ББК 22.12
Л 13
УДК 510.2+ 510.5+ 510.6
Издание осуществлено при финансовой под-
держке Российского фонда фундаментальных
исследований согласно проекту 94-01-210001
Лавров И. А.,Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов.— 3-е изд.— М.: Физматлит, 1995.—ISBN 5-02-014844-Х.
В книге систематически изложены основы теории множеств, математической ло-
гики и теории алгоритмов в форме задач. Книга предназначена для активного изучения
математической логики и смежных с ней наук.
Состоит из трех частей: «Теория множеств», «Математическая логика» и «Теория
алгоритмов». Задачи снабжены указаниями и ответами. Все необходимые опреде-
ления сформулированы в кратких теоретических введениях к каждому параграфу.
2-е издание — 1984 г.
Сборник может быть использован как учебное пособие для математических фа-
культетов университетов, педагогических институтов, а также в технических вузах при
изучении кибернетики и информатики.
Для математиков — алгебраистов, логиков и кибернетиков.
п 1602020000-004
053(02)-95 Безобъявл-
© И.А. Лавров, Л.Л. Максимом, 109 5
rSBN 5-02-014844-Х
СОДЕРЖАНИЕ ♦)
Предисловие к третьему изданию................................ 4
Предисловие к первому изданию................................. 5
Часть /. Теория множеств ..................................... 7
§ 1.	Операции над множествами ................................. 7	(155)
§ 2.	Отношения и функции...................................... 13	(160)
§ 3.	Специальные бинарные отношения........................... 22	(165)
§ 4.	Кардинальные числа ...................................... 31	(170)
§ 5.	Ординальные числа........................................ 35	(176)
§ 6.	Действия над кардинальными числами....................... 44	(183)
Часть 11. Математическая логика.............................. 50
§ 1.	Алгебра высказываний..................................... 50	(187)
§ 2.	Функции алгебры логики .................................. 57	(191)
§ 3.	Исчисления высказываний ................................. 63	(195)
§ 4.	Язык логики предикатов .................................. 74	(200)
§ 5.	Выполнимость формул логики предикатов ................... 81	(201)
§ 6.	Исчисления предикатов.................................... 89	(206)
§ 7.	Аксиоматические теории................................... 98	(209)
§ 8.	Фильтрованные произведения ............................. 108	(215)
§ 9.	Аксиоматизируемые классы ............................... 116	(219)
Часть Ill. Теория алгоритмов................................ 124
§ 1.	Частично рекурсивные функции ........................... 124	(227)
§ 2.	Машины Тьюринга......................................... 136	(234)
§ 3.	Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества......... 142	(237)
§ 4.	Нумерации Клини и Поста ................................ 148	(242)
Ответы, решения, указания................................... 158
Список литературы............................................248
*
Предметный указатель........................................ 250
) Цифры в скобках указывают страницы ответов.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В последние годы интерес к математической логике значительно
возрос ввиду широкого распространения вычислительной техники и
развития информатики, появления логического программирования,
исследования проблем искусственного интеллекта. В основе програм-
мирования лежат базисные понятия математической логики — фор-
мализованные языки, исчисления, семантические модели. Поэтому
активное изучение математической логики становится как нельзя бо-
лее актуальным. К сожалению, ощущается недостаток учебной лите-
ратуры по этой дисциплине на русском языке.
Новое издание книги несколько отличается от предыдущих. За
время, прошедшее после первых двух изданий книги, несколько из-
менилась терминология. В соответствии с этим она изменена и в книге,
введены новые современные термины. Некоторые обозначения заме-
нены более простыми. Хотя количество задач почти не изменилось,
многие из них переформулированы. К ряду задач даны более подроб-
ные ответы.
Несколько обновлен список литературы, в него включены моно-
графии по математической логике, опубликованные на русском языке
после выхода в свет второго издания книги.
Авторы благодарны коллегам за полезные замечания и предло-
жения.
И.А. Лавров
Л.Л. Максимова
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее время математическая логика и смежные с ней науки
привлекают все большее внимание. Это вызвано как интенсивным
развитием самих этих наук, так и найденными глубокими приложе-
ниями в различных областях математики и техники.
Курс математической логики несколько лет назад стал обязатель-
ным для математических факультетов университетов и педагогичес-
ких институтов СССР. На первых порах большой отряд студентов и
преподавателей был практически лишен учебных пособий по этой спе-
циальности. В настоящее время этот недостаток в некоторой степени
исправлен. Сейчас имеется ряд учебников и книг по математической
логике. Здесь и несколько книг советских авторов, но в основном это
переводная литература. И все же те, кто ведет практические занятия,
испытывают значительные трудности. И дело не в том, что задач нет.
Большое количество задач по математической логике разбросано по
разным книгам. Только в самое последнее время появилась книга
С.Г. Гиндикина «Алгебра логики в задачах», где собран значительный
материал по алгебре логики.
В Нашей книге сделана попытка систематически изложить основы
теории множеств, математической логики и теории алгоритмов в фор-
ме задач. От читателя не предполагается никакой предварительной
подготовки. Он может использовать эту книгу для изучения мате-
матической логики, не обращаясь к другим учебникам и пособиям.
Тем не менее мы приводим краткий список имеющейся на русском
языке литературы. Каждому .параграфу предпослано краткое введе-
ние, содержащее определения всех основных понятий, используемых
в задачах этого параграфа. Ранее введенные понятия и определения
используются часто без ссылок; в этих случаях читатель может ис-
пользовать указатель терминов и обозначений.
Основные теоремы сформулированы в виде задач. Для того чтобы
доказательства были возможно более простыми, технические леммы
также выделены в виде отдельных задач.
Большинство задач снабжено ответами и указаниями. Иногда мы
даем подробные ответы к простым задачам для иллюстрации метода
рассуждения, впервые встретившегося. В дальнейшем уже ограничи-
ваемся лишь краткими указаниями. Трудные задачи отмечены звез-
дочкой.
Большинство задач каждой части может быть решено без обра-
щения к другим частям. Там, где необходимо, мы делаем соответству-
ющие ссылки в самой задаче или в указании к ней.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Естественно, что в книге не затронуты многие направления совре-
менной математической логики. Некоторые темы лишь намечены,
для них приведены лишь самые первоначальные понятия и результа-
ты. Так, например, аксиоматическая теория множеств (§ 7 части II)
занимает мало места, хотя в действительности все задачи из части I
могут быть решены в рамках теории ZF. В части III из различных
уточнений понятия алгоритма выбраны лишь рекурсивные функции и
машины Тьюринга.
Мы ставили себе целью главным образом систематизировать уже
имеющиеся задачи. По этой причине здесь имеется стандартный набор
задач и очень мало задач, специально придуманных авторами. Если
задачи нам нравились, то мы брали их из других книг и не ссылались
на это.
В книге употребляются следующие общепринятые обозначения:
\ЛГ,	3, 9>, SB — множества натуральных, целых, рациональ-
ных, действительных, комплексных чисел соответственно;
=> — если ..., то ...;
о — .. .тогда и только тогда, когда ...;
— есть по определению;
{х I.. ,х...} — множество таких элементов х, для которых выполня-
ется условие .. .х...;
{*!, х2,...} — множество, состоящее из элементов х , х ,...;
(х^, х2, ..., х^ — упорядоченная последовательность элементов
х,, хп, ..., х .
1*2* п
В основу этой книги положен наш сборник «Задачи по логике»,
выпущенный в 1970 г. издательством Новосибирского государственно-
го университета. Сборник значительно дополнен, сделана существен-
ная переработка, мы постарались учесть многочисленные замечания,
высказанные нам. Мы благодарны Л.Н. Шеврину, А.И. Омарову,
Н.Г. Хисамиеву, А.А. Акатаеву, В.А. Успенскому, Г.Е. Минцу,
С.Ю. Маслову, А.О. Слисенко, И.Д. Заславскому и другим за ценные
обсуждения. Особо мы благодарны Ю.Л. Ершову, М.И. Каргаполову и
М.А. Тайцлину, а также другим членам кафедры алгебры и матема-
тической логики НГУ за большую помощь при подготовке этой книги.
Мы глубоко признательны Н.В. Белякину за большой труд по ре-
дактированию нашей книги.
1 декабря 1973 г.
г. Новосибирск
Академгородок
И.А. Лавров
Л.Л. Максимова
ЧАСТЬ I
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Через G обозначается отношение принадлежности, т. е. х € А
означает, что элемент х принадлежит множеству А. Если х не является
элементом множества А, то это записывается х £ А. Два множества А
и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Мы пишем А = В, если АиВ равны, и А В в противном случае. Через
£ обозначается отношение включения множеств, т. е. А £ В означает,
что каждый элемент множества А является элементом множества В.
В этом случае Л называется подмножеством В, а В — надмножеством
А. Если Л С В и Л & В, то Л называется собственным подмножеством
В, ив этом случае пишем АС В.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и
обозначается через 0. Семейство всех подмножеств данного множе-
ства Л обозначается через Т’(Л).
Объединением множеств АиВ называется множество
ЛОВ = {х | х G Л или х е В}.
Объединением семейства множеств A. (i G Г) называется мно-
жество
U А. = {х | существует / G I такое, что х 6 Л. }.
1G7 1	;0
Пересечением множеств АиВ называется множество
АС\В = {х | хбЛихбВ}.
Пересечением семейства множеств A. (i G 7), где 7^0, называет-
ся множество
Г) А. = {х | х G А. для всех i 6 7}.
Разностью множеств АиВ называется множество
Л \ В = {х | х £ Л и х В}.
Мы предполагаем, что все встречающиеся в задачах этого парагра-
фа множества являются подмножествами некоторого универсального
множества U. Разность U\A называется дополнением множества Л и
обозначается через —Л.
Симметрической разностью множеств Л и В называется множе-
ство Л-В= (Л\В)и(В\Л).
8
41. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1.	Доказать:
(а)	А С А (рефлексивность);
(б)	еслиAQBkBQC.wAQC (транзитивность);
(в)	АПВQAQ ЛМВ;
(г)	АПВ £ В £ ЛОВ;
(д)	л\всл.
2.	Доказать, что если Л есть множество корней уравнения
х2— 7х + 6 = 0 и В » {1,6}, то Л = В.
X Доказать, что 0 * {0}.
4,	Доказать, что {{I, 2}, {2,3}}# {1, 2, 3}.
5.	Доказать, что для любого Л:
(а)	0 £ Л £ U;
(б)	если Л £ 0, то Л = 0; если U £ А, то А = U;
(в)	ЛЦ0 =» Л, ЛЛ0 ж 0, AUU “ U, AHU ж Л.
6.	Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее
элементов.
7.	Существуют ли такие множества Л, В и С, что
ЛПВ#0, лпс = 0, (ЛПВ)\С«0?
8.	Доказать, что множество всех корней многочлена а(х) -
•* $(х)‘у(х) есть объединение множеств корней многочленов fl(x) и
?(*)
9.	Доказать, что пересечение множеств действительных корней
многочленов а(х) и р{х) с действительными коэффициентами
совпадает с множеством всех действительных корней многочлена
у(х) « а2(х) + fi2(x).
10.	Доказать, что
Л £ В *> ЛОВ ж В * АПВ = А о А\В = 0 о (-Л)ОВ = U.
11.	Доказать следующие тождества:
(а)	ЛиЛ “ ЛИЛ « Л;
(б)	ЛЛВ « ВЛЛ;
(в)	ЛОВ = ВОЛ;
(г)	ЛЛ(ВЛС) - (ЛЛВ)ЛС;
(д)	Ли(ВМС) « (ЛиВ)иС;
(е)	ЛЛ(ВиС) » (ЛЛВ)и(ЛЛС);
(ж)	ЛО(ВЛС) - (ЛМВ)П(ЛиС);
(3)	(ЛПВ)и(СГ)!)) = (ЛиС)Л(ВиС)Л(ЛиП)Л(ВиЛ).
f i. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
9
IX Доказать следующие тождества:
(а)	-(ЛИВ) « (-A)U(-B);
(6)	-(ЛОВ) * (-Л)П(-В);
(в)	А \ (BUC) » (А \ В)П(А \ С);
<г)Л\(ВЛС) = (Л\В)и(Л\С); -
(д)	А\(А\В)~АЛВ;
(е)Л\В = ЛХ(ЛЛВ);
(ж)	АП(В \ С) « (АПВ) \ (АИС) » (АО В) \ С;
(з)(А\В)\С~ (А \ С)\ (В\ С)-,
(и)	AUB ** AU(B \ А);
(к)	~(-Л)»Л;
(л)	Ли(-Л) = U;
(м) ЛЛ(-Л) * 0;
(н> (ЛЛВ)и [ЛЛ(-В) } = (ЛUB)A [AU(-B) J = А;
(о)	l(-A)UBJTbA = АОВ;
(п) АН(В\ Л) =
(р)	(ЛОВ) X С - (Л X C)U(B \ С); •
(О А \ (В \ С) » (Л \ В)М(ЛПС);
(т) А \ $BUC) = (Л \ В) \ С.
IX Доказать,что:
(а> ЛиЯС Со Л £Си5£С;
(б)	Л СВЛСоЛ £ЯиАСС;
(в)	Л ЛЯ £ Со А £ (-5)UC;
(г> А £ BUC о А Л (-В) £ С;
(д> (Л X B)UB » Л оВ £ Л;
(е> (АПВ)ЦС » ЛЛ(Ви0 оС£Л;
(ж) Л £ В о ЛиС £ BUC;
(э> А £ В о А ПС £ ВИС;
(и) Л £ В о (Л X С) £ (В X С);
(к)Л£Во(СХВ)£(С\Л);
(л) Л£В=>-В£-Л;
(м) AUB = ЛИВ о Л = В;
(и) А —В^АПВ ZnA\JB - U.
14» Доказать тождества:
(а) Л-В = В-А;
(6>А~(В-С) » (А-В)-С;
(в) ЛЛ(В-С) * (ЛЛВ)-(ЛЛС);
(г) Л-(Л-В) » В;
(д) ЛОВ » Л-В-(ЛЛВ);
(е>Л\В«Л-(ЛЛВ);
(ж> Л—0 ® Л;
(з> А-А = 0;
<) A-V » -Л;
(к) Лив » (А-ВуЩАПВ).
10
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
15.	Доказать,что:
(а)	(Л1и...иЛп)-(В1и...иВи) £ ^-B^U.-.U^-B^);
(б)	(л1п...плд)-(в1п...пв1) с (л1-в1)и...и(лп-вг).
16.	Доказать,что:
(а)	А-В = г<»А=В',
(б)	ЛПВ = 0 => ЛОВ = А-В.
(в)	А-В = С о В-С - А о С-Л = В.
17.	Определить операции U, Г), \ через:
(а)	-, П;
(б)	-, U;
(в)	\ , -.
18*. Доказать, что нельзя определить:
(а)	\ через П и U;
(б)	U через П и \ .
19.	Доказать, что множества образуют кольцо без единицы, где —
играет роль операции сложения, а О играет роль операции умноже-
ния.Что является вычитанием в этом кольце ?
20.	Найти все подмножества множеств 0, {0}, {х}, {1, 2}.
21.	(а) Доказать, что множество из п элементов имеет 2п подмно-
жеств.
(б) Сколько подмножеств из к элементов имеет множество из п
элементов (к < и)?
22.	Доказать,что:
(а) Р(ЛПВ) = Р(Л)ПР(В);
(б)р( ПЛ.') = ПР(Л.);
\ie7 7	/е/	'
(в) Р(лив) = Ц uBj | Л1 е Р(Л) и в{ е Р(В)};
(г)р[ ил.') = | ив. |в.еР(Л.)..
23.	Доказать, что для любых a, b, с, d
{{а}, {а, 6}} = {{с}, {с, с/}} о а = си b = d.
24.	Какие из утверждений верны для всех Л, В и С ?
(а)	Если Л е В и В 6 С, то A 6 С.
(б)	ЕслиЛСВиВеС, тоЛеС.
(в)	Если А(УВ С —Си ЛиС С В, то Л ПС = 0.
(г)	Если Л * В и В * С, то Л С.
(д)	Если Л С -(BUC) и В С —(Л U С), то В = 0.
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
11
25.	Доказать, что для любых , А2, Ап,
если А, С А С ... С А С А,, то А, = А= ... — А .
1	2	п Г 1	2	п
26.	Для каждого положительного целого числа п указать мно-
жество А из и элементов такое, что если х, у G А , то х 6 у или
у 6 х, или х = у.
27.	Решить систему уравнений
АС\Х = В,
' AUX = С,
где А, В и С — данные множества и В С А С С.
28.	Решить систему уравнений
А \ X = В,
Х\А = С,
где А, ВиС — данные множества и В С А, АГ\С — 0.
29.	Пусть даны системы множеств {А} и {В^.^, где I — некото-
рое множество. Решить системы уравнений:
(а)	А.С\Х = В., i е /;
(б)	Л.иХ = В, i е I.
При каких А и В. эти системы имеют решения ?
30.	Решить систему уравнений
А \ X = В,
' лих = С,
где А, В иС — данные множества и В С Л С С.
31.	Показать, что:
(а)	Л = В о (Л \ B)U(B \ Л) = 0;
(б)	любое уравнение относительно множества X, в правой части
которого стоит 0, равносильно уравнению (АПХ)и [ВП(—X) ] = 0, где
Л и В — некоторые множества, в записи которых не содержится сим-
вол X;
(в)	система уравнений
ГЛПХ = 0,
1ВП(-Х) = 0
имеет решение тогда и только тогда, когда В С —А; при этом условии
решением системы является любое множество X такое, что
ВСХС -Л;
(г)	описать метод решения системы уравнений с одним неизвест-
ным.
12
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
32.	Пользуясь методом задачи 31, решить следующие системы:
(AUX = ВПХ,
(а) |АПХ = CUX;
(А \ X = X \ В,
(0) |Х\Л = С\Х;
(ЛЛХ = В\Х,
(в)	|сих = х\л.
При каких А, В и С эти системы имеют решение ?
33.	Доказать, что всякое множество есть:
(а)	объединение всех своих подмножеств;
(б)	объединение всех своих конечных подмножеств;
(в)	объединение всех своих одноэлементных подмножеств.
34.	Пусть имеется последовательность множеств
Хо 2	2 X, 2 ... 2 Хп 2 ...
Доказать, что пересечение любой бесконечной подпоследова-
тельности этих множеств совпадает с пересечением всей последова-
тельное?™.
35.	Пусть имеется последовательность множеств
XnQX, СХ.С...СХ С...
0	1	2	п
Доказать, что объединение любой бесконечной подпоследователь-
ности этих множеств совпадает с объединением всей последователь-
ности.
36.	Доказать следующие тождества:
(a)	U U А. = U U А.а
кек ter	ter кек
(б)	Л Л Л, = Л Л А. ;
к.г	kt
кек ter	ter кек
(в)	- ( U А3 = Л (—Л.);
\кек ) кек
(г)	- ( Л Л?| = Л (—Л );
\кек / кек
(д)	U A. U U В, = U (Л. UB.);
кек кек кек
(е)	U (В Л Л ) = В Л ( U Л Л ;
кек	\кек )
(ж)	Л (вил.)« В U ( Л Л V
кек	\кек )
§ 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
13
37.	(а) Доказать, что для любых К, Т, А&
U П А, С П U А .
кек ter ter кек
(б)	Доказать, что в утверждении (а) включение нельзя заменить
равенством.
38.	Доказать, что:
(а)	если A QB для всех t G Т, то U A QB;
1	ter
(б)	если BQA для всех t G Т, то В С О А ;
f	ter
(в)	если А С В для всех t G Т, то U А С и В и П A Q Г) В .
f r	ter ter ter ter
39.	Доказать, что:
(a)	U А есть наименьшее множество, содержащее все мно-
tET
жества А(;
(б)	П Af есть наибольшее множество, содержащееся во всех мно-
tET
жествах А(.
40.	Доказать, что если / П Л А / А В \ = 0, то
П П/
Г) A Q U [Л Cl (В
п	и v и 
иеЛЛО
4)1,
где
( U Л \ U ( U В ) С Вп.
41.	Доказать, что для любой системы множеств AQ,..., Л^,... су-
ществует система попарно непересекающихся множеств BQ, Вп, ...
такая, что U Л = U В и В С А.
п п п
пеЛ пеЛ
§2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Прямым ( декартовым ) произведением множеств Л^ ..., Л^ на-
зывается множество
Л,х...хЛ = {(а,,..., а ) I а, & Л,,..., а £Л }.
1	п Г ’ п'1 1	1’ п п‘
Если Л ,=... = Л = Л, то множество Л, х ... х Л называется
1	п	in
прямой степенью множества А и обозначается через Л”.
14
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Бинарным отношением между элементами множеств А и В на-
зывается любое подмножество R множества А х В. Если А = В, то
отношение называется бинарным отношением на А. Вместо
{х, у) G R часто пишут xRy.
Областью определения бинарного отношения R называется мно-
жество
<5Л = {х | существует у такое, что {х, у} G Л}.
Областью значений бинарного отношения R называется множе-
ство
pR = {х | существует у такое, что (у, х} 6 Л}.
Для бинарных отношений определены обычным образом тео-
ретико-множественные операции объединения, пересечения и т. д.
Дополнением бинарного отношения R между элементами А и В
считается множество
— R = (А X В)\ R.
Обратным отношением для бинарного отношения R называется
множество
Л-1 = {<у,х>£Л}.
Образом множества X относительно R называется множество
R(X) = {у | существует х G X такое, что (х, у} G R},
прообразом X относительно R называется Л-1(Х).
Произведением отношений R^QA х В и R^QB х С называется
отношение
&2=	। сУЩествует 2 такое, что (х, zj&R^ и {z, y}&R^\.
Отношение / называется функцией из А в В (из А на В), если
A, PjQB (соответственно pj= В) и для всех х, ур у2 из (х, y^G/ и
(х, y^)^f следует у} = у2- Функция f из А в В обозначается /: А-*В.
Если / — функция, то пишем у = /(х) вместо (х, у}^/ и называем у
значением функции/при значении аргумента х. Для любого множест-
ва А определяем i : А -» А следующим образом:
iA(x) = *•
Функция / называется 1-1-функцией, если для любых Хр х2, у из
того, что у = /(Xj) и у = /(х2), следует Xj = х2. Говорят, что функция
/: А -» В осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и
В, если dy= A, р = В а/—1-1-функция. Взаимно однозначное соот-
ветствие/: А-*А называется подстановкой множества А.
§ 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
15
Множество всех функций из Ав В обозначается через Вл.
Декартовым произведением семейства множеств A. (iCZ) назы-
вается множество
/: /-* U Л. и /(г)для всех re/}.
iei	iei
Назовем п-местным отношением на множестве А любое под-
множество множества Л”. Функцию /: Л”-»В назовем п-местной
функцией из множества А в В и будем писать у = /(Хр хп) вместо
у = /((хр	х^)) и называть у значением функции f при значении
аргументов Хр х .
1.	Доказать, что существуют Л, В и С такие, что:
(а)	ЛхВ ВхА;
(б)	Лх(ВхС) * (ЛхВ)хС.
2.	Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств:
(a)	[a, Z>]x [с, d], где [а, Z>] и [с, <7] — отрезки действительной
прямой 0;
(б)	[а, Ь]2;
(в)	[а, Ь]3;
(г)	3)п.
3.	Доказать, что если А, В, Си Dae пусты, то:
(a)	AQBhCQD о ЛхССВхО;
(б)	A=BnC=D о AxC=BxD.
4.	Доказать, что:
(а)	(ЛОВ) X (СПО) = (AxC)Cl(BxD);
(б)	П л.х П В. = П (Л. х В.).
/е/ ' iei 1 iei ‘	1
5.	Доказать, что (ЛхВ)и(СхО)С(ЛиС)х(ВСЮ). При каких Л, В,
С и D получается равенство?
6.	Доказать, что:
(а)	(ЛиВ)хС = (ЛхС)и(ВхС);
(б)	Лх(ВиС) = (ЛхВ)и(ЛхС);
(в)	(ЛиВ)х(СиО) = (ЛхС)и(ВхС)и(ЛхО)и(ВхО);
(г)	(Л\В)хС = (ЛхС)\(ВхС);
(д)	Лх(В\С) = (ЛхВ)\(ЛхС);
(е)	ЛхВ = (ЛхО)П(СхВ), где ЛСС и BCD;
(ж)	О2\(ЛХВ) = [(OU)Xt/]U[t7x(O\B)];
HJ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(3)	и АX U В = и (А X BJ;
4ЕХ ter
(ж)	Л А х Л В = Л (А хВ ).
*ЕХ ter {Мекхт
7.	Пусть Л, В * 0 ж (ЛхВ)и(ВхЛ) = (Сх£>). Доказать, что
A=B=C=D.
S. Нажтж р*. Л-1, Я-Я, Х-Х~1, Х~ *-X для следующих отно-
шений:
(а)Х= {(х, у){хт у еЛ" жх делиту};
(б)Я = {(х,у}|х,у€Л'жу дедагх};
(ж)Я= {(х, y)jx,ye® их+у < О};
(г) X = {(х, у}|х, у е® ж 2х > Зу>;
C»>* = {<x>yHx1.yG	жу>зтх|.
9. Доказать, что:
<а)йЛ=0 «>Л=0
is>iir'^i‘ie '>ж_’= а«:
•*>4* па«>;
6	2	12
IB-	Доказать, что:
(а)	есзж В * 0, го&АжЛ = А‘
(6)	если Я * 0, торАхВ = В.
11.	Пусть X — бкиз^ияж ипюшаик иа А. Доказать, что X = iA
тогда ж только тогда, когда X-Xi = Х^-Х = Х^ для любого отношения
R, иаЛ.
I
12.	Доказать, что для любых бинарных отвопснжк:
(a) XUX = ХПХ = R;
(5) (/Г')Г‘= X;
(в) (Я1иД1)-,=Л7,и^1;
1г>	Л^ПЯ^1;
1Д> -Х~1=(-Х)1;
(е) I U XI
I ger “1
$ 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
17
/	-I
(ж) ПЛ. « Л Л. *.
\ »с/ 1/	16/
13.	Для каких бинарных отношений R справедливо R1 = — R"!
14.	Пусть Л и В — конечные множества, состоящие из т и и эле-
ментов соответственно.
(а)	Сколько существует бинарных отношений между элементами
множеств Л и Я?
(б)	Сколько имеется функций из А в В?
(в)	Сколько имеется 1-1-функций из Л в В?
(г)	При каких ли и л существует взаимно однозначное соответствие
между Л и В?
15.	Доказать, что для любых бинарных отношений:
(а>	• (Ry Jtj) = (*t
(6)	(R^RJ^R-'-R-*;
(в)	( и r} ~Q= U
\ 16/	/	16/	*
(r)Q ( U Я3= U (QR^
i^J i&I
16.	Доказать, что:
(а> Q ( П /Г.) С n (Q-R?);
\ 16/	/	16/
(б)	( С И-QC Cl(i?-Q);
\ 16/	} tel
(в)	в утверждениях (а) и (б) включения нельзя заменить равенст-
вами.
17.	Образуют ли бинарные отношения группу относительно опе-
раций • И ~ ?
18.	Доказать, что если С R^ «к
(a)	QRlQQ- R^
^R,QQR^Q;
>	X
<в> л;1 сл^1.
19.	Доказать, чгнк
(а> если В Ф и, то К4 * и;
(б)	В^ с Р(л X В).
при/= я}.

« •> Ji с|"
18
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
21.	Используя определение, описать множество 0^® \ где 0 —
множество действительных чисел.
22.	Доказать, что если /есть функция из А в В и g есть функция из
В в С, то /• g есть функция из Л в С.
23.	Пусть fug — функции. При каких условиях:
(а)	/-1 является функцией;
(б)	f-g является 1-1-функцией?
24.	Пусть А, В, Лр В} — такие множества, что Л находится во
взаимно однозначном соответствии с Л}, а В — с В}. Показать, что
можно установить взаимно однозначное соответствие:
(а)междуЛхВ иАхВ;
в в
(б)	между Л иЛ[|;
(в)	между ЛиВ и Л} UB(, если АС\В = 0 и Л1 r'lBj = 0.
25.	Доказать, что можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие между множествами
(а)	АхВ и ВхА;
(б)	Лх(ВхС) = (ЛхВ)хС;
(в)	(ЛхВ)С и АСхВС;
(г)(ЛВ)С и ЛВхС;
(д)	Лвис и ЛвхЛс, если ВС\С = 0;
(е)	PJ Л. и pi где 'Р — подстановка множества I;
iej iei
(ж)	pj А. и I Л. , где U Tk = Iи все	попарно не пересе-
Y к '
каются;
(з)	А1 и pj Л7*, где U Tk = I и все	попарно не пересекаются.
кек кек
26.	Пусть <р: АА — подстановка множества Л. Доказать, что
<р~1 — подстановка множества Л.
27.	Доказать, что множество подстановок множества Л образует
группу.
28.	Пусть <р: АВ — взаимно однозначное соответствие. Дока-
зать, что:
(а)	<р~1 — взаимно однозначное соответствие между В и Л;
(б)	<p~l-<р = iB;
§ 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
19
(в)^Т 1=iA-
29.	Доказать, что для того, чтобы отношение RQAxB было вза-
имно однозначным соответствием между А и В, необходимо и доста-
точно, чтобыRR~l = i. hR~1-R =
A	В
30.	Доказать, что объединение (пересечение) двух функций/jH/2
из Л в В является функцией из А в В тогда и только тогда, когда
Л = Л’
31.	Доказать, что для любой функции/:
(а)/(ЛиВ) = /(Л)и/(В);
(б)	/(ил) = и/(Л).
уе/ ) iei
32.	Доказать, что для любой функции/:
(а)/(ЛПВ)С/(Л)П/(В);
(6)/f плклдл),
уе/ ) iei
и эти включения нельзя заменить равенствами.
33.	Доказать, что / удовлетворяет условию
f(AC\B) = /(Л)П/(В) для любых А и В
тогда и только тогда, когда/есть 1-1-функция.
34.	Доказать, что/(Л)\/(Д) С f(A\B) для любой функции /.
35.	Доказать, что если в предыдущем примере /есть 1-1-функция,
то выполняется равенство.
36.	Доказать, что если А С В, то /(Л) С /(В) для любой функции /.
37.	Доказать, что для любой функции/
/(Л) = 0 о ЛГ)<5^. = 0.
38.	Доказать следующие тождества для любой функции /:
(а)/-1(ЛиВ) =/-1(Л)и/-1(В);
(б)/"1( U Л?| = и/~1(Л );
уе/ ) ie.i
(в) / "1 (Л ПВ) = / "1 (Л)П/ "1 (В);
(г)/-1 (пл) = Г)/-1(Л);
Уе/ ) iei
(д) f~\A\B) = f~\A)\f-\B).
20
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
39.	Доказать, что если Л £ В, то справедливо / \Л) С / 1(В) для
любой функции/.
40.	Доказать, что для любой функции/
/-1(Л) = 0 оЛГуу=0.
41.	Доказать, что если А С д? и В С р., то:
(а) Л С/-1(/(Л));
(б)/(/-1(В)) = В;
(в)/(Л)ПБ=/(ЛП/-1(Б));
(г) /(Л)ПВ = 0 о АП/-‘(В) = 0;
(Д)/(Л)СВ «ЛС/-'(В).
42.	Пусть/: А-*В. Определим/*: Р(А)-»Р(В), */: Р(В)-»Р(А) такие,
что /*(Х) = {/(х) | xGX} и */(У) = {х| /(х)бУ}. При каких условиях
Л/ф = 4(В)? При каких условиях/*•*/= 1р(Л)?
43.	В обозначениях предыдущей задачи доказать, что:
(a)	f(XC\Y) = /*(Х)П/*(У);
(б)	= f(g\X)).
44.	Пусть U — непустое множество. Для любого подмножества А
множества U обозначим через уследующую функцию (характе-
ристическую функцию множества Л):
t/_ ГО, еслихбЛ,
%А~ 11, еслихбСДЛ.
Определим функцию /: Р(С/)-»{0, 1}и следующим условием:
/(Л) = /л для любого Л£Р(Г/). Доказать, что / есть взаимно однознач-
ное соответствие между P(JJ) и {0,1}и.
45.	Доказать, что введенная в предыдущей задаче функция /л
удовлетворяет следующим условиям:
(а)^х) = 0;*
(б)х^(Х) = 1;
(г)Хлив(х)=Йх)'^);
(д) *АГ1В<Х) =*а(х) +^UB(X)
§ 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
21
%А\в(Х)	1 Хд(х) + Хдид(х)’
(ж) если Л = U А., тог^(х) = min%^ (х);
iez ' А iEl А<
(з) если Л = П Л., тоЛх) = тах%^(х).
iez '	iez i
46.	Доказать свойства полной дистрибутивности:
(a) U П Л = П иЛ ;
(б)	п и л..= и лл.....
iez/ez " ^/.ez v(,)
47.	Доказать, что А1 =	Л., где Л. = Л для всех i&I.
iei
48.	Пусть Л. £ X.. Доказать, что:
(а) П а. = Л J] Л.., где Л,.=Л., Л,.=Х. при I * j-
iei	‘е//е/
161 ПчП -V и Пв,г гасви-вц-х, "О"'*/
iei tei	jei
49.	Доказать, что:
t^T
(б)	если Л ПЛ = 0 при t , то можно установить взаимно одно-
fl 2
( U
значное соответствие между В \'еГ / и
fST
(в)	можно установить взаимно однозначное соответствие между
(грУ «ГК-
чет / ter
50.	Доказать, что если Af и для всех t&T, то Af е> (одна из
ter
формулировок аксиомы выбора).
51.	Доказать, что между ]ДЛг и I JJ Af I х I JJ Af I можно
ter 7 ет 17 г ет г
11	2	2
установить взаимно однозначное соответствие, если Т^Т2 = Т и
Г1ЛТ2 = 0.
22
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
В этом параграфе рассматриваются бинарные отношения, задан-
ные на непустом множестве.
Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексив-
ным, если
(х, х)ЕЛ для всех хЕА,
иррефлексивным, если
(х, x)&R для всех хЕЛ.
Бинарное отношение R называется симметричным, если
(х, y)&R => {у, х)ЕЯ,
и антисимметричным, если
(х, у) ЕЯ и (у, х)ЕЯ =» х = у.
Бинарное отношение R называется транзитивным, если
(х, y)^R и {у, z)€zR =» {х, z)€zR.
Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на мно-
жестве А называется эквивалентностью на А. Классом эквивалент-
ности (смежным классом) элемента х по эквивалентности R
называется множество
[х]л = х/Я = {у| <х,у)ЕЯ}.
Множество классов эквивалентности элементов множества А по
эквивалентности R называется фактормножеством А по R и обозна-
чается через А/R.
Бинарное отношение на множестве Л называется предпорядком на
Л, если оно рефлексивно и транзитивно. Рефлексивное, транзитивное
и антисимметричное отношение на множестве Л называется частич-
ным порядком на Л.Частичный порядок часто обозначается символом
<. Порядок <-1 называется двойственным к < и обозначается сим-
волом >. Будем писать х<у, еслих<уих#у. Частичный порядок < на
множестве Л называется линейным, если любые два элемента из Л
сравнимы по <, т. е. х<у или у<х для любых х, уЕЛ. Множество Л с
заданным на нем частичным (линейным) порядком < называется
частично (линейно) упорядоченным. Подмножество В множества Л,
частично упорядоченного отношением <, называется цепью в А, если
7
оно линейно упорядочено отношением < DB .
Элемент а частично упорядоченного множества Л называется мак-
симальным (минимальным), если из того, что а<х (х^а), следует
а—х. Элемент я из Л называется наибольшим (наименьшим), если
х<а (а<х) для всех х£Л. Верхней (нижней) гранью подмножества В
частично упорядоченного множества Л называется любой элемент а из
Л такой, что (а<Ь) для любого Ь&В. Точной верхней (нижней)
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
23
гранью подмножества ВС А называется наименьшая верхняя (наи-
большая нижняя) грань для В. Точная верхняя и точная нижняя грани
множества ВСА обозначаются через sup В и inf В соответственно.
Линейный порядок < на множестве А назовем полным, если каж-
дое непустое подмножество множества А имеет наименьший элемент.
В этом случае множество А называется вполне упорядоченным.
Пусть Л и В — частично упорядоченные множества и/— функция
из А в В. f называется монотонным отображением, если из Xj<x2
следует /(Xj)</(x2) для любых элементов х^ х2 ЕЛ. Если f есть вза-
имно однозначное соответствие между Ли В, / и/ -1 — монотонные
отображения, то f называется изоморфизмом частично упорядочен-
ных множеств А и В, а множества Л и В называются изоморфными.
Частично упорядоченное множество М называется решеткой или
структурой, если для любых двух элементов х, уЕ А/существуют точ-
ная нижняя грань хАуи точная верхняя грань xUy. Будем обоз-
начать (...((X] Ах2)Ах3)А...Ахр через Х] А х2 А х3 А ... А х^ и
(...((х. U хэ) Ux.) U... U х.) через х, U х, U х, ... U х,. Наибольший
1	2/	К	L 2	3	К
элемент решетки (если он существует) обозначается через 1, а наи-
меньший — через 0.
Решетка М называется дистрибутивной, если для любых
х, у, zEAf выполнены тождества
(xUy)Az = (xAz)U(yAz),
(xAy)Uz = (xUz)A(yUz).
Дистрибутивная решетка М называется булевой алгеброй, если
для любого элемента хЕМ существует дополнение, т. е. элемент
(—х), удовлетворяющий условиям: для любого элемента у&М
[xU(—х) ]Ау = у, [хА(-х) ]Uy = у.
Семейство подмножеств S данного множества Л называется алгеб-
рой подмножеств, если S замкнуто относительно теоретико-множест-
венных операций объединения, пересечения и дополнения, т. е.
X, Y&S => (XUY)ES, (ХАУ)Е5, (-X)ES.
Фильтром на булевой алгебре М называется непустое подмно-
жество DCM, удовлетворяющее условиям:
(1)	х, yCD =» (хАу)Е£),
(2)	хЕ£), х<у=> yCD,
(3)	xEZ)=> (-x)£Z>.
Фильтр D на булевой алгебре М называется ультрафильтром,
если он удовлетворяет условию
(4)	хЕ£) или (—х)Е£) для любого xEAf.
24
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Фильтр Р на булевой алгебре М называется простым, если он
удовлетворяет усвоило: для любых х, yGM
(5)	(xUy)€E£> => x&D или yGU.
Фильтр D на булевой алгебре V называется максимальным, если
он не содержится ни в каком другом фильтре на М.
I.	Доказать, что если отношения JJj и R2 рефлексивны, то реф-
лексивны отношенияRUJ?,, Л ЛЛ_, R~l, R.'R,.
2.	Доказать, что если /Ц и R2 иррефлексивны, то иррефлек-
сивны и отношения /?jUJ?2,t!R2, Я~'. Показать, что произведение
R^  R^ иррефлексивных отношений может не быть иррефлексивным.
3.	Доказать, что если Ri и R^ симметричны, то симметричны отно-
шения	Я”1, Rl 'R~l.
4.	Доказать, что произведение Rl 'R2 симметричных отношений
и R2 симметрично тогда и только тогда, когда Л] R^ = R^ R^.
5.	Доказать, что:
(а) если отношения Ri и /?2 антисимметричны, то антисиммет-
ричны такжеR^ Ct R^h R~l;
(б> объединение	U R2 антисимметричных отношений	и /?2 на
А антисимметрично тогда и только тогда, когда R, -R~1 С / .
12 А
6.	Построить бинарное отношение:
(а)	рефлексивное, симметричное, не транзитивное;
(б)	рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
(в)	рефлексивное, транзитивное, не симметричное;
(г)	антисимметричное, транзитивное, не рефлексивное.
7.(а> Построить бинарное отношение, симметричное, транзитив-
ное, ноне рефлексивное.
(б> Доказать, что если Л есть транзитивное и симметричное отно-
шение на множестве Л и<5_ Up„ = А, то Л есть эквивалентность на А.
S. Доказать, что любое отношение R, симметричное и антисим-
метричное одновременно, является транзитивным.
9.	Доказать, что отношение R на множестве А является едновре-
мешю зквикалеятностыо и частичным порядком в том и только том
случае, когда R = iA.
s 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
25
10.	На множествах и Л'х.Л'' определим R^ Q, S следующим
образом:
(a)	{a, b)GRm о (а — Ь) делится на т (щ>0);
(6)	({a, b\, {с, PfyGQ *• а + d = b + с,
<) ({а, Ь), (с, tffrGS +
=* l((a-d = be) яЬ * 0 и <7*0) или (а = с, b = 0,d - 0)].
Доказать, что R ,Q hS являются отношениями эквивалентности.
11.	Пусть А — множество всех прямых на плоскости. Являются ли
эквивалентностями следующие отношения:
(а)	параллельность прямых;
(б)	перпендикулярность прямых?
12.	На множестве & действительных чисел определим отношение
R следующим образом:
aRfi <» (а—р)— рациональное число.
Доказать, что R есть эквивалентность.
13.	Доказать, что если R — эквивалентность, то:
(a)	xG [х 1Я;
(б)	(x,y)GR [х] = (yj .
Л	Л
14.	Доказать, что если R есть эквивалентность, то R1 есть также
эквивалентность.
15.	Пусть R Q А2. Доказать,что
R есть эквивалентность о (Л-А-1)игЛ = R.
16.	Доказать, что если и R2 — эквивалентности на А, то:
(a) Rl Ri = А2 о Rj = А2;
(6)R-R=A2 <* R.. R, =А2.
17.	Доказать, что существует взаимно однозначное соответствие
между классом всех разбиений множества А на непересекающие-
ся непустые подмножества и семейством всех отношений эквивалент-
ности на А. ( Семейство	называется разбиением А, если
\	I i'Zl
U Л. = Л и множества А. попарно не пересекаютсяЛ
IG/ 1	‘	'
18.	Доказать, что R тогда и только тогда является отношением
эквивалентности на множестве А, когда существует система попар-
но непересекающихся множеств такая, что
Л= U СхС и U С = А.
26
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
19.	Пусть /: Л-*В — произвольная функция. Положим
Q={(x,y>|/(x)=/(y)}.
Доказать, что Q является эквивалентностью на Л и для отобра-
жения /существует разложение
/=£•/],
где г — естесг. венное отображение А на Al Q = {[х | х£Л}, т. е.
е(х) = [х]^, Л — взаимно однозначное соответствие между А/Q и
f(A)-
20.	Доказать, что пересечение любой системы эквивалентностей
на множестве А есть эквивалентность на А.
21.	Доказать, что объединение /?]U.R2 эквивалентностей и
R2 является эквивалентностью тогда и только тогда, когда U/?2 =
= /?[ r2.
22.	Доказать, что произведение R^  R2 двух эквивалентностей
и /?2 тогда и только тогда является эквивалентностью, когда Я[ • R2 =
= r2 • Л].
23.	Доказать, что если Я и R2 — эквивалентности и R^ R2 =
= Я2 Я], тоЯ]+ R2 = R{ R2, гдеЯ]+Я2 — наименьшее отношение
эквивалентности, включающее Я U/?2.
24.	Доказать, что для всякого семейства эквивалентностей {Я.}
существует эквивалентность Q такая, что U R. £ Q, и для всякого от-
/е/ 1
ношения эквивалентности R, если U R. £ R, то Q £ R.
i&I ‘
25.	Доказать, что
п
Рп+Г1С>, (Р0=1)’
1=0
где рп — число эквивалентностей на множестве из п элементов.
26.	Доказать, что множество всех подмножеств данного множества
частично упорядочено отношением включения £.
27.	Пусть < и < на множестве JV= {0, 1,2,...} определяются
обычным образом. Доказать, что <• <?*<; < •< = <; < >=t/F2.
28.	Доказать, что i есть частичный порядок на А.
-А.
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
27
29.	Пусть а<Ь » a, b&jY и а делит Ь. Считаем, что 0 делит 0.
Доказать, что < — частичный порядок на
30.	(а) Доказать, что всякое частично упорядоченное множество
содержит не более одного наибольшего (наименьшего) элемента.
(б)	Доказать, что наибольший (наименьший) элемент частично
упорядоченного множества является единственным максимальным
(минимальным) элементом.
(в)	Построить пример частично упорядоченного множества,
имеющего точно один минимальный элемент, но не имеющего
наименьшего элемента.
31.	Доказать, что если R — частичный порядок, то 7?-1 — час-
тичный порядок.
32.	Показать, что если {/? }	— система частичных порядков на
множестве А, то Г) R. — частичный порядок на множестве А.
i<=i ‘
33.	Доказать, что отношение R на множестве А есть предпорядок
тогда и только тогда, когда R = (R-R)kJiA.
34.	Пусть R — отношение предпорядка на А. Положим
а ~ b о (a, b)GR и (b, a)&R.
Доказать, что:
(а)	~ есть отношение эквивалентности на А;
(б)	если а ~ О], b ~ b^, (a, b)GR, то {а{, b^ER;
(в)	есть отношение частичного порядка на Л/~, где
<[а], [/>])£/?! <=> (a, b)&R.
35.	Доказать, что если R — частичный (линейный, полный) поря-
2
док на X и AQX, то /?ПЛ есть частичный (линейный, полный) поря-
док на А.
36.	Пусть < — частичный порядок на А. Доказать, что < ирреф-
лексивно и транзитивно.
37.	Доказать, что если некоторое отношение < на Л иррефлек-
сивно и транзитивно, то отношение
х<у о х<у или х=у
есть частичный порядок на А.
38.	Показать, что если Л и — частично упорядоченные множе-
ства и /: А-*А1 — монотонная функция, осуществляющая взаимно
однозначное соответствие между ЛиЛр то/-1 может не быть моно-
тонной.
28
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Рассмотреть случай, когда А — линейно упорядоченное мно-
жество.
39.	Доказать, что любое частично упорядоченное множество А
изоморфно некоторой системе подмножеств множества А, упорядо-
ченной включением С.
40.	Пусть /tj и R2 — линейные порядки на множестве А. Когда
R{ -R2 — линейный порядок?
41.	(а) Доказать, что любое непустое конечное частично упорядо-
ченное множество А содержит минимальный и максимальный эле-
менты.
(б)	Пусть частично упорядоченное множество А конечно. Дока-
зать, что для любого элемента существуют элементы Ь и с из А
такие, что а^Ъ и Ъ есть максимальный элемент вЯ; с<а и с есть
минимальный элемент в А.
42.	Построить линейный порядок на множестве:
(а)	лЛ
(б)	Л'иЛ'2иЛ'3и...иЛ",и...;
(в)	АВ комплексных чисел.
43.	Доказать, что любое конечное множество можно линейно упо-
рядочить.
44.	Доказать, что всякий частичный порядок R на конечном мно-
жестве А может быть продолжен до линейного порядка R £ Q на мно-
жестве А (см. также задачу 69 из § 5).
45.	Пусть А — частично упорядоченное множество, в котором
каждая цепь имеет не более т элементов, а любое подмножество
попарно несравнимых элементов состоит ие более чем из п элементов.
Показать, что А имеет не более т • п элементов.
46.	Пусть <А есть частичный порядок на множестве А, <в — час-
тичный порядок на множестве В. Назовем прямым произведением
частично упорядоченных множеств АиВ множество А х В с заданным
на нем отношением S:
{av Ьг)<{а2, Ь2) о ах<Аа2^Ь^вЪ2.
Доказать, что s есть частичный порядок на Ах В.
47.	Пусть А — частично упорядоченное множество, a, bGA и а<Ь.
Назовем сегментом множество [a, b\ = {x\w£x-£b}. Показать, что
множество всех сегментов множества А, частично упорядоченное по
включению, изоморфно некоторому подмножеству прямого произве-
дения А и двойственного к нему частично упорядоченного множества.
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
29
48.	Назовем частично упорядоченное множество А самодвойст-
венным, если оно изоморфно двойственному к нему частично упорядо-
ченному множеству. Доказать, что:
(а)	имеются в точности два неизоморфных частично упорядо-
ченных двухэлементных множества, каждое из которых самодвойст-
венно;
(б)	имеется пять попарно неизоморфных частично упорядоченных
множеств, имеющих три элемента, и три из них самодвойственны.
49*. Будем говорить, что частично упорядоченное множество А
удовлетворяет:
(1)	условию минимальности, если всякое непустое подмножество
М множества А обладает по крайней мере одним минимальным эле-
ментом;
(2)	условию обрыва убывающих цепей, если всякая строго убываю-
щая цепь в А конечна;
(3)	условию индуктивности, если для любого свойства Т выполне-
но следующее:
пусть для любого элемента аеЛ из справедливости свойства Т для
всех элементов, строго меньших а, вытекает справедливость Т для а;
тогда свойством Т обладают все элементы множества А.
Доказать эквивалентность всех этих условий.
50.	Доказать, что частично упорядоченное множество удовлетво-
ряет условию минимальности тогда и только тогда, когда все его цепи
вполне упорядочены.
51*. Описать все линейно упорядоченные множества А, облада-
ющие таким свойством, что для любых а<Ь существует только конеч-
ное число с таких, что а<с<Ь.
52. Найти все множества М такие, что существует полный порядок
R такой, что Я -1 также является полным порядком на М.
53. Пусть<р: АхА-*А и для всех х, у, zEA
<f>(x, у) = <f>(y, х),
<р(х, <р(у, z)) = <р(р(х, у), z),
у>(х, х) = х.
Определим х<у » <р(х, у) = х. Доказать, что:
(а)	< есть частичный порядок на Л;
(б)	<р(х, у) есть точная нижняя грань относительно порядка <.
54.	Доказать, что любое подмножество множества Р(Л), частично
упорядоченное по включению, имеет -точную верхнюю грань и точную
нижнюю грань.
55.	Доказать, что:
(а)	любое линейно упорядоченное множество есть решетка;
(б)	семейство всех эквивалентностей на множестве Л есть решетка.
30
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
56.	Доказать, что в решетке любой максимальный элемент являет-
ся наибольшим, а любой минимальный элемент является наимень-
шим.
57.	Доказать, что в любой конечной решетке существуют наи-
больший и наименьший элементы.
58.	Привести примеры решеток:
(а)	без наибольшего элемента, но с наименьшим элементом;
(б)	без наименьшего элемента, но с наибольшим элементом;
(в)	без наибольшего и без наименьшего элементов.
59.	Доказать, что в любой решетке выполнены тождества:
(/j) xUy = yUx,	(/2) хГ|у = уПх,
(/3) xU(yUz) = (xUy)Uz, (Z4) хП(уГ)г) = (хПу)Г)г,
(Z5) (xAy)Uy = у,	(Z6) xQ(xUy) = y.
60.	Пусть на множестве M заданы двуместные функции и и П,
удовлетворяющие тождествам (1{)—(76) из предыдущей задачи.
(а)	Доказать, что для любых х, у&М xUy = у тогда и только
тогда, когда хПу = х.
(б)	Определим х<у о хАу = х. Доказать, что М есть решетка от-
носительно <, причем точная нижняя и точная верхняя грани элемен-
тов х и у совпадают с хАу и xUy соответственно.
61.	Доказать, что во всякой булевой алгебре М:
(а)	существует наименьший элемент 0 и наибольший элемент 1;
(б)	для всякого а&М дополнение (—а) единственно;
(в)	b = —а о аС\Ь = 0 и aUZ> = 1;
(г)	-(аАй) = (-<z)U(-Z>);
(д)	—(aUZ>) = (-а)А(-й);
(е)	а<Ь о аГ\(—Ь) = 0.
62.	Доказать, что алгебра подмножеств, упорядоченная включе-
нием, есть булева алгебра.
63.	Доказать, что 1 EZ) и 0£D для любого фильтра D.
64.	Пусть М — булева алгебра, А С м. Доказать, что если
я,А...Ая ^0 для любого и>0 и любых элементов а,, а ЕЛ, то
1 п	1’	’ п ’
множество
D = {х|хЕМ,	А...Аа^<х для некоторых Яр ..., а^ЕЛ}
есть фильтр на М.
65.	Пусть D — фильтр на булевой алгебре Л/и (xUy)£Z>. Доказать,
что существует фильтр "2.D такой, что x&D^ или y&D .
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
31
66.	Доказать, что для любого фильтра D следующие условия эк-
вивалентны:
(a)	D есть максимальный фильтр;
(б)	D есть простой фильтр;
(в)	D есть ультрафильтр.
67*. Доказать, что любой фильтр на булевой алгебре М содержится
в некотором максимальном фильтре на М.
68.	Доказать, что для любых элементов а, Ь булевой алгебры М,
если неверно, что а<Ь, то существует простой фильтр D такой, что
a&D и b(£D.
69.	Пусть М — булева алгебра, & — множество всех простых
фильтров на М. Положим для а&М
h(a) = {D\ a^D^P}.
Доказать, что множество
S = {h(a) | а&М}
есть алгебра подмножеств множества .Ф.
70.	Доказать, что любая булева алгебра изоморфна некоторой ал-
гебре подмножеств подходящего множества (теорема Стоуна).
71.	Доказать, что любой фильтр на конечной булевой алгебре име-
ет наименьший элемент.
72.	Доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна ал-
гебре всех подмножеств некоторого множества.
§	4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Множество А называется эквивалентным множеству В (симво-
лически А ~ В), если между Ли В можно установить взаимно одноз-
начное соответствие.
Мощностью множества А называется класс всех множеств, экви-
валентных множеству А, и обозначается через И. Эквивалентные мно-
жества называются также равномощными.
Обозначим через л мощность множества — {0, 1, ..., л—1}, где
лбе#. Каждое множество А, эквивалентное М/'п для некоторого л,
называется конечным, ал — числом элементов множества А. Мно-
жество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Каждое множество Л, эквивалентное множеству JV- = {0, 1,2,...},
называется счетным и его мощность обозначается через
Каждое множество А, эквивалентное множеству действительных
чисел О), называется континуальным и его мощность обозначается
через с.
32
•LL ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Мощности произвольных множеств называются кардинальными
числами. Карлинллыгыл числа конечных множеств называются конеч-
ными, для бесконечных множеств — бесконечными. Кардинальное
число с называется мощностью континуума.
Будем говорить, что Л<В, есля А эквивалентно некоторому под-
множеству множества В. Если Л<Р, а Л и В не эквивалентны, то
скажем, что ~А<В.
1.	Доказать, что:
(а)	Л ~ А (рефлексивность);
(б)	если А ~ В, то В ~ А (симметричность);
(в)	если А ~ ВяВ ~ С, то Л ~С (транзитивность).
2.	Доказать, что:
(а)	Л ~ В о Л=Д;
(6)	Л. =Х, Д. =Д, и А<7? => ~А<Л-
1	£,	1 L	11	£ Jb	__
(в)	если существует функция из Л на В, то Д<Х
3*. Пусть Л2£Л1£Л и Л - А?. Доказать, что Л - Л}.
4.	Доказать, что если Л<Д и 5<И, то Д=Д {теорема Канто-
ра—Бернштейна).
5.	Доказать, что:
(а)	всякое подмножество конечного множества конечно;
(б)	объединение конечного числа конечных множеств конечно;
(в)	прямое произведение конечного числа конечных множеств ко-
нечно.
6.	(а) Доказать, что конечное множество не эквивалентно никако-
му своему собственному подмножеству и никакому собственному над-
множеству.
(б)	Доказать, что два конечных множества эквивалентны тогда и
только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов.
(в)	Доказать, что кардинальных чисел бесконечно много.
7.	Доказать, что из всякого бесконечного множества можно вы-
делить счетное подмножество.
8.	Доказать, что множество тогда и только тогда бесконечно, когда
оно эквивалентно некоторому собственному подмножеству.
9.	Показать, что всякое подмножество счетного множества счетно
или конечно.
10.	(а) Пусть область определения функции счетна. Доказать, что
область значений этой функции конечна или счетна.
§ 4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
33
(б) Доказать, что непустое множество А является счетным или
конечным тогда и только тогда, когда оно есть множество значений
некоторой функции из в А,
11.	Доказать, что если из счетного множества удалить конечное
подмножество, то оставшееся множество будет счетным.
12.	Доказать, что:
(а)	если АиВ счетны, то AUB счетно;
(б)	если все А. конечны, непусты и попарно не пересекаются, то
U Л. счетно;
1
(в)	если все Л. счетны, то U А. счетно.
‘	ie«/F 1
13.	Доказать, что:
(а)	если А бесконечно и В — конечное или счетное множество, то
ЛОВ ~ Л;
(б)	если Л бесконечно и несчетно, В конечно или счетно, то
А\В -А.
14.	Доказать, что если Лр Ап (1<и) счетны, то счетно мно-
жество Л, х...хЛ .
1	п
15.	Доказать, что:
(а)	множество целых чисел счетно;
(б)	множество рациональных чисел счетно;
(в)	множество рациональных чисел сегмента [а, b ] счетно при
а<Ь;
(г)	множество пар {х, у), где х и у — рациональные числа, счетно.
16.	Доказать, что множество всех конечных последовательностей,
составленных из элементов некоторого счетного множества, есть счет-
ное множество.
17.	Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного
множества счетно.
18.	Доказать, что множество многочленов от одной переменной с
целыми коэффициентами счетно.
19.	Доказать счетность множества алгебраических чисел, т. е. чи-
сел, являющихся корнями многочленов от одной переменной с целыми
коэффициентами.
20.	Доказать, что любое множество попарно непересекающихся
открытых интервалов на действительной прямой не более чем счетно.
21*	. Доказать, что мощность любого множества попарно непересе-
кающихся букв Т на плоскости не более чем счетна.
2	И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
34
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
22.	Доказать, что если AQ3) и существует <5>0 такое, что для всех
различных элементов х, у из А справедливо lx—yl ><5, то А конечно
или счетно.
23.	Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции
на действительной оси не более чем счетно.
24.	Доказать, что:
(а)	(0,1) ~ [0, 1]- (0, 1]~ [0, 1);
(б)	[a, b]~ [с, d], гдеa<b, c<d;
(в)	[а, Ь]~ 0.
25.	Доказать, что множества точек квадрата и отрезка эквива-
лентны.
26.	Доказать, что множества точек двух окружностей эквива-
лентны.
27.	Доказать, что ~ <0т (1<п, т).
28.	Установить взаимно однозначное соответствие между точками
квадрата и плоскости.
29*. Доказать, что множество точек сегмента [0, 1 ] несчетно.
30.	Какова мощность множества иррациональных чисел?
31.	Доказать существование трансцендентных (неалгебраичес-
ких) чисел.
32.	Доказать, что объединение конечного или счетного числа мно-
жеств мощности с имеет мощность с.
33*	. Доказать, что множество всех счетных последовательностей
натуральных чисел имеет мощность с.
34.	Доказать, что:
(а)	множество всех счетных последовательностей, составленных
из 0 и 1, имеет мощность с;
(б)	с.
35.	Доказать, что:
(а)	если Л. = с для всех iGI, то Л, Х...ХЛ = с;
।	’1	п
(б)	если X = с для всех iGZ и Т= с, то А. = с.
/е/
36.	Какова мощность множества:
(а)	всех счетных последовательностей действительных чисел;
(б)	всех непрерывных функций на действительной прямой;
(в)	всех монотонных функций на действительной прямой?
§ 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
35
37.	Пусть А — счетное множество точек на действительной пря-
мой. Можно ли выбрать а так, чтобы
{х + а | xGA} Г\А = 0?
38*. Доказать, что множество действительных функций, заданных
на сегменте [0, 1 ], имеет мощность, большую с.
39.	Доказать, что мощность множества всех функций, определен-
ных на сегменте [а, b ] при а < b и разрывных хотя бы в одной точке,
больше с.
40*	. Доказать, что множество всех подмножеств Р(А) множества А
имеет мощность, большую А.
41.	Пусть А — семейство множеств такое, что для каждого мно-
жества А из А существует множество В из А, не эквивалентное ника-
кому подмножеству множества А. Доказать, что объединение всех
множеств из А не эквивалентно никакому подмножеству множества
из А.
42.	Доказать, что не существует множества, содержащего все мно-
жества.
43.	Будем говорить, что последовательность натуральных чисел
Ъ^,Ь2, ... растет быстрее, чем последовательность а , а ,..., если
а
lim = 0. Доказать, что:
п-»оо п
(а)	для каждой последовательности натуральных чисел существу-
ет последовательность, растущая быстрее ее;
(б)	если множество последовательностей А обладает свойством,
что для каждой последовательности а^, а2, ... существует последова-
тельность из А, растущая быстрее, чем а[У а2, ... то множество А не-
счетно.
§ 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пусть А иВ — линейно упорядоченные множества. Множество А
называется подобным В (символически А - В), если АпВ изоморфны
как частично упорядоченные множества.
Порядковым типом линейно упорядоченного множества А назы-
вается класс всех линейно упорядоченных множеств, подобных А, и
обозначается через И. Мощностью порядкового типа Л называется
Л. Будем считать 0 порядковым типом 0.
Обозначим через п порядковый тип множества
^п= {0,1,.
2*
36
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
где0<1< ... <п— 1 иие«Ж.Обозначимчереза>,л,?;,Лпорядковыетипы
множеств натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел и
действительных чисел соответственно с их естественным порядком.
Если а есть порядковый тип множества А, то через а* обозначим
порядковый тип множества А с двойственным порядком.
Назовем начальным отрезком, отсекаемым элементом аеА от
линейно упорядоченного множества А, множество
Аа = {х| хе А, х<а}.
Пусть а и р — порядковые типы линейно упорядоченных непересе-
кающихся множеств Л и Вс порядками <л и <в соответственно. Сум-
мой порядковых типов а м р называется порядковый тип множества
A UB с порядком <, определенным следующим образом:
х<у о (хЕЛ, уеВ) или (х, у£Л и х <л у) или (х, уев и х <д у).
Сумма порядковых типов а и/3 обозначается через а+р.
Пусть дано семейство попарно непересекающихся линейно упоря-
доченных множеств А. с порядковыми типами а. и порядками <;. соот-
ветственно, уде iei, а / линейно упорядочено отношением <у. Суммой
порядковых типов а. называется порядковый тип множества U А. с
/е/
порядком <, определенным следующим образом:
х<у <* (х, у€Л. и х <;. у для некоторого iei) или
|х£Л. ,уеА. для некоторых <у i |.
\	1	2	/
Сумма порядковых типов а обозначается через У а..
/е/
Пусть а и/3 — порядковые типы линейно упорядоченных множеств
А и В с порядками <л и <д соответственно. Произведением порядко-
вых типов аир называется порядковый тип множества А У. В с поряд-
ком <, определенным следующим образом:
(х1,у1)<(х2,у2) О (yt <яу2)или(у1=у2их1 <Лх2).
Произведение порядковых типов а и р обозначается через а  р.
Обозначим через ап выражение (... (а • а) • ... • а) (п раз).
Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются
ординальными или порядковыми числами. Если аир — порядковые
числа, то говорят, что а<р, если любое множество А порядкового типа
а изоморфно некоторому начальному отрезку множества В порядко-
вого типа Р; а<р означает, что а<р или а=р.
§ 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
37
Порядковое число а называется предельным, если а^О и
а=sup {/31 ft — порядковое число и /3 < а}.
Возведение в степень для порядковых чисел определяется следую-
щим образом:
а0 = 1,
a^+l = а^-а,
cP = зир{сЛ | |</3} для предельного порядкового числа /3.
1.	Доказать, что если линейно упорядоченные множества подобны,
то они и эквивалентны.
2.	Доказать, что любое множество А, эквивалентное линейно упо-
рядоченному множеству В, можно линейно упорядочить так, что А
станет-тюдобным В.
3.	Пусть А, В, С — линейно упорядоченные множества. Доказать,
что:
(а)	А - А (рефлексивность);
(б)	если А - В, то В - А (симметричность);
(в)	если А-ВмВ-С, то А - С (транзитивность).
4.	Пусть А и В — линейно упорядоченные множества. Доказать,
что если ~А=Б, то А=В, но обратное неверно.
5.	Доказать, что множество из п элементов можно линейно упоря-
дочить л! способами.
6.	Доказать, что все конечные линейно упорядоченные множества
одинаковой мощности подобны между собой.
7.	Доказать, что для бесконечных множеств утверждение преды-
дущей задачи неверно.
8.	Доказать, что линейно упорядоченные множества подобны тог-
да и только тогда, когда между ними существует взаимно однозначное
соответствие, являющееся монотонным отображением.
9.	Доказать, что для любого линейно упорядоченного множества А
и любых а, Ь€=А:
(а)	af£A ;
а
(б)	если а — наименьший элемент А, то Аа = 0;
(в)	Аа — линейно упорядоченное множество;
(г)	если а< Ь, то (А^)а = Аа.
10.	Доказать, что множество всех отрезков линейно упорядоченно-
го множества А, упорядоченное отношением включения, подобно Л.
38
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
11-	Доказать, что бесконечное линейно упорядоченное множество
А имеет порядковый тип и> тогда и только тогда, когда оно удовлетво-
ряет следующим условиям:
(а)	в А имеется наименьший элемент а0;
(б)	для любого а€=А существует точная нижняя грань а' в множест-
ве {х | а<х, хвЛ} (а' называется непосредственно следующим за а);
(в)	для любого подмножества X множества А из того, что а^Х и
X содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следу-
ющий за ним элемент, следует, что Х=А.
12.	Доказать, что бесконечное линейно упорядоченное множество
имеет порядковый тип ш тогда и только тогда, когда все его начальные
отрезки конечны.
13*. Доказать, что любое счетное линейно упорядоченное мно-
жество А имеет порядковый тип tj тогда и только тогда, когда А удов-
летворяет следующим условиям:
(а)	в А нет наименьшего и наибольшего элементов;
(б)	для любых х, увЛ таких, что х<у, существует z&A такой, что
x<z<y (такой порядок называется плотным).
14*. Доказать, что всякое счетное линейно упорядоченное мно-
жество подобно некоторому подмножеству множества 2 рациональ-
ных чисел.
15 . Пусть Л — линейно упорядоченное множество, содержащее не
менее двух элементов, В = ЛиЛ2и...иЛ"и... Положим для любых
х1,...,хп,у1,...,утел (1<п,т)
<х1,...,хп><(у1,...,ут} о (н<тих1=у1,...,хп=уп)или
(х^Ур ..., х^^у^р х.<у. для некоторого /<л и i<m).
Доказать, что:
(а)	< есть линейный порядок на В;
(б)	любое счетное линейно упорядоченное множество подобно не-
которому подмножеству множества В.
16. Доказать, что порядковый тип любого интервала (не сегмента)
действительных чисел есть Я.
17*. Подмножество В линейно упорядоченного множества Л с по-
рядком < называется плотным в Л, если для любых а{, е Л сущест-
вует Ье.В такое, что а1<Ь<а2 или «2<й<ар Доказать, что если Л
содержит счетное плотное в Л подмножество, то Л подобно некоторому
§ 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
39
подмножеству множества действительных чисел Я) с естественным по-
рядком.
18.	Показать, что (а*)*=а для любого порядкового типа а.
19.	Показать, что л* = л, rf = rj, X* = А, со* со.
20.	Доказать, что:
(а)	для любых порядковых типов а и /3 существуют и однозначно
определены порядковые типы a+fi и а •(};
(б)	для любого линейно упорядоченного множества I и любого
семейства порядковых типов существует и однозначно опреде-
лен порядковый тип а..
i&i
21.	Привести пример порядковых типов а и/3 таких, что
а+/3#/3+а.
22.	Доказать, что:
(а)	а + (/3 + у) = (а + /3) + у;
(б)	а + 0 = 0 + а = а;
(в)	2 + 3 = 5;
(г)	1 + со = со, носи + 1 # со\
(д)	со* + со = л;
(е)	tj + tj = т]-,
(ж)	А + 1 + А = А;
(з)	А + А
(и)	1 + А + 1 есть порядковый тип сегмента [а, b ] при а<Ь.
23.	Привести пример порядковых типов а и/3 таких, что
а • /3 # /3 • а.
24.	Доказать, что:
(a)	a-Q3-y) = (a-/3)-y;
(б)сг0 = 0а = 0;
(в)	а-1 = 1 -а = а;
(г)	2-2 = 4;
(д)	т)2 = Т)',
(е)	co-tj & co-(tj + l).
25.	Построить множества порядковых типов со2, со3, со4, ...
26.	(а) Доказать, что для любых порядковых типов a, fl и у
ст(/3+у) = a-fl+a-y.
(б) Привести пример порядковых типов а, fl и у таких, что
(a+fl)-y & a-y+fl-y.
40
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
27.	Пусть J и I — линейно упорядоченные множества, {^}-67 —
семейство попарно непересекающихся _подмножеств множества J
такое, что U В. = J. Доказать, что если J = V В., то для любого се-
1	ie/
мейства порядковых чисел имеем а. = 2 ( 2 «/)•
/6J	/е/ ' /ев.
28.	Доказать, что a -fi =	а^, где = а для всех Ъ^.В иВ=^.
Ьев
29. Доказать, что:
(а) (а + /3)* = Д* + а*;
(б) (а-/3)* = а*-£*;
где I — линейно упорядоченное множество,
а 7* есть множество I с двойственным порядком.
30.	Доказать, что:
(а)	всякое конечное линейно упорядоченное множество вполне
упорядочено;
(б)	множество «Ж, где 0< 1 <2<..., вполне упорядочено;
(в)	множество «/F, где 0<2<4<...<1<3<5<..., вполне упорядо-
чено;
(г)	множество «Ж, где ...<3<2<1<0, не является вполне упорядо-
ченным.
31.	Являются ли вполне упорядоченными следующие множества:
(а)	множество g целых чисел с их естественным порядком;
(б)	множество 2 рациональных чисел с обычным порядком <;
(в)	множество действительных чисел с обычным порядком <;
(г)	множество чисел вида 1 — где п — положительное целое
число, с обычным порядком <?
32.	Доказать, что:
(а)	всякое непустое вполне упорядоченное множество имеет
наименьший элемент;
(б)	каждое подмножество вполне упорядоченного множества
вполне упорядочено.
33.	Доказать, что если А ~ В и А вполне упорядочено, то В можно
вполне упорядочить так, чтобы было А* В.
34.	Показать, что если А — вполне упорядоченное множество, то у
каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непос-
редственно следующий за ним элемент (см. задачу 11).
§ 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
41
35.	Можно ли во вполне упорядоченном множестве выделить бес-
конечную убывающую цепь элементов >х2>х3>... ?
36.	Доказать, что линейно упорядоченное множество вполне упо-
рядочено торда и только тогда, когда оно не содержит подмножества
типа а)*.
37.	Пусть Л — вполне упорядоченное множество. Доказать, что не
существует такого монотонного взаимно однозначного соответствия
/: А^А, чтобы для некоторого элемента aGA было/(а)<а.
38.	Доказать, что вполне упорядоченное множество не может быть
подобным своему отрезку или части своего отрезка.
39.	Доказать, что два различных отрезка вполне упорядоченного
множества не могут быть подобными.
40.	Доказать, что существует не более одного изоморфизма двух
вполне упорядоченных множеств.
41*	. Доказать, что из двух вполне упорядоченных множеств одно
подобно другому или его отрезку.
42.	Доказать, что линейно упорядоченное множество конечно тог-
да и только тогда, когда оно вполне упорядочено относительно задан-
ного и относительно двойственного порядков.
43.	Пусть А — вполне упорядоченное множество, BGA и для любо-
го элемента xGA множество Б удовлетворяет условию: если AxQB, то
xGB. Доказать, что5=Л (принцип трансфинитной индукции).
44.	Пусть a, ft — произвольные порядковые числа. Доказать, что:
(а)	а<ф или fi<a или а = /3;
(б)	из указанных выше условий выполняется для а и /3 лишь одно.
45.	Пусть Wa ={/3| /3<а}, где а и/3— порядковые числа. Показать,
что W =а.
а
46.	Доказать, что всякое множество порядковых чисел вполне упо-
рядочено.
47.	Доказать, что для любого множества порядковых чисел 8:
(а)	существует порядковое число, большее всех чисел из 8;
(б)	среди порядковых чисел, не принадлежащих множеству 8, су-
ществует наименьшее.
48.	Доказать, что не существует множества, содержащего все по-
рядковые числа.
49.	Доказать, что а+1 есть порядковое число, непосредственно
следующее за а (см. задачу 11).
50.	Доказать, что для любого порядкового числа а имеет место
одно и только одно из утверждений:
1)	а=0;
42
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
2)	множество {Р | /3 — порядковое число иуЗса} имеет максималь-
ный элемент;
3)	а — предельное порядковое число.
51*. Доказать, что любое порядковое число представимо в виде
а+л, где а есть предельное порядковое число или 0, п — натуральное
число.
52.	Доказать, что:
(а)	сумма двух порядковых чисел есть порядковое число;
(б)	произведение двух порядковых чисел есть порядковое число;
(в)	упорядоченная сумма порядковых чисел, где множество ин-
дексов вполне упорядочено, есть порядковое число.
53.	Пусть I и {A}fe/ линейно упорядочены. Доказать, что если
А * 0, А. есть порядковое число, тоI и все А. вполне упорядочены.
/е/
54.	Доказать, что:	_ _
(а)	если АиВ вполне упорядочены и AQB, то А <В;
(б)	а < а + у, ot<y+ot;
(в)	а < р о у + а < у + Р;
(г)	а < р => а + у < р + у\
(д)	у + а = у + р => а = (3;
(е)	а + у < р + у => а < р.
55.	Привести пример порядковых чисел а, р и у таких, что
а Р и а + у = р + у.
56.	Доказать, что:
(а)	а < р => а-у < р-у;
(б)	а<р => уа<у-р, еслиу^О;
(в)	уа<у-р => а<Р;
(г)	уа=у-р => а=р, еслиу^О;
(д)	а-у<р-у => а<р.
57.	Пустьр<а. Порядковое число у называется разностью а иР и
обозначается через а ~р, если а =Р+у.
Доказать, что:
(а)	а — р существует и единственно;
(б)	у < j3 < а — у<а-у;
(в)	у < р <а => а — р < а — у;
<г) р < а => у (а — Р) — у а — у-р.
58.	Доказать, что:
(а) если а + р = «э+ А иР <р то а. <а •
X X X 1	IX
(б)* если у«*р, то существуют и единственны такие дне, что
д<а, е<Р и у = а-е + <5;
(в) если/?>0, то для любого а существуют и единственны такие у и
<3, чтод<р на = р-у + д (теорема о делении с остатком).
§ 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
43
59.	Доказать, что для любых порядковых чисел aQ и а^, если ао^О
и а1 * 0, то существуют натуральное число п и порядковые числа
«п, ...,а ,В В., ..., В такие, что а, >«,>...>« >0 и
2’	’ n’rl’r2’ ’гп ’12 п
а=а,-В,+а.,, а,=а--В-+а,,.... а .=а -В ,+а , а =а -В
0	1 Г1 2’ 1	2 г2 3’	’ п-2 п-1 “п—1	п’ п-1 п гп.
(алгоритм Евклида).
60.	Пусть свойство Р таково, что для любого ординального числа а
из того, что все ординальные числа(3<а обладают свойством Р, следу-
ет, что а обладает свойством Р. Доказать, что все ординальные числа
обладают свойством Р (принцип трансфинитной индукции для орди-
нальных чисел).
61.	Доказать, что для любых порядковых чисел « и/3 существует и
в
единственно а
62.	Построить множество порядкового типа шш.
63*. Доказать, что:
(а)	еслиасуЗ иу>1, тоу“<у^;
(б)	а^+7=а^ -а7;
(в)	(а@У=а@'7.
64*. Доказать, что:
(а)	если w7 = а + /3 иуЗ^О, тоуЗ = ш7;
(б)	еслиа>1 иуЗ>1, тоа^>а-уЗ;
(в)	еслиа>1 и/?>1, то существуют и однозначно определены £, у и
д такие, что
/$=сЛ-у+<5 и у<а, <5<сЛ;
(г)	если у>1 и 1<а<у^, то существуют натуральное число п и
такие последовательности порядковых чисел уЗ(, /?2, ..., /3^ и <5 , <32,...
..., <5 , что
’ п
<* = у^ А + у^а +...+ /п-рп,
д>д{>д2>...>дп и 0<уЗ(.<у для z = 1, 2, ...
65 . Множество Я называется транзитивным, если отношение
X<Y о (Х= У или Х& Y)
вполне упорядочивает Ж, 0ЕЯ и если из ХЕ У, УЕЙ следует ХЕЙ.
Доказать, что для любого порядкового числа «>0 существует и
единственно транзитивное множество, упорядоченное по типу а.
44
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
66*. Следующее утверждение называется аксиомой выбора.
(1)	Аксиома выбора. Пусть X — непустое множество для любого
аЕА. Тогда существует функция выбора f: А-* U X такая, что
аел а
f(a)E.Xa для любого а£А.
Доказать, что каждое из следующих утверждений эквивалентно
аксиоме выбора.
(2)	Лемма Цорна. Частично упорядоченное множество, каждое из
линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю грань,
содержит максимальный элемент.
(3)	Принцип максимальности Куратовского—Хаусдорфа. Каж-
дая цепь частично упорядоченного множества содержится в некото-
рой максимальной цепи.
(4)	Аксиома Цермело. Для любого семейства Я непустых попарно
непересекающихся множеств существует такое множество С, что
АПС для каждого АЕЯ состоит ровно из одной точки.
(5)	Теорема Цермело. Каждое множество можно вполне упоря-
дочить.
(6)	Лемма Тейхмюллера—Тьюки. Каждое семейство множеств,
имеющее конечный характер, обладает максимальным элементом.
(Семейство Я множеств имеет конечный характер, если оно удовлет-
воряет условию: Х&5. о каждое конечное подмножество множества
X принадлежит 3.)
67. Пусть А — частично упорядоченное множество, в котором
каждая цепь имеет верхнюю грань, и аЕА. Доказать, что существует
максимальный элемент тЕА такой, что т>а.
68. Пусть А — множество подмножеств множества В такое, что для
каждой цепи С (порядок по включению) объединение множеств из С
принадлежит А. Доказать, что тогда А имеет максимальный элемент.
69*. Доказать, что для всякого частичного порядка R на множестве
А существует линейный порядок L на множестве А такой, что RQL.
§ 6. ДЕЙСТВИЯ НАД КАРДИНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Кардинальное число m называется суммой кардинальных чисел
П] и п2и обозначается через п( +п2, если каждое множество мощности
m эквивалентно объединению двух непересекающихся множеств
мощностей и п2> Аналогично, кардинальное число m называет-
ся суммой кардинальных чисел n (z'S/) и обозначается через
§ 6. ДЕЙСТВИЯ НАД КАРДИНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
45
m = У п., если каждое множество мощности m эквивалентно U А.,
i<El ‘	ieJ
где А. = п. и все А. попарно не пересекаются.
Кардинальное число m называется произведением кардинальных
чисел п( и п2 и обозначается через если каждое множество
мощности m эквивалентно АхВ, где А и В имеют мощности Пр п2.
Аналогично, кардинальное число m называется произведением кар-
динальных чисел П(. (гЕТ) и обозначается m =	п., если каждое мно-
_ i&
жество мощности m эквивалентно А, где Z. = п..
tel
Кардинальное число m называется степенью кардинальных чисел
п( и п2 и обозначается через п^з, если каждое множество мощности m
эквивалентно Ав, где Аи В имеют мощности n j и п2>
1.	Доказать, что для произвольных мощностей тип выполняется
одно и только одно из условий m=n, men или n<m (трихотомия).
2.	Доказать, что кардинальные числа линейно упорядочены отно-
шением <.
3.	Доказать, что среди кардинальных чисел нет наибольшего.
4.	Доказать, что:
(а)	3 + 5 = 8;
(б)	п + Ко = Ко, где п конечное;
(в)	Ко + Ко = Ro;
(г)	Ко + с = с;
(д)	с + с = с.
5.	Доказать, что:
(а)	для любых множеств Ар А^ существуют множества В^ В^ та-
кие, что А. - В , А, - В- и В ПВ~ = 0;
1 IX XIX
(б)	сумма двух кардинальных чисел всегда существует.
6.	Доказать для произвольных кардинальных чисел:
(а)	П[+ n2 = n2+ nt;
(б)	nt+ (n2+ n3) = (nj + п2) + п3;
(в)	п + 0 = п.
7.	Пусть А, В, С, Aj, ..., Ап — конечные множества. Доказать, что:
(a)	JOB = А + В - ДТТВ;
46
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(б)	ЛиДиС = Я + ~В + С - ДЛД - Л7Й7 - гто + ЛЛДпС;
-п п _	п ____________
(в)	d( U а\ Я. + ... + (-1)*	2 А С\...С\А + ...;
i=l	/	/ =1 1	*
Г *
'Л-Ч
(г)	Л~ГДГ1~ТТ = У Я. +... +(-2/"1 У ЛГ’ПТ.ПЯ.’ +...
12	п £-t i	'	' £-ii	i
1=1	fp...,z =1 1	*
i <...<i
1 к
8.	(а) Доказать, что n<m => n+l<m.
(б)	Привести пример таких кардинальных чисел пит, что
n+l<m, нот<п.
9.	Доказать, что n<m тогда и только тогда, когда существует
такое, что п + ^ = т. Показать, что такое определяется не одно-
значно.
10.	Доказать, что:
(а) 3-5 = 15;
<б>%Л = *<г
(в)К0-с = с;
(г) с • с = с.
11.	Доказать, что:
(а)	если А - В и С - D, то АхС ~ BXD;
(б)	произведение двух кардинальных чисел всегда существует.
12.	Доказать для произвольных кардинальных чисел:
(alrij п2 = п^Пр
(6)n1(n2-n3) = (n1-n2)n3;
(в)	nf(n2+ n3) = (nj-n^+^-ng);
(г)	п • 1 = п;
(д)	п-0 = 0;
(е)* п• m = п, если m — конечное, ап — бесконечное кардиналь-
ное число;
(ж)* п • }<0 = п, если п — бесконечное кардинальное число.
13*. Доказать, что п2 = п, если п — бесконечное кардинальное
число.
14.	Доказать, что если пит — кардинальные числа и одно из них
бесконечно, то п т = п + т = тах(п, т), если п^Ои т^О.
15.	Доказать, что:
(а)	2Ко = с;
§ 6. ДЕЙСТВИЯ НАД КАРДИНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
47
(б)	ф = с;
(в)	Л = с.
16.	Доказать, что для двух кардинальных чисел пит всегда су-
ществует пт
17.	Доказать для произвольных кардинальных чисел т, пир:
(а)	тп+р = тп тр;
(б)	(т-п)р = тр-пр;
(в)	(тп)р = тп р;
(г)	т1 = т;
(Д) 1т = 1.
 "Т
18.	Доказать, что Р(А) = 2 .
19.	Доказать для произвольных кардинальных чисел:
(а)	если m<n и п<р, то ш<р;
(б)	если m<n, то m+p<n+p;
(в)	если m<n, то m p<n p;
(г)	если m<n, то mp<np;
(д)	если m<n, то pm<pn;
(е)	если т, п>1, то m+n<m n;
(ж)	m+n = п тогда и только тогда, когда KQ m<n;
(з)	если n+m = п и п{ >п, то +m =	;
(и)	n + m = n тогда и только тогда, когда n+^-m = п (£е»Ж, £>0);
(к)	n + m = п тогда и только тогда, когда n+Ko m = п;
(л)	m<2m.
20.	Доказать для произвольных кардинальных чисел:
(а)	если 2т>К0, то 2т>2^о;
(б)	если mn = Ко, то m = Ко, а п конечное.
21.	Доказать для произвольных кардинальных чисел:
(а)	если п>К0, то 2п=пп;
(б)	если l<m<n, KQ<n, то тп=пп.
22.	Доказать для произвольных кардинальных чисел:
(а)	если7=т, п,=п для всех i&I, то m n= V п
I	I
IGI
(б)	еслит+р=п+рирконечно, тоm=n;
(в)	если 2 -п =2*п2, то nj=n2.
F
48
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
23. Доказать, что
m
тпг < V л..
I	I
«е/ iez
24.	(а) Пусть {m.} (zGZ) — семейство кардинальных чисел, причем
= 0 для i&JQI. Доказать, что
m
2mi= Z mr
iei iei\j
(б)	Пусть {m.} (z’GZ) — семейство кардинальных чисел, причем
= 1 для i&JQI. Доказать, что
11 mr
iez iezv
(в)	Доказать, что J~J пт= 0 тогда и только тогда, когда существует
iez
ЛЕ/такое, что m. = 0.
О	I
о
25.	Доказать, что если <р — подстановка на множестве I, то:
(а) V m = V щ •
I	<p(iy
iej	iei
(б)Пя<=Пт<
iEJ	i€I
26.	Пусть	есть разбиение множества J на непустые попар-
но непересекающиеся множества. Доказать, что:
(a)S mi = S (2 m,);
iez iez. ieA^
(б)ГИяП(тк)-
iez Лег
27.	Доказать, что:
(а)н-у (п-т() = У (n-m.);
iez	iez
<б)П(2m,y) =2 Пгп,/(,)’гдсК=П<-
fez jej. feK i&i	iei
28.	Доказать, что если пт < П(. для всех ?Е/, то:
(а) у т. < У п.;
iez iez
§ 6. ДЕЙСТВИЯ НАД КАРДИНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
49
(б)П «П( пг
i^I i£I
29.	Пусть JQI. Доказать, что:
(а)	т. <	т.;
iez	iez
(б)	Пт< PJ т(., где т>0 для z£Z\J.
iez	iez
30*. Пусть {т.} /е/ и {п } ; — два семейства кардинальных чисел и
П(.>2 для всех IGJ. Доказать, что:
(а)	если для всех z£Z, то У т(. < П п(-!
iez	iez
(б)	если т(.<п(. для всех z£Z, то У пт <	п..
iez	zez
31.	Пусть0<m0<m1<... Доказать, что у mn с П т„-
пе.тК
32.	Пусть п>5<0, {п.}(.е/ — семейство кардинальных чисел, не пре-
восходящих п, 7<п. Доказать, что У п. < п.
iez
33.	Пусть а и р — кардинальные числа, 1—Р и а.=а для каждого
zEZ. Доказать, чтоа..
te/
34.	Доказать, что:
(2>.) „
(a) m ,е/ = mn<;
iez
<б) (Пт,)п= Пт"-
iez iez
35.	Доказать, что для любого кардинального числа m нельзя пред-
ставить m о в виде > т„ гдет.<т.
Ла i	i z+1
ЧАСТЬ II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
§ 1. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы
этого множества называются символами данного алфавита. Словом в
алфавите 6 называется произвольная конечная (возможно, пустая)
последовательность символов из б. Произведением слов А и В называ-
ется слово АВ. Слово В называется подсловом слова А, если А = CBD
для некоторых слов С и D. Слово В может входить как подслово в слово
А несколько раз. Результатом замены данного вхождения подсдова
В в слово CBD на слово Е называется слово CED.
Результатом подстановки А(а\В) в слово А слова В вместо сим-
вола а называется слово, полученное одновременной заменой всех
вхождений символа а в слово А на слово В. Через
...
обозначается результат одновременной подстановки в А формулы В{
вместо йр ... формулы Вп вместо ап.
Рассмотрим алфавит б = 6jU62U63, где
6 ={Р Р Р ...}, 6	&, V, □}, 6 ={(,)}.
1	V 1 X	it	U
Символы из 6[ называются переменными высказываниями или про-
позициональными переменными. Символы из 62 называются логи-
ческими связками. Связка-i называется отрицанием,&—конъюнкци-
ей, v —дизъюнкцией, D —импликацией. Скобки из 63 называются
вспомогательными символами.
Понятие формулы алгебры высказываний определяется следую-
щим образом:
1)	пропозициональная переменная есть формула;
2)	если А нВ — формулы, то nA, (А&В), (AvB), (ADB) — формулы;
3)	других формул, кроме построенных по пп. 1,2, нет.
Подформулой формулы А называется любое подслово слова А,
которое само является формулой.
В §§ 1-3 будут использоваться буквы Р, Q,..., возможно, с индек-
сами, для обозначения произвольных пропозициональных перемен-
ных, а буквы А, В, С, ...—для обозначения формул.
Будем обозначать формулу ((ADB)&(BDA)) через (А = В).
§ 1. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
51
Будем интерпретировать логические связки как функции, опреде-
ленные на множестве {и, л} (истина, ложь), со значениями в этом же
множестве следующим образом.
Отрицание: пи = л, пл = и.
Конъюнкция: и&и = и, и&л = л&и = л&л = л.
Дизъюнкция: иуи = иул = луи = и, лул = л.
Импликация: иЭи = лЭи = л D л = и, иЭл = л.
Тогда каждая формула будет интерпретироваться как функция,
определенная на множестве {и, л}, со значениями в этом же множест-
ве, полученная из п, &, v, D по правилам построения данной форму-
лы. Такую функцию будем также называть таблицей истинности
данной формулы. Значением формулы А при данных значениях пере-
менных в множестве {и, л} называется значение функции, соответст-
вующей формуле А, при этих значениях переменных.
Формулы Ан В называются эквивалентными (обозначается через
А ~ В), если при любых значениях переменных значение А совпадает
со значением В. Формула называется выполнимой (опровержимой),
если существует такой набор значений переменных, при которых эта
формула принимает значение и (л). Формула называется тождест-
венно истинной или тавтологией (тождественно ложной или про-
тиворечием), если эта формула принимает значение и (л) при всех
значениях переменных.
Пусть	— формулы (п > 1). Будем называть конъюнкци-
ей формул А1,...,А формулу (...(Л1&Л2)...&А,) и обозначать ее
через (Л1&А2&...&Ап). Будем называть дизъюнкцией формул А ,
А2, ..., А^ формулу (...(Xj v Л2)...у А") и обозначать ее через
(Л, v A. V...VA ).
V 1	2 п'
Формула, которая есть пропозициональная переменная или от-
рицание переменной, называется литералом. Произвольная конъ-
юнкция литералов называется конъюнктом или элементарной
конъюнкцией', произвольная дизъюнкция литералов называется
дизъюнктом или элементарной дизъюнкцией.
Дизъюнктивной нормальной формой (д.н.ф.) называется произ-
вольная дизъюнкция конъюнктов, а конъюнктивной нормальной
формой (к.н.ф.) —произвольная конъюнкция дизъюнктов.
Д.н.ф. (к.н.ф.) А называется совершенной и обозначается с.д.н.ф.
(с.к.н.ф.), если каждая переменная формулы А входит с отрицанием
или без отрицания в каждый конъюнкт (дизъюнкт) точно один раз.
Д.н.ф. (к.н.ф., с.д.н.ф., с.к.н.ф.), эквивалентная данной форму-
ле Л, называется с.д.н.ф. (к.н.ф., с.д.н.ф., с.к.н.ф.) формулы Л.
52
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
1.	Определить, является ли данная последовательность формулой:
(a)	(Р^Р^Р?
(б)	(PQ&J>^P2,
(в)	(jP^PJ^PJ;
(Г) (((пР^ЭРрЭпСР^Рз)).
2.	Сколькими способами можно расставить скобки в последова-
тельности, чтобы получилась формула:
(a)	P0D-1P1vP2&P0;
(б)	P^P^P^iP^iP^
3.	Выписать все подформулы формулы:
(а)	(((Р0ЭР1)&(Р2ЭР3))Э(пР1УР3));
(б)	((Р0ЭР1)Э((Р0Э-1Р1)ЭпР1)).
4.	Доказать, что всякая формула С, не являющаяся пропозици-
ональной переменной, может быть представлена в одном из следу-
ющих видов: пЛ, (Л &Р), (Av В), (А^ЭВ) для некоторых формул Ап В.
5.	Доказать, что результат замены некоторого вхождения форму-
лы С в формулу А вместо подформулы В снова есть формула.
6.	Доказать, что результат подстановки А(Р\В) формулы В вместо
пропозициональной переменной Р в формулу А снова есть формула.
7.	Построить таблицы истинности для следующих формул:
(a)	((PDQ)V(PD(Q&P)));
(б)	(-1(PD->(Q&P))D(PVP));
(в)	((Р&(еэР))ЭпР);
(г)	(((P&-1Q)DQ)D(PDQ));
(д)	((PD(QDP))D((PDQ)D(PDP)));
(е)	((P&(Qv-iP))&((-iQDP)vQ)).
8.	Доказать выполнимость формул:
(a)	n(PD-,P);
(б)	((PDQp(QZ)P));
(в)	((QD(P&P))&-1((PvP)DQ)).
9.	Доказать тождественную истинность формул:
'(a) ((PDQ)v(QDP));
(б) ((PDQ)v(PD-iQ));
‘(в) (PD(QD(P&Q)));
(г)	((PDQ)D((QD/?)D(PDP)));
(д)	((-iPD-iQ)D(QDP));
(е)	(PD(QDP)).;
(ж)	(PvnP);
§ 1. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
53
(3)	((PDQ)D((PD(QDP)p(PDP)));
(и)	((P&Q)DP);
(к)	((P&Q)DQ);
(л)	(PD(PvQ));
(м) (QD(PVQ));
(н) ((PDP)D((QDP)D((PVQ)DP)));
(о) ((PDQ)D((PD-1Q)D-1P));
(п) (ппРЭР);
(р) (PDnnP);
(с) ((-iQD-iP)D((-iQDP)DQ));
(т) ((PvP)DP);
(у) ((QDP)D((PvQp(PvP)));
	(ф) (((PDQpPpP);
	(х) (nPD(PDQ)).
10.	При каких значениях переменных X, Y, Z, U, V, W ложны
следующие формулы :
(a)	(((XD(y&Z))D(nlO-1X))D-1y);
(б)	((^&y)v(X&Z)v(y&Z)v(t/&V)v(t/&H/)v(y&W/)v(nX&-110);
(в)	(((Xvy)vZ)D((Xvy)&(XvZ)));
(г)	(((Xvy)&((yvZ)&(ZvX)))D((X&y)&Z));
(д)	((ХуУрЦпХ&УХХ&пУ)))?
11.	Доказать, что если формула Л тождественно истинна, то фор-
мула А(Р\В) тождественно истинна. (Здесь Р — пропозициональная
переменная, а В — формула.)
12.	Доказать, что если формулы А и (АЭВ) тождественно истинны,
то формула В тождественно истинна.
13.	Доказать, что:
(а)	если формулы (Av В) и (iAvC) тождественно истинны, то фор-
мула (BvC) тождественно истинна;
(б)	если формулы (AvB), (АЭС), (ВЭИ) тождественно истинны, то
формула (CvD) тождественно истинна;
(в)	если формулы (tAvB), (iCv-iB) тождественно истинны, то
формула (АЭ-iB) тождественно истинна.
14.	Доказать, что
А - В о (А = В).
15.	Доказать, что:
(а)	А - А;
(б)	А - В => В ~ А;
(в)	(А-В иВ~С)=>А~С.
54
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
16.	Доказать, что из Xj ~ Х2 и В} ~ В2 следует:
(a)	-iXj —iX2;
(б)	(Х1851)~(Х2852);
(в)	(XjV/9 ~ (X2vB2);
17.	Доказать, что если А ~ В, то А(Р\С) ~ В(Р\С) для любых фор-
мул А, В и С и переменной Р.
18.	Доказать, что если В ~ В{ и Xt есть результат замены неко-
торого вхождения подформулы В в формулу А на формулу В^, то
А - Аг
19.	Доказать эквивалентности:
(а)	(Р8Р) - Р;
(б)	(P8Q) ~ (Q8P);
(в)	(P8(Q85)) ~ ((P8Q)85);
(г)	(P8(Qv5)) ~ ((P8Q)v(P85));
(д)	(P8(QvP)) ~ Р;
(е)	(PvP) ~ Р;
(ж)	(PvQ) - (QvP);
(з)	(Pv(QvP)) ~ ((PvQ)vP);
(и)	(PV(Q&P)) ~ ((PvQ)8(Pv5));
(к)	(Pv(Q&P)) ~ Р.
20.	Доказать эквивалентности:
(а)	-г,А ~ А;
(б)	(ХЭ5) - (iXv5);
(в)	п(Х85) - (nXvnP);
(г)	п(ХЭ5) - (Х8п5);
(д)	n(Xv5) - (-1X8-15);
(е)	(X8(5v-i5)) - X;
(ж)	(Xv(58n5)) ~ X;
(з)	(XD-iX) - пХ;
(и)	((Xv5)8(XvC)8(5v£))8(CvZ))) ~ ((X8D)v(58C));
(к)	(X&(XvC) &(5vC)) ~ ((X&D)v(5&C));
(л)	((Xv5)8(5vC)8(CvX)) - ((X85)v(58C)v(C8X));
(м) ((Xv5)8(5vC)8(Cvn)) ~ ((X8C)v(58C)v(58B));
(н) ((Xv5vC)8(5vCv£))8(CvZ)vX)) - ((X85)v(X8D)v(58D)vC);
(о)	((Xv5)8(Xv-i5)) - X;
(n) ((X85)v((Xv5)8(-iXv-i5))) ~ (Xv5);
(p)	(XV(nX&5)) ~ (XV5).
21.	Доказать, что:
(a)	(X s X) ~ (5 = 5);
§ 1. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
55
(б)	(A s (В = С)) ~ ((Л s В) = С);
(в)	(Л = В) ~ (В == Л).
22.	Доказать, что для любой формулы существует эквивалентная
ей формула с тесными отрицаниями, т. е. формула, в которой нет
символа Э и отрицания относятся только к пропозициональным пере-
менным.
23.	Доказать, что для любой формулы существует эквивалент-
ная ей:
(а)	конъюнктивная нормальная форма;
(б)	дизъюнктивная нормальная форма.
24.	Привести к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным
формам:
(a)	(((PDQ)D(BD-.P))D(-,QD-1B));
(б)
(в)	((рэ(сэ/?))э((рэ-1л)э(рэ-1е))).
25.	Доказать, что если Л есть тождественно истинная к.н.ф., то для
любого дизъюнкта формулы Л существует переменная Р такая, что Р и
-1Р входят в этот дизъюнкт.
26.	Доказать, что если Л есть тождественно ложная д.н.ф., то для
любого конъюнкта формулы Л существует переменная Р такая, что Р
и -1Р входят в этот конъюнкт.
27.	Пусть Л—формула с тесными отрицаниями (см. задачу 22) и
Л1 получается из Л заменой & на v , v на & и переменных А. на чА..
Доказать, что Л1 —iA.
28*	. Пусть Л и В — формулы с тесными отрицаниями (см. зада-
чу 22) и Л , В*— формулы, двойственные к Л и В соответственно (Л*
получается из Л заменой & на v, v на &). Доказать, что из Л - В
следует Л* — В* (закон двойственности).
29.	По данному набору значений переменных построить конъ-
юнкт, истинный только для этого набора значений переменных. (На-
зовем такую формулу конъюнктом, соответствующим данному
набору значений переменных.)
30.	Доказать, что всякая формула Л эквивалентна дизъюнкции
конъюнктов, соответствующих тем наборам значений переменных,
при которых данная формула истинна (см. задачу 29).
31.	(а) Доказать, что для любой выполнимой формулы существует
эквивалентная ей с.д.н.ф.
(б) Доказать, что для тождественно ложной формулы не существу-
ет эквивалентной ей с.д.н.ф.
32.	По данному набору значений переменных построить дизъ-
юнкт, ложный только для этого набора значений переменных. (Назо-
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
*6
вем такую формулу дизъюнктом, соответствующим данному
набору значений переменных.)
33.	Доказать, что всякая формула А эквивалентна конъюнкции
дизъюнктов, соответствующих тем наборам значений переменных,
при которых данная формула ложна (см. задачу 32).
34.	(а) Доказать, что для любой опровержимой формулы сущест-
вует эквивалентная ей с.к.н.ф.
(б)	Доказать, что для тождественно истинной формулы не сущест-
вует эквивалентной ей с.к.н.ф.
35.	Привести к совершенной дизъюнктивной нормальной форме,
т. е. найти с.д.н.ф., эквивалентную данной формуле:
(a)	((-iPD-iQ)D((Q&R)D(P&R)));
(б)	(((PDQ)D-.P)D(PD(G&P)));
(в)	(-i((P&Q)D-iP)&-i((P&Q)D-iQ)).
36.	Привести к совершенной конъюнктивной нормальной форме,
т. е. найти с.к.н.ф., эквивалентную данной формуле:
(a)	((PDP)D(n(GvP)DP));
(б)	(i((P&Q)DP)v(P&(QvP)));
(в)	(-1(P&(QvP))D((P&Q)vP)).
37.	Построить формулу А такую, чтобы данная формула была тож-
дественно истинной:
(а)	(((Л&е)Э-1Р)Э((РЭ-1(2)ЭД));
(б)	(((7?D(-1Q&P))DX)D(X&(PDQ)&P)).
38.	Построить формулу от трех переменных, которая истинна в
том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.
39.	Построить формулу от трех переменных, которая принимает
такое же значение, как и большинство (меньшинство) переменных.
40.	Построить формулу А от переменных Р, Q, R так, чтобы:
(а)	(Р&Л) ~ (P&Q) и (РуЛ) ~ (PvP);
(б)	(РЭЛ) - (PD(P&Q)) и (ЛЭР) ~ (n(PvQ)DP);
(в)	(РЭЛ) ~ (QD(nPvP)) и ((PDQpP) ~ (пРЭпЛ).
41.	Доказать, что формула от п переменных является тождествен-
но истинной (тождественно ложной) формулой тогда и только тогда,
когда ее с.д.н.ф. (с.к.н.ф.) содержит 2” попарно не эквивалентных
конъюнктов (дизъюнктов).
42.	Пусть формула Л записана в с.к.н.ф. Строим формулу В сле-
дующим образом:
1)	выписываем конъюнкцию дизъюнктов, не входящих в Л;
2)	меняем & на v, v на &, Р. на пР., пР. на Р..
' i	i’ i i
Доказать, что формула В—с.д.н.ф. формулы Л.
§ 2. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
57
43.	По с.к.н.ф. формулы А построить:
(а)	с.д.н.ф. А*, где А*—двойственная к А (см. задачу 28);
(б)	с.к.н.ф. формулы пЛ;
(в)	с.д.н.ф. формулы пЛ.
44.	По с.д.н.ф. формулы Л и с.д.н.ф. формулы В построить:
(а)	с.к.н.ф. и с.д.н.ф. формулы (ЛуВ);
(б)	с.к.н.ф. и с.д.н.ф. формулы (Л&В);
(в)	с.к.н.ф. и с.д.н.ф. формулы (Л ЭВ).
45*. Доказать, что формула Л от переменных Р{,..., Рк эквива-
лентна некоторой формуле, содержащей лишь &, v, э и не содер-
жащей -I, тогда и только тогда, когда в ее с.к.н.ф. отсутствует
дизъюнкт {-\Р^...\/-\Р
46*. Пусть формула Л не содержит других связок, кроме =. Дока-
зать, что Л является тождественно истинной тогда и только тогда,
когда каждая переменная входит в Л четное число раз.
47*. Пусть формула Л не содержит других связок, кроме = и п.
Доказать, что Л является тождественно истинной тогда и только тогда,
когда каждая переменная и знак отрицания входят в Л чётное число
раз.
§ 2. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Функцией алгебры логики называется любая /t-местная функция
из {0, 1} в {0, 1}. Множество всех функций алгебры логики обознача-
ется через С.
Будем говорить, что функция f {х^,..., xfl, х., х.+ р •••, х^ суще-
ственно зависит от переменной х., если существует такая последова-
тельность а,,..., а. ,, а.а из0и1,что
1	1—1 1+1’ ’ п
f(a,,...,a. .,0, а.^,, ..., а ) * f (а,, ..., а.	,,...,а).
v г ’ i-l’ ’ i+i’ ’ п/ J ' 1’	’ i-Г ’ i+l’ ’ п'
Переменные, от которых функция f (Хр . ..,хп) существенно за-
висит, называются существенными переменными для функции
/(Хр ..., хп), остальные — фиктивными. Будем отождествлять функ-
ции, из которых добавлением фиктивных переменных можно полу-
чить одну и ту же функцию.
Пусть имеется некоторое множество G функций алгебры логики.
Каждой n-местной функции f из G поставим в соответствие функ-
циональный символ f. Пусть v0, Vj , v2> • • •—счетное множество симво-
лов, называемых переменными. Определим понятие терма’.
58
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(а)	переменная есть терм;
(б)	если f — n-местная функция из G и Т^,Тп—термы, то
f (Тр Тп) — терм;
(в)	других термов нет.
Сопоставим каждой переменной Ур ... ее значение во множест-
ве {0, 1}. Определим значение терма Т при данных значениях пере-
менных:
(а)	если Т - переменная, то значение Т совпадает со значением
этой переменнс й;
(б)	если Т = f (Тр ..., Т ), а значения Тр ..., Тп есть с ,..., со-
ответственно, то значение Г есть/(ср ..., еп).
Говорим, что «-местная функция g алгебры логики представима
термом Т, если все переменные Т содержатся среди у ,у и для
любых значений переменных у,..., у значение терма Тсовпадает со
значением g(vp ..., vn). Говорим, что функция g есть суперпозиция
функций fy, если g представима термом, все функциональные
символы которого содержатся среди fp ..., f .
Система функций G называется полной, если любая функция ал-
гебры логики есть некоторая суперпозиция функций из G. Система
функций G называется независимой, если никакая функция/системы
G не представима суперпозициями функций из G\ {/}.
Класс функций G называется замкнутым, если вместе с любыми
функциями он содержит и все их суперпозиции. Замкнутый класс G
называется предполным, если G & С и G не содержится ни в каком
другом замкнутом классе, отличном от С. Независимая система
функций G называется базисом замкнутого класса К, если всякая
функция из К есть суперпозиция функции из G. Введем специальные
обозначения для основных функций алгебры логики:
О (х) = 0, 1 (х) = 1 для всех х, i (х) = х;
_ 10 при х = 1,
"1Х — [1 при х = 0;
в [ 1 при X = у = 1,
ху = х&у =
[О в остальных случаях;
[0 при х = у = 0,
xvy = 4.
[1 в остальных случаях;
(о при
[ 1 при х * у;
хЭу = ixvy, X = у =l(x+y), X I у = -l(x-y).
§ 2. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
59
Через С, обозначается класс функций, удовлетворяющих условию
f (1, 1,	1) = 1, а через CQ— класс функций, удовлетворяющих ус-
ловию /(0, 0, ..., 0) — 0. L есть класс всех линейных функций, т. е.
функций вида Xj + ... + х + в, где е е {0, 1}. D есть класс само-
двойственных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условию
/(Хр.... xn)	•••> "’Х ). Через М обозначается класс всех мо-
нотонных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условию
х <у,,...,х <у =»/(х,, ..., х ) s/(y,, ..., у ).
1 ЛГ ' п п J v 1’	' п> 1 vi’ ’ ’п’
Пусть Т — терм, представляющий некоторую функцию алгебры
логики, в записи которого встречаются только знаки &, V и п и пере-
менные йр ..., ак. Обозначим через е (Т, х) формулу теории мно-
жеств, полученную из терма Т подстановками вместо переменных
Яр ..., ак соответственно выражений х е Zp ..., х 6 Z^.
Обозначим через Z (Т) выражение, которое получается из терма
Т заменой переменных а. символами Z;, символов &, V, п — соответст-
венно символами О , U, —. При интерпретации Z^b теории множеств
символы Z{ будут обозначать подмножества универсального мно-
жества U.
1.	Показать, что каждой формуле А алгебры высказываний можно
сопоставить функцию алгебры логики так, что
А - А**'*’(А)= (л2>-
2.	Сколько имеется функций алгебры логики от п переменных?
3.	Найти все существенные переменные следующих функций:
(a)	(y&x)v(-iy&z);
(б)	(x&y)v-ix;
(в)	(xD(yDz))D((xDy)D(xDz)).
4.	Выразить с помощью суперпозиций:
(а)	& и Э через v и ч;
(б)	v и Э через & и п;
(в)	& и v через Э и п;
(г)	&, v, D, -г через I;
(д)	-I через D иО;
(е)	л через + и 1;
(ж)	v через Э.
5.	Доказать, что Ср Со, L, D и М являются различными замкну-
тыми классами, отличными от С.
60
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
6.	Доказать, что нельзя выразить с помощью суперпозиций:
(а)	-I через &, v, □ и s;
(б)	□ через &, v;
(в)* & через v, D.
7.	(а) Доказать, что для каждой функции/ (х, хр ..., х^) выполня-
ется равенство
/(х,хр = (x-f(l,x{, ..., xn)) v (ix-/(0, Хр ..., хп)).
(б)	Пусть п > i > 1. Доказать, что каждую функцию/(Хр ..., хп)
алгебры логики можно представить в виде
/ (Хр ..., X., х.+ г ..., хп) = V (Х^1 xS) -/(Ср .. г., х.+ р ..х;1),
Г i
где е. G {0, 1}, х? = чх., х* = х..
8.	Доказать полноту систем функций:
(а)	{&, v,-i};
(б)	{v,n};
(в)	{&, ч};
(г)	{D, ч}.
9.	Доказать неполноту систем функций:
(а)	{&, v, D};
(б)	{ч}.
10.	Доказать полноту систем функций:
(а)	{!};
(б)	{±} (здесь ± = n(xvy));
(в){Э,0};
(г)	{+, V, 1}.
11.	Доказать, что:
(а)	{+, •, 1} — полная система функций;
(б)	любая функция / (хр •>хп) единственным образом предста-
вима в виде:
гдее £{0,1}.
1 " к
12.	Показать, что следующие системы функций независимы:
(a)	b, S);
(б)	ь, +};
§ 2. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ	61
(В) {3,+};
(г) {=, V}.
13.	Показать полноту и независимость следующих систем функ-
ций:
(a)	{D, /},гдех/у = -i(yDx);
(б)	{О, 1,	.]}, где [х, у, z] = (y&x)v(-iy&z);
(в)	{s, v, 0}.
14.	Покажите, что s, + не составляют полной системы функций.
Выясните все возможные способы сделать эту систему полной систе-
мой независимых функций добавлением одной не более чем 2-местной
функции.
15.	Какая система из одной 2-местной функции является полной?
Найти все такие системы.
16.	Привести пример полной системы функций:
(а)	состоящей из одной 3-местной функции;
(б)	состоящей из одной n-местной функции (и>2).
17.	Доказать, что из всякой полной системы функций можно вы-
делить конечную полную подсистему.
18.	Доказать, что:
(а)	{&, Э}—базис для Ср
(б)	{&, +}—базис для Со;
(в)* {v, &, 0, 1}—базис для М;
(г)	{0, s} — базис для L;
(д)* {л, ху + Х2 + yz}—базис для D.
19.	Доказать, что классы Ср Со являются предполными классами.
20.	Доказать, что:
(а)	из всякой немонотонной функции и функций 0 и 1 можно
получить суперпозициями функцию п;
(б)	класс М является предполным классом.
21.	Доказать, что:
(а)	из всякой несамодвойсГвенной функции и функции Н можно
получить суперпозициями функций 0 и 1;
(б)	класс D является предполным классом.
22.	Доказать, что:
(а)	из всякой нелинейной функции и функций 0, 1, п можно по-
лучить суперпозициями функцию &;
(б)	класс L является предполным классом.
23.	Доказать, что любой замкнутый класс К * С содержится в не-
котором предполном классе.
62
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
24.	Доказать, что система функций полна тогда и только тогда,
когда она не содержится ни в одном из предполных классов.
25*	. Доказать, что не существует предполных классов, отличных
от Ср Со, L, D и М (теорема Э. Поста).
26.	Доказать, что всякий базис С содержит не более четырех
функций.
27.	Пусть Ги Г]— термы, представляющие некоторые функции
алгебры логики, е (Т, х) — формула теории множеств, определенная в
конце вводной части параграфа. Доказать, что :
(а)	г ((TvTj), х) о (е (7, x)V£ (Гр х));
(б)	е ((Т&Тр, х) о (е (7, х)&£ (Гр х));
(в)	£ (п7, х) о п£ (Т, х).
28.	Доказать, что в теории множеств:
(a)	Z (п7) = - Z (7), где - Z = U\Z;
(б)	Z (Ту TJ = Z (T)UZ (Tj);
(в)	Z (T&Tj) = Z (7)02(7^.
29.	Доказать, что в теории множеств
£ (7, х) о xSZ (7).
30.	Пусть функция/представима термом 7, a g—термом 7}. Дока-
зать,что:
(а)	если f (йр ..., а^ — g(a}, ..для всех ..., ак, то в теории
множеств выполняется тождество Z (7) = Z (7^;
(б)	если (/(а ,..., ak)Z)g(al,..., ак)) = 1 для всех а}, ..., ак, то в
теории множеств выполняется соотношение Z (T)QZ(Tj);
(в)	если/(йр ..., ак) = 1 для всех а[У..., ак, то в теории множеств
выполняется тождество 2 (7) = U',
(г)	если / (йр ..., ак) = 0 для всех йр ..., ак, то в теории множеств
выполняется тождество Z (7) =ь 0 .
31.	Доказать, что если функция f (а}, ..., ак) представима термом
7 и Z (7) = U для произвольных множеств Zp..., ZkQU, то
/ (<2р ..., ак) = 1 для всех Др ..., ак.
32.	На основании каких тождеств алгебры логики можно получить
Следующие теоремы теории множеств:
(a)	(X(jy)UZ = XU(yUZ);
(б)	ХПУ = УПХ;
(в)	-(ХПУ) = - XU- У;
(г)	-(-X) = X?
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
63
33.	Какие теоремы теории множеств можно получить из следу-
ющих тождеств алгебры логики:
(a)	(a&(-iavZ>))DZ> =1;
(б)	a&(avZ>) = а;
(в)	av-uz =1;
(г)	(a&Z>)D(avZ>) = 1;
(д)	а&А = Л&а;
(е)	а = a&(6v-<A);
(ж)	п(а&й) = nav-iZ>;
(з)	(a&Z>)va = а;
(и)	(а&й)&с = а&(й&с);
(к)	-i(av/>) =
(л)	av(a&Z>) = а;
(м) (avZ>)vc = av(Z>vc);
(н) а&па = О?
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Определим исчисление высказываний ИС. Рассмотрим алфавит
6 = ©1и©2ибзи©4, где ©J = {Pj,P2,	©2= {-I, &,v, Э}, ©3 =
= {(, ), ,}, ®4 = {ь}. Понятие формулы определяется, как в § 1. Сек-
венциями называются выражения следующих трех типов, где
А^,А , В —любые формулы:
Ар ..., В, где п > О («из Ар ..., Ап следует В»),
\-В	(В доказуема),
Ар ..., А^н	(система А ..., А^противоречива).
2 ,	2
1 ’ • ••’ с
Правилом вывода называется выражение вида -----------------> гДе
2р ..., Sp 2 — произвольные секвенции. 2 называется непосредст-
венным следствием 2р ..., 2^ по данному правилу вывода.
Исчисление ИС определяется следующими схемой аксиом и пра-
вилами вывода (где символы А, В, С обозначают произвольные
формулы, Гр Г2, Г3, Г — конечные последовательности формул,
возможно, пустые).
Схема аксиом: At-А.
Правила вывода:
Г нА, Г2 \-В
1 • ~г	~ (введение &);
64
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Гн(Л&Д)
• ГМ
Гь(Л&В)
Х ГМ
гм
4’ Г f(AvB)
5
' Г ь(Л v7?)
(удаление &)
(удаление &)
(введение v)
(введение v) ;
6.
Г, f(AvB), Г_, А fC, Г,, В fC
------г,.г2,г3..с3
(удаление v);
7-	гнж£> <“еде"иеЭ);
TjM, Г2ь(ЛЭ5)
8.		г—ггТя------ (удаление D);
1’ 2h
л Г, А ь z
9.	(введение п);
Г^ fA, Г2 piA
10.	--j;—р------ (сведение к противоречию);
11 ’12 н
Г, тЛ •-
1 *  г м. (удаление "О;
_ Th z
12.	(утончение);
, _ Г fA	.
13.	г ВуА (расширение);
Г Л,В,Г2нС
14.	г д л г к (перестановка);
Г,Л,ЛьС.
15.	г А (сокращение).
Аксиомой называется выражение, получающееся из схемы аксиом
подстановкой вместо символа Л конкретной формулы.
Вывод в ИС есть конечна? последовательность секвенций
Ер ..., 2^ такая, что для каждого i (l<z<£) есть либо аксиома,
либо непосредственное следствие предыдущих секвенций по прави-
лам 1-15.
Секвенция S называется выводимой (или доказуемой) в ИС, если
существует вывод в ИС, оканчивающийся секвенцией S.
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
65
Правило----£----
называется допустимым в ИС, если из вы-
водимости в ИС секвенций	следует выводимость секвен-
ции S.
Определим исчисление ИВ. Схемами аксиом исчисления ИВ явля-
ются следующие выражения:
1.	(ЛЭ(ВЭЛ));
2.	((ЛЭВ)Э((ЛЭ(ВЭС))Э(ЛЭС)));
3.	((Л&ВрЛ);
4.	((Л&ВрЯ);
5.	((ЛЭЯ)Э((ЛЭСр(ЛЭ(В&С))));
6.	(ЛЭ(Лу5));
7.	(BD(AvB))-,
8.	((ЛЭС)Г)((ВЭС)Э((Лу5)ЭС)));
9.	((ЛЭпВ)Э(ВЭ-и4));
10.	(ппЛЭЛ).
Исчисление ИВ имеет следующее правило вывода (modus ponens):
Л, (ЛЭВ)
В
Аксиомой (или вариантом схемы аксиом) называется выражение,
получаемое из данной схемы аксиом подстановкой вместо символов
Л, В и С конкретных формул. Формула Л называется непосредствен-
ным следствием формул Л и (ЛЭВ).
Выводом в ИВ называется конечная последовательность формул
Лр ..., А^ такая, что для каждого i (\<i<k) А. есть либо аксиома,
либо непосредственное следствие предыдущих формул.
Вывод из множества формул Г есть последовательность формул
Лр ;Ali такая, что для каждого i	А. есть либо аксиома,
либо одна из формул Г, либо непосредственное следствие предыдущих
формул.
Будем писать f Л (Г t-Л), если существует вывод (вывод из Г),
оканчивающийся формулой Л. Формула Л в этом случае называется
выводимой в ИВ (выводимой из Г).
Множество формул Г назовем противоречивым, если существует
формула Л такая, что Г i-A и Г к- пЛ, непротиворечивым — в противном
случае.
Г 1-Лр...,Г i-Л
Выражение вида -------г - п—- назовем допустимым в ИВ
1 ко
правилом, если в ИВ из 1-Л1,..., ьАп следует Г t-B.
Интуиционистским исчислением высказываний ИИВ называется
исчисление, схемами аксиом которого являются схемы аксиом 1-9
исчисления ИВ и формулы вида (пЛЭ(ЛЭВ)), правилом вывода —
3 И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
66
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
modus ponens. Определение выводимости в ИИВ аналогично соответ-
ствующему определению для ИВ; н^Л (Г А) означает, что А вы-
водима в ИИВ (выводима в ИИВ из Г).
Логической матрицей называется система ЗЛ = (AT; D, &, v, Z), п),
где М — непустое множество, DQM, &, v, Z) — двуместные, v —
одноместная функция на М. Формула А называется общезначимой в
ЭЛ, если при любых значениях переменных в множестве М значение
формулы А входит в D.
Говорим, что формула А зависит от системы формул А, если
существует конечная последовательность формул В ,,,.,В , где
Вп = А и для любого z (1 <i< п) В. есть результат подстановки в неко-
торую формулу из А или В. есть непосредственное следствие преды-
дущих формул по modus ponens. В противном случае А называется
независимой от А. Система формул А называется независимой, если
каждая формула Л из А независима от А\ {Л} .
Система схем аксиом называется независимой, если для каждой
схемы аксиом существует ее вариант, независимый от множества ва-
риантов остальных схем аксиом.
1.	Построить выводы секвенций в ИС:
(а)	ь(ЛГ)Л);
(б)	(ЛЭ 7?), (5ЭС)|-(ЛЭС);
(в)	I- (ппЛ = Л);
(г)	(ЛЭ(ЯЭС)), (АЭВ), А i-С;
(д)	(Л ЭЯ), п^ьпЛ;
(е)	Л, -|В|--|(ЛЭВ).
2.	Доказать правило подстановки в ИС: если выводима секвенция
А{, ...,Ant-B, Р — переменная и С — любая формула, то выводима
секвенция Л^РХС),..., Ап(Р\С) i- В(Р\С).
3.	Доказать, что следующие правила являются допустимыми в ИС:
Г^Л, Г21-(ЛЭЯ)
(а)		—---------- (сечение);
ri’r2h5
, T,A,Bi-C „
(б)	^°°ъеДинение посылок);
Г, (Л&5)ьС
(в)	-у,--	-—— (расщепление посылок);
1 ) Ау А? 1“ С,
, Г, AkC,r,Bi-C
Г Г, (ЛуД)ьС <Разб°Р случаев);
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
67
(контрапозиция);
(доказательство от противного);
. ' Г’Л|-Д
(Д) Г, пВнпЛ
Г, ->В f ->А
(е)	Г,ЛнВ
А ..., А \-В
(ж)	(введение & и ^):
«А &...&Л рв)
(з)	—----------п— (удаление & и п).
А1...Аг7 В
Гр Л
4.	Доказать, что если правило -т допустимо в ИС для любой
1 2Н А
Г1Н
формулы Л, то правило р— допустимо в ИС.
1 2Н
5.	Вывести в ИС следующие секвенции:
(а)	(ЛЭВ), (ВЭС) ь (ЛЭС);
(б)	(ЛЭ(ВЭС))ь(ВЭ(ЛЭС));
(в)	(ЛЭ(ВЭС)) I- ((Л &ВрС);
(г)	((Л&ВрС)|-(ЛЭ(ВэС));
(д)	(ЛЭВ) ь ((ВЭС)Э(ЛЭС));
(е)	(ЛЭВ)|-((СЭЛр(СЭВ));
(ж)	(ЛЭВ)|-((С&Лр(С&В));
(з)	(ЛЭВ)1-((Л&Ср(В&С));
(и)	(ЛЭВ)|-((ЛуСр(ВуС));
(к)	(ЛЭВ)|-((СуЛр(СуВ));
(л)	пЛ ь(ЛЭВ);
(м)	Л f (чЛЭВ);
(н) Вь(ЛЭВ);
(о)	(ЛЭВ)ь(пВЭ-пЛ);
(п) (ЛЭпВ)|-(ВЭ-|Л);
(р)	(пЛЭВ)-! (пВЭЛ);
(с)	(-пЛГНВ)-! (ВЭЛ).
6.	Доказать, что следующие правила допустимы в ИС:
(а)
(б)
Г,ЛьВ; Г, ВьА
Гь(Л = В)
Гь(Л =В)
Г, Л fB ’
(в)
Гн (Л = В)
Г,ВьЛ '
7. Вывести в ИС следующие секвенции:
(а) (ЛЭВ), (ВЭЛ) ь (А = В);
68
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(б)	(Л = В) f (АЭВ);
(в)	(Л = В) f (ВЭЛ);
(г)	(Л = В), Л(-В;
(д)	f (Л s Л);
(е)	(Л = В), (B = C)h(A = С);
(ж)	(Л s В)н(ВнЛ);
(з)	(Л = В) f (-1Л = пВ);
(и)	(Л = В)ь ((Л&С) s (В&С));
(к)	(Л s В) н ((С&Л) в (С&В));
(л)	(Л s В) ь ((ЛуС) = (BvC));
(м) (Л = В) н ((СуЛ) s (CvB));
(н) (Л = В) f ((ЛЭС) = (БЭС));
(о) (Л = В) f ((СЭЛ) s (СЭВ)).
8.	Пусть Л — формула, В — подформула формулы Л, А} — резуль-
тат замены некоторого вхождения В в Л на формулу В . Доказать
выводимость в ИС секвенции (В =Bf) f (Л = Л^ (теорема о замене
в ИС).
9.	Вывести в ИС следующие секвенции:
(а)	I- ((Л&В) = (В&А));
(б)	ь ((ЛуВ) = (ВуЛ));
(в)	I- ((Л&(В&С)) = ((Л&В)&С));
(г)	н(Лу(ВуС)) s ((ЛуВ)уС));
(д)	I- ((Л&(ВуС)) = ((AbB)v(A&C))y,
(е)	1-((Лу(В&С)) s ((ЛуВ)&(ЛуС)));
(ж)	I- (п(Л&В) в (пЛупВ));
(з)	I- (п(ЛуВ) = (пЛ&пВ));
(и)	I- ((ЛЭВ) = (-уАуВ)У
(к)	I- (пЛуЛ);
(л)	F ((ЛЭВ)У(ВЭЛ)).
10.	Пусть Л — формула, а Л1— ее к.н.ф. (см. § 1). Доказать вы-
водимость в ИС секвенции i- (Л = Л^.
11.	Доказать, что для любой тождественно истинной к.н.ф. Л сек-
венция I- Л выводима в ИС.
12.	Доказать, что:
(а)	если секвенция Лр ..., Л^ьВ выводима в ИС, то формула
((Лj &...&Л;г)ЭВ) тождественно истинна;
(б)	если секвенция i- В выводима в ИС, то формула В тождествен-
но истинна;
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
69
(в)	если секвенция А, ,.,,Л|- выводима в ИС, то формула
п(Л j &... &Ап) тождественно истинна.
13*. Доказать, что секвенция i- А выводима в ИС тогда и только
тогда, когда А тождественно истинна (теорема о полноте ИС).
14.	Выводимы ли в ИС следующие секвенции:
(a)	I- ((PvQ)D(P&P));
(б)	I- (((PDQ)DQ)DP);
(в)	ь (((PDQ)DQ)D2);
(г)	t- (-i(Pv-iP)D(Pv-iP));
(д)	Pi- -i(PD-iP);
(е)	(PDQ) I- (QDP)?
15*. Доказать интерполяционную теорему для ИС: если доказуе-
ма секвенция A i- В и недоказуемы секвенции A к- и к В, то существует
формула С, все переменные которой входят как в А, так и в В, такая,
что доказуемы секвенции А ь С и Ct- В (такая формула С называется
интерполянтом).
16.	Построить интерполянты (см. задачу 15) для следующих сек-
венций:
(a)	-i(-iQvP)i-(PDQ);
(б)	n(PDn(Q&S))i- ((SD(PDP))DP).
17.	Являются ли выводами в ИВ следующие последовательности
формул:
(a)	(PD(PVQ));
(б)	(PD(PvQ)), ((PD(PvQ))D(PD(PD(PvQ)))), (PD(PD(PvQ)));
(в)	(PD(QDP)), ((PD(PvQ)pQ), Q?
18.	Построить выводы следующих формул в ИВ:
(a)	(PDP);
(б)	((PvP)DP);
(в)	(РЭппР).
19.	Доказать, что если А выводима в ИВ, то Л(Р\В) выводима в ИВ
для любых переменной Р и формулы В (правило подстановки).
20.	Найти минимальное множество Г так, чтобы следующая после-
довательность была выводом в ИВ из Г:
(a)	(PD(QDP)), Р, (QDP), Q, Р;
(б)	((PDi-iQ)D(-iQD-iP)), (PDmQ), (nQDnP), nQ, nP.
21.	Доказать, что A i- А в ИВ.
70
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
22.	Доказать, что следующие правила являются допустимыми
в ИВ:
В, В,Г^А^
(б)	В, Гн Л ;
Г, А, В,Г^С
(в)	Г, 5, Л, Г^с’’
Гн Л; Л, Г t-B
Лр A^i-B
(Д) Л1 (Р\С), ...,Ап (Р\С) I-В (Р\С) 1
23*. Доказать теорему о дедукции в ИВ: если Г, Л н В, то
Гн (ЛЭВ).
24.	Доказать для ИВ:
(а)	Г, Л, В н (Л&В) (введение &);
(б)	Г, Л н (АуВ) (введение V);
(в)	Г, В н (ЛуВ) (введение v);
Г, Л нВ; Г, ЛнпВ
(г)	=--------------- (введение -0;
I н пЛ
(д)	Г, (Л &В) н Л (удаление &) ;
(е)	Г, (Л&В) нВ ( удаление &);
Г,ЛнС; Г,ВнС
(ж)	г,(лув)нс	<удаление v);
(з)	Г, ппЛ н Л (удаление п).
25.	Доказать, что множество Г непротиворечиво тогда и только
тогда, когда существует формула, невыводимая в ИВ из Г.
26.	Доказать, что в ИВ:
(а)	н (Л = Л);
(б)	(Л = В) н (В = Л);
(в)	(Л s В), (В = С) н (Л = С);
(г)	(Л = В) н (пЛ = пВ);
(д)	(Л = В) н ((Л&С) s (В&С));
(е)	(Л s В) н ((С&Л) = (С&В));
(ж)	(Л = В) н ((ЛуС) = (BvQ);
(з)	(Л = В)н ((СуЛ) = (CvB));
(и)	(Л = В)н ((ЛЭС) = (БЭС));
(к)	(Л = В) н ((СЭЛ) ее (СЭВ)).
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ	71
27.	Пусть А — формула, В — подформула формулы А, А}—ре-
зультат замены некоторого вхождения В в Л на формулу В р Доказать
теорему о замене в ИВ:
(ЛвЛ,).
28.	Доказать, что следующие формулы выводимы в ИВ:
(а)	((Л&(В&С)) = ((А&В)&С));
(б)	((Лу(ВуС)) s ((ЛуВ)уС));
(в)	((Л&В) s (В&Л));
(г)	((АуВ) s (ВуА));
(д)	((АЬ(ВуС)) = ((Л&В)у(Л&С)));
(е)	((Лу(В&С)) s ((ЛуВ)&(ЛуС)));
(ж)	((Л&Л) = Л);
(з)	((ЛуЛ) = Л);
(и)	((Лу(Л&В)) = Л);
(к)	((А&(АуВ)) = Л);
(л)	(ппЛ = Л);
(м) п(Л&пЛ);
(н) (ЛупЛ);
(о)	((Л&В) = -i(-u4v-iB));
(п) ((ЛуВ) = п(-1Л&пВ));
(р)	((ЛЭВ) = -.(Л&пВ));
(с)	((ЛЭВ) = (пЛуВ));
(т)	((Л&В) = -i(A'D-iB)');
(у) ((ЛУВ) = (чЛЭВ));
(ф) (п(Л&В) = (пЛу-пВ));
(х)	(п(ЛуВ) = (пЛ&пВ));
(ц) ь (тпЯ s пЛ).
29.	Доказать, что если формула Л выводима в ИВ, то секвенция
1- Л выводима в ИС.
30*. Доказать, что:
(а)	если секвенция Аг>Апь В выводима в ИС, то Лр ..., Л^ьВ
в ИВ;
(б)	если секвенция Лр-.-.Л^ь выводима в ИС, то Лр.-.М^ь
1- (В&пВ) в ИВ;
(в)	если секвенция f В выводима в ИС, то формула В выводима
в ИВ.
31.	Доказать, что:
(а)	все аксиомы ИВ тождественно истинны;
(б)	все выводимые в ИВ формулы тождественно истинны.
72
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
32.	Доказать теорему о полноте ИВ: каждая тождественно истин-
ная формула выводима в ИВ.
33.	Найти такие формулы АиВ, что из выводимости в ИВ форму-
лы А следует выводимость В, но неверно, что At-В.
34.	Пусть Л—формула и Р{,..., Рп—все ее переменные. Доказать,
что если А невыводима в ИВ, то существуют такие формулы
ВВ , что в ИВ выводима формула пЛ (Р \В ,..., Р \В ).
1/1	11/2/2
35.	Пусть Л и В — формулы. Положим
Л = В i-(Л = В) в ИВ; IL4II - {В1Л ~ В} .
Доказать, что:
(а)	« есть отношение эквивалентности на множестве F всех
формул;
(б)	фактормножество Fl ~ {ИЛИ | AeF} есть булева алгебра, где
ИЛ II < НВ II о г (ЛЭВ) в ИВ (эта алгебра называется алгеброй Лин-
денбаума для ИВ);
(в)	Л выводима в ИВ тогда и только тогда, когда НЛП есть наи-
больший элемент 1 алгебры Ft
36.	Пусть &— булева алгебра. Поставим ей в соответствие логи-
ческую матрицу {1}, &, V, Э, п), где х&у = хГ\у, xvy = xUy,
xDy = — xUy, -tx = — x. Доказать, что Л выводима в ИВ тогда и только
тогда, когда Л общезначима во всех логических матрицах, соответст-
вующих булевым алгебрам.
37*	. (а) Пусть Т — ультрафильтр на алгебре Линденбаума F/ ==
(см. задачу 35). Для произвольной переменной Р положим значение
Р равным и, если IIPII еТ, и л в противном случае. Доказать, что для
любой формулы Л
ЛеТ о Л истинна при этих значениях переменных.
(б) Вывести из (а) теорему о полноте исчисления ИВ (см. зада-
чу 32).
38. Пусть Л — формула, Д — система формул, ЯЛ — логическая
матрица. Доказать, что если все формулы из Д общезначимы в ЯЛ и
непосредственное следствие общезначимых в 5П формул есть обще-
значимая в ЯЛ формула, а формула А не общезначима в JR, то Л не-
зависима от ЯЛ.
39. ПустьМ = {0, 1, 2}, D = {0}, х&у = тах{х, у}, xvy = min{x, у},
хЭу - тах{0, у — х}, их = 2 - х. Доказать, что формула
л = ((рэ(2эл))э((рэ(2)э(рэл)))
§ 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ	'	73
не зависит от Д, где Д = {(PD(QDP)), ((-iPD-iQ)D(QDP))}, используя
логическую матрицу {М; D, &, v, Э, п).
40*. Доказать независимость схем аксиом исчисления ИВ.
41.	Пусть L— исчисление высказываний со схемами аксиом:
L1. (ЛЭ(ВЭЛ)),
L2. ((ЛЭВ)Э((ЛЭ(ВЭС))Э(ЛЭС))),
L3. ((пЛЭ-|В)Э(ВЭЛ))
Л, (АЭВ)
и правилом вывода--- „---.
В
(а)	Доказать, что все выводимые в L формулы выводимы также
в ИВ.
(б)	Доказать теорему дедукции для L.
(в)	Положим (Л&В) = п(ЛЭ-|В), {AvB) = (пЛЭВ). Доказать, что
все выводимые в ИВ формулы выводимы в L.
42.	Доказать, что:
(а)	все выводимые в ИИВ формулы выводимы в ИВ;
(б)	(-1-1РЭР), (Pv-iP) невыводимы в ИИВ.
43.	Для исчисления ИИВ доказать теорему о дедукции: если
Г, Л В, то Г (ЛЭВ).
44.	Пусть ИИС — исчисление секвенций, которое отличается от
ИС отсутствием правила 11. Доказать, что:
(а)	если формула Л выводима в ИИВ, то секвенция ь Л выводима
в ИИС;
(б)	если секвенция Л.,..., Л нВ выводима в ИИС, то имеем
1 п
А , ..А ь
1 ’	’ п И ’
(в)	если секвенция А^, ...,Ant- выводима в ИИС, то имеем Л(, ...
...,Лп ьи(В&-,В);
(г)	если секвенция i- В выводима в ИИС, то формула В выводима
в ИИВ.
45.	Доказать, что:
(а)	(ЛЭ п-i Л);
(б)	1-и п-|(-1-|ЛЭЛ);
(в)	ппЛ, -п(ЛЭВ) Ьц -i-iB.
46*. Доказать, что если формула Л выводима в ИВ, то формула
ппЛ выводима в ИИВ.
74
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
О, если х = п,
п, если х < п.
О, если х > у,
у, если х < у,
47.	Пусть Мп = {О, 1,и}, Z)={0}, х&у = max{x, у}, xvy =
= min{x, у}, xDy =
Доказать, что:
(а)	все выводимые в ИИВ формулы общезначимы в
= <Afn; D, &, v, □, п} (и = 1,2,...);
(б)	формулы
А = ((P1sP>...v(P1aPJv...v(P sPx1))
n 1	27	' 1 n+l' ' n n+l''
невыводимы в ИИВ (n = 1,2,...).
48*. Пусть ЯП = (М; D, &, v, D, -i} — логическая матрица такая,
что множество общезначимых в ЯП формул совпадает с множеством
формул, выводимых в ИИВ. Доказать, что множеством бесконечно.
§ 4. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Пусть I, J, К —произвольные множества. Рассмотрим алфавит
6 = 6, U6_U6,U6 ,U6CU6,, где
6] = {v0, v v2,...} — предметные переменные,
62 = {Р”} (и.ЕсЖ) — предикатные символы,
63 =	(h.G«/F) — функциональные символы,
6 = {а,}	— предметные константы,
К /Сс=Л.
65 = {&, V, Э, -I, V, 3} — логические символы,
66 = {,, (, )} — вспомогательные символы.
Рл называется п.-местным предикатным символом, называ-
ется п.-местным функциональным символом, символ V называется
квантором общности, а символ 3 — квантором существования.
Названия остальных символов и сокращенные обозначения формул
приведены в § 1.
а = 62U63U64 назовем сигнатурой. На дальнейшее зафиксируем
некоторую сигнатуру а.
Дадим определение терма сигнатуры о.
1.	Предметные переменные и предметные константы являются
термами.
§ 4. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
75
2.	Если fn—«-местный функциональный символ из ст и Z ,..., t—
термы, то/л (fj,...»1 ) — терм.
3.	Никаких термов, кроме построенных по п.1, 2, нет.
Атомной формулой сигнатуры а назовем произвольное слово
Рп (< ,..., t ), где Р”—«-местный предикатный символ из ст, а
/ (, • • •> — термы сигнатуры ст.
Дадим определение формулы сигнатуры а.
1.	Атомная формула есть формула.
2.	Если А иВ — формулы, то nA, (AD/?), (А&В), (Av/?) есть форму-
лы.
3.	Если А — формула, ах — предметная переменная, то V.xA, и
ЗхА есть формулы. (В этом случае VxA и ЗхА называются областью
действия квантора Ух или Зх соответственно.)
4.	Никаких формул, кроме построенных по пп. 1-3, нет.
Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если
оно находится в области действия квантора Ух или Зх, и свободным в
противном случае. Переменная х называется свободной переменной
формулы А, если в А имеется свободное вхождение х, и связанной
переменной формулы А, если в А имеется связанное вхождение х.
Терм t называется свободным для переменной х в формуле А, если
никакое свободное вхождение х в А не находится в области действия
никакого квантора У у или Зу, где у — переменная, входящая в t. Фор-
мула А называется замкнутой формулой или предложением, если вся-
кое вхождение переменной в А является связанным.
Подслово формулы А, которое само является формулой, называет-
ся подформулой формулы А.
В дальнейшем используем символы х, у, г, х(, х2, ... для обозна-
чения предметных переменных, ... для обозначения термов,
А, В, ... для обозначения формул. В случаях, когда речь идет о фор-
муле А и переменных Xj,..., х , используется также запись
А (х ,..., х ). Если А (хр ..., х ) — формула, то через A {ty, ...,
обозначаем результат подстановки термов ..., t в А вместо всех
свободных вхождений переменных xt,..., х .
Пусть М — непустое множество и Rn—некоторое «-местное отно-
шение на М. п-местным предикатом на М, соответствующим отно-
шению /?”, называется «-местная функция Рп из М в {и, л} такая, что
для любых а,,..., a GM
1	’ п
Рп (а,, ..., а ) = и о (а,,..., a }<ERn.
76
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Алгебраической системой ЯП = {М; о} сигнатуры а называется не-
пустое множество М, где каждому «-местному предикатному
(функциональному) символу из а сопоставлен «-местный предикат
(функция) на М, а каждой предметной константе из а сопоставлен
некоторый элемент из М. Предикаты (функции, элементы), сопостав-
ленные символам из ст, обозначаем теми же символами.
Алгебраическую систему ЯП = (М; ст) называем моделью, если ст не
содержит функциональных символов.	__
Мощностью системы ЯЛ = {М; ст) называется мощность 37 мно-
жества М и обозначается через ЯП.
Пусть ct^cTj. Система ЯЛ = {М; ст^ называется обеднением систе-
мы ЯП2 = {М; ст2), а ЯП2— обогащением ЯП(, если символы из интерп-
ретируются одинаково в ЯЛ( и ЯП2>
Пусть AfjCMj. Система (модель) ЯП} = (М^; ст) называется подсис-
темой (подмоделью) ЯП2 = (Л72; ст), а ЯП2—расширением ЯЛ^ если все
символы из ст интерпретируются в ЯЛ1 и ЯЛ2 одинаково на элементах из
М}. Если Л/1 # Му то подсистема (расширение, подмодель) называет-
ся собственной.
Пусть t — терм сигнатуры ст, все переменные которого содержатся
среди , ..., хк, ЯЛ - (М; а) — алгебраическая система. Значение тер-
ма t при значениях переменных т{,т^М определяется по ин-
дукции.
1. Если t есть переменная х., то значение t есть т..
2. Если t есть/” (t , ...,t ), а значения	есть а,, ..., а , то
1 ' г ’ «•”	г ’ п 1	’ п’
значение t есть fn (с^,..., ап).
Предложением сигнатуры а, относящимся к алгебраической сис-
теме ЯЛ = (М; а}, называется предложение сигнатуры ам = ctUM.
Истинностное значение предложения А, относящегося к ЯП, оп-
ределим по индукции (ЯЛ А будет означать, что А истинно в ЯЛ):
(а)	ЯЛ |= Р”, (/,...,/), где	— термы сигнатуры ст без пе-
i	i
ременных, тогда и только тогда, когда Р" (7(,...,/, ) истинно в ЯП;
(б)	ЯП (А&Р) тогда и только тогда, когда ЯЛ |= А и ЯП [= В;
(в)	ЯЛ |= (AvB) тогда и только тогда, когда ЯП А или ЯЛ |=Б;
(г)	ЯЛ (АЭВ) тогда и только тогда, когда ЯП ^А или ЯП |= В;
(д)	ЯЛ |= пА тогда и только тогда, когда ЯП
§ 4. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
77
(е)	ЯЛ ^Vx4 (х) тогда и только тогда, когда ЯЛ |= ^4 (т) для всех
тЕМ;
(ж)	ЯЛ |= ЗхА (х) тогда и только тогда, когда ЯЛ (= А (т) для некото-
рого тЕМ.
Формула А (хр ..., хк) сигнатуры а, все свободные переменные
которой есть х(,..., х*, называется истинной в ЯЛ = (М; а) при зна-
чениях переменных т{, ..., т^М соответственно, если предложение
А (т р ..., /пр истинно в ЯЛ. В противном случае А считается ложной в
ЯЛ = {М; а).
1.	Пусть/1 — одноместный, g2 — двуместный, й3 — трехместный
функциональные символы. Являются ли термами слова:
(a)/1 (g2 (v0, vp);
(б)/(/‘ (v2, й3 (v0, Vp V2)));
(В)/’ (?(V0), Й3 (Vo, Vp v2))?
2.	Пусть/1, g2, й3 те же, что в предыдущей задаче, Р1—одномест-
ный, Q3— трехместный предикатные символы. Являются ли форму-
лами слова:
(a)	Q3 (у0,/‘ (*р, й3 (Vp v2, v2));
(б)	(Р1 (v0)DVv, (Q3 (vQ, Vp r-p&P1 (g2 (v0, vp»);
(в)	Q3(P1 (vp,/1 (vp,/1 (v2));
(Г)/1 (Й3 (Vo, Vp v2))?
3.	Показать, что выражение
3v Vv^..Vv/Р (vp&...&P(vv)),
0	0
где P—одноместный предикатный символ, не является формулой.
4.	Выписать все подформулы формулы:
(a)	Q2(/‘ (v0),g2(v0, vp);
(б)	(3v0Q2 (v0, грэ -.(P1 (g2 (v0, vp)&Vv2P* (v2))).
5.	Описать множество термов от одной переменной vp
(а)	и функционального символа /1;
(б)	и функционального символа g 2.
6.	Какие вхождения переменных являются свободными, а какие
связанными в формулах:
78
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(a	) Vv0 (P(v0>	(v,));
(б	) (Vv0P (v0, v^DVv,/? (v0, v,));
(в)
7.	Является ли свободным для х в А терм t:
(a)	t = /(v0, v3), х = vp A = Vv0P (v0> Vj);
(6)	t =/(vr v2), x = vp A = (P (vp v2)D3v2Q (v2))?
8.	Доказать, что:
(а)	терм, не содержащий переменных, свободен для любой пере-
менной в любой формуле;
(б)	переменная х свободна для х в любой формуле;
(в)	если А не содержит свободных вхождений х, то любой терм
свободен для х в А.
9.	Пусть ЯЛ = {А''; S3, Р3), где
53(х, у, z) = и о х + у = z, Р3 (х, у, z) = и о ху = z.
Записать формулу с одной свободной переменной х, истинную в
5Л тогда и только тогда, когда:
(а)	х = 0;
(б)	х = 1;
(в)	х = 2;
(г)	х четно;
(д)	х нечетно;
(е)	х — простое число.
10.	Записать формулу с двумя свободными переменными х и у,
истинную в ЭЛ из задачи 9 тогда и только тогда, когда:
(а)	х = у;
(б)	х < у;
(в)	х < у;
(г)	х делит у;
(д)	х и у являются простыми числами-близнецами.
11.	Записать формулу с тремя свободными переменными х, у и z,
истинную в JJI из задачи 9 тогда и только тогда, когда:
(a)	z — наименьшее общее кратное х и у;
(б)	z — наибольший общий делитель х и у.
12.	Записать предложение, выражающее в модели 5Л из задачи 9:
(а)	коммутативность сложения;
(б)	ассоциативность сложения;
(в)	коммутативность умножения;
(г)	ассоциативность умножения;
(д)	дистрибутивность сложения относительно умножения;
(е)	бесконечность множества простых чисел;
(ж)	всякое число есть сумма четырех квадратов;
(з)	существование н.о.к. и н.о.д. для чисел, отличных от нуля.
§ 4. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
79
13.	Записать предложение, выражающее в модели ЭЛ из задачи 9:
(а)	несуществование единицы;
(б)	простых чисел — конечное число;
(в)	всякое число можно представить в виде суммы двух квадратов;
(г)	для всякого числа существует строго меньшее число;
(д)	существование наибольшего натурального числа.
Истинны ли эти предложения в модели ЗЛ ?
14.	Записать предложение, выражающее в модели ЗЛ из задачи 9:
(а)	простых чисел-близнецов бесконечно много;
(б)	всякое четное число, большее 2, есть сумма двух простых.
15.	Записать предложение, выражающее в модели ЗЛ из задачи 9
то, что уравнение Зх2 + 2х + 1 = 0 имеет в точности два различных
корня.
16.	Записать предложение, выражающее в модели ЭЛ из задачи 9,
что система уравнений
|3х - у = О,
X + у = 1
не имеет решения.
17.	Пусть М — множество точек, прямых и плоскостей 3-мерного
евклидова пространства со следующими предикатами:
Т (х) — и о х — точка;
Пр (х) = и о х — прямая;
Пл (х) = и о х — плоскость;
Л (х, у) = и о х лежит на у.
Записать следующие формулы:
(а)	через каждые две точки можно провести прямую; если эти
точки различны, то такая прямая единственна;
(б)	через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно
провести единственную плоскость;
(в)	определение параллельных прямых;
(г)	определение параллельных плоскостей.
18.	В модели из задачи 17 записать:
(а)	аксиому Евклида о параллельных прямых;
(б)	аксиому Лобачевского о параллельных прямых.
19.	Подобрать предикаты и записать:
(а)	аксиомы Гильберта для евклидовой геометрии;
(б)	аксиомы для геометрии Лобачевского;
(в)	аксиомы для геометрии Римана.
20.	Рассмотрим модели с одним 2-местным предикатом 7? (х, у).
Записать, что данный предикат R (х, у):
(а)	рефлексивен;
80
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(б)	симметричен;
(в)	транзитивен;
(г)	является отношением эквивалентности.
21.	Записать в сигнатуре т = ( < , = ), где < и = есть 2-местные
предикаты, аксиомы:
(а)	частично упорядоченного множества;
(б)	линейно упорядоченного множества.
22.	Пусть М — частично упорядоченное множество и
Q2(x, у) = и о х<у.
Записать, что:
(а)	х есть наименьший элемент;
(б)	х есть минимальный элемент;
(в)	х лежит между у и z;
(г)	множество плотно упорядоченно;
(д)	каждый максимальный элемент является минимальным.
23.	Пусть М = Р (А), где А — некоторое множество, и
Q2(x, у) = и о х£у.
Записать, что:
(а)	х есть пересечение у иг;
(б)	х есть объединение у и z;
(в)	х = я;
(г)	х = А;
(д)	х есть дополнение у.
24.	Рассмотрим 5П= (Р(А); =,/2, g2), где/2(х, у) = хГ»у, g2(x, у) =
= xUy, = — предикат равенства множеств. Записать, что:
(а)	хСу;
(б)	х есть одноэлементное множество.
25.	Записать в сигнатуре т = (<, =) аксиомы:
(а)	упорядоченного множества с наибольшим и наименьшим эле-
ментом;
(б)	дискретно упорядоченного множества;
(в)	решетки;
(г)	дистрибутивной решетки;
(д)	дедекиндовой решетки;
(е)	дистрибутивной решетки с относительными дополнениями;
(ж)	булевой алгебры;
(з)	атомной булевой алгебры.
26.	Записать в подходящей сигнатуре аксиомы:
(а)	квазигруппы;
(б)	лупы;
(в)	полугруппы;
§ 5. ВЫПОЛНИМОСТЬ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
81
(г)	коммутативной полугруппы;
(д)	коммутативной полугруппы с сокращением.
27.	Записать в подходящей сигнатуре аксиомы:
(а)	группы;
(б)	абелевой группы;
(в)	упорядоченной абелевой группы;
(г)	полной группы.
28.	Записать в подходящей сигнатуре аксиомы:
(а)	кольца;
(б)	ассоциативного, коммутативного кольца;
(в)	кольца Ли;
(г)	области целостности;
(д)	тела;
(е)	поля;
(ж)	алгебраически замкнутого поля;
(з)	вещественно замкнутого поля.
29.	Пусть ЗЛ = (./F; Р1, g1,0), где gI(x) = x + l, а Р1—произ-
вольный одноместный предикат, 0—нуль. Записать аксиому индук-
ции для Р1.
30.	Пусть ЯЛ = (М; Q2, Р1), где М — вполне упорядоченное множе-
2	I
ство, Q (х, у) о х < у, Р — произвольный одноместный предикат.
Записать аксиому трансфинитной индукции для Р1.
§ 5. ВЫПОЛНИМОСТЬ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Формулу А сигнатуры а назовем выполнимой, если существует
такая алгебраическая система ЗЛ = (М; ст), что А истинна в № при неко-
торых значениях свободных переменных. Формулу А сигнатуры ст на-
зовем тождественно истинной (или тавтологией), если А истинна в
любой алгебраической системе сигнатуры ст при любых значениях сво-
бодных переменных. Будем говорить, что формула А семантически
следует из множества формул Г (символически Г |=Л), если для любой
алгебраической системы ЗЛ из истинности в ЗЛ всех формул из Г при
некоторых значениях переменных следует истинность А в ЭЛ при тех
же значениях переменных. Если А |=5 и В [=А, то пишем А ~ В.
Формула вида	А, где А — бескванторная формула, Q.
есть V или 3, называется предваренной (или пренексной) нормальной
формой. Если все Q. есть V, то эта форма называется У-формулой (или
универсальной формулой); если все Q. есть 3, то эта форма называется
3-формулой. Если существует /(0</<и) такое, что ..., Q есть
82
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
3, a Q , Qn есть V, то эта форма называется скулемовской нор-
мальной формой (или 3V-формулой).
Пусть Р — одноместный предикатный символ, не входящий в а.
Любой формуле А сигнатуры а сопоставим формулу рр (Л) (называе-
мую релятивизацией А относительно Р) следующим образом
рр (В) = В для атомной формулы В,
Рр((51&В2)) = (Рр(В])&Рр(В2)),
Рр ав^)) = (Рр (В^рр (В2)),
рр ((врв2)) = (рр (В^Рр (В2)),
РрЬВ) =	(В),
Рр (ЧхВ) = Vx (Р (x)DPp (В)),
Рр (ЗхВ) = Зх (Р (х)&рр(В)).
Пусть о содержит двуместный предикатный символ =. Обозначим
через КЕ^ класс алгебраических систем сигнатуры о таких, что в сис-
темах из класса КЕ^ соотношение х = у истинно в том и только в том
случае, когда Элементы х и у совпадают. Системы из класса КЕ° назы-
ваем нормальными системами.
1.	Доказать, что формула А сигнатуры а выполнима в алгебраиче-
ской системе TR = (М; о) тогда и только тогда, когда А выполнима в
любом обогащении 'Ш' = (М; а').
2.	Доказать, что для любого предложения А сигнатуры о, относя-
щегося к алгебраической системе № = (М; а), имеем № |=Л или ТП [= пЛ.
3.	Доказать, что:
(а)	Л выполнима тогда и только тогда, когда пЛ не тождественна
истинна;	j
(б)	Л тождественно истинна тогда и только тогда, когда пЛ невьй
полнима.	1
4.	Доказать, что бескванторная формула истинна тогда и тольк|
тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой том
дественно истинной формулы исчисления высказываний.	|
5.	(а) Доказать, что если замкнутая V-формула истинна в алгеЯ
раической системе, то она истинна в любой ее подсистеме.	я
(б	) Доказать, что если замкнутая V- формула истинна в алгеД
раической системе, то она истинна в любом ее расширении.	1
§ 5. ВЫПОЛНИМОСТЬ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
83
(в	) Привести пример формулы А и алгебраической системы ЗЛ та-
ких, что ЗЛ [=Л и А ложна в некотором расширении и некоторой под-
системе системы ЗЛ.
6.	Пусть ЗЛ = (М; и) есть подсистема системы 3fij =	о). Дока-
зать, что для любого предложения А сигнатуры а, относящегося к
алгебраической системе ЗЛ = (М; а), ЗЛ А тогда и только тогда, когда
ЗЛ2 [рр (Л), где ЗЛ2 = (Мр а, Р) есть обогащение ЗЛр арр (Л) — ре-
лятивизация формулы Л, причем для любого
ЗЛ2|= Р (а) о а&М.
7.	Выполнимы ли формулы:
>	(а) ЗхР (х);
(б)	VxP (х);
(в)	3xVy (Q(x, x)&-iQ (х, у));
(г)	ЗхЗу (Р (x)&-iP (у));
(д)	3xVy (Q (х, y)3VzR (х, у, z));
(е)	(P(x)DVyP (у))?
8.	Являются ли тождественно истинными формулы:
(а)	(ЗхР (x)DVxP (х));
(б)	-i(3xP (xpVxP (х));
(в)	(3xVyQ (х, y)DVy3xQ (х, у));
(г)	(Vx3yQ (х, y)Z)3yVxQ (х, у))?
9.	Пусть Л (t) получается из Л (х) заменой всех свободных вхож-
дений переменной х на терм t. Доказать тождественную истинность
следующих формул, если терм t свободен для х в Л (х):
(а)	УхЛ (х)ЭЛ (0;
(б)	Л (/)ЭЗхЛ (х).
10,	Привести примеры формул Л (х) и термов t таких, чтобы фор-
мулы (а) и (б) предыдущей задачи не были тождественно истинными.
11*. Доказать, что формула
(УхЗуР (х, у)&УхУу(Р (х, урпР (у, х))&
&VxVyVz (Р (х, у)Э(Р (у, z)DP (х, z))))
выполнима в некоторой бесконечной модели и ложна во всех конечных.
12*. Доказать, что формула
3xVy (Р (х, y)D(-iP (у, х)Э(Р (х, х) = F(y, у))))
истинна в любой модели, содержащей не более трех элементов.
13 . Доказать, что следующие формулы истинны во всякой конеч-
ной модели, но не тождественно истинны:
84
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(a)	3xVy3z ((F (у, z\DF (х, z)p(F (х, xpF (у, х)));
(б)	(VXjVx^x^F (Xj, Xj)&(F (хр x3~)^(F (xr xJvF (x2, x3)))p
DSyVzF (y, z)).
14.	Записать формулу с одноместными предикатами, выполнимую
лишь в моделях, содержащих не менее пяти элементов.
15.	Доказать тождественную истинность следующих формул:
(а)	(пЗхД (хр-й/хД (х));
(б)	(Зх(Д (х)&(ВэС (х))рУх(Д (x)DnC (x)p-itf), где х не сво-
бодна в В;
(в)	(Чх(А (х)ЭпВ (х)рп(ЗхД (x)&VxB (х)));
(г)	(\/х(Д (хрпВ (x))3n(VxX (х)&ЗхВ (х))).
16.	Доказать, что если В не содержит свободных вхождений х, то:
(a)	-NxA (х) ~ ЗхпД (х);
(б)	пЗхД (х) ~ Vx-пД (х);
(в)	(ЧхА (х)&В) - Vx (А (х)&В);
(г)	(В&УхД (х)) ~ Vx (В&А (х));
(д)	(ЗхД (х)&В) ~ Зх (Л (х)&В);
(е)	(В&ЗхЛ (х)) - Зх (В&А (х));
(ж)*(2ЛЛ/хД (х)) ~ Vx (BvA (х));
(з)	(VxA (x)vB) - Vx (Д (x)v5);
(и)	(ЗхД (x)vB) ~ Зх (Д (x)vB);
(к)	(ВуЗхД (х)) ~ Зх (BvA (х));
(л)	^хД (хр5) ~ Зх (A (x)DB);
(м) (BDVxA (х)) ~ Vx (ВЭА (х));
(н) (ЗхД (хр.8) ~ Ух(А (х)ЭВ);
(о)	(ВЭЗхД (х)) ~ Зх (ВЭА (х));
(п)	(УхА (x)&VxC (х)) ~ Vx (Д (х)&С (х));
(р)	(ЗхД (x)v3xC (х)) ~ Зх (Д (x)vC (х));
(с)	Vx4 (х) ~ ЧуА (у), где А (х) не содержит у, Д(у) получается
заменой всех свободных вхождений х в Д (х) на у;
(т)	ЗхД (х) ~ ЗуД (у), где А (х) не содержит у, А (у) получается
заменой всех свободных вхождений х в Д(х) на у;
(у)	Vx5 ~ 5;
(ф) ЗхВ ~ В.
17.	Пусть А—формула, В—подформула формулы Д, Д1—резуль-
тат замены некоторого вхождения В в А на формулу В^. Доказать, что
если В ~ В^, то Д ~ Дг {теорема о замене).
18.	Доказать, что для любой формулы существует эквивалентная
ей пренексная нормальная форма.
§ 5. ВЫПОЛНИМОСТЬ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
85
19.	Привести к пренексной нормальной форме, считая Л и В бес-
кванторными формулами:
(a)	пЗхУуЗгУиЛ;
(б)	(ЗхУуЛ (х, у)&Эх\/уВ (х, у));
(в)	(ЗхУуЛ (х, y)v3xVyB (х, у));
(г)	(ЗхУуА (х, урЗхУуВ (х, у)).
20.	Пусть а =	Т ~~ множество всех
термов сигнатуры а. Определить на Т предикаты и функции так, что-
бы Т стало алгебраической системой сигнатуры а.
21.	(а) Пусть формула сигнатуры а имеет вид
Ух, ... Ух Зу, ... Зу В (х,, ..., х , у,,..., у )
1 п -Ч	v 1	п’-Ч’	’ 'т'
для некоторой формулы В (возможно, содержащей кванторы);
, ..., <рт — n-местные функциональные символы, не входящие в а.
Доказать, что для любой системы № = {М; а) существует обогащение
JJJlj сигнатуры о’ = аи{/>1; ..., такое, что
№ к Ух, ... Ух (Зу ... Зу В (х,, ..., х , у,, ..., у ) =
11	1 п v -Ч т 4 1 n V ’'т'
= В (х,, ..., X , <р. (х,, ..., X ),...,	(X,, ..., X ))).
4 1’ и’Г1Ч 1’ Al7’ ’rAAlv 1’	’ /Г"
(б)	Доказать, что для любого предложения А сигнатуры а сущест-
вует некоторая У-формула А1 сигнатуры о', полученной добавлением
к о новых функциональных символов, обладающая следующим свой-
ством: для любой системы № = {М; а) существует обогащение 1П] сиг-
натуры а' такое, что
)=(Л = Л')-
(Добавленные функции в называются скулемовскими функ-
циями.)
22.	Для формулы УхЗгУуЗи ((y>zZ>y>x)&(u<z)&-i(zz<x)) постро-
ить У-формулу, существование которой утверждается в задаче 21 (б).
Для системы 3R = {.А';<) найти требуемое обогащение.
23.	Для формулы УхУуЗгЗ/ (Р (х, /)&пР (у, z)) построить У-форму-
лу, существование которой утверждается в задаче 21 (б). Для любой
системы № = (А/; Р), где М — {0, 1}, найти подходящее обогащение.
24.	Для формулы
УхУуЗгЗгУ? (п5 (х, у, у)Э(5 (z, v, х)&Р (v, 1, 1)))
и системы ЗЛ = {.yY; 53, Р3) из задачи 9 из § 4 построить скулемовские
функции (см. задачу 21 (б)).
86
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
25.	Доказать, что если формула сигнатуры а выполнима, то она
выполнима на некоторой алгебре термов сигнатуры ст'За.
26*. (а) Пусть А (и, х, у) не содержит свободных переменных, от-
личных от и, х и у. Доказать, что формула ЗиУхЗуА (и, х, у) тождест-
венно истинна тогда и только тогда, когда тождественно истинна
формула
3u(Vx(3yA (и, х, у^рР (и, х)рУхР (и, х)),
где Р—двуместный предикатный символ, не входящий в А (и, х, у).
(б) Доказать, что для любого предложения А можно построить
скулемовскую нормальную форму А* такую, что А тождественно ис-
тинно тогда и только тогда, когда А* тождественно истинна.
27.	Пусть А*—скулемовская нормальная форма предложения А.
Показать, что А ~ А* в общем случае неверно. Всегда ли верно,что
А |=А* ? Аналогичный вопрос для А* |=А.
28.	Привести к скулемовской нормальной форме:
(a)	(3xVyQ (х, y)DVx3yQ (х, у));
(б)	3xVy3zVv7? (х, у, z, г);
(в)	Vx3yVv3z7? (х, у, z, у).
29.	Пусть ЗЛ = {М; а) — произвольная модель и	Доказать,
что существует расширение ЗЛ1 = модели М такое, что для
любой формулы A (Xj, ..., хп) и любых элементов , ..., &п&М
ЗЛ |=А (а(, ..., ап) ЗЛГ |= А (ар ..., aj.
30.	Пусть ЗЛ = (М; а) и М ={т1, ..., тп). Пусть С (х) — формула
со свободной переменной х сигнатуры = aUM. Доказать, что
ЗЛ|=ЗхС(х) «> 3R|=(C(m1)v...vC(mn));
3P(=VxC(x)o |=(С («,)&... &С(ти)).
31.	Доказать, что если алгебраическая система ЗЛ конечна, то для
любого предложения А можно построить бескванторное предложение
А*, относящееся к ЗЛ, такое, что ЗЛ |=(А = А*).
32.	Доказать, что если алгебраическая система конечна, то для
любой формулы можно в конечное число шагов проверить, выполнима
она на этой системе или нет.
33.	Доказать, что формула вида VXj ... Vx^A (х(, ..., х^), где
А(Х), ..., хт) — бескванторная формула без функциональных симво-
§ 5. ВЫПОЛНИМОСТЬ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
87
лов и констант, тождественно истинна тогда и только тогда, когда она
истинна в любой модели из т элементов.
34.	Доказать, что формула вида Зх( ... Зх^А (Хр ..., хт), где
А(Хр ..., х ) — бескванторная формула без функциональных симво-
лов и констант, тождественно истинна тогда и только тогда, когда она
истинна в любой одноэлементной модели.
35.	Доказать, что формула вида
Vx, ...Vx Зу, ... Зу А (х,, ..., х ,у,,...,у),
1 т	•'п ' Г т’ л1’	' Jn'’
где А (Хр ..., х , Ур ..., уп) — бескванторная формула без функцио-
нальных символов и констант, тождественно истинна тогда и только
тогда, когда она истинна в любой модели из т элементов.
36*. Пусть А —формула сигнатуры о = {Р^,..., Р^, где
Pv ..., Р— одноместные предикатные символы. Доказать, что А вы-
полнима тогда и только тогда, когда А выполнима в модели, содержа-
щей не более 2” элементов.
37.	Выполнимы ли формулы:
(a)	Vx3y (Р (х) =	(у));
(б)	3xVy3z (Pj (х) s (Р2 (y)vP3 (z)));
(в)	3yVx (P (x) = пР (y))?
38.	Пусть о = {Pp ..., P где Pp ..., P—одноместные предикат-
ные символы. Доказать, что для любого предложения А сигнатуры а
существует формула В, эквивалентная А, построенная с помощью
&, v и п из 3-составляющих, т. е. формул вида Зх(В1&... .&Вр, где
s > 1 и В (1 < i < s) имеет вид Р (х) или пР (х) для некоторого Р из о.
39.	Для 3-составляющей С (см. задачу 38) обозначим через
С (В...,В формулу, полученную из С стиранием квантора Зх
и заменой всех вхождений подформул Р[ (х), ..., Р (х) в С на
Рр ..., В^ соответственно. Доказать, что формула
А = (С & ... &С, &пС, , , &	&-iC, , ),
' 1	к £+1	к+пР’
где Ср ..., С^+т — 3-составляющие, к>\, т>0, выполнима тогда и
только тогда, когда выполнима формула алгебры высказываний
А =(С.(В,В.	(В В )&.,.&-.С_ (В.,,...,В. )&
1 v 1	11 In' к+1' 11 In'	k+irr- 11’	’ In7 •••
k' kl kn' k+P kl kn'	k+mK kl kn''
88
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
40*. Указать метод построения по любому предложению А с одно-
местными предикатами формулы В исчисления высказываний такой,
что выполнимость формулы А эквивалентна выполнимости В.
41.	Пользуясь методом задачи 40, установить, выполнимы ли сле-
дующие формулы:
(a)	nVx (Р (x)DVy (Р (yp((Q (x)DnG (y))WzP (z))));
(б)	Vx3y-i(P (ур((Р (xpQ (x)p((Q (xpP (x)pP (y))));
(в)	Vx3zVy(((P (y)&Q (z)p(P (x)vP (z))p(Q (x) = nQ (y))).
42.	Написать предложение сигнатуры {=):
(а)	истинное во всех нормальных моделях, содержащих не более п
элементов (п> 1), и ложное в остальных нормальных моделях;
(б)	истинное во всех нормальных моделях, содержащих не менее
п элементов (п> 1), и ложное в остальных нормальных моделях;
(в)	истинное во всех нормальных моделях, содержащих в точности
п элементов (п>1), и ложноев остальных нормальных моделях.
43.	Пусть
* Зх (х = х),
S ^Зх....З>с (	& п(х. = х.Й
для п>2.
(а)	Доказать, что $п истинна во всякой нормальной модели, содер-
жащей по крайней мере п элементов.
(б)	Доказать эквивалентность следующих формул для нормаль-
ных моделей:
3vff & п(х. = x.)^&f & -|(г = х,ЙУ
п(х. = X.) I &<£
4 ‘ Г
(в)	Доказать, что каждое предложение сигнатуры {=) эквивалент-
но на нормальных моделях формуле, построенной из £ { Sп с по-
мощью &, v и л.
(г)	Назовем спектром формулы А совокупность мощностей нор-
мальных моделей, на которых выполнима формула А. Показать, что
каждая выполнимая формула, построенная из ...,<£ с помощью
&, v и -1, имеет спектр, являющийся объединением конечного числа
интервалов вида
{т| а<т<Ь} и {m| т>а}
(д)	Показать, что предложение сигнатуры {=) тождественно ис-
тинно на нормальных моделях тогда и только тогда, когда оно имеет
спектр {т | т > 1}.
§ 6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
89
44.	Найти бесконечную систему формул сигнатуры (=), выпол-
нимую лишь в бесконечных нормальных моделях.
45*. Привести пример формулы, ложной на всех нормальных мо-
делях с нечетным числом элементов и такой, что для любого четного
числа п существует нормальная модель мощности п, на которой эта
формула истинна.
§ 6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
Рассмотрим алфавит 6 = б, иб_иб,иб .иб.иб., где бб, взяты
1	4	3	4	5 о 1о
из § 4. Понятия и обозначения сигнатуры, терма, формулы, свободной
и связанной переменной, предложения определяются, как в § 4.
В этом параграфе предполагается, что сигнатура конечна или
счетна.
Определим секвенциальное исчисление ИПС. Алфавит исчисле-
ния ИПС есть 6U{i-}. Понятия секвенции, правила вывода и т. п.
определяются аналогично соответствующим понятиям для ИС
(см. § 3).
Исчисление ИПС определяется следующими схемой аксиом и
правилами вывода (А, В, С — произвольные формулы; Г, Г2, Г3—
произвольные последовательности формул, возможно, пустые; t —
терм, свободный для х в А (х); A (Z) получается из А (х) заменой всех
свободных вхождений х на 0.
Схема аксиом: А \-А.
Правила вывода:
Tj нЛ; I 2hB
L' fb(H&5) <введение&>;
„ Гь(Л&В)
2. —j,	(удаление &);
Гн(Л&В)
’ ГкВ
4 -
Гг(ЛуВ)
5 - ^.В
V\-(AvB)
Pji-(ЛуВ); Г2, ЛьС; Г^ВьС
6.--------------------------(удаление V);
(удаление &);
(введение v);
(введение V);
ГьС
„ Г, АI- В
7- гйлэв)(введение
F
90
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Tj fA; r2F(AZ)B)
8.		p—p—--------(удаление Э);
Г 2 л
„ Г, Af
9.	------ (введение п);
1 f~iA
Г( fA; е -А
10.	------------(сведение к противоречию);
Г, пЛ е
11.	—~—-г- (; цаление ->);
1 Ь У!
„ Гь
12.	(утончение);
,. ГеЛ
13.	р (расширение);
I\,A,B, r2FC
14.	р—д-р -р (перестановка);
Г, А, Ль С
15.	——— (сокращение);
1 , У1 h С
Г । ^4 (jc")
16.	г—w х z v где х не входит свободно в Г (введение V);
1 h уХД (Xj
Г е УЛ (х)
17.	~р~ (-)- (удаление У);
„ ГеЛ(х)
18.	77~\ (введение 3);
Г е ЗхЛ (х)
,. Г, Л (х)ей	.	„
19.	—7-7-7—77, где х не входит свободно в Г, В (удаление 3).
1,	ЗхЛ (х) fB
Понятия вывода в ИПС и т. п. определяются аналогично соот-
ветствующим понятиям для ИС (см. § 3).
Определим исчисление ИП. Схемами аксиом исчисления ИП яв-
ляются следующие выражения:
1.	(ЛЭ(5ЭЛ));
2.	((ЛЭ5)Э((ЛЭ(5ЭС))Э(ЛЭС)));
3.	((Л&В)ЭЛ);
4.	((Л&В)ЭВ);
5.	((ЛЭ5)Э((ЛЭС)Э(ЛЭ(В&С))));
6.	(ЛЭ(Лм5));
7.	(ВЭ(ЛуБ));
8.	((ЛЭСр((ВЭС)Э((ЛУВ)ЭС)));
9.	((ЛЭиЗрСбЭпЛ));
10.	(ппЛэЛ);
11.	(УхЛ (х)ЭЛ(0);
12.	(Л (ОЭЗхЛ(х)).
§ 6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
91
В схемах аксиом 1—10 А, В, С — любые формулы; в схемах
аксиом 11, 12 А (х) — формула, t — терм, свободный для х в А (х),
A (/)— формула, полученная из А (х) заменой всех свободных вхож-
дений х на t.
Правила вывода ИП'.
Л,(ЛЭВ).
В
(СЭА(х)) .
• (CDVyA(y))’
ТТТ _И№9_.
(ЗуА (у)ЭСу
причем в правилах II и III х не входит свободно в С, а у не входит
свободно в А (х) и у свободно для х в А (х).
Формула В называется непосредственным следствием формулА
и (ADB) по правилу I; (СЭУуА (у)) и (ЗуА (y)DC) представлят со-
бой непосредственные следствия формул (СЭА(х)) по правилу II
и (А (х)ЭС) по правилу III соответственно.
Выводом в ИП называется конечная последовательность формул
Ар ..., Ап такая, что для каждого i (\<i<n) А. есть либо аксиома,
либо непосредственное следствие одной или двух предыдущих фор-
мул.
Квазивывод из множества формул Г есть последовательность
формул Ар ..., А^ такая, что для каждого i (l<i<n) А. есть либо акси-
ома, либо одна из формул Г, либо непосредственное следствие одной
или двух предыдущих формул.
Для квазивывода Ар ..., Ап из множества Г и каждого i (1 <1<п)
определим по индукции множество формул Д (А.)СГ:
1)	если А. есть аксиома, то Д (А.) = и;
2)	если А.еГ, то Д (АД = {АД;
3)	если А. есть непосредственное следствие А. и A^(j, к <i), то
Д(А.) = Д (А.)иД (АД,
4)	если А. есть непосредственное следствие A. (j<i) , то
Д (А.) = Д (А.).'
Выводом из Г в ИП называется квазивывод Ар ..., А /удовлетво-
ряющий условию: если А. есть непосредственное следствие формулы
А. — (CDА (х)) по правилу II или формулы А. = (А (х)ЭС) по прави-
лу III, то х не входит свободно в формулы из Д (А.).
Формула А называется выводимой в ИП (символически: г А), если
существует вывод в ИП, оканчивающийся формулой А.
92
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Формула А называется выводимой из Г в ИП (символи-
чески: Г и Л), если существует вывод из Г в ИП, оканчивающийся
формулой А.
Множество формул Г назовем непротиворечивым, если не суще-
ствует формулы А такой, что Г к А и ГнпЛ. В противном случае Г
назовем противоречивым.
Множество формул Г сигнатуры а назовем полным, если для лю-
бой замкнутой формулы сигнатуры а выполняется Г ь А или Г ь пЛ.
В противном случае Г называется неполным.
1.	Доказать, что любая секвенция, выводимая в ИС, выводима в
ИПС.
2.	Пусть Лр ..., Ап, А —формулы ИС, В— формула ИПС,
Лр...,Л^, А' — формулы, полученные из Л р ..., Л п, Л в результате
подстановки В вместо пропозиционально! переменной Р. Доказать,
что если секвенция Лр ..., Л^ьЛ выводима в ИС, то Лр ..., Л^ьЛ'
выводима в ИПС.
3.	Доказать, что правила из задач 3 и 6 из § 3 допустимы в ИПС.
4.	Пусть у не входит свободно в Л (х), у свободно для х в Л(х), Л(у)
получается из Л(х) заменой всех свободных вхождений х на у. По-
строить выводы в ИПС секвенций:
(а)	ЗуЛ (у) ь ЗхЛ (х);
(б)	УхА (х)ьУуЛ(у).
5.	Пусть у свободно для х в формулах Л (х), .. .,Ап (х), В(х). Дока-
зать, что если в ИПС выводима Л1 (х),..., Ап (х) i-B(x), то выводима
Л, (у), ...,Лп (у)ьВ(у).
6.	Пусть Л не содержит свободных вхождений х. Доказать вы-
водимость в ИПС секвенций:
(а)	к (\/хЛ = Л);
(б)	н(ЗхЛ=Л);
(в)	ь (VxVyB (х, у) = ЧуЧхВ (х, у));
(г)	1-(ЗхЗу2? (х, у) s ЗуЗхВ (х, у));
(д)	к (ЧхУуВ (х, у)ЭУуВ (х, х));
(е)	к (ЭхВ (х, х)ЭЗхЗуВ (х, у));
(ж)	ь (ЗхВ (х) = -iVx-iB (х));
(з)	f (VxJ? (х) = -ixiB (х));
(и)	(-(->VxJ3 (х) = 3x-iJ3 (х));
(к)	к (-i3x.fi (х) = Vx-ifi (х));
(л)	к ((Vxfi (x)&VxC (х)) е Vx (В (х)&С (х)));
(м) к ((ЗхВ (x)v3xC (х)) е Зх (В (x)vC (х)));
§ 6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
93
(н) ь ((АМхВ (х)) s Vx (Л&В (х)));
(о) ь ((ЛуЗхВ (х)) = Эх (ЛуВ (х)));
(п) I- ((Л&ЗхВ (х)) = Зх (Л&В (х)));
(р) ь ((ЛуУхВ (х)) = Ух(ЛуВ (х)));
(с) ь(Эх (В (х)&С (х))Э(ЗхВ (х)&ЗхС (х)));
(т) ь ((VxB (x)vVxC (х)) s Vx (В (x)vC (х)));
(у) ь ((ЛЭ VxB (х)) = \/х(АЭВ (х)));
(ф) ь ((ЛЭЗхВ (х)) = Зх (ЛЭВ (х)));
(х) I- ((VxB (х)ЭЛ) = Зх (В (х)ЭЛ));
(ц) 1- ((ЗхВ (х)ЭЛ) = Vx (В (х)ЭЛ));
(ч) ь (Зх (В (х)ЭС (х)) = (УхВ (х)ЭЗхС (х))).
7.	Доказать, что в ИПС выводимы секвенции:
(а)	(Л s В) ь (пЛ = пВ);
(б)	(Л = В) ь ((Л&С) з (В&С));
(в)	(Л s В)ь ((С&Л) s (С&В));
(г)	(Л s В) ь ((ЛУС) = (BvC));
(д)(Л = В)ь ((СУЛ) Э (CVB));
(е)	(Л s В)н ((ЛЭ С) — (ВЭС));
(ж)(Л = В) ь ((СЭЛ) s (СЭВ));
(з)	Vx (Л = В) ь (\/хА = VxB);
(и)	Vx(A = В) ь (ЗхЛ = ЗхВ).
8.	Пусть Л — формула, В — подформула формулы Л, Л1 — ре-
зультат замены некоторого вхождения В в Л на формулу В;,
Xj, ..., хп— все свободные переменные формул Л и Л]. Доказать, что
в ИПС выводима секвенция Vxt ... Vxn (В г В^) и (Л = А^) (теорема
о замене для ИПС).
9.	Доказать, что для любой формулы Л существует пренексная
нормальная форма Л' такая, что ь (Л s Л') выводима в ИПС.
10.	Найти пренексную нормальную форму для следующих
формул:
(a)	(Vx3y (Л (х)ЭВ (у, z)p3xVz (В (х, г)&Л (у))), где Л и В — бес-
кванторные формулы;
(б)	(VxB (x)ЭVy(VzQ (х, z)ЭVиP (и))).
11*. Пусть Л — формула, построенная из атомных формул и их
отрицаний с помощью &, V и кванторов V и 3 по любым переменным.
Пусть Л+—результат одновременной замены в Л & на v, v на &, V на
3, 3 на V, атомных формул их отрицаниями. Доказать, что в ИПС
выводима секвенция г (Л+ = ->Л).
94
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
12*. Пусть А — формула, построенная из атомных формул и их
отрицаний с помощью &, v и кванторов V и 3 по любым переменным.
Пусть А'— результат одновременной замены в Л & на v, v на &, V на
3, 3 на V. Доказать, что в ИПС:
(а)	если выводима секвенция ь (ЛОВ), то выводима ь (В'ОЛ');
(б)	если выводима секвенция н- (Л = й), то выводима ь {А' = В').
13.	Показать, что квазивывод в ИП из пустого множества формул
есть вывод в ИП.
14.	Являются ли выводами в ИП последовательности:
(а)	(УхЗуЛ (х, у) О ЗуЛ (у, у));
(б)	(УхР (х) О Р (у)), (VxP (х) О УуР (у));
(в)	(Л(х) О ЗхЛ (х)),
((Л (х) О ЗхЛ (х)) О (УхЛ (х) О (Л (х) О ЗхЛ (х)))),
(УхЛ(х) О (Л (х)О ЗхЛ (х)))?
15.	Каким требованиям должна удовлетворять формула Л(х), что-
бы следующая последовательность была выводом в ИП:
(а)	(Л (у) О ЗхЛ(х)), (ЗуЛ (у) О ЗхЛ (х));
(б)	(УхЛ (х) О Л (у)), (УхЛ (х) О УуЛ (у))?
16.	Доказать, что если А{, ..., Л^, Л — формулы ИВ, В — формула
ИП, Р — пропозициональная переменная и Л(, ..., A f А в ИВ, то
Л^РХВ),..., Ап(Р\В) f А(Р\В) вИП.
17.	Построить выводы формул в ИП:
(a)	(VxVyA (х, у) О УуУхЛ (х, у));
(б)	(ЗхЗуЛ (х, у) О ЗуЗхЛ (х, у));
(в)	(ЗхУуЛ (х, у) Э УуЭхА (х, у)).
18.	Является ли выводом из Г = {(СОЛ (х))} в ИП, где С не со-
держит свободных вхождений х, последовательность формул:
(а)	(С О Л(х)), (С О УхЛ (х));
(б)	((С0Л(х))О(В(у)0(С0Л(х)))), (СОЛ(х)),
(В (у)О(СОЛ (х))), (ЗуВ (у)О(СОЛ (х))),
если С и Л (х) не содержат свободных вхождений у?
19.	Построить выводы из Г = {Ух (Л(х)О В(х))} в ИП следующих
формул:
<а) (ЗхЛ (х) О ЗхВ (х));
(б) (УуЛ (y)OVzB (z)).
20.	Доказать, что следующие правила допустимы в ИП:
§ 6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
95
„ В,В,ГьА
(б) В, ГьА ’
Г, А.В.Г^С
(В)	Г, В, A, rti-C‘
21*. Доказать теорему о дедукции в ИП:
если Г, АI- В, то Г ь (ЛЭ В).
22.	Доказать, что если в ИП Г ь А и Г, А ь В, то Г ь В.
23.	Доказать, что утверждение задачи 24 из § 3 справедливо в ИП.
24.	Доказать следующие правила:
(а)	V-удаление: VxA (хДЛ (Г), где А (х) и t подчиняются тем же
требованиям, что и в схеме аксиом 11;
(б)	3-введение: A (t) ь ЗхА (х) при тех же условиях, что ив (а);
ГI-
(в)	V-введение: =—-- - - , где х не входит свободно в формулы
1 h VХ.А (X)
из Г;
а
о
, . _.	Г, А (х) ь В
(г)	3-удаление: „ _ . ' —где х не входит свободно ни в фор-
1 ,	{X) F
мулы из Г, ни в формулу В.
25.	Доказать, что формула А (х) выводима в ИП тогда и только
тогда, когда выводима формула VxA(x).
26.	Пусть zl,...,zn не входят связанно в A(Zp..., z^) и в
В (Zp ..., z)t) и пусть A (zp ..., zn) i- В (zp ..., z^) в ИП. Доказать, что
существует вывод 5(Zp..., z^) из A(Zp..., z) в И П, в который
Zp ..., z не входят ни разу в связанном виде.
27.	Пусть Zp..., zn не входят связанно в A(Zp..., z) и в
В (Zp ..., z(); х,...,х —переменные, не входящие связанно в
A (Zp ..., zf() и в В (Zp ..., z^). Доказать, что
A (Zp ..., zJvB (Zp ..., zn) ~ A (Xp ..., хп)ьВ (Xp ..., xf[).
28	. Пусть Г —множество формул сигнатуры а, А—формула сиг-
натуры а. Доказать, что если Г i- А в ИП, то существует вывод А из Г в
ИП, состоящий лишь из формул сигнатуры а.
29.	Доказать, что если формула А выводима в ИП, то секвенция
н А выводима в ИПС.
96
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
30.	Доказать,что:
(а)	если секвенция	выводима в ИПС, то
А.,..., A t-B в ИП;
I n
(б)	если секвенция Ар...,Аиг выводима в ИПС, то Ар...
...,Аи1- (В&пВ) в ИП;
(в)	если секвенция t-B выводима в ИПС, то формула В выво-
дима в ИП.
31.	Пусть А — формула, В — подформула формулы А, А'—резуль-
тат замены некоторого вхождения В в А на формулу В'. Доказать, что
если f (В = В'), то н (As А') {теорема о замене дляИП).
32.	Доказать, что если Г f А в ИП, то Г |=А.
33.	Доказать, что все выводимые в ИП формулы тождественно
истинны.
34.	Доказать, что если множество формул Г выполнимо, то оно
непротиворечиво. (Множество Г выполнимо, если существуют алгеб-
раическая система № и значения в № свободных переменных такие,
что все формулы из Г истинны при этих значениях переменных.)
35.	Доказать, что множество формул Г противоречиво тогда и
только тогда, когда любая формула выводима в ИП из Г.
36.	Доказать, что если множества формул TQ, Т^, Т^, ... непро-
тиворечивы и Т.СТ (i = 0, 1, 2,...), то U Т.— непротиворечивое
‘	ie.A'
множество формул.
37*. Доказать теорему Линденбаума: любое непротиворечивое
множество формул Т можно расширить до полного непротиворечиво-
го множества той же сигнатуры.
38.	Пусть множество формул Г сигнатуры а полно и непротиво-
речиво. Доказать, что для любых предложений А, В сигнатуры о:
(а)	Г f (А&А) о ГнА и Ff5;	
(б)	Г I- (Av В) о Г f А или Г f В;
(в)	Г >- -1А о не верно Г f А;
(г)	Г f (ADB) о (не верно Г к А) или Г f В.
39.	Пусть множество формул сигнатуры о полно и непротиво-
речиво и удовлетворяет условию: если Г f ЗхА (х), то Г f А (?) для неко-
торого терма t сигнатуры сг, свободного для х в А (х). Доказать, что: (
(а)	Г f ЗхА (х) о Г f А (?) для некоторого терма t сигнатуры сг, сво-
бедного для х в А (х);	j
(б)	Г f VxA (х) о Г f А (?) для любого терма t сигнатуры сг, свобод-
ного для х в А (х).
§ 6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
97
40.	Пусть множество Ги{ЗхЛ (х)} непротиворечиво. Доказать, что
если переменная у не входит в Г и в ЗхЛ (х), то множество
Ги{ЗхЛ (х), А (у)} непротиворечиво.
41*. Доказать, что любое непротиворечивое множество предло-
жений выполнимо (теорема о существовании модели).
42.	Доказать теорему Левенгейма—Скулема: любое выполнимое
множество предложений выполнимо в некоторой счетной алгебраи-
ческой системе.
43.	Доказать, что если предложение А невыводимо в ИП, то -sA
выполнимо на натуральных числах.
44.	Доказать, что формула А тождественно истинна тогда и только
тогда, когда А выводима в ИП (теорема Гёделя о полноте ИП).
45.	Показать, что если предложение А истинно во всех системах на
натуральных числах, то Л тождественно истинно.
46.	Доказать, что если предложение Л выполнимо в некоторой
системе, то А выполнимо на натуральных числах.
47.	Доказать, что если предложение Л истинно на всякой системе,
на которой истинны формулы счетного множества Г, то Г г А.
48.	Доказать, что если множество предложений Г счетно и каждое
конечное подмножество Г( С Г выполнимо, то все множество Г вы-
полнимо (локальная теорема Мальцева).
49.	Доказать, что если отрицание любой конъюнкции конечного
числа предложений счетного множества Г недоказуемо в ИП, то мно-
жество Г выполнимо.
50.	Доказать для любого предложения Л и любого счетного мно-
жества Г Г1- А о Г |= Л (теорема адекватности).
51.	Доказать, что если Г — счетное множество предложений и
Г |= Л, то Г( А для некоторого конечного подмножества Г( С Г (теоре-
ма Мальцева о компактности).
52.	Доказать, что для того, чтобы Л была выводима в ИП, недоста-
точно, чтобы Л была истинной на всех конечных системах.
53.	Пусть Л — бескванторная формула ИП. Доказать, что А вы-
водима в ИП тогда и только тогда, когда Л выводима лишь из ак-
сиом 1-10 по правилу 1.
54.	Выводимы ли в ИП формулы:
(а)	(ЗхЛ (хрУхЛ (х));
(б)	-|(ЗхЛ (хрУхЛ (х));
(в)	(ЗхУуЛ (х, урЗуУхЛ (х, у));
4 И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
98
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(г)	(УхЭуА (х, y)D3yVxA (х, у));
(д)	((VxA (хрЗхВ (х)) = Зх(А (х)ЭВ (х)))?
§ 7.	АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
В этом параграфе предполагается, что сигнатура а не более чем
счетна. Исчислением предикатов с равенством (ИПР) называется
исчисление, аксиомами которого являются:
1)	аксиомы ИП сигнатурыctU{=};
2)	аксиомы равенства
El. Vx (х = х),
Е2.	VxVyVz ((х = у &у = z) Э х = z),
ЕЗ.	VxVy (х = у Э у = х);
3)	формулы вида
Е .Vx....Vx Vy ...Vy ((х. = у. & ... &х =у)Э
Р 1 п	Jn 'л 1 -Ч	п Jn'
D(P(x1,...,xn) = P(y1,...,yn)));
Е/ • *х, • • • Vxn Vyt ... Vyn (Ц = уj &... &хп = уп) Э
D(/(x1,...,xn)=/(y1,...,yn)))
для любого предикатного символа Р из ст и любого функционального
символа/из ст.
Правилами вывода этого исчисления являются правила вывода
ИП. Выводимость, а также другие понятия определяются аналогично
соответствующим понятиям для ИП.
Используем следующее сокращение:
3!хА (х) = Зх (A (х) &Vy(A (y)Dx = у)),
где А (х) — произвольная формула. Квантор 3!х читается как «сущест-
вует единственное х такое, что...».
Элементарной теорией сигнатуры а называется множество Т
предложений сигнатуры сти { = }, содержащее все предложения, выво-
димые из Т в ИПР. Теоремами теории Т называются все формулы
сигнатуры ctU{ = }, выводимые из Т. Системой аксиом для теории
Т называется любое множество формул ACT, из которого выводимы в
ИПР все предложения из Т. Элементарная теория Т называется
непротиворечивой (противоречивой, полной, неполной), если
множество предложений Т непротиворечиво (противоречиво, полно,
неполно). Система предложений называется независимой, если ни
одно из них не может быть выведено в ИПР из остальных.
Моделью теории Т называется всякая нормальная алгебраическая
система, в которой истинны все формулы из Т.
лгебраические системы Мх={М{-,а') и М2 = {М2; а) на-
зываются изоморфными, если существует взаимно однозначное
§ 7. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
99
соответствиер между и М2 такое, что для любых т^,и
P",/n, аесг
М^Р {тх,...,т^ о М^Р (р (mx), ...,y>(mn)),
<р (f(mv тп)) = f(p (тх),р(тп)),
Р (а) = а.
Если М изоморфна некоторой подсистеме системы М , то М
называется изоморфно вложимой в М^.
Теорией равенства Е называется множество предложений сигна-
туры {=}, выводимых в ИПР.
Пусть а = (s, + , •, 0), где s — символ одноместной, + и — сим-
волы двуместных функций, 0—предметная константа.
Через Q будем обозначать теорию, аксиомами которой являются:
Qr VxVy (s (х) = s(y)3x = у);
Q2. Vx -i s (x) = 0;
Q3. Vx(-i x = 0 D 3y (x = s (y)));
Q4. Vx (x + 0 = x);
Q5. VxVy (x + s (y) = s (x + y));
Q6. Vx (x-0 = 0);
Q7. VxVy (x s (y) = x-y + x).
Через x<y обозначаем формулу 3z (z + x = у), а через x<y—фор-
мулу (x<y & -| X = y).
Через P будем обозначать теорию сигнатуры сгд, аксиомами кото-
рой являются Qx~ Q7 и бесконечное множество формул вида
РЛ. Vy ((А (0) & Vx (А (х) □ A(s (х)))) □ А(у)),
где А (х)—любая формула сигнатуры со свободной переменной х.
Формула РЛ называется аксиомой индукции для А.
Введем следующие обозначения:
До = О, Д, = 5(0)....ДЛ+,=5(ДЛ),...
Через R будем обозначать теорию сигнатуры ст* со следующим
бесконечным множеством аксиом:
R(n₽). д 4- д = Д (для любых п, р G <Ж);
1	п р п+р	'
R^n₽\ Д • Д = Д (для любых n,p 6 <Ж);
2	пр п-р ”	’г '
К3ПР)- Др (для любых п, р G «Ж, п р);
4*
100
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Vx (х<Дд □ (х = A^v ... vx — Д )) (для каждого п G Л");
Vx (х<Д v Д <х) (для каждого п G vK).
Множество натуральных чисел <Ж с s (х) = х + 1, обычными сло-
жением и умножением и константой 0 называется стандартной мо-
делью арифметики и обозначается через Я = (vF; s, +, •, 0).
Пусть ZF — теория сигнатуры (G), где £—бинарный предикат, с
аксиомами ZF, - ZF„.
I У
ZFj. Аксиома объемности:
VxVy (Vz (zSx = z£y) s x = у).
ZF Аксиома пары:
X
VxVy3zVv (v£z = (v = x V v = y)).
ZF^. Аксиома выделения:
Vx3yVz (z£y = (z6x & A)),
где A — формула, не содержащая x и у.
ZF^, Аксиома множества подмножеств:
Vx3yVz (zGy s Vm (ибг □ ибх)).
ZF^. Аксиома множества-суммы:
VxSyVz (z€=y = 3v (z£v & v£x)).
ZF&. Аксиома выбора:
Vx (VyVz ((yGx & z€x) D (3v (vGy) &
&(3m (u6z & u&y) D z = y))) D
□3uV(((GxD3vVw’(v=H’ = (и’би & H’S!))).
ZF_. Аксиома бесконечности:
t
Эх (Vy (t 3z (zSy) Э yGx) & Vw (w£x Э
D Vu (Vv (v€u = (v = m>V vEw)) D и£х))).
ZF„. Аксиома регулярности:
О
Vx (Зу (yGx) D Зу (yGx & Vz (z£x Э -i z€=y))).
ZFg. Аксиома замены:
Vx (VyVzVw ((yGx & A (y, z) & A (y, w)) D z = w)D
D 3rVs (s£r = 3( (ZGx & A (1, s)))),
где A (f, s) — формула ZF.
§ 7. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
101
Используем следующие обозначения:
х£у Vz (zGx D zGy);
x — O^Vy-iyGx;
x = {у} Vz (zGx = z = y);
x = {y, z} \fu (u£x = (и = у v и = z));
<x,y)-{W, {x, y}};
(x1,x2,...,xn>^(x1,(x2,	(n>2);
у = x, X...X x («Gy = 3z ...3z (z Gx. &...&Z Gx &« =
1	П	1	fl 1 I	Fl fl
= {zv...,zn))) для n>2;
у = P (x) Vz (zGy s zC.t);
Fn (x) - (Vy (yGx D 3«3v (y = («, v))) &
&VyVuVv(((y, w)Gx.&(yr v}Gx) □ и = v));
у = <5 (x) Vz (zGy s 3u ({z, u}Gx));
у = Ux Vz (zGy-s-Зы («Gx & zG«));
у = Fix Vz (zGy = V« («8x9 zG-«));
z = xUy V« («Gz s («Gx V «Gy));
z = xFly 5 Vu («Gz =-(jtGx & uGy));
Ord (x) (VyVz ((zGy &yGx) Э zGx) &
& VyVz ((yGx & -zGx) □ (zGy V у = z V yGz)));
^x' (Ord (у) & Х^У & Л (x) & Vz (zGx □ -i A (x)));
L (x) (Ord (x) & -i x = 0 & Vy -I x = yU{y});
x = a> S (L(x) & Vy (yGx D -iL (y))) ;
W (x) Зу (у = ш & xGy);
у =-s (x) у = xU{x};
x + у = z 5 3v (Fn (v) & <5 (v) = s (y) & (0, x)Gv & (y, z)Gv &
& Vft/u ((/G<5 (v) & il = у & <Z, «)Gv) Э (s (f), s (u))Gv));
x-y = z v 3(Fn (v) & <5 (v) = s (y) & (0, 0)Gv & (y, z}Gv &
& VZV« (((/, u)6v & -i t = y) D (s (i), и + x)Gv)).
1.	Доказать, что в ИПР сигнатуры а выводимы:
(a)	((Xj =yj & ... &xfi = yn) Э Z(xr ...,xn) = t(yv ...,уй)) для лю-
бого терма t сигнатуры ст;
102
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(б)	((Xj &...&хп = уп)Э(А(х1>...1хп)г А(ур...,уп))) для
любой формулы А сигнатуры а.
2.	Доказать, что если Г — множество аксиом теории Т сигнатуры
ст, ЭЛ — алгебраическая система сигнатуры ст, в которой истинны все
формулы из Г, то в ЗЛ истинны все теоремы теории Т.
3.	Пусть предложение А истинно в любой системе, в которой ис-
тинны все аксиомы теории Т. Доказать, что А принадлежит Т.
4*. Доказать, что если все аксиомы теории Т истинны в некоторой
алгебраической системе, то существует модель теории Т.
5. Доказать, что всякая непротиворечивая теория имеет модель.
6. Доказать, что если предложение А истинно во всех моделях
теории Т, то А есть теорема теории Т (теорема о полноте ИПР).
7*. Пусть предложение Vx} ... ЧхЗ\уА (Хр ..., х^, у) есть теорема
теории Т сигнатуры ст. Пусть теория сигнатуры ст' = ctU{/"}, где
fn$-a, имеет в качестве аксиом все аксиомы теории Т и
Vx. ... Vx А (х., ..., х ,/”(х,, ..., х )).
1 п v г ’ п J v г
(а)	Доказать, что для любой формулы В сигнатуры ст' существует
формула В* сигнатуры ст, удовлетворяющая условиям:
1)	если /” не входит в В, то В* = В;
2)	(В* = В) есть теорема теории .
(б)	Доказать, что если В не содержит /” и является теоремой
теории Т, то В является теоремой Т.
8*. Доказать, что если элементарная теория Т имеет бесконечную
модель, то Т имеет и счетную модель.
9.	Доказать, что теория Т имеет модель тогда и только тогда, когда
каждое конечное подмножество С Т выполнимо.
10*. Доказать, что если теория Т для любого натурального числа п
имеет модель мощности, большей п, то эта теория имеет бесконечную
модель.
11.	Доказать, что не существует предложения, истинного во всех
конечных моделях и ложного в любой бесконечной модели.
12.	Доказать, что если предложение А истинно во всех бесконеч-
ных группах, то А истинно во всех конечных группах достаточно боль-
шого порядка.
13.	Доказать, что теория равенства Е неполна.
§ 7. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
103
14.	Доказать, что предложение А сигнатуры {=) истинно во всех
нормальных системах тогда и только тогда, когда А есть теорема
теории Е.
15*. Построить алгоритм, позволяющий по любому предложению
сигнатуры (=} узнавать, является ли это предложение теоремой
теории Е.
16.	Являются ли следующие предложения теоремами теории Е:
(a)	Vx3yVz (л z = х v -I у = z);
(б)	Vx3yVz3v(v=z&-i(z = x& nx = y& v = у))?
17.	Пусть сигнатура сг содержит один двуместный предикат Р, Т
есть множество формул, выводимых из Г = {А^, А^}, где
А{ = VxVy (Р (х, y)D-tP (у, х)),
А2 = VxVyVz (Р (х, у) Э (Р (у, z) Э Р (х, z))).
Является ли Т полной теорией?
18.	Доказать, что Q — непротиворечивая теория.
19*. Является ли система предложений , • ••, Q7) независимой?
20*. Доказать, что в теории Q невыводимы формулы:
(а)	-I х = s (х);
(б)	0 + х = х;
(в)	s (х + у) = s (х) у;
(г)	х + у = у + х;
(д)	(х + у) + z = х + (у + z);
(е)	х < х;
(ж)	0-х = 0;
(з)	s (х)-у = х-у + у;
(и)	х-у = у-х;
(к)	(x-y)-z = x-(y-z);
(л)	х-(у + z) = х-у + x-z;
(м) (x+y)-z = x-z + y-z.
21.	Доказать выводимость в Q формул:
(а)	(х + у = 0 D (х = 0 & у = 0));
(б)	(x-y=0 D (х = 0 v у = 0)).
22.	Доказать, что всякая модель теории Q бесконечна.
23.	Определить константу 0 и функции s, + и • так, чтобы моделью
теории Q стало множество:
(а)	</Г = {0,1,2,...};
(б)	^U{a} = {0, 1, 2, ...; а] (а £ Лу,
(в)	^U{fl, b} = {0, 1, 2, ... ; a, b} (а, b £ Л);
104
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(г)	vA'UvA" = {0, 1, 2, ...; afl, а2, ...) (а. £ ah' для всех i и
а. * а. при v*j).
24.	Можно ли определить константу 0 и функции s, + и • так,
чтобы моделью теории Q стало:
(а)	множество всех целых чисел;
(б)	множество всех неотрицательных рациональных чисел;
(в)	множество всех рациональных чисел?
25.	Доказать, что теория Р непротиворечива.
26.	Доказать зависимость аксиом теории Р.
27.	Доказать, что все формулы из задачи 20 являются теоремами
теории Р.
28*	. Доказать, что существует нестандартная (т. е. неизоморф-
ная системе Я) модель теории Р.
29.	Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р:
(а)	(х + z = у + z D х — у);
(б)	(л z = 0 Э (x-z = y-z D х = у)).
30.	Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р:
(а)	0<х;
(б)	((х<у & y<z) D x<z);
(в)	((х<у&у<х) D х = у);
(г)	(х<у vy<x);
(д)	л х<х;
(е)	x<s (х);
(ж)	0<s (х);
(з)	(x<yD -iy<x);
(и)	(х<у v у<х V х = у);
(к)	(х<у s s (х)<у);
(л)	х < х + у;
(м) (х<у = х + z < у + z);
(и)	(-1 у = 0 D х < х- у);
(о) (-1 х = 0 Z) (у < z = х-у < x-z)).
31*. Доказать, что для любой формулы А (х) с одной свободной
переменной х следующие формулы являются теоремами Р:
(а)	(V х (V z (z < х D A (z)) Z) А (х)) □ V х А (х)) (возвратная ин-
дукция) ;
(б)	(ЗхА (х) D Зу (А (у) & Vz (z<y D -i A (z)))) (принцип наимень-
шего числа);
(в)	(Vx(A (х) Э Зу(у<х & А (у))) D Vx-i А (х)) (метод бесконечно-
го спуска).
§ 7. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
105
32.	Введем следующие сокращения:
х — rest (у, z) ((x<z & Эи (у = и • z + х)) v (z = 0 & х = у));
Z =
(Эи (и<у & х = z-y + it) V (у = 0 & х = z)).
Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р:
(a)	VxVy3!z (z = rest (у, х)),‘
(б)	VxVy3!z (z = j .
33.	Записать формулу Пр (х) такую, что Пр (А^) является теоре-
мой теории Р тогда и только тогда, когда п—простое число.
34*. Введем следующие сокращения:
х/у 3z (у = x-z);
z = d (х, у) (z/x & z/y & Vu ((и/х & и/у) D и/z));
z = d (х,, .х ) Эи (z = d(x., и) & и = d , (хп, ..., х )) для п>2;
п' 1’ п' '	' 1	'	u-lv 2 п"
и = /3 (х, у, z) и = rest (х, 1 + y-(z + 1)).
Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р:
(a)	Vx. ... Vx 3!у (у = d (х , ...,х));
1 п х п v г
(б)	VxVyVz3!u (и = Д (х, у, z));
(в)	VxVyVzVu ((z = d (х, у) & и = rest (х, у)) Z) z = d (у, и));
(г)	VxVy ((-I х = 0 & -I у = 0 & d (х, у) = s (0)) О
□ 3z3u3v3h,(x-z = у и + s(0)&y-v = x-H’ + s (0)));
(д)	Vxj ... Vx, Vy, ... VyH ((dn (xp ..., xn) = A, & y,<^ & ...
&yn<xn> D 3z(resl (z,x,) =y, & ... & rest (z, xn) = yn));
(e) VxVyVzVu 3x13y1 (Vv (v<z □
=> Д (X, У, V) = Д (ХрУр V)) &Д (ХрУр s (z)) = u).
35*. Доказать, что любая теорема теории R является теоремой
теории Q.
36.	Будет ли независимой система формул
| п, р е и | п, р е и
и | п, р е л, п * pj и	| пе.л| и	?
37.	Доказать, что стандартная модель арифметики изоморфно
вложима в любую модель теории R.
38.	Доказать в ZF:
(а)	существование и единственность пустого множества 0:
3!х (х = 0);
106
Ч.И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(б)	существование и единственность пары:
VxVySlz (z = {х, у});
(в)	существование и единственность {х}:
Vx3!y(y = {х});
(г)	аксиому упорядоченной пары:
«*, У> = (z, u) D (х = z & у = и));
(д)	аксиому упорядоченной л-ки:
((х., ..., х ) = (у,, ..., у ) D (х, = у, & ... & X = у ));
'' 1’	’ п'	,Jn' v 1	n Jn''
(e)	существование и единственность множества подмножеств:
Vx3!y(y = P(x));
(ж)	существование и единственность прямого произведения:
VxVy3!z (z = хХу);
(з)	существование и единственность прямого произведения:
Vx, ...Vx 3!у (у = х, х ... Хх );
1 п	1	п'
(и)	существование и единственность области определения функ-
ции:
Vx (Fn (х) □ 3!у (у = д (х)));
(к)	существование и единственность Ux:
Vx3!y (у = Ux);
(л)	существование и единственность xUy:
VxVy3!z (z = xUy);
(м) существование и единственность хГ1у:
VxVy3!z (z = хПу);
(н) существование и единственность Пх для х 0:
Vx (л х = 0 D 3!у (у = Пх)).
39.	Доказать в ZF следующие теоремы:
(а)	л xGx;
(б)	л (xGy &у£х);
(в)	л (xGy & yGz & zGx).
40.	Доказать, что следующие утверждения об ординальных числах
являются теоремами ZF:
(a)	(Ord (z) D (y€=z Э (x€=y DxGz)));
(6)	((Ord (x) &yGx) □ Ord (y));
§ 7. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
107
(в)	(Ord (х) Z) W (х)), где W(x) есть формула, означающая, что G
есть полный иррефлексивный порядок на х;
(г)	((Ord (х) & у = xU{x}) D Ord (у));
(д)	((Ord (х) & Vy (Vz (zSy Z) A (z)) Z) А (у)))Э A (x)), где A (x) —
формула с одной свободной переменной x (трансфинитная ин-
дукция) ;
(е)	((Ord (х) & Ord (у)) Z) (xGy v yGx v x = у));
(ж)	((Ord (x) & -i x = 0) □ OGx);
(з)	((Ord (x) & Ord (y) & xGy) Z) VuVv ((Мл (и, x) &
&MA(v, y)) Z) и = v)).
41.	Доказать в ZF следующие теоремы:
(a)	(Vy (ySx Э Ord (y)) Z> Ord (Ux));
(6)	((-. x = 0 & Vy (yGx Э Ord (y))) Z) Ord(Ox));
(в)	3xL (x);
(r) 3!x (x = a>);
(д)	(Ord (a>) &0€=ai & Vx (x€w Z) xU{x}€=ai)).
42.	Доказать в ZF следующие теоремы:
(a)	(N (x) Z) Ord (x));
(6)	((N(x) &y6x) DN(y));
(в)	Vx (N (x) Z) 3!y (N (у) & у = s (x)));
(r) ((N (x) & jV (y) & s (x) = s (y)) D x = y);
(д)	-i s (x) = 0;
(e)	((N (x) & -i x = 0) Z) 3y (N (y) & x = s (y))).
43.	Доказать в ZF принцип индукции для натуральных чисел:
для любой формулы А(х) с одной свободной переменной х
((А (0) & Vx ((N (х) & А (х)) D A (s (х)))) Э Vy (N (у) D А (у))).
44.	Доказать в ZF следующие теоремы:
(a)	VxVy ((N (х) & W (у)) Z) 3!z (N (z) & х + у = z));
(б)	Vx (N (х) О х + 0 = х);
(в)	VxVy ((N (х) & N (у)) D х + S (у) = s (х + у));
(г)	VxVy ((N (х) & N (у)) Э 3!z (N (z) & х-у = z));
(д)	Vx (N (х) Dx-0 = 0);
(е)	VxVy ((N (x) & N (y)) Z) x s (y) = x-y + x).
45*. Доказать, что если А есть теорема теории Р, то формула
pN(A), полученная из А релятивизацией кванторов относительно
есть теорема теории ZF.
108
Ч П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
§ 8. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Фильтром над множеством I называется произвольный фильтр
на булевой алгебре Р(/), т. е. непустое подмножество D множества
Р(Г), удовлетворяющее условиям:
(а)	если X, Y<=D, то (ХПУ)еВ ;
(б)	если X&D, ХС YC.I, то Y&D;
(в)	и££).
Фильтр D, удовлетворяющий условию
(г)	для всех XQI имеет место XGB или (J\X)GP,
называется ультрафильтром над I.
Фильтр D называется главным, если он содержит наименьший
элемент.
Фильтр D называется счетно полным, если для любой счетной
системы элементов D ее пересечение принадлежит D.
Пусть 7 = т>К0. Фильтром Фреше над I называется любой
фильтр над /, содержащий Ф = {% | XQI и 1\Х < т}.
Пусть ЗЛ] = (М ; а) и ЗЛ2 = (Л^2; ст) — алгебраические системы.
Отображение <р:	-» М2 называется гомоморфизмом из ЗЛ] в ЗЛ2,
если для любых by..., b &Му
(а)	ЗЛ] \=Рп (by ..., bn) => №2|=Р" (<р (йр,..., <р (bnJ) для любого
предикатного символа Рм£сг;
(б)	<р (F*1 (by bn)) = F11 (tp (Z>]), ...,<p(b^) для любого функцио-
нального символа P”Ccr;
(в)	<р (а) = а для любой предметной константы а€=сг.
Гомоморфизм >р: ЗЛ]-»ЗЛ2 назовем сильным, если выполняется ус-
ловие
(г)	если ЗЛ2 |=Р" (р (5]), ..., <р (ЬпУ), то существуют by ..., bf'GM
такие, что<р (bj = <р (Ь’), ..., <р (bj = <р (Ь'п) и ЗЛ] ^Рп (Ь’, ..., Ь^).
Взаимно однозначное соответствие <р между М} и М2 назовем изо-
морфизмом между ЗЛ] и ЗЛ2, если <р и у>-1 есть гомоморфизмы. Если
ЗЛ] изоморфно ЗЛ2, то пишем ЗЛ} ЗЛ2>
Пусть	— семейство алгебраических систем сигнатуры а,
М. — основные множества ЗЛ..
i	i
Прямым произведением систем ЗЛ (IGF) назовем алгебраическую
систему Пя,=<П Му	где:
fez ге/
§ 8. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
109
(а)	для каждого предикатного символа Рпео
/е/
для каждого /е/;
(б)	для каждого функционального символа
(fv со = f* ...,/яа)у,
(в) для каждой предметной константы а€=ст
а (z) = а.
Пусть D — фильтр над I. Определим на М отношение
(е/
f ~DS о {i\f®=g(i№>
и пусть
f/D = {g| f ~D 5},
Y[m./d= J//Dj/en^
ig/	ie/
Полагаем для предикатного символа Рн из о
P^/D,	= и о {i| !Ш1 |=
для «-местного функционального символа F*1 из ст
F” (fjD, ...Jn/D) =	(/р ...,/*)/!)
и для предметной константы а из ст
а= al D.
Система ЗЛ = Пшп =	М. /D; о) с так определенными пре-
;е/	/е/
дикатами и функциями называется фильтрованным, (или приведен-
ным) произведением систем ЗЛ по фильтру D.
Если!) — ультрафильтр, то ]^[ЗЛ.ЛО называетсяулыпрапроизве-
ief
дением; если все ЗЛ. совпадают и равны ЗЛ, то Р|ЗЯ./О называется
ief
ультрастепенью ЗЛ и обозначается ЗП^/Р).
Назовем формулу А (хг,...,	сигнатуры о условно фильтрую-
щейся по фильтру D над!, если для любых алгебраических систем
ЗЛ.(г€=!) сигнатуры ст и любых ...,/^GpJ М. из того, что
/е/
по
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
{i | ЗП.^Д^ (i),...,/n(i))}GD,
следует, что
ПЗЛ./П|=Л(/1/Л...,/п/Р).
Будем говорить, что формула А (Хр ..., х^) сигнатуры а фильт-
руется по фильтру D над I, если для любых алгебраических систем
ЗЛ. (г£7) сигнатуры о й любых /,..., fn& М.
iei
{i | ЗЛ.|= A	.., fn (г))} &D о J] ЗЛ./D |= A (fr/D, .fjD).
iei
1.	Доказать, что если D — фильтр над /, то IGD.
2.	Пусть XQI. Доказать, что {У | УС/ и XQ У} есть фильтр над I.
3.	Пусть D— фильтр над I и J&D. Показать, что = {ХГ)71XGD}
есть фильтр над J, а также, что если D — неглавный фильтр, то —
также неглавный фильтр.
4.	Доказать, что если какое-нибудь конечное множество принад-
лежит фильтру, то этот фильтр главный.
5.	Доказать, что всякий неглавный ультрафильтр содержит все
множества, имеющие конечные дополнения.
6.	Доказать, что фильтр D над I есть ультрафильтр тогда и только
тогда, когда D является максимальным множеством в множестве всех
фильтров над I, упорядоченном по включению.
7.	Доказать, что во множестве Ф всех фильтров над I, упорядочен-
ном по включению, {/} есть наименьший элемент. Показать также,
что если I > 2, то в Ф нет наибольшего элемента.
8.	Доказать, что для того, чтобы над I существовал фильтр, содер-
жащий множество SQP (Г), необходимо и достаточно, чтобы пересе-
чение любого конечного числа элементов из S было непусто.
9.	Пусть I — бесконечное множество мощности а и
Ф= {X | XQI пХ<а].
Доказать, что Ф есть фильтр над I.
10.	Доказать, что система W подмножеств множества / содержится
в некотором фильтре Фреше тогда и только тогда, когда каждое пере-
сечение конечного числа множеств системы Ф имеет мощность, рав-
ную мощности множества /.
§ 8. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
111
11.	Показать, что каждый неглавный ультрафильтр над счетным
множеством будет фильтром Фреше.
12.	Пусть F — фильтр над I, A С/ и FA = {ХГУА | X&F}. Доказать,
что для того, чтобы Fa было фильтром над А, необходимо и достаточ-
но, чтобы для любого XGzF было XCiA 0.
13.	Пусть F — ультрафильтр над I, AQI и FA =	| X&F}.
Доказать, что для того, чтобы F было ультрафильтром над А, необ-
ходимо и достаточно, чтобы А принадлежало F.
14*	. Показать, что всякий фильтр можно расширить до ультра-
фильтра.
15.	Доказать, что всякий фильтр является пересечением всех со-
держащих его ультрафильтров.
16.	Пусть F и G — фильтры над I. Доказать, что
РПС={ХиУ| X&FvlY&G}.
17.	Доказать, что если объединение конечной последовательности
{А}|<я подмножеств множества I принадлежит ультрафильтру F, то
по крайней мере одно из множеств А принадлежит F.
18.	Пусть F — ультрафильтр, a Gp ..., G»— фильтры над I. До-
казать, что если F2 GjCl ... G\Gn, то существует такое i (1<г<м), что
F^G..
i
19.	Пусть множество J бесконечно. Построить ультрафильтр F и
семейство ультрафильтров	такие, что /Q Г1 G-, но F не со-
1	jEJ
держит G. ни для какого j.
20.	Доказать, что П X, где F—ультрафильтр, содержит не более
хег
одной точки.
21.	Пусть D — фильтр над I и — —некоторое отношение эквива-
лентности на /. Пусть D~ = {В | ЗА (AGD & В = {[х]~ | xGA})}. До-
казать, что:
(a)	D ~ — фильтр над I/ ~;
(б)	если D—ультрафильтр, то D ~ —ультрафильтр;
(в)	если D—ультрафильтр и [х] ^.D для любого х, то D — не-
главный ультрафильтр.
112
ЧЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
22.	Доказать, что фильтр D над / является счетно полным тогда и
только тогда, когда не существует убывающей последовательности
XnZ>X,	. элементов X.&D такой, что П X. = 0.
ie._/K
23.	Доказать, что ~ D есть отношение эквивалентности на	М..
iei
24.	Доказать, что если~о	...,/n ~ R gn, то:
(а) Р” ЩЮ,..., fjD) = Рп (gjD,..., gjD^
«Ыи,.......^-вг"<г..........«.)•
25.	Доказать, что для любого I
П
/е/ iei
где D = {/}.
• 26. Доказать, что каноническое отображение <р: 5Л. -П jn./z>.
iei iei
где <р (f) = ft Dy является гомоморфизмом	ЭТС на	№./D. Показать,
16/ iei
что в общем случае этот гомоморфизм не является сильным гомомор-
физмом.
27.	Доказать, что если предложение, не содержащее пиЭ, истин-
но на прямом произведении JJI, то оно истинно на фильтрованном
iei
произведении	JJI./D по любому фильтру D.
28.	Доказать, что если D, Dy—фильтры над I и DQD{, то отобра-
жение <р, определенное условием >р (flD) = flD{, является гомомор-
физмом JJ 5R.ID на Пт№-
iei	iei
29.	Пусть JGzD, D — фильтр над I. Показать, что
П™Л° “ П"1/0,-
<6/	jel
где Dj — фильтр, образованный пересечениями J с множествами филь-
тра D. В частности, если D — главный фильтр, состоящий из подмно-
жеств множества J, то
п™./д«пт/
iei fej
§ 8. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
113
30.	Пусть I конечно и D — фильтр над I. Доказать, что JR./D
i&
изоморфно прямому произведению некоторых систем 5Л(..
31.	Пусть {Iк | к&К} — разбиение I и пусть над заданы фильтры
Dk, а над К — фильтр D*. Показать, что
D = {XQI | {£ I k&K и XDI^D^&D*}
есть фильтр над I и для любых №. (i&I)
1Е7	16 К /6/
к
(ассоциативный закон для фильтрованных произведений).
32.	Доказать, что если пересечение J всех множеств фильтра D над
I непусто и не принадлежит D, то
П®,/Й“П’МП
iei	jef t&r
где J' = I\J и D},— фильтр над образованный пересечениями J' со
всеми множествами фильтра D.
33.	Пусть р.:	— гомоморфизмы, р (f/D) = (р' (f))/D, где
(,р' (/)) 0) ~	(/(/)) для /6	JR(., /GJ. Доказать, что тогда р есть
i&l
гомоморфизм JR ./Z) в TI./D. Доказать, что если р.— сильные
ie/	iei
гомоморфизмы (изоморфизмы), то таким же является ир.
34.	Пусть р есть взаимно однозначное соответствие между I и
/, D — фильтр над I, — {р (X) | XGD}. Доказать, что
ПЗЯ./D ПЗП -v. /D..
Hi	11 <р (j)	1
16/	j&J
35.	Пусть {С. | zG/} — семейство множеств, на I задано отно-
шение эквивалентности - такое, что z ~ /=> С. = С.. Доказать, что
|,ля любого ультрафильтра D над I существует изоморфное вложение
ПС ID в ТПс./£>, где D~ строится, как в задаче 21, а С = С.для
&//-	tei
t&H ~ и zGa.
114
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
36.	Пусть — семейство всех конечных непустых подмно-
жеств множества I, {ЗЛ.} — семейство алгебраических систем сигна-
туры а. Доказать, что существует фильтр D над К такой, что для
любого фильтра D^D над К существует изоморфное вложение
йт''
ГИП1",)'0,-
кек tel
к
37.	Доказать, что если А и В условно фильтруются по фильтру D
над I, то (А & В), ЗхВ, УхА также условно фильтруются по D.
38.	Доказать, что если А и В фильтруются по фильтру D над /, то
(Л & В), ЗхА также фильтруются по D.
39.	Доказать, что атомные формулы фильтруются по любому
фильтру.
40.	Пусть А фильтруется по ультрафильтру D. Доказать, что ->Л
фильтруется по D.
41.	Доказать, что всякая формула фильтруется по любому ульт-
рафильтру (теорема Лося).
42.	Пусть А фильтруется по фильтру D над /, а В условно фильт-
руется по D. Доказать, что (ЛЭВ) и ->Л условно фильтруются по D.
43.	Назовем формулу хорновской, если она получается из формул
вида пЛ, (ЛЭВ), В, где Л — конъюнкция атомных формул, а В —
атомная формула, при помощи операций конъюнкции и навешивания
кванторов. Доказать, что хорновские формулы условно фильтруются
по любому фильтру.
44.	Доказать, что ультрапроизведение линейно упорядоченных
множеств линейно упорядочено.
45.	Доказать, что фильтрованное произведение предупорядочен-
ных множеств предупорядочено.
46.	Доказать, что фильтрованное произведение частично упорядо-
ченных множеств частично упорядочено.
47.	Доказать, что фильтрованное произведение групп есть группа.
48.	Пусть конечная система И содержит п элементов. Доказать,
что любая ультрастепень ЗЛ содержит также п элементов.
49.	Показать, что если мощности всех сомножителей не превосхо-
дят натурального числа п, то мощность ультрапроизведения не пре-
восходит п.
50.	Доказать, что любое фильтрованное произведение бесконеч-
ных систем бесконечно.
§ 8. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
115
51.	Пусть для каждого п в семействе }(-е/ имеется лишь конеч-
ное число систем мощности п. Доказать, что в этом случае ультра-
произведение f| ЗЛ./Z) по неглавному ультрафильтру D бесконечно,
гб/
52.	Доказать, что если для любого i&I имеем ЗЛ. < 31., то для
любого фильтра D над I
JfSn./D <	31./D.
ie/
53*	. Пусть все сомножители 5П (г£._/Г) конечны, D — ультра-
фильтр над и {/ | ЗЛ. = n}($.D для каждого п&.Л'. Доказать, что
f| ЗЛ./D имеет мощность континуума.
54.	Пусть все сомножители ЗП; (г'6._/Г) конечны или счетны, D —
неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел «Ж и
имеем {z | ЗЛ. = n}(£D для каждого натурального п. Доказать, что
мощность ЭЛ JD равна континууму.
55*	. Доказать, что если D—несчетно_полный ультрафильтр над / и
для каждого натурального п имеем {z | ЗЛ(. = n}£D, то f| ЗЛ.//Эимеет
/е/
мощность не меньше континуума.
56.	Пусть все ЗЛ;. (z'GT) счетны и D — счетно полный ультрафильтр
над I. Доказать, что f| 3R(. /D =
iei
57.	Пусть {А:, <) — частично упорядоченные множества
причем А. содержит i минимальных элементов. Какова мощность мно-
жества минимальных элементов в ультрапроизведении f| AJ D, если
D — неглавный ультрафильтр над
58*	. Доказать, что для каждого бесконечного множества / сущест-
вует такой фильтр D над /, что для каждого фильтра над /, содержа-
щего D, и каждой бесконечной системы ЗЛ
ЗЛ7/^ > 27.
116
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
59.	Доказать, что для любой бесконечной алгебраической системы
ЗЛ и любой данной мощности m существует ультрастепень системы ЗЛ,
мощность которой больше т.
60*. Доказать, что если D — не счетно полный ультрафильтр над /
и алгебраическая система ЗЛ бесконечна, то естественное вложение
р: ЗЛ-»ЗЛ//£>, т. е. р (а) = f/D, где / (г) = а для всех zG/, не будет вза-
имно однозначным соответствием между ЗЛ и ЗЛ7 /D.
§ 9.	АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ
Обозначим через класс всех алгебраических систем сигна-
туры сг. Класс К алгебраических систем сигнатуры сг назовем аксиома-
тизируемым, если существует элементарная теория Т (К) сигнатуры
сг такая, что К есть семейство всех моделей теории Т(К). Система
аксиом S для теории Т (К) называется системой аксиом для К.
Класс К называется конечно аксиоматизируемым, если существу-
ет конечная система аксиом для К. Класс К называется универсально
аксиоматизируемым, если существует система аксиом для К, со-
стоящая из V-формул. Алгебраические системы из класса К будем
называть К-системами. К-подсистемой (К-расширением) данной
системы ЗЛ будем называть систему из класса К, являющуюся под-
системой (расширением) 50. Класс К назовем абстрактным, если
вместе с каждой алгебраической системой К содержит все ей изоморф-
ные алгебраические системы. Системы ЗЛ = {М; а) и ЭЛ = (М1; а) назо-
вем элементарно эквивалентными, если для любого предложения А
сигнатуры ст
ЭЛ |= А о ЭЛ' |=Л.
Отображение^: М -» М' назовем элементарным, если для любой
формулы А(х1, хп) и любых т^,..., т^М
ЗЛ |=А (mv ..., тд) Эй' |=А (у (mJ, ...,<f>(mj).
Система ЗЛ' называется элементарно вложимой в ЗЛ, если сущест-
вует элементарное отображение ЗЛ' в Эй.
ЗЛ называется элементарной подсистемой Эй', а ЗЛ'—элементар-
ным расширением ЗЛ (символически ЗЛ ч ЗЛ'), если:
a)	ЗЛ — подсистема Ж';
б)	тождественное отображение ЗЛ в 50* является элементарным.
Пусть ЗЛ = (А/; о) есть подсистема системы ЗЛ'. Говорим, что 30
есть подсистема, порожденная множествам AQM, если ЗЛ есть наи-
меньшая подсистема системы ЭЛ ’, содержащая множество А.
§ 9. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ
117
Подмоделью алгебраической системы ЗЛ = (Л/; о) называется лю-
бая подмодель модели ЗЛ' = (М; а'), где а' получается из а заменой
всех функциональных символов /"на предикатные символы и
ЗЛ' |=Р"+1 (т.,...,т , т .) о ЗЛ (т., т ) = т ...
If v 1’ п п+1' I J v Г ’ п’ п+1
Диаграммой алгебраической системы ЗЛ = (М; о) называется мно-
жество D (ЗЛ), составленное из всех истинных в ЗЛ атомных предло-
жений, относящихся к системе ЗЛ, и их отрицаний:
Д(ЗЛ) = jp"(mr mn)| Р"ео, т^	ЗЛ^/Пр mn)}u
u|-iPn (т,, т ) I Р"бсг, т,,..., т €М, ЗЛ k-iP" (т,,..., т
1	4 1 п' ’	1м	1 х 1	’ м7 j
Полной диаграммой алгебраической системы ЗЛ = (М; о) называ-
ется множество Р7)(ЗЛ) всех истинных в ЗЛ предложений сигнатуры и,
относящихся к системе ЗЛ.
1.	Доказать, что класс Кд аксиоматизируем.
2.	Доказать, что объединение и пересечение аксиоматизируемых
классов являются аксиоматизируемыми.
3.	Пусть Л" — аксиоматизируемый класс, ЗЛе/С и ЗЛ' изоморфна ЗЛ.
Показать, что ЗЛ'еХ.
4.	Пусть К—аксиоматизируемый класс, {i | zGZ, ЗЛ GXjGZ), где
D — ультрафильтр над /. Доказать, что	ЗЛ;/D GK.
5.	Доказать, что если класс К алгебраических систем аксиома-
тизируем, то класс К' всех бесконечных систем из К также аксиома-
тизируем.
6.	Пусть К — аксиоматизируемый класс, содержащий конечные
системы со сколь угодно большим числом элементов. Построить беско-
нечную систему из класса К. Доказать, что К содержит бесконечную
систему мощности континуума.
.	7. Доказать, что не являются аксиоматизируемыми:
(а)	класс конечных групп;
(б)	класс конечных абелевых групп;
(в)	класс циклических групп.
8.	Доказать, что класс полей конечной характеристики неак-
сиоматизируем.
118
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
9.	Пусть Я1о = (Мо; <), JT^ = {М^; <), ...— семейство вполне упо-
рядоченных множеств такое, что ^+1	к+1. Доказать, что ультра-
произведение U IH./.D вполне упорядоченно относительно < тогда и
ie.yf
только тогда, когда D — главный ультрафильтр. Вывести отсюда, что
класс вполне упорядоченных множеств неаксиоматизируем.
10*. Доказать, что класс К аксиоматизируем тогда и только тогда,
когда он замкнут относительно ультрапроизведений и элементарной
эквивалентности.
11*. Доказать, что элементарная теория Т имеет модель тогда и
только тогда, когда выполнимо каждое конечное подмножество TqQT
(локальная теорема Мальцева).
12.	Доказать, что любая непротиворечивая теория имеет модель
(теорема о существовании модели).
13.	Доказать, что для того, чтобы класс К был конечно аксио-
матизируем, необходимо и достаточно, чтобы К и его дополнение
Ка\К были аксиоматизируемы.
14.	Пусть К—конечно аксиоматизируемый класс и PJ JK./D еК,
1£/
где D — ультрафильтр над I. Доказать, что {z | 'JT1 .G/Q&D.
15.	Пусть К—аксиоматизируемый класс, содержащий конечные
системы со сколь угодно большим числом элементов. Доказать, что
класс бесконечных систем из К не является конечно аксиоматизи-
руемым.
16.	Доказать, что не являются конечно аксиоматизируемыми
классы:
(а)	бесконечных групп;
(б)	бесконечных частично упорядоченных множеств;
(в)	бесконечных линейно упорядоченных множеств.
17.	Доказать,что класс полей характеристики 0 не является конеч-
но аксиоматизируемым.
18.	Пусть теория Т имеет бесконечную модель. Доказать, что для
любого бесконечного кардинального числа m существует модель для
Т, мощность которой больше, чем m (теорема Мальцева о расши-
рении).
19.	Пусть для любого теория Т имеет модель мощности,
большей п. Доказать, что для любого бесконечного кардинального
числа m существует модель для Т, мощность которой больше, чем т.
20*. Доказать, что если каждое конечное обеднение конечной под-
модели модели Я1 изоморфно вложимо в некоторую модель из класса
§ 9. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ
119
моделей К, то ЗЛ изоморфно вложима в подходящее ультрапроизве-
дение моделей из К.
21.	Пусть D (ЗЛ) есть диаграмма системы ЗЛ = (М; а) и
ЗЛ' = (М'; oUM) — модель для D (ЗЛ). Доказать, что ЗЛ изоморфно
вложима в (М; а).
22.	Пусть ЗЛ = (Л/; а) — конечная алгебраическая система конеч-
ной сигнатуры. Доказать, что существует 3-предложение А сигнатуры
а такое, что для любой системы ЗЛ = (М; а) А истинно в ЗЛ тогда
и только тогда, когда ЗЛ' изоморфно вложима в ЗЛ.
23.	Пусть а—конечная сигнатура, ЗЛ. = {М.\ a) (i&I)—система ко-
нечных алгебраических систем сигнатуры а и существует п такое, что
ТЯ. < п. Доказать, что для любого ультрафильтра D над / существует
ZqG/такое, что
24.	Пусть ЗЛ = (М; сг) —алгебраическая система, А—непустое под-
множество Ми ЗЛ. = (М; сг) (1(=Г)—семейство всех подсистем в ЗЛ та-
ких, что ЗЛ.2Л. Доказать, что ЗЛ = (П М.; сг) есть подсистема в ЗЛ,
'	/е/ '
порожденная множеством А.
25.	Доказать, что если ЗЛ( = (М^ а) есть подсистема системы ЗЛ,
порожденная множеством А, то есть множество всех значений тер-
мов сигнатуры а, когда переменные принимают значения в мно-
жестве А.
26.	Пусть ЗЛ = (М; а), А — непустое множество М. Доказать, что
подсистема ЗЛ', порожденная множеством А, имеет мощность не более
чем max {И, о, Ко).
27.	Доказать, что каждый аксиоматизируемый класс состоит из
обеднений алгебраических систем некоторого универсально аксиома-
тизируемого класса.
28.	Доказать, что каждая система из аксиоматизируемого класса
К конечной сигнатуры содержит конечную или счетную /С-подсис-
тему.
29.	Пусть К — аксиоматизируемый класс, сигнатура а которого
имеет мощность р и пусть ЗЛ = (М; а) — некоторая Х-система. Дока-
зать, что каждое подмножество ДСМ, имеющее мощность т, со-
держится внутри подходящей К-подсистемы системы ЗЛ мощности не
выше р + m + Rq (теорема Левеигейма—С кулема).
120
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
30.	Доказать, что каждая бесконечная система ЗЛ = (М; сА ак-
сиоматизируемого класса К допускает ^-расширение любой налеред
заданной мощности, большей Л7 + а.
31*. Построить пример аксиоматизируемого класса К такого, что
класс К содержи! конечные модели со сколь угодно большим числом
элементов, а все бесконечные модели из К имеют мощность не меньше
мощности континуума.
32*. Построить пример аксиоматизируемого класса К такого, что в
К существует счетная модель, а все отличные от нее модели класса К,
являющиеся расширениями этой модели, имеют мощность, не мень-
шую мощности континуума.
33*. Доказать, что если аксиоматизируемый класс К содержит сис-
тему мощности m>R0, то для любого n>2m существует АГ-система
мощности п.
34.	Предположим, что справедлива обобщенная гипотеза конти-
нуума: для любых кардинальных чисел m, п из т<п<2т следует, что
m = и Или n = 2т. Доказать, что тогда для любого аксиоматизи-
руемого класса К справедливо в точности одно из следующих условий:
(а)	мощности конечных систем из К ограничены некоторым нату-
ральным числом, и К состоит лишь из конечных систем;
(б)	мощности конечных систем из К ограничены некоторым нату-
ральным числом, и существует бесконечное кардинальное число m
такое, что для любого бесконечного кардинального числа п класс К
содержит модель мощности п тогда и только тогда, когда n>m;
(в)	мощности конечных систем из К не ограничены, и существует
бесконечное кардинальное число т<2^о такое, что К содержит систе-
му бесконечной мощности п тогда и только тогда, когда n>m.
Привести примеры классов для каждого из случаев (а), (б), (в).
35.	Доказать, что если <р: М -*М' — элементарное отображение, то
(р одно-однозначно и для каждой формулы A (х[Г ..., хп) и любых
т,, т GAf имеем
Г ’ п
m И (т1’ •••’	|=Л (mJ,
36.	Пусть Л =	; <), ЗЛ = (М; <), где —множество натураль-
ных чисел, М—множество положительных целых чисел. Показать,
что Л и ЗЛ элементарно эквивалентны, но Л не является элементарным
расширением ЗЛ.
37.	Пусть М—множество четных чисел, ЗЛ = (М; <), Л =	<),
где <— обычный порядок. Является ли ЗЛ элементарной подмо-
делью Л?
§ 9. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ
121
38.	Пусть St = (d?; + , ) — поле действительных чисел, € =
={*%', +, •) — поле комплексных чисел. Является ли С элементарным
расширением St?
39.	Доказать, что для любого ультрафильтра D над I каноническое
отображение <р: ЗЛ-*®7//), определенное условием <р (Ь) = ///), где
f (i) = b для всех is/, является элементарным вложением ГО в ЗЛ71D.
Доказать, что если ГО — конечная система, то<р есть изоморфизм ГО на
ГО7//).
40.	Пусть ЗЛ^ = (А/^; —) — линейно упорядоченные множества
(и€сЖ); Мп содержит 2п + 1 элемент.
(а)	Построить изоморфизм множества целых чисел (Z; <) в
ГО.//), если D — неглавный ультрафильтр на <Ж.
lG«/f
(б)	Будет ли этот изоморфизм элементарным отображением?
41.	Пусть £/)(ЗП) есть полная диаграмма системы ЗЛ = {М; а) и
ГО' = (М’; cAJM)—модель для ^/>(ЗЛ). Доказать, что ГО элементарно
вложима в {М'; а).
42.	Доказать, что для любой бесконечной системы ЗЛ = (М; а} и
любого кардинального числа m существует элементарное расширение
системы ЗЛ мощности, большей т.
43.	Пусть ЗЛ = (Л/; а) есть подсистема системы ЗЛ' = (А/'; а). Дока-
зать, что для того, чтобы ГО была элементарной подсистемой ЗЛ',
необходимо й достаточно, чтобы для любой формулы А (х[г ..., xf, у)
сигнатуры а и любых	из ЗЛ' |= ЗуЛ (т , ..., пгп, у) следо-
вало существование такого т&М, что ЗЛ (= А (ггц, ..., т^, т).
44.	Доказать, что каждая бесконечная система конечной или счет-
ной сигнатуры а является элементарным расширением счетной систе-
мы сигнатуры ст.
45.	Пусть ЗЛ = (А/; ст}—бесконечная система, XQM и m — такая
мощность, что шах{ст, X, ?<0}<т<М. Доказать, что существует эле-
ментарная подсистема ГО' = (Л/'; ст) мощности m такая, что XQM'.
46.	Пусть ЗЛ = (Л/; ст) — бесконечная система и m>max{A7, ст}. До-
казать, что ГО обладает элементарным расширением мощности гл.
47	. Пусть ГОр ..., ®п, ...—множество систем таких, чтоЗЛ.+ 1 есть
элементарное расширение ЗЛ; для любого i . Доказать, что U33L есть
элементарное расширение каждого ЗЛ..
122
Ч.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
48*. Доказать, что класс К аксиоматизируем тогда и только тогда,
когда К является абстрактным, замкнутым относительно ультрапро-
изведений и замкнутым относительно взятия элементарных под-
систем.
49*. Доказать, что класс К систем сигнатуры а универсально ак-
сиоматизируем тогда и только тогда, когда для любой системы ЗП
сигнатуры а из т го, что каждое конечное обеднение каждой конечной
подмодели систе <ы ЗЛ изоморфно вложимо в некоторую /(-систему,
следует, что ЗЛ п инадлежит К.
50.	Показать, что класс К тогда и только тогда универсально
аксиоматизируем, когда К является замкнутым относительно ультра-
произведений,абстрактным и наследственным (замкнутым относи-
тельно взятия подсистем).
51.	Пусть класс К аксиоматизируем, a SK— класс систем, изо-
морфных подсистемам /(-систем. Доказать, что класс SK универсаль-
но аксиоматизируем.
52*. Доказать, что для того, чтобы ЗЛ и ЗЛг были элементарно
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой
ультрафильтр D над I, для которого существует элементарное отобра-
жение ЗЛ вЗЛ^/£).
53.	Доказать, что если ЗЛ и ЗЛ{ элементарно эквивалентны и ЗЛ
конечна, то ЗЛ2 конечна и изоморфна ЗЛ.
54.	Доказать, что для того, чтобы непротиворечивая теория Т была !
полной, необходимо и достаточно, чтобы все ее модели были элемен-
тарно эквивалентны.	j
55.	Показать, что класс моделей категоричной теории состоит (с J
точностью до изоморфизма) из одной конечной системы. (Теория на- |
зывается категоричной, если все ее модели изоморфны.)	j
56.	Пусть Т—элементарная теория, не имеющая конечных моде-
лей, которая m-категорична в некоторой бесконечной мощности m. i
Доказать, что Т—полная теория. (Теория называется т-категорич- 9
ной, если все ее модели мощности m изоморфны.)
57.	Доказать, что теория плотно упорядоченных множеств (см. за- ;
дачу 13 из § 5 части I) без наименьшего и наибольшего элементов
является полной.
58.	Пусть Г—полное множество предложений сигнатуры ст, Г0ЭГ,;
Г^Г—два непротиворечивых множества предложений таких, что все
предметные константы из TQ и все функциональные и предикатные
символы из Tj входят в ст. Доказать, что множество r^UFj непротиво-
речиво.
§ 9. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ
123
59.	Пусть Г — полное множество предложений сигнатуры и, А —
предложение, все предметные константы которого входят в а,
Ги{А} непротиворечиво. Доказать, что если Г выполнимо в системе
ЗЛ = (М; ст), то множество {A} и/7)(ЗЛ) непротиворечиво.
60.	Пусть ЗЛ = (М; а) есть обеднение системы ЗП( = (М; ст(),
ЗЛ2 = (М2; ст) — элементарное расширение ЗЛ. Доказать, что существу-
ет элементарное расширение ЗЛ3 =	) системы ЗЛГ такое, что
(М3; ст) есть элементарное расширение ЗЛ2.
61	. Пусть Г—полное множество предложений сигнатуры ст, А—
предложение сигнатуры ст( Эст, В —предложение сигнатуры и
ст1 Г)ст2 = ст, причем все предметные константы А и все предметные
константы В входят в ст. Доказать, что если Ги{А} и Ги{В} непротиво-
речивы, тоГи{А, В} непротиворечиво.
62.	Пусть Г—полное множество предложений сигнатуры ст, А—
предложение сигнатуры Эст, В — предложение сигнатуры т2Эст и
ст1^2 = а- Доказать, что если ГО {А} и Ги{2?} непротиворечивы, то
Ги{А, В} непротиворечиво.
63*. Пусть А—предложение сигнатуры ст1, В — предложение сиг-
натуры ст2 и н (AD5) в ИП, а -IА и В невыводимы в ИП. Доказать, что
ст = CTj Пст2 непусто и существует предложение С сигнатуры ст такое,
что и- (АЭС) и к (СЭВ) в ИП (интерполяционная теорема дляИП).
ЧАСТЬ III
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
§ I. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Будем изучать частичные числовые функции fn(x^, х^)
(и =1,2,...), т. е. функции, определенные на некотором под-
множестве	с натуральными значениями. Для любых
йр ...,	и любых функций / ng пишем f(a. , ..., а.) =
= g (а. ,..., а.), если значения / (п. , ..., а. ' и g (а. ,..., а.) не опреде-
лены или эти значения определены и совпадают.
л-местная функция/”(хг, ..., xf() называется всюду определенной,
если <3yi = t/F'1.
Следующие всюду определенные функции назовем простей-
шими'.
№(х) = х + 1,
о\х) = О,
1п(х.,..., X ) = х (при1<м<и).
Г ’ и' т г
Будем говорить, что функция
hn (х., ..., х ) = g"1 (/,” (х., ..., х ),	(х.,..., х ))
4 Г ’ п* ° v 1 v Г п' '•'т'' V п"
получается с помощью оператора суперпозиции из функций g"1,
Скажем, что функция
Л'*(х,,...,х ) =/" (Z,, ..., Г )
v 1’	’ n7 v Г
получается с помощью оператора подстановки из функций g,
/р если t. = f. (х. , ..., х.), грех, есть одна из переменных
X],..., хп или f есть одна из переменных xt, ..., х((.
Скажем, что функция/,1+1 (д х , у) получается из функций
gn (Xj,..., хп) и hn+2 (Хр ..., хп, у, z) с помощью оператора при-
§ 1. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
125
мипгивной рекурсии, если она может быть задана схемой примитив
ной рекурсии:
fn+i(xv...,xn, 0) = /1(Хр...,хд),
fn+l (х1,...,хп,у+ 1) = hn+2 (xv...,xn,y,fn+i (хр .... хп,уУ).
Для п — 0 схема примитивной рекурсии имеет следующий вид:
/(0) = а,
f(y+ l) = g(y,/(y))-
 где а — постоянная одноместная функция, равная числу а.
Я Будем говорить, что функция fn (х(, ..., х^) получается из функ-
Я ции gw+1 (Хр ..., х , у) с помощью оператора минимизации (р-опе-
Я ритора), и обозначать
Я	fn(xv ...,xn)=py[gn+i (Xp Хп,у) = 0],
Я если выполнено условие: /” (Хр ..., х^) определено и равно у тогда и
Я только тогда, когда g (Хр ..., х^, 0),.g (Хр ..., х^, у — 1) определены
Я и не равны 0, a g (Хр ..., хп, у) = 0.
Я Функция/(Xj, ..х^) называется примитивно рекурсивной (прф),
Я если она может быть получена из простейших функций с помощью
Я конечного числа применений операторов суперпозиции и примитив-
Я ной рекурсии.
Я Функция/(Хр хп) называется частично рекурсивной (чрф),
Я если она может быть получена из простейших функций с помощью
। Я конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной
’ Я рекурсии и минимизации.
Я Функция f (Хр ..., хп) называется общерекурсивной (орф), если
Я она частично рекурсивна и всюду определена.
Я Говорим, что функция /”(Хр..., хд) получается из функций
&Я е "+1 (Хр ..., x(j, у) иЛл (Хр ..., х^) спомощью ограниченного р-опе-
Я ратора, если ру [g”+1 (хр ..., хп, у) = 0) определено для всех
Я v,,..., х и не больше, чем h (х.,..., х ), и
z/Л	fn (xv ...,х^=ру\^ (хр ..., хд, у) = 0J.
II ......................................................а»
126
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Говорим, что функция /га+1 получается из g”, A”+s+1, /J,	?
возвратной рекурсией, если она может быть задана схемой
fn+\xv...,xn, 0) = gn(xv...,xn),
хп, у+1)= hn+s+l(x},хп, y,f(Xi.....хп, Г,(у + 1)), ...
..„/(Xj, ..., Хп, ts(y+ 1))),
где (у + 1)<у, ..., ts (у+ 1)<у.
Используем обозначение
/" (хр ..., хп) =/zy[g(x1,..., хп, у) = h (хр ..., хп, у) J,
если выполнено условие: fn (Хр..., х^) определено и равно у тогда i
только тогда, когда (хр .. , х , i) и й (хр хд, i) определены
для i = 0, 1,..., у, но ^(Хр х , О Л (Хр ..., х , i) при i<y v
g(xv...,xn,y) = h(xl.....xn,y).
Подобным образом используются обозначения:
Wig (xt...хп, у) * й (хр ..., хп, у) ],
МУ[£(Хр ;Хп, у) <Л(Хр ..., Хп,у)],
fiy[g(xi,...,xn,y)<h(xv...,xn,y)] и т.д.
Будем говорить, что функция / (х) получается из функции g (х)
помощью итерации, и обозначать / (х) = ig (х), если
J/(0) = 0,
{Лх+ l) = g(/(x)).
Будем говорить, что функция / (х) получается из функции g (х)
помощью обращения, и обозначать f (х) = g~\x), если
/(х) =ду[£(у) = х].
Пусть G —
Функцию F п+1
некоторое семейство л-местных частичных
функций

назовем универсальной функцией для G, если
G = {F(O, хр...,хи),/-(1,хр...,хп),...}.
1. Доказать, что любая примитивно рекурсивная функция всюд
определена.
2. Доказать, что если функция fn (Хр
примитивно рекур
сивна, то следующие функции примитивно рекурсивны:
§ 1. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
127
(а)/1(х1,х2, ...,хп) =/(х2,х1, •,хп) (перестановка аргументов);
(б) Л (х,, х0, х ) =/(х_,х. х.) (циклическаяперестановка
аргументов);
(в) / (х.,..., х , х , .) =/(х., ..., х ) (введениефиктивногоаргу-
J i	И М4" i	1	Mz
мента);
(г)/4 (Хр х ) =/(х1, х(, х ) (отождествлениеаргумен-
тов) .
3.	Какие функции получаются из простейших с помощью лишь
суперпозиций?
4.	Доказать, что из о1 и А с помощью суперпозиций и схем при-
митивной рекурсии нельзя получить функции х + 1 и 2х.
5.	Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(a)	f (х) = х + п;
(б)	/(х) = и;
(в)	/ (х, у) = х + у;
(г)	/(х, у) = х-у;
(д)	/(х, у) = ху (здесь 0° = 1);
(е)	f (х) = х! (здесь 0! = 1).
6.	Какая функция получается из g и h с помощью схемы при-
митивной рекурсии:
(a)	g (х) = х, h (х, у, z) = zx;
(б)	g (х) = х, h (х, у, z) = xz?
7.	Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
. ч .	[0, если х = 0,
<a>sg(x)»(|:
<6> Sg (х) » (?'
ь k ’ [1, если х = 0;
, ч ,	(0, если х = 0,
(в)	х — 1 = J <	„
lx — 1, если х>0;
. .	.	[0, если х<у,
(г)	х — у = •
Л х - у, если х>у;
(д)	lx - yl;
(е)	max (х, у);
(ж)	min (х, у).
8.	Доказать следующие равенства:
(а)	х - у = s (х) - s (у);
128
4. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
(б)	X + (у - х) = у + (х - у);
(в) х ~ (у + z) = (х - у) - z;
(г) (х - у) - z = (х - z) - у.
9.	Пусть gn+1, ат,рт—примитивно рекурсивные функции. Дока-
зать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(а)/л+1(х1,...,х„,хг1+1)= 2 ^Ц,...,хл,0;
i=o
z
2 g(xv .... xn,i), еслиу<г,
•=У
(б)/л+2(Хр...,хп, у, z) =
О,
если y>z;
<в) fn+m (x , X , у ,у ) =
-1 v 1 n •'I m'
1 m
=	g(xl,...,Xn,i-),ecjwa(yi,...,ym)^(yi,...,ym),
i=a^e •V
0 в остальных случаях;
X U.1
я+ 1
(r)/"+1(Xp...,x4,xn+1)= П g(xp...,xn,0;
i = 0
(д)/п+2 (Xp xn, y, z) =
Д g(Xp...,xn, i), если y<z,
f=y
0, если y>z;
(е)Г+'”(Хр...,х„,у1,...,ут) =
= П ^(Xp...,xn), еслиа(ур...,ут)<Д(ур ...,У„г),
О	в остальных случаях.
10.	Доказать, что если / получается из примитивно рекурсивных
функций g и h с помощью ограниченногоц-оператора, то /примитивно
рекурсивна.
11.	Пусть функции fn, обладают следующим свойством;
для любых натуральных значений Хр ..., х^одна и только одна из этиз
функций равна 0. Скажем, что функция gn кусочно задана, если
5 1. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
129
sn{\,
ло • • •’если/оп	= °’
А” (Хр .... х„), если/; (хр ..., xj = 0.
Доказать, что если функции Л*,...,	--if* примитивно ре-
курсивны, тоgn примитивно рекурсивна.
— — частное от деления х на у I здесь
0
12.	Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(а)
(б) rest (х, у) — остаток от деления х на у (здесь rest (х, 0) = х);
(в) т (х) — число делителей числа х, где г (0) = 0;
(г) о (х) — сумма делителей числа х, где а (0) = 0;
(д) lh (х) — число простых делителей числа х, где lh (0) = 0;
(е)	л (х) — число простых чисел, не превосходящих х;
(ж)	к (х, у) — наименьшее общее кратное чисел х и у, где
к (х, 0) = к (0, у) = 0;
(з)	d (х, у) — наибольший общий делитель чисел х и у, где
d (0, 0) = 0;
(и)	р (х) — х-е простое число (р (0) = 2, р (1) = 3, р(2) = 5, ...);
(к)	long (х) — номер наибольшего простого делителя числа х;
(л)	ех (х, у) — показатель степени х-го простого числа р (х) в
каноническом разложении на простые множители числа у, где
ех (х, 0) = 0;
(М) [ 7х];
(н) [Vx ], где [°Vx 1 = х;
(о) [ xV2] ;
(п) [ е-х] ;
(р) [e*l;
(с) С? (здесь Сух = 1 при у>х).
13.	(а) Доказать, что функция
.	. (х + у)2 + Зх + у
С (х, у) =1---------------~
(канторовская нумерующая функция) осуществляет взаимно одноз-
начное соответствие между jV2 и (нумерует пары натуральных
чисел).
(б)	Пусть I (х) и г (х) таковы, что
С (/ (X), г (х)) = X.
5 И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
130
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Доказать, что I (х) и г (х) примитивно рекурсивны и I (с (х, у)) = х,
г (с (х, у)) = у.
14.	Для каждого п> 1 определим функции
^09 = V
с (Хр х2, х3,хп+1) = с (с (Хр х2), х3,хп+1)
(см. задачу 13).
Пусть с .	таковы, что сп (<?п1 (х), ..., с (х)) = х.
(а)	Доказать тождества
cni(cn(xi’---’xn^ = xi для
(б)	Доказать, что функции сп и с^. примитивно рекурсивны.
(в)	Доказать, что функции сп (Хр ..., х^) осуществляют взаимно
однозначные соответствия между <Ж,г и <Ж (нумеруют кортежи нату-
ральных чисел д лины п).
15.	Как из одноместных частично рекурсивных функций и функ-
ций сп (Хр ..., хп) получить все частично рекурсивные функции?
16	. Назовем одноместную функцию/ (х) функцией большого раз-
маха, если она каждое натуральное число принимает в качестве своего
значения бесконечное число раз.
(а)	Пусть пара функций (х), / (х)) отображает Л' на «Ж2. Дока-
зать, что (х) и/2 (х) — функции большого размаха.
(б)	Пусть f (х) — произвольная примитивно рекурсивная функ-
ция большого размаха. Построить примитивно рекурсивную функ-
цию /2 (х) так, чтобы функции f (х) и /2 (х) осуществляли взаимно
однозначное соответствие между сЖ и <Ж2.
17*. Рассмотрим функцию Гёделя
Р (х, у, z) = rest (х, 1+у (z+1)).
Доказать, что, какова бы ни была конечная последовательность
натуральных чисел а{,а , система уравнений
'0 (х, У, 0) = aQ,
0 (х, у, п) = ап
им< ;т по меньшей мере одно решение х, у.
§ 1. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
131
18	*. Доказать, что если функции g, Л, tp ..., t примитивно рекур-
сивны и / получается из них возвратной рекурсией, то функция /
примитивно рекурсивна.
19.	Доказать, что функция, перечисляющая по порядку числа Фи-
боначчи:
/(0) = 0, /(1) = 1,
/(и+ 2) =/(«)+/(«+ 1),
примитивно рекурсивна.
20.	Пусть функции f и g определены следующим образом:
7(0) = a, g(O) = b,
f (х + 1) =	(х, f (х), g (х)),
g(x + 1) = h2 (х, f (х), g (х)).
Доказать, что если функции и Л2 примитивно рекурсивны, то
функции / и g примитивно рекурсивны.
21.	Пусть /”+1, ...,/А”+1 определены с помощью совместной ре-
курсии:
0)=^(х1,...,хп),
.fn+\xv...,xn,y+ 1) =
= Л"+*+1(Хр..., хп, у, (X,..хп, у), ..., fk (хг ..., хп, у))
для всех 1 <i<k.
Доказать, что если функции gj, ..., gk, h^, ..., hk примитивно ре-
курсивны, то функции / ,..., fk примитивно рекурсивны.
22.	Доказать, что всякая примитивно рекурсивная функция обще-
рекурсивна.
23.	(а) Доказать, что суперпозиция общерекурсивных функций
есть общерекурсивная функция.
(б)	Доказать, что, применяя оператор примитивной рекурсии к
общерекурсивным функциям, мы получим общерекурсивную функ-
цию.
(в)	Привести пример общерекурсивной функции, из которой с по-
мощью /z-оператора получается функция, не являющаяся общерекур-
сивной.
24.	Доказать, что если функция fn (Хр ..., х^) частично рекурсив-
на, то следующие функции частично рекурсивны:
(а)	/j (Хр х2, ..., х ) = f (х2' xi’ •••’ х„) (перестановка аргумен-
тов) ;
5*
т
132	Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
(б)	/2 (xt, х2,..хп) = f (х2, ..хп, xt) (циклическая перестановка
аргументов);
(в)	/, (х.,..., х , х .) = /(х.,.... х ) (введение фиктивного аргу-
J <	fl fl"» 1 '	1	fl
мента);
(г)/4 (хр хп_j) =/(Хр Хр хп1) (отождествление аргу-
ментов) .
25.	Доказать, что:
(а)	существует в точности частично рекурсивных функций;
(б)	существует частичная числовая функция, не являющаяся об-
щерекурсивной;
(в)	существует всюду определенная числовая функция, не являю-
щаяся общерекурсивной.
26.	Доказать, что частично рекурсивны следующие функции:
(а) нигде не определенная функция а>, т. е. функция а> с пустой
областью определения;
х — у, если х>у,
не определена в остальных случаях;
х
—, если уделит х,
не определена в остальных случаях;
z, если Р’ = х,
не определена в остальных случаях;
(д) функция, определенная в конечном числе точек.
27.	Доказать, что если функции g”+1, Л”+1 и tn+l частично ре-
курсивны, то следующие функции частично рекурсивны:
(а) ру 1g (х,.хп, у) = h (х,, ..., хп, у) ];
<б) ру [g (хг ..., хп, у) * h (Xj,..., хп, у) ];
(в) py[g (Хр ..., хп, у) < h (хр ..., хп, у) ];
(г) ру[g (Хр ..., хп, у) < h (Xj.хп, у) ];
(д)/iy[g(Xp ..., хп, у) = 0 и й(хр..., хп,у) = 0];
<e)/zylg(Xp ...,хп, у) = 0 или h (Хр ..., х^, у) < t (хр ..., хп, у)].
28.	(а) Доказать, что функция/”*1, возникающая из частичных
функций g" и hn+^ с помощью оператора примитивной рекурсии, мо-
жет быть получена с помощью специальной рекурсии вида
F (х, 0) = х,
F(x,y+ l) = G(F(x,y))
(б)/(х,у) =
(в) / (х, у) =
(г) / (х, у) = J
§ I. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
133
и суперпозиций из функций gn, hn+2 , о, s, и с, I, г из задачи 13.
(б) Доказать, что функция /(х), получающаяся из а и Л (х, у) с
помощью оператора примитивной рекурсии, может быть получена с
помощью итерации и суперпозиций из функций a, h, о, s, и с, /, г из
задачи 13.
29.	Доказать, что функцияполучающаяся из частичной функ-
ции gn+1 с помощью д-оператора, может быть получена из функций
g, и с, I, г из задачи 13 с помощью суперпозиций и //-оператора
специального вида
F(x) = py[G (х, у) = 0].
30*. Доказать, что функцияполучающаяся с помощью опе-
ратора примитивной рекурсии из всюду определенных функций g п и
hll+2, может быть получена из этих функций и функций +, —, s, о,
и с, I, г, Р из задач 13, 17 с помощью суперпозиций и ц-оператора
специального вида из задачи 29.
31.	(а) Пусть VT = а(),	...—разложение числа VZ в бесконеч-
ную десятичную дробь. Доказать, что ап— общерекурсивная функ-
ция от п.
(б) Пусть е = aQ, а^а^...— разложение числа е в бесконечную де-
сятичную дробь. Доказать, что ап— общерекурсивная функция от п-
(в) Пусть л = aQ, аха^ ...—разложение числа л в бесконечную де-
сятичную дробь. Доказать, чтоп;1—общерекурсивная функция отд.
32*. Пусть ст = aQ, ...— разложение действительного числа а
в бесконечную десятичную дробь. Число а назовем общерекурсивным
(конструктивным), если —общерекурсивная функция от п. Дока-
зать, что алгебраические числа общерекурсивны.
33. Доказать, что:
(a) i (ах + Ь) = Ь-~--------Д
при п>1;
(б) i 1 ’t-
(в)	i I х + 1 + —J” -
(г)	i ( sg х + 2х) = 2х ~ 1
= 2х- 1;
- sg х;
(д)	i (х + 1 +( V4x + I ] ) = х2 + х;
134
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
(е) i (х + 1 + 2[ Vx]) = х2.
34 . Доказать, что следующие функции могут быть получены из
функций s (х) = х + 1 и?(х) = х - [ Vx] 2 с помощью операций под-
становки, итерации и сложения двух функций:
	., х ); п'	(з) [ Vx] ;
(б) о (х);		(и) х-у;
(в) sg (х);		(к) х-у;
(г) sg (х);		(л) с (х, у)
(д) ах + by + с;		(м) 1 (х);
(е) х2;		(н) г(х).
, \ х (ж)	;		
35*. Доказать, что всякая примитивно рекурсивная функция мо-
жет быть получена из функций s (х) = х + 1 и (х) = х - [ Vx] 2 с
помощью операций подстановки, итерации и сложения двух функций
(теорема Р. Робинсона).
36.	Доказать, что:
(а) /[ (f(x)) = /(/] (х)) = /(/-1 (/(х))) = /(х);
(б)/’1 (/(Г1 (х)))=/-1 (х).
37.	Доказать, что:
(а)	если/-1 (х) определена в какой-нибудь точке а, то
/</-1 (ц)) = а;
(б)	если/-1 (х) всюду определена, то/(/-1 (х)) =	(х);
(в)	существует/ (х) такая, что/-1 (х) всюду определена, но
z-1(/(x))*z; (х).
38.	Доказать, что:
(а)	(х + I)-1 = х - 1;
(б)	(о(х))—1 = 0 - х;
(в)	(2х)-1 =
(г) (х2)-1 = Vx;
/г -1
(д)	I — I = их;
(е)	(["Vx])-1 = х";
х ;
§ 1. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
135
(ж) q 1 (х) = х +	х 4- 1 2	2	.	2 , где q (х) = х — [ Vx] ;
(з) q~l (2х) = х2 4-	2х;	
(и) q 1 (2х 4- 1) = х2 4- 4х 4- 2;
(к) q~1 (2х 4- 2у) = (х 4- у)2 + 2х+ 2у.
39*. Доказать, что следующие функции могут быть получены из
2
функций $ (х) = х + 1 и q (х) = х — [ Vx] с помощью операций под-
становки, обращения и сложения двух функций:
(а)/"„(Хр...,хп);	(з) [ Vx] ;
(б) о (х);	(и) х-у;
(в) sg (х);	(к) х-у;
(г) sg (х);	(л) с (х, у)
(д) ах 4- by 4- с;	(м) / (х);
(е) х2;	(н) г(х).
(ж) [f];	
40.	Пусть / (х) = цу[Л (х, у) = О]. Доказать, что f (х) может быть
получена из h, s (х) = х 4- 1 и q (х) = х — [ Vx] 2 с помощью операций
подстановки, обращения и сложения двух функций.
41*. Доказать, что всякая частично рекурсивная функция может
быть получена из s (х) = х 4- 1, </ (х) = х — [ Vx] с помощью опера-
ций подстановки, обращения и сложения двух функций (теорема
Ю. Робинсон).
42*. Рассмотрим следующие функции Аккермана:
В (0, у) = 2 4- у;
В (х + 1, 0) = sg х;
В (х 4- 1, у 4- 1) = В (х, В (х 4- 1, у)).
Назовем всюду определенную функцию f (Хр ..., хп) В-мажори-
руемой, если существует натуральное число т такое, что
/(хр ..., х^) < В (т, max (Хр ..., х^) 4- 3).
Доказать, что:
(а)	В (х, у) и Л (х) общерекурсивны;
(б)	В (п 4- 2, х + 1) >2Х+1;
(в)	В (n 4- 1, х + 2) > В (п 4- 1, х 4- 1);
(г)	В (п + 2, х + 3) 2: В (п 4- 1, х + 4);
(д)	простейшие функции В-мажорируемы;
136	4. HI. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
(е)	функция, полученная с помощью суперпозиции из //-мажо-
рируемых функций, //-мажорируема;
(ж)	функция, полученная с помощью примитивной рекурсии из
^-мажорируемых функций, В-мажорируема;
(з)	функция А не является примитивно рекурсивной.
43.	Доказать, что не существует примитивно рекурсивной функ-
ции, универсальной для семейства «-местных примитивно рекурсив-
ных функций.
44.	Доказать, что не существует частично рекурсивной функции,
универсальной для семейства всех «-местных общерекурсивных
функций.
f 2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Машина Тьюринга Т полностью определяется:
(а)	внешним алфавитом .л1 — {а^, а^,aj (где а^ = 0, ^==1);
(б)	алфавитом внутренних состояний Q = {<?0, qfn);
(в)	программой, т. е. совокупностью выражений Т (i,j) (j - 1, ...
..., m\j~ 0,..., л), каждое из которых имеет один из следующих ви-
дов: q.a, дка? q.a, -* q.a. -» Яка^, где Озк S т, 0 £ I S л.
Выражения Т (/,/) называются командами.
Машинным словом или конфигурацией называется слово вида
Aq^afi, где OsAsm, 05/<л, А и В—слова (возможно, пустые) в ал-
фавите .V. Пишем для обозначения слова а.а. ...а, (х раз).
Пусть даны машина Т и машинное слово М « Aq.aB, где 0</<«!.
Обозначим через М? слово, которое получается из М по правилам:
(1)	для i = 0 положим М.'Г » М;
(2)	для/>0
(а)	если Т (/, /) имеет вид q.a. -» q^, то М? - Aq^a^-,
(б)	если Т (/, Д имеет вид q.a. -» Яка^, то:
(Б{) если В не пусто, то М? « АаркВ,
(Бр если В пусто, то М'Г - AaflkaQ;
(в)	если Т (j, f) имеет вид q.a^ -» qka^ , то:
(Bj) если А я А^аг для некоторых А{ и а^, то
мт =
(В ) если В пусто, то М' = q.a.. а В.
a	j к и I
§ 2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
137
Положим « М, Af^l+l) =	'• Говорим, что машина Т
перерабатывает машинное слово М в слово М , если	для
некоторого п. Пишем М , если машина Т перерабатывает М в
Afj и при этом не используется пункт (В2) определения. Пишем
М Л/р если машина Т перерабатывает слово М в слово и при
этом не используются пункты (Б j) и (В2) определения.
Говорим, что машина Т вычисляет «-местную частичную число-
вую функцию /, где	р^ QaY, если выполнены следующие ус-
ловия:
(а)	если (хр ..., xn) G , то машина Т останавливается, т. е. пере-
рабатывает слово ... 1\0 в некоторое слово AqQB и при этом
слово АвдВ содержит f (хр ..., хд) вхождений символа 1;
(б)	если <Хр ..., хп) £ <5^., то машина, начиная работу со слова
М = q[01 *10 ... 1*д0, работает бесконечно, т. е. qQ не входит в	ни
для какого п.
Говорим, что машина Т правильно вычисляет функцию /и, если
выполнены условия:
(а)	если/х,,х } G <5,, то
1	И J
?101х10 ... 1\0	<7001z<Х1 ^ОО ... 0;
(б)	если (хр .... хя) £ <5^ , то машина, начиная работу со слова
q^ 01*,0... 1 *«0, работает бесконечно.
Функция/называется вычислимой (правильно вычислимой), если
существует машина, которая вычисляет (правильно вычисляет) функ-
цию/.
Пусть Тр Т2, Т3—три машины Тьюринга с одним и тем же внеш-
ним алфавитом ай = {aQ, а^,..., ап}, с алфавитами внутренних сос-
тояний
<2^%^..........V’ =	е3 = Цг«г---’«Д
и программами /7^, Л2, соответственно. Композицией  Т2 машин
Tj и Т2 называется машина Т, программа которой есть объединение
множеств Л П, и 5^1 "'9s	/7_, где 5Я)П означает множество ко-
1 Ui" «r+S 2
г
138
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Разветвлением машины 7^ на (Т?, Т$) по (q., q) I символически
Qt =Т1\
_ т I, где q , q.&Q., называется машина Т, программа которой
qj 3 '	1
л
получается следующим образом: из исключаются команды 7^ (г, к)
и T’j (J, к) для к = 0, 1,..., п; полученное множество называем П’; тог-
да
П = Я/иМЛ Я, U Sqiq2-qt П-.
1 «А+гЧ+s+l 2 qjqr+s"'qr+s+t—2 3
Пусть А = а$ ... as —слово в алфавите {aQ, а^ а2,...}. Положим
к	к
ki и) = П рк~К кг <л) = П ptk •
1=0	t=0
Если М = AqaB — машинное слово, то полагаем
v (МГ) = 2*/Л) -Ъ1  5>  №.
Номером команды Т (i, j) назовем число
где s = 0, если Т (i,j) есть qa^ q^, s = 1, если Т (i, j) есть
qa.^» qka^, s = 2, если T (i, j) есть q.a. -^q^a^. .
Номером А (T) машины Тьюринга T назовем произведение всех
номеров команд Т (i, j) машины Т.
1. Какую функцию f (х) вычисляет машина Т со следующей прог-
раммой команд:
?10-?20Я, ^1-^1,
tfjG-tfo1’ 921-9217??
2. Пусть машина Т имеет следующую программу:
^О-9оО.
Какие функции f (х), /_ (х., х ),(х , х ),... вычисляет эта
I	XI Xх	W 1
машина?
3. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет
функцию /(х) = х + 1.	j
§ 2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
139
4. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет
функцию о (х) = 0.
5. Построить следующие машины Тьюринга.
А.	Перенос нуля: 001*0 =>А ^оО1*ОО.
Б+. Правый сдвиг: ^01*0 =>Б+ 01*^00.
Б-. Левый сдвиг: 01*^0 =»Б~ ^001*0.
В.	Транспозиция: 01*^01^0 =>в 01^01*0.
Г. Удвоение: ^01*0 =>г <7001*01*0.
Цп. Циклический сдвиг: 01*1 01*2.. .01*я0 =>ц ^01*2.. .01*»01*i0.
К^. Копирование: ^01* ...01*л0 =>к ^001*1...01*я01*1...01*л0.
п
6.	Построить машину Тьюринга, правильно вычисляющую функ-
цию/^ (хг ..., хп) (где 1<ш<п).
7.	(а) Пусть функции f (х) и g (х) правильно вычислимы. Показать,
что функция Л (х) = f (g (х)) правильно вычислима.
(б)	Пусть функции/(Хр ...,xn) Hgj(Xp ...,xw), ...,gn(Xp ...,хш)
правильно вычислимы. Показать, что функция h (Хр ..., х^) =
= /(&! (Хр ..., xj, ..., gn (Хр ..., xj) правильно вычислима.
8.	Построить машины Тьюринга для правильного вычисления
функций:
(а)	х + у;	(д)	х - у;
(б)	х - 1;	(е)	х - у;
(в)	sg (х);	(ж)
(г)	*8	(з)	.
9.	Доказать, что:
(а)	если функция /”+1 получается из правильно вычислимых
функций gn и Л”+2 с помощью примитивной рекурсии, то/”+1 пра-
вильно вычислима;
(б)	если функция /” получается из правильно вычислимой функ-
ции g,i+1 с помощьюр-оператора, то/” правильно вычислима.
10.	Доказать, что любая частично рекурсивная функция правиль-
но вычислима.
11.	Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции а,
[i, у такие, что:
140
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
(а)	а (х, у) = А (Т1 • Т?) , если А (7\) = х и А (TJ = у;
(б)	/3 (х) = А (Т) для некоторой машины Т, перерабатывающей
слово в слово <?оО1 *0;
(в) у (X, у, z) = Al Tj
q = / j, еслиА^) = х, А(Г2) = у,А(Т3) = z.
12.	Построить примитивно рекурсивные функции у” (хр х,;)
такие, что
p(9101\...01\0)=y"(x1,...,xn).
13.	Построить примитивно рекурсивную функцию р (s, к, I, и, v),
удовлетворяющую условию: если и = к1{А), v = к, (В), 0<s<2, то
р (s, к, I, и, у) =» v ((AqjaB)?), где Т (i, j) есть q.a. -» q^ при s — 0,
q.a. -♦ qka^ при № 1, q.a. - q^fi при s = 2.
14.	Построить примитивно рекурсивную функцию а (/, i, j, и, v),
удовлетворяющую условию: если и = к{ (A), v = к? (В), t = А (Т), q.
входит в алфавит внутренних состояний, а а.— во внешний алфавит
машины Т, то a ft, i, j, u.v) -v ((Aq.aB')^.).
15.	Построить примитивно рекурсивную функцию т (t, х), удов-
летворяющую условию: если t = А (Т), х = г(М), где М = AqaB—ма-
шинное слово в алфавите машины Т, то т (t, х) = v (М^).
16.	Построить примитивно рекурсивную функцию w (t, х, у), удов-
летворяющую условию: если t = A (Т), x = v (MT), где М—машинное
слово в алфавите машины Г, то w (г, х, у) = v
17.	Построить примитивно рекурсивную функцию £ (х), удовлет-
воряющую условию: если х = v (М), то £ (х) есть число вхождений
символа в слово М.
18.	Доказать, что если машина Т вычисляет /(Хр...,х) и
?0 = А (Г), то:
(а) <Хр ..., хп) е ex (1, ы (tQ, уп (хр ..., хп), у)) = 0 для неко-
торого у;
(б)/(Хр ..., хп) = £ О (Го, у" (Хр ..., хл), hn+l (t0, Хр ..., Х())), где
л”+1 Ц),л1’	=/о',сх О’ (хг •••’ хп)’У)) = °1>
а функции/, »ие взяты из задач 12, 16 и 17.
§ 2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
141
19.	Доказать, что любая вычислимая функция частично рекур-
сивна.
20.	Доказать, что функция вычислима тогда и только тогда, когда
существует машина Тьюринга с внешним алфавитом {0, 1}, вычис-
ляющая эту функцию.
21.	Доказать, что существует двуместная частично рекурсивная
функция U (Z, х), универсальная для семейства всех одноместных час-
тично рекурсивных функций.
22.	Доказать, что существует (п+1)-местная частично рекурсив-
ная функция Un+l (Z, Хр ..., хп), универсальная для семейства всех
«-местных частично рекурсивных функций.
23*	. Доказать, что следующие функции не являются частично ре-
курсивными:
1,
(a) h (х, у) =
0
если х есть номер машины Т и машина Т
останавливается, начиная работу
с машинного слова ^ОРО,
в противном случае;
(б) g (х) = h (х, х);
1,
<в) h0 (х) =
0
если х есть номер машины Т и машина Т
останавливается, начиная работу
с машинного слова д^О,
в противном случае.
24. Доказать, что существует примитивно рекурсивная функция
5 (z, х, у, w) такая, что
S(z, х, у, w) =
1, если z = А (Т) и машина Т перерабатывает слово
^01* в слово 9о01у0.. .0 не более чем за w шагов,
0 в противном случае. /
25. Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции
р, Гр Т2, ... такие, что:
(a)	U (т, х) = р (]иу1Т{ (т, х, у) = 0 ]);
(б)	£/"+l (т, Хр хп) = р (ру[Тп (т, Хр х^.у) = 0|).
142
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
§ 3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА
В дальнейшем под множеством мы будем понимать лишь подмно-
жества множества натуральных чисел </К, множествами п-ок {корте-
жей длины п) будем называть подмножества множества <Л'п («>!).
Пусть Р — «-местный предикат на множестве . Функция
%п) называется представляющей (или характеристичес-
кой) функцией для предиката Р, если эта функция удовлетворяет
условию
вр(х1,...,хп) =
О, если Р (хр
1, если Р (х ,
х ) = и,
X ) = л.
п'
Предикат Р называется рекурсивным (примитивно рекурсивным),
если его представляющая функция общерекурсивна (примитивно ре-
курсивна) .
Множество «-ок М называется рекурсивным (примитивно рекур-
сивным), если предикат Р (Хр хд) — и о (хр ..., х^^М является
рекурсивным (примитивно рекурсивным) предикатом.
Множество н-ок М называется рекурсивно перечислимым, если
существует (н + 1)-местный примитивно рекурсивный предикат
RM ’ • • •’ хп’ У)’ УД°влетв°РяюЩий условию
(Хр ..х г)£М О 3yRM (Хр ..х г, у).
Для любого множества н-ок М определим характеристическую
функцию%м (Хр х,;) и частичную характеристическую функцию
ум (Хр ..х ) следующим образом:
Хм(х1’--”хп) =
О, если (Х],
1, если(Хр
хц)ем,

О, если <Хр ..х ;)GA/,
не определено, если (х(,
 ,хп)^М.
Если /— «-местная частичная функция, то множество
Г/= {(хр ...,х(,/(хр ..., хп)>| <Хр ...,хп)&5^
называется графиком функции f. Функция /(Хр ..., х ) называется
доопределением функции g (Хр ..., х^, если Г? С Г^, и д. = jP.
§ 3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 143
1.	Доказать, что следующие предикаты примитивно рекурсивны:
(а)	х = у;
(б)	х + у = z;
(в)	х-у = z;
(г)	х делит у;
(д)	х четно;
(е)	х и у взаимно просты;
(ж)	Зп (х = I2 + 22 + ... + п2);
(з)	Зп (х = 1 + 2 + ... + п).
2.	Доказать, что еслиР (х(, ..., хп) и Q (х{,х^) — рекурсивные
(примитивно рекурсивные) предикаты, то следующие предикаты так-
же рекурсивны (примитивно рекурсивны):
(а)	(Р (хг ...,xn)&Q(x[f ...,хп));
(б)	(Р (хр ..., xn)vQ (хг ..., xn));
(в)	-.Р (xr ...,xn);
(г)	(P (xr ..., xn) Э Q (xp ..., xn));
(a)P(xrxvx3,...,xn);
(e)	P (f (x,, x ), x rI,...,x ,	.), если f(x,, ..., x ) —орф
(прф).
3.	Доказать, что если предикат R (хр..., хд, у) рекурсивен (при-
митивно рекурсивен), то предикаты Зу (y<z &Л (хр ..., х , у)) и
Vy (y<zDP (Хр ..., х^, у)) также рекурсивны (примитивно рекур-
сивны) .
4.	Доказать, что если предикат R (хр ..., хд, у, z) примитивно ре-
курсивен, то М = {(Хр ..., х )| ЗуЗгЯ (Хр ..., х^, у, z)} — рекурсивно
перечислимое множество.
5.	Доказать, что существует множество, не являющееся рекур-
сивно перечислимым.
6.	Доказать, что любое конечное множество натуральных чисел
примитивно рекурсивно.
7.	Доказать, что множество n-ок рекурсивно (примитивно рекур-
сивно) тогда и только тогда, когда его характеристическая функция
общерекурсивна (примитивнорекурсивна).
8.	Доказать, что если f — общерекурсивная (примитивно рекур-
сивная) функция и а — фиксированное число, то множество решений
уравнения/(Хр ..., х/;) = а рекурсивно (примитивно рекурсивно).
144
Ч. Ш. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
9.	Пусть функция / частично рекурсивна, но не общерекурсивна.
Доказать, что область определения функции /-1 примитивно рекур-
сивна.
10.	Доказать, что если множества АиВ рекурсивны (примитивно
рекурсивны), то множества АПВ, AUB, ^К\А также рекурсивны
(примитивно рекурсивны).
11.	Доказать, что если множества АиВ рекурсивно перечислимы,
то множества ADB и AUB рекурсивно перечислимы.
12.	Доказать, что всякое примитивно рекурсивное множество ре-
курсивно перечислимо.
13.	Пусть множества АиВ отличаются конечным числом элемен-
тов. Доказать, что:
(а)	если А рекурсивно, то В рекурсивно;
(б)	если А рекурсивно перечислимо, то В рекурсивно перечислимо.
14.	Доказать, что если множество А и его дополнение </У\А ре-
курсивно перечислимы, то А рекурсивно {теорема Поста).
15.	Пусть МС<Ж,!. Положим
с" (А/) = {сп (xv ...,xw)| Ц, ...,хп)ем},
где сп определена в задаче 14 из § 1. Доказать, что:
(а)	М примитивно рекурсивно тогда и только тогда, когда сп (М)
примитивно рекурсивно;
(б)	М рекурсивно тогда и только тогда, когда сп(М) рекурсивно;
(в)	М рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда сп(М)
рекурсивно перечислимо.
16.	Пусть	—непустое множество. Доказать, что М рекур-
сивно перечислимо тогда и только тогда, когда существует прими-
тивно рекурсивная функция а (х) такая, что М = {а (х) | хблГ}.
17.	Пусть М— непустое множество я-ок. Доказать, что множест-
во Мрекурсивно перечислимо тогда м только тогда, когда существуют
одноместные примитивно рекурсивные функции ар ...,«атакие, что
(х), ...,<хи(х)Я хе^г}.
18.	Пусть общерекурсивная функция/(х) удовлетворяет условию:
/(х)>х для всех хЕ^. Доказать, что область значений функции /
рекурсивна.
19.	Доказать, что бесконечное множество А рекурсивно тогда и
талька тогда, когда Л есть множество значений строго возрастающей
§ 3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 145
20.	Доказать, что непустое множество А рекурсивно тогда и только
тогда, когда А есть множество значений монотонно (не обязательно
строго) возрастающей общерекурсивной функции.
21.	Доказать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое
множество содержит бесконечное рекурсивное подмножество.
22.	Доказать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое
множество представимо в виде А = р? для некоторой общерекурсив-
ной 1-1-функции /.
23.	Доказать, что график общерекурсивной функции рекурсивен.
24.	Доказать, что если график функции f рекурсивно перечис-
лим, то функция/частично рекурсивна.
25.	Доказать, что полный прообраз рекурсивного множества от-
носительно общерекурсивной функции рекурсивен.
26.	Пусть А — рекурсивное множество, / — общерекурсивная
функция с р^=<Л'', /(Л)Л/(<4'\Л) = и. Доказать, что / (А) рекур-
сивно.
27.	Пусть А, В — рекурсивно перечислимые множества, а С —
рекурсивное множество такие, что АС\В = 0, Л£С£Ли В. Доказать,
что А рекурсивно.
28.	Пусть/, g—общерекурсивные функции, причем g—1-1-функ-
ция. Пусть также имеем /(x)>g (х) для всех х. Доказать, что если/?^
рекурсивно, тоpfрекурсивно.
29.	Пусть А, В—рекурсивно перечислимые множества. Доказать,
что существуют рекурсивно перечислимые множества B^QB
такие, что А, ПВ, = 0, A, <JB, = A(JB.
11 11
30*. Доказать, что:
(а)	функция, получающаяся с помощью суперпозиции из функций
с рекурсивно перечислимым графиком, имеет рекурсивно перечисли-
мый график;
(б)	функция, получающаяся с помощью схемы примитивной ре-
курсии из функций с рекурсивно перечислимым графиком, имеет ре-
курсивно перечислимый график;
(в)	функция, получающаяся с помощью/z-оператора из функции с
рекурсивно перечислимым графиком, имеет рекурсивно перечисли-
мый график;
(г)	график любой частично рекурсивной функции рекурсивно пе-
речислим.
31.	Доказать, что функция частично рекурсивна тогда и только
тогда, когда ее график рекурсивно перечислим (теоремао графике).
146
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
32.	Доказать, что область определения частично рекурсивной
функции есть рекурсивно перечислимое множество.
33.	Доказать, что множество значений частично рекурсивной
функции рекурсивно перечислимо.
34.	Доказать, что любое рекурсивное множество рекурсивно пе-
речислимо.
35.	Доказать, что множество «-ок рекурсивно перечислимо тогда и
только тогда, когда его частичная характеристическая функция час-
тично рекурсивна.
36.	Доказать, что:
(а)	образ рекурсивно перечислимого множества относительно час-
тично рекурсивной функции рекурсивно перечислим;
(б)	полный прообраз рекурсивно перечислимого множества отно-
сительно частично рекурсивной функции рекурсивно перечислим.
37.	Доказать, что множество А решений уравнения
/(х,, ...,хп) = а
рекурсивно перечислимо, если f — частично рекурсивная «-местная
функция.
38.	Доказать, что если /”+1—частично рекурсивная функция, то
множество М = ,..., х } | Зу/ (х(,..., х^, у) = 0} рекурсивно пере-
числимо.
39.	Пусть ,..., Мк—попарно непересекающиеся рекурсивно пе-
речислимые множества n-ок, / ,	—частично рекурсивные функ-
ции. Доказать, что g (xf, ..., хп), определенная следующим образом:
(-«j..хп),если(х1,...,хп)бМ1,

4(Х1,...,хп),если<Х1,...,хп)емг
не определена в остальных случаях,
частично рекурсивна.
40*. Доказать, что любая частично рекурсивная функция
f (Xj,..., х^) представима в нормальной форме Клини, т. е. в виде
/(хр ...,xn) = l(/J.t[g(xv ...,хп, i) = 0]),
где g (Xj,..., хп, f) — подходящая примитивно рекурсивная функция,
а I—функция из задачи 13 из § 1 (ср. с задачей 25 из § 2).
§ 3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА 147
41. Доказать, что частичная функция /(хр ..., х^) представима в
виде
/(хг .... xn) =/И teЦ,.... хп, 0 = 0]
для подходящей примитивно рекурсивной функции g(Xp .х^, 0
тогда и только тогда, когда график функции f (хр ..., хп) примитивно
рекурсивен.
42*. Пусть F (х, у) определена с помощью рекурсии по двум пере-
менным:
F (0, у) = <р (у),
F (х + 1, 0) = ip (х, F (х, а (х)), F (х, F (х, у (х)))),
F (х + 1, у + 1) = т (х, у, F (х, F (х + 1, у))).
Доказать, что если функции <р, t/>, а, у, г общерекурсивны, то
функция /’общерекурсивна.
43*. Доказать, что множество
Н = {х| 3yTt (х, х, у) = 0},
где Tj — функция из задачи 25 из § 2, является рекурсивно перечис-
лимым, но не рекурсивным.
44.	Доказать, что если область определения частично рекурсивной
функции /п есть рекурсивное множество, то /" имеет рекурсивное
доопределение.
45.	Доказать, что если V (п, х) есть частично рекурсивная функ-
ция, универсальная для класса всех одноместных частично рекур-
сивных функций, то множество М = {х | V (х, х) = 0} рекурсивно
перечислимо, но не рекурсивно.
46.	Найти частично рекурсивную функцию/(х), не имеющую
общерекурсивного доопределения.
47.	Найти частично рекурсивную функцию /(х), не представимую
в виде
f (х) = ру [g (х, у) = 0 ]
ни для какой общерекурсивной функции g.
48.	Доказать, что если V(n, х) есть частично рекурсивная функ-
ция, универсальная для класса всех одноместных частично рекурсив-
ных функций, то множество
G = {п | V (п, х) — общерекурсивная функция}
не является рекурсивно перечислимым.
148
Ч. Ш. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
§ 4. НУМЕРАЦИИ КЛИНИ И ПОСТА
Введем обозначения:
к, У! = с (I (х), с (г (х), у)),
1х]21 =с(/(х),/(г(х))),
[х ]22 = г (г (х)),
[хг х2, Ху хп1 = [ [хр х2], Ху ..., хд] (для п > 2),
~ ^х^211г-1,1’’ ^Un-1 = ^xhl^-l,«-l’
[х]пп= [х]22 (для п>2),
К2 (х0, *0 = U(l (х0), с (г (х0), х^),
Kn+l (х0, хр хп) = Хл ([х0, х, ], х2,хп) (для п > 2),
где функции с,1,г определены в задаче 13 из § 1, a U(x, у) —в
задаче 21 из § 2.
Функцию К2 называем клиниевской нумерующей функцией, и если
Э
/(х) = К (т, х) для всех х и некоторого т, то называем число т кли-
ниевским номером функции fw обозначаем f = кт = кт. Отображение
к:	где Ч — семейство всех одноместных частично рекурсив-
ных функций, называется клиниевской нумерацией семейства Чу
Аналогичным образом определяется клиниевская нумерация п-мест-
ных частично рекурсивных функций.
Если рекурсивно перечислимое множество А есть совокупность
значений функции К (п, х) для некоторого п, то число п назовем пос-
товским номером множества А и обозначим А = лп — лп. Отображе-
ние л:	где 3 — семейство всех рекурсивно перечислимых
множеств, называется постовской нумерацией семейства 3.
Пусть Л,В С А/'. Будем говорить, что функция f т-сводит А к В,
если
х Е Л о /(х) € В.
А называется т-сводимым к В (символически А <тВ), если су-
ществует общерекурсивная функция /, которая m-сводит А к В.
Рекурсивно перечислимое множество А называется т-универсаль-
ным, если к нему m-с водится любое рекурсивно перечислимое мно-
жество.
Рекурсивно перечислимое множество А называется креативным
или творческим, если существует общерекурсивная функция f та-
кая, что для любого х
/^(х) £ (А П л^) U (—А П — л*).
§ 4. НУМЕРАЦИИ КЛИНИ И ПОСТА
149
1.	Доказать, что:
(а)	[х, у] осуществляет взаимно однозначное соответствие между
.J'W;
(б)	(хр xj осуществляет взаимно однозначное соответствие
между	и «тГ;
(в)	((х]21, [х]22] = х, [[х,у]]21=х, [[х,у]]22 = у;
(г)	[[х] [х 1 1 = х, [[х,,...,х ]] . = х.;
и!’	пп ’ Г п т г
(д)	(х,,...,х ,х ,.,...,х ]= [[х,,...,х ], x„lt,...,x ];
(е)	с (х0, с (хр х2)) = [с (х0, х,), х2 ].
2.	Доказать, что:
(a)^+"l+1(x0,x1,...,xn,x„+1,...,xn+m>
= Кт ([х0, Хр xj, хп+р \+„|);
(б)	К'1 (с (х0, Xj), х2, хп) = Un+1 (х0, Хр х2, ..., хп).
3.	Доказать, что:
(а)	Кп+1 (х0, Хр ..., х/() является универсальной для всех «-мест-
ных частично рекурсивных функций;
(б)	для любой частично рекурсивной функции fn+m существует
примитивно рекурсивная функция gn такая, что
/(х,,...,х ,у ,...,у ) = Km+l (g(x,,...,x ),у,,...,у ).
4	’ Jnt'	j’ п'	Jtn'
4.	Доказать, что всякая частично рекурсивная функция / имеет
бесконечно много клиниевских номеров.
5.	Построить примитивно рекурсивные функции, дающие по кли-
ниевским номерам исходных одноместных функций клиниевские но-
мера функций, получающихся из исходных:
(а)	с помощью суперпозиции;
(б)	с помощью обращения;
(в)	с помощью итерации;
(г)	с помощью взятия суммы двух функций.
6.	Доказать, что существует рекурсивно перечислимое множество
Р, удовлетворяющее условиям:
(а)	если х Е Р, то к* есть примитивно рекурсивная функция;
(б)	для любой примитивно рекурсивной функции f существует
х Е Р такое, что / = к .
7.	Доказать, что существует общерекурсивная функция, универ-
сальная для семейства всех одноместных примитивно рекурсивных
функций.
150
Ч. Ш. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
8.	Построить примитивно рекурсивные функции, дающие по кли-
ниевским номерам исходных функций клиниевские номера функций,
получающихся из исходных:
(а)	с помощью суперпозиции;
(б)	с помощью примитивной рекурсии;
(в)	с помощью^-оператора.
9.	Доказать, что для любой частично рекурсивной функции
f(xl,...,xn) существует такая примитивно рекурсивная функция
g (%j, ..хп), что для любого х
xf(xv ...,хп),
ш
Kg(xY, ...,хп) =
если f (Xj,..., хп) определено,
в противном случае.
10*. (а) Доказать, что для каждой частично рекурсивной функции
f (х]5..., хп, у) существует такая примитивно рекурсивная функция
g(X], ...,хп), что
Kg (Xj, ;Хп) =
к/(х1,...,хп,5(х1,...,хп)), если
/(Xj,..., хп, g(X], ..., хпУ) определено,
ш в противном случае.
(б) Доказать, что для каждой частично рекурсивной функции
f (х) существует такое натуральное число а, что
_ [к/(а), если/(а) определено,
~ ' w в противном случае
(теорема о неподвижной точке).
11.	Доказать, что для любой частично рекурсивной функции
/ (х, у) существует число п такое, что/ (п, у) = кп (у) для всех у.
12.	Доказать, что существует число п такое, что:
(а)	кп (0) = п;
(б)	Кп (н) = п.
13.	Доказать, что существует примитивно рекурсивная функ-
ция / такая, что для любого х, если к* есть общерекурсивная
функция, то
\ (/(*))= Kf(*)'
14*. Построить частично рекурсивные функции ка такие, что:
(а)	к — у,
а А{а}’
§ 4. НУМЕРАЦИИ КЛИНИ И ПОСТА
151
(б)	к«=4};
(в)*а=*>\ю-
15*. Пусть SF— семейство всех одноместных частичных числовых
функций. Отображение Ft &	& назовем эффективным операто-
ром, если функция g (п, х) = (F (х^)) (х) частично рекурсивна. Дока-
зать, что для любого эффективного оператора F существует частично
рекурсивная функция/такая, что / = F (f).
16.	Доказать, что для любых частично рекурсивных функций
а, у, <5 существует частично рекурсивная функция /, удовлетворяю-
щая условиям:
(а)	еслиа(х) = 0, то/(х) = 0;
(б)	еслиа(х) > 0, то/(х) = у (f (<5 (х))).
17*. Пусть d/—некоторое непустое семейство одноместных час-
тично рекурсивных функций, отличное от семейства всех таких
функций. Доказать, что множество
к-1 (а/) = {х | кх е d/}
не является рекурсивным (.теорема Райса).
18.	Доказать, что следующие множества не рекурсивны:
(а)	= {х| к* — константа};
(б)	Л2 = {х | к (а) = Ь}, где а, Ъ — фиксированные числа;
(в)	А3 = {с(х, у)| У С <5^};
(г)	Л4= {с(х,у)| у£ркх};
(д)	А5 = {с (х, у) | кх = ку}.
19.	Доказать рекурсивную перечислимость множеств всех клини-
евских номеров следующих семейств одноместных частично рекур-
сивных функций:
(а)	функций, определенных в точке 0;
(б)	функций/таких, что f (а) — Ъ для данных чисел а и Ь;
(в)	функций с непустой областью определения.
20.	Доказать, что всякое рекурсивно перечислимое множество
имеет бесконечно много постовских номеров.
21.	Пусть .«/—некоторое непустое семейство рекурсивно перечис-
лимых множеств, отличное от семейства всех рекурсивно перечис-
лимых множеств. Доказать, что множество
Л~ 1 (d/) = {х | Лх £ d/}
не является рекурсивным (теорема Райса).
152
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
22.	Доказать, что не рекурсивны множества:
(а)	(х| лх * и};
<б)	{х | л* = */Г};
(в)	{х| а£лх), где а — фиксированное число;
(г)	{х| лх конечно};
(д)	{с (х,у)|	=
23.	Доказать, что рекурсивно перечислимы множества всех пес-
товских номеров следующих семейств рекурсивно перечислимых мно-
жеств:
(а)	содержащих данное число а;
(б)	непустых.
24.	Доказать, что для любой частично рекурсивной функции /"
существует примитивно рекурсивная функция gn такая, что
если f (Хр ..., x;j) определено,
в противном случае.
25.	Доказать, что для каждого рекурсивно перечислимого множе-
ства Р С Л'п+1 (п > 0) существует такая примитивно рекурсивная
функция а (Хр ..., х^), что
<Х0’Х1............~	хоела(х,...л)-
26.	Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции
/, g, h, и, v, w такие, что:
(а)	л Пл =л,, .;
х у f (х, у)
(б)	лхилу = лах у)-,
(в)	W =JIh(Xy
(г)	{с ($, 01 X е лх, t е лу} = Ли у);
(д)	к (л ) = л ,
у v х> v(x, у)’
(е)	к-1 (л ) = л . ..
у 4 х' w (х, у)
27.	Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции
f и g такие, что:
(аЧх=^/(х);
Р*Х ~ $Kg (х)’
28.	<а) Доказать, что для любой частично рекурсивной функции
fn+i существует примитивно рекурсивная функция gn такая,что
J 4. НУМЕРАЦИИ КЛИНИ И ПОСТА
153
Л ,	„ —
“fix...х ,g(x ,...,х ))’ если/С^г •••’ x,f *(xv *„)) определено,
s I п I я
0	в противном случае.
(б) Доказать, что для любой частично рекурсивной функции f су-
ществует такое число а, что
^/(а)’ если f (а) определено,
0 в противном случае
(теорема о неподвижной точке).
29.	Доказать, что для любого рекурсивно перечислимого множест-
ва М Q существует примитивно рекурсивная функция такая,
что
(хп, х,,..., х , g (х,,.... х )) е М о хп е л .
' О’ Г п ° 4 1’	’ п"	0	g(x,...,x)
1 п
30.	Доказать, что существует число п такое, что:
(а)	ли= {«};
(б)	лп ~ {л2};
(в)	лп = <Ж\{п}.
31.	Доказать, что отношение рефлексивно и транзитивно.
32.	Доказать, что всякое рекурсивное множество m-сводимо к лю-
бому непустому множеству с непустым дополнением.
33.	Доказать, что если А m-сводимо к рекурсивному (рекурсивно
перечислимому) множеству, то А рекурсивно (рекурсивно перечис-
лимо).
34.	Доказать, что множество
у) I х е лу}
является т-универсальным.
35.	Доказать, что каждое m-универсальное множество не рекур-
сивно.
36.	Доказать, что множество
К в {х | х е л*}
является креативным.
37.	Доказать, что каждое креативное множество не рекурсивно.
38.	Доказать, что если Л — креативное множество, А £ В и В
рекурсивно перечислимо, то В креативно.
154
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
39	. Доказать, что каждое креативное множество является т-уни-
версальным.
40.	Доказать, что множество m-универсально тогда и только тогда,
когда оно креативно.
41*. Доказать, что множество
К2 = Iх । 71 х *
является креати 1ным.
42. Доказатх, что существует примитивно рекурсивная функ-
ция сг(х) такая, что машина Тьюринга с номером сг(х) вычисляет
функцию к*.
43. Доказать, что множество Н из задачи 43 из § 3 является
креативным.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 1. Операции над множествами
3. Множество {0} имеет один элемент 0, а множество 0 не имеет
элементов.
7. Нет. Пусть х£АГ\В; тогда х £ С. Таким образом,
х е (А П В) \ С.
11.	Докажем, например, (е).
Пусть х G А П (В U С). Тогда х G A их еВ U С. Если х G В, то
х G А Г) В, а значит, х G (А П В) U (А П С). Если х 6 С, то имеем
х е Л Л С, а значит, х 6 (Л Л В) U (Л Л С). Итак, Л Л (В U С) С
С (Л ЛВ) и(Л Л С).
Пусть хб (Л Л В) U (Л U С). Если х 6 Л Л В, то х G Л и х£ В.
Отсюда следует, что х 6 Л и х 6 В U С, т. е. х е Л Л (В U С). Если
х 6 Л Л С, то х 6Л и х 6 С. Отсюда следует, что х е А и х G В U С,
т. е. х £Л Л (В U С). Итак, (А Л В) U (А П С) С А П (В U С).
12.	Докажем, например, (а).
Пусть х 6 - (Л Л В). Это означает, что х 6 t/и х Л Л В. Отсю-
да следует, что х&А или х £ В. Если х&А, то хб - Л, а зна-
чит, хе (- Л) U (- В). Если хВ, то хе - В, а значит,
х6(-Л) U(- В). Итак, - (Л ЛВ)С(-Л) U (- В).
Пусть хе (- Л) U (- В). Еслих G — А, то х t/и х £ А, а значит,
х £ А Г> В. Отсюда следует, что х е - (Л Л В). Если х е - В, то
хе U и х<& В, а значит, х4 Л Л В. Отсюда следует, что
х е - (Л Л В). Итак, (- Л) U (- В) С - (Л Л В).
13.	(в) Пусть АПВССихеА. Рассмотрим два случая: х G В или
хе — В. Если хе В, то х е Л ЛВС С, т. е. хе (- В) U С. Если
х е - в, то х е (- в) и с.
Пусть ЛС.(- В) U С и хСЛ ЛВ. Тогда х е А и хе В. Значит,
хе с.
(д)	Пусть (А \ В) U В = А и х G В. Тогда ясно, что х е А.
Пусть BQA. Тогда (А\В) U В = (А П (-В)) U В = (Л UB) Л
Г) (-В U В) = А.
(е)	Пусть (Л Л В) U С = Л Л (В UC). Тогда С£ Л Л (В U С), а
значит, С С А.
156
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Пусть ССЛ. Тогда (Л AB)UC = (ЛОС) A (BUC) = А A (73UC).
14.	Докажем, например, (в).
Пусть х 6 А А (В — С). Тогда хЕАихЕВ- С. Отсюда следует,
что если х 6 В, то х (£ С, значит, х 6 А О В, но х (£ А О С. Если х G С,
то х$. В. Значит, х 6 А Г) С, но х £ А О В. Таким образом,
х е (Л А В) - (А А С). Итак, Л П (В-С) £ (Л ПВ) - (Л П С).
Пусть (Л ПВ) - (Л П С). Если хб Л П В и Л А С, то
х G А, х£ В, х&С. Значит, хвЛ Л (В - С). Если х €= А А С и
х^. АС\ В, то xGЛ, х&С, х^ В. Значит, х ЕЛ А (В - С), Итак,
(ЛАЯ) - (ЛАС) S АП {В - С).
15.	Докажем, иапример, (а).
Пусть х е (A j U ... U Ап) — U ... U В J. Если существует i
(1 < £ < п) такое, что х G А(, то для всех j — !,...,« имеем х $: В?
Тогда х G А. — В., а значит, х GE (А^ — В^) U ... U (Ап — Вп). Если су-
ществует £ (1 < £ < п) такое, хЕВ(, то цтя всех /= 1,..., п имеем
х А.. Тогда х G Л. - В., а значит, х 6 (Л], — В^) U ... U (Ап - Вп).
16.	(в) Пусть А—В = С. Тогда В-С = В-(А-В) = В-(В-А) - А
(см. задачу 14 (а), (г)).
17.	(a) A U В = А - В - (А А В), А \ В = А - (А А В);
(б)	А А В = (A U В) - А - В, А \ В = (A U В) - В;
(в)	А А В = А \ (Л \ В), A U В = (Л - В) - [Л \ (А \ В) ].
18.	(а) Из Л и В с помощью операций А и U могут получиться лишь
множества Л, В, A U В и А А В, которые все отличаются от Л \ В, на-
пример, при Л = В * 0.
(б) Пусть множество С получается из Л и В с помощью операций
А и \. Число применений операций А и \ для получения С из Ли В
назовем высотой множества С. Индукцией по высоте множества С
докажем, что С является подмножеством или Л, или В.
Если высота С равна 0, то С = Л или С — В и утверждение дока-
зано.
Пусть С имеет высоту п + 1, а для всех множеств меньшей высоты
утверждение доказано. Тогда С = D А Е или С = D \ Е для некото-
рых множеств DhE, высота которых меньше п + 1. В обоих случаях
С £ D, а по индуктивному предположению D—подмножество Л или В.
Таково же и С. Итак, из Л и В с помощью операций А и \ могут
получиться лишь подмножества Л или В. Но Л U В не всегда является
подмножеством Л или В.
19.	Необходимые свойства операций - и А находятся в зада^
чах 11(6), (г), 14(a), (б), (в), (ж), (з) и 16(в). Вычитанием в рас-;
сматриваемом кольце множеств является операция —, что следует и4
задачи 16(в).
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 1]
157
21.	(а) Пусть А = ап} и BQ А. Для каждого элемента а.
имеются две возможности: a. G В или а. В. Всех подмножеств А име-
ется 2-2- ... -2 = 2". (б) С*.
п
22.	(а) Пусть С е Р (А Г) В), т. е. С £ А П В. Тогда CQA и С С В,
а значит, С 6 Р (Л) и С G Р (В). Итак, Р (А П В) £ р (Л) П Р (В).
Пусть С е Р (Л) П Р (В). Тогда С G Р (Л) и С G Р (В), т. е. С £ Л
и С С В, а значит, С С Л АВ. Таким образом, С G Р (Л Г) В). Итак,
Р (Л) П Р (В) С Р (Л П В).
(в) Пусть С G Р (Л U В). Тогда С С Л U В. Положим А[ — С Г) А и
В^ СП В. Тогда С = Л1 U и Л1 £ Л, Q В.
Если Л| G Р (Л) и B^GP (В), то Л1 С Л и В{ С В. Тогда
A U В{ С Л U В, т. е. Л1 U Bj С р (Л U В).
23.	Если {{а}, {а, Л}} = {{с}, {с, </}}, то второе множество должно
содержать элемент {а}, т. е. {а} = {с} или {а} = {с, <!}. В обоих слу-
чаях а = с. Теперь осталось доказать, что из {а, Л} = {a, d} следует
b = d. Если а = Ь, то а = d и, значит, b = d. Если а * Ь, то а * d, зна-
чит, b = d. Обратное очевидно.
24.	(а) Неверно. Например, А = 0, В = {0}, С = {{0}}.
(б)	Неверно. Тот же пример, что ив (а).
(в)	Верно. Докажем от противного. Пусть х G А П С; тогда, так как
Л U С С В, то xG В. Но х 6 Л А В, а значит, х G — С. Это противо-
речит тому, что х G С.'
(г)	Неверно. Например, возьмем А = С * В.
(д)	Неверно. Например, возьмем три попарно непересекающихся
непустых множества.
26.	Пусть, например, At — {0}, Лп+1 = Ап U {Л^}.
27.	X = (С \ Л) U В. В самом деле, В С х С (— Л) U В (из первого
уравнения по задачам 13(6), (в)) и С П (— Л) С X £ С (из второго
уравнения по задачам 13(a), (г)). Отсюда
В U (С П (- Л)) £ X С ((- Л) U В) Г) С = ((- Л) А С) U (В А С) =
= ((- Л) А С) U В.
Легко проверить, что X = (С \ A) U В удовлетворяет данной сис-
теме.
28.	X = (Л \ В) U С.
29.	(а) Система имеет решение тогда и только тогда, когда В £ А.
и В. £ ( —Aj) U В. для всех i, j G I. При этом условии решением систе-
158
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
мы является любое X такое, что U В. С X С А ((— А ) U В) (см. зада-
че/ ' iei
чу 13(a), (б), (в)),
(б)	Система имеет решение тогда и только тогда, когда А. С в. и
В А (— А.) С В. для всех i, j G I. При этом условии решением системы
является любое X такое, что U (В. А (— Л.)) С X С А В (см. за-
iei 1	1 iei
дачу 13 (а), (б), (г)).
30.	X = С \ В.
31.	(б) Использовать тождества задач 11 и 12.
(г) Используя (а), заменить каждое уравнение системы уравнени-
ем, в правой части которого стоит 0. Полученную систему
Л1 = 0, ..., Ап = 0 заменить одним уравнением Ai U ... U Л(] = 0-
Используя (б), привести полученное уравнение к виду
(А А X) U (В А (- X)) = 0. Заменить полученное уравнение системой
А А X = 0,
В А (- X) = 0.
Используя (в), записать условия существования решения и найти
решение.
32.	(а) X = А при условии С QAQB.
(б) X = А при условии CQAQB.
(в) BUCQXQ-A при условии В U С £ - А.
34.	Пусть I — бесконечное подмножеств множества jV , А —
= А X. и В = А X..
1е,Л"
Если х G А, то х G X для всех i G JV. В частности, х G X. для всех
i G /, т. е. х £ В. Итак, А С в.
Если х G В, то х G X. для всех i G1. Возьмем произвольное j G «Л'.
Так как множество I бесконечно, то найдется i G I такое, что j < i.
Тогда xGX, СХ.. Таким образом, х£Х. для всех j G </Г. Итак,
ВС Л.
35.	Доказательство аналогично данному в решении задачи 34.
36.	(в) Пусть х G— ( U Л Л. Тогда х G U и х £ U Л,, т.е. А,
Чек '	кек
для всех к 6 К. Значит, х G — Ак для всех к G К, т. е. х G А (— ЛД
кек
Итак, — ( U Л.) С А (— Л,).
Чех ' кек
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 1]
159
Пусть х G Л (— АЛ. Тогда х G —А, для всех кЕ. К. Значит, х G U
кеК
и х £ А, для всех к ЕЕ К. Имеем х £ U А, и, значит, х 6 — ( U Л Л .
кек	Чек '
Итак, Л (—АЛ С - [ U Л Л.
кек	Чек '
(е) Пусть х ЕЕ U (В П АЛ. Тогда существует fc ЕЕ К такое, что
кек
хЕВПА,, т. е. х£Ви х£Л.. Имеем хЕ1)Л, и, значит,
k	k	кек k
х е В П иЛ,. Итак, U (В П АЛ С В П U Л,.
кек k кек k кек k
Пусть х G В Л U А,. Тогда х ЕЕ В и х ЕЕ U А,, т. е. существует
кек	кек
k ЕЕ Этакое, что х ЕЕ Л,. Имеем х G В Л Л,, а значит, х ЕЕ U (ВПАЛ.
к	к	кек к’
Итак, В Л U Л £ и {В Л АЛ.
кек к кек к
37.	(а) Если xG U Л Л то существует к ЕЕ К такое, что
keKter	°
х £ Л Ак . Это означает, что х ЕЕ Л, для любого 1 ЕЕ Т. Значит,
ter о	о
х £ U Л, для любого Г ЕЕ Т. Итак, х ЕЕ Л U Л, .
кек	ter кек
(б)	Пусть, например, Л^? = 0, если к * Z, и Л^ = JV. Тогда
U Л Л = 0, но Л U Л, = Л.
кеЛЛеЛ'	tel/k' кеЛ'
39.	(а) Ясно, что Л. С и Л для всех i ЕЕ Т. Теперь пусть множество
' ter
В таково, что Л. С В для всех i G Т. Тогда U Л С в (см. зада-
'	ter
чу 38 (а)).
(б) Ясно, что Л Л( £ Л для всех i 6 Т. Теперь пусть множество В
ter
таково, что В С Л. для всех i G Т. Тогда В С л Л? (см. задачу 38 (б)).
ter
40.	Пусть х ЕЕ Л Л . Тогда существует такое к, что х В,.
пеЖЩ п
Пусть kQ— наименьшее такое к. Ясно, что kQ > 0, так как х е BQ.
Тогда х G Вк j \ Вк .
о о
41.	Положим В = Л , В = Л ,. \ (Л. U ... 11Л ).
0	0’	п+1 п+1 4 0	п7
160
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
12. Отношения и функции
5.	Пусть х е (А X В) U (С X D). Тогда х = (у, z) syeA,zEB
или у е С, z ё D. Отсюда у € Л U С, z е В U D и х - (у, z) е
G (ЛОС) х (В U В). Итак, (ЛхВ) U (CxD) £ (ЛиС) X (BUD). Ус-
ловие «(С £ Л и В £ В) или (Л £ С и В £ D)» является необходимым
и достаточным, чтобы получилось равенство.
6.	Докажем, например, (а).
Пусть х G (A U В) х С. Тогда х = {у, z), где у G A U В, z G С.
Отсюда у 6 Л или у е В. Значит, (у, z) G Л х С или (у, z) G В х С.
Итак, (Л U В) х С £ (Л х С) U (В х С).
Пусть х € (Л х С) U (В X С). Тогда х € А х С или х е В х С. Это
означает, что х — (у, z) и в первом случае у 6 Л, z е С, а во втором
случае у G В, z G С. Значит, у G A U В, а х = (у, z) G (Л U В) х С.
Итак, (Л X С) U (В х С) £ (Л U В) X С.
7,	Пусть a G. А, b е В. Тогда (a, b) G А х В, а значит, (a, Ь) ё CxD,
т. е. a G С, b G D. С другой стороны, (b, a) G В х Л, а значит,
(b, a) G С х D,r. е.ЬЕС,аёО. Тогда (a, a) 6 CxD, а значит, a G В.
Аналогично,(b, b) е С х D, а значит, Ь 6 А. Итак, Л = В. Тогда имеем
А х В = С х D, н по задаче 3 (б) Л = С, В = D.
8.	Мы считаем, что 0 делит 0.
(a)	<5R = pR = так как (х, х) G R. В-1 = {{х, у) | х, у G Л' и у
делит х}.
R-R — R; R R-1 = ^f2, так как (х, у) G RR"1 о существует z та-
кое, что х делит z и у делит z. Но такое z легко находится по любым
х и у. Надо взять, например, z = x-y. R~l -R = Л^2, так как
(х, у) G В”1 -R о существует z такое, что z делит х и z делит у. Надо
ВЗЯТЬ Z = 1 для любых X, у.
(б)	Делается аналогично (а).
(B)d„=pD = ®, В-1 = В, вв = вв-1 = в-1в = ®2.
И 'К
-1
(г)	dR=pR = В~ = {<х, у) | х, у 6 ® и 2у > Зх},
-1 =В-1-В = ®2.
л
2 ’
R  R —
= {(х, у) | х, у G ® и 4х 2 9у}, В В
(д) 6R
л л _
~ 2  2 ’ ря ~
-1
В-1 =
В-В =
(.X, у) I х, у G
(х, у) | sin sin х < у},
и х 2 sin у
ВВ'1 =
(х,у) | х,уе -1
4.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ »2J
161
9.	(в) х е &я _R о существует у таксе, что (г, у) G Rt • R2 о су-
Г 2
ществуютуигтакие, что(х, z) G R{ m(z, у) 6 R^ о существует z такое,
что	и	о существует z такое, что (z, х) е R”1,
2
z GpR и z е &я «лея'1 n <5R |.
t	1	\	1	2/
(г) х G ря я о существует у такое, что (у, х) G R( -R2 о сущест-
»	2
вуют у и z такие, что (у, z)ERtv (z, х) G R2 о- существует z такое, что
z G ря и (z, x)ER2<> существует z такое, что z 6 ря , z е dR и
I	12
{z, x)ER «xER L л<5 1.
£	£ К. Л	Л_ •
11.	Если R — i., то для любого отношения R на А имеем
(х, y)GRRt<> существует z такое, что (х, z) G R и (z, у) G Rt, но
(х, z) G R только при х — z. Таким образом, R-Rj = R(. Аналогично,
A ,R = R,. Обратно, положим R, — i,. Тогда, так как R-R. = R,, то
1	1 г	I A	II
R = h-
А
12.	(в) (х,у) G (R, UR2)-1 о (y.xjGRj UR2o(у,х) СR, или
(у, х) €Е R2 о (х, у) G R”1 или (х, у) G R”1 о(х, у) G R~’ U R~*.
(д) Пусть R — бинарное отношение между элементами множеств
А и В. Тогда
(х, у) G - R~l « <х, у) G (В X А)\А-1 <=>х G R, у G А и (х, у} А-’ о
О х G В, у G А и (у, х) f Я О {у, х) е (Я х й) \ Я О
о <У, х) е -R о (х, у) е (-R)-1
13.	Если А * 0 и В и, то таких отношений R не существует.
Пусть xGA(~\B. Тогда (х,х)бЯо(х,х)бЯ_|е{х,х)Е-Я.
Получили противоречие.
Пусть А Л В = 0. Так как R-ICRxA, а — RCAxB, то
R-1 = — R = 0. Отсюда R = 0 и R = А х В. Получили противоречие.
14.	(а) 2"-"1.
(б)	п,п.
(в)	Если п > т, то это число равно /1”'—числу размещений из п
элементов по т; если п < т, то таких функций ие существует.
(г)	При т = п.
6 И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
162
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
15.	(а) {х, у) 6 R^-fR^R ) «► существует z такое, что {х, z) е и
(z, у) е R2 R3 о существуют z, и такие, что(х, г}еЯр (z, и) 6 R2 и
(и, у) 6 Я, о существует и такое, что (х, и} G R. -Я, и (и, у) G R о
o{x,y)e(Rl-R2)-R3.
(б)	{х, у) е (7?! -Я2)-1 О (у, х) е 7?! R2 о существует z такое, что
О’, z)G]?1 и (z, х) 6 R2 о существует z такое, что {х, z) & R~x и
{z,y)&R-^{x,y)&R2Y-R-\
(в)	{х, у) 6 [ U яА - Q о существует z такое, что (х, г) 6 U Я. и
j	ZG/
{z, у) 6 Q*> существуют z и i 6 I такие, что {х, z) 6 Я. и (z, у) 6 Q о
о существует I 6 Iтакое, что {х, у) £ R. Q о {х, у) 6 U (Я.• Q).
iei
(г)	Доказывается аналогично (в).
16.	(а) (х, у) 6 Q- I Г) Я.| о существует z такое, что (х, z) 6 Q и
/
(z, у) 6 Г) Я. о существует z такое, что (х, z) 6 Q и (z, у) 6 Я»для всех
ZG/
z G I о (х, у) 6 Q Я. для всех i 6 /о {х, у) 6 П (Q-Я ).
'	ZG/ ‘
(б)	Доказывается аналогично (а).
(в)	Например, для (а): Я1 = {(1, 1)}, Я2 = «О, 1)}, Q = {(1, 0),
<1, I»-
17.	Нет.
19.	(а) Пусть Z> 6 В. Тогда ВА содержит функцию /: zi -» В, опреде-
ленную так: /(х) = b для всех х 6 А.
20.	Поставим в соответствие элементу ..., а ) из А'1 функцию
f: I А, определенную так: /(г) = а.
23.	(а) / есть 1-1-функция.
(б) / П (3^, X (р^ П <5р) и g Г) ((pj Г) 3^) X являются 1-1-функ-
циями.
24.	Пусть функции Д: А -* Л1 и /2: В -* В{ осуществляют взаимно
однозначное соответствие между А и А{ и между В и В1 соответ-
ственно.
(а)	Функция F: А X. В -» А{ х В{ , определенная так: F [{а, Ь)) —
— I /2(Z>)), осуществляет взаимно однозначное соответствие меж-
ду X В и Л1 ХЯр
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 2]
163
(б)	Пусть h 6 Ав; тогда F(h) = /, 1 -h-fx осуществляет взаимно од-
fl в
нозначное соответствие между А и А} 1.
27.	См.задачи 26 и 28.
29.	Если R—взаимно однозначное соответствие между Л и В, то
результат следует из задачи 28.
Обратно, dR — А, так как RR~ = i ; pR = В, так как
Л-1 R = iR. Если (х, у) 6 R и {х, z) 6 R, то (у, z) 6 R, а значит,
у = z. Если (у, х) 6 R vt {z, х) 6 R, то (у, z) 6 R-R"1, а значит, у = z.
32.	Условия, когда включения заменяются равенствами, приведе-
ны в задаче 33.
33.	Пусть/не является 1-1-функцией. Тогда существуют а, b 6 д?
такие, что а * b и /(а) = f(b). Положим А — {а}, В — {/>}. Обратное
очевидно.
34.	Если х 6 /(Л) \ f(B), то существует у 6 А такое, что /(у) = х и
у £ В. Таким образом, х 6 /(Л \ В).
35.	Если х 6 /(Л \ В), то существует у 6 Л и у Е - В такое, что
/(у) = х. Таким образом, х 6 f(A). Ясно, что х £ f(B), так как / есть
1-1-функция.
38.	Докажем, например, (а).
Пусть х 6/-1 (Л U В). Это означает, что /(х) 6 A U В. Если
х 6 А, то х 6 f1 (Л). Если/(х) 6 В, то х 6 f1 (В). Итак, / -1 (Л U В) С
с/-1(л) и/-1(в).
Пусть х 6 С/"1 (Л) U/-1 (В). Еслих £ /~'(Л), то /(х) ЕЛ СЛОВ,
т. е. хЕ/-1(ЛиВ). Если х£/-1(В), то /(х) 6 В С Л U В,
хЕ/-1(Л U В). Итак,/-1(Л) U/~ 1 (В) С/-1(Л UВ).
42. В первом случае должно бытьр^. = В. Во втором случае/должна
быть 1-1-функцией.
46. (а) Пусть хЕ U ПЛ... Это означает, что существует z„ 6 I
IEI jEJ lJ
такое, что для всех j 6 J имеем хЕ Л. .. Пусть /— функция из J1.
V
Тогда х 6 Л. а.. и х 6 U Л.„... Поэтому хЕ П U Л.~.,.
'Л'о>	/6/ *')	'АО
Обратно, пусть x^ U ПЛ... Тогда для любого i 6 I существует
IEI jEJ ?
j. 6 J такое, что х £ Л... Положим/Q(z) = j.. Тогда имеем х U А.? .
Поэтому х П U Л. „ .
,_i sc т 1А1>
6*
164
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(б)	Можно использовать (а) и задачи 36 (в), (г) из § 1.
47.	По определению.
48.	(б) Пусть /6 U В(- Тогда существует iQ 6 I такое, что
<е/ /е/ V
f 6 PJ В. . Отсюда f(j) 6 В. . для любого j 6 I. Поэтому f е	X., но
/е/	<о/	/е/ 1
£ А . Значит, / £ П А.
°	iEl
Обратно, пусть / 6 JJ[ X. \	А.. Тогда/(i) 6 X. для всех i и суще-
iEi iEI
ствует iQ е I такое, что /(г'о) £ А.. Тогда f(iQ) е В. . и /(/) 6 В. . при
о	'о'о	V
/ # iQ. Поэтому / е П2’<;и/еи.П«,г
/е/ 0	,е/ /6/
( и Лг1
49.	(б) Отображение <р: В ~'Г ' Р[ ВА< осуществляет требуемое
ter
взаимно однозначное соответствие:
(и Л^
&(/)) (t) = /<") И, х в) для /е ву^т / и t е т.
(в)	Отображение <р: fJJ В А Л -* Р[ В^ осуществляет требуемое
^67 J tET
взаимно однозначное соответствие:
(0 = / о (л х вр для / е (П Л и 1 е т-
\tET /
50.	Пусть af 6 А(. Определим функцию /: 7 U Л; следующим
tET
образом: ДГ) = af.
51.	Отображение <р: Af ]Д Af
tET	Рет \
требуемое взаимно однозначное соответствие:
осуществляет
Н0= /Л Г] X U At I, / П т2 х ил,
I \ t ет ')	\ ter2,
v	II	2	2
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 3]	165
§ 3.	Специальные бинарные отношения
1.	R—рефлексивное отношение на Л о i С R.
2.	R — иррефлексивное отношение на А о R Г) i = 0. Например,
пусть R{ = {(х, у) | х, у е c/F, х < у}, R2 - Я”1. Тогда R{-R2 рефлек-
сивно.
3.	R симметрично о R = R~\
4.	Я ,-Я_ симметрично =*Я-Я = (Я,-Я_)-1= ЯГ1-ЯГ1 = Я Я,,
1 X	1x1 Z	Z 1	Z Y
Я1 Я2 = R2RX => (Я,-я^-1 = (R2Rxy1 = я-1 я-1 = Rx r2.
5.	(а) Я антисимметрично о Я П Я-1 С /
(б	) (Я.иЯ.) П (Я, U Я,)-1 = (Я.иЯ_) Г) (ЯГ1 U ЯГ1); Я^ПЯ =
1 Z	1 Xz	1 Z	1	Z	IX
= (я1пя21)-1.
6.	(а) Например, {(х, у) | х, у е S), lx — yl < 1};
(6)	{(х,у) | х, у е %, х < у < х2};
(в)	{(х, у) | х, у е х < у};
(г)	{{х, у) | х, у е Я>, х = у = 0}.
7.	(а) Например, {(х, у) | х, у е ®, х, у > 0};
(б)	х G А =* (х, у) 6 Я или (у, х) 6 Я для некоторого у =* (х, у) 6 Я и
(у, х) € Я => (х, х) е Я.
8.	ЯС/.
А
9.	См. указание к задаче 8.
11. (а) Да. (б) Нет.
14.	Я-1 = Я.
15.	Я — эквивалентность =* Я-1 = Я, Я Я С я, i£ я. Обратно,
А
R R~1 симметрично для любого Я. Поэтому Я симметрично и
Я Я = Я Я-1 С Я.
16.	(а)Я1 =^1Я1.
(б)	А2 = (А2)-1 = (Я^яр-1 =Я“1Я“1 =Я2ЯГ
17.	Разбиению (А.}., сопоставляем эквивалентность:
Я = {(х, у) | существует i е I такое, что х, у 6 Л.}.
18.	Если Я—эквивалентность, то 9 = Л/Я (см. задачу 13).
166
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
19.	Полагаем Д ([х]^) = f(x). Очевидно,
[x]Q= [y]Q**f(x)=f(y).
Поэтому/j есть взаимно однозначное соответствие между AlQ и /(Л),
а (^Л) (х) =/1(е(х)) =/1([х]е) =/(х).
21.	7?( U Т?2— эквивалентность =* R}-R2 С (R( и R?)  (7?t и Т?2) С
С 7?! U Т?2, 7?! U R2 = (RfiA) U (iA-R2) С 7?t R?
Обратно, пусть R UR = R -R . Тогда R-R=R~lR~l =
I	£	i £	Л l	i	l
= (7?1-7?2)-1=(7?1U7?2)-1=7?1U7?2, (T^U 7?2)-(^URJ = (R{-RJU
U(7?_-7? ) U (R -7?_) U (7?_-7?_) C R и R t. e. 7?. U R~ транзитивно.
Xr 1	1 Xr	Xr Xr	1	Xr	1	Xr
Симметричность и рефлексивность 7?( U T?2 очевидны.
22.	R{-R2 — эквивалентность =* 7?( -T?2 = (7?t -7?2)_1 = R~1-7?”1 =
= R R . Пусть R R7-RyR.. Тогда (R -R,)-1 = (R R )-1 =
= R~l-R~l = R{ R2, t. e. R\ 'R2 симметрично; (7^-T^)-(7^-T?2) =
- ^^2К1УК2^К1<К1К2УК2 = (К1'К1У(К2К2^К1'К2' T‘ e’
7?R2 транзитивно; рефлексивность очевидна.
23.	Rt‘R2 есть эквивалентность (см. задачу 22). Очевидно,
R^ U Т?2 С R^ -R Пусть теперь R{ -T?2 С Q для некоторого отношения
эквивалентности Q. Тогда R ( • R2 £ (7? и r2) • (R и R2) С Q • Q С Q.
24.	Q есть объединение всевозможных произведений вида
7?.-7?.2-...-7?.	(Л>1,г1,...,г^7).
25.	Пусть А состоит из п + 1 элементов, а 6 А и множество
В С А \ {а} содержит i элементов. Число эквивалентностей R на А
таких, что [а]^ = В U {а}, равно
30.	(а), (б) следуют из антисимметричности частичного порядка.
(в) 7? = {(х, у) | х, у 6 S), х - у — 0 или х # 0, у # 0, х < у} есть
частичный порядок на 0.
33. R — предпорядок =* 7? = 7? • i С R • R.
38.	Например, А есть с частичным порядком из задачи 29, А{
есть сЛ' с обычным порядком <, /(х) = х. Для линейно упорядоченных
множеств см. задачу 8 из § 5.
39.	h (х) — {у | у < х} для х 6 А есть требуемый изоморфизм.
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 3]
167
40.	Тогда и только тогда, когда = R2. Если # Т?2, то су-
ществует пара {х, у) такая, что (х, у) 6 R , (х, у) £ Т?2 или (х, у) gR^
(х, у) 6 R2. В первом случае (х, у) 6 7^ С R{ 'R2, (у, х) 6 Т?2 С 7^
х у. Аналогично рассматривается второй случай. Если же R1 = R2,
то •/?2 = (см. задачу 33).
41.	(б) В противном случае А содержит бесконечное подмножество
{а, а1, а2,... } такое, что а> а^> а2> ... или а< а^< а2< ...
42.	(а) Например, (т, п) < (т^ nJ о т < т{ или (т - т{ и
п < nJ.
(б) (ир ..., mJ < (Пр ..., существует i (1 < г < min (к, !))
такое, что m = л,, ..., т. = п. ,, т. < п. или к S /и т= п,,...
’	1 ii-i 1-11 i	1	1
...,^ = иг
(в) а + Ы <	+ bj о а < или а = а[У b < Ь^.
44.	Пусть 7?!—произвольный линейный порядок на множестве
всех минимальных элементов множества А (см. задачи 41, 43), R2—
линейный порядок на множестве В2 всех минимальных элементов
множества А \ Bt и т. д. Для х, у 6 А полагаем
х < у о (х 6 В., у 6 В., i < f) или существует i такое,
что х, у 6 В. и {х, у) 6 R..
45.	Докажем индукцией по пг. При т — 1 все элементы А попар-
но несравнимы и число элементов в Л не превосходит п. Пусть
т > 1, В — множество минимальных элементов из А. Если С —
произвольная цепь в множестве А \ В, то С имеет наименьший эле-
мент а (см. задачу 41 (а)) и существует aQ 6 В такой, что aQ < а (см.
задачу 41 (б)). Поэтому С U {aQ} есть цепь в A, aQ £ С и, следователь-
но, С содержит не более т — 1 элементов. По предположению ин-
дукции (А \ В) содержит не более (т — 1)-и элементов, а множество
А = (А \ В) U В не более (m — 1) п + п = тп элементов.
47.	h ([а, b ]) = (Ь, а) есть требуемый изоморфизм.
48.	(а) Все двухэлементные линейно упорядоченные множества
изоморфны между собой и самодвойственны. Множества из двух не-
сравнимых элементов также самодвойственны и изоморфны между
собой.
(б) Любое трехэлементное частично упорядоченное множество
удовлетворяет в точности одному из следующих пяти условий:
168
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(1) имеются наибольший и наименьший элементы, т. е. порядок
линейный;
(2> нет наибольшего элемента, есть наименьший;
(3> нет наименьшего элемента, есть наибольший;
(4) два элемента сравнимы, третий несравним с остальными;
(5) все три элемента попарно несравнимы.
Частично упорядоченные трехэлементные множества изоморфны
тогда и только тогда, когда они удовлетворяют одному и тому же из
условий (1)-(5). Частично упорядоченные множества самодвойствен-
ны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют одному из условий
(1>, (4), (5).
49. (I) *•(2). Бесконечная строго убывающая цепь > х2> ...
... > х > ... не содержит минимального элемента.
Я
(2) =* (3). Пусть существует свойство Т элементов множества А
такое, что для любого элемента а £ А из справедливости Т для всех
элементов, строго меньших а, вытекает справедливость Т для а, и
элемент b £ А ие обладает свойством Т. Тогда существует
£ А, Й < Ь, такой, что не обладает свойством Т, и т. д. Получаем
бесконечнуюцепь b >	> ... > bn> ...
(3) =» (1). Пусть М £ А и Т есть свойство: аф М или существует
минимальный элемент m в множестве М. Допустим, что а £ А и все
элементы, строго меньшие а, обладают свойством Т. Возможны два
случая: (а) существует элемент b & М такой, что b < а, (б) не сущест-
вует такого Л. В случае (а), так как b обладает свойством Г, существует
минимальный элемент множества М. В случае (б) а£ М или а £ Af и
а есть минимальный элемент множества Af. Поэтому а обладает свой-
ством Т. Из условия (3) следует, что все элементы множества А обла-
дают свойством Т. Пусть теперь Af # 0, а £ Af. Тогда Af имеет
минимальный элемент.
50.	Если все цепи множества вполне упорядочены, то оно удовлет-
воряет условию обрыва убывающих цепей и, следовательно, условию
минимальности (см. задачу 49). Обратное очевидно.
51.	Если А обладает указанным свойством, то для любого неми-
нимального элемента а £ А существует точная верхняя грань и(а)
множества {х | х £ А, х < а} и для любого немаксимального а £ А су-
ществует точная нижняя грань v(a) множества {х | х £ А, х > а}.
Если а < Ь, то
b= v{v... (v(a)) ...)(« раз), а - и(и ... (и(Ь)) ...) (п раз)
для некоторого п. Возможны четыре случая.
(а)	А имеет наименьший и наибольший элементы. Тогда А ко-
нечно.
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (§ 3]
169
(б)	А имеет наименьший элемент aQ и не имеет наибольшего.
Тогда любой элемент а е А представим в виде v(v... (Ха0)) • • •)
(п раз) для некоторого п и А изоморфно множеству натуральных чисел
с их обычным порядком.
(в)	А имеет наибольший элемент aQ и не имеет наименьшего. Тогда
А изоморфно множеству отрицательных целых чисел.
(г)	А не имеет наибольшего и наименьшего элементов. Тогда А
изоморфно множеству всех целых чисел.
52.	Все конечные множества и только они (см. задачу 32 и
задачу 42 из § 5).
53.	(а) Проверим транзитивность <:
р(х, у) - х, р(у, z) = у =» у>(х, z) = <р(<р(х, у), z) = <р(х, у>(у, z)) =
= р(х, у) = х.
Рефлексивность и антисимметричность очевидны.
(б)	(jp (х, у), х) = <р (х, <р (х, у)) =	(х, х), у) = (х, у). Ана-
логично,
4>(4>(х, У), у) = fix, у); <p{z, х) = z, <p(z, у) = Z*»
=* p(z< <р(х, у)) = <p(<p(z, х), у) = fP(z, у) = Z.
55.	(б) См. задачи 20 и 24.
56.	Пусть а, b — максимальные элементы решетки М. Тогда
aUJ€M,aUA>fl, aUA>4. Отсюда a U b = а = Ь.
57.	Если М = {а,, ..., а,}, то a, U ... U а, есть наибольший эле-
1 1 Jr 1	к
мент в М.
58.	(а) Семейство конечных подмножеств натурального ряда.
(б) Семейство подмножеств натурального рада с конечными до-
полнениями.
(в) Множество целых чисел.
60.	(а) х Uy = у=> х П у = х Л (х U у) = х; обратное аналогично.
<б) х < х, так как х U х = х U (х А (х U у)) = х;
х < у, у < х * х = х U у = (х Л у) U у = у;
х < у, у < zs> х = х Л у = х Л (у Л г) = (х Л у) Л z = х Л z;
z £ х, z < у* z = z Лу = (z Л х) Лу = z Л (х Л у);
х < z, y<z4>z = zUy=(zUx)Uy = zU(xUy).
61.	Использовать, кроме определения, тождества из задачи 59.
(а)	0 = х А (— х), I = х U (- х) для любого х Е М.
(б)	Пусть Ь., А—дополнения элемента а Е М. Имеем
А *
К «₽ (a A b.) U A as (а U A) A (A U А_) = A U А.
170
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Аналогично, b{ = U Z>2 = Z>2-
(г) а Г) b Г) [(-a) U (-/>) ] = [а Г) b Г) (-а) ] U [а A b А (-/>) ] = 0;
(aAZ>)U [(—a)U(—Z>) ] = [aU(-a)U(-Z>) ]П [Ю(-а)и(-/>) ] = 1.
(е) сг&Ь =» Ь = aUb =*>-b = -(aUb) - (-а)А(-5) =*
=> аА(—Ь) = а А (— а) Г) (— />) — 0;
аА(—Z>)=0 =* b — Z>U [аА(—Ь) ] = (Юа)А [Z>U(—Z>) ] = b\Ja => а < b.
65.	Пусть Aj = D U {х}, А2 — D U {у}. Тогда хПи# 0 для любого
и G D или yd v # 0 для любого v 6 D\ в противном случае для некото-
рых и, у 6 D имеем (х U у) А (и A v) = 0 и 0 6 D. Поэтому или А2
можно расширить до фильтра (см. задачу 64).
66.	(а) =* (б) следует из задачи 65.
67.	Пусть D — данный фильтр. Тогда семейство 5 = {Dj | есть
фильтр на М, Dj 2 D} удовлетворяет условиям леммы Цорна (см. за-
дачи 66 и 68 из § 5) и поэтому имеет максимальный элемент.
68.	Имеем а А (- 5) # 0 ( см. задачу 61 (е)). Из задач 64 и 67
вытекает требуемое утверждение.
69.	h(a)r\h(b) = h(adb), h(a)Uh(b) = h(<AJb), —h(a) = h(—а). Поэ-
тому S замкнуто относительно A, U и —.
70.	Отображение h, определенное в задаче 69, монотонно и удов-
летворяет условию Л(х) < Л(у) =* х < у вследствие утверждения задачи
68. Поэтому h есть изоморфизм между М и Л(М).
71.	Следует из задачи 57.
72.	Отображение Л, определенное в задаче 69, есть изоморфизм
между булевой алгеброй М и Л(Л/). Покажем, что h(M) = Р(^).
Множество^ конечно. Пусть А = {Dp ..., С	— на-
именьшие элементы фильтров D	соответственно. Тогда
А — h(a{ U ... U а0: если D 6 h(a^ U ... U а^), то а. 6 D для некоторо-
го i и D — D. в силу максимальности D, поэтому D 6 А; обратное
включение очевидно.
§ 4. Кардинальные числа
2. (в) Пусть /—функция из А на В. Тогда любая функция g-. В А
такая, что g(Z>) е / -1({5}) для b G В, есть 1-1-функция.
3. Пусть / осуществляет взаимно однозначное соответствие между
А иЛ2. ПоложимBQ — А, В{ = Ap Вп+2 = /(В^ (п - 0, 1, ...). Тогда
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 4]
171
В0ЭВ1ЭВ2Э-’
Л = U (В\В)U п в =
ZGc/Г	/еЛ'
= "(В2>В2,+^ V (B2i+l\B2i+2)U
/бЛ'	iGc/F	i'Gc/F
Л.= U (ВДВ ,)U П В.=
z .z\ m 1 l+l .	‘
ZGc/F\fl)}
= и (Вэ	и (В \В .ли п в..
2t+2	2i+3'	' 2i+l 2t+2' л. i
ie^	}е<Ж
Имеем	re. («2i \ B2i+I) -
~	Так как все множества В. \В. (z = О, 1,...)и
4 2i+2	2i+3z	i i + 1 4	7
ГТ В. попарно не пересекаются, то Л ~ Л (см. задачу 24 (в) из § 2).
/еЛ" '
4. Имеем /(Л) С В, g(B) С Л, где f: А-» В к g: В -» А являются
1-1-функциями. Тогда f(g(B)) £ /(Л) С в и /(Л) - В (см. задачу 3).
6.	(а) Пусть /(Л) С Л, где / есть 1-1-функция а 6 Л \ J(a). По-
ложим aQ-a, a.+ l=f(a.) при z > 0. Тогда а(+1 е/(... (/(Л)) ...) (/раз),
но а[+1 £/(/(... (/(Л)) ...)) (z + 1 раз), поэтому а. * а.при z # /. Зна-
чит, Л содержит бесконечное подмножество {aQ, а1, ...}.
7.	Пусть Л бесконечно, aQ 6 Л. Тогда Л \ {aQ} также бесконечно
(см. задачу 5 (б)) и существует ах 6 Л \ {«0}. Далее, Л \ {а0, а{} бес-
конечно и существует а2 6 Л \ {aQ, а{} и т. д. Положим /(0) = aQ,
/(1) =	— а2, ... Тогда /осуществляет взаимно однозначное со-
ответствие между Л'иЛ[ = {а0,	а2,...} £ Л.
8.	Пусть Л бесконечно, В — {bQ, b^,...}—счетное подмножество Л.
Тогда Л = В U (Л \ В) ~ (В \ {/>Q}) U (Л \ В) = А \ {Z»Q}.
9.	Достаточно доказать утверждение для Л'. Пусть I £ Л' и I бес-
конечно. Построим /: Л' -»I. Возьмем в качестве /(0) наименьший эле-
мент множества Z, в качестве/(и +1) наименьший элемент множества
Z\ {/(0), ...,/(«)}. Тогда /осуществляет взаимно однозначное соот-
ветствие между Л' и I.
10.	(а) Следует из задач 2 (в) и 9.
(б)	Если Л = {aQ, ..., afi} (п > 0), то следующая функция/отобра-
жает Л' на Л:
/(z) = а. для 0 S z < п, f(i) = aQ для z > п.
172
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
11.	Следует из задач 5 (б) и 9.
12.	(а) Пусть А = f(tA'), В = g(iA') для 1-1-функций /:	-» А и
g: jV -» В. Положим h(2k) = f(k), h(2k + 1) =g (Л) при к = 0,1,...
Тогда Л отображает на A U В. Так как A U В бесконечно, то
Л11Всчетно (см. задачу 10 (б)).
(б) Пусть Л;. = {а.р ..., а.п] (z = 0, 1,2,...). Полагаем /(а.) =
i
= nQ + ...+ п._^ + j — 1 для i G j < n.. Тогда f есть l-1-функция
из U Л. на «Ж.
ze<# 1
(в) Пусть Aq - {Адо, <?01, <?02, ...}, А{ = {<?10, ап, а12> ...}, А^ —
= Чо’а21’й22’-”}’-" Положим 50={й(Ю}, В^ = {«01,а10},...
...,В = {а.., а, а Тогда U А. = U В. не более чем счет-
н 1 On 1,м-1 по1	I ,, i
но (см. задачу (б)). Тогда U А. > /С = !<
13.	(а) Пусть А^— счетное подмножество А. Тогда А{ U В - Л1
(см. задачи 11 и 12 (а)). Поэтому A U В = (А \ AJ U (А{ U В) -
- (А \ лр иЛ1 = Л.
(б) Следует из (а), так как Л = (Л \ В) и В и (Л \ В) бесконечно.
14.	Пусть Л1 = {а0, ар ...}, Л2 = {60, 6^ Тогда Л(хЛ2 =
= U (Л: х {В.}), Л1 х {Ze} ~ Лг Поэтому Л1 х Л2 счетно (см. зада-
чу 12(b)).
15.	(а) Следующая функция/есть l-1-функция из g на
/(0) = 0, f(k) = 2zt, /(- к) = 2к - 1 (к = 1, 2,...).
(б)	Следующая функция f отображает g2 на
/((*, у)) = при у * 0, /«х, 0)) = 0.
Поэтому И < g2 (см. задачу 2 (в)). Отсюда Z/F <	< ~g2 < Z/F (см.
задачи 15 (а) и 14) и"Э = ZT (см. задачу 4).
(в)	Пусть йр —рациональные числа такие, что а <	< Ь,
й. +5	а + /(и)
ДО) = ——> /(л + 1) =-------2--- есть 1_1_ФУНКЦИЯ из Л в [а, b ].
С другой стороны, [a, b ] Г) 3. С 2..
(г)	Следует из (б) и задачи 14.
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (§ 4]
173
16.	Следует из задач 12 (в) и 14, так как множество всех конечных
последовательностей есть объединение по и G vF множеств последова-
тельностей фиксированной длины п.
17.	Следует из задачи 16.
л	л
18.	Следует из задачи 16, так как многочлен а}х ' + а2х 2 + ...
п
... + а^х к + ak + j можно представить как конечную последователь-
ность элементов счетного множества {х, +} U
19.	Следует из задачи 18, так как множество корней любого много-
члена конечно.
20.	В интервале (а, 6) можно найти рациональное число
с (а < с < Ь). Поэтому данное множество интервалов эквивалентно
подмножеству множества
21.	Под буквой Т понимаем пару взаимно перпендикулярных от-
резков такую, что один из них проходит через середину другого. В
точке пересечения отрезков проводим окружность радиусом меньше
половины каждого отрезка. Буква Т делит круг на части. В каждой из
этих частей существует точка с рациональными координатами. Раз-
личным буквам Т соответствуют различные тройки точек.
22.	Следует из задачи 20. Любой точке х G А сопоставляем интер-
(	<5	<5
вал I х — у х + 2
23.	Следует из задачи 20. Каждой точке разрыва а сопоставляем
интервал / lim /(х), lim /(х)
1х-»а-0	х-»а+0
24.	(а) Следует из задачи 13 (а).
(б)	Для х G [0, 1 ] полагаем /(х) = а + (Ь — а)х. Тогда / осуществ-
ляет взаимно однозначное соответствие между [0, 1 ] и [а, 6).
(в)	/(х) = tgx осуществляет взаимно однозначное соответствие
л
2’
25.	Возьмем, например, [0, 11 и [0, 1 ]2. Паре действительных чи-
сел (0, аоау ...; 0, bQbl ...), где ни одно из этих чисел не имеет 9 в
периоде, сопоставляем число 0, а^Ь^а^Ь^... Далее используем задачу 4.
26.	Рассмотрим две окружности, например, с центрами в начале
координат и радиусами г и R. Точке (г cos г sin <р) сопоставляем
точку (R cos у>, R sin <р).
27.	®2 ~ [а, b ]2 ~ [a, 5J ~ ® (см. задачи 24 (а) из § 2, 24 (в) и 25).
28.	Следует из задачи 24 (в).
(см. (а) и (б)).
между - j, j I и ®, [а, b ] ~
174
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
29.	Пусть / есть 1-1-функция из Л на отрезке [0, 1 ]. Пусть
/(п) = О, а па ....а .... Строим действительное числоfi следующим
образом:/? = О, bQblb2..., где
b.=
1, если а.. * 1,
и
2, если а.. = 1.
и
Ясно, что для любого п имеем f(n) * [}, Получили противоречие.
30.	с, так как ® = Q U (®\^) и счетно (см. задачи 15(6) и
13(6)).
31.	Следует из задач 19 и 13 (б).
32.	[0, 1 ] £ и [z, i + 1 ] С U [z, i + 1 ] С
ievF	ievF
33.	Каждому х G ® можно сопоставить счетную последователь-
ность рациональных чисел, сходящуюся к х, и, так_как ~ пос-
ледовательность натуральных чисел. Поэтому не превосходит
мощности множества S всех таких последовательностей. Обратно,
последовательности натуральных чисел aQ, а1, а2, ... сопоставляем
действительное число
0, p........Oip..,.....Qlp....._...Ql...
ао+1 раз ^ + 1 раз а^+1 раз
«Ж
34.	(а) Следует из задач 33 и 4, так как множество последова-
тельностей натуральных чисел эквивалентно подмножеству множест-
ва {Р, 1} : последовательности натуральных чисел aQ, а2, ...
сопоставляем
Р,.....,Р, 1.Р,........,0, 1,...
а	а
о	I
(б)	Следует из (а) и задачи 44 из § 2.
35.	(а) Следует из задачи 25.
•Л'
(б)	А. ~ JV для любого i G I (см. задачу 33). Поэтому
П А. ~	~ X1 ~ (см. задачи 25 (г) и 47 из § 2 и
ie/
задачу 14).
Ж ж ж
36.	(а) с, так как ®	~ (<# ) (см. далее указание к задаче
35(6)).
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 4]
175
(б)	с, так как непрерывная функция f однозначно определяется
счетным множеством {(х, Дх)) | х €= 52} (которое можно представить в
виде счетной последовательности).
(в)	с, так как монотонная функция однозначно определяется сво-
ими значениями на счетном множестве точек: в точках разрыва (см.
задачу 23) и в рациональных точках.
37.	Можно. Множество В = {х — у | х, у ЕЕ А} счетно. Любое
a G Я) \ В удовлетворяет условию задачи.
38.	Допустим, <р- [О, 1 ] -» Я>[°’ есть 1-1-функция из [0, 1 ] на
Положим Дх) = (у>(х))(х) + 1 для х£ [0, 1 ]. Тогда/G 1]
и/= у>(х0) для некоторого х0 е [0, 1 ]. Отсюда Дх0) = (/>(x0))(x0) + 1.
Получили противоречие.
40.	Пусть <р есть 1-1-функция из А на Р(А). Положим
В = {х | х ЕЕ А и х £ <р(х)}- Тогда В = Нх0) Для некоторого xQ е А.
Имеем х0 е В => х0 £ ^(xQ) = В, xfl£B=>x0£ ^(xQ) => х0 е В, т. е.
противоречие. Поэтому такой функции <р не существует.
41.	Пусть U А ~ С С A0G Я для некоторых С и А(.. Тогда сущест-
вен
вует В Е 9 такое, что В не эквивалентно никакому подмножеству
множества А . С другой стороны, В С U Л. Получили противоречие.
0	лея
42.	Пусть Я есть множество, содержащее все множества. Тогда
Р(Я) С 3. С другой стороны, Р(Я) > Я (см. задачу 40). Получили про-
тиворечие.
43.	(а) Положим, например, Ьп = (ап + 1)-2”.
(б)	Предположим, <р есть 1-1-функция из	на А. Положим
Ъп = [(^(0))л 4-... + (у>(п))и + 1]-2«
Тогда для любого i имеем
(р(0)л	1
п > i => —- <-----------------< —.
bn	2п
Поэтому lim —т = 0 для любого i ЕЕ что противоречит условию.
М-* 00 °п
176
ответы, гашения, указания
$ 5. Ординальные числа
_ 4^ Пусть А =	В = £ с обычными порядками. Тогда И = Б, но
А & В.
5. В множестве из п элементов можно выбрать наименьший эле-
мент п способами, поэтому число О* линейных порядков на п элемен-
тах равно я-Ож1-
6. Пусть А = [ае ..., а*}, где at < ... < а*, В = {Ъ^,bj, где
< ... < Ъ*. Положим Д<г) = б. Тогда/— изоморфизм между АиВ.
1. См. указание к задаче 4.
8. Пусть f — монотонная 1-1-функция из Л на В. Тогда /-1 —
также монотонное отображение, так как из (ж, у 6 А, но неверно, что
х < у) следует, что у < х и Ду) < flx), т. е. неверно f{x) < /(у).
11.	Пусть Л удовлетворяет условиям (а>, (б), (в). Положим
ДО) = Ди + 1) = (Дл))', где п = 0, 1, 2,... Тогдар^ = А вследствие
условия (в). Если л, « Е и л < гя, то Дл) < (Дл))' - Длг) вслед-
ствие условия (б), поэтому /—монотонная 1-1-функция из JV на А.
12.	Пусть А бесконечно и А^ конечно для любого a G А. Положим
Да) = X Тогда/есть изоморфизм А на «Ж.
13.	Пусть А = Oj, Оу ...} удовлетворяет условиям (а) и <б),
5 = fag,«г«г -4- ПостроимДЛ-*5 ng £ -• А. Положим Да0) =
= 4в.	= %- Пусть Д^,.... и ..., Х<?й) ужепострое-
ны. Если ая+1 =я(<^ для некоторого i (О < i < л), то положим
Аая+1) =	*<+| £	то возьмем в качестве
Даи+а) первое {Д^К Дая),.... рааэо.шжеиное от-
нос идеями» Д^),	..., ты же, как расположено
относительмо	Далее, если ?п+1 = Да.) для
некоторого 1 (0<i< s + Г), то полагаем £Йж+1) = а. Если <?я+1
{Дйд), --,Д«ж+а)}, то возьмем в качестве ,g(0B+J) иер®ое
а.	д;в<|	расяаложезявое относительно мно-
жества {и^,...	«« какрасположено
отиясмтевыю множества	4^» Остается др-
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Ц 5]
177
14.	Пусть А = {aQ, — счетное линейно упорядоченное мно-
жество. Построим изоморфизм / из А в 2. Полагаем /(aQ) = 0. Да-
лее, пусть /(а0), ...,/(ая) построены. Если а. < а. < ... < а. < ап+1<
в 1	к— 1.
<а.	<...<а. (гцс i.<n, 1 < Jt < я - 1), то выбираем » . G та-
'*+1 '» 7
кое, что/(а. )<а	). Если а ,, меньше всех а.,..., а , то
v Z /	n+1	I /	п+1	1’ п
4~1	£+1
выбираем </ G 2 такое, что ^ж+1< /0%),..., 9я+1< f(an)’ а если
а J_. больше всех а,,..., а , то выбираем q ,, е 2 такое, что
п+1	1 п	г *п+1
<7«+1 > W’ «п+1 > Полагаем/(an+1) = qn+v
15.	(б) Пусть а, b е А, а< Ь. Возьмем множество С С в всех та-
ких последовательностей (х^ ..., хя, хя+1,хп+2> хя+3) (я >0), что
х. G {а, Ь} для/ = 1,..., п, х = х , = Ь, х , = а и не существует
I	И т I	1» т &	tl“t L
i < п такого, что х. — xi+2 х/+1 = а‘ ^огда С имеет порядковый
тип г] (см. задачу 13); утверждение следует из задачи 14.
16.	См. указания к задаче 24 из § 4.
17.	Рассмотрим случай, когда А не содержит наибольшего и на-
именьшего элементов. Остальные случая рассматриваются подобным
образом. Пусть В — счетное плотное в А подмножество. Ввиду зада-
чи 13 существует изоморфизм h из В на 2. Возьмем a GE А. Сущест-
вуют а{, а2 G А такие, что < а < й2- Тогда существуют bQ, b £ В
такие, что а{< Ь^< а <Ь < а? Далее строим последовательность Ь(),
Ь}, Ь2,... элементов из В такую, что а{ < Ь&< Ь{ < Ь2 < ...
... < а< Ь.	), А(&2), • • • является моно-
тонной и ограничена числом поэтому она имеет пределом
действительное число а. Положим Да) = «. Тогда/есть изоморфизм
из А в
20.	(а) Проверить, что если А и В—линейно упорядоченные непе-
ресекающиеся множества, то отношение <, данное в определении
суммы порядковых типов, линейно упорядочивает A U В и
А, = А, В х: В, А, Г) Bt = 0 А, + В, » А + В. Аналогично для
1 1 1 1 11
АВ.
21.	См., натфымер, задачу 22 (г).
22.	(г) Множество, упорядоченное но типу со + 1, имеет наиболь-
ший элемеят в отлмчж от множества сюряжошмхэ типа а>.
(е)	Пусть А — (х|	2 и х < VT}, В — (х| х € 2 » х >
Тогда А « В ~
178
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(ж)	Пусть А = {х | х€ ® и х <0}, В = {0}, С = {х | х G S) и
х > 0}. Тогда А = С = Л и А + В + С = X.
(з)	Пусть А + В = Л. Тогда А - А^ С ®, В - В^ С g>, Aj UBt = S>,
AlCiBl=0na<b для a G А и bSB. Поэтому существует в A{
точная верхняя грань а^ или в В^ точная нижняя грань 2^. Тогда
= Л + 1 * Л или Bj = 1 + Л * Л.
23.	Например, а = 2, /3 = а>.
2
24.	(д) Множество порядкового типа 7 удовлетворяет условиям
задачи 13 (е). В множестве А порядкового типа шт) порядковый тип
множества элементов, не являющихся непосредственно следующими
за какими-либо элементами из А, равен т]. Для множества В порядко-
вого типа ш(т] + 1) порядковый тип аналогичного множества равен
7 + 1.
26.	(б) Например, а = ш*, ft = ш, у = 2.
28. Пусть А = а, В = ft, {Ab | b G В} — семейство попарно непе-
ресекающихся множеств, упорядоченных по типу а, — изомор-
физмы А на Аь- Тогда следующая функция/есть изоморфизм из Л В
на U Ab: f((a, Ь)) = <рь(а).
Ье.в
31. (а) Нет. (б) Нет. (в) Нет. (г) Да.
34.	Пусть a £ А не является наибольшим элементом А. Тогда мно-
жество {х | х G А, х > а} имеет наименьший элемент.
35.	Нельзя, так как эта цепь не содержит наименьшего элемента.
36.	Любое не вполне упорядоченное множество содержит беско-
нечно убывающую цепь.
37.	В противном случае получаем /(/(а)) < /(а),	< f(f{a})
ит. д.
38.	Следует из задачи 37.
39.	Следует из задач 9 (г) и 38.
40.	Пусть fl и /—два изоморфизма из А на В, /^а) < /2(«) = b
для некоторого aS А. Тогда	есть изоморфизм В в В и
(f~1 -/i) (b) < Ь. Получили противоречие (см. задачу 37).
41.	Пусть Л и В вполне упорядочены, S = {а | aS А, Л “ Л^ для
некоторого bSB}. Тогда S = A или S = Лд для некоторого
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 5]
179
aQ G A, S - В или 8 “ Вь для некоторого bQ G В. Если 5 = A, S “ В
или 5 = A, S - В, или 8 = А , 8 “ В, то утверждение доказано. Слу-
°о	ае
чай S = А , S — В. невозможен, так как тогда Аа Вь и
%	о	о о
ап G 8 = А .
0
42.	Пусть А—бесконечное множество, вполне упорядоченное от-
носительно заданного и двойственного порядков, aQ G А. Тогда
BQ = {х | х < aQ} или В = {х | х > а0} бесконечно. Пусть BQ беско-
нечно. Тогда BQ имеет наибольший элемент Ар далее Bq \ {Z^} имеет
наибольший элемент Ь^ и т. д. Получаем bQ> Ь{ > Ь2> что про-
тиворечит полной упорядоченности В относительно <. Аналогично
рассматривается случай, когда В^ бесконечно.
43.	Предположим, что В * А*. Тогда А \ В непусто и имеет наи-
меньший элемент х. Получаем А* С в и х £ В. Приходим к противо-
речию.
44.	(а) Следует из задачи 41. (б) Следует из задачи 38.
(И'л
45. /(/3) =
для /3 < а есть изоморфизм из Wa на множество
< а}, упорядоченное отношением включения. См. далее зада-
чу 10.
46.	Пусть М—множество порядковых чисел, —непустое под-
множество М, a G М . Тогда W вполне упорядочено (см. задачу 45).
Если М, (~l W = 0, то а есть наименьший элемент в М,. Если
la’	1
М, Г) W * 0 то М, П W с W имеет наименьший элемент 8, кото-
1 а	1 а а	'
рый является наименьшим в М.
47.	(а) Пусть А = U W . Тогда А вполне упорядочено (см. зада-
_____________ a£S °
чу 46). Тогда /3 = А есть искомое порядковое число (см. задачи 45, 38).
(б)	Существует/3 £ 5 (из (а)). Тогда W& \ S вполне упорядоченно
и содержит наименьший элемент у, который и будет искомым.
48.	Следует из задачи 47 (а).
49.	Имеем а + 1 > а. Пусть a < /3. Тогда Wa С (см. задачу 45),
Wa U {а} есть начальный отрезок или Wa U {a} = W^, Wa U {a} =
= a + 1 < Wa = /3.
P
180
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
50.	Пусть а # 0 и а не является предельным, т. е. а *
* sup {/3 | fl < а}. Тогда существует у такое, что fl < у для всех fl < а,
и неверно, что а < у. Поэтому у < а и у есть наибольшее в {fl | fl < а}.
51.	Пусть fl — порядковое число. Множество {а | а <
< fl, \ Wa конечно} имеет наименьший элемент у. Тогда у = 0 или
у есть предельное порядковое число, fl = у + п, где п = W^\ W.
53.	Л. С U А., поэтому А. вполне упорядочено. I-BQ U А.,
iEJ	i&l
гцс В = {а. | а есть наименьший элемент в А.}.
54.	Пусть а = A, fl = В, у — С, А С\С = В ПС = 0.
(а)	Если В < А, то В подобно начальному отрезку множества
АС В, что противоречит задаче 38.
(б)	Следует из (а).
(в)	Если А В для некоторого а С 5, то С U /1 С U Обратно,
пусть y+a<y+flMa>fl. Тогда по уже доказанному у + а > у + fl.
Получили противоречие. Поэтому а < fl.
(г)	Следует из (а).
(д)	Следует из (в).
(е)	Следует из (г).
55.	Например, а = 0, /3=1, у = со.
56.	Пусть а = A, fl = В, у = С.
(а)	Следует из задачи 54 (а).
(б)	Пусть Я = для некоторого В. Тогда С х ,’ = (С х В)^ .
где с — наименьший элемент С.
(в), (г) Следуют из (б).
(д)	Следует из (а).
57.	(а) Пусть а = A, fl = В. Если а = fl, то а — fl = 0. Если fl < а,
то В - А для а£А; В + А\А = А С1(Л\Л) = Л = а, а — fl =
а	’ г	а а ' а'	г
= А\Аа, fl + у{= fl + у2 =* yt = У 2 (см- задачу 54 (д)).
(б)	a-y<fl-y=>a=y + (а - у) < у + (fl - у) = fl (см. зада-
чу 54 (в)).
(в)	а — у < а — fl => а = у + (а — у) < fl + (а — fl) — а (см. зада-
чи 54 (в), (г)).
(г)	уа = у (fl + (а - fl)) =yfl + у(а - fl) (см. задачу 26 (а)), поэтому
у(а -fl) = уа -yfl.
58.	(а) а <а^> fl = (a +fl) - а < (а- + fl) - а = fl (см. за-
Ал	А	А	А	А	А	& а'	a L
у&чу 51 (в)).
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 51
181
(б)	Пусть а — A, fl — В. Тогда у = (Л X В)^ для некоторых
а С А, ЬЕВ. Полагаем <5 = А , е = В,. Имеем у = ас + <5, так как
а b	*
(л х Ь} = (А х и (Аа х {*})• Пусть у = ае1 +	= аг2 + &2,
<5^ &2 < а. Если£( < е2, тоае1 < ае2 (см. задачу 56 (б)). Если<52 < <5^
то тоже аех<ае2 по (а). Тогда ае^ +	< aeY + а = а^ + 1) <
< ае2 < ае2 + д2 (см. задачи 54 (б),(в), 26 (а), 49, 56 (а),(в)). По-
лучили притиворечие. Поэтому е и <5 определены однозначно.
(в)	а = 1а < fl- (а + 1) (см. задачу 56 (б)). Утверждение следует
из (б).
59.	Из задачи 58 следует, что aQ = a [fll + а2 для некоторых
а < а. и /3.. Далее а. = a fl + а , а, < а и т. д. Получаем после-
довательность аг > а2 > а3 > ... Поэтому а +1 — 0 для некоторого
п > 1 (см. задачу 46).
60.	Пусть у не обладает свойством Р. Тогда существует наимень-
шее ординальное число а < у, не обладающее свойством Р. Все
ординальные числа /3 < а обладают свойством Р. Получили
противоречие.
61.	Пусть а —порядковое число. Возьмем следующее свойство
Р: fl есть такое ординальное число, что а@ существует и однозначно
определено. Это свойство удовлетворяет условиям задачи 60.
62.	Например, множество всех бесконечных последовательностей
натуральных чисел таких, что лишь конечное число членов последо-
вательности отлично от 0, упорядоченное так:
ап, ...,а , ... <,5_,..., b ,...о существует п >0 такое,
0	’ п f 0’	’ п	J J
что а <Ъ и а. = Ь. при к> п.
п п к к
63.	Доказательства используют принцип трансфинитной индук-
ции (см. задачу 60).
(а)	у > 1 и а фиксированы. Р(/3) есть следующее свойство: если
fl > а, тоу^ > уа.
(б)	а и fl фиксированы. Р(у) есть свойство a = а &  ау.
(в)	а и fl фиксированы. Р(у) есть свойство (а^) у = а у.
64.	(а) Рассмотрим случай, когда у = <5 + 1 и а * 0. Имеем
fl = ш1' — а и а < а/. Представим а в виде а = о/ е + т, где т <
(см. задачу 58 (в)). Тогда е<ш и а/+1 = о/(а>-(£+1)) =
= ш7 — а/ (е + 1) < fl. Случай, когда у предельное, следует из уже
доказанного.
(б)	Трансфинитная индукция по fl.
182
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(в)	Пусть е — наименьшее такое т, что < а1. Тогда £ > 0 и не
является предельным, т. е. е = | + 1. Далее применяем задачу 58 (в).
(г)	Последовательно применяем (в). Процесс обрывается, так как
всякое множество порядковых чисел вполне упорядоченно.
65.	Полагаем 3L = 0, 9 ,. = 9 (J {9 }, 9Я = (J 9 для предель-
О а+1 а 1 сг ’ р о У
У<Р
ного Д.	_
Для доказательства транзитивности 9^, того, что = а, и един-
ственности 9а, используется принцип трансфинитной индукции (см.
задачу 60).
66.	(2)=>(1). Пусть
5 = Ьр | <р: А -» U X , где А С А, <р(а) е X1.
1	аеА(	1
Тогда 5 непусто и частично упорядочено по включению. 5 удов-
летворяет условиям леммы Цорна. Максимальный элемент в S есть
искомая функция выбора.
(1)=>(4). Пусть 9 = {А. | i €Е /}, А. П А. = 0 для i # /, /: 1 -» U А.
есть функция выбора. Тогда С = {/(i) | i G /} — требуемое множество.
(4)=*(1). Возьмем Э = {{А'д} х Ха | a G А}. Тогда
({XJ х Ха) П ({Хь} * XJ = 0 для а *Ь.
Пусть С таково, что ({X } X X ) Г) С состоит ровно из одной точки
с . Тогда са = {Ха, d^ для некоторого da G Ха, f = {са | a G Л} есть
требуемая функция выбора.
(1)	=» (5). Пусть М — произвольное множество, f—функция выбора
на Р(ЛТ) \ {0}. Рассмотрим семейство 5 таких А С л/, А 0, что А
может быть вполне упорядоченно так, что a G / (М \ Аа) для любого
aS А. Тогда 5 непусто, так как {/(М)} €Е 5. Пусть А и В—множества
из 5 с указанными полными порядками. Тогда А = В или одно из них
является отрезком другого. Поэтому объединение L всех множеств из
5 само принадлежит 5. Если L # М, то L U {<р(М \ L)} 6 5. Отсюда
L = М.
(5)	=» (3). Пусть L есть цепь в множестве М, частично упорядочен-
ном отношением <. Если L = М, то L максимальна. Если L М, то
вполне упорядочим множество А = М \ L отношением < . Любому
а 6 А сопоставим теперь некоторое множество L 2 L. Если всем
b <, а уже сопоставлены L., то полагаем L = U L. U {а}, если а
1	о	а	о ь
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 6]
183
сравним по < со всеми элементами из U L^, и La= U в про-
b < a	b<ia
тивном случае. U L есть максимальная цепь, содержащая L.
а&А
(3)=>(2). Пусть М удовлетворяет условиям леммы Цорна, а 6 М.
Тогда {а} содержится в максимальной цепи L. Верхняя грань с цепи L
является максимальным элементом в М.
(2)=» (6). Пусть Э — семейство множеств, имеющее конечный ха-
рактер. Отношение £ является частичным порядком. Выберем в 9
некоторое линейно упорядоченное подсемейство В =	Рас-
смотрим А = иЛ.. Пусть С — конечное подмножество А. Тогда С
i&I
является подмножеством А. для некоторого i G /, поэтому С G Э.
Значит, А 6 9. Множество А является верхней гранью семейства В. По
лемме Цорна В содержит максимальный элемент.
(6)	=» (2). Пусть А удовлетворяет условиям леммы Цорна. Семейст-
во Э всех цепей множества А имеет конечный характер и, следова-
тельно, в А существует максимальная цепь. Верхняя грань этой цепи
будет максимальным элементом в А.
67.	Применить лемму Цорна (задача 66 (2)) к множеству
В = {х | х > а}.
68.	Следует из задачи 66 (2).
69.	Пусть S есть семейство частичных порядков Q на А таких, что
Q □ R. Тогда S непусто, частично упорядочено включением и удов-
летворяет условиям леммы Цорна (задача 66 (2)). Максимальный эле-
мент L в S есть требуемый линейный порядок.
§ 6. Действия над кардинальными числами
1.	Пусть m = X и = ~В. Множества А и В можно вполне упоря-
дочить (см. задачу 66 (5) из § 5). Но тогда одно из этих множеств
подобно другому или его отрезку (см. задачу 41 из § 5), т. е. m < п или
п < Гл. Использовать также задачу 4 из § 4.
2.	Следует из задачи 1.
3.	Следует из задачи 40 из § 4.
4.	(б), (в), (г) Следуют из задачи 13 (а) из § 4. (д) Следует из
задачи 32 из § 4.
5.	(а) В{ = А} х {0}, В2 = А2 х {1}.
7.	(в), (г) Доказываются индукцией по п.
8.	(б) Например, n = m = Ко, так как + 1 = Ко.
184
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
9.	Пусть А = п, В = m и А £ В. Тогда положим п, = В \ Л. На-
пример, Ко + 1 =	+ 2.
10.	(б) Следует из задачи 14 из § 4.
(в) Ясно, что Л' х ® = U ({г} х ®) и {г} х 0 - 0. Результат
/еЛ'
следует из задачи 32 из § 4.
<г) Следует из задачи 34 (а) из § 4.
12.	(е), (ж) Пусть Л = п. А можно вполне упорядочить (см. задачу
66 (5) из § 5). Пусть Л = а. Тогда а =	+ у для некоторых порядко-
вых чисел у < со и р (см. задачу 58 (в) из § 5). Отсюда имеем
n =XJ)-n1 + п2, где пг,п2 — мощности множеств порядковых типов
^8 и у соответственно, п = Пр так как п2 конечно. Имеем
R -л = R--R -п, = Кп-л. = п (см. задачу 10 (б)), n S пгп < R -п = п.
13.	Пусть Л = n. Положим М = {<р \ <р есть 1-1-функция из В х В
на В для некоторого бесконечного В £ Л}. М непусто (см. задачи 8 из
§ 4 и 10 (б)), частично упорядочено включением и удовлетворяет ус-
ловиям леммы Цорна (см. задачу 66 (2) из § 5). Поэтому М имеет
максимальный элемент 2?0 х BQ~* BQ . Если BQ = п, то n2 = n.
Пусть m = Bo < n. Тогда A \ BQ > m (см. задачу 12 (e)), т. e.
A \ В& 2 В1 для некоторого Bi мощности m. Имеем
(BQ U BJxCBq U BJ ₽ (Ввх Bq) U (B{x B^ U (Bqx B>) U	x В J,
B^ (51xJ?o)u(BoxB,)U(^1xB1)= m2+m2+m2=m+m+m = m,
так как m2= BQx BQ = $0=m. Существует 1-1-функция f из В на В{.
Положим ^({а, b)) = <pQ({a, b)), если a, b Е BQ, и b)) = f((a, b)),
если (а, 6) € В. Имеем V* G М и V» Э <pQ, что противоречит максималь-
ности pQ.
14.	Пусть 2 < m < в и п бесконечно. Тогда fl<n + m<n + n =
« n-2 S в т £ п п ж п.
15.	(а) Следует из задачи 34 (а) из § 4.
(б)	Следует из задачи 33 из § 4.
(в)	Следует из задачи 36 (а) из § 4,
17.	Следует из задачи 25 из § 2.-.
18.	Следует из задачи 44 из g 2.	.<
Ч. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ [§ 6]
185
19.	Пусть Я = m, В = и и С = р, и пусть Л, ВяС попарно не пере-
секаются.
(а) Если /осуществляет взаимнооднозначное соответствие между
А и Bt £ В, a g— между В и £ €, то f-g осуществляет требуемое
соответствие между А и С? С С.
(e)m<n=>m + n<n + n = 2-n<mn.
(ж)	Если п конечное, то оба равенства выполняются только при
m = 0. Пусть п бесконечное. Если m + п = п, то &0-т + ^о’п = %'п-
ОтсюдаКф-т + п = п (см. задачу 14). Итак, ^o ni < п. ЕслиК0-т < п,
то m < Ко’tn < п. Значит, m < n. Итак, m + n = n (опять см. зада-
чу 14).
(з)	Если п < Пр то существует р такое, что п + р = (см. зада-
чу 9). Тогда n1 + m = n + p + m = p + n = n1.
(и)	Если ш бесконечное, то доказывать нечего, так как к • m — m
(см. задачу 14). Если m конечное, а п бесконечное, то n > £т и
и + &-т = п + т = п (опять см. задачу 14). Если т конечное и п ко-
нечное, то оба равенства выполняются только при m = 0.
(к)	Аналогично (и).
(л)	Следует из задачи 18 и задачи 40 из § 4.
20.	(а) Если 2® > &0, то m > «0, и результат следует из задачи
19(д).
(б) Если mn = R то 2 < m < R . Тогда 2” < m’ = К Значит, п
° X	°	°
конечное, так как 2 0 = с. Если m конечное, то mn конечное. Зна-
чит, m = «0.
21.	(а) Докажем, что пп < 2й. Пусть Я = и. По определению
/С А X А для любой/елл. Итак, пп < 2П П = 2" (см. задачу 13).
(б) Следует из (а).	_	_
22.	(а) Пусть А. ~ А для всех i е I, где Д = п, 7 = т, а А. для всех
i & I попарно не пересекаются. Обозначим через а. элемент из А.,
соответствующий элементу а из А. Паре {i, а}, где i €Е I и a €Е А, ставим
в соответствие элемент а. из А? Таким образом, I х А - и А..
*	/е/ 1
(б) Если тип конечные, то, очевидно, m = п. Если тип беско-
нечные, тот = т + р = п + р= п (см. задачу 14). Другие случаи не-
возможны.
(в) Аналогично (б).
25.	Следует из задачи 25 (е) из § 2.
26.	Следует из задачи 25 (ж) из § 2.
27.	Следует из задачи 46 из § 2.
186
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
28.	Пусть	{Б.}.е/— системы попарно непересекающихся
множеств таких, что Л = т ., ~Б = П(. Пусть е {— система функций
таких, что <р. осуществляет взаимно однозначное соответствие между
А. и С. £ В..
I I I
(а)	Определим F: U А, -* U В. так: F(a) = если а е
/е/ ' ZG7 '	'	'
(б)	Определ м F-. ]Д А. -* fj так:	(f) ~ (/(/))> если
/с/ i е /
/еПА-
iG/
29.	(б) Пусть I. = ш. и / С /, Доопределим функцию <J А. до
'	'	iGJ ‘
функции g: I -* 11Л. так:
ie.i ‘
g(i) =
7(0,
а.,
Г
если iG J,
если i 6 I \ J,
где а.—произвольный элемент из А..
30.	Пусть	{2?.}.е/— системы попарно непересекающихся
множеств таких, что А. = пт, В. = п;. Пусть	—система
функций таких, что / осуществляет взаимно однозначное соответ-
ствие между А. и С. £ в..
(а) Пусть Ь., с. е В., Ь. * с. для всех i G I, 7 > 3. Следующая
функция есть 1-1-функция из (J А. в В.:
(^)) СО =
/. (а.), если i = j,
с., если i * /,	* с.,
b., если i j, /. (а.) = с.,
где а е A., j €Е I.
Случай 7 < 2 проверяется легко.
<б) 2	- П пг вследствие (а). Предположим, что т? = П ПГ
ZG7 ZG7	_	ZG7 ZG/
Тогда	В.. = U Сгде V. = т., С. ("I С. = 0 при i j. Рассмотрим
М. = {g(7) | g е С.}. М. С в., Л. < U. = т., поэтому В. \ М. 0.
Ч. И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 1]
187
Пусть h G U (В;. \ М.). Тогда h(i) М., h $: С. для всех i е I. Получили
iei
противоречие.
31.	Имеем пк < ]Д т(.+ 1 < mQ- mj+1 (см. задачу 30 (б)),
ze Л'	ze Л'	z е <Л
32.	Следует из задачи 32 (а).
33.	По определению.
34.	См. задачу 49 (б) из § 2.
35.	Пусть т^° = пк, где т. < т/+1- Тогда для всех I е Л"
геЛ*
К „	т-т , К К К v,
имеем т. < т °. Значит, | j т. < (т о) о = т 0 = 2, пк (см. зада-
геЛ'	геЛ"
чи 28 (б), 17(b), 10(6)). Это противоречит результату задачи 31.
ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
§ 1. Алгебра высказываний
1. Формулой является лишь последовательность (в).
2. (а) 9 способов; (б) 19 способов.
4.	Индукцией по числу логических связок, входящих в С.
5.	Индукцией по числу шагов построения формулы А.
6.	Аналогично задаче 5.
8.	(а) Р = и; (б) Р = Q = и; (в) Р = R = и, Q = л.
9.	Делается непосредственно по таблицам истинности.
10.	(а) Например, X = У = Z = и;
(б)	например, X=Y=Z=V=W =,л и U = и;
(в)	например, X = У = л и Z = и;
(г)	например, X = У = и и Z = л;
(д)	только при X = У = и.
13.	Докажем, например, (а). Если при некоторых значениях пере-
менных значение формулы (В v С) есть л, то при этих же значениях
переменных значения В и С также равны л. Тогда при этих значениях
188
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
переменных одна из формул (А V В) или (-1А V С) должна иметь зна-
чение л.
14.	Пусть Л ~ В. Придадим переменным некоторые значения. Если
значение А при этих значениях будет и, то значение В также и. Отсю-
да значение (Л = В) есть и. Аналогично рассматривается случай, когда
значение Л есть л.
Обратно. Пусть (Л г В) тождественно истинна. Тогда формулы
(Л D В) и (В D Л) тождественно истинны. Если значение Л при некото-
рых значениях переменных есть и, то значение В не может быть л,
иначе значение (Л ЭВ) было бы л. Аналогично рассматривается слу-
чай, когда значение Л есть л.
17.	Пусть Л (Р \С) зависит от переменных PQ,..., Рк. Придадим
этим переменным некоторые значения. Тогда значение Л (Р \С) будет
равно значению Л, если переменная Р принимает значение, равное
значению С, а остальные переменные А имеют значения, совпа-
дающие с заданными.
18.	При вычислении значений Л и Aj мы будем использовать зна-
чения В и В1, которые совпадают, так кг.к В — В{.
19—	21. Доказываются непосредственно по таблицам истинности.
22.	Индукцией по числу шагов построения формулы Л, используя
задачи 20 (а), (б), (в), (д) и 18.
23.	Индукцией по числу шагов построения формулы Л, используя
задачи 22, 19 (г), (и).
24.	См. указание к задаче 23.
25.	Пусть у некоторого дизъюнкта В переменные Р. ,..., Р. входят
в В без отрицания, а Р., ...,Р. — с отрицанием. Если множества
{Р. ,..., Р.} и {Р., ..., Р. } не пересекаются, то, придавая Р. , ..., Р.
*1	‘к	Jl	Jm	Ik
значение л, а Р. ,...,Р. значение и, получим, что В имеет значе-
\	т
ние л.
26.	Аналогично задаче 25.
27.	Индукцией по числу шагов построения формулы А.
28.	Используя задачу 27, доказать, что
Л(Р„, ...,Р )--)Л* (пРп, ..., пР ).
' 0’	’ и7	'О’ п7
29.	Пусть значение переменных А, ..., В есть и, а значение пере-
менных Р,..., Q есть л. Требуемой элементарной конъюнкцией явля-
ется (Л&... &В&-1Р&...	Q).
30.	Сразу следует из задачи 29.
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ I]
189
	31. (а) Легко заметить, что полученная в задаче 30 дизъюнкция
 элементарных конъюнкций есть с.д.н.ф. формулы А.
Я (б) Следует из задачи 26.
Я	32. Пусть значение переменных Р1,..., Р^ есть и, а значение пере-
Я	менных Qj,..., Qn есть л. Требуемой элементарной дизъюнкцией яв-
Я	ляется (п Р. v ... v -I Р V Q, v ...v Q ).
'Я 33. Сразу следует из задачи 32.
Я	34. (а) Легко заметить, что полученная в задаче 33 конъюнкция
Я элементарных дизъюнкций есть с.к.н.ф. формулы А.
Я (б) Следует из задачи 25.
Я 35. (a) ((P&Q&P) v (P&Q& л R) V (Р& л Q&dR) v (Р& л Q& л Я) v
Я	V (nP&Q&P) V (л P&Q& n R) V (л Р& л Q&P) V (л Р& л Q& л Я));
Я	(б) ((л P&Q) V (л Р& л Q) V (P&Q));
Я	(В) (P&Q).
Я	36. (a)(PvQvR);
	(б) ((Р V Q V Я)&(Р V п Q V R)&(P v Q v п Я)&(Р v л Qv л Я)&
Я	&(*|PVQVP));
Я	(в) ((Р v Q V л Я)&(Р V л Q v л Я)&(Р V Q v Я)).
Я	37. (а) Например, А = (л Р V л Q);
Я	(б) ((P&Q&P) v (-.PiQ&P) v (лР& п б&Я)).
Я	38. ((-1 Р& 1 2&Я) V (Р& л Q& л Я) v (л Р&2& Л Я)).
^^Я
. I	39 • (CP&QkR) v (-P&Q& л Я) v (Р& п С&Я) v (л P&Q8J?));
‘ Я	((^& л Q& л Я) V (л P&Q& л Я) V (л Р& л Q&R) v (P&Q8uR)).
» 	40. (а) А = ((P&Q8J?) V (P&Q& л Я) V ( л Р&б&Я) V (лР&лб&Я));
Я (б) А = ((Р&О&Я) V (л Р& л Q& л Я));
Я (в) л = ((Ру2улЯ)&(лРУлеуЯ)).
"Я 41. Попарно не эквивалентных конъюнктов от п переменных име-
Я	ется 2п. Если какой-то из этих конъюнктов не входит в с.д.н.ф. форму-
Я лы А, то А имеет значение л при соответствующем наборе значений
Я переменных для данного конъюнкта.
Я 42. Легко следует из задач 31 (а) и 34 (а).
Я 43. (а) Меняем в с.к.н.ф. формулы А & на v, v на &.
Я <б) Используя задачу 42, строим с.д.н.ф. формулы А и далее в ней
Я меняем & на v, v на &, Р. налР., лР. наР..
’1	г t i
i-Я (в) Меняем в с.к.н.ф. формулы А & на v, v на &, Р. на
Я л Р„ л Р. на Р..
190
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
44.	Заметим вначале, что
(Xj V...VAJ- (G4j v...v4)i
&(P v -i P)) ~ ((Л1 &P)v(Xj &-iP)v...v(4 &P)v(4 inP));
аналогично,
(Л^.-ЛЛр ~ ((Лх & Xs)v(P&nP)) ~ ((XtvP)&
&(Xtv n P)& ... &(Xs v P)b(As v P)).
Используя это, мы всегда можем считать, что у любых формул А и
В заданные нормальные формы содержат одни и те же переменные.
(а)	С.д.н.ф. формулы (А v В) получается, если возьмем дизъюнк-
цию всех конъюнктов с.д.н.ф. для А и с.д.н.ф. для В', с.к.н.ф. формулы
(А v В) получается использованием задачи 42.
(б)	Используя задачу 42, строим с.к.н.ф. для А и с.к.н.ф. для В.
Тогда с.к.н.ф. для (Л&В) получается, если возьмем конъюнкцию всех
дизъюнктов с.к.н.ф. для А и с.к.н.ф. для В. Теперь с.д.н.ф. для (А&В)
получается, как в задаче 42.	,
(в)	Использовать (A D В) - (п А v В), задачи 42, 43 (б), (в), 44 (а). 
45.	Пусть в с.к.н.ф. формулы А отсутствует член (т Pj V ... V i Р^). ]
Возьмем любой дизъюнкт (Р. v ...v Р. V п Р. V... V тР.). Он экви- ’
S	S	Ji	I
валентен формуле ((Р. & ... &Р.) Z) (Р. v ... v Р.)), если t > 1, и фор- j
Ji	Ji li	s	j
муле (P. V... VP ), если t = 0.	1
1	s	I
Обратно. Докажем, что если в с.к.н.ф. для А имеется член I
(-1 Р V ... V -I Рр, то Л не эквивалентна никакой формуле, содержа- 1
щей лишь связки &, V, Э. Ясно, что в случае, когда все Р{, ..., Р* име- 1
ют значение и, значение А есть л. Но из переменных Р^, ..., Pk с I
помощью связок &, V, D можно построить лишь формулы, значение 1
которых есть и, когда все переменные Рр ...,Рк принимаютзначе- ]
ние и.	j
46.	Используя эквивалентности из задач 21 (б), (в), формулу А1
можно привести к виду (Р} = ... = Р} = ... s Р^ = ... = Р^). Если, на-1
пример, переменная Р} входит в данное выражение нечетное число !
раз, то придадим Р значение л, а остальным переменным значения и; I
тогда легко подсчитать, что значение А будет л. Если же все перемен-1
ные входят в данное выражение четное число раз, то, используя экви-1
валентность из задачи 21 (а), приведем формулу А к виду!
(Pj = ... = pj (2k раз). А эта формула тождественно истинная. I
Ч. II. МАТАМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 2]
191
47.	Непосредственно по таблицам истинности доказывается эк-
вивалентность (Л = л В) —। (А = В). Используя эту эквивалентность
и задачи 21 (б), (в), приведем формулу А к одному из видов:
(Р.	s ... = Р.), если в А имеется четное число вхождений п;
I	1к
л (Р. = ... = Р. ), если в А имеется нечетное число вхождений п.
1	4
В первом случае результат вытекает из задачи 46. Во втором слу-
чае формула Л не является тождественно истинной, так как, придавая
всем переменным значение и, получим, что Л имеет значение л.
§	2. Функции алгебры логики
1.	Положим р(Р;.) = v., р(п Л) = пу>(Л), р((Л&В)) = у>(Л)&р(Б),
<р((А v В)) = р(Л) v р(В), р((Л D В)) = <р(А) D р(5). Значению и со-
ответствует 1, а значению л соответствует 0.
2.	22 .
3.	(а) Все переменные существенны.
(б)	х.
(в)	Нет существенных переменных.
4.	(а) х&у = п (-1 х V п у), х D у = -i х v у.
(б)	х v у = л (п х& л у), х D у = л (х& л у).
(в)	х&у = л (х D л у), х V у = п х Э у.
(Г)пх = х|х, х&у = (х | у) | (х | у), XVу = (х I х) I (у I у),
X О у = х I (у I у).
(д)	-1 х = х Э 0.
(е)	-1 х = х + 1.
(ж)	х V у = (х D у) Э у.
6.	(а) Функции, которые можно получить с помощью &, v, D, s,
принадлежат Ср а функция-, не принадлежит Ср
(б)	Функции, которые можно получить с помощью & и V, принад-
лежат Со, а функция D не принадлежит Со.
(в)	Функции, которые можно получить с помощью v и D, удов-
летворяют условию: существует tтакое, что/(Хр ..., х(, ..., xf() > х., а
функция х&у не удовлетворяет этому условию.
7.	(а) Проверить равенство при х = 1 и при х = 0.
(б)	Заметим, что хр -...-xj = 1 тогда и только тогда, когда
х, =£,,..., х. = £..
1	1’	i i
8.	(а) Следует из задачи 7.
(б), (в), (г) Следуют из задачи 4 (а), (б), (в).
1И
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
9.	(а) Следует из задачи 6 (а).
(б)	Из переменных Хр х2,... с помощью п можно получить лишь
функции, зависящие существенно не более чем от одной переменной.
10.	(а) Следует из задач 4 (г) и 8.
(б)	-I х = х х х, х v у= п (х х у) = (х 1 у) ± (х ± у) и далее как в за-
даче 8 (б).
(в)	т х = х Э 0 и далее как в задаче 8 (г) .
(г)	-> х = х + 1 и далее как в задаче 8 (б).
11.	(а) -I х = х + 1 и далее как в задаче 8 (в), используя, что
+ и • коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и х + х =0,
X + 0 = X, XX = х.
(б)	Число различных «многочленов» от переменных х(,..., хп рав-
но 2 , т. е. столько же, сколько и функций алгебры логики от п
переменных.
12.	(а> Класс функций, полученный из переменных с помощью =,
содержится в Ср Для п см. указание к задаче 9 (б).
(6)	Класс функций, полученный из переменных с помощью +,
содержится в С^. Для -»см. указание к задаче 9 (б).
(в)	Разделяющие классы Cj и CQ.
(г)	Разделяющие классы L к CQ.
13.	(а) 0 = х/х и далее как в задаче 10 (в). Разделяющие классы
С1ИС0.
(б)	х v z = |х, х, z 1, -г у = [0, у, 1) и далее как в задаче 8 (б). Раз-
деляющие классы L, СоиСг
(в)	п х = х = 0 и далее как в задаче 8 (б). Разделяющие классы
Ср L и CQ.
14.	Функции, полученные из переменных с помощью = и +, со-
держатся в L. Можно добавить лишь & или V.
15.	Лишь {[} и {/} (см. задачу 10 (а), (б)). Каждая из остальных
двуместных функций попадает в один из классов Ср CQ, L, М и D.
16.	(а) и (б) л (Xj v... v Хд) для любого п > 2.
17.	Оставить лишь те функции, из которых можно выразить супер-
позициями функцию (.
18.	(а) х v у = (х Э у) Э у. См. далее ответ к задаче 45 из § 1 и
задачу 6 (б), (в).
(б	) Многочлен из задачи 11 (б) представляет функцию из CQ тогда
и только тогда, когда его свободный член равен 0. Разделяющие классы
для & и + есть Cj и L.
Ч. II. МАТАМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 2]
193
(в	) ПустьДхр х2, хп) — монотонная функция. Тогда (см. зада-
чу 7)
/(%!, х2,..., хп) = х, • Л(х2,..., хп) v n х2-g(x2,..., хп),
h(x2, • • •> хп) = /(1, х2,..., хп), g(x2, ...,хп)= ДО, х2,..., хп)
— монотонные функции и h(x2,..., хп) s g(x2,..., хп) для любых
х-,..., х. Тогда h(x^, ..., хя) = Л(х,.x„) v g(x,,..., х ). Имеем
£	Fl	X	7*	X	fl'	£	fl
f(x{ ,x2,...,xn) = xl- (h(x2,..., xn) v g(x2,..., xn)) v -I Xj • g(x2, ...,Xn)=
= Xj • h(x2,...,xn)yg(x2,...,xn).
Продолжая этот процесс, мы придем к выражению функции f че-
рез V, &, 0, 1. Независимость системы легко доказывается.
г)	Имеем -»х = (х = 0), х + у = -» (х = у). Каждая линейная
функция легко получается суперпозициями из i и +. Разделяющие
классы Со и Ср
д)	Прежде всего заметим, что всякая самодвойственная функция
Дх,, ..., хл) может быть получена из некоторой монотонной самодвой-
ственной функции с помощью функции п. Положим:
/-(Хр ..., хл, у,, ..., ул) = Дх,, ..., хл), если пх, = у,, ..., п хл = ул;
Г(хр...,хл,Ур...,ул) = 0, если п х, > Ур ..., п хл > ул и сущест-
вует i такое, что п х. > у;
F(xp ...,хл, ур ...,ул) = 1, еслипх, <ур ...,-»хл <ул и сущест-
вует i такое, что п х. < у.;
F(x},..., хл, Ур ..., ул) = х, в остальных случаях.
Ясно, что/(Хр ..., хл) = Г(Хр ..., хл, п Хр ..., пхл). Разбором слу-
чаев легко доказать, что функция F является монотонной и самодвой-
ственной.
Докажем теперь, что всякая монотонная самодвойственная функ-
ция есть суперпозиция функции h(x, у, z) = ху + xz +yz. Доказатель-
ство проведем индукцией по числу переменных п, от которых
функция f зависит существенно.
Если п = 1, то имеется единственная такая функция Дх) = х. Име-
ем Л(х, х, х) = х.
Если п = 2, то таких функций не существует.
Если п = 3, то имеется единственная такая функция Л(х, у, z).
Пусть утверждение справедливо для функций, существенно за-
висящих не более, чем от п — 1 переменных, и f существенно зависит
от п переменных (п > 4). Тогда Дх , х_, х,, х ,..., х ) = Л(Дх , х ,
х3, х4, ..., хл), ДХр х2, х2, х4,..., хл), Дх3, х2, х3, х4.хл)).
7 И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
г
194	ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Если Xj = х2, то в правой части равенства получится /(Хр Хр
х3, х4>..., х^). (Используется факт, что если а< b < с, noh(a, b, с)=Ь.)
Если Xj = х3, то в правой части равенства получится /(xt, х2, Хр х4, ...
...,хп). Если х2 = Ху то в правой части равенства получится
/(ХрХ2,х2,х4,...,хп).
19.	Пусть /(Хр хи) £ Ср Тогда /(1,	1) = 0 и ЭбСр а
{О, D} — базис С (см. задачу 10 (в)).
Пусть/(Хр хд) £ Со< Тогда /(0, ...,0) = 1 и + ,vGCp а
{+, V, 1} — базис С (см. задачу 10 (г)).
20.	(а) Пусть/ — немонотонная функция и < й,..., ап < Ьп,
но 1 = f(av ..., ад) > /(Z>p ...,	= 0. Тогда п х = /(х\..., хп), где
х1 = х, если а. < Ь., и х> = а., если а. = Ь..
" (б) Добавим к М любую немонотонную функцию f(x{, хп). Т ак
как 0, 16М, то можем из / получить п (см. (а)). Заметим, что
&, v G М; далее см. задачу 8 (а).
21.	(а) Пусть/—несамодвойственная функция и Цр ..., ап таковы,
что f(av ..., ап) =/(пар ..., -» ап). Пусть р(х) =/(х\ ..., х*"), где
хеI = х, если а. = 0, и х£< = п х, если а. = 1. Тогда р(х) является кон-
стантой 0 или 1, так как у>(0) = f(a ,..., ап) = /(-i	..., п а^) =
= 1); п <р(х) является другой константой.
(б) Добавим к D любую не самодвойственную функцию
/(Хр ..., х ). Так как -i е D, то можем из / получить 0 и 1 (см. (а)).
Функция Л(х, у, z) является самодвойственной. Тогда Л(х, у, 1) =
= х v у; далее см. задачу 8 (б).
22.	(а) Пусть/(Хр ..., хи)—нелинейная функция. Используя зада-
чу 11 (б), функцию/можно представить в виде
\)+х2^з(Х3’ •••’ %n)WX3’ •••’ хп)'
здесь <Рг(Ху ..., х^) не является константой 0. Выберем а3,...,а
так, чтобы ^(ау ...,ап) = 1. Тогда #(Хр х2) =/(хр х2, ау ..., a J =
= XjX2 + 0Xj + Z>x2 + с для некоторых а, Ь, с. Тогда g(xi + b,
х2 + а) + с + ab = Xj & Ху
5) Добавляя к L любую нелинейную функцию, по (а) получим &.
Далге задача 8 (в), так как i 6 L.
Ч. и. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 3]
195
23.	Рассмотрим множество S замкнутых классов, содержащих К и
отличных от С. Тогда S удовлетворяет условиям леммы Цорна (см.
задачу 66(2) из § 5 части I), так как все классы из 5 не содержат
функцию |. Максимальный элемент в S и будет искомым предполным
классом.
24.	Следует из задачи 23.
25.	Пусть А—предполный класс, отличный от Ср Со, L, D и М.
Тогда в А найдутся функции£ Ср /2 £ CQ,/3 £ L, /4 (£ D, /5 £ М.
Функции g(x) = fl(x, ..., х) и Л(х) = /2(х, •••,*) являются либо функ-
циями 0 и 1, либо одна из них есть л. В первом случае вследствие
задачи 20 (а) .из /5 получаем л. Во втором случае вследствие зада; .
чи 21 (а) из /4 получаем 0 и 1. Итак, 0, 1, л G А. Теперь вследствие
задачи 22 (а) из / получаем &. Итак, л, & е Аи А = С (см. задачу
8 (в)).
26.	Воспользуемся указанием к задаче 25. Из любого базиса
для С можно оставить не более пяти функций: / £ Ср
/2 £ Со,/3 £ Ь,/4 D,/5 £ М. Если/^х, ..., х) = 0, то/j £Dh можно
выбросить /4. Если /2(х, ..., х) = 1, то /2 £ D и можно выбросить /4.
Если /j (х, ..., х) = /2(х, ..., х) = Л х, то можно выбросить /2.
29. Индукцией по числу шагов построения Т, используя зада-
чи 27 и 28.
30. 31. Следуют из задачи 29.
32. 33. См. задачу 30.
§ 3. Исчисления высказываний
1.	(a) A I- А, I- (А 2) А) (аксиома, правило 7).
(б)	Хр А ьА (аксиома),
Х2‘. (A Z) В) I- (A D В) (аксиома),
ZyA, (AZ) В) I- В (правило 8, Хр Х2),
Х4: (В D С) I- (В 2) С) (аксиома),
X^iA, (АЗБ), (В 2) С) i- С (правило 8, Х3, Хр,
Х&: (A Z) В), А, (ВЭС) ьС (правило 14, Хр,
Х?: (A Э В), (В Z) С), А ьС (правило 14, Хр.
(в)	Из аксиом лА клАиллА нллА, применяя правила 14,
10, 11; 7, получить I- (л л A Z) А). Из аксиом л А I- л А и л л А ь л л А,
7*	»
196
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
применяя правила 10, 9, 7, получить ь(ЛЭп п А). Применить пра-
вило 1.
(г)	Из аксиом Л I- А, (ЛЭ В) ь (Л Э В), (АО(ВЭС)) I- (ЛЭ(ВЭ С))
с помощью правил 8, 14, 15.
(д)	Из аксиом Л ь Л, (Л D В) н (Л Э В), -i В В с помощью пра-
вил 9, 10, 14.
(е)	См. указание к (д).
2.	Заменить в секвенциях вывода для Лр ..., Ап \-В каждую фор-
мулу D на D(P\C). Доказать индукцией по длине вывода, что при этом
получится требуемый вывод.
3-	(а) Использовать правила 7 и 8.
(б)	Использовать аксиому (д&в) ь (Л&В) и правила 2, 3, 14, 15
и (а).
(в)	Использовать аксиомы Л i-Л, В нВ и правила 1, 14 и (а).
(г)	Использовать аксиому (л v В) н(Л v В) и правила 6,15.
(д)	Использовать аксиому п в ь п В и правила 9,10,14.
(е)	Использовать аксиому В |_ в и правила 10, 11, 14.
(ж)	Использовать (б) и правило 7.
(з)	Использовать (в) и правило 8.
4.	По правилу 12 из выводимости i- следует выводимость
Г ь -I (Л Э Л). Далее используем выводимость ь (Л D Л) и правило 10.
5.	Использовать задачу 3.
6., (а) Использовать правила 1 и 7.
(б	) Использовать аксиомы Л > а, В \-Вп правила 2, 3 и 8.
7.	Использовать задачи 3 и 5.
8.	Индукцией по числу шагов построения Л из В, используя за-
дачу 6.
9.	(д), (е) Использовать правила 1—5 и задачи 3 и 5.
(ж), (з) Использовать правила 1—5 и задачи 1 (а), 3 и 5.
(и)	S : (Л ЭВ), Л ь- В (по правилу 8),
Е2:	(А Э В), Л I- (п Л v В) (правило 5),
3 п vB) н Л (задача 3(д)),
(Л Э В), п (-1Л v В) ь (и л v В) (правило 8),
Еу (Л Э В), -I (п Л v В) I- (-1Л V В) (правило 13),
(Л Э В), п (п Л v В) к (правило 10),
(Л э В) I- (-1Л v В) (правило 11).
(к)	Использовать (и) и задачи 1 (а), 3 (а).
(л)	Ер п Л, В, A \-В (правило 13);
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 3]
197
S2:	-I А, В ь (Л Э В) (правило 7),
Е3:	л (A D В), В i-А (правило 14 и задачи 1(в), 3(a),(д) и 5(a)),
S4: I- (л (А О В) D (В Э Л)) (правило 7, дважды),
S5: I- ((Л D В) v (В Э А)) (по (и) и 1 (в)).
10.	Использовать задачу 23 из § 1 и задачу 8.
11.	См. задачу 25 из § 1 и задачу 9 (к).
12.	Индукцией по длине вывода.
13.	Следует из задач 9—11.
14.	Использовать задачу 12. Для (д) и (е) воспользоваться также
задачей 3 (ж), (з).
15.	Привести А к с.д.н.ф. (А^ v...vAs), а В к с.к.н.ф. (Bt&...&вр.
Тогда для любой пары А. и В. секвенция А. >-В. доказуема в ИС и
поэтому А. и В. имеют общий литерал С... Полагаем С = v & С...
16.	(а) В; (б) (D &А).
17.	(а) Да. (б) Да. (в) Нет.
18.	(а) А} = (В D (В D В)),
А2 = ((В Э (В □ В)) Э ((В Э ((В D В) D В)) D (В D В))),
л3 = ((ВЭ ((В□ В) ЭВ)) Э(ВЭВ)),
Л4=(ВЭ((ВЭВ)ЭВ)),
И5 = (ВЭВ).
(6)AV А2, А3, А4, А5, ((BDP)D((BDB)D((B V В) Э В))),
((В DB) D ((В v В) D В)), ((В V В) D В); А} - А$ взяты из (а).
(в) Получается из (а) и аксиомы 9.
19.	Пусть , ..., А^ есть вывод А в ИВ. Доказать индукцией по к,
что А^Р \В),.А^(Р \ В) есть вывод в ИВ.
20.	(а) {(В D (Q D Л)), В, Q}.
(б)	{(ВЭллб), л(2}.
21.	Вывод состоит из одной формулы А.
22.	(г) Если A j, ..., Ак есть вывод А из , В}, ..., Вп есть вывод В
из Л, Г_, то А,, ..., А,, В,, ..., В есть вывод В из Г,, Г_.
2	1 к 1 и	12
(д) Аналогично задаче 19.
198
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
23.	Пусть В1,...,Вп есть, вывод В из Г, Л. Доказать индукцией
по п, используя аксиомы 1,2 и задачу 18 (а), что формулы
{A D Bj), ..(Л D Вд) выводимы из Г.
24.	(а) Пусть Т = (А Э (В Э Л)). Имеем A t-(T □ А) и В f (Т Z) В).
Тогда А, В н (Т Z) (А &В)) по аксиоме 5. Отсюда А, В, Т ь (А & В) и
А,В ь(А&В).
(б>', (в), (д) , (е), (з) Следуют непосредственно из аксиом.
(ж) Использовать задачу 23.
Г, A>i-nB
(г> Использовать правило -р—---т, которое следует из аксиом и
1,2м h*i А
задачи»23.
23. Пусть Г» ь А, Г |-->А; В —любая формула. Тогда Г, пВ нА;
Г, чВ>-г4;Т кп-. В; ппВ i-B; Т I-В. Обратное очевидно.
26.'Использовать задачи 23, 24.
27.	’Следует из задачи 26.
28-Использовать задачи 22—24.
29-Индукцией по длине вывода А в ИВ.
30.	Доказать одновременно три утверждения (а), (б), (в) индук-
цией по длине вывода секвенции в ИС.
32.	Следует из задач 13 и 30 (в).
33.	Например, А = Р, В = Q, где PwQ —различные переменные.
34.	Используем задачу 32. Пусть, например, А принимает зна-
чение л при значении л для переменных Р^, ..., Ркп значении и для
переменных Рк+1, ...,Рп- Положим Bj=...= В^= (Р& лР), В^+1 = ...
...= В = (Р у -г Р). Тогда А (Р, \В,,...,Р \В ) тождественно ложна и
п	z	v 1	1 п tv
-IА (Р{ \Вр Р*п \B(t) выводима.
35.	(а) Следует из задачи 26.
(б)	ПАПП ПВП = IIA&BII, ПАП U ПВП = IIAvBII, -ПАП= 11-iAII.
(в)	I- А => I- (В D А) => IIВII < IIАII для любой формулы В. Обратно,
пусть ПАН=1. Возьмем В такую, что н В. Тогда ПВП < ПАП =>
=> н (В D А) => н А.
37. (а) Индукцией- по числу шагов в построении формулы А, ис-
пользуя задачу 66 из § 3 части I.
(б)	Пусть неверно i-A. Тогда ПАН # 1 в F/~ (см. задачу 35 (в)).
Существует ультрафильтр Т на F!~ такой, что IIАII £ Т (см. задачу 68
из § 3 части I). Придадим переменным значения, как в (а). Тогда А
принимает значение л.
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 3]
199
39.	А принимает значение 1 при Р = Q = 1, R = 2.
40.	Следующие логические матрицы доказывают (см. задачу 38)
независимость аксиом:
1)	М = {0, 1, 2}; D = {2}; х&у = min (х, у); х v у = max (х, у);
{2, если х < у, _
л „„	п х = 2 — х.
0, если х > у;
2)	Матрица из задачи 39.
3)	м =	{0, 1};	D	=	{1};	х&у = у;	v, Z), п определяются, как в^ 2.
4)	м =	{0, 1};	D	=	{!};	х&у = х;	v, Z), п определяются, как в § 2.
5)	М =	{0, 1};	D	=	{!};	х&у = 0;	v, Z), п определяются, как в § 2.
6)	М =	{0, 1};	D	=	{1};	х v у = у; &, D, п определяются, как в § 2.
7)	М = {0, 1}; Z)={1}; xvy = x; &, D, п определяются, как в § 2.
8)	М = {0, 1}; D = {1}; xvy=l; &, D, п определяются, как в § 2.
9)	м = {0, 1}; £>={!}; п х = 0; v, &, D определяются, как в § 2.
10)	М = {0, 1, 2}; Z>={2}; х&у = min (х, у); х v у = max (х, у);
_	[2, если х < у,	ГО, если х >0,
х Z) у = 1	ix= n	л
z । у, если х > у;	12, если х— 0.
41.	(а) Достаточно вывести в ИВ аксиому L3.
(б)	См. указание к задаче 23.
(в)	Доказать, что все аксиомы ИВ выводимы в L.
42.	(а) Достаточно вывести в ИВ формулу (о A Z) (A D Д)).
(б)	Использовать матрицу из указания 10) к задаче 40.
43.	См. указание к задаче 23.
44.	(а) См. указание к задаче 29.
(б), (в), (г) См. указание к задаче 30.
45.	Использовать задачу 44.
46.	Индукцией по длине вывода формулы Л в ИВ, используя за-
дачу 45.
47.	(б) Формула Л^необщезначтгавЗИ^.
48.	Пусть М содержит п элементов для некоторого п € <Ж. Рас-
смотрим формулу А^ из задачи 47 и произвольные значения перемен-
ных в множестве М. Тогда для некоторой пары i, / (i * f) значения Р.
и Р совпадают, и формула Ап принимает значение 0, так как
н № (Р = Р)) v С) для любых формул В и С. Поэтому Ап обще-
значима в JJI, но невыводима в ИИВ (см. задачу 47).
200
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
§ 4. Язык логики предикатов
1.	(а), (б) Да. (в) Нет.
2.	(а), (б) Да. (в), (г) Нет.
3.	vv не является предметной переменной.
5.	(a)
(б	) {v0, ?(v0, Vo), Av Vo)), ЛЛЧ), Vq), Vq),
v0), g2^, v0)), •••}.
9.	(a) O(x)^VyS(x, y,y);
(6)	E(x)$VyP(x,y,y);
(в)	Д(х) 3 z(E(z)&S(z, z, x))
3 z(V yP(z, y, y)&S(z, z, x)) (E(z) из (6));
(г)	Ч(х) * 3 yS (у, у, x);
(д)	Н(х) пЧ(х) п 3 у5(у, у, х) (Ч(х) из (г));
(е)	П(х) (п E(x)&VyVz(P(y, z, х) D (Е(у) v E(z)))) (E(z) из (б)).
10.	(а) х = у V z V u(S(x, z, и) D S(y, z, и));
(б)	х < у^ 3 zS(x, z, у);
(в)	х < у (х < у & п х = у) (<, = из (а) и (б));
(г)	Д(х, у) 3 zP(x, z, у).
12.	(a) VxVyVz (5(х, у, z) Z) 5(у, х, z));
(б) VxVyVzVuVvVw ((5(х, у, u)& S(u, z, v)&5(y, z, w)) Э S(x, w, v));
(e) Vx 3 у (П(у)&х < у) (П из 9 (е), < из 10 (б)).
13.	Все предложения ложны в системе №.
20.	(а) Р VxP(x, х);
(б)	С VxVy(P(x, у) D Я(у, х));
(в)	Т VxVyVz ((Р(х, у)&Л(у, z)) D Л(х, z));
(г)	(Р&С&Т) (Р, С, Т из (а), (б), (в)).
21.	(a) 4j Vx(x < х); Ч2 VxVy ((х < у&у < х) Э х = у);
Ч3 VxVyVz((x < у&у < z) D х < z);
(б)	Чр Ч2, Ч3из (a), VxVy (х < у vy < х).
22.	Пусть х = у- (Q(x, y)&Q(y, х)).
(a)	Vy Q(x, у);
(б)	Vy(Q(y,x)Dy = x).
23.	(а) х = у П z (Q(x, у) & Q(x, z) &
& V «((Q(«, у) & Q(u, z)) Э Q(u, x)));
ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 51	201
(б) х = у и z * (Q{y, х)& Q(z, х)& Vu((Q(y, u)& Q(z, u)) D Q{x, u)));
(в) x = 0*VyQ(x, y);
(r) x = A V yQ(y, x);
(д) x = — ySJzlu (z = xdy&z = 0& u = xUy&u = A) (П, U,
0, А из предыдущих пунктов).
24. (a) x С у *f(x, у) = х.
(б) Пустьх = 0 Vy (х С у) (С из (а)). Тогда «х —одноэлементное
множество» (Vy((y С х) Э (у = х vy = 0)) & 1 х = 0).
29. ((PI(0)&Vx(P1(x) □ p'(g‘(x)))) D VxP^x)).
30. Пусть х < у (Q(x, у) & п Q(y, х)). Тогда
(Vy (Vx(x < у Э Р(х)) □ Р(у)) Э VyP(y)).
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов
2.	См. (д) определения истинностного значения в § 4.
4.	Пусть А — бескванторная формула и А^, ..., Ак — различные
атомные формулы, являющиеся подформулами А. Требуемая форму-
ла получается заменой всех вхождений ...,Л^в А на пропози-
циональные переменные Р ,..., Р^ соответственно.
5.	(в) Например, А Vx 3 уР(х, у); ЗЛ = (<Ж;Р), где Р(х, у) = и «
о х < у.
6.	Индукцией по числу шагов построения формулы А.
7.	(а) Выполнима в где Р(х) = и о х—четное число.
(б)	Выполнима в (</Т;Р), где Р(х) — тождественно истинный пре-
дикат.
(в)	Невыполнима. Пусть ЗЛ—модель, в которой эта формула ис-
тинна. Тогда существует элемент а из ЗЛ такой, что ЗЛ |= Vy (Q(a, а)&
& л Q(a, у)). Отсюда имеем ЗЛ |= (Q(a, а)& п Q(a, а)). Приходим к про-
тиворечию.
(г)	Выполнима в модели из (а).
(д)	Выполнима в Q, R), где Q(x , у) = и о х > у; R(x, у, z) =
= И«>Х + у<2.
(е)	Выполнима в («/К; Р), где Р(х) тождественно ложен.
8.	(а) Нет. Формула ложна в Р), где Р(х) = и о х — четное
число.
(б)	Нет. Формула ложна в (,Ж; Р), где Р(х) = и для всех х.
(в)	Да.
(г)	Нет. Формула ложна в (^; Q), где Q(x, у) = и х < у.
202
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
10.	(а) Л(х) 3 уР(х, у), t=y.
(б) Л(х) * V уР(х, у), t = у.
11.	Формула выполнима в ; Р), где Р(х, у) = и о х < у. Пусть
формула выполнима в ЗЛ = {М; Р). Заметим, что Р(т, т) = л для всех
т G М. Пусть aQ—произвольный элемент из М. Среди элементов х
таких, что P(aQ, х) = и, выберем произвольный и обозначим его через
Пр Среди элементов х таких, что Р(а^, х) = и, выберем произвольный
и обозначим его через а^. Продолжая этот процесс, получим последо-
вательность элементов а , Дра2,... Докажем, что все эти элемен-
ты различны. Если i < j, то Р(а., я(+1) = и, P(aj+1, п/+2) = и, ...
..., Р(<у_р а.) = и, а значит, Р(а., а.) = и. Таким образом, а(. * а..
12.	Докажем, что если данная формула ложна в какой-то модели
ЗЛ = (М; F), то Л? > 4. Ложность этой формулы в модели означает, что
для любого х 6 М найдется </>(х) £ М такое, что F(x, <р(х)) = и,
Р(^>(х), х) = л, F(x, х) * F(<p(x), <р(х)). Отсюда х * <р(х) для любого
х € М. Имеем х * <р<р(х) для любого х 6 М, так как в противном слу-
чае было бы F(<p(x), <р<р(х)) = и, F(ip(x), х) = л. Так как Р(х, х)
* P(F(x), <р(х)), F(<p(x), <р(х)) * F(<p<p{x), <р<р(х)), F(fp<p{x), <р<р(хУ) *
* F(<p<p<p(x), <р<р>р(х)), то Р(х, х) * F(<p<p<p(x), <р<р<р(х)), т. е. х * </>/></> (х).
Итак, для любого х £ М элементы <р(х), <р<р(х) и <р<р<р(х) отличны от х.
13.	(а) Докажем, что если данная формула ложна в какой-то мо-
дели № = (М; F), то М — бесконечное множество. Ложность этой
формулы означает, что для любого хб М существует <р(х) £ М
такое, что Р(х, х) = и, F(<p(x), х) = л и для всякого z £ М име-
ем (Р(^>(х), z) Э F(x, z)) = и. Строим последовательность {^>'(х)},
где <р°(х) = х, <р‘+1(х) = <р(<р‘(х)). Пусть i < j. Тогда имеем
Р(у?'(х), <р!~ \х)) = и, но Р(^(х), <р!~ \х)) = л, т. е. <р1(х)	<р\х).
Таким образом, данная последовательность состоит из раличных эле-
ментов. Данная формула не выполняется в ЛИ =	F), где
F(x, у) = и о х < у.
14.	(з xPt(x)& 3 хР2(х)& 3 хР3(х)& ЗхР4(х)& 3 хР5(х)&
/ 5 \ \
&Vx &(Р.(х) Э &пР.(х)) .
4=1 ' j^i J /)
15.	(а> Пусть в системе ЗЛ = (М; ст) данная формула ложна. Это
означает, что в этой системе п 3 хЛ(х) = и, -i V хЛ(х) = л, т. е.
3 хЛ(х) = л и V хА(х) = и. Так как М 0, то такого быть не может.
(б)	Если бы данная формула была ложной в системе ЗЛ = (А/; ст),
то в этой системе 3 х(Л(х)&(Р Э С(х))) = и, V х(Л(х) Э п С(х)) = и,
Ч.-«.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШОГИКА’[§5]
203
»чВ=л. Пусть mie а/-таково, что; Л(/п) = и, (ЛО С(т)) = и. Тогда
<Л(«) ЭЪ С(т)) =ыга значит, С(т) = л. Имеем Л = л, что противо-
речит -i В = л.
(в)	Пусть в системе® {М-, а) данная формула ложна. Это озна-
чает, что в этой Системе V х(А(х) D т В(х)) = и, ЗхА(х)=и,
А/ хВ(х) = и. Существует т е М такое, что А(т) = и. Имеем
(Л(/п) 5 1 В(т)) = и, т. е. В(т) в= л, что противоречит V хВ(х) -и.
(г)	Если бы даннаяформула была ложной в системе JJI = (Л/; ст), то
в этой системе V х(Л(х)2> п В(х)) = и, V хА(х) = и, 3 хВ(х) = и. Су-
ществует т G М такое, что ,В(т) ••= и. Имеем (А(т) D п В(т)') = и,
т.е.Л(т) = л, что противоречит V‘x4(x) •= и.
18. Индукцией по числу шагов построения формулы, используя
вадачк16 и 17; где необходимо, переименовывать связанные перемен-
ные по задаче 16 (с), (т).
19.4(a) V хЗ yV z.3 и-iA;
(б) 3 х 3 zV у (А(х, y)&P(z,y));
Хв) z(A(x, у) V Б(х,х));
, (г) V х Зу 3 zV t(A(x, у) D B(z, Т)).
20. Положим значение,функции	термах..., ^равным
терму ,..., f ). Предикат^ определяем произвольным образом.
i
,21. (а) Пусть Др ..., а	Если® .^3^ ...ВутВ{а^..., ап,
то 'берем в качестве у>^Цр	такие tb, что
a^(np...,^n?Z.p...,Z>m).
Если ®	3 yj ... 3 уп В (а(,.«д. Уг> • • -> УтК то в качестве
ап) можно вэятьпроизвольныеэлементы.
(б) Следуетиз (а).
22. VxVy(((y>^1(x)) D<y>x));&<y>1(x,y)<y>1(x))& -i (р2(х,у)<<)).
Например, ^(х) = х + 1, <#>2(х, у) = х.
23. V х V у(Р(х, <f>2(x,	Piy^^x, у))), Положим	(х, у) = 1 о
Р2^х’ = 1)вад-
24.2 = ^/х, у) = |	0>	= ю v =,Т2(х, у) = 1.
25. Следует иззадачи 21.
26.i(a) Пусть в некоторой системе 5Л = {М; ст; Р) формула
3 и X хВ уЛ(и, х, у) истинна, а формула 3 и (V х (3 у А(и, х, у) D
204
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
D Р(и, х)) D V хР(и, х)) ложна. Тогда существует а е М такое, что
ЗЛ [= V х 3 уА(а, х, у), ЗЛ |= V х (3 уА(а, х, у)Э Р(а, х)) и ЗЛ |(V х Р(а, х).
Пусть х0 G М таково, что Р(а, xQ) = л. Тогда ЗЛ 3 у А(а, xQ, у) и
ЗЛ Vx 3 у А(а, х, у). Приходим к противоречию.
Обратно, для любой системы ЗЛ = (М; и) строим систему
ЗЛ1 = {М; а; Р), где ЗЛГ V w V х (Р(п, х) = 3 у А (и, х, у)). Тогда
ЗЛГ }= (V х (3 у А (а, х, у) D Р (а, х)) D V х Р (а, х)) для некоторого
a G М. Поэтому ЗЛ1 [= V х Р(а, х) и, значит, ЗЛ^ЗиУхЗу А(и, х, у).
(б) Заметим, что А ~ 3 v А и 3 и (Vx (Зу А(и, х, у) D Р(и, х)) Э
Z) Vx Р(и, x))-’3u3z3yVx ((Л(п, z, у) D Р(и, z)) D Р(и, х)). При-
водя А к пренексной нормальной форме (см. задачу 18) и используя
несколько раз (а) и вышеприведенную эквивалентность, получим ис-
комую А*.
27.	Имеем А А* (см. указание к задаче 26 (а)).
Пусть А = Зи V х 3 у Q(u, х, у). Тогда в , где Q(u, х, у) = и «•
о у < х, Р(и, х) тождественно истинен, А* истинна, А ложна.
29. Пусть b G М и />(х) =
х, если х Е М,
Ь, если х Е М{\М.
Индукцией по числу шагов построения А доказать, что для любых
имеем5111	|= л(^>(С1), ...,/>(с()).
31.	Использовать задачу 30.
32.	Использовать задачу 31.
33.	Если Vx, ...Vx А(х,,..., х ) ложна в какой-то модели
1 т ' 1 т'
ЗЛ = (М; а), то существуют <2р ..., ат Е Мтакие, чтоЛ(ар ..., а^) = л.
Тогда данная формула является ложной и в подмодели ЗЛ1 =	и),
где = {<2], ..., ат}. Если некоторые из а^, ..., ат совпадают, то ис-
пользовать задачу 29.
34.	Если Зх, ...Зх Л(х,,...,х ) ложна в какой-то модели
1 т х 1'	' т'
ЗЛ = (М; а), то она является ложной и в подмодели ЗЛ^ = ({а}; а), где
a Е М (см. задачу 5 (б)).
35.	Если V xt ... V хт 3 yj ... 3 уп H(Xj,..., хт, у{, уп) ложна в
ЗЛ = (М; ст), то существуют ..., ат G М такие, чтоЗЛ^Зу^...
... 3 у/; А(а},..., у^ ..., у ). Тогда эта формула ложна в подмодели
3Ej = (Л/р ст), где = {с?р ..., а }. Далее применяем, если нужно,
задачу 29.
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 1§ 5]
205
36.	Пусть 3JT = (Af; а). Рассмотрим отношение эквивалентно-
сти на М: х ~ у «► ((Pt(x) s Pj(y))&... &.(Рп(х) = Рп(у))) = и. Пусть
М{=М/~. Ясно, что Afj < 2”. Положим Р.([х1) = Р^х). Индукцией
по числу шагов построения Л(Хр..., х*) доказать, что для любых
Пр ..., ак G М имеем |= Л(],..., [п*]) *» № (=Л(ар ..., ак).
37.	(а) Выполнима на модели JJl = (Af; Р), где Af = {а, Ь} и
Р(а) = и, Р(Ь) = л.
(б)	Выполнима на модели № = (Af; P[t Р2, Р^, где Af = {а} и
J\(a) = Р2^ = Р№ = и-
(в)	Невыполнима.
38.	Если подформула С формулы А имеет вид Qy Cj (х(,..., хк, у),
где Q есть 3 (V), то привести (Xj,..., х*, у) к виду v	^соот-
ветственно & |v С..| |, где каждое С., начинается с квантора или
" V //
имеет вид P(z) или -i P(z) для некоторого Р из ст и переменной z. Далее
использовать эквивалентности из задачи 16. Повторяя процесс, по-
лучим требуемую формулу.
39.	Пусть Л выполнима в JJl = (Af; ст}. Каждому С. (1 < i S к~) сопо-
ставляем элемент а. 6 Af такой, что № (= С.^а.), где С. = (3 х) С.Дх).
Полагаем значение В.. равным значению Р.{а^. Тогда A j истинна.
Обратно. Пусть At = и при некоторых значениях переменных В...
Возьмем Af = {tij, ..., ак) и положим значение Р^(а.) равным значению
В... Тогда (Af; ст) |= А.
40.	Сначала использовать задачу 38. Затем привести получен-
ную формулу В к д.н.ф. Яр в которой вместо пропозициональных
переменных подставлены 3-составляющие. Далее применить зада-
чу 39. При необходимости воспользоваться эквивалентностью
С - ((3 х Р(х) & С) v (3 х -I Р(х) & С)).
41.	(а) Выполнима. Например, Af = {a, b}, Р(а)= Q(a)= Q(b)= и,
P(Z>) = л.
(б), (в) Невыполнима.
42.	(a) Vx1Vx2...VxnVxn+1 (х, = x2v ... v х, = х„ v
vxi=xn+iv -v\ = xn+l)-
(б)	См. задачу 43.
206
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(в)	3 х, 3 х,... 3 х (п х = X-& ... &-I х , = х &...&-IX ,=х &
12 п '	1	2	In	и-1 п
Ь\/у (y = x1vy = x2v...vy=xn)).
43.	(в) Использовать указание к задаче 38 и (б).
(г) Привести А к д.н.ф. и использовать (а).
44.	Например, {S^,	...} (см. задачу 43 (а)).
45.	Записать формулу с = и одним двуместным предикатом Р,
означающую, что предикат Р иррефлексивен, симметричен и является
всюду определенной 1-1-функцией.
§ 6. Исчисления предикатов
1.	Вывод секвенции в ИС является выводом в ИПС.
2.	Требуемый вывод получается из вывода в ИС заменой всех фор-
мул С на С(Р \В).
3.	Аналогично задачам 3 и 6 из § 3.
4.	(а) Из аксиомы А(у) н А(у) с помощью правил 18 и 19.
(б)	Из аксиомы V хА(х) н V хА(х) с помощью правил 16 и 17.
5.	Использовать задачу 3 и правила 16 и 17.
8. Следует из задачи 7.
9. Следует из задач 6 и 8. См. также указание к задаче 18 из § 5.
11.	Индукцией по числу шагов построения А, используя задачи 1,
9 из § 3 и задачи 6 и 8.
12.	См. указание к задаче 28 из § 1.
14.	(а) Нет.
(б)	Да.
(в)	Да.
15.	(а), (б) у свободно для х в А(х) и у не входит свободно в А(х).
17.	(а) Из аксиомы 11 по правилу II.
(б)	Из аксиомы 12 по правилу III.
(в)	Доказать сначала (V уА(х, у) Z) 3 хА(х, у)).
18.	(а) Нет.
(б) Да.
21. Пусть Вр ..., —вывод В из Г, А и А(В;.)—соответствующие
этому выводу множества формул. Докажем индукцией по длине выво-
да, что каждая из формул (A Э В.) (1 < i’. < к) имеет вывод из Г, при-
чем в этом выводе	Д(В.) П Г. Рассмотрим лишь случай,
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 6]
207
когда В. есть непосредственное следствие В. = (С D А^х)) по прави-
лу 2. По предположению индукции имеем Г г (Л D (С D Л^х))) и
ДГ((Л D (CD Л^х)))) £ Д((С 2D Л^х))) Г) Г и х не входит свободно в
С и формулы из Д((С D Л^х))). Возможны два случая.
1. Л g Д((С D Л^х))). Тогда Г f(CD V уЛ^у)) и Г г (Л D (С D
D V уЛ^у))) по аксиоме 1. Имеем Д^Л D(CDV уЛ^у)))) £ Д((С Э
ЭУуЛ^ПГ.
2. Л G Д((С D Л^х))). Тогда х не входит свободно в Лив
Д^СЛ Э(С ЭЛ^х)))). Тогда Гн (Л Э (С Э Л^х))), Г ь ((Л&С) ЭЛ^х)),
Г н ((Л & С) Э \/уЛ2 (у)), Г н (Л Z) (С ZD УуЛ^у))). Следовательно,
Д^СЛ Э (С Э V уЛ/у)))) = ДГ(Л □ (С Э Л^х))).
24.	(в) Пусть Т—аксиома без свободных переменных. Тогда
Г г (Т Э Л(х)), Г н (Т Э V хЛ(х)), Г н V хЛ(х).
26.	В формулах вывода В из Л заменить все связанные вхождения
переменных z ,..., zn на переменные Xj, ..., х^, не входящие ни в одну
из рассматриваемых формул. Доказать, что получится вывод В из Л.
27.	Использовать задачу 26.
28.	Если в выводе Л из Г использовались константы или функ-
циональные символы, не входящие в а, то заменяем везде в выводе
константы на переменные, не входящие в этот вывод, a/(х|,..., х ) на
Хр Доказать, что полученная последовательность формул будет выво-
дом Л из Г. В полученном выводе все атомные подформулы с предика-
тами вне о заменяем на Л = V yQ(y, ..., у), где Q — предикатный
символ из а, а у — переменная, не встречающаяся в выводе. Доказать,
что получится требуемый вывод.
29.	Доказать аксиомы и правила вывода ИП в ИПС.
30.	См. указание к задаче 30 из § 3.
31.	См. задачи 8, 29 и 30.
32.	Индукцией по длине вывода Л из Г.
34.	Следует из задачи 32.
35.	См. указание к задаче 25 из § 3.
37.	Перенумеруем все предложения сигнатуры о: AQ, А , Л2, ...
208
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Положим

Т
?+1
Т.О{Л.},
т.иьл.}
если Г. U {Л.} непротиворечиво,
в противном случае,
Т= U Т..
Доказать, что все Т. непротиворечивы, Т полно и непротиворе-
чиво.
39.	(б) Пусть Г /\/хЛ(х). Торца Г н-|\/хЛ(х), Г ьЗлА(х),
Г нтЛ(/)иГ /Л(7) для некоторого t.
41.	Пусть Aq, Лр ... — все предложения сигнатуры а' = a U
U {Cq, Ср ...}, где с. — предметные констаты, не входящие в а. По-
ложим
Т0 = Т’
Т. U {л Л.},	если Т. U {ЛД противоречиво,
Т. U {3 хВ(х), В(с)}, если Т. U {Л.} непротиворечиво, Л.
имеет вид 3 хВ(х) и с. — первая
константа, не входящая в Т. и А.,
Т. U {Л.}	в противном случае
т= и г..
iG^/T ’
Доказать,что все Т. непротиворечивы, Т непротиворечиво и полно
в сигнатуре о' (см. задачи 40, 36). Определим ЗЛ = {М; ст). Пусть М—
множество термов сигнатуры а' без свободных переменных. Опреде-
лим на М функции и предикаты из ст:
значение/(/р ..., у есть терм/(/р ..., Z^);
ЗЛ (=P(tp...,QoTbP(Zp...,Zn).
Доказать индукцией по числу шагов построения формулы
Л(Хр хп), что для любых /р ..., tn G М имеем ЗЛ [= Л(?р ..., Q
Т к- Afty t^). Тогда ЗЛ есть искомая система.
42.	Построенная в указании к задаче 41 система является счетной.
См. также задачу 34.
43.	{ -I Л} непротиворечиво; см. далее задачи 41 и 42.
44.	Следует из задачи 25, 33, 43.
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 7J
209
45.	Следует из задачи 43.
46.	Следует из задачи 42.
47.	Множество Г U { т А} невыполнимо и, следовательно, противо-
речиво.
48.	Если Г невыполнимо, то Г противоречиво (см. задачу 41). Так
как всякий вывод содержит только конечное число формул, то сущест-
вует конечное подмножество С Г, являющееся противоречивым и,
значит, невыполнимым.
49.	Если Г невыполнимо, то существует конечное противоречивое
подмножество Го С Г (см. указание к задаче 47). Конъюнкция формул
из Го составляет противоречивое множество.
50.	Следует из задач 32 и 48.
51.	Следует из задачи 50 и того, что всякий вывод конечен.
52.	Следует из задачи 13 из § 5 и задачи 33.
53.	Следует из задачи 4 из § 5 и задачи 44.
54.	Использовать задачу 44.
(а), (б), (г) Нет.
(в), (д) Да.
§ 7.	Аксиоматические теории
1.	Индукцией по числу шагов построения t и А.
2.	См. задачу 50 из § 6.
3.	См. задачу 50 из § 6.
4.	Пусть в ЗЛ = (М; о) истинны все аксиомы Т. Положим
х — у о ЗЛ х = у.
Доказать, что ~ — эквивалентность на М, а ЗЛ1 = (М/~; о),
где а. = [a, J, /([х ],..., [х ]) = [/(х., ..., х )], Р([х. [х 1) =
А	А	X	it	L	И	1	lit i
= Р(Ху, ..., х(п), для а^, f, Р есть требуемая модель.
5.	Следует из задачи 41 из § 6 и задачи 4.
6.	Следует из задачи 50 из § 6 и задачи 4.
7.	Пусть С—атомная формула. Ищем в С первое вхождение терма
/(1р ..., In), где ..., t не содержат/. Пусть С есть результат замены
этого вхождения в С на переменную z, не входящую в С. Положим
С+ = 3 z(A(lp ..., t , г)ЬС). Продолжая этот процесс, получим фор-
мулу С* для С, не содержащую/. Если С не содержит/, то С* = С.
210
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Далее обозначаем через В* для любой формулы В результат заме-
ны каждой атомной подформулы С на С*. Утверждения задачи следу-
ют из задачи 21 из § 5 и задачи 6.
8.	Множество Tj = Т U , &2, ...}, где S, <?2,... взяты из задачи
43 из § 5, выполнимо и, следовательно, непротиворечиво. Ввиду за-
дачи 42 из § 6 множество Т1 выполнимо в счетной системе ЗЛ. Поступая
так же, как в указании к задаче 4, получим нормальную модель ТП х
для Г . Тогда ЗЛ^ бесконечна, так как &2,... истинны в ЗЛ^
9.	Следует из задачи 5 и того, что множество формул является
противоречивым тогда и только тогда, когда противоречиво некоторое
конечное подмножество.
10.	Множество Tj = Т U &2,...} (см. задачу 41 из § 5) вы-
полнимо, так как выполнимо каждое его конечное подмножество (см.
задачу 9). Любая модель для Т бесконечна.
11.	Следует из задачи 10.
12.	Пусть G — множество аксиом теории групп. Множество
G U &2,...} U {-1 А} (см. задачу 43 из § 5) невыполнимо. Тогда
невыполнимо некоторое конечное подмножество GU ..., SU
U {-I А} (см. задачу 9). Отсюда А истинна на группах с не менее чем п
элементами.
13.	Предложения &2 и п <?2 (см. задачу 43 из § 5) не являются
теоремами теории Е (см. задачу 2).
14.	Следует из задач 2 и 6,
15.	См. задачу 43 из § 5.
16.	(а) Нет.
(б) Да.
17.	Предложение V х 3 уР(х, у) ложно в модели ЗЛ = {М; Р) теории Т
где М = {а}, Р(а, а) = л; предложение -i V х 3 уР(х, у) ложно в модели
ЗЛ j = (Л'; Р) теории Т, где Р(х, у) - и о х < у. Поэтому оба эти пред-
ложения невыводимы в Т и, следовательно, Т неполна.
18.	Стандартная модель арифметики 31 является моделью те-
ории Q.	i
19.	Для каждой из аксиом Q. приведем пример системы
ЗЛ = (М; Г, +, s 0 ) такой, что на этой системе истинны все аксиомы]
Ql — Q , кроме Q.; это будет доказывать независимость системы ак-|
сиом (Qv ..., Q7}.	1
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 7]
211
Для Q : М = {0, 1}, 0 = 0, s(x) = 1 для всех х, х + у = max (х, у),
х-у = min (х, у).
RmQj {0},0 = 0, ?(0) = 0, 0 + 0 = 0^0 = 0.
Для Q3: М—множество ординальных чисел, меньших со-2;
О = 0, s(a) = а + 1, + и • — обычные сложение и умножение орди-
нальных чисел.	л	л	л
Для Q4: М =	0 = 0, s(x) = х + 1, х + у = у, х • у = 0, если
у=0, х • у = х, если у # 0.
Для Q5: М = Л'; 0 = 0,	s(x) = х	+	1,	х + у =	х, х '-'у =	0.
Для Q6: М = Л'; 0 = 0, 5(х) = х +	1,х	+ у = х	+ у, х - у = х-у + 1.
Для Q?: М = JV; 0 = 0,	s(x) = х	+	1,	х + у =	х + у, х 	у =	у.
20.	(а) Пусть
Af = ^U{a}; fi=0,
~ .	f х + 1, если х G Л',	(х + у, если х, у 6 Л',
$(х) = <	х + у= 4
7	] а, еслих = а,	|а в остальных случаях,
х-у, если х, у 6
О, если х = 0 или у = О,
а в остальных случаях.
Тогда ЗЛ = (Af; £ +, •, 6) — модель для Q, но формула n х = s(x)
ложна при х = а.
(б)—(м) Пусть
М = .Л U {а, А}; () = 0, s(x) =
х + 1, если х G Л',
Ь, если х = а,
а, если х = Ь,
х + у = х + у, если х, у G Л/; х + у = Ь, еслиу = а или (х = any нечет-
но) или (х = Аиучетно); х + у = а, еслиу = били (х = аиучетно) или
(х = b и у нечетно).
х-у = х-у, если х, у 6 Л'; х • у = О, если у = 0; х ~у = Ъ, если
(х = а и у # 0) или (х нечетно и у = Ь); х • у = а, если (х 6 jV и у = а)
или (х четно и у = Ь) или (х = b и у # 0).
Тогда ЗЛ = (Af; Г, + , s 6) — модель для Q, но все формулы (б)—(м)
при некоторых значениях х, у, z ложны на ЗЛ.
21.	(а) Если у = s(z), тоО = х + у = х + s(z) = s(x + z), что про-
тиворечит £>. Если у = 0, тох + 0 = 0их + 0 = х(по О.). По Е2 и ЕЗ
имеем х = 0.
(б) Если у = s(z), то 0 = х-у = х- s(z) = xz + х и ввиду (a) xz = 0 и
X = 0.
212
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
22.	Рассмотрим модель ЯП = (Л/; s, +, •, 0> для Q. Докажем, что
последовательность 0, s(0), s(s(0)),... состоит из различных элемен-
тов. Если s'(0) = s'+\0), то, применяя i раз Qp получим, что
0 = s\0), а это по Q2 может выполняться лишь при к = 0.
23.	(а) См. указание к задаче 18.
(б)	См. указание к задаче 20 (а).
(в)	См. указание к задаче 20 (б).
(г)	Считая aQ = Ко, а. + t = 2 ', положить s(a.) = а. при любом
z, s(x) = х + 1 для х G Сложение и умножение определить, как
для кардинальных чисел.
24.	(а) Пусть г осуществляет взаимно однозначное соответствие
между </F и Положим 0 = r(0), s(x) = rsr~ *(х), х + у = г(г *(х) +
+ г-1(у)), х ~у = г(г-1(х)т-1(у)), где 0, s, +, • определяются, как в
стандартной модели.
(б), (в) Аналогично (а).
25.	Моделью теории Р служит стандартная модель арифметики.
26.	С помощью аксиомы Рл для А(х) $(пх = 0ЭЗу(х = s(y)))
легко доказать Q3-
27.	Докажем, например, (а). Пусть А(х) n (х = s(x)). Тогда
А(0) выводима по Q2, V х(А(х) Э A(s(x))) по Qj. По РА имеем V хА(х).
28.	Пусть ст = (s, +, •, 0, с) и Т—теория, аксиомами которой яв-
ляются все аксиомы теории Р и формулы т с = Ао, тс =	...
Тогда Т выполнима ввиду задачи 9. Пусть ЯП = (Л/; s, +, •, 0, с)—
модель для Т. Допустим, что ЯП и Я1 изоморфны и <р —изоморфизм
ЯП на Я1. Тогда у?(0) = 0, y>(s(O)) = s(^>(0)) = s(0), ... Имеем <р(с) = к
для некоторого к G <Ж, что противоречит взаимной однозначности <р.
31. (а) Применить аксиому индукции Рв для
В(х) z (г< х Э A(z)).
(б)	Использовать (а) для формулы п А(х).
(в)	Следует из (б).
33.	(а) (л х = Aj&Vy V z(x = y-z Э (у = А} v z = Aj))).
(б)	Обычное арифметическое доказательство.
34.	(в) Пусть р = d(y, и). Тогда z/x, z/y, а так как х = у — + и,
то г/и. Имеем z/p. Обратно, p/у, p/и, значит, р/х и p/z. Имеем р = z.
(г)	Доказать вначале индукцией по х утверждение для х > у > 0.
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 7]
213
(д) Пусть и. =
х1-хп
X.
ют z„ v, такие, что
i i
W1 + ... + Wn.
UJZ. = X.V. +
11 II
. Так
как </(Ир х.) = Ар то существу-
1 (см. (г)). Искомое z равно
(е) Пусть к. = Р(х, у, i) для 0 < i < z, j = max (z, и, kQ,..., &z). По-
ложим yt = fl. Для чисел и. = 1 + (i + 1 )yt и uk = 1 + (к + 1 )yt при
iк и 0 < i, к < z + 1 имеем d(u., и^) = 1. По (д) существуетxt такое,
что rest(x1, и ) = к. для 0 < i < z и rest(xi; “z + j) = и.
35.	Докажем, например, что 7?^ и R^ выводимы в Q для каждого
пех
7?^ = V х (х < О Э х = 0). Пусть х < 0 и п х = 0. Тогда найдут-
ся z и у такие, что z + х = 0 и х = s(y). Имеем 0 = z + х =
= z + s(y) = s(z + у), что противоречит Q2- Пусть уже доказано и
х < А ,. Тогда найдется z такое, что z + х = А ,,. Если х = 0, то
п+1	п+1
х = Aq. Если п х = 0, то х = s(y) для некоторого у. Имеем
«(А^) = Ап+1 = z + х = z + s(y) = s(z + у). Таким образом, по
имеем z + у = А((. Тогда по R^ имеем (у = Ао v ... vy = А,(). В
этом случае (х = Ао v ... v х = Ап+1). Итак, доказано.
По Q4 имеем 0 < х и, значит, R^X Пусть R^ уже доказано. Если
х = 0, то х < А Если -I х = 0, то найдется у такое, что х = s(y).
Если у < Ап, то, z + у = Ап для некоторого z, а значит, z + s(y) =
= z + х = А ,, т. е. х < А Если А < у, то z + А = у для некото-
п+г	п+1	п J	п J
рого z, а значит, z + A t = s(y) = х, т. е. Ад+1 — х. Итак, дока-
зано.
36.	Нет. Например, изследует
37.	Пусть № = (М; s, +, •, 0) есть модель для R. Положим
= {А. | г G еЖ}. Рассмотрим подсистему 51^ = (Л/р s, +, , 0).
Изоморфизмом между Д и 1П f является отображение <р: •Л' -» Мf,. где
р(0 = А..
38.	(а) Из ZFy где А -i z = z. Единственность 0 следует из ZF{.
(б)	H3ZF2nZFl.
(в)	Из (б): {х} = {х, х}.
(г)	Из ZF{ и ZF2. См. указание к задаче 23 из § 1 части I.
214
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(д)	Следует из (г).
(е)	Из ZF. и ZF..
4	1
(ж)	Из ZF{ и ZF3 для А 3 zf 3 z2(zt € х{ &z2 G x2&z — {z}, z2)),
взяв P(P(Xj U x2)) вместо x.
(з)	Следует из <ж).
(и)	Следует из (г) и ZFg для A(t, s) 3 z({s, z) G t).
(к)	Из ZF5m ZFy
(л)	Взять в (г) пару {х, у} в качестве х.
(м) Из ZF^ при А 5 х G у.
(н) Из ZFy взяв U хвместохи A{t) V u(u	приt == х.
39.	(а) Из ZF&, взяв {х} вместо х.
(б)	Из ZF%, взяв {х, у} вместо х.
(в)	Из ZFe, взяв {х,.у, z} вместо х.
О
40.	(а) Использовать задачу 39 (б), (в).
(б)	Следует из (а).
(в)	Следует из (а), задачи 39 (а) и ZF&.
(д)	По ZF^ существует множество {z I z G х& i A(z)}, Далее ис-
пользовать (в).
(е)	Пусть А(х, у) i; (х G у v у G х v х = у). Из -i V х V уА(х, у) мож-
но вывести по (д) существование таких xQ и у0, что п А(х0, у0),
V t V u(t G х0 Э A(t, t)) и V t(t G y0 Э A(xQ, t)). Тогда xQ £ y^ и yQ £ xQ.
Приходим к противоречию.
41.	(в) Пусть х удовлетворяет ZF^ и g » {у | ,yG x &'Ord(y)}. Tor-
flaL(Uz).
(г) Следует из (в) и задачи 40 (д), (з).
42.	(в) Следует из задач 38 (в), (л) и 41 (д).
(е) Пусть (N(x)&п х = 0) и -> 3 y(V(y)&х = s(y)). Поэтому С(х)
ввиду (б). Тогда -i х G ш. Приходим к противоречию.
43.	Следует из задачи 40 (д).
44.	(а), (г) Использовать принцип индукции по~х (см. задачу-43)
для формул
V у (ад D 3 ! z (tf(z)& х + у = z)),
V у (адО 3 ! z (N(z)bx-y = z)).
у
45.	Пусть Ар ..., Ап—вывод А в теории Р. (Обозначим через А’
формулу V Xj ... V х>пА., где Xj, ..., хт—все свободные переменные А..
V 7
Доказать индукцией по i, что pN(A . ) есть теорема ZF, используя за-
дачи 42, 43, 44.
Ч II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 8]	215
§ 8.	Фильтрованные произведения
4.	Если фильтр D—неглавный, то для любого X G D существует
бесконечная строго убывающая цепочка X D Х^ Э X? Э ... множеств
из D.
5.	Следует из задачи 4.
6.	См. задачу 66 из § 3 части I.
7.	Пусть а, b £ I, а * b, D{= {Х| а е X С /}, Z>2= {Х| b G X С /}.
Тогда не существует фильтра D, содержащего и Т>2, так как
{а} Г) {/>} = 0.
8.	Следует из задачи 64 из § 3 части I.
10. Пусть Ф содержится в фильтре Фреше Ф, Хр ..., Х^ е Ф. Тогда
X, П ... П X, £ Ф. Если X, Г\...Г\Х, < 7, то / \(Х, П ... П X.) е Ф.
1	к	1	к	' 1	к'
Противоречие. __________________________
Обратно. Пусть Х{ О ... П Х^ — I, I \ У < 1. Тогда
X fl... ПХ П У = (X. П ... ПХ.) \(Х. П ... ПХ, П(7\У)) = 7.
1	/С	1	/С	1	X
Поэтому Ф U Ф, где Ф — фильтр из задачи 9, содержится в некото-
ром фильтре Фреше.
11. Следует из задачи 5.
13.	Следует из задачи 11.
14.	См. задачу 67 из § 3 части I.
15.	Пусть D —фильтр над I, X £ /, X £ D. Тогда У Г) (/ \ X) 0
для любого У е D. Поэтому D U {I \ X} содержится в некотором
ультрафильтре Ф (см. задачи 12 и 14).
18.	От противного. Пусть Х^ €=	\ F, X G G^ \ F. Тогда
Xj U ... U Х( 6 (Gj П ... Cl G") \ F (см. задачу 17).
19.	Например, G. = {Х\ jEXQJ], F — ультрафильтр Фреше
над J.
20.	Пусть А = О X, а, b €= А, а Ь. Тогда {а} F, I \ {а} F.
X^F
Противоречие.
22.	Пусть К. G D для z = 0, 1,2, ... Положим X. = (У Г)...
216
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
23.	Докажем транзитивность ~. Пусть ~ f2, f2~ fy Тогда
= {i I л (0 = /2(0} е D, 12 = ц I /2(0 = /3(0} 6 D,
A n 4е 4 = । Л(0=4(0}е d ~ f3.
25.	Требуемый изоморфизм есгъ<р(/) = {/}, где/G pj №.
/б/
26.	Пусть I = {0, 1}, D = {{0}, /}, JR. = {М.; Р1), где №0 \=Р(т) для
любого т G MQ, 1П1 ^Р(т) для любого т G М^. Тогда гомоморфизм
№. на	№./D не является сильным.
/б/	/б/
27.	Доказать индукцией по длине формулы А следующее утверж-
дение.
Пусть А (Хр хп) есть формула без п и D, все свободные перемен-
ные которой есть Xj,..хп> Тогда, если PJ №. A(f{,..., /((), то
!б/
П №./D ^<4/D,...,fn/D).
iei
28.	Проверить, исходя из определения, что для любых
/«Л	4s П
16/
!)//£> = g/D => <p(f/D) = <p{g/D)‘
2)	...,<p(fn/D))-
29.	Изоморфизм PI №./£)-» JJ №./Z>7 определяется следу ro-
te/	/6/
щим образом: <p(f/D} =f'/Dj, где /6 Ц №f'(j) = f(j) для всех
/6/
j e J. См. далее задачу 25.
30.	Следует из задачи 29, так как каждый фильтр над конечным
множеством является главным.
31.	Изоморфизм ip: jp №(./D-» JP p[ №./£)Д///опредляется
ze/	лек ie/
\ k	/
следующим образом: <p(f/D}= f/D*, где f G pj [ JP №./Z)^ ,
кек ieik
f\k)=f'/Dk, /’Gp]№.,
Ч. И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 8]
217
32.	Изоморфизм Г- П®/° -* П №z ( Ц TO^/D^,\ определя-
16/	/6/	J
ется следующим образом: <p(JID) =	f2lD^,), где G Л TO.,
/6/
/j (Z> = f(j) ДЛЯ/ G J, /2 G J] TO», /203) = для/J G J'.
35.	Пусть ip:	Ca -» П определяется следующим обра-
a 6 H~ i£/
зом: ip(f)(i) = f( [z ]) для/ G JJ С*. Тогда p(J/D~) = ip(f)/D есть тре-
сте//-
буемый изоморфизм.
36.	Для	i&I	положим L.	=	{к	|	zG/J. Тогда	для	любых
z,,.... z G I	имеем	L. А ... Г) L.	0.	Положим D =	(X I	L. А ...
i s	i i	1	1	I
1	S	I
...C\L. С X С К для некоторых z ,..., i }. Изоморфное вложение
р: Г[ № -» П Г1 №. ID определяется следующим образом:
<е/ к&к iei
\ к /
^СО=/7ЛГ СГ(*))(О =/(0 для*е/г
37.	Пусть А(х) условно фильтруется по D и =
= {I | ТО. |= 3 хЛ(х)} G D. Тогда для любого i G существует a. G ТО
такое, что ТО. к Л (а.)- Возьмем произвольную функцию /G |”| ТО. та-
16/
кую, что /(z) = а. для i G Получаем С {j | ТО(. |= Af/fi))} = 12 и
I2 G D, т. е. Л №/D |= A(J/D). Отсюда |Д ТО./D |= 3 хА(х).
iei	ieJ
38.	Пусть р| ТО/Z) |= ЗхА(х). Тогда |"| TO/Z) |= A(f/D) для неко-
/е/	16/
торого /G р| ТО.. Отсюда{г| ТО. |= A (f (z))} G D и {z | TO. |= ЗхЛ(х)} G
ie/	1	'
G D.
41.	Следует из задач 38, 39, 40.
42.	Имеем {i | ТО. |= (Л Э В)} G D, Л №./£> (Л Э В) => {I | ТО.
(6/
У A} U {г | ТО. GZ), /] = {г | ТО. |=Л} GZ), /2 = {г | ТО. |=Б} <£
D =* ((Z \ /j) U /2) О /j = I2 A /j G D => I2 G D. Противоречие.
43.	Следует из задач 37—39, 42.
218
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
44.	Следует из задачи 41 и задачи 21 (б) из § 4.
45.	Следует из задачи 43 и задачи 20 (а), (в) из § 4.
46.	Следует из задачи 43 и задачи 21 (а) из § 4.
47.	Следует из задачи 43.
48.	См. задач z 42 (в) из § 5 и задачу 41.
49.	См. задач у 42 (а) из § 5 и задачу 41.
50.	См. задачу 44 из § 5 и задачу 43.
51.	Для любого п имеем {г | №. G В, где &п—формула из
задачи 43 из § 5 (см. задачу 5). См. далее задачу 41.
53.	Пусть № = {М; а) =	№./£). Построим 1—1-функцию
/еЛ'
<?_ 2'^ -* М. Каждому п G </Г сопоставляем число кп такое, что
2кп № < 2*п+1. ПустьВ^— 2^, где= {0, ..., к - 1}. Существу-
ет 1—1-функция	Определим гр: 2*^ -»	№п. Если
п&Л
Д'
у G 2 и ук состоит из первых к членов последовательности у,
то (’/'(/))(«) = <Рп(Ук )• Тогда <р(У) = ^(у)/£> есть требуемая
1-1-функция.
54.	Из каждого М. выделим подмножество Nf, мощность которого
есть min (z, Af.). Утверждение следует из задач 49 и 50.
55.	Пусть I = Xq D Xj Э ...; Хп G D, П X, = 0 (см. задачу 22);
I = {z I М.< п} £ D, У = X \1 . Тогда z G У =» М.> п. Положим
i~ j о 3 п (i, j G У^ Уп+ j). Пусть для aG.lt ~ имеем С'а = {0, 1, ...
..., п—1}, если а=У \У^+1. Тогда |”|№(./£)>	С^/£>~ = 2^°.
16/	а6//~
(См. задачи 35, 52, 54.)
56.	Можно считать, что есть основное множество каждого №..
Пусть /е]Д№(./Т). Положим In = {z | f(i) = п}. Тогда I = U 1п.
i&i '	П
Если I $ D для любого п, то U I.G D для любого п и
Ч. П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 9]
219
О / U !.\ = 0 G D; противоречие. Поэтому I G D для неко-
торого п е «/Г. Следовательно, f ~D	где /n(i) = и для всех i S I.
57.	с. Следует из задачи 53, так как если а. есть минимальный
элемент в ЗЛ., то /7D, где f(i) — а. есть минимальный элемент в
Пи/о.
16/
58.	Пусть	— семейство всех конечных непустых подмно-
жеств множества /. Тогда К ~ I. Поэтому (см. задачу 33)
27 <	£ д ЗП\/Z>2 = ЗП/Dj = ЗЛ7/!?!,
ЛбК	iG/
где D? есть прообраз	относительно изоморфизма между К и I.
59.	Следует из задачи 58.
60.	Пусть Xl D X? D ...—последовательность множеств из D та-
кая, что П X = 0 (см. задачу 22). Каждому сопоставляем
пбЛ' п
элемент Ъп из ЗЛ так, что Ьп * Ьт при п т. Определим /6 ЗЛ.
/6/
следующим образом: если для i G I число «(. есть наименьшее такое м,
что i £ Хп, то полагаем /(z) = Ъ. Допустимого f/D = <р(а) для неко-
торого а из ЗЛ. Тогда X = {z | /(z) = a} G D. Для i G X имеем /(z) = b.
для некоторого / G jV. Пересечение X О Ж-+1 непусто, так как при-
надлежит D. Возьмем z G X Г) Х.+ ^. Тогда /(z) = bn * Ь., так как
п.> j + 1. Противоречие.
§ 9.	Аксиоматизируемые классы
2.	Пусть ^!—система аксиом для класса ^j, S2—для класса К2-
Тогда Е] U S2 есть система аксиом для Ki Г) К2, системой аксиом для
К U К является Е = {(A v А.) [ А £2 ,Л 6 SJ.
3.	Пусть <р — изоморфизм из ЗЛ на ЗЛ'. Доказать (индукцией по
длине формулы), что для любой формулы А(х^,..., и любых
т,, ..., т из ЗЛ выполнено соотношение
1 п
ЗЛ }=А(Ш], ..., шп)оЗЛ' ^(^(rnj), ...,^>(шп)).
220
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
4.	Следует из задачи 41 из § 8.
5.	Если Е есть система аксиом для К, то S U S^,	,..} (см.
задачу 43 из § 5) есть система аксиом для К'.
6.	Пусть для i ё «Ж, ЗЛ. есть система из К с числом элементов не
менее i, D — неглавный ультрафильтр над «Ж. Тогда ЗЛУD удов-
16 Л"
летворяет всем требованиям задачи (см. задачу 53 из § 8).
7.	Следует из задачи 6.
8.	Пусть К — класс полей конечной характеристики. Для любого
простого числа р существует поле ЗЛ^ характеристики р; это поле оп-
ределяется аксиомами
Rp - V х(рх = 0)..
Фр Э х(п х = 0& л 1х = 0& ... & -I (р - 1)х = 0)
и аксиомами поля.
Пусть Р — множество простых чисел, D — неглавный ультра-
фильтр над Р. Тогда в ЗЛ =	истинны все формулы Фр, поэто-
рбР
му ЗЛ £ К.
9.	Пусть	= {— к,..., — 1}, где — к < ... < — 1 < 0, D —
неглавный ультрафильтр над «Ж. Положим /*(z) =-(z + 1) для
z < (к - 1), f^i) = - к для i > к. Тогда fQ/D > D > ... и ЗЛ ./£)
i6«/f
не является вполне упорядоченным. Если D—главный ультрафильтр,
то П ЗЛ./D - ЗЛ; для некоторого iQ ё (см. задачу 29 из § 8). Неак-
сиоматизируемость следует из задачи 4.
10.	Пусть К замкнут относительно ультрапроизведений и элемен-
тарной эквивалентности, Т—множество предложений, истинных на
всех системах из К. Пусть Т выполнимо в ЗЛ, Г = {А. | i ё /}—мно-
жество предложений, истинных в ЗЛ. Так как -i А. £ Т, то для любого
i ё I существует система ЗЛ. ё К такая, что ЗЛ; |= А.. Положим
I. = {z | ЗЛ( |= А}. Существует ультрафильтр D над I, содержащий все
I. (j ё Г) (см. задачи8 и 14 из § 8). ТогдаЗЛ./£>элементарноэквива-
/6/
лентно ЗЛ и ЗЛ ё К.
Ч. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 9]
221
11.	Пусть I— семейство всех конечных подмножеств множества
Т, Ф(. — конъюнкция всех формул из i G I, IP.— система, в которой
истинна Ф.. Положим I. = {!| i £ /, JR. 1= Ф.}. Тогда I. С\ ...С\ I. 0
I	К	I * к	к	к
1	п
и существует ультрафильтр D над I, содержащий все Ik (( S /) (см.
задачи 8 и 14 из § 8). Имеем	№./D |=Ф^ для любого ke I (см.
16/
задачу 41 из § 8).
12.	Следует из задачи 5 из § 7 (для счетной сигнатуры) и задачи 11.
13.	Если {Фр..., Ф^} есть система аксиом для К, то
{-I (Ф^ ... &Фр} есть система аксиом для Кд \ К. Обратно, пусть
21 = {Фа । a G А} есть система аксиом для К, S2 = {Ф^ | /J G В}—
система аксиом для Кд \ К. Тогда 2 = 5^ U S2 противоречиво и, следо-
вательно, (см. задачу 13), противоречиво конечное множество
{Ф ,...,Ф , Фй , ..., Фй}. Поэтому {Ф ,...,Ф } есть система ак-
1 а ' 'ар'	р'	J а ’ ' а ‘
1	k 1	*1	1	к
сиом для К.
14.	Следует из задачи 41 из § 8.
15.	Следует из задач 6 и 13.
16.	Следует из задачи 15.
17.	Следует из задач 8 и 13.
18.	Пусть Л > ш, Г = Т U {-I са =	| а, [} G А, а * /3}, где сд—
предметные константы, не входящие в Т. Тогда любое конечное
подмножество Го С Г выполнимо и, следовательно, Г имеет модель
(см. задачу 11). Любая модель для Г есть модель для Т и имеет мощ-
ность больше, чем т.
19.	См. указание к задаче 18.
20.	Пусть <р.. есть изоморфное вложение ЛС = {М.; в модель
Л „ G К, где М. есть конечное подмножество М, а ст — конеч-
ное подмножество а. Пусть I — семейство всех моделей
Л	С м. и ст;С<7.}. Каждое конечное пересечение
Ik t rt ... С\1к[ непусто. Пусть D—ультрафильтр над I, содержащий
11	3 $
все 7^, Л = njVzz Иусть/о—произвольный элемент из £^Л... Тогда
следующее отображение <р есть изоморфное вложение 5П в Л:
wfm «л/» =
Р("0 =
если m G M.,
если/ngAf..
г
го, что ЗЛ. |=
222	ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
22. Пусть Afj = {Ир ..., тк}, В(т{,— конъюнкция всех
формул из £>(ЗЛ). Тогда А = 3х( ... 3xkB(xv ..., х^) есть искомая фор-
мула.
23. ЗЛ = J"[ JH./D имеет к элементов, где к < п. Поэтому формула
z'G/
с = 3х1 ... ЗхА(В(хг ..., xA)&Vy(y = Xt v ... vy = xn)),
где B(ml,...,	— конъюнкция всех формул из Р(ЗЛ), истинна в ЗЛ,
и, следовательно, {z | ЗЛ. |= С} G D. Имеем ЗЛ - ЗЛ. для любого iQ тако-
1	о
С.
о
25.	Если Мj есть множество всех значений термов сигнатуры ст при
значениях переменных из множества А, то (Mt; а) есть подсистема ЗЛ
и содержится в любой подсистеме, содержащей А.
26.	Следует из задачи 25.
27.	Пусть S—система аксиом для класса К сигнатуры ст. Строим по
ней систему S' V-формул сигнатуры ст' 2 ст, удовлетворяющих усло-
виям задачи 21 из § 5. Класс К состоит из обеднений систем класса К'
всех моделей для S'.
28.	Пусть К состоит из обеднений универсально аксиоматизиру-
емого класса К' сигнатуры ст' (см. задачу 27), ЗЛ = ст) е К, ЗЛ есть
обеднение ЗЛ' из К’. Пусть А — конечное подмножество М, ЗЛ^
подсистема ЗЛ', порожденная множеством А. Тогда ЗЛ^ 6 Л^', ЗЛ 1 =
= (М1; ст) — конечная или счетная /(-подсистема ЗЛ.
29.	Аналогично задаче 28.
30.	Пусть 2—система аксиом для A, m > ЗЛ + ст, ЗЛ( = (М^, о'}—
модель для 2 U £)(ЗЛ) мощности большей, чемш (см. задачу 18). Пусть
М С А С М{, И = ш. Далее применяем задачу 29.
31.	Пусть а = {Р | у 6 2 }, 2 — система всех формул вида .
3 хР^(х) для всех у 6 2 и формул вида (ЗХ]... 3 x(j(-i Xj = х2& i Xj = j
= x3&...&-1xn_1=xi)DVx(-1Pa(x)v-1Py(x))) для n = 2"1, (y(0),...
..., y(m — 1)) * («(0),..., a(m — 1)), m = 1, 2,... Класс К всех моде- J
лей для 2 содержит конечные модели мощностей 2>п (т = 0, 1, 2, ...); 1
все бесконечные модели из К имеют мощность > с.	I
Ч. П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 9]
223
32.	Пусть а = {/ | у е 2^} U {а | у G 2^}, где [у ]щ= (у(0),...
у(т — 1)), S — система всех формул вида
-I а. , = аг., для [у ] # [<5 ] ,
М [<5]	' т 1 W
т	п
Ыа[у] ) = а[<5] Дляд>Уе21Ж’
т п	Л
V x(f^(x) = / (х) D v х = а.), где! = 2 1U...U2 т,
у ie.i 1
^={0,1,...,*-!}, [<51m*lylm.
Тогда (М; а), где М = (J 2^”, а = [у ]т, f& ([у lm) = [<5 1^,
теЛ'	т
есть счетная модель для S, все собственные расширения которой име-
ют мощность не меньше, чем с.
33.	Пусть К есть класс всех обеднений универсально акси-
оматизируемого _класса К’ сигнатуры а' (см. задачу 27),
ЗЛ = (М; а) е К, ЗЛ = ш. Возьмем ЗЛ' = (М; а') 6 К'. Пустье а',
полагаем fn ~ gn /п(т^, ..., тп) = gn(niv..., mn) для любых ...
..., тп 6 М. Из каждого класса эквивалентности выберем по одному
функциональному символу, ст" получается из ст' опусканием осталь-
ных функциональных символов. Тогда ст" содержит не более, чем 2т
функциональных символов. Пусть К"—класс, система аксиом которо-
го получается из системы аксиом для К' заменой функциональных
символов из ст' на эквивалентные им из ст", ЗЛ^—система из К" мощ-
ности > п (см. задачу 18), ЗЛ2—подсистема ЗЛ^ порожденная мно-
жеством мощности п. Тогда ЗЛ2 = п (см. задачу 25), ЗЛ2 G К" и ЗЛ2
может быть обогащена до системы ЗЛ3 G К'. Тогда обеднение системы
ЗЛ3 до сигнатуры ст входит в К.
34.	Следует из задач 6 и 33.
Примеры:
(a)	S = {<?5};
(б)	Z = {(£ D <£	), (<£ __ D S ), ...};
n n+lz v n+l n+27 J
(в)	Ko.
35.	ЗЛ |= -I m{= m2 => ЗЛ' |= -iy>(znJ) = y>(m2); ЗЛ ^A(mr ..., mn) =>
=> ЗЛ |=-|Л(/п1,...,тл)=>ЗЛ'	...,y>(m2)).
224
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
36.	Отображение -» М, где <р(п) = п + 1, есть изоморфизм !П
на №, поэтому Л и 1П элементарно эквивалентны. Возьмем
А(х) = Vy (х < у).Тогда№ ^Л(1),!П руЦ1).
37.	Нет. Например, формула 3 х (х < 2& п х = 0& п х = 2) истинна
в Л, но ложна в №.
38.	Нет. Например, формула V х 3 у (у-у = х) истинна в (Г, но лож-
на в Э.
39.	№ A (bv...,bm) => {» | ЭЛ |= Л	....bm)} = I 6 D =>
=>	гДе//0 = bj (J= !> •••’ т)- Если m
16/	______
конечна, то №7/D = №.
40.	(а) Например, положим для п 6 «Ж, i 6
,	(i, если i < п, , ....	[-/, если i < л,
V’(n)(z) - |п, если i > п. V(. n)(l) — л, если j > n.
Тогда >p(n) = y(n)/D есть изоморфное вложение $ в ПЯ1,/О.
i6v/F
(б) Нет. Формула 3xVy (х < у) истинна в №У£), но ложна
в£.
42.	Из задачи 18 следует, что теория Т = F£)(№) имеет модель №t
такую, что №j > m. Тогда № элементарно вложима в №t (см.
задачу 41).
43.	Доказать индукцией по числу шагов построения формулы
В (Хр ..., х^), что для любых wij, ..., mk G М
№	..., о №t	..., т^).
44.	Пусть № = (М; а} бесконечна, А — счетное подмножество М.
Положим Aq = А. Далее, если Ап уже определено, то для любой
формулы А (Хр ..., х^, у) и любых Цр ..., G А таких, что
№ |=ЗуА(а ,..., о^у), выбираем а = h (А, а{, ..., G М такой, что
№ (=Д (<2р ..., а^, а). Тогда Л +1 есть объединение Ап и множества
всех h (Л, Яр ..., ар, a №j = ( U А^, а) есть счетная элементарная
пб</Г "
подмодель № (см. задачу 43).
45.	Аналогично задаче 44.
46.	Следует из задач 42 и 45.
Ч. П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА [§ 91
225
47.	Доказывается индукцией по числу шагов в построении форму-
лы А. Рассмотрим лишь случай А = V хВ (х). Пусть ЗЛ [= V хВ(х), но
ЗЛ V хВ(х). Тогда ЗЛ }= 3 х п В (х) и ЗЛ |= п В(а) для некоторого а 6 М.
Имеем а 6 М. для некоторого j > i. По предположению индук-
ции для формулы В имеем ЗЛ^. у В (а), отсюда ЗЛ^. [= 3 х п В (х) и
ЗЛ; 3 х п В (х), так как 1Л(. ч ЗЛ^„ Противоречие.
48.	Пусть S есть множество предложений, истинных в К, ЗЛ —
модель для S. Пусть Д — конечная совокупность предложений из
лЕ’.О(ЗЛ), Лд (с ,сп) — конъюнкция формул из А, Ср ...» сп— все
предметные константы, не входящие в а. Тогда имеем
ЗЛ 3 х{ ... 3 х^Лд (Xj,..., х^) и, следовательно, существует система
ЗЛ. 6 К такая, что ЗЛ. к 3 х, ... 3 х Л. (х,,..., х ); существуют эле-
А	A I 1 п А х Г п' J J
менты ..., dA из ЗЛ. такие, что 1ЛА |=ЛД (d\ ..., rf^). Для с из ЗЛ
положим <7Л (с) = d^, если с = с;	(с) равно произвольному элемен-
ту из ЗЛд, если с (£ {ср ...,	. Пусть I есть множество всех конечных
совокупностей А С /Т>(ЗЛ), D—фильтр над /, содержащий все множе-
ства /д = {Д' | ЗЛд, }=лд (с/f, ...,<ф}, 3P1 = nilV'D- Для с из7Л
Ае/
полагаем <р(с) = fjD, где f (Д) =	(с); <р(с) есть элементарное вло-
жение ЗЛ в ЗЛр Обратное утверждение следует из задач 3 и 4.
49.	Пусть класс К универсально аксиоматизируем, ЗЛ—система
сигнатуры а и каждое конечное обеднение конечной подмодели ЗЛ
изоморфно вложимо в подходящую К-систему. Тогда (см. задачи 4 и
20) ЗЛ изоморфно вложима в if-систему и ЗЛ 6 К.
Обратно. Пусть S—семейство всех V-формул, истинных на всех
системах из К, и система ЗЛ есть модель для S. Покажем, что если
выполнены условия задачи, то ЗЛ 6 if. Пусть ЗЛ( есть конечное обед-
нение конечной подмодели ЗЛ, А есть 3-формула для 3nt из задачи 22.
Тогда Wj вложима в некоторую К-систему, так как в противном слу-
чае S и л А (п А эквивалентно V-формуле) и ЗЛ |= -i А. Поэтому ЗЛ G К.
50.	Следует из задач 20, 48 и 49.
51.	Следует из задачи 50.
52.	Использовать указание к задаче 48. Взять класс всех систем,
элементарно эквивалентных ЗЛр в качестве К и ЗЛ j в качестве ЗЛД.
53.	Если ЗЛ содержит п элементов, то 3nt тоже. Из задач 52 и 39
следует ЗЛ] ЗЛ.
8 И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
226
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
55.	Следует из задач 18 и 53.
56.	Пусть Т неполна. Тогда для некоторого предложения А не вы-
полняется ни Т |= А, ни Т -I А. Поэтому существуют счетные модели
5Л1 и ЗЛ2 теории Т такие, что Ulj А, ЗЛ2 р nA. Тогда существуют мо-
дели ЗЛ, и ЗЛ. такие, что ЗЛ, = ЗЛ = т, ЗЛ, ч ЗЛ,, ЗЛ, ч ЗЛ. (см. зада-
3	4	3	41	3	24
чу 46). Поэтому ЗЛ3 и ЗЛ4 неизоморфны.
57.	Теория R - категорична (см. задачу 13 из § 5 части I) и поэтому
полна (см. задачу 56).
58.	Пусть Го U Tj противоречиво. Тогда противоречиво некоторое
подмножество Го U {Вр ..., В^}, где В. G Гр к > 0. Поэтому
Г ь-i (В &... &В.) и Гп bVx, ...Vx iB(x,, ..., х),
о 4 1 А7 о 1 s v г s7
гдеВ (Ср ..., cs) = (Bj&.-.&B^), Ср ..., cs—все константы из Bp ..., В^,
не входящие в а. Так как Г полно и Го непротиворечиво, имеем
Г t- V х ... Vx -I В (х , ..., х ), поэтому Г ь V х. ... V х т В (х., ..., х )
ISIS	LLS1S
hFj i- -i В (Ср ..., cs). Противоречие.
59.	Следует из задачи 58.
60.	Пусть Г = FD (ЗЛ^ U FD (ЗЛ2). Любая система, в которой ис-
тинны все формулы из Г, удовлетворяет требованиям задачи. Не-
противоречивость Г доказывается аналогично непротиворечивости
Го U Г из задачи 58.
61.	Пусть Г U {А} выполнимо в 3Ht = (Мр о^), ЗЛ* = (Мр а).
Тогда FD (ЗЛ*) U {В} непротиворечиво (см. задачу 59) и выпол-
нимо в ЗЛ2 = (М2; а2). Имеем ЗЛ* ч ЗЛ* = (М2; а). Поэтому существует
система ЗЛ3 = (М3; о^) такая, что ЗЛ} ч ЗЛ3, ЗЛ* ч ЗЛ* = (М3; сг).
Получаем последовательность ЗЛр ЗЛ2, ЗЛ3, ... такую, что
ЗЛ ч ЗЛ ч ...ч ЭЛ ч ЗЛ ч...; ЗЛ*ч ЗЛ*ч ЗЛ*ч ... Положим М = U М„
1	3	2	4	1	2	3	,, i
ЗЛ = (Af; U ст2), где ЗЛ* ч (М; а}, ЗЛ2^+1 ч (М; ЗЛ^ ч {М; (см.
задачу 47). Тогда Г U {А, В} выполнимо в ЗЛ.
62.	Пусть Пр ..., ак—все константы, входящие в А и не входящие в
о, b , ..., Ьп — все константы, входящие в В и не входящие в а. Тогда
фор .улы А, = 3xt... 3xkA (Хр ...,хА), В{ = 3	... 3 у; В (ур ..., yj
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 1]
227
удовлетворяют условиям задачи 61 и Ги {А^В} непротиворечиво.
Тогда Г U {Л,В} непротиворечиво.
63.	Пусть Т—множество предложений С сигнатуры а таких, что
н (A D В).
Предположим, что Т U {п В} непротиворечиво. Тогда Т U {п В}
выполнимо в некоторой системе №. Далее, Г U {Л} непротиворечиво,
где Г есть множество всех предложений сигнатуры а, истинных
в №. Иначе было бы А н-i (Ct& ... &Ср для некоторых Ср ..., С^ G
G Г, -I (Ct &... &Ср 6 Т С Г и (Ct & ... &С*) 6 Г. Из задачи 62 следу-
ет, что Г U {Л, -I В} непротиворечиво и неверно н(Л Э В). Поэто-
му Т U {п В} противоречиво, а значит, ь ((Ct& ... &Ср D В) для
некоторых Cj, ..., Ск 6 Т; (Cj &... &С*) есть искомая формула. Если а
пусто, А и п В выполнимы, то можно построить счетную модель, в
которой выполнима (Л& п В), т. е. не выполняется н (А Э В).
ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
§ 1. Частично рекурсивные функции
2. Функции, /2, /3 и /4 получаются суперпозициями из / и
<а)Л(х1’х2> х3’-”хп) =
= /(/"(х1,...,хи),^(х1,...,хи),	...,<(Хр...,Хп)).
(б)/2(ХрХ2,...,Хп) =
= /(4(Хр...,Хп),...,Г(Хр...,Хп), ^(Хр...,Хп)).
(в)/3(Хр ...,хп+1) =/(7^ (Хр ..., хд+1),..., 1п (Хр ..., хп+1)).
(г)/4(Хр...,Х1_1) =
= /(/"-1(х., ...,х ,),1п~\х.,...,х .), ...,In-l.(xt,...,x ,)).
v 1 v Г n-17	1	4 Г ’ п-17	’ п-1х Г ’ п-177
4. Пусть/(Xj, ..., хп) получена из о и с помощью суперпозиций и
примитивной рекурсии. Тогда/ (0,..., 0) = 0 и
х <1,...,х < 1 =>/(х,, ..., х ) < 1.
1	п	и7
5. (а) /(х) = 5 (s (... х(х)...)) (п раз).
(б)/(х) = х (s (... 5 (о (х))...)) (праз).
228
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(в) f (х, у) получается примитивной рекурсией из g(x) = /J(x) и
h (х, y,z) = s (/^(х, у, z)).
(г) f (х, у) получается примитивной рекурсией из g (х) = о (х) и
h (х, у, z) =	(х, у, z) +	(х, у, z).
(Д) f(x, 0) = 1, / (х, у + 1) = х-/ (х, у).
(е)/(0) = 1, /(х + 1) = s (х)’/(х).
X 1
J* v| У раз
6. (а) Xх; (б) Xх J
7. (a) sg (0) = 0, sg (х + 1) = s (о (х)).
(б)	sgO =1, sg (х + 1) = о (х).
(в)	0 - 1 = 0, (х + 1) - 1 = х.
(г)	х - 0 = х, х - (у + 1) = (х - у) - 1.
(д)	1х - yl = (х-у) + (у - х).	_
(е)	шах (х, у) = x sg (х - у) + y sg (х - у).
(ж)	min (х, у) = x-sg (у—х) + y-sg (у - х).
9.	Докажем, например, (а):
/п+1 (хр хп, 0) = g (хр хп, 0),
fn+l (хр хп, у + 1) = g (хр хп, у + 1) + f (Хр ..., xn, у).
h (x[.xj
10.	/(xJ,...,xn)=	sg[fl«(xr-»xn,/) .
i=0	(j=0
11.	g (Xp ..., xn) = h0 (xp ..xn)-sg/0 (xp ..xn) +_..
... + As(x1,...,xn)sg/s(x1,...,xn).
12.	(a)	=2 SS (V " *)•
Л1 j=i
(6) rest (x, y) = x - у — .
x	L J
(в) t(x) = X sg (rest (x, 0)-
i=i
(r) a(x) = Z-Sg (rest (x, z)).
i=i
(д) x — простое число о т(х) = 2 (см. (в));
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 1]
229
lh(x) = У sg (| t(i) - 21 + rest (x, i)).
i=l
x
(e)	я(х) = У sg (|t(z) - 21) (cm. (b)).
t=i _________	___
(ж)	к (x, у) = цг [z-sg (x-y) + sg (x-y) ( sgz + rest (z, x) +
+ rest (z, у)) = 0 ] < x-y.
+ x-sgy + y-sgx (см.(ж)).
ХУ
к (x, y)
(з)	d(x, y) =
(и)р(х) =ду [|я(у) - (x+ 1)| =0] < 22 (cm. (e)).
X
(к) long(x) = цу У sg (rest (x, p(i))) = 0 < x.
i=y+1
(л) ex (x, у) = hz [( sg rest (y, (p(x))z+ *)) • sg у = 0 ] <
(м) Vx] = fiz [sg ((z + I)2 — x) = 0 ] < x.
(h) yVx = fiz [sg ((z+l)y - x)-sgy = 0] + sgy-x <
(o) [ xVZ = цг [sg ((z+1)2 — 2x2) = 0 ] < 2x.
(п) Использовать разложение числа e в ряд.
(р) Использовать разложение числа ех в ряд.
(с) Сух =
X (см. (и)).
X.
x!
•sg (x - y) + sg (x - y).
Z(x) = x —
13.	Z(x) + r(x) = (tz sg I л-“y-L ~ x I
4)W(zD^+1H
----------- : r(x) = z0(x) - l(x).
= z0W - 2x;
= 0
2
14.	Следует из задачи 13.
15.	/"(Xj, ..., хп)=/’(с"(х1,..., хп)), где F(x) =f(cni(x), ..., c„n(x)).
16.	(а) Пусть п e jV. Рассмотрим последовательность (п, 0),
(n, 1), ... Тогда существует последовательность х0, Хр ... такая, что
Л(-«о) =Л(Х1) = ••• = п> = °’	= поэтому хо’хг•••
различны. (б)
(б) /2(х) = У sg |/t(x) - ^(i) | -1.
z=0
17. См. задачу 34 (е) из § 7 части II.
230
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
18.	Ввести вспомогательную функцию
Г(х1,...,хи,у) = П рК......
i=0
Доказать, что F примитивно рекурсивна. Тогда
/(хр ...,xn,y) = ex (y,F(x1, ...,хп,у)).
19.	Следует из задачи 18.
20.	Ввести вспомогательную функцию
Г(х) = ^-З^.
Доказать, что F примитивно рекурсивна. Тогда
/(х) = ех (0, F(x)), g(x) = ex (1, F(xj).
21.	Аналогично задаче 20.
22.	См. задачу 1.
23.	(в) Например, g (х, у) = х + 1.
• 24. См. указание к задаче 2.
26. (а) ш(х) = ру [х(х) + у = 0 ].
(б) f (х, у) = pz [ | х - (z + у) | =0 ].
(в)/(х, у) = pz [|х - z-y| = 0].
(г) f (х, у) = pz [ I х - £ I = 0 ].
(д) Пусть /— n-местная функция, д.= {(ап, ...,	•
•••> <akV •••’ “ъЛ ^11’ а1п) = 61> Kakv •••’ akJ = ьк'тогда
/(x1,...,xn) = i1-sg(|x1-an| + ...+ |xn-aln|) + ...
...+ft -sg(|x - a. I +...+ |x - a. |) +pz\z + (|x.-a |+...
-+ К - aJ)+- + (1 xi ~ «J+-+l*„ - aJ) = oi-
27.	Использовать следующие соотношения:
(a)	a = b о | a — b | = 0.
(6)	a # b о sg | a — b | =0.
(в)	a < b о a — b = 0.
(r) a < b о sg (b - a) = 0.
(д)	a = 0 и Z> = 0 о a + b = 0.
(e)	a = 0 или b = 0 о a • b.
28.	(а) Введем функцию
0 (t, у) = cn+2 (cnl(t), ..., cnn(t), y,f(cnl(t), ..., cnn(t), y)).
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 1]
231
Тогда в(1, у) = a(G(f), у), где
с» =	.... %(»), о, е(см(Г)..... %(0»,
a(t, 0) = t, a(t, у+1) = G(a(t, у)),
G(Z) = cn+2(cn+2i /z),.... ся+2 n(z) cn+2 n+l(z) + 1,
Л(сп+2,1(г)’-"’Сп+2, n+2(z)))-
Имеем/ (xp ..., xn, y) = cn+2,n+2 (6 (cn (xp .... xn), y)).
(б)	Аналогично (a).
29.	Полагаем
G (x, y) = g (c,tl(x), cnn(x), у), F(x) = цу [G (x, y) = 0].
Тогда/(Xj, ...,xn) = F(cn(xv ...,х^).
30.	Ввиду задачи 28 достаточно рассмотреть случай, когда
/2(х, 0) = х,
/2(х, у + 1) = G (/2(х, у)).
Для этого случая выразить требуемым образом (используя зада-
чу 29) функции и = U(x, у) и v = V(x, у), являющиеся решением систе-
мы уравнений
/(х, 0)=?(и, v, 0),
f(x, у) = Р (и, V, у).
31.	Использовать разложения в ряд чисел V7, е, я.
32.	Записать с помощью общерекурсивных функций метод вычис-
ления с наперед заданной точностью корня многочлена с целыми ко-
эффициентами.
34.	(a) Z" (х., ..., х ) = is (х ).
нр 1 ’ п' v nv
(б)	о (х) = ii(x).
(в)	is(0).
(г)	q (2 + 2sgx).
(д)	ах = /2 (х, у) + ... + /2 (х, у) (а раз),
by = /2 (х, у) + ... + /2 (х, у) (Ь раз),
с = s (0) + ... + s (0) (с раз).
(е)	Имеем х + 2[ -/х] = i (х + 1 + 2sg q (х + 4)), тогда
х2 = i (х + 2[ Vx] + 1).
232
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
.2
(ж)	Пусть а (х, у) ч= д ((х + у)2 + 5х + Зу + 4), тогда
х
2
= i ( х + 2 [ Ух] + 1 + i ( sg а (х, </(х)))) ,
х
2
= а
2
(з)	Имеем 2 ( Ух] = а (х + 2 [ Ух] , х), тогда [ Ух] =	’
, \ тх	а (а ((* + У)2’ *2)> У2)
(и)	Имеем х-у = —ь1—L.
(к)	Имеем х - у = а (х, у) sg а (а (х, у) + у, х).
Г(х + у)2 + Зх + у
'	2
. . м ч if [У8-* + 1 1 + 1
(м) Имеем Z(x) = х - •-----------
[У8х + 1 1+1] • zzz \
- (70) + О-
(л) Имеем с (х, у) =
’[У8х + 1 - 1 ]
2
2
(н) Имеем г(х) =
2
35. Индукцией по числу шагов построения данной примитивно
рекурсивной функции, используя задачу 34. Рассмотрим лишь случай
получения функции с помощью оператора примитивной рекурсии.
Ввиду задачи 28 достаточно рассмотреть случай, когда
J F (х, 0) = х,
|F(x, у+ 1) = G (F (х, у)),
где G уже получена требуемым в задаче способом. Положим
Тогда для функции /(х) = 0 (х, х) имеем
J t (0) = 0,
(х + 1) = 0 (х, t (х)),
/(х) = F (д ([ Ух]), д(х)), а также t (((у + х)2 + х)2 + у) = F (х, у). Но
функция <(х) ввиду задачи 28 (б) получается итерацией и суперпо-
зициями функций, уже полученных требуемым в задаче способом.
39. (а) 1п (х,, ...,х ) = qq~ ’(х ).
т v Г п'	v т'
(б)	о (х) = q (q~\x + х) + 1).
(в)	Аналогично задаче 34 (д).
(г)	Пус*ь а (х, у) = д ((х + у)2 + 5х + Зу + 4); тогда
х2 = а (д~ *(2х), 2х).
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ (§ 1]
233
(д) sg (х) = д(х2 + 1).
<е> sgx = а (1, sgx).
(ж) Имеем
= Ч (2<? + sg (q (q 1
+ ss(O)))) *(x).
х
2
(з) Аналогично задаче 34 (и).
(и) Аналогично задаче 34 (к).
, ч „ г /—i \д (х ~ ?(х)) ~ 1
(к) Имеем [ vx] = —ь-------------
+ sgx.
(л), (м), (н) Аналогично задаче 34 (л), (м) и (н).
40.	Имеем f (х) = г ((| (Z (х) + 1) sg Л (7(х), г (х)) — 11) '). Далее
применить задачу 39.
41.	Индукцией по числу шагов построения данной частично ре-
курсивной функции, используя задачи 30, 39, 40, а также формулы
для rest (х, у) и Д (х, у, z) из задач 12 и 17. К формуле
у = pz [sgy • sg ((z + 1) у- x) = 0] + xsgy
применить задачу 40.
42.	(а) Пусть функция определена следующим образом:
если п = 3t, то а(п) = с3 (0, t, 2 + /);
если п = 3t + 1, то а(п) = с3 (t + 1,0, sg/);
если л = 3/ + 2, а с3[(а (r(/)))+l = <?31(a(Z(/))) и <?32(а(г(/))) =
= с33 (« G(0>), то а(п) = с3(с31 (a(Z(/))), <?32 (a(Z(/))) + 1, с33(а(г(/)))),
в остальных случаях а(п) = с3 (0, 0, 2).
(Здесь Z, г определены в задаче 13, а с3, с , с , с —в задаче 14.)
01	0^	00
Функция а примитивно рекурсивна. Имеем
в (х, У) = с33 (а (цп [с31 (а(п)) = х и <?32 (а(п)) = у])).
Таким образом, Ви А общерекурсивны.
(б), (в), (г) Индукцией по п, х.
(д) Имеем о (х) < В (0, х),	s(x)<B(0, х),	/” (xt, ..., xj;) <
< В (0, max(x1, ..., х^)).
(е), (ж) Проверяем непосредственно, используя (б), (в) и (г).
(з) Из (д), (е) и (ж) следует, что всякая примитивно рекурсивная
функция является В-мажорируемой.
43.	Пусть F (t, Xj, ..., хп) — универсальная функция для семей-
ства «-местных примитивно рекурсивных функций, являющаяся
234
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
примитивно рекурсивной. Тогда f(x^ ,..., х ) = 1 + F (Xj,	, ..., хп) =
= F(tQ, Хр ...» хп) для некоторого tQ. Отсюда 1 + F(tQ, tQ, ?0) =
= F (tQ, tQ,..., Q. Приходим к противоречию.
44.	Заметим, что универсальная функция должна быть всюду оп-
ределенной. Далее, см. указание к задаче 43.
§ 2. Машины Тьюринга
1./(х) = X + 1.
2./ (х.,..., х ) = х. + ... + х . 1 п v 1 ’	' п'	1	п
3. Например,

720^<731£,	q2\-q2\R,
?з°-?о0’	*з1^<?з1/'-
4. Например,
^0 - q^R,
q20 -* q30L, q2l -* q2\R,
qfl-qj), q3i-»q30L.
5.	Сначала переводим слово Ol^OPO в слово 01х? 1у00, равное
01х-‘qa 1у01 '0 при i = 0. Затем слово 01 х~ ‘qa 1 у01 '0 переводим в
01х-('+1)^ р01'+10, если х — i > 0, и в 01у?п01х0, если х — i = 0.
Г. ?j01x00 = ^Ol^'Ol'Of при i = 0. Слово ^Ol^ 'Ol'Ol1 перево-
дим в ?101х-^+1^01/+101'+1, если х - i > 0, и в ?001х01х, если
х — z = 0.
Ц„. (Б+-В)',-1-(Б_)"-1-
Кп.к1 = г,
Кп+1=(Б+)"-г-(Б-)я-(Ця+2)ге-(Б+)2-Кге-(Б-)2-Ц2я+2-Цге+1.
6.	(Ц^)"'-1 (Б+)''-1 (О Б-)'1-1, где О — машина, построенная в
задаче 4.
7.	(а) Пусть F и G—машины, правильно вычисляющие fug соот-
ветственно. Тогда Н — G F правильно вычисляет Л.
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 2]
235
(б) Н = [Km (B+)m G1-(B")W-(Um+1)W-B+ I -
...•[Кт-(Б+)"'-С„_1-(Б-)",-(Цт+1)"'-Б+1-С„(Б-)'1’1-^
8. (а) Например,
	qft -> q20R, q20 -* <731Л,	?21 -» q2\R,
	q30 * q40L,	q \ -> qAR, q4\ qsGL,
	?5° - qoO,	?5! <z51L.
(б)	q^O * q20R, ?2° - <7oOA,	<Z21 -»
	q30 -> q40L,	qA -» qAR, q4l <z50L,
	?5° - qQ0,	?5! -* qslL.
(в)	q{0 -* q20R, q20 * qQ0L,	«21 -*
	q30 -» q40L,	?3! - <z30/?,
	?4o *	- <?oOA-
9. (а) Пусть машины G и Н вычисляют gn h соответственно. Ис-
пользуя G, Н и машины из задачи 5, построить машины Т^, Т2,
ТА ТТс такие, что
3’ 4	5
<7 01*1 ...01\01у0 =>	01Х1 ...01\001\01*1 ...01\0 =>
Т1	“	2
=>	01х1 ...01\001y<7ft01«(V-’\’0)0...;
т	р
01Х}...01Хп01‘01у~1д^01г0 =>т
01х1...01\01'01у-/<7 01г0, еслиу—г>0,
01xi...01Xn01'01y ‘q&01z0, еслиу—z=0,
01х! ...01\01'01у-/<7 01г0 =>
у т
4
=>	01х1...01\01'+10Р'“(/ + 1)<701л(х1..\’y’z>0;
т	у
236
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
01*1 ...01\01y00^01z0 =>г <7001г.
Тогда машина • Т2-Т^-
9у Т4’
96 = Т5
вычисляет/(хр
(б)	Пусть машина G вычисляет g (Xj,..., ху у). Используя G и ма-
шины из задачи 5, построить машины Т , Т2, Ту такие, что
<^01*1 ...01\0 =>г 01xi ...01\01?а0;
01xi ...01\01^ 0 => 01xi ...01\01'^01g(xi......\’°0;
а	1'У	Р
01*1...01\01^0Р0 =>т
01х1 ... 01\01/+1<7а0, если у * 0,
^оО1'О,	если у = 0.
Тогда машина Т^Т^-Т^ вычисляет/(хр	хп).
10.	Следует из задач 3, 4, 6, 7, 9.
Xх +х
1	1	2
IU п ₽
12.	у” (Хр ..., хп) =3 • 7‘-0	'“V
Х+...+хя + (/1-1)
п
/=Х1+...+хп_1+(п-1)	,
13.	Полагаем
р(0,Л I, u,v) = 2u-3k-5l-lv,
р(1, к, I, и, v) = 2
n₽“(,+U)	p0-	П<ЙГ
t=^	.	. jex(0,a) . j	s=0
и	V п	pex(x+l,V)
 3^ • 5ех(0’“) • 7
р(2, к, I, и, v) = 2
р (s, к, I, u,v)=p (0, к, I, и, v) sg s + р (\,k,l,u,v) sg | s - 11 +
+ p (2, к, I, и, v) sg | s - 21.
14.	Полагаем
ст(Г, 0,/, u, v) = 2“-3°-5'-7v,
a (t, i, j, u,v) = p (ex (2, ex (c (i, j), t)),
ex (0, ex (c (i, j), t)), ex (1, ex (c (i, f), t)), u, v) при i > 0.
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 3]
237
15.	Полагаем
т (t, х) = a (t, ex (1, х), ex (2, х), ex (0, х), ех (3, х)).
16.	Полагаем
W (t, X, 0) = X, W (t, X, у + 1) = Т (/, W (t, X, у)).
х
17.	е (х) = sg | ex (i, ex (0, х)) - 11 + sg | ех (2, х) - 11 +
1=0
х
+ sg | ex (i, ех (3, х)) — 1 ].
1=0
18.	Следует из определения вычислимости и задач 12, 16, 17.
19.	Следует из задачи 18 (б).
20.	Следует из задач 10 и 19, так как вычисления проводились на
машинах с алфавитом {0, 1}.
21.	Полагаем U (t, х) = е (w (t, у*(х), h2 (t, х))) (см. задачу 18). Ут-
верждение следует из задач 10 и 17.
22.	Полагаем Un+1 (г, Хр ..., х^) = U (t, сп (хр ..., х^)), где Uопре-
делена в задаче 21, а сп—в задаче 14 из § 1.
23.	(а) Если h (х, у) частично рекурсивна, то такова же и
/(х) = ру [h (х, х) + у = 0 ].
Пусть машина Т правильно вычисляет/(х) и Л (Г) = а. Тогда
f (а) = 0 « h(a, а) = 0 о f (а) не определено. Приходим к противо-
речию.
(в) Имеем hQ (a (fi(x), х)) = g(x), где а иопределены в задаче 11.
24.	Следует из задач 12 и 16.
25.	(а) Полагаем р (х~) = I (х), Т^т, х, у) = S (т, х, I (у), г (у)), где
функция S из задачи 24.
(б) Аналогично (а).
§ 3.	Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества
Z	Z
3.	П 6R (Хр ..., Хп, i) и sg У eR (Хр ..., хп, i) являются требуе-
мо	1=0
мыми представляющими функциями.
4.	<Хр ..., хп)еМ о 3tR(xv...,xn,l(t),r(t)).
238
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
5.	Доказать, что рекурсивно перечислимых множеств счетное
число.
9. dj.-1—конечное множество.
И. xeAUB о Эу (7?л (х, у) V Rg (х, у));
х е А П В о 3 у 3 z (RA (х, y)&Rg (х, z)).
14.	ХА(х) = eR (х, pz I eR (х, Z) • вя	(х, z) = 01) .
16.	Пусть а е М и х е М о 3 yR (х, у). Тогда
а(х) = /(x)-sg вд (/(х), г(х)) + a-6R (Z(x), г(х)).
17.	Аналогично задаче 16.
18-X„(x) = sg J] |x-/(i)|.
f i = 0
19.	Пусть А рекурсивно и бесконечно. Тогда А — р^, где
/(0) = Вх 1хА(х) = 0], f (t + 1) = рх 1хл(х) = 0 и х > /(/) ].
Обратное следует из задачи 18.
20.	Пусть А рекурсивно. Тогда А =	, где /(0) = рх 1хА(х) = 0 ],
f (х + 1) = /(х) • хА(х + 1) + (х + 1) • sg%x(x +1). Обратно, пусть
А = Ру, где/ — монотонная общерекурсивная функция. Тогда
¥>(*)
ХА(х) = Sg nix-AOl,
1 = 0
где <р(х) =pz [х < /(z) ].
21.	Пусть А=рр где /—примитивно рекурсивная функция. По-
ложим #(0) = /(0), g (х + 1) = / (ру [/(у) > g(x) ]). Тогда В =pg есть
искомое рекурсивное подмножество А.
22.	Пусть А = pg, где g—примитивно рекурсивная функция. По-
ложим
/(0) =g(0), /(х+ 1) = g ру
Тогда f есть искомая функция.
X
S
1=0
sg|g(y) -/(01 = о
23.	хг (х, у) = sg|/(x) -у|.
/
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 3]
239
24.	Пусть Гу= {(«^(х), ...,ап(х), «п+1(х)) |х е Л'}, где л,,...
"',ап+1 —примитивно рекурсивные функции (см. задачу 17). Тогда
/(хг •••,*,) = «я+1 (ВУ II-*, -«jWl + ••• +	-«„(•*) I =01)-
25.	Пусть множество А рекурсивно, f — общерекурсивная функ-
ция, В = /-1(Л). Тогдаxg(x) = хА (/О)).
26-ХЛЛ) (*) = ХА (В*[ |х - f(t) | =0]).
27.	Пусть А = {х | Зу (/(х, у) = 0)}, В = {х | Зу (#(х, у) = 0)},
где / и g — примитивно рекурсивные функции. Тогда
ХЛ(А) = sg (zc(x) + f(x,py \f(x,y)-g(x, y)-sg %С(Х) = 0J)).
28.	y&pf о y = f(Q)v ...vy = f(t'), где t = pz [{0, 1, ...,y} DpgC
£ {g(0), ...,g(z)} ],t. e.
t = pz
' У /	z
X Is® XAU)' J] \u- g(z)|
Lu=0 X *	/=0
= 0
29.	Пусть A = pj, В = pg для некоторых примитивно рекурсивных
функций fag. Вычисляя последовательно значения функций f и g
(перечисляя А и В), строим функции и и у, перечисляющие Xj и Ву
Рассмотрим случай, когда существуют числа аб Л, J 6 В иа * ft. По-
лагаем
ц(0) =
ДО), если ДО) * Ь,
а в противном случае,
v(0) =
g(0), если^(0) * u(0), g(0) * а,
b в противном случае,
и(х + 1) =
/(х + 1), если/(х + 1) $ {v(0), ..., v(x)},
а	в противном случае,
v(x + 1) =
g(x + 1), если£(х + 1) {«(0), ..., и(х + 1)},
b	в противном случае.
Примитивную рекурсивность и и у можно доказать, используя
задачи 18 и 20 из § 1.
240
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ
30.	(а) Рассмотрим для простоты случай /(х) = g (Л(х)), где и
Г, рекурсивно перечислимы. Тогда (х, у) G Г о 3 uRr (х, у, и),
п	g '	i
g
(х, у) G о 3 у/?г (х, у, у). Имеем
(х, у) G о 3 z 3 и 3 v^Rr (х, z, u) & Rp (z, у, у)) .
(б)	Докажем для случая специальной рекурсии из задачи 28 (а) из
§ 1. Пусть
J/(x, 0) = х,
|/(х, у + 1) = G (/(х, у))
и TG — {(g(Z), h(t)) | t G «/f}, где g и h — примитивно рекурсивные
функции (см. задачу 17). Положим:
если п = It, тоа(л) = с3((, 0, t);
если п = It + 1 и (а (I (/))) = g (г (/)), то
а(п) = с3 (с31 (a(Z «))), с32 (а (I (())) +1, Л (г (())),
в остальных случаях а(л) = с3 (0, 0, 0).
Примитивно рекурсивная функция а(п) перечисляет множество
с3 (Гр.
(в)	Докажем для случая /(х) = цу [g (х, у) = 0 ], где Tg рекурсивно
перечислим, т. е. Г^= {(««(), a2(t), a3(f)) | t G Л'} для примитивно ре-
курсивных функций «р а2, «3 (см. задачу 17). По определению//-опе-
ратора (х, у) G Г. равносильно утверждению о существовании таких
..., t ,,t, что
0’ у- 1’ у’
У	у-1
2 (1а1<9 “ *1 + la2<Q - г1+ ysg П а3<9 +	= °-
i=0	1=0
Подставляя Д (u, у, i) вместо t., получим примитивно рекурсивный пре-
дикат Р (и, v, х, у) такой, что (х, у) G о 3 и 3 vP (и, v, х, у). (Опре-
деление и свойства функции Д см. в задаче 34 из § 7 части II.)
(г)	Следует из (а),(б) и (в).
31.	Следует из задач 24 и 30.
32.	Пусть f частично рекурсивна. Тогда
<хр ...,xn)G6/ о Зу «хр ..., х^, у) G Гр о ЗуЗ zP (хр ..., х/;, у, z)
для некоторого примитивно рекурсивного предиката Р (см. задачу 31).
Другое доказательство следует из задачи 18 (а) из § 2.
Ч. III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 3]
241
33.	Г^,= {(«](<),	I для подходящих примитивно
рекурсивных функций ар ..., ап+1 (см. задачи 31 и 17). Функция
g(t) = an+l(t) примитивно рекурсивна ир^ = pg.
34.	Следует из задач 20 и 33.
35.	Пусть (хр ..., хи) 6 М о ЗуР (хр ..., хп, у) для примитивно
рекурсивного предиката Р. Тогда
Х*м (хр хп) = о(ру [0р (Хр ..., хп, у) = 01).
Обратное следует из задачи 32.
ч
36.	(а) Пусть множество А С ,/?п рекурсивно перечислимо и fn
частично рекурсивна. Тогда f(A) = {g(t) |	где g(t) =
—	..., «^(0) Для общерекурсивных функций «р ..., ап таких,
что Л = {(«^Z),	|	(см. задачу 17).
(б) Пусть А рекурсивно перечислимо, f—частично рекурсивная
функция, В = /-1(Л). Тогда
(xp...,x;j)=x;cf(xp...,xn))
и В рекурсивно перечислимо (см. задачу 35).
37-	Хд (*р	*„) =%г (*р •••>*„> а) <см- задачу 35).
38.	/ (Хр ..., хп, у) = 0 о Э zP (Хр ..., хп, у, z) для подходящего
примитивно рекурсивного предиката Р (см. задачи 37 и 4).
39.	График функции g есть объединение графиков частично ре-
курсивных функций
Л (х1’--->хп)+Х*м (Хр...,хп),
I
Л(Х1”--х„)+Х^(Хр..,хп).
40.	График рекурсивно перечислим. Поэтому существует при-
митивно рекурсивная функция G (хр ..., хи, у, z) такая, что
/(Хр ...,хп) = у о 3z(G(xl,...,xn,y, z) = 0).
Имеем
/(Хр ...,хп) = l(pt{G(xv ..., хп,	= 0J).
242
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
41.	Если%г примитивно рекурсивна, то взять в качестве g функ-
f
цию%г. Обратно,
/_ у-i	\
Хг (x1,...,xn,y) = sgy- sg J~J g(x1,...,xn,i) + g(x1,...,xn,y) .
>	X 1=0
42.	Доказывается аналогично задаче 42 (а) из § 1.
43. Пусть у* ,
(х) = U (т, х) для некоторого т (см. задачу 21 из
§ 2). Имеем
те Н о
Х.Л'\Н
(т) не определено <=> V у (Т^т, т, у) * 0) <=> т^Н.
44.	Положим
7(х,, ..., х ), если(х., ..., х )e<5-
g(x , ..., х ) = 	1 п	1 п ?
in	0 в противном случае;
g есть общерекурсивное доопределение / (см. задачу 37).
45.	Пусть М — рекурсивное множество. Тогда/^^(х) = V(m, х)
для некоторого т. Имеем
т €= М о	= 1	^т' т) = т £ М.
46.	Например, sg U (х, х).
47.	Например,/(х) = x-sg (t/ (х, х) + 1). Пусть
/(х) = цу [g (х, у) = 0 ].
Тогда U (х, х) определено о g (х, х) = 0 и, следовательно, мно-
жество Н из задачи 43 рекурсивно. Пришли к противоречию.
48.	Пусть G — рекурсивно перечислимое множество и g(x) — ре-
курсивная 1-1-функция, перечисляющая G (см. задачу 22). Пусть
А(х) = V (g(x), х) + 1. Тогда А(х) = V х) для некоторого т.
Тогда А(щ) = V (g(m), т) + 1 = V (g(m), т). Пришли к противоречию.
§4	. НУМЕРАЦИИ КЛИНИ И ПОСТА
2.	(а) Следует из 1 (д).
(б)	Индукцией по п.
3.	(а)/(хг ..., х(|) =/(хр ...,хп) + 0-у= U(a, у, Xj.х() =
= /С"+1(с(а,у),х1,...,х)|).
(б) Следует из (а) и задачи 2 (а).
4.IV. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 4]
243
4.	Имеем/(х) = /(х) + 0-у = К3 (а, у, х) = № ([а, у], х). Таким об-
разом, числа [а, у ] при у = 0, 1являются клиниевскими номера-
ми/(х).
5.	(а) Имеем К (и, К (v, х)) = К ([т, и ,vj, х) для некоторого т,
тогда/(u, v) = [т, и, vj—искомая функция.
(б	) Имеем ру [К3 (и, х, у) = О J =' К3 (а, и, х) = К ([а, и J, х) для
некоторого а.
(в)	Пусть
F (и, 0) = 0,
' F (и, х + 1) = К (и, F (и, х)).
Тогда F (и, х) = К ([й, и J, х) для некоторого Ь.
(г)	К (и, х) + К (v, х) = К ([и, и, v], х) для некоторого п.
6.	Пусть $ = кс, q = к<1. Положим/(0) = с, /(1) = d и
[т, f (I (t)), f (г (()) ], если х = 3t, t * 0,
/(х) = • [й, /(() ],	если х = 3t + 1, t * 0,
[и,/(/(()),/(г (()) ], если х = 3t + 2,
где т, Ь, п взяты из указания к задаче 5. Тогда f есть примитивно
рекурсивная функция, перечисляющая множество Р (см. задачу 35
из § 1).
7.	F (х, у) = К (/(х), у), где /(х) — функция, построенная в задаче
6, есть искомая функция.
8.	Аналогично задаче 5.
9.	К (/(Хр ..., хп), у) = Кп+2 (е, Хр ..., хп, у) для некоторого е.
Тогда g (Хр ..., хп) = [е, Хр ..., х^]—искомая функция.
10. (а) Имеем
А(/(Хр ...,хн, [у, у, Хр ...,хп]), 0 = А(а,у, Хр ..., х^, f) =
Положим у = a, g (Хр . (б) Следует из (а).	= К([а,у, Хр...,хп], (). .., х ) = [а, а, х,, ..., х ]. ’ tv	1 ’ ’ 1’	’ п
11.	f (х, у) = К ([а, х ], у) для подходящего а. Поэтому f (п, у) =
= К ([а, п ], у) = К (п, у) для некоторого п (см. задачу 10).
12.	Имеем I2 (х, у) = К ([а, х], у) для некоторого а. По задаче 8
существует п такое, что к [а, п ] = кп. Тогда *п(0) = *„(«) = п.
244
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
13.	Имеем
_ [кК (х, у), если К (х, у) определено,
а‘5 (х, У) - S ш в противном случае
для подходящей примитивно рекурсивной функции g (см. задачу 9).
Далее Kg (х, /(х)) = для подходящей примитивно рекурсивной
функции/(см. задачу 10).
14.	(а) Положим
„ ,	,	[0 при у = х,
У) = |1 ПрИ у X.
Тогда f(x, у) = K(g(x), у) для некоторой примитивно рекурсивной
функции g, g - кп для подходящего п. Поэтому Kg(j^ny) = Kf(jly где/ —
функция, построенная в задаче 13. Отсюда
Му) = Kg = ^(f(^y) = х Wn)}(y)-
Полагаем a = /(л).
(б) Применить рассуждения пункта (а) к функции
= 10 при у = х,
S (х, у) j не Определено при у * х.
(в) Применить рассуждения пункта (а) к функции
_ J0 при у * х,
8 - у' I не определено при у = х.
15.	По задаче 11 существует число е такое, что Х(/х) = g (е, х).
Полагаем / = Kg. Тогда (F (xj) (х) = g (е, х) = Kg(x~).
16.	Определим оператор F:
(^(р)) (х) =
0, если а(х) = 0,
у (<5 (х))), еслиа(х) > 0,
не определено, если а(х) не определено.
Функция g (п, х) = (F (кпУ) (х) частично рекурсивна ( см. зада-
чу 39 из § 3). Ввиду задачи 15 существует требуемая функция/.
17.	Пусть а&к~1(А), Ь(£к~1(А). Если к~ *(Л) — рекурсивное
множество, то функция
Ч.IV. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 4]
245
/(*) =
Ь, еслих&к *(Л),
а, если х £ к-1(А),
является общерекурсивной. Ввиду задачи 10 (б) существует число п
такое, чток/(м) = кп. Имеем
/(п)6к-1(Л) о п 6к-1(Л)о/(п) = А о Ди) £ к-1 (Л).
Приходим к противоречию.
18.	(а) и (б) следуют из задачи 17.
(в) Множество В = {х | Об <5**} нерекурсивно ввиду задачи 17.
Имеем хЕВ <* с (х, 0) G А^. Поэтому А3 нерекурсивно.
(г), (д) Аналогично (в).
19.	Следует из задачи 38 из § 3.
20.	Следует из задачи 16 из § 3 и задачи 4, так как пустое множест-
во есть р .
21.	Следует из задачи 17.
22.	Следует из задачи 21.
23.	Следует из задачи 38 из § 1.
24.	Следует из задачи 9.
25.	Рассмотрим случай, корда п = 1. Если Р = 0, то в качестве
a(Xj) берем какой-либо номер пустого множества. Если Р * 0, то вви-
ду задачи 17 из § 3 существуют примитивно рекурсивные функции а1
и а2 такие, что
P={(a1(0,a2C0> ИеЛ"}.
Тогда функция
S (У, 1) =
a^f), если а2(1) = у,
не определена в остальных случаях
26.	(a) t € л? о 3 Zj 3 z2 (|К (х, z^ — tf + | К (х, z2) — z| = 0).
Далее применяем задачу 38 из § 3 и задачу 25.
27.	(a) t е <5** о 3 z (К (х, t) = z). Далее применяем задачу 38 из § 3
и задачу 25.
246
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
(б) Пусть
{О, если уел ,
не определено в остальных случаях.
Тогда h (х, у) = к. (у) для некоторой примитивно рекурсивной
функции g (см. задачу 3 (б)).
28.	Следует из задачи 10.
29.	Следует из задач 25 и 28.
30.	(а) Следует из задач 26 (в) и 28.
(в) Следует из задачи 29 для М = {(у, х) | у*х].
34.	Рекурсивная перечислимость следует из задачи 38 из § 3.
Пусть А = лд. Тогда
х € А о с (х, a) G .
35.	Следует из задачи 33 и существования рекурсивно перечис-
лимого, но нерекурсивного множества (например, см. задачу 43
из§ 3).
36.	Полагаем fA(x) = х.
37.	Если А — креативное и рекурсивное множество, то — А = лд
для некоторого а, но (А П лд) U (- А П - я^) = 0, значит, это множе-
ство не содержит/(а).
38.	Пусть g = ка m-сводит А кВ. Строим fB следующим образом.
Ввиду задачи 26(e) имеем g~ 1 (л*) = л^ ау Полагаем fB(x) =
= gfA* (.х, а).
39.	Пусть А креативно, а В рекурсивно перечислимо. Применяем
задачу 25 к множеству Р = c/FxB. Имеем
_ f v'F, если х Е В,
ла(х) 10 в противном случае.
Тогда функция f а(х) m-сводит В к А.
40.	Следует из задач 38 и 39.
41.	Ввиду задачи 38 достаточно доказать, что К <тК^, где К —
множество из задачи 36. Пусть
4.IV. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ [§ 4]
247
{а}, еслих&л ,
а(х~)	0 в остальных случаях.
Можно считать, что а(х) — общерекурсивная функция (см. задачу
25). Функция а(х) m-сводит К к К^.
42.	Пусть машина Тьюринга Т правильно вычисляет функцию
К (х, у), а машина Т2(х) перерабатывает слово 01Д) в ^ОРОРО .
Существует примитивно рекурсивная функция т(х) такая, что
ЛТ2(х) = т(х). Тогда Т2(х) • Т вычисляет к*. Далее см. задачу 11 из § 2.
43.	Полагаем /^(х) = crg(x), где g — функция из задачи 27 (б), а
ст—функция из задачи 42.