Текст
А.С. Лычев
НАДЕЖНОСТЬ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Введение
Настоящее пособие составлено таким образом, что основная его часть
представляет достаточно несложный понятный материал для изучения дис-
циплины. В ней на основе уже имеющихся у студента знаний по другим
дисциплинам (теория вероятностей, математическая статистика, теория
случайных функций, строительная механика, строительные конструкции и
др.) излагаются основы теории надёжности применительно к строительным
элементам (конструкциям) и системам (зданиям и сооружениям). Этот ма-
териал является обязательным при изучении дисциплины и он подвергается
той или иной форме контроля (экзамен, зачёт).
Достаточно сложные вопросы — выбор законов статистических рас-
пределений, основы теории планирования эксперимента, сведения о рас-
пределениях параметров, определяющих надёжность строительных конст-
рукций, оценка достоверности получаемых результатов, примеры вероят-
ностных расчётов при проектировании и оценке надёжности строительных
конструкций отнесены в приложение для самостоятельного углубленного
изучения дисциплины, а также для выполнения учебных и научно-
исследовательских работ. Этот материал является рекомендательным.
I. Значение теории надёжности для развития методов расчёта
строительных конструкций, зданий и сооружений
Теория расчёта надёжности строительных конструкций является логиче-
ским продолжением и развитием существующего ныне метода расчёта по
предельным состояниям.
Метод расчёта строительных конструкций по предельным состояниям
является полувероятностным, так как нормативные сопротивления, нагруз-
ки и коэффициенты надёжности в нём определяются вероятностными мето-
пами, а их расчётные значения и коэффициенты условий работы находятся
или назначаются детерминистически. Принято, что результат, полученный
ним методом, является единственным.
При расчёте строительных конструкций методами теории надёжности
результат расчёта интерпретируется неоднозначно и характеризуется сред-
ним значением, среднеквадратическим отклонением и. возможно, другими
моментами высшего порядка. При этом результат может быть любым в за-
висимости от требований заказчика или по другим соображениям. При этом
изменяется вероятность реализации результата расчёта.
Методы расчёта строительных конструкций постоянно совершенству-
ются. Последний период развития методов расчёта строительных конструк-
ций характеризуется постоянным уточнением отдельных расчётных поло-
жений и эмпирических коэффициентов без изменения основных критериев
оценки качества конструкций — прочности, жёсткости, трешиностойкости.
Уточнение всевозможных положений и коэффициентов, естественно,
должно дойти до какого-то предела, после чего их уточнение окажется либо
неэффективным, либо небезопасным.
В последние годы в теорию расчёта строительных конструкций стали
внедряться вероятностные методы. Одновременно с корректировкой суще-
ствующих методов они предлагают новое содержание критерия качества —
вероятность безотказной работы или надёжность конструкций.
Теория надёжности в её современном виде возникла относительно не-
давно. Её формирование как математической и технической дисциплины
происходило в первую очередь под влиянием развития электроники, вы-
числительной техники, ракетостроения, приборостроения и т.п. На развитие
теории надёжности в строительстве повлияли некоторые весьма важные
причины.
Во-первых, одним из способов проектирования изделий с минимальной
массой является повышение расчётных сопротивлений материалов. Поэто-
му коэффициент запаса является неудобным критерием для оценки пригод-
ности изделия к эксплуатации, так как он стремится к единице и может
быть даже меньше единицы. Так возникла необходимость создания другого
более универсального критерия, которым послужило понятие надёжности
или вероятности отказа.
Во-вторых, ускоренные темны технического развития вызывают допол-
нительное серьёзное осложнение — дефицит времени. Это означает, что
достижения научной мысли надо внедрять в производство но-возможностн
быстрее. В противном случае совершенная в настоящее время модель ока-
жется через некоторое время неконкурентоспособной по отношению к бо-
лее современной модели. Таким образом, общепринятые методы поиска
оптимальных параметров изделия, основанные па неоднократном проекти-
ровании и опытной проверке, в настоящее время оказываются непригодны-
ми из-за своей длительности. Отсюда следует необходимость нахождения
теоретических способов определения надёжности изделия, отменяющих его
перепроектирование и опытную проверку.
В-третьих, для некоторых видов изделий опытные проверки моту г ока-
заться чрезвычайно дорогими или практически неосуществимыми. Напри-
мер. создание уникальных атомных электростанций, спутников и т.п. В
этих случаях также необходимы методы теоретического определения на-
дёжности.
В-четвёртых, в изделиях с высокой социально-экономической ответст-
венностью. отказ которых может привести к катастрофическим последстви-
ям или большому экономическому ущербу, очень важно знать их падёж-
В-пятых, теория надёжности позволяет объективно и количественно
оценить вероятность отказа изделия и вероятные экономические и неэко-
номические потери о т его отказа.
Можно было бы продолжить перечисление причин, вызвавших ин-
тенсивное развитие теории надёжности, однако в этом нет особого
смысла, так как её развитие было вызвано в первую очередь потребно-
стями практики и явилось закономерным, объективным и исторически
необходимым процессом.
В связи с постоянно уменьшающейся материалоёмкостью конструкций
их надёжность снижается; определить, насколько она снизилась и каково её
численное значение, — это первая задача теории надёжности, отражающая
аспект безопасности.
В условиях технического прогресса очень быстро происходит моральное
старение сооружений — значительно быстрее, чем раньше. Сделать соору-
жение таким, чтобы оно исчерпало свою надежное и. точно к моменту его
морального устаревания — это вторая задача leopini надежное пт. отра-
жающая экономические аспекты.
Таким образом, безопасность н экономичноен. являютея важнейшими
аспектами практики строттгельства, а количественное их определение —
гадала актуальная и необходимая.
Существенное значение для развития теории ii.i'u,i.iiocth строительных
конструкций имели работы советских ученых, в чш тс которых: А.Я. Дри-
винг. Ю.П. Дронов, И.И. Иосилескнй. I.' > моова. В.А. Клевцов,
В.Д. Костюков, М.Б. Краковский, С.М. Крылов. А.П. Кудзис, О.В. Лу-
жин, Ю.А. Павлов, А.П. Пшеничкин, В.Д. Райзер. Н.Я. Сапожников. П.Н
Складнее, Б.И. Снарскис, К.Э. Таль. С.А. Тимашев, С.Х. Байрамуков.
В.П. Чирков и др.
Зарубежные исследования (Аугусти. Баррата, Ионсон. Фройденталь и
др.) также внесли значительный вклад в развитие вероятностных методов
расчета строительных элементов и систем.
Немаловажное значение в формировании научных идей и практических
приложений имели четыре Всесоюзные конференции по проблемам надеж-
ности в строительной механике (г. Вильнюс) и одиннадцать практически
Всесоюзных семинаров по вопросам надёжности строительных конструк-
ций. проведенных с 1972 по 1995 гг. в Куйбышевском инженерно-стро-
ительном институте (ныне Самарском государственном архитектурно-
строительным университете).
Существенной особенностью вероятностных методов расчёта (BMP) яв-
ляется использование в расчетах среднестатистических характеристик
свойств материалов, нагрузок и других параметров.
В качестве исходных данных в BMP используются дополнительные све-
дения. характеризующие возможное рассеяние натурных значений пара-
метров (например, отклонения прочности стали от среднего значения). По-
этому для осуществления BMP необходимо иметь соответствующую базу
опытных данных, которая на сегодняшний день, к сожалению, не имеет
нормативного оформления.
Аппарат BMP позволяет учесть изменения состояния конструкции и на-
грузочных условий во времени, что обусловлено накоплением дефектов в
конструкциях и проявлением редких событий (например, выпадение не-
обыкновенно большого количества снега или большой паводок один раз за
много десятков лет).
На сегодняшний день BMP — единственный метод, позволяющий коли-
чественно оценить безопасность строительной конструкции. Для этого ис-
пользуется понятие «неэкономическая ответственность», означающее ко-
личество людей, находящихся в момент отказа конструкции на площади
поражения.
Наиболее прогрессивные расчеты строительных конструкций заключа-
ются в оптимизации их параметров (например, материалоемкости). В каче-
стве критерия очень часто выступают приведенные затраты, включающие в
себя затраты при эксплуатации. Последние находятся в прямой зависимо-
сти от количества отказов за срок эксплуатации. Этот показатель на сего-
дняшний день можно определить только с помощью BMP.
В связи с тем, что BMP учитывает рассеяние параметров, определяющих
свойства конструкции, они имеют тесную связь с контролем качества
строительных конструкций, который, как правило, проводится с помощью
статистических методов.
BMP основываются на следующих разделах математики и смежных с
ней наук:
- теория вероятностей;
- математическая статистика;
- теория планирования эксперимента;
- комбинаторика;
- теория надежности;
- теория случайных функций;
- теория массового обслуживания;
- теория графов;
Кроме того, BMP невозможны без использования вычислительной тех-
ники. В частности, важными являются программы статистических и веро-
ятностных вычислений, содержащихся в таких пакетах, как Mathematica,
Mathcad и др.
По своей структуре BMP различны при использовании их для расчета
надежности строительных элементов и систем. Так, при расчете надежно-
сти элемента в качестве исходных
характеристики свойств материалов, нагрузок и др., а сам расчет основыва-
ется на зависимостях, описывающих прочность, жесткость и другие свойст-
ва строительного элемента. При расчете надежности системы исходными
данными служат надежности отдельных элементов системы, а расчет осно-
вывается на учете количества элементов в системе и на способах их соеди-
нений. Кроме того, расчет систем предусматривает исполнение отдельными
элементами различных функций (несущей способности, теплоизоляции,
звукоизоляции и т.п.).
Использование BMP оказывает непосредственное и положительное
влияние на развитие научных исследований в области расчета строитель-
ных элементов и систем (СЭС). Так, под влиянием BMP в настоящее время
практически в каждой научной работе дается количественная оценка досто-
верности (надежности) полученных результатов (прияож. 4). Планирование
научных исследований проводят таким образом, чтобы результаты работы
были приемлемы для использования BMP.
Основная цель BMP — повысить объективность расчетов что достигает-
ся через оценку их надежности. В этой связи особенностью BMP являются
следующие направления их использования:
- вариантное проектирование строительных элементов, позволяющее
регулировать материалоемкость в зависимости от качества их изго-
товления;
- оптимизация параметров строительных элементов за счет минимиза-
ции приведенных затрат с учетом расходов за период эксплуатации;
- оптимизация нормируемых параметров, таких как коэффициент на-
дежности по назначению, срок эксплуатации и др.;
- распределение заданной (или оптимальной) надежности системы по
ее элементам;
- оценка остаточного ресурса прочности и долговечности эксплуати-
руемых СЭС;
- расчетное обеспечение безопасности эксплуатации СЭС;
- сравнительная оценка надежности и безопасности уникальных
Ниже компактно представлены описанные особенности BMP:
1. Неоднозначность результатов расчета.
2. Использование в качестве исходных данных статистических харак-
теристик свойств материалов, воздействий и других параметров.
3. Учет накопления дефектов и увеличение интенсивности воздействий
в течение срока эксплуатации.
4. Расчетное обеспечение безопасности эксплуатации СЭС.
5. Учет количества отказов за срок эксплуатации.
6. Связь с контролем качества строительной продукции.
7. Различные подходы к расчету надежности элементов и систем.
8. Интенсивное использование математики и вычислительной техники.
9. Специфичные направления использования.
2. Основные понятия теории надёжности применительно
к строительной отрасли
Реальные объекты в теории надежности рассматриваются как техниче-
ские системы и элементы. Эти понятия не носят абсолютного характера —
они относительны. Любая техническая система может рассматриваться как
элемент более крупной системы. С другой стороны, любой элемент может
рассматриваться как система по отношению к компонентам, из которых
состоит. Например, железобетонная ферма, являясь элементом в составе
здания, по отношению к раскосам, поясам и другим элементам собственной
конструкции является системой.
В теории надежности есть более общее понятие для элементов и систем —
техническое изделие. Все они могут быть разделены на две большие груп-
пы: восстанавливаемые и невосстанавливаемые.
Восстанавливаемые изделия — изделия, которые после отказа могут
быть восстановлены. Например, в одном из спортивных залов был обнару-
жен отказ балки покрытия по признаку второго предельного состояния.
После установления причины отказа (перегрузка утеплителем, кровельны-
ми материалами) были произведены соответствующие ремонтные работы и
отказ был устранён (изделие было восстановлено) без замены конструкции.
Невосстанавливаемые изделия — изделия, которые после отказа не
могут быть или не подлежат восстановлению. Например, отказ железобе-
тонных ребристых плит покрытия животноводческого здания выразился в
том, что в них накопился большой объём дефектов, и их эксплуатация стала
опасной (многочисленные коррозионные и механические повреждения). В
таком состоянии конструкции требовали замены, а не ремонта. Другими
словами, восстанавливать таким образом повреждённые конструкции эко-
номически нецелесообразно.
Отказ. В теории надежности понятие отказа является одним из наибо-
лее важных. В соответствии с рекомендациями АН по терминологии ос-
новных понятий теории надежности пол отказом понимается такое событие,
которое делает изделие непригод-
ным к выполнению основных своих
функций. Понятие отказа можно
дополнить экономическим содержа-
На основании многочисленных на-
блюдений. проведённых на изделиях
электронной, авиационной и судо-
строительной промышленности, ус-
тановлено, что каждый вид изделий
за полный срок эксплуатации прохо-
дит три периода /68/. для каждого из которых свойственен свой характер
проявления отказов (рис. 2,Г).
1 III III
Первый период (период приработки) характерен тем. что количество от-
казов во времени быстро уменьшается. В этот период относительно быстро
выясняются и устраняются дефекты, которые были допущены при проекти-
ровании и изготовлении изделия. Например, новосёлы, заселившие кварти-
ру в только что построенном доме, часто встречаются с необходимостью
небольших ремонтов (из-за появления трещин в полу, в оконных блоках,
протечек трубопроводов и т.п.). Причём эти ремонты прекращаются отно-
сительно быстро через 1-2 года. За это время — время приработки —
восстанавливается качество отказавших изделий.
Во втором периоде работы (период нормальной эксплуатации) число от-
казов во времени начинают плавно увеличиваться. Как правило, такие отка-
зы связаны с проявлением неупругих свойств материалов (из-за чего разви-
ваются недопустимые прогибы конструкций, появляются просадки зданий
н т.п.). В то же время нельзя исключить и внезапного возникновения отка-
зов, например, из-за природных воздействий (большой снегопад, штормо-
вой ветер и т.п.). Однако такого рода отказы редки, но чем больше фактиче-
ский срок эксплуатации, тем вероятность проявления таких отказов больше.
В третьем периоде (период износа и старения) количество отказов во
времени резко возрастает.
Расчётным периодом, как правило, является период нормальной экс-
плуатации. Определение его длительности проблематично. Подходы могут
быть разные. Можно использовать:
- нормированный срок службы конструкции или сооружения.
- признаки морального износа,
- время достижения конструкции или здания нормированной надёж-
Последнее требует разъяснений. Надёжность строительного техническо-
го изделия во времени снижается по экспоненциальному закону (рис. 2.2).
Ко времени реализации норматив-
ного срока службы 7',, надежность
изделия должна оказаться равной
нормированной W„. Наблюдениями
установлено, что в подавляющем
большинстве случаев отдельные
конструкции и здания (особенно
производственные), эксплуатируют-
ся без соблюдения соответствующих
требований, в результате чего в них
накапливаются дефекты, что приводит к быстрому достижению изделиями
нормированной надёжности Г,/,. Эксплуатация изделий с надёжностью ниже
нормированной не гарантирует их безопаспосш и экономичности.
Существует в достаточно полном виде классификация отказов. С неко-
торыми дополнениями и изменениями, касающимися специфики строи-
тельства. она представлена в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Классификация строительных отказов
Признак деления Виа отказа Примеры отказов
Характер проявления отказов Внезапный Постепенный Хрупкое разрушение Накопление пластических
с другими отказами Независимый Зависимый || st! = ш SS =
Возможность использо- вания после отказа Полный Частичный Обрушение Ширина раскры тия трещин
Характер устранения отказа Устойчивый Самоустраняющийся Просадка грунта Температурные деформации
Наличие внешних проявлений Явный Скрытый Обрушение Потеря прелнапряжения
Возможность прогнозирования Непрогнозируемый Прогнозируемый Хрупкое разрушс ас Износ в агрессивной среде
Причина возникновения Конструкционный Технологический Эксплуатационный Коррозия бетона из-за неверного выбора вида бетона Пе обеспечен класс бетона ! 1ерсгрузка
Время возникновения отказа При испытаниях При приработке При нормальной эксплуатации В последний период эксплуатации Испытание нового изделия Осадка здания Обрушение Недопустимо большое количество разрушений
Существуют ещё другие виды отказов, которые в большей степени яв-
ляются субъективными. К ним относятся: опасный, безопасный, лёгкий,
тяжёлый, простой, сложный и др.
Отказавшим может быть как элемент, так и система. При этом отказ
элемента может не означать отказ системы, но отказ нескольких элементов
может привести систему к отказу. Эти непростые взаимоотношения будут
подробно рассмотрены в специальном разделе.
Надёжность — свойство изделия, обусловленное его безотказностью,
долговечностью и ремонтопригодностью и обеспечивающее сохранение его
эксплуатационных показателей в заданных пределах. В период нормальной
эксплуатации надёжность изделия уменьшается по экспоненциальному за-
кону (см. рис. 2.2) и описывается формулой
И'ГУ=ехр('--Л
где I — текущее время; Т„ — среднее время безотказной работы изделия.
Надёжность (вероятность безотказной работы) и вероятность отказа (Q)
изделия связаны друг с другом следующим соотношением:
(2.2)
Выражение (2.2) иллюстрируется
Безотказность — свойство изде-
лия непрерывно сохранять работоспо-
собность при определенных режимах
и условиях эксплуатации.
Долговечность — свойство изделия
быть безотказным во времени.
Ремонтопригодность — свойство изделия, заключающееся в его при-
способленности к восстановлению исправности.
Исправность — состояние изделия, при котором оно в данный момент
удовлетворяет всем требованиям, установленным как в отношении основ-
ных параметров, характеризующих выполнение заданных функций, так и в
отношении второстепенных параметров, характеризующих внешний вид,
удобства эксплуатации и т.п.
Неисправность — состояние изделия, при котором оно в данный мо-
мент не удовлетворяет хотя бы одному основному или второстепенному
параметру.
Работоспособность — состояние изделия, при котором оно в данный
момент соответствует всем требованиям, установленным в отношении ос-
новных параметров.
Наработка на отказ — это характеристика изделия, определяющая
время нормальной работы изделия между отказами. Для невосстанавливае-
мых изделий — это время с начала работы до первого отказа, для восста-
навливаемых — между соседними отказами. Наработка на отказ выражает-
ся в единицах измерения, сопряжённых со временем (годы, циклы и т.п.).
Технический ресурс — суммарная наработка изделия за период его
эксплуатации до разрушения или достижения другого состояния, характе-
ризующего его отказ. Выражается в тех же единицах измерения, что и на-
работка на отказ. Для невосстанавливаемых изделий наработка на отказ
равна техническому ресурсу. Для восстанавливаемых — технический ре-
сурс всегда больше наработки на отказ.
Срок службы — календарная продолжительность эксплуатации изде-
лия до разрушения или достижения другого состояния, характеризующего
его отказ.
Частота отказов — отношение числа отказавших изделий в единицу
времени к начальному числу изделий при условии, что отказавшие изделия
не заменяются и не восстанавливаются. Определяется по формуле:
где 4n(t) — число отказавших изделий к моменту времени г, No — началь-
ное число изделий в партии; — период времени, за который изучается
надёжность изделия.
Интенсивность отказов — отношение числа отказавших в единицу
времени изделий к среднему числу изделий, исправно работающих в этот
период времени.
(2-4)
где N(t) — число исправно работающих изделий к началу периода /It
Вероятность безотказной работы изделия — вероятность того, что в
течение заданного срока при заданном режиме эксплуатации изделие будет
работать безотказно.
Последовательное соединение элементов в системе —такое соединение,
в котором отказ одного элемента вызывает отказ системы в целом (рис. 2.4).
При последовательном соединении надежность системы всегда меньше
надежности наименее надёжного элемента, так как равна произведению
надёжностей отдельных элементов (при взаимонезависимости W():
=П*'.=П<’-ел
(2.6)
где g — вероятность безотказной работы /-го элемента.
Примером последовательного соединения могут служить несколько ко-
лонн по одной вертикальной оси.
Параллельное соединение элементов в системе — такое соединение,
когда только выход всех элементов из строя ведёт к отказу системы. Парал-
лельное соединение элементов в теории надёжности называется резервиро-
ванием и рассматривается как один из спо-
собов повышения надёжности системы
(рис. 2.5). В этом случае при отказе одного
элемента нагрузка, приходящаяся на него,
передаётся на другие элементы системы.
Система же в целом сохраняет свои экс-
плуатационные качества.
Примером параллельного соединения может служить соединение мон-
тажных петель с конструкцией.
Выход из строя одной петли не приводит к обрушению конструкции, так
как нагрузка с отказавшей петли передается на оставшиеся.
При параллельном соединении надёжность системы всегда выше на-
дёжности самого надёжного элемента:
=1-П(1-и:)=|-Пй
(2.7)
Система с параллельно и последовательно соединенными элементами
объединяет вышеописанные способы соединения элементов (рис.2.6). Форму-
лы для определения надёжности такой системы выводятся из (2.6 и 2.7):
с-ч
где и — число последовательно соединённых элементов, т — число парал-
лельно соединённых элементов.
БИБЛИОТЕКА
ап оик_
₽ЕГ Д ., ,. &
3. Методика оценки вероятности отказа
строительном конструкции
Вероятность отказа конструкции по условию прочности с учётом факто-
ра времени в общем виде записывается в следующем виде:
еш-П«М-
где q(f)t — вероятность отказа конструкции по прочности по i-ому условию
(по нормальному, наклонным сечениям, продёргиванию преднапряжённой
арматуры на опоре и др.) с учётом времени, к — количество видов разру-
шения конструкции.
9(У = j \(R(0-N(t))diii4i(t)d= J
(3.2)
где R(t), N(t) — статистические распределения прочности конструкции и
внешнего воздействия на неё, Т — срок службы конструкции.
Упрощенно (3.2) может быть представлено как взаимодействие двух
распределений, в результате чего получается третье — распределениие раз-
ности прочности и нагрузки: q = R-N
Таким образом, задача оценки вероятности отказа конструкции сводится
к выяснению параметров статистических распределений прочности и на-
грузки, которые, в свою очередь, зависят от распределений единичных по-
казателей (прочность бетона и арматуры, рабочей высоты сечения и т.д.,
нагрузок от собственной массы, ветра, снега и т.д.). Соответствующие ста-
тистики приведены в прилож. 3.
В этой связи важным является вопрос нахождения параметров распре-
деления прочности и нагрузки.
В технических расчётах используются различные по сложности зависимо-
сти, включающие в себя в том числе и специальные функции (показательные,
логарифмические, тригонометрические, гипергеометрические ряды и т.п.).
Кроме того, зависимости по своей структуре бывают немонотонные и даже
разрывные. И, наконец, практически все зависимости являются функциями
нескольких аргументов (факторов), которые, в свою очередь, сами являются
функциями статистических распределений. Последнее привело к необхо-
димости использования понятия «сложная функция».
Необходимость построения распределений сложных функций вытекает
из природы BMP, в которых вероятностные характеристики свойств изде-
лий могут быть определены только на основе анализа статистических рас-
пределений параметров, определяющих рассматриваемое свойство.
Распределение сложной функции можно получить экспериментально и
нельзя назвать достаточно точным
и неопровержимым, так как полученное таким образом распределение явля-
ется выборкой, и для получения достоверных статистических характеристик
требуется большое количество данных (табл. 3.1), что сопряжено с сущест-
венными материальными и денежными затратами. В ряде случаев получение
таким способом распределений вообще невозможно (например, для уникаль-
ных изделий). Поэтому возникли различные способы теоретического по-
строения статистических распределений изучаемых функций.
Таблица 3.1
Необходимое количество опытов
В общем случае сложная функция выражается в виде:
у=Д*|Л2.-ля).
(3.3)
Предполагается, что х,-являются случайными величинами и представле-
ны распределениями. Введем условие независимости этих распределений.
Это очень часто соответствует реальности, так как вводимые в технические
расчёты факторы должны быть регулируемыми, что в полной мере возмож-
но только при их независимости.
Плотность распределения системы независимых случайных величин
равна произведению плотностей распределений отдельных величин, вхо-
дящих в систему:
ЛЛГ|Л2 f„(.x„).
(3.4)
Вероятность попадания результата, определённого значениями лу,х2
в и-мерную область D выражается л-кратным интегралом:
г((хЛ...<.)сО).уДхА. <3-5>
17
Рис. 3.1. Нелинейное изменение функции
в диапазоне D и почти линейное
При произвольных законах распределений (3.5) аналитически неразре-
шимо. Поэтому разработаны различные приёмы, позволяющие численно
реализовывать эту зависимость (методы линеаризации, перебора, замены
случайных аргументов, предложенный Чирковым В.П. и др.).
Смысл метода линеаризации заключается в представлении нелинейной
функции на небольшом интервале её изменения линейной. Такая замена во
многих случаях не даёт существенных погрешностей. Допустим, во всём
диапазоне возможных значений аргумента функция нелинейная (рис. 3.1).
Однако в конкретной технологии значение аргумента задаётся вполне опре-
делённо. Например, для бетонной сме-
си при изготовлении железобетонной
конструкции задаётся конкретное зна-
чение водоцементного отношения. Од-
нако в силу разнообразных причин оно
от замеса к замесу непостоянно. В преде-
лах этих технологических колебаний
можно считать, что прочность бетона
линейно зависит от указанного факто-
ра, хотя в целом — во всём диапазоне
возможного изменения водоцементного отношения (примерно от нуля до
единицы) — конечно, эта зависимость нелинейная.
Предположение о линейности функции равносильно тому, что в разложе-
нии функции (3.2) в ряд Тейлора сохранить только члены первого порядка:
где х, — среднее значение i — го фактора; X =х-х— центрирован-
ное значение случайной величины.
К линейной функции (3.6) применимы способы определения числовых
характеристик линейных функций, в частности, математического ожидания
и дисперсии:
Dy = а2 = Х(^)Х2,-
(3-8)
При взаимозависимости отдельных распределений в (3.6) вводятся соот-
ветствующие коэффициенты корреляции:
К)
(3.10)
В случае осложнений в написании частных производных д<р/дх значе-
ние дисперсии функции можно определить численно:
где к = 1’10" + Г10’6; уь —среднее значение функции при средних зна-
чениях всех факторов кроме /-го, который вводится со средним значением,
изменённым в к раз; Vt — коэффициент вариации /-го фактора.
Вычисление дисперсии функции может быть сопряжено со значитель-
ными трудностями, связанными с её дифференцированием. При этом функ-
ция может быть разрывной.
Для преодоления этих осложнений функция на ограниченном участке
может быть легко заменена уравнением регрессии в виде полинома первой
степени (см. прилож. 3):
Затем с помощью частных производных уравнения регрессии по измен-
чивым аргументам составляется новое уравнение для определения диспер-
сии функции. В общем виде:
, &
(3.12)
Дисперсия функции, определённая для линейного уравнения регрессии:
О,=*;=£(!’. Ч,)3-
(3.13)
В качестве примера рассмотрим результаты, полученные при вычисле-
нии статистических характеристик функции, определяющей несущую спо-
собность изгибаемого железобетонного прямоугольного сечения с одиноч-
ной арматурой. Расчёт производится по формулам:
для среднего значения:
M = A,R,( ). (3.14)
Для среднеквадратического отклонения при использовании метода ли-
неаризации:
- г R‘A‘ М R;A' —=₽-/ R'A°
~ ’ "" b-Rb' cb 2b'-Rb' = /’ b-Rb
tixi R--A- ай - -
<Ж„~2Ь-Ъ}‘ di„ ,A'
(3.15)
19
аи=^Я,-4-Л.-^^] •H+V;)+^^ (vt=+V^)+(s, A, ft. VA<)! (3.16)
Примем следующие численные значения факторов:
Л6 = 30 МПа, allt =4,05МПа, \ =0,135,
R, = 400 МПа, ар. = 20 МПа, У^ = 0,05
Ло = 450 мм, = 9 мм, У^ = 0,02
Ь = 225 мм, ст» = 2,25 леи, F»=0,01
4 = 161 мм2, aAi = 1,61 мм2 yAt = 0,01
Среднее значение несущей способности — м = 2.867-107 Нмм, среднеквад-
ратическое отклонение — 1,559'106Нмм, коэффициент вариации — 0,054.
Выразим функцию несущей способности через уравнение регрессии, ко-
эффициенты в котором получим с помощью планированного эксперимента
(табл. 3.2 и прил. 2), для которого условия кодирования факторов:
Х = (х.-хгр)1шв, (3.17)
где х,„ х,р — натуральные и среднее значения фактора, шв = - х„""")/2 —
шаг варьирования фактора, X — кодовое значение фактора.
Таблица 3.2
Соответствие натуральных значений факторов кодовым
20
В результате реализации плана эксперимента было получено уравнение
регрессии:
М = 2,731 107 +106(8.069-Х| + 6.704-Х2 + 9.844-Х3+3,1-Х4+ 2,613-Х5).
Остаточная дисперсия оказалась равной 5,091012 (стандарт — 2,25610°).
Критерий Фишера Е= 51,143, что соответствует достоверности выше 0,999.
Для средних значений факторов и их стандартов (табл. 3.4) были рас-
считаны значения М и соответствующие среднеквадратические отклонения.
Таблица 3.4
Исходные значения факторов
R, h h Rb
400 450 225 30
Стандарт 20 9 2.25 4.05
Коэф.па_риацин 0.05 0.02 0.01 0.135
Результаты расчётов представлены в табл.3.5
Таблица 3.5
Результаты расчётов средних значений и стандартов
по уравнению СНиП и регрессии
Сгатхаракгсрнстика, ед. язи. По СНиП По уравнению регрессии
Среднее. Ним 2.867 10' 2.731 16’
Стандарт, Ним 1.55910“ 1,737 10“
Среднее СНи! 1/срелнее регрессии 1,05
Стандарт но СНнП/стаидарг по регрессии 0 898
Коэф.вариации 0.054 0.064
Таким образом, результаты статистического расчёта по СНиП достаточ-
но хорошо совпадают с результатами расчётов по уравнению регрессии.
Полученный вывод говорит в пользу замены физических уравнений
СНиП уравнениями регрессии при статистических расчётах.
Более полную информацию о распределении функции при наличии ин-
формации о распределениях факторов можно получить, используя метод
перебора, разработанный автором. Смысл метода заключается в многочис-
ленном решении одной и той же функции при различных сочетаниях значе-
ний исходных параметров. При этом не требуется предварительной аппрок-
симации исходных распределений. Техника вычислений представлена в
табл. 3.6 и 3.7 и более подробно изложена ниже.
Допустим, имеются три распределения, представленные гистограммами
(рис. 3.2). Середины интервалов в них обозначены условно. Исходя из воз-
можных значений факторов, определяют минимальное и максимальное зна-
чения функции, тем самым подготавливая основу для будущей гистограм-
мы функции.
Затем весь диапазон изменения функции разбивается на приемлемое ко-
личество интервалов. для каждого из которых определяются граничные
значения.
Известная функция типа (3.2) реализуется //f//.//, раз (где II, — коли-
чество интервалов в з-й гистограмме) при всех возможных сочетаниях фак-
торов (табл. 3.6). При каждой реализации функции вычисляются её чис-
ленное значение и вероятность принятого сочетания факторов (табл 3.7).
Таблица 3.6
Возможные сочетания факторов
Номер реализации Номер шперпяла в тнето- функции Вероятность появления
2
1 и
ft р-р,1
3 а Y Г..Р,
4 1 0 /». р р
4 1 V /», р-р
5 1 !, Р,Р.Р;
1 Ь Ф р,р.р.
9 1 а
120 5 f £. р, р,р.
По численному значению функции определяется интервал, куда она по-
падает. В этот интервал суммируется вероятность, с которой эта функция
реализовалась. Таким образом, каждый интервал является счётчиком веро-
ятностей. Полученная гистограмма может быть использована для поиска
наилучшего типа статистического распределения. Указанная методика мо-
жет быть использована при взанмонезависимости всех факторов.
При выполнении научно-исследовательских работ нередко возникаю!
ситуации, когда количество реализаций сложной функции чрезвычайно
велико (большое количество факторов и интервалов в каждой гистограм-
me). В таких случаях полезным бывает применение метода статистических
испытаний — метода Монте-Карло. Идею метода удобно объяснить на гео-
метрическом примере. Допустим, необходимо определить площадь фигуры.
ис имеющей аналитического выражения. Для этого она вписывается в квад-
рат, площадь которого заранее известна. Затем в квадрат случайным обра-
к)м, подчиняясь закону равномерного распределения, вбрасываются л точек.
Часть из них попадает в фигуру, площадь которой определяется, часть — не
попадает. Вбросив п точек, испытания останавливают, и вычисляется от-
ношение количества точек, попавших в фигуру, к общему количеству то-
чек. Это отношение примерно определяет площадь фигуры, вокруг которой
описан квадрат. С увеличением количества вбрасываемых точек площадь
фигуры уточняется.
Таблица 3.7
Блок-схема программы “ПЕРЕБОР”
23
При построении гистограммы функции, в неё, с помощью iоператора
случайных чисел, устанавливается неповторяющийся набор сочетаний фак-
торов. В соответствии с ним получают численные значения факторов из их
гистограмм. Далее, по функции, распределение которой изучается, вычис-
ляется её конкретное значение, которое распределяется в соответствующий
интервал гистограммы функции и вычисляется вероятность появления ис-
пользуемого набора факторов. Эта вероятность суммируется в найденный
интервал. Таким образом проводятся заданное количество вычислений, в
результате чего при использовании неполного набора сочетаний факторов,
получают приближённую гистограмму функции.
Количество испытаний назначается такое, чтобы статистические харак-
теристики распределения функции оказались бы устойчивыми в статисти-
ческом смысле.
Практически это достигается следующим образом. Предполагается на
менее двух серий вычислительных испытаний. По результатам испытаний
первой и второй серий вычисляются средние и стандарты. Далее проводит-
ся сравнение указанных параметров. Если статхарактеристики (удобнее
использовать коэффициент вариации) серий испытаний отличаются друг от
друга менее, чем на заданную величину, испытания прекращают. Статха-
рактеристики исследуемой функции принимают по результатам обработки
всех испытаний. В случае существенного расхождения статхарактеристик
первой и второй серий, назначают третью серию испытаний, считая первые
две серии одной. Далее производят те же операции. Это производится до
тех пор, пока не будет достигнута допускаемая разница между результата-
ми предыдущих и последующей серий.
В процессе длительной эксплуатации строительной конструкции в ней
накапливаются повреждения. В этот же период возможна реализация боль-
ших по интенсивности воздействий. Представляя прочность конструкции и
воздействия на неё статистическими распределениями, расположенными на
одной оси, можно предсказать последствия их сближения во времени. В
24
Экспериментально установлено, что фактические условия эксплуатации
конструкций в большинстве случаев существенно отличаются от проектных
в худшую сторону. При этом параметры закона, описывающего надежность
во времени (прилож. 1), изменяются, и кривая 4 на рис. 3.3 оказывается
более крутой (линия 5). Результатом этого становится уменьшение времени
достижения фактической надёжностью проектного уровня (от г" до /|). По-
следний может быть представлен как ограничение надёжности строитель-
ной конструкции снизу, обеспечивающее её безопасную эксплуатацию..
Для поддержания надёжности конструкции в безопасной для эксплуата-
ции области она должна подвергаться техническому обслуживанию, одной
из задач которого является оценка фактического состояния конструкции на
любой момент времени (г) и обоснование соответствующих прогнозов. На
основе полученных в результате обследований данных, вычисляется ресурс
долговечности, представляемый как время Л/=/|-г, в течение которого экс-
плуатация конструкции ещё нс вызывает сомнений в сё безопасности. Это
время является тем периодом, когда возможно в плановом порядке нако-
пить материальные и другие ресурсы для выполнения работ по восстанов-
лению необходимого уровня надёжности конструкции. Постоянное наблю-
дение за техническим состоянием конструкции позволяет осуществить ещё
более далёкий прогноз, служащий
для планирования соответствующих
организационно-технических меро-
приятий (рис. 3.4).
В связи с изложенным, возникла
необходимость разработки методи-
ки расчёта надёжности строитель-
ных конструкций, которая позволя-
ла бы ответить на вопросы о про-
ектном уровне надёжности, о зави-
симости надёжности от времени, о результатах взаимодействия распреде-
лений прочности конструкции и нагрузки и на ряд других вопросов.
Центральным моментом при ответе на любой из поставленных выше
вопросов является разработка методики оценки фактической надёжности
конструкции. Для этого производится обследование и собираются следую-
щие сведения:
q<""" — среднее значение постоянной нагрузки; q1™1’ — среднее значение
временной нагрузки на начало эксплуатации; ст'”'1'1 — стандарт постоянной
нагрузки; ст'"”'’ — стандарт временной нагрузки; т — срок эксплуатации на
момент обследования, годы; L. В. h0,...R...crL. ав, ст)ю ...стя — геометриче-
ские и прочностные статистические параметры рассчитываемой конструк-
ции (средние и стандарты); Г'\ — площадь поражения от отказа конструк-
ции; F„ — площадь помещения; М — количество человек (в среднем),
находящихся в помещении, чел/сут.; iref — время систематического пребы-
25
вания человека в помещении, час/сут.; — время случайного пребывания
человека на площади поражения, чел/сут.
На основе полученных данных производится оценка параметров двой-
ного экспоненциального распределения Гумбеля, которому подчиняется
интенсивность временной нагрузки, и определяется среднее значение вре-
менной нагрузки на любой срок эксплуатации («(»))
а = 1.28. и„ = qf*-0.58 / а. u(t) = и„ + — £л(г). (3.19)
После приведения нагрузок и прочности к одной размерности, вычисляют-
ся средние значения и стандарты усилий, возникающих в расчётном сечении от
внешних нагрузока также средние значения и стандарты прочности
конструкции без учёта и с учётом накопления повреждений (я.о„ )•
В предположении, что постоянные нагрузки подчиняются закону нор-
мального распределения, надёжность конструкции на любой момент вре-
мени определится следующим образом:
О -ч
W(t)=l- jy3(x.i)dx.
где y3(x.t)= jyl(z,t)y2(z+x.t)dz.
yl( Ztt )—(х- <))>
> (3.20)
Реализация написанных интегралов в конечном виде невозможна из-за
наличия в подынтегральном выражении е ' . Использование вычисли-
тельных методов затруднительно, так как интервал, па котором функция
распределения прочности конструкции принимает значения существенно
отличающиеся от нуля, может быть незначителен в сравнении с пределами
интегрирования. В этом случае существует реальная возможность того, что
он полностью попадёт в пределы одного шага интегрирования, что приве-
дёт к появлению крупной ошибки в результате вычислений. Повышение
точности расчёта приводит к существенному увеличению времени счёта.
Поэтому в инженерных расчётах надёжность конструкции можно опреде-
лить следующим образом. Композиция распределений прочности и нагрузки
представляет собой неизвестное распределение со средним значением
$г(/)= F(()-<Г(/) и среднеквадратическим отклонением а <,> _ /а‘(,)+<т:
26
'рис. 3.5). В этом распределении область 1//<0 соответствует откату конст-
рукции. Для определения вероятности отказа |/’(7>| можно использовать
соответствующую аппроксимацию, применяемую обычно для для нормаль-
ного распределения, но с коэффициентами, специально найденными для
композиции нормального и двойного экспоненциального законов распре-
.. 2.0686 - 0.4214-- Г I
’ п.ы”’* I» 0.3149 0.091 ‘ <121)
где Р(П — вероятность от каза в момент времени I (обычно при г=1 и 1=7)
Определяется итерационно; Т — время эксплуатации (нормированное или
на момент обследования).
1’ис 36. Сопряжение KopiieitQi и Q-
Его также можно решить как уравнение третьей степени относительно i
и затем определить Q. Возможную неоднозначность результата можно ис-
ключить, принимая во внимание, что искомые Q должны обеспечивать по-
ложительные значения nv и иметь разумные инженерные значения. Обеспе-
чить единственное решение для рассматриваемого случая возможно,
реализуя сопряжение корней Q, и Q3 (рис. 3.6).
Анализ этих решений показывает следующее:
- корень Qz не имеет физического смысла, так как вероятность отказа
по мере увеличения н„ должна уменьшаться;
- корень Qj соответствует значениям вероятности при пг изменяющем-
ся от нуля до примерно пяти;
- корень б| соответствует значениям вероятности при значениях «„бо-
лее пяти.
Последние два заключения выполнены на основе численного анализа.
Для определения вероятности отказа железобетонной рамы животно-
водческого здания при помощи индикатора отказа выполнено сопряжение
корней 0| и 03 [32J:
Q, (рг )= ехр (-0.611793 я’+0,207097 и„-137185 )
Уравнение определено на интервале значений индикатора отказа (н„) от
одного до семи. Для определения отказа при значениях nv больше семи
следует применять решение Q,.
Таким образом, вычисление вероятности отказа при nv < 5 следует про-
изводить по решению 0з, при 7> nv> 5 — по формуле (3.22), при п9>3 —
по решению 0,.
На основе полученных P(t) определяются параметры зависимости на-
дёжности от времени [2]:
(3.22)
(3.23)
1-/7Н) \-P(t^T)
' Р(1=Л) P(t^T)
В соответствии с этой зависимостью w=l при гО и IV = О при /= <»,
что отражает физичсскоий смысл явления. Значения IV определяют по
композиции распределений (3.20), используя Р(г=\) и /’(/=Т) — вероятность
отказа — на начало и конец эксплуатации с учётом накопления поврежде-
ний и увеличения вероятных кратковременно действующих нагрузок.
Значение нормированной надёжности W" определяется на нормирован-
ный срок эксплуатации, а время достижения фактической надёжностью
нормированного значения — по формуле:
(3.24)
При планировании эксплуатационными службами ремонтно- восстано-
вительных работ с учетом изменившихся условий производства к оценке
28
нормированного уровня надёжности можно подойти с позиций его оптими-
зации по критерию приведённых затрат.
Для этого вычисляется количество отказов за срок эксплуатации [87]:
Н-ЦР‘Т^- ........
на основе которых оцениваются приведённые затраты по нормирован-
ным условиям:
з^^з^а+лед.
где 3„„. — затраты на изготовление z-ro варианта по расходу материалов кон-
струкции; Р — коэффициент экономической ответственности конструкции,
который отражает изменившиеся экономические условия производства [23].
Смысл зависимости (3.25) заключается в подсчёте всех возможных состоя-
ний конструкции (рис. 3.7). Алгоритм вычисления представлен в табл. 3.8.
Для определения Ht можно со-
ставить соответствующие графики
(рис. 3.8).
Многократно вычисляя приведён-
ные затраты, можно добиться такого
состояния, когда 3,рв,. получит ми-
нимальное значение. При этом нор-
мированная надёжность Покажется
оптимальной.
при £-0,!(выше жирной черты — множитель ЮЛ ниже — 1О'!)
29
Однако она не должна быть меньше того значения, которое обеспечива-
ет эталонную безопасность людей, находящихся на плошали поражения от
отказа конструкции [54]:
И'Д>Н'”'=1-4Л10’*ЛУ,
где IV" — минимально допустимая надёжность, обеспечивающая эталон-
ную безопасность людей; 4. Г10’4 — эталонные неэкономические потери,
чел/50 лет; N — количество людей на площади поражения в момент отказа
конструкции.
Для одноэтажных зданий:
N = N,+N2,N.=M
1 21 £24
Ni _^/ (t-l) (L-2)...(L-l + l)-p<(l-Pr
(3.28)
Ресурс прочности эксплуатируемой конструкции носит информацион-
ный характер и может быть представлен, как разность между коэффициен-
тами запаса прочности в произвольный момент времени (К')а„) и нормиро-
ванным значением в конце срока эксплуатации (:
ДЯ(т) = К'^ -к,'!»..
(3.29)
2(/ = т)
Таблица 3.8
Алгоритм вычисления количества отказов по (3.25)
30
fi (<-»)-«(<-r)t Г“ .
Q(i«,“)-«(,
— определяются no (3.19).
Несущая способность (с учётом накопления повреждений) на момент
времени т может быть определена из квадратного уравнения:
т(т,1 ) 2С<Т) 2 (г У • (> + л, (г У ) 0 (330)
где п (г ) — определяется из (4) при Р(г)=Р(т); VR — коэффициент вариации
несущей способности конструкции. В связи с тем, что VR практически не за-
висит от величины несущей способности; его можно принять постоянным и
равным тому значению, которое соответствует проектному решению [53].
4. Способы оценки вероятности отказа системы
Под системой понимается множество элементов, находящихся в отно-
шениях и связи между собой, которые образуют определённую целост-
ность, единство /59/.
Особенностью систем является наличие в их структуре элементов и свя-
зей между ними. В теории надёжности систем под элементами понимаются
любые структурные блоки, необходимые для обеспечения работоспособно-
сти системы /26.90/. Связи имеют различное происхождение. Они могут
быть механические, энергетические, информационные и др. При этом уве-
личение степени влияния элементов друг на друга и уменьшение их зави-
симости от окружающих факторов даёт более весомые основания рассмат-
ривать совокупность элементов как систему.
Существенной особенностью систем является то, что объединённые в
неё элементы в своей совокупности дают новое качество.
Характерными чертами систем (больших) являются /21/:
• разнообразие выполняемых функций, большие размеры по числу
элементов, высокая стоимость;
• сложная иерархическая структура, предусматривающая сочетание
централизованного управления с автономностью отдельных эле-
ментов; наличие управляемых частей, самоорганизация, адаптация;
• сложность поведения: сложные взаимоотношения между элементами;
сложные петли обратных связей; зависимость работоспособности од-
ного элемента от характера поведения других элементов и т.п.;
• наличие механических, энергетических и информационных связей ме-
жду элементами (подсистемами) системы, а также связей с внешней
средой, определяющих эффективность её функционирования;
• целенаправленность, нередко уникальность.
Системы могут выполнять одну или несколько задач одновременно. Со-
ответственно, называются они одно- и многоцелевыми. В последнем случае
показателями надёжности могут быть одновременно такие:
• вероятность выполнения системой всех поставленных перед ней задач;
• вероятность выполнения системой нескольких наиболее важных задач;
• вероятность выполнения системой нс менее определённого количе-
ства поставленных перед ней задач:
• математическое ожидание числа выполненных системой задач;
• другие показатели.
В /36/ для технических строительных изделий разработаны конкретные
показатели надёжности, которые можно применить и к системам (в основ-
ном одноцелевым). Важнейшие из них:
• коэффициент готовности — вероятность того, что объект находится
в работоспособном состоянии в произвольный момент времени;
• коэффициент технического использования — отношение математи-
ческого ожидания времени нахождения системы в работоспособ-
ном состоянии ко времени эксплуатации;
• вероятность безотказной работы;
• срок службы;
• наработка на отказ;
• среднее время технического обслуживания или ремонта;
• среднее время восстановления работоспособности;
• удельная суммарная трудоёмкость восстановления работоспособно-
го состояния:
• другие показатели.
При оценке надёжности системы возникают различные методологиче-
ские проблемы, часто связанные с техническими и экономическими. Спи-
сок проблем открывается понятием «отказ системы». Это понятие не оче-
видное. гак как строительная система является, как правило, многоцелевой.
Так, например, дом должен быть прочен, безопасен для находящихся в нём
людей, защищать их от влияния атмосферных воздействий, обеспечивать
звукоизоляцию, функционирование инженерных систем и т.п. Причем все
эти функции должны выполняться одновременно. Понятно, что недоста-
точная звукоизоляция помещения или отказ в работе лифта совсем не озна-
чает, что' Система неработоспособна, что она вошла н состояние отказа.
При эксплуатации производственных зданий такая ситуация просматри-
вается ещё более контрастно — в них часто отдельные элементы находятся
в состоянии отказа, а здание продолжает эксплуатироваться часто даже без
ущерба производительности или другим ТЭП производства, размещённого
в здании.
Однако количество отказавших элементов в эксплуатируемом здании нс
может быть беспредельным — когда-то наступит момент, когда отказы ос-
ложнят безопасную эксплуатацию здания или будут влиять на ТЭП произ-
водства в такой степени, что мириться с ними станет невозможным. В приве-
дённом примере за меру отказа может быть принято количество отказавших
элементов. В других случаях такой подход к определению отказа окажется
неприемлемым.
Эти примеры свидетельствуют о сложности понятия «отказ системы», а
также о резервах надёжности здания, которые на сегодняшний день теоре-
тически ещё не могут быть учтены.
Другая не менее серьёзная проблема — количественная оценка отказа
системы. Если исходить из классических представлений о системе, как о
множестве элементов, соединённых последовательно, параллельно или
комбинированно, то во многих случаях результаты вычислений не будут
соответствовать истинному положению дел. Например, в многоэтажном
здании насчитывается 500 элементов, соединённых последовательно. На-
дёжность каждого элемента 0,999. Общая надёжность лестничной клетки,
таким образом, получится равной 0,999яю=0,61.
Это очень небольшая надёжность, однако эксплуатируемые дома не да-
ют повода сомневаться в надёжности лестничных клеток.
С другой стороны, параллельно соединённых элементов в строительной
системе практически нс бывает, так как считается, что они настолько на-
лёжны, что не нуждаются в резервировании (параллельное соединение в
теории надёжности рассматривается как один из приёмов резервирования).
Нельзя также считать параллельно соединёнными и подсистемы строитель-
ной системы, обеспечивающие различные функциональные предназначения
(разнообразные инженерные сети, решения по обеспечению устойчивости
здания и т.п.)
Поэтому одна из серьёзнейших задач надёжности систем — формули-
ровка понятия отказа и методов количественного его определения.
Для решения этой задачи можно предложить за отказ системы считать
следующее:
• вероятность отказа одного элемента в предположении последова-
тельного соединения элементов;
• математическое ожидание вероятностей отказов по всем исполняе-
мым функциям;
• обеспеченное значение математического ожидания вероятностей
отказов по всем исполняемым функциям;
• одно из математических ожиданий (или их обеспеченных значений)
по группам функций.
Первое из сделанных предложений относится к одноцелевой системе,
другие —к многоцелевым.
В случае работы с многоцелевой системой не бесспорным является
предложение по усреднению вероятностей отказов по всем выполняемым
функциям. Обоснованием такому предложению служат следующие обстоя-
тельства:
• если говорить об абсолютном значении показателя качества, кото-
рый количественно характеризует тот или иной результат функ-
ционирования системы, то он должен быть выражен в каких-то
единицах измерения. Причём для разных функций, выполняемых
системой, показатели качества будут иметь различные (в общем
виде несовместимые) размерности. Значит, они не могут принад-
лежать единому по физическому или какому-либо другому смыслу
множеству, и поэтому над совокупностью таких показателей нельзя
совершать статистических вычислений;
• в вероятностном смысле количественным выражением каждого по-
казателя является вероятность выполнения или невыполнения ка-
ких-либо требований, предъявляемых к системе при выполнении
конкретной функции. Вероятность является тем показателем, с по-
мощью которого становится возможным объединить разнородные
показатели качества, имеющие разные единицы измерения, разный
физический смысл и назначение;
• например, строительная система обеспечивает выполнение следую-
щих функций: прочности (кН), звукоизоляции (дБ) и теплозащиты
(Л). Все три качества несовместимы с точки зрения физической при-
роды. Однако все они имеют нечто общее, что характеризуется веро-
34
ятностью того, что они будут или не будут находиться в заданных
пределах (соответственно: 0.999; 0,7 и 0,95). Таким образом, полу-
чено три числа, относящихся к одному множеству, так как они ха-
рактеризуют одно явление и имеют одинаковую размерность. Сле-
довательно. над этими числами можно производить статистические
вычисления, например, вычислить среднее значение вероятности
безотказной работы системы: (0,999Ю.7 <О,95)/3= 0.883.
Показателем надёжности одноцелевой системы является вероятность
Ver выполнения системой поставленной задачи Р):
P = Ver(X" <Х <Х“).
где Х,Х".Х" — случайное, нижнее и верхнее значения результата функ-
ционирования системы.
Показатель надёжности многоцелевой системы можно записать в виде:
Особенностью многоцелевых систем является невозможность определе-
ния вероятностных характеристик случайной величины X статистически-
ми методами, так как использование активного, целенаправленного опыта
здесь, как правило, неприемлемо (тем более, если речь идёт об уникальных
системах). В лучшем случае можно говорить о наблюдениях, выполненных
на функционирующей системе или на аналогичной проектируемой. В неко-
торых случаях результат функционирования может быть смоделирован на
ЭВМ. Поэтому для вероятностного анализа повеления системы на первый
план выступают теоретические и логические обоснования вида распределе-
ния случайной величины X .
В /59/ рассматриваются 4 характерные кривые распределения, часто
употребляющиеся при анализе надёжности систем.
Ступенчатая функция (используется в случаях, когда значение х может
соответствовать только двум состояниям системы, например, работоспо-
собному или неработоспособному):
ОпрриХ <л]
Inpp X >л ]
Линейная функция ( соответствует равномерному распределению):
Р(х) = х.
(4.4)
35
Функция нормального распределения:
Р(х) =---= • ехр| - ~Т~ |.
ет-ТГтг Д 2 <г J
(4.5)
(4-6)
Экспоненциальная функция:
Р(х) = 1-ехр(-а-.г).
В ряде случаев используются другие типы распределений, например,
Вейбула-Гнедснко, Грам-Шарлье, гамма и др. /59,90/.
В математическом плане оценка надёжности системы может быть опре-
делена как квантиль распределения заданного показателя надёжности или
как доверительный интервал для него же.
Допустим, для одноцелевой системы любым способом получена огра-
ниченная выборка
где х. — результат i -го наблюдения, испытания, вычисления; п — количе-
ство наблюдений и т.д.
В качестве оценки математического ожидания можно использовать
среднеарифметическое значение. Эта оценка является несмещённой и со-
стоятельной.
(4.8)
Дисперсия математического ожидания окажется равной:
оМ'7-
где D — дисперсия ряда чисел (4.7).
В предположении, что величина х распределена по нормальному закону,
дисперсия д[л] является эффективной, то есть минимальной/13/. Для дру-
гих законов распределения этой ве-
личины её дисперсия, возможно, не
будет эффективной.
Таким образом, решая эту задачу,
можно для рассматриваемого пока-
зателя надёжности указать обеспе-
ченное значение или доверительный
интервал (рис. 4.1).
иалсжносги
36
В случае, когда оценивается надёжность многоцелевой системы, в каче-
стве исходных данных могут быть:
(4.10)
где D- —дисперсия случайного числа Л’,-
Для оценки математического ожидания примем линейную функцию в
где С, — постоянные коэффициенты.
Для получения эффективной и несмещённой оценки дисперсии X пред-
положим следующее:
' математическое ожидание .V будет несмещённым, если
(4-121
если результат Л( не содержит систематических ошибок, то (4.12)
выполняется при выполнении равенства:
£с,.=1.
(4-13)
дисперсия показателя надёжности имеет вид:
D[x]= D\±C, -л, j = £С; • Ofc], (4.14)
для определения минимума дисперсии (4.14) составляем функцию
Лагранжа:
(4-15)
• вычисляем производные функции Лагранжа
^-=2 Сго[х,1-2-«, (7 = 1,2.............ч).
(4.16)
приравняв правую часть (4.16) нулю и решив полученное уравнение
относительно С,. получаем:
а
«,-1/ukl
приняв, получим выражение лля «весовых» коэффициентов:
' так как множитель Лагранжа окажется равным:
<* = /£«.. <4|9>
• подставляя (5.82) в (5.81), получаем:
(4.20)
оценка показателя надёжности, отвечающая предъявленным к ней
требованиям, имеет вид:
(4.21)
• дисперсия оценки (5.84):
D[i)=D так как Р[х, ] = 1/g,. то
дисперси [5>.| 1 оценки показателя надёжности
»Ы-у£?( <4.23>
38
Таким образом, получена несмещённая и эффективная оценка матема-
тического ожт
сти для многоцелевой системы.
Для отдельных показателей надёжности в зависимости от принятого ви-
да распределения выведены соответствующие зависимости (табл. 4.1). При
этом в рассмотрение введен закон распределения Вейбула-Гнеденко, ис-
пользуемый для систем с резервированием.
Таблица 4.1
Указатель формул для определения показателей надёжност и
Показатель надёжности Нормальное распределение Экспоненциальное распределение Распределение Вейбу.та-Гнедсико распределение
Вероятность безотказной (4.24) (4.25) (4.26) (4.27)
Среднее время безотказной работы (4.29) (4.30) (4.31) (4.32)
Интенсивность (4.33) (4.34) (4.35) (4.36)
—я—«ад
а,-у/2-л Д [ 2-<т, J
б(/)=1-ехр(-Л-()
2(/)=1-ехр(-а-/в) (4.25)
е(<)=1-ехр(-л -,)• tfei. «.ад
|42”
го=Х' (4.28)
г^=Р‘’, е’' л- <«•»>
То=^-. (4.30)
39
(4.31)
X(t)= const. (4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(J-l) (4.36)
В формулах, относящихся к законам распределения Вейбула-Гнеденко и
гамма распределению, использованы следующие обозначения:
а и /3 —параметры закона распределения Вейбула-Гнедснко;
Л — постоянная интенсивность отказов входящих в подсистему основного
и резервных элементов, которые замещены по принципу замещения;
к — кратность резервирования.
Под технической строительной системой понимается совокупность по-
следовательно, параллельно и комбинированно соединённых элементов,
которые в своём единстве представляют здание или сооружение определён-
ного назначения. Надёжность технической системы определяют вероятно-
сти безотказной работы элементов.
К техническим строительным системам относятся подавляющее число
строительных изделий и все без исключения здания и сооружения. Призна-
ком системы является одновременное исполнение техническим строитель-
ным изделием двух и более функций. Например, стеновая панель исполняет
следующие функции: прочности, теплозащиты, влага- и воздухонепрони-
цаемости, шумозащиты, она должна быть экологически чистой, долговеч-
ной, ремонтнопригодной, эстетичной, без околов, ржавых и масляных пя-
тен, обладать гвоздистостью и другими свойствами. Поэтому стеновая
панель является системой. В расчётном смысле элементы системы могут
40
быть представлены соединёнными между собой последовательно, парал-
лельно и комбинированно.
Например, железобетонная панель перекрытия в расчётном смысле со-
стоит из восьми элементов, соединённых последовательно. Здесь под эле-
ментами понимается прочность по нормальному (2 элемента) и наклонным
(3 элемента) сечениям, прочность опорных зон, прочность по признакам
второго предельного состояния (2 элемента). Здание должно исполнять не-
сравненно большее количество технических функций, которые можно объ-
единить в три большие группы, каждая из которых объединяет более мел-
кие по значению группы. Для жилого здания не очень подробный пример
приведён на рис. 4.2, для сельскохозяйственного здания - на рис. 4.3.
[
Функции, исполняемые жилым зданием
Обеспечение
безопас-
кофортных
условий
I Инженерное I
обслуживание
Прочность
Устойчивость
Эвакуация
людей
Экологическая
чистота
(токсичность)
Огнестойкость
Выполне-
ние тре-
бований
| Виброзащита |~
I Влагозашита Г Ч ВТОРОГО
I I предель-
Акустика
| Инсоляция |~
|3апахозатита р-
ного сос-
тояния
| Лифт
| Подача газа
I Мусоро
удаление
I Освещение
|Водоудаление
Отопление
Телефон
Силовое j.icKipooSo рудованис
Водообсс- печение
Слаботоч- ное обору- дование
Рис. 4.4. Иерархия системы
Строительная техническая система имеет свою иерархию:
• системой первого уровня является здание, состоящее из последова-
тельно соединённых систем второго уровня (которыми являются
функции);
• каждая система второго уровня содержит системы третьего уровня,
состоящих из последовательно и параллельно (комбинированно)
соединённых элементов, которые, в свою очередь являются систе-
мами четвёртого уровня. Эта иерархическое членение продолжает-
ся до нужной степени подробности (рис.4.4).
Способы оценки надёжности исполнения одной функции строительным
элементом и множества функций системой принципиально отличаются.
Отличия обусловлены следующим:
• содержанием Исходных данных — в первом случае используются
статистические свойства строительных материалов, воздействий и
пр. В другом — надёжности элементов системы;
• содержанием понятия отказа — в первом случае под понятием от-
каза однозначно понимается вероятность превышения интенсивно-
сти воздействия над соответствующим свойством элемента. В дру-
гом — понятие отказа не может быть определено так конкретно в
силу многофункциональности любой системы, её экономических и
других возможностей;
• алгоритмами для вычисления вероятностей отказов.
Наиболее существенной особенностью оценки надёжности строительной
системы является многочисленность критериев, обусловленных многофунк-
циональностью зданий, их значимостью в системе государственного хозяйства
и экономическими возможностями предприятия, расположенного в здании.
Для оценки надёжности исполнения функций, предписанных зданию, це-
лесообразно использовать в качестве аналога схемы электрических соедине-
ний с параллельными, последовательными и комбинированными соедине-
ниями. Целесообразность их использования обусловлена двумя обсто-
ятельствами. Первое из них — методика расчёта при любом наборе соедине-
ний известна и нс требует дополнительных разработок. При этом использу-
ются известные формулы для расчёта различно соединённых цепей:
• при последовательном соединении:
= [J W, .
(4.37)
• при параллельном соединении:
W, =П^=П(1-<2.).
• при комбинированном соединении:
43
(4.38)
(4.39)
Второе обстоятельство заключается в том, что методика может быть ис-
пользована на любом уровне иерархической системы.
Схему предписанных для исполнения функций здания можно превра-
тить в надёжностную схему здания, используя различного рода соединения.
На рис. 4.5 в качестве примера показана надёжностная схема жилого
здания, на которой параллельные соединения в функциях комфортности и
инженерного обеспечения организованы в целях иллюстрации без специ-
ального обоснования.
Если рассматривать функцию безопасности, то становится ясным, что
все составляющие этой функции должны быть соединены последовательно,
так как отказ любой из них приводит к отказу всей функции безопасности.
При создании надёжностной схемы функций комфортности и инженер-
ного обслуживания возникает проблема объединения элементов системы в
параллельные соединения.
Дело в том, что параллельные соединс1шя используются в технике в каче-
стве резервов и дублирующих систем, то есть систем, имеющих одно функ-
циональное назначение. (Например, системы пожаротушения в самолёте). В
строительстве (в частности, в строительной системе типа «жилой дом») такого
рода системы не MOiyr быть использованы из-за чрезмерно больших затрат.
Так. нецелесообразно делать два перекрытия над одним этажом или дублиро-
вать каждую колонну и т.п. Поэтому формально признаков для объединения
элементов в параллельные системы в строительстве не существует. Однако для
того, чтобы воспользоваться электрическими аналогами параллельные соеди-
нения необходимо организовать. Это может быть достигнуто за счёт присвое-
ния каждому элементу свойства иметь затраты при появлении отказа. Это по-
зволяет считать все элементы здания однофункциональными и способными
образовывать параллельные соединения.
Однако в параллельное соединение нельзя объединить все элементы.
Потому для каждого элемента необходимо знать затраты на устранение
возникших отказов. Группируя элементы в различных сочетаниях, возмож-
но добиться такого состояния, когда суммарные затраты на устранения всех
отказов, объединённых в одну группу, окажутся максимально близко снизу
к директивным отчислениям.
Директивные отчисления на поддержание дома в технически исправном
состоянии определяются для элементов функции технического обеспечения
как те отчисления, которые периодически (с частотой один раз в квартал,
год и т.д.) выделяются эксплуатационным службам. Эго относительно не-
большие затраты.
Значительно большие затраты возникают при отказе элементов функции
комфортности (например, отказ по теплозащите). В этом случае, как прави-
ло. требуется капитальный ремонт. В этой связи директивные отчисления
могут быть получены за счёт амортизационных.
44
Таким образом, для оценки надёжности технической строительной сис-
темы необходимо создание надёжностной схемы здания, в которой теоре-
тически и путём наблюдений обоснованы вероятности отказов каждого
элемента и стоимость устранения каждого отказа.
Наиболее существенной особенностью оценки надёжности строитель-
ной системы является многочисленность критериев, обусловленных мно-
гофункциональностью зданий, их значимостью в системе государственного
хозяйства и экономическими возможностями предприятия, расположенного
в здании. О многофункциональности здания можно получить представле-
ние из выше приведённых схем.
В связи с нечёткостью определения понятия отказа (надёжности) для
строительной системы целесообразно говорить о надёжности исполнения
функций, предписанных системе.
В этой связи методика оценки надёжности исполнения функций строи-
тельной системы должна соответствовать предъявляемому к ней уровню
требований.
45
Системы, к которым предъявляются высокие зребования в смысле на-
дёжности (электростанции, театры и др.) можно принять равной на-
дежности выполняемой функции с максимальной вероятностью отказа.
Системы, к которым предъявляются значительно меньшие требования в
смысле надёжности (животноводческие здания, малоэтажные жилые дома и
т.п.) можно принять равной математическому ожиданию надёжностей по
всем исполняемым функциям.
Системы, к надёжности которых предъявляется невысокий уровень тре-
бований, можно принять равной обеспеченному значению надёжности по
всем исполняемым функциям. Уровень обеспеченности определяется из
экономических соображений; характер статистического распределения на-
дёжностей функций системы требует специального изучения (в каждом
конкретном случае).
Проследим происхождение критериев отказа (надёжности) на простых
примерах. Например, диск покрытия животноводческого здания состоит из
большого количества плит. Приняв за критерий надёжности диска покры-
тия вероятность безотказной работы всех плит, в расчётном смысле их все
можно рассматривать, как последовательно соединёнными. Однако извест-
но. что подавляющее большинство такого рода зданий эксплуатируются с
большим количеством плит, находящихся в аварийном состоянии, что со-
ответствует отказу. Следовательно, последовательное соединение элемен-
тов в данном случае неприменимо. О параллельном соединении можно ска-
зать то же, так как отказ такой системы произойдёт лишь при отказе всех
плит, что также не реально. В рассмотренном случае критериями надёжно-
сти диска покрытия могут являться: вероятность отказа плиты с минималь-
ной надёжностью, среднее значение вероятности отказа всех плит, вероят-
ность отказа 1, 2, 3 и т.д. плит. Как видно, эти критерии являются эконо-
мически зависимыми.
Рассмотрим методику оценки надёжности диска покрытия животновод-
ческого здания по критерию количества отказавших плит. Покрытие жи-
вотноводческого здания — состоит из m элементов — ребристых плит. На-
дёжность покрытия определяется количеством отказавших элементов.
(Например, считается, что надёжность системы исчерпана, если количество
отказавших плит в покрытии равно или больше 3).
При одинаковых вероятностях отказов всех элементов, вероятность отказа
системы определится на основании теоремы об умножении вероятностей:
Т fi'(m-я)!
(4.40)
где и = I, 2,3 и т.д. — допустимое количество отказавших элементов,
Q,t.t —вероятность отказа одного элемента в момент времени /.
Надёжность системы в тот же момент времени:
(4.41)
46
Среднее количество плит, отказавших в момент времени с
(4.42)
При начальном значении Q..u= i IO“’,«i= 168./= 100 лет и законе изме-
А/с 4.6. Вероятность отказа покрытия
При рассмотрении приведённых выше схем становится очевидным, что
надёжность исполнения функций строительной системой определяется на-
дёжностью исполнения каждой функции (так, для системы «животноводче-
ское здание» основными функциями являются функция обеспечения безо-
пасности. функция осуществления технологического процесса и функция
обеспечения требуемых параметров микроклимата).
При такой постановке вопроса очевидным является последовательное
соединение функций. Однако составляющие этих функций очевидным об-
разом не могут быть объединены какими-то соединениями.
Надёжность исполнения функции безопасности (наиболее ответствен-
ной) вычисляется по известным формулам для систем с последовательным
соединением элементов.
Такой же приём можно использовать для элементов функции осуществ-
ления технологического процесса в животноводческом здании.
Для оценки надежности исполнения функции комфортности и обеспе-
чения необходимых параметров микроклимата можно использовать форму-
лы для системы с последовательным и параллельным соединениями эле-
ментов. При этом объединение элементов в параллельные соединения
обосновывается логически.
Исследований зависимости надёжности исполнения специальных функ-
ций от каких-либо факторов к настоящему времени не произведено. Поэтому
для её оценки возможно элементы этой функции соединить параллельно, так
47
как при отказе одной из специальных функций зданию может быть предпи-
сано исполнение другой, более подходящей. Можно предположить, что од-
ним из наиболее весомых факторов, определяющих надёжность специальных
функций является время морального старения проектного решения.
Наиболее сложным с позиции вычислений является создание схемы не-
зависимых по назначению элементов (например, создание схемы соедине-
ний функции инженерного обслуживания). Надёжность исполнения функ-
ции инженерного обеспечения определяется также на основе представления
её как системы с комбинированными соединениями. Однако объединение
элементов в параллельные соединения
производится на основе анализа затрат
на устранение отказов в единицу вре-
мени. При этом общая сумма затрат по
каждому комплекту объединённых в
одно параллельное соединение элемен-
тов в единицу времени не должна пре-
вышать нормированной суммы, выде-
ляемой директивным органом па
обеспечение нормальной эксплуатации
элементов технической системы.
Количество возможных вариантов
соединений
инженерного
Оно быстро возрастает с увеличением
количества элементов функции. Па
рисунках показано возможное
количество соединений до 7 элементов
в функции, а в таблице 4.2 — до 16.
элементов функции
обслуживания велико.
48
системе
Расчёт надёжности системы
по оценке разрушающих воздействий на систему в целом
И СамГАСУ ведутся разработки метода оценки надёжности системы по
нагрузкам, приложенным к ней. В качестве примера рассматривается моно-
литный многопролётный и многоэтажный каркас. 11о этажам приложена
одинаковая равномерно — распределённая нагрузка. Нагрузка шагами уве-
личивается. При этом в статически неопределимом каркасе возникают пла-
стические шарниры, которые корректируют расчётную схему каркаса. Уве-
личение нагрузки происходит до тех пор, пока не появится п + 1 шарнир
(где п — степень статической неопределённости каркаса). Эта нагрузка
считается разрушающей для здания. Многократно проведя этот расчёт, по-
лучают статистические распределения разрушающих нагрузок на каркас.
Имея такое распределение, можно ответить на вопрос об обеспеченной раз-
рушающей нагрузке, которая соответствует вероятности отказа системы.
Распределение заданной надежности системы по её элементам
На основе методики расчёта надёжности системы с помощью надёжно-
стных схем можно решать задачу распределения заданной надёжности сис-
темы по её элементам.
Распределение заданной надёжности функции безопасности по пяти её
последовательно соединенным элементам можно произвести из следующих
соображений. С социальной точки зрения все элементы этой функции рав-
нозначны. Поэтому они должны иметь одинаковую надёжность, которая
определяется по формуле:
где W, — заданная надёжность; W,, — равная для всех элементов надёж-
ность; /1 = 5 — количество элементов в функции безопасности.
49
В функции комфортности (ФК) есть необходимость создания парал-
лельных соединений. Однако особенностью элементов, входящих в ФК,
являются несравненно большие затраты на устранения отказов. Например,
в настоящее время наблюдаются массовые отказы ограждений по теплоза-
щите. Устранение последствий такого отказа приводит не к текущим, а к
капитальным затратам, которые не укладываются в директивные затраты по
поддержанию нормального технического состояния здания.
То же можно сказать о затратах на ликвидацию причин или последствий
отказов по виброзащите, выполнению требований по второму предельному
состоянию и др. Очевидно что такого рода затраты должны иметь другой
источник. Ими могут быть амортизационные отчисления.
Амортизационные отчисления — это постепенное перенесение стоимости
здания, по мере его физического и морального износа, в амортизационный
фонд. Амортизационный фонд предназначен для предоставления средств на
ремонт и обслуживание здания. Амортизационные описления на восстановле-
ние здания начисляются в течение всего фактического срока службы. Они на-
числяются организациями ежегодно, исходя из установленных единых норм
амортизационных отчислений и стоимости здания. Сумма амортизационных
отчислений рассчитывается по каждому строительному объекту или группе
зданий путем умножения среднегодовой стоимости этих зданий на соответст-
вующие нормы амортизационных отчислений с учетом поправочных коэффи-
циентов, отражающих фактические условия эксплуатации.
Поэтому в методику организации параллельного соединений для функ-
ции комфортности должно быть введено время эксплуатации. В соответст-
вии с ВСН 58-88(р) срок капитального ремонта бетонных и каменных стен
и перекрытий составляет 25 лет. За это время амортизационные отчисления
составят 25% от стоимости здания. Именно эта сумма будет директивными
отчислениями на ремонт здания.
В связи с тем, что функция комфортности также представлена парал-
лельным соединением, её надёжность высока, в конкретном случае для от-
дельного здания она составила 0,99993, при следующих данных1:
надёжность по теплозащите — 0,73;
надёжность по виброзащите — 0,9;
надёжность по влагозащите — 0,5
надёжность по запахозашите — 0,9;
надёжность по второму предельному состоянию — 0,95;
надёжность по естественному освещению — 0,99.
сферные воздействия, стыки).
товых проемов в жилых зданиях больше 1/8 плошали помещения, которое они освещают.
Надёжность но акустике и инсоляции нс учитывались в связи с тем, что
эти дефекты, если они есть, практически неустранимы.
При оценке надежности функции технического обеспечения (ФТО) здания
возникает необходимость создания ее статистической модели. Строительные
элементы ФТО разнородны по своему функциональному назначению (водо-
снабжение, мусороудаленис, отопление и т. д) (рис. 4.э) [31,д]. В этой связи
было предложено считать все элементы ФТО как элементы, имеющие единую
функцию — создавать затраты при отказах. Такое предположение позволяет
считать все элементы ФТО однородными и, следовательно, их можно объеди-
нять в параллельную систему. Если известны вероятности отказов элементов и
стоимости устранения каждого отказа, то можно допустить, что отказ подсис-
темы, состоящий из параллельного соединения, наступит тогда, когда одно-
временно произойдут отказы такого количества элементов, устранение кото-
рых окажется равным или будет несколько меньше тех средств, которые
выделяют директивные органы для поддержания системы в исправном техни-
ческом состоянии. Именно такие элементы по количеству и номенклатуре
можно будет организовать в параллельные соединения.
В этом случае условие организации параллельного соединения запишет-
ся в виде:
(4.44)
где ДЗ — директивно выделенные на устранение отказов средства; С, —
средняя стоимость устранения каждого из отказов; — вероятность появ-
ления каждого отказа.
В соответствии с (4.44) необходимо выполнить перебор всех возможных
сочетаний (с определением £ /JC-) из полного количества элементов в системе.
Количество сочетаний при этом окажется равным сумме всех возможных
сочетаний по 1,2, 3...п (рис. 4.7):
m . m mi
n = SC„ = 2—
i=l i=]i-4m-i)!
(4.45)
Рис. 4.7. Количество сочетаний из in по i
о Ф о
Надежностная схема функции технического обеспечения представляет
собой комбинированную схему соединений. В ней есть группы параллельно
соединенных элементов, которые между собой соединены последовательно
(рис. 4.8). На рис. 4.8. нет соединения из одного элемента, гак как вероятная
стоимость устранения причин появления такого дефекта столь незначи-
тельна по сравнению со стоимостью устранения причин отказов всех эле-
ментов в любом параллельном соединении, что практически (в пределах
точности предпосылок) ей можно внести в любое параллельное соединение
(например, вероятная стоимость устранения отказа лифта значительно
меньше, чем вероятная стоимость устранения отказов любых двух — трёх
параллельно соединенных элементов). Исходя из изложенного анализа,
можно предположить, что надёжность ФТО высока в связи с наличием па-
раллельно соединённых элементов.
52
5. Неэкономические потери
при отказе строительных конструкций
Любая строительная конструкция и здание имеют объективную вероят-
ность отказа. Наиболее тяжким отказом является физическое разрушение
конструкции, на площади поражения которой находятся люди. При этом
становится реальной угроза их здоровью и жизни. Выяснение степени такой
угрозы является важной социальной и технической задачей, нормированное
решение которой в настоящее время отсутствует. В то же время её решение
позволило бы численно обосновать безопасность эксплуатации здания как
на этапе проектирования и экспертизы проекта, так и на стадии его экс-
плуатации.
Многими исследованиями показано, что надёжность зданий в процессе
эксплуатации уменьшается значительно более интенсивно, чем это следует
из предположений проектировщиков. Такая ситуация обусловлена, в ос-
новном, непроектными условиями фактической эксплуатации зданий, а
также непредвиденными случайными воздействиями^ что приводит к ин-
тенсивному накоплению повреждений в конструкциях. Естественно, что с
уменьшением надёжности здания происходит снижение безопасности его
эксплуатации, и люди, находящиеся в здании, подвергаются возросшей
опасности. Опытом проектирования и эксплуатации зданий найден практи-
ческий уровень безопасности нахождения человека в здании. Это отражено
в различных коэффициентах надёжности и нормированных правилах про-
ектирования зданий. Однако такая схема обеспечения надёжности не может
быть использована для уникального здания, так как опыта эксплуатации его
не существует. Нельзя сё также применить и к эксплуатируемому зданию,
так как любое здание в результате эксплуатации становится уникальным.
Кроме того, практический уровень безопасности не может быть выражен
числом, а, значит, имеет необъективную, эмоциональную окраску. Поэтому
опенка практического уровня безопасности субъективна. Это подтвержда-
ется отсутствием нормированной терминологии, что и обусловило исполь-
зование в вышеизложенном тексте нескольких, совершенно идентичных
терминов (безопасность, степень угрозы, опасность).
Несмотря на отсутствие нормированных методов расчёта безопасности
зданий, определённая работа в этом направлении проводилась. Появился
термин «неэкономическая ответственность» конструкции, означающее не-
что, имеющее отношение к жизни и здоровью людей. Были сделаны попыт-
ки представить жизнь человека экономическим эквивалентом. В силу негу-
манное™ такого подхода, он не нашёл применения. Известны попытки
учесть количество людей, находящихся на площади поражения от отказа
конструкции, при обосновании коэффициента запаса прочности конструк-
ции. Однако и такая постановка вопроса не вносила ясности в количествен-
ную оценку безопасности строительного объекта.
В связи с изложенным, в настоящей работе в качестве критерия безо-
пасности конструкции и здания был использован термин «неэкономические
53
потери». По смыслу, заложенным в негр автором, он означает количество
людей, находящихся на площади поражения от отказа конструкции в мо-
мент её отказа. Под площадью поражения от отказа конструкции понимает-
ся площадь, на которую может обрушиться конструкция и сопряжённые с
ней другие конструкции. Неэкономические потери могут быть определены
количественно, могут служить сравнительной характеристикой, их можно
нормировать, по ним можно определять необходимую прочность конструк-
Неэкономическая ответственность — это термин, который появился в
практике исследований строительных конструкций и сооружений относи-
тельно недавно. Он означает, что строительные системы и элементы должны
быть безопасны для жизни и здоровья людей, а также не должны вызывать
социально-политических, международных, экологических и тому подобных
осложнений, не угрожать престижу фирм, организаций, государству.
Считается, что практически все сооружения имеют сметанную экономи-
ческую и неэкономическую (последнюю иногда называют моральной) ответ-
ственность. В этой связи в 1981 году в нормы проектирования был введён
коэффициент надёжности по назначению /69/, изменяющий нагрузку или
несущую способность конструкции в пределах 0.8 -: 1.0. Подробная инфор-
мация по этому вопросу изложена в СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздейст-
вия». Указанные коэффициенты были введены в нормы проектирования спе-
циалистами на основе экспертной оценки значимости сооружений.
Одновременно проводились исследования, имеющие цель количествен-
но обосновать влияние неэкономических последствий отказа на экономиче-
ские показатели проектируемых конструкций. Были сделаны попытки оце-
нить ущерб жизни и здоровью людей различных профессий в денежном
выражении. Это было сделано для того, чтобы свести учет неэкономиче-
ских последствий отказов к экономической схеме последствий.
Следует отметить, что подобными вопросами занимались не только в
области строительства, но и в других. Например, в /32/ приведена методика
оценки стоимости потерь от вовлечения человека в дорожно-транспортное
происшествие (табл. 5.1). Методика позволяет оценить экономический
ущерб от частичной или полной потери трудоспособности человека, а так-
же от смертельного исхода. Этот ущерб является функцией расходов на
лечение или похорон человека, а также потери части национального дохода
и социально-моральных потерь.
Использование подобных результатов в строительстве создаёт затруд-
нения и в первую очередь — психологические. Поэтому можно считать, что
учёт неэкономической ответственности строительных элементов и систем
при их проектировании ещё недостаточно отработан.
Необходимость учёта социальных критериев при проектировании
строительных конструкций привела английских учёных к разработке зави-
симости, определяющей вероятность отказа от различных социальных фак-
торов 131:
54
где — коэффициент социальной значимости (табл, б.б); Т — расчётный
срок службы сооружения в годах; /, — среднее число людей, находящихся
внутри сооружения или в непосредственной близости от него в течение пе-
риода, за который оценивается риск.
Таблица 5.1
Состав и размеры экономических потерь при дорожно-т ранспортных происшест виях Состав потерь
Смертельный Инвалидность Тяжёлое ранение Лёгкое ранение
Стоимость доставки в больниц)’ Стоимость доставки в больницу Стоимость в больницу Стоимость доставки в больницу
Расходы больницы Расходы больницы Расходы больницы Расходы больницы
Расходы Компенсация по страхованию бюллетеня Оплата бюллетеня
Расходы па похороны бюллетеня Ущерб от временного нарушения производственных Ущерб от временного нарушения производственных
Выплата пособий семье погибшего Выплата пособий Потеря части национального дохода Потеря части национального дохода
потерянною рабочего времени у родственников Ущерб 01' временною нарушения производственных
Ущерб от временного нарушения производственных Потеря части национального, дохода
Компенсация по страхованию Социально- моральные потери
Потеря части национального дохода
Социально- моральные потери
55
Размеры потерь, pv6
Год "р" "1'Х“Ь“ОМ при iinna.TO.nion и при тяжёлых
1975 22150 13415 615 40
1980 24X00 1 ч 190 665 45
1985 27450 16965 715 49
1990 .30100 1X740 765 53
2000 .35400 22290 865 62
2010 40700 25X40 965 72
Таблица 5.2
Коэффициент социальной значимости
Вид сооружения С
Места собраний толей, плотины 0.005
Жилые, конторские, торговые и промышленные здания 0.05
0.5
baiuiiH. мачты, сооружения для морской добычи ископаемых 5
В /54/ предложено учёт неэкономической ответственности производить
не в денежной форме, а на сравнительной основе. С точки зрения безопас-
ности людей (а этот фактор является решающим при учёте неэкономиче-
ской ответственности) за эталон безопасности могут быть приняты неэко-
номические потери, возникающие при разрушении наиболее массовой
конструкции, установленной в здании, где человек проводит большую
часть своей жизни и где у него не возникает сомнений в надёжности конст-
рукций. (Такой конструкцией, например, может служить пустотная плита
перекрытия, установленная в жилом доме.)
Методика учёта неэкономической ответственности была разработана
для зданий с различными условиями размещения людей по площади поме-
щений. В первом случае проектное распределение людей равномерно по
площади помещения, во втором — планируемое размещение людей по
площади помещения неравномерно и зависит от приоритета места. И в том
и в другом случае нагрузка на конструкции создаётся не людьми.
Решение для первого случая основано на использовании элементарной
теории вероятностей и, в принципе, сводится к определению вероятности
появления события, заключающегося в том, что отказ конструкции про-
изойдёт в момент, когда на площади поражения будут находиться люди.
Для вывода расчётных зависимостей были введены следующие обозна-
чения:
Fn — шющадь помещения;
Ft — площадь поражения при отказе конструкции;
F „„„ = 0.2 м7чел — минимальный размер нормируемой площади,
приходящейся на одного человека;
56
М — количество человек, находящихся в помещении I часов в сутки;
Qt — вероятность отказа конструкции;
t — количество часов в сутки, в течение которых человек находится
в помещении;
I, — количество часов в сутки, в течение которых человек, находя-
щийся в помещении, может случайно находиться не на рабочем
месте в том же помещении.
Вероятность события, заключающегося в том, что в момент отказа кон-
струкции на площади поражения окажется один человек, будет равна:
Средние систематические неэкономические потери от отказа конструк-
ции определятся по формуле
^- B = N ^ Qk =N Qt, (5.3)
где N — средневероятное число людей на площади поражения.
На поражаемой площади кроме N человек могут случайно и временно
находиться L человек. Их количество определяется величиной F „„„ та-
ким образом:
Количество людей, случайно находящихся на площади поражения при
отказе конструкции, не может быть больше М — N. Поэтому:
£.=-^--(5.5)
Средневероятное значение случайных потерь можно выразить, исполь-
зуя частную теорему о повторении опытов /13/:
л„=е. Х' р.-й
(5-6)
где i — количество случайно попавших на площадь поражения людей;
Pt = ’ Р'' (1'" рУ~‘ — вероятность попадания на ту же площадь i лю-
дси; CL =----------------- — количество сочетании из L по /: р = —
вероятность случайного попадания человека на поражаемую площадь по
времени.
57
Полные средневсроятныс неэкономические потери получаются в ре-
зультате сложения (5.20) и (5.23):
Л=Я(^+П„ =(# + £)•&. (5.7)
Решение для второго случая основано на принципах теории массового
обслуживания (система с каналами связи с отказами). Дополнительно к ра-
нее принятым обозначениям вводится ещё одно:
К — количество мест в помещении, где люди могут находиться в тече-
ние времени t, (места отдыха в производственном здании, фойе, буфеты и
т.п.) При этом указанные места обладают приоритетами, то есть вначале
всех людей обслуживает система №1, после её отказа — система №2 и т.д.
Так как люди в помещении могут быть размещены как равномерно, так
и неравномерно, то для определения средневероя гного количества людей
на площади поражения была использована формула
где N, — среднее число людей на т-й поражаемой площади; pi — веро-
ятность, с которой /V, людей находятся на i -й поражаемой площади.
При равномерном распределении людей по площади помещения среднее
количество людей, находящихся на площади поражения, определится из
формулы
zv0 24
или при условии, что каждый человек находится в помещении I. часов:
При неравномерном размещении людей по плошали помещения существу-
ет вероятность того, ч то в первую систему не поступит ни одной заявки:
Poi =
В этом случае все люди будут распределены равномерно по площади
поражения. Средневероятное количество этих людей:
N0=N0-p'0l. (5.12)
Так как все системы обслуживания обладают вероятностью отказа, то
при отказе всех систем будет наблюдаться равномерное распределение
М - j людей по площади помещения с вероятностью, равной веро-
ятности отказа последней (К-й) системы;
'“ФИ
(5.13)
Таким образом, средневероятное количество людей, равномерно рас-
пределенных во второй раз по площади помещения, будет равно:
(5.14)
Среднее число людей на каждом из мест их сосредоточения определится
из формулы
Л = «Г О"/’,,»),
(5.15)
где д, =[ Д/- Vb I-———, L„ = 0 — приведённая плотность потока
1 [ V J 24 24 0
заявок на обслуживание; рпк = aj* р'ок / Lk\ — вероятность отказа заявке к-
f V а "к 1
й системой: р„. = > ---- —вероятность отсутствия заявок в А-й системе.
I ^о'и! I
Средневероятное число людей, находящихся в месте сосредоточения
№1. определится по формуле
(5.16)
Средневероятное количество людей, сосредоточенных в местах № 2,3 и
т.д. вычисляется по формулам:
(5.17)
Таким образом, полное средневероятное количество людей на поражае-
мой площади окажется равным:
N = X N.i ‘ Pi = N» Pm + N'o' + {1" Po ~ E P* |+ E L, ’ P«O-D- <5-18>
59
Полные средневероятпые неэкономические потери окажутся равными:
N=NQl.
На основе изложенной методики оценки неэкономических потерь воз-
никли предложения по изменению принципа проектирования строительных
конструкций /53/. Было предложено проектировать строительные системы
и изделия, исходя из принципа одинаковых неэкономических потерь. Его
смысл заключается в том, что отказ строительной конструкции в здании
любого назначения должен приводить к одинаковым неэкономическим по-
терям, равным эталонным. Таким образом, строительные элементы должны
проектироваться по вероятности отказа:
e.sfl=-. <52°)
где П,„, — эталонные неэкономические потери: Nlip — средневероятное
количество людей на площади поражения для проектируемой конструкции.
60
Следовательно, учет неэкономической ответственности проектируемых
конструкций отражает в себе:
• особенности объемно-планировочного и конструктивного решения
здания;
• режим пребывания людей в помещении;
• вероятностные свойства конструкции.
Одним из весомых параметров, влияющим на неэкономические потери
является время пребывания человека в помещении. Для оценки этого пара-
метра был произведен опрос 3109 семей, проживающих в различных мест-
ностях (рис.5.1 и 5.2). Результаты статистической обработки опытных дан-
ных показали, что характеристики исследуемого параметра, несмотря на
различие условий проживания жителей (в городе, на селе), примерно оди-
наковые — среднее значение времени пребывания человека в помещении
составляет 15,2— 16,1 час/сут. при коэффициенте вариации около 20%.
Для расчёта эталонных неэкономических потерь было принято: потери
рассчитываются для пустотной плиты перекрытия в, используемой в наи-
более распространённом в сельской местности одноэтажном двухквартир-
ном жилом доме (с трёхкомнатными квартирами), выполненным из конст-
рукций по серии 25. До 30% сельского жилого фонда России состоит из
зданий указанной серии.
В результате вычислений оказалось, что эталонное значение неэкономи-
ческих потерь составляет величину 4,1' 10^чел/50 лет.
Оценка неэкономических потерь
при отказе пятиэтажного жилого дома
Строительные элементы и системы должны быть безопасны для здоро-
вья и жизни людей. Этот фактор является решающим при проектировании
зданий.
Безопасность можно учесть с помощью неэкономических потерь, под
которыми понимается количество человек, находящихся на площади пора-
жения в момент отказа конструкции. За эталон безопасности могут быть
приняты неэкономические потери, возникающие при разрушении наиболее
массовой конструкции, установленной в жилом доме.
Далее неэкономические потери определяются для пятиэтажного жилого
дома. Предполагается, что разрушение дома происходит только за счёт об-
рушения перекрытий, в качестве которых рассматриваются сборные желе-
зобетонные плиты. Перекрытия на каждом этаже (уровне) может находить-
ся в одном из состояний — в отказавшем или неотказавшем. Будем
рассматривать состояние отказа.
В момент отказа вышележащей плиты суммарное статистическое
распределение нагрузки на нижележащее перекрытие складывается из
существующей постоянной, временной (количество человек в помеще-
нии) и динамической нагрузок. При этом последняя вызвана ударом от
падения вышележащей плиты. Однако такой способ решения связан с
большим количеством вычислений, так как число состояний от уровня к
61
уровню увеличивается (рис. 5.11). Поэтому была принята другая, при-
ближённая схема развития процесса разрушения без учёта нагрузки,
возникающей от веса людей. Такое допущение является обоснованным,
так как её максимальная доля от полной па1рузки имеет самое большое
значение (4,9%) на том уровне, с которою начинается разрушение. По
мере уменьшения количества уровней, вовлечённых в процесс разруше-
ния, указанная доля уменьшается. Такая схема позволяет вместо 96 ва-
риантов возможных событий рассматривать 6. Вероятность каждого из
состояний отказа на i-l уровне определяется как интеграл в пределах
(-оо,0} в композиции распределений прочности R и нагрузки от собст-
венной массы конструкций перекрытия qeil, снеговой нагрузки q. и
аварийной нагрузки от падения вышележащей плиты <уи (коэффициент
динамичности к, =3/2)
VG-i = -*<> [</« +£'/.«, 1 '=6+2. (5-21)
Для случая, когда обрушение начинается с 5, 4, 3 или 2 уровня, в фор-
муле (5.21) не учитывается нагрузка от снега. Для перекрытий, с которых
начинается обрушение, не учитывается аварийная нагрузка.
При этом предполагается, что распределение прочности по любому се-
чению плиты подчиняется закону нормального распределения. Законы рас-
пределения нагрузки — композиция нормального (для постоянных нагру-
зок) и двойного экспоненциального (для временных нагрузок).
Полная вероятность отказа перекрытия на «п»-ом уровне равна произве-
дению вероятности проявления одного из состояний Р, на условную веро-
ятность другого (1-Р|), вычисленную при условии, что первое имело место
(теорема умножения вероятностей).
л-±[₽.‘й‘(*-рд}
(5.22)
где к — количество состояний па рассматриваемом уровне, Р,, Pj — вероят-
ности реализации каждого из состояний на «л»-ом уровне.
Полная вероятность отказа всех плит перекрытий определяется по фор-
муле (5.23).
Для определения количества человек систематически и случайно нахо-
дящихся на площади поражения, были сделаны следующие допущения:
• максимальное, в том числе и систематическое количество человек
находится лишь на том этаже, который разрушается первым:
• на всех других этажах вместе будут находиться систематическое и
случайное количество человек (из максимума).
62
Порядок расчёта неэкономических потерь
I. Определяется вероятность отказа всех плит перекрытий по формуле:
р = 0.07555.
Вычисляются среднее значение максимального количества человек, ко-
гда-либо находившихся в квартире с периодом повторяемости 100 лет:
1, 100
— In —----
а
Здесь и и а вычисляются по формулам:
1.28255 - 0.5745
а=------, u=Nm,~—-—.
гле <4.'
— соответственно, стандарт и среднее значение максималь-
ного количества человек, Тпаж — среднее значение периода повторяемо-
сти события, заключающего в появлении N (среднее количество лет
проживания респондента в квартире).
64
= 30.539 чел.
3. Определяется средняя вероятность появления N:
на этажах, ко-
торые начинают обрушаться первыми:
на любом этаже.
Здесь р = -1______— вероятность появления щ
где t‘ — время нахождения максимального количества человек в квартире
(4 часа);
365 - 24 — период повторяемости, выраженный в часах.
= 1,71677-10й.
4.Опреяеляется средневероятное количество человек, случайно находя-
щиеся на этажах, ниже обрушаемого
Здесь средняя вероятность появления N на любом (i = 1) или на
нескольких одновременно этажах (2 = 4 + 2) ниже обрушающегося опреде-
лится по формуле:
где А = 4+1 — количество этажей ниже обрушающегося, C't — количество
сочетаний из к по i.
= 0.00233-
5. Определяется средневероятное количество человек, систематически
находящихся под разрушаемым этажом:
Здесь N — среднее значение количества человек, проживающих в од-
ной квартире, средняя вероятность появления N одновременно на этажах
ниже обрушаемого определится по формуле:
(?»,),=»< р;.
- — вероятность появления N на любом этаже; i — среднее время
где />
пребывания человека в квартире в сутки.
N, =0.34025.
6. Определяются полные средневероятныс неэкономические потери:
Я = 0,02596.
На основе методик оценки неэкономических потерь был разработан ме-
тод проектирования строительных конструкций, исходя из принципа оди-
наковых неэкономических потерь. Его смысл заключается в том, что отказ
строительной конструкции в здании любого назначения должен приводить
к одинаковым неэкономическим потерям.
66
6. Экономические потери при отказе
Одна из наиболее важных задач инженерного расчёта конструкций за-
ключается в минимизации затрат на её осуществление. Традиционный под-
ход к реализации этой задачи заключается в уменьшении расхода строи-
тельных материалов. Более объективный подход включает в себя учёт
затрат в смежных отраслях народного хозяйства — в основном в отрасли
промышленности строительных материалов. Еще более глубокий анализ
экономической целесообразности осуществления строительных конструк-
ций возможно провести с позиций учёта не только строительных затрат на
момент их изготовления, но также и учёта последствий их отказов в про-
цессе эксплуатации в той отрасли хозяйства, которая осуществляет произ-
водственные процессы в построенном здании.
В последнем случае приведённые затраты можно записать в виде:
где З,,^., 3„„ — затраты, приведённые и на изготовление; = 31тр + 3,тр —
эксплуатационные затраты; Зстр — строительные затраты, возникающие
при ликвидации последствий отказов (замена, ремонт отказавших и повре-
ждённых в результате отказа конструкций); 3„тр—отраслевые затраты, свя-
занные с ликвидацией последствий отказов (остановка, переналадка и тому
подобное производственного процесса, размещённого в здании); Н — ко-
личество отказов за срок эксплуатации.
Расчёт 3„а„ на стадии проектирования затруднителен и часто невозможен.
Поэтому в (6./) был осуществлён переход на относительные величины:
(6-2)
где р = С,„„, / С„Л. — коэффициент экономической ответственности конст-
рукций.
Оказалось, что приведённые затраты
только при небольших значениях
коэффициента р существенно зави-
сят от него /23/.При средних и
больших значениях этого коэффи-
циента приведённые затраты мало
чувствительны к его изменению
(рис. 6.1).
67
7. Оптимизация надёжности конструкции
Оптимизация надёжности является одним из наиболее важных результа-
тов вероятностных методов расчёта. В 1968 г. в ЦНИИСК им. Кучеренко
Госстроя СССР была выполнена работа по разработке методики экономи-
ческой оптимизации коэффициента запаса/23,24/:
где К — коэффициент запаса.
Оптимальное значение коэффициента запаса предложено вычислять из
выражения
V-K + K -с, t V. )
Е V II. + и,
где $ =-----------------
со
Коэффициент экономической ответственности;
ИРИ2 — стоимость ремонтов от отказов и величина постороннего ущерба
в течение всего срока службы сооружения (с учётом отдалённости затрат);
Со — первоначальная стоимость сооружения; 0 = 0 * 0,5 — коэффици-
ент. зависящий от вида напряжённого состояния конструкции и её геомет-
рии; V — коэффициент, учитывающий долю затрат на ремонт от первона-
чальнойстоимости сооружения; V. = — коэффициент' вариации
композиции распределений прочности и нагрузки; Е — отраслевой норма-
тивный коэффициент эффективности капитальных вложений.
Изложенное было использовано при разработке инструкции по расчёту
конструкций теплиц вероятностно-экономическим методом /31/.
При оптимизации надёжности конструкции целевая функция может
быть составлена на основе (6.2) и записана в виде:
3„р,»,=3,„.//+^//) => мин.
(5.40)
Однако оптимизированная по эконо-
мическому критерию конструкция может
иметь надёжность IV,„„ нс обеспечиваю-
щую необходимую безопасность людей,
которые находятся на площади поражения.
Поэтому область оптимизации нуждается
в ограничении снизу (рис. 7.1). Естест-
венно, что это ограничение должно вы-
текать из (.5.20):
68
где П >» — эталонные неэкономические потери (подробно см. в главе «Бача
данных»); — средневероятное количество людей на площади пораже-
ния для проектируемой конструкции.
Определив границы области оптимизации надёжности, перейдём к об-
суждению вопроса о способах поиска минимума приведённых затрат.
Составляющие приведённых за-
трат можно выразить зависимостями
(рис. 7.2), учитывая следующие ус-
ловия. Часть функции, описываю-
щая затраты на изготовление, долж-
на обращаться в бесконечность при
стремлении надёжности, к единице и
в нуль при стремлении надёжности
к нулю. Другая часть, описывающая
затраты на эксплуатацию, должна обращаться в нуль при стремлении на-
дежности к единице и в бесконечность при стремлении надёжности к нулю.
Этим условиям удовлетворяет функция
(1+4 а)+«££ (1+г-е). «.о
где а,Ь,к,г —эмпирические коэффициенты; О —вероятность отказа.
Для нахождения экстремума функции (7.4) дифференцируем её по Q,
приравниваем нулю и решаем относительно Q:
40 {«-0) u-Q (1-eJ
+H-(l+rQ)'-Al|=O.
-(i+z,-e)(i-ei)+/»(i-e)Q(i-e)+«-*(i+r-e).«e2+
+Hr*e«e’(i-e)=o.
(7.5)
(7.6)
i-z>e+2e+2z>e2-e2-hG,+z>-e-6<22-2z,G2 +
2 b O' + b-Q'-b Q1 + kaQ‘ +k-a-r-Qs + k a r-Q' -
-*a-re4=0 (7.7)
- Q‘ • (b + II • к a • r) + Q' 2 • (b + H к a r)+
+ Q2(H-ka-l-h)+2Q-l=0. (7.8)
69
В результате получено уравнение 4-й степени относительно Q.
С* +g3 -(-2)+g;-f-- —' n—1 l+g(----------1+---------=0, (7.9)
' ' [ H-ka-r+h) ( Н-кат+Ь) H-kar+b
одним нз решений которого является оптимальное значение вероятности
отказа. Три других решения не могут быть приняты к использованию, так
как два из них комплексные, а третье —
имеет значение больше единицы. Рабо-
чая область функции заключается в пре-
делах 0-5-1 (рис. 7.3).
Эмпирические коэффициенты а,Ь,к,г
могут быть найдены из решения двух
задач с произвольно назначенными ис-
ходными данными. При этом искомые ко-
эффициенты выразятся через соответствующие стоимости изготовления и
затрат на эксплуатацию:
о,)
“Q,
"Qz
Решая (7.8). имеем:
ае. [o-a)-jfc(i-a)]
При тех же вероятностях отказа затраты на эксплуатацию:
3,""’Га (,+г й)
70
Решая (7.1J), имеем:
(7.14)
(7-15)
Более точные значения коэффициентов а,Ь,к,г
могут быть найдены
из решения четырёх задач с произвольно назначенными исходными данны-
ми. В этом случае уравнение (7.4) приводится к линейному виду:
Зчж. е-(1-б)=(1-еУ Wa+b Q/aj+k-Cf (1+г-е).
(7.16)
Пусть Z = \/a, v = b/a, w=k r, тогда:
3^ Q {\-Q)=z + v Q-2Q z-2Q2 v+z-Q2 + v-Q3 ^k -Q2 ^W Q3 =
=z (l-2Q+Q2 X v (Q-2Q2 + Q3\k Q2+w-Q3=
=z (i-e)2+v- q (i-eX+* q2+w-q\
Заменяем:
л=(1-с)/й. в=1-е, o=e/(i-e), s=e7(i-e).
‘3„/,M=z-A + v-B + k-D+w-E. (7.17)
Имея (по результатам решения четырёх задач) 4 точки для состав-
ляем и решаем систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвест-
ными коэффициентами — г, v. it, и>:
Зч«.1 = zAl+vB,+kD, + wE,
= z-A2 + v- Вг+к- D2+w- Ег (7.18)
3^з = Z-4j + v' вз + * ’ D3 + w‘ Ез
= z • A4 + v • fi4 + к • D4 + w-E4
Оптимальное значение вероятности отказа Q можно также получить вы-
числительными способами, применяя итерацию. Полученное значение ве-
роятности отказа будет оптимальным только в случае, если оно не больше
того, которое обеспечивает эталонную безопасность людей на площади по-
ражения. Далее, используя значение оптимальной вероятности отказа, осу-
ществляем переход к расчёту инженерных параметров элемента (геометри-
Для вывода соответствующих расчётных зависимостей составим систе-
му уравнений, описывающих композицию распределений прочности и на-
грузки:
R =Ц7 + q, ct>(^.vJ + ct;
Из (7.21) следует: &v = Wlnv
Подставляем (7.22) в (7.20):
Отсюда имеем:
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
(7.23)
(7.24)
(7.25)
(7-26)
В формулах (7.19)-(7.26) использованы следующие обозначения:
Vs — коэффициент вариации прочности элемента;
q,R — средние значения нагрузки и прочности;
СТ — среднеквадратические отклонения.
72
Таким образом, получена формула, в которой результат не зависит от
абсолютного значения прочности элемента, а только (помимо всего проче-
го) от коэффициента её вариации, который является достаточно стабильной
величиной (табл. 7.1).
Таблица 7. /
Прочность и её коэффициент вариации
для изгибаемого железобетонного элемента
I М.кНм 1 283.2 1 375.1 1 465.9 1 555.5 I 643.9 I 1429 5 J | 0.09410 |
1 V 1 0.09387 | 0.09373 | 0.09359 | 0.09346 | 0.09335
На основании изложенного можно составить следующий порядок про-
ектирования конструкции по заданной (оптимальной) вероятности отказа:
• подстановкой в (3.21) Q определяем число стандартов п* от сред-
него значения композиции распределений прочности и нагрузки до
значения УМ),
• используя nv , определяем i/Г по формуле (7.26);
• по п* определяется среднее значение прочности, соответствующее
оптимальной вероятности отказа;
• определяются инженерные параметры конструкции, соответствую-
щие полученному среднему значению прочности.
73
8. Инженерный алгоритм вероятностной оптимизации
материалоёмкости строительных конструкций
Ниже излагается инженерный способ, основанный на вычислительных
методах. Порядок оптимизационных расчётов следующий.
1. Исходные данные:
qr — среднее значение постоянной нагрузки;
q' — среднее значение временной нагрузки на начало эксплуатации;
— стандарт постоянной нагрузки;
<Т — стандарт временной нагрузки;
Т — срок эксплуатации, годы;
L, В, liQ,...R...ai,,ffB.aiia ...ак — геометрические и прочностные стати-
стические параметры рассчитываемой конструкции (средние и
стандарты);
— коэффициент вариации расчётной процедуры;
z — количество рассматриваемых вариантов конструкции;
3„к: — затраты на изготовление конструкции z-ro варианта;
Р — коэффициент экономической ответственности;
Ft — площадь поражения от отказа конструкции;
/•'„ — площадь помещения;
М — количество человек (в среднем), находящихся в помещении,
чел/сут.;
t — время систематического пребывания человека в помещении, ч/сут.;
Г| — время случайного пребывания человека на площади поражения,
2. Оценка интенсивности временной нагрузки на конец эксплуатации:
q't =и + — • Ln(r\ a = l.23/a'4;u=q!-0.58/а. (84)
3. Установление среднего значения
их стандарта на конец эксплуатации:
гги полных нагрузок и
«, =?г+«;: <’,=4(?4+W- <!»
4. Вычисление среднего значения и стандарта усилий, возникающих в
расчётном сечении от внешних нагрузок на начало и конец эксплуатации
(Л7,Л7л,Л,,Т,О).
5. Определение среднего значения и стандарта свойства z-й конструкции
на начало и конец эксплуатации с учётом накопления повреждений
(Л,аяЛ,сти).
74
6. Вычисление индикаторов отказов конструкции на начало и конец экс-
плуатации:
(8.3)
7. Оценка вероя тностей отказов на начало и конец эксплуатации:
2,0686-0.4214-/,„
1 + 0.3149-/,,-0.091/;
8. Построение зависимости вероятности отказа от времени:
S = ^-, А= —Inf—1 @.5)
r*+s е, е. in(/)v,j
9. Установление количества отказов за срок эксплуатации вычисляется
по рекуррентной зависимости:
».-£te,-Av. и.-ы-и-.т- <“>
<1 /! V + A)
10. Оценка приведённых затрат:
З.^^.-а+РНт). (8.7)
11. Анализ: является ли минимальным среди других? Если нет
(или если г = 1), идти в п, 5, увеличив г на единицу. Иначе — продолжить.
12. Используя зависимость в п. 7. определяется Q„„m и по ней — опти-
мальная надёжность:
(8.8)
13. Вычисляется вероятное количество людей, находящихся на площади
поражения от отказа конструкции:
N=Nl + N2,Nl=MA.JL, Nг=^--(Ь-0-(/-2)...(/-»1) р- (1-рУ\
121 F„ 24 2 fa U
(8.9)
14. Из условия обеспечения безопасности людей, находящихся в поме-
щении (нспревышения эталонных неэкономических потерь), определяется
минимально допустимая надёжность рассчитывемой конструкции:
|H']=l-4.110’4/W. (8.10)
15. Анализ: W„„„ больше /IV/? Если да — то идти в n. 17. Иначе — про-
должить.
16. Оптимальным вариантом является вариант № z-1. Конец.
17. Экономическая оптимизация сечения невозможна по соображениям
безопасности. Принять вариант, обеспечивающий /IV/. Конец.
75
9. Паза данных для вероятностных расчётов.
Представление статистической информации
9. /. Содержание базы данных
Под базой данных в настоящей работе понимаются массивы чисел, ста-
тистически характеризующие свойства объектов или процессов и которые
служат исходными данными для вероятностных методов расчёта. Приме-
ром массивов чисел служат таблицы расчётных характеристик материалов,
приведённые в СНиПах.
К массивам чисел должны быть предъявлены определённые требования:
• пригодность при использовании вероятностных методов расчёта
строительных элементов и систем;
• определённость условий получения данных;
• объективность при их получении;
• возможность дальнейшей статистической обработки и обобщения;
• достоверность;
• максимальная полнота информации;
• унифицированная форма представления;
• компактность;
• другие требования.
В общем, для вероятностных методов расчёта СЭС необходимы сведе-
ния о статистических характеристиках, отражающих:
• свойства материалов;
• геометрию и конструктивные особенности объектов;
• параметры технологических процессов:
• интенсивность воздействий (в частности, нагрузок).
Кроме указанных сведений, при оптимизационных расчётах требуются
данные, отражающие социально-экономические особенности проектируе-
мого сооружения (см. раздел 5.4). Такого рода сведения могут и не иметь
статистической природы, однако по мере накопления информации и её
обобщения, статистическое представление её может оказаться возможным.
Для решения вопросов, затрагиваемых в настоящей работе, основными
исходными данными для вероятностных расчетов являются, как правило,
опытные данные. В некоторых случаях в качестве массивов могут высту-
пать результаты расчётов на ЭВМ (например, при расчётах надёжности
систем).
9.2. Представление статистической информации
Методика сбора, обработки и представления статистической информа-
ции — это практически самостоятельный раздел вероятностных методов
расчёта (например, теории надёжности строительных элементов и систем).
При этом теория должна конкретно определять качество и количество ин-
формации. необходимой для практического использования в расчётах.
76
Свойства строительных материалов и элементов можно представить па-
раметрическими законами распределений. Это предположение можно
обосновать тем, что свойства материалов и конструкций во времени меня-
ются незначительно и, как правило, имеют определённую тенденцию. Ска-
занное следует понимать таким образом, что возможные изменения свойств
носят, как правило, неслучайный характер, случайный характер имеет лишь
численное значение этого свойства.
Иной физической сущностью обладают внешние искусственные или
естественные воздействия, случайным образом зависящие от времени.
Следовательно, воздействия на конструкции следует расценивать как
случайные временные процессы. В большей мере это относится к воз-
действиям. имеющим естественное происхождение (ветер, снег, сейсми-
ческие волны и т.п.), в меньшей мере — к воздействиям, имеющим ис-
кусственное происхождение (технологические нагрузки, температура,
взрывы и т.п.). Последние, в общем случае, не должны расцениваться
только как случайные процессы, так как характер их развития может
изменяться под влиянием самых разнообразных факторов: прогресса
науки, исторического момента, народнохозяйственного, политического
назначения сооружения, репутации фирмы и т.п.
Из этого далеко не полного перечня неслучайных причин довольно чёт-
ко видна их количественная неопределённость, практически означающая
нецелесообразность использования параметрических законов для описания
внешних воздействий. Следовательно, впредь, до детального изучения ука-
занных причин, разумно все внешние воздействия представлять в виде вре-
менных случайных процессов. Так как в дальнейшем излагается материал,
имеющий значение в основном для вероятностного описания свойств
строительных элементов и систем, следует отметить, что для своего детер-
минированного и вероятностного описания они могут использовать как
зависимые, так и независимые случайные величины. В связи с этим возник-
ла необходимость разработки частных методик сбора, обработки и пред-
ставления статистической информации.
Нельзя отрицать, что представление распределения случайных величин
тем пли иным законом во многих случаях определяется субъективно. Среди
субъективных причин, характерных для исследователей-строителей, можно
выделить следующие: недостаточную квалификацию в области статистиче-
ской обработки результатов опыта; ограниченность математического аппара-
та вероятностных методов расчёта, который мог бы потребовать представле-
ние ряда случайных чисел вполне конкретными законами распределений;
неполное использование вычислительной техники, приводящей к упрощению
и снижению качества аппроксимаций.
В силу существования субъективных причин, задачу представления ин-
формации необходимо решать таким образом, чтобы полностью их исклю-
чить, а для заинтересованных лиц представить возможность аппроксимации
фактических распределений любым теоретическим, обобщения данных и
совершения над ними разнообразных статистически обоснованных преоб-
разеваний. Для этой цели представление информации разумно осуществ-
лять при помощи фактических статистик. Перечислим их:
N — число наблюдений в выборке;
X — среднее арифметическое:
(7 ' — дисперсия;
Д. —третий центральный момент;
— четвёртый центральный момент;
mod — абсцисса моды;
W — размах величины (макс-мин);
Хо.05- ЛЬ.10. -Тод5. -То.5- Xfl.75, ХО.90, Хо.И КВЭНТИЛИ.
Среднее значение, дисперсию и центральные моменты при этом следует
вычислять по ряду чисел, а не по гистограмме. Число наблюдений в выбор-
ке позволяет судить об сё репрезентативности. Центральные моменты ука-
зывают на асимметрию и эксцесс распределения. Размах информирует о
фактическом диапазоне наблюдённых величин. Квантили позволяют вывес-
ти критерий z2 для любого закона распределения. Координата моды несёт
дополнительную информацию о виде закона.
Можно предложить следующую форму представления информации о
распределении случайной величины:
Одной из форм обработки и представления статистической информации
является корреляционно-регрессионный анализ результатов опытов и его
представление, выраженное, например, в форме уравнения ре!рессии. Однако
эта очень компактная форма представления информации имеет существен-
ный недостаток - она не позволяет воспроизвести исходный статистический
материал и, следовательно, делает невозможным обобщение опытных дан-
ных. Для преодоления этого недостатка применяется следующая форма пред-
ставления информации о зависимых статистических величинах, позволяющая
воспроизвести корреляционную матрицу:
N х х. хг V Р'т
-Г| Ьц Г21 Х1 ,</>•<•
-3'2 чип *12 *22 Г.32 гл X2.IMAT
АЗ *23 *33 ГрЗ '-,3 ХЗчркр
*Ь *2,. *3,. *„„ г... X
Р и о : т ь Учакч
Ьо *2 ст,. К"‘
78
В этой таблице принято:
N — число опытов:
X, Y — среднее значение аргументов и функции, наблюдаемых в опытах;
(х, — диапазоны наблюдённых значений аргументов и функции;
F"". R°" — опытные значения критерия Фишера и множественного ко-
эффициента корреляции;
by — коэффициенты регрессии в полученной модели;
О’ — среднеквадратическос отклонение функции от своего среднего
значения;
г,У — коэффициенты парной корреляции между всеми аргументами и
функцией.
Рассмотрим возможности использования такого рода информации:
1. Уравнение регрессии первой или второй степени позволяет опреде-
лить дисперсию функции по заданным дисперсиям аргументов.
2. Статистические оценки F и R позволяют судить о надёжности пред-
ставленной математической модели изучаемого процесса.
3. Диапазоны х„„, — х,ю,е определяют диапазон использования матема-
тической модели.
4. Значения Ъ. г, (У позволяют воспроизвести матрицу сумм произведе-
ний отклонений, которая может быть использована при обобщении результа-
тов опытов или для дальнейшего статистического анализа (определения ча-
стных коэффициентов корреляции, определения значимости коэффициентов
регрессии и т.п.).
Наиболее сложным и трудоёмким с точки зрения вычислений является
развёртывание информации, представленной в таблице. В настоящее время,
когда в практику экспериментирования ещё недостаточно вошли идеи пла-
нированного эксперимента, в таблице, видимо, будут преобладать взаимо-
зависимые факторы. Поэтому для воспроизведения матрицы сумм произве-
дений отклонений необходимо решать систему (5р+р2)/2) уравнений с
таким же количеством неизвестных (где р — количество факторов). В каче-
стве неизвестных выступают суммы произведений отклонений и стандарты
факторов. Ниже приводится эта система.
Количество неизвестных в этой системе: сумм произведений отклоне-
ний — (р2+Зр)/2, стандартов — р, всего — (5/>+р2)/2.
В случае представления информации о результатах реализации плани-
рованного эксперимента, представленная таблица окажется наполовину
незаполненной из-за отсутствия корреляции между факторами. Решать
систему уравнений, представленную выше, также нет необходимости, так
79
как в матрице сумм произведений значимыми элементами являются суммы
квадратов отклонений и суммы произведений факторов на функцию.
1) Ь,-^ЛХ^+Ь2 •£ДХ1ДХ,+... + й,>£дХ|ДХ(> = 2}ДХ,-ДУ
2) й, £ДХ,-АХ,+й, • £дХ22+... + />,, £ДХ2 АХ, = £ДХ,.АГ
р)й, ^ДХ, - АХ, + й, £ДХ, • АХ, +...+Й, £ДХ2 = £ДХ(, -АТ
р + 1) ХдхХи-О-о-2
р + 2) £ДХ2’ = (п-1)-ст’
2р) Едх;=б»-о-<
2р + 1) 2}ЛХ| -ДХ2 =(л-1) сгЛ1 -сгд, -л;2
2р + 2) 2}ДХ, ДХэ=(и-1) о-Д1 -О.,-ъ
2р+-гу£) . •’..'I,-.»
Едх.'д1'=("-1)<т..ст)-гР.
Таким образом, в системе останется 2р неизвестных. Ниже приведена эта
система.
D *. Sx,’ = Ex,-»'
2)i2-x^=E^-r
р + 1) XXi’r = ("-1)-'ir-CT.rCT,
р + 2) ^Х2-Г = (п-1)-т2г стД1СТ1
2р) Z‘Г = (" "О'ги''а,'' а>
80
Таблица 9.1
Опытные данные об изменчивости параметров, определяющих изменчивость различных свойств материалов и конструкций
Параметры V,% Иомен Параметры V,% Но мер
рис табл рис
нагрузки Свойства арматуры
Объемная прочность стержней прочность 2-10 6.12
глины 4.6 - 6.1 6-10 6.12
суглинка 2.9 — 6.1 прочность в партии 1-6 6 13
тяжелого бетона 2.42 6.1 МОДУЛЬУПРУТОСПТ 6-11 6.15
ксрамзитобстона М100 9.1 6.1 остаточное 8-20 6.15
древесины(сосна) 6.5 6.1 равномерное удлинение 33 - 6.15
керамзита ^ЗОО-бООкт/м’ 6.9 6.1 площадь попсречн. сечения 1-4 6.16
цементной стяжки 7 з 6.1
асфальтовой стяжки 1 i 6.1 Прокат
ДСП 11.6 — 6.1 прочность листа •1 1 6.17
3-слойного рубероидного ковра 1.1 6.1 прочность уголка 8.1 6.17
удлинение листа 14.1 — 6.17
Поверхностная плотность удлинение уголка 8.8 - 6.17
толя К 1 6.1 толщина листа 6 6.18
керамической плитки 4.1 6.1
линолеума 5.7 6.1 материалы
Временные нагрузки древесина:
снеговая для U1 сн.района 43 - прочность на растяжение 23
то же для IY сн.района 47.8 полные деформации 31
для района: модуль упругости 9.3
1 44 6.2 прочность 7-сл. фанеры 24.3 6.18
II 37 6.2
III 31.9 6.2 Параметры
IY 31 6.2 предгтапряж, в арматуре 3-14 6.20
Y 26 6.2 ' "вЯСБК 5-83 - 6.24
YI 27 6.2 высота стеновой 0.25 6.19
YI1 24 6.2 jeiiiiia стеновой напели 0.2 6.2
Параметры V,% Номер
рне 1чЛ’1
полные нагрузки в квартирах жилых зданий:
1-комнатных 28 - 6.3
2-комнагных 30 - 6.3
3-комнатных 26 6.3
4-комнатных 22 6
Свойства бетона
кубиковая прочность 12.9 6.3 -
призменная прочность 20.6 - -
прочность на растяжение 11-28- 6.7
модуль упругости 6.8
коэффициент упругости 8-22- 6.9
деформации ползучести 40 - 6.11
полные деформации 59.5 — 6.10
Параметры V,% Номер
рис гяЛп
толщина стеновой панели 1.1 6.21 -
погиби в стальных фермах 97-111 - -
точность монтажа колонн R= 154мм
точность опираний «=252мм
катет сварного шва 28 6.28
глубина коррозии 55.8 6.29
расчСгн. процедуры ЖБК:
прочность норм, сечений 7.65 -
прочность накл. сечений 14.6 - -
момент трещинообразов 8.8 -
ширина раскрытия греиши 37.2 - -
полный прогиб 61.5 -
длина зоны передачи напр. 28.9 - -
коэффициент ч1, 4.7 6.38 —
коэффнцие1гг 26.5 6.39
82
Приложение 1
Статистические распределения
Закон распределения — математическое выражение, связывающее
численное значение случайной величины с вероятностью ее реализации.
Условно увеличив количество опытов до бесконечности, длину интер-
вала в гистограмме — до бесконечно малой величины и количество интер-
валов — до бесконечности, можно получить плавную кривую и описать ее
каким-либо математическим выражением.
Закон распределения обладает следующим свойством: если всю пло-
щадь пол кривой распределения принять за единицу, то вероятность попа-
дания случайного числа в интервал «а-Ь»
будет равна площади под кривой распре-
деления, ограниченной справа и слева
ординатами, проведенными из точек «а» и
«Ь», и сверху — кривой распределения
(рис.П.1.1).
Таким образом, в теории вероятно-
стей и математической статистике кри-
вые распределения используются для рас-
чёта вероятности того, что случайная величина попадет в заданный интер-
вал значений.
Площадь пол кривой распределения вычисляется интегрированием в за-
данных пределах функции плотности распределения. Если последнюю за-
писать как fix), то площадь под кривой распределения в интервале значений
«а - Ь» определится следующим образом:
попадания в заданный интервал
Кривых распределений существует бесконечное множество; для вычис-
ления площадей под ними необходимо знать их уравнения. Понятно, что в
каждом случае выводить конкретную формулу для /W-задача сложная и во
многих случаях неразрешимая.
Поэтому в теории вероятностей появились описания отдельных, наиболее
характерных кривых распределений, которые часто встречаются в практике
исследователей. Эти кривые были названы законами распределений. Каждый
из них обладает определенными особенностями, которые показаны ниже.
Нормальное распределение
Вид функции:
(П.1.2)
Вероятность попадания в интервал -о — х:
при z < 2.5
p = 0,5-0,399-z- I
z’ z1* z* ~l , _lx —xl
б + 40 ЗЗб]’ Z”| <т Г
при z>2.5 p = 0.399 eX?('°'5'Z~^l
А
Это распределение наиболее часто
используется для описаний распреде-
лений прочности строительных мате-
риалов и конструкций. В силу своей
Дис. А/У”нормалы1ое распределение ПРОСТО™ °н° также применяется И В
других случаях. Нормальное распреде-
ление колоколообразное, симметричное и своими ветвями (влево и вправо
от центра) стремится к бесконечности (рис. П.1.2).
Логарифмически нормальное распределение
Наряду с большими достоинствами нормального распределения, сто ис-
пользование не всегда корректно даже для описания прочности. Например,
в случае описания распределения
прочности керамзитобетона с не-
большой прочностью, теоретически
с большой вероятностью следует
ожидать появление прочности со
знаком минус, что противоречит
здравому смыслу (рис. П.1.3).
Поэтому в таких случаях целесооб-
разно использовать логарифмически
нормальное распределение, которое
левой своей ветвью начинается от
нуля, что исключает выше приве-
денное несоответствие (рис. П.1.4).
нормального распределения
Рис. II.h4. Логнормальное распределение
Вид функции:
х-а-ф2-л |_ 2ат J
где а2 = Ln
‘"'дан'
Вероятность попадания в интервал 0 — х — см. нормальное распреде-
ление при
Ln(x)-b
Распределение, описываемое рядом Грам-Шарлье
Численное значение прочности строительных материалов и нагрузок,
вводимых в детерминированные расчёты, обычно далеко (в статистическом
смысле) отстоят от своих средних
значений (рис. П.1.5.). Эти области
распределений носят название «хво-
стов распределений».
Существует мнение о том, что на
хвостах распределений нарушаются
статистические закономерности, пред-
полагаемые принятыми закономерно-
стями. В таких случаях говорят о появ-
лении «выбросов» (рис. П.1.6.). Для
устранения несоответствия между
опытными данными и законом распределения можно воспользоваться ря-
дом Грам-Шарлье. Распределение, описываемое этим рядом, позволяет
учесть наличие выбросов в фактическом распределении (рис. П.1.7).
описываемое рядом I рам-Шарлье
Однако использовать рассматриваемое распределение надо осторожно,
так как иногда далеко от центра распределения значение функции может
быть отрицательным, что противоречит смыслу понятия вероятности (веро-
ятность не может быть отрицательной).
Вид функции:
у = /(х)-[Е-х4 + A-.tJ-6-Л'-.т2-3-А-.г + З-Е+1|
(П.1.4)
где /(х) — функция нормального распределения (см. П.1.2.)-,
За4)-
85
Вероятность попадания в интервал
)-(_Ak,-E-kt)v(z). ф(г)=^-ех/-
Экспонениитьиый закон распределения
Для описания рас-
пределения отказов в
теории надёжности час-
то используют экспо-
ненциальное распреде-
ление (рис. П. 1.8).
Вид функции:
Вероятность попадания в интервал -со — х: р = 1- ехр(х/х)
Гамма-распределение
Существуют некоторые распределе-
ния, которые обобщают в себе свойства
нескольких распределений. К их числу
относятся: гамма, бега, Вейбула и другие.
Для гамма-распределения вид функции
показан в (П. 1.6). При различных значе-
ниях (X
гамма-распределение принима-
ет форму экспоненциального, нормаль-
ного или логарифмически нормального
законов распределений (рис. П.1.9).
(П.1.6)
86
Вероятность попадания в интервал 0 —х:
— • r,,fl - (а +1), где Г,,д • (а +1) — неполная гамма — функции
Вид функции:
Если а — целое
Бета-распределение
"ис. П.1.10. Формы кривых бега-распрсделення «и /I:
(П.1.7)
Вероятность попадания в интервал 0 —х:
Это распределение может принимать ещё более разнообразные формы
(рис.П.1.10).
Распределение Вейбула
87
Вид функции (рис. П. 1.11):
(П.1.8)
где Р — определяется подбором из формулы:
где Г— гамма-функция. Вероятность попадания в интервал 0 —х:
р = 1-ехр(~—)•
Распределение Гумбеля
(двойной экспоненциальное распределение)
Для описания распределений
временных нагрузок, в частности,
снеговых, очень часто используется
двойное экспоненциальное распреде-
ление Гумбеля (рис. П.1.12). Это рас-
пределение экстремальных значений.
Особенностью применения этого
распределения является возможность
прогноза нагрузок во времени.
Функция распределения:
У = а-ехр(-и —е‘") .
(П.1.9)
1.283 _ 0.575 , к
а =-----, Y„=x--------, и=а-(х-у„).
о а
Среднее экстремальное значение через Т лет выразится формулой
Х(г)=(/-^2. (П.1.10)
5й распределения Гумбеля,
В связи с важностью пош
проведём следующий анализ.
Следует понимать, что интенсивность временной нагрузки за срок эксплуа-
тации является предполагаемой. Фактически она может и не возникнуть, но
вероятность её появления существует. Рассмотрим это более подробно.
Предположим, что имеется статистический материал по максимальным
годовым нагрузкам от снега за много лет (рис. П. 1.13).
88
Рис.П.1,13. Распределение максимальных годовых снеговых нагрузок
Совокупность всех опытных данных образует распределение, показан-
ное справа от графика на рис. П.1.13. Для этого распределения среднее зна-
чение равно 1425,49, стандарт — 304,529, коэффициент вариации — 0,214
(Табл. П. 1.1)
Таблица П. 1.1
Значение еерелкны в гистограмме (Xi) Частота попадания в интервал (я,-) Xi л,
2200 1 2200 4840000
2000 1 2000 4000000
1900 3 5700 10830000
1800 3 5400 9720000
1700 3 5100 8670000
1600 4 6400 10240000
1500 10 15000 22550000
1400 5 7000 9800000
1300 7 9100 11830000
1200 3 3600 4320000
НОО 6 6600 7260000
1000 2 2000 2000000
900 2 1800 1620000
800 1 800 640000
W = 51 £=72700 23=108270000
ХФ=1425,49 <7=304.529
Параметры этого распределения (в предположении, что оно подчиняется
закону распределения Гумбеля) следующие:
а= 1,161/(7= 1,161/304,529 = 3,81х10‘3,
где 1,161 — число в распределении Гумбеля, соответствующее числу на-
блюдений N= 51,
и = Средн. — 0,55/а = 1425,49 — 0,55/3.81 х 10'3 = 1281,13,
где 0,55 соответствует N = 51.
90
Напомним, что функция распределения закона Гумбеля записываете
следующем виде:
Особенностью распределения Гумбеля является возможность проги
среднего значения (во времени) по формуле: оза
X(t)=u + — ln(r).
(П.1.12)
однако при этом стандарт остаётся неизменным во времени.
В формуле для X(t) t означает период времени, на который осуще
ствляется прогноз (например, срок службы здания). На рис, п.1 14
табл.П. 1.2 показаны теоретическая кривая и опытные точки "
рис.П.1.13, соответствующие тому илииному сроку прогноза. Срок п П°
гноза иначе называется периодом повторяемости нагрузки (в рассматп
ваемом примере). Период повторяемости нагрузки следует понима**
таким образом. Будем рассматривать максимальные значения, появля **
щиеся один раз в 5, 10, 15, 20, ЗОлет (в соответствии с рис. П /
Предполагается, что количество таких значений достаточно большое '
можно говорить о распределениях, которые они образуют. Таким обра"
зом, в каждой группе значений есть Х(0и одинаковый для всех груП11
значений стандарт. Во времени значения Х(1) распределяются по экс
поненте (с.«. (П.1.12) ирис.П.1.14).
Используя закон Гумбеля, предполагается, что вне зависимости
времени стандарт распределения остаётся неизменным. Это означае°Т
что коэффициент вариации нагрузок со временем уменьшается:
а 1-28 1.28 Уо 1.28
Указанная зависимость показана на рис П.1.15.
Важное значение имеет анализ вероятностей превышения определённы •
(например, вводимых в расчёт) значений. Результаты исследований приве*
ли к следующим выводам. Вероятность превышения максимальной нагпу-
ки, которая может появиться за 50 (100) лет эксплуатации, не зависит 3"
среднего и стандарта исходного распределения. (Она равна, соответстве°Г
но, 0.019801 и 0,00995). Вероятность превышения максимальной нагруз "
зависит только от времени, на которое проектируется здание (рис.П I /к!’
Это следует из анализа соответствующих зависимостей. Необходимо отме
тить достаточно высокий уровень вероятности превышения нагрузок за" 50
и 100 лет. Это несколько необычно .для принятых в нормативных докуме
тах значениях, равных примерно 0,001.
91
0.05, 2 - при Vo=0.7,3 - при f = 2 гола. 4 - при / - 100 голам
Вероятность превышения любого значения X, взятого из распределения
Гумбеля, определяется по формуле:
(/7.1.14)
где а = — ,и = Х среднее,а стандарт. ВиС переменные, зависяти
количества из.меренннй(п)(при па» 8 = 1.2826, С = 0,5772 см. табл.П.1.2 )
На рис. П.1.17 приведены подтверждающие графики для / - 50 и 100 лет.
На них значения ip (вероятности превышения нагрузок за 50 и 100 лет) нс
зависят от среднего значения и коэффициента вариации. При этом среднее
значение изменялось от 500 до 5000 через 500, а коэффициент вариации —
от 0,05 до 0,7 через 0,05.
93
Приложение 2
Краткие сведения о теории планирования эксперимента
1. Обиде положения
Планированный эксперимент — это серия опытов, поставленная по спе-
циальному плану, который позволяет построить достоверную матема-
тическую модель изучаемого явления или процесса наиболее экономичным
способом.
Как правило, результатом проведения планированного эксперимента яв-
ляется уравнение регрессии первого или второго порядка (то есть линейное
или квадратное). Планирование эксперимента позволяет снизить объём
эксперимента и уменьшить трудоёмкость обработки опытных данных.
С этой целью при планировании эксперимента производится кодирова-
ние факторов. Геометрически это означает изменение начала отсчета по оси
абсцисс. Например, при изуче-
нии прочности бетона в зави-
симости от времени его термо-
обработки количество часов
обогрева бетона может быть 4,
6 и 8 (рис.П.2.1, строка «в»).
Приняв в среднем время обогрева
рева 6 часов, введемусловное начало отсчёта от этою значения (точка «б»
на рисунке). В этом случае условные значения часов обогрева составят -2,0
и +2 (строка «г» на рисунке.). Далее поделим полученные условные значе-
ния на 2. В результате образовали новую систему измерений, в которой
часы обогрева обозначены -I, 0 и II (строка «д» на рисунке). Таким обра-
зом, получена новая система исчисления времени обогрева бетона.
Кодирование факторов производят по формуле
л,-ОУ.. .
lH.B.i
где X, — кодовое значение /-ого фактора; л, — натуральное значение /-ого
фактора; О.У., — основной уровень фактора; Ш.В.,— и интервал варьиро-
вания уровней фактора.
В планированном эксперименте кодируются все факторы. При этом за
основной уровень принимается среднеарифметическое значение каждого
фактора, а за шаг варьирования — разность между среднеарифметическим
и максимальным значениями тех же факторов. В рассмотренном выше при-
мере фактор «время обогрева» имел основной уровень О.У. = 6, а шаг варь-
ирования Ш.В. = 8 - 6 = 2.
Таким образом, кодированное значение минимального времени обогрева
бетона будет равно
98
Преимущество кодирования факторов заключается в том, что при даль-
нейшем выводе уравнения регрессии значительно сокращаются вычис-
ления. С целью ещё большего уменьшения количества вычислений кодовые
значения всех факторов в одном опыте подбираются таким образом, чтобы
при подсчёте средних значений и сумм квадратов произведений факторов
друг с другом они оказались бы равными нулю.
Допустим, ставится задача планирования эксперимента для построения
зависимости «прочность бетона — время его термообработки и под-
вижность бетонной смеси». Принимается, что время термообработки может
принимать значения 4 и 8 часов, а подвижность бетонной смеси, выражен-
ной через осадку конуса, — би 12 см. Предположим, что эксперимент был
произведён обычными методами (табл.П.2.1). В этом случае для построе-
ния регрессионного уравнения потребовалось бы решить систему двух
уравнений с двумя неизвестными:
X = biX+ ЬгХ’>
^Дух2=Ь,Х,ДхЛ+Ь1Х(М-
В случае кодирования факторов (табл. П.2.2) система уравнений вклю-
чает в себя нули и, по сути дела, исчезает:
Хд>х> =г>|^Дх12+й2-0:
^Дух2=/>|-О+/>г^Д.т?
Таблица П.2.1
Условия и результаты проведения опытов
99
Коэффициенты регрессии здесь могут быть вычислены по простой фор-
Такое облегчение в вычислениях становится особенно ощутимым при
количестве факторов 3 и более, так как решать громоздкие системы уравне-
ний затруднительно, а во многих случаях невозможно.
При планировании эксперимента к факторам предъявляются следующие
требования: они должны быть управляемыми, независимыми друг от друга,
измеримы и изменяться в таких пределах, чтобы разница в их крайних зна-
чениях была бы ощутимой.
Управление факторами означает, что их численные значения могут ре-
гулироваться исследователем. Например, экспериментатор в состоянии из-
менить численное значение температуры обогрева бетона, но не в силах
изменить среднемесячную температуру наружного воздуха. В первом слу-
чае фактор является управляемым, во втором — неуправляемым.
Независимость факторов друг от друга означает, что изменение значе-
ния одного фактора не должно вызывать изменения значений другого. На-
пример, если в качестве факторов в эксперименте использовать прочность
бетона и его начальный модуль упругости, то эксперимент окажется невы-
полнимым, так как оба фактора зависят друг от друга. Введение их в экспе-
римент нарушает' требование управляемости ими,
Каждый фактор должен иметь количественное выражение, т.е. быть из-
меримым. Например, если принять за фактор качество выполнения работ и
измерять его по системе «хорошо — плохо», то никакого уравнения в ре-
зультате проведения опытов нс может быть получено.
Изменение численных значений фактора в эксперименте должно проис-
ходить в таких границах, чтобы не возникла ситуация, когда оказывается
невозможным отнести значение фактора к тому или иному заплани-
рованному уровню. Например, если в опыте в качестве фактора принята
прочность бетона, изменяющаяся в пределах 20-21 МПа, то в силу случай-
ной ей природа вполне вероятно получение прочности 20.5 МПа. В этом
случае возникает неопределённость в отнесении фактической прочности
бетона к уровню 20 или 21 МПа. В приведённом примере прочность бетона
должна изменяться в пределах 20 — .30 МПа.
Довольно часто исследователю приходится изучать явления, до него нс
изученные. Тогда перед ним встаёт задача выяснения тех факторов, кото-
рые наиболее значительно влияют на исход опыта. Таких факторов, как
правило, нс очень много. Однако количество сопутствующих — всегда ве-
лико. Например, изучая точность предиапряжения арматуры на круглые
монолитные сооружения (резервуары), в анализ следует включать по мень-
шей мере 20 факторов (вид арматуры, тип намоточного устройства, состоя-
ние поверхности бетона, температуру наружного воздуха и т.п.). Фактиче-
ски же многие из этих факторов оказывают незначительное влияние на точ-
ность натяжения арматуры. Для того чтобы выяснить номенклатуру этих
факторов, проводят так называемые отсеивающие эксперименты. Их смысл
заключается в получении приблизительной зависимости между результатом
процесса и факторами. Эту' зависимость используют для грубой ориентации
во влиянии, которое оказывает каждый из факторов на результат опыта.
Выяснив таким образом наиболее значимые факторы, планируют основной
эксперимент.
Существуют понятия полного факторного эксперимента и дробной реп-
лики. Полный факторный эксперимент охватывает все возможные сочета-
ния факторов. Например, если представить план эксперимента в виде куба,
то в полном факторном эксперименте опыты проводятся во всех вершинах
куба (рис.П.2.2). Матрица планирования здесь выглядит так, как это пред-
ставлено в табл. П.2.3.
В полном факторном эксперименте количество опытов равно 2Р, rasp —
количество факторов. Уже при 5 факторах количество опытов составляет 32,
при 6 - 64. при 7 - 128 и т.д. Таким образом, проведение полного факторно-
го эксперимента экономически нецелесообразно.
В этой связи были созданы так называемые дробные реплики, пред-
ставлявшие собой части полного факторного плана. Например, в табл.П.2.4
представлена 1/2 реплика от полного факторного эксперимента (табл. П.2.3).
101
Таблица П.2.3
Матрица планирования полного факторного эксперимента
№ п/п X, Хг х> Вершина куба
1 +1 +1 +1 И
2 + 1 +1 В
3 +1 -1 +1 д
4 -1 +1 г
5 + 1 +1 Л
6 +1 с
7 +1 -1 Е
8 -1 ж
Таблица П.2.4
Матрица планирования для 'Л дробной реплики
№ п/п X, X, х, Вершина куба
1 Й +1 +| И
2 -1 +1 -1 В
3 -1 -1 Е
4 -1 -1- +1 Г
Количество опытов здесь вдвое меньше, а результат - уравнение регрес-
сии - получается тот же. Таким образом, дробные реплики позволяют зна-
чительно совратить объём эксперимента. В этом заключается ещё одно зна-
чительное преимущество планирования экспериментов.
Изложенные способы планирования экспериментов позволяют запроек-
тировать ортогональные матрицы планирования. Это означает, что после
преобразования матрицы в систему линейных уравнений в ней все неквад-
ратные члены, входящие в левые части уравнений, превращаются в нули.
2. Методика планирования эксперимента
Задача планирования эксперимента может быть разбита на два этапа:
проведение отсеивающих экспериментов; шаговое проведение опытов по
полным факторным планам идя дробным репликам.
102
Учитывая недостаточное количество публикаций по практическому ис-
пользованию планов экспериментов в строительстве, ниже в максимально
простой форме приводятся соответствующие рекомендации.
Отсеивающие эксперименты проводят с целью приблизительной ориен-
тации среди множества факторов и для более точного будущего плани-
рования. Эти эксперименты можно провести по минимальным дробным
репликам, позволяющим получить модель первого порядка.
Получив модель, ранжируют факторы, входящие в неё. Используя ре-
зультаты ранжирования, а также основываясь на экономических сооб-
ражениях, производят отсев незначимых факторов. Далее проводят опыты с
оставшимися для полу1
В табл. П.2.5 представлены минимальные дробные реплики от пол-
ных факторных планов. Пользоваться этой таблицей можно следующим
образом. Для количества факторов семь и менее надо проводить первые
восемь опытов, при количестве факторов 8-5-14 — первые 16 опытов,
при 15 и выше — 32 опыта. Для обработки используются формулы
процесса.
Знаки «+» и «-» в плане эксперимента означают кодированные уров-
ни факторов «+1» и «-1». Они определяются по формуле кодировавния
факторов.
После отсева незначимых факторов их количество становится не
столь значительным (редко свыше шести). Поэтому для получения ма-
тематической модели процесса можно использовать типовой план экспе-
римента для шести факторов (табл.П.2.6). Этот план является централь-
ным композиционным ортогональным планом второго порядка,
основанным на полном факторном эксперименте первого порядка. Это
означает, что при проведении эксперимента возможно ограничить коли-
чество опытов при условии удовлетворения полученной зависимости
потребностей экспериментатора.
В случае, если необходимо провести опыты с количеством факторов ме-
нее шести, объём опытов сокращается, и их следует проводить в соот-
ветствии с табл. П.2.7.
При назначении конкретных уровней факторов (в табл.П.2.6 они обо-
значены «+1», «-1», «О», «+а», «-а») следует руководствоваться форму-
лой (32). Значения принимаются следующими: для двух факторов а =1;
для трех — а =1,215; для четырёх - а - 1,41; для пяти - а = 1,59; для
шести — а = 1,70.
С целью сокращения количества опытов возможно проводить гак на-
зываемый «шаговый анализ», основанный на использовании различных
дробных реплик, поэтому после проведения части опытов следует их обра-
ботка для получения модели процесса. В случае получения неудовлетвори-
тельных результатов по статистическим или инженерным критериям опыты
продолжаются. Стратегия эксперимента приведена в табл. П.2.8.
103
Таблица П.2.7
Порядок модели Номера опытов по таб.11.2.6 при количестве факторов
2 3 4 5 6
Первый 1-4 1 -8 1-16 1 -32 1 -64
Второй 65 - 68,77 65 - 70.77 65 - 72,77 65 - 74,77 65-77
В результате обработки результатов опытов получают одну из трёх мо-
делей - первого или второго порядков:
У-MSV.
T-VlV + SV,!,.
У=*.+X V+* 1Л1!
В первом и втором шагах рассматриваются модели первого порядка, в
третьем шаге — модель второго порядка.
Коэффициенты регрессат в показанных моделях вычисляются по сле-
дующим формулам:
№./«> <”«>
<П.2_2>
(П.2.3)
b,-XW(''+2»’); <п-2-4>
<n.2.S)
w-sm;- <“«
Последние две формулы используются только для планов второго по-
рядка. В формулах (П.2.1) - (П.2.4) приняты следующие обозначения:
A"V + 2p + l '
Р - количество факторов, у, - конкретный результат Лого опыта.
106
Таблица П.2.8
Стратегия эксперимента
№ шага .V? опытов по табл. 11.2.6 при количестве факторов № формул для обработки при количестве факторов
2 3 4 5 6 2 | 346
I 1 -4 1.4.6.7 1.4.5.8.10. 11.14.15 1.4.5.8,9. 12.13.16. 18.19,22, 23,26,27, 30,31 1.4,5.8.9.12.13.16. 17.20,21.24.25.28. 29,32,34.35.38.39. 42,43,46.47.50,51, 54.55,58.59,62.63 34436
11 65 - 68. 77 1 — 16 1—32 1 — 64 34436
Исключая проведенные в первом шаге
III 65-70, 77 65- 72, 77 65-74. 77 65 — 77 - | 36439
Использование всех полученных моделей допускается только в режиме
интерполяции, то есть в пределах варьирования факторов.
107
Приложение 3
Сведения о распределениях парамет ров,
определяющих надёжность строительных конструкций
1. Статистика нагрузок
Исключительно важное значение для прогноза технического состояния
строительных элементов и систем имеет информация о нагрузках. От каче-
ства и полноты этой информации зависят как экономические, так и неэко-
номические параметры строительства.
В соответствии с физической природой и влиянием на строительные
элементы и системы нагрузки разделяются на постоянные, временные и
специальные или особые.
/. 1. Постоянные нагрузки
К постоянным нагрузкам обычно относят вес строительных материалов,
элементов, систем, грунтовых засыпок и насыпей, стационарного оборудо-
вания. Более подробную информацию о постоянных нагрузках можно по-
лучить в СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки н воздействия». В некоторых случаях
к постоянным нагрузкам относят усилия, возникающие от предварительно-
го напряжения отдельных элементов или частей систем.
Постоянные нагрузки в статистическом смысле являются наиболее ус-
тойчивыми и в наименьшей степени подвержены влиянию времени. Однако
полностью игнорировать влияние времени было бы неверным, так как, на-
пример, усилия от преднапряжения со временем уменьшаются за счёт рео-
логических свойств строительных материалов.
Наиболее достоверным способом получения статистических оценок веса
являются непосредственные его измерения с помощью приборов (напри-
мер, динамометра или весов). Тем не менее этот способ не всегда доступен
и удобен. Существует более дешёвый способ оценки статистических харак-
теристик веса. Для этого составляют формулу, позволяющую вычислить
вес объекта (например, железобетонной балки). Затем производят много-
численные измерения каждого параметра, входящего в формулу. В резуль-
тате получают гистограммы или законы распределений этих параметров.
Далее, используя любой подходящий метод построения распределения
сложной функции (например, метод перебора), строят распределение веса
объекта и вычисляют соответствующие статистические характеристики.
Пример показан на рис. П.3.1.
Опытные статистические распределения постоянных нагрузок обычно хо-
рошо описываются законом нормального распределения. Поэтому для харак-
теристики распределения веса достаточно иметь значения среднего и средне-
квадратического отклонения или коэффициента вариации. В /19,28,91,93/
приведены некоторые результаты экспериментальных исследований изменчи-
вости нагрузок и свойств строительных материалов, имеющих огношенние к
нагрузкам (табл. П.3,1). При пользовании данными этой таблицы следует пом-
нить, что они получены по выборкам и имеют случайный характер.
108
Таблица П.З.1
Изменчивость постоянных нагрузок
Наименование нагрузки Среднее Коэф, вариации
Объемная масса глины Т/м' 1.97 0.046
Объемная масса суглинка Т/М’ 1.91 0.029
Объемная масса тяжелого бетона т/м 2.37 0.0242
Объемная масса ксрамзиюбетонаMl00 i/m’ 1427 0.091
Объемная масса лревсенны (сосна) т/м 0.656 0.065
Объемная масса керамзита т/м 0.31 0.069
Объемная масса цементной стяжки т/м’ 2.06 0.073
Объемная масса асфальтовой стяжки т/м’ 1.82 0.011
Объемная масса ДСП т/лг 0668 0.116
Объемная масса трехслойного рубероидного ковра 0.907 0.011
Поверхностная плотность толя кг/м- 1.62 0.081
Поверхностная плотность керамической плитки Кг/м- 20.25 0.041
Поверхностная плотность линолеума Поверхностная плотность стекла б^Змм кг/м2 75 0.057 0.05
1.2. Временные нагрузки
По своему происхождению временные нагрузки можно разделить на две
группы — природные и технологические (функциональные).
К первым относятся: снеговые, ветровые, волновые, ледовые, гололёд-
ные, сейсмические, от паводков, изменения свойств грунтов, атмосферных,
температурных и влажностных воздействий и другие.
Технологические или функциональные нагрузки вызываются весом и
ускорениями работающих машин, механизмов, оборудования, весом сырья,
продукции, содержимым складов, мебели, людей, животных, воздействия-
ми при авариях и т.п. Более подробно с составом рассмотренных нагрузок
можно ознакомиться в СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия».
Особенностями статистических характеристик временных нагрузок яв-
ляются: большая изменчивость, зависимость от времени и разнообразие
законов распределений, применяемых к ним. Кроме того существенной
особенностью временных нагрузок является то, что статистической обра-
ботке подвергаются, как правило, нс все их значения, а только максималь-
ные за характерный промежуток времени.
В силу большого разнообразия временных нагрузок их изучение было,
остаётся и, видимо, всегда будет считаться актуальной задачей. Следует
отметить, что несмотря на большие достижения в области строительной
механики, статистические характеристики большей части временных на-
грузок остаются пока неизученными. Нет также единой методики статисти-
ческой обработки опытных данных. Ниже приведены некоторые приёмы
оценки статхарактеристик временных нагрузок.
Достаточно детально изучены нагрузки от снега. За единичное значение
снеговой нагрузки принимается максимальное её значение в течение года. Ста-
тистическая обработка опытных данных преследует ряд задач, важнейшие из
которых следующие: оценка интенсивности воздействия с заданной вероятно-
стью. наиболее вероятное значение максимальной наарузки в течение заданно-
го времени, период повторяемости заданной нагрузки (количество превышений
заданного уровня нагрузки в течение срока эксплуатации).
Исследования, проведенные в ЦНИИСК им. Кучеренко Госстроя СССР,
показали, что наилучшим законом распределения снеговых нагрузок следу-
ет считать двойной экспоненциальный Гумбеля (3.21).
Для того чтобы оценить интенсивность воздействий с заданной вероят-
ностью, проинтегрируем функцию Гумбеля второго рода:
Ф(.т)=ехр(-
(П.3.1)
Квантильф(д)можно выразить используя двойное логарифмирование:
• = --Га-и-Ь1( J Ш
« [ I,
(П.3.2)
Пример: для л = 100 и а = 40 (а = 0.032 и и = 82.07) определить
квантиль для вероятности Ф(х) = 0.95.
Решение: л=(0.03282.07-£л(£«(1Л).95))И).032=174.66.
Наиболее вероятное значение максимальной нагрузки в течение задан-
ного времени t можно определить по формуле
4)=м+1.£«(/).
(П.3.3)
Пример: для тех же данных определить вероятное значение макси-
мальной нагрузки при (=100 лет.
Решение: л(100)= 82.07+7.я(100>0.032=225.98.
Период повторяемости заданной нагрузки определяется из выражения
Г = ----—:
(П.3.4)
Пример: для тех же данных определить период повторяемости ве-
личины 226.
Решение: Г=(1-ехр(-ехр(-0.032(226-82.07))))1=100.56.
Следует отметить, что нормированные данные существенно отличаются
от опытных и сравнивать их нет смысла. Различие обусловлено тем, что
опытные данные представляют собой случайную выборку, а также тем, что
нормированные данные составлены таким образом, чтобы обеспечить од-
новременно и экономичность и безопасность здания или сооружения.
По результатам экспериментальных исследовании в /16/ приведены данные
по снеговым нагрузкам в 111 и 1Y снеговых районах: средние значения — 840
и 1060 Н/м" при коэффициентах вариации 0.43 и 0.478. В Москве фактиче-
ское среднее значение максимальной годовой снеговой нагрузки составляет
648 Н/м7 при коэффициенте вариации 0.659 /74/.
Подход к статистической обработке опытных данных о ветровой на-
грузке аналогичен. В табл. П.3.2 приведены заимствованные из /74/ началь-
ные статистические характеристики годовых максимумов ветровой нагруз-
ки. При этом установлено, что указанные нагрузки также подчиняются
двойному экспоненциальному закону Гу.мбеля.
Таблица П.3.2
Статхарактеристики ветровых нагрузок
Наименование __________Значения характеристик, Па, для ветровых районов_
характеристик I I II |~ Ш I IY | Y I Yl I YH
Среднее 200 270 360 480 600 700 850
Стандарт 88 | 100 | 115 | 149 | 156 | 189 | 204 |
Нагрузки от мостовых и подвесных кранов в промышленных зданиях
обычно рассматриваются как нормальные стационарные случайные про-
цессы (рис. 6.2). При этом исследователей в большей степени интересует
количество переходов нагруз-
кой заранее заданного уровня
(выбросов). В связи с тем. что
заданные уровни нагрузки дос-
таточно высоки, выбросы пред-
ставляют собой редкие события.
Считается, что за время службы
сооружения количество этих со-
бытий ограничено. По этой при-
чине для их статистического опи-
за заданный х уровень
сания применим закон Пуассона, в соответствии с которым вероятность
того, что случайная величина в течение времени t не превысит заданный
уровень у, можно выразить формулой
1 ст(у)
где п,~2п' ;о(у) и о(з) — стандарты скорости изменения на!рузки
и самой нагрузки; su S — среднее значение нагрузки и её уровень, пре-
вышение которого считается выбросом.
Можно решить обратную задачу — определить уровень нагрузки, пре-
вышение которой достигалось бы с заданной вероятностью в течение опре-
делённого времени:
(П.3.6)
112
Коэффициент /1 представляет собой количество стандартов от среднего
значения случайной функции до того ей уровня, превышение которого не-
желательно. Его также можно получить, используя формулу Райса /42/,
опытное значение среднего числа превышений процессом его среднего
уровня п в единицу времени
(П.3.7)
где N — число превышений случайным процессом среднего уровня на вы-
бранном отрезке реализации; Т — время регистрации, соответствующее
этому отрезку реализации, и задавшись периодом повторяемости нежела-
тельной нагрузки (как правило, сроком эксплуатации):
(П.3.8)
В /41/ приведены экспериментальные статистические сведения об из-
менчивости вертикальных крановых нагрузок, выраженных через доли
нормативных крановых нагрузок: среднее значение — 0.24 + 0.84; коэффи-
циент вариации — 0.07 + 0.31; среднее число превышений среднего значе-
ния — 0.2 <- 2.3 (1/мин).
Полные нагрузки в жилых зданиях городского типа изучались в
3677 квартирах г. Каунаса /22/. Часть результатов представлена в табл.
П.2.3, в которой жирным шрифтом выделены нагрузки от мебели. По ре-
зультатам обследования было установлено, что рассматриваемые нагрузки
подчиняются логарифмически нормальному закону распределения и могут
быть уточнены регрессионными зависимостями.
(П.3.9)
где § = 1 и имеет коэффициент вариации 0.28; m — значение медианы (в
таблице показаны в скобках); 5С,5.,S,— площади жилая, приходящаяся
на одного человека и общей комнаты в м2; Т — длительность эксплуатации
квартиры семьёй, годы.
Коэффициенты регрессии в (П.3.9) принимаются по табл. П.3.3.
В /53/ производилось изучение нагрузок на перекрытия сельских жилых
домов от людей. Для этого опрашивались 807 семей. Респонденты отвечали на
вопрос «Какое максимальное количество людей собиралось в Вашей кварти-
ре?» Средний возраст опрошенных людей составил 44 года. Полагая, что осоз-
нанные воспоминания начинаются с 18 20 лег. можно считать, что результаты
опроса характеризуют распределение максимальных нагрузок от людей за
25 лет. Статистические xapaicrcpiiciiiKTi полученного распределения: среднее
значение — 21.7, стандарт — 12.7 человека. Распределение подчиняется двой-
ному экспоненциальному закону с иар:1мс1рамн « = 0.101, и= 13.
Таблица П. 3. 3
Статистические характеристики нагрузок в жилых домах
Тип квартиры Мяксимальн « нагрузки
для кварт ры дли общей комнаты
X (т). кт/м: X (щ), к(7м-
1 -комнатная 84.6 (80) 30.3 (29) 68.1 (66) 0.28 030 0.30 84,5(80) 30.2(29) 89.0(86) 0.28 0.30 0.29
3-комнатная 28.1 (27) 63.2 (60) 0.23 0.26 273 (24) 97.4 (93) 035 0.27
4-комнатная 28.5 (27) 51.4(51) 25.4 (25) 0.22 0.19 26.1 (24) 88.1 (88) 21.4 (20) 0.28 032
По нстиповым проектам 40.3 (46) 23.2(23) 0.34 0.23 83.1 (79) 19.3 (18) 0.35 0.34
По всем типам квартир 67.2(65) 0.32 89.3 (86) 0.30
Таблица П.3.4
Коэффициенты регрессии в зависимости (П.3.9)
Вид нагрузки Коэффициенты регрессии
а Р У Л
Для квартиры -0.25 -0.05 -0.125 0.125 0 0 0.1
Для общей комнаты 0.25 -0.125 -0125 -0.5 -0.25 0.1 0
Работа с полученным распределением имеет две особенности: первая
заключается в том, что экстраполяция нагрузки должна производиться с
учётом того, что период наблюдений составил 25 лет. Поэтому формула
(П.3.3) должна использоваться в таком виде:
Вторая особенность заключается в том, что полученное распределение
относится к квартире или к комнате. Однако расчёт перекрытия жилого
дома сводится к расчёту конкретной конструкции (например, плиты пере-
крытия), на которой, в силу ограниченности её размеров, может располо-
житься не более определённого количества людей. Применительно к пус-
тотным плитам перекрытий с размерами 6.4x1.2.м. используемым в домах
25 серии, были произведены соответствующие преобразования, в результа-
те чего было выяснено, что двойное экспоненциальное распределение на-
грузки, характерное для нагрузки на площадь квартиры, трансформируется
в экспоненциальное для плиты перекрытия. Это иллюстрируется рис. П.3.3,
на котором показаны гистограмма количества людей в одной квартире и
114
(внизу), зависи-
аппроксимирующий её
мость нагрузки на плиту от количества людей на ней(слева) и экспоненци-
альный закон для распределения нагрузки на плиту перекрытия (справа).
В /64/ приведены данные о нагрузке от растений в культивационнных со-
оружениях: среднее значение — 130 кг/м\ коэффициент вариации — 0.22.
Для оценки надёжности полов в животноводческих зданиях были про-
ведены исследования веса дойных коров 1531(рис. П.3.4).
2. Статистика свойств строительных материалов
2.I. Прочностные и Оефорл/ативные свойства бетона
Бетон — искусственный строительный материал, поэтому его свойства в
основном определяются технологией изготовления. В достаточной степени,
конечно, и особенностями эксплуатации.
Не обсуждая влияние на качество бетона различных причин, отметим
следующие статистические особенности его прочности:
• большой диапазон значений коэффициентов вариации;
• достаточно большое расхождение между статистическими характе-
ристиками прочностей различного вида;
• зависимость изменчивости свойств от времени.
Кубиковая прочность бетона принята за основную характристику, отра-
жающую его прочностные свойства. Как и любое свойство бетона, она яв-
ляется функцией многих переменных. Например, в /57/ были получены сле-
дующие математические модели:
/?„„= 141.43+1.25/е,„+2.125 D+4.06 Ф+6.8 Г//+3.875а.
Я28=260.3+0.375 Л.,,+2.5 D+4.188 Ф+16.563 Ц+(. 125 а,
(П.3.12)
где /?„„ и /?28— кубиковая прочность сразу после пропаривания и в возрасте
28дней;/?„,=(/?"-600J/200 — кодовое значение прочности щебня, R" —
натуральное значение, кг/см2; D =(о“-15)/5 — кодовое значение содержания
доломитовой муки в щебне. D" — натуральное значение, %; </> = ф("-30)/10 —
кодовое значение содержания в крупном заполнителе фракции 5 + 10мм, Фк
натуральное значение, %; Ц = (//” -325^25 — кодовое значение расхода
цемента, Ц" — натуральное значение, кг/м’; а = (а”-0.61)/0.01 —кодо-
вое значение соотношения между крупным и мелким заполнителем, (X" —
натуральное значение.
В зависимости от поставленных задач модели могут содержать и другие па-
раметры, например, водоцеменгное отношение, вид и активность цемента и др.
В современных нормах проектирования железобетонных конструкций
учитывается случайная природа прочности бетона. Поэтому в расчёт введе-
но понятие «нормативная прочность», обладающая 95% обеспеченностью.
Эта прочность в предположении её нормального распределения, определя-
ется по формуле
где Rbll& — среднее и стандарт прочности бетона.
Коэффициент вариации прочности бетона не является постоянной вели-
чиной. Нормированное его значение является среднестатистическим для
множества заводов по производству бетона, Он принят равным 0.135. Од-
нако по результатам обследования 881 технологических линий на заводах
ЖБИ были установлены значительные отклонения коэффициента вариации
как в большую, так и в меньшую стороны (рис. П.3.5).
Кроме того, отмечено, что коэффициент вариации прочности бетона
уменьшается со временем. Причём он уменьшается как в историческом из-
мерении. так и в смысле изменения своих свойств (рис И.3.6 и П.3.7).
116
тКоличество
Данные рис. П.3.6 можно использовать при расчетах железобетонных
конструкций, загружаемых не сразу после изготовления, что принесёт кон-
кретный экономический эффект см. (П.3.13). В /4,71/ приведены данные о
том, что коэффициент вариации прочности бетона уменьшается по мере
увеличения его возраста (табл. П.3.6).
На основании изучения статистических распределений кубиковой проч-
ности бетона установлено, что они подчиняются закону нормального рас-
пределения, что нашло отражение в нормах проектирования железобетон-
ных конструкций СНиП 2.03.01. Однако это предположение не является
бесспорным.
117
Таблица П.3.5
Изменчивость прочности бетона в зависимости от её величины
Вил тверленння
100 200 300 400 500 600 700 800-1000
Естественный/71/ 10.6 8.6 4.4 3.6 3.4 3.4
Пропаренный /71/ 8.1 7.4 6.3 6 5.2 4.4 3.7
Пропаренный /4/ 13.1 9.75 10.25
Иллюстрацией к такому сомнению являются результаты исследова-
ний. проведённых в СамЛСИ. Были проанализированы данные испыта-
ний прочности бетона на 50 технологических линиях. Одна выборка
представляла собой объём испытаний прочности в партии бетона в тече-
ние примерно одного месяца (20-40 значений). К рассмотрению прини-
мались данные, отобранные от родственных технологических линий, то
есть тех, на которых применялись бетоны примерно одинаковой прочно-
сти и подвижности. Для унификации данных они центрировались, то
есть в пределах каждой партии все значения прочности бетона делились
на его среднее значение.
Далее все данные, объединённые в гистограммы, последовательно на-
кладывались друг на друга. Для каждого такого шага вычислялся критерий
хи-квадрат с целью оценки близости опытных распределений и закона нор-
мального распределения, /[ля наглядности на рис. П.3.8 показана описанная
последовательность, на которой можно проследить преобразование вида
распределения из несимметричного в относительно плавное. В результате
анализа было установлено:
• со сколько-нибудь значимой достоверностью конечное распре-
деление прочности бетона (количество опытов — 2339) не опи-
сывается ни одним из семи рассмотренных распределений
(рис. П.3.9 и табл. П.3.6)',
• критерий хи-квадрат для нормального закона распределения, по
мере увеличения привлечённых к анализу данных, растёт, ста-
билизируясь на значении около 70-100 при количестве опытов
около 500 (рис П.3.10).
Это означает ухудшение сходимости опытного и теоретического рас-
пределений.
Существующие сомнения привели к тому, что в те же нормы проекти-
рования был введен нестатистический коэффициент' надёжности по бетону,
определяющий расчётное значение прочности бетона и учитывающий её
непредсказуемые отклонения в области малых вероят ностей.
118
< s я 7 a 9 «поди* « s • 7 a 8 wiiuuwfl 4 a a 1 a 9 101112131419 4 & 6 7 a 9 nnnnuv 4 a e 1 a 9 wn tanuu a 6 a 10 12 14
_______________rrffilk,____A___________rdlftk,____,dfi! _____A
4 a a 7 a 9 wn вайе 4 a e 7 a 9 мп ciauia 48978910111247419 4 a a 7 a 9 wniaUMia 499789101112131418 4 a a 7 a 9 101112131419
JL Jl... A JL. jL. jfL.
4 S а Ю S К 4 6 8 10 12 И 4 в 8 Ю 12 14 4 б 8 Ю 12 14 4 6 8 Ю 12 14 4 6 8 И В И
А А А А А А
10 12 14 4 6 8 Ю 12 14
4 6 8 10 12 14
4 6 в Ю 12 14
Рис. 11.3.8 Динамика коэффициента вариации прочности бетона в зависимости от количества партий в одной выборке
(номера гистограмм — количество партий в выборке, по горизонтальной оси — отношение прочности бетона
в серии к средней по всем сериям в партии, увеличенное в 10 раз)
Последней считается область значений прочности бетона ниже норма-
тивной. Выраженная в срсднеквадратичсских отклонениях, эта область на-
чинается со значения z = (Rb, — Rbcp)la = -1-64/
Для исследования этой области были проанализированы 19,5 тыс. дан-
ных о прочности бетона на 321 технологических линиях 14 заводов ЖБИ
(рис. П.3.8). Было установлено, что в исследуемую область попало 774 зна-
чения, что составляет 3,9% (вместо нормируемых 5%).
Таблица П.3.6
Сходимость опытного распределения
с аппроксимирующими его законами
1 Количество попаданий в интервал, шт. в опыте н по закону
§ f 1 ₽ а 5 В
1 3 0 10 4 5 0 10
22 18 13 33 22 20 0 24
86 71 136 87 76 67 II 56
172 200 537 188 189 185 188 132
369 393 1055 340 346 388 555 311
528 541 1264 496 48.3 560 636 724
614 522 1016 548 512 539 452 618
350 353 684 412 402 347 254 262
132 167 363 181 220 155 128 III
45 55 166 38 73 52 62 47
10 13 68 3 II 15 29 20
10 2 26 0 0 4 13 9
к 67 1767 1677 328 40 4.610’ 139
121
В/Ц — водоцементное отношение, %; ИГ — нормальная густота цементного
теста, %; — прочность заполнителя, кг/см2; M=V'n — масштабный фактор,
см; Кц—активность цемента, кг/см2; D — максимальный размер зерна запол-
нителя, мм; Пч — показатель вида цемента; /?, — прочность заполнителя,
кг/см2; г— возраст бетона к моменту испытания, сут.
Для оценки коэффициента вариации призменной прочности бетона можно
применить метод линеаризации:
.i7(-a788a.J+(»S7S^)'t(-ia79<Tjt(l«U4,h(-0.023<,I),+
(-147 18ctJ +(-0,281ffJ+(3i47-ffu)i ,
где о— стандарты факторов.
Нормированный коэффициент вариации прочности бетона на растяже-
ние — около 0.18. Опытные данные достаточно неопределённы, но в среднем
нем наблюдается соответствие
нормативным данным (табл.
»
В /70/ отмечается близость
опытного распределения проч-
ности бетона на растяжение (ис-
следование №4 по табл. П.3.7 и
динаты построены по масштабу
оригинала нормальному закону.
Одновременно там же приво-
на растяжение дятся коэффициенты асимметрии
и эксцесса, которые для исследований № 3 и 4 равны соответственно 1.35,
Таблица П. 3.7
Изменчивость прочности бетона на растяжение
Ко |фф|1ЦИСНТ Источник
вариации
ктоиковая 50 /53/
на растяжение 50 0.28
куоиковая 10 0.092 /52/
на растяжение 80 0 112
кубкховая (1 сут.) 780 O.136 /70/
па растяж, (Icvr.) п.155
кубнковая (28сут.) 0 1 S(, /70/
на растяж. (28сут.) 651 0 |>| 1
124
Изменчивость упругих свойств бетона изучена недостаточно. Поэтому
представление о ней можно получить, в основном. косвенными методами.
Прямых опытов, направленных на статистическое изучение упругих
свойств бетона, в достаточном количестве не проведено. Это объясняется
трудоёмкостью изготовления и испытания образцов.
Модуль упругости связан с кубиковой прочностью формулой Графа:
(П.3.20)
Этой формуле соответствуют нормированные значения начального мо-
дуля упругости. Используя метод линеаризации, определим коэффициент
вариации модуля упругости:
360
Е" ~ 1.7-Я,,*+360
Вычисления показали, что коэффициент вариации модуля упругости
(табл. П.3.8) меньше, чем кубиковой прочности и уменьшается с ростом
прочности.
Таблица П.3.8
Изменчивость модуля упругости бетона,
вычисленного по формуле Графа
Среднее значение прочности. МПа 10 20 » <0
Коэффиц11СН1 вариации модуля упрут осги 9.2 7.7
Прямые опыты, проведённые с целью статистического изучения началь-
ного модуля упругости бетона, не подтвердили изложенные выше выводы
/53/. Оказалось, что коэффициент вариации модуля упругости почти в два
раза превышает коэффициент вариации кубиковой прочности. Так. для бе-
тона со средней прочностью ЗОМПа коэффициент вариации кубиковой
прочности составил 0.115, а модуля упругости — 0.195. Соответствующие
коэффициенты (0.065 и 0.209) были получены в опытах /71/.
В /58/ на основе корреляционно-регрессионного анализа была получена
зависимость для определения модуля упругости бетона:
£*=604.247+1.133 Ц. ! 0.61 /Z+0.326 W-0.466M-
-5,103B/Z/+0.24I г+1,405/// 10.095£^0.203/?,г-0.525D. (П.3.22)
где £j — модуль упругости заполшпепя, гм : нее остальные обозначения
такие же. как в (П.3.18).
Используя (П.3.18), (П.3.22) и метод линеаризации, определим коэффи-
циенты вариации призменной прочности и модуля упругости бетона при
следующих исходных данных:
Ц/3 Ц W В/Ц т: НГ R3 Е? RU M D
36 600 10028 28 27 1100 450 400 17.4 10
Коэффициенты вариации всех факторов были приняты равными 0.1. для
фактора т—0.
При заданных условиях коэффициент вариации призменной прочности
оказался равным 15%, модуля упругости — 17%, что принципиально под-
тверждает достоверность гипотезы об увеличении коэффициента вариации
по схеме: кубиковая прочность, призменная прочность, модуль упругости.
Упругие свойства бетона характеризуются ещё коэффициентом упруго-
сти бетона, который представляет собой отношение упругих деформаций
(.fyv) к полным
v=Ey,,i/e,m„. (П.3.23)
Статистических сведений по этому вопросу очень мало, имеются лишь
ограниченные данные /47,56/, часть которых помещена в табл. П.3.9.
Таблица П.3.9
Изменчивость коэффициента упругости бетона
Относительный уровень напряжения Статистические характеристики V, полученные при испытаниях
призм 6aj ж
среднее V среднее у
0.1 О 801 О 108 0.78 0.203
0.2 0.867 0.0819 0.78 0.18
0.3 П Я64 0.0816 0.81 0.148
0.4 0.872 0.0907 0.76 0.211
0.5 0.836 0.0929 0.73 0.247
0.6 0.803 0.145 0.72 0.25
0.7 0.762 0.222 0.67 0.268
0.8 0.696 0.157 0.62 0.274
0.0 0.56 0.232
Полные деформации бетона при кратковременном нагружении облада-
ют наибольшими коэффициентами вариации (табл. П.3.10).
Таблица П.3.10
Относительный уровень напряжений 0.1 0.2 0.3 0.6 0.7 0.8 0.9
Коэффициент вариации 0.595 0.535 0.463 0.399 0.426 0.382 0.344 0.414
126
Статистические сведения о деформациях ползучести и усадки бетона
ещё более скудные. По данным Одесского инженерно-строительного ин-
ститута коэффициент вариации деформаций усадки тяжёлого бетона ока-
зался равным 0.113, деформаций ползучести 0.15 * 0.4 (табл. П. 3.11).
Таблица П.З. I /
Изменчивость деформаций ползучести тяжёлого бетона
Средняя прочность, МПа 10 15 20 30 40 60-90 100
Коэффициент оариаиии 0.4 0.38 0.154 0.168 0-168 0.162 0.162 0.162
Рассмотрим теперь статистически обоснованное выражение для меры
ползучести бетона в зависимости от технологических параметров при на-
пряжении <Т/,=0.37?„Л, полученное в /58/:
C„.r^[-13.747-0.0786V„/V,,-0.0905lV+0.74£///+0.0104'(z-T)-
-1.559/|)+0.082£,-0.218т+0.0045(У„|/У,,)т-0.0016(В/ВД£,]10'6, (П.3.24)
где V„/Vb — отношение объёма крупного заполнителя к объёму бетона, %;
(z-t) — время действия нагрузки, сутки.
Определим коэффициент вариации по этому выражению при следующих
исходных данных: Ун/У^КУ, VV=90; В/Ц=50\ г—г= 100; /„=5; £,=400; 7=20.
Принятые значения факторов обеспечивают кубиковую прочность, соот-
ветствующую бетону со средней прочностью 30 Мпа. Коэффициенты вариа-
ции всех аргументов (кроме временных) примем одинаковыми и равными
0.1. При принятых исходных данных коэффициент вариации меры ползуче-
сти бетона оказался равным 0.326. что соответствует опытным данным.
3. Прочностные и деформативные свойства арматуры
Нормированные сведения о сопротивлении арматуры позволяют при-
близительно определить коэффициент вариации её прочности, принимая во
внимание, что нормативное сопротивление обеспечено в 95% случаев, а
расчетное — в 99.865%. В этом случае ход рассуждений виден из следую-
щих записей:
Я '1 -м + '<>. (П.3.25)
откуда:
Л = 0.206• Я,, + R и у . KZJL"------------. (П.3.26)
I 1б(0.206-£,„+Л)
где я,/?,/? , — среднее, расчётное и нормаiiiuiioeсопротивления арматуры.
127
Исходя из приведённых рассуждении, оценки нормированных коэффи-
циентов вариации арматуры приведены в табл. П.3.12.
Таблица П.3.12
Нормированная изменчивость прочности арматуры
Указанные в табл. П.3.12 коэффициенты вариации прочности арматуры
являются усреднёнными по многим металлургическим заводам страны. При
этом все заводы выпускают арматуру, отвечающую требованиям соответст-
вующих ГОСТов относительно вероятностного обеспечения нормативного
сопротивления. Однако средние значения прочности находятся не точно в
одном месте на оси прочности. Поэтому результирующая кривая распреде-
ления имеет несколько больший коэффициент вариации, чем каждая из
кривых в отдельности (рис. П.3.14).
В связи с изложенным, следует ожидать, что коэффициент вариации
прочности арматуры в конкретной поставке на завод ЖБИ будет иметь
меньшее (по сравнению с нормированным) значение. Это предположение
подтверждено экспериментально (табл. П.3.13). Вид распределения проч-
ности арматуры не всегда близок к нормальному (рис. П. 3.15 и П. 3.16).
Таблица П. 13
Изменчивость прочности
1 н a 1 II It
/95/ Дмитриевский Вр-11 003
/95/ Втпйский Вр-П 0.054
/95/ Киевский Вр.П 0.035
W КуВОителСк-рй А-Ш 0.059
128
высокопрочной проволоки /95/
предела текучести стали At-V /16/
Модуль упругости арматуры обладает значительно большим коэффици-
ентом вариации. Это связано с различными причинами. Так, при строитель-
стве Останкинского телецентра были проведены исследования модуля уп-
ругости канатов /75/, которые показали зависимость его коэффициента
вариации от длины образца (табл. П.3.14).
Таблица П.3.14
Изменчивость модуля упругости канатов
Диаметр образца. Длина образца. Колич. образцов. Коэф, вариации
38 145*345 54 0086
38 2 130 0.138
52.5 26*52 70 0.656
52.5 2 24 0.097
Вид распределения модуля упругости арматуры близок к нормальному
(рис. П.З.17). Деформативные свойства арматуры характеризуются также
упругости арматуры /16/
остаточным относительным удлине-
нием, измеренным на базе 5d, вклю-
чая место разрыва (35), и равномер-
ным относительным удлинением на
базе 50 мм на расстоянии 3d от места
разрыва (8Р). Эти характеристики
также имеют статистическую природу
и, следовательно, обладают изменчи-
востью (табл. П.3.15 и рис. П.3.18).
Наиболее неустойчивость характерно-
тикой является 8Р. Её коэффициент вариации доходит до 33%. Не со-
ставляет исключения и площадь поперечного сечения арматуры. Она так
же, как и все другие характеристики.
(табл. П.З. 17 и рис. П.З, 19).
обладает изменчивостью
49 63
относительного удлинения арматуры
клюАт-УЛб/
Площадь сечения, мм2
4. Статистические характеристики металлопроката
В /92/ приведены результаты обширных (26 тысяч испытаний) исследо-
ваний статистических характеристик стали марки Ст.З для строительных
металлоконструкций (табл. 6.17).
Таблица П3.17
Изменчивость свойств стали марки Ст.З
130
111НМ>О'1Ж<ЧШС lliaoJUIlIM 11.3.17.
Вил проката Степень раекнслённосгн Предел МПа Р МПа OlHOCHTC.'IMiOC УЛ.1ННСНИС, %
среднее V среднее V среднее V
св. 40 мм СП 254 0.106 428 0.063 23.1 0.117
Все толщины СП 286 0.091 439 0,057 31.0 0.141
Лист 4-10 мм КП 266 0.109 410 0.073 34.2 0.1
Весь лист 277 0.106 430 0.067 32.0 0.138
Уголок СП 304 0.084 444 0.056 33.3 0.1
Уголок ПС 294 0.068 430 0.051 34.6 0.09
Уголок КП 281 0.082 418 0.067 36.3 0.085
Все уголки 0.081 0.061 0.088
Из приведённых данных следует, что коэффициенты вариации прочно-
сти металлопроката и металлической арматуры практически совпадают,
однако деформативные свойства металлопроката более стабильны. Можно
также усмотреть, что кипящая сталь в прочностном отношении менее одно-
родна в сравнении со спокойной. Кроме того, авторы /17,92/ отмечают бли-
зость эмпирических распределений закону нормального распределения
(рис. П.3.20).
В /64/ приведены средние значения предела текучести гнутого профиля
из стали С 38/23 (310 Мпа) и коэффициента его вариации (0.08).
Статистические характеристики арматуры
Таблица П.3.15
Клкс Марка И ДИаМВТр, УХчХ''мп“ разрыву, МПа '* МПа* удлинение, % °">иСие'те,"%
п. шт Среди у 11. шт Среди V и. шт Среди V Средн V 1 шт. Средн V
A-I ст.З 16-25 1334 287 0.0695 -
63-25 2037 288 0.083 84 446 0.149 -
А-П 154 544 0.0795 •
А-Ш 35ГС 14-36 112 191300 0.062
А-Шв 35ГС 14-36 100 575 0.0465 156 670 0.0645 -
A-IY 20Х 14-20 ПО 687 0.038 96 13.04 0.205
A-IY 20ХГ2С 20-32 106 712 0094 107 1083 0.062 81 190400 0.11 88 117 0.202 106 6.34 0 33
A-1Y 80С 14-16 478 667 0055 478 1083 0.033 476 10.05 0.148
AT-1Y 200 758 0.132 200 1096 0.036 199 189898 0.107 197 17.6 0.089 197 3.13 0 347
A-1Y ст.5 12-16 8325 1059 0.115 •
A-Y 23Х2Г2ТТ 10-18 235 883 0.0585 235 1190 0.0508 84 185000 0.115 211 14.12 0.105 235 4.34 33.0
AT-Y 10 1011 0067 1190 0.058
12 987 0080 92 1182 0.035 -
14 987 0.056 1176 0.048
At-YI 10 1313 0.057 8.53 17.2
12 1325 0.039 • 13.5
Таблица П.З. 16
Изменчивость площади поперечного сечения арматуры
Марка стали 80С 20ХГ2С
Диаметр, мм 10 12 12 14 14 16 12 14 16 18
Количество, шт НО 517 23! 996 1832 196 1020 180 134 18!
Коэф.вариации 0.029 0.049 0.024 0.024 0.019 0.021 0.024 0.026 0.027 0.02
5. Статистические характеристики свойств древесины.
фанеры и других строительных материалов
Для древесины, испытанной на растяжение вдоль волокон, были полу-
чены следующие коэффициенты вариации: прочность — 0.23, предельные
деформации — 0.31, модуль упругости — 0.093 /81/.
Статистические характеристики прочности на скалывание вдоль воло-
кон наружных слоёв изучались в /49/. Результаты изучения представлены в
табл. П.3.18,
Таблица П.З. IS
Прочность семислойной фанеры на скалывание вдоль волокон
Параметры статистической обработки Результаты статобработки испытаний Сводные
Количество испытаний 100 127 178 405
Среднее значение, МПа 2.82 3.66 4.38 3.74
Коэффициент вариации 0.226 0.185 0.145 0.243
Показатель асимметрии -0.535 -0.462 -0.118
Показатель эксцесса 0.606 0.120 0.05
Для коэффициента вариации прочности фанеры на скалывание вдоль
волокон в % получены статистические зависимости:
V =36.5 -4.65 /?’.
(П.3.27)
У = 31.2/.-22.5,
(П.3.28)
где R*. L, l,tm — среднее значение прочности фанеры на скалывание
вдоль волокон (МПа) и толщина шпона (мм).
Перспективными в строительстве являются фанерные профили (табл. П.З, 19).
Прочность стекла и коэффициент его вариации равны соответственно
15 МПа и 0,16 /64/.
Таблица П.3.19
Статистические характеристики свойств фанерных труб /83/
Марка Прочность ня растяжение. МПа Прочность на сжатие, МПа Прочность на изгиб, МПа упругости, МПа
трубы см п. шт среди V И. Ш1 среди. V п, шт. средн V П, Ш1 средн V
Ф-1 5-15 24 73 0.051 34 56 0.062 7 45 0.073 32 13500 0.059
20-30 16 66 0.051 32 50 0.067 7 39 0.139 34 12200 0.051
Ф-2 5-15 10 59 0.036 19 46 0.065 5 38 0.05 33 10800 0.057
20-30 16 540 0.095 33 420 0.067 3 360 0.048 19 10100 0054
5. Статистика параметров технологических процессов
5.I. Изменчивость начального, предварительного напряжения
в арматуре железобетонных конструкций
Изменчивость начального предварительного напряжения в арматуре зави-
сит от большого количества трудноучитываемых случайных факторов. К их
числу относятся: способы предварительного напряжения арматуры, технология
натяжения, система контроля напряжений и множество других факторов. К
настоящему времени изменчивость предварительного напряжения изучена
недостаточно. В нормах проектирования практически отсутствует статистиче-
ский подход к оценке предварительных напряжений в арматуре.
Однако ряд исследований показал, что изменчивость начального пред-
напряжения в арматуре значительна. Для разных условий изготовления же-
лезобетонных конструкций она показана в табл. П.3.20 — П.3.22.
Таблица П.3,20
Изменчивость начального преднапряжения
Таблица П3.22
Изменчивость начального преднапряжения
в высокопрочной проволоке при её групповом натяжении /9/
Тип конструкций Диаметр, Данна Коэффициент
Шпалы т
Опоры кон- М 120 0.55-0.58 0.03-0.067
Трупы 5 0.5 •IS 0.45-0.52 0.19-0.23
1 (ыприфуги- рованные 5 136 716 0.4-0.72 0-08-0.2
5.2. Изменчивость геометрических размеров
строительных конструкций, возникающая
при их изготовлении и монтаже
Изменчивость геометрических размеров строительных конструкций
обусловлена, в основном, кульзурой технологии их изготовления и монта-
жа. Во многих случаях изменчивость рассматриваемых параметров сущест-
венно влияет как на прочность конструкций, так и на надежность сооруже-
ния или отдельной его части. Например, отклонения толщины защитного
слоя бетона в железобетонных конструкциях с небольшой высотой сечения
может привести к катастрофическим последствиям. (В плите перекрытия
толщиной 100 мм отклонение защитного слоя на 10...20 мм — что техноло-
гически весьма вероятно — приведёт к уменьшению прочности плиты на
13...25%). С другой стороны, увеличение общей высоты сечения на те же
величины приведёт к увеличению собственного веса плиты на 10...20%.
Для железобетонных конструкций было произведено ранжирование
факторов, обусловливающих их работу /53/. Ранжированием было установ-
лено, что в отдельных случаях влияние геометрических несовершенств со-
ставляет 50% от влияния всех факторов (та&ч. П.З..23).
Таблица П.3.23
Результаты ранжирования факторов, влияющих
на свойства железобетонных конструкций
Вид расчёта Вид напряженного состояния «Вес» фактора
/1о b R» Д. 4s Д Rw
На прочность Изгиб прямоугольного и таврового сечений 0.287 0.080 0.059 0.084 0.250 0.232
| | Hi HI 0.403 0.147 0.112 0.161 0.173
То же с малым 0.523 0.064 0.146 0.131 0.134
На лефор- мативность Прямоугольное сечение 0.205 0.060 0 042 0.060 0.178 0.165 0.20
Экспериментальное изучение отклонений геометрических размеров от их
номинальных значений пределения отклонений в железобетонных конструкциях показало, что рас- в большей своей части имеют несимметричный ха-
рактер, и поэтому применять к ним нормальный закон распределения можно
лишь при специальном обосновании. Это наглядно проиллюстрировано на
рис. П.3..21 — П.З..25. которые составлены по результатам работ /39,53/. На
этих рисунках для сравнения нанесены кривые нормального распределения.
Особо следует остановиться на распределении отклонений толщины защит-
ного слоя бетона (рис. П.З.25). В среднем стандарт отклонения этого пара-
метра больше по абсолютному значению в сравнении с другими конструк-
циями (можно сравнить значения <т на рис. П.3.,25 и П.3..21 — П.3..24).
136
Коэффициент вариации имеет очень большое численное значение — до 0.8 и
более (табл. П.3.24). Причинами этого являются:
• конструктивные и технологические особенности изделий, Так, в тех
изделиях, где для армирования использовались арматурные сетки,
наблюдались большие значения коэффициентов вариации. Там же,
где использовались пространственные каркасы (колонны), коэффи-
циенты вариации незначительны;
• небольшие абсолютные значения номинальных значений толщин
защитных слоёв.
Таблица П.3.24
Изменчивость толщин защитного слоя бетона
в железобетонных конструкциях /39/
Количество Стандарт, Коэффициент
кчаелий мм м м вариации
Плоские плиты перекрыт» I 5 7 7 0.445
Балконные титы |2 15.3 12 0.83
Ребристые плиты перекрытий 85 28.5 10.5 0.404
Колонны 28 29.4 1.31 0.045
Аналогичные результаты были получены в /37/: коэффициент вариации
толщины защитного слоя в продольном ребре плиты покрытия колебался в
пределах 0.18-0.34, в поперечном — 0.51—0.64, в полке -0.39-0.55.
На основании большого количества измерений (свыше 16.5 тысяч) была
установлена зависимость для коэффициента вариации линейных размеров
железобетонных сборных конструкций (рис. П.3.26) /S3/:
У=ехр(0.253-4.7510",г. %,
(П.3.29)
где L — линейный размер, мм.
Формула (П.3.29) не может использоватся для оценки изменчивости
толщин защитных слоёв. Границы её применимости — 300-5-6000 мм.
137
22''
кого слоя плоских плит перекрытия
Металлические конструкции
имеют специфические отклонения
в геометрических размерах — по-
гиби, что чрезвычайно важно для
металлических элементов, рабо-
тающих на сжатие /76/. Вид рас-
пределения погибей также специ-
фичен и подчиняется закону рас-
пределенния Вейбула или усечен-
ного нормального (рис. П.3.26).
138
Неточности монтажа и ещё большей степени осложняют работу конст-
рукции, выводя её из нормального — проектного — режима работы, а ино-
гда и изменяя вовсе напряжённое состояние конструкции. В практике осви-
детельствования встречались случаи, когда недостаточное опирание на
кирпичные стены плит покрытия вызывало их обрушение, а неточности
монтажа колонн не позволяли опереть на них железобетонную балку. По-
этому геометрические несовершенства конструкций и сооружений должны
постоянно изучаться. Они оказывают влияние не только на надёжность
строительных объектов, но также на их качество.
здания
в —длин площадок
опирания стропильных
конструкций
от проект ных знамений;
от осей опорных плошадок
19* г Я=166мм
|5|
139
В /67/ изучался вопрос влияния точности монтажа сборных конструкций
промышленных зданий на их надёжность. Для этого был собран обширный ма-
териал по фактическим геометрическим несовершенствам зданий (рис. П.3.27).
Было установлено, что несмотря на неплохие средние значения отклонений, их
стандарты в абсолютном выражении невероятно высоки, что, в частности, по-
рождает явления, описанные в предыдущем абзаце.
В этой работе указаны размахи отклонений, более удачно характери-
зующие отклонения в геометрических размерах. В некоторых случаях раз-
мах в 17 раз превосходил допускаемое
отклонение. Суждение о виде распреде-
лений отклонений можно сделать по
рис. П.3.27.
Аналогичный характер распределе-
ния размера опирания железобетонных
ригелей в каркасном здании на консоли
колонн был получен в исследованиях
кафедры АСК СамАСИ под руково-
дством автора (рис. П.3.28). Там же бы-
ли получены и статистически обработаны опытные данные по геометрическим
несовершенствам металлических конструкций животноводческих зданий:
• высота катета сварного шва через 12 лет эксплуатации имела следую-
щие статхарактеристики: п = 1699 шт, h = 4,39лы<, V = 0.206;
• смещение оси металлической фермы от положения проектного центра
её опирания на консоль колонны в плоскости рамы: п = 150 шт,
А =28 мм, а= 57.5мм — для колонн сечением 200x200 мм; п=298 шт,
Д =51 мм, о= 66.8 мм — для колонн сечением 300x300 мм;
• те же, по характеру смешения из плоскости рамы: zi=150 шт, Д =12.1 мм,
0=17.1 мм — для колонн сечением 200x200 мм; л= 298 шт, д=7.3 мм,
»-231
8 =30.94 мм
7 16 21 ^21) 1
опирания ригелей на консоли колони
Рис. П.3.29. Распределение высот
• коэффициенты вариации длин сварных швов (по перу и по обушку) —
0.22+0.24;
При обследовании сквозных стальных колонии подкрановой эстакады
на заводе по производству силикатного кирпича было получено статисти-
ческое распределение высот катетов
сварных швов (рис. П.3.29).
Для коррозии металла в строи-
тельных конструкциях, эксплуати-
рующихся в среднеагрессивной среде,
установлено, что распределение ве-
личины коррозионного износа соот-
ветствует логарифмически нормаль-
ному распределению (рис П.3.30). Для
конструкций, работающих в
140
сильноагрессивной среде или при больших сроках эксплуатации, распреде-
ление величины коррозионного износа хорошо описывается законом нор-
мального распределения (рис. П.3,31).
в среднеагрессивной среде
Рис. П.3.31. Распределение глубины
коррозионного поражения стали
6. Изменчивость свойств поражённой коррозией стали
На основании статистической обработки опытных данных, приведённых
в /1,14/, получено уравнение регрессии для оценки глубины поражения кор-
розией стальной арматуры в железобетонных конструкциях с шириной
раскрытия трещин а, свыше 5мм:
/7=430.237+154.7926л(ат)+72.1473£л(1), мк, (П.3.30)
где I — время в годах.
Уравнение (П.3.30) значимо с вероятностью 0.999 (Критерий Фишера
F =598.4) при числе опытов /1=20.
Применяя метод линеаризации, коэффициент вариации можно вычис-
лить по формуле
154.792 а
~ а„ [430.237 + 154.792 Ь1(л„)+72.1473 bi(/)J’ < 331 >
В результате статистической обработки более чем 3000 измерений вы-
соты катета шва в металлических фермах животноводческих зданий были
получены следующие уравнения, связывающие высоту катета и коэффици-
ент её вариации со временем:
УД')=0.103 - 0.0016
[11.3.33)
где Ло и Уо — начальные высота катета и коэффициент его вариации.
141
7. Изменчивость параметров расчётных формул
при оценке свойств железобетоннных конструкций
(вариация расчётных процедур
при определении прочности конструкций)
Если при проектировании конструкции возникает необходимость оцен-
ки её надёжности, производится учёт влияния изменчивости всех факторов
на теоретическую вариацию свойства конструкции. В этих случаях в поле
зрения попадает изменчивость расчётных процедур. Она возникает в силу
того, что при разработке расчётных формул фактическая расчётная схема
сечения идеализируется за счёт принятия ряда предпосылок, которые, не
снижая в среднем точности вычислений, придают дополнительную вариа-
бельность теоретическому значению свойства. В этом случае его статисти-
ческие характеристики определяются по схеме:
(П.3.34)
где о2 — полная дисперсия свойства конструкции; дисперсия, зависящая от
особенностей опыта; дисперсия, обусловленная принятыми предпосылками
при выводе расчётных формул.
Структурно изложенная мысль представлена на рис. П.3.32.
Для обоснования расчётных формул по определению статхарактеристик
прочности железобетонных конструкций были сделаны следующие основ-
ные предпосылки:
• сечения элемента остаются плоскими до и после деформирования
(гипотеза плоских сечений);
• при разрушении элемента эпюра напряжений в бетоне сжатой зоны
прямоугольная;
• работа растянутого бетона в сечении над трещиной в момент раз-
рушения элемента не учитывается.
142
Ниже рассмотрено влияние на изменчивость результата расчёта первых
двух предпосылок применительно к прямоугольному железобетонному се-
чению с одиночной арматурой без
преднапряжения.
Предположим, что плоское до
деформирования конструкции се-
чение после загружения нагрузкой,
близкой к разрушающей, оказалось
депланирован-ным (рис. П.3.33, б).
В результате равнодействующие
усилий в сжатой зоне бетона и
растянутой арматуре составили
некоторые углы а/, и а, с продоль-
ной осью конструкции.
В силу неравенства oj, и а, вер-
тикальные составляющие равнодей-
ствующих усилий также оказывают-
ся неравными друг другу по
абсолютной величине. Очевидно,
что разницу в указанных усилиях
воспринимает бетон над трещиной,
который, в силу того что с^>О(, ока-
зывается растянутым в плоскости,
перпендикулярной продольной оси
элемента.
Углы а, и аь могут быть найдены
из схемы деформирования элемента,
загруженного изгибающими момен-
тами, что в определённой мере вы-
равнивает вероятности разрушения
элемента но любому нормальному
сечению и одинаково деформирует
сжатую и растянутую грани элемен-
та (рис. П.3.34,а).
Предположим, что сжатая грань
элемента под воздействием внешней
нагрузки укоротилась и стала равной (рис. 6.35,в)-.
(П.3.35)
растянутая грань удлинилась и стала равной (рис. П.3.35,с):
!.+ [£,] £ = £-(! +(О
(П.3.36)
143
В этом случае углы Д> и Р„ стягивающие дуги полупролётов, окажутся
равными:
А-— (1 Ы-” (I [«Л (П.з.з?)
Я 'i П «о
(П.3.3!)
я Л
В формулах (П.3.35)+(П.3.38) приняты следующие обозначения:
L — расчётный пролёт изгибаемого элемента; [ej, [е,| — предельные
деформации сжатия бетона и растяжения арматуры; _ /'о г - /*° — ра-
" И ’' ю
диусы кривизны сжатой и растянутой граней элемента; ho — рабочая высо-
та сечения элемента.
Из треугольников АВС и АСД определяются углы ОС/, и а,:
(П.3.39)
а, =агсге -----------—
( Sin Р, 1g ра
(П.3.40)
С учётом депланации сечения
= 0 и =0 запишутся следуя
условия
статического равновесия
(см рис. П.3.31):
Хх=0х b Rb CosOb Rs A, Сом, Rb, b x Sino^O. (П.3.41)
£y=0 Rs-As-Sinas-x-b-Rb-Sinab-Rbl-b'X-Cosot|,=Q (П.3.42)
Из (П.3.41) и (П.3.42) следует:
- Cos а,
b'R" Cosab-^-Sinab'
_AS-R, _____Sin a,
b'R" Sin.ab+%*-Cosab'
Для выполнения условий равновесия необходимо, чт<
_ Sing,
Cota^—^Sinak R
"ь Sin gb + —- • Cos ab
R0
(П.3.43)
(6П.3.44)
(П.3.45)
144
Последняя запись после отбрасывания —--Siiia, • хак величины на по-
рядок меньше Cos Ctb, преобразуется в формулу
(П.3.46)
которая свидетельствует о том, что предельные деформации растянутой
арматуры в изгибаемом элементе непосредственно перед разрушением ог-
раничены максимальной деформативностью бетона.
Изгибающий момент, воспринимаемый депланирова1шым сечением, оп-
ределится из условия ХЛ/=О:
М = Rs • А; Sin(a„) - (Д, + Д(,)+ Я, А, Crw(«, МА» “ л/2). (П.3.47)
Таким образом, алгоритм расчёта прочности депланированпого сечения
запишется следующим образом:
= arctgtySmbb -\/tg bb)
а, = arctg(l/Sin bt - l/tg b>)
М = Я, • Л, -Sin(a,) (£>, + Db) + Rs • А, • Cos(a,) • (Д, - х/ 2)
Для сечения 6=100 мм и /10=2ОО мм из бетона класса В7,5
(R, = 1.48Мпаи R, =14.13Мпа) и арматуры класса А-Ш
bt Ь
( А, = 200м.мг и Rs =424.8А/п €) для /.=4000 мм был определён коэф-
фициент вариации несущей способности сечения. При этом принима-
145
лось: l£4j=3.5-10"‘,(Е,J=2.35-10'",Vjfi| = 0.4,V[r | = 0.2. Стандарт не-
сущей способности определялся методом линеаризации. Он оказался рав-
Эпюра напряжений в сжатой зоне изгибаемого элемента имеет парабо-
лическую форму, которая при разрушении элемента приближается к пря-
моугольной. Поэтому в расчётах прочности железобетонных элементов
принято распределение напряжений в сжатой зоне прямоугольным.
Это допущение, в среднем приводя к небольшим систематическим
ошибкам (до 7%), вызывает вариабельность результата расчёта несущей
способности.
Считая, что эпюра напряжений в сжатой зоне может распределяться от
треугольного до прямоугольного, была выведена формула для несущей спо-
собности изгибаемого элемента.
М =Л,-А,-Л11^!-а-£^=Я,,-Ь-Л02а/1-а-^\ (П.3.48)
Г
где га — коэффициент полноты эпюры
напряжений в бетоне сжатой зоны;
у — ко-эффициент, определяющий по-
ложение равнодействующей усилий в
бетоне сжатой зоны (рис. П.3.35).
Предельные значения коэффициен-
тов: у = 0.333*0.5, ш = 0.5*1,
у/w = 0.667*0.5. Положение центра тя-
жести эпюры напряжений в сжатой зо-
не зависит от вида эпюры, то есть от ко-
эффициента га Для решения поставленной задачи было принято, что зави-
симость между у и га прямолинейная:
у=0.16+0.34 га.
С учётом (П.3.46) уравнение (Р.3.48) изменится:
(П.3.49)
(П.3.50)
(П.3.51)
Применив к (П.3.51) метод линеаризации, можно получить выражение
для коэффициента вариации несущей способности в зависимости от измен-
чивости коэффициента га
(П.3.52)
где /(— коэффициент армирования сечения (/г=.4,/.-Ь,).
146
Коэффициент 0.53 в (6.50) — это
среднее значение отношения y/w,
принятое по предложению А.Ф. Ло-
лейта. Из (П.3.50) следует, что
среднее значение коэффициеннта
полноты эпюры напряжений в сжа-
той зоне изгибаемого элемента
Для оценки статистических ха-
рактеристик шбыло сделано пред-
положение, что распределение указанного коэффициента подчиняется экс-
поненциальному закону (рис. П.3.36)-.
(П.3.54)
F(w) = | Р( о>. 6) • da) = I -ехр(-——^-~)>
Распределение (6.55) имеет среднее значение (о =0.842 и стандарт
atl =0.11 • Коэффициент вариации значения о) равен Уш =0.1309. При та-
ких условиях (П.3.52) можно переписать:
(П.3.56)
Коэффициент вариации несущей способности, обусловленный предпо-
сылкой о прямоугольной эпюре напряжений в сжатом бетоне изгибаемого
(или внецентренпо сжатого с большим эксцентриситетом) для различных
процентов армирования, оказался не больше 2% для элементов с гранич-
ным процентом армирования и не более 1% для элементов с процентом ар-
мирования ниже граничного (табл. П.3.25).
В этом разделе показан приём, позволяющий теоретически оценить из-
менчивость расчётных процедур, вызванных неточностью соответствую-
щих предпосылок. Причём изменчивость процедур получается при этом
минимальная, то есть ей даётся оценка снизу. Однако не всегда это воз-
можно и целесообразно. Поэтому применяется ещё один приём, позволяю-
щий дать оценку изменчивости расчётных процедур сверху — то есть оне-
147
нить максимальную изменчивость. Для этой цели анализируются от ноше-
ния опытных и теоретических свойств конструкций. Результаты такого ана-
лиза приведены в разделе П.3.7.
Таблица П.3.25
Изменчивость расчётных процедур, возникающая от неточностей,
вызванных гипотезой о прямоугольной эпюре напряжений
в сжатой зоне бетона
Класс Коэффициент вариации расчётных процедур.%,
Д = 0.5.д.„
В7.5 В15 В22.5 изо В7.5 В15 В225 ИЗО
Л-П 1 0 1 1.65 1.41 0.79 0.70 и 61 0.54
л-ш 1.76 1.51 1.29 0.75 0.65 0.56 049
Л-IY 1.52 1.28 1.08 0.92 0.66 0.56 0.48 0.42
Для оценки кривизны железобетонного элемента прямоугольного сече-
ния с одиночной арматурой без преднапряжения в ней используется фор-
мула СНиП 2.03.01-84:
где все обозначения приняты по указанному СНиПу.
Рис. П.3.3?. Распределение
коэффициента j/.
коэффициента у
148
В статистическом отношении неопределёнными параметрами в этой
формуле являются . В /47,48/ подробно изложена методика изу-
чения указанных параметров. Здесь же приведены лишь результаты иссле-
дований (рис. П.3.37. И.38). Достаточного количества опытов для построе-
ния распределения относительной высоты сжатой зоны бетона изгибаемого
элемента не нашлось. Поэтому было построено распределение отношений
опытных и теоретических значений этого параметра в предположении, что
такой приём поможет оценить статхарактеристики рассматриваемого пара-
метра с наихудшей стороны (рис. 6.39).
Распределение коэффициента v было получено непосредственным экс-
периментом /1 00/(рис. 6.40).
8. Изменчивость расчётных формул
для оценки свойств железобетонных конструкций
Величина <т„, в П.3.34 изучена недостаточно. Поэтому были выполнены
специальные исследования, направленные на изучение изменчивости ре-
зультатов расчётов свойств железобетонных конструкций нормированными
методами.
Для изучения вопроса были отобраны 66 исследований, содержащих
свыше 4000 опытов /53/. Предпочтение отдавалось тем, где сравнивались
результаты экспериментов и вычислений по нормативным документам. В
случае отсутствия расчётов нормированными методами, эти расчёты специ-
ально проводились.
Исследованиям подвергались отношения опытных свойств конструкций
к теоретическим, определённым по нормированным методикам. Причём
теоретические результаты были получены при фактических значениях па-
раметров, входящих в расчётные формулы. Последние брались из соответ-
ствующих публикаций.
Таким образом, в случае отсутствия погрешностей в исходных данных
(например, в геометрии сечения, прочности материалов и др.) изменчивость
указанных отношений будет больше изменчивости опытных результатов на
величину, обусловленную только неточностями предпосылок, введёнными
при построении расчётных зависимостей. Однако практически создание
такой ситуации невозможно, и поэтому в результате изучения распределе-
ний отношений опытных свойств к теоретическим будет получена несколь-
ко искажённая в худшую сторону информация об изменчивости расчётных
процедур. Следовательно, изучение изложенным способом изменчивости
расчётных процедур даёт её верхнюю оценку.
В анализ были включены также исследования зарубежных авторов, в
которых за нормированные методики принимались те, которые действовали
на момент опубликования в соответствующих странах.В результате было
установлено, что коэффициент вариации расчётных процедур во всех стра-
149
Таблица П.3.26
Средние значения коэффициентов вариации расчетных процедур
в разных странах
Страна Коэффициент вариации, %, отношений опытных значений к теоретическим при расчете
по прочности по прогибам по трещинообря- зованию по раскрытию
Россия 5-10 13-16 10 40
США 18 11
Англия 5-6 11
Испания
_ФЕа!шия_ 9-11
Подробно коэффициенты вариации отношений опытных свойств конст-
рукций к теоретическим покачаны в табл, П.3.27 + П.3.29. Наиболее пред-
ставительные распределения, которые построены на основе наибольшего
количества данных в одном исследовании, показаны на рис. П.3.41 « П.3.45.
Обобщающие сведения приведены в табл. П.З.ЗО.
Изменчивость расчётных формул
для оценки прочности конструкций
T ип конструкции. Коэффициенты вариации отношении
£ К ij 1 \ § § f 1 £ |
1 1рямоуго.ты1ыс сечения 0.807 0.138 0.818 0.108 0.079 0.202 0.289
Круглые,сечения 0.815 0.721
Кольцевые сечения 0.953 0.895 0,581
1 lycioiiiuc и ребристые плиты, двускатные и мостовые балки, двутавровые сечения 0.114 0.0691 0.184
Росзнерки 0.144
Стыки колонн 0.2037
150
Таблица 11.3.28
Изменчивость расчётных формул
для оценки прогибов конструкций
Гии конструкции, сечения Коэффициенты иариании отношении
при изгибе в плоскости конструкции при воздействии нагрузок при косом изгибе И кратковр, нагрузке
кратковременных длительных очные
1 |рямоуюлы1ыс сечения 0,146 0.103 (1 61 S 11 101
Пустотные плиты 0.133
Ребристые плиты 0.161 0.3
Таблица 11.3.29
Изменчивость расчётных формул
для оценки трещиносгойкости (ширины раскрытия трещин)
К(г>ффипис1пы вариации отношений
Гии конструкции, сечения при изгибе в плоское 1 и конструкции по сечению ори виснсш рейном сжатии но нормальному ссчсшпо
нормальному наклонному
11рямоусольные сечения 0 096 (0.442) 0.63 (0,268)
Кольцевые сечения 0.087
Пусютые пииты 0.102 0 2276
Ребристые И..ЦЧЫ 0.044
Рис П.З-II Распределение .Отношений
ОПЫ1 пых значений прочности изгибаемых
элементов к теоретическим /89/
опытных значений прочности кольцевых
Рис П 3.33 Распределение очищений опыт-
ных значений прошбов к теоретическим при
кратковременном воздействии нагрузок /53/
151
Таблица П.3.30
Коэффициенты вариации расчётных процедур
Вид расчета V
Прочность нормальных сечений при изгибе 0.0765
'Го же. при внеце1преином сжатии 0.09
Прочность наклонных сечений 01146
Моменттрептнообразования в нормальных сечениях при изгибе 0.088
Ширина раскрытия трегшпг в нормальных сечениях при изгибе и внецегпренпом сжатии 0.372
То же, в наклонных сечениях 0.63
Кратковременный прогиб 0.15
Длительный пропгб 0-201
Полный прогиб 0.615
Длина зоны передачи напряжений 0.289
152
Приложение 4
Достоверность получаемых результатов
Статистическая оценка достоверности полученных результатов
Введение
Как правило, результат, полученный в прикладных научных исследова-
ниях, обладает некоторой неопределённостью, и в ряде случаев может ока-
заться невоспроизводимым, то есть недостоверным. Целью статистической
оценки достоверности полученных в исследованиях результатов является
обретение уверенности в том, что они достоверны. Не менее важным явля-
ется убеждение в том же читателей, оппонентов, потребителей.
Результат оценки достоверности
В результате оценки получают ответ на вопрос: «Какова вероятность то-
го, что принятая гипотеза (принятое решение) достоверна?»
Основные термины
Доверительная вероятность — вероятность того, что истинное значе-
ние исследуемой величины (одна из множества реализаций которой полу-
чена в выборке) будет находиться в интервале значений, определяемым
этой вероятностью.
Квантиль — значение случайной величины, для которой задана вероят-
ность её непревышения.
Удовлетворяющие доверительные вероятности
Любые. Однако желательно придерживаться следующих правил:
• к неустойчивым процессам (имеющим большой коэффициент ва-
риации — более 15-20% — большие доверительные вероятности
лучше не использовать, так как это потребует большого количества
опытов). Рекомендуемые доверительные вероятности — от 30%,
• в отрасли строительных материалов- от 75%,
• в отрасли расчётов конструкций — от 90%,
• в отрасли технологии строительного производства или производст-
ва строительных конструкций — от 50 %.
Задачи, решаемые с помощью статистических оценок
I. Проверка однородности наблюдений (выбраковка выпадающих значе-
ний) при неизвестных генеральных среднем и дисперсии.
где х , S — выборочное среднее и стандарт, х— выпадающее значение,
т—квантиль r-распределения (табл. П.4.1).
153
Таблица П. 4.!
Квантили распределения
2. Обоснование количества интервалов в гистограмме производится по
X = 5/_£(/V),
где N — количество опытов (наблюдений).
3. Оценка стандартной ошибки среднеарифметического значения
Среднеквадратическая ошибка среднеарифметического значения вычис-
ляется по формуле:
где S — стандарт наблюдений, N— количество опытов.
4. Оценка доверительных границ для среднего значения при неизвестной
генеральной дисперсии (наиболее распространённый случай в исследованиях)
где хи.т - предполагаемое среднее генеральной совокупности, х,„, — опыт-
ное среднее, S— опытный стандарт, N — количество опытов, t р — кван-
тиль в /-распределении Стыодента при заданной доверительной вероятно-
сти «//» (табл. П.4.2).
154
Таблица П.4.2
Квантили распределения Стьюдента t
f Уровни значимости р
0.2 0,1 0.05 0,02 0.01 0,005 0,001
1 3.08 6.31 12,7 31.8 63,7 127 636.6
2 1.89 2,92 4,3 6.97 9,93 31,6
1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 7.45 12,94
1.53 2.13 2,78 3.75 4.6 5.6 8.61
5 1.48 2.02 2.57 3.37 4,03 4,77 6.86
6 1,44 1.94 2.75 3.14 3.71 4,32 5.96
1.9 2.37 3.5 4,03 5.41
X 1 4 1.86 2.31 2.9 3.36 3.83 5.04
9 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 3.7 4.78
10 1.37 1.81 2.23 2.76 3,17 3.58 4,59
11 1,36 1.8 2.2 2,72 3.11 3.5 4,44
12 1.36 1.78 2.18 2.68 3.06 3.43 4,32
13 1.35 1.77 2,16 2.65 3.01 3.37 422
1.34 1.76 2.15 2.62 2,98 3.33 4.14
15 1.34 1.75 2.13 2.95 3.29 4,07
16 1.34 1.75 2.12 2.58 2,92 3.25 4.02
17 1.33 1.74 2.11 2.57 2.9 3,22 3.97
Примечание:f-количество степеней свободы. F=n — 1.
/ Уровни значимости р
0,2 0,1 0,05 0,02 0.01 0.005 0.001
18 1.73 2.1 2.55 2,88 3,2 3,92
19 1.73 2,09 2.54 2.86 3.17 3,88
20 1 73 2.09 2.53 2.85 3.15 3.85
21 1.72 2,08 2.52 2,83 3.14 3.82
22 1.72 2.07 2.51 2.82 3.1 2 3.79
23 1.71 2.07 2,5 2.81 3.77
24 1.7 1 2.06 2.49 2.8 309 3.75
25 1.3 1.71 2.06 2.48 2.79 3.08 3.73
26 1 1.71 2.06 2.48 2.78 3.07 3.71
27 2.05 2.47 2.77 3.06 3.69
28 2.05 2.47 2.76 3.05 3.67
29 2.04 2.46 2,76 3.04 3.66
30 1.3 2,04 2.46 2.75 3.03 3.65
40 1.3 1,68 2.02 2.42 2.7 2.97 3.55
60 1.3 1.67 2.39 2,66 2.91 3.46
120 1.3 1.66 1.98 2 16 2.62 2.86 3.37
X. 1.3 1.64 1.06 2.33 2.58 2.81 3.29
5. Сравнение средних при двух группах наблюдений.
где х ,у — средние по двум выборкам. O'^i~+(^: ty-S;
средневзвешенная дисперсия, 1,^ —односторонний критерий — квантиль.
г — распределения при доверительной вероятности «р» (табл. 2) и при
f=N, + Ыг — 2 степенях свободы.
6. Оценка стандартной ошибки срелнеквадратического отклонения.
Среднеквадратическая ошибка среднеквадратического отклонения вы-
числяется по формуле:
72 (W-0.75)
155
7. Оценка доверительных границ для генеральной дисперсии.
где S2 — выборочная дисперсия,/ = N— 1 — число степеней свободы, N —
количество опытов, х? — квантиль ^-распределения Пирсона при довери-
тельной вероятности «р» и/степенях свободы (табл. П.4.3).
Таблица П.4.3
Квантили распределения Пирсона
/ Уровни значимости р
0,99 0.98 0,95 0,9 0.8 0.7 0,5 03
0 О 0 0.02 0.06 0.15 0.46 1.07
2 0.02 0,04 0.1 0.21 0.45 0,71 1.39 2.41
3 0.12 0.19 0,35 0.58 1.01 1.42 2.37 3.66
Л 0.3 0.43 0.71 1.06 1.65 2.19 3.36 4.9
S 0.55 0.75 1.14 1,61 2.34 4.35 6.1
0.87 1.13 1.63 2 з 3.07 3.83 5.35 7.2
7 1.24 1.56 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.4
8 1.65 2.03 2.73 3,49 4.59 5,53 7.34 9.5
9 2.1 2.53 .3.32 4 17 5.38 6.39 8.34 10,7
10 2.56 3.06 3.94 4,86 6.18 7.27 9.34 11.8
11 2 | 3.6 4.6 5.6 8.1 10.3 12.9
12 3.6 5.2 6.3 7.8 9 11,3 14
13 4.1 4.8 5.9 8.6 9.9 12.3 15.1
ы 4.7 5.4 6.6 7.8 9.5 10.8 13.3 16.2
15 5 2 7.3 8.5 10.3 11.7 14.3 17,3
16 5.8 6.6 8 9,3 11.2 12.6 15.3 18.4
17 6.4 7 3 8.7 10.1 13.5 16.3 19.5
18 7 7.9 9.4 10.9 12.9 14.4 17.3 20,6
19 7,6 8.6 10.1 11.7 13.7 15.4 18.3 21.7
20 8.3 9.2 10.9 12,4 14.6 16,3 19.3 22,8
21 8.9 9.9 11.6 13,2 15.4 17.2 20.3 23.9
22 9.5 10.6 12,3 14 16.3 18.1 21.3 24.9
10,2 11 3 13.1 14.8 17.2 19 22,3 26
24 10.9 12 1.3.8 15.7 18,1 19.9 23,3 27.1
25 11 5 12.7 14.6 16.5 18.9 20.9 24.3 28.2
26 12.2 13.4 15.4 17.3 19.8 21.8 29.3
2.7 12.9 14,1 16.2 18.1 20.7 22.7 26.3 30.3
28 13.6 14.8 16.9 18.9 21.6 23.6 27.3 31.4
29 14.3 15,6 17.7 19.8 22.4 24.6 28.3 32.5
30 15 16.3 18.5 20.6 23.4 25.5 29.3 33.5
156
/ Уровни THB'IHMOCUI р
0.2 0.1 0,05 0,02 0,01 0.01 0.005 0,002 0.001
1 1.64 2.7 3.8 5.4 6.6 7.9 9.5 10.8 10.8
2 3.22 4.6 6 7.8 9.2 10.6 12.4 13.8 13.8
3 4.64 6.3 7.8 9.8 11,3 12.8 14.8 16,3 16,3
4 7.8 9.5 11.7 13,3 14.9 16.9 18.5 185
7,3 9,2 11.1 13.4 15,1 16.3 18.9 20.5 20.5
6 8.6 10.6 12.6 15 16.8 18.6 20.7 22.5 22.5
9.8 14.1 16.6 18.5 20,3 22,6 24.3 24.3
8 II 13,4 15,5 18.2 20,1 21.9 24,3 26.1 26.1
12.2 14,7 16.9 19.7 21,7 23.6 26.1 27.9 27.9
IV 13.4 16 18.3 21.2 23.2 25.2 27.7 29.6 29.6
14.6 17.3 19.7 22.6 24.7 26.8 29.4 31.3 31.3
12 15.8 185 24.1 26.2 28.3 31 32.9 32.9
13 17 19,8 22.4 25.5 27.7 29.8 325 345 34.5
14 18.2 21.1 23.7 26,9 29,1 31.3 34 36,1 36.1
15 19.3 22.3 25 28.3 90,6 32.8 35.5 37.7 37,7
16 20.5 23.5 26.3 29.6 32 34,3 37 39,2 39,2
17 21.6 24.8 27.6 31 33.4 35.7 385 40.8 40,8
18 22.8 26 28.9 32.3 34,8 37,2 40 42,3 42.3
19 23.9 27.2 30.1 33.7 36.2 38.6 415 43.8 43.8
20 25 28.4 31.4 35 37,6 40 43 45.3 45.3
21 26.2 29.6 32.7 36.3 38.9 41,4 445 46.8 46.8
22 27.3 30.8 33.9 37.7 40.3 42,8 46 48.3 48.3
23 28.4 32 35.2 39 41.6 44.2 475 49.7 49,7
24 29.6 33.2 36.4 40.3 43 45.6 48.5 51.2 51.2
25 30.7 34.4 37.7 41.6 44.3 46.9 50 52.6 52,6
26 31.8 35.6 38.9 42,9 45.6 48.3 51.5 54,1 54.1
27 32.9 36,7 40.1 44,1 47 49,6 53 55.5 55,5
28 34 37.9 41.3 45,4 48.3 51 545 56.9 56,9
29 35.1 39.1 42.6 46,7 49.6 52,3 56 58.3 58,3
30 36.3 40.3 43.8 48 50.9 53.7 57.5 59.7 59.7
надлежности двух распределений общему.)
где 5|, $2 — Две выборочные дисперсии,/] = Nl-l,fi = Ni~l — степени сво-
боды. — квант иль ^-распределения Фишера при доверительной вероят-
ности «р» и / и /г степенях свободы (табл. П.4.4).
157
Таблица П.4.4
Квантили распределения Фишера t\.p
158
159
Уровень значимости 0.001
Л
1 2 5 6 X 12 24 бег к-
1 400000 425000 450000 475000 500000 517000 534000 550000 575000 600000
998 999 999 999 999 999 999 999 999 999
167 148 141 137 135 133 131 128 126 123
74.1 61,3 56.2 53,4 51.7 51 49 47.4 45.8 44.1
47 36,6 33.2 31.1 29,8 29 28 26.4 25.1 23.8
35.5 27 23.7 21,9 20,8 20 19 18 16.9 15.8
29.2 21,7 18.8 17.2 16.2 16 15 13.7 12,7 11.7
25,4 18,5 15.8 14.4 13.5 13 12 11.2 10.3 9.3
22,9 16.4 13.9 12.6 11.7 II 10 9.6 8,7 7.8
10 21 14.9 12.6 11.3 10.5 9.9 9,2 8.5 7.6 6.8
19,7 13,8 11.6 10,4 9.6 9.1 8.3 7.6 6.9 б
12 18.6 13 10.8 9.6 8.9 8.4 7.7 6.3 5.4
13 17.8 12.3 10,2 9.1 8.4 7.9 7.2 6,5 5.8 5
14 17.1 11.8 9.7 8.6 7.9 7.4 6.8 6.1 5.4 4.6
15 16,6 11.3 9.3 8.3 7.6 6.5 5.8 5.1 4.3
16 16.1 7,9 7.3 6.8 6.2 5.6 4.9 4.1
17 15.7 10.7 8.7 6.6 5.3 4.6 3.9
18 15.4 10.4 8.5 7.5 6.8 6.4 5.8 S 1 4.5 3.7
19 15,1 10.2 8.3 7.3 6,6 6.2 5.6 5 4.3 3.5
20 14,8 10 8.1 7.1 6,5 6 5.4 4.8 4.2 3.4
22 14.4 9.6 7.8 6.8 6.2 5.8 5,2 4.6 3.9 3,2
24 14 9.3 7,6 6.6 5,6 5 4.4 3.7
26 13.7 9 1 7.4 6.4 5.8 5.4 4,8 4.2 3.6 2,8
28 13,5 8.9 7.2 6.3 5,7 5.2 4.7 4 1 3.5 2.7
30 13.3 8.8 6.1 5,5 S 1 4.6 4 3.4 2.6
40 12.6 8.2 6.6 5.7 5.1 4 7 4.2 3,6 3 2 2
60 12 7.8 6.2 5.3 4.8 3,9 3 3 2.7 1.9
120 11.4 7.3 5.8 5 4.4 3.5 з 2.4 1.6
беек. 10.8 6.9 5.4 4.6 4,1 3.7 3.3 2.7 2,1 I
9. Принадлежность опытного распределения нормальному закону (при
малых выборках — ориентировочно — до 20).
В нормальном законе распределения асимметрия (А) и эксцесс (Е)
должны быть равны нулю. Они вычисляются по формулам:
?<Л
-хУ-з
Их дисперсии вычисляются по зависимостям:
0(A) = -
0(g)- 24 " (”-2) ("-3)
(« + 1/-(и+3)-(и + 5)
Если |Л|<3'7О(А) и |е|<5'7О(£ 'то рассматриваемое опытное рас-
пределение можно считать нормальным.
160
10. Принадлежность опытного распределения любому закону по крите-
рию Колмогорова А.Н. (Целесообразно использовать при графическом
представлении статистического материала.)
где D — максимальная абсолютная величина разности между теоретической и
эмпирической функциями распределения (между площадями под кривой тео-
ретического распределения и гистограммы — нарастающим итогом).
Если Л -< Л, , то гипотеза о принадлежности опытного распределе-
ния принятому закону справедлива при уровне достоверности «р». Кванти-
ли Л-распределения приведены в табл. П.4.5.
Таблица П.4.5
Квантили распределения Колмогорова Луд______________
р Ai.p р Л..Я р Л|.Г
0.99 0.44 0.5 0.83 0,15 1.14
0.9 0,57 0.4 0.89 0.1 1.22
0.8 0.64 0.3 0.97 0,05 1.36
0.7 0,71 0.25 1.02 0,02 1.52
0.6 0,77 0.2 1,07 0,01 1.63
11.Принадлежность опытного распределения любому закону по крите-
рию Пирсона (г2).
где к — количество интервалов в гистограмме, и, — количество попаданий
в |-й интервал, /?, — вероятность попадания в i-й интервал по принятому
закону, N— общее количество наблюдений.
Если %2 < ,то гипотеза о принадлежности опытного распределе-
ния принятому закону справедлива при уровне достоверности «р» и при
количестве степеней свободы f = k-З. Квантили ^-распределения приведе-
ны в табл.3
12. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции.
Если Гт > г . то коэффициент корреляции значим при доверительной
вероятности «/>» и при числе степеней свободы/= N (табл. П.4.6).
161
Таблица П.4.6
Квантили распределения выборочного коэффициента
корреляции п-рд
f Уровни значимости р
0,1 0,05 0,01 0,001
1 1 1 1 1 1
2 0.9 0.95 0.98 0.99 1
3 0.81 0.88 0.93 0,96 0,99
4 0,73 0.81 0.88 0,92 0.97
5 0.67 0,75 0.83 0,87 0.95
6 0.62 0.71 0.79 0.83 0.93
7 0,58 0,67 0,75 0.8 0.9
8 0.55 0.63 0.72 0.77 0.87
9 052 0.6 0.69 0.74 0.85
10 0,5 058 0.66 0.71 0,82
11 0,48 0.55 0.63 0.68 0.8
12 0,46 053 0.61 0.66 0.78
13 0.44 0,51 0,53 0.64 0.76
14 0.43 0.5 0,57 0.62 0.74
15 0.41 0,48 0.56 0.61 0.73
16 0.4 0,47 0.54 0.59 0.708
/ Уровни значимости р
0.1 0,05 0,02 0.01 0,001
17 0,39 0.46 0,53 0.58 0,693
18 0.38 0.44 052 0.56 0.679
19 0.37 0.43 0.5 0.55 0.665
20 0.36 0.42 0,49 0.54 0.652
25 0.32 0.38 0.45 0.49 0,597
30 0.3 0.35 0.41 0.45 0.554
35 0.28 0.33 0.38 0.42 0.519
40 0.26 0,3 0.36 0.39 0.49
45 0.24 0.29 0.34 0.37 0.465
50 0.23 0,23 0.32 0.35 0,443
60 0.21 0,25 0.3 0,33 0.408
70 0.2 0.23 0.27 0.3 0.38
80 0.18 0.22 0.26 0,28 0557
90 0,17 0.21 0.24 0.27 0,337
100 0.16 0.2 0.23 0.25 0.321
13. Проверка значимости уравнения регрессии.
где — опытная и остаточная дисперсии.
162
;2 =-!---------- . № =—------------------
у™, У,«у> — опытные и вычисленные по уравнению регрессии значения
функции, z — количество факторов в уравнении регрессии, F\.р — квантиль
Г-распредсления Фишера при доверительной вероятности «р» и при числе
степеней свободы f = N-l и f2 = N-z-l (табл. 4).
14. Проверка значимости выборочного коэффициента регрессии.
где Р — коэффициент регрессии, S,, S, — стандарты функции и аргумента.
N — количество опытов, I р — квантиль t-распределения Стьюдента при
доверительной вероятности «р» и при числе степеней свободы f = N-2
(табл. П.4.2).
163
Приложение 5
Примеры вероятностных расчётов при проектировании
и оценке надёжности строительных конструкций
1. Построение гистограммы, определение
по ней среднего значения,
стандарта и коэффициента вариации
Построение гистограммы производят в следующем порядке:
• выясняется диапазон, в котором распределён заданный ряд чисел
(для чего определяются минимальное и максимальное значения из
всех чисел);
• весь диапазон делится на 7-10 равных интервалов;
• последовательно извлекая из заданного ряда число, определяют ин-
тервал, в котором он может быть размещён;
• при попадании в конкретный интервал счётчик чисел в нём увели-
чивается на единицу.
Среднее значение, стандарт и коэффициент вариации определяются по
формулам:
-г= x^J ^п-. <т= И Лу ру х) Д £ лу 11 V=a/x
где itj — количество чисел, попавших в j- ый интервал; х — среднее зна-
чение в j -ом интервале.
Исходные данные представлены в виде таблицы.
Случайные числа, распределённые по нормальному закону
Минимальное число в таблице — 0.3, максимальное — 9.2. Диапазон
изменения чисел —0.3+9.2.
Диапазон делится на 10 равных частей от I до 10 через 1.
164
Распределяя числа по интервалам, получаем гистограмму.
Статистические характеристики заданного ряда чисел, полученных по
гистограмме: количество чисел 100, среднее 5.02, стандарт 1.96, коэффици-
ент вариации 0.391.
2. Аппроксимация гистограммы нормальным распределением
и вычисление критерия х2
Нормальное распределение и критерий описываются приведёнными
ниже формулами.
где X и О — среднее и стандарт ряда чисел; п — количество интервалов
в гистограмме; /V — общее количество чисел, использованных при по-
строении гистограммы; р, — вероятность попадания в j — ый интервал,
вычисляемая по таблицам функции нормального распределения в зависи-
мости от величины т-.
— значение левой или правой
границы интервала). Таким образом, для того чтобы вычислить вероятность
попадания в j — ый интервал, надо определить вероятности попадания в
интервалы — « — со» — «левая границау-го интервала», «+-=о» — «правая
граница того же интервала». Далее следует вычесть второе из первого. Вы-
числения удобно производить по форме, показанной в примере.
Вычислив критерий /Л по таблице £ определяют вероятность, с кото-
рой может быть принята гипотеза о нормальном распределении опытных
значений (гистограммы). При
этом для определения этой веро-
ятности пользуются строкой и-1,
где // — количество интервалов
в гистограмме. Двигаясь по
строке п-1 вправо, находят число
несколько большее, чем значе-
ние критерия ]С- Столбец, в ко-
тором находится это число, обо-
значен в шапке таблицы, как
вероятность принятия гипотезы.
165
Пример. Вычислить критерий / для оценки вероятности принятия ги-
потезы о том, что полученную в предыдущем примере гистограмму можно
описать законом нормального распределения.
Закон нормального распределения принят с вероятностью
не менее 0,7 (см. таблицу значений %* ы конце приложения)
/=4.394 (/^^.,=6,39 > Г»г=4.394).
Гранниы интервала Г»; Р, Л/ г’
-ею _ 1 — оо -2.05 0 0.0253 0.0253 2 0.111
-2.05 -1.54 0.0253 0.0618 0.0365 1.513
2 — 3 -1.54 -1.03 :и-, s 0.1515 0.0897 7 0.432
3—4 -1.03 -0.52 0.1515 0.3015 0.15 12 0.6
4 — 5 -0.52 -0.01 0.3015 0.496 0.1945 22 0.33
-0.01 0.5 0496 0.6915 0.1955 23 0609
6 — 7 0 1.01 0.6915 0.8437 0.1522 12 0.681
7 — 8 1.01 1.52 j '; 0.9357 0.092 9 0.004
8 — 9 1.52 2.03 0.9357 0.9787 0.043 S 0.114
9—00 2.03 оо 0.9787 1 0.02 2 0
4,394
3. Составление уравнения регрессии
с помощью полного факторного плана эксперимента
с тремя факторами
п/п Уровни факторов У
X, X, у.
1 + +
+ +
+• +
4-
+ +
6 +
7 +
8
Указанный план приведён в таблице. В ней знаками + и — обозначены
кодовые значения факторов +1 и -I. Кодирование факторов произведено по
формуле:
где х"""', X — натуральное и кодовое значение фактора; х"ат— среднее
натуральное значение фактора; ШВ — шаг варьирования фактора.
шв= (в-^У2
166
В результате реализации плана получают уравнение регрессии:
-bo+b. X.+b.-X^+hyX,..-. b — коэффициенты регрессии, определяе-
мыс по формулам:
Пример. Получить уравнение регрессии, с помощью которого можно
описать прочность изгибаемого железобетонного элемента, описываемой
формулой:
M--As-Ks-
Приняв 6=300 мм, Rb-8.5 МПа, остальные значения — по плану экспе-
римента. по указанной формуле, производят вычисления прочности желе-
зобетонного элемента (х 108 Нмм).
Исходные данные дли примера
1. МПа Х1""(Д.). мм1 мм I
* + 1 - ! *
.350 1 1 1500 1 1000 | 1 600 ] .300 I
Подстановка результатов в план эксперимента для получения коэффи-
циентов регрессии
/!=6.75’ 1Os'(600-6.75’10s/5100)=3.16
/2=5.25 10s (600-5.25-10s/5100)=2.61
/3=4.50'I05(600-4.5010s/5100)=2.30
/4=3.50 10s (600-3.5010s/5100)=I.86
/5=6.75 10s (300-6.75 105/5100)=1.13
/6=5.25-10s'(300-5.25-10s/5100)= 1.03
/7=4.50' 10s (300-4.50-10s/5100)=0.95
/8=3.50 I0' (300-3.50' 10’/5100)=0.81
Вычисления коэффициентов регрессии:
6e=13.84IO’/8=1.73IOli
61=1.210’,/8=0.1510’
*2=2.0 10s/8=0.25 10s
*3=6.0 10’/8=0.75 10s
Уравнение регрессии в кодах:
/=( 1 73+015-Л,|+025Л-2+075Лз)108
167
4. Определение вероятности отказа конструкции на начало
и конец эксплуатации (при Z=50 лет)
Для последующей работы необходимо определить средние значения и
стандарты нагрузок, прочности конструкции, композиции их статистиче-
ских распределений, а также вероятности отказов конструкции.
Постоянные нагрузки (</"'”') описываются законом нормального распре-
деления, временные (q"'’"‘) — двойным экспоненциальным законом. Сред-
ние значения нагрузок определяются по формулам:
4t = Япост + г = 0 ЗОлет
i — номер постоянной нагрузки, стандарт временной нагрузки.
Стандарты нагрузок определяются так (У-коэффициенты вариации):
_ _ . уврем _ I & ,-пост. у пост 2
адвре.м -<II=Q vq • адпост -ЛЫЧ; 'Vq. Г.
Средние и стандарты усилий в конструкциях определяются в зависимо-
сти от её расчётной схемы (например, M=ql}lZ). Для упрощения в работе
принято, что распределение прочности конструкции соответствует закону
нормального распределения, и параметры его не изменяются в течение сро-
ка эксплуатации. В этой связи среднее значение прочности конструкции
определяется по нормированным формулам, а стандарт — через частные
производные нормированной функции по всем вариабельным параметрам.
Характеристики композиции распределений вычисляются по формулам:
MR-f(xrx2.....г„.)
где М и а— средние и стандарты соответствующих распределений.
Вероятности отказов конструкции на начало, и конец эксплуатации опре-
деляются по графику в зависимости от значений соответствующих индика-
торов отказов =Ч’1/ач>)
Пример. Определить вероятность отказа железобетонного изгибаемого
элемента прямоугольного сечения с одиночной арматурой и загруженного
равномерно распределенной нагрузкой, свободно лежащего на двух опорах.
Пролёт элемента — 6 м, ширина — 300мм, бетон — кл. В 12,5 №=8,5 МПа),
168
ширина грузовой площади — 3 м. Площадь арматуры -1000 мм2, прочность
арматуры — 400 МПа при коэффициенте вариации 0,05, рабочая высота
сечения — 550 мм. коэффициенте вариации — 0.01.
Нагрузки (коэффициенты вариации) от собственной массы конструкции
покрытия:
• от плиты покрытия — 4750 МПа (0,03),
• от пароизоляции — 280 МПа (0,05).
• от утеплителя — 850 МПа (0,15),
• от цементно-песчаной стяжки 700 МПа (0,1),
• от 3-х слойного рубероидного ковра 950 МПа (0,1),
• временная нагрузка от снега на начало эксплуатации 1400 МПа (0,4.)
Постоянно действующие нагрузки (среднее и стандарт):
^яосш . 4750 + 280 + 850 •» 700 + 950 = 7530 ли/2. <7^,,ост = (4750 - О.ОЗ)2 + (280 • 0,05)2 +
т(850-0.15)2 + (700-0.1)2 + (950-0.1)2 = 225.1 ^/ч2)"
Временная нагрузка на конец эксплуатации (среднее и стандарт):
а „ = 1400-0.4 = 560 ни/1, а 1,28/560=2,23-103. «=1400-0,58/2.23• 10’.
= 1146+------!-г - In 50 = 2900 ни/ 2
2,23-10 '
Общие нагрузки:
• среднее на начало эксплуатации
q,=0 =7530+1400 = 8930 Н/м2
• стандарт на начало и конец эксплуатации
= т/225,12 + 5602 = 603,5 Н/м2,
• среднее на конец эксплуатации
q..so = 7530 + 2900 = 10430 Н/ м1
Усилия с учётом расчётной схемы (M^qPlS):
• средние на начало и конец эксплуатации
=8930-60002 -3000/8-106 = 1,21-Ю8 Ним
М11к = 10430 60002 3000'S 106 = 1.408- itf ННм
• стандарт
<тд, = 603,5-60002 3000/8-106 = 0,81 • 107 ННмм
Прочность конструкции определяется по формуле:
Mif=AsR;l(ll0-AMGbRll)').
169
Среднее значение
М„ = 1000-400 (550-1000-400/(2 3<)0-8,5) = 1,88627 10’ ttuw.)
Стандарт прочности, определённый через частные производные:
-L -А . R„/(ft. Л ))= 1000-(550-1000-40(У(300-8.5)).
dRS
<1М р с
----= = 1000-400 = 4-10э,
-% Л 5
ам^ = 0,039 107 400- 0.05 )2 т (4 -105 -550 • 0.0 if = 0.81-108 Ими
Среднее и стандарт композиции распределений:
^,м)= 1,89108-1.21'10*=0,6810* Нмм,
^.=5о=1,89108- 1,40210’= 0.48108 //лиг.
<т^ = д/(0.816• 107)2 + (0.681 • IО7)2 = 0.115 • 108 Нмм
Значения индикаторов отказов:
л^=о=О,68 108/0,1 15-Ю8=5,9,
«^50 =0.48 lO’/O.l 15 1О’=4.19.
По графику определяются вероятности отказов: /’гЮ=1.43 Ю^по экстра-
поляции), /’,=50=4.03'10 s.
170
5. Определение остаточного ресурса строительной конструкции
Изменение надёжности конструкции во времени описывается формулой:
"'-тЪ- S1J?- *тНЯ
где Pt и Рг — вероятности отказов на начало и конец эксплуатации конст-
рукции, I — фактическое время эксплуатации.
Время достижения нормированной надёжности при фактических усло-
виях эксплуатации (г) определятся по формуле:
где р" — нормированная вероятность отказа.
Ресурс долговечности Л1 вычисляется как разница между г и t (см. рис ).
Пример при следующих исходных данных при /’|=4,510 ’. /,г=710’5,
г=9 лет,/>"=8 1О’5.
S = = 22221.2 Sl = ' 71 v- = 14284,71
4,510’’ 71<F*
I , 22221.2 ( 1 , 22221,2-8-10’’
------1 n-------= 0,201 т = exn-------1 n----------<—
In9 14284,71 \0.20l 1-8I0'5
6. Определение приведённых затрат
на содержание строительной конструкции за срок эксплуатации
Приведённые затраты определяются но формуле:
3,^ = 3„;(1+Д//),
где р = 3,a„J 3№ = (3,.,„л + 3,3„„, 3„„ — затраты при изготовлении кон-
струкции; Зстр — затраты при устранении последствий отказа, вызвавшего
разрушение или повреждение строительных конструкций; Зтт — затраты
171
при устранении последствий отказа, вызвавшего на-
рушения технологии производственного процесса,
разметённого в здании; Н — количество отказов за
срок эксплуатации (см. алгоритм):
»={ 2 Р-.И; ; Но=\. Н,,=Н, .1(\ + Е}.
i=lj=l J J J 'Л
где Е — коэффициент эффективности капитальных вло-
жений в той отрасли, куда относится производство, раз-
метённое в здании; Pj — вероятность отказа конструк-
ции на у'-й год эксплуатации: p.=[-s/(jk +S) Значение
Н при различных Е можно определить по (рафикам,
приведёнными в /1/, а также на стр.10.
Пример. Исходные данные:
3„я=7,5 т.руб.; /3=20000;
5=22221; tf=0,131;
Е=0,5; Г=5 лет.
Вероятности отказов по формуле:
Р/= !-$/(?+$)
Значения величины а при £=0,5:
Количество отказов:
• на 1 гол эксплуатации (i=l):
Н{=Р(На а'=4,510 s' 1 0,6667=3'10'5,
• на 2 год эксплуатации (<=2):
W2= H^Pt Hi с?+ Рг Н0- а-’=310'5 +
+ 4.5' 10'5310,0.4444 + 4,92810'51 0,4444=5,1910 s.
« на 3 год эксплуатации (»=3):
Н}=Н2+ Р(Н2 а'+ Р2Н( а’+ Р2 Н0- а’=5,1910’+
+4,5'I0’s'5,1910's0,2963+4.928'10's'3'10‘s'0,2963+5,19610's 10,2963=6,73010’5,
172
* на 4 год эксплуатации (<=4):
НЛ=Н^ P\Hj cf+ PiHi й4+ PsHt а‘+ Р4Нв </=6,73'10'*+
+4,5 10*6,73 10*0,1975+4.928 10*5,1910*0,1975+5,19661О'* 3’ 10*0,1975+
+5.3957 10 s 1 0,1975=7,795810'*,
« на 5 год эксплуатации (<=5):
Р\Н4 </+ P2 W3 а’+ Р} Нг </+ Р4 Н, </+ Р5Н0- а5=
= 7,7958+4,5Ю'!7,795810'50,1317+4,928' 10'5'6.7.3 10'*0,1317+
+5,1966 10*5,1910*0,1317+
+5,3957-10* 3 10*0,1317+5,555710* ГО, 1317=8,527610*.
Приведённые затраты за 5 лет эксплуатации:
3v«=7,5 (1 +20000 8,5276' 10'*)=20,29 т.руб.
7. Оптимизация надёжност и конструкций по критерию
приведённых затрат при эксплуатации её в течение 50 лет
Приведённые затраты определяются по формуле, приведённой в п.6.
При этом количество отказов за срок эксплуатации могут быть определены
по графику в зависимости от значений пт и лу».
Пример. Рассчитать приведённые затраты при следующих исходных
173
8. Оценка неэкономических потерь от отказа конструкции
и минимально допустимой сё надёжности
Полные неэкономические потери можно определить по формуле:
— систематические неэкономические потери;
= р^ £i-Pj — случайные неэкономические потери;
Pj~C[/р' ’О-р/" ' — вероятность нахождения i человек на площади
поражения в момент отказа конструкции;
которые могут одновременно и случайно находиться на i
количество людей,
174
p=f|/24 — вероятность случайного нахождения человека на площади пора-
жения; М — Количество человек, равномерно распределённых по площади
поражения; F*. — площадь поражения при отказе конструкции и пло-
щадь помещения; 0,25 м2 — минимальная площадь, на которой может
разместиться один человек; р„ — вероятность отказа конструкции.
Минимально допустимая надёжность конструкции (из условия безопас-
ности) определится по формуле:
где 4,210‘4— эталонные неэкономические потери, чел/(50 лет).
Пример. Р«=3,8 10 s, /-„=1440 м2. /\=13,5 м2, М=4 чел., 1=16 час., /,=0,5 часа.
П. =4-3.8-10 ‘^—— = 95-10’, £ = 4,
1440 24
= 3,16666710*. П=95-10’ +3.16666710 6=4.1166667106,
М=|
4,2-10"*
4.1166667-10"*/35-10':
=0.99612308
9. Оценка нижней границы области экономической оптимизации
конструкций различных по назначению зданий
Максимальная вероятность отказа конструкции в конкретном здании
может быть определена на основе соображений, изложенных в п. 5.4. По-
вторим формулу (5.36) с учётом эталонных неэкономических потерь;
6^=4,110’/ П
где П „р — количество людей, систематически и случайно находящихся на
площади поражения в момент отказа конструкции. Определяется по фор-
мулам (5.19) и (5.22).
Исходные данные и результаты расчётов представлены в табл. 7.1, отку-
да следует, что минимальная надёжность конструкции должна увеличи-
ваться по мере увеличения площади поражения при её отказе. Например,
минимальная надёжность рамы животноводческого здания должна быть
больше того же показателя для плиты покрытия.
175
Таблица 7.1
Максимально возможные вероятности отказов Конструкций
Назначение здания I | о | 5 = И ё П.1О1НЯЛ1. пппажепиа. м O-«xI0J
а 1 1 | X Е
Коровник на 200 голов 1386 4 252 18 1.27 4,22
на 500 голов 1404 5 216 108 18 1.15 1.8 3,38
Инкубаторий на 10 инкуб. 1512 28 144 18 0.29 0.61
Яйиссклал на 6000 шт/см. 2160 114 288 18 0,06 0.19
Сельский клуб на 500 мест 130 150 27 0.05
Детский сад на 90 мест 720 90x2 9.5 0,03
Библиотека на 300 мест 779 320 9 0,02
Из результатов расчётов следует также, что минимальная надёжность
конструкций должна возрастать с увеличением количества человек, нахо-
дящихся в помещении
Вероятности отказов, показанные в табл. 7.1, являются нижними грани-
цами областей вероятностной оптимизации материалоёмкости строитель-
ных конструкций, используемых в соответствующих зданиях.
10. Вариантное проектирование строительных конструкций
Свойства рассчитанной, запроектированной и изготовленной нормиро-
ванными методами и приёмами конструкции обладают вариацией, обуслов-
ливающей нормированную обеспеченность их расчётных свойств. При этом
предполагается, что все параметры, входящие в расчётные формулы, обла-
дают нормированной изменчивостью.
Однако в силу несовершенства технологий изготовления и возникаю-
щих при этом погрешностей фактические распределения свойств отличают-
ся от нормированных. Это обстоятельство можно выгодно использовать,
если при изготовлении конструкции осуществлять статистический контроль
качества с соответствующей обработкой полученных при кон троле данных.
Идея вариантного проектирования состоит в том, чтобы при любом ка-
честве изготовления конструкции обеспечивать одинаковую обеспечен-
ность расчётного значения свойства (например, прочности). При таком
подходе при лучшей (в сравнении с нормированной) технологии изготовле-
ния конструкции есть возможность экономии строительных материалов без
176
ущерба проектной надёжности, а при худшей — обеспечить проектную
надёжность за счёт перерасхода ресурсов.
На рисунке показано движение статистического распределения по оси
свойства в зависимости от качества изготовления конструкции интегрально
выраженного коэффициентом вариации свойства.
На рисунке слева показаны распределения свойства конструкций, изго-
товленных по различным (по качеству) технологиям без статистического
контроля качества. В этом случае изготовитель обеспечивал проектное
среднее значение свойства Лн и при всех технологиях оно было одинако-
вым. Вероятности появления свойства хуже расчётного Rpm-'i здесь разные
при разных технологиях (<2i>6,/>(?’).
На рисунке справа показаны те же распределения, но они передвинуты
по оси свойства таким образом, чтобы вероятности появления свойства ху-
же расчётного были бы одинаковыми (Qi=Qii=Q2)- В этом случае среднее
значение свойства при лучшей технологии R2 окажется меньше нормиро-
ванного, что принесёт некоторую экономию в расходе строительных мате-
риалов. При плохой технологии изготовления ради сохранения неизменным
Q придётся увеличить расход материалов, так как Я|>Я«.
Для реализации изложенного введено понятие «вариантное проектиро-
вание», которое означает, что проектом может быть предусмотрена таблица
расхода материалов (например, расход арматуры в железобетонных конст-
рукциях или различные сечения проката в металлоконструкциях) в зависи-
мости от коэффициентов вариации контролируемых технологических па-
раметров. Пример такой таблицы показан ниже.
Таблица вариантного армирования железобетонной конструкции
177
11. Оптимизация сечения деревянной арки
с чисто экономической ответственностью
Решается задача оптимизации сечения трёхшарнирной дощато-
клеёной арки пролётом 60 м. Исходные данные приняты по примеру №1
«Пособия по проектированию деревянных конструкций (к СНиП П-25-80)».
(М.:Стройиздат, 1986.)
Геометрические характеристики арки: стрела подъёма — 11м, длина
дуги — 65,2 м, шаг арок — 6 м, высота сечения — от 1,26 до 1,428 м, ши-
рина сечения — от 0,2 до 0,28 м через 0,02 м.
Срок эксплуатации арки — 50лет, среднее значение постоянной нагруз-
ки — 998 Н/м2, коэффициент её вариации — 0,03, среднее значение снеговой
нагрузки соответствует 111 снеговому району с коэффициентом вариации 0,4.
Среднее значение сопротивления древесины сжатию принято равным
37.5 МПа при коэффициенте вариации 0,15. Коэффициенты экономической
ответственности были приняты равными 5,20,50,100 и 1000.
Сечение рассчитывалось в полном соответствии с нормированными ме-
тодиками из условий прочности и устойчивости. Таким образом, надёж-
ность сечения определялась как надёжность системы из двух последова-
тельно соединённых элементов.
Результаты расчётов (стоимости и затраты приняты в ценах 1984 г.) по-
казали чёткую зависимость оптимального расхода материалов с коэффици-
ентом экономической ответственности конструкции.
Результаты оптимизации поперечного сечения арки
Ж ССЧС1ШЯ Ширина Количество (раз/50лсг)х10! pai Приведенные зат раты, руб. при 6
5 20 50 100 1000
1 1 26 0,2 8681 2044 3899
2 1.302 0.22 476 1658 1774 2005 9345
3 1.344 0.24 73.8 1831 2096 1891 1959 3170
4 1.386 0.26 2057 2077 2433
5 1.428 0.28 7.7 2434
12. Оптимизация расхода арматуры
в конструкции с неэкономической ответственностью
Необходимо оптимизировать расход арматуры в плите покрытия зри-
тельного зала клуба. Зал рассчитан на 300 мест, имеет размеры 12x24 м и пере-
крыт пустотными преднацряжёнными плигами с размерами 12x1.5 м и высотой
300мм. Плиты изготовлены из тяжёлого бетона кл. В27,5 и рабочей арматуры
кл. A-JY. толщина защитного слоя бетона для рабочей арматуры — 20 мм,
приведённая высота полки — 59,5 мм, приведённая ширина ребра — 404 мм,
расчётный пролёт— 11820 мм. Вес плиты 4070 Н/м2. Зрители размещены
на площади 12x18=216 м".
178
При нормированных коэффициентах вариации прочности бетона и ар-
матуры (0,135 и 0,05) средние значения их прочностей составляют 26 и
642,7 МПа. Здание клуба имеет плоскую совмещённую кровлю, в том числе
над зрительным залом. Нагрузки на плиту приведены в таблице.
Нагрузки на плиту покрытия
Вил нагрузки Величины naipvioK, Н/м'
На 7=1 год На 7=50 (.'ганда рт 1орматнвная » Расчетная
Вес п.'ппы покрытия 4070 4070 122 4070 1.1 4477
Вес 50 50 2 30 1.1 33
1 а 5 6 7
утеплителя 480 480 25.4 480 576
Вес цементно-песчаной 630 630 107,1 630 1.1 693
рубероидного ковра 78 78 8.3 100 1.1 ПО
Натрузка от снега 787 1538 288.8 1500 1.4 2100
Итого 6095 6846 332,4 6850 7989
Изгибающий .MOMCITT в середине пролета Нмм х 10‘ 1.597 1.793 0.087 2.092
В соответствии с режимом работы клуба зрительный зал загружен в те-
чение 12 часов в сутки. Исходя из этого вероятное количество людей, сис-
тематически находящихся на площади поражения при отказе плиты, со-
ставляет:
/у -М--£-• — = 300-i^^ — = 12.5 чел.
F„ 24 216 24
Зал имеет 2 выхода. Вероятная площадь сосредоточения людей при вы-
ходе — 9 м’. Выход людей производится за 15 мин 5 раз в сутки. Таким
образом, общее вероятное количество людей на площади поражения увели-
чится на
тт 9 5-15/60
N. =--------— =4.68 чел.
’ 0,1 24
где 0,1 м2 — норма площади на одного зрителя в гардеробе.
Таким образом, полное вероятное количество людей на площади пора-
жения составит:
W = ЛГ, + N, = 12.5 + 4,68 = 17,18 чел.
179
Исходя из эталонных неэкономических потерь [см.(7.1)], максималь-
но допустимая величина вероятности отказа плиты покрытия может со-
ставлять:
4.1-10-*
17,8
2,3-Ю'3-
В соответствии с расчётом по СНиП 2.03.01-84 (по расчётным характе-
ристикам нагрузки и прочности материалов) расход арматуры составляет
1570 мм2, что соответствует среднему значению несущей способности се-
чения М =2,69410s Нмм при нормированном коэффициенте вариации, оп-
ределённом при помощи метода линеаризации, V=O.O82.
Пользуясь соображениями, изложенными в пп. 5.2 и 5.5, имеем:
цГ = М - q = 2,694• 108 -1,793 • 108 = 0,901 10*
уГ 0,901 I08
+ ai V(2-694'108 -0,082/ + (0.087 -IO8/
Из (5.12) определяется проектная вероятность отказа:
Об=/ - 2-0686~0-4214''
1 +0.3149-t - 0.091-/2
Проектная 6=6.0Г10’s>2,310'5, следовательно, появилась необходи-
мость коррекции расхода арматуры в большую сторону. Подставив в (5.12)
значение 6=2,3' 10'5, получим п* =4.37, что сответствует расходу арматуры
1680 мм2. Этот расход арматуры является теоретически обоснованным для
обеспечения безопасности людей, находящихся в зрительном зале клуба.
180
зсхтЛтахт. М ЛиШИСК им* Кучфртш. 1993 *
Лвторсф. дне. Кандид
нзл.и, 1980.-С.582.
нрелелеиии прочности бетона на заводах ТатарииЛВонросы надежности жс.тсюбетотшых конструкций:
М:Сф0йиздаМ91ЙlluU.' л 11 "с₽0" **tB Р аа“ р
I I. IXBBHIIII В.В.
14 ВттрЬшшй 1J11 1еа!ашм~’~~~-—
15. Виноградов 0.1 . Измени
здания: Авгореф.дис . каплиц, тсхк: наук.—Тарту, 1986 -С.25О.
19. Городецкий BJI, Козлов Г.Г., Соколкнн А.Ф. Сзаптстическис нселсдования постоянных нагрузок от
20 Горячев В.II. Особенности применения арматурной стали марки S0C кп. A-IY/Оффсктивиыс пилы
арматуры для железобетонных конструкции. - М.: Сзро1йгздат, 1970..
|оп/Л'1сс>1ел0№Н<ня работы конструкций жилых зданий. - М.: ЦИИИЭПЖилнща, 1974. - Вып.5.
26./^улиит1<В.В..Кот<к1ровук\11|^кмысистемолоп1н.-М.:Совегекоерадио, 1976 -С.294
.44 К|»шыетт 1411. Михеев В.В. ||ти№ккп,оаизЯ1||зГза»рул>ез1ий.-Л.: Стройтгдаг, 1976 -С.152
29. Жститтобе.анимеKoucipyxiuoi: Учебник, подред 11 Я. 1 йшаритта. -М: Выешая nineia, 1971
ч> Итонов В Ф. Лрепятшьк koitci|hxutitt тражлаттскнх сооружений. М. - Л : Госстройитлат. 1933.
И Инструкция по раечстх несущих конструктотй тетштш всроят.иоетио-зкономичеекнм метолом. СИ 537-
81, - М : Стройизлат. 1983.
32. Инструкция по у тсту истерт, няриишво хо.тяйспй от дороястолрацститрптых тцтоиснтесгвий при проскп1|юкшит|
аиптмобтшытихлттрот ВСН 3-81.-М:Мтикштодор, Транспорт, 1982.-С S3
ипйоПовышскне штлежиоегтг и долгавстоктсти строигазытых конструкций: Межвузоккнй сборник. - Л.:
ISI
6iei
0661 ‘«Odi
xeHsuaiM0dL3//HHiix<di6H0H
1661 in.SH'J'xli.)"К- B™
w ।-таг- soot 'vov i wj ««
IISKOOOe ««ЬО .9Е1_П1“_
ihiixXcIiokox iioHHL-aliKidia HoisaidHirln
ч>ц ''-Л - ’S66I 'HJV "П /И»ИИ» и вшибкаш
EiKinda
(K-tl O - 9161 IretfJOivotl j «ииПом
immediaitiadaoj n - -£g6l - 'MOV Ф«>|
-ЕЯО1ЭИ MKHIIOOHUindM хин СИ иинажХО.
ИГЭ-tKl «ЧГН
goiinrauiotlia и y>i>Q*-<<Jooa нибоэх KiuHfltoo :
£861 ‘ua-uinodlj |»|-ямой цоии
H15I ‘ii.-n iuKxlij. и| - шляп ей isineeXduiuM хяня|лшкх1ю cioi.xxl ыкко i d v iiwnmra’yl ti
S6 J-'0£6l ’.1.01111118
-П " bhhwjWo»» хиниаияи iii«ix.<dinu>". xmHiraiiuxlu ma<iii*xiiri> xhipiic ou inon:ir«ixi«m.|
lk-’l46l - Hoiaoowenv u ><•»{,;h.'UW xwiHi®u*>ua»exdiuN'.<eoi' e> v 1\ »inli|»i|n' w’ll '‘«mhiwj si
xiwraimdu aodiawedeu xHiuahoed mmeanliindoH xci.evej я uiaoiifam iindoat iwo»Hi 1ГЯ ds'l'ed ii
’lil-lsT.O- 6'И.| "'iniHodij .и.ияеноиюоьигаж ИШЮ1Я) MUHatej st
11 ‘11эоижа1л:н//иинмоиоо KOHxnaiiwxoir» vu iinnyldionoH eidboed шпан gmu»MU.lulu ||V нияиннявц tl
lil lfl Э-'94Ы яошпоиХл- noCBi.w
ЮНЫХ ,«nnx<du>HM xiwhuuduui iiaonam naoduiin„uniKAduiKn мчиноюуоигаж танки»
XHlnowiurMlllo ‘еноюо я»ими’1б:яп»х хинымиэшиэ о v || • || н v«bim£ ‘ Ji ll liilnom>xod|j Ц
184