ь. Следовательно, допущение, что
R; S ? 1—1, приводит к противоречию.
L6.7 a. Dp(R) = Dt(S)
b. Dp(R)=Dt(S)
Док. а. A) Dp{R) = Dl
A.1) XBDt(R; S)
A.2) *#; Sft
A.3) xRzx
(lA)lxeD,(R)
B.1) *eD,(#)
B.2) xRz2
B.3) z^Dp{R)
B.4) aysD^S)
B.5) 285г/а
B.6) л;/?; Sy2
B.7) *eD,(/?; 5)
-* D, (R; S) = D, (#).
-^Dp(/?; S) = DpE).
,E) {допущ.}
{доб. допущ.}
{D6.2a, 1.1}
{D6.8, 1.2}
{D6.2a, 1.3}
{доб. допущ.}
{D6.2a, 2.1}
{D6.2b, 2.2}
{1, 2.3}
{D6.2a, 2.4}
. {D6.8, 2.2, 2.5}
{D6.2a, 2.6}
Dt(R; S) = Dt(R) {Dl.l, 1.1-»1.4, 2.1 -*2.7}
208

Доказательство формулы b аналогично.
Доказанными леммами мы будем пользоваться в
следующем параграфе.
D.6.9. Об отношении говорят, что оно есть отношение
типа эквивалентности1 тогда, и только тогда, когда оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примерами отношений типа эквивалентности явля-
являются: отношение равенства, подобия многоугольников,
равновеликости плоских фигур, равнозначности выраже-
выражений, наличия крови той же самой группы.
Следующее определение — аналог D1.1:
D6.10. Я^5
Выражение R=S читается: отношение R равнообъемно
отношению S.
Аналогом Т1.2 является теорема, несложное доказа-
доказательство которой мы опускаем.
Т6.2 a. R^R.
Ь.
с. R =
Аналогом Т1.6 является
Т6.3. R = S^R^S.
Аналогом аксиомы экстенсиональности для множеств
(А1.2) является аксиома экстенсиональности для отно-
отношений:
А6.1. R^S-+R = S.
Из Т6.2 и А6.1 следует
Т6.4. R^S=R = S.
Таким образом, выражение вида R=S мы можем
всегда заменить выражением вида R=S. Вследствие
этого в дальнейших параграфах мы будем употреблять
только знак =.
1 Отношения типа эквивалентности часто также называют отно-
отношениями типа равенства. — Прим. перев.
209

Приведем еще одну лемму, которой мы будем поль-
пользоваться в дальнейших параграфах:
L6.8. X = Dl(R)-»Rx = R.
Док. A) X = Dt(R) {допущ.}
A.1) xRxy {доб. допущ.}
A.2) xRy . {D6.7. 1.1}
B.1) xRy {доб. допущ.}
B.2) xeD,(R) {D6.2a, 2.1}
B.3) *еХ {2.2, 1}
B.4) xRxy {D6.7, 2.1, 2.3}
Rx=-R {D6.10, 1.1 -* 1.2, 2.1 -*2.4}
До сих пор мы говорили лишь о двухаргументных
отношениях. В исчислении отношений рассматриваются
также отношения, имеющие большее число аргументов.
Так, например, можно обобщить понятие функции до
понятия функции от многих переменных. Мы сформули-
сформулируем лишь определение функции от двух переменных:
R есть функция от двух переменных == ПППП [R (х, у, г) Д
х у г и
/\R(x, у, u)-*z = u].
Таким образом, функции от двух переменных — это
некоторые трехаргументные отношения. Введем еще по-
понятие отношения, определенного и осуществимого в
данном множестве, опять же ограничиваясь случаем
трехаргументных отношений:
R — отношение, определенное и осуществимое в множе-
множестве X = П П 2 # (х, у, г).
х?Х уеХ г?Х
Те определенные и осуществимые в множестве X
трехчленные отношения, которые относятся к функциям,
называются двухаргументными операциями в множест-
множестве X. Так, например, сложение и умножение — двухар-
гументные операции в множестве натуральных чисел,
вычитание — операция в множестве целых чисел, деле-
деление— операция в множестве рациональных чисел, от-
отличных от 0.
210

Кроме двухаргументных, рассматриваются также
операции одно аргументные, трехаргументные и т. д.
Упражнения:
1. Определите, какие из следующих отношений — функции:
= t^ = х f\x, уг§, Л у>0;
х<у < х +1 л *i у? 31;
= x<y<x+l /\x,y?$;
х — сын у;
х — отец у.
2. Докажите следующие формулы:
a) Rе 1 - 1 Д хеDt(R)-.х = Я-i (R (ж));
b) Re 1-1 /\xeDp(R)-+x=R(R-i(x));
c) Re фуикц Д *еDt (R) -* [жеX = i? (ж)е i? (X)];
е)
f) Яефункцн
-l= П ^l^^ А П
у ytDp(R) x
Покажите на примере, что формула R(X) • R(Y) С R(X ¦ У) не-
неверна.
3. Укажите левую и правую области отношений, перечисленных
в упражнении 1. Какие из этих отношений взаимнооднозначны?
4. Истинна ли формула ##? 1 — 1 —» /? € 1 — 1?
5. Из каких двух отношений образованы следующие относитель-
относительные произведения:
х — зять у, х — шурин у?
6. Покажите на примере ложность формулы
*R; Sy-+xS; Ry.
7. Приведите примеры отношений:
a) рефлексивных и симметричных, но не транзитивных;
b) рефлексивных и транзитивных, но не симметричных;
c) симметричных и транзитивных, но не рефлексивных.
8. Докажите формулы:
a) R = (Я-1)-1;
211

b)(R;S);T=R;(S;T);
c) (R;S)-i = S-i; R-i;
d) R симметрично = R = R—*.
9. Докажите формулу:
10. Покажите на примере, что следующее выражение не являет-
является истинным:
§ 7. Равночисленноеть множеств.
Кардинальные числа
Понятия, которые мы определим в этом пара-
параграфе, относятся к важнейшим и самым основным по-
понятиям теории множеств.
D7.1. Х~*К
Выражение X~RY читается: отношение R устанавли-
устанавливает равночисленность' множеств X и Y. Отношение
устанавливает, таким образом, равночисленность мно-
множества всех натуральных и множества всех положитель-
положительных четных чисел; отношение
zx — y* /\
устанавливает равночисленность множества всех нату-
натуральных чисел и множества всех квадратов натураль-
натуральных чисел.
Еще один пример: пусть К\ и Кг — две концентриче-
концентрические окружности. Точке окружности К\ мы приводим в
соответствие точку окружности /С2, если эти точки ле-
лежат на полупрямой, выходящей из общего центра
окружностей К\ и Кг. Данное соответствие устанавли-
устанавливает равночисленность множества точек, лежащих на
этих окружностях. Как видно из примеров, множества
могут быть равночисленными, несмотря на то что одно
из них есть собственная часть другого. Очевидно, этим
1 Часто вместо выражения «равночисленность множеств> поль-
пользуются также выражением «эквивалентность множеств:». — Прим.
перев.
212

свойством могут обладать только бесконечные множе-
множества.
Из Т5.2, D7.1 и следствий 6.5 и 6.3 следует:
Следствие 7.1. Отношение R устанавливает равно-
численность множеств X и Y тогда, и только тогда,
когда множеству E(aRb) не принадлежат никакие две
а,Ь
(различные) упорядоченные пары, первые или вторые эле-
элементы которых тождественны, причем первые элементы
упорядоченных пар, принадлежащих множеству E(aRb),
образуют множество X, а вторые элементы — множе-
множество Y.
D7.2. X~Yi=
Выражение X~Y читается: множества X и Y равночис-
равночисленны. Таким образом, два множества равночисленны
тогда, и только тогда, когда существует отношение,
устанавливающее их равночисленность.
Очевидно, что два конечных множества равночис-
равночисленны тогда, и только тогда, когда число элементов
одного из них равно числу элементов другого.
В рассуждениях этого параграфа будет удобно обо-
обозначать отношение тождества символом /. Таким обра-
образом, вместо х—у мы будем писать xly. Такая символика
достаточно часто применяется в логике. Заметим еще,
что xlx есть логическая теорема.
L7.1. Х=1(Х).
Док. A.1) уеХ {доб. допущ.}
A.2) угХ A yly {1.1}
A.3) gxly {1.2}
A.4) угЦХ) {D6.4, 1.3}
B.1) уг1(Х) {доб. допущ.}
B.2) J^xly {D6.4, 2.1}
213

B.3) xteX )
{2.2}
B.4) XlIy \
B.5) уеХ {ЭТ: 2.4, 2.3}
X = I(X) {Dl.l, 1.1-» 1.4, 2.1 r-» 2.5}
T7.1 a. X —X.
b. X~ Y-*Y~X.
c. X~KA^~2-^X-Z.
Эту теорему словесно можно сформулировать так:
отношение равночисленности множеств рефлексивно,
симметрично и транзитивно, а потому оно есть отноше-
отношение типа эквивалентности.
Док. а. A) /е функц {D6.1}
B) /-'е функц {D6.5, D6.1}
C) /el —I {D6.6, 1.2}
D) IxbI - 1 {L6.4.3}
E) xbD,A) {D6.2a}
F) Dz(/) = 1 {Dl.l, 5, Al.l}
G) XCD,(I) {Tl.l, 6}
(8) D, (Ix) = Dp(Ix) = X {L6.5a, b, 7, L7.1}
(9) X~IxX {D7.1, 4, 8}
X~X {D7.2, 9}
Док. b. A) X~F {допущ.}
B) X~RlY {D7.2.1}
C) /?xel - 1
, {D7.1, 2}
D) X=D(/?)A^ ^(/?)'
E) /?Г'е1 — 1 {L6.2, 3}
F) Dt{RTl) = Y/\D.(Kfl) = X {L6.1a, b, 4}
214

Док.
G)
с. A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
Y
Y
X
X
Ri
X
Ri
X
X
X
, siei -1
= Dl(R1; S1)/\Z=Dp(R
~Ri;SiZ
~z
Следующими двумя леммами мы
ся в
L7.2.
Док.
L.7.3
Док.
одном
A)Х
B) X
D) Я,
E)/?;
F) Д
Y
из
.<*
f =
{D7.1, 5, 6}.
{D7.2.7}
{допущ.}
{D7.2, 1}
1 {D7 1 2}
{L6.6, 3}
У, SO {L6.7a, b, 4}
{D7.1, 5, 6}
{D7.2, 7}
будем пользовать-
дальнейших параграфов.
X~HY-*Y = R(X)
Dt(R))
h) = R(X)
-R
,(Rx) = Dp(R)
=
Rel -
A) Rel-
C)/?;
D)Я,
E) Dt
C"
«el
r("
,(*
R(X)
-I /\X<zDl(R)-*X~
-l 1
j
'x) = X
H у ^ \ )
{допущ.}
{D7.1, 1}
{L6.5b, 2}
{L6.8, 2}
{5}
{3, 6, 4}
-rxR(X).
{допущ.}
{L6.4, 1}
{L6.5a, 2)
{L6.5b, 2}
{D7.1, 3, 4, 5}
215

Мы вводим новое исходное понятие — понятие мощ-
мощности множества'.
Мощность множества X обозначается через X Соз-
Создатель теории множеств Георг Кантор считал, что мы
приходим к понятию мощности множества, отвлекаясь
от того, какие предметы образуют данное множество и
как эти предметы в нем упорядочены. Две. черточки в
обозначении мощности множества и должны, собствен-
собственно, символизировать эту двойную абстракцию.
К системе теории множеств мы присоединяем новую
аксиому, в которую входит введенный исходный термин:
А7.1. Х=Г=Х~К.
Замечание 7.1. Будем считать, что мощность
пустого множества есть число нуль, а мощность конеч-
конечного множества — натуральное число, указывающее,
сколько элементов насчитывает данное множество.
Таким образом, мощности двух множеств тождест-
тождественны тогда, и только тогда, когда эти множества рав-
ночисленны.
Заметим, что из А7.1 и из рефлексивности, симмет-
симметричности и транзитивности тождества непосредственно
следует Т7.1*.
Д7.3.
Выражение ГОеКЧ читается: го есть кардинальное
число. Таким образом, математический объект — карди-
кардинальное число тогда, и только тогда, когда он есть мощ-
мощность некоторого множества. Из замечания 7.1 и D7.3 сле-
следует, что натуральные числа и число нуль—кардинальные
числа. В дальнейших параграфах мы покажем, что
существуют неравночисленные бесконечные множества.
Таким образом, существуют различные кардинальные
числа, которые не являются ни натуральными числами,
ни нулем. Произвольные кардинальные числа мы будем
обозначать малыми готическими буквами го, n, t.
Из D7.3 легко следует
1 В математической терминологии утвердилось название «мощ-
«мощность множества», хотя, возможно, лучше было бы пользоваться тер-
термином «численность множества».
2 Ср. замечание после Т. 1. 7 (на стр. 172).
216

X7.2 а. ХеКЧ.
ь. п 2хт=ж
х т«кч
Эта теорема имеет следующую словесную формули-
формулировку:
a. Мощность произвольного множества есть кардиналь-
кардинальное число.
b. Для всякого множества существует точно одно кар-
кардинальное число, равное мощности этого множества.
c. Для всякого кардинального числа существует множе-
множество, мощность которого равна данному кардиналь-
кардинальному числу.
L7.4. Для любых множеств А и В существуют множе-
множества Л[ и Ви такие, что А\~~А, В\ — BuAi-Bi=0.
Док. Множества Л1 и Bi мы определяем следую-
следующим образом:
A, а) вА1Е=агА;
B, Ь)вВ1шЬъВ.
Легко видеть, что А\ и В\ удовлетворяют условию
леммы. ¦ • , ' **?4Й|
В рассуждениях о кардинальных числах безразлич-
безразлично, какое из рассматриваемых равночисленных мно-
множеств мы принимаем во внимание. По L7.4 мы можем
всегда данные два множества заменить непересекаю-
непересекающимися множествами.
L7.5
а.
Ь. Л~ВЛЛ1~В1-^Л X ЛХ~В х
Док. а. Допустим, что отношение R устанавливает
равночисленность множеств Л и В, а отношение Ri—
217

равночисленность множеств Ах и В\. Нетрудно видеть,
что отношение S, определяемое формулой
xSy m (xRy V
устанавливает равночисленность множеств
В В
Заметим, что условие: множества А и А\, а также В
и 5j не пересекаются существенно, как можно видеть из
следующего примера:
Л = A, 2, 3), Лх = A, 2, 3,4),
5 = A, 2, 3), Bt = (l, 4, 5, 6).
Доказательство части b леммы мы предоставляем
читателю. Леммами L7.4 и L7.5 мы будем пользоваться
в следующем параграфе.
Заметим еще, что мощность множества всех нату-
натуральных чисел обозначается через No2, мощность мно-
множества всех действительных чисел — через f.
Таким образом, имеют место равенства:
I=N0;
Множества, мощность которых есть число N 0, называют-
называются счетными, а множества, мощность которых есть
число f, называются множествами мощности конти-
континуума.
D7.4. Множество А есть запас последовательности {ап} =
= П [а&А
1 Так, определенное отношение 5 называется суммой отношений
R, Ri н обычно обозначается через R+Ri. Произведение н дополнение
отношений определяются следующим образом:
xR-Sy = xRy /\ xSy;
xR'y = ~ (xRy).
Можно показать, что определяемые операции над отношениями удов-
удовлетворяют аксиомам алгебры Буля, приведенным в § 3. Тем самым
мы получаем еще одну интерпретацию этой алгебры.
2 Знак N (алеф) — первая буква еврейского алфавита. Это
обозначение ввел Кантор. Символ No читается: алеф — нуль.
218

T7.3 A — Ko == 2 [ПП (i ф j -^^ф а.) /\ множество А есть
< V t 1 t
запас последовательности \ап}].
Таким образом, необходимым и достаточным усло-
условием счетности множества А является существование
бесконечной последовательности, не имеющей повто-
повторяющихся членов, запас которой есть множество А.
Док. Пусть
— бесконечная последовательность, не имеющая повто-
повторяющихся членов, запас которой — множество А. При-
Приведем в соответствие каждому члену этой последова-
последовательности его индекс, то есть члену а\ —число 1, члену
а2 — число 2 и т. п. Легко видеть, что данное соответ-
соответствие устанавливает эквивалентность множеств А и 91.
Отсюда следует доказываемая теорема.
Нужно заметить, что почти для всех теорем о мощно-
мощностях существуют эквивалентные им теоремы, в которые
входит не это понятие, а понятие равночисленности
множеств. Таким образом, исключение понятия мощно-
мощности множества из перечня исходных понятий теории
множеств (очевидно, одновременно нужно было бы
исключить и А7.1) не привело бы к существенному
обеднению этой теории, но вызвало бы значительные
трудности в формулировке многих ее теорем.
Упражнения:
1. Покажите равночисленность следующих множеств:
a) множества всех положительных действительных чисел и
множества всех отрицательных действительных чисел;
b) множества всех натуральных чисел и множества всех нату-
натуральных чисел, превосходящих данное число п;
c) множества действительных чисел в интервале @,1) и множе-
множества действительных чисел в интервале (k, k+\);
d) множества всех точек, лежащих на хорде окружности, и
множества всех точек, лежащих на дуге, которая стягивается этой
хордой.
2. Покажите, что следующее определение эквивалентно D7.2:
3. Покажите на примере ложность утверждения
X ~ Y Д Xj. ~ Y1-*XX1 ~ Y-Yl
219

4. Докажите следующие формулы:
5. Покажите детально, что множества {*} и {у} равночисленны.
§ 8. Арифметика кардинальных чисел
Определим сложение, умножение и возведе-
возведение в степень кардинальны* чисел. Для обозначения
каждой из этих операций.мы будем пользоваться симво-
символами, которыми они обозначаются в арифметике «обыч-
«обычных» чисел, например в арифметике натуральных чисел
или в арифметике действительных чисел. Мы сохраним
также терминологию этих арифметик, называя, напри-
например, результат сложения кардинальных чисел с у м-
м о й, а складываемые кардинальные числа — сла-
слагаемыми.
D8.1. X-Y = Q-
Это сокращенная форма определения сложения кар-
кардинальных чисел. Точная форма такого определения
следующая:
у
Y
Определения остальных операций мы приведем только
в сокращенной форме.
D8.2. Х-Г = ХхТ.
Сформулируем вспомогательное определение:
D8.3. ЯеК*'==Я
Выражение ReYx читается: функция R есть отображе-
отображение множества X в множество У.
Из D8.3 следует:
А~А1АВ~В1->ВЛ~ВЛ*.
Доказательство этой формулы, аналогичное доказатель-
доказательству L7.5a, мы предоставляем читателю.
1 Ср. подстрочное примечание на стр. 218.
220

Из D8.3 легко следует также:
Следствие 8.1. ZСY-*ZxСУх¦
D8.4.
Таким образом, мощность множества X, возведенная
в степень, равную мощности множества У, равна мощ-
мощности всех отображений множества У в множество X.
Покажем, что D8.1 — корректное определение. С этой
целью нужно доказать, что для любых двух кардиналь-
кардинальных чисел m и » существует точно одно кардинальное
число, равное их сумме.
По T7.j2c существуют такие множества А и А\, что
А'= го и Аг= п. По L7.4 мы можем считать, что эти
множества не пересекаются. Ссылаясь на Т7.2Ь, мы
устанавливаем существование кардинального числа
Ж =A+Ail. Следовательно, для любых двух кардиналь-
кардинальных чисел существует их сумма.
Пусть теперь В и В\ — произвольные множества,
удовлетворяющие условиям
5 = го, Й!==», В-В1 = 0,
и пусть ?х =5 + 5ь Из L7.5a легко следует, что
А+А\~В + В\. Отсюда и из А7.1 следует, что 1*=^.
Таким образом, существует единственная сумма данных
кардинальных чисел. Аналогично можно показать кор-
корректность определений остальных операций.
Покажем теперь, что операции на натуральных чис-
числах— это частные случаи операций на кардинальных
числах. : • ! •*'!'
Пусть >
X={*!, xz, ... , хт\, Y а {уъ у%, ... , ул)г.
Тогда
Х = т и У=п.
Допустим далее, что каждый элемент множества X
отличен от каждого элемента множества У. Очевидно,
1 В подлиннике: п (по-видимому, опечатка), — Прим. перёв.
3 Предполагается, что среди элементов х\, *2,.... хт иет тождест-
тождественных, а также, что среди у\, у2,..; у п. иет тождественных элементов.
221

X+Y=m+n. Таким образом, сложение натуральных
чисел — частный случай сложения кардинальных чисел.
Покажем затем, что XxY=m-n. Декартову произ-
произведению XxY принадлежит любая упорядоченная пара
<Хг, Уз>, где « = 1, 2,..., т; /=1, 2,..., п. Очевидно, что
таких пар т • п. Таким образом, умножение натураль-
натуральных чисел — частный случай умножения кардинальных
чисел. Далее мы заметим, что всякое отображение мно-
множества Y в множество X однозначно определяет л-член-
ную последовательность
A) Xlt Д?а> • • • > %п>
члены которой — элементы множества Xх. Легко видеть,
что таких последовательностей тп. Таким образом, и
возведение в степень натуральных чисел — частный слу-
случай возведения в степень кардинальных чисел.
В качестве примеров мы прийедем несколько теорем
арифметики кардинальных чисел.
T8. la. X + Y--
• л • z = / • л,
Эту теорему можно записать также в виде:
b. m-»==n-m.
Док. а. По L7.4 мы можем считать, что множества
X и К не пересекаются. Тогда имеет место равенство A).
A) Х-К = У-Х = 0
B) X + V = X+Y) {D8ll}
D) Х + К = К + Х {Т2.2а}
Л4-г=Г + л {5, 2, 3}
1 Очевидно, что члены последовательности A) с различными ин-
индексами могут быть тождественны.
222

Док. Ь. По D6.2 имеют место следующие равенства:
A) ¦ л i х л.
Определим отношение, которое потребуется дальше в
доказательстве:
(X, y)t\i\Z, 1)=Х = 1/\У = г/\Х?Л/\у?1.
Очевидно, что это отношение устанавливает равночис-
ленность множеств XXY и YXX. Отсюда из D8.2 и А7.1
следует равенство
B)
Из A) и B) следует
Т8.2.
Док. По Т7.4 мы можем считать, что равенство A)
имеет место.
A) XY=0
B) X-\-7 = X + Y {08.1,1}
C) (X + Р). Z = T+Y-Z = (X + Y)xZ {2.D8.2}
D) (Хх
E) X-
{D8.2, D8.1, 4}
F) (X + Y)XZ = XXZ + Y XZ {T5.1a}
G) (X + Y) x Z = XxZ + YxZ {6}
(X + V)Z~XZ + ?Z {7,3,5}
T8.3. «•I=l+I,+ .,.+I.
Док. Пусть 31 i={l, 2,..., л}. Отсюда 3i i=n. Обозна-
Обозначим через Xi(i= I, 2,..., л) декартово произведение одно-
одноэлементного множества {i} и множества X.
223

Легко видеть, что имеют место следующие равен-
равенства:
aj = Хг = ... = Хп = X;
Из этих формул, Т5.1с и D8.1 и D8.2 следуют равенства
Таким образом, теорема верна.
Т8.4. Х
Док. Пусть »1 = {1,2,...,я}. Отсюда 3d , = п. ИзD8.3сле-
ИзD8.3следует, что множество Х^1 есть подмножество всех последо-
последовательностей Xi,x2,..., хп, члены которых — элементы мно-
множества X, а по D5.1 множество ХхХх ... XX — это
л
множество всех упорядоченных n-ок <хи х2, ..., хп>, при-
причем Х\, х2 хпеХ. Очевидно, что отношение, сопостав-
сопоставляющее последовательности Х\, х2,..., хп упорядоченную
n-ку <х\, х2,..., хп>, устанавливает равночисленность
множеств Х^1 и ХхХх ... ХХ. Отсюда и из D8.2 и D8.4
л
следует теорема:
Т8.5. X~7+?=WW.
Доказательство, которое мы приводим, содержит много
сокращений.
Док. По L7.4 мы можем считать, что
A) K-Z = 0.
Пусть R — произвольная функция, отображающая
множество Y+Z в множество X. Отсюда и из форму-
формулы A), а также D6.7 и D8.3 следуют формулы
224

Пусть отношение S сопоставляет функции R упоря-
упорядоченную пару <Ry, Rz>- Отношение S устанавливает
равночисленность множеств XY+Z и XY-XZ. Отсюда уже
легко следует теорема.
Следующую теорему мы приводим без доказатель-
доказательства:
Т8.6. (Х?I = &\
Теоремы арифметики кардинальных чисел, которые
мы привели в этом параграфе, аналогичны теоремам
арифметики натуральных чисел. Однако в дальнейших
параграфах мы познакомимся с теоремами, не имеющи-
имеющими этого свойства. Заметим еще, что не бьГло дано опре--
делений обратных операций: вычитания и деления.
Причины, по которым в теории множеств эти операции
не определяются, также будут выяснены в дальнейших
параграфах.
У пр а
1.
а)
b)
с)
d)
е)
f)
L9.1.
Док.
жнен
и я:
Докажите следующие формулы
т + 0
т • 1 =
т -0 =
= т1;
= т;
= 0;
т1 = т;
1т=1
(Я -Ъ
{
Х-
A)
B)
C)
D)
E)
;
? 9.
-xlt
Х~
ZCY
Яг 6
=1Х ¦ (F • Z).
Неравенства
Л к— у^д У (
zcy
Ki !
.1 .
1 — 1 1
ЯхП t
U СУ,
{допущ.}
1 Напоминаем, что 0 — мощность пустого множества.
Зак. 834 225

F)
G)
(8)
(9)
A0)
(П)
A2)
A3)
A4)
A5)
Yi = Ri(Y)
Z dY }
x~zx \
RiiZjczRifY)
RiiZdCYi
Y = Dl(R1) .
Z1^Dl(R1)
Zi~RiZlRi(Z^
Z1^R1(Z1)
Xi-R^ZJ
V Xt~U
{L7.2,5}
{3}
{T6.1.7}
{9,6}
{D7.1.5}
{7,11}
{L7.3,4,
{D7.2,4,
{T7.1b,c
{10, 15}
12}
13}
:, 1,8, 14}
Определим отношения слабого и сильного неравен-
неравенства. Эти отношения мы будем обозначать символами,
заимствованными из арифметики «обычных» чисел.
D9.1.
ZCY ,
Таким образом, необходимым и достаточным условием
того, чтобы мощность множества X была меньше или
равна мощности множества Y, является равночислен-
ность множества X и некоторого подмножества множе-
множества Y^Заметим, что из L9.1 следует: Если Х=Х\, Y=Y\
и Х<К, то и Xi<;Ki.
Точная форма определения D9.1 следующая:
=т r=n zcy
Из D9.1 и Т7.1а следует:
Следствие 9.1:
Заметим еще, что замена под квантором выражения
ZGY выражением Z<?Y не позволила бы заменить
226

знак < знаком '<', потому что, например, множество
всех натуральных чисел, превосходящих некоторое опре-
определенное число, есть собственная часть множества всех
натуральных чисел, но мощности этих множеств равны1.
D9.2. Х<7^Х<Г^\1фУ.
Легко видеть, что оба определяемых отношения яв-
являются обобщениями соответствующих отношений ариф-
арифметики натуральных чисел.
L9.2. X = Y->}
Док. A) X = Y {допущ.}
B) X~Y {A7.1.1}
C) Y(ZY {T1.4a}
D) 2X~Z <2'3^
ZCY
^<F \D9.1,4}
D9.2 и L9.2 можно записать также в следующей форме:
На основании этих формул и теоремы исчисления пред-
предложений
мы устанавливаем истинность
Т9.1.
Следующая теорема называется теоремой Кантора—
Бернштейна:
Т9.2.
Мы не будем приводить*трудного доказательства этой
теоремы, а ограничимся лишь указанием, в чем_состоит
основная мысль этого доказательства. Пусть X— m и
Y— п. Из условий теоремы следует существование под-
1 Ср. упражнение 1Ь, § 7.
8* 227

множества Z, множества X и подмножества U множе-
множества Y, а также отношений R и S, таких, что X~RU и
Y~SZ- На основании этих допущений можно показать,
что существует взаимнооднозначное отношение Т, левая
область которого — X, а правая область — Y.
Т9.3а.
b.
с. m = »-*~-(tn«<tt).
d.
e.
Док. Формулы а и b следуют из D9.2. Из этих формул
с помощью контрапозиции мы получаем формулы end.
Приводим доказательство формулы е:
A) m<n {допущ.}
B) n<m {допущ. к. д.}
C) nt Ф и )
D) «<«} <D9-2^
E) m = n {T9.2; 2,4}
пртврч. {3,5}
Т9.4. т<п\/и<»*.
Мы снова опускаем доказательство этой теоремы и
ограничиваемся указанием его основной мысли. Пусть
Х= т и Y= п. Чтобы доказать Т9.4, -следует показать,
что всегда или существует такое подмножество U мно-
множества Y и такое отношение R, что X~RU, или сущест-
существует такое подмножество Z множества X и такое отно-
отношение 5, что K~sZ. Однако для доказательства этого
недостаточно принятых до сих пор аксиом; возникает
необходимость в принятии новой аксиомы — так назы-
называемой аксиомы выбора, формулировка которой будет
дана в § 14.
Из Т9.4 и Т9.1 следует, что для любых двух карди-
кардинальных чисел имеет место одно из следующих соотно-
соотношений: , , ,
228

m < », » < m, m = ».
Из Т9.3 следует, что может иметь место не более одного
из этих соотношений. Этот факт мы сформулируем
кратко: для кардинальных чисел имеет место принцип
трихотомии.
Из того, что Ко = SR и f = 3t, а также из следствия
9.1 и D9.2 следует
Т9.5а. Ко < f.
b. Если п — натуральное число, то п < Ко.
Следующей леммой мы будем пользоваться в даль-
дальнейших параграфах:
L9.3a.
b.
Док.
a. A)
B)
C)
D)
E)
F)
m
m<»
X1 =
2iC
%_ = \
Zxx
Zx X
m-I <
<
m
m,
Yt.
tn
Pi
:»
•I <
= »
<T
X
{допущ.}
{T7.2c}
:x {D9.2, D9.1,
{A7.1.3, 2}
i {T5.1d, 3}
Tx {следствие 9.
{D8.2, 2, 4}._
1.2}
1.5}
В аналогичном доказательстве формулы Ь используется
следствие 8.1.
Упражнения: -»
1. Докажите формулы
a) ~
b)
229

c) m<nAn<!-»m<f;
d) т<п
Покажите иа примерах, что в коисеквеите d) нельзя заменить
слабое неравенство сильным неравенством.
2. Докажите следующую теорему:
о 2
§ 10. Степенное множество
Множество 2Г называется степенным множест-
множеством. Таким образом, элементами степенного множе-
множества 2Г являются все подмножества множества Y.
L10.1. М<(Р).
Док. Пусть М1 — семейство всех одноэлементных мно-
множеств {т}, единственный элемент которых т принадле-
принадлежит М, и только таких множеств. Тогда
{т} бЛ^гг/ЯбМ.
Очевидно, что любое из множеств {т} есть подмноже-
подмножество множества М. Отсюда
A) М1С2Л1.
Обозначим через Ri отношение, сопоставляющее любо-
любому элементу т множества М одноэлементное множество
{т}. Легко видеть, что это отношение устанавливает
равночисленность множеств М и Aft. Отсюда из форму-
формулы A) и D9.1 следует лемма.
Пусть R — произвольная функция, сопоставляющая
индивидам множества индивидов. Мы определим мно-
множество Z(R), зависящее от функции R:
D10.2. R е функц -* [х е Z (R) в х б D, (R) /\xlR (x)].
Таким образом, элемент х левой области отношения
принадлежит множеству Z(R) тогда, и только тогда,
когда х не является элементом множества, которое ему
сопоставляет функция R. Этим определением мы будем
пользоваться в доказательствах дальнейших лемм.
230

L10.2.
Док.
A)
B)
R е функц -» Z (
Явфункц
Z(R)*DP(R)
R)iDp(R).
{допущ.
{допущ.
}
к.
д.}
Из формулы B) следует существование элемента хх ле-
левой области отношения R, которому сопоставляется
множество Z(R). Таким образом, формулы C), D)
имеют место.
C)
D)
E)
F)
Очевидно,
L10.3.
Док. A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(9)
(Ю)
хх 8 D, (R)
Z(R)=R(Xl)
xx&Z{R)^x1~^
что из формулы
Шф
Ж=(Р)
i?xe функц
Dp(Rx)=2>*
7 i D i ^*™ Л^
2(^)8 2*
Z(R^lD (Rx
1
i?^) {D10.2
Z(R) {5,4}
1,3}'
F) следует противоречие
Cя).
{допущ. к. д.}
{А7.1,
{D7.1,
{D10.2,
{6, 4}
{D10.1
{8,5} '
{L10.2
D7.2, 1}
2>
3}
, 7}
,3}
пртврч. {9, 10}
Т10.1. Ж<(Р) ^ {D9.2, L10.1, L10.3}
Таким образом, мощность произвольного множества
меньше мощности множества всех его подмножеств.
Сформулируем определение, которое потребуется в
доказательстве следующей теоремы.
231

D10.3. Пусть М — произвольное множество, и пусть
АСМ. Функция qu(m) называется характерисги че-
ческой функцией множества А тогда, и только тогда,
когда эта функция для каждого теМ удовлетворяет
условию
Т10.2.
Док. Из D8.3 и D10.3 следует, что любая характери-
характеристическая функция множества AZM есть отображение
множества М в множество {0, 1} и обратно: любое ото-
отображение множества М в множество {0, 1} есть харак-
характеристическая функция некоторого подмножества мно-
множества М. Приведем в соответствие каждому отображе-
отображению множества М в множество {0, 1} то подмножество,
характеристической функцией которого будет это
отображение. Легко видеть, что данное соответствие
устанавливает равночисленность множества {О, \}М всех
отображений множества М в множество {0, 1} и множе-
множества 2м всех подмножеств множества М. Таким образом,
формула A) имеет место.
A) {0, \}м~2м
C) {0, 1}* = {0, 1}"=2да {D8.4}
{2, 3}
Т10.3. Ж< 21 {Т10.1, Т10.2}
Эту теорему можно записать в виде
m<2m.
Т10.4. Существует бесконечно много (различных) кар-
кардинальных чисел, среди которых нет натуральных чисел.
Док. Для доказательства этой теоремы достаточно за-
заметить, что по Т10.3 каждый элемент последователь-
последовательности
No, 2H., 2»Ч...
меньше следующего за ним.
232

Упражнения:
1. Докажите индукцией следующую теорему:
п ? 91 Д « = М -»2" = Bs).
2. Пусть
mi, я>2. ¦ • ¦
— такая произвольная последовательность кардинальных чисел, что
для каждого гщКт^ъ пусть Mi, Мг,...— последовательность мно-
множеств, для каждого i удовлетворяющих условию: Mi = пи. Докажи-
оо
те, что мощность множестваиМ;больше любого из чиселmi,m2, ...
? //. Множества бесконечные
в смысле Дедекинда
Обычно понятие бесконечности понимается
так, что бесконечными считаются те, и только те, непу-
непустые множества, мощность которых отлична от любого
натурального числа.
Мы сформулируем определение бесконечного множе-
множества, не пользуясь понятием натурального числа1. Это
определение принадлежит немецкому математику
Р. Дедекинду.
D11.1. X есть бескрнечное в смысле Деде-
кинда множество as V V — X.
УХ
Таким образом, необходимым и достаточным условием
бесконечности в смысле Дедекинда множества является
равночисленность данного множества и некоторой его
собственной части.
D11.2. Мощности бесконечных в смысле Дедекинда мно-
множеств называются трансфиннтными кардиналь-
кардинальными числами.
Очевидно, что мощность произвольного бесконечного
в смысле Дедекинда множества отлична от нуля и лю-
любого натурального числа. "Возникает вопрос, верно ли
обратное, то есть является ли произвольное множество,
мощность которого отлична от нуля и любого натураль-
1 Значение того факта, что понятие бесконечного множества мо-
может быть определено без ссылки на понятие натурального числа, де-
делают очевидным рассуждения § 6 «Приложения».
233

ного числа, бесконечным в смысле Дедекинда. Эта тео-
теорема представляется вполне очевидной. Но для ее дока-
доказательства необходима новая аксиома (так называемая
аксиома выбора), о которой речь будет идти в § 14.
В доказательстве следующей леммы мы воспользуем-
воспользуемся четырьмя теоремами алгебры множеств (ср. упраж-
упражнения 8с, d, e, f § 1) :
HY -.t V А V 7 (\ ^ 7 \ V
Афт /\i-Z=v->-Z-\-A
III. Z = X — Y->Y-Z=0.
IV.
УфХ
Док. A) P(ZX | '
} {допущ.}
B) P = H0 J
Из B) и Т7.3 следует существование бесконечной после-
последовательности
(a) Pv Ра, Ра, ...»
запас которой — множество Яив которой ни один член
не повторяется. Обозначим через Pi запас последова-
последовательности
(b) ра, pt, рв
Очевидно, что
C) РгфР.
Легко видеть, что отношение, сопоставляющее каждом)
элементу последовательности (а) элемент последова-
последовательности (Ь) с индексом в два раза большим, устанав-
устанавливает равночисленность множеств Р и Pi.
Таким образом, верна формула D)
D) P~Pt
E) Z = X Р 1
v/ \ {обозначения}
F) Хх= " " " '
234

G) X = Z+P {I, 1, 5}
(8) P-Z = Q {III, 5}
(9) Pr-Z = Q {IV, 3, 8}
A0) Z + P — Z + P-! {L7.5a, T7.1a, 4, 8, 9}
A1) X~XX {10, 6, 7}
A2) ХгфХ {II, 3, 8, 6, 7}
YCtX
Док. A) JX — F {допущ.}
B) Г19^Х|
C) X-K
D) Х-яЛ {D7.2, 3}
E) ?1€l-lAX = D,(tf1)A>'i=?)p(tfi)
{D7.1, 4}
F) Л^функц {D6.6, 5}
Заметим, что для каждого хеХ символ Ri{x) имеет
смысл {D6.3, 5,6}.
Обозначим через р\ произвольный элемент, такой, что
G) леХДР^П-
Существование данного элемента гарантирует форму-
формула B)
(8) xeD^RJ^R^iD^RJ
" {следствие 6.3с, 6}
(9) xeX-bRtWeYt {8, 5}
Последовательность
(а) ръ ра, ра, ...
235

мы определяем так:
член рх уже был определен {ср. G)}
A0) А>1-*/»4=/?1(р*-1).
Из формул G), (9), A0) и B) несложной индукцией
мы получаем A1).
A1) р&Х * = 1. 2, 3
A2) г>*Л$=\-*ргфр,{7, 9, 10, 11}
B.1)
1 {доб. допущ.}
B.2) PФр \ Х*
B.3) RAPr-x)^RiiPs-i) <L6.3b.. 11, 5,2.2}
B.4) р,Фрв {2.1, 2.3, 10}
Из A2) и из того, что из формул B.1) и B.2) сле-
следует формула B.4), мы получаем индукцией
A3) Г>8-*р,фР$.
Таким образом, в последовательности (а) члены не
повторяются. Обозначим через Р запас этой последова-
последовательности. Тем самым по Т7.3 мы получим
A4) Р=К0
A5) Рах {И}
?P = N0 {14, 15}
PCX
Tl 1.1. Множество X бесконечно в смысле Дедекинда =
PCX
Таким образом, необходимым и достаточным усло-
условием того, чтобы множество было бесконечным в смы-
смысле Дедекинда, является наличие в нем счетного под-
подмножества.
Из Т11.1, D11.2 и следствия 9.1 следует:
Следствие 11.1. Кардинальное число т трансфинит-
трансфинитно sK,< т.
236

Отсюда и из Т9.4а следует:
Следствие 11.2. Кардинальные числа Ко и f трансфи-
трансфинитны.
L11.3. X = 7 = N0-»X + Y = K0.
Док. Для доказательства леммы достаточно принять,
что X — множество всех нечетных натуральных чисел,
а У — множество всех четных натуральных чисел.
L11.4. Х= Ко Д F = п -» X + У== No.!
Док. Для доказательства леммы достаточно принять,
что элементы множества У — числа 1, 2,..., а элементы
множества X — числа га+1, п + 2, ...
Т11.2. _Если X — бесконечное в смысле Дедекинда множе-
множество, Y~= п1 или Т— Ко, то i
A) Г+Т=Х.
Док. Из Т11.1 следует существование счетной ча-
части Р множества X.
Из L11.3 и L11.4 следует, что
B) P — P + Y.
Очевидно, имеет место также соотношение
C) Х — Р — Х — Р.
Мы можем .считать, что
D) Х-У=0.
из формул B), C) и D), а также из L7.5a следует, что
(X-P)+P~(X-P) + (P + Y).
Отсюда легко следует, что
Таким образом, формула A) имеет место.
Т11.3. Если Y — rP или У-=К0 и X—Y есть бесконеч-
бесконечное в смысле Дедекинда множество, то
1 п обозначает здесь произвольное натуральное число.
2 п обозначает здесь произвольное натуральное число.
237

Док. Из Til.2 и соответствующих допущений следует,
что /
B)
Очевидно, что
Отсюда и из следствия 9.1 мы получаем
Из этой формулы и из формулы B) следует, что
C) Х<Х=Т.
Ссылаясь еще раз на следствие 9.1, мы получаем
Отсюда, а также из формулы C) и Т9.2 мы получаем
равенство A).
Последние две теоремы можно словесно сформули-
сформулировать так:
Мощность бесконечного в смысле Дедекинда множе-
множества не изменяется, если к нему добавляется конечное
или счетное множество элементов.
Мощность множества не изменяется в результате
изъятия из него произвольной конечной или счетной
части при условии, что полученное таким путем множе-
множество бесконечно в смысле Дедекинда.
Очевидно, что тогда и множество, из которого
изымается конечная или счетная часть, бесконечно в
смысле Дедекинда.
§ 12. Кардинальные числа Но и f
Вспомним, что кардинальные числа No и f оп-
определяются формулами
Ко = I,
где 9? — множество всех натуральных чисел, 9? — мно-
множество всех действительных чисел.
238

Вспомним также, чтЪучисла Ко и f трансфинитны
(следствие 11.2). v
Следующая теорема, принадлежащая Кантору,—
одна из самых хронологически ранних теорем теории
множеств. В доказательстве э^ой теоремы, почти не
отличающемся от доказательства Кантора, мы будем
пользоваться теоремами теоретической арифметики.
Док. A) K0 = f {допущ. к. д.}
Отсюда и из Т7.3 следует существование последова-
последовательности
(а) х^, Xg, х^, ...,
члены которой не повторяются, а запас—множество SR.
Из теорем теоретической арифметики следует, что
любое действительное число имеет единственное соб-
собственное разложение1 в виде бесконечной десятичной
дроби. Очевидно, все цифры разложения, начиная с не-
некоторого места, могут совпадать с цифрой 0.
Пишем собственные разложения чисел последова-
последовательности (а):
*\ = си Уп Ун Угз • ¦ • Ухп ¦ ¦ ¦
х% = сг> У%\ Уъг Угз • • ¦ Угп • • •
хз ~ сз> Уз1. Узъ Узз • • • Узп • • ¦
Хп — Сл> УпХ Уп2 УпЗ • • • Уп
Символы
обозначают здесь целые части чисел х\, Хг,... Символ уц
обозначает /-ю после запятой цифру десятичного разло-
разложения числа Хи
1 Несобственным называется разложение, в которое, начиная с
некоторого места, входит лишь цифра 9. Собственным разложением
называется любое разложение, если неверно, что оно несобственное.
239

Определим последовательность
г = ( 1, ^ли УппФ\
" ( 2, /если */„„ = 1
Очевидно, что
B) 0, zY 28 zs ...
есть собственное разложение в бесконечную десятичную
дробь некоторого действительного числа. Легко видеть,
что для любого п п-я цифра разложения B) не совпа-
совпадает с п-й цифрой разложения числа хп. Поэтому чис-
число B) отлично от любого числа последовательности (а).
Это следствие противоречит полученному ранее след-
следствию, что запас последовательности (а) — множе-
множество Ш . Таким образом, допущение A) приводит к про-
противоречию.
Из D9.2, Т9.5а и Т12.1 следует неравенство N0<Cf-
Т12.2.
Таким образом, мощность множества всех действи-
действительных чисел не изменяется в результате изъятия из
него счетной части.
Док. A)
B) Х=
Из Т7.3 и A) и B) следует существование последо-
последовательности
(a) Xi, х$, Xg, ...
различных действительных чисел, запас которого —
множество X. Так же как и в доказательстве Т12.1, мы
выводим существование действительного числа z\, от-
отличного от любого члена последовательности (а). От-
Отсюда
Действительное число z2 мы определим как число, от-
отличное от любого числа последовательности
240

Поступая далее таким Ж,е образом, мы получаем беско-
бесконечную последовательность
различных действительных чисел, из которых каждое —
элемент множества $ —X. Таким образом, по Т7.3 и
Т11.1 данное множество бесконечно в смысле Деде-
кинда. Отсюда из формулы B) и Т11.3 следует
$ — х = W= f.
Таким образом, теорема имеет место.
L12.1. Е(— 1<*<1)~*.*
X
Док. Равночисленность множеств Е(—1<д;<1) и
х
R определяется отношением
1 + 1^1 /Ч
L12.2. a<b-*E(a<x<b)~E(— 1<г/<1).
X У
Док. Равночисленность множеств Е(а<х<Ь) и
х
Е(—1<у<1) устанавливается отношением
у
Ь — а . Ь + а .
Т12.3. а<6^?(а<д;<6) = [ {L12.1, L12.2}.
X
Таким образом, любой непустой интервал действи-
действительных чисел есть множество мощности континуума.
В следующих формулах буква п обозначает произ-
произвольное натуральное число:
Т12.4 а.
b. 0 + 0 0
{следствие 11.2, Т11.2}
c. f + « = f
d.
1 Символ «Е (—1<л;<1)» обозначает интервал с концами —1
X
и 1, или множество всех действительных чисел, содержащихся меж-
между этими числами, то есть множество, которое обычно обозначает-
обозначается символом (—1, 1).
241

e. f+f=l. /
Док. е A) a<^b<c/\a,b/ce$ {обозначения}
B)
C)
='
D)
Из Т12.3
Е(а<.
X
-Е(а<.
X
Е (о<^.
X
X
f = f+
f+f=
X
X
X
<
1
f.
i и Т12.4с
<с)
:ь) +
+ г
\-{Ь)
следует:
+ E(b<x
X
+ E(b<x
X
X
{D8.1,
{Т12.3
<с) =
¦<с) =
<с)
. 2}
,, 1, 3}
{Т12.4с, 4}
Следствие 12.1а. a<ib-*E(a <д;<6) = f.
X
b. ___
с.
T12.5. Яг/сгб
Ai, Za, Zs, ...
— произвольная последовательность попарно непересе-
непересекающихся множеств.
Если
2ц = No> ' = 1, 2, ... ,
то
00
Док. Пусть
г{'\ 4°. 4°. • • •
242

— бесконечная последовательность, члены которой не
повторяются, а запас — множество Z*. Легко видеть,
что члены последовательностц
-О) _B) _A) _C) (S) A) D)
*1 , *\ , Я2 , Z\ , Z2 у *з , Z[ , . . .
не повторяются и что запас этой последовательности —
00
множество у Zt. Отсюда и из Т7.3 следует теорема.
L12.3. Если счетная сумма конечных множеств беско-
бесконечна, то она счетна.
Доказательство этой леммы, аналогичное доказа-
доказательству Т12.5, мы предоставляем читателю.
L12.4. Множество всех конечных последовательно-
последовательностей, члены которых — числа
A) 0,1 п,
счетно.
Док. Пусть Zi(i=l, 2,...) —множество всех /-элемент-
/-элементных последовательностей, члены которых — числа A).
Очевидно, что для любого i множество 1\ конечно, а сум-
сумма всех таких множеств бесконечна. Отсюда и из L12.3
следует лемма.
Т12.6. К0К = К0.
Док. Обозначим через Р множество всех упорядочен-
упорядоченных пар </п, я>, элементы которых — натуральные
числа, через Pi(i = 2, 3,...) —множество таких же пар,
и удовлетворяющих, кроме того, условию m+n=i. Оче-
Очевидно, что
00 /
Р=[}Р1
и множество Р бесконечно. Легко видеть, что множе-
множества Рг, Рг,... конечны. Отсюда и из L12.3 следует, что
A) ?=*„.
С другой стороны, из определения множества Р и из
D8.2 следует, что
B) P=N0-K0
243

No Л = No/ {1, 2}-
T12.7. Если п — натурально? число > 2, то п N» = f.
Доказательство мы цроведем для случая, когда
я=10. Общее доказательство существенно не отличает-
отличается от доказательства этого частного случая.
Док. Обозначим через SRX множество неотрицательных
целых чисел •< 9, а потому 5Кг =10. Отсюда и из D8.4
мы получаем
(!)
Из D8.3 следует, что отображение множества SR
в множество SRX однозначно определяет бесконечную
последовательность, члены которой — числа 0, 1,..., 9.
Обозначим через С множество всех таких последова-
последовательностей.
Из формулы A) поэтому следует
B) С=10*«.
Обозначим далее через Ci множество всех принадлежа-
принадлежащих С последовательностей, любой член которых, начи-
начиная с некоторого, равен 9. Из L12.4 следует, что
И1 V — ы
Очевидно, имеет место также соотношение
(А\ р /— Г
Из теорем теории чисел следует, что любой последо-
последовательности, принадлежащей С—Сь соответствует точно
одно число полуинтервала ?(<9<х<1)'. Отсюда и из
X
следствия 12.1 мы получаем
1 Это число есть так называемая бесконечная десятичная дробь,
целая часть которой — число 0, а следующими друг за другом пос-
после запятой цифрами являются следующие друг за другом члены по-
последовательности, с которой приведена в соответствие данная дробь.
В этой дроби, начиная с некоторого места, не могут встретиться
только девятки (однако могут встретиться только нули). В общем
доказательстве теоремы здесь следовало бы сослаться на аналогич-
аналогичную теорему теории чисел о разложении действительного числа в
бесконечную дробь в любой системе счисления с основанием > 2.
Это единственный пункт, в котором приведенное доказательство Т12.7
(при я=10), отличается от общего доказательства.
244

Из формул B) — E) и Т12.4 следуют такие равенства:
Таким образом, доказательство теоремы для случая,
когда п=10, закончено.
Частным случаем Т12.7 является
Т12.8. 2*о = f.
Заметим, что из этой теоремы и Т10.1 непосредствен-
непосредственно следует Т12.1. Доказательство данной теоремы, кото-
которое мы провели выше, интересно, однако в том отноше-
отношении, что в нем применяется так называемый диагональ-
диагональный метод. С помощью этого метода было доказано
много важных математических теорем.
В следующих формулах п обозначает произвольное
натуральное число:
Т12.9 a. «.N0 = N0.
b. N" - No.
c. n-f = f.
e. f» = f.
f. f«. = f.
g. N0-f = f.
h. N?. = f.
Док. a. n-N0 = N0 + N0+ ... + No = N0{T8.3, Т12.4в}
Док. b. Ng = N0-N0-...-N0«N0 {T8.4, Т12.6}
п
Док. с. n.f=f+f+ ...+f = f {T8.3, Т12.4е}
245

Док. d. f.f = 2N°-2N°=2№+№=2l<°=f. {T12.8, T8.5, "
Т12.4в}
Док. e. f =/-f- -f = f {T8.4, Tl2:9d}
л
Док. f. fN» = BNo)N. = 2N»No = 2No = f {T12.8, T8.6, T12.6}
Док. g. (l)n<N0<f {T9.4b, Т12Л}
B)n-f<N0-f<f-f {L9.3a, 1}
C)f<N0-f<f {T12.9C, d, 2}
Nof = f {T9.2, 3}.
В аналогичном доказательстве формулы h мы поль-
пользуемся L9.3b.
Из теоремы T12.9d следует, что множество упорядо-
упорядоченных пар действительных чисел равночисленно мно-
множеству действительных чисел. Как известно, множество
точек-прямой равночисленно множеству действительных
чисел, а множество точек плоскости равночисленно мно-
множеству упорядоченных пар действительных чисел (коор-
(координат этих точек). В результате мы получаем следствие,
по которому множество точек плоскости равночисленно
множеству точек прямой. Таким образом, существует
взаимнооднозначное отображение множества точек пло-
плоскости на множество точек прямой. Канторовское дока-
доказательство теоремы T12.9d, которая казалась парадок-
парадоксальной ввиду этих следствий, склонило математиков к
исследованию отображений плоскости на прямую. Уже
через несколько лет после доказательства T12.9d было
показано, что не существует взаимнооднозначного и од-
одновременно непрерывного отображения множества то-
точек плоскости на множество точек прямой.
Из Tl2.9h следует:
Следствие 12.1. Множество всех бесконечных по-
последовательностей, члены которых — натуральные числа,
имеет мощность континуума.
Сходным образом из Т12.9 f следует:
Следствие 12.2. Множество всех бесконечных после-
последовательностей, члены которых — действительные числа,
имеет мощность континуума.
Заметим, что из Т12.4а, b следуют равенства:
246

а из Т 12.4c, d, e следуют равенства:
Таким образом, суммы кардинальных чисел могут быть
равны, когда равны их первые слагаемые, но неравны
вторые. Поэтому обратная к сложению кардинальных
чисел операция неоднозначна. Вследствие этого мы не
вводим в арифметику кардинальных чисел вычитания.
Из Т12.9а и Т12.6 следуют равенства:
1 Ко = 2К0 = ЗК0 = ... = К0К0.
Из Т12.9с, d, g следуют равенства:
l.( = 2-f = 3-f=...=N0.f = f.f.
Поэтому обратная к умножению кардинальных чи-
чисел операция также неоднозначна.
Заметим еще, что из Т12.7 и T.12.9f, h следует:
2*. = 3N« = 4*« = ... = N?° = fM..
Таким образом, мы видим, что обратная операция к
возведению в степень (извлечение корня) кардинальных
чисел неоднозначна.
Заметим, наконец, что из Т12.9Ь следуют равенства:
K; = Ko = N^= ... ,
а из Т12.9е, f следуют равенства:
f1 = f1 = f8 = ... = fN«.
Поэтому и другая обратная к возведению в степень
операции (логарифмирование) неоднозначна.
Т12.10. Множество всех конечных последовательностей
целых чисел счетно.
Док. Обозначим через Z^j (i = l, 2, 3,...; /=0, 1, 2,...)
множество всех i-элементных последовательностей, в
которых наибольший по абсолютной величине член ра-
равен /. Очевидно, что для произвольных i и / множество
¦Zj, j конечно. Из L12.3 легко следует, что множество
00
Z{— U Zj ] счетно. Отсюда \ из Т12.5 следует теорема.
/=о
T12.ll. Множество всех отрицательных целых чисел,
множество всех целых и множество всех рациональных
чисел счетны. Множество всех комплексных чисел имеет
мощность континуума.
247

Док. Приведем в соответствие каждому натураль-
натуральному числу равное ему по абсолютной величине отри-
отрицательное число. Очевидно, что данное соответствие
устанавливает равночисленность множества всех отри-
отрицательных целых чисел и множества всех натуральных
чисел. Поэтому множество всех отрицательных целых
чисел счетно.
Очевидно, что множество всех целых чисел есть сум-
сумма всех натуральных чисел, множества всех отрицатель-
отрицательных целых чисел и множества, единственный элемент
которого — число 0. Отсюда и из Т12.4а, b следует, что
множество всех целых чисел счетно.
Заметим, что из D8.2, Т12.6 и из того, что множество
всех целых чисел 'счетно, следует также счетность мно-
множества всех упорядоченных пар, первые элементы кото-
которых — целые, а вторые элементы — натуральные числа.
Любое рациональное число можно записать в виде
несократимой дроби, в которой числитель — целое, а
знаменатель — натуральное число'. Отсюда следует,
что любому рациональному числу соответствует точно
одна упорядоченная пара, в которой первый элемент —
целое, а второй — натуральное число, причем данные
числа взаимно простые. Множество всех таких пар есть
подмножество множества всех упорядоченных пар, в ко-
которых первый элемент — целое, а второй — натураль-
натуральное число, а потому оно есть подмножество счётного
множества. Таким образом, мощность всех рациональ-
рациональных чисел <N0. С другой стороны, число Но меньше
или равно мощности множества всех рациональных чи-
чисел, потому что множество SR есть подмножество дан-
данного множества. Отсюда и из Т9.2 следует, что множе-
множество всех рациональных чисел счетно.
Наличие у множества всех комплексных чисел мощ-
мощности континуума следует непосредственно из того, что
комплексные числа — это упорядоченные пары действи-
действительных чисел, и из D8.2, T12.9d.
Упражнения:
Докажите формулу:
О
1 Число 0 можно представить в виде ——.
248

§13. Канторовское доказательство
существования трансцендентных чисел
В высшей алгебре алгебраическими числами
называют те, и только те, комплексные числа, которые
являются корнями многочленов с целыми коэффициен-
коэффициентами. Комплексные числа, которые не являются алге-
алгебраическими, называются трансцендентными.
Существование трансцендентных чисел было впервые
доказано французским математиком Лиувиллем в
1851 году. В 1873 году Кантор показал, что множество
всех трансцендентных чисел имеет мощность конти-
континуума. Мы приведем это доказательство в качестве при-
примера классического решения математической проблемы
методами теории множеств.
L13.1. Множество всех действительных алгебраиче-
алгебраических чисел счетно.
Док. Из Т12.10 легко следует, что множество много-
многочленов с целыми коэффициентами счетно. Отсюда и из
того, что любой многочлен имеет конечное число дейст-
действительных корней, из L12.3 и из того, что множество всех
действительных алгебраических чисел бесконечно (так
как любое рациональное число есть алгебраическое
число), легко следует лемма.
Т13.1. Множество всех действительных трансцендентных
чисел имеет мощность континуума.
Док. Теорема есть непосредственное следствие из
Т12.2 и L13.1.
§14. Аксиома выбора
В 1904 году немецкий математик Э. Цермело
сформулировал следующую аксиому, называемую
аксиомой выбора, или по имени ее автора — аксиомой
Цермело.
Аил. г^од П (м=?0)Д П
M?Z P?Z
Приводим словесную формулировку этой аксиомы:
Пусть Z — семейство множеств, такое, что
249

A) Z — непусто,
B) каждое множество, принадлежащее семей-
семейству Z , также непусто,
C) любые два (различные) множества, принадле-
принадлежащие семейству Z, не пересекаются. По аксиоме Цер-
мело, в этих условиях существует не менее одного мно-
множества Y, имеющего с каждым множеством MeZ един-
единственный общий элемент.
В качестве примера доказательства, где использует-
используется А14.1, мы приведем доказательство следующей тео-
теоремы, которую мы уже упоминали в § 11.
.1. ХфО/\ П
По этой теореме, произвольное непустое множество,
мощность которого отлична от любого натурального
числа, содержит счетное подмножество, а потому — в
соответствии с Т11.1 —бесконечно в смысле Дедекинда.
Док. Пусть m — произвольное натуральное число.
Обозначим через С*' множество всех /n-элементных по-
последовательностей, члены которых — различные эле-
элементы множества X. Покажем с помощью индукции,
что для произвольного натурального k множество С<й>
непусто.
По условию множество X непусто. Поэтому сущест-
существует элемент хи принадлежащий данному множеству.
Последовательность, единственный член которой есть хи
принадлежит множеству С*1). Таким образом, множество
С*1) непусто.
Пусть k — произвольное натуральное число. Допу-
Допустим, что для k выполняется доказываемое свойство
множеств. Поэтому существует последовательность
0) <Ь. ^ ck,
члены которой — различные элементы множества X.
Если бы в множестве X не существовало элемента, от-
отличного от любого члена последовательности A), то
мощность множества X равнялась бы числу k. Но это
заключение противоречит второму условию доказывае-
доказываемой теоремы. Таким образом, существует элемент мно-
множества X, отличный от любого члена последовательно-
250

сти A). Обозначим этот элемент через ch+\. Последова-
Последовательность
Ci, Са, ...,Ck, Ck+1
принадлежит, очевидно, множеству C<fe+1>. Поэтому дан-
данное множество непусто. Очевидно также, что при 1ф}
Множества
B) С<», С<2>, С»), ...
удовлетворяют, таким образом, условиям А14.1. Следо-
Следовательно, существует множество С, которое с каждым
из множеств B) имеет единственный общий элемент.
Пусть последовательность {с^™)} — единственный общий-
элемент множеств С и С<т>.
Вычеркнем в последовательности
каждый член, для которого в данной последовательно-
последовательности существует предшествующий и равный ему член.
Обозначим через {уп} полученную таким путем последо-
последовательность. Допустим временно, что эта последователь-
последовательность конечна и насчитывает г элементов. Очевидно,
тогда в последовательность {сг-<г+1>} обязательно войдет
хотя бы один член, отличный от каждого члена после-
последовательности {уп}. Однако это заключение противоре-
противоречит определению последовательности {уп}- Поэтому
данная последовательность бесконечна. Очевидно так-
также, что члены этой последовательности — различные
элементы множества X. Таким образом, теорема Т14.1
верна.
Заметим, что без А14.1 из условий Т14.1 мы могли
бы вывести лишь то, что для любого натурального чис-
числа п существует n-элементная последовательность, чле-
члены которой — различные элементы множества X. Одна-
Однако мы не могли бы показать существование бесконечной
последовательности, обладающей этим свойством.
Аксиома выбора, пожалуй, — чаще всего оспаривае-
оспариваемая в математике аксиома. Это вызвано тем, что, с од-
одной стороны, на основании данной аксиомы доказывают
вполне очевидные теоремы, которые нельзя доказать без
данной аксиомы( например, Т14.1); а с другой стороны,
251

тем, что среди следствий этой аксиомы имеются пара-
парадоксальные теоремы, не соответствующие содержатель-
содержательным представлениям. Отсюда же среди математиков, и
притом очень видных, можно найти как сторонников,
так и противников принятия аксиомы выбора.
Уже в 1902 году Беппо Леви обратил внимание на
то, что доказательство теоремы «Мощность суммы се-
семейства непересекающихся и непустых множеств боль-
больше или равна мощности этого семейства» требует воз-
возможности выбрать по одному элементу из каждого мно-
множества этого семейства. Сходным образом введение
определения суммы бесконечной последовательности
кардинальных чисел (обобщение определения суммы
двух кардинальных чисел) предполагает аксиому выбо-
выбора, как заметил В. Серпинский в работе 1918 года об
этой аксиоме.
Такая же ситуация имеет место и в определении про-
произведения бесконечной последовательности кардиналь-
кардинальных чисел и других операций на кардинальных числах,
а также порядковых типах и числах, о которых речь
будет идти в разделе II, при распространении определе-
определений этих операций на бесконечное множество элемен-
элементов. Из данных примеров видно, что уже при введении
относительно элементарных понятий теории множеств
необходимо обращаться к аксиоме выбора.
Также и в других разделах математики, например,
в анализе, алгебре, топологии аксиома выбора (или ее
частные случаи, или же эквивалентные ей теоремы) не-
необходима для доказательства теорем, истинность кото-
которых не вызывает сомнений.
Из многочисленных примеров этого рода мы приве-
приведем один. В анализе известны два определения непре-
непрерывности функции f(x) в точке х0. В одном определе-
определении содержание данного понятия раскрывается через
условие
8>0 6>0
а в другом — через условие
(b) lim xk = x0 -> lim / (xk) = / (x0).
252

И вот в доказательстве эквивалентности этих определе-
определений, а именно в доказательстве того, что из (Ь) следует
(а), необходимо обратиться к аксиоме выбора.
Отрицательное отношение к аксиоме выбора вызва-
вызвано главным образом двумя мотивами:
1. с помощью этой аксиомы доказывается существо-
существование предметов некоторого рода, хотя не удается ука-
указать ни одного примера такого предмета (так называе-
называемые неэффективные доказательства существования);
2. с помощью этой аксиомы доказываются содержа-
содержательно неочевидные теоремы (в частности, некоторые
геометрические теоремы), из которых наиболее извест-
известна теорема Банаха—Тарского о парадоксальном разло-
разложении шара1.
Известны многочисленные теоремы, которые эквива-
эквивалентны аксиоме выбора на основании остальных аксиом
теории множеств. Одна из таких теорем — закон трихо-
трихотомии для кардинальных чисел:
Проблема независимости аксиомы выбора от осталь-
остальных аксиом теории множеств не решена до сих пор
(имеется лишь доказательство независимости для такой
аксиоматики, в которой принимается существование
бесконечного числа предметов, отличных от множеств).
Лишь в частном случае, когда семейство Z, о кото-
котором говорится в А14.1, конечно, удается доказать А14.1.
Именно сначала доказывается это утверждение для
случая, когда Z = {XX}, следующим образом:
По условию А14.1 мы имеем
B) а^Х, {1}
C) a^-laj {2}
Ы) {3}
Y^Y) {4}
У х
1 Ср. К. Kuratowski i A. Mostowski, Teorta mnogosci
(Приложение).
253

Затем индукцией доказывается это же утверждение
для случая, когда Z—{XU Х2,..., Хп). Однако если се-
семейство Z счетно, то А 14.1 не удается доказать уже для
случая, когда элементы семейства Z— двухэлементные
множества.
Упражнения:
1. Следующее предложение называется общим принципом вы-
выбора: если Z — непустое семейство непустых множеств, то сущест-
существует функция, сопоставляющая каждому множеству этого семейст-
семейства произвольный элемент этого множества.
Покажите, что из этого принципа следует аксиома выбора.
2. Докажите, пользуясь аксиомой выбора, следующую теорему:
если Z — непустое семейство непустых и непересекающихся мно-
множеств, то
F<

Раздел II.
Упорядоченные множества
§ 1. Изоморфизм
Рассмотрению вопросов, относящихся к упо-
упорядоченным множествам, мы предпошлем краткие за-
замечания о понятии изоморфизма. Это понятие — одно
из важнейших логических понятий, оно применяется во
многих разделах математики. Сначала мы сформули-
сформулируем вспомогательное определение:
Dl.l.
Определяемое множество называется полем отношения.
Из этого определения непосредственно следует
Т1.1. хеР(R) m xeDt (#)'V xeDp(R).
С целью упрощения записи следующего определения мы
будем считать, что
и Y = P(T).
Символы
<X,S> и (Y, Т)
обозначают, таким образом, упорядоченные пары, в ко-
которых вторые элементы — отношения, а первые — поля
этих отношений. Этим соглашением о символах типа
<Х, R> мы будем пользоваться также и в дальнейших
рассуждениях этого раздела.
285

D1.2. (X,S)
UUUU Л yRu
Определяемое выражение читается: отношение R уста-
устанавливает изоморфизм множеств X и Y по отношению
S и Т. Таким образом, для того, чтобы отношение R
устанавливало изоморфизм множеств X и Y по отноше-
отношениям S и Т, необходимо и достаточно выполнения сле-
следующих условий:
a) отношение R взаимнооднозначно;
b) множества X и Y поля отношений 5 и Т соответ-
соответственно;
c) левая область отношения R совпадает с полем от-
отношения 5, а правая — с полем отношения Т;
d) два предмета находятся в отношении 5 тогда, и
только тогда, когда сопоставленные им отношением R
предметы находятся в отношении Т.
Когда из контекста ясно, по каким отношениям два
множества изоморфны или же это не существенно, то
мы обычно будем говорить просто об изоморфизме
множеств, не оговаривая особо, по каким отношениям
эти множества изоморфны.
Очевидно, что если отношение R устанавливает изо-
изоморфизм двух множеств, то одновременно оно устанав-
устанавливает и их равночисленность.
Пример I. Пусть 9t+— множество всех положи-
положительных действительных чисел, ?Я~— отрицательных.
Легко проверить, что следующим образом определенное
отношение
xSy = л:е31+ Д г/eSR- Л | х | = | у \
устанавливает изоморфизм множеств SR+ и 9t~ по отно-
отношениям «меньше» и «больше».
Пример II. Пусть X — множество выражений не-
некоторого языка, Y — множество выражений другого язы-
языка. Будем считать, что эти множества переводимы, ина-
иначе говоря, для каждого слова одного из этих множеств
существует равнозначное ему слово другого множества.
Будем считать также, что в каждом из множеств X и Y
256

Нет равнозначных слов. Пусть отношение 5 имеет Место
между словами множества X тогда, и только тогда, ког-
когда эти слова принадлежат одной и той же части речи,
и пусть отношение Т между выражениями множества Y
имеет аналогичный смысл.
Очевидно, что отношение R, сопоставляющее словам
множества X равнозначные слова множества Y, уста-
устанавливает изоморфизм этих множеств.
D1.3. (X,S) изо (Y,T)^((X,S) изо*(К, Г».
R
Определяемое выражение читается: множества X и Y
изоморфны по отношениям 5 и Т.
В D1.2 и D1.3 речь идет об отношениях 5 и Т от
двух аргументов. Легко, однако, так обобщить эти опре-
определения, чтобы они относились к отношениям от боль-
большего числа аргументов. Нетрудно также определить
изоморфизм двух множеств по большему числу отноше-
отношений. В частности, обобщенные определения могут отно-
относиться к множествам, в которых определены такие опе-
операции, как например сложение и умножение '.
Пусть Ф обозначает произвольное выражение, в ко-
которое, кроме символов исчисления предложений и пре-
предикатов, входят лишь символы
A) х, у и, X, S.
Будем считать, что переменные х, у,..., и пробегают
фиксированное множество X, — поле отношения 5 и что
в выражении Ф кванторы могут связывать лишь эти пе-
переменные, но не переменную 5. Относительно перемен-
переменной X мы допускаем также, что она может входить в
выражение Ф лишь в контекстах П,2»П, ...
€Х ?Х ?Х
€ ? ?
Обозначим через Ф? выражение, которое получается
из выражения Ф заменой символов A) соответствующи-
соответствующими символами:
**, У* и*,Х*, 5*.
Относительно этих символов мы принимаем анало-
аналогичные допущения, что и относительно символов A).
1 Вспомним, что двухаргументные операции — частные случаи
трехчленных отношений.
9 Зак. 834 257

Данными обозначениями мы воспользуемся в фор-
формулировке и доказательстве следующей леммы:
ЫЛ.(Х, S) изо* (X*, S*) Л xRx*/\yRy*f\. ../\uRu? -*
-> (ф =
Док. A) (X,S) U3OR(X*,S*)
, {допущ.}
B) xRx*AyR*AAuRu* |l
Доказательство леммы мы разбиваем на три части.
а. Допустим сначала, что в выражение Ф не входят
кванторы. Очевидно, тогда кванторы также не входят и
в выражение Ф^.
Из допущений A) и B), а также D1.2 следуют эк-
эквивалентности:
xSx =
xSy s
xSu =
uSu =
Из этих эквивалентностей, а также из допущений
относительно выражений Ф и Ф9 по правилу экстенсио-
экстенсиональности для выражений исчисления предложений'
следует утверждение леммы.
Ь. Допустим, что в выражение Ф из кванторов вхо-
входят лишь кванторы существования. Доказательство в
этом случае проводится индукцией по числу этих кван-
кванторов. Если их число равно нулю, то в силу части а
лемма верна.
Допустим, что для выражений ^(х) и Ч^л^J лем-
лемма верна.
1 См. § 3 первой части-
2 В эти выражения, кроме переменных х нх2?, могут входить
также другие переменные.
258

Обозначим через % конъюнкцию всех допущений,
кроме xRx^ доказываемой леммы. Очевидно, что лемма
для случая, когда она относится к выражениям Чг(х)
и WbftV), эквивалентна выражению
% -» [xRx* -»(Т (х) = У* (х*))].
Поэтому если выполняются допущения доказываемой
леммы, то истинно и выражение
xRx* -»(Y (x) = Ч* (х*)).
Отсюда и из того, что в выражение % не входят пере-
переменные х и х®, следует выражение
C) П П
Допустим, что истинно также выражение A.1).
A.1) J ?(*) {доб. допущ.} ¦
A.2) хгэХ )
{1.1}
A.3) ЧГ^))
AЛ) Dt(R)=*X/\Dp(R)=X* {D1.2, 1}
A.5) x^Dt{R) {1.2, 1.4}
A.6) V
4 ' Li
¦ {следствие 6.3а, разд. I, 1.5}
A-7) X?zDp(R} |
A.8) x1Rxf j .
A.9) xfeX* {1.7, 1.4}
A.10) Y*(^l {3, 1.2, 1.9, 1.8, 1.3}
A.11) V W*(x*) * {1.9, 1.101
D) JTD-» ^ T*(^) {1.1-»1.11}
259

Аналогично мы доказываем импликацию:
Таким образом, эквивалентность
V Y (л) = У
истинна.
Отсюда по правилу экстенсиональности для выраже-
выражений исчисления предложений уже легко следует, что в
рассматриваемом случае лемма верна.
с. Пусть Ф и Ф^ — произвольные выражения. Экви-
Эквивалентность этих выражений следует из части b и из
того, что квантор общности можно заменить последова-
последовательностью из двух знаков отрицания, между которыми
находится квантор существования. Таким образом, лем-
лемма верна.
Заметим, что к L1.1 мы можем слева приписать П
и П. Если в выражении Ф переменная х связана (тогда
и переменная х^ в выражении Ф^ также связана), то
на основании Т13^ и Т16* мы получаем в антецеденте
L1.1 вместо выражения xRx^ выражение
Е S xRx*'
*ех X?Xv
которое истинно, если только множества X и X®.непу-
X®.непусты. Отсюда легко следует, что в допущениях L1.1 мы
можем вычеркнуть любое выражение вида xRx®, если
только переменные х и х® связаны в выражениях Ф
и Ф*.
Поэтому, в частности, имеет место:
Следствие 1.1. В случае, когда в выражениях Ф и
Ф^ нет свободных переменных, L1.1 принимает вид:
(X,S) изод(К,7)-»(Ф^Ф*).
В следующей теореме сохраняются допущения отно-
относительно выражений Ф и Ф? так же, как и допущение,
что множества X и X2* непусты.
260

T1.2. Если
(X, S) изо (Y, T)
и выражение. Ф истинно, то истинно и выражение
Док. Если в выражениях Ф и Ф* имеются свобод-
свободные переменные, то мы приписываем слева к данным
выражениям кванторы общности, связывающие все эти
переменные. Полученные таким путем_выражения мы
обозначим соответственно через Ф1 и фf. Из допуще-
допущения, что выражение Ф истинно, следует, что истинно и
выражение Фь
Допустим также, что отношение, устанавливающее
изоморфизм множеств X и Y, есть отношение Ri. От-
Отсюда
(X, S) из0/?1 (Y, Т).
Из этой формулы, а также из истинности выражения
Ф1 и следствия 1.1 следует истинность выражения фf.
Опуская в начале этого выражения приписанные кван-
кванторы общности, мы получаем снова выражение Ф*,
Таким образом, теорема верна.
Доказанная теорема называется основной тео-
теоремой об изоморфизме.
Она может быть обобщена в различных направле-
направлениях. Например, она может быть распространена на
выражения, которые содержат не одно, а несколько от-
отношений. Эти отношения могут иметь произвольное чис-
число аргументов. Основная теорема об изоморфизме при-
принадлежит польским логикам А. Линденбауму и А. Тар-
скому.
Из этой теоремы следует, что две теории, из которых
первая относится к элементам множества X — полю
некоторых отношений, а другая к элементам множест-
множества Y — полю того же числа отношений, формально не
различаются, если множества X и Y изоморфны по дан-
данным отношениям. Если, например, некоторое множест-
множество Y, в котором определены две двухаргументные опе-
операции и одна одноаргументная операция, изоморфно по
этим операциям алгебре Буля, то теорий, относящаяся
к предметам множества Y, формально не отличается от
этой алгебры.
261

Упражнения:
1. Обобщите D1.2 на случай, когда каждое из множеств X и
Y — поле двух отношений.
2. Обобщите D1.2 на случай, когда S и Т — трехаргументные
отношения.
3. Пусть в множестве X определены и осуществимы двухаргу-
ментные операции, обозначенные символами « + » и «•», а в множе-
множестве У — двухаргументные операции «ф> и «0». Пусть также мно-
множества X и У изоморфны по этим операциям. Покажите, не обра-
обращаясь к основной теореме об изоморфизме, что
a) если операции « + » и «•» коммутативны и ассоциативны, то
операции «ф» и «0» также коммутативны и ассоциативны;
b) если для операций первой пары существуют модули, то су-
существуют модули и для операций второй пары;
c) если для операций первой пары существуют обратные опе-
операции, то существуют и обратные операции для операций второй
пары;
d) если операция « + » дистрибутивна относительно операции
«¦», то и операция «ф» дистрибутивна относительно операции «0».
4. Покажите, что следующее определение
<X,S> изоЛ<Г,Г>нХ~ЛГ Л
X У
эквивалентно определению D1.2.
? 2. Подобные множества.
Порядковые типы
Теория упорядоченных множеств во многих
отношениях аналогична общей теории множеств, кото-
которой был посвящен предшествующий раздел. Например,
содержание этого параграфа аналогично содержанию
§ 7 раздела I.
Сначала мы приведем несколько простых вспомога-
вспомогательных определений.
D2.1 a. Re св(Л)г=["] ["] [хфу-ъ (xRy\J yRx)].
х?А у?А
b. Re транз (Л) = ["] f] f] (xRy /\yRz -> xRz).
х?Л у?А z?A
c. Re асим (А) = П П [xRy-*~(yRx)l
262

Определяемые выражения читаются:
a. отношение R связно в множестве Л;
b. » » транзитивно в множестве Л;
c. » » асимметрично в множестве Л.
Таким образом, каждый из символов: ев (Л),
транз (Л), асим (Л)—обозначает некоторое множест-
множество отношений, зависящих от Л.
Дальнейшие определения имеют уже основное зна-
значение для теории упорядоченных множеств.
D2.2. #6 пор (Л) э Л = .Р (R) Д R^ ев (Л)-трана (Л) •
• асим (Л).
Определяемое выражение читается: отношение R
упорядочивает множество Л. Поэтому для того,
чтобы некоторое отношение упорядочивало множест-
множество Л, необходимо и достаточно выполнения следующих
условий: множество Л — поле отношения R и R связно,
транзитивно и асимметрично в этом множестве.
Типичными отношениями, упорядочивающими мно-
множество действительных чисел, являются отношения
«меньше» и «больше».
Типичны и два следующих отношения:
tx раньше tt, tt позже tit
которые упорядочивают произвольное множество мо-
моментов времени.
D2.3. (Л, R)e упорядоченное множество =з R е пор (Л).
Таким образом, упорядоченные множества — это па-
пары, первые элементы которых произвольные множества,
а вторые — отношения, упорядочивающие данные мно-
множества. Для того чтобы выяснить содержательный
смысл D2.3, элементы х и у множества Л, удовле-
удовлетворяющие условию «xRy», мы договоримся назы-
называть: х — предшествующим элементом, а у — следую-
следующим элементом. Теперь мы можем выразить D2.3 в
следующей нестрогой, но зато содержательно ясной
форме:
Множество упорядочено тогда, и только тогда, когда
а. для любых двух (различных) элементов рассмат-
рассматриваемого множества установлено, который из них
263

предшествующий и который из них последующий (усло-
(условие связности); причем
b. если элемент х предшествует у и у предшествует
2, то х предшествует z (условие транзитивности);
c. ни один элемент х не может быть предшествую-
предшествующим и одновременно следующим по отношению к эле-
элементу у (условие асимметричности).
Примерами упорядоченных множеств являются па-
пары: <«,<>, <Ю, »\ C1, <), <К, ». Из А1.4 пре-
предыдущего раздела следует, что упорядоченные множе-
множества (91, <[) и (SR, >•) различны, так как отношения
«меньше» и «больше», очевидно, различны2.
Введем теперь некоторые терминологические согла-
соглашения и некоторые упрощения принятой символики.
Согласимся прежде всего называть множество А запа-
запасом упорядоченного множества <А, R>. Заметим да-
далее; о предмете а мы говорим, что а есть элемент упо-
упорядоченного множества тогда, и только тогда, когда а
есть элемент запаса данного множества. В качестве
обозначения того, что а принадлежит <А, R>, мы пи-
пишем: а е <А, R>. Таким образом, имеет место следую-
щая эквивалентность:
Символ е употребляется здесь в двух различных
смыслах: в одном случае он обозначает принадлежность
предмета упорядоченному множеству, а в другом —
принадлежность неупорядоченному множеству. Однако
из контекста всегда будет ясно, в каком из этих смыс-
смыслов употребляется символ 6.
При рассмотрении упорядоченных множеств часто
фиксируется, какое отношение упорядочивает данное
множество, или же бывает безразлично, каково это от-
отношение. В последнем случае вместо того, чтобы поль-
пользоваться символом <А, R>, мы будем пользоваться
символом А0. Таким образом, символы А0, В0, С°,... обо-
обозначают упорядоченные множества, имеющие запасы
А, В, С,... Очевидно, что если в какой-либо формуле или
доказательстве несколько раз повторяется символ А0, то
1 В соответствии с соглашением, введенным в § 1 и относящимся
к символам типа <Х, R> отношения „<" и „>" ограничены здесь
множеством 91 (множество 91 — поле этих отношений),
2 Ср. D 6.10 раздела I,
264

каждый раз этот символ обозначает множество, упоря-
упорядоченное одним и тем же отношением.
Еще одно соглашение: в качестве обозначения тог*
что элементы х и у множества <А, R> удовлетворяют
условию «xRy», мы будем писать:
Это отношение читается: элемент х предшест-
предшествует в множестве А° элементу у. Таким образом,
имеет место следующая эквивалентность:
х-~$Ау=ах,уеА Д xRy.
Заметим, что в выражении A) мы иногда будем
опускать индекс А.
Пользуясь введенными обозначениями, мы можем
упорядоченное множество определить как множество,
произвольные элементы х и у которого удовлетворяют
условиям:
с. $/
Следующее определение—аналог D7.1 раздела I:
D2.4.
Выражение А°2*%В° читается: отношение R устанав-
устанавливает подобие упорядоченных множеств А° и В0. Таким
образом, для того, чтобы отношение R устанавливало
подобие множеств, необходимо выполнение следующего
условия: R устанавливает равночисленность запасов
этих множеств, а потому R взаимнооднозначно и
A
{){
Другое условие, которому должно удовлетворять от-
отношение R, мы можем "выразить так:
элементы множества В°, сопоставленные отношением
R элементам х и у множества А, находятся в множест-
множестве В° в том же отношении порядка, в каком находятся
элементы х и у в множестве Л°.
265

D2.4 мы можем записать также в следующем виде:
5е пор (А) Д Ге пор (В) -* (A, S) ^R (В,Т) =
~{A,S) moR(B,T).
Обозначим через С\ множество отрицательных целых
чисел. Легко видеть, что отношение R\, определяемое
эквивалентностью
nRxc г п = | с-\ Д /геЗг Д
устанавливает подобие множеств C1, ¦<} и (Сг >•}.
D2.5. А°^ВО^УА°^КВ0.
и
Определяемое отношение читается: упорядоченные мно-
множества Л° и 5° подобны. Это отношение — аналог отно-
отношения равночисленности множеств (ср. D7.2 раздела I).
Очевидно, что понятие подобия упорядоченных мно-
множеств — частный случай изоморфизма '.
Из D2.5 и D2.4 следует:
Следствие 2.2.
А°-В<>-4А~В.
Таким образом, запасы подобных множеств равно-
равночисленны. Обратная импликация не имеет места, пото-
потому что, например, множества (JR, <} и (91, », оче-
очевидно, не подобны.
Т2.1 а. Ав^А°.
Ъ. А°^В°-*В'^ А».
в. А0 * 5е Д Б° =« С0 -» Л° « С°.
Таким образом, отношение подобия множеств есть
отношение типа эквивалентности.
Док. Т2.1 — аналог Т7.1 раздела I. Доказательства
этих теорем также сходны. Поэтому мы ограничимся
следующими краткими замечаниями:
в доказательстве формулы а следует воспользовать-
воспользоваться отношением тождества, ограниченным множест-
множеством А;
1 Ср. упражнение 4 предыдущего параграфа,
26$

. если отношение R устанавливает подобие множеств
Л° и В0, то и отношение Я устанавливает подобие мно-
множеств 5° и Л°;
если отношение R устанавливает подобие множеств
Л° и В0, а отношение S — подобие множеств 5° и С0, то .
относительное произведение этих отношений устанавли-
устанавливает подобие множеств Л° и С0.
Введем новое исходное понятие, аналогичное поня-
понятию мощности множеств. Это понятие порядково-
порядкового типа упорядоченного множества. Порядковый тип
множества Л° обозначается через Л°. По Кантору, кото-
который был создателем не только общей теории множеств,
но и теории упорядоченных множеств, к понятию поряд-
порядкового типа данного множества мы приходим, отвле-
отвлекаясь от того, какие предметы образуют данное множе-
множество. Черточка в обозначении порядкового типа и дол-
должна символизировать собственно эту единственную аб-
абстракцию.
Смысл введенного понятия раскрывается в следую-
следующей аксиоме, аналогичной А7.1 раздела I:
А2.1. Л0=Я° = Л0^Б°.
Таким образом, порядковые типы двух упорядочен-
упорядоченных множеств тождественны тогда, и только тогда, ког-
когда эти множества подобны.
Заметим, что из А2.1 непосредственно следует Т2.1'.
D2.6. аеПТе=?а = Л°.
А°
Выражение ае ПТ читается: а есть порядковый тип.
Произвольные порядковые типы мы будем обозначать
малыми буквами греческого алфавита.
Из D2.6 легко следует
Т2.2 а. Л°еПТ.
Ь. П
с. П ?
а?ПТ А"
D2.6 и Т2.2— аналоги D-7.3 и Т7.2 раздела I.
Ср. замечание после Т1.7 172—174.
267

Из А7.1 раздела I, а также из следствия 2.2 и А2.1
легко следует:
Следствие 2.3.
Обратная импликация не имеет места, что можно
подтвердить примером Л1(9?, <) и 51C1, >).
В последней части § 7 предыдущего раздела мы за-
заметили, что значительное большинство теорем о мощно-
мощностях множеств можно сформулировать без использова-
использования этого понятия, ограничившись понятием равночис-
ленности множеств. Сходным образом теоремы о поряд-
порядковых типах можно заменить теоремами, в которые
входит понятие подобия множеств. Таким образом, иск-
исключение из списка исходных понятий теории множеств
понятия порядкового типа (с одновременным исключе-
исключением аксиомы А2.1) не привело бы к существенному
обеднению этой теории подобно тому, как не вызывает
существенного ее обеднения исключение понятия мощ-
мощности.
Следующей леммой, аналогичной L7.4 предыдущего
раздела, мы будем пользоваться многократно.
L2.1. Для любых упорядоченных множеств Л° и В0
существуют такие упорядоченные множества Л? и В\,
Док. Множества At и 5j мы определим так:
A,а)бЛ1Е
B, b)eBi_s
Мы принимаем также, что
/1 SY \ _J /1 /у
Легко видеть, что так определенные упорядоченные
множества Л? и В® удовлетворяют требуемым условиям.
При рассмотрении порядковых типов безразлично,
какое из подобных множеств мы принимаем во внима-
внимание. По L2.1 мы можем всегда данные два множества
заменить непересекающимися множествами.
Упражнения:
1. Приведите пример отношения R, такого, что P(R)—Dt (./?) =
«D,(/?).
2. Покажите, что P(R) = p(R~1).
268

3. Приведите пример отношения, Связного (транзитивного, асим-
асимметричного) в множестве 91, но несвязного (нетранзитивного, не-
неасимметричного) в множестве 5R.
4. Покажите, что следующие отношения упорядочивают множе-
множество R:
a) xRxy гА«<й
b) xR2y = х*<у* Ax-y>Q\/ x<0 f\y>0;
c)xR3y = \x\<\y\\/\x\=\y\/\x<0f\y>0.
5. Сформулируйте отношение, упорядочивающее множество всех
комплексных чисел.
6. Какое отношение упорядочивает множество всех слов в сло-
словарях? По образцу этого отношения сформулируйте отношение,
упорядочивающее множество всех конечных последовательностей,
элементами которых являются натуральные числа <9.
7. Проверьте, подобны ли упорядоченные множества <R, #г>>
<R, #з>, когда отношения R2 и Ra определяются так же, как в
упражнении 4.
8. Покажите, что произвольное отношение рефлексивно, асим-
асимметрично и транзитивно в пустом множестве.
9. Покажите, что отношение СИ не упорядочивает семейство
всех подмножеств множества А, насчитывающего не менее двух
элементов.
10. Докажите формулу:
R е пор (А) -»Я € пор (А).
§ 3. Арифметика порядковых типов
Следующие два определения раскрывают со-
содержание понятий суммы и произведения упорядочен-
упорядоченных множеств:
D3.1. Л-В = 0-»{Л° + 5°=С0 = С = Л + ВЛ
X У
D3.2. Л°В°=С° = С=ЛхВ\/
а Ь х у
Легко видеть, что условие
определяет отношение R\, которое упорядочивает мно-
множество А + В, если только А-В = 0.
Сходным образом условие
269

определяет отношение 5Ь которое упорядочивает мно-
множество АхВ. Таким образом, сумма и произведение
упорядоченных множеств являются упорядоченными
множествами.
Заметим далее, что отношение R упорядочивает мно-
множество А + В так, что прежде всего идут все элементы
множества Л° в неизмененном порядке, а за ними —
все элементы множества В0 также в неизмененном по-
порядке '.
Чтобы выяснить содержательный смысл отношения
Si, мы рассмотрим следующий пример:
Пусть множества А° и В0 — множества всех действи-
действительных чисел, упорядоченных отношением «меньше».
Таким образом, имеют место следующие равенства:
Тем самым элементы множества АхВ мы можем рас-
рассматривать как точки плоскости, на которой выбрана
система координат. Легко видеть, что эти точки упоря-
упорядочены так, что из двух точек, лежащих на различных
горизонтальных прямых (см. рисунок), предшествующей
является та точка, которая лежит на прямой, располо-
расположенной ниже, а из двух точек, лежащих на одной и
той же прямой, предшествующей будет точка, располо-
расположенная левее 2.
Отмеченные на рисунке
1 См. сноску 2.
2 Образные и неточные выражения, используемые здесь, оправ-
оправдываются целью, которой мы руководствовались: речь шла исклю-
исключительно о выяснении неформального смысла рассматриваемого от-
отношения порядка.
270

точки поэтому упорядочены следующим образом:
Следующая лемма аналогична L7.5a, в разделе I:
L3.1a. А°~В« f\A^^B\f\A^Al = B¦Bl^O-*A* +
Jr Л? « В° + Я?.
Ь. Л° « 5° Д Л? =* В0!-* До. л? =* fio.fi?.
Док. Мы приведем лишь доказательства части b
леммы, потому что доказательство части а аналогично
доказательству L7.5a раздела I.
Допустим, что отношение R устанавливает подобие
множеств А° и fl°, а отношение R\ — подобие множеств
А? и Ви Легко видеть, что отношение S, определяемое
эквивалентностью
(х, хг) S (у, уг) = хНу Д хЛууХ1
устанавливает подобие множеств А0-А? и В0-В?.
Определим теперь сумму и произведение порядковых
типов:
D3.3. А-В = 0->А° + В° = А0 + В0;
D3.4. Л°-В°=Жй°".
Заметим, что D3.3 и- D3.4 мы могли бы более точно
записать так:
А«=а В»
Покажем, что D3.3 корректно. Для этого нужно до-
доказать, что для любых двух порядковых типов 'аир
существует точно один порядковый- тип2, равный их
сумме.
1 В подлиннике: чисел (по-видимому, опечатка).— Прим. перев.
2 Ср. предыдущую сноску.— Прим. перев.
271

По Т2.2с существуют упорядоченные множества Аа к
5°, также, что А°=а и ?° = 0. Пусть Л? и 5? — произ-
произвольные упорядоченные множества, удовлетворяющие
условиям: А°=*А°, В\^В°. На основании L2.1 мы можем
допустить, что AB = AlBi = 0. Отсюда и из L3.1a сле-
следует, что
А» + В° =* Л? + 5?.
Отсюда в свою очередь мы получаем на основании А2.1
и D3.3:
I"+ #> = !?+Я?.
Таким образом, может существовать лишь одна сум-
сумма двух данных порядковых типов. То, что такая сумма
всегда существует, следует из L2.1, D3.3, Т2.2Ь и заме-
замечания о том, что сумма двух упорядоченных множеств
есть упорядоченное множество.
Сходным образом можно показать корректность
D3.4.
Т3.1 a. (a + P) + Y = a + (P + Y)-
b. (o.p).Y = o.(p.Y).
Таким образом, сложение и умножение порядковых
типов ассоциативно. Однако эти операции, как мы убе-
убедимся ниже, некоммутативны.
Док. Докажем лишь формулу а.
Пусть А0, В0, С0 — упорядоченные множества, удов-
удовлетворяющие условиям:
A) 1° = а, 5° = р, С° = у.
Существование таких множеств гарантирует Т2.2с. На
основании L2.1 мы можем допустить, что
B) Л-5-Л-С = 5С = 0.
Введем обозначения:
C) Do = А° + В°, Ео = 5° + С°,
До = (А° + 5°) + С°, Y° = А0 + {В0 + С°).

Из D3.1, B) и C) следуют равенства:
Х-=(А + В) + С, Y = A+(B+C).
Отсюда
D)Х=У.
Из D3.1, B) и C) следуют также равенства:
x^Dу V *-=>сУ V *еD Л У& С =
Б Д #еС = х^Ау V л:-=>в^ V х^су V
хвА/\увС\/ хвВ/\увС;
хгВ А
V хеА /\увВ\/ хгА/\уеС.
Отсюда
E)
Из D2.4, а также из D) и E) следует, что отноше-
отношение тождества, ограниченное множеством X, устанавли-
устанавливает подобие множеств Х° и У0. Отсюда, из D2.5 и А2.1
следует .
F) х° = F°.
С другой стороны, из D3.3, B) и C) следуют равен-
равенства:
Х° = (А0 + Б°) + С0, ?° = А°
Из этих равенств, а также из формул F) и A) следует
формула а. Приведем еще следующую теорему:
Т3.2а. (a + P)Y = a.Y + p-V.
Ь. V(a + P)=Y-o + Y'P-
1 В подлиннике: вместо E) —х «^ хУ = ¦* ~^>хУ (по-видимому,
опечатка). — Прим. перев.
273

Таким образом, умножение порядковых типов ди-
дистрибутивно относительно сложения. Некоммутатив-
Некоммутативность умножения порядковых типов приводит к тому,
что фигурируют два закона дистрибутивности.
Доказательство Т3.2 мы опускаем.
§ 4. Сечения. Плотные и непрерывные
множества
Понятием сечения множества всех рацио-
рациональных чисел пользовался немецкий математик Деде-
кинд1, строя арифметику действительных чисел. Опре-
Определяемое ниже понятие сечения является обобщением
понятия, введенного Дедекиндом.
D4. 1. (А0, В0) есть сечение упорядоченного множества
Таким образом, сечения — это упорядоченные пары
упорядоченных множеств с непустыми и непересекаю-
непересекающимися запасами. Множество А0 называется верхним
классом сечения, а В0 — нижним классом. Из D4.1 и
D3.1 легко следует, что
Поэтому сечение определяет разбиение всех элемен-
элементов данного упорядоченного множества на два таких
класса, что каждый элемент первого класса предшест-
предшествует каждому элементу второго класса.
D4. 2а. х есть первый элемент упорядоченного мно-
множества А0 = х 6 А Л П (ХФУ~*Х -^>а У)-
Ъ. х есть последний элемент упорядоченного мно-
множества А° = хгА Л ПС* =?=У-+У-$ах).
уеА
Число 1 есть первый элемент множества (SR, <) , а
последнего элемента в данном множестве нет.
1 В предыдущем разделе мы познакомились с определением бес-
бесконечного множества, сформулированным этим математиком.
274

D4.3a. Сечение <A°, B°> есть скачок тогда, и
только тогда, когда существует последний элемент
множества Л° и первый элемент множества В0.
Ъ. Сечение <Л°, В°> есть пробел тогда, и только
тогда, когда не существует последнего элемента
множества Л° и не существует первого элемента мно-
множества В0.
Легко видеть, что любое сечение множества (9t, <) —
скачок. Можно также показать, что сечение <Л°, В°>
множества всех положительных рациональных чисел,
упорядоченного отношением «меньше», которое опреде-
определяется эквивалентностями
есть пробел. Существуют, очевидно, сечения, которые не
являются ни скачками, ни пробелами. К таким сечениям
относится, например, сечение <Л°, В°> множества
<С^> < )> в котором множеству Л° принадлежат все не-
неположительные, а множеству В0 — все положительные
числа. Последний элемент множества Л° есть число О,
но множество В0 не имеет первого элемента.
D4.4a. Упорядоченное множество плотно тогда,
и только тогда, когда ни одно его сечение не есть ска-
скачок.
Ь. Упорядоченное множество непрерывно тог-
тогда, и только тогда, когда ни одно его сечение не есть
ни скачок, ни пробел.
Множество (9t, <) не является, очевидно, ни плот-
плотным, ни непрерывным. Множество всех рациональных
чисел, упорядоченное отношением «меньше», плотно, но
не непрерывно, потому что, как следует из приведенного
выше примера, существуют его сечения, являющиеся
пробелами. Однако множество (Ш, <) непрерывно.
Введем понятие включения для упорядоченных мно-
множеств, которым мы в дальнейшем будем пользоваться
неоднократно.
D4.5. A°CZB°^ACZB A R \~[(х^лУ = х^у).
хеА угЛ
Таким образом, упорядоченное множество Л° вклю-
включается (содержится) в упорядоченное (М) множество
(е) В° тогда, и только тогда, когда запас первого из
этих множеств включается (содержится)-—в смысле
275

установленном в алгебре множеств — в запасе (е) вто-
второго и когда элементы множества Л° упорядочены в нем
так же, как и в множестве В0. Тем самым символ «с»
имеет два смысла. Но это не грозит путаницей, потому
что обозначения аргументов этого символа будет всегда
указывать, в каком смысле он употребляется. Заметим
еще, что если А°аВ°, то множество Л° называется ч а-
стью, или подмножеством, множества В0.
Из D4.5, D3.1 и D4.1 непосредственно следует:
Следствие 4.1а. А0 + В0 = С0-* Л°СС° Д B°czC°.
Ъ. (А0, В0) есть сечение множества
T4. 1. A°(ZB0/\B0(ZC0-*A0<ZC0.
Таким образом, отношение включения упорядочен-
упорядоченных множеств, как и отношение включения неупорядо-
неупорядоченных множеств, транзитивно.
Док. A) А°СВ° /\В°СС°
C) АСС
AЛ)х,уеА
A.2) x,yzB/\x,yzC
A.3)
{допущ.}
{D4. 5, 1}
{2}
{доб. допущ.}-
{1.1,2}
A.4)
A.5)
{D4. 5, 1, 1.1, 1.2}
{1.3,1.4}
{D4.5, 3, 1.1
1.5}
Т4.2а. Если Л°= 5° и существует первый элемент
множества Л°, то существует и первый элемент множе-
множества В0.
b. Если Л°=^5° и существует последний элемент мно-
множества А0, то существует и последний элемент множе-
множества В0.
c. Если Л°=^5° и множество Л° плотно, то плотно и
множество В0.
276

d. Если А°^В° и множество А° непрерывно, то не-
непрерывно и множество В0.
Док. Эта теорема — непосредственное следствие
основной теоремы об изоморфизме, сформулированной
в § 1.
Однако это доказательство теоремы является труд-
трудным. Поэтому мы приводим доказательства Т4.2а, Ь, с, d,
не опирающиеся на основную теорему об изоморфизме;
эти доказательства не представляют трудностей. Дока-
Докажем сначала часть а теоремы.
Допустим, что взаимнооднозначное отношение R
устанавливает подобие множеств Л° и В0, а также, что
а\ — первый элемент множества Л°. Покажем, что
b\=R(a{) —первый элемент множества В0. В самом де-
деле,- если бы существовал такой элемент Ь2 множества В0,
что Ь2-^,вЬи то существовал бы также и элемент а2 мно-
множества Л°, удовлетворяющий условию b2 = R(a2)\ при-
причем по D2.4 имела бы место эквивалентность
Таким образом, элемент а\ не был бы — вопреки усло-
условию— первым элементом множества А0.
Доказательство части b теоремы аналогично. Дока-
Докажем теперь часть с теоремы.
Допустим вновь, что взаимнооднозначное отноше-
отношение R устанавливает подобие множеств Л° и В0, а так-
также, что множество Л° плотно. Допустим также — вопре-
вопреки тому, что мы хотим доказать, — что некоторое сече-
сечение <Х°, У°> множества В0 — скачок. Обозначим через
2° и U0 подмножества множества Л°, удовлетворющие
условиям
R(Z) = X, R(U) = Y.
Легко видеть, что Z°^nX°, U°—rY° и что упорядочен-
упорядоченная пара <Z°, U°> — сечение множества Л°. Поэтому
из допущения, что сечение <Х°, У°> — скачок, и из
Т4.2а, b следует, что в множестве Z0 имеется последний
элемент, а в множестве U0 — первый элемент. Поэтому
сечение <Z°, U°> — скачок. Однако это заключение
противоречит допущению, что множество Л° плотно.
Доказательство части d теоремы аналогично.
277

T4.3. Упорядоченное множество Л° плотно =
х у г
Док. Допустим вначале, что множество А0 плотно,
и пусть х и у — его произвольные элементы, удовлет-
удовлетворяющие условию
Пусть подмножества Х° и Y0 множества А0 удовлетво-
удовлетворяют условиям
B) t?X<>
Если бы не существовало элемента г, удовлетворяющего
условию
D) х-$Л'г-$лУ,
то — как легко видеть — упорядоченная пара <Х°, Y°>
была бы сечением множества, и притом скачком. Это
заключение, однако, противоречит допущению, что мно-
множество А0 плотно. Значит, из этого допущения следует,
что для любых двух элементов х, у множества А0, удов-
удовлетворяющих условию A), существует элемент, удов-
удовлетворяющий условию D).
Допустим теперь, что множество А0 не плотно. По-
Поэтому существует сечение <Х°, У°> этого множества,
являющееся скачком. Легко видеть, что тогда сущест-
существуют элементы х и у множества А0, удовлетворяющие
условиям A), B) и C). Если бы некоторый элемент z
множества Л° удовлетворял бы условию D), то этот
элемент не принадлежал бы ни множеству Х°, ни мно-
множеству Y0 и упорядоченная пара <Х°, К°> не была бы—
вопреки допущению — сечением множества А0. Тем са-
самым доказательство теоремы закончено.
Упражнения:
1. Сформулируйте такое отношение R, чтобы упорядоченное
множество <У1. ./?> не имело ни первого, ни последнего элемента.
2. Сформулируйте такое отношение R, чтобы некоторое сечение
множества <Э?, ./?> было скачком, а другое пробелом,
1 Выражение л: -^z У —конъюнкция выражений х-^ Az и
г<АУ-
278

3. Множество Х° называется ограниченным сверху в множестве
А0, тогда, и только тогда, когда
Х° (— А° Л ^ Од;—=? а
\— / \ _^ х * з А
а х? X
Верхней гранью множества X0(Z.A0 называется такой элемент о
множества /4°, что
П (х —^ А а V х = а) Л П [П (х -=) А у) -*
х?Х у *? X
-»(а "*? а У V а = У)] ¦
a) Сформулируйте аналогичное определение множества, огра-
ограниченного снизу, и нижней грани.
b) Покажите, что любое подмножество непрерывного множе-
множества, ограниченного сверху, имеет верхнюю грань, а ограниченного
снизу — нижнюю.
c) Покажите, что перечисленными выше свойствами, не обла-
обладают упорядоченные плотные множества, которые не являются не-
непрерывными.
4. Докажите формулы:
a) А° CZ А°;
b) А° CZ В° Л В° d А° —»А° — В0.
5. Пусть X—произвольное непустое подмножество семейства
всех подмножеств (в смысле D4.5) упорядоченного множества Х°.
Следующая формула — некоторое обобщение понятия суммы упо-
упорядоченных множеств:
[
лП П ^
xeZ уeZ
Покажите, что если ни одно из множеств, принадлежащих се-
семейству X, не имеет первого (последнего) элемента, то и множе-
множество U Y не имеет первого (или последнего) элемента.
6. а) Покажите, что, изымая из плотного множества произволь-
произвольное конечное множество элементов, мы получим плотное множество.
Ь) Покажите, что аналогичным свойством не обладают непре-
непрерывные множества.
§ 5. Конечные упорядоченные множества.
Порядковые типы ш, ц, %. Обратные типы
Будем говорить, что упорядоченное множест-
множество Л° имеет мощность ю тогда, и только тогда, когда
запад данного множества есть множество мощности ю,
879

то есть когда Л*= т. Сходным образом множество Л°
называется счетным, конечным или пустым, когда соот-
соответственно множество Л счетно, конечно или пусто.
Заметим еще, что упорядоченные множества мы назы-
называем равночисленными тогда, и только тогда, когда их
запасы равночисленны.
L5.1. Любое конечное упорядоченное множество
имеет первый элемент.
Док. Пусть натуральное число п — мощность упо-
упорядоченного множества Л°. Если п=1, то первый эле-
элемент множества Л° есть его единственный элемент. До-
Допустим, что лемма верна для натурального числа k и что
A = k+l. Пусть а — произвольный элемент множества
Л°. Обозначим через Л? подмножество множества Л°,
запас которого — разность множества А и одноэлемент-
одноэлементного множества {а}. Очевидно, что Ax = k. Значит, по
индуктивному предположению существует первый эле-
элемент ах множества А\. Первым элементом множества Л°
будет тот элемент из пары а, аи который предшествует
другому. Доказательство леммы путем индукции.тем
самым закончено.
Т5.1. Если конечные упорядоченные множества Л° и
В0 равночисленны, то данные множества подобны.
Док. До'пустим, что
Определим индуктивно конечную последовательность
A) аъ а2, ... , ап.
Пусть первым членом последовательности A) будет
первый элемент множества Л°. Существование такого
элемента гарантирует L5.1. Будем считать, что мы опре-
определили члены:
B) ах,аг, ... ,ak,k<n
последовательности A). Обозначим через Л] разность
множества Л и запаса последовательности B). Пусть
a-h+i — первый элемент подмножества А\ множества Л° *.
Таким способом последовательность A) полностью
1 Существование такого элемента опять-таки гарантирует L 5.1,
280

определена. Аналогично мы определяем последователь-
последовательность
C) Ьъ Ьг 6„,
члены которой — элементы множества В.
Пусть отношение R имеет место между членами по-
последовательностей A) и C) тогда, и только тогда, ког-
когда индексы данных членов равны. Легко показать, что
tfel — 1
Таким образом, R устанавливает подобие множеств Л°
и В0.
Из Т5.1 следует:
Следствие 5.1. Любое упорядоченное п-элемент-
ное множество подобно множеству всех натуральных
чисел •<«, упорядоченных отношением «меньше».
Из Т5.1 следует также, что конечные и равночислен-
равночисленные упорядоченные множества имеют тот же самый по-
порядковый тип. Эти типы мы будем обозначать символа-
символами, которыми мы обозначали натуральные числа. Так,
например, порядковый тип пятиэлементного множества
мы обозначаем символом «5». Этот символ в соответст-
соответствии с соглашениями предыдущего раздела одновремен-
одновременно обозначает мощность пятиэлементного множества.
Эта нестрогость не грозит противоречием, потому что
свойства порядковых типов и кардинальных чисел ко-
конечных множеств одинаковы. В частности, законы опе-
операций над порядковыми типами и кардинальными чис-
числами конечных множеств одинаковы. Таким образом,
арифметику натуральных чисел мы можем строить как
арифметику кардинальных чисел конечных множеств
или же как арифметику порядковых типов конечных
множеств.
В качестве иллюстрации сделанных выше замечаний
мы приводим:
Т5.2. Если тип — порядковые типы, конечных мно-
множеств, то
281

A) m -f я = n -f tn;
B) m-n = n-m1.
Док. Пусть
C) A° = m, B° = n, A-B = 0.
Очевидно, что множества А°+В° и В°+А° конечны и
равночисленны. Данное замечание относится 'равным
образом и к множествам А°-В° и В°-А°. Отсюда и из
Т5.1 следует
Отсюда из D3.3, D3.4 и формул C) следуют формулы
A) и B).
Рассмотрим теперь более подробно множества, удов-
удовлетворяющие следующим трем условиям:
a. Упорядоченное множество Х° имеет первый эле-
элемент.
b. Упорядоченное множество Х° не имеет последнего
элемента.
c. Любое сечение множества Х° есть скачок.
Т5.3. Если упорядоченные множества А0 и В0 удов-
удовлетворяют условиям а—с, то данные множества по-
подобны.
Док. Определим индуктивно бесконечную последо-
последовательность
A) а1га,,,а3, ...
Член а\ есть первый элемент множества А0. Существо-
Существование этого элемента гарантируется тем, что множество
А0 удовлетворяет условию а. Допустим, что уже опреде-
определены члены а\, а%,..., я& последовательности A). Сле-
Следующие эквивалентности определяют два подмножества
упорядоченного множества А0:
1 Как уже упоминалось выше, сложение и умножение произволь-
произвольных порядковых типов не коммутативно.
282

Из того, что множество Л° удовлетворяет условию Ь,
следует, что множество А\ непусто. Легко проверить,
что упорядоченная пара <А°, А% > есть сечение мно-
множества Л°. Из того, что данное множество удовлетво-
удовлетворяет условию с следует, что множество Лг имеет первый
элемент. Пусть этот элемент будет (й+1)-м членом по-
последовательности A). Сходным образом мы определяем
бесконечную последовательность
B) ЬиЬ»Ь„ ....
члены которой — элементы множества В0.
Определим еще отношение R.
C)
Покажем прежде всего, что
D)Я,(Я)=А
Из C) следует, что множество Dt(R) равно запасу
последовательности A). Очевидно также, что любой
член этой последовательности есть элемент множе-
множества А0. Для доказательства формулы D) достаточно
поэтому показать, что любой элемент множества А0 есть
один из членов последовательности A). Допустим —
вопреки тому, что мы хотим доказать, — что некоторый
элемент а множества Л° отличен от любого члена после-
последовательности A). Отсюда легко следует, что элемент с
удовлетворяет одному из трех условий:
а.
Но случай а невозможен, поэтому что а.\ — первый эле-
элемент множества Л°. Если бы имел место случай р, то —
как легко видеть — элемент а не принадлежал бы ни
одному из множеств Л° и Лг, определенных в начале
доказательства, что невозможно, так как пара <Л?,
283

Аг > есть сечение множества А0. Допустим теперь, что
имеет место случай у. Следующие эквивалентности
определяют два подмножества упорядоченного множе-
множества А0:
Легко видеть, что пара <Лз, А\ > есть сечение мно-
множества А0, причем множество Аз не имеет последнего
элемента. Однако данное заключение противоречит до-
допущению, что А0 удовлетворяет условию с. Поэтому слу-
случай у также не может иметь места. Таким образом,
формула D) верна.
Доказательство того, что
аналогично.
Несложное доказательство того, что отношение R
удовлетворяет остальным условиям I, сформулирован-
сформулированным в доказательстве Т5.1, мы предоставляем читателю.
Из того, что отношение R удовлетворяет этим усло-
условиям, и из D2.4 следует: A°^RB0. Отсюда и из D2.5 сле-
следует теорема.
D5.1. со=Л°= множество Л° удовлетворяет условиям
а—с.
Очевидно, что множество <31, < ) удовлетворяет
условиям а—с. Отсюда:
Следствие 5.2.
Эта формула может играть роль определения поряд-
порядкового типа со.
Таким образом, любое упорядоченное множество,
удовлетворяющее условиям а—с, счетно. Поэтому кар-
кардинальное число No может быть определено независимо
от понятия натурального числа. Однако если мы строим
теорию множеств, не пользуясь понятием натурального
284

числа, то мы Должны принять аксиому, гарантирующую
существование хотя бы одного счетного множества.
Далее мы рассмотрим множества, удовлетворяющие
условиям:
а'. Упорядоченное множество Х° не имеет ни первого,
ни последнего элемента.
Ь'. Упорядоченное множество Х° счетно,
с'. » » Х° плотно.
Т5.4. Если упорядоченные множества А0 и В0 удовлетво-
удовлетворяют условиям а'—с', го данные множества по-
подобны.
Док. Из допущения, что множества А0 и В0 удовлетво-
удовлетворяют условию Ь', и из Т7.3 раздела I следует существо-
существование бесконечных последовательностей
A) аъ а» а,,..:
B) ЬиЬ»Ь„...
удовлетворяющих условиям:
запасы последовательностей A) и B)—соответ-
B)—соответственно множества Л и В;
если ii=j, то а* Фа, и bii=bj.
Определим индуктивно бесконечную последователь-
последовательность
C) ^л.А.---
Пусть член bit = fti. Допустим, что члены b,-t, Ьг„ ..., bt^
уже определены. Допустим также, что для произволь-
произвольных натуральных чисел и и л, не превосходящих к,
имеет место соотношение
D) am^Aan = bim^>Bbin.
Очевдино, что член ak+\ последовательности A) дол-
должен удовлетворять одному из условий:
a^A ak+1
285

Пусть в каждом из этих случаев член blk+1 последова-
последовательности C) равен члену bi — первому члену последо-
последовательности B), который удовлетворяет соответственно
условиям:
Р'.
Существование члена bi следует
в случае а' и у' из того, что множество В° удовлетворяет
условию а';
в случае Р' из того, что множество В° удовлетворяет
условию с', и из соотношения D).
Очевидно, что соотношение D) остается верным,
когда тип примут значение k + l. Таким образом, дан-
данное соотношение верно для всех членов последователь-
последовательностей A) и C).
Следующая эквивалентность определяет отноше-
отношение R:
Покажем, что любой член последовательности B),
а потому и каждый элемент множества В является од-
одним из членов последовательности C). Временно мы
будем полагать, что это неверно, и пусть bi — первый
член последовательности B), который не вошел в по-
последовательность C). Таким образом, каждый из чле-
членов Ь\,..., bi-\ совпадает с некоторым членов последова-
последовательности C). Обозначим через bir член этой последо-
последовательности, удовлетворяющий условию
bi =bt, где t= I, ... ,{ — 1.
Пусть k — наибольшее из чисел г\,..., гг_1. Допустим
далее, что bi удовлетворяет условию а' и что as — первый
член последовательности A), предшествующий в множе-
множестве А0 каждому из членов
E) аъ ... , ак
286

последовательности A). Поэтому каждый из членов
пк+ь ¦¦¦> 0s-i следует хотя бы за одним из членов E).
Значит as предшествует каждому из членов аи..., as-i.
Из того, что соотношение D) выполняется для всех чле-
членов последовательностей A) и C), мы заключаем: каж-
каждый из членов bt , ..., blt^1 следует в множестве В0
хотя бы за одним из членов btt, ..., bt . Поэтому член bi
предшествует каждому из членов btt, ..., bt ; причем
bi — первый член последовательности B), удовлетво-
удовлетворяющий данному условию, потому что каждый из членов
Ь\,..., bi-i совпадает с одним из членов Ь/„ .. .,Ь^_Х.
Отсюда и из определения последовательности C) сле-
следует, что bi=b[ . Аналогичные доказательства того, что
bt является одним из членов последовательности C)
в случае, когда данный член удовлетворяет условиям 0'
или у', мы предоставляем читателю. Из предшествую-
предшествующего рассмотрения уже легко следует, что DP(R)=B.
Установление того, что имеют место остальные из усло-
условий I, сформулированные в доказательстве Т5.1, не пред-
представляет трудностей.
Таким образом, отношение R устанавливает подобие
множеств Л° и В0. Отсюда уже следует Т5.4.
Доказанная теорема позволяет принять следующее
определение:
D5. 2. ц = А0 = множество Л° удовлетворяет условиям
а'—о'.
Очевидно, что множество (ШЗ, < ) удовлетворяет
условиям а'—с'.
Следствие 5.3:
Эта формула может служить определением порядкового
типа tj.
Теперь мы рассмотрим множества, удовлетворяющие
условиям:
а". Упорядоченное множество Х° не имеет ни пер-
первого, ни последнего элемента.
Ь". Упорядоченное множество Х° непрерывно.
с.
х у
287

Словесно условие с" формулируется так:
Существует счетное подмножество W0 множества Х°,
такое, что для любых двух (различных) элементов мно-
множества Х° существует средний элемент, принадлежащий
подмножеству W0.
Т5.5. Если упорядоченные множества Л° и В0 удовлет-
удовлетворяют условиям а"—с", то данные множества подобны.
Док.1 Пусть W°{ и W\ — соответственно счетные
подмножества множеств Л° и В0, удовлетворяющие
условиям:
w?\P,
Существование таких подмножеств гарантируется до-
допущением, что множества А0 и В0 удовлетворяют усло-
условию с". Легко видеть, что множества W° и W% удовлет-
удовлетворяют условиям а'—с'. Таким образом, по Т5.4 они по-
подобны. Пусть отношение 5 устанавливает подобие мно-
множеств W° и Wl ,
Пусть х будет произвольным элементом множества
А0. Обозначим через Л? подмножество множества А0,
которому принадлежат все элементы данного множе-
множества, предшествующие в нем элементу х, через Л° —
подмножество множества А0, которому принадлежат все
остальные элементы данного множества. Легко видеть,
что упорядоченная пара (А°, Al) есть сечение мно-
множества А0 и что х — первый элемент множества А°.
Обозначим через С0 произведение множеств Wi и Л?,
через Bi — подмножество множества В0, такое, что В?
содержит любой элемент а, который принадлежит мно-
множеству 5° и для которого существует элемент множе-
множества S(C), следующий во множестве В0 за а. Обозна-
Обозначим еще через В1 подмножество множества 5°, такое,
1 Мы приводим сокращенное доказательство.
288

что в\ содержит все элементы множества В0, которые
не принадлежат множеству В и Легко видеть, что упо-
упорядоченная пара (Bi, B2) есть сечение множества В0
°
и что множество B°i не имеет последнего элемента.
Из того, что Лу не имеет последнего элемента, и из фор-
формулы A) легко следует, что множество С0, которое есть
подмножество множества А0, не имеет последнего эле-
элемента. Поэтому и в множестве 5(С), которое есть под-
подмножество множества В0, также нет последнего элемен-
элемента. Отсюда уже легко следует, что множество В\ не
имеет последнего элемента.
Отсюда и из допущения, что множество В° удовлет-
удовлетворяет условию Ь", следует существование первого эле-
элемента множества В\. Обозначим через у этот элемент
и приведем его в соответствие элементу х. Таким путем
каждому элементу А0 приведен в соответствие точно
один элемент множества В0. Если данное соответствие,
которое, очевидно, есть некоторое отношение, обозна-
обозначить через R, то мы получим формулы
B) Dl(R)=A;
C) Яефункц.
Сходным образом мы можем привести в соответ-
соответствие произвольному элементу у множества В0 точно
один элемент множества А0. Легко видеть, что приве-
приведенные в данное соответствие элементы х и у находятся
в отношении R. Отсюда
D) Dp(R)=B;
E) R~l e функц .
Из формул C) и E) следует, что R е 1—1. Проверку
того, что выполняется также третье из условий I, сформу-
сформулированных в доказательстве Т5.1, мы предоставляем
читателю.
Таким образом, множества А0 и 5° подобны.
Доказанная теорема позволяет принять следующее
определение:
Р5.3. X = А° = множество А° удовлетворяет условиям
а" —с".
Ю Зак. 834 289

Легко видеть, что множество C1, <О удовлетво-i
ряет условиям а"—с", причем множество W, о котором
говорится в условии с", есть множество 503 всех рацио-
рациональных чисел.
Отсюда:
Следствие 5.4.
*. = <©, <>.
Эта формула может играть роль определения поряд-
порядкового типа К.
Среди сечений данного упорядоченного множества
А0, которые не относятся ни к скачкам, ни к пробелам,
имеются пары сечений, различающиеся лишь тем, что
некоторый элемент а множества А° есть последний эле-
элемент нижнего класса одного из этих сечений и одновре-
одновременно первый элемент верхнего класса другого сечения.
Такими сечениями, например, являются сечения множе-
множества C1, О, в одном из которых верхний класс —
множество всех положительных чисел, а в другом ниж-
нижний класс — множество всех отрицательных чисел.
Устраним из множества всех сечений множества А0
те принадлежащие к только что охарактеризованным
парам сечения, в которых нижний класс имеет последний
элемент. Полученное таким путем множество мы будем
называть множеством всех собственных сечений
множества А0.
Из этого определения и D4.4a следует:
Следствие 5.5. Ни в одном из сечений, принадлежа-
принадлежащих множеству собственных сечений плотного множе-
множества, нижний класс не имеет последнего элемента.
Легко видеть, что отношение, определяемое формулой
II. (Л?, В?) R (А°2, В%) ^Ахф Л2,
упорядочивает множество всех собственных сечений
множества А0.
L5.2. Если упорядоченное множество А0 плотно, то мно-
множество Ш° всех его собственных сечений, упорядочен-
упорядоченное отношением R, которое определяется формулой II,
также плотно.
Док. Нужно показать, что ни одно сечение (9Ii
©°) множества 91° не есть скачок. Пусть — вопреки
290

тому, что требуется доказать, — сечение (Ai, B°i)
множества А0 есть последний элемент класса 31?, а се-
сечение {А°2, Вг) множества А0 — первый элемент
?
{
класса 95?. Очевидно, что
Отсюда и из формулы II следует, что А[фА2. Поэтому
существует такой элемент а множества А, что
A) авА1^а^Ал.
Из следствия 5.5 мы выводим также, что существует
элемент аи удовлетворяющий условию
B) а-^Аах А<*1?А2.
Следующие формулы определяют подмножества множе-
множества А0: :
C)
Очевидно, что упорядоченная пара (Аз, Вз) есть
элемент множества Ш. Однако из формул A) — C) и II
следует
Поэтому сечение (Аз, В°) не принадлежит ни
классу 91?, ни классу 93i. Данное заключение проти-
противоречит допущению, что упорядоченная пара (91?,
53i) есть сечение множества 91°. Таким образом,
данное множество плотно.
Т5.6. Если упорядоченное множество А0 плотно, то мно-
множество 91° всех его собственных сечений, упорядочен-
упорядоченных отношением R, которое определяется условием II,
непрерывно.
Док. Пусть упорядоченная пара (91?, S3?) — про-
произвольное сечение множества 91°. Допустим, что дан-
данное сечение есть пробел. Следующие эквивалентности
определяют подмножества Л? и 5? упорядоченного
множества А0:
10* 291

A) xeA^^
x у
х у
Логко видеть, что упорядоченная пара (Л?, В\) есть
собственное сечение множества А0 2. Допустим, что
(Аи #)?»?. Из допущения, что сечение' (Si?, J8?)
есть пробел, следует существование такого сечения
(А\, Bl) множества А0, что
(Л2°, Bl) <=Щ? Л <Л?, 5?) -5, D, Б2°).
Отсюда и из условия II следует А\ фА2. Однако дан-
данное заключение противоречит A). Сходным образом
можно показать, что данное сечение не принадлежит
классу й?. Поэтому ни одно сечение класса 9i° не есть
пробел.
Из L6.2 следует, что ни одно сечение множества 9i°
не есть скачок. Таким образом, данное множество не-
непрерывно.
В теории действительных чисел Дедекинда, которая
упоминалась в начале предыдущего параграфа, действи-
действительные числа определяются как собственные сечения
множества рациональных чисел, упорядоченного отно-
отношением «меньше». Условие II определяет отношение
«меньше» для так понимаемых действительных чисел.
Из Т5.6 следует, что множество всех действительных
чисел, упорядоченное отношением «меньше» непре-
непрерывно.
D5.4. р = а*вуу(а = <ЖЛ>ЛРИ*Г#Ч>).
'*' 9 •¦ XR
Это определение короче можно записать в виде:
или же в виде:
1 Таким образом, множество Ai— сумма всех иижиих классов
сечеиий, принадлежащих классу 5Л°ь а множество Bi— сумма всех
верхних классов сечеиий, принадлежащих классу Я}.
2 Ср. упражнение 5, § 4.
292

Порядковый тип а* называется обратным к порядко-
порядковому типу а. Если а — порядковый тип множества X,
упорядоченного отношением R, то а* — порядковый тип
множества X, упорядоченного отношением, обратным
к R, или конверсией отношения R. Из определения D5.4
и следствия 5.2 следует, что to* = (9t, >). Таким об-
образом, порядковый тип со* — это порядковый тип упоря-
упорядоченных множеств, которые не имеют первого элемента,
имеют последний элемент и каждое сечение которых
есть скачок. Как легко заметить, это — порядковый тип
отрицательных целцх чисел, упорядоченных отноше-
отношением ;<.
На этом примере мы видим, что тип а* может не
совпадать с типом а. Однако в некоторых случаях тип,
обратный порядковому типу а, тождествен типу а. Так,
например, из Т5.1 следует, что п* = п (где п — порядко-
порядковый тип конечного множества); из Т5.4 и Т5.5 следует,
что т1* = ть К* = К. Можно также показать, что (со* + со)* =
= со* + со.
Порядковый тип со* + со — это порядковый тип мно-
множества целых чисел, упорядоченных отношением <. Упо-
Упорядоченные множества данного типа не имеют ни пер-
первого, ни последнего элемента, а любое их сечение есть
скачок.
Упражнения:
1. Приведите примеры упорядоченных множеств, удовлетворяю-
удовлетворяющих только двум из условий а—с, о которых говорится в Т5.3.
Проделайте аналогичное упражнение, имея в виду условия
а'—d, о которых говорится в Т5.4, а также условия а"—с", о кото-
которых говорится в Т5.5.
2. Покажите, что порядковый тип а произвольного счетного
плотного множества удовлетворяет одному из четырех условий:
a = Ti, а= 14-т), а = тЦ-1, а=1 + т]4-1.
3. Покажите, что для произвольного порядкозого типа а имеет
место соотношение
а-2=а
4. Докажите формулы:
a) ю= 1 +со = 2 + со= .?. =
b) со = 2со = Зсо = ... л • со;
d) Л = X + 1 + А.;
e) ((о + 1) + (о = (о + @.
293

5. Покажите ложность следующих формул:
a) со = со -f- 1;
b) 2co = со -f- со;
c) т) = t] -f 2 -(- т);
d) Я = Я -f-
e) Я = Я + Я;
g) Я = Я • Я.
6. Докажите формулы:
а) (а^)* = а;
d) @^= @^+1.
7. Покажите ложность формул:
а)
Ь) (а-Р)^=р^.а^.
8. Покажите, что два упорядоченных множества, из которых
каждое подобно подмножеству другого, могут не быть подобными.
§ 6. Вполне упорядоченные
множества. Порядковые числа
D6.1. Упорядоченное множество А0 есть впол-
вполне упорядоченное множество = П 2 (Ь есть
0т6В»С-4» 6
первый элемент множества В°).
Таким образом, множество вполне упорядочено тогда,
и только тогда, когда каждое его непустое подмноже-
подмножество имеет первый элемент.
Из D6.1 и L5.1 непосредственно следует, что любое
конечное упорядоченное множество вполне упорядочено.
Множество (Ш, <) также вполне упорядочено, одна-
однако ни (ЗВ, ¦<), ни (9J, О не относятся к вполне
упорядоченным множествам.
294

Из Т4.2а легко следует:
Следствие 6.1. Множество, подобное вполне упорядо-
упорядоченному множеству, также вполне упорядочено.
D6.2. а е ПЧ s= V (А0 есть вполне упорядоченное множест-
во Л°ш А0).
Выражение а 6 ПЧ читается: а есть порядковое чис-
число. Таким образом, порядковые числа — это порядковые
типы вполне упорядоченных множеств.
Из предыдущих замечаний и следствий 5.2—5.4 сле-
следует, что из порядковых типов со, х\ и X только со есть
порядковое число. Заметим далее, что если рассматри-
рассматривать натуральные числа как порядковые типы конечных
множеств (ср. замечания предыдущего параграфа), то
натуральные числа будут частными случаями порядко-
порядковых чисел. Также и число нуль, понимаемое как поряд-
порядковый тип пустого множества (ср. упражнение 8 § 2),
по определению D6.1 и D6.2 есть порядковое число.
Т6.1. Любое подмножество вполне упорядоченного мно-
множества вполне упорядочено.
Док. Пусть В0 — произвольное подмножество вполне
упорядоченного множества А0, а С0 — произвольное не-
непустое подмножество множества В0. Легко видеть, что
множество С0 есть подмножество множества А0. Поэтому
множество С0 имеет первый элемент. Таким образом, мы
показали, что любое непустое подмножество множе-
множества В0 имеет первый элемент. Отсюда и из D6.1 следует,
что данное множество вполне упорядочено.
Т6.2. Сумма и произведение вполне упорядоченных мно-
множеств — вполне упорядоченные множества.
Док. Пусть А0 и В° — произвольные вполне упорядо-
упорядоченные множества и пусть С0 — произвольное непустое
подмножество множества А° + В°. Если А • СфО, то мы
можем принять, что элементы множества D°, запас ко-
которого есть множество А • С, упорядочены так же, как
и в множестве А0. Очевидно, что множество D0 — непу-
непустое подмножество вполне упорядоченного множе-
множества А0, а потому имеет первый элемент. Легко видеть,
что данный элемент есть одновременно и первый элемент
подмножества С0. Если же А • С = 0, то множество С0 есть
подмножество вполне упорядоченного множества В0
295

и потому имеет первый элемент. Тем самым мы показа-
показали, что в обоих возможных случаях произвольное
непустое подмножество множества А°+В° имеет первый
элемент. Таким образом, множество А°+В° вполне упо-
упорядочено.
Пусть теперь С0 — произвольное непустое подмноже-
подмножество множества А0-В0. Обозначим через А\ подмноже-
подмножество множества А0, элементы которого — те, и- только
те, элементы множества А0, которые относятся к первым
элементам упорядоченных пар, принадлежащих множе-
множеству С. Аналогично определяется подмножество В?
множества В0. Легко видеть, что множества Л? и В?
непусты. Пусть а0 и Ьо будут соответственно первыми
элементами этих множеств. Очевидно, что пара (а0, Ьо)
есть первый элемент множества С0. Таким образом,
множество А0 • В0 также вполне упорядочено.
Из доказанной теоремы следует, что операции на
порядковых числах мы можем определить как частные
случаи, соответствующих операций на порядковых ти-
типах. Отсюда непоредственно следует, что теоремы ариф-
арифметики порядковых типов, доказанные в § 3, остаются
верными и в арифметике порядковых чисел.
Заметим еще, что законы коммутативности сложения
и умножения не имеют места не только для порядко-
порядковых типов, но и для порядковых чисел. Это можно видеть
из следующих неравенств:
со+1^=1 +со;
несложное доказательство которых мы предоставляем
читателю.
Заметим еще, что вполне упорядоченное множество
с запасов А мы будем обозначать А+.
Упражнения:
1. Покажите, что следующее определение эквивалентно D6.1:
Упорядоченное множество А0 вполне упорядочено = П 2
й?В°фА> Ь
(Ь есть первый элемент множества В0).
2. Покажите, что ни одно сечение вполне упорядоченного мно-
множества не есть пробел.
3. Покажите, что ни одно вполне упорядоченное множество не
содержит подмножество типа ы^,
296

§ 7. Начальные отрезки вполне
упорядоченного множества
D7.1. X+ = A(a)^
Множество А (а) называется начальным отрезюш
вполне упорядоченного множества, определяемым эле-
элементом а этого множества. Таким образом, начальный
отрезок А (а) — множество всех элементов множества
А+, предшествующих в данном множестве элементу а,
причем элементы начального отрезка А (а) упорядочены
в нем так же, как и в множестве А+.
Из D7.1 и Т6.1 следует:
С л ед ствие, 7.1. Произвольный начальный отрезок
вполне упорядоченного множества есть вполне упорядо-
упорядоченное множество.
Заметим еще, что начальный отрезок, определяемый
первым элементом вполне упорядоченного множества
А+, есть пустое множество.
D7.2. alt а2 е Л+ -> [A (aj < А (а2) = ах -$А а2].
Определяемое отношение мы будем называть отноше-
отношением «меньше». Поле этого отношения есть множество
всех начальных отрезков данного вполне упорядочен-
упорядоченного множества.
Т7.1. Отношение, сопоставляющее любому элементу а
множества А+ начальный отрезок А (а), устанавливает
подобие множества А+ и множества всех его начальных
отрезков, упорядоченных отношением «меньше».
Несложное доказательство этой теоремы мы предо-
предоставляем читателю.
Из Т7.1 и следствия 6.1 непосредственно следует:
Следствие 7.2. Множество всех начальных отрезков
множества А+, упорядоченное отношением «меньше»,
есть вполне упорядоченное множество.
L7.1. Л+-Я+-*
Док. Допустим, что отношение R устанавливает по-
подобие множеств А+ и В+ и что а — произвольный эле-
элемент множества А. Будем считать также, что b = R(a).
Легко видеть, что A(a)^RB(b). Таким образом, лемма
верна.
297

В определение, которое мы сформулируем, входит
символ вида Yx. Определение данного символа — это
D8.3 предыдущего раздела.
D7.3.
ЛПП
Выражение ЖЕ ВФ(Л+) читается: R есть возрастающая
функция, определенная на множестве А+.
L7.2. R е ВФ (Л+) -» ~ [# (а) -^ а].
Таким образом, возрастающая функция, определенная
на некотором множестве, не может сопоставлять ни од-
одному элементу множества предшествующий элемент
данного множества.
Док. Пусть — вопреки тому, что требуется доказать,—
для некоторого а еЛ+
A) Я (а) 44 «•
Обозначим через At подмножество множества А+; At
принадлежат те, и только те, элементы множества А+,
которые удовлетворяют условию A). Поэтому множе-
множество At непусто. Пусть а0-— первый элемент этого мно-
множества. Отсюда
B)
а также для любого х
C)
Полагая, что x = R(cto), мы получаем из формул B)
C) следующую формулу:
D)
С другой стороны, из формулы B) и допущения, что
функция R возрастающая, мы получаем
Но данная формула противоречит формуле D). Таким
образом, допущение A) приводит к противоречию.
L7.3.
298

Таким образом, вполне упорядоченное множество не
подобно ни одному из своих начальных отрезков.
Док. Пусть — вопреки тому, что требуется доказать,—
для некоторого а\ъА+
A) Л+-ЛК).
Обозначим через R отношение, устанавливающее подо-
подобие этих множеств. Из D2.4 мы получаем
B) *Нл#-»#(*L4<а,)# С^-
Отношение R есть поэтому возрастающая функция, оп-
определенная на множестве А+. Отсюда и из L7.2 следует,
что
C)
Но из того, что A+^RA(a\) и щеА, следует, что
Я(а\)<Аа1- Данное следствие противоречит формуле
C). Таким образом, допущение A) приводит к проти-
противоречию.
L7.4. аи а2еА+/\А{aj ^ А(а2) -> ах = а2.
Док. Допустим, что aiФа,2. Отсюда, из L7.3 и заме-
замечания, что из двух (различных) начальных отрезков
одного и того же упорядоченного множества один есть
всегда начальный отрезок другого, следует
Таким образом, лемма верна.
L7.5. ]~[ ? [А (а) ^В ф)] Д
а?А+ Ь?В+
Ь?В+ а?А+
Таким образом, если для любого начального отрезка
множества А+ существует подобный ему начальный от-
отрезок множества В+ и обратно, то множества А+ и В+
подобны.
Док. Покажем, что подобие множеств А+ и В+ уста-
устанавливает отношение R, определяемое эквивалентностью
A) aRb = А {а) « В ф).
299

Из условий леммы и формулы A) легко следует
B)Д(#)=Л, Dp(tf) = B.
Допустим, что
bx и aRb2.
Отсюда и из формулы A) следуют формулы: •
A (a) ^B(bj, A{a)^B{h).
В свою очередь отсюда и из Т2.1Ь, с следует, что
Вфх^ В(Ь2). На основании L7.4 мы заключаем, что
bl = b2. Сходным образом можно показать, что из допу-
допущений a,\Rb и a,2Rb следует, что щ==а2. Поэтому отноше-
отношение R взаимнооднозначно. Отсюда и из формул B) сле-
следует
C) Л~*В.
Допустим теперь, что
D) а^АОъ,
а также, что
E) а^Ьг и Oj№2.
Из формул A) и E) следует:
F)
G)
Из формулы D) легко следует, что а\гА(а2). Отсюда,
из L7.1 и формулы G) следует существование элемен-
элемента Ь', такого, что
(8) Ь'еВ(Ь2),
(9) А К) -5 ф').
Из формул F) и (9) мы выводим, что B{b{) ~B(b').
Следовательно, по L7.4 Ъ\ = Ь'. Отсюда и из формулы (8)
следует, что Ь\гВ{Ь2), а потому
300

Из того, что из формул D) и E) мы получили форму-
формулу A0), а также из формулы C) следует утверждение
леммы.
L7.6. Если Ьо — первый элемент множества В+, удовлет-
удовлетворяющий условию
a,
4+
u если a,\tA, bizB, а также
A) Л(ах) =* Bfa),
то
Док. Пусть — вопреки тому, что требуется доказать, —
B) о: е о [рд).
Отсюда легко следует, что или bo = bi, или бо-^в^ь В пер-
первом случае формула A) принимает вид:
Однако эта формула противоречит первому условию
леммы. Поэтому допустим, что bo—^ebi. Отсюда, из L7.1
и условия A) следует существование элемента а' мно-
множества А(а{), такого, что
Данное заключение опять-таки противоречит первому
условию леммы. Таким образом, косвенное доказатель-
доказательство леммы закончено.
L7J- П ? H(a)-5F)]Vf| ^ [Л (а)-
агА+ ЬеВ+ ЬгВ+ А +
Док. Пусть — вопреки тому, что требуется доказать,—
существует такой элемент аеА+, что
A) Y] ~И(а)-5F)],
ЬеВ+
301

а также существует такой элемент ЬеВ+, что
B)
аеА+
Обозначим через Ао — первый элемент множества А+,
удовлетворяющий условию A), через' Ьо — первый эле-
элемент множества В+, удовлетворяющий условию B).
Допустим, что aieA(ao). Отсюда а\<а0. Из определения
элемента по следует существование элемента Ьх множе-
множества В+, такого, что
Отсюда и из L7.6 мы заключаем, что
Таким образом, мы показали, что
C) П 2 1А(а)~В(Ь)].
ЬеВ(Ьо)
Сходным образом можно показать, что
D) Y] У
Y]
ЬеВф0)
Из формул C) и D), а также L7.5 следует, что
А (по) =^ В(Ьо). Однако это заключение противоречит
определению элемента ао (так же, как и определению
элемента Ьо). Таким образом, косвенное доказательство
леммы закончено.
Т7.2. А+ - В+ V ^ [А+ ~ В № V ^ [В+ =* А (а)].
asA+
Таким образом, два вполне упорядоченных множества
или подобны, или одно из них подобно начальному от-
отрезку другого.
Док. Из L7.7 следует, что выполняется хотя бы одно
из следующих условий:
A) ^ П И(а)~ЯFI;
аеА+ ЬеВ+
B)]-] ^ [А (а) -Б F)].
ЬеВ+ аеА+
302

Если выполняются оба эти условия, то по L7.5
C) А+ - В+.
Допустим теперь, что выполняется условие A), но не
выполняется условие B), а потому существует эле-
элемент Ь множества В+, удовлетворяющий соотношению
П
еА+
Обозначим через Ьо первый элемент множества В+,
удовлетворяющий данному соотношению. Будем также
считать, что
D)С+ = В(Ь0).
Из определения элемента Ьо и формулы D) легко сле-
следует
E)f[
f[ ^
сеС + аеА+
Пусть а\ъА+. Из допущения, что выполняется условие
A), следует существование такого элемента by множе-
множества В+, что
Отсюда и из L7.6 следует, что в\ъВ{Ь0). Отсюда и из
формулы D) следует, что Ъ1гС+, а также, что множество
В(Ьг) —начальный отрезок множества С+. Таким обра-
образом, мы показали, что
F) Y\ 2 1А(а)~С(с)].
аеА+ сеС+
Из L7.5, формул E), а также F) следует, что А+~С\
Отсюда из формулы D) мы получаем
Сходным образом можно показать, что для некото-
некоторого А
(8) В+~
303

Значит, хотя бы одна из формул C), G) и (8) верна.
Таким образом, Т7.2 доказана.
Докажем еще
L7.8. A+^AtAB+^B^
Док. Пусть отношение R устанавливает подобие
множеств В+ и В{. Из третьего условия леммы следует
существование такого элемента Ь' множества В, что
A) А+
Пусть Ь\ — элемент множества В\, удовлетворяющий
условию
Отсюда и из замечания, что отношение R устанавливает
подобие множеств В+ и В\ , легко следует
Из первого условия леммы, формул A) и B), а также
из замечания, что отношение — транзитивно и симмет-
симметрично, следует At— Bi(b{). Отсюда уже следует утверж-
утверждение леммы.
Теоремами и леммами, доказанными в этом парагра-
параграфе, мы будем пользоваться в следующем параграфе.
§ 8. Неравенства. Предельные числа
Рассуждения этого параграфа аналогичны во
многих отношениях рассуждениям § 9 предыдущего раз-
раздела.
D8.1. А+<В+
Таким образом, для того, чтобы порядковое число мно-
множества А+ было меньше порядкового числа множества
В+, необходимо и достаточно, чтобы множество А+ было
304

подобно некоторому начальному отрезку множества В+.
Заметим, что из D8.1 и L7.8 следует: если A+=Ai ,
B+ = Bf и А+<В+, то At<Bf.
Из D8.1 и Т2.1а следует:
Следствие 8.1.
А(а) < J+.
Для упрощения записи дальнейших доказательств
мы введем следующие обозначения:
а=А+, Р = Я+, y=C+,
Таким образом, буквы а, р, у будут обозначать по-
порядковые числа.
Из D8.1 и L7.3 следует:
L8.1.
L8.2.
Лемма легко следует из Т7.2 и D8.1
L8.3.
Док. Из D8.1 и условий леммы следует, что для не-
некоторого элемента b множества В+ и некоторого элемен-
элемента с множества С+ имеют место соотношения:
A) А+^В(Ь);
B) В+ -С(с).
Из L7.1 и B) следует существование такого элемента
множества С+, что B(b)^C(ci). Отсюда и из A) сле-
следует
Таким образом, по определению D8.1 a<Y-
L8.4. а<р->
Док. Пусть — вопреки тому, что требуется дока-
доказать,— р<а. Отсюда и из L8.3 следует, что a<a. Дан-
Данное заключение, однако, противоречит лемме L8.1.
И Зак. 834 305

Из лемм L8.2, L8.3 и L8.4 следует :
Т8.1. Отношение «меньше» упорядочивает множество
порядковых чисел.
Т8.2. Если множество ?(($<аI упорядочено отноше-
нием «меньше», то
Р
Док. Пусть а=Л+. Для доказательства теоремы до-
достаточно показать, что
Отношение, устанавливающее подобие данных мно-
множеств, есть отношение R, определяемое эквивалентно-
эквивалентностью
а#р = р = А(а).
Детальную проверку этого мы предоставляем читателю.
Из Т8.2 и следствия 6.1 следует:
Следствие 8.1. Множество ?(($<а) есть упоря-
Р
доченное множество.
Т8.3. Произвольное непустое множество Т порядко-
порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», имеет
первый элемент2.
Док. Пусть — вопреки тому, что требуется дока-
доказать, — множество W не имеет первого элемента, и пусть
а — произвольный элемент данного множества. -Отсюда
легко следует, что множество Е ([5( ^Л Р<а) непусто.
Р
Допустим, что данное множество упорядочено отноше-
отношением «меньше». Поэтому оно есть непустое подмноже-
подмножество множества ?(($<а) и по D6.1 и следствию 8.1 име-
Р
ет первый элемент. Легко видеть, что данный элемент
есть одновременно и первый элемент множества W. Та-
Таким образом, допущение, что данное множество не име-
имеет первого элемента, приводит к противоречию.
Т8.4. Произвольное множество порядковых чисел,
упорядоченное отношением «меньше», есть вполне упо-
упорядоченное множество.
1 Очевидно, что здесь переменные аир пробегают множество
Порядковых чисел.
* Данную теорему можно сформулировать также следующим об-
образом: в каждом непустом множестве порядковых чисел существу-
существует наименьшее порядковое число.
306

Док. Теорема непосредственно следует из D6.1 и
Т8.3.
Согласимся обозначать множество всех порядковых
чисел, упорядоченное отношением «меньше», символом
ПЧ +, а начальный отрезок данного множества, опреде-
определяемый элементом а, — символом ПЧ(а). Таким обра-
образом, Т8.2 мы можем записать:
абПЧ+-*ПЧ(а)=а.
D8.2. аеПрЧ = аеПЧЛа^О Д [[ а ^ р-f 1.
рбпч
Выражение «а ? ПрЧ» читается: а есть предельное
число. Например, предельные числа—это числа ю, ю + ю,
со-со, но ни одно натуральное число, а также ни одно
число вида ю + я, где я? 91 не есть предельное число.
Т8.5. а^О ДаёПрЧДаёэт _» V
реПрЧ n
Док. Пусть
A) а^Од аеПрЧ Д
а также — вопреки тому, что требуется доказать,—
B)
реПрЧ tefft
Обозначим через а0 наименьшее порядковое число, удов-
удовлетворяющее условиям A) и B). Существование тако-
такого числа гарантируется теоремой Т8.3 и принятыми до-
допущениями. Поэтому существует такое порядковое чис-
число Ро, что
C) <*о = Ро + 1.
Если бы Ро ё ПрЧ, то число ао не удовлетворяло бы —
вопреки допущению — условию B). Поэтому имеет ме-
место соотношение
D) РоёПрЧ.
Из A) и C) легко следует, что
E)
И* 307

Из формулы C) и D8.1 следует, что ро<ао. Отсюда, из
допущения, что оэ — наименьшее порядковое число,
удовлетворяющее одновременно условиям A) и B), а
также из формул D) и E) следует существование та-
такого предельного числа pi и такого натурального числа
П\, ЧТО
Из этой формулы, формулы C) и Т3.1а следует:
«о = Pi
Полученная формула противоречит допущению, что ао
удовлетворяет условию B). Косвенное доказательство
теоремы, таким образом, закончено.
Упражнения:
1. Покажите, что следующее определение отношения «меньше»
для порядковых чисел эквивалентно D8.1:
На основании этого определения докажите L8.&
2. Докажите формулы:
а)
Ъ) скр-хх- y<P- Y-
3. Покажите ложность формул:
а)
b)
4. Докажите формулы:
a) РеПрЧ-»а+РеПрЧ;
b) РеПрЧ-»а-РеПрЧ..
§ 9. Принцип индукции
В этом параграфе мы обобщим принцип ин-
индукции, который является законом арифметики нату-
натуральных чисел'.
1 Подробную информацию о большинстве упоминаемых здесь
теорем арифметики натуральных чисел читатель найдет в книге:
W. Sierpinski, Arytmetyka teoretyczna.
308

Принцип индукции формулируется или в качестве
арифметической теоремы, или в качестве правила дока-
доказательства теорем. В первой формулировке этот прин-
принцип имеет вид':
A) OeZA
keZ
При формулировке принципа индукции в качестве
правила используется символ W(n), который обозначает
произвольную формулу (или, более общо, произвольную
теорему), записанную с помощью переменной, пробе-
пробегающей множество всех натуральных чисел 01. Правило
индукции мы запишем так же, как мы записывали ло-
логические правила в части I:
I. W{0)
П [IT (ft)-» IT (ft+1)]
П
Пользуясь правилом I, можно доказать теорему A),
и обратно: на основании A) можно показать, что пра-
правило I производно относительно логических правил.
В доказательствах математических теорем часто при-
применяется правило, отличное от правила I, называемое,
однако, также правилом индукции. Схема этого прави-
правила имеет вид:
П [П. [*< m-»У (*)]-*¦ IF (m)]
П W(n)
Арифметическая теорема — аналог правила II в том
смысле, в каком теорема A) есть аналог правила I,—
имеет вид:
B)
'k<m
2 В рассуждениях этого параграфа удобно нуль относить к на-
натуральным числам.
309

В арифметике натуральных чисел правила I и It
эквивалентны. Но только правило II можно распростра-
распространить на арифметику порядковых чисел вследствие того,
что не всякое порядковое число можно получить из ну-
нуля прибавлением единицы, в то время как любое нату-
натуральное число, очевидно, можно получить таким спосо-
способом. К порядковым числам, которые нельзя получить из
нуля прибавлением единицы, относятся, например, чис-
числа СО, @+1, СО + 'СО, СО-СО.
Схема обобщенного правила индукции имеет вид1:
III. П[П
а р<а
Для того чтобы установить, что формула W(q) вер-
верна для любого порядкового числа ср, достаточно пока-
показать, что данная формула верна для произвольного чис-
числа а, если только она верна для любого р<а.
Т9.1. Правило индукции, схема которого есть схе-
схема III, производно относительно логических правил.
Док. Пусть W((p) — произвольная формула, содер-
содержащая переменную ср, которая пробегает множество
всех порядковых чисел. Пусть
П[П
а р<а
и пусть — вопреки тому, что требуется доказать, — фор-
формула W(q>) не выполняется для некоторого порядкового
числа срь а потому истинно предложение
B) -IFfoJ.
Обозначим через Ф множество всех порядковых чисел,
для которых не выполняется формула W(q>). Из B) сле-
следует, что данное множество непусто. Значит, по Т8.3
1 В этом параграфе мы сохраняем соглашение, принятое в пре-
предыдущем параграфе, что переменные а, р, у ср пробегают множест-
множество всех порядковых чисел.
310

в нем существует наименьшее число <ро. Таким образом,
имеют место формулы:
C)
D)
р«р.
Из формул A) и D) следует №(<ро). Однако это заклю-
заключение противоречит формуле C). Таким образом, кос-
косвенное доказательство теоремы закончено.
Доказательство, которое мы провели, аналогично до-
доказательству правила II на основании так называемого
принципа наименьшего числа, который имеет следую-
следующую словесную формулировку:
В произвольном непустом множестве натуральных
чисел существует наименьший элемент. Обобщением
этого принципа является теорема Т8.3.
Подобно тому как в данном параграфе были обобще-
обобщены некоторые теоремы арифметики, можно обобщить
метод определения, который называется методом опре-
определения по индукции и часто применяется в арифмети-
арифметике и других разделах математики.
Здесь мы ограничимся нестрогим описанием опреде-
определения этого метода.
Некоторое свойство, которым обладает каждый пред-
предмет данного вполне упорядоченного множества, опреде-
определяется так: сначала это свойство определяется для пер-
первого элемента рассматриваемого множества, а затем в
предположении, что свойство определено уже для всех
элементов, предшествующих некоторому произвольному
элементу а данного множества, свойство определяется
для элемента а.
Примером индуктивного определения является опре-
определение возведения в степень порядковых чисел:
D9.1 а. а° = 1.
с. В случае, когда у ? ПрЧ, а значит, в случае,
когда у нельзя представить в виде р+1, av опреде-
определяется как наименьшее порядковое число, которое
больше любого числа ар, где р — порядковое число
меньше у-
311

Мы можем также обобщить понятие бесконечной
последовательности:
D9.2. Трансфинитная последователь-
последовательность типа а есть функция, левая область которой —
множество всех порядковых чисел меньше а, где а>ю.
В случае а = и мы получаем обычную бесконечную
последовательность.
Индексы членов трансфинитной последовательности
типа а — это порядковые числа меньше числа а. После-
Последовательность типа а обозначается:
а0, «I, «а «S где ?<а,
или же кратко:
Опуская в определении D9.2 условие а>(о, мы полу-
получаем наиболее общее понятие последовательности, так-
также содержащее в качестве частного случая понятие бес-
бесконечной последовательности.
Трансфинитные последовательности часто определя-
определяются индуктивно.
Упражнения:
1. Докажите формулу:
П [П Р€Ф -»а€ф] -* ПЧ СЦФ1.
а 3<а
2. Используя формулу A), приведенную в начале этого пара-
параграфа, покажите, что отношение «меньше» вполне упорядочивает
множество всех натуральных чисел.
3. Докажите формулу:
1а=1.
? 10. Теорема Цермело; Алефы.
Гипотеза континуума
Следующая важная и имеющая применение
во многих разделах математики теорема называется
теоремой Цермело.
1 Эта формула — аналог правила III в том же смысле, в каком
формула B) — аналог правила II.
312

T10.1. Для любого множества А существует вполне
упорядоченное множество, запас которого есть множе-
множество А. —-
Иначе эту теорему можно сформулировать так: Для
любого множества А существует такое отношение R,
что упорядоченная пара К A, i?> есть вполне упорядо-
упорядоченное множество.
Данную теорему часто формулируют в краткой, но
неточной форме: Любое множество можно вполне упо-
упорядочить.
Трудное доказательство этой теоремы мы опуска-
опускаем. Заметим лишь, что в ее доказательстве необхо-
необходимо воспользоваться аксиомой Цермело (ср. § 14 раз-
раздела I), и обратно: из теоремы Цермело следует аксио-
аксиома Цермело. Доказательство последнего утверждения
мы также опускаем.
D10.1. а =1+ = а =1+1.
Это определение корректно, потому что в силу след-
следствия 2.2 множества, порядковые типы которых равны,
имеют одинаковую мощность.
Таким образом, символ а обозначает мощность впол-
вполне упорядоченного множества,_ имеющего порядковое
число а. Будем говорить, что а — кардинальное число
порядкового числа а.'
Из D10.1 и следствия 5.2 следует:
Следствие 10.1.
D10.2. aeZ(m)s=a=>m.
Таким образом, множество Z(m) есть множество
всех порядковых чисел, кардинальное число которых
равно т.
Т10.2.
Док. Из Т7.2с раздела I следует существование;
множества, удовлетворяющего условию-,
Л= т.
1 Мы сохраняем соглашение, что малые греческие буквы — пе-
переменные ^пробегающие множество ПЧ.
ЗДЯ

Из Т10.1 следует существование вполне упорядоченного
множества А+ с запасом А. Из Т2.2Ь следует_ существо-
существование порядкового числа а, такого, что а=А+. Отсюда,
а также из D10.1 и условия A) мы получаем, что а= т.
Тем самым по D10.2 ае?(т).Таким образом, множество
Z(vx) непусто.
ШО.За. а есть начальное число множества
Z (ш) тогда, и только тогда, когда m>N0 и а есть наи-
наименьшее порядковое число множества Z (m);
Ь. а есть начальное число тогда, и только тогда, ког-
когда существует такое m , что а есть начальное число мно-
множества Z(m).
Из Т 10.2 и Т8.3 следует:
Следствие 10.2. Если m > Nx, то существует на-
начальное число множества Z(m).
D10.4. а = ы? тогда, и только тогда, когда а есть на-
начальное число, и множество всех начальных чисел <а,
упорядоченное отношением «меньше», имеет тип ?.
Легко видеть, что со — начальное число множества
Z(N0). Это — наименьшее начальное число. Таким обра-
образом, из D10.4 и в силу замечания, что нуль есть поряд-
порядковый тип пустого множества,
A) со = соо.
Заметим еще, что начальное число coi обозначается
обычно символом Q (большая буква омега).
D10.5. m = Hi тогда, и только тогда, когда начальное
число множества Z(m) есть coj.
Кардинальные числа, которые можно обозначить
буквой N с индексами, называются алеф а ми.
Рассмотрим, согласуется ли смысл символа No, сле-
следующий из D10.5, с его прежним смыслом. По D10.5 на-
начальное число множества Z(No) есть число соо = со. Та-
Таким образом, по D10.3a и D10.2 w=N0. Отсюда и из
следствия 10.1 следует, что смысл, какой символ No
имеет по D10.5, согласуется с его прежним смыслом.
Т10.3. Для любого кардинального числа m>N0 суще-
существует такое порядковое число ?, что
Иначе эту теорему можно сформулировать так:
Любое трансфинитное кардинальное число есть алеф.
Док. Пусть а — начальное число множества Z(m).

Существование этого числа гарантируется следствием
10.2 и условием, что m>N0. Обозначим через | поряд-
порядковое число множества всех начальных чисел <а.
По D10.4 а = щ. Отсюда и из D10.5 m = Nj. Таким
образом, теорема верна.
Из D10.2, D 10.3a, D10.4 и D10.5 легко следует:
Следствие 10.3.
Т 10/4.
Таким образом, кардинальное число Н\ можно опре-
определить как мощность множества всех порядковых чисел
Док. Допустим, что множество ?(а<№|) упорядо-
а
чено отношением «меньше». Из Т8.2 следует поэтому
формула
a
Отсюда и из D10.1 мы получаем
Из этой формулы и следствия 10.3 следует теорема
Т10.5. Ni<N5+1.
Док. Из D10.4 следует, что со^е Е (а < a>j+i). Отсюда
а
A)
a a
Из формулы A) и следствия 9.1 раздела I следует
Е (a < cos) <? (а
а
Отсюда и из Т10.4 следует в свою очередь
315

Если бы N| = Kj+i то по D10.5 число | равнялось бы
|+1, что, очевидно, не может иметь места. Таким обра-
образом, верно неравенство
Т10.6. Кх < f.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Проблемой континуума называют вопрос, равны ли
числа No и f или же первое из них меньше второго, а
гипотезой континуума называют предположение, что
имеет место первая из этих возможностей. Очевидно, что
данная гипотеза следует из допущения существования
отношения Я, вполне упорядочивающего множество Ж
всех действительных' чисел и такого, что
Заметим еще, что проблема континуума эквивалентна
вопросу, существует ли кардинальное число m, удовлет-
удовлетворяющее неравенству
No<m<f,
а тем самым вопросу, существует ли бесконечное и не-
ненесчетное множество действительных чисел, неравночис-
неравночисленное множеству Ж.
Проблема континуума была сформулирована созда-
создателем теории множеств Кантором. Наряду с многими
выдающимися математиками данную проблему иссле-
исследовал проф. В. Серпинский, но эта проблема до сих пор
не решена. Известно лишь (К. Гёдель, 1940 год), что
гипотеза континуума не может быть источником проти-
противоречий в теории множеств.
1 Очевидно, что отношение R должно быть отлично от отноше-
отношения «меньше».

ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. Антиномии теории множеств
Посылки, на которые опирался Кантор, строя
теорию множеств, представляются вполне очевидными.
Вскоре, однако, математики, развивая эту теорию, на-
натолкнулись на противоречия, источники которых они
вначале не сумели указать. Рассуждения, на первый
взгляд вполне соответствующие содержательным пред-
представлениям, но приводящие к противоречию, носят на-
название антиномий. Открытие антиномий вызвало интен-
интенсивные исследования оснований математики. Эти иссле-
исследования показали, что некоторые понятия математики,
на первый взгляд совсем простые и ясные, должны быть
подвергнуты детальному и основательному анализу. Зна-
Значительные трудности доставили, однако, такие основные
понятия, как понятие множества и понятие принадлеж-
принадлежности элемента множеству. О том, что использование
этих понятий без надлежащего уточнения может приве-
привести к противоречию, свидетельствует следующее рас-
рассуждение:
Пусть R семейство тех, и только тех, множеств X,
которые не являются своими элементами, а потому
удовлетворяют условию. ХеХ. Таким образом, имеет
место следующая эквивалентность:
XeR ==4
Подставляя в нее вместо переменной X символ R, мы
получим
Однако эта формула приводит к противоречию.
Проведенное рассуждение носит название антиномии
Рассела.
Далее мы приведем антиномию множества всех мно-
множеств, известную уже Кантору. Будем считать, что каж-
каждое множество есть элемент семейства множеств Z.
Откуда
317

потому что каждое подмножество множества Z являет-
является, очевидно, множеством. Из этой формулы на основа-
основании следствия 9.1 и Т10.1 раздела I следуют формулы:
W)<Z, Z
Однако из утверждений, доказанных в § 9 раздела I,
следует, что эти формулы не могут быть одновременно
истинными.
Понятием, приводящим к противоречию, является
также понятие множества всех порядковых чисел. В раз-
разделе I мы обозначили это множество символом ПЧ и
показали (Т8.4), что отношение «меньше» вполне упо-
упорядочивает это множество. Обозначим через ф его по-
порядковое число, а потому фе ПЧ. В силу Т8.2 число ф
равно порядковому числу начального отрезка множест-
множества ПЧ, определяемого элементом ф. Следовательно, мно-
множество ПЧ подобно своему отрезку. Это следствие, од-
однако, противоречит L7.3. Данная антиномия является
хронологически первой антиномией теории множеств.
Впервые ее сформулировал итальянский математик
Бурали-Форти в 1897 году, но она уже в 1895 году была
известна Кантору. К противоречию приводит также по-
понятие множества всех кардинальных чисел. Для того
чтобы его показать, требуются теоремы о кардинальных
числах, которые мы не доказывали.
Существует несколько способов построения теории
множеств, не содержащей противоречия. Два' из них
явно пользуются большим по сравнению с остальными
распространением в логике и математике. Первый спо-
способ называется теорией логических типов. Создателем
этой теории является Бертран Рассел, с антиномией ко-
которого мы познакомились в этом параграфе. Создате-
Создателем другого способа является Э. Цермело.
Упражнение:
Покажите, что ни в одном селении нет жителя, который брил
бы тех, и только тех, жителей данного селения, которые не бреются
сами. Сравните проведенное рассуждение с антиномией Рассела.
? 2. Семантические категории
Теперь мы расскажем о теории логических ти-
типов и дадим очерк теории подразделения логических
выражений на так называемые семантические категории
318

(категории значенияI. Эти теории находятся между
собой в тесной связи.
Основными семантическими категориями являются
категории предложений и имен. Предложениями в ло-
логике называются фразы, которые или истинны, или лож-
ложны. Предложениями являются, например, выражения
«Варшава расположена на Висле», «Число 373 делится
на 3», потому что первое из этих выражений истинно, а
второе ложно. К семантической категории предложений
относятся также пропозициональные функции, а значит,
такие записанные с помощью переменных выражения,
которые превращаются в предложения, если вместо пе-
переменных подставить постоянные термины.
Примерами имен являются выражения «число л»,
«Варшава», «наибольший общий делитель чисел 12 и
18». Приведенные имена относят к собственным име-
именам, то есть именам, обозначающим точно один пред-
предмет. Наряду с собственными именами выделяют общие
имена, обозначающие более одного предмета, и пустые
имена, не обозначающие ни одного предмета. Примера-
Примерами общих имен являются выражения «человек», «нату-
«натуральное число», примерами пустых имен являются вы-
выражения «золотая гора», «наибольшее натуральное
число». В системах математической логики обычно
фигурируют только собственные имена; говоря в даль-
дальнейшем об именах, мы также будем иметь в виду лишь
такие имена. К категории имен относятся и переменные,
вместо которых можно ' подставлять эти постоянные
имена. Вообще если некоторые постоянные термины от-
относятся к данной семантической категории, то к ней
относятся также и переменные, вместо которых можно
подставлять эти термины.
Кроме предложений и имен, среди выражений и ло-
логических терминов выделяют так называемые функторы.
С примерами функторов мы уже познакомились в ча-
части I. Там говорилось о функторах исчисления предло-
предложений (знаки отрицания, импликации и т. п.), а также
о функторах исчисления предикатов (символы А, В, С,...,
R, S, Т,...). Эти функторы относятся к пропозициональ-
1 Создателем этой теорнн является польский логик Станислав
Лесьневскнн. Замечания, которые мы здесь сделаем, частично повто-
повторяют замечания раздела I.
319

ным функторам, потому что они образуют вместе со
своими аргументами выражения категории предложе-
предложений. В математике также часто встречаются именные
функторы. Примерами таких функторов являются зна-
знаки арифметических операций. Выражение, построенное,
например, из знака « + » и имен двух чисел, например
чисел 3 и 5, то есть выражение вида «3+5», есть в
свою очередь имя числа, более простое обозначение ко-
которого — символ «8».
Аргументами функторов могут быть выражения са-
самых разнообразных типов. Так, например, аргументами
функторов исчисления предложений являются выраже-
выражения категории предложений, аргументами функторов
узкого исчисления предикатов — выражения категории
имен. Пропозициональные функторы от пропозицио-
пропозициональных аргументов относятся к одной и той же семан-
семантической категории тогда, и только тогда, когда они
являются функторами от одинакового числа аргументов.
Знаки импликации, конъюнкции, дизъюнкции и эквива-
эквивалентности относятся, следовательно, к одной и той же
семантической категории, но к этой категории не отно-
относится знак отрицания, так как он — одноаргументный
функтор, а выше были перечислены двухаргументные
функторы. Сходным образом подразделяются на семан-
семантические категории функторы от именных аргументов.
В более сложных логических системах фигурируют
функторы, аргументами которых являются не предложе-
предложения, не имена, а выражения, относящиеся к категории
функторов. В качестве примера мы приведем два опре-
определения функторов от функторных аргументов:
D1.2. Рефл (R) =
Пропозициональные функторы «О» и «Рефл» отно-
относятся к различным семантическим категориям, потому
что аргументом первого функтора является одноаргу-
одноаргументный функтор, а аргументом второго функтора —
двухаргументный функтор, следовательно, аргументы
функторов «О» и «Рефл» относятся к различным семан-

тическим категориям. Вообще два пропозициональных
функтора относятся к одной и той же семантической
категории тогда, и только тогда, когда они являются
функторами от одинакового числа аргументов и когда
их соответствующие аргументы относятся к одной и той
же семантической категории. Сходным образом дело
обстоит и с именными функторами. Очевидно, что два
функтора, из которых один — пропозициональный, а
другой — именной, не могут относиться к одной и той
же семантической категории. Следовательно, для каж-
каждой семантической категории определены число аргу-
аргументов и семантические категории последних. Очевидно,
что осмысленны те, и только те выражения, в которых
каждый функтор имеет свойственное его семантической
категории число аргументов, причем эти аргументы от-
относятся к соответствующим семантическим категориям.
Так, например, выражение, образованное из функтора
и двух имен — его аргументов, осмысленно тогда, и
только тогда, когда этот функтор относится к семанти-
семантической категории двухаргументных функторов от имен-
именных аргументов.
Очевидно, что выражения, относящиеся к различным
семантическим категориям, не могут обладать одинако-
одинаковым смыслом, хотя, как мы убедимся в этом позже,
функторы различных категорий могут иметь явно ана-
аналогичные свойства. Следовательно4, в корректной систе-
системе обозначений термины различных семантических ка-
категорий должны быть различными. В дальнейших заме-
замечаниях данного параграфа мы будем считать это усло-
условие выполненным.
Обратим внимание на выражение
A) 5 + 3.
Заменяя в нем символ « + »— именной функтор от
именных аргументов — символом «—», который есть
также именной функтор от двух именных аргументов,
мы получаем выражение -
B) 5-3,
а значит, выражение, имеющее определенный ' смысл.
Если же символ « + » заменить функтором другой семан-
семантической категории, например пропозициональным функ-

тором «V». то получится выражение, лишенное смысла.
Сходным образом, заменяя в выражении A) символ «5»
произвольным выражением той же самой семантиче-
семантической категории, например выражением A) или B), мы
получим осмысленное выражение, а заменяя этот сим-
символ выражением другой семантической категории, на-
например выражением «p-+q» или выражением « + », мы
получим неосмысленное выражение. Обобщая эти заме-
замечания, мы получаем следующую теорему:
Теорема I. Если в логическом выражении, имею-
имеющем определенный смысл, заменить произвольный тер-
термин термином, относящимся к той же самой семантиче-
семантической категории, то полученное выражение также будет
осмысленным выражением; если же эти термины отно-
относятся к различным семантическим категориям, то полу-
полученное выражение будет лишено смысла1.
Имеет место и обратная теорема:
Теорема II. Если два термина обладают тем
свойством, что заменяя в произвольном осмысленном
выражении один из этих терминов другим, мы получим
осмысленное выражение, то эти термины относятся к
одной и той же семантической категории.
Приведенные теоремы непосредственно следуют из
смысла, приданного понятиям, о которых в них идет
речь.
Теперь мы введем символы, обозначающие некото-
некоторые семантические категории, особо важные для даль-
дальнейшего изложения. Пусть К° обозначает категорию
имен, К1 — категорию пропозициональных функторов от
одного именного аргумента, К2 — категорию пропози-
пропозициональных функторов от одного аргумента, относяще-
относящегося к категории К1, и т. д. Следовательно, символ
Ki+1 (?=0, 1, 2, ...) обозначает категорию пропозицио-
пропозициональных функторов от одного аргумента, относящегося
к №. Пусть х будет переменной категории К0, Х{ — пе-
переменной категории К*. Очевидно, что выражение Х*(х)
осмысленно тогда, и только тогда, когда t=l, а выра-
выражение Х*(ХЗ) осмысленно тогда, и только тогда, когда
'=/+1 (/>!)•
1 Теорема требует некоторого дополнения: очевидно, что как в
выражении П, так и в выражении 2 переменную а нельзя заменять
а а
Постоянной той же семантической категории.

§ 3. Теория Логических типоё
В конце предыдущего параграфа мы ввели
некоторый способ обозначения выражений исчисления
предикатов, отличающийся от способа, введенного в ча-
части I: вместо А(х), А(у), В(х),... мы согласились писать:
Х1(х), Х1(у), У1 (л:),... Осуществим дальнейшие измене-
изменения символики, записывая выражения
A) ХЦх), ХЦХ1), ХЦХ%...
следующим образом:
B) хгхХ\ Х%Х\ Х2гаХ3, ...
Эти выражения читаются: предмет х является эле-
элементом множества X1, множество X1 является элемен-
элементом семейства множеств X2, семейство множеств X2
является элементом множества семейств Л'3 и т. д. Сле-
Следовательно, буква х обозначает произвольный индивид,
символ X1 — произвольное множество индивидов, X2 —
произвольное семейство таких множеств и т. д.
Запишем с помощью введенной здесь символики две
теоремы исчисления предикатов:
л П (*8ixl) - П (
х хх
D) f] (*8iX1) "* П (*8iX1 V xtiY1)-
Эти выражения, записанные с помощью символики,
которой мы пользовались в части I, имеют вид:
D')
Равным образом, определения и теоремы алгебры
множеств также можно записывать с помощью симво-
1 Возможно, читателя удивит избыток введенных индексов. Мы
скоро убедимся, что они играют существенную роль в теории логи-
логических типов.
323

Лики, введенной в части 1, или с помощью символики,
введенной в этом параграфе. Мы приведем примеры
таких теорем и определений, помещая рядом с ними
соответствующие теоремы и определения исчисления
предикатов, записанные с помощью той и другой симво-
символики:
X1 С Л =
хгХ + У s хъХ V хъУ; хе^1 + jV1 ш хе^1 V е^1;
Используя эти эквивалентности, мы можем выраже-
выражениям C), D) придать вид: -
C") A1clK1A^1 = il1-»ia = ill;
D") X1 = 1l1^X1 + i^1 = il1.
Эти выражения — аналоги следующих теорем алгеб-
алгебры множеств:
Возникает мысль, что алгебру множеств можно рас-
рассматривать в качестве фрагмента исчисления предика-
предикатов, содержащего лишь те теоремы, в которые не вхо-
входят функторы более чем от одного именного аргумента.
Удобно (но не обязательно) считать, что в системе ло-
логики, фрагментом которой должна быть алгебра мно-
множеств, термин тождества относится к исходным терми-
терминам.
324

Исходными терминами системы алгебры Множеств,
приведенной в разделе I, были отношение принадлеж-
принадлежности элемента множеству и полное множество индиви-
индивидов. Аналогом выражения х е X алгебры множеств яв-
является выражение х?гХ1 исчисления предикатов. Однако
это выражение эквивалентно выражению Х1(х) или же
выражению А(х). Поэтому мы можем теоремы рассмат-
рассматриваемой системы записывать, не пользуясь символом 6.
Данный символ мы ввели в исчисление предикатов для
того, чтобы показать очевидность связи между этой си-
системой и алгеброй множеств. Понятие полного множе-
множества можно определить в логике следующим образом:
хе^1 zs х = гх1т
Из этого определения непосредств'енно следует теорема
которая является аналогом аксиомы А1, данной в раз-
разделе I.
Другой аксиомой, которой мы пользовались, строя
алгебру множеств, является аксиома экстенсионально-
экстенсиональности:
Аналогом этой аксиомы является следующая теорема
исчисления предикатов:
E)
которую можно записать также и в следующем виде:
Выражение E) относят к^аксиомам логики. Без этой
аксиомы в логике мы могли бы построить лишь незначи-
незначительный фрагмент теории множеств. Существенно так-
также и то, что в рассматриваемой логической системе
фигурируют определения. Если бы мы строили теорию
множеств как фрагмент логики, в которой не фигури-
325

руют определения', то нам потребовалось бы принять
еще одну аксиому. К логическим аксиомам обычно от-
относят также аксиому бесконечности, гарантирующую
существование бесконечного множества индивидов.
С помощью символов эту аксиому можно записать в
следующем виде:
Эта аксиома записана с помощью термина равночис-
ленности множеств. Но в следующем параграфе мы убе-
убедимся, что этот термин может быть определен средства-
средствами логики. Заметим еще, что доказательства теорем
алгебры множеств и их аналогов в исчислении предика-
предикатов полностью сходны. В этом читатель может убедить-
убедиться на примере теорем, приведенных в § 1 раздела I.
Несколько подробнее мы охарактеризуем связь меж-
между алгеброй множеств и исчислением предикатов и по-
покажем, что эту алгебру можно понимать как фрагмент
логики. В следующем параграфе мы покажем также, что
и другие разделы теории множеств, например арифме-
арифметику кардинальных и порядковых чисел, можно пони-
понимать как фрагменты логики.
Символом I1 мы обозначили множество всех инди-
индивидов, то есть предметов, которые не являются множе-
множествами. Это множество мы будем называть полным
множеством первого типа, а его элементы — предмета-
предметами нулевого типа. Постоянные семантической категории
К° — это имена определенных предметов нулевого типа,
с помощью переменных данной категории мы говорим
о свойствах произвольных предметов рассматриваемого
типа. Выражение, начинающееся квантором общности
или существования, связывающего переменную катего-
категории К0, означает, что все или некоторые предметы ну-
нулевого типа обладают свойством, упомянутым в выра-
выражении, которое следует за квантором. Обозначим далее
через I2 множество всех подмножеств множества I1.
Эти множества мы назовем предметами (или множест-
множествами) первого типа. Постоянные категории № — это
1 Логические системы, в которых фигурируют определения, в из-
известном отношении более удобны, чем системы, содержащие опре-
определения, и поэтому часто применяются.
326

имена определенных элементов (данные элементы, оче-
очевидно, — множества) множества I2.
С помощью переменных этой категории мы говорим
о свойствах произвольных предметов данного множе-
множества. Элементами множеств первого типа могут быть
лишь предметы нулевого типа. Вообще символ Н+1
(?=0,1,2,...) обозначает множество всех подмножеств
множества V. Множество Н+1 называется полным мно-
множеством (?+1)-го типа, а элемент этого множества —
предметом ?-го типа. Постоянные категории К} — это
имена определенных элементов множества li+1 (предме-
(предметов i-ro типа), с помощью переменных данной категории
мы говорим о свойствах произвольных элементов рас-
рассматриваемого множества. Элементами множеств f+1-го
типа могут быть лишь предметы ?-го типа.
Рассмотрим несколько подробнее определения функ-
функторов, относящихся к семантической категории Ki+l
(? = 0, 1, 2,...). Схема определения такого функтора
имеет вид:
где символ Xi+1 обозначает постоянный функтор катего-
категории /(*+', который вводится данным определением, сим-
символ X* — переменная категории К\ наконец, символ
Ф{Х*) обозначает произвольное выражение, содержащее
в качестве свободной переменной только переменную Х{.
Будем считать, что символ Х[+1 — имя определенного
множества i+1-го типа, элементами которого являются
лишь предметы ?-го типа, удовлетворяющие пропозицио-
пропозициональной функции Ф(Х{). Будем считать также, что дан-
данное множество существует тогда, и только тогда, когда
Ф(Х{) —осмысленное выражение.
Подразделение предметов на индивиды, множества
индивидов, семейства множеств индивидов и т. п. носит
название теории логических типов. Это подразделение
обладает следующими свойствами:
1) элементами множества произвольного типа могут
быть лишь предметы, тип которых на единицу меньше
типа данного множества;
2) полное множество произвольного типа, за исклю*
чением множества первого типа, есть семейство всех
подмножеств полного множества, тип которых на еди'
лицу меньше типа полного множества.
327

Часто множества отождествляются со свойствами в"
том смысле, в каком оборот речи, где говорится, что
предмет принадлежит некоторому множеству, считается
равнозначным высказыванию, что предмет обладает со-
соответствующим свойством. Например, оборот речи
«л; есть элемент множества белых предметов» равнозна-
равнозначен обороту «л; обладает свойством белизны». В этом
случае индивиды рассматриваются как предметы, кото-
которые обладают свойствами, но "сами не являются свойст-
свойствами, множества предметов — как свойства этих пред-
предметов, семейства множества — как свойства таких
свойств и т. п. О том, что свойства могут в свою оче-
очередь обладать свойствами, свидетельствует, например,
высказывание, что некоторое свойство мало вероятно.
Таким образом, малая вероятность в данном случае
есть свойство свойств. Очевидно, что при таком понима-
понимании множества, относящиеся к различным логическим
типам, являются существенно различными предметами
так же, как ни один индивид не есть множество. Таким
образом, интерпретация множеств как свойств согла-
согласуется с теорией логических типов. Однако эта интер-
интерпретация сталкивается с некоторыми трудностями, о ко-
которых мы здесь не будем говорить.
Рассмотрим теперь, как в теории логических типов
удается избежать возникновения известных антиномий
теорий множеств. Источником антиномии Рассела -было
определение
Однако это определение записано некорректно, по-
потому что его правая часть не относится к осмысленным
выражениям теории логических типов, если перемен-
переменную X по обе стороны от знака « е » отметить одним и
тем же индексом «t». В то же время в теории логиче-
логических типов выражение
осмысленно. Но это определение некорректно, потому
что переменная Xi+i, не содержащаяся в левой части
данного определения, входит в его правую часть в ка-
качестве свободной переменной1.
1 Корректное определение должно удовлетворять условию одно-
однородности (ср. ч, I, разд. II, § 5).
Щ

В теории логических типов можно определить лишь
множества всех множеств определенного типа, но не
множество всех множеств, что не приводит к противо-
противоречию. Таким образом, в теории типов нельзя сконст-
сконструировать антиномии множества всех множеств, нельзя
и сконструировать в этой теории антиномию Бурали-
Форти и другие антиномии теории множеств.
Скажем еще несколько слов о теории подразделения
отношений на логические типы. Будем считать, что про-
пропозициональные функторы более чем от одного аргу-
аргумента — имена некоторых множеств, причем двухаргу-
ментные функторы — имена множеств упорядоченных
пар, трехаргументные функторы — имена множеств упо-
упорядоченных троек и т. д. Множества упорядоченных
п-к называются отношениями. Элементами упорядочен-
упорядоченных п-к, образующих отношение, могут быть предметы
произвольных логических типов. Теория подразделения
отношений на логические типы более сложна, чем тео-
теория подразделения множеств, которые не являются от-
отношениями, но существенно не отличается от последней.
§4. Определение некоторых понятий
теории множеств в логике
Как мы уже говорили, все понятия теории
множеств могут быть определены в логике. Но для одно-
одного и того же понятия теории множеств в логике имеется
не один, а бесконечно много аналогов. Эти замечания
более подробно мы разъясним на примере понятия
функции, которое было определено в разделе I через
выражение
х у г
В логике аналоги этого выражения следующие:
х у г
П ПП (X'Rl+1 Y' Л W+12l -* У = tZl (i = 1, 2, ...).
329

Таким образом, имеется бесконечная последователь-
последовательность функций, относящихся к разным логическим ти-
типам, которые, однако, определяются аналогичным спо-
способом и обладают аналогичными свойствами. О таких
понятиях говорят, что они обладают «типовой много-
многозначностью». Типовой многозначностью обладают и по-
понятия правой и левой областей отношения, а также
понятие взаимнооднозначного, отношения и отношения
равночисленности множеств.
Вспомним, что единственные исходные понятия, вы-
выходящие за пределы алгебры множеств, — это понятия
мощности множества, порядкового типа и упорядочен-
упорядоченной пары. Данные понятия могут быть определены в ло-
логике, но и они обладают типовой многозначностью.
Мы ограничимся определением этих понятий в про-
простейших случаях. Определения первых двух понятий
относятся к так называемым определениям через абст-
абстракцию. Мы вкратце опишем этот вид определения.
Пусть R1 — произвольное отношение типа эквива-
эквивалентности (определение этого понятия дано в § 6 раз-
раздела I). Данное отношение удовлетворяет следующим
условиям:
I. xR}x;
II. xR1y-^yR1x;
III. xR}y Л yRlz -> xR}z.
D4.1. 06! [*]*. e= *#ty.
Множество [x]r} называется классом абстракции, задан-
заданным отношением R\ через элемент х.
Сформулируем некоторые свойства введенного выше
понятия, полагая, что R1 — отношение типа эквивалент-
эквивалентности.
L4.1. xe^xfo {D4.1, 1}
Док. A) [x]Ri = 1[y]& {допущ.}
B) у^Шк {U.I}
C) y^[x]Rl {1, 2}
330

{D4.1, 3}
L4.3. xR}y -»[x]Rl С i Шн'
Док. A) xl?y {допущ.}
A.1) ZEiW/ji {доб. допущ.}
A.2) лЯ1* {D4.1, 1.1}
A.3) г&у {И, III, 1, 1.2}
A.4) ге^у]*
№Cx[iflie {1.1 -»1.4}
L4.4. дс/?у-*[у]и.С1[Дс]1Р {L4.3, II}
Т4.1. [*]*, =1 \y\Rl = *Д1у {L4.2, L4.3, L4.4}
Таким же способом мы могли бы доказать
Т4.1а,
Теоремы Т4.1 и Т4.1а различаются лишь семантиче-
семантическими категориями входящих в них переменных и по-
постоянных.
Выясним неформальный смысл D4.1 и Т4.1. Любое
отношение типа эквивалентности означает, что пары
предметов одинаковы со стороны некоторого свойства.
Так, например, отношение подобия геометрических фи-
фигур означает, что пары этих фигур имеют одинаковую
форму; отношение конгруэнтности означает, что пары
фигур имеют одинаковую форму и размеры. Таким об-
образом, множество [x]ri есть множество всех предметов,
не отличающихся от х со стороны некоторого свойства.
Если R1 — отношение подобия геометрических фигур, а
х — равносторонний треугольник, то данное множество
является множеством всех равносторонних треугольни-
треугольников. Если множества отождествить со свойствами, то
[*]fli — свойство, которым обладают х и все предметы,
не отличающиеся от х со стороны этого свойства.
Теорема Т4.1 говорит, что свойства [х]щ и {y}i? тож-
тождественны, тогда, и только тогда, когда х и у не разли-
различаются со стороны этого свойства.
Мы знаем, что отношение равночисленности мно-
множеств есть отношение типа эквивалентности. Пусть Xх —-
331

произвольное множество индивидов. Мощность (числен-
(численность) множества X1 мы понимаем как свойство, кото-
которым обладают множество Xх и все множества, равно-
равночисленные X1. Таким образом, мощность множества
X1 — класс абстракции, заданный отношением равно-
численности множеств через данное множество. Отсюда
A) Ъ=2[Х*и.
Очевидно, что при таком понимании мощность мно-
множества обладает типовой многозначностью.
Единственной аксиомой, которую в разделе I мы по-
положили в основу теории равночисленности множеств,
была следующая аксиома:
Используя формулу A), мы можем записать эту аксио-
аксиому в следующем виде:
Полученное выражение — частный случай Т4.1а и пото-
потому может быть доказано в логике.
Замечания о мощности и равночисленности множеств
без существенных изменений переносятся на понятие
типа и подобия упорядоченных множеств.
Нам осталось еще рассмотреть понятие упорядочен-
упорядоченной пары. Пару <х, у> в логике определяют как семей-
семейство множеств, элементами которого являются одноэле-
одноэлементное множество {х} и двухэлементное множество
{х, у}. Таким образом, имеет место равенство
B) (х,у)={{х), {х,у}}.
Единственная аксиома, относящаяся к упорядоченным
парам, которую мы приняли в теории множеств (§ 5
раздела I), имела вид:
C) (х, y) = (z,t)^x = z/\y = t.
На основании формулы B) как определения упоря-
упорядоченной пары мы можем доказать формулу C).
Из равенств
D) х = г и y = t
332

и D1.3a раздела I легко следует, что
E) {х}={г} и \х, у} = {г, Ц.
Из этих равенств и формулы B) следует равенство
F) (x,y) = (z,t).
Покажем обратное, то есть что из равенства F) сле-
следует равенство D). Рассмотрим сначала случай, когда
хфу. Тогда из формул F) на основании формулы B)
следуют формулы E), из которых в свою очередь сле-
следуют формулы D). Если же х = у, то
<*. У) = {{х}, {х, у}} = { {х}, {х, х}}={ {х}}.
Отсюда и из равенства F) легко следует, что z = t и что
а потому z = x = y=t. Следовательно, в обоих возмож-
возможных случаях из формулы F) следуют формулы D). Та-
Таким образом, формула C) истинна.
Однако заметим, что аксиома выбора, о которой бо-
более подробно говорилось в § 4 раздела I, не может
быть доказана в логике.
§5. Аксиоматическая теория
множеств
Мы уже упоминали, что создателем аксиома-
аксиоматической теории множеств является Э. Цермело. Сфор-
Сформулированные им аксиомы подверглись многочислен-
многочисленным, но не очень существенным изменениям. Аксиомы,
которые мы здесь приведем, почти не отличаются от
аксиом, содержащихся в «Теории множеств»' профессо-
профессоров Куратовского и Мостовского. К исходным терминам,
входящим в эти аксиомы, относятся понятие пустого
множества и отношение принадлежности предмета мно-
множеству.
При записи аксиом теории множеств мы будем поль-
пользоваться той же символикой, что и в части II. В аксио-
аксиоматической теории множеств фигурируют переменные
лишь одной семантической категории, в качестве кото-
1 Имеется в виду работа: К. Kuratowski i A. Mostow-
s k i, Teoria mnogosci, Warszawa — Wroclaw, 1952. — Прим. перев.
333

рых используются буквы х, у, z, t,... Основными выра-
выражениями рассматриваемой системы являются выраже-
выражения вида:
хеу, х = у.
В эти выражения вместо переменных может входить
символ «О», обозначающий пустое множество. К выра-
выражениям такого вида можно приписывать слева знаки
отрицания — кванторы, а также связывать данные вы-
выражения знаками импликации, конъюнкции, дизъюнк-
дизъюнкции и эквивалентности. Над полученными выражениями
снова можно осуществлять перечисленные выше опера-
операции и т. п. Полученные таким путем выражения мы бу-
будем называть осмысленными выражениями теории мно-
множеств.
Знак тождества можно рассматривать как логиче-
логический символ; тем самым логика, лежащая в основе тео-
теории множеств, есть узкое исчисление предикатов с тож-
тождеством (часто в металогической формулировке). Но
символ тождества можно определить через символ е.
Это определение может иметь вид следующей эквива-
эквивалентности:
(I) х = у н= ["] (xez = г/ez).
Z
В аксиоматической теории множеств эта эквивалент-
эквивалентность, несмотря на то что она аналогична эквивалент-
эквивалентности TVI (ч. I, разд. II, § 6), отличается от TVI семан-
семантическими категориями своих переменных, а именно:
в (I) переменная z относится к той же семантической
категории, что и х, у, в то время как переменная А, вхо-
входящая в TVI, относится к семантической категории, от-
отличной от семантической категории переменных х и у.
Чтобы придать аксиомам теории множеств хорошо
обозримый вид, мы введем несколько определений.
di. z(x)
У
Выражение Z(x) читается: х есть множество. Таким об-
образом объект х есть множество тогда, и только тогда,
когда существует предмет, являющийся его элементом,
или х — пустое множество.
334

D2.
Определяемое выражение читается: х есть семейство
множеств. Таким образом, объект х есть семейство мно-
множеств тогда, и только тогда, когда сам он есть множе-
множество и каждый его элемент — также множество.
Заметим, что выражения Z(x), R(x) являются лишь
сокращениями выражений, входящих в Dl, D2 и D3
справа от знака эквивалентности. Следовательно, функ-
функторы «Z» и «R» не следует понимать как имена каких-
либо множеств.
Остальные определения не отличаются по содержат
нию от соответствующих определений раздела I, но за-
записываются в иной символике. Рядом с каждым из
приводимых ниже определений мы помещаем в скобках
номер его аналога в разделе I.
D3. x(Z y=Z (х) Д Z (у) /\ П (ггх -» ггу) (D1.2).
D3a. хф y^xdyA хфу (D1.9).
D4. x = Uz = n[fexs2M (D4.3).
.zetr t игу
D5. x = 2y = Y\
D6. x=y-z =
t
D7. x={y, z} = f[ [^sx = (z1 = r/ V г1 = г)] (D1.3b).
t
Заметим еще, 4jo вместо. ~(te у) мы будем писать
хг у.
Приводим аксиомы теории множеств.
335

Эта аксиома называется аксиомой экстенсионально--
сти. По содержанию она не отличается от А 1.2 из раз-
раздела' I.
А2.
По этой аксиоме ни один предмет не есть элемент
пустого множества. •
А3-
х и г
Таким образом, для любых двух объектов х и у су-
существует множество, элементами которого являются
лишь данные объекты.
А4. ЯДО-* SU U
Z(x) г?у
Таким образом, для любого семейства множеств су-
существует множество, которое есть сумма элементов дан-
данного семейства.
А5. (у)^
Щх)
Таким образом, для каждого множества существует
семейство всех его подмножеств.
По этой аксиоме существует хотя бы одно непустое
семейство множеств, такое, что для любого множества у,
принадлежащего данному семейству, существует множе-
множество 2, которое есть также элемент данного семейства
и содержит в качестве собственной части множество у.
Заметим, что этому условию удовлетворяет, например,
следующее семейство подмножеств множества всех на-
натуральных чисел: A), A, 2), A, 2, 3),... A, 2,..., п), ...
Если бы мы обратились к рассмотрению конечного мно-
множества, например множества натуральных чисел < 1000
и произвольного непустого семейства его подмножеств,
336

то среди этих подмножеств всегда бы нашлось подмно-
подмножество, которое не было бы собственной частью ни од-
одного подмножества, принадлежащего рассматриваемому
семейству. Таким образом, А6 гарантирует существова-
существование бесконечного числа предметов. Эта аксиома назы-
называется аксиомой бесконечности.
А7.
улх гех Z«) uex v
Это — аксиома выбора, о которой более подробно
говорилось в § 4 раздела I.
Пусть х — произвольное множество, Ф (г) — произ-
произвольное осмысленное выражение аксиоматической тео-
теории множеств, в которое z входит в качестве свободной
переменной, но ни х, ни у не входят в качестве свобод-
свободных переменных в Ф(г).
А8. г(х)-+^1][геу = гехЛФ(г)].
Z(y) г :
Нетрудно видеть, что множество у, существование
которого устанавливается в А8, есть подмножество мно-
множества х. Таким образом, по А8 для каждого множест-
множества х и каждого условия Ф(г) существует множество
предметов, удовлетворяющих этому условию с тем, од-
однако, ограничением, что данное множество есть подмно-
подмножество множества х. А8 — собственно, не отдельная
аксиома, а схема бесконечного числа аксиом, которые
получаются из А8 вставкой на место Ф(г) определенно-
определенного осмысленного выражения, например выражения
^0». Полученное таким путем выражение
Z (х) -» J] Y] (zey т гех Д г ф 0)
Ш г
относится к теоремам аксиоматической теории мно-
множеств, i ¦';
Аксиома А8 называется аксиомой подмножеств.
Как уже отмечалось выше, теорию множеств можно
строить, не пользуясь понятиями мощности и порядко-
12 Зак. 834 337

вого типа. Для этого достаточно ограничиться лишь по-
понятиями равночисленности и подобия множеств. Если
же мы хотим, чтобы эти понятия фигурировали в аксио-
аксиоматической теории множеств, то мы должны отнести их
к исходным понятиям данной теории, так как в ней эти
понятия не могут быть определены; этим аксиоматиче-
аксиоматическая теория множеств существенно отличается от тео-
теории логических типов. Одновременно следует добавить
к аксиомам теории множеств аксиомы А7.1 и А2.1, из
которых первая сформулирована в разделе I, а вто-
вторая — в разделе II.
Рассмотрим теперь, как в аксиоматической теории
множеств удается избегать антиномий. Этот вопрос мы
подробнее рассмотрим на примере антиномии Рассела.
Мы знаем, что исходный пункт этой антиномии — экви-
эквивалентность
A)
По содержанию к ней близка следующая эквивалент-
эквивалентность:
B) R (х) = хкх,
которую можно отнести к определениям аксиоматической
теории множеств, потому что- в ней в отличие от логи-
логической теории типов выражение «х е х» осмысленно. Но
выражение R(x) есть лишь сокращение выражения
«хех», символ же R здесь не является названием ка-
какого-либо множества, поэтому мы не можем подстав-
подставлять его вместо переменной х. Таким образом, выраже-
выражение B) не приводит к противоречию.
Рассмотрим в свою очередь выражение
C) 2(^
Z(y) г
содержание которого также близко к содержанию выра-
выражения A). Покажем сначала, что выражение C) при-
приводит к противоречию. Результат подстановки в это вы-
выражение есть выражение
(За)
Z(y) г
338

По D1 антецедент этой импликации истинен, следова-
следовательно, истинен также и ее консеквент, из которого по
правилу удаления квантора существования мы получаем
выражение
== z&z).
Откуда следует выражение
D)
из которого непосредственно следует противоречие.
Заметим, однако, что выражение C) не есть теорема
аксиоматической теории множеств. В самом деле, А8
позволяет присоединить к системе выражение
E) Z (х) -» ^ П B&У = 2&х Л z&z),
то есть выражение, имеющее структуру сходную, но не
совсем ту, которую имеет выражение C). Из выражения
E), рассуждая так же, как при выведении из формулы
C) выражения D), мы получаем выражение
Но это выражение не приводит к противоречию. Та-
Таким образом, мы видим, что антиномия Рассела не мо-
может быть сконструирована в аксиоматической теории
множеств так же, как и в теории логических типов.
Аналогично дело обстоит и с другими известными анти-
антиномиями теории множеств.
Но возникает вопрос, не приведет ли некоторое рас-
рассуждение, пока никем еще не сделанное, к противоречию
в аксиоматической теории множеств или в теории логи-
логических типов?
Пока лишь доказано, чж> обе эти теории без аксио-
аксиомы бесконечности непротиворечивы. Убеждение в непро-
непротиворечивости этих теорий вместе с аксиомой бесконеч-
бесконечности мы вынуждены основывать лишь на опытном
факте, что продвинутое очень далеко развертывание
этих систем не привело к противоречию. Возникает так-
также вопрос: "почему обе рассмотренные теории избегают
12* 339

антиномий? Причина этого кроется в том, что в каждой
из них наложены ограничения на построение множеств.
В теории логических типов принимают, что для каждой
пропозициональной функции существует множестЁО
предметов, удовлетворяющих этой функции. Однако
структура пропозициональных функций ограничена
условиями, которым должны удовлетворять семантиче-
семантические категории выражений, стоящих перед и после зна-
знака « 6 », который также в этой теории обладает типовой
многозначностью. В аксиоматической теории множеств
нет таких ограничений. Однако в этой теории не прини-
принимается того, что для каждой пропозициональной функ-
функции существует множество предметов, удовлетворяющих
данной функции, а принимается лишь то, что для каж-
каждой пропозициональной функции и каждого множества
существует подмножество последнего, образованное из
предметов, удовлетворяющих данной пропозициональ-
пропозициональной функции. Вследствие этого ни в одной из данных
теорий нельзя утверждать существования множества
всех множеств или же множества всех множеств, кото-
которые не являются элементами самих себя.
Несмотря на то что содержательные представления,
на которые опираются рассматриваемые теории, сущест-
существенно различаются, совокупности их теорем почти оди-
одинаковы. Говоря точнее, всякой теореме аксиоматической
теории множеств соответствует совокупность теорем
теории логических типов, имеющих то же самое или
очень близкое неформальное содержание, что и данная
теорема аксиоматической теории множеств, причем тео-
теоремы этой совокупности различаются лишь тем, что в
каждой из них речь идет о множествах других логиче-
логических типов. И обратно: всякой такой совокупности тео-
теорем теории логических типов соответствует теорема
аксиоматической теории множеств, имеющая такое же
или очень близкое содержание, что и совокупность тео-
теорем теории логических типов.
На вопрос, которая из рассматриваемых теорий луч-
лучше, ответить трудно. Ни одна из них не является совер-
совершенной, каждая имеет свои недостатки формального и
содержательного характера. Вследствие этого в изложе-
изложении теории множеств, данном в части II, мы не придер-
придерживались последовательно ни одной из них. Так посту-
поступают и в других руководствах, даже в руководствах,
340

написанных на высоком техническом уровне, например
в книге проф. В. Серпинского. Детальное изложение
аксиоматической теории множеств читатель найдет в
книге профессоров Куратовского и Мостовского, а очерк
теории логических типов — в «Математической логике»
проф. А. Мостовского.
§6. Теория множеств и арифметика
В теории чисел целые числа определяются
через натуральные числа, арифметика же целых чисел
лежит в основе арифметики натуральных чисел. В та-
таком же отношении находится арифметика рациональных
чисел к арифметике целых чисел, арифметика действи-
действительных чисел к арифметике рациональных чисел и, на-
наконец, арифметика комплексных чисел к арифметике
действительных чисел. Значит, неопределяемыми остают-
остаются лишь натуральные числа, только при построении
арифметики последних требуется введение специальных
аксиом. Хронологически первой и наиболее известной
аксиоматикой арифметики натуральных чисел является
аксиоматика, сформулированная итальянским матема-
математиком и логиком Дж. Пеано. К исходным понятиям его
аксиоматики относятся: число нуль, множество всех
натуральных чисел и функция
Это выражение читается: х следует из у. Данное выра-
выражение рассматривается как равнозначное выражению
При записи аксиом Пеано мы будем пользоваться обо-
обозначениями, введенными в части II:
I. от1.
П. JC691 -» seq дсезг.
III. х, у&К Д seq х = seq у -* х = у.
IV. дсезг -» seq x ф 0.
1 В арифметике Пеано нуль, таким образом, также относится
к натуральным числам.
341

V. OeX /\Y\(xeX-*seqxeX)-*W(ZX.
Последняя аксиома называется аксиомой индукции.
Чрезвычайно важен для оснований математики тот
факт, что исходные понятия арифметики Пеано можно
определить через понятия теории множеств, а а'ксиомы
I—V — доказать в данной теории. Таким образом,
арифметика Пеано есть фрагмент теории множеств. Но
мы знаем, что обоснование других арифметик, например
арифметики действительных чисел, не требует ни введе-
введения новых исходных понятий, ни принятия новых аксиом.
Поэтому арифметика всех видов чисел, а тем самым и
математический анализ являются фрагментами теории
множеств.
Определения терминов «О», «91» и «seq» в теории
логических типов и аксиоматической теории множеств
в принципе сходны и различаются только формальными
деталями. Чтобы избежать связанных с этим несущест-
несущественных усложнений, мы приведем лишь словесные, а
потому необходимо неточные определения рассматри-
рассматриваемых понятий.
Нуль определяется как мощность пустого множества,
множество всех натуральных чисел — как множество
всех кардинальных чисел, которые не относятся к'транс-
финитным числам '. Чтобы определить понятие «следует
за», мы введем вспомогательное отношение g, которое
имеет место между двумя множествами тогда, и только
тогда, когда первое из них содержит другое, а их раз-
разность есть одноэлементное множество. Понятие «следует
за» определяется так: х следует за у тогда, и только
тогда, когда х и у являются мощностями множеств, ко-
которые находятся в отношении д.
Мы не будем приводить доказательств аксиом I—V
в теории множеств, а ограничимся лишь замечанием,
что для обоснования арифметики натуральных чисел
как в теории логических типов, так и в аксиоматиче-
аксиоматической теории множеств нужно к этим теориям добавить
аксиому бесконечности.
1 Ср. § 11 раздела I.
342

? 7. Философские замечания о понятии
множества
Понятие множества, если не входить в стро-
строгий анализ последнего, представляется совсем простым
и ясным. Но мы знаем, что использование этого понятия
без надлежащего уточнения приводит к противоречиям,
и это не единственная трудность, связанная с понятием
множества и родственными ему понятиями. В настоя-
настоящее время в обсуждении философских и содержатель-
содержательных принципов теории множеств принимают живое уча-
участие многие философы, логики и математики. Это обсуж-
обсуждение до сих пор не привело к выработке одной, бес-
бесспорно, приемлемой точки зрения. Здесь мы ограничим-
ограничимся изложением некоторых важнейших взглядов на эти
вопросы, главным образом в виде цитат из высказыва-
высказываний современных логиков и математиков.
Прежде всего мы отметим, что слово «множество»
в обычном языке имеет два явно различных смысла, из
которых один называется собирательным, а другой —
разделительным '. В собирательном смысле множество
некоторых предметов — это целостная совокупность, об-
образованная данными предметами так же, как цепь скла-
складывается из звеньев или куча песка из песчинок. В этом
смысле множество конкретных чувственно воспринимае-
воспринимаемых предметов является также конкретным, доступным
восприятию предметом. Когда пользуются термином
«множество» в этом смысле, то выражение «л: есть эле-
элемент множества А» понимается как синонимичное выра-
выражению «л: есть часть множества А» (в том значении
слова «часть», в каком ножка стола является частью
стола). Теория так понимаемых множеств была построе-
построена Ст. Лесьневским под названием мереологии.
Когда термин множество употребляется в разделитель-
разделительном смысле, то в этом случае предложение «Марс есть
элемент множества планет Солнечной системы» рас-
рассматривается как эквивалентное предложению «Марс
есть планета Солнечной "Системы». О различии обоих
этих смыслов свидетельствует то, что некоторые предло-
1 Ср. Т. Kotarbinski, Elementy teorii poznania logiki formal-
nej i metodologii nauk, wyd. II, str. 23, 24. (Есть русский перевод.
См. Т. Котарбиньский, Избр. произв., Издательство иностран-
иностранной литературы, 1963, стр. 197—352. — Прим. перев.)
343

жения, истинные при одном смысле термина «множест-
«множество», ложны при другом его смысле. Например, если тер-
термин «множество» понимается в собирательном смысле,
то верно, что десятая часть Марса есть элемент множе-
множества планет Солнечной системы, потому что Марс яв-
является частью Солнечной системы, но если термин
«множество» понимается в разделительном смысле, то
утверждение, что десятая часть Марса является, элемен-
элементом множества планет Солнечной системы, ложно, по-
потому что десятая часть Марса не есть планета Солнеч-
Солнечной системы.
Нетрудно видеть, что в теории множеств термин
«множество» употребляется не в собирательном, а в
разделительном смысле, и, таким образом, отношение
элемента к множеству не понимается здесь как отноше-
отношение части и целого. Это последнее отношение имеет дру-
другие основные свойства, например оно транзитивно, в то
время как закон транзитивности не имеет места для
«е». В этом нетрудно убедиться на следующем примере.
Из формул 0е{0}, {0}е{{0}}, 0е{{0}} первые две
истинны, а третья (эквивалентная формуле 0={0})
ложна. Как заметил Рассел, если бы мы множества
понимали как агрегаты, или конгломераты (то есть как
множества в собирательном смысле), то «невозможно
было бы понять, как может существовать такое множе-
множество, как пустое множество, которое вообще не имеет ни
одного элемента и.которое нельзя рассматривать в ка-
качестве агрегата», «трудно было также понять, почему
множество, имеющее лишь один элемент, не тождест-
тождественно этому элементу»'.
У. В. О. Куайн пишет: «Факт, что множества являют-
являются абстрактными объектами, иногда- затемняется рас-
рассуждением о множествах как агрегатах или собраниях,
вследствие чего, например, множество камней уподоб-
уподобляется груде камней. Груда в действительности являет-
является конкретным предметом, столь же конкретным, как и
камни, образующие груду; но множество камней в гру-
груде нельзя отождествлять с этой грудой. В. самом деле,
если бы это было так, то и другое множество можно
было бы отождествить с этой же грудой, а именно мно-
множество молекул в данной груде камней с самой грудой.
1 В. Russel, Wstgp do filozofii matematyki, str. 268.
344

Но по существу эти множества следует различать.
В самом деле, мы говорим, что одно из них имеет, на-
например, сто элементов, в то время как другое — трил-
триллионы элементов. Таким образом, множества являются
абстрактными предметами1.
Проблема, существуют ли и каким образом сущест-
существуют множества в разделительном смысле, имеет много
общего с известным в истории философии спором о су-
существовании универсалий (общих понятийJ.
Универсалии — это абстрактные предметы, такие,
как, например, «человек вообще» или «конь вообще».
Вместо того чтобы говорить о человеке вообще и о ко-
коне вообще, можно говорить о роде людей и роде коней.
Отдельных людей или отдельных коней мы можем вос-
воспринимать, но человек вообще и конь вообще (или род
людей и род коней) — объекты, постигаемые лишь в по-
понятиях.
0 споре об универсалиях, особенно оживленном в
средние века, наметились следующие направления:
1. Крайний реализм, сформулированный Платоном,
приписывает универсалиям самостоятельное существо-
существование вне единичных предметов. Вне отдельных людей
существует идея человека, отличная от любого человека
и существующая независимо от существования отдель-
отдельных людей.
2. Умеренный реализм, сформулированный Аристоте-
Аристотелем, считает, что универсалии не имеют самостоятельно-
самостоятельного существования, а существуют в качестве существен-
существенных свойств единичных, предметов. Таким образом, «че-
«человек вообще» — это свойство или же совокупность
свойств, присущих отдельным людям и характеризую-
характеризующих их, например такое свойство, как наличие разума.
3. Концептуализм отрицает существование универса-
универсалий вне ума, приписывая им существование только в
уме. Таким образом, «человек вообще» существует лишь
как понятие о человеке.
4. Номинализм отрицает существование универсалий
в указанных выше смыслах и ограничивается приня-
принятием существования общих терминов. Таким образом,
1 W. V. О. Q u i n e, From a Logical Point of View, p. 114.
2 Приведенные далее замечания об универсалиях следуют заме-
замечаниям Айдукевича, имеющимся в его книге: К. A j d u k i e w i с z,
Zadadnienia i kierunki filozofii, str. 120—124.
345

существует не идея человека, не понятие о человеке, а
только общий термин «человек».
«Старый философский спор о существовании универ-
универсалий, — пишет К. Айдукевич в «Проблемах и направ-
направлениях философии-» 1, — проявляется в новейшей фило-
философии в несколько иной форме. Современная форма
этой проблемы выражается собственно в постановке во-
вопроса, изучают ли априорные науки — такие, как, на-
например, математика, — вполне реальный, хотя и полно-
полностью отличный от мира данного нам в чувственном
опыте особый мир так называемых идеальных объектов,
как, например, числа, математические функции и т. п.,
который существует независимо от нашего ума, или же
такого мира вообще не существует».
. Мы знаем, что понятия числа, функции так же, как
и другие математические понятия, могут быть сведены
к понятию множества. Проблему, таким образом, мож-
можно ограничить вопросом, существуют ли множества и,
если существуют, то в каком смысле.
На аналогию между проблемой существования мно-
множеств и проблемой существования универсалий обрати-
обратили внимание не только философы, но также логики и
математики.
В труде, посвященном основаниям теории множеств,
авторами которого являются А. А. Френкель, один
из создателей аксиоматической теории множеств, и
И. Бар-Хиллел, мы читаем:
«Поскольку множества в обычном смысле2 являются
тем, что философы называют универсалиями, то пробле-
проблема существования множеств есть часть хорошо извест-
известной и широко обсуждавшейся проблемы существования
универсалий. Три главных традиционных ответа на этот
общий вопрос, берущих начало в средневековых спорах,
известны как реализм, номинализм и кон-
концептуализм..., а их современные аналоги — как
платонизм, неономинализм и неоконцеп-
неоконцептуализм»3.
Эти современные направления авторы характеризуют
следующим образом:
1 См. выше.— Прим. перев.
2 То есть в разделительном смысле.
3А. A. Fraenkel and Y. В а г - Н i 11 е 1, Foundations of Set
Theory, p. 333.
346

Платоник убежден, что для любого корректно
сформулированного (одноаргументного) условия суще-
существует множество всех тех, и только тех, предметов, ко-
которые удовлетворяют этому условию и которое являет-
является особым объектом, существующим так же, как и его
элементы. Для устранения антиномий платоник прини-
принимает некоторые ограничения этого принципа в виде тео-
теории типов или аксиомы подмножеств; однако он убеж-
убежден, что рано или поздно можно будет сформулировать
менее радикальные ограничения. Некоторые платоники
убеждены, что предметы мира, в котором мы живем,
реально подразделяются на типы, и принимают тео-
теорию типов не как ad hoc введенное средство (для устра-
устранения антиномий), но как выражение результата позна-
познания этого факта.
Неономиналист заявляет, что использование
предложений о множествах он рассматривает лишь как
некоторый сокращенный способ выражения и что эти
предложения можно интерпретировать как предложения
об индивидах. Он считает осмысленными только те эле-
элементарные предложения, в которых аргументами явля-
являются или собственные имена, или индивидные перемен-
переменные. Выражения, содержащие свободные переменные,
представляющие предикаты, он рассматривает как схе-
схемы соответствующих выражений, в которых на местах
этих переменных содержатся постоянные предикаты. Он
ограничивает применение кванторов лишь индивидными
переменными. Действительно, многие предложения о
множествах можно перевести в предложения об инди-
индивидах, например предложение «Множество людей есть
подмножество множества позвоночных» можно перевести
в предложение «Для любого х, если х — человек, то х —
позвоночное». Но во многих случаях такой перевод не
удается получить. Отсюда: «Трудности переформулиро-
переформулирования всей классической математики в номиналистских
терминах представляются непреодолимыми, и правдо-
правдоподобно, что они таковыми и являются». В этой ситуа-
ситуации, не желая отказаться от тех частей математики, ко-
которые находят приложения в других науках, неономина-
неономиналист должен выбрать одну из двух возможностей: или
тешить себя надеждой — впрочем, слабо обоснован-
обоснованной, — что в будущем удастся достичь переформулиров-
переформулировки математики в номиналистском языке, или же рас-
347

сматривать всю высшую математику как неинтерпре-
неинтерпретированное исчисление. Но /тогда трудно понять, как
неинтерпретированное (и непосредственно не поддаю-
поддающееся интерпретации) исчисление может применять-
применяться к интерпретированным эмпирическим предложе-
предложениям.
Неоконцептуалисты вместо старого проти-
противопоставления существования в уме и-суще-
ство'вания вне ума-— в мире реальном
или идеальном — пользуются метафорическим
противопоставлением конструирования и от-
открытия. Они утверждают, что множество существует
тогда, и только тогда, когда данное множество можно
сконструировать из множеств, существование которых
интуитивно очевидно или которые ранее были сконст-
сконструированы. Но они не- принимают аксиом или теорем,
которые заставляли бы их полагать существующими
множествами, не поддающимися конструктивной харак-
теризации. Главными представителями этого направле-
направления являются сторонники так называемого интуицио-
интуиционизма, основателем которого является голландский ма-
математик Брауэр.
В приведенном обзоре отсутствует упоминание со-
современного аналога умеренного реализма. Этот взгляд
принимается тогда, когда одноаргументные предикаты
интерпретируются как собственные имена свойств, то
есть тогда, когда выражение «А(х)» читается: <их обла-
обладает свойством А». Такая интерпретация выражений
вида <иА(х)» часто принимается, и часто также выраже-
выражение «л: есть элемент множества предметов, обладающих
свойством А», рассматривается как равнозначное выра-
выражению «х обладает свойством А», Тем самым понятие
множества сводится к понятию свойства (атрибута).
В исчислении предикатов имеется принцип экстенсио-
экстенсиональности: ЩА (х) zs=B(x)]-+A=B. Но свойства, принад-
X
лежащие одним и тем же предметам, не обязательно
тождественны. Например, свойства равноугольное™ и
равносторонности принадлежат одним и тем же тре-
треугольникам, однако их не считают тождественными
свойствами треугольников. Таким образом, интерпрети-
интерпретируя исчисление предикатов как исчисление свойств, мы
должны отдавать себе отчет в том, что некоторые его
348

законы имеют место лишь для тех свойств, которые
удовлетворяют принципу экстенсиональности.
Характеризуя первое из\упомянутых направлений в
основаниях теории множествен платонизм, мы не пред-
предрешаем вопроса, можно ли платоновские идеи отожде-
отождествить с множествами'. Однако родобно тому, как Пла-
Платон считал, что, например, имени «человек» соответствует
идея человека, под которую подпадают отдельные люди,
так и это направление основывается на том, что имени
«человек» соответствует множество всех людей, элемен-
элементами которого являются отдельные люди.
Принимая, что существуют множества и что они
отличны от единичных предметов, являющхися их эле-
элементами, принимают — подобно Платону — существо-
существование предметов, отличных от единичных предметов.
Этот взгляд разделяется многими выдающимися совре-
современными логиками. Например, К. Гедель пишет, что
«признание существования таких предметов, как мно-
множества, оправдано в той же мере, что и признание су-
существования физических тел, и имеется столько же
оснований для веры в их существование»2. Нетрудно,
пожалуй, привести из теории множеств основания, скло-
склоняющие к принятию этого взгляда. Выражение «х еу»
читается: «х есть элемент множества г/», причем — как
мы ранее заметили — термин «множество» нельзя здесь
понимать в собирательном смысле. Среди аксиом и тео-
теорем теории множеств имеются предложения, в которых
говорится о существовании множеств, удовлетворяющих
определенным условиям (например, аксиома пустого
множества, аксиома бесконечности, аксиома выбора), и
эти предложения нельзя перевести в предложения об
индивидах. В частности, в предложения об индивидах
нельзя перевести предложения, в которые входят кван-
кванторы, связывающие переменные, представляющие собой
множества.
Как интуиционизм, так и номинализм приводят к
обеднению математики и логики. В математике, постро-
построенной интуиционистами, выпадают различные теоремы
классической математики. Особенно сильно это сказы-
сказывается в теории множеств. Номиналисты должны отка-
1 Ср. A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hill el, Foundations.., p. 333
2 К. Q о d e 1, Russel's Mathematical Logic, в кн.: «The Philosophy
of Bertrand Russeb, p. 137.
349

заться от многих результатов/ современной логики- и
математики, где существенным образом используются
переменные высших порядков и кванторы, связывающие
эти переменные. Направление, называемое платонизмом,
не сталкивается с такими^ трудностями. Однако оно вы-
вызывает возражения философского характера как на-
направление, признающее существование предметов, от-
отличных от предметов конкретных'.
1 Более обстоятельное обсуждение рассматриваемой проблемы
и главных современных направлений читатель найдет, например, в
работах: A. A. Fraencel and Y. В а г- - Н i 11 е 1, Foundations of
Set Theory, Ch. IV, 8, «Philosophical Remarks», p. 332—347; P. В е r-
n а у s, Sur le platonisme dans Ies mathematique, «L'Enseigment Mat-
Mathematique», XXXIV A935); W. V. O. Quine, Logic and Reifica-
tion of Universals. On What There Is, в кн.: «From a Logical Point of
View», 1953; N. Goodman and W. V. 0. Quine, Steps towards
a Constructive Nominalism, «The Journal of Symbolic Logic», 12
A947);A. Grzegorczyk, 0 pervnych formalnych konsekwencjach
reizmu, «Fragmenty Filozoficzne», II; E. W. Beth, Foundations of
Mathematics.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Dl.
Dl.l.
D1.2.
D1.3 a.
b.
D1.4.
D1.5.
D1.6.
D1.7.
D1.8.
D1.9.
D4.1.
D4.2.
D4.3.
D4.4.
D5.1.
D5.2.
D5.3.
ЧАСТЬ I.
\
\
РАЗДЕЛ II
[Здесь и ниже е обозначает g. Прим. ред.].
УцА(х)~ 2Л
X X
ЧАСТЬ 1
х^у = Г
X
xCZi'sI
хе{у)
ур ! //. 11 11 \ — У
*еХ + У н
хеХ-У =
ХЕЛ. ~~" / Е
хеХ'
хеО
ХфУ = Х
*е И ф(Х() е
00
хе ("] ф (X/)
хе 1] ф(Х):
*е f] Ф (л:),:
<л;, у)еХХ/н
*еЕ Ф (а) =
а
ае Е Ф (а, Ь) = SS
(х)Л П Пх=у.
А(х) А(у)
I. РАЗДЕЛ I
I (*еХ = хеУ).
1(хеХ-*хеУ).
X
= х = у.
= yi\l х = уъ\1 ... V
= хеХ\/ хеУ.
хеХ /\хеУ.
е хеХ /\xe~Y.
= хе~Х.
= xsV.
CZY frX^Y.
= 2[хвф(ХЙ].
s П[*еФ(Х,)].
= П [д:еф(Х)].
яеХДуеУ-
Ф(л;).
1[а={г,()ЛФ(г,01.
351

D6.1. Re функц г
* У г
D6.2 a.
b. yJ()
/ х
D6.3. Re функ^ Д *eD; (R) -*[y=R(x) = xRy].
D6.4. ()
x&X
D6.5.
D6.6. i?el —1 s #, i?-ie функц.
D6.7. xRxy =
D6.8. xR; Sy = ^
z
D6.9. Отношение типа эквивалентности—это рефлексивное, сим-
симметричное и транзитивное отношение, при этом:
отношение R рефлексивно = П xRx;
X
отношение R симметрично = ПП (xRy -* yRx);
х у
отношение R транзитивно = ППП (xRy /\ yRz -*xRz).
х у z
D6.10. R=S= ПП (xRy = xSy).
x У
D7.1. X~RY = Rel-l/\X= Dt(R) /\Y= Dp(R).
D7.2. X-^Y = ^X^RY.
D7.3. 2
x
D7.4. Множество А есть запас последовательности {а„} =
D8.1. X-Y=Q
D8.2. Ж -Y=XX
352

D8.3. ReXY=Re функк /\Dt(R)-Y Л R(Y)CZX-
D8.4. \
D9.1.
D9.2.
D10.2. # e функц -+ [* e Z (R) =
= xeDt(R)/\x~eR(x)].
D1O.3. Функция фд(от) есть характеристическая фуикция множест-
множества А СИ М == для каждого теМ:
1, если те А
О, если те А.
D11.1 X есть бесконечное в смысле Дедекинда множество =
= 2 X~Y-
DH.2. Трансфииитные кардинальные числа суть мощности беско-
бесконечных в смысле Дедекинда множеств.
ЧАСТЬ II. РАЗДЕЛ II
Dl.l. P(R)=Dt(R) + Dp{R).
D1.2. <*.S> изол ^,7-) =Rel-\
h'Dp(R)=Y Л
Л ПППП 1-хЯг Д yRu -* {xSy =
х у z и
D1.3. <X,S> изо <У,Г) = ^((X,S) изо^ <У,Г
D2.1. a. RecB(A)= ПП [* ^ у-*(*^ V
хеА уеА
b. Re транз (А) = ППП (xRy Л yRz -* xRz).
хеА уеА zeA
c. Reamn (А) = П П[xRy-*~(yRx)].
хеЛ уеА
D2.2. Re пор (А) = А= P(R) f\ Rbcb (A) • транз (А) ¦ асим (Л).
D2.3. {A, R) есть упорядоченное множество = Re пор (Л).
353

D2.4.
D2.5.
D2.6. _
A^
D3.1. A-B = O-*{A°-+B<>= C° =
sCf A + B а ПП[х^су = (x-~>Ay\J x~>By\J xeA/\yeB)]}.
x у
D3.2. A°-B0=C° =C=A ХВД
ЛПППП[<а,6> ~>с(х,у) = (b-~>ByV b=y f\a~>Ax)].
a b x у
D3.3. A-B=O-
D3.4. A° ¦ B»= Л<"-В».
D4.1. <Л°, В0) есть сечение упорядоченного множества С0 =
= АфО л В Ф 0 /\ А ¦ В = 0 /\ А° + В<>= С°.
D4.2a. х есть первый элемент упорядоченного множества А° =
П
угА
Ь. х есть последний элемент упорядоченного множества А0 =
= хеА/\ П(хфу-*у-~>Ах).
угА
D4.3a. Сечение (А0, В») есть скачок ? существует последний эле-
элемент множества А° и первый элемент множества В0.
Ъ. Сечение <Л°,В°> есть пробел = не существует последнего
элемента множества А° и первого элемента множества В0.
D4.4a. Упорядоченное множество плотно = ни одно сечение дан-
данного множества не есть скачок.
Ь. Упорядоченное множество непрерывно = ни одно сечение
данного множества не есть ни скачок, ни пробел.
D4.5. С1 С
хеА угА
D5.1. <в= А° = множество А» удовлетворяет условиям а—с
теоремы Т5.3.
D5.2. т]= Л» = множество Л° удовлетворяет условиям а' — с' тео-
теоремы Т5.4.
354

D5.3. X= A0 = множество Л<< удовлетворяет условиям а" — с" тео-
теоремы Т5.5. \
D5.4. р=а* -2
х
D6.1. Упорядоченное множество Л*> есть вполне упорядоченное
" множество = П 2(* есть пеРвый элемент множества
D6.2. аеПЧ = 2И° естЬ вполне упорядоченное множество
_ А"
Л а= А0).
D7.1. Х+
D7.2.. ах> аае А+ ^ [А (ах
D7.3. ^?евф(Л+)= i?e^ Л ПП [*
D8.1.
6
D8.2. аеПрЧ = аеПЧ Л а^=0 Л П»^Р+1.
РвПЧ
D9.1a. а»=1.
с. Если уеПрЧ, то av есть наименьшее порядковое число, ко-
которое больше любого числа а^, где Р — порядковое число
меньше у-
D9.2. Трансфинитная последовательность типа а есть функция,
левая область которой — множество всех порядковых чисел
меньше а, где а > <в.
D10.2. aeZ(m)sa"=m.
D10.3a. а есть начальное число множества Z(m) s m > No /\a есть
наименьшее порядковое число множества Z(m).
b. а есть начальное число = ^][а есть начальное число мно-
, m
жества Z(m)].
D10.4. а = <0? = а есть начальное число, и множество всех началь-
начальных чисел < а, упорядоченное отношением «меньше», имеет
тип |.
D10.5. m=N?=<u? есть начальное число множества Z(m).
355

Исчисление предложений
(/>-»?) А(Я-*г)-*(р-*г).
(p-*q)-*[(q-*r)-*(p-*r)\.
p/\q-*rsp-*(q-*r).
p-*(q-*r) = q-*{p-*r).
Р V Я-*(~Ч~*/>)•
р = р.
Р-* ¦, = ~q-*~p.
(p-*q)/\ ~9-»~p
р-»(-~р-»?).
?-»(Р-»?)-
Р-»Р.
(PS q)-*(q = p).
(P^Q) l\(Q = r)-*(p
(p = q) = (p-*q)/\(q-
(p-*~p)-*~p.
(~ P~*p)-*p.
(p-*q A ~?)-»~p
(~р~*ч А ~ч)-*р-
(p-*q) Л(р-* ~?)-*
p-*q Ars(p-*q)A(P

T17.
T18.
T19.
T20.
T21.
T22. ~ (р Д ~ р).
T23. P\/~P.
T24. (р_+9)_^(рЛг_+9дг).
T25. . (P~*q) A(r-*s)-*(p Ar~+q As).
T26. (p-+»)-+(pV'-*»V'-)-
T27. (р_>0Д(г_>8)_>(руг_>?у8).
T28. (P-+9)Mr-+*)A{pVr)-+q\/8.
T29. ~ p\/ q = p-*q.
T29a. p\/ q = ~ p-*q.
тзо. pA(?V) = pA?VpA''-
T31. PV»A' = (pV0A(pV')-
T32. (p-+?) Д (r-n) A (P V r) A ~ (? Л »)-*(»-*P) A <s-•#¦).
ТЗЗа. (р = 9)-+(~р= ~9).
b. {p=q)-^(p Аг = Я Ar)-
с (P = ?) -*.('" AP = r АЯ)-
d. {p = q)-+{p\lr = q\l r).
e. (p = q)-*(r\J p = r\J q).
f. (p s q)-*{p-*r = q-*r).
g. (p= 9)-+(г-+рнг-+?).
h. (p=?)-»[(p = r) = (»sr)].
i. (p = 9)-+[(r = p)=(r = ?)].
T34. pA<7= ~(~PV ~?)-
T35.
T36.
357

Узкое исчисление/предикатов
Т1. П А (х) Л А (у).
Т2.
ТЗ.
Т4.
Т5. П[А(х)->В(х)]-[ПА(х)-ПВ(х)].
X XX
X X
Т7. П[А(х)/\В(х)] = ПА(х),
X XX
Т8. ПА(х)уПВ(х)-*П[А(х)У .
Т9.
X XX
тю. 2 [Л (*) V я (*)] =-2 Л (*) V
д; хх
тп. П[р-»Л(*)] = р-»Пл(*).
Т12.
Т13.
Т14.
Т15. П \р\1 А{х)]=рУ ПА(х).
X X
X X
Т17. П[рАА(х)]=р АПА(х).
X X
358

T18. ^[р\/А(х)] = р V %
X X
T19.
x у ух
2
х у УХ
Т21. 'ZUxRy+Tl^
х у ух
Т22. UlA(x) = B(x)]-
Т23.
X
Т24. I\A(x)=
Т25.
*
тз*. ~П 2
А(х) А(х)
Т4*. 2
А(х) А(х)
из*. 2
не*. 2
2 22 2
А(х) В(х) В(У) А(х)
Т21*. 2
)
Тождество
А1. *-*•
Т1. х=у-*у=х
Т2. х = у /\
Т2а. х=г /\
ТЗ. * = #

ТЗа. . А(х)/\~А(у)-*хФу.
Т4. А(х)= У
Т5. А(х)=ПА(у).
у-х
х х ¦ А(х)А(У)
TVI. § 6. х = у-
А
ЧАСТЬ II
Общая теория множеств
А1.1. хг\.
Ti.i. xdi.
Т1.4а. XCZX.
Ъ. XCZY AYCZZ-+XC1Z.
Т1.5. х = у = Г
Т| ¦• V'V—i'' V
11./. Л ^= * = Л — I .
Т1.9. xlO.
А5.1. (x,y)=(z,t) = x = z/\y = t.
Т5 1а (X + K)xZ = XxZ + yxZ
b. XK=0-*(XxZ)(y XZ) = O.
c. {1,2 n) XX={1} XX+{2} XX +
d. xdy-^^xzciKxz.
T5.2. (x, у)еЬФ(а, Ь) = Ф(х. у).
a.b
Re\~\ |\x,yгDl(R)|\xфy-*R(x)фR(y).

L6.4. Re\ — \-*Rxb\ — \.
L6.5a. XCZDi(R)->Dl(Rx)=X.
b. XCZDt(R)-*Dp(Rx)=R(X).
L6.6. R, Sel — l-*R; Sel — 1.
L6. 7a. Dp (R) = D, (S) -+ D; (#; S) = Dt(R).
b. Dp(#) = D/(S)-+Dp(#;S)=Dp(S)
A6.1. i?=S-+/? = S.
T6.4. #=S = #=S.
L6.8. X = Di(R)-*Rx=R.
T7.1a. ' X'~X.
b. Х~У-+У~Х.
c. Х-У f\Y ~Z-*X~Z.
L7.2.
L7.3.
A7.1. 1 = 7 = X~Y.
T7.2a.
b. 112i
x ШеКЧ
c. П.2»
ШеКЧ '
L7.4. ПП2Е
2
л в л,
L7.5a. Л ~ В Д /li ~ Si Л ^-^1= B-Bi = О -*А + Лх ~ В + Вь
Ь. Л -BA^i-Bi-*^ x^i-BxBi.
Т7.3. 1 = No г 2 [П П {i + j -* Щ + ц) Д А есть запас' после-
довательности {о„}]. ^
Т8.3.
Т8.4. Ъ = 1СХ-...-Х
п
361

T8.5.
T8.6.
L9.1. _ _
UCYt
Следствие 9.1. XC2Y-*X<?.
T9.1. m<n = m=n\/>n<n.
T9.2. m<n^n<m-»m = n.
T9.4. m<nVn<m.
T9.5a. N0<f.
L9.3a. m<n-*m-f <nf.
b. m<n-*m* <n* .
T10.1.
T10.2.
T10.3.
Lll.l. P(—X A? = H0-* У Х-У.
PCX
Tll.l. Множество X бесконечно в смысле Дедекинда = ^ Р = Хо
n — f+T=No (ne9l).
T11.2.. Если_Х — бесконечное в смысле Дедекинда множество п?=п
или Y = Но, то Х + У = X
ТП .3. (К"= л V У = No) Л -У— У есть бесконечное в смысле Деде-
Дедекинда множество -*Х — ?= X (ие5Л).
Т12.3.
362

T12. 4a. >
b.
с.
d.
e. f+f=f-
T12. 6. , H0-H0=H0.
T12.7. Если п есть натуральное число > 2, то nN° = f.
Т12.9а. п-Н0 = Н0
Ъ. Нп = Н0\
с.
d.
е.
f.
g.
h.
А14.1.
Т14.1.
Г2. la.
ff = f-
fn = f (n 6 Щ.
fN'=f.
No-f=f-
N*° = f.
У Af6Z л
Упорядоченные множества
ло^ло
~ до д Во^ С» -> Л"« С».
363

ь. п 2,
А' 06ПТ
с п 2(
аепт А»
L2.1. П П 2 2 {A\^A»t
А» В> А01 BOj
L31a. A°f^Bl> Д а\— В° л A-Ai = В-
-.Ло + Л^Во + В?.
L3.1b.
Т4.1.
T4.2a. Если Л° —В0 и существует первый элемент множества А0,
то существует и первый элемент множества В".
b. Если А0 —В0 и существует последний элемент множества А0,
то существует и последний элемент множества В0.
c. Если А0 —В" и множество А0 плотно, то плотно и множе-
множество В°.
d. Если Л° —В0 и множество А0 непрерывно, то непрерывно и
множество В°.
Т4.3. Упорядоченное множество А0 плотно е
х и
Т5.1. Если конечные упорядоченные множества А° и В0 равночис-
равночисленны, то данные множества подобны.
Т5.3. Если упорядоченные множества А0 и В0 удовлетворяют усло-
условиям:
a. упорядоченное множество X" имеет первый элемент,
b. упорядоченное множество Х° не имеет последнего элемента
c. любое сечение множества Х° есть скачок,
то данные множества подобны.
Следствие 5.2 <в=(91, <).
Т5.4. Если упорядоченные множества А0 и В0 удовлетворяют усло-
условиям:
а'. упорядоченное множество Х° не имеет ни первого, ни пос-
последнего элемента,
Ь'. упорядоченное множество Х° счетно,
с'. упорядоченное множество Х° плотно,
то данные множества подобны.
Следствие. 5.3. т]=B8, <).
Т5.5. Если упорядоченные множества А0 и В0 удовлетворяют усло-
условиям:
364

а", упорядоченное множество X9 ие имеет ии первого, ни после-
последнего элемента,
Ь". упорядоченное множество Х° непрерывно,
с.
- 2
то данные множества подобны.
Следствие. 5.4 Я,= ($, <>
Т5.6. Если упорядоченное множество Л° плотно, то множество й°
всех его собственных сечений, упорядоченное отношением R,
которое определяется условием (Л°, Bj) R (Лр, Щ) — АхфАг,
непрерывно.
Т6.1. Любое подмножество вполне упорядоченного множества
вполне упорядочено.
Т6.2. Сумма и произведение вполне упорядоченных множеств —
вполне упорядоченные множества.
Т7.1. Отношение, сопоставляющее любому элементу вполне упоря-
упорядоченного множества Л+ начальный отрезок А (а), устанав-
устанавливает подобие множества Л+ и множества всех его началь-
начальных отрезков, упорядоченного отношением «меньше».
L7.1. A+zxB+-> П 2 И (я) «В F)].
а?А
L7.3.
L7.4. ах, а,6 А+ Д A(a1)=zA(at)-*ai= a,.
L7.5. П
с?Л+
L7.6. Если 60 —первый элемент множества В+, удовлетворяющий
условию О ~ [Л (а) <=*¦ В F)], и если ai 6 Л, 6i 6 В, a
также A(a)=^B(bi), то 6i6BF0).
L7.7. П 2 [A(a)^B(b)]V П 2 И (я) «В F)].
L7.8. А+^А+ f\B+c*B+ Л
365

T7.2. А+^В+у 2И()]\/ Ц
Т8.1. Отношение «меньше» упорядочивает множество порядковых
чисел.
Т8.2. Если множество Е(Р<а) упорядочено отношением «меньше»,
Р
то а = Е(Р<а) (а, Р€ПЧ).
Р
Т.8.4. Произвольное множество порядковых чисел, упорядоченное
отношением «меньше», есть вполне упорядоченное множе-
множество.
Т8.5. а^О
2
РбПрЧ
Т10.1. Для любого множества А существует упорядоченное множе-
множество, запас которого есть множество А.
Т10.2. тек.Ч->гтфО.
Т10.3. Для любого кардинального числа m > No существует такое
порядковое число |, что m = N..
T10.4. N. = E (a<co.).
a *
T10.6. N,<f.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . .
ЧАСТЬ I. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ
Раздел I. Исчисление предложений
§ 1. Символы и выражения 8
§ 2. Основные правила 13
§ 3. Теоремы и производные правила 27
§ 4. Нуль — единичная проверка. Истинностные функторы . 61
§ 5. Аксиоматическое представление исчисления предложений 81
Раздел II. Исчисление предикатов
§ 1. Символы и выражения узкого исчисления предикатов . 91
§ 2. Основные правила узкого исчисления предикатов . . 100
§ 3. Теоремы и производные правила узкого исчисления пре-
предикатов 106
§ 4. Тождество 134
§ 5. Определение 140
§ 6. Исчисление предикатов высших порядков . . . . 155
§ 7. Примеры формализованных математических доказа-
доказательств 161
ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Раздел I. Общая теория множеств
§ 1. Алгебра множеств 166
§ 2. Связь между исчислением предложений и алгеброй мно-
множеств 185
§ 3. Алгебра Буля 189
§ 4. Бесконечные операции 195
§ 5. Декартово произведение множеств 198
§ 6. Элементы теории отношений 202
§ 7. Равночисленность множеств. Кардинальные числа . . 212
367

§ 8. Арифметика кардинальных чисел 220
§ 9. Неравенства 225
§ 10. Степенное множество 230
§ И. Множества, бесконечные в смысле Дедекинда . . . 233
§ 12. Кардинальные числа К и f ' . ... 238
§ 13. Канторовское доказательство существования трансценден-
трансцендентных чисел . 249
§ 14. Аксиома выбора 249
Раздел II. Упорядоченные множества "
§ 1. Изоморфизм 255
§ 2. Подобные множества. Порядковые типы . . . . 262
§ 3. Арифметика порядковых типов 269
§ 4. Сечения. Плотные и непрерывные множества . . . 274
§ 5. Конечные упорядоченные множества. Порядковые типы
со, т|. Я,. Обратные типы 279
§ 6. Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа 294
§ 7. Начальные отрезки вполне упорядоченного множества 297
§ 8. Неравенства. Предельные числа 304
§ 9. Принцип индукции 308
§ 10. Теорема Цермело. Алефы. Гипотеза континуума . . 316
ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. Антиномий теории множеств 317
§ 2. Семантические категории- 318
§ 3. Теория логических типов 323
§ 4. Определение некоторых понятий теории множеств в ло-
логике 329
§ 5. Аксиоматическая теория множеств 333
§ 6. Теория множеств и арифметика , 341
§ 7. Философские замечания о понятии множества • . . . 343
Определения 351
Теоремы 356
Е. Слупецкий, JI. Борковский.
Элементы математической логики и теория множеств
Редактор И. Цыганков. Художественный редактор Л. Шканов
Технический редактор М. Сафронович
Сдано в набор 19/VIII 1965 г. Подписано к печати 20/XI
Формат 84х108'/м. Объем 5,75 бум. л. 19,3 печ л. 18,06 уч.-изд. л. Изд. №9/4622
Заказ 834 Цена 1 р. 23 к.
Тем. план 1965 г. Пор. № 385.
Издательство «Прогресс», Зубовский бульвар, 21.
Издательство Московского университета.
Москва, Ленинские горы, Административный корпус.
Типография Изд-ва МГУ. Москва, Ленинские горы