/
Текст
ЮНОСТЬ И ЗРЕЛОСТЬ КОШИ
В 1989 г. исполнилось 200 лет со дня рождения Огюстена-Луи
Коши — одного из основателей математики нового времени, внес¬
шего фундаментальный вклад во многие ее разделы.
Огюстен-Луи Коши родился 21 августа 1789 г. в семье юриста
Луи-Франсуа Коши (1760—1848), который был глубоковерующим
католиком и убежденным монархистом. Рождение первенца прои¬
зошло в трагические дни для отца семейства. Всего пять недель
назад восставшие парижане разгромили Бастилию — началась Вели¬
кая французская революция. До революции Луи-Франсуа Коши
занимал должность главного секретаря лейтенанта полиции, теперь
же ему пришлось довольствоваться скромным местом начальника
бюро больниц и благотворительных мастерских в Париже.
Детство Огюстена-Луи Коши пришлось на сложный историче¬
ский период кризиса революции, когда большинство школ было
закрыто. В это время Луи-Франсуа Коши счел разумным удалиться
с семейством из столицы, где господствовали смуты и террор.
Семья переехала в небольшое поместье около деревни Аркей, где
условия жизни были довольно тяжелыми. Продуктов питания
не хватало, приходилось самим на своей земле выращивать кукуру¬
зу, картофель, фасоль и другие овощи.
Отец внимательно следил за физическим и умственным разви¬
тием детей. Воспитанник Парижского университета, автор исследо¬
ваний в области языкознания, он всеми силами стремился дать
образование двум своим старшим сыновьям — Огюстену и Алек¬
сандру. Постепенно он привлекал их к занятиям, соблюдая меру
и проявляя яркие педагогические способности. Отец не только изло¬
жил мальчикам весь курс классической школы, но и сделал это
в стихах, чтобы дети лучше запомнили материал. Стихотворными
лекциями были заполнены многие тетради, хранившиеся потом как
семейные реликвии. Знакомя своих детей с образцами изящной
литературы древности, прививая им вкус к языку и литературе,
отец при удобном случае вставлял и религиозные поучения.
В семье царила атмосфера дружбы и уважения. На всю жизнь
Огюстен-Луи сохранил сыновнюю почтительность к отцу и сердеч¬
ную нежность к матери. Даже в зрелые годы, готовясь принять
какое-либо важное решение, он обращался за советом к матери
и считался с ее мнением.
(Продолжение см. далее в этом номере.)
МАТЕМАТИКА
Э В ШКОЛЕ
Научно-методический
журнал
Г осу дарственного
комитета СССР
по народному
образованию
Москва «Педагогика»
Издается с мая 1934 года
Выходит один раз
в два месяца НОЯБРЬ-ДЕКАБРЬ
СОДЕРЖАНИЕ
3 Об утверждении государственного базисного учебного плана сред¬
ней общеобразовательной школы
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Перестройка — общее дело
9 Заря Г. В.; Бурда М. И., Драч Т. Д., Литвиненко Г. Н.,
Хмара Т. Н.; Корольков Б. ЕОдинцов П. К., Одинцова Л. А.;
Чалов А. Н.
Из опыта работы
20 Бродский Я- С., Павлов А. Л. Об уровне обязательной под¬
готовки учащихся по математике
25 Милаш И. Организация контрольно-оценочной деятельности
29 Куценок В. Е. Еще раз о системе уроков
32 Гузеев В. В. Гуманитарная составляющая обучения матема¬
тике
35 Сохранов В. В. Элементы зачетной системы в V классе
39 Одинамадов К. О. На первых уроках обучения тождественным
преобразованиям
41 Якир М. С. Что же такое красивая задача?
47 Якубов А. В. ЭВМ в сельской школе
Консультация
49 Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Материалы
для контрольных работ в VIII классе с углубленным изучением
математики
59 Краснянская К. А., Кузнецова Г. М., Шевкин А. В.; Минаева С. С.,
Чернышева Л. Ю. О преподавании математики по учебнику
«Математика 5» Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа
Проблемы и суждения
75 Виленкин И. Я-, Сатвалдиев А. Об изучении показательной функ¬
ции в школе
82 Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Изучение показательной и лога¬
рифмической функций на основе понятий и методов математиче¬
ского анализа
SI Из писем и заметок
Внеклассная работа
95 Кузнецова Г. М., Сергеев И. И. XXIII Всесоюзная матема¬
тическая олимпиада школьников
108 Болтянский В. Г. Поворот и центральная симметрия
120 Кушнир И. А. Проекции точки на две стороны треугольника,
когда она движется по третьей
© «Педагогика», Математика в школе № 6, 1989
126 Занимательная страница
128 Задачи
144 Математический календарь на 1989/90 учебный год
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
146 Добровольский В. А. Юность и зрелость Коши
150 КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
153 Тематический указатель статей, опубликованных в журнале
в 1989 г.
От редакции
Приказом Государственного комитета СССР по народному образова-
нию от 39 июня 1989 г № 528 утверждена редакционная коллегия
журнала «Математика в школе» в частично измененном составе. Этим
же приказом объявлена благодарность за многолетнюю плодотворную
работу выбывшим из редколлегии в связи с уходом на пенсию или
по состоянию здоровья товарищам Г. Г. Масловой, Л. М. Пашковой,
К. И. Шалимовой, Н. Ф. Власику, К. И. Нешкову, И. С. Петракову,
П. В. Стратилатову, С. И. Шварцбурду. Редакция и редакционная
коллегия, высоко оценивая вклад каждого из них в развитие жур¬
нала, обращаются к ним с просьбой продолжить работу в создан*
ной при редколлегии группе методистов-консультантов.
Сдано в набор 11.10.89.
Подписано в печать 10.11.89.
Формат 84X108 1/32. Печать высокая
Бумага тип. № 2. Уел. печ. л. 8,4.
Уел. кр.-отт. 8,82. Уч.-изд. л. 11,36
Тираж 457 480 экз. Заказ 6172
Цена 45 коп.
Издательство «Педагогика*
Академии педагогических
наук СССР и Государственного
комитета СССР по печати.
Адрес издательства:
107847, Москва. ГСП, Б-05.
Лефортовский пер. д. 8.
Адрес редакции: 129278,
Москва, ул. Павла Корчагина, д. 7
Телефон 283-85-83.
Набрано в ордена Трудового Красного
Знамени Чеховском полиграфическом
комбинате Государственного
комитета СССР
по печати, 142300, г. Чехов,
Московской обл.
Отпечатано в Московской типографий
№ 13 ПО «Периодика» Государственного
комитета СССР по печати. Заказ 361.
107056 Москва, Денисовский пер., 30
Редакционная коллегия
Главный редактор Р. С. Черкасов
Зам. главного редактора
А. И. Верченко
Члены редакционной коллегии
Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский,
Г. Д. Глейзер, Б. В. Гнеденко,
Г. В. Дорофеев, Ю. П. Дудницын,
К. И. Дуничев, Н. А. Ермолаева,
Л. И. Звавич, Ю. М. Колягин,
Э. И. Кузнецов, М. Р. Леонтьева,
Г. Л. Луканкин, О. В. Мантуров,
3. И. Моисеева, А. Г. Мордкович,
Б. П. Пигарев, Н. Xi Розов
B. А. Скворцов, Е. С. Смирнова,
C. Б. Суворова, 3. С. Сухотина,
С. А. Теляковский, И. Ф. Шарыгин,
Г. А. Ястребинецкий.
Зав. редакцией 3. В. Шепелева
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технический редактор
Г. Б. Андреева
Корректор А. И. Сорнева
2
Об утверждении государственного
базисного учебного плана
средней общеобразовательной школы
Приказ Государственного комитета СССР
по народному образованию
от 22 сентября 1989 года № 751
В соответствии с политическими рекомендациями февральского (1988 г.)
Пленума ЦК КПСС по перестройке школы и в целях последовательной
реализации концепции общего среднего образования как базового
в единой системе непрерывного образования приказываю:
1. Утвердить государственный базисный учебный план средней
общеобразовательной школы (приложение 1).
2. Министерствам (Госкомитету) народного образования союзных
республик организовать работу по формированию на его основе рес¬
публиканских учебных планов и рабочих учебных планов школ и созда¬
нию условий для их постепенного введения в практику. Обеспечить до
полного введения нового базисного учебного плана работу школ по
переходным учебным планам.
Председатель Гособразования СССР Г. А. Ягодин
Действующий в настоящее время типовой учебный план средней
общеобразовательной школы не соответствует задачам ее обновления,
современным требованиям к организации учебно-воспитательного про¬
цесса. Главные недостатки этого учебного плана — чрезмерная центра¬
лизация его формирования, что приводит к одноликости школы, одно¬
типности предлагаемой модели образования, не учитывающей разно¬
образие образовательных потребностей личности, общества и государ¬
ства; многопредметность, неизбежным следствием которой является
перегрузка учащихся и искусственная фрагментарность, мозаичность
содержания образования; технократическая ориентация этого образо¬
вания, приводящая к утрате его гуманистической и культуросозида¬
ющей роли. Эти и многие другие недостатки существующего учебного
плана вызывают серьезную и справедливую критику. Их устранение
требует радикального пересмотра и самого учебного плана, и подходов
к его формированию на основе общих направлений перестройки
школы, которые определены февральским (1988 г.) Пленумом ЦК КПСС,
Всесоюзным съездом работников народного образования и одобрен¬
ной этим съездом концепцией общего среднего образования.
1
3
Приложение 1
Государственный базисный учебный план средней школы
Содержание
образования
Ступени обучения
и классы
11
III
Все¬
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
го
Союзно-реснубликан-
ский компонент
Русский язык
2
3
3
3
3
3
2
2
2
23
Литература народов
СССР
9.
9.
4
Математика
4
4
5
5
5
5
5
5
5
4
4
51
Естествознание
1
1
1
1
2
3
4
6
6
4
4
33
Обществознание
1
1
I
1
2
2
2
4
4
4
4
26
Итого
6
8
10
10
12
13
14
17
17
16
14
137
Республиканский
компонент
14
14
14
14
14
15
14
11
11
8
10
139
Школьный компонент
2
2
2
2
4
4
4
6
6
12
12
56
Курсы по выбору и
профильное обучение
2
2
6
6
16
Факультативные и до¬
полнительные занятия
2
2
2
2
4
4
4
4
4
6
R
40
Итого
16
16
16
16
18
19
18
17
17
20
22
195
Суммарная нагрузка
учебных предметов
(без факультативов)
20
22
24
24
26
28
28
30
30
30
30
292
Предельно допусти¬
мая нагрузка школь¬
ника (с факультати¬
вами)
22
24
26
26
30
32
32
34
34
36
36
332
Новый подход к формированию учебного плана
Центральной идеей этого подхода является создание гибкого меха¬
низма конструирования учебных планов, позволяющего органично со¬
четать цели общества и государства в области образования, куль¬
турно-национальные, региональные и местные запросы, образователь¬
ные потребности личности.
Этот механизм реализуется в выделении трех основных компо¬
нентов содержания образования: союзно-республиканского, респуб¬
ликанского и школьного.
Союзно-республиканский компонент определяется Государствен¬
ным комитетом СССР по народному образованию совместно с мини¬
стерствами (Госкомитетом) народного образования союзных республик
на принципах явно выраженного и осознанного согласия (консен¬
суса).
Республиканский компонент формируется на тех же принципах
министерствами (Госкомитетом) народного образования союзных рес¬
публик совместно с соответствующими органами автономных государ¬
ственных формирований и местными органами управления.
4
Школьный компонент находится в непосредственном ведении шко¬
лы и определяется ее советом.
Такой подход к конструированию учебных планов учитывает инте¬
ресы участников образовательного процесса на всех уровнях, суверен¬
ность республик и основного звена системы образования — школы в
формировании соответствующих компонентов учебного плана. Этим га¬
рантируется открытость и демократичность процедуры построения со¬
держания общего среднего образования.
Указанный подход получил правовое оформление в нормативном
документе нового типа — государственном базисном учебном плане,
на основе которого строятся вариативные модели республиканских
учебных планов и рабочие учебные планы конкретных школ.
Базисный учебный план: определяет названные выше основные
компоненты содержания образования и соотношение между ними, не
раскрывая конкретное заполнение республиканского и школьного ком¬
понентов; фиксирует минимальный удельный вес основных учебных
циклов в союзно-республиканском компоненте без их жесткого рас¬
пределения по традиционной схеме учебных предметов; вводит пре¬
дельно допустимую нагрузку школьников по годам обучения.
Помимо решения названных задач базисный учебный план реали¬
зует и другие, не менее ва*кные, связанные с гуманизацией и дифферен¬
циацией образования, его гуманитаризацией, определением направ¬
лений последовательного движения от действующего к переходным
и далее — к перспективным учебным планам.
Гуманизация образования предполагает поворот школы к ребенку,
уважение его личности, запросов и интересов, создание, в первую
очередь, максимально благоприятных условий для раскрытия и раз¬
вития способностей учащихся, полноценности их жизни, их самоопре¬
деления. Гуманизация вносит «человеческое измерение» не только в
содержание образования, его формы и методы, но и в саму сущность
учебно-воспитательного процесса, в организацию всей жизнедеятель¬
ности школы.
Одно из важнейших направлений гуманизации образования — зна¬
чительное сокращение учебной нагрузки учащихся и введение ее пре¬
дельно допустимых норм. В базисном учебном плане суммарная
недельная учебная нагрузка учащихся уменьшается в среднем: в на¬
чальной школе — на 6 часов, в основной — на 24 часа, в средней —
на 8 часов; по всем классам — на 38 часов в неделю (почти на 1300 учеб¬
ных часов в год, т. е. фактически сокращена годовая учебная нагруз¬
ка). Ликвидация перегрузки школьников в существенной мере обеспе¬
чивается и отменой обязательности домашних заданий в их традицион¬
ном понимании, что предусмотрено Временным положением о средней
общеобразовательной школе СССР.
Сокращение учебной нагрузки снимает ее нынешнее негативное
воздействие на состояние здоровья школьников и их отношение к учебе.
Оно будет способствовать развитию познавательной активности и ин¬
5
тересов учащихся, положительной мотивации учебного труда, а следо¬
вательно, повышению его качества и эффективности.
Это сокращение создаст также реальные условия для перехода
школ на пятидневную учебную неделю с использованием высвободив¬
шегося дня для отдыха, оздоровительной и развивающей деятель¬
ности.
Дифференциация образования — определяющий фактор и условие
его демократизации и гуманизации — закрепляется в базисном учеб¬
ном плане в виде обязательных курсов по выбору, углубленного и про¬
фильного обучения в старших классах, факультативов и кружков по
интересам, индивидуальных и групповых зацятий как внутри одного
класса, так и в межклассных и разновозрастных учебных группах.
Дифференциация, дополняющая общий и обязательный для всех уча¬
щихся программный материал, создает условия для индивидуализации
обучения, наиболее полного раскрытия склонностей и способностей
школьников, для всестороннего учета местных и региональных запро¬
сов.
Вместе с тем дифференциация обучения органично сочетается с
его интегративностью; Базисный учебный план, намечая основные
циклы учебных предметов, указывает соответственно и направления их
интеграции. Республиканские модели учебных планов и рабочие учеб¬
ные планы школ могут предложить свои варианты создания интегра¬
тивных предметов, имеющих обобщающий, мировоззренческий смысл.
Особенно велика роль этих предметов на начальном этапе обучения —
до введения предметного преподавания, а также на старшей ступени,
где углубленное изучение профильных дисциплин дополняется освое¬
нием других областей естественнонаучного и социального знания на
интегративной, универсальной основе. Диалектическое сочетание диф¬
ференциации и интегративности обучения обеспечивает полноценный
характер и общественно необходимый уровень общего среднего об¬
разования.
Гуманитаризация образования находит выражение прежде всего в
повышении удельного веса гуманитарных предметов в базисном учеб¬
ном плане. Это позволяет, в частности, вдвое увеличить учебное время
на эстетическое воспитание. Доля гуманитарной составляющей общего
среднего образования может быть еще более увеличена за счет
дифференциации обучения, а также путем интеграции на общекуль¬
турной основе традиционных учебных предметов.
Структура и построение учебных планов
Союзно-республиканский компонент содержания образования, на
который в базисном учебном плане отводится 41 % учебного времени,
имеет в преобладающей мере инвариантный характер. Его составля¬
ющие: язык межнационального общения народов СССР; сокровища
их культуры и, прежде всего, литературы; универсальные языки обще¬
6
ния человека с миром природы и техники — математика и основы ин¬
форматики; законы развития природы и общества.
Союзно-республиканский компонент закладывает основы преем¬
ственности базовой и последующей ступеней системы непрерывного
образования, самоопределения личности в сфере трудовой деятель¬
ности. Овладение этой частью образования — необходимое условие
интернационального единства народов СССР, их общения и взаимопо¬
нимания, их открытости, исключающей национальную замкнутость.
Следует отметить, что естественно-математическая составляющая
союзно-республиканского компонента общего среднего образования
традиционно остается достаточно высокой и обеспечивает эквивалент¬
ность советского и зарубежного аттестатов о среднем образовании.
Определение и разработка союзно-республиканского компонента
в принципе не может осуществляться только в центре и доводиться до
исполнителей на местах. Напротив, этот компонент должен разраба¬
тываться демократически, как и его программно-методическое обеспе¬
чение. Это позволит различным коллективам и отдельным авторам
создать разнообразие учебников и других пособий, соответствующих
согласованным целям союзно-республиканского компонента содержа¬
ния образования, и предложить их на общесоюзный «рынок».
Республиканский компонент базисного учебного плана (41,9 %)
обеспечивает освоение школьниками национальной культуры в ее
диалектическом единстве с общемировой культурой. В этот компо¬
нент входят такие предметы, как родной язык и литература, иностран¬
ный язык, история и география, музыка и изобразительное ис¬
кусство, трудовая, физическая, начальная военная подготовка и др.
Выбор этих предметов, распределение на них учебного времени,
их интегрирование или группировка по циклам, наконец, их програм-
мно-методическое обеспечение — прерогатива союзной республики.
Вместе с тем рекомендуется не включать в республиканские учебные
планы педагогически не эффективные, так называемые одночасовые,
предметы и по возможности сокращать число изучаемых в школе
дисциплин. Один из путей такого сокращения — интеграция содержа¬
ния союзно-республиканского и республиканского компонентов учеб¬
ного плана или их отдельных элементов. В зависимости от степени и ха¬
рактера этой интеграции содержание образования, включаемое в союз¬
но-республиканский компонент, может по-разному соотноситься и взаи¬
модействовать в учебных планах различных республик и вариативных
моделях учебных планов той или иной республики.
Республика может, кроме того, увеличивать число часов на учебные
предметы и циклы, входящие в союзно-республиканский компонент
содержания образования.
В компетенции республики — сокращать или увеличивать продол¬
жительность обучения в начальной школе и на старшей ступени, что
предусмотрено Временным положением о средней общеобразова¬
тельной школе СССР. Это позволяет перераспределять учебную на¬
7
грузку и варьировать продолжительность обучения в различных моде¬
лях республиканских учебных планов с учетом многообразия местных
условий.
Республики также разрабатывают примерный перечень курсов
по выбору, профилей обучения, факультативов и т. д., их методическое
обеспечение. Однако выбор этих курсов, профилей, факультативов
и пр. и соответствующего их обеспечения остается исключительным
правом школы. Совет школы может организовывать дифференциа¬
цию обучения, подготовку соответствующих программ, пособий и по
тем направлениям, которые не указаны в республиканском переч¬
не.
Углубленное изучение отдельных предметов, профильное обуче¬
ние, факультативы, групповые и индивидуальные занятия и составляют
основное содержание школьного компонента, доля которого в базис¬
ном учебном плане составляет 16,8%. Особенно она увеличивается
на старшей ступени школы — 33,3 %. Время на факультативные и допол¬
нительные занятия, входящие в состав школьного компонента, совет
школы может также использовать для организации помощи отстаю¬
щим, оздоровительных занятий, увеличения времени на изучение об¬
щих курсов, их преломление к местным условиям, на общественно
полезный, производительный труд и т. д.
Введение базисного учебного плана потребует определенного
времени и серьезных научно-организационных усилий по разработке
и апробации дифференцированных' и интегративных курсов, альтер¬
нативных программ, учебников и учебных пособий, по подготовке и
переподготовке учителей, изменению их профессионального сознания,
наконец, по материальному обеспечению школы. На первом этапе пере¬
ходного периода может сохраняться традиционная предметная струк¬
тура учебного плана. Но уже в ближайшее время следует по возмож¬
ности сократить число изучаемых в школе предметов и существенно
расчистить материал действующих ныне учебников и учебных пособий.
То и другое должно опираться на глубокую программную работу,
проводимую совместно учеными, методистами, учителями. Эта работа,
уже проделанная в ряде творческих коллективов, легла в основу пере¬
ходных учебных планов.
Перевод школы на работу по этим учебным планам не только не
требует дополнительных ассигнований, но позволяет выделить значи¬
тельные ресурсы, которые должны направляться на всестороннее об¬
новление образования. Финансовые резервы, высвобожденные в ре¬
зультате сокращения учебной нагрузки, могут быть направлены на
дифференциацию обучения в ее различных формах, введение интегри¬
рованных курсов, организацию групповых или индивидуальных заня¬
тий и т. д. Эти резервы существенно возрастут при переходе школы
8
H МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ПЕРЕСТРОЙКА — ОБЩЕЕ ДЕЛО
В редакцию продолжают поступать отзывы читателей по поводу пред¬
принимаемых мер, направленных на перестройку советской школы.
Пишут как учителя средних школ, так и преподаватели вузов. Они ха¬
рактеризуют создавшуюся обстановку и предлагают свои решения по
разнообразным аспектам совершенствования системы обучения мате¬
матике. При различии подходов и большом разнообразии затронуты*
вопросов авторы проявляют общую озабоченность сложившимся поло¬
жением дел в математическом образовании.
Математическое образование:
для всех или для некоторых?
В переводе с греческого слово математика означает знание, наука.
Недаром с незапамятных времен осведомленность в математике почи¬
талась как высшая степень учености человека. Эта убежденность, ко¬
нечно, льстила математикам, но не несла ничего хорошего математи¬
ческому образованию, поскольку оправдывала его недостаточную рас¬
пространенность. Большинство детей и взрослых издавна относились к
математике как к трудной, неинтересной и недоступной науке, к тому
же необходимой для решения чисто теоретических задач астрономии,
физики, баллистики и других наук, без которых вполне может обойтись
обычный человек.
Вот и в наше время ширится дискуссия о математическом образо¬
вании. Каким оно будет? Некоторые публикации в широкой прессе вы-
на новые условия хозяйствования, которые определены Временным
положением о средней общеобразовательной школе СССР.
В перспективе необходимо ориентироваться на создание комплекс¬
ного учебно-воспитательного плана школы, который призван интегриро¬
вать в единое целое все виды ее учебно-воспитательной деятельности:
обучение и воспитание, классную и внеклассную работу, коллектив¬
ную и индивидуальную, познавательную и производственную и т. д.
Единый учебно-воспитательный план сбалансирует все составные части
этой целостной учебно-воспитательной работы школы, позволит школе
приобрести необходимые качества воспитывающей, обучающей и раз¬
вивающей среды — среды активной, творческой, в которой раскрыва¬
ются и крепнут склонности и дарования детей*.
* Далее в приложениях представлены варианты переходного респуб¬
ликанского плана с традиционной структурой учебных предметов и учеб¬
ного плана школы-пятидневки на 1989/90 учебный год, а также соот¬
ношение циклов учебных дисциплин в учебных планах различных
стран.
9
сказывают идею о необязательности математических знаний для каж¬
дого учащегося. Над школьным курсом нависла реальная угроза превра¬
титься из общедоступного, а следовательно, и общеобразовательного
предмета в курс, предназначенный для некоей школьной элиты. В об¬
суждении этой проблемы веское слово должно принадлежать журналу
«Математика в школе».
В 1988 г. « Математика в школе» опубликовала статьи, посвященные
различным аспектам упомянутой дискуссии. Среди них особо выделя¬
ются следующие: Болтянский В. Г., Глейзер Г. Д. К проблеме дифферен¬
циации школьного математического образования (№ 3); Виленкин Н. Я.
Современные проблемы школьного курса математики и их историче¬
ские аспекты (№ 4); Колягин Ю. М. Размышления о некоторых педа¬
гогических и методических проблемах школы (№ 5).
В указанных статьях выделены следующие проблемы школьной
математики:
Отсутствие концепции общего математического образования.
Недостаточная определенность содержания школьного курса ма¬
тематики.
Отсутствие современных учебников математики, соответствующих
различным уровням математического образования, и методических
разработок для дифференцированного преподавания.
Нечеткость критериев оценки знаний учащихся.
Все эти проблемы требуют пристального внимания научных кругов
и педагогической общественности. Выскажем наши соображения по
каждой из них.
1. На наш взгляд, при создании концепции среднего математиче¬
ского образования необходимо обратить внимание на то обстоятель¬
ство, что переход на качественно новое изложение школьного курса
невозможен без учета математической подготовки старших по¬
колений. Взрослые, в том числе учителя и родители, должны иметь
минимальные знания по новым разделам курса. Иначе невозможен
успех ни одной реформы содержания математики. Неудачи реформы
20-х гг., вводившей в школу основы математического анализа, а также
реформы 60-х гг., обнажившей теоретико-множественные основы ма¬
тематики, мы связываем именно с искусственным разрывом в преем¬
ственности развития математического образования. Оно должно совер¬
шенствоваться эволюционным путем, передаваясь от поколения к поко¬
лению, а не двигаться скачками.
2. В последнее время все больше признается концепция трех уров¬
ней в содержании школьной математики. Названия этих уровней и их
конкретные программы пока не определены, хотя в выступлениях по
этому вопросу уже намечается устоявшаяся повторяемость. Мы считаем
наиболее удачной следующую схему: первый уровень — общекуль¬
турный, второй — прикладной, третий — творческий. В соответствии с
этой схемой пора создавать программы математического образования
по трем уровням, причем базовой должна быть программа общекуль¬
турного уровня. Отбор материала, входящего в «общекультурный ми¬
нимум», детализация способов его изложения становятся важнейшей
методической задачей наших дней.
3. Дифференциация обучения требует создать учебник, в котором
отразились бы интересы всех трех уровней. Он также должен пре¬
10
дусматривать возможность для ученика в любой момент перейти с од¬
ного уровня на другой. Кроме того, современный учебник должен быть
и увлекательной книгой, показывающей связь математики с жизнью.
Важно, чтобы учебник стал в каком-то смысле «домашним учителем»,
помогающим ученику самостоятельно овладеть общекультурным мини¬
мумом. В наш век обилия научно-технической литературы бесперспек¬
тивными выглядят попытки заставить ученика запомнить чуть ли не весь
курс, превратив его в некое подобие ЭВМ с огромным запасом памяти.
Нужно четко определить объем информации, предназначенной для
запоминания, и изложить этот минимум так, чтобы ученик его запомнил
на всю жизнь, как запоминает он таблицу умножения.
4. Распределение учащихся по группам требует новых критериев
оценки. Система оценок должна быть такой, чтобы в ней естествен¬
но учитывался тот уровень, на котором обучается школьник. Пред¬
лагаем ввести следующую систему оценок:
общекуяьтурный уровень — незачет (0) и зачет (1);
прикладной уровень — знания удовлетворительные (2) и знания
средние (3);
творческий уровень — знания твердые (4) и знания отличные (5).
Таким образом, общее количество оценок увеличивается всего на
два балла, а сама оценка красноречиво свидетельствует об уровне уча¬
щегося.
Могут возразить, что такая система оценок узаконит прослойку
слабых учащихся, которые тем не менее физически и умственно оста¬
ются вполне здоровыми детьми. Наличие такой прослойки якобы анти¬
общественно и бесчеловечно, поэтому не применимо для советской
единой средней школы. Такие опасения говорят о нежелании считаться с
реальностью. Ведь прослойка слабых учеников всё равно существует,
признаем мы это официально или нет. Упрямое пренебрежение реаль¬
ностью повинно в том, что у нас до сих пор не созданы особые методы
работы со слабыми учащимися, не существует для них специальных
дидактических материалов и т. д.
Порочная система оценок заставляет учителей в своем преподава¬
нии отдавать приоритет развитию памяти, но не мышления учащихся.
Однако официально акцент делается на развивающем обучении. Учи¬
теля оказываются в трудном положении. С одной стороны, нужно вы¬
полнить программу, которая недвусмысленно требует формирования
математической культуры учащихся, а не только развития оперативных
навыков. С другой стороны, необходимо добиться чисто утилитарной
цели: сделать так, чтобы на контрольных или экзаменах все «усреднен¬
ные» дети получили хотя бы средний балл.
В нашей средней школе назрели крупные проблемы, и решать их
мы, учителя, должны самостоятельно и не откладывая.
Г. В. Заря (с. Стальновцы Черновицкой обл.)
За объективность оценки знаний
Педагогическая общественность уже давно поднимает вопрос о необхо¬
димости внести четкость и определенность в процесс оценивания зна¬
ний учащихся, особенно слабоуспевающих. Многие учителя считают,
что важнейший шаг в этом направлении был сделан при создании Обя¬
зательных результатов обучения (см.: Математика в школе. 1985.
№ 2, 3, 4). Этот документ дает учителю столь необходимое чувство
уверенности в том, что его работа согласуется с общим уровнем пре¬
подавания. Минимальная положительная оценка приобрела определен¬
ную однозначность. Тем самым объективность оценки увеличилась, а
возможность для учительских колебаний или произвола практически
сошла на нет. Существенно уменьшился и формализм в оценивании
знаний. Одновременно повысились требования к сильным ученикам.
Теперь уже хорошую оценку в четверти нельзя получить без четкого
ответа по каждой теме курса, т. е. без овладения опорными зна¬
ниями. Это снижает вероятность появления отдельных пробелов в ба¬
зовых знаниях у сильных учащихся.
Мы считаем, что в настоящее время, после обсуждений и дискуссий,
идея Обязательных результатов обучения принята всеми учителями.
Однако методика работы в этом направлении определяется пока
только в передовом педагогическом опыте.
На наш взгляд, интересно решается эта проблема в средней шко¬
ле № 13 Ужгорода. Учительница математики этой школы — Магда¬
лина Николаевна Казмирчук — основную работу по достижению обяза¬
тельных результатов проводит на начальном этапе. На первом уроке по
новой теме учительница сообщает, какими умениями ребята должны
овладеть, изучив эту тему. В классе на стенде вывешивается список
обязательных заданий. В конце изучения темы будут проконтроли¬
рованы умения, развитые указанными заданиями. Ученики знают, что
если хотя бы одно задание останется нерешенным, то тема не будет
зачтена. Вначале эти задания рассматриваются устно, затем записыва¬
ются в тетрадях. На последующих уроках задания этого типа
включаются в устные упражнения. Чаще других к выполнению этих за¬
даний подключаются учащиеся, которые испытывают трудности в мате¬
матике.
Зачет по теме проводится на итоговом уроке. Перед этим уроком
учащимся сообщается, какие теоретические вопросы должны быть по¬
вторены, на что обратить внимание. К зачету учительница готовит для
каждого ученика карточку с индивидуальными заданиями, подобными
тем, которые находятся на стендах. Первая половина урока отводится
теоретическим знаниям, вторая — практическим умениям и навыкам.
Если ученик решил все задания, то, значит, он сдал зачет по теме.
Не сдавшие зачет должны сдавать его повторно. С этими учениками
проводит дополнительные занятия либо учитель, либо ученик-асси-
стент. Контрольная работа по теме идет также по карточкам. Уча¬
щиеся получают по пять индивидуальных заданий, часть из которых ана¬
логичны включенным в Обязательные результаты обучения. Таких за¬
даний обычно три. Два дополнительных вопроса дают возможность
ученику получить оценки «4» и «5». Эти два последних вопроса диф¬
ференцированы: в одних карточках легче, в других — труднее.
12
Учителя Немешаевской средней школы Бородянского района
Г. Н. Дурицкий и Е. И. Покотило знакомят учащихся с упражнениями
из Обязательных результатов обучения не в начале темы, а только
перед зачетом. Изучение темы сопровождается перечнем во¬
просов, по которым будет контролироваться усвоение теоретического
материала. Вопросы составляются четко и подробно. Ученики, не сдав¬
шие зачет по теории, не допускаются к итоговой контрольной работе.
Такой подход учителя осуществляют в классах не ниже VI. По их мне¬
нию, в четвертых и пятых классах нет необходимости информировать
учащихся об Обязательных результатах обучения. Вопрос об «обяза¬
тельности» одних заданий и «необязательности» других в IV—V классах
поднимать еще рано, хотя учителю весьма полезно и нужно руко¬
водствоваться концепцией Обязательных результатов.
В системе контроля знаний значительно возрос удельный вес само¬
стоятельных работ, позволяющих ученику самому оценивать свои зна¬
ния и умения. Во время самостоятельных работ не исключается воз¬
можность использования учебника или помощи товарища. Возмож¬
ность получить помощь уменьшает стремление к списыванию. По зада¬
ниям, аналогичным тем, которые приведены в Обязательных результа¬
тах обучения, целесообразно проводить почти ежеурочно кратковре¬
менные самостоятельные работы. Проверять их можно посредством
самооценок или взаимопомощи, если заранее подготовить своего рода
«эталоны», критерии выставления определенной оценки. Такие формы
проверки используют, например, учителя Т. И. Александрова (шк. № 1 79,
Киев), Г. Я. Апаратная (Николаевская обл.), Л. К. Кутафьева (шк. № 1,
Вышгород), Г. И. Нишак (шк. № 3, г. Обухов), Л. Б. Тарашан (шк. № 5,
г. Черновцы), Т. И. Храпко (шк. № 111, г. Днепропетровск).
Передовой педагогический опыт свидетельствует, что устранение
неясностей в деле выставления оценок за письменные работы или уст¬
ные ответы учащихся открывает интересные возможности для разви¬
тия учебной активности школьников.
М. И. Бурда, Т. Д. Драч, Г. Н. Литвиненко,
Т. Н. Хмара (Киев)
Домашние задания? — Необходимы
В примерном «Временном положении о средней общеобразователь¬
ной школе», опубликованном в «Учительской газете» 18 июля 1989 г.,
мое особое внимание привлек п. 23: «Домашние задания не обяза¬
тельны. Они могут даваться с учетом психофизиологических и педа¬
гогических требований и индивидуальных особенностей каждого ре¬
бенка. В первом классе домашние задания не задаются».
Большая часть этого пункта не вызывает сомнений. Действительно,
в первом классе можно и нужно обойтись без домашних заданий, а в
старших классах их следует дифференцировать. Но начальная фраза —
«Домашние задания не обязательны» — вызывает серьезные сомне¬
ния. Конечно, эта фраза появилась не случайно и отражает тот факт,
что учителя часто предлагают домашнее задание без тщательного его
обдумывания и без дифференциации. В результате задание оказыва¬
ется слишком сложным, на его выполнение ученики затрачивают не¬
оправданно много времени, а некоторые ребята просто не в состоянии
13
понять, как приступить к заданию. Ошибка учителя, связанная с невер¬
ным определением возможностей учащихся, неминуемо скажется на
следующем уроке. Если учитель строго проверяет задание, то он
рискует быть втянутым в конфликт с учащимися; если же он закрывает
глаза на недоделки, то культивирует у своих воспитанников безответст¬
венность.
Вопрос о проверке домашних заданий — один из самых трудных,
но нельзя уходить от трудностей, просто отсекая те или иные элементы
работы в классе. На мой взгляд, заявление о нецелесообразности до¬
машних заданий для массовой школы является, по крайней мере,
спорным.
Каждый учитель понимает, что знания школьников могут быть твер¬
дыми, только если они закрепляются многократным повторением в
разных ситуациях. Домашние условия резко отличаются от
классных; то, что в классе казалось ясным, дома может вызвать у уче¬
ника вопросы. Ему придется подумать, вспомнить объяснения учителя,
применить их к новому упражнению и т. д. Кроме того, дома ученик
имеет возможность, не торопясь, еще и еще раз повторить прочитанное
или услышанное в классе. Если же мы не будем требовать от каждого
учащегося систематической работы с «самим собой», то лишимся одного
из самых действенных способов формирования у учащихся способности
к самообразованию. Ученик, никогда не сидевший дома над задачей,
не оказавшийся с книгой «один на один», вряд ли сможет сформиро¬
ваться как самостоятельная личность.
Но даже если пойти на сильное сокращение домашних заданий,
то следует предложить какой-то заменитель. Речь идет об увеличении
доли самостоятельной работы на уроках. Но тогда потребуется отвести
на изучение нынешней программы по математике значительно больше
часов. Пока, однако, наблюдается обратная тенденция: часы на препо¬
давание математики сокращаются. В этих условиях призывать к «необя¬
зательным» домашним заданиям — значит фактически сокращать курс
математики еще больше.
В настоящее время обойтись без домашних заданий по математике
можно, по-видимому, только в школе полного дня. Но и там нужно
предлагать учащимся, которые интересуются математикой, подумать
дома над каким-то интересным вопросом, а через несколько уроков
выслушать доклад о результатах ученика. Например, при изучении
формул сокращенного умножения можно предложить вывести фор¬
мулы куба суммы и разности двух чисел. (В учебнике VII класса эти
формулы не рассматриваются, но их полезно знать, так как они облег¬
чают выполнение различных заданий.) Необязательные задания повы¬
шенной сложности целесообразно практиковать и в массовой школе.
Но все задания (как обязательные, так и необязательные) должны
быть очень хорошо продуманы и по содержанию, и по способам конт¬
роля за их исполнением. Задания для слабых учащихся должны быть
четко разъяснены учителем, а те, что предназначены сильным,—
снабжены указаниями о необходимой математической литературе.
Учитель должен оставлять специальное время на уроках, после уроков
или на внеклассных занятиях, чтобы посмотреть тетрадь слабого уче¬
ника или выслушать сильного.
Б. Е. Корольков (Москва)
14
Не забывать и сельскую школу
Наш опыт работы на математическом факультете Барнаульского
пединститута позволяет сделать вывод о серьезных недостатках в
деле математической подготовки будущих учителей. В 50—60-е гг.
в содержании вузовских математических курсов большое внимание
уделялось школьной математике, учебные планы включали специаль¬
ные лекции по элементарной алгебре, геометрии, тригонометрии,
на которые отводилось довольно много часов. Интеграция этих лек¬
ций с традиционными лекциями по высшей математике и семина¬
рами по решению школьных задач позволяла закладывать более
глубокие основы профессионального мастерства учителей матема¬
тики.
Но с конца 60-х гг. из учебных планов математических факуль¬
тетов курсы элементарной математики исчезли и были неадекватно
заменены практикумом по решению задач. Это и привело к тем
отрицательным последствиям, на которые обоснованно указывал
академик С. П. Новиков (см.: Математика в школе. 1989. № 3).
Особенно отрицательно это сказалось на тех вузах, чьи вы¬
пускники в основном направляются работать в сельскую школу.
Например, 90 % окончивших наш Барнаульский пединститут стано¬
вятся учителями сельских школ. Как будут наши выпускники попол¬
нять свои знания по элементарной математике, если в результате
неверной педагогической политики они не смогли получить эти зна¬
ния в вузе? Всем известно тяжелое положение в сельских районах.
Не хватает не только научной и методической литературы по ма¬
тематике, но даже и школьных учебников. В этой ситуации вузы, го¬
товящие учителей главным образом для сельских школ, должны
прежде всего ориентироваться в своих учебных планах и программах
на те условия, в которых будут работать их выпускники.
Следует отметить, что в новом учебном плане Гособразования
СССР по специальности 01.01 (математика) наметилась тенденция по
усилению внимания к школьной математике как к основному по¬
лю профессиональной деятельности учителя. В учебном плане по¬
явился курс «Элементарная математика с практикумом по решению
задач», на который отведено значительное число часов (324 ч., из
них 162 аудиторных). Вместе с тем в учебном плане по специаль¬
ности 2104 (математика) число часов на изучение математики и ин¬
форматики несколько уменьшилось: с 51,5% до 50%. Не нашлось
в новом плане и места для курса «Числовые системы», играющего
важную роль в профессиональной подготовке будущего учителя
математики, поскольку он не только знакомит с аксиоматическим
и конструктивным построением основных числовых систем, но и воору¬
жает будущего учителя методологией предмета на конкретном ма¬
териале (аксиоматический метод, структурно-системный подход, ме¬
тод математической индукции и т. д.).
По-прежнему заслуживают критики и программы основных ма¬
тематических дисциплин в пединститутах. Они перенасыщены фор¬
мальным материалом, мало внимания уделяют выработке у студентов
умений и навыков в применении теории к решению задач. Программы
не создают условий для выполнения таких дидактических требова¬
15
ний к содержанию материала, как преемственность, доступность.
Действительно, в I—II семестрах предусматривается изучение ал¬
гебраических структур в достаточно абстрактной форме, что вызы¬
вает большие затруднения у значительной части первокурсников.
Однако было бы ошибкой считать, ^то именно несовершенные
учебные планы и программы являются определяющей причиной сла¬
бой математической подготовки выпускников педвузов. К числу наибо¬
лее важных причин мы относим остаточный принцип финансирова¬
ния педвузов, которым обусловливается их недостаточная техниче¬
ская и дидактическая оснащенность и тяжелое материальное поло¬
жение части студентов. Остаточный принцип виноват и в большой
наполняемости групп и потоков, не позволяющей эффективно орга¬
низовать индивидуальную и самостоятельную работу студентов. А ведь
именно в организаторской помощи нуждаются прежде всего студен¬
ты из сельских районов, подавляющее большинство которых живут
в общежитиях, где не так просто найти тихий уголок Для занятий.
Студенты из сельской местности не уступают горожанам ни по ин¬
теллекту, ни по старательности, но все-таки отстают в знаниях, по¬
скольку все 10 школьных лет получали ущербное образование
прежде всего из-за систематического использования учащихся на
сельскохозяйственных работах в течение учебного года.
Для повышения качества математической подготовки педагогиче¬
ских кадров необходимо:
1. Кардинально улучшить финансирование педвузов.
2. Привести техническую и дидактическую оснащенность мате¬
матических факультетов в соответствие с требованиями времени.
3. Существенно переработать учебные планы и программы.
Реализация первых двух пунктов зависит от многих факторов.
Среди них усилия преподавателей педвузов не являются единствен¬
но необходимыми, а стоят в общем ряду с усилиями других людей.
Но навести порядок в учебных планах и программах — наша непо¬
средственная задача, и решить ее самостоятельно мы вполне в со¬
стоянии. В I семестре целесообразно предусмотреть вводные курсы
математического анализа, алгебры и геометрии, своего рода про¬
педевтические, предваряющие изучение основных математических кур¬
сов и способствующие ликвидации пробелов в знаниях по школьной ма¬
тематике. Эти адаптационные курсы подтянут тех, кто пришел в вуз
из сельских районов, до того уровня, который обеспечивает восприя¬
тие идей высшей математики. В адаптационных курсах следует пре¬
дусмотреть изучение первоначальных сведений по теории множеств,
математической логике, алгебраическим уравнениям и неравенствам,
развитие интуитивных представлений об основных числовых системах,
включая комплексные числа, и т. д. Эти курсы позволили бы в даль¬
нейшем, в III—VIII семестрах, ввести углубленное преподавание
элементарной математики, излагаемой с точки зрения высшей. Курс
элементарной математики совместно с педагогической практикой мог
бы служить завершающим аккордом в деле подготовки учителя
для восьмилетней школы. (Отметим попутно, что учителя восьмилет¬
ней школы следует готовить четыре года, чтобы дать возможность
ознакомиться в полном объеме с курсами высшей математики.)
16
При разработке программ основных математических дисциплин
важно их профессионально сориентировать, т. е в каждом разделе
показать его связь с содержанием школьной математики, раскрывая
научные основы понятий и теорий, пропедевтика которых дается
в школе. В старших семестрах необходимы обобщающие курсы по
основаниям математики. Значение их в деле профессиональной
подготовки трудно переоценить, поскольку они не только вооружают
будущих учителей специальными знаниями, методологией математики,
но и позволяют с помощью структурно-системного подхода увидеть
в целом стройное здание школьной математики.
Необходимо шире практиковать обучение одаренных студентов
по индивидуальному плану, смелее внедрять семинарские, лаборатор¬
ные занятия с использованием ЭВМ и современных технических
средств обучения, элементы деловых игр и т. д.
Повышение качества профессиональной подготовки будущих учи¬
телей математики невозможно осуществить без непрерывного повы¬
шения квалификации преподавателей педвузов. С этой целью, наряду
со сложившейся практикой организации ФПК в ведущих педвузах
страны, необходимо разработать систему проблемных семинаров по
актуальным вопросам математики и методики ее преподавания.
Они могли бы проводиться при МГПИ им. В. И. Ленина, при
ЛГПИ им. А. И. Герцена, а также во всех ведущих педвузах основ¬
ных регионов страны. К этой работе хорошо было бы привлечь и
наши ведущие университеты.
П. К. Одинцов, J1. А. Одинцова (г. Барнаул)
В поисках путей гуманизации
К одной из важных составляющих концепции общего математиче¬
ского образования относится принцип гуманизации. Его необходимо
реализовать незамедлительно, причем не только в школе, но и в пе¬
дагогическом вузе.
Могут возразить, что еще не полностью ясно, как именно это
следует делать. Но большую ясность мы приобретем именно в практи¬
ческой работе. Сама жизнь раскроет такие грани гуманизации, о
которых мы сейчас, может быть, только смутно догадываемся. Чтобы
не быть голословным и избежать общих фраз, опишу конкретный
опыт.
Кафедра геометрии пединститута в Ростове-на-Дону много ра¬
ботает над вопросами гуманизации преподавания математики. При
этом на первое место мы ставим задачу формирования мате¬
риалистического мировоззрения студентов. К сожалению, ни програм¬
ма, ни учебники, ни методические рекомендации для педвузов не
ориентируют должным образом на решение этой задачи. К тому же
в настоящее время идет процесс сокращения аудиторных занятий,
поэтому основную нагрузку приходится возлагать на самостоятель¬
ную работу студентов и на творческие находки математических
кафедр.
Преподаватели геометрии нашего пединститута предлагают сту¬
17
дентам за 6 семестров выполнить 44 самостоятельные работы. Как
правило, каждая работа состоит из четырех разделов: I раздел —
подготовка к лекциям по указанной большой теме; II—подготов¬
ка к практическим занятиям по той же теме; III — изучение мето¬
дологии и философии математики на основе данных изучаемой темы;
IV — чтение популярной математической литературы (в том числе книг
о жизни великих математиков и руководств по занимательной мате¬
матике). Разделы I и II, как видим, весьма специфичны, раздел IV,
наоборот, имеет достаточно общий характер. Из его названия по¬
нятно, что требуется от студентов. Более подробного описания за¬
служивает раздел III.
Не секрет, что нынешний студент может благополучно окончить
математический факультет педвуза, не прочитав ни одной книги по ме¬
тодологии математики. Культура чтения у нынешней молодежи
вообще довольно низка, и это неминуемо ведет к ущербности ду¬
ховного начала. Поэтому мы стараемся всячески побуждать студентов
к чтению книг по математике, не только учебников, но и трудов по
фундаментальным вопросам. Это чтение мы стараемся контролиро¬
вать, помня в то же время о недопустимости перегрузки непомер¬
ными заданиями. Поэтому некоторые книги мы предлагаем читать
выборочно. Например, в книге Г. И. Рузавина «О природе матема¬
тического знания» (М., 1968) студентам рекомендуется прочесть
лишь одну вторую главу «Аксиоматический метод и его роль в мате¬
матике». В книге И. Д. Андреева «Пути и трудности познания» (М.,
1968) особое внимание обращается на главу седьмую «Методы науч¬
ного познания». Из других рекомендуемых работ укажем еще две
книги: К. А. Рыбников «Очерки методологии математики» (М., 1982),
Б. В. Гнеденко «Формирование мировоззрения учащихся в процессе
обучения математике» (М., 1982). Из статей в журнале «Математика
в школе» внимание студентов обращается на ряд публикаций Б. В. Г не¬
денко — «Статья В. И. Ленина "О значении воинствующего мате¬
риализма" и математическое образование» (1982. № 4), «Математи¬
ческие рукописи К. Маркса и вопросы математического образова¬
ния» (1984. № 2), «Воспитание моральных принципов и математи¬
ка» (1984. № 5).
Задания самостоятельной работы поддерживаются на лекциях
и предметных олимпиадах. Например, на одной из лекций по теме
«Геометрические преобразования» студентам рассказывают о книге
Г. Вейля «Симметрия» (М., 1968). Тут же следует общее задание:
просмотреть эту книгу и подготовить по ней несколько докладов.
Специальные доклады посвящаются вступительной статье к этой
книге, написанной И. М. Ягломом,— «Герман Вейль и идея симметрии».
Наиболее глубокие и трудные в математическом отношении до¬
клады заслушиваются на студенческой олимпиаде по геометрии. До¬
клады более популярного характера студенты читают школьникам
во время педагогической практики. Например, по упомянутому пре¬
дисловию И. М. Яглома был подготовлен интересный и доступный
школьникам доклад «Герман Вейль как математик и антифашист».
В рамках предметной олимпиады устраиваются и математиче¬
ские вечера. Студенты специально готовят к ним разнообразный
реквизит, достают свечи, канделябры и т. д. Докладчики расска¬
18
зывающие о жизни великих математиков прошлого, стараются вы¬
ступить в соответствующих костюмах. Словом, делается всё, чтобы
создать в зале обстановку прошедших веков.
Пожалуй, самым удачным мероприятием кафедры геометрии
оказался конкурс, приуроченный к изучению геометрии Н. И. Лобачев¬
ского. От студентов требовалось ответить на 20 вопросов о жизни и
деятельности великого русского геометра. Некоторые из них были
научными: «Какое открытие сделал Лобачевский и какова история
этого открытия?», «В каких областях науки и техники применяется
геометрия Лобачевского? Опишите схематично, в чем именно состоит
это применение», «Что вы знаете о казанской геометрической шко¬
ле?». Встречались и гуманитарные вопросы, и, так сказать, гуманитар¬
но-технические. Например: «Какой известный певец был родом из
Казани?» (Ф. М. Шаляпин), «Какой великий русский композитор
развивал одну смелую техническую идею, которая была частично
реализована в Казани?»1. Вопросы заинтересовали студентов и других
факультетов. Учащиеся прочитали вместе массу книг самой различ¬
ной тематики, чтобы с лучшей стороны показать себя на конкурсе.
Семь победителей конкурса были премированы поездкой в Казан¬
ский университет. Наши коллеги из Казани сделали всё, чтобы пре¬
бывание в этом городе студентов из Ростова-на-Дону было инте¬
ресным. Гостям показали университет, где учился В. И. Ленин,
устроили встречу с писателем Д. Тарджемановым, автором книги
«Юность Лобачевского».
Важным элементом нашей работы является привлечение студен¬
тов к преподаванию уже в стенах института. Допустим, лектор излага¬
ет какой-то большой вопрос. По ходу дела требуется провести
доказательство некоторой частной теоремы. Почему бы не пору¬
чить это студенту? Сотрудники нашей кафедры часто так и поступают,
предварительно поработав с выбранным студентом. Под руководством
преподавателей студенты проверяют самостоятельные работы своих
товарищей, разыскивают и решают интересные задачи, готовят олим¬
пиады, вечера, симпозиумы и т. д. Студент всё время чувствует,
что его признают как личность, в его организаторских усилиях нуж¬
даются ежедневно, с его мнением о ходе занятий готовы считаться.
Это и есть, на наш взгляд, реализация принципа гуманизации
в преподавании.
А. Н. Чалов (г. Ростов-на-Дону)
1 Речь идет о цветомузыке (или светомузыке). Идею высказывали
еще с XVIII в. Виднейшим приверженцем цветомузыки был А. Н. Скря¬
бин. По сведениям из БСЭ (3-е изд., т. 28, с. 466) светомузыкой
занимаются: в СССР — конструкторское бюро «Прометей» в Казани,
студии светомузыки в Харькове и в московском музее Скрябина;
за рубежом — нью-йоркский ансамбль светомузыки и ряд фирм в
Голландии, ФРГ, США.— Прим. ред.
19
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Об уровне обязательной подготовки
учащихся по математике
Я. С. Бродский, А. Л. Павлов (г. Донецк)
Различия в возможностях учащихся по усвоению того или иного пред¬
мета, в потребностях в его изучении и использовании (про¬
должение образования, интерес к предмету, мотивы познаватель¬
ной деятельности и т. п.) требуют разработки целей обучения
на различных уровнях. Такой подход к обучению является со¬
ставным элементом новой концепции среднего математического обра¬
зования, проект которой опубликован в [1]. Целью настоящей
статьи является обсуждение двух разделов этой концепции: «Уро¬
вень обязательной подготовки (базовый уровень)» и «Дифферен¬
циация обучения математике». Авторы длительное время занимаются
проблемой планирования результатов (в том числе и обязатель¬
ных) обучения по математике в средних специальных учебных
заведениях. Накопленный опыт позволяет оценить значимость пробле¬
мы и намеченные пути ее решения, а также высказать кон¬
структивные предложения по этим вопросам.
Мы полностью одобряем идею о выделении «уровня обяза¬
тельной математической подготовки» для всех школьников и одно¬
временном создании «условий для достижения более высоких резуль¬
татов теми учащимися, которые проявляют склонность и интерес
к предмету» ([1], с. 27). Мы в основном согласны с поло¬
жениями указанных выше разделов. Безусловно, они требуют
дальнейшей конкретизации. Однако, на наш взгляд, в настоящем
виде некоторые положения требуют разъяснения, уточнения. Во-
первых, соглашаясь с тем, что «описание уровня обязательной
математической подготовки включает характеристику представлений
о важнейших математических идеях и методах ... качественное
описание тех умственных навыков, на развитие которых направляется
преподавание, а также перечень конкретных математических умений...»,
мы не согласны с тем, что только «последние конкретизируются
в форме вопросов и образцов задач» ([1], с. 27).
Уровень обязательной математической подготовки в целом дол¬
жен быть задан в форме вопросов и задач. Они позволяют
фиксировать и наличие у учащихся представлений о важнейших
математических идеях и методах, и сформированность основных
умственных навыков, и владение конкретными математическими уме¬
ниями. Конечно, эти цели могут быть реализованы специально
подобранной системой вопросов и задач. Минимальный уровень по
любому предмету должен носить «деятельностный» характер, он
призван фиксировать умение выполнять определенный вид заданий. Речь
20
идет о деятельности на определенном уровне, в первую очередь об
умении применять знания, сформированные навыки в простейших ситуа¬
циях.
Во-вторых, требует уточнения тезис о том;, что уровень
обязательной подготовки позволяет обеспечить необходимый единый
уровень математической грамотности, гарантируемый всеми типами
учебных заведений, дающими среднее образование» ([1], с. 27).
Для начальной и основной школы этот тезис возражений не вызы¬
вает. Что касается базовой средней школы III ступени, для 'которой
курс математики не включен в число обязательных предметов
([2], с. 7), то речь не может идти о едином уровне мате¬
матической подготовки учащихся. Если даже предположить, что в школах
или классах гуманитарной направленности будет введен приклад¬
ной курс математики (а мы это предложение полностью поддер¬
живаем), то соответствующий уровень математической подготовки
учащихся нельзя принять в качестве обязательного для всех типов
средних учебных заведений. Мы глубоко убеждены в том, что
обязательный уровень математической подготовки учащихся должен
быть различным для различных типов учебных заведений, для под¬
готовки к различным сферам будущей деятельности учащихся.
Это связано с тем, что обязательный уровень обучения матема¬
тике отражает минимальные цели изучения предмета. А они суще¬
ственно различны для различных типов учебных заведений. Обяза¬
тельный уровень обучения учащихся, подготавливающих себя к произ¬
водственной деятельности на рабочем месте, должен быть один, к про¬
должению образования в гуманитарных вузах — другой, в техниче¬
ских вузах — третий и т. д. Конечно, при этом должен быть
обеспечен уровень, необходимый для продолжения образования в учеб¬
ных заведениях следующей ступени, профиль которых соответ¬
ствует предыдущему этапу обучения.
Не может быть единым минимальный уровень обучения мате¬
матике в средних профессионально-технических училищах и сред¬
них специальных учебных заведениях. Более того, он должен быть
различным и на различных специальностях этих учебных заведе¬
ний. Ведь курс математики в техникумах и училищах должен
быть ориентирован на потребности специальной подготовки уча¬
щихся и их профессиональной деятельности. Конечно, и здесь обяза¬
тельный уровень должен гарантировать возможность продолжения
образования по выбранному профилю.
Задание обязательного уровня математической подготовки уча¬
щихся, соответствующего новой концепции образования, новым
программам по математике, является важной и неотложной зада¬
чей. Определенный опыт разработки таких материалов уже накоплен.
Для общеобразовательной школы такой минимальный уровень на
Данном этапе зафиксирован в [3] и [4], а для средних специаль¬
ных учебных заведений — в [5]. Отношение к этим материалам
21
неоднозначно. Одну из причин отрицательного отношения к ним четко
сформулировал А. П. Ершов в ([6], с. 24): «Любая попытка
сформулировать общепринятый минимум математического знания делает
многих несогласными с такой попыткой из-за важных упущений».
Обсуждение этих материалов в журналах «Математика в школе»
и «Среднее специальное образование» выявило разнообразие таких
«упущений», зачастую противоречащих друг другу. Некоторые
авторы высказывали опасения, что ориентация на обязательные
результаты обучения будет сдерживать математическое развитие
учащихся и творчество учителя.
Мы считаем эти опасения неоправданными. Отрадно, что в обсуж¬
даемой концепции они не получили поддержки. Ведь достиже¬
ния определенного уровня образования — необходимое условие развития
общества. Чтобы высказанные опасения не стали реальностью,
необходимо, чтобы обязательный уровень был заложен в учебные
средства и нашел отражение в подготовке и повышении квалифи¬
кации учителя.
Многие, положительно оценивая разработанные материалы, отме¬
чали либо нереалистичность достижения некоторых планируемых
результатов, либо отсутствие определенных тицов заданий. Соглашаясь
со многими конструктивными замечаниями, не можем не отметить
важность, актуальность материалов, опубликованных в [3] и [4], огром¬
ный труд по их разработке, несомненное улучшение качества
итогового варианта обязательных результатов обучения по матема¬
тике, представленного в [4]. Эти материалы могут служить осно¬
вой для дальнейшей работы над заданием обязательного уровня в
новых условиях.
Рассмотрим некоторые направления совершенствования этой
работы.
Одна из конечных целей обучения математике во всех учеб¬
ных заведениях — научить учащихся строить простейшие математи¬
ческие модели реальных явлений и процессов, интерпретировать
результаты на языке конкретных ситуаций. Программа по матема¬
тике в общеобразовательной школе предусматривает «формирование
умений и навыков, необходимых в жизни и на производстве,
сближение школьных методов решения задач с современными мето¬
дами исследования и решения практических задач». В связи с этим мы
считаем, что в системе задач обязательного уровня должен быть
существенно повышен удельный вес прикладных задач практически во
всех темах. Показательной в этом отношении является система
задач по стереометрии в X классе в [4]: она не содержит ни
одной задачи практического содержания. Принцип прикладной
направленности задач обязательного уровня в определенной степени
реализован в [5]. Конечно, это частично объясняется тем, что курс
математики в средних специальных учебных заведениях имеет более
ярко выраженную прикладную направленность по сравнению с обще¬
образовательной школой. Однако многие практические задачи в
[5] носят общеобразовательный характер и могут быть исполь¬
зованы в школьном списке задач обязательного уровня. Таким
образом, система обязательных заданий должна содержать приклад¬
ные задачи, уровень которых доступен учащимся. Естественно,
что используемые для их решения знания не должны выходить
за рамки обязательного уровня по другим предметам.
Одним из путей реализации прикладной направленности обу¬
чения математике является формирование вычислительной и графи¬
ческой культуры учащихся. Анализ материалов [4] показывает, что
эти направления недостаточно представлены в списке задач обяза¬
тельного уровня. В [5] сделана попытка более полно предста¬
вить задания на развитие вычислительных навыков учащихся на про¬
тяжении всего периода изучения математики. Однако и здесь
мало заданий на чтение и применение графиков.
Обязательный уровень' обучения в [4] и [5] задан в форме задач.
Но большинство задач обязательного уровня носит алгоритми¬
ческий характер, предполагая, как правило, действие по образцу
Решение таких задач не отражает в полной мере степени понимания
используемых понятий, фактов, идей. Эффективным средством
выработки и проверки уровня понимания изученного материала
являются вопросы. Имеются в виду не вопросы на «воспроизве¬
дение» типа «Что называется ...?» или «Как формулируется ...?».
Речь идет о вопросах типа:
Может ли модуль равнодействующей двух сил быть больше суммы
модулей составляющих?
Может ли график функции быть симметричным относительно: а) оси
ординат; б) оси абсцисс; в) начала координат?
Является ли движение точки равномерным, если она движется прямо¬
линейно по закону x—kt-\-l?
Верно ли, что две различные плоскости параллельны, если две прямые
одной плоскости параллельны другой? И т. д.
На первый взгляд может показаться, что вопросы такого характера
противоречат принципу реалистичности, доступности обязательного
уровня. Это определение, на наш взгляд, связано с тем, что, к сожале¬
нию, таким вопросам не отведено должного места в учебной, мето¬
дической литературе, в практике преподавания. Как задачи, так
и подобные вопросы позволяют обеспечить дифференцированный
подход к обучению учащихся. Включение таких вопросов в учебные
средства, в частности в список заданий обязательного уровня, являет¬
ся актуальной методической задачей.
Одной из причин негативного отношения к рассматриваемой
проблеме является «оторванность» перечня заданий обязательного
уровня от учебников, задачников, сборников дидактических мате¬
риалов, методических пособий для учителя. Эти учебные средства не
ориентированы на достижение заданного уровня обучения. Ни харак¬
23
тер изложения нового материала, ни система упражнений не поз>;
воляют учителям и учащимся отличать обязательный уровень от
более высокого. Такое положение может создать условия для «натаскива¬
ния» учащихся на решение упражнений определенного вида. В связи с
этим мы считаем, что разрабатываемый перечень заданий обяза¬
тельного уровня носит временный характер. На данном этапе он
может служить ориентиром как для преподавателей, так и для авторов
учебников. Полноценное решение проблемы задания обязательного
уровня обучения может быть осуществлено созданием учебных
средств, фиксирующих различные уровни изучения материала. Суще¬
ствует много путей технической реализации высказанного предложе¬
ния (создание пособий разного уровня, выделение необязатель¬
ного текста шрифтом, классификация упражнений и вопросов по
уровням с помощью специальных знаков).
Задание обязательного уровня учебными средствами и будет подлин¬
ной реализацией принципа открытости, высказанного в [1].
Необходимым условием достижения планируемых результатов
обучения является создание соответствующей системы контроля. По
существу разработка текстов контрольных работ должна быть одной
из основных форм фиксирования целей обучения, в том числе и мини¬
мальных. В самом деле, проведя контрольную работу по какой-то
теме или логически завершенной части материала, преподава¬
тель должен получить информацию о достижении или недостиже¬
нии определенного уровня обучения, в том числе и минимального, по
данной теме.
На наш взгляд, система контроля, ориентированная на дости¬
жение запланированных результатов обучения, должна удовлетво¬
рять следующим требованиям (см. [7]).
Во-первых, определенная часть контролирующих материалов
должна быть стандартизованной, т. е. направленной на проверку в
основном одних и тех же знаний, умений и навыков учащихся,
обучающихся по одинаковым программам. В частности, задания
различных вариантов должны быть равноценными по содержанию и
объему работы. Сформулированное требование вытекает из того, что
четко заданы минимальные результаты обучения.
Во-вторых, система контроля призвана обеспечить достоверную
проверку достижения намеченных уровней обучения, и в первую оче¬
редь минимального. Это необходимо, с одной стороны, для того,
чтобы гарантировать возможность дальнейшего успешного обучения
учащихся, с другой стороны, чтобы преподаватель мог корректи¬
ровать деятельность, направленную на устранение выявленных про¬
белов в знаниях и умениях учащихся.
В-третьих, система контроля не должна позволить «угаснуть» до¬
стигнутому уровню обучения, т. е. основные навыки должны неодно¬
кратно закладываться в контролирующие материалы.
24
В-четвертых, система контроля не должна ограничиваться провер¬
кой достижения минимального уровня обучения. Она призвана стиму¬
лировать деятельность учащегося, соответствующую его индивидуаль¬
ным особенностям, должна позволить дифференцировать уровень
подготовки учащихся.
На основе этих требований нами ведется работа по созда¬
нию системы контроля по математике для средних специальных
учебных заведений. Надеемся, что после завершения этой работы она
получит необходимое освещение на страницах журнала.
Литература
1. К концепции школьного математического образования // Матема¬
тика в школе. 1989. № 2.
2. Реформа школы — наше общее дело // Математика в школе.
1989. № 1.
3. Обязательные результаты обучения // Математика в школе.
1985. № 2, 3, 4.
4. Планирование обязательных результатов обучения математике /
Л. О. Денищева, Л. В. Кузнецова, И. А. Лурье и др.; Сост.
В. В. Фирсов М.: Просвещение, 1989.
5. Лемешко И. Н., Афанасьева О. Н., Бродский Я■ С., Павлов А. Л.,
Макушина Р. В. Планирование результатов обучения по матема¬
тике // Среднее специальное образование. 1987. № 3, 4.
6. Ершов А. П. Компьютеризация школы и математическое
образование // Математика в школе. 1989. № 1.
7. Лемешко Н. Н., Афанасьева О. Н., Бродский Я- С.,
Штилькинд Л. И., Павлов А. Л. Система контроля результа¬
тов обучения по математике // Среднее специальное образова¬
ние. 1988. № 12.
Организация
контрольно-оценочной деятельности
И. Милаш (Рига)
Учебную деятельность учащихся условно можно разделить на два
основных вида: учебно-познавательную, включающую постановку общих
целей обучения, выдвижение и обоснование частных целей, формиро¬
вание мотивации учебной деятельности, восприятие новой информа¬
ции, ее переработку, овладение умениями и навыками и т. д.;
контрольно-оценочную, подразумевающую контроль учебной работы уча¬
щихся во всех его видах и на всех этапах учебного процесса,
оценку результатов работы учащихся, их учет, корректировку учеб¬
ной деятельности отдельных учащихся и т. д.*
* Фридман Л. М. Педагогический опыт глазами психолога. М.,
1987. С. 64.
25
Учитель средней школы № 1 г. Цесиса Янис Янович Энделе,
работающий в классах с углубленным изучением математики, разрабо¬
тал свою систему организации контрольно-оценочной деятельности
учащихся, основными целями которой являются:
активизация учебно-познавательной деятельности;
самооценка уровня усвоения способов учебно-познавательной дея¬
тельности и ее результатов;
побуждение учащихся к взаимообучению;
предоставление учащимся информации для самостоятельного плани¬
рования продвижения в усвоении учебного материала.
Я. Я. Энделе удалось найти такие средства, приемы и формы
контрольно-оценочной деятельности учащихся на уроке, которые поз¬
волили усилить ее диагностическую, обучающую, воспитывающую,
развивающую и управляющую функции и положительное влияние на
мотивационную сферу.
Такими средствами являются: 1) открытость, конкретность и
обоснованность требований на каждом этапе усвоения знаний, уме¬
ний и навыков; 2) уровневый, в зависимости от сложности учеб¬
ных действий, подход к оценке результатов учебного труда и отказ от
балльной оценки промежуточных результатов усвоения учебного мате¬
риала; 3) оценка конечного результата усвоения суммированием
только положительных промежуточных результатов; 4) активное включе¬
ние учащихся в самоанализ и самооценку своей учебно-познава¬
тельной деятельности; 5) самостоятельность учащихся в выборе темпов
продвижения в усвоении учебного материала и уровня конечного
результата.
Необходимым условием, обеспечивающим функционирование вы¬
бранной Я. Я. Энделе системы организации контрольно-оценочной
деятельности учащихся, является целенаправленный, продуманный
отбор содержания учебного материала на различных этапах обуче¬
ния. В каждой учебной теме учитель выделяет узловые вопросы тео¬
рии и систему задач, усвоение которых обязательно для всех уча¬
щихся. Усвоение учебного материала на уровне обязательных
требований отмечается в листе учета результатов знаком «О». Уме¬
ния решать нестандартные задачи, находить оригинальные решения,
доказывать сложные теоремы, ставить проблемы соответствуют
более высокому уровню усвоения и отмечаются в листе учета
знаком « + ». На этапе объяснения нового материала некоторые
стандартные задачи темы, в силу своей новизны, для учащихся
являются проблемными. Их решение на этом этапе также соответ¬
ствует высокому уровню усвоения.
Отметка в пятибалльной системе выставляется только в конце
определенного периода обучения (триместра, четверти) в зависимости
от преобладающего уровня усвоения: «5», если не менее 80 %
оценок в листе учета « + »; «4 », если таких оценок не менее 60%.
Учет результатов усвоения учебного материала ведется начи¬
26
ная с уроков объяснения нового материала. Учитель излагает теоре¬
тический материал, дает образец решения задач с его применением
и предлагает учащимся самостоятельно решить аналогичную задачу
или задачу, похожую на решенную только по форме, а на самом деле
содержащую некоторую проблему дальнейшего применения изложен¬
ной теории. Для обсуждения результатов решения в классе обра¬
зуются группы свободного общения из 5—6 человек. Состав этих групп,
место действия не регламентируются учителем. Группа собирается вокруг
лидера-добровольца, раньше всех решившего задачу, в любом удобном
для учащихся месте класса: у парты лидера, у доски, за последней
партой и т. д. Учащиеся в группе сравнивают свои записи,
обсуждают их, выбирают, по их мнению, верный вариант решения и
выдвигают представителя для сообщения у доски. После общего обсуж¬
дения учитель объявляет уровень сложности задачи на данном этапе.
Учащиеся, решения которых были верными, отмечают у себя задачу
знаком «+» или «О». При переходе от объяснения нового мате¬
риала к его закреплению учащимся предлагается серия задач,
учитель одновременно объявляет уровень сложности каждой задачи.
В случае если на этом этапе усвоения кому-то не удается самостоя¬
тельно решить ни одной задачи, в листе учета результатов
ставится знак «—». Если на следующих уроках ученик с такими
задачами справляется, то знак «—» исправляется и никак не
влияет на оценку конечного результата усвоения.
На уроках решения задач контрольно-оценочная деятельность
учащихся организуется так же, как и на этапе закрепления.
Контроль знаний по вопросам теории проводится в традицион¬
ной форме устного или письменного опроса, но при этом исполь¬
зуются некоторые приемы, позволяющие организовать взаимопроверку
учащихся. Доски в кабинете математики занимают всю переднюю и
заднюю стенки класса. Одновременно готовиться к ответу у доски
могут 12 человек. Учащиеся, стоящие спиной друг к другу, полу¬
чают одинаковые вопросы. При ответе они сверяют свои записи,
дополняют друга друга. Ответ оценивается в зависимости от
уровня сложности так же, как и при решении задач.
Самопроверка результатов организуется и при проведении провероч¬
ных работ. С этой целью по окончании работы устраивается
консультация в свободном общении между любыми учащимися по их
собственному выбору. Во время консультации нельзя вносить в
работы исправления. После обсуждения работы сдаются учителю.
Такая форма оперативного самоконтроля и самоанализа позволяет
поддерживать интерес к учебным заданиям и при подготовке к
следующим урокам помогает в выборе домашнего задания.
Выполнение домашних заданий у Я. Я. Энделе является добро¬
вольным делом учащихся. Содержание домашних заданий дифферен¬
цированно. Уровень сложности каждой задачи объявляется учащимся
заранее. Можно выполнять отдельные задания, все задания или не
27
выполнять совсем. Но количество решенных задач «плюсового» уровня
значительно влияет на оценку конечного результата усвоения,
поэтому, как правило, большинство учащихся стремится выполнить
именно наиболее сложную часть домашнего задания.
Описанная система контроля и оценки промежуточных резуль¬
татов обучения основана на удовлетворении потребностей подро¬
стков и юношей в общении. Совместное обсуждение решений,
сравнение записей предотвращает присвоение недостигнутых резуль¬
татов, формирует интерес к одноклассникам, ответственность за свои
действия, дает возможность утвердить себя в коллективе. Желание
сравнить свои возможности с возможностями своих товарищей
стимулирует самостоятельность при выполнении учебных заданий.
Лист учета результатов усвоения учебного материала открыт для
учащихся. Иногда оценки в листе выставляют сами учащиеся,
чаще это делает учитель в конце урока со слов учащихся.
Тематическая форма учета промежуточных результатов усвоения учеб¬
ного материала с их оценкой в зависимости от уровня сложности тре¬
буемых учебных действий позволяет не только более объективно
оценить конечный результат обучения, но и видеть динамику про¬
движения в обучении каждого ученика. Не только учитель, но и
ученик видит, какие вопросы усвоены им на уровне обязательных тре¬
бований, какие — более глубоко. До тех пор, пока не подведены
окончательные результаты усвоения учебной темы, ученик имеет
возможность повысить свой личный результат, решая задачи по
соответствующим разделам «плюсового» уровня.
Опыт организации контрольно-оценочной деятельности учащихся
Я. Я. Энделе основывается на общих закономерностях учебно¬
познавательной деятельности и процесса обучения. Формы и приемы
его работы поэтому могут быть использованы не только в классах
с углубленным изучением математики, но и в обычных и продлен¬
ных классах общеобразовательных школ, на занятиях в профес¬
сионально-технических училищах. Наибольший эффект активизации
деятельности учащихся в процессе обучения математике система
работы Я. Я. Энделе дает в X классе, может быть использо¬
вана также в VIII—IX классах. Именно в этом возрасте у учащихся
наиболее сильно проявляется потребность самоутверждения и потреб¬
ность в активном общении как вне школы, так и в процессе
обучения. В более старшем возрасте определяются личные интересы
учащихся в связи с выбором профессии, что снижает воздей¬
ствие внешних стимулов на их мотивационную сферу.
Еще раз о системе уроков
В. Е. «уценок (Киев)
Хочу рассказать о применяемой мною системе уроков математики.
Проработав свыше 10 лет во внешкольных учреждениях и 11 лет в
школе, убедился во многих недостатках так называемого комбини¬
рованного урока.
При нынешней наполняемости классов никакой речи об индиви¬
дуальной дифференцированной работе с учащимися на уроке не
может быть. Без компьютера и разноуровневых учебников это тем
более невозможно.
На комбинированном уроке, а именно его мы видим на про¬
водимых некоторыми учителями математических спектаклях (уро¬
ках перед комиссиями и коллегами), предстает его величество
темп со своей чисто количественной стороной. Калейдоскопично
сменяются актуализация, изучение нового материала, закрепление,
повторение, задачи серьезные, задачи-шутки, эффективно поданные с
помощью новейших ТСО. Есть хороший урок и нет детей.
Может, часть класса по карточкам или на кодоскопе что-то
изучила, закрепила, повторила, проверила себя. А остальные?
Неужели все этапы урока они прокрутили для себя так же фрон¬
тально, как это мы им предлагаем? Думаю, что нет. Или сильные,
или слабые здесь всегда проигрывают.
Зачастую мы обучаем ребят от параграфа к параграфу, от
пункта к пункту. Лишь в конце темы пытаемся это все связать
на обобщающем уроке. Но ведь это уже поздно. Куда целесообраз¬
ней, даже с психологической точки зрения, дать детям представле¬
ние об изучаемой теме на первом уроке темы, искусно поместив ее
в небольшой опорный конспект (маленький справочник). Он
нужен всем: и сильным, и слабым. Тогда, может, наши дети не будут
учить сегодня одно, забыв уже вчерашнее, не зная, что будет
завтра.
Ребята часто не любят доказательств, не понимают их необходи¬
мости и дедуктивности математики в целом. Мы же, как правило,
доказываем теоремы на нескольких соответствующих уроках, а успеваем
спросить на следующих уроках 1—2 учащихся по каждой теореме.
А что если на одном-двух уроках доказать все теоремы данной
темы (не обязательно в начале темы)? Тогда наш справочник —
опорный конспект — оживет из схемы, и доказательства станут осознанно
необходимыми. Некоторые теоремы, самостоятельно осиливаемые
учащимися, могут излагаться самими ребятами на этих уроках-семина¬
рах. Подготовиться им поможет учитель, а тяжелые или неудобно
доказанные в учебнике теоремы учитель докажет сам. Но потом на
зачетах или коллоквиумах, а об этом учащиеся оповещаются заранее,
как и о семинаре, ребята будут сдавать теоремы, доказанные утверж¬
29
дения данной темы. Таким образом каждодневная ежеурочная
нервотрепка с теоремами заменится ориентированной работой над обос¬
нованием некоторых мест из опорного конспекта.
Набило оскомину попунктное решение упражнений. Кроме того,
что интересных заданий, как и разнообразных тренировочных,
в нынешних учебниках мало, дети, опять же, забывают, как выпол¬
няются упражнения из пройденного пункта. Мне кажется, целесообразно
и здесь перейти к принципу «от простого к сложному», деля задач-
ный материал не по мелким темам, а по уровню его сложности
внутри темы. Тогда, решая задачи по спиралеобразному внутритем-
ному списку, данному учителем, ребята смогут сознательно выпол¬
нять необходимый объем заданий, предлагаемых учебником. Этот
список можно сообщить детям на уроке, на котором учитель
решает сам типовые задачи темы. И, конечно, надо внутри
списка дать детям выбор: решать на «3», на «4 или на «5». (Это
могут быть три списка задач с учетом соответствующей оценки и
срока сдачи всех задач в общей тетради к концу изучения темы.)
Изменится и отношение к домашнему заданию. И вместо ненужных
конфликтов на уроке ребята сами будут дозировать свое домашнее
задание по всей теме согласно избранному списку и сроку сдачи.
При этом, успев сделать свое задание, они могут проконсультиро¬
ваться с учителем, выполнить предложенные им дополнительные
задания и повысить свою оценку.
Надо честно признаться: ребята не готовы к коллективным
формам труда в будущей жизни. А этому можно учить в школе.
На уроках, где ребята объединены в бригады по 2—4 человека,
есть возможность лучше проработать изучаемый материал, и силь¬
ный, заменив учителя, поучит слабого. (Здесь и развитие коллекти¬
визма, организаторских и управленческих способностей.) Лучше всего в
такой форме проводить самостоятельную практическую работу,
выполнив которую учащиеся сдают общий лист с решенными заданиями
и указанием коэффициента участия каждого (в виде процента). Правда,
оценка за эту работу не так весома для выведения итоговой оценки по
теме. Так же можно проводить уроки парного консультирования, где
своя посадка за партой: сильный — слабый. Здесь решаются задачи
совместной проработки теоретического материала.
Мне кажется, что мы (учителя) слабо мотивируем моменты
урока, когда повторяется теоретический и практический материал.
Считаю, что лучше уделить внимание повторению специально на 1 —2 уро¬
ках внутри каждой темы и именно в классе решать все задачи на
повторение из учебника и других источников. Это будет дополнитель¬
ная помощь и слабым, и болевшим детям. Уроки повторения
органично войдут в систему уроков по каждой теме.
При всей перегрузке учащихся и учителей очень сложно найти
время для консультаций и дополнительных занятий. А ведь все
это можно сделать на уроке. Урок-консультация учителя может прохо¬
30
дить в двух формах: или учитель отвечает на вопросы учеников
(по всей теме, по теории и задачам из домашнего задания),
или так: для более сильной половины — самоподготовка (решается до¬
машнее задание), а слабые рассаживаются амфитеатром вокруг учителя
и решают с ним основные задачи темы. Эти уроки предва¬
ряют контрольную работу, они должны разрушить последние островки
незнания у учеников.
Оценки за тему не могут иметь одинаковый вес. Определять
итоговую оценку за тему должно не некое абстрактное среднее
арифметическое, а именно основные оценки в теме: а) за контроль¬
ную, б) за коллоквиум (если много теории), в) за устный практи¬
ческий зачет по программированному пособию или на компьютере, г)
за домашнее задание, д) оценка на уроке выборочной проверки
знаний, умений, навыков (этот урок проводится в середине изучаемой
темы и включает в основном ответы у доски).
Вышеприведенные соображения, а также опыт и труды
учителей-новаторов и ученых, привели меня к следующей последо¬
вательности уроков по любой теме (7—20 ч).
1. Урок-лекция с подачей опорного конспекта темы (ОК.). Без
доказательства, но мотивированно и связно излагается весь материал
темы с привлечением исторических фактов и разнообразных нагляд¬
ных пособий и ТСО. В течение нескольких уроков затем ребята сдают
письменно, а потом устно ОК.
2. Урок типовых задач. Учитель решает для ребят основные
задачи темы, дает иерархический список задач домашнего задания
разного уровня оценивания и сообщает его срок сдачи.
3. Урок-семинар. Подготовившиеся ученики и учитель доказывают
все утверждения и теоремы темы. ОК одевается в логическую
одежду.
4. Урок парного консультирования. Отрабатывается ОК и теоремы
по схеме: сильный — слабый и наоборот.
5. Урок выборочной проверки. Примерно полкласса успевают
ответить по ОК, изученным теоремам и типовым задачам. Это первый
срез серьезного контроля.
6. Самостоятельная работа бригадным методом. Посадка в произ¬
вольной форме по 2—4 человека (в зависимости от объема работы).
К рабочему шуму привыкает даже администрация, лишь бы дети рабо¬
тали. Учитель должен психологически подготовить ребят к работе в
группах.
7. Урок-консультация учителя.
8. Урок повторения.
9. Контрольная работа (коллоквиум, зачет по теории, програм¬
мированный зачет). Это второй срез серьезного контроля.
10. В конце темы сдается домашнее задание (третий срез конт¬
роля). У ребят две тетради: тонкая — для работы на уроке,
толстая — для домашних заданий.
31
В приведенной системе уроков возможны перестановки, дополни¬
тельные одноименные уроки. Это зависит от объема темы, соотно¬
шения в ней теории и практики, ее значимости, от наличия у
учителя вспомогательных средств.
Гуманитарная составляющая
обучения математике
В. В. Гузеев (г. Люберцы)
В настоящее время все больше осознается необходимость гуманитари¬
зации образования. К несчастью, очень многие понимают ее упрощенно:
увеличим число часов на литературу, историю, изобразительное
искусство — и все в порядке. В действительности не так все очевидно:
от замены одних знаний и умений другими личность не обязательно
выигрывает. Математика, физика, химия и другие «негуманитар¬
ные» области — столь же важный компонент общечеловеческой куль¬
туры, как, скажем, музыка или театр. Однако эта их сторона
затемняется однобоким обучением, цель и смысл которого — формиро¬
вание знаний, умений и навыков. Даже усиление в обучении
практических и прикладных аспектов, включение фрагментов истории
науки при всей их полезности служат лишь расширению знаний и,
неся большую воспитательную нагрузку, все-таки не обеспечивают
непременно развитие личности. Один из решающих факторов раз¬
вития индивидуума — речевую культуру как фундамент гуманитарной
культуры вообще— коллеги-математики постоянно упускают из виду. А
возможности нашего предмета в этом поистине колоссальны! (Видимо,
раньше всех других это увидели специалисты Проблемной группы
по образованию Академии наук НРБ, создав интегрированный курс
«Математика и язык».)
Как мы обычно работаем? Вот изучаем углы в V классе.
Показали разные их виды, ввели понятия острого, тупого, прямого,
развернутого углов, закрепили на упражнениях. Объяснили, что такое
градус. Показали нехитрый инструмент: «А это, ребята, инструмент
для измерения и построения углов. Он называется транспорти¬
ром». Снова упражнения, самостоятельная работа и т. д. Хороший
учитель покажет транспортир как элемент более сложных приборов —
астролябии, теодолита, расскажет, где и как они применяются.
Не исключено, что найдет возможность для практической работы на
местности. Очень хороший учитель, возможно, докопается до истоков:
сумеет рассказать, как и когда был изобретен транспортир, проде¬
монстрирует старинные приборы, познакомит с историческими задачами.
И только редкий педагог догадается вспомнить, что слово
«транспортир» происходит от латинского «переносить, перемещать, пере¬
возить» и является поэтому близким родственником слову «транспор¬
32
тер». «Ребята, а что же здесь переносят-перевозят?» Быть может,
обсуждение этого вопроса не менее полезно для создания человека, чем
навык измерения углов? Но мы спешим выполнять программу, у
нас нет времени на «посторонние разговоры».
Работая в пятых классах, я всегда восхищаюсь невероятным
языковым чутьем детей, их метким и точным словотворчеством.
И как же бесцветна и скудна речь выпускников! Куда все исчезло?
Все богатство языка съедено знаниями, умениями и навыками не
без помощи учителей-словесников с их занудливыми орфограммами
и пунктограммами. Какая уж тут гуманитарная культура!
Пропедевтика систем координат — шкала. В переводе с латин¬
ского — лестница. Показали образцы шкал, поупражнялись, а теперь:
«Ребята, разве шкала похожа на лестницу? А чем она похожа?
Как вы думаете, каной была первая в истории шкала?»
Завтра изучаем параллельные. А сегодня скажем: «По-гречески
“параллелос” — “идущий рядом”. Кто нарисует параллельные прямые?
Как вы думаете, параллельные кривые бывают? Попробуйте изобра¬
зить». А дальше так: «Кто нарисует пентаграмму? По-гречески
“пента” — “пять”, “грамма” — “черта, линия”». Каждый раз среди пяти¬
классников находится хоть один, кто нарисует знакомый с детства
образ — пятиконечную звезду.
Угловая мера — градус. На латыни — «шаг, ступень». Но шагать
легче по прямой. Почему же на линейке не градусы, а миллиметры?
Может быть, когда-то были и градусы?
А вот и вполне серьезный вопрос. «Диаграмма» — в переводе
«рисунок, чертеж». Зачем же пользуются греческим словом, если есть
русское? Здесь и важно, и полезно разобраться, в чем разница
между научным термином и бытовым названием. А в VI классе еще
поговорим об относительности этого, сравнивая нашу «биссектрису»
с болгарской «углополовинящей».
Однажды мы сочиним все вместе сказку о незадачливом Отре-
зочке, попадающем в нелепейшие ситуации из-за того, что он не
очень твердо знает, где у Важного Параллелепипеда грани, а где
ребра. Кстати, по-русски «отрезок», а по-болгарски «отсечка» — с чего
бы так?
И все это не на кружке, не на математическом вечере, а на
самом ординарном, рядовом уроке.
И не только это. Речь идет о целой системе заданий. В том
числе и весьма нетривиальных. Вот несколько примеров.
1. Организация самостоятельной работы с учебником по теме
«Окружность и круг» (здесь и далее см. «Математика — 4» Н. Я. Ви¬
ленкина и др.).
Прочитайте текст пункта 33.
а) Какие слова встречаются в тексте наиболее часто? Сколько
раз? — Больше четырех раз встречаются слова: «точка» — 7 раз.
2 «Математика в школе» № б
33
«окружность» — 11 раз, «круг» — 7 раз, «центр» — 5 раз, «радиус» —
6 раз, «называют» — 6 раз.
б) Какие слова выделены жирным шрифтом? Почему? Какую
особенность в появлении этих <;лов вы заметили? — Выделены слова
«окружность», «круг», «центр», «радиус», «диаметр», «дуга», «сектор».
Это новые слова. Перед ними везде в тексте стоит слово «называют».
Подчеркнем, что слово «называют» и его варианты («называется»
и т. д.) являются сигналами — после них появляются новые слова,
которые нужно не только запомнить, но и понять, что они обозна¬
чают.
в) Слова, которые часто встречаются, при записи текста для
себя можно сокращать. Сокращение должно быть понятным и удоб¬
ным. Как бы вы сократили слова из задания а? — «Называют» —
«наз.», «точка» — «т.», «окружность» — «окр.», «центр» — «ц.» (а без
точки — «центнер»). Слово «круг» короткое, его сокращать незачем.
Слово «радиус» можно сократить до «рад.», но заметить, что это
будем делать только временно, так как в старших классах появится
«радиан». Тогда для обозначения радиуса будет часто использоваться
латинская буква, которую можно применять и в качестве сокращения.
Кстати, «радиус» и «радио» — родственники?
г) Выражение «точка А» сократили так: (•) А. Можно ли назвать
такое сокращение удачным? — Нет, в нем использованы знаки, имею¬
щие иной смысл. Это может помешать при чтении. Кроме того, наше
«т. А» экономнее.
д) Какое предложение выделено в тексте жирным шрифтом? По¬
чему? — Выделено предложение «...все точки окружности одинаково
удалены от центра». Это свойство — главное, позволяющее отличить
окружность от других линий. Так и хочется сказать детям: «Опре¬
деление окружности», но не будем спешить.
е) Если бы ты читал (а) п. 33 вслух для товарищей, как бы ты
дал (а) им понять, что это предложение главное? Попробуй! — Во
всех вариантах ответа появляется мысль о выделении фразы голосом
(интонацией). Элемент игры скрывает ненавязчивое, но надежное
заучивание.
2. Восприятие текста на слух при изучении темы «Проценты».
а) В том, что сейчас услышите, попробуйте выделить самое глав¬
ное предложение.
Близко к тексту пункта рассказываем о процентах, выделяя ин¬
тонацией и логическим ударением определение «Процентом назы¬
вается одна сотая часть». Ученики, конечно, верно называют пред¬
ложение и указывают на особенности его произнесения на фоне
остальной речи.
б) Я повторю рассказ, а вы отберите в нем то, что нужно запи¬
сать.
Повторяем текст с акцентом на обозначении процента. Неболь¬
шой диалог — и вывод: надо записать определение и обозначение.
34
Еще чуть поспорим, как записать знак процента. В итоге получим
конспект на зависть студентам:
Процентом (%) наз. 1/100.
1 к.— 1 % р.
3. Смысловые оттенки интонированных фраз в п. 26 «Единицы
длины».
Сейчас я произнесу несколько раз одно и то же предложение.
Попробуйте уловить разницу. Как при этом меняется оттенок смыс¬
ла — что становится каждый раз главным, что подчеркивается?
Произносим пять раз предложение «За основную единицу длины
принят метр», делая последовательно логическое ударение на всех
словах, кроме предлога. Ученики ищут различия, еще раз давая по¬
вод для учительского восторга. Правда, им трудно выразить словами
то, что они так тонко чувствуют:
а) «основную»: здесь выделено: есть и другие единицы длины,
но метр — «самая важная»;
б) «единицу»: подчеркнута особая роль метра — то, что через него
выражаются все длины;
в) «длины»: выделено, что метр — единица именно длины; для
других величин имеются другие единицы;
г) «принят»: указывается на относительность измерения (можно
было бы «принять» и другую единицу);
д) «метр»: здесь неизбежны затруднения. Общий смысл: выделе¬
но название; можно было бы дать этой же единице длины какое-
нибудь другое название. Здесь обычно рассказываем о материальном
носителе этой единицы — эталоне метра.
Чем ближе к концу года, тем сложнее наши упражнения. Тексты
удлиняются, в них появляются разные логические центры. Анализи¬
руются оттенки смысла в таких фразах, как «Сумма всех сторон тре¬
угольника называется его периметром», и даже двухкванторных типа
«Всякая правильная дробь меньше любой неправильной». Исполь¬
зуются и традиционные вопросы к текстам, примеры к рассказанному
материалу и т. п. Все это не только развивает речь, восприятие,
память, воображение, но и готовит к лекционной форме обучения
в старших классах. Этим и закладывается будущая гуманитарная
культура. А знания, умения и навыки безусловно необходимы! В меру.
Элементы зачетной системы в V классе
В. В. Сохранов (г. Пенза)
В последние годы в теории и практике обучения математике вопрос об ис¬
пользовании зачетной системы в оценке уровня усвоения знаний стано¬
вится все более актуальным. В большинстве публикаций рассматривает¬
ся возможность применения зачетов в основном только при обучении
2*
35
старшеклассников. Однако анализ работы учителей математики
(Н. Н. Тюрина, А. А. Сивенкова — школа № 52, А. И. Пурдес — школа
№ 27, Н. Ф. Беляева — школа № 42, А. А. Гуляевская — интернат № 3)
и мой собственный опыт обучения учащихся V — VI классов показывают,
что пропедевтика использования элементов зачетной системы может и
должна включаться в методический арсенал педагогов с первых шагов
систематического изучения математики как учебного предмета.
Хочу поделиться с читателями опытом использования элементов за¬
четной системы при изучении курса математики V класса по учебному по¬
собию Н. Я- Виленкина и др.
Учитель, который принимал учащихся в V классе, знает, что если
в начальной школе не обращалось достаточного внимания на становле¬
ние опыта самообразования, то пятиклассники в первой четверти просто
беспомощны в познании структуры учебника. Пункт, параграф, тема, раз¬
дел, глава, структура каждого пункта — вот о чем идет речь на первом
уроке математики. Мы знакомимся с авторами учебника, совершаем
путешествие в историю математики и учимся работать с конкретным учеб¬
ным пособием. Особое внимание уделяем оглавлению. Ребята знакомятся
с содержанием материала, который предстоит изучить.
Дальнейший переход к зачетной системе невозможен без актив¬
ного участия самих детей. Необходимо прежде всего выделить консуль¬
тантов — детей, интересующихся математикой и имеющих достаточный
уровень развития организаторских способностей и устной речи. На это
направлено повторение курса математики I — IV классов в течение пер¬
вой недели обучения. Учитель с учащимися отвечает на вопросы : «Какие
правила вы узнали, изучая математику в 1 (II, III, IV) классе?»; «Какие
задачи вы можете решить с помощью изученных правил?» Учащиеся,
работая с учебниками математики начальной школы, одновременно осу¬
ществляют обобщенное повторение материала и овладевают элемента¬
ми зачетной системы оценки знаний. Важный момент в проводимой рабо¬
те — осознание учениками необходимости знания правил для решения
конкретной задачи, выполнения того или иного действия.
При повторении учащиеся разбиваются на временные малые группы
на основе примерного равенства знаний по предмету и свободного выбора
партнера в результате проводимого рейтинга.
Возрастные особенности младших школьников не позволяют вводить
зачеты по главам и даже по отдельным объемным параграфам. В один
зачет мы включаем в среднем по 5—6 пунктов. Всего в учебном году
получается 13 зачетных уроков; натуральные числа и шкалы; сложение
натуральных чисел; вычитание натуральных чисел; умножение натураль¬
ных чисел; деление натуральных чисел; единицы измерения; обыкновен¬
ные дроби; сложение и вычитание дробных чисел; углы и их виды; сло¬
жение десятичных дробей; вычитание десятичных дробей; умножение
десятичных дробей; деление десятичных дробей.
Каждый зачетный урок разбивается на три этапа. I этап — подведе¬
ние итогов выполнения домашних работ (на основе открытых листов учета
36
знаний). Учащиеся с помощью консультантов и учителя выставляют
среднюю оценку за качество выполнения домашних заданий по данной
теме (учитывается правильность и степень самостоятельности). II этап —
опрос учащихся по правилам. Используются вопросы на повторение
(п. 32, с. 152 и п. 61, с. 285). Учитель и пять — семь консультантов одно¬
временно опрашивают учеников. Свободные от опроса включены в третий
этап. III этап — выполнение итоговой контрольной работы по данной
теме. Все этапы взаимосвязаны по времени и содержанию. Консультанты
проверяются учителем или находятся на взаимоконтроле. Оценка, по¬
лучаемая консультантом, зависит от качества работы его «тройки» или
«пятерки». Например, по теме «Сложение натуральных чисел» на II эта'пе
выявляются знания учащихся по вопросам 11 —16 (с. 153). На III этапе
выполняется контрольная работа по шести вариантам. Один из них:
1. Выполнить действия:
235+5967=?; 3245983754+188976238457=?
2. Выполнить действия, применяя законы сложения:
(4357+70563) +29437= ?; (457+705) +295= ?
3. Задачи (по две на вариант) типа № 202—207.
Процесс изучения каждого параграфа состоит из нескольких взаи¬
мосвязанных шагов, нацеливающих ученика на зачетную концепцию обу¬
чения. Первый шаг — блоковое изучение теоретического материала темы
с фиксацией вопросов: «Какие правила (законы) мы должны знать твер¬
до (наизусть)?»; «Какие задачи (действия с числами) мы можем вы¬
полнять на основе изученных правил?» Второй шаг — закрепление изу¬
ченного на основе групповой работы на уроке. Учащиеся с мест анализи¬
руют вариант решения, предложенный товарищем у доски. Выбирается
самое целесообразное решение. Третий шаг — собственно подготовка
к зачетному уроку. Консультанты с группами учащихся выполняют инди¬
видуально-групповые задания.
Рассмотрим данную последовательность работы на примере темы
«Деление десятичной дроби на натуральное число». Тема включает
п. 53 и 54. Урок № 1 — объяснение нового материала. Основной метод
работы — беседа (индивидуальная, групповая, фронтальная). Основные
средства отработки материала — упражнения по образцу и вариативные.
Урок начинаем с повторения понятий, требующихся при объяснении.
Это — «натуральное число», «разряды чисел», «округление», «делимое»,
«делитель», «частное». Предлагаются задания вида:
а) Из цифр 1, 2,...9, 0 составьте трех (четырех) значное число. На¬
зовите разряды получившегося числа.
б) Назовите разряды следующих дробей: 0,376; 45,35789...
в) Округлите дроби до сотых (единиц, десятых...).
г) Выполните деление.
Задания записаны на доске. На их решение уходит около 7 мин. При
выполнении пункта г) (желательно вызвать к доске сильного ученика)
учащиеся включаются в проблемную ситуацию. Как выполнить деление?
Ответ ищем в п. 53. Начинаем анализ содержания пункта и всех образцов
37
деления, содержащихся в пособии (с. 242—243). На это уходит 15—•
20 мин. Среди примеров обязательно рассматриваем: 24,56:10—2,456.
Вначале выполняем обычное деление. Затем — вопрос: «Сравнить дели¬
мое и частное. Чем отличаются они друг от друга?» Как же разделить
число на 10, не выполняя действия деления? Делаем вывод о переносе
запятой. Учащиеся читают п. 53 и 54 (5 мин). Разбираем по вопросам
содержание пунктов. В заключение урока класс делится на две группы:
средние и слабые учащиеся выполняют с учителем № 1209. Сильные —
по вариантам № 1210 (а и б), 1218 (а — виг — е). На следующих трех
уроках класс делится на «тройки». Командиры «троек» получают задания
по карточкам (не более трех примеров) и консультируют свои группы,
работающие по вариантам. В конце каждого урока дается самостоятель¬
ная работа на 15 мин (на первых двух — из повторения, на третьем —
на изучаемый материал). В ходе данных уроков 5—-7 мин отводим на
математические диктанты. Все задания выполняются с анализом, кото¬
рый осуществляется по вопросам: «Какими правилами (законами) необ¬
ходимо воспользоваться для решения поставленной задачи? Какие вы¬
воды следуют из данного условия? Какова общая последовательность
действий при решении задачи?» На пятом уроке проводим в виде само¬
стоятельной работы зачет по этим вопросам, как этап подготовки к итого¬
вому зачету по теме.
Важный момент описанной системы — опережение познавательной
деятельности учащихся в классе по сравнению с домашней работой. Это
достигается в результате: а) отсутствия домашних заданий в первые дни
учебного года и с пятницы на понедельник; б) блокозого изучения теоре¬
тического материала; в) ограничения объема домашней работы тремя
заданиями, которые учащиеся выбирают пр своему желанию. Таким об¬
разом мы получаем дополнительную возможность для приучения учащих¬
ся свободно оперировать полученными знаниями, использовать их в сис¬
теме и готовим ребят к итоговому зачету, который является допуском
к переводному экзамену.
Организационная структура итогового зачета реализуется в следую¬
щем виде. На заключительные 24 урока мы создаем постоянно действую¬
щие творческие группы в количестве трех человек. На каждый параграф
затрачиваем в среднем три урока. Работа идет по двум направлениям:
а) отработка изученного теоретического материала с пропедевтикой ос¬
новных понятий, которые будут изучаться в курсе VI класса. На одно за¬
нятие — четыре вопроса из повторения (с. 152— 154 и с. 285—286) и серия
вариативных упражнений для всего класса; б) накопление опыта при¬
менения полученных знаний для решения вариативных упражнений. Ра¬
бота осуществляется по п. 61 и 64. Конечная цель — вывод всех учащих¬
ся на уровень программных требований по математической подготовке и
обеспечение дальнейшего развития математически одаренных ребят. На
последних уроках дается итоговая контрольная работа.
Использование элементов зачетной системы позволяет обеспечить
активность и самостоятельность учащихся на каждом уроке.
38
На первых уроках обучения
тождественным преобразованиям
К. О. Одинамадов (г. Куляб)
В курсе алгебры важное место занимают тождественные преобразо¬
вания многочленов. Это несложная тема, но школьники воспринимают
ее далеко не сразу. Учащиеся с трудом привыкают к систематиче¬
скому и продолжительному оперированию буквами вместо чисел. Кроме
того, они встречают целый набор алгебраических терминов (привести
подобные члены, разложить на множители, вынести за скобки и т. д.),
за которыми первоначально не видят действия. Приходится приучать
школьников к оперированию и новыми символами, и новой термино¬
логией.
В тождественных преобразованиях многочленов самым трудным
для учащихся является вынесение множителя за скобки. Обычно урок
по обучению этому приему начинается с фронтальной работы, во время
которой в классе анализируются 3—4 упражнения. Например:
1) 286V—2UV= 2) — За26—6а62=
= 7Ь2х2-46—7&2jc2-3x= = (—3ab) -а+ (—3ab) -26 =
= 7ft2x2(4ft—3*); = -За6(а+26);
3) с(а—b)+d(b—а) = 4) (6*2—Ъу) + (Ъу—6x2)7jc —
=с- (a-b)-d- (о—6)= — (6х2—Ъу)4у= (6х2—Ъу) -I —
= (а—Ь) (с—d)\ — (6л:2—Ъу) -7х— (6*2—Ъу) -4у=
= (бдг2—Ъу) (1—7х—4у).
Детальное обсуждение каждого шага решения и их сопоставле¬
ние позволяют указать последовательно те действия, которые необходи¬
мо выполнить:
а) найти и выделить общий множитель многочлена;
б) вынести его за скобки, пользуясь распределительным законом умно¬
жения.
Затем учитель должен снова организовать на уроке коллективное
выполнение упражнений, в ходе которого учащиеся поочередно вслух
комментируют свои действия. Этот этап урока сменяется самостоя¬
тельной работой по карточкам с заданиями различной трудности. Осо¬
бенности карточек в том, что в них указано и общее задание, и каждое
из элементарных действий а), б).
При изучении приема разложения многочленов на множители спо¬
собом группировки также желательно сначала фронтально рассмот¬
реть решение хотя бы двух примеров:
39
*
1) mx-\-my-\-\0x-\-\0y= 2) 7a-\-7b-\-na-\-nb=
= (тх+Юх) + (my+\Oy) = = (7 a+na) + (7b+nb) =
=x(m+10)+!/(m+10)= =a(7+n)+b(7+n) =
= (m+10) (*+</); =(7+n)(a+b).
Здесь также придется подробно обсудить все этапы решения. Об¬
суждение должно закончиться указанием последовательности действий,
которые необходимо выполнить.
а) Члены данного многочлена, имеющие одинаковые множители, объеди¬
нить в группы; для этого;
пользуясь переместительным законом сложения, выполнить соот¬
ветствующую перестановку членов многочлена,
пользуясь сочетательным законом сложения, заключить в скобки
отдельно каждую группу членов, имеющих общий множитель.
б) вынести за скобки общие множители в каждой группе, для этого:
найти общий множитель отдельно для каждой группы слагаемых,
пользуясь распределительным законом умножения, вынести общий
множитель в каждой группе слагаемых;
в) в полученном выражении вынести за скобки общий множитель,
для этого:
найти общий множитель в полученном выражении,
вынести его за скобку.
Пункты а) — в) -'облегчают учащимся последующую самостоятель¬
ную работу по карточкам, так как выявляют те операции, которые
входят в состав изучаемого приема. Руководствуясь записями а) —в),
учащиеся действуют! поэтапно, каждый раз прочитывая нужные
термины и отдавая себе отчет в том, что надо делать и почему,
на основании каких законов можно выполнять определенные преоб¬
разования.
Ниже приводятся упражнения для организации самостоятельной
работы учащихся по карточкам.
I. Вынесите общий множитель за скобки:
1) З-х+З-1/; 2) (—9)-р+(—9) -к; 3) 12х—48у; 4) ab—ас;
5) cd2+cp2; 6) 5х2—5у2; 7) 2т2—4т+2; 8) 7а3+7Ь3;
9) с5+с2; 10) ab—а262; 11) 762—63; 12) 2а3+16&6;
13) Зхб—24у3-, 14) 2х-х3+2х2-2х+2х-х-, 15) с-4р2—с-9к2,
16) р-9а2+р-6а-|-р-1.
II. Разложите (если это возможно) многочлены на множители
способом группировки:
1) (a-b+a-c) + (k-b+k-c); 2) (xy+xt)— {py+pz);
3) (x2m~x2n) + (y2m—y2n); 4) d2+2dc-\-c2—d2;
5) a3—b3+5a2b—5ab2; 6) x*+x3i/—xy3—y4;
7) a3—2a2+2a—4; 8) 6a3-2la2b+2ab2—7b3-,
9) a—b+a2—b2; 10) 81a2+66c—9b2—c2;
И) °2—b2—a—ft; 12) 9x+ai/+9i/+ax;
13) a2—ab—8a+86; 14) 5a3c+ 10a2—66c—3abc2.
40
В задания II группы специально включены многочлены, которые
учащиеся не смогут разложить на множители. Случаи 5), 9), 11)
требуют формул сокращенного умножения, о которых учащиеся в дан¬
ный момент еще ничего не знают. В дальнейшем к этим случаям
можно вернуться, показав ребятам, как расширяются возможности
тождественных преобразований после изучения формул. Случаи 10)
и 14) вообще «бесперспективны», но рассматривать их необходимо,
чтобы школьники учились выделять из множества многочленов именно
те, которые можно представить в виде произведения многочленов. Раз¬
бирая задания 10) и 14), учащиеся должны рассказать, по каким
признакам они группировали члены и почему ни одна из группировок
не дает нужного эффекта. Сочетание поэтапности действий с прогова-
риванием каждого действия весьма полезны на данном этапе обучения.
Что же такое красивая задача?
(Урок-диспут)
М. С. Якир (Киев)
Уроки-дискуссии учителей истории и литературы всегда вызывали во
мне чувство «белой» зависти. Именно эти «уроки открытых мыслей»
дают возможность учащимся отказаться от шаблона, побуждают к
творчеству, позволяют насладиться атмосферой свежих идей, получить
удовольствие от учебного процесса. В таких уроках нуждаемся каждый
предметник, в том числе и учитель математики.
На первый взгляд кажется странным, что уроки математики, на
которых мы учим устанавливать истину путем доказательства, станут
материалом для ученического диспута. Однако поводом для дискуссий
и свободного обмена мнениями может служить не сам вопрос о спра¬
ведливости тех или иных математических факторов (хотя для групп ы.
учащихся с неплохой математической подготовкой установка истины —
хороший толчок для коллективного мышления). Предметом обсужде¬
ния может стать, например, эстетическая сторона математических утвер¬
ждений, или отношение учащихся к математике, или мотивы, которыми
руководствуются ученики при ее изучении.
В предлагаемой статье описывается урок-диспут, проведенный авто¬
ром в IX классе с углубленным изучением математики. Школьники
не раз участвовали в подобных уроках, но самое главное — в этом
классе есть группа учеников-экстравертов, которые сами легко увле¬
каются и увлекают других дискуссией.
Идея проведения такого урока не была неожиданной. У ребят
старших классов часто наблюдается прагматическое отношение к мате¬
41
матике — выучить, чтобы сдать экзамены; сдать экзамены, чтобы
поступить в вуз. Думается, что одним из объяснений подобного потре¬
бительского отношения является притупление познавательного инте¬
реса, прекрасного качества, подаренного человеку природой. Ученики
перестали ощущать и ценить (а может быть никогда и не чувствовали)
внутрипредметную красоту математики, силу ее эмоционального воз¬
действия.
Нам кажется, что действенным средством эстетического воздей¬
ствия математики на учеников являются задачи, и именно те задачи,
которые мы называем красивыми. А что же такое красивая задача?
И уместно ли задачу наградить эпитетом «красивая»? С этими вопро¬
сами я обратился к учащимся. Почувствовав заинтересованность в
попытках дать ответы на вопросы, я предложил ученикам подумать
неделю и в течение этого срока подобрать примеры, подтверждающие
их мнения. Учащимся был рекомендован соответствующий список лите¬
ратуры [2] — [7] (математическая библиотека нашего кабинета рабо¬
тает по принципу абонемента, и школьники смогли воспользоваться
предложенными книгами).
Думается, нет необходимости давать стенографическое описание
Этого урока. Приведем самые яркие его фрагменты.
Ученику, своеобразный ответ которого предполагался заранее,
было предложено выступить первым. И диспут начался. Он отметил,
что красивые задачи в математике, наверное, существуют, но их кра¬
соту могут ощутить только знатоки. Ему возразили, что красота понят¬
на не только творцам, но и ценителям так же, как поэзия и музыка
создаются художниками прежде всего для людей.
Интересно компромиссное суждение одного ученика. По его мнению,
термин «красивая задача» применим лишь для тех задач, которые
он смог решить сам; неудавшиеся попытки его угнетают, даже раздра¬
жают и формируют комплекс неполноценности. Тогда слово попросил
один из самых темпераментных учащихся. Он предложил товарищам
продолжить спор, но лишь после того, как они услышат решение
следующей задачи. (Эту задачу он нашел в [6].)
Плоскость покрыта квадратной решеткой. Можно ли через любой
узел провести прямую, не проходящую больше ни через один узел
решетки?
Решение. Рассмотрим декартову систему координат с началом
отсчета в выбранной точке (рис. 1). Тогда все узлы решетки имеют
целые координаты. Искомая прямая существует, и, что самое интересное,
таких прямых бесконечно много. Например, у=х-\/2\ этой прямой при¬
надлежит лишь одна точка с целыми координатами, а именно (0; 0).
Заканчивая выступление, ученик подчеркнул, что класс не при¬
нимал участие в решении задачи, однако она не должна оставить рав¬
нодушным никого. Действительно, задача понравилась всем. Но некото¬
рые, признав ее красоту, пессимистически заявили, что они никогда
не догадались бы до такого решения и это чувство немного притупляет
42
Рис- 1 Рис. 2
их впечатление. Итак, вопрос о существовании красивых задач как
для творцов, так и для ценителей остался открытым.
В этот момент урока представлялось целесообразным изменить
направление диспута, и классу был задан следующий вопрос: «Что
определяет красоту рассмотренной задачи?» Предложивший ее уче¬
ник ответил, что он считает красивыми те задачи, решение которых
основано на непредсказуемой идее. И другие высказали сходные мне¬
ния, оценивая красивую задачу как источник непредполагаемых и
неожиданных идей.
На доске появилась, формула:
красивая задача = непредсказуемость +
+ неожиданность + непредполагаемость. (*)
Отнюдь не следует думать, что слагаемые в формуле появились
в результате полного и безоговорочного одобрения. Так, предложе¬
ние включить в их число «нестандартность» было отвергнуто боль¬
шинством, посчитавшим эту характеристику слишком «стандартной»
для того, чтобы достойно оценивать такое качество, как красота.
Заслуживает внимания и такой факт. После появления формулы
(*) некоторые учащиеся признались, что, подбирая к уроку задачи,
они только сейчас могут объяснить свой выбор.
Подогрело страсти предложение одной ученицы о замене левой
части формулы (*) на «оригинальная задача». Свое предложение она
аргументировала тем, что словарь русского языка С. И. Ожегова рас¬
крывает понятие красоты как совокупность качеств, доставляющих
наслаждение взору, и слуху, и, следовательно, термин «красивая за¬
дача» не уместен.
Оппоненты не заставили себя долго ждать: «Красота может до¬
ставлять удовольствие не только слуху и взору, но и разуму!..» И в ка¬
43
честве примера, иллюстрирующего их доводы, предложили следующую
задачу1.
При пересечении диагоналей правильного пятиугольника в свою
очередь образуется правильный пятиугольник (рис. 2). Существуют
ли пятиугольники, отличные от правильного, диагонали которого при
пересечении образуют пятиугольник, подобный данному.
Решение. Искомым пятиугольником является параллельная
проекция правильного пятиугольника. Действительно, изображения по¬
добных фигур, лежащих в параллельных плоскостях, подобны. (Это
легко доказать, пользуясь определением преобразования подобия и свой¬
ствами параллельного проектирования.)
Эта задача многих ошеломила. И я еще раз убедился в том, что за¬
дача и ее решение могут оказывать сильное эмоциональное воздей¬
ствие на детей.
Вокруг нее возник спор. Один ученик предложил усложнить усло¬
вие, рассмотрев, к примеру, правильный десятиугольник, и тем самым
сделать решение эффектней. Возражавшие ссылались на то, что решаю¬
щий задачу с пятиугольником прибегнет к средствам планиметрии,
и это в свою очередь выгодно оттенит красоту решения.
Этот спор позволил одному учащемуся выразить свое отношение
к красивым задачам. В его понимании к последним относятся и такие,
которые при первом знакомстве поражают своей сложностью и даже
вызывают страх, а решение их удивительно изящное и простое.
Вот пример задачи, предложенной этим учеником.
Отрезок длины I разделили на п отрезков. На каждом из них,
как на диаметрах, построили полуокружности. Эту же операцию повто¬
рили, разделив данный отрезок на k частей (рис. 3). Найти отноше¬
ние суммы длин полуокружностей первого и второго разбиений.
Решение. Пусть d\, di,..., dn — длины отрезков первого раз¬
биения, d\, d'i,..., d'k — длины отрезков второго разбиения. Сумма длин
полуокружностей в первом случае Sj= (di+d2+...-Frf*)= а во
втором случае S2= у (d\Jrd2+...-\-d'i!) = у. Итак, Si:S2=l.
После решения этой задачи формула (*) дополнилась еще одним
слагаемым «удивительная простота».
1 Эта задача составлена учащимися физико-математического интер¬
ната при КГУ.
44
Эмоциональный накал диспута возрастал. Приглашенные на урок
коллеги не выдержали и нанали принимать активное участие в обсуж¬
дении. В частности, они настаивали на том, чтобы в формуле было
еще одно слагаемое «простота», ссылаясь на возникновение компонента
«удивительная простота» как противовеса псевдосложности условия,
а все рассмотренные ранее примеры относятся к красивым и потому,
что они обладают доступными решениями. Одной неожиданности недо¬
статочно, так, например, ехать из Киева в Москву через Париж —
предложение неожиданное, но пока непростое.
Последний пример убедил учащихся расширить формулу.
Представляется интересным выделить еще одну точку зрения.
Учащийся предложил включить в (*) слагаемое «фантазия», пред¬
варительно рассказав известную задачу П. Дирака о рыбаках (об
этой задаче можно, например, прочитать в [3]).
Заслуживает внимания и такое высказывание: «К красивым я
отношу и те задачи, для решения которых надо сделать решительный,
революционный шаг». Оно было раскрыто на двух исторических при¬
мерах: пятый постулат Эвклида и проблема разрешимости алгебраи¬
ческих уравнений в радикалах. Еще ученик предложил классу поду¬
мать над следующей задачей.
Найти закономерность в построении последовательности 111, 213,
141, 516, 171, 819, 202, 122, ...
А решение этой задачи действительно революционное: надо в дан¬
ной последовательности иначе расставить запятые, и мы получим
11, 12, 13, 14, ...
Формула (*) пополнилась новым компонентом «революцион¬
ный шаг».
Стоит вспомнить еще одну задачу, позволившую дополнить (*)
слагаемым «удивление».
Бактерии размножаются делением. За 1 секунду из одной бактерии
образуются две. Одна бактерия вместе со своим потомством запол¬
няет пробирку за 1 час. За какое время эту же пробирку заполнят
две бактерии?
Решение. Из одной бактерии за 1 секунду образуется 2. Даль¬
ше процесс в пробирке с одной бактерией идет точно так же, как и
в пробирке с двумя бактериями. Следовательно, ответом будет 59 ми¬
нут 59 секунд. (А совсем не 30 минут, как опрометчиво высказались
некоторые ученики.)
Приведенный выше пример возник как иллюстрация следующей
точки зрения: есть задачи, в которых верный ответ в корне отличается
от интуитивно предполагаемого. Это разительное отличие, вызывая
удивление, украшает задачу.
Описание урока хотелось бы закончить двумя поучительными для
нас, учителей математики, выступлениями учеников, прозвучавшими в
конце диспута.
В первом ученица упрекнула своих товарищей в том, что они не
45
замечают красоту, лежащую на поверхности, а именно некоторые из¬
вестные теоремы, например, теорему Пифагора. Факт, описанный этой
теоремой, она считает простым, неожиданным и удивительным. Школь¬
ница предложила классу переоценить, но уже под углом поднятых
вопросов, теоремы школьного курса математики.
Приведем некоторые примеры «лауреатов» школьной программы
по математике, награжденных учащимися медалями за красоту: при¬
знак делимости на 3 и на 9, теорема Виета, геометрический смысл
производной, свойство медиан треугольника, теорема синусов и др.
Во втором выступлении (оно оказалось последним) ученица вер¬
нула нас к началу дискуссии. Отметив свое признание существования
красивых задач независимо от ее участия в их решении, заострила
внимание на том, что ценить красоту в математике могут лишь те,
кому нравится эта наука, а нравиться она может лишь тем, кто награж¬
дается успехом при решении задач. Поэтому она предложила вклю¬
чить в (*) слагаемое «уверенность в будущем успехе», или «оптимизм»,
а в конце поставить знак «+» и многоточие.
Подводя итоги диспута, я обратил внимание класса на то, что
восприятие красоты (не только в науке, айв любом виде человеческой
деятельности) требует от человека определенного труда на приближе¬
ние к уровню компетентности, который заложил автор в свое произве¬
дение, будь то математическая теорема, картина, музыкальный опус
или эффективно работающее техническое устройство.
Итак, после почтц. полуторачасовой дискуссии (была «украдена»,
но по единодушному решению участников дискуссии, перемена и часть
урока коллеги) на доске возникла формула:
Красивая задача — непредсказуемость + непредполагаемость +
+ неожиданность + удивительная простота + простота +
+ фантазия + революционный шаг + удивление +
+ оптимизм + труд +...
Важно подчеркнуть: отказавшись в последнем от синонимов, мы
получим формулу математической красоты, предложенную В. Г. Болтян¬
ским [1] и эмпирически переоткрытую детьми.
В заключение отметим, что урок-диспут, по нашему мнению,—
это еще один шаг на пути к проблеме формирования мотивации учеб¬
ной деятельности учащихся.
Литература
1. Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Мате¬
матика в школе. 1982. № 2. С. 40—43.
2. Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики. М.: .Просвеще¬
ние, 1981.
3. Камышко И. Поль Дирак и задача о трех рыбаках // Квант.
1982. № 9.
4. Кованцов Н. И. Математика и романтика. Киев: Вища школа, 1980.
5. Математика в афоризмах, цитатах, высказываниях / Сост.
Н. А. Вирченко. Киев: Вища школа, 1983.
6. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.
7. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. М.: Мир, 1975.
46
ЭВМ в сельской школе
А. В. Якубов (с. Урус-Мартан ЧИАССР)
В урус-мартановской средней школе № 5 Чечено-Ингушской АССР орга¬
низован компьютерный кабинет на базе класса КУВТ-86, состоящего из
12 компьютеров ДВК-0010 для учащихся и одного ДВК-2М для учителя.
В настоящее время существуют различные по своим назначениям
программы для персональных ЭВМ: моделирующие, контролирующие,
демонстрационные и т. д. Однако они составлены на различных языках
программирования, для компьютеров разных типов. Среди такого раз¬
нообразия трудно найти именно те материалы, которые подходят для ком¬
пьютеров, установленных именно в данном классе. Кроме того, програм¬
ма, составленная на подходящем языке программирования, часто оказы¬
вается непригодной для учителя из-за того, что задачи, для решения ко¬
торых она составлена, далеки от нужд школы. Таким образом, подходя¬
щие программы часто оказываются малодоступными для преподавате¬
лей сравнительно немногочисленных компьютерных классов.
Особенно острый недостаток в программном обеспечении испытыва¬
ют учителя сельских школ. Многие из них не получили систематического
образования по информатике. Не надеясь на свои знания в этой области,
они предпочитают использовать только рекомендуемые им со стороны
прЪграммы и воздерживаются от попыток составить такие программы
самостоятельно. Автор этих строк призывает своих коллег из сельских
школ к большей смелости. Инструкции, которыми сопровождаются пер¬
сональные компьютеры, многочисленные публикации в журналах окажут
начинающему программисту-учителю неоценимую помощь. Пусть его
первые программы будут не слишком красивыми, главное, чтобы они безо¬
шибочно работали и помогали обучать школьников. Осуществив не¬
сколько попыток работы с ЭВМ, учитель убедится на собственном при¬
мере, насколько силен обучающий эффект машины, ведь его ошибка в
программировании немедленно скажется на работе компьютера, машина
не прочтет неверную программу. Но путем проб и ошибок учитель в конце
концов найдет с ней общий язык, а вслед за ним общению с ЭВМ научат¬
ся и его ученики. Расскажем немного о своем опыте.
Существующие санитарно-гигиенические нормы позволяют одному
человеку работать за видеотерминалом компьютера всего 15—20 мин
в неделю. При таком жестком ограничении на систематическое использо¬
вание компьютера целесообразно выбрать программы, обеспечивающие
тренировку в относительно несложном материале, например на уровне
обязательных результатов обучения. Приведем фрагмент диалога учаще¬
гося с машиной, которая предлагает ряд заданий одного из вариантов ра¬
боты по теме «Степень с рациональным показателем».
После включения персональной ЭВМ на ее экране появляется запись:
«ВЫЧИСЛИТЕ (81* 16) ‘/4. ВВЕДИТЕ ОТВЕТ». Если ученик ввел вер¬
47
ный ответ, то машина поощряет его: «МОЛОДЕЦ! ОТВЕТ ПРАВИЛЬ¬
НЫЙ. ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ВВОД».
Ученик нажимает клавишу «ВВОД» и видит следующее задание:
«ВЫЧИСЛИТЕ (125/64)'/з». Если ученик ввел неверный ответ, то ком¬
пьютер реагирует следующим образом: «ОТВЕТ НЕВЕРНЫЙ. ПОВТО*
РИМ ЕЩЕ РАЗ. НАЖМИТЕ ВВОД». Если теперь вводится правиль¬
ный ответ, то осуществляется переход к следующему заданию. Если же
ответ опять неверный, то ученику предлагается проделать вычисления
еще раз и снова ввести ответ. После двух-трех попыток компьютер
дает инструкцию и образец ответа: «ОТВЕТ, К СОЖАЛЕНИЮ, И НА
ЭТОТ РАЗ НЕВЕРНЫЙ. ОПРОС ОКОНЧЕН. ЕСЛИ ДАНЫ РЕКО¬
МЕНДАЦИИ, ПЕРЕПИШИТЕ ИХ. РЕКОМЕНДАЦИИ: НАДО ЗНАТЬ
И УМЕТЬ ПРИМЕНЯТЬ CBOHCTBOJA/B)p/Q=Ap/Q/Bp/Q НАДО
ЗНАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: АР^=^АР. ОБРАЗЕЦ: (125/64) ‘/3=
= 1251/3/641/3=У 125/V64=5/4= 1,25.
Работа с компьютером заканчивается появлением особой строки,
например: «25 6 1 0 1 0 2 1 3». Эта последняя строка, автоматически вы¬
водимая на печатающее устройство, является своего рода главным доку¬
ментом, удостоверяющим итог работы ученика с компьютером. При¬
веденная запись означает, что ученик с номером 25 в отведенное для
работы время выполнил 6 заданий I варианта. Из них безошибочно вы¬
полнены первое и третье задания, во втором и пятом заданиях ученик
допустил по одной ошибке, а в четвертом и шестом соответственно две
и три.
Отчет класса о выполнении заданий по всем вариантам на дисплее
учителя выстраивается в таблицу, где отчет данного учеыика занимает
строку с номером, присвоенным его компьютеру. Анализ работы по стро¬
кам дает возможность судить об индивидуальных пробелах каждого
ученика. Но весьма важно провести анализ таблицы и по столбцам, кото¬
рый дает общую картину знаний и умений учащихся данного класса. Учи¬
тель сразу увидит, что, например, в задавиях № 6 каждого варианта
учащиеся сделали больше всего ошибок. Значит, задания этого типа надо
будет еще раз повторить со всем классом на обычных уроках.
Отметим теперь чисто житейский момент. Учителю нельзя увлекаться
только вопросами программирования, иначе он забудет, что ученик мо¬
жет приспособиться ко всему, даже научиться «обводить вокруг пальца»
компьютер. Например, если в программе предусмотреть несколько ва¬
риантов, то все равно в классе найдутся несколько учеников, выполняю¬
щих один и тот же вариант. Такие ученики рассаживаются по соседству
друг с другом так, чтобы слабейший из них оказался в центре группы.
Слабый ученик сразу допускает две-три ошибки, а в ответ на экране ком¬
пьютера появляются рекомендации с образцом решения. Таким образом
вся группа получает готовую подсказку, которой остается только вос¬
пользоваться.
Для предупреждения такой ситуации целесообразно предусмотреть
больше вариантов. Кроме того учителю нужно хорошо продумать сис¬
48
тему расположения учащихся в компьютерном классе. Ученики должны
сидеть не так, как они хотят, а так, как им предложил учитель. Это
удобно по нескольким причинам. Во-первых, в большей степени гаранти¬
рует самостоятельность учащихся. Во-вторых, каждый ученик в течение
года принужден пользоваться одним и тем же компьютером, значит, имеет
постоянный номер в отчетной таблице, появляющейся на дисплее учи¬
теля. В-третьих, ученик привыкает к «своему» прибору и бережет его.
КОНСУЛЬТАЦИЯ
Материалы
для контрольных работ в VIII классе
с углубленным изучением математики
(II полугодие)
М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич (Москва)
Эта статья является продолжением рекомендаций тех же авторов, опуб¬
ликованных в журнале «Математика в школе», № 4 за 1989 г.
АЛ ГЕБРА
В курсе алгебры II полугодия продолжается изучение темы «Квад¬
ратные уравнения». Эта тема настолько важна, что помимо конт¬
рольной работы по данной теме, рекомендованной нами для I полугодия,
представляется целесообразным провести во II полугодии еще три. В пер¬
вой из них необходимо проверить материал, связанный с теоремой
Виета и квадратным трехчленом. Вторую следовало бы посвятить
решению дробных рациональных уравнений и других уравнений, приво¬
дящихся к квадратным. В третьей работе было бы полезно уделить вни¬
мание только текстовым задачам.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задачи к контрольной работе № 1
Группа А
1. Составьте квадратное уравнение с корнями:
а) З-i- и 0,3; б) и в) — 3 и а; г) 2—УЗ и 2+УЗ;
О О О
д) —2 и УЗ.
2. Найдите пары чисел (а, Ь), удовлетворяющие условиям:
а-\-Ь=—7 и ab=6.
3. Не вычисляя корней Xi и хг уравнения Зх!—х—11=0, найдите:
а) —+—; б) х]+х\\ в) —+—; г) xix\+xtx\.
Х\ Х2 Х2 Xi
49
4. Пусть Xi и Х2 — корни уравнения 2л:2—7х—3=0. Составьте
квадратное уравнение, корнями которого являются числа: a) 2>х\ и Зхг;
1 1.2 2,11
б) — и —; в) Х\Хг и ХгХ\\ г) ти -у.
Х\ Х2 Х\ Х2
с г- й * а2—7а+12 .. 5а2—7а+2
5. Сократите дробь: а) - б)
6. Докажите, что произведение всех чисел, являющихся корнями
уравнений 13х2+ 100.»:+17=0 и 17л:2+ 100л:+ 13=0, равно 1.
7. Докажите, что сумма всех чисел, являющихся корнями уравне¬
ний \7х2—50л:—19=0 и 34*2+100л:—3=0, равна 0.
Группа Б
1. Не вычисляя корней xt и Хг уравнения 4*2—5х—3=0, найдите:
а) Х\-^Х2', б) jct+xii.
2. Пусть Xi и х2 — корни уравнения 2х2—7х+1=0. Составьте
. Х\
квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) -у и
, , Хг
Хг ,, х? xi
-?] б) — и —.
Х\ Хг *1
3. Решите уравнение наиболее рациональным способом:
а) л:2—(5 + 2 д/7) л:+10--\/7 = 0; б) jc2 + (а— 1) х — 2а (а + 1) = 0;
в) 3*2-IU + 37 = 3- +37.
4. Постройте график функции:
х2 — 5х— 6 л:2 + 5д: + 4
а) -х-\ ; б)у=\х+1\-
5. В уравнении л:2 — 4х + а = 0 сумма квадратов корней равна 1G.
Найдите а.
6. В уравнении х2— 2х + а = 0 квадрат разности корней равен 16.
Найдите а.
7. Разложите на множители квадратный трехчлен Злг + 5* + а, если
известно, что один из этих множителей равен х — 3.
I g
8. Какие значения может принимать выражение ——-j ?
9. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициен¬
тами, один из корней которого равен 2д/5 — -\/14 + 6д/а
В процессе отработки с учащимися навыков решения рациональ¬
ных уравнений желательно сделать определенный акцент на развитие
линии уравнений с параметрами. Рассматривая на уроках такие уравне¬
ния, целесообразнее начать с линейных уравнений, повторяя материал
VII класса, и далее перейти к квадратным уравнениям, исследуемым
без привлечения аппарата неравенств.
Приведем набор таких упражнений
Решите уравнения с параметром а: 1) 3 х = а\ 2) ах = 3;
50
3) tu = 3a; 4) (a2 — a)x = 3; 5) (a2 — a) x=3a; 6) (3a2 + 2a—I) jc=
= 1— a2; 7) x2=a; 8) 4x2 + a = 0; 9)ax2=l; |0) ax2=x+a;
11) lUl. = 0; 12) = 0; 13) = 0.
' 2x—\ x—a x—4
Задачи к контрольной работе №2
Группа А
, x2 — 7x-f-6 с
1. Решите уравнение: а) ———-у— = — о;
, , „ , 5х—1 , 5х—1 _ч 104 3*+l 5 — 2х
б) ж+3дс + = 18 + ; в) р—^ х_4 - х+^ ,
дг-л/5 2х 30 _ 13 _ 18лг + 7
2л: — л/5 a:-V5 — 3 ’ Д х‘‘ —1 х2+х+\ х3—1
2. Решите уравнение с параметром а:
= 6>fSf2 = °-
3. Решите уравнение
а) *41*1-6=0; б) (2* + 3)4 + 5(2* + 3)2 = 6.
Группа Б
1. Решите уравнение:
а) х*— (a2 + 4)*2 + 4a2 = 0; б) х2+\х — 31=3;
В) (£=т)2 + (1^)2 = 4’25: г) ^+.)(,+2)(, + 3)=120.
2. Решите уравнение с параметром ft:
х2 — (2ft + l)x + 2ft „ л:2 + (3ft + 2)x + 2ft2 + 3ft + 1 n
а> 7=3 = 0; б) х2-5х + 4 -
3. Решите уравнения:
38 х+10 _ лг+10
а' -л:2+ 20*-100 + х2-х+ 10 х 2 -\-х — 10’
L 9*+1 V , U I 18* + 2 V - О.
б) I2 -F+бТ+ТJ + V2 + 2*43i'+i/ ’
в) 5*3 — (*2 + 5*) a + a2 = 0.
Задачи к контрольной работе №3
Группа А
1. Теплоход прошел по течению реки 48 км, а затем вернулся в
пункт отправления, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения
реки, если скорость теплохода в стоячей воде 20 км/ч.
2. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить заказ за 7 дней,
причем второй начинает работу на 1,5 дня позже первого. За сколько
51
дней каждый из них может выполнить этот заказ, работая отдельно,
если второму потребуется на это на 3 дня меньше, чем первому?
3. В однокруговом шахматном турнире было сыграно 78 партий.
Сколько человек участвовало в турнире?
4. Придумайте и решите задачу, решение которой приводит к урав-
- - 20 . 40 _о
I СП „ —
jt+10 50 — х
Группа Б
1. Тело движется по закону s (/) =-^—(•■ М (м). За первые
две секунды оно прошло 44 метра, а за следующие две секунды —
еще 52 метра. За какое время с начала движения оно пройдет 300 метров?
2. Смешав 8 г одной жидкости с 6 г второй, получили смесь с
удельным весом 0,7 г/см3. Найдите удельный вес каждой жидкости,
если удельный вес первой на 0,2 г/см3 больше удельного веса второй.
3. В сплав магния и алюминия, содержавший 22 кг алюминия,
добавили 15 кг магния, после чего содержание магния в сплаве повыси¬
лось на 33 %. Найдите массу полученного сплава.
4. Первый слиток сплава содержал 6 кг меди, а второй — 12 кг.
В первом слитке было на 40 % меньше меди, чем во втором. После того
как оба слитка сплавили в один, полученный слиток стал содержать
36 % меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором
слитках.
5. По окружности движутся два тела; первое тело проходит
один круг на 2 с быстрее второго. Если оба тела движутся в одном
направлении, то они встречаются через каждые 60 с. Какую часть
окружности проходит каждое тело за 1 с?
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
На изучение этой темы отводится лишь 7 ч. В связи с этим представ¬
ляется целесообразным проверить знания учащихся по данной теме в
рамках самостоятельной работы.
Задачи к самостоятельной работе
Постройте график функции:
1) у=2\х\—3; 2) у= 12х—31; 3) у= |2jc—31 — 1; 4) у=||2х-3|-1|
5) </ = 4 • 6) у = 4+1; 7)у = -^~ 1; 8) у =
НЕРАВЕНСТВА
На данную тему отводится 25 ч, в течение которых предлагается
провести две контрольные работы. Контрольная работа № 1 проверяет
материал, связанный с доказательством неравенств и свойствами число¬
вых неравенств. Контрольная работа № 2 охватывает решение линейных
неравенств и их систем.
52
Задачи к контрольной работе № 1
Группа А
1. Докажите утверждения:
1) если 0<а<Ь, то а2< Ь2\ 2) если о2>62 и а>О, Ь>0, то а>Ь.
Воспользовавшись ими, сравните:
а) ~\]а2 + 6а и а+6 (а>0, ft>0); б) -\ДТ-)~УТЗ и д/43.
2. Пусть 3<л:<7, 2<i/<5. Оцените значение выражения:
а) Зл: + 5(/; б) 2* —3у, в) Зу — 2х. Сколько целых значений при¬
нимает выражение Зу— 2лг?
3. Длины стороя треугольника равны 7 см, 13 см, х см. Какие
значения может принимать полупериметр этого треугольника?
4. Оцените значение выражения 0,125-(5 —3 cos а), где: а) а — ве¬
личина острого угла; б) 0°^сх^ 180°.
11 111 1
5. Сравните два числа: —+—+.,.+^ и б8+-б9'+"'+463'
6. Докажите неравенство:
а) ^±^5= (а>0, 6>0); б) +-^ 5* 4 (а и Ь одного
знака).
Группа Б
1. Докажите, что если Ь2 — 4£<0, то х1 -}-Ьх-\-0 0 при всех
значениях х.
2. Оцените значение выражения 0,125 *(5 — 3 cos 2а), где а — вели¬
чина острого угла.
g
3. Оцените значение выражения -—г , где 09<а<90°.
5 — 3 cos 2ос
4. Докажите неравенство:
. а + b а , Ь . ,
а) Н + 6+7 < о+Т Т+Т’ если fl>0' 6>0;
/ a2 a2 — b2 b2 \ а-\-Ь а-\-Ь ^ 2 + а3
ab ab ab + b1 / a2 + ab + b2 ab < a ’
в) a2-\-b2~^ 0,5, если a-\-b= 1;
r) (l-fa)(l+6)(l-f c)>24, если ^ = — и a>0, c> 0.
О С
Задачи к контрольной работе №2
Группа А
1. Решите неравенство: а) 3* + 5 _ 5л: —3 8л:-f- * .
7 11 ^ 13 ’
б) (4*-3)Ч(3*-7)?<(5*+1)!; в) £±L + ^+11. < 1,5.
53
2. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
(5-V26)*< 51 - 10V26-
3. Решите неравенство: a) U + 5|^3; б) |л: — 31 <2;
в) |2х + 3|<0; г) |3 —5*| >0.
4. Решите систему неравенств:
а) 12х— 3^5 0, б) f 2х—УзГ<0,
7х<0; \УТ0 —
в) П97х-196<0 г) / (1 —л]2)х^ (У2 — I)2
\ 197- 198*<0 \У!28* + 8^0.
5. Придумайте задание на решение системы двух линейных нера¬
венств, имеющее ответ: а) —1^ ^ х< 5; б) х>4; в) х<—11;
г) нет решений.
6. При каких значениях а значение функции [{х) = (2а-\- 1)х2 +
+ (8а— 3)лг-}- 1 в точке х— — 1 отрицательно?
Группа Б
1. Решите неравенство: а) (3* — 7) --\/5д: + 3- < 0;
б) (3*-7).у5* + 3: <0; в) (3х-7).у5* + 3>0;
г) (Зх — 7).у5* + 35г0.
2. Решите неравенство: а) 1<|дг—2|<3; б) 0< |2х-{-5| <2;
в) |*|-(2х + 3)>0; г) |2 — х\ .(Зх —5)<0.
3. В некотором царстве ровно одна треть мужского населения —
Иваны, а одна четверть — Петры. Расставьте в порядке возрастания
вероятные количества Иванов Ивановичей, Петров Петровичей, Иванов
Петровичей и Петров Ивановичей.
4. Решите неравенство: (1 +(д/3 —2)-У7 + 4д/3)х> 5— У37.
5. Докажите, что сумма квадратов п идущих подряд натуральных
чисел, начиная с п, заключена между кубом меньшего из них и кубом
большего из них.
6. Решите неравенства или системы неравенств с параметром а:
а) ах + 3^0; б) |х|<а; в) |х<3, г) (х<2а,
\х\ > а.
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Задачи к контрольной работе
Группа А
1. Упростите выражение: а) 5,3а7 (— Ь) ~13 ■ а_3й6^ ;
б) ((а-3 —а-|&-2 —6~3) • (£>3 — а26 — а-3)-1)-1.
(у)2+(2,5Г2
2. Вычислите j (sin 60° + cos 30°)~2.
(т + «Г
3. Докажите, что если а<Ь<0, то а ?<Ь 2.
4. Вычислите (...( ( —2)-1) -|
п показателей
степеней
Группа Б
1. Подберите хотя бы одно решение уравнения:
а) (7-473)* = 7 + 4УЗ; б) (УЗ- 1)' = 4-273;
в) (7— 4V3)* = 97 + 56V3.
3-2
2. Сравните два числа: -у- и 2 6.
б)
3. Вычислите: а) (—рЛ—pH -———р) :(1+УгЦ5)
л/7 + л/5 т/5 —V2
4. Подберите хотя бы одну тройку натуральных чисел а, b и с,
такую, чтобы выполнялось соотношение а~1 + Ь~1 = с_ . Какому физиче¬
скому закону соответствует данное равенство?
Итоговая контрольная работа (3 ч)
Эта работа предлагается после завершения итогового повторения
всего курса. По решению школьного совета она может быть дана в
форме экзамена. Следует особо подчеркнуть, что выбор уровня сложности
работы должен производиться учителем с учетом реальной ситуации в
классе. Приводим один из возможных вариантов.
1. Упростите выражение
су, , 4а2-62
ID -f-Q ^о_2>.2 I „L3 \ — 1
a /V6-2aV + ab3 у
-3а2Ь '■ \ /
b3 + 2ab-
2. Вычислите: (3-2У2)-У17 + 12д/2 + (Л/3-2)-У7 + 4УЗ.
3. Решите уравнение: - ^ + ^ + 2 = ^ •
4. Две бригады, работая совместно, закончили устройство водоема
за 12 дней. Первая бригада одна могла бы выполнить эту работу
на 10 дней быстрее другой. За сколько дней каждая бригада могла
бы выполнить эту работу? Как следует распределить между бригадами
полученные ими за совместное устройство водоема 1200 рублей?
5. Дана функция
ах — 3 (а+1)х2 г—
f (х) = - + У4 + х .
-\Ji —5х -у8х + 49
1) Найдите область определения функции. 2) При каких значениях а
f(—3)<0? 3) При каких целых значениях х /(*)= — * ПРИ любом
значении а?
55
6. Найдите все такие натуральные п, при которых число л4+4 —
простое.
ГЕОМЕТРИЯ
Первая контрольная работа по курсу геометрии, охватывающая
материал по теме «Теорема Пифагора», приведена в предыдущей
статье. Курс продолжается темой «Декартовы координаты на плоскости»,
изучение которой завершается контрольной работой.
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
Задачи к контрольной работе
Группа А
1. Даны точки А (6; —8) и В (13; —5). Найдите координаты:
а) точки М — середины отрезка АВ\ б) такой точки К, что В — середина
отрезка АК\ в) точки AI, принадлежащей отрезку АВ и такой, что
АМ = ЗВМ; г) всех таких точек М на прямой АВ, что АМ = ЗВМ.
2. Дана точка /1(3; 5). Найдите все точки на осях координат, уда¬
ленные от А на расстояние 10.
3. Найдите множество точек, равноудаленных от точек М(1;3) и
К(- 2; 1).
4. Постройте множество точек, заданное уравнением х2-\-2х-\-
+ </2 + 4г/ = 4.
5. Среди всех точек, координаты которых удовлетворяют уравне¬
нию х2 + 8х-\-у215 = 0, найдите две точки, одна из которых находится
ближе всех к началу координат, а другая — дальше всех.
6. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку
А( — 5; 8) и удовлетворяет еще одному условию: а) параллельна прямой
у = Здг+1; б) перпендикулярна прямой у = Зх-\-\.
7. Найдите расстояние от начала координат до прямой х-\-у = 6.
8. При каких положительных значениях а прямая х + у = 6 и
окружность х2-\-у2 = а2 имеют: а) одну общую точку, а) две общие точки,
в) не имеют общих точек?
Группа Б
1. Найдите координаты точки А, лежащей на окружности
х2 у2 = 100, если /LAOB=\bO°, где О — начало координат и В(1;0).
2. Даны точки А( — 3; 4), В(1; 7), С( —8; 16); а) докажите, что
ABC — треугольник; б) напишите уравнение окружности с диаметром
ВС; в) определите положение точки А относительно этой окружности;
г) на прямой ОА найдите точку, равноудаленную от точек В и С
(точка О — начало координат).
3. Даны точки М{3; 8), Р(3; 12); /С(5; 10).
1) Найдите все такие точки А и В чтобы вместе с точками М и Р
они являлись вершинами квадрата.
2) Найдите такие точки С и Я, чтобы вместе с точками М и Р
они являлись вершинами прямоугольника, на одной из сторон которого
лежит точка К-
3) Найдите такие точки Т, чтобы точки М, Р, К И Т были верши¬
нами параллелограмма. Есть ли среди этих параллелограммов ромбы
и прямоугольники?
56
4. Прямая 3* + 4у = 24 пересекает ось Ох в точке Л, ось Оу — в точке
В. Найдите: а) периметр треугольника ЛОВ; б) тригонометрические
функции угла В АО] в) расстояние от начала координат до прямой
АВ; г) уравнение окружности с центром в точке О, касающейся
прямой.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФИГУР. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Задачи к контрольной работе
Группа А
1. Постройте такие два разносторонних треугольника ABC и А\В\Си
чтобы они были: а) симметричны относительно середины отрезка АА\\
б) симметричны относительно медианы треугольника ABC; в) гомоте¬
тичны (с коэффициентом гомотетии 2) относительно точки пересечения
медиан треугольника ABC.
2. Постройте треугольник ABC, который получается из разносторон¬
него треугольника AtBiCi поворотом на угол 60° вокруг середины
отрезка Л|В|.
3. Даны точки М(1;3) и Я( — 1; —8). 1) Найдите: а) точку К,
симметричную точке М относительно точки Я; б) точку А, симметричную
точке М относительно оси ординат; в) точку В, симметричную точке
Я относительно оси ординат.
2) Найдите отношение, в котором отрезок МН делится прямой АВ,
считая от точки М.
3) Сколько треугольников можно образовать, выбирая вершины из
точек М; И; А; К?
4. Докажите, что длины биссектрис соответствующих углов подоб¬
ных треугольников относятся друг к другу так же, как их периметры.
5. Треугольники ABC и A\BiC\ подобны; АВ = 3, ВС = 5, АС= 7.
Сумма квадрата меньшей стороны треугольника А\В\С\ и его большей
стороны равна 50. Найдите третью сторону треугольника А\В\С\.
6. В остроугольном треугольнике ABC отрезки АК и ВМ — высоты.
Докажите, что треугольники ABC и КМС подобны.
Группа Б
1. Диагональ делит трапецию на два подобных треугольника.
Найдите длину этой диагонали, если основания трапеции 8 см и 18 см.
2. Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка пе¬
ресечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат
на одной прямой.
3. В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и СР. Найдите длину
отрезка ЕР, если ЛС=26 см, sinZ.B= 12/13.
4. На стороне АС треугольника ABC взята точка Вi так, что
АВ\:В)С=ЗЛ. В каком отношении медиана ЛЛ( делит отрезок
ВВ,?
5. В окружность вписан треугольник ЛВС. Расстояния от точек
Л и С до прямой, касающейся окружности в точке В, соответственно
равны 27 см и 12 см. Найдите высоту треугольника ЛВС, проведенную
из вершины В.
57
Задачи к итоговой контрольной работе
1. В равнобокой трапеции основания равны 3 см и 27 см, боковая
сторона — 13 см.
1) Найдите высоту трапеции и длину отрезка, заключенного между
боковыми сторонами, параллельного основаниям и проходящего через
точку пересечения диагоналей.
2) Найдите длину отрезка, заключенного между боковыми сторона¬
ми и разбивающего трапецию на две трапеции одинаковых пери¬
метров.
3) Определите расстояние от точки пересечения продолжений боко¬
вых сторон трапеции до ее большего основания.
4) Вычислите значения тригонометрических функций угла между
диагональю и меньшим основанием трапеции.
2. Даны точки Л(3; 4), 5(6,8), С(8; —8), Л|(0; 5), Bi(6; 13) и
С|(10; —19). Докажите, что угол ВАС равен углу BtA\Ci.
3. На каждой стороне ромба АВСР со стороной а и тупым углом а
взята точка. Эти точки последовательно соединены отрезками.
Найдите площадь образованного таким образом четырехугольника,
если известно, что это квадрат, стороны которого параллельны диа¬
гоналям ромба.
Отметим, что включение задач на построение в контрольные работы
нам представляется нецелесообразным. Полезно провести зачет с вы¬
ставлением оценок. Предлагаем набор задач, которые можно использо¬
вать для этого зачета.
В задачах 1—7 требуется построить параллелограмм по указанным
данным.
1. Даны две стороны и высота.
2. Диагональ и два угла, на которые эта диагональ делит угол парал¬
лелограмма.
3. Острый угол и две высоты.
4. Две высоты и одна из диагоналей.
5. Две стороны и отрезок биссектрисы внутреннего угла, заключен¬
ный внутри параллелограмма.
6. Две диагонали и высота параллелограмма.
7. Даны три отрезка, на которые делят сторону параллелограмма
биссектрисы противолежащих ей углов, и тупой угол параллелограмма.
В задачах 8—10 требуется построить прямоугольник по указан¬
ным данным.
8. Большая сторона и отрезок биссектрисы одного из углов, за¬
ключенный внутри прямоугольника.
9. Сторона и угол между диагоналями, противолежащий данной
стороне.
10. Периметр прямоугольника и диагональ.
В задачах 11 —14 необходимо построить ромб, если даны некоторые
его элементы.
11. Высота и одна из диагоналей.
12. Сторона и сумма диагоналей.
13. Сторона и разность диагоналей.
58
14. Острый угол и сумма стороны и высоты ромба.
15. Постройте квадрат по серединам двух его смежных сторон.
16. Внутри угла взята точка М. Постройте отрезок с концами на
сторонах данного угла так, чтобы точка М была его серединой.
17. Постройте треугольник по данному углу, отношению длин сторон,
образующих этот угол, и медиане, проведенной к третьей стороне.
18. Постройте прямоугольный треугольник по данному катету и
отношению другого катета к гипотенузе.
19. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной
из вершины третьего угла.
20. Постройте треугольник по двум' углам и радиусу вписанного
круга.
21. В круговой сектор с данным острым центральным углом впи¬
шите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на радиусах,
образующих данный центральный угол, а две другие — на дуге
сектора.
22. Постройте параллелограмм по углу, отношению его высот и
стороне.
23. Постройте трапецию по отношению ее оснований, двум углам,
прилежащим к ее нижнему основанию, и высоте.
24. Постройте окружность, касающуюся двух сторон данного угла
и проходящую через данную точку М внутри угла.
О преподавании математики по учебнику
«Математика 5» Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа
Первые итоги
К. А. Краснянская, Г. М. Кузнецова, А. В. Шевкин (Москва)
30 сентября 1988 г. коллегия Гособразования СССР приняла решение
об использовании в школе параллельных учебников. Учитель получил
право выбрать любой учебник, рекомендованный для школы.
Для обоснованного выбора учебника, который отвечал бы воз¬
можностям учащихся и требованиям учителя, необходимо иметь пред¬
ставление о его характерных особенностях. Поэтому успех во введе¬
нии параллельных учебников зависит от своевременной информации
о новых учебниках, а также о результатах обучения по ним.
С 1988/89 учебного года в четвертых классах1 параллельно с
учебником «Математика 4» Я. Я. Виленкина, А. С. Чеснокова,
С. И. Шварцбурда (М.: Просвещение, 1984—1988) стал использо¬
ваться новый учебник «Математика 4» Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа
(М.: Просвещение, 1988), победивший на конкурсе2. Для облегчения
1 По новой нумерации классов учащихся данной возрастной
группы относят к пятым классам. Но в этой статье мы придер¬
живаемся старой нумерации, чтобы не противоречить терминологии
эксперимента.
2 Для удобства дальнейших ссылок учебник Н. Я. Виленкина и
других мы будем в этой статье обозначать символом [1], а учебник
Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа — символом [2].
преподавания по учебнику [2] были опубликованы: авторская кон¬
цепция учебника и его журнальный вариант, тематическое планиро¬
вание материала, обязательные требования к знаниям и умениям
учащихся, примерные контрольные работы (см.: Математика в школе.
1988. № 1, 3, 5). Кроме того, на местах были организованы курсы для
учителей. Курсы вели методисты, которые на региональных совеща¬
ниях были ознакомлены с авторской концепцией и содержанием
нового учебника.
Госкомитет СССР по народному образованию, Институт содер¬
жания и методов обучения АПН СССР в течение учебного года про¬
водили наблюдения за преподаванием математики по учебнику [2],
При этом имелись в виду две цели: получить сведения о результатах
обучения и выявить мнение учителей об учебнике, собрать предложе¬
ния по его совершенствованию. Были совершены выезды в Тульскую
(декабрь 1988 г.) и Калининградскую (февраль 1989 г.) области
РСФСР. В этих территориях сотрудники Госкомитета и НИИ СиМО
посещали уроки, проводили контрольные работы. Состоялись беседы
с учителями и конференции. Среди учителей было проведено анкети¬
рование. В конце года мы снова попросили ответить на анкеты учите¬
лей Москвы, а также Архангельской, Брянской и Калининской об¬
ластей РСФСР.
Изучение знаний школьников проводилось три раза в течение
учебного года: в декабре, феврале и мае. Остановимся на результатах
итоговой контрольной работы, которая прошла в самом конце IV клас¬
са (16 мая 1989 г.) после повторения пройденного за год. Результаты
предыдущих проверок будем привлекать по мере необходимости для
выявления тенденций в изменении знаний учащихся. Контрольная
работа нацеливалась на проверку некоторых основных знаний и уме¬
ний, которые формируются или развиваются при обучении по кни¬
ге [2]. А именно: изображать на числовом луче и сравнивать целые
числа и десятичные дроби, округлять десятичные дроби, выполнять
действия с этими дробями; записывать в виде десятичной дробя ре¬
зультат при переходе от одних единиц измерения (длины, массы) к
другим; находить проценты от числа; решать текстовые задачи (на
движение, на производительность); строить угол по его величине, на¬
ходить периметр и площадь прямоугольника, объем прямоугольного
параллелепипеда. Обыкновенным дробям основное внимание уделяет¬
ся в следующем классе, поэтому было решено проверить только уме¬
ние сравнивать дроби с равными знаменателями, сравнивать непра¬
вильную дробь с единицей и находить часть числа.
Для охвата большего по объему материала работа была {остав¬
лена в четырех неидентичных вариантах. В каждый вариант входили
четыре основных и одно дополнительное задания. Некоторые основ¬
ные задания, в свою очередь, состояли из одного — трех вопросов
(подзаданий), связанных или не связанных между собой. В четыре
варианта было включено всего 32 вопроса обязательного уровня,
4 — продвинутого уровня и 3 — творческого.
Приведем результаты контрольной работы, полученные в трех
районах Москвы, в которых школьники обучаются по новому учеб¬
60
нику3. Каждый вариант выполняла достаточно представительная вы¬
борка учащихся, что позволило обобщить результаты выборочной
проверки на всю совокупность школьников Москвы, обучающихся по
учебнику [2]. Результаты выборочной проверки представлены в виде
процентов верных ответов. С учетом численности учащихся, вы¬
полнявших каждый из четырех вариантов, при обобщении этих ре¬
зультатов на всю совокупность учащихся допускается максимальная
ошибка, равная 3 % (при уровне достоверности 0,95, принятом в
большинстве педагогических исследований). Так, если в выборке
процент верных ответов равен р, то с достоверностью 0,95 можно
утверждать, что процент верных ответов на данное задание в сово¬
купности учащихся принадлежит интервалу (р%±3%).
При оценке результатов заданий обязательного уровня был при¬
нят следующий критерий. Считалось, что учащиеся успешно справ¬
ляются с обязательным заданием, если процент верных ответов на не¬
го принадлежит интервалу от 80 % и выше, т. е. если в выборке на
него верно ответили не менее 83 %.
Ниже дан текст итоговой контрольной работы. В нем задания
обязательного уровня помечены буквой «о» над номером задания,
буква «п» над номером говорит о продвинутом уровне, а буква «т» —•
о творческом. Параллельно текстам заданий справа в квадратных
скобках указываются проценты верных ответов.
Контрольная работа (май 1989 г.)
Вариант I (выполняли 1019 учащихся)
1°. а) Вырази в килограммах:
485 г.; 1 кг 35 г.
б) Изобрази на числовом луче:
0,3; 1,4; 0,9.
2°. Вычисли: 2,04:0,32
и результат округли до десятых.
3°. Кролик съедает в день 950 г продук¬
тов, из которых 70 % составляет трава.
Сколько граммов травы съедает в день
кролик?
4П. Две машины выехали навстречу друг
другу из двух городов, расстояние между ко¬
торыми 556 км, и встретились через 4 ч. Ско¬
рость одной машины 66,5 км/ч. Найдите ско¬
рость другой машины.
Дополнительное заданиет. Длина аква¬
риума 40 см, ширина 30 см. Сколько трех¬
литровых банок воды надо вылить в ак¬
вариум, чтобы наполнить его до высоты 25 см?
[85 %, 61 %]
[87 %, 81 %, 84 %]
[65 %]
[59 %]
[71 %]
[52 %]
[16%]
3 Получение этих результатов обеспечили методисты П. Б. Ройтман,
В. Н. Якушкин, Н. Е. Цибулевская.
Вариант II (выполняли 840 учащихся)
1°. а) Сравни числа:
-I- и 1; 26, 137 и 26,18.
о
б) Вычисли: 3,7-(0,578+1,952)—7,91.
2°. Построй угол, равный 165°.
Какой это угол: острый, прямой или тупой?
3°. Катер шел против течения реки 4 ч.
Какое расстояние он прошел за это время,
если его собственная скорость (скорость в
стоячей воде) 25,4 км/ч, а скорость течения
реки 1,5 км/ч?
4П. Площадь прямоугольника, одна из
сторон которого 4,5 см, равна площади квад¬
рата со стороной 6 см. Найдите вторую сто¬
рону прямоугольника".
Дополнительное заданиет. На пошив од¬
ного платья расходуется 2,5 м ткани. Сколь¬
ко таких платьев можно сшить из рулона тка¬
ни длиной 42 м?
Сколько ткани останется?
[75 %, 77%]
[75 %]
[87 %]
[88 %]
[56 %]
[49%]
[32%]
[12%]
Вариант III (выполняли 857 учащихся)
1°. Вычисли: а) 6,992:2,3; б) 14,67+5,9.
Результат округли до целых.
по п 4 7 6
2°. Сравни числа: и —; 1 и —;
2,3 и 1,97.
3°. Стороны прямоугольника равны 4,3 см
и 8 см. Найди периметр этого прямоугольника.
Найди площадь этого прямоугольника.
4°. В магазине было 112 кг печенья.
В пионерский лагерь отправили х пакетов
этого печенья по 2 кг в каждом пакете. Со¬
ставь выражение для вычисления количества
печенья, оставшегося в магазине.
Вычисли значение этого выражения,
если л:=42, х=56.
Дополнительное заданиет. Из поселка к
станции, расстояние до которой 26 км, вы¬
ехал в 10 ч утра велосипедист. Успеет ли
он на поезд, который отходит от станции
в 12 ч дня, если будет ехать со скоростью
14 км/ч?
Ответ объясни.
[86 %, 93 %]
[76 %]
[95%, 86%, 93%]
[72 %]
[84 %]
[62 %]
[73 %, 72 %]
[41 %]
[32 %]
Вариант IV (выполняли 848 учащихся)
1°. Вырази в метрах:
16 м 29 см; 95 см; 8 см. [80 %, 83 %, 78 %]
62
б) Вычисли: (25,42—4,9)-1,5. [82%]
2°. Запиши формулу объема прямо¬
угольного параллелепипеда. [86 %]
Вычисли объем прямоугольного параллеле¬
пипеда, если его измерения: 0,6 м, 1 м, 2,5 м. [76 %]
3°. Одна ткачиха за час вырабатывает
62,4 м ткани, другая 71,6 м. За сколько ча¬
сов, работая вместе, ткачихи выработают
469 м ткани? [68 %]
4П. Построй угол, равный 2Д прямого
угла. Какой это угол, острый, прямой или
тупой? [72 %]
Дополнительное задание". Каким числам
соответствуют точки А, В, М, указанные на
рисунке? [63 %, 64 %, 53 %]
О 20 МО А В ft
Из 32 обязательных заданий учащиеся успешно справились с 13,
их верно выполнили 83 % и более. Еще 3 задания выполнили верно
80—82 %, 6 заданий — 75—79 %. Результат остальных 10 заданий —
56—73 %. Среди последних 10 заданий — три текстовые задачи: на
производительность (68 %), на нахождение процентов числа (71 %),
на движение по воде (56 %), а также упражнения на вычисление пе¬
риметра прямоугольника (72 %), на деление десятичных дробей,
которое сводится к делению целого числа на целое (65 %).
Обратим внимание на задания, в которых надо одни единицы из¬
мерения перевести в другие и результат записать в виде десятичной
дроби. С простыми случаями учащиеся справлялись относительно
успешно (78—85 % верных ответов), с более сложными — гораздо
хуже (1 кг 35 г= 1,035 кг — 61 % верных ответов). В подобных за¬
даниях низкие результаты (41—50 %) были показаны и в Калинин¬
градской области при проверке в феврале 1989 г.
Остановимся также на заданиях, в которых надо составить бук¬
венное выражение по условию задачи и найти его значение при за¬
данных значениях букв. В итоговой работе было предложено то же
задание, которое выполняли учащиеся Тульской области в декабре
1988 г. (из 477 учащихся — 63% верных ответов), в Москве в мае
1989 г. из 857 учащихся — 62 % верных ответов.
Эти результаты явно лельзя считать удовлетворительными: ди¬
намика в развитии умения составить буквенное выражение по условию
задачи к концу года не наблюдалась. (Более высокие результаты в
определении значения выражения 112—2х в задании 4 из III вариан¬
та объясняются тем, что часть учащихся решила эту задачу арифме¬
тическим способом, не составляя выражения.)
Следует отметить неплохие результаты выполнения более слож¬
ных заданий № 4 из вариантов I, II, IV — 49 %, 52 %, 72 % верных
ответов.
Результаты творческих заданий сильно различаются по вариан¬
там: от 32 % (вариант III) до 12 и 16 % (варианты I и II). В I вариан-
63
те (задача об аквариуме) значительное число ошибок было допуще¬
но при переводе кубических сантиметров в литры. Во II варианте
(задача про платья) особенно огорчает ответ: «Можно сшить
16,8 платьев».
Анализ работ показал, что весьма немногие школьники, получив¬
шие несуразные ответы из-за ошибок в решении, зачеркивали такие
решения и пытались выполнить задание заново. Нередко несураз¬
ные ответы встречались при переводе одних единиц измерения в дру¬
гие, при решении текстовых задач. Таким образом, очевидна необхо¬
димость в наращивании усилий по формированию умений оценивать
правильность решения, учитывая условие задачи.
Итоговая контрольная работа проводилась также в 23 классах
школ Москвы, в которых ребята обучались по учебнику [1] Н. Я. Ви¬
ленкина и других. Каждый вариант работы выполняли около 150 уча¬
щихся. Конечно, выборка такого объема не является достаточно пред¬
ставительной для школ Москвы. Поэтому, обобщая результаты этой
выборки на всю совокупность учащихся четвертых классов Москвы,
занимающихся по учебнику [1], мы допускаем максимальную ошиб¬
ку, равную 8 %. Тем не менее с учетом такой ошибки все-таки по¬
пробуем сравнить результаты двух выборок. Для удобства ссылок
введем специальные названия для двух больших групп учащихся
московских школ, писавших указанную выше контрольную работу.
Группу учащихся, занимавшихся по учебнику [1] Н. Я. Виленкина
и других, назовем выборкой № 1, тогда учащиеся, занимавшиеся
по учебнику [2] Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа, составят выборку № 2.
Из 32 обязательных заданий 9 выполнили существенно лучше
ребята из выборки № 1. Они лучше справились с текстовыми задача¬
ми на производительность и на движение по воде, тверже усвоили
действие деления десятичных дробей, которое сводится к делению це¬
лого числа на целое, перевод одних единиц в другие, включая сложные
случаи. Согласно принятому критерию оценки обязательных заданий из
32 таких заданий учащиеся из выборки № 1 успешно справились с 17,
а из выборки № 2 — с 13. В то же время результаты творческих
заданий оказались выше в выборке № 2.
Очевидно, что полученные результаты не позволяют сделать
какое-либо окончательное заключение о сравнительных достоинствах
этих учебников. Вероятно, более объективные выводы можно будет
сделать по завершении курса следующего класса
Выявление мнения учителей об учебнике [2] проводилось с по¬
мощью анкетирования, бесед с учителями после посещенных уроков,
а также на совещаниях с учителями в Архангельской, Брянской, Ка¬
лининской, Тульской областях и в Москве. На анкеты ответили
140 учителей.
Беседы и анкетирования показали, что большинство опрошенных
при изложении теоретического материала руководствуются текстом
нового учебника, а систему упражнений постоянно или изредка до¬
полняют заданиями из других пособий (например, из сборника задач
С. А. Пономарева и Я. И. Сырнева). Пользуются учителя и учебни¬
ком [1]. Из него они берут: числовые примеры, текстовые задачи,
алгебраические задания. Отдельные учителя используют и теорети¬
64
ческий материал из учебника [1]. Некоторые постоянно обращаются
к обоим учебникам.
Все опрошенные считают материал учебника [2] в основном
доступным для учащихся, хотя и отмечают, что некоторые параграфы
трудны для усвоения (чаще других трудными называли § 1.7, 1.13,
2.3, 2.4, 2.8, 3.6, 3.7, 3.10,- 4.7, 4.9, 5.5, 5.12). Многие учителя одобряют
доверительный тон обращения к ученику, принятый в учебнике. Нуж¬
но, однако, обратить внимание на следующее: четыре учителя указа¬
ли, что в учебнике [2] теоретический материал излагается на прими¬
тивном уровне и слишком много несложных заданий. Они считают,
что данный учебник не помогает полноценному развитию более спо¬
собных учащихся.
Большинство опрошенных считают, что запланированного числа
часов и резерва времени4 достаточно для усвоения материала. Сре¬
ди положительных качеств учебника они отмечают использованный
авторами прием дифференциации системы упражнений по уровню
сложности (выделение групп заданий А и Б). Более половины учите¬
лей, отвечавших на анкету, считают, что выделение этих разделов не
только удобно для учителя, но и полезно для учащихся. Многие ука¬
зывают, что текст учебника [2] доступен для самостоятельного
изучения учащимися, и перечисляют те параграфы, которые можно
предлагать для самостоятельного чтения (чаще других были названы
§1.6,1.8,1.14,2.5,4.11,5.10).
Большинство учителей положительно относятся к включению в
текст учебника самостоятельных обучающих работ № 1—9, которые
приучают школьников работать с книгой. Развитию самостоятельно¬
сти, по словам опрошенных, способствует также предметный указа¬
тель, помещенный в конце учебника.
Часть учителей отметили красочное оформление книги [2],
высказали положительное отношение к включению в учебник: устных
упражнений, первых заданий группы А (нацеливающих учащихся
на самостоятельную работу с теоретическим материалом параграфа,
расположенным непосредственно перед этими заданиями), заданий на
самопроверку, исторических сведений, текстовых задач, в которых
учащиеся должны сами сформулировать разумные вопросы, исходя
из условия задачи.
Положительно отзываясь о новом учебнике, учителя не умолчали
о присущих ему недочетах. По мнению большинства опрошенных, в
учебнике [2] явно недостаточно упражнений для закрепления и повто¬
рения пройденного, а также текстовых задач и заданий развиваю¬
щего характера. Ранее уже говорилось, что учителя компенсируют
эти недочеты, используя другие пособия.
Некоторые учителя считают недостатком учебника отсутствие в
нем задач, решаемых составлением уравнения. Они восполняли
этот пробел задачами из учебника [1]. Необходимо отметить, что
авторы учебника [2] имеют свою позицию по этому вопросу. Они по¬
лагают, что обучать решению задач составлением уравнения целе¬
4 Тематическое планирование дано в статье С. С. Минаевой и
Л. Ю. Чернышевой в журнале «Математика в школе», 1988, № 3.
3 «Математика в школе» № 6
65
сообразно только в следующем классе. Многие учителя поддержи¬
вают эту позицию.
При положительном отношении к распределению заданий по уров¬
ню сложности учителя высказывают критические замечания в адрес
самих заданий учебника [2]. Так, по мнению многих опрошенных,
в некоторых параграфах задания группы А однообразны, примитивны,
а задания группы Б не отличаются по сложности от заданий А.
Отмечая недочеты системы упражнений учебника, учителя предла¬
гали усовершенствовать ее посредством включения: текстовых за¬
дач, числовых примеров на все действия, на определение порядка
действий, заданий, в которых имеются величины, выраженные в раз¬
ных единицах измерения, заданий развивающего характера, задач
практического содержания (подобные № 550). Рекомендуется также
после каждого параграфа поместить задачи на повторение. Большин¬
ство учителей считают необходимым для совершенствования про¬
цесса обучения разработать дидактические материалы, ориентирован¬
ные на учебник [2].
При положительном отношении к включению в учебник [2]
самостоятельных работ (№ 1—9) многие учителя отмечают, что неко¬
торые работы не удается провести за один урок (например,
самостоятельную работу № 7). Фактически учителю приходится самому
объяснять материал самостоятельных работ № 4—6 и 9 после изучения
их учащимися. Беседа с учителями позволяет сделать вывод о том,
что затруднение у учащихся вызывает принятый авторами подход к
изложению способа умножения и деления десятичных дробей на раз¬
рядную единицу: 0,1; 0,01 и т. д.
В заключение остановимся на ответах учителей на последний
вопрос анкеты: «По какому учебнику Вы предпочли бы работать в
IV классе?» Из 62 человек, ответивших на этот вопрос, 42 % высказали
желание работать по учебнику [2], 23 % — по учебнику [1], 35 % воз¬
держались от ответа, причем некоторые объясняли это тем, что они
хотели бы сначала поработать по новому учебнику Э. Р. Нурка и
А. Э. Тельгмаа для следующего класса. Интересно отметить реакцию
на этот вопрос 33 учителей, ранее имевших дело с учебником [1].
После года работы по учебнику [2] хотят преподавать по нему
10 человек, отдают предпочтение учебнику [1] — 8; 3 человека выра¬
зили желание получить учебник, скомбинированный из этих двух, а ос¬
тальные 10 не высказали никакого мнения.
Таким образом, изучение опыта первого года работы по новому
учебнику [2] показало, что многие учителя доброжелательно при¬
няли его и готовы по нему работать дальше. Оба параллельных
учебника [1] и [2] имеют каждый свои особенности, которые
импонируют разным категориям учителей. Наше исследование пока¬
зало зависимость результатов обучения от возможности учителя сво¬
бодно выбрать импонирующий ему учебник. Сделав свой выбор,
учитель берет на себя значительную ответственность, которая по¬
буждает его компенсировать недостатки учебника и ярче реализовы¬
вать его сильные стороны.
Для получения более достоверных выводов о новом учебнике
необходимо продолжить изучение опыта работы по нему в следующем
классе.
66
Методические рекомендации
С. С. Минаева, П. Ю. Чернышева (Москва)
С прошлого года в нашей стране каждый пятый ученик V класса изу¬
чает математику по новому учебнику авторов Э. Р. Нурка и А. Э. Тельг-
маа. Приступая к преподаванию по этому учебнику, учителя могли озна¬
комиться с его методическими основами, особенностями его содержания
и структуры из статьи авторов учебника, опубликованной в журнале
«Математика в школе» (1988, № 4. С. 25—32). Однако в ходе работы у
учителей возникли вопросы. На некоторые из них мы попытаемся от¬
ветить.
В учебнике^сделана попытка реализовать уровневую дифференциа¬
цию. Наиболее последовательно эта установка реализуется в УПРАЖ¬
НЕНИЯХ.
Упражнения к каждому пункту разбиты на две группы: А и Б. В упо¬
мянутой выше публикации Э. Р. Нурк и А. Э. Тельгмаа заявили, что за¬
дачи из раздела А определяют обязательный уровень подготовки, достичь
которого должны все без исключения учащиеся. Поэтому учителя часто
задают вопросы: «Можно ли ограничиваться задачами раздела А? Со
всеми ли учащимися решать задачи раздела Б? Нельзя ли сильным уче¬
никам пропускать задачи раздела А?»
Для того чтобы ответить на эти вопросы, попытаемся дать сравни¬
тельную характеристику задачам из групп А и Б.
Среди задач группы А можно выделить те, которые характеризуют
уровень обязательной подготовки. Так, при изучении вычитания десятич¬
ных дробей ( .§4.11) обязательно нужно научиться решать задачи, тре¬
бующие непосредственного вычитания (№ 935—936, группа А). Но
другие задачи группы А к этому пункту отрабатывают целую систему
умений. Это умения вычислять значения числовых выражений, решать
уравнения и текстовые задачи с данными, выраженными десятичными
дробями. Тем самым происходит не только тренировка в вычитании деся¬
тичных дробей, но и формирование умений, которые станут обязатель¬
ными к концу изучения всей темы «Сложение и вычитание десятичных
дробей».
Задачи группы Б к указанному параграфу такой системы не образу¬
ют: здесь даны лишь два упражнения на непосредственное вычисление
разности десятичных дробей (№ 952), две текстовые задачи в стандарт¬
ной формулировке (№ 954, 959) и т. п. Следовательно, в этом месте учеб¬
ника значительная часть системы обучающих задач включена в группу А,
а не в Б. Поэтому даже способным ученикам не следует сразу переходить
к задачам группы Б, пропустив группу А.
В ряде случаев пропуск задач А может повлечь недочеты и даже про¬
белы в умениях учащихся. Приведем примеры. В задачах № 892—
894 (А) рассматриваются различные случаи, возникающие при округле¬
нии десятичных дробей. Если их пропустить, то не состоится тренировка
в выполнении этого важного практического навыка. Другой пример.
При умножении десятичных дробей в группе А рассматривается упраж¬
нение № 1023. (Повтори, что такое квадрат числа. Вычисли: 1,72; 0,42;
5,242; 0,232.) Задачи Б этого же пункта учебника вообще не требуют
3*
67
умения возводить в квадрат десятичную дробь. Значит, пропуск задачи
№ 1023 не позволит восстановить используемое в дальнейшем умение.
Таким образом, список задач группы Б может оказаться недостаточ¬
ным для формирования устойчивых опорных знаний и умений, которые
должны быть сформированы у каждого ученика. Задачи группы А реко¬
мендуется решать со в с е м и учениками. Только после их рассмотрения
целесообразен переход к задачам Ь. Понятно, что задачи из групп А
и Б можно чередовать.
Во многих случаях упражнения групп А и Б с формальной точки
зрения схожи. Иногда в них даже требование одно и то же. Но вторые,
в отличие от первых, предполагают достаточно развитую технику преоб¬
разований, вычислений, применения новых знаний в сочетании с ранее
сформированными. Кроме того, в задачах группы Б часто приходит¬
ся при поиске решения проделать большее число логических шагов,
чем в задачах А. Сравним несколько заданий, указав рядом с их номерами
ту группу, к которой они относятся.
№ 379 (А). Упрости выражение 2а+За+4.
№ 382 (Б). Упрости выражение 136+815х+72;с+18.
№ 377 (А). Вычисли наиболее удобным способом: 18-14+12-14.
№ 383 (Б). Вычисли наиболее удобным способом: 16-32—20-16+38-16.
№ 1083 (А). Реши уравнение: 5.г+ \5х—165.
N° 1096 (Б). Реши уравнение: 3,2л:+5,6+5,8х= 17,21.
№ 1093(A). Купили стол и 6 стульев, уплатив за все 87,8 р. Сколько
стоил стул, если стол стоил 38 р.?
№ 1099 (Б). Из рулона ткани длиной 35 м сшили 6 костюмов
для взрослых мужчин, 5 костюмов для мальчиков, после чего остались
неиспользованными 1,55 м ткани. Сколько метров ткани требуется
на пошив одного детского костюма и одного взрослого костюма,
если на костюм для мужчин израсходовали 19,2 м ткани?
Решение задач группы Б базируется на умениях, отрабаты¬
ваемых в группе А. Понятно, что если ученик не испытывает затруд¬
нений с задачами А, то может сразу переходить к группе Б. С другой
стороны, нельзя ограничиваться задачами из группы А. Значитель¬
ная часть упражнений группы Б должна быть рассмотрена со всем
классом. В противном случае область применения формируемых знаний
может быть сужена.
Часть задач группы Б вообще не имеет аналогов в группе А.
Они требуют творческого применения знаний, глубины понимания
материала, умений использовать знания в нестандартных ситуациях.
К некоторым задачам группы Б необходимо самостоятельно приду¬
мать вопрос. Приведем примеры.
№ 887 (Б). Замени звездочку такой цифрой, чтобы неравенство было
верным. Перечисли все возможности: 1) 3,0*>3,07' 2) 4 72<4 *3-
3) 7,*6>7,76.
№ 1067 (Б). Пусть а>1 и 6<1. Верно ли, что ab< 1? Верно ли, что
а6>1?
№ 426 (Б). Три сестры — Алла, Рита и Лена — собирают открытки.
У Аллы их 158, у Риты в 4 раза больше, чем у Аллы, а у Лены на 35 откры¬
ток меньше, чем у Риты. Поставь разумные вопросы и ответь на
них.
Задания такого типа целесообразно использовать в индивидуаль¬
68
ной работе с учащимися. Хорошо успевающие ученики обычно ре¬
шают их самостоятельно — на уроке или в качестве дифференцирован¬
ного домашнего задания, а слабо успевающие ребята рассматривают под
руководством учителя.
Остановимся теперь на некоторых методических аспектах ИЗУЧЕ¬
НИЯ ТЕОРИИ. В условиях работы с 10—11-летними школьниками этот
важный круг вопросов требует особого внимания. В таком возрасте
дети еще не в достаточной мере владеют речью — идет процесс
овладения ею. В активной речи ребят еще мало синонимов, дети
затрудняются в замене одних слов другими и, тем более, одного выраже¬
ния другим.
Теоретический материал, изучаемый на данном этапе, сравни¬
тельно невелик и требует в основном запоминания. Важно иметь в
виду, что благодаря хорошей памяти, характерной для детей этого
возраста, многие ученики легко повторяют формулировки и тем
развивают свою математическую речь.
Возможность дифференцированного подхода к изучению теории
проявляется в учебнике не так явно, как в упражнениях. Поясним
это на примерах. Теоретический текст часто включает в себя раз¬
бор примеров (подводящих к формулировке правила, закона или
определения), точную формулировку, выделенную жирным шрифтом,
буквенную запись закона, формулу. Это уровень изложения теории
учителем. Требования к усвоению теории учащимися, как
правило, существенно ниже. Обязательный их уровень характеризу¬
ется первым упражнением из раздела А к параграфу. Весьма
часто это упражнение требует: «Найди в тексте формулировку...»
(№ 100, 102), «Прочитай в тексте правило...» (Яг 143, 144) и т. п.
В подобных случаях воспроизведения точной формулировки или правила,
применения их к обоснованию выполнения действий логично требовать
только от хорошо успевающих учащихся.
Рассмотрим теперь ряд вопросов, прямо или косвенно связанных с
ТЕМАТИЧЕСКИМ ПЛАНИРОВАНИЕМ. Количество времени, расхо¬
дуемого на изучение того или иного содержательного блока, зависит от
разных причин как субъективного, так и объективного характера.
К субъективным причинам можно отнести степень подготовленности
класса или выбор методики изложения материала. Например, учитель
может предпочесть быстрое изучение теории о последующим реше¬
нием задач комплексного типа. К объективным причинам следует
отнести ту роль, которая отводится в курсе излагаемому материалу,
и планируемые результаты его изучения. С точки зрения объектив¬
ных причин, влияющих на планирование материала, учебник имеет ряд
особенностей, которые не были достаточным образом реализованы в
ходе первого года обучения. Сказалась естественная инерция, выразив¬
шаяся в переносе методики, накопленной учителями при работе по другим
учебникам. Помешало и то, что учитель не располагал полным комплек¬
том учебников Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа.
Материал V класса можно условно разбить на 4 содержатель¬
ных, но далеко не рядоположенных блока. Основное внимание в
учебнике уделено арифметике, определению арифметических действий и
их свойств, отработке устойчивых навыков выполнения устных и письмен¬
ных вычислений, решению текстовых задач преимущественно арифме-
69
тическими способами. Арифметический материал, в свою очередь, разбит
на 2 больших блока: действия с натуральными числами и
действия с десятичными дробями. Степень новизны этих двух
блоков в курсе диаметрально противоположна.
Все действия с натуральными числами известны учащимся из
курса начальной школы. В V классе основная цель — систематизация
знаний, формирование устойчивых навыков вычислений. Большое внима¬
ние при этом следует уделять выявлению и ликвидации пробелов.
В силу этого количество уроков по первым двум главам учебника может
существенно варьироваться (как правило, в сторону уменьшения) по
сравнению с рекомендованным в тематическом планировании. Образо¬
вавшийся резерв учитель может использовать по своему усмотрению:
направить его на иные разделы курса, на изучение дополнительных
вопросов или на решение задач новых типов.
Изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в V классе.
Следовательно, к концу учебного года учащиеся должны овладеть необхо¬
димыми навыками обращения с десятичными дробями в полном объеме,
требуемом программой.
Введению понятия десятичной дроби предшествует повторение и
систематизация знаний учащихся о взаимозависимости единиц длины,
площади, массы. Основное внимание уделяется представлению мелких
единиц измерения через более крупные. Эти соотношения исполь¬
зованы при объяснении теории. В учебнику принят такой подход:
прежде всего устанавливается связь десятичной системы счисления,
лежащей в основе поразрядной записи десятичной дроби, с десятич¬
ной системой мер, затем с помощью этой системы вводятся де¬
сятичные дроби.
Результаты выражения одних единиц измерения через другие могут
быть оформлены в виде сопоставительных таблиц (см. табл. 1).
Таблица 1
Единицы
длины
Единицы
площади
Единицы
массы
1 м = 100 см, 1
1
см шо м
1 м2= 100 дм2,
1 А" ” 75о
м2
о
о
о
*
г==тшкг
1 м= 10 дм, !
дм== То
1 дм2=? 100 см2,
1 см2— —
100
дм2
1 ц= 100 кг, 1
1
кг = ц,
100 ’
1 дм= 10 см,
см=-дм.
1 см2= 100 мм2
1 мм2— -—гг-
100
см2
1 т= 1000 кг,
1
кг= т
1000
1 км= 1000 м,
1
м= -—— км
1000
Составление этих таблиц может быть результатом решения задач
№ 825, 826 и др. Они помогают лучше осознать результаты изме¬
рения, так как знакомый учащимся процесс дополняется новыми пред¬
ставлениями: измерение проводится не только в целых единицах, но и в
дробях этих единиц (со знаменателем 10, 100 и т. п.).
При введении десятичной дроби большое внимание должно быть
уделено выработке устойчивых навыков чтения и записи десятичных
дробей, включая случаи нулей в десятичных разрядах. Эта работа требует
времени и при необходимости должна быть продолжена при изу¬
70
чении последующих параграфов в виде чтения вслух условий числовых
примеров или их записи под диктовку учителя.
Сведения об обыкновенных дробях в данной теме ограничиваются
объемом, необходимым для введения десятичных дробей. К обыкновен¬
ным дробям учащиеся еще вернутся в VI классе, где они будут,
наряду с положительными и отрицательными числами, основным объек¬
том изучения. Поэтому формирование навыков вычислений с дробями
(например, сложение и вычитание дробей с равными знаменателями)
не является целью обучения в V классе, не входит в перечень обязатель¬
ных результатов и не служит предметом контроля.
Особое внимание следует уделить изображению обыкновенных дро¬
бей на числовом луче и тесно связанному с ним вопросу сравнения
дробей. Этот материал дополнительно в VI классе не изучается.
Сравнение дробей сначала рассматривается в § 4.1. Здесь предло¬
жена самостоятельная работа, на которой школьники учатся сравнивать
правильные дроби (число 1 еще не трактуется как дробь). После
введения определений правильной и неправильной дробей происходит
дальнейшее развитие навыков сравнения, в частности сравнения дро¬
бей с i. Здесь впервые ученики знакомятся с двумя различными видами
изображения одного и того же числа. Например, ' = “4 •
Изученный материал может быть кратко записан в виде табл. 2.
Таблица 2
а
Дробь: —
правильная
неправильная
а=0, Ьф0;
аф0, Ьф0, а<.Ь,
а=Ь, Ьф0; а>Ь, 6=±0
£-0,
а
и<х
а а
— =1; — >1
ь ь
Для неправильной дроби вводится специальная форма записи —
смешанное число. Полезно обратить внимание учеников на то, что в
математике отсутствие знака между символами имеет определенный
смысл. Так, в записи 55 отсутствие знака между цифрами обозначает
десятичную запись числа: 55=5-10+5. В выражениях 2х, ab и т. п.
отсутствие знака между цифрами трактуется как знак умножения.
А в выражении 2 между целой и дробной частями подразуме¬
вается знак сложения. Поэтому в математических записях надо соблю¬
дать аккуратность и четко следовать принятым обозначениям: обращать
внимание на расположение горизонтальной черты дроби по отноше¬
нию к целой части, на расположение знаков равенства и неравенства,
знаков арифметических действий.
При введении алгоритма выделения целой и дробной частей
неправильной дроби фактически используется представление об обыкно¬
венной дроби как о частном. Этот вопрос будет подробно изучаться в
VI классе, а в V классе происходит только обобщение закономер¬
ности, подмеченной на частном случае, в виде правила.
Третий изучаемый блок — это алгебраический материал, служащий
пропедевтикой систематического курса алгебры. Роль и место этого
71
материала исчерпывающим образом раскрыты в упоминавшейся статье
авторов учебника (с. 26). Отметим, что многие учителя считают объем
предлагаемого в учебнике алгебраического материала недостаточным и
используют большое количество упражнений из других учебников. Учи¬
теля также поощряют учащихся широко применять метод составления
уравнений к решению задач. Естественно, это право учителей, однако
позволим себе высказать ряд соображений. С нашей точки зрения,
к концу VI класса ученик должен научиться не только решать текстовые
задачи, но и самостоятельно выбирать для каждой из них тот метод, кото¬
рый является для этой задачи наилучшим.
Напомним, что ученик умеет решать задачи по действиям,
(формулируя вопросы или давая краткое пояснение), составлением
выражения (буквенного или числового) и составлением уравнения (в том
числе с использованием известных формул и зависимостей).
Выбор способа решения может быть в большой степени интуитивным,
однако учитель должен развивать интуицию ученика. Так, первый способ
(по действиям) естествен, когда достаточно ясна последовательность
отдельных шагов, а вопросы формулируются четко и лаконично.
Составление числового выражения логично практиковать, если в задаче
имеется несколько однообразных ситуаций и решение по вопросам
становится скучным. Например: «В первый день туристы ехали на поезде
5 ч со скоростью 45. км/ч, во второй день — 6 ч со скоростью 54 км/ч и в
третий день — 4,5 ч со скоростью 58 км/ч. Сколько километров они
проехали за 3 дня?». Решение: 45-5+54-6+58-4,5=810 (км).
Составление выражения в подобных случаях часто приводит и к упро¬
щению вычислений, так как позволяет применять законы арифмети¬
ческих действий. Например, задача № 1362 сводится к выражению
35-5+31 -5, которое легко упростить и тем самым быстро получить ответ
(31+35)-5=66-5=330.
Алгебраический способ становится ведущим в конце VI класса
после того, как отработаны аппаратные навыки решения линейного
уравнения. А в V классе основной акцент делается на формировании
представлен ийо возможности такого способа решения. В подавля¬
ющем большинстве разбираемых задач составление уравнения по
условию сводится к использованию готовой формулы — движения,
стоимости телеграммы и т. п. (См. §3.6—3.8.)
Последний содержательный блок — геометрический материал.
В отличие от элементов алгебры целью изучения этого блока является
не только пропедевтика систематического курса геометрии, но и раз¬
витие пространственных представлений учащихся, отработка навыков
пользования геометрическими инструментами, систематизация знаний
учащихся об основных единицах измерения геометрических величин.
Система изучаемых в V классе геометрических фигур состоит из
двух частей: фигуры, уже известные из курса начальной школы
(отрезок, прямая, прямоугольник, квадрат'), и новые фигуры—угол
и прямоугольный параллелепипед. Разная степень новизны этих по¬
нятий диктует и различные методические приемы их изучения. Обра¬
щение к фигурам первой группы актуализирует знания учащихся,
делает возможным предлагать задачи, связанные с измерением.
При этом используется новый числовой материал — десятичные дроби.
Фигуры второй группы — это прежде всего новые для учеников сведения,
72
в связи с которыми в практику школьников входит и новый инструмент —•
транспортир. Появляются и особые единицы измерения — угловые еди¬
ницы и единицы объема. Учителю следует помнить, что все
перечисленные в программе фигуры будут рассмотрены в системати¬
ческом курсе геометрии, где основное внимание уделяется их определе¬
ниям и свойствам. При этом в рамках конкретного аксиомати¬
ческого курса определения ряда понятий не совпадают с определени¬
ями, данными в курсе V класса (например, определения отрезка и
прямой), а их свойства формулируются в виде аксиом (аксиомы
измерения отрезков и углов). В связи с этим не следует акценти¬
ровать внимание на отработке определений, уделив основное время
решению задач с использованием свойств изучаемых фигур. Это позво¬
лит в дальнейшем ввести аксиомы планиметрии (уже упоминавшиеся
свойства измерения отрезков и углов, свойство площадей) с опорой на
интуитивные представления и опыт учащихся.
Особо следует отметить, что в V классе фактически заканчивает¬
ся работа по изучению различных единиц измерения геометри¬
ческих величин, соотношений между ними. Здесь можно говорить об ито¬
говых требованиях к усвоению этих понятий, о выработке со¬
ответствующих навыков. Программные требования: «уметь производить
измерения и построения при помощи линейки, угольника, транспортира и
циркуля» -— целесообразно дополнить указанием необходимости научить
школьников переходу от одних единиц измерения геометрических ве¬
личин к другим.
В связи с этим представляется целесообразным обратить внима¬
ние читателей на специальную методику работы с различными еди¬
ницами измерения. Программой по математике предусматривается: при
изучении темы «Единицы измерения длин» рассмотреть метр, сантиметр,
миллиметр, километр; в теме «Единицы измерения площадей» — квад¬
ратный метр, квадратный сантиметр, квадратный миллиметр, гектар;
в теме «Единицы измерения объемов» — кубический метр, кубический
сантиметр, кубический километр, литр. Этот набор единиц измерения
традиционно изучается в школе, и не менее традиционно упор при
этом делается на память учащихся. Отсюда большое количество
ошибок при выполнении заданий типа: «Выразите в кубических санти¬
метрах 2 дм3 80 см3». Учащийся судорожно вспоминает, сколько
кубических сантиметров в кубическом дециметре. Естественно, он часто
ошибается и не имеет алгоритма для проверки своих знаний. Единствен¬
ную «поддержку» ему оказывает наша промышленность, выпуская
линейки, на которых выстроились стройными рядами угрожающие колон¬
ны нулей: «1 куб. км= 1 000 000 000 куб. м» и т. п.
Для преодоления указанной трудности предлагается следующий
путь. Из курса математики начальной школы учащимся известны основ¬
ные соотношения между единицами измерения длин: 1 м=100 см;
1 м=10 дм; I см=10 мм. Эти соотношения, как показывает практика,
достаточно хорошо усвоены учащимися. Переходя к единицам
измерения площадей, основное внимание следует уделить формирова¬
нию общего представления о единице площади:
любая единица площади (квадратная единица) — это площадь
квадрата, стороной которого служит соответствующая линейная
единица.
73
Конечно, вряд ли целесообразно требовать, чтобы учащиеся воспро¬
изводили это определение. Тем более не нужно начинать с него
объяснение теории. Новый материал лучше начать с конкретного
примера.
Учитель просит ребят изобразить в своих тетрадях квадрат
со стороной в 1 сантиметр и поясняет, что площадь изобра¬
женного квадрата называется квадратным сантиметром. Это одна из
известных пятиклассникам единиц площади. В изложение этого сухого
материала можно внести элемент игры, задав следующий вопрос: «Если
взять квадрат со стороной в 1 м, то как можно назвать его площадь?»
Затем желательно предложить ребятам самим «изобрести» другие
единицы измерения площадей. Так появятся квадратные километры,
дециметры, миллиметры. Учителю остается только ввести понятие
гектара — площадь квадрата со стороной 100 м.
Переход к соотношениям между различными единицами площади
осуществляется после изучения формул для вычисления площадей пря¬
моугольника и квадрата. Вывод каждого соотношения можно
провести в виде поиска ответов на следующие вопросы: «Что такое
квадратный дециметр? Сколько сантиметров в одном дециметре? Нари¬
суйте квадрат со стороной в 1 дм и разделите его стороны на сантиметры.
Чему равна площадь вашего квадрата, выраженная: а) в квадратных
дециметрах; б) в квадратных сантиметрах?» Ответив на эти вопросы,
учащиеся приходят к выводу, что 1 дм2=100 см2.
Подобные рассуждения целесообразно провести с учащимися
еще для одной единицы площади — квадратного метра, вычислив его
площадь в квадратных дециметрах и в квадратных сантиметрах.
Основная идея предложенного подхода — учащиеся запоминают
метод вывода соотношений между единицами площади, а не «таблицу с
нулями». В дальнейшем при решении задач, в которых требуется или
желателен переход от одной единицы площади к другой, следует по¬
ощрять ученика провести необходимые вычисления в том случае, если
он забыл нужное соотношение.
Аналогичный подход можно рекомендовать и для изучения еди¬
ниц измерения объемов.
Рассмотрим теперь вопросы, связанные с необходимостью отра¬
ботки навыков перехода от меньших единиц измерения длин, площадей
объемов к более крупным. Например, требуется выразить в метрах
53 см. Здесь, как правило, обучение идет по следующей схеме: «так
как 1 м=100 см, надо 53 см разделить на 100, т. е. 53 см=0,53 м».
В такой методике нет ничего плохого, сформированный навык-рассужде¬
ние используется на практике. Однако ограничиться только подобными
алгоритмами — значит существенно обеднить изучение данных вопросов,
ослабить их практическую направленность. В самом деле, поставим
обратную задачу, сформулировав ее так: «Как вы себе представляете, что
за величина 0,53 м?». Большинство учащихся затрудняются ответить на
такой вопрос или дают формальный ответ, опираясь на понятие дроби.
Учителю целесообразно предварить переход к указанному выше алгорит¬
му объяснениями типа: «1 м=100 см, значит, 1 см — это сотая
часть метра, т. е. 1 см=0,01 м». Тогда ученику легче будет увидеть
за таинственными цифрами после запятой знакомые ему более мелкие
единицы измерения.
74
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
Об изучении показательной функции в
школе
Н. Я. Виленкин (Москва), А. Сатвалдиев (Андижан)
I. В настоящее время изучение показательной функции в средней
школе базируется на предварительном рассмотрении различных обобще¬
ний понятия степени — сначала на нулевое и целые отрицательные зна¬
чения показателя, потом на рациональные значения показателя и наконец
на любые действительные значения показателя. При этом на каждом
этапе необходимо заново доказывать выполнение основных свойств
степени, причем эти доказательства различны в случае целых и рацио¬
нальных показателей, а для действительных значений показателя соот¬
ветствующие доказательства вообще не проводятся в школе. В результате
у учащихся не формируется общее представление о степени, что не позво¬
ляет сформировать должным образом и понятие показательной функ¬
ции. Наконец, из-за отсутствия времени не дается изложение важнейшего
вопроса о приложениях показательной функции, о ее роли в естество¬
знании.
Для того чтобы сэкономить время, затрачиваемое на изучение
указанного круга вопросов, и при этом раскрыть перед учащимися
политехническое и прикладное значение показательной функции, мы
предлагаем в данной статье подход к изучению показательной функции,
не требующий предварительного обобщения понятия степени. В основе
этого подхода лежит рассмотрение физических моделей, связанных с
процессами органического изменения величин, позволяющее дать опреде¬
ление показательной функции, основанное на перечислении ее
свойств. Методы же вычисления значений показательной функции вы¬
водятся из этих свойств.
Предлагаемая нами методика не потребует существенного измене¬
ния программ, поскольку по новой программе изучение корней п-й
степени и степеней с рациональными показателями непосредственно
предшествует изучению показательной и логарифмической функций, а по
предлагаемой методике будет объединено с ним, при этом существенно
экономится время, что даст возможность увеличить число часов на
упражнения. Кроме того, этот подход представляет, по нашему мнению,
интерес для учителей математики, поскольку он частично использован
в учебных пособиях по алгебре и математическому анализу для школ
с углубленным изучением математики.
Изучение показательной функции можно начать следующим обра¬
зом.
75
В природе и технике часто встречаются процессы, которые имеют
общее название процессов органического изменения величин'. Сущест¬
венное свойство процессов органического изменения величин состоит в
том, что за равные промежутки времени значение величины изменяет¬
ся в одном и том же отношении.
Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному
выше закону.
Пример 1. При радиоактивном распаде масса вещества умень¬
шается по следующему закону: за равные промежутки времени она
меняется в одном и том же отношении. Процессы, в которых величина
уменьшается за равные промежутки времени в одном и том же отношении,
называют процессами органического убывания.
Пример 2. Если колония бактерий имеет достаточное простран¬
ство и достаточное количество питательных веществ, то ее масса за
равные промежутки времени увеличивается в одном и том же отношении.
В таких случаях говорят о процессах органического роста.
Если в начальный момент времени (т. е. при /=0) значение
величины равнялось 1, а в момент времени t— 1 оно равнялось а,
то в момент времени t=2 величина примет значение а2, в момент времени
1=3 — значение а3, ..., в момент времени t=n — значение2 а". Но массу
радиоактивного вещества или колонии бактерий можно наблюдать и в
другие моменты времени, например через 3,2 единицы времени после
начала наблюдения. Можно поставить вопрос и о том, какова была
эта масса за некоторое время до начала наблюдения. Условимся обо¬
значать это количество в момент времени t через а1 независимо от
того, является ли t натуральным числом или нет. Таким образом,
значение t может быть целым, дробным, иррациональным, положитель¬
ным, нулевым и отрицательным (в последнем случае речь идет о момен¬
тах времени, предшествующих началу наблюдения).
Например, через а3, 2 обозначено значение величины в момент време¬
ни <=3, 2, через а-6 — значение той же величины в момент времени
1=—6 (т. е. за 6 единиц времени до начала наблюдения) и т. д. Запись
а1 читают: степень с основанием а и показателем t. Отметим некоторые
свойства, которыми обладает выражение а1.
Во-первых, во всех разобранных примерах (масса радиоактивного
вещества, масса колоний бактерий) значение выражения а‘ при всех t
положительно и принимает все положительные значения3.
Во-вторых, при а> 1 (как в случае размножения бактерий) зна¬
1 Это наименование связано с тем, что такие процессы часто
встречаются в биологии (см. далее пример 2).
2 Поскольку числа 1, а, ..., ап, ... образуют геометрическую
прогрессию, предлагаемый подход дает методическую основу и для изу¬
чения таких прогрессий.
3 С соответствующими поправками на идеализацию реального
процесса, в частности на переход от величин, изменяющихся дискрет¬
но, к непрерывно меняющимся величинам.
76
чение а‘ увеличйвается с ростом t, а при 0<а<1 (как в случае
радиоактивного распада) значение а уменьшается с ростом t.
В-третьих, поскольку промежутки времени [О, Г] и [/0, /о+Л
имеют одинаковую длину Т, значения а1 в течение этих промежутков
времени меняются в одном и том же отношении. Поэтому справедлива
ат а'°+т
пропорция —[г = —^гг~ • из которой следует, что ат■а1°=а°•at°+T. Но
а0 — значение величины при t=0, а мы приняли, что это значение
равно 1. Поэтому справедливо равенство ат■alo—ai°~^T.
Далее отметим, что при t= 1 значение величины равно а, и потому
а'=а.
Итак, для описания таких процессов, как радиоактивный распад или
размножение бактерий, нужна функция ах, где а>О, обладающая сле¬
дующими свойствами:
1. Функция ах определена для всех значений х;
2. Все значения функции ах положительны, причем она принимает
все положительные значения.
3. Если а>1, то функция ах возрастает; если 0<а<1, то она убывает,
а при а= 1 она равна 1 для всех х;
4. Для всех х и t выполняется равенство ах •at=ax+t. (1)
5. Верны равенства а}=а и а°= I1.
В более подробный курсах математического анализа доказывают,
что для любого а>0 существует одна и только одна функция ах с
требуемыми свойствами. Так как в этой функции аргумент находится
в показателе, функцию ах называют показательной функцией с осно¬
ванием а.
II. Из равенства (I) следует, что для любых чисел х\, Х2, хз xk
выполняется равенство
ах' •ах1 ■... .axk—ax'+x2+ -+xk.
Значит, при натуральных значениях п имеем (2)
ая=д1 -а' •... •а'—а-а а.
п множителей п множителе®
и потому для этих значений введенное обозначение совпадает с ранее
принятым.
Покажем, как вычислять значения показательной функции для
других значений показателя с помощью свойств 1—5.
Сначала заметим, что, по свойству 5, имеем а°=1. (3)
Теперь найдем значения а* при дробных значениях х. Если, например,
1 1 , 1 , 1 , 1
х— —, то имеет место равенство —+ —+ —= 1, из которого, в
lili 1
силу формулы (2), следует, что а 4 -а 4 -а 4 -а 4 =а'=а, т. е. (а 4)4 — а.
1 1 1
Ноа?>0,а 4 >0, а потому из равенства (а 4 )4=а получаем а 4 —\j а.
Таким же образом для любого натурального значения п получаем
1
равенство а п =-\/а. (4)
4 При желании учителя это свойство можно вывести из равенства
а1+0=аЧ.ао.
77
3 111
Далее, так как —= —+ -^р то» по формуле (2), имеем
3 111 1
4
а —а
4 ■а 4 •а 4 = (а 4 )3= (Уа)3
3 з з з —
С другой стороны, так как _^+"^'=3, то (а )*=■
зззззззз з
г+—•+Т-+-Г
4 4 4 —„ 4 4 4 4 = а3 и ПОТОМУ а 4 =\J а3.
■а -а =а
Аналогично для любого числа *= —, где р и q — натуральные
числа, получаем ^
e7 =(V^)P=V“P- (5)
Теперь найдем значение показательной функции при отрица¬
тельных значениях показателя. Так как (—х) +*=0, то, по формуле (I),
имеем а~*■ах = а°= 1, и потому а~х = — . (6)
Для получения приближенных значений ах при иррациональных
значениях х надо заменить х его рациональными приближениями, по
5 3
недостатку и по избытку. Например, так как — <т/2< —, то
4/3?<3^<Л/33. Вычисляя значения корней, получаем, что 3,95 <3^<
С 5,20. Выбирая более точные приближения для -т/2, получаем более
точные границы для 3^.
Замечание. Свойства 1, 4, 5 показательной функции сохра¬
няются и при а= 1, если положить 1*= 1 для всех значений х.
Изучим дальнейшие свойства показательной функции.
Обобщая известное свойство степеней с натуральными пока¬
зателями (ат)" = атп, докажем:
1. Если а > 0, то для любых X и х выполняется равенство
[axf = au. (7)
В самом деле, при а= 1 обе части равенства (7) равны 1. Если
же а>0, аФ 1, то функция а1* обладает свойствами 1—4, характе¬
ризующими показательную функцию — она определена для всех зна¬
чений х, принимает все положительные значения, монотонна и удовлет¬
воряет равенству (1), поскольку =аХх-а11. Значит, она является
показательной функцией. Чтобы найти основание этой показательной
функции, достаточно положить х=1. Но при х=\ функция акх при¬
нимает значение а1 и потому равенство а'х = (а>)х доказано.
2. Для любых а> 0 и 6> 0 и любого х выполняется равенство
а‘-Ьх=(а-Ь)х. (8)
В самом деле, если а — 1, то равенство (8) принимает вид
1*6* = (1 -Ь)х. Оно выполняется, так как 1Х=1, \-Ь = Ь.
78
Пусть теперь аф 1. Тогда, по свойству 1, найдется такое число X,
что Ь — а1. Значит,
ах ■Ьх = ах• (а1)* = а* • а“ = a*+,J' = а41 +ц = а1'+ч* = (а • а1)* = (а • 6)'.
3. Для любых а> 0 и 6 > 0 и любого х выполняется равенство
( а V а*
<9)
В самом деле, = Ь~Х и потому, по формуле (8),
= а* • Ь -х = ах(Ь ~ ')х = (а• Ь ~ ')* = )'
_
Ьх ~ v / \ b
I
Поскольку а™ =Уа, перечисленные свойства показательной функ¬
ции дают основу для изучения свойств корней. Например, из того,
р_ рп
что — = — , следует, что a9 —cfin, и потому =q\[aF", из свойства 3
q qn
при *= -i формула = а из свойства 2 .при х= — ,
Х= — формула !!tfija — ml\fa и т. д.
Построение графика показательной функции можно изучать сле¬
дующим образом.
1. Пусть в начале наблюдения масса колон-ии бактерий равня¬
лась 1 г, причем за каждый следующий час она увеличивается в 2 раза.
Построим график изменения массы m в зависимости от времени х.
Зависимость между массой и временем выразится формулой
т = 2х. Для построения графика а) вычислим массу колонии через
1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч до начала и после начала наблюдения.
Данные вычислений занесем в таблицу (см. табл. 1), считая время
до начала наблюдения отрицательным.
Таблица 1
х _4 —3 — 2 —1 0 1 2 3 4
1111
2 — — — — 1 2 4 8 16
16 8 4 2
Построим точки i4i( — 4; Л2( —3; ~ Л3( —2; ); ...,
Лэ(4; 16).
Мы видим, что полученные точки хорошо ложатся на гладкую
кривую (рис. 1). Поэтому, соединяя эти точки гладкой линией, полу¬
чаем эскиз графика изменения массы колонии бактерий, т. е. гра¬
фика функции 2х (рис. 2). Более точно получим график, взяв еще
79
Рис. 1 Рис. 2
о 1 о 1 , 1 1 , 1 о 1 Q 1
значения *=-Зу; -2у; -1 у Гу ; 1 у ; 2 у ; 3 у ; ... .
На этом графике наглядно видны уже известные свойства этой
функции: по мере увеличения х значения функции возрастают, при¬
чем при достаточно больших значениях х значения 2х становятся
сколь угодно большими (например, 2,0= 1024, 220=1 048 576 и т. д.).
Похожий вид имеет график функции ах при любом основании а,
большем 1. На рис. 3 изображены графики функции 3х и 4х. Видим,
что если 1<а<6, то на положительной полуоси выше идет график
функции Ьх, а на отрицательной полуоси — график функция ах. Все
графики проходят через точку Л (0; 1).
2. Масса радиоактивного вещества изменяется по закону т =
= mo(-g-). Построим график изменения массы радиоактивного ве¬
щества от времени, считая, что начальная масса то равна 1 г.
/IV 1
Для этого воспользуемся равенством ^ J = — =2-х. Это
ра-
получается
венство показывает, что таблица значений функции ( у )
из таблицы значений функции 2х переменой знаков в первой строке
(см. табл. 2).
Таблица 2
4 3 2 1 0—1—2
1111
16 8 4 2
I 2 4 8 16
Так как точки А(х\ у) и В( — х\ у) симметричны относительно
оси ординат (рис. 4), а (у) =(2_ ')х = 2~х, то график функции ( ~ )
симметричен относительно этой оси графику функции 2х (рис. 5).
80
У
•
в(-х; у) •
•
• *
•
• А(х;у)
•
• . >
-J -2 -Г О
1 2 3 X
Рис. 3 Рис. 4
По рис. 5 видим, что все значения (у) тоже положительны,
но эти значения уменьшаются при увеличении х. График функции
(-i- ) тоже проходит через точку Л(0; I).
Похожий вид имеют графики показательной функции а* при
0< а< 1.
На рис. 6 изображены графики функций () и ("J") • Видим,
что если 0<а<Ь< 1, то на положительной полуоси выше идет график
функции ах, а на отрицательной полуоси — график функции Ь'.
Рассматривая обратные зависимости величин (т. е., например,
зависимость промежутка времени от массы радиоактивного вещества),
приходим к логарифмической функции и ее свойствам.
Описанный подход дает обильный материал для составления
текстовых задач на решение показательных и логарифмических урав-
Рис. 5 Рис. 6
81
нений и неравенств. Укажем иные случаи органического изменения
величин.
а) При прохождении света через мутную среду сила света на
промежутках данной длины уменьшается в одном и том же отношении.
б) Давление воздуха при данной разности высот уменьшается в
одном и том же отношении.
в) Скорость тела, движущегося в среде, сопротивление которой
пропорционально скорости, за данный промежуток времени уменьша¬
ется в одном и том же отношении.
Изучение показательной
и логарифмической функций
на основе понятий и методов
математического анализа
Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай (Москва)
Опыт изучения начал математического анализа в советской средней
школе выявил всю серьезность методических проблем, возникающих
при определении целей изучения курса, отборе содержания и особен¬
но при выборе методики его преподавания. Довольно широко рас¬
пространено мнение, что этот опыт оказался, по существу, негатив¬
ным, и в настоящее время мы больше знаем о том, как не сле¬
дует преподавать начала анализа, чем о том, как это следует делать.
Определенным отражением этого мнения может служить тот факт,
что на конкурсе школьных учебников первое место было присужде¬
но учебнику М. И. Башмакова, принципиально отличающемуся как
от действующего учебника, так и от его «предварительных вариантов».
Новое направление всему комплексу методических проблем пре¬
подавания начал математического анализа в школе придали радикаль¬
ные преобразования системы народного просвещения, предусмотрен¬
ные решениями февральского (1988 г.) Пленума ЦК КПСС и в зна¬
чительной мере конкретизированные известными проектами Концепции
школьного образования. Демократизация системы образования, гума¬
нитаризация обучения, ориентация обучения на развитие личности,
всесторонний учет индивидуальных склонностей и способностей учени¬
ка заставляют коренным образом пересмотреть методические позиции
в том, что касается и преподавания математики в целом, и самого
«молодого» из школьных математических курсов — начал математи¬
ческого анализа.
Одной из основных причин сложной ситуации, возникшей в шко¬
ле в преподавании начал анализа, представляется противоречие меж¬
ду целями изучения этого курса и сложившимися традициями обу¬
чения математике в школе.
Являясь в настоящее время своего рода азбукой для ряда дру¬
гих областей математики, математический анализ функций действи¬
тельного переменного с самого своего зарождения был направлен на
решение многочисленных прикладных задач. Естественно поэтому, что
одним из основных аргументов введения начал анализа в курс сред¬
ней школы была необходимость придать школьной математике при¬
кладную, и прежде всего практическую, направленность.
Между тем применение математических методов во внематемати-
ческих ситуациях требует от специалиста глубоких знаний и в мате¬
матике, и в соответствующей базовой области. Поэтому очень труд¬
но, если вообще возможно, достаточно эффективно «спроецировать»
приложения математики и прежде всего математического анализа в
школьный курс, где неизбежная ограниченность содержания с учетом
динамики его последовательного изучения резко сужает как реальные
возможности соответствующих методов, так и глубину и содержатель¬
ность, а главное — практическую значимость решаемых задач. В част¬
ности, даже относительно курса физики, наиболее подходящего в рам¬
ках школы полигона для применения понятий и методов математи¬
ческого анализа, курс начал анализа недопустимо «опаздывает».
Однако дидактическая значимость курса начал анализа в действи¬
тельности значительно шире, чем иллюстрация перед учащимися
способности такой абстрактной науки, как математика, решать кон¬
кретные и важные проблемы практической жизни. Многие специалисты,
прежде всего математики, в частности А. Н. Колмогоров, Л. В. Кан¬
торович, С. Л. Соболев, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, подчер¬
кивали, что ознакомление учащихся с понятиями и методами мате¬
матического анализа даже на уровне общих представлений имеет для
них большое познавательное, развивающее и общекультурное значение.
Более того, специфика рассуждений, свойственных математическому
анализу, «диалектика переменных величин» в значительной степени
способствуют формированию качеств мышления, необходимых в настоя¬
щее время каждому образованному человеку. Другими словами, в изу¬
чении математического анализа в курсе средней школы существен¬
ное значение имеет не только его естественнонаучное содержание как
в большой степени прикладной науки, как аппарата для решения
практических задач, но и его гуманитарная составляющая, дающая
возможность ориентации его преподавания на развитие личности.
Выделение и реализация гуманитарной составляющей математи¬
ческого анализа и всей школьной математики в целом является в
настоящее время одной из центральных проблем методики препода¬
вания математики в школе, и основная трудность решения этой пробле¬
мы определяется тем обстоятельством, что гуманитарная функция ма¬
тематики может быть реализована только в процессе постижения
учащимися собственно математической информации, зачастую действи¬
тельно сухой и не способной вызвать устойчивый интерее «массо¬
вого ученика».
Поэтому сложившиеся традиции преподавания математики перво¬
83
степенное значение придавали и придают освоению учащимися «ап¬
паратной» математики, естественнонаучной составляющей математиче¬
ской науки, а ее гуманитарная функция отходит на второй план,
так что развитие учащихся в процессе обучения фактически предпо¬
лагается происходящим стихийно. В таком подходе, разумеется, есть
определенная доля логики, однако складывающиеся в настоящее вре¬
мя представления о значении математической подготовки каждого чле¬
на современного общества, о роли математики в системе среднего
образования весьма серьезно расходятся с такой иерархией естествен¬
ной и гуманитарной составляющих математики как школьного учеб¬
ного предмета.
Особенно неудачной оказалась установленная иерархия именно
в преподавании начал анализа, и именно в силу специфики струк¬
туры математического анализа как науки. Если основные понятия
математического анализа — такие, как непрерывная функция, производ¬
ная функция, экстремумы функции и даже интеграл — допускают
весьма простое содержательное истолкование на геометрическом и фи¬
зическом языке, т. е. в рамках общих человеческих представлений,
если основные теоремы анализа, входящие в школьный курс — теоре¬
мы Больцано — Коши, Ферма, Лагранжа, Вейерштрасса, теорема об
обратной функции геометрически просто очевидны, то логически пол¬
ные определения этих понятий и доказательство теорем требуют пред¬
варительного создания теории пределов, которая, в свою очередь, ос¬
новывается на теории действительных чисел, сложной и труднодоступ¬
ной даже для студентов.
Происходящие в настоящее время преобразования системы школь¬
ного образования, предусматривающие дифференциацию и, можно ска¬
зать, даже определенную специализацию в старшем звене школы,
могут привести к тому, что изучение математики значительной
частью учащихся будет заканчиваться уже на средней ступени. Эта
точка зрения имеет много сторонников, и в ее пользу можно при¬
вести не один серьезный аргумент.
Однако, на наш взгляд, развитие учащихся, уровень сформиро-
ванности их мышления, их общей культуры неизбежно пострадают,
если в своем образовании они полностью пройдут мимо идей, поня¬
тий и методов математического анализа — существенной части мате¬
матической науки, одного из исторически главных достижений мате¬
матики и вообще достижений человеческой цивилизации.
Поэтому вполне естественным представляется перенос курса начал
анализа на уровень восьмнлетней школы, и принципиальная воз¬
можность обеспечивается именно ясностью и наглядностью понятий
и теорем математического анализа на уровне представлений. Послед¬
ний тезис хорошо иллюстрируется статьей М. И. Башмакова «Оп¬
ределение основных понятий анализа в школьном курсе математики»
(Математика в школе. 1988. № 3), в которой, в частности, говорит¬
ся: «...ясно, что недостаточность простых аргументов (если скорость
84
равна нулю, то тело стоит и путь не меняется) — это порок, зало¬
женный в исходных понятиях. Расширение аргументации, придание
доказательности наглядным рассуждениям и примерам из физики
должно стать силой математики, а не свидетельством ее слабости».
Однако не вызывает сомнений, что изучение начал анализа на сред¬
ней ступени несовместимо с традиционным стилем изложения, с приори¬
тетом естественной составляющей, «аппаратной» математики, и успех
дела будет зависеть от установления оптимального сочетания между
естественной и гуманитарной составляющими в соответствующем учеб¬
ном материале и в конкретном учебном процессе.
Более того, гуманитарная составляющая курса начал анализа мо¬
жет быть реализована на сравнительно ограниченном конкретном ма¬
териале — на изучении рациональных функций, требующем лишь ал¬
гебраического аппарата, формирующегося уже на этой ступени обуче¬
ния. Разумеется, и на этом пути возникнут достаточно серьезные
трудности при построении основ дифференциального исчисления — на¬
пример, для обоснования арифметических свойств производных, од¬
нако трудно было бы ожидать, что столь кардинальное изменение
положения курса начал анализа в школе не потребует серьезной на¬
учно-методической, экспериментальной и практической работы. Впро¬
чем, опыт, уже накопленный школой в преподавании этого материала,
без сомнения, принесет большую пользу.
Нельзя, впрочем, не указать и некоторые контраргументы к изу¬
чению начал анализа в средней ступени школы. Самым существен¬
ным из них представляется тот факт, что для освоения этого ма¬
териала от учащегося требуется достаточно высокий уровень умения
обращаться с абстрактными объектами. Однако общая ориентация
преподавания математики в общеобразовательном звене на развитие
учащихся, в частности на формирование абстрактного мышления, мо¬
жет создать благоприятные предпосылки для успешного усвоения ос¬
новных идей и методов курса на необходимом уровне, разумеется,
с учетом дифференциации учебных требований.
Наконец, одной из центральных проблем изучения начал анализа
в общеобразовательном звене является отбор содержания, и нам ка¬
жется, что изменение стиля преподавания даст возможность даже
несколько расширить объем изучаемых понятий — например, рассмат¬
ривать вторую производную — и большее внимание уделить некоторым
важным понятиям — таким, как дифференциальное уравнение.
В настоящей статье мы показываем схему изучения показатель¬
ной и логарифмической функций на основе понятий и утверждений
математического анализа, сформированных, например, на ограничен¬
ном материале рациональных функций. Этот подход «лишний раз»
иллюстрирует возможности математического анализа, показывая его
внутриматематические прикладные возможности.
Отметим сразу же, что предполагаемый подход возможен и при
нынешнем состоянии преподавания начал анализа, однако при осу¬
85
ществлении переноса курса в среднюю ступень, в особенности в систе¬
ме углубленного изучения математики с VIII класса, он представля¬
ется нам достаточно перспективным, во всяком случае весьма эко¬
номным и не слишком сложным. Возможно также, что этот подход
окажется полезным в естественнонаучных профилях после перехода
школы к профилированной системе обучения.
Для определения показательной функции рассматривается диффе¬
ренциальное уравнение y'=ky, где k — произвольное отличное от нуля
действительное число, и функция называется показательной, если она
определена на всем множестве действительных чисел, удовлетворяет
этому уравнению и начальному условию /(0) = 1.
Таким образом, показательная функция, а точнее — показательная
функция y=f(x), соответствующая данному числу /г=^0, определяется
тремя свойствами: 1) функция y=f(x) определена на множестве R;
2) равенство f (х) =kf (х) является тождеством на множестве R;
3) / (0) = 1.
Заметим сразу же, что формально говоря, свойство 2 неявно со¬
держит в себе свойство 1, однако представляется более целесооб¬
разным свойство 1 выделить специально, чтобы оно более надежно
осталось в сознании учащихся. Впрочем, это зависит уже от методи¬
ческого вкуса учителя или автора учебника.
Здесь мы имеем, по существу, аксиоматическое определение по¬
казательной функции, более точно, дескриптивное, описательное оп¬
ределение, поскольку объект определения задан только своими свойства¬
ми. Поэтому сразу же естественно возникает вопрос о существова¬
нии определяемого объекта и об описании таких объектов, если их
существует более одного.
Этот вопрос решается на основе теоремы о существовании и един¬
ственности решения дифференциального уравнения, которая, естествен¬
но, либо постулируется в общем виде (разумеется, для некоторого
узкого класса «школьных» уравнений) при введении понятия диффе¬
ренциального уравнения, либо обосновывается обращением к физиче¬
скому процессу, на основании которого и получено рассматриваемое
дифференциальное уравнение. Второй способ представляется более пред¬
почтительным, поскольку в современной дидактике математики формаль¬
ные построения математических моделей считается целесообразным
проводить только после рассмотрения некоторой реальной ситуации.
Итак, для каждого k^=0 существует единственная функция у =
— 1(х), обладающая свойствами 1—3. Основой всех дальнейших свойств
показательной функции является ее «основное свойство», так назы¬
ваемая теорема сложения:
Для любых действительных чисел х и а выполняется равенство
f(x-\-a)=f(x) -f(a).
Доказательство этой теоремы опирается снова на теорему един¬
ственности. Считая число а фиксированным (именно для этого в фор¬
86
мулировке теоремы вместо общепринятого, «равноправного» с х обозна¬
чения переменной буквой у, мы поставили букву а — как для пара¬
метра), мы имеем в левой и правой частях доказываемого тождества
две функции от переменной х:
g(x)=f(x + a); h(x)=f{x)-l(a).
Тогда
В'(х) = Г(х + а)-(х + а)' =['(х + а),
и, по свойству 2,
в’(х) = ь • f (х + а) = kg (х).
С другой стороны,
h\x) = f (а) ■ f'(x) = k •f(x)-[(a) — li - h(x).
Таким образом, функции g(x) и h(x) обе удовлетворяют диффе¬
ренциальному уравнению;/'кроме того, g(0)=f(a), h(0) = [(0) • 1(а) =
=/(а), и, следовательно, они удовлетворяют одному и тому же на¬
чальному условию. По теореме единственности они представляют со¬
бой одну и ту же функцию, так что равенство f(x-\-a)=f(x) • f(a) дей¬
ствительно является тождеством.
Отметим особенность данного рассуждения: достаточная эвристиче¬
ская и алгоритмическая простота сочетаются в нем с необходимостью
умения обращаться с абстрактными объектами, по существу — с сим¬
волами, заданными только своими свойствами. Это, безусловно, тре¬
бует определенной математической и общей культуры, общего интел¬
лектуального развития, но одновременно и развивает соответствующие
качества мышления. Такими же особенностями обладают и многие из
последующих рассуждений, где на основе определения показательной
функции, теоремы сложения и уже известных учащимся теорем диф¬
ференциального исчисления устанавливаются все свойства показатель¬
ной функции, необходимые для школьной практики.
Укажем прежде всего, что показательная функция имеет произ¬
водную в любой точке — это следует из ее определения. В частности,
она непрерывна на множестве R.
1. Показательная функция положительна при любом значении
переменной.
В самом деле, если f(a) — 0 при некотором значении а 6 R, то
Д0) = /( — а + а) = /( — а) ■ /(а) = 0, что противоречит свойству 3.
Если же [(b) < О при некотором значении b £ R, то, по теореме
о промежуточном значении (Больцано — Коши), которая, безусловно,
должна быть знакома учащимся уже на уровне средней ступени обуче¬
ния, между числами Ь и 1 должно быть число с такое, что /(с) = 0,
а это противоречит уже доказанному свойству функции.
2. Показательная функция возрастает на множестве R, если & > О,
и убывает на множестве R, если k<0.
87
Доказательство сразу же следует из определения показательной
функции, из ее положительности и критерия монотонности функции,
связанного со знаком производной.
Теперь возникает цикл вопросов, относящихся к связи показатель¬
ной функции с понятием степени, в частности с введением обозна¬
чения для показательной функции, соответствующей заданному чис¬
лу к. Для этих вопросов необходимо обобщение теоремы сложе¬
ния в виде
Это легко делается для /1 = 3 и п = 4, и эти частные примеры впол¬
не можно считать опорными: они достаточно точно вскрывают меха¬
низм общего доказательства и делают утверждение теоремы очевидным.
Необходимость проведения строгого доказательства (например, с
помощью математической индукции) зависит, безусловно, от общих
концепций школьного курса математики, но, по нашему мнению, при¬
менение математической индукции в данном случае, как и во всех
подобных, «абсолютно очевидных», случаях, является, скорее, проявле¬
нием ригоризма, чем математической строгости — даже (а может быть,
тем более) если учащиеся знакомы с этим методом. В последней
ситуации проведение индукции можно предложить для самостоятель¬
ной работы — и для «вспоминания» метода, который в школьной тео¬
рии применяется довольно редко, и для «поддержки» математиче¬
ской строгости.
Пусть теперь /(*) — показательная функция, и а — ее значение
в точке 1: a = f(I). Если п — натуральное число, то по (обобщен¬
ной) теореме сложенйя /(л) = (/(1 ))" = а", и тем самым уже нащу¬
пана связь между показательной функцией и степенью. Возникает
гипотеза о выполнении равенства f(x) = a* для более широкого класса
показателей — целых и вообще рациональных.
Если п — целое отрицательное число, то f(0) = f(n)f( — n), и по¬
скольку —п — натуральное число, то {(— п) = а~", а тогда
по свойствам степени с целым показателем.
Наконец, если n = p/q — рациональное число (q 6 N), то, по (обоб¬
щенной) теореме сложения,
т. е. (/(n)f = ар, и поэтому /(л) = а 4 =ап.
Случай, когда п = 0, из методических соображений можно созна¬
тельно опустить, для того чтобы учащиеся, быть может, после ука¬
зания учителя на логический пробел, сами нашли его и завершили
доказательство.
/(* I +*2+ ... +X„) = f(X,)f{X2)...f(Xn).
р
88
Итак, для любого рационального числа х f(x) = ax, и возникает
вопрос об иррациональном показателе х. Но определения степени
с иррациональным показателем учащиеся не имеют, и поэтому вопрос
о доказательстве этого равенства уже не может быть поставлен, хо¬
тя, как показывает проведенный эксперимент, многие пытаются все
же доказать равенство, однако довольно быстро «наталкиваются» на
отсутствие необходимого определения.
Естественно возникает мысль, что значение показательной функ¬
ции ((х), для которой /(1)=а, в иррациональной точке а и следует
считать степенью числа а с показателем а.
Теперь для показательной функции f(x) совершенно естественно
вводится обозначение f(x)=ax, где а — ее значение в точке 1.
Подчеркнем одну интересную особенность сложившейся ситуации:
учащиеся знают, что такое, например, 2^, но знание это, однако,
чисто теоретическое, поскольку никакого интуитивного представления
об этом числе не имеют, не могут, скажем, вычислить его прибли¬
женное значение. Можно сказать, что они осознают символ 2^ только
как число, но без его взаимосвязей с остальными числами системы
действительных чисел.
Однако уже доказанные свойства показательной функции дают
возможность вычислить степень с иррациональным показателем. Так
как показательная функция монотонна, то число 2^3 при любых рацио¬
нальных числах г и s, таких, что r<-\/3<s, выполняется неравенство
2r <2 V3<2S, что и дает необходимые взаимосвязи: например, из не¬
равенств 1<-\/3<2, -|<УЗ< следует, что 2 <2^ <4, 2т/2<2^<
<2\/8.
Заметим, что число а = /( 1) связано с тем значением к, которое
фигурирует в уравнении, задающем конкретную показательную функцию
1(х). Однако выявить эту связь можно только позже: ясно, что a = ek,
так что k = \n а, и, следовательно, для записи зависимости в этой
форме между числами а и k необходимо предварительное введение
числа е и натуральных логарифмов.
Для обеспечения традиционной школьной практики в решении
показательных уравнений необходимо установить общие свойства сте¬
пеней с действительным показателем. Изложение этого вопроса вполне
возможно традиционными методами, модифицированными, естественно,
в соответствии с концепциями конкретного курса. Основное свойство
ах+у = ах-ау уже не нуждается в особом доказательстве — оно
является переводом теоремы сложения на язык степеней. Однако спе¬
циальное доказательство свойств 3 и 4 необходимо.
3. (а*)9 = ax,J.
Для доказательства свойства 3 удобно считать число х фикси¬
рованным, а у считать переменной. Однако при этом возникает не¬
приятная коллизия обозначений: у нас получится функция от у, ко¬
89
торая является решением дифференциального уравнения, в котором
буквой у обозначена функция.
Вообще, для того чтобы избежать «лишних» переименований
переменных, целесообразно, быть может, при записи свойств степеней
не применять для показателей степени букв х и у, слишком при¬
вязанных к традициям символики в контекстах, связанных с функциями.
Во всяком случае, это является вопросом методического вкуса, и мы
вовсе не настаиваем, что использованные нами обозначения и соог-'
ветствующне переименования являются оптимальными.
Перепишем свойство 3 в виде (ас)х = асх и обозначим его правую
часть через g( х). Докажем, что функция g(x) — показательная.
В самом деле, g(x) является сложной функцией: g(x) =f(cx), где
f(x) = ах, и поэтому
g'(x) = f'(cx) • с = kl(cx): ■ с = ckg(x).
Но g(l) = ас, и поэтому g(x) = (ас)х, что и доказывает свойство 3.
4. (аЬ)х = ах ■ Ьх.
Для доказательства этого свойства рассмотрим показательные
функции f(x) = ах, g(x) = Ьх. Они удовлетворяют дифференциальным
уравнениям — каждая своему, вообще говоря, у’ = ky, у' = 1у.
Докажем, что произведение этих функций h(x) = f{x)g(x) также
является показательной функцией:
h'{x) = (f(x)g(x))' = i\x)g{x) + f(x)g'{x) =
= ЬЦхШ + ЧШх) = (* + l)h{x).
Кроме того, h(0) = /(0)g(0) = 1.
Поскольку h(l) = /(l)g(l) = ab, то h{x) = (abf, и, следовательно,
(ab)x = axbx, что и требовалось доказать.
Теория показательных функций на этом, в принципе, заканчи¬
вается, если не считать выделения «главной» функции у = ех. Предва¬
рительно, однако, целесообразно построить теорию логарифмов. Она,
естественно, строится в данном контексте на основе понятия обратной
функции, изученного ранее (на опорном примере корней). Это построе¬
ние хорошо известно, и мы на нем останавливаться не будем.
Остается рассмотреть лишь введение числа с. Формально говоря,
это просто: показательная функция, соответствующая k = 1, прини¬
мает при х = 1 некоторое значение, которое мы и обозначаем через с.
Таким образом, решение уравнения у' = у с начальным условием
j(0) = 1 и есть функция у = ех.
Это уже позволяет ввести понятие натурального логарифма и
записать общую формулу решения дифференциального уравнения
у’ — ky в виде у ~ екх: если /(1) = а, то f(x) = ах = (е1пи)х = tflna,
и мы получаем связь между «основными параметрами» показательной
функции.
В то же время, так же как и в случае степени с иррациональным
показателем, для настоящего понимания числа е следует провести
некоторые рассуждения, описывающие его более конструктивно.
позволяющие вычислять его приближенно. Однако вряд ли это воз¬
можно сделать достаточно простыми способами, и поэтому придется
ограничиться лишь «догматическим» указанием, что е =
= 2,718281828459045... .
Впрочем, при активном применении калькуляторов или микро¬
компьютеров, в соответствии с современной концепцией школьного
образования, приближенное значение числа е можно получить либо
нажатием одной кнопки, либо, что дидактически, очевидно, более
целесообразно, последовательным вычислением значений выражения
(1 -|——)“ при возрастающих значениях п. Такая «лабораторная
работа», при которой можно систематически сравнивать вычисленное
значение с «калькуляторным» е, выводит учащихся на классическое
определение числа е как предела последовательности (1 + — )л.
В этой статье мы, естественно, ограничились лишь общей схемой
изложения теории показательных и логарифмических функций и не
останавливались на подкреплении развитой теории соответствующими
упражнениями, что, конечно, требует большой и кропотливой работы.
Итак, изучение начал математического анализа позволяет пол¬
ностью перестроить систему изложения показательных и логарифми¬
ческих функций, обогатить изложение рассуждениями, не слишком слож¬
ными, но необычными для современного курса математики, способ¬
ными активно работать на развитие мышления учащихся, на общее
развитие личности.
По нашему мнению, эта система вполне применима на старшей
ступени обучения в физико-математическом и в естественнонаучных
профилях, а, быть может — при соответствующей программе,— и в
гуманитарных профилях, поскольку современный специалист, скажем,
по литературе, лингвистике, истории, социологии уже не может не
быть знакомым с математическими методами исследования — в част¬
ности, с вероятностными моделями и моделями, основанными на диф¬
ференциальных уравнениях.
Проведенное одним из авторов экспериментальное исследование
показало доступность рассмотренного изложения материала в мате¬
матическом классе и выявило значительный интерес школьников на
самом высоком, с точки зрения психологов, уровне — познавательном.
ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
Об обучении арифметике в школе
Опыт преподавания в вузе говорит о том, что многие современные
студенты плохо знают арифметику, вследствие чего испытывают
трудности при изучении алгебры и некоторых других математических
дисциплин.
91
На наш взгляд, такое положение вызвано прежде всего тем, что
арифметике в школе не уделяется должное внимание. В школе нет
самостоятельного предмета «Арифметика». Арифметика там входит
составной частью в общий курс «Математика», который изучается
в начальной школе (3—4 года), а также в IV и V классах основной
школы; кроме арифметики в этот общий курс входят элементы алгебры
и элементы геометрии. Таким образом, в рамках этого общего курса
внимание учащихся разбрасывается, вместо того чтобы сосредоточиться
на арифметике.
А как идет изучение арифметики? В начальной школе изучаются
четыре арифметических действия над натуральными числами. При рас¬
смотрении учебников математики для начальной школы бросается в
глаза слабая загруженность учащихся материалом, не способствующая
развитию у них трудолюбия, работоспособности. Тем самым материал
учебника сдерживает развитие детей в период самого активного восприя¬
тия ими мира. К сожалению, нет и таких задач, на которых дети учились
бы рассуждать, думать, развивали бы активность и гибкость ума.
Мы имеем в виду так называемые текстовые задачи, решаемые
средствами арифметики (т. е. через постановку ряда вопросов, требующих
для ответа выполнения тех или иных арифметических действий). Прежде
таких задач было много — например, в «Сборнике задач по арифметике»
Е. С. Березанской.
В современных учебниках математики для IV и V классов (см.:
Виленкин Н. Я., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Матема¬
тика: Учебники для 4-го и для 5-го классов средней школы. М.: Просвеще¬
ние, 1988) арифметический материал располагается так. В IV классе
заканчивается изучение натуральных чисел. Идет знакомство с понятием
обыкновенной дроби (заканчивающееся дробями с одинаковыми зна¬
менателями). В основном же изучаются десятичные дроби. В V классе —
положительные и отрицательные числа. Изучаются действия над числами
со знаками (при этом в запасе у учащихся только целые числа и деся¬
тичные дроби). Далее идут рациональные числа. Тут опять говорится о
натуральных числах (о простых, о составных, о разложении на множите¬
ли и т. п.), дается некоторая информация об обыкновенных дробях —
вперемешку с дробями разных знаков.
При таком порядке выпадают из изучения действия над обыкновен¬
ными дробями (этот материал в IV классе остается незавершенным)
и действия над рациональными числами. К тому же отсутствует доста¬
точно богатая подборка арифметических текстовых задач. Все это
приводит к тому, что к концу изучения арифметики учащиеся не умеют
грамотно работать с числами.
Мы думаем, что в IV и V классах арифметику надо изучать
в такой последовательности.
IV класс. 1. Натуральные числа (все, что надо в дальнейшем).
2. Обыкновенные дроби. Здесь надо дать основное свойство дроби и
добиться уяснения учащимися того факта, что действия над обыкновен¬
ными дробями сводятся к действиям над натуральными числами —
по правилам:
р г р-п+д-г р г_ р-r р_ . г_ р-п
q п q-n ' q п q-n’ q ' п q-r'
V класс. 1. Целые числа. (Нам кажется, что работу со знаками
чисел лучше провести на целых числах). 2 Рациональные числа.
Здесь должно быть четко сформулировано правило знаков: — =
92
Р Р т, „
= — = где р и q — натуральные числа. Действия над рациональ¬
ным н числами сводятся к действиям над целыми числами. 3. Десятичные
дроби.
Именно такой порядок изложения материала принят в книге:
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н.,
Шевкин А. В. Арифметика. М.: Наука, 1988. Мы считаем, что
материал этой книги может послужить основой учебника арифметики
для IV и V классов средней школы. При указанном выше порядке
изучения тем арифметики можно в начале VI класса перейти к беско¬
нечным десятичным дробям, на этом тему «Действительные числа»
закончить и не возращаться к ней в IX классе. Нам представляется
правильной идея этой книги — излагать бесконечные десятичные дроби
не на базе бесконечных геометрических прогрессий (или рядов), а на
базе такого элементарного действия, как деление с остатком.
Указанного выше материала ученикам достаточно, и этот материал,
как нам кажется, учащимся вполне доступен.
П. Г. Скворцов, М. Г. Скворцова (г. Нальчик)
Несколько слов об отделе задач
Большую роль в воспитании учителей математики сыграл журнал
«Математика в школе». Особенно — его отдел «Задачи».
В № 1 за 1934 г. редакция определила содержание журнала
восемью основными отделами, один из которых — «Задачи». На
с. 3 этого номера читаем: «Мы считаем целесообразным введение
раздела задач, так как они, во-первых, дают хорошую тренировку
преподавателю и, главное, побуждают к самостоятельным изыска¬
ниям в области математики».
В № 2 за 1936 г. на с. 11 есть такое обращение к читателям,
присылающим задачи: «...редакция считает чрезвычайно целесообраз¬
ным использовать громадный задачный материал, накопленный в те¬
чение десятилетий. Одновременно в целях обогащения этого мате¬
риала редакция призывает к усиленной работе по составлению
новых задач». Призыв, можно сказать, революционный. Нельзя было
продолжать воспитывать учащихся на старых задачах со старыми
идеями. И дело было не только в необходимости новых задач для
школьников. В этом призыве имелись в виду новые задачи и для
учителей.
Учителя включились в творческую работу по составлению задач.
Число участников из года в год росло. В 1934 г.— 8 человек,
1935 г.— 14, 1936 г.— 19, 1937 г.— 20, 1938 г.— 23, 1939 г.—30,
1944 г.— 101; за 1950—1955 гг. почти все задачи присланы читателями
журнала. Среди составителей задач встречаем фамилии, получившие
широкую известность в нашей педагогической общественности:
3. А. Скопец, Л. М. Лоповок, П. С. Моденов, П. М. Эрдниев,
Б. М. Яворский, С. Г. Губа, И. М. Яглом, А. М. Яглом.
В № 2 за 1957 г. в редакционной статье «Об отделе задач в журнале»
говорится о той большой пользе, которую принес этот раздел учителю
в повышении его математической культуры. Редакция приняла решение
93
о реорганизации отдела, так как на книжном рынке появилось боль¬
шое количество сборников задач. Новое в отделе — появление
рубрики «Избранные задачи и специальные методы их решения».
Круг лиц, присылающих свои задачи, значительно расширился и, ко¬
нечно, обновился за счет новых молодых кадров.
В № 2 за 1967 г. редакция объявила конкурс на составление
задач для юбилейного номера. Требования к задачам: они должны
быть оригинальными и нестандартными.
Уже много лет подряд в сводках решений задач мы видим кроме
фамилий читателей также и названия математических кружков,
что свидетельствует о популярности этого отдела среди ребят, интере¬
сующихся математикой.
Новое в разделе — проведение конкурса по решению задач только
из одного номера журнала — можно считать целесообразным и
разумным. Дух соревнования имеет благотворное влияние даже для
тех, кто не попал в число отличившихся.
Полезны «Замечания к решениям задач», которые читаются с боль¬
шим интересом.
Считаю целесообразным адресовать задачи отдельно для каждого
класса, как, например, в болгарском журнале «Математика». А также
не менее чем два номера журнала посвящать материалам математи¬
ческих конкурсов других стран — как социалистических, так и капи¬
талистических.
Э. А. Ясиновый (г. Куйбышев)
Больше внимания
Я полностью разделяю мнение И. Ф. , Шарыгина относительно не¬
достатков в системе отбора школьников для участия в Международ¬
ных математических олимпиадах (см.: Математика в школе. 1989. № 2.
С. 72). Аналогичную заметку я собиралась написать еще в 1987 г.,
и удержало меня лишь то, что мое мнение могло бы показаться
субъективным, так как речь шла бы и о моем сыне. (Он был
запасным участником ММО в 1987 г.)
Я считаю, что состав команды надо определять на Всесоюзном
первенстве — в апреле, а в Черноголовке, летом, работать с ут¬
вержденным составом. Необходимо также улучшить проведение органи¬
зационных мероприятий.
О том, что нужно оформить документы для выезда, нам сооб¬
щили в середине мая. Оформлялось все в ужасной спешке, отнял
этот процесс массу времени и у сына, и у нас — родителей.
Кроме того, мы получили список одежды, которую необходимо
было приобрести для поездки. В условиях нашего дефицита, а особен¬
но в провинции, купить все нужное было очень непросто. Вместо
отдыха перед сборами и занятий математикой мы бегали в поисках
костюма, обуви, спортивной одежды и т. д. Неужели нельзя заранее,
определив состав команды, экипировать ее организованным порядком?
Делается же это для наших спортсменов!
Условия, в которых жила команда в Черноголовке, были совер¬
шенно неудовлетворительными: 12 ребят в одном школьном классе,
полуразвалившиеся кровати стояли впритык друг к другу. Питание
неполноценное. Особенно, как мне кажется, эти бытовые факторы отра¬
зились на приезжих ребятах. Жителей Москвы и Подмосковья могли
«подкормить» родители.
Сейчас у моего сына все нормально — он отлично учится в
МФТИ. Но я все же решила написать.
Н. М. Черных (г. Краснодар)
94
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
XXIII Всесоюзная математическая
олимпиада школьников
Г. М. Кузнецова, И. Н. Сергеев (Москва)
Заключительный этап ХХ111 Всесоюзной математической олимпиады
школьников проводился с 15 по 22 апреля в Риге. В нем приняли
участие 164 школьника: 48 восьмиклассников, 62 девятиклассника и
54 десятиклассника. В Ригу прибыло 30 команд: по одной от всех
союзных республик и четырех зон РСФСР, от Москвы, Ленинграда,
от 8 специализированных физико-математических школ, от Министерства
путей сообщения и команда организатора олимпиады — Риги и Риж¬
ского района.
Соревнования, как обычно, проходили в два дня. Каждый день участ¬
никам предлагались 4 задачи, на решение которых отводилось 5 ч.
В приведенных ниже заданиях ХХШ Всесоюзной олимпиады при¬
нята двойная нумерация задач: первая часть номера обозначает
класс, а вторая — порядковый номер задачи в данном классе.
После формулировки задачи в скобках указана фамилия ее автора.
Первый день
8.1. Каждый из 7 мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к
киоску по продаже мороженого. Известно, что каждые 2 из них встреча¬
лись около киоска. Доказать, что в некоторый момент там встречались
одновременно 3 мальчика. (А. Анджа.нс.)
8.2. Имеется 77 прямоугольных брусков размером 3X3X1.
Можно ли все эти бруски уложить в прямоугольную коробку с
крышкой размером 7X9X11? (А. Берзиньш.)
8.3. Пусть М — точка касания окружности, вписанной в треуголь¬
ник ABC, со стороной АВ. Пусть Т — произвольная точка стороны
ВС, отличная от вершины. Доказать, что 3 окружности, вписанные
в треугольники ВМТ, МТА и АТС, касаются одной прямой.
(А. Анджанс.)
8.4. Натуральное число N имеет ровно 12 делителей (включая
1 и N). Занумеруем их в порядке возрастания ...■ <d 12.
Известно, что делитель с номером d,— 1 равен произведению
(di -j-d2-{-di)-di. Найти число N. (А. Берзиньш.)
9.1. Имеется 2000 монет, из которых 2 фальшивые: одна легче
настоящей, а другая тяжелее. Как за 4 взвешивания на чашечных
весах без гирь установить, что больше: суммарный вес 2 фальшивых
монет, или суммарный вес 2 настоящих монет, или же эти веса равны?
(С. Августович.)
95
9;2. Доказать, что если я, Ь, с — длины сторон треугольника и
то справедливо неравенство a2+b2+c2-\-4abc<l/2. (Д. Те-
р е ш и н.)
9.3. На сторонах АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки К и М соответственно. Пусть L — точка пересечения
отрезков AM и KD, N — точка пересечения отрезков КС и ВМ.
а) Доказать, что если К и М — середины сторон АВ и CD, то
Sklmn'< 4" $abcd- б) Доказать, что если AK .KB = CM :MD =
О
= т\п, то
тп
bKLMN- < mi + mn+ni bABCD-
(Д. Те р е ш и н.)
9.4. Из квадратов 1X1, 2X2, 3X3 составили квадрат 23X23.
Какое наименьшее число квадратов 1 X 1 могло быть при этом исполь¬
зовано? (Н. Агаханов.)
10.1. При каком наименьшем натуральном п уравнение
[f] =
= 1989 имеет целое решение? (С. Га ш ко в.)
10.2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соот¬
ветственно точки D, Е и F, для которых DE = BE и FE=CE. Дока¬
зать, что центр описанной около треугольника ADF окружности ле¬
жит на биссектрисе угла DEF. (В. Протасов.)
10.3. На одной из 2 данных пересекающихся сфер взяты точки
А и В, на другой — С и D. Отрезок АС проходит через общую
точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер
и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Доказать, что проекции
отрезков АВ и CD на прямую АС равны. (И., Ш а р ы г и н.)
10.4. Два туриста находятся на одинаковой высоте (над уровнем
моря) в точках А и В, расположенных по разные стороны от горной
цепи. Путь по перевалу, соединяющий точки А и В, имеет форму ломаной,
все вершины которой находятся выше ее концов Л и В. Могут ли оба тури¬
ста пройти через весь перевал, оставаясь в любой момент времени на
одинаковой высоте? (Е. Абакумов, Д. Фомин.)
Второй день
8.5. На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом
горизонтальном и в каждом вертикальном ряду стоит по 1 фигуре. Дока¬
зать, что на черных клетках шахматной доски стоит четное число
фигур. (В. Произволов.)
96
8.6. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC зеленой
краской отметили соответственно точки Сi, А\ и В\, отличные от
вершин треугольника. Оказалось, что
А0' ВА' СВ' и ^ВЛС=^В,Л,С,.
Ci В А1С В\А
Доказать, что треугольник с зелеными вершинами подобен треуголь¬
нику ABC. (И., Ш а р ы г и н.)
8.7. В некоторой роще было п ^ 3 скворечников, причем все
расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило
по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои
скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скво¬
речнике оказалось по скворцу. При этом если расстояние между
какой-то парой скворцов было меньше расстояния между другой паром
(один скворец может засчитываться в разных парах), то после перелета
расстояние между первой парой скворцов оказалось больше рас¬
стояния между второй парой. При каких п это возможно?
(А. Берзиньш.)
8.8. Доказать, что все пятизначные числа, в записи которых
каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5 встречается по разу, можно разбить на
2 группы с одинаковыми суммами квадратов. (Д. Фомин.)
9.5. Существуют ли такие действительные числа а и Ь, что:
а) число а+ 6 рационально, а число а"-\-Ь" иррационально при
каждом натуральном п^2; б) число а + 6 иррационально, а число
а" -\-Ь" рационально при каждом натуральном я ^2? (Н. Агаханов.)
9.6. На квадратном потолке размером 1м X *м находятся
паук и муха. За 1 секунду паук может прыгнуть в середину любого
из 4 отрезков, соединяющих его с углами потолка. Муха неподвижна.
Доказать, что за 8 секунд паук может приблизиться к мухе на расстояние
менее 1 см. (В. Ильичев.)
9.7. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD равны. Треуголь¬
ник А'В'С получен из треугольника ABC поворотом вокруг точки С
на некоторый угол. Доказать, что середины отрезков A’D, ВС и
В'С лежат на одной прямой. (В. Протасов.)
9.8. Дан бесконечный лист клетчатой бумаги со стороной клетк,и 1.
Доказать, что для любого натурального п существует многоугольник
(не обязательно выпуклый) со сторонами, расположенными на линиях
сетки, который можно разрезать нд прямоугольники 2Х 1 ровно п различ¬
ными способами. (Б. Кукушкин, Д. Туляков.)
10.5. Найти наименьшее значение выражения (л: + i/Xf/+г) при
условии, что х, у, г — положительные числа, удовлетворяющие
равенству xyz(x-\-y + z)— 1. (О. Христенко.)
4 «Математика в школе» № 6
97
10.6. Дан многогранник с четным числом ребер. Доказать, что на
всех его ребрах можно так расставить стрелки, чтобы в каждую
вершину этого многогранника входило четное число стрелок.
(О. Ляшко, О. Мусин.)
10.7. Существует ли функция /(п), отображающая множество
натуральных чисел в себя и удовлетворяющая при каждом нату¬
ральном п> 1 равенству
М=Шп -1)) + f(f(n + 1))?
(Е. Барабанов, И. Воронович.)
10.8. Дан выпуклый многоугольник. Длина любого отрезка, соеди¬
няющего вершину этого многоугольника с некоторой точкой его гра¬
ницы и делящего его площадь пополам, не превосходит 1. Доказать,
что площадь многоугольника меньше л/4. (С, Анисов, Д. Ту¬
ляков.)
Жюри Всесоюзной олимпиады, возглавляемое академиком
АН УССР Профессором МГУ Б. В. Гнеденко, было весьма предста¬
вительным. В его работе приняли участие 10 докторов и 30 кандидатов
физико-математических наук. Заместителями председателя жюри и его
первыми помощниками были доцент Латвийского госуниверситета
А. В. Анджанс и доцент МГУ Ю. В. Нестеренко.
Анализ результатов участников олимпиады показывает, что задачи
VIII класса оказались сложными для школьников, задание IX класса
хорошо сбалансировано, но перегружено пунктом б) задачи 9.3, задание
X класса в целом составлено удачно.
Наряду с ответами, комментариями и указаниями к решениям
задач мы приводим здесь данные «грубой» проверки работ, оформлен¬
ные в виде трех таблиц — отдельно по каждому классу. В таб¬
лицах под номером задачи указано, сколько участников решили задачу
полностью ( + ), решили задачу с незначительными погрешностями
(±), допустили грубые ошибки при верной идее решения (Т),
совсем не решили или не решали задачу (—). На основании указан¬
ных цифр жюри олимпиады оценило относительную сложность задач в
баллах, эта оценка и записана последней в колонке. При этом жюри
исходило из общей установки о том, что максимальная сумма
баллов за все 8 задач любого класса должна быть равна 60:
по 30 баллов в день.
VIII класс (табл. 1)
8.1. На олимпиаде более половины восьмиклассников так и не
смогли до конца понять условие задачи. Решение можно было провести
подсчетом общего числа встреч (в случае, если ни разу не встречались
3 мальчика, этих встреч было по меньшей мере С? = 21), а за¬
тем и общего числа подходов к киоску (для первой встречи нужно.
Таблица I
Номер
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
+
13
18
4
13
19
2
4
8
±
0
6
1
1
4
4
3
2
HF
4
8
4
23
10
14
19
12
—
31
16
39
11
15
28
22
26
Балл
7
6
10
7
6
8
8
8
чтобы подошли 2 мальчика, а для каждой следующей — еще по 1, т. е.
не менее 22 подходов в общей сложности, что превышает заданное в
условии число 3-7 = 21).
8.2. Ответ: нельзя. Если бы все бруски удалось разместить
в коробке, то они легли бы вплотную (во многих работах
отсутствовало объяснение этого почти очевидного факта, вытекающего
из сравнения объемов) и плотно замостили бы своими гранями
размером 3X3 или 3X1 грань коробки размером 7X11, что невоз¬
можно, ибо площадь последней не делится на 3.
Хотя задача оказалась самой легкой в VIII классе, она продемонстри¬
ровала, что школьники не очень-то умеют логически строго излагать
уже готовое, по существу, решение.
8.3. Для решения задачи достаточно, пользуясь равенствами
соответствующих отрезков касательных (рис. 1), получить соотношения
AM=AB+AC—BC—AN, ('AN—AM), QR= KL—PQ—RS,
AR=AC — LC — RS, MQ—AB—AM — BK — PQ,
а затем проверить равенство AM-\-QR—AR-\-MQ, гарантирующее,
что в выпуклый четырехугольник AMQR можно вписать окружность.
Задача оказалась одной из самых трудных в VIII классе.
Рис. 1 Рис. 2
4*
99
по-видимому, из-за слабого знакомства с указанной техникой в школь¬
ном курсе планиметрии.
8.4. Ответ: 1989. За эту задачу брались почти все, и многие
решали ее перебором, правда, не всегда аккуратным, сначала по
rf4= 10, 11, 12, 13 (впрочем, в этом месте лучше воспользоваться
соотношениями
dd,-1 =(di + + d$- db^ d'b- d» = N
и сразу же получить равенства d4= 13, £(5 = ^2+14, N = (d 2 +
-f-14)-da), а потом перебором no di — 2, 3, 5, 7, 11, в результате
которого обнаруживалась единственная возможность: d2 = 3, rf3 = 9 и
N — 9-13-17.
8.5. Задачу можно решать самыми разными способами, но наиболее
изящный, на наш взгляд, состоит в следующем. Занумеруем и столбцы
и строки доски числами 1, ..., 8, считая от белой угловой клетки.
Тогда каждая клетка доски получит по паре координат, сумма
которых либо четна, если клетка белая, либо нечетна, если клетка
черная. Сумма координат всех 8 клеток, на которых стоят фигуры,
равна четному числу 2(1 -f ... +8), поэтому среди них может быть
только четное число черных клеток.
8.6. Более половины участников не нашли ключевую идею
решения задачи — построение параллелограмма со сторонами
АВ\, АС| и вершиной Аг, принадлежащей отрезку ВС вследствие
расположения точек В\ и С\ (рис. 2). Далее оставалось заметить,
что точки А|, Вir Ci и Аг лежат на одной окружности, откуда
следует равенство углов <CA\B\Ci = АС. Более точно, здесь необходимо
было исследовать 3 случая, о которых так или иначе забыли абсо¬
лютно все участники:
а) изображенный на рис. 2 случай, когда точка А2 лежит
между А\ и С;
б) аналогичный случай, когда точка Аг лежит между Л| и В;
в) совпадение точек A i и Аг, возможное лишь, если А\,
В1, Ci — середины сторон треугольника АВС-.
8.7. Ответ: п = 3. Наиболее трудным местом в решении задачи
является, конечно, не проверка возможности описанной в условии
ситуации при п = 3, но доказательство ее невозможности при п> 3.
Пусть А\, ..., Аа — все скворечники. Через f(Ai) (i—\,...,n)
обозначим тот скворечник, в который перелетел скворец из скворечника
Л;. Тогда /(/(Л 1)) /(/(Л„)) — опять же все скворечники,
расположенные в том же порядке, что и исходные (ведь попарные
расстояния между этими скворечниками связаны уже не противополож¬
ными, а теми же неравенствами, что и между исходными). Следо¬
вательно, для каждого < имеем f{j(Ai}) = Ai, т. е. отображение f либо
оставляет скворечник Л, на месте, либо меняет его местами с каким-то
другим скворечником. Если теперь допустить, что скворечников не
меньше 4, то среди них обязательно найдутся 2 пары скворечников,
100
которые (пары) отображение f переводит в себя, сохраняя, таким
образом, 2 исходных попарных расстояния, а значит и неравенство
между ними, что противоречит условию задачи.
8.8. Участники предложили различные способы разбиения указанно¬
го множества на 2 группы, но не все они достаточно ясно описали
само это разбиение, не говоря уже о строгом доказательстве его
пригодности. Один из возможных способов таков: все 120 пятизначных
чисел разбиваются сначала на 24 «циклических» пятерки (вида
abcde, bcdea, cdeab, deabc, eabcd), которые разбиваются на пары
взаимно «обратных» пятерок (например, «обратной» к выписанной пя¬
терке будет пятерка edcba, aedcb, baedc, cbaed, dcbae), имею¬
щих, как показывает проверка, одинаковые суммы квадратов и образую¬
щих, будучи отнесенными к разным группам, требуемое разбиение
исходного множества.
IX
класс
(табл. 2)
Таблица 2
Номер
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
+
49
21
1
9
12
19
14
12
±
0
1
6
7
21
6
0
3
3
И
12
15
5
9
4
4
—
10
29
43
31
24
28
44
43
Балл
5
6
10
9
6
7
8
9
9.1. Задача
оказалась
самой
легкой
в IX
классе. Она
может
быть решена с помощью разбиения монет на 4 кучи по 500 штук и
сравнения их по весу друг с другом или в каких-либо комбинациях
в зависимости от результатов взвешивания.
9.2. Многие участники олимпиады в основном правильно исследо¬
вали или преобразовали выражение а2 + Ь2 + с2 + 4айс—1/2 при усло¬
вии a + b + c= 1 =2/7. F-сли привести его к виду —8р(р — а)(р — Ь){р — с)
и применить формулу Герона (что, впрочем, не обязательно —
вполне хватает неравенств треугольника), то знак выражения опреде¬
лится без труда.
9.3. Покажем лишь, как решается пункт б) этой самой трудной
задачи IX класса (школьники большей частью сосредоточили свои
усилия на пункте а), являющемся частным случаем пункта б) при
т — п и допускающем, естественно, более простое решение). Введем
обозначения:
а — $ВСО’ h=SACD< c — SaBD’ d—SABC’
101
т п с с с
а=== - » Р = тт: » S — ^ABCD> Р — ^АМВу Ч — ^ОКС*
т-\-п т-\- п
r—^AKMD< t = $KBCM
(рис. 3). Тогда, рассматривая различные треугольники с общими
основаниями или высотами и комбинируя из них нужные фигуры,
получаем равенства
p = ac + fid, q = aa + fib, r = ap-{-fic, t = aq + pd,
с aPP? с _ “PРЧ
0KLM — > ^KNM — —— •
В результате доказываемое неравенство
с _ “РРЯ „ „ “Р
Ькшн - — s < ar-aj-.7|
сводится, с учетом условия а + р=1, к проверке соотношения
a(ab -\-cd- ас)-\-$(Ь2 -\-bd-\- d2 — ad — 6е)> О,
которое, в свою очередь, вытекает из оценок
ab-\-cd — ас — bd — (a — d)(b — c) = (s — c — d)2~^ О,
ad + be — (a + c)(b Jf-d) — (ab-\-cd)<s2 — bd = b2-\-bd-\-d2.
9.4. Ответ: 1. Задача была признана лучшей в IX классе, и
решали ее практически все, правда, не все выработали верную гипотезу
относительно поставленного вопроса. Для решения задачи необходимо
было выполнить 2 действия:
а) составить квадрат 23X23 из квадратов 2X2 и 3X3 с
использованием ровно одного квадрата 1X1 (например, вырезав из
квадрата 23X23 центральный единичный квадратик, разрезать остав¬
шуюся часть на 4 прямоугольника 11X12, каждый из которых разбить
Рис. 3 Рис. 4
с
В
W/
я-4
А
—
Ю2
сначала на прямоугольники 2X12 и 9X12, а затем и на квадраты
2X2 и 3X3 соответственно);
б) доказать, что вообще без квадратов 1X1 обойтись нельзя.
Приведем здесь остроумное доказательство этого факта, придуман¬
ное одним из участников олимпиады. Занумеруем подряд строки
квадрата 23X23 и покрасим строки с номерами 1, 4, 7, ..., 22
белой краской, а остальные — черной. Тогда любой квадрат
2X2 или 3X3 будет содержать четное число черных клеток. Следо¬
вательно, только из таких квадратов составить квадрат 23X23
нельзя, ибо последний содержит нечетное число черных клеток.
9.5. Ответ: а) да; б) нет. Решения пункта а) на олимпиаде
обычно состояли в исследовании (не всегда безупречном) на ирра¬
циональность чисел вида
ап-\-Ьп= (1+?)ге+ (—7)"=m+fev (m, k, n6Z, л> 1, ft^=0)
при одном из значений y=±-J-2, ±-\/3 ... • Что же касается пункта б),
то в случае аЬфО (остальные случаи не всеми были отмечены,
хотя они намного проще) рациональность числа а + 6 выводилась из
рациональности чисел ап-\-Ьп при л>1 и тождеств
2а V = (а2 + 62)2 - (а4 + Ь4),
а2Ь\а + Ь) = (а3 + 63)(а2 + Ь2) - (а5 + ft5).
9.6. Доказательство основано на следующем утверждении: отрезок
[0; 1] числовой прямой в результате последовательного применения п
гомотетий с коэффициентом ft=l/2 относительно точек ои, аг, ..., а„ €
(; {0; lj переходит в один из 2" отрезков (имеющих длину kn и
заполняющих весь отрезок [0; 1]), а именно тот, у которого левый
конец имеет запись 0, а„ ... 0201 в двоичной системе счисления.
Если представить потолок в виде квадрата [0; 1] X[0; 1] на
координатной плоскости, то, пользуясь сформулированным утвержде¬
нием по отношению к проекциям этого квадрата на координатные
оси, можно с помощью п = 8 гомотетий относительно вершин квадрата
преобразовать его целиком вместе с содержащимся в нем пауком в
заранее намеченный квадратик с диагональю д/2 0,01, содержащий
муху.
9.7. , Школьники решали задачу разными методами, включая и
метод координат. По нашему мнению, «классический» подход здесь
более предпочтителен. Рассмотрим треугольник EFG, являющийся
результатом параллельного переноса треугольника ВСВ' на вектор
DC (рис. 4). Тогда при гомотетии с центром D и коэффициентом 2
середины отрезков ВС, В'С, A'D перейдут в точки Е, G, А', лежащие
на одной прямой, поскольку EA1.AD и ЛЛ£С=-^- Z.IEFG =
= — ЛАСА’ — /LAEA’ (последнее равенство следует из того, что точки
Е, А, А' лежат на одной окружности с центром С).
103
9.8. Искомый многоугольник М„(п £ N) можно составить из п
дощечек размером 2X1 так, как указано на рис. 5: сначала кладем
горизонтально одну дощечку (это, кстати, и есть фигура М\),
затем к правому верхнему углу получающейся фигуры прикладываем
очередные дощечки в виде паркета — попеременно то сверху, то
справа.
Теперь необходимо доказать (и это оказалось непросто для участ¬
ников олимпиады), что предложенный многоугольник М„ разрезается
на дощечки ровно а„ = п способами.
В самом деле, имеем равенства ai = 1 и a„+i =а„+1, поскольку
правый верхний угол многоугольника Мп+\ можно покрыть дощечкой
либо так, как укладывалась последняя дощечка при построении самого
многоугольника (это даст а„ способов разрезания оставшейся части
М„), лрбо подобно тому, как уложен левый нижний угол (еще ровно
один способ).
X класс (табл. 3)
Таблица 3
Номер
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
+
37
18
7
8
34
28
23
3
±
10
22
0
0
13
3
0
4
3
4
9
15
0
5
6
10
—
4
10
38
31
7
18
25
37
Балл
5
7
9
9
5
7
8
10
Рис. 5
Рис.
6
v
4
104
10.1. О т в е т: 7. Эту самую легкую задачу X класса школьники реша¬
ли, как правило, перебирая подряд значения л = 1,2,..., 7 и допуская
при этом разнообразные вычислительные ошибки (впрочем, некоторые
даже и не пытались как-либо обосновать непригодность значений
/г<7). Достаточно было заметить, что исходное уравнение равносиль¬
но двойному неравенству
10"-0,0005025 ... <*< 10"-0,0005027 ...,
имеющему целые решения х только при п J3 7.
10.2. Почти все решения участников олимпиады так или иначе своди¬
лись к рассуждению, что если О — центр описанной около тре¬
угольника ADF окружности (рис. 6), то /LDOF = 2/_А=л — ADEF
(многие не заметили, что для выполнения первого равенства угол
А должен быть острым, что вытекает уже из второго равенства,
которое устанавливается простым подсчетом углов), поэтому точки
О, D, Е, F лежат на одной окружности и Z.DEO = /LDFO —
= /LFDO— Z.FEO.
10.3. Задача по стереометрии оказалась скорее «психологически»
трудной для участников, половина которых так и не принималась
за нее всерьез. Некоторые же разобрали лишь частный случай плоского'
расположения отрезков АС и BD.
Достаточно было заметить, что диаметры сфер с концами В и
D имеют общий конец G, а середины этих диаметров проекти¬
руются как раз в середины хорд АЕ и СЕ (рис. 7), следовательно,
проекции точек В, G, D на прямую АС равноудалены от точек А, Е, С
соответственно.
10.4. Ответ: могут. Задача была признана участниками олим¬
пиады лучшей задачей X класса. Многие предложили правильный
принцип движения туристов, состоящий в том, что оба туриста не
должны менять направления своего движения по лома'йой все время,
пока это возможно (при условии их нахождения на одинаковой вы-
105
соте). Однако далеко не все смогли доказать, что предложенный
принцип приводит туристов к цели: забывались какие-то случаи располо¬
жения вершин ломаной, ошибочно предполагалось постоянное сбли¬
жение туристов до встречи. Доказательство того, что движение ту¬
ристов закончится в противоположных концах ломаной, основано на
следующих соображениях:
а) движение туристов однозначно определено и обратимо (т. е. если
обоих туристов отправить из какой-либо позиции назад, то они пройдут
в точности весь свой путь в обратном порядке);
б) ни один турист не вернется в свою начальную точку,
иначе одновременно с ним другой турист также вернется в свою на¬
чальную точку, а значит, в силу обратимости и однозначности дви¬
жения, где-то в середине пути оба туриста одновременно поменяют
направление своего движения, что невозможно;
в) движение туристов не может продолжаться бесконечно долго,
иначе однажды неизбежно повторятся их положения и направления
движения и поэтому обратное движение из этой повторившейся
позиции будет неоднозначным.
10.5. Ответ: 2. Самыми разными, порой весьма мудреными,
способами школьники приходили к оценке
(x + y)(y + z)=(x + y + z)y + xz = ^ + jcz>2,
из которой многие немедленно заключали, что искомое наименьшее
значение как раз и равно 2. Необходимо было проверить еще и до¬
стижимость полученной оценки при заданных условиях (для этого го¬
дится, например, набор x = z = 1, у=^/2— 1).
10.6. В некоторых работах указывались способы расстановки
стрелок лишь при дополнительных ограничениях на вид много¬
гранника (в действительности же утверждение задачи справедливо
для любого связного графа с четным числом ребер). Если расставить
для начала стрелки на ребрах произвольно, то можно шаг за шагом
уменьшать на 2 число нечетных вершин (т. е. вершин, в которые
входит нечетное число стрелок), меняя каждый раз направления
стрелок вдоль какого-либо маршрута, соединяющего две нечетные
вершины. Одна вершина в итоге остаться не сможет, так как общее
число стрелок, равное числу ребер, четно.
10.7. Ответ: указанной функции не существует. При доказатель¬
стве этого утверждения (от противного) часть школьников упростила
себе работу «незаметным» использованием данного в задаче равенства
также и при п= 1. Аккуратное доказательство может быть, например,
таким: среди значений предлагаемой функции при п^2 нашлось бы
наименьшее значение /(по), для которого выполнялись бы противоречи¬
вые соотношения
/Ы = К/(яо- 1 ))+/№„ + 1))^ I +f(no),
ибо Я«о+1)^/(по)^ 1 + 1=2.
106
10.8. При решении этой объективно самой трудной задачи X класса
многие безуспешно пытались доказать или принимали без доказатель¬
ства ложную гипотезу о том, что все медианы (указанные в задаче
отрезки) пересекаются в одной точке.
Для решения достаточно рассмотреть все медианы и заметить,
что каждые две «соседние» медианы AD и ВС, пересекаясь, образуют
бабочку ABCD, т. е. фигуру, составленную из треугольников АОВ и
COD с углом а при общей вершине О (рис. 8). Из равенства
площадей SA0B = SC0D выводится оценка
„ AD-ВС sin а а
*ABCD < 4 < -f ■
Если теперь двигаться по границе многоугольника в фиксирован¬
ном направлении от конца А медианы AD до другого ее конца
D, то, во-первых, будут перебраны все бабочки, во-вторых, их
общая площадь будет меньше я/4 и, в-третьих, эти бабочки
«заметут» любую точку М многоугольника (последнее не совсем
простое утверждение можно доказать, придав корректный смысл
словам: точка М находится по разные стороны от лучей AD и DA,
поэтому найдутся «соседние» медианы FG и ЕН, такие, что точка М
также находится по разные стороны от лучей FG и ЕН, т. е. в бабочке
EFGH, изображенной на рис. 8).
По итогам олимпиады жюри присудило в VIII классе 3 первых,
9 вторых и 9 третьих премий, в IX классе — 4 первых, 10 вторых и
11 третьих премий, в X классе — 2 первых, 11 вторых и
7 третьих премий. Ряд участников был награжден грамотами и
специальными призами. Приводим список победителей XXIII Всесоюз¬
ной математической олимпиады.
Первая премия
VIII к л а с с: А. Амбайнис (Даугавпилс ЛатвССР), Г. Андерсонс
(Рига), Е. Малинникова (Ленинград); IX класс: Б. Дубров
(Минск), Р. Симановскис (Рига), Ю. Смотровс (Рига), И. Соловьев
(Черноголовка Московской обл.); X класс: Д. Иванов (Москва),
М. Рагинская (Ленинград).
Вторая премия
VIII класс: О. Балашов (Ленинград), М. Гриншпон (Томск),
А. Днестранский (Рязань), А. Козачко (Винница), Д. Комаров
(Саранск), А. Перлин (Ленинград), О. Рябичева (Киров), Ю. Хорошилов
(Челябинск), М. Янсон (Сигулда Рижского р-на); IX класс:
Г. Абрамов (Ленинград), И. Аржанцев (Киев), В. Барановский
(Омск), А. Бачурин (ФМШ при МГУ), Р. Вердиньш (Рига), А. Горо¬
децкий (ФМШ при МГУ), А. Милтузис (Екабпилс ЛатвССР), О. Пи-
107
хурко (Нестеров УССР), М. Разин (Запорожье), А. Стояновский
(Москва); X класс: Н. Адрианов (ФМШ при МГУ), А. Виро
(Ленинград), М. Всемирное (ФМШ при ЛГУ), С. Иванов (Ленинград),
Р. Ли (ФМШ при НГУ), В. Процак (ФМШ при КГУ), М. Скворцов
(Черноголовка), А. Скопенков (ФМШ при МГУ), Г. Тервит (Рига),
М. Хасидовский (Ташкент), А.,Шумакович (Ленинград).
Учащиеся VIII и IX классов, победившие на олимпиаде, полу¬
чили право участвовать в заключительном этапе следующей Все¬
союзной олимпиады, а учащиеся X класса — поступать в вузы
страны без вступительных экзаменов (по согласованию с ректором
вуза).
Жюри рекомендовало в качестве кандидатов в сборную команду
СССР для участия в Международной математической олимпиаде
1990 г. девятиклассников, получивших I и II премии, и восьмикласс¬
ников, получивших I премию.
На олимпиаде устраивались и неофициальные мероприятия. Про¬
водилась встреча с редколлегией журнала «Квант», состоялся «мате¬
матический бой» между командами школьников и жюри. Впервые был
проведен компьютерный тур, в котором участвовали все пожелавшие
школьники (подробная информация об этом публикуется в «Кванте»),
Программа олимпиады, составленная республиканским оргкомите¬
том под председательством первого заместителя министра народного
образования Латвийской ССР Б. А. Кубулиня, была интересна и
содержательна. Состоялись экскурсии по Риге, в Юрмалу, на агрофирму
«Адажи», в Этнографический музей, в Елгаву, Бауску, Рундальский
замок и др.
В целом олимпиада прошла организованно и интересно, чему нема¬
ло способствовала высокая квалификация ее устроителей из Латвии.
Поворот и центральная симметрия
В. Г. Болтянский (Москва)
В морозный день хорошо видны изящные шестиугольные узоры
снежинок (рис. 1). Красота узора математически выражается его
симметричностью. Он имеет 6 осей симметрии и, кроме того, обладает по¬
воротной симметрией шестого порядка: совмещается с самим собой
при повороте вокруг центра на углы 60°-k (&=1, 2... 6).
Симметричность творений природы* имеет большое влияние и
на художественное творчество человека. Орнаменты, которыми издавна
* Интересные примеры творений природы, обладающих поворотной
симметрией, приведены в книге Г. Вейля «Симметрия» (М.: Наука.
1968).
108
ШЫ(
Рис. 1
украшаются архитектурные сооружения, как правило, имеют сим¬
метричные части, Самосовмещения изображений (симметрии, пово¬
роты, параллельные переносы) играют важную роль в творчестве
дизайнеров, придающих техническим констркуциям современную краси¬
вую форму.
Вообще, самосовмещением фигуры называется такое движение, при
котором эта фигура переходит в себя («совмещается» с собой).
Окружность совмещается с собой при повороте вокруг центра на лю¬
бой угол. А правильный n-угольник обладает поворотной симметрией
п-го порядка: он совмещается с собой при повороте на
(fe=l, 2 ... п).
п
Понятие движения — одно из основных в геометрии. Оно
позволяет по-иному взглянуть на школьный курс, с новой точки
зрения осмыслить теоремы и задачи, с которыми мы встречаемся
на уроках геометрии. Евклид определял равные фигуры как такие,
которые могут быть «совмещены» друг с другом. Под этим он понимал
перемещение фигуры как твердого целого — то, что мы теперь называ¬
ем движением. Например, доказывая признаки равенства треугольни¬
ков, Евклид говорил: «Наложим один треугольник на другой так,
чтобы...» Но поскольку свойства «наложений» (т. е. движений) не бы¬
ли им четко сформулированы, это предложение является лишь обра¬
щением к нашим опытным представлениям, а не математическим
доказательством.
Наиболее последовательно идея о связи понятия равенства фи¬
гур с движениями (и вообще о роли движений в геометрии) бы¬
ла высказана выдающимся немецким математиком Феликсом Клей¬
ном. В своей речи при вступлении на должность профессора
кафедры геометрии в университете города Эрланген (1872) он
призывал переосмыслить геометрию на основе рассмотрения групп
движений. Эта точка зрения (называемая теперь эрлангенской про¬
граммой) очень важна p. геометрии. Из советских математиков
большую роль придавали движениям (и внесли большой вклад в
приближение этого материала к школьному преподаванию) ака¬
109
демик А. Н. Колмогоров, профессора В. Ф. Каган, И. М. Яглом и
другие ученые.
Целью обучения математике является не заучивание отдель¬
ных теорем и формул (их можно найти в справочниках), а
овладение общими математическими методами, применяемыми при
решении жизненных и производственных задач. Доказательство каж¬
дой отдельной теоремы (или решение конкретной задачи) являет¬
ся результатом применения общих математических методов. Разу¬
меется, это не означает, что изучение теорем и решение задач яв¬
ляются ненужным занятием — ведь значение общих методов и
умение их применять раскрываются через теоремы и задачи.
Знание свойств движений и других геометрических преобразо¬
ваний, умение применять их к доказательству теорем и решению
задач — важный элемент математической культуры, может быть, самый
важный метод (наряду с умением применять векторный аппарат и
логически мыслить), который должны вынести учащиеся из школь¬
ного курса геометрии.
Одним из видов движений является поворот. Наглядное пред¬
ставление о повороте можно получить следующим образом. Возь¬
мем лист бумаги с изображенной на нем фигурой F, наложим
сверху кальку и обведем на ней фигуру F. Теперь закрепим
кальку булавкой в некоторой точке О и повернем (рис. 2). Фи¬
гура Ft, изображенная на повернутом листе кальки,— образ фи¬
гуры F при этом повороте.
Рис. 3 Рис. 4
/
110
Задача 1. Построить отрезок, являющийся образом отрезка
АВ при повороте вокруг точки О на угол —70°.
Решение. Проведем луч О А и построим луч I, получающий¬
ся из луча ОА поворотом на угол —70° (напомним, что на¬
правление поворота против часовой стрелки считается положитель¬
ным, а по часовой стрелке — отрицательным). На луче I построим
такую точку At, что ОА\ = ОА (рис. 3). Точка А\ — образ
точки А при рассматриваемом повороте. Аналогично построим
точку В1 — образ точки В при этом повороте. Отрезок с концевы¬
ми точками А|, В\ и является образом отрезка АВ.
Рассмотренная задача показывает, что для построения об¬
раза фигуры F при некотором повороте достаточно найти обра¬
зы «характерных точек» этой фигуры. В случае отрезка такими
характерными точками являются его концы. Для ломаной (или мно¬
гоугольника) характерными точками являются вершины. А чтобы най¬
ти образ окружности, надо построить образ ее центра и прове¬
сти окружность того же радиуса.
С помощью поворота можно решать многие геометрические за¬
дачи на доказательство и на построение. Рассмотрим несколько
таких задач.
Задача 2. На сторонах треугольника ABC построены вне его
равносторонние треугольники АВР, АСН, ВСМ (рис. 4). Доказать,
что отрезки AM, ВН, СР равны.
Решение. При повороте на 60° вокруг точки А имеем:
И —>С, В->-Р. Следовательно, отрезок НВ переходит в отрезок
СР, и потому ВН—СР. Аналогично, при повороте на 60° вокруг
точки В получаем: С-*-М, Р-*-А, и потому отрезок СР переходит в отре¬
зок МА. Следовательно, СР=АМ. Таким образом, ЛМ—ВН=СР.
Впрочем, эту задачу можно было бы решать и иначе:
треугольники ВАН и РАС равны (по первому признаку) и точно
так же равны треугольники РВС и АВМ.
Задача 3. Даны две окружности т, п и точка О.
Найти на этих окружностях такие точки А, В, что отрезки
О А, О В равны и составляют между собой угол 50°.
Р е ш е н и е. На рис. 5 показано, как выглядит ответ. Из этого рисун¬
ка видно, что точка В получается из А поворотом на 50° вокруг
точки О. Так как точка А лежит на окружности ш, то точка В
лежит на окружности т', получающейся из m поворотом на 50°.
Но точка В лежит также и на окружности п. Значит, В —
точка пересечения окружностей т' и п.
Проведенное рассуждение делает понятным решение задачи
Построим окружность ш', получающуюся из m поворотом на
50° вокруг точки О. Для этого нужно построить точку Q', по
лучающуюся из центра Q окружности m поворотом на 50°, и
провести окружность того же радиуса с центром Q’. Затем обо
значаем через В точку пересечения окружностей л' и л, а через
til
А — точку, образом которой при этом повороте является В.
Точки А и В — искомые.
Поворот можно осуществлять либо на 50°, либо на —50 , по¬
этому задача может иметь до четырех решений.
Задача 4. Внутри прямого угла дана точка А. Построить
равносторонний треугольник ABC, вершины В и С которого ле¬
жат на сторонах этого угла (рис. 6).
Решение. При повороте на 60° вокруг точки А точка В пере¬
ходит в точку С. Следовательно, прямая d, являющаяся образом
прямой ОМ при этом повороте, содержит образ точки В, т. е. содер¬
жит точку С. Из этого вытекает, что С есть точка пересече¬
ния прямых ОМ и d. Так как прямую d можно построить
(например, взяв образы двух точек прямой ОМ), то это позволяет най¬
ти точку С, а затем построить и искомый треугольник ABC.
Задача 5. Даны окружность S с центром О и точка А. Про¬
вести в окружности хорду MN данной длины так, чтобы из точки
А она была видна под углом 40°.
Решение. Отбросим на время требование о том, чтобы хор¬
да MN была видна из точки А под углом 40°, и построим ка¬
кую-нибудь хорду НК, имеющую требуемую длину. Далее пост¬
роим какую-нибудь точку Т, из которой хорда НК видна под углом
40° (рис. 7). Окружность, описанная вокруг треугольника НКТ, обла¬
дает тем свойством, что из любой точки дуги НК (содержащей
точку Т) хорда НК видна под углом 40°. Обозначим эту дугу
(вычерченную на рис. 7 жирно) через а. Говорят, что дуга а
«вмещает» угол 40°. Теперь ясно, что нужно повернуть эту дугу
а вокруг точки О на такой угол, чтобы повернутая дуга прошла че¬
рез точку А.
Для того чтобы определить, на какой угол нужно осу¬
ществить поворот, проведем окружность q с центром О, проходя¬
щую через точку А, и обозначим через В точку пересечения
этой окружности с дугой а (рис. 8). При повороте ьокруг точки
112
Рис. 7 Рис. 8
О на угол а =АВОА дуга а перейдет в дугу at, проходящую
через точку А, а хорда НК перейдет в искомую хорду MN,
которая видна из точки А под углом 40°. На рис. 8 окруж¬
ность q пересекает дугу а в двух точках В, В', и потому задача
имеет два решения. Однако можно длину требуемой хорды и рас¬
положение точки А выбрать таким образом, чтобы задача имела
4 решения.
Поворот вокруг точки О на 180° называют центральной сим¬
метрией, или, более подробно, симметрией относительно центра
О. При этом движении каждый луч с началом О переходит в
противоположный ему луч. Если А — произвольная точка, отличная
от О, а А\ — ее образ при симметрии относительно центра О, то точка
О является серединой отрезка АА\. Это позволяет легко постро¬
ить точку А\, симметричную точке А относительно центра О.
Если фигура F обладает поворотной симметрией второго порядка,
т. е. при симметрии относительно некоторой точки О фигура
F отображается на себя, то эта фигура называется центрально¬
симметричной, а точка О — ее центром симметрии.
Применение движений (в частности, центральной симметрии) к
установлению геометрических фактов и решению задач связывают с
именем Фалеса (V в. до н. э.), уроженца города Милета. Собст¬
венно говоря, Фалес не был профессиональным математиком. Он был
купцом, разъезжал на своем корабле: по Средиземному морю и
торговал различными товарами. А в свободное время занимался ма¬
тематикой, которую очень любил. И вот этот любитель математики сделал
величайшее открытие: он обнаружил, что многие геометрические
закономерности можно получать не опытной проверкой, а с по¬
113
мощью рассуждения, вывода («дедукции»). Фалес применял перегиба¬
ние и поворот чертежа, т. е. то, что мы сейчас называем движе¬
ниями. Согласно преданию, с помощью центральной симметрии
(т. е. поворота чертежа на развернутый угол) Фалес обосновал равен¬
ство вертикальных углов, а также тот факт, что вписанный угол,
опирающийся на диаметр,— прямой. Родоначальник геометрических
доказательств, Фалес установил и ряд других теорем.
Напомним, что две прямые в том и только в том случае
параллельны, если они симметричны относительно некоторой точки.
Далее, четырехугольник в том и только в том случае является
параллелограммом, если точка пересечения диагоналей является его
центром симметрии (т. е. если он обладает поворотной симметрией
второго порядка).
А теперь рассмотрим примеры применения центральной симмет¬
рии к решению задач.
Задача 6. На сторонах параллелограмма ABCD построены вне
его равносторонние треугольники ABM, BCN, CDP, ADQ. Доказать,
что MNPQ — параллелограмм.
Решение. Обозначим через О центр симметрии параллело¬
грамма ABCD (рис. 9). Так как отрезки АВ и CD симметричны
относительно точки О, то треугольники АВМ и CDP симметричны отно¬
сительно этой точки. Следовательно, точки М и Р симметричны
относительно О, т. е. О — середина отрезка МР. Аналогично,
О — середина отрезка ;VQ. Из этого и вытекает, что MNPQ —
параллелограмм.
Задача 7. Через, данную точку О провести прямую, отрезок
которой между данной прямой d и данной окружностью р делился
бы в точке О пополам.
Решение. На рис. 10 показан ответ. Точка М получается
из N симметрией относительно точки О (поскольку О — середина
Рис. 9 Рис. 10
М S — у
А \
\ч/\ /
( \ /
«т—
/ /МАЛ
У
3
И4
Л V7
\ о \
\ т 1
\\ | у
|
Л!
V
Л
1 1 ' \
1 U
1 Q, )
отрезка MN ). Так как М € р, то точка N принадлежит окружности
pi, получающейся из р симметрией относительно точки О (рис. 11).
Следовательно, N — точка пересечения окружности рi и прямой d.
Проведенное рассуждение делает понятным решение задачи.
Построим окружность р 1, получающуюся из р симметрией относи¬
тельно точки О, и обозначим через N точку пересечения окруж¬
ности pi и прямой d. Через М обозначим точку, образом кото¬
рой при этой симметрии является N. Тогда прямая MN — искомая.
Так как пересечение р\ с d может состоять из двух точек,
то задача может иметь два решения.
Задача 8. В окружности проведены непересекающиеся хорды
АВ и МК- На хорде АВ задана точка О. Найти на окружно¬
сти такую точку Р, что угол МРК высекает на хорде А В отрезок, имею¬
щий точку О своей серединой.
Решение. Обозначим искомый отрезок, высекаемый на хорде
АВ, через НТ (рис. 12). Точки И и Т симметричны относительно
О. Следовательно, точка Т лежит на отрезке NQ (рис. 13),
являющемся образом отрезка МР при симметрии относительно О. Точку
N можно считать известной — это образ точки М при симметрии от¬
носительно О. Далее, угол PTN также известен (он равен вписанному
углу МРК, опирающемуся на дугу МК). Обозначим его через а.
Тогда угол NT К равен 180° — а. Итак, точка Т обладает тем
свойством, что /.NTK= 180° — а. Значит, построив дугу а с концами
N, К, вмещающую угол 180°—а (она изображена жирно ка рис. 13),
115
мы найдем, что Т есть точка пересечения прямой АВ с дугой а. Это
позволяет построить точку Т, а затем Р.
Просматривая приведенные выше задачи, нетрудно убедиться, что,
как правило, условие задачи подсказывает, какое преобразование
(центральную симметрию или поворот на тот или иной угол) надо
применить для ее решения. Так, в задаче 3 (рис. 5) соотношения
ОА = ОВ и /LAOB = 50° ясно указывают, что целесообразно приме¬
нить поворот на 50° вокруг точки О, а в задаче 4 (рис. 6) из соот¬
ношений АВ—АС и /.ВАС — 60° сразу видно, что разумно применить
поворот на 60° вокруг точки А. В задаче 7 (рис.-10) нам в начале
решения неизвестно ничего, кроме того, что О — середина отрезка MN.
Это делает естественным применение центральной симметрии. То же
можно сказать о задаче 8.
Заметим еще, что если (на стадии анализа) уже сделан чертеж,
схематически показывающий, что должно получиться в результате ре¬
шения задачи на построение, и если решающий сделал вывод о том,
какое геометрическое преобразование ему целесообразно применить для
нахождения пути решения, то вовсе не следует весь чертеж подвергать
этому преобразованию. Достаточно применить преобразование лишь
к части чертежа. Так, рис. 11 получается, если центральная симметрия
применена не ко всему первоначальному чертежу (рис. 10), а лишь
к окружности р (прямая d симметрии не подвергается). Аналогичную
картину можно наблюдать и при решении задач 3, 4, 5, 8.
Указанные соображения помогут легче находить пути решения
в предлагаемых ниже упражнениях. Материал статьи может быть ис¬
пользован учителем на внеклассных (кружковых или факультативных)
занятиях.
Упражнения
1. Отметьте две точки О и А. Осуществите поворот точки А вокруг
точки О на угол: а) 30°; б) —80°.
2. Начертите отрезок MN и отметьте точку О, не принадлежащую
прямой MN. Выполните поворот отрезка MN вокруг точки О на
угол 60°.
3. Начертите ломаную ABCD и отметьте точку О, не принадле¬
жащую этой ломаной. Выполните поворот ломаной ABCD вокруг точ¬
ки О на угол —110°.
4. Отметьте две точки О, Q и начертите окружность с центром О.
Выполните поворот этой окружности вокруг точки Q на угол 70°.
5. На рис. 14 углы 1 и 2 прямые, /LMON — a, OM = ON. Докажите,
что прямая п получается из прямой m повортом на угол а.
6. Отрезок A iBi получается из отрезка АВ поворотом вокруг точ¬
ки О на угол а. Докажите, что АОАВ= &ОА\В\. Выведите отсюда,
что АВ = А\В\ (т. е. поворот является движением).
7. Отрезок А\В\ — образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О
на угол а; М-—точка пересечения отрезков АВ и А\В\. Докажите,
116
Рис. 13 Рис. 14
что: a) AAMAi = Z.BMBi = |a|; б) точки М, О, А, А\ лежат на одной
окружности; в) точки М, О, В, В\ лежат на одной окружности.
8. Начертите две окружности, пересекающиеся в точке А. Прове¬
дите в них равные хорды АВ\ и АВг, составляющие угол а.
9. Через точку А, данную внутри окружности, проведите хорду,
вдвое меньшую своего расстояния от центра.
10. Даны три параллельные прямые. Постройте равносторонний
треугольник с вершинами на этих прямых.
11. Даны три концентрические окружности. Постройте равносторон¬
ний треугольник с вершинами на этих окружностях.
12. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник с вер¬
шиной прямого угла в заданной точке А, у которого вершины острых
уголов лежат: одна на данной прямой, а другая — на данной окруж¬
ности.
13. В данную окружность впишите прямоугольный треугольник,
зная его острый угол и точку А, через которую- проходит один из
катетов.
14. Около данной окружности опишите равносторонний треуголь¬
ник, одна из сторон которого проходит через данную точку А.
15. Через данную точку проведите прямую, отрезок которой между
данными концентрическими окружностями виден из центра под данным
углом.
16. В данной окружности проведите хорду данной длины так, чтобы
данная прямая отсекала от нее третью часть.
17. Через данную точку А проведите окружность данного радиуса г,
которая пересекает данную окружность S по хорде, имеющей задан¬
ную длину Ь.
18. Даны окружность и две точки А, В. Постройте такую каса¬
тельную t к этой окружности, что если через А провести прямую,
117
параллельную t, а через точки Л и В — прямые, перпендикулярные /,
то при пересечении этих прямых образуется квадрат.
19. Даны точки Л, В, С и прямые а, Ь, проходящие соответ¬
ственно через точки Л, В. Постройте на прямых а, Ь такие точки X, Y,
что AX = BY, а отрезок XY виден из точки С под данным углом.
20. Даны окружность S и две точки Л, В. Постройте в окруж¬
ности S такую хорду MN заданной длины, что прямые AM и BN:
а) параллельны; б) образуют заданный угол.
21. На сторонах треугольника ЛВС построены вне его квадра¬
ты ABMN, BCPQ. Докажите, что: а) отрезки AQ и СМ равны и перпен¬
дикулярны; б) при повороте на 90° вокруг центра квадрата ABMN
отрезок ВС переходит в отрезок МТ, равный и параллельный отрез¬
ку BQ; в) отрезок MQ перпендикулярен медиане ВК треугольника ЛВС
и вдвое длиннее ее.
22. Внутри квадрата ABCD взята точка Р. Проведены перпендику¬
ляры: из вершины Л — к прямой ВР, из вершины В — к СР, из С —
к DP, из D — к АР. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или
их продолжения) пересекаются в одной точке.
23. Внутри отрезка АЕ взята точка С и построены (по одну сторону
прямой АВ) равносторонние треугольники ЛВС и CDE; точки М и Р —
середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник СРМ —
равносторонний.
24. Внутри отрезка АВ взята точка С и построены (по одну сторону
прямой АВ) квадраты ACMN и CBPQ-, точки К и L — середины отрез¬
ков AQ и ВМ. Докажите, что CKL — равнобедренный прямоугольный
треугольник.
25. На сторонах остроугольного треугольника ЛВС вне его построе¬
ны равносторонние треугольники АВР, АСН, ВСМ. Докажите, что от¬
резки AM, ВН, СР пересекаются в одной точке, из которой стороны
треугольника видны под углом 120°.
26. Отметьте точки О, Л, В, не лежащие на одной прямой. По¬
стройте образы точек Л и В при симметрии относительно центра О.
Постройте образ отрезка АВ.
27. Начертите треугольник ЛВС и отметьте точку О вне его. По¬
стройте образ этого треугольника при симметрии относительно точки О.
28. Начертите окружность 5 и возьмите точку О вне ее. Постройте
образ окружности S при симметрии относительно точки О.
29. Докажите, что если ABCD и AB\CD\ — параллелограммы,
имеющие общую диагональ АС, причем точки В, Вi, D, D\ не лежат
на одной прямой, то BB\DDi — параллелограмм.
30. Докажите, что если два равных отрезка параллельны, то су¬
ществует точка О, относительно которой они симметричны.
31. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма прове¬
дены две прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со
сторонами параллелограмма являются вершинами нового паралле¬
лограмма.
118
32. Докажите, что в параллелограмме ABCD вершины А и С на¬
ходятся на одинаковом расстоянии от прямой BD.
33. Через точку пересечения двух окружностей проведите секущую,
определяющую в этих окружностях равные хорды.
34. Через данную точку А проведите прямую, часть которой между
двумя данными окружностями делилась бы в точке А пополам.
35. Постройте параллелограмм, две противоположные вершины
которого находятся в данных точках, третья — на данной окружности,
четвертая — на данной прямой.
36. Даны две концентричные окружности и точка А на меньшей
из них. Проведите в большей окружности хорду, проходящую через
точку А, так, чтобы эта хорда делилась окружностями на три равные
части.
37. Постройте параллелограмм ABCD, центром которого является
данная точка О, а вершины А, В, С, D лежат на данных прямых а, Ь, с, d.
38. Даны две точки А, В и окружность. Проведите через А и В
две параллельные прямые, которые при пересечении с окружностью
образуют равные хорды.
39. Постройте треугольник ABC, зная длину медианы ВМ и радиусы
окружностей, описанных около треугольников АВМ и СВМ.
40. Постройте треугольник ЛВС, зная длины стороны АВ, медиа¬
ны AM и высоты ВН.
41. Постройте треугольник ABC, зная длины стороны АВ, медиа¬
ны AM и высоты СН.
42. В треугольнике ЛВС проведены медианы АК и СЕ. Докажите,
что если /_САК= ААСЕ — 30°, то треугольник ЛВС равносторонний.
43. В треугольнике ЛВС проведены медианы АК и СЕ. Докажите,
что если Z.BAK— АВСЕ=30°, то треугольник ЛВС равносторонний.
44. В выпуклом многоугольнике для каждой стороны имеется рав¬
ная и параллельная ей сторона. Докажите, что этот многоугольник
имеет центр симметрии.
45. Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разрезать
на параллелограммы, то этот многоугольник имеет центр симметрии.
46. Две равные окружности касаются в точке Л. Окружность вдвое
большего радиуса содержит одну из них, касаясь ее в точке В, а другую
пересекает в точках Р и Q. Докажите, что одна из точек Р, Q лежит
на прямой АВ.
47. На сторонах параллелограмма взяты такие четыре точки (по од¬
ной на каждой стороне), которые также являются вершинами парал¬
лелограмма. Докажите, что оба параллелограмма имеют общий
центр.
48. Докажите, что выпуклый шестиугольник ABCDEF с попарно
параллельными сторонами в том и только в том случае является
центрально-симметричным, если треугольник, образованный прямы¬
ми АВ, CD, EF, и треугольник, образованный прямыми ВС, DE, ГА,
имеют одинаковую площадь.
m
49. Внутри треугольника ABC взята точка О. Докажите, что
не существует четырех прямых, проходящих через О, для каждой
из которых отрезок, высекаемый треугольником, делится точкой О по¬
полам.
50. Внутри выпуклого п-угольника с попарно непараллельными
сторонами взята точка О. Докажите, что не существует л + 1 прямых,
проходящих через О, каждая из которых делит площадь многоуголь¬
ника пополам.
Проекции точки
на две стороны треугольника,
когда она движется по третьей
М. А. Кушнир (Киев)
Развитию интереса учащихся, углублению их знаний могут служить
задачи, объединенные общей тематикой.
К одной из таких тем мы относим анализ свойств отрезка, концы
которого совпадают с проекциями точки на две стороны треугольника,
когда эта точка движется по третьей его стороне. Свойства указан¬
ного отрезка описаны в виде задач, которые могут быть использованы
как на уроке, так и во внеклассной работе. Большинство предложенных
задач имеют как необходимое, так и достаточное условия. Но мы
будем иногда доказывать только одно из них (или необходимость,
или достаточность), если доказательство второго условия отличается
только логической схемой и не требует привлечения новых фактов.
Из опыта работы с такими задачами можно заключить, что они
способствуют развитию как исследовательских, так и продуктивных
качеств учащихся. Большинство задач составлены автором, а также
членами математического кружка школы № 206 г. Киева. Авторская
задача № 16 была использована в задаче, предложенной от СССР
и принятой на Международной олимпиаде на Кубе в 1987 г.
(см.: Квант. 1987. № 12).
Предварительно введем ряд постоянных для данной статьи обо¬
значений. Будем рассматривать треугольник ABC (остроугольный или
прямоугольный) и точку X, принадлежащую стороне ВС. Точки М
и N — проекции точки X на стороны АС и А В соответственно,
т. е. ХМ А. AC, XNA.AB. В предлагаемых задачах описываются свой¬
ства отрезка MN. Они зависят от расположения точки X на отрезке ВС,
чем и определяется разделение задач на различные группы. В задачах I
группы (№ 1—5) положение точки X на отрезке ВС произвольно.
Во II группе (№ 6—8) рассматриваются случаи совпадения точки X
с серединой М\ отрезка ВС. В 111 группе (№ 9—13) описаны случаи
совпадения точки X с основанием Н высоты треугольника, проведен¬
ий
ной к стороне ВС. И наконец, задачи IV группы (№ 14—16) касаются
совпадений точек X и L, где L — пересечение биссектрисы угла ВАС и
стороны ВС.
Задача 1. Доказать, htoMN^AX.
Доказательство. По условию, ХМА-АС, XNЛ.АВ. Тогда вокруг
четырехугольника AMXN можно описать окружность (рнс. 1). Обозна¬
чим радиус описанной окружности через R. Ясно, что AX — 2R. Из
треугольника AMN по теореме синусов имеем MN = 2R-sin /.ВАС.
Поскольку sin /-ВАС< 1, заключаем, что MN^AX. Если /-ВАС = 90°,
то MN = AX. (Заметим, что эту задачу можно доказать, сравнивая
хорду MN и диаметр АХ.)
Задача 2. Доказать, что наименьшим отрезок MN будет в
том и только в том случае, когда точка X совпадет с точкой Н.
Докажем необходимость, В соотношении (1) значение sin /-ВАС
постоянно для данного треугольника. Значит, длина отрезка MN за¬
висит от длины отрезка АХ, которая будет наименьшей, когда АХ Л. ВС.
Задача 3. Треугольник ABC равнобедренный (АВ=АС) тогда
и только тогда, когда длина отрезка XM + XN равна длине высоты,
треугольника ABC, опущенной на сторону АВ или АС.
Докажем необходимость. Пусть АВ=АС = Ь. Обозначим ВХ = т,
СХ — п, /-АВС= /,АСВ = а.\ обозначим через Ль длину высоты тре¬
угольника, проведенной из вершины В. Тогда XM = nsina, XN =
= т sin а. Далее,
ХМ +XN = n sin a + т sin a = (n + m) sin a = a sin a = Л».
Докажем достаточность. Обозначим через S, SABX, SACX площади
треугольников ABC, АВХ и АСХ. Пусть ХМ -\-XN = Нь- Очевидно, что
^авх “Ь = ^АВС' Тогда b-XM+c.XN = b.hb. Но XM — ht> — XN,
значит, b (hb — XN)-\-c-XN = b-ht, или b'XN = c-XN, т. е. b = c.
Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC отрезок MN
Рис. 1 Рис. 2.
Отсюда
Mtf = yWsin /-ВАС.
(1)
А
С
о
121
параллелен стороне ВС тогда и только тогда, когда точка X есть
пересечение отрезка ВС с диаметром AD окружности, описанной около
треугольника ABC.
Докажем достаточность. Пусть точка X принадлежит AD — диа¬
метру окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 2). Впи¬
санные углы DCB и DAB равны как опирающиеся на одну и ту же
дугу. По условию, /. DC А =90°. Из условия следует также, что
/.ХМА = /.XNA =90°. Опишем окружность вокруг четырехугольника
XMAN. Углы XMN и XAN равны как опирающиеся на одну и ту же
дугу. Получаем: ANMA = 90°—/.XMN, /.ВСА = 90°—Z.DCB, или
/.ВСА=90°—/.DAB=90°— /.XMN. Следовательно, /LBCA =
= /.NMA, т. e. отрезки MN и ВС параллельны.
Докажем необходимость. Пусть MN\\BC. Опишем около треуголь¬
ника ABC окружность с центром О. Продолжим отрезок АХ до пере¬
сечения с описанной окружностью в точке D. Треугольники AMN и
ABC гомотетичны. В гомотетичных окружностях, описанных около
этих треугольников, отрезки АХ и AD — Диаметры, а значит, центр
окружности, описанной около треугольника ABC, принадлежит отрез¬
ку АХ.
Задача 5. Площадь S остроугольного треугольника ABC вы¬
числяется по формуле
S = 0,5MN-AF, (2)
где AF — хорда окружности, описанной около треугольника ABC,
причем отрезки AF и MN перпендикулярны.
Доказательство. Докажем сначала подобие треугольников САХ
и FAB (рис. 3). Прежде всего заметим, что /.ХСА = /.BFA. Чтобы
найти еще одну пару равных углов, опишем около четырехугольника
ANXM окружность. Углы МАХ и MNX равны как вписанные, опираю¬
щиеся на одну дугу, a /.FAB= /.MNX — как углы с взаимно пер¬
пендикулярными сторонами. Значит, подобие треугольников доказано.
Из подобия следует, что АВ -АС=АХ ■ AF, или 0,ЪАВ-/IC-sin /.ВАС —
= 0,5/4A'-^4F-sin /.ВАС. По формуле (1) АХ sin /.BAC — MN, значит
S*=0,5MN-AF.
Задача 6. Из всех треугольников XMN наибольшую площадь
имеет тот, у которого точка X совпадает с серединой стороны ВС.
Доказательство. Обозначим Sx — площадь треугольника XMN,
ВХ=х, ХС = а — х (а — длина стороны ВС). Тогда
S*=(),5;0M..YW sin (180°— /.ВАС) =
= 0,5х(а— х) sin /.ВАС-sin /АСВ-sin /.ABC.
Поскольку х + (а — х) = а, то наибольшая площадь будет при х — а — х,
т. е. при je = 0,5a. Обозначим найденную площадь через Q.
Задача 7. Доказать, что если точка X совпадает с серединой
отрезка ВС точкой Af,, то площадь Q треугольника M\MN вычис¬
ляется по формуле
Q = 0,25 sin2 /.ВАС-S, (3)
где S — площадь треугольника ABC.
122
ABAC— -j-sin2 ABAC-S.
4
Доказательство. Обозначим через Ль и Нс длины высот треуголь¬
ника, проведенных из вершин В и С, через Ь — длину стороны АС. Тогда
Q= — sin (180°— АВАС) = -^-ЛьЛ^ш АВАС =
2. о
1 hbb.
~ Т' 2 :
Задача 8. Доказать, что площадь треугольника MiMN не пре¬
вышает 0.25S, а наибольшего значения эта величина достигает в пря¬
моугольном треугольнике ABC.
Доказательство. По формуле (3), SMMN =0,25 sin2 ABAC-S,
но sinZ-B/lCs^l, поэтому SMlMN < 0,25S. Если ABAC = 90°, то
sin ABAC— 1 и SMlMN =0,25S, т. e. площадь треугольника M\MN
достигает своего наибольшего значения.
Задача 9. Точка X совпадает с основанием высоты АН тре¬
угольника ABC тогда и только тогда, когда MN = S/R, где S — площадь
треугольника ABC, R — радиус описанной окружности.
Докажем необходимость. Пусть точка X совпадает с точкой //.
Значит, диаметр окружности, описанной около четырехугольника
AMHN (рис. 4), равен ЛЯ = Л„. Тогда, по формуле (1), MN=
= A„sin ABAC, или
а,.*, 2S a S
а 2R R >
Докажем достаточность. Пусть MN = S/R. Из формулы (1) сле¬
дует, что
MN
АХ= ■
л v 5 2S
или АХ= -j— — = — =Л0
' а
sin ABAC R sin А ВАС
а это значит, что точка X совпадает с точкой Н.
Задача 10. Для совпадения точек X и Н необходимо и доста¬
точно, чтобы AAMN= ААВС.
Докажем необходимость. Пусть точка X совпадает с точкой Н.
123
Обозначим величину угла AMN через а (рис. 4). Опишем окруж¬
ность вокруг четырехугольника AMHN. Углы AMN и AHN равны
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, т. е. Z.AMN=
= Z.AHN = a, или /LAXN = a. Тогда Z.NHB = 90° — а. В треуголь¬
нике BHN угол при вершине N прямой, тогда Z. ABC = 90° — (90° — а) = а.
Докажем достаточность. Итак, дано, что Z-AMN = а и /-АВС — о..
Тогда Z_NXB = 90° —а. Выше было доказано, что Z.AXN = а. Из
последних двух равенств следует, что /_АХВ = 90°, а значит, точка X
совпадает с точкой Я.
Задача 11. Для совпадения точек X и Н необходимо и доста¬
точно, чтобы точки В, С, М, N принадлежали одной окружности.
Докажем необходимость. Пусть точки X и Я совпадают. В преды¬
дущей задаче было показано, что Z-AMN— /.АВС = а (рис. 4). В та¬
ком случае Л CMN+ Z. NBC = 180° — а + а= 180°. Это значит, что
вокруг выпуклого четырехугольника BCMN можно описать окружность.
Докажем достаточность. Пусть точки В, С, М, N принадлежат
одной окружности. Мы уже условились обозначать величину угла AMN
через а, введем новое обозначение: /LXMN = ф (рис. 4). Тогда
90°+ ф + а= 180° и, значит, ф + а = 90°. Но в треугольнике АХВ имеем
Z.AXB + (f-\-a—180°. Отсюда /.АХВ = 90°, т. е. точки X и Я сов¬
падают.
Задача 12. Пусть точка X совпадает с точкой И. Доказать,
что отрезок MN делит площадь S треугольника ABC пополам тогда
и только тогда, когда центр О окружности, описанной около треуголь¬
ника ABC, принадлежит этому отрезку.
Необходимость. Пусть площадь треугольника AMN равна 0,5S.
Тогда MN-AK = S (АК — высота треугольника AMN). Учитывая фор¬
мулу (4), имеем (S/R)AK = S, откуда AK=R, значит, точка X совпа¬
дает с точкой Я.
Достаточность. Пусть точка О принадлежит отрезку MN. В за¬
даче 11 фактически доказано, что если точки X и Я совпадают, то от¬
резки MN и ОА перпендикулярны. В таком случае, используя фор¬
мулу (4), получаем:
W= \mN-OA = —-§•*= jS.
Задача 13. Пусть точки X и Я совпадают, a R — радиус окруж¬
ности, описанной около треугольника ЛВС. Тогда отрезок MN делит
треугольник ABC на два равновеликих треугольника в том и только
в том случае, когда AH=R-^j2.
Докажем достаточность. Пусть SAMN =0,5S. Поскольку ДЛМЛ7со
со A ABC, получаем равенства
SAMN/S=h2/AH2=0,5.
где h — высота треугольника AMN. Воспользовавшись результатом
предыдущей задачи, получим h = OA=R. Значит, R2/АН2 = 0,5. Откуда
AH = R^f2.
124
Задача 14. Точка X совпадает с точкой L тогда и только тогда,
когда АМНА = AN НА.
Докажем необходимость. Пусть точки X и L совпадают. Точка И
принадлежит окружности, описанной около четырехугольника AMLN.
Поскольку дуги AM и AN равны, то АМНА = ANHA.
Задача 15. Пусть точка X совпадает с точкой L. Тогда точ¬
ка I — центр вписанной окружности — принадлежит отрезку MN в том
, „ . 2авас
и только в том случае, когоа выполняется равенство 2р sm —-— =
= а, где р — полупериметр треугольника ABC.
Докажем необходимость. ' Пусть точка / является пересечением
отрезков MN и AL. Прямоугольные треугольники AML и ANL равны по
гипотенузе и острому углу, значит, ML=LN. Тогда равны треуголь¬
ники MIL и NIL, значит, MI = IN, т. е. MI = 0,5MN. Обозначим радиус
окружности, вписанной в треугольник ABC, через г. Легко видеть,
что
ABAC
r = MI cos—-—. (1°)
Выразим длину отрезка MI Через 6 и с— длины сторон АС и АВ
соответственно. Поскольку X и L совпадают, формулу (1) можно пере¬
писать в следующем виде: MN=AL-sm ABAC. Тогда MI=0,5MN=
=0,bAL sin ABAC.
Выразим AL через бис. Для этого заметим, что SABL = 0,5с-NL =
= 0,5с-ЛL-sin -В2АС-, SACL =0,56 -ML= 0,5-AL sin • Ho
$abc — Sabl + $acl ■
Тогда -i- be sin ABAC=-^- AL sin —g——ф +c) и
26c cos (ABAC/2)
6 + c
... 1 26c ABAC .
В таком случае AJ/ = — -cos—^ sln ^-BAC, т. e.
1 ABAC
MI = 2S- ——cos—-—. (2°)
6,+ с 2 4 '
Подставив выражение (2°) в выражение (1°), получим г =
2S 2АВАС _____ S 2S , ABAC
— , , -cos х—, или — = -—,■- cos —-—. Отсюда 6 + с =
6+с 2 р Ь+с 2
_ 2 ABAC „ . , „ о2 ^ВАС „
=2pcos —-—. Но 6+с=2р —а, т. е. 2р—a=2pcos‘!—^—- По-
Q . 2 ABAC
лучаем, что 2р sin —^——а.
Задача 16. Если точка X совпадает с точкой L, то площадь S
остроугольного треугольника ABC вычисляется по формуле S =
= 0,5MN-AF, где F — точка пересечения биссектрисы угла ВАС с опи¬
санной около треугольника ABC окружностью.
125
Доказательство. По условию AF — хорда окружности, описанной
около треугольника ABC. Пусть отрезки MN и AF пересекаются в точ¬
ке /. Из равенства треугольников MIL и NIL следует, что /-MIL=
= /LNIL=90°, т. е. AFJ_ MN. Таким образом, выполняются все условия
задачи 5, в которой доказано, что S=0,5MN-AF.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Числовые ребусы
1. В слове ЗАДАЧА вместо букв подставьте цифры (одинаковым
буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным буквам —
разные цифры), а между некоторыми из них — знаки арифмети¬
ческих действий так, чтобы получилось верное равенство:
ЗАДАЧА= 1989.
2. Решите числовой ребус, в котором одинаковым
буквам соответствуют одинаковые цифры, раз¬
ным — разные.
3. По преданиям, несколько лихих донских казаков заменяли сот¬
ню, а несколько сотен таких казаков составляли войско. Решите число¬
вые ребусы, в которых одинаковым буквам соответствуют одинако¬
вые цифры, разным — разные (в каждом ребусе — отдельно),
а) КАЗАК+КАЗАК+КАЗАК=СОТНЯ; 6) СОТНЯ+СОТНЯ= ВОЙСКО.
4. Ох уж эти мышата! Какие только пакости не делали Серый и
Белый коту Леопольду. Однажды кот увидел надписи на стене дома:
КОШКА+МЫШКА=ДРУЖБА; МЫШКАЖОШКА.
Помогите коту Леопольду найти число «ДРУЖБА», если в этом
ребусе использованы все 10 цифр и разным буквам соответствуют
разные цифры, кроме букв Ш и Ж, которые обозначают одну и ту же
цифру.
Ответы и решения
1. Приводим одно из решений с тремя знаками арифметических
действий: 9 • 13 • 17 • 1 = 1989.
2. У=0, Д=9, Р=1 или 2 (иначе одно из произведений
РАК • Щ, РАК • К, РАК • А будет четырехзначным). Легко заметить,
что Р=т^2 (иначе А=4, К=3,Б=Ь = 7), значит, Р=1, тогда А=6, К<А,
K=j£5. Если К=4, то Б=6 — противоречие. Если К=2, то Е=2 — проти¬
воречие. Значит, К=3, Б=4, Е=8, Ь = 7. Для Щ подходит только 5,
а для Л — 2.
3. а) К=1 или 2. Если К=1, то Я=3, А=6, Н= 8, 3=7, Т =2, 0=0,
С=5. Если К=2, то Я=6, А=3, Н=9, С=7, 3=8, Т=4, 0=1.
б) В=1, С^5, О — четное, 0<5, ОфО, Оф2. Значит, 0=4, С=7,
отсюда Т=3 или 8. Получаем два решения. Если Т=3, то Й=8, Я=2,
К=0, Н=5. Если Т=8, то Й=9, Я=2, Н=5, К=0.
ЧГЕ" | РАК
•" ЩУКА
*»*
БЕ*
_ДЬ*
* * *
126
4. А=0, Ш=Ж=9, Д=1, К>5, М>К. Легко заметить, что К=£6,
значит, К=7, М=8. Тогда Б=4, Р=5, У=6. Для букв О и Ы остаются
цифры 2 и 3, что не противоречит условию задачи.
А. М. Домашенко (г. Новошахтинск Ростовской обл.)
Составление квадромагического
числового квадрата
На рис. 1 изображены 49 кружков, расположенных в форме квадрата.
Кружки пронумерованы и закрашены в шахматном порядке. Если те¬
перь «закрашенные» числа оставим на месте, а каждое «незакрашен¬
ное» число заменим центрально-симметричным числом, то получим
числовую схему (рис. 2), обладающую интересным свойством,
а именно: сумма четырех чисел, расположенных в кружках — верши¬
нах всех единичных квадратов, постоянна и равна 100. Назовем исходный
квадрат квадромагическим 7-го порядка.
Задача 1. Докажите, что указанный прием является общим ме¬
тодом построения квадромагических квадратов п-го порядка.
Задача 2. Покажите, что постоянная сумма четырех чисел,
расположенных в вершинах каждого единичного квадрата, равна
2(п2+1), где п — порядок квадромагического квадрата.
Решение задач
Рассмотрим какой-либо единичный квадрат в составленном квадро-
магическом квадрате п-го порядка. Пусть в его вершинах стоят числа
а, Ь, с, d (рис. 3), тогда числа а и с/ «закрашены», значит, они равны
номерам кружков, в которых записаны. Числа Ь и с «незакрашены»,
значит, они равны числам, записанным в кружках, центрально¬
симметричных кружкам с номерами а+1 и d—1, т. е Ь=п2—а,
c=n2—d+2.
127
S=a + b+c+d=a+(n2—a)+(n2—d+2)+d=2(n2+1).
H. И. Авилов (ст. Егорлыкская Ростовской обл.)
ЗАДАЧИ
Напоминаем читателям, что решение алгебраических задач (их 12)
и геометрических (их 8) следует присылать в отдельных конвертах
с соответствующей пометкой «Алгебра» или «Геометрия». В каждый
из них просим вложить две сводки — общую и по соответствующему
разделу.
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию
не позднее 1 марта 1990 г. О правилах оформления решений см.
в № 2 журнала за 1989 г. на с. 159—160.
Задачи для V—IX классов
3381. Можно ли заменить в равенстве
ДРА + КО Н +ЗМЕЯ = 1989 + 1990+1991
различные буквы различными цифрами так, чтобы получилось верное
числовое равенство?
А. М. Домашенко (Ростовская обл., г. Новошахтинск)
3382. Один из городов нашей страны отметит в этом веке юбилей
(т. е. его «возраст» делится на 25). При этом сумма цифр года основания
в два раза меньше суммы цифр года юбилея, а если записи каждой
из этих двух дат разделить точкой с запятой, то получатся четыре
простых числа. О каком городе идет речь?
В. Н. Русанов (Пермская обл., г. Оса)
128
3383. Существуют ли целые числа к и у, для которых
1988х|989+ 1989у‘""= 1991?
Л. Т. Любенов (Болгария, г. Павел-Ба-пя)
3384. Является ли сумма
333...332 + 55...544...442
точным квадратом, если во втором числе число четверок такое же,
как в первом число троек, а пятерок на единицу меньше?
В. Ф. Ткачев (Воронежская обл., с. Рамонье)
3385. Вычислить значение выражения
(а + 6 Ь + с с + а\/ а — Ь Ь — с с — а\
а — b b — с с — а''а+fr 6 + с с-\-а>’
если 3(аЬ + 6с + са) =2(а2 + 62 + с2).
А. Н. Смоляков (Ставропольский край, г. Нефтекумск)
3386. Найти наименьшее значение выражения
х2 и2 г2
+ ^TZ +
х + У У + z z + x’
если х, у, г> 0 и -фсу -\--\fyz-\-^/zx= \.
А. Н. Смоляков
3387. Дан параллелограмм ABCD. На прямой АВ взята точка М.
Прямая, проходящая через М и середину ВС, пересекает диагональ АС
в точке К. Прямая, проходящая через К и середину AD, пересекает
прямую CD в точке Р. Доказать, что МР параллельна ВС.
М. А. Кушнир (Киев)
3388. Внутри правильного треугольника ABC взята точка О так,
что АО:ВО:СО = а:Ь:с, где а2 + Ь2 — с2. Найти угол АОС.
Л. Д. Курляндчик (Ленинград)
Задачи для X—XI классов
3389. Решить систему уравнений
x3 + y3 + x2(y + z) = xyz+\4,
y3 + z3 + y2(z + x) = xyz —21,
z3 + х3 + z2(x-f y) = xyz + 7.
я /4
Ssin x
—. — dx.
Sin X -j-COS X
A. H. Смоляков
3391. Найти наименьшее значение функции
у=^]2х2-2х+ 1 +-fix2-(^3-\)x+ 1 +V2*2 + (V3+ 1)*+ 1.
Математический кружок 173-й шк. Киева (рук. Р. П. Ушаков)
3392. Доказать, что если периодическая функция при некотором
кф +1 удовлетворяет равенству j(kx)=kf(x) для любого х £ R, то
она не имеет наименьшего периода.
А. И. Шехорский (Москва)
5 «Математика в школе» № 6 129
А. Н. Смоляков
3393. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Провести через С
прямую, пересекающую продолжения сторон АВ и AD в точках М и К
соответственно, так, чтобы яг-— + тг-— принимало наименьшее
^всм Ъоск
значение.
3394. Пусть Н—точка пересечения высот треугольника ABC,
М— середина АС. Доказать, что прямая МН проходит через точку
пересечения окружности, описанной около ABC, и окружности с диа¬
метром ВН.
3395. В конус вписаны две касающиеся между собой сферы а и |3.
(Каждая сфера касается поверхности конуса по окружности.)
Существуют п равный сфер, касающихся а, р, поверхности конуса
и таких, что каждая из них касается еще двух из этих п сфер.
Какие значения может принимать число п?
3396. В пространстве даны п векторов а\, аг, .... а„. Доказать,
что существует такой набор индексов it, i2, ..., it, что имеет место
неравенство
I а\ I + I аг I +... ■+■ I On I ^ 8-\/31 ail + щг ... + ait I.
(Задача вступительного экзамена в Нагойский
технологический институт, 1989 г.)
Конкурсные задачи
3397. Найти значения выражения а2+-\/а4-|-а+1 , если
“=WV2+|-|V2.
А. Н. Смоляков
3398. Является ли многочлен
f{x)= 1+4х + 4х2+... + 4х2" (л>2)
квадратом многочлена?
3399. На сторонах А В и ВС треугольника ABC взяты соответ¬
ственно точки С| и Ai; Д1 и Мi —середины АС и AiCi, прямая ВМ
пересекает окружность, описанную около А\ВС\, в точке К\, а прямая
ВМ| — окружность, описанную около ABC, в точке К. Сами описан¬
ные окружности пересекаются в точке Р, а прямые AiCi и АС пере¬
секаются в точке Т. Доказать, что 6 точек М, М\, К, К\, Р и Т лежат
на одной окружности.
Б. Михайлов (г. Пловдив)
3400. Доказать, что система уравнений
{а\Х\ + а2 х2 + а3х3 + atx< = О,
Ь\Х\ -|- Ь2Хг-\- Ьз*з-Ь b4X4 = О,
1*1 I Ч" \Хг\ "Ь \xsl 4" \Ха\ — 1
всегда имеет решение х°, хг, хз, хЧ, для которого max |х?| ^3-\/2 — 1-
i
(И. Ф.,Шарыгин. Задача советско-французского конкурса.)
130
Решения задач, помещенных в № 2
за 1989 г.
3301. Три поросенка на прогулке собрали 33 желудя и стали
играть в такую игру: по очереди —первым Ниф-Ниф, вторым Наф-Наф
и третьим Нуф-Иуф — берут из корзины желуди, причем Ниф-Ниф
берет за один ход не более пяти желудей, Наф-Наф — не более семи,
Нуф-Нуф — не более трех, а выигрывает тот, кто возьмет последний
желудь. Может ли кто-нибудь из поросят играть так, чтобы обяза¬
тельно выиграть?
Решение. После первого хода Ниф-Нифа в корзине окажется
от 28 до 32 желудей, и тогда Наф-Наф должен взять столько, чтобы
в ней осталось 27 желудей. После этого Нуф-Нуф и Ниф-Ниф вместе
возьмут не больше 8 желудей, и Наф-Наф должен оставить в корзине
18 желудей, затем, после следующих ходов Нуф-Нуфа и Ниф-Нифа,
оставить 9 желудей, и тогда своим ходом он возьмет
последние желуди. Таким образом, Наф-Наф всегда может выиграть.
3302. Какую цифру можно поставить вместо звездочки, в число
111... 111*333... 33, состоящее из 1989 единиц и такого же числа троек,
чтобы получилось число, делящееся на 7?
Решение. Так как числа 111111 и 333333 делятся на 7, то данное
число делится на 7, если 111*333000 ...000 делится на 7, или, что то же
самое, 111*333 делится на 7. Так как 1050000 делится на 3, то нужно,
чтобы 6*333 делилось на 7, а поскольку 133 делится на 7, то надо
чтобы число 6*2 делилось на 7, а это верно, если вместо звездочки
поставить 0 или 7.
3303. Сколько существует восьмизначных чисел, запись которых
начинается с 1989, делящихся на 6, 7, 8 и 9?
Решение. Если число делится на 8 и 9, то оно делится и на 6,
и поэтому достаточно, чтобы число делилось на 7, 8 и 9, т. е. делилось
на их наименьшее общее кратное 504. Наименьшее из рассматриваемых
чисел — 19890360, а далее они идут «через 504», а поскольку с 1989 на¬
чинается 10 000 восьмизначных чисел и 10 0000 = 504-19 + 424, то числа,
удовлетворяющие условию задачи, имеют вид
19890360 +504& (ft = 0, 1, 2, ..., 19),
и поэтому их всего 20.
3304. Признак делимости на некоторое число рФ 1 формулируется
следующим образом: Юа + ft делится на р тогда и только тогда, когда
а + 708й делится на р. Чему равно р?
Решение. Представим число р в виде 10а+ 6, где 0^6^9.
Тогда q — a + 708b делится на р, I0q — р —7079b делится на р, и по¬
скольку число 7079 простое, то либо р = 7079, либо b делится на р.
Но р только при а = 0, т. е. когда число р — однозначное, однако
ни для одного из чисел от 2 до 9 сформулированный признак дели¬
мости не является верным. Поэтому р = 7079.
5*
131
3305. Какое наименьшее значение принимает выражение
- + *+_£_+ "
ТО
b -j- с c + d d + a и + b
если а, Ь, с, d — положительные числа?
Решение. Так как при х, у~>0
(x + yf=x2 + 2xy + y2^4xy, '
= (JL- + _£_} 4- (-L- 4- -АЛ =
'ft-f-c d + a' 'c + d a + b'
_ a (d + а) + с (b + с) b (а + b) + d (с +d)
(b+c) (d + a) + (c + d)(a + b) 5
^ . a2 + ad + bc + c2 л b2 + ab+cd + d2
I (■ I „ ■ J\'2 +4'
S =
(a + b + c+df (a + *+c+d)2
n(a + b + c + df + (a-cf + (b-df „ „
(a + b + c + df
При этом S = 2, например, при a = b = c=d, а в общем случае при
b + c = d+a, c + d = a + b, а=с, b=d, т. е. при а=с, b=d.
3306. Доказать, что если ad — be =1, то
a2 + b2 + c2+d2 + ac + bd^ -\/3.
Решение. Так как
(ad—bc)2+ (ас+М)г= (а2+62) (c2+d2),
то
S = а2 + Ь2 + с2 + d2 + ас + bd ^ -\/2 (а2 + 62) (с2 + d'1) (ас + bd) =
= 2-\/(ac + bd)2+ 1 + (ас + bd).
Но
(2л[хг+\ + xf = 4*2 + 4 + 4хЛ/*7+Т + *2 = (2х + -JxT+\f+3^3.
3307. На плоскости расположены четыре точки таким образом,
что попарные расстояния между точками принимают два различных
значения. Наибольшее расстояние между точками равно 1. Какие зна¬
чения может принимать наименьшее расстояние между точками?
Решение. Простым перебором нетрудно убедиться, что сущест¬
вует 6 различных расположений четырех точек, удовлетворяющих усло¬
вию задачи (рис. 1, а—е). Поскольку всего различных отрезков, попарно
соединяющих четыре точки, 6, то эти отрезки могут быть разбиты
на две группы следующим образом (в каждой группе отрезки равны):
5 и 1 (рис. 1,а), 4 и 2 (рис. 1,6, в, г), 3 и 3 (рис. 1, д, е). В случаях 1 ,о
/3
и 1, д наименьший отрезок равен —, в случаях 1,6 и 1, в он равен
, в случае 1, г — и, наконец, в случае 1, е (точки — 4 вер-
_/5 1
шины правильного пятиугольника) ——-— (а — 36°).
132
3308. Дан остроугольный треугольник ABC. Найти геометрическое
место точек М, для которых /-МАВ = /_МСВ, /_МВА= Z.MCA.
Решение. Рассмотрим несколько случаев. 1. Точка М располо¬
жена вне треугольника ABC и внутри угла ВСА (рис. 2, а). Уже
из первого равенства следует, что точка М лежит на окружности,
описанной около ABC, при этом второе равенство выполняется авто¬
матически. Итак, в этом случае точки М заполняют всю дугу АВ.
Рис. 2
133
2. Точка М вне треугольника, но внутри угла ВАС или ABC. Если
М внутри ВАС, то из первого равенства следует, что М расположена
на описанной около ABC окружности, а из равенства Z.MBA=Z-MCA
следует, что эти углы по 90°, т. е. искомой является точка Mi, диамет¬
рально противоположная точке А. Точно так же условию задачи удов¬
летворяет точка М2, диаметрально противоположная точке В. Нетрудно
убедиться, что других точек вне треугольника ABC нет.
3. Точка М внутри треугольника ABC (рис. 2,6). Из первого
равенства следует, что точки А, С, А |, Сi лежат на одной окружности.
Учитывая это и второе равенство условия, получим, что Z.MA\Ci =
z= /_МСА = /LMBA—Z. МВСи т. е. точки М, А1, В и С* также лежат
на одной окружности. Таким образом, /.MBAt = /-МС1А1 = Z.MAC
(последнее равенство следует из того, что At, С1, Л и С, как было
указано, лежат на одной окружности). Пусть ЛМАВ= /.МСВ—а,
/_MBA = /.MCA — fi, /.MAC = МВС = у. Поскольку 2а-f-2|3-f 2y =
= 180°, то а + р+7==90°. Значит, /.АА\В=\&0° — а — р—y = 90°;
ЛЛ1 — высота. Аналогично высотами являются ВВ\ и CCi, а точка М —
точка пересечения высот треугольника.
Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из
дуги АВ описанной окружности, точек этой окружности, диаметрально
противоположных точкам Л и В, и точки пересечения высот треуголь¬
ника ABC.
3309. Решить уравнение
V5 (лг + 2yz) + V6 (У2 + 2zx) + л/5 (г2 + 2ху) = 4 (x+ty + z).
Решение. Левая часть уравнения представляет собой скалярное
произведение векторов
(V5, -\/б, л/5) и (У-*2+ 2yz, sly'2 + 2zx, -^z2+ 2ху),
а правая часть — произведение длин этих векторов (так как для любого
решения уравнения x+y+z^zO). Поэтому уравнение равносильно
системе
х2 + 2 yz у2 + 2 zx z2 + 2xi/
5 6 5 '
Отсюда х2 — гг = 2у (х— г), так что x = z или x+z — 2y.
Пусть x=z, тогда
** + 2х_У^у1+К, 4л2— \2ху-\-5уг=0,
2 2
откуда у=х или у=2х, и мы получаем решения: (а, — а, а) и
о о
(а, 2а, а), где а — любое неотрицательное число.
Если x-\-z=2y, т. е. z = 2y — x, то
? + 2у(2у-х) = у1±2х(2у-х)' 16x*_32jcJ/+lV = 0>
а это уравнение имеет единственное решение х=у = 0, поскольку
D = 4 (162— 16-19)<0.
134
3310. Решить уравнение 2-\]х — 1 +^/27 — 1 4jc = 1.
Решение. Положим у=^х — \, тогда х=у3-\-\, и уравнение при-
нимает вид
$j27—U{y3+l)=\—2y, 13— 14(/3= 1 —6у-\-12у? — 8у3,
у3 + 2у2 — у — 2 = 0, (*/ + 2) (у2— 1) = 0, i/i = l, 1/2— — 1, уз = —2.
Поэтому заданное уравнение имеет корни 2, 0 и —7.
3311. Дан прямоугольный треугольник ABC. На гипотенузе АВ
взяты точки К, D, М, так, что CD — высота треугольника ABC, СК
и СМ — биссектрисы углов ACD и DCB соответственно. Доказать,
что центр окружности, описанной около треугольника КСМ, совпа¬
дает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Имеем (рис. 3)
ААМС= /.МВС + /.МСВ = /.АВС + у (90°- /.АВС) =
= 45° + у /.ABC,
/.ACM = /.ACD+ ADCM= /-АВС+ у (90 °—/.АВС) =
= 45°+ у ^ABC.
Таким образом, /.АМС= Z.ACM, АМ=АС. Следовательно, биссектри¬
са угла А является серединным перпендикуляром к отрезку СМ.
Аналогично, биссектриса угла В является серединным перпендикуля¬
ром к СК. Из этого следует, что центр окружности, вписанной в ABC,
совпадает с центром окружности, описанной около СКМ.
3312. На прямой I расположены центры трех шаров радиусов 1, 2
и 5, причем шар радиуса 2 касается двух других внешним образом.
Прямая р касается всех трех шаров. Найти угол и расстояние между
прямыми I и р.
Решение. Обозначим центры шаров через 0\, Ог и 03, проведем
через р плоскость, параллельную I, спроектировав I на эту плоскость,
получим точки Oi, Ог и Оз, К\, Кг и Кз — точки касания шаров
с р (рис. 4). Пусть искомый угол равен ф, расстояние между пря¬
мыми d, АО\=х (А—точка пересечения р и /'). Поскольку К\0\ —
=тД —d'1, то получаем уравнение х sin ф=-\/1 —d*. Аналогично полу¬
чаем еще два уравнения
(*-(-3) sin ф=У' — di, (х+ 10) sin ф = -\/25 — d'1.
Далее, возводя каждое из уравнений в квадрат и вычитая из второго
и третьего первое, получим систему
(2^ + 3) sin2 ф= 1, (5^ + 25) sin2 ф = 6.
Из последней системы найдем х=\, sin <р= 1 /-\/5, а затем получим
d = 2/У5.
135
Рис. 3
Рис. 5
Рис. 4
3313. Выяснить, конечным или бесконечным является множество
троек (х, у, z) 6 N3, для который выражение x3-\-i/3+z3—Zxyz яв¬
ляется точным квадратом, а числа х, у, z взаимно просты в сово¬
купности.
Решение. Возьмем y=z—\\ тогда
х3 + у3 + г3 — Зхуг= у(* + </ + *) ((* — уТ + (у — zf + (x — z)2) =
= (дг + 2) (jc— l)2,
и если х = й2— 2, то заданное выражение является точным квадратом.
3314. Найти все функции, определенные на множестве R, для ко¬
торых
x-2y+z=0=>f(x)-2f(y)+f(z)=0
(на искомые функции можно наложить любые условия гладкости).
Решение. Функция f удовлетворяет указанному условию, если
для любых х, у 6 R выполняется равенство
f(x)-2f(y)+f(2y-x)=0.
Будем считать, что функция f имеет производную в любой точке;
тогда, зафиксировав число у, из полученного тождества будем иметь
f' {X)- f' (2у — X) = О, Г (*) = Г (2У ~ X).
136
Поскольку это равенство выполняется при любых х и у, то /' (х) —
постоянная, так что f (х) = ах-\-Ь, где а, Ь 6 R.
Но
/ (•*) —2/ ({/) + / (2г/ — дс) = (адс + 6) — 2 (ш/ + 6) + а (2у —х) + 6=0
при любых а и Ь, так что решениями задачи (в классе дифференцируе¬
мых функций) являются линейные функции.
°° 1
3315. Вычислить сумми ряда 2 —т .
„ = , 4л3-л
Решение. Так как
1 1,1 1/1 1 \ / 1
+
1 1 / 1 МП 1 >
4пл — п 2л — 1 2л + 1 п \2п~\ 2п> \2л 2л+1 /
V ( 1 М =, 1_ , J 1_ , . 1 1_
п= I '2л — 1 2л/ 2 3 4 " 2/г— 1 2k'
i(l — ) = - L + _L__L+ +1 +_L_
n=l \2л 2л+ 1/ 2 3 4 5 ■ ■ 2k ^ 2k + \ '
1_2(t~t + t +- + i) + ^TT-
Известно (и легко доказывается по индукции), что
At~~l ~ Т + ~Т — Т+"' + 2k — 1 ~ 2k = T+i + F+2 + “• +2k'
а правая часть является интегральной суммой функции у= 1/х на от¬
резке [1, 2] —отрезок интегрирования разбивается точками 1,1+4-,
k
2 k— 1
1 + -j-, .... 1 Н ^—, 2 на k равных частей, а значение функции берется
в правом конце каждого отрезка. Поэтому
2
lim Ah— =ln 2,
k-*- oo J X
и поскольку Sm— 1—2(1 — Л*) + * , то lim S* = 2 In 2— 1.
Zfc -f- 1 k-*- OO
3316. Существуют ли не равные одновременно нулю целые чис¬
ла а, Ь, с, меньшие 100 по модулю, для которых
|a + *V2 + cV3| <0,0004?
Решение. Заметив сначала, что при Ь, с, р, q 6 Z
(&У2 + сУЗ) = \р^2+<ф^(Ь = р, c=q),
обозначим через С множество дробных частей чисел из объединения
HUB, где множества Л и В мы для удобства запишем в виде
137
О л/3 2УЗ _ зуз
Уз—У2 2УЗ—У2_ зуз—У2_
2 УЗ—2У2 ЗУЗ—2У2
зуз—зуз
57УЗ
57УЗ—У2_
57УЗ—2У2
57УЗ—ЗУ2 58УЗ—ЗУ2 (Л)
57УЗ—57У2 58УЗ—57У2
58УЗ—58У2
55УЗ+У2 54У_3+У2_ 53УЭ+У2_
54УЗ+2У2 53УЗ+2У2
5ЭУЗ+ЗУ2
17УЗ+У2
17УЗ+2У2
17У3+3У2
(В)
17УЗ+3&У2
Тогда множество С состоит из 2587 элементов, наибольший элемент
множества ЛиВ равен 55УЗ+У2 (поскольку 58УЗ —ЗУ2<55-\/3 + У2),
его наименьший элемент равен 0. Поэтому для любых х, уе АЦВ
\х-у\< 55УЗ + У2< 55-1,74+1,42 = 97,12,
так что IM-MI < ЮО.
Разбив промежуток [0,1) на 2500 промежутков длины 1/2500,
мы получим, что по крайней мере два числа из множества С попадут
в один промежуток, т. е. для некоторых чисел p^j2~\-q^j3, /~\/2 +
+ вУЗе ЛиВ выполняется неравенство
0< (W2+W3) - {п/2+ «УЗ} <0,0004,
0<(рУ2+?УЗ) - [р^+<?УЗ] - (гУ2 + яУЗ) + [гУ2 + *УЗ] <0,0004,
0 < [г->/2 + «УЗ] — [рУ2 + <7-\/3]+(р — г)У2 + (^ — s)V3< 0,0004,
0<а + 6у2 + суЗ< 0,0004,
причем целые числа а, Ь, с по модулю меньше 100.
3317. Окружность касается сторон АВ и АС треугольника ABC
и описанной около ABC окружности. Доказать, что отрезок, соединяю¬
щий точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС, содержит
центр окружности, вписанной в ЛВС.
Решение. Пусть К, L и М — точки касания построенной окруж¬
ности (рис. 5). Известно, что прямая МК проходит через середину
дуги АС. (Известный и несложно доказываемый факт: если некоторая
окружность касается данной окружности и ее хорды, то прямая, соеди¬
няющая точки касания, проходит через середину соответствующей дуги.)
Пусть биссектриса угла ВМС пересекает KL в точке Р. Поскольку
/LPMC = 90° y^-A=AAKP, то около четырехугольника КРМС
можно описать окружность.
138
Таким образом, PC — биссектриса угла С треугольника ABC. Точно
так же ВР — биссектриса угла В, т. е. Р — центр окружности, вписан¬
ной в Д ABC.
3318. Доказать, что если площадь сферического треугольника со¬
ставляет 1 /4 площади сферы, то сумма косинусов его сторон равна — 1.
Решение. Известно, что сумма косинусов двугранных углов равно-
гранного тетраэдра равна 2 (см., например: И. Ф. Шарыгин. Задачи
по геометрии. Стереометрия. М.: Наука, 1984 (Б-ка «Квант». Вып. 31.
№ 305). Из этого следует, что если у трехгранного угла сумма плоских
углов равна л, то сумма косинусов его двугранных углов равна 1.
(Существует равногранный тетраэдр, все трехгранные углы которого
равны этому углу.)
Пусть теперь А, В к С углы данного треугольника, а, Ь и с —
его стороны. Или: А, В и С двугранные углы соответствующего данному
треугольнику трехгранного угла, а, Ь и с — плоские углы этого трех¬
гранного угла. Рассмотрим трехгранный угол, дополнительный к этому
трехгранному углу (дополнительный угол мы получим, если из произ¬
вольной точки внутри данного трехгранного угла опустим перпендику¬
ляры на его грани). Плоские углы дополнительного трехгранного угла
равны л— А, л— В, л — С, а двугранные л — а, л — Ь, л — с. По условии^
(площадь сферического треугольника есть 1/4 площади сферы), А + В +
+ С=2л. Значит, у дополнительного угла сумма плоских углов есть л.
Сумма косинусов двугранных углов дополнительного угла равна 1.
Следовательно, сумма косинусов плоских углов исходного тетраэдра
(косинусов сторон треугольника) равна —1.
3319. В сферическом треугольнике ABC сторона АВ равна 90°,
сторона АС равна 120°. Найти сторону ВС, если известно, что медианы
к сторонам АС и ВС равны.
Решение. Пусть искомая сторона равна ср. Обозначим векто¬
ры ОА, О В и ОС (О — центр сферы, радиус сферы считаем равным 1)
через а, б и с соответственно. По условию, аб= 0, ас=—1/2,
bc=cos ф. Пусть, далее, Ai и В, середины сторон ВС и АС
соответственно. Поскольку О A i и О В i единичные векторы, то
О А | = ! (Ь + с), ОВ~ а-\-с . Равенство СА\ = СВ\ означает, что
ГГ) 1
2 cos
откуда получаем уравнение 4 cos ф cos— 1. Умножая обе части
последнего уравнения на sin, получим sin 2<р=—s‘n у илн
5 3
sin — <р cos — ф = 0, откуда находим для ф два значения: <pi = 120°,
<р2 = 144*.
3320. Найти геометрическое место точек, являющихся точками
пересечения высот всевозможных треугольников, образованных тремя
прямыми, касающимися параболы у=х2.
Решение. Уравнение прямой, касающейся заданной параболы
в точке с абсциссой а, имеет вид у=2ах—о2. Пусть три касательные
касаются параболы в точках с абсциссами а, Ь, с. Они образуют
треугольник, стороны которого задаются уравнениями
у = 2ах — а2, у=2Ьх — Ь2, у=2сх—с2.
Вершины этого треугольника (точки попарного пересечения ука¬
занных прямых) будут А , Ьс^ ; В °, ас^ ; С ■
Угловой коэффициент прямой, проходящей через А перпендикулярно ВС,
равен — y , следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид
b -I- с
2ау-\-х=2аЬс-\ ^— (после упрощений). Аналогично находим уравне¬
ния двух других высот
2by+x = 2abc+ °^-С. 2су-\-x=2abc +
и убеждаемся, что они пересекаются в точке х=2abc-\- ^^-С, у=
= —. Значит, искомое геометрическое место есть горизонтальная
1
прямая </= — .
Замечания к решениям задач
Задача 3301 правильно решена многими читателями, причем достаточно
стандартным способом, поскольку данная задача сводится к обычной
задаче двух игроков (Наф-Наф и «объединенная команда» из двух
других поросят), причем Наф-Наф может передать ход этой команде.
Отметим также, что участники математического кружка седьмых классов
61-й шк. Киева (рук. М. С. Якир) обратили внимание на некоторую
некорректность в условии задачи: неясно, могут ли игроки пропустить
свой ход.
В задаче 3302 многие читатели «не заметили» один из вариантов
ответа — как правило, пропускалась цифра 7. Почти все решения зада¬
чи 3304 логически не совсем корректны, и хотя мы зачли большинство
решений, однако в дальнейшем просим решающих быть более аккурат¬
ными в рассуждениях даже в самых простых задачах. Отметим также.
140
что лишь несколько читателей доказали, что указанный признак де¬
лимости действительно справедлив для числа р= 7079, хотя, говоря стро¬
го логически, решение задачи этого не требует. Обратим внимание,
что условие простоты числа р в действительности лишнее.
В решениях задачи 3305 также допущено много логических оши¬
бок, и чаще всего из этих решений вытекало, что заданное выражение
равно 2 лишь в том случае, когда числа а, Ь, с, d равны между собой.
Между тем это, очевидно, неверно. Ряд читателей отметили, что эта
задача предлагалась в журнале «Квант» (№ 2 за 1985 г.), а в более об¬
щем виде содержится в книге Н. Б. Васильева и А. А. Егорова «Задачи
Всесоюзных математических олимпиад» (М.: Наука, 1988).
Задача 3306 допускает и практически лобовое решение: если пред¬
ставить УЗ в виде Уз (ad—be), то после переноса всех членов нера¬
венства в левую часть получим квадратный трехчлен относительно а,
неотрицательность которого доказывается обычным образом.
Найдя правильный подход к решению задачи 3309, многие не об¬
ратили внимания, что сумма x-\-i/+z должна быть неотрицательной.
Все присланные решения задачи 3310 содержат правильный ответ,
однако многие из них содержат логическую ошибку. Если возвести обе
части уравнения в куб, пользуясь формулой (a+b)3=a3 + b3-\-3ab (a+fc),
и подставить единицу вместо суммы кубических корней, то получится
простое уравнение. Однако равносильность такого преобразования в дан¬
ном случае далеко не очевидна, а в общем случае не имеет места,
поскольку равенства a+6= 1 и а3+63+За6= 1 не равносильны — напри¬
мер, при а=Ь= — 1 одно из них верно, а другое нет. Поэтому проверка
решений в данном случае является необходимой частью решения, но
большинство решавших уравнение этим способом ее не делали.
В задаче 3313 читатели привели большое количество разнообраз¬
ных формул, дающих бесконечное множество решений задачи,
в частности
(л2— 1, л2, л2+1), (л, л, л2—2л), (1, 22*, 22*"1"'),
(12m2+4m + l,12m2+4m, 12т2—2т).
Решение задачи 3314 может быть получено и при более слабых, чем
в приведенном решении, ограничениях на искомые функции: достаточно
предполагать, что они непрерывны хотя бы в одной точке. Действи¬
тельно, из тождества
[ (ii£) - /<*)+/(г)
получаем
£!f±?)+M) = Ш)+п*\, ((х+г) =Пх) +/(*>_,( о),
и если g(x)=f(x)—/(0), то g(*+z)=g(jt) +g(z), а это — классическое
уравнение, решениями которого являются в классе функций, непре¬
рывных хотя бы в одной точке, только функции g(x) = kx (k£R).
В задаче 3315 авторы решений использовали самый широкий арсе¬
нал средств математического анализа, однако рассуждения не всегда
были корректными. В частности, некоторые читатели применяли расхо¬
дящиеся ряды или переставляли слагаемые в условно сходящемся ряде.
141
В задаче 3316 многие читатели, пользуясь приближениями -у/2 и -\/3
с большой степенью точности, получили решение а=1, Ь==—35, с=28,
а Г. Я■ Казарян из Тбилиси нашел решения:
(75, —91,31), (74, —56,3), (2, —70,56), (—57, —54,77);
В. А. Ясинский из г. Винницы с помощью компьютера нашел все ре¬
шения этой задачи — их оказалось 20, причем указа^ное выше решение
дает наименьшее значение выражения а+6-\/2+с-\/3 при а, Ь, с, мень¬
ших 100 по модулю: оно равно 5,2071129-10—5.
Эта задача является «почти» частным случаем теоремы Дирихле
о приближении иррациональных чисел, в которой даются оценки для
коэффициентов при иррациональных слагаемых. Однако оценки целого
числа а эта теорема не содержит, и поэтому пришлось подбирать не
произвольные 2501 число вида Ьл]2-\-с-^2>, что было бы сделать легко,
но лишь такие числа, которые по возможности мало отличаются друг
от друга. Эта идея подбора принадлежит читателю JI. Г. Руденко из
г. Краснодара, хотя, возможно, существует и менее искусственный набор
чисел или другая оценка числа а.
Наибольший процент неверных решений геометрических задач был
по задаче 3307. Конечно, ее никак нельзя отнести к категории сложных.
Единственное, что требуется от решателя,— это внимание при переборе
различных вариантов. Чаще всего терялся случай е (рис. 1, е). В своем ре¬
шении мы не стали давать полного обоснования того, что нами рассмотре¬
ны все возможные варианты, а лишь «обозначили» это обоснование,
перебрав все возможные разбиения попарных расстояний на две группы.
Формально еще следовало бы поаккуратнее рассмотреть различные
расположения внутри групп. Например, для случая 3+3: «Три равных
расстояния могут образовывать равносторонний треугольник, или иметь
общую вершину, или образовывать незамкнутую трехзвенную ломаную...»
Довольно много ошибок было в решениях задачи 3308. Обычно те¬
рялся или ортоцентр, или дуг^ окружности. Кроме того, во многих ре¬
шениях ортоцентр указывался без достаточных обоснований. Точнее,
указывалось, что ортоцентр обладает нужным свойством, но не доказы¬
валось, что других таких точек внутри треугольника нет.
Самой простой из геометрических задач оказалась задача 3311.
Мы получили очень много различных ее решений и привели одно из
наиболее распространенных и, кажется, самое короткое.
По формулировке и методам решения задачу 3312 следует отнести
к типичным конкурсным и далеко не самым трудным конкурсным зада¬
чам. Судя по всему, больших затруднений у опытных решателей она
не вызывала, хотя многие из них все же не сумели избежать ненужно
громоздких вычислений. Вероятно, нам следовало бы давать в своем
разделе побольше задач на «культуру вычислений».
Е5Е~КОнкурсные задачи оказались приблизительно равными по слож¬
ности. Решения задачи 3317, подобного приведенному нами, среди
присланных в редакцию не было. Все решения были аналитическими.
Наше решение опирается на один известный факт, который можно
назвать леммой Архимеда. С ней мы уже встречались. Она почти
всегда бывает полезной в задачах, в которых фигурируют окружности,
касающиеся фиксированных окружностей и прямых. Задача 3317 до¬
пускает обобщение, доказательство которого несравненно сложнее.
А именно: пусть Т — произвольная точка на стороне АВ треугольника.
142
Рассмотрим окружность, касающуюся отрезков ТВ, ТС и описанной око¬
ло ABC окружности. Тогда прямая, соединяющая точки касания этой
окружности с ТВ и ТС, проходит через центр окружности, вписан¬
ной в ABC.
Решения задач 3318 и 3319, полученные нами, показали, что мно¬
гие читатели неплохо владеют техникой «работы» со сферическими
треугольниками (трехгранными углами). В своем решении зада¬
чи 3318 мы, оперируя некоторыми известными утверждениями из сфе¬
рической геометрии и геометрии тетраэдра, сумели вовсе обойтись безо
всяких вычислений. Практически все решения наших читателей основы¬
вались на теоремах косинуса для трехгранного угла.
Интересный геометрический факт, как нам кажется, иллюстрирует
задача 3319. Оказывается, на сфере, в отличие от плоскости, из равен¬
ства медиан не следует равнобедренность треугольника.
Поначалу мы собирались дать несколько иное решение задачи 3320:
без вычислений, но с апелляцией к некоторым известным
(см.: И. Ф. Шарыгин «Задачи по геометрии. Планиметрия») фактам.
Решение при этом получалось внешне довольно коротким, но по существу
излишне замысловатым. Читатели нас убедили, что аналитическое реше¬
ние этой задачи предпочтительнее. Оно является вполне естественным,
очевидным и коротким.
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин (Москва)
Сводка решений по № 2 за 1989 г.
Акопян А. (Ереван) — 01—06, 09—11, 13—15, 20. Арзикулов Ф. Н. (При¬
морский край, г. Спасск-Дальний) — 02, 03, 05, 10, 11. Бедный Г. А. (Бер-
дичев) —03, 10, 11, 16. Бочев Р. Г. (Болгария, г. Враца) —01—05, 07,
08, 10—18, 20. Василев Ц. С. (София) — 02, 03, 10, 11, 15. Гемуев А. А.
(Нальчик) — 01, 02, 04, 05, 10, 11, 18, Герег И. А. (МССР, с. Рошкана) —
09—12. Гордон В. О. (Чита) — 02—06, 08, 09, 11 — 13, 15, 17—20. Декон-
тас А. А. (ЛитССР, г. Йонава) — 02, 03, 04, 06, 07, 09, 10, 13. Джурга-
раев А. (Джамбулская обл.) — 02, 10, 11, 13, 20. Ертушов А. Н. (Горь¬
ковская обл.) — 02, 03, 07, 10, 11. Зискинд Л. Е. (Винница) — 01—04,
09—II. Извекова Т. М. (Пятигорск) — 02, 03, 04, 10. Ильясов М. Н.
(Павлодар) — 01—05, 09, 10, 14, 15, 18—20. Казарян Г. Я. (Тбилиси) —
13—20. Колтуновская Т. Н., Колтуновский О. А. (Южно-Сахалинск) —
09—11, 15. Курганов Т. К. (Ташкентская обл., г. Чирчик) — 02, 05, 09,
10, 14, 15, 20. Курило Н. А. (Харьковская обл.) — 02—04, 09—12,
14, 15, 18—20. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 01—04. Повелий В. И.
(Ровенская обл.) — 02, 09—11. Руденко Л. Г. (Краснодар) —01—06,
13—16. Рустамов А. Р. (Дагестанская АССР) — 02, 03, 07, 10. Си¬
меонов А. А. (Болгария, г. Своге) —06, 10—13, 17—19. Ткачев В. Ф. (Во¬
ронежская обл.) — 02—05, 07, 10—13, 15—20. Тухтабаев М. (Наманган-
ская обл.) — 01—05, 14, 17, 20. Фридлин Г. М. (Бердичев) — 02—04,
09, 10. Цхай Т. Т. (Андижан) — 01, 02, 06, 09—13, 15—20. Шастун В. Ф.
(Винницкая обл.) — 02—04, 11, 15, 18, 20. Шурт А. Я. (Ташкент) —
02—04, 08, 10, 11, 15. Ясинский В. А. (Винница) — 13—20.
Математические кружки: 46-й шк. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) —
01—04, 10; «Квант» Республиканского Дворца пионеров Алма-Аты
(рук. Г. В. Белянская) — 01—04, 08; 119-й шк. Киева (рук. Б. Д. Беню-
хис) — 02, 03, 07, 08; 257-й шк. Киева (рук. М. Л. Кобозев) — 01—05,
09, 10, 15, 17—20; 79-й шк. Киева (рук. В. Е. Куценок) — 01—05,
143
09—15; подготовительного ф-та Дагестанского мединститута
(рук. Р. Р. Рабаданов) — 01—03, 07, 10; 584-й ФМШ при МИФИ
(рук. В. Я. Роженко) — 01, 03, 05—07, 09—12; КНЗ «Горизонт» 51-й шк.
Киева (рук. Б. Н. Школьник) — С1—04, 08, 10, 11, 15; 7-х классов
61-й шк. Киева (рук. М. С. Якир) —01—05, 07, 08.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
НА 1989/90 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
4 января—100 лет со дня рож¬
дения американского математика
Раймонда Бринка (1890—1973).
Работал в различных городах
США, читал лекции в Сорбонне,
Москве и др. Основные труды по
алгебраической геометрии. Член
Нью-йоркской АН, Американско¬
го математического общества,
Математической ассоциации Аме¬
рики, Эдинбургского математиче¬
ского общества.
9 янзаря—100 лет со дня рож¬
дения советского математика-пе¬
дагога Елизаветы Савельевны
Березанской (1890—1969).
Родилась в Майкопе. Окончила
Высшие женские (Бестужевские)
курсы в Петербурге (1914). Ее
«Сборник задач по арифметике»
(1933) был принят в советской
школе как стабильный, а «Ме¬
тодика арифметики» (1934) ста¬
ла необходимым пособием для
каждого учителя. Обе книги пере¬
ведены на многие иностранные
языки. Ценный вклад в мето¬
дику математики внесли работы
Е. С. Березанской, посвященные
методике преподавания алгебры и
анализу знаний учащихся восьмых
классов. В 1964 г. вышла одна
из ее последних книг «Вопросы
стереометрии в курсе математики
восьмилетней школы». Профес¬
сор. Медаль им. К. Д. Ушин-
ского (см.: Математика в школе.
1969. № 6; 1980. № 1).
15 января— 140 лет со дня рож¬
дения русского математика и ме¬
ханика, писателя и публициста
Софьи Васильевны Ковалевской
(1850—1891). Родилась в Москве
в семье генерала В. В. Корвин-
Круковского. Первым ее учителем
по высшей математике был та¬
лантливый педагог А. Н. Странно-
любский. В 1868 г. она вышла
замуж, а через год вместе с му¬
жем выехала в Германию. После
безуспешных попыток поступить в
Берлинский университет Софья
отправилась к Вейерштрассу. Он
предложил ей очень трудные за¬
дачи. К его удивлению, задачи
были быстро решены. Так мате¬
матическим образованием
С. В. Ковалевской стал руководить
крупнейший немецкий математик
того времени, а в 1874 г. по хо¬
датайству Вейерштрасса Г еттин-
генский университет присвоил
С. В. Ковалевской степень док¬
тора философии «с высшей
похвалой» за три самостоятель¬
ные научно-исследовательские ра¬
боты. Вернувшись в 1874 г. на ро¬
дину, С. В. Ковалевская установи¬
ла знакомство с П. J1. Чебыше¬
вым, Н. Е. Жуковским, выступа¬
ла с научными докладами, зани¬
малась литературной деятель¬
ностью — написала роман «Ниги¬
листка». Усилия Софьи Васильев¬
ны получить работу по специаль¬
ности оставались тщетными.
В 1883 г. она получила пригла¬
шение от шведского математи¬
ка Г. Миттаг-Леффлера в Сток¬
гольмский университет. За работы
по теории вращения твердого
тела С. В. Ковалевской были при¬
суждены премии Парижской
(1888) и Шведской (1889) АН.
В 1889 г. она была избрана чле-
ном-корреспондентом Петер¬
бургской АН (см.: Кочина П. Я.
Софья Васильевна Ковалевская.
М.; 1981; Матвеев Н. Принцесса
науки. Софья Васильевна Ковалев¬
ская. Повесть о жизни. М.,
1972; Квант. 1975. № 3).
17 января — 80 лет со дня рож¬
дения советского математика Иго¬
144
ря Дмитриевича А до (1910—
1983). Ученик Н. Г. Чеботаре¬
ва. Родился в Казани. Окончил
Казанский университет (1931),
профессор (1939). В 1931 —1941 гг.
работал в Казанском университе¬
те, с 1935 г.— в Казанском хи-
мико-технологическом институте.
Основные труды по алгебре. По¬
лучил важные результаты в теории
непрерывных групп, позволяющие
свести изучение так называемых
локальных групп Ли к изучению
комплексных матриц. Заслужен¬
ный деятель науки и техники
ТАССР (1955) (см.: БСЭ. 2-е изд.;
История Отечественной математи¬
ки. Т. 3—4).
25 января — 120 лет со дня рож¬
дения шведского математика
Хельге Нильса Фабина Коха
(1870—1924). Учился в Стокголь¬
ме, Лейпциге и Париже. Рабо¬
тал в Стокгольме. Основные тру¬
ды по функциональному анализу;
в частности, Кох рассматривал по¬
нятия аналитической функции бес¬
конечного числа переменных. Его
именем названа одна из матриц
в теории интегральных операто¬
ров. Премия им. Миттаг-Леффле-
ра (см.: Бородин А. И., Бу¬
гай А. С. Выдающиеся матема¬
тики: Биографический словарь-
справочник. Киев, 1987).
Февраль
17 февраля — 100 лет со дня рож¬
дения английского математика,
биолога и статистика Рональда
Эйлмера Фишера (1890—1962).
Окончил Кембриджский универ¬
ситет (1913). Работал в Лондоне и
Кембридже. В 1957 г. переехал в
Австралию. Математические тру¬
ды по теории вероятностей и ма¬
тематической статистике. В част¬
ности, в 1912 г. разработал так
называемый метод максимально¬
го правдоподобия. Многие поня¬
тия и утверждения в математи¬
ческой статистике связаны с име¬
нем Фишера (F-распределение,
Z-распределение) (см.: Математи¬
ка в школе. 1979. № 6).
20 февраля — 130 лет со дня рож¬
дения чешского математика Ма-
тиаша Лерха (1860—1922). Уче¬
ник К. Вейерштрасса. Профессор
Высшей технической школы в Пра¬
ге (1906—1920) и университета в
Брно (1921—1922). Основные тру¬
ды по математическому анализу и
теории чисел. Изучение трудов
Лерха началось в университете в
Брно (1945—1949) и с 1952 г.
продолжается в Центральном ма¬
тематическом институте. Известна
дзета-функция Липшица — Лерха
(см.: Реферативный журнал «Ма¬
тематика». 1988. 2А114).
26 февраля — 70 лет со дня рож¬
дения японского математика Горо
Адзумайя. Некоторое время
работал в США. Основные тру¬
ды по алгебре. Известны алгеб¬
ры Адзумайя в теории колец и
модулей, алгебры Адзумайя с ин¬
волюцией, глобальные теории Ад¬
зумайя в аддитивных категори¬
ях и др. (см.: Реферативный жур¬
нал «Математика». 1977. 7А410,
12А273; 1978. 4А278; 1979. 1А301).
А. И. Бородин, А. Ф. Саушкин
(г. Донецк)
УВАЖАЕМЫЕ КОЛЛЕГИ!
Предполагается учредить Всесоюзную ассоциацию учителей математики,
призванную активно участвовать в деле перестройки школьного мате¬
матического образования, широко осуществлять пропаганду и обмен
педагогическим опытом, всемерно содействовать повышению квалифи¬
кации учителя, защищать его право на творческий поиск, самостоятель¬
ность, инициативу.
Желающие войти в ее состав, принять участие в подготовке проектов
устава и программы могут писать в редакцию журнала «Математика
в школе». На конверте обязательно сделать пометку: «АССОЦИАЦИЯ».
145
Шк ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Юность и зрелость Коши
(Продолжение.
Начало см. на с. 2 обложки)
Математические способности
Огюстена-Луи Коши проявились
довольно рано, еще тогда, когда
он занимался под руководством
отца. С большим интересом маль¬
чик изучал основы счета и гео¬
метрии. В связи с этим его био¬
граф Вальсон отмечал, что, про¬
сматривая старые учебные тетра¬
ди Огюстена, «можно нередко
встретить работу по словесности,
неожиданно прерванную; матема¬
тическая идея, очевидно, про¬
скользнула в уме ученика и
увлекла его к своему переводу
в цифры и фигуры» [3, с. 17].
Благодаря близости поместья
отца к богатым имениям Лапла¬
са и Бертоле, математические спо¬
собности Огюстена-Луи с ранне¬
го возраста стали известны окру¬
жавшему их избранному кружку
ученых. Со временем, когда Лап¬
лас стал канцлером сената и ста¬
рейшиной ученых, он помнил мо¬
лодого школьника и помогал ему
своим советом и поддержкой.
С 1800 г. Луи-Франсуа Коши за¬
нял высокий пост секретаря сена¬
та, на котором трудился под не¬
посредственным руководством
Лапласа. В кабинете отца в Люк¬
сембургском дворце часто зани¬
мался Огюстен-Луи. Там его уви¬
дел еще один известный матема¬
тик — Лагранж, обративший вни¬
мание на редкое научное дарова¬
ние мальчика. Однажды (в 1801 г.)
в присутствии некоторых членов
сената Лагранж сказал, что этот
мальчик в скором времени затмит
всех геометров. Вместе с тем Лаг¬
ранж советовал отцу не форсиро¬
вать развитие математического
дарования сына до 17-летнего
возраста. В какой-то степени этот
совет был исполнен. Только с
15 лет Огюстен-Луи перешел
от гуманитарных наук к естествен¬
ным и прежде всего — к мате¬
матике. Такая линия образова¬
ния оказалась благотворной, ибо
впоследствии у Коши выработа¬
лось сочетание математическо¬
го гения с замечательным писа¬
тельским талантом. Он сочинял
стихи на французском, латыни и
на древнееврейском языке, из¬
ложил в стихах некоторые фак¬
ты математики и астрономии, был
способным публицистом.
По окончании элементарного
курса занятий под руководством
отца Огюстен-Луи поступил в
Центральную школу Пантеона, где
в 1803—1804 гг. получил ряд
наград за выдающиеся успехи в
области гуманитарных наук, в том
числе Большой приз, который на¬
значался от имени главы государ¬
ства.
Для Огюстена-Луи 1804 г. был и
годом первого причастия. Гото¬
вясь к этому торжественному со¬
бытию, он составил для себя
некую программу в форме нрав¬
ственных правил под названием
«Решения», которым он хотел бы
следовать в дальнейшем. Среди
них отметим следующее обяза¬
тельство: «Я никогда не буду хва¬
стать тем небольшим количеством
научных знаний, которые я приоб¬
рел при помощи забот моего
отца, понимая прежде всего, что
если я и знаю что-нибудь, то
единственно благодаря прило¬
женным ко мне стараниям, и
что, если бы он не дал себе
труда меня обучить, я стал бы та¬
ким же невеждой, как и много
других детей...» [3, с. 22].
По совету Лагранжа Огюстен-
Луи около двух лет посвятил изу¬
чению математических наук под
руководством профессора Дине,
146
одного из соседей по поместью
в Аркее.
В 1805 г. 16-летний Коши по¬
ступил в знаменитую парижскую
Политехническую школу, выдер¬
жав экзамен вторым по списку.
Здесь он достиг заметного пре¬
восходства над своими товарища¬
ми, находя по сравнению с извест¬
ными более изящные и простые
решения довольно сложных задач.
Через два года он поступил в
Школу мостов и дорог первым по
списку. По окончании этой школы
Коши был назначен кандидатом
на должность инженера по со¬
оружению моста в Сен-Клу. Его
талант и деловитость обеспечили
дальнейшее назначение на работу
по сооружению укреплений в пор¬
ту Шербург (1810—1813).
Несмотря на большую загрузку
практической работой, Коши за¬
нялся самостоятельным изучени¬
ем трудов Лапласа, Лагранжа и
других математиков, а также пов¬
торением основ всей математи¬
ки по определенному, составлен¬
ному им плану, начиная с арифме¬
тики. Кроме того, он находил
время для бесплатного препода¬
вания и подготовки бедных любо¬
знательных юношей к поступле¬
нию в специальные школы.. При
этом он преподавал не только
естественные науки, но иногда и
латинский язык. Эти занятия по¬
служили хорошей тренировкой к
его будущей профессорской дея¬
тельности. В тот же период Ко¬
ши подготовил свою первую науч¬
ную работу по теории сводов,
которая была передана на отзыв
академику де Прони и утеряна.
Первый труд Огюстена-Луи Ко¬
ши по математике относился к
теории многогранников (181 1). За¬
тем последовала работа по теории
директрис, а в 1813 г. появи¬
лись уже три мемуара из обла¬
сти алгебры. Блестящий успех
имел мемуар Коши по определен¬
ным интегралам (1814), открыв¬
ший новую главу математическо¬
го анализа. Замечателен был и
мемуар следующего года, посвя¬
щенный так называемым много¬
угольным числам. Еще через год
Коши решил задачу из теории рас¬
пространения волн на поверхно¬
сти тяжелой жидкости. Эти и дру¬
гие исследования показали силу и
разносторонность Коши как мате¬
матика. Его постепенно стали при¬
знавать одним из наиболее искус¬
ных математиков своей эпохи.
В 1813 г. Коши баллотировал¬
ся в академию, но не прошел
(был избран Пуансо). В 1816 г.
после реставрации Бурбонов уч¬
реждения академии подверглись
различным преобразованиям, из
нее были исключены Карно и
Монж. На их место указом пра¬
вительства были определены Ко¬
ши и Брегет. Монж очень болез¬
ненно переживал незаслуженную
обиду и через два года умер.
«Избрание» Коши в академию,
совершившееся под давлением
монарха, в первое время возбу¬
дило бурю негодования. Но по¬
степенно возмущение улеглось
благодаря энергичной научной и
преподавательской деятельности
ученого. С 1816 г. он стал про¬
фессором Политехнической шко¬
лы и Сорбонны, позже — Коллеж
де Франс. По отзывам слушате¬
лей, Коши был лектором по при¬
званию, мастером слова и инте¬
ресным рассказчиком, вызывав¬
шим любознательность и дове¬
рие аудитории. Новизна его науч¬
ных взглядов и оригинальность
методов нередко затрудняли вос¬
приятие материала его ученика¬
ми. Но, видя их беспокойство,
он потом излагал сложные места
более подробно и понятно.
Огромное значение для обще¬
го прогресса преподавания мате¬
матических наук имели лекцион¬
ные курсы Коши по алгебраи¬
ческому анализу, по исчислению
бесконечно малых, по приложе¬
нию анализа к геометрии и дру¬
гие. Два первых из вышеуказан¬
ных курсов переведены на рус¬
ский язык (см.: Коши О. Ал¬
гебраический анализ: Пер. с фр.
Ф. Эвальда, В. Григорьева,
А. Ильина. Лейпциг, 1864; Ко¬
ши О. Резюме лекций по исчисле¬
147
нию бесконечно малых: Пер. с фр.
В. Буняковского. СПб., 1831).
Благодаря своим лекционным
курсам и научным работам Ко¬
ши стал одним из основополож¬
ников современного строгого из¬
ложения анализа, свободного от
обманчивых, а иногда и ошибоч¬
ных «очевидных» геометриче¬
ских представлений, от неоправ¬
данных ссылок на интуицию. В ука¬
занных работах были обоснова¬
ны современное дифференциаль¬
ное и интегральное исчисле¬
ние, теория рядов. Изложение ос¬
новывалось на систематическом
использовании понятия предела;
это послужило образцом для
построения аналогичных курсов
после Коши. В своих лекциях
Коши дал определение непрерыв¬
ности функции, а также определе¬
ния другим основным понятиям
анализа, провел исследование
свойств элементарных функций,
разработал учение об условной и
абсолютной сходимости рядов.
В лекциях по исчислению бес¬
конечно малых Коши дал клас¬
сическое определение интеграла,
разобрал понятие несобствен¬
ного интеграла, открыл новый
взгляд на проблемы разложения
функций в ряды, выявил значе¬
ние остаточного члена ряда Тейло¬
ра. В теории дифференциальных
уравнений ему принадлежит за¬
слуга постановки одной из основ¬
ных задач этой теории (задача
Коши). Он сформулировал и дока¬
зал основную теорему существо¬
вания и единственности (при дан¬
ных начальных условиях) решений
дифференциальных уравнений
для случая действительных и
комплексных переменных (для по¬
следних он развил метод мажо¬
рант).
За 40 лет творческой жизни
Коши написал более 700 работ,
которые печатались главным об¬
разом в трудах Парижской ака¬
демии, а затем были собраны в
«Собрании сочинений» [2] в двух
сериях, охватывающих 26 томов.
В его работах заложены основы
многих направлений современной
математики и некоторых ее при¬
ложений. Большой заслугой Ко¬
ши является то, что он сделал
решающий шаг в сторону созда¬
ния теории аналитических функ¬
ций комплексного переменного,
основу которой заложили Л. Эй¬
лер и Ж. Д'Аламбер. Коши раз¬
работал геометрическую интер¬
претацию комплексного перемен¬
ного (как точки, перемещающей¬
ся в плоскости по тому или
другому пути интегрирования),
установил условия дифференци¬
руемости в комплексной обла¬
сти, изучил понятие криволиней¬
ного интеграла (теорема Коши),
начал исследование особых точек;
доказал разложимость функций
комплексного переменного в ряд,
разобрал понятие круга сходимо¬
сти. Его работы в этом направле¬
нии стали фундаментом дальней¬
шего развития теории.
Коши предложил метод интег¬
рирования уравнений с частными
производными первого порядка,
разработал теорию вычетов и ее
применений к различным вопро¬
сам анализа.
В области приложений матема¬
тики главные результаты Коши от¬
носятся к некоторым разделам
физики, астрономии, теории упру¬
гости, оптике, где он развил
теорию Френеля и теорию дис¬
персии.
Педагогическая деятельность
Коши была прервана в 1830 г.
после свержения династии Бурбо¬
нов. Он был убежденным като¬
ликом и легитимистом и после
Февральской революции пережил
тяжелую драму. От него требова¬
лась присяга в верности новому
режиму, а он бескомпромиссно
отказался это сделать и был не¬
медленно уволен со всех долж¬
ностей. Его также не устраива¬
ла перспектива стать частным уче¬
ным, и он решил покинуть Фран¬
цию. Сначала отправился в Швей¬
царию, во Фрибург. В 1831 г.
ему предложили кафедру физи¬
ки в Туринском университете.
Затем Коши стал воспитателем
бывшего наследника французско¬
148
го престола 13-летнего принца-
герцога Бордосского. Однако обя¬
занности учителя и воспитателя
принца, которые Коши выполнял
очень ревностно, отбирали у не¬
го почти все время и не дава¬
ли возможности заниматься нау¬
кой.
В 1838 г. ученый решил вернуть¬
ся на родину. Место в акаде¬
мии все эти годы оставалось за
ним. В «Сообщениях» академии
публиковались его работы. На ро¬
дине Коши энергично принялся
за дальнейшие научные исследо¬
вания. В последние 19 лет его
жизни он поместил в различных
изданиях академии более 500 ме¬
муаров. Почти в каждом из них
содержались новые открытия, но¬
вые идеи. В 1839 г. Коши избрали
в «Бюро Долгот» (одно из уч¬
реждений академии), но его не
утвердил новый король. Однако
Коши все же работал там, прав¬
да, без содержания, и проявил
себя как талантливый астроном.
После февральской революции
1848 г. король Луи-Филипп был
свергнут, а новое правитель¬
ство отменило присягу при заня¬
тии государственных и обществен¬
ных должностей, что позволило
Коши занять вакантную кафедру
в Сорбонне. Новая опасность по¬
явилась в 1852 г.: после государ¬
ственного переворота Луи-Напо¬
леона Бонапарта была восста¬
новлена присяга. Однако, по осо¬
бому указу, от нее освобожда¬
лись некоторые лица, в том чис¬
ле Коши и Араго.
В психологическом плане Коши
был сложной натурой. Он ревност¬
но относился к защите своих ав¬
торских прав, иногда спорил о
приоритете по мелким вопросам.
Высокообразованный, вежливый и
доброжелательный даже к про¬
стым людям — соседям, которым
он помогал и материально, он
вместе с тем небрежно и недоб¬
рожелательно относился к моло¬
дым ученым. Известен следую¬
щий факт: одну из лучших сво¬
их работ молодой норвежский
математик Н. X. Абель предста¬
вил Парижской академии. Коши
поручили рецензировать эту рабо¬
ту, но он... затерял ее в своих
бумагах. Только после энергичной
настойчивости немецкого матема¬
тика К. Г. Якоби Коши разыскал
работу Абеля. Но это произошло
уже после смерти автора.
Раздраженный высокомерием
Коши, Абель называл его в сво¬
их письмах из Парижа на родину
ханжой и иезуитом. Это было
выражение взгляда на Коши со
стороны молодых парижских ма¬
тематиков. Действительно, Коши
всячески поддерживал иезуитов,
выпустил две книги в их защиту,
помогал материально борьбе с
противниками католического уче¬
ния. Разделяя консервативные
взгляды, он ненавидел прогрес¬
сивную философию XVIII в., ко¬
торую считал источником многих
бедствий и упадка нравов. Как
свидетельствует биограф, при вы¬
боре новых членов академии го¬
лос Коши определялся не науч¬
ными заслугами кандидатов, а
близостью их политических и ре¬
лигиозных взглядов к его собст¬
венным. Вместе с тем Коши высту¬
пал инициатором сбора различных
благотворительных пожертвова¬
ний. Он настаивал на освобож¬
дении от налогов бедных ново¬
брачных, хлопотал о помощи го¬
лодающим ирландцам.
Умер Коши 22 мая 1857 г. и по¬
хоронен в местечке Ссо, где была
школа, находившаяся на его по¬
печении.
Литература
1. Bertrand J. Biographies scien-
tifiques Augustin-Louis Cauchy //
Revue scientifique. Paris, 1898,
(4), 9, No 4. P. 97—104.
2. Cauchy A.-L. Oeuvres com¬
pletes [En. 2 ser., 26 vol.]. Paris,
1882—1938.
3. Valson C. A. La vie et les
travaux du baron Cauchy, membre
de l’Academie des sciences [En. 2
vol.]. Paris, 1868.
В. А. Добровольский (Киев)
149
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Полезное пособие
Гусев В. А, Литвиненко В. Н., Мордкозич А Г. Практикум по решению математи¬
ческих задач. Геометрия. М.: Просвещение, 1985.
В рецензируемой книге отражены основные вопросы действующей про¬
граммы практикума по решению геометрических задач в пединститутах.
Набор задач достаточно представителен: в книге их всего 954, причем
562 — планиметрические, а остальные — стереометрические. Они помо¬
гают увязывать школьное и вузовское преподавание и отрабатывать
методические подходы к обучению решению задач различных типов.
Пособие написано ясным, лаконичным языком, использующим
теоретико-множественную и логическую символику, которая тем не менее
употребляется не навязчиво, с чувством меры.
Книгой очень удобно пользоваться, так как в ней изложены необ¬
ходимые теоретические сведения, приведены примеры решения некото¬
рых задач различными способами, даны общие методические указания
к решению- задач определенного вида.. Наиболее удачны такие реко¬
мендации по аффинным и метрическим задачам, по задачам на отыска¬
ние наибольших и наименьших значений.
В своей работе со студентами мы использовали это учебное посо¬
бие и высоко его оцениваем. Однако считаем необходимым высказать ряд
пожеланий.
В теоретических сведениях сформулирована теорема Чевы, а теорема
Менелая не приводится, хотя в соответствии с программой практикума
студенты должны знать обе эти теоремы и уметь применять, их к решению
задач. Причем теорема Чевы легко доказывается на основе теоремы
Менелая, что полезно показать будущим учителям.
Весьма полезно было бы дать набор планиметрических задач, ре¬
шаемых с помощью метода геометрических мест, и разобрать наиболее
интересные из них. Более широкое применение метода геометрических
мест способствует достижению одной из целей обучения математике —
формированию умений правильно рассуждать.
Авторы иногда увлекаются аналитическими методами, не используя
там, где это целесообразно, более рациональные способы. Следует обра¬
щать внимание читателя на разнообразные решения, особенно- в
тех местах книги, где задачи разобраны подробно и названы приме¬
рами. Ниже мы дополняем эти примеры другими решениями.
Пример 8 на с. 16: «В равнобедренном треугольнике ABC угол С
при вершине равен 100°. Построены два луча: один — с началом в точке
А под углом 30° к лучу АВ, другой — с началом в точке В под
углом 20° к лучу ВА. Эти лучи пересекаются в точке М. Найдите углы
ACM и ВСМ».
В книге эта задача решена с использованием теоремы синусов. Но
можно применить и осевую симметрию.
Проведем биссектрисы AD и CD в треугольнике ABC (рис. 1). При
симметрии относительно AM точка С перейдет в точку Сi на луче AD.
При симметрии с. осью CD точка М перейдет в точку Mi, также лежа-
150
щую на луче AD. Доказав, что точки Mi и Сi совпадают, установим
следующее: угол ЛС[Л1 перейдет при осевой симметрии с осью AM
в угол ACM. Следовательно, угол ACM составляет 20°, угол МСВ — 80°.
Пример 7 на с. 20: «Точка К — середина стороны AD прямоуголь¬
ника ABCD. Пайти угол между ВК я диагональю АС, если известно,
что AD:AB = s[2-».
Авторы применяли здесь способ вспомогательного параметра, яо за¬
дача легче решается с помощью векторов.
Пусть ЛС=а + 6 (рис. 2), AM — 4-(а+ 6), ВК= тг *—
1 _ _ 1_ _ _ _ ^ _
= — (Ь — 2а); АМ-ВК = -g-(а-(-&)-(Ь — 2а) = 0, так как |&|=У2|а|.
Однако авторов нельзя упрекнуть в игнорировании векторного
способа. Они уделяют ему достаточное внимание, приводят необходимое
количество решенных задач на с. 75—76.
Мы уже отмечали задачи на экстремум. В целом они кажутся луч¬
шим местом в книге. Однако пример 5 на с. 91—93, иллюстрирующий
аналитический и геометрический способы, отличается от других примеров
в худшую сторону. Аналитический способ здесь оказался громоздким
и нерациональным, его можно было бы изложить в сокращенном виде.
В этом параграфе желательно показать и то, что при решении задач на
экстремум иногда применяются геометрические преобразования.
В стереометрических задачах также нужно обращать внимание
на поиски рациональных решений. Рассмотрим пример 4 на с. 177:
«Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, со¬
впадает с центром шара, описанного около этой пирамиды. Найти дву¬
гранный угол при ребре основания ABCD пирамиды SABCD».
Предлагаем решение, отличное от того, которое разобрано в пособии.
Пусть К — центр обоих шаров, L — точка касания вписанного шара
с боковой гранью SAB: 0=\AC\[\[BD], Л SKL— Д АКО и G.4 = SL.
Обозначим АВ_ через а. Тогда LP=OP=Or5a, где ОРА-АВ-, PS=SL-\-
+£Л=0,5а(з/2-)-1). Обозначим через X величину искомого угла. Тогда
cos Х=1:(У2+1)=У.2—1. Отсюда A’=arccos (^2—1).
В заключение следует отметить, что резенцируемое пособие окажет
существенную помощь студентам педагогических институтов и учителям
средних школ. К сожалению, эта полезная книга вышла небольшим
тиражом. Она заслуживает переиздания.
А. Д. Терентьев, М. А. Петрова (Москва)
151
Новые книги
История математики
Лавринович К. К. Фридрих Вильгельм Бессель. 1784—1846.— М.:
Наука, 1989.— 320 с.— (Науч.-биогр. сер.) — 80 к. 5000 экз.
Леднева Л. Д. Павел Осипович Сомов. 1852—1919.—М.: Наука,
1989.— 139 с.— (Науч.-биогр. сер.) — 30 к. 5600 экз.
Монографии. Учебники и пособия для вузов
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функциональ¬
ного анализа: Для ун-тов.— 6-е изд., испр.— М.: Наука, 1989.— 623 с.—
1 р. 50 к. 35 000 экз.
Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии / Пер. с фр.— М.: Мир,
1989.— 311 с.— (Современная математика. Вводные курсы).— 1 р. 20 к.
25 000 экз.
Никольский С. М. Элементы математического анализа: Для под¬
готовительных отд-ний вузов.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука,
1989,— 222 с.— 35 к. 180 000 экз.
Ширяев А. Н. Вероятность: Для вузов.— 2-е изд., перераб. и
доп.— М.: Наука, 1989.— 640 с.— 1 р. 70 к. 19 300 экз.
Научно-популярные книги
Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем на
плоскости и одним лишь сферографом в пространстве.— 3-е изд.,
перераб. и доп.— М.: Наука, 1989.— 110 с.— (Популярные лекции по
метематике).— 25 к. 138 000 экз.
Решетников В. Н., Сотников А. Н. Информатика — что это? — М.:-
Радио и связь, 1989.— 112 с.— (Научно-популярная б-ка школьника).—
30 к. 236 000 экз.
Шашкин Ю. А. Неподвижные точки.— М.: Наука, 1989.— 80 с.—
(Популярные лекции по математике).— 20 к. 92 000 экз.
Книги для учителя и учащихся
Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометриче¬
ских задач: Книга для учителя.— Киев: Радянська школа, 1989.—
160 с.— 25 к. 70 000 экз.
Маневич Д. В. Теория вероятностей и статистика в школьном
образовании: Методическое пособие.— Ташкент: Укитувчи, 1989.—
197 с.— 55 к. 5000 экз.
Перова М. Н. Методика преподавания математики во вспомога¬
тельной школе: Для педвузов.— 3-е изд., перераб.— М.: Просвещение,
1989.— 336 с.— 95 к. 29 000 экз.
Сборник задач для поступающих в вузы / Под ред. А. И. При-
лепко.— 2-е изд., испр. и доп.— М.: Высшая школа, 1989.— 271 с.—
70 к. 200 000 экз.
Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения
задач по математике для средней школы.— 2-е изд., перераб. и доп.—
М.: Наука, 1989.— 574 с.— 2 р. 200 000 экз.
Ф. М. Шустеф (Минск)
152
Тематический указатель статей,
опубликованных в журнале в 1989 г.
Об утверждении государственного базисного учебного плана сред¬
ней общеобразовательной школы — № 6, с. 3.
Резолюция Всесоюзного съезда работников народного образова¬
ния — № 2, с. 3.
Матросов В. Л. В секции «Педагогическое образование» Все¬
союзного съезда работников народного образования — № 3, с. 3.
Представляем делегатов съезда
Адамская Н. П. Школе нужна всесторонняя помощь — № 2, с. 8.
Бурдин А. О. Юрий Афанасьевич Макаров — № 2, с. 16.
Генкин Г. 3. Алевтина Ивановна Лукина — № 2, с. 13.
Хазанкин Р. Г. Развивать творческие способности школьников! —
№ 2, с. 10.
Перестройка и проблема подготовки учительских кадров
Ахмедгалиев А. А. Размышления учителя — № 4, с. 20.
Боголюбов Н. Н., Киреев А. Н. Постановление Бюро Отделения
математики Президимума Академии наук СССР «О состоянии мате¬
матического образования в педвузах СССР» — № 3, с. 14.
Гнеденко Б. В. Об образовании преподавателя математики сред¬
ней школы — № 3, с. 19.
Ефремович В. А., Гладкий А. В. К вопросу о подготовке учителей
математики в педагогических институтах — № 3, с. 15.
Мнения и предложения — № 4, с. 9.
Новиков С. П. О состоянии математического образования в педву¬
зах СССР — № 3, с. 8.
Проблемы реформы математического образования — № 5, с. 3.
Реформа школы — наше общее дело — № 1, с. 3.
Семенович А. Ф. Больше прав педвузам — № 4, с. 6.
Соболев С. Л. Нужен разговор по существу — № 4, с. 22.
Степанов В. Д. Конструктивно переосмыслить прошлый опыт —
№ 4, с. 3.
Столяр А. А. Не допускать крайностей — № 4, с. 8.
Шарифов Дж., Азизов С., Рахманов Ш. Учить учиться — № 5, с. 17.
Эрдниев Б. П. Против умаления роли методики математики —
№ 5, с. 16.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Бродский Я- С., Павлов А. Л. Об уровне обязательной подго¬
товки учащихся по математике — № 6, с. 20.
Гнеденко Б. В. О роли математики в формировании у учащих¬
ся научного мировоззрения и нравственных принципов — № 5, с. 19.
Гузеев В. В. Гуманитарная составляющая обучения математике —
№ 6, с. 33.
153
Ершов А. П. Компьютеризация школы и математическое образова¬
ние — № 1, с. 14.
Зандер В. К. Дополнение к известной таблице — № 2, обложка.
К концепции школьного математического образования — № 2, с. 20.
Кремень Э. А. Одно минимальное свойство ортоцентрического тре¬
угольника — № 1, обложка.
Малая Н. В. Математическое домино — № 2, обложка.
Метельский Н. В. Реализм — основа перестройки школьного матема¬
тического образования — № 3, с. 23.
Методические рекомендации по разгрузке программы — № 4, с. 39.
Морозов А. П. Как запомнить формулы — № 4, обложка.
От Главного учебно-методического управления общего среднего
образования Гособразования СССР — № 4, с. 38.
Рекс П. А. Электрифицированные тренажеры — № 6, обложка.
Рисунок — помощник памяти — № 3, обложка.
Сохранов В. В. Элементы зачетной системы в V классе — № 6, с. 35'.
Федотов В. Е. Измеритель двугранных углов — № 4, обложка.
Перестройка — общее дело
Бурда М. И., Драч Т. Д., Литвиненко Г. IL, Хмара Т. Н. За объек¬
тивность оценки знаний — № 6, с. 12.
Заря Г. В. Математическое образование: для всех или для некото¬
рых? — № 6, с. 9.
Корольков Б. Е. Домашние задания? — Необходимы — № 6, с. 13.
Одинцов П. К-, Одинцова Л. А. Не забывать и сельскую школу —
№ 6, с. 15.
Чалов А. Н. В поисках путей гуманизации — № 6, с. 00.
К началу учебного года
В помощь учителям, работающим по учебникам «Алгебра 7» и «Ал¬
гебра 8» под редакцией С. А. Теляковского (1989 г. издания) —
№ 3, с. 64.
В помощь учителям, работающим по учебнику Э. Р. Нурка и
А. Э. Тельгмаа «Математика 6» — № 3, с. 58.
Об углубленном изучении математики в VIII классе — № 3, с. 73.
Относительная погрешность — № 3, с. 71.
Тематическое планирование учебного материала на 1989/90 учебный
год — № 3, с. 46.
Из опыта работы
Абрамович С. М. К вопросу о воспитании графической культуры
учащихся — № 5, с. 26.
Баймуханов Б. Б. Тематический контроль и учет знаний — № 5, с. 38.
Валиев Индивидуальные задания по устранению ошибок —
№ 5, с. 42.
Векслер С. И. Найти и преодолеть ошибку — № 5, с. 40.
Гордин Р. К■ Опыт работы московской школы № 57 — № 4, с. 47.
Грузин А. И., Кузнецова А. Ф., Михеева Е. Я■ Одна из форм
коллективной деятельности учащихся — № 5, с. 30.
154
Декопольцева 3. П. Как ликвидировать пробелы в знаниях —
№ 5, с. 35.
Деребалюк Л. В. Виды зачетов в старших классах — № 1, с. 37.
Епишева О. Б. Формирование приемов учебной деятельности учащих¬
ся при обучении математике — № I, с. 31.
Затакавай В. В. Одна из форм оперативного контроля — № 3, с. 37.
Калинина М. И., Крутихина М. В. Телевизионная передача о
математическом моделировании — № 4, с. 63.
Крейдлин Г. Е., Шмелев А. Д. Языковая деятельность и решение
задач — № 3, с. 39.
Кухтерина В. К. Сигналы-помощники — № 4, с. 54.
Куценок В. Е. Еще раз о системе уроков — № 6, с. 29.
Мацкин Ю. М. К методике изучения операций над рациональными
числами — № 1, с. 46.
Микаэлян А. А. В методическую копилку — № 4, с. 66.
Милаш И. Организация контрольно-оценочной деятельности —
№ 6, с. 25.
Миронова Г. В; Яковлева М. Т. О проведении уроков «Анализ
контрольной работы» — № 4, с. 65.
Михайлова Е. И. Предварить изучение нового — № 5, с. 34.
Одинамадов К■ О. На первых уроках обучения тождественным
преобразованиям — № 6, с. 39.
Перевощикова Е. Н. Семинар по теме «Задачи, решаемые с по¬
мощью интегралов» — № 3, с. 30.
Рахматов Н. X. Иллюстрация математических методов на приклад¬
ных задачах — № 2, с. 30.
Саранцев Г. И., Лунина Л. С. Обучение методу аналогии —
№ 4, с. 42.
Синько В. Е. К изучению теоремы о сумме внутренних углов
выпуклого л-угольника — № 2, с. 35.
Фролова Т. Ф. Роль наглядных представлений при изучении первых
разделов планиметрии — № 1; с. 39.
Черных Л. А. Использование классной доски на уроках геометрии —
№ 2, с. 36.
Шевченко Г. С. Когда преобразования не уступают вычислениям
на МК — № 4, с. 58.
Якир М. С. Что же такое красивая задача? — № 6, с. 41.
Консультация
Волович М. Б. Таблицы по математике для V—VI классов —
№ 5, с. 52.
В помощь учителям, работающим по новым учебникам алгебры для
VII и VIII классов (под ред. С. А. Теляковского) — № 5, с. 47.
В помощь учителям, работающим по учебнику Э. Р. Нурка и
А. Э. Тельгмаа «Математика 6» — № 5, с. 45.
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Материалы для
155
контрольных работ в VIII классе с углубленным изучением математи¬
ки: I полугодие — № 4, с. 27. II полугодие — № 6, с. 49.
Глейзер Г. Д. Замечания к письму А. М. Гольдмана.— № 1, с. 62.
Гольдман А. М. Письмо в редакцию — № 1, с. 58.
Звавич Л. И., Смирнова В. К. Из опыта подготовки к экзамену
в классах с углубленным изучением математики — № 1, с. 47.
Краснянская К. А., Кузнецова Г. М., Шевкин А. В. О преподавании
математики по учебнику «Математика 5» Э. Р. Нурка, и А. Э. Тель¬
гмаа. Первые итоги — № 6, с. 59.
Минаева С. С., Чернышева Л. Ю. О преподавании математики по
учебнику «Математика 5» Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа. Методиче¬
ские рекомендации — № 6, с. 67.
Проблемы и суждения
Бескин Н. М. О задачах методики математики — № 5, с. 64.
Виленкин И. Я-, Сагвалдиев А. Об изучении показательной функции
в школе — № 6, с. 75.
Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Изучение показательной и лога¬
рифмической функций на основе понятий и методов математического
анализа — № 6, с. 67.
Львовский В. А., Рубцов В. В. Психологические проблемы конт¬
роля и оценки знаний школьников — № 3, с. 81.
Эксперимент
Миракова Т. И. Об уровне языкового развития учащихся VI—
VII классов — № 1, с. 64.
Из писем и заметок
Апозян М. Е. Еще раз о числе атомов в кристаллической ре¬
шетке— № 2, с. 77.
Аракелян Р. Л. Еще раз о сумме углов многоугольника — № 5,
с. 76.
Березин В. Н., Березина Л. Ю., Никольская И. Л. Ответ на публика¬
цию — № 5, с. 83.
Гладкий А. В. Сказка о Канторе и кванторе — № 5, с. 77.
Гольберг Е. М. Об отделе задач — № 5, с. 82.
Гольберг Е. М. От пособий мы ждем большего! — № 2, с. 74.
Ивайнер И. К., Спатару К. Г. Улучшать, а не отвергать —
№ 1, с. 75.
Леонидова Н. А был ли секрет? — № 5, с. 80.
Олевский В. А. О секрете происхождения арабских цифр — № 5, с. 78.
Самовол П. И. Нужна идея — № 1, с. 73.
Скворцов П. Г., Скворцова М. Г. Об обучении арифметике в
школе — № 6, с. 91.
Смоляков А. Н. Более простое доказательство теоремы — № 5, с. 76.
Субботин И. Я-, Якир М. С. Улучшать, а не отвергать — № 1, с. 76.
Черных И. М. Больше внимания — № 6, с. 94.
Шарыгин И. Ф. Реплика по поводу заметки о Международной
математической олимпиаде 1988 г.— № 2, с. 72.
156
Ясиновый Э. А. Несколько слов об отделе задач — № 6, с. 00.
Компьютер на уроке
Авраменко В. С. Квадратные уравнения и МК на математическом
кружке — № 5, с. 84.
Асылбеков Ш. Ж. Компьютер и наглядность — № 5, с. 90.
Оксман В. М. Компьютер строит график — 5, обложка.
Якубов А. ЭВМ в сельской школе — № 6, с. 47.
Вступительные экзамены в вузы
Богуславская Т. М., Семенова И. Н., Юдина И. Б. Коломенский пе¬
дагогический институт — № 2, с. 50.
Воробьева М. А. Голдина В. Н., Петров И. М. Московский авто¬
мобильно-дорожный институт — № 2, с. 53.
Копылов В. С., Пчелинцев С. В. Московский государственный пе¬
дагогический институт им. В. И. Ленина — № 2, с. 40.
Рассудовская М. М. Московский областной педагогический инсти¬
тут им. Н. К. Крупской — № 2, с. 47.
Родин В. И., Сапоженко А. А., Сергеев И. Н., Соколихин А. Н.
Московский государственный университет — № 1, с. 78.
Подумаем вместе
Болтянский В. Г. Алгоритмизация внешняя и содержательная —
№ 2, с. 68.
Келдибаев Б. Школьный математический кабинет при вузе —
№ 2, с. 64.
Румачик П. Ф. От планирования к алгоритмам — путь пере¬
стройки преподавания математики — № 2, с. 65.
Шепетов А. С., Малышева И. В. О переводных экзаменах но
геометрии в VI, VII и IX классах — № 2, с. 58.
Конкурсные учебники
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г.,
Юдина И. И. О конкурсном учебнике геометрии для VII—IX клас¬
сов — № 1, с. 95.
Башмаков М. И. Учебник по алгебре и началам анализа для
старших классов — № 4, с. 68.
Погорелое А. В. Об учебнике «Геометрия 7—II» — № 5, с. 92.
Шеврин Л. Н., Гейн А. Г., Коряков И. О., Волков М. В. О книге
«Математика 5—6. Учебник-собеседник» — № 2, с. 78; № 3, с. 87.
Факультативные занятия
Шарыгин И. Ф. Учимся решать задачи по геометрии — № 2, с. 87;
№ 3, с. 95; № 4, с. 73.
157
VI Международный конгресс по
математическому образованию
Болтянский В. Г. Информатика и преподавание математики —
№ 4, с. 86.
Долбилин Н. П., Никольский С. М. Заметки о конгрессе — № 4, с. 81.
Малкова Т. В. В Московском математическом обществе — № 4, с. 91.
Теляковский С. А. О понятии функции в школьном курсе матема¬
тики — № 4, с. 90.
Внеклассная работа
Болтянский В. Г. Поворот и центральная симметрия — № 6, с. 108.
Вавилов В. В., Фомин А. А. XXIX Международная математи¬
ческая олимпиада — № 1, с. 110.
Готман Э. Г. Геометрические задачи, решаемые с помощью пово¬
рота — № 3, с. 108.
Грудцын Л. И. Зависимость между углами в правильной «-уголь¬
ной пирамиде — № 2, с. 118.
Думитрашку С. С. Приближенное решение геометрических задач —
№ 5, с. 97.
Коробов В. А. Изложение основных понятий теории колебаний
и волн в рамках изучения тригонометрии — № 3, с. 114.
Кузнецова Г. М., Сергеев И. Н. XXIII Всесоюзная математическая
олимпиада школьников — № 6, с. 95.
Купцов Л. П., Канунникова Г. А., Резниченко С. В. Третий этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике — № 2, с. 101.
Кушнир И. А. Проекции точки на две стороны треугольника, когда
она движется по третьей — № 6, с. 120.
Нижегородцев Р. М. Итерационный процесс в задаче на экстремум —
№ 4, с. 96.
Переход И. А., Касаткин В. Н. Решение линейных диофантовых
уравнений с помощью ЭВМ — № 3, с. 103.
Позднякова А. Г. Математический вечер в школе — № 5, с. 104.
Рузин Н. К■ Использование текстовых задач в воспитательной
работе — № 3, с. 118.
Сефибеков С. Р. Один из способов решения задачи о замеча¬
тельных точках треугольника — № 4, с. 98.
Тереигин Н. А. Уравнение прямой на уроках алгебры — № 5, с. 100.
Ясиновый Э. А. Международный турнир школьников по математике
«Дружба-88» — № 2, с. 116.
Занимательная страница
Авилов Н. И. Знакомая и незнакомая таблица Пифагора — № 1,
с. 117.
Авилов Н. И. Составление квадромагического числового квадрата —
№ 6, с. 127.
Бовсуновский Н. И. Неужели единственное решение? — № 2, с. 122.
Домашенко А. М. Числовые ребусы — № 6, с. 126.
158
Онищенко Г. П. Представление чисел специального вида в виде
суммы слагаемых того же вида — № 3, с. 121.
Столяр В. Г. А фокусы ли это? — № 5, с. 110.
Задачи
№ 1,с. 121; № 2, с. 123;№3,с. 123;№4,с. 100;№5, с. ИЗ; №6, с. 128.
Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф. Замечания к решениям задач —
№ 1, с. 134; № 2, с. 136; № 3, с. 133; № 4, с. 116; № 5, с. 125;
№ 6, с. 140.
Редакционная почта
Что за письмами? Споры и предложения — № 4, с. 128.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Добровольский В. А. Юность и зрелость Коши — № 6, с. 146.
Дорофеева А. В. Насирэддин ат-Туси — № 3, обложка, с. 145.
Дорофеева А. В. Омар Хайям — № 2, обложка, с. 145.
Крапивин 3. И. Георгий Феодосьевич Вороной — № 1, ст. 145.
Кузичева 3. А. Анания Ширакаци — № 1, обложка, с. 144.
Кузичева 3. А. Иоганн Мюллер (Региомонтан) — № 4, обложка,
С. 125.
Кузичева 3. А. Книга по арифметике Яна Видмана — № 5, с. 131.
Математический календарь
На 1988/89 учебный год: март—апрель — № 1, с. 137; май—июнь —
№ 2, с. 141; июль — август — № 3, с. 139.
На 1989/90 учебный год; сентябрь — октябрь — № 4, с. 121;
ноябрь — декабрь — № 5, с. 128; январь — февраль — № 6, с. 144.
А. М. Пышкало — 70 лет — № 3, с. 144.
Ведерников В. И., Гусак А. А., Лапковский А. К. А. С. Феден-
ко — 60 лет — № 4, с. 123.
Гнеденко Б. В., Азларов Т. А., Садуллаев А. С., Абдурахманов А. А.
М. А. Сабирову — 80 лет — № 3, с. 141.
К 80-летию Ф. Ф. Нагибина — № 4, с. 122.
Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Глейзер Г. Д. В. А. Огане¬
сяну — 60 лет — № 2, с. 144.
Латотин Л. А., Радьков А. М. А. А. Столяру — 70 лет —
№ 1, с. 140.
Мадиримов М. М., Ташпулатов Б. Т., Азимов Р. Н., Норматов А. А.
Ш. Т. Максудову — 80 лет — № 4, с. 123.
Ноздрачева Л. М., Долгих В. Ф. М. И. Ягодовскому — 70 лет —
№ 3, с. 143.
Якиляшек В. И. М. Л. Крайзману — 70 лет — № 2, с. 143.
ЗА РУБЕЖОМ
Блох А. Я-, Черкасов Р. С. О современных тенденциях в методике
преподавания математики — № 5, с. 133.
159
Верченко А. И., Верченко С. Б. Дифференциация обучения ма¬
тематике во Франции — № 3, с. 148.
Маслова Г. Г. О математическом образовании в КНР — № 4,
с. 143.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Бескин Н. М. О книге В. Д. Рыбасенко, И. Д. Рыбасенко «Эле¬
ментарные функции: формулы, таблицы, графики» — № 2, с. 151.
Боровик В. Н., Плясун Н. Ф. О пособии Е. С. Дубинчук и 3. И. Слеп-
кань «Преподавание геометрии в средних ПТУ» — № 5, с. 148.
Власенко А. И. Нужна объективная критика — № 2, с. 153.
Зубова М. Н. Интересная книга по геометрии — № 4, с. 151.
Михайлов И. И. Журнал «Обучението по математика» в 1987 г. —
№ 4, с. 154.
Терентьев А. Д., Петрова М. А. Полезное пособие — № 6, с. 150.
Фирсов А. И. Рецензия на книгу А. Д. Александрова «Основания
геометрии» — № 2, с. 147.
Шустеф Ф. М. Новые книги — № 1, с. 141; № 2, с. 156; № 3, с. 146;
№ 4, с. 156; № 5, с. 154; № 6, с. 152.
Шушанский Н. И. План выпуска литературы Главной редакцией
физико-математической литературы издательства «Наука» в 1990 г.—
№ 5, с. 150
Яглом И. М. Задачи, задачи, задачи — и история, и современ¬
ность (вступительное слово Ф. Л. Варпаховского) — № 5, с. 143.
Ястребинецкий Г. А. О книге Н. П. Кострикиной «Задачи повы¬
шенной трудности в курсе математики 4—5 классов» — № 4, с. 152.
ХРОНИКА
Высшая награда АН СССР — № 3, с. 159.
Гисин В. Г. О межвузовском семинаре в Перми — № 4, с. 157.
Глейзер Г. Д. В секции средней школы • Московского математи¬
ческого общества — № 1, с. 150.
Иванов К■ На методическом семинаре математического факуль¬
тета МГПИ им. В. И. Ленина — № 1, с. 147.
Столяр А. А. О международной конференции по дидактическим
проблемам подготовки учителей математики — № 1, с. 156.
Туровинина Л. А. Межвузовский семинар в Улан-Уде — № 5, с. 156.
Чунихина Л. Л. Семинар «Актуальные проблемы использования
компьютеров в учебном процессе» — № 1, с. 155.
Шапкина В. Н. Семинар «Передовые идеи в преподавании мате¬
матики в СССР и за рубежом» — № 1, с. 153.
НЕКРОЛОГИ
Г ладкий А. В., Г рек А. С., Фет А. И. Памяти В. А. Ефремовича —
5, с. 158.
Памяти В. Т. Базылева — № 2, с. 157.
Памяти В. Г. Житомирского — № 1, с. 159.
Электрифицированные тренажеры
Тренажер представляет собой фанерную панель размером 600 X
Х800 мм с обвязкой из деревянных брусков 20X40 мм. Лицевая
сторона покрыта цветным пластиком. На ней имеется 41 тумблер
ТП-1-2. Один из них—для включения и выключения прибора.
Остальные снабжены лампочками и размещены по столбцам — по
10 тумблеров и лампочек в каждом столбце. Два столбца из четы¬
рех предназначены для фиксирования вопросов, два других—для
ответов. Лампочки имеют напряжение 2,5 В или 3,5 В. Питание
осуществляется от батарейки Б-3336 («Планета»), если в кабинете
один! тренажер. Если же их больше и все они должны работать
одновременно, то можно использовать трансформатор небольшой
мощности, например от ночника «Тюльпан» или от детского филь¬
москопа.
«Найти производную данной функции»
Тренажер по такому заданию показан на рис. 1. (Для эконо¬
мии места на рис. 1 воспроизводим не по 10 тумблеров в каждом
столбце, а по 3.) Допустим, ученику нужно проверить, хорошо ли
он помнит формулу (ах)' — ах In а. Он включает тумблер слева от
записи (а*)’, и тут же рядом загорается лампочка. Теперь среди
записей во II столбце панели ученик должен найти вторую часть
проверяемой формулы и включить соответствующий тумблер спра¬
ва. Если ответ будет верен, загорится лампочка около этого
тумблера.
Тренажер действует и в обратном режиме, т. е. можно прове¬
рить, какой функции соответствует каждая из производных во II
или в IV столбце. С прибором можно работать как в одиночку,
так и по парам (один ученик зажигает лампочки-вопросы, а другой
разыскивает лампочки-ответы).
«Синус и косинус числового аргумента»
В подзаголовок вынесено название тренажера, с помощью ко¬
торого ребята прочно и быстро запоминают числовые значения
функций sin х и cos х при некоторых х из промежутка [0; 2я].
Общий вид тренажера — на рис. 2. Как видим, включен тумблер
* = я/4. Загорелась нужная лампочка и на единичной окружности.
Найдены верные значения для sin (я/4) и для cos (я/4), поскольку
в этих столбцах горят лампочки (-/ 2/2). Электрическая схема, за¬
действованная для нахождения значений sin х и cos х при значе
ниях х, кратных я/4, дана на рис. 3.
Аналогично нужно собрать и другие части общей схемы для
значений х, кратных я/6, я/3, я/2, я.
Питание сети осуществляет ВШ-6, используются диоды Д-226,
Д-226-Д, резисторы по 30 или 33 Ом.
® •
(хп)‘ е*
• ®
® •
(U + V)'
u'v-uW
V* ~
• ®
0 •
(а*)' пх л_?
• ®
® •
(и»у
u'+V
• ®
® •
(ех)' а*1па
• ®
® •
№'
u'u+uV1
• ®
Рис. 1
ш -
Индекс 70557
Рис. 2
X X 5'ЛХ C0SX
П. А. Рекс
(д. Молотковичи Брестской обл.)