ISSN 0130—9358
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
6 1991
Научно-теоретический ™ ^ ~ ™ Москва «Педагогика»
и методический журнал Издается с мая 1934 года
Государственного комитета СССР НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ Выходит один раз
по народному образованию в два месяца


СОДЕРЖАНИЕ
Редакционная коллегия
МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ:
ПРОБЛЕМЫ, СУЖДЕНИЯ, ПОИСК
3 Семенов Е. Е., Малиновский В. В. Дифференцированное обучение математике
с позиций гуманизма 6 Гладкий А. ВКрейдлин Г. Е. Математика в гуманитарной школе
9 Бычкова JJ. О., Селютин В. Д. Об изучении вероятностей и статистики в школе
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
12 Гришина Т. С. Логический прием сравнения в стереометрических задачах
13 Мкртчян М. А. Взаимообмен заданиями
16 Дразнин И. Е. К вопросу изучения сложной функции
17 Калинкин А. К. О решении тригонометрических неравенств
18 Костюкова Н. К. Я слагаю урок, словно песенный стих
21 Вишневская Т. В. Методическая находка
КОНСУЛЬТАЦИЯ
22 Звавич J1. И., Смирнова В. К. Об экзамене по алгебре и математическому анализу в классах с углубленным изучением математики
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
30 Жинеренко И. КСергеев В. Н., Шарыгин И. Ф. II Всесоюзная профориентацион¬
ная олимпиада по педагогике математики 32 Вавилов В. В., Кузнецова Г. М. XXXI Международная математическая олимпиада
37 Кузнецова Г. М., Сергеев И. Н. XXV Всесоюзная математическая олимпиада
школьников
45 Шарыгин И. Ф. I Всесоюзная профориентационная олимпиада по педагогике
математики
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
47 Авилов Н. И. Разбиение квадрата
48 ЗАДАЧИ
ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
56 Читатели о журнале
57 Шляхта О. Н. Необходимо переиздавать
58 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
59 Дорофеева А. В. Неморарий — выдающийся ученый XIII в.
ЗА РУБЕЖОМ
60 Гольдберг Ю. И. К вопросу о школьном математическом образовании в США 65 Чошанов М. А. Математическое образование в профессиональных колледжах США
68 Серафимов Д. А., Столяр А. А. О новых учебниках математики в школах Болгарии
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
71 Шибасов Л. П., Юдина И. Б. Интересная и полезная книга
72 Павловский А. И., Кузнецов А. Т. Книга об алгоритмах для школьников
72 Харитон А. 3. По страницам журнала «Педагог»
73 Сайтов Ё., Саидов А. Е. Журнал «Совет мактаби» в 1990 г.
74 Шустеф Ф: М. Новые книги
75 Его книги нам помогали
75 Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1991 г.
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора А. И. Верченко
Члены редакционной коллегии
Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, Б. В. Гнеденко,
Г. В. Дорофеев, Ю. П. Дудницын,
К. И. Дуничев, Н. А. Ермолаева,
JI. И. Звавич, Ю. М. Колягин,
Э. И. Кузнецов, М. Р. Леонтьева,
Г. Л. Луканкин, О. В. Мантуров,
3. И. Моисеева, А. Г. Мордкович, Б. П. Пигарев, Н. X. Розов,
B. А. Скворцов, Е. С. Смирнова,
C. Б. Суворова, 3. С. Сухотина,
С. А. Теляковский, И. Ф. Шарыгин.
Зав. редакцией 3. В. Шепелева
Редактор отдела Н. А. Курдюмова Научный редактор Э. А. Кремень Художественный редактор Б. Ф. Рябов Технический редактор Г. Б. Андреева Корректор М. А- Суворова
Сдано в набор 09.10.91.
Подписано в печать 13.11.91.
Формат 84X 108‘/i6. Печать высокая. Бумага тип. № 2. Уел. печ. л. 8,4. Уел. кр.-отт. 9,24. Уч.-изд. л. 11,24. Тираж 338 130 экз. Заказ 1665. Цена 70 коп.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Министерства информации и печати РСФСР
Адрес издательства:
119034, Москва, Смоленский б-р, д. 4.
Адрес редакции: 129278,
Москва, ул. Павла Корчагина, д. 7. Телефон 283-85-83.
Ордена Трудового Красного Знамени Чеховский полиграфический комбинат Государственной ассоциации предприятий, объединений и организаций полиграфической промышленности «АСПОЛ»
142300, г. Чехов Московской области
2
© «Педагогика», Математика в школе № 6, 1991


МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ: ПРОБЛЕМЫ, СУЖДЕНИЯ, ПОИСК
Дифференцированное обучение математике с позиций гуманизма
Е. Е. Семенов, В. В. Малиновский
(г. Витебск)
Воспитать человека математически образованного, причем гуманными методами, в гуманных формах,— тот идеал, к которому стремится всякий цивилизованный учитель математики. В этой фразе имеются два ключевых слова: «воспитать» и «гуманный». Большинству учителей они покажутся, вероятно, относящимися к разряду «понятных», «очевидных», с само собой подразумевающимся для всех «единым» толкованием. «Все знают, что это такое, о чем же тут говорить, что обсуждать?» — скажет читатель.
— Просим вас не торопиться,— отвечаем мы.— Представьте, что у одного учителя под руками имеется «Энциклопедический словарь» (т. I, 1953). И он читает: «ВОСПИТАНИЕ — определенное, целеустремленное и систематическое воздействие на психологию воспитуемого с целью привить ему качества, желательные воспитателю... Высшим этапом В. является коммунистическое воспитание, осуществляемое в СССР». Другой же учитель читает «Толковый словарь» В. Даля: «ВОСПИТЫВАТЬ, воспитать кого, заботиться о вещественных и нравственных потребностях малолетнего, до возраста его; в низшем знач. вскармливать, ...кормить и одевать до возраста; в высшем знач. научать, наставлять, обучать всему, что для жизни нужно. Воспитанный человек, ...образованный, обогащенный сведениями, пртвп. невежда». Налицо два противоположных взгляда на воспитание. Первый утверждает, что воспи- туемый — всего лишь объект воздействия воспитателя и воспитатель путем «целеустремленного и систематического воздействия» может создать из него кого угодно. Все будет зависеть от заказчика, оплачивающего воспитателя. Второй взгляд отражает отношение к воспитаннику как к субъекту, с которым нужно вступать в диалог, выяснять, каковы его «вещественные и нравственные потребности, несмотря на малолетность». Если первый взгляд на воспитание — олицетворение антигуманности, то второй — в высшей степени г у м а н е и. И судьба школьника во многом зависит от того, которого из этих двух взглядов придерживается его воспитатель, в том числе и учитель математики.
Но что значит — гуманен? Обратимся к тем же источникам. В первом из них приводится сплошь идеологизированное истолкование термина «гуманизм», говорится о гуманизме «полноценном, пролетарском» и «лицемерном, буржуазном». И эти идеологизмы как бы смывают первоначальные слова о достоинстве человека. А вот что говорит В. Даль: «ГУМАННЫЙ (лат.) — человеческий, человечный, людский; свойственный человеку истинно просвещенному; человеколюбивый, милостивый, милосердный. ГУМАННОСТЬ, ж.— человечность, людскость; благодушие, человеколюбие, милосердие; любовь к ближнему». И вновь перед нами два противоположных, в сущности, взгляда на понимание гуманизма. Первое понимание, по сути, антигуманно, второе раскрывает истинное содержание гуманности.
Из далевского (народного) понимания гуманности мы и будем исходить в нашей статье. Ему соответствует и далевское понимание воспитания. В таком случае становится очевидным, что гуманизация обучения означает прежде всего необходимость его дифференциации и ин¬
дивидуализации как «дифференциации в пределе». Но дифференциация, как признано в ряде содержательных статей журнала «Математика в школе» (в 1990 и 1991 гг.), имеет две разновидности: уровневую и профильную. Поэтому важно выявить зависимость, соотношение той и другой дифференциации с точки зрения гуманного отношения к ученику.
Мы полагаем, что в дифференцированном обучении математике гуманна единственная концепция — концепция единства уровневой и профильной дифференциации. Любая из этих двух разновидностей дифференциации без другой неполноценна. Лишить ученика возможности в полной мере использовать тот или другой вид дифференциации — значит совершить антигуманный акт. Получать удовольствие от занятий математикой школьник может лишь при условии, если дифференциация и индивидуализация (как предельная, идеальная форма дифференциации) будут доступны ему в той степени, в какой он только пожелает. В противном случае один ученик будет учиться налегке, не напрягаясь, другой — пытаясь осилить непосильное. Первый из них не найдет применения имеющимся способностям и не разовьет потенциальные, второй будет чувствовать постоянное унижение, на каждом шагу ощущать собственную неполноценность, умственную убогость, что поведет к отвращению от математики.
Концепция единства уровневой и профильной дифференциации требует, конечно, детальной проработки. В рамках статьи можно наметить лишь ее контуры, что мы и сделаем. Но сначала более детально (хотя и неполно) раскроем внутреннее единство двух названных видов дифференциации.
Во-первых, «высокий» уровень изучения математики не может быть в полной мере осуществленным, если он не опирается на профильную дифференциацию. Профильная дифференциация является важнейшим средством осуществления уровневой дифференциации. Не использовать первую как рычаг для приведения в действие всех возможностей второй — значит заранее запланировать заниженную эффективность обучения по сравнению с той, какой она могла бы быть. Попутно заметим, что создание для учащихся с гуманитарным складом ума условий для изучения математики на общекультурном уровне означает одновременно и профильную гуманитарную направленность.
Во-вторых, профильная дифференциация означает углубленное изучение математики, расширение представлений о возможностях ее приложений в различных областях человеческой деятельности, что означает одновременно и другой уровень обучения математике. Поэтому профильная дифференциация является эффективным средством варьирования уровней обучения предмету, и независимо от того, ведется ли преподавание математики в математическом, гуманитарном, техническом, естественно-биологи- ческом или обычном классе, без профильной дифференциации невозможна эффективная уровневая дифференциация.
В-третьих, выбор профильности обучения нисколько не снижает значимости уровневой дифференциации. Он изменяет лишь возможности осуществления уровневой дифференциации. Например, говоря о математико-педа- гогическом классе, в котором работает один из авторов, мы утверждаем: он состоит из двух классов, причем один из них образует единственный ученик, по своим способностям на голову превосходящий остальных. И для этого «второго класса» каждый раз нужно готовить параллельный урок, определенным образом взаимодействующий с основным уроком, рассчитанным на всех.
Вообще представляется, что расчленение дифференциации на два вида полезно лишь для того, чтобы более разносторонне, глубоко, детально и полно изучить проблему дифференцированного обучения. Расчленение единого, цельного понятия на составляющие делается лишь для удобства его изучения. В реальности же уровневость и профильность дифференциации — неразрывные элементы единой дифференциации. Всякое расчленение дифферен¬
3


циации на уровневую и профильную в практической учебной деятельности означает конец всякой дифференциации.
Тем, кто определился с профильной дифференциацией, со специализацией через дифференцированную образовательную сеть, должно быть обеспечено право на профильную и уровневую дифференциацию по всем предметам и право на изменение выбора, на исправление ошибки. Для тех, кто не воспользовался дифференцированной образовательной сетью с целью выбора профильной дифференциации, должно быть предусмотрено право на оба вида дифференциации в обычной общеобразовательной школе.
После сжатого и далеко не полного раскрытия единства уровневой и профильной дифференциации представим нашу концепцию несколько полнее.
1. Как некорректно говорить о времени, с которого надо начинать гуманное обучение, так некорректно говорить о времени начала дифференцированного обучения, являющегося неотъемлемой частью гуманизации.
Сформулированное положение требует, чтобы обучение математике было дифференцированным с детского сада. Причем в этом обучении должны быть представлены и уровневость, и профильность. Как осуществить такое обучение математике с «рождения» до завершения образования — проблема, требующая для своего разрешения усилий большого числа просвещенных умов — ученых, педагогов, государственных чиновников, меценатов.
2. Ученику должна быть предоставлена возможность выбора той или иной дифференциации в любое время, в любом классе, в любое время года. Негуманно заявлять ученику, что он опоздал со своим выбором, что надо было сделать это раньше, а теперь уж «поезд ушел» и винить некого, кроме самого себя. Можно сказать сильнее: на каждом уроке, по каждому из предметов ученику должна быть предоставлена возможность постоянно выбирать собственную, индивидуальную дифференциацию, все обучение должно состоять в таком перманентном выборе.
3. При выборе форм дифференциации предпочтение нужно отдавать не экстенсивным, а интенсивным формам. Увеличение числа часов на изучение того или иного предмета означает экстенсивную форму дифференциации. Ученик вынужден тогда овладевать содержанием избранного им предмета за счет посещения дополнительных уроков, вынужденной затраты дополнительного времени на его изучение. Экстенсивным видом дифференциации является и факультативное изучение дисциплин.
Выбор экстенсивного пути дифференциации означает лишение ученика возможности «специализироваться» на нескольких предметах. Экстенсивная дифференциация целесообразна лишь тогда, когда хорошо поставленная интенсивная дифференциация все-таки не удовлетворяет устремления учащихся. Является нонсенсом положение, когда ученик работает на уроке вполсилы, а после урока идет на факультативное занятие.
4. Дифференциация должна быть добровольной как для ученика, так и для учителя. Этого требует, прежде всего, принцип гуманных отношений между учителем и учащимися. Без соблюдения указанного требования добровольности гуманные отношения в классе невозможны.
Дифференциацию ни в коем случае нельзя «внедрять». Добровольность со стороны ученика подразумевает свободный выбор форм дифференциации, форм и методов изучения материала, индивидуальный темп учебы и выбор времени, когда профильная дифференциация становится явной, «избранной», целенаправленной, в значительной степени определяющей содержание уровневой дифференциации, ее специфику.
Добровольность со стороны учителя означает дифференциацию не по приказу. Ситуация, когда отношение учителя и учащихся к тем или иным формам дифференциации может быть выражено словами «дан приказ — ему на запад, им — в другую сторону», является антигуманной.
5. Следующим важным требованием к дифферен¬
цированному обучению с позиций гуманности является требование равноправия. Ученик и учитель должны быть в процессе учебы равноправными. Если ученики работают по-разному, то и учитель должен работать с ними по-разному; если дифференциация призвана облегчить, сделать более интересной, полезной, продуктивной работу ученика, то она тем более должна облегчить, сделать более интересной, полезной, продуктивной (и высоко оплачиваемой) и работу учителя.
Если мы осознаем, что невозможно требовать усвоения учебных высот от всех учеников, то мы должны осознать, что нереально требовать от всех учителей работы на самом высоком уровне.
Понимая важность хорошего, удобного для ученика учебного пособия, нужно в не меньшей степени понимать необходимость учебного пособия, удобного и для учителя.
Требование равноправия предполагает широкий диалог в процессе обучения как между учителем и учащимися, так и между учащимися, а также между учебником и учащимися. Монолог может быть целесообразным лишь как информационное средство, но не как средство обучения. Во всяком случае, монолог и диалог должны стать равноправными партнерами, но никак не диктатурой одного по отношению к другому. Однако всякий монолог должен быть диалогичным. Диалогичным в том смысле, что он должен порождать новые мысли, гипотезы, проблемы, его содержание должно обсуждаться учащимися, учителем, учебником. Монолог, не рождающий диалога, должен истолковываться как проявление педагогической беспомощности.
6. Еще одним важным требованием к гуманному дифференцированному обучению является требование учета психологических особенностей учеников и учителя. В связи с этим особенно важно учитывать посильность учебных и воспитательных задач, которые ставятся перед учениками и учителем. Нам кажется, что необходимо наконец обратить внимание и на психологическую совместимость как учеников, так и учителя.
7. Гуманность дифференцированного обучения требует соблюдения принципа комплексности дифференциации. Он состоит в том, что ученику предоставляется возможность учиться дифференцированно по всем предметам или хотя бы по группе предметов, а также перейти в дифференциацию, акцентированную на профильность, в любом классе, начать ее в любое время, по любому предмету.
8. Нельзя говорить о гуманном обучении, если не соблюдается принцип обучения прогрессивными методами. Без соблюдения этого принципа неосуществима и дифференциация на цивилизованном уровне.
Обучать на основе прогрессивных методов — значит, во-первых, обучать на наивысшем уровне познавательных возможностей учащихся. Во-вторых, прежде всего обучать методам приобретения знаний, а не набору тех или иных фактов, их простому запоминанию, пересказу и применению в простейших, шаблонных случаях. Знания — это прежде всего владение математическими методами исследования, общеучебными умениями, методами приобретения новых знаний, владение алгоритмами и эвристиками в их взаимосвязи, наличие алгоритмической и эвристической культуры.
В силу субъективности понятия «прогрессивные методы обучения» каждый учитель, вероятно, будет вкладывать в него свое содержание. Но нам кажется более важным стремление реализовать рассматриваемый принцип, чем обусловливание его конкретного и «всеми одинаково понимаемого» содержания.
Данный принцип требует, в частности, выявления наиболее способных учеников и создание для них условий обучения, способствующих наиболее полному развитию их способностей.
Одной из форм деятельности учеников должна стать поисковая работа, для которой более важно уметь строить гипотезы, искать нетрадиционные подходы к решению задач, уметь отбрасывать оказавшиеся ошибочными прав¬
4


доподобные рассуждения, чем простое запоминание определенного, пусть даже достаточно большого объема информации.
9. Школьный курс математики должен содержать гуманитарную, общекультурную, по возможности философскую часть, владение которой обязательно для всех учащихся. Без этого принципа дифференциацию нельзя считать гуманной, поскольку отказ в приобщении к мировой культуре, в том числе и к культуре математической, негуманен. Выпускник средней школы только тогда будет ей благодарен за собственное обучение и воспитание, когда в дальнейшей жизни он будет испытывать состояние комфорта в общении с другими людьми, в своей семье, когда культурная основа его образования достаточна для того, чтобы не оказаться отрезанным от всякой цивилизованной среды, им избираемой. (Не можем удержаться, чтобы не привести пару примеров гуманитарного невежества в математике. В самых представительных изданиях мы ежегодно читаем, что параллельные прямые в геометрии Лобачевского «все-таки пересекаются». И принадлежит это утверждение, как правило, перу маститых журналистов и профессоров-политологов. А один известный в большом городе популяризатор марксизма, имеющий высшее образование, сообщил на лекции, что «китайские ревизионисты повернули свой курс на все 360 °»! И слушатели-гуманитарии восприняли это как должное, с негодованием повторяя услышанное «от специалиста» на экзамене.)
10. Мы привыкли решать за ученика — что он «должен» знать, что и как, в каком темпе «должен» изучать. Мы идем не от ученика, а от составителей программ, авторов учебников, от учителя. Вместо того чтобы «заботиться о потребностях малолетнего» автономного человека, перманентно выявляя их, мы систематически и целенаправленно прививаем качества, желаемые авторам программ и учебников по математике, к тому же зачастую искажаемые недостаточно квалифицированным преподаванием.
Кто-то спросит: как же ученик может знать, что ему нужно из мировой математической культуры? И не отвергают ли авторы статьи программы и учебники, а то и учителей?
На этот вопрос мы ответим так. Да, ученику трудно сориентироваться, что ему нужно изучать в математическом курсе. Но трудно лишь в условиях нищенского набора учебников по математике и математической литературы для чтения. По той же причине учителю трудно что-то учащимся посоветовать: в руках учителя одно, от силы два учебных пособия, да тексты контрольных и самостоятельных работ — и все. Только при обилии вариантов разнообразных книг учитель сможет советовать, ученик — осознавать собственные потребности, а вслед за этим обучающий его — «заботиться о потребностях малолетнего человека». И пока к руководству страны не придут люди, глубоко осознавшие, что истоки счастливой, духовной человеческой жизни, как и экономического процветания, прогрессивных производительных сил, лежат в образовании, до тех пор мечта о гуманной дифференциации будет оставаться утопией, давая лишь отдельные ростки, порождаемые эксплуатацией энтузиазма педагогов или выводом школ из государственного подчинения в частное.
Но будущее нашего общества — за стилем преподавания, в основе которого — выявление потребностей школьников и их удовлетворение, диалог с воспитуемыми, гуманная дифференциация и индивидуализация обучения. Кредо: идти к ученику, идти от ученика и вновь возвращаться, в сущности, не уходя от него, возвращаться к ученику прежнему и одновременно другому — основа Человеческого образования. Образования «людского, свойственного человеку истинно просвещенному, человеколюбивому, милосердному, несущему любовь к ближнему».
11. Дифференциацию целесообразно осуществлять не столько за счет расширения или сужения программного
материала, внешнего различия программ, а за счет различия в подходах и методах приобретения знаний, в системе предлагаемых школьникам задач.
Существующая система задач должна быть кардинально изменена. А именно, главенствующее значение должны занять группы задач, составляемых в совместной деятельности учителя и учащихся как задачи, происходящие от одной, коренной задачи, скрепленные, объединенные одной идеей. В таком случае будет обеспечен «диалог задач» внутри каждой группы, который и будет источником диалога учителя, учащихся, учебника. Новые группы должны появляться, создаваться таким образом, чтобы был возможным диалог групп задач между собой, объединяющий первоначальные группы в совокупности групп, а в конечном счете — ив «супергруппы».
12. 	Содержание контрольных работ должно предоставлять учащимся возможность выбора тех или иных задач, каждая из которых явно оценена определенным количеством баллов. Нужно выяснять не то, чего ученик не знает, а то, что он знает. Только при этом условии дифференциация будет средством поддержания у ученика веры в себя, в свои возможности, а оценка — отражать истинный уровень знаний школьника.
Мы высказали некоторые положения, раскрывающие концепцию гуманной дифференциации, дифференциации, основанной на единстве двух ее видов — уровневой и профильной. Но как ее можно осуществить? На каких путях? Здесь мы укажем на некоторые, необходимые для реализации столь глобальной идеи условия ее осуществления и средства претворения ее в жизнь.
▲. Нужна свобода учителю. Свобода в акцентах на те или иные разделы программ по математике, право на внесение в программу мотивированных дополнений, изменений, изъятий, право на акцент по отношению к тому или иному набору задач, на те или иные математические методы исследования.
Нужно признать нонсенсом ситуацию, когда, к примеру, областной инспектор составляет текст контрольной работы для всех учителей, ему подотчетных. Всякий учитель должен быть автором собственных контрольных работ. Другое дело, что работы эти могут быть подвергнуты экспертной оценке коллег, специальных комиссий с точки зрения уровня сложности, методологической направленности, охвата наиболее актуальных в гуманитарном отношении разделов. Всякий другой подход безнравствен как по отношению к учителю, так и к учащимся и является проявлением тоталитарности в образовании. Конечно, за инспектором остается право на выявление знаний учащихся на условиях партнерского отношения с учителем с целью оказать помощь последнему в его работе, а за учителем — право обратиться к инспектору с просьбой проверить знания его учащихся по тексту, составленному инспектором.
Во всяком случае, учитель имеет право на выбор из нескольких вариантов работ, принципиально отличающихся друг от друга, того, который ему ближе.
Б. Нужны дифференцированные многоуровневые и одновременно профильные учебники, учебные материалы для учащихся и соответствующие методические пособия для учителей. Это позволит учащимся изучать материал на избранном ими уровне сложности, своим темпом, в соответствии со своими способностями, потребностями, интересами ограничиваться общекультурным, гуманитарным уровнем изучения математики или изучать ее и на прикладном уровне, имея в виду возможность овладения математическим материалом на олимпиадном (математически перспективном) уровне.
Особенно эффективны могут быть, на наш взгляд, дифференцированные материалы для учащихся в настоящее время в условиях малочисленных групп (малочисленные классы сельских школ, факультативные и кружковые занятия в городской школе и др.). Проведенный нами эксперимент подтверждает это.
Дифференцированные учебные книги, содержащие в себе основы уровневой и профильной дифференциации,
5


являются эффективным средством дифференцированного обучения математике. Мы подчеркиваем, что речь нужно вести не о многоуровневых учебных пособиях, а о дифференцированных учебных материалах, т. е. материалах, содержащих в себе как уровневую, так и профильную дифференциацию. Разделение этих двух сторон искусственно и ведет к обеднению той и другой. Кроме того, это снизит возможности гуманизации образования.
В. Хорошее, гуманное обучение должно и стоить дорого (дорого — не обязательно для ученика). Всякое «улучшение» в рамках нищенского существования образования может иметь лишь локальный, временный, случайный характер как результат эксплуатации таланта и энтузиазма того или иного учителя. Одним из кардинальных решений, необходимых для претворения в жизнь концепции гуманной дифференциации, единства уровневости и профиль- ности, является улучшение материальной базы средней школы, снижение численности классов до 12—15 человек. Последнее условие можно считать выполненным во многих сельских школах, на кружковых и факультативных занятиях. Это обстоятельство значительно приближает хотя бы применительно к части школ возможность реализации предлагаемой нами концепции. Нужно «лишь» разработать и издать дифференцированные материалы и дать свободу грамотному учителю. И это очень важно, поскольку поставит малокомплектные сельские школы в условия, не худшие, чем у городских школ, создаст сельским ученикам и сельскому учителю возможность творчески овладевать знаниями, творчески учить, наиболее полно проявить свои способности, свой талант во всех областях знаний, несмотря на трудности организации и проведения факультативных и кружковых занятий. К тому же предлагаемый нами путь уровне-профильной дифференциации является интенсивным, а не экстенсивным, что особенно важно. При прежних затратах урочного времени учеником и учителем получить больший эффект — не мечта ли это для любого из нас? Кроме того, наличие наряду с уровневой профильной дифференциации устроит и тех, кто непосредственно заинтересован в закреплении молодежи на селе.
В данной статье мы проявляем озабоченность состоянием дел в государственной общеобразовательной школе, и прежде всего в сельской. Но это совсем не означает, что мы питаем какие-либо антипатии к школам частным, муниципальным, кооперативным, к лицеям, гимназиям, колледжам, к дифференциации образовательной сети вообще. Мы благословляем это многообразие. Пусть хотя бы некоторые серые точки в образовании станут светлыми, а то и превратятся в звезды. Но пока господствуют государственные школы, их надо не разрушать, а преобразовывать. Как? Об этом мы и вели разговор в нашей статье. Если бы все серые государственные школы сделать светлее... Но для этого нужна их демонополизация, конкуренция как между ними, так и со всеми многообразными негосударственными школами. Только на этом пути и возможна гуманизация образования, гуманная дифференциация и, в частности, взлет математической образованности и культуры молодого поколения.
Таков наш взгляд на дифференцированное обучение с позиций «человеколюбия, милосердия, любви к ближнему» — далевский, народный взгляд.
Математика в гуманитарной школе
▲. В. Гладкий, Г. Е. Крейдлин (Москва)
В последнее время у нас стали появляться школы с углубленным изучением ряда гуманитарных предметов в старших классах. В таких школах по сравнению с обычными увеличено число часов на одну-две гуманитарные дисциплины (за счет сокращения времени, отводимого на математику, физику и т. д.). К сожалению, ребята часто идут в такие школы не столько из любви к гуманитарным предметам, сколько в надежде, что их не будут слишком «мучить» математикой и естественными науками, которые им не даются. Поэтому и учителям математики трудно и неинтересно там работать, тем более что сами они, как правило, тоже не убеждены в необходимости сколько-нибудь серьезного математического образования для «гуманитариев».
Такое отношение к математике вызвано непониманием ее роли в общечеловеческой культуре. Традиционное представление об общей культуре наряду с «человеческими», гуманитарными ценностями включает в себя определенный уровень знаний о природе. Ведь человек живет среди природы и является ее частью. С тех пор как человек стал человеком, он неизменно стремится познать природу и понять свое место в ней, без чего он не может познать и самого себя. Искусственное разделение культуры на «гуманитарную» и «естественнонаучную» возникло сравнительно недавно. По словам выдающегося историка науки О. Нейгебауэра, «художники средневековья и Ренессанса не считали нужным гордиться невежеством в науке». Ученые, создавшие математику нового времени, — Декарт, Лейбниц, Ньютон — были не только математиками. Они рассматривали математическую науку в более широком контексте; для них математика была составной частью философии и служила средством познания мира. И в более близкое к нам время, в XIX в., перед нами предстает такая колоссальная фигура, как Георг Кантор, создатель теории множеств, определяющей лицо современной математики. Он был глубоким знатоком средневековой схоластической философии, и это обстоятельство сыграло решающую роль в формировании его математических идей.
Ныне, к сожалению, пропасть между «двумя культурами» становится все более глубокой, что пагубно сказывается на развитии как естественных, так и гуманитарных наук, а также на воспитании и образовании молодого поколения.
Особенно прискорбно нежелание «гуманитариев» знать математику. Ведь математика тоже, в сущности, гуманитарная наука. Это не покажется слишком парадоксальным, если вспомнить, что математика представляет собой некоторый язык, имеющий свою лексику и свою грамматику. Больше того, исторически она есть не что иное, как фрагмент естественного языка, отделившийся от него и развившийся в специфическом направлении, однако сохранивший многие черты его структуры. Нельзя не сказать также о том, что математические идеи и методы постепенно проникают в самые что ни на есть традиционные гуманитарные науки, прививая им строгий стиль мышления. Так, невозможно представить себе без математического аппарата современную логику. Очень существенны математические идеи и понятия для современной лингвистики. Широкое применение находят математические методы в психологии, социологии, некоторых исторических исследованиях.
Из всего сказанного ясно, что в гуманитарной школе математика не должна быть падчерицей среди других дисциплин. Но преподавать ее следует именно в гуманитарном плане, ставя во главу угла ее общечеловеческий
6


характер. Этим должны определяться и содержание курса, и конкретные способы преподавания.
Говоря о содержании любого курса математики, независимо от особенностей школы, можно выделить три основных аспекта: логический, «образный» и технический. Для гуманитарной школы наиболее важен первый из них. Формировать понятия, строить классификации, отделяя существенные признаки от несущественных, проводить строгие рассуждения — вот главное, чему должен научиться в курсе математики ученик такой школы. Особое внимание нужно обратить на то, чтобы школьник активно овладел лексикой и синтаксисом математического языка: понимал смысл и особенности употребления математических знаков, отличал неопределяемые понятия от определяемых, понимал, что такое определение, аксиома и теорема, необходимые и достаточные условия, обратная теорема, знал, что общее утверждение нельзя доказывать на примерах, а для его опровержения одного примера достаточно, умел образовывать сложные математические утверждения из простых, строить отрицания математических утверждений и т. п.
Разумеется, решать все эти задачи можно и нужно на материале большинства традиционных разделов школьного курса математики. Но, кроме того, в гуманитарной школе было бы крайне желательно изучать некоторые нетрадиционные вопросы, дающие особенно отчетливое представление о характерном для современной математики дедуктивном методе. На их материале весьма успешно формируются логические навыки, необходимые будущему гуманитарию. Мы имеем в виду прежде всего элементы теории множеств и математической логики, аристотелевскую силлогистику, комбинаторику, основные понятия теории графов. Необходимость ознакомления школьников с этими дисциплинами диктуется также и тем, что именно их идеи и методы находят в настоящее время широкое применение в различных гуманитарных науках.
Но математика не только школа логического мышления; это еще и источник образов. Ее «образный» аспект, безусловно, очень важен для людей с гуманитарными интересами. Уметь видеть разнообразные формы в их пространственном и плоскостном изображении, распознавать конфигурации, представлять себе вид графика функции, зная ее свойства, — все это способствует развитию воображения и эстетического чувства. И речь идет не только о зрительных, геометрических образах. Например, с понятием производной связывается образное представление о скорости протекания процесса, с тождественными преобразованиями — представление о сложности выражения. Преподавание математики с должным вниманием к ее образному аспекту способствует развитию ассоциативного мышления и помогает почувствовать целостность изучаемых объектов.
Технический («вычислительный») аспект математики в гуманитарной школе не играет первостепенной роли. Но ее выпускнику, как всякому современному человеку, придется время от времени производить разнообразные вычислительные операции, не говоря уже о том, что идея числа как одного из основных элементов культуры должна войти в плоть и кровь будущего гуманитария. У него должно выработаться чувство соразмерности числовых соотношений, чтобы, например, складывая 7/12 и 5/в, он заранее понимал, что получится число, большее единицы, а если при покупке пяти любых предметов одинаковой стоимости ему назовут сумму, не делящуюся на 5, мог бы сразу сказать: «Вы
ошиблись». Если человек не может найти процент от числа, не умеет переводить гектары в квадратные метры, затрудняется ответить на вопрос, что больше: УТ или 3JT, это просто-напросто бескультурье.
Кроме овладения этими навыками и умениями ученику гуманитарной школы полезно, на наш взгляд, познакомиться также с некоторыми понятиями и методами «вычислительного» характера, находящими непосредст¬
венное приложение в психологии, социологии, лингвистике и других гуманитарных науках. Это понятия и методы теории вероятностей и математической статистики, а также элементы теории приближенных вычислений. Курс математики в гуманитарной школе должен содержать какое-то введение в эти дисциплины.
Гуманитарные приложения математики вообще должны постоянно находиться в сфере внимания учителя — не только на факультативных занятиях, но и на обычных уроках. Общепринятая система преподавания математики (не только в средней, но и в высшей школе) ориентирована главным образом на приложения к физике и к технике. Это проявляется и в выборе материала, и в трактовке понятий, и в подборе иллюстративных примеров и задач. Курс математики в гуманитарной школе должен быть принципиально иным. О подборе материала и трактовке понятий мы уже говорили. Не менее важно переориентировать всю систему примеров и задач преимущественно на гуманитарные приложения. Так, при изучении понятия функции следует приводить примеры не только числовых, но и нечисловых функций, встречающихся в лингвистике и других гуманитарных дисциплинах. Говоря о логарифмах, можно рассказать о том, что словарный состав языка изменяется с течением времени по логарифмическому закону. При изучении стереометрии неплохо было бы познакомить учеников с понятием перспективы, ее видами, использованием ее в живописи и архитектуре; развивая пространственное воображение школьников, желательно знакомить их с основными архитектурными формами и связями между ними. Число подобных примеров можно умножать до бесконечности, но главное, что требуется,— привести их в некоторую систему, а это нелегкая задача. И она весьма актуальна, поскольку гуманитарные школы уже существуют. Между тем, насколько нам известно, ее никто еще не решил и, вероятно, никто даже не пытался решить.
Гуманитарный стиль преподавания математики должен найти отражение также и в постоянном подчеркивании ее связей с естественным языком. Нужно добиться, чтобы ученики осознали, что для успешного изучения математики совершенно необходимо свободно владеть родным языком: уметь четко и грамотно выражать свои мысли, правильно выбирать слова и строить предложения, передавать одну и ту же мысль разными способами и т. п. Очень важно научиться правильно употреблять математические термины и отличать их от близких по значению слов естественного языка. Иначе говоря, нужно все время обращать внимание на то, что математика — это язык, и притом тесно связанный с естественным языком.
И разумеется, «гуманитарное» преподавание математики немыслимо без изучения ее истории. Под этим мы понимаем не столько краткие биографические сведения о выдающихся математиках, мало что говорящие сегодняшним школьникам, сколько историю возникновения и развития математических идей. А рассказывая о людях, создавших математическую науку, нельзя забывать, что многие из них рассматривали ее, в сущности, как гуманитарную. Уместно вспомнить и о замечательных «гуманитариях», которые любили математику и хорошо ее знали, и о математиках, внесших вклад в развитие гуманитарных наук. Таким образом, элементы истории науки должны органично входить в курс математики в гуманитарной школе, а не быть довеском, который можно без ущерба отбросить.
И еще одно необходимо иметь в виду: изучая математику, школьники должны почувствовать ее красоту. Воспитание чувства прекрасного едва ли не главная задача гуманитарной школы, и при ее решении не обойтись без участия математики. Да и вообще науку можно постичь лишь тогда, когда в полной мере ощутишь ее красоту и внутреннюю гармонию. Акцент на логической и образной сторонах математики будет способствовать достижению и этой цели.
7


До сих пор речь шла о том, что должно быть в курсе математики для гуманитарной школы. Но надо сказать и о том, чего там может не быть, поскольку добавление сравнительно большого по объему нового материала без исключения части старого повлечет за собой недопустимую перегрузку учащихся. К числу разделов, не обязательных для гуманитарной школы, следует отнести: значительную часть тригонометрии, а именно решение тригонометрических уравнений и неравенств (кроме, может быть, простейших), громоздкие преобразования тригонометрических выражений, тригонометрический материал, связанный с решением треугольников; вычисление производных и интегралов, кроме простейших; дифференциальные уравнения; решение некоторых видов алгебраических уравнений и систем уравнений; графическое решение неравенств; ряд геометрических задач вычислительного характера; некоторые наиболее сложные вопросы стереометрии1.
Таким представляется нам математическое образование в «идеальной» гуманитарной школе. Но в каждом конкретном учебном заведении есть своя специфика, обусловленная общей направленностью, составом учеников, особенностями подготовки и интересами учителей и другими факторами. Поэтому руководство школы и сами учителя должны иметь возможность изменять содержание курса в зависимости от условий, в которых они работают. Соответственно следует изменять и программу экзаменов, как переходных, так и выпускных.
Что касается методики, то в любом случае ее выбор должен быть предоставлен учителю. В порядке рекомендации можно предложить проведение уроков-лекций, уроков-семинаров, уроков-диспутов, у роков-диалогов
(между двумя учителями или между учителем и кем-то из учеников), уроков-детективов, на которых решаются разнообразные логические задачи с занимательным сюжетом. На факультативных занятиях могут подробно обсуждаться приложения математики к различным гуманитарным дисциплинам, используемые в них математические модели.
Все это потребует высокой профессиональной квалификации учителя, включающей в себя не только хорошее владение основным предметом, но и известную гуманитарную подготовку. Учитель должен быть знаком (хотя бы в общих чертах) с системой понятий тех гуманитарных дисциплин, которые преподаются в данной школе, знать основные тенденции их развития. Преподавание математики в гуманитарной школе достигает своей цели лишь при условии тесного взаимодействия с преподаванием гуманитарных предметов. А для этого необходимо, чтобы математик понимал гуманитария (а гуманитарий — математика!).
Выше мы упоминали об уроках-диалогах. Особенно полезны диалоги в классе между учителями математики и гуманитарных предметов, в ‘которые вовлекаются и ребята. Помимо всего прочего, на таких уроках ученики овладевают культурой диалога — важнейшей формы общения. Разумеется, подобные уроки предъявляют очень высокие требования к уровню математической и гуманитарной подготовки учителей.
Если гуманитарные школы будут такими, какими мы их себе представляем, то учителя математики не будут чувствовать себя там изгоями; их престиж будет не менее высоким, чем у преподавателей гуманитарных
1 Здесь, как и прежде, мы оставляем в стороне школы с углубленным изучением экономики и подобные им. Там курс математики должен быть несколько иным. В частности, в экономических школах необходимо сохранить и даже расширить такие разделы, как решение тригонометрических уравнений и неравенств, вычисление производных и интегралов, дифференциальные уравнения. Особенности экономического образования требуют и введения новых разделов, отличных, вообще говоря, от тех, которые упоминались ранее.
предметов, и в эти школы будут стремиться попасть лучшие выпускники математических факультетов.
Существуют, однако, и другие подходы к преподаванию математики в гуманитарной школе. Приходится встречаться даже со стремлением изгнать ее вовсе или, раз уж это пока не разрешается, поскорее от нее отделаться. Авторам известен один проект гуманитарного лицея, в котором предполагается отчитать всю положенную по стандартной школьной программе математику за первых полгода, чтобы ученикам больше уже никогда не приходилось иметь с ней дела. Порочность такого подхода ясна из всего сказанного выше.
Подробнее следует остановиться на программе «Курса математики для классов с гуманитарными направлениями» (?), предложенной сотрудниками Института общего образования МО РСФСР Ю. М. Колягиным, М. В. Ткачевой и Н. Е. Федоровой (см. их статью «Профильная дифференциация обучения математике» // Математика в школе. 1990. № 4. С. 21—27).
Программе предпослано краткое вступление, в котором говорится об общей цели курса: «обеспечить усвоение системы математических знаний и умений, которые фактически являются элементами общей культуры; развить логическое мышление и пространственное воображение; сформировать представление о прикладных возможностях математики; сообщить сведения об истории развития науки, дать знания, необходимые для применения в быту и в выбранной специальности». Здесь, как мы видим, нет ничего специфического для гуманитарного профиля. Его своеобразие авторы программы усматривают только в том, что придется иметь дело со школьниками, которых «можно условно отнести к представителям «художественного типа» высшей нервной деятельности». Такие школьники, по их мнению, «могут испытывать трудности в произвольной регуляции поведения и оперировании абстрактными категориями». Что такое «произвольная регуляция поведения», вообще непонятно, а считать, что будущему гуманитарию должно быть трудно оперировать абстрактными категориями,— явная нелепость: в гуманитарных науках с абстрактными категориями приходится иметь дело на каждом шагу, во всяком случае не меньше, чем в естественных. Лингвистика, юриспруденция, социология, литературоведение едва ли не целиком состоят из абстрактных понятий и категорий. А что сказать о философии? (Или, по мнению авторов, философия не гуманитарная дисцип- ли на?)
Составители программы не предлагают никакой целостной концепции математического образования для школьников гуманитарного профиля. Это видно не только из пояснений, предваряющих программу, но и из самой программы, которая представляет собой эклектическое сочетание некоторых разделов традиционного курса и отдельных новых тем. В программе не получили отражения ни взаимосвязь между математикой и гуманитарными дисциплинами, ни внутренние связи между ее разделами.
Из перечня новых разделов ясно, что единственная гуманитарная дисциплина, которая заботит составителей,— это экономика или, скорее, даже финансовая деятельность. Приложения математики, упоминаемые в программе, относятся исключительно к денежным расчетам. Фактически эта программа ориентирована вовсе не на гуманитарный профиль, где на первом плане должны быть духовные устремления, а на подготовку будущих бизнесменов и финансистов. (Думается, впрочем, что для подготовки бизнесменов эта программа тоже вряд ли годится.) Возможно, конечно, что авторы программы относят «финансовые» приложения (в том числе «некоторые операции Госстраха») к «применениям математики в повседневной жизни», но тогда опять-таки непонятно, причем тут «гуманитарные направления»: применять математику в повседневной жизни должен уметь каждый.
Обратимся теперь непосредственно к содержанию программы. Она состоит из семи частей: 1. Знакомство с персональным компьютером. 2. Элементы статистики
8


и теории вероятностей. 3. Числа. 4. Функции. 5. Стереометрия. 6. Элементы математического анализа. 7. Знакомство с некоторыми приложениями математики.
Первый и седьмой пункты вызывают сомнение самй по себе. Первый пункт естественно было бы отнести к курсу информатики, который в гуманитарной школе столь же необходим, как и в любой другой (и должен строиться с учетом ее специфики: в нем можно
было бы знакомить учащихся с алгоритмами автоматической обработки текста, банками данных, информационно-поисковыми языками и системами, машинным фондом русского языка и т. п.). Содержание седьмого пункта составляют денежные расчеты, о которых мы уже говорили. Что же касается остальных частей, то прежде всего непонятна логика их расположения. Почему элементы статистики и теории вероятностей предшествуют числам? Почему «Стереометрия» отделяет «Элементы математического анализа» от «Функций»?
Относительно конкретного содержания разделов также возникает ряд недоуменных вопросов. Первый раздел предусматривает изучение языка Бейсик, в частности его команд. Однако структуру многих из этих команд нельзя понять, не зная элементов математической логики; между тем о математической логике в программе нет ни слова. Во втором разделе поражает отсутствие упоминания о комбинаторике: как можно без нее изучать теорию вероятностей? Статус третьего раздела вообще неясен. Он начинается с материала, традиционно входящего в программу V—VIII классов (натуральные, целые и рациональные числа). Если имеется в виду повторение, то почему только этого материала? Не менее важно было бы перед стереометрией (пятый раздел) повторить некоторые вопросы планиметрии. Кроме того, в этот раздел включены «простые» проценты, изучаемые в V классе. Авторы не объясняют, по каким мотивам они включили в программу комплексные числа; между тем мотивы эти вовсе не очевидны. (Мы, например, считаем, что без них в гуманитарной школе вполне можно обойтись.) В четвертом разделе почему-то нет непрерывных функций — необходимого «мостика» к шестому разделу. Пятый раздел почти дословно совпадает с соответствующей частью стандартной программы, хотя перегруженность программы гуманитарной школы стереометрическим материалом нуждается в отдельном обосновании.
В итоге приходится констатировать, что данная программа совершенно неудовлетворительна и внедрение ее привело бы к печальным последствиям. В то же время из текста статьи (с. 27) можно заключить, что ее авторами уже написаны «экспериментальные учебники». Трудно ожидать, что учебники, написанные на основе такой программы, будут сколько-нибудь удовлетворительными. Существует реальная опасность, что эти учебники получат поддержку официальных инстанций и начнут внедряться в гуманитарных школах2. Прежде чем публиковать и тем более вводить в практику такие учебники, следует представить на суд широкой педагогической и научной общественности продуманную и детально разработанную концепцию преподавания математики в школах и классах гуманитарного профиля.
2 После того, как эта статья была написана, председатель Гособразования Г. А. Ягодин в интервью корреспонденту «Известий» (см.: Известия, 1991,31 авг.) объявил о скором выходе в свет учебника математики для гуманитарных школ. Не этот ли учебник он имел в виду?
Об изучении вероятностей и статистики в школе
Л. О. Бычкова (Москва), В. Д. Селютин (Орел)
Давно назрел и не терпит дальнейших отлагательств вопрос о введении в школьный курс математики элементов вероятностно-статистических знаний. Законы жесткой детерминации, на изучение которых целиком ориентировано наше школьное образование, лишь односторонне раскрывают сущность окружающего мира. Случайный характер многих явлений действительности оказывается за пределами внимания наших школьников. В результате этого их представления о характере многих природных и общественных процессов носят однобокий характер и неадекватны современной науке. Необходимо познакомить их со статистическими законами, раскрывающими многогранные связи бытия предметов и явлений.
Задачи, которые ставит перед выпускником средней школы жизнь, в большинстве своем связаны с необходимостью анализа влияния случайных факторов и принятия решений в ситуациях, имеющих вероятностную основу. Поэтому некоторый запас вероятностностатистических знаний является неотъемлемым условием творческой работы во многих областях. Эти знания необходимы и в школе при изучении различных предметов, ведь большинство рассматриваемых там закономерностей являются статистическими и требуют для глубокого объяснения привлечения вероятностных идей и соответствующего понятийного аппарата.
В наше время вряд ли можно считать образованным человека, хотя бы в общих чертах не знакомого со взаимоотношением между «необходимым» и «случайным». Однако сегодня, как и 30 лет назад, школьные учебники предлагают лишь строго детерминированные модели окружающего мира. Поэтому наши выпускники с трудом преодолевают тот глубокий детерминизм, который взрастила в их умах средняя школа. Практика показывает, что человеку, не понявшему вероятностных идей в детстве, в более зрелом возрасте они даются нелегко, ибо многое в теории вероятностей вроде бы противоречит жизненному опыту, а с возрастом опыт набирается и приобретает статус безусловности.
Наметившиеся в нашей стране тенденции экономических преобразований позволяют предположить, что в самом недалеком будущем обществом будут востребованы организаторы и участники производства нового типа, которыми должны будут стать многие выпускники школ. Столь необходимую для их деятельности статистическую культуру надо воспитывать с ранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни.
Например, в национальном учебном плане Англии и Уэльса изучению вероятностно-статистического материала отводится значительное время. Учащиеся младших классов должны научиться выполнять группировку объектов, собирать данные и заносить их в таблицу, выделять часть информации из таблицы, строить и читать простейшие диаграммы, правильно использовать вероятностную терминологию, говорить о более и менее вероятных исходах эксперимента. Итоговые требования к знаниям учащихся средних классов свидетельствуют о том, что они осваивают различные способы обработки и представления статистических данных, умеют работать с базой данных компьютера, оценивают и вычисляют несложные вероятности. В старших классах от
2 Математика в школе № 6
9


учащихся требуется умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы. Так, например, одно из заданий состоит в том, что учащиеся должны провести опрос и выяснить отношение школьников и родителей к тому, чтобы перерыв на обед в школе был сокращен на лолчасаа. Результаты опроса необходимо проанализировать и сделать обоснованный вывод. В целом вероятностям и статистике посвящены 3 из 14 итоговых требований в английской школе.
Что касается японской школы, то в ней пропедевтический курс статистики изучается со II класса, т. е. с того момента, когда большинству учащихся исполняется 7 лет. На протяжении 5 лет у них формируются навыки работы с эмпирическими данными, с таблицами и диаграммами. В младшей средней школе вероятностностатистический материал изучается в виде отдельных тем курса математики.
В I классе младшей средней школы (VII год обучения) элементам статистики отводится 8 ч, на протяжении которых рассматриваются правила деления данных на шаги, гистограммы и кривые распределения, относительные и накопленные частоты, их таблицы и графики, а также мода, медиана и среднее арифметическое как типичные представители выборки. ВО II классе (VIII год обучения) на изучение элементов теории вероятностей отводится 15 ч. При этом учащиеся должны научиться подсчитывать шансы случайного события, последовательно систематизируя и классифицируя возможные исходы случайного эксперимента, находить число перестановок и сочетаний из к элементов по п в простых случаях, вычислять вероятности, пользоваться статистическим определением вероятности для решения прикладных задач. В III классе на протяжении 11 ч изучаются показатели разброса данных, правила применения выборки для анализа генеральной . совокупности, корреляционные таблицы и диаграммы.
Благодаря такому большому вероятностно-статистиче- скому блоку в программе обязательной средней школы Японии вероятностные понятия прочно входят в круг повседневных представлений учащегося. Так, на японском микрокалькуляторе, предназначенном для весьма ограниченных потребностей домашних хозяек, есть коэффициент корреляции, хотя ни синуса, ни косинуса, естественно, нет.
Согласно материалам, разработанным Национальным советом учителей математики США, находить простейшие вероятности могут даже ученики начальной школы. В V—VIII классах основное внимание уделяется знакомству с вероятностными моделями реальных ситуаций, сравнению ожидаемых результатов с теми, которые получены в ходе эксперимента. Американские педагоги подчеркивают, что данные, которые ученики систематизируют и анализируют на уроках, должны быть им интересны, постановка задач должна способствовать повышению математической культуры учащихся, развитию прикладных умений и навыков.
Среди задач вероятностно-статистического характера часто встречаются такие, которые предназначены для групповой работы всего класса. Например, учащимся предлагают нарисовать портрет среднего ученика данного возраста — Среднякова. «Как выглядит Средняков? Сколько ему лет? Каков его рост? Какие у него отметки? Сколько у него братьев и сестер? Какую телепередачу он не пропустит? Какую музыку он любит?» — учитель ставит вопросы, на каждый из которых будет отвечать группа учащихся. В итоге коллективной работы вырисовывается портрет Среднякова, с которым каждый может сравнить себя. В старших классах вероятностные идеи и методы используются для постановки и решения задач как прикладного, так и теоретического характера. Учащиеся знакомятся с распределением дискретных случайных величин, с нормальным распределением, учатся понимать и использовать средние характеристики выборки, показатели вариации и коэффициенты кор¬
реляции для анализа и сравнения выборок.
В течение ряда лет элементы вероятностно-статисти- ческих знаний входят в школьный курс математики Венгрии. Начало этому было положено благодаря работам Т. Варги, который одним из первых в Европе предложил пути изучения стохастики учащимися средних школ. С идеями Т. Варги советский читатель может познакомиться по двум его книгам, переведенным и изданным в Советском Союзе.
Число примеров подходов к изучению вероятностностатистического материала в средней школе можно было бы увеличить, поскольку за последние два десятилетия практически каждая страна ввела этот материал в школьную программу и предложила один или несколько подходов к его изучению. Интересные работы появились в Польше, Швеции, Израиле, Франции, однако на русский язык переведен только первый вариант уч'ебника по теории вероятностей для старших классов американских школ, написанный Ф. Мостеллером, Р. Рурке и Д. Томасом в начале 60-х гг. Проблемы, связанные с созданием системы изучения вероятностно-статистического материала в средней школе, в нашей стране освещаются недостаточно.
Анализ известных нам подходов к изучению элементов теории вероятностей и статистики в средних школах различных стран позволяет сделать следующие выводы:
в подавляющем большинстве стран этот материал начинает изучаться в начальной школе;
на протяжении всех лет обучения учащиеся знакомятся с вероятностно-статистическими подходами к анализу эмпирических данных, причем большую роль в этом играют задачи прикладного характера, анализ реальных ситуаций;
в процессе обучения много.времени отводится задачам, требующим от учащихся работы в маленьких группах, самостоятельного сбора данных, обобщения результатов работы групп, проведения самостоятельных исследований, работ практического характера, постановки экспериментов, проведения небольших лабораторных работ, подготовки долгосрочных курсовых заданий — все это диктуется своеобразием вероятностно-статистического материала, его тесной связью с практической деятельностью;
изучение стохастики как бы распадается на вероятностную и статистическую составляющие, тесно связанные между собой, во многих странах они дополнены небольшим фрагментом комбинаторики.
В нашей стране уже предпринимались неудачные попытки введения в школьный курс математики понятия вероятности события. В силу изолированности и инородности его по отношению к традиционному школьному курсу этот материал был вскоре изъят из программ и учебников.
Некоторый опыт обучения элементам теории вероятностей накоплен в школах с углубленным изучением математики, но и он лишь подтверждает тот факт, что попытки решить проблему путем введения в традиционный курс математики нового изолированного раздела обречены на провал. Изучение элементов теории вероятностей как замкнутого раздела программы, относящегося к «чистой», теоретической математике, полностью дискредитировало себя в глазах педагогов и привело к тому, что некоторые из них вообще выражают сомнение в том, что ее можно и нужно изучать в средней школе. В то же время преподаватели физики, химии, биологии ощущают острую потребность в том, чтобы выразить основные закономерности этих наук на языке вероятностных понятий. Ведь современное состояние человеческих знаний о мире позволяет считать, что случайный характер присущ основным (базисным) явлениям микромира.
Мировоззренческий аспект изучения теории вероятностей и статистики в школе трудно переоценить. Однако именно он оказался вне поля зрения ныне действующей программы школ (классов) с углубленным изучением математики, где этот раздел существует как инородный фрагмент, который в лучшем случае выглядит
10


некоторым своеобразным приложением к комбинаторике. Важнейшей задачей вероятностно-статистического образования нужно считать формирование методологически правильных взглядов на природу и общество, отвечающих современной научной картине мира.
Появление в школьной программе ве роят ноет но-статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению ее общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.
При отборе материала для новой линии школьного курса необходимо учитывать общеобразовательную значимость и мировоззренческий потенциал предлагаемых тем. Важно правильно оценить то, какие знания нужны современному человеку в повседневной жизни и деятельности, что из них потребуется ученику для изучения других школьных предметов, для продолжения образования, какой вклад могут внести эти знания в формирование различных сторон интеллекта ученика. Необходимо позаботиться также о том, чтобы предложенное содержание обеспечивало возможности органичного сопряжения нового учебного материала с традиционным, способствовало развитию внутрипредметных связей.
Самые первые представления о мире случайного дети получают из наблюдений за ним в окружающей жизни. При этом важные характерные черты наблюдаемых явлений проясняются в ходе сбора статистических сведений и наглядного их представления. Умение регистрировать статистические сведения и представлять их в виде простейших таблиц и диаграмм уже само по себе характеризует наличие у школьника некоторого статистиче- кого опыта. В нем находят отражение самые первые, пусть еще не до конца осознанные представления о неоднозначности и изменчивости реальных явлений, о случайных, достоверных или невозможных результатах наблюдений, о конкретных видах статистических совокупностей, их особенностях < общих свойствах. Эти умения дают возможность формировать правильное представление не только о явлениях с ярко выраженной случайностью, но и о таких явлениях, случайная природа которых неочевидна и затушевана многими осложняющими восприятие факторами.
В быту и на работе выпускник средней школы постоянно сталкивается с необходимостью получения и оформления некоторых сведений. На уроках физики, химии, биологии при выполнении лабораторных и практических работ ученик должен уметь оформить результаты наблюдений и опытов; на уроках географии, истории, обществоведения ему необходимо пользоваться таблицами и справочниками, воспринимать информацию, представленную в графической форме. Эти умения необходимы каждому человеку, так как со статистическим материалом, представленным в различной форме, он постоянно встречается во всех источниках информации, рассчитанных на массовую аудиторию,— в газетах, журналах, книгах, по телевидению и т. п.
Понимание характера изучаемого стохастического явления связано с умением выделять главное, видеть особенности и тенденции при рассмотрении таблиц, диаграмм и графиков. Простейшие навыки в «чтении» таблиц и графиков позволяют подметить некоторые закономерности наблюдаемых явлений, увидеть за формами представления статистических данных конкретные свойства явлений с присущими им особенностями и причинными связями.
Типические черты изучаемых явлений, их общие тенденции могут быть выявлены с помощью средних статистических характеристик. Умение пользоваться ими характеризует наличие у учащегося представлений, связанных с центральными тенденциями в мире случайного. Понимание смысла самых простых средних показателей,
таких, как среднее арифметическое, необходимо каждому ученику. Ведь сообщения средств массовой информации, как правило, не обходятся без привлечения средних показателей. Средняя температура и средняя зарплата, средняя семья и средний доход постоянно фигурируют в печати, на телеэкране, на митинге. Умение ориентироваться в этих показателях помогает человеку принимать правильные решения,-адекватно воспринимать поступающую к нему информацию.
Стохастический характер окружающих явлений не может быть раскрыт без понимания степени изменчивости. Поэтому возникает необходимость в количественной оценке разброса статистических данных, которая способствует более глубокому пониманию сущности явлений и процессов, дает возможность сравнивать статистические совокупности по степени их вариации.
Одним из важнейших компонентов статистического стиля мышления является понимание устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких взаимосвязей. Центральное место занимают здесь представления, связанные с различными экспериментальными проявлениями закона больших чисел. Самый простой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений. При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит к осознанию статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и понимание того, что количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом мы приходим к вычислению вероятностей в классической схеме.
В наши дни человек постоянно сталкивается с вероятностной терминологией в политических и научных текстах, широко использует ее в повседневной речи. Она звучит в завтрашнем прогнозе погоды, когда речь заходит о вероятности дождя, в выступлении политика, когда он оценивает шансы или анализирует данные, в разговоре экономиста, организатора производства, ученого.
Большое распространение получили различные ло^'ереи, азартные игры, участвуя в которых важно правильно оценивать шансы получить вмигрыш, придерживаться оптимальной стратегии или, наоборот, оценив свои шансы, отказаться от игры. Все вопросы, связанные с выигрышными стратегиями, справедливыми и несправедливыми условиями случайных игр, вызывают большой интерес даже у самых слабых учащихся. Кроме того, игровая фабула задачи дает возможность организовать захватывающий эксперимент перед решением ее в классе, в беседе с учащимися обсудить их оценки шансов, углубить и развить вероятностную интуицию в нужном направлении. Так, например, вероятностный анализ игры в "«наперстки» показывает учащимся, что независимо от наблюдательности и внимательности играющего тот, кто двигает наперстки, оказывается в выигрыше.
В том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения. Беседуя с учащимися VI—VII классов, мы столкнулись с таким, например, мнением: «Лотерея — это случайная игра, в которой иногда выигрываешь, а иногда проигрываешь. Я уже несколько раз покупал лотерейные билеты и все время проигрывал. Мой друг тоже купил билет, и ему сразу повезло — выиграл. Но зато в следующем туре у меня больше шансов выиграть, чем у него, ведь он уже один раз выигрывал, а я еще нет».
Одной из важных целей изучения вероятностно-ста- тистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в
2*
11


жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п. Представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.
В настоящее время одной из наиболее актуальных проблем методики преподавания математики является проблема введения в школьный курс вероятностнр- статистической линии, которая давала бы возможность познакомить всех учащихся с миром случайного, с самых ранних лет формировать у них умение накапливать и систематизировать представления о свойствах окружающих явлений, в большинстве своем имеющих стохастическую природу. К особенностям новой линии можно отнести то, что в ней много эмпирики и рассуждений, мало формул, отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческой деятельности учащихся.
Эта линия требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов,
живых наблюдений и предметной деятельности. Изучение вероятностно-статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умение ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Логический прием сравнения в стереометрических задачах
Т. С. Гришина (Казань)
Сравнение — это логический прием мышления, используемый как в научных исследованиях, так и в обучении. С помощью сравнения выявляют сходство и различие сравниваемых предметов. Рассматривая предмет или процесс с разных сторон, выделяя мысленно его элементы и сравнивая их, школьники учатся анализу, а переходя от отдельных частей к целому, постигают синтез. Приемы сравнения, аналогии, анализа и синтеза служат формированию логического мышления и вообще облегчают обучение школьников навыкам самостоятельных размышлений.
Известно много секретов воспитания думающих людей. Один из них — применение сравнений всюду, где это разумно. Расскажу, как можно с помощью сравнений сделать. рассуждения более глубокими, а результаты этих рассуждений — легче запоминающими¬
ся. Для примера буду использовать тему «Прямые круговые цилиндр и конус».
Целесообразно изучать обе фигуры параллельно. При этом надо обратить внимание
учеников на такие факты:
и цилиндр, и конус можно определить как множество отрезков и как фигуру вращения;
существуют элементы, которые есть и у цилиндра, и у конуса, существуют элементы,
которые есть только у цилиндра, только у
конуса;
и в цилиндре, и в конусе через две любые образующие можно провести сечение.
После знакомства с элементами цилиндра и конуса можно предложить следующие задачи.
Задача 1. Какое из сечений, проходящих через две образующие цилиндра, имеет наибольшую площадь?
Ответ: это осевое сечение. Как правило,
учащиеся находят его без труда. Но ценность задачи не в том, что она дает возможность повторить формулу для вычисления площади прямоугольника, а в том, что помогает вызвать интерес к решению другой, более трудной задачи, которая предлагается вслед за ней.
Задача 2. Какое из сечений, проходящих через две образующие конуса, имеет наибольшую площадь?
Ответ: в конусе осевое сечение обладает наибольшей площадью только в том случае, если в этом сечении угол а между образующими прямой или острый; если же угол а тупой, то наибольшая площадь у неосевого сечения, в котором угол между образующими прямой.
Многие учащиеся предсказывали совпадение ответов к задачам 1 и 2. Тем более памятный урок они получили, когда убедились, что их догадка оказалась неверна, поскольку при сравнении цилиндра и конуса они не приняли во внимание некоторые признаки «конуса, которые имеют для данной задачи существенное значение.
Задача 3. Сравните объемы цилиндра (Кц) и конуса (Ук), если радиусы оснований обеих фигур равны /?, а высоты — Н.
. Ответ: 1/ц = ЗКк. Эта задача решается устно, и ответ в ней не зависит от особенностей конуса и цилиндра (конечно, при соблюдении условия задачи). Иное дело, если речь идет не об объемах, а о боковых поверхностях рассматриваемых фигур.
Задача 4. Сравните площади боковых поверхностей цилиндра (Su) и конуса (SK), если радиусы оснований обеих фигур равны R, а высоты — Н,
Ответ: SK = SU, если в осевом сечении
конуса угол между образующими равен 120°, в остальных случаях SK=5^SU. Как видим, ре¬
12


шение этой задачи представляет собой небольшое исследование и приводит к неоднозначному ответу. Сравнение будет более законченным, если предложить учащимся вопрос: «Может ли так случиться, что при условии задачи 4 будет выполнено равенство Su = = 3SK?» Сделав необходимые выкладки, учащиеся убедятся, что это равенство не может быть выполнено. В самом деле, предположим, что SU = 3SK, т. е. 2л/?//=Зя/?/. Тогда Н = = 1,5/, т. е. #>/, чего быть не может.
Как видим, здесь повторяется та же ситуация, что и в задаче 2: в процессе сравнения учащиеся приходят к выводам, которые они делают по аналогии. При проверке обнаруживается, что выводы не верны, но само появление некоторой гипотезы сделало урок интересным и запоминающимся.
Итак, на уроке учащиеся не только применили некоторые «ажные формулы, но и увидели, как прием сравнения облегчает рассуждения, помогает увидеть ранее незамечаемые свойства фигур.
Сравнение свойств цилиндра и конуса можно продолжить и при разговоре о вписанных и описанных шарах. Многие из учащихся не прочь попробовать свои силы в от&етах на такие вопросы:
1) Около любого ли конуса можно описать шар?
2) Около любого ли цилиндра можно описать шар?
3) Почему в любой конус можно вписать шар?
4) Почему не в любой цилиндр можно вписать шар?
К использованию сравнения как логического приема можно прибегать на уроках разных типов, при изучении самых разных тем, в разных классах.
Взаимообмен заданиями
М. ▲. Мкртчян (г. Красноярск)
Как известно, коллективный способ обучения (КСО) есть осуществление процесса обучения через четыре организационные формы: индивидуальную, парную, групповую и коллективную, при этом ведущей является последняя. Одна из главнейших проблем, которая возникает при создании КСО,— организация коллективных занятий.
В данной статье раскрываются основные идеи и особенности методики взаимообмена заданиями.
Задания. Задание представляет собой два однотипных упражнения, вопроса или две однотипные задачи. Его удобно нумеровать буквами и цифрами: буквы — для обозначения разделов, а цифры — для обозначения номера задания в данном разделе.
Приведем пример двух разных заданий из раздела «Решение неравенств». Условно этот раздел обозначим PH.
Задание РН1
Решить неравенства: а) _2._ <:
б) — - < .
' х+2 2—х
Задание РН2
Решить неравенства: а) ^х2 + х — 2> х\
б) -д/х2 + 5х + 4 >х + 2.
Основной прием. Предположим, что один из учеников, например Иванов, знает правильное решение всех задач задания РН1, а другой ученик, например Петров, знает правильное решение всех задач задания РН2. Тогда, работая в паре, они могут обменяться заданиями. Обмен осуществляется следующим образом.
Иванов учит Петрова, как решать задачу а) из задания РН1. При этом, если есть необходимость, он излагает соответствующую теорию. Записывать решение задачи и необходимые формулы он может прямо в тетрадь Петрова.
Затем таким же образом Петров объясняет Иванову, как решается задача а) из задания РН2. Далее Петров приступает к самостоятельному решению задачи б) из задания РН1, а Иванов — к самостоятельному решению задачи б) из задания РН2.
Проверив друг у друга правильность решения задач, напарники расходятся. На этом работа в данной паре заканчивается.
13


Методика взаимообмена заданиями. Предположим, что шесть учащихся, например Петров, Иванов, Озеров, Степанов, Попов, Кузнецов, приступают к выполнению заданий из раздела «Решение неравенств» (PH). .Предположим также, что для этого раздела составлены шесть, заданий PHI, РН2, РНЗ, РН4, РН5, РН6.
Для координации работы служит таблица учета (см. табл. 1).
Таблица 1
РН1
РН2
РНЗ
PH4
PH5
PH6
Петров
Иванов
Озеров
Степанов
Попов
Кузнецов
Все шесть заданий распределяются между учениками. Каждому дается по одному заданию. Отметка об этом делается в таблице учета.
Далее начинается так называемый запуск раздела. Он заключается в следующем. Преподаватель каждому учащемуся объясняет, как решается задача а) из его задания, дает необходимую теоретическую консультацию, записывает решение задачи прямо в тетрадь ученика. Затем учащиеся решают самостоятельно задачу б) из своего задания.
Ученик, решивший задачу б) из своего зада^ ния, проверяет правильность решения у преподавателя. После этого ему ставится значок + в соответствующем месте в таблице учета. Например, если Озеров правильно решил задачу
б) 	задания РНЗ, то перед его фамилией под номером РНЗ вместо • ставится +.
Через некоторое время таблица учета будет выглядеть примерно следующим образом (см. табл. 2):
Таблица 2
РН1
PH2
РНЗ
РН4
РН5
РН6
Петров
Иванов
Озеров
Степанов
Попов
Кузнецов
+
+
+
+
«Запуск» раздела считается законченным, если каждое задание выполнено хотя бы одним учеником.
Далее, чтобы выполнить остальные зада¬
ния, учащиеся работают в паре друг с другом так, как это описано в пункте «Основной прием».
Координируется эта работа следующим образом. Из табл. 2 видно, что Петров и Озеров, работая в паре, могут обменяться заданиями РН1 и РНЗ. Им поручается это сделать, при этом в таблице учета перед фамилией Петров под номером РНЗ ставится точка, а перед фамилией Озеров точка ставится под номером РН1. Таким же образом Степанов и Попов обмениваются заданиями РН4 и РН5.
Когда работа в паре заканчивается, то вместо точек ставятся плюсы. Через некоторое время таблица учета может выглядеть примерно следующим образом (см. табл. 3):
Таблица 3
РН1
РН2
РНЗ
РН4
РН5
PH6
Петров
+
+
Иванов
+
Озеров
+
+
Степанов
+
+
Попов
+
+
Кузнецов
+
Далее работу продолжают, например, так: Петров и Степанов обмениваются заданиями РНЗ и РН5, а Озеров и Попов — заданиями РН1 и РН4. При этом, как видно из табл. 3, Иванов и Кузнецов не закончили работу в паре. Следовательно, они ее продолжают, обмениваясь заданиями РН2 и РН6.
В результате каждый из учащихся выполняет все шесть заданий раздела PH.
Организация занятий. Предположим, что изучаемая программа состоит из разделов Л, В, С, D, £, F. Предположим также, что разделы А, В, С не зависят друг от друга, раздел D зависит от раздела Л, раздел Е зависит от раздела В, а раздел F зависит от всех разделов.
Работу в учебном коллективе можно организовать следующим образом. Одна группа учеников приступает к выполнению заданий из раздела А. Количество членов этой группы зависит от числа заданий раздела. Целесообразно число учеников в группе брать равным числу заданий в соответствующем разделе. Преподаватель «запускает» в группе раздел А.
Образуется вторая группа учеников, в которой преподаватель «запускает» раздел В. В третьей группе «запускается» раздел С. Если после этого остались ученики, не задействованные в pa6ofe, то можно образовать четвертую группу и «запустить» в ней снова раздел Л и т. д.
Из освободившихся учеников, т. е. из тех, кто
14


выполнил все задания своих разделов, образуется новая группа, которая приступает к выполнению заданий очередного раздела. Таким образом, группы регулярно переформировываются.
При образовании групп и «запуске» очередных разделов необходимо учитывать зависимость между разделами. Например, для выполнения заданий раздела D нужно сформировать группу, все члены которой уже выполнили задания раздела Л, а к выполнению заданий раздела F могут приступить только те ученики, которые выполнили задания всех остальных разделов.
Как вести учет и осуществлять координацию в отдельных группах, описано в пункте «Методика взаимообмена заданиями». Отметим только, что эту работу целесообразно поручить одному из учеников группы.
Для координации деятельности всех групп составляется общая таблица учета. Она может выглядеть так (см. табл. 4).
Из этой таблицы видно, что, например, Петров может быть включен в состав группы, которая приступает к выполнению заданий из разделов В, С или Е. Иванов и Озеров могут приступить к выполнению заданий из раздела А, но не могут взяться за раздел D, так как он зависит от раздела А. Таким образом, к разделу D могут приступить только Степанов, Волков и все те у которых выполнены задания раздела А.
Подготовка учебного материала. Изучаемую программу необходимо структурировать, поделив ее на разделы так, чтобы можно было составить задания для каждого раздела с соблюдением следующих моментов: а) в каждом разделе количество заданий не меньше 6 и не больше 10; б) разные задания из одного раздела состоят из задач разных типов; в) каждое задание одного раздела можно выполнять независимо от остальных заданий этого раздела.
Например, при составлении заданий по теме «Решение неравенств» алгебраические неравенства могут войти в один раздел, а три¬
гонометрические неравенства — в другой. При изучении темы «Тригонометрические тождества» можно в один раздел включить задачи, требующие применения одной тригонометрической формулы. Задачи, требующие применения сразу нескольких формул, сгруппировать в другой раздел.
Далее необходимо установить логическую зависимость между разделами и определить возможные варианты последовательностей изучения тем.
Замечания. Предположим, что учебная группа состоит из 30 учеников. Вначале создается определенная сложность, обусловленная тем, что, когда преподаватель «запускает» работу в одной группе, остальные остаются без дела.
В этом случае по-разному можно выйти из положения. Например, организовать для всех учащихся самостоятельную работу по повторению пройденного. При этом выделить несколько учеников и, образовав из них группу, «запустить» определенный раздел программы. Затем из закончивших работу образовать следующую \ группу и «запустить» в ней другой раздел и т. д.
Иногда аналогичная ситуация создается, когда преподаватель «запускает» определенный раздел в одной группе. Для осуществления «запуска» он должен каждому подробно рассказать, как решаются его задания. Но когда он работает с одним, остальные остаются без дела. В таких случаях целесообразно сначала подойти к каждому члену группы и подсказать первый шаг. Например: «Применяйте
такую-то формулу», «Сделайте так-то», «Начинайте с того-то». И после того, как все начинают что-то делать, каждому отдельно, подробно объяснить решение соответствующих задач.
Иногда бывает так. Одна группа из шести человек выполнила все задания из раздела А и готова перейти к разделу В. В это время другая группа тоже из шести человек выпол нила все задания из раздела В и готова перейти к выполнению заданий из раздела А. Тогда эти группы могут осуществить «запуск» таким образом.
Таблица 4
А
1 2 3 4 5 6
В
1 2 3 4 5 6
С
1 2 3 4 5 6
D
12 3 4 5 6
£ и т. д.
1 2 и т. д.
Петров
Иванов
Озеров
Степанов
Попов
Кузнецов
Волков
Зайцев
Сидоров
И т. д.
кии
++++++
++++++
+ +
15


Сначала каждый ученик из одной группы поработает в паре с учеником другой группы. При этом в одной паре ученики обмениваются первыми заданиями из разделов Л и В, в другой паре — вторыми заданиями и т. д. После этого ученики возвращаются в свои группы и каждая группа продолжает работать по методике взаимообмена заданиями.
Часто складывается такая ситуация: группа работает над выполнением заданий определенного раздела, а один ученик из этой группы уже выполнил все задания, тогда он может выйти из этой группы и присоединиться к другой или приступить к выполнению задания из другого раздела.
Если же получается так, что все члены группы, кроме одного, выполнили все задания раздела, тогда не выполнивший задания ученик может временно оставить этот раздел и перейти к другому. А к данному разделу он вернется тогда, когда снова будет образовываться группа для выполнения заданий этого раздела.
Некоторые особенности методики. Методика предназначена для обучения решению стандартных, типовых задач. По каждому типу задач ученику предоставляется возможность добиться полного понимания. Ученик решает хотя бы одну задачу каждого типа самостоятельно. Большинство задач ученику, обучая других, приходится решать заново. Методика позволяет реализовать идеи индивидуального подхода к каждому ребенку.
К вопросу изучения сложной функции
И. Е. Дразнин (Казань)
Почему, беря производную функции у== Ig 2л:, учащиеся так часто забывают умножить результат на «многострадальную» двойку? Причина, конечно, не в том, что забыта формула производной сложной функции. Ученики не владеют понятием сложной функции, скорее всего, не в ладах и с самим определением функции.
Предлагаемая методика изучения темы «Производная сложной функции» основана на принципе варьирования (см.: Математика в школе. 1990. № 5) и, включая в работу сравнение и анализ, дает весьма обнадеживающие результаты. Рассмотрим ее применение на примере линейной, квадратичной, степенной и логарифмической функций.
1. Объясните смысл знаков ху у и / в записи:
y—f (•*) •
2. у=х . Каков закон образования этой функ¬
ции? Что в записи этой формулы выполняет роль знака /?
3. 	Укажите закон образования функций: у\ = =2х; у2—х-\-2; уг—х\ у*=2. (На функции у4= =2 стоит остановиться подробнее. Закон образования этой функции станет яснее, если рассмотреть функцию у=0*л:+2.); уь=—х\ у&=0\
1/7=— у-, Ув=л/х\ у9=3+х2.
Для каких из перечисленных функций верно равенство
2f(x)=f(2x), xe=D(f)?
Пусть нам необходимо вычислить производную некоторой функции. Последовательность рассуждений может быть такой.
Можно ли данную функцию классифицировать как линейную, квадратичную, степенную или логарифмическую?
Если — да, то ее производная берется согласно известным формулам.
Если — нет, то можно ли данную функцию представить в виде суммы (разности), произведения или частного указанных функций?
Если — да, то мы включаем в работу соответствующие формулы.
Если — нет, то надо рассмотреть данную функцию как сложную.
Каков закон образования функции у=УЗ—х?
Можно рассуждать так. Сначала какое-либо значение аргумента из области определения функции умножается на —1, потом суммируется с числом 3. Это закон образования линейной функции. Итак, «внутренняя» функция линейная. Обозначим ее буквой g: g = 3 — х.
Затем полученное значение функции возводится в степень —. Это закон образования степенной функции. Обозначим ее буквой Н: # =
Перед нами сложная функция: степенная от линейной. Значит, ее производная р&вна произведению производных функций Hug. _
А_каков закон образования функции у=^]3— —VX?
Отметим, что ценность вербальной работы по классификации функций значительно превосходит ценность навыка по взятию производной сложной функции.
Рассмотрим функцию у= lg 2л:. Мы можем взять ее производную двумя способами:
1) yz=z lg 2+^л:. Это сумма линейной и логарифмической функций — можно применить формулу производной суммы двух функций;
2) у= lg 2л:. Это сложная функция: логарифмическая от линейной (g=2х; H=\gg).
Приведем примеры последовательностей упражнений, полученных по принципу варьирования.
16


Классифицируйте функции. Найдите их области определения. Производные каких функций вы сумеете найти? _
a) у±=—1; У2=—х; 1/3=7*; И4=л1—х: уь— = —VХ\ У$=Уз+У4-, yf=yz-y4-, i/f=7—X2 . Отметим важность функций у6 и у7 для понимания условий применимости формул (u±v)'= =ы'±у' и (u-v)'=u'v+v'u, ибо условие «функции и и v дифференцируемы в точке хо» обычно малодоступно среднему ученику.
b) yi=Vb-*; У2 = м'х—1\ Уз=-т4=г; У4 =
VI —*
=7(1 —xf; уь=л/1 —а:3; у6 = 71—х2; у? —
=70^-
c) у=73-
Можно ли сказать, что у=УЗ
a) линейная функция?
b) степенная функция?
c) сложная функция: степенная от линейной?
В заключение отметим, что предлагаемая методика, позволяя заменить однообразную репродуктивную работу по выработке навыков вычисления производной сложной функции вербальной работой по классификации функций, оказывает на ученика гуманизирующее влияние.
О решении тригонометрических неравенств
А. 	К. Калинкин (г. Дудинка)
Напомним, как осуществляется решение неравенств sin х^а и cos jc^a при \а\ < 1. Сначала находим какой-нибудь промежуток (х\ \ *2), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число, кратное периоду синуса или косинуса: (х\-{-2пп, *2 +2лл). При этом значение х\ находится легко, так как *i = arcsin а или *i = arccos а. Поиск же значения х2 опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.
Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.
Изучение данной темы осуществляем следующим образом.
1. 	Строим графики у = sin л: и у = а, считая, что \а\ < 1 (рис. 1). Затем записываем уравнение sin х = а и его решение х = (— 1)" arcsin а + + л/г, «eZ. Придавая п значения 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: Хо = arcsin а,х 1= — arcsin a + jc, Х2 = arcsin а-1- + 2я. Значения Хо, х\ и *2 являются абсциссами трех последовательных точек пересечения графиков */ = sin х и у —а. Очевидно, что всегда на интервале (хо\ Х\) выполняется неравенство sin jc> а, а на интервале (х\ \ *2) — неравенство sinx<a.
Рис. 1
Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства sin х> а в виде:
хо-\-2ппсх< х\ + 2ям, neZ;
а во втором случае — решение неравенства sin х< а в виде:
х\ + 2пгкх<х2 + 2пп, n^Z.
2. 	Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса (рис. 2). Только в отличие от синуса из формулы х= itarccos а + 2лп, neZ, являющейся решением уравнения cos х = а, при п = 0 получаем два корня хо= — arccos а, xi = arccos а, а третий корень *йри п— 1 в виде лг2 = — arccos а + 2л. И опять *о, х\ и Х2 являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков у = cos х и у = а. В интервале (хо; *1) выполняется неравенство cos х> а, в интервале (х\; Х2) — неравенство cos хСа.
Рис. 2
17


Теперь нетрудно записать решения неравенств cos х> а и cos х< а. В первом случае получим:
*0 + 2л/г<х<х\ + 2яя, n^Z;
а во втором:
х\ + 2яя<х<*2 + 2яп, neZ.
Подведем итог. Чтобы решить неравенство sin х> а или cos х> а, надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни хо и х\ и записать ответ неравенства в виде: хъ-\-2пп<х<х\ + + 2ля, n€EZ.
При решении неравенств sin х<а и cos х<а из формулы корней соответствующего уравнения находим корни х\ и хч и записываем ответ неравенства в виде: х\ +2ям<х<л:2 + 2ягг, n^Z.
Изложенный в данной статье прием позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, так как этот прием полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие тригонометрические уравнения и находить значения переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приемы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа а и его знака. Да и сам процесс решения неравенств становится кратким и, что очень важно, единообразным.
Еще одним преимуществом предложенного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса. Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить
неравенство sin х< у. Составим соответствующее уравнение и решим его:
sin
х = (— 1)" arcsin 4- + пп, n^Z.
о
Найдем значения х\ и х2.
При п=1 xi = —arcsin
При я = 2 Х2 = arcsin ~+2я.
Записываем окончательный ответ данного неравенства: —arcsin -j +я+2ял<л:<
< arcsin +2я + 2яп, neZ или —arcsin
+ я(2я+ 1)<х< arcsin у +2я(п+ 1), neZ. 18
В рассмотренном приеме решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один — наличие определенной доли формализма. Но если все оценивать только с таких позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и применение формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.
Я слагаю урок, словно песенный стих
H. 	К. Костюкова (г. Уральск)
От редакции. В настоящее время устанавливается хорошая традиция: проводить ежегодные конкурсы «Учитель года». О финалистах общесоюзного конкурса мы уже рассказывали. Представляем читателям еще одного участника — Надежду Константиновну Костюкову. Она работает учителем математики уже 18 лет. Последние 4 года преподает в школе № 23 г. Уральска. Является победителем конкурса «Учитель года» в Уральской области и лауреатом такого же республиканского конкурса в Казахстане.
Публикуемая ниже статья Н. К. Костюковой в какой-то мере поможет читателю составить представление о ее педагогической манере.
Мы говорим: «Урок — основная форма организации обучения». При этом мы четко знаем, что нужно дать на уроке: перед нами программа и учебник. Но о том, как преподнести учащимся материал, некоторые наши коллеги даже не задумываются. Не мудрствуя лукаво, они записывают в начале урока его тему на доске, объясняют ее, затем переходят к задачам и т. д. У таких учителей все идет как будто бы гладко. Только ребята почему-то не любят их уроков...
Но есть учителя, которые к каждому уроку подходят как к поэтическому творению и трудятся над планами с вдохновением и наслаждением. Дл'я них это один из приятнейших моментов преподавательской работы. Ведь план — это мечта, которая очень скоро, завтра же, будет или реализована, или загублена. Потому и бывает так счастлив учитель после хорошего урока. Потому он и горько расстраивается после урока неудачного, что с мечтой нелегко расстаться.
Как же возникает хороший урок? У разных учителей конечцо, могут быть различные ответы на этот вопрос. Изложу свою точку зрения.
Урок, во-первых, должен быть продуман во всех деталях, чтобы они логично следовали одна из другой, а учащиеся понимали, почему, что и зачем они делают на занятии.
Во-вторых, полезно придерживаться принципа «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услы¬


шать». Все, что учитель говорит, желательно воплощать в какие-то зримые образы. А это совсем не легко. Нельзя ограничиваться тем пониманием наглядности, которое часто сводится к простой иллюстративности. Иллюстративность статична, а наглядность должна быть динамичной, чтобы показать невидимое: ход рассуждений, связь между понятиями.
В-третьих, учащихся необходимо тщательно готовить к осознанию темы урока, а не писать заранее ее на доске. Целесообразность изучения темы должна осознаваться постепенно по ходу занятия, а не навязываться извне.
В-четвертых, на уроке должно быть интересно. Но без эмоций, без переживаний ум не напрягается. Интерес возникает там, где учителю удается заразить ребят своей эмоциональностью.
Приведу для примера описание урока по теме «Косинус угла», которая считается одной из самых трудных.
Урок начинается с устной работы. Учащиеся повторяют теорему Фалеса по чертежу, который копирует чертеж из учебника (см. рис. 1).
Рис. 1
В рисунке только одно изменение: точки N и С выделяются одним цветом, точки М и В — другим. Такими же цветами выписываются эти буквы в пропорции, которую составляют учащиеся (см. запись в рамке на рис. 1). Затем предлагается рис. 2, и по нему тоже составляется отношение, записываемое рядом с рисунком. Третье упражнение задается по чертежу, который повторяет рисунок к теореме 7.1 из учебника «Геометрия 7—И» А. В. Погорелова. Но о теореме учитель пока не говорит ни слова, предоставляя учащимся самостоятельно записать пропорцию АС\\АВ\ = —АС:АВ. Учитель записывает ее в углу доски
MBf
_ МВ2
МАГ
1
1,
рядом с чертежом (рис. 3). Этот рисунок должен оставаться перед глазами детей в течение следующих самостоятельных работ. Цветовые выделения на рис. 2 и 3 такие же, как и на рис. 1.
Итак, к исходу пятой минуты урока ребята повторили теорему, которая является основой доказательства теоремы о косинусе угла, и подготовлены к тому, что придется иметь дело с отношением катета к гипотенузе.
От рис. 3 совершенно естествен переход к таким вопросам: «Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?»
Затем учитель вводит понятие прилежащего катета и предлагает новое упражнение: раскрывает приготовленный заранее большой альбом, в котором на каждой странице крупно нарисован прямоугольный треугольник. Он каждый раз по-новому расположен на странице альбома и иначе обозначен. Кто-нибудь из ребят — ведущий — листает альбом и называет какой- либо острый угол в данном треугольнике. А другие учащиеся (по вызову ведущего) должны назвать двумя буквами катет, прилежащий к названному острому углу.
Следующий вопрос вызывает у школьников энтузиазм. Учитель: «Не хотели бы вы, ребята, сами начертить прямоугольные треугольники, но такие, чтобы у каждого из вас был совершенно оригинальный рисунок?» О, конечно, они хотят это сделать. Насмотрелись на чертежи в альбоме, теперь заманчиво поработать самим, тем более что размеры треугольника, его расположение в тетради учитель разрешает выбирать произвольно. (Нужно только предупредить ребят, что чертежи не должны быть слишком велики, будут еще построения на этом же листе.)
И вот рисунки готовы. Теперь обозначим один из острых углов через а, выделим одним цветом прилежащий катет, а другим — гипотенузу. Цвета выбираются такими же, как в предыдущей устной работе- (Вот она, молчаливая, но динамичная наглядность!) Далее учитель просит измерить с точностью до 0,1 гипотенузу и катет, прилежащий к углу ct, а затем найти отношение этого катета к гипотенузе и записать его в тетради. Дальнейшую беседу запишем подробнее.
19


Учитель. Давайте несколько увеличим наши рисунки. Продолжим катет, прилежащий углу а, в конце получившегося отрезка проведем перпендикуляр к нему до пересечения с продолжением гипотенузы. (Такие же действия учитель и сам проделывает на доске.) Во вновь построенном треугольнике измерим катет, прилежащий углу а, и гипотенузу. А теперь найдем отношение их длин с точностью до 0,1.
Ученики. Как странно, у нас снова получается то же число, что и раньше.
Учитель. Вот так число! Просто какое-то волшебное число! Давайте проверим его «на волшебство»: снова продолжим катет, проведем перпендикуляр и т. д. Затем опять найдем отношение катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
Ученики (догадываясь). А зачем же нам делать лишнюю работу? Мы и так скажем, что у каждого снова получится то же самое отношение, какое у него было в первый раз.
Учитель. Откуда же такая уверенность?
Ученики. Да от Фалеса! Мы только что повторяли его теорему и записывали равенство (указывают на запись в рамке под рис. 3), в котором и слева, и справа даны отношения катета к гипотенузе, а катет каждый раз прилежит к общему углу данных треугольников.
Учитель. Значит, у каждого из вас, сколько бы вы ни повторяли аналогичные построения, получается одно и то же число. Пусть некоторые из вас назовут мне свое число.
Ученики (поочередно называют свои результаты): 0,5, 0,7, 0,6, 0,5, 0,8, 0,5 и т. д.1.
Учитель. Я вижу, что у Оли, Славы и Наташи получилось одно и то же число 0,5. У Кого ответы совпадают с теми, что записаны на доске? (Несколько человек поднимают руки.) Пусть те ребята, у которых ответы одинаковые, быстро сравнят свои рисунки и объяснят мне, почему же так получилось. (Рассматривая свои чертежи, ученики догадываются, что ответы получились равными, потому что углы а одинаковы2.)
Учитель (еще раз подчеркивая главный вывод). Посмотрите, ребята! Треугольники у всех
1 Даже при небольшой точности измерений, которую смогут обеспечить учащиеся, появление равных отношений гарантируется довольно грубым приближением: с точностью до 0,1.
2 Подчеркнем, что здесь учитель не просит учащихся измерять углы, так как это методически не выгодно Отношения учащиеся вычисляли с точностью до 0,1. Поэтому, например, косинусу 0,5 могут соответствовать углы от 57 до 63°. Разница существенная, при измерениях учащиеся ее заметят, а на глаз — вряд ли. Тем более что учитель их торопит. Это самый рискованный момент урока. Расчет на то, что большинство учащихся изберут для построения привычные углы — в 60, в 30 или в 45°.
расположены по-разному, длины сторон разные, а отношения у многих получились одинаковыми. От чего же зависит наше волшебное число?
Ученики. Только от величины угла.
Учитель. Вы видели, что число это действительно необыкновенное, чудесное, заколдованное. Ему и название дано особое, чтобы в любой точке планеты каждый, кто услышит это слово, понимал: речь идет о числе, выражающем отношение катета прилежащего угла к гипотенузе. А называется это число КОСИНУС. Давайте вместе произнесем это слово. Но запомните, что раз косинус зависит только от градусной меры угла, то без названия самого угла обозначение косинуса теряет смысл. Итак, обозначим cos а.
Теперь запишите тему урока: «Косинус угла». Кто может дать определение этому понятию?
Ученики. Это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Учитель. Сказано не точно. Косинус без указания угла не определяется, мы об этом только что говорили. Да и угол не какой-нибудь бродяга без места жительства. Где он живет, т. е. где он расположен, и как он выглядит (прямой? тупой? острый?) — всё должно быть точно описано в определении.
Ученики (исправляя друг друга, в конце концов вырабатывают нужное определение). Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.
Учитель. Давайте теперь вернемся к нашим вычислениям. Дело в том, что они были не точны. В этом мы убедимся, вычислив отношения с большей точностью, допустим, до 0,01. Пусть Оля, Слава и Наташа, а также все те, у кого косинусы раньше получились одинаковыми, снова их вычислят и сравнят свои результаты.
Ученики (называют новые значения косинусов). У Оли получилось 0,50, у Славы — 0,51, у Наташи — 0,45.
Учитель. В чем же дело? Ведь мы считаем, что если углы равны, то косинусы должны быть равны.
Ученики. Мы сравнивали углы на глаз, а надо измерять. Вот у Оли угол в 60°, а у Наташи чуть больше.
Учитель. Но теперь нас не может удовлетворить такое объяснение. Мы можем вычислять косинусы и с большей точностью, а разницу в углах даже при очень тщательных измерениях не заметим, так как транспортир обеспечивает точность измерений только до 0,5°.
Как же быть?
Ученики. Нам же много раз рассказывали, что нельзя верить глазам своим, когда речь идет о геометрии. Измерения вот тоже подво¬
20


дят. «Измеритель» — транспортир — не поспевает за значениями косинуса. А между тем углов-то должно быть так же много, как и чисел. Недаром их можно измерять в градусах, еще точнее в минутах, еще точнее в секундах, в долях секунды...3 Нет, не годятся измерения, надо доказывать...
Учитель. Ну, что ж, давайте рассмотрим два прямоугольных треугольника, по-разному расположенных и с разными длинами сторон, но с равными острыми углами, которые мы опять обозначим через а. Надо доказать, что cos а в каждом из треугольников будет один и тот же. Как будем действовать?
Ученики (догадываясь). Надо «сложить» из них такую же фигуру, какая у нас уже есть на доске (указывают на рис. 3). Мы совместим равные углы так, чтобы один прилежащий катет шел по другому прилежащему катету. Тогда то же самое произойдет и с гипотенузами...
Дальнейшее рассуждение мы не приводим, так как оно повторяет текст учебника. Подчеркнем только, что принадлежит это рассуждение уже не учителю и не учебнику, а учащимся. В этой осознанности усвоения весь смысл всей предыдущей работы. Психологически ребята уже настолько подготовлены к новому, что оно уже не кажется им новым. «И все? А что тут непонятного?» — вот их обычная реакция после завершения доказательства. А ведь мы столько дорожек в будущее проложили! МЫ подготовились к восприятию косинуса как функции от величины угла, показали, что эта функция может принимать бесконечно много значений, намекнули на то, что она непрерывна.
Но главное значение урока даже не в этом. А в том, что теперь учащиеся не только поняли, но и глубоко почувствовали, что косинус — это число. Сколько мы знаем взрослых людей, которые, закончив школу, этого момента как-то не уловили. Учителя им про то твердили-твердили, а оно как-то все прошло «по касательной» и после экзамена кануло в лету. Почему же не сложилось настоящего понимания, того, которое остается с человеком всю жизнь? — Потому, что не были задействованы чувства школьников. Заметьте, сколько раз учитель на описанном уроке выделял голосом то или иное слово, сколько раз он поражался, восхищался, заставляя учеников восхищаться вслед за ним. Он даже лукавил иногда, скрывая от учащихся какой-то факт, чтобы ярче выделить его в другом месте урока. Он может так поступать,
3 Конечно, приведенный текст — не монолог одного учащегося, а квинтэссенция рассуждений всего класса.
если ребята ему безусловно верят и хотят смотреть на мир его глазами.
Такие отношения складываются с тем учителем, который как бы приподнят над окружающим, весь устремлен только к детям, только к знаниям, оставляя за порогом класса все житейские проблемы. Эту мысль я хочу выразить такими словами:
Угнетает меня повседневность сует,
И обиды в душе оставляют свой след...
После долгой разлуки в свой класс я вхожу.
Наконец-то! Вот здесь только я и дышу.
Здесь дают мне энергию сорок пар глаз.
Я могу поделиться и дать про запас.
Вот взметнулся навстречу улыбок салют.
«Ты, мгновенье, прекрасно,— себе говорю.—
Ты, мгновенье, замри!» — Только это не жизнь.
Отомри, и начнем. Торопись. Торопись!
Методическая находка
Т. В. Вишневская
(г. Пскент Ташкентской обл.)
Журнал выписываю уже 24 года, начиная с учебы в институте. Он стал интереснее, содержит больше статей из опыта работы, находящих практическое применение. Я часто использую предлагаемые в них методы.
Хочу поделиться своей методической находкой, которую назвала «Самооценка». В VIII классе работу над темой «Действия над рациональными выражениями» провела следующим образом. На одном уроке объяснила тему, показала ряд примеров, потом дала задания для самостоятельной работы в классе. При выполнении этих заданий учащиеся получали консультацию, выясняли, что им было непонятно. Консультацию проводила я сама.
В конце урока раздала блокноты, по одному на ряд, где были указаны фамилии учащихся, число и тема. Ребята выставили в блокнотах напротив своей фамилии сами себе оценку за урок. При этом они учитывали, сколько примеров решили, как поняли тему.
Следующие два урока провела точно так же. Потом проверила домашнюю работу, оценки выставила в блокноты.
Провела контрольный срез на 25—30 мин. Каждому учащемуся раздала карточки с индивидуальными заданиями. Оценки за выполнение этих заданий тоже выставила в блокноты.
Если оценка контрольного среза совпадала с самооценкой учащегося, то я одну ее выставляла в журнал. Если нет, то выставляемые оценки комбинировала.
Дети, как правило, себя оценивали критически, и почти в 90 % случаев их оценки соответствовали действительности.
Такая работа, на мой взгляд, хорошо должна получаться в старших классах, начиная с VII — VIII классов.
21


КОНСУЛЬТАЦИЯ
Об экзамене по алгебре и математическому анализу в классах с углубленным изучением математики (1990/91 учебный год)
Л. И. Звавич, В. К. Смирнова (Москва)
Учителя, преподающие углубленный курс математики, считают целесообразным ежегодно публиковать тексты экзаменационных работ, так как эти материалы можно эффективно использовать в процессе подготовки к экзаменам. В работе с учащимися можно также обращаться ко многим пособиям. Мы особенно рекомендуем те, что указаны в списке литературы.
Одной из форм организации повторения на уроке может стать работа с вариантами, которые опубликованы в пособии [3]. Предложенные там 42 варианта экзаменационных работ распределяются в начале апреля между учащимися класса (по одному или по два варианта на человека).
За две недели ученик должен приготовить так называемый методический конверт. Это обычный конверт, в который должны быть вложены листочки или карточки следующего содержания:
1) условие полученного варианта (на твердой карточке),
2) ответы (на твердой карточке),
3) подробное и хорошо оформленное решение варианта на обычных тетрадных листах (на каждом листе следует поместить одно задание).
На конверте ученик пишет шифр варианта и свою фамилию.
Далее, когда конверты готовы, ученики меняются ими, и происходит проверка вариантов. Проверяющий делает свои поправки в решении и отдает конверт «составителю», который дооформляет решения, учтя поправки. На конверте пишется и фамилия проверяющего. К концу апреля все конверты оказываются у учителя. Учитель обсуждает на уроке несколько решенных вариантов. К маю у учителя уже собран обширнейший материал для опроса и проведения самостоятельных и контрольных работ по повторению.
Другой формой повторения является предъ* явление учащимся тематических итоговых наборов заданий по темам с последующей проверкой решении. Такие наборы учащиеся записывают в специальную тетрадь или как-то особо выделяют в сохраняемых рабочих тетрадях* Они используются в процессе всей учебы, в том числе
и при повторении. Примеры таких наборов заданий см., например, в [4] и [5].
Полезно также поручать наиболее сильным учащимся самостоятельное составление как тематических серий для повторения, так и комплексных вариантов, которые затем обсуждались бы на уроках. Много материалов можно почерпнуть из вариантов вступительных экзаменов в вузы. Причем надо научиться самому и научить своих учеников не просто рассматривать тот или иной пример, а уметь их классифицировать, вычленять основную идею, составлять аналогичные.
Рассмотрим решения заданий одной из экзаменационных работ 1990/91 учебного года, предлагавшихся в школах Москвы.
Задание 1. Решите уравнение1
27х—3-18х—12х + 3.23х = 0, (I)
8х—2 *20*+ 3*50* = 6* 125х, (II)
Решим уравнение из I варианта. Представив уравнение (I) в виде
З^—З.З2*^*—3*-22*+3-23*=0, (*)
заметим, что левая часть является однородным многочленом третьей степени от двух перемен- ныха = Зх и Ь = 2Х (а3 — 3a2b — ab2 + ЗЬ3). Разделив обе части уравнения (*) на не равное нулю 23х, имеем равносильное уравнение (3/2ух — -3(3/2)2х-(3/2)х + 3 = 0. Полагая (3/2)* = /, получим
t3 — 3t2 — / + 3 = 0, или (/ —3).(/2-1)=0.
Так как />0, то /i = 3, /2=1, т. е. (3/2)х = 3 или (3/2)х = 1. Ответ: xi = log3/23, х2=0.
В очевидно несложном примере проверяется знание многих разделов курса и ряд навыков, необходимых при решении уравнений.
Идея однородности часто используется и на выпускных экзаменах в школе, и на вступительных экзаменах в вузы по математике.
Составление такого рода заданий весьма несложно. Приведем примеры.
Рассмотрим уравнение
/2 — 3/ + 2 = 0, его корни: fi = l, /2 = 2.
С помощью различных подстановок из этого исходного уравнения можно получить серию более сложных.
а) 	Подставляя / = (2/5)* и проведя преобразования, получим уравнение 22х — 3-2Х-5Х + -(-2 • 52дг 0, которое можно еще более усложнить:
4х — 3 • 10х + 2 • 25х = 0. (А)
Уравнение (А) и предлагается учащимся. Его корни Х\ —0, лг2 = log2/52.
1 Здесь и везде далее римской цифрой в скобках отме¬
чается номер варианта, в котором предлагалось задание.


б) Подставим теперь в исходное уравнение * = 2HLL. Получим
COS X
sin2 jc — 3 siru’cos х + 2 cos2 л: — О, (Б)
где х= ~ + лп, ti^l\ x = arctg 2 + я/г, 6eZ.
Перед решением уравнения (Б) учащиеся проверяют, что значения аргумента, при которых cosx = 0, не являются решениями этого уравнения.
в) Подставляя в исходное уравнение , logs (6 — *)
t= — , приведем его к виду
log3 *
log3(6 — х) — 3 log3*X Xlog3(6 —x) + 2 log§* = 0.
(В)
После преобразований получим либо
=1, либо |0М6-*)=2, т. е. xi=3,
log3 л: log3 л:
Х2 = 2. В этом случае также надо удостовериться, что уравнение log3X = 0 не содержит корней уравнения (В).
г) 	Подставляя в исходное уравнение / =
— , имеем
Л/2Т=П
*2-3*У2*-1+2(2*-1) = 0. (Г)
Корни уравнения (Г): *1 = 1, дс2 = 4 + 2^3, *з=4 — 2-\/3.
За исходное уравнение можно взять уравнение большей степени, например t3-4t2 + 5t — 2 = 0.
При аналогичных подстановках получим 8*-4-20* +5-50*-2.125* = 0, (А)
sin3* — 4 sin2*-cos*4-5 sin*>cos2* —
— 2cos3* = 0, (Б) log3(6 — *) — 4 log§(6—*)>log3* +
+ 5 loga(6—*)-logi* —2 log?* = 0, (B)
*3 — 4*2д/2х — 1 + 5*(2* — 1) — 3(2* — 1) X Хл/2^=Г1 = 0. (Г)
Задание 2. Решите уравнение:
.v-j-sin _ctgx (1) и
cos х — sin X cos x — sin x
= tg-.
cos * +sin* 2
(ID
Укажите решения уравнения, для которых выполняется неравенство
cos л: • sin х> 0 (I), sin x-cos х< 0 (II).
Решим уравнение из I варианта несколькими способами.
Первый способ. По условию, sin хФ0. Тогда, разделив на sin* числитель и знаменатель
дроби, стоящей в левой части, имеем равносильное уравнение
^li±L=dg*.
Ctg X— 1
Подставив ctg* = f, получим t2 — 2t — 1 =0, т. е. <1,2 = 1±л/2 и * = arcctg(l±л/2) + яп, neZ.
Если cos *-sin *>0, то и ctg*>0, т. е. условию cos*- sin *>0 удовлетворяют * = = arcctg(l+л/2) + я&,
Ответ: x = arcctg(l ±-^2)-\-пп, neZ, из них удовлетворяют.условию cos*-sin*>0 только
x=arcctg (1 +^/2)-\-nk, k<=Z.
Второй способ. Перепишем уравнение
л/2 cos ( — х)
cos х + sin х cos л:— sin х
= ctg * в виде
л/2 sin ( —■ — х )
= ctg лг,
т. е. ctg( - —*) =ctg*. Из условия равенства
Г
котангенсов следует, что
(Х — (я/4) — x-\-mi,
X Jtk.
Ответ: х = (к/8)-\-(пп/2), пе Z. Из них удовлетворяют условию cos A:*sinA:>0 x = (n/8)-\-nkf k^Z.
Рассмотрим теперь различные способы решения задания из II варианта.
Первый способ решения ко II варианту напрямую неприменим, однако если в правой части выразить cos* и sinx через tg(л:/2), то получим
l-tg2(*/2)-2tg(*/2)
= tg(*/2).
l-tg2(*/2) + 2tg(x/2)
При tg(x/2) = t имеем t3 — 3t2—3^+ 1 =0. Корни этого уравнения t\ = — 1, t2 = 2—у/3, /з =
=2+л/3-
Ответ: х — ( — n/2)-\-2nru «eZ,
* = 2 аг^(2±-\/3) + 2я m, meZ.
Из них удовлетворяют условию cos**sin*<0
* = 2 arctg(2 + -\/3) + 2Hm, meZ. Второй способ решения применим и к заданию из II варианта. Действительно, после аналогичных преобразований получим
4&(т -*)=tg y - т- е-
( х/2 = (я/4)—л; + ям,
I х/2 Ф(я/2) + я/г.
Ответ: х = (я/6) + (2ям/3), ne Z. Из них удовлетворяют условию cos x-sinxCO х = (5я/6) + 2я/, /ее Z.
Третий способ. Его предлагали многие учащиеся. От уравнения, данного во II варианте, перейдем к системе
23


| (cos x — sin x) • cos (x/2) = (cos x + sin x) • sin (x/2)f Icos (jc/2) • (cos x + sin x) Ф 0.
Преобразовав первое уравнение этой системы, получим
| cos (Злг/2) = sin (Злг/2),
\cos (х/2) • (cos х + sin л;) Ф0.
Отсюда х = (л/6) + (2дп/3), neZ и поставленному условию удовлетворяет * = (5я/6) + + 2я&, fteZ.
Ответ: {-^ -f- у л I я^z|; +2nk | ftе zj.
Выскажем теперь ряд замечаний по поводу того, как учащиеся выполняли приведенные задания.
Решение примера из II варианта первым способом нерационально и громоздко. Однако такие решения встречались, и за них не следует, конечно, снижать оценку. Отбор корней, удовлетворяющих условиям cos л:• sin х>0 (cos*X Xsinx-cO), не всегда выполняется рационально. Некоторые учащиеся вместо того, чтобы просто отобрать решения в первой и третьей (второй и четвертой) четвертях, производили преобразования и решали неравенство sin2x>0 (sin 2л;<0), а уже затем отбирали корни.
При различных способах решения ответы имеют непохожий вид и не каждый выпускник увидит, например, что arcctg(l + У2) = л/8. Оба вида ответов совершенно равноправны. В тригонометрических уравнениях вообще довольно часто при различных способах решения получаются непохожие друг на друга верные ответы.
Задание 3. Решите систему неравенств
Функция не определена
{л/(2*-1)(* + 3)>*+1. * log3,-228>2,
(I)
Н(2х—3)(х+2) liogs.
{
/М=л/(2*-1)(*+3> -(*+1).
Она определена на (—оо; —3] U[0,5; +оо) и равна нулю при х=\. Из рис. 1 видно, что }(х)^0 при л;< —3 и f(x)^0 при х^ 1. Учитывая это при решении неравенства log3*-228>2, заметим: необходимо, чтобы х>\. Тогда
За: — 2>1. Из неравенства log3x-228>
0.5
Рис. 1
>log3jc_2(3jc — 2)2 следует при дг> 1, что 28> > (Зх — 2)2, т. е. 2л/7>Зх-2.
Ответ: 1 <х<2(-\/7 + 1 )/3.
Решим неравенство из II варианта несколько иным способом. Начнем с неравенства logsx-i 27<2. Дальнейшее решение запишем так:
Г0<3х— I <1,
I / Зх — 1 > 1,
[\27 <(3дс— I)2;
№
1/3)<дс<(2/3), х > (2/3), >л/3+(1/3).
Отсюда (1/3) <х<(2/3); лг>-\/3 + (1/3). При втором условии обе части неравенства
л](2х — 3)(х+2)^х положительны, и можно рассмотреть равносильное ему на данном множестве неравенство (2х — 3){х-\-2)~^х2.
Ответ: х>-\/3 + (1 /3).
Приведенные решения дают повод для кратких пояснений относительно записи хода рас- суждений. Допустим, например, что неравенство log3*-i5^3 ученик решает таким образом:
«log3^-i5^3 равносильно
Г о < Зх — I < 1, / Зл:— 1 > 1, [15<(Зх-1)3,
ГО /3) < * < (2/3),
[I
(1/3)< дс<(2/3), а:>(2/3), _
Зл:—
127 <2.
Решим систему из I варианта. Рассмотрим,сначала иррациональное неравенство ~\j(2x — 1) (л: -}- 3) ^ х -{- 1.
Предложим схему двух способов его решения.
Первый способ. Данное неравенство можно представить в виде совокупности двух систем х+КО,
(2*—1)(* + 3)>0; х-\-1 ^ 0 (2х-1)(дс + 3)>(*+ I)2.
Тогда —3, х^\.
Второй способ. Рассмотрим функцию
Ответ: (1/3; 2/3) U(1 +V5)/3; + оо)».
При таком оформлении решения не нужно требовать от ученика словесных обоснований, касающихся монотонности логарифмической функции. Уровень сложности данного примера, как, впрочем, и уровень культуры записи решения, гарантирует, что учащийся легко проводит все соответствующие рассуждения в уме.
Задание 4. Пользуясь геометрической интерпретацией определенного интеграла, вычислите 0 -1
\ уз —2х —Ate (I), \ ^J-x2-6x-bdx. (II)
-1 -2
Вычислим интеграл из I варианта. Поскольку функция у = уз — 2jc — jc* определена на [—3; + 1] и принимает неотрицательные значения, то
о
значение интеграла ^ -\l3 — 2x — x2dx равно —1
площади криволинейной трапеции PANO на рис. 2. Пусть у = -у/З — 2х — х2 . Тогда
24


/ 0, . i f/>о,
1 yr=3-2x-x2 ** \ (x+ 1)2 + i/2=22.
SpANO — SaPNO 4“ Scexr.APN— 7Г ‘ ^ 'V5+ у ' -g~ X X22=f + |.
Остается добавить, что примеры данного типа можно найти в пособии [3], с. 168.
Задание 5. Пусть М — множество точек Z\ комплексной плоскости таких, что \iz\-{--\j2\ = = 0,5; К — множество точек z<i комплексной плоскости вида Z2=iz\yede z\ еМ. Найдите расстояние между фигурами М и К. (I)
Пусть М — множество точек Z\ комплексной плоскости таких, что |—z\i — 2-у2/|==1, К — множество точек г 2 комплексной плоскости вида Z2— —iz\, где z\ gM. Найдите расстояние между фигурами М и К. (II)
Решим задачу I варианта. Пусть z\=a + bi, тогда |ш — 6+V^I =0,5, (V2 — 6)2 + а2 = 0,25. Множество Af точек комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке 0\ (0; -д/2) и радиусом 0,5.
По условию Z2=iz\, т. е. |22+-л/2| =0,5. Если обозначить z2 = a-\-bi, то |a+y2 + W| =0,5 и (a + V2)2+ 62 = 0,25. Множество К точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке 02(— \J2\ 0) и радиусом 0,5.
Так как окружности М и К не имеют общих точек, то расстоянием между ними (см. рис. 3) является длина отрезка PN линии цент-
Рис. 3 Рис. 4
рХ
7°Ч
/
/\/v
VJv
</,
с°>
vi\
/Г"
С
1 ■-п J 0
X
ров, т. е. PN = 0i02 — 2г = 2— 1 = 1. Ответ: 1.
Заметим, что геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто (но не обязательно на экзамене по алгебре и анализу). Действительно, возьмем на окружностях К и М такие точки N\ и Pi соответственно (рис. 4), что N\=£N, РхфР. Для ломаной 0\P\N\02 и прямой O1O2 выполняется неравенство 0\P]+PlNl+Nl02>0iP + PN + NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P\N\>PN. Таким спосо-4 бом решали многие учащиеся.
Решение задачи II варианта дадим другим способом. Запишем равенства:
| —Z\i — 2-\j2i\ = | — г| . \гх + 2л/2| = |z,+2^|.
Таким образом, \z\—( — 2^2)1 = 1. Это значит, что расстояние от точек фигуры М до точки О— 0) постоянно и равно 1. Фигура М —
окружность с центром в точке 0\ и радиусом 1. Условие z2=—iz\ означает, что множество К получено поворотом точек множества М на угол —90° вокруг начала координат, т. е. представляет собой окружность с центром в точке Ог(0; 2^/2) и радиусом 1. Далее рассуждения, как и в I варианте. Ответ: 3.
Задание 6. При каких значениях параметра а прямая у = л^ах касается графика функции у = \пх — ах2? (I)
При каких значениях параметра а прямая у = ах-\-( 1 /~\[а) касается графика функции
у = ^? (II)
Решим задание I варианта. Для того чтобы прямая y=-\Jax касалась графика у=1п х — ах2 необходимо и достаточно наличие такой их общей точки М (хо; Уо), для которой выполняются условия
{In *о — axl — ^jaxo, Пп хо — ах\ — -yfaxo,
y'(x0) = -\faf т. е. |(1/*о) — 2ахо = л[а,
*о>0, 1*о >0.
Второе уравнение системы приведем к виду 2ахо + хо~\[а— 1 =0.
Отсюда хо = . При условии *o>0
имеем хо=—— • Подставив найденное значение
2 л[а
Хо в первое уравнение системы, получим
1п(—)=4-, тогда —L=e3/4 и 2-Ja = e~3/' у
2~\[а 4 2л[а
т. е. а = 0,25в-3/2.
Ответ: при а = 0,25е-3/2.
Замечание. Аналогично можно решить и задание из II варианта. Но так как в этом задании фигурирует прямая и часть параболы, то, помимо предыдущего способа, можно пойти
3 Математика в школе № 6
25


другим путем. Рассмотрим уравнение
ax + (\/^fa)==^fx
как квадратное относительно -фс: ах — л/*+ -f(l/Va) = 0. Приравняв к нулю его дискриминант D=l— 4^а, получим ответ а= 1/16.
Этот способ, естественно, не столь универсален, как первый, и пригоден только для данного частного случая.
Итак, рассмотрены решения всех шести заданий экзаменационной работы. Остановимся теперь кратко на одной проблеме, связанной с оцениванием.
Напомним, что в примечании к тексту экзаменационной работы написано: «Оценка „5“ ставится за любые пять верно выполненных заданий». Эта фраза однозначно определяет, что, если ученик верно решил какие-либо пять примеров, независимо от того, как решен или не решен шестой пример, выпускник получает оценку «отлично». В рецензии учитель может, например, указать: «Оценка „5м поставлена за верно решенные задания № 1, № 2, № 4, № 5, № 6 (задание № 3 в расчет не принимается)».
Из того же примечания к тексту экзаменационной работы следует, что за 4 верно решенных примера ученик получает оценку «4».
Выставление оценки — вопрос тонкий, сложный, мы не собираемся здесь пространно писать об этом. Однако упомянутое примечание надо рассматривать как правило, дающее ученику свободу выбора, а учителю — возможность оценить работу в пользу сильного ученика. Ученик, решивший все 6 примеров верно, может быть отмечен либо устной похвалой на выпускном вечере, либо школьной грамотой (но не оценкой), либо как-то иначе. Это зависит от фантазии и желания учителя, а также от престижа экзаменационной работы по алгебре и анализу в данной школе.
Приведем теперь тексты обоих вариантов других экзаменационных, работ (разночтения II варианта — в квадратных скобках). Некоторые задания сопроводим указаниями к решению.
РАБОТА № 1
1. Решите уравнение 3cosjc—4sinx = 5
[5sin х+ 12cos х= 13].
2. Решите неравенство
log | /з(х3 — х2 — 5*Х —• 1
[1 og 1 /г(*3 — 4х2 + 5х) — 1 ].
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х\у\ = 1, у = е, у= — е, х = 0, х= 1 [ху2= 1, у= — 1, у — 1, * = 0, х = 2].
4. Найдите все действительные- значения параметра а, при которых график функции у = а-+-9х — (х3/3) \у = х3 — — \2x-\-a] касается оси абсцисс.
5. Изобразите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию '
Im^-Ssl [Re ^-3*1].
6. Исследуйте функцию f и постройте ее график при условии, что
— / 3*
^ ^ \ 1 —(1 /х\ если х^ 1
— 3*2 + 2*-|-1, если *<1
г ( —+
[№)= {
если х> 1
•]
и Я0) = 4 [/(0) = 0].
Указания. Рассмотрим пример 3, первый
вариант. Будем считать независимой переменной у. Тогда построим график функции х=\/\у\ и проведем прямые у = е, у=—е, х= 0, х=\ в координатной плоскости уОх (рис. 5). Обозначим площадь искомой фигуры через S: S = 2S0APQN = 2(S0APK^ SKPQN) =
е е
— 2(1 + ^^-dy) — 2(\ + In I/ | ) = 4.
1 У 1
Рис. 5
Для ряда учащихся могло показаться неожиданным задание 6. Разберем для примера его первый вариант. Поскольку f(x) есть первообразная для /'(*), то при х<\ имеем /(*) = =х3 — 2x2+*-f Ci,/(0) = 4, т. е. Сi==4 и, значит, при х<\ f(x) = x3-2x*-{-x-\-4. При х> 1 f(x) = x — In jc+C*2. Так как f(x) имеет в точке х=1 производную (согласно условию /'(1) = == 1 — (1 /1) = 0), то f(x) непрерывна в точке 1, а это значит, что lim (*3 —- 2х2 + х + 4) = lim (х —
х—*~ 1 х-+1
— In АГ-+- Сг), т. е. 4=1 + Сг и Сг = 3. Итак, функцию f(x) можно задать следующим образом:
■3 — 2*2-f* + 4, если х<1,
Z — 1
2+1
+ 3, если х> 1.
Исследование проводится затем в обычном виде (тем более что производная f'(x) уже известна).
Беда тех, кто не смог выполнить это задание, в слабом знании теории или в неумении ее применить на практике. Примеры данного типа можно найти в пособии [3], на с. 165—167.
Приведем несколько дополнительных заданий, аналогичных заданию № 6.
26


а) Найдите первообразную F(x) на промежутке (— оо; 0) U (0; +оо) для функции f(x)=l/x, если F(e)= 1.
Ответ: таких первообразных бесконечно много, на (—оо; 0) U (0; +оо) они задаются формулой
гу ч Г 1п( — х)-\-С при *<0, где CeR.
1 In л: при л:>0.
б) Найдите первообразную F(x) функции f(x), если F(-l) = 4 и f(x)= / 2х"ри *<0,
v ' ,w I Зх2 при х>0.
Ответ: таких первообразных бесконечно много, они задаются формулой
jc2 + 3, если х<0,
4-С, если jr>0, где Се R.
в) Найдите первообразную F(x) на R для функции f(x)y если /7( — 1) = 4 и
Uy\— I 2х при *<0’
' ' ' I Зх2 при х^0.
Ответ: единственная первообразная
/?(*)={ *<0’
V ' \ л: -f-З, х^0.
г) Существует ли для функции f(x)= \/х такая первообразная F(x) на (—оо; 0)IJ(0; + оо), что f( — 1) = 0, a F{ 1) = 3?
Ответ: существует, ^(л:) =| ^
д) Существует ли для функции
«*)={* Т "<1^1
[ е при х> 1
такая первообразная F(x) на (— оо; 1)U(1; + °°), что F(0) = 3; F(2) = e?
г\ с/ \ [ 0,5л:2 + 3 при л:<1,
Ответ: существует, Ял:)={ ' ^
I ех +2,5 при jc> 1.
е) Существует ли для функции \ху 1,
► 1
с/ \ ( X, X ^ 1
(х)=\ .
Уех \ х:
такая первообразная F(x) на R, что /7(0) = 3, F(2) = е? Ответ: не существует.
РАБОТА № 2
1. Решите уравнение 4 cos Злг + З cos х = 0
[5 sin Зл: — 6 sin х = 0].
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = е2х~]( — 2х2 -f-бл: — 3) [у — е1~3х(Зх2-\-Зх-\-1)] в точке ее
максимума [в точке ее минимума].
3. Решите уравнение
(3 — 2*) logI/3 §^| = |2' —31
[ 4 3х = 13* 4| log„,5^±^ ].
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
У=
1
И у =
-1
1
х2+2х+\ “ " 4* + 7 1" х2 — 2л:+1 И У Зх —5-1’
5. Изобразите множество точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих условию
U [+§)»' i4 j-j)»i
6. Докажите, что график функции
У = log9(6jc — х2)—[1/ = -^— log!б(8х — X2) ]
лежит в нижней [в верхней] полуплоскости.
Указания. Обратим внимание, что задание № 1 из I варианта можно было решать, не только применяя громоздкую и не обязательную для запоминания формулу косинуса тройного угла, но и переписав уравнение в виде 4cos3jc + + 4 cos х —cos л: = 0. Отсюда легко перейти к уравнению 8 cos х • cos 2х — cosx = 0, а затем получить cos x = 0 или cos 2х = (1/8).
Ответ: х= |-л/г, k^Z,
1
х= ± i-arccos пк
2 о
г.
Заметим, что при другом способе решения получаем 4(4cos3 х—3cos х)-\-3 cos х = 0. Отсюда cos х = 0, cos х=3/4, cos х= —3/4. Тогда ответ выглядит иначе
X =■ ^——|— 3X^29 k €ЕЕ Z,
о
jc= Hharccos —+яп, neZ.
При решении задания 4, вообще говоря, не обязательно делать чертеж. Иной подход разъясним на примере I варианта. Найдя абсциссы точек пересечения этих графиков (х= —4, х = = — 2) и заметив, что на [—4; —2] обе функции непрерывны, будем искать площадь как модуль интеграла — 2
S(
1
+
1
) dx = (
l
+
4 (х+1)2 ' 4х + 7'~" v х+\
— 2
+ -I-ln |4х + 7|) I =(l + i-ln l)-
— 4
-(| + |1"9)-4-||пЗ_1(4-|п27).
Так как 4>1п 27, то S= -1(4 —In 27).
В задании 5 положим z = a-\-bi, гФ0. Тогда условие I варианта имеет вид
Im ( + -А-) или
V a + bi a — bi / ' q -j_ \) '
^1, или a2 + 62 —0, a2 + (b —
т. e.
al + b1
3*
27


— 0,5)2<;0,25. Множество точек М(а, Ь) представляет собой круг с центром N(0; 0,5) и радиусом 0,5, за исключением точки 0(0; 0).
Задание № 6 разберем на примере II варианта. Надо доказать, что при всех допустимых значениях х, т. е. на промежутке (0; 8), выполняется неравенство
— logi6(8x — х2)> 0.
Это следует из того, что (8/х) > 1 на (0;8), в то же время logi6(8jc — Jt2)< 1, так как 8х — х2<\6.
Приведем без решения несколько работ 1990 и 1991 гг.
РАБОТА No 3
г1. Решите систему уравнений « *-j-у = я,
sin jt + sin у — cos jc-cos у—1 ^
1 —cos у fy — * = я,
*\COS X — COS у -f- COS X-COS у Q
. L 1 —sin x
2. Решите неравенство
(*2 — 2x — 8)• (log! 2* + 5 logo,5 *+1X0 [{27x2 + 26* - 1) (log! 9*-log^ * — 7)>0].
3. Изобразите на чертеже множеств А и В комплексных чисел, удовлетворяющих соответственно уравнениям: zz + (l/a4) = 0 и az + az = 2^j2, где а = 0,5(1— /) [zz + az + + az-f 7 = 0 и | z — а | = | z — а — 61, где а = —2 —2i]. Найдите все общие точки множеств А и В.
4. График функции у = х2-f-4* + 4 [у = х2 — 2х-\-1 ] пересекается с графиком ее первообразной в точке с абсциссой 0 [3]. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций.
5. Исследуйте функцию
^-ху-1 Г *2+* ■ I
У~ I*—П *-У \х+1 \е‘+' -*'
Постройте график функции.
6. Из трех резисторов, соединенных параллельно, составлена электрическая цепь. Известно, что сопротивление первого резистора в 9 раз больше сопротивления второго. При последовательном соединении этих резисторов сопротивление цепи равно R. Найдите сопротивления резисторов, при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим. [Три конденсатора, соединенных параллельно, образуют батарею емкостью С. Найдите емкости конденсаторов, при которых емкость батареи, полученной при последовательном соединении этих же конденсаторов, будет наибольшей, если известно, что Сг-’ Сз = 2,25. ]
РАБОТА № 4
1. 	Решите неравенство
*-4*+4 5.0 [-
4*-—2,2*+ -f-15 * 19*
2. Вычислите интеграл
1 6
] ( U+4I+2U-1I )dx [$ (2U-3I+U-5I )dx ].
—5 4
3. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие одновременно двум условиям |z— 1 — /| ^ |z+ 1 |z-f-
+ 2/| <У2 [ |z —2 + /| < |z —/|, |z —1—2/1 <У2].
28
4. Решите уравнение
log4(cos * cos 2*) =log4( л/З —sin 2*) —log0,25sin *
[ log2(cos * ( sin 2*— )) = log2 sin * — logo.s cos 2*1.
V3
5. Найдите все числа a, для которых функция /(*)= — *3 + 4*2 — ах — 8 возрастает на интервале (1; 2) [функция /(*) =—2*3 — ах — 7* —21 убывает на интервале (-1; 1)].
6. Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 27 км от прямолинейной шоссейной дороги, должен доставить геологов в населенный пункт, расположенный на шоссе. Расстояние от точки шоссе, ближайшей к вездеходу, до населенного пункта равно 45 км. По пересеченной местности вездеход идет со скоростью 44 км/ч, а по шоссе — со скоростью 55 км/ч. На каком расстоянии от населенного пункта вездеход должен выехать на шоссе, чтобы время движения было наименьшим? [Расстояние от песчаного карьера до кирпичного завода, расположенного на прямолинейной автомагистрали, равно 30 км. Песчаный карьер удален от этой магистрали на 24 км. Строительный кооператив взял подряд на строительство подъездной дороги от карьера к автомагистрали. На каком расстоянии от кирпичного завода должна находиться развилка дорог, чтобы время доставки грузов от карьера до завода было наименьшим, если известно, что автомашины могут развивать на магистрали скорость 52 км/ч, а на подъездной дороге — 20 км/ч?)
РАБОТА № 5
1. Решите неравенство
2х — 15^2*— 15 ГЗ*-8 ^ 3х —81 х — 4 " *+1 L х — 2 ^ * + 3 -I
2. Вычислите интеграл
2 1
$( |3*-1|-2) d* [ $(3-|2*~ II )dx\.
— I —2
3. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие одновременно двум условиям Jm (z+ 1) < Re (z — 2i), U — 1 — z| <У2 [ Im (z —2) > Re (z-f/), | z — 2 + 2/|< <2л/2].
4. Решите уравнение
lo£cos*(sin 2jc)=2 logcos_t(cos x—sin x)
[|ogsin^(sin 2x) =2 logsin x(sin *—cos *)].
5. Найдите все числа a, для которых функция у = = (а — 2)*3 + 6*2+(а — 3)*— 1 \у=(а — 3) * — 3*2-f(a —
— 5} * + 2 ] убывает на мложестве R и не имеет критических точек.
6. Три конденсатора, соединенных параллельно, образуют батарею емкостью С. При каких значениях емкостей конденсаторов емкость батареи, полученной при их последовательном соединении, будет наибольшей, если известно, что С\ : Сг = 4 : 1. [ Три конденсатора, соединенных параллельно, образуют батарею емкостью С. Какова наибольшая возможная емкость батареи, составленной из тех же конденсаторов, соединение которых показано на рис. 6, если известно, что С\ : Сг = 5 : 3. ]
-2*4-1
-2.3*+'+ 8


РАБОТА № 6
1. Найдите критические точки функции £/ = 0,25 sin 4х—
— 1,5 sin 2* + 2х [у — 2х— 0,25 sin 4х—1,5 cos 2х ].
2. Вычислите произведение [ сумму ] корней уравнения ~\Jx +4х = 3х —2 [л/х3 — 6х = х + 4]. >
3. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удовлетворяющих условию
R^=0,5 Г 2EL5=0,25].
Z-Z Z-Z
4. Докажите неравенство 92+х+(1/3)2л:-4^ 162 [251+*+(0,2)2*+4>0,4].
5. При каких положительных [отрицательных] значе- ниях а площадь фигуры, ограниченной линиями у —
— —-— £/ = 0, х — 4ух — а [ У = \ 2
Д2Г
'3*-2
у=0, х— —3,
~~2х+\ ^
x=aj, равна In |_ ‘
6. 	Для изготовления консервной банки цилиндрической формы заданной вместимости V требуется металл двух сортов: на боковую поверхность — I сорта, на основание — II сорта, стоимость которого в 2 раза меньше, чем стоимость I сорта. При каком отношении высоты банки к радиусу ее основания затраты на материал будут наименьшими? [ Для изготовления бака заданного объема V требуется железо двух сортов: на боковые стенки и крышку — железо II сорта, на дно — I сорта, стоимость которого в 3 раза больше, чем стоимость II сорта. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. При каком отношении высоты бака к стороне его основания затраты на материал будут наименьшими? ]
РАБОТА №> 7
1. Известно, что 2<\z-\- 1 — i\ <3 [ Iz-Hl < |z+3/| ]•. Изобразите множество точек комплексной плоскости, соответствующих числам z.
2. Решите неравенство
Ъх2 + х — 2 г °~2
0 Г 2*2+*-6.., <01.
L 4*_2'‘+1 —15 J
9*+'—3.3*+'_18
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
y = s\n(nx/2), у=-0,5х2-\-Зх — 4 \у = cos (л*/2), у= — 0,25*2 — х — 0,75].
Абсциссы точек пересечения графиков функций — целые числа.
4. Решите систему уравнений
I Зу+2-у/ху+8=0, rtx2+x^[xy + 2=0, л [х-гфу+7=0 [\у2+У-[ху-54=о\.
5. При каких действительных значениях а функция
у = 3 sin х cos х — 4 cos (* + cos(* — ах
[ у = ах — 5 sin х cos х-{-12 sin ^х— sin ^х-\- J
возрастает [убывает] на всей области определения?
6. Из трех резисторов составлена цепь (см. рис. 7). Найдите сопротивления резисторов, при которых сопротивление цепи будет наибольшим, если известно, что
Рис. 7
#2 ■: R3 — 3 : 5 и при последовательном соединении этих резисторов сопротивление цепи равно R. [Три резистора соединены параллельно. Найдите сопротивления резисторов, при которых сопротивление цепи будет наибольший, если известно, что R\ : R2 = 4 : 9 и при последовательном соединении этих резисторов сопротивление цепи равно R.]
РАБОТА № 8
1. Среди комплексных чисел z, удовлетворяющих условию \z\ = |z — 2/1 [ \z\ = \z-\-6i\ ], найдите число с наименьшим модулем.
2. Найдите расстояние между касательными к графику
функции у— -д- х3 — 2х2-\-Зх-\-Ь [ у= -^-х3 — х2 — 3* + 1 ] ,
параллельными оси абсцисс.
3. Решите систему
Г | cos л: 1 Г f sin х 1
\ =cos 2х—\, I \ — г = sin 2jc — 1 I
\ COS X I f I sin JCI I
I jut2 — Зядс + 2я2^0 [ ^я2 — 4л^^0 J .
4. Решите неравенство
log3( Vl2+^-2)^0,5 log3(*+2)
[ logo.5( V®—X— 1)<0,5 logo,5(5—x) ].
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 2х, у — — 4х — 1, у — 4х — 9 \ ц = —х2-\- + 6*-9, у = 2х-Ь, у=-2х + 7].
6. Для каждого a> — 1 [а;>—2] найдите наибольшее [наименьшее] значение функции у=х3—\2х [у — =27х—х3] на отрезке [—1; а) [на отрезке [—2; а]].
РАБОТА № 9
1. Найдите экстремумы функции у=\п(4-х) + х [y = ln ■
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у— — \/х [у—1/(2—х)], касательной к этой кривой, проведенной в точке с абсциссой х=1, и прямой х— 2 [и прямой х— — 1 ].
3. Решите уравнение
1 + loge = -j- log^/g (х— 1)2 [ 1— log9(x+l)2 =
1 . jc + 51
2 X + 3J '
4. Найдите область определения функции
t/=V—sin x(cos *+0,5) I y-
1
V'
'«(#•
5. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам
л/2с |(1 — i)z — i\ с2-\[2 [2<|2iz + 1 — i\ <6].
6. Найдите все действительные решения системы
р-(/3 = 26.
\х2у-ху2 = 6
(х*+у2 = — ,
1 Х-У
1(х+уУ(х-у) = 9
РАБОТА № Ю 1. Решите уравнение
-у/2х — х3=2 — Зх [л/х3 — 5jr = 3*-f 1 ]•
2. Решите неравенство
bg2£_i5<log2^Jc [log 2х (2A)<log^-|3]
х х х — 1 2х \ ’
3. Решите уравнение 4|cos х\ +3 = 6 cos 2х ; [1 +
29


-1- 21 sin x\ = a cos 2x], если один из его корней равен 2л/3 [5л/6].
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=6/(х+1), у — 3 13 х\ [у=--А-х2, у — 2\х\ +4].
5. Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций у = х2 + х\ и у = (х2 -\-3)/2 [у = = хй-х-\-\, у = 2*2-* + 0,5].
6. Из всех чисел г, удовлетворяющих условию z-z= 25 [условию z2-\-(z)2== 16/], найдите такие, что Iz — 71 -f-1z — 7/1 [Iz — 51 -}- |z — 5/|] принимает наименьшее значение.
Литература
1. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварц- бурд С. И. Алгебра и математический анализ — 9. М.: Просвещение, 1988.
2. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварц- бурд С. И. Алгебра и математический анализ — 11. М.: Просвещение, 1990.
3. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение, 1990.
4. Дорофеев Г. В., Дудницын Ю. П., Смирнова В. К. Об экзамене по алгебре и началам анализа в школах РСФСР // Математика в школе. 1991. № 1.
5. Звавич Л. И., Смирнова В. К. Из опыта подготовки к экзамену в классах с углубленным изучением математики // Математика в школе. 1989. N° 1.
6. Звавич Л. И., Аверьянов Д. И. О работе в десятых классах с углубленным изучением математики // Математика в школе. 1991. № 3.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
II Всесоюзная профориентационная олимпиада по педагогике математики
И. К. Жинеренко, В. Н. Сергеев (Омск),
И. Ф. Шарыгин (Москва)
Уважаемые коллеги! Пригласите своих питомцев, как проявляющих математические и педагогические склонности, так и не подозревающих о таковых, принять участие во II Всесоюзной профориентационной олимпиаде старшеклассников по педагогике математики.
Советы участникам олимпиады
1. Участие в олимпиаде заочное. Выполненную работу участник высылает простой бандеролью в жюри по адресу: 644077, Омск-77, пр. Мира, 55 а, Омский госуниверситет, жюри Всесоюзной олимпиады по педагогике математики..
Работы, поступившие в жюри позднее 10 марта 1992 г., не рассматриваются. Жюри не принимает и не оценивает работы, выполненные коллективно.
2. На обложке тетради, титульном листе рукописи с выполненным заданием укажите разборчиво: фамилию, имя, отчество; полный домашний адрес; школу, класс, в которых учитесь;
куда планируете поступать после окончания школы.
3. Нам интересны и более подробные сведения о каждом участнике. Поэтому мы будем благодарны за краткий рассказ, когда и почему у вас появился интерес к математике и педагогике, как готовитесь к этой профессии, какие научно-популярные книги читаете, есть ли опыт преподавания математики младшим или своим сверстникам.
Нам интересно узнать, понравились ли задания олимпиады, и мы особо поощрим тех, кто предложит собственную интересную задачу для будущих педагогов-математиков.
4. Возможности жюри по-прежнему ограничены, и мы будем благодарны за то, что вся работа будет выполнена на русском языке.
5. Не стремитесь выполнять все задания олимпиады. Как и в предыдущей, победителями и призерами могут стать выполнившие 3—4 задания, но с очень высоким качеством, хорошо оформившие их, придумавшие какую-то «изюминку».
6. В зависимости от количества участников олимпиады мы решим вопрос о проведении собеседований или очного тура (апрель — май 1992 г.) с кандидатами в победители.
Призеры (5—7 % участников) награждаются грамотами оргкомитета, памятными подарками. Победители олимпиады получат льготы при поступлении на математические специальности университетов (педагогические потоки) и пединститутов.
Учащиеся IX и X классов, отмеченные жюри, будут приглашены для занятий в одну из летних школ Научного общества учащихся.
7. Олимпиада проводится в рамках программы «Творческая одаренность» ГКНО СССР. В работе жюри принимают участие ведущие педагоги-математики ряда университетов и пединститутов страны, АПН СССР.
Задания олимпиады
I. Методические задачи
1. Разминка
В одном из заданий предыдущей олимпиады требовалось определить, что больше: log25—log34 или 1. Проверьте правильность рассуждений одного из участников и напишите ему краткое послание, разъясняющее суть ошибки.
«Пусть
y4=log25 — log34= log22,5-b 1—2 log32=*/-f 1, где y= log22,5 — 2 log32.
Так как 0<log32<l, то 0<2 log32<2. Поэтому y>0, если log22,5>2, и y<.0, если log22,5<2. Ho log22,5<log24= =2. Следовательно, уСО и A—у-f-l<l. Значит, log25— —log34<l».
2. Задачи предлагают писатели
2.1. 	Репетитор, ученик VII класса гимназии Егор Зибе- ров, пытается обучить решению текстовых задач сына малограмотного купца Удодова Петю. А. П. Чехов в рас¬
30


сказе «Репетитор» рассказывает, что из этого получается:
«...Петя плюет на доску и стирает рукавом. Учитель берет задачник и диктует:
— Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?
Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова ни говоря, начинает делить 540 на 138.
— Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получился? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка, я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
— Странно...— думает он, ероша волосы и краснея.— Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая...
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
— Гм!.. Странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8! Так, что ли? Нет, не то.
— Решайте же! — говорит он Пете.
— Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! — говорит Удодов Пете.— Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
— Эта задача, собственно говоря, алгебраическая,— говорит он.— Ее с иксом и игреком решать можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил... понимаете? Теперь надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
— И без алгебры решить можно,— говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.— Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
— Вот-с... по-нашему, по-неученому».
а) Восстановите метод решения купца Удодова «по-неученому».
б) В роли репетитора Зиберова — вы. Опишите, как будете учить Петю решать подобные задачи. И, в частности, данную. Обратите внимание, «с иксами и игреками», т. е. алгебраически, решать подобные задачи Петю еще не учили.
2.2. «И вот однажды учитель пришел в класс и объявил:
— Кто решит вот эту задачу, получит пятерку в четверти по всем математикам: геометрии, алгебре, тригонометрии.
Я, разумеется, взялся. Бился над этой чертовой задачкой всю ночь и решил — единственный в классе. Король! Когда же, неделю спустя, получили дневники с четвертными отметками, я увидел: по алгебре у меня все та же «четверка». Подумал, что случайность. Однако учитель на вопрос ответил мне, что задача не была такой уж сложной.
— Но вы же обещали.
— Обещал без достаточных оснований. Оценка должна отражать работу на протяжении всей четверти... Я не имею права».
Про свой школьный конфликт с учителем математики рассказал известный детский писатель Э. Успенский (Правда .1988, 28 февр.).
Дайте анализ позиции учителя и объясните свое отношение к этому конфликту.
2.3. «— Воробьев, слушай внимательно и пиши: сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28;
л1
знаменатель прогрессии равен 4^- третии член в полтора
раза больше этого знаменателя. Теперь остается найти четвертый член. Вот ты его и найди.
Воробей у доски. Он берет мел и грустно обводит глазами класс, потом начинает писать формулу. Педагог ходит по классу и нервничает.
— И вы решайте! — кричит он, обращаясь к сидящим.— Нечего головами мотать.
Но класс безучастен к его словам. Лохматые головы рассеянны. Лохматые головы возбуждены шумом, что врывается в окно бурными всплесками. На улице весна.
Размякли мозги у старших от тепла и бодрого, жизнерадостного шума, совсем разложились ребята.
— Ну же, решай, головушка,— нетерпеливо понукает педагог застывшего Воробья, но тот думает о другом. Ему завидно, что другие сидят за партами, ничего не делают, а он, как каторжник, должен искать четвертый член» (Г. Белых, Л. Пантелеев. «Республика ШКИД»).
Итак, весна и идет повторение темы «Геометрическая прогрессия». Обстановка в классе разморенная, но ваша задача — организовать этот урок так, чтобы погода на учеников не влияла. Опишите сценарий урока.
3. Необычные инструменты
Важный раздел в геометрии занимают задачи на построение, выполняемые циркулем и линейкой: разделить отрезок на несколько частей, построить треугольник по трем данным его высотам и т. п.
А теперь представим себе необычный набор инструментов. Он состоит из циркуля и четырех правильных многоугольников с 3, 4, 5 и 6 единичными сторонами. Ясно, что мы с помощью этого набора можем построить окружность любого радиуса, единичный отрезок. А что еще? Каждое построение обоснуйте.
4. Не единственным способом
В учебниках, задачниках обычно приводят лишь один способ доказательства, лишь один вариант решения. Но будущему педагогу-математику полезно всегда знать несколько способов, чтобы было из чего выбирать.
Докажите как можно большим числом различных способов, что: _
4.1. 2 cos 45° sin 15°=^^ ■■ .
4.2. Площадь параллелограмма равна S=а«Л, где а — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне; площадь
а-\-Ь и и l
трапеции равна а= —-— *я, где а и b — основания, п —
высота.
5. Парадокс
— Ничего не понимаю,— сказал десятиклассник Вася, закончив расчеты.— Я всегда думал, что чем больше готовишься к поступлению в институт, тем больше шансов выдержать конкурс. И вот мне удалось посмотреть личные дела поступавших на математический факультет в 1991 г.
Сначала я взял дела тех, у кого были удостоверения об окончании подготовительных курсов. Оказалось, что зачислена в студенты лишь часть из них, 74 %. Значит, решил я, шансы таких ребят можно оценивать числом 0,74. Точно такие же подсчеты показали, что шансы призеров олимпиад равны 0,89, а выступавших с докладами на конференциях научного общества учащихся — 0,92.
Затем я взял дела тех, кто участвовал одновременно во всех трех видах работ, подсчитал их шансы и получил... 0,72.
Ничего не понимаю! Проверил все выкладки — ошибок нет. В чем же дело?
Помогите Васе. Нужно краткое, четкое объяснение парадокса, сопровождающееся математическими выкладками.
6. Координатный зоопарк
Отметим на координатной плоскости точки: (14; —3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; И), (3;13), (0; 10), (—2; 10), (—8; 5,5), (—8; 3), (—7; 2), (-5; 3), (—5; 4,5), (0; 4), (—2; 0), (—2; —3), —5; -1), —7; —2), (—5; —10), (-2; -И) (-2; -8.5>, (-4; -8), (-4; -4), (0;
—7,5), (3; —5). А теперь последовательно соединим эти точки отрезками прямых. Получится...
В VI классе, когда начинают изучать координатную плоскость, такие упражнения очень полезны. Да вот беда, примеров маловато. Ваша задача — подготовить из клет-
31


чатой бумаги наглядное пособие «Координатный зоопарк», содержащее б—8 страниц. На каждой — координаты группы точек, соединяя которые можно получить изображение какого-нибудь зверька. И — сам рисунок.
7. 	Атос, Портос и... математика Иногда решать уравнения надоедает. И вот в этот-то момент краткая занимательная история «из жизни мушкетеров», которая сводится к решению уравнения
может помочь делу.
Ваша задача — придумать такую историю.
8. Сказка о треугольнике
«...Жили-были в одном треугольнике высоты, биссектрисы и медианы...» Продолжите эту сказку. Она должна быть дидактической: короткой, занимательной, в которой «по существу» используются математические свойства главных героев.
9. Это интересно и полезно
Методический прием, «подсмотренный» у учителя или придуманный самостоятельно. Рассказ про интересного, талантливого учителя математики или юного математика, проявляющего любопытные способности. Репортаж с собственного урока или кружкового занятия... Будет оценено все, что полезно взять в свой «методический багаж» будущему педагогу-математику: от мнемонического правила до журналистского эксперимента.
10. Праздник
В сентябре 1992 г. в стране откроются тысячи новых классов с углубленным изучением математики. Например, в параллелях девятых классов. Придут в них ребята из разных школ, и очень важно закладывать традиции, разрабатывать ритуалы. Требуется написать сценарий профессионального праздника, организуемого старшеклассниками с участием учителей, для вновь набранного специализированного IX класса «Посвящение в математики».
//. Задания по математике
1. Имеются два набора из п положительных чисел. Каждый из наборов занумеровывается в некотором порядке: Л|, а2,..., ап и Ъ 1, b2y-.;bn. Докажите, что сумма а\Ь\-\- а2&2-+- — -\~апЬп достигает наибольшего значения, если обе последовательности а\, а2,..., ап и Ь\, 62, ..., Ьп расположены либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания.
2. Решить уравнение
8 (1 +cos х) (1 +cos 4*) (1 -j-cos 5*) = 1.
3. Имеются три сосуда, содержащие спиртовой раствор. Если смешать вместе жидкость из первого и второго сосудов, то получится 30 %-ный раствор, а если смешать вместе жидкость из первого и третьего сосудов, то получится 40 %-ный раствор. В каких границах будет находиться процентная концентрация спирта, если смешать жидкость из всех трех сосудов?
4. Квадрат со стороной 100 разделен на 1002 единичных квадратов. Сколько существует различных квадратов с вершинами в узлах образовавшейся квадратной решетки?
5. (Задача Тартальи). На плоскости даны две точки А и В. Построить точку С такую, чтобы треугольник ABC был правильный, если имеется линейка и циркуль с фиксированным раствором (не равным АВ).
6. На столе лежит кучка из 37 спичек. Двое по очереди берут любое, не превышающее 6 число спичек. При этом запрещается повторять последний ход противника. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто при правильной игре будет победителем, начинающий игрок или второй, и как он должен играть?
7. На какие три цифры может оканчиваться число /г100?
8. В пространстве расположены две прямые и две плоскости так, что все попарные углы (между парой прямых, парой плоскостей и между любой прямой и плоскостью) равны. Найти эти углы.
XXXI Международная математическая олимпиада
В. 	В. Вавилов, Г. М. Кузнецова (Москва)
XXXI Международная математическая олимпиада состоялась в столице Китайской Народной Республики Пекине с 7 по 19 июля 1990 г. В ней приняли участие команды 54 стран (308 школьников).
Членами команды СССР были: Малиннико- ва Евгения (шк. № 239, Ленинград), Стоянов- ский Александр (шк. № 57, Москва), Пер- лин Александр (шк. № 239, Ленинград), Абрамов Георгий (шк. № 239, Ленинград), Соловьев Иван (шк. № 82, пос. Черноголовка Московской обл.), Барановский Владимир (шк. № 115, г.Омск). Все ребята имели хороших наставников в лице своих учителей, руководителей кружков, научных руководителей, много времени уделяли самостоятельным занятиям по математике.
Как обычно, соревнование проводилось в два дня, в каждый из которых школьники решали по три задачи в течение 4, 5 ч. Каждая задача оценивалась в 7 очков.
На XXXI олимпиаде первая премия присуждалась участникам, набравшим от 34 до 42 очков, вторая премия — от 23 до 33 очков, третья — от 16 до 22 очков.
Команда СССР выступила хорошо, советские школьники получили: Малинникова Е. (42 очка), Стояновский А. (40 очков) и Пер- лин А. (40 очков) — дипломы I степени, Абрамов Г. (27 очков) и Соловьев И. (25 очков) — дипломы II степени, Барановский Б. (19 очков) — диплом III степени.
Международные олимпиады — индивидуальные соревнования, тем не менее неофициально подводятся итоги выступления команд. На этой олимпиаде результаты 10 лучших команд таковы: Китай — 230 баллов, СССР — 193 балла, США — 174 балла, Румыния — 171 балл, Франция — 168 баллов, Венгрия — 162 балла, ГДР — 158 баллов, ЧСФР — 153 балла, Болгария — 152 балла, Великобритания — 141 балл*
Олимпиада была превосходно организована. Великолепная культурная программа состояла из концертов, встреч, вечеров отдыха, интереснейших экскурсий в парки, императорские
32


дворцы, к Великой китайской стене и т. д. Советская команда привезла массу впечатлений от удивительного путешествия по Китаю, воспоминаний о новых друзьях из разных стран мира. И нам кажется, что никто не чувствовал себя там проигравшим, так как всех объединяла любовь к математике.
Мы говорим огромное спасибо хозяевам XXXI ММО. Еще раз поздравляем наших ребят с успешным выступлением, а будущим олимпийцам желаем успехов на следующих олимпиадах.
Задачи XXXI ММО
Первый день
1 (Индия). Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е внутри данной окружности. Пусть М — внутренняя точка отрезка BE. Касательная в точке Е к окружности, проходящей через точки D, Е и М, пересекает прямые ВС и АС в
AM
точках F и G соответственно. Пусть -r-5- = t. Найти
Ли
EG А,
-ргрг как функцию от t.
Ьг
2 (ЧСФР). На окружности дано множество Е из 2п—1, п^ 3, различных точек, из которых k точек покрашены в черный цвет, а все остальные — в белый цвет. Раскраска точек называется «хорошей», если существуют две черные точки, строго между которыми на одной из дуг окружности содержится ровно п точек из Е. Найти наименьшее значение k, для которого каждая раскраска точек множества Е является «хорошей».
3 (Румыния). Найти все целые числа /г> 1 такие, что
2л + 1
—5— является целым числом. пг
Второй день
4 (Турция). Пусть Q+ — множество положительных рациональных чисел. Привести пример функции f:Q+->Q+ такой, что
для всех х, y^Q+.
5 (ФРГ). Дано натуральное число л0> 1. Игроки А и В выбирают по очереди натуральные числа п\, п2у... по следующему индуктивному правилу. Игрок А, зная число n2k, может выбрать любое число «2*4-1 такое, что П2к^П2к+\Затем игрок В выбирает число n2k+2 та-
H2k4-\
кое, что является положительной степенью простого
tl2k + 2
числа. Игрок А побеждает тогда, когда выберет число 1990, а В — когда выберет 1. Найти все значения по, для которых а) А имеет выигрышную стратегию; б) В имеет выигрышную стратегию; в) Ни А, ни В не имеют выигрышных стратегий.
6 (Нидерланды). Доказать, что существует выпуклый многоугольник с 1990 сторонами такой, что а) все его углы равны; б) длины сторон многоугольника равны числам I2, 22,..., 19892, 19902 в некотором порядке.
Решения задач XXXI ММО
1. 	Ответ: -|тг = т
br 1—t
Сначала нужно показать (а это просто), что точка Е лежит между точками G w F (рис. 1). Соединим точку D с точками Л, М и В. Так как Z.CEF= ADEG= Z.EMD и Z^ECF= Z_MAD, то треугольники CEF и AMD подобны; поэтому CE-MD = AM-EF. С другой стороны, так как Z.ECG= Z.MBD и Z.CGE= Z.CEF-Z-GCE = = Z.EMD—/iMBD = Z-BDM, то треугольники CGE и BDM также подобны; следовательно, EG • MB — СЕ • MD. Из полученных двух пропорций имеем EG *МВ = АМ»ЕР, т. е.
EG AM __ tAB _ t
EF MB (\—t)AB~~T^t'
Замечание. Если точка M лежит между точками А и Е (как показано на рис. 2), то мы можем изменить роль точек А и В, F и G, полагая V =\—/. Тогда аналогично имеем:
FE MB V __ 1—/
EG AM ~ Т^7 Г
и тем самым
EG = _t_
EF 1 —Г
2. 	Ответ: пу если (2п—1) не делится на 3 или п—1 в противном случае.
Перенумеруем против часовой стрелки последовательно точки числами 0, 1, 2, ...,
2м—2; пусть S = {0, 1, 2, ..., 2п—2}. Число
fc, k^Z будем отождествлять с числом /eS, если k ~ i (mod 2/1—1).
Числа /, назовем подходящими, если
\i—/|=п+1 или U—/\=п—2. Ясно, что i и j являются подходящими тогда и только тогда, когда на одной из дуг окружности между точками с номерами i и j лежит ровно п из данных (2п—1) точек.
Если k — искомое число, мы будем говорить, что k обладает (*)-свойством. Таким образом, k обладает (*) -свойством тогда и только тогда, когда для любого подмножества Л, А а 5, с k элементами, в А существует два подходящих числа.
1°. Число п обладает (*) -свойством. Действительно, пусть A czS и | А | =л, т. е. множество
зз


А содержит ровно п элементов. Предположим, что в Л не существует двух подходящих чисел. Для /еЛ обозначим через S(j) множество всех чисел из S таких, что каждое из них вместе с j образует подходящую пару чисел. Тогда для каждого /еЛ множества S(j) и Л не имеют общих элементов. Так как каждый элемент встречается не более, чем в двух множествах типа S(j), то объединение по всем /еЛ всех множеств S(j) имеет по крайней мере п элементов, что противоречит тому, что \А\=п.
2°. Докажем, что если (2п—1) не делится на 3, то число (п—1) не обладает (*)-свойством. Для этого достаточно сконструировать подмножество В множества S такое, что |В| —п—1 и В не содержит ни одной пары подходящих чисел. Пусть
{3/г; k = 0, 1, 2, п—2},
С = {3ft + n—2; ft=0, 1, 2, я—1}.
Так как
С= {3 (п—1—ft) + п—2; ft = 0, 1, 2, ..., п— 1} = = {Ап—5—3/г; /е = 0, 1, 2, ..., п—1) = ={3(—1 —ft); ft = 0, 1, 2, и—1}
и 2п—1 не делится на 3, то
Я1)С= {3fe; k= —п, — п+1, ...,п—2} =S.
Отсюда следует, что \В \ =п— 1, |С| =п и, кроме того, множества В и С не имеют общих элементов. Замечаем, что для /sfl число / = 3ft, где 0<ft<n—2, и
S(/)= {3ft+ п—2, 3k + n + l) =
— {3/г-|“п—2, 3(ft 1)4"^—2} cz С.
Отсюда заключаем, что множества S(j) и В также не имеют общих элементов. А это, в свою очередь, означает, что в В не существует ни одной пары подходящих чисел.
3°. Рассмотрим теперь случай: число
(2п—1) делится на 3. Заметим, что тогда rts=2(mod 3); пусть п = 3т—1, где 2, тогда
2п— 1 = 3(2m— 1), п—2 = 3(т— 1) и п +1 = 3т.
Если i, jgbS — подходящая пара .чисел, то числа i и j сравнимы по модулю 3.
Положим
Sr= {3ft + r; ft = 0, 1, 2, ..., 2т—2}, r = 0, 1, 2.
Тогда S является объединением трех множеств So, Si, Si, попарно не имеющих общих элементов.
Для каждого ieS число i's5r для некоторого г, и поэтому два числа, образующие с t подходящие пары, также принадлежат Sr.
Мы утверждаем, что число (3m—2) обладает (*) -свойством. В самом деле, если i4c:S и \А\=Зт—2, то, по принципу Дирихле, одно из подмножеств вида ^f|Sr имеет, по крайней мере, т элементов. При помощи рас¬
суждений, подобных в п. 1°, заключаем, что в ЛПЯсгЛ существует подходящая пара чисел.
Покажем теперь, что число 3(m—1) не обладает (*)-свойством. Для этого достаточно построить из (т—1) элементов подмножество Sr, которое не содержит ни одной пары подходящих чисел.
Пусть
Br={3ft + r; ft = 0, 1 m—2}, r = 0, 1, 2.
Замечая, что числа i и } образуют подходящую пару тогда и только тогда, когда |t—/| = = 3(т—1) или |/—/| =3т, мы видим, что ни в одном из множеств Во, В\, Въ не содержится пары подходящих чисел.
Суммируя, получаем
min {k\ k имеет (*)-свойство} =
Гл, если 2п—1 не делится на 3;
—1, если 2п—1 делится на 3.
3. 	Ответ: п — 3.
Так как 2"+ 1 нечетно, по условию п2 делит 2"+1, то п также является нечетным числом.
Обозначим через р минимальный простой делитель числа п. Тогда р^З и р\2п-\-\, т. е. 2П== —1 (mod р). Пусть i — наименьшее натуральное число такое, что 2‘=s —l(modp). Из равенства 2P_1 = 1 (mod р) следует, что t'< <.р—1. Положим /i = ftt-fr, где O^r^i—1. Тогда 2п = 2Ы • 2' = (— 1) * • 2r(mod р).
Предположим, что ft — четное число. Имеем: 2' ===2"= —1 (mod р). Отсюда г = 0 и, следовательно, 2s=0(mod/?), что противоречит тому, что р^З. Таким образом, ft — нечетное число и 2Г== l(mod р).
Покажем, что г = 0. Предположим, что г>0, и пусть i = r + d, где Так как
2? ==2r'2d = 2‘= —1 (mod р), то получаем противоречие с выбором числа t.
Таким образом, n = ki и i\n. Так как Кр и р — наименьший простой делитель, то t'=l. Отсюда следует, что р|(2+1) и, таким образом, р = 3.
Пусть n = 3kd, где ft>l и (d, 3)=1. Докажем, что ft=l. Предположим, что ft>2. Так как п2\ 2п+1, то 32*| (3— 1)п+1. Отсюда следует, что
3*+2: (3k+ld- 2 (—l)'Ci3').
1 = 2
Замечая, что степень числа 3 в разложении
/! на простые множители меньше, чем -1,
заключаем, что степень числа 3 в разложении на простые множители 3‘С‘„ больше, чем
ft+y. Следовательно, 3*+2| 3‘С‘п при всех
2. 	Таким образом, 3ft+2j 3k+id, что противо¬
34


речит тому, что (d, 3)=1. Тем самым, n — 3d.
Докажем, что п — 3. Предположим, что йФ 1. Обозначим через q наименьший простой делитель числа d. Так как d нечетно и (d, 3)= 1, то q^6 и q \ 2п-\- 1. Пусть / — наименьшее натуральное число такое, что 2) =—l(mod^). Из малой теоремы Ферма следует, что j<q—1. Аналогично тому, как мы рассуждали в начале решения задачи, получаем, что j\ п. Так как n = 3d, (3, d)— 1, jcq—1, где q — наименьший простой делитель d, то / = 1 или / = 3. Из сравнения 2) = —1 (mod q) вытекает, что q\3 или (/• 9. Отсюда следует, что q = 3. Это противоречит тому, что <7^5.
Итак, для п^З существует единственное число /г = 3, удовлетворяющее условию задачи.
Замечание. В книге В. Серпинского «250 задач по элементарной теории чисел» (М.: Просвещение, 1968) имеется следующая задача (№ 9): «Доказать, что существует бесконечное число натуральных чисел /г, для которых п \ 2я + 1».
Решение приведенной задачи основано на том, что если /1 = 3*, /г= 1, 2, ..., то
23*+1 _|_ 1 =(23* + 1) (22-3*—г3* + 1).
4. 	Заметим, что если f(y{) = f(y2), то из данного функционального уравнения следует, что У\=У2.
Полагая у= 1, имеем /(1)=1. При х=\ из
уравнения получаем, что f(f(y)) = — для всех
у
y<=Q+. Тогда f{f(f(y))) =/(у) и> следовательно, /( —) = -J-r- для всех y^Q+. Нако- 4 у 7 f(y)
нец, если y = f(^l^jy то отсюда следует, что
f(xt) = f(x)f(t) для всех jc, /gQ+.
Заметим, что любая функция f, удовлетворяющая при всех х, /gQ^ условиям: a) f(xt) =
= f(x)f(t), б) = y , удовлетворяет данно¬
му в условии задачи уравнению.
Функция /:Q+-^Q+, удовлетворяющая условию а), может быть, очевидно, определена при помощи равенства
f(pVpn2'...pl') = (/(р1)Г-(/(р2)Г-..:-(/(р*)Г,
где pj обозначает / = е простое число и п^Ъ. Такая функция будет удовлетворять условию а) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию б) только для простых чисел.
Определим ее для простых чисел следующим образом
f(p)= \ Pi+h если i нечетно>
J , если / четно.
Построенная таким образом функция /:Q+-> -^Q+ удовлетворяет тождеству f(f(p)) =
= -1- для любого простого р и, тем самым,
удовлетворяет условию задачи.
5. 	Ответ: а) /г0^8; б) 2^/г0^5; в) п0 = 6, по = 7.
Обозначим через W множество всех натуральных чисел /го, начиная с которых А имеет выигрышную стратегию.
Лемма. Пусть {m, т+ 1, ..., 1990} dW,
5^ 1990 и 4г^т, где рг — наибольший дели- р
тель числа s, р — простое число и ге N. Тогда все натуральные числа п0 такие, что V5</z0<m также содержатся в W.
Доказательство. Если ^fs^no<im, то игрок А может выбрать число ri\=s. Тогда игрок В, по условию, должен выбрать одно из чисел п2 таких, что
т< — </г2<5< 1990.
рг
Поэтому n2^W, и, конечно, игрок А может выиграть. Лемма доказана.
Так как 452 = 2025 > 1990, то все по такие, что 45^/1о^ 1990, очевидно, принадлежат W.
Числа т = 45 и s = 420 = 22-3-5-7 удовлетворяют предположению леммы и -д/420<21< <45; следовательно
{21, 22, ...,44} с:Г
Используя снова лемму для т — 21 и s = = 168 = 23-3-7, видим, что
{13, 14, ...,20} с-W.
Для т=13 и s=105 = 3-5*7 из леммы получаем, что {11, \2)czW. Полагая т=11 и s = 60 = 22 • 3 • 5, аналогично предыдущему имеем: {8, 9, 10}cz№. Итак, окончательно, мы показали, что
{8, 9, ..., 1990} с-W.
Если /1о>1990, то А может подобрать натуральное число г такое, что
2r-32</i0<2r+l-32</i§
и, тем самым, выбрать п1=2г+1-32. Теперь неважно, какое число п2 выберет В; важно только, что 8^/12</1о- После нескольких шагов игры ситуация будет такова, что 8^/i2a?^ 1990.
А это показывает, вместе с доказанным выше, , что все значения По^8 таковы, что игрок А имеет выигрышную стратегию.
Пусть По <!5. Так как наименьшее произведение трех различных простых чисел равно 2-3-5 = 30>52, то игрок А должен выбрать число вида п\=рг -qs, где р — простое, a q или
35


простое, или равно 1, pr>qs и г, s^l. Тогда В может выбрать
«2 = qs = у < V" I ^ ”о-
После конечного числа шагов игрок В получит п2*=1 и выиграет.
Для по = 6 или «о = 7 игрок Л может выбрать /г, = 30 = 2-3-5 или riy =42 = 2-3*7, и тогда В выбирает «2 = 6. После этого поочередно игроки А и В должны выбирать числа последовательности 30, 6, 30, 6, ..., так как в противном случае кто-то получит выигрышную стратегию.
6. 	Пусть е — вектор единичной длины, направленный вдоль положительного направления оси Ох. Будем обозначать через Щ{ё) вектор, полученный из вектора е поворотом на угол ф против часовой стрелки.
Предположим, что Л0Л1Л2...Л1989 — многоугольник (нумерация против часовой стрелки), который обладает нужными свойствами а) и б).
Тогда векторы АГАГ+Х, г = 0, 1,..., 1989, где Л|99о = Ло, очевидно, при должной нумерации могут быть представлены в виде
Щ=П,Й5“(ё), cc=Tg5.
Числа По, п\,..., «1989 здесь являются перестановкой чисел I2, 22, ..., 19902. Задача, тем самым, эквивалентна следующей: найти перестановку («о, «ь «198э) чисел I2, 22, ..., 19902 такую, что
1989 _ _
2о«,ад^)=0. «= тЙо-
Другими словами, нужно расставить «веса» I2, 22, ..., 19902 в вершинах правильного
1990-угольника, вписанного в единичную окружность, чтобы сумма всех фигурирующих выше векторов равнялась нулю.
Для начала разобьем все веса на 995 пар
(I2, 22), (З2, 42), ..., (19892, 19902)
и поместим каждую такую пару в какие-то диаметрально противоположные вершины. Тогда задача сводится к следующей: как расставить в вершинах правильного 995-угольника веса
22—12 = 3, 42—32 = 7, 62—52= 11, ..., 19902—
—19892 = 3979
так, чтобы сумма векторов с началом в точке О и с концами в вершинах этого многоугольника равнялась нулю?
Замечая, что 995 = 5-199, разделим 995 весов в 199 групп следующим образом:
(3, 7, И, 15, 19), (23, 27, 31, 35, 39),
..., (3963, 3967, 3971, 3975, 3979). (1)
Пусть р= Обозначим через Р\
1УУ . о
правильный пятиугольник, вершины которого находятся в концах векторов
ё, RV(b Rlyib R^{e),
а через Pk+\ правильный пятиугольник с вершинами
т+к*(ё), RP+k*(e), Rp'+k\e), R&+k\e), где ft = 0, 1, ..., 198.
■ Поставим в соответствие каждой вершине пятиугольника Pk+i числа (ft+l)-fi группы из (1), ft = 0, 1, ..., 198; и так как е + Rl(e)=0, то
,;ак = (2ft + 3) Rk0\e) + (2k + 7) Rtf+Ve) +
+ (2ft + l1) R$+2y(e) + (2k + 15) R^+^el +
+ (2ft + 19)$р+4т(ё) = 3 Rk0\e) +7 Rk0^(e) + + 1 l/$*+2>) + \5R^+3y(e) + 19/?^+4^)= = 7?op(ao),
где a0 = 3(ё) + 7Rl(e) +11 Rp(e) +15Rp(e) + + 19/?ov(e),т. e. сумма пяти векторов в каждой из (й + 1)-й групп получается поворотом на угол fep одного вектора ао. Тогда
198 _ 198
2 ак= 2 /?ор(ао) = 0,
/г = 0 fe = 0
так как в правильном многоугольнике с нечетным числом вершин, сумма всех векторов с началом в его центре и с концами в его вершинах равна нулю.
Замечание. Решение задачи легко следует (для знающих основы теории комплексных чисел и формулу Эйлера e((p = cos <р + / sin ф) из цепочки равенств:
198 4
0= П (206 + 4/ + 3yw+/Y) = л=о /=0
198 4
= 22 ((10ft + 2/ + 2)2— (10ft+
*=о/=о
+ 2/ + 1)VW+'y) =
198 4 2
2 2 2 X (106 + 2/ + m)y^+'v+m,o
к —0 I — 0 m= 1
Если fc = 0, 1, 2, ..., 198, /=0, 1, 2, 3, 4 и т= 1, 2, то выражение 10/г21-\-т принимает по одному разу все значения 1, 2, 3, ..., 1990, а выражение
. 1 Ofe-j-398/+ 995т ет + 1у + тл)_е1 1990 2л
принимает все значения 1,еш, ..., ё 1989а по одному разу.
36


XXV Всесоюзная математическая олимпиада школьников
Г. М. Кузнецова, И. Н. Сергеев (Москва)
Заключительный этап XXV Всесоюзной математической олимпиады школьников проводился с 17 по 24 апреля в г. Смоленске. В нем приняли участие 175 школьников: 58 девятиклассников, 61 десятиклассник и 56 одиннадцатиклассников. Впервые в качестве участников заключительного этапа Всесоюзной олимпиады школьников по математике были гости из-за рубежа: 6 учащихся Британской школы из Бельгии, были приглашены также наблюдатели из Болгарии, Испании, Китая.
Участники олимпиады были представлены 30 командами: союзных республик (кроме Грузии), специализированных физико-математических школ при университетах (Москвы, Санкт- Петербурга, Новосибирска, Киева, Еревана, Риги, Алма-Аты), специализированного учебнометодического центра при Петербургском доме пионеров, МПС, Москвы, Санкт-Петербурга и хозяина олимпиады г. Смоленска.
Соревнования, как обычно, проходили в два дня. Каждый день участникам предлагались
4 задачи, на решение которых отводилось
5 ч.
Приводим тексты заданий олимпиады по классам. Задачи с номерами 1—4 предлагались в первый день, а с номерами 5—8 — во второй. После формулировки задач в скобках указаны фамилии их авторов.
I X к л а с с
1. Решить в целых числах систему уравнений
f xz — 2yt = 3,
I xt -f yz = 1.
(Ю. Нестерен ко)
2. На доске выписаны п чисел. Разрешается стирать любые два из них, скажем а и Ь, и вместо них записать (а + 6)/4. Эта операция повторяется п—1 раз, и в результате на доске остается одно число. Доказать, что если на доске первоначально были записаны п единиц, то в результате всех операций на доске останется число не меньшее, чем 1/я.
(Б. Берлов)
3. На плоскости проведены четыре прямые так, что любые две из них пересекаются, а никакие три не проходят через одну точку. На каждой из этих прямых три точки пересечения с остальными выделяют два отрезка. Всего образуется восемь отрезков. Могут ли длины этих отрезков равняться:
а) числам 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;
б) различным натуральным числам?
(А. Б е р з и н ь ш)
4. Билет лотереи — карточка, на которой имеется 50 пустых подряд расположенных клеток. Каждый участвующий в лотерее во все клетки записывает числа от 1 до 50 без повторений. Организаторы лотереи по таким же правилам заполняют карточку-эталон. Выигравшим считается билет, у которого хотя бы в одной клетке записано такое же число, какое записано в этой же клетке карточки-эталона. Какое наименьшее количество билетов надо заполнить играющему, чтобы иметь выигрышный билет независимо от того, как заполнена карточка-эталон?
(А. Берзиньш)
5. а) Найти два натуральных числа х и у таких, чтобы ху-\-х и ху-\-у были квадратами разных натуральных чисел.
б) 	Можно ли найти такие х и у в пределах от 988 до 1991?
(А. А н д ж а н с)
6. На сторонах ЛВ, ВС, CD, DA прямоугольника ABCD соответственно взяты точки К, L, М, N, отличные от вершин. Известно, что KL\\MN и KM1.NL. Доказать, что точка пересечения отрезков КМ и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.
(Д. Т е р е ш и н)
7. Следователь придумал план допроса свидетеля, гарантирующий раскрытие преступления. Он собирается задавать вопросы, на которые возможны только ответы «да» или «нет» (то, какой вопрос будет задан, может зависеть от ответов на предыдущие). Следователь считает, что все ответы будут верные. Он подсчитал, что в любом варианте ответов придется задать не более 91 вопроса. Доказать, что следователь может составить план с не более чем 105 вопросами, гарантирующий раскрытие преступления и в случае, если на один вопрос может быть дан неверный ответ (но может быть, что все ответы верные).
(А. Анджанс, И. Соловьев, В. Слитинский)
8. Квадрат состоит из 5X5 клеток. В одной клетке записан знак «—», в остальных — знак «-}-». За один ход разрешается менять знаки на противоположные одновременно во всех клетках любого квадрата с границами по линии сетки, состоящего более чем из одной клетки. В каких клетках может быть расположен «минус», чтобы за несколько ходов можно было все знаки одновременно сделать плюсами?
(А. Г ринцявичюс)
X класс
1. Доказать, что для неотрицательных чисел а, b, с справедливо неравенство
^ ал[Ьс +6 -jca+c ^jab.
(Д. T е р е ш и н)
2. Существуют ли треугольники, у которых длины
а) всех трех медиан;
б) двух медиан
в целое число раз меньше длин сторон, к которым эти медианы проведены?
(Н. Агаханов)
3. На доске написаны натуральные числа 1, 2, 3, ..., п, где л^З. За один ход разрешается заменить любые два числа р и q числами p-\-q и | р—q |. После нескольких ходов оказалось, что все написанные на доске числа равны k. Каковы возможные значения /г?
(Б. Меркулов)
4. Фигура, изображенная на рис. 1, разрезана по сторонам клеток на несколько многоугольников, ни один
37


Рис. 1
из которых не содержит квадрата размером 2X2 клетки. Каково наименьшее возможное число таких многоугольников?
(А. А н д ж а н с)
5. Точка D — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки А, В и D, пересекает стороны АС и ВС в точках М и N соответственно. Доказать, что окружности, описанные около треугольников ABD и MNC, равны.
(Б. Ч и н и к)
6. Из многоугольника можно получить новый многоугольник с помощью следующей операции: разрезав его по отрезку на 2 части, одну из частей перевернуть и приставить к другой части по линии разреза, если при этом части не будут иметь общих точек, кроме точек разреза. Можно ли с помощью нескольких таких операций из квадрата получить треугольник?
(И. Воронович)
7. Назовем минором /еХ/ доски п'Хп пересечение некоторых k горизонталей с / вертикалями, а его полу- периметром — число k-\-/. Несколько миноров, каждый полупериметра не меньше п, вместе покрывают всю главную диагональ доски пХп. Доказать, что они покрывают не менее половины клеток доски.
(Д. Ф л а а с)
8. Пусть ai, ..., аюо, Ь\, ..., Ь\оо—различные действительные числа. Таблица 100Х 100 заполнена числами по следующему правилу: в клетке на пересечении £-й строки и /-го столбца записано число + Известно, что произведение чисел в любом столбце равно 1. Доказать, что произведение чисел в любой строке равно —1.
(Д. Фомин)
XI класс
1. По заданному натуральному числу ао строят числа ап последовательно при п— 1, 2, ... по следующему правилу: если последняя цифра числа ап_\ не превосходит 5, то она отбрасывается и получается число ап (возможно, в результате ничего не останется — тогда построение заканчивается); в противном случае an=9an_j. Может ли последовательность ап оказаться бесконечной?
(А. Азамов, С. Конягин)
2. Числа аир удовлетворяют равенствам
а3—За2 + 5а=1, р3—Зр2 + 5р = 5.
Найти а + р.
(Б. Кукушкин)
3. На сфере выбраны точки А, Ву С, D и Е так, что отрезки АВ и CD пересекаются в точке F, а точки А, С и F равноудалены от точки Е. Доказать, что прямые BD и EF перпендикулярны.
(Б. Ч и н и к, И. Сергеев)
4. Существует ли на плоскости набор из:
а) четырех попарно неколлинеарных векторов, в котором сумма любых двух векторов перпендикулярна сумме двух других;
б) 91 ненулевого вектора, в котором сумма любых 19 векторов перпендикулярна сумме остальных?
(Д. Фомин)
5. На сторонах АВ и AD квадрата ABCD взяты точки К и N соответственно так, что
AK-AN = 2BK-DN.
Отрезки СК и CN пересекают диагональ BD в Точках L и М. Доказать, что точки К, L, М, N и А лежат на одной окружности.
(Д. Т е р е ш и н)
6. На Марсе 100 государств, враждующих между собой. Для поддержания мира решено образовать несколько военных блоков так, чтобы в каждом блоке было не более 50 государств и любые два государства состояли вместе хотя бы в одном блоке.
а) Каким наименьшим числом блоков можно обойтись?
б) Тот же вопрос при дополнительном требовании, чтобы в любые два блока входило в общей сложности не более 80 государств.
(Д. Ф л а а с)
7. Даны 2п различных чисел а\, ..., ап, bi, ..., bn> Таблица пХп заполнена по следующему правилу: в клетке, расположенной на пересечении /-й строки и /-го столбца, записано число ai-\-bj. Доказать, что если во всех столбцах произведения чисел одинаковы, то во всех строках — тоже.
(Д. Фомин)
8. Какое наибольшее значение может принимать выражение
I у\—У 2 | + ...+ I У то—*/1991 I » если yk={x \ +...-\-xk)/к при k—\, ..., 1991, а числа х\, ..., *1991 удовлетворяют условию
1*1—Х'2 j + ...+ I *1990—*1991 1 = 1991?
(А. Качуровский)
В работе жюри, возглавляемого членом- корреспондентом АПН СССР, доктором физико- математических наук, профессором Московского физико-технического института Г. Н. Яковлевым, приняли участие ученые Белоруссии, Украины, Молдавии, Латвии, Литвы, Москвы, Ленинграда, Смоленска, Краснодара, Новосибирска. Заместителями председателя жюри и его первыми помощниками были доцент МГУ, доктор физико-математических наук Ю. В. Нестеренко и профессор Смоленского госпединсти- тута, кандидат физико-математических наук М. Б. Балк.
Данные «грубой проверки» работ приведены ниже в виде трех таблиц отдельно по каждому классу. Под номером задачи указано, сколько участников решили задачу полностью ( + ), решили с незначительными погрешностями (±), допустили грубые ошибки при вер¬
38


ной идее решения (=F), совсем не решили или не решали задачу (—). Жюри олимпиады оценило относительную сложность каждой задачи в баллах (оценка записана в предпоследней строке таблиц). Оно исходило при этом из расчета, что максимальная сумма баллов за 4 задачи каждого дня должна быть равна 30. И наконец, в последней строке таблицы указано, какие задачи признаны лучшими по результатам анкетирования школьников.
Решения
В решениях задач принята двойная нумерация: первая часть номера обозначает класс, а вторая — порядковый номер задачи в данном классе.
Таблица 1
. IX к л а с
Номер
задачи
1
2
3
а/б
4
5
а/б
6
7
8
+
18
11
1/14
9
47/21
34
19
5
±
9
3
3/1
2
0/9
4
4
4
=F
4
0
3/1
15
1/5
0
0
29
—
27
44
51/42
32
10/23
20
35
20
Балл
6
7
10
7
7
6
8
9
Место
—
—
—
III
—
—
I
II
9.1. Ответ: (1; 0; 3; 1), (-1; 0; -3; -1), (3; 1; 1; 0), (-3; -1; -1; 0).
Из системы получаем
(х2 + 2у2) (z2 + 2t2) = (xz-2yt)2 +
-\-2(xt-\-yz) —Ъ -\-2• 1=11.
Следовательно, либо х2 + 2у2=1 (откуда у—0, х= ± 1, затем из второго уравнения *=±1, а из первого уравнения z=±3), либо
z2 + 2/2=l (откуда f = 0, z=±l, затем
У— ± 1. х= ±3).
1 1 4
9.2. Из неравенства — + ^ вытекает,
что сумма S обратных величин на доске не увеличивается. Сначала S — n, поэтому в конце Из этого вытекает требуемое.
9.3. Ответ: а) нет; б) да.
а) 	Допустим противное. Из неравенства треугольника вытекает, что отрезок длины 1 не может быть стороной треугольника, остальные стороны которого — рассматриваемые нами отрезки. Следовательно, это может быть только ВС или CD на рис. 2. Можем считать, что ВС=1, тогда BF=CF. Применяя теорему косинусов к треугольнику BFC, получаем cos F= 1 —1/(2BF ). Тогда по теореме косинусов для треугольника EFD получаем
ED2 = EF2 + FD2 — 2EF • FD -+- .
Of
\
j
<
К 20
/
в
Jf \ "
/F
/12
32
/в\
1>
У28
1А

—
Рис. 2 Рис. 3
Так как EF<iBF и FD<zCF = BF, то число EF-FD/BF2, а вместе с ним ED2 и ED — не целые числа. Получили противоречие.
б) 	Такой пример можно построить, например, как показано на рис. 3. Треугольники ABE, FED, FBC и ADC подобны пифагорову со сторонами 3, 4, 5.
9.4. 	Ответ 26 билетов.
Чтобы наверняка выиграть, 26 билетов можно заполнить, например, так:
1,
2,
3,
25,
26,
27,
50
2,
3,
4,
26,
1,
27,
50
3,
4,
5,
1.
2,
27,
50
25,
26,
1,
23,
24,
27,
50
26,
1,
2,
24,
25,
27,
50
В карточке-эталоне хотя бы одно из чисел 1, 2, ..., 26 должно находиться в одной из первых 26 клеток (поскольку других клеток только 24). Это число и сделает одну из заполненных карточек выигрышной. Чтобы показать, что 25 заполненных карточек не гарантируют выигрыша, расположим эти заполненные карточки и пустую карточку-эталон друг под другом. Опишем, как постепенно заполнить эталон с условием, чтобы ни одно из чисел в эталоне не совпадало ни с одним из чисел заполненных карточек, записанных в той же клетке.
Ясно, что число 1 можно записать в эталон с соблюдением условия. Пусть уже записаны числа 1, 2, ..., m—1. Рассмотрим число т. Если его можно записать, не нарушая условия, сделаем это. Если этого сделать нельзя, то все клетки эталона, допустимые для т, уже заняты. Таких клеток не меньше 25, так как каждый билет «запрещает» появление m только в одной клетке. Пусть в эталоне в клетках, допустимых для т, уже записаны числа jci , хг, ..., *25. Выберем любую свободную клетку г. В нее с соблюдением условия можно записать не меньше 25 чисел, т. е., по крайней мере, одно из чисел jci, ..., *26, т. Так как т записать в г нельзя, то в г можно
39


записать некоторое л:,. Сделаем это, а число т запишем вместо xt. По завершении этого процесса получится заполнение эталона, при котором не выиграет ни один из 25 билетов.
9.5. Ответ: а) например; 1 и 8; б) нет.
б) 	Пусть для определенности 988
<*/^1991. Тогда х2<.ху-\-х = т2<ху-\-у = — п2. Поэтому разность у — х = т2—п2 больше, чем 2х + 1 = (х+ I)2—.х, откуда 1991 >*/> >3л:+1 ^3-988+1, что невозможно.
9.6. Обозначим точку пересечения КМ и LN через О и соединим ее с В и D (рис. 4). Так как Z NQM + Z. NOM = 180° = zi KBL + + Z./COL, то около четырехугольников NDMO и KBLO можно описать окружности. Поэтому Z. NOD = Z. NMD = Z. LKB = zi LOB и точки D, О и В лежат на одной прямой.
Заметим, что утверждение задачи справедливо для любого параллелограмма ABCD и без условия KM1.NL.
9.7. Обозначим первоначальный план следователя через Р. Сначала задается серия из
13 вопросов по плану Р, а потом контрольный вопрос: «Солгали ли вы в предыдущей серии?» Если ответ «нет», то лжи действительно не было, и дальше по плану Р задаются серии вопросов по 12; 11; ...; 4; 3; 2; 1 вопросу, а после каждой серии задается контрольный вопрос. Если свидетель не лжет, то всего будет задано 91 +13= 104 вопроса. Если же свидетель на контрольный вопрос отвечает «да», то он солгал или в соответствующей серии, или в контрольном вопросе; тогда эта серия вопросов повторяется и дальше реализуется план Р без контрольных вопросов. Если ложь была в i-и серии, то дополнительно задано i контрольных вопросов и 14 — i повторных вопросов плана Р, т. е. всего
14 дополнительных вопросов.
9.8. Ответ: в центральной.
На рис. 5 любой квадрат, состоящий из более чем одной клетки, содержит четное количество черных клеток. Поэтому если начальный минус находится в черной клетке, то после каждого хода в черных клетках находится нечетное количество минусов. Следо¬
Рис. 4 Рис. 5
вательно, по крайней мере, один минус всегда останется. Используя конфигурации, получаемые из показанной на рис. 5 фигуры поворотами вокруг центра на 90°, 180°, 270°, убеждаемся, что от минусов нельзя избавиться, если первоначальный минус — не в центральной клетке. В противном случае достаточно 5 ходов, в которых используются по разу квадраты 3X3 в левом нижнем и правом верхнем углах, квадраты 2X2 в двух остальных углах и весь квадрат 5X5.
Таблица 2. X класс
Номер
задачи
I
2
3
4
5
6
7
8
+
48
38
13
8
41
27
19
14
±
2
1
3
2
3
3
3
2
1
5
15
3
1
8
2
1
—
10
17
30
48
16
23
37
44
Балл
5
6
9
10
6
7
8
9
Место
—
—
—
I
—
II—IV
И—IV
II—IV
10.1. Воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел, получим:
(а + 6 + с)2 = (a2 + b2 + c2+ab + bc + ca) + + i (2ab + 2bc + 2ca) = (a2 + bc) + (ft2 +
+ ca) + (c2 + ab) + +
+ >2а л[Ьс + 2Ь л/са + 2с ^jab +
+ (a -Jbc + b -Jca + c -Jab) =3a -Jbc + 3b -i/ca + + 3с л[аЬ.
10.2. Ответ: не существует.
Предположим, что медианы АА' и ВВ'
в треугольнике ABC удовлетворяют условию
б) 	задачи (рис. 6). Так как ВС^2АА'У то точка А лежит внутри или на границе круга, построенного на стороне ВС как на диаметре, и, значит, АВАС^л/2. Аналогично ААВС^л/2, что невозможно.
Рис. 6 Рис. 7
40


Заметим, что если разрешить медианам также и равняться соответствующим сторонам, то ответ на вопрос задачи будет отрицательным только в п. а).
10.3. 	Ответ: 2s, где 5 —любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству 2s^п.
После каждого хода на доске будут написаны целые неотрицательные числа. Если сумма и разность двух таких чисел делятся на нечетное число d, то и сами эти числа делятся на d. Поэтому если бы число k делилось на нечетное число d> 1, то и все первоначально написанные на доске числа делились бы на d, что невозможно, так как среди них есть 1. Поэтому у числа k нет нечетных простых делителей, т. е. k = 2s.
Так как после каждого хода максимум из написанных на доске чисел не уменьшается, то k^n. Докажем, что можно получить любое значение k = 2s^n. Одним ходом из пары (2а, 2а) получается пара (0, 2а+1), а из пары (0, 2а)—пара (2а, 2а), поэтому если на доске написан набор из степеней двойки с показателями, не превосходящими so, такой, что среди чисел, входящих в набор, есть два равных числа, меньших 2So, то за несколько ходов можно получить числа, все равные 2So.
Индукцией по п докажем, что из набора 1, 2, ..., п всегда можно получить указанный набор из степеней двойки, причем в качестве so можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству 2 So^n. При п = 3 утверждение очевидно: 1, 2, 3; 2, 2, 4. Предположим, что оно верно при всех /г, удовлетворяющих неравенствам З^п^/. Докажем его справедливость при м = /+1. Если /+1^8, то утверждение проверяется непосредственно. Пусть / + 1 = 2т + 6, где Z^6^2W, т^З. Применив указанное в условии преобразование к парам чисел р = = 2т + г, q — 2m—r при 1<г<6 (1<г<6— 1, если 6 = 2т), мы получим набор, состоящий из следующих трех групп чисел:
1, 2, ..., 2т-Ь-\ (I)
(эта группа не содержит ни одного числа, если Ь — 2т или b — 2m—1),
2, 4, ..., 2b (II)
(получена из разностей | р — q |),
2m, 2т + 1, ..., 2m+1 (III)
(получена из суммы p + q и числа 2т). Если обе группы (I) и (II) содержат не менее чем по 3 числа (т. е. если 3^ ^Ь^2т—4), то к ним применимо предположение индукции. Если же только в одной из них содержится не менее 3 чисел, то предположение индукции нужно применить к этой группе и воспользоваться тем, что числа,
образующие другую группу, уже являются степенями двойки. Случай, когда в обеих группах (I) и (И) содержится не менее 3 чисел, при т^З невозможен, так как если в группах (I) и (II) не более 2 чисел, то 2т—b—1^ ^2 и 26^4, откуда 2т^5. Утверждение доказано.
10.4. Ответ: 12.
Пусть данная на рис. 1 фигура разрезана на п многоугольников. Тогда через каждую из 36 внутренних вершин клеток проходит разрез, ибо каждый квадрат размером 2X2 с центром во внутренней вершине не содержится ни в каком многоугольнике. Таким образом, линии разрезов проходят, по крайней мере, по двум из четырех ребер с концами в данной внутренней вершине. Всего внутренних ребер 144, из них не более чем по 144—2-36 = 72 ребрам разрезы не проведены. Любой новый разрез по такому ребру увеличивает число многоугольников, на которые разрезана фигура, не более чем на 1. Поэтому, проведя разрезы по всем оставшимся внутренним ребрам, мы получим всего не более 72-{-п многоугольников. Но при этом фигура распадется на 84 отдельные клетки, откуда 84^72 + я и 12. Данную на рис. 1 фигуру можно разрезать на 12 прямоугольников, проведя, например, разрезы по всем горизонтальным ребрам. Ни один из этих прямоугольников шириной в 1 клетку не содержит квадрата 2X2.
10.5. Согласно теореме синусов, радиус окружности, описанной около треугольника со стороной а и противолежащим этой стороне углом ф, равен а/sin ф. Треугольники ABD и MNB вписаны в одну и ту же окружность, треугольники MNB и MNC имеют общую сторону MN, поэтому утверждение задачи будет доказано, если мы докажем, что sin Z_MBN = = sin Z.MCN (рис. 7). Так как DB = DC и DA = DCy то l_DBN = Z.DCN и AMAD = = /LMCD. Углы MAD и MBD равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому /-MBN= Z.MBD+ ADBN = = Z.MAD+ ADCN=AMCD+ Z. DCN = = /-MCN и, следовательно, Z.MBN— Z-MCN.
10.6. Ответ: нет.
Действительно, после каждой операции пери-
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
41


метр и площадь многоугольника остаются не- т 6 2 о 2/6 37/1 i 11
изменными. Но если треугольник и квадрат ~лл £ 36/245 lg ll^46 3jj 2g
имеют одинаковый периметр, то треугольник место _____ п—ш i п—ш
имеет меньшую площадь. Докажем это. Площадь квадрата периметра р равна р2/16. ц.1. Ответ: нет.
Если х — длина одной из сторон треуголь- Если последняя цифра а числа ап-1 не пре-
ника с периметром р, то высота, проведен- восходит 5, то
ная к ней, меньше (р—х)/2, и поэтому пло- щ — _ <г
щадь треугольника меньше " 0,1-1
10.7. Докажем утверждение задачи по индукции. При п= 1 и п — 2 оно верно.
Пусть п>2 и пусть для досок размером тХт, где т<п, утверждение уже доказано. Возьмем какой-либо набор миноров на доске nX/i, удовлетворяющий условию задачи. Рассмотрим пары клеток, симметричных относительно главной диагонали. Всего таких пар (п2—п)/2. Если в каждой паре покрыто не менее одной клетки, то всего покрытых клеток не меньше чем п-\- (п2—п)/2>п2/2, и утверждение верно.
Пусть клетки (t, /') и (/, i) не покрыты. Вычеркнем из доски t-ю и /-ю строки и i-й и /-й столбцы. Останется доска (п—2) X X (п—2). Пересечение каждого из миноров с этой доской есть минор полупериметра не меньше п—2. Действительно, у каждого минора вычеркнуты клетки, самое большее, двух строк, или двух столбцов, или одной строки и одного столбца, так как в противном случае он покрывал бы одну из клеток (i, j) или (/, t). Таким образом, диагональ оставшейся после вычеркивания доски (п—2)X(п—2) покрыта минорами периметра не меньше п—2, и, следовательно не менее половины невычеркнутых клеток покрыто минорами.
Рассмотрим теперь вычеркнутые клетки. Всего их 4п—4. Полупериметр минора, покрывающего клетку (t, г), не меньше п, поэтому он покрывает не менее п—1 клеток в t-x строке и столбце. Аналогично минор, покрывающий клетку (/, /), покрывает не менее п—1 клетки в /-х строке и столбце. Поскольку клетки (i, /') и (/, i) не покрыты, в этих четырех строках и столбцах покрыто не менее 2(п—1) клеток, т. е. не менее половины вычеркнутых клеток. Итак, миноры из рассматриваемого набора покрывают не менее половины клеток доски пХп. Утверждение доказано.
10.8. См. 11.7 при п=100 и с=1.
Таблица 3. XI класс
1
2
3
4
а/б
5
6
а/б
7
36
39
13
14/4
34
36/9
7
10
5
24
4/1
2
2/0
13
В противном случае последняя цифра числа ап = 10a„-i — ап-\ не превосходит 5 и 10an+i<[ ^an=9an-i. Итак, при любом heN либо ап<.ап-1, либо a„+i<a„-i. Поэтому если бы последовательность ап была бесконечной, то среди ее значений можно было бы выделить бесконечную убывающую последовательность натуральных чисел, которая не существует.
11.2. Ответ: 2.
Левые части данных равенств представляют собой значения многочлена
f(x)=x3 — 3*2 + 5x=(x— 1)3 + 2(jc— 1) + 3
при х=а и х = р. Поскольку функция g(y) = =у3 + 2у нечетная и возрастающая, то числа аир определяются равенствами
g(a — 1) =f(a)—3= — 2, g(p — 1) =f(P)—3=2
однозначно и удовлетворяют условию a—1 = = —(Р— 1), откуда а + р = 2.
11.3. Пусть G — точка пересечения луча EF со сферой, а XY — любой из отрезков АВ и CD. Докажем, что точка У (а с ней и прямая BD) лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку FC и проходящей через его середину. Действительно, X, Е, У, G лежат на одной окружности — сечении сферы плоскостью XEF. Треугольники XEF и GYF подобны по двум углам (рис. 8). Но коль скоро XE = FE, то GY=FY, что и требовалось доказать.
Заметим, что утверждение задачи справедливо даже в случае, если точка Е не лежит на сфере.
11.4. Ответ: а) да; б) нет.
а) В правильном треугольнике ABC с центром О вписанной окружности и любой точкой Р на окружности векторы РА, РВ, PC и РО образует нужную четверку, если только вектор РО—г неколлинеарен осталышм_ (рис. 9)_. Действительно, обозначив ОА=а, ОВ = Ь, ОС = с, имеем, например,
(!РА + РВ) (РС+РО) = (а + Ь + 2г) (с + 2г) = = (2г-с) (2r + с) =4г2—с2 = 0.
б) Допустим, что указанный набор из 91 вектора существует. Тогда, если вектор OS — их сумма, а вектор ОХ — сумма любых 19 из них, то точка X лежит на окружности о с диаметром
42


OS. Докажем, что из набора нельзя выбрать 5 векторов а\у а2у аз, b 1, b2y удовлетворяющих условиям а\фа2фаъфа\, Ь\ФЬ2. В самом деле, иначе можно взять еще 17 векторов с некоторой суммой q и образовать 6 векторов
OXij = q-\-ai + bi (/=1, 2, 3; /= 1, 2), концы Хц которых будут лежать на окружности о. Но тогда 3 равных вектора XnXi2=OXi2— —ОХц = Ь2—bi будут образовывать 3 несовпадающие хорды, что невозможно.
Из доказанного сразу следует, что в нашем наборе нет пятерки различных векторов. Более того, в нем не набирается даже четверки различных векторов х, уу zy /, так как иначе один из них, скажем /, встречался бы дважды и опять же нашлась бы пятерка a\ = t, а2=ху аз=у, b\=z, b2 = t. По той же причине если векторы набора образуют ровно 3 различных вида, то лишь один из видов имеет более одного представителя.
Поскольку не все наши векторы одинаковы, то их имеется ровно 2 или 3 вида. Пусть наиболее многочисленный вид х встречается 89 раз. Тогда найдутся еще векторы у и zy отличные от х и образующие суммы
OY \ = \8х + уу ОУ2= 18л;-fz, ОУ3= 17х + у+ 2, ОУ4 = 19*.
Из равенства
2 (OY1 + ОУ2) = j(OYз + ОУ4)
поэтому Z/CLM + АКАМ=П и точки А, К, L, М лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что точки Ау /V, Му L лежат на одной (той же) окружности.
11.6. О т в ет: 6.
Каждое государство должно входить не менее чем в 3 блока (иначе оно состояло бы в одном блоке не с любым, а максимум с 49 + 49 = 98 из 99 остальных государств). Поэтому число блоков не может быть меньше чем 3-100/50 = 6.
а) Достаточно разбить все 100 государств на 4 группы по 25 и образовать блоки из пар групп всеми 6 возможными способами.
б) Достаточно разбить все государства на 10 групп аь а2у а3, а4, а5, bXy b2y fe3, 64, 65 по 10 государств и образовать блоки
а 1 'о' b 1 ^ b2 ^ bз ^ clз, а2 ^ b2 w Ьз ^ 64 ^ яц,
аз^ЬзW&5 was, аь^Ьь^Ьь^Ь\ wai, аъ^Ьъ^Ь\ ^b2\ja2, а\^уа2^аз^а4^аь.
11.7. Рассмотрим многочлен
f(x)= П (х + a,)- П (х-Ь,),
k—\ /=1
степень которого меньше п. Если f(bj)= П (а,• + &/)=■ с
г'= 1
при всех /= 1, ..., п, то многочлен f(x)—с имеет, по меньшей мере, п различных корней, откуда f(x)—с = 0 при всех х. Но тогда
следует, что середины хорд Y\Y2 и У3У4 совпадают. Однако сами эти хорды не совпадают (либо YзфY^ и YзфY2), поэтому они — диаметры окружности о, откуда уфг, т = 89 и
OYi + OY2 = OS, т. е. 36x + y-\-z = 89x + y + zy что невозможно.
Пусть, наконец, вектор х встречается м = 90 раз, а у — один раз. Тогда, обозначив OZ1 = 18л:4-и, получаем, что хорды OZ2=19x и SZ1 = — 72х параллельны вектору х, и стало быть, симметричны относительно середины диаметра OS, что опять невозможно.
11.5. 	Докажем сначала, что ZLB/CC +
+ /LDNC = ^ (рис. 10). Действительно, считая сторону квадрата единичной, обозначаем a — BK — ctg /-ВКС, b = DN = ctg Z.DNC и получаем (1—a)(l—b)—2ab, откуда
tg( ABKC+ AD NC) = -4^: = —l = tg^.
— 1 ab
Теперь имеем
Z. BLK= ^ —abkl=adnc =
4
= /LBCM — Z. BAM,
c = /( —a,) = — П ( — a, — bj) =
/=1
= (-i)n+lri (ai+bj),
i = 1
что и требовалось доказать.
11.8. 	Ответ: 1990.
Из соотношений
\ук-ук+Л = \ _ f+•••*»+. I =
k k+\ 1
I X\ ~h ••• -\-Xk — kXi
k + \
k(k+[) 1
\xl *2! -\-2\X2 — X3I ...-\-k\Xk Xk-\- 1 I
^ k(k + \)
при k=\y ..., 1990 получим оценку
| У\—У2 I + ...+ I i/1990 у 1991 I ^ I X\ X2 I X
V ( ^ -j- * I I 1 ) f
V 1-2 2.Я ' "* ' 1QQ0.1QQ1/ *
2-3
1 1990-1991
+ 2\х2-х3\(ЛТ + ...+
-f-1990 J ЛГ1990—X19911
+
1990-1991
43


+ 1*1990—*1991 I (1—Т99Г) ^
<1991(1-JL) = 1990.
Полученная оценка достигается при а\ = = 1991, аг =... =ai99i = 0, поскольку все выписанные неравенства в этом случае обращаются в равенства.
По итогам олимпиады жюри присудило в IX классе 7 первых, 11 вторых, 10 третьих премий, в X классе — 7 первых, 12 вторых, 13 третьих премий, в XI классе — 5 первых, 7 вторых, 21 третью премий. Ряд участников были награждены грамотами, специальными призами, памятными подарками.
Приводим список победителей.
Первая премия
IX класс: М. Бондаренко (шк. № 239, Санкт-Петербург), А. Галване (шк. № 1,
г. Олайне), Д. Звонкин (шк. № 43, Москва), В. Каукис (гимназия № 1, Рига), Г. Линде (гимназия № 1, Рига), Р. Федоров (шк. № 57, Москва);
X класс: А. Амбайнис (шк. № 12, г. Дау- гавпилс), Д. Аринкин (шк. № 132, г. Харьков),
A. Бурков (шк. № 35, г. Киров), А. Галване (шк. № 1, г. Олайне), П. Кожевников (шк. № 24, г. Калуга), А. Ногин (шк. № 57, Москва),
B. Некрашевич (Ковшеватская шк., с. Крутые Горбы Киевской обл.);
XI класс: В. Жуховицкий (шк. № 239,
Санкт-Петербург), М. Коган (шк. № 566,
Санкт-Петербург), Е. Малинникова (шк. № 239, Санкт-Петербург), А. Перлин (шк. № 239,
Санкт-Петербург), М. Темкин (шк. № 57,
Москва).
Вторая премия
IX класс: И. Богданов (шк. № 17,
г. Пермь), В. Бринюк (шк. № 35, г. Донецк), Д. Дудко (шк. № 61, Киев), А. Кухта (шк. № 9, г. Комсомольск-на-Амуре), Л. Потапова (гимназия № 1, Рига), Е. Розенблюм (шк. № 239, Санкт-Петербург), С. Саприкин (шк. № 36, г. Одесса), Е. Сосыка (шк. № 5, г. Краснодар),
А. 	Хазанов (шк. № 239, Санкт-Петербург), Д. Черухин (шк. № 1, г. Керчь), А. Ческидов (шк. № 25, г. Усть-Каменогорск);
X класс: У. Аншмитс (гимназия № 1, Рига), А. Бородин (шк. № 17, г. Донецк), И. Изместьев (Сунская шк. Кировской обл.), Р. Исмаилов (шк. № 239, Санкт-Петербург),
С. 	Климов (шк. № 30, г. Ижевск), А. Корниенко (шк. № 36, г. Днепропетровск), Д. Малютин (шк. № 45,-- Санкт-Петербург),
Я- Норвелис (гимназия № 1, Рига), М. Никулин (гимназия № 2, г. Обнинск), А. Петросян (ФМШ, Ереван), М. Рабинович (шк. № 57, Москва), А. Чиликов (шк. № 35, г. Киров);
XI класс: Г. Андерсонс (гимназия № 1, Рига), О. Балашов (шк. № 45, Санкт-Петербург), К. Волченко (шк. № 17, г. Донецк), М. Гриншпон (шк. № 32, г. Томск), С. Жарков (шк. № 145, Киев), Р. Мучник (шк. № 17, г. Винница), А. Насыров (СУНЦ МГУ, Москва) .
Третья премия
IX класс: Р. Беленов (шк. № 40, г. Нижний Новгород), Е. Брюхов (шк. № 31, г. Челябинск), А. Гуреев (шк. № 1, г. Новгород), В. Казанцева (шк. № 30, г. Ижевск),
В. 	Костин (физико-технический лицей № 1, г. Саратов), П. Лауд (шк. № 9, Таллинн), Е. Порошенко (РФМШ, Алма-Ата), А. Смирнов (Березниковская шк. Вологодской обл.), А. Степанов (шк. № 17, г. Тверь), А. Топчий (шк. № 64, г. Омск), А. Маунтин (Британская школа, г. Брюссель);
X класс: А. Елсуфьев (шк. № 30, Санкт- Петербург), С. Зайцев (шк. № 73, г. Тула), А. Крустс (шк. № 1, г. Юрмала), С. Кузьмич (МССШ при БГУ, Минск), А. Майлыбаев (СУНЦ МГУ, Москва), Ю. Певцова (шк. № 239, Санкт-Петербург), А. Рымов (РФМШ, Алма-Ата), А. Сибиченков (гимназия, № 1, г. Смоленск), А. Теплинский (шк. № 7, г. Каменец-Подольский), К. Фельдман (шк. № 82, пос. Черноголовка Московской обл.), М. Хасин (шк. № 17, г. Дон^дк), К. Хвенкин (МССШ при БГУ, Минск), К. Чудинов (шк. № 17, г. Пермь);
XI к л а с с: С. Барсуков (шк. № 4, г. Краснодар), Н. Бродский (шк. № 31, г. Челябинск), Н. Вигулис (шк. № 4, г. Валмиеры), А. Дацук (шк. № 30, Санкт-Петербург), А. Днестранский (шк. № 2, г. Рязань), Р. Карманный (шк. № 4, г. Унгены), Р. Каспяравичюте (шк. № 7, Вильнюс), А. Козачко (шк. № 17, г. Винница), А. Копылов (шк. № 82, пос. Черноголовка Московской обл.), Д. Кротов (шк. № 25, г. Новосибирск), Ю. Кузьма (шк. № 1, пос. Протва Калужской обл.), А. Львов (шк. № 43, Москва), К. Мишачев (шк. № 14, г. Липецк), А. Наумович (шк. № 19, Минск), Ю. Полонский (шк. № 31, г. Витебск),
О. 	Рябичева (шк. № 8, г. Киров), А. Солодов (колледж № 1, г. Воронеж), У. Страусс (гимназия № 1, Рига), Е. Цыганов (компьютерная школа, г. Белорецк), М. Шамсутдинов (шк. № 114, г. Уфа), М. Янсонс (шк. № 1, г. Сигулда).
Традиционно учащиеся IX и X классов, награжденные дипломами I и II степеней, полу¬
44


чили право участвовать в заключительном этапе следующей Всесоюзной олимпиады, а учащиеся XI класса — поступать в вузы страны без вступительных экзаменов (по согласованию с ректором вуза). Кроме того, на XXV Всесоюзной олимпиаде оргкомитет и жюри определили трех школьников, по одному из каждого класса, для назначения им стипендий из фонда «Филантропия», существующего при Советском фонде мира.
Ими стали: Мал инникова Евгения
(шк. № 239, Санкт-Петербург, XI класс), Некрашевич Владимир (Ковшеватская шк. Киевской обл., X класс), Кухта Александр (шк. № 9, г. Комсомольск-на-Амуре, IX класс). Премии в 500 рублей будут вручены наставникам этих учащихся, а также Серовой Татьяне Александровне — учителю математики Березниковской неполной средней школы за хорошую подготовку ученика IX класса Смирнова Алексея, успешно выступившего на XXV Всесоюзной олимпиаде школьников.
Жюри рекомендовало в качестве кандидатов в сборную команду СССР для участия в Международной математической олимпиаде 1992 г. десятиклассников, получивших I и II премии.
Программа, составленная оргкомитетом олимпиады под председательством заместителя председателя Смоленского облисполкома А. Н. Новикова, была интересна и содержательна. Участники олимпиады посетили картинную галерею, Музей С. Т. Конёнкова, Му- зей-усадьбу М. И. Глинки в Новоспасском, Музей-усадьбу М. К. Тенишевой «Теремок», предприятия г. Смоленска. Для ребят были организованы увлекательные экскурсии по городу, встречи с учащимися средних школ № 4, 11, 28, 33, 34, областного педагогического лицея. Ход олимпиады освещался по радио, в местной печати, был создан видеофильм олимпиады. Для ребят была организована встреча с редколлегией журнала «Квант», состоялся «Математический бой» между командами школьников и жюри.
В целом олимпиада прошла организованно и интересно, и в этом немалая заслуга организаторов и хозяев олимпиады. Выражаем свою благодарность устроителям олимпиады, а всем участникам желаем дальнейших успехов.
I Всесоюзная профориентационная олимпиада по педагогике математики
Решение заданий по математике
И. Ф. Шарыгин (Москва)
1. 	Известно, что в евклидовой геометрии вместо классической аксиомы о параллельных прямых можно в качестве аксиомы взять утверждение, что сумма углов треугольника равна 180°. В этом случае утверждение аксиомы о параллельных становится теоремой. Докажите эту теорему для гипотетического курса, в котором в качестве аксиомы взято утверждение о сумме углов треугольника.
Решение. Доказательство указанной теоремы можно вести различными путями. Укажем коротко одну из возможностей. Докажем сначала следующую лемму:
Каковы бы ни были данные отрезок и угол, меньший 180°, всегда найдется треугольник ABC такой, что сторона АВ равна данному отрезку, угол А равен данному углу, а угол С меньше любого, наперед заданного угла.
Для доказательства леммы рассмотрим треугольник ABCiy в котором сторона АВ и угол А равны заданным величинам. Пусть угол С\ равен ф (рис. 1). Возьмем на луче АС\ точку С2 так, что CiC2 = BCi. Нетрудно показать, что в треугольнике АВС2 угол С2 равен ф/2. Затем аналогично, взяв точку Сз так, что С2Сз = ВСг, получим треугольник ЛВС3, в котором угол Сз равен ф/4. Продолжая этот процесс нужное число раз, пока ф/2п не станет меньше указанного угла, получим требуемый треугольник.
Перейдем к доказательству нашей теоремы: «Через точку вне прямой на плоскости нельзя провести более одной прямой, параллельной Этой прямой».
Пусть В — некоторая точка вне данной прямой / (рис. 2). Возьмем любую точку А на прямой /. Обозначим через а один из образовавшихся углов, как на рис. 2. Проведем через В прямую пг так, чтобы она образовывала с АВ
45


также угол а, как на том же рисунке. Прямая / параллельна т. Это следует из аксиомы о сумме углов треугольника.
Предположим, что существует прямая т\у отличная от т и также параллельная /. Пусть отмеченный на рисунке угол между т\ и т равен р. Возьмем на прямой / точку С так, чтобы образовался треугольник ЛВС, в котором, в соответствии с леммой, угол С был бы меньше р. Поскольку углы, образованные ВС с прямыми / и т, равны (одинаково отмеченные), то прямая гп\ должна проходить внутри угла ЛВС, а следовательно, она не может быть параллельной /.
2. 	Решить систему уравнений
IX2 — Зху + 2у = 0,
\2у2 + 3х2-2х = 0.
Решение. Умножим первое уравнение на х, а второе — на у и сложим. Получим х3 + 2у3 — 0, откуда х——ул/2. Остальное понятно.
2 "2 \
Ответ: (0, 0); (
3 + V2 ’ 3V2 + V4
3. 	Не пользуясь микрокалькулятором и иными вычислительными устройствами, определить, что больше: log2 5—log3 4 или 1.
Решение. Докажем, что log2 5—log3 4 > 1. Это эквивалентно тому, что
log2 5—2 > log3 4—1, log2— >log3
_4_ 3 ’
• 3*
Воспользуемся тождеством alogbC = с'°ёьа и
о
очевидным неравенством log2 3> у. Итак, 3 82 4 = ( ~) ,0в23> (А) 2. Нам осталось
4. 	На стороне AD ромба ABCD взята точка М. Доказать, что окружности, вписанные в треугольники АВМ, ВМС и CMD, имеют общую касательную.
Решение. Впишем в треугольники АВМ и CDM окружности и проведем к ним общую касательную (рис. 3). По свойствам описанного четырехугольника имеем:
_з
проверить, что ( А) 2 > -1 или 125• 9> 1024.
Рис. з
£P+CD = £D + CP, EL + BL = EA+BA.
Вычитая второе равенство из первого, будем иметь:
(AD = BA = CD = BC) LP + CD-BL = AD + СР-ВЛ, LP+CB = CP + BLy
т. е. четырехугольник BLPC является описанным. Что и требовалось.
5. 	Доказать равенство tg у *tg— -tg у =
=V7.
Решение. Рассмотрим уравнение i£l? = 0,
tgcc
в котором перейдем к jc = tga. После несложных преобразований получим:
х6—21 х4 + 35х2—7 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа xk = tg^ly k= 1, ..., 6, а поскольку
i л j Ьл 1 2л j 5л
gT= s~== ~
i Зл j 4л
tg—= —tg—,
то по теореме Виета для многочленов получаем: ( tg y‘tg Y ’ tgT ) 2= _*1*2*3*4*5*6 = 7.
Замечание. Для решения этой задачи не было необходимости выписывать весь многочлен. Достаточно было найти его старший коэффициент и свободный член.
Результат этой задачи является частным случаем общей формулы:
46


tg
tg
2л
2л+1 & 2n-Ь 1
tg
Зэт
2я + 1
= ~\j2,n -j- 1.
Pn + 2 M P« (ЛС) =P„ + , (*) (xPn (X)
6. Все плоские углы при вершине D пирамиды ABCD прямые, а сумма плоских углов при вершине С равна 90°. Найти ее объем, если DA — a, DB = b.
Решение. Обозначим DC — x. Докажем, что х = а-\-Ь. Для этого сделаем развертку пирамиды (рис. 4, а, б). Продолжим D\Ar и D2B' до пересечения в точке Е. Из условия следует, что четырехугольник D\C'E>2 Е является квадратом; ЕА' = х — а, ЕВ' = х — Ь. Записав на основании теоремы Пифагора равенство
а2 + Ь2 = (х — а)2 + (х — Ь)2У
получим х=а-\-Ь.
Таким образом, объем пирамиды равен
±-ab(a + b).
7. Рассмотрим последовательность многочленов Рп{х)> задаваемую равенствами
Рп+\(х) = хРп(х) — Рп-\9 Ро = 0, Pl = l,
и последовательность функций, определяемую равенствами
Qn+i (X) = 4-("Ь‘ • w = !* Q*W = *•
Ул-1(дг)
Доказать, что все Qn{х) являются многочленами, причем Qn (х) = Рп (х) при п^ 1.
Решение. Докажем, что многочлены Рп (*) удовлетворяют соотношению
Р%Х)-Рп+1(х)Рп-1(х)=1
при любом 2. Из этого и совпадения Р,,(х) и Qn (х) при п= 1, 2 будет следовать их совпадение при всех п, поскольку это же соотношение задает и последовательность Q„(х). Поскольку Р2(х)=х, Рз(х)—х2—1, то
Pi(x)-P9(x)-Pi(x) = l.
Пусть теперь при всех k^.n имеет место равенство
РЦх)-Р„+1(х)Рк-1( *)=1.
Докажем справедливость этого равенства и при k = n+ 1. Имеем:
Рис. 4
Рис. 5
Я2+1«-
— Рп- 1 (*) ) — (хРп + 1 (х) — Рп (х) ) Рп (х) =
= P2n(x)-Pn+l(x)Pn-l(x)= 1, что и требовалось.
8. Каждое ребро треугольной пирамиды разделено на п равных частей. Через полученные точки проведены всевозможные плоскости, параллельные граням пирамиды. На сколько частей разделят пирамиду эти плоскости?
Решение. Заметим сначала, что аналогичное построение для треугольника (каждая сторона делится на k частей, и через точки деления проводятся прямые, параллельные сторонам треугольника) делит треугольник на k2 частей (треугольников).
Рассмотрим плоскости, параллельные одной грани пирамиды (рис. 5). Они делят пирамиду на п слоев. Основание пирамиды разделено на п2 треугольников. Каждому из этих треугольников соответствует многогранник разбиения (треугольная пирамида или октаэдр), т. е. в этом нижнем слое будет п2 многогранников. Легко видеть, что в следующем слое число многогранников разбиения равно (п—I)2.
И т. д. Таким образом, пирамида будет разделена на
п2+(п— 1)2 +... + 22 + 1 = "(п +1 частей.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Разбиение квадрата
Известна задача о разбиении квадрата на неповторяющиеся квадраты. Рассмотрим некоторый аналог этой задачи.
Существует ли натуральное N, допускающее разбиение квадрата со стороной N на
п квадратов со стороной 1;
(г» — 1| квадратов со стороной 2;
2 квадрата со стороной |п — 1);
1 квадрат со стороной п! *
Площадь S разбиваемого квадрата равна N2, в то же время она равна сумме площадей всех квадратов: S=12. n+2*(n — 1)-Ь..+(п — 1?2+п2. 1=И*(п+1—1)+ +22(п+1-2)+ .+<п - 1)2(п+1—Сп - 1))+п2(п+1-- -пН(п+1) (12+22+...+(п - 1)*+nV-(13+23+...+(n -
1)3+n3)=(n+1).
n(n + 1) (2n + 1) ^ n(n + 1)
n(n+1)2 (n+2)
12
47


7 I 7
3
3
1
о
3
3
1 -
} —
?-
г
L
-4
С
)
/
5
1
5
7
7
1
7
Таким образом, задача сводится к решению в натуральных числах уравнения
„,2 п(л-{-1)2 (n-f 2)
n = и .
Очевидно, что должно быть квадратным чис-
лом. Кроме этого, заметим, что решение нужно искать среди чисел вида' п=61, n=6/-f*4 (в противном случае дробь не сократится на 12). Наименьшее значение п равно 6, поэтому N=14. На рисунке показано нужное разбиение квадрата со стороной 14. Существует и тривиальное решение при n — N=1. Для поиска других значений п и N нужно решить на множестве натуральных чисел уравнение
n(n-f 2) 2
~12“=т- Преобразовав его к виду
(п+1)2—12т2=1,
получим
nt=-j( (7+2Vi2jk+(7—2Mf2)k) — 1.
Используя эту формулу, можно получить сколько угодно соответствующих пар п и N (см. табл.).
Таблица
п 1
1 6
96
1350
N 1
1 14
2716
526890
Но вопрос о конкретном разбиении найденных квадратов остается пока открытым.
Примечание. Для решения уравнения
(п+1)2— 12т2=1
мы воспользовались теоремой:
Всякое решение уравнения х2—Ау2= 1 при А>0 и ир¬
рациональном имеет вид
хл ~2 ( (хо+УоУА)п-|-(хо—У<п/А)п),
уп( (хо+Уол/А)п—(х0—Уол/А)п)
где |х(); уо| — наименьшее решение этого уравнения.
Так, уравнение
х2 — Зу2= 1
с наименьшим решением хо=7, уо=4 имеет решения вида x=y((7+4VJ)п+(7—4ТГз )"),
У= j- ( (7+4V3 Г - (7-4VT)")
(см.: Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1978. С. 30—33).
Н. 	И. Авилов
(ст. Егорлыкская Ростовской обл.)
ЗАДАЧИ
Напоминаем читателям, что решение алгебраических задач (их 12) и геометрических (их 8) следует присылать в отдельных конвертах с соответствующей пометкой «Алгебра» или «Геометрия». В каждый из них просим вложить две сводки — общую и по соответствующему разделу.
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 1 марта 1992 г. О правилах оформления решений см в № 1 журнала за 1991 г. на с. 79.
Задачи для V—IX классов
3621. Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство
ШАЛАШ=(Ш+А+Л)4
оказалось верным.
С. 	М. Ал ей да ров (Махачкала)
3622. При каких натуральных п число 6"—5П является точным квадратом?
Л. Д. Курляндчик (Санкт-Петербург)
3623. Сумма трех различных степеней некоторого числа с натуральным показателем, сложенная с числом 1992, является степенью того же числа также с натуральным показателем. Найти это число.
П. В. Филевич (Львовская обл., с. Яструбичи)
3624. Найти цифры а, 6, с, dy если
aab2 — ccdbdb .
П. В. Филевич
3625. При каких натуральных п число пА-\-64п является составным?
А. 	А. Алирзаев (Азербайджан, с. Юхары Салахны)
3626. На окружности поставлены 5 чисел, при чем кйждое встречается столько раз, каково следующее за ним число по часовой стрелке. Каковы эти числа?
Г. А. Гальперин (Москва)
3627. Даны прямая I и две точки А и В вне ее. Найти на прямой I такую точку М, для которой АМ2-\-ВМ2 достигает наименьшего значения.
3628. Даны две окружности. Найти геометрическое место середин всевозможных отрезков с концами на этих окружно- ' стях.
48


Задачи для X — XI классов
3629. Для каких «е N уравнение х2-\-ху-{-у2 = 7п имеет решения в натуральных числах, не кратных 7?
Клуб научных знаний «Горизонт» 51-й шк. Киева (рук. Б. Н. Школьник)
3630. Что больше: еХ1л~Х1е или ( ) 6 ?
С. 	М. Алейдаров
3631. Решить уравнение
л/17л:2+7а:+0,“5=13л:24-5х+0,5.
В. 	Г. Сучеван (Кишинев)
3632. Найти положительные корни уравнения
+3*-*2 =*•
Л. Д. Курляндчик
3633. В треугольнике ABC угол А равен 60°. На стороне АВ взята точка К так, что АК равен половине АС. Найти ВК, если расстояние от центра описанной около ABC окружности до стороны АС равно а.
3634. В треугольнике ABC угол А равен 30°. На стороне АВ взята точка К так, что А К равно расстоянию от центра описанной около ABC окружности до АС. Найти ВК, если АС=а.
3635. В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны АВ и ВС равны а. На основании АС взяты точки К и М так, что СКВМ = 90°. Найти MB, если
Ш=Ш+мс'
3636. Докажите, что в правильном 54-угольнике можно выбрать 4 диагонали, не проходящие через его центр, пересекающиеся в одной точке.
Московская математическая олимпиада, 1991 г.
Конкурсные задачи
3637. Доказать, что если
х2... -f-х2 — 1 (*1, •••, Хп^ 0),
то
V X, ^2
,£,т— '
С. 	С. Тасмуратов (Астрахань)
3638. Сколькими способами можно расставить на окружности 1992 натуральных числа таким образом, чтобы каждое из них встречалось столько раз, каково следующее за ним по часовой стрелке?
Г. А. Гальперин
3639. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен г. Через В и С проведена окружность со, касающаяся вписанной в ABC окружности и пересекающая АВ и АС в точках К и М. Окружность радиусом Г\ касается дуги КМ окружности (о и отрезков А К и A M, а окружность радиусом г2 касается дуги ВС (не содержащей К и М) окружности ш, а также отрезка ВС в его середине. Доказать, что имеет место равенство г2=4г\г2.
С а н г а к у
3640. Пусть R, г и d — соответственно радиусы описанной, вписанной сфер треугольной пирамиды и расстояние между их центрами. Доказать, что имеет место неравенство
d2^R2-9r2.
Решение задач, помещенных в № 2 за 1991 г.
3541. Двузначное число разделили на однозначное и к частному прибавили то же самое однозначное число, после чего получилось обращенное к данному двузначное число. Найти все такие двузначные числа.
Решение. Пусть
+с=106 + а,
С
т. е.
10а + 6 "4“ с2 = 1 06с ~|- ас, (10 — с)а + с2 =
= 6 (10с— 1).
При cg{1, 4, 7} правая часть делится на 3, а левая не делится, так что равенство не выполняется.
При с = 2 8а + 4 = 196, так что 6 делится на 4, и поскольку 8а + 4<76, то 6 = 4, а = 9; при с — 3 имеем 296 = 7а + 9<72, откуда 6 е {1, 2}, но равенство 29 = 7а + 9п при целом а не выполняется, а из 58 = 7а + 9 получаем а=7.
При с = 5, с = 6 и с = 8 имеем 5а+ 25 = 496, 4а + 36 = 596, 2а+ 64 = 796, откуда соответственно
496 <70, 596 <72, 796<82,
т. е. 6<1. Но при 6=1 эти равенства не выполняются.
Наконец, при с = 9 имеем а + 81 =896, откуда 6=1, а —8.
Таким образом, искомые числа — 94, 72 и 81.
3542. Можно ли подобрать натуральные числа х и у таким образом, чтобы выполнялось равенство
х2 + ху + у2 = 492?
Решение. Будем искать числа х и у в виде , х=7п, y = 7k (SgN); тогда должно выполняться равенство n2 + nfe + fe2 = 49. Подбором устанавливаем, что оно верно при п = 3 и /г = 5, так что требуемые числа существуют, например 21 и 35.
3543. При каких натуральных п число я4 + 644 является составным?
Решение. В условии задачи трудно исправимая опечатка: вместо 644 должно быть 64п. В заданной форме задача не имеет «разумного» решения.
3544. Какое наименьшее значение имеет сумма а + 6 + с, если а6 + 6с + са=1?
Решение. При с = 0 заданное равенство принимает вид а6= 1, и при а<0 имеем а + 6 =
= а+А <а, так что сумма а + 6 + с может
быть сделана меньше любого числа, т. е. не имеет наименьшего значения.
49


3545. На какую наибольшую степень числа 2 может делиться число п2 — 2м+ 33 для натуральных чисел п>
Решение. Число а = п2 — 2п-\-33 — (п— — 1 )2-f-32 при п — 1 делится на 25. Если же (п — 1)2 + 32 = 64£, то (я—1)2 = 32(2й+1), и поскольку правая часть в разложении на простые множители содержит только 5 множителей 2, то она не может быть точным квадратом. Следовательно, наибольшая степень — это 32.
3546. При каких натуральных п число [((3 + уТУ)/2)”] четно?
Решение. Положим а = (3 + -\/Г7)/2, Ь — = (3_ЛД7)/2, хп = а“ + Ьп. Тогда а и b — корни уравнения х2 — Зл: — 2 = 0 и
xn+2 = an+2 + bn+2 = (an+l+bn+')(a + b)- — ab(an + bn) = 3xn+\+2xn-
Так как х\=3 и х2=13 нечетны, то все числа хп нечетны, и поскольку —1<Ь<0, то при п четном и поэтому
xn=:[xn]—[an-\- bn]=[an]-\- 1,
т. е. [ап] — четное число, а при п нечетном 0<6n< 1, и
Хп = [Хп]=[ап + Ьп]=[ап1
т. е. [ап] — нечетное число.
Таким образом, заданное число четно при четных п.
3547. Дана прямая I и точки А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой I точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом.
Решение. Пусть прямая АВ пересекает / в точке С (рис. 1). Существуют две окружности, проходящие через А и В и касающиеся I. Эти две окружности касаются / в точках М\ и М2, расположенных по разные стороны от С и таких, что СМ2 — СМ2 = СА-СВ. Отсюда следует, в частности, и построение этих точек.
Если луч СА образует острый угол с правой полупрямой / (как на рис. 1), то искомой
Рис. 1
точкой будет точка М\. В самом деле, для всех точек справа от С отрезок АВ виден под углом, не превосходящим а\ (равенство для точки Mi), а для точек слева от С — под углом, не превосходящим а2.Остается доказать, что ai>a2. Но это следует из того, что угол а2 не может быть тупым, а
sina2<sinai (R2>R\).
Если АВА-1, то подходят обе точки Мi и М2.
Если ЛВ||/, то искомой является точка пересечения / и серединного перпендикуляра к АВ.
3548. 	Внутри треугольника имеются две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же порядке) — 4, 5 и 11. Найти радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
Решение. Пусть М\ и М2 — данные точки, О — такая точка, для которой М2 есть середина ОМ 1 (рис. 2). По известному свойству* средней линии трапеции расстояния от точки О до сторон треугольника будут равны соответственно 2Х Х4— 1 = 7, 2-5 —3 = 7, 2-11 — 15 = 7. А поскольку отрезок ОМ\ не может пересекать ни одной стороны треугольника, то О — центр вписанной в данный треугольник окружности, а ее радиус равен 7.
Рис. 2
3549. 	Какие значения принимает выражение
(х2 + у2-л£т+ут)/ху
при положительных х и у?
Решение. Положив y = tx, преобразуем данное выражение:
Л х~ + t2x2—У*4+1V 1 +*2—л/l-W4
=<+!- Ы?+1=‘+т-
- V (<+!) '-2
50


И обозначив 2 = /+—, будем искать множество значений функции
f(z) = z — -\Jz2 — 2 (z>2).
Имеем:
2 _
V^2 —2 л]г2 — 2
<о,
так как д/z2—2<z, и поэтому функция / убывающая.
Кроме того,
lim/(2)= lim -~(z2~2) =0,
+ оо z-^-foo z-f-д/г2 —2
так что
£(/) = (0, Я2)]=(0,2—л/2] -
3550. 	Решить систему неравенств
f sin2 x + sin2 */ + sin2 2, I I cos л: —со
- COS у | + COS X cos у < 0.
Решение. Из второго неравенства следует, что cos х cos */ < 0. Если cos л: cos у <0, то
|cos JC— cos ryj = |cos +|cos i/| >|cos ^ ^ ^|cos X cos y|,
откуда
I cos x — cos у I > Icosxcos у I = —cosxcos у, что противоречит второму неравенству. Следовательно, cosxcosi/ = 0, а тогда и |cosx — —cos у\ =0, т. е. cos x=cos у=0, sin2 х— = sin2 у= 1, и из первого неравенства sin2 2=0. Итак, решения системы:
х = ± +kn, у= у+пя, z = mzi (fe, я, m eZ).
3551. 	Вычислить с точностью до Ю“50 значение выражения
У12V2- 15 + 2V3V4-3.
Решение. Докажем, что данное число равно 3. Обозначив л/2 через а, будем иметь:
д/12а— 15 + 2-\/За2 —3 = 3 2д/3а2 —3 = 3 —Vl2a— 15 о о 12а2—12= 12а — 6 — бд/l 2а — 15 о д/12а — 15 =
= 2а-2а2+1 ^ 12а-15 = 4а2 + 4а4+1-8а3 +
+ 4а —4а2 о 12а— 15 = 4а2 + 8а + 1 — 16 + 4а — 4а2,
а последнее равенство верно.
(Возведение в квадрат здесь законно, так как
3 —yi2a—15>0^yi2a-15<3o j <a<2o
125 о 0 <a <8;
b4
2a —2a2 + 1 > 0 о 2a2 —2a— b<0 ^
^ Ц^<а< 2<(irf)3 ^ 16<(1 +V3)3.
Ho
(УЗ+ 1)3 = ЗУЗ + 9 + ЗУЗ+ 1 =673+ 10> 16.)
3552. При каких натуральных п уравнение х2-\-ху-\-у2 = 7п имеет решения в натуральных числах?
Решение. Если пара (х, у) является решением уравнения х2 + ху-\-у2 = 7пу то пара (7х, 7и) — решением уравнения х2 + ху + у2 = = 7Л+ . Потому достаточно убедиться, что имеют решения уравнения
х2-\-ху+у2 = 7 и х2 + ху + у2 = 49.
Решением первого из них является пара (1, 2), второго — пара (3, 5).
3553. Два прямоугольника — красный и синий — одинакового периметра наложены друг на друга так, что в пересечении образовался восьмиугольник. Доказать, что сумма его красных сторон равна сумме синих.
Решение. Обозначим красные стороны восьмиугольника через а\у а%, #з, cla а синие — соответственно через Ь\, Ьч, 6з, Ьа (рис. 3). Легко видеть теперь, что периметр красного прямоугольника равен
Q>\ “Ь ^2 “4“ #3 “4” #4 Н“ (Ь1 Н" ^2 “Ь Ьз +- 64) (sin CL -j- + cosa), а периметр синего равен Ь\ 62 “4” Ьз -{- b\+(^i “Ь 02 + #з + #4) (sin ос +
“4"cos a).
Из равенства периметров данных прямоугольников следует утверждение задачи.


3554. 	Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром О; К, Ly Му N — точки касания сторон четырехугольника с окружностью (К на АВУ L на ВС, М на CD, N на DA). Доказать, что
LN _ OB-OC + OA-OD КМ ОА-ОВ-\-ОС'OD •
Решение. Обозначим через а, |3, уу б углы вокруг О, как на рис. 4; а + р + у4-б= 180°.
Имеем:
О В • ОС -f- О А • OD О А • ОВ-\-ОС • OD
ной касательной, противоположная вершина — на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Доказать, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.
Решение. Обозначим АВ = ВС = а, АС = = 2by h — высота ДЛВС, проведенная к стороне АС (рис. 5). Тогда, если АК — ху CL = yy то из равенства касательных MN — PQ получим:
х-\-2Ь-\-у = а — х-\-а — у, х-\-у = а — Ь.
Далее имеем:
/?,+/?2=(*+у) ctg-J =(а-6)1±£2р =
= (a-b)l+^ = ^=h,
v ' h/a h
что и требовалось.
■ +
cos р cos у cos a cos б
гг гг
Л
cos a cos р ' cos у cos б _ cos a cos б + cos р cos у _ cos у cos б + cos a cos р
cos (ос + б) + cos(a — б) + cos(p + у) + cos(p — у)
cos(y + б) + cos(v — б) -f cos(a + Р) + cos(a — Р)
cos(a — б) + cos(P — у) .
cos(y — б) + cos(a — р)
а+р—V—б а—Р+У—6
а—р+7—б а—р—Y+6 cos cos ■
= sin (а + Р) = LN sin (a-f6) КМ ’
что и требовалось.
3555. 	Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на од¬
3556. 	Точка О — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, А\у В\у Сi — основания высот. Доказать, что
А02 + ВО2 + СО2 > 4(0 А ? + ОВ2 + ОС?).
Решение. Поскольку расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот, как известно, в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны, то (рис. 6) АО — 2R cos Ау ОВ\ = 2R cos A-cos С, где R — радиус описанной окружности. Записывая аналогичные равенства для других отрезков, приходим к неравенству
cos2 А + cos2 В + cos2 С ^ 4(cos2 А • cos2 В +
+ cos2 В- cos2 C + cos2 С-cos2 А).
Пусть А — наибольший угол треугольника. Обозначим a = cosy4, -i-, x = cos (В — С),
Преобразуем наше неравенство.
cos2В + cos2С = 1 + -y(cos 2 В -f- cos 2С) =
= 1 + cos (В + C)cos(B—С) = 1 —аху
52


2 cos В cos C = x—a,
cos 2 A cos 2В + cos 2С cos 2A = a2 (1 —ax). Следовательно, имеем: a2 + 1 —ax ^ (x—a)2 + 4 a2 (1 —ax), x2—ax{ 1 + 4a*) + 4a2— 1 <0.
Нам достаточно проверить, что получившийся относительно х квадратный трехчлен неположителен при х = 0 и х= В самом деле Р(0) = 4а2—1<0; Я(1) = 1— а—4а3 + 4а2 =
= —а(2а—1)2<0, что и требовалось.
3557. 	Доказать, что если a2-\-b2-\-c2 = 1 (а, 6, с>0), то
а 6 _|_ с ^ 5д/5
^ Т" ’
Решение. При 0<х<1 выполняется неравенство
Это легко доказывается с помощью исследования функции
f(x) = b-tfbx( 1 —*4) / 4 на интервале (0, 1). Тогда
f(a) + f(b) + f(c) > *fV + b2 + с2) = ^ .
3558. Найти все точные квадраты в последовательности с общим членом хп = п2—я+ 41.
Решение. Найдем натуральные числа п и k такие, что п2—я + 41 =£2.
Имеем:
4п2—Ап + 164 = 4/г2, 4/г2— (2лг— 1)2 = 163,
[2k + 2n—\) (2£—2я—1) = 163, и поскольку число 163 — простое, то
2/г + 2/t—1 = 163, 2/г—2лг +1 = 1, откуда k = 41, я = 41.
Следовательно, единственным точным квадратом в данной последовательности является Х4, =412.
3559. Пусть О — вершина трехгранного угла, все плоские углы которого прямые. Луч ОМ образует с ребрами этого угла острые углы а, Р, у. Доказать, что
а) tg a + tg P + tg v^2(ctg a + ctgP + ctgv);
б) tg 2a + tg 2p + tg 2y>4(ctg 2a + ctg 2p + + ctg y) .
Решение. Проведем через M плоскость, перпендикулярную ОМ. Получим в пересечении с трехгранным углом треугольник ABC (рис. 7), в котором М является точкой пересечения высот. Легко видеть, что МВ = ОМ tg р, МВ\ — = OMctgp. Аналогичные равенства имеют место и для других отрезков. Теперь ясно, что неравенство пункта а) сводится к неравенству ЛМ + ВМ + СМ>2(МЛ,+МВ,+МС,), а поскольку МЛ, MS, МС есть расстояния от точки М до сторон треугольника, то последнее нера¬
венство вытекает из известного неравенства Эрдеша — Морделла.
Неравенство пункта а) оказывается эквивалентным неравенству задачи 3556.
3560. 	Найти наименьшее значение периметров всевозможных треугольников, содержащих две касающиеся внешним образом окружности с радиусами R и г.
Решение. При решении мы будем опираться в качестве леммы на утверждение, полученное нами в результате решения задачи 3508 (см.: Математика в школе. 1991. № 4. С. 63). Напомним его. Если внутри угла расположена окружность, к которой проводятся всевозможные касательные, отсекающие треугольник, содержащий эту окружность, то наименьший периметр будет иметь тот треугольник, у которого вневписанная окружность касается данной (рис. 8, а).
Пусть ABC искомый треугольник. Понятно, что каждая из его сторон должна касаться хотя бы одной из окружностей, причем какая-то
Рис. 8


из сторон должна касаться обеих окружностей. В противном случае (если на каждой из сторон по одной точке касания) его периметр можно уменьшить. Для этого ту из окружностей, которая касается лишь одной из сторон треугольника, можно передвинуть внутри этого треугольника таким образом, что она, касаясь другой окружности, перестанет касаться сторон треугольника, а затем можно уменьшить и периметр описанного треугольника.
Пусть теперь стороны искомого треугольника ABC касаются окружностей в четырех точках, как на рис. 8, б. В соответствии с леммой вне- вписанные окружности треугольника ЛВС, соответствующие сторонам АВ и ВС, должны касаться данных окружностей. Если АК — х, LC = y, то AD = AP = х и EF = DL = 2x-\- KL. Аналогично PQ = 2y-\- KL. А поскольку EF — = PQ, то х = у. Нетрудно найти KL = 2 -\[Rr.
Аналогично, если uuv радиусы вневписанных окружностей, то
2y — LG = 2 ^[Ru, 2x = DK = 2 л[гй, т. е. и = х2 /R, V = x2/r.
Из соответствующего подобия имеем:
А К AG х 3* + 2 л[Яг
г и ’ г x^/R *
Таким образом, для х будем иметь уравнение х3—3 Rrx—2(/?г)3/2 = 0, откуда получаем:
х3—4 Rrx + Rrx—2 (Rr)3/2 = О,
х(х2—4 Rr) + Rr(x—2 -\/Rr) =0,
(х—2 ~\[Rr) (х2 + 2 л/Rr x + Rr) = 0y х = 2-yfRr. Следовательно, в этом случае периметр треугольника ABC равен 2AG=16 -\[Rr.
Рассматривая этот случай, мы предполагали, что касательная к окружностям радиусами гни не пересекает окружности радиуса R (считаем, что г</?). Это приводит к условию (r/х хR/AL), откуда
' > г>*-.
2^[Rr 4 -jRr 2
Если (R/3) <г<(/?/2), то искомый треугольник является равнобедренным, его боковые стороны касаются данных окружностей (рис. 8, в). В этом случае его периметр равен
4 R2^fRr (R-r)r ‘
И наконец, если r<(R/3), то искомым является правильный треугольник описанный около большей окружности.
Итак, имеем ответ: если (/?/2)<г</?, то
наименьший периметр равен \6-\fRr; если
(/?/3) <г<(/?/2), то этот периметр равен
4 R2 -JWr R г~
(R—r)r ' если Г<'3’ Т0 пеРиметР равен 6/?уЗ-
Замечания к решениям задач
Задача 3541 большинством читателей решена правиль- но, однако, как правило, с помощью непосредственного перебора всех значений однозначного числа, без каких-либо сокращающих приемов, что приводило иногда к потере части искомых чисел. Такого рода решения целесообразно использовать в классе или в математическом кружке, где каждому можно предложить исследовать свой частный случай.
Мы покажем другой прием сокращения перебора, в основной своей части напоминающий «итерацию», использованную членами Клуба научных знаний «Горизонт»
51-й шк. Киева (рук. Б. Н. Школьник) при решении задачи 3461 (см. № 2 журнала за 1991 г., с. 68).
Именно, записав условие задачи в виде ab = c(ba—c) У заметим, что аф b, так как с(аа — с) для однозначного числа с не делится на 11. Кроме того, сФ 1 — иначе ba — ab— 1, что невозможно. Поэтому число ab не может быть простым.
Пусть 3, 6^3; так как числа 13, 23, 43, 53 и 83 — простые, то имеем:
ba—c^36 — c^z27 =>ab ^81=^а^8=>Ьа^39=>Ьа — с> >31=м2б>93,
и остается проверить числа 95, 96 и 98 — только они имеют делители с^З.
При 3, Ь = 2 проверке подлежат числа 12, 32, 42 и 72, остальные (52, 62 и 82) не имеют делителей 3, а при b = 1 — числа 21, 51 и 81; при этом получаются решения 72 и 81. Наконец, при с —2 следует решить уравнение
10a + & = 2(106-fa) — 4,
здесь получится решение 94.
Задача 3542, так же как и ее обобщение — задача 3552 больших трудностей не вызвала, хотя ошибочные решения встречались. Члены клуба «Горизонт» предложили усиление данной задачи, которое мы также публикуем в этом номере. К сожалению, в условии задачи 3543 вместо 64” было напечатано 64\ и она потеряла смысл. В этом номере мы предлагаем ее в исправленном виде.
Надо отметить, что многие считали решением этой задачи утверждение, что число п4-\-644 — составное при п четном и при n = k3(k^ N). Ясно, что это не является ответом на поставленный вопрос: формулировка такого типа подразумевает, что должны быть найдены все значения л, при которых заданное число составное.
Наиболее опытные из читателей задачу 3544 решали в двух вариантах — в приведенном в журнале и с естественным ограничением a, b, с>0. В первом варианте большинство решений были «слишком общими» и потому громоздкими. Во втором варианте решение также несложно:
(а + b + cf = а2 -+- Ь2 -+- с2 -+- 2{аЪ -f ас -f be) =
= ^((a-bf+(b-cf+(c-af+3,
так что a-J-6-fc^V^» причем равенство достигается при a—b — c— 1 /д/3.
В задаче 3545 легко заметить, что при п— 1 заданное число делится на 25, однако обоснование того, что это и есть искомая наибольшая степень числа 2, в ряде читательских решений некорректно. В условии задачи 3546 некоторые читатели неправильно истолковали квадратные
54


скобки, посчитав их «простыми» скобками, а не знаком целой части, хотя условие, на наш взгляд, не допускает двойного понимания.
В задаче 3549 читатели часто ограничивались констатацией, что заданное выражение больше 0 и не меньше чем 2 — ^2, однако отсюда еще не следует, что промежуток (0, 2 — У2] — это и есть множество его значений.
«Несерьезная» постановка задачи 3551, с одной стороны, направлена против подмены математических рассуждений компьютерными вычислениями, а с другой стороны, подсказывает, что на самом деле заданное число — целое, на чем и основано приведенное выше решение.
Из решения задачи 3557 можно получить, что неравенство в условии можно заменить строгим. С. С. Тасмура- тов из Астрахани привел обобщение задачи, которое мы предлагаем в этом номере журнала.
Геометрическая задача 3547 достаточно известна. К сожалению, почти все, решившие ее, не дали аккуратного обоснования, какую из двух экстремальных точек следует выбрать в качестве искомой. Несмотря на достаточную очевидность нужного выбора, отсутствие такого доказательства является недочетом.
Большинство читателей, решивших задачу 3548, основывались на известной формуле для площади треугольника. Кажется, лишь члены кружка киевской школы № 51 (рук. Б. Н. Школьник) предложили решение, аналогичное нашему. Следует обратить внимание на то, что в этой задаче есть один маленький нюанс, который упустили все, а мы в своем решении опустили. Наверное, следовало бы показать, что такой треугольник существует. Ведь возможны такие числовые значения, при которых искомый радиус также можно найти, однако соответствующий треугольник не существует.
Трудно комментировать задачи 3553 и 3554. Обе они достаточно просты, имеют ярко выраженный вычислительный оттенок. Задача 3553 обобщает аналогичное утверждение для квадратов.
Более геометрична и интересна задача 3555. Утверждаемый в ее условии факт достаточно содержателен. При этом, как показывает наша почта, ее можно решать самыми различными способами, в том числе и вполне прямолинейным счетом.
Весьма трудной оказалась задача 3556. Всего 2 полноценных решения. Здесь споткнулись даже наши признанные лидеры. Попытки использовать для доказательства этого неравенства неравенство Эрдеша — Морделла оказались неудачными. (Мы не будем подробнее объяснять это обстоятельство, поскольку оно мало кому интересно.) Кстати, необходимо заметить, что данное неравенство справедливо отнюдь не для любой точки М треугольника.
Пункт б) задачи 3559 существенно опирался на результат задачи 3556. На это обратили внимание некоторые читатели, причем даже те, кто не решил задачу 3556, поставив нас тем самым в затруднительное положение. Особняком стоит решение, присланное учеником X класса (теперь уже XI?) Павлом Кожевниковым из Калуги. Он предложил интересное доказательство неравенства пункта б), которое мы хотели бы привести.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с диагональю ОМ и ребрами, расположенными на ребрах трехгранного угла или им параллельно. Если а, Ь, с — длины ребер этого параллелепипеда, то тангенсы и котангенсы рассматриваемых углов через них легко выражаются
2 Ь2 + с2
(tga=—^— и т. д.). Пользуясь известным неравенством между средним арифметическим и средним гармоническим, получаем:
4 4 4
>ar~?+ar~¥+W~c1=
7+7
==4<ctg2“+cts2P+cte2v)-
Правда, Павел не обратил внимания на эквивалентность доказанного им неравенства и неравенства задачи 3556. С неравенством пункта а) он также справился и также остроумно.
Немногочисленные решения задачи 3560, на наш взгляд, показали преимущество синтетических методов по сравнению с формально аналитическими. В решениях, в которых читатели пользовались методами анализа, был получен ответ хоть и для основного, но все же одного из трех вариантов.
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин (Москва)
Сводка решений задач по № 2 за 1991 г.
Бедный Г. А. (Украина, Бердичев) — 44, 46—50, 53—55, 57—59. Векилов М. М. (Азербайджан, Казахский р-н) — 44, 45, 50, 58. Габадзе А. И. (Грузия, Кварели)— 41, 42, 44, 45, 48—50, 52, 58. Гаевая А. Е. (Башкирия) — 41, 42, 44, 52. Гусейнов А. (Азербайджан, Джалилабад) — 41, 42, 44, 45, 49. Дьяченко В. И. (Киев) — 42, 44, 45, 52. Егоров П. В. (Рязань) — 41, 42, 45, 47, 48. Ертушов А. Н. (Нижегородская обл.) — 41, 42, 45, 48, 52. Ильясов М. Н. (Казахстан, Павлодар) — 42, 44, 47—50, 52, 53, 57, 58, 59а, 60. Ишме- тов А. А. (Туркмения, Ташаузская обл.) — 41, 42, 44, 50, 57. Кожевников П. (Калуга) — 41, 42, 44—50, 52—55, 57—59. Колтуновская Т. Н., Колтуновский О. А. (Южно-Сахалинск) — 41, 44, 45, 47—50, 54, 55, 58. Корнилов А. В. (Ростов-на-Дону) — 41, 42, 44, 45, 52, 58. Курганов Т. К. (Узбекистан, г. Чирчик) — 41, 42, 44, 45, 47—50, 52, 53, 57, 58. Курило Н. А. (Украина, Харьковская обл.) — 41, 42, 44, 45, 47—50, 52—59. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 41, 42, 44, 45, 49, 50, 52. Мурзуненко Н. П. (Украина, Одесская обл.) — 41, 42, 44, 45, 48, 49. Онищенко Г. П. (Украина, Днепропетровская обл.) — 42, 45, 52, 58. Ручкин Д. Д. (Марий Эл) — 42, 45, 47, 48. Твалавадзе Л. Е. (Грузия) — 41, 48, 49, 52. Ткачев В. Ф. (Воронежская обл.) — 41, 42, 44, 45, 47, 48, 53, 54. Федак И. В. (Украина, Ивано-Франков- ская обл.) — 42, 44—50, 52—55, 57—60. Филевич П. В. (Львовская обл.) — 41, 42, 44—46, 50, 52—55, 58. Филиппова Г. М. (Дагестан, Каспийск) — 41, 42, 44, 45, 47—49, 52, 53. Фридлин Г. М. (Украина, Бердичев) — 41, 42, 44—49^ 52—55, 58. Цакоев Б. М. (Рязанская обл.) — 41, 42, 45, 47,' 48. Цхай Т. Т. (Узбекистан, Андижан) — 41, 42, 44, 47—50,
52—55, 57—59. Чепкасов Г. С. (Краснодар) — 41, 42, 44, 45, 47, 52. Ясинский В. А. (Украина, Винница) — 41, 42, 44—50, 52—55, 57—60.
Математические кружки: 257-й шк. Киева (рук. М. Л. Кобозев) — 41, 42, 44—46, 48—50; 206-й шк. Киева (рук. И. А. Кушнир) — 42, 44, 48, 49, 53, 54; шк. дер. Аделькино Белебеевского р-на (Башкирия, рук, Н. И. Мартынова) —
41, 44, 45, 47; 178-й шк. Киева (рук. Е. М. Рабинович) — 41,
42, 44, 45, 47—50, 52, 55, 58; «XYZ» 144-й шк. Ташкента (рук. Ш. И. Туйчиев) — 41, 44, 45; 9-летней шк. с. Люран Масаллинского р-на (Азербайджан, рук. Ш. Чингиз) — 41, 42, 44, 48, 49, 52, 53; 51-й шк. Киева (рус. Б. Н. Школьник) — 41—50, 52—58, 60.
2^ | +«2„ | *„2 Ь2-\-с2 с2 -\-а2 а2-\-Ь2
i 1 п 1 Г2—
tg a + tg р -f tg y = -(£+£)+<
C'" 4- C" ) 4-
-)
„2 /
55


ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
Таблица
Читатели о журнале
Читатели журнала «Математика в школе» — это прежде всего учителя математики общеобразовательных, специализированных физико-математических школ и классов, профтехучилищ, а также преподаватели техникумов, студенты и преподаватели математических и физико-мате- матических факультетов педагогических институтов. Учитывая немногочисленность преподавателей математики профтехучилищ и техникумов, еще неустановившиеся интересы студентов, в Кирове была сделана попытка выяснить отношение учителей школ и преподавателей методики математики педагогического института к различным разделам и материалам, опубликованным в журнале за 1990 г.
С этой целью было проведено анонимное анкетирование учителей математики школ № 3, 10, 18, 30, 35 (физико- математический лицей) г. Кирова и Кирово-Чепецка. Анкетирование осуществляли доценты М. В. Крутихина, М. Г. Лу скина, старшие преподаватели Л. М. Зеленина, Г. М. Маянская, ассистент Н. А. Попова. Предлагалась следующая анкета.
1. С какого года вы выписываете и читаете журнал «Математика в школе»?
2. Какие разделы журнала вызывают ваш интерес?
3. Статьи из каких разделов журнала оказывают вам практическую помощь?
4. Какие разделы, по вашему мнению, не следовало бы оставлять в журнале?
6. 	Если можете, укажите 2—3 из наиболее понравившихся вам материалов, опубликованных в журнале за 1990 г.
Результаты ответов на 1-й вопрос следующие: участие в анкетировании приняли учителя, выписывающие журнал с 60-х гг. (21 %), с 70-х гг. (35 %), только в 80-е гг. (21 %). 23 % анкетируемых таких сведений не сообщили. Можно сказать, что среди заполнивших анкеты оказались в основном учителя, выписывающие и читающие журнал не менее трех лет, т. е. имеющие опыт преподавания, оценки и использования в своей практике материалов, публикуемых в журнале.
Итоги ответов учителей указанных школ на 2-й, 3-й вопросы анкеты приводятся ниже в таблице в процентах к общему числу заполнивших анкеты.
Надо отметить, что не все графы анкеты были заполнены каждым респондентом. В таблицу включены только определенные высказывания.
Анализ результатов анкетирования приводит к следующим заключениям.
Наибольшей популярностью пользуются разделы 6, 11, 12, 14, 7, 13, 3, 2, 5. Некоторые учителя особо
выделяют разделы 6, 7, 14.
Наименьший интерес среди опрошенных вызвали разделы 8, 4, 1, 19, 18. Вполне понятно, что у учителей городских школ слаб интерес к обучению математике в профтехучилищах, сельской школе. Ясно, что раздел 19, где освещаются в основном проведенные научно-методи- ческие конференции и семинары, интересен не всем школьным учителям математики. Немногие читают передовые статьи журнала, что можно объяснить их официозностью. Но вот о том, почему мал интерес анкетируемых к разделам 15, 16, редколлегии стоит серьезно задуматься. Видимо, эти разделы следует сделать более интересными. Не ясно также, почему недостаточно по¬
№
п/п
Разделы журнала
Положительные ответы на вопросы анкеты
Отрицательные ответы на вопросы анкеты
Счи¬
тают
нуж¬
ным
исклю¬
2
3
2
3
чить
1
Передовые статьи и официальные документы
26
26
30
22
26
2
Математика в современной школе
74
52
—
4
9
3
Проблемы совершенствования математического образования
74
48
4
—
4
4
Преподавание математики в сельской школе
13
9
30
13
13
5
Проблемы преподавания геометрии в школе
74
74
—
—
—
6
Из опыта работы
100
83
—
—
—
7
Консультации
83
74
—
—
—
8
Преподавателям профтехучилищ
—
9
43
9
26
9
Проблемы и суждения
52
30
9
9
4
10
Конкурсные учебники
61
21
4
9
13
11
Вступительные экзамены в вузы
87
91
—
—
—
12
Внеклассная работа
87
65
-
—
—
13
Занимательная страница
65
57
—
-
—
14
Задачи
87
69
4
4
—
15
Деятели науки и просвещения
35
35
13
9
9
16
Математический календарь
35
26
13
4
9
17
За рубежом
43
17
9
13
13
18
Критика и библиография
35
9
13
13
9
19
Хроника
30
4
21
13
21
пулярен раздел 9, во многом посвященный в 1990 г. вопросам дифференциации обучения математике. Эти вопросы должны бы заинтересовать учителей, так как уже сейчас могут найти практическое применение в процессе обучения математике. Анкетирование показало, что мало кто из опрошенных использует в практическом обучении конкурсные учебники и публикации о них в журнале.
Вообще следует отметить, что даже интересующие учителей разделы журнала не всегда находят применение в практике обучения математике (см., например, разделы 2, 3, 10, 12, 14). Об этом также следует
подумать редколлегии.
Исключительно осторожны были учителя в суждениях о том, следует ли продолжать публикацию всех разделов, содержащихся в журналах за 1990 г., или следует какие-то из них исключить. Ни одного раздела не предложили исключить 30 % опрошенных. Лишь за исключение разделов 1, 8 и 19 высказались 21—26 % учителей. А в одной из анкет было приписано: «Все разделы существенны в том или ином применении».
Очень немногие учителя сочли возможным указать понравившиеся публикации. Среди таких оказались следующие статьи: 1) Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич J1. И. Материалы для работы в IX классе с углубленным изучением математики (№ 3); 2) Ворошилова Л. П. Оригинальная форма устного зачета (№ 6); 3) Иванова Т. А. Как подготовить уроки-практикумы (№ 6); 4) Крайзман М. Л. Решение задач различными способами (№ 1); 5) Стерлигова Л. Л. Урок-КВН (№ 4); 6) Харитонов Б. Ф. Методика повторения приемов и методов решения геометрических задач (№ 4).
56


Аналогичное анкетирование проводилось, как уже было сказано выше, и среди преподавателей методики математики Кировского ГПИ им. В. И. Ленина. Понимая, что для широкого круга читателей результаты такого анкетирования могут оказаться мало интересными, ограничусь краткой информацией о них. Различен подход к материалам журнала у учителей математики школ и преподавателей педвузов. Последние отдают предпочтение публикациям, представляющим научно-методиче- ский интерес. Видимо, поэтому единогласно положительно высказались преподаватели по разделам 3, 6, 7, 9, 18. 75 % опрошенных считают, что можно не освещать в журнале разделы 1, 8; 75 % одобрительно отозвались о разделах 2, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19. В ответах по другим разделам единодушия не оказалось.
В заключение анализа анкет должен сказать, что разделяю мнение большинства респондентов о разделах 1 и 8. Дело в том, что некоторые материалы по методике преподавания математики в профтехучилищах публикуются в журнале «Профтехобразование». Может быть, передать этому журналу весь раздел 8 «Математики в школе»?
Автор понимает, что проведенное анкетирование не дает полностью объективных сведений. Оно имеет вероятностный характер. К тому же следовало бы добавить, по крайней мере, еще один вопрос: «Какие вопросы вы предложили бы включить в содержание журнала дополнительно?»
Е. С. Канин (г. Киров)
Выписываю журнал ежегодно. Он в моей работе — надежная опора. Номер 3 за 1988 г. на вес золота. Там помещено планирование учебного материала, так необходимое учителю, поскольку программ в последние годы нет. Не мешало бы опубликовать в журнале и программу для факультативных занятий (такая программа была давно в журнале), материалы для кружковой работы.
Еще одна просьба. Нельзя ли на страницах журнала помещать хотя бы отдельные таблицы, копировать диапозитивы, давать описание других средств наглядности. Меня лично интересует прежде всего «Стереометрия».
3. П. Шурховецкая (г. Харьков)
Я — студентка математического факультета Мордовского государственного университета. Журнал стала выписывать недавно. Но мне этого было достаточно, чтобы убедиться в том, как он полезен и необходим учителям математики.
Меня очень интересует проблема, которая на страницах журнала освещается в последнее время довольно слабо. Это организация коллективной деятельности на уроках математики. Если можно, материалы о ней поместите в ближайших номерах журнала. Напишите, в чем ее преимущества и недостатки, какие учителя работают над ней и каковы их результаты, а также укажите соответствующую литературу.
И еще, на страницах журнала постоянно публикуется литература для учителей. Но как ее достать? Я думаю, вы поможете мне и многим другим начинающим учителям найти ответ на этот вопрос.
О. 	В. Левина (г. Рузаевка)
Необходимо переиздавать
Хочу обратить ваше внимание на вопрос, который меня очень волнует. Это все усиливающаяся ностальгия по учебникам, задачникам и методической литературе прошлых лет.
Сейчас, когда учителю предоставлено право выбора учебных пособий для работы, наверное, не только я одна хотела бы вспомнить хорошо забытое старое. Возможно, мудрые учителя сохранили литературу прошлых лет и пользуются ею сейчас.
С моей точки зрения, необходимо переиздавать в неизменном виде старые учебники, задачники, методические пособия, чтобы они были доступны каждому желающему.
Представляю себе, что в новом учебном году придется изучать с ребятами геометрию по А. В. Погорелову — оторопь берет: ни доступной детям теории, ни задач. Это не только мое мнение, но и мнение многих учителей, по крайней мере, в нашем городе.
Читаю сейчас «Методику преподавания арифметики в 5—6 классах» Я. Ф. Чекмарева (Учпедгиз, 1962) и радуюсь: просто, ясно, последовательно. По такой методике любого можно выучить.
О. Н. Шляхта (г. Кемерово)
По моему мнению, журнал был бы гораздо полезней, если бы в нем содержалось больше статей по обмену опытом, с интересными идеями; помещались в помощь учителю дидактические материалы; давалось описание самодельных приборов, приспособлений, например электрифицированных табло, числовых шкал.
Хорошо бы ввести новый раздел «Полезные советы». Подобно журналу «Квант», печатать «Задачник для младших школьников» и «Задачник для учеников средних классов», вообще материалы для учащихся средней школы. Ведь не все ученики имеют возможность выписать «Квант», а «Математику в школе» учитель всегда может им предложить. Тем более что книг по математике для учащихся выпускается очень мало. В Москве они есть, но в «глубинке» их нет!
В. 	Н. Сенчина (г. Сокаль Львовской обл.)
57


Математический
календарь
на 1991/92 учебный год
Январь
1 января — 160 лет со дня рождения русского математика, механика и государственного деятеля Ивана Алексеевича Вышнеградского (1832— 1898). Родился в Вышнем Волочке. Окончил Главный педагогический институт (1851). Ученик М. В. Остроградского. Преподавал в Михайловской артиллерийской академии (с 1862 г.— профессор), Петербургском технологическом институте (с 1875 г.— директор), в 1887—1892 гг.— министр финансов. Математические труды относятся к теории аналитических функций. В 1868 г. Д. К. Максвеллом была поставлена проблема, позволяющая судить, в каком случае все нули данного многочлена лежат в левой полуплоскости, т. е. их действительные части не положительны (критерий устойчивости). В 1877 г. Э. Дж. Раус дал ее аналитическое решение, но оно было забыто. В 1895 г. А. Гурвиц предложил новое ее решение, и теперь проблему называют проблемой Рауса — Гур- вица. Одновременно с Раусом Вышнеградский предложил оригинальный геометрический метод решения этой проблемы. Он изложил его на примере многочлена 3-й степени с действительными коэффициентами. Вышне- градского можно считать одним из основоположников теории автоматического регулирования. Занимался организацией высшего технического образования в России (см.: 6СЭ. 2-е и 3-е изд.).
1 шоаря — 80 лет со дня рождения советского математика Бориса Владимировича Гнеденко (см.: Математика в школе. 1962. № 1; 1972. № 1; Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Украинская советская энциклопедия. 2-е изд.).
5 января — 80 лет со дня рождения советского математика Михаила Григорьевича Слободянского (см.: Математика в школе. 1971. № 6).
13 яизаря — 90 лет со дня рождения австрийского математика Карла Мен- гера. Родился в Вене. Окончил Венский университет (1924). Некоторое время работал в Амстердамском университете, с 1937 г.— профессор Венского университета, с 1946 г.— профессор Иллинойского технического института (США). Основные труды по топологии (алгебры Менгера* аксиома Менгера в общей топологии, компоненты Менгера в алгебраической топологии), метрическим методам про¬
ективной геометрии, евклидовой и неевклидовой геометриям. Известна так называемая кривая Менгера — пример линии, содержащей топологический образ любой линии. Занимался также теорией групп и основаниями математики (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математическая энциклопедия. Т. 3). 16 января — 160 лет со дня рождения русского математика и механика Василия Григорьевича Имшенецко- го (1832—1892) (см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Кочев В. А. Академик В. Г. Имшенецкий: Жизнь и творческое наследие. Свердловск, 1953; Вестник высшей школы. 1957. № 8; Математика в школе. 1962. №1).
19 января — 80 лет со дня рождения советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича (1912—1986). Лауреат Нобелевской премии по экономике (см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Успехи математических наук. 1962. 17. № 4; 1972. 27. № 3; 1982. 37. № 3; Математика в школе. 1971. № 6).
20 января — 100 лет со дня рождения японского математика Иосимо- то Окады (1892—1957). Профессор университета в Токио. Основные труды по теории суммируемости бесконечных рядов (теорема Окады о сумми- руемости рядов), полиномиальным аппроксимациям в теории функций.
23 января — 130 лет со дня рождения немецкого математика Давида Гильберта (1862—1943) (см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Рид К. Гильберт. М., 1977; Математическая энциклопедия. Т. 1; Квант.
1990. 	№ 10; Математика в школе. 1980. № 2).
27 января — 160 лет со дня рождения английского математика и логика Чарлза Людовиджа Доджсона (1832— 1898). Роился в Дербери. Окончил Оксфордский университет, работал там же. Основные труды по математической логике, алгебре, алгебраической геометрии и развлекательной математике. Ему принадлежит первое написанное доказательство теоремы Кроне- кера — Капелли (1867). Написал ряд руководств по математике. Мировую известность приобрели его книги для детей «Алиса й стране чудес» и «В Зазеркалье», изданные под псевдонимом Льюиса Кэрролла (см.: Математика в школе. 1981. № 6; Демурова Н. Н. Льюис Кэрролл; Очерк жизни и творчества. М., 1979).
Февраль
1 февраля — 90 лет со дня_ рождения югославского математика Йована Ка¬
ра маты (1902—1967). Родился в Загребе. С 1930 г.— профессор в Белграде, с 1951 г.— профессор и директор Математического института при Женевском университете. Основные труды по теории рядов Фурье. Внес значительный вклад в развитие математической статистики (неравенство Караматы) (см.: Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биографический словарь-справочник. Киев, 1987).
2 февраля — 470 лет со дня рождения итальянского математика Людо- вико Феррари (1522—1565) (cm.j Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математическая
энциклопедия. Т. 5; Математика в школе. 1966. № 6).
5 феврале — 150 лет со дня рождения русского математика Юлиана Васильевича Сохоцкого (1842—1927) (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математическая энциклопедия. Т. 5; Математика в школе. 1981. № 6).
16 февраля — 100 лет со дня рождения советского математика-педагога Павла Афанасьевича Ларичева (1892—1963) (см.: Математика в школе. 1952. № 3; 1962. № 2; 1963. № 3).
25 февраля — 90 лет со дня рождения японского математика Кенито Шо- ды (1902—1977). Профессор университета в Осаке. Основные труды по алгебре. Оказал большое влияние на изучение алгебры в Японии. Премия Японской АН (1949).
27 февраля — 90 лет со дня рождения советского механика и математика Леонида Николаевича Сретенского (1902—1973) (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математика в школе. 1971. № 6).
28 февраля — 440 лет со дня рождения швейцарского механика, часового мастера, астронома и математика Иоста Б ю р г и (1552—1632). Родился в Лихтенштейне. Не получил систематического образования. В 1579—1603 гг. работал в Касселе придворным часовщиком, в 1603—1622 гг.— совместно с И. Кеплером в Праге. Астрономические вычисления привели Бюрги к изобретению логарифмов (независимо от Дж. Непера). Вместе с Кеплером ввел запятую для отделения целой части от дробной в десятичной дроби (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математика в школе. 1962. № 1).
28 февраля — 80 лет со дня рождения советского математика Ибрагима Ибишевича Ибрагимова (см.: Математика в школе. 1971. N9 6).
А. 	И. Бородин, М. А. Бородин
(г. Донецк)
58


Неморарий — выдающийся ученый XIII в.
А. 	В. Дорофеева
(Москва)
О жизни Иордана Неморария достоверно ничего не известно. Имеется ряд весьма убедительных соображений, согласно которым он является Иорданом Саксонским, избранным в Париже в 1222 г. главой влиятельного монашеского ордена доминиканцев. Иордан Саксонский родился в Германии около 1185 г., умер в Париже в 1237 г.
Начиная с VI в.— эпохи заката греческой математики — и до XII в. наука в Европе находилась в состоянии застоя. Тринадцатый век — ранняя весна европейской науки, замечательное время пробуждения культуры, предвестник эпохи Возрождения.
В это время в Западной Европе появляются два выдающихся математика: в Италии Леонардо Пизанский, известный также под именем Фибоначчи, а во Франции Иордан Неморарий. Они были современниками, но работали независимо друг от друга и создали замечательные, оригинальные труды, оказавшие глубокое влияние на развитие западноевропейской математики.
Основной труд Леонардо Пизанского («Книга об абаке») написан в 1202 г. Примерно на 25 лет позже написана «Арифметика, изложенная в десяти книгах» Иордана Неморария. Она впервые была напечатана в Париже в 1496 г., а до этого распространялась в рукописном виде.
Иордан Неморарий исследует арифметические свойства целых положительных чисел. Он делит их на простые и составные, четные и нечетные, рассматривает квадратные и кубические числа, подобно тому как это делали математики Древней Греции. Однако в «Арифметике» имеется очень важная особенность, которая выделила этот труд из многих других: в нем систематически использовались буквы вместо произвольных чисел.
В Древней Греции математики про- изводили арифметические операции над отрезками и записывали их в виде ab, где а — начало, Ь — конец отрезка. Тех же обозначений придерживался и Леонардо Пизанский, хотя он уже не вычерчивал в тексте отрезков, а говорил о величинах, обозначая их, как и Евклид, двумя буквами. Например, он писал: «Если числа ab и Ьс делятся
на 9, то их сумма ас разделится на 9». Иногда Леонардо Пизанский обозначал величину одной буквой.
Иордан Неморарий в «Арифметике» не изображал отрезки, а работал с числами и всегда использовал для изображения числа одну букву. Таким образом, он сделал важный шаг вперед по сравнению с Леонардо Пизанским, положив начало буквенному исчислению.
Однако у Неморария не было знака равенства, знаков для вычитания, умножения, деления; только сумму двух чисел а и b он записывал как ab. Поэтому приходилось вводить все новые буквы. Так, выражение
2аЬ/с (1)
у него записывалось так: умножим а на Ь, получим d; умножим d на 2, получим е; разделим е на с, получим f.
Из-за такого нагромождения букв чрезвычайно затрудняется чтение математического текста, связь между буквами становится неясной и буквенные обозначения теряют свое главное преимущество — наглядность. В современной символике краткая запись (1) сразу показывает, какие действия нужно произвести над данными задачи, чтобы получить искомую величину. Напротив, у Неморария конечный результат выражается буквой, которой не было в начале.
Таким образом, заменяя числа буквами, Иордан Неморарий еще не производил над ними буквенных вычислений, и все же его работа является огромным шагом вперед по сравнению с трудами современных ему математиков.
Развитие ремесел, рост городов, расширение торговли в XIII в', стимулировали рост потребности общества в арифметике. Создавались многочисленные коммерческие школы. Их запросы учитывались в другой книге Неморария — «Разъяснения магистра Иордана об алгоритме». Она посвящалась изложению практической арифметики. В ней было впервые явно сформулировано правило, на которое ссылались впоследствии многие математики
значениях записывается так: — : —
acd:c
b ‘ d
НУ
ь ' р-
Автор «Разъяснений» переносил на деление правило умножения дробей, когда утверждал, что при делении следует делить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Но так как оба эти деления, бообще говоря, нацело невозможны, то Неморарий предложил провести деление по правилу, которое в современных обо¬
= Что касается формулировки
а с ad ,
— —, то она (в словесной фор-
b а Ьс
ме) была известна в Китае и Индии,
но в Европе впервые встречается лишь в 1544 г. в «Полной арифметике» М. Штифеля.
Итак, Иордан Неморарий учил читателя выполнять действия с дробями, производить торговые расчеты. В то же время он считал, что математика не может ограничиваться практической арифметикой, а должна быть основой науки. Поэтому он предлагал наряду с арифметикой развивать и преподавать алгебру. Ему принадлежит обширный алгебраический трактат «О данных числах», в котором так же, как и в «Арифметике», широко использованы буквенные обозначения. Трактат содержит решения 115 задач, сводящихся к линейным и квадратным уравнениям и их системам.
В первой книге трактата собраны задачи на системы с двумя неизвестными. Базовыми являются три задачи, которые приводят к следующим системам:
.(х+у—а, I х+у—а, г х—у=а.
\ *—У=Ь; ) ху=Ь, \ ху=Ь.
Естественно, автор не мог еще записывать системы так, как здесь, а правила решения систем формулировал словес-
Задачи второй книги сводятся к системам линейных уравнений, вплоть до систем с четырьмя неизвестными. В третьей книге рассмотрены задачи на пропорции, а в четвертой дано правило решения квадратных уравнений методом дополнения до полного квадрата.
В книге «О данных числах» Иордан Неморарий оставил в стороне ка- кие-либо приложения к геометрии или к коммерческой арифметике. Можно сказать, что это университетский курс абстрактной алгебры XIII в., где задачи решаются в общем виде, а затем для разъяснения приводятся числовые примеры.
Итак, алгебра Неморария в методическом отношении является существенным шагом вперед по сравнению с современной ему математикой стран ислама, в которых эта наука развивалась весьма интенсивно, но не получила буквенных обозначений, ограничивалась только уравнениями с числовыми коэффициентами, а все правила формулировала только словами.
У Иордана Неморария нет особого термина и знака для искомой величины. Неизвестное число он называет
59


numerus в отличие от данного числа, которое у него называется numerus da- tus. Он использует термин radix (корень) в применении к квадратным корням и термин quadratum для обозначения квадрата неизвестной величины.
Совершенствование алгебраической символики красной нитью проходило через все учебники алгебры XIV— XVI вв. Книги Иордана Неморария пользовались в это время огромной популярностью. На них ссылались авторы многих сочинений по арифметике и алгебре: Николай Орем, Иоганн Видман, Лука Пачоли, Георг Пейер- бах, Михаэль Штифель и другие.
ЗА РУБЕЖОМ
От редакции. В нашей прессе неоднократно публиковалась общая информация о предпринимаемых администрацией США мерах по совершенствованию в стране естественно-математического образования, ставящих своей целью выход его качественных показателей на первое место* в мире к 2000 г. В педагогической печати этот вопрос также получил достаточно подробное освещение. С наибольшей полнотой он рассмотрен в статьях У. Файн- берга «Демократия и реформа системы образования в США» (Советская педагогика. 1991. № 6) и 3. А. Мальковой «Развитие образования в мире. На каком же мы месте?» (Коммунист. 1991. № 8). Поэтому для наших читателей представит несомненный интерес информация о том, что же конкретно делается в США для преодоления трудностей, возникших в области образования, как оценивает математическая общественность США меры, принятые в стране за прошедшие годы после известного выступления Дж. Буша.
Публикуемая ниже статья профессора государственного университета штата Огайо Ю. И. Гольдберга посвящена именно этой проблеме.
Профессор Ю. И. Гольдберг представил в распоряжение редакции журнала подготовленные им рукописные материалы (общим объемом свыше 60 с. текста на русском и частично на английском языках). Кроме того, на научном семинаре математического факультета Московского педагогического государственного университета Ю. И. Гольдберг прочитал доклад по проблеме математического образования в США, который вызвал большой интерес слушателей. Докладчик дал исчерпывающие ответы на многочисленные вопросы, возникшие в ходе его выступления.
По этим материалам и результатам личной беседы с профессором Ю. И. Гольдбергом статью подготовила к публикации с согласия автора Н. А. Курдюмова.
К вопросу о школьном математическом образовании в США
Ю. И. Гольдберг (США, г. Марион)
/При всей большой значимости вопросов совершенствования содержания школьного математического образования, создания полноценных учебников ключевой проблемой, без решения которой невозможно улучшить математическое образование Нации, является проблема подготовки учи¬
также несколько обширных сочинений по геометрии, астрономии и механике. Его монография «О треугольниках» состоит из четырех книг. В ней содержатся теоремы о решении треугольников, о вычислении их медиан, центров тяжестей и др. В трактате «О сфере» рассмотрены свойства стереографической проекции. К механике относятся сочинения «О тяжестях», «Книга о пропорции тяжестей», «Элементы доказательств, касающихся тяжестей».
Выдающиеся для своего времени труды Иордана Неморария оказали значительное влияние на дальнейшее развитие математики и механики.
телей математики. Именно ей и посвящено основное содержание публикуемой статьи.
Советского читателя необходимо предупредить о большом разнообразии путей, которые существуют в США для получения как среднего, так и высшего образования. Подготовка школьных учителей осуществлялась до недавнего времени в основном в педагогических колледжах, значительная часть которых функционировала при университетах. В настоящее время само существование этих учебных заведений оказывается под вопросом.
Начнем с того, что идея руководящей и направляющей роли педагога в учебном процессе и понятие педагогической технологии остались до наших дней, к сожалению, чужды школе США по вине, прежде всего, педагогических колледжей.
Представляется несомненным, что в педагогических колледжах преподаватели курсов по специальности должны объяснить будущим учителям, что учебной работой школьников надо активно, заботливо и гуманно руководить. В противном случае дети бредут в ложных направлениях, преследуя ложные цели. Это ожесточает их, отвращает от учения, от школы, разрушает их психику и мораль, выбрасывает на улицу, в преступный мир.
Будущие учителя каждый день, на каждом занятии должны видеть, каким образом их учитель — профессор колледжа — пытается убедиться, что все они правильно поняли то, что было рассмотрено на предыдущем занятии. Их профессор должен объяснить им, что убедиться в этом совершенно необходимо, поскольку каждое занятие имеет ценность лишь в том случае, если оно оказалось полезным для всех учащихся. Учащиеся сами не в состоянии судить, насколько правильно они усвоили содержание предыдущего занятия и насколько успешно выполнили очередное домашнее задание. Учитель, и только учитель, должен с добротой и самоотверженностью помогать им в этом.
Преподаватель должен подготовить свои вопросы таким образом, чтобы ответы на них показали степень правильности и глубину понимания всеми предыдущего материала, необходимого для овладения новой темой. Если степень правильности и глубина понимания недостаточны для работы на сегодняшнем занятии, то у педагога есть две возможности. Он должен либо попытаться тут же на уроке усовершенствовать знания учащихся, либо отказаться от задуманного плана. В последнем случае задуманный план откладывается до тех пор, пока он сможет принести слушателям пользу, но не вред.
В ходе занятий и в процессе обсуждения этих занятий со своими профессорами будущие учителя должны освоить также технологию гуманного обобщения и расширения знаний учащихся (приобретенных ранее) с помощью естественного, логичного расширения, развития старых, известных учащимся операций.
Преподаватель педагогического колледжа должен показывать будущим учителям, каким образом реализуется еще одно великое педагогическое умение — умение учителя до¬
В течение XIII—XVI вв. европейские ученые развили алгебраическую символику, ввели знаки для операций и знак равенства, в результате чего словесные правила были заменены формулами, а общие алгебраические выражения стали сами предметом вычислений. В эпоху Возрождения в трудах Ф. Виета этот процесс получил определенное завершение. А его начало, несомненно, положено трудами замечательного ученого XIII в. Иордана Неморария, который, заменив произвольные числа буквами, первый внес в математику идею буквенного исчисления.
Перу этого ученого принадлежит
60


биться постоянного внимания учащихся на уроке. Он обязан обсуждать с будущими учителями, каким образом ему удается избежать неполного, частичного или искаженного восприятия новых понятий, идей и структур, что лично он предпринимает для достижения этой цели. Он обязан обращать внимание будущих учителей на то, что большинство учащихся не в состоянии самостоятельно избежать такого ущербного восприятия, что педагог должен постоянно помогать им в этом. Он словом и делом убеждает будущих учителей также в том, что одной из профессиональных обязанностей педагога является такая технология каждого урока, при которой каждый новый элемент знаний слагается из элементов, являющихся элементами личного опыта обучаемого: интеллектуального и чувственного.
Одной из целей педагога является достижение полных ответов учащихся, а также доказательных утверждений, устных и письменных. Долгие и долгие годы учащиеся самостоятельно не могут судить о качестве своих ответов. Чтобы избежать тщательной и многолетней работы над совершенствованием утверждений учащихся, творцы американского образования просто запретили учителям выслушивать эти утверждения: так легче для обеих сторон. Но чтобы эти надоедливые и дотошные чада не лезли сами со своими открытиями, учебные заведения стараются просто избавляться от них как можно чаще. Ежегодно в школе и каждые 2—3 месяца в колледже они бросают детей от курса к курсу, несчастных, беспомощных, ничего не успевших в курсе ни понять, ни усвоить.
Профессора педагогических колледжей обязаны учить учителей не только умению добиваться от учащихся грамотных и доказательных утверждений. Они обязаны учить будущих учителей тому, как отстаивать свою правоту и каким образом следует учить детей умению отстаивать свою правоту.
Преподаватель педагогического колледжа должен тщательно изучать не только результат выполнения того или иного упражнения обучаемыми, но и весь процесс выполнения упражнений. Больше того, школьный учитель должен быть научен (в том числе и на собственном опыте обучения в колледже) тому, как добиваться, чтобы ученик сумел объяснить, почему он пошел именно по этому пути, но не по иному; каковы достоинства и недостатки каждого из них; какие мысли руководили учеником при переходе к следующему этапу выполнения упражнения и т. д. и т. п.
В круг обязанностей преподавателя вуза и школьного учителя следует включить и такую работу: выделение самых трудных и самых опасных участков в заданиях (классных и домашних), предлагаемых учащимся. Участки эти иногда следует с классом обсуждать, иногда выполнять с четкими и подробными обоснованиями, иногда — без обоснований, оставляя обоснования для самостоятельной работы учащихся. Но в любом случае задание должно оставаться и достаточно трудным для учащихся, и доступным для них при условии затраты времени, труда и усилий.
Следует особо отметить, что мы не имеем в виду слияния курсов математики и методики математики, физики и методики физики и т. д. Но мы имеем в виду такое преподавание курсов, наиболее близко связанных со школьными предметами, при котором обучающему и обучаемым была бы ясна философия и технология педагогического процесса. И то, и другое, т. е. и философия, и технология, в конечном итоге должны быть явно сформулированы. Такое формулирование может быть осуществлено в процессе обсуждения занятий. Это обсуждение должно осуществляться преподавателем и обучаемыми будущими учителями. Обсуждение это должно быть составной частью исследований, темой каждого из которых является один урюк. Такие исследования мы будем называть мини-иссле- дованиями. Если в педагогическом колледже в них примут эффективное участие преподаватели, администраторы колледжей и будущие учителя, то в школе они естественно
станут эффективной формой взаимообучения учителей и школьных администраторов.
Насколько нам известно, нигде в мире сегодня подобное не происходит, ибо в этом нет необходимости, поскольку нигде в мире, кроме как в США, средняя школа не демонстрирует так ярко отсутствие педагогического процесса, извергая из себя массы совершенно безграмотных людей.
Остановимся более подробно на организации образования в США и особенностях содержания образования.
Тестирование вместо обучения — единственное содержание всей системы образования в современной Америке. Эта система разрушила и продолжает разрушать жизнь миллионов учителей и учеников. Преподавателей высшей школы никто никогда ничему не учил, только все их тестировали. Они никого никогда не учили — только всех тестировали. Не обучаемые, но лишь тестируемые ими учителя тестируют своих учащихся. И это происходит сегодня по всей стране, на всех этапах обучения.
Средняя школа в США ныне раздроблена на школы, в которых обучение идет либо до VIII класса (элементарные школы), либо до VI—IX (неполные средние), либо до X—XII (полные средние школы), в различных сочетаниях. При такой системе ни у учеников, ни у учителей не появляется мысль вникнуть в существо проблем друг друга. Учителя и ученики не работают вместе 13 лет, но каждые
3—4 года освобождают друг друга от своего присутствия.
Американские учителя подчас работают в помещениях, напоминающих кинозал, поскольку наполняемость классов огромная — по 40—50 учащихся. Им приходится вести по 5—6 уроков в день, хотя все прекрасно понимают, что ни один супермен не может дать в день больше трех полноценных уроков. Такая нагрузка не видана в странах цивилизованного мира. Заметим, что в мире только две страны, кроме США, имеют свои оригинальные, ими* созданные и успешно функционирующие системы массового, не элитарного образования — это СССР и Япония. В этих странах недельная нагрузка учителей уроками составляет 18 и 15 ч. соответственно.
Администраторам школ практически запрещено оказывать всякую методическую помощь учителю, ибо администраторов никто не учил тому, как это делать. И учить не собираются. Администраторы школ вынуждены заниматься денежными делами или хозяйственными заботами, например, утечкой воды и газа, ремонтом канализации и т. д.
В школе преподаются очень большие по объему, бедные по содержанию и нереальные по срокам изучения курсы, которые названы естественно-математическими, являясь таковыми лишь формально. Но ни у учителей, ни у учеников, ни у родителей не хватает смелости во весь голос заявить, что подобные курсы — это издевательство над учениками и над учителями. За исключением малого числа богом одаренных учащихся, дети остаются подавленными после попыток изучения этих курсов. Ни один учитель, какого бы крупного калибра он ни был, не в состоянии втиснуть за один год в головы детей все идеи и понятия физики, химии, геометрии, алгебры, биологии, тригонометрии, математического анализа. С помощью таких курсов противники массового образования оставляют преднамеренно миллионы американских детей вне современного общества и вне цивилизации. В самом деле, нельзя успешно обучать, например, математике, имея в школьном учебном плане только небольшой одногодичный обязательный курс геометрии и только два одногодичных курса по алгебре и началам математического анализа.
Об американской высшей школе можно сказать, что сегодня она не дает достаточного для профессиональной деятельности образования никому: ни учителям, ни специалистам в гуманитарных и точных науках. Их профессиональное обучение складывается по-разному. Некоторые из выпускников колледжей получают затем прекрасное образование в профессиональных школах, где их учат практически заново силами лучших специалистов в данной профессии в течение 3—4 лет. Только после этого они начи-
61


на ют далёко не самостоятельную профессиональную деятельность. Впоследствии они становятся гордыми членами гордых профессий: врачами, юристами и др. Другие
выпускники колледжей идут в аспирантуру и становятся учеными. Третьи остаются безграмотными, беспомощными и ожесточенными навсегда. Часть из них быстренько нахватывают несколько педагогических курсов и получают лицензию на преподавание в школе. Они становятся такими же учителями, как и все остальные сегодняшние учителя.
Сегодняшних американских учителей никто никогда ничему не учил ни в школе, ни в педагогических колледжах. А приходя в школу, они получают классы, которые с первого же года обучения непригодны для успешного педагогического процесса. Непригодны по вине политиков, ибо они никак не решатся создать классы в младших группах детского сада, чтобы выравнивать подготовку детей и в последующие годы формировать из них более или менее однородные классы.
Учитель принуждается любыми средствами привлекать к своим курсам учащихся. А если его уроки начинают напоминать клоунаду и представление — это никого не волнует. Главное — держать детей в школе. Иначе эти дети оказываются на улице, начинают употреблять алкоголь и наркотики, балуются оружием. А педагоги обязаны этих детей приструнить, в особенности тех, кто имеет намерение тест не пройти, из курса выпасть, в колледж не поступать. Пусть тесты ничего не стоят, но учитель обязан «пропустить» через них как можно больше учащихся. Пусть колледжи становятся западней для поступающих туда, но учитель опять-таки должен «толкать» в них учащихся.
Это не массовое образование. Это массовый обман, совершаемый 100 лет людьми, глубоко противящимися идее массового образования. Необходимо срочно исправлять создавшееся положение.
Мы не предлагаем что-либо ломать. Мы призываем терпеливо и самоотверженно продолжать совершенствовать все звенья системы образования. Перед учителями и администраторами школ немедленно следует устранить все препятствия для плодотворной работы. Каждое из этих препятствий всесильно. Но без одновременного их устранения говорить об улучшении народного образования — это безответственно, демагогично, непрофессионально, нечестно и просто несерьезно.
Во-первых, мы предлагаем немедленно увеличить зарплату всем учителям в 1,5—2 раза, сократить недельную нагрузку учителей в 2 раза и довести количество учащихся в классе до 25—30 человек.
Во-вторых, в каждой школе должен быть один класс или даже два класса для детей из младших групп детского сада. Одних детей нужно готовить к обучению по программам «нулевки», например, в течение года. Но будут и такие дети, которых придется готовить два года. Будут и такие, которым «прекиндергартен классы»1 окажутся вовсе ненужными. В такие классы следует принимать ребят из тех семей, которые не способны сами приготовить своих детей к современной школе. Существующая практика перемешивания и перемалывания в однородную массу детей, поступивших в школу с вопиюще разной подготовкой, жестока по отношению и к учителям, и к более подготовленным детям, и к менее подготовленным. Создание «прекиндергартен классов» явилось бы одним из самых простых и гуманных средств устранения жестокости и безнадежности всей системы народного образования.
В-третьих, необходимо постепенно слить все типы школ в единую школу. В каждой школе должны быть все классы от «нулевки» до XII. Все эти элементарные школы, неполные средние школы, старшие средние школы как административные и территориальные единицы должны быть
1 Слово «прекиндергартен» означает буквально «предшествование детскому саду». Учащиеся прекиндергартен классов по возрасту могли бы соответствовать у нас ребятам из младших и средних групп детского сада (Прим. ред.)
стремительно ликвидированы (не без вынужденных исключений).
В-четвертых, следует немедленно, не пропуская ни единого года, увеличить в школьных учебных планах сроки каждого из обязательных естественно-математических курсов в 2—3 раза.
В-пятых, следует создать в педагогических колледжах отдельные факультеты по каждому школьному учебному предмету. Предложить преподавателям этих факультетов полуторные оклады по сравнению с нынешними, чтобы привлечь лучших ученых и педагогов страны. Увеличить в колледжах количество часов на изучение предмета, который будущий учитель собирается преподавать в школе, до 1000—2000.
В-шестых, рычагом перестройки всей системы образования мы предлагаем сделать мини-исследования, используя их вначале в педагогическом колледже, затем в школе. Мини-исследования — это не столько продолжение образования, сколько форма и содержание деятельности школы. Это форма учебного процесса, включающего в себя урок как основной элемент. Это создание и обсуждение урока, его развитие в умах и мечтах учителей в применении к конкретному классу. В педагогических колледжах целесообразно практиковать составление конспектов уроков, организовывать практику будущих учителей в специальных школах-лабораториях.
При подготовке учителей надо учесть опыт профессиональных учебных заведений, чьи выпускники имеют хорошие математические знания. Но в отличие от профессии бухгалтера, врача, юриста и т. д. в педагогической профессии важно не только, какими знаниями, умениями и навыками обладает учитель, начинающий свою профессиональную деятельность. Важно и не только, каков уровень его творческих и познавательных способностей в этот момент. Чрезвычайно важно то, каков был процесс приобретения и того, и другого, и пятого, и шестого, какие педагогические идеи усвоены в ходе этого процесса, какие общечеловеческие качества и моральные принципы воспитаны в учителе в результате этого процесса. Именно эти принципы, идеи, эту педагогическую и общечеловеческую философию учитель приносит в школу и даже независимо от своей воли внушает своим ученикам.
Однако проходящая сейчас в США реформа народного образования руководима людьми, которые ни о чем подобном не думают, ничего подобного не понимают. По своей иррациональности и бесперспективности осуществляемая «реформа образования имени Холмса и Карнеги»2 далеко превосходит недостатки имеющейся системы образования. Эта реформа предполагает вовсе закрыть педагогические колледжи, заменив их Национальным центром по определению квалификации учителей. Очевидно, что эти центры будут тестировать учителей с новым ожесточением.
Политики и руководители педагогических колледжей, пытаясь создать профессионального учителя, не только снова взваливают все трудности этого дела на плечи самого учителя (это было бы полбеды), но ставят на пути создания такого учителя новые препятствия. По- прежнему, пройдя все муки школьных бесчеловечных курсов и выйдя безграмотным из школы, молодой человек должен пройти все муки вузовских бесчеловечных курсов и выйти безграмотным из колледжа.
Затем он, оставаясь безграмотным, должен преодолевать новые препятствия: сдавать тесты, тесты и тесты с помощью все более совершенных тестирующих центров и ра¬
2 Название реформы связано с именами двух видных американских деятелей, один из которых был известным профессором, а другой — бизнесменом и меценатом, покровительствовавшим не только искусству, но и образованию. Разработали эту реформу политические деятели и руководители ведущих педагогических колледжей, которые в статье именуются «группой имени Холмса и Карнеги». (Прим. авт.)
62


ботать одновременно в качестве учителя школы под руководством ментора, учителя-мастера. Учителя-мастера должны появиться раньше, чем просто хорошие, знающие учителя, причем во всех школах страны одновременно (лес должен появиться раньше, чем вырастут отдельные деревья).
Под надзором гипотетически существующего мастера- самоучки должен стать образованным учитель, заведомо ничего не получивший ни в школе, ни в колледже. Но этот мастер может оказаться еще более безграмотным, чем обучаемый учитель (мы не видим, откуда у него появится образование). К тому же он может быть жестоким и бездарным, привлеченным в школу только властью над молодыми людьми и возможностью зарабатывать 72 тыс. долларов в год. Такой ментор будет до предела ожесточать молодых людей, а они свое ожесточение непременно перенесут на детей, особенно на слабых учащихся, ибо те будут мешать школам и учителям получать дополнительные деньги за малое количество учащихся, бросивших курсы (какими бы развлекательными и пустыми эти курсы учитель ни сделал для заманивания детей). Слабые дети будут также мешать учителю и школе получать деньги за большое количество прошедших через тесты, какими бы фактографическими, рассчитанными только на механическую память эти тесты ни были.
Слабые учащиеся (часто это дети из бедных семей) будут еще более презираемы, чем сегодня, еще более ненавидимы учителями и школами еще и потому, что с каждым годом все меньше и меньше таких детей будут поступать в колледж, за что школы будут лишаться денег и престижа. Происходить это будет потому, что требования к поступающим в колледж нарастают, а педагогический процесс в них стремительно угасает.
Сильные мира сего не хотят и не могут учить учителей. Много раз пробовали — ничего не получилось. Пусть юристы и врачи ковыряются 3—4 года в профессиональной школе. Это их дело. Учителя не будут. Вместо обучения профессии молодые педагоги будут обучаться ненависти друг к другу, поскольку им будут платить в зависимости от того, насколько они «обскакали» своих коллег, насколько больше учеников «протолкнули» через тесты, насколько больше «втолкнули» в колледж, насколько меньше потеряли в курсе. Любой ценой, любыми средствами.
Настроения некоторых новаторов от педагогики можно было бы выразить следующим образом: «Все перестроим! Теперь школы будут друг с другом соревноваться: кто больше заманит к себе учеников — тот получит больше денег! Вот начнется жизнь веселая у учеников и у учителей! В одной школе 3 джаза, в другой — 23! В одной 3 футбольные команды, в другой — 43! Соревнуйся, получай монету! А если ученик не способен джазы и футбол оценить, хочет физику изучать, да, может быть, и иностранные языки — езжай в Европу, в Японию. Весь мир перед нами открыт!»
Вместо естественной для руководителей педагогических колледжей роли инженеров, создателей школы они взяли на себя роль медленных разрушителей педагогического образования. Они даже дают твердое расписание этого разрушения, прикрываясь светлым именем покойного доктора Генри У. Холмса. В расписание этого процесса они включают обучение в колледжах, которое, по их же словам, никакого образования не дает. Затем идут два месяца летних мытарств для выпускников колледжей: экзамены, требования, снова экзамены. Так удобно многоуважаемым главам педагогических колледжей. Обучать учителей они не собираются, ибо не знают, как это делается.
Учителя учителей пытаются вырваться из тисков этой системы. Но они пытаются это сделать средствами той же системы, что в принципе невозможно. Чтобы перевернуть систему образования США, нужно найти точку опоры вне ее. Такой точкой мы избираем тщательный обучающий процесс, организованный для учителей в педагогическом колледже.
Следует не закрывать педагогические колледжи, а сделать их обучающими. Следует превратить их в посильные
для будущих учителей учебные заведения с многолетними и глубокими курсами. Эти курсы будут в то же время педагогическими моделями курсов, которые учитель затем сможет успешно вести в школе.
Никаких новых тестирований ни будущих, ни настоящих учителей! Никаких новых жертв ни от тех, ни от других. Но квалифицированное, тщательное обучение их. Преподаватель педагогического колледжа должен профессионально учить будущего учителя предмету, который тот станет преподавать в школе, и одновременно технологии этого предмета.
Если бы группы Холмса и Карнеги понимали эти азбучные истины педагогического образования, то они бы не затеяли по существу антипедагогическую революцию в США. Они бы не затеяли окончательное разрушение того, что считается массовым образованием, спекулируя на педагогическом невежестве Великой нации под громкими лозунгами борьбы за профессионального учителя, без какого бы то ни было представления, о том, что такое профессиональный учитель.
Мы предлагаем мобилизировать усилия газет, журналов, радио, ТВ на то, чтобы увеличить зарплату учителей, продлить сроки изучения каждого из курсов естественно-математических наук, строго контролировать качество учебников для школ и колледжей. Одновременно необходимо вменить в обязанность директоров школ организацию мини-исследований, а при педагогических колледжах открыть семинары и курсы, в работе которых непременно должны участвовать администраторы школ и главы вузовских факультетов. При авторитетных педагогических колледжах, действующих в рамках ведущих университетов страны, нужно организовать постоянные заочные и очные курсы усовершенствования педагогической квалификации для преподавателей педагогических колледжей.
В течение еще многих лет — пока Нация будет чувствовать в этом необходимость-— она вынуждена будет самым тщательным образом обучать в колледжах будущих учителей самым элементарным вещам (а не только тестировать), поскольку в школе их никто этим вещам не обучал. И будет некому до тех пор, пока Америка не научит учителей тому, что это значит: обучать и каким образом это следует делать.
В педагогическом колледже нужно воспитать в молодых людях глубокую педагогическую философию и научить тщательно разработанной педагогической технологии. Нация не располагает сегодня никакой реальной силой, кроме преподавателей и администраторов колледжей и университетов, кто Способен это сделать. Они должны отмечать лучших из лучших учителей, давая им возможность получить дополнительное образование в аспирантуре. Такие учителя смогут потом стать учителями-менторами, директорами и завучами школ.
Допускать к педагогической профессии нужно с помощью строгого отбора. Только предлагаемый отбор должен резко отличаться от тестирований, проводимых группами имени Холмса и Карнеги.
Дело в том, что для подготовки будущего учителя не столько важно, сколько помнит окончивший школу. Важно только, сумеет ли педагогический колледж с помощью гуманных, обучающих, длительных, тщательно преподаваемых курсов обучать будущих гуманных учителей. Тем студентам, которые не смогут успешно учиться в колледже, придется его покинуть. Остальных колледж будет продолжать гуманно и тщательно учить, предъявляя к ним реально выполнимые требования.
Что же предлагают группы имени Холмса и Карнеги? Не видя, каким образом можно сделать педагогические колледжи достаточно эффективными, они объявляют их закрытыми. А подготовку учителей перекладывают на самих учителей и на шкалы, в которых пока профессиональных учителей нет и они в принципе не могут появиться из ничего. «Каждая школа должна стать педагогическим колледжем, а педагогические колледжи следует закрыть» — Вот так! Ничему не наученный в вузе специалист должен за лето перед началом работы в школе сильно поду¬
63


читься в какой-то области знаний. А что он делал 4 года в вузе? Неужели за 4 года ему не сумели дать профессиональных знаний и собираются это срочно сделать за 2— 3 летних месяца? Разве нельзя было раньше отобрать среди студентов колледжа подходящих кандидатов и начать подучивать их учительскому ремеслу? Сколько лет руководители педагогических колледжей собираются готовить специалистов-учителей? — Нуль? — Да, нуль. Попробовали подготовить за 4 года, ничего не сумели сделать для Нации путного. В учителя люди идти перестали, а те, которые идут, ничего в колледже не получают, из школ бегут опрометью. Вот и решили руководители народного образования от этого дела отойти, а будущим учителям велели: «Учитесь, становитесь учителями, приходите к нам экзамены сдавать. Мы систему экзаменов усовершенствуем: Национальный центр устроим».
Можно уже сегодня начать успешную подготовку учителей с помощью имеющихся лучших профессоров и лучших учителей, сконцентрировав и тех и других в укрупненных педагогических колледжах и организовав их взаимное обучение друг с другом и с будущими учителями. Так поступают другие профессионалы, т. е. объединяют усилия лучших ученых и лучших специалистов-практиков. Этим последним следует поручить и все элементарные курсы, ибо их сегодня безуспешно ведут люди, не имеющие квалификации.
Что осуществимо сегодня? Возможно ли поднять подготовку специалистов во всех областях знаний во всех 3300 университетах и колледжах США до уровня, достаточного для профессиональной подготовки учителя? Это не осуществимо без коренной перестройки структуры всех факультетов гуманитарных и естественных наук. Но вполне возможно наладить работу укрупненных педагогических колледжей, поскольку это зависит только от людей, ведающих подготовкой учителей.
Повышение зарплаты учителей должно быть сохранено на том же принципе, на котором оно осуществляется сегодня. Мы имеем в виду: выслугу лет; наличие ученой степени; количество специальных курсов, освоенных в вузе, если учитель еще не имеет ученой степени.
Разнообразия в квалификации учителей никто не пытается избежать: это невозможно. Но это не вызывает глубокого антагонизма в учительской среде, ибо все учителя пользуются равными правами во взаимоотношениях друг с другом и исполняют одни и те же обязанности. (Исключение представляют только учителя, являющиеся одновременно администраторами.) Вражда между учителями часто возникает от субъективной оценки их в высшей степени сложного творческого труда. Надо оградить учителей от административного произвола. Учительский труд не может и не должен быть оцениваем и направляем ни одним человеком в мире даже самой высокой квалификации, но только коллективом коллег, только творческими мини-исследованиями.
Почему группы имени Холмса и Карнеги не пытаются наладить работу вузов теми же методами, которые они предлагают для построения эффективной средней школы? Почему деканы и проректоры не пытаются ввести оплату труда профессоров в зависимости от «student performance, teacher performance and productivity» (студенческой успеваемости, учительского таланта и продуктивности)? Почему бы не учредить « A National Board for Professional Teaching standards»3 для оценивания профессионального мастерства преподавателей колледжей? Почему бы не учредить в колледжах должности «Lead Teachers» (ведущих учителей), которые держали бы в своих руках недостаточно энергичных преподавателей и могли бы «...to guide and influence the activity of others» (направлять активность других и воздействовать на нее)?
3 Национальный центр по определению профессиональной пригодности учителей.
Мы знаем, почему нет таких попыток. Потому, что профессора колледжей просто не станут выслушивать идеи, заведомо разрушительные для учебного заведения. Преподаватели высшей школы обладают большой независимостью. Нация верит своим профессорам, поэтому они не потерпят мелочной опеки. В школе же экспериментировать можно, поскольку с мнением школьных учителей не принято считаться. Они люди не того калибра. Их мнением пренебрегают, если они осмелятся его высказать.
Группы Холмса и Карнеги с поразительной лихорадочностью спешат закрыть педагогические колледжи. Они пытаются сделать это в первую очередь в исследовательских университетах. Они неспроста ищут опору именно в исследовательских университетах.
Во-первых, они сами представляют 100 ведущих американских университетов, включая Колумбийский университет, Гарвард, Стэнфорд и др. Поэтому они имеют на них влияние и надеются на их поддержку.
Во-вторых, именно исследовательские университеты больше других учебных заведений в США пренебрегают всяким педагогическим процессом. Они очень охотно откажутся от надоевших им педагогических колледжей, где еще тлеет огонек педагогической деятельности.
В-третьих, если педагогические колледжи будут ликвидированы, учителями, по их замыслу, станут лишь те, кто получит предварительно специальность на факультетах точных и гуманитарных наук. Факультеты увеличат таким образом количество своих студентов и будут получать еще больше денег, чем сегодня, больше пожертвований, славы, но меньше педагогических обязанностей.
Теперь возникают вопросы гораздо более важные: зачем понадобилось группам Холмса и Карнеги лишить учителей тех крох педагогического образования, которые они получали в педагогических колледжах? Зачем нужно разделять всех учителей на слуг и господ? Зачем натравливать учителей на слабых учеников и друг на друга? Причин для всего этого много. Вот основные из них.
Первая причина. Оставаться в стороне от всеамериканского движения за реформу системы образования им далее нельзя. Протест родителей, политических и общественных деятелей с каждым годом стремительно нарастает. Но в то же время стремительно падают наборы в педагогические колледжи.
Вторая причина. Закрывая возможность получения высшего образования в педагогических колледжах, они хотят доказать независимость подготовки учителей от педагогических колледжей, которыми они руководить не в состоянии.
Третья причина. Тот факт, что умерщвление педагогических колледжей и школ приведет к моральному, интеллектуальному и физическому разрушению нескольких поколений Нации, выбросит на улицы миллионы отверженных, деятелям группы имени Холмса и Карнеги, возможно, не понятен. Возможно, он им безразличен, ибо его последствия наступят через несколько десятилетий, когда эти деятели будут уже не у дел.
Четвертая причина. Группы имени Холмса и Карнеги спекулируют на успешной деятельности американских профессиональных школ, чтобы найти себе союзников. Эта спекуляция им понадобилась для того, чтобы заявить всей Нации: мы, политики и руководители образования, не только не виновны в распаде и деградации всей системы американского образования. Но мы герои, мы подвижники, мы его спасители. При этом они совершенно не понимают, что между профессией юриста и учителя, врача и учителя, ветеринара и учителя, бухгалтера и учителя просто нет ничего общего. Нет ничего общего между этими профессиями и в плане подготовки профессионалов, и в плане организации их профессиональной деятельности.
Пятая причина. Группы имени Холмса и Карнеги намереваются сделать спасителями системы образования американские исследовательские университеты, которые в течение века внесли немалый вклад как в создание современной науки, так и в деградацию американской высшей
64


школы, принесенной в жертву исследовательской деятельности для NATO, NAVY, NASA и т. д.4. За это они снискали заслуженную славу и заслуженный позор в веках. Сейчас они решили светлой памятью Холмса и Карнеги этот позор смыть.
Шестая причина. Среди преподавателей педагогики нет группы, тесно сплоченной на почве общего принципа и объединенной глубокими знаниями в видением перспектив развития теории и практики образования. Нет ядра, имеющего в обществе солидный вес и место, понимающего свои задачи и видящего вернейший путь, ведущий к разрешению этих задач. Иными словами, в силу беспрецедентной в мировой истории раздробленности системы образования учителя, школы, колледжи и университеты забыли о своей общей задаче — обучение и воспитание американского ребенка. Они создали свой внутренний мир. Этот мир ничего общего не имеет с воспитанием ученика, учителя, с построением урока и учебного процесса в целом.
Система образования страны — это действующая модель Нации, ее зеркальное отражение, как и Нация является отражением своей системы образования. Нация в течение двух веков создавала и совершенствовала свою модель, постоянно совершенствуясь тем самым с помощью этой модели. Так было, так есть и так будет.
Нация создала все условия для всестороннего самостоятельного развития личности, но при этом не предприняла достаточных усилий для формирования этой личности. В Америке считается, что если человеку систематически помогать, то он не научится ставить перед собой правильной цели и, значит, не сумеет продвигаться в верном направлении. Каждый индивидуум воспринимается таким, каков он есть, и никто не считает себя обязанным тянуть вверх человека, который сам к этому не стремится. Все равно, дескать, он рано или поздно окажется банкротом.
Такая точка зрения упускает самую сущность учительской профессии, призванной совершенствовать индивидуум, будить в нем бескорыстное стремление к знаниям, воспитывать высокие идеалы. Основной заботой учителя остается только тестирование ученика, поскольку ни побуждать его к учению, ни даже особенно помогать ученику учитель не обязан. Если ученик нуждается в помощи, он должен заявить об этом сам. Обращение к родителям ученика со стороны школы практикуется редко, поскольку учеба — личное дело каждого человека. От учащихся не ждут ничего одинакового ни в учебе, ни в поведении. Каждая школа предлагает своим воспитанникам множество учебных курсов на выбор. Этим обеспечивается возможность выходцам из бедных семей, желающим учиться, сделать первый шаг к серьезной образованности. Но если человеку недостает силы воли или интереса к систематическим занятиям, он может окончить школу по весьма облегченной программе. Большинство подростков далеко не сразу обнаруживают в себе достаточную волю или серьезные интересы к той или иной области знаний, а направлять их никто не собирается. Уделом такой молодежи остается «облегченная программа», последствия которой упоминались выше.
Недостатки американской массовой школы давно вызывают беспокойство общественности США. Все чаще высказывается мысль, что если не принять срочных мер, то американским школам будут становиться все более чужды поэзия и романтика, высокие мысли и идеи, высокая мораль. Они будут становиться школами развлекательства и завлекательства, школами жестокости, подчинения слат бых сильными.
Положением в массовой школе недоволен и бизнес, поскольку в разных отраслях американской промышленности и хозяйства все более ощущается нехватка работников среднего и младшего звеньев, достаточно хорошо подготовленных в общекультурном отношении.
4 NATO — Организация Североатлантического договора (НАТО). Navy — военно-морские силы. NASA — Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства (НАСА).
От редакции. Статья М. А. Чошанова получена в текущей редакционной почте. По своей тематике она яви-* лась неожиданным дополнением к опубликованной выше статье Ю. И. Гольдберга и своеобразным подтверждением ряда сделанных в ней заключений.
Тот факт, что в США постановка математического образования в профессиональных учебных заведениях по своему уровню значительно выше того, что имеет место в массовой общеобразовательной школе, должен стать для нас предметом особого внимания и действенных выводов.
Математическое образование в профессиональных колледжах США
М. ▲. Чошанов (Казань)
В последние годы внимание к профессиональному образованию в США заметно усилилось. Тому есть свои причины. Исследования американских социологов показали, что Соединенные Штаты недолго были страной с наивысшей производительностью труда. Сейчас США значительно уступают по этому показателю Японии, ФРГ, ряду других стран и затерялись где-то во второй десятке. Изучение факторов, влияющих на повышение производительности труда, показало, что она зависит на 15 % от оборудования, на 36 % от знания производства, на 42 % от образования и на 7 % от всего остального. Как видим, образование является основным фактором повышения производительности труда.
Основными учебными заведениями, обеспечивающими систему профессионального образования в Соединенных Штатах, являются технические, младшие (junior) и общинные (community) колледжи.
Одной из главных проблем профессионального образования является проблема оптимального сочетания общей и специальной подготовки рабочих и специалистов. Решение этой проблемы осуществляется выделением трех циклов дисциплин: обязательные общеобразовательные предметы, предметы по выбору, специальные дисциплины. В профессиональных колледжах математика является одним из ведущих обязательных предметов. Если в СССР вопрос о включении математики в число обязательных предметов в профессиональной школе (средних профтехучилищах, техникумах) ставился под сомнение, то в профессиональной школе США этот вопрос решен более чем однозначно в пользу математики. Особая роль математики заключается также и в том, что при подготовке студентов по многим специальностям (как индустриального, так и аграрного характера) она входит не только в число обязательных, но и профилирующих дисциплин. Например, при подготовке специалистов по робототехнике (помощник инженера или техник) изучается обязательный курс «Алгебра для колледжей» и курс «Тригонометрия для колледжей» включенный в цикл специальных дисциплин. В преподавании математики колледж видит следующие общие цели:
— обучение математическим методам и их применению на практике;
— обучение математическим знаниям и умениям, необходимым в профессиональной деятельности;
— развитие у студентов критического мышления средствами математики;
— формирование умений анализировать, сравнивать, интерпретировать;
— формирование умений и способностей, необходимых для осуществления непрерывного математического образования.
Программы курсов математики для колледжей разрабатываются, как правило, специалистами университетов
65


и исследовательских центров. Программы формируются поэтапно: сначала выделяется и описывается профессиональная специфика. Затем учитываются особенности математической подготовки студентов, прежде всего уровень их начальной математической подготовки, который определяется по системе тестов «CLAST» (College Level Academic Skills Test — Тест по определению уровня развития учебных умений для учащихся колледжей). Далее конкретизируются профессиональные задачи, требующие того или иного математического аппарата. Следующий этап построения программ — компоновка содержания курса. При этом особое внимание уделяется пооперационному сравнению профессиональных и математических действий и вычленению обобщенных действий. Затем продумываются и составляются тесты для начального, промежуточного и конечного замеров уровня математической обученности. Далее на основе разработанной программы создают проект учебного пособия (руководства) и методические рекомендации по его внедрению и использованию в учебном процессе. Только после экспериментальной проверки этих материалов рассматривается вопрос о широком внедрении нового пособия в колледжах различных штатов в качестве учебника.
В зависимости от уровня математической подготовки абитуриентов, направления специализации и т. д. ассортимент курсов по математике, предлагаемый каким-либо колледжам для населения региона, общины, может достигать 15—20 наименований: начиная с простейших курсов «Базовая математика» и кончая сложными разделами высшей математики, например «Дифференциальные уравнения».
В данной статье на примере Флоридского общинного колледжа в г. Джэксонвилле мы попытаемся раскрыть особенности математического образования в американской профессиональной школе.
В целом математические курсы в колледже можно условно подразделить на три группы:
1) базовые курсы (подготовительные или пропедевтические),
2) общие курсы,
3) дифференцированные курсы.
Базовые курсы предназначены, прежде всего, тем абитуриентам, которые имеют уровень математической подготовки, недостаточный для изучения общих и дифференцированных курсов математики. Такие учащиеся выявляются по результатам специального тестирования (CLAST) при поступлении в колледж. Несмотря на то что абитуриент не сдает вступительного теста, он зачисляется в колледж при выполнении финансового условия — внесении платы за обучение. (Это условие обязательно для всех: двухгодичное обучение в колледже может обойтись в 5—7 тыс. долларов в год.) Из абитуриентов, не сдавших вступительного теста, формируются отдельные группы для ликвидации пробелов в базовых математических знаниях и умениях. После успешного прохождения базового курса (он занимает 3—4 месяца) студенты могут продолжать изучение общего или дифференцированного курса математики согласно общей программе подготовки по выбранной специальности.
В качестве примера пропедевтического курса математики приведем программу курса «Базовая математика» (Basic Mathematics), рассчитанную на 60 ч. Этот курс разработан для студентов, у которых не сформированы в достаточной степени вычислительные умения, необходимые для изучения основных математических курсов, в частности элементарной алгебры. Он включает в качестве основной своей задачи ликвидацию пробелов у студентов в выполнении элементарных действий с целыми числами и дробями, в том числе и десятичными, в вычислении процентов, проведении элементарных измерений и т. п. Студенты, неудачно завершившие обучение по этому курсу, могут быть допущены к пересдаче теста. По результатам этого перетестирования студент либо допускается к изучению основных математических курсов, либо получает дополнительное обуче¬
ние по тем разделам школьного курса, которые соответствуют пробелам студента.
Учебная программа курса «Базовая математика» (60 ч)
I. Действия над целыми числами (8 ч)
A. Введение: чтение и запись чисел и числовых выражений; округление целых чисел; свойства чисел.
B. Элементарные действия над целыми числами: сложение, вычитание, умножение, деление.
C. Порядок действий над целыми числами.
D. Понятие степени.
E. Приложения.
II. Действия над дробями (12 ч)
A. Сравнение дробей.
B. Равенство дробей.
C. Элементарные действия над дробями: сложение, вычитание, умножение, деление..
D. Приложения.
III. Действия над десятичными дробями (10 ч)
A. Введение: чтение и запись десятичных дробей, округление десятичных дробей, обращение десятичных дробей в обыкновенные, сравнение десятичных дробей.
B. Элементарные действия над десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение, деление.
C. Приложения.
IV. Проценты (15 ч)
A. Нахождение процента от числа (целого или дробного).
B. Три типа задач на проценты: нахождение процента от числа, числа по его проценту, нахождение процентного отношения двух чисел.
C. Приложения: повышение (понижение) процентных ставок, комиссионные проценты, процент учета.
V. Введение в алгебру (15 ч)
A. Элементарные действия над буквенными выражениями.
B. Порядок выполнения действий.
C. Уравнения с одной переменной.
D. Алгебраические выражения и формулы.
К программе «Базовая математика» прилагается следующий факультативный раздел:
VI. Измерения (5 ч)
A. Английская система мер.
B. Геометрические измерения: измерение периметров, определение длины окружности, вычисление площадей.
C. Статистические измерения: среднее арифметическое, медиана, мода, их графическая интерпретация.
D. Метрические системы для измерения: длин, масс, площадей и т. п.
E. Приложения.
Общие курсы математики имеют обязательный характер. Они предназначаются для обеспечения общего уровня математической подготовки, не требующего углубленного изучения математики. Могут быть различия в общей ориентации курсов: алгебраический, логический, геометрический, аналитический, а также их комбинировании.
Для иллюстрации приведем программы общих курсов «Алгебра для колледжей» и «Математика для колледжей».
Программа курса «Алгебра для колледжей» (45 ч)
I. Введение (6 ч)
A. Действительные числа и их свойства.
B. Рациональные выражения.
C. Полиномы.
D. Комплексные числа.
II. Степени и корни (6 ч)
A. Рациональные степени.
B. Корни и радикалы.
C. Прикладные задачи.
III. Алгебраические уравнения и неравенства (6 ч)
A. Линейные уравнения, уравнения с модулем.
B. Квадратные уравнения.
C. Неравенства: линейные, квадратные, неравенства, содержащие знак модуля.
D. Приложения: геометрический смысл решения уравнений и неравенств, структура и логика алгебры.
66


IV. Отображения и функции (6 ч)
A. Определения и свойства отображений.
B. Функция: виды функций, специальные функции.
C. Алгебра функций.
D. Обратные функции.
V. Графики функций (6 ч)
A. Декартова система координат.
B. Графики элементарных функций.
C. Парабола, эллипс, гипербола и их графики.
D. Графики специальных функций.
VI. Показательная и логарифмическая функции (6 ч)
A. Показательная функция.
B. Логарифмическая функция.
C. Натуральный логарифм и его свойства.
D. Показательные и логарифмические уравнения.
E. Приложения.
VII. Системы уравнений и неравенств (6 ч)
A. Системы линейных уравнений.
B. Системы линейных неравенств.
C. Нелинейные системы.
VIII. Геометрические приложения (3 ч)
А. 	Измерения длин и углов. В. Решение треугольников.
Программа каждого курса содержит перечень умений в форме планируемых результатов обучения, которые подлежат итоговой оценке при помощи системы тестов «CLAST». Так, после изучения курса «Алгебра для колледжей» у студентов должны быть сформированы следующие алгебраические умения: складывать, вычитать, умножать и делить действительные числа; решать линейные уравнения и неравенства; находить частные значения функций и строить по ним график данной функции; определять, является ли данное число решением системы уравнений и неравенств; графически интерпретировать решение системы уравнений и неравенств; определять область допустимых значений при решении систем уравнений и неравенств; решать практические задачи на составление уравнений и неравенств, а также их систем.
Программа курса «Математика для колледжей» (45 ч)
I. Множества и диаграммы Венна (6 ч)
A. Определения и обозначения.
B. Действия над множествами.
C. Диаграммы Венна.
D. Приложения.
II. Символическая логика (9 ч)
A. Индуктивные и дедуктивные умозаключения.
B. Элементы символической логики: элементарные и составные высказывания, отрицания, равносильные высказывания, необходимые и достаточные условия.
C. Логические рассуждения: истинность и ложность, эйлеровы диаграммы, таблица истинности, валидность аргументов.
III. Рациональные числа (9 ч)
A. Формы представления рациональных чисел: дробная запись, десятичная запись, перевод из одной формы записи в другую.
B. Свойства рациональных чисел.
C. Приложения: вычисление процентов, калькуляция, составление сметы, прикладные задачи на проценты.
IV. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки (3 ч)
V. Вероятность (5 ч)
A. События, испытания.
B. Вероятность и случайность.
C. Математическое ожидание.
D. Приложения.
VI. Описательная статистика (6 ч)
A. Распределение.
B. Графическое представление распределений.
C. Измерение центральной тенденции.
D. Вычисление дисперсии.
E. Нормальное распределение.
F. Приложения.
VII. 	Геометрические измерения (4 ч)
A. Планиметрия: простые плоскостные фигуры, подобные треугольники и их свойства, основные теоремы.
B. Измерения: английская и метрическая системы, округление результатов измерений.
C. Измерения геометрических фигур: измерение длин, периметров, измерение длины окружности, вычисление площадей, определение объемов, измерение углов, основные формулы.
D. Приложения.
VIII. 	Показательная функция (3 ч)
A. Экспонента.
B. Показательная функция с основанием 10.
C. Показательная функция с различными основаниями.
Перечень умений по курсу «Математика для колледжей»
включает четыре группы умений: арифметические, геометрические, статистические и логические.
Арифметические умения: складывать, вычитать, умножать и делить рациональные числа; складывать, вычитать, умножать и делить рациональные числа, представленные в десятичной записи; сравнивать рациональные числа; переводить рациональные числа из одной записи в другую; вычислять проценты; вычислять значения экспоненты; оценивать сумму, произведение и среднее арифметическое рациональных чисел; производить несложные вычисления с рациональными числами в уме (в том числе и вычисления процентов); решать арифметические задачи.
Геометрические умения: округлять результаты геометрических измерений; измерять расстояния, длины; определять площади геометрических фигур; вычислять объемы тел, измерять величины углов; определять отношение между различными мерами углов; классифицировать простые плоские фигуры по их признакам и свойствам; распознавать типы треугольников и знать их свойства; определять адекватный тип измерений для различных геометрических объектов; пользоваться приближенными формулами для измерения геометрических фигур; решать задачи на применение «измерительных» теорем и формул.
Статистические умения: представлять эмпирическую информацию в графической форме (линейные, круговые диаграммы, графы и т. п.), определять значение средней арифметической, моды и медианы; определять вероятность исхода в простейших испытаниях; прогнозировать события на основе изучения частных случаев; решать текстовые задачи на нормальное распределение; решать текстовые вероятностные задачи.
Логические умения: чтение логических диаграмм; определение элементарных и составных высказываний, составление отрицаний для данных высказываний; определение равносильности высказываний; построение логического вывода из данных посылок; определение неверной посылки при построении правильного вывода; выбор правил для изменения формы высказывания без нарушения его значения; построение логического вывода на достоверных фактах.
Третью группу математических курсов во Флоридском общинном колледже составляют дифференцированные курсы, обеспечивающие математические основы специальных дисциплин по тому или иному профилю подготовки. Это может быть углубленное изучение какого-либо отдельного раздела математики (например: «Тригонометрия для колледжей», «Введение в статистику», «Дифференциальные уравнения» и т. п.) или профессионально направленные курсы, такие, как «Математика для бизнесменов и гуманитариев», «Техническая математика» и т. п. Приведем в качестве примера программы курсов «Тригонометрия для колледжей» и «Математика для бизнесменов и гуманитариев».
Программа курса «Тригонометрия для колледжей» (45 ч)
Этот курс используется при подготовке специалистов электротехнической и электронной промышленности.
I. 	Тригонометрические функции (6 ч)
A. Углы и единицы их измерения.
B. Тригонометрические функции числового аргумента.
Единичная окружность.
C. Приложения.
67


II. Решение треугольников (9 ч)
A. Прямоугольные треугольники и их свойства.
B. Формула синусов.
C. Формула косинусов.
D. Применение формул синусов и косинусов при решении практических задач.
III. Тригонометрические тождества (9 ч)
A. Элементарные тригонометрические тождества.
B. Доказательство тождеств.
C. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов.
D. Сумма и произведение тригонометрических функций.
E. Приложения.
IV. Графики тригонометрических функций (3 ч)
A. Четность, периодичность тригонометрических функций.
B. Интервалы знакопостоянства.
C. Графики функций.
V. Тригонометрические уравнения (9 ч)
A. Обратные тригонометрические функции.
B. Решение тригонометрических уравнений.
C. Приложения.
VI. Комплексные числа и полярные координаты (6 ч)
A. Действия над комплексными числами.
B. Графическое представление комплексных чисел.
C. Тригонометрическая форма комплексного числа.
D. Теорема Муавра.
E. Полярные координаты.
F. Кривые в полярной системе координат.
VII. Векторы (3 ч)
A. Определения, свойства.
B. Векторная арифметика.
Программа курса «Математика для бизнесменов и гуманитариев» (90 ч)
Эта программа состоит из двух частей (по 45 ч). Первая часть содержит вопросы на повторение алгебры и элементы математического анализа.
I. Алгебраический обзор (6 ч)
A. Функции и графики.
B. Линейные уравнения и неравенства.
C. Приложения.
II. Предел и производная (9 ч)
A. Предел и непрерывность.
B. Определение производной.
C. Формулы производной.
D. Дифференцирование.
III. Применение производной (6 ч)
A. Экстремум функции.
B. Наибольшее и наименьшее значения функции.
C. Исследование функции и построение ее графика.
D. Дифференцирование неявных функций.
E. Дифференциалы высшего порядка.
F. Приложение.
IV. Введение ч интегральное исчисление (6 ч)
A. Первообразная и неопределенный интеграл.
B. Площадь и определенный интеграл.
C. Теорема Ньютона — Лейбница.
D. Вычисление площади между двумя кривыми.
V. Показательная и логарифмическая функции (6 ч)
A. Показательная функция.
B. Логарифмическая функция.
C. Производная показательной функции.
D. Производная логарифмической функции.
VI. Приложения дифференциального и интегрального исчислений (6 ч).
A. Приложения в бизнесе.
B. Приложения в экономике.
C. Приложения в общественных науках.
VII. Темы линейной алгебры (6 ч).
A. Матрицы и определители.
B. Элементы линейного программирования.
Вторая часть курса включает две главы на повторение элементов дифференциального и интегрального исчислений.
VIII. Обзор дифференциального исчисления (6 ч)
А. 	Дифференцирование алгебраических функций.
B. Производная показательной функции.
C. Производная логарифмической функции.
IX. Техника интегрирования (12 ч)
A. Подстановка и интегрирование по частям.
B. Численные методы.
C. «Неберущиеся» интегралы.
D. Таблица интегралов.
E. Приложения.
X. Дифференциальные уравнения (3 ч)
A. Общее и частное решения дифференциального уравнения.
B. Разделение переменных.
C. Приложения.
XI. Исчисления многих переменных (12 ч)
A. Функции нескольких переменных.
B. Частные производные.
C. Графики функций двух переменных.
D. Максимум и минимум.
E. Множители Лагранжа.
F. Двойной интеграл.
XII. Последовательности и ряды (6 ч)
A. Арифметическая прогрессия.
B. Геометрическая прогрессия.
C. Степенные ряды.
D. Ряды Тейлора и Маклорена.
E. Приложения в экономике и финансах.
XIII. Темы линейной алгебры (6 ч)
A. Линейные системы.
B. Математические модели.
C. Приложения.
Заслуживает внимания отражение проблемы взаимосвязи общего и профессионального образования в учебных пособиях по математике для колледжей. Как уже подчеркивалось выше, при составлении программ учитываются потребности данной профессии в том или ином математическом аппарате. Однако в учебнике отражается, как правило, сугубо научное содержание этого аппарата и лишь в конце каждого раздела или главы рассматриваются задачи с профессиональным содержанием. Эти задачи приводятся в сочетании с элементарными упражнениями и простейшими задачами текстового характера. Изложение очень часто сопровождается множеством примеров с подробным их разбором.
Наблюдая аудиторные занятия по математике во Флоридском общинном колледже, мы видели, что детальному разбору простейших примеров американские преподаватели уделяют большое внимание. Это объясняется рядом причин, основная из которых — подготовка студентов к тестированию. В тестах предлагается до нескольких десятков простейших упражнений и задач, каждая группа которых оценивается различным количеством баллов. Такое огромное внимание к тестированию — результат попыток объективизировать контроль за обучением. Обучение в колледже, как уже говорилось, платное, поэтому тестирование выступает как контролер качества выходной продукции, а именно — знаний и умений студента по пройденному курсу.
В заключение хотелось бы выразить особую благодарность президенту Флоридского общинного колледжа в г. Джаксонвилле доктору Ч. Спенсу и преподавателю математики этого же колледжа Л. Холт за предоставленные материалы, на базе которых и была написана данная статья.
О новых учебниках математики в школах Болгарии
Д. ▲. Серафимов (София), ▲. А. Столяр (Могилев)
В настоящее время в Болгарии идет процесс введения серии новых школьных учебников математики, созданных большим авторским коллективом под руководством ака¬
68


демика Б. X. Сендова, В 1988 г. вышел учебник математики для VIII класса в трех частях [1],в 1989 г.— учебник математики и информатики для IX класса в четырех частях [2]. Эти учебники и будут объектом нашего анализа.
Прежде всего необходимо отметить, что это — современные учебники, существенно отличающиеся от традиционных, по крайней мере, следующими тремя особенностями: использованием компьютеров в обучении, интеграцией материала по алгебре, геометрии и информатике и реализацией дифференцированного обучения выделением параграфов, не обязательных для всех учащихся.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти особенности, а также стиль и уровень изложения учебного материала.
I. 	Четвертая часть учебника для IX класса начинается с темы «Зависимости между сторонами и диагоналями параллелограмма. Формула медиан в треугольнике».
Изложение начинается с решения двух задач.
Задача 1. Написать программу вычерчивания параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Даны стороны а и b и угол а между ними. Пусть вершина А параллелограмма ABCD совпадает с началом координат системы, а вершина D лежит на оси Оу> тогда А и D имеют соответственно координаты: (0, 0) и (0, а) (см. рис.).
Пустьчерепаха (черепахой авторы условно называют маленький светящийся не дисплее треугольник, движением которого можно управлять программой, записанной на языке ЛОГО) находится в точке Л, повернутая на север. Следовательно, если она повернет направо на угол а и пройдет вперед расстояние в b шагов, то будет находиться в точке В. В точку С она может попасть, если от точки В пройдет на север а шагов. Используя проведенные рассуждения, записывают программу*:
ЭТО ПАРАЛЛЕЛОГРАММ :А :В :АЛЬФА БЕЗСЛЕДА ЦЕНТР СОСЛЕДОМ ВПРАВО :АЛЬФА ВПЕРЕД :В ПОВЕРНИ 0 ВПЕРЕД :А ДО 0 :А ЦЕНТР КОНЕЦ
Задача 2. Написать программу, при выполнении которой получить на экране сумму квадратов сторон и сумму квадратов диагоналей произвольного параллелограмма, определенного двумя смежными сторонами и углом между ними.
Решение. Пусть начерчен данный параллелограмм по программе, составленной для задачи 1. Если координаты
* Для записи этой и последующих программ мы воспользовались болгаро-русским ЛОГО-словарем, приведенным в конце книги [3].
точки В— (х, у), то координаты точки С— (х, у+а). Зная координаты всех вершин параллелограмма, с помощью операции РАССТОЯНИЕ получим длины диагоналей АС и BD.
На основе сказанного записывают программу.
ЭТО СУММА. КВАДР :А :В :АЛЬФА БЕЗСЛЕДА ЦЕНТР СОСЛЕДОМ НАПРАВО :АЛЬФА ВПЕРЕД :В СДЕЛАЙ “ВХ АБСЦ СДЕЛАЙ “BY ОРД ПОВЕРНИ 0 ВПЕРЕД :А ДО 0 :А ЦЕНТР
СДЕЛАЙ “АС РАССТОЯНИЕ
00 :ВХ :BY+:A СДЕЛАЙ “BD РАССТОЯНИЕ 0:А :ВХ :BY (ВЫВЕДИ [СУММА КВАДРАТОВ
СТОРОН Е:]
2*:А*:А-{-2*:В*:В)
(ВЫВЕДИ [СУММА КВАДРАТОВ
ДИАГОНАЛЕЙ Е:]
:AC*:AC+:BD*:BD)
КОНЕЦ
Затем выполняются два эксперимента:
А. СУММА. КВАДР 30 40 60
СУММА КВАДРАТОВ СТОРОН Е 5000 СУММА КВАДРАТОВ ДИАГОНАЛЕЙ Е 5000. В; Сумма. КВАДР 20 57 112
СУММА КВАДРАТОВ СТОРОН Е 7298 СУММА КВАДРАТОВ ДИАГОНАЛЕЙ Е 7297.99
Полученные результаты наводят на мысль о равенстве суммы квадратов сторон произвольного параллелограмма и суммы квадратов его диагоналей. Различие между результатами при втором выполнении процедуры СУММА. КВАДР, вероятно, вызвано тем, что компьютер выполняет вычисления приближенно. Предположение можно превратить в убеждение, если выполнить еще несколько экспериментов.
Этим замечанием авторы подводят черту под экспериментом и переходят к доказательству. Причем сначала открытое экспериментальным путем свойство доказывается для частного случая прямоугольника, затем для ромба и только после этого формулируются и доказываются две теоремы:
1. Во всяком параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
2.- Если а, Ь, с — длины сторон треугольника, а m& ть> тс — длины соответствующих медиан, то
ml= -i-(262 + 2с2 —a2), ml= ~(2а2 + 2с2-62),
m?= -j(2a2 + 2b--cs).
Рассмотрение частных случаев перед доказательством общего положения характеризует стиль этих учебников, способствующий тому, что при достаточно высоком уровне изложения теоретического материала сохраняется его доступность для учащихся.
II. 	Рассмотрим пример изложения необязательного для всех учащихся материала, отмеченного специальным знаком СИП («свободно избираемая подготовка»). В VIII классе рассматривается вопрос «Исследование числа решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными». Ставится и решается задача выяснения условий, при которых система
iatx + b\y=x\,
\а2Х-\-Ь2У = С2
имеет единственное решение, не имеет решений, имеет бесчисленное множество решений. Затем дается соответст¬
69


вующая программа на ЛОГО:
ЭТО СИСТЕМА :А1 :В1 :С1 :А2 :В2 :С2 СДЕЛАЙ “D :А1*:В2—:А2*:В1 СДЕЛАЙ “D1 :СГ*:В2—:С2*В1 СДЕЛАЙ “D2 :А1*:С2—:А2*:С1 ЕСЛИ :D=0,TO СИС СТОП (ВЫВЕДИ [СИСТЕМА ИМЕЕТ
ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ] [Х= ] :D1/:D [Y= ] :D2/D)
КОНЕЦ ЭТО СИС
ЕСЛИ :D1=0, ТО ВЫВЕДИ [СИСТЕМА ИМЕЕТ БЕСЧИСЛЕННО МНОГО РЕШЕНИЙ] СТОП ВЫВЕДИ [СИСТЕМА НЕ ИМЕЕТ
РЕШЕНИЙ]
КОНЕЦ
Затем приводятся решения трех задач, в порядке возрастания их сложности. Приведем задачу 3:
Числа а, Ь, с таковы, что система уравнений
\ax-by~2a — Ь,
\(с-\-\)х-\-су—\0 — а — ЗЬ
имеет бесчисленное множество решений и одно из них: х=1, у—3. Найти числа а, Ь, с.
Затем предлагаются задачи, сложность которых не превышает решенных в учебнике.
Необходимо отметить, что в большинстве случаев дополнительный материал, отмеченный знаком СИП, ориентирован на решение задач повышенной трудности. Например, тема «Приложение формул Виета» (VIII класс) включает решение следующих трех задач:
Задача 1. Пусть
ип=
^1 —
где х\ и х2 — корни квадратного уравнения х2—х—1=0.
Доказать, что для всякого натурального числа п имеют место равенства
Un-i+Un=Un+h (*)
U|+U2+-- + Un=W„_|_2—1. (2)
(В результате решения этой задачи получают последовательность чисел Фибоначчи.)
Задача 2. Если х\ и х2 — корни квадратного уравнения
f(x)—ax2-\-bx-\-c=0
и Sn=xi-\-Х2, то для каждого целого числа п имеет место равенство
aSn+bSn— 1 -f-cSrt_2=0.
Доказать. (Формула Ньютона.)
3 а д а ч а 3. Составьте квадратное уравнение, корни которого х\ и х2 удовлетворяют равенствам
*?+*!= ±+±=51.
Х\ Х2
Затем учащимся предлагаются 8 задач на эту тему.
В рассматриваемых учебниках используется современный математический язык, в том числе термин «множество» и простейшая теоретико-множественная символика (е, с, П, U).
Следует отметить, что элементы информатики в учебнике математики для VIII класса даны пропедевтически и изложены в том же стиле, что и в переведенной на русский язык книге [3], авторы которой входят в коллектив авторов учебников. Однако эти элементы достаточны для
составления программ на языке ЛОГО (на базе болгарского языка) к разнообразным задачам на материале алгебры и геометрии. Соответствующие параграфы оканчиваются этими программами. Среди предлагаемых учащимся задач имеются и такие, в которых требуется завершить частично заданную или составить новую программу. Систематическому изучению информатики посвящена целиком первая из четырех частей учебника IX класса, названного «Математика и информатика».
Для более полного представления о рассмотренных учебниках приведем краткое описание их содержания.
VIII класс. Часть первая. Дается представление о компьютере, о программировании. Язык ЛОГО. Цикл. Процедуры. Процедуры с параметрами. Переменные.
Плоские фигуры и геометрические преобразования.
Основные операции в ЛОГО. Логические выражения. Логические операции.
Измерение отрезков. Вещественные числа. Числовая прямая.
Алгоритм Евклида. Алгебраические дроби, действия над ними и решение дробных уравнений.
Часть вторая. Перемещение и поворот черепахи. Компьютерный бильярд (СИП). Графики функций. Система геометрических преобразований (СИП). Использование геометрических преобразований к вычерчиванию графиков функции. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Уравнения с модулями (СИП). Графики функций, содержащих модули (СИП). Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Исследование числа решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (СИП). Системы уравнений первой степени с тремя и четырьмя неизвестными, метод Гаусса (СИП). Неравенства. Линейная оптимизация.
Окружность и сопутствующие понятия. Углы, стороны которых пересекают окружность. Средняя линия треугольника и трапеции.
Приложение векторов к решению планиметрических задач (СИП).
Часть третья. Квадратичная функция и квадратные уравнения. Приложение формул Виета (СИП). Квадратные неравенства. Решение рациональных неравенств (СИП). Расположение корней квадратного уравнения на числовой прямой (СИП).
Геометрические места точек. Задачи на построение циркулем и линейкой. Приложение геометрических преобразований к решению задач на построение (СИП).
Окружность, описанная около треугольника, около четырехугольника. Вписанные и описанные фигуры (СИП). Теорема Фалеса. Свойство биссектрисы в треугольнике.
IX класс. Часть первая. Программирование вчера и сегодня. Основные графические инструкции в языке ЛОГО и другие вопросы информатики, снабженные отметкой «повторение».
Суждения и предикаты. Предикаты в ЛОГО. Логические операции. Составление и проверка программ. Разветвление и рекурсия (СИП). Рекурсивные операции. Представление выражений в линейной записи и обратная польская запись (СИП).
Часть вторая. Числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии.
Повторение с дополнением (вписанные и описанные фигуры, теорема Фалеса). Подобие треугольников. Подобные фигуры. Подобие, подобные фигуры (СИП).
Повторение с дополнением (целые рациональные выражения, алгебраические дроби). Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Взаимно обратные уравнения (СИП). Корни многочлена; схема Горнера (СИП). Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами (СИП).
Часть третья. Гомотетия. Площади плоских фигур.
Функции. Многочленные функции. Графики рациональных функций. Арифметический корень. Преобразование иррациональных выражений. Возведение в степень с целым, рациональным показателем. Степенная функция.
Метрические зависимости в прямоугольном треугольни¬
70


ке. Теорема Пифагора. Решение равнобедренного треугольника и равнобедренной трапеции.
Часть четвертая. Зависимость между сторонами и диагоналями в параллелограмме. Формула медиан в треугольнике. Метрическая зависимость между хордами, касательными и секущими в окружности. Формула биссектрисы треугольника. Алгебраический метод решения задач на построение. Основные построения.
Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными. Нелинейные системы уравнений с большим, чем два, числом неизвестных (СИП). Иррациональные уравнения. Некоторые методы решения более трудных иррациональных уравнений (СИП). Уравнения линий на плоскости (СИП). Комплексные числа (СИП). Извлечение корня из комплексных чисел; решение уравнений с комплексными коэффициентами (СИП).
Тригонометрические функции. Зависимости между сторонами и тригонометрическими функциями углов в прямоугольном треугольнике.
Правильный многоугольник. Скалярное произведение векторов. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников. Метрические зависимости в четырехугольнике (СИП). Приложение скалярного произведения векторов к решению планиметрических задач.
Литература
1. Математика 8. клас. Част първа. Част втора. Част трета. София: Държавно издателство «Народна просвета», 1988.
2. Математика и информатика 9. клас. Част първа. Част втора. Част трета. Част четвърта. София: Държавно издателство «Народна просвета», 1989.
3. Р. Николов, Е. Сендова. Начала информатики. Язык ЛОГО. М.: Наука, 1989.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Интересная и полезная книга
Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами школьного учебника: Пособие для учащихся 5—6 классов. М.: Просвещение, 1989.
В настоящее время большое внимание уделяется не просто обучению учащихся математике по обязательной программе, но развитию их способностей, расширению кругозора. Для обеспечения такой работы надо иметь много разнообразной литературы как для учителей, так и для учащихся.
Значительную помощь в этом отношении оказывают журналы «Математика в школе» и «Квант», пособия для поступающих в вузы. Но все же популярной и занимательной математической литературы явно недостаточно. Особенно ощутима нехватка книг, содержащих сведения из истории математики и предназначенных читателям школьного возраста. В связи с этим следует обратить особое внимание на рецензируемое пособие.
Оно поведет читателей в увлекательное путешествие в Древний Египет, Вавилон, Грецию и другие страны, где познакомит с историей возникновения арифметики и геометрии: появлением счета и систем счисления, записью чисел и некоторыми свойствами натуральных чисел, геометрическими фигурами и измерениями. Подбор материала обусловлен возрастом учащихся. Этой же причиной объясняется наличие большого числа математических игр, занимательных и комбинаторных задач, задач на разгадку шифра. Отдельная глава посвящена истории возникновения
математики у народов нашей Родины. Очень интересны главы’, рассказывающие об измерениях в древнем мире, о русских мерах, о том, с каким трудом метрическая система мер вводилась для практического использования в нашей стране и за рубежом. В последней главе рассказывается о первых вычислительных машинах, о современных ЭВМ. Здесь нужно сделать одно уточнение. В книге утверждается, что сейчас большая ЭВМ играет в шахматы на уровне кандидата в мастера. Эти сведения устарели. Известно, например, что в Америке создана программа, способная соревноваться с гроссмейстерами.
Рецензируемое пособие основывается на богатом фактическом материале. Часть его взята из работ И. Я. Депмана (1885—1970) «Мир чисел», «Рассказы о решении задач», «История арифметики». Однако большая часть написана
Н. 	Я. Виленкиным, который также значительно переработал разделы, заимствованные из упомянутых выше источников. В предисловии следовало бы объяснить происхождение книги. Ведь читателю непонятно, почему под предисловием стоит подпись только Н. Я. Виленкина.
Пособие И. Я. Депмана и Н. Я. Виленкина ориентировано на читателей, которые владеют программным материалом V—VI классов. Изложение построено в форме рассказов, приводятся интересные сведения из истории развития общества, много легенд, пословиц, примеров из художественной литературы. Все они призваны показать, что математика есть часть общечеловеческой культуры, Непринужденно и убедительно в пособии проводится очень важная мысль: математика стала наукой с приходом в нее доказательств. В связи с этим весьма уместны приведенные в книге простейшие доказательства некоторых арифметических и геометрических предложений. В частности, доказываются бесконечность множества простых чисел, признак делимости на 11, теорема Пифагора, квадрируемость одного вида луночек Гиппократа, отдельные результаты Фалеса. Приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя и упрощенный вариант этого алгоритма, когда не делят одно число на другое, а вычитают из большего меньшее. Вообще, все доказательства столь ясны и так органично включены в ткань повествования, что не утомляют читателя.
Книга побуждает любознательных школьников к дальнейшему изучению математики. В ней сообщается много сведений из области теории чисел (фигурные числа, совершенные, дружественные, числа Ферма, проблема Гольдбаха), геометрии (определение размера земного шара Эратосфеном, задача удвоения куба, результаты Архимеда, составление паркета из правильных многоугольников), топологии (кёнигсбергские мосты, графы), сведения о юных математиках и др.
На.с. 17 небольшая неточность. Утверждается, что семидневная неделя связана с фазами Луны, но при этом не учитывается такой факт: смена фаз Луны происходит иногда за 7, а иногда за 8 дней. Вавилонская и древнеримская недели имели то 7, то 8 дней. Семидневная неделя появилась у евреев, которые закрепили ее библейским мифом о шести днях творения и седьмом дне отдыха. О связи еврейской недели с вавилонской говорит то, что еврейское название дня отдыха «шаббат» (отсюда происходят русские слова «суббота» и «шабаш») является видоизменением вавилонского слова «шаббатум», обозначающего фазы Луны.
На с. 240, говоря о метрической системе, авторы повторяют весьма распространенное утверждение, что «гекто» и «кило» — греческие слова, означающие «сто» и «тысячу». На самом деле это французские слова, которые произошли от греческих «гекатон» и «хилиас» (от слова «хилиас» — название «холяда» для 1000 у южных славян).
Каждая глава книги сопровождается задачами. Жаль, что соображения, связанные с объемом, вынудили издательство отказаться от изложения решений этих задач или хотя бы ответов к ним — некоторые из задач могут оказаться трудноватыми для читателей.
Отметим в заключение, что пособие прекрасно издано.
71


Очень большой вклад внесли художники, оформлявшие книгу и создавшие ощущение праздничности: В. М. Варла- шин, Н. Н. Рожнов, Е. П. Титков. В. М. Варлашину принадлежат сделанные с большой выдумкой развороты, с которых начинается каждая глава, рисунки на обложке и заставки к пунктам, Н. Н. Рожнову — иллюстрации к тексту, а Е. П. Титкову — чертежи. В целом книгу следует признать большой удачей авторов и издательства (редактор Л. В. Туркестанская).
Итак, перед нами полезное и увлекательное пособие, которое дает учащимся возможность ознакомиться с некоторыми сведениями из истории возникновения математики и расширяет их кругозор. Желательно продолжить такое знакомство, но уже с привлечением необходимых доказательств, ориентируясь на старшеклассников.
J1. П. Шибасов, И. Б. Юдина (г. Коломна)
Книга об алгоритмах для школьников
Понятие алгоритма — одно из фундаментальных логикоматематических понятий, с помощью которых осуществляются приложения математики в разнообразных областях знаний и практической деятельности.
В неявном виде алгоритмы всегда широко использовались в школьной математике. Но необходимость более явного выделения понятия алгоритма в школьном курсе математики возникла в связи с широким применением ЭВМ в различных сферах человеческой деятельности, внедрением в школу микрокалькуляторов и персональных компьютеров.
В книге Ю. А. Макаренкова, А. А. Столяра «Что такое алгоритм?» (Минск, 1989) успешно решена проблема дидактической обработки математического понятия алгоритма. На наш взгляд, такая обработка этого понятия более доступна старшеклассникам и способна расширить круг учащихся, проявляющих интерес к математике, ее практическим приложениям.
Точное математическое понятие алгоритма — одно из немногих понятий, изучение которых, с одной стороны, оказывает существенное влияние на логическое развитие учащихся, с другой — раскрывает разнообразные возможности приложения математики. Иными словами, те аспекты математики, которые обычно противопоставляются (логика математики и приложения математики), в понятии алгоритма как бы объединяются. Этот тезис хорошо продемонстрирован в указанной книге.
Оригинальным и удачным является и переход от интуитивного к математическому понятию алгоритма с использованием в качестве промежуточного этапа понятия алгоритма на словах.
Не менее удачно решен вопрос выбора математического уточнения понятия алгоритма. В качестве такого уточнения использована машина Тьюринга, допускающая наглядное представление и наиболее подходящая для понимания школьниками. Машина Тьюринга — идеализация реальных вычислительных процессов, созданная в математике для лучшего изучения этих процессов. В книге показан пример специфического для математики способа абстрагирования с использованием идеализации (расчленение процесса вычисления на элементарные действия доводится до предельной возможности и память считается потенциально бесконечной).
Книга написана доступным языком, интересны и полезны для старшеклассников приводимые примеры алгоритмов. В них умело сочетаются элементы теории алгоритмов и практики их применения. На примерах показан переход от алгоритма к программе, записанной с использованием простейших конструкций Бейсика. Рас¬
сматриваются и обратные задачи анализа программ с целью выявления реализуемых в них алгоритмов. Приводятся также игровые, экономические задачи (транспортная, задача распределения кадров и сельскохозяйственных культур по хозяйствам). Несомненный интерес вызывает решение проблемы слов в некоторых ассоциативных исчислениях с помощью геометрической интерпретации на материале школьной геометрии (проблемы само- совмещений геометрических фигур).
Книга не лишена некоторых легко устранимых недостатков. Это касается в основном записи алгоритмов в виде блок-схем и на алгоритмическом языке. Так, некоторые блок-схемы алгоритмов решения задач (с. 24, 61, 116, 117, 121) не являются структурированными в смысле базовых структур школьного алгоритмического языка. Неудачны записи задания исходных данных и операторов присваивания в алгоритмах, записанных на алгоритмическом языке (с. 117, 120), не предусмотрен выход исходных данных в программах на языке Бейсик. Однако эти недочеты не умаляют ценности книги.
▲. И. Павловский, ▲. Т. Кузнецов (Минск)
По страницам журнала « Педагог»
В 1990 г. исполнилось 40 лет научно-методическому журналу ССР Молдова «Педагог». Будучи единственным научно-методическим периодическим изданием республики, журнал «Педагог» занимает большое место в пропаганде передового педагогического опыта по всем учебным предметам средней школы, в том числе и по математике.
На страницах журнала в прошлом году было опубликовано 13 статей по математике, из них 8 по обучению математике в старших классах и 5 по обучению математике в начальной школе. Отрадно заметить, что среди статей по методике математики чаще стали появляться статьи, посвященные факультативным, внеклассным занятиям, углубленному изучению. В 1990 г. было опубликовано 5 таких статей:
Алексей Ш. Определение точки экстремума некоторых функций (дополнительный материал к теме). № 1, с. 18.
Албу А., Лупу И. Элементы линейного программирования. № 10, с. 26. (Авторы статьи предлагают
сообщить учащимся старших классов сведения по прикладной математике на внеклассных занятиях. Они приводят решение трех прикладных задач методами линейного программирования. Затем в качестве методического указания учителю приводится схема, состоящая из 7 пунктов графического решения задач на линейное программирование.)
Чибатару Е. Решение некоторых задач по теме «Прогрессии». № 12, с. 15. (Учительница считает, что
большое значение для математического развития учащихся имеет решение геометрических задач на доказательство, носящих творческий характер. Она делится опытом, приводит решения четырех задач.)
Урсу И. Деление многочленов. № 9, с. 17.
Алексей Ш. Обобщение схемы Горнера для деления многочленов. № 7, с. 24. (Автор предлагает ознакомить учащихся средней школы с теоретическим обоснованием деления многочленов, затем со схемой Горнера. Излагает один из методических вариантов осуществления этого предложения.)
Как и в предыдущие годы, на страницах журнала опубликованы статьи о выпускных и вступительных экзаменах.
Микулец А. Предотвратить ошибки на вступительных экзаменах по математике. № 6, с. 26.
Пригорский В., Ролинский В. Несколько предложений. № 11, с. 49.
72


В указанных статьях дается анализ содержания выпускных и вступительных экзаменационных работ по математике, приводится содержание отдельных вариантов этих работ.
Небольшой объем рассматриваемого ежемесячного журнала «Педагог» (6,4 печ. л.) не позволяет опубликовать все поступающие в его адрес статьи по математике. Вместе с тем потребность в них учителей математики растет. Это особо заметно в последнее время в связи с увеличением количества классов с углубленным изучением математики, гимназий и лицеев с математической направленностью. Возникла острая необходимость иметь в республике специализированный математический журнал или на первых порах приложение к существующему общепедагогическому журналу «Педагог». Последнее способствовало бы и образованию специализированной редколлегии с участием математиков и учителей математики для более тщательного отбора и редактирования материалов.
А. 	3. Харитон (г. Тирасполь)
Журнал «Совет мактаби» в 1990 г.
В 1990 г. в республиканском методическом журнале «Совет мактаби» (на узбекском языке) опубликованы методические материалы по всем школьным предметам, а также статьи, посвященные различным вопросам педагогики и психологии.
Отметим, что на изучение курса математики программой средней школы отводится 12 % учебного времени. Однако в 12 номерах журнала за 1990 г. из общего количества статей (320) только 6,5 % составляют статьи математического содержания. Из них 3 касаются обучения математике в начальных классах, в 17 статьях рассмотрены вопросы обучения предмету в старших классах, и одна статья посвящена изложению опыта работы учителя. За целый год не опубликовано ни одной статьи для преподавателей системы профтехобразования. Эти факты говорят о том, что существует острая необходимость в увеличении объема журнала.
Остановимся кратко на материалах, адресуемых учителям математики средней школы. Каждая опубликованная статья содержит в определенной степени интересный содержательный материал и имеет практическую направленность. Так, в статье Дж. Икрамова и М. Мырзаахмедова «Средние величины и их приложения» (№ 1) кроме теоретического материала раскрыты интересные связи этой теории с физикой и другими вопросами («золотое сечение», формула линзы). Приведены несколько задач с решениями и предложены задания для самостоятельной работы.
/С. Туракулов и Ф. Усманов посвятили статью одному из важных и трудных вопросов курса математики — решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений (№ 8). При решении задач с геометрическим,
физическим или экономическим содержанием авторы предлагают а) построить математическую модель задачи; б) найти в данной окрестности способы нахождения наибольших или наименьших значений; в) найденные значения интерпретировать на языке данной задачи. В статье приводится полное решение трех различных задач.
В журнале опубликован ряд материалов, освещающих отдельные вопросы методики преподавания математики. Так, в статье М. Сахаева и Д. Сахаевой «Устные упражнения на уроках математики» (№ 2) говорится о важности проведения устных упражнений при обучении математике, так как они способствуют повышению активности и интереса учащихся к изучаемому материалу. Однако устных упражнений в учебниках математики мало и они не отделены от примеров, требующих письменного решения. Все это затрудняет работу начинающих учителей.
В статье предлагаются устные упражнения, которые можно использовать на всех этапах урока, и подчеркивается, что для каждой темы программы в учебнике должен быть достаточный набор таких упражнений. Авторы приводят устные упражнения по темам: «Подобие треугольников», «Графики линейных функций» и «Логарифмические функции». Интересна статья М. Мамаджанова и А. Рахимова «Решение уравнений высших степеней» (№ 12).
М. А. Ахмедов в статье «Элементы проблемного обучения» (№ 6) дает решение одной и той же задачи несколькими способами.
В статье Н. Гайбуллаева «Практическая направленность математического образования» (№ 4) дается анализ содержания рукописей ряда авторов, полученных редакцией журнала. Внимательно изучив содержание каждой рукописи, Н. Гайбуллаев умело выбрал имевшиеся в них ценные мысли и предложения по вопросам преподавания математики. Прочитав эту статью, учителя познакомятся с опытом работы Б. Тураева (г. Кашкадарё), М. Атакулова (г. Ангрен) и других.
Ш. Туйчиев в статье «Роль математических олимпиад в определении таланта учащихся» (№ 7) излагает методику подготовки учащихся к олимпиаде.
Содержание статей, помещенных в журнале, разнообразно. Материалы некоторых из них непосредственно на уроках использовать невозможно, однако они расширяют кругозор учителя, вызывают у него желание усовершенствовать свои знания. Назовем для примера статьи: Т. Гани- ев «Окружности с двойными центрами» (№ 9), М. Исомова и др. «Воспитание гуманизма на уроках математики» (No И).
В статье А. Сабирова и др. «Учитель-творец» (№ 8) изложен- опыт работы отличника народного образования УзССР учителя школы им. Г. Гуляма Рометанского района Бухарской области Чори Муродова.
Подводя итоги, можно сказать, что каждая из помещенных на страницах журнала «Совет мактаби» статей по методике преподавания математики вооружает учителей узбекских шкап полезными знаниями, умело популяризирует опыт передовых учителей-новаторов.
Е. 	Сайтов, А. Е. Саидов (г. Бухара)
73


Новые книги
Учебники и пособия для высшей школы
Мантуров О. В. Курс высшей математики: Для втузов.— М: Высшая школа, 1991.— 448 с.— 2 р. 70 000 экз.
Словарь по информатике / Л. В. Белецкая и др.— Минск: Университетское, 1991.— 158 с.— 2 р. 35 500 экз.
Книги для учителя и учащегося
Антипов И. Н. Основы информатики и вычислительной техники: Методическое пособие для преподавателей техникумов.— М.: Высшая школа, 1991.— 247 с.— 90 к. 30 000 экз.
Брудно А. Л., Каплан Л. И. Московские олимпиады по программированию.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.:
Наука, 1991.— 208 с.— 1 р. 30 к. 200 000 экз.
Маковецкий П. В. Смотри в корень!: Сборник любопытных задач и вопросов.— 6-е изд., М.: Наука, 1991.— 351 с.— 2 р. 300 000 экз.
Пойа Д. Как решать задачу / Пер. с англ. (переизд.). — Львов: Фирма «Квантор», 1991.— 215 с.— 4 р. 80 к. 100 000 экз.
Самусенко А. В., Казаченок В. В. Математика. Типичные ошибки абитуриентов: Справочное пособие.— Минск: Вышэйшая школа, 1991.— 189 с.— 2 р. 40 к. 52 500 экз. Столяр А. А. Как математика ум в порядок приводит.—
2-е изд., перераб. и доп.— Минск: Вышэйшая школа,
1991.— 207 с.— 1 р. 21 500 экз.
Тимофеев А. В. Информатика и компьютерный интеллект.— М.: Педагогика, 1991.— 127 с. (Б-чка Детской энциклопедии «Ученые — школьнику»).— 85 к. 200000 экз.
Ф. М. Шустеф (Минск)
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ПЕДАГОГИКА» ВЫШЛИ КНИГИ:
Амлинский В. И. Преодоление.— 432 с.: ил.— (в пер.): 2 р. 30 к., 100 000 экз. Бютнер К. Жить с агрессивными детьми: Пер. с нем.— 144 с.— 2 р. 10 к., 30 000 экз. Волович М. Б. Математика без перегрузок.— 144 с.— (Б-ка учителя и воспитателя).— 1 р. 40 к., 50 000 экз.
Дубровина И. В. Школьная психологическая служба: Вопросы теории и практики.— 232 с.— 2 р., 30 000 экз.
Зимбардо Ф. Застенчивость: Пер. с англ.— 208 с.: ил.— 5 р., 100 000 экз.
Изучение личности школьника учителем / Под ред. 3. И. Васильевой, Т. В. Ахаян, М. Г. Казакиной, Н. Ф. Родионовой и др.— 136 с.— (Б-ка учителя и воспитателя).— 1 р. 10 к., 50 000 экз.
Календарь для родителей. 1992 /Сост. М. В. Ревенко.— 160 с.: ил.— 3 р. 50 к.,
200 000 экз.
Колесников Л. Ф., Турченко В. Н., Борисова Л. Г. Эффективность образования.—
272 с.— 2 р. 50 к., 15 000 экз.
Литература по педагогическим наукам и народному образованию. Вып. 2(159). 1990 г.: Текущий библиогр. указ./Гос. науч. пед. б-ка им. К. Д. Ушинского АПН СССР.— 112 с.— 1 р., 14 000 экз.
Мастюкова Е. М., Московкина А. Г. Они ждут нашей помощи.— 160 с.— (Педагогика — родителям).— 80 к., 50 000 экз.
Новые исследования в педагогических науках. Вып. 2(58) / Сост. И. К. Журавлев,
В. 	С. Шубинский.— 72 с.— 80 к., 9220 экз.
Новые исследования в психологии и возрастной физиологии. № 1 (5) / Сост. В. А. Шустер, Г. М Маслова, Т. С. Пронина.— 136 с.— 1 р. 30 к., 16 700 экз.
Нурминский И. И., Гладышева Н. К. Статистические закономерности формирования знаний и умений учащихся.— 224 с.— 1 р. 40 к., 21 300 экз.
Перре-Клермон А.-Н. Роль социальных взаимодействий в развитии интеллекта детей: Пер. с фр.— 248 с.: ил.— 3 р. 20 к., 20 000 экз.
Продленный день в школе: Режим и организация досуга / Под ред. О. А. Лосевой.— 112 с.: ил.— 95 к., 60 000 экз.
Родчанин Е. Г., Зязюн И. А. Гуманист. Мыслитель. Педагог: Об идеалах В. А. Су-
хомлинского.— 112 с.— 1 р. 20 к., 30 000 экз.
Хризман Т. П., Еремеева В. Д., Лоскутова Т. Д. Эмоции, речь и активность мозга ребенка.— 232 с.: ил.— 1 р. 50 к., 14 000 экз.
Черепахова Э. М. Трудные уроки.— 224 с.: ил.— 1 р. 30 к., 50 000 экз.
Юдин Г. Н. Главное чудо света.— 160 с.: ил.— (в пер.): 9 р . 50 к., 200 000 экз.


Его книги нам помогали
(письмо в редакцию)
Уважаемая редакция! Пишет Вам учитель математики из г. Горловки Донецкой области Михайлевский Иосиф Моисеевич. Я уже немолодой человек, пенсионер, но в школе еще работаю. Мне стало известно, что 31 января 1991 г. в Израиле скончался Сивашинекий Израиль Хаимович, автор очень популярных у нас в стране семи книг по элементарной математике.
Его книги и публикации в журнале «Математика в школе» многому научили и школьников, и нас, учителей. Сталкиваясь с трудным вопросом, мы, бывало, говаривали: «Посмотрим у Сивашинского», т. е. называли не книгу, а автора. Это свидетельствует о большом доверии читателей к автору, все книги которого отличались одним общим свойством — высокой культурой их литературной, математической и методической обработки. Подпись Сивашинского была своеобразной гарантией качества.
И. X. Сивашинский родился 25 марта 1909 г. в местечке Гадяч Полтавской губернии. Его старший брат Зиновий погиб на фронте в 1941 г., а родители были убиты в Гадяче во время фашистской оккупации. Младший брат Яков — подполковник медицинской службы, ныне пенсионер, живет в Калуге.
Израиль Хаимович с детства помогал отцу в его тяжелом труде винодела. Пятнадцатилетним юношей он приехал в Киев, начал работать в типографии и одновременно учиться сначала на рабфаке, а затем в Киевском университете (заочно). Отслужив в Красной Армии,
И. X. Сивашинский преподавал математику в школе Воен- но-Воздушных Сил в Москве. С 1941 г. был на фронте офицером топографической службы. В результате тяжелой контузии демобилизован в 1943 г.
После войны И. X. Сивашинский преподавал в техникуме, в московских школах, в том числе в математической школе № 2, где проработал 9 лет, вплоть до ухода на пенсию в 1969 г. В этот период он издал большинство своих книг: «Элементарные функции и графики» (1965, 1968), «Как помочь детям учиться» (1965, в соавторстве с И. Е. Овчинниковой), «Задачи по элементарной математике для внеклассных занятий» (1968).
Заслуженный отдых не стал только лишь отдыхом для персонального пенсионера И. X. Сивашинского. Он продолжал делиться с читателями своим богатым опытом заслуженного учителя школы РСФСР. Вышли еще две его книги: «Пособие по математике для техникумов» (1970) и «Теория и задачи по алгебре и элементарным функциям» (1971).
В конце 1971 г. И. X. Сивашинский выехал в Израиль по причине, которую указал следующим образом: «в связи с выездом детей». Преподавал в Иерусалимском университете, в других учебных заведениях, вел, в частности, кружок для одаренных детей.
Несмотря на все перипетии политики, учителя математики относятся подобающим образом к памяти этого незаурядного человека, посвятившего свою жизнь математике, детям, юношеству.
Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1991 г.
От Главного учебно-методического управления общего среднего образования Гособразования СССР. О требованиях к математической подготовке учащихся средней школы — № 3, с. 3.
Гнеденко Б. В. Математика в современном мире и математическое образование — № 1, с. 2.
Кремень Э. А. «Учитель года» — 91—№ 4, с. 20.
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И НАУКА
Александров А. Д. Теория относительности и геометрия — № 3, с. 4.
МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ: ПРОБЛЕМЫ, СУЖДЕНИЯ, ПОИСК
Атанасян Л. С., Дулалаева Т. А., Линькова Г. Н. О подготовке студентов к преподаванию в классах с углубленным изучением математики — № 4, с. 9.
Банков К., Сендова Е. «Действенная математика» проект школьного курса математики — № 5, с. 9.
Блох А.  Я., Павленкова И. А., Попова Е. К. Некоторые возможности совершенствования учебников алгебры — № 4, с. 13.
Бычкова Л. О., Селютин В. Д. Об изучении вероятностей и статистики в школе — № 6, с. 9.
Волобуев И. Б. Сумеем ли осуществить задуманное? — № 4, с. 19.
Гладкий А. В., Крейдлин Г. Е. Математика в гуманитарной школе — № 6, с. 6.
Гнеденко Б. В. Развитие мышления и речи при изучении математики — № 4, с. 3.
Злоцкий Г. В. Широкий спектр средств дифференциации — № 5, с. 8.
Иванова Н. Д., Забежанская Н. Н., Ким А. М. Педвузам — интегрированные курсы — № 4, с. 12.
Куприянович В. В. Изучение способностей направляет дифференциацию — № 5, с. 4.
Пичурин Л. Ф. От обязательных программ к обязательным уровням? — № 5, с. 3.
Самовол П. И. К проблеме дифференциации обучения — № 4, с. 17.
Семенов Е. Е., Малиновский В. В. Дифференцированное обучение математике с позиций гуманизма — № 6, с. 3.
Фарков А. В. К проблеме профильной дифференциации в малокомплектной школе — № 5, с. 7.
О КОНЦЕПЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Гладкий А. В. Когда у нас будут хорошие учебники? — № 2, с. 8.
Далингер В. А. Перестройка математического образования в профтехшколе — № 2, с. 6.
Дьячковский Н. Н. Чему мы учим — № 2, с. 7.
Маслова Г. Г. Из недавней истории реформы школьного математического образования — № 2, с. 10.
Одинамадов К. О. Необходимо учитывать возможности регионов — № 2, с. 4.
Перелыгина О. Н. Главное — формирование интереса учащихся к предмету — № 2, с. 5.
Розов Н. X. Академик А. Н. Колмогоров и проблема изучения индивидуальных особенностей психологии творчества — № 2, с. 9.
Слепкань 3. И.; Нугманов М.; Куликова Е. И., Жа-
75


малиев Ж. Ж;, Джураев Ш. О профессиональной подготовке и переподготовке учительских кадров — № 2, с. 2.
Ташбалтаев М. Больше внимания проблеме компьютеризации — № 2, с. 5.
Хамидов В., Джураев Ш. О подготовке новых научных кадров — № 2, с. 4.
Янсуфина 3. И. Не все предложения убедительно мотивированы — № 2, с. 5.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Автайкина А. К. Некоторые формы организации устного счета — № 3, с. 21.
Апанасевич М. П. К изучению темы «Формулы сокращенного умножения» — № 3, с. 15.
Боженкова Л. И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом подобия — № 2, с. 23.
Вишневская Т. В. Методическая находка — № 6, с. 21.
Генкин Г. 3., Глейзер Л. П. Преподавание в классе с углубленным изучением математики — № 1, с. 20.
Готман Э. Г. Вариации задачи о квадрате и вписанном в него треугольнике — № 1, с. 26.
Гришина Т. С. Логический прием сравнения в стереометрических задачах — № 6, с. 12.
Груденов Я. И., Колегаева Н. А., Фридман М. А.  Как запомнить формулы — № 1, обложка.
Дразнин И. Е. К вопросу изучения сложной функции — № 6, с. 16.
Зандер В. К. О блочном изучении математики — № 4, с. 38.
Иванов К. А. Тридцать один вариант за три минуты? — № 3, с. 23.
Калинкин А. К. О решении тригонометрических неравенств — № 6, с. 17.
Канин Е. С. Развитие темы задачи — № 3, с. 8.
Колобова Е. В. Использование зачетной системы для контроля и оценки знаний учащихся — № 3, с. 25.
Кондрушенко Е. М. Развитие интуиции на уроках стереометрии — № 5, с. 14.
Костюкова Н. К. Я слагаю урок, словно песенный стих — № 6, с. 18.
Левитас Г. Г. Об изучении процентов в V классе — № 4, с. 37.
Миндюк М. Б. Составление и использование разноуровневых заданий для дифференцированной работы с учащимися — № 3, с. 12.
Мищенко Т. М., Райляну А. И. Из опыта работы учителей Молдовы — № 1, с. 22.
Мкртчян М. А. Взаимообмен заданиями — № 6, с. 13.
Ноздраечева Л. М. Наглядность при обучении решению задач — № 5, с. 15.
Овезов А. Особенности рассуждений в приложениях математики — № 4, с. 45.
Пенкин А. Ф. Об организации межпредметной связи курсов алгебры и информатики — № 5, с. 11.
Перевалов Г. Е. Задачи .на графики — № 2, с. 16.
Савинцева Н. В., Шепетов А. С. Некоторые выводы в связи с массовой апробацией учебника Э. Нурка и
А. 	Тельгмаа «Математика-5» — № 5, с. 17.
Федоров Е. Б. Контрольные тест-анализы — № 3, с. 27.
Фокин Б. Д. Здравый смысл и решение задач — № 2, с. 21.
Цукарь А. Я. О творческом подходе к материалу учебника — № 4, с. 42.
Цукарь А. Я. Применение ЭВМ в обучении математике — № 2, с. 26.
Шевкин А. В. О пропедевтике действий с отрицательными числами — № 3, с. 17.
Щиряков А. Н. Как развивать пространственное воображение учащихся — № 1, с. 29.
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УРОКА
Башмаков М. И., Резник Н. А. Развитие визуального мышления на уроках математики — № 1, с. 4.
Кушнир И. А. Воспитание творческой активности учащихся на уроках повторения геометрии — № 1, с. 12.
Окунев А. А. Подготовка к уроку — № 1, с. 8.
Якунина М. С. Устные упражнения в курсе алгебры и начал анализа — № 1, с. 16.
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
Буняев М. М. Методические аспекты проектирования автоматизированных обучающих курсов — № 5, с. 63.
Глейзер Г. Д. Каким быть школьному курсу геометрии — № 4, с. 68.
Монахов В. М. Перспективы разработки и внедрения новой информационной технологии обучения на уроках математики — № 3, с. 58.
Фридман Л. М. Методика обучения решению математических задач — № 5, с. 59.
ЭКСПЕРИМЕНТ
Краснянская К. А., Кузнецова Г. М., Шевкин А. В. Об итогах работы по учебнику «Математика 6» Э. Р.  Нурка и А. Э. Тельгмаа в 1989/90 учебном году — № 2, с. 32.
ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
Абдухамидов А. Больше методической помощи сельскому учителю — № 3, с. 65.
Гаджибабаев Э. Г. Учимся, чтобы учить — № 2, с. 36.
Декопольцева 3. П. Учить думать или верить? — № 2, с. 38.
Золотухин Ю. П. Замечание о решении уравнений вида a sin x  + b cos х  = с — № 3, с. 64.
Ивашев-Мусатов О. С. Об обобщении понятия степени — № 2, с. 39.
Имранов Б. Г. Вычисление расстояний и величин углов с помощью векторов — № 2, с. 37.
Куваев М. К вопросу о введении показательной функции — № 4, с. 71.
Кючуков А. Н. Несколько одинаковых доказательств — № 2, с. 37.
Ломоносов А. В. Средняя скорость — № 5, с. 65.
Марнянский И. А. Еще раз об определении функции — № 4, с. 71.
Ольхов В. Е. Решаем рационально — № 2, с. 37.
Свердлов А. Д. Задача на движение — № 5, с. 66.
Скибский В. В. Комментарий к шаблону параболы — № 3, с. 62.
Сорокин Г. А. Об одном преобразовании конечных сумм — № 2, с. 36.
Читатели о журнале — № 6, с. 56.
Шляхта О. Н. Необходимо переиздавать — № 6, с. 57.
КОНСУЛЬТАЦИИ
Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Ивлев Б. М. О работе по новому варианту пособия «Алгебра и начала анализа 10—11» — № 3, с. 29.
Башмаков М. И., Карпова Г. М., Затакавай В. В. О новом учебнике по алгебре и началам анализа — № 2, с. 28.
Звавич Л. И., Аверьянов Д. И. О работе в X классе с углубленным изучением математики — № 3, с. 31; № 5, с. 22.
Звавич Л. И., Смирнова В. К. Об экзамене по алгебре и математическому анализу в классах с углубленным изучением математики (1990/91 учебный год) — № 6, с. 22.
Некрасов В. Б., Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Материалы по подготовке к новому учебному году — № 4, с. 22.
Саранцев Г. И. Обучение решению задач на построение
76


сечений многогранников — № 5, с. 35.
Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Рекомендации по проведению экзамена по математике в классах гуманитарных направлений — № 1, с. 32.
Токарева Л. И. К вопросу о выполнении методического анализа школьных математических задач — № 3, с. 39.
ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗЫ
Ананченко К. О. Витебский государственный педагогический институт — № 1, с. 50.
Богуславская Т. М., Семенова И. Н., Юдина И. Б. Коломенский педагогический институт — № 1, с. 53.
Гузеев В. В. Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской — № 1, с. 47.
Денисов Д. В., Потапов М. М., Прошкин В. А., Серов В. С., Силин Д. Б. Московский государственный университет — № 1, с. 35.
Кирилецкий И. М., Крайчук А. В., Кирилецкая Г.  Н. Ровенский государственный педагогический институт— № 1, с. 51.
Левина В. Г., Яковлева Е. М. Московский гидромелиоративный институт — № 1, с. 54.
Савватеев В. В. Вести с устного экзамена — № 1, с. 55.
Смелик Г. Г., Поляков Н. А. Ростовский-на-Дону государственный педагогический институт — № 1, с. 49.
Терешин Н. А. Московский педагогический государственный университет им. В. И. Ленина — № 1, с. 44.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Агаханов Н. X., Калинин А. Ю., Купцов Л. П., Резни- ченко С. В., Терешин Д. А. XVII Всероссийская олимпиада школьников по математике (III этап) — № 2, с. 40.
Алексеев Р. Б., Курляндчик Л. Д. Неравенства — № 3, с. 44.
Алексеев Р. Б., Курляндчик Л. Д. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств — № 4, с. 49.
Аммосова Н. В.,  Коваленко Б. Б., Юрина В. В. Из опыта работы школьного математического общества — № 4, с. 57.
Башмаков М. И., Карп А. П. Об экспериментальном выпускном экзамене в школах Ленинграда — № 4, с. 60.
Боровик О. Г., Гусаков В. А., Юнеева О. Д. Об изучении темы «Сведения из истории» — № 4, с. 53.
Вавилов В. В., Кузнецова Г. М. XXXI Международная математическая олимпиада — № 6, с. 32.
Гальперин И. М., Габович И. Г. Использование векторного неравенства Коши — Буняковского при решении задач по алгебре — № 2, с. 54.
Гаспарян Р. С. Задачи на делимость чисел — № 3, с. 48.
Голобокова Р. В., Певзнер С. Л. Векторы и координаты в стереометрических задачах — № 5, с. 43.
Жинеренко И. К., Сергеев В. Н., Шарыгин И. Ф.
II Всесоюзная профориентационная олимпиада по педагогике математики — № 6, с. 30.
Жинеренко И. К., Сергеев В. Н., Шарыгин И. Ф.
О некоторых итогах I Всесоюзной профориентационной олимпиады по педагогике математики — № 5, с. 40.
Кузнецова Г. М., Сергеев И. Н. XXV Всесоюзная ма¬
тематическая олимпиада школьников — № 6, с. 37.
Куланин Е. Д., Федин С. Н. О построении треугольника по некоторым его замечательным точкам — № 3, с. 46.
Кушнир И. А. Треугольник во внеклассной работе — № 5, с. 45.
Петров В. А. К вопросу о равносильности уравнений — № 3, с. 43.
Петровская Н. А. Коллекция нестандартных задач «на прогрессии» — № 2, с. 60.
Положение о I Всесоюзной профориентационной олимпиаде старшеклассников по педагогике математики — № 1, с. 59.
Понарин Я. П. Метод комплексных чисел в планиметрии — № 2, с. 46.
Сергеев В. Н. Необычная олимпиада — № 1, с. 56.
Сефибеков С. Р. Учитель, умей направить ученика — № 5, с. 50.
Сулейманов Р. Р. Тема конференции «Вычисление значения я» — № 4, с. 58.
Филатов В. Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений — № 2, с. 57.
Халиков А. Примеры применения скалярного произведения векторов — № 2, с. 59.
Иванов В. Г. Долгая жизнь олимпиадных задач — № 5, с. 47.
Шарыгин И. Ф. I Всесоюзная профориентационная олимпиада по педагогике математики. Решение заданий по математике — № 6, с. 45.
ЗАДАЧИ
№ 1, с. 63; № 2, с. 62;  №  3,  с.  51; № 4, с 61;
№ 5, с. 53; № 6, с. 48.
Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф. Замечания к решениям
задач — № 1, с. 67; № 2, с.  67;  №  3,  с. 56;  № 4, с. 66;
№ 5, с. 57; № 6, с. 54.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Авилов Н. И. Разбиение квадрата — № 6, с. 47.
Кордемский Б. А. Занятная закономерность в серии равенств — № 5, с. 52.
Кохась К. П. Ферма, Коши и Гаусс решают задачу наших читателей — № 3, с. 50.
Магические фигуры Т. А. Ходжаназарова — № 1, с. 62.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Бородин А. И., Каменская М. В. К истории логарифмов — № 5, с. 71.
Прасолов В. В. Формула Брахмагупты — № 5, с. 70.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Брылевская Л. И. Алкуин — № 5, с. 68.
Вандулакис Я. Аристотель — № 1, обложка, с. 71.
Дорофеева А. В. Иордан Неморарий — выдающийся ученый XIII в.— № 6, с. 59.
Крапивин 3. И. Талантливый математик и инженер (о Д. Н. Головнине) —  № 1, с. 70.
Кузичева 3. А. Аниций Манлий Торкват Северин Боэций — № 4, с. 72.
Чернецов М. М. Александр Николаевич Барсуков — № 3, с. 68.
Шапкина В. Н. К 80-летию Уолтера Уорика Сойера — № 2, с. 74.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
На 1990/91 учебный год: март—апрель — № 1, с. 69; май — июнь — № 2, с. 70; июль — август — № 3, с. 65.
На 1991/92 учебный год: сентябрь — октябрь — № 4, с. 75; ноябрь — декабрь — № 5, с. 66; январь — февраль — № 6, с. 58.
В. 	Г. Филатову — 60 лет — № 3, с. 67.
Г. А. Владимирский — № 5, с. 67.
Г. Н. Скобелеву — 70 лет — № 1, с. 70.
И. Г. Габовичу — 70 лет — № 3, с. 67.
Изабелла Григорьевна Башмакова — № 2, с. 71.
Первя Мучкаевич Эрдниев — № 4, с. 76.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Гнеденко Б. В., Черкасов Р. С. Интересная и нужная книга — № 4, с. 77.
Информация Всесоюзной ассоциации учителей математики о выпуске серии книг для учителей — № 4, с. 80.
Павловский А. И., Кузнецов А.  Т. Книга  об  алгоритмах
для школьников — № 6, с. 72.
Рыжков В. В. Еще две книги по занимательной ма¬
7-7


тематике — № 3, с. 71.
Саитов Ё., Саидов А. Ё. Журнал «Совет мактаби» в 1990 г.—№ 6, с. 73.
Трушанина Т. Н., Леви Ю. М. Вниманию учителей, студентов, учащихся!!! — № 5, с. 79.
Харитон А. З. По страницам журнала «Педагог» — № 6, с. 72.
Шибасов Л. П., Юдина И. Б. Интересная и полезная книга — № 6, с. 71.
Шустеф Ф. М. Новые книги — № 1, с. 79; № 2, с. 39; № 3, с. 73; № 4, с. 78; № 5, с. 77; № 6, с. 74.
Юсупов О. Досадные ошибки — № 3, с. 73.
ЗА РУБЕЖОМ
Викулова О. Е. О французской школе дидактики математики — № 5, с. 73.
Витанов Т. О работе математических кружков для младших школьников — № 2, с. 72.
Гольдберг Ю. И. К вопросу о школьном математическом образовании в США — № 6, с. 60.
Плоцки А. Стохастические задачи и прикладная направленность в обучении математике — № 3, с. 69.
Серафимов Д. А., Столяр А. А. О новых учебниках математики в школах Болгарии — № 6, с. 68.
Сойер У. У. Интуитивное понимание математического доказательства — № 2, с. 75.
Черкасов Р. С., Отани М. Новая программа по математике в школах Японии — № 1, с. 73.
Чошанов М. А. Математическое образование в профессиональных колледжах США — № 6, с. 65.
ХРОНИКА
Бурдин А. О.,  Виноградова Л. В. Встреча редакции с читателями — № 4, с. 78.
Гисин В. Б. Межвузовский семинар в Ульяновске — № 5, с. 75.
Глейзер Г. Д. В секции средней школы Московского математического общества (год 43-й) — № 4, с. 79.
Думкина В. А. Поволжское зональное совещание-семинар — № 1, с. 78.
Жусупов К. Ж., Кибардина Л. П. Республиканская научно-методическая конференция — № 1, с. 78.
Злоцкий Г. В. Конференция о работе с одаренными детьми и молодежью — № 2, с. 77.
Кремень Э. А. Встреча редакции с читателями — № 5, с. 77.
Леви Ю. М.  — Вторая конференция Всесоюзной ассоциации учителей математики — № 1, с. 76.
Луканкин Г. Л., Миракова Т. Н., Пономарева Т. X. Научно-практическая конференция — № 3, с. 77.
Мордковин А. Г., Гисин В. Б. Проблемы подготовки учителя математики — № 1, с. 77.
Путь к творчеству: «Топос» предлагает сотрудничество — № 3, с. 76.
Садыхов Н. А., Попов В. В. Всесоюзная олимпиада студентов педагогических институтов — № 1, с. 76.
Трушанина Т. Н. Ассоциация учителей математики выпускает новые книги — № 3, с. 74.
Халамайзер А. Я. Конференция сообщества педагогов Германии — № 5, с. 76.
Халамайзер А. Я. Математики смотрят в будущее — № 2, с. 78.
Шапкина В. Н. Семинар «Передовые идеи в преподавании математики в СССР и за рубежом» — № 5, с. 75.
Шкиль Н. И., Слепкань 3. И. Очередной пленум союзного УМО по математике — № 5, с. 74.
НЕКРОЛОГИ
Баранов И. А., Устян А. Е. В. Я. Саннинский — № 2, с. 80.
Баранов И. А., Устян А. Е. И. И. Гайдуков — № 2, с. 80.
Ведерников В. И. и др. И. П. Егоров — № 3, с. 79.
Гнеденко Б. В., Халамайзер А. Я. Памяти Ганса Фройден- таля — № 2, с. 79.
Его книги нам помогали (о И. X. Сивашинском) — № 6, с. 75.
Садыхов Н. А., Попов В. В., Г амидов С. С. Садыг Наджа- фали оглы Садыгов — № 5, с. 78.
«ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ» ПРЕДЛАГАЕТ
— комплект демонстрационных таблиц «Геометрия-7» к учебнику Л. С. Атанасяна и др. по цене 24 руб.
— настенную таблицу квадратов натуральных чисел от 10 до 99 по цене 6 руб. 50 коп.
Учебно-наглядные пособия выполнены на износостойком нетканом материале, практичном и легком. В отличие от бумажных, не рвутся, не желтеют со временем и хорошо сохраняют палитру цветов. Украсят интерьер кабинета математики.
Для приобретения таблиц необходимо перечислить соответствующие суммы через местное отделение Сбербанка на р/с № 1468414 в коммерческом «Интерпрогрессбанке» г. Москвы, МФО 201508, малому внедренческому предприятию «Педагогическая технология»; корешок квитанции об оплате либо заверенную банком копию платежного поручения и письмо-заявку выслать по адресу: 115541, Москва, М-541, а/я № 1, МВП «Педагогическая технология».
78


ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ, СТУДЕНТОВ, УЧАЩИХСЯ!!!
По инициативе Всесоюзной ассоциации учителей математики создана фирма «Квантор», деятельность которой направлена на обеспечение всех преподающих и изучающих «царицу наук» учебно-методической литературой и наглядными пособиями. В настоящее время фирма предлагает вам следующую продукцию.
Первую серию книг для проведения уроков, внеклассных занятий, для подготовки учащихся к поступлению в вузы.
Состав серии:
1. П о й а Д. Как решать задачу.
2. Дорофеев Г. В. Квадратный трехчлен в задачах.
3. Шарыгин И. Ф. Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в вузы (1987—1990).
4. Лит в ач у к Л. А., Голубев В. И. Путь к неравенствам (классификация задач, оригинальные методы решения, вопросы эффективного использования неравенств в решении конкурсных задач).
5. Дудницын Ю. П., Смирнова В. К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по математике за курс средней школы (по материалам экзаменов 1990 г. в школах России, Украины, Белоруссии).
6. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Курс алгебры 8 класса в задачах (для классов с углубленным изучением математики, специализированных классов естественнонаучного профиля, кружковых и факультативных занятий).
7. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Курс геометрии 8 класса в задачах (для классов с углубленным изучением математики, специализированных классов естественно-научного профиля, кружковых и факультативных занятий).
8. М и р а к о в а Т. Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5—8 классах (приемы поиска решения).
9. Голубев В. И. Тема «Абсолютная величина числа» в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих вузов).
10. Дорофеева А. В. Страницы истории на уроках математики.
Приобрести серию могут как отдельные лица, так и организации: школьные
библиотеки, кабинеты математики институтов усовершенствования учителей и др.
Цена первой серии — 30 руб. Книги высылаются наложенным платежом. Заявки с указанием фамилии, имени, отчества заказчика или названия учреждения, полного почтового адреса направлять на почтовый адрес фирмы: 290053, г. Львов, а/я 5228.
Вторая серия: комплект дидактических материалов для организации индиви¬
дуальной и дифференцированной работы на уроках математики с V по XI класс и методическое руководство по их использованию (15 книг).
Серия подготовлена совместно учителями-членами Ассоциации и сотрудниками лаборатории математического образования НИИ ОСО АПН СССР. Книги этой серии будут направлены подписчикам в течение 1992 г.
Дидактический материал для каждого класса включает в себя систему обучающих самостоятельных работ и набор материалов для контроля.
Самостоятельные работы направлены на формирование важнейших математических умений. Структура работ, специальная компоновка заданий, широкий диапазон в их уровне дают возможность школьнику работать в индивидуальном, наиболее комфортном для него режиме и достигать оптимальных для каждого результатов. С помощью этих работ учитель может легко конструировать ту модель организации урока, которая в большей степени отвечает его индивидуальным особенностям, конкретным условиям класса.
Контролирующая часть комплекта представляет набор тематических зачетов, позволяющих проверить подготовку ученика на обязательном и повышенном уровнях. Каждый зачет дается в четырех вариантах. К зачетам прилагаются тесты для самопроверки, которые учащиеся могут использовать при подготовке к зачету. В комплект для X—XI классов включены пособия, ориентированные на преподавание математики в условиях как трех, так и пяти недельных часов.
Цена второй серии — 48 руб. Расходы по пересылке литературы — за счет подписчика. Для приобретения второй серии за наличный или безналичный расчет следует перечислить 48 руб. по адресу: г. Львов, фирма «КВАНТОР», расчетный счет 16102/468646 в Западноукраинском коммерческом банке МФО 325622 в облуправ- лении Госбанка г. Львова и выслать заказ на почтовый адрес фирмы: 290053, г. Львов, а/я 5228 с указанием фамилии, имени, отчества заказчика или названия учреждения, полного почтового адреса, номера и даты квитанции об оплате с сообщением суммы перевода или платежного требования, номера заказываемой серии.
Математический набор «ЛЮМОГРАФ»
Набор предназначен для быстрого получения в тетради рисунков стереометрических фигур и их комбинаций, а также для выполнения рисунков основных планиметрических фигур и их комбинаций с окружностью.
Применение набора обеспечивает:
1. Выполнение нужного рисунка в 5—8 раз быстрее, чем с применением традиционного инструмента.
2. Правильность рисунка и удобное расположение фигуры в пространстве, хороший обзор всех элементов фигуры.
3. Получение всеми учащимися одинакового рисунка, что значительно ускоряет обсуждение решений классных и домашних задач, повышает продуктивность урока.


Цена 70 коп.
Индекс 70557
Издательство «Педагогика»
4. 	Постоянное общение с интересным справочным материалом.
Набор запатентован в Госкомизобретений СССР и рекомендован к использованию в учебных заведениях Госкомитетом СССР по народному образованию.
Цена набора — 4 руб. 50 коп.
Набор планиметрических фигур
Набор состоит из 17 основных планиметрических фигур, изготовленных из белой пластмассы. На фигурах можно выполнять дополнительные построения простым карандашом, легко стираемые резинкой.
Набор предназначен для наглядности при изучении геометрии, для выполнения практических работ по нахождению элементов фигур, периметров, площадей...
На каждой фигуре выдавлен ее номер, что облегчает использование набора при работе с классом, а также позволяет применять его при обучении слепых и слабовидящих детей основам геометрии.
Набор может быть использован в I—VIII классах. Эстетично выполненный, он украсит любой кабинет математики.
Цена набора — 3 руб.
Для приобретения набора за наличный или безналичный расчет следует перечислить соответствующую сумму по адресу: г. Львов, фирма «КВАНТОР», расчетный счет 16102/468646 в Западноукраинском коммерческом банке МФО 325622 в обл- управлении Госбанка г. Львова и выслать заказ на почтовый адрес фирмы: 290053, г. Львов, а/я 5228 с указанием фамилии, имени, отчества заказчика (или названия учреждения), полного почтового адреса и даты квитанции об оплате с сообщением суммы перевода или платежного требования и количества заказываемых наборов.
Норма отправки — не менее 10 наборов одного вида.
Расходы по пересылке — за счет заказчика.
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ, СТЕРШЕКЛАССНИКОВ И ИХ РОДИТЕЛЕЙ! С 1992 г. журнал для поступающих в вузы «Репетитор» будет выходить 6 раз в год (с января по июнь). Главный редактор — доктор физико-математических наук Г. В. Дорофеев. Подписка на журнал принимается без ограничений во всех отделениях связи и Союзпечати до 1 января 1992 г. Не успевшие подписаться могут приобрести журнал в редакции. Для этого необходимо направить 50 руб. (стоимость годовой подписки, включая пересылку) почтовым переводом по адресу: г. Москва, Почтамт, расчетный счет № 468001 в Конверсбанке, корр. счет № 161312 в ЦОУ Госбанка СССР, МФО 299112, Перспектива. В разделе «Для письма» на бланке перевода напишите: журнал «Репетитор». Квитанцию об оплате перевода с указанием домашнего адреса с индексом, фамилии, имени и отчества следует вложить в конверт и выслать по адресу: 129110, Москва, журнал «Репетитор».
ISSN 0130—9358. Математика в школе. 1991. № 6. 1—80.