Автор: Гоноровский И.С.  

Теги: электротехника   электроника   радиотехника   сигналы   электрические цепи   издательство советское радио  

Год: 1966

Похожие

Радиотехнические цепи и сигналы

Радиотехнические цепи и сигналы

Радиотехнические цепи и сигналы

Радиотехнические цепи и сигналы.

Текст 
                    ::r
и.с. гоноровский
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ
ЧАСТЬ 1
СИГНАЛЫ.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПОСТОЯННЫМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования
РСФСР в качестве учебника
для радиотехнических высших учебных
заведений и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
сСОВЕТСКОЕ РАДИО»
Москва 1966
•ПЕ Р Е ВIРЕНO·с-


УДК 621.391.1 (075)
I(нига является учебником по новому курсу
«Радиотехнические цепи и сигналы» и соответствует
программе этого курса для специальности «Радио­
техника». В настоящей первой части излагается
спектральный и корреляционный анализ детерми ­
нированных и случайных сигналов, теория пере­
дачи сигналов через линейные системы, теория
цепей с задержкой, теория линейных систем с
обратной связью и теория цепей с переменными
па раметра~1и.
Книга предназначена для студентов радиотех­
нических факультетов и вузов . Она может быть
полезна также и для широких кругов специали­
стов, работающих в области радиотехники и смеж­
ных областях науки и техники.
3-4 -1
2-66


ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник составлен в соответствии с прогр ~ммой па:
курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» для специальности
«Радиотехника», утвержденной Министерством высшего и среднего,
специального образования СССР (индекс УМУ-Т- 7/ 63).
Курс «Радиотехнические цепи и сигналы» является новым и~
вводится в учебные планы радиотехнических факультетов и вузов::
страны вместо существовавшего на протяжении нескольких деся- ­
тилетий традиционного курса «Теоретические основы радиотехники» _
Развитие радиотехники и радиоэлектроники потребовало вве­
дения большого объема новых сведений в программы ряда курсов _
В связи с этим во многих дисци плинах оказалось необходимым не -­
которые разделы исключить вовсе, а другие переместить в более·
ранние курсы. Эта тенденция к «омоложению» дисциплин радиотех-•
нического цикла в очень сильной степени повлияла и на содержа-­
ние данного курса. Такие традиционные разделы «Теоретически х:
основ радиотехники» как колебательные контуры (одиночные и::
связанные), четырехполюсники, фильтры, линии и другие включены,
в новый курс «Основы теории цепей», заменивший «Теоретические,
основы электротехники». В курсе «Основы теории цепей» должны,
та~,же изучаться основы операторного и спектрального методов,
анализа переходных процессов в линейных электрических цепях:
и понятия о синтезе цепей по заданным частотным характеристи ­
кам .
В кур':е «Радиотехнические цепи и сигналы» основной упор де ­
лается на теорию радиосигналов - детерминированных и сл у чай -­
ных - и на теорию преобразования сигналов в линейных цепя х:.
с постоянными и переменными параметрами, а также в нелинейны х:.
цепях.
В настоящей первой части курса радиотехнических цепей и сиг -­
налов, составляющей несколько больше половины его объема .,.
содержатся разделы, касающиеся анализа сигналов, передачи сиг -


налов через линейные системы, анализа цепей с задержкой, линей­
.ных систем с обратной связью, а также линейных цепей с перемен­
.ными параметрами.
Сведения, изложенные в §§ 3.7, 3.8, 4.7 - 4.9, 6.10, 7.4 и 9.4,
'Несколько превышают обязательный минимум. Автор считал полез­
ным такое расширение для, некоторой индивидуализации обучения
и для продления «срока жизни» книги . При первоначальном изу-.
чении незначи тельные сокращения легко могут быть сделаны без
нарушения целостности изложения. Некоторые математические
подробности, а 'Ракже сведения, имеiощие характер научного
углубления, вынесены в приложения, помещенные в конце книги .
Во второй части курса будут изложены сведения о нелиней ­
ных цепях и основных радиотехнических процессах (генерирова­
ние, модуляция, детектирование, преобразование частоты и др.),
ro прохождении случайных процессов через параметрические -и не ­
линейные системы, об основных способах борьбы с помехами
при приеме радиосигналов, а также об оптимальной линейной
;фильтрации.
В работе над книгой помощь критикой, советами и участием
в подготовке рукописи к печати оказали автору сотрудники ка­
федры теоретических · основ радиотехники МАИ. Особенно велика
помощь, оказанная Т. М. Рубашевой и Т. С. Козловой.
Многочисленные и ценные замечания сделали при рецензиро­
вании доктор техн . наук, проф . Я. С. Ицхоки, канд. техн. наук,
.доц. В. Ф . Власов и канд. техн. наук, доц. А. А. Лапис.
Автор выражает своим товарищам п о рабо те и рецензентам
;искреннюю благодарность.
Автор


ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1 . ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА И ПРИМЕНЕНИЯ РАДИОТЕХНИКИ
Современная радиотехника является мощным средством тех­
нического прогресса. Радиотехника проникла во все области народ­
ного хозяйства, в науку, технику, культуру и быт.
Одна из важнейших задач радиотехники заключается в осущест­
влении связи на большие расстояния с помощью излучения элект­
ромагнитных волн. В ходе развития различных направлений радио­
техники повсеместное распространение получили радиовещание и
служебная радиосвязь, все большие районы обслуживает телевиде ­
ние, осуществляется устойчивая связь с судами, самолетами и кос­
мическими кораблями. Средства радиотехники позволяют осущест­
вить межпланетную связь, а предстоящие в недалеком будущем
полеты человека на другие планеты уже в настоящее время имеют
«радиотехническое обеспечение». Вошли в жизнь радиолокация ,
радионавигация, радиотелеметрия, радиоуправление и т. д.
Однако упомянутыми применениями далеко не исчерпываются
все возможности современной радиотехники. С проникновением
радиометодов в давно существующие науки качественно ,1Зменился
их характер. Возникли такие новые науки, как «радиофизика» ,,
«радиоастрономия» и др.
Неоценимую помощь оказывает применение радиотехнических
приборов и методов iз эксперимеuтальной физике, в том числе ядер ­
ной физю<е, в технике измерения любых быстропротекающих про­
цессов и различных неэлектрических величин (давления, вибраций ,
небольших смещений и т. д.), при изучении физики ионосферы ,
в службе времени.
Широкое использование радиотехнических методов для решения
задач, не связанных с излучением, привело к появлению нового­
терю!_На радиоэлектроника,включающеговсебярадио­
технику и электронику.
Быстро расширяется применение радиоэлектронной аппаратуры
для медицинских исследований (диагностики), а также для возме ­
щения частично или даже полностью утраченных функций челове­
ческого организма.
Крупным достиженкем радиоэлектроники является все расши­
ряющееся применение быстродействующих электронных счетных.
машин - вычислительных, управляющих, информационных. Ре-
$


:шающую роль в автоматизации и комплексной механизации произ­
зюдственных процессов призваны сыграть кибернетические машины,
;создание которых немыслимо без радиоэлектроники.
Из вcerQ, сказанного выше можно сделать вывод, что· радиотех­
ш ика будет приобретать все возрастающее значение в человеческом
трогрессе.
Невозможно перечислить сколько - нибудь подробно уже сущест­
'>:вующие области применения радиотехники или предсказать откры­
вающиеся перед ней новые возможности. Любые обобщения и клас­
•,:<:ификации этих возможностей неизбежно в короткое время уста­
:ревают.
Можно, однако, подметить, что одна чрезвычайно существен­
:н ая особенность объединяет все перечисленные выше области при­
менения радиотехники.
Эта особенность заключается в том, .что имеет место передача
:,информации с помощью электрических сигналов. Это обстоятельство
указывает на принципиальное отличие радиотехники от электро­
·техники. Последняя также использует передачу на расстояние (на­
п ример, по высоковольтным линиям), однако, в отличие от радио­
·техники , объектом трансrrортировки является не информация,
:а энергия.
Со времени изобретения А. С. Поповым радио (1895 г.) и до на­
•.стоящего дня передача информации на расстояние посредством
:электрических сигналов является основной задачей радиотехники.
Иногда высокочастотное электромагнитное поле используется
.,для целей, не связанных с передачей информации. Таковы, напри­
мер, применения высокочастотных полей в медицине (рентгенотера­
:.пия , физиотерапия и др.), а также ряд технологических применений:
-п оверхностная закалка, сушка древесины, консервирование пище­
.:вых продуктов и т. д .
Мы , однако, не будем относить эти применения к радиотехнике .
·'J .2 . ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ НА РАССТОЯНИЕ. ОСОБЕННОСТ И
:РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВQЛН И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
·. в РАДИ О ТЕХНИКЕ ЧАСТОТЫ
Главной особенностью радиотехники является передача со­
~.общения о каком -либо событии на расстояниие. Это расстояние
:определяется отдаленностью источника от потребителя информации .
.Расстояние разделяет двух абонентов - корреспондента и адре­
сата , датчик команд и исполнительное устройство, исследуемый
п роцесс и измерительный механизм, источник космического радио­
:и злучения и регистр_ирующий прибор радиотелескопа, различные
:блоки электронной вычислительной машины, - словом , источник
:и потребитель информации .
Расстояние, на которое передается сигнал, может быть очень
незначительным , как в случае передачи команд в счетной машине
.от одного блока к другому , или огромным, как при межконтинен-


тальной или космической связи . Передача сообщений производится
посредством проводных, кабельных, волноводных линий или сво ­
бодного пространства (воздушной среды, космического простран­
ства). Естественно, что для передачи сигналов целесообразно ис­
пользовать те физические процессы, которые имеют свойство пере­
мещаться, распространяться в пространстве. К числу таких про­
цессов относятся применяемые в радиотехнике электромагнитные
колебания - радиоволны. Причем к любому физическому процессу,
используемому в качестве агента (посредника, переносчика) для
передачи информации, предъявляется требование, чтобы этот
процесс обладал свойством принимать всю совокупность значений
или состояний, по которым можно было бы однозначно установить
соответствующее значение или состояние объекта или процесса,
являющегося источником информации.
С этой целью радиоволны подвергаются так называемому про­
цессу мод ул я ц и и. Он заключается в том, что высокочастотное
колебание, спос0бное распространяться на большие расстояния,
наделяется признаками, характеризующими полезное сообщение.
Таким образом, это колебание используется как переносчик со­
общения, подлежащего передаче . Для этого один (или несколько)
параметр высокочастотного колебания изменяют по закону, совпа­
дающему ~ с законом изменения передаваемого сообщения. В за­
висимости от изменяемого параметра (амплитуды, частоты или фазы
колебания) различают три основных вида модуляции - ампли­
тудную, частотную и фазовую 1 .
Обратное преобразование электромагнитных колебаний в пер­
воначальный сигнал, осуществляемое на приемной стороне, назы­
ваетсяд@модуляцией илидетектированием (со-
ответственно амплитудным, частотным или фазовым).
•
Модуляция, как правило, не оказывает влияния на способность
высокочастотных колебаний к распространению в пространстве.
Однако выбор длины волны высокочастотного колебания (или, как
говорят, несущей частоты или рабочего диапазона) является весьма
существенным для обеспечения устойчивой и надежной св:Язи.
На выбор того или иного диапазона волн, исполь1уемого в каж­
дой конкретной системе связи, qказывают . влияние следующие
факторы:
1. Особенности распространения ,электромагнитных волн дан­
ного диапазона и влияние времеr1и года, суток, состояния атмосферы,
солнечной радиации и ряда других обстоятельств.
2. Технические возможности: нап.равленность излучения и раз­
меры антенной системы, возмщкность генерирования мощных коле­
баний и управления ими (модуляции), построение схемы приемного
устройства и т. д.
1 С у ществуют также разнообразные методы импульсной модуляц11и,
основанные на изменении параметров импульсной последовательности . На
них м ы остановимся в дальнейшем .
7


3. Характер шумов и помех в данном диапазоне.
4. Характер сообщения или, как говорят, «ш ирина спектра»
модулирующих частот и желательный с пособ модуляции (ампли­
тудной, частотной и т. д.).
Практически для использования оказываются пригодными те
участки диапазона, в которых обеспечиваются благоприятные усло­
вия распространения радиоволн и в приемлемой степени удовлет­
воряются остальные из перечисленных требований.
Характерной тенден цией современной радиотехники является
интенсивное изучение малоисследованных диапазонов волн и стрем-
ление к расширению диапазона используемых частот как в сторону
освоения весьма низких, так и сверхвысоких частот, вплоть до \\., . .
использования световых волн. Последнее не должно казаться стран-
ным, так как радиоволны и световые волны совпадают по природе
(электромагнитные волны); различие имеется лишь в длине волны.
Подразделение радиоволн на диапазоны,· вошедшее в практику,
дано в следующей таблице.
Диапазон волн
1
Волна
1
Ч астота
Сверхдлинные .
10ОООмиболее Ниже30кгц
Длинные волны
10000- 3ООО м
30- 100 кгц
Средние волны
3000- 200 м
100- 1 500 кгц
Промежуточные волны .
200- 50 м
1500- 6ООО кгц
К:ороткие волны .
50-10 м
6- 30 Мгц
Метровые
} Ультракороткие
10-1 м
30-300 Мгц
Деци м етровые
1-0,1 м
300- 3 ООО Мгц
Сантиметровые
волн ы
10 см-1 см
3000- 30 ООО Мгц
Миллиметровьiе
-
1 см - ! мм 30000- 300000 Мгц
Субмиллиметровые
1мм-0,1 мм 300000- 3ОООООО Мгц
Инфракрасные и световые
Менее 0,1 мм Выше 3000000 Мгц
Сверхдлинные и длинные волны, применявшиеся на первом
этапе развития радиотехники для радиотелеграфной связи, имеют
два крупных недостатка:
-
необходимость бОльших мощностей передатчиков ввиду
сильного поглощения поверхностной волны при ее распространении
над земной поверхностью;
-
непригодность для передачи сложных сигналов из-за слиш­
ком большого отношения ширины спектра сигнала к несущей час­
тоте .
Средние волны получили широкое применение для радиовещания .
Основным преимуществом волн длиннее 1000 м является устойчи­
вость силы приема, недостатком - трудность обеспечения дальности
действия ввиду значительного поглощения поверхностной волны.
Поэтому ·на средних волнах осуществляется преимущественно мест­
ное радиовещание, рассчитанное на зоны с радиусом в несколько
сотен километров. Лишь небольшое число сверхмощных радиостан-
8


ций обслуживает большие районы. В СССР, обладающем огромной
территорией, существует наибольшее число мощных и сверхмощных
радиовещательных <;танций средневолнового диапазона.
Накопление большого экспериментального материала по усло­
виям распространения коротких волн позволило установить опти­
мальные длины волн ДJ.IЯ различных часов суток и времен года,
обеспечивающие благоприятные условия распространения.
Главные достоинства вещания на коротких волнах - возмож­
ность получения очень большой дальности действия при относитель­
но малой мощности - передатчика и возможность осуществления на­
правленного излучения. Основным недостатком коротковолнового
вещания является колебание силы приема (замирание), часто со­
провождающееся сильными искажениями передачи при сложной
структуре сигнала, состоящего из большого числа составляющих
с различными частотами. Условия интерференции, зависящие от
частоты, могут оказаться неодинаковыми для различных составляю­
щих спектра сигнала. Это явление, называемое избирательным
(или селективным) замиранием, приводит к временным выпадениям
из спектра сигнала отдельных составляющих или, наоборот, к уси­
лению амплитуд этих сос-~:авляющих. Таким образом, в точке приема
нарушается правильное соотношение между отдельными компонен­
тами сигнала, в результате чего искажается тембр и чистота пере­
дачи. Так как явление избирательного замирания проявляется тем
сильнее, чем шире спектр сигнала, то осуществлять на коротких
волнах передачи таких сложных сигналов, как, например, . теле­
визионных, практически невозможно.
Наряду с радиовещанием короткие волны исключительно широ­
ко применяются в настоящее время для радиотелеграфии на магист­
ральных линиях связи, а также для морской и авиационной радио­
навигации.
Появление таких отраслей радиотехники, как телевидение и ра­
диолокация, оказалось возможным благодаря освоению ультрако­
ротковолновых диапазонов. Здесь имеет место удачное сочетание­
двух факторов. Применение очень высокой частоты излучения по­
зволяет соответственно расширить и полосу частот передаваемого
сообщения, так ка.к условия передачи и усиле.ния сигналов в радио­
аппаратуре определяются, в основном, относuтелыюй шириной
спектра сигнала. Особенности же распространения УКВ (в пределах
прямой видимости) почти полностью исключают искажения сиг.на­
.па из-за интерференции волн, распространяющихся по разным
путям.
.
То обст6ятельство, что на УКВ регулярный прием возможен
только в пределах прямой видимости, является, конечно, сущест­
венным ограничением. Для увеличения дальности связи -на УКВ
обычно применяют высоко поднятые антенны. Последние десятиле­
тия характеризуются развитием так называемых радиорелейных
линий, представляющих собой цепо.чку приема-передающих УКВ
радиостаН!-1,ИЙ, расположенных вдоль линии связи через несколько-
9


десятков километров. Подобные линии позволяют осуществлять
многоканальную связь, а также обмен телевизионными програм­
мами между пунктами, удаленными на весьма значительное рас­
стояние . Все шире внедряются в практику миллиметровые и более
короткие волны.
•
Из приведенного выше краткого обзора видно, что развитие ра­
диотехники характеризуется непрерывным расширением исполь­
зуемых волновых диапазонов.
Из курса физики известно, что эффективное излучение электро­
магнитной энергии может быть осуществлено лишь при условии,
что геометрические размеры излучающей системы соизмеримы с дли­
ной волны. В связи с этим излучение сверхдлинных волн затруднено
из-за отсутствия пригодных для практического применения антен­
ных систем, которые должны иметь в этом случае громадные раз­
меры. Напротив, использование световых волн позволяет получить
малогабаритные излучатели с чрезвычай·но высокой направлен­
ностью и с огромной концентрацией энергии в луче, так что, напри­
мер , луч, посланный с Земли, образует на поверхности Луны пятно
диаметром всего лишь в несколько сотен метров. Однако применение
световых волн для передачи сообщений связано с трудностями моду­
ляции, приема и т . д. Таким образом, при выборе рабочего диапазона
следует учитывать многие факторы и зачастую принимать компро­
м11ссные решения.
Вместе с тем намечается ряд перспективных направлений, которые
во многих случаях, по-видимому, позволят избежать недостатков,
связанных с особенностями распространения волн на уже освоен­
ны х диапазонах. К числу этих направлений следует отнести попыт­
ки использования метеорных следов (отражение от участков с по­
вышенной ионизацией, образующихся при вхождении метеоров
в верхние слои атмосферы), использование поверхности Луны в ка­
честве пассивного отражателя радиоволн, ретрансляцию сигналов
с помощью искусственных спутников Земли, создание специальных
ион изированных облаков и т . д. Можно предполагать, что подобные
методы приведут к возможности осуществления связи , сочетающей
в себе достоинства, присущие различным диапазонам .
1.3. ОСНОВНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Из предыдущего видно, сколь разнообразным преобразованиям
подвергается сигнал в процессе передачи по каналу связи . Некото­
рые из этих процессов являются обязательными для большинства
радиотехнических систем независимо от их назначения, а так­
же от характера передаваемых сообщений. Перечислим эти фунда­
ментальные процессы и попутно . отметим их основные черты, при­
держиваясь обобщенной схемы радиотехнического канала, • пред­
ставленной на рис. 1.1.
Преобразование исходного сообщения в . электрический сигнал и
кодирование. При передаче речи и музыки такое преобразование
10


осуществляется с. помощью микрофона, при передаче изображений
(телевидение) ~ с помощью передающих трубок (суперортикона).
В случае передачи письменного сообщения (радиотелеграфи я ) сна­
чала производится кодиро в ание, заключающееся в том, что каждая
буква текста заменяется комбинацией стандартных символов (на­
пример, точек, тире и пауз в коде Морзе), которые затем преобра­
зуются в стандартные электрические сигналы (например, импульсы
разной длительности или разной полярности).
_
Следует отметить, что схема рис. 1.1 соответствует случаю ,
когда информация вводится «в начале» канала связи, т. е. непосред­
ственно в передатчике. Несколько иначе обс~оит дело , например,
Исто,;ник
соо6щении
Преоtiразо8
ние fJ зле1<m
ричеснии
сигнал
ПереrJающая
.
Гi~~аг:~и:_ _а_;:п:_е::а_~ .i,
1
1
KorJupyющee 1
.
Генератор 1
Cm'Poucm
MOdlfЛRmop не, ущ еи
'1
1~----
,;астаты 1
Приемник ~-------------
_J1
г------,,_ -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-·-
-,
1
1
Линеuнь1и , i J
1 Регистри-
~;астотно-~з
1 рующ_ее
Детектор биротельны ,
1 устроист
'------'
силитель 1
L--------------- - - - - -- ~
.
Приемная
•
антенна
Рис. 1.1.
в радиолокационном канале, где информация о цели (дальность,
высота , скорость и т. д.) вводится в результате отражения радио­
волны от цели в свободном пространстве.
Генерация высокоч.астотных колебаний . Высокочастотный гене­
ратор является источником колебаний несущей частоты . В зависи­
мости от назначения радиоканала связи мощность колебаний из­
меняется в пределах от милливатт до миллионов ватт . Естественно ,
что конструктивные формы и размеры генераторов весьма различ­
ны - от простейшего малогабаритного элемента до грандиозного
техни ч еского сооружения.
Основными характеристиками высокочастотного генератора яв­
ляются частота и диапазонность (т . е. возможность быстрой пере­
строй ки. с одной рабочей частоты на другую), мощность и отдача
(коэффициент полезного действия). Особенно важное значение имеет
стабильность частоты колебаний.
В этом отношении радиотехника находится в исключительном
пол ожении. Условия распространения радиоволн и широкий спектр
частот сигналов диктуют применение очень --ве1соких несущих час- ·
тот. Условия же обработки сигналов на фоне помех и необходимость
осл абления взаимных помех между различными р адиоканалами за-
11


ставляют добиваться максимально возможного снижения абсолют­
ных изменен~й частоты . Это приводит к чрезвычайно жестким тре­
бованиям к относительной стабильности частоты.
Управление колебаниями (модуляция). Процесс модуляции за­
ключается в изменении одного или нескольких параметров высоко­
частотного колер~ния по закону передаваемого сообщения. Час­
тоты модулирующего сигнала, как правило, малы по сравнению
с несущей частотой генератора. Для осуществления модуляции
используются различные приемы, обычно основанные на изменении ,.
потенциалов электродов электронных приборов, входящих в схему
радиопередающего устройства.
Основная характеристика процесса модуляции - степень со­
ответствия между изменением параметра высокочастотного коле­
бания и мо)fулирующим сигналом.
Усиление слабых сигналов в приемнике. Антенна приемника улав­
ливает ничтожную долю энергии, излучаемой антенной передат­
чика. В зависимости от расстояния между передающей и приемной
станциями, от степени направленности излучения антенн и условий
распространения радиоволн мощность на входе приемника из­
меряется величинами порядка 10-10
-
10-14 вт. На выходе же при­
емника для надежной регистрации сигнала требуется мощность по­
рядка единиц ватт и более. Отсюда видно, что усиление в приемнике
должно достигать 1010 - 1014 по мощности или 10 5 - 10 7 по
напряжению.
В современных приемниках уверенная регистрация сигнала обес­
печивается при напряжениях на входе порядка микровольта . Осу­
ществление столь сложной задачи оказывается возможным бла­
годаря достижениям современной электроники. Большую роль
играют также специальные методы построения схем приемников,
обеспечивающие большое усиление при сохранении устойчивости
р_аботы приемника. К таким методам относится преобразование
(понижение) частоты колебания в тракте приемника, осуществляемое
гак, ЧТС> сохраняется структура передаваемого сигнала : (На схеме
рис. 1.1 процесс преобразевания частоты не обозначен.)
Процесс преобразования частоты помимо приемной техники
широко применяется в различных радиотехнических и радиоиз­
мерительных устройствах.
Проблема усиления в приемнике неотделима от проблемы выде­
ления сигнала на фоне помех.
Одним из основных показателей приемника поэтому является
избирательность, под которой подразумевается способность прием­
ника выделять полезные сигналы из совокупности пост@ронних
воздействий (помех), отличающихся по частоте от сигнала.
Частотная избирательность осуществляется с помощью резонан­
сных колебательных систем .
Выделение сообщения из высокочастотного колебания (детекти­
рование). Детектирование является процессом, обратным по от­
ношению к модуляции. В результате детектирования должно быть
12


восстановлено электрическое напряжение (ток), изменяющееся во
времени по закону передаваемого сообщения, т. е. так же, как из­
меняется один из параметров (амплитуда, частота или фаза) моду­
лированно го колебания. Как и при модуляции, различают три вида
детектирования: амплитудное, частотное и фазовое. Детектор, как
правило, включается на выходе приемника; следовательно, к нему
подводится модулированное колебание, уже усиленное предыдущими
ступенями приемника. Поэтому пе.ред детектором не ставится за­
дача усиления сигналов. Основное требование к детектору - это
по возмож:ности точное воспроизведение формы сигнала.
Помимо перечисленны х процессов, так или иначе связанных
с пр еобраз ованием час-тотных спектров, в радиотехнических устрой­
ствах широчайшее применение находит процесс усиления колебаний
без трансформации частоты, осуществляемый в различных- усили­
телях.
К таким усилите:тям относятся:
-
«низкочастотные» усилители управляющих сигналов, ис­
пользуемые перед модулятором передатчика, а также на выходе
приемника (после детектирования);
-
усилители коротких импульсов, применяемые в телевизион­
ной и радиолокационной технике , а также в импульсных системах
радиосвязи;
-
высокочастотные усилители большой мощности, применяе­
мые в радиопередающих устройствах;
-
высокочастотные усилители слабых сигналов, -применяемые
в радиоприемных устройствах и измерительных схемах.
Кроме упомянутьrх процессов, присущих, как уже отмечалось,
любой р-адиотехнической линии, в ряде специальных случаев
широко применяются многие другие процессы: умножение и деление
частоты, генерация коротких импульсов, различные виды импуль­
сной модуляции и др .
Некоторые наиболее существенные из перечисленных процессов
рассматриваются в соответствующих главах данной книги.
f.4. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Перечисленные в предыдущих параграфах радиотехнические
преобразования осуществляются с ·помощью сочетания большого
количества линейных и нелинейных элементов и
устройс~в. Линейные системы, в свою очередь, подразделяются на
системы с постоянными и системы с пере­
менными параметрами.
Для выявления принципиальных, фундаментальных свойств
указанных систем необходимо напомнить свойства описывающих
эти системы дифференциальных уравнений. Имея в виду цепи с со­
средоточенными параметрами, выгrишем следующие три уравнения:
d"y
d"-1у
dп--2у
dy
ап- +ап-1- -1 +ап-2--
2 +...+а1dt+а0у=f(t),(1.1)
dt"
dt"-
dt" -


(,, dny
•
d.п-1у
dn-2y
dy
~пdtn +an-1(t)dtn-1 +an-2dtn-2 +...+а1dt +аоУ=f(t), (1.2)
dny
dn-ly
dп-2 у
dy
апdtn+ап-1(у)dtn-l +ап-2dtn-2 +...+а1dt +а0у=f(t).(1.3)
Уравнение (1 . 1)-линейное , с постоянными коэqхрициентами а0 ,
а1 ; а2 , ••• , ап - относится к линейной системе с постоянными па­
раметрами .
Уравнение (1 .2), в котором по крайней мере один из коэqхрициен ­
тов, в данном случае an_ 1(t), является функцией времени (но не
зависит от у), представляет собой линейное уравнение с перемен­
ным коэqхрициентом (или переменными коэqхрициентами) и описы­
вает линейную систему с переменными параметрами.
Наконец, уравнение (1 .3), один или несколько коэqхрициентов
которого, в данном случае· ап_ 1(у); являются функциями у, пред­
ставляет сьбой нелинейное дифференциальное уравнение, отно ­
сящееся к нелинейной системе.
Обратимся сначала к свойствам линейного уравнения с постоян­
ными коэqхрициентами. Для большей наглядности заменим общее
уравнение (1.1) более простым уравнением второго порядка, от­
носящ1:1мся, например, к последовательному колебательному кон­
туру L, С, r, в который вводится э. д. с . е (t).
Для тока в контуре i(t) можно написать следующее интегро­
диqхреренциальное уравнение :
L~~+ri+~Jidt=е(t).
(1.4 )
Продиqхреренцировав это уравнение по t и обозначив е' (t) =
=f(t), придем к уравнению типа (1.1).
-Уравнение (1.4) является линейным, если коэффициенты L, r и
~ не зависят от величины тока i или, что то же самое, от величины
внешней силы е ( t) .
При выполнении этого условия напряжения на каждом из эле­
ментов контура линейно связаны с величиной тока i. Действительно ,
обозначая эти напряжения соответственно через и,, UL и uc, можем
написать
и,= ,i.
l
di
UL = Ldt'
1
Ис=~sidt.
(1 .5)
Так как диqхреренцирование и интегрирование являются линей­
ными операциями, можно утверждать, что ИL и uc линейно связаны
с токGм i при любом законе изменения последнего во времени. От­
носительно u, это ут~ерждение еще более очевидно. Если, со х раняя
закон изменения тока во времени, увеличить ток в п раз , то во
столько же раз увеличатся и и,, ИL и uc.
14


В частности, при изменении тока по закону
i=1sin<ut
получим
ur=rlsinwt,
]
uL=wLIcoswt,
ис= - ,}с1coswt.
(1.6)
Изменение амплитуды тока 1 в п раз дает такое же изменение
амплитуды напряжения на элементах r, L и С.
Это свойство линейных элементов можно толковать как резуль­
тат линейности их вольтамперных характеристик. Для элемента r
вольтамперная характеристика представлена на рис. 1.2, на кота-
О(
о
Рис. 1.2.
Рис. 1.3 .
ром по осям координат можно откладывать как м·гновенные, так и
амплитудные значения Иr и i, а для элементов L и С - на рис. 1.3,
где ·по осям отложены соответственно амплитуды ИL, 1 или Ис, 1.
Заметим, что частотные зависимости вqльтамперными характе­
ристиками не учитываются. Здесь учтена 1'олько связь между амп­
литудами рассматриваемых величин UL, Ис и /. В случае же эле­
мента r функции i(t) и u,(t), как известно, могут отличаться
только постоянным коэффициентом 11r, который численно равен
(см. рис. 1.2) угловому коэффициенту вольтамперной характери­
стики:
i
1
tga= -
=-.
и,
г
Для вольтамперных характеристик !(UL) и /(Uc), построенных
при какой-либо фиксированной частоте w, угловой коэффициент
равен
-
для индуктивности и
•
1
1
tga= -= -
UL wL
15


-
для емкости.
/
tga= -
=wC
Ис
Другим важным свойством линейных систем, также вытекаю­
щим из линейности дифференциального уравнения, описывающего
поведение (ток, напряжение) системы, является справедливость
принципа независимости или наложения (суперпозиции).
Суть этого принципа может быть сформулирована следующим
,образом: при действии на линейную систему нескольких внешних
сил поведение системы (ток, напряжение) можно определять путе,и
наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из сил
в отдельности.
Можно применить еще и такую формулировку: в линейной си­
,стеме сумма эффектов от различных воздействий совпадает с эф­
фектом от суммы воздействий.
При этом предполагается , что система свободна от начальных
запасов энергии.
Принцип наложения лежит в основе спектрального и оператор­
ного методов анализа переходных процессов в линейных цепях,
.а также метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). На qсно­
вании принципа наложения любые сложные сигналы можно при
передаче их чер·ез линейные системы разложить на простые, более
удобные для анализа сигналы, например синусоидальные.
Остановимся еще на одном фундаментальном свойстве линейной
системы, прямо вытекающем из теории интегрирования линейных
-дифференциальных уравнений ~ постоянными коэффициентами.
Разложив e(t) в правой части уравнения (1.4) с помощью ряда или
интеграла Фурье на простейшие гармонические составляющие,
действующие при - оо < t < + оо, мы получим для каждой состав­
ляющей с частотой Wn решение уравнения (1.4) в виде гармониче­
·ского колебания той же частоты:
где 1п и (J)п - постоянные амплитуда и фаза.
Отсюда следу~т, что при люtБом, _сколь угодно ~ложном воздейст­
.вии в линей. ной системе с постоянными параметрами не возникает
новых частот.
Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопро­
вождающееся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствую­
щих в спектре входного сигнала), не может, в принципе, быть
<Qсуществлено с помощью линейной системы с постоянными
ла~эаметрами.
В радиотехнике линейные системы с постоянными параметрами
-находят широчайшее применение для решения задач, не связанных
-с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов,
фильтрация (по :астотному признаку) и т. д.
1.6


i
Рассмотрим теперь свойства линейных систем с переменными
параметрами, вытекающие из свойств общего уравнения (1.2).
Как и в предыдущем случае, принцип наложения (суперпозиции)
остается в силе. Это означает, что правую часть уравнения (1.2),
т. е. внешнюю силу f(t), можно разложить на гармонические состав ­
ляющие, действующие при -
=<t< + оо, после чего решение
уравнения (1 .2) представляется в виде суммы независимых частных
решений , соответствующих каждой из составляющих правой части.
(Как и ранее, предполагается, что система свободна от начальных
з.апасов энергии.)
Однако, в отличие от предыдущего случая, в системе с перемен­
ными параметрами эти частные решения являются не гармонически­
ми, а более сложными функциями. Иными словами, даже простей­
, шее гармоническое воздействие создает в линейной системе с пер·е­
менными параметрами сложное колебание, обладающее спектром
частот.
Это положение можно пояснить на следующем простейшем при­
мере. Пусть к омическому сопротивлению, изменяющемуся во
времени по закону
R(t) -
Ro
.
-
1+мcosnt'
_
приложено гармоническое напряжение
е(t) =Е0coswt.
С) Ток через сопротивление
i(t)=~~~~ =;:(1+ МcosQf)coswt =
Е[
М
•
М
1
= R: coswt+2 cos(w+Q)t + 2 cos(w- Q)t . (1.7)
Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами
ro ± Q, которых нет в e(t).
Даже из этой простейшей модели ясно, что изменяя во времени
сопротивление, можно осуществить преобразование спектра вход­
ного сигнала.
Аналогичный результат, хотя и с большими математическими
трудностями, можно получить для цепи с переменными параметра­
ми , содержащей реактивные элементы---, индуктивности и емкости.
Этот вопрос рассматривается в гл . 9. Здесь мы ограничимся уста­
новлением того факта, что линейная система с переменными пара­
метрами преобразует частотный спектр воздействия и, следова­
тельно, может быть использована для некоторых преобразований
сигналов, сопровождающихся трансформацией спектра. Из даль­
нейшего будет также видно, что периодическое изменение во вре­
мени индуктивности или емкости колебательной системы позволя~т
_при
некоторых условиях осуществить «накачку» энергии от вспо-
2 Зак. 2053
17


j могательного устройства, осуществляющего изменение параметра
(«параметрические усилители» и «параметрические генераторы»,
гл. 9).
• Теория дифференциальных
уравнений с переменными коэф­
фициентами значительно более сложна, нежели уравнений с посто­
янными коэффициентами. Даже при гармонической правой части
решение уравнений порядка выше первого может быть найдено
лишь в некоторых частных случаях.
Ясно поэтому, что, хотя линейные системы с переменными пара­
метрами и отвечают принципу наложения, непосредственное при­
менение спектрального анализа к передаче сигналов через такие
системы не всег)tс! оказывается эффективным. Более подробно этот
вопрос освещен в гл. 9.
Рассмотрим, наконец, общие свойства нелинейных систем.
Из теории нелинейных дифференциальных уравнений известно,
что решения . этих уравнений не отвечают принципу наложения.
Это означает, что если уравнение типа (1.3) (для случая, например,
n= 1) при правой части f1(t)
dy
а1(у)dt+аоУ=f1(t)
приводит к решению в виде функции у1 (t),
нение при правой части f 2 (t)
dy
а1(у)dt +аоУ=f2(t)
а аналогичное урав-
приводит к решению, у2 (t), то уравнение
dy
а1(у)dt +аоу=f1(t)+/2(t)
имеет своим решением функцию - уз (t), которая не равна сумме
У1(t) И У2(t):
Уз(t) =1= У1(t)+У2(t).
Таким образом, для нелuн.ейн.ых элемен.тов и . сuсте,и прuн.цuп
н.аложен.uя (суперпозиции) н.е прuмен.uм.
Это свойство нелинейных систем тесно связано с нелинейностью
вольтамперных (или иных аналогичных) характеристик нелинейных
элементов.
1
На рис. 1.4 изображена типичная характеристика диода
ia = f(еа).
,.
В отличие от вольтамперной характеристики линейного сопро­
тивления (рис. 1.2) в данном случае между током и напряже­
нием нет прямой пропорциональности. Если • напряжению еа1
соответствует ток ia1, а напряжению еа2 - ток ia 2, то суммарному
.
напряжению еаз = еа1 + еа 2 соответствует ток iаз• отличный _ от
суммы ia 1 + ia 2 (рис. 1.4).
18


Из этого простого примера видно, что при анализе воздействия
на нелинейную цепь сложного сигнала нельзя -его разлагать на
более простые сигналы; необходимо искать отклик системы на
результирующую величину входного сигнала.
Неприменимость к нелинейным системам принципа наложения
делает непригодными спектральный и иные методы анализа, осно­
ванные на .разложении сложного сигнала на составляющие.
Другое важное свойство нелинейной системы заключается в пре~
образовании спектра сиг- • •
нала.
'о
При воздеиствии на
нелинейную цепь простей-
шим гармоническим сиг-
налом в системе возни-
кают, помимо основной
частоты, г.армоники с час­
тотами, кратными основной
частоте_ (а в некоторых
случаях и постоянная со­
ставляющая то·ка. или на­
пряжения).
В дальнейшем будет
показано, что при сложной
форме сигнала в нелиней-
о
Рис. 1.4 .
ной системе помимо гармоник возникают еще и комбинационные
частоты, являющиеся результатом взаимодействия отдельных час­
тот, входящих в состав сигнала.
С точки зрения преобразования спектра сигнала следует под­
черкнуть принципиальное различие между линейными параметри­
ческими и нелинейными системами. В нелинейной системе структура
преобразованного сигн-ала зависит не только от формы входного
сигнала, но и от его амплитуды. В параметрической же системе
~
структура спектра - не зависит от амплитуды входного сигнала.
Структура спектра определяется только формой входного сигнала
и законом изменения во времени параметров цепи.
Особенный интерес для радиотехники представляют свободные
колебания в нелинейных системах. Подобные колебания называют­
ся автоколебаниями, поскольку они возникают и могут устойчиво
существовать в отсутствие внешнего периодического воздействия.
Расход энергии при колебаниях покрывается в подобных системах _
за счет источника энергии постоянного тока.
Упомянутые в предыдущем параграфе основные радиотехни­
ческие процессы - генерация, модуляция, детектирование и пре­
образование частоты - сопровождаются трансформацией частот­
ного спектра. Поэтому осуществление этих процессов возможно
либо с помощью нелинейных систем, либо систем линейных, но
с изменяющимися параметрами. В некоторых системах исполь­
зуются одновременно как нелинейные, так и параметрические про-
19


цессы. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы
работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими вы­
деление полезных компонентов преобразованного спектра.
В связи с этим деление систем на линейные, нелинейные и пара­
метрические является весьма условным. При анализе реальных
радиотехнических цепей, содержащих нелинейные элементы, обычно
приходится применять разнообразные математические методы -
линейные и нелинейные - для описания поведения различных
узлов одного и того же устройства.
Следует, кроме того., отметить, что даже в пределах линейного
рассмотрения системы методы анализа зависят от типа линейной
цепи с сосредоточенными или с распределенными параметрами.
Применение тех или иных цепей определяется рабочим диапа­
зоном частот. Отсюда ясно, что полная классификация радиотехни­
ческих цепей не может быть проведена в отрыве от используемых
диапазонов частот.
1.S. ПРОБЛЕМА ПОМЕХОУСТОйqJ,jвости КАНАЛА связи
Ранее уже отмечалось, что радиотехника занимается передачей
информации. Комплекс устройств, используемых для передачи ин­
формации от ее источника к получателю (а также разделяющая их
среда), образует к а н а л с в я з и. От канала связи требуется по
возможности п::тная передача информации. Потери информации
могут вызываться искажениями сигналов из-за несовершенства
отдельных элементов канала, а также из 0за п о м е х.
Помехи возникают во всех элементах канала связи: как в ср~де,
используемой для передачи сигнала от передатчика к приемни­
ку, так и в технических устройствах, выполняющих. необходимые
преобразования сигнала. В первом случае помехи называются
внешними, вовтором- внутренними.
Внешние помехи образуются за счет различного рода атмосфер­
ных явлений (молниевые разряды, электризация частиц за счет тре­
ния их · друг о друга и об' антенну и т. д.) и шумов космического
происхождения (радиоизлучение Солнца и звезд) или являются ин­
дустриальными - искрение в токосъемных механизмах, при элект­
росварке, при включении и выключении агрегатов и сетей, при ра­
боте систем зажигания в двигателях внутреннего сгорания и т. д.
Помехи радиоприему создает работа медицинского оборудования -
рентгеновских установок, физиотерапевтических устройств. По­
мехи образуются сигналами от радиоустройств, работающих на
близких частотах. Помехи могут быть также умышленными,
создаваемыми средствами радиопротиводействия противника.
Внутренние (или собственнъ1е) шумы, обязанные своим возник­
новением дискретной природе заряженных частиц, образуются из-за
теплового движения этих частиц в элементах электрических цепей,
из-за дробового эффекта в электронных приборах и ряда других
явлений, имеющих место при работе радиотехнических устройств.
20


Особенно сильно действие внутренних шумов проявляется при боль­
шом усилении сигнала, как это имеет место при приеме слабых
сигналов. Одновременно с полезным сигналом усиливаются и шумы,
которые могут по интенсивности оказаться соизмеримыми с сигна­
лом, в результате чего последний окажется частично или пол­
ностью замаскированным.
Наиболее радикальным средством борьбы с помехами является
их уничтожение или ослабление в месте возникновения.
Для этого (применительно к источникам индустриальных по­
мех) цrедует улучшать· состояние контактов , использовать экрани­
рование, включение искрогасящих устройств, специальных филь­
тров и т. д. Устранение помех от радиоустройств достигается ра­
циональным размещением (распределением) частот, реглам€нти­
руемым специальными международными соглашениями, улучше­
нием качества передачи путем уменьшения нежелательнрго (пара­
зитного) излучения, увеличением стабильности несущей частоты,
применением направленных антенн и т. д. · все это позволяет ·в ка­
кой-то мере разрешить проблему «тесноты в эфире». Следует также
по возможности выбирать частотный диапазон,' в котором шумы
минимальны.
Принципиально наиболее сложной является задача ослабления
собственных шумов, но и здесь можно достичь существенного умень­
шения их интенсивности путем применения усилительных устройств,
работающих в режиме глубокого (например, до температуры жид­
кого гелия) охлаждения, в результате чего снижается интенсивность
теплового движения · частиц.
Тем не менее, несмотря на все эти меры, полностью избавиться
от помех невозможно. Всегда остаются собственные шумы той или
иной интенсивности, шумы Галактики и других источников косми­
ческого радиоизлучения, атмосферные помехи и т. п.
Опасность искажений сигнала за счет помех обусловлена тем,
что в силу случайного характера помех однозначное соответствие
принятого сигнала и посланного сообщения нарушается и стано­
вится лишь более или менее вероятным. Возникают ошибки при
приеме - опасность замены одного сообщения (того, которое в дей­
ствительности передано) другим возможным, которое в этом случае
будет доставлять ложную информацию.
Таким образом, у получателя сообщений теперь уже отсутств~ет
полная уверенность в достоверности принятого сообщения, прием
становится ненадежным. Предпринимать какие-либо действия на
основе такого сообщения становится рискованным. Поэтому цент­
ральной проблемой радиотехники была и остается проблема по­
мехоустойчивости связи.
Система связи должна быть спроектирована так, чтобы она
обладала способностью наилучшим образом противостоять мешаю­
щему действию помех.
Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя боль­
шое число других проблем, охватывающих все разделы радиотех-
2t


ники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн,
обеспечивающих благоприятные условия распространения, исполь­
зование антенн направленного действия, поиски новых видов ра­
диосигналов и новых способов их обработки на фоне помех и др.
В связи с тем, что любые помехи, как правило, представляют
собой случайные процессы, успешное решение проблемы помехо­
устойчивости немысл-и~ю без привлечения методов теории вероят­
ностей и теории случайных функций. Значение этих методов для
радиотехники особенно возросло после создания общей теории свя­
зи, которая по существу есть статистическая теория.
1.6 . ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Qсновной задачей курса является изучение физических явлений
в радиотехнических устройствах и овладение методами математи­
ческого описания этих явлений.
Содержание курса можно определить ·как теорию · радиосигналов
и радиоцепей, изучаемую по возможности с позиций теории инфор­
мации.
В соответствии с такой постановкой задачи курс включает
в себя:
1. Анализ сообщений и радиосигналов
-
детерминированных .
и случайных.
2. Анализ случайных процессов (шумов).
3. Установление связи между параметрами сигналов и их
информационной емкостью.
4. Теорию передачи сигналов через радиотехнические цепи.
5. Развитие теории линейных цепей применительно к радиотех­
ническим процессам и преобразованиям (теория систем с обратной
связью, теория устойчивости линейных систем, теория цепей с за­
держкой, теория цепей с переменными параметрами).
6. Синтез и преобразование сигналов
-
генерирован\[е колеба­
ний, модуляцию, детектирование, преобразование частоты, умно­
жение и деление частоты, теорию параметрического возбуждения и
усиления и т. д.
7. Изучение статистических явлений в радиотехнических це­
пях - прохождение шумов совместно с сигналами через линейные
и нелинейные звенья канала радиосвязи, преобразование стати­
стических характеристик сигналов и шумов и т. д.
8. Ознакомление с основными принципами борьбы с помехами
и повышения помехоустойчивости радиосвязи.
В данной книге материал расположен в следующем по-
рядке.
.
В главах 2, 3 и 4 изучаются характеристики сообщений и сиг­
налов: спектральные, временные и информативные.
Главы 5 и 6 посвящены передаче сообщений и радиосигналов
через линейные цеп tr - апериодические и резонансные. В главах 7
и _8 рассматриваются линейные цепи с задержкой, системы с обрат-
22


. ной
связью и вопросы их устойчивости. Глава 9 посвящена линей­
ным цепям с переменными параметрами .
Во второй части учебника будут рассмотрены нелинейные цепи,
генерирование колебаний , модуляция, детектирование и некоторые
другие нелинейные процессы, а также взаимодействие сигнала и
помехи в основных звеньях радиотехнического тракта. Заключи­
тельные две главы будут посвящены основным принципам повыше­
ния помехоустойчивости радиосвязи, а также п роблеме синтеза
линейных фильтров, «оптимальных» по отношению к заданным
сигнала м (на фоне шумовой помехи).


ГЛАВА 2
СИГНАЛЫ
2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГН А ЛОВ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сиг­
налами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым
способом кодирования.
Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой
физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию .
Количество информации, которое может быть передано с помощью
некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длитель­
ности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик.
Важное значение имеет также уровень помех в канале снязи : чем
меньше этот уровень, тем большее количество информации можно
передать с помощью сигнала с заданной мощностью.
Прежде чем говорить об информационных возможностя х сигна ­
ла, необх одимо ознакомиться с его основными характеристиками .
Целесообразно рассматрив_ать отдельно д е т е р м и н и р о в а н­
ные ислучайныесигналы.
Детерминированным называют любой сигнал, кото­
рый может быть задан в виде некоторой определенной фу нкции
времени. Примерами детерминированных сигналов могут сл ужить
импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во
времени I<:оторых известны, а также непрерывный сигнал с задан­
ными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его
спектра . ·
Детерминированные сигналы могут быть подразделены на п е­
риодические и непериодические.
Простейшим периодическим детерминирован,ным сигналом яв­
ляется гармоническое колебание (ток, напряжение, заряд , напря­
женность поля), определяемое законом 1
s(t) =Аcos(~t -
'ljJ) = А cos(Qt-
'ljJ)
при_:_оо<t<+оо.
(2.1)
Через А , Т, Q и 'ljJ обозначены постоянные : амплитуда, период,
угловая частота и начальная фаза колебания .
1 Здесь Q использ у ется .цля обозначения частот уп р авляющих сигналов
(сообщ е ний),
14


Строго гармоническое колебание называют м о н о х р о м а ­
т и чес к и м колебанием. Этим заимствованным из оптики терми­
ном подчеркивается, что rпектр гармонического колебания состоит
из одной спектральной линии. У. реальных сигналов, имеющих
начало и конец, спек тр неизбежно «размывается». Поэтому строго
монохроматического колебания в природе не существует. В дальней­
шем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно
будет подразумеваться колебание, определяемое функцией, совпа­
дающей с выражением (2.1) в интервале конечном, но достаточно
большом, чтобы можно было не учитывать влияния «концов». •
Любой сложный периодический сигнал, как известно, может
быть представлен в виде суммы гармоничес'ких колебаний с часто-
тами, кратными· основной частоте Q = ~ .
Основной характери­
стикой сложного периодического сигнала является поэтому его
спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах
и фазах отдельных гармоник.
Под не пер и одическим детерминированным сигналом
подразумевается любой детерминированный сигнал, для которого
не существует конечного отрезка времени Т, отвечающего
условию s(t) = s(t + Т).
Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени.
Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся
импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колеба­
нийит.д.
Непериодические детерминированные сигналы представляют
основной интерес, так как преимущественно такие сигналы исполь-
зуются в практике.
_
Основной характеристикой непериодического сигнала, как и
в случае периодического, является его спектральная функция ;
однако, структура спектра непериодического сигнала имеет неко­
торые особенности, которые будут подробно рассмотрены
ниже.
Случайные сиrналы представляют собой .хаотиче­
ские функции времени. Такой функцией является, например, элект­
рическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последова­
тельности знаков телеграфного кода при передаче неповторяюще­
гося теr,ста. К случайным сигналам относится также последова'Гель ­
ность радиоимпульсов на входе радиолокационного приемника,
когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполне ­
ния флуктуируют из-з·а меняющихся условий распространения,
положения цели и некоторых других причин. Можно привести
большое число др у гих примеров случайных сигналов. По существу
любой сигнал, несущий в себе инфор м ацию, должен рассматривать­
ся как случайный. Перечисленные выше детерминированные сиг­
налы , «полностью известные», информации уже не содержат.
Для х ар ак теристик и и анализа сл у чайны х с и гнал ов применяется
статистический подход.


В качЕ:стве. основных характеристик случайных сигналов при­
нимают: а) закон распределения вероятностей и б) спектральное
распределение мощности сигнала.
На основе первой характеристики можно найти относительную
длительность пребывания величины сигнала в определенном ин­
тервале уровней, отношение максимальных значений к · средне­
квадратичному (пикфактор) и ряд других · важных параметров
сигнала.
Вторая характеристика дает лишь распределение по частотам
средней мощности · сигнала. Более подробной информации относи­
тельно отдельных составляющих спектра - об их амплитудах и
фазах - спектральная характеристиr<а случайного процесса не
дает.
Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике
приходится иметь дело со случайными помехами - «шумами» .
Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным
фактором, ограничивающим скорость передачи информации при
заданном сигнале. Поэтому изучение случайных сигналов неотде­
лимо от изучения шумов. Эти вопросы рассматриваются в § 2.11 .
2.2 . ПЕРИОДИЧЕСКИ!: СИГНАЛЫ
Любои сигнал, для которого выполняется условие
s(t)= s(t+Т),
где Т - «период повторения» (рис. 2.1), может рассматриваться
как сумма гармонических колебаний с угловыми частотами
Частота F1 = ~ (и соответствующая ей угловая частота Q1 =
= 2лF.1) называется о снов ной част от ой сигнала, а кратные
ей частоты Fп=nF 1 -высшими гармониками (или «обер­
тонами») .
Разложение сложного периодического сигнала s(t) на простей­
шие гармонические колебания произв~щится с помощью ряда Фурье ,
который может быть записан в тригонометрической или комплекс ­
ной формах:
00
s(t) = ~ + ~ (aп cosnQ1t +ьnsinnQ1t) =
n=I
(2 .2)


+оо
+оо
S(t) 1 ~Аei(n2,t-Ф/J)- 1
,...,
А.,, ein2 , t.
=2~11
-2~
(2 .3)
11= -
00
11=-00
Здесь 1- постоянная составляющая (среднее . значение);
a,l и Ьп - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных чле­
нов разложения s (t).
S(t)
•
t
Рис. 2.1.
Коэффициенты ряда Фурье определяются выражениями:
+ Т/2
~=+.) s(t)dt,
- Т/2
+Т/2
ап= : J s(t)cosпQ1tdt,
- Т/2
+Т/2
Ьп=: .) s( t)sinпQ 1 tdt.
-Т/ 2
(2.4)
(2 .5)
(2.6)
В сл у чае тригонометрического представления ряда Фурье
амплитуда Ап (модуль) и фаза 'Ф" (аргумент) п-й гармоники свя­
зань1 с коэффициентами ряда а11 и Ьп следующими соотношениями :
А"=Va;,+Ь;,,
tЬ"
,р"=arcg- .
а"
(2 .7)
(2 .8)
Комплексная амплитуда Ап связана с А" и ,р", а также с а" и Ь11 ,
выражениями :
АА-i,!;
·ь1
/!=
/!е
'п= a/I-
iп•1
А• +iФ
'Ьf
А-п= пе
11 = ап+i ,,.
(2.9)
28*
27


Амплитуды Ап и А-п, являющиеся взаимно сопряженными
комплексными величинами, отвечают условию:
(2.1О)
На основании выражений (2.5) и (2.6) можно также написать:
+Т/ 2
А =~ ss(t)e-ino,tdt
п
т
.
'
-Т/ 2
(2.11)
где целое число п может принимать как положительные, так и отри­
цательные значения.
Отметим , что фазовый угол 'Фп есть функция, нечетная относи­
тельно п (т. е. относительно частоты), а модуль ком плексной ампли­
туды - четная функция. В самом деле, непосредственно из выра­
жений (2 .5) и (2.6) видно, что действительная часть амплитуды
ап есть функция четная, а мнимая Ь11 - нечетная относитещ,но п.
Отсюда в соответствии с формулой (2.8) получаем .
'Фп = -'Ф-п,
(:2 . 12)
Четность модуля Ап вытекает непосредственно из выражения
(2. 7).
Сопоставление (2.2) и (2.3) показывает, что фигурирующие
в последнем выражении отрицательные значения п позволяют го­
ворить об «отрицательных» частотах .
Для выяснения смысла компонентов с отрицательными часто­
тами обратимся к простейшему гармоническому колебанию
[см. (2 . 1)] и представим его в одной из следующих двух форм:
s(t)= Аcos(Ш-'Ф) = ARe[ei(ot- <J;JJ,
)
•
s(t)= Аcos(Qt:--'Ф) =
-} Ае+; (ot -<J;J + ; Ae-i (Ot -<J;>.
(2.13)
Первой из этих форм соответствует векторное представление,
изображенное на рис. 2.2,а, а второй форме - на рис . 2.2,6.
Действительная функция s(t) получается в первом случае как
проекция ОВ вектора А на горизонтальную ось , а во втором -
как сумма проекций ОВ на ту же ось двух векторов с амплитудами .,.,,
1/z А, вращающимися с угловой частотой Q во взаимно противоп о.."';;;1аi"'\
ложных направле1щя х.
В соответствии с этим второе слагаемое в правой части выра­
жения (2.13) можно трактовать как колебание с «отрицательной»
частотой, что приводит к сл едующей записи:
s(t)= ~A[ei( Ы +t-<J;+)+ei('1_t-ч,_)],
(2.14)
причем Q_ =
--
Q+и'Ф-=
-
'Ф+
Нетр удно видеть , что в данном случае «отрицательные» частоты
имеют формальный х арактер и связаны с применением комплексной
формы для предста влен ия действителыюй функци:и времени .
28


Гармонической составляющей с какой-либо «физической» час­
тотой Qk согласно выражению (2.14) соответствует следующая
пара слагаемых, входящи х в выражение (2.3): .
_!_А e;< okt-t k)+_! _A
i[(-Ok)tH 1
2k
2 -kе
k.
1
1
<:
1
'1
1
1
1
1
1
о
о
в
aJ
/-о
о;
Рис. 2.2.
Вследствие четности модуля и нечетности фазы относительно
k эта пара слагаемых дает в сумме гармоническую вещественную
функцию, выраженную через положительную частоту:
\
; Ak[cos(Qkt- 'Фk)+isin(Qkt- 'Фk)]+
+; A_k[cos(-Qkt+'Фk)+isin(- (\t+'Фk)] =
= Akcos(Qkt-
'lj),,).
(2.15)
Таким образом, при испвльзовании удобной для анализа фор­
мулы (2.3) всегда можно освободиться от отрицательных частот
путем перехода к тригонометрической форме.
Из дальнейшего будет видно, что в некоторых случаях «отрица­
тельная частота» имеет такой же смысл, как и положительная.
Так обстоит дело, например, при определении частоты как скорости
изменения фазы колебания. При таком толковании «положитель­
ная» и «отрицательная» частоты равноправны.
Если сигнал представляет собой функцию, четную относитель­
но t, т. е. s(t) = s( - t), в тригонометрической записи остаются
только косинусоидальные члены, так как коэффициенты Ь " в со-
29


ответствии с формулой (2.6) обращаются в нуль. Для нечетной от­
носительно t функции s(t), наоборот , в нуль обращаются коэф­
фициенты ап [ф9рмула (2.5)] и ряд состоит только из синусоидаль­
ных членов.
Периодических, в строгом смысле этого слова, сигналов, кото­
рые длятся от t =
-
оо до t = + оо, в природе не существует.
Однако при рассмотрении установившихся процессов результат
анализа не изменится, если периодический сигнал конечной дли­
тельности продолжить с тем же периодом на всю ось времени --
-
00<f<+оо.
А
Оо
2
о
Рис. 2.3.
Ап
r
о,.,
-
Q
Две характеристики - амплитудная и фазовая, т . е. модуль и
аргумент комплексной амплитуды [формулы (2. 7) и (2 .8)], полностью
определяют структуру частотного спектра периодического сигнала.
Наглядное представление о «ширине» спектра и относительной ве­
личине отдельных его составляющих (гармоник) дает графическое
изображение спектра (рис. 2.3) . По оси ординат отложены модули
амплитуды, по оси абсцисс - частоты гармоник. Для исчерпываю­
щей характеристики спектра подобное изображение должно быть
дополнено заданием фаз отдельных гармоник.
!=пектр периодической функции называется л и н е й ч. а т ы м
или дискретным, та·к как состоит из отдельных «линий»
соответствующих дискретным частотам: О, Q1 , Q2 = 2Q 1 , Q3 =
•=3QlИТ,Д.
Использование рядов Фурье для гармонического анализа слож­
ных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения
представляет собой эффективное средство для изучения влияния
линейных систем на прохождение сигналов . Следует, правда, от­
метить, что определение сигнала на выходе системы по сумме гар­
моник с заданными амплитудами и фазами является непростой
задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда
Фурье, представляющего сигнал. Отметим, что наиболее распрост­
раненные в радиотехнике сигналы этому условию не отвечают, и
для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно
30


с.,,
о,
необходимо суммировать большое число гармоник. Следует по­
этому считать, что в случае сложных периодических сигналов при­
менение метода рядов Фурье удобно более для анализа сигналов,
нежели для их синтеза 1 •
2.3 . ПРИМЕРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
1. Периодическая последователыюсть прямоугольных импульсов
(рис. 2.4,а). Амплитуда импульсов равна Е, длительность равна •.
1
1
''Т11 1
1
-
-т
-Т+т
о
т
т
Т+т t
а;
11
1!1
1
1
-
4-'9'2 -т+р2
-9'2 О у'2
т-r;2 Т+ "'2
t
о;
Рис. 2.4.
Применяя формулы (2.4), (2.5) и (2.6), находим среднее значение
(«постоянную составляющую»)
t
Е0=а2°=~JЕdt - ; Е;
(2.16)
амплитуду косинусоидальной составляющей п-й гармоники
t
ап= l \ЕcosпQ1tdt = ; {-[sinпQ1t]~ = .!i_ siппQ1,; (2.17)
О
п "'1
1tn
1 Трудности, связанные с осуществлением синтеза сигналов по заданным
рядам Фурье, в значительной степени мо гут быть преодолены с помощью
подробны х таблиц сум м тригонометрических рядов, а также с помощью
правил для пере хода от сумм одних рядов, к с уммам других, разработанных
А. М. Заездным (см. 3 а езд н ы й А. М. Гармонический синтез в радио­
технике и электросвязи. Госэнерrонздат, 1961).
31


амплитуду синусоидальной составляющей п-й гармоники
t
Ьп= : JЕsinпQ1tdt =
-
~п~1[cosпQ1t]~=
Е
=
-(1- cos пQ1i-).
ттп
(2.18)
Далее с помощью формул (2.7) и (2.8) находим модуль и
фазу п-й гармоники
А11= !}_V(sinпQ1i-)2+(1 - cos пQ1i-)2 =
пп
Е v2(l
п.) 2Е1.пQ1-.:\•
=-
- cosп~, 1 't' =-
stn-2
-,
1'./l
ттп
•
,1,
t 1- cosпQ1-.: пQ1,
'У=агсg----=
--
11
siп п01 ,
2•
(2.19)
(2.20)
Подставляя найденные коэффициенты Ап •в выражение (2.2),
приходим к следующему ряду Фурье для изображенной на
рис. 2.4, а импульсной последовательности:
(2.21)
Используя комплексную форму ряда Фурье, в соответствии
с выражением (2 . 11) находим комплексную ам плитуду:
t
А = 2JEe-in9,t dt =
_
~ _!j_ [e-in o,t]' =
пТ
Т iпQ1
о.
о
2 Е (l -i1101')
2 Е(l
п+..п)
=~
1 ,---Q
-
е•
= -т ,---Q
-
cosп~,1't'
tstпп~,1t =
!Н-1
ln-1
= .!-_
[sinпQ1т- i(1 - cos пQ1i-)].
7(/!
(2.22)
Аргумент правой части этого выражения определяет фазу ~J11 ,
совпадающую с выражением (2.20). При ином выборе начала отсче-
31
c-
l'
с


та времени (рис. 2.4,6) функuия e(t) является четной относительно
t и для нее имеем
Е[
] +,12
Ьп=
-
-
cosnQ1 t _12
=
Q.
-тtn
•
-
~
(2.23)
При этьм тригонометрическая форма ряда принимает вид:
е(t) ~ Еl;+f ~,
Последовательность пря­
моугольных импульсов часто
рассматривается в радиотех­
нических задачах.
2.
Последовательность
s1n--
•
пQ1't .
]
n2 cosпQ1t .
~(t) t
l
Е
l
радиолокационных вuдеоuм­
пульсов. Характерной особен­
ностью этой последователь­
ности является очень малое
отношение длительности им­
пульса к периоду повторе-
- 7 -Т+'r
о"
Рис. 2.5.
ния,т.е.у«1 (рис. 2.5).
(2.24)
r r.,,
т
ВеличинаN= - ,
обратная этому отношению, получила назва­
't
ние «скважности» импульсной последовательности.
При больших значениях N спектр с·игнала содержит очень
большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник
(рис. 2.6). Расстояние между спектральными линиями очень мало
(Q{ = л у) , а амплитуды соседних гармони.к близки по величине.
Это наглядно видно из формулы (2.19), которую в данном случае
удобно записывать в несколько видоизмененном виде:
An=:~1 )siп(n•n ;)\·
При ~ « 1 аргумент синуса с ростом п изменяется медленно.
т
.
При малых значениях п, т. е. для гармоник невысокого поряд­
ка, можно считать
•
(
't\
't
sш n•n -; =n-n
-
Т
Т'
а амплитуды гармоник равными
А~-2ЕIИ'И:_ Е2't
n~7tl1° Т
-
Т•
(2.25)
33


Заметим·, что при ; « 1 постоянная составл яющая, равная
А 0 = Е ; , вдвое меньше, чем амплитуды ближайших гармоник.
Существенно также ,
что постоянная состав­
ляющая во много раз
меньше амплитуды им-
•пульса Е.
3. Пилообразное на­
пряжение (рис. 2.7).
Подобные функции часто
встречаются на практи-
ке в устройствах для
развертки изображения
в осциллографах. Так
как эта функция являет-
о ЩЦJ...U...J....1,!..l...!...U..L..J.~~.1..1-..... ~ ,_ _ ._ -::~ ся нечетной, ряд Фурье
OJ.!
п3/ для нее содержит только
2
синусоидальные члены.
Рис. 2.6 .
С помощью формул
(2.5) - (2. 7) нетрудно
определить коэффициен­
ты ряда Фурье. Опус-
кая эти выкладки, напишем
ряда:
окончательное выражение для
e(t)=2E(sinQ1 t-{sin2Q1 t+ ~ sin3Q1 t-{sin4Q1 t+ ... ) .
(2.26)
1
Как видим, амплитуды гармоиик убывают по закону - , где
п
п = 1, 2, 3.. . На рис. 2.8 показан график суммы первых пяти гар­
моник.
4. Последовательность треугольных импульсов (рис. 2.9). Ряд
Фурье имеет для этой функции следующий вид :
На рис. 2.9 изображена сумма первых трех членов этого ряда.
Отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в преды­
дущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков)
в функции .
34


•
ettJ
Е
t
Рис. 2.7.
t
Рис. 2. 8
·Рис. 2.9 ,
35


:Z.4 . Р А СПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИ Г НАЛА
Пусть сигнал s(t) (ток, напряжение) представляет собой слож ­
ную периодическую фу1щцию времени с периодом Т .
Под средней за период мощностью сигнала можно подразумевать
величину
т
-
1s
s2(t)=т s2(t)dt,
(2.28)
.
о
в предположении, что сопротивление нагрузки равно
ому.
Черта над функцией обозначает операцию усреднения по вре­
мени.
Разложим сигнал s(t) в ряд Фурье :
00
s(t)=0
2°+~ (а"cosпQ1t+ЬпsinпQ1t)
(2.29)
n=l
и подставим под интеграл в выражении (2.28) .
При возведении в квадрат правой части выражения (2.29) по-
лучатся слагаемые следующих видов:
1) (~0)2;
2) а;cos2пQ1t и Ь;sin2пQ1t;
3) произведения косинусов и синусов с аргументами неодина-
ковой кратности.
•
При интегрировании за период Т исходной функции последние
слагаемые обращаются в нуль .
Слагаемые второго вида после приведения к форме
ач1⁄2+;cos2nQ1t)и 2(1 • 1
)
Ьп 2- 2 cos2nQ1t
и интегрирования в пределах О, Т дают
а2
ь2
iти--;т.
а2
Постоянное слагаемое -/ после интегр1:1рования
а2
дает 4°Т .
Таким образом, средняя мощность сигнала
2
00
00
--
аа 1"1(2 2)
2
1
2
s2(t)=4+2~ ап+Ьп =Sa+2 ~Sm
n~l
n=l
Sао
где O = 2 - - постоянная составляющая, а .
S11 -
амплитуда п-й гармоники сигнала.
36
(2 .30)


При использовании комплексного , ряда Фурье этот результат
в соответствии с формулой (2.1 О) может быть представлен в форме
00
00
s2(t)=41 ~ss=_41~s,;.
•
,,, ,;;.
п-п
~
(2. 31)
n=-oo
п--оо
Если s(t) представляет собой электрический ток i(t), то при прохож­
дении через омическое сопротивление r выделяется мощность
(средняя за период Т):
-
.
[2If!~
]
Р=ri2(t)=r !о+2+2+....
(2 .32)
Итак, полная мощность является суммой средних мощностей,
выделяемых по отдельности постоянной составляющей / 0 и гармо­
никами (с амплитудами /1, / 2 и т. д.).
Это означает, что мощность не зависит от фазировки отдельных
гармоник. Изменение формы сигнала, получающееся при изменении
фазовых соотношений между отдельными гармониками внутри
спектра, не оказывает влияния на величину средней мощности
сигнала.
В энергетическом отношении отдельные спектральнь1е составляю­
щие сложного периодического сигнала а д д и т и в н ы. Это озна­
чает, что суммарную среднюю мощность подобного сигнала можно
определять как сумму мощностей отдельных компонентов сигнала.
Это свойство является результатом ортогональ}!ости гармониче­
ских функций с кратнь1ми частотами 1 .
По виду огибающей функции S~ можно судить о распределении
мощности в спектре периодического сигнала. Это позволяет выби­
рать полосу пропускания цепи, обеспечивающую достаточно пол­
ное использование мощности сигна,'Iа.
1 Две функuии <р (х) и у (х) называются ортогональными в промежутке
[а, Ь], если интеграл от их произведения равен нулю:
ь
J<р(х)у(х)dx = О.
(2.33) .
а
Из этого общего опреде л ения следует, что две тригонометрические
(гар монические) функции с частота ~rи пQ1 и тQ1 ортогональны в промеж ут-
2;,;
ке[О,Т],гдеТ=0,еслиn+m.
-
....1 •
Э7


1.5. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ
Пусть задан физически реализуемый сигнал с конечной энергией.
Если мощность сигнала отлична от нуля, то сигнал с конечноц энер­
гией должен быть ограничен во времени. В математической форме
это условие равносильно требованию сходимости интеграла
+оо
S \s(t)\dt,
---:00
где 1s(t)I - абсолютное значение функции s(t). Иными словами,
функция s(t) должна быть абсолютно интегрируемой.
t
т --------1
Рис. 2.10.
Для проведения гармонического анализа сигнала, отвечающего
этому условию, допустим, что сигнал s(t), действующий в конечном
интервале t1 < t<t2 , превращен в периодическую функцию путем
повторения s(t) с произвольным периодом T>t2 - t1 • Тогда для
этой новой функции применимо разложение в ряд Фурье, причем
ао
•
входящие в выражение (2.2) коэффициенты 2 , ап и Ьп в соответствии
с формулами (2.4) - (2.6) будут тем меньше, чем больше интер­
вал Т, выбранный в качестве периода. Устремляя Т к бесконеч­
ности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармони~
ческих составляющих, сумма которых изображает исходную не­
периодическую функцию s(t), заданную в интервале t1 < t < t2
(рис. 2.10). Количество гармонических составляющих, входящих
в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при
Т..;.. оо основная частота функции Q1 = ~ ➔ О. Иными словами,
расстояние между спектральными линиями (рис. 2.3), равное ос­
новной частоте Q 1, становится бес1<0нечно малым, а спектр -
сплошным.
Итак, при гармоничес1wм анализе непериодичесI<ой функции
получается сплошной спектр, состоящий из бесконечно большого
количества гармони.к с бесконечно малыми амплитудами .
•
38


Вырази м это м атематически. Поступаем следующим образом.
Подставив формулы (2.5) и (2.6) в формулу (2.9), можем написать:
/2
A 11 =a11 -ib11 = l Js(t)[cosnQ 1 t-
1,
1,
-'-isinпQ1tJdt= : ss(t)e-in9, 1dt.
(2.34)
1,
Подставим это выражение в формулу (2.3):
s(t)= 1~rss(t)е-i11в,tdt.Jeinв,t =
/J =-00
t,
~,k"~JIs(I) e-ias, ' dt] е'"'• 'Q,.
(2.35)
Здесь учтено, что Т = ~1t . При Т ➔ оо получается ис х одная
--1
непериодическая функция s (t) , заданная в интервале t1 < t < t 2 .
Очевидно, что при Т ➔ оо частота Q1 превращается в dQ ,
nD. 1
-
в текущую частоту Q, а операция суммирования - в опе­
рацию интегрирования. В пределе получ:аем двойной интеграл
Фурье:
оо
1,
s(t) =~ Jei91dQJs(t)e-ioi dt.
(2.36)
-00
1,
Вн утренний интеграл, являющийся функцией Q ,
t,
S(Q) = .\ s(t) e-iвtdt,
{2.37)
/1
называется спектральной плотностью или спектраль­
ной характеристикой функции s(t).
В общем виде, когда не уточнены пределы t1 и t 2 , спектраль­
ная плотность записывается в форме
+оо
S(Q)= Js(t)e-ioi dt.
-00
После · подстановки (2.38) в выражение (2.36) получаем
+оо
s(t) =!.. JS(Q)eiot dQ.
21t
-оо
(2 .38)
(2.39)
39


Выражения (2.38) и (2.39) называются соответственно п р я­
мым и о·братньiм преобразованиями Фурье.
Из хода предыдущих рассуждений следует, что эти соотношения
безусловно справедливы только для абсолютно интегрируемой
функции s(t) (см. начало данного параграфа).
Выражение (2.39) представляет непериодическую функцию в ви­
де суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малы­
ми амплитудами. Из сравнения выражения (2.39) с рядом Фурье
(2.3) видно ; что амплитуды этих составляющих равны
J_ S(Q) dQ.
7t
Сопоставление выражений (2.38) и (2.11) позволяет в наглядной
форме пояснить смысл термина «спектральная плотность». · именно,
выделив какую-либо дискретную частоту Qn = пQ 1 , соответствую­
щую в случае периодической функции п-й гармонике, получим
для амплитуды этой гармоники выражение
t,
Ап = f Js(t)e~;gnt dt;
t,
в случае же непериодической функции, совпадающей с s(t) в интер­
вале t1<t<t2 , пол учим для спектральной плотности, соответствую­
щей той же частоте Q = Qn, следующее выражение:
,,
S(Qп) =Js(t)е-i9пIdt.
t,
Так как интегралы в правь1х частях этих выражений полностью
совпадают, заключаем, что
•
S(Qn)=Т~п
1
или, учитывая что Т = Fi,
S (Q") = А;~2.
(2.40)
Знаменатель 2 в правой части этого выражения учитывает, что
при использовании комплексной формы ряда Фурье, в которой
фигурируют отрицательные частоты, амплитуды гармоник равны
A2n [см. (2.14)-(2.15)].
Итак, S(Q 11 ) получается путем деления амплитуды Ап/2 п-й гар­
моники на полосу частот f 1 , отделяющую соседние линии дискрет­
ного спектра (рис. 2.3). Следовательно S(Q) имеет смысл плотности
дб
[амплитуда]
aJ,tnлumy и о ладает размерностью .
.
герц
К этому результату можно прийти еще и следующим образом.
Составив отношение амплитуды п-й гармоники Ап к частотному
40


интервалу между двумя соседними спектральными линиями, т. е .
к частоте повторения F 1 , и устремив период Т к бесконечности ,
А
замечаем, что это отношение, т. е. F~', остается
неизменным, по-
скольку с увеличением Т как Ап, так и F1 одинаково быстро умень­
шаются. В пределе, при Т ➔ оо, это отношение и приобретает смысл
«спектральной плотности» непериодической функции.
Из соотношения (2.40) вытекает следующее важное положение~
огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности)
непериодической функции и огибающая линейчатого спектра перио­
дической функции (полученной из непериодической путем · продол­
жения ее с периодом Т) совпадают по форме и отличаются только
масштабом
(2.41 )'
Спектральная плотность S(Q) обладает всеми основными свой­
ствами комплексной амплитуды Ап . По аналогии с (2.9) можно на­
писать следующее соотношение:
S(Q)= А(Q)- iB(Q)= S(Q)e-iq, <0>,
(2.42}
где A(Q) и B(Q) - соответственно действительная и мнимая части
спектральной плотности;
S(Q) и 'ljJ(Q) - амплитудная и фазовая характеристики спек ­
тральной плотности.
Из формулы (2.38) вытекают следующие выражения для А (Q)
и B(Q), аналогичные выражениям (2.5) и (2.6):
+оо
A(Q) = Js(t)cosQtdt,
(2.43)
-оо
+оо
B(Q)= J s(t)siпQtdt.
(2.44)
-00
Модуль и фаза спектральной плотности определяются выра­
жениями
в (Q)
'Ф (Q) = arctg А (Q).
(2.45)
(2.46)
Как и в случае ряда Фурье (см. § 2.2), модуль спектральной
плотности есть функция четная, а фаза - нечетная относительна
частоты Q.
•
На основании формулы (2.42) нетрудно привести интегральное
преобразование (2. 39) к тригонометрической форме.
41


Имеем
+оо
s(t) =
_1 sS(Q) ei(ot-Ф>dQ =
21t
-
00
+оо
+оо
= 2~ sS(Q)cos(Ш- 1\))dQ+i 2~ sS(Q)sin(Qt-1\))dQ.
-00
-
00
Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтег­
ральная функция в первом интеграле является четной, а во втором
интеграле - нечетной относительно Q. Следовательно, второй
интеграл равен нулю, и окончательно
---1-оо
s(t)= 2
~
JS(rJ)cos(Ш - 1\))dQ =
-
00
00
= +SS(Q)cos(Ш - 1\))dQ. .
(2 .47)
о
Из последнего преобразования видно, что при переходе от ком­
плексной формы (2.39) к тригонометрическои (2.47) отпадает · необ­
ходимость интегрирования в области отрицательных значений Q.
Обычно этот переход целесообразен в конце анализа; все промежу­
точные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще
производить на основе комплексной формы (2 .39).
Следует подчеркнуть, что определяемая формулой (2.46) фазо­
вая характеристика спектральной плотности 1/)(Q) дает величину
начальной фазы гармонической составляющей частоты Q относи­
тельно косинусоидального колебания. Если при какой-либо частоте
·Q фаза 1/)(Q) = О, то соответствующая этой частоте гармоника имеет
вид cos Qt. Если 'ljJ(Q) = ; , то гармоника имеет вид sin Qt.
Интегральные преобразования (2.38) и (2.39) очень удобны для
.анализа передачи непериодических сигналов через линейные цепи.
Можно написать следующие очевидные соотношения для сигнала
-
e(t) на входе и сигнала и(t) на выходе линейного четырехполюс­
ника:
+оо .
е(t) = i1t JЕ(Q) ei21 dQ,
(2.48)
-00
+оо
+оо .
и(t)= 2
~
j'Е(Q)К(iQ)ei91dQ = 2
~
.\ U (Q) eiot dQ, (2.49)
-оо
-оо
42


где Е(Q)=Е(Q)e- ; ,-i, -
спектральная плотность напряжения на
входе, а U (Q)=E (Q) К (iQ) = Е (Q)K(Q) e - i(<!i- 'f) - на выходе
четырехпо.т~юснш(а, коэффициент передачи которого есть К (iQ)=
= К(Q)ei'P_
Существенным удобством при использовании интеграла Фурье .
является возможность получения выражения для выходного сиг­
нала в замкнутой форме, а не в виде медленно сходящегося ряда,
как это имеет место, например, в случае периодической последова­
тельности прямоугольных импульсов (§ 2.3). Подробно этот вопрос
будет разобран в гл. 5 при рассмотрении передачи сигналов через
линейные системы.
2.6 . СВОЙСТВА ПРЕОSРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Из рассмотрения прямого и обратного преобразований Фурье
(2.38) и (2.39) вытекают некоторые общие заключения о характере
S(Q) при заданной функции s(t) и, наоборот, о функции s(t) при
заданной функции S(Q).
Если в обратном преобразовании (2.39) заменить S (Q) на
S (Q) e±i9 t,, где t 0 - постоянная величина, имеющая размерность
времени, то s (t) переходит в s (t ± t0).
•
Действительно,
+оо
_ 1 sS(Q)е±;21,еiшdQ =
2тс
•
-оо
+оо
= 2\ j' S(Q)ei,!U±t,JdQ=S(t±t0).
(2.50)
-00
Из этого можно сделать вывод, что если •всем составляющим
спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг ер= ±Qt0 , линейно связан­
ный с частотой Q, то функция s(t) сдвигается во времени на ± t0 •
Очевидно и обратное положение: сдвиг во времени функции s(t)
на величину ± t 0 означает изменение фазовой характеристики
спектр,а,льной п.т~относi:и S(Q) на ве.т~·ичину + Qt0 •
:Из указанных свойств преобразований (2.38) и (2.39) следует,
что для неискаженной передачи сигналов амплитудно-частотная ха ­
рактеристика системы должна быть равномерна, а фаза-частотная
характеристика - шrнейна в пределах всего спектра сигнала (или по
крайней мере той части спектра, в которой сосредоточена основная
доля общей энергии сигнала). Действительно, пусть модуль коэф­
фициента передачи цепи не зависит от частоты и является постоян­
ной величиной K(Q) = Ко, а фаза - линейной функцией частоты
43


Тогда, если на входе цепи действует сигнал s(t) со спектром S(Q),
то выходной сигнал имеет вид:
+оо
Sвых(t) = 2
~
SS(~~)К(iQ)ei91 dQ =
-СХ)
+оо
+оо
=- 1 s S(Q)Koe-t•9ei9tdQ=Ko~ \ S(Q)ei9U-to)dQ.
2n
2"J
-СХ)
-СХ)
Основываясь на выражении (2.50), этот результат можно
записать в следующей форме:
Sвых(t)=КоS(t- lo),
Это означает, что при прохождении через систему с равномер­
ной амплитудно - частотной и линейной фаза-частотной характери­
стиками сигнал полностью сохраняет свою форму; изменяется лишь
величина сигнала (в Ко раз) и появляется запаздывание («время
пробега»), равное t0 , т. е. наклону фазовой характеристики системы
(2.51)
В физически выполнимых (реальных) цепях наклон фазовой
характеристики cp(Q) всегда отрицателен в полосе пропускания,
так как непериодический сигнал на выходе, естественно, не может
опережать сигнал на входе цепи.
Обратимся теперь к рассмотрению S(Q) для различньiх ·функций
s(t).
1. Пусть s(t) есть функция, четная относительно t. Переписав
выражение (2.38) в виде
+оо
+оо
S(Q)= Js(t)cosQtdt- i Ss(t)sinQtdt,
-СХ)
- СХ)
• убеждаемся, что при четной s(t) второй интеграл равен нулю, так
как произведение s(t) sinQt является функцией, нечетной относи­
тельно t, а пределы интегрирования симметричны.
Таким обр,;~.зом, при s(t), четной относительно t, функция S(Q),
определяемая первым интегралом, есть функция, вещественная и
четная относительно Q.
2. Если s(t) нечетна относительно t, то в нуль обращается первый
интеграл и
+оо
S(Q)= - i S s(t)sinQtdt.
-СХ)
В этом случае S(Q) - нечетная и чисто мнимая функция Q.
44


3. EcJIИ, наконец, s(t) не является четной или нечетной функ­
цией относительно t, то ее можно разложить на две функции: чет­
ную s1 (t) и нечетную s2 (t).
В этом случае S(Q) представляет собой комплексную функцию Q.
Из доказанного вытекает, что в случае четной функции s(t)
в выражении (2 .38) можно произвольно изменять знак пер ед Q.
Следовательно, в этом случае интегралы в выражениях (2.38) и
- r;z
s(t!t
о
а)
S(Q)
о
8)
+r;2 t
S(t)
г;
Рис. 2.11 .
(2 .39) совершенно подобны и переменные Q и t взаимно заменимы.
Это важное положение, позволяет устанавливать соответствие между
частотными и временными характеристиками сигнала.
В частности, если прямоугольному импульс у s(t) (рис. 2.11 , а}
соответствует спектр, показанный на рис. 2.11,6, то спектру S(Q)
с прямоугольной огибающей (рис . 2.11,в) должна соответствовать
функция времени s(t), изображенная на рис. 2.11, г .
Спектр пря моугольного импульса (рис. 2.11,6) почти неизме­
нен в некоторой области частот, близких к н улю, иными словами,
( 2n)
в этой области частот Q <<~ его можно считать равномерным .
На рис . 2.11,г, как сказано выше, изображена функция времени
s(t), соответствующая прямоугольному спектру. Таким образом,
рис. 2 . 11,г дает наглядное представление о том, как изменяется
форма прямо у гольного импульса, если из его спектра отбросить
п2n
все частоты вне пол осы частот, где ~, « - .
'с.
45


2.7 . СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Как уже отмечалось в § 2.3, структура частотного спектра пол­
ностью определяется двумя характеристиками: амплитудной и фа­
зовой, т. е. модулем и аргументом спектральной плотности S(Q).
Указанные характеристики для функций s(t), отвечающих усло­
вию абсолютной интегрируемости, легко определить с помощью
формул (2.38), (2.45) и (2.46).
Остановимся лишь на некоторых частных случаях, существен­
ных для дальнейшего изложения. -
Рассмотрим единичный скачок, т. е. функцию, определяемую
. условиями:
s(t)=l при t>O,}
s(t)=O при t<O.
00
(2.52)
Для этой функции f Js(t)[ dt...:;,. оо,
ввиду чего выражения
о
(2.38) и (2.39) не могу т быть применены непосредственно. Это за­
труднение легко обойти, если искомую спектральную плотность
функции s(t), заданной выражением (2.52), представить как предел
S(Q) для функции s(t)e-ct, где с - положительн ое число, стремя­
щееся к нулю. Тогда в соответствии с (2.38) искомая спектральная
плотность для единичного скачка определится выражением
.
1
1
1 -i. .2:..
S(Q)- l1m _h
.,.,
-
•
0-Г\е
2.
C➔ OC-q, tijc;
l ...,
~(,,
(2.53)
Таким образом, модуль и аргумент спектральной плотности
в области положительных частот Q будут
1
s(Q)= Q'
(2.53')
,jJ(Q)=; .
Графики S(Q) и 'lj)(Q) изображены на рис. 2.12 сплошными ли-
ниями (для Q > 0).
•
Полученные соотношения могут быть использованы для опреде­
ления спектра экспоненциального импульса, т. е. функции, опреде­
ляемой условиями:
s(t)= e-at при t>О,}
s(t)=О при t<О,
при а> О.
Заменяя в формуле (2.53) величину с на постоянную вел ичину а
и не совершая предельного перехода, получаем следующее выраже-
46


ние для спектральной плотности экспоненциального импульса
с единичной амплитудой:
1
-iarctg~
S(Q) =
--=
-==-е
а
а+iQ ✓а.2+Q2
'
(2.54 ),
откуда следует
Q
'Ф (Q) = arctg--;:-
.
Графики S(Q) и 'ljJ(Q) для экспоненциального импульса показаны,
на рис. 2.12 пунктирными линиями .
.S{Q) ф{Q)
1⁄4
о~---------------
о
Рис. 2.12.
Возвращаясь к единичному скачку, мы видим, что при нулевой:
частоте кривая спектральной плотности уходит в бесконечность,
что указывает на наличие в составе сплошного спектра скачка дис­
кретного колебания с конечной амплитудой (в данном случае при·
нулевой частоте) . Это следует понимать таким образом, что пр11·
дg
Q ➔ О S(Q) ➔ оо, а лЬl~о SS(Q) dQ принимает ко нечное значение ,
о
Иными словами, в составе рассматриваемой функции имеется ПО'·
стоянная составляющая с конечной ам плитудой .
Для определения этой постоянной составляющей подстави м
в (2 .39) •выражение
S(Q)=_1_ =а-iQ
а+iQ а.2+Q2 ,
т. е. выражение (2.54), без перехода к пределу а ➔ О.
41


Тогда получим
+оо
+оо
(t)- 1 sа- iQ i9tdп- 1 sа-ш( пt+.•пt)dп
:S
-
~ r;.2
-sf-" [12 е
~,-
2;с аЧ-' Q2 cos ~~
iS!П~,
~,=
-оо
-со
+со
+со
=
_1_ sаcosQ~dQ+_1_ sQsinQtd~2+
2;с
r;. 2 +' ;-22
2;с
а2f 92
-со
-со
[+оо
+оо
]
+_i_ sаsinQt dQ_ sQcosQtdQ
2;с
а24-g2
а2фg2
•
-00
-оо
(2.55)
Мнимая часть в этом выражении равна нулю ввиду нечет­
н ости подынтегральных фу нкций.
В действительной же части первый интеграл 1 равен {е1 при
t<Ои{e- at при t>О,авторойинтегралравен- ~еа1 при
1
t < О и 2 e- at при t > О. Следовательно, сумма этих интегралов
р авна нулю при t < О и e-at при t > О. Полученные результаты
изображены графически на рис. 2. 13, а.
При устремлении а к нулю получаются функции, показанные
.на рис. 2.13, 6 . Верхний график, изображающий постоянную
+ioo
1 Рассмотрим сначала ин,теграл 1 = 1 s аеР1
~
-
2
2dp= Res,
2;ci
а-р
-
ico
•в котором р = а+ iQ - комплексная переменная·, а путь интегрирования
проходит по мнимой оси.
В правой части стоит . сумм а вычетов относительно полюсов, располо­
женных справа от м нимой оси iiJ. при t < О или слева от этой оси при
t>О(см.§5.2).
•
В данно м с лу чае подынтегральная функция имеет два полюса р 1 2 =
=±а.
•
'
Следовательно, при t < О, когда • п уть интегрирования пр о ходит по
.замкнуто м у контуру бесконечно большого радиуса в левой пол у плоскости _
,с направлением обхода по часовой стрелке, интеграл
(аеР1)
aeat
1al
1=-
(Вычет в полюсе р1) = -
--
=-
--- =
-
е,
-2р Р1
-2а 2
t<О.
При t > О, когда направление обхода контура противоположно направ­
.лению вращения часовой стрелки :
1= +(Выч.етв полюсе р2)= +
--
= --=
-
е,
(аеР1·) щ;-аt 1 -at
-
2р
2а
2
t>о.
-48


составляющую единичного скачка, соответствует первом у инте­
гралу при сх ➔ О. Иными словами,
+оо
!. j_sаcosQtdп__
__!__
Jm2
2 .1-,.
g2 ~,
2•
а:-0 1t
:::tV"
srt J
1,0
-00
-
t
Рис. 2.13.
1⁄21
о
1⁄2
о
$lfJ
1,0 ·
о
о;
Заменяя теперь под интегралом р на iO, получаем
+ioo
+1со
1⁄2
_1_ sаcosQt d(iQ)+_1_ sа(isinШ) d(iQ)=
21tl
а2+Q2
21ti
а2+Q2
-
ioo
-ioo
+оо
+оо
= _!__ sаcosQt d[).+i_1_ 5аsinQt dQ.
21t
а2+Q2
21t
а2+Q2
·-00
-00
t
Второй интеграл равен нулю ввиду нечетности подынтегральной функции.
Таким образом, окончательно,
+оо
~-~dQ= -еа при t<О,
1 5аcosQt
It
2тс а2 .ф- Q2
2
-00
1-af
fО
=2е
при >.
Аналогичным образом вычисляется и второй интегра д .
3 Зак. 2053
49


Второй же ннтеграл при а ➔ О дает
+оо
+оо
1•
__ ! _ sQsiпQt dп- _J _ ssiпQt dO
lm2
2_ь_02~~- 2
,..
-·.
а-0 7t
CL -е;у...
1С
.;ic;
-оо
-00
Следовательно, единичный скачок наряду с выражением (2.55)
может быть представлен в форме
00
s(t) = { +3⁄4ssi~Qt dQ.
(2.56)
о
С помощью выражения (2.56), а также (2.47) легко пояснить
смысл постоянства фазовой характеристики 'ljJ(Q) = ; . В § 2.5 уже
отмечалось, что 'ljJ (<Q)_ представляет собой начальную фазу гармоники
с частотой Q при косин,усоидально,н отсчете. Следовательно, равен-
ство 'ljJ(Q) = ; = const означает, что для образования в момент
t = О скачка требуется суммирование син,усоид всех гармонических
составляющих спектра. Более того, поскольку амплитуды состав-
!
ляющих убывают по закону Q , то наклон всех синусоид в точке
t = О, пропорциональный производной от синусоиды, оказывается
одинаковым для всех гармоник, так как
d(~ siпQf)
dt
l1= 0 =cosQt\1= 0 =1.
Сумма бесконечно большого числа синусоидальных гармоник
(с бесконечно малыми амплитудами) создает в точке t = О скачок
с бесконечно крутым фронтом.
Рассмотрим теперь спектр прямоугольного импульса. Вместо
прямого использования общего выражения (2.38) можно восполь­
зоваться принципом суперпозиции, позволяющим находить спектр
суммы или разности функций времени в виде суммы или раз­
ности соответствующих этим функциям спектров. Представим пря­
моугольный импульс, действующий на протяжении отрезка вре­
мени от О дот, в виде разности двух скачков: одного в момент
t=Оидругоговмоментt=т(рис.2.14).
Для первого скачка спектральная плотность [см. (2.53)]
А
S1(Q)=ш,
а для второго, в соответствии с выражением (2.50),
S2 (Q) = S1 (~1) e-io, = i~ e-io,.
50


Следовательно , спектральная плотность прямоугольного им­
пульса
Модуль этого выражения
S(Q)=i1/(1- cosQ,)2+sin2Q,: =
1
.
Q't 1
S1П-
12А•Q'tIА
2
=
QS\П2=
,:
Q't
2
Отметим, что при Q ➔ О
.
Q't
SIП -
lim Q't
2
=1
9➔0
2
и, следовате л ьно,
S(O) = А,.
(2 .57)
(2.58)
(2 .59)
Отсюда видно, что при нулевой частоте спектральная плотность
прямоугольного импульса равна площади импульса. Ниже, в § 2.14
будет показано, что этот вывод можно распространить на импульс
произвольной формы .
Зависимость модуля S(Q) от безразмерной переменной } 't
изображена на рис. 2. 15 сплошной линией. На оси ординат этого
графика отложена безразмерная фу нкция S(Q)/A ,. Пунктирной
о
t
,,,~ t- --
,I,
t
1
1
"'~ 1
1
1
о
г
t
Рис. 2.14.
,,;i,o
51


линией показан модуль спектра одной из функций s1(t) [или s2(t)],
r. е. спектра скачка с амплитудой А . В координатах рис. 2.15 эта
кривая определяется уравнением
или
А
1 A't
S1(Q)=о =
-2-о-
"'
s,'t
2
l•
S1 (Q)
2
~= Q't.
-
2-
21t
Первый нуль функции S (Щ получается при , частоте Q1 = ~
(рис. 2.15)
Рис. 2.15.
Появление нулей в спектре прямоугольного импульса является
результатом взаимной компенсации тех гармонических составляюs
щих скачков s1(t) и s2(t), для которых сдвиг фаз равен целому числу
2л. Такие сдвиги получаются на частотах Q, отвечающих условию
Q-.
= п2л, где п - любое целое число. На тех частотах спект-ров
S 1(Q) и S2 (Q), для которых Q-.
= (2n - l)л, наоборот, вычитание
приводит к удвоению амплитуд.
Если начало отсчета времени совместить с серединой импульса
(рис. 2.16), т. е. сдвинуть s(t) на величину ; в сторону опережения,
то для полученной функции, четной относительно t, можно написать
[см. (2.57) и (2.50) ]:
А(/2~
-
;~) 2А Q't
-
S(Q)=iOе2- е
2=аsin2.
(2.57')


Очевидно, что в данном случае S(Q) -
.
всегда действительная ве­
личина, принимающая положительный или отрицательный знак
(рис. 2.17). При частотах от Q = О до [2 = 2_/' . т. е. до значениd
R1:
•
Q,: > О S(r.·
при котором -:.-
= :п:, s111 2
и ~") - положительная вели-
чина. Это означает, что в указанной области частот начальные фазы
S{Q)I
S(t)
Ar
А
-112 о +r;z
t
Q1)2
Рис. 2.16.
Рис. 2.17.
'Ф (Q) всех гармоник равны нулю. В области частот , отвечающих
условию
Q1:
.
Q1:<0
:п:<т<2n, SIП 2 _ ,
S(Q) - отрицательная величина, что равносильно скачку фазы
всех гармоник на величину :п:. Таким образом , в этой области частот
'Ф (Q) = :п:. В следующей области частот, отвечающей условию:
Q,:
.
Q't
2:п:< 2 <Зл., sш 2 >О,
S(Q) опять положительна, что равносильно дополнительному
сдвигу фазы на л. и т. д.
Итак, в рассматриваемом частном случае, когда s(t) - четная
функция времени, рис. 2.17 дает полную характеристику спеюра:
амплитудную и фазовую.
На рис. 2.18,а и 6 изображены отдельно графики модуля и фазы
спектральной плотности. Каждая перемена знака S(Q) на этом ри­
сунке учтена изменением фазы lj; на угол л..
Физический смысл этой фазовой характеристики поясняется
рис. 2.19, на котором сплошными линиями изображены кемпоненты
спектра с частотами из первой области (О< 9;1: < л., lj; (Q) = О) ,
а пунктирными - из второй области (л. < ~ < 2л, lj; (Q) = л) .
53


Необходимо отметить, что на рис. 2.19 амплитуды показаны в бес­
конечно увеличенном масштабе.
На рис . 2.20 показана спектральная плотность прямоугольного
импульса (симметричного относительно начала отсчета времени),
которая получается при представлении каждой из составляющих
спектра в виде суммы положительной и отрицательной частот
[см . формулу (2 .15)] .
S(QJ
Ar
а}
О
1зя
1
ф{Q)
1
1
1
1
ЗJТ -----j------~--- - -----
2JТ ---__1
_
__ ________
1
1Т ---- - -----
о
1Г
2JТ
ЗJТ
Рис. 2.18.
При удлине н ии импульса расстояние между нулевыми значе­
ниями S(Q) (рис. 2.15) сокращается , а начальноезначениеS(Q) (т . е.
при Q = О) возрастает . В пределе, при .-
➔ оо, остается один
скачок s1(t) и с п ектр S(Q) вырождается в спектр S1(Q) скачка при
t = О (рис . 2.15, пунктирная крива я ). При укорочении импульса,
наоборот, точка Q1 = ~, соответствующая первому нулю функции
't
S(Q), удаляется от точки Q = О, а величина S(Q) падает. В пределе,
21t
при .-
➔ О, точка Q1 = - удаляется в бесконечность и спектраль­
't
ная плотность, бесконечно малая по величине, становится равно­
мерной в полосе частот от О до оо .
Определим в заключение спектральную плотность «гауссова
импульса» (рис. 2.21, а), совпадающе го по форме с графиком нор­
мального (гауссова) закона распределения:
t'
s(t)=Ае-2а•
(2.60)
54


t
Рис. 2.19.
Рис. 2.20 .
s(t)
Q
а;
Рис. 2.21 .
ss


Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса,
определяемой на уровне е- 1 /2 = /12 = 0 ,606 от амплитуды им ­
е
пульса . Таким образо м , полная длительность имп у льса 't' и рав­
на 2а.
Применяя выражение (2.38), , получаем
+со t•
S(Q)=Аsе-2а'е-iotdt.
(2.61)
-00
Для вычисления интеграла удобно дополнить пока з атель степени
в подынтегральной функции до квадрата сум м ы :
где величина d определяется из условия
iQt=2·,1~ d,
r2а
откуда
(2 .62)
Таким образом, выражение (2.61) можно привести к виду
+оо (t+d)2
S(Q)=Aed'Jе-Па dt.
-00
t
Переходя к новой переменной х = v .2а + d, получаем
+-оо
S(Q) = Aed' •V2a S е-х' dx.
-00
Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен Vn,
окончательно получаем
(2 .63)
- где
Ь= 1/а, В=V2naA.
График этой функции изображен на рис. 2.21, 6.
Полученный результат имеет важное значение для теории сиг­
налов. Оказывается, что гауссов импу,i!ЬС и его спектр выражаются
одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: •для
56


получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t
на Q. При этом спектральная полоса, определяемая на урсвне е- 112
1
2
4
от максимального значения, равна 2Ь = 2- =
2-=
;;- ,
а коэф-
а
'tи
~и
фициент В = у2л аА.
Соответственно, «гауссову спектру»
_
отвечает гауссов импульс
_
_
t_ '_
ВЬ
b't '
.s(t)=Ае 2(I/b'J = ✓- е--2
21t
21
"
Авь
с длительностью ь и амплитудои = у~ .
(2.64)
(2.65)
Очевидно, что чем меньше длительность импульса 't'~ , тем
шире
спектральная полоса 2Ь.
2.8 . РАСП Р ЕДЕЛЕНИЕ Э НЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧ Е С К ОГО С ИГНАЛА
Если задан сигнал s(t), то интеграл
+оо
Е=ss2(t)dt
(2.66)
-00
представляет собой величину, пропорциональную энергии, выде­
ляемой сигналом (ток, напряжение) в сопротивлении 1 ом.
Эту энергию можно выразить через модуль спектральной плот­
ности сигнала S(Q). Для этого сначала рассмотрим периодическую
функцию Snep(t), образованную путем повторения исходной функции
s(t) с надлежащим образом выбранным периодом Т. По отношению
к этой периодической функции может быть применена формула
(2. 31) для средней за период мощности сигнала:
+со
2
_!__
'-~
2
Sпер(t)= 4 ~Sn,
n=-oo
"
•
S(
"
21t)
причем амплитуда п-и гармоники п с частотои пт
со спектральной функцией S(Q) соотношением (2.41),
Таким образом,
+со
--
1~4(2)
S~ep(t)=4
..;,.
т2S2 nт"' .
n=- OO
ЗВ Зак. 2053
связана
57


Энергия сигнала за период Т, очевидно, равна тs~ер (t)• Сле­
довательно,
У стремим Т к бесконечности и совершим предельный переход
аналогично тому , как это было сделано при выводе выраже-
1
1
2тс
ния (2.36), т. е. положив т ➔ 2it"" dQ, п т ➔ Q и заменив · опера-
цию суммирования операцией интегрирования; получим оконча­
тельно
+оо
оо
Е=limТs;ep(t)=2
1 J[S (Q)]2 dQ = _!_ s[S (Q)]2 dQ. (2.67)
T➔:x:J
7t
1t
-
00
0
Это выражение называется равенством Парсеваля.
В отличие от (2.31) формула (2.67) определяет не среднюю мощ­
ность (которая для любой непериодической абсолютно интегрируе­
мой функции равна нулю), а полную энергию, выделяемую сигна­
лом s(t) за все время его действия.
Из (2.67) отчетливо видно, что [S(Q) ]2 есть не что иное, как энер­
гия сигнала, приходящаяся на 1 герц при текущей частоте Q. Ины­
ми словами, [S(Q) ]2 является спектралыюй плотностью энергии
сигнала s(t) .
Вид функции [S(Q) ]2 позволяет судить о распределении энер­
гии в спектре непериодической функции, и поэтому формула (2.67)
может быть использована для выбора полосы пропускания электри­
ческой цепи, обеспечивающей достаточно полное использование
энергии сигнала. В частности, при действии сигнала s(t) на фильтр
нижних частот с затуханием, равным нулю в полосе частот от О
до Q1 и равным бесконечности вне этой полосы, энергия на выходе
фильтра равна
+оо
+о,
+о,
s[Sвых(t)]2 dt = 21тс s[S (Q)]2 dQ = ~ s[S (Щ]2dQ, (2.68)
-оо
-9,
О
где Sвых (t) - сигнал на выходе цепи.
2.9. ЕДИНИЧНЫЙ ИМПУЛЬС [ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ)
В § 2.7 уже отмечалось, что независимо от формы импульса вели­
чина его спектральной плотности при частотах, примыкающих
к нулю, равна площади импульса . Можно поэтому написать сле-
58


дующее приближенное· равенство, справедливое дю1 частот Q от
Q = О до некоторой гран~rчной частоты Q = [Ъ:
+оо
S (Q) = J s (t) df=площадь импульса.
(2.69)
-00
Граничная частота Q1 зависит от длительности импульса. Чем
короче импульс, тем выше эта частота Q1. Очевидно, что при
устремлении длительности импульса -i- к нулю верхняя граница
равномерности спектра устремляется к бесконечности . Если при
укорочении импульса поддерживается неизменной его амплитуда,
то модуль S(Q) уменьшается.
-
оr
t
t
t
aJ
IJ)
Рис, 2.22 .
Рассмотрим теперь импульс , площадь которого при уменьшении
длительности сохраня.ется неизменной. Это возможно, если ампли­
туда импульса обратно пропорциональна его длительности. Три
примера подобных импульсов изображены на рис. 2.22 .
На рис. 2.22, а показан прямоугольный импульс с длительно­
стью, равной 't, и амплитудой, равной 1/-i -.
Площадь такого импульса
равна единице.
Аналогично и для экспоненциального импульса (рис. 2.22, 6)
площадь под экспоненциальной кривой
равна
1 _!,
s(t)= - е
"
't
Для третьего («гауссова») импульса (рис. 2.22, в) площадь (при
амплитуде, равной единице) равна
+оо f2
+оо
s е-2"2 dt = \/'2-r s е-у'dy = v2.Vn.
-оо
-оо
ЗВ*
59


Для того, чтобы площадь импульса равнялась единице, ампли-
1
туда его должна быть ✓- -, каJ< это и обозначено на рис. 2.22, в.
21t--c
При устремлении • к нулю амплитуды всех трех рассмотренных
импульсов устремляются к бесконечно большой величине, но пло­
щади остаются неизменными и равными единице.
Импульс, обладающий у1<азанными свойствами, называется
единичным импульсом или дельта-функцией
(а также функцией Дирака) и обозначается в виде функции б(t).
Эта функция может быть определена следующими равенствами:
o(t)=Оприt<О, )
<')(t)=lim~ =оопри О<t< ,:,
,;-,..о 't
o(t)=оприt> ,:.
(2. 70)
Кроме того, так как по условию площадь такого импульса равна
единице, имеет место следующее равенство:
+с.о
Jо(t)dt= 1.
(2. 71)
-с.о
Дельта-функция обладает рядом интересных свойств.
Одним из них является равноr,.ерность спектра дельта-функции
в пределах - со< ffi < + со. Хотя это свойство вытекает не­
по"средственно из описанного в начале данного параграфа способа
получения единичного импульса (укорочение длительности), най­
дем спектральную плотность формально, с помощью общего выра­
жения 1 (2.38):
+с.о
S(ffi) = J o(t)e-iшtdt =
-с.о
+оо
+оо
= j'о(t)cosffitdt-i Sо(t)sinffitdt.
(2.72)
-00
-оо
Так как по определению функция о (t) равна нулю на всей оси t,
кроме точки t = О (где она бесконечно велика), то из первого ин­
теграла может быть вынесен постоянный множитель cos ffif/t=o = 1,
1 В дальнейшем угловая частота обозначается через w (а не Q), I<роме
специально оговоренных случаев, когда речь идет о передаваемых сооб­
щениях.
60


а из второго - множитель sin cot/1=o = О. Учитывая выражение
. (2.71) , получаем 1
+оо
S(co)= S б(t)dt= 1 при -оо<со<+ ·оо. (2.73)
-со
Можно, очевидно, и б (t) представить в виде обратного пре­
образования Фурье от S (со)= 1:
+со
+со
б(t) = _!__ r s(со)ei"'1dco = __!_ s eiwl dco.
21t .J
21t
(2.74)
-со
-со
В дальнейшем такой ·способ определения дельта-функции будет
часто применяться.
Итак, модуль спектральной плотности дельта-функции б(t)
равен единице, а фазовая характеристика - нулю для всех частот.
Это означает, что все гармонические составляющие единичного им­
пульса, суммируясь с нулевыми начальными фазами , образуют пик
бесконечно большой величины в момент t = О.
Аналогично функция б(t - to), определяющая единичный им­
пульс в момент t0 , обладает спектральной плотностью S(co) =
e-iwt,.
Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а фа-
зовая характеристика t (со) = coto.
Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектраль­
ном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см. (2.67) ],
которое при S(co) = 1 обращается в бесконечность. При временном
рассмотрении это следует из того, t/то энергия импульса, пропор­
циональная квадрату его амплитуды (т. е. величине 1/-.
2) и первой
1
степени длительности т, с укорочением импульса растет как-. При
.
~
т ➔ О энергия бесконечна велика.
1
Понятие единичного импульса особенно широко используется !
при исследовании действия коротких импульсов на линейные си­
стемы. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального им­
пульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала .
Достаточно, чтобы длительность импуiьса была мала по сравнениюv'
с постоянной времени исследуемой системы (или по сравнению с пе­
риодом собственного колебания системы).
Дельта-функция б(х) (причем х - не обязательно время) ши­
роко используется в различных задачах, где анализируется смесь,
состоящая из непрерывной и дискретной величин.
1 Исполь з ованный здесь прием основан на «фильтр у ющем» свойстве
дельта-функции (термин, используемый в математике): умножение любой
подынтегральной функции f (t) на о (t - t 0 ) позво л яет зафиксировать значе­
ние f (t) в момент t = t 0 . Действительно,
+со
+со
5 f(t)o(t-to)dt =f(to) 5 o((-to)dt=f(to).
-00
-00
61


Пусть, например, рассматривается сумма двух сигналов: им­
пульсного s1(t) и монохроматического s2(t) = А о cos шоt.
Найдем спектральную плотность суммарного сигнала
S(t)= S1(t)+S2(t).
Подставляя формально s (t) в выражение (2.38), получаем
+оо
+оо
S(ш) = J [s1 (t)+s2 (t)Je-i"'1 dt=S1 (ш)+ J s2 (t)e-i "'1 dt. (2.75)
-оо
-00
Слагаемое S1(ш), отображающее сплошной спектр ограниченного
во времени сигнала s1(t), находится без каких-либо затруднений.
Второй же интеграл не может быть вычислен, так как функция
s2(t) не является абсолютно интегрируемой (см. § 2.5). Восполь­
зуемся поэтому следующим приемом. Подставив во второй интеграл
s2(t) = Ао cos ш 0 t, можем написать:
+оо
+оо
-
JS2(t)e-ioot dt= А0 Scosш0te-ioot dt =
-оо
-оо
+оо
+оо
= А2о se-i (00-000) t dt+10 sе-i(оо+оо,) tdt.
-оо
-оо
Сопоставим это выражение с (2.74).
Из последнего видно, что
+оо
S eiool dш = 2по (t).
-оо
С таким же основанием можно написать
+оо
s e-iыl сfш = 2nO (f),
-оо
(2.76)
(2.76')
поскольку величина интеграла определяется первым слагаемым
выражения e±ioot = coswt ± i si n шt. (Второе слагаемое, как не­
четная функция аргумента, дает при интегрировании в предеs
лах - со, + со нуль независимо от знака перед sin шt).
Следовательно, в силу взаимозаменимости переменных ш и t
(см. § 2.7), можно написать:
+оо .
+оо
Se-io,Idt= S eiooldt= 2по(ш),
-оо
-оо
+оо •
(2.77)
Sе-i(o, 'F 000)1dt= 2по(ш+Шо)-
-оо
62


Можно поэтому выражение (2. 75) записать в сJJедующей форме:
S (ffi) = S1(ffi) + А0 :rtб (ffi -ffi0) + А0 :rtб (ffi + ffi0).
Итак, монохроматическому колебанию А 0 cos ffio t соответствует
спектральная плотность
S2 (ffi) = А0 :rt [O(ffi -ffi0) + О (ffi + ffi0)].
(2.78)
Эта функция равна нулю для всех частот, кроме ffi = ffio и ffi - -ffi0 , ,
при которых S2 (ffi) обращается в бесконечность, Как и следовало
IJJ
1
А\
t
о\t
aJ
6)
1
trAo б(w+(ц)JI
л-А0 б(w·и.!~I
/
5t(cv) 1
'')&('
-tLlo
О
Wo
;;;
о
1.1.)
Рис. 2.23 .
ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соот­
ветствует дискретный спектр, состоящий из двух спектральных
линий при частотах ffio и -ffio.
Если к выражению (2. 78) применить обратное преобразование
Фурье (2.39}, то получится
+}:О (ffi + ffio) eirot dffi] = ~о [ei"', 1 + e-iro,I] = А0 COS ffio t,
т. е. исходное гармоническое колебание.
Приведенные выше соотношения поясняются рисунком 2.23.
На рис. 2.23, а изображены два сигнала: с конечной длительностью
s1(t) и гармоническое колебание s2(t) = А о cosffiof, а на рис. 2.23, 6
63


соответствующие им спектры S 1(ro) и S2(ro). Последний состоит из
двух спектральных линий лАоб(rо ± roo) . На рис. 2.23, в показана
смесь из двух сигналов: того же импульса s1(t) и единичного им:
пульса s2(t) = б(t). Этой смеси соответствуют два сплошных спектра
(рис. 2.23, г): S 1 (ш), такой же, что и на рис. 2.23, б, и равномерный
спектр S2(ro) = 1.
Заметим, что вопрос о спектре рассмотренного в § 2. 7 еди­
ничного скачка [выражение (2.52) и рис. 2.13] леrко разрешает­
ся с · помощью · выражения (2. 77) . Действительно, для показанной на
-
1
1
рис. 2.13 функции s1(t) = const = 2 имеем : Ао = 2; ffio = О. Сле-
дователiэно, по формуле (2.78): ·
1
S(ш) = 2 •2лб (со)= лб (со).
Распространив соотношение (2. 78) на все гармоники любого
периодического сигнала
00
s(t) = А0+~Апcos(псо1t- 'Фп),
n=I
мы МQЖем ввести понятие спектральной плотности периодиче­
ского сигнала в виде суммы дельта-функций:
S(со)= А0•2лб(со)+ А1л[e-i<JI, о(со - со1) + ei<Ji, о (со + со1)] +
+ А2 л [e-i<JI, о (со-2ш1) + ei<JI, о (со +2ш1)] +
+ ....... '
........
+
+ А11 л [e-i<Jin б (со -псо 1) +еiч•п б (со+псо 1)] +
+...............
(2.79)
2.10. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайные сигналы можно разделить на дискретные и непре­
рывные.
Дискретным называется сигнал, который может принимать лишь
одно из конечного числа фиксированных значений (уровней) . Каж­
дому уровню соответствует своя вероятность Р 1 • Так как сигнал
должен принять одно из возможных значений, то сумма всех ве­
роятностей
(2.80)
Непрерывным называется случайный сигнал s, который может
принимать любое значение в определенном интервале уровней.
Вероятность того, что непрерывный случайный сигнал примет ка­
кое-либо дискретное значение, бесконечно мала . Можно говорить
лишь о вероятности попадания s в какой-либо конечный интервал


s1 < s < s2. Эта вероятность («интегральная») определяется сле­
дующим образом {рис. 2.24):
s,
Р(s1<s< s2) = Jр(s) cls.
(2.81)
s,
Функцияp(s)характеризуетдифференциальный за­
конраспределения вероятностей. Этуфункцию
называют плотностью вероятностей непрерывной
случайной величины s.
P(S)
s
Рис. 2.24.
При любом непрерывном распределении должно выполняться
равенство, аналогичное равенству (2.80):
5 макс
Sр(s)ds = 1,
(2.82)
5мнн
где Sмин и SмaI<c - нижняя и верхняя границы возможных значе­
ний s.
В качестве примера, поясняющего связь между видом случай­
ного сигнала и распределением вероятностей, рассмотрим дискрет­
ный сигнал, полученный из непрерывного путем «квантования»
его на определенное число фиксированных уровней. В качестве
непрерывного сигнала возьмем гармоническое колебание
s(t)=А0cos(wt- ·ф),
(2.83)
у которого Ао и w - постоянные (и известные) параметры, а t -
случайная величина, с одинаковой вероятностью принимающая
любое значение в интервале от О до 2л.
Если отсчет производится в какой-либо момент времени t1 , то
ордината s(t1) является случайной величиной, заключенной в ин­
тервале от Sыин = - Ао ДО Sма1<с
=
+ Ао (рис. 2.25).
Допустим теперь, что общий интервал значений функции разбит
ва 10 интервалов. Каждому щпервалу соответствует свой уровень
65


(взятый посередине интервала); таким образом, регистрирующее
устройство располагает 10 уровнями, один из которых имеет место
при попадании s(t 1) в соотчетствующий интервал значений s(t).
Первый уровень приравнивается - 0,9 Ао, второй - 0,7 Ао и т. д.
Таким образом, случайная величина непрерывного типа s передается
с помощью 10 дискретных уровней. Каковы вероятности Р (уров­
ня 1), Р (уровня 2) и т. д. каждого из этих уровней?
+А,,---+--·----+---------- 8
7
.,,.....____________
_
_
__, __
Б.
~
------ -
--------
- -- --------------
----
--- -
-
--- ------ - -- -
-----
Рис. 2.25.
5t
4
J
z
В соответствии с выражением (2.81) имеем (для простоты по­
ложим Ао = 1):
- 0,8
Р (уровня 1) =P(- 1,0<s<-0,8) = J p(s)ds,
- 1,0
- 0,6
Р(уровня2) =Р(-0,8<s<- 0,6) = Jр(s) t7S,
-0,8
1,0
Р(уровня 10)=Р(0,8<s<1,0)= .)р(s)ds.
0,8
Для вычисления вероятностей различных уровней требуется
знание плотности вероятностей исходной случайной величины s,
определяемой выражением (2.83).
Выделим интервал s, s + ds (рис. 2.26) и составим выражение
для вероятности p(s)ds того, что сJiучайная величина
s (t1) = Ао cos ((()t1 - 'Ф),
(2 .83')
66
<.D
<.D


получающаяся при измерении s в момент t1 , попадет в этот интер­
вал. Для того чтобы это событие свершилось, необходимо, чтобы
момент отсчета t1 попал в один из двух заштрихованных на
рис. 2.26 фазовых интервалов. Обозначив аргумент косинуса
wt1 - 'Ф через
~.
т . е. полагая, что
s=А0cos~.
приходим к выводу, что искомая вероятность p(s)ds совпадает
с вероятностью попадания ~ в один из двух заштрихованных участ­
ков на оси абсцисс (рис. 2.26).
s (f)
wt
Рис. 2.26.
Эта последняя вероятность равна 2p(~)d~,
где р(~) - плот­
ность вероятностей случайной величины ~ - Так
как фаза ,р равно­
вероятна в интервале О - 2:п:, то и ~ также равновероятна в этом
интервале.
Следовательно,
(2.84)
l!
2
р(s)ds = 2р(~)cl~ = :Zrtd~,
откуда искомая функция будет
11
р(s)=п•1~1•
Но
Таким образом, окончательно,
(2.85)
67


График этой функции изображен на рис. 2.27.
Заметим, что одномерная плотность вероятностей гармонического
колебания со случайной фазой совершенно не зависит от частоты ro.
Основываясь на выражении (2.85), нетрудно вычислить вероят­
ности Р (уровня 1), Р (уровня 2) и т. д. в приведенном выше
примере.
Результаты вычислений при ведены в следующей табл'ице:
Уровень ...
.1
1l2Iз141sIб11\s\9110
1
Вероятность .
1
p(S)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
_,
1
7То
-1
о
5/Ао
Рис. 2.27.
..
Используемые в радиотехнике непрерывные случайные сигналы
обычно являются суммой большого числа гармонических колебаний,
амплитуды и фазы которых либо совершенно независимы, либо сла­
бо связаны между собой.
Возникает вопрос: каково распределение вероятностей подоб­
ного сигнала?
Ответ на этот вопрос дается центральной предельной теоремой
теории вероятностей, которая утверждает, что распределение вероят­
ностей для суммы независимых случайных величин с ростом числа
слагаемых стремится (независимо от законов распределения слагае­
мых) к нормальному (гауссову) закону:
-(х-х) 2
р(х)=-~.е
2а•
Jf2;i; а
(2.86)
Здесь х - среднее значение, а 2 = (х - х) 2 - дисперсия (среднее
значение К)Задрата функции (х -х), равная сумме ДИСПерСИЙ сла­
гаемых случайных величин .


Применительноксигналамтипастационарноrо слу­
ч айного процесса, т . е. процесса , статистические параметры кото­
рого не зависят от времени, х имеет смысл постоянной составляю ­
щей, а а 2 - средней мощности сигнала (флуктуации). 1
Иными 'словами, если x(t) является стационарным случайным
процессом, то его средняя мощность может быть определена следую ­
щим выражением (предполагается, что среднее значение х равно
нулю):
+~2
Jх2(t)dt,
т
(2.87)
Графики нормального закона распределения для некоторых
значений а изображены на рис. 2.28.
/)(.Х)
.
r-r
Рис. 2.28.
Основываясь на центральной предельной тео2.еме, приходим
к следующему важному положению: во всех случаях, когда рас­
сматриваемый сигнал . явл·яется суммой . большого числа взаимно
независимых (по амплитудам и фазам) гармонических колебаний,
распределение его близко к нормальному.
Нормальный закон распределения случайных величин чаще
других встречается в природе. Он очень удобен для анализа. По­
этому случайные процессы, раепределение которых не слишком
сильно отличается от нормального, часто заменяют нормальным
процессом .
1 Стационарные случайные процессы обладают свойством эрг од и ч­
н о ст и, заключающи t,rся в том, что усредне ние случайной величины по си ­
стем;аы (по ансамблю) эквивалентно усреднению по времени в пределах одной
реализации .


Некоторые другие законы распределения, с которыми прихо­
дится иметь дело при преобразовании сигналов в различных цепях,
линейны х и нелинейных, будут рассмотрены в соответствующих
главах второй части.
2.11 . ШУМЫ
Наибольшим приближением к стационарным случайным про­
цессам с гауссовым распределением являются «шумы», обуслов­
ленные атомистической структурой материи и электричества. Как
уже отмечалось ранее, шумовые помехи, неизбежные в любом радио­
электронном устройстве, определяют верхний предел скорости пе­
редачи информации при заданных параметрах полезного сигнала.
Изучение информационных свойств сигналов неотделимо поэтому
от изучения структуры шумов.
В радиоэлектронных устройствах имеются два основных источ­
ника шумов: дробовой эффект в электронных приборах и тепловое
движение свободных электронов в проводниках электрической
цепи.
Рассмотрим сначала шумы дробового эффекта. С этой целью обра­
тимся к изучению структуры, например, анодного тока электронной
лампы. Этот ток представляет собой совокупность импульсов, каж­
дый из которых обусловлен переносом заряда одного электрона.
Так как моменты выхода электронов из катода могут рассматри­
ваться как случайные и взаимно независимые, то образуемый всеми
отдельными импульсами результирующий ток i(t) представляет
собой случайный процесс. Мгновенное значение i(t1) в какой-либо
фиксированный момент времени t1 может быть любой величины
(в определенном интервале значений, зависящем от параметров
лампы и цепи). Из этого следует, что i(t1) нужно рассматривать как
случайную величину, характеризуемую непрерывным распределе­
нием. Плотность вероятностей этого распределения будем обозна­
чать через p(i).
Итак задача сводится к отысканию закона распределения для
функции i(t), являющейся суммой одинаковых по форме и вели­
чине, но сдвинутых по времени появления импульсов.
Положим, что за время Т, достаточно большое по сравнению
с длительностью пролета электрона 'te, с катода лампы вылетает К
электронов. В этом случае суммарный ток в момент t можно пред­
ставить в виде суммы:
к
i(t)= ~ie(t-tk),
k=l
(2.88)
где ie(t) - импульс тока, создаваемого в анодной цепи электро­
ном, вылетевшим в момент t = О, а tk - момент вылета k-го элек­
трона. Эти моменты практически можно считать случайными и равно­
вероятными в интервале О, Т . Определим прежде всего среднее
10


значение (постоянную составляющую) анодного тока с помощью
следующего очевидного выражения:
(2.89)
Меняя местами порядок интегрирования и сумм-r1рования и учиты­
вая, что независи м о от момента вылета электрона
т
Jie(t-tJ dt=e,
о
где е - заряд электрона , получаем
к
10=limf~е=еlimi =еК,1•
Т➔оо k=I
Т➔оо
Здесь
К,1 = lim;
т➔оо
(2.90)
(2. 91)
(2.92)
представляет собой среднее за единицу времени число электронов.
Итак, анодный ток можно представлять себе в виде случайного
процесса, образованного флуктуациями мгновенного значения от­
носительно среднего значения I O = еК1 . При этом существенно,
чт~ в любой момент времени ток i(t) является суммой очень боль­
шого числа перекрывающихся импульсов ie(t - tk), так как средняя
длительность интервала между моментами вылета электронов, рав-
1
ная Ki' во много раз меньше длительности пролета электрона 'te,
Это видно из сопоставления следующих цифр.
При токе I о, равном всего лишь 1 ма, средняя длительность ин­
тервала в соответствии с формулой (2.91) равна
_!_ =
_:__ =
! ,6 -10-19 = 1 6-1O-1в
.К
1
-з
'
сек,
1
о
•10-
(заряд электрона е = 1,6· 10-19 к).
В то же время длительность импульса 'te , зависящая от геометрии
лампы и от напряженности электрического ноля в междуэлектрод­
ных промежутках, составляет величину порядка (1 --:- - 10) х
х 10-10 сек. · Таким образо м , за пролетное время 'е из катода выле­
тает несколько миллионов электронов. Учитывая случайность
моментов вылета tt; , мы можем считать, что в любой момент времени
i(t) является су ммой огромного числа независимых случайных ве­
личин ie(t - tk),
При эти х условиях полностью применима центральная предель­
ная теорема (см . § 2.10), и мы можем определить плотность вероят-
71


ностей электронного тока выражением вида (2.86), в котором под
х с.r1едует подразумевать среднее значение тока ! о.
Таким образом
-(i-/0) 2
(2 .93)
Дисперсия cr7 представля ет собой средний квадрат, а cr1 - эф­
фективное (среднеквадратичное) значение флуктуационной состав-
.
ч
2
ляющеи анодного тока. асто под ai подразумевают среднюю мощ-
ность, выделяемую флуктуациями анодного электронного тока
в омическом сопротивлении, равном 1 ому.
На рис. 2.29 график плотности вероятностей p(i) для случайной
величины i совмещен с графиком функции тока i(t), флуктуирую­
щего относительно среднего значения / о.
Плотность вероятностей p(i) характеризует вероятность
p(i)Лi того, что случайная величина i принимает одно из значении
в интервале от i до i + Лi. На основе заданной функции p(i) можно
в соответствии с известными положениями теории вероятностей
найти все моменты распределения случайной величины i 1 .
1 В теории вероятностей доказываются следующие положения. Среднее
статистическое значение случайной величины х («первый момент)) или «ма­
тематическое ожидание)))
+со
х= Sхр(х)dx.
-со
Среднее значение квадрата случайной величины («второй момент)))
+оо
(2. 94)
х2= Sх2р(х)dx.
(2.95)
-со
Сред н ий квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значе­
ния (ди с персия)
а;= (х -х)2.
Последнее соотношение может быть приведено к виду
а;=х2- 2хх+(х)2•
Учитывая, что 2~ = 2 (х)2 , получаем
а;= х2 -(х)2.
(2.96)
(2. 97)
В этих выражениях черта над случайно(~ величиной обозначает усред ­
нение по системам (по ансамблю). Это нужно понимать следующим образом:
повторяя много раз случайный процесс х (t) и определяя каждый раз зна­
чение х = х (t1 ) в фиксированный момент t 1 , полу,шм последовательность
независи мых случайных величин х.
Усреднение х и х 2 по указанным процессам (реализациям) при числе
испытаний , стремящеi11ся к бесконечности, приводит к выражениям (2. 94) -
.
(2 . 97).
Отмеченное в предыдущей сноске (на стр . 69) свойство эргодичности
стационарных процессов позволяет применять выражения (2.94)- (2.97)
для определения средних (по времени) значений тока, мо щности флуктуа­
цийит.д.
71


Итак, закон распределения p(i) позволяет полностью охарак­
теризовать флуктуацию анодного тока с количественной стороны
(интенсивность, убывание вероятности пребывания i в интерв·але
Лi при удалении пос,леднего от / о , вероятность превышения флук-
о
t
Рис. 2.29 .
туацией определенного уровня и т. д.) . . Однако функция p(i)
ничего не говорит о характере изменения случайного процесса i(t)
во времени. Эта сторона может бь1ть в некоторой степени охарак­
теризована с помощью спектральной функции или с помощью кор­
ре.11яционной функции процесса (§ 2.12-2 .13).
-
р(ищ)
о
I.Jш
Рис. 2.30.
Обратимся теперь I< вопросу о законе распределения тепловых
шумов. Тепловое движение свободных электронов в проводниках
вызывает микротоки, которые создают на зажимах цепи флуктуа­
щюнное напряжение. Это напряжение складывается из очень боль­
шого числа импульсов, обусловленных движением отдельных элек­
тронов. Поэтому , как и в случае дробового эффекта, шумовое на­
пряжение теплового движения электронов является стационарным
7Э


случайным uроцессом с нормальным законом распределения вероят­
ностей. То обстоятельство, что отдельные импульсы неодинаковы
(из-за различия в направлениях движения электронов, а также
в длинах свободного пр обега), не нарушает условий применимости
центральной предельной теоремы. Некоторое отличие от дробового
шума заключается в отсутствии постоянной составляющей (среднее
значение равно н ул ю).
•
График функции р (иш), где иш - шумовое напряжение, по­
этому имеет вид, показанный на рис . 2.30 , а выражение для р(иш)
2
Иш
--
2
2ou
(2.98)
В данном случае а~ - дисперсия шумового напряжения иш,
имеющая смысл мощности, выделяемой этим напряжением в сопро­
тивлении l ом.
2.12. СП ЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦ ЕССОВ
В данном параграфе рассматриваются спектральные характе­
ристики стационарных случайных процессов.
Говоря о спектральной характеристике, следует иметь в виду,
что ни ряд Фурье, ни интегральные преобразования Фурье к слу­
чайным процессам не применимы. Невозможно определить спек­
тральную плотность S(ш) для функции, соответствующей, например,
долго передаваемой речи. Само понятие спектральной плотности
в смысле определений, данных в § 2.5, по отношению к случайным
сигналам теряет свой смысл.
Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности средне­
го (по времени) квадрата случайной функции s(t). Если под случай­
ной функцией s(t) подразумевается электрическое напряжение
или ток, то средний квадрат или дисперсию этой функции можно
рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивле­
нии l ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой по­
лосе, зависящей от механизма образования случайного процесса
и от формы частотной характеристики цепи, через которую пропу­
щен данный процесс. Спектральная плотность дисперсии представ­
ляет собой, очевидно, среднюю мощность, приходящуюся на l гц
при заданной частоте ш. Введенную таким образом спектральную
плотность W(ш) в дальнейшем будем называть э не р г е т и ч е­
е к им сп е кт р ом функции s(t). Смысл та~юго названия вы­
текает из размерности функции W(ш), являющейся отношением
мощности к полосе частот:
[W (ш)] = [ мощность ] = [мощность х время] = [энергия].
полоса частот
Энергетический спектр может быть найден, если известны пара­
метры отдельных составляющих, из которых _ образуется рассма-
74


триваемый случайный процесс. · Наиболее просто этот вопрос ре­
шается для стационарного процесса, представляющего собой на­
ложение одинаковых импульсов, хаотически распределеннъ1х во
времени . Примером подобного процесса является рассмотренный
в предыдущем параграфе «дробовой шум».
В случае электронного тока отдельные импульсы, обусловлен­
ные переносом заряда электрона, имеют одинаковую форму и ам­
плитуду. Случайны только моменты вылета электронов из катода,
т. е . положение импульсов тока во времени. Поэтому считаем, что
известны модули спектральной плотности элементарных импульсов,
но неизвестны их фазовые характеристики, зависящие от моментов
вылета электронов.
Напомним, что в § 2.5 была установлена связь между спектрами
одиночного импульса и периодической последовательности импуль­
сов. К «шуму», длящемуся при - оо < t < + оо, полученные там
соотношения непосредственно применить нельзя. Можно, однако,
воспользоваться следующим приемом .
Рассматривая шум в виде случайной функции i (t), длящейся
от t = -со до t = + со, выделим достаточно большой интервал
т+т
u
u
-
2,2
, внутри которого при однои
из реализации шума
имеется точно К импульсов.
Считая теперь Т периодом повторения выбранного «отрезка
шума», получаем периодическую функцию с дискретным спектром,
содержащим частоты п ~",
где п = О, 1, 2 .. . Можно определить
среднюю мощность любой из гармоник этой периодической функции.
С этой целью выделим один из импульсов i,(t - ti,), соответствую­
щий k-му электрону, вылетающему с катода лампы в МQмент tk,
и запишем спектральную плотность для этого импульса в виде
Gk(ш) = G(w)e-iшtk= G(w) e-il\
где G(w) - спектральная плотность импульса от электрона, выле­
тающего из катода в момент t = О.
Очевидно, что для всех импульсов, независимо от моментов их
вылета, модули спектров одинаковы и равны G(w). Фазы же ~k яв­
ляются случайными величинами, равновероятными в интервале
О- 2л.
•
При периодическом повторении отрезка шума выбранный им­
пульс i,(t - tk) образует свою периодическую последовательность
с дискретным спектром, в котором п-я гармоника с . частотой
п~ имеет амплитуду, равную ;о(п~) [см. § 2.5, формулу (2.41) ].
Средняя мощность этой гармоники (при протекании тока через
омическое сопротивление в 1 ом) равна
_!__[~о( 2тс)]2
2ТпТ
'
(2.99)
Очевидно, что эта мощность не зависит от фазы ~k •
75


Для любого другого электрона из интервала Т, выбранного
в качестве периода повторения, получается такое же значение средне-
u
2;,: Д
К
го квадрата гармоники с частотои п Т" ля рассматриваемых
электронов получим суммарное значение среднего квадрата п-й гар­
монию~
(2.100)
Отнесем эту мощность 1< частотному интервалу между соседними
ЛF1
"
гармониками, т. е . к полосе частот
= Т' и наидем величину
среднего квадрата анодного тока, приходящуюся на 1 гц:
(2.1О1)
Устремляем теперь Т ➔ со и тем самым переходим от дискрет­
ного спектра, возникшего из-за периодического повторения конеч­
ного отрезка шума, к сплошному спектру, соответствующему исход­
ному рассматриваемому шуму, длящемуся от t =
-
оодо t= +оо.
При этом
1• ( 2;,:)
1m пт,=ш
т➔оо ' '.
-
текущая частота спектра, а
l•к/(
imт=1
Т➔ 00
-
среднее за 1 сек число электронов [см. (2.92)].
Таким образом, выражение (2.101) принимает вид
W(ш) = 21(1[G(ш)]2.
(2.102)
Как и следовало ожидать, энергетический спектр W(ш) полно­
стыо определяется спектром G(ш) отдельных импульсов, образую­
щих случайный процесс. Очевидно, что при суммировании средних
квадратов отдельных гармонических составляющих (от различных
импульсов) случайные их фазы роли не играют, и в соответствии
с формулой (2.102) W(ш) определяется квадратом модуля G (ш)
спектральной плотности элементарного импульса и средним за
1 сек числом К1 этих импульсов.
В § 2.8 уже отмечалось, что [G( ш) ]2 есть спектральная плотность
энергии импульсного сигнала. Так как /(1 есть не что иное, как
средняя частота появления импульсов, то произведение 2К1G(ш) 2
имеет смысл и · размерность спектральной плотности мощности
(дисперсии) случайного процесса.
Из определения энергетического спектра W(ш) как средней мощ­
ности в полосе 1 гц вытекает, что средний квадрат случайной функ-
76


ции (в данном случае флуктуации электронного тока) может быть
выражен через W(w) следующим образом:
00
00
cr2 = j'W(2nf)df= 2
~ JW(w)dw.
(2.103)
о
о
В данном случае интегрирование производится только в об­
ласти положительных частот, поскольку при определении W(w)
средняя мощность п-й гармоники вычислялась в соответствии
с формулой (2.30), в которой суммирование ведется по положитель­
ным значениям п.
Используем полученные соотношения для рассмотрения анод­
ного тока электронной лампы.
Прежде всего найдем модуль спектральной плотности импульса
тока, соответствующего переносу заряда одного электрона.
Ввиду малой длительности импульса спектральная плотность
G(w) в области не слишком высоких частот (отвечающих условию
wт. « 1) в соответствии с § 2.7 равна площади импульса. А так как
площадь импульса равна заряду эле1прона [см. (2.90) ], поJiучаем
'е
G(w)= .\iedt=е.
о
Подставляя это выражение в (2.102), находим:
W(w) = 21(1е2
или, с учетом (2.91),
W(w) = 2е/0.
(2.104)
(2.105)
Следует иметь в виду, что выражение (2.105) справедливо в об­
ласти частот от О до некоторой наивысшей частоты, при которой
еще выполняется условие
W't'e (< 1,
где .-.
-
длительность импульса. При более высоких частотах па­
дает величина G(w), а следовательно и W(w) (рис. 2.31).
Итак, чем меньше длительность импульсов, образующих слу­
чайный процесс, тем шире энергетический спектр процесса. В пре­
деле, при стремлении длительности импульсов к нулю, энергети­
ческий спектр процесса становится равномерным для всех частот
O<w< оо.
Стационарный вероятностный процесс с равномерным энергети­
ческимспектромназываетсябелым шумом.
В технике под белым шумом часто подразумевают гауссов шум
со спектром, равномерным в заданной (ограниченной) полосе час­
тот.
Отметим, что энергетический спектр W(w), являющийся весьма
важJ-Iой характеристикой случайно.го сигнала, все же имеет более
11


ограниченное значение, чем спектральная плотность S(ш) неперио­
дичес1юго сигнала с конечной энергией (т. е. абсолютно интегри­
руемого). По заданному энергетическому спеI<тру W(ш) нельзя
восстановить исходную функцию g(t) , как это возможно сделать
по заданной спектральной плотности S(ш) для сигналов, которые
можно представить в виде интеграла Фурье. Иначе говоря, для
случайного сигнала возможен анализ функций, но не синтез, что
является результатом исключения фаз всех составляющих спектра
при усреднении их мощности . Обратное преобразование Фурье,
примененное к ir(ш), позволяет найти не самую функцию g(t), а лишь
функцию корреляции для исходной функции g(t) (§ 2.14).
Wfw)
о
Рис. 2.31.
Приведем в заключение известное из физики выражение для
энергетического спектра напряжения теплового шума (теорема
Найквиста), генерируемого сопротивлением R:
W(ш)=4kTR,
(2.106)
где k = 1,38- 10-23 вт-~ек -постоянная Больцмана;
гра ус
Т - абсолютная температура.
2.13. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
• Спектральный подход,
несмотря на свою эффективность, не
всегда является наиболее подходящим для анализа сигналов.
В практике часто возникает необходимость в характеристике, ко­
торая давала бы общее представление об изменении сигнала во
времени без разложения его на гармонические составляющие . По­
добная «временная» характеристика особенно важна для анализа
случайных сигналов и шумов, а также для обнаружения сигналов
в шумах, когда решение о наличии сигнала принимается после сли­
чения смеси сигнал + шум с заранее известной копией принимае­
мого сигнала.
В качестве такой временной характеристики широко исполь­
зует,ся автокорреляционная функция сигнала.
78


Для детерминированного сигнала s( t) конечной длительности
автокорреляционная функция определяется следующим выраже­
нием:
+оо
'Ф(т)= Ss(t)s(t- т:)dt,
(2 . 107)
-00
где т; - величина временного сдвига сигнала .
Из выражения (2.107) видно, что 'Ф (т:) характеризует степень
связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на
величину . -
по оси времени.
Ясно, что функция 'Ф (,) достигает максимума при . -
=О,так
как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой .
При этом
+оо
'ljJ(0)= ,\ s2 (t)dt=E,
(2.108)
-
00
т. е. максимальное значение автокорреляционной функции равно
энергии сигнала .
.С
увеличением т функция 'Ф (,) убывает (не обязательно моно­
тонно) и при относительном сдвиге сигналов s(t) и s(t - т) на вели­
чину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.
На рис. 2.32 п оказано построение автокор р еляционной функции
для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса
(рис. 2.32, а). Сдвинутый на . -
(в сторону запаздывания) сигнал
s(t -
. -) показан на рис. 2.32, 6, а произведение s(t)s(t - т)
-
на рис. 2.32, в. График функции 'Ф (,) изображен на рис. 2.32, г.
Каждому значению .- соответствует
свое произведение s(t) s(t -
,)
и своя площадь под графиком функции s(t) s(t -
,). Численные
значения таких площадей для соответствующих т и дают орди­
наты функции 'Ф (,).
Аналогичное построение для треугольного импульса изображено
на рис. 2.33 .
• Из общего определения автокорреляционной функции импульс­
ного сигнала (2.107), а также из приведенных примеров видно,
что'\\)(,) является четной функцией т. Действительно, величина вхо­
дящего в выражение (2.107) интеграла не изменится, если первый
сигнал сдвинуть по оси времени влево на величину т, вместо того,
чтобы сдвигать вправо второй сигнал. Можно поэтому (2 .107)
записать также и в следующей форме:
+оо
'1.jJ(т:)= J s(t+-r)s(t)dt.
(2.109)
-оо
Для оценки степени связи между двумя различными сигналами
s1(t)иs2(t)используетсявзаимная корреляционная
79


а)
8)
80
lt1 t1+r
lt2 t2 н·
1
1
S(f)S(t-r)
,,
1
1
Рис. 2.32 .
/S
lt
t
11
1z
!
_A}srt-1')
с1/
.··~
Рис. 2.33.
t
..
'i
..
t
...
t
t


ф у н к ц и я, которая определяется выражениями" аналогичными
предыдущим:
+оо
+оо
,Р12 (т)= J s1(t)s2 (t--r:)dt= J s1(t+-r:)s2 (t)dt. (2.110)
-00
-оо
Автокорреляционная функция ,р (,:) является частным
функции ,Р 12 (т), когда сигналы s1 (t) и s2(t) одинаковы .
Построение взаимной
корреляционной функции
для двух сигналов дано
нарис.2.34,а,6ив.К:ак
видно из рис. 2.34, а, один
сигнал является прямо-
угольным, а второй -
треугольным
импульсом.
На рис. 2.34, а изображе­
но исходное положение
(,=0). Площадь под кри­
вой произведения s1s2
пропорциональна заштри­
хованной области. На
рис. 2.34, 6 с11гнал s2 (t-,)
смещен на величину ,
вправо относительно ис­
ходного положения. Пло­
щадь под кривой s1s2 стала
больше, что равносильно
возрастанию корреляцион­
ной функции.
а}
о;
В)
Sz(f}
s, (t)
--'----,
0 i------.s2 (t-rJ
s,(t}
о
Рис. 2.34 .
случаем
t
..
т
На рис. 2.34, в изображена функция ,Р 12 (,). Пик этой функции
получается при значении ,, соответствующем максимуму площади,
перекрываемой сигналами s1 и s2 .
На рис. 2.35, а, 6 и в показаны два гауссовых импульса и соот­
ветствующая им взаимно-корреляционная функция, которая также
является гауссовой.
.
Эта особенность гауссовых импульсов может быть легко установ­
лена путем вычисления 'lj, 12 (,). Пусть сигналы s1(t) и s2(t) опре­
деляются выражениями ;
t'
-
2
s1(t) =
---
е 2а1.
1У~а1
'
4 3~!<- 2053
S1


Тогда ·взаимная корреляционная функция этих сигналов со­
гласно (2.110) равна
1. +soo
{ 1[t2 (t-'t)2]}
'ljJ12 ('t) = -
2тт
ехр--2 2+- 2
-
dt.
а1 а2
а1
а2
-оо
Показатель· подынтегральной функции при помощи «дополнения
до квадрата» можно преобразовать к виду
s1(t)
а,
Sz rtJ
0
0,2
r
Рис. 2.35 .
Второй член получен­
ного выражения не за•
висит от t, поэтому по­
казательную функцию ·
ехр[- ; (v~у]
можно вынести за знак
интеграла,
а остав­
шаяся под интегралом
функция приводится к
выражению А e-.v' dy,
где новая переменная у
и постоянная А равны
У-,Г
-
+-t-
_
1(V-11
r2
а~ а~
А= ✓2а1а2
Уaf+-а~
Учитывая, что
+оо
j' e-v'dy =п,
-оо


окончательно получаем
1
t:.:
-
2. -2-2
а1 +а2
Таким образом, взаимная корреляционная функция двух гауссо­
вых импульсов представляет собой также гауссов импульс, причем
постоянная а12 функции \j) 12 однозначно связана с а1 и а2:
а12 = Vат +а~.
По своим свойствам взаимная · корреляционная функция отли­
чается от автокорреляционной функции.
При т = О взаимная корреляционная функция не обязательно
достигает , максимума. Кроме того, взаимная корреляционная
функция не обязательно является четной (или нечетной) относи­
тельно т.
Рассмотрим теперь · автокорреляционную функцию стационар­
ного случайного процесса s(t), действующего при - oo<t < .+ оо.
Энергия такого сигнала беско нечно велика, и применять выраже.
ния (2.107) и (2.108) не имеет смысла.
Корреляционная функция стационарного процесса определяется
поэтому с помощью следующего выражения:
+'!:.
2
+2:.
2
ss(t)s(t- т)dt=lim т
т➔оо
ss (t+'t) s (t) dt. (2.111)
т
т
.
При • = О получается [см. выражение (2.87)]
т
+2
Jт
(2.112)
Отсюда видно, что 1jJ (О) совпадает с дисперсией (средней мощ­
· ностью) процесса.
Из определения (2 . 111) видно, что ч, ('t) характеризует корре­
ляцию между значениями функции s(t), разделенными интервалом т.
Чем медленнее , «плавнее» , изменяется во времени s(t), тем больше
интервал т, в пределах которого наблюдается статистическая связь
между мгновенными . значениями s(t) и s(t --' т).
4*
83


Если случайный процесс образуется наложением одинаковых
импульсов, беспорядочно расположенных на оси времени, как это
имеет место, например, в случае дробового шума (см. § 2.11), то
«интервал корреляции», или «время корреляции» совпадает с дли­
тельностью импульсов. При значениях . -, превышающих длитель­
ность импульсов, 'Ф (.) = о.
Если шум образуется хаотическим наложением импульсов, дли­
тельность которых бесконечно мала, то и «время корреляции» стре­
мится к нулю. Это означает, что корреляционная функция равна
нулю для всех значений . - =f= О и обращается _ в бесконечность при
..-
=О.
Иными словами, корреляционная функция приобретает
характер дельта-функции o(t). Подобный случайный процесс назы­
вается дельта-коррелированным
процессом или
белым шумом.
_
.
В § 2.12 -мы пришли к понятию белого шу~а, исходя из допуще­
ния, что энергетический спектр W(w) равномерен при O<w< =·
Заметим, что это два различных подхода - спектральный и вре­
менной - к одному и тому же физическому процессу.
Часто пользуются нормированной корреляционной функцией
R(. -), определяя ее следующим образом:
(2.113)
Следует отметить, что корреляционная функция имеет смысл
не только для случайных процессов.
Можно, например, говорить о корреляционной функции периоди­
ческого сигнала, действующего при - =<t< + оо.
При этом для усреднения произведения s(t)s(t -
.-) по времени
нет необходимости совершать предельный переход Т ➔ оо, как это
сделано в выражениях (2.111) и (2.112), где под Т подразумевается
длительность «отрезка» случайного процесса.
В случае периодического сигнала с периодом Т1 достаточно
усреднить произведение s(t) • s(t -
.-) за один период:
+~2
1s
.
'\j)(i-)=-г;_ s(t)-s(t-i -)dt.
т,
-т
(2.114)
Из этого определения очевидно, что для периодического сигнала
s(t) корреляционная функция 'Ф(•) также является периодцческой
функцией. Периодфункции 'Ф (. - ) совпадает с периодом сигнала s(t).
Смысл автокорреляционной функции периодического сигнала
лучше всего проясняется на примере простейшего гармонического
сигнала:
s(t)=А0cos((t)t- <р) =А0cos(J:t- ер)·
84


Примеюrя выражение (2 .114) , получае м :
т,
+-
2
2
1\J('r) = ;: S cos(wt - ер)cos[w(t-
-r)- ер]dt=
т,
-2
т,,
+2
'
А25
=т:
cos(wt - ер)[coswтcos(wt - ер)+ sinw-rsin(wt - ер)]dt=
'
т,
-т
+2:!.
А2
2
-
0 cosw-r S cos 2 (wt-ep)dt +
Т1
т1
--2-
+sinw-r s2 sin(wt - ер)cos(wt- ер)dt .
+..Ii
]
т,
-т
Т1
Первый интеграл равен 2 , а второй - нулю.
Таким образом, окончательно,
А2
1\J(-r) = -; -cosw-r .
(2.115)
•
А2
При-r = О 1\J(О)= Т ,т. е. 1\J(О) есть средняя за период мощ-
ность гармонического сигнала, амплитуда которого равна А 0 .
Заметим, что автокорреляционная функция не дает никакой
информации о начальной фазе сигнала ер.
Иначе обстоит дело со взаимной корреляционной функцией
двух гармонических сигналов с одинаковыми частотами, но со
сдвинутыми начальными фазами .
Пусть
s1(t) = А1 cos(wt - ер1),
S2(t)=А2cos(wt - ер2).
Выполнив вычисления, аналогичные предыдущим , получим
(2.116)
Отсюда видно, что взаимная корреляционная фу н кция для двух
гармонических колебаний (с одинаковой частотой w) зависит от
разности фаз ер1 и ер2.
85


Максимум функции 'ф12('t) получается не при .-
=О(каквслу­
чае автокорреляционной функции), а при
'1'1 -'1'2
't=~ ~-.
"'
(2 . 117)
Рассмотрим еще важный для практики случай двух rармо-
2п
нических сигналов с кратными •частотами w1 = т;_ и W2 = n<u1 =
~
ф
= п -т при n=1,2,3 ..., и начальными
азами <р1 и <р2.
1
•
В этом случае
,i,,, (<) ~ A,:• /cos "'"•,:t: [} cos ((п + l)"', t - (~, Н,))+
+; cos((n- l)w1 t-(<p1 -<р ,))] dt +
+2l2
+sinnw1 1: f [1⁄2 sin((n+l)w1 t-(cp1 +cp 2))+
т,
--2-
+ 1⁄2sin ((п - 1) ~1 t-(<p1 -<р2))] dt.
(2 . 118)
При п =I= 1 все интегралЬJ' обращаются в нуль. Отсюда следует
важное заключение: гармонические колебания с кратными часто­
тами некоррелированы (независимо от начальных фаз <р1 и <р2. :
Это положение является лишь иной формой выражения свойства
ортогональности гармонических колебаний с кратными частотами
(см. § 2.4)1.
.
Для сигнала, представляющего собой периодическую последо­
вательность прямоугольных импульсов (рис . 2.36, а), автокорре­
ляционная функция 'ф (. -) имеет вид, показанный на рис. 2.36, 6.
Каждый из импульсов показанной на рис. 2.36, 6 последователь­
ности совпадает по форме с автокорреляционной функцией оди­
ночного импульса исходного сигнала; следует, однако, иметь в виду,
что в данном случае 'ф (i-) имеет размерность мощности, а не энер­
гии.
Для двух случайных процессов взаимная корреляционная
функция характеризует степень связи. Если рассматриваемые про­
цессы независимы, то 'ф 12 (~-) равна нулю. Это утверждение не имеет
обратной силы. Из того факта, что взаимная корреляционная функ­
ция равна нулю, еще не следует, что сигналы обязательно неза-
Это положение может быть распространено на более общий случай лю­
бых двух неодинаковых частот. Необходимо лишь соответственно опре,1;\е·
лять интервал ортогональности .
86


висимы. Так, например, как отмечалось выше, для двух гармбюt­
ческих колебаний с разными, но кратными частотами '\j) 12 (т) = О
при любых т. Однако, если известны начальные фазы колебаний,
slt 1
а}
Д_fl п ..
оrи
Т,
гт,
t
ЩЛ\Л\Л\•
• -с,.
о
-r"
т,
2т,
r
Рис. 2.36 .
то задание одного колебания полностью определяет второе и, сде­
довательно, эти сигналы не являются независиме1ми.
2.14 . СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕННЫМИ И СПЕКТРАЛЬНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СИГНАЛА
Рассмотрим этот вопрос сначала для непериодического (им­
•пульсного) сигнала.
Основной вывод, который можно сделать из проведенного в пре­
дыдущих параграфах рассмотрения свойств непериодического сиг­
нала, сводится к следующему : чем короче сигнал, тем шире его
частотный спектр.
В практике под шириной спектра сигнала обычно подразумевают
полосу частот, в которой сосредоточена основная доля энергии
сигнала 1 . При такой полосе обычно обе,:шечивается и достаточно
1 Такой подход не является строгим, так как теоретически любой сиг­
нал конечной длительности обладает бесконечно широки м спектром . Дей­
ствительно, из общего определения спектральной плотности (2.38) следует ,
что если функция s (t) отлична от нуля в конечном интервале от t1 до t2 ,
то функция
t,
S(Q)=ss(t)e-iOfdt
t,
является аналитической (и, кром е того, целой) комплексной функцией.
А это означает, что спектр S (Q) ограниченной во времени функции s (t)
может принимать нулевые значения только в изолированных точках
и не может обращаться в нуль на конечном интервале переменной Q (так
как иначе, в силу принципа аналитического продолжения, функция S (Q)
должна была бы равняться нулю при всех значениях Q).
Если отказаться от требования строгости и удовлетвориться условием ,
чтобы в частотном спектре содержалась основная доля энергии сигнала, то
ширина этого спектра определяется приближенным соотношением (2 . 119) .
87


удовлетворительное воспроизведение формы сигнала, хотя в неко­
торых случаях последнее требов_ание заставляет сохранять в спектре·
более высокие частоты, чем это диктуется энергетическими сообра­
жениями.
При грубых оценках в технике принято считать, что произве­
дение соответствующим образом определенной длительности сиг­
нала на «техничес1<ую» ширину спектра близко к единице.
Таким образом,
1
лt~-.'t
(2.119)
Отметим, что это соотношение относится только к управляющему
сигналу (сообщению). К:ак будет показано далее (гл , 4), при нало ­
жении модуляции спектр сигнала может быть во много раз шире,
чем величина, обратная длительности сигнала.
Проверим формулу (2.119) на примере прямоугольного импуль­
са . Величине Лf •,: = 1 соответствует аргумент выражения (2.58),
"
Q,;
2тсдf,;
-
"
б
"
равныи Т =
-
2-
=
:rt, т. е. равныи а сциссе, соответствующеи
первому· нулю спектральной плотности импульса (рис. 2.18, а).
Вычисление, которое нетрудно провести с помощью формулы
"
2тс
(2.68), показывает, что в полосе частот О<~,<- сосредоточено не-
"=
сколько более 90% полной энергии импульса.
--
•Еще одно важное свойство .частотного спектра сигнала конеч­
ной длины заключается в том, что в области достаточно низких час­
тот спектр~льная плотность равна площади сищала независимо от
e:r:o формы. Этот вывод легко сделать из общего выражения (2.38),
устремив в нем Q к нулю. Действительно:
+оо
S(Q) = S ;(t)dt.
9➔0 -00
(2 . 120)
,
Правая часть этого выражения есть не что иное, как площадь
импульса s(t). Под «импульсом» здесь подразумевается любой сиг­
н<1л конечной длительности.
Условие достаточной малости Q сводится к неравенству Qт <{: 1,
где т - общая протяженность отрезка переменной t, на котором
функция s(t) существенно отличается от нуля.
Относительно характера кривой S(Q) можно сделать следующее
заме~rание: функция . S(Q) обращается . при некоторых частотах
в нуль в тех случаях, когда сигнал представляет собой совокуп­
ность одинаковых по форме и величине элементарных сигналов,
сдвинутых один относительно другого во времени. Для прямоугол ь ­
ного импульса пульсирующая форма спектральной плотности S(Q)
объясняется интерференцией спектров двух сдвинутых во времени
скачков (рис. 2.14). Отметим, что и в более общем случае группы из
двух произвольных, но одинаковых сигналов, обладающих моно-
98


тонно изменяющимися функциями S(Q), результирующая сnеI<ТраJIЬ­
ная функция будет также пульсирующей.
Необходимо отметить, что задание модуля S(Q), т . е. амплитуд­
но-частотного спектра, однозначно определяя распределение энер­
гии сигнала по частотам [это следует из равенства Парсеваля
(2.67) ], ничего не говорит о форме сигнала. Пошiостью определяет
сигнал лишь задание S(Q) совместно с фаза-частотной -характерис­
тикой 'ljJ (Q). Эти хараI<Теристики дают как форму, · так и положе­
ние сигнала на оси времени.
Установим теперь связь между автокорреляционной функцией и
спектральной характеристикой сигнала. С этой целью рассмотрим
сначала случай периодического сигнала. Автокорреляционная
функция такого сигнала [см. формулу (2 .114)] ес.ть
+~
2
'Фт,(t)=+ r s(t)•s(t--r)dt,
1J
т,
-2
где Т1 - период повторения.
Представим теперь s (t) и s (t - t) в виде рядов Фурье
[см . (2.3)]
+оо
s(t)=-} ~ A"eino ,t,
n=- oo
+оо
(2.121)
s(t-t)=-} ~ А"е;по ,и-,>.
n=-oo
После перемножения этих рядов подынтегральная функция
s (t) s (t - t) в выражении (2.114) будет представлять собой сумму
слагаемых следующих видов:
_!_А А
;,,011 ,(-11>01u-, ) = J_А2 ;,,о,s,
4n-пе
е
4"е
и
1⁄4Ak,Ameiko ,teim o ,(1-,) при jk j =l= Jm j.
Т1
Т
Интегрирование по времени t в пределах - -2 ; + j слагаемых
первого вида дает
1А2in91t Т
4"е•1,
4В . Зак. 2053
89


а с.hагаемьiх второго и третьего вида - нуль (это неrtосредственно
вытекает из ортогональности гармонических функций с кратными
частотами, см. § 2.4).
Таким образом, выражение (2.114) переходит в следующее:
+оо 2
оо2
.,,
(t)= ....!_ ~ Ап einЯ," =~Ап cosпQ1Т
'l'T,
2~2
~2
'
(2.122)
n=-oo
n=l
[Считаем, что сигнал s(t) не содержит постоянной составляющей;
поэтому в правой части суммирование начинается с индекса п = l .J
Итак, автокорреляционная функция периодического сигнала,
являясь также периодической, весьма просто выражается через
коэффициенты Ап ряда Фурье- исходного сигнала s(t).
При т=О
00
.
'Фт,(О)= -1⁄2- ~А~ = s2(t) = средняя ~ощность
(2.123)
n=I
периодического сигнала.
Это выражение совпадает с равенством (2.30). Нетрудно решить
и обратную задачу: найти распределение средней мощности периоди­
ческого сигнала по дискретным частотам его спектра. Для этого
достаточно применить обычные выражения (2.4) - (2.6), опреде­
ляющие коэффициенты ряда Фурье по заданной периодической
функции.
Рассматривая в выражении (2.122) ,~ (т) как заданную периоди­
А2
ческую функцию, а Т как коэффициенты ее ряда, получаем
[см. (2.11)]
+!..! _
+I..!.
2
2
2
Ап2s
.-d
2s
-
=-
'Ф (т) е-то,, Т= -
2
Т1
т,
Т1
(2.124)
т,
т,
-т
-т
ЛеРая часть этого выражения есть не что иное, как средняя мощ­
нссть п-й гармоники сигнала s(t).
Соотношения (2.122) - (2,124) IJоказывают, что корреляцион­
ная функция содержит информацию о распределении мощности
в спектре сигнала, а спектральная характеристика, в свою очередь,
содержит информацию о корреляционной функции сигнала.
Перейдем теперь от периодического сигнала~ непериодическому.
Для этого нужно учесть, что в соответствии с определениями
(2.107) и (2.114) корреляционная функция импульсного сигнала
равна~
(2.125)
Иными словами, при одинаковых формах сигнала внутри одного
периода, автокорреляционная функция одиночного импульса,
90


имеющая размерность энергии (а не мощности) , в Т1 раз больше ,
чем автокорреляционная функция соответствующего периодиче ­
ского сигнала .
Подставляя в (2.124) и (2.125) выражение (2 .122), получаем
+-2:.!_
2
А22s
Т=т2
-ф(-.)е-iпо,,d-.,
1
т,
(2 . 126)
•
--
2-
(2 . 127)
n= -co
Но, в соответствии с формулой (2.41),
А2=[2S(Qп)]2= 4[S(Qп)J2
п
т
т2
1
1
Следовательно,
+-2:.!_
2
[S(Qп)J2 = J -ф('t')e-ino, , dт,
т,
(2 . 128)
-т
+оо
'\\J('t') = 2l;r I [S(Qп)J2Q1elno, ,.
(2.129)
n= -CO
Устремляя теперь Т1 к бесконечности, что позволяет в пределе
считать Q1 ➔ dQ, пQ 1 ➔ Q, а суммирование свести к интегриро ­
ванию, получаем
+оо
оо
[S(Q)] 2 = J4jJ('t')e-19'd't'=2J'Ф('t')cosQ-.d-r , (2.130)
-со
о
+оо
оо
'ljJ('t') = 2
~
J[S(Q)]2e19 ' dQ = 1⁄4J 1S(Q)]2cosQ- .dQ . (2.131)
-оо
о
Итак, п реобразование Фурье , примененное к автокорреляцион­
ной функции импульсного сигнала s(t), дает спектральную плот­
ность энергии сигнала [S(Q) ]2 (см . § 2.8), а обратное преобразование
над [S(Q) ]2 дает автокорреля цион11у!() фукцию -ф(-.) :
Заметим, что в случае одиночного импульсного сигнала бессмыс ­
ленно говорить о спектре средней мощности , так как эта мощность
(усредненная по бесконечному времени) равна н улю. Поэтому для
такого сигнала 'Ф (,;) и [S(ro) ]2 имеют размерность, соответственно,
4В*
9t


энерtии и э1-1ергии в полосе 1 гц. В случае же гtериодичес1<оtо сиr­
А2
нала '\\Jт, (т) и ----i -T 1 имеют смысл средней мощности сигнала и средней
мощности в пол·осе 1 гц соответственно.
Установление связи между спе юральной и 1<орреляционной
характеристиками имеет особенно важное значение для сигналов
и шумов типа стационарных случайных процессов .
Существует теорема Винера - Хинчина, утверждающая, что
автокорреляционная функция и энергетичес1<ий спектр стационар­
ного случайного процесса связаны между собой интегральными
преобразованиями Фурье:
.
+оо
W1(ш) = J'Ф(t)e-i"''dt,
-00
(2.133)
-оо
Здесь W1(w) - энергетический спектр, определяемый на всей оси
частот -оо<ш<+оо .
Если определять энергетический спектр только на' положитель­
ной оси частот (ка~< ·это было принято в § 2.12), имеет место соотно­
шение
W(ш)=2W1(w).
(2.134)
При этом
' +оо
оо
W(w) = 2 J'Ф(t)e-i"'• dt = 4 J'ljJ(1)coswtdt,
(2 . 135)
-00
0
+ro
оо
\jJ(т)=2~ •{ JW(w)eiw,dw= 2
11t JW (ш) cos wт dw. (2 .136)
-00
0
Из выражения (2.136) выте1<ает уже знакомое нам соотноше­
ние [см. (2.103)]
00
'Ф(О)= 2~ JW(ш)dw = а2•
(2 .137)
о
При применении функции W 1 (ш) получается аналогичное вы­
ражение
+оо
'ljJ(О)= ;1t JW1(w)dw = о-2•
(2 . 138)
-00
На основании выражений (2 . 135) и (2 . 136) можно сделать следующее
заключение: чем шире энергетический спектр случайного процесса ,


тел,~ ЛJtеныие вре)ия. корреляции и, соответствею~о, чем больше вреktя
корреляции, тем уже спеюпр процесса.
Особый интерес представляет предельный случай белого шума,
когда энергетический спектр W(w) равномерен в полосе частот
О<ш<оо . Если в выражение (2.136) подставить W(w) = Wo =
= coпst, то получим 1 [см. выражение (2. 74)]
+оо
-
'ljJ('t)= ~о. 211t seiw•dw= \~об(т),
(2.139)
-оо
где б (т) - дельта-функция.
Это означает, что для белого шума с бес-конечным и равномер­
ным спектром корреляционная функция равна нулю для всех зна­
чений ,, кроме ,: = О, при котором 'ljJ (О) обращается в бесконеч­
ность, причем
(Х)
(Х)
s'Ф(•)dt = ~о5б(,) d,: = ~о.
(2 . 140)
о
о
Как уже указывалось в § 2.13, стационарный процесс с такой
корреляционной функцией называется дельта-коррелированным.
1 Если исходить из выражения (2 . 133), в котором используется s,нер-•
rетический спектр \!?'i (w) = \!7 (ro) , то получится
2
t('t)=W\0 o('t).


ГЛАВА 3
ИНФОРМАЦИЯ И СИГНАЛ
3.1 . МЕРА ИНФОРМАЦИИ
Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая
в результате измерения, заключена в сигнале. Для оценки и н­
формационной емкости сигналадолжнабытьуста­
новлена связь между параметрами сигнала и- количеством инфор­
мации, которое можно передать с помощью данного сигнала. Основ­
ные свойства и характеристики сигналов были рассмотрены в пре­
дыдущей главе. Теперь необходимо остановиться на вопросе о
количественном определении информации.
Такое определение и вытекающие из него важные заключения
об условиях передачи информации по каналу связи составляют
содержание новой науки - теории информации, которая, возникнув
сначала как теория электросвязи, быстро перешагнула границы
этой относительно узкой области и все в большей степени проникает
в самые различные науки, в технику, экономику и культуру.
Исчерпывающее и систематическое изложение теории информа­
ции не входит в задачу курса теории радиоцепей и сигналов. В дан­
ной главе излагаются без доказательств лишь некоторые основные
положения этой теории, необходимые для уяснения требований
к параметрам сигнала.
Начнем с рассмотрения ситуации, возникающей при передаче
информации, отвлекаясь пока от того, как производится эта пере­
дача.
Информация содержится в с о о б щ е н и и, которое надлежит
передатьототправителя к получателю. Сообщение
неразрывно связано с некот0рым событием и является его описа­
нием. Любое событие состоит в изменении (во времени или про­
странстве) состояния некоторого объекта или процесса. Сообщение
является ничем иным, как указанием на то, в каком из возможных
состояний находится объект или процесс. Итак, событие порождает
сообщение, которое необходимо передать. Очевидно, что эта необ­
ходимость возникает только тогда, когда данное событие является
для получателя новым, неожиданным. В противном случае, т. е.
если бы получатель ·знал содержание сообщения (состояние объекта
или процесса) заранее, передавать его было бы излишне. Естествен­
но, что чем более неожиданно сообщение, тем больший интерес оно
представляет для получателя, тем большим количеством ин-
94


формации будет располагать получатель после приема сообщения.
Из этого следует, что для придания понятию «количество информа­
ции» четкого математического смысла, требуется дать численное
выражение «степени неожиданности» сообщения .
Эта задача решается методами теории вероятностей.
Пусть по каналу связи передается сообщение о событии, вероят ­
ность которого (априорная) равна Р 1 . После приема сообщения
вероятность (апостериорная) этого события для получателя ста ­
новится равной Р2 . Прирост количества информации, связанный
с приемом сообщения , определяется •с помощью следующего
выражения:
(3 .1)
Это соотношение лежит в основе всей теории информации .
Выбор логарифмической функции для количественной оценки
прироста информации дает ряд преимуществ, главное из которых
заключается в свойстве аддитивности : при передаче сообщений
о независимых событиях полная информация оказывается равной
сумме информаций, содержащихся в отдельных сообщениях .
При условии, что канал связи является идеальным, т . е. что
в нем полностью отсутствуют помехи, а также искажения сигналов,
событие после приема сообщения о нем становится достоверным .
Это означает, что вероятность Р2 обращается в единицу, а выраже ­
ние (3.1) переходит в следующее :
(3 .2)
Итак, количество информации, содержащеес я в передаваемом
сообщении , зависит от вероятности Р 1 события до приема сообще ­
ния . Чем меньше эта вероятность , т. е. чем больше н.еопределен.н.ость
исхода, тем большая информация о нем получается в результате
приема сообщения. Отметим, что так как P1,<I, log Р1,<О , то опре ­
де,тrяемая формулой (3 .2) информация всегда положительна .
При передаче сообщения о событии , имеющем два равновероят -
•
1с
ных исхода, очевидно, Р1 = 2 . одержащееся в таком сообщении
количество информации в соответствии с формулой (3 .2) равно
1
1= -log2 =log2.
(3 .3)
Численная величина 1 зависит от выбора основания логарифмов .
Если в качестве основания выбрать 2, то последнее выражение при ­
нимает вид
1=1og2 2 = 1.
(3.4)
Определенная таким образом единица количества инфор м аци и,
соответств ующая сообщению о том , что произошло одно из дву х
9$


равновероятных событий, называется д в о и ч ной ед и н и ц ей
информации.
Двоичная единица получила наиболее широкое распростране­
ние в теории информации и, особенно , в технических ее приложе­
ния х ввиду того , что большинство схем и устройств вычислительной
тех ники работает на принципе использования элементов с двумя
возможными положениями («да>> - «нет» , «включено»
-
«выклю­
чено» и т. д.).
3.2 . КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ В ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЯХ
В этом параграфе рассматриваются дискретные сообщения, т. е.
сообщения , п ер едаваемые при помощи отдельны х символов, обра ­
з у ющи х так на з ываемы й алфавит канала связи . В письменной речи
подобны ми с и м волами являются буквы алфавита данного языка . В бо­
л ее общем сл учае алфавит может состоять из любых различных сим­
волов. Сообщение составляется из отдельных символов . Общее число
символов в достаточно длинном сообщении может быть очень боль­
шим . Так как число различных символов алфавита обычно невелико
(например, 26 букв в латинском алфавите, 33 буквы в русском алфа­
вите, 10 символов-цифр О, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в арабской системе
счислен ия и т . д.), то в длинном сообщении каждый из символов алфа­
вита может встречаться много раз . Для оценки информационного
содержания . сообщения, насчитывающе го, допустим, всего п симво­
лов, очень важное значение имеет выяснение следующего во п роса:
сколько различных последовательностей, содержащих поп симво­
лов, можно составить при заданном алфавите, насчитывающем L
различных символов S1, S2, .. . , Si, . .. , SL?
При этом име~тся в виду, что каждая из последовательностей
может различаться либо выбором символов из алфавита, либо
размещением этих символов.
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью следующих
просты х рассуждений.
При п = l, т . е. когда каждое сообщение передается с помощью
одного символа, число возможных сообщений, очевидно, равно L.
При п = 2 каждый из символов S i при добавлении его поочередно
ко всем символам алфавита дает L сообщений, состоящих из двух
символов. Возможные сообщения образуют при этом следующую
совок у пность:
S2S1.•••••SLS1)
•~ 2~2.·
•.·
:•.. ~L.S2. L
S2SL.. • ..
. SLSL
строк.
L столбцов
Всего различных сообщений, состоящих из двух символов, полу­
чается L2 . Пр одолжая это р а ссужде ни е далее, приходим к следую-
96


щему выражению для числа сообщен~.~й, состоящих из п символов:
N (п) =Ln.
(3.5)
Следует особо отметить, что, называя каждую из последовательно­
стей, содержащих п символов, сообщением, мы совершенно не инте­
ресуемся ценностью подобных сообщений. Вполне очевидно, что
очень большая часть из подобных «сообщений» может быть лишена
какого-либо смысла. Пока речь идет только о числе возможных
комбинаций «из L поп» при условии, что допускаются любые после•
довательности из символов Si, образующих L-алфавит.
Если, однако, каждую из возможных последовательностей рас­
сматривать как равновероятное сообщение, то нетрудно подсчи­
тать количество содержащейся в нем информации. Для этого в соот­
ветствии с формулой (3.2) необходимо найти априорную вероятность
того, что из Ln возможных последовательностей выбор падет на
одну вполне определенную последовательность. Эта вероятность,
очевидно, равна
(3.6)
и, следовательно, количество информации в одном сообщении равно
(3.7)
Разделив Iп на число символов в сообщении п, получим среднюю ин­
формацию, приходящуюся на один символ :
I=lE.. = !о L дв.ед.
1
n
g2 символ
(3.8)
Из выражений (3. 7) и (3.8) вытекают следующие важные
свойства дискретных сообщений, составленных из равновероят­
ных и независимых символов: а) количество информации в сообщении
пропорционально полному числу символов п и логарифму числа h
и 6) средняя информация на один символ зависит только от числа L,
т. е. от числа различных символов в алфавите.
Как уже отмечалось, случай, когда вероятности отдельных сим­
волов алфавита одинаковы, явля~тся весьма абстрактным. В прак­
тике, как правило, приходится иметь дело с передачей символов,
имеющих различные априорные вероятности. Так, например, при
передаче результатов измерения длины у большого числа экземпля­
ров какого-либо изделия сообщения могут представлять собой
длинную последовательность символов, каждый из которых пред•
ставляетсобойоднуиз10цифр(О,1,2,3,4,5,6,7,8и9).Таккаи
предполагается, что отклонения размеров отдельных образцов изде­
лия от номинала между собой не связаны, то отдельные символы
можно считать независимыми. Но при этом вероятности появления
97


'-
в сообщении различных символов неодинаковы. Так, например, при
номинальной длине образца 5 единиц наиболее вероятным символом
будет 5, гораздо менее вероятными - символы 4 и 6, а символы 3 и
7, 2 и 8, 1 и 9 практически не будут встречаться в сообщении.
Итак, пусть в сообщении, состоящем всего из п символов,
встречается пА символов SA, соответствующих событию А, nв сим­
волов Sв , соответствующих событию В, и так далее, причем сум ­
ма всех символов равна .п:
Прием одного символа SA дает информацию, равную 1А =
= - lo g2 Р л [см. формулу (3.2)], где РА - вероятность события
А . Полная информация в пА взаимно независимых символах S А,
очевидно, равна пА (-1og2 РА) · Аналогично, в п8 символах о со­
бытии В содержится информация пв (- log 2 Рв) и т . д.
Очевидно, полная информация в сообщении из п символов
равна
In = -(nAlog2РА+n8log2Р8+ .. -) дв. ед.
Разделив это выражение на п, найдем среднюю информацию,
приходящуюся на один символ :
п-
11= - ~ -,f-log2Р;· дв.ед.
"'"
символ
(3.9)
где суммирование производится по всем возможным событиям
А,Вит.д.
пл
Ясно, однако, что отношение п есть не что иное, как априор-
nв
ная вероятность появления символа SA, отношение --символа
п
Sвит.д.
Таким образом (это справедливо при достаточно большом
числе п),
n·
_1 =Р-
п
J'
причем Рл + Рв + .. . = 1, так как предполагается, что переда­
ваемое событие обязательно входит в совокупность событий
А, В,...
'
Подставляя Р1 в выражение (3.9), получаем полную инфор­
мацию в сообщении
(3.1 О)
98


и информацию (среднюю) на один символ
~1
дв. ед
11= -
Р1• og2 Р1• ---
символ
j
(3.11)
Определенная таким образом величина /1 получила в теории
информации названиеэнтропии.
В дальнейшем энтропия будет обозначаться буквой Н. Таким
образом,
Н= - ~p.Jogр. дв.ед•
.
,,.:,,_
1
2 / символ
(3.12)
j
1
Суммирование производится по всем значениям (или состояниям),
которые с вероятностями Р1, Р2, ... , Рт может принимать случай­
ная величина (или событие), причем считается, что
(3.13)
Как и в формуле (3.2), определяемые формулами (3.11) и (3.12)
величины /1 и Н не могут принимать отрицательных значений.
В теории вероятностей доказывается, что при заданном числе
возможных состояний энтропия максимальна при равномерном
распределении вероятностей, т. е. при
(3.14)
Это свойство особенно наглядно проявляется при т = 2, т. е.
когда рассматриваемая случайная величина может принимать лишь
одно из двух возможных значений или, применительно к передаче
информации, когда возможно одно из двух событий . В этом случае
P1+P2 =l, P2 =l-P1
и выражение (3 . 12) может быть записано следующим образом :
Н=-
Р1log2Р1- P2log2Р2= -
Р1log2Р1-
-
(1 -J\) log2 (1 - Р1),
График этой функции изображен на рис . 3.1 .
При Р2=0 и Р1= 1 (или Р2=1 и Р1=0) энтропия обращается
в нуль, при Р1 =Р 2 = 1/ 2 энтропия достигает максимального зна­
чения, равного единице.
Поясним смысл полученного результата. Обращение вероятно-
. стей
одного из двух возможных состояний в нуль или единицу
вносит полную определенность, и сообщение о подобном событии
не содержит в себе никакой информации. При Р 1 = Р2 = 1⁄2
исход испытания (или выбор одного из двух событий) является на­
иболее неопределенным и, сле.ь1.овательно, информация, которая
99


может быть извлечена из сообщения о событии, является макси­
мальной. В данном примере (при двух возможных исходах) мак­
симальное значение энтропии равно одной двоичной единице.
Из приведенного частного случая (т = 2) видно значение энт­
ропии как меры неопределеююсти случайной величины (или собы­
тия).
Обращаясь к общему выражению (3.12), видим, что энтропия Н
может равняться нулю только в том единственном случае, когда
н.
td8011чн edJ
!,О
о.в
О,б
D.4
0,2
V
1
/
/
/
/
//
/.,,.
~!"-
/
1\
\
1'\
\
\
\
\
одна из вероятностей Р1,
Р2, ... , Рт равна едини­
це (а следовательно,
остальные вероятности
равны нулю). Это как
раз тот случай, когда
отсутствует какая-либо
неоп,ределенность, так
как достоверно извест­
но, какое событие доюк­
но осуществиться. Ясно,
что в сообщении о по­
добном событии инфор­
мация равна нулю.
Другим фактором,
снижающим энт~юпию,
и 0.2
0,4
0,6 о.в
;о помимо неравных ве-
роятностей, является
Рис. з.1.
наличие связей (кор-
реляции) между от-
дельными символами в сложном сообщении. Так , например, если
при передаче письменного сообщения имеется большая вероятность,
что вслед за какой -либо буквой следует вполне определенная дру­
гая буква алфавита, прирост информации при передаче этой буквы
весьма мал или равен нулю · (при 100% вероятности).
Таким образом, формула (3.8), полученная при допущении
о полной независимости (и равной вероятности отдельных элемен­
тов сообщения), - определяет максимально воз1;южное • количество
информации в сообщении заданной длины (состоящем из заданного
числа символов).
•
Обычно сообщения, подлежащие передаче, обладают избыточ­
ностью. Это означает, что фактическая энтропия Н меньше, чем
максимально возможная энтропия Н макс при равной вероятности
отдельных элементов сообщения и взаимной их независимости.
Иными словами, число символов в сообщении больше, чем это тре­
бовалось бы при полном их использовании. В теории информации
избыточность характеризуется величиной
100
н
R=l---.
Нмаю; ,
(3 .15)


nрименением специальных ~1етодов кодирования удается снижать
влияние избыточности источника сообщений на степень использо­
вания канала связи.
Эти вопросы рассматриваются .в курсе «Теория передачи иR­
формации».
3.3. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЕМКОСТЬ ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА
--.,
Под дискретным сигналом подразумевае тся любой сигнал, ко­
торый может принимать лишь фиксированные, дискретные зна­
чения. Наиболее распространенный ·дискретный сигнал - это со ­
вокупность импульсов и пауз. При этом импульсы обладают не -·
изменной амплитудой; длительности импульсов и пауз одинаковы.
Подобный сигнал получается в результате применения двоичного
кода, при котором импульс обозначает, например, «единицу»,
а пауза «нуль» · (или наоборо т).
Если исходить из допущения, что избыточность источника со­
общений равна нулю, то на один символ - импульс или паузу
-
приходится одна двоичная единица информации. Пусть длитель­
ность одного импульса равна 'tи, а число импульсов и пауз в рас­
сматриваемом сигнале равно п . Тогда полная длительность сигнала
равна Т = n'tи, а количество информации в соответствии с форму­
лой (3. 7) равно п дв. , ед. Импульсу с длительностью •и' соответствует
вполне определенная полоса частот w:
1
W=k-
't
'
и
(3.16)
где k - близкий к единице ~оэффициент, зависящий от формы
импульса (см § 2.14).
Следовательно, количество информации в рассматриваемом сиг­
нале длительностью Т не может превышать
Т
l
!п=п=-
= -kТшдв.ед.
(3.17)
'tи
Положив k = I и разделив / п на длительность сигнала Т, полу­
чим информационну·ю емкость сигнала
с дв. ед.
='Ш--.
сек
(3.18)
Итак, информационная емкость дискретного сигнала при двоич­
ном коде равна просто полосе частот сигнала w гц.
При этом считается, что уровень сигнала (амплитуда, мощ­
ность) настолько превышает уровень помех, присущих данному
каналу связи , что обеспечивается вполне надежное различение
импульса от паузы.
Рассмотрим теперь дискретный сигнал, получаемый при более
сложном кодировании, например, когда вместо «1» и «О» передаются:
импульсы с различными, но фиксированными амплитудами (без па­
уз). При этом информация содержится в величине импульса.
101


Пусть чисJJо уровней, которые может принимать каждый из
импульсов, равно L. Тогда можно считать, что число различных
«букв» или «символов» равно L, и в соответствии с формулами (3. 7)
и (3.17) получаем
Т
1
lп=пlog2L=-;:--log2L= -kTwlog2L~Twlog2Lдв.ед.
'И
(3.19)
Заметим, что как и формула (3.18), это соотношение имеет смысл,
пока разница между двумя соседними уровнями сигнала велика по
сравнению с уровнем помехи, на фоне которой производится вы­
деление сигнала.
Разделив / п на общую длительность сообщения Т, получим, что
сигнал с полосой частот w, который может принимать одно из L
дискретных значений, обладает информационной емкостью
С 1Lдвед.
=W og2 -с~·
(3.20)
Если дискретный сигнал записан, например, на ленте магнито­
фона, то С - это число двоичных единиц информации, приходяще­
еся на отрезок ленты «длиной» в 1 секунду. При передаче сигна­
ла С может рассматриваться как скорость передачи информации,
выраженная в двоичных единицах за секунду.
Эта скорость для сигнала с полосой частот w и с числом уровней L
является предельной, так как при ее вычислении мы полагаем,
что в передаваемых сообщениях полностью отсутствует избыточ­
ность, а длительности отдельных элементов сигнала (импульсов,
а в случае двоичного кода - импульсов и пауз) одинаковы.
В общем случае ,, когда символы могут быть разной длительно­
сти, вычисление С более сложно . Эта задача рассматривается в кур­
се теории информации.
3.4. ИНФОРМАЦИЯ В НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛАХ
Возникает вопрос о том, как определить информационную
емкость сигнала для случая, когда объект или процесс, информа­
ция о котором передается, может принимать непрерывное множе­
ство состояний, т. е. когда сообщение и соответствующий ему
сигнал являются непрерывными функциями времени.
Рассуждения, использованные выше для дискретных сообщений,
в данном случае явно не годятся, так как приводят к противореча­
щему здравому смыслу выводу, что количе_ство информации в непре­
рывном сигнале бесконечно велико, даже если _длительность сиг­
нала конечна. Действительно, пусть задан сигнал в виде функции
s(t), действующей в интервале времени длительностью Т. Разбив
эту функцию на сколь угодно короткие импульсы (рис . 3.2), можно
попытаться -трактовать сообщение длительности Т как совокуп­
ность неограниченно большого числа ,цискретных сигналов (им-
102


nульсов), облад::1ющ11х различными уровнями. ПриписЬ!вая ypoВF-tIO
определенный смысл (в соответствии с некоторым «алфавитом»,
в котором вместо букв используются градации уровней) и устрем­
ляя длительность импульсов к нулю, qолучим бесконечно большое
число «символов» в сообщении конечной длительности.
Нетрудно выявить ошибочность подобного рассуждения.
Рассмотрим сначала простейший сигнал в виде гармонического
колебания с частотой F. Оказывается, что для воспроизведения
такого сигнала достаточно передавать дискретную последователь­
ность мгновенных значений в моменты времени , отделенные интер-
f (t)
t
Рис. 3.2,
валом, равным половине периода, т. е. 2F" Дальнейшее сокраще­
ние интервалов не дает дополнительной информации о сигнале .
Из этого следует, что для воспроизведения непрерывного сигнала
s(t), обладающего спектром с наивысшей частотой Fm, достаточно
передавать дискретную последовательность мгновенных значений
s(t) в моменты време·ни, отделенные интервалом 2) т.
Это положение обосновывается фундаментальной теоремой Ко­
тельникова («теорема отсчетов»), рассматриваемой ниже в § 3.5.
Из этой теоремы следует, что для передачи сообщения с длит,ель­
ностью Т и с наивысшей частотой в спектре Fт достаточно передать
равноотстоящие «выборки» (отсчеты) сигнала общим числом, не
превышающим
т
N=
-
1-12
-F
-m
-
+1= 2FmТ+1.
(3.21)
В общем случае спектр сигнала может занимать полосу частот
от F,ши до Fмакс, т. е. ширина спектра w = Fмакс - F,шн• Если
наивыешая частота спектра • равна Fмакс = F т• а наименьшая
Fмин=О, то ширщ-1а спектра W=Fm. · B этой главе Fm и wбудут
применяться в одинаковом смысле.
В реальных системах всегда присутствуют помехи (шумы);
накладывающиеся на передаваемые сигналы. Для различен и я
импульсов по их величине требуется тем больший перепад между
103


соседни м и значениями имп ульсов, чем выше уровень ш ум ов . Бес ­
полезно иметь шкалу уровней с градациями, меньшими, чем эф­
фективное (среднеквадратичное) напряжение помех и . Отсюда сле­
дует, что при средней мощности помехи Р п и мощности сигнала
Ре число различимых градаций может быть принято близки м к от­
ношению
Итак, по своей информационной емкости непр е ры в ный сигнал
с длительностью Т и спектром Рт может быть приравн е н к дискрет­
ной последовательности п импульсов, каждый из которых может
принимать одно из L значений. По аналогии с расс мотренным в пре­
дыдущем параграфе случаем дискретного сообщения L можно
рассматривать как число различных символов алфавита, а п -
как общее число символов в сообщении .
Следовательно, в соответствии с формулой (3.7) , полная ин ­
формация в непрерывном сообщении с длительностью Т равна
(3.22)
Предельная информационная емкость (а также скорость пере­
дачи информации) при заданном отношении Рс !Рп и заданной по­
лосе частот сигнала w = F т равна
C -2=2FmT+ l ,!_
Рс-tРп
-
Т
Т2log2Рп~
~F 1 Рс+Рп дв.ед
~тog~ -~--
се"
Рп
(3 .23)
При составлении этой формулы использовано то обстоятель­
ство , что в реальных системах связи 2 FтТ » I . Отметим также,
что все приведенные рассуждения справедливы только при условии
взаимной независимости (некоррелированности) выборо1( сигнала,
а также при некоторых ограничениях, наложенных на свойства
шума. (Считается, что как сигнал, так и помеха обладают свойст­
вами белого шума. ) Несмотря на чисто интуитивное определение
числа градаций сигнала L, полученный результат совпадает с более
строгим рассмотрением , которое будет проведено в § 3.8 .
.
Формула (3 .23), устанавливающая предельную скорость пере­
дачи информации, является фундаментальным соотношением тео­
рии информации и применима к любому виду связи - р адио , про­
водной связи, системе управления и т. д .
Из этого соотношения следует, что важнейшими характеристи­
ками канала связи являются: а) ширина спектра сигнала, исполь ­
зуемого в данном канале, и б) превышение мощности сигнала над
мощностью помех. В реальных условиях помех_и могут отличаться
104


от чисто шумовых. Кроме того, не всегда помеха и сигнал аддитив­
ны (например, при испqльзовании нелинейных устройств). По­
этому выражение (3.23) чаще всего следует рассматривать лишь
как качественное соотношение. Это, однако, не умаляет его важ­
ности.
3.5 . ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, в случае непре­
рывных сообщений теория информации строится на замене послед­
них эквивалентной им по информационному содержанию совокуп­
ностью дискретных сигналов (сообщений).
grrJ ,
t
Рис. 3.3 .
Операция такой замены, которую будем называть д и с к р е -
т и з а ц и е й непрерывного сигнала, основывается на теореме
отсчетов (Котельникова), гласящей: если функция s(t) не содержит
частот выше F т гц, то она полностью определяется последователь­
ностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга н,а
1
2Fm секунд.
Смысл этой теоремы становится ясным при учете сделанного
в § 3.4 замечания, что функция не может существенно изменить
свое значение за время меньшее, чем половина периода наивысшей
1
частоты, т. е. за время W .
т
Для аналитического задания функции s(t) с помощью ее зна-
чений в моменты отсчета используется вспомогательная функция
следующего вида (рис. 3.3):
g (t) = _s _in~21t
~F_m_t = sin Qm t
2rr.F т t
_Q_m_t_.
(3.24)
Подобная функция, уже встречавшаяся ранее (см. § 2.7), обла­
дает следующими свойствами:
tOS


а) спеkтр е_е равномерен в rюлосе частот от - Рт до + Fт ;
.
1
б)вточкеt=О g·(O)= 1,•а вточкахt=пЛt =п2Fmфунк-
ция g(nЛt) обращается в нуль . Здесь п - любое целое число,
положительное или отрицательное.
Основываясь на этих свойствах функции g(t), заданный сиг­
нал s(t) со спектром, ограниченным полосой от О до ·Рт, можно
представить в виде следующей суммы :
+оо
+оо
• s (t) = ~ s (nЛt)g-(t- пЛt)= ~ s (пЛt) si~:(tи_::~t) . (3.25)
n=-oo
n=-oo
Здесь пЛt представляют собой отсчетные точки на оси t .
То, что эта сумма точно определяет заданный сигнал s(t) в точ ­
ках отсчета, не требует дополнителных доказательств . Действи­
тельно, в любой из этих • точек , например k-й (t = kЛ t), все
слагаемые под знаком суммы, для которых n=f=k, в силу свойства
б) обращаются в нуль; в слагаемом же с индексом п = k дробь
обращается в единицу , и правая часть выражения (3 .25) равна про­
сто s(kЛt), т. е . значению s(t) в точке t = kЛt.
Замечательно, однако , что выражение (3.25) точно определяет
функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета
t=kЛt.
Для доказательства этого утверждения необходимо показ ать,
что спектр правой части выражения (3.25) совпадает со спектром
S(Q) исходной функции s(t) . Это будет также и достаточным усло­
вием доказательства, поскольку функция времени однозначно опре­
деляется . своим спектром .
Итак, находим спектр S1(Q) правой части выражения (3.25) .
Применяя обычное выражение для преобразования: Фурье, получаем
+оо +оо
S1(r.) = s '1 (Лf)sinQm(t-пдt) -i\Jtdt
~~
~sп
Qт(t-nлt) е
•
-оо n=-oo
Меняя · мес-~:_ами порядок интегрирования и суммирования, а
также переходя к новой переменной х = t - пЛt, приводим пос­
леднее выражение к виду
+оо
+оо
• S1(Q)= dm ~ s(nЛt)e-inQЛts.sin~тх e- ioxdx.
(3.26)
n=:--oo ~
-оо
С помощью соотношения
e-i:.x= cosQx:--isiпQx•


• входящий в (3 .26) интеграл легко приводится к сумме следую­
щих четырех интегралов:
Но
+оо
+оо
ssin ~т х e-iыxdx =
-00
+оо
=+S
sin (Qт+i1) х
dx++ s
sin(Qт- Q)х
х
х
-00
-00
+ i[I
+оо
cos (Qт+Q)Х dx-
s
COS(Qт- Q)Х
х
х
-
00
+оо
1⁄2s-00
+оо
~s
при
-00
7t
=-2приQ>Qm·
dx+
dx] .
Следовательно, при Q<Qт первые два интеграла дают в сумме :rt.
Интегралы же в квадратных скобках обращаются в нуль ввиду
нечетности подынтегральных функций относительно х1 .
Итак, для Q < Qm выражение (3.26) приводится к виду
+оо
S1(Q) = ~'
~ s(пЛt) e-inДtо.
••т n=-00
(3 .27)
Так как суммирование ведется как по положительным, так и
отрицательным значениям п, можно изменить знак перед п.
Учитывая также, что Лt = 2jm = Q: ,
записываем последнее
выражение в несколько видоизмененной форме:
+оо
.
"
1""2-
т-0
S1(Q) = 2
."'-
Q: s(-nЛt)e 0 m •
n=-oo
(3.28)
Нетрудно • видеть, что полученное выражение есть не что
иное, как представление функции S 1 (Q) в виде ряда Фурье
1 Это относится к главным значениям интегралов . В точках же х = О
каждый из интегралов независимо от соотношения между От и 11 обра­
щается в оо и их разность равна ну-;1ю.
107


с riериодом от - Qm до +Qm· Коэффициенты этоrо рйда, очевидно,
равны
,
2тс
Ап= ~ s(-пЛt).
--m
(3.29)
Для сопоставления S1(Q) с S(Q) необходимо определить коэф­
фициенты аналогичного ряда Фурье для функции S(Q). Это проще
S(Q)
i
1
1
1
1 ..... -..,.--,
1 ..... -.,
1/
\1/
1
111
\1/
\1/
1/
'/
Рис . 3.4.
всего сделать с помощью подстановки t = пЛ t в общее выражение
интеграла Фурье для s(t):
Пределы интегрирования здесь взяты с учетом ширины
спектра функ ц ии s (t).
В точках
Изменив знак аргумента п Лt и домножив обе части этого
2тс
выражения на ~ , получим
·-т
+от
1t
2
1s
.-tn- о
/ s(- пЛt) = 7'""
S(Q)е 0m dQ.
·nz
~г.,п
(3.30)
-От
Но правая часть последнего выражения представляет собой
п-й коэффициент разложения функ ции S(Q) в ряд Фурье с перио­
домОТ- Qmдо+Qm (рис.3.4).
108


Следовательно, коэффициенты ряда Фурье для функции S(Q)
равны
(3 .31)
Совпадение выражений (3.29) и (3 .31) для коэффициентов А~
и Ап доказывает тождественность спектров S1(Q) и S(Q), а следова ­
тельно, и соответствующих им функций времени.
Итак, непреры~ный сигнал s(t) полностью определяется дис­
кретной последовательностью своих значений, отсчитанных через
1
интервалы времени, равные 2F . Эти значения функции иногда
,п
называют выборками сигнала.
Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t)
конечна и равна Т, а полоса частот по-прежнему равна Fm• Эти
условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной
длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром .
Практически, однако, всегда можно ограничить спектр полосой Fm,
а сигналом вне интервала Т пренебречь ввиду его малости .
При таком допущении, если имеется сигнал длительностью Т
с полосой частот Fm, общее число независимых параметров [т. е .
значений s(пЛ t) ], которое необходимо для полного задания сиг­
нала, очевидно, равно
т
N= лТ+1=2FmT+l.
(3.32)
т
При лt )) 1 можно считать N=2Fm Т .
При этом выражение (3.25) принимает следующий вид :
s(t) =
n=+F,n Т
"" s(nЛt)sin Q ,п(t-nлt)
,,.:,,,.
Qт(t-плt)
n =-F
Т
т
(3.33)
ЧислоNиногданазываютчислом степенейсвободы
с и г н ал а s(t), так как даже при произвольном выборе значений
s(nЛt) сумма вида (3 .33) определяет функцию s(t), удовлетворяющую
условиям з-аданного спектра и заданной длительности сигнала.
_ Для
уяснения физического содержания теоремы отсчетов полез­
но рассмотреть следующую задачу, обратную дискретизации: зада­
на совокупность выборок, а нужно восстановить исходное сообще­
ние s(t). Допустим, что выборки передаются по каналу связи в виде
импульсов очень малой длительности (рис . 3.5, а), много меньшей,
чем интервал Лt = 2) между двумя соседними выборками. На
т
приемной стороне эти имп у льсы пр оп ускаются через идеализирован-
ный фильтр нижних частот с полосой прозрачности , равной F ,r(.
В tтой относительно узкой полосе частот спектральную плотность
109


импульса выборки практически можно считать неизменной. Это
значит, что спектральная плотность сигнала на выходе фильтра от
одной выборки имеет вид прямоугольника с основанием - Fт, + Fm.
Такому спектру соответствует функция времени, совпадающая по
форме с функцией g(t), показанной на рис. 3.3 . Амплитуда этой функ­
ции, очевидно, пропорциональна амплитуде выборки на входе филь-
1
~ Sн-1 Sx S1н1
1
1
.....
Лt --
•
._.. .
t
б;
8)
t
Рис. 3.5 .
тра. Последовательность таких функций для соответствующих вы­
борок изображена на рис. 3.5, 6 . Суммирование этих функций дает
исходное сообщение s(t) (рис. 3.5, в). Точное восстановление s(t)
возможно лишь после приема всех выборок.
В ряде случаев оказывается удобным представлять сигнал с по­
мощью выборок спектральной функции S(Q), а не функции s(t).
Если ранее накладывалось условие, что полоса частот сигнала огра­
ничена интервалом от- Qт до + Qm, то теперь следует исходить
из условия, что сигнал существует только в предела х промежутка
.
т+т
времени от-2до 2.
Задача заключается в представлении S(Q) в форме , аналогичной
выражению (3 .33).
110


Это нетрудно сделать на основании отмеченного в § 2.6 свойства
взаимной заменимости переменных t и Q в преобразованиях Фурье
(2.38) - (2.39). Применительно к выражению (3 .33) это означает,
т
что t должно ~ыт~ заменено на Q, а Qm на 2 . При этом интервал
Лt = 0n между выборками функции s(t) должен быть заменен час-
··т
21t
тотным интервалом ЛQ = т .
Итак, по аналогии с (3.25) можно написать следующее выражение
для спектральной плотности S (Q) :
+оо
S(Q) = ~ S(nbl2)
n=-oo
•
Т(О ДО)
s1n2 ---n
--
Т~ (Q-пЛQ)
2
• (QT
)
S!П2-nn
QT
-- n1t
(3.34)
n=-
oo
2
3 десь S (п ~1t )-- выборки функции S (Q), т. е. значения
21t
функции S (Q) в отсчетных точках п т на оси частот.
Таким образом, мож_но сформулировать следующую теорему:
если длительность сигнала не превышает Т, то спектральная плот­
ность сигнала S (Q) полностью определяется последовательностью
своих значений в точках на оси частот, отстоящих одна от другой
•
2л: '
μа расстоянии 4Q = ,j- .
Если кроме длительности ограничен также и спектр 1 сигнала ,
причем наивысшая частота есть Qm , то число · отсчетных точе ·к _ равно
Qm +1= Q,,,_ +1=F T+I·.
ЛQ
21t
т
(3.35)
т
Так как в общем случае S(Q) является комплексной величиной ,
в каждой отсчетной точке (за исключением точки Q = О) должны
быть заданы действительная и мнимая части функции S (Q) (или
модуль и фаз а). Поэтом у , как и при временном пр едставлении, .об­
щее число независимы х параметров или «степеней свободы» сигна­
ла равно N = 2FmT + 1-::::::,2FmT ,
Чем «длиннее» сиг~ ал (при · заданной наивысшей частоте Fт ) ,
тем меньше частотные интервалы j между выборками функции
S(Q) .
~ См. сделанную выше оговорку относительно нестрогости допущени_я
об одновременном ограничении сигнала по _сре-ктру и по дл_итель!-Iости.
J11


------ ----- -
На рис. 3-
.6 изображен график модуля функции S(Q) и соответ-
21t)
ственно абсолютные значения 1 (модули) выборок S(ny . Напом-
ним, что для полного задания спектральной функции должны быть
дополнительно указаны аргументы (фазы) выборок.
_
S (Q)
о f/r 2/Т .... '1/Т
F
Рис. 3.6.
Выразим теперь полную энергию сигнала через заданные вы­
борки. Для установления требуемого соотношения воспользуемся
выражением типа (2.66)
(3.36) -
Здесь Es представляет собой энергию, выделяемую сигналом
(ток, напряжение) в сопротивлении 1 ом за все время действия
,,сигнала Т.
Учитывая формулу (3.33), получаем
+: [n=+FmT
]2
Е=s
'1 (Лt)sinQm(t-nлt) dt
s
i.J Sn
Qm(t- плt)
•
Тn=-FТ
--
т
2
При возведении подынтегральной суммы в квадрат получаются
слагаемые двух видов
sin 2 Qm (t-kдt)
sin2 x
Q~(t- kлt)2 =х2
1 Эти значения определяются по формуле (2.41), в которой Ап - ампли­
туда п-й гармоники периодической функции, получающейся при повторении
заданного сигнала с периодом Т .


и
siп Qm (t-k М)
Qт(t-kлt)
siп Q111 (t - 1лt)
~2111(t-1Ы)
sin х
х
где обозначено h=l-k=/=O; Q 111 Лt=n.
siп (х_: hтr:)
x-hтr:
т
т
При Т » Лt пределы интегрирования - 2 , + 2 можно за :.
менить пределами ----: - оо и + оо.
Интегрирование слагаемых первого вида дает
+оо
+оо
Гsiп2хdt=
_1_ j.siп2xdx=~ =
_1_
Jх2
Q 111
х2
&2т 2Fт '
-00
-00
а слагаемых второго вида -
+оо
ss;х .
-00
siп (x-/irc) dx=O
x-hтr:
(
,
" siпх
siп· (x- hтr:)
h)
в силу ортогональности q:~ункции -- и
h
при =1= О
.
х
х- тr:
Таким образом, выражение для_ Es приводится к виду
1
E=-
s
2Fm
+FmT
~
-
[s (п Лt)]2.
n=- F
Т
т
(3.37)
Следует иметь в Вl-!дУ, что входящая . в правую часть сумма есть
не что иное, как произведение средней мощности s~ на число
выборок 2F111 Т. Таким образом; формулу (3.37) можно привести
к виду
(3.37')
3,,6. ЭНТРОПИЯ НЕПРЕРЫВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Описанная в предыдущем параграфе процедура · дискретизации
является первым шагом на пути к количественному определению
информационной емкости · непрерывного сигнала. Вторым шагом
является опр·еделение энтропии выборки, взятой из рассматривае:
мого случайноrо процесса.
•
Эта выборк_а х является случайной величиной непре!)ывного
типа', обладающей · некоторым заданным законом распределения ве­
роятностей р(х)'. Под р(х) iюдразумевается одномерная плотность
вероятностей х. Важно выяснить, как зависит информационная
емкость неп·рерывного сигнала от присущего ему : одномерного за­
кона распределения. · Устщюв,тiение ·;ЭТОЙ qщщс::имос::ти п озволит
5 За~,. 20g3


в дальнейшем рассмотреть вопрос об информационной емкости сигна-·
ла длительностью Т, заданного совокупностью 2Fт Т своих выборок
(см. § 3.8).
,
Итак, рассматривается сообщение в виде одной выборки и тре­
буется определить энтропию этого сообщения.
Если бы х могло принимать лишь одно из дискретных значений
х1, х2, х3, ... с вероятностями Р1, Р2, Р3.... ,
то энтропия в соот­
ветствии с (3.12) определялась бы выражением
Н= - ~Р1log2P;,
i
(3.38)
При непрерывном же характере случайной величины х можно
говорить лишь о том, что с вероятностью р(х)Лх сообщение х
окажется в малом промежутке Лх.
Рассматривая попадание х в интервал х1, х1 + Лх1 как i-e
дискретное сообщение, можно трактовать энтропию непрерывного
распределения как предел обычного выражения для Н при Лх1 ➔ О:
(3.39)
Заменяя логарифм произведения суммой логарифмов сомножите­
лей, преобразуем это выражение следующим образом:
Н= лl~~о{-fр(xi)[log2р(х;)] Лхt}+
+ lim {-~р(х;)[1og2Лх;]Лх1}=
Лх1 -о
;
+оо
= - Jр(х)log2р(х)dx- lim ~р(х1)[log2Лх;]Лх1. (3.40)
-оо
Лх1-о ;
Первое слагаемое в правой части по своей структуре совпадает
с выражением (3.38), второе же при Лх1 ➔ О обращается в беско­
нечность. Этого и следовало ожидать, так как при Лх; ➔ О непрерыв­
ная величина х может принимать бесконечно большое число зна­
чений и неопределенность (энтропия) выбора х стремится к бес­
конечности. Нетрудно, однако, подметить, что скорость возраста­
ния второго слагаемого при уменьшении Лх1 фактически не зависит
от закона распределения х. Действительно, полагая для простоты.
все интервалы Лх1 одинаковыми, получаем
+оо
= - limlog2Лх1Jр(х)dx=
-
lim log2 Лх1.
Лх1➔о _.
_
00
•
Лх1 -о
·
.
•


В правой части этого выражения р(х) вообще отсутствует. Из
этого следует, что второе слагаемое в правой части (3.40) обращает- .1 .
ся в бесконечность одинаковым образом для любых непрерывных
сигналов, независимо от закона распределения.
При определении информационной емкости непрерывного сиг­
нала, действующего на фоне шума , приходится вычислять раз­
ность энтропий сигнала и шума . Так как при этом бесконечно боль­
шие слагаемые взаимно уничтожаются, то основное значение при­
обретает интегральный член в выражении (3.40).
О)
t
Рис. 3.7 .
Энтропию непрерывного распреде.т1ения можно поэтому опреде­
лять выражением
+оо
Н=-
Jр(х)log2р(х)dx.
(3.41)
-00
Вычисленную таким образом энтропию иногда называют «диф­
ференциальной» или «относительной» энтропией, так как она опреде­
ляет не полную энтропию непрерывного сигнала (равную бесконеч­
ности), а только ту ее часть, которая зависит от закона распределе­
ния случайного сигнала.
Вычислим с помощью (3.41) энтропию для случайной величины,
соответствующей ординате какого-либо случайного процесса. Пусть
под х подразумевается величина выборки x(t1), взятой из процесса
x(t) в момент t = t1 . В зависимости от плотности вероятности
р(х), вероятность р(х)Лх попадания х в определенный интервал
Лх будет различной.
Для сравнения рассмотрим три вида случайных сигналов: а) гар­
моническое колебание, б) «треугольная волна» и в) гауссов процесс
(рис. 3.7 , а, б, в).
На каждом из этих рисунков изобра'жена одна реализация со ­
ответствующего процесса. Сигналы а) и б) являются случайными
в том смысле, что их начальные фазы неизвестны. Поэтому величина
5*
115


выборки, взятой из этих процессов в момент t1 , является случайной
величиной, хотя закон изменения сигнала и его амплитуда известны. ·
а) Гармоническое колебание со случайной фазой . Плотность
вероятностей р (х) для такого процесса была найдена в § 2.1 О .
При обозначениях рис. 3.7, а
1
•р(Х)=};2 2
;i:
А0- х
Подставляя р (х) в (3.41 ), получим
(3 .42)
Здесь k= 1og 2 е= 1,443- модуль перехода от натуральных лога­
рифмов к двоичным.
Первый интеграл раsен
1-AJ~
dx
= arcsiпАхAlo= ~2 .
1-
Vл2- х2
..
о.
о·
0•
·о
Таким образом, первое слагаемое в квадратных скобках правой
части выражения (3.42) равно . ; !пл: .
Второй интеграл приводится к виду 1 :
1 С помощью подстановки VА5. -:- х 2 = А0 cos ер получаем:
.
,
х= А0siпер; dx= А0cos'fd<p;
dx
----=d'f и
VА5-х 2
Таким образом,
2
2
12=sln(А0cos<р)d<p=,lпАо •; _+ sln(cos'f)d<p,
о
о


7::
,.;
2
= ; lnА0+Jln(cosср)dcp = ; lnА0- i-ln2.
о
Итак, окончательно,
H=k [ln :n:+ln A0 - ln 2J=k [1n (; А0)]. (3.43)
Выразим Н через среднюю мощность сигнала, которая равна
А2
Р=т·
Таким образом,
и
H=k[1n(~ V2 •VP)]=k[inv\+lnv·P]=
=k [ 1n v\ +{lnPJ.
(3.44)
К:ак и следовало ожидать, энтропия возрастает с увеличением мощ­
ности (или амплитуды А 0) колебания. Чем больше эта амплитуда,
тем больше неопределенность в возможной величине выборки при
случайном выборе момента отсчета .
б) «Треугольное» колебание со случайной фазой. Непосредствен­
но из рис. 3.7, 6 видно, что случайная величина распределена рав- -
новероятно в интервале - А 0 <х< + А 0 , следовательно, плотность
вероятностей в данном случае
Р(х)= 2~0
•
(3.45)
х
Вообще J ln (cos t) dt = - L (х) - функция Лобачевского . Эта функция мо
о
жет быть представлена в виде ряда
1°;
sin 2kx
L(x)=xln2- 2 ~ (-l)k-l
_k_2
-.
k=l
Прих= ; 2kx = kт.. и sin2kx = О. Следовательно, L(i)=i- ln 2.
117


Подставляя р (х) в (3.41 ), получаем
+Ао
H=-k S 2~ 0 1n( 2~ 0 )dx=-kln( 2~ 0 )=kln2A0 • (3.46)
-Ао
Средняя мощность в данном случае ~сть
А2
Р =--/ И А0= VЗР.
Следовательно,
H=kln2A 0 =k1n(2V3P)=k[ln2V3+ ~ lnP] .
Из сравнения полученной формуль1 с выражением (3.44) видно,
что при одинаковой средней мощности сигнала Р выборка, взятая
из «треугольного» колебания, обладает большей энтропией, чем
у гармонического колебания . Разница составляет
klln2VЗ-ln ; 2]= 0,652 дв. ед.
Это объясняется быстрым увеличением р(х) при приближении
х к А 0 (см. рис. 2.27), благодаря чему снижается неопределенность
при оценке ожидаемого значения выборки. Это становится еще более
наглядным при переходе от синусоидального колебания к «квад­
ратной волне» (рис. 3.8), когда х с вероятностями 1/2 может при­
нимать лишь одно из двух значений: + А0 или - А0•
х
•Ао
+
о
1⁄2+
т
t
-A1r
t
:•
Рнс. 3 .8.
в) Гауссов случайный процесс. Подставляя в выражение (3.41)
р (х) по формуле (2.86), получаем
+
00
х•[ (
х')]
1--
1--
Н=- kS-=-е20' lп
-=- е 20'
dx=
'Jf2тca
✓2тта
-оо


= k[1пV2ncr2 +{].
1
1
~
Учитывая, что 2 = 2 ln e=ln е 2 , а также, что дисперсия cr 2
равна средней мощности процесса, т. е. Р, получаем
Н=k[1nV2n+lnVP+lnе-}] =
=k [ ln i/2ne + { ln Р] =k [ln V2пеР] =log2 V2neP. (3.48)
Сравнивая это выражение с ранее полученными (3.44) и (3.47),
замечаем, что при одинаковых средних мощностях энтропия мак,
симальна для выборки, взятой из нормально распределенного (гаус­
сова) процесса. Этот результат, полученный здесь из сравнения трех
процессов, вытекает из следующего общего положения теории веро­
ятностей: среди всех распределений с одинаковой дисперсией нормаль­
ное распределение обладает наибольшей мерой неопределенности,
т. е. обладает максимальной энтропией.
Это положение можно пояснить тем, что выборка, взятая из
гауссова процесса, в цринципе не ограничена по амплитуде (хотя
вероятность и падает с у_величением х), между тем как в случае гар­
монического, треугольного и т. д. сигналов выборка не может по
абсолютной величине превышать амплитуду сигнала.
3. 7 . ЭНТРОПИЯ СОВОКУПНОСТИ ВЫБОРОК НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА
Пусть задан отрезок реализации случайного процесса (сигнала)
s(t) длительностью Т секунд, причем известно, что наивысшая
частота в спектре сигнала не превышает F т герц. Тогда в соответ­
ствии с § 3.5 рассматриваемый сигнал однозначно определяется
с помощью N = 2F т Т выборок, отсчитанных на оси времени через
1
интервалы Лt = 2Г· Если известна плотность N-мерного распре-
т.
делениявероятностейр(s1, s2, •••, s2F т), где s1, s2... s2F т - значения
т
т
сигнала в отсчетных точках, то энтропия сообщения, представляю­
щего собой совокупность случайных величин s1 , s2 ,
...,
s 2 FmТ> опре-
деляется выражением
+оо
-оо
Н=-
S···Jр(s1, S2, ..., s2F т) Х
-оо
-00
m
(3.49)
Это выражение является обобщением формулы (3.41), определяю­
щей энтропию одномерного распределения.
119


В общем . случае, при наличии корешщии между отдельными вы ­
борками s1 , s2 ,
..,
sн , вычисление энтропии совокупности выборок
весьма сложно.
Ограничим рассмотрение условием, что сигнал представляет
собой случайный процесс с нормальным законом распределения.
Из дальнейшего будет видно, что этот случай важен для установ­
ления .некоторых предельных соотношений теории информации.
Если наивысшая частота в спектре сигнала не превышает Рт,
то одну 11з реализаций сигнала длительностью Т можно представить
в виде суммы [см. выражение ,(3.33)]
2FТ
т
S(t)=~
sinQm(t- kМ)
" "'-
5k Qт(t - kлt)
(3.50)
_Здесь s;, - выборки сигнала в отсчетных точках, подчиняющиеся
нормальному закону распределения:
Так как по условию процесс стационарный, то дисперсии одинаковы
для любой отсчетной точки и можно считать:
Можно поэтому исходить из выражения
(3.51)
определяющего , одномерную плотность вероятностей сигнала s(t).
Для определения многомерной плотности ве р оятностей p(si,
s2, .•. ,
s2 P т) совокупности из 2 FmT случайных выборок (с нормаль-
т
ным распределением) следует пользоваться общим выражением:
120


Здесь D - определитель корреляционной матрицы R:
R11
R12
••• R12F Т
т
R=
R22
...
R22F Т
т
(3:53)
R2FmTIR2F Т2...R2F Т2F Т
rn
т
т
где R;k - коэффициент корреляции между случайными величи­
нами s; и s k , т. е . между выборками, взятыми в i-й
и k-й отсчетных точках на оси времени;
D;k - алгебраическое дополнение элемента R;k в определи­
теле D.
Очевидно, что при i =-= k, R;k= 1. Поэтому выра жение (3.53)
может быть переписано следующим образом:
R12
...
R12F Т-
т
R=
(3.53')
R2FТIR2FТ2"'
-
т
т
Определение р (s1, s2 ,
... ,
s2 F т) в общем случае, 1югда энергети-
т
ческий спектр неравномерен («небелый» или коррелированный гаус­
сов процесс), весьма затруднительно. В случае же «белого» шу ма
задача сильно упрощается. Действительно, если энергетический
спектр процесса W(w) отвечает условию
W(w)=W 0 = const .при O<w<Qт,
(3.54)
= Оприw>,Qm,
то нормироваrшая корреляционная функция [см. (2.136)] равна
gm
R(т)=-2 1 2 SW(w)coswтdw=
7ta
о
sin Qm,:
't
Но \V O F т есть не что иное, как средняя мощность случайного
процесса, т. е. а 2 .
Таким образом,
.
о
R()_ SIП
-"m 't
т-
о
.
--m 't
(3 .55)
График R(т) изображен на рис. 3.9. Из формулы (3.55) и рис. 3.9
1t
1 2;,:
1
видно, что при значениях т, равных <Г = 9 F , 0
=
2·ГF и т. д.,
'""'ln
-
l'!l
--m
,n
5В. Зак. 2053
121


•.
1
R(т) равно нулю. Но 2F - это интервал между двумя соседними
выборками. Отсюда следует, что входящие в матрицу (3.53') коэф­
фициенты R;k _ равны нулю при i=fk. Иными словами, выборки некор­
релированы. Таким образом приходим к выводу, что в случае энер-
Рис. 3.9 .
гетического спектра W (Cu), отвечающего условию (3.54), определитель
матрицы (3.53') D = 1, а алrе?раические дополнения:
D;k=lприi=k,
= О приi=1=k.
Выражение (3.52) можно при этих условиях переписать
.в
упрощенной форме:
2FmТ 2
1~5k
-
-
~-
р(81, S2, ..., S2F т) = --=--=-~----=====- е 2 k=I о' -
т
2F ТV
2FТ
ат
(21t) т
(3.56)
Как видим, для гауссова процесса с энергетическим спектром,
равномерным в полосе частотО<F<Fт (и равным нулю вне этой по­
лосы), Мl!огомерная плотность вероятностей сово1,упности выборок
равна произведению одномерных плотностей вероятностей отдель­
ных выборок.
Заметим, что показатель степени в (3.56) может быть выражен
через полную энергию сигнала Е. Применяя формулу ' (3 .37) , полу­
чаем
а2
Но Fm = W O - энергетический спектр процесса.
122


Следовательно, окончательно,
Е
р(s1, s2, ...,
s2F т) = ----- e-w;,
т
(Y21t a)2FmT
(3.57)
Отметим, что WO - энергетический спектр, определенный в об ­
ласти положительных частот (см. § 2.12).
При определении энергетического спектра для - oo<ro< +оо
показатель степени должен быть записан в форме ( - 2; 10 ) •
Подставим: выражение (3.56) в (3.49). Заменив log 2 [p(s 1 , s2 , . . : ,s2Fmт)]
сум м ой логарифмов от отдельных вероятносте й и учитывая, что
+оо
-
Jр(s1) log2[р(s1)] ds1 = Н1= coпst,
-00
+оо
-
S р(s2)log2[р(s2)Jds2= Н1ит.д.,
-оо
где Н1 - энтропия одной выборки (одинаковая для любого мо­
мента отсчета), а интеграл
+оо
+оо
J ··· .\ p(s2)p(s3)···P(~2Fmт)ds2 ds3 •·•dS2pmт=l, ·
-
00
-
00
получаем следующий простой результат:
Н=2FmТН1•
(3.58)
Итак, энтропия совокупности из 2Fm Т взаимно независимых
выборок в 2F т Т раз больше, чем энтропия одной выборки.
3.8. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЕМКОСТЬ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА
Обратимся вновь к основному соотношению тео рии информации
(3.1), только учтем, что в случае непрерывного сообщения s под
априорной вероятностью Р1 следует подразумевать вероятность
того, что сообщение заключено в интервале значений между s и
s + Л s. Если плотность вероятностей сигнала есть p(s), то эта
вероятность равна p(s)Лs.
Что следует подраз умеват ь под апостериорной вероятностью Р 2?
Из предыдущего уже ясно, что исходить из допущения об отсу~:ст­
вии помех («идеальный канал связи ») в случае непрерывного сиг­
нала невозможно. На выходе «приемника» н аблюда тел ь распола­
гает смесью сигнала и шума у = s + п, из которой он должен
извлечь инфорrviацию о сигнале s. Можно поэто м у апостериорную
вероятность сообщен ия представить в виде произведения ру (s)Лs,
где py(s) - условная плотность вероятностей сигнала s, когда
известен у.
5В*
123


Вместо формулы (3.1) приходим к следующему выражению:
.
[Py(s)Лs ]
Py(s)
1= 11m log2
()л
= log2-(
-)
•
лs➔о
рs5
рs
(3.59)
Если под сообщением подразумевается не одна выборка непре­
рывного сигнала, а их совокупность, то в выражении (3.59) py(s)
и p( s) должны быть заменены на мно гомерные плотности вероятно­
стей.
Тогда:
/ -1og
1,2
,···· 11
(360)
t.
Ру,
(s1, s2, ..., sп)]
-
2
•
р (si, Sz,
.. , s,,)
•
•
Для краткости в дальнейшем будем пользоваться выражением (3.59),
имея при этом в виду общий случай.
Следует подчеркнуть, что определяемое формулой (3,59) значе­
ние / соответствует одной паре возможных значений s и п. Так как
и сигнал, и помеха м огут принимать бесконечное число различных
не связаннь·rх между собой значений, то для оценки средней инфор­
мации, получаемой при приеме сообщения на фоне шума, нужно
усреднить (3 .5 9) - (3 .60) по всем возможным значениям s и п.
Предварительно желательно так преобразовать (3.59), чтобы
входящие в него функции py(s) и p(s) были заменены плотностями
вероятностей для у, т. е. для того реального напряжения на входе
приемника, с которым наблюдателю приходится иметь дело.
Это можно сделать с помощью известных соотношений теории
вероятностей:
р(s·, у) =Ру(s)р(у)=Р,(У)р(s),
(3.61)
где p(y)dy - вероятность того, что суммарное напряжение у =
= s + п заключено в интервале у, у + dy, когда
переданное сообщение s неизвестно;
p5 (y)dy - та же вероятность, если известно, что переданное
сообщение есть s;
p(s, y)dsdy - совместная вероятность того, что переданное со­
общение s заключено в интервале s, s + ds, а при­
нятое - в интервале у, у + dy.
Очевидно также, что
+со
Jр(s, у)dy= р(s),
-со
+со
124
Sр(s, у)ds= р(у),
-со
+со +со
JSр(s, у)dsdy= 1.
-оо-00
(3.62)
•


Из (3. 61) следует, что
Ру (s)
Ps (У)
p(s) Р(у)"
Подс тавляя этот результат в (3.59), получаем
!= log [ Ps (у)]·
2 р(у)
(3.63)
(3 .64)
Это соотношение определяет количество информации, получаемой
при передаче сообщения s, когда при приеме наблюдателю известна
суммау=s+п.
Заметим, что Ps(Y) по существу есть не ч то иное, как плотность
вероятностей шума п. Действительно, если задана величина сиг­
нала s, то сумма у = s + п распределена по закону помехи п,
наJJоженной на сигнал s. В част ности, для гауссова шума можно
написать [см. (2.86)]:
1 - (у-~)'
1
n'
Р1(п)=Р1(у- s) =у- е
20
=✓-е-202
2тт cr
2ттсr
(3.65)
Таким образом,
Ps(у) =Р1(п)
(3.66)
и выражение (3.64) переходит в следующее:
/= log[Р1(п)]·
2 р(у)
(3.67)
Обратимся теперь к усреднению / по всем возможным значе­
ниям s и п. Операция усреднения осуществляется путем интегриро­
ван ия:
s = +се У=+сс
s= +cc у=+сс
I= J J/р(s; у)dsdy = S Jlog2[P;i;]Jр(s, у)х
s=-oo у=-сс
s= - cc у=-сс
s=+cc У= +сс
Хdsdy = S S log2[р1(п)]р(s, у) cisdy-
S=-
00 у=-00
s= +cc у=+сс
S S log2[р(у)]р(s, у)dsdy.
(3.68)
S=- 00 у=- 00
Как уже отмечалось выше, р 1 (п) не зависит от s и у по отдеJJь­
ности, а зависит только от разности п = у - s.
Учитывая, что в соответствии с соотношением (3.61)
Р(s, у) =Ps(у)Р(s) =Р1(п)р(s),
125


запишем первое слагаемое правой части (3.68) в следующем
виде:
s=+oo у=+оо
S S \og2[p1(п)]р(s, у)dsdy =
S= - 00 у=-00
-
::r: [J:: Р1 (п) log2 fP1 (п)] dп] р (s) ds.
Но внутренний интеграл (в котором dy заменено на dn, так как
при интегрировании по у величина s рассматривается как постоян­
ная) представляет собой взятую со знаком минус энтропию шума
Н(п) [см. (3.41) ]. При стационарном шуме эта энтропия является
постоянной величиной и может быть вынесена за знак интеграла.
Учитывая также , что
s=+oo
S p(s)ds=1,
S= -00
при ходим к выводу, что первое слагаемое правой части выра­
жения (3.68) равно - Н (п).
Обратимся теперь ко второму слагаемому. Используя равен­
+оо
ство J р (s, у) ds = р (у) 1см. (3.62)], можем написать:
-оо
у=+оо s=+oo
S S \og2[р(у)]р(s, у)dsdy=
у=-00 S=- 0 0
У=+оо
S р(у)log2[р(у)]dy=
-
Н (у),
У=-00
где Н (у) - энтропия смеси у= s+ п.
Итак, окончательно,
1= Н(у) - Н(п).
(3.69)
Полученный результат легко истолковывается: средняя инфор­
мация о сообщении s, которую можно извлечь из смеси у = s + п,
равна разности энтропий у и п.
При длительности сигнала Т на одну секунду приходится, в сред­
нем, информация •
1;= ТТ = т\ [Н(у)-Н(п)]дв.ед ..
(3.70)
сек
126


Вычисление энтропии Н(у) для произвольных сигнала и шума
является сложным делом. Нас. однако, в данном случае интересует
лишь информационная емкость сигнала Смаке или, что то же самое,
предельная скорость, с которой можно передавать информацию
при заданных полосе частот ·w, мощности сигнала Р и мощности
шума N. Поскольку известно, что из всех возможных помех мак­
симальной энтропией обладает белый шум, то при вычислении
Смак е логично исходить именно из белого · шума
Это означает, что энтропия
Н (п) = 2wTH1 = 2tvT log2 V2neN,
(3. 71)
где Н 1 - энтропия одной выборки гауссова шума, определяемая
по формуле (3.48), а множитель 2wT есть число нeзaвucUJvtыx выбо­
рок белого шума на отрезке Т [см. (3.32)].
С другой стороны, максимальная и нформационная емкость мо­
жет быть достигнута в том случае, когда и сигнал обладает наиболь­
шей возможной энтропией. Это означает, что сигнал должен обла­
дать свойствами бе!!ого шулш. При использовании подобного сиг­
нала со средней мощностью Р, линейно накладывающегося на шум
со сред ней мощно~тью N, суммарное напряжение у, в силу незави­
си м ости s и п, предс тавляет собой также белый ш ум со средней
(V!CJ[lLHOCTЫO р + N.
Следовательно, энтропия смеси у:
Н(у)= 2wT\og2V2:rte(Р+N).
(3. 72)
Подставляя (3.71) и (3.72) в (3.70), получаем следующее со­
отношение для информационной емкости непрерывного сигнала:
\
Р+N дв.ед.
= W og2 --N- сек·
(3.73)
Это соотношение является одной из важных теоре м Шеннона.
Оно совпадает с приведенным в § 3.4 соотношением (3.23), ко­
торое было получено путем представления непрерывного сигнала
в виде совокупности 2Fm Т выборок, каждая из которых условно
VP+ N
разбивалась на L = 1
различимых уровней (градаций).
JN
Первая из указанных операций - дискретизация непрерыв-
ного сигнала - была использована и при выводе формулы (3 .73).
Вторая же операция, которую можно назвать «квантованием» сиг­
нала на дискретное число различи мых уровнеft, в несколько иной
форме была использована в выражении (3.69). Действительно,
энтропия Н(у) смеси сигнал + ш ум пропорциональна ло гарифму
мощности P+N, а энтропия шума - логарифму N; очевидно, что
i27


образование разности энтропий эквивалентно делению соответ­
ствующих ~ющностей.
Из рассуждений, использованных при выводе формулы (3. 73),
видно, что Смаке является верхним пределом скорости передачи ин­
формации с помощью сигнала, обладающего полосой частот w и
средней мощнос тью Р, при уровне шума N. Для достижения этого
предела сигнал должен обладать свойствами белого шу ма («шумо­
подобный» сигнал).
Другой важный вывод, который можно сделать из полученных ре­
зультатов, заключается в следующем: из всех помех наиболее «зло­
вредной» является помеха типа белого шума, так 1<ак именно белый
шум обладает наибольшей энтропией, возможной при заданной
средней мощности.
Оба эти вывода - об оптимальности шумоподобного сигнала и
о наибольшей «зловредности» шумовой помехи - лежат в основе
современной теории и практики помехоустойчивости радиоприема.


ГЛАВА 4
РАДИОСИГНАЛЫ
4.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основной задачей радиотехники является передача информации
на расстояние. Для этого требуется применение сигналов, которые·
возможно эффективно излучать с помощью ан'тенных устройств и ко­
торые обладают способностью распространяться в виде свободных
радиоволн в среде, разделяющей отправителя и получателя инфор­
ма ции.
Такимисигналами являются высокочастотные 1ю­
леб ания. Передаваемая информация должна быть тем или иным,
способом заложена в высокочастотное колебание, которое обычно,
называетсянесущим колебанием. Частоташ0этогоко­
лебания выбирается в зависимости от расстояния, на которое долж­
на передаваться информация, от условий распространения радио­
волн и от ряда других технических и экономических факторов . Но·
в любом случае частота w0 должна быть велика по сравнению с на­
ивысшей частотой спектра передаваемого сообщения.
Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщения.
через радиотехнические цепи, а также для устранения искаж ений
при распространении радиоволн необ х одимо, чтобы ширина спект­
ра сообщения была мала по сравнению с нес уще й частотой Ф0 ; чем
уже полоса частот сигнала , тем меньше проявляется несовершен­
ство характеристик системы. Поэто му ч~м выше требуемая скорость
передачи информации и, следователь но, шире спектр сообщен ия,
тем выше должна быть нес ущая частота радиосигнала.
Любой радиосигнал можно поэто му трактовать как «узкопо.пос­
ный» процесс, даже при передаче «широкополосных» сообщений.
Приведем следующие примеры. При передаче речи или му­
зыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от F,шн=
= 30750гцдоF"a"c = 3000710ОООгц. Даженасамойдлин­
ной волне вещательного диапазона л=2000 м, при несуще й ча-
f 150
F ,.,акс __,,
104
О06 П
стоте O =
кгц, отношение _ . t-
""' ,15
_
105 =
,
.
ри пере-
о
,
даче тех же сообщений на коротких волнах, при частотах
15 -- 20 Мгц, это отношение не превышает сотых долей одного,
процента.
При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса
частот сообщения весьма широка и достигает 5-6 Мгц, однако
119'


'И 1:1есущая частота выбирается не менее 50-60 Мщ, так что отно­
шевие F,:кс не превышает 1О%.
В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию,
можно представить в виде колебания
а(t)= А(t)cos[ш0t+0(t)]= А(t)cos'ljJ(t),
(4.1)
в котором амплитуда А или фаза 8 изменяются по закону передава­
,емого сообщения.
Если А и 8 - постоянные величины, то выражение (4.1) опи­
сывает простое гармоническое («несущее») колебание, не содержа­
щее в себе никакой информации.
Если А или 8 (а следовательно, и 'ljJ) подвергаются принудитель­
ному изменению с целью передачи сообщения, то колебание a(t)
сетановитсямодулированным.
Процесс управления одним или несколькими параметрами вы­
сокочастотного колебания называется м од ул я ц и ей.
В зависимости от того, какой· из двух параметров изменяется -
.амплитуда А или угол 'ljJ - различают два основных вида моду­
.ляции:амплитуднуюи угловую.
Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на два
вида:частотную и фазовую модуляцию.Этидвавида
модуляции между собой тесно связаны, и различие между ними про­
является лишь в характере изменения во времени угла 'ljJ при одной
'И той же модулирующей функции.
•
Модулированное колебание обладает спектром, структура ко­
тор о го зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от
'Ви да модуляции. То обстбятельство, что ширина спектра модулиру­
ющего сообщения мала по _rравнению с несущей частотой ш 0 , поз­
'Воляет считать A(t) и 8(t) медленными функциями времени. Это оз­
начает, что относительные изменения А (t) и 0(t) за один период не-
-сущего колебания малы по сравнению с единицей.
_
Рассмотрим сначала вопрос" об изменении амплитуды. При ско­
dА
расти изменения dt приращение амплитуды за время одного пе-
-
dA
риода Т0 можно приближенно приравнять п-Т0 . Следовательно,
относительное изменение за период равно
1~1\·ТА =1~1 1•~ •::•
Можно считать, что условие «медленности» функции А (t) выпол­
няется, если
(4.2)
Аналогичным образом можно установить условие медленности
функции 8(t).
130


Так как мгновенная частота колебания равна скорости измене­
ния фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих парагра­
фах), то, дифференцируя аргумент выражения (4.1), находим
d<j, (t)
dO
w(t) =~=wo+ж •
Производная i определяет отклонение частоты w(t) от несущей
частоты w0 . Это отклонение может быть быстрым или медленным.
Для того чтобы колебание a(t) можно было считать · близким к си­
нусоидальному, нужно потребовать, чтобы изменение частоты за
один период Т = "'~;) было мало по сравнению с частотой w(t) в рас ­
сматриваемый момент времени.
Таким образом условие медленности функции 0(t) можно за ­
писать в виде следующего неравенства:
или
1d (dд\lт
сП,dt) «1
"'(t)
1d2О1//"'(t)= _l 2(t)
d/2 "-" -
Т 2,tш
•
Так как обычно w(t) очень мало отличается от w0 , можно исхо­
дить из условия
(4.3)
Для большинства используемых в радиотехнике сигналов нера­
венства (4.2) и (4.3) 0!5ычно выполняются. Это означает, что при лю­
бом виде модуляции параметры радиосигнала - амплитуда, фаза
и частота - изменяются настолько медленно, что в пределах од­
ного периода Т0 колебание можно считать синусоидальным.
Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмотре­
ния свойств радиосигналов и их спектров.
4.2. РАДИОСИГНАЛЫ С АМПЛИУУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Амплитудная модуляция является наиболее простым и очень
распространенным в радиотехнике способом заложения информа­
ции в высокочастотное колебание. При амплитудной модуляции
огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону,
совпадающему с из ;vrенением передаваемого сообщения, частота же
и начальная сЬаза колебания поддеоживаются неизменными. Мож­
но поэтому дJ~я амплитудно-модул~рованного радиосигнала общее
выражение (4.1) заменить следующим:
а(t)=А(t)cos(w0t+00).
(4.4)
131


Характер оr:ибающей А (t) определяется видом передаваемого ' сооб­
щения.
При непрерывном сообщении (рис. 4.1, а) модулированное ко­
л ебание приобретает вид, показанный на рис. 4. 1, 6. Огибающая
А (t) изменяется по закону, воспроизводящему сообщение s(t) .
Рис. 4.1,6 построен в предположении, что постоянная составляю­
щая функции s(t) равна нулю (в противоположном с.11учае А0 может
не совпадать с амплитудой немодулированноrо колебания) . Наи­
большее изменение А (t) «вниз» не может быть больше, чем ам пли­
туда несущего колебания А 0 . Изменение же «вверх» может быть, в
принципе, и больше А 0 .
s(tj
\а) ~
~
--- .
t'
A(t)
..
/j}
t
Рис. 4.1.
Для сохранения формы сообщения максимальное изменение
А (t) не должно по абсолютной величине превышать А 0 . Это озна­
чает,что глубина модуляции амплитудыне должна
превышать 100 %.
Определение понятия «глубина модуляции» особенно наглядно
для случая тональной модуляции, когда модулир ующая функция
s(t) является гармоническим колебанием:
s(t)=S0cos(Qt+у).
Огибающая модулированного колебания при этом может
быть записана в виде
А(t)= Au+ks(t)= А0+ЛАтcos(Qt+'У),
(4.5)
131


где Q - частота модулирующей функции;
у - начальная фаза огибающей;
k - коэффициент пропорциональности, а ЛАт = kS 0 - ам­
плитуда изменения огибающей (рис. 4.2).
Отношение
М=Л~т
Ао
называетсякоэффициентомrлубинымодуляции
ил1:!простакоэффициентом модуляции.
t
Рис. 4.2 ,
Таким образом, мгновенное значение модулированного колеба­
ния можно записать в форме
а(t)=А0[1+Мcos(Qt+у)\cos(w0t+00).
(4.6)
..
' При неискаженной модуляции (М < 1) амплитуда колебания
изменяется в пр еделах о~ минимальной
А,,ин=Ао(1- М)
до максимальной
А"й~с=А0(1 +М).
В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя
за период высокой частоты мощность модулированного колебания.
Пикам огибающей соответствует мощность, в (1 + М) 2 раз боль ­
шая, чем мощность несуще~о колебания. Средняя же за период мо­
дуляции мощность, пропорцио нальная cpeднeivry 1 квадрату ампли­
туды А (t),
А2(t)= А6[1+Мcos(Ш+у)]2=А6(1+0,5М2), (4.7)
1 Среднее значение cos (Ot + 1) за период модулирующей частоты рав­
но нулю, а среднее значение cos 2 (Qt + ·r) равно 1/2 . Черта над функцией
означает операцию усреднения по вре~1ени.
133


превышает мощность несущего колебания всего лишь в (1 +О,5М 2}
раз. Таким образом, при стопроцентной модуляции (М = 1) пико­
вая мощность равна 4Р 0 , а средняя мощность 1,5Р 0 . (Через Р 0 обо­
значена мощность несущего колебания.) Отсюда видно, что обус­
ловленное модуляцией приращение мощности колебан'ия, которое
в основном и определяет условия выделения сообщения при приеме,
даже при предельной глубине модуляции не превышает поло­
вины мощности несущего колебания.
При передаче дискретных сообщений, представляющих собой
чередование импульсов и пауз (рис. 4.3, а), модулированное коле­
бание имеет вид последовательности радиоимпульсов, изобра_женных
на рис. 4.3, 6.
а;
1
j (t}
.,.
t
5)
Рис. 4.3.
При этом имеется в виду, что радиоимпульсы к о г ере н т­
н ы, т. е. высокочастотные заполнения импульсов представляют
собой отрезки одного непрерывного гармонического колебания.
Только при этом условии показанную на рис. 4.3, 6 последователь­
ность радиоимпульсов можно трактовать как колебание, амплитуда
которого модулирована сообщением s(t). Заметим, что в практике
для передачи радиоимпульсов часто используются устройства, ос­
нованные на прерывании работы автогенератора. При этом началь­
ные фазы заполнения в каждом из импульсов «привязаны» к его
переднему фронту. Несмотря на то, что огибающая A(t) может
совпадать с огибающей когерентных радиоимпульсов, получаемое
при таком режиме работы колебание обладает существенно иными
свойствами и должно рассматриваться не как модулированное, а как
манипулированное.
4.3. ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА
Пусть задано высокочастотное колебание, относительно кото­
рого известно, что частота w0 и начальная фаза 00 - величины по­
стоянные, а огибающая A(t) содержит в себе передаваемое сооб­
щение s(t).
134


Аналитиче с ки такое колебание может быть представлено с по­
мощью выражения (4.4).
Требуется установить с в язь между спектром модулированного
колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром:
исходного сообщения s(t).
Проще и нагляднее всего это можно сделать для случая тональ­
ной (гармонической) модуляции, когда огибающая
А(t)=А0[1+Мcos(Qt+ у)],
а модулированное колебание оп ределяется выражением (4.6):
Перепишем последнее выражение в форме
а(t) =А0[cos(ro0t+ 60) + Мcos(Ш+ у)cos(ro0t+ 60)].
Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся
продуктом модуляции, может быть приведено к виду
Мcos(Ш+ у)cos(ro0t+ 00) =
~cos[(ro0+ Q)t+(60+ у)]+~cos[(w0- Q)t+(60- у)],
ПOCJle чего развернутое выражение для a(t) принимает вид
а(t)=А0cos(w0t+60)+м:оcos[(w0+ Q)t+60+у]+
+ м;о cos[(Wo - Q)t+6o - Y]-
(4.8)
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание с «несущей» частотой wo. Второе и
третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим),
появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих
колебаний wo + Q и wo - Q называются «верхней» и «нижней»
боковыми частотами модуляции.
Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от
~
м
амплитуды немодулированного _ колеоания долю, равную 2 , а их
фазы симметричны относительно фазы несущего колебания. Это
илтострируется векторной диаграммой, представленной на рис. 4.4.
На этой диаграмме ось времени вращается по часовой стрелке
с угловой частотой wo, причем отсчет угла wot ведется от линии ОВ.
Поэто~1у несущее колебание Aocos(wot + 80) изображается на этой
диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной А о, составляюще­
го с горизонталью угол 80. Мгновею~ое значение несущего колебания
в момент t равно проекции вектора Ао на ось времени (отрезок ОК) .
Для представления на этой же диагра мме колебания с частотой
roo + Q, превышающей у гловую час'тоту вращения оси времени на
вели.чину О, необходимо воспользоваться вектором, враща ющимся
135


,с угл овой частотой ~2 против часовой стрелки (вектор DC1). Для
изображения колебания с частотой wo - Q потреб уется вектор, вра­
щающийся с та кой же скоростью Q по часовой стрелке (вектор DC2) .
Поэтому колебан ия боковых частот - вер х ней и нижней
-
изобра-
"
МА0
жаются двумя ве к тор ам и длинои 2 , вращающимися во взаимно
противоположны х направлениях. Фазировка этих векторов сим­
,метричн а относительно вектора несущего колебания Ао. Это еле-
1
1
'
'1
Рис . 4.4.
8
о
Рис. 4.S .
дует из выражения (4.8), которое для большей наглядности це­
Jiесообразно записать в несколько видоизмененной форме:
МА
а(t)=Aucos(w0t+00
)
+Тcos[(w0t+00
)
+ (Qt +'У)]+
МА
+Тcos[(w0t+00 )
-(Ш+ у)] .
Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе оги­
бающе й у векторы DC1 и DC2, соответств у ющие колебаниям верх­
не й и нижней боковых частот, занимают симметричное относитель­
но вектора OD положение, причем векторы боковых частот обра­
зуют с в·ектором нес у щей частоты углы, равные ±(Qt + у). На
рис. 4.4 начала векторов DC1 и DC2 перенесены из точки О в точ­
ку D. Равнодействующий ве ктор DF, являющийся геометриче­
,ск ой суммой векторов DC1 и DC 2 и называемый вектором моду­
ляц ии, всегда располагается на линии OD, вследствие чего сумма
'Всех трех колебаний - несущей и двух боковых частот
-
может
рассматриваться как· колебание с постоянными начальной фазой
и частотой, но с модулированной амшштудой.
136


Попутно заметим, что если в результате прохождения через
электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний бо­
ковых частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего
колебания, то возникает качание вектора, представляющего резуль­
тирующее колебание, относительно направления OD. Это равно­
сильно воз1:1икновению паразитной фазовой модуляции.
1
п
ш
!У
V
i'
"'
С1
i'
<{
'
<: с,
С,DС1
~~'f;
С7DС,
:::
11
"'
D
S(
11
,,
~Ао
<а;:
10
,о
1
' ,fТ
....l
-
_
_____,..
'
Qt
~--'-+-+-++-++-+..._.--+-<---+-<,_._.....,_._._........._._.,+++-++-+--+->--
1.,Jo f
Рис. 4.6.
Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто
амплитудной модуляции. Допустим, что начальная фаза высоко­
частотного колебания 80 = 90°. Тогда векторная диаграмма при­
мет вид, показанный на рис. 4.5 . Если при Qt = О векторы боковых
частот DC1 и DC2 направлены вверх (положение 1 на рис. 4.6), то
огибающая амплитуд проходит в этот момент через свое максималь­
ное значение Ao(l + М). Этот случай отвечает начальной фазе
огибающей у= О [уравнение (4.6) ], и уравнение огибающей будет
А(t)=А0(1+МcosQt).
Если же в момент Qt = О векторы DC1 и DC2 занимают гори­
зонтальное положение, то равнодействующая проходит через зна-
чение, равное Ао. В этом случае начальная фаза огибающей у = ~
и уравнение для огибающей будет
А(t)=А0(1+МsinQt).
137


Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции
по~азана на рис. 4.7. Ширина спектра в этом случае равна удвоен­
нон частоте модуляции 2Q, а амплитуды колебаний боковых частот
не могут превышать половины амплитуды немодулированного коле-
бания (при М < 1).
•
Полученные результаты нетрудно распространить на случай
модуляции любым сложным сигналом. Картину образования спект­
ра амплитудно-модулированного колебания проще всего пояснить
Ао
МА0
т
сначала на примере, когда моду­
лирующее сообщение s(t) является
суммой двух тонов:
S(t)=S1cosQlt+S2cosQ2t.
По аналогии с выражением (4 .5)
получаем
tAJo-O
Cuo
wo+Q uJ
А(t) =Ао+ЛАт,COSQ1t+
+ЛАт,cosQ2t =Ао[1+
+М1cosQlf+М2cosQ2t].
---20
-
Рис. 4.7 .
Подставляя это выражение в уравнение (4.4) и производя три­
гонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были
использованы при получении уравнения (4.8), придем к следующему
результату (начальные фазы несущего колебания и модулирующих
напряжений здесь для упрощения опущены):
а(t)=А0cosu>0t+М1/0cos(u>0+Q1)t+
+Mi/o COS(w0-'- Q1)t+М2/°COS(u>o +Q2)t+
+М2/0cos(w0 - Q2)t.
Из полученного выражения следует, что каждая из частот Q1
и Q2 образует свою тональную модуляцию, сопровождающуюся воз­
никновением пары боковых частот, причем этот процесс являетс·я
линейным в том смысле, что амплитуды и фазы боковых частот от
различных модулирующих напряжений взаимно независимы. (По­
СJ,!еднее свойство сохраняется при условии, что суммарное изме­
нение огибающей «вниз» не превышает 100%).
Перейдем теперь к общему случаю, когда s(t) является неперио­
дическим сигналом конечной длительности, а модулированное сооб­
щением s(t) колебание· описывается выражением (4.4).
Применяя к последнему преобразование Фурье, получаем
+оо
+оо
Sa(w)= 5 a(t)e:_iwtdt= 5 A(t)cos(w0 t+00)e-i"' 1 dt . (4.9)
-00
-00
138


Здесь через Sa (ш) обозначена спектральная плотность радио­
сигнала с амплитудной модуляцией. Эта функция определена для
положительньiх, и отрицательных частот w.
и,
1.
1.
спользуя соотношение cos х = 2 е 1 х + 2 е- 1 х, перепишем вы-
ражение (4 .9) в иной форме:
-оо
-00
(4 .9')
Замечаем, что первый интеграл есть не что иное, как спек­
тральная плотность огибающей А (t) для частоты ш - ш0 , а вто­
рой интеграл - для частоты ш+ш 0 • Обозначив эти спектральные
плотности через Sл(ш - ш0) и Sл(ш + ш0), получаем:
eiB 0
e-i00
sa(w) =-2-Sл(ш- ffio)+ - 2
-
Sл(ш + Шо),
(4.9")
Так как огибающая А (t) совпадает по форме с s(t), то выра­
жение (4 .9") фактически устанавливает связь между спектром
s(t) и спектром колебания a(t).
Спектр сообщения S(Q) группируется вQлизи нулевой частоты.
Поэтому слагаемое Sл(w-w0 ) существенно отличается от нуля при
частотах w, близких к w0 , т. е. когда разность ш - ш0 = Q относи­
тельно мала. Аналогично слагаемое Sл(ш + ш0) существует при
частотах, близких к - w0 •
•
eiBo
e-i00
Графики модулей слагаемых - 2 Sл(ш- ш0) и -2-Sл(ш +
+ ш0) изображены на рис. 4.8, а.
В результате спектральная плотность модулированного колеба­
ния Sа(ш) образует два всплеска: вблизи ш = шо и ш = -шо.
Таким образом, в области положительных частот можно считать
(4.1 О)
или, учитывая, что ш - ш0 = Q,
(4.10')
Из этого соотношения вытекает ме,:год определения спектральной
плотности амплитудно-модулированного сигнала по спектральной
плотности исходного сообщения S(Q). Для этого достаточно заме-~
нить в S(Q) [или, что то же самое, с точностью до постоянного коэф­
фициента, в Sл(Q)] частоту Q на ш - шо и ввести коэффициент 1/2,
учитывающий тот факт, что каждый из компонентов спектра s(t)
139


образ ует дв е боковые частоты в спектре м одулированного кол еба•
ния, симметричные относительно wo . Кроме того, должен быть вве­
ден множитель ei80, учитывающий фазу высокочастотного запол­
нения .
0)
о
о
Рис. 4.8.
S(Q)
Q
.
На рис . 4.8, б изображена спектральная плотность S(Q) исход-
ного сообщения s(t).
.
Как следует из сказанного ·выше, формы кривы х S (Q) и
SA(w- w0) [или SA(W + w0)] практически совпадают.
1,0
-
__ 7i___
1
'1'
1
11
1
а).
01
1t
.,
1
'
11
L
1'
_.......__
2Я/и.1о
1,0
-
-~
'1
'1
11
1
/1
б) о,
t
1
1,
l...
_
_
...J,.L __
-112 1
о
1
и_
1
т
Рис. 4.9.
Рис. 4.10 .
140


Поясним соотношение (4.10) простыми примерами.
Пусть огибающая А (t) представляет собой единичный скачок,
а начальная фаза сигнала 80 = О (рис. 4.11, а), т. е. высокочастот­
ное колебание определяется выражением
а(t)=cos(J)0t приt>О,
=О
при t<О.
Спектральная плотность единичного скачка (огибающей) равна
[см. выражение (2.41)]
1
S(Q)=-ш·
Следовательно, считая, что коэффициент пропорциональности
между огибающей и исходным сообщением равен единице, получаем:
1
1
Sa(ro)=-
2•.(
)'
(4.11)
t"'-
"'о
Если колебание з_адано в форме (рис. 4. 9, 6):
а(t)=siпш0t при t>,О,
=О
при t<О,
0
7t
то следует считать 0 =
-
2, e-i"/2 =
-
iи
1
Sa(ro)=-2 .---
w- WQ
(4.11')
Наконец, в случае радиоимпульса с прямоугольной огибаю­
щей и постоянной частотой заполнения (при 00 = О, рис. 4.1 О):
sin [( "'-'"o)'t]
S()1.
.2
a(J);:::::::-2.
(
)
"'-
"'о
(4.12)
2
График спектральной плотности, вычисленный по . этой формуле,
изображен на рис. 4.11. От аналогичного графика спектра «видеоим-
S(r,,JJ
1
1 21'
Сиог r
1
Рис. 4.11 .
141


пульса»,• показанного на рис. 2.20, он отличается сдвигом точки
отсчета частоты на величину wo и снижением вдвое масштаба
ординат .
В заключение рассмотрим во п рос об автокорреляционной функ­
ции амп;1IИтудно-модулированного сигнала. Установленные выше
временные и спектральные свойства таких сигналов позволяют _
легко найти связь между автокоррешщионными функциями моду­
лированного колебания и его огибающей.
Пусть задан радиоимпульс с постоянной частотой заполнения
wo и с огибающей A(t) .
Применяя общее выражение (2.107), определяем автокорреля­
ционную функцию
+оо
'Фа ('~:)= S A(t)A(t-т)cosw0 t-cos[w0 (t-т)] dt. (4 . 13)
-оо '
Преобразовав произведение косинусов по формуле
1
1
cosw0tcos[w0(t- т)] =2cosw0,:+2cosw0,:cos2w0t+
получаем
+tsinw0,:sin2w0t,
+оо
'Фа(т)= со~"'о 't SА(t)А(t- т)dt+
-
00
+оо
+cos;o't S A(t)A(t-т)cos2w0 tdt+
-
00
+оо
+ sin2"'0 't JА(t)А(t-- т) sin2w0 tdt.
-
00
.
По условию, огибающая А (t) является «медленной функцией».
Это означает, что за один период частоты wo функция А (t) практи­
чески не изменяется . Таким образом, подынтегральные функции
во втором и третьем интегралах представляют собой каждая произ­
ведения медленной функции на быстро осциллирующий множитель
cos 2 wot или sin 2wot.
•
Интеграл от такой функции близок к нулю, так как площади
положительных и отрицательных полуволн взаимно уничтожаются .
Можно поэтому исходить из приближенно го равенства
+оо
'Фа(,:)::::=: cos;o't S A(t)A(t-т)dt.
(4.13')
-00
142


Но интегральный множитель в этом выражении есть не что иное
как аsтокорреляционная функция огибающей расс.матривае.мого,
радиосигнала. Обозначив эту функцию через 'ФА(•), получаем окон­
чательно:
(4. 14)
Итак, автокорреляционная функция амплитудно-моду~ирован­
ного радиосигнала равна п роизведению корреляционных функций
огибающей и высокочастотного заполнения.
К этому результату нетрудно прийти и с помощью спектраль­
ного рассмотрения. В § 2.14 были найдены соотношени·я между
спектральной плотностью сигнала и его автокорреляционной функ- .
цией [см. выражения (2.130) - (2.131) ].
Основываясь на этих соотношениях, можно записать:
00
'Фа ('t) = { S[Sa (ro)] 2 cos roтdro.
о
Так как при чисто амплитудной модуляции спектр модулиров,щно­
го колебания, совпадая по своей структуре со спектром огибающей,
сдвинут по оси частот на величину roo, произведем в выражении для
'Ра(•) замену переменных Q = ro - roo · и используем полученное
выше соотношение (4.10') . После этого получим
+оо
'Фа(т)= :1t S[SA(Q)]2cos (ro0 +Q) тdQ ~
-00
+оо
cosw1:
1s
=-2
-
0-
·2it [SA(Q)] 2 cosQтdQ-
-
oo
+оо
---
sin "'о 't _1 s[SA(Q)j2 sin QтdQ = cos "'о 't ''' 4(Т)
.
2 21t
2 't'-
'
-00
так как второй интеграл . равен нулю вследствие нечетности
подынтегральной функции, а
+оо
2~ S [SA_(Q)] 2 cos QтdQ = 'ФА (т).
-00
- 143


Отметим также, что замена предела интегрирования -wo на - =
возможна вследствие того, что спектр амплитудно-модулирован­
ного колебания группируется в очень узкой по сравнению
а)
6;
1_
1
1
1
'-
1 ,,,
.j .,
Рис. 4.12 .
1
т~
1
1
t
r
с величиной w0 полосе
частот.
Таким образом, как
и следовало ожидать,
мы получили результат,
тождественный выраже­
нию (4.14), которое по­
казывает, что автокор­
реляционная функция
амплитудно-модули р о­
ванного сигнала всегда
имеет вид колебани·я с
частотой wo; огибающей
этого колебания являет­
ся автокорреляционная
функция 'Фл(~:) (с коэф­
фициентом l/2). Так,
например, для радиоимпульса, показанного на рис. 4.12, а,
автокорреляционная функция имеет вид, изображенный на
рис. 4.12, 6, независимо от начальной. фазы заполнения импульса.
Огибающая этой функции совпадает с автокорреляционной функ­
цией прямоугольного видеоимпульса (см § 2.13, рис. 2.32).
'.
,
4.4. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. ФАЗА Н МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ
В случае простого гармонического колебания
а(t) =А0cos(w0t+00) = А0cos'Ф(t)
н.абег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t = t 1
доt=t2равен
'ljJ(t2)-'Ф(t1) = (w0t2 + 00) 2..1 (w0t1·+ 00) = w0(t2- t1). (4.15)
Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за
какой-либо промежуток времени пропорционален длительности
этого промежутка .
С другой стороны, если изве~тно, что набег фазы за время t2 -
-
t1 равен 'ljJ(t2)-'ljJ(t1), то угловую частоту можно определить как
отношение
(4.16}
если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого
промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.
Из (4.16) видно, что угловая частота е<;ть не ~то иное, как ско­
рость изм,енен.ця фазы колебания ,
144


Переходя к сложному колебанию, у которого частота может из­
меняться во времени, необходимо равенства (4.15)-(4.16) заменить
интегральным и дифференuиальным соотношениями:
t,
'Ф(t2) - 'Ф(t1) = Sw(t) dt;
(4.17)
1,
(t)=dt(t)
w
·
dt•
(4.18)
В этих выражениях w(t) = 2лf(t) - мгновенная угловая частота
колебания. Со ответственно f(t) - - мгновенная частота в герцах.
Согласно выражениям (4 . 17)-(4.18) полная фаза высокочас ­
тотного колебания в момент t может быть определена как
1
')) (t) = Sw(t) dt = Sw(t)di +00,
(4.19)
о
_ где первое слагаемое в правой части дает набег фазы за время
от начала отсчета времени до рассматриваемого момента t, а
00 - начальная фаза колебания (в момент t = О) .
При таком подходе фигурирующая в выражении (4 . 1) фаза
ч, (t) = w0 t + 0 (t) должна быть заменена на
(4 .19')
Итак, общее выражение высокочастотного колебания, ампли­
туда которого постоянна, т. е. A(t) = Ао , а аргумент ч,(t) модули­
рован, может быть представлено в форме
а(t)=А0cos[w0t+0(t)+00].
(4 .20)
Из соотношений (4.18) - (4.19) следует, что изменение фазы ко ­
лебания во времени по закону ч,(t) приводит к из,иененuю мгновенной
частоты по закону производной от ч,{t) , а изменение мгновен.ной. ча-,
стоты по закону w(t) приводит к изменению фазы по закону инте­
грала от w(t).
Это положение, являющееся основным для теории угловой мо­
дуляции, определяет связь между изменениями частоты и фазы и
ук~азывает на общность, существующую между двумя разновидно­
стями угловой модуляции - модуляцией частоты и модуляцией
фазы. •
Следует отметить, что определение периода колебания Т как
величины , обратной частоте f, имеет смысл только при условии, что
f - постоянная вел ичина . В сл у чае же , когда частота f(t) является
непрерывной функцией времени, величина !(~) также является н·е­
прерывной, между те м как период Т явл я ется дискретной величи­
ной. Дtйствител ьно, под периодом Т подразумевается время, в те-


чение которого фаза колебания изменяется на 2л. При представ­
лении колебания в виде вектора, вращающегося с угловой частотой
w(t) = 2лf(t), Т равно времени одного полного оборота вектора.
Ясно, что это время не обязательно совпадает с величиной JZI)'
поскольку сама величина [(!)изменяется внутри рассматриваемого
интервала времени Т. Поэтому, говоря о мгновенной частоте f(t),
следует в общем случае отказаться от представления, что период
.
1
колебания равен f(t)' Лишь в тех случаях, когда имеется в виду
очень медленное изменение частоты f(t), определение Т как вели-
!
"
б
чины f(t) не приводит к существеннси оши ке.
Поясним соотношения (4.18)-(4.20) на примере простейшей
гармонической частотной модуляции, когда мгновенная частота
. колебания
определяется выражением
w(t) = ш 0 + wдcosQt.
(4.21)
Здесь wд = 2лfд представляет собой амплитуду частотного откло­
нения. Для краткости wд в дальнейшем будем называть д е в и а·­
цией частоты илипростодевиацией. ЧерезwoиQ,
как и в случае амплитудной модуляции, обозначены несущая ча­
стота и модулирующая частота.
Составим выражение для мгновенного значения колебания (то­
ка или напряжения), частота которого изменяется по закону (4.21),
а амплитуда постоянна.
Подставив в (4.19) w(t) по уравнению (4.21), получим
t
\jJ(t) = J(w0 +ffiдcosQt)dt + 00•
о
Выполнив интегрирование, находим:
\jJ(t)= w0t+~sinQt+00•
Таким образом,
а(t)=А0cos[w0t+""t sinQt+00] •
(4.22)
(4 .23)
Фаза колебания a(t) наряду с линейно возрастающим слагаемым
ffJ 0 t содержит еще периодическое слагаемое [f sin Qt. Это позволяет
рассматривать a(t) как колебание, модулuроваю-юе по фазе. За_к_он
этой модуляции является интегральным по отношению к исходной
частотной модуляции. Именно, изменение частоты по закону
wд Co$Qf привоАИТ 1{ ~_зме_не1-щю фазы по закону i sin Qt,
144


Амплитуду изменения фазы
"'д
0макс =/о = т
(4 .24)
частоназываютиндексом уrловой модуляции.
Замети м , что индекс модуляции совершенно не зависит от сред­
ней (немодулированной) частоты wo, а определяется исключительнс
величин ой девиации wд и модулирующей частотой Q.
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабиль­
ное по частоте и фазе колебание пропускается через устройство,
ш
"'
~~
~:::---<r-~"'
с:,
-~
,,. ..,
1[ //
~~
~ о~.,, ~ .,.,
Jс;
.. ..
fs-? . Оо,
, !'>
f-8(t
~,
,,.
~'?
S'<9 <'
'1.
• q,г'~,
, . ei-10\{c 1
~ ~\;1)..," ~
',✓
1
~.;>
, ,, ,,/Q.'t
·,
1
t\.-
'-
.....
'
' ....
о
Рис. 4.13.
осуществляющее периодическую модуляцию фазы по закону 8(t) =
-
8 макс siп Q t, та к что колебание на выходе устройства имеет вид:
а(t)=_А0cos[w0t+0максsinQt+0о],
(4.23 ')
Какова частота этого колебания? Применяя выражение (4 . 18) ,
находим
ffi(t)=ft[ffiot+0максsinQt+0о]= ffio +0максQCOSQt. (4.21 ')
Учитывая соотношение (4 .24) , приходим к выводу, что
0макс ·· Q = ffiд, Таким образом, гармоническая модуляция фазы
с индексом 0 м ак с эквивалентна частотной модуляции с девиацией
ffiд=0мат<с. •Q.
Из приведенного примера видно , что при гармонической угло­
вой модул яции по х арактеру колебания нельзя заключить, с какой
модуляцией м ы имеем дело - с частотной или фазовой.
В обои х сл у чая х вектор ОА , изображающий на кр у говой ди­
аграмме модулированное колебание, качается относительно своего
исходного положения таки м образом , чт<_:> угол 8 (рис . 4.13) из­
меня ется во вре мени по закон у:
0 = 0макс sin Qt при фазовой модуляции,
147


0 = "'д ·sin Qt = 0макс sin Qt при частотной модуляции (по закону
Q
Лсо = сод cos Qt).
В то же время различие между частотной и фазовой модуляцией
проявляется при изменении частоты .модуляции.
Пpu частотной модуляции величина девиации сод пропорцио­
нальна амплитуде модулирующего напряжения И и не зависит от
частоты модуляции Q .
При фазовой же модуляции величина 8макс пропорциональна ам­
плитуде модулирующего напряжения И и не зависит от частоты
модуляции.
Шд,
В макс
о
о
о
Рис. 4.14.
Рис. 4.15.
Эти положения поясняются рис. 4. 14 и 4.15, на которых пока­
заны частотные характеристики для величин сод и 8ыакс при частот­
ной и фазовой модуляции . В обоих случаях предполагается, что на
вход модулятора подается модулирующее напряжение с неизмен­
ной амплитудой, а частота Q изменяется от Q,шн до Q,,акс·
В первом случае, т. е . при частотной модуляции, величина ш;,
зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды И, будет
постоянной величиной. Величина же индекса модуляции, т. е.
т = ;н = 8макс• с увеличением частоты будет убывать (рис. 4.14).
Во втором случае, т. е. при фазовой модуляции, 0,., акс не завттсит
от Q, а сод = 0макс Q изменяется пропорционально частоте модуля­
ции (рис. 4.15).
Если на вход модулятора подается не гармоническое, а слож ­
ное напряжение, то структура модулированного колебания различ­
на при ЧМ и ФМ. В первом случае медленным измененю1м сигнала
(т. е . низким частотам) соответствуют очень большие значения
8,.,ai;c (рис . 4.14), а во втором, т. е. при фазовой модуляции, - очень
малые значения сод (рис. 4.15).
Поясни м это на примере. Пустh на вход частотного и фазо­
вого модуляторов подается одинаковое I:Iапряжение, частота
148


которого изменяется в пределах от Fмин = 2OU гц до f'макс =
= 2 ООО гц. При частотной модуляции {д = 20 кгц, а при фазовой
модуляции 0мак с = 0,5 рад, причем эти величины при заданной
и неизменной амплитуде И остаются неизменными в полосе от
200 до 2000 гц. Тогда при ЧМ максимальное значение фазового
отклонения при f' мин будет равно
е
{д
20 ООО
макс=F = -200 =100рад.
мин
Минимальное же значение фа :ю вого отклонения при F макс
будет
0мин = _ь__ == 1О рад.
F макс
При фазовой модуляции минимальная девиация, равная
{дмнн = 0 макс fмнн = 100 гц, будет при наинизшей частоте модуля­
ции F мнн• Максимальная же девиация, равная f д макс =0макс F макс=
= 1000 щ, будет при наивысшей частоте модуляции fм акс•
Помимо различия в структуре колебания (при модуляции слож­
ным сигналом), частотная и фазовая модуляции различаются по
способу осуществления . В первом случае обычно применяется пря­
~iюе воздействие на частоту колебаний генератора. В случае же фа ­
зовой модуляции генератор дает стабильную частоту, а фаза ко­
лебания модулируется в одном из последующих элементов устрой­
ства.
4.5 . ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ.
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть задано колебание
а(t) =Аоcos[Wot+е(t)],
(4.25)
относительно которого известно, что передаваемое сообщение s(t)
заложено в функции 0(t). Если колебание a(t) получено с помощью
фазовой модуляции, то 0(t) и s(t) полностью совпадают по форме
и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, оче­
видно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спект­
ры функций 0(t) и s(t). В случае же частотной модуляции функ­
ция 0(t) является интегралом от передаваемого сообщения s(t).
Это вытекает из выражений (4.19) и (4 .20). Так как интегрирование
является линейным преобразованием, то при частотной модуляции
спектр функции 8(t) состоит из тех же компонентов, что и спектр
сообщения s(t), но с измененными амплитудами и фазами.
Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции -
фазовой или частототной - и считая известным и заданным спектр
функции 8(t), постараемся найти спектр модулированного коле­
бания a(t) . С этой целью преобразуем выражение (4.2 3) к виду
а(t)=Aucos0(t)cosw0t- А0siп0(/)s;nUut.
(4.26)
149


Из (4.26) следует, что модулированное по углу колебание можно
рассматривать как сумму двух «квадратурных» колебаний вида
cosw 0 t и siпw 0 t, каждое из которых модулировано по амплитуде.
Но в § 4.3 было установлено, что для определения спеюра ампли­
тудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту
wo спектр огибающей амплитуд . Следовательно, для нахождения
спектра колебания a(t), определяемого выражение м (4.26), необ­
ходимо сначала найти спектры функций cos0(t) и siп0(t), которые
являются огибающими квадратурных колебаний . Перенос этих
спектров на частоту wo может быть затем осуществлен таким же
образом, как и при обычной амплитудной модуляции.
Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же
передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по
углу, значительно сложнее, чем при .модуляции по амплитуде.
Действительно, так как cos0(t) и sin0(t) являются нелинейными
функциями своего аргумента 0(t), то спектры этих функций могут
существенно отличаться от спектра функции 0(t): возможно возник­
новение кратных и комбинационных частот, как это имеет место
при обычных нелинейных преобразованиях спектра.
Это обстоятельство, а также наличие двух «квадратурных» сла ­
гаемых показывает, что при угловой модуляции спектр модулиро­
ванного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сооб­
щения на величину несущей частоты wo, как это имеет место при
амплитудной модуляции. Связь между спектрами сообщения и
модулированного колебания оказывается при угловой модуляции
более сложной.
4.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Приложим полученные выше результаты к колебанию вида
а(t)=А0cos(w0t+тsinQt).
(4. 26 ')
Это выражение совпадает с (4.23) и (4.23'). Начальная фаза 0о,
а также начальная фаза модулирующей функции 'У опущены для
упрощения выкладок. В случае необходимости они легко могут
быть введены в окончательные выражения.
В данном случае 0(t) = т sinQt. Подставляя 0(t) в выражение
(4.26), получим
а(t)=А0cos(тsinШ)cosш0t- А0siп(тsinQt)sinш0t. (4.27)
Учитывая, что множители cos(m sinQt) и sin(m sinQt) являются
периодическими функциями времени, разложим их в ряды Фурье.
В теории бесселевых функций доказываются следующие соот­
ношения:
150
sin(тsinQt)" = 2J1(т)sinQt+2J3(т)sin3Qt+
+2J5(т)sin5Qt+...,
(4.28)


cos(тsinQt)= 10(т)+212(т) cos2Qt+
+214(т) cos4Qt+...,
sin(тcosQt)= 2J1(m)cos~?,t - 213(т) cosЗQt+
+215(m)cos5Qt-
... ,
cos(тcosQt)= 10(т) - 212(т)cos2Qt+
+214(m) cos4Qt-
...
(4.29)
(4.28')
(4.29')
Здесь 1п(т) - бесселева функция первого рода п - го порядка от
аргумента т.
С помощью соотношений (4.28) и (4.29) уравнение (4.27) может
быть приведено к виду
а(t)=А0[10(т)cosw0t-211(т)siпQtsinw0t+
+212(m) cos2Qtcos.w0t - 213(m) sinЗШ_sin w0t+ ...] (4.30)
или в более развернутой форме:
a(t)= А0cos(w0t+тsinQt)= А0(10(т)cosw0t+
+ 11 (т) [cos(w0 + Q)t- cos(w0 -Q)t] +
+J2(т)[cos(w0+2Q)t+cos(w0- 2Q)t]+
+13(m)[cos(w0 +ЗQ)t- cos(w0 - ЗQ)tJ+
+ .................
·1·
(4.31)
Таким образом, при частотной и фазовой модуляции спектр
колебания состоит •из бесконечного числа боковых частот, распо­
ложенных попарно симметрично относительно несущей частоты w0
и отличающихся от последней на пQ, где п - любое целое число.
Амплитуда п-й боковой составляющей равна Ап = J 11 (m)Ao, где Ао -
амплитуда немодул ированного колебания, а т - индекс модуля­
ции.
Отсюда следует, что «удельный вес» различных боковых частот
определяется величиной т.
Рассмотрим режимы угловой модуляции п ри малых и больших
значениях т .
Если т « l, так что имеют место приближенные равенства
sin (m sin Qt) =т sin Qt,
cos (т sin Qt) =1,
то выражение (4.27) nереходит в следующее:
а(t)=А0(cosw0t- тsinQtsinw0t)=
[
т
т
l
'
=
А0COSw0t+2COS(W0+Q)t- 2 COS((110 - Q)t . (4.32)


Сравним _ это колебание с амплитудно - модулированным колеба­
нием, у которого модулирующая функция ( т. е. передаваемое сооб­
щение) такая же, как и при частотной модуляции . Так как выра­
жение (4 .32) получено из (4.25'), то для удобства сравнения зада­
дим амплитудно-модулированное колебание в аналогичной форме:
а(t)=А0[1+МsinQt]cosсо0t=
= А0[cosш0t+~sin(ш0+Q)t- ~sin(ш0- Q)t]. •(4.33)
Из сравнения (4.32)и (4.33) видно, что при малых значениях т
спектр колебания, как и в случае амплитудной модуляции, состоит
из несущей частоты шо и двух боковых частот: верхней шо + Q и
F
aJ
б;
Рис. 4.16.
нижней шо - Q. Единственное отличие заключается в фазировке
боковых частот относительно несущего колебания. Это поло­
жение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на
рис. 4.16, а и б.
Вектор модуляции DF при угловой модуляции всегда перпен­
дикулярен к направлению вектора OD, изображающего несущее
колебание (рис. 4.16, а). Вектор OF, изображающий результиру­
ющее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; од­
нако при m = 8макс « 1 амплитудные изменения настолько малы,
что ими можно пренебрегать и модуляцию можно в первом прибли­
жении рассматривать как чисто фазовую.
Спектральная диаграмма угловой модуляции при т « 1 по­
казана на рис. 4.17 . Так как фазы отдельных составляющих коле­
баний ">ТОЙ диаграммой не учитываются, то характер диаграммы
получается такой же, как и в случае амплитудной модуляции
(рис. 4.7). Амплитуды колебаний боковых частот равны т~°, та­
ким образом, в данном случае индекс модуляции т совпадает по
величине с коэффициентом М, характеризующим глубину измене­
ния амплитуды при амплитудной модуляции. Заметим,что ширина
спектра при т « 1 равна 2Q как и в случае АМ.
Этот результат показывает, что при очень малых де1шациях
шд (по сравнению с Q) ширина спектра от величины шд не зависит.
152


При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастаНi,и ве­
личины т, уравнение (4.32) и диаграмма рис. 4. 16 не дают правиль­
ного представления о действительной картине явлений при частот­
ной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помощью
колебания несущей частоты и всего ли шь одной пары колебаний
боковых частот невозможно представить колебание, частота или
фаза которого изменяются
в широких пределах по
синусоидальному закону,
а амплитуда остается стро-
го постоянной.
Для получения пра­
вильной картины необ­
ходимо учитывать боковые
частоты высших порядков ,
в соответствии с выраже­
нием (4.31).
LtJo
Рис. 4.17 .
mA0
2
(,,J
,
При значениях индекса т от 0,5 до 1 приобретает некоторое
значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра
должна быть приравнена 4Q. Далее, при 1 < 'm < 2 приходится
считаться с третьей и четвертой парами боковых частот и т. д. Спек­
трограммыдлят=1ит=2приведенынарис.4.18,аи6.
IOO'lo
·--
-- --
m=f
80%
ot.
J----------18
,1---- --11--- ---16,
- -- +- -lf--+- - -- -!4{)
60%
0%
IJO
'd
,,,.
20%
0%
о
о
1. ,)0
а;
1
Рис. 4.18.
m=2
1
1
,.
1
11
Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этitх
рисунках в виде вертикальных отрезков, длины которых равны
J,,(m), а расстояния от отрезка J о(т), соответствующего амплитуде
колебан11я несущей частоты, равны пQ, где Q ~ частота модуляции,
а п - порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результи­
рующего колебания принята за 100%, т . е. Ао = 1; обозначенные
на рисунках величины J,,(m) дают амплитуды колебаний соответ­
ствующих частот в процентах от амплитуды результирующего ко­
лебания.
Рассмотрим теперь случай больших значений т. Вопрос сводит­
ся к выяснению зависимости бесселевой функции J п(т) от порядка­
, вого номера п при больших значениях аргумента т.
Оказывается,
6В. За1<. 2053
153


<tтЬ при т >> 1 величина J п(iп) более илй менее равномерна nри все"
значениях п, меньших, чем аргумент т. При п, близких к т, J п(т)
образует всплеск, а при дальнейшем увеличении п функция J ,,(т)
быстро убывает до нуля. Общий характер этой зависимости пока­
зан на рис. 4.19 для т = 100. Из рисунка видно, что наивысший
номер п боковой частоты, с амплитудой которой необходимо счи­
таться , приблизительно равен индексу модуляции т (в да ином
случае п = 100).
Jnfml
0,16
1
\
;
т-100
/
\
0,12
V
'-.._
0,08
~/
О,Оч
1
)
'"
- 100
о
!00
п
Рис. 4.19 .
Приравнивая это максимальное значение nмar,c величине т, при­
ходим к выводу, что полная ширина спектра модулированного ко­
лебания равна
2nмакс Q ~ 2mQ.
Но т = if . Следовательно, при больших индексах модуляции
ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной
девиации частоты:
2nмакс Q ~ 2шд.
(4.34)
Заметим, что в соответствии с определением т [см. (4.24) ], вы­
ражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению
«быстрая модулящrя», а «модуляция с большим индексом» экви­
валентна «медленной модуляции». Можно поэтому сформулиро•
вать следующее положение: при быстрой угловой модуляции (ко•
гда шд « Q) ширина спектра модулированного колебания близ•
ка к величине 2Q; при медленной угловой модуляции (когда ш;,. )) Q)
ширина спектра близка к величине 2шд.
4.7. СПЕКТР КОЛ1;5АНИЯ ПРИ СЛОЖНОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Для уяснения метода нахождения спектра при несинусоидаль•
ной угловой модуляции рассмотрим некоторые важные для прак•
тики примеры сложной периодической модуляции фазы.
154


1. <сПрямоуrоnьное» нзмененне фазы (рнс. 4.20, а)
Скачкообразное изменение фазы используется в системах, рабо­
тающих с фазо-Аtанипулированным сигналом.
При обозначениях рис. 4.20, а изменение фазы внутри одного
периода модуляции определяется следующими условиями:
.
0(t)=0макr при ОТ<t<~,)
(4.35)
=
-
0макс при 2 <t<Т.
Изменение частоты колебания Лw(t), равное производной от 0(t),
имеет вид, показанный на рис. 4.20, 6. Величина Лw(t) равна нулю
8 (t}
aJ
-иl 10
1 :,~;,
F.
t
1⁄2
2 8 ~акс б(t)
О)
-и
10
1/2тt
1
-28максб(t+j1/z)
-28манс5(t-1⁄4)
1
-
1
[6)
1
.c os8
,---
СОS8макс
/sТh8макс
l
sin8
•·
-Yz 1
о
1/z
т
t
""'· ·
Рис. 4.20 .
на всей оси t, кроме моментов t = О, ±f, ±2; и т. д., в которых
функция 0(t) терпит разрыв. В этих точках Лw(t) обращается в бес­
конечность.
Математически это соответствует знакопеременной последо­
вательности дельта-функций, умноженных на постоянный коэффи­
циент k, который определяется из условия, чтобы интеграл от Лw(t)
совпадал с заданным законом изменения фазы.
Рассматривая, например, момент времени t = О, получаем сле­
дующее условие:
+~
+~
2
2
SЛw(!)dt= S kб(!)dt =20макс,
т
т
-2
-2
68*
155


откуда
+~
2
kSo(t)dt=k=20макс•
т
-2
Таким образом, изменение частоты вблизи момента времени
i = О должно быть преД{:Тавлено в виде функции 2 0макс о (t).
т
В моменты времени t = ± 2 аналогичные функции должны быть
записаныввиде- 20максО(t=f ; ) и т. д.
Обратимся к определению спектров функций cos8(t) и sin0(t),
т. е. огибающих квадратурных колебаний [см. выражение (4.26) ].
Графики этих функций показаны на рис. 4.20, в. Так как 0(t) -
т
нечетная функция времени, постоянная внутри инт~рвалов О, 2
т.
и О, - 2 , то cos0 = cos0мai<c = const, а sin 0 имеет вид прямоуголь-
ной волны с амплитудой, равной sin0мaкc· При выбранном на
рис. 4.20 начале отсчета времени sin0(t) является функцией не­
четной относительно t. Поэтому ряд Фурье этой функции содержит
только синусоидальные составляющие.
Применяя выражение (2.6), находим общее выражение для коэф-
фициента ряда
Но
и
т
т
+2
2
Ьsп= _
? s sin 0 (t) sin пQtdt =} ssin 0макс sin пQ~di •
т
о
4sin 0макс [
Т]
=-
0
cosпQ2-1;
Тп ..
Следовате.тrьно,
пQТ
т=mt.
Ьsп=4sin0макс при п=1,3,5, ...
rr;n
Ьsп =0
при п=О,2,6, ...
Таким образом, ряд Фурье для sin 0 (t) имеет следующий вид:
sin0(t) =~siпВмаксls~nШ+}sinЗQt+}sin5Qt+...j .
156


Теперь остается перенести спектр огибающих cos 0 (t) и sin 0 (t)
на соответствующие квадратурные колебания.
Косинусное колебание запишется как
АоCOS0(t)COSffiot =АоCOS0максCOSсо0t,
а синусное колебание -
А0sin 0 (t) sili со0t = ~А0sin0,1акс[sinQtsin со0t+
7t
+}sinЗQtsinсо0t+~sin5Qtsinffiot+ ...] =
4
•
[!
1
-
= ;А0S!П0макс 2COS(ffio - Q)t- 2COS(СО0+Q)t+
11
11
]
+2•3cos(ffio -
ЗQ)t- Г3cos(ffi0+ЗQ)t+... .
Таким образо м , окончательное выражение для фазо-манипули ­
рованного колебания принимает следующий вид [см. (4.26) ]:
а(t) = Ао{cos0макс cos ffi0 t +}sin0макс[cos((!)о+Q)t -
-
cos (ffio -
Q) t] + з: sin 0макс [cos ((1)0 + ЗQ) t-cos ((!)0-ЗQ) t] +
+5
27t sin 0макс[cos ((1)0 +БQ) t - cos ((1)0 -БQ) t] + ... }. (4.36)
Для практики особый интерес представляет случай 0макс = ~.
когда скачок фазы равен :rt. Фазо-манипулированное колебание
при этом принимает вид, показанный на рис. 4.21 . Через каждые
WJWNovANvnNf;
~J-И
:о·
k~
Рис. 4.21 .


полпериода .модуляции происходит «опрокидывание фазы» . коле­
бания. При этом соs0макс = О, sin0,..,,c = 1 и
а(t)=2: 0{1cos((J)0+Q)t- cos((J)0 - Q)!]+
1
+3[cos{(J)0 +ЗQ)t- cos ((J)0 - ЗQ)t)+
+}[cos {(J)0 -1- SQ)t - cos {(J)0 -SQ)t]+...} . (4.37)
Спектр амплитуд для этого случая построен на . рис. 4.22. При ча­
стоте (J) = (J)o амплитуда равна нулю. Это ознаtrает, что при
. Рис. 4.22.
0м 3кс = ; в модулированном колебании несущая частота вообще
отсутствует.
1. С<Треугольное11 изменение фазы (рис. 4.13, а)
При обозначениях рис. 4.23, а изменение фазы внутри одного
периода модуляции определяется соотношением
40
Т
0(t) '= -
0макс+ ~акс\tI при О<\lJ<2 •
Изменение частоты колебания, показанное на рис. 4.23, 6, равно:
d0 (t)
4
л(J)(t) = 7Г = темакс = (J)д
при
4
•
Т
= -т0макс = -(J)д при
-
2 <t<O.
Подобный закон изменения частоты используется в системах,
работающих с чдс:тотно-манипулированным С!1гналом.
f58


В данном случае 0(t) является четной относительно t функцией;
поэтому спектр функций cos0(t) и sin0(t) выразится через косинус­
ные коэффициенты:
т
т
2
2
асп= ; 5COS0-(t)COSnQfdf= ; SCOS(uJдt- 0макс)COSnQfdt,
о
о
т
т
2
2
Gsn =;5sin0(t)COSnQtdt = ; Ssin(wдt- 0макс)COSnQtdt.
о
о
_ B(t)
t
1
,iJ(,.)(f)
1
1
1
1
1
·-
&
c.J4
о}
'
-yz
о
1⁄2
t
Рис. 4.23 .
Выполнив несложные тригонометрические преобразования
и введя обозначения
.
"'дт "'д 21t
7t "'д
7t
0макс=4-4Q-2•Q-2m,
где т - индекс модуляции, после вычисления интегралов прилем
к следующим окончательным выражениям:
аса2.m1t
2 = тсmS!П2'
4
т
.
ттс
асп= :,;-(m2_ п2)S!П2 при четных п,
=0.......при
. нечетных
п,
4
m
lli-;c
asn = -; (т2_ п2)cos2 при нечетных п,
=О....._.
.
при -четных п.
159


Таким образом,
0(t)2•ттt
4
т
• ттt
2Ot+
cos
= 1tmSIП2 +--;(т2- 22) SIП2 cos ••
.
4т
m1t
4т
m1t
sIП0(t)= -;(т2_ !2) cos2 cosQt+~(т2_ 32)cos2 cos3Qt+...
Подс{авив полученные ряды в общее выражение (4.26), по­
лучим
А•[2 . mтt
4
т
ттt Qt.
а(t)= 01tmsш2 cosu>0t- п(т2_ l2)cos2 cos sшu>0t+
~(т2:_ l2) cosт2тtsin(u>o - Q)t+(т2:_22)sinт;cos(u>0+2Q)t+
+(т2:22)sin~~cos(w0- 2Q)t-
..·].
(4.38)
Из (4.38) видно, что спектр колебания состоит из большого чис-
б
.
2m
ла оковых частот, амплитуды которых пропорциональны 1t(m2 _ п 2)
При т...,.. О все слагаемые в a(t), кроме первого , обращаются в
нуль. Амплитуда первого слагаемого после раскрытия неопределен­
ности обращается в Ао. Если т - целое число, то один из коэффи-
т
.
циентов вида (т2 _ п2 ) (при т = п) обращается в бесконечность,
однако при учете множителя cos(-; т) или sin(; т) получается
100%
80%
бО't.
чо%
20%
а
1
1
~
Wo
m=Ч
1
1
11
11
f,0
.Рис. 4.24,.


неопределенность, которая легко раскрывается. Как и в случае гар­
монической модуляции (см. § 4.6), при больших значениях т ам­
плитуды боковых частот максимальны для значений п, близких к т.
При дальнейшем увеличении п амплитуды боковых частот быстро
падают.
Спектр амплитуд частотно-манипулированного колебания при
т=4изображеннарис.4.24. Здесьw1 = wo- тQ,аw2=wo+
+ тQ.
Э. Изменение фазы по квадратичному закону (рис. 4. 15, а j
Соответствующая этому изменению фазы пилообразная моду ­
ляция частоты изображена на рис. 4.25, б, на котором через wд
обозначена амплитуда отклонения мгновенной частоты от средней
частоты wo, а через 2wд - полный размах частоты за один период
модуляции .
Рис. 4.25.
Такой закон изменения частоты часто применяется в различных
радиотехнических системах и измерительных устройствах.
Для отыскания спектра непрерывного колебания, частота ко­
торого изменяется по периодическому закону, показанному на
рис. 4.25, б, поступим следующим образом . Выделим отрезок коле­
бания, соответствующий одному периоду изменения частоты
(рис. 4.26), и найдем спектральн у ю плотность S(w) такого неперио­
дического сигнала. Используя затем установленную в § 2.5 связь
между спектрами периодического и непериодического сигналов,
найде м дискретный спектр сигнала при периодической пилообраз ­
ной м одуляц и и. Преим уществом такого способа является большая
~ц1гляднос1ъ стр у ктуры спл9ш1Jоrо спектра - а м плит удного и фа-
Н»f


зового - по сравнению с дискретным спектром. Кроме того, спектр
одиночного импульса, изображенного на рис. 4.26, понадобится
в дальнейшем.
•
При обозначениях рис. 4.26, 6 мы можем представить мгновен­
ную частоту заполнения импульса следующим образом:
([)
-Т/2 1
Рис. 4.26 .
1
1
1
1
Т/2 f
:l1
: Z!д
1
(J) (t) =ffio + ~t, (4.39)
где
200 д
21tf д (4 40·)
~=у=2т •
есть скорость измене­
ния (линейного) часто­
ты внутри импульса,
длительность которого
равна Т. Тогда мгно­
венное значение коле­
бания в интервале от
т
т
-
2 до+ 2 (рис. 4.26,а)
определяется
нием:
выраже-
а(t) = Ао cos(Sffi(t)dt) = А0cos(ш0t+ ~~
2
),
(4.41)
-f<t<+ ~ -
Применяя общее выражение (2.38), определяем спектральную
плотность рассматриваемого «радиоимпульса»:
+~
2
S{(!)) = Ао Scos(ffio t+~~2) e-iwt dt =
т
+~
+~
2
[~t•
]
2
1
si--(w-<»0)t
\
('
-
i
=2А0е2
dt+2А0Jе
т
т
Второе слагаемое, представляющее собой интеграл от быстро
осциллирующей функции, можно отбросить 1 . В первом же слагае­
мом по казатель степени в подынтегральной функции целесообраз-
1 См . вывод выражения (4. 13') .
161


но доп~Л!fИТЬ до квадрата разности (~ считаем положительной ве•
личинои):
(4.43)
где обозначено
d= w-"'о
✓2~ •
(4.44)
Подставляя выражение (4.43) в (4.42) и переходя к новой
переменной
(4.45)
получаем
т
А +s2 t(✓"[t- d)2•
S((!J) = · 20 e-td'
е
2
dt=
т
-2
Обозначим пределы интегрирова•ния через и 1 и и 2 :
И~= Vt. ;- "'v-i 0 - V7- ✓~-"'~"'о,
И2- •1/~.; -"'1;;0 -
-v~ -V~-"' "'д"'о .
Заметим, что произведение ~Т = 2wд есть полная девиация
частоты (угловой) внутри и мпульса, а ~Т •Т = 2wд Т представ­
ляет собой безразмерный пара метр, имеющий смысл индекса фазо­
вой модуляции . В данно м случ ае частотную модуляцию удобно
характеризовать с помощью произведения полной девиации, выра­
женной в герцах, на дл ител ьность и м п ульса. Обозначим этот пара­
метр через т:
m=2fдT ,
(4.46)
16Э


Тогда и 1 и · и 2 можно записать так:
В этих обозначениях выражение для S ((J)) принимает следую­
щий вид:
где
и,
С(и2)= V~п 5cosx2 dx,
о
(4.49)
Из (4.48) следует, что модуль спектральной плотности рас­
сматриваемого сигнала равен
S ((J)) = f V} АоV[C (и1)- С(и2)]2 + [S (и1)-S (и2)]2, (4.50)
а фазовая характеристика спектра -
,i,( )- _(ы.....:.ы0)2 + t S(u1)-S(u2) _
'У(J)-
2~
arc gС(и1)-'-С(и2)-
--~
(w-ы0)2 + t S(u1 )-S(u2)
.-
4т "'2
arc gС(и1)- С(и2) •
д
(4.51)
s (w) v2~
1t
{1)-(J)
Графики зависимости
А
от --0 для нескольких зна-
о
Wд
•
чений параметра т изображены на рис. 4.27. Существенно, что
при больши х значениях т (порядка ста и больше) форма S ((J))
приближается к прямоугольной и ширина спектра близка к вели­
чине 2wд, а фазовая ха рактеристика 1!J ((J)) принимает вид квадра­
тичной параболы (рис. 4.27, в) . Второе слагаемое в (4.51), стре-
мящееся • к постоянной величине ;-,
опущено. При (J) = ()) 0
164


aJ,
IJ
0)
m=fO
0,5 1----+----t--~т+-----г--~
о
о.в
о
0.4
0,8
V'!jsrw)
с=у
Ао
f10
0,5
о
Рис. 4.27 .
1,2
1,6
m=-бО
1,2
1,6
m=l00
w-wo
wд
w-wo
u.lA J.0
/ф(wJ).т
'
2,0
f,0
165


и1=V:Тiп,аи2= -
и1Прибольшихт,т.е.приjи11= 1 И2 j~ 1,
С(и1)- С(и2)= 1иS(u1) - S(u2) = 1 Татшм образом, квадратный
корень в выражении (4. ЕО) . обращается в Vг2 и S(w0)= -v ~A0 .
В случае отрицательного ~ (т. е. при убывании частоты внутри
импульса) выражение (4.50) остается прежним, а в (4.51) знаки
должны быть изменены на обратные. Наконец, при отсчете времени
от начала импульса спектральная плотность рассматриваемого сиг-
т
нала, сдвинутого на 2 в сторону опережения, должна быть пред-
ставлена в форме
iwT
(4.52)
где S (w) и '\jJ (w) определяются соответственно выражениями (4.50)
и (4.51).
Итак, спектральная плотность одиночного импульса с линейным
изменением частоты заполнения найдена. Для построения дuскрет-
1-tого спектра колебания с пилообразной частотной модуляцией
(рис. 4.25, б) остается нанести на рис. 4.27 спектральные линии,
1
отделенные одна от другой частотным интервалом, равным Т'
2
а также изменить масштаб по оси ординат в f раз [см. § 2.5, выра-
жение (2.41) ].
Приведенных примеров достаточно для уяснения методики на­
хождения спектров колебания при любых законах периодической
модуляции фазы или частоты, а также при некоторых непериоди­
ческих модулирующих сигналах.
В более общих случаях, например при модуляции частоты или
фазы случайными процессами, нахождение спектра эффективнее
осуществлять по автокорреляционной функции модулированного
колебания. Подобные задачи рассмотрены в приложении I.
4.8. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Современное состояние радиотехники характеризуется непре­
рывным усовершенствованием способов передачи информации. Это
развитие идет по линии изыскания новых видов сигналов и новых
способов их обработки.
Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные ко­
лебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто
приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в резуль­
тате · одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы)
колебания по весьма сложному закону.
В любом случае предполагается, что заданный сигнал s(t) пред­
ставляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спект-
166


ральные составляющие сигнала группируются в относительно уз­
кой по сравнению с некоторой центральной частотой wo полосе ..
При представлении подобных сигналов в форме
s(t)= А(t)cos'Ф(t)
(4.53)
возникает неоднозначность в выборе функций А (t) и '\j)(t), так как
при любой функции '\j)(t) всегда можно удовлетворить уравнению
(4.53) надлежащим выбором функции A(t).
•
Так, например, при желании, простейшее (гармоническое) ко­
лебание
s(t)=А0cosw0t
можно представить в форме
s(t)=А(t)coswt,
гдеw=w0+Лw.
(4.54)
(4.54')
В выражении (4.54') огибающая А (t) в отличие от А0 является
функцией времени. Эта функция может быть определена из
условия
А0cosw0t =А(t)cos(w0+Лw)t,
откуда
A(t)= Aocosw 0 t
=
A0cosw0t
_
c.os(ю0+,дw)t cosЛwt cosw0t - sinЛ"'t sinw0t
Ао
-
cosЛwt- sinдwttgw0t
(4.55)
Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ар­
гумента 'Ф (t) [wt вместо wot] сильно усложнилось выражение для
A(t), причем эта новая функция A(t) по существу не является
«огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересе­
кать кривую s(t) (вместо касания в точках, где s(t) имеет макси­
мальное значение).
Оперирование с подобной «огибающей» не имеет смысла, а в
некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к оши­
бочным практическим выводам (например, при рассмотрении ра­
боты амплитудного детектора).
Неопределенности можно избежать при представлении A(t)
и '\j)(t) с помощью следующих соотношений:
'
(4.56)
(4.57)
t'дel ~('t)1 8- . IiЩ~ a(Ю!flf11;J;ИЯi, oi<iJ&P~д~~!:Н#>}.~a EPб.JNoЗfAl>fi ВC.1;!$44If'!'Iaя с
исходной функцией s(t).
. !ci qтз ,8J:.eI ,тsдшхэт
!6'


Выражен_ия (4.56)-(4.57) основаны на представлении s(t) в
виде проекции вектора А (t) на ось абсцисс, относительно которой
отсчитывается угол 1j) (t) (рис. 4.28) .
Для выявления требуемого характера функции s1 (t) рассмот­
рим сначала некоторые свойства величины A(t), вытекающие не­
о
s (f)
Рис. 4.28 .
посредственно из выражения
(4.56) и справедливые при
любой функции s1 ( t).
Прежде всего мы видим,
что в точках, где s1(t) равно
нулю, имеет место равенство
А (t) = s(t). (4.58)
Дифференцируя (4.56), получаем
Отсюда видно, что при s1 = О, когда А (t) = s (t), имеет место
дополнительное равенство •
dA ds
dt dt.
(4.59)
Следовательно, в точках, в которых s1(t) = О, кривые A(t) и
s(t) имеют общие касательные.
Этих усJювий, однако, еще недостатоgно для того, чтобы можно
было рассматривать А (t) как огибающую быстро осциллирующей
функции s(t).
Необходимо потребовать, чтобы кривая A(t) касалась кривой
s(t) в точках, в которых последняя проходит через максимальные
(амплитудные) значения. Иными словами, в точках, где s1 (t) обра­
щается в нуль, функ ц ия s(t) должна проходить через максимумы.
Этому условию отвечают преобразования Гильберта •1
+оо
s(t) = _!_ sS1 (t)dt,
те
't -t
(4.60)
-00
+оо
s(t)-
_..!_ s s('t) dt
1
-
те 't - t Jэг.::>v,~,--
(4.61)
-00
•
.
--,
причем здесь имеются в 0вйд~ ) mаi.fные(\)!kачения несобственных
интегралов.
Фунщия s1 (t) называШН: ~фушщи~й,1, сопряженной функции
s(t).
•
' (1)с-
~J~
:J Rt>i;tW,J1ti~Pa ~@ЕЩ],ООВ~д!!1Ш~ Гiв1h~(4рlfю , !lliWJipmqqlв l.i1Y=iJ1М . ---0!(})~ Г~с­
техиздат, 1948, стр 16 1.
,(1)?. йэн,шшуф нондох:,
·
1~В


Нетрудно убедиться, что в тех точках, где I s(t) 1 проходит через
максимум, s1(t) обращается в нуль, Действительно, из рассмотре­
ния выражения (4.61) следует, что величина интеграла опреде­
ляется в основном участками пути интегрирования вблизи 't = t,
1
где функция "_ t' обладая противоположными знаками по обе
стороны от точки i- = t, стремится к бесконечности.
Если в точке т = t функция I s (т) 1 проходит через максимум
ds (1:)
и, следовательно, ~ = О, то в окрестности этой точки I s (т) 1 =
= 1 s (t) / может рассматриваться как постоянная величина. Вы­
нося поэтому s (т) за знак интеграла, записываем последний
в форме
ds ('t)
•
где 2в - интервал, в котором ~ ::::::о О.
Так как подынтегральная функция нечетна относительно -.,
последний интеграл обращается в нуль.
Соответственно в точках ,, в которых s(i-) проходит через нуль
и, следовательно, меняет свой знш<, подынтегральная функция
• становится четной и значение I s1(t) 1 становится максимальным.
Приведем несколько простых примеров, поясняющих приме­
нение преобразования Гильберта к определению огибающей и
фазы некоторых радиосигналов.
Рассмотрим прежде всего сигнал в виде гармонического коле­
бания
s(t)=аcoswt+Ьsiпwt.
(4 .62)
Хотя в столь простом случае не возникает недоразумений в вопросе
об огибающей, определение сопряженной функции s1(t) все же
полезно для установления общих соотношений между спектрами
функций s(t) И S1(t).
Применяя общее выражение (4.61) и переходя к новой перемен­
нойх= -.
-
t, находим сопряженную функцию
+со
+со
+со
S1(t)= - J_ s~dт:= - :!._
scosw't dт- !!_ ssinы,:d't =
7t
't-t
7t
't-t
1t
't-t
-со
-со
-со
+со
+со
= -- coswt
--dx+-sin wt
---dx-
а
1· cos ых
а• ssinшх
n
•
х
7t
х
-
со
-со
+со
+со
Ь
1· siп шх
Ь•
scos wx
- - c os wt J --dx--sшwt --dx.
1t
х
7t
х
-со
-оо
169


Известно, что
-оо
(в смысле главного значения) и
Следовательно,
+оо
Ssinхd
-
X =n.
х
-00
s1(t)=аsiпwt- Ьcoswt.
(4 .63)
Подставляя (4.62) и (4.63) в форм ул ы (4.56) - -(4.57), полу чаем
А=V(acoswt+Ьsinwt)2+(аsinwt-Ьcoswt)2 =
= Vа2+ь2=Ао,
t аsin"'/ - Ьcos"'/
t Уа2+/J2sin("'t - \?)
'Ф= arc gаcos"'t +ьsin"'1
= arc g},rа2+ь2cos("'/ _ \?) = wt- !р,
ь
где <р = arctg- .
а
Сопоставление выражений (4.62) и (4.63) по1(азывает, что
функuии
s(t)= coswt
соответствует сопряженная функция
s1(t)=sinwt,
а функции
s(t)= sinwt
соответствует сопряженная функция
S1(t)= -
COSwt.
Рассмотрим теперь совокупность тр ех гармонических компо·
нентов, образующи х обычное амплитудно-модулиров 4 н1-юе коле­
бание:
s(t)= А0[sinw0t -j-Кsin(w0+Q)t+Кsin(w0- Q)t] (4.64)
1
приК<;:2 .
Находим сопряженную функuию
s1(t)=
-
А0[cosw01+Кcos(wu +Q)t+Кcos(w0 --Q)t]. (4.65)
170


Подставив (4.64) и (4.65) в формулы (4 .56) и (4 .57), после
несложных преобразований получаем
А(t)=А0(1+2КcosQt),
'ljJ(t)= t -[cos ,o 0 1 --j- !( cos( ш 0 --j- Q)f--j-!(cos(w 0 -Q)f]
arcg siп"'оt+Кsiп(ш0+11)t+Кsiп(ш0- Q)t
[- cos ш0t(1+'2.!(cosQt)]
.
=arctg
.
t(I..L 21,
О /) =-arctg(ctgffi0 t)=
.
sш ш0
,
cos ""
=-
arctg[tg(; - ffioi)]= ffi0t - 1".
Таким образом,
s(t)=А(t)cos1jJ(t)=А0(1+2КcosQt)cos(w0t - ;) =
= А0(1+2КcosQt)sinffi0t.
(4.66)
Этот резу ль тат можно, конечно, получить и непосредственно из
(4.64), если слагаемые с «боковыми частотами» w0 + Q и w0 -
~2
привести к виду 2К cos Qt sin w0 t.
Из приведенных выше примеров уже ясно, что если исход­
ный сигнал s(t) представляет собой сумму спектральных состав­
ляющих
s(t) = ~(anCOSffint + bnsiп ffint),
(4.67)
п
то сопряженная функция
s1(t)= ~(апsinffint-Ь"cosffi"t).
(4.68)
1!
Ряд (4.68) называется рядом, сопряженным ряду (4.67), а ком­
плексная функция
z(t) = s(t)+is1(t)
(4.69)
называется аналитичРским сигналом, соответствующим действи­
тельной. функции времени s (t).
Таким образом, простейшему сигналу в виде гармонического
колебания s (t) = cos ffit соответствует аналитический сигнал
z(t) = cosffit + i sinwt = ei"'1.
(4.70)
Если сигнал s (t) представлен не рядом (4.67), а интегралом
Фурье:
СХ)
s(t) = _!_slа((i)) cosffit +Ь(w) sinwt]dffi,
1t
(4.71)
u
171


то функция s 1 (t) может быть представлена в виде интеграла
СХ)
s1(t)= -
[а (w) siп wt -Ь (w) cos cot] dw,
11·
;t
(4.72)
о
сопряженного интегралу (4. 71 ).
Сопоставление (4.71) и (4.72) позволяет установить общее со­
отношение между спектральными плотностями функции s (t) и
s1 (t) . С этой целью запишем выражение (4 .71) в следующей
форме:
где
СХ)
s(t)= ~s11а2+Ь2cos(wt- ер)dw =
о
СХ) ---
СХ)
= *sVа2+Ь2Re (e-i•f ei"'1) dw = 3⁄4JRe [S(w) eiwl(dw,
о
о
(4. 73)
[Ср. с (2.42)].
Аналогично выражение (4. 72) можно записать в форме
СХ)
1•
s1(t)= -;-JVa2+Ь2siп(wt - ер)dw =
о
СХ) ---
СХ)
= ~JVa2+Ь2Re(-ie-i<?ei"'1) dw = ~JRe[S1(w) ei"'1] dw,
о
о
где
S1(w) = - iV'а2+Ь2e-i'f.
(4.74)
Сравнивая (4.74) с (4.73), замечаем, _ что в области положи­
тельных значений w спектральные плотности S1 (w) и S (w) свя­
заны lоотношением
S1 (w) = -iS(w) при w> O.
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что
в области отрицательных значений w имеет место следующее
соотношение :
S1(w) =iS(w) при w< О.
Рассмотрим теперь сигнал, спектральная плотность которого
постоянна в полосе частот Лw = w2 - w1 :
S(w) = 1 при w1<w<w2,
=0 при w<w1 и w>w2•
171


Подобный спектр получается при вырезании полосы w2 - w1
из равномерного спектра единичного импульса.
Применяя выражения (4.71)-(4.72), в которых приравниваем
a(w) = 1, b(w) = О, а пределы интегрирования О, оо заменяем на
W1, w2, получаем
"'·
s(t) = { s·coswtdw=
,w
sinо>2t- sinu>1t
пt
S1(t)= _!._ ssinwtdw= -
cos"'2t- cos"'1t
п
пt
Отсюда огибающая равна
А(t)=Vs2(t)+s~(t)=
= п;111/(sinw2t- sinw1t)2+(coseu2t - cosw1t)2=
= 'j(!tт1/2l1- cos((J)2 - W1)tj= 'j(,
111V4 si n2( "'2
--; "'1)t=
2 siп(9) t
7t
t
2
7t
(4.75)
а фаза запишется как
•(t)__
.
t s1 (t.)
_
t - (cosu>2t- cos u>1t)
,р _aiсg(t)-arcg
.
1.1
S
S!П "'2
-
SIП "'1
("'2 - "'1) ("'2+"'1)
2 sin
2
1 sin
2
t
= arctg
.
• ("'2 - "'1) ("'2+"'1)
2s1п
2
/cos --2
-
1
_
"'2+"'1f+
-
--2-
пл,
(4.76)
где п = О, 1, 2, ... в зависимости от знака множителя в (4.75)
• ("'2- "'1)t
•
Лu>t
SJП --2
-
=SIП2.
Именно, при
Лшt
О <-2
- < л, когда последнее выражение положи•
тельно, имеем
173


Ло,t
.
Лwt
при :n:<2 <2:rt, когда sш2 <О, имеем
'ljJ(t)=~ arctg('- sinwo~) =ео0t+лит.д.
•
-:-COSWo
.
В этом выражении использовано обозначение
Wz + (J)l
еоо = --2-,
Итак, окончательно,
1
sin (wz-; w1) t
(wz+w1
s(t) = А (t) cos'ljJ(t) = ~- ---t -- cos
2 t+n:n:).(4.77)
Дw=·2Wz-
(J)l
График этой функции для случая, ког,п.а wo
wz+wr«1,
изображен на рис. 4.29 .
s(t J
A(t)'
t
Рис. 4.29.
Отсчет времени на этом рисунке ведется от точки t = О, по­
скольку при «вырезании» полосы частот ео2 - ео1 не учитывалась
задержка сигнала, неизбежная в реальном фильтре.
Как уже отмечалось в начале данного параграфа, понятие
«огибающая» ам плитуд имеет определенный смысл только для узко­
полосного сигнала. Это положение легко пояснить на рассматри­
ваемом здесь примере. Для этого начнем понижать центральную
частоту еоо при неизменной полосе Лео. В пределе, при ео1 = О, ео2 =
= Лео, получим спектр «видеосигнала», показанный на рис. 4.30 .
Этот спектр должен рассматриваться как широкополосный, по-
Лw
скольку величина ~• равная в рассматриваемом случае 2, не от-
Лw//l,
вечает ус_ ловию
""
wq
f74


Подставляя в выражения для s (t) и s1 (t) (стр. l.73) w1 = О,
(J)2 = л(J), пол у чаем
S(t)= siпЛwl
(t)_-(cos().wf- 1)_ l
-
cos Лwt
тr.t '
Si
-
тr.t
-
тr.t '
Следовательно, «огибающая» •sr(J.)J/
А (t) для функ ции времени s(t), 1
обладающей спектром, пока- ,,о ь--,.-.,...,..,...,..,...,..,...,..,...,.....,...,....,....,....,...,.
занным на рис . 4.30, будет
А(t)=Vs2(t)+sf(/)
Л u,1
2siп2
=-
7(
(4.78)
Гр аф ики фу нкций • s(t),
c.u, =О
Рис. 4.30 .
s1(t) и A(t) изображены на
рис. 4.31.
Кш< види м, в рассматриваемом сл у чае величина А (t), опреде­
ляемая выражением (4.78), может лишь условно рассматриваться
ка1< «огибающая» амплитуд исходного сигнала. Из рассмотрения
/
/
I
/
/
/
-
/
/
/
/
/ S!f)
/
,,; -
-
t
Рис. 4.31.
кривой s(t) (рис. 4.31) видно, что это объясняется слишком быстрым
изменением амплитуд s(t) или, говоря спектральным языком, слиш­
ком широкой относительной полосой частот сигнала.
В н е 1<0торы х специальных случаях выражения (4.56)-(4.57)
совместно с (4 .60)-(4.61) применяют и по отношению I< широкопо­
·,nосным сиrналам·. Однщ<о пр_и _qTQM н ужнQ 9тка3ь1ваться QT требо-
175


вания, чтобы «огибающая» А (t) касалась кривой s(t) только в точ ­
ках, в которых s(t) имеет амплитудное значение.
На основе (4.57) можно дать общее определение мгн,овен,н,ой
частоты Rадиосигнала s(t) в виде
d<j, (t) .d [
s1 (t)]
ro(t)=dГ =dt arctgs(t) '
где s1(t) - функция, сопряженная (по Гильберту) заданному сиг­
налу s(t).
Отделив в найденной таким образом частоте ro(t) постоянную
часть roo, можем написать для '/) (t) выражение:
'/)(t)= ro0t+0(t)+00,
(4. 79)
в котором 8(t) не содержит члена, линейно зависящего от времени.
Тем самым устраняется произвол в выборе 8(t), как это было до-
пущено в (4.54').
•
4.9. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
_ При исследовании ррдиосигналов часто встречаются интегра­
лы вида
I = JИ(х)e1'f' (х)dx,
(4.80)
в которых множитель подынтегральной функции И(х) изменяется
с изменением х медленно, а множитель e1'f ' (x) является быстро ос­
циллирующей функцией на всей оси х, кроме относительно неболь­
шого участка, где эта функция также меняется медленно.
Подобные выражения, с которыми мы уже имели дело при на­
хождении спектра и автокорреляционной функции амплитудно­
модулированных колебаний [см. выражения (4.9) и (4.13) ], осо­
бенно важны при изучении сложных радиосигналов с угловой мо­
дуляцией, а также с одновременной амплитудной и угловой моду­
ляцией.
Если· внутри одного периода изменения функции e1'f ' (x) мно­
житель U(x) остается почти неизменным, то интеграл за этот период
близок к нулю. Основной вклад в величину интеграла дает участо1<
интегрирования, на котором функция coscp(x) [или sincp(x)] изме­
няется медленно. Это поясняется рис. 4.32, на котором изображена
подынтегральная функция U(x)coscp(x). Точка хо, в окрестности
которой изменение функции ср(х) равно нулю, называется «точкой
стационарной фазы».
Очевидно, для определения точки хо может быть использовано
условие:
(4 .81)
Если подынтегральная функцип имеет вид, показанный на
рис . 4.32, открывается возможность упрощения вь1ч1-1сления интег-
176


рала, основанная на ограничении области интегрирования малой
окрестностью точки хо.
В качестве простого примера применения принципа стационар­
ной фазы рассмотрим уже встречавшееся в § 4.3 выражение (4.9)
UiX)COSlj)(.I)
-~,f'-'~~~,,+и.:..==="4'-rn9Г77fL477f<q,.+1-..,. __
.I
Рис. 4.32.
для спектральной плотности амплитудно-модулированного сигнала:
+оо
+оо
Sa(ffi)=1⁄2 s A(t)e-i[(w--w,)t]dt+1⁄2 s A(t)e-i[(w+w,)l]dt.
-оо ,
-оо
(4.82)
Рассмотрим один из этих интегралов, например, первый .
Множителю И (х) в нем соответствует огибающая амплитуд А (t),
а функции ~(х)-
~(f) = -(ffi-Wo)f,
причем ffi - ffio является параметром.
Применяя условие (4.81), получаем
d:p
dt = (t)-ffio = О,
(4.83)
откуда следует, что величина первого интеграла в выражении (4.82)
достигает максимума вблизи ffi = шо. Второй же интеграл при этой
частоте близок к нулю (как интеграл от быстро осциллирующей
функции). Аналогичным образом можно показать, что при ffi =
=
-
ffio в максимум обращается второй интеграл, а первый -
в нуль.
Расс мотрим другой п ример: задана спектральная плотность
S(ffi) = S(ffi)ei t tw} и требуется определить момент времени t, в ко­
торый сигнал s(t) достигает своего максимального значения (по
абсолютной величине).
Представим сигнал в виде интеграла Фурье:
00
s(t)= 1⁄45S(ffi)cos[ffif+'I\J(ffi)]dffi.
о
" / Зак. 2053
177


В соответствии с принципом стационарной фазы величина это •
го интеграла определяется в основном участком интегрирования
в окрестности точки w, отвечающей условию:
d[wl-J '- <j, (w)] =t+ d <j, ((J)) =О
dw
dш
'
откуда искомый момент времени
t = _ d<j,(w)_
dw
(4.84)
В рассмотренных примерах принцип стационарной фазы был
использован лишь для определения w или t, при которых полу­
чается максимальная величина спектральной плотности или сигнала;
вычисление щ:е самих интегралов не производилось.
Рассмотрим теперь более сложный радиосигнал, когда приме­
нение принципа стационарной фазы сильно упрощает нахождение
спектра сигнала. Пусть сигнал задан в форме
s(t) = А(t)cosIw0t +0(t)1,
причем A(t) и 0(t) определены в соответствии с правилами преды­
дущего параграфа, т. е. A(t) является «наипростейшей» огибаю­
щей, а в функци11- 0(t) нет слагаемого, линейно зависящего от вре­
мени.
По аналогии с (4.82), запишем спектральную плотность сиг­
нала в форме
где
+оо
S(w) =1⁄2sА(t)e-i[!ш-ш,)t- o,nJdt+
-00
•
+оо
+1⁄2sА(t) e-i [(w+w,) t+o ({)] dt = 1⁄2U1+12)-
-
оо
(4.85)
Рассмотрим первый интеграл 11 , который запишем в форме
+оо
11 = s A(t)ei•;,U)dt,
(4.86)
-00
(4.87)
Полагая огибающую А (t) достаточно м едленной функцией,
мы можем определить точку стационарной фазы t0 из усло­
вия (4.81):
d'fi(t)I
-
+~-
-о
dt
-
Wodtw-
•
. 1=10
(4 .88)
Заметим, что мгновенная частота анализируемого колебания
равна
• 178
w(t) = ffio + d0(t).
dt


Следовательно,
d'fr(t)=w(t)-w
dt
(4.89)
и равенство (4.88) есть не что иное, как условие, что в стацио­
нарной точке t O мгновенная частота w (1) совпадает с выбранной
частотой спектра w, т. е. что
w(t0)- w= О.
(4.89')
Разложим теперь функцию <р 1 (t) в ряд Тейлора по степеням
/
(t - /0):
В силу выражения (4.88) слагаемое с ер; (1 0 ) можно опустить,
а члены третьего и более высокого порядка можно отбросить,
так как функция <р 1 (t) рассматривается в малой окрестности
ТОЧКИ 10 .
Таким образом, в этой окрестности
(4.90)
Учитывая, кроме того, что при значениях t, близких к t0,
огибающую А (t) можно заменить постоянной величиной А (t 0),
приходим к следующему приближенному выражению для инте­
грала /1:
,,
+ro
/1 =А (to) ei'",(I,) J
·~ 1 (1,)
i---(1- 1,)'
е2
dt.
- СХ)
Сделаем подстановку
Тогда вычисление интеграла дает:
+ СХ)
,,
i i '{J j (1,) (1-1,)'
v-2 -
_
е2
dt=
-,,-
91 Uo!
-СХ)
+ro
(>
\ eiy'dy=
\)
-
СХ)
=l.
·-,,-
Scosу2dy+i S sin2уdy =
f-2 [+00
+00
]
V 'f1Uo)
_
00
_
00
(4.91)


±; :'.. .
е4
Таким образом, при частотах (положительных), близких к ro 0 ,
спектральная плотность сигнала
S(ro)::::::;~=- . / I ,~
/ A(t 0 )e; ['f,Uo)±~] .
(4.93)-
V2 'f'1Uo)
Аналогичное выражение при замене % (t) на
(JJ2(t)= -
[(ro+roo) t+e (t)]
может быть составлено · и для отрицательных значений ro, близких
(по абсолютной величине) к roo.
Обратимся к (4.93). Вторая производная от функции <p 1(t) яв­
ляется скоростью изменения мгновенной частоты ro(t). Следова­
тельно, модуль спектралы-юй плотности при частоте ro обратно
пропорционален половинной степени с1'орости из.менения мгновен­
ной частоты в молtент t о, соответствующий прохождению ro( t) через
выбрс)нное значение w, и прямо пропорционален амплитуде
A(to) в этот же м омент времени.
Поясн им примене ние выражения (4 .93) на примере радиоимпуль­
са с линейным законом изменения частоты заполнения, который
был расс мотрен в § 4.7 . При обозначениях рис. 4 .26 и выражения
(4.42) имеем:
е(t) = rз;2
1 Обоснование и подробное юложение метода стационарной фазы
с при мене нием к задачам радиотехники см. в книге: Д. Е. В а км ан,
Асимптотические "1е тоды в линейной радиотехнике . «Советское радио», 1962.
180


Находим точку стационарной фазы:
dФ1 (t) 1
~!=lo =
-
[(ffi- ffio) -
~to] = О,
откуда
Далее,
Таким образом,
Г
P,t6]
(J)1 (to) =
-
l(w- ffio)to- 2
=
= -[ (w - "'о)(,,,
-
"'о)- f (w-wo)2]=J_ (w- "'о)2
р,
2• (:.2
-
2
р,
ер'; (to) = В-
Подставляя ер'; (t 0) и ср 1 (t 0) в выражение (4. 93), находим
"'14 •
J
(4.94)
(4.95)
(4. 96)
(4. 97)
(4. 98)
Это выражение справедливо для частот спектра, заключенных в
пределах изменения мгновенной частоты ffi(t), так как моменты
времени to определялись из условия (4.89').
Так как ffi (t) изменяется (линейно) от ffio - ffiд до (1) 0 + wд
(см. ·рис . 4.25), то в этих пределах модуль спектральной плот­
ности равномерен
S(w} = V;~ А0,
(4. 99)
а фазовая характеристика спектра имеет вид квадратичной пара­
болы.
Этот результат совпадает с выражением (4.48) для случая, когда
m))I [см. формулы (4.50) - (4.51) и связанные с ними коммента­
рии].
Выражение, аналогичное (4.98), нетрудно составить и для
спектральной плотности при отрицатеJ1ьных значениях ffi. В этом,
однако, нет необходимости, как так спектральная плотность в об­
ласти отрицательных значений w легко получается по найденной
функции S(ffi) на основании четности модуля и нечетности аргу­
мента относительно ffi.
Из предыдущих рассуждений, а также из рассмотрения примера
радиоимпульса с линейным изменением частоты з а полнения видно,
что метод стационарной фазы очень эффективен и дает х орошее
приближение только при достаточно медленном изменении частоты,
т. е. когда девиация частоты велика по сравнению с моду лирующей
частотой (или, что то же самое, когда произведение девиации на
18t


длительность. периода модуляции •велико по сравнению с едини­
цей). Кроме того, изменение огибающей амплитуд А (t) должно
быть настолыю медленным, чтобы это изменение не оказывало за­
метного влияния на спектр колебания. Иными словами, спектр
огибающей должен быть узок по сравнению с девиацией частоты
,заполнения.
Отметим, наконец, еще одно важное свойство спе1<тра колебания
при медленной частотной модуляции, которое особенно наглядно
выявляется с помощью метода стационарной фазы. При обсужде­
нии выражения (4.93) уже подчеркивалось, что модуль S(ffi) об­
ратно пропорционален половинной степени скорости, с которой
частота колебания w(t) пробегает рассматриваемую частоту спект­
ра ffi. Так как распределение энергии в спектре непериодического
сигнала пропорционально S 2(w) [см . § 2.8 ], то можно сказать, что
энергия распределена обратно пропорционально , первой степени
скорости или, что то же самое, прямо пропорционально времени
пребывания мгновенной частоты w(t) в бесконечно малой полосе
частот спектра w, ffi + dw. С другой стороны, плотность вероятно­
стей случайного сигнала (модулирующей функции) также пропор­
циональна времени пребывания ординаты сигнала в интервале s,
s + ds. Поэтому, если ffi(t) изменяется по закону модулирующей
функции, то распределение энергии в спектре модулированного коле­
бания совпадает по форме с законом распределения вероятностей
модулирующей функции.
В случае, когда модулирующая функция представляет собой
стационарный случайный процесс, а модулированное колебание
существует достаточно долго, сформулированное положение можно
распространить на закон распределения по спектру средней мощ­
ности колебания, т. е. на энергетический спектр (см. приложе­
ние I).
4.10. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ
Пусть задан сигнал s(t), представляющий собой узкополосный
процесс
s(t)= А(t)cos[w0t+0(t)].
(4.100)
«Узкополосность» означает, что спектр сигнала заключен в полосе
частот w = f2 - f1, которая мала по сравнению с центральной
частотой f o.
Та~шм образом,
причем
~=f2-f1«1
fo
fo
'
fo=f2+f1.
2
В пределах полосы w спектр не обязательно симметричен от­
носительно центральной частоты fo.
,182


Оговоренные выше условия позволяют считать, что определяе­
мый выражением (4.100) сигнал представляет собой высокочастот­
ное колебание, модулированное в общем случае по амплитуде и
по фазе .
.
Если ставится задача дискретизации подобного сигнала, то
возникает вопрос об интервале между двумя отсчетными точками
на оси времени. При представлении сигнала в виде суммы (3.25),
g, (t)
t
f'ис. 4.33 .
этот интервал должен быть не больше чем 212 , где f2 имеет
смысл наивысшей частоты в спектре сигнала. Нецелесообразность
и неэффективность подобной дискретизации очевидна, так как
информация заложена не в частоте fo, а в огибающей или в фазе
модулированного колебания, которые изменяются во времени
медленно , с частотой модуляции.
Жел ательно поэтому преобразовать выражение (4.100) таким
образом, чтобы интервалы между выборками определялись фак­
тической полосой спектра, т. е . величиной w.
Это может бьJТЬ достигнуто, если использованную в § 3.5 вспо­
могательную функцию g(t) [см. формулу (3.24)] заменить сле­
дующей функцией (рис. 4.33) :
siП 7tW /
,
•
g1(t)=
_
1 cos(ш0 t - 'ljJ0).
"w
При это м сигна л s (t ) представляется суммой
+оо
(4 .101)
\
~
siп ;,;w (1 - пМ)
s(t1 = ~ А" 1t w ( t -nЛt) соs[ш0 (t-пЛt)-'Фп], (4.102)
n=
-00
где А п и 'Рп - амплитуда и фаза сигнала s(t) в п-й отсчетной точке.
183


Доказательство справедливости такого представления приво­
дится в приложении //.
Смысл замены g(t) на g1(t) заключается в следующем: если для
дискретизации сигнала, спеюр которого начинается с нулевой
частоты, используется _ функция g(t), то для дискретизации узко­
полосного высокочастотного сигнала должна быть использована
также высокочастотная функция g1(t), для которой функция g(t)
является огибающей . Начальная фаза заполнения 1/Jn, постоянная
для данного значения п , должна совпадать с начальной фазой
дис1{ретизируемого сигна·ла в п - й отсчетной точке.
Итак, в каждой отсчетной точке фи1<сируется величина оги­
бающей сигнала Ап и фаза 'ljJ". Интервал между отсчетными точ1<ами,
как это следует из выражения (4.101), равен
1
Лt=
-,
(4.103)
w
т. е. вдвое больше, чем при дискретизации сигнала без высокочас­
тотного ~аполнения [ ер. § 3.5, где Лt = 2},J-
При з~данной длительности сигнала Т число отсчетных точек,
т
.
равное Лt = Tw, получается вдвое меньшим, чем в случае сигнала
со спектром, начинающимся с нулевой частоты, и с наивысшей
частотой F т [см . § 3.5].
Учитывая, однако, что в каждой отсчетной точке должны быть
заданы два параметра - Ап и 'ljJ" -
приходим к выводу, что общее
число степеней свободы получается
т
п=2-ы = 2wT,
(4.104)
т. е. такое же, как и для сигнала со спектром, начинающимся от
нуля, но с одинаковой полосой частот.
Проиллюстрируем выражение (4.102) на примерах колеб ания,
промодулированного по амплитуде или частоте.
При АМ исходим из колебания
а(t)= А0[1+МcosQt]cosw0t.
В этом случае простейшей тональной модуляции спеюр со­
стоит из одной пары бш<овых частот и несущего колебания.
•
Q
Ширина спектра Wлм=2f, где F = ;п. Интервал между выбор-
ками должен быть взят Лt =
-
1-
=
_!_, т. е. такой же, как и
wлм
2F
при дискретизации исходного сообщения (модулиру ющего на­
пряжения).
Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто ампли­
тудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости.
184


Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-.модулирован­
ное колебание вполне определяется знач,щиями своих амплитуд,
,
1
взятыми ч,ерез интервал 2F-' где Fт - 1юивысшая частота в спект­
т
ре модулирующей функции (т. е. в спектре передаваемого сооб-
щения).
При частотной модуляции, исходя из того же передаваемого
сообщения, что и при АМ, получаем колебание :
а(t)=А0cos[w0t+ ~д sinQtJ
Рассмотрим случай «широкополосной» модуляции, когда ши-
б
2w
рина спектра модулированного коле ания Wчм = 2; = 2fд [см.
выражение (4.34) ]. Следовательно, интервал между выборками
1
1
должен быть взят Лt =
-
=
2-1
.
Так как при ЧМ амплитуда
Wчм
д
колебания неизменна, то передавать ее нет необходимости. Сле­
довательно, для однозначного представления частотно-модулирован­
ного колебания достаточно задавать фазу этого колебания в от-
!
счетных точках, отстоящих одна от другой на время Лt = 21д'
причем фаза равна
"'д .
0n = Q SIПQ(f-пЛf).
(4.105)
При одной _ и той же длительности сообщения Т число выборок
фазы при ЧМ равно wчмТ = 2fдТ, а число выборок огибающей при
АМ равно wлмТ = 2FT. Отсюда видно, что при одинаковом пере­
даваемом сообщении (т. е. при одинаковом количестве информации)
частотно-модулированный сигнал обладает числом степеней свобо-
ды в LJ = т раз большим, чем амплитудно-модулированный сиг­
нал. Это является результатом расширения спектра сигнала при
ЧМ . На приемной стороне канала связи после частотного детек­
тирования модулированного колебания выделяется напряжение,
которое, конечно, имеет спектр и число степеней свободы такие
же, как и исходное сообщение.
Из приведенного примера видно, что при одной и той же ширине
спектра информационная емкость радиосигнала в зависимости от
вида модуляции может быть различной.
Рассмотрение этого вопроса, требующее учета поме хи, а также
совместного действия сигнала и помехи на детектор приемника·,
будет выполнено в части II.
7В. Зак. 2053


ГЛАВА 5 .
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ И СООТНОШЕНИЯ
5.1 . ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сиг­
налами и с разнообразными, в основном инерционными, цепями.
При передаче реальных сигналов в таких цепях неизбежно воз­
никают переходные процессы. В отличие от электротехники, ин­
тересующейся установлением режима при включении или выключе­
нии источников энергии, в радиотехнике основное значение имеет
рассмотрение влияния переходных процессов на форму сигналов
и, в конечном итоге, на содержащуюся в сигнале информацию.
В гл. 1 отмечалось, что большинство радиотехнических устройств
представляет собой сочетание линейных и нелинейных элементов.
Это обстоятельство сильно усложняет задачу строгого рассмотре­
ния переходных процессов в радиоцепях, так как классические
методы анализа, основанные на использовании принципа супер­
позиции, являются л и ней н ы м и методами. Поэтому в радио­
технике широ1,о распространены п р и б л и ж е н н ы е методы
анализа воздействия сигналов на реальные устройства.
Упрощение идет по двум линиям: во-первых, выделяются
линейные цепи, которые рассматриваются изолированно от нели­
нейных элементов, и, во-вторых, используются некоторые особен­
ности радиотехнических цепей для упрощения самих методов.
Так, в частности, высокая · избирательность колебательных систем
позволяет эффективно применять метод «медленно меняющихся
амплитуд» и некоторые другие разновидности этого метода .
да~1ьнейшее упрощение заключается в том, что расс мотрение
переходных процессов обычно проводится только для линейных
систем с постоянными пар-аметрами.
Несмотря на перечисленные ограничения, имеется широкий
круг практических задач, которые можно успешно решать на ос­
нове л и ней н ого подхода. К таким задачам относится, преж­
nе всего, прохождение сигналов через линейные усилители с апе­
риодическими и колебательными цепями. Из дальнейшего будет
в идно, что слабо выраженная нелинейность усилительных эле­
ментов (ламп, транзис-горов и др.) не препятствует л и ней н о­
м у рассмотрению прохождения импульсов и модулированных ко-
186


лебаний через «линейные» усилители. Даже в случае существенно
нелинейных устройств часто удается получать полезные для прак­
тики результаты на основе линейного рассмотрения отдельных
элементов и узлов этих устройств.
Перечислим основные методы, с которыми приходится иметь
дело при анализе прохождения сигналов через радиотехнические
цепи.
В случае простейших систем, описываемых дифференциальным и
уравнениями не выше второго порядка, решение задачи обычно не­
трудно получить с помощью классического метода дифференциаль­
ных уравнений.
При сложных цепях значительно более удобными оказываются
методы, основанные на спектральном представлении сигнала .
Кэтимметодамотносится метод интеграла Фурье
итесноснимсвязанныйоператорный метод(преобра­
зования Лапласа).
Наряду со спектральным методом в радиоэлектронике очень
частоиспользуетсятакжеметодинтеграла наложе­
н и я, заключающийся в отыскании отклика цепи с заданной им­
пульсной характеристикой на произвольный сигнал.
Кроме перечисленных строгих методов, применяются упомяну­
тые выше приближенные методы, приспособленные к специфике
рассматриваемых цепей и сигналов. Некоторые из таких методов
будут изложены в гл. 6 при рассмотрении передачи радиосигналов
через избирательные цепи.
В данной главе излагаются основные положения теории пере­
дачидетерминированных сигналовчерезлинейныеси­
стемы с п о с то я н н ы м и параметрами, причем упор делается
на «управляющие сигналы (без высокочастотного заполнения) и
на апериодические цепи.
Передача детерминированных сигналов через пераметрические
линейные системы рассматривается в главе 9, а передача случай­
ных сигналов через линейные системы - во второй части настоя­
щего учебника.
Следующие два параграфа посвящены краткому изложению су­
ти операторного метода и метода интеграла наложения с учетом
особенностей, связанных с применением этих методов к радиотех­
ническим задачам.
5.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ,',<\ЕТОД
В основе этого метода лежит нспользование «передаточной функ­
ции»цепи,частоназываемойтакже коэффициентом пе­
р е д а ч и цепи. В случае четырехполюсника коэффициент пере­
дачи обычно определяется как ·отношение комплексных ампли­
туд выходного и входного напряжений
7В*
к(. ) Uвых
tffi = --
Е1
(5.1)
'187


Эта безразмерная , в общем случае комплексная, функция яв­
ляется важнейшей характеристикой четырехполюсника в стацио­
нарном режиме при синусоидальном возб уждении четырехполюс­
н ика . Коэффициент передачи удобно представлять в форме
(5.2)
Модуль K((J)) иногда называют амплитудно - част от­
ной характеристикой или просто амплитуд­
ной характеристикои четырехполюсника. Аргумент
'(JJ((J)) коэффициента передачи называют фаз о-ч а ст от н ой
характеристикой или просто фазовой харак­
" е р и ст и к ой четырехполюсника.
Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал
в виде э. д . с. e(t) произвольной формы, то в соответствии со спект­
ральным методом нужно определить спектральную плотность
;входного сигнала E(i(J)) 1 . Эта операция ле г ко осуществляется с
n омощью выражения (2.38). Умножение E(i(J)) на K(i(J)) определя­
(еТ спектральную плотность сигнала на выходе четырехполюсника .
d"! аконец , применение к произведению E(i(J))K(i(J)) обратного
: преобразовщшя Фурье [выражение (2.39)] позволяет определить
;выходной сигнал в виде функции времени.
Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла
Фу рье
+оо
е(t) = 2~ S Е(i(J)) ei "'1 dw,
(5.3)
-00
то выходной сигнал может быть представлен в аналогичной форме:
+оо
и (t) = i1t s Е (i(J)) к (i(J)) eiwl d(J).
-00
Сравнение выражения (5.4) с (5.3) показывает, что сигнал на
еы тде линейной цепи может быть получен, суммированием спектра
Е i») входного сигнала с весом K(i(J)) . Иными словами, передаточная
функция цепи K(i(J)) является вес о в ой фу н к ц и ей, опре­
деляющей относительный вклад различных составляющих спектра
E(i(J)) в сигнал u(t).
Вычисление интегралов вида (5.4) значительно облегчается
при использовании методов контурного интегрирования на плос­
кости комплексного переменного. Переход от действительной пере­
менной (J) к комплексному переменному р = а + i(J) позволяет
также полностью устранить огр_аничения, вытекающие из треба-
1 В д анной главе аргумент спектральной плотности обозначается в
.з иде iro для удобства перехода к операционному изображению заменой iю
•на р.
,188 1


вания абсолютной интегрируемости функции e(t) (см. § 2.5). За­
менив в выражениях (5.3)-(5.4) iw на р, получим
е(t) = 2~.
c+si
00
Е (р) еР1 dp,
,с/
(5.5}
C- iOO
(5.6}
c-ioo
При новой переменной функция Е (р) определяется выраже­
нием, получаемым при замене iw на р в выражении (2.38):
(Х)
Е(р) = 5e(t)e- P1 dt.
(5.7},
о
Это соотношение, преобразующее действительную функцию
e(t) действительного переменного t в комплексную (в общем случае)
[ц)
c+ioo
l(W)
А
в
о
6
c-ioo
а)
6J
Рис. 5.1.
функцию Е(р) комплексного переменного р, называется преобразо ­
ванием Лапласа. Е(р) иногда называют п р е об р аз о в а н ной
по Лапласу функцией e(t) или из об р аж е н и ем функции:
e(t). Исходную функцию e(t) называют о р и г и н а л о м.
Соотношение (5.5) по аналогии с выражением (2.39) иногда­
нааывают обратным преобразованием Лапласа.
Сравнивая выражения (5.6) и (5.4), приходим к выводу, что
переход от w к р означает и зме нение пути интегрирования. В вы­
ражении (5.4) интегрирование ведется по действительной оси w, а в
выражении (5 .6) '-- по прямой, лежащей на плоскости ,о = а + iw
и проходящей параллельно мнимой оси iw на расстоянии с от­
последней (рис. 5.1).
Величина постоянной с определяется характером подынтеграль -:
ной функции U(p) = Е(р)К(р): п уть интегрирования должен про ­
ходить правее особых точек (полюсов) этой функции.
'
18~


Добавлением к прямой с - ioo, с+ ioo дуги бесконечно боль­
шого радиуса можно образовать замкну тый контур интегрирова­
ния. Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло величины
интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом: при
положительных значениях t контур должен быть расположен в
левой полуплоскости пер еменного р, а при отрицательных t -
в правой.
Тогда в первом случае, т. е. при провед~нии дуги в левой по­
.пуплоскости (рис. 5.2, . а),
контур интегрирования охватывает
IW
tш
А
А
в
Рг
Рг
•
•
Р1
Р1
-
о
с5
о
6
fJз •
$
{}3
с
с
а1
6)
Рис. 5.2.
все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой
с - ioo, с+ ioo) и в соответствии с теорией вычетов 1 интеграл
(5.6) определяется как
и(t) =
_ 2!. c+sioo U (р) еР1dp = 2:-
~
-
U (р) еР1dp= ,_,, res,
1tt
1~t
::t'
~
(5.8)
c-ioo
АВСА
где LI res - сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.
При проведении дуги в правой полуплоскости, т. е. при t<O
{рис. 5.2, 6), полюсы функции U(p)ep1 оказываются вне контура
интегрирования, и в соответствии с теоремой Коши интеграл по
замкнутому контуру равен нулю.
Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура
и нтегрирования, получим:
при t > О (контур по рис. 5.2, а)
1
и (t) = 2----:
r.i
c+ioo
5c- ioo
U(р)еР1dp= ~ ~ U(р)еР1dp= '1 res;
21t1 :у
~
АВСА
(5.9)
1 В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III , ч. 2, изд.1958,
стр . 85-87 .
·
190
·-


при t < О (контур по рис. 5.2,6)
c+ioo
и(t) =
-
2
1. J U(р)еР1dp =
--!:-: ); U(р)еР1dp == О.
1tt
2,1 .L :f
c- ioo
АВСА
(5.1 О)
Напомним важное свойство контурных интегралов: величина
интеграла не зависит от формы замкнутого контурэ., по которому
производится интегрирование, если только о:обые точки подын­
тегральной функции остаются внутри контура. На основании этого
свойства контур, образованный добавлением дуги АВС бесконеч­
но большого радиуса R (рис. 5.2 . а) к прямой с - iсю, с + iсю,
можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что
все полюсы, расположенные левее прямой с - iсю, с+ iсю, оста­
ются внутри контура.
Итак, вычисление интеграла (5.6) сводится к определению вы­
четов в полюсах подынтегра льной функции.
Пр едставим подынтегральн ую функцию выражения (5.6) в виде
U(р)еР1= р(р) ,
Q (р)
(5.11)
Тогда вычет функции ~ i;;, имеющей в точке р1 простой
полюс (первой кратности), определяется формулой
res1 = [dQ (р)]
dp Р=Р,
Р(р)
(5. 12)
Если функция ~ i;; имеет в точке р1 полюс кратности т (где
т - целое положительное число), то
dm-1 rP(p)
nl
res1= (m- l)! drn-l Q(p)(Р-Р1)' _
•
р
.
Р-Р,
(5.12')
Методика применения контурных интегралов для представления
различных функций, играющих большую роль в теории переход­
ных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах .
Для составления выражения (5.6) не обязательно всегда начи­
нать с инте грала Фурье. Если известно интегро-дифференциальное
уравнение исследуемой системы, выражение для U(p) может быть
получено путем алгебраизации уравнения с помощью преобразо­
вания Лапласа.
Пусть, например, имеется уравнение
di
.
l('.
Ld[+ri+сJtdt= е(t).
191


Искощ>й функции i(t) соответствует пока неизвестное изобра­
жение /(р). Для алгебраизации приведенного уравнения нужно
найти изображения для производной и инте грала функции i(t).
р
di(t) П
ф
ассмотрим сначала производную r:JГ·
рименяя ормулу
(5. 7) и интегрируя по частям, полу ч аем
со
00
00
J(~)е-Р1dt = Jе-Р1di(t) = [е-Р1i(f)]: +рSi(t)е-Р1dt.
о
о
о
Учитывая, что e-Pt lt=oo = O и e - P1/t =o= 1, можем написать
00
SI di)
~dt e-Ptdt=р/(р) - i(О),
о
где i (0) - значение функции i (t) при t = O.'
Подобным же образом для Ji (t) dt можно получить
00
J[Ji(t)dt]e-c1 dt = l(p)+C,
D
р
где постоянная С соо тветствует значе н ию интеграла к моменту
t=O,т.е.
1
si(t)dt = si(t) dt+C.
о
Алгебраизация интегро-дифференциальных уравнений особен­
но упрощается при «нулевых» начальных условиях, т. е. при рас­
смотрении процессов, связанных с подключением в момент t = О
электродвижущих сил к «пустой» цепи (когда все токи через индук­
тивности и напряжения на емкостях равны нулю). В этом случае
00
s[did~t) ] е-:- pt dt = р/ (р),
(5 .13)
6
r[1i(t)dt]е-ptdt= 1
~)•
(5 .14)
Очевидно, что производной i(t) к-го порядка соответствует
изображение ркJ(р).
В результате применения преобразования (5. 7) ко всем членам
исходного интегро-дифференциального уравнения последнее может
быть приведено к виду
Z(p)/(p) = Е(р),
(5.15)
192


где l(p) - изображение для искомой функции i(t);
Е(р) - изображение для внешней силы e(t), действующей на
рассматриваемую систему, а
Z(p) - функция от р, определяемая параметрами цепи (опе­
раторное сопротивление).
Таким образом, изображение искомой функции i(t) определяет­
ся в явной форме
l(p) = Е(р)_
z (р)
Для отыскания i(t) остается применить выражение типа (5.9).
Практическое применение изложенного выше операторного ме­
тода облегчается наличием подробных таблиц изображений для
широкого класса функций. Эти таблицы приводятся в литературе
по операционному исчислению.
5.3. МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
Вместо разложения сложного сигнала на гармонические со­
ставляющие (спектральный метод) можно воспользоваться разбие­
нием сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 5.3).
Если в основе спектрального метода лежит передаточная функ­
ция цепи K(iw), то метод наложения базируется на импульсной
характеристике цепиg(t),подкоторойподразумевается
отклик цепи на воздействие, имеющее вид единичного импульса.
Нетрудно установить связь между g(t) и K(iw). Эту задачу можно
решить с помощью интеграла Фурье. Если на входе четырех­
полюсника действует единичный импульс э. д . с., обладающий
спектральной плотностью, равной единице для всех частот от нуля
до бесконечности (см. § 2.9), то спектральная плотность выходного
напряжения равна просто K(iw). Следовательно, отклик на единич­
ный импульс, т. е. импульсная характеристика цепи, легко опре­
деляется с помощью обратного преобразования Фурье [см. форму ­
лу (2.39) ], примененного к передаточной функции K(iw);
+оо
Ивых(t)=g(t)= 2
~
S К(i w) eiwt dw.
(5.16)
-00
В дальнейшем импульсную характеристику будем обоз начать
через функцию g(t), под которой можно подразумевать не только .
напряжение, но и любую дpyryto электрическую величин у, явля­
ющуюся откликом на воздействие в виде дельта-функции.
Если коэффициент передачи задан в виде функции К(р), то вы­
ражение (5.16) может быть записано в форме обратного преобр азова­
ния Лапласа:
g(t) = 2~i cJooК(р)еР'dp.
(5.17)
c-ioo
i93


Итак, требуется найти сигнал sв ых (t) на выходе цепи, если задан
с игнал s(t) на входе цепи и известна ее им п ульсная характери­
стика g(t).
Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим сле­
дующи м образом. Разобьем произвольный сигнал s(x) на элемен­
тарные имп ульсы, как это показано на рис. 5.3, и найде м отклик
цеп и в момент t на ~лементарный импульс (на рис. 5.3 заштрихо­
в ан ), действующий на входе в момент х. Если бы площадь этого
импульса равнялась единице, то имп ульс м ожно было бы рассмат­
рива ть ка к дельта-функцию , возникающую в момент х. При им­
п ул ьсной характеристике цеп и g( x) отклик в момент t был бы оче-
SI.I 1
о
r 1 [;:,tл.r
Рис. 5.3.
видно равен g(t - x). Поскольку, однако, заштрихованная на рис.
5. 3 площадь импульса равна s(х)Лх (а не единице), величина от­
клик а в момент t равна s(x)Лxg(t - х).
Дл я определения полного значения выходного сигнала в момент
t нуж но просуммировать действие всех импульсов в промежутке
отх=Одох = t.ПриЛх➔Осуммированиесводитсякинтег­
рированию.
Сл едовательно,
t
Sвых(t) = Ss(х)g(t -х)dx.
о
(5.18)
В общем случае, если начало сигнала s(x) не совпадает с нача­
л ом отс чета времени х, последнее выражение можно записывать
в форме
t
Sвых(t)= \' s(х)g(t- х)dx.
(5.19)
-00
Дл я реальных систем всегда выполняется условие
g(t-х) =Оприt<х,
(5.20)
т. е . при отрицательном аргументе функция g(t ~ - х )
должна обра-
194


щаться в нуль, так как отклик не может опережать воздействие.
Можно поэтому выражение (5.19) заменить выражением
+00
Sвых(t)= J s(х)g(t- х)dx
(5.21)
-00
(при этом имеется в виду, что для х > t подынтегральное выра­
жение обращается в нуль).
Пр иведем, наконец, еще одну форму записи, которая получается
из выражения (5.18) при замене х на ,t - х:
1
Sвых(t) = Ss(t- х)g(х)dx.
о
(5 .22)
Интеграл, стоящий в правой части выражения (5.21), в математике
называется с верткой фу н к ц и й s(t) и g(t). Таким образом
приходим к следующему важному положению: сигнал sвых (t) на
выходе линейной ( пассивной) цепи является сверткой входного сиг­
нала s(t) с импульсно й характеристикой цепи g(t).
Из выражения (5.21) видно, что сигнал sвыхU) на выходе цепи
в момент t получается суммированием мгновенных значений вход­
ного сигнала s(x) за все предыдущее время с весом g(t - х).
В § 5.2 при суммировании спектра входного сигнала весовой
функцией являлась передаточная функция цепи K(iro). В данном
случае , при суммировании мгновенных значении входного сигнала
s(t) весовой функцией является импульсная характеристика цепи,
взятая с аргументом t - х, т. е. функция g(t - х).
Структура выражений (5.21) и (5.22) наводит на мысль, что
sвыхU), s(t) и g(t) связаны между собой корреляционным соотноше­
нием тип а (2.11 О).
Действительно, если ввести функцию g*(t)=g(-t), являющуюся
зеркальным отображением g(t) относительно оси ординат (см.
рис. 5.4), то
g(t) = g,;, (- t),
g(t- х)=g.,;,(х- t),
и выра же ние (5.21) можно записать в форме
+оо
Suыx(t) = Ss(х)g*(x- t)dx.
-оо
(5.23 )
(5.21 ')
Так как выбор обозначения для переменной интегрирования в слу­
чае определенного интеграла ыожет быть произвольным, то по су­
ществ у выражения (5.21 ') и (2.110) полностью совпадают. Следует
только аргумент т в выражении (2 .110) заменить на t, а переменную
интегрирования t на х. Это означает, что сигнал Sвых(t) на выходе
линейной цепи может быть определен как взаимная корреляцион­
ная функция для входного сигнала s(x) и функц ии g *(x), т. е.
195


зеркального • отображения импульсной характеристики цепи.
Этот важный результат будет использован при рассмотрении
оптимальной фильтрации сигнала в гл. 8 части II .
Иногда оказывается удобным пользоваться не импульсной ха­
рактеристикой g(t), а п ере ход ной фу н к ц и е й цепи h(t),
являющейся откликом на воздействие в виде единичного скачка.
Так как единичный скачок является интегралом от единичного
gH)
Рис. 5.4 .
импульса, то функции /i(t) и g(t) связаны между собой следующими
соотношениями:
1
]
h(t)= Sg(х)dx,
g(t) = ~l~~t) = h'(t).
(5 .24)
Подставляя в выражения (5.18) - (5.23) вместо g(t) производную
/1' (t), можно получить аналогичные соотношения, выраженные
через переходную функцию цепи h(t).
S.4 . ЛИНЕЙНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Используемые в радиоэлектронике линейные цепи, как правило,
работают в сочетании с активными элементами: электронны м и лам­
пами, полупроводниковыми приборами, лампами бегущей волны
ит.д.
Назначением этих элементов обычно является усиление сиг­
налов . Характеристики активных элементов в общем случае явля­
ются нелинейными функциями напряжения или тока. Поэтому
и системы с активными элементами, строго говоря, являются не­
линейными системами. Однако при использовании относительно
малого участка вольтамперной характеристики активного элемента
последний условно можно рассматривать как линейный эле мент.
Так, например, в схеме электронного усилителя, изображенной на
рис. 5.5, связь между входным и выходным сигналами определяется
током электронной лампы ia, представляющим собой нелинейную
функцию управляющего напряжения еупр· Вид этой зависимости
показан на рис. 5.6 . Под еупр подразумевается сумма входного на-
196


пряжения, подаваемого на управляющую сетку лампы, и «приве­
денных» к этой сетке trапряжений всех остальных электродов лампы .
Обычно исходят из выражения
еупр= eg+ Dea,
(5.25)
где .D
-
проницаемость;
еа - напряжение анод-катод.
В отсутствие входного сигнала, когда напряжения всех электро­
дов постоянны, рабочая точка на характеристике iа(еупр) опреде­
ляется исходным значением управ-
ляющего напряжения еоупр (рис.5.6) ia
и ток равен iа(е~упр)- Под действием
входного напряжения eg и соответ-
la
lz Uвыz
eq
JЕа
Рис. 5.5 .
еупр
Рис . 5.6.
ствующего ему управляющего напряжения Леупр (рис. 5.6) анод­
ный ток получает приращение и становится равным ia(e0 упр +Леупр)­
Применяя ряд Тейлора, можем записать:
ia (ео упр+ Леупр) = ia (еоупр) + (d~ia ) Леупр +
упр еоупр
+ ~ (:e\ia) Леlпр + fi (d:/a ) ле~пр + ...
упр ео упр
упр ео упр
...
= ia0 +аЛеупр+~ЛеJпр+ уЛе~пр + •••
(5.26 )
В этом выражении ia , представляет собой анодный ток в от­
сутствие сигнала («ток покоя»), коэффициент а.,= S - крутизну
характеристики ia (еупр) в точке еупр = еоупр, коэффициент ~ - пер-
вую производную крутизны (с коэффициентом ~,), коэффициент
у- вторую производную крутизны (с коэффициентом }i) и т. д.
Относительное значение отдел ьных членов разложения (5.26)
определяется положением рабочей точки на характеристике лампы
197


и величиной переменной части управляющего напряжения Леупр,
т. е. в конечном итоге величиной сигнала eg, подводимого к у прав­
ляющей сетке.
Если eg, а следовательно, и Леупр, настолько мало, что изме­
нения анодного тока укладываются на линейном участке харак-
z
R,z
И6ы!
ц вь,х
j
J
Рис. 5.7 .
Рис. 5.8 .
теристики ia (еупр), то в разложении (5.26) могут быть оп ущены
все члены со степенями Леупр выше первой. В этом случае
ia=ia0 +аЛеупр=ia,+ SЛеупр·
(5.27)
При использовании пентодов, когда можно считать
Леупр =eg,
пол у чаем
iи =ia, + Seg.
Подобныйрежимусиленияназываетсялинейным усиле­
н и е м . При линейном усилении изменения анодного тока в точ­
ности воспроизводят изменения сеточного напряжения. В част­
ности , при усилении гармонического напряжения
eg = EgcosQt
анодный ток
ia = ia, +SEgCOSQt,
т. е. анодный ток, а следовательно, и напряжение на нагр узочном
сопротивлении в анодной цепи лампы не содержат новых по сра в­
нению с eg частот.
Совершенно аналогичное рассуждение можно провести для по­
лупроводникового или любого другого усилителя; различие будет
только в вольтамперной характеристике активного элемента.
Считая условие линейности выполненным, мы можем привести
схему , показанную на рис. 5.5, к одной из двух эквивалентных схем:
с генератором э. д. с. (рис. 5. 7) _или . с генератором тока (рис. 5.8).
В первом случае входной сигнал eg умножается на коэффициент
усиления лампы μ и вводится в анодную цепь лампы последо ватель­
но с внутренним сопротивлением R; и нагрузочным сопротивлением.
Во втором случае сигнал eg умножается на крутизну характеристи­
ки S и подключается в виде генератора тока параллельно сопротив­
лениям R1 и Z.
198 -


Схема с генератором э. д. с. удобна, когда R; и Z соизмеримы .
а схема с генератором тока, - когда R1 »z .
Приведение схемы линейного электронного усилителя к эквива­
лентным схемам типа рис. 5. 7 и 5.8 позволяет приложить к ним все
основные положения теории линейных пг.ссивных цепей. Можно,
в частности, заменить схему рис. 5. 7 эквивалентным четырехполюс­
ником, на входе которого действует э. д. с. с комплексной амплиту­
дой Eg, а на выходе Uвых= K(iQ)Eg (рис. 5.9), где K(iQ) - комплекс­
ный коэффициент усиления схемы. При обознс1чениях рис. 5. 7
К(Ш)=ивы, = μ z(iQ)
Eg
R1 +Z(iQ)
μ
z (iQ)
R;
, Z(iQ)
1--i- -~
sz (iQ)
z (iQ)
1+--
R,
Здесь использовано сотношение ~ = S.
.
(5.28)
Необходимо лишь учитывать следующие особенности, обуслов­
ленные наличиеi1 активных элементов (с соответствующими источ­
никаNiи питания):
1. Независимыми источниками энергии являются источники
сигнала (в данном слу:,ае eg). Экв!'!валентный же генератор э . д . с .
μeg или эквивалентныи генера-
тор тока Seg являются зависи-
мыми источниками, э. д. с. или Eg, 2
ток которых являются линей-
ными функциями входного сиг- .
нала.
2. В цепях с активными эле-
ментами типа электронных ламп,
K(i~)
Uвы:x=K(i2)Eg,
Рис. 5.9.
полупроводниковых приборов и т. д. принцип взаимности не собл ю­
дается . Это объясняется вентильным свойством активных элементов ,
благодаря которому возбуждение усилителя со стороны вых ода поч­
ти не оказывает влияния на его вход.
В усилителях на пентодах и иных многоэлектродных ла мп ах
с полной экранировкой влиянием выходных напряжений н а ве­
личину анодного тока обычно можно полностью пренебрегать . П ри
этом выражение (5.28) упрощается:
Н(iЩ =SZ (Ю).
(5.28')
В схе мах с триодами приходится уч итывать «обратную реак ци ю»
анодной цепи на входную цепь усилителя. Из курсов «Электронные
приборы» и «Усилительные устройства» известно, что эта реакц и я,
снижающая усиление схемы, не нарушает, однако, линейности­
устройства.
Наконец , при работе без сеточных токов (в области отрицатель-­
ных сеточных потенциалов) изменение нагрузочного сопротивления
уси л ителя почти не оказывает влияния на его входное сопротивле­
ние.


Несколько иначе обстоит дело в полупроводниковы х усилителях.
Физ и ка явлений в полупроводниках приводит к необходимости
учета существенного перераспределения тока эмиттера между
цепью . базы и цепью коллектора в зависимости от потенциалов
базы и коллектора. При изменении нагрузочного сопротивления
или внутреннего сопротивления источника сигнала измеаяются
напряжения и все эквивалентные параметры схемы . Это заставляет
·трактовать полупроводниковый триод как четырехполюсник, в ко­
·тором имеется обратная связь , в результате чего все входные и вы­
ходные параметры четырехполюсника оказываются взаимосвязан­
ным и . Это обстоятельство не нарушает, однако, линейности устрой­
•ства.
Итак, введение в линейные системы активных элементов - элект­
ронных ламп, транзисторов, ламп с бегущей волной, усилительных
клистронов и т . д. - не препятствует линейной трактовке этих
•систем при достаточ.но малой вeлuttuнe входного сигнала.
Последующее рассмотрение линейных систем с активными эле­
ментами (§ 5.5 -5 .9) основано на этой предпосылке.
Изучаемые в указанных параграфах искажения сигналов,
·обусловленные несовершенством амплитудно-частотных и фазо ­
·частотных характеристик, могут быть названы л и н е й н ы м и
и с к аж е ни ям и . .Эти искажения приводят к изменению формы
·выходного сигнала, однако не сопровождаются возникновением но­
вых ч.астот .
Оценка нелинейных искажений, создаваемых нелинейными
членами вольтамперных характеристик активных элементов, будет
дана в последнем параграфе настоящей главы.
5.5 . ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
.АПЕРИОДИЧЕСКОГО УСИЛИТЕЛЯ
Для простоты рассмотрим указанные в заголовке понятия на
11римере обычного лампового усилителя .
Принципиальная схема электронного апериодического усилителя
на сопротивлениях изображена на 'рис. 5.10, а; эквивалентная ей
•схема с генератором тока показана на рис. 5.10, 6. От схемы, пока­
.занной на рис. 5.5, эти схемы отличаются дополнительной цепочкой
-Сg• Rg (назначение которой заключается в разделении цепей по
постоянному току), а также учетом паразитной емкости С0 , вклю­
чающей в себя междуэлектродн ую емкость лампы, а также емкость
внешней схемы, шунтирующей нагрузочное сопротивление Ra·
Сопротивление Rg• как правило, является высокоомным сопро­
·тивлением, очень большим по сравнению с R a·
На эквивалентной схеме рис. 5.10, 6 потенциа л точки к (катод)
принят равным нулю, а точки а (анод) равны м - Иа. Знак минус
взят с учетом выбранного на рис у нке направления тока источника
(от анода к катоду). Во внешней цепи этот ток , разветвляясь через
элементы G, = ~i' С0 и т. д., направлен от катода к аноду.
200


Для определения коэффи ­
циента усиления в виде отно­
шения комплексных амплитуд
и
К(Ш) =~
Eg
воспользуемся методом узловых
напряжений. Для узла а мож­
но составить следую ще е урав­
нение:
(- Ua) (G; +Са+ iQCo) +
+[(- Ua)-Uвыxl iQCg= - SEg;
для уз.па Ь:
Uвых Gg~f-[Uпыx-( - Ua)] iQCg=O.
Совместное решение этих
уравнений дает д.ля Uвых с.пе­
дующее выражение:
~
О}
-Ua
а
Gi
н
о;
Рис.
~
Cgh
•
и
ho oi1.:c·
6а Gg
j
5.10.
Учитывая, что емкость Cg разделительного конденсатора обычно­
во много раз больше, чем емкость С0 , можно считать
C0 +Cg~I
Cg
~•
Поэтому для комплексного коэффициента усиле ния, т. е. для,
искомой передаточной функции, пол у чаем
K(iQ)= -
SG
(G;+Ga+Gg)- i[1х:(G1+Ga)- QCo]
(5. 29),
Модуль коэффициента усиления
Это выражение может рассматриваться как уравнение ампли-­
тудно-,юстотной характеристики усилителя.
С помощью выражения (5.29') нетрудно выявить влияние ем-­
костей С0 и Cg на форму частотной хараюеристикй усилитеJJ я .
Рассмотрим три участка диапазона: нижние, средние и верхние ча-
20-i;


•стоты. На очень низких частотах основное значение в знаменателе
.имеет слагаемое
G
_!!_(G; +Ga)-
1,Cg
Отбрасывая все остальные слагаемые, получае :v1 для К([~) при
, очень малых частотах следующее приближенное выражение:
SQCg
K(Q) =(G1 + Ga)Gg
Учитывая, что при использовании пентодов
: получаем
1
1
G;=R;«Ga=Ra'
Rg
К(Q)=SRa- 1
-
QCg
В этом выражении множитель SRa определяет отношение на-
"
Иа
"
юряжении Е' а второи множитель характеризует деление напря-
жений в цеп'Ьчке Сg• Rg .
На средних частотах можно выделить участок диапазона, на
G
>котором слагаемое о.{, (G; + Ga) очень мало по сравнению со сла-
таемым (G; + Ga + Gg)~ а QC 0 еще очень мало (из-за малости С0).
На этом участке коэффициент усиления достигает максимального
· значения, равного
s
K(Q)=o , +Ga+Gg
Есл и проводимости G; и Gg малы по сравнению с Ga , то
.модуль
s
к(Q)=Ga = SRa,
.а с у четом направления токов и напряжений
K(iQ)= -SRa·
(5.30)
(5 .30')
На верхних частотах коэффициент усиления падает из-за шун­
тирующего действия емкости С0 .
Та ким обра з ом, амплитудно-частотная характеристика усилите­
ля на сопротивлениях имеет вид, показанный на рис . 5. 11 .
Пр и выборе величины нагрузочного сопротивления Ra, а так­
:же эле ме нтов разделительной цепочки Cg, Rg, необходимо исходить
·из условия обеспечения достаточной равно мерности амплитудно­
частотной характеристики в области наи более важных частот.
202


Если задана верхняя граница области .I (рис. 5.11), то постоянная
·времени цепи Cg, Rg может быть найдена из условия
или
В области высших частот спадание амплитудно-частотной ха ­
рактеристики начинается тогда, когда проводимость емкости С0
l<(Q)
1
п
ш
L___,_______,__ __ _
О
Q,
О;
О
Рис. 5.11 .
1
{:тановится соизмеримой с проводимостью нагрузки Ga = R--;,' по-
этому условие равномерности амплитудно-частотной характеристи­
ки вблизи границы области III (рис. 5.11) можно представить в виде
1
Q2Со«Ra•
Следовательно, если задана частота Q2 и известно значение С0
(по данным лампы и монтажа схемы), то можно найти наибольшее
приемлемое значение R а·
Обратимся к рассмотрению импульсной характеристики аперио­
дического усили теля на сопротивлениях. Для этого доп устим, что
к сетке лампы в момент t = О прикладывается единичный импульс
э. д. с. (дельта-функция). Это равносильно допущению, что эквива­
лентный генератор тока в схеме рис. 5.10, 6 дает в момент t = О
импульс тока So(t). Найдем сначала создаваемое этим импульсом
:напряжение на нагрузочном сопротивлен ии Ra в предположении,
что цепь Cg, Rg отсутствует и выходное напряжение снимается не­
:посредственно с сопротивления R а · Эквивалентная схем.а принимает
при этом вид, показанный на рис. 5.12 .
203


В этом простейшем случае задача легко рещается: в момент t = 0
чмпульс тока Sб(t) сообщает емкости С0 заряд
00
Q= SJ0о(t)dt= S
о
[см. § 2.9], в результате чего напряжение на емкости скачком
s
изменяется от нуля до иа (О) = с;, после чего начинается экспо-
ненциальный разря д по закону
1
t
ua(t) = Ua(O)e - RЭСО = i е- RЭСО
(5.31 )
а
G0 = 1/Ra
ИВьй (f)= · ·Ua (t1
н
Рис. 5.12 .
Здесь обозначено
Rэ=
_
___
1_=
RaR1 .
G;+Ga Ra + R1
Выходное напряжение, отсчитываемое относительно катода лампы,
равно
t
S -RC
Uвых (t) =
-
Ua(f)=
-
СоеэO•
(5.32)
Дополним теперь схему разделительной цепочкой Cg, Rg, т. е.
вернемся к схеме рис. 5.10, 6. Начальные условия ос таются преж­
ними, так как посылаемый генератором тока импу льс So (t) пол-
ностью замыкается через емкость С0 • Таким образом, и,, (О) = i
s
.
о
и Uвых (О) = - С- (в начальный момент напряжение на С" равно
о
~
нулю и напряжение выхода совпадает с потенциалом точки а,
отсчитываем относительно точки k).
Для определения дальнейшего хода функции UвыхU) требуется
найти решение дифференциального уравнения рассматриваемой
системы или же воспользоваться соотношением (5 . 17). Хотя для
весьма простой схемы рис. 5.10, 6 оба эти способа одинаково не­
сложны, воспользуемся в интересах \:динообразия вторым спосо­
бом.
204


Заменяя в выражении (5.29) iQ на р и подставляя К(р) в соот•
ношение (5.17), получим:
1 c+sioo
s
•
g(t) = - 21ti
-о(G-1-· G)
'
g,.
а
.
(G;+Ga+Gg)+[ С
+Сор]
С-100
gP
Находим полюсы подынтегральной функции:
Обычно выполняются неравенства:
G;<(Ga, Gg«Ga и С0«Cg.
Можно поэтому считать, что
При этом с достаточной для практики точностью
Gg(G;+Ga)
Gg
Cg(G; +Ga+ Gg)~- Cg --Cg R~ - ,
Здесь обозна~ено
205


Применяя формулу (5 . 12), находим вычеты
~ ---------- -~ ~=
l(Gi+Gа+Gg) +2С0(- Сg~g)l
Итак, окончательно,
(5.33 ~
Учитывая, что SRa = Ко - максимальное значение коэффици­
ента усиления [см. формулу (5.30)], и обозначая через 'g = Cg R,,.,
'а =СоRэ=Со Ra соответствующие постоянные времени, получаем
(5.34),
Так как 'а « 'g, то из этого выражения следует, что при малых
временах, т. е. при t < 'а• основное значение имеет первый член
в квадратных скобках. Когда t становится соизмеримь1м или пре­
вышает 'g• ход функции g(t) определяется в основном вторым
членом.
Импульсные характеристики g (t) для двух значений пара-
метра Ь ==~ изображены на рис. 5.13.
'tg
Обратимся теперь к рассмо-трению примера апериодического
усилителя на транзисторах.
,r,б


Простейший каскад такого усилителя по схеме с заземленным1
эмиттером изображен на рис. 5.14, а.
Заметим, что эквивалентная схема усилительного каскада на,
полупроводниковых приборах в общем случае гораздо сложнее, .
g(7'ra)
l<o
2,0
-.1'a=tfГ5ceк;'t'g=10-zctк; rrt'9 =ffГJ
-
-
-
-
ra = f0-5сек; r9 =Ю"*сек; ryrg =to-1
о г----';'~------.......--~-~---""-с--~
,-o,2-t05
12,0 1/ra
-а.ч·Ю
-0,б·fО
-о.в f(]5
=t ,O·fO
Рис. 5.13 .
чем аналогичная ламповая схема. Это объясняется тем, что вход­
ное сопротивление транзисторного каскада - ~еличина существен ­
но нелинейная и зависящая от величины напряжения на коллекто­
ре. Кроме того, параметры самого транзистора зависят от частоты,.
и вблизи некоторой граничной частоты эквивалентная схема тран-
Eo_l+
~----4в~ Ивш:
aJ
oJ
Рис. 5.14 .
зистора весьма услож няется, так как приходится у читыв ать ряд
дополнительных реактивностей.
Однако, если ограничить рассмотрение работы усил ителя слу­
чаем достаточного низких, по сравнению с граничной, частот и
весьма слабых входных сигналов, lэквивалентная схема усилитель-­
нога каскада на транзисторе намного упрощается и принимает вид,.
показанный на рис. 5.14, 6 . Здесь не учитывается влияние коллек-
207


торного напряжения на входное сопротивление транзистора, а па­
ра метры последнего считаются чисто активными. Сопротивление
смещения Rсм не показано.
Нужно отметить следующие отличия схемы рис. 5.14, б от
схемы рис. 5.10, б (несмотря на внешнюю аналогию):
1. Транзистор управляется током и поэтому имеет малое вход­
ное сопротивление.
2. Сопротивление, подключенное к выходу (R 6), в транзистор~
ном каскаде гораздо меньше, чем Rg в ламповом каскаде и соизме­
римо с сопротивJ1ением нагрузки Rн-
3. Полярность источника питания Е0 (для транзисторов типа
р-п-р, наиболее распространенных на практике) противоrю­
ложна полярности источника анодного I-iапряжеiия Еа в лам­
повом каскаде. Следствием этого является то, что полярности
напряжений на сопротивлениях Ra · и Rg, а также R 6 и Rн (см.
рис. 5.10 и 5.14) не совпадают.
После всех этих замечаний определение передаточной функции
K(iQ) и импульсной характеристики g(t) может быть выполнено по
формулам, аналогичным (5.29) и (5.34). Необходимо только отка­
заться от упрощений, основанных на малости проводимости Gg.
5.6 . ПЕРЕДАЧА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
Дискретные сообщения обычно представляют собой последова­
тельности импульсов. При передаче через инерционные цепи форма
импульсов претерпевает изменения, которые приводят к частичной
или полной п9тере передаваемой информации. В связи с этим анализ
искажения формы импульсов в радиотехнических цепях является
одной из наиболее типичных задач, с которыми сталкивается радио­
инженер и исследователь в своей практической деятельности.
Из всего многообразия возможных форм импульсов наибольший
интерес для анализа представляет прямоугольный импульс. Это
связано с простотой его формирования, а также с широким приме­
нением его в системах с двоичным кодом и во многих других радио­
технически х устройствах. При работе с прямо у гольными импуль­
сами основное внимание обычно уделяется вопрос у о передаче
фронтов импульса. Этот вопрос особенно важен, когда передавае­
мая или извлекаемая информация содержится в положении перед­
него (или заднего) фронта импульса на оси времени (например,
в некоторых радиолокационных системах) .
Рассмотрим прохождение сигнала, представляющего собой пря­
моугольный импульс, через линейную систему с заданной импульс­
ной характеристикой g(t) или с заданной передаточной функцией
K(iQ).
Воспользуемся методом интеграла наложения, изложенным
в § 5.3 . В данном случае удобно применить выражение (5.22).
108


Входящая в это выражение функция s(t - х) определ .яется из
условия (рис . 5. 15, а)
s(t)=АприО<t< Т,
=0приt<Oиt>T
и соответственно
s(t -х) = А при O<t-x<T
или, что то же самое, при t- Т<х<t.
Функция s(t -х) изображена на рис . 5.15, б .
Второй множитель подынтегральной функции [функция g(x)]
отличен от нуля только при х > О (рис. 5.15. в).
Произведение s(t - x).g-(x) отлично от нуля только в промежут­
ке, в котором s(t - х) и g(x) перекрываются, т. е. при О < х < t.
Перекрывающиеся участки функций s(t - х) и g(x) на рис. 5.15, б
и в заштрихованы.
Следовательно, для моментов t, расположенных на оси времени
внутри промежутка О, Т, выражение (5.22) принимает следующий
вид:
t
Sвых(t) = АJg(х)dx,
о
(5.35)
Для моментов времени t, расположенных на оси времени пра­
вее точки Т, нижний предел интегрирования должен быть заменен
наt-Т(рис.5.16,аиб):
t
Sвых(t) = А Sg(х)dx,
t>T.
(5.36)
t-T
Из выражений (5.35) и (5.36) видно, что в случае прямоуt'i!.IIЬ­
ного импульса выходной сигнал определяется интегрированием им-
пульсной характеристики системы g(t).
...
Но интеграл от функции g(t) равен перехо~ной функции h(t)
[см . выражение (5.24) ]. Поэтому выражения (5.35) - (5.36) могут
быть записаны в форме
t
Sвых(t) = АSg(х)dx = Ah(t) при О<t<Т (5.35')
о
и
1
t
t-T
Sвых(t) =АJg(х)dx = АJg(х)dx - АJg(х)dx=
t-T
О
О
=A[h(t) - h(t-T)] при t>T.
(5.36') .
Этот результат вытекает также непосредственно из рис . 5.15, а:
передний фронт прямоугольного импульса можно рассматривать
8 За". 2053
109


как включение в момент t = О постоянной э. д. с. А, а задний
фронт - как включение в момент t =Т э. д. с. - А. Первое вкл_ю­
чение дает на выходе напряжение Ah(t), а второе - Ah(t - Т).
Приведенный выше анализ, основанный на импульсной характери­
стике g·(t), имеет, однако, некоторое преимущество при непрямо­
угольной форме входного сигнала.
а)
а)
s(.Х)
S(I)
А
А
о
tт
I
о
т
I
5)
11,rf-IJ
rf;
1
s(t-.т ) ·
..
it-Tо
tl
:r:
о
х
8)
1
8)
1
1
1
__L _.JLL.LL.'-.LL..LL..'-.LL.-".L.--
о
t
I
0 t-T
t
I
Рис. 5.15 .
Рис. 5.16 .
Если импульсная характеристика определяется выражением
вида (5.34) (апериодический усили~·ель по схеме рис. 5.10, б), то
выражения (5.35) и (5.36) дают следующие значения выходного
сигнала:
--
----
(t
t)
'g
'а
Sвых (t)= -Ко А ,е
-
е,
(
t-T
'g
=К0А е
-е
t
'g -е
Обычно постоянная врем~ни тg велика по сравнению с та. Поэ­
тому при исследовании искажения фронтов импульсов на протя­
жении отрезков времени, соизмеримых с постоянной времени
та= RaCo (рис. 5.12), можно считать
210


Если, кроме того, длительность импульса Т мала по сравнению
с постоянной времени тg, то выражения (5.37) переходят в следую­
щие:
(
Т) 1-Т
--
--
'а
'
=-К0А 1-е е а,
(5.38)
Графики импульсов на выходе усилителя при нескольких значе­
т
ниях параметра - приведены на рис. 5.17.
'ta
Рис. 5.17 .
Особо следует отметить кривую, соответствующую параметру
т2
•
б
"
-
=
:п, которая достигает величины, лизкои к амплитуде им-
~
.
пульса, лишь в момент t = Т . При меньших значениях параметра
т
-
происходит снижение амплитуды выходного импульса.
'ta
Заметим, что амплитудно-частотная характеристика рассмат-
риваемой цепи, отличающейся от схемы рис. 5.10, 6 тем, что не учи­
тывается цепочка CgRg, а также R 1, определяется выражением
1((Q)=
Ко
У1+ (QRa Со)2
Ко
где 1(0 - максимальная ордината частотной характеристики [см.
формулу (5.29') ].
Полоса пропускания этой цепи, определяемая по ослаблению
1
V 2, равна
В"
111


Следовательно, параметру !_ = 2:rt соответствуеt nостоянная
'ta
т
времени •а = 21t или полоса проп ускания ЛQ = 2; . Перех одя
к полосе пропускания в герцах, получаем
1
Лf=т,
где Т - длительность импульса.
(5.39)
Соотношением (5.39) широко пользуются в практике . Из него
следует, что если можно удовлетвориться требованием, чтобы за
время Т амплитуда импульса только лишь достигала своего «устано­
вившегося» значения, то полоса пропус1<ания цепи должна равнять­
ся величине, обратной длительности импульса Т. Форма выход­
ного импульса при этом далека от прямоугольной.
В тех случаях, когда требуется удовлетворительное воспрои_з­
ведение формы импульса, постоянная времени та (и соответственно
полоса пропускания ЛQ = ~) должна сопоставляться с временем,
отводимым на длителыюсть фронтов выходного импульса . Если
это время обозначить через тф, то параметр ~ должен быть не
'ta
1
меньше , чем 2:л:, а полоса пропускания Лf > -.
'tф
Этот результат имеет важное значение для правильного выбора
параметров системы передачи дискретных сообщений, так как он
указывает на минимальное время, необходимое для перехода от
одного дискретного уровня к другому.
В практике часто применяются многозвенные фильтры или мно­
гокаскадные усилители, составленные из разделенных (активными
элементами) ступеней, аналогичных рассмотренной выше.
Передаточная функция подобной системы описывается следу­
ющим выражением:
где т 1 -:- постоянная времени одного звена, а
п - число звеньев.
Воспользуемся соотношением
Обозначив Q2 тf = х, представим !n (1 + х) в виде степен­
ного ряда
1
1
ln(l+x)=x- 2x2+3x3-
...
при Jxi<l .
112


Отметим, что условие I х 1 <. 1 заведомо выполняется, так как
с увеличением числа звеньев п и при сохранении неизменной и за­
данной полосы пропускания всего устройства в целом, постоянная
времени одного звена должна быть тем меньше, чем больше число
звеньев.
Следовательно, если при одном звене нас интересует поведение
передаточной функции в пределах полосы пропус кания (т. е . при
Q.-1 < 1), то при п » 1 величина Qi-1 «1.
Та')ИМ образом, полагая, что х « 1, мы можем ограничиться
лишь первым членом разложения:
При этом
п(
2)
п2
-111
l+ O',l
- O't1
е2
=е2
и передаточная функция
Здесь использовано приближенное равенство
arctg Q-r 1 =Q-r 1
и обозначено
К=К~.
(5.40)
Из выражения (5.40) видно, что при п » 1 модуль передаточ ­
ной функции близок к гауссову импульсу, а фазовая характеристи­
ка линейна.
Если задана полоса пропускания (определяемая на уровне
е-а96= е- ~.
где Q 0 - полоса), то постоянная времени одного
звена -r должна отвечать условию
откуда
Q2
n22
1
ао=2-riQo=2,
11
't'1= ~.r- •о.
,.. п
••о
При этом фазовая характеристика
11
v-Q
cp(Q)=nQ-r1=nv=- ·oQ= n-o ·
п •-о
••о
Выражение (5.40) определяет также и спектральн ую плотность
импульсной характеристики цепи g(t). В § 2.7 было показан о,
что «гауссову» спектру соответств ует и га уссов и м п ул ьс; таким
213


образом, импульсная характеристика цепи с передаточной функ­
цией по выражению (5.40) имеет вид
к _ ·u-r.J'
g(t)= ---=е
4а
2утг.а
(5.41)
При скачкообразном изменении уровня входного сигнала в мо­
мент t = О на величину Лs, изменение выходного сигнала будет
происходить по закону
t
Лsвых(t) = ЛsJg(х)dx
о
[см. выражение (5.35)].
при t>O
(5.42)
Подставляя в выражение (5.42) g(x) по уравнению (5.41), по­
лучаем
к Лs sl - (X-lo)'
Лsвых (t) =
.
е4аdx=
2 vтг.а •
о
= К Лs [Ф(t- ~о)+ф(-to-)1•
2
2Va
2Уа
х
где Ф (х) = ✓~ Jе-У' dy - интеграл вероятности.
о
(5.43)
Это выражение может быть использовано · для оценки времени,
необходимого для перехода с одного дискретного уровня сигнала
на другой, в системах, составленных из большого числа однотип­
ных звеньев (разделенных активными элементами).
С помощью выражений (5.21)-(5.22) нетрудно проанализиро­
вать прохождение импульсов любой формы через любую линейную
систему с заданной импульсной характеристикой.
5.7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ
В радиоэлектронике часто встречается необходимость в преоб ­
разовании сигнала, имеющем характер дифференцирования или
интегрирования.
На вход линейного устройства, осуществляющего дифференци­
рование, подается сигнал s(t), а с выхода должен сниматься сигнал
вида
ds(t)
Sвых (t) = То dГ.
В интегрирующем устройстве связь между выходным сигналом
Sвых (t) и входным s (t) должна иметь вид
Sвых(t)= ~sS(t)dt,


В этих выражениях т0 - постоянная величина, имеющая раз­
мерность времени.
Дифференцирование и интегрирование являются линейными
математическими операциями. Следовательно, для дифференциаль­
НQГО или интегрального преобразования сигнала должны быть
применены линейные цепи и элементы , обладающие .требуемыми
соотношениями между входными и выход- .
ными величинами.
Этим требованиям отвечают, в принципе,
такие элементы, как обычная емкость или
индуктивность в сочетании с омическим со­
противлением при надлежащем съеме . вы ­
ходного сигнала . _
Рассм~трим сначала схему, изображен­
ную на рис. 5.18.
с
Г'
s!O
i!~ R
Рис. 5.18.
Подразумевая под входным сигналом s(t) электродвижущую силу,
составим уравнение для тока в цепи i(t):
Ri{t)+i;-~i(t)dt= s(t).
(5.44)
Умножим это уравнение на С и обозначим через т0 = RC по­
стоянную времени цепи. Тогда получим уравнение
т0i(t)+Ji(t)dt = Cs(t).
(5.44')
Характер функциональной связи между током i(t) и входным сцг ­
налом s(t) зависит от величины постоянной времени т0 .
Рассмотрим два крайних случая: очень малого и очень большого
т0 . У,очнение этих определений будет дано несколько позднее.
В перво м случае, т. е. при очень малом т0 , первым . слагаемым
· в левой части уравнения (5.44') можно пренебр-ечь. Продифференци­
ровав оставшееся после отбрасывания этого слагаемого уравнение
по t, получим
•(t)~Cds(t)
i~dt'
Отсюда видно, что напряжение на омическом сопротивJiении R,
совпадающее по форме с -i(t) , пропорционально производной вход­
ного сигнала:
=
R.(t)'= RCd,,(t) = .
ds (t)
UR
i
dt
Тоdt'
Таким образом при х одим к схеме дифференцирующего четырех­
полюсника , показанной на рис. 5.19, а, в которой выхоцной сигнал
снимается с омического сопротивленця R.


Во втором случае, т. е. при очень больших значениях -r 0 , можно
отбросить второе слагаемое в левой части уравнения (5.44'). При
этом ток
i(t)=f_ s(t) = _Rl s(t)
"о
совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на емкости
С, равное
пропорционально интегралу от входного сигнала s(t). Отсюда следует,
что для осуществления интегрирования цепочка R, С должна быть
использована в соответствии со схемой, показанной на рис. 5.19, б.
R
о-1
~
S(t) С R '••(/)•То dg;t) S:t/
С т s,.,,(t}• :,f,,,Jdt
а;
6)
Рис. 5.19.
_Аналогичные результаты можно получить с помощью цепочки
R, L. Сх.~а дифференцирующей цепочки R, L показана на
рис. 5.20, а'; а интегрирующей - на рис. 5.20, б.
R
L
~
S(t)
L 58ы.z: (t J
sttJ
R
U}
OJ
Рис. 5.20.
L
В первом случае постоянная времени -r 0 = R должна быть до-
статочно мала, а во втором - достаточно велика. Принцип диффе­
ренцирования в первой схеме (рис. 5.20, а) можно представлять
с:бе следующим обр<1зом. При достаточно большой величине со­
riрспивления R ток через R, L почти не зависит от величины L
и совпадает по форме с входным сигналом s(t). Выходной же сигнал
Sвых(t), снимаемый с индуктивности L, равен:
di
cl[1
]
ds (t)
S8ых(t)=Ldt=Ldt RS(t) = 'to--;л- •
)16


В схеме , показанной на рис. 5.20, 6, наоборот, ток в основном
определяется индуктивностью L и равен
i (t) =f5s(t) dt;
выходной же сигнал, снимаемый с сопротивления R, равен
Sвых(f) = Ri (t) =~SS(f)dt.
Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и
«большое» т0 . Это проще всего сделать на основе спектрального
рассмотрения. Если входной сигнал s (t) обладает спектральной
плотностью S (Q), то при точном дифференцировании выходной
сигнал Sвых (t) = т0 dsd~t) должен обладать спектральной плотно­
стью Шт 0 S(Q), а при точном интегрировании - плотностью
+ s (Q) [см. выражения (5.13) и (5.14)].
t s-'to
Это означает, что для точного дифференцирования требуется
четырехполюсник с коэффициентом передачи
К(Ш)=Т0Ш,
(5.45)
а для точного интегрирования -
К(Ш)=~ .
'to '""
(5.46)
Показанные на рис. 5.19, а и б четырехполюсники обладают
передаточными функциями соответственно
R
·о
К (iQ) == --1
-
= RC1-/RCiQ -
R+шс
и
1:0 i9
I ---j-1: 0 Ш
(5.47)
K(iQ) ~ Шсl
~ iblCR, (
1 ) ~,,ш.(1 +-]-.). (5.4S)
R+i~lC
•
1 +шсR
'tot9
Из сравнения выражений (5.45) и (5.47) видно, что для удовлет­
ворительного дифференцирования требуется, чтобы выполнялось
условие:
(5.49)
Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра
входного сигнала, в том числе и для наивысшей.
Из сравнения выражений (5.46) и (5.48) видно, что для удовлет­
ворительного интегрирования требуется вьmолнение условия
8В Зак . 2053
(5 .50)
217


Это нерщзенство должно удовлетворяться для всех частот спектра
входного сигнала, в том чиtле и для са м ой низкой.
Из неравенств (5.49) и (5.50) следует, что при заданной цепи
дифференцирование осуществляется тем точнее, чем ниже частоты,
на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегри­
рование - чем выше эти частоты.
Из этих неравенств вытекает также следующее принципиальное
положение: чем точнее дифференцирование или интегрирование,
тем меньше (по модулю) передаточная функция K(iQ) цепи, осу­
ществляющей это преобразование сигнала. В пределе, при идеаль­
ном преобразовании К (Q) ➔ о :
Рассмотренные выше модели дифференцирующих и интегриру­
ющих цепей обычно являются ~элементами соответствующих элект­
ронных устройств. Наибольшее распространение получили цепи
R, С, удобно сочетающиеся с активными элементами. Особенно
просто задача решается при дифференцировании сигналов. Рас­
смотренная в § 5.5 схема усилителя (рис. 5.10, а), в частности,
может быть использована в качестве дифференцирующего устрой~
ства ; для этого достаточно выполнить условие, чтобы постоянная
времени разделительной цепочки (т. е. произведение RgCg= тк)
была мала по сравнению с длительностью сигнала, подлежащего
дифференцированию.
Найдем в заключение импульсные характеристики дифференци­
рующей и интегрирующей цепей и приведем некоторые примеры
прохождения импульсных · сигналов через эти цепи.
Проще всего определяется импульсная характеристика интег­
рирующей цепи .
Исходя из соотношения
00
1п
Sных([)= -
\S(f)df
-ro о
и подставляя вместо s(t) дельта-функцию б(t), получаем для sвы,(t),
•т. е. для импульсной
характеристики идеального интегрирующего
устройства, следующее выражение:
(Х)
g(t)= -
.
6(t)dt= -
1s
1
-ro
-ro
при О<t<CXJ.
(5. 51)
о
Единичный импульс и импульсная характеристика интегрирую­
щего устройства изображены на рис . 5.21, а и 6.
Нахождение импульсной характеристики дифференцирующего
устройства затрудняется необходимостью определения производной
от дельта-функции . Это _затруднение можно обойти, если короткий
импульс, обращающийся в б(t) при устремлении его длительности
118


t к йулю (см . § 2.9), продифференцировать до пере х ода к rтредел у.
На рис. 5.22, а показ ан исходный и мп ул ьс в виде треугольника
с основанием 2т и высотой J. . Площадь импульса равна единице .
~
Производная подобной функции изображена на рис. 5.22, б. При
т ➔ О треугольный импульс
обращается в дельта -функцию
Yr
б(t), а сдвоенный биполярный
импульс (рис. 5.22, б) - в
производную дельта-функции, aJ
т. е. в б'(t).
U.)
brtJ 1
1
1
Рис. 5.21.
..
о/
t
о
1⁄2z
о
'(
1
1
1
1
1
1
1
Zr
t
zrft
- y,,-z
...__.._l
Рис. 5.22 .
Очевидно, что интеграл от б' (t), равный площади нижней фи­
гуры в пределах от нуля до t, дает б(t), а интеграJI от б(t) дает еди­
ничный скачок в момент t = О.
Итак, импульсная характеристика идеального дифференциатора,
равная т0б'(t), имеет вид фигуры, показанной на рис. 5.22, б (ор­
динаты этой фигуры должны быть умножены на т0), при т ➔ О .
На рис . 5.23, а изображен трапецеидальный импульс на входе
дифференцирующей схемы С, R, а на рис. 5.23, 6 - напряжение
на ее выходе. Пунктирными линиями показан сигнал на выходе
идеального дифференцирующего устройства.
На рис. 5.24 аналогичные построения сделаны для в х одного сиг­
нала , представляющего собой прямоугольный импульс (рис. 5.24, а).
При точном дифференцировании выходной сигна л должен пред­
ставлять собой два единичных импульса: o(t) и - o(t - Т). В дей­
ствительности же получается два экспоненциальны х и м пульса
(на рис. 5.24, б заштрихованы).
Приведенные на рис . 5.23 и 5.24 примеры показывают, что чем
медленнее изменяется во времени входной сигнал , тем луч ше про­
исходит дифференцирование.
8В*
219


Пример работы nнтеrрирующей цепочки R, С, когда на вход
подан прямоугольный импульс, показан на рис. 5.25, а и 6.
а)
л \lj
..
lJ1
1
1
t
~--
1
1
1
oJ1
"'
о
t
Рис. 5.23 .
Чем больше постоянная времени цепи, тем ближе реальный вы­
ходной сигнал (сплошная линия) к идеальному (пунктир).
й1
-
ITt
5/
о
т
t
Рис. 5.24.
Существуют способы улучше­
ния работы дифференцирующего
и интегрирующего устройств, ос­
нованные на применении электрон-
S(tj
а1
1
1•
01
IT -t
1
1
5)
1
,,..,.... -1
~-
о
тt
Рис. 5.25.
ных схем/с обратной связью. Принщщ действия подобных устройств
вкратце будет рассмотрен в § 8.2; iюдробное же их изучение явля­
ется предметом специальных курсов.
210


5.8 . КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА
При анализе различных способов обработки сигналов часто
возникают следующие вопросы: а) как изменяется автокорреля­
ционная функция сигнала при пропускании его через фильтр и
б) какова взаимная корреляционная функция входного и выход­
ного сигналов. Второй вопрос, естественно, тесно связан с первым.
Пусть на входе фильтра с заданными передаточной функцией
К(iш) и импульсной характеристикой g(t) действует импульсный
сигнал s1(t) со спектральной · плотностью S 1(w).
Автокорреляционная функция этого сигнала в соответствии
с выражениями (2.107) и (2.109)
+оо
+оо
'/)11('t)= Js1(t)s1(t-
,)dt= Js1(t)s;(,- t)dt. (5.52)
-00
-00
Через s; (, -
t) обозначена функция, зеркальная относительно
функции s1 (t -
,) [см. выражение (5.23)].
Второй интеграл в выражении (5.52) является сверткой функ-
ций S1(t) И s;(f).
•
Если исходить из заданной функции S1 (ш), то '/Ju (,) можно
определять с помощью выражения (2.131):
+оо
ЧJн(,) = 2
11t JSi(ш)cosш,dш =
-00
{5 .53)
-00
Последнее выражение, в котором s; (ш) является спектраль ­
ной плотностью функции s; (t), иллюстрирует следующее извест­
ное положение: произведению · двух спектральных плотностей
Sa (ш) и Sб (ш) соответствует новая функция времени s (t), опре­
деляемая сверткой исходных функций sa (t) и sб (t):
+оо
s(t)= •SSa(х)Sб(t- х)dx.
(5. 54)
-00
Это положение может быть использовано для определения
автокорреляционной ' функции выходного сигнала '/)22 (,). Так как
спектральная плотность этого сигнала ,
i .11


то по аналогии с выражением (5 .53) можно написать
1+sco ?
1/!22 (-i-) = 2тс S1 (ш) К2 (ш) cos W't dш.
(5.55)
-со
Но спектрал1,ной функции Sf (ш) отвечает автокорреляционная
функция 1/Jн (-i -), а спектральной функции /(2(ш) - автокорреля­
ционная функция импульсной характеристики фильтра 'Pgg (-i-).
Следовательно, 1/)22 (-i-) можно представить в виде свертки двух
функций: 'Фн (i:) и "-Pgg (i:):
+ос
'Ф22 (-i-) = J 'Фн (х) 1.\Jgg (-i -
-
х) dx.
(5.56)
-00
Итак, автокоррел яционная ·функция выходного сигнала ')122 (-i-)
может быть выражена либо через Sf (ш) и /(2 (ш) [соотношение
(5.55)], либо через 1.\Ji1 (i:) и "-Pgg (-i-) [соотношение (5 .56)].
Из соотношений (5.55)-(Ь.Ьб) следует, что при прохождении
сигнала через любую линейную систему его автокорреляционная
функция, как правило, изменяется. Возможны лишь два исключе­
ния: либо · импульсная характеристика является дельта-функцией,
т . е . цепь не содержит реактивных элементов, либо сигнал является
простой гармонической функцией .
В пер~ом случае, когда g (t) = Ао (t), выражение (5.56) дает:
+а.,
'Ф22(-i-) = А J'Ф11(х)о(-i-
-
х)dx =
-00
+со
= А1.р11(-i-) Jо(-i-
-
х) dx = А1.р11 (,).
(5 .57)
-со
Таким образом, автокорреляционная функция сигнала на вы­
ходе безынерционной цепи (составленной из омических сопротивле­
ний) отличается от 1.р11(1:) только постоянным коэффициентом А.
Во втором случае (гармонический сигнал) функция 'lj,22(-i-), как
и 1p11(-i-), является косинусоидальной функцией с той же частотой, '
что и частота сигнала (см. § 2. 13) .
В практике часто встречается случай, когда спектр входного
сигнала значительно шире , полосы прозрачности цепи. Это означа­
ет, что время корреляции входного сигнала мало по сравнению
с временем корреляции имрульсной характеристики цепи. Пола­
гая, что в пределах полосы прозрачности цепи спектральш1я плот-


ность сигнала S1(ffi) сохраняет постоянную величцну S0 , перепишем
выражение (5.55) следующим образом:
+оо
'\j)22 (т) = S6· 2
~
S K2 (w)coswтdco=S6 · 'Фg1:(т). (5 .58)
-
00
Этот результат показывает, что при воздействии широкополосного
сигнала на узкополосный фильтр, автокорреляционная функция
выходного сигнала совпадает (с точностью до постоянного множителя
S6) с автокорреляционной функцией импульсной характеристики
цепи.
При воздействии узкополосного сигнала на широкополосную
цепь , когда форма - сигнала сохраняется неизменной, функция
'ljJ22(т), естественно, не . отличается (по форме) от 'ljJ11 (т).
Обратимся к определению взаимной корреляционной функции
'ljJ21( t) выходного и входного сигналов.
Ло определению
+оо
+оо
'Ф21(т)=Ss2(t)s1(t- т)dt= Ss2(t)s~(т - t)dt.
--00
Как и в выражении (5.52), s; (т - t) является функцией, зер­
кальной по отношению к s1 (t - т); спектральная плотность этой
функции равна s; (w).
Так как спектральная плотность выходного сигнала
S2(w) = S1(со)•К(ico),
то последнее выражение, являющееся сверткой функций s2 (t) и
s;(Q, эквивалентно
1 +soo
•
'Ф21 (т) = 21t
s~ (со)• S1 (со) cos CO't dw =
-00
+оо
.
= ;" sS1 (co)•S';(w)•K(iw)coswтdw=
-00
+оо
=
2~ S Si(w)•K(ico)coswтdш.
(5.59)
-0:: ,
Но
+оо
2~ Js~(U))cosсотdUJ = '\JJIJ(!i
-0:: ,
223


а умножен и~ подынтегральной функции Sf (w) на К (iw) эквива­
лентно образованию свертки функции ~11 (,) с импульсной харак­
теристикой g (,) .
Следовательно,
+оо
1Р21(,) = J ~J11 (х)g(, -
х) dx.
(5 .60)
-00
_
Это важное соотношение наряду с (5.59) полностью решает
задачу определения взаимной корреляции между сигналами на
выходе и входе линейной цепи.
При бесконечной полосе пропускания, когда импульсная ха­
рактеристика цепи g(t) = Аб(t), очевидно,
"-Р2 1 (,) = А1.р11 (,).
Как и следовало ожидать, в рассматриваемом частном случае
1.р21(т) совпадает по форме с 1.р 11 (т) и равна 1.р22 (т) [см. выражение
(5.57)].
В другом предельном случае, когда спектр входного сигнала
намного шире полосы пропускания цепи, функцию 1.р 11 (т) можно
считать «короткой» по сравнению с функцией g(т).
Приравнивая 1.р 11 (т) = Вб(т), получаем из выражения (5.60):
+оо
1Р21 (т)=В JO(x)g(т-x)dx=B•g(т).
-00
Это означает, что при воздействии широкополосным сигналом
на узкополосный фильтр, взаимная корреляционная функция 1.р 21 (т)
имеет такую же форму, что и импульсная характеристика фильтра
g(т). .
Это объясняется тем, что широкому спектру входного сигнала
соответствует - короткий импульс. При «ударе» по узкополосному
фильтру, обладающему большой постоянной времени, выходной
сигнал по своей форме совпадает с импульсной характеристикой
фильтра .
Некоторые примеры применения полученных в настоящем па­
раграфе результатов будут приведены ниже.
5.9. ФОРМИРОВАНИЕ ШУМА В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
В данном параграфе имеются в виду стационарные случайные
процессы с нормальным законом распределения. Физическими
примерами подобных процессов являются рассмотренные в § 2.11
шумы, обусловленные атомистической структурой вещества и элект­
ричества.
Исследование прохождения шума через линейную систему по
существу сводится к опредеJ!ению основных статистических характ~-
~~4
с
с
с


ристик шума на выходе системы при заданных характеристиках
входного шума.
Таковыми характеристиками являются энергетический спектр
и автокорреляционная функция.
Эта задача может быть решена методами, аналогичными ис­
пользованному в предыдущем параграфе; необходимо лишь в со­
ответствующих выражениях заменить S1(w) на энергетический
спектр
'
1
W1(w) = 2 W(w) [см. примеч. на стр. 93].
При этом связь между энергетическими спектрами на выходе
W вых (w) • и на входе W вх (w) определяется следующим выра­
жением:
wвых (w) = К2 (w)' wвх (w).
(5.61)
То обстоятельство, что модуль передаточной функции входит
в это выражение в квадрате , объясняется тем, что энергетический
спектр W(w) пропорционален квадрату модуля спектральной
плотности S(w) элементарных импульсов,
образующих рассматриваемый стационар­
ный случайный процесс (см. § 2.12) .
В тех случаях, когда энергетический
спектр входного шума имеет смысл сред­
него квадрата случайного тока в полосе
оди .н герц, а выходного шума - среднего
квадрата напряжения, создаваемQго вход­
ным током на сопротивлении Z(w) , входя­
щая в выражение (5.61) функция К2(w)
должна быть заменена функцией z2(w).
Z(w)
'----..._-оЕа
Рис. 5.26 .
Наибольший для практики интерес представляет рассмотрение
механизма формирования дробовых и тепловых шумов в линейных
элементах усилительного устройства. .
.
В § 2.11 при изучении структуры этих шумов мы пришли к по­
нятию «белого» или «дельта - коррелированного» шума. Это обус­
ловливалось тем, что совершенно не учитывалось влияние инер­
ционных элементов - емкостей, индуктивностей и колебательных
контуров - на частотный спектр шума.
Покажем это влияние на примерах, относящихся к формирова­
нию шума в линейных усилителях.
Пусть в анодную цепь электронной лампы включен линейный
двухполюсник с сопротивлением Z(w), представляющий собой лю­
бое сочетание инду ктивностей, емкостей и сопротивлений (рис. 5.26).
Сетка лампы на этом рисунке соединена с катодом накоротко,
чтобы подчеркнуть отсутствие сигнала на входе усилителя . Тре­
б у ется найти напряжение u(t) на зажимах двухполюсника, создава­
емое фл у кту ациями анодного то!{а ,


Наиболее . простой путь - определение энергетического спектра
шумового напряжения Wu(ffi). Обозначая энергетический спектр
дробового тока через W;(ffi) = 2е/0 [см. формулу (2.105)] и учиты­
вая, что W;(ffi) есть усредненная спектральная плотность квадрата
тока, приходим к очевидному выражению
(5.61')
где z(ffi) - модуль сопротивления двухполюсника.
Применяя затем выражения (2.136) и (2.138), находим функцию
корреляции 'Ф"(т) и средни~ квадрат шумового напряжения. Тем
самым это напряжение полностью охарактеризовано, так как закон
распределения остается тем же, что и для дробового тока, т. е.
нормальным. Последнее обстоятельство вытекает из основного
положения теории случайных процессов: при любых линей1-1:ых пре­
образованиях процессов с нормальным распределением зак.он рас­
пределения остается нормальным. Изменяется лишь дисперсия
и функция корреляции (соответственно и энергетический спектр).
Рассмотрим некоторые важные для практики частные случаи
нагрузки z( (J)):
•
а) Апериодическая нагрузка в виде параллельного соединения
R и С (апериодический усилитель, в котором полезное нагрузочное
сопротивление R шунтируется емкостями лампы и схемы):
я2
22(~) = 1+(wCR)2'
я2
W" (ffi) = 2efo 1 + (wCR)2.
(5.62)
Под.ставляя это вьrражение в (2.136), получаем следующее
выражение для функции корреляции:
00
00
i
s cos \J!'t
dffi_ е/0R2a.2 scos w't dffi
'Ф"(т)=~2efo R2 1+(wCR)2 -
7t
а.2 + ,,,2
•
о
о
Здесь
Входящий в правую часть последнего выражения интеграл равен
00
ffi=-e
•
\
•
COS W't d
1t
-а1,1
•
а.2+,,,2
2:1.
(5.63)
о
Окончательно,
(5. 64)
226


При . - = О это выражение определяет дисперсию шумового на­
пряжения:
о)_
2_
~(t)_ е/0R
'Фи( - аи
-
И -2С.
(5.65)
Таким образом, нормированная функция корреляции
(5.64')
а эффективное значение шумового напряжения, развиваемого на
анодной нагрузке, равно
(5.65')
Из выражений (5.64) и (5.64') следует, что с увеличением интер­
вала ,; функция корреляции для шумового напряжения на парал­
лельном соединении R и С убывает экспоненциально. При I т 1 =
= (2---; - З)RС 'Фи (т) = О . Это означает, что время корреляции,
т. е. промежуток времени, в котором еще ощущается корреляция
между двумя мгновенными значениями u(t) и u(t - т), в два-три
раза превышает постоянную времени цепи RC. Нетрудно пояснить
смысл полученного результата. Шумовое напряжение на нагрузке
образуется совокупностью беспорядочно следующих импульсов
тока, создаваемых отдельными электронами. Каждый из этих
импульсов создает импульс напряжения, длительность которого
определяется постоянной времени нагрузки. При наложении боль­
шого числа импульсов относительная скорость изменения суммар­
ного шумового напряжения u(t) должна быть того же порядка,
что и скорость изменения отдельных импульсов. Поэтому для неза­
висимости двух напряжений, отсчитываемых в моменты t и t - т,
величина т должна быть не менее длительности импульсов, обра­
зующих шум.
Определяемое формулой (5.65') напряжение условно можно рас­
сматривать как результат приложения некоторого шумового на­
пряжения ко входу усилителя, т. е. к зажимам сетка -_, катод пер­
вой лампы. При коэффициенте усиления каск_ада k величина экви­
валентного шумового сеточного напряжения должна быть при­
равнена:
V:2
ИэФ
Иgэф= Ug(f)= -k - .
(5.66)
В качестве иллюстрации порядка величины шумового напря­
жения, создаваемого дрооовым эффектом, приведем следующий
пример апериодического усилителя: анодный ток / 0 = 10 ма, со­
противление нагрузки R = 5 ком, емкость С = 50 пф.


Применяя формулу (5.65), находим эффективное значение шу­
мового напряжения на выходе усилителя:
и = v!._,_о_- lО-19_10.10-з.5. 10з =27 - 10-4 =027
эф
12
,
8
,
мв.
2·50-10-
ма
•
При крутизне характеристики лампы S=5- и R = 5 ком
в
коэффициент усиления каскада k =25. Поэтому эквивалентное
шумовое напряжение на входе усилитеJIЯ ИgэФ = 10 мкв.
г--
1
1
1
1
1
1
_j
Рис. 5.27 .
f
Эта величина и определяет нижний порог сигнала, который
еще имеет смысл усиливать данным уеилителем (в действительности
уровень шумов еще выше из-за тепловых шумов) .
б) Нагрузка в виде колебательного контура L, С, шунтиро­
ванного омическим сопротивлением R (резонансный усилитель).
Как известно из теории электрических цепей, квадрат модуля
сопротивления контура при достаточно большой добротности опре­
деляется следующим выражением:
R2
z2 (ffi) ~- _1 _+
_(u>---" '
- p-)2-'t--=~ '
где 'rк - постоянная времени контура.
Подставляя это выражение в формулу (5.61 '), находим
График W ц (ffi) изображен на рщ:. р.27,
22$
(5.67)
(5.68)


Выражение (2 .136) для функции коррешщии в да1-tном случае
принимает следующий вид :
00
);_
J 2 R_2s COSW't
'Pu(f · -
2 elo
2 dw.
/
1t
О1+(w-
"'р)2 'tк
Переходя к новой переменной w1 = w - wp, получае м
00
00
е/0R2 [
scosw1't d
•
ssin w1 't
=-- COSЫр't
22Ы1-SIПЫр't
2.2
1t
.
I+w1'tк
I+w1'tк
-шр
,
-
Wp
Заметим, что при достаточно болhшой добротности контура вы­
полняется условие
2Q
Ыр'tк=Ыр -
= 2Q))1.
Шр
Поэтому нижний предел интегралов - шр можно заменить на -оо.
Второй интеграл обращается при этом в нуль ввиду нечетности
подынтегральной функции относительно переменной интегрирова•
ния w1 . Первый, же интеграл ввиду четности подынтегральной
функции при водится к виду
00
00
22Ы1~2
Scosw1't d ~~s
I-j-wl 'tк
'tк
'-w
о
р.
Используя формулу (5.63), получаем
1,1
!R2--
=~е
'кCOSЫр't = е/оR_2ae-a1' ICOSЫр't,
'tк
(5 .69)
1
Здесь через а = --;;:-- обозначено зат ух ание контура , Учитывая,
'к
что при шунтировании контура сопротивлением R. коэффициент
1
затухания равен а= 2RC , запише м формулу (5 .69) еще в еле •
дующей форме:
е/о R
1
,1, ('t)=
--е -а1' cosW 't
~и
2С
Р•
(5 ,69 ')
229


Из этой формулы вытекает, во-первы х, что ср едн ий к ва д рат шу­
мового напряжения на конт у ре равен
2_
О_ JR2а_е/0R
au-
,j),,()-2ео 2-~
(5. 70)
и, следовательно, эффективное ш умовое напряжение
и
V-J
R2
IefoR
(5 70')
эФ=cr"=
е0а =у2С.
.
Во-вторых, функция корреляции имеет вид, показанный на
рис. 5.28. Время корреляции в рассматриваемом случае опреде­
ляется ходом огибающей корреляционной фу н кции.
r/Jul1')
VJu(О) 1,0
i
Рис. 5.28 .
Вь1ражение (5. 70) позволяет ввести понятие ш у м о в о й или
энергетической полосы контура. Действительно, заме­
няя на рис. 5.27 заштрихованн у ю площадь кривой Wu(w) равнове­
ликим по площади прямоугольником с высотой 2ef 0 R2 , находим
в соответствии с форм у лой (5.70) , что основание этого прямоуголь-
ника, т. е . энергетическая полоса контура (в герцах) , равно ~ -
С другой стороны, обычная полоса проп ускан и я контура, опре-
б
I
С)Лf 2-,
а
деляемая по осла лению на границах до V -, равна ,.,
0=2-:=-.
2
·~
it
1t
Отсюда следует, что энергетическая полос а контура в 2 раз
больше обычной полосы пропускания.
Аналегичным способом можно найти эффективное з начение Иэ '~
и энергетическую полосу шумов на анодной нагрузке и на выхо­
де усилителя при любой форме частотной х арактеристики.
Пересчет напряжения щумов ко в х оду у силителя , как и в слу­
чае апериодического усилителя, может быть сделан по формуле
(5.66), к которой под k следует подразумевать коэффициент усиле­
ния на резонансной частоте контура .
230
'..


Остановимся несколько подробнее на вопросе о струJ{Туре шу­
мовой помехи на выходе резонансного усилителя.
Вырезание из равномерного спектра входного шума относитель- •
но узкой полосы , совпадающей с полосой прозрачности колебатель­
ной системы, придает шумовому ·напряжению на выходе характер
высокочастотного колебания с медленно меняющимися амплиту-
дой и фа;юй. Это следует из графика корреляционной функции ,
изображенного на рис . 5.28 . Осцилляции этой функции с частотой
ffiP указывают на то, что и мгновенное значение шумовог~ напряже-
ния изменяется в среднем с частотой ffi~.
2ff
~-cv;;-------
2.71'
~ Леио
Рис. 5.29 .
U(t)
ц(f)
t.
Убывание же огибающей корреляционной функции по экспонен­
циальному закону с коэффициентом затухания а указывает на то,
что огибающая амплитуд шумового напряжения изменяется отно­
сительно медленно , обнаруживая статистическую связь между двумя
значениями в интервале, равном 2-3 постоянным времени конту­
ра : Для выявления характера изменения огибающей рgссмотрим
интересный для практики случай, когда шум пропускается через
идеализированн'ый узкополосный фильтр с центральной частотой
ffi 0 и поло<;ой 2Лffi 0 , в пределах которой частотная характеристика
фильтра равномерна и равна К0 • Тогда энергетический спектр на­
пряжения на выходе фильтра равномерен в полосе от ffio - Лffi 0 до
ffi0 + Лffi0, т. е. W11(ffi) = W,,(ffi0
)
= con st и функция корреляции
[см . формулу (2.136)]
ш,+лш,
't'
•
cos (1)1' (1) =
х
,1,,, ("') = W "2(7two ) j"
d Wu (w0)
01t't
ш0--Лw0
.131


Из этого 13ыражения следует, что, как указывалось выше, мгно­
венное значение шумового напряжения осциллирует со случайной
частотой, близкой к w0 , а амплитуда (огибающая) флуктуирует
с частотой, близкой к -Лw 0 , т. е. к половине полосы пропускания
фильтра.
И так, шумовое напряжение на выходе узкополосного фильтра
следует представлять себе как высокочастотное колебание с мед­
ленно изменяющимися амплитудой и фазой:
И(t)=U(t)COS[w0f+0(f)],
(5.71)
где w0 - центральная частота полосы шума. График одной из
реализаций подобной случайной функции изображен на рис. 5.29.
Еще раз следует подчеркнуть, что все параметры этого колеба-
d0·
ния: амплитуда U(t), фаза 0(t) и] следовательно, частота w0 + di'
являются случайными функциями времеI:!и .
5.10. ПОТЕРЯ ИНФОРМАЦИИ В ЛИНЕЙНОМ ФИЛЬТРЕ
В гл . 3 было установлено, что информационная емкость сигнала
определяется его характеристиками - спектральной или корре­
ляционной - и превышением уровня сигнала над уровнем помех.
При пропускании сигнала через инерционную систему все пере­
численные выше характеристики сигнала претерпевают изменение.
Рассмотрим сначала вопрос об изменении энтропии одного лишь
непрерывного сигнала без помех при пропускании его через линей­
ный фильтр с заданной передаточной функцией К (iw). По существу,
это есть вопрос о потере информации, содержащейся в сиг_нале.
Подобное рассмотрение целесообразно провести для сигнала,
обладающего наибольшей возможной (при заданных полосе частот
w и средней мощности Р) энтропией . Таким «предельным» сигналом
является шумоподобный сигнал, обладающий свойствами белого
шума (см. § 3.6). Полагая энергетический спектр сигнала равно­
мерным в полосе частот w и равным
р
W(w)= -
= W0 = const,
w
(5.72)
мы можем определить "энтропию сигнала на входе фильтра вы -
ражением (см. §. 3 .6): •
•
Нвх = 2wTH 1 = 2wT log2 V2:rteP:_____ wTlog2 (2:rteP). (5.73)
Теперь нужно найти энтропию сигнала на выходе фильтра .
Разобьем полосу w на частотные полосы Лf1 . Так как полная
мощность входного сигнала Р равномерно распределена по спектру
и энергетический спектр равен W0 , то на одну i-ю полосу Лfi при­
ходится МОЩНQСТJ:,
232


Если полоса Лf; настолько мала, что в пределах этой полосы
изменением величины K(w) можно пренебрегать, то на выходе
фильтра мощность в рассматриваемой полосе Лf;
ЛР;вых=ЛР;вх•К2(w1)=WоК2(со1)Л/1.
Эта мощность соответствует сигналу в полосе Лf;•
Следовательно, энтропия такого узкополосного сигнала может
быть определена выражением, аналогичным выражению (5.73):
ЛН; = Лf1Тlog2 (2:rte ЛР; вых) = Лf1Т log2 [2neWо К2((J);) Лfi],
Заметим, что в белом шуме внутриспектральные связи отсут­
ствуют. Это означает, что сигналы в полосах Лf1 , Лf2 и т. д. взаимно
независимы. Это относится как ко входу, так и к выходу фильтра.
Поэтому полная энтропия выходного сигнала может быть найдена
простым суммированием энтропий элементарных сигналов:
Нвых = lim ~ЛН1= lim ~Лf;T-log2[2neWоК2(w1) Л/1] =
М;➔о ;
л,1➔о ;
Первое слагаемое, не зависящее от передаточной функции фильт­
ра K(w), есть не что иное, как энтропия входного сигнала Нвх·
Учитывая также, что при Лf1 ➔ О сумма обращается в интеграл,
приходим к следующему выражению:
w
w
Нвых=Нвх +Тslog2K2.(w)df = Нвх +2ТSlog2К(w) df. (5.74)
о
о
Разделив это выражение на 2wT, получим соотношение, связы­
вающее энтропию на степень свободы выходного сигнала с такой
же энтропией входного сигнала:
w
НIвых =Н1вх +-3⁄4-Jlog2К((J))df=H1вх - НIпот•
о
(5. 75)
Этот важный результат, выведенный для упрощения выкладок
на примере сигнала в виде белого шума, может быть распространен
на любой сигнал, для которого выполняется условие отсутствия
внутриспектральных связей.
Слагаемое
w
w
Н1пот= --3⁄4 -J log2 [К (w)] df =- dwJlog2 [К2 (w)] df (5.76)
133


можно рассматривать как потерю информации в фильтре (на одну
степень свободы). При этом имеется в виду такая нормировка пе­
редаточной функции КУ (iw), что максимальное значение модуля
равно единице. После подобной нормировки выражение (5. 76)
учитывает потерю информации, которая обусловлена только не­
равнолtерносr'nью амплит_цдно-частотной характеристики фильтра
"3
2
K(w). При K(w)<l величина
Н1 пот положительна.
Пусть, например, рассмат­
ривается линейный усилитель
с амплитудно-частотной ха­
ра1перистикой Ку( w), пока­
занной на рис. 5.30. Макси­
мальное значение коэффи­
циента усиления Ку макс > 1.
О ...__ _
__._ _______
ц;_:_t_rr4f" Тогда под К (w) в выра-
жении (5. 74) следует под­
К у('")
Рис. 5.30 .
разумевать К (w) = К
.
у макс
Такой rюдход может быть обоснован следующим рассуждением:
умножение K(w) в выражении (5.76) на любое постоянное (не за­
висящее от w) число К у манс эквивалентно добавлению слагаемого
w
Н'= -
1-J log 2 (Ку макс) df = log 2 (Ку макс)= const,
w
.
о
которое учитывает прирост энтропии за счет усиления сигнала­
При этом количество содержащейся в сигнал.е _информации, ес­
тественно, не изменяется. Повышается лишь уровень сигнала
относительно помехи и соответственно возрастает информацион­
ная емкость сигнала.
Итак, потеря информации (при заданном и неизменном уровне
шума) возникает при любой форме неравномерности амплитудно­
частотной характеристики фильтра в полосе частот сигнала w.
Приведем сл~дующий пример. На вход четырехполюсника,
изображенного на рис. 5.31, а, обладающего передаточной функ­
цией (модуль)
1
К(щ)= yI+(шRС)2 '
(5. 77)
"
2
1
подается сигнал с полосои частот :n:w = RC :
Требуется определить потерю энтропии в цепи. Заметим, что
выбранная для данного примера ширина спектра СIJгнала равна
полосе пропускания цеriи, определяемой гю ослабле1-1ию K(w)


.
1
на границе полосы до-= от максимального значения. Действитель­
у2
1
1
но, при ffi = 2лw = RC K(ffi) = ..,-1:г (см. рис. 5.31, 6).
Подставляя выражение (5.77) в (5 .76), получаем
w
НIпот= - dw slogz (1 + w~R2c2) df =
о
2тccvRC
= dw. 2тт~С s ln (1 + ffi2R2C2) d (ffiRC).'
о
Здесь k = 1,44 - модуль перехода от двоичного логарифма к на­
туральному.
R
о
CJ
I
о
S6:r
sв~,.r
CI
о
о
а)
Учитывая, что 2лwRC =
к следующему выражению:
1
l<(W)
1,0
J4I
о
Рис. 5.31 .
1, и обозначая
YRc
~
6)
ffiRC = х, приходим
ks
k
НIпот =2 ln(1+х2)dx= 2[хln(1+х2)- 2х+2arctgх]~=
о
1,44 (
1t)
=-
2- ln2-2+24 =0,19дв. ед.
Этот результат показывает, что при распространенном в практике
.
б
1
выборе полосы проп ускания по осла лению на границах V 2 , по-
теря энтропии не превышает ~О,2 дв. ед . на одну степень свободы.
Потеря энтропии в единицу времени составляет
дв. ед
Н 1 = 2wH1noт=2w0, 2=0,4w--.
(5.78)
сек
Этот вывод может быть распространен на любую линейную сис­
тем у с амплитудно-частотной характеристикой вида (5 .77) (в том
~и


числе и на _ резонансный контур, полоса пропускания которого
равна ширине спектра сигнала).
Соотношение (5.78) нетрудно истолковать энергетически. Из
выражения (5.73) следует, что в случае белого шума с частотной
полосой w энтропии Н вх соответствует так называемая «энтропий­
ная мощность»
1Н/kTw
12Н1/k
р
-
__е
вх
-
·
_
евх
эвх- 2тсе
-
2тсе
•
(5. 79)
Как и в предыдущих выражениях, k = 1,44. Энтропия на
выходе фильтра (на одну степень свободы) Н1 вых = Н 1 вх - Н 1 пот·
СледоватеJ1ьно , энтропийная мощность выходного сигнала
1Н"kTw
1 2_(Н1вх-Н1пот)
Рэвых = -2-е вых/ =
-
2-e k
= Рэвхе
пе
т-:е
2НIпот
k
(5.80)
Учитывая выражение (5.76), окончательно получаем
w
w
1J'
1J
р
-k- log, [/(2(ш)]df
-
ln [К' (w)] df
ЭВЫХ _
,WQ
_
WQ
1
----е
-е
<.
Рэ вх
(5.81)
Для рассмотренного выше примера это отношение равно
2Н1 пот
2-0,19
е- --k-·=е---т;ц = 0,77.
Соотношение (Б.81) позволяет весьма просто оценить снижение
информационной емкости сигнала, обусловленное неравномер­
ностью амплитудно-частотной характеристики фильтра. Если на
сигнал, сформированный в передатчике и пропущенный через
фильтр (в отсутствие шумов), накладывается затем шум канала
связи с заданной мощностью N, _то информационная емкость сиг-
нала будет пропорциональна логарифму отношения Рэ вь~ + N. Ис­
ходный же сигнал с энтропийной мощностью f э вх обладает инфор­
мационной емкостью, пропорциональной логарифму отношения
Рэвх+N
N
Иначе обстоит дело при пропускании через фильтр смеси сиг­
нал+ шум.
Пусть, например, на входе фильтра имеются сигнал и шум,
оба в виде случайных процессов типа белого шума с полосой w и
со средними мощностями соответственно Р вх и N вх · Энергетичес­
кие спектры эти х процессов:
\.\1/г·(с,;) = Рвх = coпst; WN (ш)= Nвх = coпst.
w
w
236


Информационная емкость сигнала в соответствии с выраже­
нием (3. 73):
Рвх+Nвх
Wр(w) +WN(w)
свх=Wlog2 Nвх =Wlog2 _WN(w)
КаЕова информационная емкость сигнала на выходе фильтра
с передаточной функцией R (iw)?
Разделив, как и ранее, весь частотный диапазон входного сиг­
нала на узкие поло~ы, получим для одной полосы df; энтропию
смеси сигнал + шум на входе фильтра, равную
а энтропию только одного шума в виде
Tdfi Iog2{2:n:e [Wн(w,) df;]}.
Информационная емкость сигнала в узкой полос е dfI в соответ­
ствии с выражением (3. 73)
а на выходе
Wp(w1)dfIК2(w1),t-WN(w1)dfIК2(w;)
dC; вых = dfi log2
WN (w,) dfl к2 (w;)
Из этих соотношений видно, что К2 (w;) сокращается l! не
влияет на информационную емкость сигнала в полосе df,. Та­
ким образом,
dC; вых = dC; ВХ•
Поскольку предполагается, что между отдельными спеЕтраль­
ными составляющими связи отсутствуют, общая информацион­
ная емкость сигнала как на входе, так и на выходе фильтра,
w
S Wp(w)-sJ'-Wн(w)
Свх = Свых = log2
WN (w)
df.
о
Учитывая, что W p(w) = const и WN (w) = const, получаем
Wp(w),t-WN(w)
Свх=Свых = W log2
WN (w)
Итак, в случае, когда сигнал и шум являются случайными про­
цессами типа белого шума, фильтр н,е влияет н,а ин,формацион,н,ую
емкость сигнала.
Это объясняется тем, что потери энтропии в фильтре одинаковы
для сигнала и шума, так что их разность остается неизменной.
237


При передаче реальных сигналов с неравномерным энергети­
ческим спектром и с негауссовым распределением, картина полу­
чается более сложной. Рассмотрение этого вопроса не входит в
задачу данной книги.
5.11 . НЕЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ
С АКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Вернемся к вопросу о влиянии нелинейных членов уравнения
вольтамперной характеристики активного элемента на передачу
сигналов.
Перепишем выражение (5.25) в более общей форме, пригодной
для любого активного элемента:
i(а0+s)=i(а0)+as+Ps2+уsз+...
(5 .82)
В этом выражении:
s = s(t) - входной сигнал;
i - ток активного элемента, управляемый входным
сигналом;
а0 - постоянное напряжение (или ток), определяющее
положение рабочей точки (в отсутствие сигнала
s) на вольтамперной характеристике активного
элемента;
а, ~, 'V и т. д. - постоянные коэффициенты с соответствующими
размерностями.
Выходной сигнал sвыхU) представляет собой напряжение, раз­
виваемое в нагрузке усилителя приращением тока i. Ясно, что
sвыхU) зависит как от характера изменения во времени этого при­
ращения, так и от чрактера нагрузочной цепи.
Необходимо поэтому конкретизировать входной сигнал и струк­
туру нагрузочной цепи.
В практике при анализе нелинейных искажений обычно исхо­
дят из простейшего входного сигнала - гармонического колеба­
ния.
Рассмотрим три случая:
1. Сигнал s(t) представляет собой колебание
s(t) = A0cosQt,
действующее на входе апериодического усилителя. Нагрузочное
сопротивление для простоты примем чисто омическим и равным R.
В этом простейшем случае выходной сигнал может быть полу­
чен подстановкой s(t) в выражение (5.82) и умножением его на R
[слагаемое i(a 0) опускаем]:
Sвых(t)=(as+~s2+"yS3+ ...)R=
= aRA0cosQi+~RA6cos2Qt+yRAgcos3Ш+... (5.83)
138


Подставлf!я сюда
cos2Qt= ; +1⁄2cos2Qt,
3
1
cos3Qt=4 cosQt+тcos3Qtит.д.,
получаем
[(М6)(З1Аt)
Sвых (t) =R
-
2- + ... + аА0+-4
-
+ ...
_
cosQt+
(М6 )
(1А6 )
]
+-2
-
+... cos2Qt+ -4
-
+ ... cosЗQt +... . (5.84)
Из этого выражения видно, что из-за нелинейности характе­
ристики активного элемента гармонический сигнал s(t) дает на
выходе не1<0торое постоянное напряжение (которое не имеет боль­
шого значения, так как оно легко может быть убрано) и добавоч-
R~А6
ные , гармоники с амплятудами: S2 = - 2
-
при частоте 2Q·,
R·(At
S3=-.
4-
при частоте ЗQ и т. д.
Кроме того, несколько изменяется величина амплитуды первой
гармоники S 1 , т. е. амплитуды полезного сигнала. Этим изменением
обычно можно полностью пренебрегать. Таким образом, S 1 = RaA0 . 1
Случай омической нагрузки характерен отсутствием фильтра­
ции : все гармоники тока, возникающие из-за кривизны вольтам­
перной характеристики активного элемента, создают на выходе
вредный эффект, пропорциональный амплитудам гармоник.
В подобных случаях уровень нелинейных искажений принято
оценивать с помощью коэффициента нелинейных
и с к аж е н и й, который определяется по формуле
Vs~+s~+ ...
К1=
S1
•
(5.85)
По существу К1 есть отношение среднеквадратичного значения
суммы высших гармоник к такому же значению основной (пер­
вой) гармоники сигнала.
Часто определяют К1 отдельно д,!lя второй, третьей и т. д . гар­
моник.
Таким образом, в рассматриваемом случае коэффициент нели­
нейных искажений по второй гармонике
R~A6
S2
-2-
1~
К12= -S=- -R
А =-2-Ао,
1
•·а
о
а
139


rro третьей гармонике
R1Ag
кS3~
-11-
112
.
fз=Si~RaAn =4~АоИт.Д.
При правильном выборе режима ра б оты активного элемента
коэффициенты К12 , К13 и т. д. не превышают 1-2 %.
2. Сигнал s (t) представляет собой амплитудно-модулирован­
ное колебание
s(t)=А011+МcosQt]cosw0t,
а нагрузочная цепь - колеба тельн ую высокодобротную систему,
настроенную на частоту w0 . Подставив s (t) в (5.82), получим
i(а0+s) =i(а0)+аА0(1+МcosQt)cosw0t+
+ВА6(1+МcosQt)2cos2w0t+уА6(1+МcosQt)3cos3w0t+...
(5.86)
При оценке влияния отдельных слагаемых этого выражения
необходимо учитыжать фильтрующее действие нагрузочной цепи,
которая отсеивает частоты, кратные несущей частоте, т. е. частоты
2w 0 , Зw 0 и т. д., а также постоянную и низкочастотные составляю­
щие тока активного элемента .
Слагаемое аА 0 (1 + Mcos Qf) cos w0 t, пропорциональное первой
степени s(t), есть, очевидно,. полезная составляющая тока .
Квадратичное слагаемое
ВА6(1+МcosQt)2cos2w0t=
2(
м2 м2
)(1
1
)
= ВАо 1+2мcosQt+2 +2 cos2Qt 2+2cos2wot
'
•
М6( м2)
содержит постоянную составляющую - 2
-
1+ 2 , низкочастот-
ные составляющие ВА6 ( М cos Qt+ ~
2
cos 2Qt) и модулирован-
1-юе по амплитуде колебание с несущей частотой 2w 0 . Все эти
составляющие тока отфильтровываются контуром и мо г ут не
приниматься во внимание.
Кубическое слагаемое в выражении (5.86) после отбрасывания
члена с частотой Зw 0 дает следующую составляющую тока, попа­
дающую в полосу прозрачности контура (при относительно низких
частотах модуляции Q):
fул~[1 + 3~
2
+зм(1+~2 )cosQt+
зм2
мв
]
+-2
-cos2Qt+ 4 cosЗQt cosu\Jt.
-
240


Подставляя это выражение в формулу (5.86) и оставляя только
составляющие, попадающие в полосу пропускания контура, по­
лучаем для приращения тока
Лiа={Ао[а+ 3JА6+ 9;
2
уА6] +
+мл0 [а+{ уА6(1+~2 )]соsШ+: уМ 2 Agcos2Qt+
3-уМ3 з
}
+ -1-6-АоcosЗQt ... cos uJ0 t.
(5.87)
Выражение ~ фигурных скобках представляет собой огибаю­
щую переменнои составляющей анодного тока. Можно считать,
что и напряжение на колебательной системе имеет огибающую ам­
плитуд такой же формы. (Предполагается, что полоса прозрачно­
сти колебательной системы достаточно широка для воспроизве­
дения закона изменения огибающей тока). Под влиянием некото­
рой кривизны характеристики активного элемента эта огибающая
отличается от огибающей модулированного сигнала, подводимого
к активному элементу. Отличие проявляется в небольшом изме­
нении амплитуды несущего колебания и глубины модуляции на
полезной частоте Q и, главное, в возникновении частот 2Q, ЗQ
и т. д. в огибающей. После осуществления амплитудного детек­
тирования эти частоты проявляются на выходе приемника в виде
напряжений с частотами 2Q, ЗQ и т. д.
•
Изменение глубины модуляции на основной частоте получается
обычно очень малым и им можно пренебречь.
Относя амплитуду второй гармоники огибающей к амплитуде
составляющей с частотой Q и пренебрегая слагаемым ;у А6(1 + ~
2
)
по сравнению с а, найдем коэффициент второй гармоники
~.,м2 Аз
81
о
Kt,=----
MA0 a
Для коэффициента третьей гармоники получим
31М3 Аз
16о 3
Kt, = ---
-
16 ~М2А6.
МА 0а
~
Таким образом, нелинейные искажения (по второй гармонике)
растут пропорционально квадрату амплитуды несущего колебания
и первой степени коэффициента модуляции.
С нелинейными искажениями при усилении модулированных
колебаний в приемнике приходится считаться в оконечных кас­
кадах усиления, где амплитуды колебания достигают единиц вольт.
В первых каскадах амплитуды настолько малы, что кривизна
вольтамперных характеристик не проя _вляется.


3. Сигнал представляет собой частотно-модулированное коле­
бание
s(t) =А0cos[ffi0t+тsinQt],
а нагрузочная цепь - колебательную высокодобротную систему,
настроенную на частоту ffi 0 •
Подставляя s(t) в выражение (5 .82), после несложных триго­
нометрических преобразований получим·
i(а0+s)=i(а0)+(~~6+...)+
+(схА0+~'УА5+...)cos(ffio t+тsinQt)+
( ~А6
)
-
+-2
-
+... cos2(ffiot+тsinQt)+
(,Аз )
+ -f+... cos3(ffiot+тsiпQt)+...
(5.88)
Слагаемые с частотами 2(ffi 0 + тQ cos Qt), 3(ffi0 + тQ cos Qt) и
т. д. можно не учитывать, так как они отфильтровываются коле­
бательной системой. То же самое относится к приращению постоян­
ной составляющей тока активного элемента. Таким образом, вы­
ходной сигнал пропорционален величине
М,;.::;; (схА0 + 3⁄4уА5 + ... ) cos (ffi0 t + т sin Qt).
От входного сигнала это выражение отличается только по амп­
литуде, да и то весьма незначительно (при слабо выраженной не­
линейности), причем приращение амплитуды является постоянной
величиной. Фаза же · колебания, а следовательно, и частота, оста­
ются такими же, как и у входн.ого сигн.ала.
Отсюда следует важное положение: при передаче радиосигналов
с чисто угловой модуляцией через избирательн.ые (резонансные)
системы с активн.ыми элемен.тами кривизн.а . их вольтамперн.ых
характеристик н.е приводит к искажению передавае.мых сообщений.
Рассмотренное в настоящем параграфе влияние «слабой» не­
линейности системы, которая в первом приближении является ли­
нейной, представляет собой лишь частный случай трансформации
спектров в нелинейных системах. Более подробно этот важный
вопрос рассматривается во второй части при изучении сущестIJеннQ
нелинейнь1х сйстем .


ГЛАВА 6
6.1 . ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА
ПЕРЕДАЧА РАДИОСИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотренные в предыдущей главе задачи характерны тем,
что в них мы имели дело с сигналами, которые по своей форме сов­
падают с передаваемыми сообщениями. При передаче подобных
сигналов задача сохранения информации тесно связана с задачей
сохранения •формы сигналов.
Иначе обстоит дело с радиосигнало;1,~, в котором информация за­
ключена в одном из нескольких параметров высокочастотного ко­
лебания. Необязательно сохранять структруру этого колебания
полностью; достаточно сохранить закон изменения того параметра,
в котором заключена информация. Так, в случае амплитудно-моду­
лированного колебания важно точно передать огибающую ампли­
туд, между тем как некоторое изменение частоты или фазы запол­
нения, не имеющее существенного значения, при анализе может
быть опущено. При передаче радиосигналов с угловой модуляцией,
наоборот, основное внимание должно быть уделено точному вос­
произведению закона изменения частоты и фазы.
Эти особенности радиосигналов открывают путь к некоторому
упрощению методов анализа их передачи через линейные системы.
Возможности упрощения особенно существенны, когда радиосиг­
нал представляет собой узкополосный процесс, а цепь - узко­
полосную систему. Такие условия как раз и характерны для
реальных радиосигналов и реальных избирательных цепей. В § 4.1
уже отмечалось, что даже в случае «широкополосных» сигналов
ширина спектра радиосигнала мала пь сравнению с несущей ча­
стотой сигнала. Соответственно и полоса прозрачности цепи обычно
мала по сравнению с ее резонансной частотой.
В следующем параграфе обсуждаются упрощения, которые
могут быть сделаны в спектральном методе, а в § 6.3 - анало­
гичные упрощения в методе интеграла наложения.
6.1 . ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД
Для резонансных систем, обладающих сильно выраженной
частотной избирательностью, модуль коэффициента передачи K(w)
достигает максимума вблизи резонансной частоты и быстро убывае1
при удалении w от этой частоты.
9*
243


Целесообразно поэтому выражать коэффициент передачи в виде
функции расстройки текущей частоты ffi относительно резонансной
частоты. С этой целью введем следующие обозначения:
ffip - резонансная частота цепи;
ffio - центральная частота спектра сигнала, дейст­
вующего на входе системы;
Лffi0 = ffi0 - ffip
-
отклонение центральной частоты сигнала от­
носительно резонансной частоты;
Q = ffi - ffi 0 - отклонение рассматриваемой частоты спектра
ffi от ffi0•
При этих обозначениях текущая частота
ffi= ffio+Q= ffip+Лffi0+Q
и коэффициент передачи
(6.1)
При такой записи коэффициент передачи К (iffi) заменен новой
функцией К1 {i (Лffi0 + Q)], для которой аргументом явJшется Q;
L
расстройка Лffi0 имеет смысл параметра,
причем предполагается, что Лffi 0 являет­
ся величиной того же порядка, что и
•полоса пропускания цепи.
В случае высокодобротной цепи пред­
ставление коэффициента передачи в виде .
• функции K1 [i(Лffi 0 + Q)] позволяет сущест­
венно упростить расчет путем отбрасы­
вания членов с высшими степенями Q. По­
ясним это положение на примере простого четырехполюсника,
изображенного на рис. 6.1 . Точное выражение для передаточной
функции этой цепи имеет следующий вид:
г-т
Lь-L
Рис. 6.1.
iwC
K(ift1) = ---- ~1 -
r+-iwL+,iwC
Учитывая, что
iwCr •(
,. . w2- 1/LC)"
1-т I
rw/L
1
2
1
"'Р L
-
-
ffi ---
- -- Q (добротность контура),
LC- р,щCr-
г-
.
р
а также что
144
(6.3)


приведем последнее выражение к следующему виду:
К(' )
I•
1
tШ= iwCr '
2(Лw0+Щwp+(Лw0+[1)2 -
1-t- i ----~~-~
--
гw/ L
=J_~Q
1
(6 4)
iw
l . [ 2(Лw0+Q) (Лw0+0)2J·
·
+iQ
(1)
+ (1)(1)
-
р
Так как обычно Q очень велико (десятки, сотни и более), то с ро­
стом Q коэффициент передачи быстро убывает. Обычно можно счи-
0
тать К(ш)=О, когда - достигает всего лишь нескольких процен­
шР
тов . Можно поэтому ограничиться рассмотрением выражения (6.4)
в области частот, для которой выполняется условие
и соответственно,
"'р
-=1.
(1)
(6.5)
Отбрасывая на этом основании вторую дробь в квадратных скоб­
ках знаменателя выражения (6.4), приходим к «укороченной» пе­
редаточной функции для цепи, изображенной на рис. 6.1:
К1[i(Лшо +Q)]=f
.2(Лw:+Q) Q
(6.6)
l,t -t
~--~
Wp
Величину
учитывающую относительную расстройку и добротность контура,
частоназывают обобщенной расстройкой.
Таким образом, для рассматриваемого контура
Q1
К1=--;-- 1-+..
(6.8)
•
1
·.•ta
В последующих параграфах будут приведены аналогичные уко­
роченные передаточные функции · для некоторых других цепей.
Обратимся теперь к общему выражению для выходного сигнала
(2.49) и преобразуем его в связи с заменой К(iш) H<J. К1 [i(Лш 0 + Q) ].
Для этого запишем его прежде всего в форме
(6.9)
т. е. в форме, при которой _интегрирование ведется только по по­
ложительным значениям ш. Для перехода от аргумента ш к Q
245


нужно привести спектральную плотность S( со) к виду, аналогич­
ному /(1 [i(Лсо 0 + Q) ]. С этой целью подставим со= со 0 + Q вместо
аргумента в S(co) :
(6.- 1О)
В этих новых обозначениях спектральная плотность S1(Q) выра­
жена через разностную частоту Q, которая может принимать как
S/wJ
а)
,. __ . ,L______t .u.1.
0
___
~___,_0 -,,L _______. u.l_o_u .l_ ._ ,- -- -~
1
оQ,
9
J</wl 1
оГ
Рис. 6.2.
положительные, так и отрицательные значения (рис. 6.2, а). Под­
ставив в выражение (6.9) соотношения (6.2) и (6.10), получим
S,ы,(1) - Re1е'"' ;IS, (Q) К,[i(Лоо0+ Q)] е"' dQ1· (6.11)
Пределы интегрирования по новой переменной Q взяты ±оо в ­
предположении, что с увеличением Q модуль коэффициента пере­
дачи К1 [i(Лсо 0 + Q)] падает столь быстро, что подынтегральная
функция обращается практически в нуль раньше, чем I Q I становит­
ся соизмеримым с величиной I со 0 1 (рис. 6.2, 6).
Из приведенных рассуждений следует, что выражение (6.11)
сохраняет свою силу для любых сигналов, в том числе и таких, как
дельта-функция, при условии достаточно быстрого убывания К(со)
вне полосы прозрачности цепи.
146


В случае же узкополосных сигналов со спектром, группирую­
щимся вблизи резонансной. частоты ffip, ошибка, связанная с под­
становкой в выражение (6.11) укороченной передаточной функции,
оказывается совершенно ничтожной.
При этом может быть достигнуто дополнительное упрощение
анализа путем использования приближенного выражения для
спектральной плотности входного сигнала.
Действительно, пусть этот сигнал имеет вид
s(t) = А(t)cos[ffi0t+0(t)J,
(6.12)
причем A(t) и 0(t) - медленно меняющиеся функции времени.
Тогда, в соответствии с § 4.9, спектральную плотность можно
определять с помощью приближенного выражения:
+оо
S (ffi)::::::: 1⁄2JА (t) eiB(I) е-i(ш-ш.)t dt
-оо
при ffi> О.
Переходя к новой переменной Q = (J) - ffio, получаем
+оо
S (ffio_ +Q) = S1(Q) ::::::: 1⁄2JА(t) ei8(1) e-i91 dt.
(6.13)
-00
При таком подходе центральная частота ffi 0 вообще не фигури­
рует в выражении для спектральной плотности: подынтегральная
функция выражена через ко11ллексную огибающую
A(t)=A(t)eiB(f)_
(6.14)
Итак, входной сигнал, определяемый выражением (6.12), может
быть представлен в форме
s (t) = Re {А (t) eiB(t) е1ш01 },
(6.15)
а выходной сигнал Sвых (t) определяется выражением (6.11) .
Из сравнения этих двух выражений видно, что входящий в
соотношение (6.11) интеграл определяет комплексную огибающую
выходного сигнала Авых (t).
Таким образом,
+оо
Авых(t) = ~ SS1 (Q) К1[i (Лffio +Q)] ei2f dQ.
(6.16)
-00
Представив это выражение в форме
А (t) А (t) iВвых (f)
вых=выхе
,
(6.17)
можно найти амплитуду Авых(i) и фазу 0вых(t) выходного .сигнала.
247


Таким образом, полное выражение для выходного сигнала
может быть записано в форме
Sвых(f) = Re{Aвыx(t)eiwot} = Авых(t)Rе (ei( wot+BвыxU)JJ. (6.18)
В последующих параграфах полученные результаты будут при­
ложены к некоторым важным для праr<тики задачам.
6.3 . УПРОЩЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
В предыдущем параграфе было показано, что упрощение спект­
рального метода достигается «укорочением» передаточной функ­
ции избирательной цепи K(iw). Естественно, что аналогичное уп­
рощение метода интеграла наложения может быть достигнуто
«укорочением» импульсной характеристики g(t), тесно связанной
с передаточной функцией K(iw).
Таким образом, первый шаг в использовании особенностей из­
бирательных цепей заключается в определении приближенной им­
пульсной характеристики.
Основываясь на выражении (6.11) и подставляя в него спект­
ральную плотность дельта-функции, т. е. S1(Q) = 1, приходим к
следующему выражению для импульсной характеристики:
j c+ioo
•
]
= Re 2eiwot 2~i s К1 [(iЛwo +р)]еР1dp .
С-100
(6.19)
Не следует думать, что g(t) зависит от произвольно выбранной
величины Лwо. В действительности Лwо + Q = w - ffip [см. вы­
ражение (6.1) ], так что g(t) зависит от резонансной частоты wP.
Однако формула (6.19) удобна в связи с представлением спектральной
плотности сигнала в форме (6.10), где спектральная частота Q от­
считывается от центральной частоты wo.
Если в выражение (6.19) подставляется «укороченная» пере­
даточная функция K1[i(Лwo + Q) ], то и функция g(t) получается
упрощенной по сравнению с точной импульсной характеристикой 1.
Расхождение между приближенным и точным значениями g(t) тем
меньше, чем выше избирательность цепи.
Поясним выражение (6.19) на примере одиночного колебатель­
ного контура с резонансной частотой юр и добротностью Q. Схема
включения контура показана на рис. 6.1; съем напряжения про-
1 Следует отметить, что дельта-функция, обладающая бесконечно ши­
роким спектром, никак не может рассматриваться как узкополосный сиг­
с!ал. При достаточно сильно выраженной избирательности системы ошибка
в величине g (t.) получается все же незначительной.
148


изводится с емкости С . Точное выражение для g(t), соответствую­
щее точны м выражениям (6.3) и (6.4) для передаточной функции,
имеет вид :
2
1
(J)
--
g(t)=_Ре 'SiПШсвt.
"'св
(6.20)
1
ЗдесьwP=,1-
-
резонансная частота контура;
rLC
/1 ,2
Шсв = V LC - 4L2 - частота собственных колебаний;
2L
2Q
,:=-
=-
-
постоянная времени контура.
г
"'р
Найдем теперь «укороченную» импульсную характеристику,
соответствующую укороченной передаточной функции . Для этого
подста6ИМ в общее выражение (6 . 19) функцию К1 [(iЛw 0 + р)] по
формуле (6.6), заменив в ней iQ на р, а ~ на ,: :
"'р
Подынтегральная функция имеет один полюс в точке
Вычет в этой точке [см. выражение (5.12)]:
Таким образом,
res1 =-----
-.:
2Q
Учитывая, что ~ = wP и w0 - Лw0 = wг, окончательно по-
лучаем
1
g(t)= ·wPе-,stnroPt.
(6.21)
При Q » 1, когда Шс в =wр 1 , это выражение очень мало отлича­
ется от точного выражения (6.20) .
9В. Зак. 2053
249


В случае сложных, но высокодобротных резонансны х · систем
импульсную характеристику следует представлять в виде более
общего выражения
g(f)=G(t)COS[fficвf+'У(f)],
(6.22)
где G(t) и 1 (t) - медленно меняющиеся амплитуда и фаза, а
fficв .-
частота собственных колебаний ' системы.
Такая форма представления g(t) аналогична выражению (6.12)
для узкополосного сигнала:
s(t)=А(f)cos[(1)0t+0(t)].
Обратимся теперь к общему выражению (5.21) • и подставим
в него s (х) и g (t - х) по формулам (6.12) и (6.22):
+со
Sвых(t) = sА(х)G(t~х)cosrffio х+е(х)]cos[fficв(t - х)+
. -со
+у(t- х)]dx.
На основании соотно ше ния
cosаcosЬ =1⁄2cos(а+Ь)+{ cos(а - Ь)
последнее выражение приводится к виду
+со
Sвых(t) ==;' ~ SА (х)G(t - Х) COS [(ffio - u>св) Х+
-со
+0(х)+'У(t-:-- х)+fficвt]dx+
1+r
+2 JА(х)G(t - х) cos[(ffi0+fficв)Х+
-со
+0(х)- 'У(t- х)
-
fficв t] dx.
Функ ции А (х), G(t - х), 0(х) и у (t - х) по условию являются
медленно меняющимися. Так как · центральная частота сигнала
roo близка к собственной частоте цепи fficв, то и cos [(шо - сос 8)х]
является функцией медленной, по сравнению с cos[ (ffio + u>c 8 )x].
Отсюда ясно, что Sвых(t) определяется в основном -величиной первого
интеграла. Таким образом, второй шаг в упрощении анализа за­
ключается в пренебрежении интегралом от быстроосциллирующей
функции. Это упрощение обосновывается так же, 1,ак и в § 4.3 .
1!i0


После такого упрощения приходим к следующему прибли!!<ен ­
ному qущему выражению для интеграла наложения:
+оо--
Sвых(t)= ~ S A(x)G(t-x)cos[(w~-(t)cв)x+
-со
+0(х)+у(t- х)+wсвt]dx.
(6.23)
Это выражение является общим, пригодным для щобых избира­
тельных цепей и любых узкополосных сигналов. В тех случаях,
когда свободные колебания характеризуются постоянной частотой
заполнения, как, например, в одиночном контуре, у (t) вырождает­
ся в постоянную фазу и выражение (6.23) существенно упрощается.
То же самое . относится и к случаю сигналов с немодулированпой
частотой заполнения, когда 8(t) обращается в постоянную вели­
чину.
Метод интеграла наложения более эффективен в тех случаях,
КОГДа ~ремеННЬJе ХарактерИСТИКИ СI!ГЮJ.ЛO13 ИЛИ цепей (ИЛИ тех И
других) оказываются более простыми, нежели спектральные.
Такое положение имеет место, в частности, при частотно-моду­
лированных сигналах.
•
Применение метода интеграла наложения к избирательным си-
стемам иллюстрируется ниже рядом примеров.
6.4 . ПЕРЕДАЧА РАДИОСИГНАЛОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ АМПЛИТУДНОЙ
МОДУЛЯЦИЕЙ
Рассмотрим сначала простейший случай, когда на вход изби­
рательной системы, содержащей один колебательный контур, по­
дается тонально модулированное колебание. Схема цепи, пред­
ставляющей собой линейный резонансный усилитель, изображена
на рис. 6.3. Подводимая к сетке электронной лампы э. д. с. опре­
деляется обычным выражением амплитудно-модулированного ко­
лебания
e(t)=E0 (1 +М cos Qt) cos (J)o t, _
(6.24)
а колебаrельный контур настроен на частоту ш0, т. •е .
1
(J)P =
·VLC = Wo.
Задача заключается в определении параметров выходного на­
пряжения ИвыхU), действующего на контуре L, С, r.
Весьма простая структура спектра входного сигнала указывает
на целесообразность спектрального подхода к решению задачи.
С этой целью перепишем выражение (6.24) в виде соотношения
(4.8)
e(t)= Е0cosWut + М;о cos ((J)0+Q)t+ М;о cos(w0- Q)t.
9В*
'251


Положение wo и wo±Q на оси частот относительно резонансной
кривой контура показано на рис . 6.4 . Так ка1< контур наст,роен на
частоту wo, то сопротивление контура (между точками а - к,
рис. 6.3) для частОТ-i,I wo равно
L
Р2
Zэр=С7=r'
а для частот w1 =co0+Q и
ffi2=Wo - Q, QЛИЗКИХ К wp:
а
с
r
ert J
/(
-
+
--- ---<> ()__,_ __. .
-= Еа
Рис. 6.3 .
Z1=
Zэр
2(w1 -wp)
-
l+i
Q
Wp
Z2=
Zэр
2{w2-wp)
l+i
Q
Wp
тЕ0
т
Zэр
2Q
I+i --Q
"'р
Zэр
2Q
1-i -Q
Wp
Wp1
1
Eol
1
1
Рис. 6.4.
Zэр
1+ ia
Zэр
1-ia
тЕо
2
'
"
ю
Здесь а= -
Q - абсолютная величина обобщенной p_ac-
wP
стройки 1<0нтура для верхней и нижней боковых частот.
Передаточная функция рассматриваемой системы, совпадаю- ·
щая с комплексным коэффициентом усиления, в соответствии с § 5.5:
К (iw)=K1 (iQ) = -SZ (iw) = -S
2(~:0 +щ . (6.25)
1+i--'----"--'---'- Q
Wp
в
л о и Kl(,'Г'I)___s Zэр
данном случае w0 =
.~~
I+i 2·Q Q.
Wp
Умножив амплитуды всех слагаемых э. д. с. на модуль функции
K1(iQ) и учитывая фазовые сдвиги, соответствующие аргументам
lS.1


этой функции, получим для выходного напряжения следующее
выражение:
Ивых (t) =
-
SzэpEo {cos ffi 0 f + М2 • ✓-1-- cos [(ffi0 +Q) t-qJ]+
1+а2
+м2•_1
cos[(ffi0 -Q)t+(J)1} •
уl+а2
Угол qJ равен
qJ= arctg(::Q)= arctgа.
Свернув выражение для Ивых (t), т. е. переходя к форме,
аналогичной (6.24), получим:
Ивых(t) = -
SzэpЕ0[ l + У~ COS(Qt - (J))] COS ffio t. (6.26)
1 +а2
Из сопоставления выражений (6.24) и (6.26) видно, что изменение
амплитуды выходного колебания остается гармоническим с прежней
частотой Q, однако из-за неравномерности резонансной кривой
контура имеются следующие различия между огибающими входного
и выходного колебаний:
1) глубина модуляции на выходе, равная
м-м
вых -
-V1+а2 '
меньше, чем на входе;
2) огибающая амплитуд на выходе отстает по фазе от огибающей
входного колебания на угол
t2Q
qJ=arc g - ·-Q.
u>p
Отметим, что сдвиг .фазы огибающей совпадает со сдвигом фазы
колебания верхней боковой частоты.
Относительное уменьшение глубины модуляции в рассматри­
ваемой системе равно
График зависимости D от частоты модуляции, представленный
на рис. 6.5, совпадает с правой ветвью обычной резонансной кри­
вой колебательного контура .
Полученные результаты показывают, что с повышением частоты
ослабление глубины модуляции усугубляется. Из этого следует, что
при передаче сло}I<ного сообщения , обладающего полосой от Qмнн
253


до Qмакс, вер°Хним частотам соответствуют меньшие коэффициенты
модуJiяции. Tai, ка~, при приеме колебаний напряжение на выходе
детектора приемника пропорционально коэффициенту модуляции,
получается относитеJiьное ослабление верхних частот сообщения.
Таким образом, зависимость D(Q) определяет степень линейных
частотных искажений передаваемого сообщения.
Обратимся 1, · вопросу
о запаздывании фазы огибающей в рас­
сматриваемой системе. Из того факта, что это запаздывание зависит
1)
f,O
0,5
о
2
J
Рис. 6.5.
от частоты Q, следует, что при передаче сложного сообщения имеет
место его задержка. ВеJiичина задержю1 to в .соответствии с форму­
лой (4.84) равна
( 2Q)
1
d'f
I
d агctg~Q
to = do__
=
оd-·
= --~,---,--с-
(2Q )2
1+"'~Q
2Q
"'р
Обычно задержку определяют по наклону фазовой характе­
ристики в точке Q=O.
Тогда
(6.27)
Итак, задержка сообщения в одиноttном контуре, полоса npo-
зpatttюcmu которого достаточна для удовлетворительного пропус­
кания спектра сообщения, равна постоянной вре.меtш ,сонiпура.
Следует при этом иметь в виду, что поскольку форма огибающей
напряжения при тональной модуляции э. д. с. сохраняется сину­
соидальной, напряжение на выходе детектора также остается си­
нусоидальным. СJiедовательно, неJiинейных искажений сигнала в
данном случае не возникает. Из всего предыдущего ясно, что это
является результатом симметрии Частоп:iого спе1стра модуJiиро-
254


ванной э. д. с. относительно резонансной кривой контура, т. е.
результатом точной настройки контура на частоту несущего коле­
бания.
Картина изменяется при расстройке контура, когда wP==J=wo.
Этот случай изображен ·на рис. 6.6 . Ве1порная диаграмма для вы­
ходных напряжений предста влена на рис . 6. 7. На этой диаграмме век­
тор OD изображает несущее колебание, запаздывающее относи­
п
1п,
1
/Wp
Е"1
11
1.
1
11
1
мЕа 1
IM
_
21
.LyEa
о,
~~
1
j
Рис. 6.6 .
а,.
_тельно фазы э. д. с. на входе на
угол 0о (так · как рис. 6.6 соответст­
вует положительной расстройке
Лw = w0 -wr>O). Амплитуда верх-
Еаt
1.ио
1
1
1
f- 19(1')
D,
~,/
о
Рис. 6.7 .
ней боково{1 частоты (вектор DC1) в данном случае значительно
меньше, чем амплитуда нижней боковой част9ты (вектор DC2). Длина
равнодействующего вепора OF, изображающего результирующее
колебание, изменяется по сложному закону, не совпадающему с
синусоидальным законом изменения огибающей э. д. с.
Следует иметь в виду, что для восстановления передаваемого
сообщения на выходе радиолинии, работающей с амплитудной мо­
дуляцией, применяется амплитудный детектор, обычно представ­
ляющий собой нелинейное устройство. Напряжение на выходе де­
тектора пропорционально огибающей модулированного колеба­
ния. Из этого следует, что нарушение симметрии амплитуд и фаз
колебаний боковых частот при неточной настройке контура на
несущую часто·ту ·wo приводит к нелинеин.ым искажениям переда­
ваемых сообщений.
Эти искажения проявляются в возникновении новых частот,
кратных частоте Q полезной модул.яции.
Кроме искажения формы огибающей амплитуд, возникает также
псевдо-фазовая модуляция колебайия, так как при вращении век::_
2$5


торов DC1 !:1 DC2 (рис. 6.7) непрерывно изменяется фаза 0 вектора
OF относительно фазы несущего колебания э. д . с . (принятой в ка­
честве исходной) . В некоторых случаях это может привести к до-
(uzl
1
1
1
Ео
2
Рис. 6.8.
бавочным искажениям сигнала .
Полученные выше результа­
ты нетрудно распространит~ на
любую колебательную систему,
например на связанные кон­
туры . Если резонансная кри­
вая такой системы симметрична
относительно несущей частоты
ыо, то правая ветвь этой кри-
t.,J
вой может рассматри_ваться как
характеристика коэффициента
D (рис. 6.5) .
Остановимся на некоторых
особенностях прохождения мо­
дулированных колебаний через
двухконтурную
систему при
t.,J
сильной связи контуров. Если
коэффициент связи к > Ккр,
где Ккр - «критическая» связь,
и на вход системы подается
э. д. с.,
промодулирован­
ная на 100%, то при частотах модуляции Q , соответствую­
щих подъемам резонансной кривой (ы1 и ы2 на рис. 6.8), будет
иметь место «перемодуляция» . Это объясняется тем , что амплитуды
колебаний боковых частот на выходе системы превысят 50% от
t
Рис. 6.9.
амплитуды несущего колебания. Форма выходного колебания при
перемодуляции показана на рис. 6.9 . В точках перехода огибающей
амплитуд через нуль ,Фаза колебания изменяется на л. При неточ­
ной настройке контуров, т . е. когда ыр=/=Ыо, как и в случае оди­
ночного контура, возникают искажения из-за асимметрии · резо­
нансной I<ривой.
256


6.5 . ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОГИ&дЮЩЕй
И НЕМОДУЛИРОВАННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ ЧЕРЕЗ КОЛЕ&АТЕЛЬНЫй КОНТУР
Пусть сигнал, определяемый выражением
s(t)=cos(w0 t+ip0 ) при O<t<'tи, \
=О
при t<O иt>'tи,J
(6.28)
подается на вход усилителя, изображенного на рис. 6.3.
Сначала рассмотрим явления на переднем фронте импульса . •
Входной сигнал в этом случае можно рассматривать как гармо­
ническое колебание, включаемое в момент t = О:
s (t)=cos (w 0 t+ip0)
=
о
при t >О,}
при t< О.
Это означает, что в выражении (6.12) следует считать
A(t)=l при t>O.
=0 при t<O
и. кроме того,
0(t)_: _ _0 .
(6 .29)
Спектральная плотность входного сигнала в соответствии
с выражением (4.11)
(6.30)
В качестве выходной величины, как и в параграфе 6.2 ,
примем напряжение на контуре (рис . 6. 1). Тогда передаточная
функция (укороченная) системы определяется выражением (6.6).
Простота этого выражения, а также выражения (6.30), указывает
на целесообразность спектрального подхода к решению задачи.
Воспользуемся общим выражением (6.16) для комплексной оги­
бающей выходного сигнала и подставим в него соотношения (6.30)
и (6.25):
Заменяя iQ на р , переходим к операторной форме
257


Подынтегральная функция имеет два riолюса:
1+i дwо 1:
иР2=-
1:
•
Вычеты в этих полюсах:
1+iдw0 ,:'
,
-(_!._ +iдw 0)t
'
е't
•
1+iдwo't
Таким образом,
'
'
1
-
(-+iдw0) 1
Аtt)-Q;,,1-е
'
вых '
-
-Те•'
1+iдwо't
Заметим, что
ер =arctg Лffi 0 ,; = arctg а
(6.31)
(6.32)
есть фазовый сдвиг тока в контуре относитеJiьно входной э. д. с.
в стационарном режиме.
Итак, в соответствии с выражением (6.18), выходной сигнал
можно представить в следующем виде:
После приведения к тригонометрической форме с учет.ом соотно­
шения (6.32) получим ,
Saыx(t)= Yl-J -~ w o1:) 2 [sin(ffi0 t+cp0 -; -rp),-e -3⁄4,sin(ffipt +cp 0 -cp)j .
(6.33)
Первое слагаемое в квадратных скобках определяет вынужден­
ное, а второе - свободное колебание.
Полезно представ1п1-, SaыxU) в виде колебания с медленно изме ­
няющимися амплитудой и фазой. Для этого подставим во второе
слагаемое
2SS


Тогда , ОI<ончательно,
1
-
е-7jcosЛw0t sin (w0 t -1- ср0- ер)
-
sinЛw0tcos(w0t-f--cp0 - rp)J} =
=у Q . [(1-e-+cosЛw0 t)sin(w0 t-f-ep0 -cp)+
1+л(1)612
t
•
]
+е- --:;- sinЛw0tcos(w0t-Hp0 - ер) =
=Авых(!) sin [Шоt-1-еро
-
qJ+'Р(t)]=Авых(t) sin [w0 f -1-0вых(t)], (6.34)
где
Vt
21
Аnых(t) = V Q
1- 2е-
-;;cosЛw0t-1-е- ',
1+Лw512
(6.35)
1
1
е 'sinЛw0 t
1-е : cosЛw0t'
0выx(f)=epo-CJJ-f-')J(f).
J.
· 1\J (t) = arctg
(6.36)
В выражении (6 .34): <ро - начальная фаза входно го сигн ала,
ер = aгctgЛw 0 ,: - сдвиг фазы тока в контуре относительно вход­
ного сигнала и 'ljJ(t) - переменная часть фазы, об_усJiовленная
процессом установления.
То обстоятельство, что в (6.34) входит sin, а не cos, как в (6.12),
объясняется съемом выходного сигнала с емкости.
Решение особенно упрощается при совпадении чuстот соо и wp,
когдаЛwо=О,ер =Ои '\j)(t)=О.Вэтомслучае
Авых(f)=Q (1 - е -+),
0вых (f)=epo
и
Sвых (f)=Q (1 - е-+) sin (u>o l-f- - (fJo)-
. (6 -34')
Из этого выражения видно, что при совпадении частот u>o и u> P
огибающая амплитуд выходного сигнала нарастает по закону
1 - е-•# н.езавuсuмо от фазы э. д. с. в момент включения.
На рис. 6.10 приведены графики нормированной огибающей,
Авых(t) 1 --
~
•
т. е. функции _Q у l_+, лw5 12 , а на рис: 6.11 - пере~ленной
l59,


части фазы 0вых (t), т. е. 'ljJ (t), для нескольких значений пара­
метра Лw0 • ·
Из рис. 6.10 видно, что с увеличением расстройки время уста­
новления огибающей несколько сокращается, причем это установ­
ление принимает колебательный характер. Частота пульсаций
Авыr,~
-Q-vf+Лw0 тz
1,0
о
2
з
4
Рис. 6.10 .
равна Лw 0 • Это объясняется биением между частотой входного
сигнала w0 и частотой свободных колебаний контура, которая при
сделанном выше допущении о высокой добротности контура очень
мало отличается от резонансной частоты wP.
rp
Рис. 6.11,
Если длительность входного сигнала больше, чем фактическое
время установления, то к моменту окончания импульса на выходе
цепи устанавливается колебание с амплитудой Q (амплитуда вход­
ного сигнала равна единице) и частотой wo. После прекращения
действия сигнала на выходе остается одно лишь свободное колеба­
ние, огибающая которого имеет вид экспоненциально убывающей
кривой независимо от соотношения частот ffio и wP.
260


6.6 . ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДВУХКОНТУРНУЮ
СВЯЗА~IНУЮ СИСТЕМУ .
Параметры импульса такие же, как и в предыдущем параграфе:
огибающая прямоугольна, частота заполнения немодулирована и
равна w0 •
Рис. 6.12 .
Сигнал вводится непосредственно в первый контур в виде э . д. с.
(рис. 6.12), либо подается на вход линейного резонансного (по­
лосового) усилителя (рис. 6.13).
В обоих случаях сигнал снимается в виде напряжения с емкости
второго контура.
Рассмотрим наиболее ин­
тересный для практики слу­
чай двух одинаковых конту­
ров, настроенных на частоту
заполнения импульса wo.
Таким образом,
M~,x
-
ft)
~z
и, кроме того,
Е,
(t)
....
-·
+
Рис. 6.13 .
Для определения передаточной функции К [i (Лw0 +Q)] восполь­
зуемся известными из курса «Основы теории цепей» соотноше­
ниями.
Для схемы рис. 6.12:
/
Е1
1= Г1+Гвн+i(Х1+Хвн);
/=iwM/1=
iwME1
2 Гz+ ix2
[r1 +Гон+ i (х1 + Хон)! (r2 + ix2)
_
1/_
wME 1
•
U2 ... ,.-
iwC2 2 - wC2[r1+Гон+ i(х1+Х0н)](r2 + ix2)'
K(iw) = !!2- =
wM
Е1 wC2[r1+Гон+i(Х1+ Х0н)](r2+ ix2)•
(6.37)
261


Через r в н и Хв в обозначены ш-тосимые втьры м контуром в пер­
вый активное и реактивное сопротивления:
Используя усло ви е высо к ой доб ротности контуров, а также
учитывая их . идентичность , можно написать:
'
Здесь использованы соотношения:
2(w-<op)L М
а=----- ; -
=k;
r
L
wl,=Q;
r
... На
~сновании п риведенн~1х соотношений выражение (6.37)
можно привести к следующему виду:
kQ2
-
kQ2
-
[
k2 Q2
]
-
(1+ia)2+k2Q2•
(1+ia)+1+а2(1- ia) (1+ia)
.
(6.38)
Аргумент функции К1 (iQ), т, е, Q, содержится в правой части
2(w-wp)
20
этого выражения в обобщенной расстройке а = --- Q = -= - Q,
"'Р
"'р
Хотя выражение (6.38) выведено дл~ случая индуктивно свя­
ЗаJ:!НЫ f щ:штур_ов , он_о может_ быть распространено на любую маг:
нитную связь; в случае же электрической (емкостной) связи тре­
буется пос1авить знак минус в правой части,
•
Для схемы, изображенной на рис. 6, 13, передаточная фун1{ция
отличается только постоянным коэффициентом. Действительно,
используя очевидные соотношения
·
М
1
1
U1=
-
SZa" Е1; 12 =
-LU1-2 ; U2= -:--с/2
1
·
2
IW2
и выполнив преобразования, аналогичные предыдущим, получим
.
.
U2
Szэp kQ
К (rw)=K1 (rQ) = Ei =
-
if(l-Ф-ia)2+k2Q2] .
(6 .39)
162


3-
L
десь Zэр = с, - сопротив J1ение первого конту ра между точ-
ками а - k (при разомкнутом втором контуре).
_
Ввиду совпадения структуры выражений (6.38) и (6.39)
в дальнейшем будем исходить из обобщеннЕ>го коэффициента
передачи
где Q=ffi-ffip, т = 2Q . •
"'р -
(6.40)
Обратимся I< определению сигнала на выходе системы. Как и в
предыдущем параграфе сначала рассмотрим явленип на пер еднем
фронте импульса. При этом задача сводится к включению гармо­
нической э. д. с. в момент t = О. Подставив в общее выражение (6.16)
спектральную плотность S1(Q) по формуле (6.30) и коэффициент
передачи /(1(iQ) по формуле (6.40), получим
-(Х)
или в операrорной форме
Полюсы подынтегральной функции:
Р1= О;
-
-
1--
Р2.з=
-
~ (1 =f ikQ).
Определяя вычеты по фор~1уле -(5.12), получаем следующее
окончательное выражение для комплексной огибающей ВЬJХОДНОГQ
сигнала (угол <р 0 принят равным - нулю)~
•
•
АвыхUi= I+~2 Q2 {1--e- -:-+[1,~sin(kQ ~)+cos(kQ ~)]}· (6.41)
В частном случае «критической связи» . (kQ = 1) получаем
1.i
А_яых(t) ~ 1; [У~ 'е~ ~{si 11 ++"col}}]. (6.41 ')
Как и следовало ожидать, при симметричной настройке двух­
контурной системы на частоту ffio огибающая Авых (t) (в случае
схемы рис. 6.12) является вещественной (действительной) функ-
цией от t.
•
В rлучае с х емы рис. 6.13, в которой выходное колебание сдви­
нуто на 90° отно~ительн_о входного, Авых.U) является чисто мнимой
263


величиной. Таким образом, выражения (6.41)-(6.41') определяют
непосредственно амплитуду выходного напряжения при амплит у де
входной э. д. с., равной одному вольту.
А вых (t)
График N/2 для kQ= 1 изображен на рис. 6.14 (участок от
t=O до t=т,,) .
Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная
с момента t = -.,,,
где -•и - длительность импульса. Ясно, что
после прекращения действия внешней силы в системе может су­
ществовать только свободное колебание. Структура этого колеба-
Ae.,.,:lf
N/2
0,5
0,25
о
f,O
г,о
J,O
ч,О
.
Рмс. 6.14 .
ния леГI\О может быть выявлена , если прекращение импульса
представить в виде включения в момент t = т" новой э. д. с .. ком­
пенсирующей э. д. с. сигнала. Для этой компенсирующей э . д . с.
решение имеет такой же щщ, как и выражение (6.41); отличие толь­
ко в знаке, который должен быть обратным знаку правой чцсти
выражеция (6.41), и в сдвиге начала отсчета времени из нущ1 в
ТОЧКУ t = •и•
Так как к момен:гу t ;= т" затухающую часть выражения (6.41)
можно считать равной нулю, то огибающая результирующего
сигнала на выходе для t>т" должна иметь вид
[1(t--c)
( t--c )]
Х kQsin kQ--с-11 +cos kQ--с-" .
Построенный по это;% формуле график Ав~1;2(t)
изображен на рис . 6.14 . (участок от t > т,,). Здесь
вается, что N - действительная величина.
164
(6.42)
для kQ= 1
подразуме-


6.7 . ПЕРЕДАЧА ФдЗО-МАНИПУЛИРОВА0ННОГО СИГНАЛА
Наряду с амплитудной модуляцией - непрерывн ой или им­
пульсной - в радиотехнике на х одит применени е ф а з о в а я
м а н и п у л я ц и я, заключающаяся в скачкообразном измене­
нии фазы высокочастотного колебания на 180° в опр едел енные мо­
менты времени. Амплитуда и частота колебания поддерживаются
при этом неизменными. Временная диаграмма фазо-манипулиро­
ванного колебания изображена на рис. 6. 15, а, а изменение фазы -
О)
t
1
12Т1
6J
о
т,
21,
Jт,
Рис. 6.15.
на рис . 6.15, 6. На последнем · рисунке фазы О и л чер едуются пе­
риодически, однако при передаче реальных сигналов закон чередо­
вания может быть более сложным.
Рассмотрим явления в резонансных системах, возникающие в
моменты скачкообразного изменения фазы входного сигнала. При
этом мы будем считать, что «тактовые интервалы » между двумя
соседними скачками фазы Т1 намного больше, чем длительность
возникающих в цепи переходных процессов, так что вполне допусти­
мо рассмотрение каждого из скачков изолированно от предыдущих .
Для выявления принципиальной стороны вопроса ограничимся
простейшим случаем передачи фазо-манипулированного сигнала
через одиночный колебательный контур, настроенный на частоту
сигнала roo.
Совместим начало отсчета времени с моментом скачка, как это
показано на рис. 6.15 . Тогда для t>0 выходной сигнал на основа­
нии принципа суперпозиции можно представить в виде суммы:
а) свободного колебания, оставшегося после прекращения действия
сигнала, существовавшего при t<0, и б) нарастающего колебания,
обусловленного действием нового сигнала при t>0, с фазой за­
полнения, на 180° отличающейся от предыдущего сигнала.
Пренебрегая различием между собственной частотой контура
rосв и резонансной частотой rop, мы можем для перечисленных двух
колебаний написать следующие выражения:
G1(t)=Аое-а/cos(l)pf,
а2(t)= -
Ао(1 - e-al)cos(l)pt.
265


Знак минус в правой части второго выражения учитывает опрб­
кидывание фазы на 180°.
Ре зул ьтир ующий сигнал на выходе систем ы
Sвых (f)=a1(t)+a2 (t) = (-А0+А0 е-а1+А0 е-•1) cos W;, f=
= - А0(1- 2е-•1)coswPt.
Диаграмма выходного сигнала изображена на рис . 6.16. Из-за
инерционности контура скачо1, фазы входного сигнала приводит к
изменению амплитуды выходного сигнала . В момент времени
sвых
at
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
i.L .
-
-
Рис. 6.16.
О 693
1
t0 = ---'-- -;; - , при котором e--at , = 2 , огибающая обращается в нуль.
Чем меньше а (или чем выше добротность контура), тем больше to,
т. е. тем протяженнее процесс установления колебания с новой
фазой .
В более сложных колебательных системах, а также при наличии
расстройки между частотами wo и wp, • картина несколько услож­
няется: помимо возникновения паразитного изменения огибающей,
нарушается и характер изменения фазы. Вместо скачкообразного
изменения получается плавный переход фазы от старого значения
к новому.
Способ определения структуры выходного сигнала остается
прежним, только a 1 (t) и a 2 (t) в выражении для Sвы х U) будут пред­
ставлять собой колебания с несовпадающими частотами. Вычислив
модулъ и аргумент суммарного колебания , нетрудно найти оги­
бающую и фазу выходного сигнала .
6.8 . ПЕРЕДАЧА ЧАСТОТНО-МАНИПУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал на входе избирательной системы имеет вид коле­
бания , изображенного на рис. 6.17, а. В некоторые моменты време­
ни частота скачком изменяется от w1 до w2 или от w2 до w1 при
сохранении амплитуды неизменной и при непрерывности фазы в
166


моменты скачков частотьi. Последнее допущение продиктовано же­
ланием выяснить в чистом виде влияние на параметры выходного
сигнала одной лишь частотной манипуляции, без наложения ма­
нипуляции фазы (рассмотренной в предыдущем параграфе).
Совместим начало отсчета времени с моментом изменения часто­
ты от ffi 1 до ffi 2 (рис. 6.17, 6) и положим, как и в§ 6.7, что к моменту
t = О все процессы, связанные с предыдущим скачком частоты, уже_
закончены. Таким образом, при t<O выходной сигнал представля­
ет собой синусоидальное колебание с частотой ffi 1 и постоянной
амплитудой А 0 •
а)
..
t
Рис. 6.17 .
На первый взгляд может показаться, что изменение скачком
одной лишь частоты входного сигнала при постоянстве амплитуды
и отсутствии скачка фазы не доЛЖI:IО сопровождаться переходными
процессами. В действительности это не так, поскольку в системах,
запасающих энергию, переход от одной частоты к другой неизбеж­
но связан с изменением запаса энергии .
Основная идея, на которой базируется дальнейшее рассмотре­
ние, заключается в том, что мгновенное изменение частоты внешней
э. д. с. эквивалентно выключению старой э. д. с. с частотой ffi1
и включению в тот же момент новой э. д. с. с частотой ffi2. Анало­
гичный прием был использован в § 6.7 для скачка фазы входного
сигнала, однако в данном случае дело несколько осложняется не­
совпадением частот различных слагаемых.
Итак, результирующее колебание на выходе линейной системы
при t>O
Sвых (t)=a1 (t)+a2(t),
где a1(t)- свободное колебание, связанное с выключением в мо­
ментt=О«старой»э.д.с.,а
a2(t) - нарастающее колебание, обусловленное включением
«новой» э. д. с. (с частотой ffi 2).
267


Рассмотрим случай одиночного колебательного контура при
съеме выходного напряжения с емкости. Резонансную частоту
контура wP приравняем частоте u>o, а скачок частоты 2Лw (см.
рис. 6.17, 6) считаем симметричным относительно wo :
w1=u> 0 - Лw=u>p
-
Лw0,
w2 =w0 + Лw=u>p + Лw0•
Тогда при обозначениях § 6.5 и в соответствии с выражением (6 .33)
можно следующим образом определить свободное колебание:
(6.43)
Заметим, что свободное колебание здесь взято со знаком плюс
[ер. с выражением (6.33) ], поскольку речь идет о прекращении
действия старой э. д. с., а не о включении новой. Кроме того, следует
иметь в виду, что для частоты w1 = u>o - Лw, которая ниже резо­
нансной частоты контура, ток в контуре опережает по фазе э. д. с.
и угол ср 1 является отрицательным, т. е .
ср1= arctg (- Лwт) = -- arctg Лwт.
Таким образом, обозначив arctg Лw,: = ср, получим:
t
a1(t) = ✓ l +Qл,,.,2't2 е--:; sin(wpt+cp 0 +cp)=
1
-
- ==Q== е--:; [cos ер sin (wp t+cp 0)+sin ер cos (wp t+ep 0)].
J/-1 + Ло)2't2
(6.43')
Для определения а 2 (t) можно воспользоваться выраже­
нием (6.33), в котором w0 должна быть заменена на частоту
новой э. д. с., т. е. на w2, а угол ср, как и в (6.43'), следует
определять выражением cp=arctg Лwт.
Итак,
Q
а2 (t) = ---:======~ х
у 1 + л,,.,21:2
Х[sin (w2 t+ep0 - ер)- е - +sin (wp tfcp0 -cp)].
После подстановки u>2 =wv+Лw это выражение приводится
к виду:
\
а2(t)= -V Q
{cos (Лwt - ер) sin (wp t+cp 0)+
1 + д,,.,2't2
t
+ sin (Лwt - ср) cos (wvt+cp 0)- е-' [cos ср sin (w )+ср 0)-
(6.44)
268


Просуммируем выражения (6.43 ') и (6.44):
Sвых(t) = ✓ Q {cos (Л(t)t - ер) sin ((t)p t+ep0)+
1 -t дш2't2
+ [sin(Л(t)t-ep)+2e-~ sinep] cos((t)pt+ep 0)} =
=А (t) sin [(t)p t+еро+'Ф (t)].
(6.45)
Огибающая А (t) и переменная часть фазы 'Ф (t) выходного
сигнала определяются выражениями
А(t) -
Qх
-
Yl -1- Лw2't2
(6.46)
t
,i,(t)=arct sin(Лшt-cp) + 2e 'sin<p
'У
g
cos (Лwt - <р)
(6.47)
Основной интерес в данном случае представляет закон изме­
нения частоты выходного колебания:
Выполнив дифференцирование, находим
1- 2е-"1 sin 9 [;w cos (Лшt - <p)-sin (Лwt - ер)]
л(t) (t) = л(t) ----------------= -
(6 48)
1+4е-"1sin<р[sin(Лwt-<р)+e- •tsinер]
•
1
Здесь а= -
.
't
Выражение (6.48) может быть упрощено, так как
а
l
-
-
ctg <р
Л,,, - Лш't
-
и числитель д роби приводится к виду
!- 2е-•1sin ер [c?s 'Р cos(Л(t)t - ер)
-
sin (Л(t)f - ср)] =
Slll <р


Итак , окончате л ьно , относительная расстройка
у=Лш(/)=
1- 2e- al cosЛш/
Лw 1+4e- o:t sin<р[sin(Лwt - ?)+e-a.t sinер] -
Лwt
1- 2е-ьcosЛшt
Лwt
[
Лwl ]'
1+4е- -ь- sinср sin(дшt -
'f)+-е --ь-sinср
(6.49)
Лш
где обозначено Ь = -
.
а
Графики У(Лшt) для нескольких значений параметра Ь постро­
ены на рис. 6.18.
-!,О
Рис. 6.1 В.
Заметим, что полоса пропускания контура, определяемая по
-
1
ослаблению сигнала до ✓2 от резонансной частоты, равна 2а =
= ~J- Следовательно, параметр Ь есть не что иное, как отношение
полного скачка частоты сигнала 2Лш к полосе пропускания 2а.
·На
рис. 6.19 в качестве независимой переменной выбрана вели­
чина at, соответственно чему уравнение (6.49) принимает форму
у=
1- 2е-•1 cos (Ьа.1)
.
1~1' 4е-"1 sin f [sin (bat -
'f)+е-•1 sin <р]
(6 .49')
270


с
.
ь
н
ледует при этом иметь в виду, что s111 <р = V __
.
атомже
1+ь2
рис. 6.19 построена кривая УА= 1 - е-• 1 , соответствующая про­
цессу установления амплитуды тока при включении в контур
э. д. с. с частотой w0, равной резонансной частоте контура. На
рис. 6.19 масштаб для функции УА, которая изменяется от ну ля
до единицы, нанесен справа .
!I
2
"Ь=5,О
.. ,,о
о
Рис. 6.19 .
л(!)
Из рис. 6.19 видно, что при Ь-< 0,5, т. е. когда
-
-< 0,5,
а
.
процесс установления частоты практически не отличается от про­
цесса установления амплитуды при внезапном включении э. д, с.
Заметное расх ождение кривых У и УА наступает при Ь > 0,5.
Для полноты картины рассмотрим еще вопрос об изменении
амплит у ды выходного сигнала.
Подставив в выражение (6.46)
л (!)
ь
дон=-= Ь, sin<p =
-
--
а
у1+ь2 ттctgrp=Ь,
271


получим
А(t) -
Qх
-
111+ь2
,f 4Ь2е-\"'1(1 .
) 4Ь2е-
2
~"'
1
хV1+ 1+ь2 ьsinЛuJt- cosЛuJt + 1+-ь2 (6.50)
Графики функции Vi/ь2 A(ЛuJt) для некоторых значений пара­
метра Ь приведены на рис. 6.20. Эти графики показывают, что при
VГ+[;г
{ГА
2.0
1,5
f,о
0,5
~----~--
---'-------'----
о
120°
2чо 0
Зб0° !1wt
Рис. 6.20 .
Ь>О,5 процесс установления частоты сопровождается значитель­
ными амплитудными изменениями. При Ь = 1, т. е. в случае, ког­
да девиация частоты достигает границ полосы пропускания конту­
ра, изменение амплитуды доходит до ,..._ ,25% от установившегося
значения.
Лw
Неравенство Ь = -
~ 0,5 можно принять в качестве условия
а
•
монотонного нарастания ЛuJ(t) и отсутствия значительных ампли­
тудных изменений. Длительность же тактового интервала Т1 (пе­
риода манипуляции, рис. 6.17) должна быть достаточно велика по
•
1
-
сравнению с постояннои времени контура ,: = -;·
Как видим, последнее требование не оrлича(;ТСЯ от случая амп­
. литу дной импульсной модуляции.
i1i


6.9 . ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В .§ 6.4 было показано, что при синусоидальной модуляции
амплитуды передача 1<олебания через контур, точно настроенный
на несущую частоту, не сопровождается изменением формы оги­
бающей; имеет место лишь ослабление глубины модуляции.
При частотной модуляции неравномерность амплитудно-час­
тотной и кривизна фазо-частотной характеристик оказывают более
сложное влияние на параметры выходного колебания. Даже при
синусоидальной модуляции частоты спектр колебания обычно со­
держит очень большое число пар боковых частот. Нарушение
нормальных амплитудных и фазовых соотношений между отдель­
ными парами боковых частот приводит к искажению закона мо­
дуляции даже при полной симметрии характеристик цепи отно ­
сительно несущей частоты колебания .
Влияние цепи может сказаться:
-
в искажении закона изменения мгновенной частоты и мгно­
венной фазы колебания;
-
в изменении амплитуды полезного частотного отклонения в
зависимости от частоты модуляции Q и
-
в возникновении паразитной амплитудной модуляции .
При детектировании колебаний с помощью частотного детектора
напряжение на выходе приемника пропорционально изменению
мгновенной частоты колебания . Поэтому искажение закона изме­
нения мгновенной частоты в колебательных контурах передатчика и
приемника приводит к нелинейным искажениям сигнала, прояв ­
ляющимся на выходе детектора в виде добавочных напряжений с
частота ми, кратными основной частоте модуляции Q.
Второе и з отмеченных выше изменений параметров частотно­
модулированного колебания приводит к неравномерности частот­
ной характеристики радиолинии с ЧМ и, следовательно, к частоте
ным (линейным) искажениям сигнала .
Рассмотрим воздеf!ствие электродвижущей силы, частота ко­
торой изменяется по закону
ffi(t)=ffio+ffiдcosQt,
(6.51)
на резонансную колебательную систему . Амплитуду э . д . с . Ео
считаем строго постоянной, так что э. д. с. можно представить вы ~
ражением (см. § 4.4)
е(t)=Е0cos(ffiot + тsiпQt).
Комплексный коэффициент передачи цепи обозначим через
к (iffi) = к (ffi) ei'f (w) .
Примерный вид r~юдуля K(ffi) и фазы <p(ffi) дJ.IЯ обычной резо­
нансной системы изображен на рис. 6.21 ,, а . • Так как выбран знак
плюс перед <p(ffi), фазовая характеристика <p(ffi) обладает отрица-
10 З~к. 2053
213


тельным наклоном в полосе прозрачности цепи. Частотный спектр
и график изменения мгновенной частоты ro(t) входной э. д. с. по­
казаны на рис. 6.21, •б и в. Колебательные системы обычно настраи­
ваются на среднюю частоту модулированного колебания, поэтому
а)
1,0
О)
1
'~!'
; 1,1,:
6)
Q,",'о1
-----т .;. -
1
(.;о '
<,.J
--
Ч)
<.)
рис. 6.21 и дальнейшее
рассмотрение относятся к
случаю
ffip = ro0•
Для нахождения коле­
бания на выходе цепи мож­
но, в принципе, воспользо­
ваться таким же способом,
как и в случае амплитуд­
ной модуляции (см. § 6.4).
При этом необходимо
учесть . изменение амплитуд
и фаз для каждой из пар
боковых частот э. д. с. в
соответствии с кривыми
K(w) и <p(ro). Подобный
метод, вполне точный,
пригоден, однако, лишь
при очень малых индексах
модуляции, т. е. в случае,
1шгда состав спектра ЧМ
колебания мало отлича-
Рис . 6.21.
ется от АМ колебания
(см. § 4.6). В практи­
ке, однако , чаще всего
приходится встречаться с модуляцией, характеризующейся столь
большим числом составляющих в используемой полосе частот, что
применение спектрального метода сопряжено с большими, иногда
непреодолимыми трудностями вычисления. В таких случаях при­
ходится прибегать к приближенным методам, позволяющим, хотя
и не вполне точно, находить колебание на выходе цепи по заданно­
му закону . изменения мгновенной частоты э. д. с. и по заданным
IIастотно -фазовым характеристикам цепи, без разложения э~ д. с.
в спектр.
•
Эти методы, называемые методами «мгновенной частоты», ос­
нованы на допущении о медленности изменения частоты. Частота
модуляции считается настолько малой, что амплитуда и фаза ко­
лебания на выходе цепи в каждый момент времени могут быть без
большой погрешности определены по частотной и фазовой харак­
теристикам це пи так же, как и в стационарном р ежиме. Таким об­
разом, принимается , что уr;тановление стационарных колебаний
на выходе происходит почт1-1 одновременно с изменением частоты
на входе . цели .
274


Эти предпосылки те!\,f ближе к истине, чем больше период моду-
~
т
ляции Q и чем меньше постоянная времени цепи i- .
ак как по-
следняя обратно пропорциональна полосе пропускания цепи 2Л(i)о,
то одним из условий применимости метода мгновенной частоты яв­
ляется неравенство
Q «1.
дwо
При одной и той же частоте Q скорость изменения мгновенной
частоты э. д. с. зависит от амплитуды частотного отклонения (i)д,
поэтому соблюдения только этого неравенства еще недостаточно.
Должны быть наложены ограничения и на отношещrе дw;0 .. _
Более
подробное рассмотрение 1 показывает, что если дwл меньше или
"'о
близко к единице, то метод мгновенной частоты обеспечивает вполне
достаточную для практики точность.
При выполнении перечисленных условий напряжение на вы­
ходе цепи можно определить с помощью выражения
Uвых (t) = Ео Re (ei<J, (1) К (i(i))) = Е0 К((i)) Re (ei [ф(t)+Р(w)J_j,
где 'Ф(t)= (i)ot+тsinQt - полная фаза э. д. с. на входе цепи
(см. § 4.4), а
ер ((i)) - аргумент коэффициента передачи цепи.
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напря­
жения изменяется по закону
И(t)=Е0К((i)) = ЕК((i)0+(i)дcosШ),
а мгновенная частота по закону
d<j; drp
(i)вых(t)=dt+tfl,
Так как первый член в правой части этого выражения пред•
ставляет собой мгновенную частоту входной э. д. с. (i) (t), то
величина
S(t) = drp
•
dt
характеризует влияние рассматриваемой системы на частоту вы­
ходного колебания. Прj,1 выrюлнении оговоренного выше условия
медленности модуляции величина s(t), как правило, мала по срав­
нению с (i)д,
Итак,
(i)вых (f) = (i) (f) + S(t).
(6.52)
1См.ГоноровскийИ. С.Радиосигналыипереходныеявления
в радиоцепях. Связьиздат , 1954.
10*
175


Если известно уравнение фазовой характеристики (j) (ro), то,
подставив вместо ro в соответствии с выражением (6.51) величину
ro (t)= ro0 +ffiдcosQ/
и дифференцируя по t, получим общее выражение для s(t):
i(t) = d[ер(ш04'd?cosQt)] ,
(6.53)
При периодической модуляции частоты s(t) является также
периодической функцией времени и может быть разложена в ряд
Фурье . Так как при настройке системы на среднее значение вы­
нуждающей частоты roo фазовая характеристика обычно антисим­
метрична относительно roo, то ряд Фурье содержит одни лишь не­
четные гармоники Q, ЗQ, 5Q и т. д. Учитывая, наконец, что при
изменении частоты по закону (6.51) производная (j), т. е. s(t), явля­
ется нечетной функцией времени, приходим к выводу, что ряд
Фурье содержит одни лишь синусоидальные члены, т. е.
s(t)=&1sinQt+&3sin3Qt+... ,
где &1, &з,
...
И т. д. - амплитуды гармоник функции s(t) :
Подставляя выражение (6 .54) в (6.52), получаем
ffiвыx(t)=ffio+(J)дcos~-и+{g1sinQt+{g3sinзш+...~
=ro0 +1/ro;+&fcos(Qt-у)+&3sin3Qt+ ...~
=ro0 +rол cos(Qt -у)+ &3 sin ЗШ.
(6.54)
(6.55)
Слагаемое &~ под знаком радикала отброшено как величина выс­
шего порядка малости по сравнению с ro;.
Сопоставление выражений (6 .55) и (6.51) позволяет сделать
вывод, что влияние цепи на выходное колебание заключается в
запаздывании фазы сообщения на угол у, определяемый выра­
жением
&1
у= arctg-,
"'д
и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгно­
венной частоты.
Как отмечалось выше, наибольшее значение имеет обычно по­
следнее обстоятельство.
Приложим полученные результаты к двум случаям: одиноч­
ному колебательному контуру и двухконтурной связанной системе.


1. Одиночный нонтур
Подразумевая под K(iffi) отношение комплексной амплитуды на­
пряжения на конденсаторе к амплитуде э . д. с., вводи~ой после­
довательно в контур, получаем
iwC
K(iffi) =
•
r [1 + i(w-w0)-i:]
Учитывая, что
ffi- ffio = ffiдcosQt
и пренебрегая изменением ffi в числителе, та~< как ffiд обычно очень
мала по сравнению с ffio, можем написать
где
К (iffi) =
Q
=
•Q
e1'f',
i(]f'iwдHOSQt) {1+(wдHOSQ/)2
На основании соотношения (6.53) находим
Применяя формулу (2.6), находим
2n
&1= 3⁄4Ss(t)sinQtdQt,
о
27'
&3= J__r1;(t)sinЗШdQt.
7tJ
о
(6.56)
(6.57)
Произведя интегрирование, получим следующие окончатель­
ные· формулы для амплитуд первой и третьей гармоник функ­
ции 1; (t):
(6.58)
(6.59)
Здесь
277


Далее, · по формуле (6.55) находим фазовый сдвиг для сооб­
щения:
(6 .60)
Теперь нетрудно определить коэффицие_нт нелинейных иска­
жений по третьей гармьнике, который получится после детекти­
рования частотно-модулированного колебания. Для этого нужно
/ml<зJ
О, 16
0,12
0,08
D,Оч
о
0.5
Рис. 6.22 .
/
/
I
разделить амплитуду Шз третьей гармоники функции ~(t) на ам­
плитуду wд основной частоты Q [см. формулу (6.59) ]:
(6.61)
График зависимости тК 3 (rод 't ') изображен на рис. 6.22 . При
wд 't' « 1 формулы (6.60) и (6 .61) приводят к простым соотноше­
ниям:
(6.60')
(6.61')
При wд 't' ➔ 1 (но т » 1), т. е. при девиации, почти равной
полосе пропускания контура, формулы (6.60) и (6.61) дают:
0,8
·У=т• Кз = _ о,1з.
т
Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим,
предельные искажения в одиночном контуре не превышают долей
процента.
178


Нетрудно найти амплитудные измен1:ния выходного колебания.
Для этого можно воспользоваться резонансной кривой контура
и
и
О яя.J.J(277' Qt
2·.2
Рис. 6.23.
и прсизвести построение, показанное на рис. 6.23. Нетрудно ви•
деть, что основная частота изменения огибающей амплитуд И вдвое
превышает частоту модуляции Q.
1. Система нз двух связанных контуров
В данном случае под K(iro) подразумевается отношение комплек ­
сной амплитуды напряжения на конденсаторе второго контура к
амплитуде э. д. с. , вводимой в первый контур. Используя формулу
(6.40)
K(i@) = [! +i(ш-ш~'t]2.+,k2Q2 =
N
-
1 +k2 Q2 -[(w - wp).'t] 2 +,i2(w - wp)'t'
представим коэффициент передачи в виде
к(i@) = к(@) e1'f (w),
где
2(ш- шр) 't
(jJ(@)= - arctgl-tk2Q2_ [(ш
_
шр) 't]2 •
Учитывая, что Фр= @ 0 и, следовательно,
(J} - (J}p = (J}д cos Qt'
а также имея в виду «критическую связь» (kQ = 1), перепишем
выражение для (jJ (со) в форме
()
t 2шд'tCOSQt
(JJсо=-arcg2(
Ot)2 •
.-
Шд'tСОS . •
(6.62)
179


откуда
dФ 2Q(l)дt sinQt(2-+- (l)д2t 2 cos2Qt)
~(i)=-
' =---
~---.
dt
4 +(1)~-c4 cos4 Qt
(6.63)
Для сравнения с одиночным контуром ограничимся малыми
величинами rод 't' « 1. Тогда вместо выр!].жения (6.63) можно нg.­
писать
(6.63')
Сравнивая это выражение с формулой (6 .57), которая при
малых rод -с может быть представлена в виде
~(t),:::; Qroд-сsinQt(1- ro~ i-2 cos2Ш),
приходим к выводу, что в случае двух связанных контуров (kQ= 1)
коэффициент нелинейны х искажений в два раза меньше, чем при
использовании каждого из контуров порознь. Это, естественно,
вытекает из того факта, что полоса проп уск ания двухконтурной
системы при kQ = 1 в v2раз больше, чем у ОДНОГО конту ра. Если
исходить из одной и той же полосы пропускания , для чего по-
требуется в случае свя.занной системы увеличить i- в V2 раз, то
искажения будут в V2раз больше, чем в одном контуре 1 .
· Проведенное
в настоя щем параграфе рассмотрение охватывает
случай относительно медленного и «узкополосного» изменения ча­
стоты, не выходящего за пределы полосы прозрачности цепи.
В современной радиоэлектронике большое распространение по­
лучили также устрой.ства, в которых используется качание частоты
колебания в широких пределах. Этот вопрос рассматривается в
следующем параграфе .
6.10. КАЧАНИЕ ЧАСТОТЫ Э.Д.С., ДЕЙСТВУЮЩЕЙ
НА ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ СИСТЕМУ
Пусть входная э . д. с . определяется выражением
е(t)=cos(ro1t+~~
2
) пpli t>,О.
(6.64)
Амплитуда этой э. д . с . постоянна и равна единице, а часто­
та изменяется по линейному закону
(1) (t) =
(6 .65)
со скоростью ~ -
1 При kQ « 1, т. е. при очень слабой связи, искажения по величине
приближаются к искажениям в системе, состоящей из ,!!,вух раз,целенных
контуров.
180


Требуется найти напряжение на выходе избирательной цепи,
обладающей заданными резонансной час'!'отой и полосой прозрач­
ности. Подобная задача часто встречается в ра з личных радиоэлект­
ронных устройствах, использующи х качание частоты по пилооб­
разному закону (приборы для анализа амплитудно -ча стотных ха­
рактеристю, избирательных систем, анализаторы спектра сигна­
лов и др.). Каждый пробег частоты э. д. с. через полосу прозрач­
ности цепи при пилообразном изменении · можно при некоторых
оговореннь1х ниже условиях рассматривать как воздействие э. д. с.,
определяемой выражением (6 . __64).
r.,.;{f}
о
to
м
Рис. 6.24.
t
Применение спектрального метода ввиду сложной структуры
спектра э. д. с. в данном случае нецелесообразно. Более эффектив­
ным является метод интеграла наложения (см. § 6.3). Имея в виду
использование выражения (6.23), конкретизируем избирательную
цепь и соответствующую ей импульсную характеристику.
Для облегчения выяснения сути метода, а также принципиаль­
ной стороны явлений мы ограничимся случаем одиночного коле­
бательного контура. В качестве выходной величины примем на­
пряжение Иных (t) на емкости контура. Тогда импульсная харак­
теристика цепи в соответствии с выражением (6.21) равна
g (t) = fficв e-at sin fficв t,
(6 .66)
а изменение частоты входной э. д . с. относительно полосы проз­
рачности контура имеет вид, показанный на рис. 6.24 . Через Лt
на этом рисунке обозначено время пребывания мгновенной частоты
ffi(t) в полосе прозрачности контура, равной 2Лw 0 = 2а (на
рис. 6.24 полоса заштрихована). Частота Wсв приравнена ffip.
При сигнале e(t) и импульсной характеристике g(t), определя­
емых выражениями (6.64) и (6.66), входящие в общее выражение
10В. За1<. 2053
281


(6.23) величины А (t), G(t), 0(t) и у (t) принимают следующий вид
[см. определения (6.12), (6.21) и (6.22) ]:
А(t)=1 при t'>О,
=
О при t<О;
G (t) = wP e-•t ~wсв e-•t;
6(t)=~i
2
при t>O;
1'(t)=; .
(6.67)
Тогда выражение (6.23) принимает для рассматриваемой задачи
следующую форму:
1
Ивых(t) = wl Jе-•(t-x) sin [(w1 -wp) Х + ~;
2
+Wp t]dx.
о
(6.68)
В этом выражении w0 заменено на w1 , а пределы интегрирования
взяты с учетом условия (6.67).
\ Запишем выражение (6.68) в . форме, более удобной для инте­
грирования:
Ивых (t) = ~Р e-•t Iш {е1"'Р I iе1 ~- ;' + [•-i ("'р_"',)] х dx}. (6.69)
Здесь Im обозначает мнимую часть.
Показатель степени в подынтеграJ1ьном выражении целесо­
образно дополнить до квадрата суммы:
i~x 2
2 +[CG-i(wp-w1)]х+d2 -d2=
где
d=а__-_i_(_wp_-
_
(!)_1)
y2i~
'
(6. 70)
После этого выражеflие (6.69) приводится к виду:
-
wp -al
lwt-d'
2 x+d
-
{
t(v·ПJ)2,
Ивых(t)-2е ImеР Jе
dxj -
181


Входящие в это выражение интегралы вероятностей от комп­
лексного аргумента непосредственно не вычисляются.
Существуют, однако, таблицы следующих функций, выражаю­
щихся через упомянутые выше интегралы 1 :
(6.72)
Основываясь на этой табулированной функции и обозначая
верхние пределы нужных нам интегралов через
(6. 73)
(6.74)
получаем:
Подставим эти выражения в (6.71) :
р -at
2 '"'pl-Zl r те Z2
z
"'
{V-
.
2.r-[ 2
2
]
Uвых(t)=2е Im
~е 21е w(Z2)- е 1w(Z1)}=
rте
"'
1 ;,.,
1 z-z
,;-
{
[22
]}
=
2у2•Vfe-atIm i(Те Р е2 1ш(Z2)- w(Z1) •(6.75)
1ФаддееваВ. Н. иТерентьев Н.М.Таблицызначений
интеграла вероятностей от ко ~ ш л ексного аргу м ента. Гостехи здат , 1954.
10В *
283


Это выражение может быть приведено к виду:
Ивых(t)= И(t)COS ffi1 l+;-+ер(t) ,
[
0[2
]
(6.76)
где огибающая U(t) выходного напряжения и фазовый сдвиг cp(t)
относительно входной э. д. с. cos ( ffi 1_f + ~;
2
) зависят как от пара­
метров колебательного контура, так и · от скорости изменения ча­
стоты ~ -
-ч
-z
о
z
б
в
a(t)
Рис. 6.25.
Промежуточные преобразования и некоторые подробности при­
ведены в приложении III.
Результаты вычисления огибающей U(t) для нескольких зна-
чений параме:rра 1; при допущении, что ffi 1 = О, изображены
графически на рис. 6.25. По оси абсцисс отложена величина
обобщенной расстройки
а(t) = 21:(l)Q,
р
где величина
Лffi(t)= ffi (t)- ffi;, =
~t - (J)~
(6.77)
(6.78)
представляет собой мгновенную разность между частотой э. д. с.
и резонансной частотой контура.
•
При линейном изменении ffi (t) обобщенная расстройка а (t)
пропорциональна времени, причем в момент t = О Лffi (О) = -
ffip,
.
Шр
а(О)=
-
2Q,авмомент tP=
~,
соответствующий прохожде-
284


нию ш (t) через значение резонансной частоты контура, Лш (tp)=O,
a(tp) = О.
а
Верхняя кривая на рис. 6.25, соответствующая
-Vр➔оо
(скорость изменения частоты ~ ➔ О), представляет собой обычную
резонансную кривую, снимаемую в стационарном режиме.
__!:5_=06
VlJjj '
-10
-8
-б
-Ц
~=Z
Vi]if
·2
Рис. 6.26.
о
2
4
а rtJ
а
С уменьшением параметра -V~ (с увеличением
~) резонансная
кривая «размывается» и становится несимметричной. Кроме того,
после прохода частоты ш(t) через резонансную частоту контура
при достаточно высокой скорости~ в огибающей U(t) наблюдаются
осцилляции. Это объясняется сложением вынужденных колебаний
(с частотой внешней э. д. с.) с собственными колебаниями контура.
Рис. 6.25 построен для линейно нарастающей частоты (~ >О).
В случае линейного убывания частоты (~<О) получается картина яв­
лений, изображенная на рис. 6.26. Отличие от предыдущего случая
заключается . лишь в том, что с увеличением t мгновенная частота
пробегает через. полосу прозрачности контура справа налево [рас­
стройка a(t) изменяется в сторону убывания].


ГЛАВА 7
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ЗАДЕРЖКОЙ
7.1 . СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДНОЙ И ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ .
Анализ прохождения сигналов через линейные системы осно­
вывается на передаточной функции /((iш) или на тесно с ней свя­
занной импульсной характеристике g(t). Комплексная функция
К(iш) содержит в себе амплитудно-частотную и фазо-частотную
характеристики цепи. На выходной сигнал оказывают влияние обе
эти характеристики; в тех случаях, когда требуется точное вос­
произведение формы сигнала, амплитудная характеристика должна
быть равномерной в полосе частот сигнала, а фазовая характери­
стика - линейной (наклон фазовой характеристики не должен
зависеть от частоты).
Хотя эти требования к характеристикам очевидны и неодно­
кратно ранее упоминались, раздельно их влияние не рассматри­
валось.
Возникает следующий вопрос: можно ли управлять одной из
характеристик, не изменяя другую, или же между ними имеется
однозначное соответствие? Этот вопрос представляет для радио­
электроники большой практический и научный интерес, особенно
при решении задач, связанных с синтезом цепей по заданным час­
тотным характеристикам.
Поскольку амплитудная и фазовая характеристики четырех­
полюсника представляют собой соответственно модуль и аргумент
комплексного коэффициента передачи К(iш), вопрос сводится к
установлению связи между модулем и аргументом комплексной
функции, обладающей следующими свойствами: а) конечное чисJю
полюсов fl: б) отсутствие полюсов в правой полуплоскости перемен­
ного р = а + iш и на мнимой оси. Как известно из теории линей­
ных цепей, этими свойствами обладает любой пассивный четырех­
полюсник, а также активный четырехполюсник, содержащий
«зависимые» источники энергии 1.
1 Источник называется зависимым, если создаваемые им э. д. с. или
ток пропорциональны напряжению на входе четырехполюсника.
Примером зависимого источюша может служить источник э. д. с. μEg
в схеме замещения электронного усилителя (см . § 5 .4).
186


/.,
;,
о
Поставленный выше вопрос приводит к одной из наиболее
сложных проблем теории функций комплексного переменного. Зна­
чительно более простой задачей является выражение действитель­
ной части передаточной функции через мнимую или мнимой через
действительную.
Поэтому целесообразно вместо коэффициента передачи К(р)
рассматривать функцию 0(р), связанную с К(р) соотношением
0(р)=lnК(р).
(7.1)
На оси частот эта новая функция принимает вид
0 (i(J)) = ln К (i(J)) = ln [К ((1)) ei'P ("')] =
= lnК((1))+i(J)((1)) = А((1))+irp((1)).
Действительная часть этой функции
A((J))=lnK((J))
(7 .2)
(7.3)
называется лог арифм и чес к им затуханием четырехпо­
люсника.
Учитывая, что
(7.4)
комплексный коэффициент передачи цепи можно представить
в форме
(7.5)
Определяемая выражением (7.2) комплексная функция 0(i(J)),
характеризующая логарифмическое затухание, а также изменение
фазы в четырехполюснике, может быть названа п о с т о я 1:1 н о й
п е р е д а ч и четырехполюсника по аналогии с термином, приме­
няемым в теории длинных линий.
После перехода от функции K(iw) к функции 0(i(J)) задача сво­
дится к установлению связи между A((J)) и (J)((J)), т. е. между дей­
ствительной и мнимой частями комплексной функции 0(i(J)).
Воспользуемся для этого следующим равенством, доказываемым
в теории функций комплексного переменного:
c+ioo
+100
1 s 0(Ndp =_!_в(· )+-! s 0(i(J))d(i(J))
-2-·
'-~
2 t(J)l 2.
·
·
•
1tt
р - !(J)l
1t!
/(J) - ((J)l
c-ioo
-ioo
(7.6)
Путь интегрирования в левой части этого выражения совпа­
дает с осью i(J)(C ➔ О), с обходом точки i(J) 1 справа. Первое слагаемое
в правой части представляет собой половину вычета в точке i(J) 1 ,
т. е. интеграл по полуокружности бесконечно малого ра,!!.иуса r.
287


Действительно, на этой окружности фу нкция 0(р) с точностью
до бесконечно малых высшего порядка равна 0(ico 1), а знаменатель
равен
так что
Поэтому
•iш
iw,
dp = ireiФ d,p.
l (ш,+r)
те
Sе(р)d- 1sе(iw1)•iФd•''-
---
р--
--
ire,'У-
р- iw1
2пi rei Ф
i (ш1-r)
О
= 2~i 0 (ico1) iл =1⁄20(ico1).
Второе слагаемое - это интеграл по
мнимой оси с исключением особой
точки ico 1 (главное значение интег­
рала).
Следует иметь в виду, что с уве­
личением р (по модулю) и при усло­
вии , что Re(p) > о, функция 0(р)
стремится к нулю . Поэтому интеграл
от функции е(~) по дуге бесконеч-
о j'---------+---
р- lW1
J cs но большого радиуса R, лежащей в
правой полуплоскости, равен нулю.
Это дает основание заменить интег­
рал, стоящий в левой части равен­
ства (7.6), интегралом по замкнутому
контуру, показанному на рис. 7.1.
Наложим условие, что функция
_;w
0 ( р) не имеет полюсов в правой полу­
плоскости р. Тогда по теореме Коши
Рис. 7.1 .
этот интеграл равен нулю. Приравни-
вая левую часть в (7.6) нулю и
заменяя 0(ico) по уравнению (7.2), приходим к следующему выра­
жению:
288
+оо
+оо
~[А(со1)+icp(со1)] +2~i J
A(w)dw +-! s <p(w)dw = O.
W- W1
•
2тt
w-
"'1
-оо
-оо
Разделяя действительные и мнимые части, получаем
+оо
ер(со1) = _!_ sА (w) dco,
7t
(1)-(1)1
-00
+оо
А(со1)=~ _!_ J 'f (w) clw.
7t
{.L)-{1)1
-оо


Мы пришли к преобразованиям Гильберта (см. § 4.8). Функ­
ция А (ffi 1) является сопряженной (по Гильберту) функции ер (ffi1).
Так как А (ffi) есть четная, а ер (ffi) ~ нечетная функция, то
+се
се
SА("')d"'= sА(ffi)( 1 + J )dffi=
W- W1
W- Ш1
-
Ы- (1)1
-се
О
се
се
=
sА(ffi)(-1- -
_! _)dw = 2w sА(ш)dш
(1)- Шl
(1) + (1)1
1
ш2- (1)2 '
О
О
l
+се
се
S'Р ("') d"' -
rrn(w)( 1 -
1 )dw-
W-(1)1-JI
UJ- Wt
-
W- W1
-
-се
О
се
се
= Sер(w)( 1 + --1
-) dw = 2J '"'f' ((1)) dw.
ш- ш1
w+(1)1
·wz _
"'2
О
О
l
Подставляя эти результаты в предыдущие выражения, приходим
к следующим окончательным фоrмулам
(7.7)
се
А(w1) =
-
2S w<p (ш)2 dffi.
7t
w2- w
о
1
(7.8)
Итак, фазовая характеристика <p(w 1) при какой-либо фиксиро­
ванной частоте w1 выражается через логарифмическое затухание
A(w), причем последнее интегрируется в пределах от w = О до
w = оо. То же относится и к логарифмическому затуханию. Таким
образом, для определения одной из характеристик на какой-либо
частоте требуется знание изменения другой во всем частотном диа­
пазоне.
Переходя в выражении (7.7) от A(w) к K(w) по формуле (7.3),
получаем искомую зависимость между фаз ~вой и амплитудной ха­
рактеристиками:
се
( ) 2ш 1 slп/((w)d
ер (!)] =
-
-
-
-2 (J).
1t
ш2- ui
о
1
(7.9)
Оговоренное ранее условие отсутствия полюсов функции 0(р)
в правой полуплоскости равносильно условию отсутствия полю­
сов и нулей функции /((р) в этой же полуплоскости (так ка1< в точ ­
ках плоскости р, где /((р) равно нулю, lп/((w) обращается в -ос) .
289


Можно поэтому сформулировать следующее важное положение:
однозначное соответствие между амплитудной и фазовой характе­
ристиками имеется только у Чfmырехполюсников, коэффициент пе­
редачи которых К(р) не имеет нулей в , правой полуплоскости ком­
плексного переменного р = а + iffi.
Четырехполюсники, отвечающие этому условию, называются
минимально-фазовыми. К таковьrмотносятсяобычные
колебательные системы, фильтры, цепные и другие схемы, в кото­
рых отсутствуют перекрестные связи.
Кнеминимально.-фазовымотносятся мостовые и
некоторые другие специальные цепи.
Условие отсутствия полюсов К(р) в правой полуплоскости для
пассивных четырехполюсников (не содержащих источников энер­
гии) не требует дополнительных пояснений. Требование же отсут­
ствия нулей в правой полуплоскости, а также смысл термина «ми­
нимально-фазовый четырехполюсник» будут пояснены в следующем
параграфе.
Остановимся на некоторых свойствах амплитудных и фазовых
характеристик минимально-фазовых четырехполюсников.
Из рассмотрения выражений (7.7)-(7.8) видно, что величины
интегралов определяются характером изменения А (ffi) и <р( ffi) вблизи
частоты ffi 1, так как при удалении ffi от ffi 1 абсолютная величина дро-
1
би-2
-- 2 быстро убывает.
ro-rol
Заметим прежде всего, что интеграл от этой дроби, меняющей
свой знак в точке ffi = ffi 1 , взятый в пределах от О до оо, равен
нулю 1 . Если поэтому допустить, что для некоторой физической це­
пи затухание A(ffi) = А 0 , т.е. является постоянной величиной для
всех частот от О до оо, то
00
((J))=2ro1Аidro
=
О.
(J)1
7to
2
2
<.1,)
-wl
о
Следовательно, равномерное для всего диапазона логарифми­
ческое затухание (а следовательно, и равномерную амплитудную
• характеристику) можно получить только для цепи, фазовая харак­
теристика которой равна нулю, т. е. если цепь состоит из чисто
омических сопротивлений.
С другой стороны, добавление к затуханию A(ffi) постоянной
величины А 0 Н€ изменяет фазовой характеристики, так что выра­
жение (7.7) может быть записано в более общей форме:
00
( )_2ш1IА(ш)-А0d
<р ffi1 -
2
(J).
7t
w2- <ul
о
1 Имеется в виду главное значение интеграла с исключением особой
точки.
290


Физически это означает лишь изменение масштаба амплитудно-ча­
стотной характеристики с помощью, например, усилитепя, обла­
дающего равномерной амплитудно-частотной характеристикой, или
с помощью делителя напряжений (потенциометра), составленного
из чисто омических сопротивлений. (В первом случае А 0 нужно
брать со знаком плюс, во втором - со знаком минус).
Можно также показать, что если вблизи рассматриваемой час­
тоты ffi 1 функция A(ffi) изменяется слабо, то определяемая выраже­
нием (7.7) фазовая характеристика изменяется линейно; участкам
же диапазона с относительно быстрым изменением A(ffi) соответ­
ствует нелинейное изменение cp(ffi). Иными словами, участкам с
равномерной амплитудной характеристикой соответствует линей­
ная фазовая характеристика.
Кроме того, при прохождении K(ffi) через максимум, т . е. в по­
лосе прозрачности цепи, наклон фазовой характеристики отрица-
телен [d:~) <О]. Соответственно при прохождении через минимум
(в полосе непрозрачности) наклон фазовой характеристики поло ­
жителен [d~:)>O] . Эти положе1шя хорошо иллюстрируются, в
частности, амплитудными и фазовыми характеристиками колеба­
тельных систем, рассматривавшихся в предыдущей главе (см.,
например, резонансную кривую и фазовую характеристику ко­
лебательного контура на рис. 6.21,а).
7.2 . НЕМИНИМдЛЬНО-ФдЗОВЫЕ ЦЕПИ
В настоящем параграфе рассматриваются четырехполюсники,
у которых амплитудная и фазовая характеристики между собой не
связаны . Как уже указывалось ранее , для этого нужно, чтобы пере­
даточная функция обладала одним или несколькими нулями в пра ­
вой полуплоскости переменного р.
Из общей теории цепей известно , что передаточная функция
любого линейного (пассивного) четырехполюсни'Ка может быть
представлена в виде следующей дроби :
Здесь р=а+iffi-комплексная переменная;
*
р 01 , Ро1 - первая пара компле~сно-сопряженных нулей
функции к (р);
•
Ро2, Ро2 - вторая пара и т. д., а
.
Рпt, Рп1 - первая пара комплексно-сопряженных полюсов
функции к (р);
.
Рп2, Рп2 - вторая пара полюсов и т. д.
191


Полюсы функции К(р) могут быть. расположены только в левой
полуплоскости переменного р. Это объясняется наличием потерь
в реальных пассивных цепях. В «идеальном» четырехполюснике без
потерь полюсы располагаются на мнимой оси.
Нули функции К(р) могут быть расположены как в левой, так
и в правой полуплоскости р.
•
Далее, нули и полюсы могут быть либо действительными (рас­
положенными на оси а), либо ком плексно-сопря женными, как
Рпп Х
1
1
1
1
-х
Рп, 1
1
1
1
Рtп :k
{t,J
о
Рис.
Рот
7.2 .
QP01
1
1
1
1
1
bpt,,
б
это показано на рис. 7.2 .
Для выяснения особен­
ностей цепи, передаточная
функция которой обладает
!W
--х
ег--
о
б
Рп,
Ро1
Рис. 7.3.
нулями в правой полуплоскости, рассмотрим сначала прьстей­
ший случай, когда имеется всего лишь один нуль.
Пусть передаточная функция четырехполюсника имеет вид
К(р)=ВР-Ро1,
Р -Рп1
где р 01 - вещественная положительная величина, а
Pn 1 - тоже вещественная, но отрицательная величина.
(7 .11)
Определяемая выражением (7.11) функция К(р) имеет один
полюс в точке р = Pn 1 , расположенной на оси а в левой полу­
плоскости , и один нуль в точке р = р01 на правой полуоси а
(рис. 7.3).
Умножим числитель и знаменатель в выражении (7.11) на (р +
+р 01 ). Тогда
К(р)=ВР+Ро1.Р -Ро1 =К (р).К (р)
Р- Рп1 Р+Ро1
мф
нф'
(7 .12)
где через
К (р)=ВР+Ро1
мф
р- Рп1
(7 .13)
обозначена передаточная функция минимально-фазового четырех­
полюсника (поскольку нуль передаточной функции КмФ (р) распо­
ложен в точке ,о = - р01 , т. е. в левой полуплоскости), а через
i(нф(р)= ;-:;Poi
(7 .14)
, Ро1


-
передаточная функция четырехполюсника неминимально-фа ~ •
зового типа.
Правая часть выражения (7.12) соответствует передаточной
фующии двух каскадно соединенных четыре х полюсников . Сле­
довательно, рассматриваемый четырехполюсник с коэффициентом
передачи К(р), определяемым выражением (7.11), может быть за­
менен эквивалентным каскадным соединением двух четырехполюс­
ников КмФ(Р) И КнФ(Р) (рис. 7.4).
г- - -- ---·-------~
1
1
1 ---1- -
_
___;-----~
1
::1K"o<PJ I
К"•<Р> i :
1
1
1
J
1-------
• -- --------
1( (р)
Рис. 7.4.
Рассмотрим подробнее второй четырехполюсник КнФ(р). Пере­
ходя от р к iro, запишем эту функцию в виде
к(.) iw- Ро1
нфlW=.
·
tw+Ро1
(7. 15)
Так как р 01 - действительное _число, то модуль этой функции
равен единице на всех частотах от ro=O до ro= со;
Аргумент же равен
ер(ro) = агg(iro - р01)- агg(iro+р01)= -
arctg ~ -
Ро1
t (JJ
(JJ
-
arc g-
= - 2arctg-
.
Ро1
Ро1
Таким образом, коэффициент передачи
- i2arctg~
Кнф (iro) = е
Р01.
.
Итак, четырехполюсник с коэффициентом передачи вида (7 . 15)
представляет собой цепь, пропускающую (равномерно) все · часто­
ты от Oдо 00.
Примером физической реализации подобной цепи является мо­
стовая схема, изображенная на рис. 7.5, а.
293


При выполнении условия Z0 Zь= R2 коэффициент передачи
этой схемы 1
Za
а)
Za
1--
K(iw) =--R -
1+ Za
R
Рис. 7.5 .
(7.16)
с
0)
1
В частности, когда Z0 = -:---С и Zь = iwL и, следовательно,
/(J)
. ~ = R 2 (рис. 7.5, 6), коэффициент передачи
1
i(J)- -
К(iw) =
_
__
cl_R = ei •;,<w>,
(7 .17)
i(J) +- CR
где
ер (w) = -2 arctg wCR.
(7.18)
Отсюда видно, что между амплитудной и фазовой характери­
стиками рассматриваемой цепи не существует никакой связи. Из­
меняя элементы С и R (при соответствующем подборе L из условия
L/C = R 2), можно управлять наклоном фазовой характеристики
при неизменной амплитудной характеристике, равной единице.
Можно также изменять фазовую характеристику системы, соеди­
няя каскадно несколько четырехполюсников мостового типа. При
этом амплитудная характеристика остается неизменной.
Принципиально иначе обстоит дело с четырехполюсником КмФ(iw),
полученным после исключения нулей из функции К(р). Изменение
фазовой характеристики этого четырехnилюсника неизбежно свя­
зано с соответствующим изменением амплитудной (и наоборот).
1 См . Ат а бек о в Г . И. Теория линейных электрических цепей.
Изд-во «Советское радио», 1960.
194


Можно поэтому под «минимально-фазовой цепью» подразуме­
вать систему, из фазовой характеристики которой удаJiены все
слагаемые, не связанные с амплитудной характеристикой 1 .
Мостовые схемы, равномерно пропускающие все частоты, на­
ходят широкое примене1:ц1е в технике связи в качестве фазокор­
ректирующих устройств.
Кроме мостовых схем к неминимально-фазовым цепям относят­
ся некоторые специальные устройства балансного типа, схемы с
перекрестными связями, а также длинные линии без потерь, ра­
ботающие на согласованную нагрузку (см. § 7.5).
Обычные многозвенные четырехполюсники относятся к мини­
мально-фазовым цепям и на них распространяются установленные
в § 7.1 соотношения между амплитудной и фазовой характери­
стиками.
7.3. МОСТОВАЯ СХЕМА КАК УСТРОЙСТВО ЗАДЕРЖКИ
В любой инерционной, запасающей энергию системе имеет ме­
сто задержка сигнала. Во многих практических задачах радио­
электроники требуется создание искусственной задержки, которая
используется для соответствующей обработки сигнала, а также для
формирования сигналов специальной формы .
Мостовые схемы, равномерно пропускающие все частоты, поз­
воляют осуществлять преобразовани:е фазовой структуры спектра
сигнала при сохранении неизменной структуры амплитудного
спектра. Эти ценные свойства мостовых схем могут быть исполь­
зованы для осуществления ::1адержки, величина которой зависит от
положения спектра сигнала на оси частот . Иными словами, мосто­
вые схемы позволяют осуществить частотно-зависимую задержку.
Условимся под величиной задержки to подразумевать абсо­
лютную величину наклона фазовой характеристики при частоте ш
[см. формулу (2.51)]
(7 .19)
1 Исторически термин «минимально-фазовая цепь» появился в работах
Боде (см . Г . Боде, Теория цепей и проектирование усилителей с обрат­
ной связью . Изд-во иностранной литературы, 1948), который расс м атривал
передаточную функцию как отношение входной величины к выходной.
В этом случае фазовая характеристика мостовой схемы является положи­
тельной [см. выражение (7.17)] и исключение нулей из функции К(р)
приводит к уменьшению фазовой характеристики uепи . При общепринятом
же определении передаточной функции исключение нулей из функци·и К (р)
приводит к увеличению аргумента.
Таким образом, укоренившийся термин «минимально-фазовая цепь»
находится в противоречии со словами «наибольший аргу м ент».
.
Приведенное в тексте истолкование понятия «минимально-фазовая цепь»
обходит это затруднение.
295


Для мостовой схемы «первого порядка» (рис. 7.5, 6), обладающей
одним нулем на плоскости р, при фазовой характеристике (7.18)
подобная зависимость имеет вид
l
t0(ы) =21+(шСR\2CR
(7 .20)
или, учитывая, что R = Vt ,
2YLC
lo(w) = 1+LCu2
График ✓10 (w) представлен на рис. 7.6 .
LC
fo l;_ ct/r,o/
2,0
1,0
-- -- ~ -- ......1 .____j __ _
_J
__
О
2
З
ЧVL{(L)
Рис. 7.6.
(7.20')
Особого интереса подобный ход зависимости задержки от час­
тоты не представляет. Значительно более интересны свойства фа­
зовой характеристики мостовой схемы второго порядка, показан­
ной на рис. 7.7, а, на которой Za и Zв представляют собой коле-
Lа
R
Q)
tf1
Рис. 7.7 .
296


бательные контуры без потерь, как это показано на рис. 7.7, 6,
настроенные на одну и ту же частоту, т. е.
1
1
сор= JILaСа =УLьс/
а сопротивления плеч
z.-
~- (1,.
)'
--
-w2
CaLa
_
!_
-w2
Zь=Lь_L_ь_С~ь - -
iw
Е
ZZ R2
R2 = !:.Е.
Ф
ели выполнено условие а ь = , т. е.
Са'токоэ-
фициент передачи этого четырехполюсника в соответствии с вы­
ражением (7 .16)
Подставляя в это выражение R = V~;, окончательно по-
лучаем
V LьСа(w~ -
w2)- iw
K(ico) = ---~- --- =
elq,(ш).
VLьСа(w~- w2) фiro
(7.21)
Аргумент числителя дроби равен
<р1=- arctg-V (2
),
Lь Са (J)P- (J)2
а знаменателя -
Следовательно, фазовая характеристика четырехполюсника
(рис. 7.7, 6)
•
(7.22)
Из равенства резонансных частот контуров La, Са и Lь, Сь
вытекает соотношение
297


Таким образом,
VLьCa=VLьСь = ~-_!_·
li
11 /1 "'Р
Подставляя это равенство в выражение · (7.22), окончательно
получаем
w
V-
n (w)
=-2arctg hl- n2(w)·
(7.23)
Здесь обозначено
n(ffi)=~-
"'P
Вид фазовой характеристики (для h=O, 1) изображен на рис. 7.8
[кривая j <p(ffi) 1 соответствует абсолютной величине <p(ffi)]. На
этом же рисунке показана первая производная фазовой харак те­
ристики, определяющая величину задержки:
t
-1d'f1- 1 1d'f1- 2y'fi
1+п2
0 (ffi) - dw -- :;-; dn - -;;,;- (1-п2)2+hn2 •
(7.24)
Из рисунка видно, что по обе стороны от резонансной частоты
звена ffip имеются относительно широкие области (на рис. 7.8 заш­
трихованные), в которых задержка t0 почти линейно изменяется с
часточJй. По отношению к сигналу, спектр которого укладывается
h=O,f
я
о
Рис. 7.8 .
298


в одну из этих областей, система обладает частотно-зависимой за­
держкой (т. е. имеет место дисперсия задержки).
Зависимость величины задержки t0 от частоты является резуль­
татом нелинейности фазовой характеристики ep((i)) . Для количест­
венного учета этой нелинейности можно воспользоваться представ­
лением уравнения фазовой характеристики в виде ряда Тейлора по
степеням разности (J) - (J) 0 , где (J) 0 - рабочая точка на фазовой
характеристике:
ер(w) = ер(w0) +
(
:: )"' • (w -w0) + 1⁄2(::~)"'• ((J) -(J)0)2 +
...
=
= ер (w0) -t0 (uJ0) ((J) -w0)+y (w0) (w -w0)2 +...
(7.25)
Первое слагаемое в правой части определяет фазовый сдвиг
на частоте w0 , т . е. на несущей частоте сигнала, а второе - фазовый
сдвиг, обусловленный задержкой t0 (w 0 ) = /~J "'•· Так как этот
сдвиг пропорционален w - (J)o, то при передаче сигнала со слож­
ным спектром влияние второго слагаемого ограничивается задерж­
кой всего сигнала на величину f 0 ((J) 0) без изменения структуры
сигнала. С точки зрения влияния cp(w) на фазов ую структуру сигна­
ла основной интерес представляет квадратичное слагаемое фазо­
вой характеристики. Рассмотрим поэтому подробнее коэффициент
у ((J)o), равный
(7.26)
Дважды дифференцируя по ro выражение (7.23), приходим к
следующему результату:
Напомним, что
О)
n=-.
"'Р
(7 .27)
Абсолютная величина коэффициента у достигает максимума при
О)
u
значениях nм =
- , приведенных в следующеи
таблице 1 :
"'r
Совмещая несущую частоту сиг-
нала (J) 0 с частотой nмwp, т. е .
настраивая контуры фильтра на
частоту Ыр = "' 0 , получим наиболь-
п~,
шее возможное (при выбранном
параметре h) значение [у[.
h
1
1,0
0,25
о,125
пм 1 l"iмакс \ w~
1,125
2,69
1,115
10,36
1 ,08
21
1 К r о n е r t R . Impuls,, erdichtung, Nachrichtentechnik, Bd . VII , April,
1957, Heft 4.
2.99


Следует отметить, что приведенная на рис. 7.7, 6 мостовая схе­
ма, требующая обеспечения строгой симметрии относительно точки
нулевого потенциала (т. е. земли), неудобна для реализации. В
практике применяются несимметричные звенья, которые по своим
Zm
Рис. 7.9 .
• характеристикам - амплитудной и
фазовой - эквивалентны скрещен­
ной схеме рис. 7.7 и в то же время
свободны от указанного выше недо­
статка.
Одна из таких схем изобра­
жена на рис. 7.9. Переход от сим­
метричной мостовой схемы (рис.
7.7, а) к эквивалентному звену,
п_оказанному на рис. 7.9, осущест­
вляется по формулам:
(7.28)
Здесь Zm - произвольное сопротивление .
Само собой разумеется, что этот переход реализуем при усло­
вии, что физически реализуемы элементы Zc и Zd.
zLaLm
L,,,, -La
О>------+--
L,.,,
1L,,,
j fLo L,,,J
I2Сь
о
О}
п1
Рис. 7.1 О.
Поясним это на примере схемы рис. 7.7, 6. Задаваясь произволь­
ным Zm и основываясь на соотношениях (7.28), схему рис. 7.9
можно представить в несколько более развернутой форме, пока­
занной на рис. 7.10, а.
На рис. 7.10, б эта же схема построена применительно кис­
ходной с;имметричной мостовой схеме (рис. 7 .7, 6) при условии,
что Zm = iwM. На рис. 7.10, 6 индуктивности Lь и Lm представ­
лены в виде эквивалентной индуктивности Lь - Lm в ветви Za и
La (-Lт)
в виде индуктивности La - L 111 в ветви Zc.
300


Так как результирующие индуктивности не должны быть отри­
цательными, то условие реализуемости перехода от схемы рис. 7.7, б
к схеме рис. 7.10,6 можно записать в виде следующего не­
равенства:
Lь>Lm>La.
Для получения необходимой величины квадратичного слагае­
мого в фазовой характеристике обычно требуется каскадное вклю­
чение больщого числа звеньев.
Этот вопрос будет рассмотрен во второй части.
7.4. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФИЛЬТРА
С КВАДРАТИЧНОЙ ФАЗОВО~j ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Рассмотренное в предыдущем параграфе звено, фазовая харак­
теристика которого на отдельных участках частотного диапазона
содержит квадратичные слагаемые, позволяет осуществлять ин­
тересные преобразования сигналов. Для выявления этих возможно-
,--
1
1
1
--------,
1
1
·1
1
~
t,
i_ _________ _J
Kz{ii.,J)
Рис. 7.11.
9z (t,
-
стей определим импульсную характеристику устройства (рис. 7.11),
представляющего собой сочетание идеального полосового филь­
тра и мостовой схемы второго порядка.
Коэффициент передачи идеального полосового фильтра зададим
в форме
} (7.29)
Здесь t1 - наклон идеализированной (линейной) фазовой ха­
рактеристики, 2Лсо 0 - полоса прозрачности полосового фильтра.
Коэффициент передачи мостовой схемы в соответствии с фор­
мулами (7 .21) и (7.25) представим в форме
(7.30)
301


Здесь опущена постоянная фаза ер( ffio), а также использовано
условие, что в полосе частот 2Лffi 0 , пропускаемых первым фильт­
ром, фазовая характеристика достаточно точно воспроизводится
линейным и квадратичным членами в выражении (7.25).
Знак минус в по каза теле степени учитывает отрицательный
наклон фазовой характеристики. Кроме того, предполагается, что
1 1d2Ф)
"
"
величина · •2 \dw~ ffio является отрицательнои величинои, так что
'У является ее модулем.
Определим напряжение g1(t) на выходе п ерво го фильтра и на­
пряжение g2 (t) на выходе второго фильтра при подаче на вход в
момент t = О единичного импульса э. д. с. б(t). По существу g1 (t)
есть импульсная характеристика полосового фильтра, а g 2(t) -
всего устройства, изображенного на рис . 7.11 .
Используя выражения (5 . 16) и (6.9), сразу получаем
Сделав замену переменной интегрирования
Q=f.0 -ffio,
приходим к выражению, аналогичному выражению (6.19):
{1.
еiдш0(1-1 1 )
_
e-iдw0(1- 11 )
}
=
Re - е'"'• 1 ----~-~---- =
7t
i(t-f1)
(7.31)
2Лw0 sinдw0(t - f1)
2Лwо• Л(tt)
(7 31'
=
11:
дwо(t- ti) COSffiot=
--;---S111C[ ffio - 1]COSffiot. . )
Здесь введена специальная функция
.
sin х
S\ПСХ = --.
х
График g 1 (t) изображен на рис . 7.12.
2дш 0
Амплитуда и м п ульса равна -11:- ,
а длительность, определяе-
мая по первым нулям огибающей, равна
't1=2_:._
=-
1--
П.32)
•
Лшо дfо
'


Ка-к видно из выражения .(7.31 '), на выходе первого фильтра
(с линейной фазовой характеристикой) напряжение обладает посто­
янной частотой заполнения, равной резонансной частоте фильтра
w0 . Влияние фазовой характеристики приводит к задержке им ­
пульса на величину t 1 относительно момента приложения входного
импульса .
Обратимся к определению напряжения g 2(t) на выходе всего
устройства.
(), (t)
Рис. 7.12.
Для этого вновь используем выражение (7.31) , в которое вместо
коэффициента передачи подставим
К1(iw)К2(iw) ~e - il,(w- w,) e-i[1о(w-wo]+т(w-w,)'] =
= e-i [,(w-w0) 2+u1+1,J (w-w0)J = e-i (,0 •+1, о)_
(7 .33)
Здесь обозначено Q = w - (u0 , t3= t1+ t0-· суммарная
задержка
в обоих фильтрах при частоте w0 •
Таким образом,
(7 .34)


Дополним показатель степени до полного квадрата:
yQ2-(t- tз)Q=yQ2- (t- tз)Q+d2- d2=
= (VyQ -d)2 - d2,
где
d = t-tз.
2JГ=i
Тпгда выражение (7.34) может быть записано в форме
У читывая, что
f1 дш0-d
(7.35)
(7.34')
JeiZ' dZ = V; с(VrЛшо- d) - i V;s(ууЛшо-d),
о
о
Je-iZ'dZ = ·v~с(VrЛwо+d)~
-(Ут дш 0 +d)
- i V; S(JfyЛw0 + d),
где
х
С(х) = vi scosy2 dy
о
и
х
S(х) = v-r5sin у2dy
о
-
---
интегралы Френеля, приводим выражение (7.34') к виду
g2(t) = 1 Re (е1(шоt+d') [С(1/уЛw0- d) +С(1/уЛw0+d) -
y21t)'
-i(s(VrЛwо- d)+s(VvЛwо+d))]) =
(7 .36)
304


• Здесь огибающая
2
1
А(t)=V-
.
v-=- х
7t'(
2
-. l [c( г-л t-lз) С (v-л t-tз)]2 _..
ХVi1'Сйо-2{1+
1' Сйо+2✓1 +
(7 .37)
и фаза
(j)э= arctg ( -
t -13)
,
-
t-t}.
С VYЛw0--
V- +СIi/yЛw0+ ✓_!
•
21
\
2'(
(7.38)
Наиболее интересен случай, когда выполняется условие
(7.39)
Именно этот случай и рассматривается ниже.
Функции С (х) и S (х) при больших значениях аргумента х
почти постоянны и равны 0;5.
Поэтому пока t -✓~ < Vv Лwо, огибающая А (t), в соответ-
21
ствии с выражением (7.37),
1у2
1
А(t)=,r- ✓- =✓- ,
rп1 2
п1
t-t
r-
a при • ,r_!>VуЛw0 она убывает до нуля.
2t'
"(
Ход графика vrny А (t) для Vv Лwо = 5 Vп 1 изображен на
рис. 7.13.А (t) в пределах- VvЛwo < 1 -:;~з < Vy°Лwo изменяется
2r'
1 Следует отметить, что формула (7. 38) полностью аналогична форму­
ле (4 .50). Нужно только пере ме нную t - t 3 заменить н;, w-w 0 .
Для перехода от формулы (7.38) к (4 . 50) нужно, в соответствии с соот-
1
,
ношением (7. 41 ), заменить I на - и, кроме того , приравнять Лw 0 вели-
2[3
чине "'д [с м. пояснение к формуле (7 .43)].
Действительно, тогда
✓1Люо=V2
1[3 wд =V;fд~2 = V~т
и
11 За,<. 20 53
.
305


весьма незначительно, так что огибающую выходного импульса
можно считать близкой к прямоугольной. В_ этих же пределах
величину <рэ, определяемую формулой (7 38), можно считать
<рэ =arctg 1= ~ = const.
Следовательно, аргумент косинуса в выражении (7.36) прини­
мает вид
1j)(t)=(t)of+ (1 ~;з)2 -1'
V:тrJA (t J
,..,..,,...,
...
о
Рис. 7.13 .
а мгновенная частота заполнения выходного напряжения соот­
ветст?енно равна
(t)_ dt(1)_ +(1-13)
ffi
-
dГ-Шо
~.
(7.40)
Итак, внутри импульса частота заполнения изменяется по линей­
ному закону со скоростью
(7.41)
Так как длительность импульса, в соответствии с рис. 7.13,
равна
(7.42)
то полная девиаuия частоты заполнения за время импульса
равна
(7.43)
Таким образом, из,иенение частоты paвt-to полосе пропускания
фильтра, включен1-t0го перед мостовой схемой .
_
В результате приходим к диаграмме выходного напряжения
(при амплитуде на входе I в), изображенной на рис. 7.14 для поло­
жительного 1,;оэффициента у и, соответстве~-що. пnложительной ~KQ•
рости ~ -
~О~


1
При у <О частота линейно убывает со скоростью ~ = 2 .
.
r
Сопоставление трех функций - входного импульса 8(t), им-
пульса на выходе полосового фильтра g 1(t) и на выходе цепи с
квадра,ичной фазовой характеристикой g 2 (t) - позволяет выявить
раздельно преобразование сигнала в каждом из звеньев.
Напомним, что дельта-функция обладает равномерным спект­
ром, равным единице, в бесконечно широкой полосе частот.
Первое звено, обладающее в полосе прозрачности 2Лffi 0 равно ­
мерной амплитудной и линейной фазовой характеристиками, выде ­
ляет из бесконечного входного спектра гармонические составляющие,
Рис. 7.14 .
которые в сумме дают на выходе колебание, изображенное на
рис. 7.12 . В момент t = t 1 все эти компоненты суммируются в фазе.
Этим и объясняется, что величина пика пропорциональна полосе
прозрачности 'фильтра 2Лffio. Второе звено, проп ускающее равно ­
мерно все частоты, оказывает влияние исключительно на фазовые
соотношения в спектре сигнала. В результате получается относи­
тельно длинный импульс, показанный f!a рис. 7.14 . Ширина спект­
ра этого импульса такая же, как у импульса на выходе первого
звена; однако эта ширина определяется уже не длительностью им­
пульса, а изменением частоты заполнен·ия импульса. Так как энер­
гия импульса не зависит от фазовых соотношений внутри спектра
(см. § 2.4), то оба импульса - g 1(t) и g2 (t) - обладают одiша-
ковой энергией. Действительно, удлинение импульса от i-1 = д2;~:
{t)O
(рис. 7.12) до i-2 = 4у Лffio (рис. 7.13), т. е. в ~ = ~ yЛffi~ раз
't1
7t
2д,о 0
1
сопровождается уменьшением амплитуды от -- до J -'
т.е.в
;i: •
r ;i:-y
11*
3ct7


А1 2~f:iл--:;;--
А1
А- = ✓- 0 раз. Таким образом, -А снижается пропорционально
2
7t
')
половинной степени отношения длительностей, как и требу~тся
для сохранения энергии [некоторое различие - в коэффициентах
объясняется различием форм огибающих g 1(t) и g 2 (t) ].
Аналогичный результат получается и в случае «гауссова» фильт­
ра с коэффициентом передачи (см. § 5.6):
(7.44)
включенным перед мостовой схемой с квадратичной фазовой харак­
теристикой.
Импульсная характерчстика подобного соединения
g2(t)=
~ Re \ +}:-, <0•-"'•''- ", <•-••> е-< ,,. <•-"'• >+, <•-~•''' е'•' dш ) ~
r
+ro
)
iw0 t
2
•
')
_
R _е_ s -а9 -t [-r9--9 (l-t )] dп
--
е)п
е
з~,
•
l
-ro
(7.45)
Вычислив интеграл [аналогично тому, как это было сделано
в § 2.7 и в настоящем параграфе при выводе формулы (7.36)], по­
лучим
a(t- t3)2
(t)
1
1
-~) [ t+'((t-fз)2
] (7.46)
g2=,1-
l/4e
тcosWo
4(z_ь_ 2) -сро ,
r 7t (а2+'(2)
ат1
где
Из этого выражения видно, что мгноненная ч астота заполнения
импульсной характеристики
'( (t- f3)
w (t) = wo+ 2 (а2+12)
изменяется по линейному закону с.о скоростью
(7.47)
Огибающая же импульса изменяется по «гауссову» закону.
Длительность импульса, определяемая на уровне е-'/, от амплитуды
(см. § 2. 7), равна
308


Отсюда следует, что полная девиация частоты заполнения за
время импульса
(7. 49)
1
Учитывая, что --::= = Лш0 есть половина полосы пропускания
iа,
фильтра [см. выражение (7.44)1, а также что уЛсо~ = -~ » 1
[см. условие (7.39)J, получаем
(7.49')
Итак, полная девиация частоты внутри имуульса в случае
гауссова фильтра несколько меньше, чем в случае фильтра с прямо ­
угольной амплитудной характеристикой !см. формулу (7.43) ].
Случай гауссова фильтра, весьма близкого к реальным поло­
совым фильтрам, имеет большое практическое значение.
Полученные в данном параграфе результаты используются
в технике построения «оптимальных фильтров» при обработке им­
пульсов с частотно-модулированным заполнением. Этот вопрос
будет рассмотрен во второй части .
Рассмотренная выше схема может служить моделью устройства
для формирования импульсов с линейно изменяющейся частотой
заполнения, основанного на применении элементов с квадратичной
фазовой характеристикой. В качестве таких элементов, помимо
мостовых схем, могут быть использованы любые устройства, обла­
дающие линейно зависящей от частоты задержкой.
Из проведенного выше рассмотрения следует, что в любой изби­
рательной линейной системе, фазовая характеристика которой
обладает квадратичным членом, переходные процессы сопровож­
даются линейным изменением частоты.
7.5 . ПЕРЕДАЧА РАДИОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИДЕАЛЬНУ!q ЛИНИЮ,
СОГЛАСОВАННУЮ С НАГРУЗКОЙ
Цепи с распределенными постоянными обладают существенными
особенностями при передаче через них сигналов. Главная особен­
ность - это задержка сигнала на время, пропорциональное длине
линии.
Рассмотрим сначала случай свободной от потерь («идеальной»)
однородной линии, нагруженной на конце омическим сопротивлением
R, равным волновому сопротивлению W = j/ ~, где ~ и С- индук­
тивность и емкость на единицу длины линии (рис . 7.15).
При R = W линия полностью согласована с нагрузкой. Это
означает, что у конца линии отсутствует отражение волн и энергия
309


сигнала передается от источника к нагр уз ке при по мощи бегущей
волны , распространяющейся со ск о ростью
1
v=YLC.
(7.50)
Важно отметить, что в сл учае отс утствия потерь с корость v
не зависит от частоты w э. д. с., питающей линию . Это о бстоятель­
ство позволяет трактовать изображенную на рис. 7. 15 схе му в виде
четырехполюсника, коэффициент передачи которого равен
K(iw) = ei', ("-' ).
(7.51)
Модуль коэффициента пер едачи равен единице на всех частотах,
так как в отсутствие потерь зату х ание _ волны вдоль л инии равно
e(t)
w
R= W USь,xltl
Рис . 7.15.
нулю и амплитуда напряжения И на выходе линии равна а м плиту.
де э. д. с. Е на входе линии.
Аргумент же коэффициента передачи при длине линии l и ско­
рости распространения v равен
l
rp(w) =- W
-=-(J)f3,
V
(7.52)
где
l •v-
tз=
-
=
lLC
V
(7.53)
--
величина задержки, т. е. время, необходимое для пробега вол­
ной расстояния l.
Таким образом, выражение (7.51) может быть з аписано в форме
.
1
•
-l<.rJ -
-i щf
·
К(iw) =е
v=е
з.
(7.54)
Из этого выражения следует, что линия без потерь, нагруженная
чисто омическим сопротивлением R = t"\7, является идеальной
линией задержки, пропускающей равномерно все частоты от О
до оо. Величина задержки, независимо от частоты сигнала, равна
l
v-
tз=- =
l LC.
V
310


Поскольку фазовая характеристика эквивалентного линии че ­
тырехполюсника совершенно не связана с мод уJiем коэффициента
передачи (который равен единице на всех частотах), то изображенная
на рис. 7.15 цепь должна быть отнесена к н,емшшмалыю-фазовым
цепям.
7.6. ЛИНИЯ С ПОТЕРЯМИ
При наличии потерь необходимо учитывать затухание · волны
прн движении ее вдоль линии. При этом оказывается, что основные
параметры линии зависят от частоты.
В основу анализа прохождения сигнала через линию можно
положить уравнения, известные из теории линий:
Ux(р) =А1(р)е-,х+А2(р)е,х, )
/х(р)= А~р)е-,х - А~р)е,~.
В этих ВL1ражениях
.
у (iш) = J/(i~+Uш) (G+Ciш);}
у(р)=V(R+Lp)(G+Ср)
-
постоянная распространения;
W(• )=v~-
iш
G+ Ci"''
W()=VR+Lp
р
G+Cp
волновое сопротивление линии;
(7 .55)
(7.56)
(7 .57)
L, С, R . и G - индуктивность, емкость, сопротивление и прово ­
димость на единицу длины линии;
х - расстояние рассматриваемого сечения линии от ее
начала;
Ux(P) и lx(P) - и:зображения (по Лапласу) напряжения и тока
в линии (на расстоянии х от начала).
Первое слагаемое в правой части первого уравнения (7.55)
является операторным изображением падающей волны, распростра­
няющейся от источника сигнала, а второе слагаемое соответствует
отраженной волне, движущейся в обратном направлении.
Постоянные А 1 (р) и А 2 (р), зависящие от приложенной к линии
э. д. с. и от условий нагрузки линии, имеют смысл напряжений (точ­
нее, их лапласовых изображений) падающей и отраженной волн
в сечении х=О.
Во втором уравнении (7 .55) соответственно первое слагаемое
определяет падающую волну, а второе слагаемое - отраженн у ю
волну тока.
311


Допустим, что явления в линии рассматриваются хронологи­
чески, начиная с момента появления сигнала на входе линии. Тогда
на первом этапе процесса установления, от момента t = О до момента
t1 прихода волны к концу линии, отраженные волны в линии еще
отсутствуют и в выражениях (7.55) можно ограничиться первыми
членами. При этом А 1 (р) имеет, очевидно, смысл напряжения (точ­
нее, изображения напряжения) в начале линии . Обозначив это на­
пряжение через U0(p) = А 1 (р), можем написать
приО<t< t1.
U (р) = Uo (р) е-,х,)
/(р)= Uoif)е-,х
(7.58)
Обратимся теперь к выражению (7 .56) для постоянной распростра­
нения -у и приведем его к виду
"r =VLCp2+(GL+CR)р+GR=
V-
.f-
2
(R G)
GR
=
LCVр+L+ср+CL•
Введя обозначения
представим постоянную распространения в форме
'У=_!_ у (р+ б)2-а2.
V
Тогда уравнения (7 .58) принимают вид
при
(7.59)
(7.60)
(7.61)
(7.62)
(7.63)
Из выражений (7.63) следует, что поскольку в. общем случае
постоянная распространения -у сложным образом зависит от часто­
ты, различные гармонические составляющие -сигнала рас-
311


пространяются вдоль линии с различными затуханиями и с фа .
зовыми сдвигами , не точно пропорциональны ми частоте .
Это означает , что при наличии потерь передача сигнала вдоль
линии может сопровождаться искажением его формы. Степень
искажений определяется соотношением пара~•етров R , L , G и С .
В частности, при выполнении условия
(7 .64)
параметр а обращается в нуль и постоянная распростран е ния
равна
(.)оiw
уiw =-;+v.
(7.65)
Это выражение отличается от постоянной распространения идеаль-
"
о
нои линии только слагаемым 11 , определяющим погонное затухание
линии, причем это затухание не зависит от частоты . Следовательно,
при выполнении условия (7.64) в линии отсутствуют искажения
формы сигнала; наличие потерь приводит лишь к ослаблению сиг­
нала по мере удаления его от начала линии без изменения формы.
Поэтому линии, отвечающие условию (7.64), называются не и с-
кажающими линиями.
Хотя с увеличением длины линии одновременно увеличиваются
фазовый набег и затухание, линию с потерями следует относить
к неминимально - фазовым цепям (посколы(у затухание практически
не зависит от частоты сигнала).
Следует отметить, что использование условия (7.64) актуально
для техники связи при передаче низкочастотных сигналов по ка-
бельным линиям большой протяженности и при наличии значитель -
•
ных потерь.
Применяемые в высокочастотной технике линии обычно х аракте­
ризуются малой протяженностью и от-носительно малыми потерями
на единицу длины.
Основными факторами, определяющими искажения радиосиг­
налов, являются поэтому не потери в линии, а недостаточно точ­
ное согласование линии с нагрузочным сопротивлением .
7.7. ОТРАЖЕНИЕ СИГНАЛА У КОНЦА ЛИН ИИ
Рассмотрим отрезок однородной линии длиной l, нагр уженный
на конце произвольным сопротивлением Z(p) (рис. 7.16). Функция
Е(р) •представляет собой изображение Лапласа для произвольной
э. д. с. e(t), действующе й при t > О.
.
l
Рассмотрение явлений в линии начнем с момента времен·и t1 =
-
,
V
когда фронт волны достигает конца линии. При подх оде к сопро­
тивлению Z(p) п адзющая волна напряжения в соответств ии с фор-
11В. Зак. 2053
313


мулой (7.63) при выполнении условия (7 .64) определяется выраже­
нием(прих=l)
о
1
--1 -р-
иz(р)=Е(р)е и е
".
п
(7.66)
При определении напряжения на сопротивлении Z(p) необхо­
димо учитывать отраженную волну, возникающую в точках, где
нарушается однородность линии. Обозначим отраженную волну на­
---- --l
E(pJ
Z(pJ
Рис. 7.16.
пряжения через Ux. (р).
Тогда
напряжение
U1, (р) этой волны в точ ­
кех=lсовместноспа­
дающей волной Uzn (р)
должно удовлетворять
условию
Uz (р) = U1n (p)+Uz, (р),
(7 .67)
где Uz (р) - результирующее напряжение на сопротивлении Z(p) .
Подобное выражение можно написать и для токов :
lz(р) =[zn(р)+11,(р),
(7.68)
Uz(P)
где [z(p) = z (р) - ток через сопротивление Z (р) , а 11" (р) и
/ 10 (р) соответствуют падающей и отраженной волнам токов, при·
чем согласно выражению (7.55)
и1 (р)
/1п(р) =-"Р- ,
Таким образом, выражение (7;68) приводится к виду
и, (р)- u1 (р)
п
о
или
Складывая выражения (7 .67) и (7.69), получаем
314
(7.69)
(7.70)


Подставляя выражение (7. 70) в формулу (7. 67), легко найдем
напряжение
Отношение
z(р)- р
и,,(р)= z(р)+р и,п(р)= г(р)и,п(р).
г()- z(р)-р
р- z(р)+р
(7. 71)
(7 .72)
можно назвать переходным коэффицие·нтом отра-
жения.
fl
,;--,, -IP-J-----ic::J~---1-э-!P_J_. . . .. , ~Z(p)
Рис. 7.17.
Как и при установившемся режиме, переходный коэффициент
отражения Г (р) = 1 для разомкнутой на конце линии [Z(p) = оо ]
иГ(р)=
-
1 для короткозамкнутой линии [Z (р) = О] .
Величина U1, (р) представляет собой изображение для отраженной
волны напряжения в точке х = l. При удалении от конца линии
отраженная волна по аналогии с формулой (7.66) определяется
выражением
•
(o+p)(l-x)
-
~(1-х) - Р(l-x) (773)
Ux 0 (p)=U1 0 (p)e
и =Г(р)U1п(р)е и
е
и••
Складывая это напряжение с Ux (р), можно найти результи-
п
рующее напряжение в любом сечении линии в промежутке времени
l
"l
отt= -
доt==-.
V
U
Выражения (7.70) и (7.73) полностью решают задачу определения
напряжения (или тока) на С(')Противлении Z(p) и в отраженной
волне. Формула (7. 70), в частности, показывает, что при определе­
нии тока через сопротивление Z(p) можно исходить из эквивалент­
ной. схемы рис. 7.17, в которой линия, питающая нагрузку Z(p), за­
меняется генератором с э. д. с. 2U1 п(р) и внутренним сопротивлением
l
р, включаемым в схему в момент t = v·
В антенно-фидерных устройствах для согласования фидера
с нагрузкой обычно применяются специальные элементы, трансфор-
1 JВ*
315


мирующие нагрузочное сопротивление к величине , равно й волно ­
вом у сопротивлению линии.
Из предыду щего ясно, что дл я неис к аженной передачи с о гласо­
вание должно обеспечиваться во всей полосе частот сигнала . Однако
это требование не всегда удается выполнить , та к к ак согласующее
устройство обычно содержит эл ементы, запасающие эн е ргию (отрез­
ки линий), и представляет собой поэтому инерционн у ю систему .
Рассмотрим важную для практики модел ь. К отрезку л инии,
нагруженному на конце колебательным контуром (рис. 7.18), в мо-
.Р
L
eft)
р
ст
L
1
r
2u1 n (t)
I-i
r
Рис . 7.18.
Рис . 7.19.
мент t = О прикладывается н а п ряжение e(t) = Esinco 0 t. Контур на ­
строен на частоту со 0 и представляет для этой частт ы активное со­
противление.
На п ряжение падающей волны в точке х = l в соответствии
с выражением (7. 66) равно
(7 .74)
при
Основываясь на формуле (7. 70), сведем сх ему рис. 7. 18 к экви­
валентной схеме рис. 7. 19, для которой э. д. с. равна 2u1 (t).
Для оп~,еделения напряжения И к (t) на контуре воспользу;мся
общим выражением (5 .6), в котором под Е (р) н у жно понимать
изображение для э . д . с. 2и 1 п (t), а под коэффициентом пер едачи
К (р) - следующее отношение:
к(р)= р:Ylp)
Составим ныражение для Е (р) . Применяя к выражению (7. 74)
формулу (5.7) и учитывая правило (2 .50), пол у чае м
Е(р)=2Ее
]16
о
и
_ p_l_
1шоеи
шl+-р2
•


Далее
Z
r-tLp
Lp
'(р)= 1+rCp+LCp2~1+rCp+LCp2 '
Следовательно,
К(р)~i,[ (' 'i \
1]
.
Р2+ L-tрС)Р+LC
Подставляя найденные выражения для Е (р) и К (р) в выра­
жение (5.6), будем иметь
Определяя вычеты подынтегральной функции и применяя
выражение (5. 9), получаем (для резонансного случая, когда
1
Wo=Wp="r-
ИСХ3«Wo):
.
rLC
2Ее-~1 1 [
-аэ(1-~)] , ' {)
Uк(t)= Ср 2аэ1-!е
SIПw0(t- и
.
В этом выражении
1(r
1'
СХэ=2 L+рС)•
Учитывая, что /; = Zp представляет собой резонансное со­
противление собственно контура, получим следующее окончатель­
ное выражение:
ик(t)=2Ее-~ 1 zPZ;P [1 - e-aэ(t-f)]siпwo(t-t), (7.75)
Допустим, что контур согласован с линией, т. е. что резонан­
сное сопротивление контура (в стационарном режиме) равно
r
1
1
волновому сопротивлению линии. Тогда r = Zp с= рС и выра-
жение (7 .75) переходит в следующее :
~~[ _(,-{-)] ( {)
Uк(t)=Ee v 1-е Ср
sinwo t-u
(7 .75')
при
317


После того как свободное колебание в контуре, вызванное
"
tl
ударом падающеи волны в момент = 11 , затухает, на контуре
устанавливается стационарное напряжение, соответствующее одной
лишь падающей волне в точке х = !:
--1
.
t
l
iJ
(
)
Икст(t)= Ее v SIПw0
-
v.
(7. 75")
Сравнивая выражения (7 .75') и (7. 75"), можно заключить, что
время, необходимое для установления режима в согласованной на
конце линии, определяется постоянной времени резонансного кон­
тура. При определении затухания контура должно быть уч тено шун­
тирующее действие линии, т. е. cz 3 необходимо определять по фор­
муле
_l (r
')-'
11
•СХэ-2L+Ср-LТСр•
Составим выражение для отраженной волны напряжения . Для
этого можно воспользоваться общей формулой (7. 73). В данном
• примере, после того как найдены и 1п (t) и Ик (1), это можно вы­
полнить проще на основании очевид.ного соотношения (см. форму­
лу (7.67)]
И10(t) = Ик(t)- и, (t).
п
Из сопоставления выражений (7. 74) и (7. 75") непосредственно
следует, что у конца линии отраженная волна напряжения будет
(7.76)
l
при t > v, а при удалении от конца линии эта волна изме-
няется по закону
о
о
1)
--1 --(1-х) -а (t--
.
(t l l-x)
и(t)=-
Ееиеv
еэ
v sшWo
-
-
-
--
=
Хо
V
V
- ~(21-х) - а(, -_!._). ( 2!-х)
=-Ееи
еэ
и sшw0 t-
-v-
·
•
Таким образом, в рассматриваемом примере отраженная волна
напряжения представляет собой колебание, затухающее как вдоль
J1инии, так и во времени.
Все вышесказанное относится также и к току в линии.
318


Полученные выше результаты имеют большое прикладное
значение для передающих , приемных, измерительных и других
радиотехнических устройств, в которых используются цепи с рас­
пределенными параметрами (антенны, фидеры, волноводы) . При
недостаточно полном согласовании линии с нагрузкой (во. всем
спектре частот сигнала) возникают отражения («эхо») , искажающие
передачу.
Так, например, отражения в антенно-фидерных тракrах телевизи ­
онных устройств могут приводить к появлению повторных изобра ­
жений на экранах телевизоров. Уровень эхо может быть оценен
с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в настоящем
параграфе.


ГЛАВА 8 .
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
8.1 . ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
В любой системе, находящейся в состоянии равновесия по от­
ношению к внешней среде, существуют обратные связи. Благо­
даря этим связям внешнее воздействие на систему вызывает про­
тиводействие, восстанавливающее ее первоначальное состояние.
Такие связимогутбытьназваныотрицательными об­
ратными связями. Обратная связь, поддерживающая
внешнее воздействие и приводящая к тому, что система стремится
удалиться от своего исходного состояния, называется п о л о ж и-
тельной обратной связью.
При любом знаке обратной связи в системе, охваченной этой
связью, обнаруживается замкнутая цепь зависимостей .
. Обратная
связь является фундаментальным свойством боль­
шинства систем - биологических, технических, экономических
и др.
Быстро развивающаяся новая наука - кибернетика
-
зани­
мается изучением различных сис,ем, в которых решающую роль
играет обратная связь.
В настоящем курсе обратная связь рассматривается в более
узком смысле . Имеются в виду радиоэлектронные цепи, в которых
обратная связь применяется для улучшения различных характе­
ристик устройства (например, линеаризации усилителей, стабилиза-
•ции режима их работы и др.), для осуществления автоколебательных
режимов системы (электронные автогенераторы), для «запоминания»
сигналов с целью их накопления и т. д.
Можно-различатьсистемысвнутреннейисвнешней
обратной связью.
К первым относятся системы, которые при разрыве цепи обрат­
ной связи полностью меняют свой характер или вообще переетают
функционировать. Такой системой является, например, любой
автогенератор, который при устранении обратной связи перестает
геJ-Iерировать колебания.
К системам с внешней обратной связью относятся такие, в ко­
торых обратная связь добавляется искусственно для улучшения
характеристик устройства или для осуществления слежения, При
размыкании обратной связи подобное устройство продолжает рабо-
320


тать, хотя оно и не обеспечивает предъявляемых к нему требований.
Примерами систем с внешней обратной связью могут служить любые
следящие системы, системы автоподстройки и т. д.
В данной главе приводятся основные положения теории линей­
ных активных систем с обратной связью, а также теории устойчиво­
сти этих систем.
В дальнейшем результаты этого рассмотрения используются при
изучен и и работы электронных автогенераторов (ч. II) и не-
которых других устройств.
Принцип обратной связи Е ------ KOu.J!
поясняется
функциональной
>
fJ
схемой, изображенной на рис.
8.1.
На этой схеме обозначено:
Е- комплексная амплитуда
синусоидального напря­
жения на входе систе­
мы, К (iw) - коэффи­
циент передачи прямой
цепи, а ~(iw) - коэф-
./3 (iuJ)
<
Рис. 8.1 .
фициент передачи четырехполюсника обратной связи;
U - комплексная амплитуда напряжения на выходе всего
устройства, а U~-
амплитуда напряжения на выходе
цепи обратной связи.
Основной четырехполюсник представляет себой линейный усили­
тель, пропускающий сигнал только в направлении от входа к вы­
ходу, как это обозначено стрелкой. Таким образом, комплексный
коэффициент K(iw) есть не что иное, как коэффициент усиления
прямой цепи.
Четырехполюсник обратной связи может быть либо пассивным,
либо активным. В последнем случае через этот четырехполюсник
сигнал может проходить только в направлении, обозначенном на
рис. 8.1 стрелкой .
Как следует из схемы, действие обратной связи заключается
в том, что часть выходного сигнала, зависящая от величины ~(iw),
подается обратно на вход и, суммируясь с входным сигналом, пода­
ется к «прямому» усилителю K(iw). Эта обратная подача придает
системе свойства, существенно отличающиеся от свойств собственно
усилителя K(iw).
Основной интерес представляет отношение сигнала на выходе
системы к сигналу на входе. При синусоидальном напряжении на
входе (частота w, амплитуда Е), это отношение
Ко(iw) = ~
(8.1)
может рассматриваться как п_ередаточная функция (или J(Оэффициент
передачи) всей системы в целом.
32t


..
Для определения этой фу нкции воспольз уемся следующими оче­
видными соотношениями. Напряжение на выходе четырехполюсника
обратной связи
(8.2)
Напряжение на входе прямого четырехполюсника равно сумме
входного напряжения Е и напряжения обратной связи U(3 .
Следовательно, напряжение на выходе всего устройства
U=К(iw)(Е+UГ3)=К(iш)[Е+р(iw)U].
Решая это урав нение относительно U, пол у чаем
откуда следует, что
.
U
K(iw)
Ко(tw) =Е = 1- К(iw)~(iw)•
.(8 .3)
Это выражение является основным для системы с обратной
• связью. К0(iш) иногда называют обще й пер ед ат о ч н о й
функцией
или
передаточной функцией
зэмкнутой системы. Произведение же K(iw)p(iw),
имеющее смысл передаточной функции каскадного соединения че­
тырехполюсников К(iш) и ~(ico), называют перед ат очной
функцией разомкнутой системы.
При замене ico на р получается операторная форма передаточ­
ной функции замкнутой системы
) к(р)
Ко(р= 1- к(р)~(р)
(8.4)
К выражению (8.3) в случае, когда К~ < I, можно прийти
и иным способом , основанным на многократном циклическом об­
ходе за~шнутой системы . Именно, выходное напряжение U можно
рассматривать как сумму
U= ЕК(ico)+[ЕК(i(J))]р(iш)К(iw)+
+ [ЕК (ico) р (ico) К (ico)] •P(ico) К (ico) + ... =
= ЕК(iw)l1+РК+ (РК)2+ (Р1()3+...J.
(8.5)
В этом выражении первое слагаемое, т. е . EK(ico), является
сигналом, попадающим на выход непосредственно через четырех­
полюсник K(iw); второе слагаемое соответствует сигналу, полу­
чающем уся в резул ьтате обхода первым сигналом замкнутого коль-
322


ца K(iw), ~(iw). Третье слагаемое является результатом второго
обхода кольца и т. д.
Применив к выражению (8.5) формулу геометрической про­
грессии
при /x/<I,
получим
что полностью совпадает с выражением (8.3).
Из последнего выражения видно, что отличие системы с обрат­
ной связью от прямого четырехполюсника K(iw) полностью опреде ­
ляется передаточной функ-
цией разомкнутого тракта
К(iы)~(iы) .
В этом параграфе мы
S
Raи
ограничимся случаем, ког - о---~--
J
да К(iы) и ~(iы) являются
действительными величи- l 9 ...,
+
нами . Одна из возможных
'·Н
Еа
схем,
соответствующих
этому условию, изображе­
на на рис.8.2.Это -
однокаскадный электрон-
ный усилитель , в котором
обратная связь осущест­
вляется с помощью дели -
и.Р
Рис. 8.2.
теля напряжения R1 , R2 («обратная связь по напряжению») .
Если при частоте входной э. д. с. ы сопротивление раздел итель ­
ного конденсатора Сбл дост~точно мало по сравнению с омиче­
ским сопротивлением R1 + R и, кроме т0го, R1+R2»Ra, то
можно считать [см. выражение (5.29)] , что
K(iw);::::;:_SRa = К ,
где К и ~ - действительные числа .
Тогда коэффициент передачи разомкнутой системы равен К~ ,
а замкнутой системы
Ко = --1_к_к_(.! =
-
~-
S_R~a~
~
1+~Ra
(8 .6)


По абсолютной величине~ ! Ко 1 < 1 К \ . Это означает, что введение
обратной связи в данной схеме приводит к снижению коэффициента
усиления системы и, следовательно, обратная связь является от­
рицательной. Можно также сказать, что в данном случае обратная
связь отрицательна потому, что коэффициент передачи разомкнутого
тракта КР отрицателен.
Зависимость передаточной функции Ко от коэффициента усиления
прямой цепи К при положительном и постоянном значениях ~ (в
i(j3<0
5
ч
1
IXJЗ>O
1
1
JЗ= f
1
1
1
1
J(J5
/(
1
f/JJ=-z
__
J______l
__
Рис. 8.3.
1
1
1
1
данном случае Р = 2 ) изображена на рис. 8.3 (часть кривой, рас-
положенная в левой полуплоскости, соответствующей отрицательным
значениям К).
Любопытно, что при больших значениях \K~I величина Ко стремит-
сяк-
~- Это означает,
что при JKPi~ 1 («глубокая противосвязь»)
усиление системы определяется в основном цепью обратной связи.
Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент передачи разом­
кнутой системы К~ по-прежнему является действительной, но
положительной величиной. Это возможно, например, если по­
казанный на рис. 8.2 однокаскадный усилитель заменить двух­
каскадным . Тогда, если по - прежнем у пренебрегать фазовыми
сдвигами в разделительных конденсаторах (а также в между­
электродных и паразитных емкостях схемы), то коэффициент
усиления прямой цепи K(iw) =(-SRa)2 =К> О и К~> О.
При этом пока К Р < 1, усиление системы Ко с увеличением
К возрастает и может значительно превосходить величину К.
1
Гр~ик Ко в зависимости от К при Р = 2 показан на рис . 8.3
(на участке О< К< 2).
Увеличение Ко по сравнению с К является результатом вве­
дения положительной обратной связи, при которой напряжение
324


обратной свnзи складываетсn с входным сигналом в фазе и тем
самым усиливает его действие.
При К~ = 1 усиление Ко становится бесконечно большим.
Это означает, что система становится неустойчивой и для иссле­
дования ее поведения должны быть применены другие методы,
так как выражения (8.1) - (8.3), относящиеся к стационарным
режимам, теряют свой смысл.
Рассмотрение случая неустойчивого состояния, требующееся
при изучении свойств автоколебательных систем, проводится во
второй части.
В данной же главе будут рассматриваться только устойчивые
системы. Так как условия устойчивости сильно зависят от амп­
литудно-частотных и фаза - частотных характеристик системы,
в § 8.5 . .: . . . . 8 . 7 будут изложены основные положения теории устой-
чивости линейных систем с обратной связью.
•
Предварительно рассмотрим некоторые важные свойства заве­
домо устойчивых систем с обратной связью.
При этом мы будем считать, что обратная связь отрицательна,
если действительная часть произведения К В отрицательна. В про ­
тивном случае, т. е. если действительная часть К В положительна,
обратная связь рассматривается как положительная.
8.2. ЧАСТОТНЫЕ И · вРЕМЕннь'1Е ХАРАКТЕРИСТИКИ УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ
С О&РА ТНОЙ СВЯЗЬЮ
Одной из важнейших характеристик устройства с обратной
• связью является коэффициент передачи замкнутой системы
к( ' )- K(iw)
- K()l·o(w)
_о iw - 1-K(iwH(iw)- о w е .,
•
(8.7)
Здесь Ко (w) - амплитудно-частотная, а <р 0 (w)- фаза-частотная
характеристики системы.
Важно установить зависимость Ко (w) и <р 0 (w) от амплитуд­
ной и фазовой характеристик четырехполюсников К (iuJ) и ~ (iw).
Обозначив
записываем выражение (8.7) следующим образом :
i'f'К.(w)
K(w)e
,
Ко (iw) = ----~-с.-(~)+---:(-,-- =
L['Рк_ "' 'f'~ "')]
1 - K(w)~(w)e
= 1-К(w)~(w) cos('fк.+'f~) - iK(w)~(w) sin('fк.+'fi3)
(8.8)
315


Для краткости здесь оп ущены арг ум~ нтЬi в функциях <р 1< (w) и
<р~ (w) .
В результате получаются следующие выражения для м одуля
Ко (w) и аргумента <р 0 (w) коэфф ициента передачи всей системы :
Ko(w)=
·
K(w)
у [1-К(w) ~(w) cos('fк+q,13)]2+ [К(w)~(w) sin('fк+q,13)]2
_
K( w)
--
il1 -2К(w)~(w) cos('fк+'f~)+ f<.2 (<•>). ~2 (w) '
(8 .9)
К(w)~(w)sin ('fк+cr13)
(J)o (w) = <pt< + arctg !-/( (,u) [:,(w)cos ('fк + 'f~) •
(8.10) .
Влияние , оказываемое на Ko(w) и ЧJ 0 (w) обратной связью,
зависит от ее з нака и от величины к~.
В усилителях, как прави ло, применяется отрицательная обрат­
ная связь 1 .
Ценным качеством такой связи является выравнивание ампли­
тудно-частотной характеристи ки, если коэффициент передачи ~
является величиной, не зависящей (или слабо зависящей) от ча­
стоты.
Действительно, из выражения (8.9) видно, что при K(w)~(w) ~ 1,
амплитудно-частотная характеристика
(8.11)
Если ~ = const, то и K 0 (w) стремится к постоянной величине.
При этом фазовая характеристика системы
В промежуточных случаях, когда К~ имеет величину, изме­
ряемую несколькими единицами, предельные соотношения (8 . 11)
и (8 . 12) не достигаются, однако амплитудная и фазовая харак­
теристики с у щественно улучшаются по сравнению с соответст­
вующими характеристиками усилителя K(iw).
В качестве иллюстрации построим характеристики Ko(w) и
ЧJ 0 (w) для двух схем с обратной связью: однокаскадного усили­
теля и катодного повторителя.
1 Регенеративные усилители, в которых применяется положительная
обратная связь, расо1атриваются в ч. II.
316


Первая из этих схем показана на рис. 8.4 . Коэффициент усиле­
ния этой схемы (при разомкнутой обратной связи) легко приво­
дится к виду
K(iw) =
в
~в
Ra
.
~1+iwCoRa '
1+R;+iwCoRa
гдеВ= - SRa, а~:« 1.
Подставляя полученное выражение в (8 .7), получаем следующее
выражение для передаточной функции системы в це Jюм:
Ко (iw) =
8
8~
)-
(]+iwСоRa)(1- 1+iwCoRa
Модуль этого выражения
1В1
Ко(w) = -V (1 - 8~)2 + (wCo Ra)20
Графики К (w) и Ко (w)
при IВ1=5 и Р=0,1
изображены на рис. 8.5 . Как
и в схеме рис. 8.2, емкостью
С6л пренебрегаем; при этом
R
R2
•
t-' = R1+R2.
Е9;(;}
в
1-B~+iw CoRa' (3•7 ')
1
1
.1 ..
Со1
1
1
Рис . 8.4.
Пунктирная кривая на том же рисунке соответствует норми-
рованному коэффициенту передачи / 0 (w)
-
''О макс
Из рис . 8.5 видно, что при введении отрицательной обратной
связи кривая K0(w) расположена ниже, чем кривая K(w) (при
р = О). Из предыдущего ясно, что это является результатом об­
щего снижения усиления при подаче напряжения с выхода уси­
лителя на его вход в противофазе с входным напряжением. Од-
нако нормированная характеристика { 0~,;:: боле'е равномерна,
нежели K(w).
Соответственно новой характеристике K0 (iw) изменяется и
импульсная характеристика. Действительно, записав выраже­
ние (8. 7') в форме, совпадающей с К (iw):
в
в
.
1-В~
K0(iw) =
СR
1+.
оа
iw1-в~
.317


мы видим , что обратная связь приводит к и зм енени ю экв и ва л ент­
ной постоянной времени : вм есто С0 Ra получае тся
Со Ra
'tэ= 1- в;з '
При В~= -0,5
Заметим, что коэффициент уси л ения (при (J) = О) снижается
в такое же число раз .
f,O
о
2
J
4
Рис. 8.5 .
Таким образом, если в отсутствие обратной связи импульсная
характеристика рассматриваемого усилителя [см . формулу (5.34)]
равна
t
.
в
---
g(t) = -- е C,Ra,
Со Ra
то при введении обратной связи
Графики импульсной характеристики (нормированные) для
g 0(t) при нескольки х значениях параметра В~ изображены на
рис. 8.6 . Напомним, что В = - SR a - коэффициент усиления пря­
мого усилителя при ffi = О .
318


Как и следовало ожидать, введение отрицательно й обратной
связи, (ВР < О), расширяющей полосу пропускания системы,
прив,одит к более быстрому убыванию импульсной х арактери­
стшш . При положительной обратной связи (ЕР> О) убывание
g0(t) замедляется. Пунктирной линией на рис . 8.6 показана
импульсная характери­
стика при вр > 1. Это
неустойчивый
режим
(см. § 8.5) .
/
/
,. ,.... ..
/
/
/
/
,.,,/' 8)3=!,!
Обратимся к схеме
катодного повторителя
(рис . 8,7, а). Эта же
схема в несколько изме­
ненно м начертании и
без источниI<а питания
изображена на рис.
8.7, 6.
t,Or--.,,,.....--------
-
-
~ Bfi~=!.:.:.:,O
Найдем отношение
Ивых I< Е, т. е . I<оэффи­
циент усиления схемы
по напряжению (здесь
Ивых и Е - амплитуды
переменных
напряже­
ний). С этой целью
воспользуемся эквива­
лентной схемой анодной
цепи, представленной
на рис. 8.7, в. При
0,5
о
2
J
построении этой схемы
Рис. 8.6 .
учтено, что действующее
BJ]=0,5
/
4
между сеткой и катодом лампы напряжение является разностью
между э. д . с . Е и напряжением на сопротивлении R,,, создавае­
мым током la (см. схему рис. 8.7, а).
Таким образом, получается следующее соотношение между на­
пряжением Е и током / а:
~t(Е- JaRk)=/а(R;+Rk).
Решая это уравнение относительно тока, находим
!-
1),Е
а- R1,(1+1),)+R;.
Далее , напряжение на выходе
Ивых=faRk=Rk(1-~:)+R;Е.
Следовательно,
И
R
f(o=~=
/J·
"
Е
(1+1,)R1e+R;
:329


Отсюда видно, что в усилителе с катодной нагрузкой коэффи­
циент усиления по напряжению всегда меньше еди ницы . Х отя на­
гр узочное сопротивление R k обычн о мало по ср а вн ени ю с R;, все
же в практике выполняется услов ие
Это ,объясняется большой величиной коэффициента усиления
2'
Як ~ Ue"r
~-----oz
а)
лампы fJ.
(пентод).
.....----01
Поэтому приближен-
но мож н о считать
я.
Ита к , напряжение на
выходе близко к вели­
._~~---
-< >Z чин е в х одного напря­
OJ
же ния.
tlfeьa '
Рис. 8.7.
Нетр удно видеть, что
этот рез у льтат является
следствием сильной об­
ратной связи, которая
существует между анод­
ной и сеточной цепями .
Именно, создаваемое на
сопротивлении Rk анод­
ным током Ia напря-
жение вводится обратно
в сеточную цепь, причем с обратным по отношению к Е знаком .
Можно сказать, что катодный повторитель представляет собой
усилитель с «обратной связью по току», в котором В = - 1, а К =
= μ. Усиление такой системы Ко, вычисленное с помощью выра­
жения (8.3), совпадает с полученным выше результатом.
Следует подчеркнуть, что хотя рассматриваемая схема и не да­
ет усиления напряжения, все же эта схема является усилительной .
Нужно иметь в виду, что выходное напряжение развивается анод­
ным током· лампы на относительно малом сопротивлении R k , в то
время как входное напряж е ние прикладыв ае тся к заж им ам сетка -
земля, сопротивление между которыми при раб оте б ез сеточных
токов очень велико (мегомы). Усилитель с к а тодной н аг р уз кой мож-
• но поэтому рассматривать как усилитель ток а . при н е изм е нном на ­
пряжении.
То обстоятельство, что напр я жение с вы х ода полностью вводит­
ся обратно в цепь сетки, делает работу усилителя почти не завися­
щей от параметров нагрузки. Чтобы в этом убеди ться , найдем вы­
ходное сопротивление усилителя. Для этого доп у сти м , что к за­
жимам 2-2' у силителя (рис. 8.7 , 6) приложено от внешнего и сточ­
юша синусоидальное напряжение Ивых и найдем полный ток , посы-
330


лаемый этим источником в эквивалентную схему , представленную
на рис. 8.8.
На этой схеме внутреннее сопротивление лампы R; подключено
непосредственно к зажимам нагрузки R,,, так как анод лампы за­
землен (постоянное напряжение Еа здесь не учитывается), ветвь
i = S соответствует току в анодной цепи, который создается на ­
пряжением Ивh1х, приложенным непосредственно к зажимам сетка -
1/яl
.
т iwC!ln
lr.иCax.
---+--~Ь-----6.---6,.--,, .·
Рис. 8.8 .
катод лампы (при этом зажимы 1-1' считаются замкнутыми нако­
ротко). Наконец, междуэлектродные емкости Cgk и Cak 0 1<азывают­
ся включенными параллельно, так как сетка и анод заземлены.
Полная проводимость между зажимами 2-2' (рис. 8.8) оказы­
вается при этих условиях равной
Уэ= z_I_ =
_Rl+Rl· +s+iuJ(Cak+Cgk),
ВЫХ
fг
l
Для видеочастот, не превышающих нескольких мегагерц,
обычно выполняется условие:
Таким образом,
где
Rk
1+(1+1,.)
-R---;
Обычно величина (1 + μ) R1, в несколько раз превышает R;,
Можно в таких случаях считать
R~R;~R;_1
э~1+f'-~μ-s·
Итак, выходное сопротивление усилителя с катодной нагрузкой
почти не зависит от параметров схемы и определяется только кру­
тизной характеристики лампы. Так, например, для ламп типа
6НЗП, часто применяемых в усилителях с катодной нагрузкой,
331


S = 11 ма/в (для включенных параллельно двух половин лампы)
и Rэ не превышает ~90 ол,~. При таком мал ом сопротивлении емкость
н а гр узк и, ш у нтирующая выход усили теля, почти не сказывается
на частотной характеристике устройства и не искажает форму
с игн ала . Следует, кроме того , иметь в виду, что выходное напря­
жение, отсчитываемое относительно земли, совпадает по фазе (по­
лярности) с входным н а пр яжен ием. Так им образом, усил итель
с катодной нагр уз кой «повторяет» сигнал , н е из ме няя ни его формы
и величины, ни полярности напряжения, но переводя его с высо-
z,
-Ia
а)
б)
Рис. 8.9.
коомного сопротивления на низкоомное . Поэтому усилитель с ка­
тодной нагрузкой часто называют «катодным повторителем».
Катодный повторитель пол у чил особенно широкое распростране­
ние в импульсной технике.
Рассмотренные примеры показывают, что применение обратной
связи открывает широкие возможности для построения схем, обла­
дающих весьма специальными свойствами.
В частности, можно существенно улучшить работу дифферен­
цирующей или интегрирующей схемы . На рис. 8.9, а изображена
схема катодного повторителя, используемого для этой цели . В этой
схеме Z1 и Z2 представляют собой соответственно )-с и R в cлy-
iw
1
чае дифференцирования сигнала, или R и -;--с в случае интегриро-
•
iw
вания (см. § 5. 7).
Выходное напряжение снимается с сопротивления Z2.
Для выяснения принципа действия этой схемы составим выра ­
жения для коэффициента передачи /(0 (iw).
При обозначениях рис. 8.9, 6 можно составить следующие урав­
нения :
331
(Z1+Z2+Rk)l1- R,,la= Е1,
(Z2 +Rk)/1-Rkfa = Eg,
la=SEg.


Исключая их этих уравнений /а и Eg, находим
11=
Е1
.
z _Lz +R _R,, S(Z2+R,,)
iг2
"
1+R"S
Выходное напряжение
и
Е1 Z2
Bh!X = 11 Z2 = -------=---~----
z I_Z+R _ RkS(Z2+Rk)•
1'
2
k
1+R"s
Таким образом , коэффициент передачи
Ко(iw) = Unыx =
Z2
Ei
Z1+Z2(1- l:\~S)+R,,(1-!:~:S)
Но выше было показано, что
μR,,»Ri или SRiRk»Ri, т.е.SRk»l..
Следователыiо,
Отсюда видно, что отрицательная обратная связь приближает
функцию f(0(iw) к коэффициенту передачи идеального дифференци­
рующего (или интегрирующего) устройства.
Приближение тем лучше, чем выше крутизна характеристики
лампы .
8.3 . СТАБИЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ
Пусть в линейной системе, охваченной обратной связью и на­
ходящейся под действием синусоидальной э. д. с., произошло из­
менение какого-либо параметра: модуля или аргумента коэффи­
циента усиления прямой цепи или цепи обратной связи. Причи­
ной этого изменения могут быть непостоянство напряжений источ­
ников питания усилителя, изменение температуры окружающей
среды, механические вибрации, приводящие к изменению эле1при­
ческих параметров устройства и т . д.
Выясним, как влияет обратная связь на относительное измене­
ние выходного сигнала.
Сначала рассмотрим случай, когда нестабильность имеется
в цепи прямого усилителя. С целью упрощения анализа исходим
из условия, что до изменения режима работы коэффициенты пере­
дачи K(iw) и ~(iw) являются чисто действительными величинами
Ки~.
так что коэффициент передачи замкнутой системы опреде- .
ляется выражением
к
Ко-:-- 1-К~.
(8.13)
эээ


Пусть обусловленное нестабильностью изменение заключается
в том, что величина коэффициента К изменилась на малую величину
лк.
~
В отсутствие обратной связи это привело бы к относительному
лк
изменению амплитуды выходного напряжения, равному К (ам-
плитуда входной э. д. с . считается неизменной) .
Для определения относительного изменения при наличии обрат­
ной связи продифференцируем выражение (8.13) по К:
dK0 (1-К~)-К(-~)
1
К
1
1
dK
(1-1(~) 2
=(1-К~)2=1-к~•1-к~•к'
откуда
(8.14)
Из этого выражения видно, что относительное изменение выход-
б
.
dK0
ного напряжения при наличии о ратнои связи, т. е. величина Ко'
может сильно отличаться от изменения, которое имело бы место
в отсутствие обратной связи.
Если обратная связь отрицательна (КВ < О), имеет место
ослабление нестабильности системы:
dK0
1
dK
к-;=1+1к~1·к·
При положительной обратной связи нестабильность усиливается:
dK0
1
dK
Ко= 1-К~·к.
Отсюда следует, что для повышения стабильности усиления
системы целесообразно вводить отрицательную обратную связь.
Этим приемом широко пользуются в современной радиоэлектро­
нике. Абсолютную величину К~ в зависимости от требований к ста­
бильности системы доводят до 10- 20 и более.
При этом, естественно, в 1 + 1 К~ 1 раз снижается и усиление
системы К0 . Однако эта потеря не является слишком существен­
ной, так как соответственное увеличение в 1 + 1 КВ I раз входного
сигнала может быть осуществлено с помощью предварительного
усиления на малом уровне мощности.
Нечувствительность системы к нестабильности К при глубокой
противосвязи (1 К~ 1 » 1) вытекает также из того отмеченного в пре­
дыдущем параграфе факта , что при JK~ I ~ 1 усиление Ко стре-
1
мится к величине r· т. е. не зависит от величины К [см. рис. 8.3
и выражение (8.11)].
Рассмотрим теперь фазовую н ес табильность прямого усилителя.
Пусть аргумент коэффицие~па усиления стал отличен от нуля , т. е .
К= Кеi"к, причем срк - весьма маJ1ый yroJ!.
334


Тогда в соответствии с общим выражением (8.10) аргумент
~оэФРициента передачи K0 (iw) будет равен
к~ sin '!'к
ср0=срк+arctg1 KR
-
1- ' CO S'f'K
При достаточно малом ЧJк, когда можно считать
sinЧJк=rp1,, cosЧJк=I,
получаем
ЧJо = ЧJ1, + arctg ( 1 ~КР ЧJ1,);::::::;
к~
1
=rp1< + 1-КР ЧJк= 1 - КР срк.
(8.15)
Итак , фазовый сдвиг ср 0 вы х одного напряжения отличается
1
.
.,
б
ф
в 1 _ К Р раз от вызвавшеи этот сдвиг неста илы-юсти азы в цепи
усилителя К .
При отрицательной обратной связи (КР < О) получается ослаб-
ление нестабильности в l + 1 КР I раз.
•
Соответственно при положительной обратной связи (К~ > О)
1
фазовое изменение цепи К увеличивается в 1 _ К ~ раз.
Введем теперь в рассмотрение нестабильность в цепи обратной
связи. Для этого продифференцируем выражение (8.13) по ~:
dK0
К (-К)
df = -(1-К~)2
/(
(l - К[3) Ко,
откуда
dK0
К~ d~
Ко= 1- к~ •т·
В случае отрицательной связи при !К~\ ~ I получаем
d/(0 ~ d~
Ко ~ -13.
(8.16)
Из этого соотношения видно, что нестабилыюсть в самой цепи
~ не ослабляется обратной связью: относительная нестабильность
замкнутой системы с отрицательной обратной связью при J К~ J~ l
равна относительной неста бильности величины ~ .
Отсюда следует , что при применении отрицательной обратной
связи особое внимание должно быть обращено на повышение ста­
бильности цепи ~- Это требование распространяется как на модуль,
так и на аргумент (т. е. на фазовую характеристику) передаточной
функции цепи . В праюиI<е осуществл ение этого тр еб о вания облег­
чается тем, что основные дестабилизирующие факторы имеются
.в
прямом усилителе J((iw) , со.р.ержащем активные эле11,енты (элект-
ЭЭ,5


ронные лампы , транзисторы) и нагрузочное сопротивление; четырех­
полюснш, же ~ .
обычно представляющий собой простую пассивную
u.епь (например, потенциометр R1 , R2 на рис. 8.2), может быть
сделан достаточно стабильным .
8.4. ОСЛАБЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ОТРИЦАТЕЛЬНО Й ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Выясним влияние отрицательной обратной связи на нелиней­
ные искажения, которые возникают в основном усилителе из-за не­
линейности характеристик активных элементов (электронных ламп,
транзисторов и т . д.). При синусоидальном напряжении на входе
эти ис1,ажения проявляются
в виде высших гар м онических
;,
___
x_r_(.c.)
_ )_~
и~,, Un усиливаемой частоты. Допус-
тим, что в отсутствие обратной
.,___ ..,.
связи и при подаче на вход
амплитуды Е 1 амплитуда
одной из гармоник напряже­
ния на выходе усилителя
Рис. 8.10.
равна Ип, а амплитуда основ­
ной частоты И 1 . Усилитель с искажениями можно представить в
виде идеального линейного усилителя, на вход которого дей­
ствует «генератор гармоник», как это показано на эквивалентной
схеме рис. 8.10.
2
з
Е,
t+/XJЗ/
l<(w)
U,, Uп
1'
j3(1.u)
-JЗU,, -JЗUп
?ис. 8.11 .
Е
И
При этом отношения Е; и и: одинаковы, так как коэффициент
усиления K(w) считается одинаковым как для основной частоты,
так и для частоты п-й гармоники . Таким образом, амплитуда э. д. с.
эквивалентного генератора должна быть приравнена Еп = ~п.
При введении отрицательной обратной связи для получения на
выходе прежней амплитуды U1 входное напряжение Е1 необходимо
увеличить в 1 + [К~ \ раз, как это вытекает из формулы (8.6) . Это
обстоятельство отражено на рис. 8.11 в виде дополнительного уси­
лителя с коэффициентом усиления 1+i К~\ . Следует, однако, иметь
336


в виду, что напряжение основной частоты, действующее непосред­
ственно на зажимах 3- 3', остается таким же, как и в схеме без
отрицательной обратной связи, представленной на рис. 8.10. Дей­
ствительно, рассматриваемое напряжение является разностью меж­
ду напряжением Е2 = Е 1 (1 + 1К~ 1), действующим на зажимах
2-2' (рис. 8. 11), и напряжением обратной связи ~U1, т. е.
Но E 1I( есть не что иное, как И1 (рис . 8.10). Следовательно,
Ез = Е1 + E11KI ·1~1- ~И1 = Е1. Так как результирующее напря­
жение основной частоты на зажимах 3-3' остается таким же, как
и в отс у тствие обратной связи, то амплитуда Еп эквивалентного
rею=,ратора гармоник должна быть оставлена неизменной, посколь­
ку при заданном усилителе уровень нелинейных искажений опре-
.
..
деляется только амплитудои напряжения, приложенного непосред-
ственно ко входу усилителя. Учитывая теперь напряжение обрат­
ной связи по п-й гармонике, равное ~Ип, которое вычитается из
э. д. с. Ея, получим на выходе напряжение
откуда
Таким образом, отношение
Еп
Ип
IKIEn
~
И~=(1+/K~I)IKIЕ1= 1+/КР,1
(8.17)
получается в 1 + 1К~ 1 раз меньше, чем в отсутствие обратной связи.
Правда, это улучшение достигается ценой увеличения в 1 + 1 К~ 1
раз напряжения, подводимого к зажимам 2-2' (рис. 8.11). Но,
как уже отмечалось ранее, это не является существенным недостат­
ком, так как дополнительное усиление может быть осуществлено
в одном из предварительных каскадов (маломощных) без искаже­
ний.
Само собой разумеется, что проведенное выше рассуждение мо­
жет быть распространено на все гармоники усиливаемого напря­
жения. Ясно также, что применение отрицательной обратной связи
позволяет помимо ослабления нелинейных искажений понизить
и уровень «фона», создаваемого пульсацией питающих напряже­
ний.
Таким образом, все колебания побочных частот; возникающие
в сал10м усилителе как из-за нелинейности характеристик ламп,
так и из - за несовершенства источников питания, ослабляются от­
рицательной обратной связью в 1 + 1 К~ 1 раз.
12 Зак . 2053
337


8.5 . УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В реальной системе, охваченной обратной связью, всегда
имеются реактивные элементы, накапливающие энергию . Даже
в усилителе на сопротивлениях имеются такие элементы (паразит­
ные емкости схемы и электронных приборов, переходные конден­
саторы, индуктивности проводов и т. д.). Реактивные элементы
создают дополнительные фазовые сдвиги. Если на какой-либо
частоте эти сдвиги дают в сумме дополнительный угол в 180Q, то
обратная связь из отрицательной превращается в положительную
и создаются условия, при которых возникает неустойчивость,
проявляющаяся в паразитной генерации.
Опасность возникновения генера ции тем больше, чем больше
величина IК~\. Это обстоятельство во многих случаях существенно
ограничивает эффективность применения обратной связи, так как
при больших значениях I К~ 1 для устранения. паразитной генерации
требуется применение специальных фазокомпенсаторов и других
устройств для отдаления частоты возможной генерации от полосы
рабочих частот, а также для внесения затухания в области частот
возможной генерации. Часто оказывается, что введение в схему
новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной
генерации в область очень низких или очень высо1шх частот.
• Поэтому использование обратной связи тесно связано с пробле­
мой обеспечения устойчивости системы.
Для правильного построения системы и выбора ее параметров
большое значение приобретают методы определения устойчивости
системы. В настоящее время известно нес1<олько кр ите риев, раз­
личающихся более _по форме, нежели по существу. В основе бол ь­
шинства этих критериев лежит критерий устойчивости решений диф­
ференциального уравнения, описывающего исследуемую систему.
Пусть это линейное однородное уравнение для системы с сосре­
доточенными (и постоянными) параметрами задано в форме
dпх
dn-l х
dп-2 х
dx:
а0-+а1--1 +а,- -2 + ...+ап-1d,t +апх=О, (8.18)
dtn
dtn-
"dt"-
где х - ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты
а0 , а1 , а2, а3, ... , ап - действительные числа, зависящие от пара­
метров системы.
Решение уравнения (8.18), как известно, имеет вид
п
х= ~А;еР;1,
.i=l
(8.19)
где А; - постоянные, а р;
-
корни характеристического уравнения
а0pn+а1pn- l +а2р"-2+...+ап-1р+а,,=О. (8.20)
Условие устойчивости состояния покоя системы заключается
в том, что после- прекращения действия внешних возмущений систе-
338


ма возвращается к исходному состоянию. Для этого необходимо ,.
чтобы возникающие в системе при нарушении состояния покоя
свободные (переходны е) токи и напряжения были затухающими .
А это, в свою очередь, означает, что корни р1, р2, ... , Рп уравнения
(8.20) должны быть либо отрицательными действительными величи­
нами , либо комплексны м и корнями с отр и цательными действитель­
ными частями. Из этих простых физ ичес,0 1 х представлений вытекает
следующий фундаментальный к ри терий устойчивости любых
линейных систем 1 : система устойчива, если действительные части
всех корней характеристического уравнения отрицательны .
Заметим, что левая часть характер и стического уравнения (8.20)
представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной
функции системы.
Действительно, если на систему действует внешняя э. д. с.
e(t), а под х подразумевается напряжение на выходе системы и, то
вместо уравнения (8.18) получим
Применяя преобразование Лапласа (при нулевых начальных
условиях), получим операторное уравнение
аоpnU(р)+а1pn-1U(р)+а2pn-2U(р)+...+
+ап-1pU(р)+апU(р)= Е(р),
где Е (р) - изображение е (t), а U (р) - изображение и (t).
Таким образом,
U(p)(aopn +a1pn- I +а2рп-2+... +ап-1 Р+ап) = Е(р),
откуда
l((p)=lj(P)=
.
(8.21)
Е(р) аорп+а1рп-1+а2рп-2+...+а,,_1р+а"
Так как корни характеристического ура,внения ..р i (а следовательно,
и знаменателя последнего выражения) являются полюсами пере­
даточной функции К(р), то сформулированное выше условие отри­
цательности действительных частей корней равносильно следующе­
му положению: для устойчивости систел1,ы необходимо, чтобы пере­
даточная функция К(р) не имела полюсов в правой полуплоскости
переменного р.
Это хорошо известное из теории цепей положение можно распро­
странить и на передаточную функцию К0 (р) системы с обратной
связью.
1 Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым,
который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости.
Расс м атриваемый здесь вопрос об устойчивости состояния покоя системы
является частным случаем общей теории устойчивости Ляпунова.
12*
339


Поясним . это на примере резонансного усилителя с обратной
связью, схема которого изображена на рис. 8.12 .
В данном случае
К(iw) =- SZ(iw);
Учитывая, что
1
Рис. 8.12 .
а
1
R
~Р
~Р
Z(р) = - --,(- -~!)=
1
1
р2+2ар +w6'
1+R СкP+Lp
pz+RCР+LС
.
I{
к
({к
получаем следующее выражение для передаточной функции си­
стемы:
к
К(р)
0(р)=1-К(РН -
[
~s
1
-р
2
с"
(р2+2ар+"'о) 1-t>(
2)
р2+2ар+"'о
s
р
С"pz+(2а+~Jр+w6 •
(8.22)
!
Здесьа=2RC ,
1(
Так как при w= w0 К(iw0) = -SR<О, то для создания
отрицательной обратной связи коэффициент ~ должен быть по-
ложительным ( + ~J, а для положительной обратной связи -
отрицательным (- ~J .
Подставив ~ = + ~ , окончательно получим
1{
(8.22')
340


Находим корни знаменателя:
MScu 0
.
2
MScu 0
(2)V
22
р1.2=-
а+-2
-
±t
w0- (а+-2
- ) (8.23),
Так как оба корня обладают отрицательной действительной ча­
стью, то система устойчива при любой величине М.
в случае положительной обратной связи, когда
корни
( MScu5) V
р=-
а--- ±i
1,2
2
2
(
MSw5) 2
w0-
а--2
-
.
(8.23')
Отсюда следует, что при положительной обратной связи рас­
сматриваемая система устойчива, пока выполняется условие
или
MScu5
а--2 ->О,
8.6. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РдуСд-ГУРВИЦА
(8.24)
Исследование корней характеристического уравнения, необхо­
димое для решения вопроса об устойчивости системы, является
сложной задачей в тех случаях, когда система описывается дифферен­
циальным уравнением высокого порядка.
Оказывается, что эту же задачу можно решить путем анализа
соотношений между коэффициентами уравнения без определения
самих корней уравнения. Таким образом открывается возможность
определения условия отрицательности действительных часте й кор­
ней, а следовательно, и условия устойчивости системы, если извест­
ны только коэффициенты дифференциального уравнения, описыва­
ющего заданную систему.
Для относительно простых систем, описываемых, например,
дифференциальным уравнением второго порядка, это нетрудно по­
I<азать на основе известных правил алгебры.
Пусть ха рактеристич еское уравнение с истемы (8.18) имеет вид
(8.25)
или


Учитывая известные из алгебры соотношения между корнями
~вадратного уравнения
Р1+Pz= -
~,)
(S.2б)
а2
Р1Р2 =а,о
приходим к следующему выводу. Если оба корня вещественные
(действительные) и отрицательные, то их произведение положитель-
но, следовательно, ~ > О. Из первого же выражения (8.26) ясно,
ао
.
что если р 1 и р2 отрицательны, то~ > О. Следовательно, для устой­
ао
чивости системы необходимо, чтобы ао > О, а1 > О и а2 > О.
Нетрудно провести аналогичное рассуждение и для случая со­
пряженно-комплексных корней.
В случае кубического характеристического уравнения
(8.27)
корни р1 , р 2 и р 3 связаны между собой следующими соотноше­
ниями l;
Из первого выражения следует, что
всех корней отрицательны 2, то ~ > О,
ао
(8.28)
если действительные части
т. е. а1 > О (коэффициент
а0 считаем положительным). Далее, из третьего выражения следует,
что если все три корня действительные и отрицательные числа,
то их произведение отрицательно и ~ > О.
ао
Если же два корня сопряженно - комплексные, р 1 = -а + i(J)
и р2 = -а - iw, то ~ равно произведению действительного корня
ао
-
р 3 на произведение
Р1Р2=(-а+iw)(- а - iw)=а2+ w2>О.
1 С м ирн о в В . И . К:урс высшей математики, т. !. Гостехиздат, 1957,
стр. 448.
2 К:ак известно из м ате м атики, при действительных коэффициентах ис­
ходного д ифференциального у равнения воз м ожны след у ющие два случая:
либо все I<орни действительные, либо один действительный, а два других
сопря жен н о-ко м плексны е .
342


Поэтому, если корень рз отрицателен, то снова аз> О. Рассмот­
рим, наконец, коэффициент а2 • Если все корни действительны и от­
рицательны, то непосредственно из второго выражения (8.28)
видно, что ~ > О. Допустим теперь, что корни р1 и р2 ,сопряженно-
ао
комплексные. Представив второе выражение (8.28) в форме
::= Р1Р2+Рз(Р1+Р2),
замечаем, что произведение Р1Р2 всегда положительно, а сумма
р 1 + р 2 обладает тем же знаком, что и действительные части кор­
ней р 1 и р 2 . Поэтому если р3 , а также действительные части корней
-
а
р 1 и р2 отрицательны, то ~ снова положительно .
ао
-
Итак, приходим к выводу, что в случае кубического характери-
•стического урав нения для устойчивости необходимо, чтобы выпол­
нялось условие
(8.29)
Этих условий оказывается, однако, недостаточно.
Из предыдущих рассуждений видно, что к условию (8.29) можно
также прийти, если исходить из предположения о положительности
действительных частей корней р 1 и р2 • Следовательно, для устой­
чивости системы еще необходимо, чтобы соотношения между поло­
жительными коэффициентами а0 , а 1 , а2 и а3 отвечали определенным
условиям.
Обращаясь к характеристическому уравнению (8.27), замеча­
ем, что если а3 очень велико по сравнению с а 1 и а 2 , то уравнение
(8 .27) вырождается в простое уравнение
Корни этого уравнения:
1
Рз = -(~)3
Так как действительные части корней р1 и р2 положительны,
приходим к выводу, что при сделанном допущении относительно
величины а3 система неустойчива.
343


Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда а3 очень
мало по сравнению с а0 , а1 и а2 , так что уравнение (8.27) прибли­
женно может быть заменено квадратным уравнением
аор2+а1р+а2=О.
Из приведенного выше расс мотрения квадратного характеристи­
ческого уравнения уже известно, что положительность коэффици­
ентов а0 , а1 и а2 обеспеч ивает устойчивость системы .
Можно поэтому утверждать, что при уме ньшении пол ожи тель­
ного коэффициента а3 от оч ень больших значений к очень мал ым
обязательно найдется такое 1,ритическое значение а3 , пр и котором
корни р 1 и р 2 будут чисто мнимыми. При это м значении а3 в системе
возможно существование гармонических (незатухающих) колеба­
ний.
В этой критической точке
Р1,2= ± iw0,
гдеw0-
частота 1<0лебаний .
Подставляя эти значения р1 и р2 в исходное уравнение (8.27)
и производя несложные преобразования, получаем два уравне ния :
Отсюда находим следующее условие для определения крити­
ческого значения а 3 :
или
п
>а1а.
"
<aiа2
"
риа3 --
"
система неустоичива, при а 3 -- - устои-
ао
ао
чива.
Итак, н еобходимыми и достаточными условиями устойчивости
системы, описываемой дифференциальным урав нение м третьего
порядка, являются следующие неравенства:
ао>О, а1>О, а2>О, а3>О,}
а0а3<а1а2•
Проведение подобного анализа для характеристических уравне­
ний четвертой и более высоких степеней является весьма сложной
задачей.
В таких случаях определение устойчивости системы может быть
прuизведено с помощью критерия Рауса, основанного на теореме
344
-
о


Гурвица1, которая гласит, что для того, чтобы действительные части
всех корней уравнения
аоХп+a1xn-l+а2Х11-2+...+ап-1Х+ап=0
с действительными коэффициентами и а0 > О были отрицатель­
ными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все
определители Л 1 , Л 2 , ••• , Лп, составленные из коэффициентов
уравнения а0 , а1, а2, ... , ап по следующей схеме:
Л1=а1;Л2=1а1 аз\;
ао а2
а1аза5
аоа2а4
оа1аз
а1азasа1.
аоа2а4а6
оа1аза5
оаоа2а,1
а1азasа1а9
аоа2а4а6as
Лs=оа1азаба1 ит.д.
оаоа2а4ав
ооа1азas
Сформулированное выше условие устойчивости часто называют
критерием Рауса-Гурвица.
При составлении определителей по указанной схеме коэффи­
циенты с индексом, превышающим степень характеристического
уравнения, заменяются нулями.
Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получа­
ются следующие определители:
Л1=а1;Л=1а1аз\.
2
'
ао а2
alазоо
а1азО
аоа2а4о
Лз=аоа2а4
Л4=
о
о
оа1аз
а1 аз
оаоа2а4
1 Доказательство этой теоремы см., например в книге: К у р о ш А. Г.
I(ypc высшей алгебры, 1962.
12В . Зак. 2053
345


Нетрудно видеть, что все последовательные определители явля­
М"JТСЯ главными диагональными минорами определителя Лп. Так
как последний столбец определителя Лп содержит лИi..Uь один отлич­
ный от нуля элемент ап, расположенный на главной диагонали, то
выполняется равенство
Лп = ап Лп-1•
Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия
устойчивости могут быть сформулированы в виде следующих не­
равенств:
Так, например, для характеристического уравнения второй
степени получаем
Л1= aJ>О, а2>О.
Для уравнения третьей степени:
Л1=а1>О,
а3 >О,
т. е. а1>О, а1а2>аза0, аз>О.
Так как а0, а1 и аз положительны, то и а2> О.
Для уравнения четвертой степени :
Л1=а1>О,
Л2=а1а2- аза0>О,
Лз=аз(а1а2- азао)
-
ата4>О,
а4 >О.
Из третьего условия на основании четвертого и первого выте­
кает неравенство
аз(а1а2- аоаз)>ата4>о.
Можно поэтому второе условие заменить условием аз >О. Таким
образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие
условия устойчивости :
а1>О, •а3>О, аз(а1а2- а0аз)- ата4>О, а4>О.
Критерий Рауса-Гурвица особенно удобен для проверки устой­
чивос1и системы с заданными параметрами (т. е. коэффициентами
дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться
346


при экспериментах, так как обычно бывают известны не все коэффи­
циенты уравнения по отдельности, а передаточная функция разомк­
нутой цепи К(р)~(р). Кроме того, критерий Рауса-Гурвица не
дает ясных указаний, как неустойчивую систему сделать устой­
чивой.
8.7 . КРИТЕРИЯ УСТОЯЧИВОСТИ НдЯКВИСТд
В § 8 .5 было установлено, что для устойчивости системы с об­
ратной связью необходимо, чтобы передаточная функция системы
К(р)
К(р)
8
Ко(Р) = 1-К(рН(Р) = 1 + Т(р)
( .30)
не имела полюсов в правой полуплоскости переменного р = а + iw.
Здесь использовано обозначение
Т(р)=- К(р)~(р)= -
fl (р), (8.3}) /W
где
н(р)=к(р)~(р)
(8 .32)
представляет собой передаточную
функцию разомкнутой системы.
Требование отсутствия полюсов
в правой полуплоскости для функ­
ции К0 (р) равносильно требованию
отсутствия нулей у знаменателя
выражения (8.30).
Таким образом, для устойчивости
необходимо, чтобы функция
F(р)=1+Т(р)
(8 .33)
не имела нулей в правой полуплос­
кости р .
о
Это означает, что показанный на
Рис. 8.13.
рис. 8.13 замкнутый контур на
6
плоскости р = а+ iro, образованный мнимой осью iro и дугой
бесконечно большого радиуса R, не должен охватывать такой точки
р, в которой функция F(p) обращается в нуль.
•
Перейдем теперь от плоскости р к плоскости F(p), т. е . такой
плоскости, на действительной и мнимой осях которой откладываются
соответственно действительная uF и мнимая VF части комплексной
функции F(p) . Тогда замкнутому контуру обхода С (на плоско­
сти р, рис. 8.13) будет соответствовать также замкнутый контур
на плоскости F(p) . Подобный контур . называется годографом
функции F(p). Этот годограф представляет собой кривую, описы­
ваемую концом вектора F(p) на плоскости иF, VF при измене­
нии частоты ro от -оо до +оо. Длина вектора равняется мо­
дулю F(iro), а проекции на оси - действительной u-F(ro) и мнимой
VF(ro) частям функции F(iro) .
12В*
347
~


При движении точки р вдоль оси iw на рис. 8.~ 13 уравнение (8 ;33)
п~ реходит в
Р (iro) = 1 + T(iro),
(8 .33')
а при движении точки р по дуге бесконечно большого радиуса R
уравнение будет
Р(оо) = 1,
так как при ro ➔ оо Т (оо) обращается в нуль . Это объясняется
тем, что в реальных усилителях при ro ➔ оо либо К (iw),
либо р (iro) (либо обе функции) равны нулю. Поэтому Н (iw) при
ro ➔ оо обращается в нуль, а Р (iw) в 1 [см . уравнение (8.33')].
fu,(1,J)
11; 10
Рис. 8.14 .
Следовательно, изменяя ro от - оо до + оо, пол учим годограф
P(iw) в виде замкнуто го контура на плоскости Up, Vp. Подобный
контур для устойчивой системы показан на рис. 8.14 . Устойчивость
вьпекает из того факта, что годограф P(iro) не охватывает начала
координат.
Сплошной линией пока зана часть контура, соответствующая ча­
стотам О< ro < + оо, а пунктирной кривой-частотам - оо <ro <О .
Так как функция Up(ro) - четная относительно ro, а Vp (ro)
нечетная , то оба участка контура симметричны относительно дей­
ствительной оси. Рис. 8.14 построен для случая, когда передаточ­
ная функция разомкнутой цепи H(iw) при ro = О отлична от нуля
(это возможно, например, для усилителей постоянного тока, в кото­
рых отсутствуют переходные конденсаторы) .
В большинстве случаев передаточная функция разомкнутой
цепи ff(iw) обращается внулькак при ro = оо ,так и при ro = О.
Годограф P(iw) для этого случая , представляющего основной инте­
рес для радиотехнических усилителей с обратной связью, изобра-
жен на рис. 8.15.
•
Перейдем теперь от функции F(iw) = l+T(iro) = 1-H(iffi)
к функции Н(iw) = 1- Р(iw).
Очевидно, что годограф Н (iw) может быть получен сдвигом
годографа Р (iw) на одну единицу влево и поворотом его на 180°.
Таким образом приходим к рис. 8.16, на котором изображен
годограф H(iw). На этом рисунке показана только часть кривой
J48


для положительных значений Ф. Можно сказать, что H(i(f)) является
годографом амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цепи.
Критической точкой в данном случае является точка 1, iO.
Если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомк­
нутой системы не охватывает точку 1, iO, то при замкнутой цепи
обратной связи система устойчива. В противном случае система
неустойчива.
iU,-fu:J)
(.<) .... -= 1t;iO
Рис. 8.15.
Это условие называется критерием устойчивости Найквиста,
а годограф Н(iФ) - диаграммой Найквиста.
Рис. 8.16 соответствует устойчивой системе. Пример диаграммы
Найквиста для неустойчивой системы показан на рис. 8.17.
Следует отметить,
что при сложной схеме
устройства форма диа-
граммы бывает настоль ­
ко усложнена, что по
ней трудно судить о
попадании точки 1, iO в
замкнутый контур годо­
графа. В подобных слу­
чаях оказывается полез­
ным критерий, выте­
кающий из критерия
Найквиста, основанный
на подсчете числа пере ­
сечений годографом оси
ин( Ф) на участке 1, оо .
t; iO
Рис. 8.16.
Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф либо
вообще не пересекал этот отрезок (как на рис. 8.16), либо пересе­
кал его в положительном и отрицательном направлениях одина­
ковое число раз.
Критерий Найквиста получил наибольшее распространение в ра­
диоэлектронике, автоматике и других смежных областях. Основ­
ное его преимущество: удобство оперирования амплитудно-частот-


__,,._..
--- ---
н cii и фаза-частотной характеристиками разомкнутой системы .
В некоторых системах, например, содержащих линии, этот метод
по существу является единственно приемлемым.
Рис. 8.17 ,
Вместо полярных диаграмм (годографов), изображенных на
рис . 8.16 и 8.17 , при применении критерия Найквиста могут быть
использованы обычные амплитудная и фазовая характеристики
разомкнутой системы.
Kj3
2,r
о
,..,
Рис. 8.18.
Действительно, длина вектора H(i(J)), как это ясно из выражения
(8.32), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомк­
нутой цепи К~. т. е. амплитудная характеристика этой цепи, а ар­
гумент <рн (рис . 8.16) , равный
есть фазовая характеристика цепи /(~.
Совместив на общем графике амплитудную и фазовую харак­
теристики, нетрудно дать ответ на вопрос об устойчивости системы.
350


Если при изменении ro от О до = фаза (f!н не достигает вели­
чины 2л:, то замкнутая система устойчива при любой величине
К~ . С другой стороны, если К~ при любой частоте меньше единицы,
то система устойчива при любой фазовой характеристике. Система
неустойчива, если имеются частоты, при которых одновременно
выполняются два условия:
!рк + rp~ = п2л:,
п - целое число, }
н =к~> 1.
(8.34)
По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль
знаменателя в выражении (8.7), определяющем передаточную функ­
цию замкнутой системы.
Рис. 8.19 .
Пример амплитудной и фазовой характеристик устойчивой
системы с обратной связью показан на рис. 8.18, а для неустойчи•
вой-на рис. 8.19.
При построении этих характеристш< учтено, что при ro = О и
ro = = величина К~ обращается в нуль. При Ф ➔ О это обуслов­
лено влиянием последовательно включенных конденсаторов в ка­
нале К или ~ (см . , например, рис . 8.2), а при ro➔ =- влиянием
шунтирующих емкостей (междуэлектродные емкости, емкость мон­
тажа и т . д . ). Полное изменение фазы при изменении ro от О до =
зависит от характера и числа звеньев в усилителе и цепи обратной
свя з и . На рис. 8.19 Фг - частота паразитной генерации .
8.8 . ОБРд ТНдЯ СВЯЗЬ В СИСТЕМАХ С ЗАДЕРЖ К ОЙ
Рассмотрим систему , состоящую из линейного четырехполюс­
ника с коэффициентом передачи K(iro) и «идеальной» линии за­
держки Т, с выхода которой напряжение U2 вводится обр атно в
цепь возбуждения последовательно с генератором э . д. с. U1 (рис.
8.20) .
351


Под идеальной подразумевается линия , в которой время за­
держки Т не зависит от частоты. Коэффициент передачи подобной
линии принимается равным e- iw T. При этом предполагается, что
затухание линии учитывается четырехполюсником K(iw) , вклю­
чающим в себя также и линейное усиление .
Отличие (непринципиальное) этой схемы от ранее рассмотрен­
ной (рис . 8.1) заключается в том, что независимо от частоты , коэф­
фициент ~ = 1, а коэффициент передачи прямой цепи равен
K(iw)e-i wT .
Рис. 8.20.
В соответствии с выражением (8 .3) получаем для коэффициен­
та передачи устройства, изображенного на рис. 8.20, следующую
формулу :
U
К (iш) e- iwT
Ко(iw)=~ =
----
--
и,
1- К(iw) e-iwT
(8 .35)
При достаточно большой величине Т для изменения фазы в
кольце на 180° требуется относительно малое изменение частоты.
Главной особенностью системы с запаздывающей обратной связью
является поэтому то, что в достаточно широкой полосе частот обя­
зательно имеются частоты , при которьiх обратная связь является
отрицательной, и частоты, при которых обратная связь положи ­
тельна.
Первые из этих частот соответствуют условию
wT--argK(iw)=(2k+1):rt, k =О,1,2,3 ...,
а вторые-
wТ--argK(iw)=2k:rt, k =О,1,2,3 ...
(8 .36)
(8 .36')
Вблизи частот, соответствующих отрицательной обратной свя­
зи, модуль коэффициента передачи K(iw) может быть сколь угодно
большим. · При частотах же, соответствующих положительной об­
ратной связи, для устойчивости системы модуль K(iw) обязатель­
но должен быть меньше единицы (см. § 8 .7). В дальнейшем мы будем
исходить из условия , что в интересующей нас полосе частот K(w)
либо вообще не изменяется, либо изменяется слабо. Поэтому ус­
ловие устойчивости сводится к неравенству
•
K(w)< 1,
которое должно выполняться на всех частотах O< w< oo ,
~ц


Считая это условие выполненным, перепишем выражение
(8.35) в виде геометрической прогрессии
Ко (i(J)) = K(i(J))e-iwT ( 1 + K(i(J)) e-lwT + [К (i(J))j 2 e-i 2щT + ... ) =
= K(i(J))e-iwT -1- [K(i(J))j2e-12wT + [K(i(J))j3e-Л"'T + ... (8.37)
Соответственно
(8. 38)
Правую часть этого выражения можно трактовать как сумму
комплексных амплитуд напряжений, являю щи хся результатом
последовательных циркуляций в замкнутом кольце обратной
связи: слагаемое U1 К (f(J)) e-twт «проходит» один раз через четы­
рехполюсник К (i(J)) и линию задержки, слагаемое U1 [ К (i(J))] 2e-i 2wT
проходит два раза и т. д.
Заметим, что в § 8.1 уже была использована подобная трактов­
ка [см. выражение (8.5) ]. Однако только при наличии задержки,
когда отдельные циркуляции разнесены во времени, такой подход
приобретает наглядность и физическую осязаемость.
Найдем амплитудную и фазовую характеристики передаточной
функции Ko(i(J)). Для этого воспользуемся формулами (8.9) и (8.10),
в которые подставим:
~=1; ер~_.:_ О;
ерк=ер- (J)T.
Здесь через ер обозначен аргумент К (f(J)), т. е. фазовая харак­
теристика усилителя.
Тогда получим
Ко ((J))=
·
К (u)
,
(8 39)
✓ 1-2K(w)cos(q,-wT)+-K2 (w)
•
.
/((w)sin(q,-wT)
еро((J))=<р - (J)T+arctg1- К(w)cos(ер-wT)•
(8.40)
Поведение амплитудной и фазовой характеристик коэффициен­
та передачи Ko(i(J)) существенно зависит от свойств четырехполюс­
ника K(i(J)), входящего в кольцо обратной связи. Некоторые важные
для практики случаи рассматриваются в дальнейших параграфах
данной главы.
8.9 . ГРЕБЕНЧд ТЫЙ ФИЛЬТР
Сначала допустим, что K(i(J)) = К = const - и ep((J)) = О при
O<(J)<oo, т. е. что четырехполюсник составлен из одних лишь оми­
ческих сопротивлений. Тогда при частотах, отвечающих первому
условию (8.36), cos (J)T =
-
1 и Ko((J)) в соответствии с формулой
(8.39) имеет экстремумы типа минимума, а при частотах, отвечаю­
щих второму условию (8.36'), Ko(ro) проходит через максимумы.
353


Таким обр-азом, минимальные значения амплитудной характе-
ристики
к
Ко(ro2k+1) = 1+К ,
(8.41)
а максимальные
Ko(W2k)=1КК,
(8.42)
l<ofц;J
9
8
t< =0,9
7
б
5
ц
з
{.
о
1Т
2ff
JJТ
ЦJr
5л
ц.JТ
Рис. 8.21 .
Частотный интервал между двумя соседними максимумами
(или минимумами), как это ясно из (8.36), при arg К (iw) = О
равен
(8.43)
Графики Ko(ro) для нескольких значений К представлены на
рис. 8.21 .
Амплитудно-частотная характеристика четырехполюсника с за­
держкой в цепи обратной связи имеет вид «гребенки». Фильтры с
такими характеристиками получили название «гребенчатых» фильт­
ров.
Ширина 2Лrо 0 каждого зубца гребенки, определяемая по ос-
б
1
,
б
"
ла лению на границах до у2 от максимума, может ыть наидена
из соотношения
откуда
354
Ко ("'2k ± Лwо)
Ко (w2k)
1-К
I
у'1+К2- 21(cos(дw0Т) ·= (2'
лт4К-К2-Il(1-К)2
cosWo=
2К
=
-
2К
(8.44)


При значениях К, близких к единице, cos Лrо0 Т также мало
отличается от единицы и можно записать
cosЛrо0Т~1- (1-;К)2 •
С другой стороны, разлагая cosЛro 0 T в степенной ряд и учиты­
вая лишь первые два члена ряда (что можно сделать, когда cosЛro 0 T
близок к единице), получаем
(Лw Т)2
cosЛrо0Т~1- --0
-
2!
Приравнивая иравые части последних двух выражений, нахо­
дим, что -Лro 0 T~l - К, а вся «полоса пропускания» одного зубца
гребенки
·
1-К
2 Лrо0 = 2-т-.
(8.45)
С приближением К, т. е. коэффициента передачи ра~мкнутого
тракта кольца, к единице толщина зубцов гребенки очень быстро
уменьшается. Это свойство гребенчатого фильтра весьма ценно для
выделения периодических сигналов из шумов или любых других
помех с «размытым» спектром. Если задержка Т равна периоду
повторения сигналов, то в зубцы гребенки попадают соответству­
ющие компоненты дискретного спектра сигнала и лишь небольшая
доля компонентов спектра помехи. Таким образом достигается
повышение отношения сигнал/помеха на выходе фильтра по срав­
нению с таким же отношением на его входе. Следует, однако, от­
метить, что при введении в кольцо обратной связи усиления, при­
ближающего К к единице, резко снижается запас устойчивости
системы и облегчается возникновение самовозбуждения (паразит­
ной генерации).
Обратимся к рассмотрению фазовой характеристики гребенча­
того фильтра вблизи одной из частот ro 2 k, соответствующей максиму­
му амплитудной характеристики.
Перепишем формулу (8.40) с учетом того, что (J) = О, а ыТ =
= (ro2k+Лrо)Т=2kn+ЛrоТ:
К sin (ЛwТ)
(J)o(ro2k+Лrо)= - 2kn- ЛrоТ
-
arctg 1 _ Kcos (ЛwТ). (8.46)
Наклон фазовой характеристики определяется производной
~=_Т
_
КТcosЛ,оТ- К2Т = _ Т 1- К cosЛwТ
В47
d (Лw)
1+К2- 2К cosЛwt
1-2КcosЛwТ+,К2. ( • )
ВточкеЛrо=О,т.е.при ro➔ы2k,
~1
--Т I-K
--T-1
-
d(Лw)\Лw=o-
1--2К+К 2 -
1-К"
(8.47')
355


Сравнивая ' этот результат с формулой (8.42), замечаем, что
наклон фазовой характеристики в зубцах гребенки превышает
время задержки во столько же раз, во сколько модуль коэффициен­
та передачи Ko(w 2k) четырехполюсника с обратной связью превы­
шает модуль К коэффициента передачи разомкнутого тракта.
Все приведенные выше соотношения были получены при допу­
щении о равномерности амплитудно-частотной характеристики
K(w). В реальных системах это условие, конечно, не имеет места.
Нетрудно, однако, учесть влияние неравномерности характери­
стики K(w) на форму гребенки. Как правило, в пределах одного
Ko(w)
24
18
12
б
о
г.
1<=0,9
'----'
-- --- ----
1'---'
2JТ 4JТ б:rт Вл tOJТ
Рис. 8.22.
1<. =О.95
-
~
wT
зубца изменением K(w) можно пренебрегать. Медленное же изме­
нение этой харак теристики на широких частотных интервалах
порядка ~ и более можно учесть подстановкой в формулы (8.39)-
(8.47) значений K(-w), соответствующих рассматриваемому участ­
ку диапазона.
При этом оказывается, что даже незначительное изменение
/((w) приводит к резкому, особенно при K(w) ➔ 1, изменению ам- _
плитуды «зубцов».
Для иллюстрации этого свойства гребенчатого фильтра на
рис. 8.22 изображена амплитудно-частотная характеристика, по­
лучающаяся при изменении характе ристики K(w) разомкнутого
тракта всего лишь от К = 0,90 (при wT<IОл) до К = 0,95 (при
wT> 10л).
Из приведенных данных видно, что линейная система с поло­
жительной обратной связью обладает свойствами, противополож­
ными свойствам отрицательной обратной связи: усугубление не­
равномерности амплитудной характеристики и увеличение фазо­
вых сдвигов, присущих четырехполюснику разомкнутого тракта.
Имеет место также подчеркивание нелинейных искажений, воз­
никающих в усилительном элементе кольца.
В заключение рассмотрим свойства коэффициента передачи
К0 (р) на комплексной плоскости р = а + iw.
356


3аписывая выражение (8.35) в операторной форме [K(lffi) -
= /((р) = К считаем действительным и постоянным]
к -рТ
К()- е
0р-
_1 __ _К_е_-р~Т
(8.48)
и приравнивая знаменатель нулю,
_находим о~обые точки (полюсы)
функции Ко (р):
1- ке-рпТ =0, ерпТ =к.
РпТ=а±in2n,
а= InK:=:::; - (1-К).
Таким образ()м,
1-К
.
21t
Pn=--т-±iny.
Расположение
на плоскости
рис. 8.23.
особых точек р п
р показано на
1
о
?1
~1
?
1
Рис. 8.23 .
8.10. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ГРЕБЕНЧАТОГО ФИЛЬТРА
Основываясь на соотн0шении (5.16)
+оо
g (t) = 2~ sКо (iffi) eiwlduJ
-со
и подставляя место Ko(iffi) формулу (8.37), получаем для импуль­
сной характеристики четырехполюсника с задержкой Т в цепи
обратной связи следующее выражение:
..
+оо
+оо
g (t) = 2~ \ К (iw) eiw(t-T)dw + 211t f [К (iw)J2 eiw(t-2T) duJ + ...
~00
-00
(8.49)
Первое слагаемое представляет собой импульсную характери­
ристику четырехполюсника K(iffi), смещенную во времени на ве­
личину Т (в сторону запаздывания).
Второе слагаемое является импульсной характеристикой кас­
кадного соединения двух одинаковых четырехполюсников R.(tffi)
с общим коэффициентом передачи [K(iuJ) ]2. Величина времени за­
паздывания в данном случае равна 2Т. Третье слагаемое опреде­
ляет импульсную характеристику каскадного соединения трех че­
тырехполюсников K(iffi) с общей за,цержкой ЗТ и т. If..
357


Таким образом, выражение (8.49) определяет импульсную
характеристику четырехполюсника с обратной связью в виде на­
ложения имп ул ьсов, циркулирующих по замкнутому кольцу обрат~
ной связи, причем каждый последующий · импульс пробегает на
один четырехполюсник K(iw) больше, чем предыдущий. Как пра ­
вило, с возрастанием номера циркуляции длительность отдельных
импульсных характеристик возрастает. Поэтому если на первых
пробегах эти функции при достато чно большой задержке Т не пе­
рекрываются во времени, то в дальнейшем такое перекрытие яв­
ляется неизбежным .
g(t)
--
--
--
ОТ2Тзт...
t
Рнс. 8.24.
Рассмотрим сначала идеализированный случай K(iw) = К =
= const. 5Iсно, что при равномерном пропускании всего спектра
от О до оо каждый из членов выражения (8.49) дает функцию вида
Кnб (t - пТ), т. е. единичный импульс, ослабленный в кп раз и
задержанный на пТ сек.
Таким образом, в данном случае
g(t)=Кб(t- Т)+К2б(t- 2Т)+К3б(t- ЗТ)+ ...
В тех случаях, когда К блщ~ко к единице, можно восполь­
зоваться соотношением
ln К= ln [1-(1 -К)]= -( 1 -К).
Тогда
К= einK = е-(1-К),
к2 = e2InK = е-2(1-К),
Можно поэтому считать, что амплитуды импульсов, возникающих
на выходе четырехполюсника через интервалы Т, убывают по
t
-(1-К)у
закону е
(рис . 8.24) .
J58


Отсюда следует, что постоянная времени гребенчатого фильтра
т3
"
"
равна l-K. аметим, что этот результат совпадает с наиденнои в
предыдущем параграфе величиной наклона фазовой характери-
ф
б
"
2k1t
стики ильтра в лизи однои из точек ffi 2k = т.
Рассмотрим теперь другой важный для практики случай, когда
входящий в кольцо обратной связи четырехполюсник представля­
ет собой избирательную (резонансную) цепь.
Для упрощения математического анализа целесообразно исхо­
дить из «гауссова» фильтра с коэффициентом передачи
K(i(J)) = Ае
(8.50)
где ffip - резонансная частота фильтра;
Ь - половина полосы пропускания, определяемая по ос-
1
лаблению на границах до е- 2 ;
t 0 - наклон фазовой характеристики (линейной).
Кроме того, A<l (из условия устойчивости системы).
Импульсная характеристика фильтра, определяемая первым
слагаемым правой части формулы (8.49), приводится к виду 1
Ь' (t-t0 )'
2
cos ffip t,
(8.51)
а при учете задержки Т
cos ffip (t - Т).
(8.52)
Таким образом, первая импульсная характеристика представ­
ляет собой «гауссов» импульс с длительностью } (на уровнее~/2 ) и с
частотой заполнения ffip,
При определении импульсной характеристики, соответствую­
щей второму слагаемому формулы (8.49), следует иметь в виду,
что возведение в квадрат K(iffi) эквивалентно снижению вдвое Ь 2
и увеличению вдвое t0 (и, конечно, возведению в квадрат А).
Поэтому функция, аналогичная (8.51), должна быть записана
в форме
✓.•
Ь'
Ь 2 --(1-21.)2
А2✓-е 2•2
cos ffip t,
21t
1 Это выражение нетрудно получить с помощью (5.17).
359


а с учетом задержки на 2Т
(8.53)
Для п-го члена формулы (8.49) получим следующее общее вы­
р.ажение :
-
ь•
•
(t) =An ь11 2
-2n[t- n(T+lo)]'
(t- Т)
gп
-v- е
cos шР
п.
птс
(8.54)
Отсюда видно, что после п-го пробега по кольцу длитель­
ность импульса возрастает в Vп раз (по сравнению с первым
пробегом), а амплитуда импульса снижается в {п~1 раз.
Этот результат можно сформулировать в виде общего правила:
сужение полосы · пропускания четырехполюсника, входящего в
кольцо обратной связи, приводит к убыстрению убывания цирку­
лирующих импульсов и увеличению их длительности .
8.11 . ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕНИЯ В ГРЕБЕНЧАТОМ ФИЛЬТРЕ
Рассмотренные в предыдущих параграфах свойства функций
передачи К0 (р) и импульсных характеристик g(t) позволяют выявить
главные особенности протекания процессов установления в гребен­
чатых фильтрах.
Пусть к системе, изображенной на рис. 8.20, в момент t = О
прикладывается э. д . с . произвольной формы e(t) .
Переходя к изображению этой э. д. с. по Лапласу Е(р) и ос­
новываясь на выражениях (8.35) и (8.37), которые в операторной
форме имеют вид
К (Р) е-рТ
Ко (р) = 1 - К(р) е-от К (р) е-РТ +[К(р)]2 е-2рТ +[ К (р)]З е-зот +... ,
можем записать общее выражение для си:rнала на в1,1ходе систе­
мы [см. выражение (5.6)]
c+i oo
и (t)-
_1 r Е(р)к(р)е-рТ еРТdp=
вых - 2лi j 1-К(р) е-рТ
C-iOO
c+ioo
=
~ JЕ(р)1((р)ePU-T)dp +
21tt
•
c- ico
c+ioo
+2~i I Е(р)[К(р)]2еоu-2т)dp +...
(8.55)
C-LOO


Первое слагаемое в правой части этого выражения определяет изме­
нение входного сигнала после первого пробега через четырехпо­
люсник К(р) и линию задержки, второе слагаемое - после дв,,­
кратного пробега по кольцу, третье слагаемое - после тр ехкр ат­
ного проб ега и т. д.
Таким образом, для O<t<T напряжение на выходе системы
равно нулю, для Т<t<2T это напряжение определяется первым
слагаемым, для 2Т<t<ЗТ полное выходное напряжение явля­
ется суммой первых двух слагаемых, для ЗТ<t<4Т - суммой
трех слагаемых и т . д.
В тех случаях, когда входной сигнал e(t) имеет характер импуль­
сов с длительностью, меньшей, чем время задержки Т, причем
при последовательной циркуляции по кольцу эффект удли нения
импульсов проявляется незаметно, в суммировании слагаемы х вы­
ражения (8.55) нет необходимости: каждое слагаемое определяет
полное выходное напрящ_ение в соответствующие моменты времени.
Выражение (8.55) по своей структуре совпадает с (8 .38) с тем,
однако, различием, что (8.38) определяет комплексную амплитуду
устшювuвшегося гармонического напряжения с частотой w, а
(8 .55) - мгновенное значение выходного напряжения при произ­
вольной форме входного сигнала.
Рассмотрим включение гармонической э.д.с. e(t) = E 0 sinwt
вмоментt=О.
Задавая определенную функцию К(р) и подставляя изображе­
ние синусоидальной э.д.с. по формуле
00
Е(р)=SЕ0sin wt еР1dt= Е0"'2 ; Р2,
о
нетрудно найти 1,аждое из слагаемых правой части в ыр ажения
(8 .55). По истечении достаточно большого времени на выходе сис­
темы установится напряжение с частотой ffi и комплексной ампли­
тудой, определяемой выражением (8.38). С целью максимального
упрощения задачи допустим, что K(iw) = К = const при O<w<oo.
Тогда:
для О< t < Т правая часть равна нулю,
для Т < t < 2Т все слагаемые, кроме первого, равны нулю ,
а первое равно
КЕ0 sin (wt - wT),
для 2Т < t < 3Т отличны от' нуля два первых слагаемых,
которые дают суммарное напряжение;
КЕ0 sin (wt -wT) + К2Е0 sin (wt - 2'.fJT) и т. д.
Для пТ<t<(п+l)Т будем иметь
Ивых(t)= КЕ0sin(cot - wT)+К2Е0sin(шt - 2соТ)+
+ ... +кп Е0 sin (wt -nwT).
(8 .56)
361


Через каждый промежуток времени Т к ранее действовавшему
·на выходе напряжению добавляется (скачком) синусоидальное
яапряже1ше с амплитудой, в 1/К раз меньшей (K<l по условию
i<Eo
Рис. 8.25.
УСТОЙЧИВОСТИ системы)' и с
фазой, на wT отстающей по
сравнению с предыдущим скач­
ком.
При представлении с по­
мощью векторной диаграммы
результирующее выходное на­
пряжение изобразится вектором
ОА, скачком
изменяющим
свою длину и положение в
моменты t = Т, 2Т, ЗТ
(рис. 8.25). При t ➔ оо длина век­
тора ОА обращается в !(0 (w)E 0 •
Если частота w э. д. с. крат-
2;t
Т2
навеличинеТ'т.е.w =кл,
.где к - любое целое число, то все парциальные векторы склады­
ваются в фазе и амплитуда выходного напряжения изменяете~
так, как это изображено на рис. 8.26.
о
т
гт
JT
,д
Рис , 8.26
В тех случаях, когда четырехполюсник K(iw) является инер­
ционным, приращения амплитуды и фазы в моменты t = Т, 2Т ...
не имеют скачкообразного характера, а происходят плавно. Оп­
ределение точного закона амплитуды и фазы может быть выполне­
,но на основе выражения (8 .55).
:З.12. НАКОПЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал на входе гребенчатого фильтра имеет вид перио­
дической последовательности импульсов произвольной формы с
периодом повторения Т, равным времени задержки фильтра.
Этот сл у чай представляет основной интерес для практики, так
1<ак гребенчатый фильтр ширько применяется для фильтрации
362


именно периодических сигналов, точнее, «пачки» одинаковых им­
пульсов с постоянными временными интервалами.
Полага·я, как и ранее K(iffi) = К = const, а также считая
.линию задержки «идеальной» (см. § 8.8), приходим к следующему
,очевидному результату: каждый входной импульс порождает на
выходе системы серию импульсов, отстоящих один от другого на
время Т и имеющих амплитуды, убывающие по закону Ко, Кб,
/(g, ...
.(])
12Jц56
78
---
t
.tfJ
--
t
11;
t
.Z)
:
Рис. 8.27.
• На рис.
8.27,а показана периодическая последовательность
входных импульсов, начинающаяся с момента t = О, а на
рис. 8.27,6, в, г, и т. д. - 1, 11 и т. д. серии убывающих
.импульсов, возникающих на выходе под действием соответственно
1-го, 2-го и т. д. входных импульсов.
Суммируя (по вертикали) последовательности 1, 11 и т. д., по-
, лучим в моменты t:
t=О Uвых =О,
i=Т Щ,ых=КЕ,
i=2Т Uвых =K(l+К)Е,
i=ЗТ Ивых =K(l+К+1(2)Е,
t= пТ Uвых =К(l+К+К2+...+кп-1)Е.
Е!<:
При п ➔ со, t ➔ со, Uвых = 1_ К (нижний график на рис. 8.27).
363


Нетрудно установить, что огибающая выходных имп ул ьсов на-
-<I -К)~ .
растает по закону 1- е
7 , как это и должно быть при импульс-
ной характеристике, изображенной на рис. 8.24 . Таким образом,
н:меет место накопление сигнала.
К этому же результату можно прийти и с помощью спе к траль­
ного подхода: разлагая входной сигнал в ряде Фурье и пр им еняя
к каждой гармонике результаты, полученные в предыду щем п у нкте
для включения син усоидальной э.д . с., найдем , что после оконча­
ния процесса установления амплитуда каждой из гармоник на
1
'
выходе увеличивается в !-К раз. Так как частоты все х га рм оник
~
'
-
кратны вел ичине ---у-, то фазовые соотношения в спект ре со х раня -
ются и выходные и м пульсы , совпадая по фазе с вход ны м и, воз­
растают в l~K раз .
При учете . инерционности четыре х полюсника /((ico) задача
сильно усложняется, так как при х одится у читывать не то л ь к о ос­
лабление амп л итуды, но и изменение фор м ы и м п ульса при посл'едо­
вательных циркуляциях по кольцу обратной связи .
Не останавливаясь более подробно на рассмотрении подобных
задач , о г раничимся приведенными выше рассуждениями, весьма
нагл ядно поясняющими суть процесса накопления в гребенчатом
фильтре при совпадении периода повторения сигналов с временем
задержки в кольце обратной связи.
8.13 . РЕЦИРКУЛSПОРЬI
Для систем с обратной связью без специальных линий задерж­
ки метод расчета, основанный на циклическом обходе замкнутой
системы, по существу явл я ется всего лишь формальны м приемом.
При сигналах же, коротких по сравнению с временем задержки,
использованное в предыдущих пара графах данной главы понятие
о «циркуляции» сигналов в кольце отображает реальный физичес-
кий процесс .
•
Для современной радиоэлектроники особый интерес представ­
ляют «кольца», способные обеспечивать достаточно большое число
циркуляций без заметного искажения сигнала. Поми мо того, что
подобная система представляет собой гребенчатый фильтр
(см . § 8.9), она может быть использована в качестве «па м яти» , т. е.
устройства, запасающего информацию.
Чем меньшие искажения претерпевает сигнал при пробеге по
кольцу, тем меньше разрушается содержащаяся в нем инфор м ация
и тем, следовательно, большее число циркуля ций может быть ис­
пользовано для запасания информации. Ясно поэтому, что дли­
тельность памяти подобного устройства, иногда называемого р е­
ц .и р к ул я то р ом, равна времени задержки Т, умноженному
на число неискаженных циркуляций п.
364


Построение рециркуляторов на большие значения п является
весьма сложной задачей. Дело в том, что п пробегов сигнала по
кольцу эквивалентно одному пробегу того же сигнала через п
каскадно соед иненных четырехполюсников, каждый из которых
содержит все элементы кольца . При этом резко подчеркиваются все
дефекты амплитудно- и фаза-частотных характеристик усилите­
лей , используемых в кольце для компенсации весьма большого
затухания линии задержки.
Для более отчетливого представления о возникающих труд­
ностях полезно напомнить, что при снижении на какой-либо ча­
стоте амплитудно-частотной характеристики в кольце до К (отно­
сительно максимального значения, приравненного единице), не­
равномерность тракта, эквивалентного п пробегам, составляет кп. ,
Так , например, при ослаблении всего лишь на 1%, т. е. при
К = 0,99 и п = 100, ослабление характеристики эквивалентного
тракта из 100 четырехполюсников составит 0,99 100 = 0,37.
В связи с этим простые рециркуляторы «амплитудного» типа
пригодны практически для относительно небе>льшого числа цир­
куляций, не превышающего нескольких десятков.
Для увеличения памяти используются приемы, основанные на
различных преобразованиях входного сигнала.
Общий смысл этих приемов заключается в том, чтобы по воз­
можности ослабить требования к характеристикам кольца.


ГЛАВА 9 .
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМ И
9.1 . ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Из материала предыдущих глав видно, что линейные системы
с постоянными параметрами позволяют осуществлять лишь такие
преобразования сигналов, которые не сопровождаются возникнове­
нием новых частот в их спектре. К подобным преобразованиям от­
носятся: линейное усиление, дифференцирование и интегрирова­
ние сигналов, отделение сигналов с заданной частотой. от сигналов
и помех с другими · частотами (фильтрация и селекция) и прочие
аналогичные процессы.
Такие основные радиотехнические преобразования, как гене•
рирование высокочастотных колебаний, перенос спектра переда~
ваемого сообщения в область радиочастот (модуляция) , выделение
сообщения из модулированного колебания (детектирование), сдвиг
спектра сигнала на оси частот (преобразование частоты) и многие
другие процессы могут быть осуществлены лишь с помощью нели­
нейных систем, либо с помощью линейных систем с переменнымu
параметрами (параметрические системы).
В данной главе рассматриваются общие свойства и методы ана ­
лиза линейных цепей с переменными параметрами.
Системы с переменными параметрами играют очень большун:~
роль в радиотехнике и электронике.
Можно говорить о двух принципиально различных видах из­
менения параметров радиотракта:
а) умышленное, управляемое изменение с целью осуществления
различных преобразований сигналов (модуляция, преобразова­
ние частоты, параметрическое усиление и т. д.);
б) неуправляемое изменение, обусловленное различными фи­
зическими явлениями при передаче сигналов в свободном про­
странстве, например изменяющаяся во времени задержка сигнала,
колебание величины затухания волн при их распространении,
изменение фазовых соотношений при многолучевом распростране­
нии · радиоволн, изменение сигналов во времени из-за флуктуации
параметров тракта и т. д.
Влияние изменений параметров второго вида, носящих обычно,
статистический характер, будет рассмотрено во второй части дан­
ного курса. В настоящей же главе изучаются явления при прину-
366


_дителы-юм изменении во времени одного из параметров линейной
цепи - апериодической или колебательной .
В основном имеется в виду изменение параметра по периоди­
ческому закону.
Под управляемыми параметрами подразуме)Заются активные эле­
менты, емкости и индуктивности.
Хотя для излагаемой здесь
общей теории параметрических
цепей безразлично, как . осу­
ществляется изменение пара­
метра - с помощью электрон­
ного или механического устрой­
ства - имеются в виду именно
электронные способы, обеспечи­
вающие практически безынерщ-i ­
онное управление парамет ром
цепи.
Приведем простые при меры
электронных способов осущест­
вления вариации пара метров
цепи: сопротивления (или про­
водимости), емкости и индук- •
тивности.
Для получения сопротивле­
ния R(t), изменяющегося во
времени по заданному закону
и, вместе с тем, не зависящего
от величины входного сигнала,
может быть использован, напри­
мер, электронный прибор с
вольтамперной характеристикой,
показанной на рис. 9.1.
EotJ
Рис. 9.1 .
Положение рабочей точки на характеристик_е ia = f(ea) опре­
деляется постоянным напряжением Е0 • По отношению к достаточно ,
слабому сигналу es(t) сопротивление рассматриваемого электрон­
ного прибора можно определить выражением
R-= :еа \
= ctga.
La еа=Ео
наклона касательной к кривой ia = f(e a)
Здесь а - угол
А(еа=Ео)­
IJараметр R-называют дифференциальным
(9.1)
в точке
ротивлением, а также сопротивлением
с оп­
пе-
ременному току.
Соответственно дифференциальная проводи-
м о с т ь (крутизна) определяется как
S=dia
-
dea •
367 "


На рис . .9.1 изображена зависимость S_ от еа на участке,
с оответ ств у ющем квадратичной з ависимости i a от еа · Очевидно,
что на этом участке функция S_ (еа) имеет вид прямой линии.
Е сл и н а постоянное напряжение Е 0 наложить перем енное « управ­
ляющее» напряжени.е еу, то крутизна S_ будет изменяться по
зак ону из менени я еу (t) . По отношению же к слабому сигнал у
es (t) проводимость S_ можно рассматривать как линейный па­
раметр, не зависящий от вел ичины сигнала .
Величина, обратная S- , т. е.
сопротивление R-, б у дет при
это м изм еняться о бр атно пропорциона л ьно напряжен и ю еу . На
отн осител ьн о небольшом участке изменения еу функцию R- (еу)
м о жн о с читать линейной ( убывающей).
Таким образ ом, электронный прибор с квадратичной вольтам­
перн ой х арактеристикой, являющийся для источника относитель­
но большого управляющего напряжения еу нел инейным элемен­
том, ЯВJ1яется линейным элементом 'для слабого сигнала е5 •
Су щественной особенностью дифференциального сопротивле­
ния , а также крутизны является то, что указанные параметры мог ут
быть отрицательным и. Для этого н ужно, чтобы вольтамперная
характеристика имела спадающий участок, как это показано на
рис. 9.1, в окрестности рабочей точки В с абсциссой еа = Е 08 .
Примером электронно-управляемой емкости может служить
емкость р-п перехода полупроводникового диода, величина ко­
торой зависит от приложенного к переходу управляющего напря­
жения.
По аналогии с выражением (9.1) можно ввести понятие д и ф­
ференциальной емкости, определяемой как
(9. 2)
где q- заряд, а
ИO - исходное напряжение на р-п переходе .
При наложении на U 0 управляющего напряжения еу (t) можно
пол у чить в некоторы х пределах линейную зависимость С_ от еу и
те м самым осуще ств ить требуемую вариацию емкости С_.
От величины же слабого сигнала es (t ) емкость С_ практиче­
ск и не зависит.
В ка ч естве пере менной инду ктивности можно привести при мер
кату шки с ферромагнитным сердечни к ом, магнитная проницаем ость
которого зависит от величины подм агничивающего тока i.
Дифференциальную индуктивность такой
катушки можно определить как
L_ = d~;i) 'i =to'
(9.3)
где Ф - потокосцепление;
I O - ис х одное значение подмагничивающего т о ка.
Следует и меть в виду принципиальное различие между диффе­
ренциальным сопротивлением . и дифференциальными реактив~ш-
368


ми элементами: индуктивность и емкость н,е могут быть отрица­
тельными 1.
Физически это объясняется тем, что увеличение напряжения
на емкости не может вызвать уменьшения заряда, а увеличение
тока через индуктивность не может привести к уменьшению потоко­
сцепления. Иными словами, энергия, запасаемая в электрическом
поле _ конденсатора или в магнитном поле катушки, не может быть
отрицательной.
В дальнейшем изложении изменяющиеся · во времени парамет­
ры R(t), C(t) или L(t) будут рассматриваться как линейные эле­
менты, отвечающие принципу суперпозиции. Термины «дифферен­
циальное» сопротивление, а 1:,акже «дифференциальная» емкость
или индуктивность, существенные для характеристики способов
- вариации
параметров, но не для анализа составленных из этих па •
раметров цепей, не будут применяться.
9.2. ПРОСТl:йШИЕ ПАРАМПРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ. ДИФФЕ~ЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Для выявления свойств линейных цепей с переменными пара­
метрами необходимо рассмотреть особенности дифференциальных
уравнений этих цепей.
Уточним сначала соотношения между электрическими величи­
нами для энергоемких элементов L = L(t) и С = C(t).
Пусть задана индуктивность L = L(t) и требуется найти напря­
жение ИL, создаваемое на этой индуктивности током i(t). Основы­
ваясь на законе электромагнитной индукции, следует исходить ·
из общего выражения
,,
(t)=dФ = d[L(t)i(t)] = L(t)!!!._ + .(t)dL
ИL
dt
dt
dt
i
dt'
(9.4)
В частном случае L = const второе слагаемое в правой части
di
обращается в нуль и ЫL (t) = L dt. Существенно, что в случае
меняющейся во времени индуктивности на ее зажимах возникает
напряжение даже при п~охождении постоянного тока.
Если задано напряжение ИL (t) на индуктивности L = L (t),
то, очевидно,
L(t)i(t)= sиL(t)dt
и, как и в случае постоянной индуктивности,
i (t) ~т!пJиL(t) dt.
(9.5)
1 Им е ются в виду _ простые элементы. С помощыq же усилительных схем
с обратной связью м ожно осущест1JИТ1-, отричате JJ ь н ы е с;: .,, и L~ -


Для емкости С= С (t) исходным является соотношение между
зарядом q (t), напряжением ис (t) и емкостью С (t):
q(t) = С(t)Uc(t).
Отсюда для тока через конденсатор i (t) пол учается
'(t)= dq(t) = d[С(t)uc(t)J = С(t)duc +dC(t) (t)
t
dt
dt
dt
dtUc•
(9.6)
В данном случае полезно отметить, что ток через изменяю­
щуюся во времени емкость возможен даже при постоянном напря­
жении.При заданном токе i(t) напряжение на емкости uc(t), очевидно,
q ({)
1s'
ис(t)= с(t) = С(t) t(t)dt.
(9 ,7)
Для последовательного соединения r (t) и L (t), при э . д. с. f (t),
ИL(t)+u,(t)=f(t)
или, в соответствии с выражением (9.4),
L(t):~ +d~;t) i(t)-t- r (t)i(t)=f(t).
Перепишем это уравнение, объединив слагаемые, содержащие
ток i:
L(t) :~ +[r(t)+dLdt(t)]i(t)=f(t).
(9.8)
Сравнивая это уравнение с общим уравнением (1.2), получаем
с.1Jедующие значения коэффициентов:
L.
dL (t)
а1(t}= (t), а0(t)= r(t)+--Л-.
Для последовательного соединения r (t) и С (t) получим урав­
нение
r(t)i(t)+_1
-
_
si(t)dt=f(t).
с (t)
В данном случае удобно перейти от неизвестной переменной
i(t) к заряду q(t) =Ji(t)dt.
Тогда
r(t) dq(t)+qU) =~(t)
dt
C(t) /
(9.9)
и коэффициенты:
а1(t)= r(t);
1
ао(t)= С(1) •
Э70


При последовательном соединении трех переменных элементов
получим соответственно
L(t) di(t)+dL(t)i(t)+r(t)i(t)+-1
-
Гi(t)dt=f(t)
dt
dt
С(t) j
'
а после перехода от тока i (t) к заряду q (t):
L(t)d2q(t)+[г(t)+dL(t)]dq(t)+-1
-
q(t)=f(t)
dt2
•
dt
dt
C(t)
•
В данном случае коэффициенты:
dL(t).
а2=L(t); а1=r(t)+11Г,
1
ао= C(t).
(9.1О)
Тип уравнения и способы его интегрирования зависят от ха­
рактера функций r(t), L(t) и C(t) .
Cfti
r(t J
g.
r
Рис. 9.2.
Рис. 9.3 .
В практике редко встречаются случаи одновременного измене­
ния нескольких параметров цепи . Как правило, принудительному
изменению подвергается всего лишь один параметр. При этом наи­
больший интерес для анализа представляет случай периодического
изменения; В связи с этим приходится иметь дело с линейными
уравнениями с периодическими коэффициентами.
Рассмотрим два примера параметрических цепей, характерных
тем, что в них изменение параметра, осуществляемое механическим
способом , преобразуется в электрическое колебание (рис . 9.2 и
9.3).
На первом из этих рисунков изображена схема с угольным мик­
рофоном . Сопротивление этого микрофона r(t) изменяется вследст­
вие мех<1нпческих колебаний мембраны, которые происходят под
дс:йствием ш:а з ь:ваемоrо на нее переменного звукового давления.
Постоянная индуктивн ость Ь соответствует первичной обмотке
микрофонного трансфор матора .
На рис. 9.3 изобр ал,;ена схема с емкостным микрофоном , в ко ­
тором мембрана, . колеблющаяся под действием пере менного дав ­
ления, является одной иа пластин конденсатора C(t) .
1З*
371


Обращl:!ясь 1, схеме рис. 9.2, допустим, · что сопротивление r(t)
изменяется во времен и по закону
r(t)=R 0 (1 +msiпQt), при m<l .
(9.11)
Уравнение цепи совпадает с (9.8) при подстановке L = coпst
иf(t)=Е =coпst.
Таким обр азом, получаем
нли
где
di(1)+гг_о(1+ . Ot)•(t)=
-5_
dt
L
mS111-- t
L
did~t) -1-а0(t)i(t) = F(t),
а0(t)= i,0(1+тsinQt);
Е
F(t) = т·
(9 12)
(9.12')
Общее решение уравнения (9 .12') при начальном условии i (0) = О
имеет следующий вид:
1
i (t) = e-fa, (i)dt Se-Sa,(t) dtf (t) dt.
о
В данном случае
Sа0(t) dt = i._
0 5(1+тsinQf)dt= i,0 t -
тRо n
Q
-
QL COS~,t =а0t- Т]COS•t,
rде обозначено:
•
Ro.
mRo
СХо=L'Т]=QL•
(9.13)
(9 14)
Следо вательно, общее решение (9.13) переходит в следующее
выражение:
(9.15).


Для вычисления интеграла можно воспользоваться следую­
щими разложениями 1:
е"""'~J, (ч) + 2.~ ~• (ч) cosпQt;
)
e-11 ros!JI = [ 0 (-11) + 2 ~ Jп(-11)cosnQt .
n=I
(9. 16)
Здесь l п (11) - модифицированная функция Бесселя первого рода
п-го порядка.
Эта функция обладает следующими свойствами:
111(-11)= /11(11).дляп= О, 2, 4, 6, ...
fn(-11) =
-
/п(11)ДЛЯn=1,3,5,7, ...
Можно поэтому нижнюю строку в (9.16) записать следующим
образом:
00
е-11cosGt= /0(11)+2~(-1)11Jп(11)cosпШ.
n=J
1 Исходя из разложения (см, например: Г. М. Фихте нгольц.
Курс диффере1111иального и интегрального исчисления, т. II, стр . 391,
ИЗД. 1948 Г.)
11=-ОО
где Jn (х)- обычная фунl(ция Бесселя первого рода порядка п, и прирав­
нивая
получим
.
i (r2t-~)
х=t"t), z=е
,
+оо
=еТJcosot= ~
n=-oo
- 11s1n(r2t- ;)
=е
Гiо определению
.
1t
-ln -
-
n
!,, ('IJ) = е
2 Jп (i"t)) = (i) Jп ('i'IJ),
.
'lt
т-
• f_11 ('IJ)=е 2J_11 (i-~) =(i)"[(-1)'1J,,(iYi)]=!,,('IJ).
Таким образом,
00
еТJcos01 = 10(·~)+- ~ 1п("~) [einQt+е-1м21j=
11=1
00
= /0('IJ)+2~ /11('IJ)cosnRt.
n=I
373


С помощью разложения (9.1 б) входящий в выражение (9 .15)
инте грал приводится к су м ме просты х и нтегра ло в, которые лег ­
ко вычисляются:
1
1
j~e ot cosпQtdt = е"', а0cosпШ +п9siппQ_t \=
о
06+11 20.2
о
')
t
пQ
одесь g'Ф,,= -
.
·-
ао
е001 со~ (пО.1 - ЧJп)
V а6+п2Q2
COS Ч'п
Таки м об р<Jзо м, приходим к следующему окончател ьном у вы­
ражению для тока в цепи :
i(t) = f[/0(11)+2~
1
/ 11 (1'])coskШ] •[+о-10(1']) -1
+ 2:f (-l)n 1 :п(~, )
cos(nШ-'Фп)]--
n=I
V ао+п2122
Х[~+ 2f(-1)п! ('l'J) . cos•j,,, ] .
"о
.......
"
V22•
k=I
"о+n Q"
(9 .17)
Первое слагаемо~ в правой части (без множителя е -001 ) определя­
ет у становившийся ток в схеме рис. 9.2, а второе - свободное
колебание, связанное с включением в момент t = О источника по­
стоянной э.д.с. Е.
Из расс м отрения уст?.новившегося тока видно, что при сину ­
соидальном изменении сопротивления г(t) из менение то к а , в общем
случае, является хотя и периодически м , но и меет сложн ую форм у .
Возникают гармоники с частотами, кратны м и час·тоте изменения
параметра Q . Амплитуды этих гар моник определяются величиной
mRo
"f/ = QL и соотношением между 'iJ и а.0. .
Для неискаженного преобразования звукового сигнала в элект­
рический должно выполняться условие
11=~~-о«1,
314


при котором бесселевы функции / п (1J) высших порядков (начиная
с п = 2) достаточно малы по сравнению с / 1('fl) и могут быть от-
брошены.
•
Практически это означает, что глубина изменения параметра
r(t), т. е. т !см. выражение (9.11) l, должна быть достаточно малой
по сравнению с единицей величиной.
По найденному току i(t) нетрудно определить и напряжение
di
на индуктивности Ld].
Проведем аналогичное рассмотрение явлений в схеме рис. 9.3.
Пусть емкость C(t) изменяется по закону
С(t) = 1+mc;inQt •
(9.18)
Уравнение (9.9) при R = const принимает вид
l}J___+1+тsjnQt
Е
q(t) = -R
dt
RCo
(9.19)
или
dq
dt+а0(t)q(t)=F(t).
(9.19')
Это у равнение полностью совпадает с уравнением (9.12'), только
в данном случае
а0(t) = RICo(1+msinQt); F(t)={.
Общее решение уравнения (9.19') по аналогии с (9.15)
t
q (t) = !i_ e-•of+1J cos 01 se•l-1) cos 01 dt .
R
.
.
(9.20)
о
•В данном случае
(9.21)
Окончательное выраже!Шf для заряда q(t) имеет такой же вид,
как и (9.17). Нужно лишь в постоянных коэффициентах э:гого вы­
ражения заменить L на R.
Как и в предыдущем случае, для неискаженного преобразова­
ния звукового колебания в электрическое (в данном случае заря­
да емкости) требуется выполнение условия tn~ 1.
Продифференцировав q(t) по времени, найдем ток в цепи i(t),
а по нему и напряжение на сопротивлении R.
Примеры интегрирования уравнен.μя (9.10) для колебательно­
го контура, один из элементов которого - !:, или С - является
периодической функцией времени, будут приведены ниже
(§§ 9.6-9.8).
375


9.3 . ПЕРЕДАЧА сиr·ндлов ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
С ПЕРЕМЕННЬIМИ ПАРАМЕТРАМИ. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
В гл . 5-8 рассматривалась передача разл ичны х сигналов через
линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между в х од­
ным и выходным сигналами в таких системах определялась с по­
мощью передаточной функции K(iro) (спектральный метод) или с
помощью импульсной характеристики g(t) (метод интеграла нало ­
жения).
Теперь нам предстоит рассмотреть более общу ю задачу, когда
один или несколько элементов линейного четырехполюсника ЯВ·
ляются функциями врел~ени.
s(tJ
о---
g(t, а}
1( (iw,t}
Рис. 9.4 .
-----о
sв,,x(tJ
Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости
между входным и выходным сигналами в процессе передачи из­
меняется . Это означает, что . передаточнз.я функция цепи зависит
не только от ro, но и от времени; импульсная характеристика также
зависит от двух переменных: от интервала а = t - х между мо­
ментом приложения единичного импульса х и моментом наблюде­
ния выходного сигнала t (как и в случае цепи с постоянными пара­
метрами) и, кроме того, от положения интервала а на оси времени .
Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную ха­
рактеристику следует записывать в общей форме: g(t, а) или
g(t, х).
Можно сказать, что g(t, а) определяет величину отклика в мо­
мент t на единичный импульс, подаваемый на вход цепи в момент
х = t - а. Этот имп.ульс записываатся в виде дельта-функции
6(t - x).
Если на вход четырехполюсника с и мпульсной характеристикой
g(t, а) действует произвольный сигнал s(t) (рис. 9.4), то, основы­
ваясь на принципе су nернозиции, выходной сигнал по аналогии
с выражением (5.21) можно определить с помощью выражения:
+оо
Sвых(t) = J s(х)g(t, а)dx.
(9 .22)
-оо
Переходя к переменной а в соответствии с соотношением
х = t-a, получим .
+оо
Sвых(t)= 1s(t- а)g(t, а)da.
(9.22')
-са
376


Для физически осуществимой цепи g (t, а)= О при а= t -
-х<О, т. е. при x> t [см.§ 5.3].
Выражение (9.22) можно поэтому з аписать в форме
1
Sвых (t) =
.) s(х)g(t, а)dx.
(9.23)
--0 0
Постараемся теперь ввести передаточную функцию К (iffi, t),
аналогичную функции К (iw) для цепи с постоянными парамет­
рами, но с учетом изменения параметров во времени.
С этой целью представим функцию s (t - а) в виде интеграла
Фурье:
+оо
(t)_1
s
S( ) iw(l-a) d
s-а
-
2,.,
ffi е
ffi.
-00
Здесь S (ffi) - спектральная плотность сигнала s (t).
Тогда выражение (9 .22') переходит в следующее:
+оо
+оо
1sS()iwls
([ )-iшаdd
Sвых (t) = 2,с
ffi е
.g;,ае
а ffi.
-00
-00
Обозначив внутренний интеграл через /( (iffi, t), перепишем
последнее выражение следующим образом:
+оо
Sвых (t) = 21,с S S (ffi) К (iffi, t) ei wl dffi.
(9.24)
-00
Это выражение совпадает по форме с аналогичным выраже­
нием (5.4) для цепи с постоянными параметрами. Отсюда сле­
дует, что функция /( (iffi, t), определяемая выражением
+оо
К(iffi, t) = S g (t, а) е-iшаda,
(9.25)
-00
может рассматриваться как передаточная футщия линейной сис­
темы с переменньи,tu парал1етрами . .
Такой подх од к теории линейной цепи с переменными парамет­
рами был развит в работах Заде 1 .
Как и для цепи с постоянными параметрами (§ 5.3), K(iffi, t,
является преобразованием Фурье от импульсной характеристики
g(t, а).
Наряду с выражением (9.25) можно получить еще одно опре­
деление передаточной функции, в котором импульсная характери-
1 L. А. Z а d е h. Frequency Aпa 1 ysis of VariaЬ!e Networks, Pгoceedi'пgs
of tl1e IRE, Маг~h, 1950, р . р. 291-299.
138. Зак. 205~
377


t'Гика g(t, а) не фигурирует . Для этого приложим выражение (9.24)
I< сл у чаю , когда входной сигнал представляет .собо й гармоничес­
кое колебание с частотой ro 0 • Представим этот сигнал в комплекс­
ной форме:
S (t) = eiw,t,
-
00 <f<-+ 00.
(9 .26)
В соответствии с выражением (2.3 8), спектральная плотность
подобного сигнала
+со
+со
S(w)= S s(t)e-i"'1 dt= S e-i(w-ro,)1 df=2:rtб(ro-ro0),(9.27)
-со
-со
т. е. спектр состоит из одной спектральной линии. Аналогичный
результат для сигнала s(t) = cos w0 t был получен в гл. 2 [см . вы­
ражение (2. 78)].
Подставляя (9.27) в выражение . (9.24), получаем (см. § 2.9):
+со
Sвых(t)= Sо(w - w0)К(iш, t)ei"'tdw = К(iw0, t)ei"',1,
-со
откуда, опуская индекс нуль при ro,
к, (. t)= sвых(t)
LW,
.
I.
eLW
.
(9 .28)
Это определение передаточнои qJункции в виде отношения вы­
ходного напряжения к входному (гармоническому) аналогично
обычному определению l<.(iw). Не следует, однако, упускать из
вида, что в данном случае даже при синусоидальном входном сигнале
выходной сигнал является несинусоидальным и обладает более
сложным спектром.
В сложных цепях строгое определение передаточной функ­
ции /((iro, t) является весьма трудной задачей. Имеется, однако,
ряд важных для практики параметрических систем, анализ которых
можно существеннq упростить путем использования некоторых
ириближений, вытекающих из медленности изменения K (iw, t) или
из особенностей структуры цепи. Некоторые из таки х приближен­
ных методов рассматриваются ниже.
9.4 . ОПРЕДЕЛЕНИ!: ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
rl АРАМЕТРИЧЕСКОй Ц!:ПИ
Из предыдущего параграфа видно, ка~,ую большую роль в тео­
рии цепей с переменными параметрами играет импульсная харак­
теристика. Если для цепей с постояныыми параметрами обычно
сначала находят передаточную фующию K(iw), а по ней с помощью
общего выражения (5.16) импульсную характеристику g(t), то в
данном случае, наоборот, импульсная характеристика g(t, х) ле­
)1<ит в основе определения функции /((iro, t) .
378


Для определеюtя g(t, х) непосредсrвеrшо по заданным пара •
метрам цепи без обращения к спектральному методу- необходимо
использовать дифференциальное уравнение системы .
Рассмотрим сначала наиболее общий случай, когда система
описывается уравнением (1.2)
ап(t)y(n) (t) +ап-1(t)y(n-l)(f)+...+а0(t)у(t) =f(t), (9.29)
в котором все коэффициенты ап, an- l , . . . , а0 могут являться
функциями t (но не у!).
По определению импульсная характеристика 'g(t, х) является
откликом цепи на единичный импульс 6(t - х), подаваемый на
входвмомент t=х (см. §5.3).
Из этого определения следует, что если в правой части уравне ­
ния (9.29) функцию f(t) заменить на б(t - х), то в левой части
y(t) можно заменить на g(t, х); таким образом приходим к урав­
нению
а(t)dng(t,х)+ (t)dn--1g(t,х)+ + (f)(f )
п~-~ Gn-1
1
••.
а0g,Х=
dtn
dtn-
= 6(t- х).
(9.30)
Это неоднородное уравнение позволяет получить некоторые ус­
ловия, необходимые для определения g(t, х). Поскольку, однако,
правая часть уравнения (9.30) равна нулю всюду, кроме момента
t = х, общее решение следует искать из однородного уравнения
а_.,(t) ~п!!)/:х) +а,,.1(t) ,in-! g(t, х) +... +Go(t)g(t, х) =О
cli11- 1
(9.31)
при начальных условия х , выте к ающих из уравн е ния (9.30), а
также из условия, что к моменту приложения импульса б(t - х)
в цепи отсутствуют токи и напряжения («пустая» цепь),
Из теории линейных однородных уравнений известно, что об­
щее решение уравнения п-го порядка представляет собой сумм у
из п линейно н,еза.висимых частных решений :
п
у(t)=~Ч>iYi(t).
(9.32)
i=I
Применительно к обозначениям у~эавнения (9.31) выражение
(9.32) должно быть записано в форме
п
g(t,х) =~ (f>i(х)у;(t).
i=l
(9.33)
Для определения функций ср;(х) могут быть использованы упо­
минавшиеся выше условия, которым должна отвечать искомая
функция g(t, х), чтобы обеспечивалась единственность решения .
"138*
379


Сформулируем эти условия:
1. При t<x как функuия g(t, х), так и все · ее производные рав­
ны нулю («пустая» uепь) .
2. В точке t = х равны н улю все производные порядка не вы­
ше п -- 2 . Производная же порядка п
-
1вточкеt= х должна
1
совершать скачок на величину -(-) (рис . 9.5) :
апх
dn-lg(l , x)I
.
1
dtn- 1
'=х= а,,(х) •
Только при этом условии первое слагаемое в уравнении (9.30),
(t) dпg(t, х)
.
"
(
т.е.ап
dt"
,
являющееся производнои от скачка в мо-
мент t =х), может образовать дельта-функuию о (t - х).
1
dпq(t,x)
1____,,.ап(I) dtп
=O(f-x)
1
1
1
1
1
1
dn•tg ( t,I)
и,,,.,~
.
а~
х
Рис. 9.5.
При этих начальных условиях выражение (9.33) образует си­
стему уравнений (при подстановке l=x):
(1)1(х)У1(х)+(1)2(х)У2(х)+•··+срп(х)Уп(х)=О,
dy1(1)1 '
dY2 (t) 1
dyп(t) I
rpl (х) --;ft t=x+ср2(х)- d-t
-
t=x + ...+срп(х)-Л-t=x = О,
1 (9.34)
dn- 1Уп(!)
+ ер,. (х) dtn- 1
1
1==О.
х
380


Так как частные решения y;(t) и их производные в точке t = х пред­
полагаются известными, то система (9 .34), содержащая п уравне ­
ний , позволяет найти все функции ср;(х). Системе уравнений (9.34)
соответствует оп редел ител ь
У1 (х)
W(х)= у',(х)
называемый определителем Вронского.
Уп (х)
у~ (х)
у~п-'\х)
(9.35)
Применяя правило Крамера, получаем следующее выражение
для ер; (х):
(9 .36)
где M(n-\)i (х)- минор, получаемый из опредеJiителя W (х) вы­
черкиванием строки п - 1 и столбца i, на пересечении которых
стоит элемент у\п-~ J (х).
Подставляя (9 .36) в общее решение (9 .33), получаем следую­
щее окончательное выражение для импульсной характеристики:
У1 (t) У2 (t)
Yn (t)
У1 (х) У2(х)
Уп (х)
g(t,
(- !)11-1
у, (х) у'2 (х)
у,, (х)
(9.37)
х) -- а11 (х) W(x)
(n-2)( ) (n-2)( )
У1
ХУ2
Х,.
Ап-2)(Х)
Полезно отметить, что определяемая выражением (9.37) функ­
ция g (t, х) есть не что иное, как односторонняя функция Грина
линейного дифференциального оператора
(9.38)
соответствующего уравнению (9.29).
В теории линейных неоднородных уравнений функция Грина
используется для представления решения уравнения (9.29) в форме
t
у(t)= Jg(t, х)f(х)dx
(9 .39)
-ro
при начальных условиях: y<kJ(O) = О при к = О, 1, ... п-1 .
Это выражение совпадает с (9 .23) .
Пример применения полученных здесь соотношений п р ив о ­
дится в § 9.8.
381


1.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Изменение параметров цепи по любому сложному, но периоди­
ческому закону приводит также к периодическому изменению во
времени передаточной функции цепи /\(iw, t).
Пусть частота (основная) изменения функции K(iw, t) есть Q.
Тогда эту функцию можно представить в виде обычного ряда
Фурье
S(t)
.К (iw, t) =- /(0(iw) + К1 (iw) cos(Qt + 'lj)1)+
+i(2(iw)cos(2Ш+1.р2)+...,
(9.40)
,!{,([i,J)COS(Qt +ф;)
1
1 1 ....... :
Llг-----lJ 1
Lll<п(i1.uJCOS(nQt,ф,,J, 1
i_ ______ J ..... .J
Рис. 9.6 .
где K0(iw), .К1(iw) и т. д. - не зави­
сящие от времени коэффициенты, в
общем случае комплексные; которые
могут быть истолкованы как пере­
даточные функции некоторых четы­
рехполюсников с постоянными пара­
метрами.
Произведение К 11 (iw) cos (пQt+'Фп)
может рассматриваться как переда­
точная функция четырехполюсника
/( 11 (iw), доп олненного устройс~;вом,
изменяющим только усиление по
закону cos (пQt + 'lj)11 ), независимо
от частоты сигнала w.
Основываясь на выражении (9.40),
любую параметрическую цепь с пе­
риодически изменяющимися пара­
метрами можно представить в виде
эквивалентного параллельного соеди­
нения четырехполюсников с переда­
точными функциями K 11 (iw) cos(nQt+
+ 'Фп) (рис. 9.6).
Такое представление функции К (iw, t) позволяет легко уста­
новить характер преобразования с п ектра сигнала в параметри­
ческой цепи. Действительно, пусть на входе цепи имеется гармо-
нический сигнал
s(t) = coswt = Re(ei"'1).
(9.41)
Сигнал на выходе четырехполюсника К O (iw) = Ко (ro) ei,o опре­
деJ1яется выражением
so вых(t)= Re[Ко(iw)е'"'1]=Ко(w)cos(wt+сrо)-
Этот сигнал обладает частотой w и от входного сигнала отличается
только по амплитуде и фазе.
Сигнал на вы х оде второго канала, представляющего собой кас­
кадное соединение двух четырехполюсников - одного с переда.-
~8l


~
точной функцией K1(iw) = K 1(w)ei•f, и второго с передаточной
функцией cos (Qt + '\j) 1) - равен
s1вых(t) = Re[К1(w) ei(wt +'!',)cos(Qt+'\j)1)] =
1
= К1(w) cos(wt +ср1)cos(Qt+'Ф1)=2 К1(w)Х
Х(cos[(w+Q)f+ср1+'\j)1]+cos[(w-Q)t+ср1-
'\j)1]}.
Этот сигнал представляет собой пару боковых или комбин.ациою-tых
частотw+Qиw- Q.
Сигна,1 на выходе любого другого п-го канала отличается
от s 1 вых (t) коэффициентом Кп (w), частотами w ± пQ и фазами 'Фп:
1
Sпвых(t)=2К11(w){cos[(w+nQ)f+срп+'ФпJ+
+cos[(w- пЩt+срп--ф,iJ}.
Заметим, что на эквивалентной схеме рис. 9.6 выходы каналов сое­
динены последова тельно. Результирующий выхQдной сигнал яв­
ляется поэтом у суммой
со
Sвых(t) =Ко(w) cos(wt +сро)+~~к/!(w){cos[(w+ nQ)t+
n=!
(9.42)
Этот результат указывает на следующее свойство цепи с перемен­
ны ми параметрами: при изменении передаточной фующиа по лю­
бому сложному, но периодическому закону с основ1-юй частотой Q
гармонический входной сиг-
нал с частотой w образует
на выходе цепи спектр, со-
- держащи й
частоты w, w ± Q,
W±2QИТ.д.
S(t)
r tt!
sвь,:r rtJ
Если на вход цепи по- о
'
Рис. 9.7 .
дается сложный. сигнал, то
все сказанное выше относит­
ся к каждой из частот w
входного спеюра. Сшvю с обо й
разумеется, что в л.инейной
параметрической цепи никакого взаимодействия между отдель­
ными компонентами входного спектра не существует (принцип
суперпозиции), и на выходе цепи не возникает частот вида
nw 1 ± mro 2 , где ш1 и со2 - различные частоты входного сигнала.
Поясним соотношения (9.40) - (9.42) на двух простых при­
мерах:
1. Четырехполюсник, составленный из двух сопротивлений:
постоянного R1 и пере менного· r(t) (рис. 9. 7). В х одной сигнал
s(t) = cos UJt.
З,шон изменения r([) :
r(t)=R0(1+- mcosQt) при т<1.
.38Э


Сигнал Hil выходе (напряжение):
r(l)
R 0 (1+mcosQt)
Sвых(t)= R + (t)S(t)= R
,R(I,
Ot)COSwt.
1
r
1то
ттcos --
В данном случае перед аточная фу нкция
K(iw t)°=
R0(1+тcosQt)
'
R1+RoO+mcosШ)
не зависит от частоты входного сигнала w.
Если глубина изменения сопротивления r (t) достаточно мала,
так что т « 1, последнее выражение упрощается:
К(iw, t) =R1: 0R0 (1 + mcos~t) = /(0(iw) + К1(iw)cosQt.
Таким образом, в данном сл у чае
к(.)
Ro
.
1..(') тRо
оiw=R+R'
'iiw=R..LR•
1
О
1.,
О
Сигнал на выходе цеп и :
Sвых(t) = /(0(iffi)COSwt +{К1(iw) COS(w+Q)t+
+ ~ K1 (iw)cos(w-Q)t .
В более общем случае, когда т не слишком мало по сравнению
с единицей (и Ro соизмеримо с R1), должны быть учтены комбина­
ционные частоты более высоких порядков вида w ± пQ. Зто нетруд­
но сделать путем разложения точного выражения для K(iw, t)
в ряд Фурье.
2. Четырехполюсник представляет собой линию задержки, из­
меняющейся во времени по закону
т(t)=т0(1+тcosQt).
(9.43)
Передаточна'я функция подобного четырехполюсника:
/((iro, t) = e-io>t{I) = e-io>,,(1 +т cos 01>.
(9.44)
Полученную функцию нетр уд но представить в виде выражения
(9.40), после чего можно найти амплитуды всех составляющих
выходного спектра , возникающих при подаче на вход гармониче­
ского сигнала s(t) = Re e iwt [выражение (9.42)].
Не останавливаясь на указанных вычислениях, ограничимся
рассмотрением структуры выходного напряжения, которое в дан­
ном случае легко определяется в свернутой форме непосредственно
nu выражению (9.44):
384
Sвы х (t) = Re[K({(J), t)ei<» I ] = Re[e-iщ,(J+m cos fU) , ei<,>I ] =
=-~
cos [(J) (t - •о)
-
rnw.: 0 cos Ш].


Получается фаза-модулированное колебание. Мгновенная час­
тота этого колебания, определяемая как производная фазы по вре­
мени, равна
ffi(t)= ffi+mffiT0QsinQt= ffi(1+тQ--с0sinШ).
(9.45)
Спектр колебания состоит из частоты в х одного сигнала u)
11 комбинационных частот ffi ± пQ, где п = 1, 2, 3, . . . Амплитуды
отдеJJьных составляющих спектра зависят от параметра mffi --с 0 ,
который в данном случае имеет смысл «индекса модуляции»
(см. § 4.6) .
9.6 . l(ОЛЕБд ТЕЛЬНЫЙ KOHl'YP С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙ С Я
ЕМКОСТЬЮ
Рассмотрим уравнение, получающееся из (9.10)
r=const и изменении одной лишь емкости по закону
при L=const,
С(t) = Са
·
1+тпcosQt •
(9.46)
dL
Подставляя это выражение в (9.10) и обращая
лучаем
в нуль dt' по-
d2q
dq
2
1
dt2+2аdl+ffio(1+тcosQt)q= Lf(t).
(9.47)
Здесь , как и в случае контура с постоянными параметрами,
обозначено
r
2
1
а=2L' ffio=LC0•
Постоянная величина ffio представляет с9бой резонансную часто­
ту контура в отсутствие параметрического воздействия, т . е. при
т=о.
Для приведения уравнения (9.47) к канонической форме исполь­
зуется подстановка
q=уe-at,
(9 .48)
исключающая из уравнения (9.47) первую производную q.
Дифференцируя дважды выражение (9.48)
dq_(dy
) -at
dt- &-ауе
'
dzq (d2у
dy
\
dtz = dt2- 2аdt +и.,2у)e-at
и подставляя полученные выражения в ура_!3нение (9.47), полу­
чаем
d2у (
2
2
()
1
dt2 + - а.2+(!)о+(!)оmcos.и У = Lе"1f(t).
385


Но ffi6 -·а2 = ffi~н есть квадрат собственной частоты контура
(в отсутствие модуляции емкости).
Переходя к безразмерному времени
ш
(9.49)
't=2
и вводя обозначения
(9.50)
перепишем последнее уравнение в форме
,, + (,..
1
• 2) - 4~st(2')
у
uтБcos 'tу-
~
12Lе
Q.
(9. 51)
При обращении правой части в нуль, т. е. в отсутствие сиг­
нала, уравнение (9.51) переходит в уравнение Матье:
у"+(о+вcos2-с)у=О.
(9.52)
Теория уравнения Матье хорошо разработана. Общее реше­
ние этого уравнения имеет следующий вид:
(9 .53)
где А и В - произвольные постоянные;
_
ср 1 и <р2 - периодические функции с периодом 1 :п: или 2:п:, . а
μ - показатель, зависящий от коэффициентов исходного
уравнения 6 и е.
Переходя с помощью формулы (9.48) от у к заряду q, а также
от .-
к размерному времени t [см. формулу (9.49) ], получаем вместо
(!J.53)
(9.54)
Из этого выражения следует, что если 1-1 есть положительное
или отрицателыюе действительное число, превышающее (по абсо-
Qt
1 При безразмерном вре ~ 1ени 't = 2 период ;,; соответствует периоду
QT1
2;,;
Т 1 , определяемому из соотношения 2 = ; ,; , откуда Т 1 = Q ; периоду 2it
2it
соответствует период Т 2 = 2Т 1 = 2 ~!
.
Ины м и словаюr, периодичность по 't ,
равная 7t или 2;с, означает по t периодичность с основной частотой Q
Q
IIJIИ 2 .
Э86


2а
лютному значению) величину Q' то одно из слагаемых выражения
(9.54) с увеличением t неограниченно возрастает. Это о:щачает,
что решение уравнения (9.52) неустойчиво. К такому же выводу
сJ1едует прийти в случае комплексного 11-,
если действительная
часть μ удовлетворяет отмеченному выше условию.
Физический смысл неустойчивого решения заключается в том,
что при определенных соотношениях между е и 8, т. е. между глуби­
ной модуляции емкости и относительной частотой этой модуляции,
при любых сколь угодных малых начальных возмущениях (напри­
мер, тепловы~ шумы) в контуре возникают колебания с неограни­
ченно нарастающей амплитудой. Источником энергии для этих
колеба,.ний служит генератор «накачки», воздействующий на
емкость.
Полезно сделать следующее сопоставление: в случае дифферен­
циального уравнения с постоянными коэффициентами, описываю­
щего об~,~кновенный контур с постоянными L и С, для получения
неустойчивого решения требуется, чтобы коэффициент при первой
производной был отрицателен («отрицательное сопротивление»);
в случае же периодического изменения одного из энергоемких эле­
ментов, т . е. L или С, для неустойчивости требуется выполнение
определенных соотношений между е и 8 (достаточно глубокая моду­
ляция параметра т и определенное соответствие между Q и ffiсв)-
Случай неустойчивого решения, представляющий особый инте­
рес для задачи возбуждения колебаний (параметрический генера­
тор), рассматривается в следующем параграфе.
Применительно же к задаче параметрического усиления основ­
ное значение имеет изучение воздействия сигнала на устойчивую
систему . Эта задача приводит к необходимости исследования реше­
ния неоднородных уравнений (9.47) и (9.51) при условии, что ре­
шение соответствующего однородного уравнения является устой­
чивым.
Эта задача рассматривается в § 9.8 .
9.7 . ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДf.НИЕ КОЛЕБАНИЙ
Из предыдущего рассмотрения у.же ясно, что для возбуждения
колебаний в контуре с помощью периодического изменения ем­
кости требуется, чтобы частота этого изменения Q была определен­
ным образом связана с частотой собственных колебаний контура fficв,
а гJiубина модуляции емкости т - с затуханием контура а. Для
выявления требуемых соотношений обратимся к исследованию
решения (9.53) уравнения Матье; задача заключается в определе­
нии показа тел я μ по заданю,rм коэффициентам уравнения 8 и е,
·а
также в выявлении характера функций ср1 (т) и cp 2 (i:). Точное
определение μ является весьма громоздким делом, требующим
сложных вычислений и графоаналитических построений. В этом,
одню\о, нет необходимости при рассмотрении механизма возбуж-
i87


дения колебаний в контуре с малым затуханием, когда коэффи­
циент m~l и соответственно е~о. Высокая избирательность
контура позволяет воспользоваться .методом 1rtедлен, 1ю меняющ ихся
амплитуд, значительно упрощающим решение ура внения (9.52) .
Прежде чем присту пать к подобном у анализу, рассмотрим
приведенное на рис. 9.8 разбиение плоскости о, е на области не­
устойчивых (заштри хован ны е) и устойчивых решений уравнения
Матье.
•
Рис. 9.8.
Отдельные устойчивые области смыкаются в точках е = О,
о=п2,гдеп =2~св= 1,2,3, ... Это означает, что при о = 1,4,9,
2
1
... , Т. е. ПрИQ=2(i)св,Q=(!)св,Q=З(i)св,Q=2(i)свИТ.Д.,реше-
НИЯ уравнения Матье неустойчивы при сколь угодно малой глубине
модуляции параметра т(в ➔ О). При промежуточных значениях Q,
когда воздействие на параметр производится не в такт с собствен­
ной частотой контура, для неустойчивости требуется значение е
тем большее, чем ниже частота Q. Отсюда следует, что наиболее
благоприятные условия для параметрического возбуждения коле­
баний имеются вблизи абсциссы о = 1, что соответствует Q = 2(i)св,
когда «подкачка» энергии в 1<0нтур производится дважды за период
собственных колебаний .
Дальнейшее рассмотрение ограничим именно этим случаем, имею­
щим наибольшее практическое значение.
Итак, будем исходить из условия, что Q = 2(!)св, так что частота
Q
2 находится в полосе прозрачности контура.
Воспользуемся методом медленно меняющихся амплитуд. Суть
этого метода, пригодного для нелинейных и линейных колебатель­
ных систем с высокой избирательностью, заключается в том, что
388


решение уравнения системы ищется в форме высокоч астотноrо
колебания
y(t) = a(t)cos[} t + 1;(t)],
(9.55)
где а (t) и 1; (t) -функции времени, «медленные» по сравнению
,Q
с cos2t.
С другой стороны, из теории уравнений Матье известно, что
входящие в точные решения (9.53) функции ср1 (j t) и ср2 (~ t) мо-
Q
"
kn
гут содержать только основную частоту 2 и кратные еи gастоты 2 .
При достаточно высокой добротности контура высшие гармоники
о
отфильтровываются и остается только составляющая с частотой i ·
,Q
Но если частота должна быть точно 2 , то производная «медленно»
меняющейся функции 1; в выражении (9.55) должна равняться нулю.
Таким образом приходим к выводу, что в пределах применимости
метода медленно меняющихся амплитуд фазу 1; можно считать по­
стоянной величиной.
Заменяя поэтому 1; на 1;0 и переходя к безразмерному времени
-.
= }t, перепишем выражение (9.55) в форме
У=а(1:) cos(,;+1;0).
(9.56)
Сопоставляя это выражение с (9.53), приходим к выводу, что
функция а( 1:) должна иметь одну из следующих двух форм:·
а1 (1:) = А el'-',
}
а2 (1:) = В е-1'-\
(9.57)
причем каждой из этих двух форм должна соответствовать своя
фаза 1; 1 или ~2 . Иными словами, общее решение уравнения (9.52)
в первом приближении можно представить в виде
у=Ау1+Ву2=Аe!'-tcos(1:+1;1)+Вe-1'-tcos(1:+1;2). (9.58)
Для определения μ, а также 1; 1 и 1; 2 остается подставить в исход­
ное уравнение (9.52) поочередно Ау 1 и Ву2 (так как каждое из этих
решений удовлетворяет исходному уравнению).
Выполнив необходимые преобразования (см. приложение IV),
приходим к следующим окончательным результатам:
μ=у(~-)2-с21/,
(9.59)
./
(9.60)
(9.61) .
389


Заметим, что последнее соотношение сохраняет свою силу неза­
висимо от б, ·т. е. от соотношения частоты накачки и частоты кон­
тура.
Таким образом, выражение (9.58) принимает вид
у=А.еμ.,cos('t'+ ~1)+Ве-1иcos('t' -
bl,
(9.62)
а заряд q (t) в соответствии с (9.48) и с учетом (9.49): •
(g)
μ.2-аt
Q
q(t) = ye-•t = Ае
cos (it+61)+
-(~+а) f (о )
+Ве 2
cos it- 61 = q1(t)+q2(t).
(9:63)
Основываясь на этом выражении, нетрудно найти
,
d)
туре (i = d; и напряжения на элементах L и С
q (t)]
Uc= С(f)•
Для истолкования физического содержания полученных резуль­
татов рассмотрим случай б = 1, т. е. случай изменения емкости
с частотой Q, точно вдвое превышающей собственную частоту кон -
тура fficв• При этом
Е
μ=4;tg~1=1,
tgs2 =
-
1,
s1 = 45° (или 225°), ]
62= -
45° (или 135°).
(9.64)
На рис. 9.9 изображены графики с (t) _ Со
-
1+тcosQt ' а также
Q
'Q
)
cos(2t+45°)иcos(~t- 45° .
Из этого рисунка видно, что убывание емкости соответствует
прохождению q1 через амплитудные значения, а q2 - через нуле­
вое значение. Это означает, что qi(t) «правиJ.Iыrо» сфазировано отно­
сителыrо закона изменения C(t) и «накачка» приводит к росту ам-
плитуды [по закону е('~-а)'], , а q2 (t) сфазировано неправильно;
в моменты амплитудных значений заряда емкость растет, что при ­
водит к отбору энергии из контура и к затуханию амплитуды
[по закону е-(μ;о +а)t}_
На основании приведенных рассуждений можно наметить с.r1е­
дующую картину возникновения и нарастания колебаний в пара­
метрическом генераторе. В момент включения контура (или в мо­
мент запуска генератора накачки) в контуре существуют беспо­
рядочные шумовые колебания, вызываемые тепловым движением
заряженных частиц.
390


В составе этих колебаний имеется компонент и с частотой ~ .
однако амплитуда и фаза этого компонента являются случайными
величинами. Допустим, что в рассматриваемый начальный момент
времени интересующий нас компонент имеет амплитуду ОА и фазу 0
(рис. 9.1 О). Разложим вектор, изображающий это колебание, по
двум взаимно перпендикулярным направлениям: N 1N 2 и М 1М 2 . Пря-
CftJ
1
1
1
о 3/2 JТ J.17/2 2JТ
Jл
Qt
1
1
1
1
.,
1
1
1
1
1 Acos{ f r+ч5°)
1:1
1
1
!
1
1
ft
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Bcos {~ t -ч5(
1
:/
1
1
1
1
Qt-
2
Рис. 9.9.
мая N1N 2 проведена к оси абсцисс под углом Gi = 45°, а прямая
М 1М 2 - под углом s2 = - 45°. Вектор OD. совпадающий с пря­
мой N1N 2 и равный ОАсьs (0 - G1), изображает колебание, пра­
вильно сфазированное относительно фазы «накачки», а вектор ОС,
совпадающий с прямой М 1М 2 , изображает колебание, которое
под воздействием изменения емкости начинает затухать. Мо)!ШО
поэтому считать, что начальные условия для параметрического
генератора определяются той составляющей, фаза которой согласо­
вана с фазой накачки. И.з формул (9.64), а также из рис. 9.10 ясно,
что таких положений вектора имеется два: при s1 = 45° и s1 = 225°
(для частного случая Q = 2 Wсв)- Если вектор ОА расr1оложен над
прямой М1М2, то проекция его на прямую N1N2 положительна,
в противном случае - отрицательна. Это означает, что при заданной
фазе накачки фаза колебания в парамс-~рическом генераторе может
391


принимать одно из двух фиксированных значений , различающихся
о
на 180° (независимо от соотношения ij- и Wсв)-
Двузначность фазы 1<0лебаний, генерируемых при параметрн­
ческом возбуждении , используется в специальных генераторах
(«параметрон») , применяемых в вычислительных устройствах для
получения двух устойчивых состояний, соответствующих двум
з накам двоичного кода .
Рис. 9.10.
Вч.II будет показано, что в автоколебательной
системе фаза установивши х ся колебаний может принимать любое
значение , целиком зависящее от начальных условий. Нетрудно
видеть, что отмеченная выше особенность параметрического гене­
ратора объясняется. тем, что контур с периодически изменяющейся
емкостью является не автономной системой, а системой, подвергаю­
· щейся внешнем у воздействию . Естественно, что частота и фаза ге-
нерируемы х колебаний жестко связаны с ча<;тотой и фазой внеш­
ней силы, действующей на систему .
Другой особенностью параметрического генератора является
необходим6сть иск у сственного введения нелиней ности для осуще­
ствления ограничения ам плитуды ген ерируемы х колебаний. Без
этого амплитуда колебаний в линейном контуре при параметриче­
ском возбуждении должна нарастать неограниченно вплоть до
разрушения: контура (пробой конденсатора, перегрев элементов
контура). В качестве нелинейности может быть, например, исполь­
зована индуктивность со стальным сердечником, который при до­
стижении амплитудой тока определенного уровня доводится до
магнитного насыщения. Связанное с этим изменение индуктивности
"
Q
. пр ив о д ит 1< р асс тр онке контура относительно частоты 2 и, следа-
392


вательно, к ухудшению условий возбуждения. Можно также приме­
нять сопротивление, · величина которого возрастает с увеличением
амплитуды колебаний в контуре.
Само собой разумеется, что параметрический генератор, рабо­
тающий в установившемся состоянии, т. е. с ограничением ампли­
туды, является нелинейным устройством .
Остается в заключение связать условие возбуждения колеба­
ний с параметрами контура, а также с параметром «накачки». Ины­
ми словами, нужно от обобщенных параметров 8, μ и 1:, перейти
к d, Q и т. Ранее указывалось [см. выражение (9.54) ], что система
неустойчива, если
Обозначим через μкр критическое значение μ, отвечающее
равенству
(9.66)
Подставив это значение μ в формулу (9 .59), находим крити­
ческое значение Вкр:
Но в соответствии с (9.50),
Отсюда находим т.<r - критичес1<ое значение глубины моду­
ляции емкости (на грани возникновения генерации):
Так как здесь рассматривается случай ~2 = 2ffic в = 2())0 , то можно
считать
V4a2
ткр=2
2+(б-1)2•
WQ
(9.67)
Если частота накачки Q равна точно 2fficв, то б = 1 и
2а
2
ткр=2Q=2d=Q,
(9.68)
1.
где Q = d - добротност~ контура .
393


Если частота накачки ~2 превышает частоту СОсв не точно
вдвое, так что имеется расстройка
о
Лео= i -СОсв, -
то для возбуждения колебаний требуется увеличение коэффи­
циента т.
~
'"
'
б
Ot5лacmt
~
'
·
8озt5ужr3енu Р
~
tv-,'
'
~7
"
4
'
7
~
'
-
Ооластt
'
устойчивого
l)(!ЖUMO
-3
-2,
_,
С
Рис. 9.11 .
В е1том случае
(
0
12
4 j-лw)
4дw
[22
~1-Q~1
2дw
и
,/
(2дw)2
ткр=2Vd2+ "'св
(9.69)
или
Q 2-!/} (2ЛшQ,2 VI 2
т"Р=V+"'свJ=2.+а,
(9.69')
2Лш Q
где а=~ .
"'св
График зависимости mkpQ от а изображен на рис. 9.11 (сплош­
ная криваiаr) . Пунктирные прямые, являющиеся асимптотами кри­
вой mkpQ, соответствуют границе области устойчивости параметри­
чески возбуждаемого контура без потерь.
Дво:йн0й штриховкой обозначена область возбуждения колеба­
ний, а горизонтальной штриховкой - область неустойчивых реше­
ний уравнений Матье, которые, однако, после умножения на e - at
приводятся к устойчивым решениям. Наконец, незаштрихованная
область соответствует устойчивым решениям уравнения Матье и
394


тем более устойчивым решениям •исходного уравнения [однород­
ного, которое получается из уравнения (9.47) при обращении в нуль
правой части].
Следует подчеркнуть, что приведенные результаты, полученные
на основании допущения о фильтрации контуром всех частот, крат­
О
ных 2 ;:::::; Шсв, справедливы лишь при достаточно малых значениях
бб"
"
2ЛшQ
о о щеннои расстроики а = -
,. не превышающих нескольких
"'сп
единиц. Нетрудно видеть, что рис. 9.11 по существу является изо-
бражением в увеличенном масштабе одного «языЕа » диа гра ммы
рис. 9.8 в окрестности точки 8 = 1, е = О.
9.8 . ПРИНЦИП ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УСИЛЕНИЯ.
ОДНОКОНТУРНЫй УСИЛИТЕЛЬ
Из предыдущего рассмотрения ясно, что недовозбужденный па­
раметрический контур (при параметре накачки т меньшем, чем
т"р) является устойчивой линейной системой, позволяющей осуще­
ствить усиление подводимого извне колебания. Эффект усиления
получается за счет энергии, ввод11мой в контур от устройства на­
ю1чки при соблюдении
надлежащих частотных и
фазовых соотношений.
Главным достоинством
L
параметричес1:(ОГО усили-
q,(t)
теля является относитель- !?(1'J=EcoN(JJf+'J!o) C(tJ
но низкий уровень соб-
ственных шумов. Это объяс-
.няется отсутствием в схе-
ме усилителя электронных
приборов, 1юторым при­
сущи шумы дробового и
иного происхождения. (Ис-
Рис. 9.12 .
я
пользуемые для накачки электронные приборы не входят в цепь
усиливаемого сигнала ; поэтому шумы этих приборов мало влияют
Ifa отношение сигнал/шум усилителя.) Основным источником
помех в параметрическом усилителе являются поэтому тепловые
шумы , с которыми можно бороться путем применения конструк­
ций , работающих при сверхнизких температурах .
• Простейший
параметрический усилитель можно представить
в виде колебательного контура с емкостью, изменяющейся по закону
(9.46). Усиливаемое колебание e(t) = Ecos (шt + ср0) вводится
в контур, а усиленное снимается с одного из реактивных элемен­
тов (рис. 9.12). Показанное на этой схеме сопротивление R учиты­
вает потери в контуре, а также нагрузку.
Режим параметрического усиления существенно отличается от
рассмотренного в предьщущем параграфе режима возбуждения .
395


При возбуждении частота и фаза напряжения на C(t) жестко связа­
ны с частотой и фазой накачки. При усилении же напряжение на
C(t) задается сигналом. При этом неизбежно возникают колебания
с комбинационными частотами Q - ro и Q + ro.
Для выяснения механизма работы параметрического усилителя
необходимо исследовать решение неоднородного уравнения (9.51).
Приравнивая в этом уравнении правую часть входной э. д с.
Q
Е cos (rot + <р0) и переходя к безразмерному времени ,; = 2 -t, пере•
пишем уравнение (9.51) в форме
2~•
'')
)
у"+(б+еcos2-r)y= Q;Lе9•Еcos(s: -r +Ч1о, = f,(,;), (9,70)
Через f 1 (-r) обозначена вся правая часть неоднородного урав­
нения Как и · в предыдущих параграфах, здесь
С(t) -
Со
-
1+mcosQt •
Для упрощения анализа будем считать, что частота <<НаI<ачки»
вдвое превышает частоту rосв, так что б = 1 и е = т.
Само собой разумеется, что величина т должна быть меньше
найденного в предыдущем параграфе критического значения ткр,
соответствующего порогу устойчивости.
Для решения уравнения (9.70) воспользуемся соотношениями
(9.39), (9 .37) и (9.35), которые в обозначениях данного параграфа
запишутся следующим образом:
'
y(-r) = Sg(т,x)f1 (x)dx;
-(Х)
\V(х)= 1у~(х)
•
Yi (х)
У2(•)1,
У2 (х)
(9. 71)
(9. 72)
(9. 73)
Здесь у1 (т) и у2 (т) - решения однородного уравнения (9.52).
В соответствии с выражениями (9.58) и (9.64)
396


Подставив (9.72) и (9.73) в (9.71), получим
(9.75)
Теперь остается учесть выражения (9.74) и совершить переход
от у к q=ye-at [см. (9.48)], а также от -r к ~ t. После неслож­
ных, но громоздких, выкладок (см. приложение V) можно полу-
чить следующее выражение:
"
q (I)= ,if.l ( }~• (Q
, cos(rol + ~,)+
l"2 l-lnкp)+2- (J))
а( 1-_!!!_)тнр
"
.
+(
2
fо
2 S1!1 (шt+(j)o) -
а21- _!!!_) +\:_2
"-
(J) 1
т,<р
\
)
а(] _ _!!! _\
lnкp )
-( --m -)-2- -(
,-0
--
2- cos[(Q-ш)t- ср0]
-
.12 1-mкр +2- (J))
(9.76)
При выводе этого выражения было использовано условие, что
величина ...!!!_ _ близка к единице (с некоторым запасом устойчиво-
~Р
•
сти). То обстоятельство, что в выражении (9.76) отсутствует комби­
национная частота Q + ш, является результатом допущения
о высокой избирательности контура, которое было использовано
при выводе выражения (9.76). Комбинационная же частота Q - ш
близка к резонансной частоте контура Шр (поскольку Q = 2 Шр,
а ш близка к шр),
Для определения наибольшего возможного усиления, которое
можно реализовать в . одноконтурной схеме, рассмотрим резонанс­
о
Щ:~1Й случай, !)ОГд,а ча<;:тоц1 <;цг1-щ .щ1 w = (йр = f, а начальная_ фаза


входного сигнала ср0 является оптимальной [при заданной фазе
накачки, соответствующей изменению C(t) по закону (9.46) ].
При (J) = ~ вьiражение (9 .76) переходит ~ следующее :
"'·
Е
.
.
q(t)= (
[siп((J)t + ср0) -
.cos ((J)t - ср0)]
т)
4шL а: 1--
•
mкр ;
1
Ц)
Учитывая , что (J)f- = ;;;Со и а= 2Q, приведем_ последнее выра-
жение к виду:
q(t) = - QCoЕ J/2(cosср0- siпсро)siп ((J)/ -
45 °).
2(1 ..!!!___\
-
m1,r)
В отсутствие параметрического воздействия
q(t) = QC0Еsiп((J)t + <J)o)·
Из сопоставления ампJiитуд последних двух выражений вид·
но, что коэффициент усиления
К~ JГ2 (cos <p0-sin<p0).
2 (1 .!!!. ..)
mкр
Максимальное усиJiение получается при ср0 = - 45 ° иJiи
cro = 135°:
Кмакс = ---т-
(9.77)
!--
т1,р
Заметим, что оптимальное значение фазы входного сигнала
ср0 = -45° или ср0 = 135° отвечают соотношениям (9.64) и рис. 9.9
(действительно, таr{ как напряжение на емкости отстает от вход­
ного cиrнaJia на 90 °, то при ср 0 = -:-45°, фаза этого напряжения будет
-
135n иЛJ\, что то же самое, + 225 °, а при ср0 = 135° соответственно
_+45°).
В практике при усилении реального сигнала с неизвестной
фазGЙ обеспечить оптимальную фазу накачки весьма сложно (иJiи
даже невозможно) .
q
При аткJiонении частоты сигнала (J) от величины ~ усиJiение
падает и, кроме того, возникают биения из-за наличия комбинацион­
ной частоты Q - (J), не совпадающей с (J),
Можно, правда, показать, что даже при расхождении частот
(J) и ~ средняя за период биений амплитуда колебаний получается
большей, чем •в отсутствие параметрического· воздействия , т. е.
39:В


что имеет место усиление сигнала. Однако подобный режим работы
усилителя, при котором возникают биения и связанные с этим
последствия (пульсация амплитуды и изменение фазы результирую­
щего колебания), мало пригоден для практики. В связи с этим
одноконтурный усилитель не получил широкого распространения.
Несмотря на это , отчетливое представление о механизме явлений
в подобном усилителе необходимо для понимания принципов
построения иных, более совершенных параметрических усилителей .
Один из таких усилителей рассматривается в § 9.10.
9.9 . СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ П Е Р ИОДИЧЕ С КИ ИЗМЕНЯ Ю ЩЕЙС Я Еl'vЩ ОС ТИ
ИЛИ ИНДУКТИВНОСТИ
Использованный в предыдущих параграфах математический
аппарат дифференциальных уравнений, необходимый для rы;rснения
физической стороны параметрических явлений, оказываетс я весьма
сложным и громоздким при проведении расчетов параметрич еских
систем, особенно когда эти системы описываются уравнениями
высоких порядков.
Задачу можно сильно упростить в тех случаях , когда рассмат­
риваются стационарные режимы в избирательных параметрических
цепях, находящихся под воздействие1if гармонической э . д . с. При
этом имеется в виду периодическое изменение одного из реактивных
элементов - емкости или индуктивности . • Условие высокой избира­
тельности позволяет считать, что несмотря на изменение параметра,
напряжение на нем остается близким к синусоидальному с часто­
той, равной частоте входного сигнала. Это позволяет ввести в рас­
смотрение схему замещения переменной емкости (или индуктивности)
по отношению к частоте w входного сигнала.
Пусть к емкости C(t) , изменяющейся по закону
С(t) -
Со
-
1+тcos(Qt+ '() '
(9.78)
приложена э.д.с. е (t) = Е cos wt (рис. 9.13, а) .
Определим ток i (t) через емкость С (t). Применяя выражение
(9.6), находим:
i(t)= С(t)ded~) +е(t)d~;t) ~
Со•
(
Е. t)+Е •1rilC0Qsiп(Qt+1 )
1 -1-
(Ot+·)
. - (i) SIП(i)
COSW [!+
(Ot+ )]2
, тcos --
.
)
.
cos "
1
Наложим ус .~овие: т «: 1. Это у словие , з начительно упрощ а ю­
щее выкладки, вместе с тем отвечает р е альны м пара ме трич е ским
устройствам.
399


Тогда можно сч11тать:
l+тcos(Qt+ '() =1-mcos(Qt+у);
т
[1 +mcos(Ш+, 1) ] 2 =т.
С этими упрощениями выражение для тока i (t) может быть
приведено к виду
i(t)= -wC0Еsinwt +mwC0Еcos(Qt+у)sinwt+
+тQС0Еsiп(Qt+у)cosшt
(9 79)
:ag!t)
ш»Q
о-
Q)
Рис. 9.13 .
или в несколько иной форме
i(t)=Е{-шС0sinwt +;С0(w+Q)sin[(w+Q)t+у]+
+; C0 (w-Q)siп[(w-Q)t-yJ}·
(9.80)
Первое слагаемое есть не что иное, как ток через постоянную
емкость С0 , подключенную к источнику e(t) = Ecosшt. Слагаемые
же с частотами w + Q и w - Q являются продуктом периодиче­
ского изменения емкости. Характер этих токов и их влияние на
параметры схемы замещения реактивного элемен:rа зависят от соот­
ношения частот w и Q, а также от у, т. е. от фазь1 изменения емко­
сти C(t).
Для выявления эквивалентных параметров реактивного элемента
целесообразно исходить из энергетического баланса. С этой целью
')~
составим выражение для средней за период Т = ;-· м ощ но ст и, от да -
ваемой источником э .д.с.:
+!.
2
P w = ~ S e(t)i(t)clt.
т
-
?
400
(9.81)


Подставив в это выражение i (t) по формуле (9.79), а также
е (t) = Е cos rot, после несложных тригонометрических преобразо­
ваний приходим к следующему результату:
+~
+~
2
2
nzQCoЕ2s.
nzQCЕ2r.
Pw= 2Т
SIП (Qt + '\') df+ 2;
J SIП(Q[--j- '\') COS2(J)fdf +
т
т
+ 2:_
2
тшС0 Е2 s
.
+
2т
cos (Qt + '\') SIП 2(J)[ dt.
(9 .82)
т
-2
[Первое слагаемое в (9.79) после умножения на Ecos(J)f и интегри-
Т
т
рован ия в пределах - 2
, + 2 обращается в нуль, как это и долж-
но быть для постоянной емкости С0 .]
Дальнейшее рассмотрение целесообразно проводить для двух
режи мов: а) когда Q ~(J) и б) когда Q = 2(J). Пfрвый
режи м характерен для работы модуляционного устройства, а вто­
рой - для параметрического усилителя .
а) Медлеююе изменение C(t) .
Есл и Q настолько мало по сравнению с (J) , что в пределах од-
ного периода Т = ~ множители sin(Qt + '\') и cos(Q t + '\') могут
считаться постоянными величинами, то второй и третий интегралы
в (9.82) обращаются в нуль. Следовательно, при Q ~ (J)
(9.83)
Здесь через
G3(t)=тQС0sin(Qt+ '\')
(9.84)
обозначена эквивалентная проводимость (активная), учитывающая
расход мощности источника э.д.с.
На основании выражений (9.79) и (9 .84) приходим к схеме заме­
щения, показанной на рис . 9.13, 6. К:аждая из трех ветвей: С0 ,
- mC0 cos(Qt + '\') и Gэ(t) = тQС0 sin(Qt + '\') - относится к соот­
ветствующему току в выражении (9. 79).
Первые две ветви чисто емкостные, а третья - активная,
причем G~(t), в соответствии с выражением (9.84), через каждую
половину периода изменения C(t) меняет свой знак. К:огда Gэ(t) •
положительно, энергия отбирается от источника э.д.с. e(t) и пе­
реходит в устройство, осуществляющее изменение емкости; в те­
чение полупериодов, соответствующих отрицательной величине
G3 (t) , наоборот, источник э. д . с. отбирает энергию, которую постав ­
Jiяет устройство накачки. Таким образом, имеет место обмен энер-
14 За,с 2 053
401


1·ией между - указанными двумя источни1,ами, В среднем, за время
21t
!Т расход энергии источника э.д.с. равен нулю.
Заметим, что при т ~ 1 и Q ~ ш проводимость I Gэ(t) / нич-
тожно мала Ц? сравнению с проводимостью wC 0 •
6) Быстрое изменение С ( t) .
С целью упрощения выкладок положим Q = 2ш.
Подставляя в (9.81) выражение (9.80) и e(t) = Ecosшt и произ­
водя почленное интегрирование, убеждаемся, что первые два ин­
теграла от гармонических колебаний с частотами, кратными ш.
обращаются в нуль. Последний же интеграл дает:
+-2:2
Р,,,= mCo(w2--:;,Q)E2 s sin[(ш - Q)t - y]coswtdt =
тС0 wE2
2Т
т
-2
+~2
Jsiп(-шt-у) cos wt dt =
т
тС0 w
.
.
Е2 Е2
=
--SIП~,.-
=
-
G
2
12
2э·
(9.85)
Из этого выражения видно, что активная проводимость, учитыва­
ющая расход мощнdсти источника э.д.с. (на частоте w), равна
G тС0w
.
э = -2-sшу.
(9.86)
В данном случае Gэ не зависит от вре.мени и определяется фазой
изменения C(t).
•
Схема замещения C(t) для этого случая изображена на рис. 9.13, в.
Комбинационная частота Q + ш = Зш этой схемой не учиты­
вается, а частота Q - ш совпадает с· частотой сигнала ш. В резуль­
тате, по отношению к источнику сигнала получается схема с постоян­
ными параметрами. Периодическое изменение C(t) с частотой Q =
= 2w приводит лишь к появлению активной проводимости G,,
• шунтирующей постоянную емкость С0 .
1t
1t
· Рассмотрим следующие три характерных режима: у = О, 2 и - 2
.
Диаграммы кривых C(t) для указанных значений у wзображены на
рис. 9.14; верхняя кривая изображает приложенное к емкостм
напряжение e(t) = Ecosшt .
.402


В первом случае (у = О) С (t) изменяется таким образом, чта
21t
изменение запаса энергии в емкости за период частоты Q
( а также за период t) равно нулю. При этом G9 = О.
То; t
1
1
1
1
t
о 1---------1
---
,--+-~---+-
---+-__,_
t
Рис. 9.14.
Во втором случае (у =f) максимальная скорость нарастания
C(t) соответствует прохождению напряжения через амплитудные
значения; при этом часть энергии, запасенной в емкости, переходит
в устройство, изменяющее емкость. По отношению к источнику .э. д . с.
это равносильно шунтированию постоянной емкости С0 активной
т
проводимостью Gэ = 2 C0 ffi.
7t
Наконец, в третьем случае, при у =
-
2 , когда C(t) -у бывает
в районе e(t) = Е и нарастает в районе e(t) = О, активная право-
т
-
дим0сть отрицательна и равна Gэ = - 2 C0 ffi. Это означает, что
рассматриваемая цепь является не потребителем энергии, а гене­
ратором. Обращаясь . к рассмотренному_ в лредыдущем параграфе
14*


параметриче скому контуру (рис . 9.12) и заменяя C(t) схемой заме­
щения по рис. 9. 13, в, п олу ч им схему, изображенную на рис. 9.15 .
При I Gэ 1 < 1/R система устойчива (пара метрический усили­
тель). При I Gэ 1 > 1/R система неустойчива и возникает пара­
метрическое возбуждение . Отсюда следует, что критическое зна-
ткр
1
2
2
•чение JGэ/кр= 2 С0wP = R и mкр= RCo wP = Q.Этот.резул~.-
L
тат совпадает с (9.68).
'
Результаты, аналогич-
G=f/4
ные полученным выше для
C(t) , нетрудно вывести
также и для периодически
изменяющейся индуктив­
ности L(t).
Исходя из схемы
Рис. 9.15.
рис.9.16,а., при
индуктивности
изменении
по закону
L(t) = L0 [l + mcos(Qt + у)],
находим ток i (t) с помо щью соотн ошения (9.5)
i(t)=
-
1- Ге(t)dt =
.
1
Еsiпwt =
L(t)J
wL 0 [1fmcos(Qt-f - 1) ]
Е
•
=-L [l -mcos(Qt + у)] sinwt
wо
-
i(t)
Lo
Q
e(tJ==Ecoswt
aJ
\
mL 0 cas(wf+j)
Рис.
или в несколько другой форме
Lo
\Lo \
-
mcos(Qt+0)
О)
9.16 .
Lo
G= _!!!_ sinJ'
3 Zr,.JLo
6)
i(t)=Е{w~osinwt- 2:Losinl(ro+Q)t+у]-
-
2:r0 sin [(ro -Q) t -у]} .
(9.87)
(9.88)
(9.89)
'


К:ак и ранее, здесь использовано условие малости т. При Q ~ ffi
схема замещения имеет вид, показанный на рис. 9.16, 6 (в последова­
тельном и параллельном вариантах).
При Q = 2со третье слагаемое в выражении (9.89), т. е. комби­
национный ток с частотой со - Q, приводится к следующему виду:
Е,т.(
E•m
.
Е-т .
•
2wLo Stn ffif +у)= 2wLo COSу SI_Пwt +2wLo SIП у COSffit.
Слагаемое при sin wt
указывает на наличие
добавочной реактивной
т
проводимости 2wLo cos у,
а последнее слагаемое
(при cos wt) - на актив­
ную проводимость
Gт
.
э = 2wLo Stn у. (9.90)
Таким образом, при
Q = 2w получается схе-
ма замещения, изобра -
Рис. 9.17.
женная на рис. 9.16, в.
t
t
Фазовые соотношения между e(t) = Е cos wt, i (t) = w~o sin wt и
индуктивностью L (t), изменяющейся по закону (9.87), видны из
1t
•
рис. 9.17, построенного для у = -
2 . В данном случае отрица-
m
тельная проводимость 0 3 = - 2wLo получается, если при прохож-
дении ток.а через амплитудное значение L (t) убывает, а при
прохождении i (t) через нуль L (t) возрастает.
.
Энергия · вводится в цепь за счет работы, севершаемой устрой­
ством накачки при уменьшении индуктивности, в которой имеется
ток (преодоление сил магнитного поля, стремящихся сблизить
витки и увеличить индуктивность катушки).
9.10. ДВУХКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСНЛЮЕЛЬ.
ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ
В § 9.8 был отмечен существенный недостаток одноконтурного
усилителя: биения между частотой сигнала w и комбинационной
частотой Q - w, которые возникают при отклонении w от вели­
Q
чины 2·
От этого недостатка свободна схема, изображенная на рис. 9.18.
Главные особенности этой схемы за!<лючаются в том, что: а) пере­
менная емкость C(t) не входит непосредственно в колебательный
40.S


контур, а является лишь элементом связи двух контуров и б) ча­
стота накачки Q выбирается с таким расчетом, чтобы комбинаци­
онная частота О - w лежала вне полосы пропускания первого
контура L1 , С1 , в который вводится усиливаемый сигнал. Резонанс-
!
ная частота этого контура wp1 = ✓ LiCi выбирается равной централь-
ной частоте спектра входного сигнала. Резонансная частота Wp2 =
1
= ✓ l 2c; второго, вспомогательного, контура значительно отлича-
ется от Wp 1 , а частота накачки Q выбирается из условия
Q=Wp1+Wp,•
(9.91)
При воздействии напряжения частоты w1 , т. е. входного сигна­
ла, на ем кость C(t), изменяющуюся с частотой Q, в ветви C(t) име-
и,
w,
С(tJ Q
-
l (t)
Рис. 9.18.
ютсятритокасчастотамиw1,Q+w1иQ-
w1= w2. Первые
два тока замыкаются через второй контур, не создавая на нем
заметного падения напряжения; третий же ток с частотой Q -
-
w1 = w2 , близкой к резонансной частоте Wp2 , создает на нем
значительное напряжение. С другой стороны, на первом контуре
устанавливается наqряжение только с частотой w1 , та~< как по от­
ношению к частотам Q + w1 и W2 = Q - (!) 1 первый контур явля­
ется коротким ' замыканием. Тем самым устраняется отмеченный
выше дефект одноконтурной схемы.
Итак, в установившемся режиме в схеме рис. 9.18 действуют
два гармонических напряжения с частотами w1 и w2 , каждое на
своем контуре. Так как емкость C(t) находится под воздействием
обоих напряжений, то энергетический баланс в схеме определяется
режимом накачки при учете результирующего напряжения на C(t).
Оказывается, что по отношению к первому контуру цепь, состоя­
щая из C(t) и второго контура, ведет себя как комплексная прово­
димость с отрицательной действительной частью.
Для более конкретного уяснения принципа работы подобного
усилителя рассмотрим сначала схему, представленную на рис. 9.19,
и используем принцип замещения схемы параметрического элемен­
та, описанный в предыдущем параграфе. От схемы рис. 9.18 эта
схема отличается толы<а тем, что первый контур и источник сигнала
заменены генератором э.д.с. с нулевым внутренним сопротивле-
406


нием, который поддерживает на своих зажимах разность потен­
циалов:
(9 .92)
гдеU1= И1ei'!', -
комплексная амплитуда входной э.д.с.
Через Z2(ш 2 ) на схеме рис. 9.19 обозначено комплексное со­
противление второго контура, весьма большое для частот, близ­
ких к Шр, и исчезающе малое для частот Шр1, Q и Q+u>p1•
Е мко сть С (t) зададим выражением ·
С(t)=С0[l- тcos(Qt+ 1')] =С0-ЛСcos(Qt+ у), (9.93)
где ЛС = тС0.
При т « I выражения (9.93)
и (9 .46) совпадают.
Напряжение на втором кон­
туре запишем в форме
и2(t)=И2cos(w2t+<р2)=
=U2 ei"', t; U2 = И2 ei'!', , (9.94)
с>
C(tJ
u,rtJ
w,
где амплитуда U2 и фаза <р2
Рис. 9.19.
пока еще неизвестны.
Постараемся определить полную проводимость схемы рис. 9.19
между зажимами 1-1 для частоты сигнала ш 1 . По характеру этой
проводимости можно будет судить о влиянии, которое оказывает
емкость C(t) совместно с вспомогательным контуром L2 , С2 на
основной сигнальный контур.
Определим прежде всего ток i 1(t) через емкость C(t), создавае­
мый напряжением u1(t), приложенным фактически непосредственно
к емкости C(t) (так как для частоты ш 1 второй контур не оказывает
заметного сопротивления). Применяя соотношение (9.6), а также
(9.93), можем написать
.
du1
dC
t1(t) =С(t)d[ + и1(t)Л=[С0-ЛСcos(Qt+ у)]Х
х[-ш1И1siп(w1t+ <р1)]+ QЛСsin(Qt+ '\')И1cos(ш1t+ ср1).
Произведя обыч ные тригонометрические преобразования и отбра­
сывая слагаемые с частотой Q + ш1 , получим выражение, анало­
гичное (9 .80):
i1(t) = -U1ш1C0sin(ш1t+ <р1)+ И~:С (Q - w1)X
x sin[(Q -w1)t+1'-(j)1] = -И1Ш1Соsiп(ш1t+<р1)+
(9.95)
.
Первое слагаемое есть не что иное, как ток частоты ш 1 через
постоянную емкость Сп, подключенную параллельно зажимам 1-1 .
407


Второе же слагаемое тока (с частотой w2) созд ает на контуре
L2, С2 напряжение
(9.96)
где CfJz, -
аргумент комплексного сопротивления z2 (ш2).
Сопоставляя выражения (9.96) и (9 .94), находи м амплитуду и
фазу напряжения и 2 :
(9 .97)
Это напряжение приложено полностью к С (t ) и созд ает ток
(9.98)
Знак минус учитывает, что ток i2 (t) и м еет направл ение , об рат-
ное току i1 (t).
•
Подставляя в выражение (9 .98) фор мулы (9.96) , (9 .93) и про­
изведя преобразования, аналогичные тем, к оторые были сделаны
при выводе формулы (9.95), получаем
.
U1 ЛС"'2 z2 (w 2)
С(
t2(i)=
-
2
W2 оCOSWzt+1'-
(!)1 + (J)z,) -
И1 лс2 w2 z2 ("'2) (п
) [(п
)t+
1
-
4
~,-
w2cos~, -
w2
ср1- q,22 =
(9.99)
Первое слагаемое в правой части, представляющее собой не что
иное, как ток частоты w2 через постоянную емкость С0 , подключен­
ную параллельно контуру L2 , С2 , интереса не представляет . Второе
же слагаемое определяет добавочный ток с частотой сигнала w1 ,
обусловленный влиянием контура L2 , С2 • Очень важно отметить,
что амплитуда и фаза этого тока не зависят от фазы у накачки.
Итак, полный ток частоты w1 равен
ХCOS(W1f+(!)1- (J)z,)
или в комплексной форме
•
(t) [и с i(,,,,+f) 1илс2
( )i("',-"'
)]
tw,
=
1W1 ,ое
-
41
W2W1Z2Wz е
'
•22
Х
408


Разделив комплексную амплитуду этого тока /,,, 1 на комплексную
амплитуду сигнала И 1 ei'f',,
найдем полную проводимость схемы
рис. 9.19 между зажимами 1-1:
у(ffi1) = iffi1 Со - 3⁄4 ЛС2rо1 ffi2 Z2 (ffi2) e-l'f'z,.
Но z2 (ffi2) e-i'f'z , есть функция, комплексно сопряженная по
отношению к сопротивлению z2 (ffi2 ) ei'Pz,. •
Обозначая эту функцию через z; (ffi2) =
чательно
у
ЛС2W1(J)2z*( )
·
с ЛС2 (J)l ""2
(ffi1) = iffi1 Со -
4
2ffi2=tffi1о--~
* --" -- ---"
4У 2(w 2)
(9.100)
Итак, дополнительная проводимость, обусловленная периоди­
ческой модуляцией емкости и . наличием второго контура, равна
ЛС2w1 "'2 z; (w2)
дС2 (1)1 (1)2
у(ffi)- - ------ - ---
э1-
4
-
4У;(w2) · ,
(9.1 О 1)
К:ак уже отмечалось выше, фаза ·'У накачки не .оказывает влия­
ния на величину эквивалентной проводимости . Следовательно ,
режим усилителя не зависит от фазы сигнала .
,
Некоторое изменение частоты сигнала, не выходящее из поло­
сы пропускания первого и второго контуров, также не нарушает
режима усиления.
Основываясь на выражениях (9.100)~(9.101), можно рассчитать
частотную характеристику и полосу пропускания двухконтурног о
параметрического усилителя.
Не останавливаясь на этом расчете, рассмотрим режим резонан­
са, когда разностная частота ro2 = Q - ffi1 равна точно резонанс ­
ной частоте второго контура и Y2(ffi2) - чисто активная проводи­
мость. При этом Уэ(rо 1) - действительная и отрицательная величи­
на. В частности, для схемы , изображенной на рис . 9.18, резонансное
значение Уэ( ffi1) равно
•
(9.102)
Переходя от схемы рис. 9.19 к схеме двухконтурного усилителя ,
показанного на рис. 9. 18, нетрудно определить эффект от подключе­
ния отрицательной проводимости Gэ к положительной проводимости
G1 = 1JR 1 сигнального контура (при резонансе). Именно, получается
частичная компенсация потерь первого контура, что эквивалентно
усилению сигнала.
К:ак и в случае одноконтурного усилителя (см. § 9.8), если от­
рицательная проводимость Gэ превышает по абсолютной величине
положительную проводимость G1 , то схема становится неустойчивой
14В . Зак. 2053
409


и наступает режим генерации. Таким образом, условие устойчивости
в данном случае можно сформулировать в виде следующего нера­
венства:
(9.103)
Из проведенного рассмотрения можно сделать вывод, что по
отношению к входному сигналу параметрический усилитель пред­
ставляет собой, по существу, линейную систему с постоян,н,ымu па­
раметрами. Влияние периодического изменения емкости C(t) сво­
дится лишь к созданию отрицательной проводимости, н,еuзмен,н,ой
во времени.
Поглоти­
тельная
наzрузха
B::т:odнoti сигна л
w,
/
'
ВыхоiJной
ЦllPl<IJЛЯmop
загр_аоитель-
!'Ый qщльтр
ilля частоты
нахачх11 Q
сиzнал
Рис. 9.20 .
Ге нера тор
нахаvхи1 9)
Пapa мem_­
puvecxu u
усилитель
Очевидно, что при анализе передачи сигналов через подобную
систему можно применять обычные методы, разработанные для
цепей с постояНRыми параметрами (см. гл. 5 и 6) .
Остановимся, в заключение, на некоторых принципиальных
конструктивных особенностях параметрического усилителя.
Дело в том, что в обычных электронных и полупроводниковых
усилителях обеспечивается развязка «входа» и «выхода»: в ламповом
усилителе сигнал вводится в сеточную, а выделяется в анодной це­
пи, в полупроводниковом усилителе также имеются разделенные
входная и выходная цепи.
Ин аче обстоит дел о в параметрическо м усилителе свер хвысоких
частот, в котором ус иливае мый и усиленный сигналы действуют, по
-существу, в одних и тех же точках колебательной системы.
•
Другой особенностью параметрического усилителя яв ляется
необходимость применения двухчастотной колебательной системы,
в которой элементом связи между отдельными контурами является
управляема я (напряжение м накачки) емкость.
Таким образом, проблема реализации двухконтурI;IОГО усили­
теля СВЧ, основанного на периодическом изменении емкости,
сводится к практическому решен ию следу ющих трех задач: а) соз­
дание конденсатора, допускающего безынерционное изменение ем-
410


кости с помощью высокочастотного напряжения; б) разработка
двухчастотной колебательной системы, конструктивно представля­
ющей одно целое с управляемым элементом связи, и в) разделение
входного и выходного сигналов.
Первая из этих задач успешно решена современной полупровод­
никовой техникой, приведшей к созданию электронно-управляемых
емкостей.
Вторая задача, т. е . создание двухчастотной колебательной си­
стемы, не представляет сложности для современной техники СВЧ.
Обычно для этой цели применяются полые резонаторы.
Наконец, третья задача, т. е . разделение входного и выходного
сигналов, успешно осуществляется с помощью ферритовых цирку­
ляторов.
Сочетание перечисленных выше элементов и приемов приводит
к своеобразным схемам параметрических усилителей, один из воз­
можных примеров которых изображен на рис. 9.20.
На этой схеме входной сигнал (с частотой ffi 1) с циркулятора
попадает на параметрический усилитель, а также на выход , но
усиленный сигнал с параметрического усилителя может пройти
через циркулятор только на выход .
Заградительный (режекторный) фильтр, настроенный на частоту
Q, преграждает путь частоте накачки в циркулятор и связанные
с ним цепи.
На более подробном рассмотрении схемных и конструктивных
особенностей параметрических усилителей мы не останавливаемся,
так как это входит к задачу специальных курсов.
Отметим, в заключение, что приведенная в данной главе теория
охватывает лишь основные вопросы, связанные с энергетическими
соотношениями в параметрической системе.
В настоящее время широко применяются разнообразные схемы,
в которых процесс усиления сигнала сочетается с процессом преобра­
зования частоты.
14В*


ПРИЛОЖЕНИЕ
О пределение спектра частотно-модулированноrо колебания
методом функции корреляции (к rп. 4)
Дл я иллюстрации этого м е,•rода рассмотрим важный для практики случай
шу1,1 овой частотной м одуляции, когда мгновенная частота колебания опре­
д еляется выражением
" ' (t) ="'о+ Кчм и (t) ="'о+ Лw (t).
(I .1)
Здесь и(t) - модулирующее напряжение, распределенное по нор м аль­
н о м у закону (с нулевым средни м значением) , Кчм ~ коэффициент пропорцио­
нальности (крутизна характеристики частотного мод у лятора) .
Та к им образом, частотное отклонение Лw= КчмU (t) является случайной
н ор м ально распределенной величиной с центром распределения в точке
Лw=О.
Дисперсия (средний квадрат) частотного отклонения
(I.2)
где tj, 1, (t) - автокорреляционная функция мод улирующего напряжения
u(t) [см. (2.108)].
Обратимся к определению корреляционной функции мод улированного
ко л ебания a(t), частота которого из м еняется во времени по закону (I.l).
Применяя выражения (4.25) - (4.26), представим модулированное коле­
бание в форме
а(t)= cos[w0t+0(t)]= cos0(t)cosw0t- sin0(t)sinw0t=
=ac(t)-a8 _(t),
{I .3)
Здесь
t
0(t)= S Лw(y)dy
(I. 4)
-00
представляет собой набег фазы колебания к мо м енту t, а ac(t) и a8 (t) - соот­
ветственно косинусоидальная и синусоидальная части фJ;нкции a(t).
При обозначениях, сделанных в выражении (I .3), автокорреляционная
фун1щи я колебания a(t) может быть представлена следующим образом:
Фа('t)= а(t)а(t+ 't)= [ас(1)-а3(t)][ас(t+ 1:) - а8(t+ 't)]=
Черта над· функцией обозначает операцию усре,цнения по времени.
412


При~1еняя формулу (4. 13), можем написать
1
ас(t)ac(t+ 't)=2 cos(1)0'tcosе(t)cosе(t+ 't),
as(t)as(t+ 't)={ cos(1)0 't sin0(t)sin0(t+ 't),
Складывая выражени я (I,6) и (I. 7), получае м
1
(1.6)
(I. 7)
ас(1)ас(t+ -.:)+ а8(t)а8(t+ 't)= 2 cos(l)o't cos[0(t+ 't)-0(t)). (I.8)
Подобным же обра::>ом можно составить выражение
1
•
а8(t)ас(t+ 't) + ас(t)а8(t+'t) = 2 sin(1)0 't sin[0(t+'t)- 0(t)]. (l.9)
Подставляя полученные соотношени.я в (1 .5), при ходим к · следующему
обще му выраж ению для искомой корреляционной функции,
1.
~ a('t) = 2 cos(l) 0 't cos[0(t+'t)-0(t)J
1
- 2 sin (l)o't sin [0 u+'t)-0 (t)].
(I. 1О)
Следует иметь в вйду, что величина 0(t), получаемая из д(l)(t) линейньzм
.
преобразованием (I.4), распределена по нормальному закону. По такому же
закону распределена и разность
•
х=е(t+'t)~е(t).
(I.11)
Запишем плотность вероятностей случайной величины х в виде выражения
где дисперсия х 2 подлежит еще оп .ределению .
Основываясь на выражении (I.12), находим
· +оо
cos[O(t+ 't)- 0(t)]= cosх= J cosхр(х)dx=
· -оо
+оо
х2
х'
1
s-~
--
= ----=== -
cosхе•2х•dx=е 2,
v21tn
•
-00
+оо
sin[6(t+'t)- 0(t)] =siпх=Jsinхр(х)dx=
•
-оо
+оо
х•
-
---
1--. Ssinхе-. 2xidx= О.
-
✓?1t Vx 2
-00
(I. 12)
(I .13)
(I .14)
413


Подставляя (I . 13) и (I.14) в (I.10), получаем
х2
1
--
о/а{'t)=2 cos w0-i:e 2
(I. 15)
Теперь необходимо определить х2, т. е. средний квадрат набега фазы
колебания за промежуток времени -r [см. выражение (I.11) ]. С этой целью
перепишем (I .11) следующим образом:
1+s
t
х(t, -i:) = 0(1+-i:)- 8(t)= Jдw(у)dy- Sдw(У)dy.
-00
-00
Подставив в правую часть этого выражения
дw(t)=Кчми(t)
и сделав в первом интеграле подстановку
У= У1 +-i:,
получим
1
х(t, -r) =Кчм J[и(У1+-i:)- и(У1)]dy1,
· -оо
(I.16)
Для определения среднего квадрата х (t, -i:) необходимо предварительно
найти средний квадрат подt'1нтегральной функции, т. е. разности и (t + -i:)-
-
и (t):
[и(t+ -i:)- и(t)]2 = и2(1+-r)--+,- u2(t)- 2и(t+ -r)и(t).
В рассматриваемом случае и (t) является стационарным случайным
процессом; следовательно
а
и(t+ -i:)и(t)=Фи(-r),
)
и2(1+-r) = 112(1)=о/и(О).
(! .17)
Предполагается, что энергетический спектр W и (Q) модулирующего на­
пряжения и (t) известен. · тогда можно [см. (2.136)] написать
1....
Таким образом,
4t4
00
о/и (-i:) = i1t s\V и (О) cos Q-rdQ,
о
00
о/и(О)= 2~ s\Vи (О) dы.
о
00
= +sWи (Q) (1- cos 0-i:) dQ.
о
(I. 18)
(I. 19)


Из теории случайных процессов известно, что при интегрировании ста­
ционарного процесса с энергетическим спектром Wu(Q) получается новый:
процесс, энергетический спектр которого равен Wu(O)/Q2 ,
Следовательно, для определения среднего квадрата интеграла от раз­
ности u(t + 't) - и(t) можно воспользоваться выражением (1. 19), заменив
в нем Wu(Q) на Wu(Q)/Q2.
•
Та!,ИМ образом, для среднего квадрата выражения (1. 16) можно напи-
сать
•
00
х2('t) = К&м ·+sW~~Q) (1 - cos Q't) dQ.
о
(I.20)
Итак, корреляционная функция '1/a('t) модулиро,ванного колебания оп­
ределяется выражением (1 . 15) , а входящая в это выражение величина х2 --
соотношением (I.20) .
Теперь можно составить выражение для энергетического спектра коле­
бания, частота которого модулирована шумовым сигналом u(t).
Применяя соотношение (2.135), получаем
оо
оо
х2
Wa(w) = 4 S'1/a('t)COSw'td-c = 2S cosw0 -c,e - 2 cosw-cd-c=
о
о
00
;i
00
= S cos(w-w0)-c•e- - 2
-dec ,+ J
u
о
х'
cos(w+w0)ес•е-тdt.
(I.21)
Второй интеграл в правой части этого выражения можно отбросить
ввиду медленности изменения экспоненциального множителя '}О сравнению
е cos (w + w0)ec.
В дальнейшем исходим поэтому из выражения
оо
х' (~)
Wа(w) =Scos("' -
w0)есе- -2
~d't,
о
(I. 22)
Из этого соотношения видно, что структура энергетического спектра
Wa(w) зависит от характера функции х2(ес) и, в конечном uтore, от спектраль­
ной (или корреляционной) характеристики модулирующей: функции u(t).
Рассмотрим два характерных режима модуляции.
1. Медленное изменение частоты. Условие медленности можно сформу­
лировать так же, как это принято при синусоидальной частотной модуляции:
девиация частоты велика по сравнению с модулирующей частотой. При шу­
мовой модуляции под девиацией следует подразумевать, в соответствии
с выражением (1 .2) величин у.
-
Лшэф= VЛw2(t) = Кчм "Jfq;,, (О).
(I .23)
Скорость же изменения мгновенной частоты анализируемого колебания
характеризуется наивысшей частотой Qm модулирующей функции u(t) .
.
Таким образом, условие медленности модуляции сводится к неравенству
Лwэф Кчм ✓t,, (О)
-
-
=- ----»1.
Qm
[lm
(I. 24)
При выполнении -этого неравенства экспоненциальный множитель в
выражении (1.22) с увеличением -с очень быстро убывает. Основной интерес
415-


поэтому представляет область малых значений" и относительно низких моду­
лирующих частот Q, Можно поэтому в выражении (1 .20) положить
Q2 't2
cosQ't=1- -2
-
,
что сразу упрощает вычисление:
со
-
-
2
1 JWu(Q) Q2 ,:2
х2 (1:) =Кчм. -
------ВГ. - 2
-
dQ=
7t
--
•
о
со
= к~,;.,. ;: swll (Q) dQ === К~м о/а (0),,:2 ,
о
Подставив это выражение в (1 .22), находим
со
' wa(w)=Se
о
1 у2ТТ
cos(w- w0) ,:d;; =
-
--- е
2 Лw3ф
(I .25)
(I. 26)
Напомним, что амплитуда высокочастотного колебания была принята
равноi'i 1 в [см. выражение (1.3) ], так что коэффициент 1⁄2 соответствует сред­
ней мощности колебания.
ЛwФ
Формула (I.26) справедлива при условии, что Т > 3-: - 4 .
--т
Рассмотрение выражения (! .26) показывает, что при частотной моду­
ляции нормально распределенным сигналом u(t}, спектр которого узок по срав­
нению с эффективной девиацией, распределение мощности в спектре модули­
рованного колебания совпадает по форме с дифференциальньш законом рас­
пределения модулирующей функции и(t).
Это положение тесно связано со свойства м и модулированного колеба­
ния при медленном изменении частоты , выявленными в § 4.9 с помощью
метода стационарной фазы.
График энергетического спектра Wа (w) изображен на рис. I. l, где нз
w
w
2Лw3ф
оси абсцисс отложено -=- .! ! а на оси ординат ,r- W а (w).
Лwэф '
/1 21t
416
2L1w Ф
, г:.= Wa(w)
V 211'
'1
,
V
[
-2 ,0
1/
1/
1/
/
,
,
1.,,
- 1,0
f,0
1/
!'-
'
''\
~5
1"-
1'\
1'.
!'-...
'
{)
f,O
г,о
Рис. 1.Г:-


"
о
дооэф
2. Быстрое измен ение частоты: - - - - « 1. Полагая энергетический cne r<тp
Qm
Wи (Q) модулирующе го напряжения и (t) равномерным в столь широкой
полосе частот, что на границе полосы (при высшей частоте Q,,,) мн о житель
1/Q;, в выражении (1.20) близок к нулю, мы може~ r упростить (I .20) сле ­
дующим образом:
00
x2("t)=Ktм W~(O) s
о
K~мWu(O) 7t
=-----
't-
7t
2
1-cos Q't dQ =
&22
Кtм 1~11 (О) 't
2
Домножив числитель и знаменатель правой части на От= 21tF 111 и учи­
тывая, что Wи (О) Fт = и 2 (t) = ~и (О), получаем
Подставим это выражение в (I. 22)
Обозначим:
'Тогда
00
7t
• 1 s--а'у
Wa(oo) =-
g
е2
cosby,dy.
·т
о
Выполнив интегрирование, получим
7t2
-G
2
а2
(7t
0)2.(w- w0)2•
-2G" +
_
(_) _
'"' ·1п
(I. 27)
(I:28)
(I.2Y)
(I.30)
График функции 4Fm Wа (оо), построенный по формуле (I 30) д ли пара­
дооэф
метра а= -- = 0,25 , изображен на ри с . 1.2 (кривая /).
,
Qm
417 .


Кривая JV на этом же рис унке, построенная по формуле (I.26), при­
,веденной к виду
-соот ветствует параметру а = 2 .
Кривые // и //1 (для а = 0,5 и а = 1,0) получены путем приближенного
11птегрирования выражения (I .22).
~
-
1,5
1
1,01 п
-
1
'
-liШ
,,'
\ 1'\.
0,5
1
'
1\.1\
\'\
~-
п;
"
\ I'\.
1'...
-1 --
-- г-,..
, .....
'-...
- ......
,._
о
1,0
2,0
3,0
Рис. 1.2 .
Таrш м образом, кривые / и I V характеризуют W a(w) при быстрой и
медленной модуляции, а кривые // и /// - в промежуточных случаях, ко­
гда эффекти в ная девиация частоты Лwэф соизмерима с полосой модулирую­
щих частот.
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
:к вопросу о днскретнзацнн узкополосных снrналов (к rл. 4)
Для дока з ательства справедливости пр едставления s(t) в виде ряд а
(4.102) введем комплексную функцию времени
у(t)= s(t)- is1(t),
(II.1)
где s(t) - заданный сигнал, спектр которого о г раничен полосой частот от
w1 = 2nf1 до w 2 = 2тсf 2 • а s1 (t) - функция, сопряженная функции s(t) по
Ги льберту (см ~ 4 8)
418


Тогда, если исходному си гнал у s(t) соответствует выражение
(II .2)
то сопряжен ной фунiщии s1 (1) соответствует аналогичное выраже ние
(см. § 4.8)
Сл едовательно, выражение (II .1) можно записать в форме
'
ш,
1('
'
у(t)= ;--JS(w)е'шtdw,
(II.4)
'"1
~рич е м· исходный сигнал s (t) является действителr,ной частью это го выра •
жения
s(t)=Re[У(t)].
(II.2 ')
l(ак и в § 3.5 [ см (3.28)], разложим спектральную плотность S (w) в ряд
Фурье; однако в данном случае этот ряд относим к интервалу w 2 - о , 1
(ане-Qт, +QmJ
(II .5J
n=--co
Здесь к о о ффициенты ряда Ап определяются выражением
(П.6)
Ср авнивая это соотношение с (II.4), замечаем, что при подстановке
в(П.4)t= 21tn
получается следующее выражение для коэффициента А 11 :
Wz-
(J)l
Таким образом, ряд (II .5) приводится к виду
1
S(w)=2
- j-oo
~n=-
00
(II. 7)
(II. 8)
419


Подставим это выражен ие в (Il.4):
-!~-се ( 2тт ) "'i' iw (1- w,~:, )
у ---
е
·
dю.
Wz-
"'1
n=- 00
Wl
Выполнив интегр и рование, при ходим к с ледующему результату;
(II .9)
Учитывая, что
w
"'2= "'о+ 21t Т ="'о + 1tW,
w
"'1="'о- 21t2 ="'о- 7tW,-
получаем
[
•
(
2~п )
(
2~п )]
•
( п\.
-:- е
"'2
w,
-
е
"'•
"'1
=2sш1tWt- -
е
w
1 1w, 1----=--
lw, /---_ -
,
(
n)tro0 1-- }'
l
W_.
.
•
Учитывая, кроме того, выражение (11 . 1), запишем ( 11. 9) в форм~
+оо
у(t)=7tlW~[.s(;)-1s1(:)]
n=-oo
.
( 11) iш0(t-
_':'_}
SIП1tW i- W е
ш
п
t--
w
Для получения окончательного· результата остается выделить действп­
тельную часть у (t).
Таким образом,
420


ф"~'"''и:jJ (! l. 1О)
Но в соответствии с (4.56)
Jfs2(~)фsi( ~)= А( : )-огибающая сигнала s(t)в момент t=
п
w
Так им образоч, окончательно при х од и м к выраж е нию (4:102)
+оо
""'
sinтсw(t- плt)
s(t) = ~ А п 1tw(t-nлt) cos[o.> 0 (t-nЛl)- ~пJ ,
n =-CO
(! I .11)
1
Здесь через Л1 = -
обозначен промежуток м ежду дв умя отсчетны м и
w
точками на оси времени.
ПР ИЛ ОЖЕНИ Е 111
Возде й ствие сиrнало в с быстро изменяющей с я ча стот ой
эаnоnнения на избирательную систему (к гл. 6)
Исходим из выражения (6 .75):
' Jfit'" о.> р
{ ✓-iwt[z2_z2
]}
Uвь,х (l) = 2-vi ✓f e- at.rm
-
ieре2
1w(Z2)-w(Z1) . (III.1)
Обраща ясь I< формулам (6.73)-(6.74) для Z1 и Z2, выделим в них дейст­
вител ь ные и м ни м ые части и, кроме того, выразим их через обобщенные па·
раметры контура.
Тогда
Z1=аv'i~;P= ;2~• :т(1- iО):)=
=~•
У2 (l-i2Q)=..! __ a_[(l-2Q)_-i(I-t,2Q)] .
✓2[3 о +i)
2✓r
(III .2) •
_
1+i
О)р
Здесь учтено , что ✓i = 112 и что -;;- = 2Q , где Q- добротность
контура.
_
Далее, учитывая, что t = '::_!!) [см. (6.65) при о.> 1 = О], переписываем
.
~
формулу (6. 74) дл я Z 2 следующим образом:
_
.. /$ w(t)
io.>P
,
а_а
_1_[
.
о.> (1) - о.>Р]
Z2- y2·-~-- Yi2i3f, -Vi2r -1'2~
-vr I+t
а•
421


Испо льзуя ·далее обозначения формул (6. 77) и (6. 78) , получаем-:·
а
1
1а
=-V 2P 111 [1 - .+-i a(/)]= 2 -✓ r {[I+a(t)]- i[l - a(t)] }. (Ш.З)
Из выражения (III.2) видно, что JiaI< действительная, так .и мнимая ча•
стн аргумента Z1 отрицательны, причем по модулю Z1 очень велико (при
Q» 1 и не слишком больших ~)-
Учитывая, что 1
w(-Z)= 2e-z•-
w (Z),
(Ш.4)
а также, что при больших по модулю значениях Z (из перво го квад­
ранта) имеет место асимптотичес1<0е представление
i
w(Z)=
,;-
,
r 1tZ
в дальнейшем исходим из соотношения:
а
Это приближенное равенство справедливо при ✓- Q » I.
~
•
Подставляя это выражение в (!11.1), получим:
(Ш.5)
(Ш.6)
·-
у"п~-а/ {
.,- iш Irz~-zf
- zf]}
UвыхU)-2}12✓fе Im - 1/1е Р le
w(Z2)-2e
.
(Ш.7)
\
Основываясь на формулах (III.2) и (IIJ.3), находим:
2а2
а2
zf=
-
ТQ- i2J(1_ 4Q2),
а2
а2
Z~=-
~
a(t)+iт[a(t) - 1].
Кроме того, предстаБим функцию w (Z 2 ) в форме
w (Z2) =и(х2, У2)+iv(х2, У2)-
(Ш.8)
(III.9)
(Ш.10)
Для приведения выражения (III. 7) 1< виду (6. 76) разобьем ось абсцисс
на,рнс.6.25на отдельныеобласти: а(t)<-1, а(t)>+1и-1<а(t)<s;/'- l.
В первой области как действительная, так и мнимая части аргументэ
Z2 отрица-rельны . Поэтому, в соответствии с (III.4),
-Z~
w(Z2)=2е
-
w(- Z2)
1 См. сноску на стр. 283.
422


и выражение в 1<вадратню:: скобках формулы (III. 7) упрощается:
z2-z2
-z~ z2-z2 [ -z2
J -z2
е'2 1w(Z2)-2e 1=е2 12е 2-w(- Z2) -.2е 1=
где
и
Z~- zf
=-е
w (-Z2) .
Но в соответствии с (6.73) и (6.74)
Следовательно
Z2z2-~,2
•
t -"-
t
2-
l-2
-
IWpТа•
Представив функцию w (~ Z 2) в форме
i~t'
~t2
.
.
~t2
е2 =COS2-ф-1SJП2 ,
получаем:
i(3t'
(!+i) . (
~{2
~ {2)
(Тw(-Z2)е 2 = yf (и-+-iv) cos2 +isin2
=
Подставим мнимую часть этого выражения в (III .12):
(Ш.11}
(Ш.12 }
(III. 13}
423;


Отс юда с лед ует, что огибающая в ы ходного напряжения
(Ш.14)
а фазовый . сдвиг
(III. 15)
а
При очень медленном из ,rенении частоты щ (t) , когда параметр ✓ if во
много раз больше единицы, можно воспользоваться асимптотическим пред ­
ставление м (III. 5):
(III.16)
(Нап ом ниы , что - Z2 в первом квадранте).
П одс та вля я (IIl . 16) и (Ш.3) непосредственно в (Ш . 12), сразу получаем:
и:Ъ,х(t)= ::2;~Im( - JП ✓•
.~:-:!+ ;,(/)]) =
2~J1t
i (31'
= V:_. ~.
а_._I_
. 11 2]3Im(е-2-.e- iarctgа}=
✓22:t ✓Р Yn а lV1+а2(t)
.
Q
.
[ ~[2
]
=
f
sш -2
-
arctg а (t) =
11+а2(t)
Q
[ ~t2
7t
]
_
1
cos -2
-
-
2- arctgа(t) =
r 1+а2(t)
(Ш.17)
7t
где 'fст = 2 + arctg а - фазовый сдвиг выходного напряжения (на емкости)
в стационарном режиме при пос т оянной частоте щ, соответствующей рассмат­
ривае м ому значению a ( t).
Этот рез у льтат, полученный с целью упрощения выкладок для области
а
a(t) < -1, м ожет быть при 1/i3 » 1 выведен также и для всех других у част-
ков резонансной кривой конт у ра.
.
Расс мотрим теперь режим быстрого изменения щ(f), когда величина ~
настоль ко велика, что д;1 на м икой процесса пренебрегать нельзя. Так как
наиболее интересные явления возникают после прохода щ(t) через резонанс,
то с целью упрощения выкладок рассмотрим только область a(t) > + 1.
В это м случае Z 2 нахо д ится в ~ервом квадр.анте и необходимо исходить из
424
,·


общего выражения (111.7), которое с учетом (IIl.11) может быть записано
в следующем виде:
(III .18)
Преобразуем по1<азатель степени во втором слагаемом в квадратных
скоб1<ах, подставив в него
(1)
t=f+лt=t0+лt,
(1)
~ где t 0 = · f- время, необходимое для изменения частоты w (t) от О до «>р,
•? а дt - время, соответствующее расстройке Лw (t) и, соответственно, а (t).
Т~ким образом
(III. 19)
awp 2а2
•
Лw (t) а2
Здесь учтено, что-~-= 13_Q и что ад!= а-~-= Та (t).
По,цставляя (Ш.19) в (III.18), получаем:
-
~; a(I) i [wPI- : ~ (4Q'-IJ]]}.
-2е
•е
(III.20)
.
а
Напомним, что это выражение получено в предположении, что V~ Q ;,) 1.
Выражение (111.20) наглядно показывает, что первое слагаемое в квадратных
скобках имеет смысл произведения входной э. д. c. · ei~I'/, на ;<Динамическую»
передаточную фун1щию 1J'J(Z 2) и у читывает вынужденную составляющую
выходного напряжения; второе же слагаеr,ое соответствует свободному ко­
лебанию с частотой wp,
а'
-- а(1)
Удельнь1й вес этого слагаемого зависит от множителя е 13
, кото-
рый должен быть сравнен с модулем функции w (Z 2).
Осцилляция огибающей U(t) после прохода w (t) через wp (см. рис. 6.25)
а
возникает при значениях параметра _ У~, ~ри которых указанные выше
величины являются соиэмеримыми.
Ш Зак. 2053
425


ПРИЛОЖЕНИЕ IV
К решению дифференциаnьноrо уравнения
параметрического контура (к rn. 9)
Задано уравнение Матье
у"+(о+• cos2't)у=о
и общее его решение
Требуется определить μ, е 1 и е 2 .
(IV. 1)·
Подставим в исходное уравнение (IV .1) сначала одно из решений,
например у1 .
Тогда
у;= {- [tJ, sin ('t ..t,- е1) . .t,- cos ('t --s/7- е1)]
. .t,-
..t,- [μ 2 cos ('t ,Н1)-μ sin ('t + e1)J} e!J.' .
Слагаемое μ 2 cos (, +· е 1 ) ыожет быть отброшено как· величина второго
порядка малости.
Подставляя у1 и у'; в уравнение (IV.l), получаем
1
1
Уqитывая, что cos2'tcos('t+е1)=2 cos('t - е1)+2cos(3,+е1) иот-
брасывая слагаемое с утроенной частотой, прихо,дим к следующему выра­
жению, в котором сгруппированы слагаемые, содержащие sin 't и cos ;с:
sin 't {[1-(о-!)] sin е1 - 2tJ, cos е1} +
+cos't{[;4(о- !)]cosе1- 21-1sinе1}=о.
Приравнивая нулю коэффициенты при sin 't и cos "• получаем два урав­
нения для определения .fJ- и е 1 :
(IV.2)
426


Умножив первое из этих уравнений на sin ; 1 , второе на cos ; 1 и вычи.
тая второе из первого, получим
или
(IV .3)
Умножив затем первое из уравнений (IV .2) на cos ; 1 , второе на sin е1
и складывая, получаем
или
(IV.4)
Выражая sin 2е1 через cos 2е 1 и учитывая формулу (IV.3), приходим
к выражению (9.59)
(IV.5)
Е
Заметим, что поскольку выражение (IV.3) имеет смысл для I о.....;. · 11 < 2 .
то определяемая формулой (IV.5) величина /J. является действительной (по­
ложительной).
Для определения е 1 воспользуемся одним из уравнений (IV.2), напри­
мер вторым. Разделив его на cos е 1 , получим выражение (9.60):
(IV.6)
Аналогичным образом нетрудно убедиться, что при под,становке в урав­
нение (IV .1)
11олучается следующее выражение для е 2 :
Таким образом,
15*
(IV.7)
(IV.8)
427


ПРИЛОЖЕНИЕ V
К реwенню уравнення одноконтурноrо
параметрнческоrо уснлнтеля (к rn . 9)
В соответствии с выражением (9.75), решение уравнения (9 . 70) имеет
следующий вид:
(V. l)
В этом выражении
(V.2)
(V.3)
(V.4)
4wzв
Предполагается, что о= 02 = 1, так что в соответстви.и с выраже-
ниями (9.59) и (9.50)
(V.5)
Дифференцируя выражения (V.2), находим
у;(,:)= [f'· cos ('t + 45°) - siп (,: +- 45°)] ef'- ';
(V.6)
y;(,:)=[-μcos('t-45°)-siп('t-45°)] e-f' - <,
(V.7)
Знаменатель подынтегральной функuии в выражении (V.1)
У1(х)У;(х)- у'1(х)У2(х)= 1- f'· cos 2х ::::: 1
(ввиду малости μ).
(V.8)
Подставляя этот результат, а также (V .2), (V.3), (V.5), (V.6) и (V.7
в общее выражение (V .1), получим
)
.!!! ,
s" -.!!! х
4Е~х 2ш
y('t)=- е 4 cos ('t+45°)
_е 4 cos(х-45°)Q2Lе9 cos(Qх-ф-'fo)dx-1⁄4
-оо
•
т
't'
т
2а
-
-
,
s
-
х
4Е ох (2ш
)
+ е 4 cos(,:-45°) е4 cos(х-+45°)g2Lе' cos Qх+'fo dx.
-оо
(V.9)
428


Совершаем теперь переход от _у I< заряду
q (t) = ye-at,
g(
а также от безразмерного времени ,: к 2 t соответственно под интегра-
g)
ламиотхк2х1.
Тогда выражение (V . 9) переходит в следующее:
2~
·т-аt.
g
-
8к,
(
(то )
2,;о то
q(t)=
-
[nе
cos (2 t-ф--45°) Jooе
х
2°/2 то
]
(g
)s8х, (g
)
Хcos 2 t- 45° -оое
cos 2 х1-t- 45° е•х, cos(u,x1 +'f'o) dx1 •
Преобразуем подынтегральные фуюшии:
,
cos (~х1- 45°)cos(u,x1+'f'o) ={ cos[(~2
-
u,) х1- ('f'o +45°)] +
4'{ COS [ ( ~ +оо)Х1+('f'o - 45°)],
(g
••)
1[(g)
]
cos 2 х1+45° cos(оох_1+'f'o) =2 cos 2 - оо Х1
-
('f'o - 45°) -t -
+{COS[(~-f'- оо)Х1
-f'- ('f'o + 45°)].
(g)
Косинусы суммарных частот 2 + u, ,
сравнению с разностными частотами),
опущены.
как высокочастотные функции (по
при интегрировании могут быть
Таким образом, выражение для q (t) принимает следующий вид:
Е - а-___.:: 1
Q
.
а-- х,
1(,nQ)
2,;2 ( то)
q(t)=- QLе
8
cos (2 t+45°)J00е
8
Х
4.19


Выполнив интегрирование и произведя несложные тригонометрические
преобразования, приводим это выра~кение к виду
+
m!J.
а.-т
Х cos (ыt -,t-q,0) +
а.-т + 2-"'
a.+s + т-"'
( тQ)2 (Q )2+( тQ)2 (О )2
-
\
г
тQ
а. -т
Х sin(wt +q,0) -
Q
Xcos[(О- ы)t- q,0]-
о
т-w
2-w
_(а.- тв!J.У + ({- wy- (а.+ твQ)2 +(~ - wy
x,;n[(O-o)t-,,) }·
Учитывая, что в соответствии с (9. 68)
О 2ысв
s;;=aa = m,p'
получаем
m!J.
(тQ)(m)
а.- 8
= а.1-в;
= а.1-mкр
'
а.+m!J. = а.(1+ ~) .
8
ткр1
х
х
х
(V .11)
Если глубина изменения пара метра m близка к mкр, то можно считать
тQ
m!J.
а.-т«а+в•
Отбрасывая в выражении (V .1 1) дроби. содержащие в зна мена теле
( тQ)
а.+ 8 , при ходим к приб лиженно му выражению (9. 76).
430


ПРЕДМЕТНЫЙ УК~ЗАТЕЛЬ
Автокоррелqционная функция сиг­
нала 78-85, 222, 223, 412
-
-
-
амплитудно-ыодулированно­
го 134, 141-144
-
-
-
детерминированного
ко-
нечной длительности 79
-
-
-
периодического 84, 90, 91
-
-
им п ульсной характеристики
линейного фильтра 222
-
-
и спектральная характерис-
тика 89
-
-
периодической последователь ­
ности прямоугольных импульсов
87
-
-
прямоугольного импульса 79.,
80
-
-
стационарного случайного про­
цесса 83
-
-
треугольного импульса 79, 80
.-
-
шума 225·
Аддитивности свойство 37, 95
Аналитический сигнал 171
Белый шум . 77, 84, 93, 121, 127,
128, 225, 232, 233, 236
-
-, корреляционная функция 93
Бесселя функция 150-154, 373,
374
-
-
модифицированная 373
• Боковые частоты 135, 136, 138, 152,
160, 171, 184, 383
Весовая функция 188, 195
Взаимная корреляционная функция
79, 81-83, 195, 223, 224
-
-
-
двух гармонических сиг­
налов 85
-
-
-
двух гауссовых импульсов
81-83
-
-
-
прямоугольного
и тре-
угольного импульсов 81
Вивера - Хинчина теорема 92
Волновое сопротивление идеальной
линии 309
-
линии с потерями 311
Вронского определитель 381
Выборки сигнала 109
-
спектральной функции 110, 111
Гауссов импульс 54, 56, 57, 59, 81-
83, 213, 359
-
процесс 115, 116, 121, 122
-
фильтр 308, 309, 359
-
шум 77, 125 , 127
Гильберта преобразования 168, 169,
289
Глубина модуляции 253, 273, 372,
375, 388, 393
Годограф функции 347
Гребенчатый фильтр 353-364
-
-, импульсная хара1перистика
357-360
-
-, процессы установления 360-
362
Грина функция 381
Гурвица теорема 344, 345, 346
Девиация частоты 146-149, 152,
154, 163, 181, 182, 272, 306, 418
Двоичная единица информации 96,
101
Двоичный код 101, 208, 392
Дельта-функция (единичный импульс)
58 -64 , 93, 155, 193-196, 203,
218-220, 222, 246, 248, 302, 358,
376, 379
Детектирование 6, 12, 13, 366
-
амплитудное 6, 241
-
фазовое 6
-
частотное 6, 273
Диапазоны радиоволн 8
Дискретизация непрерывных сигна•
лов 105-113
-
узкополосных сигналов 182-185,
418
Дискретные сообщения 208-214
Дискретный спектр 30, 63, 75, 76,
355
-
случайный сигнал 64
431


Дисперсия 68, 72, 83, 119, 120, 227,
299, 412, 413
Дифференциальная емкость 368, '369
-
индуктивность 368, 369
Дифференциальная
проводимость
(крутизна) 367
Дифференциальное сопротивление
367, 369
Дифференциальная (относительная)
энтропия 115
Дифференциальный закон распреде­
ления 65
Дифференцирование сигналов 214,
220, 366
Дифференцирующая цепочка 216
Дробовой эффеr<т 20, 70, 227
-
шум 70, 84, 395
Дюамеля интеграл 16
Единичный импульс (см . дельта­
функция)
Единичный скачок 46-50, 140, 196,
219
-
-, спектральная
плотность 140
Ем1<0сть, изменяющаяся во времени
• 3ro
•
Зависимый источник 286
Задержка сообщения 44, 254, 295,
296, 298, 299
Идеализированный
узкополосный
фильтр 231
Идеальная линия 309, 313
-
-
задержки 310, 351, 352, 363
Идеальш,,й канал связи 95, 123
Идеальный линейный усилитель 336
Избыточность 100, 101
Импульсная характеристика цепи
193-196, 224, 250, 281, 286, 327,
376
-
-
-
дифференцирующей и ин­
• теrрирующей 218
--
-
-
параметрической 378
-
-
-
с переменными параметра-
ми 376
-
-
апериодического
усилителя
200, 203-208
гребенчатого фильтра 357-360
линейной системы 208 - 211
шrнейноrо фильтра 221-224
нормированная 328
приближенная
(«укорочен-
ная») 248, 249
--
-
фильтра с квадратичной фазо-
вой характеристикой 301-309
Индекс угловой модуляции 147
-
фазовой модуляции 163
Интеграл вероятности 214, 283
431
Интегрирование сигналов 214, 220,
366
Интегрирующая цепочка 216-220
Информационная емкость сигнала
94, 101, 232, 236, 237
-
-
-
, предельная 104
-
-
-
дискретного 101, 102
-
-
-непрерывного 104, 113-115,
123 - 128
Искажения линейные 200
-
-
частотные 273
-
нелинейные 200, 238-242, 255,
273, 336, 337, 356
-
в линии с потерями 313
Катодный повторитель 326, 329, 330,
332
Качание частоты э. д. с. 280-285
Квадратурные 1<олебания 150, 156,
157
«Квантование» непрерывного слу-
чай ноrо сигнала 65, 127
Классификация сигналов 24
Когерентные радионмпульсы 134
Кодирование 1О, 11 •
Колебание гармоническое 115, 116,
238
-
манипулированное 134
-
манипулированное по фазе 146,
157, 183, 385 • •
-
модулированное по амплитуде
183, 185, 240
·-
по фазе 146, 183, 385
-' -- по частоте 273-280, 412
модулированное тонально 251
монохроматическое 25, 62, 63
«треугольное» со случайной фазой
117
Колебательный контур 222, 248-
260, 265, 268, 276 - 279, 281, 316
, добротность 229, 248, 260,
262, 393, 421
'
255
задерж1<а сообщения 254
затухание 229, 318, 388
обобщенная расстройка 245,
262, 284, 395
резонансная кривая 252, 253,
, резонансное
317
сопротивление
, резонансная частота 249, 265,
268, 271, 284, 285, 385
собственная частота 265
-
-
с периодически изменяющейся
емкостью 385, 392, 395
полоса пропускания 230, 241,
210: 272
постоянная времени 272
....
r-


Колебательный контур, энергетиче­
ская (шумовая) полоса 230
Количество информации 95, 100, 125
-
-
в дискретных сообщениях 96,
97
-
-
в непрерывных сигналах 102
Компле!{сная огибающая 247
Корреляционный анализ сигналов
78-87
Корреляционная матрица 121
Корреляционная функция сигнала 90
-
-
-
импульсного 84, 226, 230,
412, 413, 415
-
периодичеС!{ОГО 90
белого шума 93
-
-
нормированная 121
-
-
шумового напряжения 227,
231
Котельни!{ова теорема (теорема от­
счетов) 103, 105, 109
Коэффициент _(глубины) модуляции
133, 254
Коэффициент нелинейных ИС!{ажений
239, 240, 278, 280
Коэффициент передачи (см . переда­
точная функция)
Крамера правило 381
Критерий устойчивости 339
Найквиста 347-351
-
-
Рауса - Гурвица 341_: ._347
Лапласа преобразования 187, 189,
191 , 193, 339
Линейное усиление 198
Линейные искажения 200
Линейные системы 13, 16, 186-242
с обратной связью 320-365
с переменными параметрами
13, 17 ; 316-411
с постоянными параметрами
13, 16, 186, 316
Линейные цепи с задержкой 286-320
Линейный двухполюсни1< 225
Линейный фильтр 221
-
-, потеря информации 232-238
Линейчатый (дискретный) спектр 30
Линия с потерями 311-313
Лобачевского функция 117
Логарифмическое затухание 287,
289, 290
Манипуляция фазовая 155, 265
-
частотная 158, 267
Математическое ожидание («первый
момент») 72
Матье уравнение 386, 3'89, 394, 426
Мгновенная угловая частота 144,
145, 176
Медленные функции времени 130
Мера информации 94
Метод интеграла Фурье 187
-
мгновенной частоты 274, 275, 278
-
медленно меняющихся амплитуд
186, 388, 389
-
интеграла наложения 16, 187,
193-196, 208, 243, 281, 376
-
-
-
упрощенный 248-251
-
операторный 16, 187-193
-
спектральный 16, 187-193, 243,
281, 376
-
приближенный 244-248
-
стационарной фазы 176-182, 412
-
узловых напряжений 201
-
фун!(ЦИИ !(Орреляции 412
Минимально-фазовые четырехполюс-
ники 290
Мноrозвенные фильтры 212
Модуляция 7, 12, 130, 366
-
амплитудная 7, 130, 131, 152, 170,
255
-
импульсная 7, 13, 272
-
тональная 135, 138, 184, 254
-
угловая ,7, 130, 144, 145, 147, 150,
152, 153, 242, 243
-
фазовая 7, 130, 145, 147, 148,
149, 151, 153
-
частотная 7, 130, 145, 147, 148,
149, 151, 152, 153, 273
-
широкополосная 135
-
шумовая частотная 412
Морзе код 11
Мостовая схема !(ЭК устройство за­
дерЖ!(И 295-301
«первого пор ЯД!( а» 296
-
-
«второго поряд!(а» 296, 297, 301
Накопление периодичес!(ого сигнала
362-364
Найквиста диаграмма (годограф) 349
Най!(виста теорема 78
Неискажающие линии 313
Нелинейные системы 18, 19
Неминимально-фазовые цепи 291-
295, 311, 313
Несущее колебание 129, 158, 184
Неустойчивая система 325
Нормальный (гауссов) закон рас-
пределения 54, 68-70, 74, 120,
224, 226, 412, 413
Обобщенная схема радио!(анала 10,
J1
Обратная связь 220, :120-365
внешняя 320, 321
внутренняя 320
по напряжению 323
по току 329
433


Обратная .связь в системах с задерж- Плотность вероятностей многомерная
кой 35 1-353
120, 122, 124
-
Ортогональности свойство 86, 90, 113 - - одномерная 68, 113, 120, 122
Ортогональные функцин 37
-
-
сл у чайного сигнала 182, 413
Отражение сигнала у конца JIИнии - - шу ы а 125
313-320
Потеря инфорыации 232, 234
Отрицательная проводимость 409
-
энтропия в цепи 234, 235, 237
Отрицательное сопротивление 387 :;,,! Принцип суперпозиции (наложения)
Отрицательные параметры 368
fV 16, 17, 19 , 50, 186, 265, 376, 383
«Отрицательные» частоты 28, 29, 40 ПряАюуrольная волна 156
Параме т рон 392
Параметрический генератор 387, 390,
391
Пара метрического усиления принцип
395-399
Параметрический усилитель 395, 396,
401, 404, 428
-
-
двухконтурный 405-41 1
Параметрические цепи 366, 367, 369
-
-, импульсная
характеристика
378-382
-
-, преобразование спектра 382-
385
Парсев аля равенство 58, 61, 89
Передаточная функция 187, 188, 193,
217, 218, 225, 244, 286, 316, 32 1,
376
Передаточная функция апериодиче­
ского усилителя 200 - 203
-
-
замкнутой системы 322 - 325,
333
идеального полосового филь­
тра 301
линейного резонансного уси­
лителя 262
-
-
линейного фильтра 221
-
-
линейного четырехполюсника
291, 292
-
-
линейной системы с пере мен ­
ными параметji)ами 377
-
-
минимально - фазового четырех­
полюсника 293
-
-
нормированная 327
-
-
«укороченная» 245, 247, 248,
257
Переходный коэффициент отраже­
ния 315
Пикфаюор 26
Пилообразная модуляция частоты
161-166
Пилообразное ~а пряжение 34
Периодическая последова тельность
дельта - функций 154
-
-
треугольных - импульсов 34
-
-
прямоугольных импульсов 31-
33, 87
-
-
радиолокационных
видеоим -
п ульсов 33
434
П рямоугольный 1шпульс 45, 50, 59,
81, 88, 208, 209, 220
Пр яыоугольное изменение фазы 155-
158
Псевдофазовая модуляция 255
Радиоиыпульсы с прямоугольной
огибающей 141, 257 - 264
Распределение вероятностей 64-70
-
-
равноыерное 99
-
-
непрерывное 113-119
Рауса критерий 344
Рец иркуляторы 364, 365
Свертка функций 195, 221-224
Свободное колебание 264, 268
Связанные контуры 256, 261 - 264,
279, 280
.
279
вносимые_ сопротивления 262
коэффициент связи 256
критическая связь 256, 263,
полоса проп ускания 280
, резонансная
кривая 256
Сигналы 24
-
де тер минированные 24, 25
-
непериодические 24, 25, 38, 87,
138
-
случайные 24 -26, 64, 71, 78, 119
- ---'
-
дискретные 64, 101, 102 -
-
-
непрерывные 64, 65, 102, 10 4,
105, 109, 115
-
периодические 24, 26 - 31, 84,
92, 362, 363
«Скважнос ть » импульсной последо-
вательности 33
Скорость бегущей волны 310
-
передачи информации 102
-
-
предельная 104
Случайные процессы 74 - 78, 118-
120, 224 - 231
Спектральная диаграмма угловой мо ­
дуляции 152 , 153
-
-
тональной модуляции 138
Спектральная плотн ос ть 39, 40, 188,
217, 221 - 223, 246, 257, 263, 4 19
-
-
амплитудно-модулированного
сигнала 139
гауссова импульса


Спектральная плотность дельта-
функции 61
-
-
единичного скачка 46, 50, 140
-
-
импульсной характеристики це-
пи 213
-
-, модуль и фаза 41
-
-
мощности (дисперсии) случай-
ного процесса 76
непериодической функции 41,
161
периодического сигнала 64
прямоугольного импульса 51,
54, 88
-
-
среднего квадрата случайной
функции 74
.
-
-
экспоненциального импульса
47
-
-
энергии сигнала 58, 76, 91
Спектральная функция 25, 89, 222,
232
_ .Спектр амплитудно-модулированно­
го - колебания 138, 144, 177
Z... Спектр видеосигнала 174, 175
-
«гауссова» импульса 56, 57
-
дельта-функции 60
-
дискретный (линейчатый) 30, 40,
41, 166
единичного импульса 173
-
единичного скачка 47
t.-
колебания при угловой модуля­
ции 149, 150, 154
\ • прямоугольного импульса 45, 50,
52
•
-
равномерный 64, 106, 232
·-:- сплошной 38, 41, 47, 62, 64, 76,
161
-
частотно-манипу лированного
лебания 161
ко-
-
экспоненциального импульса 46
Среднее значение случайной вели­
чины 68
-
-
квадрата случайной величины
(«второй момент») 72
-
статистическое з начение случай­
ной величины («первый момент») 72
Стабильность характеристик системы
333-336
Теорема отсчетов (см. Котельникова
теорема)
«Треугольная волна» 115
Треугольное изменение фазы 158-
161
Треугольный импульс 79, 81, 219
Точка стационарной фазы 176, 181
Трапецеидальный импульс 219
Управляющее напряжение 197, 198,
368
Управляемые параметры 367
Уравнение линейное с постоянными
коэффициентами 13, 14
-
-
с переменными · коэффициен­
тами 14
-
-
с периодически ми коэффициен­
та ми 371
-
последовательного колебательного
контура 14
-
нелинейное 14
Усилитель апериодический на со­
противлениях 200, 210, 226, 227,
238
,
амплитудно-частотная
ха-
рактеристика 201-203
-
-, коэффициент
усиления 201,
202
Усилитель апериодический на тран­
зисторах 207
-
, схема с заземленным эмиттером
207
-, эквивалентная схема 207
Усилитель линейный электронный
199, 225
-
многокаскадный 212
-
однокаскадный 323, 324, 326
-
резонансный 228, 231, 261
У средненне по системам (по ансамб­
лю) 69, 72
Устойчивость линейных систем 338-
341
Флуктуации 69, 71-73
Френеля интегралы 304
Статистический подход 25
Стационарный случайный
69, 70, 74, 75
Функция, сопряженная по Гиль-
процесс
берту 176, 289, 418
-
-
-, автокорреляционная функ­
ция 83
-
дельта-коррелированный 93
-
-
-, средняя мощность 69, 121
-
-
-
, спектральные
характе-
ристики 74
Схема замещения переменной ем­
кости C(t) 399, 400, 401
~ - - индуктивности L(t) 404, 405
S° Фурье интеграл 39 , 40, 42, 43, 108,
171, 177, 188, 193, 377
Фурье преобразование прямое 40, 91
комплексная форма 40
-, свойства 43-45
-, тригонометрическая форма 42
обратное 40, 91, 188, 193
-
для дельта -ф ункции 61
435


L/ Фурье ряд 2(;), 27, 30-41, 90, 107,
150, 276, 382, 419
тригонометрическая форма 26,
33
коыплексная форма 27, 32
Характеристики I(аиала связи 104
Центральная предельная теорема 68,
69, 71, 74
Четырехполюсник дифференциру -
ющий 215, 216, 217
Четырехполюсники минимально- и
неминимально-фазовые 290
Четырехполюсник в стационарном
режиме 187, 188
-, амплитудно-частотная
(ампли-
тудная) характеристика 188
-
идеальный 291
- , линейный усилитель 196
-, логарифмическое затухание 287,
289, 290
--
мостового типа 294
- , постоянная
передачи 287
-, фазово-частотная
(фазовая) ха -
рактеристика 188
Число степеней свободы сигнала 109,
111, 185
Шениона теорема 127
/ / Ширина спектра сигнала 87
-
-
при быстрой угловой модуля­
ции 154
-
-
-
медленной угловой моду ­
ляции 154
Шумовая частотная модуляция 412
Шумовая (энергетическая) полоса
контура 230
Шумы 20, 70, 78, 103, 104, 224, 227
Шум белый 77
,
внутренний 20, 21
-, гауссов
77
-
дробового эффекта 70, 225
-
-
- , плотность _вероятностей
распределения 70, 72
- , статистические характеристиrш
224, 225
-
тепловой 73, 74, 225
-
, формирование в линейных
уси-
лителях 225-232
Эквивалентная схема линейного
электронного усилителя 198, 199
-
-
апериодического усилителя
203, 204
Экспоненциальный импульс 47, 59
219
Энергетический спектр 74, 76, 77
225, 226, 236, 414 - 416
-
-
напряжения теплового шума
(Найквиста теорема) 78
равномерный в полосе част6т
77, 93, 232
-
-
стационарного случайного про­
• цесса 92, 225
«Энтропийная мощность» 236
Энтропия 99, 100, 113, 233, 234
-
на степень свободы выходного
сигнала 233
-
«дифференциальная» («относи-
тельная») 115
-
непрерывного распределения 113 -
119
нормального распределения 119
-
смеси сигнал 4'- шум 237
-
совокупности выборок непрерыв-
ного сигнала 119 - 123, 232
-
шума 126
Эргодичности свойство 69, 72


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
3
Глава 1. Введение
5
1.1 . Основная задача и · применения радиотехники
5
1.2. Передача сигналов на расстояние . Особенности распростра-
нения волн и используемые в радиотехнике частоты
6
1.3 . Основные радиотехничесv.ие процессы
10
r l.4 . Радиотехнические цепи и мето д ы их анализа
13
,_/ 1.5 . Проблема помехоустойчивости I( анала связи
20
1.6, Задачи и содержание курса
.
.
.
.
.
.
.
;
22
Глава 2. Сигналы .,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
2.1 . к';~ а ссифfu<ация сигналов. Основные определения
24
2.2 . Периодические сигналы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
2.3 . Примеры периодических сигналов .
.
.
.
.
.
.
.
31
2.4 . Распределение мощности в спектре периодического сигнала 36
2 .5. Непериодичес1а1е сигналы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38
2.6 . Свойства преобразования Ф у рье .✓.
.
.
.
.
.
.
.
43
2.7 . Спектры некоторых непериод и ческих сигналов
."v:'
46
2.8 . Распределение энергии в спектре непериодического сигнала 57
• 2.9 . Единичный импульс (дельта - функция)
.
.
.
.
.
.
58
2.10 . Случайные сигналы. Распределение вероятностей
64
2.11 . Шумы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
70
2.12 . Спе1пральный анализ случайных процессов. V.
.
.
74
2.13. Корреляционный анализ сигналов
.
.
.
.
78
2.14 . Связь между временнь1ми и спектральными характеристи-
ками сигнала
87
Глав а 3. Информация и сигнал
.
.
.
.
.
.
94
3.1 . Мера информации
.
.
.
.
.
.
94
3 .2 . Количество информации в дискретных сообщен и я х
96
3 .3 . Информационная емкость дискретного сигнала
101
3.4 . Информация 13 непрерывных сигналах
102
3 .5 . Дискретизация непрерывных сигнало13
105
3.6. Энтропия непрерывного распределения
.
.
.
113
3.7. Энтропия совокупности выборок непрерывного сигнала
119
3.8. Информационная емкость непрерывного сигнала
123
Глава 4. Радидси.rналы .
.
.
.
.
.
.
.
129
4 .1 . Общие определения
129
4.2 . Радиосигналы с амплитудной модуляцией
131
4.3 . Частотный спектр и автокорреляционная функция ампли-
тудно - модулированного сигнала . . . . . . . . .
134
4.4 . Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания 144
4.5 . Частотный спектр колебания при угловой модуляции. Общие
соотношения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•..........149
4 .6 . Спектр кс,лебания ПР!) гармонической уг.~овой модуляции 150
437


4.7 . Спектр 1< олебания при сложной ·угло1Jой модуляпии
4 -. 8 Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
4.9. Мето д стационарной фазы
...
.
..
.
.
..
.
.
4 . 10 . Дискретизация узкополосных сигналов
.
.
.
.
.
\" лава 5. Передача сигналов через линейные системы. Общие ме т оды
154
166
176
182
И C.QQ.!J:l_.~И_!!,. -·; ': -: '" - - ;- .
186
5 . 1. Вводные замечания
186
- / 5.2 . Спектральный мето д
.
187
'
5 .3 . Метод интеграла наложения
193
5.4. Линейный у силитель как четырехполюсник
196
'-;
, ~" ._ J 5.5 . Передаточная функция и импульсная х ара1( теристика апе-
риодическогоусилителя ............... '200
5.6 . Передача дискретных сообщений через аперио д ические си-
стемы ....................... 208
5 .7.\] Дифференцирование и интегрирование сигналов . . . . . 214
5 .8 . Корреляция сигналов на входе и выходе линейного фильтра 221
5.9 . Формирование ш у ма в линейных цепях
.
.
.
.
.
.
224
5.10 . Потеря информации в линейно м фильтре.
.
.
.
.
.
.
.
.
232
5.11. Нелинейные · искажения сигналов в системах с активны м и
Глава 6.
•6.1 .
6.2 .
6.3 .
6.4 .
6.5 .
6.6 .
6.7 .
6.8 .
6.9 .
6.10 .
элементами
Передача радиосигналов через избирательные систе м ы
Особенности анализа
.
.
.
.
.
.
.
.
Приближенный спектральный метод . . . . . . . . .
Упрощение метода интеграла наложения . . . . . .
Передача радиосигналов с непрерывной а м плитудной мо-
дуляцией.....................
Прохождение радиоимп у льса с прямоугольной огибающей
и немодулированным заполнением через ко л е б ательный
контур
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
Прохождение радиоимпульса через двухконтурн у ю связан ­
нуюсистему................
Передача фазо - манипулированного сигнала . . .
Передача частотно- м анипулированного сигна л а .
Прохождение частотно-модулированных колебаний через
избирательные системы . . . . . .
.
.
.
.
.
Качание частоты э.д.с., действ ующей на избирательную
систему
.
.
...
.
238
243
243
244
248
251
257
261
265
266
Глава 7. Линейные цепи с задержкой
273
280
286
7.1,(Связь между амплитудной и фазовой характеристиками ли-
нейнойсистемы ......
. 286
..
291
295
7 .2 . Неминимально-фазовые цепи
.
.
.
.
.
.
.
.
7 .3. Мостовая с х ема как устройство задержки
.
.
.
.
.
7.4 . Имп у льсная характеристика фильтра с квадратичной фазо-
вой характеристикой
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7. 5. Передача радиосигналов через идеальную лин и ю, согласо­
ванную с нагрузкой
7.6 . Линия с потерями
7. 7 . Отражение сигнала у конца линии
.
.
301
309
311
313
Глава 8.
8.1 .
8.2 .
Линейные системы с обратной связью
320
Принцип обратной связи . . . . .
320
Частотные и вре м еннь1е характеристики устойчивых систе м
438
8.3.
8 .4.
8.5.
собратнойсвязью ..................325
Стабильность характеристик системы . . . . . . . . . . 333
Ослабление нелинейных искажений с помощью отрицатель-
ной обратной свя,~и
336
Устойчивостьлинейныхсистем ..........
•..338


8.6.
8.7 .
8.8 .
8 .9.
8.10 .
8.11 .
8.12 .
8.13.
Глава 9.
9.1.
9.2 .
Критерий усто~чивости Рауса - Гурвица
Критерий устоичивостп Найквиста
Обратная связь в системах с задержкой .
Гребенчатыйфильтр.........
Импульсная хара1перисти1<а гребенчатого фильтра
Процессы установления в гребенчатом фильтре
Накопление периодического сигнала . . . .
Рециркуляторы
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
Линейные системы с переменными параметрами .
Общие характеристики параметрических цеп ей
Простейшие параметрические цепи. Дифференциальные
уравнения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.3 . Передача сигналов через линейные цепи с пере менными
параметрами. Передаточная функция , .
.
.
.
.
.
.
.
.
9.4 . Определение импульсной характеристики параметрической
цепи
...............
.
....
..
.
.
9.5. -Преобразование спектра сигнала в параметрической цепи
9.6. Колебательный контур с периодически изменяющейся ем-
костью
.
.
.
...
.
.
..
.
....
....
..
.
.
.
9.7 . Параметрическое возбуждение колебаний
.
..
.
...
.
9.8. Принцип параметрического усиления. Одноконтурный уси-
литель
.....
.
...........
.
9 .9. Схема замещения периодически изменяющейся емкости или
индуктивности
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.10. Двухконтурный пара метр ический усилитель. Принцип
действия... ....................
Приложение 1. Определение спектра частотно-модулированного коле­
бания методом функции корреляции (к r .~.
4).........
Приложение 11. К во прос у о дискретизации узкополосных сигналов
(к rл. 4)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Приложение 111. Воздействие сигналов с быстро изменяющейся часто-
341
347
351
353
357
360
362
364
366
366
369
376
378
382
385
387
395
399
405
412
418
той заполнения на избирательную систему (к гл. 6) ... . .. 421
Приложение IV. К решению дифференциального ура внения параметри­
ческогоконтура(кгл.9)...................426
Приложение v. К решению уравнения одноконтурного параметриче-
ского усилителя (к гл. 9)
428
Предметныйуказатель..........•.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
431


Иосиф Семенович Гоноровский
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ. Ч а от ь
Редактор И. К . Ганuн
Техн. редактор В. В. Беляева
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Обложка художнш<а Е. П. Масленниковой
Сдано в набор 11/Xll 1965 r.
Подписано в печа1Ь 21/VI 1966 г.
Формат 60Х90/16.
Объем 27,5 л. л.
Уч. нзд. 27,679. Т-09236. Зак. - 2053 .
Тираж30ООО(1-йзавод). Цепа_впер.No7-1р.17к.,впер.No5-1р.15"·
Бумага типографская No 2.
Московская типография No 4 Г лавпслиграфпрома I<омнтета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Б. Переяслаиская, 46.


с
-
·1


fC-6hoчo/