ISSN 0130-9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно*
методический
журнал
Министерства
просвещения
СССР

X, х2 0
Q(5;e)
7
|_L (х-5)+(у-8)2 = 65
х4-75х2-70х+24=0
(x2-8)z+(x-5)2=65
у=х2
Франческо Бонавен.-ура Кавальери— знаменитый
итальянский математик.
Родился в знатной, но обедневшей семье. В 15 лет
вступил в монашеский орден. В то время такой путь
был единственной возможностью получить образование
и заниматься наукой для тех, кто не имел
собственных средств.
Хорошо зная греческий и латинский языки, молодой
человек изучил сочинения Архимеда, Аполлония,
Паппа и стал замешать своего учителя Кастелли на
кафедре математики в Пизе. Здесь ои познакомился
с Галилеем, который высоко оценил его
математическое дарование.
Обязанности священника мешали Кавальери целиком
отдаться науке «От меня ждут больших успехов
в теологии и искусстве произносить проповеди...
Однако никогда не будет того, чтобы я увлекся
другими науками, так как я знаю, что это — тот
н стоящий путь, по которому я должен идти»— так
ученый писал о математике. Обремененный разными
монастырскими делами, он занимался наукой только
в свободные часы.
Когда в 1629 г. освободилось место преподавателя
математики в Болонском университете, Галилей
рекомендовал на эту должность Кавальери,
охарактеризовав его как «соперника Архимеда».
Кавальери был избран на кафедру и работал там
до конца жизни.
Научная деятельность Кавальери проходила в эпоху,
когда математика применялась 1лавным образом
в астрономии и механике. Гелиоцентрическая система
Коперника, обнародованная в 1543 г., в начале
XVII в. была усовершенствована Кеплером. С ее
пропагандой открыто выступал Галилей. Кавальери
также излагал теорию Коперника в своих лекциях,
твердо убежденный в превосходстве учения
Коперника и Галилея над богословской
схоластической наукой.
Кавальери много занимался астрономией, сферической
геометрией и теорией логарифмов Составил
11-значные таблицы тригонометрических функций.
Но главным делом своей жизни считал теорию
неделимых. Его книга «Геометрия, изложенная новым
способом при помощи неделимых непрерывного»
впервые была издана в 1635 г. Таким образом, в
1985 г. исполнилось 350 лет со дня выхода в свет
этого замечательного произведения, сыгравшего
значительную роль в создании интегрального
исчисления.
Основы сзоеп теории неделимых Кавальери изложил
еще в 1621 г. в письме к Галилею. В тот период
он заинтересовался философскими вопросами
математики, изучал сочинения средневековых
атомистов.
Непосредственным предшественником Кавальери
в развитии интеграционных методов был Кеплер,
в астрономических исследованиях которого
квадратуры играли решающую роль. Например, один
из открытых им законов движения планет Кеплер
формулировал так: «...радиусы-векторы планет
„заметают” за равные промежутки времени равные
секториальные площади». Развитые Кеплером
инфинитезимальные методы были очень плодотворны.
Но онн не были строгими. Это понимали и сам
Кеплер и его современники.
Воспитанный на классических сочинениях античной
науки, Кавальери стремился построить строгую
теорию отыскания площадей и объемов. Соединив
инфинитезимальные приемы Кеплера с
представлениями средневековой атомистики, он
разработал принципы своей геометрии неделимых.
Чтобы сравнить площади двух фигур на плоскости,
Кавальери предложил рассматривать «все лннпи»
этих фигур, т. е. отрезки, получившиеся при
пересечении фигур прямыми, параллельными
некоторой направляющей прямой. Ои полагал, что
если длина каждой «линии» одной фигуры находится
в постоянном отношении к длине соответствующей
«линии» другой фигуры, то и площади находятся
в том же отношении. В частности, Кавальери
утверждал: площади (или объемы) двух фигур
равны, если равны между собой длины (или площади)
всех их соответственных сечений, проведенных
параллельно некоторой данной прямой
(или плоскости). Это предложение впоследствии
вошло во многие учебники геометрии как принцип
Кавальери.
Опашем кратко подход Кавальери к интегрированию
(этого термина тогда еще не существовало). Пусть
функция у—х задана на [0, а]. Кавальери
рассматривает «сумму всех неделимых» фигуры ONa
(см. рисунок), т. е. вычисляет ее площадь н тем
самым фактически находит определенный интеграл
от функции у=х на [0, а]. Затем он отыскивает
«сумму квадратов всех неделимых» фигуры ONa,
т. е. вычисляет определенный интеграл от функции
у=х2 на [0, а].
Эта формулировка задачи в общем виде—основная
заслуга Кавальери. Ведь его великие
предшественники Архимед и Кеплер для каждого
конкретного случая искали новый прием. А Кавальери
показал, что теорему об интегрировании функции
у—х2 можно применить к решению разнообразных
геометрических задач, не выводя каждый раз заново
формулу для отыскания площади.
В 1647 г., введя понятия «сумма кубов неделимых»,
«сумма 4-х степеней неделимых» и т. д., ученый
нашел определенные интегралы от функции у=хп
для п=3,4...9 и высказал общее утверждение, что для
любого натурального п справедлива формула (1).
ап+'
} xndx~-^+\
о
(1)
Окончание статьи см. далее в этом номере.
Научно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Ноябрь — декабрь
3 XXVII съезду КПСС — достойную встречу!
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
На путях реформы школы
7 Программа по математике для средней общеобразовательной школы
(V—XI классы)
Повышение эффективности урона
Ю. М. Koj-ягин,	27	О прикладной и практической направленности обучения математике
Р В. Пикан
С. Г. Губа	32	О некоторых причинах перегрузки учащихся при обучении математике
Из опыта работы
М.	Р. Куваев	36	Диалог как форма обучения доказательствам
А.	И. Грузин	38	Организация эвристической беседы в начале обучения геометрии
X, Ш.	Шихалиев	40	О решении задач с помощью пропорций
Г. П.	Панарина	41	Знакомить учащихся с нашими достижениями
Проблемы и суждения
А. А. Кузнецов,	44	ЭВМ на уроках математики
С. А. Бешенков,
Д. О. Смекалин
Д. К. Фаддеев и др.	46	Об элементах высшей математики в средней школе
Внеклассная работа
А. В. Гришин,
А. С. Пономаренко,
А. М. Слинько
Л. П. Купцов и др.
Т. М. Корикова,
3. А. Скопец
Д. Ф. Изаак
Н. М. Бескин
48 XIX Всесоюзная олимпиада школьников по математике
55 Заключительный этап XI Всероссийской физико-математической и хи-
мической олимпиады школьников
58 Об использовании единичного вектора при решении задач
60 Доказательство существования центра подобия и его построение
61 Об одной ошибке
Задачи 63
Математический календ арь на 1985/86
учебный год
А. И. Бородин	68	Январь — февраль
Занимательная страница
И. И. Михайлов	70	Числовые курьезы
© «Математика в школе», № 6,' 1933 г.
«4
ilW ,
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
	А. Я. Блох	71	Прекрасный мир математики
	Я. И. Груденов	’ 71	Полезная книга для студентов пединститутов
	ЗА	РУБЕЖОМ	
Г	И. Ганчев, Й. Кучиноз	73	Обучение математике в НРБ
	Ф. М. Шустеф	74	Новые книги
ХРОНИКА
Н. X. Розов	75	В секции средней школы Московского математического общества
И. А. Лурье; В. Н. Шапкина	76	Методические семинары в Москве
В. Ю. Гуревич	77	Республиканский семинар в Минске
	78	Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 19В5
Редакционная коллегия
Главный редактор Р. С. Черкасов ,
Зам. главного редактора А. И. Верченко
Редакционный совел
(представители союзных республик)
Члены редакционной коллегии:
Н. М. Бескин
В. Г. Болтянский
Н. Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б. В. Гнеденко
Г В. Дорофеев
Н. Л. Ермолова
Д. Н. Колмогоров
Ю. М. Калягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
Л. М. Пашкова
И. С. Петраков
Н. X. Розов
В. А. Скворцов
П. В. Стратилатов
3. С. Сихотина
К. И. Шалимова
С. И. Шварцбурд
Г. А, Ястоебинецкий
Д М. Алиев (АзССР)
X. Д. Асадов (ТаджССР)
Ь Б. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
А. С. Зибертас (ЛитССР)
Д- И. Икрамов (УзССР)
К. К. Кожаспаее (КазССР)
Ш. М. Майлиев (КиргССР)
В. Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
//. //. Садовникова (РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3 И. Слепкань (УССР)
Д. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И Ф. Тесленко (УССР)
Р А. Хабиб (РСФСР)
Д. М. Хоштария (ГССР)
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технический редактор
Л. В. Розанова
Корректор
Л. В. Мельник
Сдано в набор 22 10.85. Подписано в пе-
чать 26.11.85. Формат 84Х10871в. Печать
высокая. Усл. леч. л. 8,40. Уч.-изд. л. 11.40.
Усл. кр.-отт. 9,03. Тираж 406 910 экз.
Цена 45 коп. Заказ 362.
Издательства «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР и Государствен-
ного комитета СССР по делам изда-
тельств» полиграфии и кяижной торговли.
Адрес издательства: 107847. Москва, ГСП,
Б-05. Лефортовский пер., д. 8
Адрес редакций: 129278. Москва,
ул. П. Корчагина, д. 7; телефон 283-85 83.
Московская типография № 13
ПО «Периодика» ВО «Союзполиграфлром*
Государственного комитета. СССР по де-
лам издательств, полиграфии и книжной
торговли.
107005, Москва, Б-5, Денисовский пер., Д. 30.
XXVi I съезду КПСС—достойную встречу!
В атмосфере деловитости, творческой напря-
женной работы, охватывающей все трудовые
коллективы, все сферы жизни советского об-
щества, идет в нашей стране подготовка к
XXVII съезду ленинской партии. Советские
люди живут сегодня духом позитивных пере-
мен, стремлением идти вперед, не отступая
перед трудностями, сверяя свои практические
дела с установками апрельского и октябрь-
ского (1985 г.) Пленумов ЦК КПСС, реше-
ниями Центрального Комитета партии.
Все это определяет и ключевые направле-
ния работы педагогических коллективов
|школ, внешкольных и дошкольных учрежде-
ний, всех работников народного образования.
В докладе Генерального секретаря ЦК
КПСС товарища М. С. Горбачева на апрель-
ском Пленуме ЦК КПСС еще раз подчерки-
вается: «Мы начали школьную реформу, зна-
чение которой для будущего страны трудно
переоценить. И сейчас требуется не формаль-
но, а содержательно подойти к поставленным
задачам и кардинально улучшить качество
обучения и воспитания подрастающих поко-
лений, их подготовку к общественно полезно-
му труду».
Органы народного образования мобилизу-
ют просвещенцев на выполнение планов и
обязательств 1985 г. и одиннадцатой пятилет-
ки в целом, составление планов на двенадца-
тую пятилетку, решение ключевых проблем
реформы общеобразовательной школы: улуч-
шение качества обучения и воспитания
школьников, введение преподавания курса
«Основы информатики и вычислительной тех-
ники», проведение подготовительной работы
по переходу на обучение детей с шестилетне-
го возраста, коренное улучшение трудового
воспитания, обучения и профессиональной
ориентации учащихся в общеобразовательной
школе, совершенствование системы управле-
ния, значительное улучшение подготовки, пе-
реподготовки и повышения квалификации пе-
дагогических и руководящих кадров просве-
щения, укрепление организованности, дис-
циплины и порядка во всех звеньях системы
народного образования.
За воемя, прошедшее с начала осуществле-
ния реформы, сделано немало.
В текущем учебном грду в девятых классах
школ страны начато преподавание нового
учебного предмета «Основы информатики и
вычислительной техники», который призван
сформировать у учащихся знания о современ-
ных электронно-вычислительных машинах и
системах, привить навыки работы с ЭВМ,
обеспечивая тем самым компьютерную гра-
мотность учащихся. Подготовлены учебное
пособие для учащихся и методическое руко-
водство для учителей. В 1986/87 учебном
году курс информатики и вычислительной
техники будет введен и в десятых классах.
Начато оснащение школ электронно-вычисли-
тельной техникой. Предполагается к концу
двенадцатой пятилетки создать на 5—6 школ
один кабинет, оборудованный персональными
ЭВМ.
В девятых классах общеобразовательных
школ в этом учебном году введен и другой
новый предмет — «Этика и психология семей-
ной жизни». Этот курс представляет собой
важное звено в системе воспитания, он приз-
ван формировать у учащихся знания о прин-
ципах социалистической семьи, умение пра-
вильно строить внутрисемейные отношения и
растить детей, вырабатывать непримиримое
отношение к буржуазным взглядам на семью.
В 1985/86 учебном году занятия в школе
ведутся по новым или переработанным учеб-
никам, среди них — «Алгебра 6» и «Алгебра
7» под редакцией С. А. Теляковского, «Фи-
зика 6—7» (автор А. С. Перышкин) и ряд
других.
Больше внимания в школах стало уделять-
ся идейно-политическому воспитанию уча-
щихся, формированию диалектико-материали-
стического мировоззрения, изучению жизни и
деятельности В. И. Ленина, документов
КПСС и Советского государства, воспитанию
учащейся молодежи на боевых и трудовых
традициях партии и народа.
Вопросы экономического, экологического
образования и воспитания, формирование у
учащейся молодежи бережного отношения к
Г
3
природным ресурсам становятся составной
частью учебно-воспитательного процесса.
Большое внимание уделяется практической
направленности обучения, особенно в процес-
се преподавания предметов естественно-мате-
матического цикла. Это позволяет на более
высоком качественном уровне усваивать тео-
ретические сведения из разных областей зна-
ний, осмысленно решать задачи, использовать
приобретенные знания в процессе трудового
обучения.
В соответствии с Основными направления-
ми реформы общеобразовательной и профес-
сиональной школы Министерство просвеще-
ния СССР, Академия педагогических наук
СССР приняли меры, обеспечивающие даль-
нейшее повышение уровня подготовки уча-
щихся, эффективность научных исследований
проблем обучения и воспитания.
Определено содержание образования в со-
ветской школе, приняты новые программы по
всем учебным предметам, которые будут вво-
диться в 1986/87 учебном году.
В программах сохранено все то ценное, что
апробировано советской школой и дает воз-
можность обеспечить высокий уровень обра-
зования молодежи.
В учебных программах отражены актуаль-
ные задачи развитого социалистического об-
щества, достижения науки и техники на со-
временном этапе, значительно усилен воспи-
тательный потенциал и политехническая нап-
равленность, особое внимание уделено
вопросам, способствующим формированию
научного мировоззрения учащихся, созданию
у них более целостного представления о на-
учной картине мира. Более полное отражение
получили вопросы экономического содержа-
ния, охраны окружающей среды и взаимодей-
ствия человека и природы.
Усиление политехнической направленности
содержания образования, внимания практи-
ческим и лабораторным занятиям, показа
технологического применения законов физи-
ки, химии, биологии и других наук создает
необходимую основу для трудового обучения
и профессиональной ориентации учащихся.
Новые программы общеобразовательной
школы публикуются в научно-методических
журналах не только для широкого ознаком-
ления с ними педагогической общественности,
но и для возможного использования уже в
этом учебном году заложенных в них мето-
дических принципов, в частности требований
к знаниям, умениям и навыкам учащихся,
круга основных понятий и ведущих идей,
внутрипредметных и межпредметных связей,
рекомендаций к методике преподавания пред-
мета и к оцениванию знаний школьников.
К следующему учебному году будут подго-
товлены и опубликованы в предметных жур-
налах методические рекомендации, разъясня-
ющие, как использовать действующие учебни-
ки применительно к новым программам,
статьи и материалы в помощь учителю. В не-
обходимых случаях будут изданы вкладыши
к учебникам.
Задача органов народного образования, ме-
тодических служб на этом этапе — помочь
учителям правильно оценить новое содержа-
ние образования, нацелить на решение стерж-
невой задачи школы — совершенствовать
учебно-воспитательный процесс в целом, по-
вышать эффективность каждого урока, внед-
рять в практику работы школ программу раз-
вития общеучебных умений и навыков, пос-
ледовательно и планомерно формировать у
школьников рациональные приемы учебной
деятельности.
Новые школьные программы явятся осно-
вой для создания новых или переработки дей-
ствующих учебников.
Чтобы обеспечить школу учебниками, отве-
чающими современным требованиям социаль-
но-экономического и научно - технического
прогресса, Министерство просвещения СССР
приняло решение объявить конкурс на
14 школьных учебников, в том числе по всем
курсам математики и химии, по физике для
VIII класса, по обществоведению, географии
для VI, VII и VIII классов. Конкурсы будут
объявлены в течение 1985/86 учебного года.
Предусмотрено также максимально исполь-
зовать тот комплект школьных книг, который
создан в последние годы большим коллекти-
вом авторов и получил государственное и об-
щественное признание. У нас есть много хо-
роших учебников, есть квалифицированные
авторы, чей опыт и знания могут еще долго
служить школе.
В двенадцатой пятилетке увеличится вы-
пуск методической литературы для учителей.
Продолжится выпуск подписных методиче-
ских библиотек, в том числе для учителя ма-
тематики, классного руководителя. В подпис-
ные методические библиотеки включены пе-
реиздания переработанных общих и частных
методик, сборники упражнений, книги по ор-
ганизации внеклассной работы по предмету.
Предусматривается значительное увеличение
выпуска книг, знакомящих с опытом работы
учителей, пособий, раскрывающих межпред-
метные связи, организацию и планирование
учебного процесса, различного рода справоч-
ной литературы. Большое внимание уделяет-
ся созданию литературы по обучению, разви-
тию, воспитанию детей шестилетнего возра-
ста, по компьютерной грамотности учащихся
среднего и старшего школьного возраста.
Планируется выпуск пособий по трудовому,
4
патриотическому, нравственному,- атеистиче-
скому воспитанию, формированию коммуни-
стического мировоззрения, профессионально-
му и экономическому образованию учащихся,
привитию нм практических умений и трудо-
вых навыков.
Началась подготовка к изданию в следую-
щей пятилетке учебно-методических комплек-
тов, в состав которых включаются учебники,
хрестоматии, словари, справочники и другая
учебная и методическая литература для учи-
телей и школьников.
Повсеместно проводится большая работа
по подготовке к переходу школ на начало
обучения детей с шестилетнего возраста, ре-
шаются проблемы как педагогического, так и
социального характера. Речь идет не только
о том, чтобы создать материальную базу
школ, обеспечить школьников учебными ме-
стами, помещениями для отдыха, дать в руки
учебные книги и оснастить к пассы наглядны-
ми пособиями. Задача состоит в том, чтобы
подготовить ученические коллективы к встре-
че шестилетних детей, окружить их внимани-
ем, заботой, доброжелательным отношением.
Педагогические советы и родительские коми-
теты должны взять на себя обязанность разъ-
яснять родителям шестилетиях детей, общест-
венности важность мер, намеченных Основ-
ными направлениями реформы школы.
Должен быть правильно проведен первый на-
бор шестнлетннх детей в школы. Министер-
ство просвещения СССР совместно с Мин-
здравом СССР разработали и направили в
органы народного образования правила прие-
ма в I класс детей шестилетнего возраста, а
также медицинские показания к отсрочке по-
ступления детей в школу. Одобрены и на-
правлены в мпнпросы союзных республик
Типовые программы 1 IV классов общеоб-
разовательных школ. Разработанные па их
основе программы начальной школы будут
вводиться с 1986/87 учебного гола, когда нач-
нется массовое обучение шестнлетннх детей в
школах п детских садах. В союзных респуб-
ликах утверждены планы издания учебников
и методических руководств для I класса, раз-
рабатываются планы издания учебников для
II—IV классов на 1987/88 и последующие
учебные годы.
Выход нашей страны на новые историче-
ские рубежи обеспечивается прежде всего ус-
корением научно-технического прогресса, до-
стижением высшего мирового уровня произ-
водительности труда. Осуществление этой
задачи неразрывно связано с необходимостью
улучшать работу по формированию свобод-
ной, всесторонне развитой личности, раскры-
тию ее творческой активности, воспитанию ее
социальной и моральной отв«тственности.
г В общеобразовательных школах страны
усиливается работа по воспитанию сознатель-
ной дисциплины, культуры труда и поведения
учащихся.
Главные направления работы по воспита-
нию сознательной дисциплины школьников,
основные социально-педагогические требова-
ния к школьникам сформулированы в новых
Правилах для учащихся, которые введены в
практику с 1985/86 учебного года. Определе-
на также новая система оценок за поведение,
за прилежание к учению и общественно по-
лезному труду учащихся общеобразователь-
ных школ, позволяющая добиваться объек-
тивного рассмотрения результатов труда
школьников.
Повышению ответственности школьников за
учебный труд, поощрению лучших из них бу-
дет способствовать награждение наряду с
золотой медалью и серебряной медалью «За
успехи в учении, труде и примерное поведе-
ние» выпускников школ, имеющих в аттестате
о среднем образовании оценки «5» и не более
двух оценок «4» при примерном поведении.
Серебряная медаль будет впервые выдаваться
по результатам 1985/86 учебного года. Луч-
шим выпускникам неполной средней школы
будет вручаться свидетельство с отличием.
Новая редакция Положения о педагогиче-
ском совете расширяет его самостоятельность
в решении основных вопросов учебно-воспита-
тельной работы и одновременно усиливает
его ответственность как коллективного орга-
на за результаты работы школы. В частности,
педагогическому коллективу школы предос-
тавлена возможность принимать решение об
условном переводе в следующий класс неус-
певающих учащихся, принимая во внимание
сложившиеся обстоятельства учебы школьни-
ков, их здоровье и ряд других объективных
причин, направляя при этом усилия учителей
на индивидуальную работу с такими школь-
никами.
В решениях апрельского (1985 г.) Пленума
ЦК КПСС поставлена задача ввести в актив-
ное действие трудовой и духовный потенциал
каждого коллектива, максимально сочетая
идейно-политическую работу с решением
ключевых проблем развития общества. «Се-
мья и школа,— писала газета «Правда»
19 сентября 1985 г.,— пионерия и комсомол,
все государственные и общественные органи-
зации, трутовые коллективы призваны актив-
нее утверждать идеи советского патриотизма
в среде молодежи, закалять ее с классовых
позиций, растить готовой к напряженной ра-
боте на благо Родины, стойкой защите завое-
ваний социализма».
Социалистический патриотизм требует от
человека мировоззренческой зрелости, идей-
5
ной убежденности, высокой нравствен.юсти,
гражданской активности. Воспитать таких
людей может только человек, сам обладаю-
щий этими качествами. Повышение требова-
тельности к личности учителя, его морально-
му облику и профессиональному мастерству
неразрывно связано с повышением доверия к
учителю, признанием за ним права опреде-
лять те средства и методы обучения и воспи-
тания, которые приводят к положительным
результатам. В этой связи особую актуаль-
ность приобретает проблема вооружения пе-
дагога-наставника методами обучения и вос-
питания, оправдавшими себя на практике.
Ведь от применяемых учителем методов по-
рой в решающей степени зависит уровень об-
разованности и воспитанности школьников.
Вот почему проблема методов является проб-
лемой не только педагогической, но и со-
циально-политической.
В советской школе утверждаются методы,
которые стимулируют умственное, волевое
напряжение учащихся, последовательно раз-
вивают у школьников интерес и способность
к активному познанию, оптимистический на-
строй, ответственность за порученное дело,
взаимопомощь, способствуют развитию интел-
лектуальной и эмоциональной сфер личности.
Человек в социалистическом обществе — лич-
ность общественная, живущая интересами об-
щества и умеющая подчинять личные интере-
сы общественным, готовая отдать все свои
знания, весь пыл души социалистической Ро-
дине. Создать в школе, педагогическом кол-
лективе обстановку, всемерно обеспечиваю-
щую творческую работу каждого учителя, по-
нимание им выдвинутых партией задач — в
этом состоит сейчас долг администрации
школ, партийной и профсоюзной организаций.
Педагогические коллективы уже накопили
реальный опыт воплощения задач реформы в
жизнь общеобразовательной школы, опыт,
требующий самого пристального анализа. По-
ложительный отклик у просвещенцев страны
получило обращение группы московских учи-
телей «Реформе школы — самоотверженный
труд, творчество и инициативу учителей».
Октябрьским (1985 г.) Пленумом ПК
КПСС одобрены проекты новой редакции
Программы Коммунистической партии Совет-
ского Союза, Основных направлений эконо
мического и социального развития СССР на
двенадцатую пятилетку и на период до
2000 года, а также изменений в Уставе
КПСС. Обсуждение этих документов пройдет
на партийных собраниях, в трудовых коллек-
тивах, учебных заведениях, общественных ор-
ганизациях.
Партия призывает трудящихся страны от-
метить подготовку к предстоящему съезду
КПСС напряженной, самоотверженной рабо-
той, единством слова и дела, инициативой и
ответственностью, требовательностью к себе
и товарищам.
Неукоснительное соблюдение персональной
ответственности за порученное дело, готов-
ность взять ответственность на себя — это ле-
нинская постановка, продиктованная нужда-
ми сегодняшнего дня, заботой партии о все-
стороннем совершенствовании развитого со-
циализма. «Идейно-политическое воспита-
ние,— подчеркивает М. С. Горбачев,— во всех
его формах должно быть максимально со-
пряжено с жизнью, задачами ускорения со-
циально-экономического развития нашей Ро-
дины. В этом — суть изменений, которые не-
обходимо внести сегодня в идеологическую
работу. Но разворачиваться в этом направ-
лении надо энергичнее, не теряя времени».
Среди идеологических вопросов особо ак-
туальными и общественно значимыми партия
считает те, что связаны с реформой общеоб-
разовательной и профессиональной школы.
Как известно, Секретариат ЦК КПСС за-
слушал отчет Горьковского обкома пар-
тии о ходе осуществления реформы. Отмече-
но, что, несмотря на большую работу, про-
веденную на местах, многое в школах остает-
ся по-старому. Еще раз подчеркнута в этой
связи задача повысить ответственность ком-
мунистов школ, руководителей, трудовых кол-
лективов в целом за результаты работы.
Время, остающееся до съезда,— это смотр
реальных успехов школы на путях реформы,
смотр мобилизованности, творчества каждо-
го учителя и воспитателя, их готовности и
умения работать по новому.
От редакции. В этом номере журнала
публикуется разработанная НИИ содержа-
ния и методов обучения АПН СССР новая
программа по математике для одиннадиа-
тилетней общеобразовательной школы. В по-
следующих номерах предполагается помес-
тить материалы, раскрывающие идейные
установки программы, освещающие поря-
док ее введен!1"! в школу, а также методи-
ческие рекомендации по использованию
программы при работе с действующим и
учебниками.
' одном из ближайших номеров журнала
будут опубликованы условия конкурса на
создание учебников математики, подготов-
ленных в соответствии с новой програм-
мой.
В соответствии с Основными направлениям”»
реформы общеобразовательной и профессио-
нальной школы Министерство просвещения
СССР и Академия педагогических наук
СССР провели работу по пересмотру содер-
жания учебных программ. К этой работе бы-
ли привлечены специалисты министерств про-
свещения, научно-исследовательских институ-
тов школ (педагогики) союзных республик и
институтов усовершенствования учителей,
учителя-методисты, работники органов народ-
ного образования, Академии наук СССР,
МГУ им." М. В. Ломоносова, МТПЙ им.
В. И. Ленина, ЛГПИ им. А. И. Герцена, спе-
циалисты других учреждений.
Одобренные Президиумом АПН СССР и
Ученым методическим советом при Минпросе
СССР программы обстоятельно рассматрива-
лись коллегией Министерства просвещения
СССР.
В новых программах сохранено все то цен-
ное в содержании, что апробировано совет-
ской школой и дает возможность обеспечить
высокий уровень образования молодежи.
В программах нашли отражение основные
направления развития научно-технического
прогресса, современные достижения науки,
техники, культуры; усилена практическая на-
правленность. В соответствии с содержанием
уточнены требования к знаниям, умениям и
навыкам школьников, нормативы по их оце-
ниванию, даны рекомендации по методике
преподавания предмета.
Переход на новые программы начнет осу-
ществляться с 1986/87 учебного года. Но уже
в этом учебном году учитель имеет возмож-
ность использовать в практике своей работы
как содержание, так и методический аппарат
новых программ.
Полезно обсудить программы в школьных
и районных методических объединениях учи-
телей, при проведении районных (городских)
совещаний работников народного образова-
ния, на курсах переподготовки учителей и на-
чать систематическую подготовку учителей
к работе по этим программам.
Главное управление школ
Министерства просвещения СССР
Программа по математике
для средней общеобразовательной школы (V—XI классы)
Объяснительная записка
Общие цели и задачи обучения математике.
Основная задача обучения математике в об-
щеобразовательной средней школе — обеспе-
чить прочное и сознательное овладение уча-
щимися системой математических знаний и
умений, необходимых в повседневной жизни
и трудовой деятельности каждому члену со-
временного общества, достаточных для изу-
чения смежных дисциплин и продолжения
образования. Обучение математике призвано
активно способствовать коммунистическому
воспитанию учащихся, формированию у них
научного, диалектико - материалистического
мировоззрения.
В системе учебных предметов средней
школы математика занимает важное место.
Это объясняется ее безусловной практической
значимостью, необходимостью для изучения
других предметов и вкладом, вносимым обу-
чением математике в формирование личност-
ных качеств школьников.
Практическая значимость школьной мате-
матики обусловлена тем, что ее объектом яв-
ляются пространственные формы и количест-
венные отношения действительного мира. Ма-
тематическая подготовка необходима .для
понимания принципов устройства и использо-
вания современной техники, восприятия науч-
ных и технических понятий и идей, важна
для повседневной практической деятельности
7
человека. В современных условиях научно-
технической революции и превращения науки
в непосредственную производительную силу
общества математика является языком нау-
ки и техники, с помощью ее аппарата моде-
лируются, изучаются и прогнозируются мно-
гие явления и процессы, происходящие в
природе и обществе. В силу этого полноценная
математическая подготовка выпускников
средней школы является необходимым усло-
вием научно-технического прогресса; от ее
качества непосредственно зависит научно-тех-
нический, производственный, экономический
и оборонный потенциал страны.
Математика является одним из опорных
предметов средней школы: она обеспечивает
изучение ряда других школьных дисциплин
на уровне современных требований. В первую
очередь это относится к предметам естествен-
нонаучного цикла и среди них более всего
к физике. Изучение математики вносит суще-
ственный вклад в формирование содержа-
тельной основы курса информатики и вычис-
лительной техники. Нельзя недооценивать
влияния математического образования на
предметы гуманитарного цикла, достигаемо-
го за счет развития логического мышления
учащихся при обучении математике, а также
путем использования математических понятий
и идей в курсах языковых и общественных
дисциплин. Практические умения и навыки
математического характера необходимы для
трудовой и профессиональной подготовки
школьников.
Велико значение обучения математике для
коммунистического воспитания школьников.
Развитие у учащихся правильных представ-
лений о природе математики, сущности и
происхождении математических абстракций,
соотношении реального и идеального, харак-
тере отражения математической наукой явле-
ний и процессов реального мира, месте мате-
матики в системе наук и роли математиче-
ского моделирования в научном познании и в
практике способствует формированию диалек-
тико-материалистического мировоззрения уча-
щихся.
Обучение математике способствует станов-
лению нравственных черт личности: настойчи-
вости и целеустремленности, творческой ак-
тивности и самостоятельности, ответственно-
сти и трудолюбия, дисциплины и критичности
мышления, способности аргументированно
отстаивать свои взгляды и убеждения. Изу-
чение математики требует от учащихся умст-
венных и волевых усилий, концентрации вни-
мания, активности и систематичности, разви-
того воображения.
Изучение математики вносит существенный
вклад в умственное развитие учащихся. В хо-
де обучения в арсенал приемов и методов
мышления учащихся включаются индукция и
дедукция, обобщение и конкретизация, анализ
и синтез, классификация и систематизация,
абстрагирование, аналогия. Развитию творче-
ских способностей школьников содействует
активное использование задач на всех этапах
учебного процесса.
При обучении математике формируются
умения и навыки умственного труда: плани-
рование своей работы, поиск рациональных
путей ее выполнения, критическая оценка
результатов. В процессе обучения математи-
ке школьники могут и должны научиться из-
лагать свои мысли ясно и исчерпывающе, ла-
конично и емко, приобрести навыки четкого,
аккуратного и грамотного выполнения мате-
матических записей.
Важнейшей задачей школьной математики
является логическое развитие учащихся. Са-
ми объекты математических умозаключений
и принятые в математике правила их конст-
руирования способствуют формированию уме-
ний обосновывать и доказывать суждения,
приводить четкие определения, развивают ло-
гическую интуицию, кратко и наглядно
вскрывают механизм логических построений
и учат их применению. Тем самым школьная
математика занимает ведущее место в фор-
мировании научно-теоретического мышления
школьников.
Школьная математика вносит свой вклад в
эстетическое воспитание учащихся, раскры-
вая внутреннюю гармонию математики, фор-
мируя понимание красоты и изящества мате-
матических рассуждений, способствуя вос-
приятию геометрических форм, усвоению
общеэстетического понятия симметрии. Изу-
чение математики развивает воображение
школьников, существенно обогащает и разви-
вает их пространственные представления.
Организация учебно-воспитательного про-
цесса. Образовательные и воспитательные за-
дачи обучения математике должны решаться
комплексно, во взаимной связи, с учетом воз-
растных особенностей учащихся, специфики
математики как науки и учебного предмета,
определяющей ее роль и место в общей си-
стеме школьного обучения и воспитания. Учи-
телю предоставляется право самостоятельно-
го выбора методических путей и приемов ре-
шения этих задач.
Важнейшей особенностью организации
учебного процесса в условиях всеобщего
среднего образования является ориентация на
безусловное достижение всеми учащимися
обязательного уровня математической подго-
товки, зафиксированного в настоящей про-
грамме. Планирование обязательных резуль-
татов обучения должно включать в себя по-
8 *
стоянный контроль за их достижением, оказа-
ние эффективной помощи отстающим. Вместе
с тем нельзя ограничивать обучение всех уча-
щихся уровнем обязательных требований:
важно стремиться к возможно более полному
раскрытию их математических способностей
и дарований. В этом смысле уровень обяза-
тельной математической подготовки опреде-
ляет нижнюю ее границу, на базе которой
должно осуществляться дальнейшее матема-
тическое развитие школьников.
Ориентация учебного процесса на достиже-
ние всеми учащимися уровня обязательной
подготовки является важным средством выде-
ления главного, основного в ходе обучения —
ведущих идей, основных понятий, фактов и
методов школьной математики. Зафиксиро-
ванные в программе содержание обучения и
требования к математической подготовке
учащихся определяют основной материал
курсов. Вспомогательный учебный материал
не должен отрабатываться с такой же тща-
тельностью, как основной; он не может быть
объектом итогового контроля.
Важным условием правильной организации
учебно-воспитательного процесса является вы-
бор учителем рациональной системы методов
и приемов обучения, ее оптимизация с учетом
возраста учащихся, уровня их математиче-
ской подготовки, развития общеучебных уме-
ний, специфики решаемых образовательных и
воспитательных задач. Методика обучения
должна быть гибкой, не застывшей, варьиро-
ваться в зависимости от указанных факторов.
Необходимо реализовать сбалансированное
сочетание традиционных и новых методов
обучения, оптимизировать применение объяс-
нительно - иллюстративных и эвристических
методов, использование технических средств.
Критерием успешной работы учителя должно
служить качество математической подготовки
школьников, выполнение поставленных обра-
зовательных и воспитательных задач, а не
формальное использование какого-то метода,
приема, формы или средства обучения.
В организации учебно-воспитательного про-
цесса важную роль должно играть решение
задач. В обучении математике задачи явля-
ются и целью, и средством обучения и мате-
матического развития школьников. При пла-
нировании и организации уроков следует
иметь в виду, что теоретический материал
должен осознаваться и усваиваться преиму-
щественно в процессе решения задач. Органи-
зуя решение задач, целесообразно шире ис-
пользовать дифференцированный подход к
учащимся: уровень трудности задач, предла-
гаемых слабым учащимся, должен опреде-
ляться требованиями настоящей программы;
учащимся, уже достигшим этого уровня, це-
лесообразно давать более сложные задачи
Дифференциация требований к учащимся на
основе достижения всеми обязательного уров-
ня подготовки создает основу для разгрузки
школьников, обеспечивает их посильной рабо-
той и формирует положительное отношение к
учебе
Учебный процесс необходимо ориентиро-
вать на рациональное сочетание устных и
письменных видов работы как при изучении
теории, так и при решении задач. Необходи-
мо уделять внимание работе с учебником:
учить чтению и изучению текста после объяс-
нений учителя, самостоятельному изучению
отдельных разделов с использованием конт-
рольных вопросов, краткой записи текста за-
дачи или теоремы, выполнению соответствую-
щего рисунка.
В обеспечении эффективности учебного
процесса важную роль играет организация
закрепления и повторения, систематическое
использование опорных знаний в последую-
щих разделах курса. Закрепление изученного
материала необходимо проводить как на уро-
ке, так и при выполнении домашних заданий.
Домашние задания должны быть подготов-
лены на предыдущем уроке, посильны для
школьника, по своей трудоемкости соответст-
вовать нормам времени на подготовку до-
машних заданий, определенным в Уставе
школы. Целесообразна дифференциация до-
машних заданий в зависимости от уровня
подготовки школьников.
Следует всемерно способствовать удовлет-
ворению потребностей и запросов школьни-
ков, проявляющих интерес, склонности и спо-
собности к математике. Такие школьники
должны получать индивидуальные задания,
их следует привлекать к участию в математи-
ческих кружках, олимпиадах, факультатив-
ных занятиях, рекомендовать им дополни-
тельную литературу. Развитие инт ереса уча-
щихся к изучению математики является
важнейшей целью учителя: для этого полез-
но использовать решение математических за-
дач, шире привлекать занимательный, исто-
рический, краеведческий и другой иллюстра-
тивный матерная.
Важную роль при обучении математике иг-
рает регулярное использование в учебном
процессе материалов из истории математики.
На доступных содержательных примерах сле-
дует показывать учащимся развитие матема-
тических понятий, знакомить их с методами и
этапами научного исследования. Знакомство
с биографиями выдающихся отечественных
ученых-математиков внесет существенный
вклад в патриотическое воспитание учащихся.
Структура программы.. Про1рамма по мате-
s.
матике для средней школы состоит из следую-
щих разделов.
Раздел «Требования к математической под-
готовке учащихся» определяет уровень и объ-
ем умений и навыков, обязательных для ов-
ладения учащимися, фиксирует специальные
цели изучения материала математических
курсов.
Раздел «Содержание обучения» задает пе-
речень и объем материала, обязательного для
изучения в школе. Содержание обучения в
разделе распределено в соответствии с содер-
жательными линиями курсов, объединяющи-
ми связанные между собой вопросы. Это поз-
воляет учителю, отвлекаясь от места конкрет-
ной темы в курсе, оценить ее значение по от-
ношению к соответствующей содержательной
линии, правильно определить и расставить
акценты в обучении, организовать итоговое
повторение материала курсов.
Раздел «Тематическое планирование учеб-
ного материала» содержит рекомендуемую
последовательность изучения материала кур-
сов с распределением тем по классам и ука-
занием примерного числа часов, отводимого
па изучение темы.
В программе приводятся рекомендации по
использованию межпредметных связей, оцен-
ке знаний и умений учащихся и список лите-
ратуры для учителя.
Требования к математической подготовке
учащихся
Изучение математики в V—XI классах ба-
зируется на математической подготовке, по-
лученной учащимися при обучении в началь-
ной школе. В соответствии с Типовой про-
граммой по математике для I—IV классов
школьники, оканчивающие IV класс, должны:
знать
наизусть таблицу сложения (однозначных
чисел) и соответствующие табличные случаи
вычитания;
таблицу умножения однозначных чисел и
соответствующие табличные случаи деления;
названия и обозначения единиц важнейших
величин — длины (км, м, дм, см, мм), массы
(кг, г), площади (м2, дм2, см2), скорости
(км/ч, м/с), времени (ч, мин, с).
уметь
читать, записывать и сравнивать числа в
пределах миллиона;
выполнять несложные устные вычисления;
выполнять письменные вычисления (сложе-
ние и вычитание чисел в пределах миллисна;
умножение дву-трехзначного числа на одно-
значное, двузначное и трехзначное число; де-
ление трех-, четырех-, пятизначного числа на
однозначное и на двузначное число);
называть компоненты арифметических дей- 1
ствий и читать простейшие числовые выраже-
ния (сумма, разность, произведение, частное);
вычислять значение числового выражения
(в том числе выражения со скобками), содер- 1
жащего 3—4 арифметических действия, па ос- |
нове знания правила порядка выполнения
действий и знания свойств арифметических
действий;
решать простые текстовые арифметические 1
задачи, раскрывающие смысл каждого дей- I
ствия и смысл отношений «меньше на»,
«больше на», «меньше в», «больше в»;
решать составные задачи и задачи, для ре- I
шения которых необходимо использовать зна-
ние зависимостей между важнейшими величи- I
нами (скоростью, временем и расстоянием
при равномерном прямолинейном движении;
ценой, количеством и стоимостью товара;
площадью прямоугольника и длинами его
смежных сторон и др.);
распознавать и изображать (на клетчатой
бумаге с помощью циркуля и линейки) про-
стейшие геометрические фигуры (точка, отре-
зок, ломаная, окружность, круг, многоуголь-
ник) ;
измерять длину отрезка, длину ломаной;
строить отрезок данной длины;
вычислять периметр и площадь прямо-
угольника.
Требования к математической подготовке учащих-
ся V—XI классов определяют уровень обяза-
тельной математической подготовки, который
должен быть достигнут всеми учащимися в
итоге изучения соответствующего курса. Вы-
полнение этих требований в ходе решения не-
сложных типичных задач служит основанием дпя
выставления положительной оценки.
Математика (V—VI кл.)
Цели изучения курса заключаются в систе-
матическом развитии понятия числа и выра-
ботке умений выполнять устно и письменно
арифметические действия над числами, пере-
водить практические задачи на язык матема-
тики, в подготовке учащихся к изучению си-
стематических курсов алгебры и геометрии.
Курс строится на индуктивной основе с
привлечением элементов дедуктивных рас-
суждений. Теоретический материал курса из-
лагается на наглядно-интуитивном уровне,
математические методы и законы формулиру-
ются в виде правил.
В ходе изучения курса учащиеся развива-
ют навыки вычислений с натуральными чис-
лами, овладевают навыками действий с обык-
новенными и десятичными дробями, положи-
тельными и отрицательными числами,
получают начальные представления об ис-
10
пользовании букв для записи выражений и
свойств, учатся составлять по условию тек-
стовой задачи и решать несложные линейные
уравнения, продолжают знакомство с геомет-
рическими понятиями, приобретают навыки
построения геометрических фигур и измере-
ния геометрических величин.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
производить в уме арифметические дейст-
вия в пределах сложности примеров на сло-
жение и вычитание двузначных чисел, умно-
жение и деление нацело двузначного числа
на однозначное;
уверенно выполнять сложение, вычитание,
умножение и деление натуральных чисел, в
записи которых имеется несколько десятич-
ных разрядов (включая сложные случаи пе-
реноса из разряда в разряд и использования
нулей в записи числа);
выполнять арифметические действия над
обыкновенными дробями (включая обраще-
ние смешанного числа в обыкновенную дробь,
нахождение наименьшего общего знаменате-
ля нескольких дробей, сокращение дробей и
представление их в виде смешанного числа);
выполнять арифметические действия над
десятичными дробями, производить округле-
ние десятичных дробей;
вычислять значения числовых выражений,
включающих в себя целые числа, обыкновен-
ные и десятичные дроби; производить вычис-
ления по формулам, указанным в программе;
составлять числовые и буквенные выраже-
ния, пропорции и линейные уравнения по ус-
ловиям текстовых задач;
решать несложные линейные уравнения, ис-
пользуя при этом раскрытие скобок и приве-
дение подобных слагаемых;
решать текстовые задачи с помощью ариф-
метических приемов (включая основные зада-
чи на дроби и на проценты) и уравнений;
распознавать и изображать геометрические
фигуры, указанные в программе;
производить простейшие измерения и пост-
роения при помощи линейки, угольника, тран-
спортира, циркуля.
Алгебра (VII—IX кл.)
Цели изучения курса заключаются в раз-
витии вычислительных и формально-опера-
тивных алгебраических умений учащихся до
уровня, позволяющего уверенно их использо-
вать при решении задач математики и смеж-
ных предметов (физики, химии, основ инфор-
матики и вычислительной техники и др.); в
усвоении аппарата уравнений и неравенств
как основного средства математического мо-
делирования прикладных задач; в осуществ-
лении функциональной подготовки школьни-
ков. В ходе изучения курса учащиеся овладе-
вают приемами производства вычислений на
калькуляторе.
Курс характеризуется повышением теорети-
ческого уровня обучения, постепенным усиле-
нием роли теоретических обобщений и дедук-
тивных заключений. Прикладная направлен-
ность курса обеспечивается систематическим
обращением к примерам, раскрывающим воз-
можности применения математики к изуче-
нию действительности и решению практиче-
ских задач. Практическая ориентация курса
выражается в целенаправленном развитии не-
обходимого математического аппарата.
В ходе изучения курса учащиеся развивают
и закрепляют вычислительные навыки с ак-
тивным привлечением инструментальных вы-
числений; овладевают навыками тождествен-
ных преобразований основных типов алгеб-
раических и тригонометрических выражений;
усваивают способы решения алгебраических
уравнений и неравенств первой и второй сте-
пени и приводимых к ним уравнений, нера-
венств и систем; изучают простейшие элемен-
тарные функции и их свойства.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
производить вычисления с использованием
калькулятора (арифметические действия над
точными и приближенными значениями, при-
ближенное нахождение квадратного корня,
вычисление значений синуса, косинуса и тан-
генса, вычисления по формулам); произво-
дить прикидку и оценку результатов вычис-
лений;
выполнять тождественные преобразования
целых и рациональных выражений: раскры-
тие скобок и заключение в скобки, приведе-
ние подобных членов, сложение, вычитание и
умножение многочленов, разложение много-
членов на множители при помощи вынесения
общего множителя за скобки и формул сок-
ращенного умножения, сложение, вычитание,
умножение и деление алгебраических дробей;
выполнять тождественные преобразования
несложных тригонометрических выражений с
использованием формул, указанных в про-
грамме;
решать указанные в программе виды урав-
нений, неравенств, систем уравнений и нера-
венств, используя в необходимых случаях со-
ответствующие тождественные преобразова-
ния;
решать текстовые задачи методом уравне-
ний;
выражать на простых примерах функцио-
нальные зависимости между величинами; на-
ходить значения функций, заданных форму-
лой, таблицей, графиком;
11
строить и читать графики функций, указан-
ных в программе.
Геометрия (VII—IX кл.)
Цели изучения курса заключаются в систе-
матическом исследовании геометрических фи-
гур па плоскости и их свойств, формировании
пространственных представлений, развитии
логического мышления и подготовке аппара-
та, необходимого для изучения смежных дис-
циплин (физика, черчение и др.) и курса сте-
реометрии в старших классах.
Курс характеризуется рациональным соче-
танием логической строгости и геометриче-
ской наглядности. Увеличивается теоретиче-
ская значимость изучаемого материала; рас-
ширяются внутренние логические связи кур-
са, повышается роль дедукции, степень аб-
страктности изучаемого материала. Учащиеся
овладевают приемами аналитико-синтетиче-
ской деятельности при доказательстве теооем
и решении задач. Систематическое изложение
курса позволяет начать работу по формиро-
ванию представлений учащихся о строении
математической теории, обеспечивает основу
развития логического мышления школьников.
Прикладная направленность курса обеспечи-
вается постоянным обращением к наглядно-
сти, использованием рисунков и чертежей на
всех этапах пооцесса обучения и развитием
геометрической интуиции на этой основе. Це-
ленаправленное обращение к примерам из
практики развивает умения учащихся вычле-
нять геометрические формы и отношения в
предметах и явлениях действительности, ис-
пользовать язык геометрии для их описания.
Практическая направленность курса опреде-
ляется систематическим развитием геометри-
ческого аппарата для решения задач на вы-
числение значений геометрических величии,
доказательство и построение.
В ходе изучения курса учащиеся приобре-
тают систематические сведения об основных
фигурах на плоскости и их свойствах, знако-
мятся с геометрическими величинами, харак-
теризующими плоские фигуры, и учатся их
вычислять, изучают применение аналитиче-
ского аппарата (элементы тригонометрии и
алгебры, векторы и координаты) к решению
геометрических задач.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
изображать на рисунках геометрические
фигуры, указанные в условиях теорем и за-
дач, и выделять известные фигуры на черте-
жах, моделях и т. п.;
решать типичные задачи на вычисление, до-
казательство и построение, опираясь на тео-
ретические сведения, изученные в курсе;
пооводигь доказательные рассуждения в
ходе решения типичных задач;
вычислять значения геометрических вели-
чин (длин, углов, площадей), применяя изу
ченные свойства и формулы;
выполнять основные построения циркулем
и линейкой; решать несложные комбиниро- I
ванные задачи, сводящиеся к выполнению ос-
новных построений;
применять аппарат алгебры и тригономет- *
рии в ходе решения геометрических задач;
использовать векторы и координаты для I
решения стандартных задач (вычисление
длин и углов, сложение векторов и умноже- 1
ние вектора на число).
Алгебра н начала анализа (X—XI кл.)
Цели изучения курса заключаются в систе- |
матическом изучении функции как важнейше-
го математического объекта средствами ал
гебры и математического анализа, раскрытии
политехнического и прикладного значения об-
щих методов математики, связанных с иссле-
дованием функций, в подготовке необходимо-
го аппарата для изучения геометрии и фи-
зики.
Курс характеризуется содержательным рас-
крытием понятии, утверждений и методов,
относящихся к началам анализа, выявлением
их практической значимости При изучении
вопросов анализа приоритет отдается исполь-
зованию наглядных соображений; уровень
строгости изложения определяется с учетом
общеобразовательной направзенностп изуче-
ния начал анализа и согласуется с уровнем
строгости приложений изучаемого материача
в смежных дисциплинах. Характерной особен-
ностью курса является систематизация и
обобщение знании учащихся, закрепление и
развитие умений и навыков, полученных в
курсе алгебры, что осуществляется как при
изучении нового материала, так и при прове-
дении обобщающего повторения.
Учащиеся систематически изучают триго-
нометрические, показательную и логарифми-
ческую функции и их свойства, приобретают
навыки проведения тождественных преобра-
зований тригонометрических, показательных
и логарифмических выражений и их примене-
ния к решению соответствующих уравнений
и неравенств, знакомятся с основными поня-
тиями, утверждениями и аппаратом матема-
тического анализа в объеме, позволяющем
исследовать элементарные фуш или и решать
простейшие геометрические, физические и
другие прикладные задачи.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
строить графики указанных в программе
12
функций, опираясь на изученные свойства
этих функций;
проводить тождественные преобразования
тригонометрических, показательных и лога-
рифмических выражений, используя форму-
лы, указанные в программе;
решать простейшие тригонометрические и
иррациональные уравнения, простейшие пока-
зательные и логарифмические уравнения и
неравенства; использовать тождественные
преобразования для упрощения уравнений и
неравенств;
применять аппарат математического анали-
за (таблицы производных и первообразных,
формулы дифференцирования, указанные в
программе, и правила вычисления первооб-
разных) для нахождения производных, пер-
вообразных и простейших определенных ин-
тегралов;
исследовать элементарные функции с по-
мощью элементарных приемов и методов ма-
тематического анализа, находя, в частности,
экстремумы и промежутки монотонности
функций; строить на основе такого исследо-
вания графики функций;
вычислять площади криволинейных трапе-
ций и объемы простейших тел вращения при
помощи определенных интегралов.
Геометрия (X—XI кл.)
Цели изучения курса заключаются в раз-
витии пространственных представлений уча-
щихся, опирающемся на систематическое изу-
чение геометрических тел в пространстве и
их свойств, в усвоении способов вычисления
практически важных геометрических величин
и в дальнейшем развитии логического мышле-
ния учащихся.
Курсу присущи систематизирующий и обоб-
щающий характер изложения, направлен-
ность на закрепление и развитие умений и на-
выков, полученных в неполной средней шко-
ле. При доказательстве теорем и решении за-
дач активно используются изученные в курсе
планиметрии свойства геометрических фигур,
применяются геометрические преобразования,
векторы и координаты. Высокий уровень аб-
страктности изучаемого материала, логиче-
ская строгость систематического изложения
соединяются с высокой степенью наглядно-
сти. Прикладная направленность обучения
обеспечивается привлечением наглядности на
всех этапах учебного процесса, широким об-
ращением к опыту учащихся. Знакомство с
важнейшими геометрическими телами, уме
пие их изображать, вычислять их объемы и
площади поверхностей имеют большое поли-
техническое значение.
В ходе изучения курса учащиеся приобре-
тают систематические сведения об основных
видах пространственных тел и их свойствах,
знакомятся с теоретическим обоснованием
методов изображения пространственных тел
на плоскости, овладевают умениями вычис-
лять значения геометрических величин.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
изображать на рисунках пространственные
геометрические тела, указанные в условиях
теорем и задач, и выделять известные тела на
чертежах, моделях и т. п.;
решать типичные задачи на вычисление и
доказательство, опираясь на изученные теоре-
тические сведения;
проводить доказательные рассуждения в
ходе решения типичных задач, используч тео-
ретические сведения, полученные учащимися
при изучении планиметрии и стереометрии;
вычислять значения геометрических вели-
чин (длин, углов, площадей и объемов), при-
меняя изученные в курсах планиметрии и сте-
реометрии формулы и теоремы;
применять аппарат алгебры, начал анализа
и тригонометрии в ходе решения геометриче-
ских задач.
Содержание обучения
Математика (V—-VI кл.)
Арифметика
Натуральные числа и нуль. Чтение и запись
натуральных чисел. Сравнение натуральных
чисел. Сложение, вычитание, умножение и
деление натуральных чисел. Квадрат и куб
числа.
Делимость натуральных чисел. Делители и
кратные натурального числа. Четные и нечет-
ные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3
и 9. Деление с остатком. Простые и состав-
ные числа. Разложение натурального числа
на простые множители. Наибольший общий
делитель, наименьшее общее кратное.
Обыкновенная дробь. Чтение и запись
дробных чисел. Сравнение обыкновенных дро-
бей. Правильные и неправильные дроби. Це-
лая и дробная части числа. Основное свойст-
во дроби. Сокращение дробей. Сложение, вы-
читание, умножение и деление обыкновенных
дробей. Среднее арифметическое нескольких
чисел. Основные задачи на дроби.
Десятичная дробь. Чтение и запись деся-
тичных дробей Сравнение десятичных дро-
бей. Сложение, вычитание, умножение и де-
ление десятичных дробей. Приближенное зна-
чение числа. Округление чисел. Проценты.
Основные задачи на проценты
Положительные и отрицательные числа.
Противоположные числа. Модуль числа, его
геометрический смысл. Сравнение чисел. Сло-
13
жение, вычитание, умножение и деление по-
ложительных и отрицательных чисел.
Понятие о числе как результате измерения.
Целые и рациональные числа. Свойства ариф-
метических действий. Представление рацио-
нальных чисел в виде бесконечных периодиче-
ских десятичных дробей.
Начальные сведения о калькуляторе.
Элементы алгебры
Числовые выражения. Применение букв для
записи выражений. Числовое значение бук-
венного выражения. Вычисления по форму-
лам. Буквенная запись свойств арифметиче-
ских действий. Простейшие преобразования
выражений. раскрытие скобок, приведение по-
добных слагаемых.
Пропорция. Основное свойство" пропорции.
Решение задач с помощью пропорций. Поня-
тие о прямой и обратной пропорциональности
величин.
Понятие об уравнении. Составление и ре-
шение линейных уравнений.
Изображение чисел на прямой. Координа-
та точки. Формула расстояния между двумя
точками с заданными координатами. Прямо-
угольная система координат на плоскости,
абсцисса и ордината точки. Таблицы, диа-
граммы, графики.
Элементы геометрии
Геометрические фигуры: отрезок, прямая,
луч, угол, треугольник, прямоугольник, ок-
ружность, круг. Перпендикуляр к прямой.
Параллельные прямые. Куб, прямоугольный
параллелепипед, шар.
Примеры величин: длина, площадь, объем,
градусная мера угла. Единицы измерения
длин, площадей, объемов и углов. Масштаб.
Измерение отрезков и углов. Площадь прямо-
угольника. Объем прямоугольного параллеле-
пипеда. Формулы длины окружности и пло-
щади круга.
Линейка, угольник, транспортир, циркуль.
Построение отрезков и углов заданной вели-
чины. Построение перпендикуляра к прямой
и параллельных прямых с помощью угольни-
ка и линейки.
Алгебра (VII—IX кл.)
Действительные числа
Понятие об иррациональных числах. Дейст-
вительные числа. Числовые неравенства и их
свойства. Почленное сложение и умножение
числовых неравенств.
Измерение величин. Абсолютная и относи-
тельная погрешности приближенного значе-
ния. Запись чисел в стандартном виде. Вы-
полнение арифметических действий над при-
ближенными значениями.
Квадратный корень. Нахождение прибли-
женного значения квадратного корня.
Радианное измерение углов. Синус, коси-
нус, тангенс произвольного угла.
Вычисления с помощью калькулятора.
Тождественные преобразования выражений
Многочлен. Степень многочлена. Сложение,
вычитание и умножение многочленов. Разло-
жение многочлена на множители.
Формулы сокращенного умножения:
а2—Ь2 = (а-]-Ь) (а—Ь);
(a±b)2=a2±2ab-\-b2.
Применение формул сокращенного умноже-
ния к разложению многочленов на множите-
ли.
Квадратный трехчлен. Разложение квад-
ратного трехчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство
дроби. Сокращение алгебраических дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление
алгебраических дробей. Тождественные пре-
образования рациональных алгебраических
выражений.
Степень с натуральным показателем и ее
свойства. Степень с целым показателем.
Свойства квадратных корней. Преобразова-
ния выражений, содержащих квадратные
корни.
Основные тригонометрические тождества:
sin2 a-j-cos2 а=1; tg а= . Формулы
приведения. Синус и косинус суммы и разно-
сти двух углов, синус и косинус двойного уг-
ла. Сумма и разность синусов (косинусов).
Тождественные преобразования тригономет-
рических выражений.
Арифметическая и геометрическая прогрес-
сии. Формулы n-го члена и суммы п первых
членов прогрессии. Формула
хп— I = (X— 1) (хп~11) .
Бесконечно убывающая геометрическая про-
грессия и ее сумма.
Уравнения и неравенства
Уравнение. Корни уравнения. Линейное
уравнений с одним неизвестным. Квадратное
уравнение: формулы корней, исследование по
дискриминанту. Решение рациональных урав-
нений. Проверка корней.
Система уравнений. Решение системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными и
его геометрическая интерпретация. Решение
14
простейших систем, содержащих уравнение
второй степени. Решение текстовых задач ме-
тодом составления уравнений и систем.
Линейное неравенство с одним неизвест-
ным. Система линейных неравенств с одним
неизвестным. Неравенство второй степени с
одним неизвестным. Рациональные неравен-
ства, метод интервалов.
Введение вспомогательных неизвестных для
решения уравнений. Понятие о равносильно-
сти уравнений и неравенств.
Элементарные функции
Понятие о функции. Числовая функция. Об-
ласть определения функции. Способы зада-;
ния функции. График функции. Возрастание
и убывание функций. Четные и нечетные
функции. Приращение аргумента, прираще-
ние функции.
Функции: y—kx-\-b-, у—|х|; y=V~x\ у—
=й/х; у=хп (п — натуральное); у—ах2-\-Ьх-$-\
+с. Их свойства и графики. Простейшие пре-
образования графиков.
Геометрия (VII—IX кл.)
Геометрические фигуры и их свойства
Начальные понятия планиметрии. Геомет-
рические фигуры. Понятие о равенстве фи-
гур. Понятие об аксиомах и теоремах. Поня-
тие об обратных теоремах.
Смежные и вертикальные углы и их свойст-
ва. Пересекающиеся и параллельные прямые.
Признаки параллельности прямых. Перпенди-
кулярные прямые. Теоремы о параллельности
и перпендикулярности прямых.
Треугольник. Признаки равенства треуголь-
ников. Свойства равнобедренного треуголь-
ника. Сумма углов треугольника. Теорема
Пифагора.
Параллелограмм и его свойства. Признаки
параллелограмма. Прямоугольник, ромб,
квадрат и их свойства. Трапеция. Правиль-
ные многоугольники.
Окружность и круг. Касательная к окруж-
ности и ее свойства.
Свойство серединного перпендикуляра к
отрезку; окружность, описанная около тре-
угольника. Свойство биссектрисы угла; ок-
ружность, вписанная в треугольник.
Понятие о подобии фигур. Признаки подо-
бия треугольников.
Движения: осевая и центральная симмет-
рии, поворот, параллельный перенос. Приме-
ры фигур, обладающих симметрией.
Основные задачи на построение с помощью
циркуля и линейки.
Геометрические величины
Длина отрезка и ее свойства. Расстояние
между точками. Расстояние от точки до пря-
мой.
Величина угла и ее свойства. Измерение
вписанных углов.
Длина окружности. Длина дуги. Число л.
Понятие о площади, основные свойства пло-
щади. Площади прямоугольника, треугольни-
ка, параллелограмма, трапеции. Отношение
площадей подобных фигур. Площадь круга и
его частей.
Элементы тригонометрии
Синус, косинус и тангенс угла.
Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника. Теоремы сину-
сов и косинусов. Решение треугольников.
Координаты и векторы
Координатная плоскость. Формула расстоя-
ния между двумя точками плоскости с задан-
ными координатами. Уравнения прямой и ок-
ружности.
Вектор. Длина и направление вектора.
Угол между векторами. Коллинеарные векто-
ры. Сложение векторов и его свойства. Умно-
жение вектора на число и его свойства. Раз-
ложение вектора по осям координат. Коорди-
наты вектора. Скалярное произведение векто-
ров и его свойства. Проекция вектора на ось.
Алгебра и начала анализа (X—XI кл.)
Элементарные функции
Тригонометрические функции числового аргу-
мента: синус, косинус, тангенс. Периодические
функции. Свойства и графики тригонометри-
ческих функций.
Показательная функция, ее свойства и гра-
фик. Понятие об обратной функции. Логариф-
мическая функция, ее свойства и график. Ло-
гарифмы. Число е и натуральные логарифмы.
Тождественные преобразования
Корень п-й степени и его свойства. Степень
с рациональным показателем и ее свойства.
Понятие о степени с иррациональным показа-
телем.
Основные показательные и логарифмиче-
ские тождества:
ах • аУ=ахЛах: а« = ах~У-,
(ах)«—ахУ;
}ogaXy=\0gaX+\0gay,
loga-y = logaX—10gay;
\0gaXU = y\0gaX.
15
Тождественные преобразования тригономет-
рических, показательных и логарифмических
выражений.
Уравнения и неравенства
Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Примеры решения простейших тригонометри-
ческих неравенств.
Простейшие показательные и логарифмиче-
ские уравнения и неравенства.
Решение тригонометрических, показательных
и логарифмических уравнений и неравенств.
Понятие о приближенном решении уравнения.
Простейшие иррациональные уравнения.
Элементы математического анализа
Производная. Таблица производных элемен-
тарных функций (степенной с целым показа-
телем, синуса, косинуса, показательной).
Производная суммы, произведения, частного.
Первообразная. Таблица первообразных
элементарных функций (степенной с целым
показателем, отличным от —1, синуса, коси-
нуса). Простейшие правила нахождения пер-
вообразных. Определенный интеграл. Форму-
ла Ньютона — Лейбница.
Понятие о дифференциальных уравнениях.
Приложения математического анализа
Геометрический и механический смысл про-
изводной. Признаки возрастания и убывания
функции. Экстремумы функции и их нахожде-
ние с помощью производной. Применение про-
изводной к построению графиков функций и
решению задач на отыскание наибольшею и
наименьшего значений.
Геометрический смысл определенного инте-
грала. Приближенное вычисление интегралов.
Применение интеграла к решению простейших
геометрических и практических задач.
Геометрия (X—XI кл.)
Геометрические фигуры и их свойства
Основные понятия стереометрии. Аксиомы
стереометрии.
Взаимное расположение двух прямых в
пространстве: пересекающиеся, параллельные
и скрещивающиеся прямые.
Взаимное расположение прямой и плоско-
сти: пересекающиеся и параллельные прямая
и плоскость. Признак параллельности прямой
и плоскости. Перпендикулярность прямой и
плоскости. Признак перпендикулярности пря-
мой и плоскости. Теоремы о параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей:
пересекающиеся и параллельные плоскости.
Признак параллельности двух плоскостей.
Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о
параллельности и перпендикулярности пло-
скостей. Двугранный угол.
Параллельное проектирование и его свой-
ства. Изображение фигур на плоскости.
Многогранники: призма и пирамида. Парал-
лелепипед. Прямая и правильная призмы,
правильная пирамида. Сечения многогранни-
ков. Понятие о правильных многогранниках.
Понятие о телах и поверхностях вращения.
Цилиндр, конус, шар, сфера. Осевые сечения
цилиндра и конуса. Сечения шара плоско-
стью. Касательная плоскость к сфере.
Понятие о движении. Симметрия относи-
тельно точки и плоскости. Примеры тел и по-
верхностей, обладающих симметрией. Парал-
лельный перенос. Понятие о равенстве фи-
гур в пространстве.
Геометрические величины
Угол между прямыми. Угол между прямой
и плоскостью. Линейный угол двугранного
угла.
Понятие об объеме, основные свойства объ-
ема. Объемы многогранников: прямоугольного
параллелепипеда, призмы, пирамиды. Объе-
мы тел вращения' цилиндра, конуса, шара.
Площади боковых поверхностей призмы,
пирамиды, цилиндра, конуса. Площадь сферы.
Тематическое планирование
учебного материала
V КЛАСС
Математика
(6 ч в неделю, всего 204 ч)'
1.	Натуральные числа
и действия над ними (32 ч)
Натуральные числа и нуль. Чтение и запись
натуральных чисел. Сравнение натуральных
чисел.
Сложение, вычитание, умножение и деле-
ние натуральных чисел. Действия с нулем и
единицей.
Числовые выражения. Квадрат и куб числа.
Порядок действий. Скобки. Применение букв
для записи выражений. Числовое значение
буквенного выражения. Вычисления по фор-
мулам. Понятие об уравнении.
Решение текстовых задач.
2.	Свойства ириф метических действий
над натуральными числами (26 ч)
Сложение и вычитание. Переместительное и
сочетательное свойства сложения.
16
Умножение и деление. Переместительное и
сочетательное свойства умножения. Распреде-
лительное свойство умножения.
Буквенная запись свойств арифметических
действий.
Делимость натуральных чисел. Делители и
кратные натурального числа. Четные и нечет-
ные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10,
3 п 9. Деление с остатком.
3.	Дробные числа (20 ч)
Обыкновенная дробь. Числитель и знамена-
тель дроби. Правильные и неправильные дро-
би. Выделение целой части дробного числа.
Среднее арифметическое нескольких чисел.
Сравнение обыкновенных дробей с одинако-
выми знаменателями. Сложение и вычитание
обыкновенных дробей с одинаковыми знаме-
нателями.
4.	Десятичные дроби (17 ч)
Десятичная дробь. Чтение и запись десятич-
ных дробей. Сравнение десятичных дробей.
Округление десятичных дробен. Приближен-
ное значение числа.
5.	Арифметические действия
над десятичными дробями (44 ч)
Сложение и вычитание десятичных дробей.
Умножение и деление десятичных дробей на
10, 100, 1000 .... Умножение и деление деся-
тичных дробей. Начальные сведения о каль-
куляторе.
6.	Проценты (20 ч)'
Процент. Основные задачи на проценты: на-
хождение процентов данного числа, числа по
данным его процентам, процентного отноше-
ния двух чисел. Примеры таблиц и диаграмм.
Вычисления в практической деятельности
человека (беседа)
7.	Измерение
геометрических величин (25 ч)
Геометрические фигуры: отрезок, прямая,
луч. Линейка. Длина отрезка. Единицы изме-
рения длин: метр, сантиметр, миллиметр, ки-
лометр. Построение отрезка заданной длины.
Окружность и круг. Циркуль.
Угол. Величина (градусная мера) угла.
Транспортир. Измерение углов. Построение уг-
ла заданной величины. Прямой угол. Уголь-
ник.
Треугольник. Стороны и углы треуголь-
ника.
Прямоугольник. Площадь прямоугольника.
Единицы измерения площадей: квадратный
метр, квадратный сантиметр, квадратный мил-
лиметр, квадратный километр, гектар. Поня-
тие о площади плоской фигуры.
Формулы длины окружности и площади
круга.
Куб. Прямоугольный параллелепипед. Объ-
ем куба и прямоугольного параллелепипеда.
Единицы измерения объемов: кубический метр,
кубический сантиметр, кубический милли-
метр, кубический километр, литр.	—
8.	Повторение. Решение задач (20 ч)'
VI КЛАСС
Математика
(6 ч в неделю, всего 204 ч)'
1.	Основное свойство дроби (24 ч)’
Простые и составные натуральные числа.
Таблица простых чисел. Разложение нату-
рального числа на простые множители. Наи-
больший общий делитель и наименьшее об-
щее кратное двух натуральных чисел.
Основное свойство дроби. Сокращение дро-
бей. Приведение двух дробей к наименьшему
общему знаменателю. Сравнение дробей.
2.	Арифметические действия
над обыкновенными дробями (36 ч)’
Сложение и вычитание дробей с произволь-
ными знаменателями. Умножение дробей.
Взаимно-обратные числа. Деление дробей.
Вычисление значений числовых выражений,
включающих дроби. Основные задачи на дро-
би: нахождение дроби числа, числа по его
дроби, кратного отношения двух чисел.
3.	Пропорции (12 ч)
Пропорция. Основное свойство пропорции.
Решение задач с помощью пропорций. Поня-
тие о прямой и обратной пропорциональности
величин. Масштаб.
4.	Положительные
и отрицательные числа (10 ч)'
Положительные и отрицательные числа. Це-
лые числа. Противоположные числа. Модуль
числа, его геометрический смысл. Сравнение
чисел.
5.	Арифметические действия
над положительными
и отрицательными числами (38 ч)
Сложение чисел с одинаковыми знаками,’
17
Сложение чисел с разными знаками. Вычита-
ние положительных и отрицательных чисел.
Умножение и деление положительных и отри-
цательных чисел.
6.	Рациональные числа (26 ч)’
Рациональные числа. Арифметические дей-
ствия над рациональными числами и их свой-
ства. Выполнение арифметических вычислений,
включающих действия над рациональными
числами.
Понятие о числе как результате измерения.
Бесконечная десятичная дробь. Представление
рациональных чисел в виде бесконечных пе-
риодических десятичных дробей.
Изображение чисел точками на прямой.
Координата точки. Формула расстояния меж-
ду двумя точками с заданными координа-
тами.
Возникновение и развитие понятия числа
(беседа).
1, Прямоугольная система координат
на плоскости (13 ч)
Перпендикуляр к прямой. Построение пер-
пендикуляра с помощью угольника и линей-
ки. Параллельные прямые. Построение па-
раллельных прямых с помощью угольника и
линейки.
Прямоугольная система координат на пло-
скости. Абсцисса и ордината точки. Приме-
ры графиков.
8. Линейные уравнения
с одним неизвестным (25 ч)
Составление и решение линейных уравне-
ний с одним неизвестным.
Преобразования буквенных выражений:
раскрытие скобок, приведение подобных сла-
гаемых.
9. Повторение. Решение задач (20 ч)
VII КЛАСС
(6 ч в неделю, всего 204 ч)'
Алгебра
((4 ч в неделю, всего 136 ч)
1.	Линейные уравнения (34 ч)'
Линейное уравнение с одним неизвестным.
Корень уравнения. Решение линейных уравне-
ний с одним неизвестным. Решение тексто-
вых задач с помощью линейных уравнений.
Понятие о функции. Линейная функция и
ее график.
Линейное уравнение с двумя неизвестными.
Решение линейного уравнения с двумя ней?- г
вестными. Геометрическая интерпретация ли- f
нейного уравнения с двумя неизвестными в
его решения.
Система двух линейных уравнений с дву-
мя неизвестными Решение системы двух ли-
нейных уравнений с двумя неизвестными. На-
хождение решения системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными способами
подстановки и сложения уравнений. Геомет-
рическая интерпретация системы двух линей-
ных уравнений с двумя неизвестными и ее
решения.
Решение текстовых задач с помощью систем,
линейных уравнений.	1
2.	Степень с натуральным показателем
(14 ч)
Степень с натуральным показателем. Свой-
ства степени с натуральным показателем'
умножение и деление степеней с одинаковым
основанием, возведение в степень произведе-
ния и степени.
Степень с целым показателем; запись числа
в стандартном виде.
3.	Одночлены и многочлены (28 ч)
Одночлен. Подобные одночлены. Умножение
одночленов. Возведение одночлена в степень.
Многочлен. Степень многочлена. Сложение и
вычитание многочленов.
Умножение многочлена на одночлен. Ум-
ножение многочленов.
Вынесение общего множителя за скобки.
Разложение многочлена на множители.
*
4.	Формулы сокращенного имножения
 30 -)
Формулы: (a-j-b) (а—Ь)=а2—Ь2; (а±Ь)2=
= а2±2аЬ-{-62. Их использование для умноже-
ния многочленов.
Применение формул сокращенного умноже-
ния для разложения многочленов на множи-
тели.
Тождественные преобразования многочле-
нов. Их применение к решению уравнений и
систем.
5.	Приближенные вычисления (20 ч)'
Числовые неравенства и их свойства. По-
членное сложение и умножение числовых не- I
равенств.
Измерение величин. Приближенное значе-
ние числа. Абсолютная и относительная по-
грешности приближенного значения числа.
Выполнение арифметических действий над
18
приближенными значениями с использованием
калькулятора,
6.	Повторение. Решение задач (10 ч)
Геометрия
(2 ч в неделю, всего 68 ч)
1.	Введение в геометрию (16 ч)
Начальные понятия планиметрии. Геомет-
рическая фигура, понятие о равенстве фигур.
Длина отрезка и ее свойства. Величина угла
и ее свойства. Смежные и вертикальные углы.
Перпендикулярные прямые. Треугольник и
его элементы. Виды треугольников.
Понятие об аксиомах и теоремах. Роль
практики в возникновении геометрии (бе-
седа).
2.	Треугольники (12 ч)'
Равенство треугольников. Признаки равен-
ства треугольников. Свойства равнобедренно-
го треугольника.
3.	Построения с помощью циркуля
и линейки (12 ч)
Построение треугольника по трем сторонам,
двум сторонам и углу между ними, стороне
и двум прилежащим углам с помощью цирку-
ля и линейки.
Свойство серединного перпендикуляра к от-
резку. Понятие об осевой симметрии.
Построение перпендикуляра к прямой, де-
ление отрезка пополам. Расстояние от точки
до прямой.
Свойство биссектрисы угла. Построение бис-
сектрисы угла.
4.	Параллельность прямых (12 ч)
Пересекающиеся и параллельные прямые.
Признаки параллельности прямых. Аксиома
параллельных. Теоремы о параллельности
прямых. Понятие об обратных теоремах.
Теорема о сумме углов треугольника и ее
следствия.
5.	Окружность и круг (10 ч)'
Касательная к окружности и ее свойства.
Вписанные углы и их свойства.
Окружность, описанная около треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник.
6.	Повторение. Решение задач (6 nJ
VIII КЛАСС
(6 ч в неделю, всего 204 ч)
Алгебра
(4 ч в неделю в I полугодии,
3 ч — во II, всего 119 ч)
1.	Алгебраические дроби (30 ч)
Алгебраическая дробь. Основное свойство
алгебраической дроби Сокращение алгебраи-
ческих дробей.
Сложение и вычитание алгебраических дро-
бей. Умножение и деление алгебраических дро-
бей. Возведение алгебраической дроби в
степень.
Тождественные преобразования рациональ-
ных выражений.
2.	Квадратные корни (30 ч)'
Функция у—х2, ее грасрик. Квадратный ко-
рень. Формула ] х2=|х|. Нахождение приб-
лиженного значения квадратного корня с по-
мощью калькулятора.
Понятие об иррациональном числе. Ирраци-
ональность числа V 2. Действительные числа.
Свойства квадратных корней. Преобразова-
ние выражений, содержащих квадратные
корни.
Функция у=Уг~х и ее график.
3.	Квадратные уравнения (29 ч)'
Квадратное уравнение. Решение неполного
квадратного уравнения. Формула корней квад-
ратного уравнения. Исследование квадрат-
ного уравнения по его дискриминанту.
Решение простейших систем уравнений, со-
держащих уравнение второй степени.
Решение текстовых задач с помощью квад-
ратных уравнений и систем.
4.	Рациональные уравнения (14 ч)'
Рациональное уравнение. Решение рацио-
нальных уравнений. Проверка корней. Реше-
ние текстовых задач с помощью рациональных
уравнений.
Функция y=k]x и ее график.
5.	Повторение. Решение задач (16 ч)'
Геометрия
(2 ч в неделю в I полугодии,
3 ч — во II, всего 85 ч)
1.	Четырехугольники (18 ч)’
Параллелограмм и его свойства. Понятие
о центральной симметрии. Признаки паралле-
лограмма.
19
•Прямоугольник,-ромб, квадрат и их свойст-
ва. Трапеция.
2.	Векторы и координаты (18 ч)'
Примеры векторных физических величин.
Вектор. Длина и направление вектора. Поня-
тие о параллельном переносе. Угол между
векторами.
Сложение векторов и его свойства. Умно-
жение вектора на число и его свойства. Кол-
линеарные векторы.
Прямоугольная система координат на пло-
скости. Координаты точки. Разложение векто-
ра по осям координат. Координаты вектора.
Координаты суммы векторов и произведения
вектора на число.
3.	Метрические теоремы (27 ч;
Теорема Пифагора.
формула расстояния между двумя точками
плоскости с заданными координатами. Урав-
нения прямой и окружности.
Синус, косинус и тангенс угла. Соотношения
между сторонами и углами прямоугольного
треугольника. Значения синуса, косинуса и
тангенса углов 30°, 45°, 60°.
Скалярное произведение векторов и его
свойства. Проекция вектора на ось. Формула
вычисления скалярного произведения в коор-
динатах.
4.	Движение (12 ч)'
Равенство фигур. Осевая и центральная сим-
метрии, поворот, параллельный перенос. При-
меры решения геометрических задач с помо-
щью движений.
Примеры фигур, обладающих симметрией.
Правильные многоугольники.
Симметрия в природе, технике, искусстве
(беседа).
5.	Повторение. Решение задач (10 ч)
IX КЛАСС
(6 ч в неделю, всего 201 ч)
Алгебра
(4 ч в неделю, всего 136 ч)'
1.	Линейные неравенства и системы (10 ч)
Линейное неравенство с одним неизвестным.
Решение линейных неравенств с одним неиз-
вестным.
Система линейных неравенств с одним не-
известным. Решение систем линейных нера-
венств с одним неизвестным.
2.	Числовые функции (20 ч)
Числовая функция. Область определения
функции. Способы задания функции. График
функции. Возрастание и убывание функции
Четные и нечетные функции Приращение ар-
гумента, приращение функции
Обзор свойств и I рафиков функций: y=kx.
iy=|x|, y=kx-\-b,	у=х2. y—l^x, y=k/a
Функция у=хп (п — натуральное), ее свой-
ства и график.
3.	Квадратичная функция (14 ч)
Квадратный трехчлен; разложение его на
множители.
Функция у—ах2-)-Ьх-)-с, ее свойства и гра-
фик. Простейшие преобразования графиков
(параллельный перенос, растяжение вдоль
оси Оу).
4.	Решение уравнений и неравенств (30 ч)
Понятие о равносильности уравнений и не-
равенств.
Неравенство второй степени с одним неиз-
вестным. Решение неравенства второй степени
с одним неизвестным, его графическая иллю-
страция.
Решение рациональных неравенств. Метод
интервалов.
Введение вспомогательных неизвестных
для решения уравнений.
5.	Элементы тригонометрии (30 ч)
Радианное измерение углов. Синус, коси-
нус, тангенс произвольного угла, их нахожде-1
ние с помощью калькулятора.
Основные тригонометрические тождества:
 П |	Г)	«	.	Sltl Ct
Sin2а 4- COS2 а = 1; tg а —--.
1	cos а
Их применение для вычисления значений си-
нуса, косинуса, тангенса.
Формулы приведения. Синус, косинус сум-
мы и ^разности двух углов. Синус и косинус
двойного угла. Сумма и разность синусов (19-
синусов).
Тождественные преобразования тригономет-
рических выражений.
6. Прогрессии (12 ч)'
Арифметическая и геометрическая прогрес-
сии. Формулы и-го члена и суммы п первых
членов прогрессий. Формула
хп—1 = (х—1) (хп-Ч-хп-24-...4-1).
Бесконечно убывающая геометрическая про-
грессия и ее сумма.
20
7. Обобщающее повторение курса алгебры.
Решение задач (20 ч)
Геометрия
(2 ч в неделю, всего 68 ч)'
1. Подобие треугольников (18 ч)
Понятие о подобии фигур. Признаки подо-
бия треугольников.
2. Площади многоугольников (14 ч)
Понятие о площади. Основные свойства пло-
щадей. Площадь прямоугольника, треугольни-
ка, параллелограмма, трапеции. Отношение
площадей подобных фигур.
3 Длина окружности. Площадь круга (6 ч)
Длина окружности, длина дуги. Число л.
Площадь круга и его частей.
4. Решение треугольников (15 ч)'
Теоремы синусов и косинусов. Решение тре-
угольников.
Применение алгебры и тригонометрии к ре-
шению геометрических задач.
"5. Беседа о логическом строении геометрии
и аксиоматическом методе в математике.
Обобщающее повторение курса геометрии.
Решение задач (15 ч)
X КЛАСС
(1 ч в неделю в 1 полугодии,
(5 ч — во II, всего 153 ч)
Алгебра и начала анализа
(2 ч в неделю в I полугодии, „
3 ч — во II, всего 85 ч)
1	Тригонометрические функции (12 ч)
Синус, косинус и тангенс числового аргу-
мента. Периодические функции.
Свойства и графики тригонометрических
функций.
2.	Тригонометрические уравнения (20 ч)’
Арксинус, арккосинус и арктангенс числа.
Решение простейших тригонометрических
уравнений.
Применение тождественных преобразований
для упрощения тригонометрических уравне-
ний. Решение тригонометрических уравнений,
сводящихся к простейшим. Понятие о прибли-
женном решении уравнения.
’"Примеры решения простейших тригономет-
рических неравенств.
3.	Производная (18 ч)
Производная. Геометрический и механиче-
ский смысл производной. Производная сте-
пенной функции с целым показателем. Произ-
водная синуса и косинуса.
Производные суммы, произведения, частно-
го двух функций.
4.	Применения производной (22 ч)
Признаки возрастания и убывания функции.
Экстремумы функции и их нахождение с по-
мощью производной.
Применение производной к построению гра-
фиков функций. Схема исследования функ-
ции.
Решение задач на отыскание наибольшего
и наименьшего значений.
Математика и естествознание (беседа).
5.	Повторение. Решение задач (13 ч)
Геометрия
(2 ч в неделю, всего 68 ч)'
1.	Введение в стереометрию (6 ч)
Основные понятия стереометрии. Аксиомы
стереометрии. Примеры пространственных
геометрических фигур. Сечения.
2.	Параллельность прямых
и плоскостей (20 ч)
Взаимное расположение двух прямых в про-
странстве: пересекающиеся, параллельные,
скрещивающиеся прямые. Взаимное располо-
жение прямой и плоскости пересекающиеся и
параллельные прямая и плоскость. Признак
параллельности прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей:
пересекающиеся и параллельные плоскости.
Признак параллельности двух плоскостей.
Параллельное проектирование и его свойст-
ва. Изображение фигур на плоскости.
3.	Перпендикулярность прямых
и плоскостей (24 ч)
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и пло-
скости. Теоремы о параллельности и перпенди-
кулярности прямой и плоскости.
Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о
параллельности и перпендикулярности плоско-
стей.
21
Угол между прямыми. Угол между прямой
и плоскостью. Двугранные углы. Линейный
угол двугранного угла.
4.	Многогранники (10 ч)
Параллелепипед. Прямая и правильная
призмы, правильная пирамида.
Площадь боковой поверхности правильной
призмы, пирамиды.
5.	Повторение. Решение задач (8 qV
XI КЛАСС
(4 ч в неделю, всего 136 ч)
Алгебра и начала анализа
"(2 ч в неделю, всего 68 ч)'
1. Интеграл и его применения (17 ч)
Первообразная. Первообразные степенной
функции у=хЛ сцелым показателем 1(и=#=—1),
синуса и косинуса. Простейшие правила на-
хождения первообразных.
Площадь криволинейной трапеции. Формула
Ньютона — Лейбница. Приближенное вычис-
ление инте1 ралов. Применение интеграла к
решению простейших геометрических и прак-
тических задач.
Понятие о дифференциальном уравнении.
Гармонические колебания.
Математика и реальный мир. Понятие о
математическом моделировании (беседа).
2. Степень с рациональным
показателем (14 ч)
Корень n-й степени и его свойства. Решение
простейших иррациональных уравнений.
Степень с рациональным показателем и
ее свойства. Понятие о степени с 'иррациональ-
ным показателем.
3,- Показательная
и логарифмическая функции (22 ч)'
Показательная функция, ее свойства и гра-
фик. Производная показательной функции.
Число е. Радиоактивный распад.
Понятие об обратной функции. Логарифмиче-
ская функция, ее свойства и график. Логариф-
мы Логарифмы произведения, частного, сте-
пени. Натуральные логарифмы.
Решение простейших и сводящихся к ним
показательных и логарифмических уравнений
и неравенств.
4. Обобщающее повторение курса алгебры
и начал анализа. Решение задач (15 ч)
Геометрия
’(2 ч в неделю, всего 68 ч)’
1.	Движения (8 ч)
Понятие о движении. Симметрия относитель-1
но точки и плоскости. Примеры тел и поверх-,
ностей, обладающих симметрией. Параллель-
ный перенос. Понятие о равенстве фигур в>
пространстве. Правильные многогранники.
2.	Тела вращения (16 ч)
Цилиндр и конус. Осевые сечения цилиндра
и конуса. Понятие о телах и поверхностях
вращения. Площадь боковой поверхности цп
лпндра, конуса.
Шар и сфера. Сечение шара плоскостью.,
Касательная плоскость к сфере.
3.	Объемы многогранников (16 ч)
Понятие об объеме. Основные свойства
объемов. Объемы многогранников: прямо-
угольного параллелепипеда, призмы, пира-1
МИДЫ.
4.	Объемы тел вращения (12 ч)'
Объемы тел вращения: цилиндра, конуса,
шара.
Площадь сферы.
5.	Обобщающее повторение
курса геометрии (16 ч)
❖
Межпредметные связи
Математика (V—VI кл.)
В ходе изучения математики в V—VI классах ре-
шается задача выработки у учащихся вычислительных
навыков, развития логического мышления, простран-
ственных представлений. Тем самым заблаговременно
осуществляется подготовка, необходимая для изучения
смежных предметов: физики, химии, географии, черче-
ния, для трудового обучения.
В предметах естественно-математического цикла по-
лучают активное применение сформированные вычисли-
тельные навыки, без которых не обойтись при решении
расчетных задач, широко используется знание основ-
ных единиц измерения, умение перейти от одних еди-
ниц к другим в соответствии с условиями задачи, на-
выки вычисления процентов, среднего арифметического
нескольких чисел, составления и решения пропорций.
В курсах геометрии, черчения, географии, физики опор-
ными являются знания об измерении величин и о гео-
метрических фигурах. Для трудового обучения необ-
ходимую базу составляют навыки вычислений, измере-
ний, запас пространственных представлений. Своевре-
менное создание действенного вычислительного аппара-
22
та обеспечивается принятой в программе последователь-
ностью изучения десятичных и обыкновенных дробей,
положительных и отрицательных чисел, предусматри-
вающей раннее введение десятичных дробей и усиление
внимания к действиям с положительными числами.
В свою очередь, курс математики V—VI классов
строится с опорой на знания, полученные учащимися
при изучении математики в начальной школе, а также
приобретенные на уроках природоведения, географии,
изобразительного искусства, при трудовом обучении.
Понимание учащимися практической значимости изу-
чаемого материала служит основой неформа чьного, ка-
чественного овладения ими системой математических
знаний и умений, что имеет важное мировоззренческое
значение.
При изучении процентов целесообразно использовать
цифровой материал о составе атмосферы, взаимосвязи
компонентов в природе (из курса природоведения); при
графическом изображении изменения величин имеет
смысл привлекать сведения об изменении температуры
воздуха, количества осадков (из курса природоведе-
ния), о суточном и годовом ходе температуры, шкале
высот п глубин (из курса географии).
Конкретно-практический характер изложения позво-
ляет создать у учащихся начальные представления о ма-
тематических моделях. Навыки составления числовых
и буквенных выражений, составления уравнений раз-
виваются на основе знаний о взаимосвязях между ве-
личинами, известных учащимся из начальной школы,
из курсов природоведения, географии.
При обучении элементам геометрии важно добивать-
ся, чтобы учащиеся видели связь изучаемого материа-
ла с практикой, с окружающей действительностью. Для
этого необходимо использовать уже имеющийся у уча-
щихся запас конкретных геометрических фактов и пред-
ставлений из начальной школы, из курсов природове-
дения, изобразительного искусства, трудового обучения.
'Алгебра (VII—IX кл.)
Курс алгебры является опорным для всех дис-
циплин естественно-математического цикла. Последова-
тельность расположения тем, принятая в программ»,
обеспечивает своевременную подготовку, необходимую
для смежных дисциплин, в первую очередь для физики.
Тождественные преобразования выражений, решение
уравнений и систем находят широкое применение
в смежных дисциплинах при работе с формулами и ре-
шении содержательных задач. Важную роль для смеж-
ных дисциплин играет, в частности, умение выражать
из формулы одну переменную через другие. Формируе-
мое в алгебре в ходе решения текстовых задач умение
строить и интерпретировать математическую модель не-
которой конкретной ситуации используется в курсе фи-
зики и химии прн изучении реальных процессов и яв-
лений.
Идея функциональной зависимости, формируемая
в курсе алгебры, является основополагающей для пони-
мания реальных процессов и явлений, рассматриваемых
в смежных дисциплинах. Свойства и графики функ-
ций, изучаемые в алгебре, становятся опорными пси
рассмотрении конкретных зависимостей между величи-
нами. Так, например, прн изучении равноускоренного
движения используются сведения о линейной функции
(физика, IX кл.), при изучении электричества — сведе-
нн.7 о прямой и обратной пропорциональности (физи-
ка, VIII кл.).
Элементы тригонометрии, введение которых перене-
сено на более ранний этап обучения, являются состав-
ной частью аппарата, необходимого для изучен 1я астро-
номии, а также элементов статики (физика, IX кл.), ко-
лебаний и волн (физика, XI кл.).
Формируемые в алгебре умения выполнять действия
с числами, записанными в стандартном виде, произво-
дить приближенные вычисления находят применение прн
решении расчетных задач и выполнении лабораторных
работ на уроках физики и химии.
Алгебраический материал формирует содержательную
базу для изучения основ информатики и вычислитель-
ной техники в старших классах. Изучение приемов тож-
дественных преобразований, решение различного вида
уравнений, неравенств и систем подготавливает уча-
щихся к восприятию таких важнейших понятий курса
информатики, как алгоритм н программа. Большое зна-
чение для курса информатики имеет приобретаемый
опыт вычислений на калькуляторах.
Для формирования у учащихся правильных пред-
ставлений о’ том, что математика оперирует абстракт-
ными образами реальных предметов и явлений, целе-
сообразно привлекать при обучении алгебре сведения
из других дисциплин.
Прн изучении степеней с натуральными и целыми по-
казателями можно использовать сведения о размерах
Земли и материков (география, VI кл.), о строении ве-
щества (физика, VII кл.). При рассмотрении числовых
неравенств — сведения о линиях равных высот, шкалах
высот и глубин (география, VI кл.).
В фабулах задач, решаемых с помощью уравнении
и систем, полезно привлекать знания учащихся о про-
цессах, изучаемых в смежных предметах. Так, прн
изучении линейных уравнений можно использовать све-
дения о равномерном движении, плотности вещества,
силе тяжести (физика, VII кл.), прн изучении квадрат-
ных уравнений и систем уравнений — сведения о дав-
лении жидкости и газа, работе и мощности (физика,
VIII кл.), при рассмотрении рациональных уравнений —
сведения о движении и силе, об электричес гве (физика,
VII—VIII кл.).
Изучение в IX классе числовых функций можно про-
водить, используя сведения о равномерном и равно-
ускоренном движении, плавлении и отвердевании тел,
электричестве, работе и мощности (физика, VII—
IX кл.).
При рассмотрении элементов тригонометрии целесо-
образно привлекать сведения о равномерном движе-
нии по окружности (физика, IX кл.), а при изучении
прогрессий — сведения о равноускоренном движении
(физика, IX кл.). Прн изучении приближенных вычис-
лений можно использовать сведения о точности изме-
рительных приборов, контроле качества готовых изде-
лий с помощью измерительных приборов, расходе ткт-
ни, расходе продуктов (трудовое обучение, V—VII кл ),
а также сведения о вычислении значений физических
величин — пути, скорости, времени, чассы, плотности,
веса, давления, работы, мощности (физика, VII кл.).
Алгебра и начала анализа (X—XI кл.)
В ходе изучения курса алгебры и начал анализа
завершается разработка аналитического аппарата, при-
меняемого во всех естественно-математических дисцип-
линах.
Знакомство учащихся с элементами математического
анализа открывает широкие возможности для иллю-
страций применимости математики к решению важных
прикладных задач. Значителен потенциал курса в фор-
мировании дпалекгпко-материалнстнческого мировоззре-
ния— владение началами дифференциального и интег-
рального исчислений позволяет на содержательных (как
в математическом, так и прикладном отношениях) при-
мерах изучать процессы, показать известную универ-
сальность математических методов, продемонстрировать
основные этапы решения прикладных задач средствами
математики.
Знания, умения и навыки, приобретаемые учащимися
при изучении курса, особенно активно применяются
в геометрии, физике и инфооматике.
23
Так, при решении геометрических задач нужны све-
дения о тригонометрических функциях; ряд задач гео-
метрии требует исследования функций на экстремум;
сведения об интеграле позволяют легко получить фор-
мулы объемов основных геометрических тел.
Навыки работы с формулой, аппарат исследования
основных элементарных функций необходимы для изу-
чения электродинамики и оптики; элементы дифферен-
циального исчисления находят применение при изуче-
нии явления радиоактивного распада, гармонических ко-
лебаний. Существенную роль при изучении физики иг-
рают навыки построения графиков функций.
Многие понятия, изучаемые в курсе алгебры и начал
анализа, служат основой для постановки задач курса
информатики. Важное значение для изучения этого
предмета имеют сведения о приближенных вычислениях
и, в частности, приближенные формулы.
В ходе обучения алгебре и началам анализа посто-
янно привлекаются сведения из смежных предметов.
Привлечение разнообразных понятий механики, опти-
ки, электродинамики, химии, задач практического содер-
жания — необходимое условие реализации мировоззрен-
ческого потенциала курса.
Особо нужно отметить следующее обстоятельство.
Опора на наглядные геометрические представления
о касательной и механический смысл производной (что
требует знания соответствующих фактов курса геомет-
рии и механики) существенно упрощает изложение эле-
ментов дифференциального исчисления, помогает доби-
ваться понимания основных результатов.
• Геометрия (VI/—XI кл )
Формирование знаний учащихся о геометрических
фигурах и их свойствах, изучение геометрических мето-
дг в. логическое развитие учащихся, достигаемое в про-
цесс'' изучения геометрии, являются опорой для изуче-
ния многих школьных предметов.
Курс геометрии несет основную нагрузку в развитии
логического мышления учащихся средней школы. Фор-
мируемые в нем логические умения, в частности умение
обосновывать н доказывать, находят широкое приме-
нение как в естественнонаучных, так и в гуманитарных
дисциплинах. Представления об аксиоматическом по-
строении курса служат базой для понимания логики
построения любой научной теории, что используется,
в частности, ь курсе физики при изучении классической
и релятивистской механики.
Изучаемые в курсе геометрические фигуры и их свой-
ства являются основой длч современной конструктор-
ской и технической деятельности и поэтому находят
широкое применение как в смежных учебных предметах,
прежде всего в курсе черчения, так и в будущей прак-
тической деятельности выпускников средней школы. На-
пример, понятия окружности и центрального угла, фор-
мула длины окружности используются при изучении
осов я ннематики; сведения о свойствах фигур и гео-
метрических построениях на плоскости применяются при
изучении черчения; сведения о телах вращения исполь-
зуются в трудовом обучении при проведении токарных
работ, при изучении курса астрономии.
Большое значение для изучения ряда естественно-
научных предметов имеет аппарат исследования теоре-
тических вопросов и решения задач, формируемый при
изучении геометрии. Так, для изучения курса механики
необходимо владение векторным и координатным мето-
дами, методом решения прямоугольных треугольников;
при изучении оптики используются свойства симметрии
в пространстве, а в трудовом обучении — измерения и
построения.
Для осуществления связи обучения с жизнью, для
иллюстрации применимости геометрических знаний и со-
отношения между геометрическими абстракциями и ре-
альной действительностью в процессе обучения геомет-
рии необходимо привлекать материал других учебных'
предметов.
При изучении равенства треугольников, решении тре-
угольников можно привлекать сведения о съемка? I
местности, а при изучении их подобия —о масштаб!
(география, VI кл.). При введении координат и векто-
ров целесообразно использовать сведения о графическом
изображении сил, действующих по одной прямой (фи-
зика, VII кл.); о географических координатах (геогр."
фня, VI кл.). При изучении окружности, круга, сфсрч
и шара и их измерений можно использовать сведение
о Земле и других небесных телах (природоведение,
V кл.), глобусе и карте, параллелях « меридиана?
(география, VI кл.), о делении окружности на равные!
части и сопряжениях (черчение). Рассмотрение стерео
метрических фигур существенно использует знания!
о способах построения изображений и их графическом
анализе (черчение). Знание форм различных реальных
предметов, приобретенное в-курсах трудового обучения,
черчения, физики, химии, может помочь при форми-
ровании пространственных представлений учащихся
При изучении движений можно использовать знания
учащихся о механическом движении, полученные в кур-
се физики VII класса.
При изучении геометрии существенно используются
навыки работы с измерительными, разметочными и чер
тежными инструментами, сформированные в курса.’,
трудовою обучения и черчения.
Рекомендации по опенке знаний
и умений учащихся
Учитель, опираясь на эти рекомендации, оценивает
знания -л умения учащихся с учетом их индивидуаль-
ных особенностей.
1.	Содержание и объем материала, подлежащего
проверке, определяется программой по математике для
средней школы. При проверке усвоения этого материа-
ла следует выявлять полноту, прочность усвоения уча-
щимися теории и умения применять ее на практике
в знакомых и незнакомых ситуациях.
2.	Основными формами проверки знаний н умений
учащихся по математике в средней школе являются
письменная контрольная работа и устный опрос.
При оценке письменных и устных ответов учитель
в первую очередь учитывает показанные учащимися зна-
ния и умения (их полноту, глубину, прочность, исполь-
зование в различных ситуациях). Оценка зависит так-
же от наличия и характера погрешностей, допущенных
учащимися.
3.	Среди погрешностей выделяются ошибки и недо-
четы.
Погрешность считается ошибкой, если она свидетель-
ствует о том, что ученик не овладел основными знания-
ми. умениями, указанными в программе.
К недочетам относятся погрешности, свидетельствую-
щие о недостаточно полном или недостаточно прочном
усвоении основных знаний и умений или об отсутствии
знаний, не считающихся в соотв ‘тствии с программой
основными. Недочетами также являются; погрешности,
которые не привели к искажению смысла полученного
учеником задания или способа его выполнения неакку-
ратная запись; небрежное выполнение чертежа.
Граница между ошибками и недочетами является
в некоторой степени условной При одних обстоятель
ствах допущенная учащимися погрешность может рас-
сматриваться учителем как ошибка, в друюе время
и при других обстоятельства t — как недочет.
4.	Задания для устного и письменного опроса уча-
щихся состоят из теоретических вопросов и задач.
Ответ на теоретический вопрос считается безупреч-
ным, если по своему содержанию полностью соответ-
ствует вопросу, содержит все необходимые теоретиче-
24
сине факты и обоснованные выводы, а устное изложе-
ние и письменная запись ответа математически ipa
потны и отличаются последовательностью и аккурат-
ностью.
Решение задачи считается безупречным, если правиль-
но выбран способ решения, само решение сопровож-
дается необходимыми объяснениями, верно выполне-
ны нужные вычисления и преобразования, получен вер-
ный ответ, последовательно и аккуратно записано ре-
шение.
5.	Оценка ответа учащегося при устном и письмен-
ном опросе проводится по пятибалльной системе, т. е.
за ответ выставляется одна нз отметок: 5 («отлично»),
4 («хорошо»), 3 («удовлетворительно»), 2 («неудовле-
творительно»), 1 («плохо»).
Оценка устных ответов учащихся
Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:
полно раскрыл содержание материала в объеме, пре-
дусмотренном программой и учебником;
изложил материал грамотным языком, точно исполь-
зуя математическую терминологию и символику, в оп-
ределенной логической последовательности;
правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, со-
путствующие ответу;
показал умение иллюстрировать теорию конкретными
примерами, применять ее в новой ситуации при выпол-
нении практического задания
продемонстрировал усвоение ранее изученных сопут-
ствующих вопросов, сформированное™ и устойчивость
используемых при ответе умеинй и навыков;
отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов
учителя.
Возможны одна-две неточности при освещении вто-
ростепенных вопросов или в выкладках, которые уче-
ник легко исправил после замечания учителя.
Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет
в основном требованиям на оценку «5», но при этом
имеет один из недостатков:
в изложении допущены небольшие пробелы, не иска-
зившие математическое содержание ответа;
допущены один два недочета при освещении основно-
го содержания ответа, исправленные после замечания
учи геля;
допущены ошибка или более двух недочетов при
освещении второстепенных вопросов или в выкладках,
легко исправленные после замечания учителя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
неполно раскрыто содержание материала (содержа-
ние изложено фрагментарно, не всегда последователь-
но), ио показано общее понимание вопроса и проде-
монстрированы умения, достаточные для дальнейшего
усвоения программного материала (определенные «Тре-
бованиями к математической подготовке учащихся»
в настоящей программе по математике);
имелись затруднения или допущены ошибки в опре-
делении понятий, использовании математической тер-
минологии, чертежах, выкладках, исправленные после
нескольких наводящих вопросов учителя;
ученик не справился с применением теории в новой
ситуации при выполнении практического задания, но
выполнил задания обязательного уровня сложности по
данной теме;
при достаточном знании теоретического материала
выявлена недостаточная сформированное™ основных
нений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
не раскрыто основное содержание учебного мате-
риала;
обнаружено незнание или непонимание учеником
большей или наиболее важной части учебного мате-
риала;
допущены ошибки в определении понятий, при ис-
пользовании математической терминологии, в рисунках,
чертежах или графиках, в выкладках, которые не ис-
правлены после нескольких наводящих вопросов учи-
те пя.
Отметка «1» ставятся, если:
ученик обнаружил полное незнание и непонимание
изучаемого учебного материала или не смог ответить
ни на один из поставленных вопросов по пзу часмому
материалу.
Оценка письменных
контрольных работ учащихся
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуй.дениях и обосновании решения
пет пробе гов и ошибок,
в решении нет математических ошибок (возможна
одна неточность, описка, которая не является
следствием незнания или непонимания учебного мате-
риала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов
решения недостаточны (если умение обосновывать рас-
суждения не являлось специальным объектом про-
верки) ;
допущена одна ошибка или есть два-три недочета
в выкладках, рисунках, чертежах или i рафиках (если
эти виды работ не яь. ялись специальным ооъектом
проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущено более одной ошибки или более двух-трех
недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но
учащийся обладает обязательными умениями по про-
веряемой теме
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что
учащийся не обладает обязательными умениями по дан-
ной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится, если
работа показала полное отсутствие у учащегося обя-
зательных знаний и умений по проверяемой теме пли
значительная часть работы выполнена не самостоя-
тельно.
6.	Учитель может повысить отметку за оригиналь-
ный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи,
которые свидетельствуют о высоком математическом
развитии учащегося; за решение более сложной задачи
или ответ на более сложный вопрос, предложенные
учащемуся дополнительно после выполнения им каких-
либо других заданий.
Литература для учителя
О реформе общеобразовательной п профессиональ-
ной шко. ы. Сборник документов и материалов.— М.:
Полита щат, 1984.
Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения уча-
щихся в процессе обучения математике.— М.: Просве-
щение, 198.?
Тесленко И. Ф Формирование диалектико-материали-
стического мировоззрения учащихся при обучении ма-
тематике: Подобие для учителя.— М.: Просвещение, 1979.
Воспитание школьников в процессе обучения матема-
тике: Из опыта работы/Сост. Л. Ф. Пичурин.— М.:
Просвещение, 1981.
Конфорович А. Г. Атеистическое воспитание в процес-
се преподавания математики.— М.: Педагогика, 1984.
Виленкин Н. Я. и др. Математика: Учебник для
4 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1984.
Баранова И В. и др Математика 4: Пробный учеб-
ник.— М.: Просвещение, 1981.
Виленкин Н. Я- и Др. Математика: Учебник для
5 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1984.
Баранова И. В. и др. Математика 5: Пробный учеб-
ник— М.: Просвещение, 1983.
Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы / Под
ред. С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1985.
Алимов Ш. А. и др. Алгебра: Пробный учебник для
6 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1985.
Никольский С. М. и др. Алгебра: Пробный учебник
для 6 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1984.
Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы / Под
ред. С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1985.
Никольский С М. и др. Алгебра: Пробный учебник
для 7 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1985.
Алимов III. А. и др., Атанасян Л. С. и др. Алгебра.
Геометрия: Пробный учебник для 7 класса средней шко-
лы.— М: Просвещение, 1983.
Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Под
ред. С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1986.
Никольский С. М. п др. Алгебра: Пробный учебник
для 8 класса средней школы.— М Просвещение, 1986.
Фаддеев Д. К. Алгебра 6—8.— М.: Просвещение,
1983.— (БУМ — Библиотека учителя математики).
Алимов Ш. А. и др., Атанасян Л. С. и др. Алгебра.
Геометрия: Пробный учебник для 8 класса средней
школы.— М.: Просвещение, 1984.
Атанасян Л. С. Геометрия: Пробный учебник для
6 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1985.
Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 6—
10 классов средней школы.— М.: Просвещение, 1984.
Александров А. Д. и др. Геометрия: Пробный учеб-
ник для 6 класса средней школы.— М.: Просвещение,
1984.
Киселев А. /7. Элементарная геометрия: Книга для
учителя.— М. Просвещение, 1980.
Болтянский В. Г. и др. Геометрия 6—8: Пробный
учебник.— М.: Просвещение, 1979.
Геометрия 6 -8: Учебное пособие для 6—8 классов
средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова.—М.: Про-
свещение, 1982.
Атанасян Л. С. и др. Геометрия 9—10: Пробный учеб-
ник для 9—10 классов средней школы.— М.: Просве-
щение, 1982.
Геометрия 9—10: Учебное пособие для 9—10 клас-
сов средней школы / Под ред. 3. А. Скопеца.— М.: Про-
свещение, 1983.
Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для
учащихся 9—10 классов средней школы / Под ред.
А. Н. Колмогорова.— М.: Просвещение, 1986.
Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа: Проб-
ный учебник для 9—10 классов средней школы.— М.:
Просвещение, 1982.
Виленкин Н Д. и др. Алгебра и математический ана-
лиз для 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ
и классов с углубленным изучением курса математи-
ки.— М.: Просвещение, 1983.
Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический ана-
лиз для 10 класса: Учебное пособие для учащихся
школ и классов с углубленным изучением курса мате-
матик:!.— М.: Просвещение, 1984.
Александров А. Д. и др. Геометрия для 9—10 клас-
сов: Учебное пособие для учащихся школ и классов
с углубленны»- изучением курса математики.— М.: Про-
свещение, 1984.
Болтянский В. Г. Элементарная геометрия: Пособие
для учителя.— М.: Просвещение, 1985.
Болтянский В. Г. и др. Лекции и задачи по элемен-
тарной математике. 2-е изд.— М. Наука, 1974.
Обязательные результаты обучения.— Математика в
школе, 1985, № 2 -4.
Оганесян В. А., Ко гягин Ю. М. и др. Методика пре-
подавания математики в средней школе: Общая мето-
дика.— М.: Просвещение, 1980.
Методика преподавания математики в средней шко-
ле: Общая методика / Сост.: Р. С. Черкасов, А. А. Сто-
ляр.— М.: Просвещение. 1985.
Стратилатов П. В. О системе работы учителя матема-
тики,—М.: Просвещение, 1984
Вопросы преподавания алгебры и Начал анализа I
средней школе.— М.: Просвещение, 1981. (БУМ).
Леонтьева М. Р„ Суворова С. Б. Упражнения в обу-
чении алгебре: Пособие для учителя.— М.: Просвеще-
ние, 1985.
Гусев В. А. и др. Сборник задач по геоме-.рии для
6—8 классов.— М.: Просвещение, 1979.— (БУМ).
Герасимова И. С. и др. Сборник задач по геометрия
для 9—10 классов.— М.: Просвещение, 1977.— (БУМ).
Ивлев Б. М. и др. Сборник задач по алгебре н на-
чалам анализа для 9 и 10 классов.— М.: Просвещение,
1978,— (БУМ).
Белл Э. Г. Творцы математики.— М.: Просвещение,
1979.
Глейзер Г. И. История математики в школе, IV-
VI классы: Пособие для учителей.— М.: Просвещение
1981.
Глейзер Г. И. История математики в школе, VII-
VIII классы: Пособие для учителей.— М.: Просвещение,
1981.
Глейзер Г. И. История математики в школе, IX-
X классы: Пособие для учителей — М.: Просвещение,
1983
Болтянский В. Г. и др. Оборудование кабинета ма-
тематики: Пособие для учителей.— М.: Просвещен^
1985.
3ai
МО!
ТРУ
пос
вой
Антоновский М. Я-, Левитас Г. Г. Учебное обору ic-
вание на уроках алгебры: Пособие для учителей.— М
Просвещение, 1980.
Самодельное оборудование на уроках математики:
Пособие для учителей / Под ред. В. Г. Болтянского.-
М.: Просвещение, 1980.
Лиговский А. П„ Маланюк М. П. Преподавание ма-
тематики в условиях кабинетной системы (нз опыт
работы): Пособие для учителей—М.: Просвещении
мач
ля.
щи
нул
нят
1981.
Энциклопедический словарь юного математика: Дяя
среднего и старшего школьного возраста.— М.: Педаго-
гика, 1985.
Внеклассная работа по математике в 4—5 классах)
Под ред. С. И. Шварцбурда.— М.: Просвещение, 197-1
Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внекласс-
ная работа по математике в 6—8 классах / Под pci
С. И. Шварцбурда.— М.: Просвещение, 1977.— (БУМ).
Кордемский Б. А. На уроках и вечерах математикг
Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1981.
Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой:
Материал для классных и внеклассных занятий.— М
Просвещение, 1981.
Библиотечка «Квант» (математические выпуски).
Петраков И. С. Математические олимпиады школьни-
ков.— М.: Просвещение, 1982.
Шарыгин И. Ф. Сборник задач по геометрии: Плани-
метрия.— М.: Наука, 1982.
Шарыгин И. Ф. Сборник задач по геометрии: Сте-i
реометрия.— М.: Наука, 1984.
Избранные вопросы математики: 7—8 классы. Фа-
культативный курс/Под ред. В. В. Фирсова.— М.: Про-
свещение, 1978.
Избранные вопросы математики: 9 класс. Факульта-
тивный курс/Под ред. В. В. Фирсова.— М.: Просвеще-
ние, 1979.
Избранные вопросы математики: 10 класс. Факульта-
тивный курс/Под ред. В. В. Фирсова.— М.: Просвеще-
ние, 1980.
Методика факультативных занятий в 7—8 классах:
Избранные вопросы математики/Сост.: И. Л. Николь-
ская, В. В. Фирсов.— М.: Просвещение, 1981.
Методика факультативных занятий в 9—10 классах.
Избранные вопросы математики / Сост.: И. Л. Николь-1
ская. В. В. Фирсов.— М.: Просрещение, 1982.
ней
I
ио,
еле
нос
пра
Ь
нос
сод
ние
в г
ном
Г
тем
нап
зей
чен1
зов:
обес
мир
и д«
П
ДИТ
СТИХ
го п
п
тем;
мет(
неш
ков
ческ
П
тем;
гоги
ф<
ВЫ1«
ичсс
боть
из
26
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УРОКА
>У-
хе-
1ЛЯ
>ии
М).
на-
гие, I
[не, I
V-
ше, I
II— I
ине, I
X—
пне,
ма- I
ние,
удо-
- М.:
икп: I
го.— I
ма- I
пыта I
сипе, I
Для I
даго- 1
ссах/ I
1974. I
масс- I
ред. I
>УМ).
инки: I
гпкой: I
— М.;
)-
□льни-
Тлани- |
: Сте-|
I. Фа-
: Про-
су льта-
1свсще-
сульта-
)свещс-
лассах:
4иколь-
лассах:
Тиколь-
0 прикладной
и практической направленности
обучения математике
Ю. М. Колягин, В. В. Пикам
(Москва)
Закон о реформе школы обозначил необходи-
мость ориентации обучения на тесную связь с
трудовым воспитанием школьников. Возмож-
ность реализовать в школе идею о приклад-
ной и практической направленности обучения
математике демонстрируют передовые учите-
ля. Поэтому уже сейчас, в рамках действую-
щих учебных планов, программ и учебников,
нужно интенсивно развивать и распростра-
нять их опыт, не ожидая радикальных изме-
нений, предусмотренных реформой.
Но прежде чем говорить об этом конкрет-
но, определимся в основных терминах: что
следует понимать под прикладной направлен-
ностью обучения математике и что — под его
практической направленностью?
На наш взгляд, прикладная направлен-
ность обучения математике — это ориентация
содержания и методов обучения на примене-
ние математики в технике и смежных науках;
в профессиональной деятельности; в народ-
ном хозяйстве и в быту.
Прикладная направленность обучения ма-
тематике включает в себя его политехническую
направленность, в том числе реализацию свя-
зей с курсами физики, химии, географии, чер-
чения, трудового обучения; широкое исполь-
зование электронно-вычислительной техники и
обеспечение «компьютерной грамотности», фор-
| мнрование математического стиля мышления
и деятельности.
Прикладная направленность впрямую выво-
дит на формирование диалектико-материали-
I стического мировоззрения средствами учебно-
го предмета «математика».
Практическая направленность обучения ма-
тематике— это направленность содержания и
I методов обучения на решение задач и упраж-
I нений, на формирование у школьников навы-
I ков самостоятельной деятельности математи-
I чеекиго характера.
Практическая направленность обучения ма-
I тематике включает решение следующих педа-
I тонических задач:
формирование основных математических на-
I выков, необходимых для вычислений, алгебра-
I ических преобразований, измерений, для ра-
I биты с графиками и т. д.;
I изучение теоретического материала в про-
обучения,
этими на-
даже про-
цессе решения задач (или в тесной связи с ре-
шением задач и упражнений);
усвоение знаний и умений, необходимых для
дальнейшего успешного изучения математики
и ее приложений;
развитие интереса учащихся к предмету,
их математической активности, способности к
дальнейшему самообразованию по предметам,
использующим математику;
привитие универсальных учебно-трудовых
навыков планирования, рационализации своей
деятельности.
В реальном процессе обучения приклад-
ная и практическая направленность обычно
функционируют совместно. Например, форми-
рование вычислительных, измерительных и
графических навыков — это задачи, решаемые
практической направленностью
Однако без свободного владения
выками немыслимо заниматься
стейшими приложениями математики.
Конечно, немалый резерв усиления при-
кладной и практической направленности обу-
чения заложен в возможности соответствую-
щей переработки и переориентации программ
и учебников математики. Многое из того,
что характеризует прикладную и практиче-
скую направленность, может и должно быть
отражено в программе, учебниках и методи-
ческих пособиях. Оно должно быть отражено
в целях обучения, в системе требований к
объему и уровню усвоенных математических
знаний и умений, в методических приемах из-
ложения теоретического материала учебников,
в содержании задач и упражнений. На это
потребуется определенное время. И потому
наша задача, задача учителей математики и
методистов,— начать активную работу, не
дожидаясь того времени, когда новые или пе-
реработанные учебники математики будут во
всех школах.
Что же для этого делать? Попытаемся дать
учителю математики несколько полезных со-
ветов, основанных на личном опыте авторов
статьи, на многолетних наблюдениях за ра-
ботой лучших учителей и на материалах пе-
риодической печати.
Прежде всего, все приемы и средства обу-
чения, которые учитель использует в ходе
урока, а также целевые функции каждого
урока (или системы уроков по теме) долж-
ны быть сориентированы на реализацию при-
кладной и практической направленности обу-
чения во всех возможных проявлениях. Так,
в процессе овладения учащимися вычисли-
тельными навыками, методом уравнений, ме-
тодом координат, векторным аппаратом, эле-
ментами математического анализа, в ходе
применения аналитических и графических ме-
тодов на уроках алгебры и геометрии учнте-
27.
лю следует как можно чаще акцентировать
внимание учащихся на универсальность мате-
матических методов, показывать на конкрет-
ных примерах их прикладной характер.
На уроках математики нужно обеспечивать
органическую связь изучаемого теоретическо-
го и задачного материала, формировать у
учащихся прочные и осознанные математи-
ческие навыки, необходимые как для дальней-
шего изучения математики, так и для решения
прикладных задач. Важное значение в про-
цессе обучения математике имеет понимание
школьниками практической значимости того
или иного учебного материала, ближней и
дальней перспективы его использования. На-
пример, после доказательства теоремы о сум-
ме углов треугольника полезно обзорно рас-
смотреть вместе с учащимися круг основных
геометрических задач, при решении которых
эта теорема используется:
а)	для нахождения угла любого треуголь-
ника по двум данным (в равнобедренном п
прямоугольном треугольнике достаточно за-
дать только один угол);
б)	для нахождения углов, образовавшихся
при пересечении трех прямых (при этом на
рис. 1 необходимо задать только пару углов,
не имеющих общей вершины, чтобы вычи-
слить остальные 10);
в)	для нахождения суммы углов много-
угольника путем разбиения на треугольники.
Следует также ознакомить школьников с
приложениями теоремы о сумме углов тре-
угольника для съемки участков способом три-
ангуляции в геодезии и для проверки резуль-
татов измерений
Таким образом, при изучении любого тео-
ретического материала необходимо сразу же
очертить область, в которой этот материал
может иметь фактическое применение. Закреп-
ление теоретических знаний следует осуществ-
лять в основном в ходе решения задач.
Именно при решении задач создаются пред-
посылки активного применения математиче-
ских знаний, формируются универсальные ка-
чества личности: привычка к систематическо-
му труду, добросовестное отношение к делу,
стремление к познанию и постоянному совер-
шенствованию имеющихся навыков, потреб-
ность в контроле и самоконтроле, способ-
ность трудиться самостоятельно и творчески,
умение работать с учебной и справочной ли*
тературой и т. п.
Доказательство теорем (если при этом нс
демонстрируется какой-либо важный метод),
как правило, имеет меньшую дидактическую)
значимость — это лишь очередное упражне-
ние в строгом логическом рассуж гении. По-
этому вряд ли уместно разучивать доказа-
тельства математических утверждений наи-
зусть: помимо малой полезности это прямой
путь к формализму!
Для привития интереса к предмету очень
важна мотивационная сторона обучения: каж-
дое новое понятие или положение должно, по
возможности, первоначально появляться в за-
даче практического характера. Такая задача
призвана, во-первых, убедить школьников в
необходимости и практической полезности из;
чения нового теоретического материала; во
вторых, показать учащимся, что математиче-|
ские абстракции возникают из практики, из
_ задач, поставленных реальной действительно
егью. Это, к тому же, один из возможных
путей усиления мировоззренческой направ-
ленности обучения математике.
Например, свойства функций полезно ил-
люстрировать на графиках, отражающих ре-
ально существующие зависимости: почасовом
графике уборки урожая, графике движения
поездов, кардиограмме работы сердца и т.п.
Для образца предлагается график интенсив
ности труда рабочего-каменщика в течение
смены (рис. 2).
Учитель в повседневной работе должен об
пару живать и укреплять связь тех трудовых
умственных умений и навыков, которые вы-
рабатываются в процессе занятий математи-
кой, с навыками, необходимыми в различ-
ных профессиях. Это и умение поставить за-
дачу, перевести конкретную задачу на язык}
математики (т. е построить математическую
модель задачи), и овладение техникой вы-
числений, и навыки самостоятельного творче-'
с кого труда
Важно воспитывать у школьников убежден-
ность в том, что математика — это наука по-
левная, а может быть, и необходимая в их
будущей работе. Для реализации этих целей
учителю математики следует шире использо-
вать на уроке задачи, возникающие в практи-
ке и показывающие необходимость математи-
ческих знаний для людей самых разных про-
фессий. Например, с интересом знакомятся
девятиклассники со способом проверки гори-
зонтальности поверхности, основанным на при-
знаке перпендикулярности прямой и плоско-
:ти. Этот способ уместно использовать при вы-
равнивании спортивной площадки.
Прикладная направл°нность предусматри-
ает овладение школьниками математическими
методами познания действительности, одним
которых является построение математиче-
)й модели. При решении текстовых задач,
начиная с младших классов, школьники неяв-
ки образом знакомятся с простейшими ви-
нами математических моделей. В ходе обуче-
ния решению задач методом составления
уравнений в курсе алгебры следует выделять
жнейшие компоненты решения прикладных
задач, которые сводятся в основном к следу-
ющим трем этапам:
а)	переход от реальной ситуации к уравне-
нию (построение математической модели);
б)	решение уравнения (исследование ма-
тематическими методами и средствами постро-
енной модели);
в)	сопоставление полученного решения с
реальной ситуацией (интерпретация найден-'
иiro решения).
Обучение решению квадратных, иррацио-
нальных, показательных, логарифмических,
тригонометрических уравнений, систем урав-
нений, знакомство с линейным программиро-
ванием и дифференциальными уравнениями
должно быть использовано учителем для фор-
мирования представлений у учащихся об осо-
бенностях применения математики к решению
задач в условиях проходящего сейчас процес-
са широкой математизации науки и практиче-
ской деятельности человека.
Прикладной характер математики мож-
но показать, рассказывая о задачах планиро-
вания народного хозяйства. Например, изве-
стно, что прирост объема древесины в лесном
массиве происходит m законам геометриче-
ской прогрессии. При этом у каждой породы
дерева свой коэффициент годового роста объ-
ема. Учет этих изменений позволяет планиро-
вать вырубку части лесных массивов и одно-
временную работу по восстановлению лесов.
Необходимость математических знаний для
дела охраны природы учитель может обо-
сновать, указав на формулы, которыми опи-
сываются закономерности размножения неко-
торых микроорганизмов и растений (см.: Пе-
рельман Я. И. Живая математика).
Современные способы и техника вычислении
широко используются и при составлении прог-
нозов погоды, являющихся сложной матема-
тической задачей. Для обработки данных, по-
лучаемых в метеоцентрах, ежедневно выпол-
няются почти 300 млн. вычислений. С этой ко-
лоссальной работой электронно-вычислитель-
ные машины справляются всего за несколько
часов.
Подобный пример дает учителю возмож-
ность обосновать необходимость изучения но-
вого курса «Основы информатики и вычисли-
тельной техники».
В связи с тем что реформа школы преду-
сматривает сделать всеобщей компьютерную-
грамотность учащейся молодежи, учителю ма-
тематики следует активизировать свою рабо-
ту в этом направлении. Начать можно с про-
стого знакомства с простейшим или инженер-
ным калькулятором и возможностями его при-
менения при изучении смежных дисциплин:
физики, химии, трудового обучения.
Ранее из соображений удобства вычисле-
ний учащимся предлагались задачи со значи-
тельными ограничениями в отборе фабулы и
числовых данных. Появление в школе каль-
куляторов позволило расширить круг прак-
тических задач на уроках математики и тем
усилить прикладную значимость обучения.
Калькуляторы позволяют увеличить удельный
вес лабораторных и практических работ на
уроках математики. Учащимся становятся до-
ступными разнообразные практические за ча-
чи на измерение площадей и объемов, содер-
жательные измерительные работы на местно-
сти, геодезические задачи, артиллерийские
расчеты и т. п.
Знакомство с микропроцессорной техникой
можно начинать даже в том случае, если в
школе имеется один калькулятор, используя
для этого время для внеклассных занятий.
Можно и нужно в этой связи усилить внима-
ние к алгоритмической стороне формируемых
знаний, умений и навыков. На примере изве-
стных учащимся алгоритмов («умножение в
столбик», прием решения уравнений первой
степени с одним неизвестным, способ построе-
ния биссектрисы угла с помощью циркуля и
линейки, вычисление значения выражения пр
формуле и т. п.) надо создать у них правиль-
ное представление об алгоритме, о вычисли-
тельной программе, постепенно прививать им
алгоритмический стиль мышления.
Учитель математики должен быть впереди
в решении важной задачи компьютеризации
процесса обучения, вовлечь в эту работу учи-
телей других учебных предметов. Важно Пом-
нить, что компьютерная грамотность, как и
обычная грамотность, имеет много уровней
(от простейшего1 до прос ^ссгюнп.тапо^о)-
29
потому любая работа в этом направлении
очень важна. Учащиеся IX—X классов дол-
жны подойти к изучению только что введен-
ного нового учебного курса «Основы инфор-
матики и вычислительной техники» внутрен-
не подготовленными к нему, убежденными в
его полезности и познавательной ценности.
Даже используя небольшое число школьных
калькуляторов, учитель может существенно
расширить круг рассматриваемых прикладных
задач, в том числе и по экономической тема-
тике. Для этих целей желательно подбирать
задания, требующие произвести несложный
экономический расчет, в ходе решения кото-
рых школьники могут уяснить смысл таких
понятий, как себестоимость, расценка, при-
рост продукции, прибыль, рентабельность,
сверхплановая продукция. Приведем пример
такой задачи.
Колхоз продал государству по плану
2,8 тыс. т молока по цене 150 рублей за тон-
ну. Увеличив затраты на 50 тыс. рублей, он
получил дополнительно 0,4 тыс. т молока,
и уровень рентабельности производства повы-
сился на 4 %. Какую прибыль получил кол-
хоз, если за сверхплановую продажу молока
была установлена надбавка на 30 % к заку-
почным ценам?
Указание. Уровень рентабельности про-
изводства определяется отношением получае-
мой прибыли к затратам.
Имеющийся в учебниках заданный матери-
ал следует расширять также за счет задач,
в которых используются статистические дан-
ные, характеризующие производственные и
сельскохозяйственные процессы, высокие тем-
пы развития народного хозяйства. Целый ряд
задач, отражающих грандиозность планов
строительства коммунизма в нашей стране,
знакомящих с фактами созидательной работы
народа, учитель может или брать из имею-
щихся источников *, или составлять самосто-
ятельно по статистическим данным страны,
республики, области, края, города, района,
села.
На уроках математики следует шире рас-
пространять накопленный школой опыт по
воспитанию у учащихся бережного отноше-
ния к социалистической собственности, непри-
миримости к расточительству. Большой воспи-
тательный эффект в IV—V классах могут дать
задания подсчитать:
средства, затрачиваемые государством на
обучение школьников класса, школы, всей
страны (на обучение одного ученика тратится
сзыше 180 рублей в год, в стране около
40 млн. школьников),
1 Подобное задачи систематически публикуются в
журнале «Математика в школе».
затраты бумаги в классе или в школе (иа
производство бумаги ежегодно расходуется
около 45 млн. куб. м древесины, для чего
требуется вырубить с 500 тыс. га);
расходы электроэнергии на освещение
класса, школы (на 1 кВт-ч необходимо 340 г
условного топлива);
отходы хлеба в школьной столовой в день,
месяц, год и т. д.;
экономию железной руды при сборе метал-
лолома ребятами данного класса, школы (1т
металлолома в среднем стоит 24 рубля, до-
быча 1 т железной руды обходится государ-
ству в 20 раз дороже) и т. п.
Подобные задачи вырабатывают у учащих-
ся активную жизненную позйцию, учат бо-
роться с иждивенчеством, внушают бережное
отношение к народному добру, хлебу, тетра-
ди, книге.
Школьники должны знать, что в нашей
стране большое внимание уделяется вопро-]
сам повышения эффективности и качества вг.
всех отраслях народного хозяйства. В этой
связи особую значимость приобретают так
называемые задачи на оптимизацию, которые
возникают там, где необходимо выяснить,
как с помощью имеющихся средств достичь
наилучшего результата, как получить макси-
мальный эффект с наименьшей затратой
средств, материалов, времени, труда и т. п.
Некоторые возможности для ознакомлена
учащихся с задачами на оптимизацию имеют
ся в курсе математики восьмилетней школы
Это задачи на нахождение наименьшего рас
стояния, длины отрезка, площади фигуры. В
IX классе происходит более тесное знакомст
во с методом решения задач на оптимизацию,
основанным на применении производной. За-
дачи этого типа имеют прикладную направ-
ленность, в них находят отражение все упо-
мянутые выше фазы построения и псполы
вания моделей: составление функции, описан
ной условием задачи, поиск критических тп
чек, анализ найденных критических точек 1
I
I
I
I
с
г
с
п
м
р
У
т
Oj
С!
ф
сг
и
св
ус
М(
э
бс
м!
ва
ци
ва
ВЛ
Tfc,
ма
юг
I
вел
на]
я вл
изу
ньь
учи
воп
чен
при
лнч
мер
вес,
име
век
зию
Д
есте
венг
о вл г
ленг
пблг
учетом особенностей задачи.
С помощью линейного программировали
решаются самые разнообразные задачи ,
области планирования. Школьников мож
ознакомить с основной идеей линейного пр
граммирования в процессе решения снеге
линейных уравнений и неравенств. Полезг
дополнить это знакомство рассказом о не
уклонном увеличении общественного пргпз
водства в СССР, высоких темпах его разы,
тия на основе ускоренного научно-техничг
ского прогресса, перевода экономики па иь
тенсивный путь.
Использование межпредметных связей я
ляется одним из важнейших условий дл 1
реализации прикладной и практической ш
20
правленности обучения. Остановимся на этом
подробнее. Опыт показал, что решение этой
проблемы осуществляется сейчас в школе
двумя путями: во-первых, путем увеличения
прикладных упражнений на занятиях мате-
матикой, во-вторых, с помощью широкого
привлечения знаний по математике при- изу-
чении других наук и на занятиях по труду.
Важнейшими формами работы учителей по
реализации межпредметных связей являются
совместные заседания методических предмет-
ных комиссий, открытые уроки, разработка
системы заданий, в том числе комплексных,
проведение экскурсий, отражение межпред-
метных связей в оформлении кабинетов, вы-
работке единых требований к формированию
у учащихся знаний, умений и навыков прак-
тического характера.
Заслуживает внимания и распространения
опыт учителей, использующих для освещения
связей математики с другими науками такие
формы обучения, как лекционные, семинар-
ские занятия. Например, учителя математики
и физики школы № 5 г. Кузнецка Пензен-
ской области совместно разработали и
успешно провели в IX классе семинар по те-
ме «Производная в математике и физике».
Это занятие позволило учащимся более глу-
бого осознать значимость приложений мате-
матики.
Согласованное и взаимосвязанное препода-
вание предметов естественно-математического
цикла является важным средством формиро-
вания диалектико-материалистического миро-
воззрения. Для достижения этих целей учи-
телю математики необходимо -знать, какие
математические знания постоянно применя-
ются при изучении этих дисциплин.
Особого внимания заслуживает понятие
величины, которое используется во многих
пауках, но для курсов физики и математики
является наиболее характерным. Величины,
изучаемые в школе, отражают многочислен-
ные свойства реального мира. В поле зрения
учителя математики и физики должны быть
вопросы согласования терминологии, обозна-
чений, систем единиц измерения, содержания
приводимых примеров и иллюстраций раз-
личных величин (длина отрезка, расстояние,
мера угла и дуги, площадь, объем, масса,
вес, сила и т. д.). Немаловажное значение
имеет согласованное формирование понятий
1 вектора, векторной величины на уроках фи-
зики и математики
Для стыковки преподавания предметов
I естественно-математического цикла сущест-
венное значение имеет то, как школьники
овладевают навыками приближенных вычис-
лений. Выработка единых требований к вы-
полнению действий с приближенными числа-
ми при измерениях величин — важное звено
в совместной деятельности учителей матема-
тики, физики, химии, трудового обучения.
Определенную связующую роль здесь может
сыграть и использование калькулятора.
Одним из элементов связи математики и
физики является понятие функции. Физика
снабжает математику многочисленными при-
мерами различных видов функций. Эти при-
меры должны использоваться в работе по
формированию функциональных понятий на
уроках математики. С другой стороны, навы-
ки работы с функциональным материалом
находят применение в решении конкретных
физических задач.
На уроках математики должны найти по-
добающее место задания, в которых необхо-
димо определить значение конкретной физи-
ческой величины при заданных значениях
параметров, входящих в данную формулу;
выразить одну переменную через другие; изо-
бразить схематически график функции, за-
данной физической формулой, и т. п. Приве-
дем примеры таких заданий.
1.	В следующих формулах выразите каж-
дую переменную через другие:
a) m—pV; б) s=o/; в) Q=cm(t—t0J;
v)/?=p4-; Д)А=- ’ +
°	A Ai Аз •
2.	Даны функции:
X	at ' n	i
a)	s= -у, где a — const;
6)	Д’ =	, где v — const;
в)	Q = I2Rt, где R— const и t — const.
Укажите, какие из них являются функциями
вида y—kx, у=ах2.
3.	Сопротивление f дороги движению авто-
мобиля при скорости движения v км)ч выра-
жается следующими формулами:
а)	на асфальте /=14,5-]-0,25ц;
2	1
б)	на хорошем шоссе f=24--г- <и ф-
о	ои
в)	на булыжной мостовой f=29—
2	। 1	,
—г ’•
г} на мягкой грунтовой дороге f=36,5—
3 I 1	9
Определите для тех случаев, когда это воз-
можно, скорость, при которой сопротивление
будет наименьшим.
Для достижения связей обучения матема-
тики и черчения необходимо добиваться от
учащихся прочного навыка выполнения ос-
новных геометрических построений: построе-
ния параллельных прямых, равных углов,
проведения перпендикуляра к прямой, деле-
ния отрезков и углов на равные части и т. д.
31
На уроках черчения эти навыки получают
дальнейшее развитие при делении окружно-
сти на 5 и 6 частей, что, в свою очередь, мо-
жет использоваться на уроке геометрии по
теме «Правильные многоугольники».
Основы методов, которыми оперируют в
черчении, закладываются в геометрии. Наи-
более глубокие связи в содержании и мето-
дах между черчением и геометрией раскры-
ваются при изучении вопросов параллельного
проектирования и изображения фигур в сте-
реометрии. Здесь уместно использовать све-
дения о косоугольных проекциях, с которыми
учащиеся ознакомились на уроках черчения.
Для развития пространственных представле-
ний большую пользу приносит приобретенное
иа уроках черчения умение выполнять раз-
вертки стереометрических фигур.
Повышение графической культуры выпуск-
ников средней школы, являющееся общей
целью изучения геометрии и черчения,— од-
на из задач политехнического образования,
одно из важных средств усиления приклад-
ной направленности обучения математике.
Для успешного применения математиче-
ских знаний на уроках химии учащиеся долж-
ны свободно владеть записью чисел в стан-
дартном виде и действиями с этими числами,
процентными вычислениями, навыками со-
ставления пропорций, уравнений, чтения гра-
фиков и т. п. При изучении соответствующих
тем курса математики и при последующем
повторении полезно предлагать учащимся за-
дания химического содержания, например:
выполнить вычисления по химической фор-
муле; записать в стандартном виде молеку-
лярную массу кислорода, водорода и т. д.;
сравнить атомные массы ряда веществ; опре-
делить процентную концентрацию вещества в
растворе; найти массу продукта реакции по
известному количеству вступающих в реак-
цию веществ и т. д. В подобных расчетах
также удобно использовать калькуляторы.
При отработке навыков чтения графиков
полезно использовать конкретный материал
из курса химии, например кривые раствори-
мости соли, графики зависимости темпера-
туры плавления и кипения вещества от коли-
чественного состава предельных углеводоро-
дов.
Элементы математики привлекаются и на
уроках географии, в частности вопросы
масштабных соотношений, преобразование
подобия. При изучении соответствующего ма-
териала на уроках математики необходимо
предлагать учащимся задания на нахожде-
ние расстояний между пунктами по карте.
Эти умения используются, например, в со-
ревнованиях по спортивному ориентирова-
нию.
Проблема подготовки школьников к трудо-
вой деятельности решается совместными
усилиями учителей и родителей. Решение за-
дач профориентации должно наити отраже-
ние в работе учителя математики, которому
целесообразно ознакомиться с основными ви-
дами приложений математических знаний на
предприятиях своего района, города, региона.
Профориентационные сведения необходимо
включать в тематику бесед и задач матема-
тического характера. Опыт передовых учите-
лей свидетельствует об эффективности таких
мероприятий, как приглашение родителей -
работников различных специальностей — для
рассказа о своих профессиях, о роли матема
тики в решении производственных задач.
О некоторых причинах
перегрузки учащихся
при обучении математике
С. Г. Губа
(г. Вологда)
Как известно, осуществляемая в настоящее
время школьная реформа ставит задачу
«устранить перегрузку учебных программ и
учебников, освободить их от излишне услож-
ненного, второстепенного материала». Важ-
ность этого вопроса ни у кого не вызывает
сомнений. Однако все еще нет единого мне-
ния о путях устранения перегрузки, в частно-
сти, отсутствуют четкие и обоснованные кри-
терии, позволяющие уверенно отличать без-
условно необходимый учебный материал от
второстепенного, малодоступный — от неудач-
но изложенного.
Математика как учебный предмет имеет
ряд особенностей. Логическая структура!
предмета такова, что нельзя безнаказанно
исключать из программы любой материал,!
нельзя изучить сначала более легкие темы, а
затем перейти к более трудным (например,!
сначала изучить более легкие теоремы, а за
тем более трудные)
Математикой нельзя овладеть путем прос-
того заучивания отдельных фактов (хотя
многие школьники безуспешно пытаются это!
делать). Если ученик нс может уяснить на-
значения математических понятий, не видит
взаимосвязей и аналогий, если встречающие-
ся различные случаи сходства только затруд-
няют заучивание и порождают путаницу, то
математика предстает перед таким учеником
как бесполезное нагромождение скучных оп-
ределений, формул, теорем и мудреных за-
дач. Окончив школу, он быстро забывает
32
почти все, что учил, а за математикой лиш-
ний раз утверждается слава очень грудной
науки.
В то же время другой ученик воспринима-
ет математику как предмет, в котором все
пронизано разнообразными интересными
взаимосвязями, глубокими аналогиями, изящ-
ными рассуждениями, абстракциями и обоб-
щениями, позволяющими в разных ситуа-
циях использовать одни и те же идеи и ме-
тоды. Все это дает возможность быстро овла-
девать не только школьным, но и университет-
ским курсом математики.
Очевидно, что большинство учащихся на-
ходятся где-то между указанными крайностя-
ми, но все же различия в скорости усвоения
материала, в эффективности затраченных
усилий остаются весьма значительными, что
существенно усложняет решение вопроса об
устранении перегрузки.
Устранить перегрузку лишь путем просто-
го сокращения программного материала не-
возможно по ряду причин. Во-первых, су-
ществует определенный минимум математи-
ческой подготовки, ниже которого среднее
образование не будет соответствовать потреб-
ностям современного общества. Более того,
приходится думать не только об изъятии из
программы тех или иных вопросов, но и о
включении в нее нового для школы мате-
риала.
Во-вторых, исключение из программы от-
дельных теорем и формул во многих случаях
существенно обедняет возможности для по-
каза разнообразия математических взаимо-
связей и закономерностей, что не только не
упрощает, а, скорее, усложняет изучение
предмета. Можно сказать, что происходит
как бы «перегрузка через недогрузку» (по-
добно тому как выбрасывание отдельных
мест из романа не всегда облегчает прочте-
ние книги, хотя она и уменьшается в объе-
ме).
В третьих, в поисках второстепенного мате-
риала составители учебных программ и авто-
ры учебников часто останавливают свой вы-
бор на формулах и теоремах, которые в ло-
гической структуре предмета не относятся к
числу абсолютно необходимых, но которые
интересны сами по себе, делают математику
привлекательной. В результате таких сокра-
щений школьный курс заполняется в основ-
ном определениями, терминами и символами,
оставляющими учащихся в лучшем случае
равнодушными. Известно, однако, что при
занятии любимым делом человек забывает
про усталость, тогда как нелюбимое дело
представляется всегда сплошной «перегруз-
кой». Все это заставляет при отборе про-
граммного материала считаться не только с
2 «Математика а школе», №6	-jfl
«утилитарными» соображениями, но и с эмо-
ционально-эстетическими. Разумеется, нельзя
сделать так, чтобы весь учебный материал
был одинаково интересным, но тем более
нельзя утверждать, что в этом направлении
все возможное уже сделано.
В то же время освобождение школьного
курса математики от устаревшего материала
можно только приветствовать. Сейчас даже
трудно поверить, что еще не так давно в
обязательном порядке изучались формулы
Мольвейде, теорема тангенсов, формулы, от-
носящиеся к секансу и косекансу, и др. Но
вряд ли можно согласиться с теми, кто пред-
лагает освободить школьников от заучива-
ния формул вообще, разрешив во всех необ-
ходимых случаях пользоваться справочни-
ком. Конечно, в отношении отдельных фор-
мул это вполне допустимо. Так можно посту-
пить, например, с формулами для вычисле-
ния объема шарового сектора, сегмента, слоя
и некоторыми другими. Однако было бы не-
верно распространять подобную практику,
скажем, на все тригонометрические формулы
(хотя предложения такого рода можно иног-
да слышать). И здесь невольно напрашива-
ется сравнение с шахматами. Допустим, что
шахматист решил не запоминать, как ходит
та или иная фигура, а каждый раз, когда
нужно сделать ход или убедиться в правиль-
ности хода партнера, стал бы заглядывать в
соответствующий справочник. Можно себе
представить, как далеко такой шахматист
смог бы рассчитывать варианты, какова бы-
ла бы сила его игры. Примерно с таким же
успехом будет протекать и процесс овладе-
ния математикой при постоянном заглядыва-
нии ученика в справочник.
Беда не в том, что нужно заучить несколь-
ко формул, а в том, что часто дальше заучи-
вания дело не идет, от учащихся ускользает
динамичность формул, разнообразие их при-
менений. На приемных экзаменах в вузы не
так уж редко можно встретить абитуриентов,
которые «помнят» все формулы, но совершен-
но беспомощны в обращении с ними. К тако-
му положению приводит подмена обучения
натаскиванием, когда при повторении мате-
риала учитель злоупотребляет вопросами ти-
па: «Чему равен sin (а+Р)?», «Чему равен
sin 2а?», и т. д. Обученный подобным обра-
зом ученик может хорошо помнить формулу
для sin (а+Р), но забыть в то же время фор-
мулу для sin 2а, тогда как умение выводить
вторую формулу из первой легко снимает
проблему ее запоминания. Что касается дей-
ственного овладения формулой синуса двой-
ного аргумента, то очень важно создать уча-
щимся возможность использования ее в са-
мых разнообразных ситуациях, например:
sin 36°=2 sin 18е-cos 18°;
sin = 2 sin — -cos-- ;
2	4	4
sin (a + P) = 2 ski + • cos -	.
При этом следует обращать внимание уча-
щихся на то, что всякую формулу нужно
уметь применять как «слева направо», так и
«справа налево», в связи с чем полезно пред-
лагать упражнения на «обратный ход:?. Так,
например, в данном случае можно предло-
жить упростить выражения типа sin 22°30'Х
Xcos22°30', sin 2a cos 2a,	sin(45°+<p)X
Xcos (45°-]-(p) и t. п. В результате таких уп-
ражнений учащиеся более уверенно, с боль-
шим интересом воспринимают тригонометри-
ческие тождества и уравнения.
Многое зависит от авторов учебников. На-
помним, что известные учебники А. П. Кисе-
лева не сразу приняли свой окончательный
вид. От издания к изданию они дорабатыва-
лись и улучшались. И в наши дни требуется
немало времени, чтобы довес ги учебник до
нужного качества.
В свою очередь, учителю также нужен не
один год, чтобы вжиться в новый учебник,
овладеть его содержанием и методическими
особенностями. Поэтому на первых порах
учитель, как правило, не удовлетворен новым
учебником, тратит много сил и времени на
подготовку к занятиям, часто не укладывает-
ся в урок, не успевает решить необходимое
количество задач и т. п. Перегрузку испыты-
вает прежде всего сам учитель, а вместе с
ним и его ученики.
В числе недостатков действующих школь-
ных учебников математики справедливо от-
мечают излишнюю формализацию учебного
материала, тяжеловесность изложения, неоп-
равданную погоню за «строгостью». В пре-
одолении этих недостатков кроется очень
важный резерв для устранения перегрузки.
Нужна дальнейшая кропотливая работа по
совершенствованию учебников.
Строгоз научное толкование многих школь-
ных понятий не всегда доступно учащимся.
Поэтому в ряде случаев приходится ограни-
чиваться некоторыми приемлемыми прибли-
жениями. С течением времени первоначаль-
ная трактовка отдельных понятий может
быть уточнена, дополнена и углублена, ины-
ми словами, школьников можно доучивать
(но не переучивать) частично в школе, а
частично и в вузе. Ведь так или иначе каж-
дому человеку приходится всю жизнь уточ-
нять и углублять свои знания о том или
ином предмете.
Опытные педагоги считают, что суть обуче-
ния не в том, сколько учитель дает, а в том,
сколько ученик берет Когда-то А. В. Суво-
ров высмеивал тех генералов, которые пред-
почитали поражение победе, если поражение
являлось резулы атом соблюдения всех зако-
нов «военной науки», а победа достигалась
не в самом строгом соответствии с этими за-
конами. Точно так же и в обучении нельзя
допускать заведомого непонимания учащими-
ся материала ради соблюдения «уровня стро-
гости».
Много огорчений доставляют шестикласс-
никам первые уроки систематического курса
геометрии. Обратимся к учебному пособию
«Геометрия 6—10» А. В. Погорелова (М.:
Просвещение, 1983). Здесь можно встретить
целый ряд довольно удачных методических
находок. В то же время «уровень строгости
значительной части материала, отнесенного к
VI классу, не соответствует возможностям
школьников этого возраста. Можно сослать-
ся хотя бы на такой пример. На с. 23—24
доказывается выделенная жирным шрифтом
теорема 2.4: Если от данной полупрямой от-
ложить в одну полуплоскость два угла, то
сторона меньшего угла, отличная от данной
полупрямой, проходит между сторонами
большего угла.
В учебном пособии нет определения, какой
из двух неравных углов называется большим.
Правда, имеется определение равных углов.
Поэтому можно догадаться, что большим на-
зывается тот угол, у которого градусная ме-
ра больше. Незадолго до изучения теоремы
2.4 учащимся было показано, как при помо-
щи транспортира откладываются в одну по-
луплоскость углы с заданной градусной ме-
рой. Выполняя соответствующие упражнения,
шестиклассники имели возможность много-
кратно наблюдать, как располагаются при
этом стороны неравных углов. Насколько же
неожиданным должно быть для учащихся
появление теоремы 2.4. Разумеется, дети при-
выкли учить все, что им предложат. Поста-
раются они затвердить и эту теорему, так
что внешне будет вроде бы все как всегда.
Но в душе у них останется тягостное недо-
умение. Справедливости ради нужно отме-
тить, что для человека, искушенного в мате-
матике, предложенное в пособии доказатель-
ство теоремы 2.4 не только приемлемо, но в
чем-то даже привлекательно. Что же касает-
ся подавляющего большинства школьников,
тс для них как сама теорема, так и ее дока-
зательство предстанут, как очередная непо-
нятная выдумка взрослых.
Поскольку первые теоремы систематиче-
скою курса геометрии не менее очевидны,
чем аксиомы, то учащиеся могут вынести из
всего этого лишь одно: доказывать — значит
«ломиться в открытую дверь». У них ведь
34
нет еще ии малейшего представления о том,
какую роль будет играть доказательство при
дальнейшем изучении математики. Вот если
бы еще до знакомства с аксиоматикой они
убедились в поразительной силе дедукции,
тогда был бы смысл поставить вопрос о на-
дежности отправных положений, тогда бы
доказательство первых теорем (с неизбеж-
ностью очевидных) воспринималось как вре-
менная необходимость, выполняемая для об-
щего логического порядка. Думается, что
единственной преградой для такого подхода
к изучению геометрии является лишь дань
вековым традициям.
Нельзя обойти молчанием решение зада-
чи 20. Найдите угол между биссектрисами
смежных углов (с. 25).
Приведем его полностью.
Решение. Пусть Z_(ab) и Z_(rzift) —
смежные углы и с, Ci — их биссектрисы (см.
рис.). Обозначим угол (ab) через х. Выразим
через х углы (ас) и (aci). Эти углы отложе-
ны в одну полуплоскость от полупрямой а,
и, значит, угол (cci) равен разности этих
углов. Имеем:
/_{ас) = -^~, Z(Gci) = 180° —Z(«iCi)=
= 180° —4 ^(«гй) =
= 180°---i-(180° — Z(aM) =
= 180° — 4- (18U0 — х) = 90°+ 4-
Z (сс0 = Z («ci) - Z (яс) =
=90°+4 — 4==90°-
Можно согласиться, что сразу после дока-
зательства теоремы 2 4 некорректно было да-
вать другое решение: нужно придерживаться
принятого уровня строгости. А уместен ли с
шестиклассниками этот уровень? Послужит
ли он предполагаемым целям развития логи-
ческого мышления учащихся? К тому же на
практике эти формальности никогда не со-
блюдались и не будут соблюдаться. Там по-
ступают очень просто, а именно: поскольку
сумма смежных углов равна 180°, то сумма
их половин, составляющих искомый угол,
равна 90°. И ни слова больше
В I—V классах, да и в самом начале VI
класса (при установлении основных свойств)
к
школьников ориентируют на доверительное
отношение к чертежу, что хорошо согласует-
ся и со здравым смыслом, и с повседневным
опытом учащихся. Совершенно очевидно, что
чертеж может и должен облегчать и уско-
рять первое знакомство с геометрией. Так
зачем же тогда заставлять школьников
бояться чертежа раньше, чем они научатся
извлекать из него пользу? Им очень трудно
разобраться в том, где можно сослаться ня
чертеж, а где необходимо руководствоваться
только аксиомами и ранее доказанными тео-
ремами. Именно так обстоит дело с доказа-
тельством теоремы 2.4 и решением задачи 20.
Ровно ничего не дают учащимся и логиче-
ские тонкости, заложенные в упражнениях
27—30 на с. 18 и 13—15 на с. 26. Имеются
все основания утверждать, что эти тонкости
игнорируются и учащимися, и учителями
По-видимому, вопрос о том, на каком
уровне строгости следует излагать начало
систематического курса геометрии, необходи-
мо вынести на широкое обсуждение. Думает-
ся, что оптимальный вариант нужно искать
в разумном сочетании дедукции с нагляд-
ными представлениями путем использования
заведомо избыточного набора основных
свойств, принимаемых без доказательства.
Ведь никто не настаивает, чтобы уже в IV
классе систематическое изучение арифметики
начиналось с аксиоматики Пеано. Многие
люди с высшим образованием не имеют ни
малейшего представления о современной на-
учной трактовке понятия числа. Но это не
мешает им заниматься дедуктивными рас-
суждениями на арифметическом и алгебраи-
ческом материале. Что касается геометрии,
то на первых порах важно, чтобы у учащих-
ся был опыт доказательства нетривиальных
фактов и чтобы они по достоинству оценили
возможности дедуктивного метода. Где-то в
конце курса планиметрии или в начале курса
стереометрии их можно познакомить с ва-
риантом достаточно строгой аксиоматики. В
образовательном отношении важно лишь то,
что геометрию можно изложить на достаточ-
но строгом уровне, но это не значит, что этот
уровень на протяжении всего курса необхо-
димо скрупулезно соблюдать.
Некоторую вынужденную «академическую
сухость» учебников математики нужно скра-
шивать тщательно продуманной системой
взаимосвязанных, динамичных упражнений,
способных придать школьному курсу необхо
димую привлекательность, обеспечивающих
учащимся условия для проявления творче-
ской активности, помогающих учителю осу-
ществлять индивидуальный подход к уча-
щимся. Несомненно, что это один из перспек-
тивных путей совершенствования школьных
35
учебников математики. Часть заданного ма-
териала целесообразно помещать только в
пособии для учителя, сопроводив соответст-
вующим методическим комментарием.
Приведем такой пример. В учебном посо-
бии А. В. Погорелова на с. 124 имеется зада-
ча № 37; Хорды окружности АВ и CD пере-
секаются в точке S. Докажите, что AS-BS=
= CSDS.
Можно спорить о том, помещать или не по-
мещать ту или иную задачу в учебник. Но
если уж она помещена, то ее следует долж-
ным образом «обыграть». В данном случае
от учащихся целесообразно потребовать полу-
чить ряд следствий (при этом ко многим ре-
зультатам учитель может подвести учащихся,
беседуя с ними по поводу решенной задачи),
а именно: рассмотреть случай, когда одна из
хорд является диаметром, а другая — перпен-
дикулярна к нему; сформулировать на этом
основании свойство перпендикуляра, прове-
денного из произвольной точки окружности к
диаметру; получить отсюда свойство высоты
прямоугольного треугольника, проведенной
из вершины прямого угла (например, выра-
зить высоту через проекции катетов на гипо-
тенузу); это же свойство получить из подо-
бия треугольников, на которые прямоуголь-
ный треугольник разбивается высотой, про-
веденной из вершины прямого угла. И ничего
нет предосудительного в том, что один и тот
же результат будет получен дважды. Наобо-
рот, математика предстанет перед учащими-
ся в более взаимосвязанном виде, они смо-
гут сопоставлять различные способы решения
задач, будут смелее включаться в самостоя-
тельный поиск новых способов. Кроме того,
подобная работа над заданным материалом
явится эффективным средством повторения.
Нужное для этих целей время высвободится
за счет отказа от необходимости в бессмыс-
ленном натаскивании.
При изучении квадратичной функции уча-
щимся приходится из квадратного трехчлена
выделять квадрат двучлена. Однако среди
упражнений на эту тему нет ни одного, где
бы требовалось найти значение х, при кото-
ром функция у=ах2А-ЬхА-с принимает наи-
меньшее (при а>0) или наибольшее (при
а<0) значение, хотя после выделения квад-
рата двучлена для решения указанного во-
проса остается сделать один маленький шаг.
Отсутствие таких упражнений, надо пола-
гать, аргументируется тем, что в IX классе
предстоит исследование функций на экстре-
мум с помощью производной. Но разве одно
другому мешает? Следует ли укреплять уча-
щихся в мысли, что существует единственный
способ нахождения экстремумов, даже если
он и самый лучший?
Учеба не может быть легким времяпрепро-
вождением, иначе невозможно достичь обра-
зовательных и воспитательных целей обуче-
ния. Математическое образование не должно
сводиться ни к погоне за количеством по-
верхностно «пройденного» материала в на-
дежде «объять необъятное», ни к непосредст-
венному получению некоего «чистого» мате-
матического развития вне связи с конкрет-
ным учебным материалом. Только на базе
качественного усвоения тщательно отобран-
ного материала можно овладеть основными
математическими приемами и методами, при-
обрести высокую культуру умственного тру-
да и постоянную готовность к самообразова-
нию.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Диалог как форма обучения
доказательствам
М. Р. Куваев
(г. Томск)
В обучении математике значительное место
занимают доказательства, с помощью кото-
рых учащимся прививаются навыки правиль-
ного, аргументированного мышления. Дока-
зательства, излагаемые в учебниках, как
правило, состоят из цепи логически связан-
ных друг с другом предложений, ведущих от
посылки теоремы к ее заключению. Приве-
дем в качестве примера основные этапы до-
казательства теоремы о сумме углов тре-
угольника в учебном пособии «Геометрия
6—10» А. В. Погорелова. В квадратных
скобках будем записывать вопросы, которые
естественно возникают у читателя, впервые
знакомящегося с этим доказательством.
Пусть АВС—данный треугольник (см. ри-
сунок). Отметим середину О отрезка ВС. От-
ложим на продолжении отрезка АО отрезок
OD, равный отрезку АО. [Зачем нужны эти
построения?]
Треугольники BOD и СОА равны, так как
у них углы при вершине О равны как верти-
кальные, а ОВ=ОС и OA = OD по построе-
нию. Из равенства треугольников следует,
36
что угол DBO равен углу АСО. [Где в даль-
нейшем потребуются эти выводы?]
На следующих этапах доказывается, что
для прямых AC, BD и секущей ВС углы DBO
и АСВ являются внутренними накрест лежа-
щими и прямые AC, BD параллельны. [Ка-
кое отношение эти факты имеют к сумме уг-
лов треугольника?]
Для прямых AC, BD и секущей АВ углы
DBA и САВ являются внутренними односто-
ронними. [Что это даст для доказательства
теоремы?] Так как прямые АС и BD парал-
лельны, то сумма внутренних односторонних
углов САВ и DBA равна 180°. [Как отсюда
перейти к углам треугольника?]
Угол DBA равен сумме углов DBC и АВС,
так как луч ВС пересекает отрезок AD с
концами на сторонах угла ABD. По доказан-
ному угол DBC равен углу АСВ. Следова-
тельно, сумма углов треугольника АВС рав-
на 180°.
Четкость, логическая стройность и обосно-
ванность каждого шага являются достоинст-
вами доказательства, данного в учебнике
А. В. Погорелова. Вместе с тем при таком
объяснении учитель может мотивировать
каждый шаг рассуждений только так: «Это
понадобится в ходе доказательства». На во-
просы, поставленные в скобках, ученик полу-
чает ответ не в ходе доказательства, а лишь
после его завершения. Кроме того, ученик
должен запомнить порядок 5 этапов рассуж-
дений, а если сюда добавить обоснование
каждого этапа, то станет очевидной значи-
тельная нагрузка на память шестиклассника.
На наш взгляд, предпочтительнее так вес-
ти объяснение, чтобы ученик ясно понимал
способы определения промежуточных целей
доказательства и пути их достижения. При
этом он будет учиться находить доказатель-
ства, учиться мыслить, нагрузка на его па-
мять значительно уменьшится. Доказательст-
во данной теоремы было бы лучше оформить
в форме диалога учителя и учащихся.
Учитель. Нам надо доказать, что сумма
углов треугольника равна 180°. На какие ак-
сиомы и теоремы мы можем опереться? Ка-
кие мы знаем теоремы, утверждающие, что
сумма углов равна 180°?
Ученики. Сумма внутренних'односторон-
них углов при пересечении пары параллель-
ных прямых третьей прямой равна 180°.
Учитель. Но у нас нет параллельных
прямых! Есть ... треугольник.
Ученики. Через вершину треугольника
можно провести прямую, параллельную про-
тиволежащей стороне треугольника.
Учитель. Как же через вершину В тре-
угольника провести прямую, параллельную
стороне Л С?
Ученики. Можно использовать теорему
о параллельности двух прямых, если при пе-
ресечении их третьей прямой имеется пара
равных внутренних накрест лежащих углов.
Через вершину В проведем луч BD, лежащий
с лучом СА в разных полуплоскостях отно-
сительно прямой ВС и составляющий со сто-
роной ВС угол DBC, равный углу ВСА Рав-
ные углы DBC и ВСА — внутренние накрест
лежащие при прямых BD, АС и секущей ВС.
По только что упомянутой теореме прямые
BD и АС параллельны.
Учитель. Что же осталось доказать?
Ученики. Достаточно (с учетомZ.DBC—
=^С.ВСА) доказать, что углы САВ и ABD
являются внутренними односторонними при
пересечении параллельных прямых BD и АС
прямой АВ, ибо </_CABA~^-ABC-{-Z_BCA =
= /_САВ + < ЛВС + /LDBC = Z.CAB +
Д-ААВВ=180°.
Учитель. А что для этого нужно пока-
зать?
Ученики. Надо показать, что лучи BD
и АС лежат в одной полуплоскости, опреде-
ляемой прямой АВ.
Учитель. Как это сделать?
Ученики. Лучи BD и С А мы проводим в
разных полуплоскостях, значит, лучи АС и
BD лежат в одной полуплоскости относи-
тельно прямой АВ.
Читатель сразу, разумеется, увидит, что
наше доказательство никак не может сопер-
ничать по части подробности и строгости с
тем, что дано в учебном пособии. Проведе-
ние лучей BD н СА, «лежащих в разных по-
луплоскостях», опирается на наглядность,
тот факт, что угол DBA равен сумме углов
DBC и АВС, никак не обоснован. В заклю-
чение используются свойства сонаправленных
и противоположно направленных лучей, т. е.
понятия, которые будут определены только в
VIII классе.
Однако, по мнению автора этих строк, ра-
зумное сочетание наглядного и строго дока-
зываемого в школьном курсе просто необхо-
димо. На начальном этапе изучения геомет-
рии очевидные вещи можно не доказывать,
многое нам приходится намеренно замалчи-
вать.
Приведенное доказательство имеет одно
существенное преимущество: в него легко
«включить» учащихся. Даже в тех случаях,
когда они не сумеют ответить на вопросы
учителя и учителю придется отвечать само-
му, а также (в наиболее часто встречающих-
ся ситуациях) когда учитель с помощью все-
го класса поправляет, уточняет и редактиру-
ет ответы, диалоговая форма ведения дока-
зательства предпочтительнее именно тем, что
она позволяет учителю вовлечь учеников JB
37
активную работу то разысканию доказатель-
ства.
Таким образом, если мы стремимся при-
вить ученику навыки разыскания доказа-
тельств, то диалоговая форма более корот-
ким путем ведет к цели.
Остановимся теперь на предложении
И. Ф. Тесленко и В. В. Фирсова в статье [3]
проводить доказательство на уроке в три
прохода: «сначала предложить учащимся со-
кращенное наглядное доказательство, опус-
кая некоторые логические аргументы в тех
случаях, когда их смысл ясен из чертежа и
наглядных соображений,— первый проход до-
казательства. Когда идея доказательства по-
нята учащимися, доказательство повторяется,
причем опущенные аргументы приводятся и
на них акцентируется внимание—второй
проход доказательства. Наконец, в третьем
проходе доказательство воспроизводится пол-
ностью в том виде, как оно приведено в учеб-
нике». Как показывает пример из статьи [3],
все три прохода идут по схеме: делаем так
(зачем и почему, не поясняется), затем вот
так и т. д. Такая форма доказательства да-
леко не полностью использует воспитатель-
ные возможности обучения математике.
В статье [2] высказывается мысль, что из-
ложение доказательства в учебнике может
значительно отличаться по форме от того,
как его предполагается проводить на уроке.
Конечно, живая речь учителя более гибка,
чем изложение учебника. Наблюдая затруд-
нения учеников, преподаватель может что-т>>
рассказать более подробно, привести приме-
ры, выпукло показывающие изучаемую си-
туацию, использовать аналогию, т. е. сделать
все, чтобы ученики поняли трудное место. Но
это совершенно не значит, что форму дока-
зательства на уроке нужно делать совершен-
но иной, чем в учебнике, так как это может
приводить к значительной перегрузке.
Вопрос о том, как следует излагать дока-
зательства на уроке и в учебнике, заставляет
нас более четко представить себе цели обу-
чения математике и, следовательно, более
целеустремленно искать пути их достижения.
Показ учащимся «кухни» возникновения и
развития той или иной математической тео-
рии, метода, теоремы, способа получения до-
казательства, способа решения задачи чрез-
вычайно важен в воспитании учащихся. В
связи с этим нельзя не привести высказыва-
ние из статьи [1]: «Развитие логического
мышления требует упражнения, а не запоми-
нания готовых выводов». Заставляя ученика
на уроке находить доказательства (с по-
мощью учителя, а иногда и самостоятельно),
проводя доказательства так. чтобы ученикам
были ясны мотивы действий, мы тем самым
и обеспечиваем учащимся логические упраж-
нения.
Литература
1.	Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И.
О пробном учебнике «Начала стереометрии».— Матема-
тика в школе, 1982, ,N i 4. с. 53—58.
2.	Немкое К. И. и др. О школьном учебнике мате-
матики.— Математика в школе, 1962, № 2, с. 52—56.
3.	Тесленко И. Ф„ Фирсов В. В. О методической сис-
теме учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия».—
Математика в школе, 1981, № 5, с. 42—48.
Организация
эвристической беседы
в начале обучения геометрии
А. И. Грузин
(пос. Покотилоска Харьковской обл.)
В методической литературе описываются не-
сколько приемов ознакомления школьников с
доказательством теорем (см., например, Гру-
денов Я. И. Изучение определений, аксиом,
теорем: Пособие для учителей.— М.: Просве-
щение, 1981). К одному из этих приемов от-
носится эвристическая беседа.
При правильной организации эвристиче-
ской беседы во ьремя ознакомления с дока-
зательством теоремы учащиеся из пассивных
слушателей превращаются в активных участ-
ников доказательства. Это развивает их ини-
циативу, творческую активность, способст-
вует лучшему пониманию направления дока-
зательства.
Однако, как показывает опыт работы по
учебному пособию А. В. Погорелова, к этому
приему следует относиться весьма осторож-
но, особенно в начале обучения геометрии.
Во-первых, шестиклассники еще не имеют до-
статочного опыта в изучении доказательств,
а при ознакомлении с доказательством в
форме эвристической беседы нагрузка на их
внимание слишком велика: им приходится и
следить за логикой рассуждений, и думать
над вопросами учителя. Во-вторых, проведе-
ние доказательства с помощью эвристической
беседы доступно лишь хорошо методически
подготовленному учителю.
Неопытные учителя часто задают очень
много вопросов. Их речь многословна; за
мелкими простыми вопросами ускользает, те-
ряется основная линия доказательства. Меж-
ду вопросами не выдерживается должная
пауза, и учащиеся ие успевают на них отве-
чать. Вопросы часто не продуманы, сформу-
лированы или в примитивной, или в неопре-
деленной форме. Поэтому учитель не полу-
чает на них желаемого ответа. Ученики часто
38
отвечают неудачно, а учитель, вместо того
чтобы дать самому правильный ответ, спра-
шивает все новых и новых. Теряется темп
урока, уходит время, ускользает сама цель
доказательства. Все это создает только види-
мость активной деятельности учащихся. В
конце такого урока дети чувствуют себя из-
дерганными и усталыми, но, как правило,
многие из них не могут повторить доказа-
тельства изучаемой теоремы.
Главным показателем усвоения учащимися
доказательства теоремы является умение
воспроизвести его большинством учащихся —
если не после непосредственного изучения,
то на следующем уроке. Причем делать это
желательно на измененном чертеже, с иными
буквенными обозначениями.
Поэтому, если учитель намечает ознако-
мить учащихся с доказательством теоремы,
используя форму эвристической беседы, то он
должен тщательно продумать всю систему
вопросов и заданий. Задавая вопрос учащим-
ся, учитель должен быть уверен, что получит
от большинства из них правильный ответ. В
этом случае ученики начинают верить в свои
собственные силы и возможности; у них по-
является интерес к изучению геометрии, что
весьма важно особенно на начальном этапе.
Только тогда эвристическое доказательство
может принести пользу. Оно действительно
будет способствовать развитию самостоятель-
ности и инициативы учащихся.
Если же, несмотря на подготовительную
работу, учащиеся все-таки не могут ответить
на какой-либо вопрос, то учителю лучше не
затягивать время, а самому дать четкий, пра-
вильный ответ. Всегда нужно помнить, что
доказательство должно быть немногослов-
ным: нужно обосновать всё и в то же время
кратко.
Приведем пример эвристической беседы
при доказательстве второго признака равен-
ства треугольников. Но прежде отметим, что
схема доказательства второго признака та-
кая же, как и первого, поэтому она хорошо
известна учащимся'
1.	Утверждаем существование треугольни-
ка А1В2С2, равного треугольнику АВС и рас-
положенного определенным образом на плос-
кости (аксиома IV3).
2.	Доказываем совпадение треугольников
А1В2С2 и AiB[Ci.
3.	Делаем вывод: ДД1В1С| = ДДВС.
Эту схему учащиеся записывали в свои
тетради при изучении первого признака ра-
венства треугольников. Тогда же учитель
подчеркивал, что по ней доказываются все
признаки равенства треугольников. Сущест-
венно облегчает беседу и тот факт, что ис-
пользуемые при доказательствах первого и
второго признаков равенства треугольников
утверждения в основном совпадают.
К уроку, на котором будет доказываться
второй признак равенства треугольников, це-
лесообразно повторить теорему 1.1 (о распо-
ложении двух прямых на плоскости), так как
на нее приходится ссылаться при доказатель-
стве.
Проводя эвристическую беседу при доказа-
тельстве такой довольно сложной теоремы,
лучше сочетать вопросы к учащимся с анали-
зом, предшествующим некоторым более труд-
ным звеньям доказательства. Этот анализ
(лучше учителя его, конечно, никто не про-
ведет) поможет учащимся яснее представить
направление синтетического доказательства.
Ход доказательства иллюстрируется после-
довательно демонстрируемыми рис. 1—5.
После формулировки теоремы учащиеся, как
обычно, выполняют чертеж (рис. 1). При
этом в классе выясняется и записывается,
что дано и что требуется доказать. Затем
учитель формулирует вопросы и задания:
По какой схеме мы доказываем признаки
равенства треугольников? (Учащиеся повто-
ряют схему доказательства; ее можно запи-
сать заранее на откидной доске.)
Каков должен быть первый шаг доказа-
тельства?
Ответ. По аксиоме существования тре-
угольника, равного данному, существует тре-
угольник Д1В2С2, равный треугольнику АВС,
у которого вершина В2 лежит на луче Д161,
а вершина С2 лежит в той же полуплоскости
относительно прямой Д1В1, что и вершина
Ci (рис. 2).
Что нужно сделать дальше, исходя из схе-
мы доказательства?
Ответ. Доказать, что треугольник AjB2C2
совпадает с треугольником A^Ci.
Что нужно доказать, чтобы утверждать:
треугольники AtB2C2 и А1В1С1 совпадают?
Ответ. Нужно доказать: точка В2 совпа-
дает с точкой бь а точка С2 — с точкой Сь
Докажите, что точка В2 совпадает с точкой
Bi. (Это задание не вызывает затруднения у
большинства учащихся, так как аналогичная
ситуация была уже рассмотрена при доказа-
тельстве первого признака равенства тре-
угольников.)
Далее учитель осуществляет анализ по
рис. 3. Он говорит: «Докажем теперь совпа-
дение точек С2 и Ci. Для этого докажем, что
луч В2С2 совпадает с лучом BxCi, а луч AtC2
совпадает с лучом А1С1. Но лучи ВХСХ и A^i
пересекаются в точке Сх, поэтому совпадаю-
щие с ними лучи должны пересекаться в той
же точке, так как прямые, на которых лежат
эти лучи, не могут пересекаться более чем в
одной точке (теорема 1.1). Вот почему точка
С2 будет совпадать с точкой Сх». Затем учи-
тель снова обращается к классу:
Итак, докажите, что лучи АХС2 и
совпадают. (Задание трудности не представ-
ляет, так как аналогичная ситуация уже рас-
сматривалась при доказательстве первого
признака равенства треугольников.)
Докажите, что лучи В2С2 и В{СХ совпада-
ют. (Ситуация аналогична предыдущей, уча-
щимся демонстрируется рис. 4.)
Докажите, что точки Сх и С2 совпадают.
(Используя проведенный учителем анализ,
учащиеся выполняют и это задание.)
Сделайте вывод (рис. 5).
После этого целесообразно попросить не-
скольких учеников воспроизвести поэтапно
доказательство теоремы, пользуясь соответст-
вующими рисунками.
Как видно из этого примера, подобную бе-
седу на начальном этапе обучения можно
проводить лишь в хорошо подготовленном
классе.
О решении задач
с помощью пропорций
X. Ш. Шихалиев
(г. Махачкала)
Тема «.Пропорция» служит основой для ре-
шения многих задач практического характе-
ра, задач по химии, физике, географии, тру-
ду. С задачами, решение которых сводится к
составлению пропорций, встречаются люди
любой профессии, начиная от домохозяйки,
кончая учеными в различных областях наук.
Эту широту прикладной роли темы «Пропор-
ция» и следует раскрыть перед учащимися,
обращаясь к решению задач из окружающей
действительности.
Хотя тема «Пропорция» изучается в вось-
милетней школе, задачи, относящиеся к ней,
решаются в пропедевтическом плане уже в
начальной школе. Но, несмотря на это, уча-
щиеся средней школы все-таки не овладевают
в достаточной степени умениями, необходи-
мыми для их решения. Причин этому, оче-
видно, много, но основная из них, на наш
взгляд,— недостаточная работа с учащимися
по раскрытию связей между различными ве-
личинами, а также отсутствие единого под-
хода к записи условия и решения задач на
уроках по разным предметам.
Характерной чертой всех задач, относя-
щихся к теме «Пропорция» является то, что
при их решении учащиеся руководствуются
дедуктивным способом мышления: имеется
определенное условие взаимосвязи количест-
венных соотношений двух величин и, исходя
из этой взаимосвязи, требуется определить
другие количественные соотношения тех же
величин.
Приведем несколько примеров.
1.	Для изготовления варенья из инжира
нужно взять 3 кг сахара на каждые 4 кг све-
жего инжира. Сколько сахара потребуется,
чтобы сварить варенье из 10 кг инжира?
Имеем:
Масса сахара (в кг)	Масса инжира (в кг)
3	4
X	10
Составляем пропорцию: 3:4=х;10, от-
3-10	__
куда х=—— и х—7,5.
Ответ: 7,5 кг.
Приведенная форма записи условия зада-
чи и оформления ее решения доступна всем
учащимся, такой способ решения хорошо за-
поминается.
2.	Колхоз, имея план сдачи государству ви-
нограда 4600 т, сдал 5000 т. Определить про-
цент выполнения плана.
3.	Общая площадь железных листов со-
ставляет 20 кв. м, а их масса равна 30 кг.
При изготовлении из них изделий получились
отходы с общей массой 3 кг. Сколько квад-
ратных метров этих листов пошло на отхо-
ды?
В процессе решения задач на пропорцию
желательно рассмотреть и такие задачи, для
решения которых предварительно требуется
найти дополнительные данные. Например:
«Долетит ли самолет, развивающий скорость
800 км/ч, из Москвы до Махачкалы за 2 ч?».
Думая над этим вопросом, учащиеся обна-
руживают, что в условии не дано расстояние
от Москвы до Махачкалы. Однако это число
(1670 км—воздушная трасса) можно найти
в справочнике или пользуясь географической
картой.
Составляем таблицу:
Время полете (в ч)	Расстояние (в км)
1	800
X	1670
Получаем: 1 :800=х: 1670, откуда х«2,09.
Применение пропорции упрощает ход ре-
шения многих задач. Так, учащиеся при ре-
шении задач на нахождение дроби от числа
или числа по его дроби нередко делают
ошибки в выборе действия. Если же научить
их при решении таких задач применять про-
порцию, то подобные ошибки уже не появ-
ляются. Например: «Рабочий в магазине из-
расходовал 60 р. из своей зарплаты, что со-
2	,
ставляет — от его месячного заработка.
Сколько денег он получил за этот месяц?»
Имеем соотношения:
Число частей	Количество Денег (в р.)
2	60
7	X
Решение. 2:60=7:х, откуда х=210.
Ответ: 210 р.
Как видим, можно привести много приме-
ров-задач, при решении которых применяет-
ся пропорция. Это задачи на смеси, сплавы,
растворы, коллективную работу, расход зар-
платы и т. д. Главное при этом состоит ие
только в умении решать задачи с готовым
текстом, но и отвечать на практические во-
просы в виде задач с недостающими данны-
ми. Подобные задачи развивают у учащихся
логическое мышление, приучают их пользо-1
ваться справочным материалом, заставляю?
глубже изучать теоретический материал, пре-
вращают знания в необходимый элемс нт
практической деятельности, а это важный
компонент мотивации учения. Выполняя та-
кие задания, учащиеся оказываются в одной
из жизненных ситуаций и учатся отвечать на
возникающие вопросы с помощью знаний, по-
лученных на уроках математики.
Знакомить учащихся
с нашими достижениями
Г. П. Панарина
(г. Калуга)
Опыт и наблюдения убеждают в возможности
более широкого, чем предусматривается дей-
ствующими 'учебниками, включения задач, зна-
комящих учащихся VI—VII классов с дости-
жениями нашей страны.
Одной из тем, позволяющих просто и естест-
венно использовать на уроках математики
статистические данные, является тема «Про-
порциональные переменные» (VI класс). Для
составления заданий по этой теме могут быть
полезны материалы, отражающие экономиче-
ское развитие нашей страны, значение эконо-
мии на производстве и в быту, демонстрирую-
щие «цену» одной рабочей минуты, рабочего
дня и т. п. Задания, содержащие подобные
данные, помогают школьникам увидеть мощь
экономики нашей страны, воспитывают у них
бережное отношение к социалистической соб-
ственности, формируют коммунистическое от-
ношение к труду, способствуют укреплению
дисциплины и организованности.
Приведем примеры отдельных заданий по
этой теме, предлагавшихся нами учащимся на-
ряду с упражнениями, имеющимися в учебни-
ке, или взамен отдельных из них.
1.	За одну минуту в нашей стране добыва-
ется 1200 т нефти. Запишите формулу, выра-
жающую зависимость массы добываемой неф-
ти Р (в тысячах тонн) от рабочего времени t
(в минутах). Какой вид примет формула, если
через Р обозначить массу добываемой нефти
(в тоннах), а через t — рабочее время (в се-
кундах)?
2.	Из металла, полученного в результате
сокращения на 1 % отходов в сталеплавиль-
ном производстве, за год можно изготовить
72 тыс. тракторов. Ежемесячно наша промыш-
ленность производит 47,52 тыс. тракторов.
Хватит ли металла, полученного в результате
такого сокращения отходов за год, на o^ecne-
 41
чение работы тракторостроителей в течение
полутора месяцев? Каков должен быть про-
цент сокращения отходов в сталеплавильном
производстве, чтобы сэкономленным за год
металлом можно было обеспечить работу трак-
торостроителей в течение двух месяцев?
3.	За один день в нашей стране выплавля-
ется 0,3 млн, т чугуна. Выразите массу у вы-
плавляемого чугуна (в млн. т) через число
дней х. Постройте график зависимости у от х.
а)	Сколько миллионов тонн чугуна выплав-
ляется за месяц, за год?
б)	За какое время выплавляется 27,3 млн. т
чугуна?
Статистические данные, характеризующие
экономическое и культурное развитие нашей
страны, преимущества социалистического об-
раза жизни, могут быть также использованы
при знакомстве с понятием функции и спосо-
бами ее задания, при изучении линейной
функции. Большими возможностями для
включения в преподавание математики стати-
стических данных обладает тема «Стандарт-
ный вид числа» (VII класс). Кроме того, ре-
комендуемые задачи желательно включать в
дополнительные упражнения при изучении
всех других тем.
Приведем примеры.
График функции
4. На рисунке приведена диаграмма выработ-
ки электроэнергии (в млрд. кВт/ч) в СССР по
пятилеткам с 1960 по 1985 г. Перенесите чис-
ловые данные диаграммы на координатную
плоскость, соедините построенные точки плав-
ной линией и, используя полученный график,
определите:
а)	количество электроэнергии, выработан-
ной в 1981, 1984 г.;
б)	в каком году было выработано 1240,
1370 млрд. кВт/ч электроэнергии;
в)	за сколько лет выработка электроэнер-
гии возросла с 740 до 1330 млрд. кВт/ч.
Стандартный вид числа
5.	Записаны ли в стандартном виде числа,
о которых говорится в приводимых статисти-
ческих данных? Если нет, то представьте чис-
ла в стандартном виде и укажите их порядок.
За все довоенные годы в нашей стране бы-
ло введено в действие 409-106 кв. м жилой
площади, за годы, десятой пятилетки —
53 -107 кв. м.
В 1984 г. построено 2 0U0 000 новых благо-
устроенных квартир, что позволило улучшить
жилищные условия 10-106 человек.
В 1985 г. построены жилые дома общей пло-
щадью 11,4-107 кв. м, это на 0,107-10в кв. м
больше, чем намечалось пятилетним планом.
В одиннадцатой пятилетке запланировано
ввести 5,3-108 кв. м жилой площади, фактиче-
ски же введено 555 млн. кв. м.
Дотация государства на возмещение расхо-
дов на эксплуатацию жилья составляет
8-109 руб. в год.
Упражнения на повторение
6.	В 1970 г. в нашей стране было добыто
200, в 1980 г.— 435, в 1984 — 587 млрд. куб. м
газа. На сколько процентов возросла добыча
газа в 1984 г. по сравнению с 1970 г.? На
сколько процентов добыча газа в 1970 г. была
меньше, чем в 1980?
7.	В 1980 г. наша страна выплавила
147 млн. т стали, что в 8,3 раза больше, чем в
1940 г. Мировая выплавка стали за этот пе-
риод возросла в 5,1 раза. Определить долю
нашей страны в мировом производстве стали
в 1940 г. (в %), если в 1980 г. она достигла
21 %.
Более широко на уроках математики в V—
VII классах могут быть представлены зада-
чи, содержащие статистические данные, ре-
шаемые с помощью линейных уравнений или
их систем, например:
8.	С 1 га немелиорированных земель полу-
чают в 2 раза меньше зерна, чем с 1 га оро-
шаемых, и на 9,3 ц меньше, чем,с 1 га осу-
шенных. Определить урожайность зерна с 1 га
орошаемых земель, если она выше, чем с I га
осушенных, на 62 ц.
При составлении заданий по материалам,
раскрывающим наши достижения, важно
пользоваться не только общими статистиче-
скими данными по Иране, но и конкретным
42
материалом о социально-экономическом и
культурном развитии своего города, села,
района, области, причем желательно, чтобы
такой материал был результатом поисковой
работы учащихся по изучению родного края
или вдумчивого и систематического чтения
ими местной периодической печати.
Необходимые условия для упрочения пред-
ставлений подростков о благах, которые несет
с собой социалистический строй, складывают-
ся также в том случае, если статистические
данные трансформируются на конкретные
примеры окружающей жизни.
Говоря школьникам о заботе партии и го
сударства о здоровье советских людей, пока-
зывая масштабы жилищного строительства в
нашей стране, можно привести такие задачи:
9.	Постройте диаграмму роста расходов на-
шего государства на развитие здравоохране-
ния и физкультуры (в млрд, руб.), используя
данные таблицы.
1940	1965	1970	1975	1980	1983
1,1	7,9	11,8	14,6	19,0	21,0
10.	Численность врачей на 10 тыс. человек
населения нашей страны в 1983 г. стала в
2 раза больше, чем в 1960 г., и на 13 больше,
чем в 1970 г. Сколько врачей обслуживали
10 тыс. человек нашей страны в 1983 г., если
в 1970 г. их число возросло по сравнению с
1960 г. на 7 человек?
11.	За годы первой пятилетки (1929—
1932 гг.) в нашей стране было введено в строй
56,9 млн. кв. м. жилой площади, а в одиннад-
цатой пятилетке ("1981—1985 гг.) — 555 млн.
кв. м. На сколько больше вводилось жилой
площади в среднем ежегодно в одиннадцатой
пятилетке, чем в первой *?
12.	Средний размер квартир, построенных в
нашей стране в 1970 г., составил 46,8 кв. м,
а в 1983 г. он возрос до 55,4 кв. м. Опреде-
лить (с точностью до десятых), во сколько
1 При решении задачи необходимо учесть, что первая
пятилетка была выполнена в четыре года.
раз увеличился средний размер квартир с
1970 по 1983 г.
Констатируемые в задачах факты зазвучат
для подростков с большей силой в том случае,
если по времени они будут соответствовать за-
трагиваемым событиям. Так, в период подго-
товки и проведения Всесоюзного коммунисти-
ческого субботника можно решать и состав-
лять с учащимися задачи, в которых исполь-
зуются итоговые показатели субботников пос-
ледних лет и демонстрируются результаты
только что проведенного субботника.
Конечно, рассматриваемые в курсе матема-
тики темы не всегда допускают своевремен-
ное отражение происходящих событий в мате-
матических задачах, поэтому наиболее благо-
приятными в этом плане являются кружковые
занятия и другие внеклассные мероприятия.
Кружковые математические занятия позво-
ляют, кроме того, организовать работу по
идейно-политическому воспитанию в комплек-
се с другими школьными предметами. Напри-
мер, требования Конституции СССР к охране
природы и сообщаемые в этой связи в курсе
химии, географии, биологии сведения могут
быть дополнены фактами, содержащимися в
математических задачах.
Более конкретно прозвучит для ребят тема
«Вода в природе. Получение чистой воды и ее
физические свойства» (химия, VII класс), ес-
ли на кружковых занятиях ими будут решены
или составлены задачи, подобные следующей:
13.	В 1966 г. объем оборотной и повторно
используемой нашей промышленностью воды
равнялся 65 куб. км, а в 1980 г. он достиг
132 куб. км, что составило 61 % всей исполь-
зуемой промышленностью воды. На сколько
процентов возрос объем оборотной и повторно
используемой вооы в 1980 г. по сравнению с
1966 г.?
Таким же образом могут быть конкретизи-
рованы сведения об охране растительности и
увеличении растительных богатств, получае-
мые школьниками в процессе изучения бота-
ники в V и VI классах.
Итак, учителя математики могут внести не-
малый вклад в формирование у школьников
осознанных представлений о достижениях со-
циализма.
Вниманию читателей!
В издательстве «Педагогика» вышли следующие книги!
Волков А. К., Пирогов В. И. Идейно-политичсскос воспитали? стар-
шеклассников.
Методологгчвекие проблемы разгития педагогической науки/Под
ред. П. Р. Атутова, М. Н. Скаткина, Я. С. Турбов-кого.
43
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
3 ВМ на уроках математики
А. А. Кузнецов, С. А. Бешенков,
Д. О. Смекалин
(Москва)
Проходящая в нашей стране реформа общеобразова-
тельной школы направлена на дальнейшее повышение
эффективности и качества обучения, улучшение подго-
товки молодого поколения к пос те чующей трудовой
деятельности. Одним из важнейших путей решения этой
задачи является внедрение в школу электронно-вычис-
лительной техники.
Для обеспечения компьютерной грамотности учащих-
ся с 1985/86 учебного года в школу введен новый курс
«Основы информатики и вычислительной техники». При
этом поставлена задача использовать ЭВМ в обучении
не только информатике, но и другим школьным дис-
циплинам.
Опираясь на отечественный и зарубежный опыт при-
менения ЭВМ в обучении, мы хотели бы в этой статье
рассмотреть н проиллюстрировать примерами основные
области использования компьютеров на уроках мате-
матики.
В обучении математике могут найти применение
прежде всего следующие возможности современных мик-
ро-ЭВМ:
1.	Быстрота и надежность обработки информации
любого вида. Отметим, что для обработки числовой ин-
формации можно использовать не только микро-ЭВМ.
но и калькулятор.
2.	Представление информации в графической форме.
По своим графическим (демонстрационным) возмож-
ностям мнкро-ЭВМ практически не уступают даже цвет-
ному телевидению, но позволяют активно влиять на
ход демонстраций, что значительно повышает их ме-
тодическую ценность. Разработан ряд специальных прос-
тых языков программирования для управления графи-
кой микро-ЭВМ (Лого, Шпага и др.). Кроме того ряд
языков, в том числе н такой распространенный, как
Бейсик, могут работать в режиме графических по-
строений.
3.	Хранение и быстрая выдача больших объемов ин-
формации. Например, все используемые в курсе ма-
тематики таблицы могут храниться в памяти микро-
ЭВМ. Тогда ие придется тратить время иа поиск нуж-
ных данных в таблице. Требуемая информация выдает-
ся на экран после нажатия 1—2 клавиш
Возможности применения микро-ЭВМ на уроках ма-
тематики зависят от программного обеспечения маши-
ны. Все используемые на занятиях программы можно
условно разделить на обучающие и у чебные. Обучаю-
щие программы создаются для того, чтобы заменить
учителя в некоторых видах его деятельности (при объ-
яснении нового материала, закреплении пройденного,
проверке знаний учащихся и т. д.). Целью учебных
программ является помощь ученику в его познаватель-
ной деятельности, работе на уроке Использование учеб-
ных программ осуществляется при участии и под кон-
тролем учителя. С помощью учебных программ можно
выполнять разнообразные вычисления, анализировать
функции, строить и исследовать математические моде-
ли различных процессов и явлений, использовать графи-
ку машины дли повышения наглядности изучаемого ма-
териала.
В настоящее время в школах различных стран при-
меняется значительное число учебных и обучающих
протрамм. Методическая целесообразность использова-
ния учебных программ уже очевидна. Успехи же
обучающих программ, несмотря на энтузиазм их сто-
ронников (особенно в США и ЕелнкоОритании), зна-
чительно скромнее. Большинство специалистов склоняет-
ся к тому, что в настоящее время компьютер не спо-
собен заменить учителя ни в одном звене преподава-
ния. «Учить надо с помощью компьютера, а не одним
компьютером!» — эта мысль неоднократно подчеркива-
лась, в частности, на прошедшем в 1984 г. в Австра-
лии V Всемирном конгрессе по математическому обра-
зованию.
Рассмотрим возможные пути и некоторые характер-
ные примеры применения мнкро-ЭВМ в школьном курсе
математики.
Начальная школа
Микро-ЭВМ целесообразно привлекать как для вы-
числительных работ, так и в других ситуациях. Напри-
мер, для отыскания различных закономерностей между
целыми числами в определенных пределах. Для этой
цели можно использовать как микро-ЭВМ, так и каль-
кулятор. В настоящее время в нашей стране прово-
дится большая работа по внедрению калькуляторов
в начальную школу (В. Г. Болтянский и другие).
Наиболее подходящим для начальной школы нам
представляется арифметический калькулятор типа «Элек-
троника МК-57» (четыре арифметических действия, вы-
числение процентов). Калькулятор позволяет иыстро
проверить четность числа, делимость на 3, на 7,
11 и т. п.
В отличие от калькулятора микро-ЭВМ обладает спо-
собностью генерировать различные множества (как чпя
ловые, так и не числовые) по заданному условию. Кро-
ме того, наличие микро-ЭВМ позволяет учащимся
изучать новый материал в игровой форме, что особен-
но важно для учеников начальных классов.
Большую пользу окажут и графические возможности
компьютеров. Рисование и раскрашивание картинок на
экране микро-ЭВМ, имитирование движения создают
своеобразный микромир, который ученик может пре-
образовывать по своему желанию.
В вычислительном центре СО АН СССР под руко-
водством академика А. П. Ершова создан ряд игро-
вых программ, предназначенных для учащихся младших
классов. Одна из них, под названием «Муравей», за-
ключается в том, что бегающий по экрану дисплея «му-
равей» может брать буквы и составлять из них слова.
Движение «муравья» уппавляется четырьмя командами:
«вверх», «вниз», «влево», «вправо». Такая игра помо-
гает, с одной стороны, осваивать некоторые простей-
шие команды микро-ЭВМ, с другой стороны, способ-
ствует закреплению навыков правильного правописание
Заменив буквы цифрами и знаками операций, игру
«Муравей» можно использовать и для обучения мате-
матике.
Интерес представляют также призовые игры, в ко-
торых участник получает определенное число очков за
правильно выполненное задание. Таковы, например, иг-
ры «Теннис» и «Путешествие по лабиринту».
Однако применение микро-ЭВМ в начальной школе
требует осторожности. Например, используя компьютер
для вычислений, учащиеся не должны терять навыков
устного счета, развитие которого является важной зада-
чей арифметики. Существенным недостатком микро-ЭВМ
и калькуляторов является и представление чисел толь
ко в виде десятичных дробей. Наконец, от чрезмерного
увлечения калькуляторами в начальных классах могут
пострадать и аналитические навыки детей Калькулятор
не требует упрощения вычислений, поэтому ученику,
который с ним работает, не за чем приводить дроби
к общему знаменателю или прибегать к взаимному
сокращению сомножителей ради упрощения действий.
Средняя школе
Алгебра. Алгебра и начала анализа. Вычислительные
возможности микро-ЭВМ цодврдяют применять ее пр»
41
же
то-
на-
ет-
по-
ва-
им
ва«
ра-
ра-
ер-
рсе
1Ы-
ЗИ-
ЛУ
ой
пь-
во-
>ов
ам
вк-
1Ы-
ро
7,
то-
яс-
эо-
гся
пн-
:тн
на
ют
ре-
<о-
)0-
их
за-
зу-
за.
in:
ю-
?й-
>б-
1я.
РУ
ге-
to-
за
<г-
(ле
ер
ов
1а-
iM
зь-
1ГО
УТ
Ор
<У.
би
му
1Й.
ые
ри
решении алгебраических и трансцеидеитиых уравнений
я систем уравнений, а также для вычислений квадра-
тов чисел, квадратных корней, логарифмов. В этом
отношении микро-ЭВМ может успешно конкурировать
г математическими таблицами и, более того, превосхо-
дить нх в быстроте н точности вычисления и наглядг
кости получаемых результатов. Решение задач вычис-
лительного характера можно проводить и на кальку-
ляторе Методика применения калькуляторов на уроках
тематики разрабатывалась рядом исследователей
(С. И. Шварцбурд, М. П. Ковалев, С. С Минаева,
В. М. Оксман и другие).
Применение микро-ЭВМ и калькуляторов открывает
возможность широкого использования различных при-
ближенных методов: в решении уравнений (итерацион-
ные методы), численном интегрировании (формула тра-
пеций, формула Симпсона и др.), решении задач опти-
мизации и др. Вместе с тем возникает необходимость
в изучении некоторых теоретических сведений, состав-
ляющих основу приближенных методов (например, тео-
рему Банаха о неподвижной точке).
Вычислительными работами не ограничивается сфе-
ра применения микро-ЭВМ в учебной практике.
Микро-ЭВМ (и в определенной степени калькулятор)
целесообразно использовать для широкого проведения
учащимися различного рода «математических опытов»:
накопление сведений и их обобщение, отыскание зако-
номерностей с последующей «экспериментальной» про-
веркой. Одним из примеров такого применения микро-
ЭВМ является генерация множеств, в частности число-
вых последовательностей и числовых рядов. Это позво-
ляет определить закономерности путем визуального ана-
лиза и простейших математических действий над объ-
ектами.
Рассматривая значения выражений (для х>0)
, 1
sinx	. чТ
—х - И (1+ X)х
при все более уменьшающихся значениях х, можно
наглядно убедиться, что в первом случае значения
выражения приближаются к 1, а во втором — к числу е.
Это может служить первым «экспериментальным» сви-
детельством в пользу существования пределов.
Наглядное изучение последовательности, члены ко-
торой вычисляются по второй нз указанных выше фор-
мул, убеждает учащихся в том, что существуют преде-
лы, отличные от О, 1 и со. (Заблуждение учащихся
в том, что все пределы равны либо О, либо 1, либо оо,
уаы, слишком распространено.)
Следует, однако, отметить, что поиск закономерностей
с помощью микро-ЭВМ или калькулятора в ряде слу-
чаев приводит и к негативным результатам.
Рассмотрим, например, задачу о вычислении значе-
ний многочлена х2-|-х-|-17 для натуральных х. Подстав-
ляя вместо х числа 1, 2, 3, учащиеся могут обратить
внимание, что значениями этого выражения являются
простые числа 19, 23, 29. Соблазнительно сделать вы-
вод, что все значения этого мнлгочл< на являются прос-
тыми числами. Вычисляя на калькуляторе ряд значе-
ний многочлена, например для х=1, 2, ..., 15, уча-
щиеся убеждаются в своем предположении и могут
окончательно в него поверить. Однако при х=16 зна-
чением .мноючлена является составное число 289.
В связи с этим следует внимательно отнестись к про-
цессу поиска учащимися закономерностей с помощью
мнкро-ЭВМ (микрокалькулятора). Этот поиск должен
планироваться заранее и проводиться под руководством
учителя.
Микро-ЭВМ может служить и демонстрационным
средством. С помощью микро-ЭВМ визуально исследу-
ют графики элементарных функций. Изобразив данную
функцию иа экране, с помощью светящейся точки (кур-
сора) показывают области возрастания и убывания,
точки перегиба и пр. Микро-ЭВМ позволяет непосред-
ственно видеть процесс сложения графиков двух функ 
ций и др.
Возможности мнкро-ЭВМ позволяют изучать динами-
ку различных процессов и описывать их функциями.
Пусть, например, в левой части экрана дисплея смо-
делирован некоторый физический процесс: неравномер-
ное движение точки по прямой, изменение напряжения
или тока в цепи н др. Ученик управляет этим процес-
сом, вводя в компьютер измененные данные. Тогда
в правой части экрана изображается текущий график
изменения физических параметров процесса. Например,
в случае моделирования движения ученик «замедля-
ет» или «убыстряет» движение объекта слева (рис. 1)
и тут же справа видит картину изменения скорости
в координатах (/; о).
Параллельно с текущим графиком v(t) учащийся
может организовать и текущий график изменения уско-
рения от времени. Сравнение этих графиков, безуслов-
но, поможет учащемуся лучше усвоить понятие о пара-
метрах дви;„е шя.
Микро-ЭВМ способна демонстрировать характеристи-
ки изучаемых объектов в динамике, что, вероятно, бу-
дет широко использоваться при объяснении различных
понятий математического анализа. На экране микро-
ЭВМ легко показать картину последовательного при-
ближения секущих к касательной в данной точке при
изучении геометрической интерпретации производной,
процесс построения интегральных сумм и др.
Графические возможности мнкро-ЭВМ принесут поль-
зу и при объяснении самого понятия функции. С по-
мощью курсора можно наглядно показать область оп-
ределения функции, путем отражения построить график
обратной функции и так далее.
Геометрия. Микро ЭВМ удобно применять для де-
монстрации различных геометрических фигур на плоско-
сти и в пространстве. При этом учитель не связан
с имеющимися наглядными пособиями, а воспронзводиг
на экране микро-ЭВМ те геометрические фигуры, кото-
рые ему необходимы по ходу занятия. Гак, весь иллю-
стративный материал темы «Начальные понятия геомет-
рии» в VI классе может быть целиком перенесен на
экран микро-ЭВМ. Учителе легко «нарисует» на ием
нужную геометрическую фигуру, переместит ее в лю-
бое положение, произведет необходимую штриховку
(а в случае цветного дисплея — расцвечивание). В даль-
нейшем учитель может использовать микро-ЭВМ для
того, чтобы быстро провести нужное геометрическое
построение и сделать необходимые расчеты.
Мнкро-ЭВМ способна создавать и «живые» картины.
Например, при изучении темы «Длина окружности» на
экране мнкро-ЭВМ предстает процесс последовательно-
го приближения окружности правильными вписанными
многоугольниками. Сначала появляется четырехуголь-
ник. Затем он сменяется восьмиугольником (рис. 2).
Одновременно на экране высвечивается число, равное
периметру данного вписанного многоугольника. При
увеличении п (п=16, 32 и т. д.) периметр многоуголь-
ника все более приближается к длине окружности. Та-
кая «живая» картина выгодно отличается от демонстра-
ции этого процесса с помощью кинофильма, поскольку
учитель в состоянии ею управлять. По своему желанию
и в соответствии с возможностями учащихся он мо.кет
Рис. 1
4ft
Рис,. 3
Нил . 2
несколько расширить содержание темы и объяснить,
что подобный процесс приближения может быть про-
веден не только для окружности, но и для произволь-
ной кривой линин. В подтверждение своих слов он
«рисует > на экране произвольную кривую и демонстри-
рует на ней процесс приближения.
С помощью микро-ЭВМ учащиеся будут в состоянии
решать различные задачи геометрии Например, изучая
симметричные фигуры в V и 71 классах, школьники
могут использовать микроЭВМ для поиска осей сим-
метрни заданных фигур. «Нарисовав» на экране про-
извольную фигуру, с помощью подвижного луча уча-
щиеся опре гелит, имеет данная фигура ось симметрии
или нет
' На микро-ЭВМ возможно имитировать движение
и таким образом изучать свойства геометрических фи-
гур относительно различных групп преобразований:
сдвига, вращения н др. Специальные программы поз-
воляют учащимся изображать на экране микро-ЭВМ
различные стереометрические фигуры и проводить с ни-
ми преобразования. Так, изобразив произвол! ную фигу-
ру в трехмерном пространстве, учащиеся рассмотрят
повороты этой фигуры относительно различных осей ее
проекции и сечения.
Естественно, что указанные нами примеры не исчер-
пывают всех возможностей применения микро-ЭВМ в
школьном курсе математики. Они, однако, показыва-
ют, что большие возможности компьютера позволяют
с его помощью сделать изучение математики более
увле! ательным и результативным.
Об элементах высшей математики
в средней школе
Д.К. Фаддеев, Н. Н. Ляшенко,
Л. С. Никулин, И. Ф. Соколовский
(JIahhhi рад)
Цель настоящей статьи — краткое изложение идей, ле-
жащих в основе школьного курса алгебры и начал ана-
лиза.
Часто приходнтсн обсуждать вопрос — нужно ли во-
обще вводить элементы высшей математики в среднюю
школу Мы считаем: не только нужно, но н совершенно
необходимо в силу огромной практической и познава-
тельной значимости начал математического анализа.
Не показывать их — значит скрывать oi нашей моло-
дежи одн । из величайших достижений человеческого
разума. Бёз знания элементов математического анали-
за невозможно понимать физику, химию, биологию, раз-
бираться в технической и научно-популярной литерату-
ре. < ;фера применимости математических методов рас-
-Шфяехгя на наших слезах, охватывая наряду с есте-
ственнонаучными объектами познания и некоторые гу-
манитарные.
Математика в своей элементарной части является са-
мой про; той из наук, так как она изучает наиболее
грубые стороны действительности. Это в полной мер
относится и к элементам математического анализа, ос-
новные идеи которого очень просты и наглядны, если
их показывать на том интуитивном уровне, на которое
они фактически возникли. Элементы математического
анализа в средней школе не должны быть «высшей
математикой» в том смысле, что их не следует изла-
гать на слишком абстрактном уровне.
По существу, основной идеей «высшей математик®
является одно простое соображение, которое мы назы-
ваем «основным принципом» дифференциального исчис-
ления и описываем в следующем абзаце.
На небольшом участке любой достаточно «хорошей»
кривой она успевает мало изогнуться, и притом тек
меньше, чем меньше рассматриваемый участок. Поэтому
малый участок кривой линии почти совпадает с отрез-
ком некоторой прямой, и нх различие постепенно исче-
зает по мере стягивания участка кривой к некоторой
точке. Эта прямая называется касательной к кривой
в точке, к которой стягивается участок кривой. В част-
ности, график достаточно «хорошей» функции на малок
участке почти прямолинеен, и малое изменение функ-
ции почти ра зно малому изменению некоторой линей-
ной функции. Иными словами, «хорошая» функция поч-
ти линейна «локально», т. е. в бесконечно уменьшаю-
щейся окрестности любого значения аргумента. Угло-
вой коэффициент касательной к графику функции на-
зывается значением производной от функции в рассмат-
риваемой точке.
«Основной принцип» не является теоремой, не содер-
жит в себе четких определений. «Достаточно хорошая
кривая» и «хорошая функция» — это понятия, которые
можно определить точнее лишь юспе уточнения и фор-
мализации понятия производной. Весьма существенно
то, что рациональные функции, степенные с дробный
показателем, показательная н логарифмическая — все
являются «хорошими». Более того, функции, возни-
кающие при исследовании процессов । стествознания и
техники, оказываются обычно «хорошими» В качестве
«плохих» функций следует показать |х| в окрестности
нуля. Можно даже наглядно продемонстрировать
(описать) непрерывную функцию, не имеющую произ-
водной ни в одной точке. Это функция, график ..ото-
рой есть волнистая линия, причем каждая отдельная
волна, в свою очередь, состоит нз более мелки»
волн и т. д.
Для того чтобы «основной принцип» выглядел бо-
лее обоснованным и с ним можно было бы работать,
необходимо его уточнить и формализовать При этол
неизбежно введение понятия бесконечно малой вели-
чины (такой, в частности, является длина интервала,
стягивающегося в точку), понятия сходящейся пере-
менной и ее предела.
Новые термины позволяют дать определение -основ-
ного принципа» в применении к функциям, ..оторое
сводится к тому, что для «хорошей» функции сущее?
вует предел отношения приращения функции к беско-
нечно малому приращению независимой переменной,
и этот предел есть значение производной. После этого
возникает возможность более точно определить «хоро-
шую» функцию — это функция, имеющая производную
во всех точках своей области определения.
Понятия бесконечно малой и сходящейся перемен-
ной мы предлагаем ввести лишь с целью уточнения
и формализации понятия производной. Мы считаем, что
из учение этих понятий в среди. й школе не должно быть
самоцелью и составлять раздел, предшествующий вве-
дению производной. Бесконечно малые и пределы сле-
дует вв< сти именно в связи с уточнением «основного
принципа» после введения понятия производной на ин-
туитивном уровне. Уровень строгости не должен быть
40
чрезмерным, и ке стоит строить рассуждения на в, 6Z- и
е, fi языке. В связи с этим следует еще отметить, что
понятия бесконечно малой, сходящейся переменной и
ее предела мы рассматриваем не как абстрактные мо-
дели каких-либо явлений действительности, для нас они
являются только средствами исследования.
Обоснование элементов анализа на основе теории
пределов было осуществлено Коши в начале XIX сто-
летия. Классики (Лейбниц, Эйлер) пользовались поня-
тием актуально бесконечно малых величин В послед-
ние годы существует построение «нетрадиционного ана-
лиза» без теории пределов и делаются попытки внед-
рить эти идеи в преподавание.
В действующих программах и учебнике отсутствует
понятие дифференциала. По нашему же мнению, поня-
тию дифференциала нужно уделить достаточное вни-
мание. Должна быть подчеркнута роль дифференциала
функции при бесконечно малом dx как несколько огруб-
ленного приращения функции, линейного и отличаю-
щегося от истинного приращения на бесконечно малую
стремящуюся к нулю существенно быстрее, чем dx. Имен-
но через представление дифференциала как «малого кус-
ка» изучаемой величины осуществляются наиболее эле-
ментарные, но важнейшие приложения элементов выс-
шей математики к физике, технике и т. д. Кроме того,
довольно сложный вопрос о производной функции от
функции проще формулируется и излагается в тер-
минах дифференциалов, в виде инвариантности ф* рмы
дифференциала при замене независимой переменной на
функцию.
В описании правил дифференцирования первая прин-
ципиальная тру (ность возникает при выводе формулы
дифференцирования логарифмической функции. Мы
предлагаем обойти эту трудность следующим образом.
Легко
и что
logo х
выводится, что
1 .. log„(l+ft)
(logfl х)' - — Нт() --------h---
данный предел есть значение производной от
при *=1. Отсюда следует, что производная ог
логарифма существует либо во всех точках, либо ни
в одной. Вторая возможность противоречит интуитив-
ному представлению о графике логарифмической функ-
ции. Поэтому есть основание заключить, что
,, loga (1 + Л)
Um ------г------
й-о	h
существует. Обозначив его через с, получим:
1
(loga X)' = с.
Поскольку все логарифмические функции пропорцио-
нальны, естественно заключить, что найдется логариф-
мическая функция, для которой с=1. Ее основание а
таково, что
1°М|+_А> _ 11mJo&I(l+A)b*_
Л л->о
= logo(liin (l-f-Л) '/h).
л-*о
Последнее заключение сделано иа основании интуитив-
но ясной непрерывности логарифмической функции. Та-
ким образом, основание а в этом случае равно
hm (l+h)l/*. Этот предел называется числом Непера,
л -► О
его принято обозначать буквой е.
Более строгое доказательство существования этого
предела, на наш взгляд, следует провести на факульта-
тивном занятии. Такое доказательство доступно пони-
манию учащихся, но довольно длинно.
Вторая принципиальная трудность — вывод формул
производных от тригонометрических функций. Здесь на-
ряду с обычным рассуждением, опирающимся на
sin h
lim —т— — 1,
Л -гО Л
1 -= Um
л —о
следует показать наглядные пояснения «в терминах
дифференциалов». На окружности радиуса 1 берется
точка М, соответствующая дуге ф, и точка М', соот-
ветствующая дуге ф4-с/ф, N - точка п< ресечения верти-
кальной прямой, проходящей через М , с горизонта 1ь-
ной, проходящей через М (рис. 1) Криволинейный
треугольник ММ’.У при уменьшении dip безгранично
приближается к прямолинейному с гипотенузой dip, ка-
тетами dy—d sm ip и |dx| = |d cos ф| н острым углом
Ф при верщчне М'. (В увеличенном масштабе треуголь-
ник изображен на рис. 2.) Поэтому d sin if =dy=
=cosфdф и d cos <р = --|dx| =—sin фdф.
Это нестрогое, но наглядное рассуждение соответ
ствует духу применения идеи дифференциального ис-
числения к задачам теоретического естествознания н
техники.
Интегрирование мы считаем возможным рассматри-
вать как действие, восстанавливающее функцию по ее
дифференциалу, а не по производной. В пользу этого
имеется три следующих довода. Первый — традиция н,
в частности, традиционный способ записи интеграла.
Второй — в этой трактовке интегрирование подстанов-
кой становится тривиальностью, оно оказывается непо-
средственным следствием инвариантности формы диффе
ренциала. Третий довод наиболее существенный. Фак-
тически при применении интегрирования к вычислению
некоторой величины эта величина рассматривается как
значение переменной величины, днффереш нал которой
(т. е. линеаризованное приращение) наглядно виден
или легко вычисляется. Так, для площади криволиней-
ной трапеции Л’(х) с переменной правой «стенкой» яс-
но, что dS(x)=ydx (рис. 3). Для дуги кривой от точ-
ки с абсциссой а до точки с абсциссой х (рис. 4):
dl = yrdx* + dya.
Для объема тела вращения dV=ny2dx. Для площади
поверхности тела вращения: dF = 2nydl н т. д.
Интеграл как предел суммы можно продемонстриро-
вать учащимся в виде средства для вычисления значе-
ний интегралов даже «неберущихся», т е не выражаю-
щихся через элементарные функции. При введении фор-
мулы Ньютона — Лейбница, связывающей определенный
интеграл с первообразной функцией, следует подчерк-
Рис 3
47
путь, что она имела величайшее методологическое зна-
чение, ибо позволила заменить пусть виртуозное, но
не алгоритмичное вычисление сумм (точнее, их преде-
лов) единообразной операцией интегрирования.
Успешная реализация намеченного здесь варианта
введения элементов высшей математики в старших
классах школы требует некоторой целенаправленной
подготовки. В средних классах лллжна быть хорошо
отработана техника алгебраических преобразований, и
тогда техника дифференцирования и интегрироваиня
не представит затруднений. Уже с VI класса следует
систематически показывать применение алгебраических
преобразований к вычислениям. У учащихся нужно
воспитывать ощущение большого и малого, сравнитель-
но большого и сравнительно малого и т. д. Это ощу-
щение можно поддержать и в дальнейшем прн изуче-
нии графиков функций н графиков зависимостей. На-
пример, показать, что приближенное равенство у=
=х(2 -х)ж2х прн х, близких к 0, есть не что иное,
как переход от параболы с уравнением </=х(2—х)
к ее касательной в точке х=0. С помощью эле.мента1 -
ных соображений можно даже выяснить, как ведет се-
бя алгебраическая кривая в окрестности довольно слож-
ной особой точки. Так, часто удается, угадав место
максимума или минимума функции, элементарно дока-
зать, что это действительно максимум или минимум.
По нашему мнению, курс элементарной алгебры, кро-
ме всего прочего, должен служить пропедевтикой выс-
шей математики. В свою очередь, изложение элементов
математического анализа должно быть естественным
продолжением элементарной алгебры.
Проблемы преподавания элементов высшей матема-
тики в средней школе часто связывают с проблемами
вузовской педагогики. Это правомерно, ибо в вузе
изучение математики получает свое дальнейшее и до-
вольно широкое развитие. В связи с этим отметим,
что изложенный здесь подход способствует дальнейше-
му, более глубокому проникновению в вузовский курс
высшей математики. Очевидно, что вузовский курс дол-
жен быть не повторением, а естественным развитием
школьного курса математики в идейном и научном
смысле, а также в плане приложений. Заметим, что се-
годня вузовский курс высшей математики часто оказы-
вается слишком технологичным, мало опирается на
образные представления и плохо их формирует. В си-
лу этого у молодых людей освоение понятий н методов
зачастую заменяется их формальным «прохождением».
Задачи, стоящие перед средней школой, несравненно
шире, чем задача подготовки к обучению в вузе. В шко-
ле общеобраз >вательные и культурные цели выступа-
ют на первый план. Отсюда следует, что средняя шко-
ла должна иметь приоритет в решении «пограничных»
с вузом вопросов. ,
В заключение скажем несколько слов об учебниках
по математике. Мы считаем, что учебник математики
должен содержать материал, несколько превышающий
уровень минимальных требований. Только в этом слу-
чае он будет открывать некоторые новые перспективы
для вдумчивого ученика, а не только служить пособием
для выучивания минимального материала.
Как учебник для VI—VIII классов, так и учебник для
IX—X классов должны быть цельными, ие разделенны-
ми на «тетрадочки» по классам, ибо содер: канне этих
книг должно быть связным и законченным. Разделение
на куски нарушило бы цельность н, в частности, за-
труднило бы часто необходимое возвращение к ранее
пройденному, тем более что существующая практика
сдачи учебников в конце каждого учебного года ста-
вит учащихся в сложное положение в периоды сдачи
экзаменов в VIII н X классах, а также при подготов-
ке к вступительным экзаменам в техникумы и вузы.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
XIX Всесоюзная
олимпиада школьников
по математике
А. В. Гришин, А. С. Пономаренко,
А. М. Слинько
(Москва)
Заключительный этап XIX Всесоюзной математической
олимпиады (ВМО) школьников проходил с 6 по 13 ап-
реля 1985 г. в г. Могилеве. В нем участвовало
162 школьника, в том числе: учащихся VIII класса —
44, IX — 59 и X — 59. Кроме команд всех союзных рес-
публик в ВМО принимали участие команды городов
Москвы и Ленинграда, команда Министерства путей
сообщения СССР и, в порядке эксперимента, команды
некоторых физико-математических школ.
В работе жюри, возглавляемого академиком АН
БССР, директором Института математики АН БССР
В. П. Платоновым, приняли участие ученые Белоруссии,
Латвии, Молдавии, Москвы, Ленинграда, Новосибирска.
Заместителями председателя жюри н его первыми по-
мощниками были ст. научный сотрудник Института
математики АН БССР В. И. Берник, академик АН
УССР Б. В. Гнеденко, доцент Московского государст-
венного уннверентета Ю. В. Нестеренко и проректор
Могилевского государственного педагогического инсти-
тута профессор А. А. Столяр.
Программа, составленная республиканским оргкоми-
тетом олимпиады под председательством первого за-
местителя министра просвещения Белорусской ССР
М. М. Круглея, была интересна и содержательна. 7 ап-
реля после возложения цветов к памятнику В. И. Ле-
нину в Могилевском Дворце пионеров и школьников
состоялось торжественное открытие олимпиады.
К юным математикам с теплыми словами привет-
ствия, с пожеланиями успешного выступления и доб-
рого соперничества обратились заместитель председа-
теля Центрального оргкомитета Всесоюзной физико-ма-
тематической и химической олимпиады школьников, за-
меститель пр°цседателя Ученого методического совета
при МП СССР М. И. Тамбиева, заведующий отделом
науки н учебных заведений Могилевского обкома КПБ
С. И. Карлечкин, секретарь Могилевского обкома ЛКСМБ
Л. П. Моисеенко.
После официального открытия олимпиады его участ-
никам был дан большой концерт силами народного ан-
самбля песни и танца Дворца пионеров н школьников.
Участникам олимпиады была предоставлена большая
культурная программа, в которую вошли вечер друж-
бы народов СССР, встречи с учащимися школ г. Мо-
гилева, посещение межшкольного учебно-производствен-
ного комбината, областного драматического театра,
достопримечательных н памятных мест г. Могилева и
мемориального комплекса советско-польского боевого
содружества в поселке Ленино Горецкого района. Для
ребят была организована встреча с редколлегией жур-
нала «Квант». В традиционном математическом бою
между командой участников ВМО и командой Всесоюз-
ного жюри олимпиады победу одержало жюри.
12 апреля состоялось торжественное закрытие олим-
пиады. Эстафета Всесоюзной математической олимпиа-
ды была передана в Центральный оргкомитет для вру-
чения ее представителям РСФСР.
Учащиеся VIII и IX классов, награжденные дипло-
мами I и II степени, получили право участвовать в за-
ключительном этапе Всесоюзной олимпиады в будущем
году.
Приводим список победителей XIX ВМО.
I
1
I
г
1
(
л
с
к
(
с
ц
U
н
м
(
в
Hi
31
48
3
Диплом I степени
VIII класс: Борисов Лев (шк. № 19 Минска),
Гульчук Павел (шк. № 145 Киева), Дынников Иван
(шк. № 10 г. Жуковского Московской обл.), Озолс Дид-
зис (шк. № 1 Риги), Смирнов Станислав (шк. № 99
Ленинграда), Стыркас Константин (шк. № 82 нос. Чер-
ноголовки Московской обл.).
IX класс: Гиль Александр (шк. № 239 Ленингра-
да), Глущенко Геннадий (шк. № 91 г. Запорожья), Ка-
линин Глеб (шк. Аг° 239 Ленинграда), Коктс Гундарс
(шк. № 1 Риги), Кярас Сигнтас (шк. № 2 г. Молетая
ЛитССР), Лунин Антон (шк. № 57 Москвы).
X класс: Бондаренко Олег (ФМШ при КГУ), Ма-
леванец Анатолий (ФМШ при КГУ).
Диплом II степени
VIII класс: Баран Андрей (ФМШ при КГУ), Бо-
рисов Александр (шк. № 19 Минска), Наумов Павел
(шк № 679 Москвы), Осолоткин Алексей (шк. № 29
Петрозаводска), Тульбович Александр (шк. № 27 Харь-
кова), Уустало Тармо (шк. № 44 Таллина), Черных
Алексей (шк. № 40 Краснодара).
IX класс: Бендорфа Кристина (шк. № 1 Риги),
Крикис Мартиньш (шк. № 1 Риги), Мурадов Борис
(ФМШ при НГУ), Петрунин Антон (шк. № 239 Ленин-
града), Порошин Виктор (шк. № 239 Ленинграда),
Рачинский Дмитрий (шк. № 27 Харькова), Редько Ти-
мур (шк. № 4 г. Корсунь-Шевченковского Черкасской
обл.), Роганов Владимир (ФМШ при МГУ), Хапочкин
Юрий (шк. № 3 Брянска).
X класс: Вертгейм Лев (шк. № 25 Новосибирска),
Иванов Лев (ФМШ при МГУ), Канепс Дзинтарс (шк.
№ 1 г. Лнелварде ЛатвССР), Коротков Андрей (ФМШ
при ЛГУ) Леонтьева Ольга (шк. № 239 Ленинграда),
Маслов Алексей (шк. № 109 Москвы), Пентус Мати
(шк. № 1 Таллина), Скуиньш Айнарс (шк. № 1 Риги).
Дипломами III степени были награждены
42 участника, в гом числе: учащихся VIII класса—10,
IX — 12 и X — 20. Самым юным участником олимпиады
был 13-летний Чебуков Святослав, выступавший за
X класс команды УССР.
Соревнования проходили в два дня. В каждом туре
для каждого класса предлагалось решить по четыре
задачи.
Условия задач первого дня 1
VIII.	1. В остроугольном треугольнике нз середины
каждой стороны проведены перпендикуляры к двум
дру|им сторонам. Докажите, что площадь шестиуголь-
ника, ограниченного этими перпендикулярами, равна
половине площади треугольника. (А. Азамов)
VII	I. 2. Существует ли натуральное число п, обла-
дающее следующим свойством: сумма цифр числа п
(в десятичной записи) равна 1000, а сумма цифр чис-
ла п2 равна 1 0002? (Д. Фон - дер - Ф л а ас)
VI	II. 3. Какое наибольшее число дамок можно рас-
ставил на шашечной доске (8x8 клеток) так, чтобы
каждая дамка билась хотя бы одной другой дамкой?
(Н. Нецветаев)
VII	I. 4. В правильном « угольнике требуется покра-
сить каждую сторону и каждую диагональ каким-либо
цветом так, чтобы любые два из этих отрезков, имею-
щих общую точку, бы чп окрашены различно. Какое
наименьшее количество цветов для этого необходи-
мо? (Отрезки рассматриваются вместе с концами.)
(П. П а н к о в, СДолматов)
IX.	1. На плоскости дана прямая /, точка О, не ле-
жащая на этой прямой, и произвольная точка А. До-
1 Числа перед условием задачи указывают класс,
в котором предлагалась эта задача, и ее порядковый
номер в задании. В скобках указана фамилия автора
задачи.
кажите, что точку О можно перевести в точку А, ис-
пользуя только симметрии относительно прямой I и по-
вороты с центром в точке О. (И. Жук, И. Воро-
нович)
IX. 2. В каком наибольшем числе различных целых
точек квадратный трехчлен ах24-Ьх4-с, у которого
а>100, может принимать значения, не прсвос/одящие
по модулю 50? (В. Берник)
IX 3. Различные натуральные числа а, Ь, ..., k за-
писаны в виде табл. 1 Известно, что каждое число,
к которому в таблице ведут две стрелочки, равно сум-
ме чисел, стоящих у начала этих стрелочек. При каком
наименьшем d возможно такое расположение? (А. Бер-
зиньш)
Таблица!
а -> Ь-+ с-> d
t t t
e-> f~+g
t t
h -*l
t
k
IX 4. Дана строго возрастающая неограниченная пос-
ледовательность положительных чисел щ, а2....До-
кажите, что:
а)	существует номер k0 такой, что для всех k^ka
справедливо неравенство
б)	для всех достаточно больших номеров k справед-
ливо неравенство
^_ + £1.ь... + _£*_<й_1985.
(Л. К у р л я н д ч и к)
X. 1. Решите неравенство
|sin х—sin i/| -(-sin x-sin i/sgjO.
(В. В а в и л о в)
X. 2. На плоскости нарисован выпуклый пятиуголь-
ник ABCDE. Построим точку А,, симметричную точ-
ке А относительно В, точку Ви симметричную точке В
относительно С, ..., точку симметричную точке Е
относительно А, н после этого сотрем пятиугольник
ABCDE. Докажите, что при помощи циркуля н линей-
ки, зная расположение точек Аь Bt, Сь О,, £,, можно
восстановить пятиугольник ABCDE. (А. Анджаис)
X. 3. Последовательность Я|, а2, ... задается прави-
лами: а2п = а„ при п^1 и а4п+1 = 1, О4п+з=0 при
Докажите, что эта последовательность не имеет перио-
да. (Ю. Нестеренко)
X. 4. На плоскости проведены п прямых (п^2), де-
лящих плоскость на несколько областей. Некоторые из
этих областей окрашены, причем никакие две окрашен-
ные области не могут соприкасаться по границе2. До-
кажите, что число окрашенных областей не превосходит
-д-(л2(-п). (Ю. Чеканов)
Решение задач первого дня
VIII. 1. Пусть АВС—исходный треугольник и Р, Q,
R— середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Тре-
угольники /1РЯ, PBQ, RQC, подобные треугольнику
АВС, являются остроугольными и поэтому точки L,
М, N пересечения высот этих треугольников ле^кат
внутри них (рис. 1).
2 Области, имеющие лишь одну общую точку, не счи-
таются граничащими.
3 «Математика в школе», J4 6
49
Рис. 2
Площадь s шестиугольника LPMQNR равна:
s — SpQn 4- SpMQ + Sqnr 4- $rlp “
“ ~S + Sp.MQ + SQNP+SpLp,
где S -площадь треугольника ЛВС. Так как ДЛР/? =
=APBQ=A/?QC, то WMQ—&ALR и AQAB =
=АР£Л. Поэтому
SpMQ + $QNR 4- $RLP “ $APR “ ~4~
откуда s — -y S.
/III. 2. Да, существует.
1	решение. Например, можно взять число
п - Ю2"9 4- Ю2"* 4- ... + Ю2' + Ю2°.
Ойо записывается с помощью единиц и нулей, причем
в нем 1000 единиц. Число и2 равно сумме, составленной
из 10002 слагаемых, являющихся всевозможными про-
изведениями вида
Ю2 -102 - 102 +2 , 0<а,Л<999.
Посмотрим, какие слагаемые в этой сумме могут
совпадать. Пусть lo2U+2 — 102*+2 н для определен-
ностн а^Ь. Тогда при c^d имеем:
2“ (14- 26-°) = 2е (14- 2“-^
Следовательно, а—с (это кратность вхождения просто,
го множителя 2), тогда и b=d.
Прн c>d имеем:
2a(l4-2e-°) =2d(l 4-2c~J)
н по аналогичным причинам a—d, b=c. Таким обра-
зом, в числе и2, представленном в виде суммы указан-
ных выше слагаемых, совпадать могут только слагаемые
вида 10" + и 10 +	, т. е. число п1 записывается
qД  qfl
с помощью 1000 единиц (слагаемые вида 10 + ),
100U - 999	,	,„2°4.2Л
----2----двоек (слагаемые вида 2-10 т , а^=Ь), а
на остальных местах — нули. Отсюда получаем, что
сумма цифр п2 равна
„ 1000-999
1000 4- 2---о------- 1(№.
II решение. Покажем, что для любого натураль-
ного числа и) существует такое натуральное число п,
в записи которого участвуют единицы и, быть может,
нули, что сумма его цифр, обозначаемая далее через
S(n), равна т, а сумма цифр числа п2, т. е. S(n2),
ровна т2. Доказательство проведем индукцией по т.
Ясно, что для т = 1 искомое число равно 1. Пусть
для некоторого натурального т существует такое на-
туральное, записанное только с помощью единиц и ну-
лей число п, что S(n)=m, a S(n2)=m2. Если п—•
A-знатное число, то положим пй= 10*+2.,i4-l- Тогда
nJ - 102 (fc+2 > - пг 4- 2п • Ю*+2 4- I.
Число 102(*+2> п2 оканчивается не менее чем 264-4
нулями, а число 2п-10*+2 не более чем (2^4-3)-значно
(2п имеет не более чем 64-1 знаков). Следовательно,
S (nJ) - S (п2) 4- 2S (п) 4-1 — (л 4- I)2.
II	способ решения задачи VIII. 2 не указывает явно
вид числа л, но короче и охватывает более общую си-
туацию.
VIII.	3. Ясно, что ни одна дамка не может распо-
лагаться на краю доски. Кроме того, в двух квадратах
доски, обведенных на рис. 2 жирной линией, все пять
черных клеток не могут быть заняты (центральная дам-
ка не бьется). Таким образом, занятыми могут ока-
заться не более 16 клеток. В то же время 16 дамок
с соблюдением условий задачи можно расставить, как
показано на рис. 2.
VII	I. 4. Ответ: п цветов. Покажем сначала, что
необходимо не меньше чем п цветов. Для этого рас-
смотрим произвольную вершину А данного п-угольника.
Пусть из нее выходят стороны АВ и АС n-у голышка.
Рассмотрим эти стороны, все диагонали, выходящие из
вершины А, и диагональ ВС (см. рис. 3 в случае шес-
тиугольника). Эзих отрезков п, и каждые два из них,
очевидно, имеют общую точку. Следовательно, они
должны быть окрашены разными красками, для чего
требуется не менее п цветов.
Покажем теперь, что с помощью п цветов можно по-
лучить нужную раскраску. Для этого докажем, что
п отрезков, рассмотренных при доказательстве необхо-
димости, обладают следующим свойством: каждая из
сторон или диагоналей n-угольника параллельна одному
из этих п отрезков.
Для доказательства опишем около n-угольника ок-
ружность w. Пусть Л1У — одна из сторон или диаго-
налей л-угольника. Если Л4А/ЦВС, то все доказано Если
Л1Л/41~ ВС, то прямая I, проведенная через точку А па-
раллельно ЛГУ, пересечет окружность шив некоторой
другой точке К (рис. 4). В самом деле, прямая t не
может быть касательной, так как в этом случае /ЦВС
н MN„BC.
Так как А и Л1 — вершины n-угольннка, то дуга
АрМ содержит целое число равных между собой дуг,
на которые ш разбивается вершинами n-угольника. Так
как Л1Л/||Д/<, то дуга АрМ равна дуге КЛУ. Следова-
тельно, дуга KIN также содержит целое число дуг, на
которые w разбивается вершинами п-угольннка, а зна-
чит, К — вершина данного п-угольиика.
Таким образом, MN параллельна одному из и—1
рассматриваемых отрезков, исходящих из точки А. Те-
перь множество всех фигурирующих в задаче отрезков
разобьем на п групп, причем отрезки в каждой (рупне
параллельны одному из п отрезков, рассмотренных прн
доказательстве необходимости. Покрасим отрезки каж-
дой группы одним цветом; всего будет использовано
п цветов
IX	. 1. Переведем точку О в точку О1в симметрич-
ную относительно прямой I (рис. 5). Пользуясь пово-
50
ротом вокруг точки О, точку о, можно перевести в
любую точку окружности с центром в О и радиусом
00.. Следовательно, с помощью симметрий относи-
тельно прямой / и поворота вокруг точки О, точку О
можно перевести в любую точку дуги DOB, симмет-
ричной дуге DO,B относительно прямой I. Рассмот-
рим произвольную окружность с центром О и радиу-
сом, мень'иим ОО|. Так как она пересекает дугу DOB,
то мы можем получить любую точку этой окружности.
Таким образом, сделав последовательно симметрию
относительно I, поворот вокруг О, снова симметрию
и поворот, мы можем перевести точку О в любую точ-
ку круга с центром в точке О радиусом 00,. сассмот-
рнм точку С, лежащую на окружности с центром О
радиусом 00, и максимально удаленную от прямой I
(см. рис. 5). Если О2— точка, симметричная точке С
относительно /, то, повторив нашу процедуру, переве-
дем С, а следовательно, и О в любую точку круга
с центром в О радиусом ОО2. Ясно, что, действуя та-
ким образом и далее, мы сможем перевести точку О
в любую точку круга сколь угодно большо! о радиуса
с центром в точке О, а значит, и в точку А.
IX. 2< Ответ: две точки. Если имеются три точки,
удовлетворяющие условию задачи, то какие-то две из
b
ннх лежат по одну сторону от абсциссы х0=— вер-
шины параболы y=axs-]-bx+c. Без ограничения общ-
ности можно считать, что этн точки х, и х2 (х2>х.)
лежат правее х0. При этом выполняются неравенства
Имеем:
ЮО > | у (х,) — у (х.) | = а (х,— х,) (х,+ х,+	>
> 100 (х, + х, + 4):> юо.
Полученное противоречие означает, что найдется
не более двух целых точек, в которых данный квад-
ратный трехчлен принимает значения, по модулю
не превосходящие 50.
Многочлен 101х2—100 принимает в двух точках
Х|=—1, х2=1 значение 1.
IX. 3. Как показывают табл. 2 и 3, число d может
принимать значение d=20.
Табл	и ц а	2		Таблица		3
4	6	9	20	4	5	8	20
2	3	11		1	3	12
	1	8			2	9
		7				7
Докажем, что	это	значение	d	— наименьшее		! ВОЗМОЖ-
ное. Предположим, что существует таблица, в которой
с/<20. Легко видеть, что d=а-рЗ(e-j-h) -j-Zt. Из этого
равенства следует, что 20>d=2(e+k)-j-a-j-e-j-fi+k^
>2(е+'1)4-1 +2-|-3-|-4, т. е. e-|-ft^4. Не уменьшая
общности, можно считать выполненным неравенство
e<h. В противном случае отобразим таблицу симмет-
рично прямой fd. Новая таблица будет удовлетворять
условиям задачи, а кроме того, условиям d<20 и
e<h. Итак, возможны два случая: е=1, й=3 и е=1,
ft = 2.
В 1-м случае /=4 и а+Л^.7. Все числа в таблице
различны, поэтому или а=2, й=5, или а=5, fe=2.
Обе возможности, как легко проверить, приводят к
таблице с повторяющимися элементами.
Во 2 м случае a-f-ft^rlO, f=3, и, следовательно,
должны выполняться неравенства а^4, Лт>4, a^=k.
Существуют только четыре возможности для пары чи-
сел (a, k), а именно: (4; 5), (4; 6), (5; 4), (6; 4).
По условию задачи все числа a, o-J-I, a-j-4, k, i-(-2,
Л+5 должны быть различны. Ни одна из указанных
выше пар (о, k) ие удовлетворяет последнему условию.
Полученное противоречие доказывает, что минималь-
ное значение d равно 20.
IX. 4. а) Так как последовательность а,, аг, ... неог-
раниченно возрастает, то найдутся такие числа ат и
о»0,что 2а,<ат и 2am<a„Q. Тогда при k^:Zta, по-
скольку все члены а( положительны, имеем:
0-$)^	-^г)-
откуда сразу же следует нужное неравенство.
б) i 1о доказанному в пункте а) найдется индекс р
такой, что
-+-~+ ... + ——<?-1.	(1)
а»	°р+1
Применяя утверждение пункта а) к последовательно-
сти аР+1, вр+г, ..., найдем, что для всех достаточно
больших q справедливо неравенство
ар+' ал+2 _ _ а-
ар4 2	°р + 3	°<7 + 1
Складывая (1) н (2), получим
а,	а,
а?	аз
<(?—/>)—!•
(2)
(3)

Применяя утверждение пункта а) к последователь-
ности а^+1, aq+3....найдем, что для всех достаточно
больших г справедливо неравенство
Прибавляя к пот педнему неравенству неравенство (3),
получим
<г —3.
Это рассуждение нужно повторить еше 1982 раза.
X. 1. Ответ, (лп, лт); п, т$1.
Из данного неравенства следует, что
sin х — sin у + sin х sin у < О,
—sin х + sin у -f- sin x sin у < О,
51
т. е.
(1 — sin jf) (1 4- sin у) >-1.
(1 —sin у) (1 + sin x) > 1.
Перемножив неравенства последней системы, получим
cos2 х cos2 у~^ 1, т. е. cos2 x=cos2 j/=l.
Отсюда следует, что х=лп, у~лгп, где т, п£1. Про-
веркой убеждаемся, что найденные значения хну
удовлетворяют данному неравенству.
X. 2. Пусть О — произвольная точка плоскости. Для
любой точки X плоскости обозначим ОХ=Х. Тогда
Т+Ё,=2Д, X+A = 2B, В+В^ЯС,
C+Ct^=2D, Б+й7=2£.
Эта система уравнений легко решается, и решение
дает возможность построить точки А, В, С, D. Е.
X. 3. Для каждого натурального k имеем в2л =ак =
= 1. Предположим, >то последовательность (а„) имеет
период Т. Если Т=2pq, где ?=4m-j-3, то для доста-
точно большого k
а2Ч =• а2!г+т = a_'P(2fr-p+17) e a2k-p + q = °’
так как при fe^p+2 остаток деления 2*_р+<7 на 4
равен 3. Получили противоречие. Если же T=2Bq, те
?=4т+1, то
Д . а Л .	» Д .	а Д .	в О,
2*	2*+ЗГ	2P(2k~Р Ь30)	2*~₽+3</
что также невозможно.
X. 4. Если все прямые параллельны друг другу, то
они делят плоскость на п+1 область. При этом все
области не могут быть окрашены, и тем самым число
окрашенных областей не превосходит п. Так как
л* + п п + 1	2 + 1
——
то в этом случае утверждение задачи выполнено.
Пусть теперь не все прямые параллельны друг дру-
гу. Граница каждой области состоит из нескольких
отрезков н лучей, принадлежащих различным прямым.
Эти отрезки и лучи назовем сторонами области. Каж-
дая область имеет не менее двух сторон. Через ш3
обозначим число окрашенных областей, имеющих две
стороны, через т3 — число окрашенных областей, имею-
щих гри стороны, и т. д. Наконец, пусть т* — число
окрашенных областей с максимальным числом сторон.
Покажем, что m2^n. Граница любой области с дву-
мя сторонами состоит из двух лучей, причем каждый
луч может лежать на границе только одной из окра-
шенных областей. Число всех таких лучей не превос-
ходит 2л (не более двух на каждой прямой). Следо-
вательно, общее число сторон окрашенных областей
с двумя сторонами не превосходит 2п, или т2^п.
Каждая из п прямых разбивается остальными не бо-
лее чем на п частей (отрезков и лучей). Поэтому об-
щее число всех частей не превосходит п2. Каждая из
этих частей является стороной не более одной Ио окра-
шенных областей. Следовательно, общее число сторон
таких областей не превосходит п2, т. е.
2та+Зт3+.. -+йи1*^п2.
Число окрашенных областей равно m2+m3+-  +
Иснользуя доказанные выше неравенства, находим, чю
т,	2m,+ Зт-+... -I- km %
m, + m8 + ... + mA	-j- + ————-
n t n2	na 4- n
“3" + 1	3	*
Условия задач второго дня
VIII. 5. Имеется куб, кубическая коробка с крышкой
тех же размеров и шесть красок. Каждой краской окра-
шивается одна грань куба и одна из граней коробки.
Докажите, что куб можно таким образом положить
в коробку, чтобы каждая грань куба прилегала к гпя-
ни коробки, окрашенной другим цветим. (Н. г! е ц в с-
т а е в)
VIII. 6. Диаметр АоА5 делит окружность с центром
в точке О на две полуокружности. Одна из них раз-
делена на пять равных дуг Д1И1. А,/12, rl2Aa, A3At,
AtAs. Прямая A,At пересекает О/12 и ОЛа в точках М
и N соответственно. Докажите, что сумма дчин отрез-
ков Л2Л3 и MN равна радиусу окружности. (И. Ш а-
р ы г и н)
VIII. 7. Ученики школьного математического кружка
сконструировали вычислительную машину, которая
четверку чисел (a, b, с, d) нажатием кнопки превра-
щает в четверку (а—b, b—с, с—d, d—а). Докажите,
что если в исходной четверке не все числа равны, то
после некоторого числа нажатий кнопки получится чет-
верка, хотя бы одно из чисел которой больше 1985.
(А. Берзиньш)
VIII. 8. Числа 1, 2, 3, ..., 2п—1, 2п разбиты на две
группы по п чисел в каждой. Пусть а}<.а2<_.. .<_а„—
числа первой группы, записанные в возрастающем по-
рядке, и 6|>b2>...>b, — числа второй i руппы в
убывающем порядке. Докажите, что
|Д|—bt | + |а2—62|+—+|ап—Ьп| =п2.
(В. Произ волов)
IX. 5 Из одинаковых кубиков составлен параллеле-
пипед Три грани параллелепипеда, имеющие общую
вершину, покрасили. Оказалось, что у половины всех
кубиков окрашена хотя бы одна грань. У ско шких ку-
биков имеются окрашенные грани? (С. Долматов,
П. Панков, С. Юга й)
IX. 6. См. задачу 8 для VIII класса.
IX. 7. Одна из двух окружностей радиусом R про-
ходит через вершины А и В, а другая — через верши-
ны В н С параллелограмма ABCD. Докажите, что если
М — вторая точка пересечения этих окружностей, то
радиус окружности, описанной около треугольника
AMD, равен R. (И. Ш а р ы г и н)
1л. 8. Правильный шестиугольник разбит на 24
равных треугольника (рис. 6). Во всех 19 узлах фигуры
записаны различные числа. Докажите, что среди 24
треугольников разбиения имеется по крайней мере 7
таких, в вершинах которых тройки чисел записаны
в порядке возрастания против часовой стрелки.
(А. Берзиньш)
X. 5. Решите уравнение
а
2±2Т7
1 + » 1 + X
(В записи выражения, стоящего слева, 1985 двоек.)
(В. Вавилов)
X. 6. Из правильного пятиугольника со стороной 1 см
удалили все точки, отстоящие от всех вершин пятиуголь-
ника на расстояние, меньшее 1 см. Найти площадь
оставшейся части. (Д. Фон-дер-Флаас)
X. 7. На бесконечном клетчатом листе со стороной
клетки 1 разрешается делать разрезы только по линиям
сетки. Докажите, что при любом целом т>12 можно
52
вырезать прямоугольник плошади, большей т, из ко*
торого нельзя вырезать прямоугольник площади т.
(С. К о н я г и н)
X. 8. Длина ребра куба АВСОА{В}С^С{ равна 1. Най-
ти наименьшее из расстояний между точками окруж-
ностей, одна из которых вписана в основание куба
ABCD, а вторая проходит через вершины А, С, Bt.
(Ю. Нестеренко)
Решение задач второго дня
VIII. 5. Назовем 1-м цветом цвет основания короб-
ки и 2-м— цвет крышки коробки. Шесть граней куба
разбиваются на три пары противоположных граней,
из них выбирается такая пара граней, которые не окра-
шены ни 1-м, ни 2 м цветом. Цвета этих граней Назо-
вем 3-м и 4-м и расположим куб так, чтобы грани 3-го
и 4-го цветов стали нижней и верхней гранями. Даль-
ше будем поворачивать куб, не изменяя плоскости ос-
нования Несовпадение цветов на нижнем и верхнем
основаниях куба и коробки обеспечены. Боковые грани
куба окрашены в цвета 1, 2, 5, 6; боковые грани ко-
робки — в цвета 3, 4, 5, 6. Совпадающими могут ока-
заться только цвета 5 и 6. Имеются четыре расположе-
ния куба с одним и тем же нижним основанием.
Совпадение граней 5-го цвета куба и коробки возмож-
но только в одном из этих случаев, совпадение 6-го
цвета также возможно только в одном случае. Следо-
вательно, останутся по крайней мере два расположе-
ния, при котором 5-й и 6-й цвета не совпадают. Не-
совпадение граней других цветов было обеспечено
раньше.
VIII. 6 Отметим на окружности также точки Вь В2,
В3, Bt, симметричные точкам /1,, Д2, Л3, zl4 относитель-
но днаметпа ДЛ5. Получится правильный десятиуголь-
ник AoA^iAzAiAsBfBiBzB), вписанный в окружность
(рис. 7). Так как дуги Д2тДэ и BtnB2 равны, то
Д2б|||Д3В2. Аналогично доказывается, что ДаВДАДо,
ОА2||В2А|, АоАбЦА|Д41ИгАз-
Так как пары точек (Дь BJ, (А2, В2) симметричны
относительно диаметра A(1A5, то^ отрезки Д2В| и AiB2
пересекаются в точке К на этом диаметре.
Из доказанного следует что КД2Л3О и А0А;ЕК— па-
раллелограммы, поэтому О/(=Д3Дг, LAt — КАи\ остает-
ся доказать, что LAt—NM.
Так как А^МОК и LNOK — параллелограммы, то
AtM = KO==LN, отсюда LAi—NM.
VIII. 7. Пусть (х, у, г, ()—произвольная четверка
чисел и (xi, у„ zi, П) — четверка, получающаяся из ис-
ходной за i нажатий кнопки. Заметим, что во всех чет-
верках чисел, кроме исходной, сумма всех чисел равна
нулю. Пусть (о, Ь, с, d) — произвольная четверка чисел
с нулевой суммой. Тогда
0= (c+64-c-|-rf)2=a!+62+c2+d2+2ob+’
+2cc+2ad+2bc+2M+2cJ.
Рассмотрим теперь четверку (Щ, bt, ct, dt), получаю-
щуюся из четверки (a, b, с, d) нажатием кнопки. Для
нее
а' + b2 +	+d2f^(a- b)2 + (b - с)2 + (с - <?)’ +
+ (d — а)2 = 2 (а2 + Ь‘ + (У + с/2) — 2ab — 2bc — 2cd —
-2ad-3 (а2 + А2 + с2 + d2} + 2 ас + 2bd,
и так как 2ас^а2+с2 и 2M^Zi2+d2, то
ci +	+ с, + d? > 2 (а2 + Ъ2 + с2 + d2).
В исходной четверке (.г, г/, г, t) ие все числа равны,
поэтому
xi + у? + гг + 4 > °-
В силу доказанного выше
+ Я +	+ t2 > 2'"’ (х? + у? + г2 + /;).
Отсюда следует наличие такой четверки с достаточно
большим номером, в которой одно из чисел по модулю
больше чем 3-1985 Если это число отрицательное, то
в той же четверке найдется и положительное число,
большее 1985, так как сумма всех чисел в ней равна
нулю.
VIII. 8. Рассмотрим какую-либо пару чисел а».
Заметим, что оба этих числа не могут быть одновре-
менно больше п, иначе было бы п<с4<.. .Со,,
bt>b2>. .>bk>n и мы получили бы п+1 различных
чисел bt, Ь2, ..., Ьъ, at, а*+1, ..., а„, ббльших л и ие
превосходящих 2п, а таких чисел только п. Кроме
того, замечаем, что не могут одновременно выполнять-
ся неравенства и bk^.n. Итак, одно из двух чи-
сел а4, 6» (обозначим его через М„) больше п, другое
(обозначим его через тк) не превосходит п.
Числа Л1ь Л42, .... М„ все различны, причем каждое
из них больше п и не превосходит 2п, поэтому ЛЕ, ..
.... Мп — это все числа n-J-l, п+2, ..., п+п=2п, толь-
ко расположенные, быть может, в другом порядке.
Точно так же .......т„ — это числа 1, 2....п, рас-
положенные, быть может, в другом порядке. Ясно, что
М„—ml! = \ail—Ье|. Имеем:
Iо।—bt 14-1 a2—b2| +...+ |a„—b„ | =
— (М,—mJ + (Л12—m2) +.. .+(Л1„—m„) =
= (АЕ+ЛЕ+. • +Л+) —(m,+m2+- • -+«n) =
= («+!) + (n+2) +...+ (n+n) —(1+2+.. -+n) = n*.
IX. 5. Предположим, что сторона каждого кубика
равна 1. Допустим, что параллелепипед имеет размеры
mXnX^> где	Тогда общее число составляю-
щих его кубиков равно mnk, а число неокрашенных
кубиков (т—1)(п—1)(&—1). По условию задачи
mn£=2(m—1) (л—1) (k— I).
Очевидно, что fe>2. Кроме того, при /г^5 это равен-
ство противоречиво, так как
01512 и
2(т—1)(л —1)(Л-1)-
/ 4 \3
2/7? lift ( ~g~ ) > 77. nk.
При А=3 соотношение приобретает вид
3mn = 4(m—1) (п—1),
или после преобразований
(ттг—4) (и—4) = 12.
Система соотношений
| (т —4) (л—4) - 12,
( тп > л > 3
имеет следующие целочисленные решения (16; 5),
(10: 6), (8; 7).
При fe=4 приходим к системе
( (т — 3) (л— 3) — 6,
| т > л > 4.
решениями которой являются (9; 4) и (6; 5).
Таким образом, число окрашенных кубиков может
принимать одно из пяти значений: 60, 72, 84, 90, 120.
IX. 7. Пусть Р— середина общей хорды ЕМ дан-
ных окружностей, а точка К симметрична точке С
относительно Р (рис. 8). Тогда, очевидно, К принад-
лежит окружности с центром Оь причем AKMD— па-
раллелограмм. Треугольник МКА вписан в окружность
с центром Оь Так как треугольники AMD и МКА рав-
ны, то и радиусы описанных около них окружностей
равны. Следовательно, радиус окружности, описанной
около треугольника AMD, также равен R.
IX. 8. У каждого из отрезков, соединяющих сосед-
ние узлы разбиения, нарисуем стрелку, направленную
влево от него, если двигаться по отрезку от конца
с меньшим числом к концу с большим числом.
Из 12 стрелок, нарисованных у отрезков, располо-
женных на сторонах исходною шестиугольника, по
крайней мере одна направлена внутрь шестиугольника.
В противном случае, обойдя исходный шестиугольник,
мы пришли бы к противоречивому неравенству Д|<
<аг<.. .СаиСа), где а(— числа, расположенные в
12 внешних узлах разбиения. Еще 30 стрелок, распо-
ложенных у внутренних отрезков разбиения, заведомо
находятся внутри шестнугол .нчка. Итак, внутри шести 
угольника расположена по крайней мере 31 стрелка.
Треугольник разбиения назовем правым (левым), ес-
ли в его вершинах тройка чисел записана в порядке
возрастания против (по) часовой стрелки. Заметим, чго
треугольник разбиения, внутри которого две стрелки,
правый, а внутри которого одна стрелка,— левый. Сле-
довательно. общее число стрелок внутри шестиугольни-
ка равно 2п*Ьш (п — число правых, а т — число левых
треугольников). Имеем- 2п4-щ^31 и n-f-m=24. Вычи-
тая равенство из неравенства, получаем п>7.
X. 5. Так как
Отсюда получаем, что искомая площадь равна
/ 2к it у Л3 X 5 уЛ3 к
5 \15 ~ ~6~ + ~~4 )	4 ~~ 'б'-
X. 7. Пусть х, у — длины сторон некоторого прямо-
угольника Р. Этот прямоу|Ольннк имеет площадь, боль-
шую чем т, если ху>т\ н если к тому же (х—1}у<
<пг, и х(у—])<ш, то из него заведомо нельзя выре-
зать прямоугольник площади т. Если х-^.у, то (х—1){/^
^х(у—1), и поэтому для решения задачи нам доста-
точно показать, что при любом т;>12 система нера-
венств
ху > т,
х (У — О < т,
х <У
имеет реы ;ние в целых числах. Укажем их.
Пусть fc1 2sgm< (fc-Н)2. Тогда при m=k2 искомое ре-
шение системы есть (/г—1, А-р2), при ₽2	1)
искомое решение—(k, Л-f-l), при т==Л(Л4-1) в каче-
стве такового можно взять (k—1, £+3) и, наконец, при
1) <m< (fe-f-1)2 решением системы является пара
(А-4-1, М-1).
y а п	3 — 1^2
X 8. О т в е т: ----------.
Обе окружности лежат на сферах, имеющих общий
центр О — центр симметрии куба. Радиусы_сфер равны
/	/2 X
половине диагонали грани куба I т. е. — ) и по-
(	'' Т X
ловине диагонали куба I т. е. —~— I (рис. 10). Наи-
У *+ 1-1-
________х__________
V X -|- I + 1
то при —1 многоэтажная дробь тождественно рав-
на у jr + 1 — I. Из уравнения у х -j- 1 —1 = 1 на
ходим х=3.	_
5 у^ 3	л
X. 6. Ответ: —— — “g" •
Оставшаяся часть пятиугольника разбивается дугами
окружностей радиусами 1 см с центрами в вершинах
пятиугольника на пять равных криволинейных треуголь-
ников ВМС, CND, DPE, EQA, ARB (рис. 9). Проведем
Рис. 9
отрезки AM и ВМ. Площадь криволинейного треуготь-
иика ВМС равна разности площадей сектора ВМС н
сегмента MBR. Площадь сегмента MBR равна разности
площадей сектора MABR и треугольника АВМ. Так
как ДДВЛ1 — правильный, то площадь сегмента MBR
"	1 3
равна -g- — —. Площадь сектора МВС численно
1	,, „ _	1 / Зл п \
равна	— -- МВС — — ( — — — J — -j^-.
меньшее возможное расстояние между точками сфер
у' 3 — г 2
равно разности ради_,сов, т. е. —— „	. Поэто-
2
му искомое расстояние не меньше чем у 3 ~
Докажем, что на окружностях найдутся две точки, уда-
ленные друг от друга на такое расстояние. Рассмот-
рим гомотетию с центром в точке О и коэффициентом
—% . При этом меньшая сфера перейдет в большую,
и если большая окружность пересечет образ малой
в точке М, то расстояние между точкой М большой
окружности и прообразом точки М на малой окруж-
ности будет равно - 3 ~У ’
Окружности на большой сфере пересекаются Дей-
ствительно, точки Е, F, в которых окружность, вписан-
ная в основание куба, пересекает отрезок BD (рис. 11),
лежат по разные стороны от плоскости АВ,С и уда-
ляются при гомотетии от этой плоскости, так как
54
Заключительный этап
XI Всероссийской
физико-математической
и химической олимпиады
школьников
Л. П. Купцов, Г. А. Канунникова,
Н. С. Прокофьева, С. В. Резниченко
(Москва)
XI Всероссийская олимпиада школьников в 1984^85
у- ебном году была проведена во всех автономных
республиках, краях и областях Российской Федерации.
Заключительный этап состоялся в г. Грозном, Казани,
Омске и Смоленске 24—28 марта 1985 г. В нем уча-
ствовали 247 школьников. Большую работу по под-
готовке и проведению зональных олимпиад выполнили
министерства просвещения Татарской и Чечено-Ин-
гушской АССР, Омский н Смоленский областные от-
делы народного образования, сотрудники местных
учебных заведений, научно-исследоватв.тьскнх инсти-
тутов, а также Сибирского отделения АН СССР.
Итоги олимпиады показали, что во многих школах
Российской Федерации внимательно относятся к углуб-
ленному изучению учащимися математики. Болт ших
успехов добились команды учащихся Карельской и
Татарской АССР. Алтайского и Краснодарского краев.
Кемеровской, Московской, Новосибирской, Саратов-
ской, Томской и Тульской областей. На протяжении
ряда лет успешно выступают в заключительном этапе
учащиеся школ: № 10 г. Ангарска, № 5 г. Ростова-на-
Дону, № 13 г. Саратова, № 25 г Новосибирска, № 14
г. Белорецка Башкирской АССР, № 130 г. Свердлов-
ска, № 36 г. Горького, № 82 пос. Черноголовки Мос-
ковской обл.
В олимпиаде более ровно выступили восьмикласс-
ники, причем победителями стали школьники не только
из крупных научных центров, но и из небольших на-
селенных пунктов. Большинство учащихся всех классов
владеют техникой преобразования алгебраических вы-
ражений; значительная часть учащихся X класса хо-
рошо справилась с решением стереометрической зада-
чи, продемонстрировав твердые навыки в построении
сечений, владение формулами объема призмы и пи-
рамиды.
Вместе с тем у учащихся возникли трудности, вы-
званные неглубокими знаниями ряда вопросов: дели-
мость чисел, признаки подобия треугольников, нахож-
дение геометрического места точек, построение с по-
мощью циркуля и лннейки, задание кривой на коор-
динатной плоскости (метод координат).
В этом году на Всероссийской олимпиаде в Юго-
Западной, Центральной и Сибирской зонах впервые
был проведен практический тур по математике с ис-
пользованием электронно-вычислительной техники. На
нем были предложены задачи, требующие применения
калькуляторов, а также задачи теоретического харак-
тера иа организацию системы вычислений в опреде-
ленной ситуации п задачи смешанного физико-геомет-
рическо'-о плана.
Эти задачи вызвали большой интерес. Лучше были
выполнены те, которые требуют привычных для уча-
щихся навыков, но многие участники справились и с
алгоритмическими задачами. Все призеры теоретиче-
ского тура заняли первые места н в эксперименталь-
ном. В то же время экспериментальный практический
тур показал большую разницу в уровне компьютерной
грамотности школьников из различных территорий.
В настоящее время Центральный оргкомитет принял
решение сделать подобные соревнования традиционны-
ми и рассматривает вопрос о включении заданий прак-
тического тура в число конкурсных заданий олим-
пиады.
Ниже приводятся тексты задач
а также тексты и решения задач
теоретического тура,
практического тура.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР
VIII класс
1.	Докажите, что для любых чисел X и У, отличных
от нуля, выполняется неравенство
X* у*
+У4 < уг +
2.	На доске в строку записаны числа
1	1	1 1	1	1
1	2	3	4	•" 10	И	12
а)	Докажите, что как бы мы ни расставляли знаки
«-}-» н «—» между этими числами, полученная сумма
не будет равна нулю.
б)	Какое наименьшее количество написанных чисел
необходимо стереть с доски для того, чтобы после не-
которой расстановки знаков «+» и «—» между остав-
шимися числами получилась сумма, равная нулю?
3.	На плоскости даны отрезок АВ и точка С, яв-
ляющаяся внутренней точкой отрезка АВ. Найдите
геометрическое место точек М плоскости, таких, чго
Л.АМВ = /_АСМ.
4.	Правильный треугольник АВС полностью покрыт
пятью меньшими равными правильными треугольника-
ми. Докажите, что треугольник АВС можно полностью
покрыть четырьмя такими треугольниками. (В данной
задаче треугольник рассматривается вместе с его внут-
ренней областью)
5.	Представьте многочлен Х1в85-)-Х-|-1 в виде произ-
ведения двух многочленов.
IX класс
1. Докажите утверждение: «Знаки чисел а. Ь, с оди-
наковы тогда и только тогда, когда выполняются не-
равенства:
пй + (>с + са>0;	4- ~	> С».
2. Дан остроугольный треугольник АВС. Рассмат-
риваются всевозможные параллелограммы ARMT, вер-
шины К. М, Т которых лежат на сторонах АВ, ВС,
СА соответственно.
а)	При каком положении точки К длина диагонали
AM будет наименьшей?
б)	При каком положении точки К длина диагонали
КТ будет наименьшей? Огишите в этом случае метод
построения точки К с помощью циркуля и линейки.
3.	Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г......
1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп
так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были
одинаковы во всех пяти 1руппах?
4.	Две окружности радиусов R и г расположены на
плоскости так, что одна находится вне другой. К
окружностям проведены две внешние касательные и
одна внутренняя касательная. Внутренняя касательная
пересекает внешние касательные в точках А н В и
касается одной из окружностей в точке С. Докажите,
что справедливо равенство R-r=AC-BC.
5.	Дано натуральное число т. Последовательность
чисел (хп) строится следующим образом: х|==1, а
число x„+i при п^1 равно сумме цифр числа тх„.
Докажите, что в последовательности (хп) обязательно
найдутся два равных числа.
X класс
1.	Докажите, что уравнение
(x-f/)3+ (y-z)3+ (z-x)’=30
не имеет решений в целых числах.
2.	Две параболы расположены на плоскости так,
что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пе-
ресекаются в четырех точках. Докажите, что эти че-
тыре точки лежат на одной окружности.
3.	На плоскости даны правильный треугольник АВС
и квадрат DEHK. Они расположены так, что вершина
D квадрата является серединой стороны АС, точка £
лежит на стороне АВ, точка Н — на стороне ВС. До-
кажите, что вершина К лежит вне треугольника АВС.
4.	Ребра АА\, BBlt CCt многогранника Л£СД1В1С|
лежат на параллельных прямых 1|( 12, 1з соответствен-
но. Его треугольные грани АВС и Л:BiCi лежат, вооб-
ще говоря, в непараллельных плоскостях. Докажите,
что объем многогранника равен
и=-у (аа‘+вв'+cc>)-s-
где S—площадь треугольника, вершинами которого
являются точки пересечения прямых ZIf 1г, 13 с перпен-
дикулярной им плоскостью.
5.	Двадцать пять гномов делят садовые участки.
Каждый участок—квадрат 1X1, и все участки вместе
составляют квадрат 5X5- Каждый гном находится в
ссоре не более чем с тремя другими гномами. Дока-
жите, что можно найти такое распределение участков,
при котором участки любых двух поссорившихся гно-
мов не будут соседними. (Соседними называются уча-
стки, имеющие общую сторону.)
ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР
IX класс
1.	С помощью калькулятора вычислите значение вы-
ражения:
4 К 3 + 2 / 2 — 1^57 + 40/2’.
Решение. Точное значение данного выражения
равно
4 V\1 + / 2 )2— (5 -}- 4 у 2)2 —
-4(1 + /2) — (5 + 4 /2)- - 1.
Многие учащиеся догадались о преобразовании, де-
лающем ненужным использование калькулятора. Пря-
мые же вычисления на кулькуляторе приводили, есте-
ственно, к тому, что ответ получался с некоторой по-
грешностью, которая определялась техническими воз-
можностями прибора.
2.	Калькулятор выполняет арифметические операции
с числами, не более чем двузначными. Как на этом
калькуляторе можно умножить 10-эначное число на
10-значное?
Решение. Представим данные числа в виде мно-
гочленов от 100 (например, 135769=13-100’+
+57-100+69). Тогда умножение двух чисел осуществ-
ляем как умножение многочленов. Приведение подоб-
ных членов проводим с учетом возможностей кальку-
лятора.
Проиллюстрируем сказанное иа примере умножения
4-значных чисел 1721 и 2415. Имеем: 1721-2415 =
= (17-100 + 21) (24-100+15) = 17-24-1002 + (21-24+
+ 17-15) -100+21 15 = 408-1002+(50<+255)-100+315.
Запишем найденные произведения «в столбик» с
учетом занимаемых ими разрядов и выполним затем
сложение, учитывая возможности данного калькуля-
тора:
4 08 00 00
5 04 00
2 55 (0
3 15
4 15 62 15
Легко понять, как эта процедура переносится на
случай умножения двух 10-значных чисел. Подобными
приемами приходится пользоваться, когда требуется
осуществить вычисления с «длинными» числами, не
умещающимися в калькуляторе (гм. задачу 5 пз X
класса).
3.	Калькулятор выполняет только две арифметиче-
ские операции: сложение и вычитание. Известно, что
функция f (х) является линейной функцией и f(l) =
= 16,3, ((2) = 15,1. Как можнт вычислить значение
/(1985)? Чему оно равно?
Решение. Если /(х)=Л*+В— линейная функция,
то А =/(*+!)—/ (х), какое бы значение х мы ни взя-
ли Нам даны числа /(1) = 16,3 и /(2) = 15,1. Поэто-
му А— /(2)—/(]) =—1,2. Дальнейшие вычисления
можно осуществить так:
f(x+n) —А (х+п) +В = (Ax-f-B) +Ап=
=f(.x)+An=f(x) +А+ ... +А,
п слагаемых
Положив х = 2, п = 1983, получим
/(1985) =/(2)+А+...+А =
1983 слагаемых
= 15,1—1,2— 1,2—... — 1,2 = —2364,5.
При этом потребуется 1983 раза вычесть число 1,2.
Учитывая вычитание, выполненное при вычислений А,
получаем, что всего понадобится выполнить 1984 опе-
рации.
Опишем более экономичный метод. Заметим, что
для линейной функции /(х) выполняется тождестве
/(x+2y)-2/(x+j/)+((x)=0
для любых х и у. Это тождество позволяет вычислить
/(x+2ji), если известны значения /(х+у) н f(x), ис-
пользуя только операции сложения и вычитания а
именно:
f(x+2r/) =/(x+f/)+/(x+y)—/(х).	(1)
При этом каждое обращение к формуле (1) требует
выполнения двух операций.
Положим	при Л=1, 2, ..., 1985. По <t>< р-
муле (1) находим /3=/2+/2—ft = 13,9. Затем, зная /, и
/3, по формуле (1) находим /б=/з+/з—/1 = 11,5. Да-
лее продолжаем вычисления в соответствии со следую-
щей схемой (для краткости вычисление по формуле
(1) обозначено стрелкой):
fufo-^fw, ft, f-.T-t (зз". ft.fx-^fss’,
/b/ss-*"/^ /б5* f 129/193, /б5, /193/з2Г,
/193, /з21 -> /н91 /193,/«9~*/705’, f«9, flOi -> |-,оГ»
/«9, /вб! /1473» feet, /|473”* /1935-
Формула (1) используется 14 раз, т. е. требуется все-
го 28 операций.
4.	Сколько цифр имеет число 2,9В5? Дайте обоснова-
ние результата.
Решение. Предположим, что 2|9В5 — п-значпое
число. Тогда, очевидно, справедливы неравенства
l0"-|<2,9B5<10n. Отсюда получаем, чго п—1<
<1985 lg2<n, т. е. п— (1985-lg 2] + 1 (через |х|
обозначена целая часть числа х). Схема дальнейших
вычислений такова. На калькуляторе вычисляет-.»
lg2ss0,30103 и найденное значение умножается на
1985 Затем берется целая часть полученного произ-
веденья и увеличивается на 1 В результате находим
п = 598, т. е. данное число 598-значное.
Указание. При использовании калькулятора ми
получаем приближенные значения чисел 1g 2 и
1985-Ig 2 с некоторой пеизгестиой нам погрешностью.
Эга погрешность может быть значительной. В нашем
случае количество операций н участвующие в них чис-
ла невелики, так что ошибка не затрагивает целой
части числа 1985-lg2, и поэтому мы можем верить
результатам наших вычислений. Строгое доказатель-
ство этого утверждения обычно не проводится. Это
доказательство н невозможно провести, если неизвест-
но, какой именно алгоритм вычисления 1g 2 реализован
в данном калькуляторе, с недостатком или с избытком
выдает калькулятор результаты операций и так далее,
а этой информацией мы, как правило, не располагаем.
5.	Какое количество арифметических операций еле-
56
дует выполнить, чтобы вычислить значение выражения
ax!+bx* 2+cx+d, где a, b, с, d, х — данные числа?
Решение. Найти искомое значение можно, выпол-
нив лишь 6 арифметических операций (3 сложения и
3 умножения). Схема вычислений, называемая схемой
Горнера для вычисления значения многочлена, основы-
вается на тождестве acJ+bx2+cx+d— ((a x-j-b)  r-j-
+с) -x-\-d.
6.	С помощью линейки постройте точку, являющую-
ся центром тяжести шестиугольника ABCDEF. выре-
занного из однородного куска фанеры, если
ARt\FE\\DC, BC\\ED\\AF (см. рис. 1).
Решение. Продолжим отрезки FE и DE за точку
Е до пересечения с отрезками ВС и АВ соответствен-
но в точках К и М. Тогда если точки Р, Q, R, S —
нентпы тяжести соответственно параллелограммов
AMEF, MBCD, ABKF, EKCD, то искомый ц< нтр тяже-
сти есть точка пересечения отрезков PQ и RS.
X класс
1 С помощью калькулятора вычислите значение вы-
ражения
з _______________________
/•1 _ S4
200 + U0 /2 +-------- -f-
V	i-f- Л z2
Р е ш е и и е. Так как
18	18 а^'2)г-^2-п)
1 + ^2 ”	(^2)34-13
-6(//"г)2-6^2 +6, то
IS’
1 + ^2
6(^2)-б(^2)2-12 ^2 +6=
-2»-3-2»^2 +3-2 (1^2)2-(13<2)? =
-(2-^2-Д
з__
Итак, второе слагаемое равно 2—у 2. Аналогично
получаем, что первое слагаемое равно
>^(6+ ^ 2 /-=6+^2".
Значит, искомое число равно 8.
Никто из участников олимпиады не сумел преобра-
зовать подкоренные выражения. Десятиклассники, как
это и требова тось, осуществляли прямые вычисления
на калькуляторе. Прн этом получалось приближенное
значение выражения с неизвестной погрешностью, ко-
торая зависела от того, какой именно калькулятор
использовался, от последовательности выполнения one
раций и от округлений, делавшихся на промежуточ-
ных этапах. Иногда погрешность окатывалась доволь-
но значительной.
2.	Какое количество арифметических операций сле-
дует выполнить, чтобы вычислить значение выражения
ах2 4- Ьх + с
Ах2 + Вх +С ’
где а. Ь. с, А, В, С, х — данные чис~а?
Решение. Для того чтобы вычислить значение
данною выражения, достаточно выполнить 9 арифме-
тических операций. Схема вычислений такова:
ах2 + Ьх + с
Ах2 + Вх + С + bf'x + c):((Ajt +
3.	Сколько цифр имеет число З’985? Дайте обоснова-
ние результата.
Решение. Если З1985 — n-зпачное число, то спра-
ведяивы неравенства 10п-1<3|985< 10", или п—К
< 1985-lg 3<п. Следовательно, п= [1985-lg 3J + 1-
Вычисления на калькуляторе дают значение п=948.
Как отмечалось в решении задачи 4 для IX класса, у
иас есть основание считать, что полученное значение п
является точным.
4.	Калькулятор выполняет только две арифметиче-
ские операции: сложение и вычитание. Известно, что
функция f (х) является квадратичной и /(1) =5,699,
/(2) =5,404, f(3) =5,127. Как можно на данном каль-
куляторе вычислить значение f(1985)? Чему оно рав-
но?
Решение. Для квадратичной функции f(x) при
любых х и у справедливо тождество
f (x+3y)—3f (х+2у) +3f (х+у) -f (х) = 0
(сравните с тождеством (1)), которое позволяет вы-
числить значение j(x+3y) по известным значениям
f(x+2y), f(x-\-y) и f (х) с помощью только операций
сложения и вычитания:
f (х+Зу) = f (x+2i/) +f (х+2у) +f (х+2у)-f (х+у) -
-f(x+j/)-f(x-H/)+f(x).	(2)
Непосредственные вычисления по формуле (2) требу-
ют вь полпенни 6 арифметических операций. Покажем,
что вычисление f(x+3t/) можно осуществить с по-
мощью 5 арифметических операций. Действительно,
вычислим сначала разности P=f(х+у) —f(x) и Q =
= f(x+2y)—f(x+y), затем найдем R=Q—P =
= f(x+2y)-2f(x+y)+f(x) и S=Q+/?=2f(x+2//)—
—3f(x+y)+f (х), после чего получаем f(x-|-3f/) =
= f (х \-2у) 4-S.
Условимся для краткости вычисления по формуле
(21 обозначать стрелкой: f(x), f(x+y), f(x+2yj
f (x-t-3i/). Положим fk=f(k) при k£ Z. Числа fb
ft. fs заданы, требуется вычислить frees- Укажем одну
из возможных схем вычисления fiees'-
fs, fi, fi -* fo: h. ft. fo~* f-Г.
. _. f-1. fl, fl-*-fs‘, fs, fl. f-3-*-f-7‘,
fs'. fs. f I. f—7 ~f—isi f-7. fl, fs-* flT'.
f-is. fl- fi?-*" fsa', fas, fi, f-ai -» f-вз!
, _..............    -63.	fi. fas-*" fias! fi. fee, fias-* fiw!
f-ea, fes, fisa-* fa2b	fes. f 193, fazi -* fws’, f-ea. fisa, fw* fros’,
f 193. ftte, flOS -* f 9611 f—63. fu9, feel-*- f 1473,
f449. feei, fi473 —> fiees-
f,.h.f3-+h;
3. ft, f- 1 -> f-з',
f 17* fl. f—IS	f-зГ,
При этом придется 21 раз обращаться к формуле (21.
т. е. нужно будет выполнить 21X5=105 арифметиче-
ских операций.
5.	I!доверьте, что л44-л5. При каком наиболь-
шем натуральном п выполняется неравенство ее—л4—
—л5<10_"? Числа е и п даны с 15 знаками после
запятой:
е = 2,718281828459045...,
л=3,141592653589793... .
Решение. Приведем результаты вычислений на
калькуляторе «Электроника БЗ-36», который мшкет
57
оперировать с 8-разрядными числами. В памяти этого
калькулятора имеется константа 3,1415926 (будем обо-
значать ее л*), равная приближенному значению п
(с недостатком) с точностью до 10~7 (все 7 знаков
после запятой у числа л* совпадают с соответствую-
щими знаками у числа л) Вычисляем: (л*)2=л*Х
Xл* = 9,869604,	(л*)’ = (л*)2-(л*)2 = 97,409083,
(л*)5 = (л*) • • л*=306,01965, (л*) 4+ (л*)s = 403,42873.
Аналогично, взяв в качестве е константу е* =
==2,7182818, равную приближенному значению е (с
недостатком) с точностью до 10-7 (все 7 знаков после
запятой у е* и е совпадают), последовательно полу-
чаем: (е*)2=е*-в* = 7,3890559,	(е*)4= (е*)2-(е*)2 =
=54,598147, (е*)е= (е*)2-(е*)4=403,42876. Следова-
теле.. 0<(е )6—(л*)4—(л*)5=0,00003<10-\ т. е.
искомое максимальное значение п равно 4.
Казалось бы, задача решена. Однако полученный
результат лишь формально можно считать ответом на
вопрос задачи, а фактически это не более чем разум-
ная гипотеза. Дело в том, что разница между 8-раз-
рядными числами (е*)в н (л*)4+(л*)5 составляет
3 единицы последнего, восьмого разряда — того разря-
да, в котором накапливаются вычислительные погреш-
ности. Поэтому полученному результату верить нельзя.
Для сравнения приведем результаты вычисления на
том же калькуляторе (л*)4+(л*)ь и (е*)6 с использо-
ванием операции возведения в степень, которая при-
водит к большим вычислительным погрешностям:
in*)'=97,4091, (л*)5=306,02, (л’)4+(л*)5 = 403,4291,
(е*)е=403,429, т. е. получаем, что (е*)6< (л*)4+ (л*)5.
Этот неверный ответ—результат накопления вычис-
лительных погрешностей.
Для проверки гипо!езы о том, что лтпх=4, прове-
дем вычисления на данном калькуляторе с двойной
точностью, взяв в качестве л и е приближенные зна-
чения:
л'=3,141592653589793 и е’=2,718281828459045
с 15 точными знаками после запятой, т. е. с погреш-
ностью, не превосходящей 10~,ь. Но на данном каль-
куляторе можно оперировать только с 8-разрядными
числами и желательно получить результат с 7—8 точ-
ными знаками после запятой, поэтому придется вос-
пользоваться приемом, описанным в задаче 2 для IX
класса, и на каждом uiaie оценивать возникающую
погрешность. Поскольку е=е'+б], где 0<б|<10“15,
то е°= (е')6+б2, где погрешность б2, как легко про-
верить, удовлетворяет неравенствам 0<б2<10-12.
Значит, (е')в достаточно вычислить с точностью до
Ю-12. Представим е' в виде:
е'=2,718+2,818-10~4+2,845 -10-’+9,045  10~,2.
Последовательно получаем
(е7)2=7,38905609890605= б3,
где 0<б3<1,6-10_14 (13 знаков после запятой точны);
(е')4=54,598150032778+6,,
где 0<б,<3-10-12 (1п знаков после запятой точны);
(е7) 6= 403,4287934927+б5,
где 0<б5<2 10_ 10 (9 знаков после запятой точны).
Итак, приближенное значение е6 с 9 точными зна-
ками после запятой равно 403,428793492. Аналогично,
приближенное значение л4+л5 с 9 точными знаками
после запятой равно 403,428775819. Следовательно,
0<е®—л4—л5 <0,00002 < 10~4, т. е. действительно
Птвх==4.
Дтя сравнения приведем результаты вычисления
(е')в и (л')4+(л')5 на ЭВМ ЕС-Ш45:
(е’)е=403,4287934927347,
(л') 4+ (л')5=403,4287758192835.
6.	С помощью циркуля и линейки постройте точку,
являющуюся центром тяжести выпуклого четырех-
угольника, вырезанного ив однородного куска фанеры.
Решение. Пусть точ <н Р, Q, R, S — центры тя-
жести треугольников ABC, ACD, ABD, BCD соответ-
ственно. Тогда пентр тяжести стырехугольника
BCD—точка пересечения отрезков PQ и RS (рис. 2).
Центром тяжести треугольника, сделанного из одно-
родного материала, является точка пересечения его
медиан, которую легко най1И с помощью циркуля и
линейки.
Об использовании
единичного вектора
при решении задач
Т. М Корикова
(г. Ярославль),
3. А. Скопец
Одна из главных особенностей школьного курса, геомет-
рии находит свое выражение в изучении векторной ал-
гебры и ее применении к доказательству теорем и
решению задач. Учащиеся должны сначала усвоить ос-
новы векторной алгебры, а затем научиться осознанно
использовать и творчески применять приобретенные тео-
ретические знания.
Наблюдения за процессом обучения показывают, что
использовать векторную алгебру для решения задач
умеют далеко не все учащиеся. Ясно, что для овладе-
ния векторным методом недостаточно знания только
фактов теории. Необходимо познакомить учащихся с
конкретными’приемами решения определенных классов
задач. В данной статье мы обращаем внимание учителя
на целесообразность применения векторов в задачах.
Наиболее естественным выглядит применение единичных
векторов в тех случаях, когда речь идет о доказатель-
стве перпендикулярности прямых, равенства углов, вы-
явления метрических угловых соотношений в фигурах.
Ниже помешены задачи с решениями (иногда кратки-
ми указаниями), как правило, отличные от тех, кото-
рые имеются в учебной литературе.
Несложные задачи можно предлагать учащимся на
уроке, а более сложным посвятить несколько внекласс-
ных занятий. Задачи для рассмотрения с учащимися
следует подбирать таким образом, чтобы осуществлялся
принцип «наведения», когда решение первых, более прос-
тых задач подсказывает подход к последующим, более
трудным.
Задача 1. Даны четыре вектора ОА, ОВ, ОС OD
равной длины, сумма которых есть нуль-вектор. Дока-
зать, что угол между любыми двумя векторами равен
углу между двумя остальными.
Р е ш е н и е._По условию, О 4 +ОВ+ОС+ОО=0,
тогда (ОА+ОВ)=—(ОС+ОВ). Если векторы равны,
то их скалярные квадраты также равны, т. е. (0.4 4-
+ 0В)2= (OC+OD)2. Отсюда следует: ОА -OB=OC-OD.
Поскольку рассматриваемые векторы единичной длины,
то cos Z. AOB=cos Z. COD, или Z. AO В — Z COD. Вы-
ясним, какое геометрическое истолкование имеет полу-
ченный результат. В ходе решения задачи мы не каса-
лись вопроса О том, компланарны или нет данные век-
торы. Поэтому результат остается верным как для слу-
чая компланарных, так и для некомпланарных векторов.
Если векторы ОА, ОВ, ОС, OD некомпланариы, то
точки А, В, С, D лежат на сфере с центром в точ-
ке О и радиусом |ОА|. Они являются вершинами тет-
раэдра, противоположные ребра которого попарно
равны.
Если допустить, что точки А, В, С, D лежат в одной
плоскости, то получим, что ABCD есть параллелограмм,
диагонали которого равны, т. е. прямоугольник.
58
Задача 2. Три попарно непараллельные прямые
параллельны плоскости а. Прямая р образует со все-
ми этими прямыми равные углы. Доказать, что пря-
мая р перпендикулярна плоскости а.
Указание. Для решения задачи достаточно запи-
сать равенство косинусов углов между прямыми с по-
мощью единичных векторов, коллинеарных данным пря-
мым.
С понятием трехгранного угла и некоторыми из его
CBoficiB учащиеся знакомятся в X классе. Применение
векторов для изучения свойств трехгоанного угла позво-
лит не только расширить кругозор учащихся в данном
вопросе, но и познакомить нх с одним из прнемоь ре-
шения задач векторным методом. Очень часто при ре-
шении задач на трехгранный угол требуется вычислить
какой-то из углов либо доказать какое-то соотношение,
связывающее тригонометрические функции его углов.
При векторном решении задачи углы между прямыми
заменяем углами между векторами, которые коллинеар-
ны данным прямым. Так как величины углов не зависят
ст длин векторов, углы между которыми рассматри-
ваются, то использование единичных векторов в дан-
ном случае является наиболее простым и естественным.
Задача 3. Выразите косинус угла между биссект-
риса чи двух плоских углов трехгранного угла через его
плоские углы а, р, у.
Решение. Дтн трехгравный угол ОАВС. Пусть
Z_ZOB=y, ЛВОС=с. 2-АОС=р. Отложим единич-
ные векторы в|, е2, е2 на ребрах ОА, ОВ,_ОС_ соответ-
ственно. Тогда векторы Ui=ei+e2 и u2=e2+e3 коллине-
арны биссектрисам углов АОВ и ВОС соответственно
(рис. 1). Обозначим через <р угол между векторами ut и
п2. Тогда
1 4- е,-е, +	4- е,-е,
COS ф"»	—	- । । —	= ;	•
I е, 4- е, | | е, 4- В |
Учитывая, что ere2=cosy, e2 ₽3=cosa, e3-ei=cosfj,
1<?, -f- et | — 2 cos , | et 4- e, | — 2 cos -гр
окончательно получаем
cos ф =
1 4- cos a 4- <~os 3 4- cos 7
4 cos cos -g-
Традиннонными методами решить эту задачу труд-
но, учитель вряд ли стал бы ее рассматривать на уроке.
Для каждого частного случая решение следует нахо-
дить отдельно, проводить дополнительные построения,
до которых надо еще додуматься. Векторное решение
в данном случае предпочтительнее тем, что оно крат-
ко, не требует громоздких выкладок н дополнительных
построений. Кроме того, оно позволяет получить об-
щую формулу для вычисления косинуса угла между
биссектрисами дв>х плоских углов трехгранного угла.
Задача 4. Плоские углы четырехгранного угла
конгруэнтны. Доказать, что плоскости диагональных
сечений этого четырехг; анного угла взаимно перпенди-
кулярны.
Решение. Отложим на ребрах четырехгранного уг-
ла от его вершины___О _единичные векторы ОА =₽|,
ОВ~ег, ОС—е3, OD=?t (рис. 2). Согласно условию
задачи имеем
е, С2=е2 ез=ез-е4=е« е|.
Выясним, как расположены прямые ДС и BD принад-
лежащие плоскостям диагональных сечений АОС и BOD
соответственно. Для этого оценим скалярное произве-
дение секторов АС и ВО Имеем AC-BD~(e3—е,) •
- (е,—е2)=0, следовательно, прямые АС и BD пер-
пендикулярны. Аналогично рассуждая, нетрудно убе-
диться, что
AC-OS — (ё, — ё,)--^~ (е, 4- ё,) — О,
где S — середина отрезка BD. Отсюда следует, что
прямые АС и OS перпендикулярны.
Итак, прямая АС перпендикулярна прямым BD и OS,
а поэтому она перпендикулярна плоскости BOD. Но в
таком случае плоскость АОС перпендикулярна плоско-
сти BOD.
Рассмотрим задачи на доказательство метрических
угловых соотношений, при решении которых также це-
лесообразно использовать единичные векторы.
Задача 5. Дан трехгранный угол, плоские углы
которого а, Р, у. Вычислить величины его двугранных
углов.
Решение. Отложим на ребрах трехгранного угла
от его вершины О единичные векторы ОА=в\, ОВ=ез,
ОС—е3. Обозначим, согласно условию, величины плос-
ких углов АОВ, ВОС и АОС через у, а и ₽ соответст-
венно. Перпендикулярно прямой ОА проведем отрезки
ВМ и СП (рис. 3). Тогда угол между векторами МВ и
АС равен величине двугранного угла, обозначим ее че-
рез ф- Пользуясь правилом многоугольника, запишем
ВС=—MB+MN+NC. Возведя обе части этого равен-
ства в квадрат, получим BC^==MB34-NM2-[-NC2—2MB-
.-NC (поскольку MB-MN=NC-MN=0). Учитывая, что
ВС=е3—е2, ВС2—2—2cos a;
УМВ2='|Л1В|’=	1 =— | ОЛ112= 1— cos’y;
-АС2=|Л<^г== | ос | г-fav 12 = 1—cos2p,
приходим к равенству
2—2cos а = 1—cos2y4-|A1 V |24-1—cos2 0-
—2sin у sin р cos фь
Но MN=ON— ОМ, где ON — составляющая вектора
ОС по оси ОА, ОМ — составляющая вектора ОВ по
осн ОА. Тогда Л1 V2=cos2P4-cos2y— 2cos р cos у. Следо-
вательно, 2—2cosa=2—cos2y4-co->2P4-cos2y—2cospcosy—
— cos2P—2sin у sin p cos <p(.
После упрощений получаем: cos a=cos p cos у4-
4-sin p sin у cos Отсюда находим косинус двугранно-
го угла, лежащего против плоского угла ВОС, величи-
на которого равна а;
cos т — cos я со® у
Рассуждая аналогично, получим формулы для вычис-
ления косинусов двугранных углов ф2 и ф3, лежащих
против плоских углов, величины которых равны р и у
соответственно:
cos Р — cos о. cos f
cos ” sin a sin у *
69
cos Y — cos a cos ₽
4	sin a sin fj
При решении этой задачи доказана важная теорема
косинусов для трехгранного угла.
Часто при решении задач с помощью векторов необ-
ходимо знать коэффициенты разложения вектора по
трем некомиланарным.
Тогда, если даны некомпланарные векторы единич-
ной длины, известны углы между ними и углы между
искомым вектором и единичным, то нахождение коэф-
фициентов разложения можно 'провести по следующему
плану.
1.	Пусть ёь ё2, ё3— единичные векторы, а—данный
вектор, тогда а=хё|-|-0ё2-|-гёз.
2.	Умножив обе части разложения скалярно на ё|, ёг,
ё3, получим систему трех уравнений с неизвестными х,
У. г.
3.	Решение полученной системы есть значения коэф-
фициентов разложения.
Приведенные рассуждения могут быть использованы
при решении следующей задачи.
Задача 6. Через вершину S пряного трехгранного
угла SABC проведена полупрямая d. Доказать, что
cos’<pi+cos?<j)2-|-cosJ(p3= 1.
где ф,, <р2, <рз — величины углов, которые полупрямая d
образует с ребрами трехгранного угла.
Решение. Отложим на ребрах данного трехгранно-
го угла от вершины S единичные векторы ё,, ё2, ё3.
Пусть ё4 —единичный вектор полупрямой d. Тогда
ё4в*ё)4-1/ё5+гёз.	(1)
По указанному аыше плану находим значения х, у, г
и подставляем их в формулу (1). Тогда разложение
примет вид
ё4 = cos fi e^cos ф5 ёа+cos фз ёз.
Возведя в квадрат обе части последнего равенства, по-
лучим требуемое соотношение
cos2 tpi+cos2 фа+cos2 <р3= 1.
В ряде случаев векторное решение геометрических за-
дач на доказательство параллельности прямых некото-
рой плоскости приводит к необходимости выяснить,
компланарны ли рассматриваемые векторы. Прежде чем
приступить к решению таких задач, желательно обсу-
дить. как выражают на языке векторов такие геометри-
ческие факты:
а)	прямые а, Ь, с параллельны некоторой плоскости;
б)	прямые а. Ь, с, имеющие общую точку, лежат в
одной плоскости.
Задача 7. Через вершину трехгранчого угла
OEtE2E3 в плоскости каждой его грани проведена пря-
мая, перпендикулярная противолежащему ребру. Дока-
жите, что построенные таким образом прямые лежат в
одной плоскости. (Предполагается, что ни одно ребро
не перпендикулярно противолежащей грани.)
Решение. Отложим на ребрах трехгранного угла
от его вершины единичные векторы ёь ё2, ёз (рнс. 4).
Обозначим величины углов Е\ОЕ2, Е2ОЕ3 н £,ОЕ3 че-
рез а, р, у соответственно. Чтобы ответить на вопрос
задачи, достаточно показать, что векторы, коллинеарные
построенным прямым, компланарны. Пусть т3 — век-
тор, коллинеарный прямой, проведенной в плоскости
грани EtOE2,— перпендикулярен ёз, т. е. Гз-ё3=0. Так
как г3 компланарен с ё1 и ё2, то Гз=рё,+<?ё2, тогда ра-
венство г3-ёз=0 запишем в следующем виде (рё|+
+<7ё2)ёз=О, или pcos у+<? cos Р=0. Отсюда р: у =
=—(cos р: cos у). Поскольку длина вектора г3 нас не
интересует, можно взять p=cosf, q =—cosy. Следова-
тельно, f3=cos Рё|—созуёг.
Пусть вектор г2 коллинеарен прямой, проведенной в
пло< кости Е\ОЕ3, вектор г1 коллинеарен прямой, про-
веденной в плоскости Е2ОЕз. Рассуждая аналогично
предыдущему, получим.
r2=cos а ё3—cos Р ёь й=cos у ё2—cos а ёз.
Очевидно, что сумма векторов Г|, г2, г3 есть нуль-век-
тор, откуда следует, что векторы rh г2, г3 компланар-
ны, т. е. прямые, о которых говорится в условии задачи,
лежат в одной плоскости.
Доказа гельство существования
центра подобия и его построение
Д. Ф. Изагк
(г. Орск)
В данной заметке приводится конструктивное доказа-
тельство существования неподвижной точки (центра)
любого преобразования подобия плоскости, отличного от
перемещения.
Теорема 1. Подобие первого рода (77*), отлич-
ное от перемещения, можно представить в виде компо-
зиции поворота и гомотетии с общим центром:
где ё>0 и k^\.
Доказательство. Подобие первого рода, как
известно, может быть задано двумя парами соответст-
венных точек. Пусть данное подобие 77* отобража-
ет точку А на точку В, а точку В на точк С(Л-»-В-»
—>С), причем Л#=В. Тогда В#=С, Л^=С, |ВС| : |ЛВ| =
=k. Рассмотрим несколько случаев взаимного располо-
жения точек А, В, С.
1.	Точки А, В, С лежат на одной прямой в векторы
—>
АВ н ВС сонаправлеиы (рис 1).
В этом случае прямая АВ отображается на прямую
ВС, т. е. на себя, и поэтому подобие /7* есть го-
мотетия с центром О £ (ЛВ), который и будет не-
подвижной точкой подобия (центром подобия).
Для построения точки О выберем произвольную точ-
ку (АВ) и построим ее образ, точку M,= (B7M|)f]
П (CAI,), где (ВЛ*,) || (ЛЛ1), (СЛ1,) Ц (В.И). Покажем,
что точка О= (Л<Л1,) П (ЛВ) и будет центром гомоте-
тии, совпадающей с данным подобием.
Из построения следует, что
I од I	I	Д/и,|	I	ВС|
| ОА I	“	I	AM I	"	I	АВ I	=
IOCJ	I	СМ,/	]	ВС]
| ив I	*“	I	ВМ Г	“	I	АВ I	" *•
Поэтому Но (Л) -В, Нко (В) -С, т. е. //£-77*.
Заметим, что прямы* /ЛМ, и Л В не могут быть парал-
лельными. так как |ВЛ1,| ; |ЛЛ1|=ёт&1.
2	Точки Л, В, С тежат на одной прямой, н векто-
----»	—♦
ры АВ и ВС противоположно направлены (рис. 2).
60
В этом случае данное подобие есть гомотетия с цент-
ром Of (АВ) и с отрицательным коэффициентом
т. е.
/7? - Ноь.
Точку О можно построить так же, как в случае 1
(рис. 2). Так как
л/—'	тл гР* — л/* „
‘‘О “- Ко ’ то 'Ч ио ° Ко ’
и для данного случая теорема доказана.
3.	Точки А, В, С не лежат на одной прямой (ряс. 3).
Если О — центр подобия, то АОВ=ВОС=а, где
а — угол, образованный лучами АВ н ВС. Тогда и
СВМ= HBN=ra (рис. 3). Отсюда следует построение
точки О.
Строим две окружности <В| и <вг так, чтобы окруж-
ность со| проходила через точки А и В и касалась пря-
мой ВС в точке В, а окружность ог проходила через
точки В и С и касалась прямой АВ в точке В. Так как
точки А , В, С не лежат на одной прямой, то окруж-
ности <В| и 02 существуют, не касаются в точке В, и
поэтому существует вторая точка их пересечения О
(рис. 3). Тогда АОВ — ^ОС=а, АВО=ВСО, а значит,
<реугольникн ОАВ н ОВС подобны с коэффициентом
подобия fe=|BC|:|AB|. Поэтому подобие HqoKq
отооражает течку А на точку В, а точку В — на точ-
ку С, т. е. оно совпадает с данным подобием /7j .
Итак, теорема 1 доказана.
Теорема 2. Подобие второго рода П\, отлич-
ное от перемещения, можно представить в виде ком-
I озииип осевой симметрии и гомотетии, центр которой
пре.над нежит оси симметрии:
Пц * 1 Но ° $а> г&е Of^a, £ > 0, й =/= 1.
Доказательство. Зададим данное подобие вто-
рого рода тоже с помощью двух пар соответствен-
ных точр А-»-В-»-С, где А#=В. Тогда В=А=С, С^=А,
|ВС| : |AB|=fe#=l.
1.	Пусть точки А, В, С лежат на одной прямой и
векторы АВ и ВС сонаправлены.
В этом случае существует гомотетия Ну с центром
О£ (АВ), отображающая точки А и В на точки В и
С соответственно, н, значит, данное подобие второго ро-
да можно представить в виде
Точка О строится, как в случае 1 теоремы 1.
2.	Точки А, В, С лежат на одной прямой, и векторы
АВ и ВС противоположно направлены (рис. 4).
В этом случае существует гомотетия НдЬ, О Э
6 (ЛВ), отображающая точки А й В на точки В и С
соответственно, а данное подобие второго рода можно
представить, в виде	Sa, где а± (АВ)
и О = пП (АВ) (рнс. 4).
3.	Точки А, В, С не лежат на одной прямой.
На прямой^АС вне отрезка АС выбираем точку О
так, чтобы АВО=ВСО. Такая точка О существует в
силу того, что |АВ| =# |ВС|, причем в случае k>l
точка А будет лежать между точками О и С (рнс. 5),
а в случае 0<fe<l точка С будет лежать между точ-
ками А и О (рис. 6). Полученные подобные треуголь-
ники ОАВ и ОВС определяют подобие второго рода,
отображающее точку О на себя, точку А на точку В,
а точку В на точку С, и поэтому совпадает с данным
подобием П п. Из подобия треугольников следует,
что |OB|:|OA| = |OC|:|OB| = |BC|:|AB|=fe. Поэтому
если луч ОЛ1— биссектриса угла ВОС, то подобце
о S(OAf) отображает точки А н В на точки В н С
соответственно н, следовательно,
пп = Н*о ° SlOM)'
Примечание. Если подобие будет задано двумя
парами соответственных точек А-*-Аь В->В| и zl]=#B,
то можно легко построить образ А2 точки А! и приме-
нить изложенный выше способ построения центра подо-
бия, используя точки А, А| и Аг.
Об одной ошибке
Н. М. Бескин
(Москва)
В № 5 нашего журнала за 1984 г. в стзтье В. Ф. Ши-
лова и В. И. Исаева (с. 3—4 обложки) утверждается,
что цепочка, закрепленная на концах, под действием
собственной тяжести принимает форму параболы. На
самом деле — это не парабола, а цепная линия. Чтобы
эта ошибка не проникла в школу, даем подробную
справку.
Пусть тяжелая однородная цепочка подвешена в
двух точках А и В на одинаковой высоте (что, впро-
чем, не играет существенной роли). Ясно, что цепочка
расположится симметрично относительно некоторой
вертикальной прямой. Примем эту прямую за ось Y.
Ось X проведем где-нибудь перпендикулярно осн У.
Уравнение линии, форму которой принимает цепочка,
будем искать в виде г/ = у(х).
Возьмем на дуге С А (рис. 1) текущую (произволь-
ную) точку М и рассмотрим силы, действующие на ду-
—►	—>
гу СМ. Этих сил три: силы натяжения Ft и F в кон-
цах С и М и сила тяжести Р. Силы натяжения прнло-
61
жены по касательным в точках С и М. Касательная
в точке М наклонена к осн X под углом а, тангенс
которого равен значению производной у' в точке М.
Сила тяжести приложена в центре масс дуги СМ, т. е.
в середине этой дуги.
Чтобы дуга СМ была в равновесии, этн силы долж-
ны уравновешиваться. Разлагая силу F на горизонталь-
ную и вертикальную составляющие, получим
f-cosa=Ft,	(1)
F-sina—P	(2)
(F означает длину вектора F н т. п). Заметим, что
P~Xgs,	(3)
где к— линейная плотность цепочки, g—ускорение си-
лы тяжести, as — длина дуги СА1. Деля равенство (2)
на равенство (1) получим:
Длина дуги определяется по формуле
х	«
S - К1 + у'2 dx.
о
Значит,
Уг - 7^- \ И1 + у'2 dx.
о
От обеих частей равенства возьмем производную по х:
У" “ 77	
1g
Коэффициент const, н для упрощения его
можно заменить одной буквой, но предварительно ин-
тересно выяснить его размерность:
pg I (сила]	1
I F, ]“ |длина|-[сила|	[длина] '
Поэтому целесообразно обозначить его
Xg 1
F, “ а *
потому что при таком обозначении параметр а будет
иметь простой геометрический смысл (отрезок) и может
быть указан на чертеже. Итак,
У" ~	} + У'2 	(4)
Мы получили дифференциальное уравнение, характе-
ризующее искомую линию. Оно второго порядка, но
порядок может быть понижен, если считать неизвест-
ной функцией у'-.
Подставляя этн обозначения в (4), получим уравнение
первого порядка относительно р;
Разделяем переменные:
dp d г
У 1 + Рг ” а "
Затзм интегрируем:
In (р -|- уг 1 + р1) “ ~ + с,-
Заметим, что при х=0 должно быть р=р'=0 (по-
тому что касательная в точке С горизонтальна). Сле-
довательно, Ci—0, т. е.
(п (р + /1 -t- р2) -
Отсюда легко вырази гь р через х:
X	—X
е~ — е~
--------2----•
Выражение справа есть гиперболический синус
х —г
dv еп — е а	х
d.x	2.	а
Интегрируя, получим
Г	—X
+ е	х
У ~ а--------7------ 4 С, - a-ch — F С,.
Постоянная С2 не влияет на вид кривой, а только
вызывает ее перенос вдоль оси К. Для упрощения по-
ложим С2 — О. Окончательно
х
у — fl-ch ——.
J	а
Эго п есть уравнение цепной линии. При х=0 имеем
у=а. Итак, при нашем выборе С3 длина отрезка ОС
равна а. Тем самым положение оси X фиксировано.
Цепная линия отличается от параболы, в частности,
тем, что прн х -> оо крутизна кривой увеличивается
несравненно быстрее, чем у параболы.
Если бы сила, действующая на каждый элемент це-
почки, была пропорциональна не длине этою элемен-
та, а его горизонтальной проекции, то получилась бы
Рис. 3
G2
другая линия. Тогда в правой части равенства (3)
вместо Xgs было бы Zgz, н мы получили бы диффе-
ренциальное уравнение
(разумеется. > обозначает здесь линейную плотность
балки, а не цепочки) и далее
У-5- + С
т е. в этом случае цепочка принимает форму параболы.
Поэтому если трос должен поддерживать тяжелую
салку или мост, то «тяги» (отрезки O_»A-S, O_tA_2,
О3Д3 на рис. 2) рассчитывают так, чтобы линия
< _SO_2...O3 была параболой. Таков, например, Крым-
ский мост в Москве (рис. 3).
ЗАДАЧИ
Решения задач этого номера должны быть отправлены
в редакцию не позднее 1 марта 1986 г. О правилах
оформления решений задач см. в Ла 1 журнала «Мате-
матика в школе» за 1985 г. на с. 79.
Задачи для IV—VIII классов
2901. Найти все такие цифры х, у, г, при которых
выполняется равенство
ху ух + yz V^zy = (,v 4- z)”xy.
Математический кружок Лежбадннской шк.
Марнеульского р-на ГССР
(рук. С. М. Айдамиров)
2902. Верно ли утверждение: если
ху V"Ztll + ух Utz = Ztu + Utz,
mo ху = V ztu , y.v — V utz ?
Математический кружок Лежбадннской шк.
Марнеульского р-на ГССР
2903. Найти число, если известно, что его произведе-
ние на обращенное число равно 78 445.
Н. М. Алиев (Кировабад)
2901. Найти цифры, х, у, z, t, и, если
ху + ztu — Vxyztu .
Математический кружок 35-й шк.
Ходжаабадского р-на Андижанской обл.
(рук. А. Ж а л а л о в)
2905 Если к четырехзначному числу приписать слева
Цифру 2 или справа цифру 4, то в обоих случаях по-
лучится точный квадрат. Найти это число.
Математический кружок 35-й шк.
Ходжаабадского р-на Андижанской обл.
2906 Можно ли сумму 1 +24-3+...+1992 разбить на
четыре группы слагаемых таким образом, чтобы сумма
чисел, входящих в каждую группу была одной и той же?
А. М. Б р е д у н
(г. Петропавловск)
2907. В равнобедренном треугольнике АВС с основа-
нием АС проведена биссектриса CD. Прямая, перпен-
дикулярная CD и проходящая через D, пересекает АС
в точке Е. Найти ЕС, если AD=l.
В. А. Ясинский (г. Винница)
2908. В треугольнике АВС проведены высота СН и
биссектриса СК; N — проекция К на ВС, и прямые
HN и АС параллельны. Доказать, что угол АСВ в
2 раза больше угла ВАС.
Математический кружок 206-й шк. Киева
(рук. И. А. Кушиир)
Задачи для IX—X классов
2909. Доказать, что если
уТ+Т -г уТ+7 “ 2 /ГТо".
то х-\-у"^2а.
Э. А. Я с н и о в ы й (г. Куйбышев)
2910. При каких п справедливо следующее утвержде-
ние: если п-значное число делится на 13, го после пере-
носа трех его последних цифр в начало (в том же по-
рядке) полученное число тоже будет делиться на 13?
Г. К. Мусаев (АзССР, с. Алескер)
2911. Доказать,	что	если функция	f (х) четная, то
ь	ь
С	f(x)	с
|	1	/(x)rfx.
0
И. М. Гальперин (Киев)
2912. Можно проверить, что 1584-4851 =27722. Для
каких значений п найдется п-значное число, не являю-
щееся квадратом, отличное от своего обращенного и в
произведении со своим обращенным дающее точный
квадрат?
Л. Д Курляндчик (Ленинград)
2913. В прямоугольном треугольнике АВС прямая,
проведенная через середину катета ВС и центр вписан-
ной окружности, пересекает катет АС в точке М, а пря-
мая. проходящая через точки касания вписанной ок-
ружности с АС и АВ, пересекает высоту треугольника
АВС, опущенную на гипотенузу, в точке -V. Доказать,
что CM — CN.
Е. А. Боков
(Краснодарский край, ст. Прочноокопская)
2914. Биссектриса каждого угла треугольника пересе-
кает противоположную сторону в точке, равноудален-
ной от середины двух других сторон треугольника. Сле-
дует ли из этого, что треугольник правильный?
2915. Внутри параллелограмма ABCD находятся три
попарно касающиеся окружности: первая, радиуса R,
касается сторон ВС и AD, вторая — сторон АВ и ВС.
а третья — сторон АВ и AD Пусть М и N — точки ка-
сания последних двух окружностей со стороной АВ
Доказать, что MN=R.
2916. Две окружности с радиусами г и R (г <R) внеш-
ним образом касаются друг друга Прямая касается
этих окружностей в точках М и N. В точках А и В ок-
ружности касаются внешним образом третьей окруж-
ности. Прямые АВ и MN пересекаются в точке С. Из
точки С проведена касательная к третьей окружности
(D—точка касания). Найти длину отрезка CD.
МГУ, вступительные экзамены 1984 г.
Приближения многочленами
2917. Найти
min max | х 4- ах2 4- Ьх* | .
1а,О) xt lu.ij
Л Д. Курляндчик
Рекуррентные последовательности
2918. Найти 1986-й член последовательности
1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, ....
G3
где за единицей следуют два четных числа, потом три
нечетных, потом четыре четных, потом пять нечетных
и т. д,
Л. Д. Курляндчик
Нахождение объема без интеграла
2919 Найти объем общей части п одинаковых ци-
линдров радиуса г, оси которых проходят через одну
точку, расположены в одной плоскости, причем угол
между двумя соседними осями равен In/n.
Вариация на тему неравенства Эрдеша
2920. Радиусы вписанной и описанной окружностей
треугольника равны соответственно ' и R. Обозначим
через х, у и г расстояния от точки М внутри треуголь-
ника до его вершин, а через и, v и w — расстояния от
4R
М до его сторон. Доказать, что хуг^ — uvw, причем
равенство достигается, если М совпадает с центром
вписанной окружности.
Решения задач,
помещенных в № 1 за 1985 г.
2801 Найти цифры a, b, с, d если числа
a, cd, ad, abed -=•
точные квадраты.
Решение. Так как а £ {1,4,9}. то ad £ [16, 49),
cd £{16, 36, 49} и, следовательно, п£{1,4) и
д*с</£{1ТТб’, 1*36? 1М9? 4616', 473(Г, 1*49}-
Непосредственный перебор с использованием, напри-
мер, таблицы квадратов показывает, что a*cd=1936,
откуда и получаются искомые значения цифр a, b, с, d.
2802. Найти остаток, от деления на 7 числа
101с + ю102 + 10ш3 + ... + ю109+ ю1010.
Решение. Легко подсчитать, что 10е дает прн де-
лении на 7 остаток 1 и поэтому 106’‘+т при делении на
7 дает тот же "era ток, что и 10'. С другой стороны,
любая степень 10" дает при делении на 6 остаток 4. По-
этому данная гумма при делении на 7 дает такой же
остаток, что и
10*4-10*4-10*4-	+10’4-10*= 10 10*= 105,
т. е. 5.
2803. Упрсститсь выражение
аг (с — *) 4- Ь1 (а — с) + с* (* - а)
а2 (с — Ь) 6’ (и — с) 4- с2 (Ь — а)’
Решение. Имеем:
а3(с— b)4-fc3(a—с) 4-с8(5—а) =с(а3—б3) —
—ав(а2— Ь2) 4-с3(Ь—а) — (а—Ь) (с(а24-аб4-Ь2)—
—ab (аЦ-b) —с3) — (о—а) (с3—с(а24-аЬ4-Ь2) +
4-аб (з4-Ь)) = (Ь—а) (с3—bc2+bc2— Ь2с—-0.4+
+а2Ь—abc-f-ab2) = (b—а) (с—b) (с2+Ьс—а2—ab) =
= (Ь—а) (с—Ь) (с—a) (с+а+Ь).
Аналогично
а2 (с—Ь)+Ь2(а—с) +с2(Ь—а) =с(а2—Ь2) —
— [а2Ь—ab2) 4-е2 (Ь—а) = (Ь—а) (с2—c(a4-p)4-ab) =
— (Ь—а) (с—а) (с—Ь).
Дгнное выражение оавно a-f-b-f-c.
2804. Решить ь целых числах систему уравнений
! х2 —у2 —1-2~ 1,
t у + г—х-3.
Решение. Подставив х=у }-г—3 в первое уравне-
ние, после упрощений приведем его к виду (у—3)г =
=3у—4. Отсюда следует, что Зг/—4 делится на у—3,
а тогда 5= (Зг/—4)—3(у—3) делится на у—3, так что
У — 3£{± 1- ±5Ь а у£{—2, 2, 4, 8).
Подставляя эти значения у в систему, получаем ее
решения;
(—3, —2, 2), (—3, 2. —2), (9, 4, 8), (9, 8, 4).
2805. Решить уравнение
4х’4-1 2х34- 5х2—6х— 15=0.
Решение. Имеем.
4х*+12х*4 5х2—6х—15 = (4х’4-12х’4-9х’) —
— (4х24-Ьх4- 15) = (2х24-3х)2—2(2х24-3х)—15=
= (2х24-3х—5) (2х2+3х+3).
Отсюда следует, что данное уравнение имеет корни
х,= Г х2=—2,5.
2606. Доказать, что если коэффициенты уравнений
*24-Pi*4-9i=0, x2+p2x+q2=0
связаны соотношением Р|Рг=2(<?1+чг). то ло крайней
мере одно из этих уравнений имеет действительные кор-
ни.
Решение. Предположим противное; тогда спра-
ведливы неравенства
Р21<^с’ Р2<^.
из которых следует, что числа q< и q2 положительны:
применяя неравенство между средними арифметическим
в геометрическим, получаем
р] pl < 16?, q, < 16 ( Ч' у9* ) - 4 (?,+ ?,)’= р,
Это противоречие и доказывает теорему.
2807.	В выпуклом четырехугольнике диагонали обра-
зуют со сторонами 8 углов. Доказать, что эти углы
можно занумеровать так, что будет выполняться равен-
ство
sin a, sin аг sin as sin a4 = sin as sin as sin a? sin ag.
Решение. Занумеруем углы так, как показано hi
рис. 1. Применяя теорему синусов к треугольникам АОВ,
ВОС, COD, DOA, будем иметь:
ВО	АО	СО	ВО
sin a, ” sin ’ sin a, “ sin at ’
DO	CO	AO	DO
sin cti "™ sin a, ’ sin a, “ sin a, ‘
Перемножая эти равенства, получим утверждение за.
дачи.
2808.	Доказать, что во всяком треугольнике биссект-
риса лежит между медианой и высотой, провезенными
из той же вершины.
Решение. Рассмотрим медиану, биссектрису и вы-
соту, выходящие яз вершины В треугольника АВС
(рнс. 2). Продолжим биссектрису BD до Пересе гения э
64
точке Е с окружностью, описанной около Д АВС. Так
как Е — середина дуги АЕС, то проекцией Е на АС яв-
ляется середина АС. Таким образом, основания высоты
и медианы (точки М н L) являются проекциями кон-
цов отрезка BE на прямую АС, а это значит, что отре-
зок ML содержит точку D.
2809.	Решить уравнение
Xs —4х Кх+Т + 8х — 8 /х+ 1 + 8-0.
Решение. Обозначим У х-|-1 через у, тогда х=
~у2—1, и данное уравнение принимает вид
У*—4у3+&у2—4у+1 = 0,
или (у—1)4=0. Отсюда у=1, а следовательно, един-
ственным решением исходного уравнения является
х = 0.
2810.	Найти общий вид многочлена, произведение ко-
торого на х2—1 содержит лишь два члена.
Решение. Пусть
f(x) (х2—1) =ax"-(-bx* (a, b=#=0).
Тогда при х=1 и при х——1 имеем равенства
a-f-h=O, a(— 1)Л+Ь(—1)*=0,
откуда следует, что Ь——а и числа п н k имеют оди-
наковую четность, n—k-)-2tn, т. е.
f(x) (х2—1) —axh(x2m—1).
Следовательно,
__ 1
/ (х) - axk  Лг_| • - ах* (х2т~2 +
+ x2w-4+...+x2 + I).
Это и есть общий вид многочлена, удовлетворяющего
условию задачи.
2811.	Представить многочлен х10-|-х5-|-1 в виде про-
изведения двух многочленов с целыми коэффициентами.
Решение. Так как
х’6___1
х" + х’ + I-------------
(х»-1)(х1г4-х9+ х*+х||+1)	/(х)
“ (х-1) (Х‘+ Х«+Х’ + X + 1)	+-*+4 g(x)’
то можно «заподозрить», что х,0+х6-|-1 делится на
х2+х-Н. Это действительно так и может быть прове-
рено делением «углом» или группировкой.
2812.	Решить систему уравнений
хуг—а(уг—гх—ху) =Ь(гх—ху—уг) =
=с(ху—уг—гх).
Решение. Если все параметры а, Ь, с равны 0, то
решением системы является любая тройка чисел, в кото-
рой хотя бы одно число равно 0. Это множество реше-
ний обозначим через Р.
Если хотя бы один из параметров равен 0 и хотя бы
один отличен от 0 (например, а=#0, 6 = 0; остальные
случаи аналогичны), то система принимает вид
хуг=а(уг—гх—ху) =с(ху—уг—гх) =0,
и ее решениями являются тройки чисел, в которых два
неизвестных равны 0. Это множество решений обозна-
чим через Q.
Пусть теперь все параметры а, Ь, с отличны от 0,
и будем сначала искать решения, в которых хотя бы
одно неизвестное равно 0. Если, например, z=0, то
система принимает вид
0 = —аху=—Ьху= еху,
так что и еще по крайней мере одно из неизвестных
равнс 0. Другими словами, мы получили множество ре-
шений Q.
Если, наконец, ни одно из значений неизвестных не
равно 0, то, разделив все уравнения на хуг, мы при-
ведем систему к виду
После сложения всех уравнений получаем, что
1 1 1 ( 1	1	_1_\
х	+ у	+ г	”	\ a	Ь с )'
а тогда
2 zj_ _1_Л 2	/_1_ JX
х “ \ Ь + с J' у = \ а + с ) ’
2	/1	1 X
г ” X, а + 6 )'
Таким образом, данная система имеет следующие ре-
шения:
при а — Ь — с~0 — множество Р;
при abc—0, а2+62+с2=#0—множество Q;
при abc=^=0, (a-j-b) (b-|-c) (<з-(-с) #=0 — множество
К 26с	2ас 2а6 \1
Ь + с ’ а + с’ а + b ) J ’
при abc#=0, (a-|-b) (ЬЦ-с) (а+с)=0 — 0.
2813. Вычислить стороны и площадь треугольника
по данным расстояниям оснований биссектрис его внут-
ренних углов до сторон.
Решение. Пусть в треугольнике АВС расстояния
от оснований биссектрис, выходящих из вершин А, В
и С, до сторон треугольника равны соответственно k, I
и т. Обозначив стороны н площадь треугольника че-
рез а, 6, с и 3, получим (b-(c)6=2S, (b-|-a)m=2S,
(а-|-с) I— 2S, откуда
/ 1	1	1 X
2P“a + 6 + c“s(ft + i + ~^)-
3/3	1	1 \
Р~с= 2 \ т k ~ I )‘
Так как 3 — Vр (р — а)(р — Ь) (р — с), то
Теперь можно найти н формулы, выражающие длины
сторон исходного треугольника через k, I н т.
2814. Через данную точку А провести прямую так,
чтобы сумма расстояний до этой прямой от данных то-
чек В и С имела заданную величину.
Решение. Рассмотрим два случая; 1) Искомая
прямая (обозначим ее через /) пересекает отрезок ВС;
2) Прямая I не пересекает отрезок ВС. В обоих слу-
65
чаях построим окружность с центром в точке О— се-
d
редине отрезка ВС и радиусов ~2~, где d заданная
сумма расстояний.
1) Проведем через В н С прямые, параллельные I
(рис. 3,а). Расстояние между ними равно сумме рас-
стояний от В и С до I, т. е. они касаются построенной
окружности. Значит, в этом случае прямая I должна
быть параллельной одной из касательных к окружности,
проходящих через точку В или С. Построение в дан-
ном случае сводится к построению двух прямых, про-
ходящих через А н параллельных касательным к ок-
ружности, проведенным через В и С. Среди прямых
надо выбразь ту, которая пересекает отрезок ВС. Если
А внутри ромба BKCL, то искомых прямых будет две,
если внутри двух полос, но вне ромба, — одна, в осталь-
ных случаях нельзя провести через А прямую, пере-
секающую ВС н удовлетворяющую условию задачи.
Если d>BC, то первый случай невозможен.
2) Расстояние от середины отрезка ВС до I равно
d
полусумме расстояний до Z от В н С, т. е. равно “g- >
что означает, что I касается построенной окружности
(рис. 3,6). В этом случае число решений также может
быть равным 0, 1 или 2. Подходят те касательные к
окружности, проведенные через А, которые не пересе-
кают ВС.
Суммируя результаты первого и второго случая, по-
лучим, что задача может иметь от 0 до 4 решений. Так,
если d<BC и точка А внутри одного из двух криво-
линейных треугольников BtKCi или B^LC?, задача имеет
четыре решения. Если d>BC и А внутри окружности,
задача не имеет решений.
2815. Через точку А, лежащую внутри данного круга,
провести хорду так, чтобы она разделилась точкой А в
данном отношении.
Решение. Пусть О — центр данного круга, R —
его радиус, k — данное отношение Построим круг, го-
мотетичный данному с центром гомотетии в точке А и
коэффициентом (—k). Для этого надо сначала постро-
ить точку О| так, что А лежит на отрезке 00, (рнс. 4)
и OtA = kOA. 01 будет центром новой окружности; ее
радиус — Rt==hR. Через точку пересечения окружностей
и точку А и проходит искомая хорда. Задача имеет 2,
1 или 0 решений в зависнмостн от того, пересекаются
окружности, касаются или же одна из них целиком рас-
положена внутри другой.
2816. По данным углам треугольника найти угон
между медианой и биссектрисой, проведенными из оз-
ной вершины.
Рис. 5	Рис. 6	Рис. 7
Решение Пусть в треугольнике А ВС (рис. 5)
Z_A = a, Z.C=y, BE — биссектриса, BD — медиана и
Для определенности будем считать, что
а^гу.	z.
По теореме синусов для треугольников ABD и ВОС
будем иметь
AD	BD_ BD	DC
' /Пв “ sin a ’ sin к “	( £	\ '
sin 4- <pj	sin 2 ~ Ф/
Таким образом
AD sln( f“ +ф') DC Sln (~T ~ф)
BD = sin a ’ BD “ sin 7
sin + <p)	sin(4-?)
Ho AD = DC, значит, --------77—------- -----~’
Отсюда
sin	sin 7— sin	sin a = 0,
f p	p \	/ p
( sin cos ф + cos "2“ sin ф j sin y — (sin -% cos <p —
— cos -g" sin <p 1 sin a =- 0,
P
(sin 7—sin a) sin “2“ cos q> +
P
+ (sin 7 -|- sin a) cos sin » 0,
sin a — sin 7 p
tg <P = sin a -}. sin 7 *£ 2
а+7 , а—7
2 cos —2— sIn —о—
а + 7 а — 7 ctc 2
2 sin —g- cos “ 9—
. .« + T . a — 7
“ ctg2 —5— tg-
Теперь можно найти угол <р.
2817. Решить систему уравнений
Зхуг—хг—у3 — г3 = Ь3,
х + у + г — ЧЬ,
х2 + у2 — г2 = Ьъ.
Решение. Будем решать систему над полем дей-
ствительных чисел R. Введем обозначения:
ai=x-|-i/+2, Oz=xy+yz-\-zx,
2
66
Как известно,
х* + у* 4- zl — Зхуг «= с’ — За, а„
Xs + у2 + Z2 - а? — 2т,,
н поэтому данная система может быть записана в виде
За, а, — c’j — Ь3, а, — 2b, а2 — 2as •= b2 4- 2z2,
откуда
2а, =. «*— б2 — 2д’ - 362 — 2z2,
3b(3b2—2z2)—8b3=b3,
bz2=0.
3
Если b 0, то г = 0, а, = -у b2 и
3
с, = ху—~Ьг, с,— х 4-у = 26.
Поэтому х и у являются корнями уравнения
3
Is — 2Ы 4- — - Ь2 - 0.
Ио это уравнение не имеет действительных корней,
так что при 6У=О мы не получаем решений исходной
системы.
При 6 = 0 вычисления, проведенные в начале реше-
ния, показывают, что первое уравнение данной системы
следует нз второго, а значит, она эквивалентна системе
х4-у=—2, х24-у2=г2.
Из последней системы получаем, что ху=0, так что
при Ь=0 решениями исходной системы являются сле-
дующие тройки чисел:
(—г, О, г), (0, —г, г) (г £ R).
2818.	Произведение двух многочленов с целыми ко-
эффициентами имеет четные коэффициенты, среди ко-
торых по крайней мере один не делится на 4. Дока-
зать. что все коэффициенты одного из данных много-
членов четны.
Решение. Обозначив данные многочлены через
f(x) и g(x), запишем их в виде
f (х) =2/, (х) 4-f2 (х), g (х) = 2g! (х) 4-g2 (х),
где многочлены /2(х) и g2(x) имеют нечетные коэффи-
циенты нлн равны 0 (например, если Цх) имеет четные
коэффициенты, то f2(x)—нулевой многочлен). Тогда
f (х) g(x)=2 (2f, (х) gj (х) 4-Л (х) g2(x) 4-kWgiW) +
+f2(x)g2(x),
и нз условия следует, что многочлен f2(x)g2(x) имеет
четные коэффициенты.
Но если }г(х) и £Гг(х) оба отличны от 0, то их стар-
шие коэффициенты нечетны, а тогда старший коэффи-
циент произведения также нечетный, что противоречит
предыдущему утверждению Следовательно, один из
многочленов }i(x) и g2(x)—нулевой, так что по край-
ней мере один из многочленов f(x) и g(x) имеет чет-
ные коэффициенты; прн этом все коэффициенты обоих
многочленов не могут быть четными — в противном слу-
чае все коэффициенты делились бы на 4.
2819.	Прямая, проходящая через центр окружности,
вписанной в треугольник, разбивает его на две части.
Доказать, что площадь и периметр треугольника при
этом делятся в одной и том же отношении.
Решение, nycib О — центр окружности, вписан-
ной в треугольник АВС, г — радиус этой окружности
(рнс. 6). Для определенности будем считать, что пря-
мая пересекает стороны АВ н ВС в точках К и £ со-
ответственно. Тогда
$КА42Ь $АКО + $АОС 4- Spec =
ixos + Sbol
2 ' АД .к 4- g А С *г 4 2 ^--6-г
~гр~ ДВ-г 4~ “2” BL'г
AK+AC-L-CL
~KB + BL
что и требовалось доказать.
2820.	Около круга радиуса R описана равнобедрен-
ная трапеция. Найти минимум полной поверхности и
обмена тела, полученного при вращении трапеции во-
круг большего основания.
Решение. Пусть AD — большее основание трапе-
гр
ции ABCD и BAD=q> (рис. 7). Обозначим ctg —
через х, тогда
Л£>=2/?х, ВС-~,
АВ=СО= (АО 4- ВС) = R (х + 4“)-
Тело, получающееся при вращении трапеции ABCD
около AD, представляет объединение двух одинаковых
конусов н цилиндра. Если 3(х) и V(x) соответственно
полная поверхность н объем этого тела, то
•$ (х) = 2-2»/?' fx4- + 8т./?2- 4- -
= 4т/?2(х+4-).
И (х) = 4	<АD —	+ ^/?г-ВС =
8	/	2 \
Применяя теорему о среднем, получим S (х) >
. г-	'6	_
^>8т./?2 у 3 , V (х)	-у- я/?’ у 2; минимум полной по-
верхности и объема достигается соответственно при
х - /3 и х = /2.
Замечания к решениям задач
Большинство задач этого номера были в основном чисто
«техническими» н не вызвали больших затруднений.
В задаче 2801 практически все читатели пользовались
непосредственным перебором; по-видимому, она не име-
ет достаточш краткого решения.
В задаче 2802 путь решения, впрочем, вполне очевид-
ный, был легко найден, однако конкретные подсчеты
часто были с арифметическими ошибками
Задача 2803 решалась группировкой, и в ряде реше-
ний идею группировки обнаружить не так легко, так
что она представляется в какой- го мерс случайной.
Внимательный анализ приведенного решения может
показать, что первое преобразование имеет целью выде-
лить множитель 6—а, который обязательно должен вы-
делиться, поскольку числитель обращается в 0 прн
а = Ь. Множители с—b и с—а также обязаны выделить-
ся, поскольку числитель равен 0 прн Ь = с н при а = с.
С помощью аналогичных соображений проводится и
группировка знаменателя. Математической основой это-
го способа рассуждения является теорема Безу для
многочленов от нескольких переменных.
Напротив, группировка, приведенная в решении зада-
чи 2805, является чисто случайной, «безыдейной», хотя
и находится без особого труда.
67
Без особого труда находится группировка и в зада-
че 2809, но она становится более простой после замены
у=У х+1.
В решении задачи 2810 многие читатели, недостаточ-
но четко проведя поисковую часть решения, «пропусти-
ли» возможный множитель ад* в искомом многочлене.
Задача 2811, почти классическая н многократно встре-
чавшаяся в литературе, также решалась в основном
«чисто интуитивно».
Практически все решавшие задачи 2812 и 2817 спра-
вились с ними с технической точки зрения, но совсем
немногие смогли правильно разобраться во всех воз-
можных случаях.
Большинство читателей не обратили внимание на не-
которую расплывчатость формулировки задачи 2818.
Именно, говоря: «Один из многочленов имеет четные
коэффициенты», можно иметь в виду и «ровно один»,
и «хотя бы один». При втором понимании ограничение,
что хотя бы один из коэффициентов не делится на 4,—
лишнее.
В большинстве решений задачи 2808 доказывалось,
что если Z. А> Z. В, то BL<BE.<BM.
Пожалуй, самой трудной оказалась задача 2814. Мно-
гие разобрали лишь один из возможных случаев распо-
ложения искомой прямой. Были и интересные идеи:
так, в ряде писем был предложен способ, с помощью
которого один случай сводится к другому. Суть его в
следующем: рассмотрим точку Ct, симметричную С от-
носительно А. Для любой прямой, проходящей через А
сумма расстояний до нее от точек В н С равна сумме
расстояний от точек В и Сь Если прямая не пересека-
ет отрезок ВС, то она пересекает отрезок BCt, и нао-
борот.
Задача 2815 не вызвала затруднений Обратим вни-
мание на ее условие Как понимать слова «в данном от-
ношении»? Обычно в задачах на построение отноше-
ние отрезков, если оно не задано численно; задается от-
ношением данных отрезков.
Задача 2816, как это часто бывает в задачах, в ко-
торых надо найти тригонометрическую формулу, выра-
жающую величину искомого угла, имеет множество пра-
вильных ответов.
Задача 2819 не лишена изящества как по формули-
ровке, так и по решению. Обратим внимание на то, что
верно н обратное утверждение: если прямая делит пло-
щадь н периметр треугольника в одном и том же отно-
шении, то она проходит через центр вписанной окруж-
ности. Кроме того, утверждение задачи обобщается на
описанные многоугольники н многогранники.
Задача 2820 — самая обычная задача на нахождение
экстремумов. Она решается стандартными методами ана-
лиза. Именно так и решали ее большинство читателей.
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин
(Москва)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1985/86 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
11 января — 150 лет со дня рожде-
ния итальянского математика Джу-
зеппе Батальини (1826—1894).
Родился в Неаполе. Преподавал выс-
шую геометрию в университетах
Рима и Неаполя. Основал и редак-
тировал математический журнал, ко-
торый сыграл значительную роль в
распространении идей неевклидовой
геометрии на Западе. Перевел ос-
новные работы Н. И. Лобачевского
и Я. Бойаи; известен также его ме-
муар «О воображаемой геометрии
Лобачевского», в котором дан но-
вый, чисто аналитический вывод фор-
мул Лобачевского (см.: Историко-
математические исследования, вып.
2. М.; Л., 1949).
18 января —130 лет со дня рожде-
ния итальянского математика Луид-
жи Бианки (1856—1928). Препода-
вал в университете г. Пизы. Член
Национальной АН деи Линчеи в Ри-
ме, иностранный член-корреспондент
Петербургской АН. Получил важные
результаты в дифференциальной
геометрии (см.: Стройк Д. Я. Крат-
кий очерк истории математики. М.,
1964).
23 января — 180 лет со дня рожде-
ния Фердинанда Готлибовича Мин-
ди н г а (1806—1885). Уроженец
г. Калиша (Польша). Профессор
Дерптского (ныне Тартуского) универ-
ситета. Член-корреспондент Петер-
бургской АН. Основные труды от-
носятся к теории поверхностей, где
сн, в частности, нашел поверхности
вращения постоянной отрицательной
кривизны, на которых выполняется
геометрия Лобачевского (см.: Исто-
рико-математические исследования,
вып. 5. М., 1952).
25 января — 250 лет со дня рожде-
ния знаменитого французского ма-
тематика и механика Жозефа Луи
Лагранжа (1736—1813). Родился
и получил образование в Турине. С
1795 г.— профессор Высшей нор-
мальной школы, с 1797 г.— Политех-
нической школы в Париже. Труды от-
носятся к вариационному исчисле-
нию (где им разработаны основные
понятия и методы), математическому
анализу, теории чисел, алгебре, диф-
ференциальным уравнениям и ана-
литической механике. В механике и
математике выполнил работу по сис-
тематизации имевшихся в то время
результатов и по их обоснованию.
Член Парижской АН с 1772 г. Член
Берлинской АН (1759) и ее прези-
дент (1766—1787), иностранный по-
четный член Петербургской АН.
Многие понятия и теоремы в мате-
матике и механике связаны с име-
нем Лагранжа (см. БСЭ, 2-е и 3-е
68
изд.; Жозеф Луи Лагранж. Сборник
статей к 200-летию со дня рожде-
ния. М., Л., 1937).
.30 января —150 лет со дня рожде-
ния русского математика, механика
и ботаника Василия Яковлевича Цин-
гера (1836—1907). Родился в
Москве Окончил Московский уни-
верситет, с 1862 г.— профессор это-
го учебного заведения. В 1886—
1891 гг.— президент Московского
математического общества. Матема-
тические труды относятся к геомет-
рии и прикладной математике. Его
учениками были такие математики,
как К. А. Андреев, А. К. Власов,
Б. К. Млодзеевский, Д. Ф. Егоров
(см.: Боголюбов А. Н Математики,
механики: Биографический справоч-
ник. Киев, 1983; История отечест-
венной математики, т. 2).
31 января — 100 лет со дня рожде-
ния английского математика Джорд-
жа Невила Ватсона (1886—1965).
Работал в университетах Бирмингема
и Кембриджа, член Лондонского ко-
ролевского общества. Основные тру-
ды относятся к математическому
анализу и специальным функциям.
На русский язык переведены его
книги «Курс современного анализа»
(в соавторстве с Э. Т. Уиттекером)
и «Теория бесселевых функций»
(см.: Биографический словарь деяте-
лей естествознания и техники, т. 2.
М., 1959; Историко-математические
исследования, вып. 13. М., 1959).
31 января — 90 лет со дня рожд| ьия
советского ученого в области исто-
рии, методологии, философии и ма-
тематической логики Софьи Алек-
сандровны Яновской (1896—
1966), сыгравшей большую роль в
создании школы советских истори-
ков математики (см.: Математика в
школе, 1965, № 2; 1984, № 5, об-
ложка).
Февр<*11 
2 февраля — 200 лет со дня рожде-
ния французского математика, меха-
ника и астронома Жака Филиппа
Бине (1786—1856). Родился в Рен-
не. Окончил Политехническую школу
в Париже работал в ней, затем в
Коллеж де Франс. Член Парижской
АН. Математическче труды относят-
ся к линейным разностным уравне-
ниям с переменными коэффициен-
тами, теории «^-функций» (Бине ввел
этот термин) и другим разделам ма-
тематики (см.: История математики,
т. 3 / Под ред. А. П. Юшкевича. М.,
1972).
2 февраля — 90 лет со дня рожде-
ния польского математика Казиме-
жа Куратовского	(1896—
1980). Родился в Варшаве. С 1934 г.—
профессор Варшавского университе-
та. С 1948 г.— директор Математи-
ческого института в Варшаве. Член
Польской АН, с 1957 г.— ее вице-
президент, иностранный член АН
СССР. Основные труды относятся
к топологии, теории графов, тео-
рии множеств и тэории функций
действительного переменного (см.:
Успехи математических наук, 1981,
вып. 36, № 6).
fc февраля —100 лет со дня рожде-
ния болгарского математика Любо-
мира Чекалове (1886—1963). Ро-
дился в Самокове. Окончил Софий-
ский университет. Работал там же
(с 1925 г.— профессор), член Бол-
гарской АН. Основные труды от-
носятся к теории чисел, алгебре
и математическому анализу. Внес
вклад в неопределенный анализ и
исследовал арифметические свойст-
ва некоторых бесконечных рядов.
Занимался большой просветитель-
ской и общественной деятельностью,
его учениками были многие бол-
гарские математики. Народный де-
ятель науки НРБ (см. Боголюбов А. Н.
Математики, механики: Биографиче-
ский справочник. Киев, 1983)
10 февраля —100 лет со дня рож-
дения итальянского математика Пиа
Марии Налли (1886—1964). Роди-
лась в Палермо. В 1927—1956 гг.—
профессор университета в Катании
(Сицилия). Ее труды относятся к ал-
гебраической геоме'рчи, теории
функций действительного перемен-
ного, функциональному анализу.
17 феяраля — 90 лет со дня рож-
дения советского математика Евгения
Яковлевича Ремеза (1896—
1975) Родился в Мстиславле (ныне
Могилевской обл.), окончил Киев-
ский институт народного образова-
ния. С 1933 г. работал в Институте
математики АН УССР. Член-коррес-
пондент АН УССР. Его исследования
посвящены математическому анали-
зу (см.: Украинская советская энци-
клопедия, 2-е изд.; История отече-
ственной математики, т. 3—4).
А. И. Бородин (г. Донецк)
Бонавентура Кавальери
(Продолжение. Начало сч. на с. 2
обложки)
Метод Кавальери имел ряд недостат-
ков, в частности основное понятие
неделимого оставалось невыясненным.
Кроме того, Кавальери не использо-
вал удобную алгебраическую симво-
, лику. Поклонник античной науки, он
излагал свою теорию на тяжеловес-
ном языке геометрической алгебры.
Несмотря на недостатки, метод Ка-
вальери оказал большое влияние на
последующее развитие математики.
Его изучали и совершенствовали мно-
гие ученые XVII в. и в первую оче-
редь итальянские математики. Э. Тор-
ричелли отмечал, что геометрии Кава-
льери «дает возможность разрешить
огромное число, казалось бы, нераз-
решимых теорем краткими, прямыми,
наглядными доказательствами... Это—
истинно царская дорога среди зарос-
лей математического терновника».
Необходимо отметить, что одновре-
менно с Кавальери интеграционные
методы развивали французские уче-
ные П. Ферма и Ж. Роберваль. Но
свои открытия они не публиковали,
сообщая о них только в научной пе-
реписке.
Метод Кава льери получил свое раз-
витие в книге английского математи-
ка Дж. Валлнса «Арифметика беско-
нечного» (1656). Валлис писал: «В
1650 г. я изучал математические тру-
ды Торричелли, в которых среди дру-
гих вопросов излагается „Геометрия
неделимых” Кавальери... Метод Ка-
вальери ...мне как-то особенно понра-
вился, ибо в нем я почувствовал ка-
кую-то силу, которая потянула меня
к математике».
Валлис соединил метод неделимых
Кавальери с новейшими достижения-
ми алгебры, дополнив его предельны-
ми переходами и индукцией. Он са-
мостоятельно нашел формулу (1) для
дробных значений п, не зная ничего
об аналогичных результатах фран-
цузских ученых.
В конце XVII в. Ньютон и Лейбниц
создали дифференциальное и интег-
ральное исчисление. В своих работах
они исходили из достигнутого ранее.
Ньютон и Лейбниц были хорошо зна-
комы с сочинениями своего старшего
современника Валлиса. Так протяну-
лась невидимая, но прочная нить от
прошлого к настоящему.
А. В. Дорофееве
(Москве)
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Числовые курьезы
Квадраты с красивой конструкцией
Числа 441, 40401, 4004001,... , 40.. .040...01, ... (л—
п—1
натуральное) интересны тем, что все они являются
квадратами, а именно:
441 -21», 40 401 -201г, 4 004 001 = 2001г...... •
40...040...01 - 20...01®.....
Л-1 л-1	п—1
Ряд чисел
41209, 4 012 009, 400 120 009, ... , 40.. .0120.. .09
И —I л
оЬ тадает тем же свойством: это числа вида (2-10л+’ +
+ 3)г. Квадратами являются н числа
39...960...01,	17...768...89,
л-1	л—1 Я—1
71...102...25,	4...48...89,
и— I п+1	п	я—1
17...7928...8921,	160...080...01,
л	л—1	Я—I	Л—1
159...920...01,	639...9840...01,
Л—I	л—1	л—1	я
1439...9760...01,	2559...9680...01
п—1	п	я—1	п
5759...9520...01.
л—1	л
Докажем это для чисел вида 7839.. .9440...01.
л—1	л
7839..	.9440.. .01 = 783- 102п+2 + (Ю"-1 — 1) . 10л+3 -J-
я—1	п
+ 44-10л+1 + 1 - 784.102л+2 —56.10п+1 +1 =
= (28-10л+1 — 1)г.
Любопытные отношения
Пусть дано некоторое натуральное число, состоящее из
п (л^1) одинаковых цифр. Одно число получим при-
писыванием к данному некоторой цифры справа, а дру-
гое— приписыванием к данному некоторой цифры сле-
ва. Когда результат от деления одного из полученных
чисел иа другое будет целым числом ft?
Пусть дано число а...а, тогда одно число—а.. .ab,
п	п
другое — са...а. Будем полагать а^0, с^О,
л
так как противное приведет нас лишь к тривиальным
решениям. Таким образом, решение задачи сводится
к решению уравнений вида:
а...а Ь	с а...а
а)	" “А б) —- — «= к,
с а...а	а...а Ь
л	л
где k — целое число (5^2), п—натуральное, 1^с^9,
1^с^9, 0<6<9.
Пусть п— 1. Тогда задача сведется к решению урав-
нений вида:
а) 6+а(Ю-5) = 105с; б) Юс = 65+а(105— 1).
Перебором по k (причем ясно, что 2<5^9) легко
получить все решения для случая а): 5^5, так как при
5 2г 6 b+a(10—Л) <9+9-4 = 45, а 105с 2г 60с 2г 60.
Остается рассмотреть четыре случая: 6+8а = 20с,
6+7а=30с, о+6а=40с, 6+5а=50с, из которых выте-
кают следующие решения:
24	5°		ше 9,	44 -2'
12	 Я Z,	25		24	~
	74	- 2,	98	- 2,
	37		49	
84	== 3,	42	- 3,	39 -3
2b		14		13	~ 4
	64		95	г;
	16		19	
В случае б) при 5^5 имеем:
' а(105— 1)^49а, Юс—65< Юс—56<90,
т. е. о=1, при этом Ю(с—k)=^bk—1, откуда 6=5=1,
что невозможно; 6 = 5=9, тогда с=17, что твкже не-
возможно; 6 = 3, 5=7 и с=9.
При 2^А<4 имеем соответственно:
10с=26+19а, Юс=36+29а, 10с=4б+39а.
откуда с Учетом одного уже	найденного	решения имеем:
42	9	52	9	84	2	94
21	26	42 “ -	47
93	72	51	
—^г-= 3.	= 3,	—г	~ 3.
92	,	91
23 “4*	13
Если л = 2, то
а) 11а (10—k) = 1005с—Ь,
б)	11а(Ю5—1) = 100с —65.
В случае а) при 5^6 имеем:
11а(10—5)^11-9-4=396, а
1005с—5 gs 600с—5 600—5 ^591 — решений нет.
Перебором по 5 получаем: прн 5=5 а=9, с=1,
5 = 5; при 5=4 с=1, 6=4, а=6; при 5=2 а=9,
с=4, 6=8, т. е.
995	„	664 t 998
199 = 5,	166 = 4,	499 “2‘
В случае б) перебор по 5 решений не даст.
И наконец, при п^З имеем:
а) ГТТТТа (10—5) = 9-1.. .1 5с+ 5 с —6;
'------'	'--V--’
п	п
б) а- 1...1 (105 —1) =9- 1 ... 1
л	л
С + с — 65.
В а) 5с—6 делится на 1...1 (п^З), т. е 5с=5,
'—.—'
п
тогда а(10—5)=95с. Перебором по 5 найдем все воз-
можные решения при 2-^5^5 (обобщающие ранее
найденные) при любом натуральном п:
9...98	6.-.64	У...95
— 4,	.. .
49...9	16...6	19...9
п	п	п
Если 5^6, то а(Ю—5)^4а^36, 95с54с^54
решений нет. В случае б) с—65
делится на 1. .. 1
л
(п^З), т. е. с=65, тогда (105—1)а=965. Перебор по
5 решений не даст (проверьте!).
И. И. Михаилов (г. Иваново)
70
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Прекрасный мир математики
А. Я. Блох
(Москва)
Советские школьники получили хороший подарок. Вслед
за энциклопедическими словарями по биологии, лингвис-
тике, изобразительному искусству, рассчитанными на
школьников, увлеченных соответствующими предмета-
ми, вышел в свет Энциклопедический словарь юного ма-
тематика (Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985).
Важное значение этой книги, как справочного изда-
ния, состоит в возможности получить краткую и ясную
справку о наиболее существенных понятиях и методах
математики, входящих в школьный курс или примыкаю-
щих к нему. Ведущей является, однако, иная цель,
специфическим образом использующая ферму сзоваря:
ввести читателя в прекрасный мир математики и ее при-
ложений, показав историю возникновения, внутреннюю
структуру и взаимные связи основных математических
понятий и методов.
Содержание и построение книги подчинено этой цели.
Большинство очерков посвящено разъяснению обобщен-
ных математических понятий, таких, как группа, поле,
геометрическое преобразование, алгебраическое и диф-
ференциальное уравнение. Одновременно приведены не-
большие статьи, в которых ие столь уж принципиальные,
ио полезные понятия описаны в новых аспектах или бо-
лее систематнзироваиио. Таковы, например, статьи
«Арифметическая прогрессия» и «Системы линейных
уравнений». В изложении практически отсутствует дуб-
лирование школьных учебников и пособий; известные
факты предстают в ином, как правило, более обобщен-
ном виде.
Словарь охватывает, по существу, все идейное содер-
жание школьной математики. Разумеется, учитывая ог-
раниченный объем и, главное, отмеченную выше основ-
ную цель издания, невозможно говорить о полноте
представления в нем всей системы школьных матема-
тических понятий и их обобщений. Однако некоторые
пропуски выглядят необоснованно. Например, в книге от-
сутствует формулировка теоремы Виета для общего
алгебраического уравнения; сравнительно ограничено из-
ложение понятия отрезка (не сформулирована аксиома
Кантора). Но общая точка зрения на основные понятия
и методы математики проведена четко и последователь-
но. Они либо систематически выделяются из круга эле-
ментарных задач и примеров, либо обсуждаются в свя-
зи с ними. Так, понятие метрического пространства вы-
деляется в ходе рассмотрения свойств расстояний. По-
лезную информацию читатель почерпнет из статьи «Груп-
па» — опытный учитель вполне может использовать ее
содержание для целого факультативного курса.
Цель этой книги не была бы достигнута, если бы из-
ложение ограничивалось только описанием роиятпй.
Поэтому в ней большое внимание уделяется также ме-
тодам математики, и прежде всего тем, которые лежат
в основе этой науки и ее приложений. Этой цели под-
чинено много статей («Алгоритм», «Вычислительная тех-
ника», «Графические вычисления», «Доказательство»,
«Неравенства», «Языки программирования» и др.) и,
разумеется, в целом вся книга. Приводится значительное
число занимательных примеров, раскрывающих примене-
ние методов. В частности, поучителен пример из статьи
«Аксиома». Однако следует сказать, что с точки зрения
иллюстрации математических методов, важных для при-
ложений, существенным пробелом кажется отсутствие в
словаре специального очерка о понятии математической
модели, важнейшем в прикладной математике.
В книге заметно желание сделать изложение возмож-
но более наглядным. Для этого во многих статьях рас-
сматриваемый вопрос подается в различных вариациях —
от геометрических иллюстраций до описания интересных
связей, выявленных в мире математики. Хорошим при-
мером могут служить статьи, посвященные кардиоиде и
числам Фибоначчи. Легко ли доказать такое свойство
чисел Фибоначчи:
9	9	9
и1 + и2 +•••+«»= ик цй + 1?
Оказывается, очень престо — достаточно расположить
квадраты со сторонами, равными первым k числам
Фибоначчи, в прямоугольник со сторонами щ и илы.
Отметим еще одну особенность композиционного по-
строения книги: наряду с основными очерками в ней
отдельно выделены статьи, посвященные жизни и твор-
честву наиболее выдающихся ученых-математиков, а так-
же заметки, излагающие некоторые примечательные фак-
ты, главным образом из области занимательной мате-
матики (теорема Морли, алгоритм сборки кубика Руби-
ка и др.). Разумеется, и здесь бесполезно говорить о
полноте. Но все же, быть может, следует с сожалением
отменить отсутствие биографических очерков о Джорд-
же Буле, который является одним из создателей сов-
ременной математической логики, и Чарльзе Бэбидже —
пионере проектирования вычислительных машин и про-
граммирования.
В словаре содержится хорошо составленная библио-
графия. В нее, безусловно, следовало бы внести клас-
сическую книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое
математика?» (М.: Просвещение, 1967).
В целом можно сказать, что Энциклопедический сло-
варь юного математика выполнен на высоком научно-
методическом уровне. Ои окажет помощь учителю в
проведении учетной и внеклассной работы и, конечно,
будет интересен и полезен учащимся, увлекающимся ма-
тематикой.
Полезная книга
для студентов пединститутов
Я. И. Груденов
(г. Таганрог) ,
В 1983 г. издательство «Просвещение» выпустило книгу
Г. И. Саранцева «Сборник упражнений по методике пре-
подавания математики в средней школе». От аналогич-
ных книг, изданных ранее (см., например: Мазания.
А. А.. Столяр А. А. Вопросы и задачи по методике
преподавания математики.— Минск, 1964; Федин Н. Г.,
Мишин В. И. Сборник вопросов и упражнений по мето-
дике преподавания математики.— М.: Просвещение
1967), она отличается, прежде всего, тем, что в ней
реализована та точка зрения, при которой упражнение
рассматривается как многоаспектное явление обучения.
В приложении к рецензируемому пособию подчеркива-
ется: упражнение необходимо для усвоения знаний и
умений. Это способ управления познавательной дея-
тельностью учащихся, средство ее мотивации и стиму-
лирования, а также связующее звено между теорией и
практикой.
Автор книги последовательно руководствуется дай-
ной концепцией. В различных разделах пособия мы на-
ходим упражнения, ориентирующие студентов иа про-
думывание методики работы с теоремой, отбора зада-
ний в различных конкретных ситуациях, иа развитие
умения осуществлять самостоятельное методическое ис-
следование.
71
Например, в разделе «Векгоры» требуется проанали-
зировать разные трактовки понятия «вектор» и различ-
ные системы изложения темы, дать анализ векторного
метода решения задач, выделить действия, адекватные
этому методу (Ns 15), и разработать методику обуче-
ния школьников этим действиям (№ 16—18).
Итак, рецензируемая книга полезна для улучшения
качества методико-математической подготовки студен-
тов к работе в школе.
Пособие непосредственно предназначено для студен-
тов-заочников, но им можно пользоваться и при очном
обучении.
Обращает на себя внимание тот факт, что вопросы
пособия заставляют студента думать, просматривать
литературные источники, сопоставлять различные под-
ходы и рекомендации отдельных авторов, анализиро-
вать методы обучения, высказывать свое мнение.
Так, в упражнении № 11 на с. 29 предлагается вы-
полнить сравнительный анализ заданий для учащихся,
предложенных в ряде школьных пособий по геометрии.
Нужно показать, как задания используются для введе-
ния понятий, для раскрытия их содержания.
Студентам необходимы и такие задания, в которых
рассматривается поведение учителя в случае ошибочно-
го ответа учащегося или выясняется, верно ли отвечал
ученик. Таких упражнений в рецензируемой книге до-
статочно много: № 13 (с. 19), № 9 (с. 29) и др. На-
пример, на с. 46 (№ 28) обращается внимание студен-
та на типичную ошибку, допускаемую учащимися при
построении сечений многогранников.
Система упражнений в книге хорошо продумана по
содержанию. Последовательность расположения зада-
ний можно считать удачной. Между ними ощущается
тесная связь. В одних случаях читателя отсылают к
прежним упражнениям, в других — предшествующие по-
могают выполнить последующие (Ns 11 и 13 на с. 7;
№ 16 и 18 ня с. 8 и др.). Это свидетельствует о том,
что вся методическая система, которой руководствуется
автор, многократно проверена нм на занятиях со сту-
дентами.
Будущие учителя встречают в книге описания многих
оригинальных приемов методики преподавания матема-
тики и учатся применять их в работе. Например, на
с. 14 (№ 9, 10) предлагается использовать своеобраз-
ные карточки для обучения доказательству теорем. На
с. 51 мы встречаем задания (№ 33, 34) на использова-
ние алгоритмического метода при изучении нескольких
тем. В упражнении № 24 на с. 56 (кстати, оно ошибоч-
но обозначено номером 22) требуется продумать, как
одновременно изучать свойства показательной и лога-
рифмической функций, используя принцип сравнения.
В упражнении № 7 на с. 13 предлагается разработать
методику изучения какой-либо теоремы, а в указаниях
к нему перечисляется ряд подходящих приемов. В по-
собии есть и такие задания, которые нацеливают на
формирование у учащихся умений пользоваться различ-
ными способами при поиске решения задачи.
Книга побуждает читателя глубже изучать действую-
щие и пробные учебники магематики. Так, из опреде-
ленных параграфов школьных учебников предлагается
выделить упражнения, предназначенные для закрепле-
ния новой темы (№ 15 иа с. 55), или такие, которые
способствуют формированию умений читать графики
функций (№ 26 па с. 56), и т. п.
Пособие учит применять в обучении психологические
знания. Например, читателя просят проанализировать
систему упражнений по теме «Квадратное уравнение»
(Ns 31 на с. 66) или по теме «Степень произведения»
(№ 4 на с. 72), опираясь на психологическую законо-
мерность, позволяющую учитывать характер ошибок
учащихся.
Наличие в пособии удачно составленных контрольных
работ по методике преподавания математики и образ-
цов решения задач нулевого варианта поможет препо-
давателям вузов унифицировать в какой-то мере тре-
бования к студентам-заочникам.
Хотелось бы высказать ряд пожеланий, которые, воз-
можно, помогу! усовершенствовать книгу при ее пере-
издании.
Автор провел серьезную работу по классификации
большого числа литературных источников. Тем более
жаль, что в упражнениях не указано, в каких книгах
и в каких разделах студент может найти ответ на по-
ставленный вопрос. Такие указания облегчили бы прак-
тическую работу весьиа загруженного студента-заоч-
ника.
Списки литературных источников помещены и в кон-
це книги, и дополнительно к каждой главе. Эю неудоб-
но читателю. Лучше дать один список, расположив ли-
тературные источники в алфавитном порядке. Тогда не
пришлось бы несколько раз указывать один н те же
работы.
Хотелось бы, чтобы автор подробнее остановился на
некоторых аспектах организации учебного процесса.
Так, предложенные в пособии вопросы: «Как часто на-
до проверять тетради школьников? Каким образом сле-
дует фиксировать ошибки в тетрадях учащихся?» мало
чем помогут начинающему учителю. Здесь надо бы ото-
слать учащихся к ряду статей в журнале «Математика
в школе», относящихся к дискуссиям по поводу провер-
ки тетрадей (1955, № 5; 1957, № 6; 1978, № 1) или по
поводу норм оценок письменных работ (1979, № 3;
1982, Ns 1). Следует также указать студентам, почему
желательно ежедневно проверять тетради учащихся в
следующих случаях: 1) в начале учебного года в
IV классе, 2) в тот период, когда приступают к изуче-
нию действий над обыкновенными дробями, 3) когда в
VI классе учат решать первые задачи по геометрии на
доказательство.
В пособии неудачная нумерация. Лучше бы дать
сквозную нумерацию параграфов и упражнений. Иначе
ссылки такого вида: см. упр. 12, § 7, гл. II — затрудня-
ют читателя.
В заключение еще раз подчеркнем, что, несмотря на
отмеченные недостатки, рецензируемая книга представ-
ляет собой полезный вклад в методику преподавания
математики.
Вниманию читателей!
В Ns 5 нашего журнала за 1985 г. на с. 9 (2-я строка сверху) неверно
указано, чему равен 1 карат. В действительности 1 карат равен 0,2 г.
На с. 30 в левой колонке в 20-й строке снизу вместо «не доказав его мы»
следует читать: «но, доказав его, мы»; в правой колонке в 15-й строке
снизу вместо «Доказано несколько теорем, которые...» должна быть фра-
за: «Доказать несколько теорем, которые...».
72
0 ЗА РУБЕЖОМ
Обучение математике в НРБ
И. Ганчев, Й. Кучинов
(София)
Победа социалистической революции в Болгарии, со-
вершившаяся в период освобождения Красной Армией
народов Европы от фашистского ига, открыла новую
эру глубоких революционных преобразований во всех
сферах жизни. Не осталась в стороне от этих преоб-
разований и средняя школа. Перед ней была постав-
лена новая цель — коммунистическое воспитание под-
растающего поколения. Для достижения этой цели раз-
вернулась многосторонняя творческая деятельность в
поисках нового содержания, более эффективных мето-
дов и форм обучения математике.
В процессе развития народного образования в Бол-
гарии, который начался после 9 сентября 1944 г., не-
обходимо отметить два основных периода. Первый про-
ходил в 1944—1968 гг., а второй наступил после 1968 г.
Уже в 1945—1946 гг. удалось существенно улучшить
централизованное руководство учебно-воспитательным
процессом и добиться плановости во всех его звеньях.
Конституция 1947 г. законодательно закрепила обяза-
тельное и бесплатное обучение детей от 7 до 15 лет,
единство и демократический характер системы образо-
вания, отделение школы от церкви. Законом 1959 г. бы-
ло введено обязательное 8-летнее обучение.
Одной из важных задач первого этапа явилась зада-
ча составления новых учебных планов и программ и
создания на их основе новых учебников. В улучшении
и обновлении школьного курса математики большие за-
слуги принадлежат таким болгарским ученым, как ака-
демики Л. Чакалов, Н. Обрешков, Л. Илиев, профес-
сора А. Стоянов и Г. Георгиев, доцент П. Иванов. Этим
ученым удалось существенно приблизить обучение ма-
тематике к требованиям науки и практики того време-
ни. Например, в учебниках был существенно расширен
функциональный подход к изложению математики, в
тригонометрический материал включено понятие векто-
ра. Одновременно из учебников и сборников задач по
математике было изъято все, что, не имея никакой науч-
ной ценности, отражало экономику капитализма и по-
пуляризировало деятельность буржуазных институтов.
Дальнейшие попытки преобразовать систему математи-
ческого образования в Болгарии, предпринимавшиеся в
50-х гг., не приводили, одиако, к существенному улуч-
шению его содержания.
В 1962—1968 гг. во всем мире значительно усилитесь
движение за реформу преподавания математики. Не ос-
талась от него в стороне и болгарская педагогическая
общественность. Так, на страницах журнала «Матема-
тика и физика» печатались статьи иностранных и бол-
гарских авторов, рассматривавшие проблемы реформы
обучения математике в различных странах. Особенно
подробно излагалась информация, поступавшая из
СССР.
Второй этап развития болгарский школы ознамено-
вался решением Пленума ЦК БКП «О перестройке и
дальнейшем развитии системы образования в НРБ»
(июль 1969 г.). В нем намечалось: ввести обязательное
среднее политехническое образование, перейти к обуче-
нию в 1 классе детей с шестилетнего возраста. От ма-
тематики, как и от других школьных предметов, тре-
бовалось обеспечить органическую связь обучения и
воспитания с производительным трудом и профессио-
нальной ориентацией учащихся.
Для решения этих важнейших задач в 1969 г. была
разработана новая учебная программа по математике.
Она существенно изменила учебный материал младшего
и среднего звена. Согласно этой программе, впервые в
НРБ, начиная с начальных классов, стала последова-
тельно проводиться алгебраическая пропедевтика путем
постепенного введения буквенной символики и решения
уравнений. В VII—VIII классах в более явном виде,
чем прежде, нашли место теоретико-множественный
подход и некоторые тогические элементы. В учебниках
по планиметрии для VII и VIII классов понятие «ра-
венство геометрических фигур» трактовалось как ото-
бражение плоскости в себя, учащимся разъяснялась
сущность косвенных доказательств. В учебниках по ал-
гебре специальное внимание обращалось па логические
союзы «и» и «или» в связи с их использованием для
решения уравнений и неравенств.
В 1972—1974 гг. содержание школьного обучения
математике подверглось дальнейшей корректировке.
Основное ядро программы сохранилось таким, каким
оно было прежде, но форма его изложения стала бо-
лее современной, лучше соответствующей международ-
ным тенденциям в преподавании математики. В основе
изложения сохранился теоретико-множес.венный под-
ход, дающий возможность изучать отношения и опера-
ции над ними, опираясь на свойства конечных мно-
жеств, с которыми учащиеся не раз имели дело в своей
практике. Тем самым удалось последовательно осущест-
вить в обучении материалистический принцип.
Перечисленные нововведения явились важным шагом
в усовершенствовании обучения математике. Они созда
ли условия для рационального изучения таких истори-
чески обособленных в последние столетия дисциплин,
как арифметика, «наглядная геометрия», алгебра, си-
стематический курс геометрии, тригонометрия и анализ.
Появилась возможность создать единый курс математи-
ки для 1—V классов, расширить связи математики с
другими школьными дисциплинами и с практикой.
В июле 1979 г. Пленум ЦК БКП принял решение о
создании школы нового типа — единой средней поли-
технической. Наряду с изучением основ наук у школь-
ников появилась возможность получить и профессио-
нальную подготовку, для чего из ряда преподающихся
в школе предметов профориентационного цикла им при-
дется выбрать тот, который их особенно заинтересует.
С введением в школу курсов, из которых учащиеся
сами выбирают себе любой для изучения, с расширени-
ем факультативов существенно возросли возможности
занятий со школьниками, интересующимися математи-
кой.
Внеклассные формы обучения математике начали по-
степенно развиваться с начала 50-х гг. В 1951 г. ака-
деми.ч Л. Чакалов с группой студентов и учителей-эн-
тузиастов положил начало болгарским математическим
олимпиадам. С тех пор сеть кружков для работы с ма-
тематически одаренными учащимися стала быстро рас-
ширяться. Особого размаха внеклассная форма занятий
достигла после 1960 г. Математические кружки и шко-
лы, лектории по линии Союза математиков Болгарии,
месячники математики, смотры технического и научного
творчества молодежи, олимпиады, радиоконкурсы по
математике, различные региональные, а впоследствии и
национальные конкурсы, конкурсы журнала «Матема-
тика» стали настоящей кузницей будущих математи-
ков.
В этот период появились физико-математические клас-
сы, а потом и математические, гимназии. Особое мес-
то среди них принадлежит Национальной математиче-
ской гимназии им. академика Л. Чакалова, созданной
по образцу математической школы-иитерната при МГУ.
Благодаря большим заботам, которые проявляются в
НРБ по отношению к математическому образованию
молодежи, в стране не только сформировались прочные
интересы учащихся к этому предмету, но и заметно
возросла ответственность учителей за применение более
прогрессивных методов преподавания. В результате
учащиеся из Болгарии стали демонстрировать хорошие
73
результаты на международных математических олим-
пиадах. Так, команда НРБ заняла II место на между-
народной математической олимпиаде в 1984 г. и IV мес-
то в 1985 г.
Улучшение математического образования неразрыв ю
связано с прогрессом в обучении будущих учителей. До
революции педагогическая и методическая подготовка
преподавателей была крайне недостаточна и оказыва-
лась вне внимания ведущего высшего учебного заведе-
ния страны — Софийского университета. С победой со-
циалистической революции появились условия для изу-
чения и использования богатого советского опыта в де-
ле подготовки учительских кадров. На Софийский уни-
верситет была возложена задача обеспечить целостную
специальную, методическую, педагогическую и идеоло-
гическую подготовку будущих учителей. В 1949/50 учеб-
ном году в учебном плане физико-математического фа-
культета Софийского университета впервые появился
курс леквий по методике преподавания математики.
Их читал П. Иванов. Именно благодаря усилиям народ-
ного учителя доцента П. Иванова в среде болгарских
учителей утвердилось убеждение, что обучение мят-ма-
тике не аполитично, через него можно активно влиять
па формирование марксистско-ленинского мировоззре-
ния учащихся. П. Иванов создал в Болгарии первый
полный курс методики обучения математике н написал
первый и пока единственный болгарский учебник по
методике преподавания математики.
В годы народной власти открылись Пловдивский уни-
верситет, Шумепский пединститут н другие высшие пе-
дагогические учебные заведения. Начали функциониро-
вать институты усовершенствования учителей. Таким
образом, появились новые центры подготовки учитель-
ских кадров, внедрения прогрессивных методов препо-
давания и нового учебного содержания в курс матема-
тики средней школы.
Реформы народного образования, проведенные в Бол-
гарин, направлены на всемерное сближение школы с
жизнью. Главным в них является подготовка мною-
сторонпе развитой личности, «способной для полноцен-
ной реализации в жизни».
Новые книги
Ф. М. Шустеф
(Минск)
История и методология математики
Бирюков Б. В. Жар холодных числ и пафос бесстраст-
ной логики: Формализация мышления от античных вре-
мен до эпохи кибернетики.— М.: Знание, 1985.—
192 с.— 35 к. 60 000 экз.
Дорофеева А. В., Чернова М. Л. Карл Вейерштрасс:
К 170-летию со дня рождения — М.: Знание, 1985.—
47 с.— (Математика. Кибернетика).— 11 к. 30 860 экз.
Историко-математические исследования. Вып. 28/Отв.
ред. А. П. Юшкевич.— М.: Наука, 1985.— 351 с.— 3 р.
1250 экз.
Историко-математические исследования. Вып. 29 / Отв
ред. А. П. Юшкевич.— М.: Наука, 1985,—349 с.— 3 р.
1500 экз.
Учебники и учебные пособия для вузов. Монографии
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комп-
лексного переменного: Учебник для вузов.— 2-е изд.,
перераб., доп.— М.: Наука, 1985.— 464 с.— 1 р. 130 000
экз.
Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгеб-
ра в примерах и задачах: Для вузов.— М.: Высшая
школа, 1985.— 232 с.— 55 к. 50 000 экз.
Кудрявцев Л. Ц. Современная математика и ее пре-
подавание: Учебное пособие для вузов.— 2-е изд.,
доп.— М.: Наука, 1985.— 170 с.— 30 к. 29 500 экз.
Научно-популярные книги
Коробенок Е. В., Столяр А. А. Сколько сторон у по-
верхности?: Беседы с учащимися 7—10 классов.—
Минск: Народная асвета, 1985.— 158 с.—30 к. 39 000 экз.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятност-
ны:. задач с решениями / Пер. с англ.— 3-е изд.— М.:
Наука, 1985.— 86 с.— 25 к. 250 000 экз.
Учебники и учебные пособия
для средних учебных заведений
Алимов Ш. А. и др. Алгебра: Пробный учебник для
6 класса.— 5-е изд., дораб.— М.: Просвещение, 1985.—
207 с.— 15 к. 360 700 экз.
Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа: Проб-
ный учебник для 9—10 классов.— 2-е изд., перераб.—
М.: Просвещение, 1985,— 304 с,— 30 к, 636 000 экз.
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Гео-
метрия: Пробный учебник для 7 класса.— М.: Просве-
щение, 1985.— 192 с.— 15 к. 35 000 экз.
Атанасян Л. С. и др. Геометрия: Пробный учебник
для 9—10 классов.— 2-е изд., перераб.— М.: Просвеще-
ние, 1985.— 255 с.— 30 к. 576 000 экз.
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Проб-
ный учебник для 5-го класса средней школы.— 2-е
изд.— М.: Просвещение, 1985.— 239 с.— 25 к. 400 000
экз.
Макуха А. С., Покровский В. С., Ушаков Р. П. Ма-
тематика: Письмен 'ые экзаменационные работы. Спра-
вочное пособие.— Киев, Вища школа, 1985.— 495 с.—
1 р. 80 к. 50 000 экз
Основы информатики и вычислительной техники:
Пробное учебное пособие для средних учебных заведе-
ний. В 2-х ч.— М.: Просвещение, 1985.— Ч. I / Под ред.
А. П. Ершова, В. М. Монахова.— 96 с.— 15 к. ЗЗООоОи
экз.
Пособие по математике для поступающих в вузы / Под
ред. Г. Н. Яковлева.— 2-е изд.— М.: Наука, 1985.—
480 с.— 1 р. 50 к. 400 000 экз.
Фридман Л. М. Учитесь учиться математике: Книга
для учащихся.— М.: Просвещение, 1985.— 113 с.— 25 к.
381 000 экз.
Методика преподавания математики
Бекаревич А. Н. Формирование понятия числа в 4—
8 классах: Книга для учителя:— Минск: Народная асве-
та, 1985.— 120 с.— 25 к. 16 300 экз.
Василевский А. Б. Метод параллельных проекций:
Пособие для учителя.— Минск: Народная асвета,
1985.— 128 с.— 25 к. 12 300 экз.
Изучение основ информатики и вычислительной тех-
ники: ^Методическое пособие для учителей н препода-
вателей средних учебных заведений. В 2-х ч. / Под ред.
А. П. Ершова, В. М. Монахова.— М.. Просвещение,
1985 —Ч 1,- 191 с —25 к. 210 000 экз.
Любимов К. В., Ревунов А. Д., Чежегов А. А. Мик-
рокалькулятор на занятиях по физике в 7 классе:
Учебное пособие для учащихся.— М.: Просвещение,
1085.— 47 с.— 5 к. 264 000 экз.
Методика преподавания математики в средней шко-
ле: Общая методика. Учебное пособие для вузов / Сост.
Р. С. Черкасов, А. А. Столяр.— М.: Просвещение,
1985,—336 с — 1 р. 42 000 экз.
Пешков К. И., Чесноков А. С. Дидактические мате-
риалы по математике для 5 класса: Пособие для учи-
теля.— М.: Просвещение, 1985.— 111 с.— 15 к. 951 000
экз.
ХРОНИКА'
В секции средней школы
Московского математического
общества
(год 37-й)
В течение 1984/85 учебного года состоялось семь засе-
даний секции средней школы Московского математиче-
ского общества. По традиции заседания секции про-
ходили в третий четверг месяца — с октября по ап-
рель включительно — на механико-математическом фа-
культете Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова, в Главном здании МГУ на
Ленинских горах.
18 октября 1984 г. с докладом «Некоторые основ-
ные принципы преподавания математики» выступил
Н. М Бескин. Он обстоятельно проанализировал раз-
личные содержательные, методологические, методиче-
ские, психологические и другие аспекты преподавания
математики и попытался в виде кратких, афористичных
принципов сформулировать свою точку зрения. Боль-
шой интерес представляли многочисленные конкретные
примеры, которыми автор иллюстрировал сделанные
выводы (см.: Математика в школе, 1985, № 1).
Вступительным экзаменам по математике в Москов-
ский университет, проводившимся летом 1984 г., было
посвящено заседание 15 ноября. С сообщением по
этому вопросу выступил И. И. Сергеев, который проде-
монстрировал образцы вариантов, предлагавшихся на
различных факультетах МГУ, рассказал об уровне тре-
бований на письменных и устных экзаменах по мате-
матике, о характерных ошибках поступающих и типич
ных недостатках их подготовки. Особое внимание было
удалено содержанию вариантов письменных работ на
механико-математическом факультете, а также на фа-
культете вычислительной математики и кибернетики
(см.: Математика в школе, 1985, № 1; Квант, 1985,
№ 2)
Заседание 20 декабря 1984 г. было посвящено
истории и традициям математических олимпиад школь-
ников в нашей стране. Выступивший с основным док-
ладом Н. Б. Васильев рассказал о первых школьных
математических олимпиадах в Советском Союзе, об
истории их проведения в Ленинграде и Москве, о зарож-
дении Всероссийских, а затем и Всесоюзных математи-
ческих олимпиад школьников. Сообщение Г. Ш. Фрид-
мана (Омск) было посв°щено опыту работы со школь-
никами, накопленному в Омском университете, и
в частности новой интересной форме математических,
олимпиад школьников — командным олимпиадам (см.:
Учительская газета, 1985. 23 мая). Выступление
Н. Н. Константинова содержало подробный анализ
опыта внеклассной работы со школьниками по мате-
матике в Москве и в Латвийской ССР.
17 января 1985 г. Э. П. Кажанд'иан сделал док-
лад «Школьник—абитуриент — студент — инженер». На
основе опыта преподавательской работы в вузе доклад-
чик высказал свои соображения о путях повышения
качества преподавания и усвоения математики, об
улучшении профориентации школьников, о выявлении
тех учащихся, которые могут в дальнейшем стать
творческими инженерами. Основное внимание было уде-
лено необходимости преодолеть формализм в препода-
вании математики в школе, всесторонне развивать ин-
терес учащихся к этому предмету.
В 1984 г. исполнилось 20 лет со времени создания
Бессоюзной заочной математической школы АПН СССР
при МГУ. Этому юбилею было посвящено заседание
секции, состоявшееся 21 февраля 1985 г. На засе-
дание были приглашены члены научного совета школы,
учителя-методисты ВЗМШ и работающие в ней студен-
ты. О значении ВЗМШ в деле пропаганды математиче-
ских знаний, развития интереса школьников к матема-
тике, оказания конкретной помощи учителям рассказал
Н. X. Розог. С историей создания школы, итогами ее
двадцатилетней работы и основными методическими
принципами собравшихся познакомил Ж. М. Раббот.
В своих выступлениях Н. Гринберг н Б. Хесин говори-
ли об участии в деятельности ВЗМШ студентов универ-
ситета, о той пользе, которую получают и они сами
от такой работы. С. Л. Табачников и В. Л. Гутенмахер
на конкретных примерах показали большие возможно-
сти использования методических разработок ВЗМШ
в организации внеклассных занятий по математике.
Р. С. Черкасов подчеркнул ту существенную помощь,
которую оказывает ВЗМШ учителям, особенно моло-
дым, преподающим в сельских школах, в небольших
городах и рабочих поселках, вдали от научно-педагоги-
ческих центров (см.; Математика в школе, 1984, № 4).
21 марта состоялся доклад И. Г. Габовича (Киев)
^Использование свойств периодических функций двух
переменных при решении задач по элементарной мате-
матике». В докладе было приведено определение пе-
риодической функции двух переменных, перечислены
свойства таких функций. Главное внимание автор уде-
лил возможности использовать это понятие для реше-
ния разнообразных систем тригонометрических урав-
нений.
Замечательному событию — 50-летию со дня прове-
дения первой Московской математической олимпиады
для школьников — было посвящено совместное заседа-
ние Московского математического общества и секции
средней школы ММО, состоявшееся 2 апреля 19о5 г.
Во вступительном слове В. И. Арнольд указал на
огромное значение этого события для развития совет-
ской математической школы, воспитания молодых ма-
тематиков в нашей стране. Участники заседания заслу-
шали доклады: А. Н. Колмогорова «I Московская
школьная математическая олимпндда», Н. Б. Васильева
«Первые Всесоюзные математические олимпиады школь-
ников», Е. А. Морозовой «Первые Международные ма-
тематические олимпиады школьников», Н. X. Розова,
А. П. Савина н Ю. П. Соловьева «Математические
олимпиады школьников и пропаганда математических
знаний». С воспоминаниями о первой Московской олим-
пиаде выступили ее победители И. Н. Зверев и
Н. М. Коробов. Собравшиеся не забыли и об Анне
Мышкис — победителе этой олимпиады, павшей смертью
храбрых во время Великой Отечественной войны.
Л. И. Г оловина выступила с воспоминаниями о
Д. О. Шклярском, замечательном математике н педа-
гоге, одном из зачинателей школьных математических
кружков в Московском университете, героически погиб-
шем в боях с фашистами в 1942 г. (см.: Учительская
газета, 1985, 23 мая).
7 мая члены секции средн, й школы ММО присут-
ствовали на заседании Московского математического
общества, посвященном 40-летию Победы советского
народа в Великой Отечественной войне. С докладами
выступили: А. Б. Шидловский «Участие преподавате-
лей и студентов механико-математического факультета
МГУ в Великой Отечественной войне», X. А. Рахма-
тулин «Удар при наличии пластической деформации»,
Е С. Вентцель «О работах А. Н. Колмогорова и его
школы по теории стрельбы», Б. В. Шабат «О работах
М. А. Лаврентьева в военные годы».
В заседаниях секции средней школы Московгкого ма-
тематического общества могут принимать участие
не только члены секции, но и все желающие. Тематика
докладов и сообщений представляет интерес для пре-
подавателей математики школ, профтехучилищ и тех-
никумов, для сотрудников педагогических учреждений,
75
студентов математических факультетов пединститутов.
За справками о работе секции и о вступлении в члени
секции необходимо обращаться к Нине Николаевне
Марчук в научный отдел механико-математического
факу гьтета МГУ (Главное здание МГУ, 15 этаж,
комн. 15—14, телефон 139-17-70).
Н. X. Розов
Методические семинары
в Москве
«Актуальные проблемы совершенствования
преподавания математики в средней школе»
В прошедшем учебном году на Всесоюзном семинаре
«Актуальные проблемы совершенствования преподавания
математики в средней школе» обсуждались предложе-
ния различных организаций по выполнению Основных
направлений реформы средней общеобразовательной
школы.
Первой линией в деятельности семинара явилось об-
суждение вопросов, связанных с введением в школу но-
вого предмета «Основы информатики и вычислительной
техники».
На заседании 3 октября 1984 г. директор Научно-ис-
следовательского института содержания и методов
обучения АПН СССР профессор В. М. Монахов расска-
зал собравшимся о V Международном конгрессе по ма-
тематическому образованию, осветив основные тенден-
ции развития среднего математического образования в
различных странах, проявляющиеся в связи с компьюте-
ризацией. Докладчик выделил Кйк позитивные, так и
негативные тенденции в использовании вычисли тельной
техники в процессе обучения.
Зарубежный опыт применения микропроцессорной
техники в средней школе рассматривался и на сле-
дующем заседании 12 ноября. В своем докладе за-
ведующий лабораторией микропроцессорной техники
НИИ СиМО А. А. Кузнецов показал различные аспекты
использования микропроцессоров в практике обучения
как математике, так и другим предметам, вскрыл проб-
лемы технического оснащения обучения и создания
учебных программ.
Эта линия работы семинара в прошлом учебном году
завершилась обсуждением 3 апреля 1985 г. програм-
мы и содержания нового курса «Основы информатики
и вычислительной техники». Авторский коллектив пер-
вого школьного пособия по этому курсу познакомил
слушателей с основными проблемами tro разработки.
Вторая группа вопросов, обсуждавшихся на семина-
ре, была связана с предложениями Министерства про-
свещения СССР и комиссии по школьному математиче-
скому образованию Отделения математики АН СССР
по реализации Основных направлений реформы средней
школы.
9 января 1985 г. заместитель председателя комис-
сии профессор А. С. Мищенко разъяснил главные по-
ложения решения комиссии по поводу действующих и
пробных учебников математики (см.: Математика в шко-
ле, 1984, № 6). В ходе острой дискуссии были выявле-
ны требования, которые следует предъявлять в настоя-
щее время к учебникам для средней школы.
На заседании 6 февраля инспектор Главного уп-
равления школ МП СССР Б. В. Сорокин в своем до-
кладе рассказал о плане мероприятий, намеченных Ми-
нистерством просвещения СССР по реализации ре-
формы.
В связи с тем что в деле проведения реформы в
жизнь главная нагрузка ложится на учителя, возникла
настоятельная необходимость обсудить проблемы под-
готовки учителей математики к этой работе. Поэтому
третьим направлением деятельности семинара было об-
суждение предложений по совершенствованию подго-
товки учителя математики в рамках педагогических ин-
ститутов.
6 марта обсуждалось сообщение заведующего ка-
федрой методики преподавания математики МГПИ
им. В. И. Ленина профессора В. И. Мишина о системе
методической подготовки учителя, которая разработана
сотрудниками этой кафедры.
15 мая собравшиеся заслушали сообщение заведую-
щего кафедрой математического анализа в МГЗПИ до-
цента А. Г. Мордковича о совершенствовании профес-
сиональной направленности математической подготовки
будущего учителя.
В ходе этих заседаний был дан всесторонний анализ
проблем обучения будущих учителей, совершенствова-
ния программ и методики преподавания в педагогиче-
ских институтах.
В 1985/86 учебном году семинар продолжает свою ра-
боту. Заседания проводятся в первую среду каждого
месяца в помещении НИИ содержания н методов обу-
чения АПН СССР.
И. А. Лурье
«Передовые идеи в преподавании математики в СССР
и за рубежом»
26-й год своей деятельности семинар начал с подведе-
ния итогов своей работы за 25 лет. На первом заседании
13 сентября 1984 г. секретарь семинара В. Н. Шап-
кина проанализировала тот вклад, который вносит се-
минар в дело совершенствования математического об-
разования своей пропагандой передовых научно-методи-
ческих идей.
На последующих восьми заседаниях участники семи-
нара подчеркивали связь обсуждаемых проблем с зада-
чами реформы советской общеобразовательной школы.
11 октября Н. Б. Шапошникова (г. Тула) сделала
обзор болгарского журнала для учащихся «Математи-
ка» за 1981/82 учебный год. Она подчеркнула, что в
журнале ведется широкая пропаганда знаний по элект-
ронно-вычислительной технике, подробно освещаются
вопросы внеклассной [ а боты и ученического творчества.
Проблемы методологии и истории математики также не
остаются в стороне и излагаются в доступной для уча-
щихся форме — в виде историко-математических очер-
ков или биографий известных математиков.
С особым интересом слушатели встретили сообщение
Г. Л. Луканкина (Москва), состоявшееся 29 ноября.
Оно было посвящено итогам экспериментальной провер-
ки пробных учебников по математике: «Математика 4—
5» (И. В. Баранова и др), «Алгебра 6—8» (Ш. А. Али-
мов и др.), «Геометрия 6—10» (Л. С. Атанасян и др.).
Проверку проводили сотрудники МП РСФСР и НИИ
школ МП РСФСР. Г. Л. Луканкин доложил о масшта-
бах проверки, ее целях и формах организации.
В. А. Оганесян (Ереван) рассказал 13 декабря о
результатах своего исследования «Разработка системы
критериев отбора основного содержания обучения ма-
тематике в свете требований реформы шкояй». Доклад-
чик дал конкретные примеры отбора учебного материа-
ла по ряду тем школьных курсов алгебры и геометрии,
а также показал, как может быть реализована данная
система критериев при анализе, сравнительной оценке и
совершенствовании программы и учебников по матема-
тике.
10 января 1985 г. И. Ф. Шарыгин (Москва) вы-
ступил с авторскими комментариями к сборнику «За-
дачи по геометрии», который появился в серии «Биб-
лиотека журнала „Квант”» (1982, вып. 17; 1981,
вып. 31). Автор остановился на проблемах классифи-
кации задач, принципах нх отбора, на достоинствах и
76
недостатках элементарно-геометрических методов pe-
rn :нья.
На заседании 14 февраля старший преподаватель
Гаванского университета А. И. Гончарова рассказала
об особенностях оценки знаний учащихся в общеобра-
зовательной школе Кубы. Обрисовав структуру матема-
тического образования в школах и вузах Республики
Куба, она проанализировала систему оценки знаний
(100-балльпую в средней школе и 5-балльную в вузе),
отметив ее достоинства и недостатки.
С системой математического образования в Рес-
публике Бенин слушатели ознакомились 14 марта.
Стажер Университета дружбы народов им. П. Лумумбы
Леопольд Гримо представил слушателям полную струк-
туру математического образования своей страны, начи-
ная с элементарных и средних школ и кончая универ-
ситетом. Особый интерес вызвали программы по ма-
тематике в школах и университетах, на которых до-
кладчик подробно остановился.
11 апреля участники семинара обсуждали вопросы
введения в школу электронно-вычислительной техники.
Е. В. Ашкинузе (Москва) в докладе «Использование
вычислительной техники при изучении начал анализа в
средней школе» проанализировала имеющиеся здесь
возможности, связанные с формированием основных по-
нятий курса, знакомством школьников с некоторыми
численными методами анализа, исследованием эмпири-
ческих данных, таблиц и пр.
На заседании 23 м а я Д. А. Антонов (г. Чебоксары)
сделал доклад «Основы профессиональной подготовки
учащихся на занятиях по математике в средней шко-
ле». Он обобщил опыт своей работы в этом направле-
нии и опыт своих коллег — учителей Чувашской АССР
применительно к сельской школе. Предложения автора
нашли отражение в его учебном пособии «Сборник за-
дач и методических рекомендаций для студентов и учи-
телей сельских школ», изданном МП РСФСР.
В 1985/86 учебном году семинар продолжает свою
работу при AIockobckom городском институте усовер-
шенствования учителей. Заседания по-прежнему прово-
дятся во второй четверг месяца в 17 ч 30 мнн по адре-
су; Москва, пер. Островского, д. 7-а.
В. Н, Шапкина
Республиканский семинар
в Минске
В октябое 1984 г. Республиканский научно-практический
семинар «Актуальные проблемы преподавания математи-
ки в средней школе» отметил 10-летие своей работы.
Семинар действует при НИИ педагогики МП БССР
и объединяет около 200 работников народного образо-
вания. Среди иих более половины — учителй и руково-
дители школ, значительную часть составляют научные
сотрудники, преподаватели университетов и педагогиче-
ских институтов, инспектора отделов народного обра-
зования, заведующие кабинетами математики и мето-
дисты институтов усовершенствования учителей. Одной
из основных задач, стоящих перед семинаром, являет-
ся ознакомление педагогической общественности с но-
вейшими достижениями педагогики, дидактики, методи-
ки преподавания математики, передового опыта и со-
действие внедрению чх в практику.
За время своего существования семинар заслушал
представителей всех областей республики. Ряд белорус-
ских методистов, опробовав первоначально свои мате-
риалы на семинаре, издали затем книги или опублико-
вали статьи в центральных журналах и сборниках на-
учных работ Многие учителя — акшвисты семинара —
стали общественными методистами, руководителями ме-
тодических объединений. Они часто выступают с лек-
циями перед учителями. Это, например, М. К. Тятюшки-
на (шк. № 2 г. Молодечно), Е. Н. Ровдо (Нарочская
шк. Минской обл.), 11. И. Киш (Минское специальное
училище), С. Л. Копелевич. (шк. № 10 г. Полоцка),
А Л1. Фельдман (шк. № 19 Ачинска).
Большую поддержку семинар получил со стороны
известных ученых, педагогов и методистов — сотрудни-
ков НИИ СиМО АПН СССР и МГПИ им. В. И. Лени-
на. Работа семинара проходит в плодотворном сотруд-
ничестве с кабинетами математики Республиканского
ИУУ, минских Областного и Городского ИУУ, кафедра-
ми методики математики Белорусского государственно-
го университета им. В. И. Ленина и Минского педаго-
гического института им. А. М. Горького. Отдельные за-
седания проводились совместно с этими подразделения-
ми названных институтов.
В 1984/85 учебном году состоялось 6 заседаний.
С докладом «О работе семинара в 1974—1984 гг. и за-
дачах, вытекающих из Основных направлений рефор-
мы школы» выступил научный руководитель семинара
В. Ю. Гуревич.
Вопросы, поднятые реформой школы, по-своему осве-
щали все выступавшие.
С докладом «Актуальные проблемы преподавания ма-
тематики в свете требований реформы школы» высту-
пил профессор А. А. Столяр (Могилевский пединсти-
тут). Он показал активные методы обучения, ориенти-
рованные на то, чтобы предоставить ученику как мож-
но больше возможностей самому познавать математи-
ческие факты, затронул также некоторые вопросы фор-
мирования алгоритмической культуры учащихся.
В своем докладе «О содержании школьного курса гео-
метрии» профессор А. С. Феденко (БГУ им. В. И. Ле-
пина) дал исторический обзор развития, изменения и
совершенствования содержания школьного курса гео-
метрии и анализ нынешнего учебника геометрии с точки
зрения требований реформы.
Основным итогам Всесоюзной олимпиады школьни-
ков, состоявшейся в 1985 г. в Могилеве, результатам
выступления па ней белорусских школьников посвяти-
ли свои доклады члены жюри олимпиады В. В. Вави-
лов ‘МГУ им. А1. В. Ломоносова), С. В. Резниченко и
Н. X. Алахакое (МФТИ), А. М. Слинько (ВНИИ си-
стемных исследований), Б. И. Чиник (Институт матема-
тики АН Молдавской ССР), В. И. Берник (Институт ма-
тематики АН БССР). Они рассказали также о процессе
составления задач для Всесоюзной и республиканских
математических олимпиад, привели примеры таких за-
дач и их решений. Член редколлегии журнала «Квант»
В. В. Вавилов рассказал о перспективном плане содер-
жания основных рубрик журнала. Состоялся заинтере-
сованный разговор о путях выявления, воспитания н
развития способных к математическому творчеству уча-
щихся.
Методика работы с микрокалькулятором МКШ-2 в
средней школе обсуждалась в докладе профессора
Г. Н Скобелева (Могилевский пединститут). Он пока-
зал пути применения калькуляторов при изучении от-
дельных тем школьных курсов геометрии, алгебры и
начал анализа и при решении задач прикладного ха-
рактера.
«АГетодика построения системы уроков, ориентирован-
ной на реализацию основных программных требований,
и применение микропроцессорной техники в учебно-вос-
питательном процессе» — такова была тема выступле-
ния В. Ю. Гуревича (НИИ педагогики АШ БССР).
В. fO. Гуревич
77
Тематический указатель статей,
опубликованных в журнале
в 1985 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
40-летию Великой Победы — № 2, с. 3.
XXVII съезду КПСС — достойную встречу! — № 6,
с. 3.
А Политбюро ЦК КПСС — № 3, с. 3.
Всестороннее и глубокое овладение электронно-вы-
числительной техникой — важнейшая задача — Ns 4,
с. 3.
Достойно завершить пятилетку — Ns I, с. 3.
Повышение эффективности урока — ключевая задача
совершенствования учебно-воспитательного процесса —
№ 5, с. 3
Программа по математике для средней общеобразова-
тельной школы (V—XI классы) — Ns 6, с. 7.
НАРОДНЫЕ УЧИТЕЛЯ СССР
Агтоянц Э. С., Копылов В. С. Элисео Даниловна Ба-
сина — № 1, с. 7.
Шарифов Дж., Сафаров Дж. Иди Халифаев — № 1,
с. 9.
Элеменкин В. И., Таллин Л. Г. Петр Никифорович
Чернов — Ns 1, с. 8.
СЛОВО ◦ ФРОНТОВИКАХ
Пичурин Л. Ф. Михаил Романович Куваев — № 3,
с. 64.
Рахимов Б.. Халиков А. Хайдар Асадович Асадов —
•Ns 3, с. 66.
Тюлина И. А. Механико-математический факультет
МГУ в Великой Отечественной войне — Ns 2, с. 7.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Болтянский В. Г., Пашкова Л. М. Проблема политех-
низации курса математики — Ns 5, с. 6.
Гусев В. А., Медяник А. И. Самостоятельные работы
по геометрии в VIII классе — № 1, с. 25.
Гусев В. А., Медяник А. И. Самостоятельные работы
по геометрии в IX классе— № 4, с. 34; Ns 5, с. 24.
Денищева Л. О. Первые уроки курса алгебры и на-
чал анализа в IX классе — Ns 4, с. 33.
Дчшинский Е. А., Коняхин А. Б. Совершенствовать
опыт воспитания при обучении математике — № 5, с. 16.
К началу обучения геометрии в VIII классе по ново-
му учебному пособию — Ns 1, с. 16.
Кузнецов А. А. Формирование представлений о науч-
ных основах автоматизации производства на уроках ма-
тематики— № 1, с. 13.
Кузнецова Л. В., Решетников И. Н„ Фирсов В. В
Планирование обязательных результатов обучения —
Ns 2, с. 14.
Макарычев Ю Н., Миндюк П. Г., Суворова С. Б.
Об учебниках алгебры VI и VII классов —Ns 3, с. 28.
Мантуров О. В. О воспитательных возможностях уро-
ка математики — Ns 5, с. 13.
Мостовой А. И. Н К. Крупская о математике и пре-
подавании ее в школе — № 1, с. 11.
Нейматов А. А. Решение задач на построение по-
средством угольника — № 1, обложка.
Об использовании в 1985/86 учебном году учебных
пособий и рекомендаций по планированию и проведе-
нию контрольных работ — № 4, с. 31.
Обязательные результаты обучения — № 2, с. 17; №3,
с. 18; 4, с. 26.
О преподавании математики в 1985/86 учебном году:
Методическое письмо — Ns 3, с. 12.
Примерные контрольные работы — № 4, с. 16.
Примерные планирование и контрольные работы по
геометрии в IX классе иа 1985/86 учебный год — № 3,
с. 31.
Примерное планирование учебного материала иа
1985/86 учебный год — Ns 3, с. 16.
Хитрук В. С. Таблица простых и составных чисел —
Ns 5, обложка.
Цукарь А. Я. О некоторых упражнениях при изуче-
нии стереометрии — Ns 2, обложка.
Основы информатики
и вычислительной техники
К началу обучения основам информатики и вычисли-
тельной техники — Ns 4, с. 5; № 5, с. 35.
Львов О. Р. Проблемы большого дела — № 2, с. 31.
Монахов В. М. О содержании курса «Основы инфор-
матики и вычислительной техники» — № 3, с. 7.
Программа курса «Основы информатики и вычисли-
тельной техники» — № 3, с. 4.
Тесленко И. Ф.. Распопов В. Б. Задачи компьютери-
зации — Ns 2, с. 29.
От Министерства просвещения РСФСР
Об устном экзамене по геометрии в восьмых классах
общеобразовательных школ РСФСР (для школ, рабо-
тающих по учебнику Л. С. Атанасяна и др.) — Ns 2,
с. 34.
Об экзаменационных билетах по геометрии в вось-
мых классах общеобразовательных школ РСФСР —
Ns 1, с. 28.
Повышение эффективности урока
Губа С. Г. О некоторых причинах перегрузки учащих-
ся при обучении математике — № 6, с. 32
Калягин Ю. М., Пикан В. В. О прикладной и практи-
ческой направленности обучения математике — № 6,
с. 27.
Кухарь А. В. Некоторые пути формирования позна-
вательного интереса у учащихся IV—V тлассов — Ns 5,
с. 21.
Марголите П. С. Подготовка учителя к доказательст-
ву теорем на уроке — № 2, с. 25.
Миндюк И. Г. Основные этапы формирования навы-
ков тождественных преобразований алгебраических вы-
ражений— № 5, с. 17.
Утеева Р. А. Групповая работа как одна из форм дея-
тельности учащихся на уроке — № 2, с. 21.
Шираков А. Н. Нестандартные задачи на уроках ма-
тематики в V классе — Ns 2, с. 23.
Из опыта работы
Грузин А. И. Организация эвристической беседы в на-
чале обучения геометрии — № 6, с. 38.
Куваев М Р. Диалог как форма обучения доказа-
тельствам — № 6, с. 36.
Кутафьева Л. К. Самостоятельные работы по геомет-
рии в VIII классе — Ns 4, с. 40.
Лиховецкая Т. П. Игра «Вычислительная машина» в
IV—V классах — Vs 3, обложка.
Панарина Г. П. Знакомить учащихся с нашими до-
стижениями— Ns 6, с. 41.
Шихалиев X. Ш. О решении задач с помощью про-
порций — Ns 6, с. 40.
Ястребинецкий Г. А. Об изучении геометрии в IX
классе — Ns 4, с. 37.
78
Из опыта работы
по укреплению внутрипредметных
и межпредметных связей
Бевз Г. П. Прикладная направленность темы «Тела
вращения» — № 5, с. 27.
Верченко С. Б. Реализация межпредметных связей
при формировании пространственных представлений
учащихся IV—V классов — № 5, с. 31.
Новосельцева 3. И. Некоторые примеры мотивации
изучения теорем — Хе 5, с. 29.
Резник Н. А. Об особенностях усвоения геометрии
учащимися, обучающимися музыке — № 5, с. 34.
Методика организации повторения
Барчунова Ф. М., Ройтман П. Б. Организация повто-
рения курса геометрии в X классе — № 1, с. 39.
Березина Л. 10., Никольская И. Л. Методические ре-
комендации к заключительному повторению курса гео-
метрии VI—VIII классов по учебному пособию А. В.
Погорелова — № 1, с. 32.
Зайченко Н. В. 1 ри этана обобщающего повторения
курса алгебры VIII класса — № 1, с. 30.
Смирнова И. М. Задачи к повторению темы «Много-
гранники» — № 1, с. 47.
Тюрин Н. Л. Задача для заключительного повторения
курса алгебры — № 1, с. 49.
Вступительные экзамены в вузы
Азамов А. А., Мельников Н. Н. Ташкентский государ-
ственный университет им. В И. Ленина — № 2, с. 36.
Алешко В. А. и др. Минский радиотехнический ин-
ститут — № 2, с. 43.
Асланов Г. И., Шахиджанян А. Г.— Степанакертский
педагогический институт — As 2, с. 41.
Воробьева М. А., Голдина В. Н. Московский автомо-
бильно-дорожный институт — № 2, с. 45.
Галушкина Ю. И., Тимохина А. О. Московский тех-
нологический институт пищевой промышленности—№ 2,
с. 46.
Жмулева А. В. Московский государственный педаго-
гический институт им. В. И. Ленина — № 1, с. 56.
Конет Н. М., Паньков Г. В., Цыгановский Н. С. Ка-
менец-Подольский государственный педагогический ин-
ститут им В. I Затонского — № 2, с. 38.
Конышев В. С. Киевское высшее зенитное ракетное
инженерное училище им. С. М. Кирова — № 2, с. 42.
Одинцова Л. А., Моторинский Ю. А. Математический
факультет Барнаульского государственного педагогиче-
ского института—№ 2, с. 37.
Онанченко К. О. Витебский государственный педаго-
гический институт им. С. М. Кирова — № 2, с. 37.
Осипова С. И., Тетерина Н. Г. Красноярский инсти-
тут цветных металлов им. М. И. Калинина — № 2, с. 43.
Семенова И. Н., Юдина И. Б. Коломенский педагоги
ческий инсть гут — № 2, с. 39.
Сергеев И. Н. Московский государственный универ-
ситет — Ns 1, с. 49.
Теоентсев А Д.. Федяев О. И. Московский областной
педагогический ннсти гут им. Н. К. Крупской — Ns 2,
с. 39.
Совершенствование подготовки
учителей математики
Программа педагогических вузов по истории матсма-'
тики — Ns 3, с. 57.
Программа по истории математики с элементами ме-
тодологии — № 3, с. 60.
Учебное оборудование
Бочарова А. П. Индивидуальный стереометрический
«Конструктор» — Ns 4, обложка.
Гордиенко В. Н. Повышение эффективности урока при
работе в автоматизированном классе — Ns 5, с. 48.
Гузь А. Г. Помощник в различных видах контроля—*
Ns 5, с. 50.
Степовенко В. Я. Устройство для хранения и демонст-
рации таблиц — № 6, обложка.
Проблемы и суждения
Александров А. Д. О строгости изложения в учеб-
ном пособии А В. Погорелова — Ns 5, с. 64.
Бескин Н. М. О некоторых основных принципах пре-
подавания математики — Ns 1, с. 59.
Кварацхелия Н. М. Дидактический анализ как сред-
ство обоснования методики изучения конкретных тем
курса математики — № 2, с. 47.
Кузнецов А. А., Бешенков С. А., Смекалин Д. О. ЭВМ
на уроках математики — Ns 6, с. 44.
Марнянский И. А. Различные взгляды на структуру
учебника — Ns 4, с. 41.
Мышкис А. Д., Сатьчнов П. Г. О формировании
культуры построения и применения графиков функ-
ций — № 4, с. 44.
Фаддеев Д. К. и др. Об элементах высшей матема-
тики в средней школе — Ns 6, с. 46.
Эксперимент
Антипов И. Н. Боковнев О. А., Шамшурин В. Л Обу-
чение уч iiHnvca VII класса работе на микрокалькуля-
торе МКШ-2 — Ns 3, с. 33.
Антипов И. Н. Программирование на Бейсике — № 4,
с. 48.
Беденко Н. К., Дечищева Л. О., Лурье И. А. Зачетная
форма проверки знаний учащихся в средних ПТУ —
№ 5, с. 51.
Окунев А. А., Ржавинский А. И., Рыжик В. И. Об
экспериментальном преподавании стереометрии — № 3,
с. 36.
Из истории математики
Дорофеева А. В. Десятичные дооби (нх изобретение
и распространение) — Ns 5, с. 68.
Новинский Г. Д. Первые логические машины — Ns 5,
с. 70.
Внеклассная работа
Айзенберг М. И., Петрушин П. К. Некоторые формы
внеклассной работы по математике — № 5, с. 54.
Балк М. Б., Балк Г. Д. О привитии школьникам на-
выков эвристического мышления — № 2, с. 55.
Бескин Н. М. Об одной ошибке — Ns 6, с. 61.
Болтянский В. Г. Графическое решение уравнения
четвертой степени — № 1, с. 63.
Борисова В. А , Дубинчук Е. С. Математика и про-
фессия — Ns 3. с. 43.
Бурдин А. О. К празднованию Дня Победы — № 2,
с. 50.
Готман Э. Г. Неравенства в геометрических зада-
 чах — № 3, с. 46.
Гришин А. В., Пономаренко А. С., Слчнько А. М.
XIX Всесоюзная олимпиада школьников по математи-
ке — Ns 6, с. 48.
Злоцкий Г. В. Геометрическая интерпретация приемов
вычислений — № 2, с. 60.
Зубелевич Г. И. Внеклассная работ* по математике
в IV—V классах — Ns 4, с. 57.
Изаак Д. Ф. Доказательство существования центра
подобия и его построение — Ns 6, с. 60.
Клейман Я. Л1. Математические вечера в профтехучи-
лищах — № 5, с. 55.
Корикова Т. М., Скопец 3. А. Об использовании еди-
нично) о вектора при решении задач — № 6, с. 58.
79
Кузнецова Г. Б., Шарова О. П. Некоторые рекомен-
дации для внеклассной работы по математике в VI—
VHI классах — № 4, с. 61.
Купцов Л. П. и др. Заключительный этап XI Всерос-
сийской физико-математической и химической олимпиа-
ды школьников — Л» 6, с. 55.
Купцов Л. П. и др. Третий тур XI Всероссийской
олимпиады школьников по математике — Ns 4, с. 52.
Кушнир И. А. Решение задач с помощью некоторых
векторных формул — № 1, с. 61.
Мисевич М. М. Разнообразить формы проведения вне-
классной работы — Ns 3, с. 48.
Петрова Р. Г. Зависимость между векторным выра-
жением и его геометрическим истолкованием — № 3,
с. 40.
Сарычева Т. А., Фомин А. А. XXV Международная
математическая олимпиада — Ns 2, с. 52.
Скопец 3. А. Сопряженность точек относительно ок-
ружности — № 3, с. 44.
Табачников С. Л. Всесоюзной заочной математиче-
ской школе АПН СССР при МГУ — 20 лет — Ns 4,
с. 65.
Якунина М. С. Приобщение учащихся к внеклассно-
му чтению по математике — Ns 1, с. 64.
Задачи
Ns 1, с. 65; № 2, с. 61; № 3, с. 51; № 4, с. 68; № 5,
с. 57; № 6, с. 63.
Замечания к решениям задач—Ns 1, с. 69; № 2,
с. 66; Ns 3, с. 55; Ns 4, с. 72; № 5, с. 61; № 6, с. 67.
Занимательная страница
Занимательные задачи — № 4, с. 67.
Кордемский Б. А. Математические досуги учителей —
№ 3, с. 49.
Михайлов И. И. Обращенные квадраты — № 5. с. 71.
Михайлов И И. Числовые курьезы — № 6, с. 70.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Анатолий Илларионович Ширшов — Ns 3, обложка.
Бонавентура Кавальери — Ns 6, обложка.
Владимир Васильевич Голубев — Ns 1, обложка.
Иван Яковлевич Денман— № 4, обложка.
Карл Вейерштрасс — № 5, обложка.
Николай Федорович Рубцов — Ns 2, обложка.
МАТГМАТИКА
И МАТЕМАТИКИ НАШЕГО ВРЕМЕНИ
Воронов А. А. и др. В поисках нового (о В. Г Бол
тянском) — № 2, с. 68,
Скобелев С. Л., Розов Н. X., Смирнова Г. Н. Про-
фессия — математик (об О. А. Олейник) — Ns 1, с. 72.
Математический календарь
На 1984/85 учебный год: март —апрель — № 1. с 75;
май — июнь — Ns 2, с. 73;
На 1985/86 учебный год: июль — август — Ns 3, с. 67;
сентябрь — октябрь — № 4, с. 75; ноябрь — декабрь —
№ 5, с. 72; январь — февраль — № 6, с. 68.
Поздравляем юбиляров
А А Дадаяну — 60 лет — Ns 3, с. 69.
В. Д. Белоусову — 60 лет — Ns 1, с. 76.
И. П. Егорову — 70 лет — Ns 3, с. 68.
Л. Я. Куликову—70 лет — Ns 3, с. 68.
Н. М. Матвеецу — 70 лет — Ns 1, с. 76.
Р. К. Атаджанову — 80 лет — № 3, с. 68.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Абрамович Ю. А. О неточностях при изложении тео-
ретического материала в некоторых пособиях — № 3,
с. 71.	-]
Блох А. Я. Прекрасный мир математики (об Энцикло- }
педическом словаре юного математика)—№ 6, с. 71. ь
Груденов Я. И. Полезная книга для студентов пед- 1
институтов — Ns 6, с. 71.
Молодший В. Н. К выходу в свет IV тома Матема-
тической энциклопедии — № 3, с. 70.	г
План изданий на 1986 г. издательства «Педагоги-
ка»— № 4, с. 76.	*
Хабиб Р А. План изданий на 1986 г. издательства 1
«Просвещение» — Ns 4, с. 78.	{
Шустеф Ф. М. Новые книги—№ 2, с. 74, № 3, с. 73;	1
Ns 4, с. 80; Ns 5, с. 78; Ns 6, с. 74.	1
Шушанский Н. И. План изданий Главной редакции 1
физико-математической литературы издательства «Неу- 1
ка» в 1986 г.— № 5, с. 77.	'
Из редакционной почты	,
Алимов Ш. А. и др. Письмо в редакцию — № 3, с 76.
Мищенко Т. М. Из опыта работы с учительским ак-
тивом — Ns 3, с. 74.
Тихонов А Н. Письмо в редакцию — Ns 1, с. 71.
ЗА РУБЕЖОМ
Ганчев И., Кучинов Й. Обучение математике в НРБ —
Ns 6, с. 73.
Левицкий М. Л., Леонтьева М. Р., Минаева С. С.
Опыт использования вычислительной техники в учебно-
воспитательных учреждениях ВНР — Ns 2, с. 75.
Монахов В. М. V Международный конгресс по ма-
тематическому образованию — № 5, с. 73.
Первин IO. А. Семинар «Пифагор» в Чехословакии —
Ns 2, с. 78.
ХРОНИКА
Всесоюзный конкурс — Ns 1, с. 77.
Всесоюзное совещание-семинар — Ns 3, с. 78.
Высшая награда Академии наук СССР — Ns 2, с. 79.
Гуревич В. Ю. Республиканский семинар в Минске —
Ns 6, с. 77.
Демидов С. С., Халамайзер А. Я- Школа по истории
математики в Одессе — Ns 3, с. 78.
Злоцкий Г. В., Ярмухамедов Ш. Я- О работе проб-
лемного совета при Самаркандском университете —
Ns 5, с. 80.
Лауреаты высоких премий 1984 г.— Ns 1, с. 10.
Луканкин Г. Л. В Научно-исследовательском инсти-
туте школ МП РСФСР — Ns 1, с. 78.
Лурье И. А. О работе семинара «Актуальные проб-
лемы совершенствования математики в средней шко-
ле» — Ns 6, с. 76.
Пополнение Академии наук СССР — Ns 2, с. 67.
Розов Н. X. В секции средней школы Московского
математического общества — №6, с. 75.
Шапкина В. Н. О работе семинара «Передовые идеи
в преподавании математики в СССР и за рубежом» —
№ 6, с. 76.
Некрологи
Балк М. Б. и др. Борис Иванович Аргунов — № 5,
с. 79.
Викин А. В. Иринарх Петрович Макаров — № 2. с. 80.
Залмаи Алтерович Скопец — Ns 1, с. 80.
Коганов Л. М„ Соколов М. Б. Наум Давыдович Гн-
ленко — № 5, с. 80.
к
Устройство для хранения и демонстрации таблиц
Три года назад паша Клесовская средняя школа нача-
ла работать в новом здании. Ооорудуя кабинет мате-
матики, мы с учащимися прежде всего задумались над
тем, где и как разместить учебные таблицы.
В старом здании таблицы располагались иа стендах
по боковым стенам класса. Но пользоваться такими
стендами не всем учащим! я было одинаково удобно.
В лучшем положении оказывались сидящие у противо-
положной стенду стены. А тем, чьи парты рядом со
стендом, но немного сзади или спереди от него, читать
написанное на ием было крайне трудно. Кроме того,
таблицы, всегда доступные обозрению, помогали стар-
шим, но мешали младшим школьникам, которые ничего
в них не понимали, но отвлекались, рассматривая на
уроке «замысловатые» фигуры и формулы.
Всегда открытые таблицы пылились, пачкались, пор-
тились от любого случайного прикосновения, краски вы-
горали.
Исходя из этих соображений, мы решили с учащи-
мися сделать устройство, которое служило бы удобным
хранилищем для таблиц и одновременно позволяло де-
монстрировать любую из них.
Такое устройство-полуавтомат на 30 таблиц мы
сконструировали в 1983 г., и с тех пор оно работает
безотказно.
Устройство имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда (его размеры показаны на рис. 1), внутри кото-
рого проходит вал (1) с закрепленными на нем непод-
вижно двумя несущими дисками (2). В этих дисках
сделано по 30 отверстий диаметра 1,5 мм. В отверстия
вставляют выступы проволоки — «отростки» от так на-
зываемых лепестков (3). На лепестках с обеих сторон
сделаны нужные изображения; каждая пара лепестков
в развернутом виде, т. е. нижний и верхний, составляет
одну таблицу.
Лепестки изготавливаются следующим образом. Лист
плотного картона или инсулака (600X400 мм) склады-
вают пополам так, как показано на рис. 1. Между по-
ловинками картона (4) закладывают стальную прово-
локу (5) длиной 610 мм; она плотно примыкает к ли-
нии перегиба картона и выступает на 5 мм от его
обоих краев. Эти выступы проволоки мы называем от-
ростками (6). Обе половинки картона склеивают. Те-
перь осталось нанести на обе стороны картона нужные
изображения и вставить отростки готового лепестка в
отверстия несущих дисков.
К основному валу с наружной стороны устройства
прикреплен диск (7) для набора номера таблицы.
Диск (7) вращается синхронно с несущими дисками.
По внешнему контуру наборного диска сделаны заточ-
ки для фиксации механизма в нужном положении.
Фиксатор монтируется иа ограничительной скобе (8).
По окружности наборного диска расположены 30 круг-
лых отверстий и возле них написаны номера таблиц.
Список таблиц помещен на той же стенке устройства
под наборным диском.
Смотровое окно полуавтомата закрывается защитным
экраном (9) из оргстекла и закрепляется указкой (10).
При повороте диска верхний лепесток немного опус-
кается вниз, выходит из-под планки (11) смотрового
окна и под действием силы тяжести переворачивается
в нижнюю часть устройства. Следующий лепесток ста-
новится вертикально, но перевернуться вниз не может,
так как удерживается верхней планкой смотрового ок-
на. Механизм отрегулирован так, чтобы при повороте
от начального положения иа 1 номер опускался вниз
1 лепесток, на 2 номера — 2 лепестка и т. д.
На рис. 2 более подробно показана схема поворот-
ного механизма полуавтомата: 12 — места скольжения
в боковинах корпуса, 13 — отверстия для проволоки,
14 — скоба с фиксатором, 15 — наборный диск.
П₽И»Н*КМ РАВЕНСТВА
треугольников
Д Л ’ По дв4м стврвивп
4А 4\ --'жм
’ с^пТРем
Ст°Р0нкм.
'им’жГ иЛ»»н|’
"Д'ЖАЩНМ
ИСи ^ЛАМ
На рис. 3 показан прибор в рабочем состоянии. От-
метим еще раз. что одна таблица должна быть изобра-
жена иа двух соседних лепестках и именно на тех их
сторонах, которые образуют одни разворот.
Когда устройство находится в начальном положении,
то через его смотровое окно видна самая первая таб-
лица. На ней приведены правила пользования полуав-
томатом: а) вынуть указку, б) вынуть защитный экран,
в) иайти в списке название нужной таблицы и запом-
нить ее иомер, г) найти этот номер на наборном диске
и вставить тонкий конец указки в отверстие у этого
номера, д) повернуть указкой наборный диск против
часовой стрелки до упора указки в скобу, е) вынуть
указку из отверстия.
Описанное устройство позволяет за 5—7 секунд иай-
ти любую из хранящихся в нем таблиц и продемонст-
рировать ее учащимся. Если по каким-либо причинам
нужно, чтобы учащиеся видели таблицу в течение про-
должительного времени, то лепестки, где она изобра-
жена, можно вынуть из устройства и закрепить иа
доске.
В, Я. Степовенко (пос. Клесов Ровенской обл.)