55 коп.
Д.В. КЛЕТЕНИК
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ

Д. В. КЛЕТЕНИК
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЕ
ГЕОМЕТРИИ
Под редакцией проф. Н. В. ЕФИМОВА
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1980
22.151.5
К 48
УДК 516
От издательства
Настоящее (тринадцатое) издание книги не отличается
от предыдущего (1975 г.)
н
Давид Викторович Клетеник
Сборник задач по аналитической геометрии
М„ 1930 г., 240 стр. с нлл.
Редакторы Ф, И Кизнер, В. В, Данченко
Техн, редактор В. Н. Кондакова
Корректоры T. С, Плетнева, Н. Д. Дорохова
ИБ № 11596
Печать с матриц. Подписано к печати 06 03.80, Бумага 8IX108‘/m, тип. М 3.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Услозн, печ. л. 12,6. Уч.-изд. л. 14,73,
Тираж 290 000 экз. (1-й завод 1— 100 000- экз.). Заказ № 2899.
Цена книги 55 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской
типографии № 2 имени Евгении Соколозой «Союзполиграфпрома» при Госу-
дарственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Измайловский проспект, 29 в типографии Aft 2 изд-ва <гНаука»,
Москва, Г-99, Шубипский пер., 10
К 2”2°^У1 11-80. 1702040000
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на
плоскости ..............................................5
§ 1. Ось и отрезки осн. Координаты на прямой. (5). § 2. Декартовы
прямоугольные координаты на плоскости (7). § 3. Полярные координаты
(9). § 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось.
Проекция отрезка на оси координат Длина и полярный угол отрезка.
Расстояние между двумя точками (12). § 5. Деление отрезка в данном
отношении (161. § 6. Площадь треугольника (20). $7. Преобразование
координат (21),
Глава 2. Уравнение линии , .	25
§ 8. Функция двух переменных (26). § 9. Понятие уравнения линии
Задание линии при помощи уравнения (27),	10. Вывод уравнений, зара-
нее данных линии (29). § 11. Параметрические уравнения’ линии (33),
Глава 3. Линии первого порядка	« .... 35
§ 12, Общее уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэф-
фициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и пер-
пендикулярности двух прямых (35). § 13. Неполные уравнения прямой.
Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение
прямой «в отрезках» (43). § 14. Нормальное уравнение прямой Задача
определения расстояния от точки до прямой (47V § 15. Уравнение пучка
прямых (53). § 16. Повярчое уравнение прямой (50).
Глава 4. Геометрические свойства линий второго порядка 58
§ 17. Окружность (58). § 18. Эллипс (64). § 19. Гипербола (75)
§ 20. Парабола (35). § 21, Полярное уравнение эллипса, гиперболы и па-
раболы (90). § 22. Диаметры линий второго порядка (92).
Глава 5. Упрощение общего уравнения линии второго по-
рядка. Уравнения некоторых кривых, встречаю-
щихся в математике и ее приложениях . . . . 9G
§ 23.	Центр линии второго порядка (96) § 24. Приведение к про-
стейшему виду уравнения центральной линнн второго порядка (98).
§ 25, Приведение к простейшему виду параболического уравнения (ЮЗ).
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встоечающихся и математике и се
приложениях (105).
I*	3
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 6. Некоторые простейшие задачи аналитической гео-
метрии в пространстве......................................  112
§ 27.	Декартовы прямоугольные координаты ь пространстве (112).
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном от-
ношении (113).
Глава 7. Векторная алгебра...........................,	116
§ 29.	Понятие вектора. Проекции вектора (116), § 30. Линейные опера-
ции изд векторами (118). § 31. Скалярное произведение векторов (124).
§ 32. Векторное произведение векторов (128). § 33. Смешанное произведе-
ние трех векторов (131), § 34. Двойное векторное произведение (133.)
Глава 8. Уравнение поверхности и уравнения линии . . . 135
§ 35.	Уравнение поверхности (135). § 36. Уравнения линии. Задача
о пересечении трех поверхностей (138). § 37. Уравнение цилиндрической
поверхности с образующими, параллельными одной из координатных
осей (139).
Глава 9. Уравнение плоскости. Уравнения прямой. Уравне-
ния поверхностей второго порядка ........................... 141
§ 38.	Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку и имеющей данный нормальный вектор (141).
§ З'Э Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости *в отрезках»
(145). § 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до пло-
скости (147)/ § 41. Уравнения прямой (151). § 42 Направляющий вектор
прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения
прямой (154). § 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению пло-
скости н уравнениям прямой (159). § 44. Сфера (165) § 45. Уравнения пло-
скости, прямой и сферы в векторной символике (170), § 46. Поверхности
второго порядка (174).
Приложение. Элементы теории определителей ...	. 185
§ 1. Определители второго порядка и система двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными (135). § 2. Однородная система двух урав-
нений первой степени с тремя неизвестными (187). § 3. Определители
третьего порядка (188). § 4. Свойства определителей (190). § 5. Решение
и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвест-
ными (194), § 6. Определителп четвертого порядка (196).
Ответы и указания к задачам..................................198
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА 1
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой
Прямая, на которой выбрано положительное направление, на-
зывается осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А
и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек
считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок
с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной
направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком
плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к кон-
цу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком
минус, если это направление противоположно положительному на-
правлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ-,
его длина — символом | А В |. Если точки А и В совпадают, то, опре-
деляемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом слу-
чае АВ = ВА — 0 (направление нулевого отрезка следует считать
неопределенным).
Пусть дана произвольная прямая .а. Выберем некоторый отре-
зок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а
положительное направление (после чего она становится осью) *)
и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем са-
мым на прямой а будет введена система координат.
Координатой любой точки М прямой а (в установленной систе-
ме кооодинат) называется число х, равное величине отрезка ОАГ.
х = ОМ.
Точка О называется началом координат; ее собственная координата
равна пулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М
г мест координату х.
Если А/1(Х() и Af2(x2)—две произвольные точки прямой а, ю
формула
Л?|Л12 = х2 — Х|
выражает величину отрезка AEAfs, формула
|ЛГЛ12| — |х2 — x-J
выражает его длину.
*) Обычно на чертежах у горизонтальных осой положительным
назначается направление слева направо.
б
1.	Построить точки А (3), 8(51, С(—I), D , f(—IV
F(/2), Я(-]/В).
2.	Построить точки, координаты которых удовлетво-
ряютх'равнениям: 1) |х|=2;2) |х —1]==3;3) [1— х|=
= 2; 4) |2 + х| =2.
3.	Охарактеризовать геометрически расположение то-
чек, координаты которых удовлетворяют неравенствам!
1) х > 2; 2) х — 3<0; 3) 12 — х < 0; 4) 2х —3<0;
5) Зх —5>0;6) 1 < х < 3; 7) —2 < х ^3;8)	>
> 0; 9) ^£у>1; Ю) 7^г<0; 11) -^<1;
32) х2 —8хг4-'15<0; 13) х2 — 8x'-f 15 > 0; 14) х2-}-
4-х — 12 >0; 15) х2 -рх- 12 < 0.
4.	Определить величину АЗ и длину |Л5 | отрезка,
заданного точками: 1) Д(3) и 5(11): 2) /1(5) и 5(2)?
3) А (-1) и 5(3); 4) 4(-5) и 5(-3); 5) 4(-1) и
5(—3); 6) 4 (-7) и В (-5).
5.	Вычислить координату точки А, если известны:
1) 5(3) и 45 = 5; 2) 5(2) и 45 =-3; 3) 5(-1) и
54—2; 4) В (-5) и 5Д =-3; 5) 5(0) и (45 =2;
6) 5(2) и |45| =3; 7) 5(-1) и \АВ\ =5; 8) 5(-5)
и [ 4 В I =2.
6.	Охарактеризовать геометрически расположение то-
чек, координаты которых удовлетворяют следующим не-
равенствам:
1) |х|<1; 2) |х[>2; 3) |х|<2; 4) (х|>3; 5) х-2|<3;
6)|х~-5|<1; 7)|х - 1 |>2; 8)|х- 3 |> 1; 9) хД- 1 |<3;
10) |х + 2|> 1; 11) |х + 5|<1; 12) |х+ 1 |>2.
АС
7.	Определить отношение A=-p^, в котором точ-
ка С делит отрезок АВ при следующих данных: 1) Л (2),
В(6) и С(4); 2) Л(2). 8(4) и С(7); 3) Л(-1), 8(5) и
С(3); 4) 4(1), 8(13) и С(5); 5) 4(5), 8(-2) и
С (-5).
8.	Даны три точки 4 (—7), 5(—1) и С(1), Опреде-
лить отношение Л, в котором каждая из них делит от-
резок, ограниченный двумя другими.
9.	Определить отношение Л = -^-, в котором дан-
ная точка Л4(х) делит отрезок Л^Мг, ограниченный дан-
ными точками A4i(Xi) и АЬ(х?).
10.	Определить координату х точки М, делящей от-
резок М1Л12, ограниченный данными точками Mi(a'i) и
Мг(*2) в данном отношении
11.	Определить координату х середины отрезка, огра-
ниченного двумя данными точками Mi(jci) и M2U2).
12.	Определить координату х середины отрезка, огра-
ниченпого двумя данными точками, в каждом из сле-
дующих. случаев: 1) Д(3) и 8(5); 2) С(—1) и 8(5);
3) Mi(-J) и М2(-3); 4) Л(-5) и Р2(1); 5) Qi(3) и
Q2(-4).
13.	Определить координату7 точки Л1, если известны:
1) МДЗ), ЛМ7)	и		= 2;
2) Л (2), В (-5)	и	. __ ЛИ А МВ	= 3;
3) С(-1), ЩЗ)	и	. см MD	2 '
4) Л(—1), В(3)	и	- _ .45! - “ МВ	= —
5) 71(1), 8 (—3)	и	Л __ вм А — МА	- —-
6) Л (-2), В(-1)	II	1 _ МЛ	SK —
14.	Даны две точки /1(5) и 8(—3). Определить:
1)	координату точки Af, симметричной точке /1 отно-
сительно точки 8;
2)	координату точки /V, симметричной точке 8 отно-
сительно точки Д.
15.	Отрезок, ограниченный точками Л(—2) и 8(19),
разделен на три равные части. Определить координаты
точек деления.
16.	Определить координаты концов А и В отрезка,
который точками Р(—25) и Q(—9) разделен на три
равные части.
§ 2.	Декартовы прямоугольные координаты
на плоскости
Декартова прямоугольная система координат определяется за-
данием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно
перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.
7
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами
оси — координатными осями. Первая из координатных осей назы-
вается осью абсвисс, а вторая — осью ординат.
Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — сим-
волом Ох, ось ординат — символом Оу.
Координатами произвольной точки Л1 в заданной системе назы-
вают числа
х = ОЛ1У, у = ОМУ
(рис. 1), где Л1г и Му суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМХ
обозначает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, ОМЯ— величину
отрезка ОЛ1У оси ординат. Число х называется абсциссой точки М,
число у называется ординатой этой же
точки. Символ М(х;у) обозначает, что
точка М имеет абсциссой число х, а ор-
динатой число у.
Ось Оу разделяет всю плоскость на
две полуплоскости; та из них, которая
расположена в положительном направ-
лении оси Ох, называется правой, дру-
гая— левой. Точно так же ось Ох раз-
деляет плоскость на две полуплоскости;'
та из них, которая расположена а поло-
жительном направлении оси Оу, назы-
вается верхней, другая нижней.
Обе координатные оси вместе раз-
деляют плоскость на четыре четверти,
которые нумеруют по следующему правилу: первой координатной
четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в
верхней полуплоскости, н горой — лежащая в левой и в верхней по-
луплоскости, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоско-
сти, четвертой — лежащая в правой и в нижней полуплоскости.
17.	Построить точки .4(2; 3), В (—5; 1), С (—2; —3),
Z)(0; 3), £(-5; 0),
18.	Найти координаты проекций на ось абсцисс то-
чек 4(2; -3), В(3; -1), С(-5; 1), D(-3; -2),
£(—5; -1).
19.	Найти координаты проекций на ось ординат то-
чек А (-3; 2), В(-5; 1), С(3: -2), £>(-1; 1), £(-б; -2),
20.	Найти координаты точек, симметричных относи-
тельно оси Ох точкам: I) 4(2; 3); 2)/3(—3; 2);
3) С(-Н -1); 4) £> (—-3; -5); 5) Е(-4; 6}; 6) F(a; b).
21.	Найти координаты точек, симметричных относи-
тельно оси Оу точкам: I) 4( — 1; 2); 2) В(3; —1)?
3) С(—2} -2); 4) Z> (—2; 5); 5) В(3, -5); 6) F(a- b).
22.	Найти координаты точек, симметричных отно-
сительно начала координат точкам: 1) 4(3; 3);
2) В(2; -4); 3) С(-2; 1); 4) D(5; -3); 5) Е(-5; -4);
6) F «г; Ь).
23.	Найти координаты точек, симметричных относи-
тельно биссектрисы первого координатного угла точкам:
1) Д(2;3);2) В(5; -2);3) С(-3; 4).
24.	Найти координаты точек, симметричных относи-
тельно биссектрисы второго координатного угла точкам:
1) /1(3; 5), 2) Ш-4; 3);3) С(7; -2).
25.	Определить, в каких четвертях может быть рас-
положена точка М(х;у), если: 1) ху > 0; 2) ху < 0;
3) х — у = 0; 4) х + 0 = 0; 5) х + у > 0; G) х + у < 0;
7) х — у > 0; 8) х — у < 0.
§ 3. Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой
точки О, называемой полюсом, луча 0/1, исходящего из этой точки,
называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме
того, при задании полярной системы
должно быть сказано, какие повороты	х-М
вокруг точки О считаются положитель-
ними (на чертежах обычно положитель-	р
ними считаются повороты против часо-
вой стрелки).	-
Полярными координатами произ-	1-----------
вольной точки М (относительно задан- 0	А
пой системы) называются числа р = ОМ
и 0 = <Г/1О^ (рис. 2). Угол Н при	ис'
этом следует понимать так, как принято
в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или по-
лярным радиусом, число 6 — второй координатой, или полярным
углом точки М. (0 называют также амплитудой) *).
Символ Л1(р; 0) обозначает, что точка Л4 имеет полярные коор-
динаты р и 0.
Полярный угол 0 имеет бесконечно много возможных значений
(отличающихся друг от друга на величину вида ±2пл, где п — це-
лое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяю-
щее неравенствам —эт < 0	-j-л, называется главным	<
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и поляр-
ной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же
масштабом, 2) при оп'редетении полярных углов считать положи-
тельными повороты в том направлении, в каком следует вращать
положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совме-
стить ее с положительной полуосью ординат (таким образом, если
оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е.
ось Ох направлена вправо, а ось Ои — вверх, то и отсчет полярных
*) Здесь ОЛ1 обозначает длин у отрезка, понимаемую как в
элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учета знака). Употреб-
лять более громоздкий символ | GM | в данном случае нет надоб-
ности, поскольку точки О и /И рассматриваются как.произвольные
точки плоскости, , а не-как точки некоторой осп. Подобное упроще-
ние символики в аналогичных случаях часто делается и Дальше
9
углов должен быть обычным, т. е. положитетьнымл следует считать
те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат
совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
лярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то пере-
ход от полярных координат произвольной точки к декартовым ко-
ординатам той же точки осуществляется по формулам
x = pcos6, f? = psin0.
В этом же случае формулы
р = Ух2 + г/2, tg 0 = ~
л-
являются формулами, перехода от декартовых координат к по-
лярным.
При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных
систем координат условимся считать направление положительных
поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
26.	Построить точки, заданные полярными координа-
тами: л(3;ф). В(2; я), с(3; -ф). 0(4; Зу). 5(5;
2) и F(l; —I) (для точек D, Е и F выполнить построе-
ние приближенно, пользуясь транспортиром).
27.	Определить полярные координаты точек, симмет-
ричных относительно полярной оси точкам ЛТ^З;^»
М2(2; -£), Л1,|3; -у), Л14(1; 2) и ЛЬ(5; -1), задан-
ным в полярной системе координат.
28.	Определить полярные координаты точек, сим-
метричных относительно полюса точкам
М2(5;£), ЛГ312; — •||,	и М5(3;-2), за-
данным в полярной системе координат.
29.	В полярной системе координат даны две верши-
ны А (3; — ~л| и jBi5; — sv параллелограмма ABCD,
точка пересечения диагоналей которого совпадает с по-
люсом. Определить две другие вершины этого паралле-
лограмма.
30.	В полярной системе координат даны точки
А ,8; —у л
наты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31.	В полярной системе координат даны точки
СЩл), О(5;-4я),Е(3; 2) и
и В[6;-Ц-). Вычислить полярные коорди-
J0
Г(2; —1), Положительное направление полярной оси из-
менено на противоположное. Определить полярные ко-
ординаты заданных точек в новой системе.
32.	В полярной системе координат даны точки
М,(3; 4), М2(1; 4п), ЛГ3(2; 0), ЛТ4(5;	М6(3;
и -Ц-л). Полярная ось повернута так, что в но-
вом положении она проходит через точку Л!(. Опреде-
лить координаты заданных точек в новой (полярной)
системе.

33. В полярной системе
f	4	\	i	2	'
12; -X-л и М? 12; —
\	9	)	\	9	)
координат даны точки
. Вычислить полярные ко-
ординаты середины отрезка, соединяющего точки
и М2.
34.	В полярной системе координат даны точки
Ali(pi; 01) и Л1г(рз; бз). Вычислить расстояние d между
ними.
35.	В полярной системе координат даны точки
(5; Д) и М2!3; —ту). Вычислить расстояние d ме-
’ I /	\	L Li /
жду ними.
36.	В полярной системе координат даны две смежные
вершины квадрата И2; —
Опре-
делить его площадь.	г
37.	В полярной системе координат даны две противо-
!	/	7	\	/	1	\
положные вершины квадрата PI6; —ту я) и Q;4; -у я .
Определить его площадь.
38.	В полярной системе координат даны две вершины
правильного треугольника ЛИ; —тк я и Л;8;-;ул; .
Определить его площадь.
39.	Одна из вершин треугольника О АВ находится
в полюсе, две другие суть точки A (pt; 0J и 5(рг; Оз). Вы-
числить площадь этого треугольника.
40.	Одна из вершин треугольника ОАВ находится
в полюсе О, две другие суть точки А (5; -) и В i'4;
Вычислить площадь этого треугольника.
41.	Вычислить площадь треугольника, вершины ко-
I
8 Л
лярных координатах.
.	7 \	।	5 \
, В 18; уг я и С |6; -у л заданы в по-
торого А [ 3;
И
42.	Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
лярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.
В полярной системе координат даны точки JG; -J’,
ЛШО), M3(2;£k М4(10; -^1, Л1518;4лЬ М6(12;
—Определить декартовы координаты этих точек.
43.	Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
лярная ось совпадает с положительной полуосью аб-
сцисс. В декартовой прямоугольной системе координат
даны точки Afi(O; 5), Л4?(—3; 0), М3(|/3; 1), Л14 (—]/2 ;
— рг2), М5(1; — /З). Определить полярные координаты
этих точек.
§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
на произвольную ось. Проекции отрезка
на оси координат. Длина и полярный угол отрезка.
Расстояние между двумя точками
Прямолинейный отрезок называется Направленным, если указа-
но, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая —
концом. Направленный отрезок, имеющий точку А слоим началом
и точку В концом (рис. 3), обозначается символом АВ (т. е. так
же, как отрезок оси; см. § 1). Длина направленного отрезка АВ
(при заданном масштабе) обозначается
sti символом |ЛВ| (или АВ\ см. сноску на
стр. 13).	___
Проекцией отрезка АВ на ось и назы-
вается число, равное величине отрезка
У'	Д|В1 оси и, где точка Ai является проек-
цией на ось и точки A, a — проекцией
на эту же ось точки. В._
Рис. 3.	Проекция отрезка АВ_ на ось и обозна-
• чается символом npw АВ. Если на плоско-
сти задана система декартовых прямоугольных координат, то про7
екция отрезка на ось Ох обозначается символом X, его проекция на
ось Оу — символом У.
Если известны координаты точек Afi(xi;t/i) и ЛГДх?; УА>то
проекции X и У на оси координат направленного отрезка М\Мг
могут быть вычислены по формулам
Х=х2,— X], y = y? — iy1.
Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка па
оси координат нужно от координат его конца отнять соответствую-
щие координаты начала.
12
Угол 0, на который нужно повернуть положительную полу-
ось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка
Л/ТлГз, называется полярным углом отрезка MuW
Угол 0 понимается, как в тригонометрии. Соответственно
этому 0 имеет бесконечно много возможных значений, которые от-
личаются друг от Друга на величину вида =j=2rrrt (где п — целое
положительное число). Главным значением полярного угла назы-
вается то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам
—л < 0	+л.
Формулы
X = d • cos О, У = <1 • sin О
выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси
через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы
d = /X2 + У2, cos 0 =х	, sin О = -	,
1 X2 + У2	Г ХЧ-Г®
которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проек-
ции на оси координат.
Если на плоскости даны две точки Mifxuyi) и Л42(х2;у2), то
расстояние d между ними определяется формулой
d — У (х2 — xL)2 + (у2 — у,)2.
44.	Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны
его длина d и угол <р наклона к оси: 1) г/ —6, ф=-|-|
2) d = 6, ср = ~; ЗН = 7, ф = 4‘> 4) с/ = 5, Ф = 0}
5) d = 5, ф = я; 6) d = 4, ф=— * .
45.	Построить на чертеже отрезки, исходящие из на*
чала координат, зная их проекции на координатные оси:
1) X = 3, У = 2; 2) X = 2. У = -5; 3) X = -5, У = 0;
4) Х=-2, У = 3; 5) X = 0, У = 3; 6) X = -5, У =
= -1.
46.	Построить на чертеже отрезки, имеющие нача-
лом точку Л1 (2; —1), зная их проекции на координатные
оси; 1) Х = 4, У = 3; 2) X = 2, У = 0; 3) X = -3, У =
= 1; 4) Х = -4, У = —2; 5) X = 0, У= -3; 6) X = 1,
У= -3.
47.	Даны точки МД1; —2), Мг(2; 1), М3(5; 0),
М4(— 1; 4) и Л15(0; —3). Найти проекции на координат-
нне оси следующих отрезков: 1) AffAf2, 2) Af3Ali, 3)
4) М5М,.	_____
48.	Даны проекции отрезка MiAl2 на оси координат
X = 5, У = —4; зная, что его начало в точке МД—2; 3),
найти координаты его конца.
13
49.	Даны проек'ции отрезка АВ на оси координат
X — 4, У = —5; зная, что его конец в точке —3),
найти координаты его начала.
50.	‘Построить на чертеже отрезки, исходящие из на-
чала координат, зная длину d и полярный угол 0 каждо-
го из них: 1) rf = 5, О — —; 2) d~3, 0=-|-л; 3) d = 4,
0 —f; 4) d = 3. 0 = -4л.
О	о
51.	Построить на чертеже отрезки, имеющие нача-
лом точку M(2f 3), зная длину и полярный угол каждо-
го из НИХ! 1) d = 2, 0 = -i; 2) d=l, 0 = -r5 3) d=5,
6=----(координаты точки М — декартовы).
52.	Вычислить проекции на координатные оси отрез-
ков, зная длину d и полярный угол 0 каждого из них:
l)d=12, 0=v« 2) d = 6, 6 = -£;	3) d = 2,
о	и
53.	Даны проекции отрезков на координатные оси:
1) X — 3, У = —4; 2) Х = 12, У = 5; 3) X = -8, У =
= 6. Вычислить длину каждого из них.
54.	Даны проекции отрезков па координатные оси:
n х= I, у = уЗ; 2) Х=ЗУ'2, У=-3/2 ; 3) Х =
= — 21/Т, У=«2. Вычислить длину d и полярный
угол 0 каждого из них.
55.	Даны точки Mi (2; —3), Мз(1; —4), ЛГз(—1; —7)
и М4(—4; 8). Вычислить длину и полярный угол сле-
дующих отрезков; 1) М1М2,	2) MiM3, 3) М2М4,
4) М4М3.
56.	Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось
абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось
ординат при условии, что он образует с осью ординат:
1) острый угол, 2) тупой угол.
57.	Длина отрезка MN равна 13; его начало в точ-
ке А1 (3; —2), проекция на ось абсцисс равна —12. Най-
ти координаты конца этого отрезка при условии,
что он образует с осью ординат: 1) острый угол, 2) ту-
пой угол,
14
58.	Длина отрезка ALY равна 17, его коней в точка
ЛЦ—7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти ко-
ординаты начала этого отрезка при условии, что он
образует с осью абсцисс: 1) острый угол, 2) тупой
угол.
59.	Зная проекции отрезка на координатные оси
Л' — 1, У = —	, найти его проекцию на ось, которая
2
составляет с осью Ох угол 0 = -^-л.
60.	Даны две точки (1; —5) и Л12(4; —1). Найти
проекцию отрезка	на ось, которая составляет
с осью Ох угол 0 == —~ .
61.	Даны две точки Р(—5; 2) и Q (3; 1). Найти проек-
цию отрезка PQ на ось, которая составляет с осью Ох
угол 0 = arctg --.
62.	Даны две точки Mi(2; —2) и ЛЬ, (7; —3). Найти
проекцию отрезка на ось, проходящую через точки
4(5; —4), В(—7; 1) и направленную: 1) от 4 к Д,
2) от В к 4.
63.	Даны точки 4(0; 0), В(3; —4), С(—3; 4),
/>(—2; 2) и £(10; —3). Определить расстояние d между
точками: 1)4 и В\ 2) В и С; 3) 4 и С\ 4) С и £); 5) 4
и £>; 6) D и Е.	4
64.	Даны две смежные вершины квадрата 4(3; —7)
и В( — 1; 4). Вычислить его площадь.
65.	Даны две противоположные вершины квадрата
£(3; 5) и Q (1; -—3). Вычислить его площадь.
66.	Вычислить площадь правильного треугольника,
две вершины которого суть 4(—3; 2) и В(1; б).
67.	Даны три вершины 4(3; —7), £(5; —7), С(—2;5)
параллелограмма ABCD, четвертая вершина которого D
противоположна В. Определить длину диагоналей этого
параллелограмма.
68.	Сторона ромба равна 5 V 10, две его противопо-
ложные вершины суть точки Р(4; 9) и Q(— 2; 1). Вычис-
лить площадь этого ромба.
69.	Сторона ромба равна 5 V2 , две его противопо-
ложные вершины суть точки Р(3; —4) и Q(1; 2). Вычис-
лить длину высоты этого ромба.
70.	Доказать, что точки 4(3; —о), В(—2; —7) и
С(18; 1) лежат на одной прямой.
15
71.	Доказать, что треугольник с вершинами At(l; 1),
Л2(2; 3) и Л3(5; —I) прямоугольный.
72.	Доказать, что точки Л (2; 2), В(— 1; 6), С(—5; 3)
и Z?(—2; — 1) являются вершинами квадрата.
73.	Определить, есть ли среди внутренних углов тре-
угольника с вершинами Afi(l; 1), Л42(0; 2) и Л43(2; —-1)
тупой угол.
74.	Доказать, что все внутренние углы треугольника
с вершинами Л1(—1; 3), Л7(1; 2) и 5(0; 4) острые.
75.	Вершины треугольника суть точки А (5; 0), В(0; 1)
и С(3; 3). Вычислить его внутренние углы.
76.	Вершины треугольника суть точки А(— УЗ; 1),
5(0; 2) и С(—2)^3; 2). Вычислить его внешний угол
при вершине А.
77.	На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние
которой до точки Л’(2; —3) равнялось бы 5.
78.	На оси ординат найти такую точку Л1, расстояние
которой до точки ЛЧ—8; 13) равнялось бы 17
79.	Даны две точки Л!(2; 2) и Лг(5; —2); на оси
абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был
прямым.
80.	Через точку /1(4;- 2) проведена окружность, ка-
сающаяся обеих координатных осей. Определить ее
центр С и радиус R.
81.	Через точку Л1Д1; —2) проведена окружность ра-
диуса 5, касающаяся оси Ох. Определить центр С
окружности.
82.	Определить координаты точки М2, симметричной
точке Л11(1; 2) относительно прямой, проходящей через
точки А(1; 0) и 5(— 1; —2).
83.	Даны две противоположные вершины квадрата
А (3; 0) и С( —4; 1). Найти две его другие вершины.
84.	Даны две смежные вершины квадрата А (2; —1)
и В(—I; 3). Определить две его другие вершины.
85.	Даны вершины треугольника МД—3; 6),
Л1г(9; —10) и МД—5; 4). Определить центр С и радиус R
описанного около этого треугольника круга.
§ 5. Деление отрезка в данном отношении
Если точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через две
.	.	* Af|Af
данные точки мцдщ yi), Мц{Х2', г/г), и дано отношение л = . | ^ ,
в котором точка М делит отрезок ЛЦЛЬ, то координаты точки М
16
определяются по формулам
+ ?-г2	_ у\ 4- Яг/2
~ I л- Л ’ у 14-?.*
Если точка М является серединой отрезка Л11Л1г, го ее координаты
определяются по формулам
*1 +Х2	У1+У2
Х 2	* 7	2	’
86.	Даны концы 4(3; —5) и В(—1; 1) однородного
стержня. Определить координаты его центра тяжести.
87.	Центр тяжести однородного стержня находится
в точке Л4(1; 4), один из его концов в точке Р(—2; 2).
Определить координаты точки Q другого конца этого
стержня
88.	Даны вершины треугольника 4(1; —3), В(3; —5)
и С(—5; 7). Определить середины его сторон.
89.	Даны две точки 4(3; —1) и В (2; 1). Определить:
1) координаты точки Л4, симметричной точке 4 отно-
сительно точки В;
2) координаты точки М, симметричной точке В отно-
сительно точки А.
90.	Точки М(2; — 1), ЛЦ—1; 4) и Р(—2; 2) являются
серединами сторон треугольника. Определить его вер-
шины.
91.	Даны три вершины параллелограмма 4(3; —5),
В (5; —3), С(— 1; 3). Определить четвертую вершину D,
противоположную В.
92.	Даны две смежные вершины параллелограмма
4( —3; 5), В(1; 7) и точка пересечения его диагоналей
Л4(1; 1). Определить две другие вершины.
93.	Даны три вершины 4(2; 3), В(4; — 1) и С(0; 5)
параллелограмма ABCD. Найти его четвертую верши-
ну D.
94.	Даны вершины треугольника 4(1; 4), В(3; —9),
С(—5; 2). Определить длину его медианы, проведенной
из вершины В
95.	Отрезок, ограниченный точками 4(1; —3) и
В (4; 3), разделен на три равные части. Определить ко-
ординаты точек деления.
96.	Даны вершины треугольника 4(2; —5), В(1; —2),
С(4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС бис-
сектрисы его внутреннего угла при вершине В.
17
97,	Даны вершины треугольника Л(3; —5), В(—3; 3)
и С(—1; —2). Определить длину биссектрисы его вну-
треннего угла при вершине А.
98.	Даны вершины треугольника Л( —1; —1), 6(3; 5),
С(— 4; I). Найти точку пересечения с продолжением сто-
роны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
99.	Даны вершины треугольника Л(3; —5), 6(1; —3),
С(2; —2). Определить длину биссектрисы его внешнего
угла при вершине В.
100.	Даны три точки Л(1; —1), 6(3; 3) и С(4? 5),
лежащие на одной прямой. Определить отношение X,
в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный
двумя другими.
101.	Определить координаты концов А и 6 отрезка,
который точками 6(2; 2) и Q(l; 5) разделен на три рав-
ные части.
102.	Прямая проходит через точки ЛТД—12; —13) и
2; -—5). На этой прямой найти точку, абсцисса ко-
торой равна 3.
103.	Прямая проходит через точки Л1(2; —3) и
JV(—6; 5). На этой прямой найти точку, ордината кото-
рой равна —5.
104.	Прямая проходит через точки Л(7; —3) и
6(23; —6). Найти точку пересечения этой прямой с осью
абсцисс.
105.	Прямая проходит через точки Л (5; 2) и
6 (—4; —7). Найти точку пересечения этой прямой с осью
ординат.
106.	Даны вершины четырехугольника Д(—3; 12),
6(3; —4), С(5; —4) и 6(5; 8). Определить, в каком от-
ношении его диагональ АС делит диагональ BD.
107.	Даны вершины четырехугольника Л (—2; 14),
6(4, —2), С(5; —2) и 6(6; 10). Определить точку пере-
сечения его диагоналей АС и 66.
108.	Даны вершины однородной треугольной пла-
стинки A (.ti; r/i), 6(х2; у2) и С(х?; Уз). Определить ко-
ординаты ее центра тяжести.
Указание. Центр тяжести находится в точке пересечения
медиан.
109.	Точка М пересечения медиан треугольника ле-
жит на оси абсцисс, две вершины его — точки Л (2; — 3)
и В(—5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат.
Определить координаты точек Л1 и С,
J8
НО. Даны вершины однородной треугольной пластин-
ки 4(а; #i), 5(Ь; tj2) и С(х3; Уз). Если соединить сере-
дины ее сторон, то образуется новая однородная тре-
угольная пластинка. Доказать, что центры тяжести
обеих пластинок совпадают.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 108.
111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со
стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вы-
рез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси
Рис. 4.
Рис. 5.
координат направлены то ребрам пластинки (рис. 4).
Определить центр тяжести этой пластинки.
112. Однородная пластинка имеет форму прямоуголь-
ника со сторонами, равными а и Ъ, в котором сделан
прямоугольный вырез; прямые раз-
реза проходят через центр, оси ко-
ординат направлены по ребрам пла-
стинки (рис. 5). Определить центр
тяжести этой пластинки.
113.	Однородная пластинка
имеет форму квадрата со стороной,
равной 2а, от которого отрезан тре-
угольник; прямая разреза соеди-
няет середины двух смежных сто-
рон, оси координат направлены по
ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести
пластинки.
114.	В следующих точках Л(хг, уА, yi) и
С(х3; у3) сосредоточены массы т, гг и р. Определить
координаты центра тяжести этой системы трех масс.
115.	Точки А (4; 2), В (7; —2) и С(1; 6) являются
вершинами треугольника, сделанного из однородной про-
волоки. Определить центр тяжести этого треугольника.
19
§ 6	Площадь треугольника
Каковы бы ни были три точки Л(хь у,), В(х2; Уг), С(х3; г/3),
площадь S треугольника АВС дается формулой
X? - *1 У* ~ У\
Хз — ХХ y3~lj\
Правая часть этой формулы равна 4-5 в том случае, когда крэт»
чайший поворот отрезка ЛВ к отрезку АС положителен, и —8
в том случае, когда такой поворот отрицателен.
f 116. Вычислить площадь треугольника, вершинами
которого являются точки: I) А (2; — 3), В (3; 2) и
С(—2; 5); 2) МД-З; 2), Л12(5; -2) и Л13(1; 3)?
3) Л1(3; -4), ЛИ-2; 3) и 5(4; 5).
117.	Вершины треугольника суть точки А(3; б),
5( —1; 3) и С (2; —I). Вычислить длину ого высоты, про-
веденной из вершины С.
118.	Определить площадь параллелограмма, три вер-
шины которого суть точки А (—2; 3), В (4; —5) и
С(-3; 1).
119.	Три вершины параллелограмма суть точки
А (3; 7), В (2; —3) и С(—1; 4). Вычислить длину его вы-
соты, опущенной из вершины В на сторону АС.
120.	Даны последовательные вершины однородной че-
тырехугольной пластинки А (2; 1), В (5; 3), С(—-1; 7) и
Д(—7; 5}. Определить координаты ее центра тяжести.
121.	Даны последовательные вершины однородной
пятиугольной пластинки А (2; 3), 5(0; 6), С(—1; 5),
0(0; 1) и £(1; 1). Определить координаты ее центра тя*
жести.
122.	Площадь треугольника 3 = 3, две его вершины
суть точки А (3; I) и 5(1; —3), а третья вершина С ле-
жит на оси Оу. Определить координаты вершины С.
123.	Площадь треугольника 3 = 4, две его вершины
суть точки А (2; 1) и 5(3; —2), а третья вершина С ле-
жит на оси Ох. Определить координаты вершины С.
124.	Площадь треугольника 3 = 3, две его вершины
суть точки /1(3; 1) и 5(1; —3), центр тяжести этого тре-
угольника лежит на оси Ох. Определить координаты
третьей вершины С.
125.	Площадь параллелограмма 5 = 12 кв. ед.; две
его вершины суть точки А(—1; 3) и В (—2; 4), Найти
две другие вершины этого параллелограмма при усло-
вии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси
абсцисс.
20
126.	Площадь параллелограмма S= 17 кв. ед.; две
его вершины суть точки 4(2; 1) и В (5; —3). Найти две
другие вершины этого параллелограмма при условии,
что точка пересечения его диагоналей лежит на оси
ординат.
§ 7.	Преобразование координат
Преобразование декартовых прямоугольных координат при па-
раллельном сдвиге осей определяется формулами
х = х' + а,
у = у' + &.
Здесь х, у суть координаты произвольной точки ЛГ плоскости отно-
сительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относи-
тельно новых осей, а, b — координаты нового начала О1 относитель-
но старых осей (творят также, что а есть величина сдвига в на-
правлении оси абсцисс, Л — величина сдвига в направлении оси
ординат).
Преобразование декартовых прямоугольных координат при по-
вороте осей на угол а (который надо понимать, как в тригономет-
рии) определяется формулами
х = / cos а — у' sin я,
у — х' sin а 4- !/' cos а.
Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости отно-
сительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относи-
тельно новых осей.
Формулы
№= х' cos а — у' sin а + а,
у = х' sin а + у' ооч а 4- b
опредечяют преобразование координат при параллельном сдвиге
системы осей на величину а в направлении Ох, на величину Ъ
в направлении Оу и последующем повороте осей на угол а. Все
указанные формулы соответствуют преобразованию координат при
неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается так-
же в нижеприводимых задачах
127.	На писать формулы преобразования координат,
если начало координат (без изменения направления
осей) перенесено в точку: 1) /1(3; 4): 2) В(—2; 1);
3) С(-3; 5).
128.	Начале координат перенесено (без изменения на-
правления осей) в точку —4). Координаты точек
4(1; 3), В ( —3; 0) и С( —1; 4) определены в новой си-
стеме Вычислить координаты этих же точек в старой
системе координат.
21
129.	Даны точки А(2; 1), £(—I; 3) и С(—2; 5)«
Найти их координаты в новой системе, если начало
координат перенесено (без изменения направления
осей): 1) в точку <4; 2) в точку В; 3) в точку С,
130.	Определить старые координаты начала О' новой
системы, если формулы преобразования координат за-
даны следующими равенствами: 1) х~х' 4-3, у —у' 4-
4-5; 2) х —х'~2, у = у'^\} 3) х — х', у = у'—Ь
4) х = х' — 5, у — у'•
131.	Написать формулы преобразования координат,
если оси координат повернуты на один из следующих
углов: 1) 60°; 2) -45°; 3) 90°; 4) -90°; 5) 180°.
132.	Оси координат повернуты на угол а = 60°. Ко-
ординаты точек /1 (2 рЛ3 ; —4), В (V 3 ; 0) и С (0; —2 /3 )
определены в новой системе. Вычислить координаты этих
же точек в старой системе координат.
133.	Даны точки Л4(3; 1), Л7(— 1; 5) и Р(—3; —1)'«
Найти их координаты в новой системе, если осн ко-
ординат повернуты на угол: 1) —45°; 2) 90°; 3) —90°;<
4) 180°.
134.	Определить угол а, на который повернуты оси,
если формулы Преобразования координат заданы еле-
дующими равенствами: 1) х = -у х' — —х - у', у~ ^-*'4*
+ |/; 2) х =	+ у=-Хх'+ Ц-у'.
135.	Определить координаты точки О' нового начала
координат, если точка Л (3; —4) лежит на новой оси аб-
сцисс, а точка В (2; 3) лежит на новой оси ординат, при-
чем оси старой и новой систем координат имеют соот-
ветственно одинаковые направления.
136.	Написать формулы преобразования координат,
если точка Afi(2? —3) лежит на новой оси абсцисс, а
точка Л4г(1? —7) лежит на новой оси ординат, причем
оси старой и новой систем координат имеют соответ-
ственно одинаковые направления.
137.	Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох',
Оу' имеют общее начало О и преобразуются одна в дру-
гую поворотом на некоторый угол. Координаты точки
А (3; —4) определены относительно первой из них. Вы-
вести формулы преобразования координат, зная, что
положительное направление оси Ох' определено отрез-
ком О А,
22
138.	Начало координат перенесено в точку О'(—1; 2),
5
оси координат повернуты на угол a ==arctg-1-.J. Коорди-
наты точек Л11(3; 2), Л42(2; —3) и ЛТ3(13; —13) опреде-
лены в новой системе. Вычислить координаты этих же
точек в старой системе координат.
139.	Даны три точки: Л(5; 5), В(2\ —1) и С(12; —6).
Найти их координаты в новой системе, если начало ко-
ординат перенесено в точку В, а оси координат повер-
нуты на угол а = arctg-|-.
140.	Определить старые координаты нового начала
и угол а, на который повернуты оси, если формулы пре-
образования координат заданы следующими равенства-
ми: 1) х—— / + 3, у = х' —2; 2) х~—х'-—1, у =
= —9'4-3; 3) х =	+	9' + 5. 9 = -^-х'4-
_L цг _____ 3
Г 2
141.	Даны две точки: Mi(9; —3) и Л12(—6: 5). Нача-
ло координат перенесено в точку Alt, а оси координат по-
вернуты так, что положительное направление новой оси
абсцисс совпадает с направлением отрезка ЛТ^ЛТг. Выве-
сти формулы преобразования координат.
142.	Полярная ось полярной системы координат па-
раллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си-
стемы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы
прямоугольные координаты полюса 0(1; 2) и полярные
координаты
у я)
точек M,(7;	М2(3; 0), Л1а(5; -4),
(Л I
2; — Определить координаты этих
точек в декартовой прямоугольной системе.
143.	Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
лярная ось направлена по биссектрисе первого коорди-
натного угла. Даны полярные координаты точек
Л1,(5; i’l, М2(3;-£), М3(1; |л), М4(б;-|Я)
и М- (2; —Определить декартовы прямоугольные
ординаты этих точек.
144.	Полярная ось полярной системы координат па-
раллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си-
23
стемы и Одинаково с нею направлена. Даны декартовы
прямоугольные координаты полюса 0(3; _2) и точек
ЛЛ(5; '2), ЛМЗ; 1), М3(3; 5). М4(3 + /2; 2-/2)
л /И5(3+ /3 ; 3). Определить полярные координаты этих
точек.
145.	Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, поляр-
ная ось направлена по биссектрисе первого координат-
ного угла. Даны декартовы прямоугольные координаты
точек	- /2),М3(1; /3), М,(~ /3?
I) H.Ws(2]/3; —2). Определить полярные координаты
этих точек.
ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§ 8. Функция двух переменных
Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М
плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется неко-
торое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоско-
сти, «задана функция точки»; задание функции символически выра-
жают равенством вида u = f(M). Число и, сопоставляемое с
точкой М, называется значением данной функции в точке М. Напри-
мер, если А — фиксированная точка плоскости, Л1 — произвольная
точка, то расстояние от А до Л1 есть функция точки М. В данном
случае f(Л1) = AM
Пусть дана некоторая функция и == f(M) и вместе с тем вве-
дена система координат. Тогда произвольная точка М определяется
координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функ-
ции в точке М определяется координатами х, у, или, как еще
говорят, u = f(M) есть функция двух переменных х и у. Функция
двух переменных х, у обозначается символом f(x, у); если f(M) —
= f(x, у), то формула и — fix. у) называется выражением данной
функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем при-
мере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему
координат с началом в точке Л, то получим выражение этой
функции:
u = V х2 + у2.
146. Даны две точки Р и Q, расстояние между ко-
торыми равно а, и функция f (M) — d2i — o'?, где dt — MP
n dz — MQ. Определить выражение этой функции, если
в качестве начала координат принята точка Р. а ось Ох
направлена по отрезку PQ.
147. При условиях задачи 146 определить выражение
функции f (М) (непосредственно и при помощи преобра-
зования координат, используя результат задачи 146),
если:
25
1) начало координат выбрано в середине отрезка
PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ.
2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох
направлена по отрезку QP.
148.	Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция
/ (Л1) = d] -f- d} 4- d^ -J- d%, где di = /МЛ, d% = MB, d$ =
~ MC и c?4= MD. Определить выражение этой функции,
если за оси координат приняты диагонали квадрата (при-
чем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по от-
резку ВО).
149.	При условиях задачи 148 определить выражение
для f(M) (непосредственно и при помощи преобразова-
ния координат, используя результат задачи 148), если
начало координат выбрано б точке Л, я оси координат
направлены по его стеронам (ось Ох — по отрезку АВ,
ось Оу — по отрезку АО).
150.	Дана функция f(x,y) => х2 4- у- — 6х 4- 8у. Опре-
делить выражение этой функции в новой координатной
системе, если начало координат перенесено (без измене-
ния направления осей) в точку О'(3; —4).
151.	Дана функция /(х, у) « № — у2 — 16. Опреде-
лить выражение этой функции в новой координатной
системе, если оси координат повернуты на угол —45°.
152.	Дана функция f(x,y) = х24-#2. Определить вы-
ражение этой функции в новой координатной системе,
если оси координат повернуты на некоторый угол а.
153.	Найти такую точку, чтобы при переносе в нее
начала координат выражение функции f(x,//)=х2 —
— 4у2 — 6х + %У + 3 после преобразования не содержало
членов первой степени относительно новых переменных.
154.	Найти такую точку, чтобы при переносе в нее
начала координат выражение функции / (х, у)=х2 —
— 4ху A-4yz А-2х‘А-у — 7 не содержало членов первой
степени относительно новых переменных.
155.	На какой угол нужно повернуть оси координат,
чтобы выражение функции f(x, у) — х2 — 2ху Д- у2 —
— 6х-|-3 после преобразования не содержало члена с
произведением новых переменных?
156.	На какой угол нужно повернуть оси координат,
чтобы выражение функции f (х, у) — Зх2 4~ 2 3 ху 4- у2
после Преобразования не содержало члена с произведе-
нием новых переменных?
26
§ 9.	Понятие уравнения линии. Задание линии
при помощи уравнения
Равенство вида F(x, у) = 0 называется уравнением с двумя
переменными х, у7 если оно справедливо не для всяких пар чисел
л. у Говорят, что два числа х — хп, у — t/0 удовлетворяют некото-
рому уравнению вида F(x,t/) = 0, если при подстановке этих чисел
вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается
в нуль.
Уравнением данной линии (в назначенной системе координат)
называется такое уравнение с двумя переменными, которому удо-
влетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линий, и
не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии
F(x, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия
F(x, у)=0.
Если даны уравнения двух линий F(x, у)=0 и Ф(х, у) — 0, то
совместное решение системы
F(x, г/) = 0, Ф(х, у) = 0
дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являю-
щаяся совместным решением этой системы, определяет одну из
точек пересечения,
157.	Даны точки*) Mi (2; —2), М2(2; 2), М3(2; — 1),
МДЗ; —3), Мэ(5; —5), Л16(3; —2). Установить, какие из
данных точек лежат на линии, определенной уравнением
х + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия опре-
делена данным уравнением? (Изобразить ее на чер-
теже.)
158.	На линии, определенной уравнением х24- у2 =
= 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим
числам: 1) 0, 2) —3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти
точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3,
6) —5, 7) —8. Какая линия определена данным урав-
нением? (Изобразить ее на чертеже.)
159.	Установить, какие линии определяются следую-
щими уравнениями (построить их на чертеже): 1) х — z/=0;
2)х+// = 0; 3)х —2 = 0; 4)х4-3=0; 5) ^-5 = 0;
6) у -|- 2 = 0; 7) х = 0; 8) у — 0; 9) х2 — ху = 0; 10) ху 4-
4-^ = 0; И) х2-у2==0; 12)xz/ = 0; 13) у2-9 = 0;
14) х2-8х 4-15 = 0; 15) г/2 4-5г/4-4=0; JG) x2//-7xz/4-
4-IOz/ = O; 17) г/ = |х|; 18) х = |//|; 19) у 4- х| = 0;
20) х + Ы = 0;	21) z/=|x-l|;	22) z/=x4-2|;
23) х24-^= 16; 24) (х-2)24-(у-1)2 = 16; 25 (х + 5)24-
*) В гех случаях, когда система координат не
зумевается, что она — декартова прямоугольная.
названа, подра-
27
+ (у - I)2 = 9; 26) (х - 1 )2 + У2 = 4; 27) х? + (у + З)2 = 1;
28) (х-3)2+^ = 0; 29) х2+2г/2 = 0; 30) 2х2 + 3//2 +
+ 5 = 0; 31) (х — 2)2+(z/+3)2+1 = 0.
160.	Даны линии: 1) х + у = 0; 2) х — у = 0; 3) х2 +
+ у- — 36 = 0; 4) х2 + у2 — 2х + у — 0; 5) х2 + у2 + 4х —
— 6#—1=0.
Определить, какие из них проходят через начало коор-
динат.
161.	Даны линии: 1) х2 + у2 = 49; 2) (х — З)2 +
+ (у + 4)2 = 25; 3) (х + 6)2 + {у - З)2 = 25; 4) (х + 5? +
+ (z/-4)2 = 9; 5) ? + «2- 12х+ 16^ = 0; 6)х2 + /-
— 2х+ 8г/ + 7 = 0; 7) х2 + у2 -6х + 4у + 12 = 0.
Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.
162.	Найти точки пересечения двух линий:
1)	х2+?/2 = 8; х —# = 0;
2)	х2 + у2- 16х+4г/+ 18=0; х+г/ = О;
3)	х2+z/2 — 2х + 4//— 3 = 0; х2+ + = 25;
4)	х2+гл-8х+ 10t/ + 40 = 0; х2 + + = 4.
163-	В полярной системе координат даны точки
АГ, (1; |),Мг(2; 0). Af3(2; £), «.(/Г; |) и Л15(1; ул).
Установить, какие из этих точек лежат на линии, опре-
деленной в полярных координатах уравнением р =
= 2 cos 0, и какие не лежат на ней. Какая линия опре-
деляется данным уравнением? (Изобразить ее на чер-
теже.)
3
164.	На линии, определенной уравнением р = (	,
найти точки, полярные углы которых равны следующим
числам: а) б) — т, в) 0, г) Какая линия опреде-
лена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)
165.	На линии, определенной уравнением р —-т~р, »
найти точки, полярные радиусы которых равны следую-
щим числам: а) 1, б) 2, в) У 2 . Какая линия опреде-
лена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)
166.	Установить, какие линии определяются в по-
лярных координатах следующими уравнениями (по-
строить их на чертеже): 1) р = 5; 2) 6 = у; 3) 0 = —.'1;
4) рcos 9 = 2; 5) рsin0 = 1; 6) p = 6cos9; 7) р = 10sin0;
8) sin0 = y; 9) sinp = ^.
28
167.	Построить на чертеже следующие спирали Архи-
меда! 1) р = 20; 2) р = 50; 3) р = -|; 4) р = —
168.	Построить на чертеже следующие гиперболиче-
ские спирали: 1) р = -§-’, 2) р = --; 3) р = ^; 4) р= —
169.	Построить на чертеже следующие логарифми-
ческие спирали: 1) р = 2°; 2)	•
170.	Определить длины отрезков, на которые рассе-
кает спираль Архимеда р = 39 луч, выходящий из по-
люса и наклоненный к полярной оси под углом 0 = -^-.
Сделать чертеж.
171.	На спирали Архимеда р——0 взята точка С,
полярный радиус которой равен 47. Определить, на
сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус
точки С. Сделать чертеж.
172.	На гиперболической спирали р= найти точ-
ку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать
чертеж.
173.	На логарифмической спирали р = 3е найти точ-
ку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать
чертеж.
§ 10.	Вывод уравнений заранее данных линий
В задачах предыдущего параграфа линия определялась при по-
мощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противо-
положного характера: в каждой из них линия определяется чисто
геометрически, а уравнение ее требуется найти.
Пример 1. В декартовой прямоугольной системе координат
вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов
расстояний которых до двух данных точек /Ь(—а; 0) и 42{ti;0j
есть величина постоянная, равная 4а2.
Решение. Обозначим буквой М произвольную точку линии,
буквами х и у обозначим координаты этой точки. Так как точка М
может занимать на линии любое положение, то х я у являются
переменными величинами; их называют текущими координатами.
Запишем геометрическое свойство линии символически:
(ЛМ.)2 + (Л1Л2)2 = 4а2.	(I)
В этом соотношении при движении тачки М могут меняться
длины МА; и МА2. Выразим их через текущие координаты точки М:
М .4] =	+ й)2 + У2, М Л2 = V*(x — а)2 + у2.
29
упростить; раскрывая скобки
нимать на окружности любое
Подставив полученные выражения в равенство (I), найдем уравне-
ние, связывающее координаты х, у точки М:
(х + а)2 + у2 + (г — а)2 + у2 — 4а2,	(2)
Это и есть уравнение данной липни.
Действительно, для каждой точки Л1, лежащей на этой линии,
выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М бу-
дут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей
на линии, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее
координаты не будут удовлетворять уравнению (2).
Таким образом, задача решена.’ Однако уравнение (2) можно
и приводя подобные члены, получим
уравнение данной линии в виде
х2 + у2 = а2.
Теперь легко понять, что данная ли-
ния есть окружность с центром в на-
чале координат и радиусом, равным а
Пример 2. В полярной системе
координат вывести уравнение окруж-
ности, которая имеет центр С(ро*, 90)
и радиус г (рис. 7).
Решение. Обозначим буквой
М произвольною точку окружности,
буквами р и в —ее полярные коор-
динаты. Так как точка М может за-
положение, то р и в являются пере-
менными величинами. Как и в случае декартовой системы, их на-
зывают текущими координатами.
Все точки окружности отстоят от центра на расстоянии г; за-
пишем это условие символически:
С/И = г.	(1)
Выразим СМ через текущие координаты точки Л4 (воспользуемся
теоремой косинусов; рис. 7):
СМ = Кр2 + р| — 2р„р cos (0 — 0L)).
Подставиг. полученное выражение в равенство (1), найдем урав-
нение, связывающее координаты р, б точки ЛТ
/р + Р5 ~ 2р0р cos (9 — 0О) = г.	(2)
Это и есть уравнение данной окружности.
Действительно, для каждой точки Л1, лежащей на данной
окружности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты
точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки Л1,
не лежащей на данной окружности, не будет выполняться усло-
вие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять
уравнению (2).
Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упро-
стить полученное уравнение и представить его в виде, свободном
от радикала:
р2 - 2р0р cos (0 - 60) - г - р?.
30
174.	Вывести уравнение геометрического места точек,
одинаково удаленных от координатных осей-
175.	Вывести уравнение геометрического места точек,
находящихся на расстоянии а от оси Оу.
176.	Вывести уравнение геометрического места точек,
находящихся на расстоянии b от оси Ох.
177.	Из точки Р(6; —8) проведены всевозможные
лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравне-
ние геометрического места их середин.
178.	Из точки С(Ю; —3) проведены всевозможные
лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравне-
ние геометрического места их середин.
179.	Вывести уравнение траектории точки, которая
в каждый момент движения одинаково удалена от точек:
1) А(3; 2) и В(2; 3); 2) 4(5; -1) и В(1; -5);
3) 4(5; —2) и В(-3; -2); 4) 4(3; -1) и 3(3; 5)
180.	Составить уравнение геометрического места то-
чек, разность квадратов расстояний которых до точек
А (—а;0) иВ(й;0) равна с.
181.	Вывести уравнение окружности, имеющей центр
в начале координат и радиус г.
182.	Вывести уравнение окружности, имеющей центр
С(а; ₽) и радиус г.
183.	Дано уравнение окружности х2z/2 = 25. Со-
ставить уравнение геометрического места середин тех
хорд этой окружности, длина которых равна 8.
184.	Составить уравнение геометрического места то-
чек, сумма квадратов расстояний которых до точек
'4(—3; 0) и В(3; 0) равна 50.
185.	Вершины квадрата суть точки А (а; а), В{—а\ а},
С(—а\ —а) и D(a\ —а). Составить уравнение геометри-
ческого места точек, сумма квадратов расстояний кото-
рых до сторон этого квадрата есть величина постоянная,
равная ба2.
186.	Через начало координат проведены всевозмож-
ные хорды окружности (х — 8)2 4- у2 — 64. Составить
уравнение геометрического места середин этих хорд.
187.	Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма расстояний которых до двух данных точек
Л(—3; 0) и F2(3; 0l есть величина постоянная, рав-
ная 10.
188.	Вывести уравнение геометрического места точек,
разность расстояний которых до двух данных точек
Л(—5; 0) и F2(5; 0) есть величина постоянная, равная 6.
31
189.	Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых расстояние до данной точки f(3; 0) равно
расстоянию до данной прямой х 4- 3 = 0.
190.	Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма расстояний которых до двух данных точек
Fi(—cj 0) и Л'о(с; 0) есть величина постоянная, равная
2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точ-
ки и ^ — фокусами эллипса.
Доказать, что уравнение эллипса имеет вил
у2 1/2
-Ь 1, где b2 = а2 — с2.
191.	Вывести уравнение геометрического места точек,
разность расстояний которых до двух данных точек
Л(—с| 0) и F2(c\ 0) есть величина постоянная, равная
2а. Это геометрическое место называется гиперболой,
точки Fi и F2 — фокусами гиперболы.
Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид
р- —	= 1, где Ь- = с2 — а2.
192.	Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых расстояние до данной точки о) разно
расстоянию до данной прямой х = — 4. Это геометри-
ческое место называется параболой, точка F—фокусом
параболы, данная прямая — ее директрисой.
193.	Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых отношение расстояния до данной точки
/’(—4; 0) к расстоянию до данной прямой 4x4-25 = 0
4
равно .
194.	Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых отношение расстояния до данной точки
F(—5; 0) к расстоянию до данной прямой 5х + 16 — 0
5
равно —.
195.	Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых кратчайшие расстояния до двух данных
окружностей (х Д- З)2 4- у2 = 1, (х — З)2Д- у2 = 81 равны
между собой.
19’6. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых кратчайшие расстояния до двух данных
окружностей (х Д-10)2 Д-4/2 в 289, (х—10)24-#2=1
равны между собой.
32
197-	Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых кратчайшие расстояния до данной окруж-
ности (х-5)2 + ?2^9 и до данной прямой х-|-2 = 0
равны между собой.
198.	Прямая перпендикулярна полярной оси и отсе-
кает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой
прямой в полярных координатах.
199.	Луч выходит из полюса и наклонен к полярной
оси под углом . Составить уравнение этого луча в по-
лярных координатах.
200.	Прямая проходит через полюс и наклонена к по-
лярной оси под углом 45е. Составить уравнение этой
прямой в полярных координатах.
201.	В полярных координатах составить уравнение
геометрического места точек, расстояния которых от по-
лярной оси равны 5.
202.	Окружность радиуса /? = 5 проходит через по-
люс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравне-
ние этой окружности в полярной системе координат.
203-	Окружность радиуса R. — 3 касается полярной
оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в
полярной системе координат.
(1)
ме-
(1)
§ 11. Параметрические уравнения линии
Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки Л1; рас-
смотрим две функции аргумента t:	,
* = <р(0,
При изменении t величины х и у будут, тообще говоря,
пяться, следовательно, точка М будет перемешаться, Равенства
называются параметрическими уравнениями
линии, которая является траекторией точ-
ки М-, аргумент i носит название парамет-
ра. Если из равенств (1) можно исключить
параметр t, то получим уравнение траекто-
рии точки М о виде
F(x, i/)==0.
204.	Стержень АВ скользит свои-
ми концами А и В по координат-
стержень
ВМ = Ь.
ным осям. Точка М делит
на две части AM = а и _______
Вывести параметрические уравнения траектории точки
М, приняв в качестве параметра угол t = <%ОВА
(рис. 8). Исключить затем параметр t и найти уравнение
траектории точки Л1 в виде F(x, у) = 0.
параметра угол t = <%.ОВА
2 Д._ В, Клстеаик
33
205.	Траекторией точки М является эллипс, уравне-
ние которого + (см. задачу 190). Вывести
параметрические уравнения траектории точки М, прини-
мая в качестве параметра t угол наклона отрезка O?J
к оси Ох.
206.	Траекторией точки М является гипербола, урав-
нение которой -^5---|г=1 (см. задачу 191). Вывести
параметрические уравнения траектории точки М, прини-
мая в качестве, параметра t угол наклона отрезка ОМ
к оси Ох.
207.	Траекторией точки М является парабола, урав-
нение которой if = 2рх (см. задачу 192). Вывести пара-
метрические уравнения траектории точки Л1, принимая
в качестве параметра t:
1)	ординату точки Л1;	__
2)	угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;
3)	угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F
фокус параболы.
208. Даны полярные уравнения следующих линий!
1) p = 2/?cosfl; 2) p = 2/?sin6; 3) р = 2р-^£г.
tz
Составить параметрические уравнения этих линий
в декартовых прямоугольных координатах, совмещая по-
ложительную полуось абсцисс с полярной осью и выби-
рая в качестве параметра полярный угол.
209. Даны параметрические уравнения линий:
1)	-2/4- 1,
y = t — 1;
.. аh f 1 \
4) X — 2 s! 4- t ] ,
z/— 2 v l Ь
2) x —a cost,
у — asin t\
5) x = 2/? cos3t,
z/ = 7?sin 2t;
7) x —2pctg2?,
y = 2p ctg t;
3) X ass a sect,
t‘
6)	x = sin 2/,
# = 2Z?sin2/;
исключив параметр t, найти уравнения этих линий
в виде
7^(х, у)==0.
Г Л А В A 3
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой
с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности
двух прямых
его обычно
В декартовых координатах каждая прямая определяется урав-
нением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой сте-
пени определяет прямую.
Уравнение вида
Ах + Ву-{-С = 0	(!)
называется общим уравнением прямой.
Угол а, определяемый, как показано на рис. 9, называется
углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла йаклонгГ прямой
к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой;
обозначают буквой k;	,
& = tg а.	„
Уравнение у = kx 4- Ъ называется уравнением прямой
коэффициентом; k — угловой коэффициент,
b — величина отрезка, который отсекает
прямая на оси Оу, считая от начала коор-
динат,
Если прямая задана общим уравнением
Ах + By + С — О,
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле
Рис-
а
Уравнение у — ук = k{x — х^) является уравнением прямой, ко-
торая проходит через точку Л10 (х0; и имеет угловой коэффи-
циент k.
Если прямая проходит через точки Ali(xj; yi) и у2) то
ее угловой коэффициент определяется по формуле
• х2 — *1 ’
35
X — Xj	У~У1
X2 — Xj	У2- У1
является уравнением прямой, проходящей через две точки
Afj (хь у А и Л/2(х2;^).
Если известны угловые коэффициенты двух прямых ki и k2, то
один из углов <р между этими прямыми определяется ио формуле
Л2 — k,
tg Ф , 1 ,
1 + k\k2
Признаком параллельности двух прямых является равенство их
углевых коэффициентов
кл = k2.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотно-
шение
k]k2= — 1 ИЛИ &2 = ——
*1
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых
обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
210.	Определить, какие из точек Ali(3; 1), ЛГ2(2; 3),
Л13(6; 3), ЛТД—3; —3), М5(3; -I), Л1е(—2; 1) лежат на
прямой 2х— Зу— 3 «г: 0 и какие не лежат на ней.
211.	Точки Р], Р2, Рз, Pi и Р5 расположены на прямой
Зх — 2у — 6 = 0; их абсциссы соответственно равны чис-
лам; 4, 0, 2, —2 и —6. Определить ординаты этих
точек.
212.	Точки Qi, Q2, Qs, Qi и Qs расположены на пря-
мой х — 31/4-2 = 0; их ординаты соответственно равны
числам: 1, 0, 2, —I, 3. Определить абсциссы этих
точек.
213.	Определить точки пересечения прямой 2г — Зу—
— 12 = 0 с координатными осями и построить эту пря-
мую на чертеже.
214.	Найти точку пересечения двух прямых Зх— 4у—
-29 = 0, 2x4-5^4-19 = 0.
215.	Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны
соответственно уравнениями *) 4х 4- Зу — 5 = 0, х — Зу -f-
-4-10 = 0, х — 2=0. Определить координаты его вер-
шин.
216.	Даны уравнения двух сторон параллелограмма
4-	Зу 4- 1 « 0, 2x4-//—1=0 и уравнение одной из
*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы бу-
дем понимать уравнения прямых, йа которых лежат стороны.
36
его диагоналей Зх + 2# + 3 = 0. Определить координа-
ты вершин этого параллелограмма
217.	Стороны треугольника лежат на прямых х +
5^ __ 7 = 0, Зх —2# —4 = 0, 7х-f-(/4-19 = 0. Вычис-
лить его площадь S.
218.	Площадь треугольника 3 = 8 кв. ед.; две его
вершимы суть точки А(1; —2) и 23(2; 3), а третья вер-
шина С лежит на прямой 2x4- у — 2 = 0. Определить
координаты вершины С. '
219.	Площадь треугольника S = 1,5 кв. ед., две его
вершины суть точки /4(2, —3) и В(3; —2); центр тяже-
сти этого треугольника лежит на прямой Зх — у — 8=0.
Определить координаты третьей вершины С.
220.	Составить уравнение прямой и построить пря-
мую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и от-
резок Ь, отсекаемый ею на оси Оу:
1) /г = 4. 6=3; 2) /г = 3, 6 = 0; 3) k=Q, 6= — 2;
4) k=-~, b = 3; 5)fe = -2, S = -5;
6) fe = -±, 6 =
221.	Определить угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых:
1)	5х —# + 3 = 0;	2) 2x4-3# —6 = 0;
3)	5x4-3#+ 2 = 0; 4) 3x4-2# = 0; 5) # — 3 = 0.
222.	Дана прямая 5x4-3# — 3 = 0. Определить угло-
вой коэффициент k прямой:
1)	параллельной данной прямой;
2)	перпендикулярной к данной прямой.
223.	Дана прямая 2x4-3# 4-4 = 0. Составить урав-
нение прямой, проходящей через точку Л10(2; 1):
1)	параллельно данной прямой;
2)	перпендикулярно к данной прямой;
224.	Даны уравнения двух сторон прямоугольника
2х — 3# + 5 = 0, Зх 4- 2# — 7 = 0 и одна из его вершин
/4(2; —3). Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника.
225.	Даны уравнения двух сторон прямоугольника
х — 2# = 0, х — 2#+15 = 0 и уравнение одной из его
диагоналей 7xu+#—15 = 0. Найти вершины прямо-,
угольника.
226.	Найти проекцию течки Р(—6; 4) на прямую
37
227.	Найти точку Q, симметричную точке Р(—5; 13)
относительно прямой 2х— Зу— 3 = 0.
228.	D каждом из следующих случаев составить
уравнение прямой, параллельной двум данным прямым
и проходящей посередине между ними».
1) Зх — 2у — 1 = 0,	2) 5х у 4- 3 — 0,
Зх — 2// — 13 — 0; 5х -f- у — 17 = 0;
3) 2х 4- 3// — 6 = 0,
4x4- 6// 4- 17 = 0;
4) 5х4-7у4- 15 = 0,
5х 4~ 7// 4" 3 = 0;
5) Зх — 15// — 1 =0,
х — 5г/ — 2 — 0.
229.	Вычислить угловой коэффициент k прямой, про*
ходящей через две данные точки: a) Mi (2;—5), ЛЬ(3;2);
б) Р(-3; 1), Q(7; 8); в) А(5; -3), В(-1; 6).
230.	Составить уравнения прямых, проходящих че*
рез вершины треугольника А (5; —4), Д(—1; 3),
С(—3; —2) параллельно противоположным сторонам.
231.	Даны середины сторон треугольника: М;(2; 1),
М2(5; 3) и М3(3; —4). Составить уравнение его сто-
рон.
232.	Даны две точки: Р(2; 3) и Q(—1; 0). Составить
уравнение прямой, проходящей через точку Q перпен-
дикулярно к отрезку PQ.
233.	Составить уравнение прямой, если точка Р (2; 3)
служит основанием перпендикуляра, опущенного из
начала координат на эту прямую.
234.	Даны вершины треугольника Mi (2; 1);
Мг(— 1; —1) и Мз(3; 2). Составить уравнения его высот,’
235.	Стороны треугольника даны уравнениями 4х —
*—у— 7 = 0, х 4“ Зу — 31=0, х 4^5// —7 = 0. Опреде-
лить точку пересечения его высот.
236.	Даны вершины треугольника А (1;—1), В (—2:1)
и С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опу-
щенного из вершины А на медиану, проведенную из
вершины В.
237.	Даны вершины треугольника А (2; —2), В(3; —5)
и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опу-
щенного из вершины С на биссектрису внутреннею угла
при вершине А.
238.	Составить уравнения сторон и медиан треуголь-
ника с вершинами 'А (3: 2), В (5; —2), С( 1; 0),
38
239.	Через точки Afi(—1; 2) и Л12(2; 3) проведена
прямая. Определить точки пересечения этой прямой
с осями координат.
240.	Доказать, что условие, при котором три точки
У1), Л12(х2; уг) и'Л13(х3; уз) лежат на одной пря-
мой, может быть записано в следующем виде:
	У\	11	
Х2	У2	1	= 0.
*3	Уз	1	
241.	Доказать, что уравнение прямой, проходящей
через две данные точки tji) и	№)> может
быть записано в следующем виде;
X	У	1	
Х1	У1	1	= 0.
Х2	У2	1	
242.	Даны • последовательные вершины выпуклого
четырехугольника Л(—3; 1), В(3; 9), С(7; 6) и
£)(—2; —G). Определить точку пересечения его диаго-
налей.
243.	Даны две смежные вершины .4(—3; —1) и
В(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пере-
сечения его диагоналей Составить уравнения сторон
этого параллелограмма.
* 244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
5х + 2// — 7 = 0, эх + 2у — 36 = 0 и уравнение его диа-
гонали Зх Ту—10 = 0. Составить уравнения осталь-
ных сторон и второй диагонали этого прямоуголь-
ника.
245.	Даны вершины треугольника /1(1; —2), В(5; 4)
и С(—2; 0). Составить уравнения биссектрис его вну-
треннего и внешнего углов при вершине Л.
246.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Р(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек
Л(— 7; 3) и В(11, —15).
247.	Найти проекцию точки Р(—8; 12) на прямую»
проходящую через точки Д(2; —3) и В (—5; 1).
248 Найти точку Mi, симметричную точке Л12(8;—9)
относительно прямой, проходящей через точки Л(3; — 4)
и В(-1; —2).,
39
249.	На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы
сумма ее расстояний до точек М(1; 2) и jV(3; 4) была
наименьшей.
250.	На оси ординат найти такую точку Р, чтобы
разность расстояний ее до точек М(—3; 2) и N(2; 5)
была наибольшей.
251.	На прямой 2х— у — 5 = 0 найти такую точку Р,
сумма расстояний которой до точек А (—7; 1), В(—5; 5)
была бы наименьшей. -
252.	На прямой Зх— у—1=0 найти такую точку
Р, разность расстояний которой до точек Я(4; 1) и
В (0; 4) была бы наибольшей.
253.	Определить угол ср между двумя прямыми:
1)	5х —#4-7 = 0,
2) Зх — 2у 4' 7 = О,
3) х — 2у — 4 = 0,
4) Зх 4- 2у —1=0,
Зх 4“	= 0;
2х 4- Зу — 3=0;
2х — 4# 4- 3 = 0;
5х — 2у 4- 3 = 0.
254.	Дана прямая 2x4-3# 4-4 = 0. Составить урав-
нение прямой, проходящей через точку М0(2; I) под
углом 45° к данной прямой.
255.	Точка Д(—4; 5) является вершиной квадрата,
диагональ которого лежит на прямой 7х — #4-3 = 0.
Составить уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата.
256.	Даны две противоположные вершины квадрата
Л(—1: 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон,
257.	Точка £(1; —1) является центром квадрата,
одна из сторон которого лежит на -прямой х — 2# 4-,
4-12 = 0. Составить уравнения прямых, на которых
лежат остальные стороны этого квадрата.
258.	Из точки Л1о(—2; 3) под углом а к оси Ох на-
правлен луч света Известно, что tga = 3. Дойдя до
оби Ох, л\ч от нее отразился. Составить уравнения пря-
мых, на Которых лежат лучи падающий и отраженный,-
259.	Луч света направлен по прямой х — 2# 4-5 = 0.
Дойдя до прямой Зх— 2# 4-7 = 0, луч от нее отра-
зился. Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч.
260.	Даны уравнения сторон треугольника Зх 4-4 г/—
— 1=0, х —7#—17 = 0, 7х4- У 4* 31 — 0. Доказать,
что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу
при помощи сравнения углов треугольника,
40
261.	Доказать, что уравнение прямой, проходящей
через точку Л!] (хр, yi) параллельно прямой Ах By ~г
+ С = О, может быть записано в виде Л(х —Xi)-j-
±В(у — t/i) = О
262.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку ЛТ;(2; —3) параллельно прямой: 1) Зх— 7у + 3 =
= 0; 2) х -1- 9у — 11 = 0; 3) 16х — 24// — 7 = 0; 4) 2х +
+ 3 = 0; 5) Зу — 1 = 0.
Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
263.	Доказать, что условие перпендикулярности пря-
мых А ]Х 4- В\У + С| = 0,	+ В.у ~Ь ^2 == 0 может
быть записано в следующем виде: ЛИ2 4- В^В2 = 0.
264.	Установить, какие из следующих пар прямых
перпендикулярны:
1) Зх —// + 5 = 0,	2) Зх —4//+1=0,
х + Зу—1=0; 4х — Зу-)-7 — 0;
3) бх — 15//+ 7 = 0,	4) 9х — 12//+ 5 = 0,
1 Ох+ 4// —3 = 0; 8х + 6 у—13 = 0;
5) 7х-2//+ 1=0,	6) 5х-7/Н-3=0,
4x + 6t/+ 17 = 0; Зх + 2i/ — 5 = 0.
Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.
Указание. Воспользоваться условием перпендикулярности
прямых, выведенных в задаче 263.
265. Доказать, что формула для определения угла <р
между прямыми 4iX + В\у + Cj=0, Л2х + В2у + С2= 0
может быть записана в следующем виде:
	/Ij В2 —
266. Определить угол (р, образованный двумя пря-
мыми:
1)	Зх — у + 5 = 0,
2х + у — 7 = 0;
2)	х/2 —///3 — 5 =0,
(3 +_/2)х + (/6 - /з) у + 7 = 0;
3)	х/3 + // /2 —2 = 0,
х/6-3# + 3 = 0.
41
Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.
Указание. Воспользоваться формулой для определения угла
между двумя прямыми, полученной в заДаче 265.
267, Даны две вершины треугольника 10; 2)
и Л1Д6; 4); его высоты пересекаются в точке Л'(5; 2).
Определить координаты третьей вершины
268.	Даны две вершины 4(3; —1) и В (5; 7) тре-
угольника АВС и точка N(4\ — 1) пересечения его
высот. Составить уравнения сторон этого треуголь-
ника.
269.	В треугольнике АВС даны: уравнение стороны
АВ 5х— 3# + 2 = 0, уравнения высот AM 4х-ЗуА-\
’+1—0 и BN 7х + 2у — 22 =» 0. Составить уравнения
двух других сторон и третьей высоты этого треуголь-
ника.
270.	Составить уравнения сторон треугольника АВС,
если даны одна из его вершин А (1; 3) и уравнения двух
медиан х — 2// + 1 = 0 и у — 1 = 0.
271.	Составить уравнения сторон треугольника, если
даны одна из его вершин В (—4; —5) и уравнения двух
высот 5х + Зу — 4 = 0 и Зх + Зу + 13 = 0.
272.	Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин 4(4; —1) и уравнения двух биссек-
трис х — 1 — 0 и х — у — 1 =0.
273.	Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2; 6}, а также уравнения высоты
х —7р_+13 = 0 и биссектрисы 7%+«/ + 5 = 0, прове-
денных ц? одной вершины.
274.	«оставить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2; —1), а также уравнения высоты
Зх — 4//+’27 = 0 и биссектрисы х_+2#— 5 = 0, прове-
денных из различных вершин.
275.	Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину С (4; —1), а также уравнения высоты
2х—Зр+12 = 0 и медианы 2x.+ 3t/ = 0, проведенных
из одной вершины.
276.	Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2; —7), а также уравнения высоты
Зх + «/+Н=0 и медианы х^2у^_7 = 0, проведен-
ных из различных вершин.
277.	Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину С(4; 3)} а также уравнения биссек-
42
трисы х~г'2у— 5 = 0 и медианы 4т + 13г/—10 = 0,
проведенных из одной вершины.
278.	Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину Л(3; —1), а также уравнения биссек-
трисы х — 4г/+10 = 0 и медианы 6%+Юг/— 59 = 0,
проведенных из различных вершин.
279.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через начало координат и вместе с прямыми х —у +
‘+12 = 0, 2х + у + 9 = 0 образует треугольник с пло-
щадью, равной 1,5 кв. ед.
280.	Среди прямых, проходящих через точку Р(3;0),
найти такую, отрезок которой, заключенный между пря-
мыми 2х — у — 2 = 0, х + г/ + 3 = 0, делится в точке Р
пополам.
281.	Через точку Р(—3; —I) проведены всевозмож-
ные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, за-
ключенный между прямыми х— 2у— 3 = 0, х — 2г/+
[+5 — 0. делится в точке Р пополам.
282.	Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные
прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок
которой, заключенный между прямыми х — 2у — 3 = 0,
х — 2г/+ 17 = 0, делился бы в точке Р пополам.
283.	Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат, зная, что длина ее отрезка, заклю-
ченного между прямыми 2х — г/ + 5 = 0, 2х — у + 10 =
= 0, равна ]/Ю-
284.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку С(—5; 4), зная что длина ее отрезка, заключен-
ного между прямыми х + 2у + 1 = 0, х-}-2у—1=0,
равна 5.
§ 13.	Неполные уравнения прямой. Совместное
исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение
прямой «в отрезках»
Если в общем уравнении прямой
Лх + Ву + С==0	(1)
один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член)
обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны
следующие случаи:
1)	С — 0; уравнение имеет вид Дх 4- By = 0 и определяет пря-
мую, проходящую через начало координат.
2)	В = 0 (Л =# 0); уравнение имеет вид Ах + С =» 0 и опреде-
ляет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может
43
быть записано в виде х — а, где а = — -j- является величиной
отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала ко-
ординат.
3)	В = О, С = 0 (.4=0=0); уравнение может быть записано в
виде х — 0 и определяет ось ординат.
4)	А = 0 (В 0); уравнение имеет вид By 4- С = 0 и опреде-
ляет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может
к	д	д	С
быть записано б виде у — Ь, где о  ----5- является величиной
Z5
отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала ко-
ординат.
5)	А — 0, С = 0 (В^О); уравнение может быть записано в
виде у — 0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю,
то его можно преобразовать к виду
f+f-1-	«
с с
где о — —и /)-=- -у суть величины отрезков, которые отсе-
кает прямая на координатных осях.
Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».
Если две прямые даны уравнениями
А'_х 4- Rig 4- Gj = 0 и А2х 4~ В2у 4* Cj == 0,
то могут представиться три случая:
.	А \	В
а)	— прямые имеют одну общую точку;
rtj	Пз
Д|	73j	Ci
6)	• =« - - #= — — прямые параллельны;
/12	£>2	С	2
.	Л]	В\	С\	,
в)	—- = -г - = —	прямые сливаются, т. е. оба уравнения
Ла Lz Cz	определяют одну и ту же прямую. .
285.	Определить, при каком значении а прямая ,
(а 4- 2) х + (а2 — 9) у + За2 — 8а + 5 = 0
1)	параллельна оси абсцисс;
2)	параллельна оси ординат;
3)	проходит через начало координат. -
В каждом случае написать уравнение прямой.
286.	Определить, при каких значениях тип прямая
(т + 2п — 3) х 4- (2/ц — «+!)# + 6т + 9 = 0
параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат от-
резок, равный — 3 (считая от начала координат). Напи-
сать уравнение этой прямой,
44
287.	Определить, при каких значениях тип прямая
(2т — п -Ь 5)х 4- (т + Зп — 2) у 4- 2т 4- 7п 4~ 19 = О
параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцисс от-
резок, равный 4-5 (считая от начала координат) На-
писать уравнение этой прямой.
288.	Доказать, что в следующих случаях две данные
прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
1) х 4- 5 г/ — 35 —О,
2) 14х — 9г/ — 24 = О,
3) 12x4- 15г/-8 = 0,
4) 8х — 33/7 — 19=0,
5) Зх 4- 5 = 0,
Зх 4- 2 г/ — 27 = 0;
7х — 2у — 17 = 0;
16x4-9//-7=0;
12x4-55//- 19 = 0;
£ — 2 = 0.
289.	Доказать, что в следующих случаях две данные
прямые параллельны:
1)	Зх 4- 5г/ — 4 = 0,	6х 4- Ю£ 4- 7 = 0;
2)	2х —4г/4“ 3 = 0,	х — 2г/= 0;
3)2х-1 = 0,	х4-3 = 0;
4)	у 4” 3 = 0,	5 г/ — 7 = 0.
„290. Доказать, что в следующих случаях две данные
прямые совпадают:
1)	Зх 4-5г/— 4 = 0, 6х 4-Юг/— 8 = 0;
2)	х — у V’2 =0,	х У2 — 2г/ = 0;
3)	х /3 — 1 =0,	Зх — ]/3 = 0.
291. Определить, при каких значениях а и b две пря-
мые
ах — 2у — 1=0, 6х — 4г/ — b = 0
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) сов-
падают
292, Определить; при каких значениях тип две
прямые
гпх 4- 3£ 4- и === 0,. 2х 4- ту — 1 =• 0
I) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны^
293. Определить, при каком значении т две прямые
(т — 1) х 4- ту — 5 = 0, тх + (2т — 1) г/4-7 = 0
пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс».
43
294. Определить, при каком значении tn две прямые
тх 4- (2т 4-3)#4-w4-6 = 0,
(2т + 1) х + (tn — 1) у 4- tn — 2 — О
пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
295. Установить, пересекаются ли в одной точке три
прямые в следующих случаях:
I)	2x4-3#—1 =0, 4х —5#4~5 = 0, Зх —#4-2 = 0;
2)	Зх— у 4- 3 = 0, 6x4-3# —7 = 0, х —2# —4 = 0;
3)	2х — #4-1=0, х4-2#—17 = 0, х 4“ 2# —3 = 0.
29G. Доказать, что если три прямые Дх-ЬД#-^.
4~ 6 I ~ 0, А2х 4- В2у 4- G = 0, Z3X 4» В$у 4” Сз— 0 пере*
секаются в одной точке, то
Л	Bi	Ci	
Дг	в2		= 0.
Дз	Вз	со С2	
297. Доказать, что если
А в,
Д2 В 2
Дз 2?з
С,
с2
С3
то три прямые /lixy-'Bi# 4-'С1 = 0, Д2*4“ ^2#Ч* С2 = О,
Д3х 4- Вз# 4*. Cs =» 0 пересекаются в одной точке или
параллельны,
V 298. Определить, при каком значении а три прямые
2х —#4-.Зь=0, #гР#4-3 = 0, с?хи4-#—13 = 0 будут
пересекаться в одной точке.
299. Даны прямые: 1) 2х'4-'3#— 6 = 0; 2) 4х— 3#4*}
[4-24 = 0; 3) 2x4-3# —9 = 0; 4) Зх —5# — 2 = 0*
5) 5x4*12#— I =0. Составить для них уравнения «в от-
резках» и построить эти прямые на чертеже.
300< Вычислить площадь треугольника, отсекаемого
прямой Зх —4#— 12 = 0 от координатного угла.
301.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку Мi (3; —7) и отсекает на координатных осях
отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая
каждый отрезок направленным от начала координат).
302.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку Р(2; 3) н отсекает на координатных осях
46
отрезки равной длины, считая каждый отрезок от на-
чала координат.
303.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 2 кв. ед,
V 304. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку В (5; —5) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 50 кв. ед.
305.	Составить уравнение прямой, ’которая проходит
через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.
306.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 150 kr. од.
307.	Через точку М (4; 3) проведена прямая, отсе-
кающая от координатного угла треугольник, площадь
которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения
этой прямой с осями координат.
308.	Через точку AfJXi; у\), где Xitj\ >0, проведена
прямая
а о
отсекающая от координатного угла треугольник, пло-
щадь которого равна 5. - Определить, при каком соот-
ношении между величинами и S отрезки а и b бу-
дут иметь одинаковые знаки.
§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача
определения расстояния от точки до прямой
Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало
координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью.
Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой
и установим положительное направление нормали от точки О
к точке Р.
Если а есть полярный угол нормали, р — длина отрезка ОР
(рис. 10), то уравнение данной прямой может быть записано в виде
х • cos ci 4- у • sin а — р = 0;
уравнение этого вида называется нормальным.
Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ЛР;
обозначим через d расстояние точки ЛР от данной прямой. Откло-
нением 6 точки М* от прямой называется число 4-cf, если данная
точка и начало координат лежат по разные стороны от данной
прямой, и — d, если данная точка и начало координат расположены
47
по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой
прямой, б — 0.) Если даны координаты х*, у* точки М* и нор-
мальное уравнение прямой х cos а + у sin а — р = 0, то отклонецие 6
точки М* эт этой прямой может быть вычислено по формуле
б = х’ cos а -Ь у* sin а — р.
Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М*
от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения
этой прямой вместо текущих коорди-
7 К	нат подставить координаты точки AJ*.
X. р z*	Полученное число будет равно искомо-
XZ	му отклонению.
гуу.	Чтобы найти расстояние d от точки
Х^	до прямой, достаточно вычислить от-
// X. клонение и взять его модуль:
\	rf=|d|.
$	$ Если дано общее уравнение прямой
Ах + By + С ~ 0, то, чтобы привести
1 ис-	его к нормальному виду, нужно все чле-
ны этого уравнения умножит* на нор-
мирующий множитель ц, определяемый формулой

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку
свободного члена нормируемого уравнения.
309. Определить, какие из следующих уравнений
прямых являются нормальными:
1) |х-|у-3 = 0;	2)^x--^y-l=0i
3} ~x-~y + 2r=0-	4)--i-x + -||i/-2 = 0;
5) — x ~г 2 = 0;	6) x — 2 ~ 0;
7) r/H- 2 = 0;	8) — г/ —2=0,
310, Привести общее уравнение прямой к нормаль-
ному виду в каждом из следующих случаев:
]) 4х-3у- 10 = 0;	2) 4*--^+1° = 0)
о о
3) 12х —5//+ 13 = 0;	4) *4-2 = 0;	'
5) 2*-г/-/5=0.
48
311.	Даны уравнения прямых:
1)	х —2 = 0;	2) х4-2 = 0;
4)У + 3 = 0; 5) х /3+У-6 = О;
7)	х + У]/3 + 2 = 0;
8)	xcos{3— у sin р — <7=0, <7 > 0;
9)	х cos р 4- у sin р 4- q — 0, q > 0;
3) у 3 — 0;
6) х — //4-2 = 0;
Р — острый угол;
р — острый угол.
Определить полярный угол нормали а и отрезок р
для каждой из данных прямых; по полученным значе-
ниям параметров аир построить эти прямые на чер-
теже (в последних двух случаях построение прямой вы-
полнить, считая р = 30° и q = 2).
312.	Вычислить величину отклонения 6 и расстоя-
ние d точки от прямой в каждом из следующих слу-
чаев: 1) /1(2; -1), 4x4-3// 4- 10 = 0; 2)' В (0; — 3),
5х—12// —23 = 0; 3) Р(—2; 3), Зх — 4у — 2 = 0;
4) Q(l; —2), х —2// —5 = 0.
313.	Установить, лежат ли точка М(1; —3) и начало
координат по одну или по разные стороны каждой из
следующих прямых: 1) 2х — //4-5 = 0; 2) х— Зу — 5 =
= 0: 3) 3x4-2#— 1=0; 4) х — 3//4-2 = 0; 5) 10х ±
9- 24// 4- 15 = 0.
314.	Точка /1(2; —5) является вершиной квадрата,
одна из сторон которого лежит на прямой х — 2у— 7 =
= 0. Вычислить площадь этого квадрата.
315.	Даны уравнения двух сторон прямоугольника
Зх — 2у— 5 = 0, 2х4-3#4“7 = 0 и одна из его вершин
Л (—2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
316.	Доказать, что прямая 2х-|-//+3 = 0 пересе-
кает отрезок, ограниченный точками Л (—5; 1) и В (3; 7).
317.	Доказать, что прямая 2х— Зу 4- 6 = 0 не пере-
секает отрезка, ограниченного точками Afi(—2; —3) и
ЛЬ(1; —2).
318.	Последовательные вершины четырехугольника
суть точки Л (—3; 5), 23 (—1; —4), С(7; —1) и D(2; 9).
Установить, является ли этот четырехугольник вы-
пуклым.
319.	Последовательные вершины четырехугольника
суть точки Л(—1; 6), В(1; —3), С(4; 10) и D(9; 0).
Установить, является ли этот четырехугольник вы-
пуклым.
49
320.	Даны вершины треугольника! Л(—10; —13),
В(—2; 3) и С(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра,
опущенного из вершины В на медиану, проведенную
из вершины С.
321.	Стороны АВ, ВС и С А треугольника АВС соот-
ветственно даны уравнениями x-j-21#— 22 — 0, 5х —
— 12#+7== 0, 4х— 33# + 146 = 0. Вычислить расстоя*
ние от центра тяжести этого треугольника до сторо-
ны ВС.
322.	Вычислить расстояние d между параллельными
прямыми в каждом из следующих случаев:
1) Зя-4#- 10 = 0,
6х — 8# + 5 — 0;
3) 4х-3# + 15 = 0,
8х — 6# + 25 = 0;
5я — 12# + 26 =0,
5х — 12# — 13 = 0;
24я — 10#+ 39 = 0,
12х — 5# —26 = 0.
323.	Две стороны квадрата лежат на прямых 5х —
— 12# — 65 = 0, 5х — 12# + 26 = 0. Вычислить его пло-
щадь.
324.	Доказать, что прямая 5х— 2#—1=0 парал*
лельна прямым 5х — 2#+ 7 = 0, ох— 2# — 9 = 0 и
делит расстояние между ними пополам.
325.	Даны три параллельные прямые: 1 Ох’+'15# —*
— 3 = 0, 2х+'3# + 5 = 0, 2х + 3# — 9 = 0. Установить,
что первая из них лежит между двумя другими, и вы*
чисдить отношение, в котором она делит расстояние
между ними.
326.	Доказать, что через точку Р(2; 7) можно про-
вести Две прямые так, чтобы их расстояния от точки
Q (1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых,
327.	Доказать, что через точку Р(2; 5) можно про-
вести две прямые так, чтобы их расстояния от точки
Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих пря-
мых.
328.	Доказать, что через точку С(7; -^2) можно про-
вести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от
точки Д(4; —6) было равно 5. Составить ее уравнение^
329.	Доказать, что через точку 5(4; —5) невозмож-
но провести прямую так, чтобы расстояние ее от течки
С(—2; 3) было равно 12.
330.	Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонение которых от прямой 8х—15# — 25 = 0 рав«*
но —2.
50
331.	Составить уравнение прямых, параллельных
прямой Зх — 4у—10 — 0 и отстоящих от нее на рас-
стоянии d — 3.
332.	Даны две смежные вершины квадрата Л (2; 0)
и В(—1; 4). Составить уравнения его сторон.
333.	Точка А (5; —1) является вершиной квадрата,
одна из сторон которого лежит на прямой 4х— Зу—
— 7 = 0. Составить уравнения прямых, на которых ле-
жат остальные стороны этого квадрата.
334.	Даны уравнения двух сторон квадрата 4х—
.— Зу -f- 3 = 0, 4х— Зу—17 = 0 и одна из его вершин
А(2; —3). Составить уравнения двух других сторон
этого квадрата.
335.	Даны уравнения двух сторон квадрата Зх 4-'
Н- 12у—10=0, 5х + 12г/4-29 = 0. Составить уравне-
ния двух других его сторон при условии, что точка
Л11 (—3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336.	Отклонения точки М от прямых 5х—12г/—13=
= 0 и Зх — 4у— 19 = 0 равны соответственно —3 и —5.
Определить координаты точки Л1.
337.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Р(—2; 3) на одинаковых расстояниях от точек
/1(5; —1) и В(3; 7).
338.	Составить уравнение геометрического места то-
:к, равноудаленных от двух параллельных прямых:
1) Зх-/74-7 = 0,
Зх — у — 3 = 0;
3) 5х — 2у — 6 = 0,
10х — 4у 4- 3 = 0.
2) х —2р4- 3 = 0,
х-2у 4-7 = 0;
339.	Составить уравнения биссектрис углов, образо-
ванных двумя пересекающимися прямыми:
1) х- Зу + 5=0,
Зх — у — 2 = 0;
3) 3x4- 4z/-l = 0,
5х 4- \-У — 2 = 0.
2) х — 2у — 3 = О,
2x4-4//4-7 = 0;
340.	Составить уравнения прямых, которые прохо-
дят через точку Р(2; —1) и вместе с прямыми 2х — у-\-
j_5==0, 3xJ-6t/ —]_=0 образуют равнобедренные
треугольники.
51
341.	Определить, лежат ли точка Af(l; —2) и начало
координат в одном, в смежных или вертикальных уг-
лах, образованных при пересечении двух прямых:
1)2х- у— 5 = 0, 2) 4x4-3//—10 = 0,
3x4- 1/4" 10 = 0;	12х —5// — 5 = 0;
8) х — 2у — 1=0,
Зх — у — 2 = 0.
342.	Определить, лежат ли точки Л4(2;3) и N(5;—I)
в одном, в смежных или вертикальных углах, образо-
ванных при пересечении двух прямых;
1) х — Зу — 5=0,
2х 4- 9// — 2 = 0;
2) 2x4- 7у -5 = 0,
х + Зу 4- 7 = 0;
3) 12х 4- //—1=0,
13х + 2у — 5 = 0.
343.	Определить, лежит ли начало координат вну-
три или вне треугольника, стороны которого даны ура в*
нениями 7х— Зу—11=0, 8х 4- Зу 4- 31 = 0, х 4- 8// —
— 19 = 0.
344.	Определить, лежит ли точка Л4(—3; 2) внутри
или вне треугольника, стороны которого даны урав-
нениями х4-// —4 = 0, Зх — 7?/4-8 = 0, 4х — у — 31 =
= 0.
345.	Определить, какой из углов, острый или тупой,
образованных двумя прямыми Зх — 2у + 5 = 0 и 2х_4~-
+ у — 3 = 0, содержит начало координат.
346.	Определить, какой из углов, острый или тупой,
образованных двумя прямыми Зх — Зу — 4 = 0 и x4-J
.4- 2у 4- 3 = 0, содержит точку Л1 (2; —5).
347.	Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми Зх — у — 4 = 0 и 2x4-бу 4" 3 = 0, в котором
лежит начало координат.
348.	Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми х — 7у 4- 5 = 0, Зх 4- Зу — 3 = 0, смежного
с углом, содержащим начало координат
349.	Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми х 4-2//—11=0 и Зх — Зу — 5 = 0, в котором
лежит точка М (1; —3).
350.	Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми 2х —3// —5 = 0, 6х — 4?/4-,7 = б, смежного
с углом, содержащим точку С (2; —1).
52
351.	Составить уравнение биссектрисы острого угла,
образованного двумя прямыми Зх-\-4у— 5 = 0 5х—
_-|2//4-3 = 0.
352.	Составить уравнение биссектрисы тупого угла,
образованного двумя прямыми х — Зу + 5 = 0, Зх —
— у + 15 = 0.
§ 15.	Уравнение пучка прямых
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку 5,
называется пучком прямых с центром S.
Если .Л1Х + В\у + Ci = 0 и А;Х + В, у 4- С? — 0 — уравнения
двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение
а (Л[Х 4-	4~ б\) 4* Р (Л^х + В у/ 4* С2) = 0,	(1)
где а, р — какие угодно числа, не равные одновременно нулю, опре-
деляет прямую, также проходящую через точку S,
Более того, в уравнении (1) числа а. р всегда возможно подо-
брать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную)
прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую
пучка с центром S. Поэтому уравнение лида (1) называется урав-
нением пучка (с центром S).
Если а Ф 0, го, деля обе части уравнения (1) на а и полагая
— = Л, получим;
А[Х 4~ Вгу -J- Cj + (Л2х 4- Вгу 4* С2) = 0.	(2)
Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с цен-
тром 5, кроме той, которая соответствует а = 0, т. е. кроме прямой
Лзх 4- В-у 4- С2 = 0.
353.	.Найти центр пучка прямых, данного уравнением
а (2х 4- Зу — 1) 4- 6 (X — 2у — 4) — 0.
354.	Найти уравнение прямой, принадлежащей пуч-
ку прямых а(х Ц- 2у — 5) 4- ₽(3х — 2у 4- 1) = 9 и
1)	проходящей через точку /1(3; —1);
2)	проходящей через начало координат;
3)	параллельной оси Ох\
4)	параллельной оси Оу,
5)	параллельной прямой 4л 4* Зу + 5 = 0;
6)	перпендикулярной к прямой 2х + Зу 4- 7 = 0.
355. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямы?; Зх —2//4-5 = 0, 4x4-3?/ —
— 1 = 0 и отсекающей на оси ординат отрезок b = —3.
Решить задачу, не определяя координат точки пересе-
чения данных прямых.
356. Составить уравнение прямой, которая проходит
.через точку пересечения прямых 2x4-// —2 = 0,
53
х—~у — 23 = 0 и делит пополам отрезок, ограниченный
точками Afi(5; —6) и Afs(—I; —4). Решить задачу, не
вычисляя координат точки пересечения данных прямых*
357. Дано уравнение пучка прямыха(Зх-4# — 3)4-
4-0 (2x4-3#— 1) = 0. Написать уравнение прямой это-
го пучка, проходящей через центр тяжести однородной
треугольной пластинки, вершины которой суть точки
А(-1; 2), В (4; -4) и С (6; -1).
358.	Дано уравнение пучка прямых се (Зх — 2у—1)-р
4- ₽ (4х — 5у 4- 8) = 0. Найти прямую этого пучка, про-
ходящую через середину отрезка прямой х 4- 2у 4- 4 = 0,
заключенного между прямыми *2х 4- Зу 4- 5 = 0, *4?
-4; 7#— I — 0.
359.	Даны уравнения сторон треугольника х4-2# —
— 1=0, 5x4-4#—17 = 0, х —4# 4-11=0. Не опре-
деляя координат его вершин, составить уравнения вы-
сот этого треугольника.
360.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2x4-7# — 8 = 0, Зх 4-2# 4-;
4-5=0 под утлом в 45° к прямой 2x 4-3# —7 = 0, Ре-
шить задачу, не вычисляя координат точки пересечения
данных прямых.
361.	В треугольнике АВС даны уравнения высоты
AN: X4-5# — 3 = 0, высоты BN: х’+#— 1=0 и сто-
роны АВ: х,4~3# —1 =0. Не определяя координат вер-
шин и точки пересечения высот треугольника, составить
уравнение двух других сторон и третьей высоты.
362.	Составить уравнения сторон треугольника ABCt
зная одну его вершину А (2; —1), а также уравнения
высоты 7х—10# 4-1=0 и биссектрисы Зх — 2#-|-o=0t
проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вы-
числяя координат вершин В и С.
363.	Дано уравнение пучка прямых а(2х'4- у 4- 8)-р
4- р(х 4- # 4“ 3) = 0. Найти прямые этого пучка, отрезки
которых, заключенные между прямыми х — # — 5 = 0,
х — # — 2 = 0, равны У5.
364.	Дано уравнение пучка прямых а(3х 4-#— 1)4-:
4-р(2х — у — 9) = 0. Доказать, что прямая х-^3#-Н
4-13 = 0 принадлежит этому пучку.
365.	Дано уравнение лучка прямых а (5x4-3# 4-6) 44
4-0(3х —4# —37) = 0. Доказать, что прямая 7x4-2# —
— 15 = 0 не принадлежит этому пучку,
366.	Дано уравнение пучка прямых а(3х 4-2#— 9)4-*-
4- ^(2хД-л5# 4-_5) = 0. Найти, при каком значении С
54
прямая 4х — Зу + С = 0 будет принадлежать этому
пучку.
367.	Дано уравнение пучка прямых а(5х 4-Зу— 7)4-
Ч-Р(ЗхД-10у-h4)=»0. Найти, при каких значениях а
прямая'ал\-ь5у 4-9 = О не будет принадлежать этому
пучку.
368.	Центр пучка прямых а(2х— Зу4-20)4-
Н- р(3х 4- бу — 27)= 0 является вершиной квадрата,
диагональ которого лежит на прямой х4-7у—16 = 0.
Составить уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата.
369.	Дано уравнение пучка прямых а(2х 4- 5у + 4) 4-
Ч- р (Зх — 2у + 25) = 0. Найти прямую этого пучка, от-
секающую на координатных осях отличные от нуля от-
резки равной величины (считая от начала координат).
370.	Дано уравнение пучка прямых а(2х4-у-|- 1)4-
4-(Их— Зу — 10)== 0. Найти прямые этого пучка, отсе-
кающие на координатных осях отрезки равной длины
[(считая от начала координат).
371.	Дано уравнение пучка прямых а(21х4".—
— 18) 4- [3(11х 4- Зу 4- 12) = 0. Найти прямые этого
пучка, отсекающие от координатных углов треугольни-
ки с площадью, равной 9 кв. ед.
372, Дано уравнение пучка прямых а(2х'4- у 4- 4)4-
Ч~Р(х— 2у— 3) = 0. Доказать, что среди прямых этого
пучка существует только одна прямая, отстоящая от
точки Р(2; —3) на расстоянии d=]/10- Написать
уравнение этой прямой.
373. Дано уравнение пучка прямых а(2х — у —6)4-
+:Р(*“У — 4) — 0. Доказать, что среди прямых этого
пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; —1) на рас-
стоянии d = 3.
374, Составить уравнение прямой, проходящей че-
рез точку пересечения прямых Зх4~у_ 5 = 0, я —
— 2у4-10==0 и отстоящей от точки С(—1; —2) на
расстоянии d = 5. Решить задачу, не вычисляя коор-
динат точки пересечения данных прямых.
375.	Дано уравнение пучка прямых а(5*4-2у4-
4- 4) 4-	4- 9у — 25) = 0. Написать уравнения прямых
этого пучка, которые вместе с прямыми 2х — Зу4~
4-5 = 0, 12х4-3у —7 = 0 образуют равнобедренные
треугольники.
376.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку пересечения прямых Цх.^Зу —7 = О,
55
12* -|- У~ 19 = 0 на одинаковых расстояниях от точек
А (3; —2) и В(—1; 6). Решить задачу, не вычисляя
координат точки пересечения данных прямых.
377.	Даны уравнения деух пучков прямых
(5х 4- Зу - 2) 4- ft (Зх — у — 4) = О,
а2(х — У-г 1) + М2х — у — 2) = 0.
Не определяя их центров, составить уравнение прямой,
принадлежащей обоим пучкам.
378.	Стороны АВ, ВС, CD и DA четырехугольника
ABCD заданы соответственно уравнениями 5х 4“ У 44
4-13 = 0, 2х—7у —17 = 0, 3x4-2//—13 = 0, Зх —
4у 4- 17 = 0. Не определяя координат вершин этого че-
тырехугольника, составить уравнения его диагоналей
АС и BD.
379.	Центр пучка прямых а(2х 4-Зу'4-5)4-Р(3х —1
— у 4- 2) = 0 является одной из вершин треугольника,
две высоты которого даны уравнениями х — 4//4-1 = 0.
2х 4- у 4- 1 — 0. Составить уравнения .сторон этого тре-
угольника.
§ 16. Полярное уравнение прямой
Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной
прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в ко-
торой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положи-
тельное направление от точки О
\	к точке Угол> па который нуж*
'V/f/', оу	но повернуть полярную ось до
/ \Л’	наложения ее на отрезок ОР, бу-
/ xZx	дем называть полярным углом
а X.	нормали.
/лХ* X.	380. Вывести полярное
0'	X. уравнение прямой, зная ее
	1—-	—>- расстояние от полюса р и
*______________________полярный угол нормали а.
£ Р е ш е н и е. 1-й с п о с о б. На
данной прямой $ (рис. 11) возь-
Рис- 11.	мем произвольную точку м с по-
лярными координатами р и 0.
Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из
прямоугольного треугольника ОРМ находим:
(1>
Мы получили уравнение с двумя переменными р и 0, которому
удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s,
56
И не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой
прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением пря-
мой s. Таким образом, задача решена.
2-й способ. Будем рассматривать декартову прямоугольную
систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпа-
дает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декарто-
вой системе имеем нормальное уравнение прямой $:
xcos а Ч- у sin а — р = 0.	(2)
Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в
декартовы:
x = pcos6,
у — р sin 0.
Подставляя в уравнение (2) вместо х и и выражения (3), получим:
р (cos 6 cos а + sin 9 sin а) = р
или
_______Р
р cos (0 — а)
381. Вывести полярное уравнение прямой, если
даны:
1)	угол р наклона прямой к полярной оси и длина
перпендикуляра /?, опущенного из полюса на эту пря-
мую. Написать уравнение этой прямой в случае
р = 3;
2)	отрезок а, который отсекает прямая на поляр-
ной оси, считая от полюса, и полярный угол а нор-
мали этой прямой. Написать уравнение этой прямой
'	2
в случае а — 2, а — —, л;
[	3) угол р наклона прямой к полярной оси и отре-
зок а, который отсекает прямая на полярной оси, счи-
тая от полюса. Написать уравнение этой прямой в слу-
чае P = t? = 6.
382.	Вывести полярное уравнение прямой, проходя-
щей через точку Afi(pi;0i) и наклоненной к полярной
оси под углом р.
383.	Вывести полярное уравнение прямой, проходя-
щей через точку Mi(pi;0i), полярный угол нормали
которой равен а.
384.	Составить уравнение прямой, проходящей че-
рез точки Mi (pt; 0i) и M2(pi?; 9s).
ГЛ ABA 4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 17. Окружность
Уравнение
(х - а)2 + (у - Р)2 = 7?2	(I)
определяет окружность радиуса R с центром С (а; Р),
Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е.
если а == 0, р = 0, то уравнение (1) принимает вид
х2 + у2 ~ R2.	(2)
385.	Составить уравнение окружности в каждом из
следующих случаев:
1)	центр окружности совпадает с началом координат
и се радиус Р — 3;
2)	центр окружности совпадает с точкой С(2;. —3)
и ее радиус Р = 7;
3)	окружность проходит через начало координат и
ее центр совпадает с точкой С (6; —8);
4)	окружность проходит через точку /1(2; 6) и ее
центр совпадает с точкой С(—1; 2);
5)	точки 4(3; 2) и 5( — 1; 6) являются концами од-
ного из диаметров окружности;
6)	центр окружности совпадает с началом координат
и прямая Зх — 41/-f-20 = О является касательной к
окружности;
7)	центр окружности совпадает с точкой C(l; —I) и
прямая 5х — \2у -4-9 = 0 является касательной к окруж-
ности;
8)	окружность проходит через точки 4(3; Г) и
23 (— 1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх — у — 2 = 0;
9)	окружность проходит через три точки 4(1; 1),
23(1, -1) и С(2; 0);
10)	окружность проходит через три точки; Afi (— 1; 5).
Л1Д-2; -2) и А13(5; 5).	'
5S
386.	Точка С(3; —I) является центром окружности,
отсекающей на прямой 2х— 5г/ 4- 18 = 0 хорду, длина
которой равна 6, Составить уравнение этой окружности.
387.	^Написать уравнения окружностей радиуса
£ =/5, касающихся прямой х—-2г/—1=0 в точке
ВД; 1).
388.	Составить уравнение окружности, касающейся
двух параллельных прямых: 2х-[-у — 5=0, 2х 4- у 4-,
4- 15 = 0, причем одной из них — в точке Л (2; 1).
389.	Составить уравнения окружностей, которые про-
ходят через точку 4(1; 0) и касаются двух параллель-
ных прямых: 2х 4- у 4- 2 — 0, 2х 4- у — 18 = 0.
390.	Составить уравнение окружности, которая, имея
центр на прямой 2х у — 0, касается прямых 4х —
— Зу 4- Ю = 0, 4х — Зу — 30 = 0.
391.	Составить уравнения окружностей, касающихся
двух пересекающихся прямых: 7х — у — 5 = 0, х 4- у 4-
J-13 —0, причем одной из них — в точке Mi(l; 2).
392.	Составить уравнения окружностей, проходящих
через начало координат и касающихся двух пересекаю-
щихся прямых: х 4- 2// — 9 = 0, 2х — у 4- 2 = 0.
393.	Составить уравнения окружностей, которые, имея
центры на прямой 4х — 5 г/— 3 = 0, касаются прямых
2х — Зу — 10 = 0, Зх — 2у 4- 5 = 0.
394.	Написать уравнения окружностей, проходящих
через точку А(—1; 5) и касающихся двух пересекаю-
щихся прямых: Зх 4- 4у — 35 = 0, 4х 4- Зу 4- 14 = 0.
395.	Написать уравнения окружностей, касающихся
трех прямых: 4х — Зу — 10 = 0, Зх-— 4у — 5 = 0 и Зх —
— 4у~^ 15 = 0.
396.	Написать уравнения окружностей, касающихся
трех прямых: Зх 4* 4у — 35 = 0, Зх— 4у — 35 = 0 и х —
-1 = 0.
397.	Какие из нижеприводимых уравнений опреде-
ляют окружности? Найти центр С и радиус R каждой
из них:
1) (х - 5)2 4- [у + 2)2 = 25;
3) (х — б)2 4-(# 4-2)2 = 0;
5)	х~ 4- у2 — 2х 4" 4# — 20 = 0;
6)	х2 4-/-2x4-4^ 4- 14 = 0;
7)	х2 + у2 + 4х~2у 4-5 = 0;
9) х2 4- у2 4- 6х — 4у 4-14 = 0;
2) (х4-2)24-^ = 64;
4) х2 4- [у — 5)2 = о;
8) х24-^4-х = 0;
10) х2 4- у2 4- у ~ 0.
59
398. Установить, какие линии определяются следую-
щими уравнениями:
1)S = +/9^P;	6) </=15-/б4-х-;
2) у = - /25^-х2;	7) ж—2-/9-/;
3)х = -/4-/;	8)х=—2+/9-/:
4)х = +/16-/;	9) J/ = -3-/21-4x-x2.
3) у = 15 + /64 - х2; 10) х = - 5 + /40 - бу - у2\
Изобразить эти линии на чертеже.
399. Установить, как расположена точка 4(1; —2)
относительно каждой из следующих окружностей — вну-
три, вне или на контуре: 1) х2 4- у2 = 1; 2) х24-у2=5;
3) х24-у2 = 9; 4) х34-№~8х-4у-5 = 0; 5) х2-Ь
Н~ У2 — Юх -f- Sy = 0.
400. Определить уравнение линии центров двух
окружностей, заданных уравнениями:
1)	(х-‘з)2+^ = 9 и (х 4- 2)2 4- {у — 1)2= 1;
2)	(х +2)24-(у — 1)2= 16 и (х4-2)2 4-(/7 4-5)2 = 25;
3)	х2 4- у2 — 4х 4- бу = 0 и х2 + у2 — 6х = 0;
4)	х24- У2 — х4-2у = 0	и х24*//2Ч-5х 4“2у—1 =0.
401. Составить уравнение диаметра окружности х24-
4-у24-4х--бу—17 = 0, перпендикулярного к прямой
5х 4- 2у — 13 = 0.
402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до
окружности в каждом из следующих.случаев:
а)	.4(6; -8), х24>У2 = 9; ’
б)	В(3; 9), х24-//2~26х4-30у4-313 = 0;
в)	С(-7; 2), х2 + у2-10х^-14у-151 =0.
403. Определить координаты точек пересечения пря-
мой 7х — у 4- 12 — 0 и окружности (х — 2)\4- (у — I)2 =
— 25.
404. Определить, как расположена прямая относи-
тельно окружности (пересекает ли, касается или прохо-
дит вне ее), если прямая и окружность заданы следую-
щими уравнениями:	'
1) у = 2х —3 и х24~У2 —Зх4-2у — 3 = 0;
2)У=4а:“'т и х?+	8* + 2у 4- 12 = 0; 
3) !/ = л+ 10 и х2 + у-_ 1=0.
60
405. Определить, при каких значениях углового ко-
эффициента k прямая у = kx
1)	пересекает окружность х2 4~ у2 — 1 Ох 4 16 = 0;
2)	касается этой окружности,
3)	проходит вне этой окружности.
406,	Вывести условие, при котором прямая у — кх-\-
4- b касается окружности х2 4 у2 = /?2.
407.	Составить уравнение диаметра окружности
(х —• 2)2 4 (у 4- О2 =	проходящего через середину
хорды, отсекаемой на прямой х — 2у — 3 = 0.
408.	Составить уравнение хорды окружности
(х — 3)24 (У — ?)2 — 169, делящейся в точке Л4(8,5; 3,5)
пополам.
409.	Определить длину хорды окружности (х —2)24
-f- (^ — 4)2 = 10, делящейся в точке 4(1; 2) пополам.
410.	Дано уравнение пучка прямых а(х— 8у 4- 30) 4
Ч“Р(* + 5г/ — 22) = 0. Найти прямые этого пучка, на
которых окружностях24-у2 — 2х 4 2// — 14 = 0 отсекает
хорды длиною 2 УЗ.
411.	Даны две окружности (х — т^2 4 (у — )2 = R2,
(х — т2)2 4 (у — п^2 — /?2, пересекающиеся в точках
Ali(xi; у А и Л42(х2; у2). Доказать, что любая окруж-
ность, проходящая через точки М1( М2, а также прямая
М>М2, могут быть определены уравнением вида
+(«/-«,)«- яд + ₽[(* - «/+(г/-пг)2-яд=
= 0 при надлежащем выборе чисел аир.
412.	Составить уравнение окружности, проходящей
через точку А (1; —1) и точки пересечения двух окруж-
ностей: х2 4- У2 4- 2х —- 2у — 23 = 0, х2 4- у2 — 6х 4-12// —
- 35 = 0.
413.	Составить уравнение окружности, проходящей
через начало координат и точки пересечения двух окруж-
ностей: (х 4-З)2 4- (г/Н- 1)2 = 25, (х-2)24-1(//4- 4)7 =
. . - Q
414.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точки пересечения двух окружностей: х2 4- У2 4- Зх — у =
= 0, Зх2 4- 3у2 4- 2х 4- у = 0.
415.	Вычислить расстояние от центра окружности
х2-{-у2 — 2х до прямой, проходящей через точки пересе-
чения двух окружностей: х2 4- У2 4- Зх — 8// 4 1 = Д х2 4
4_г/2_зх + 7^:_25 = 0.
416.	Определить длину общей хорды двух окружно-
стей: х2 4: у2 — 10х — Ю// = о, х2 J- у2 4* бх 4-. -у — 40 = о.
61
417.	Центр окружности лежит на прямой х4-// = 0*
Составить уравнение этой окружности, если известно,
что она проходит через точки пересечения двух окруж-
ностей: (х-1)2ь+(//4-5)2 = 50, (x-f- 1)24 (?/+ О2 =
= 10.
418.	Составить уравнение касательной к окружности
х2 4- у/2 = 5 в точке А (— 1; 2).
419.	Составить уравнение касательной к окружности
(х + 2)2+ (# ~ З)2 « 25 в точке А (—5; 7),
420.	На окружности 16хг 4- 16г/2 4 48х — 8у — 43 = 0
найти точку Mi, ближайшую к прямой 8х — 4у 4- 73 = 0,
и вычислить расстояние d от точки Mi до этой пря-
мой.
421.	Точка Mi(xi; у А лежит на окружности х2 + у2 =
= R2. Составить уравнение касательной к этой окружно-
сти в точке Л11.
422.	Точка МЦх,; уА лежит на окружности
(х —• а)2 4* (У — Р)2 =*= R2 Составить уравнение каса-
тельной к этой окружности в точке Мi.
423.	Определить острый угол, образованный при пе-
ресечении прямой Зх — у — 1=0 и окружности
(х — 2)24- у2 = 5 (углом между прямой и окружностью
называется угол между прямой и касательной к окруж-
ности, проведенной в точке их пересечения).
424,	Определить, под каким углом пересекаются две
окружности:	(х — З)2 4* (у — I)2 = 8, (х —2)24,'
Н“(#4-2)?=.2 (углом между двумя окружностями на-
зывается угол между их касательными в точке пересе-
чения).
425.	Вывести условие, при котором две окружности
(х — а{)? + {у - ₽()2 == (х - а2)2 4- (У — Р2)2 == RI пере-
секаются под прямым углом.
426.	Доказать, что две окружности
х2 4- У2 — 2/пх — 2пу — т2 4- гс2 = 0,
х2 Н- у2 — 2пх 4- 2m// 4 т? — п? = 0
пересекаются под прямым углом.
427.	Из точки А ; — 4 i проведены
касательные
к окружности х2 4" у2 — 5. Составить их уравнения.
428.	Из точки 4(1; 6) проведены касательные к
окружности х- 4- г/24:2х — 19 = 0. Составить их уравч
нения,
62
429.	Дано уравнение пучка прямых а(3х^-4г/ —
10) 4- р(3х — у — 5) «= 0. Найти прямые этого пучка,
которые касаются окружности х2 4- у2 4~ 2х — 4у = 0.
430.	Из точки Л (4; 2) проведены касательные к
окружности х2 4- У2= 10. Определить угол, образован-
ный этими касательными.
431.	Из точки Р(2; —3) проведены касательные к
окружности (х — I)2 4“ (У 4“ 5)2 = 4. Составить уравне-
ние хорды, соединяющей точки касания.
432.	Из точки С(б; —8) проведены касательные к
окружности х2 4~ У1 = 25. Вычислить расстояние d от
точки С до хорды, соединяющей точки касания.
433.	Из точки ^(— 9; 3) проведены касательные к
окружности х2 4- У2 — бх 4~ 4г/ — 78 — 0. Вычислить рас-
стояние d от центра окружности до хорды, соединяющей
точки касания.
434.	Из точки Л1(4;—4) проведены касательные к
окружности х2 4* У2 ~	4- 2г/ 4- 5 = 0. Вычислить дли-
ну d хорды, соединяющей точки касания.
435.	Вычислить длину касательной, проведенной из
точки А (1; —2) к окружности х2 4- г/2 4- х — 3?/ — 3 = 0.
436.	Составить уравнения касательных к окружности
х24~^24“1бх — 2г/4"6 = 0, параллельных прямой 2x4-
4- у — 7 = 0.
437.	Составить уравнения касательных к окружности
х2 4- У2 — 2х 4- 4г/ == 0, перпендикулярных к прямой х —
2г/ 4- 9 = 0.
438.	Составить уравнение окружности в полярных ко-
ординатах по данному радиусу Р и полярным координа-
там центра C(R', Go).
439.	Составить уравнение окружности в полярных ко-
ординатах по данному радиусу R и полярным координа-
там центра окружности: 1) C(R‘ 0); 2) C(R\ л);
з) с(л; 4);з) 4 5) ф; -т)-
440. Определить полярные координаты центра и ра-
диус каждой из следующих окружностей: 1) p = 4cos0?
2) р = 3 sin 0; 3) р ==—2cosf); 4) р = —5 sin 0;
5) p = 6cos(-y-0); G) P = 8sin(o~4j: 7) p =
= 8sin i4 — 0)-
441. Окружности заданы уравнениями в поляр-
ных координатах: 1) p = 3cos9; 2), q =—4sin 0;
63
3)‘ р — cose — sinG. Составить их уравнения в декарто-
вых прямоугольных координатах при условии, что
полярная ось Совпадает с положительной полуосью Ох,
а полюс — с началом координат.
442. Окружности заданы уравнениями в декартовых
прямоугольных координатах: 1) х2-J- у2 — х; 2) х24>
+ ^=-Зх; 3)	=	4) & + у2~-У’, 5) х2 +
Ц- if == х + у. Составить уравнения этих окружностей в
полярных координатах при условии, что полярная ось
совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс —
с началом координат.
443. Составить полярное уравнение касательной к
окружности р = R в точке Mi (Я* Оо).
§ 18. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых
сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, назы-
ваемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстоя-
ние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной
точки эллипса до фокусов принято сбозначать через 2а. Фокусы
эллипса обозначают буквами Fь и Ft, расстояние между ними —•
.через 2с. По определению эллипса 2а > 2с или а > с.
Рис. 12.
х
Пусть дая эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы
координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются
на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в
этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид
где b = V а2 — с2; очевидно, а > &. Уравнение вида (I) называется
каноническим уравнением эллипса.
При указанном выборе системы координат оси координат
являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его цен-
тром симметрии (рис. 12). Оси симметрии эллипса называются
просто гго осями, центр симметрии — просто центром. Точки, в ко-
торых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На
рис. 12 вершины эллипса суть точки А', А, В' и В. Часто осями
эллипса называются также отрезки А'А = 2а и В'В =& 26; вместе
с тем отрезок ОЛ == а называют большой полуосью эллипса, отре-
зок ЛВ = 6 — малой полуосью.
Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (симметрично
относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же
вид (1), но в этом случае b > ст, следовательно, если мы желаем
буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно
буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок
задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, располо-
женную на оси Ох, буквой b — полуось, расположенную на оси Оу,
независимо от того, что больше, а или 6 Если аЬ, то уравне-
ние (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный слу-
чай эллипса,
Число
где а — большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса.
Очевидно, е<1 (для окружности е==0). Если М(Х‘, у)—произ-
вольная точка эллипса, то отрезки F\M = и и FgAf =« г2 (рис. 12)
называются фокальными радиусами точки
могут быть вычислены по фор-
мулам
Г| ~ а + ел, гг« а — ех.
Если эллипс
уравнением (1) и
прямые
определен
а > Ь, то
а
& ’
(рис. 12) называются дирек-
трисами эллипса (если b > а,
то директрисы определяются
уравнениями
М. Фокальные радиусы
Рис. 13.
b
У = ^-.
Каждая директриса обладает следующим свойством: если г —
расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса,
d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом
г
директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная
эксцентриситету эллипса
г
Если две плоскости аир образуют острый угол ф, то проек-
цией -на плоскость р окружности радиуса а, лежащей на плоско-
сти а, является эллипс с большой полуосью а; малая полуось ft
3 Д В, Клетеник	65
х =
этого эллипса определяется по формуле
b — a cos tp
(рис. 13).
Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окруж-
ность радиуса 6. то в сечении этого цилиндра плоскостью, накло-
ненной к оси цилиндра под острым углом <р, будет эллипс, малая
полуось которого равна Ь; большая полу-
ось а этого
формуле
ненной к оси цилиндра
эллипса определяется по
ъ
а — —
sm ф
(рис- И).
44'*. Составить уравнение эл-
липса, фокусы которого лежат
на оси абсцисс, симметрично от-
носительно начала координат,
зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны 5 и 2;
2) его большая ось равна 10,
а расстояние между фокусами
2с ~ 8;
равна 24, а расстояние между фоку-
3)
сами
4)
его малая ось
2 с = 10;
расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцен-
3
триситет 8 =-г;
о
з
5)	его большая ось равна 20, а эксцентриситет8 — -*,
12
6)	его малая ось равна 10, а эксцентриситет е ——;
7)	расстояние между его директрисами равно 5 и
расстояние между фокусами 2с — 4;
8)	его большая ось равна 8, а расстояние между ди-
ректрисами равно 16;
9)	его малая ось равна 6, а расстояние между дирек^
трисами равно 13;
10)	расстояние между его директрисами равно 32 и
е="2 •
445. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси ординат, симметрично относительно на-
чала координат, зная, кроме того, что:
1)	его полуоси равны соответственно 7 и 2;
2)	его большая ось равна 10, а расстояние между фо-
кусами 2с = 8;
G6
3)	расстояние между его фокусами 2с == 24 и экспен-
12
триситет
1 и
4)	его малая ось равна 16, а эксцентриситет 8=г;'’
5)	расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстоя-
2
ние между директрисами равно 16-у*,
о
2
6)	расстояние между его директрисами равно 10
и эксцентриситет
448. Определить полуоси каждого из следующих эл-
липсов:
1’4+4==1; 2> -~+»2=1:3) х2+25»2=25;
4) х2 + 5у2 = 15; 5) 4х2 + 9^ = 25; 6) Эх2 + 25у2 = 1;
7) х2 + 4г/2 = 1; 8) 16х2 + г/’= 16; 9) 25х2+ 9</’- = 1;
10)	9х2 + ^2 = 1.
447.	Дан эллипс 9х2 +’ 25г/2 = 225. Найти: 1) его
полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения ди-
ректрис.
448.	Вычислить площадь четырехугольника, две вер-
шины которого лежат в фокусах эллипса х2 -|- 5г/2 — 20,
а две другие совпадают с концами его малой оси.
449.	Дан эллипс 9х2 4- 5у2 = 45. Найти: 1) его полу-
оси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения дирек-
трис.
450.	Вычислить площадь четырехугольника, две вер-
шины которого лежат в фокусах эллипса 9х2 -Ц 5г/2 = 1,
две другие совпадают с концами его малой оси.
451.	Вычислить расстояние от фокуса Г (с; 0) эллипса
а2 "Г Ь2 — *
до односторонней с этим фокусом директрисы.
452.	Пользуясь одним циркулем, построить фокусы
эллипса -- Ч- == 1 (считая, что изображены оси коор-
динат и задана масштабная единица).
453.	На 'эллипсе-ч=-+	— 1 найти точки, абсцисса
которых равна — 3.
3’	67
454.	Определить, какие из точек A . (—2; 3), Л2(2*, ~2),
гДг(2; -4), Л(-1; 3), Л5(—4; —3), Д6(3; — 1), Л7(3; —2),
Л8(2; 1), Л9(0; 15) и Дю(0; — 16) лежат на эллипсе
8х2 -г 5у2 — 77, какие внутри и какие вне его.
455.	Установить, какие линии определяются сле-
дующими уравнениями: 1)	16 — х2; 2) у =
= -4 /9^?; 3) х = - 41/9^У; 4) х-+у 1'49—/А
Изобразить эти линии на чертеже.
2
456.	Эксцентриситет эллипса е = у, фокальный ра-
диус точки М эллипса равен 10, Вычислить расстояние
от точки М до односторонней с этим фокусом дирек-
трисы.
9
457.	Эксцентриситет эллипса е==-^-, расстояние от
точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить
расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.
458.	Дана точка М] (2; — у) на эллипсе -g = I;
составить уравнения прямых, на которых лежат фокаль-
ные радиусы точки М,.
459.	Убедившись, что точка Mi (—4; 2,4) лежит на
^2
эллипсе	определить фокальные радиусы
1 о
ТОЧКИ Mt.
460.	Эксцентриситет эллипса в = у, центр его совпа-
дает с началом координат, один из фокусов (—2; 0),
Вычислить расстояние от точки Mi эллипса с абсциссой,
равной 2, до директрисы, односторонней с данным фо-
кусом.
46t. Эксцентриситет эллипса центр его совпа-
дает с началом координат, одна из директрис дана урав-
нением х=16. Вычислить расстояние от точки Mt эл-
липса с абсциссой, равной —4, до фокуса, односторон-
него с данной директрисой.
462.	Определить точки эллипса	рас-
стояние которых до правого фокуса равно 14.
463.	Определить точки эллипса	Рас“
стояние которых до левого фокуса равно 2,5.
68
464.	Через фокус эллипса 4g- Ч- = 1 проведен пер-
пендикуляр к его большой оси, Определить расстояния
от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсотл
до фокусов.
465.	Составить уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси абсцисс, симметрично относительно
начала координат, если^даны:
1)	точка Л1Д-2 1/5; 2) эллипса и его малая полу-
ось b = 3;
2)	точка Л11(2; —2) эллипса и его большая полуось
« = 4;
3)	точки Мг (4; — ]/3) и М2(2 j/2; 3) эллипса;
4)	точка Mi (1/15; —1) эллипса и расстояние между
его фокусами 2с =8;
5)	точка MJ2; —эллипса и его эксцентриситет
2
8 = 3 ’
6)	точка Mi (8; 12) эллипса и расстояние п = 20 от
нее до левого фокуса;
7)	точка М[( — lz5; 2)	У
эллипса и расстояние ме-	т-—-
жду его директрисами	,	3>\
равно 10.	/	\
466.	Определить экс-	/	1
центриситет е эллипса,	~о р I х
если:	\	J
I)	его малая ось вид-	У
на из фокусов под углом	_______
в 60°;	’
2)	отрезок между фоку-
сами виден из вершин ма-	Рис'
лой оси под прямым углом;
3)	расстояние между директрисами в три раза боль-
ше расстояния между фокусами;
4)	отрезок перпендикуляра, опущенного из центра
эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса
пополам.
467.	Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр
к его большой оси (рис. 15). Определить, при каком зна-
чении эксцентриситета эллипса отрезки АВ и ОС будут
параллельны,
G9
468.	Составить уравнение эллипса с полуосями а, b и
центром С(х0; //о), если известно, что оси симметрии эл-
липса параллельны осям координат.
469.	Эллипс касается оси абсцисс в точке 4(3; 0) и
оси ординат в точке 5(0; —4). Составить уравнение
этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям.
470.	Точка С(— 3; 2) является центром эллипса, ка-
сающегося обеих координатных осей. Составить урав-
нение этого эллипса, зная, что его оси симметрии парал-
лельны координатным осям.
471.	Установить, что каждое из следующих уравнений
определяет эллипс, и найти координаты его центра С,
полуоси, эксцентриситет и уравнения директоис:
1)	5x2 щ g^2 _ зох 4- 18// -4- 9 = 0;
2)	16х2 + 25//24-32х- 100//-284 = 0;
3)	4х2 -f- Зу2 — 8х + 12// — 32 = 0.
472. Установить, какие линии определяются следую-
щими уравнениями:
1)	</=-7+4]/16 + 6х-х2;
2)	у = I — 4 V — 6х — х2;
3)	— 2 / — 5 — 6</— г/2;
4)	х = - 5 + 4 /8 + 2// - у2.
О
Изобразить эти линии на чертеже.
473.	Составить уравнение эллипса, зная, что:
1)	его большая ось равна 26 и фокусы суть
/9(-10;0), 52(14; 0);
2)	его малая ось равна 2 и фокусы суть /9(— 1; — I),
^2(1 ; 1);
(з \
— 2; — I,
/
триситет е = -р—;
з \
52|2; —о i и эксцен
4) его фокусы суть /9(1; 3), F2(3; 1) и расстояние
между директрисами равно 12 У 2.
474.	Составить уравнение эллипса, если известны его
* 2
эксцентриситет е = -^, фокус 5(2; 1) и уравнение соот-
ветствующей директрисы х — 5 = 0.
70
475.	Составить уравнение эллипса, если известны его
ексцентриситет	фокус F(—4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы уЦ-‘3 = 0.
476.	Точка /4(— 3; —5) лежит на эллипсе, фокус ко-
торого F(— 1; —4), а соответствующая директриса дана
уравнением х — 2 == 0. Составить уравнение этого эл-
липса.
477.	Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет е = -|-, фокус F(3; 0) и уравнение соот-
ветствующей директрисы х-{-'у — 1 =0.
478.	Точка Alj(2; — 1) лежит на эллипсе, фокус кото-
рого 0), а соответствующая директриса дана урав-
нением 2х — у—10 = 0. Составить уравнение этого эл-
липса.
479.	Точка Л11(3; —1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой //-4-6 = 0.
Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентри-
V2
ситет £ = —— .
480.	Найти точки пересечения прямой х'+’2у —-7 = 0
и эллипса х2 -4- 4г/2 = 25,
481.	Найти точки пересечения прямой Зх-f-Юг/—25=0
х2 , у2 j
и эллипса	= 1.
2о 1 4
482.	Найти точки пересечения прямой Зх—4у—40=0
и эллипса -7Z- 4- -4- = 1.
16 1 9
483.	Определить, как расположена прямая относи-
тельно эллипса; пересекает ли, касается или проходит
вне его, если прямая и эллипс заданы следующими урав-
нениями:
1) 2х — у -- 3 = 0,
х2 . у” — 1.
16	9	" ’
2)	2х 4' У — Ю = 0,
3)	3x4- 2у -20= 0,
х2 t V' i
40	10
484. Определить, при каких значениях т прямая у =
= — х 4- w
1) пересекает эллипс 2о'+ 5 ~1> 2) касается его;
3) проходит вне этого эллипса.
71
435. Вывести условие, при котором прямая у ~ kx'-^-tn
касается эллипса 4~	— 1.
486.	Составить уравнение касательной к эллипсу
~г 4- tr= 1 в его точке yt).
487.	Доказать, что касательные к эллипсу	«
= 1, проведенные в концах одного и того же диаметра,
параллельны. (Диаметром эллипса называется его хор’
да, проходящая через центр.)
488.	Составить уравнения касательных к эллипсу
ТУ 4" Ч-= 1, параллельных прямой Зх 4“ %У + 7 = 0.
489.	Составить уравнения касательных к эллипсу
х2 4-4z/2 = 20, перпендикулярных к прямой 2х—2у— 13=
= 0.
490.	Провести касательные к эллипсу
параллельно прямой 4х — 2у 4- 23 = 0 и вычислить рас-
стояние d между ними.
491.	На эллипсе у^4-~=1 найти точку Мь бли-
жайшую к прямой 2х — 3//4-25 = 0, и вычислить рас-
стояние d от точки до этой прямой.
492.	Из точки А т-; проведены касательные
\ о о /
д*2	^»2
к эллипсу 2Q+“==1. Составить их уравнения.
493.	Из точки <7(10; —8) проведены касательные к
у* 2	о 2	’
эллипсу 25 И" J6Составить уравнение хорды, со-
единяющей точки касания.
494.	Из точки Р(— 16; 9) проведены касательные к
jl* 2	//2
эллипсу у-|-^-® 1. Вычислить расстояние d от точки
Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
495.	Эллипс проходит через точку /1(4; —1) и ка-
сается прямой х4-4у—10 = 0. Составить уравнение
этого эллипса при условии, что его оси совпадают с ося-
ми координат.
496.	Составить уравнение эллипса, касающегося двух
прямых Зх — 2у — 20 = 0, х 4-	— 20 — 0, при условии,
что его оси совпадают с осями координат.
497.	Доказать, что произведение расстояний от цен-
тра эллипса до точки пересечения любой его касательной
72
с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опу-
щенного из точки касания на фокальную ось, есть вели-
чина постоянная, равная квадрату большой полуоси эл-
липса.
498.	Доказать, что произведение расстояний от фоку-
сов до любой касательной к эллипсу равно квадрату
малой полуоси.
499.	Прямая х— у — 5 ~ О касается эллипса, фокусы
которого находятся в точках /ч(—3; 0) и /^(З; 0). Со-
ставить уравнение этого эллипса.
500.	Составить уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если известны уравнение касательной
к эллипсу Зх 4- Юг/ — 25 — 0 и его малая полуось b = 2.
501.	Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в не-
которой точке М, составляет равные углы с фокальными
радиусами FtM, F2M и проходит вне угла FjAfF2.
502.	Из левого фокуса эллипса	1 под TV-
пым углом а к оси Ох направлен луч света. Известно,
что tgcc =—2. Дойдя до эллипса, луч от него отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит отра-
женный луч.
503.	Определить точки пересечения двух эллипсов:
х2 4- 9с/2 __ 45 = о, X2 4- 9г/2 - 6х - 27 = 0
504.	Убедившись, что два эллипса п2х2+сп2//2—т2п2—
= 0, т2х2 4- п2у2— т-п2 = 0 (т п) пересекаются в че-
тырех точках, лежащих на окружности с центром в на-
чале координат, определить радиус R этой окружности.
505.	Две плоскости а и р образуют угол ф = 30°.
Определить полуоси эллипса, полученного проектирова-
нием на плоскость 3 окружности радиуса R = 10, лежа-
щей на плоскости ос.
506.	Эллипс, малая полуось которого равна 6, яв-
ляется проекцией окружности радиуса R = 12. Опреде-
лить угол ф между плоскостями, в которых лежат эл-
липс и окружность.
507.	Направляющей круглого цилиндра является
окружность радиуса R = 8 Определить полуоси эллип-
са, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью,
наклоненной к его оси под углом ф — 30°.
508.	Направляющей круглого цилиндра является
окружность радиуса /?=УЗ. Определить, под каким
углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью,
73
чтобы з сечении получить эллипс с большой полуосью
а ~2.
509, Равномерным сжатием (или равномерным рас-
тяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое
преобразование точек плоскости, при котором произволь-
ная точка Af(jq у) перемещается в точку ЛГ(х'; у')
(рис. 16) так, что х'— х, у' qy, где q > 0 — постоян-
ная, называемая коэффициен-
том равномерного сжатия.
Аналогично определяется
равномерное сжатие плоскости
।

।
।
।
।
Рис. 17.
Рис. 16.
к оси Оу при помощи уравнений х' == qx, у' — у
(рис. 17).
Определить, в какую линию преобразуется окруж-
ность .У2 а 25, если коэффициент равномерного ежа-
4
тия плоскости к оси абсцисс <у = .
л 5
510.	Коэффициент равномерного сжатия плоскости к
оси Оу равен у. Определить уравнение линии, в кото-
X	у 2
рую при таком сжатии преобразуется эллипс -у—h -тр =
--=1.
511.	Найти уравнение линии, в которую преобра-
зуется эллипс= 1 при двух последовательных
равномерных сжатиях плоскости к координатным осям,
если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к
осям Ох и Оу равны соответственно и
512.	Определить коэффициент q равномерного сжатия
плоскости к оси Ох, при котором эллипс г +	== 1
преооразуется в эллипс 'зё + "fg = !•
74
513.	Определить коэффициент q равномерного сжатия
плоскости к оси О//, при котором ЭЛЛИПС — +	= 1
v2	у 2
преобразуется в эллипс + 35 е
514.	Определить коэффициенты qi и q% двух посдедо-
вательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и
V2 У2
Оу, при которых эллипс -гТ у = 1 преобразуется в
окружность х2 + У1 = 16.
§ 19. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точен, для кото-
рых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости,
называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная раз-
ность берется по абсолютному значению и обозначается обычно
через 2о. Фокусы гиперболы обозначают буквами Fi и Fz, расстоя-
ние между ними — через 2с. По определению гиперболы 2а < 2с,
или а < с.
Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной си-
стемы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы рас-
полагаются на оси абсписс симметрично относительно начала коор-
динат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид
х2	у2
а2	&2
(1)
где b = Jzc2 — а2. Уравнение вида (1) называется каноническим
уравнением гиперболы При указанном выборе системы координат
оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало
координат —ее центром симметрии (рис. 18). Оси симметрии гипер-
болы называются просто ее осями, центр симметрии—центром
гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки
75
пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. 18 вершины
гиперболы суть точки А' нА.
Прямоугольник со сторонами 2а и 26, расположенный симмет-
рично относительно осей гиперболы и касающийся се в вершинах,
называется основным прямоугольником гиперболы.
Отрезки длиной 2а и 26, соединяющие середины сторон основ-
ного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диаго-
нали основного прямоугольника (неограниченно продолженные)
являются асимптотами гиперболы; их уравнения суть:
Уравнение
6	Ь
У = ~Х' у---------
X2 . у2 _
а2 + Ь2 “
(2)
определяет гиперболу, симметричную относительно координатных
осей с фокусами на оси ординат; уравнение (2),как и уравнение (1),
называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае
постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы
до фокусов равна 26.
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
i	।	1
а- Ь2 ’ а2 "г 62
в одной и той же системе координат, называются сопряженными.
Гипербола с равными полуоясми (а = Ь) называется равносто-
ронней; ее каноническое уравнение имеет вид
X2 — у2 = а2 или — х2 Ч~ у2 — а2.
Число
с
е — —,
а
где а — расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется
эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы еЗ> 1.
Если /И(х; у)—произвольная точка гиперболы, то отрезки FiM
и FiM (см. рис. 18) называются фокальными радиусами точки М.
Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по
формулам
И = вх + a, r2 = ex — ai
фокальные радиусы точек левой ветви — по формулам
r( — — ex — а,	г 2 — — ех + а.
Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяе-
мые уравнениями
а	а
х —-----,	х=*—,
е	€ *
называются ее директрисами (см. рис. 18). Если гипербола задана
уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями
6
6
7G
Каждая директриса обладает следующим свойством: если
г—расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фо-
куса, d— расстояние от той же точки до односторонней с этим
фокусом директрисы, то отношение —г есть постоянная величина,
С*»
ранная эксцентриситету гиперболы;
515.	Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, зная, кроме того, что:
1)	ее оси 2а = 10 и 2Ь = 8;
2)	расстояние между фокусами 2с = 10 и ось 26 = 8;
3)	расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентря-
3
ситет е = —;
5
4)	ось 2а — 16 и эксцентриситет е = —;
еч	4
5)	уравнения асимптот у = ±~? х и расстояние меж-
о
ду фокусами 2с = 20;
2
6)	расстояние между директрисами равно 22 -рр и
расстояние между фокусами 2с = 26;
39
7)	расстояние между директрисами равно — и ось
2Ь = 6;
8
8)	расстояние между директрисами равно у и экс-
з
центриситет е = —;
Л
з
9)	уравнения асимптот у — ± х и расстояние ме-
жду директрисами равно 12 — .
516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси ординат симметрично относительно
начала координат, зная, кроме того, что:
1)	ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозна-
чаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);
2)	расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцентри-
5
ситет е = ;
о.	,12
3)	уравнения асимптот у=±.-^-х и расстояние
О
между вершинами равно 48;
77
4)	расстояние между директрисами равно 7 у и экс-
7
центриситет 8 = у;
4
5)	уравнения асимптот у-±~-х и расстояние ме-
2
жду директрисами равно 6--.
517.	Определить полуоси а и b каждой из следующих
гипербол:
1) v-4 = I: 2)	3> -г2-4^ = 1б;
4) хг — у2=1-, 5) 4г2 —9^ = 25; 6) 25х2-lG/= 1]
7) 9х2-64^ = 1.
518.	Дана гипербола 16х2 —9^2 = 144. Найти: 1) по-
луоси а и ft? 2) фокусы: 3) эксцентриситет? 4) уравнения
асимптот; 5) уравнения директрис.
519.	Дана гипербола 16х2 — 9у2 == —144. Найти:
1) полуоси а и Ь; 2) фокусы? 3) эксцентриситет? 4) урав-
нения асимптот; 5) уравнения директрис.
520.	Вычислить площадь треугольника, образованного
асимптотами гиперболы —	—1 к прямой 9x-h
н- 2у - 24 = 0.
521.	Установить, какие линии определяются следую-
щими уравнениями:
I) у = + | /*2-9; 2) у—3^+1;
3)x==-4v7T9i 4) 0 = +{/х2 + 25.
Изобразить эти линии на чертеже.
522.	Дана точка Mj(10; — рТ) на гиперболе — —
—	— 1» Составить уравнения прямых, на которых
лежат фокальные радиусы точки Mi.
523.	Убедившись, что точка Mi i — 5; лежит на ги-
лер боле—-^- = 1, определить фокальные радиусы
точки Mi.
78
524.	Эксцентриситет гиперболы е—2, фокальный ра-
диус ее точки Л1, проведенный из некоторого фокуса,
равен 16. Вычислить расстояние от точки Л1 до односто-
ронней с этим фокусом директрисы.
525.	Эксцентриситет гиперболы s — 3, расстояние от
точки, Л1 гиперболы до директрисы-равно 4. Вычислить
расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.
526.	Эксцентриситет гиперболы е =2, центр ее лежит
в начале координат, один из фокусов Г(12’,' 0). Вычи-
слить расстояние от точки гиперболы с абсциссой,
равной 13, до директрисы, соответствующей заданному
фокусу.
з
527.	Эксцентриситет гиперболы &== —, центр ее ле-
жит в начале координат, одна из директрис дана урав-
нением х = — 8. Вычислить расстояние от точки
гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответ-
ствующего заданной директрисе.
528.	Определить точки гиперболы — -^ = 1, рас-
стояние которых до правого фокуса равно 4,5.
529.	Определить точки гиперболы ----=1, рас-
стояние которых до левого фокуса равно 7,
530.	Через левый фокус гиперболы	= 1 про-
веден перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины.
Определить расстояния от фокусов до точек пересечения
этого перпендикуляра с гиперболой.
531.	Пользуясь одним циркулем, построить фокусы
гиперболы 9Т=1 (считая, что оси координат
изображены и масштабная единица задана).
532.	Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-
рой лежат на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если даны:
1)	точки Mi (6; —I) и Л42(— 8; 2 V 2) гиперболы;
2)	точка /ИД—5; 3) гиперболы и эксцентриситет
e-=V2?
3)	точка Л1,	—1] гиперболы и уравнения асим-
, 2
птот у — ± у х\
79
f	К \
4)	точка —	-у) гиперболы и уравнения дирск-
4
т рис х = ± -,
5)	уравнения асимптот у=-±~х и уравнения ди-
ректрис .Y” ± *у-.
533.	Определить эксцентриситет равносторонней ги-
перболы.
534.	Определить эксцентриситет гиперболы, если от-
резок между ее вершинами виден из фокусов сопря-
женной гиперболы под углом в 60°.
535.	Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эл-
у 2
липса 25"+ g ^l’ Составить уравнение гиперболы,
если ее эксцентриситет е = 2.
536.	Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-
рой лежат в вершинах эллипса	а ди‘
ректрисы проходят через фокусы этого эллипса.
537.	Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы
X2	I)2	1	.
—-----— = I до ее асимптоты равно о.
538.	Доказать что произведение расстояний от лю-
у 2
бой точки гиперболы —р-=1 3,0 ДВУХ се асимптот
а2Ь2
есть величина постоянная, равная —
539.	Доказать, что площадь параллелограмма, огра-
пиченного асимптотами гиперболы -------~ “ 1 и ПРЯ'
мыми, проведенными через любую ее точку параллель-
ab
но асимптотам, есть величина постоянная, равная -у-.
540.	Составить уравнение гиперболы, если известны
ее полуоси а и bt центр С(Хо;#о) и фокусы располо-
жены на прямой: 1) параллельной оси Ох\ 2) парал-
лельной оси Оу.
541.	Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет гиперболу, и найти координаты ее
центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимп-
тот и уравнения директрис:
I)	16.r2~ 9г/2-64.г-54?/~ 161 =0;
2)	9х2 - 16г/2 + 9О.г + 32 г/ — 367 = 0;
3)	16х2— 9^2-64х- 18у+ 199 = 0,
80
542. Установить, какие линии определяются еле-
дующими уравнениями:
1)	у = - 1	/*2-4х- ’“5;
О
2)	у = 7 - 4 /№-6х+ 13;
3)	х = 9 - 2 }fy- + 4;/ + 8;
4)	х = 5-4 VV+411-12.
Изобразить эти линии на чертеже.
543.	Составить уравнение гиперболы, зная, что:
1)	расстояние между ее вершинами равно 24 и фо-
кусы суть Ft (—10;2), Fg(16;2);
2)	фокусы суть F] (3; 4), F2(—3; —4) и расстояние
между директрисами равно 3,6;
3)	угол между асимптотами равен 90° и фокусы
суть Fj(4; —4), F2( — 2; 2).
544.	Составить уравнение гиперболы, если известны
5
ее эксцентриситет е = —, фокус F(5;0) и уравнение
соответствующей директрисы 5х— 16 = 0.
545.	Составить уравнение гиперболы, если известны
13
ее эксцентриситет е —~, фокус F(0; 13) и уравне-
ние соответствующей директрисы 13г/ — 144 = 0.
546.	Точка А (—3; —5) лежит на гиперболе, фокус
которой F(—2;—3), а соответствующая директриса
дана уравнением х4-1=0. Составить уравнение этой
гиперболы.
547.	Составить уравнение гиперболы, если известны
ее эксцентриситет	фокус F (2;—3) и уравне-
ние соответствующей директрисы Зх — у 4- 3 = 0.
548.	Точка Mj(l; — 2) лежит на гиперболе, фокус
которой /'(—2; 2), а соответствующая директриса дана
уравнением 2х — у — 1 =0. Составить уравнение этой
гиперболы.
549.	Дано уравнение равносторонней гиперболы
х2 — у2 = а2. Найти ее уравнение в новой системе, при-
няв за оси координат ее асимптоты.
550.	Установив, что каждое из следующих уравне-
ний определяет гиперболу, найти для каждой из них
центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на
чертеже: 1) хг/=18; 2) 2ху—9 — 0; 3) 2x7/4-25 = 0.
81
551.	Найти точки	пересечения	прямой	2х — у —
— 10 =	0 и гиперболы	— yL— 1 20	5		
552.	Найти точки	пересечения о	о	прямой	4х — Зу —
-16 =	0 и гиперболы	X2   у2	. 25	16 ~ Ь		
553.	Найти точки	пересечения 1 <> \	прямой	
Я-1=<	3 и гиперболы	х	— 1 9	1'		
554.	В следующих	случаях определить,		как распо-
ложена	прямая относительно гиперболы:			пересскает
ли, касается или проходит вне ее:
1)х-у-3 = 0, 4-4 = '=
I & о
2)х-2г/+1=0, ^-£. = 1;
3)7л-5^ = 0,	,<-4=1.
555. Определить, при каких значениях т прямая
У =тг х+ т
1) пересекает гиперболу --al; 2) касается ее;
3) проходит вне этой гиперболы.
556.	Вывести условие, при котором прямая у « kx-^tn
х'^ и*
касается гиперболы
557.	Составить уравнение касательной к гиперболе
Д___£.в| в ее точке m}(xi; у}).
558.	Доказать, что касательные к гиперболе, про-
веденные в концах одного и того же диаметра, парал-
лельны.
559.	Составить уравнения касательных к гиперболе
1/^	•
—р —	перпендикулярных к прямой 4х4-3у —
— 7 = 0.
560.	Составить уравнения касательных к гиперболе
Х^
~—/-.-=1, параллельных прямой 10х — 3^ 4-9 = 0.
х^
561.	Провести касательные к гиперболе--=
= — 1 параллельно прямой 2х 3^4# — 5 == 0 и вычис-
лить расстояние d между ними.
82
582. На гиперболе 4jr“ найти точку Л4Ь
ближайшую к прямой 3x + 2t/+l=0, и вычислить
расстояние d от точки Mi до этой прямой.
563.	Составить уравнение касательных к гиперболе
х2 — = 16, проведенных из точки Л(—1; — 7).
564.	Из точки С(1; —-10) проведены касательные
к гиперболе —---^т=1. Составить уравнение хорды,
соединяющей точки касания.
565.	Из точки Р(1;—5) проведены касательные
к гиперболе <------^-=1. Вычислить расстояние а
от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки
касания.
566.	Гипербола проходит через точку Л(уЛ6; 3) и
касается прямой 9х 4-2//— 15 == 0. Составить уравне-
ние этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают
с осями координат.
567.	Составить уравнение гиперболы, касающейся
двух прямых: 5% — Qy — 16 == 0, 13л: — Юр — 48 = О,
при условии, что ее оси совпадают с осями ко-
ординат.
568.	Убедившись, что точки
Х^	х*
— 4-	= 1 и гиперболы —
пересечения эллипса
и2
— 1 являются вер-
О
шинами прямоугольника, составить уравнения его
сторон.
569.	Даны гиперболы —$— — 1 и какая-нибудь
ее касательная. Р — точка пересечения касательной
с осью Ox, Q — проекция точки касания на ту же ось.
Доказать, что ОР • OQ « а2.
570.	Доказать, что фокусы гиперболы расположены
по разные стороны от любой ее касательной.
571.	Доказать, что произведение расстояний от фо-
кусов до любой касательной к гиперболе --------— 1
есть величина постоянная, равная Ь2.
572.	Прямая 2х — у—- 4 == 0 касается гиперболы,
фокусы которой находятся в точках Fj(— 3;0) и
F2(3;0)* Составить уравнение этой гиперболы.
573.	Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-
рой расположены на оси абсцисс симметрично относи-
тельно начала координат, если известны уравнение
83
касательной к гиперболе 15x4- 16г/ — 36 = 0 и расстоя-
ние между ее вершинами 2а = 8.
574.	Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы
в некоторой точке М, составляет равные углы с фокаль-
ными радиусами FiM, F^M и проходит внутри угла
у 2
575.	Из правого фокуса гиперболы -------—- = 1
под углом а1л<а<— л1 к оси Ох направлен луч
света. Известно, что tga = 2. Дойдя до гиперболы,
луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, па
которой лежит отраженный луч.
567. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие
общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577.	Коэффициент равномерного сжатия плоскости
к сои Ох равен -у. Определить уравнение линии, в ко-
торую при этом сжатии преобразуется гипербола
г/2 I
J6 9	*
Указание, См. задачу 509.
578.	Коэффициент равномерного сжатия плоскости
к оси Оу равен Определить уравнение линии, в ко-
торую при этом сжатии преобразуется гипербола
х2	у2 . 1
25	9	1 •
579.	Найти уравнение линии, в которую преобра-
зуется гипербола х2— У2 = 9 при двух последователь-
ных равномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия плос-
кости к осям Ох и Оу соответственно равны 4 и —•
580.	Определить коэффициент q равномерного ежа-
_	у 2
тип плоскости к оси Ох, при котором гипербола ——
н2	j^2	n2
—	— 1 преобразуется в гиперболу 25*“|g“b
581.	Определить коэффициент q равномерного ежа-
тия плоскости к оси Оу, при котором гипербола - —
—-7^- ~ 1 преобразуется в гиперболу — —	— 1.
84
582.	Определить коэффициенты q\ и q2 двух после-
довательных равномерных сжатий плоскости к осям
2	2
Ох и Оу, при которых гипербола-— — ,т-=1 прообразу-
4 У	1 v
ется в гиперболу	= 1.
§ 20. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой
из которых расстояние до некоторой фиксированной точки пло-
скости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фикси-
рованной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обо-
значается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы — бук-
вой р Число р называется параметром параболы.
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоуголь-
ную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через
фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была
направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим
посредине между фокусом и директрисой (рис. 19). Б этой системе
координат данная парабола будет определяться уравнением
у? = 2рх. (1)
Уравнение
В этой же
уравнение
(1)	называется каноническим уравнением параболы,
системе координат директриса данной параболы имеет
Х 2 ’
Фокальный радиус произвольной точки 7И(х, у) параболы (т, е.
длина отрезка FM) может быть вычислен по формуле
Р
2
«5
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью пара-
болы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка
пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При ука-
занном выше выборе координатной системы ось параболы совме-
щена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся
парабола лежит в правой полуплоскости.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс сов*
метена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но пара-
бола лежит в левой полуплоскости (рис. 20), то ее уравнение будет
иметь вид
У2 == — 2рх.	(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с
осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
х" = 2ру,	(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис. 21), и
г2 =» — 2ру	(4)
— если в нижней полуплоскости (рис. 22).
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравне-
ние (1), называется каноническим.
583.	Составить уравнение параболы, вершина кото*
рой находится в начале координат, зная, что:
1)	парабола расположена в правой полуплоскости
симметрично относительно оси Ох, и ее параметр
Р = 3;
2)	парабола расположена в левой полуплоскости
симметрично относительно оси Ох, и ее параметр
Р ~ 0,5;
3)	парабола расположена в верхней полуплоскости
симметрично относительно оси Оу, и ее параметр р=у»
86
4)	парабола расположена в нижней полуплоскости
симметрично относительно оси Оу, и ее папаметр
р-3.
584. Определить величину параметра и расположе-
ние относительно координатных осей следующих па-
рабол:
1) У' = ^х\ 2) х2==5г/; 3) //2 = —4х; 4) х<2~ — у.
585. Составить уравнение параболы, вершина кото-
рой находится в начале координат, зная, что:
1)	парабола расположена симметрично относитель-
но оси Ох и проходит через точку А (9; 6);
2)	парабола расположена симметрично относитель-
но оси Ох и проходит через точку В(—1; 3);
3)	парабола расположена симметрично относитель-
но оси Оу и проходит через точку C(t; 1).
4)	парабола расположена симметрично относитель-
но оси Оу и проходит через точку £)(4;—8).
586.	Стальной трос подвешен за два конца; точки
крепления расположены на одинаковой высоте; рас-
стояние между ними равно 20 м, Величина его про-
гиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по
горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину про-
гиба этого троса в середине между точками крепления,
приближенно считая, что трос имеет форму дуги па-
раболы.
587.	Составить уравнение параболы, которая имеет
фокус £(0;-3) и проходит через начало координат,
зная, что ее осью служит ось Оу.
588.	Установить, какие линии определяются следую-
щими уравнениями:
1) У = + 2 V 2) У = + V — х; 3) у = — 3 / — 2х;
4) у = — 2 /х; 5) х = 4- /бу; 6) х — — 5 / — у\
7) х = — /Зу:, 8) х = -г 4 / — у.
Изобразить эти линии на чертеже.
589. Найти фокус В и уравнение директрисы пара-
болы у2 = 24х.
590. Вычислить фокальный радиус точки М пара-
болы у2 = 20х, если абсцисса точки М равна 7.
59L Вычислить фокальный радиус точки Л! пара-
болы у2 = 12х, если ордината точки М равна б.
87
592.	На параболе у2 — 16х найти точки, фокальный
радиус которых равен 13.
593.	Составить уравнение параболы, если дан фо-
кус F {—7;0) и уравнение директрисы х — 7=0.
594.	Соединить уравнение параболы, зная, что .ее
вершина совпадает с точкой (or, р), параметр равен р,
осъ параллельна оси Ох и парабола простирается
в бесконечность:
1) в положительном направлении оси Ох;
2) в отрицательном направлении оси Ох.
595. Составить уравнение параболы, зная, что ее
вершина совпадает с точкой (сс; р), параметр равен р,
ось параллельна оси Оу и парабола простирается
в бесконечность:
1) в положительном направлении оси Оу (т. е. па-
рабола является восходящей);
2) в отрицательном направлении оси Оу (т. е. па-
рабола является нисходящей).
596.	Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет параболу, и найти координаты ее вер-
шины Л, величину параметра р и уравнение директри-
сы: 1) у?- = 4х--8; 2) t/2 = 4 —6х; 3) х2 = бу 4- 2;
4) х2 = 2 — у.
597.	Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет параболу, и найти координаты ее вер-
шины А и величину параметра р: 1) у — -J х2 4- х 4~ 2;
2) у = 4х2-8х + 7; 3) у = - х2 + 2х - 7.
598.	Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет параболу, и найти координаты ее вер-
шина А и величину параметра р:1) х = 2у2—12уА-14;
2) х = - у -f у; 3) х = —у2 4- 2у — I.
599.	Установить, какие линии определяются следую-
щими уравнениями:
1) г, = 3-4]/Г^7; 2) х = -4 + 3/7+5;
3)	х = 2 - /б -"Зу; 4) у = -5 + / —Зх-21.
Изобразить эти линии на чертеже.
600.	Составить уравнение параболы, если даны ее
фокус F(7; 2) и директриса х — 5 = 0
601.	Составить уравнение параболы, если даны ее
фокус f(4; 3) и директриса у -f-_ 1 = 0.
88
602.	Составить уравнение параболы, если даны ее
фокус F(2; —1) и директриса х — у — 1 — 0.
603.	Даны вершина параболы А (6; —3) и уравне-
ние ее директрисы Зх — Зу 4-Д = 0. Найти фокус F
этой параболы.
604.	Даны вершина параболы /1 (—2; —1) и урав-
нение ее директрисы х4-2у—1=0. Составить уравне-
ние этой параболы.
605.	Определить точки пересечения прямой x-f-t/ —
— 3 = 0 и параболы х2 = 4у.
606.	Определить точки пересечения прямой Зх 4~
[+ 4// — 12 = 0 и параболы у2 = —9х.
607.	Определить точки пересечения прямой Зх —
— 2у 6 = 0 и параболы у2 = 6х.
608.	В следующих случаях определить, как распо-
ложена данная прямая относительно данной парабо-
лы — пересекает ли, касается или проходит вне ее:
1) х—//4-2 = 0, у2 = 8х; 2) 8х 4-3//- 15 = 0, х2 =
— —Ъу\ 3) 5х — у — 1 5 — 0, у2 = —5х.
609.	Определить, при каких значениях углового ко-
эффициента k прямая у = kx 2 1) пересекает пара-
болу у2 = 4х; 2) касается ее; 3) проходит вне этой па-
раболы.
610.	Вывести условие, при котором прямая у =
= kx 4- b касается параболы у2 = 2рх.
611.	Доказать, что к параболе у2 — 2рх можно про-
вести одну и только одну касательную с угловым ко-
эффициентом k =/= 0.
612.	Составить уравнение касательной к параболе
у2 — 2рх в ее точке М; (хр, у}).
613.	Составить уравнение прямой, которая касается
параболы -у2 = 8х и параллельна прямой 2x4-2// —
—3 = 0.
614.	Составить уравнение прямой, которая касается
параболы х2 — 16// и перпендикулярна к прямой 2x4-
4- 4// 4- 7 = 0.
615.	Провести касательную к параболе у2 = 12х па-
раллельно прямой Зх — 2//4-30 = 0 и вычислить рас-
стояние d между этой касательной и данной прямой.
616.	На параболе у2 = 64х найти точку Л1ь бли-
жайшую к прямой 4х4-3у—14 = 0, и вычислить рас-
стояние d от точки Л4] до этой прямой.
617.	Составить уравнения касательных к параболе
у2 = 36х, проведенных из точки А (2; 9).
89
618.	К параболе у2 = 2рх проведена касательная.
Доказать, что вершина этой параболы лежит посре-
дине между точкой пересечения касательной с осью
Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
619.	Из точки Д(5;9) проведены касательные к па-
раболе у2 == ох. Составить уравнение хорды, соединяю-
щей точки касания.
620.	Из точки Р(—3; 12) проведены касательные
к параболе у2 = 10х. Вычислить расстояние d от точки
Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
621.	Определить точки пересечения эллипса 4-
Н- —; == 1 и параболы у2 — 24х.
622.	Определить точки пересечения гиперболы —,—
и?
---— = — 1 и параболы у2 — Зх
623.	Определить точки пересечения двух парабол:
у = х2 — 2х + 1, х = у2 — 6г/ 4- 7.
624.	Доказать, что прямая, касающаяся параболы
в некоторой точке Л1, составляет равные углы с фо-
кальным радиусом точки Л1 и с лучом, который, исходя
из М, идет параллельно осн параболы в ту сторону, куда
парабола бесконечно простирается.
625.	Из фокуса параболы у2=12х под острым уг-
лом а к оси Ох направлен луч света. Известно, что
tga = ~. Дойдя до параболы, луч от нее отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит отра-
женный луч.
626.	Доказать, что две параболы, имеющие общую
ось и общий фокус, расположенный между их верши-
нами, пересекаются под прямым углом.
627.	Доказать, что если две параболы со взаимно
перпендикулярными осями пересекаются в четырех
точках, то эти точки лежат на одной окружности.
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы
и параболы
Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви
гиперболы и параболы, имеет вид
L	₽-т^0.	<»
90
где р, 0 — полярные координаты произвольной точки линии, р — фо-
кальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендику;
лярвой к ее оси), е — эксцентриситет (в случае параболы е= 1)"
Полярная система координат при этом выбрала так, что полюс нахо-
дится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону,
противоположную ближайшей к этому фоьуёу директрисы.
х2 и-
628.	Дано уравнение эллипса —- +	Соста-
вить ого полярное уравнение, считая, что направление
полярной оси совпадает с положительным направле-
нием оси абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе.
629.	Дано уравнение гиперболы	Со-
ставить полярное уравнение ее правой ветви, считая,
что направление полярной оси совпадает с положитель-
ным направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в правом фокусе гиперболы; 2) в левом фокусе.
630.'Дано уравнение гиперболы -g-—fa = 1. Со-
ставить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что
направление полярной оси совпадает с положительным
направлением оси абсцисс, а полюс находится:
I) в левом фокусе гиперболы: 2) в правом фокусе.
631. Дано уравнение параболы у2 = 6л:. Составить
ее полярное уравнение, считая, что направление поляр-
ной оси совпадает с положительным направлением оси
абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
632. Определить, какие линии даны следующими
уравнениями в полярных координатах:
р~“ Т	2) р 1-cose5
1 — — cos 6
£
10	„х	12____
Р —	3 д’ 4' Р ~ 2 - cos 9 ’
1 —— cos 0
5	1
:: Р “ 3-4 cose ’ Р = 3 - 3cosfi '
144
633.	Установить, что уравнение р = 13 — 5 cos 6 0ПРе’
деляет эллипс, и найти его полуоси.
18
634.	Установить, что уравнение	,-g- опре-
деляет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси.
91
2!
5 — 2 cos 6 опРе*
16
найти точки, по-
635.	Установить, что уравнение р =
деляет эллипс, и составить полярные уравнения его
директрис.
636.	Установить, что уравнение р = 3 _ ^CQ-g опре-
деляет правую ветвь гиперболы, и составить полярные
уравнения директрис и асимптот этой тперболы.
12
637.	На эллипсе р =-----------
3-/2 cos 6
лярный радиус которых равен 6.
'5
638.	На гиперболе р — -я—-----я
1	3 — 4 cos 9
лярный радиус которых равен 3.
639.	На параболе р =---<г ,-5 найти точки:
найти точки, по-
1)	с наименьшим полярным радиусом;
2)	с полярный! радиусом, равным параметру пара-
болы,
640.	Дано уравнение эллипса fr + ‘frssl’ Соста-
вить его полярное уравнение при условии, что направ-
ление полярной оси совпадает с * положительным на-
правлением оси абсцисс, а полюс находится в центре
эллипса.
641.	Дано уравнение гиперболы р—4т = 1. Со-
ставить ее полярное уравнение при условии, что на-
правление полярной оси совпадает с положительным
направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре
гиперболы,
642.	Дано уравнение параболы у2 = 2рх. Составить
се полярное уравнение при условии, что направление
полярной оси совпадает с положительным направле-
нием оси абсцисс, а полюс находится в вершине
параболы.
§ 22.	Диаметры линий второго порядка
В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины
параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой.
Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр,
делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллель-
ные ей), называется сопряженным' этой хорде (и всем хордам, ко-
торые ей параллельны). Все диаметры эллипса и ^гиперболы предо-
92
дят через центр. Если эллипс задан уравнением
у2 , if
а2 Ь2
то его диаметр, сопряженный хордам с
определяется уравнением
Ь‘
У = -----тг X.
v a-k
Ести гиперсола задана уравнением
У2 'Уг
а- ь-
то ее диаметр, сопряженный хордам с
определяется уравнением
Ь2
Все диаметры параболы параллельны ее
уравнением
у2 = Йрх,
(1)
угловым коэффициентом к,
(2)
угловым коэффициентом k,
оси. Если парабола задана
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом /?,
определяется уравнением
Р
k *
Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит по-
полам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит по-
полам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра назы-
ваются взаимно сопряженными.
Если k и k'—угловые коэффициенты двух взаимно сопряжен-
ных диаметров гиперболы (2), то
h2
fe*'---—.	(3)
а-1
Если k и k' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжен-
ных диаметров гиперболы (2), то
Ь2
=	(4)
а*
Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диа-
метров соответственно для эллипса и для гиперболы.
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопря-
женным хордам, называется главным.
х2
643.	Составить уравнение диаметра эллипса ~ 4-
&XJ
i У2 «
4-	~ =s 1, проходящего через середину его хорды, от-
секаемой на прямой 2х — у — 3 = 0.
93
644.	Составить уравнение хорды эллипса —- +
в®1, проходящей через точку /1(1;—2) и делящейся
ею пополам.
645.	Составить уравнения двух взаимно сопряжен-
ных диаметров эллипса х2 4-4z/? = 1, из которых один
образует с осью Ох угол в 45е.
646.	Составить уравнения двух взаимно сопряжен-
ных диаметров эллипса 4*2Н-9#2=1, из которых один
параллелен прямой х -f- 2у — 5 = С.
647.	Составить уравнения двух взаимно сопряжен-
ных диаметров эллипса х2-f-Зг/2 =* 1, из которых один
перпендикулярен к прямой Зх 4~ 2# —• 7 = 0.
648.	На чертеже изображен эллипс. Пользуясь цир-
кулем и линейкой, построить его центр.
649.	Доказать, что оси эллипса являются единст-
венной парой его главных диаметров.
650.	Пользуясь свойствами сопряженных диаметров,
доказать, что каждый диаметр окружности является
главным.
651.	а) В эллипс вписан равнобедренный треуголь-
ник так, что его вершина совпадает с одной из вершин
эллипса. Доказать, что основание этого треугольника
параллельно одной из осей эллипса.
б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписан-
ного в эллипс, параллельны осям этого эллипса.
в) На чертеже изображен эллипс. Пользуясь цир-
кулем и линейкой, построить его главные диаметры
652.	Доказать, что хорды эллипса, соединяющие
его произвольную точку с концами любого диаметра
этого эллипса, параллельны паре его сопр51женных
диаметров.
653.	а) Доказать, что сумма квадратов двух сопря-
женных полудиаметров эллипса есть величина постоян-
ная (равная сумме квадратов его полуосей).
б) Доказать, что площадь параллелограмма, по-
строенного на двух сопряженных полудиаметрах эл-
липса, есть величина постоянная (равная площади
прямоугольника, построенного на его полуосях).
654.	Составить уравнение диаметра гиперболы —
у 2
— -^-=1, проходящего через середину ее хорды, от-
секаемой на прямой 2х — у -f- 3 = 0.
94
655.	Дана гипербола ---у®1. Составить урав-
нение, ее хорды, которая проходит через точку
Д(3; — 1) и делится точкой А пополам.
656.	Составить уравнения двух сопряженных диа-
метров гиперболы х2— 4t/2 = 4, из которых один про-
ходит через точку А (8; 1).
657.	Составить уравнения сопряженных диаметров
д* 2
гиперболы	= угол между которыми ра-
вен 45°.
658.	На чертеже изображена гипербола. Пользуясь
циркулем и линейкой, построить ее центр.
659.	Доказать, что оси гиперболы являются един-
ственной парой ее главных диаметров.
660.	На чертеже изображена гипербола. Пользуясь
циркулем и линейкой, построить ее главные диаметры.
661.	Составить уравнение диаметра параболы у2 —
— 12х, проходящего через середину ее хорды, отсекае-
мой на прямой Зх 4- у — 5 = 0.
662.	Дана парабола у2 — 20х. Составить уравнение
ее хорды, которая проходит через точку Л (2;5) и де-
лится точкой А пополам.
663.	Доказать, что ось параболы является единст-
венным ее главным диаметром.
664.	На чертеже, изображена парабола. Пользуясь
циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр.
ГЛАВА 5
УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ
В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ
§ 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат
определяется уравнением второй степени, называется линией вто-
рого порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя перемен-
ными) принято записывать в виде:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.	(1)
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости,
по отношению к которой точки этой линии расположены симме-
трично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным
центром, называются центральными.
Точка S(*o; ус) является центром линии, определяемой урав-
нением (1), з том и только в том случае, когда ее координаты удо-
влетворяют уравнениям:
Ах0 + Ву0 + £ = О, |
Вх0 + Суа + £ == 0. I
Обозначим через б определитель этой системы:
А В
В С ’
Величина 5 составляется из коэффициентов при старших членах
уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого
уравнения.
Если 6	0, то система (2) является совместной и определен-
ной, т. е имеет решение и притом единственное. В этом случае
координаты центра могут быть определены по формулам:
(2)
6 =
Хи “
В D С Е		D А Е В
А В	"» Уз		А В
В С		В С
Неравенство 5 ^.0 служит
порядка
96
признаком центральной линии второго
Если S(xo; уо) —центр линии второго порядка, то в результате
преобразования координат по формулам
х=х + х0, у = у 4- Уй
(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее
уравнение примет вил
Ах2 4 2Вху 4 Су2 4 F = О,
где Д, В. С —те же, что в данном уравнении (1), а / определяется
формулой
F — Dxn 4 Еуо 4* F.
В случае 6 ф 0 имеет место также следующая формула:
где
А В D
ВСЕ
ПЕР
Определитель Л называется дискриминантом левой части общего
уравнения второй степени.
665.	Установить, какие из следующих линий являются
центральными (т. е. имеют единственный центр), какие не
имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
1)	Зх2 - 4ху - 2у2 4 Зх - 12у - 7 = 0;
2)	4х2 4 5ху 4 Зг/2 — х 4 9у — 12 = 0;
3)	4х2 — 4ху 4- у2 — 6х 4 8у 4 13 = 0;
4)	4х2 — 4хг/ 4- у'2 — 12х 4 6г/ — 11=0;
5)	х2 — 2ху 4- 4г/2 4 5х — 7г/ 4 12 = 0;
6)	х2 — 2ху 4- У2 ~~ 6х 4 6г/ — 3 = 0;
7)	4х2 — 20xi/	25г/2 — 14х 4 2г/ — 15=0;
8)	4х2 — бху — 9г/2 4 Зх — 7// 4 12 = 0
666. Установить, что следующие линии явпяются
центральными, и для каждой из них найти координаты
центра:
1)	Зх2 4 бхг/ 4 У2 — 8х — 11 у — 7 = 0;
2)	5х2 4 4хг/ 4 2г/2 4- 20х 4 20// - 18 = 0;
3)	9х2 - 4хг/ - 7 г/2 -12 = 0;
4)	2х2 — бхг/ 4 5г/2 4 22х — 36г/ 4 11 = 0.
667. Установить, что каждая из следующих линии
имеет бесконечно много центров; для каждой их них
4 Д. В, Клетенвк	97
составить уравнение геометрического места центров:
I)	х2 — бху 4- 9?г — 12х + 36?/ + 20 — 0;
2)	4х2 + 4ху -j~ у2 —• 8х — 4у — 21 = 0;
3)	25х2 — Юл?/ 4- У2 + 40л — Sy + 7 = 0.
6G8. Установить, что следующие уравнения опреде-
ляют центральные линии; преобразовать каждое из
них путем переноса начала координат в центр:
I)	Зх2 — бху 4- 2у2 — 4х 4- 2г/ +1=0;
2)	бх2 4- 4ху 4- у2 4- 4х — 2у 4- 2 — 0;
3)	4.v2 4- бху 4- у2 — Юл - 10 = 0;
4)	4.г 4-2.П/4-6?/4-бх~ Ю?/ 4-9 = 0.
669.	При каких значениях т и п уравнение
/пх2 4- 12ху 4- $У2 + 4л 4~ пу — 13 = 0
определяет:
1)	центральную линию;
2)	линию без центра;
3)	линию, имеющую бесконечно много центров.
670.	Дано уравнение линии 4х2— Аху 4- у2 4- бх 4-'
г4- 1 == о. Определить, при каких значениях углового
коэффициента k прямая у = kx: 1) пересекает эту ли-
нию в одной точке; 2) касается этой линии; 3) пересе-
кает эту линию в двух точках; 4) не имеет общих то-
чек с этой линией.
671.	Составить уравнение линии второго порядка,
которая, имея центр в начале координат, проходит че-
рез точку Л4(6; — 2) и касается прямой х — 2 = 0
в точке .V (2; 0).
672.	Точка Р(1;—2) является центром линии вто-
рого порядка, которая проходит через точку Q(0;—3)
и касается оси Ох в начале координат. Составить урав-
нение этой линии.
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения
центральной линии второго порядка
Пусть дано уравнение
Ах2 4- '2Вху + Су2 4- 2Dx + 2Еу 4 F =» 0,	(1)
определяющее центральную линию второго порядка (6=/!С—Л2^0).
Перенося начало координат э центр S'fxj; у0) этой линии и
98
преобразуя уравнение (1) по формулам
X = X 4- х0, У 4- уЭ)
получим:
Ах2 4- 2Вху + Су2 -Ь F = 0.	(2)
Для вычисления F можно пользоваться формулой
F ~ Вх^ 4“ В Ус 4* Р или J ,
Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощи
преобразования координат
х *= х' cos а — у' sin а, 
у = х' sin а 4- у' cos а, J
соответствующего повороту осей на угол а.
Если угол а выбран так, что
Btg2a-(C-4) tga-B=0,	(4)
то в новых координатах уравнение линии примет вид
4V2 4- Су2 4- F - 0,	(5)
где 4'=# 0, С'^0.
Замечание. Уравнение (4) позволяет определить tg а, тогда
как в формулах (3) участвуют sin а и cos а. Зная tg а, можно най-
ти sin а и cos а по формулам тригонометрии
tg а	1
sin а ~>11, cos а = —- — -  —,
± у 1 4- tg2 а	± V 1 4- tg2 а
Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важ-
ные соотношения:
А'С' => АС — В2, А' 4~ С' А 4- С,
которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя
преобразования координат.
Уравнение второй степени называется эллиптическим, если
6 > 0. гиперболическим, если 6 < 0, и параболическим, если 6 = 0.
Уравнение центральной линии может быть только эллиптиче-
ским или гиперболическим.
Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо
обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. опреде-
ляет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае
уравнение не определяет никакого геометрического образа).
Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкно-
венную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пере-
секающихся прямых).
673.	Определить тип каждого из следующих урав-
нений*); каждое из них путем параллельного переноса
*) То есть установить, какие из них являются эллиптическими,
какие гиперболическими и какие параболическими.
4*	99
осей координат привести к простейшему виду; устано-
вить, какие геометрические образы они определяют, и
изобразить на чертеже расположение этих образов от-
носительно старых и новых осей координат:
1)	4х2 + 9#2 — 40х + 36# + 100 «= 0;
2)	9x2 _ ю#2 - 54х — 64# - 127 «= 0;
3)	9х2 4- 4#2 + 18* — 8у + 49 = 0;
4)	4х2 —у2 + 8х — 2#3 — 0;
5)	2x3 + 3#a.4-8x-6#-h II =0.
674. Каждое из следующих уравнений привести
к простейшему виду? определить тип каждого из них;
установить, какие геометрические образы они опреде-
ляют, и изобразить на чертеже расположение этих об-
разов относительно старых и новых осей координат:
1)	32х2 + 52х# — 7#2 4- 180 = 0;
2)	5х2 — бху 4~ 5#2 — 32 = 0;
3)	17х2 —12х#4-8#2 = 0;
4)	5х2 4- 24ху — 5#2 = 0;
5)	5х2 — 6х# 4-5#2.4-8 = О.
675. Определить тип каждого из следующих урав-
нений при помощи вычисления дискриминанта старших
членов:
1)	2х2 4- Юг# + 12#2 - 7х 4- 18# — 15 = 0;
2)	Зх2 — 8ху 4- 7#2 4- 8х - 15# 4- 20 = 0;
3)	25х2 — 20х# 4- 4#2 - 12х 4- 20# - 17 = 0;
4)	5х24-14.г#4-Н#24-12х —7#4-19 = 0;
5)	х2 — 4ху 4- 4#2 4- 7х — 12 = 0;
6)	Зх2 —2х# —3#24-12#—15 = 0.
676. Каждое из следующих уравнений привести
к каноническому виду; определить тип каждого из них;
установить, какие геометрические образы они опреде-
ляют; для каждого случая изобразить на чертеже оси
первоначальной координатной системы, оси других ко-
ординатных систем, которые вводятся по ходу реше-
ния, и геометрический образ, определяемый данным
100
уравнением: 
, 1) Зх2 4- Юхг/ 4- Зу2 — 2х - 14г/ — 13 = 0;
2)	25х2 — 14ху 4- 25/ + 64x — G4t/ — 224 = 0;
3)	4ху4~3/4-16x4-12г/ —36 = 0;
4)	7х2 4- бху — / 4- 28х 4- 12у 4- 28 = 0:
5)	19х2 4-бхг/4-11г/2 4-38x4-6*/4-29 ^0;
6)	5х2 — 2ху 4- 5/ — 4х 4- 20г/ 4- 20 = 0.
677. То же задание, что и в предыдущей задаче,
выполнить для уравнений:
1)	14х24- 24хг/4-21/ —4x4-18г/—139 = 0;
2)	Их2 — 20хг/~4/—20х —8//4-1 = 0;
3)	7х24- 60хг/4-32г/2 — 14х — 60г/4-7 = 0;
4)	50х2 — 8хг/4" 35/4- 100х — 8г/4“ 67 = 0;
5)	41х2 4- 24хг/ 4- 34/ 4- 34х - 112г/ 4-129 = 0;
6)	29х2 — 24хг/ 4- 36/ 4- 82х — 96г/ — 91 = 0;
7)	4х2 4- 24хг/ 4- 11/ 4- 64х 4- 42г/ 4- 51 = 0;
8)	41х2 4- 24хг/ 4- 9/ 4- 24х -+ 18г/ — 36 = 0.
678, Не проводя преобразования координат, уста-
новить, что каждое из следующих уравнений опреде-
ляет эллипс, и найти величины его полуосей;
1)	41 х2 4~ 24ху 4- 9/ 4- 24х 4- 18г/ — 36 = 0;
2)	8х2 4- Ьсу 4- 5/ + 16х 4- 4г/ — 28 = 0;
3)	13х2 4-18хг/4- 37/ —26х—181/4-3 = 0:
4)	13х2 4- Юхг/ 4- 13/ + 46х 4- 62г/ 4-13 = 0.
679. Не проводя преобразования координат, уста-
новить, что каждое из следующих уравнений опреде-
ляет единственную точку (вырожденный эллипс), и
найти ее координаты:
1)	5х2 — бху 4- 2г/2 — 2х 4- 2 = 0;
2)	х24-2хг/4-2/4-6г/4-9 = 0;
3)	5х2 4- 4хг/ 4- у2 — бх — 2г/ 4- 2 = 0;
4)	х2 — бху 4- Ю/ 4- 10х — 32г/ 4- 26 = 0.
680, Не проводя преобразования координат, устано-
вить, что каждое из следующих уравнений определяет
101
гиперболу, и найти величины ее полуосей:
1)	4х2 + 24ху"4- 11у2 + 64х'4- 42/у 4-51=0;
2)	12x2 + 26хг/ 4“ 1 2у2 — 52х - 48# 4- 73 = 0?
3)	Зх2 4- 4ху — 12х 4- 16 = 0;
4)	х2 — 6х// - 7 г/2 4- 10х - 30// 4- 23 = 0.
681. Не проводя преобразования координат, устано-
вить, что каждое из следующих уравнений определяет
пару пересекающихся прямых (вырожденную гипер-
болу), и найти их уравнения:
1)	Зх2 4- 4ху 4- у2 — 2х — 1 =0;
2)	х2 — бху 4- 8г/2 — 4у — 4 = 0;
3)	х2 - 4ху 4- З//2 = 0;
4)	х24-4ху + 3.//2 — 6х—12г/4-9 = 0.
682. Нс проводя преобразования координат, устано-
вить, какие геометрические образы определяются сле-
дующими уравнениями:
* 1) 8х2 — \2ху 4- 17г/2 4- 16х — 12//4-3 = 0;
2)	17х2 - 18хг/ - 7г/2 4- 34^ — 18г/ 4- 7 = 0;
3)	2х2 4- Зхг/ — 2у2 4- 5х 4- Юг/ = 0;
4)	6х2 — бхг/ 4-9г/2 — 4х 4- 18г/ 4- 14 = 0;
' 5) 5х2 — 2ху 4- оу2 — 4х 4- 20# 4- 20 = 0.
683.	Для любого эллиптического уравнения доказать,
что ни один из коэффициентов А и С не может обра-
щаться в нуль и что они суть числа одного знака.
684.	Доказать, что эллиптическое уравнение второй
степени (6 > 0) определяет эллипс з том и только в том
случае, когда А и Д суть числа разных знаков.
685.	Доказать, что эллиптическое уравнение второй
степени (6 > 0) является уравнением мнимого эллипса
в том и только в том случае, когда Л и Д суть числа
одинаковых знаков.
686.	Доказать, что эллиптическое уравнение второй
степени (6 > 0) определяет вырожденный эллипс (точ-
ку) в том и только в том случае, когда А — О,
687.	Доказать, что гиперболическое уравнение второй
степени (6 < 0) определяет гиперболу в том и только в
том случае, когда Д #= (X
102
688.	Доказать, что гиперболическое уравнение второй
степени (6 < 0) определяет вырожденную гиперболу
(пару пересекающихся прямых) в том и только в том
случае, когда Д = 0.
§ 25.	Приведение к простейшему виду
параболического уравнения
Пусть уравнение
Ax” + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey+ Г==0	(1)
является параболическим, т. е. удовлетворяет условию
В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет
центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение парабо-
лического уравнения целесообразно начать с поворота координат-
ных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (I) при помощи
формул
jt — х' cos а — у' sin а, (
у — х' sin а 4- у' cos а. !
Угол а следует найти из уравнения
BtgJa-(C~ H)tga -В«0;	(3)
тогда в новых координатах уравнение (I) приводится либо к виду
Л'/2 4- 2П'х' 4- 2Е'у' 4- F = 0,	(4)
Где А’ 0, либо к виду
С'ул 4- 2D'/ 4- 2Г/ 4- F == 0,	(5)
где С‘ =^= 0.
Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путем
параллельного перенесения (повернутых) осей.
689.	Установить, что каждое из следующих уравнений
является параболическим; каждое из них привести к про-
стейшему виду; установить, какие геометрические образы
они определяют; для каждого случая изобразить на чер-
теже оси первоначальной координатной системы, оси
других координатных систем, которые вводятся по ходу
решения, и геометрический образ, определяемый данным
уравнением:
1)	9х2 - 24xz/"-f W - 20<-Е I Юг/ — 50	0;
2)	9х2+12хг/ + 41/2 —24х—16i/4-3 = 0i
3)	16№ — 24хг/ f 9г/2 - ЮОх	120г/	425 = (х
103
690. То же задание, что и в предыдущей задаче, вы-
полнить для уравнений:
1)	9х2 + 24х// + 1б//2 — 18х + 226//’+ 209 = 0;
2)	х2—2хг/ + у2~ 12х + 12// — 14 = Of
3)	4х2 + 12ху + 9//2 — 4х — 6// + 1 = 0.
691.	Для любого параболического уравнения дока-
зать, что коэффициенты А и С не могут быть числами
разных знаков и что они одновременно не могут обра-
щаться в нуль.
692.	Доказать, что любое параболическое уравнение
может быть написано в виде:
(<хх + р//)2 + 2/^х +	+ Г 11.
Доказать также, что эллиптические и гиперболиче-
ские уравнения в таком виде не могут быть написаны.
693.	Установить, что следующие уравнения являются
параболическими, и записать каждое из них в виде, ука-
занном в задаче 692:
1)	х2 + 4ху + -4у2 + 4х + у - 15 = 0;
2)	9х2 — 6х// + //2 — х + 2у — 14 = 0;
3)	25x2 - 20ху + 4//2 + Зх — у + 11 == 0;
4)	16х2 + 10х// +4у2 — 5х+;7у = 0;
5)	9х2 — 42х// + 49у2 + Зх — 2у — 24 « 0.
694.	Доказать, что если уравнение второй степени
является параболическим и написано в виде
(<хх + р//)2 + 2Dx + 2Еу + Г = 0,
то дискриминант его левой части определяется фор-
мулой
Л = — (£)р — Еа)2.
695.	Доказать, что параболическое уравнение
(ах+ рх/)2 + 2Лх+ 2F// + F = 0
при помощи преобразования
х — х' cos 0 — у' sin 0,	Л
у — х' sin 0 + if cosG,	£
приводится к виду
Су'2 + 2D’x' + 2£'/ + F' = 0,
104
где
c'=«2 + ₽2.
а А — дискриминант левой части данного уравнения.
696.	Доказать, что параболическое уравнение опреде-
ляет параболу в том и только в том случае, когда А ¥ 0.
Доказать, что в этом случае параметр параболы опре-
деляется формулой
- Л
(Л -г *
697.	Не проводя преобразования координат, устано-
вить, что каждое из следующих уравнений определяет
параболу, и найти параметр этой параболы:
1)	9х2 4- 24ху + 16у2 - 120г + 90у = 0;
2)	9х2-24ху + 16у2-54х- 178у + 181 =0;
3)	№ — 2ху + У2 + бх — 14 у + 29 = 0;
4)	9х2 — бху + у2 — 50х + 50 у — 275 = 0.
698. Доказать, что уравнение второй степени является
уравнением вырожденной линии в том и только в том
случае, когда Л = 0.
699. Не проводя преобразования координат, устано-
вить, что каждое из следующих уравнений определяет
пару параллельных прямых, и найти их уравнения:
I)	4х2 4- 4ху 4- У2 ~ 12х — 6у + 5 — 0;
2)	4х2 — 12ху + 9т/2 4" 20х — 30г/ — 11 = 0;
3)	25х2 — 1 Оху 4 у2 4- 10х — 2 у —• 15 = 0.
700. Не проводя преобразования координат, устано-
вить, что каждое из следующих уравнений определяет
одну прямую (пару слившихся прямых), и найти урав-
нение этой прямой:
1)	х2 - бху 4- 9у2 4- 4х-~ 12у 4- 4 = 0j
2)	9х3 4- ЗОху 4- 25у2 4- 42х 4- 70у 4- 49 = 0;
3)	16x2 _ \§ху + 4^2 _ 72х 4- Збу + 81=0.
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся
в математике и ее приложениях
701.	Составить уравнение геометрического места то-
чек, произведение расстояний которых до двух данных
точек Ft(— с\ 0) и Гг(с; 0) есть постоянная величина а2,
105
Такое геометрическое место точек называется овалом
Кассини (рис. 23).
702.	Составить уравнение геометрического места то-
чек, произведение расстояний которых до двух данных
точек Г1(-— ст. 0) и F^(a\ 0) есть постоянная величина о2.
Такое геометрическое место точек называется лемни-
скатой (рис. 24). (Уравнение лемнискаты сначала най-
ти непосредственно, потом — рассматривая ее как част-
ный вид овала Кассини.) Составить также уравнение
Рис. 24.
Рис. 23.
лемнискаты в полярных координатах, совмещая поляр-
ную ось с положительной полуосью Ох и полюс с нача-
лом координат.
703.	Составить уравнение геометрического места
оснований перпендикуляров, опущенных из начала коор-
динат на прямые, отсекающие от координатного угла
треугольники постоянной площади S.
Указание. Составить уравнение сначала в полярных коор-
динатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось
с положительной полуосью Ох.
704.	Доказать, что геометрическое место точек задачи
703 есть лемниската (см. задачу 702).
Указание. Повернуть координаты оси на угол в 45°.
705,	Луч а, в начальном положении совпадающий с
полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоян-
ной угловой скоростью со.
Составить в данной системе полярных координат
уравнение траектории точки М, которая, имея начальное
положение в О, движется по лучу а равномерно со ско-
ростью о (спираль Архимеда, рис. 25).
706.	Даны прямая х = 2г и окружность радиуса г,
которая проходит через начало координат О и касается
данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий
100
данную окружность в точке В и данную прямую в точке
С, на котором отложен отрезок ОМ = ВС (рис. 26). При
вращении' луча длина отрезка ОМ меняется и точка Л1
описывает кривую, называемую циссоидой. Соста-
вить уравнение циссоиды,
707.	Даны прямая х — а (а > 0) и окружность диа-
метра а, проходящая через начало координат О и ка-
сающаяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пе-
ресекающий окружность в точке Л и данную прямую
в точке В Из точек Л и В проведены прямые, параллель-
ные соответственно осям Оу и Ох (рис. 27). Точка /VI
Рис. 27.
Рис. 25.
Рис. 26.
пересечения этих прямых при вращении луча описывает
кривую, называемую верзьерой. Составить ее урав-
нение.
708.	Из точки А (— а; 0), где а > 0, проведен луч АВ
(рнс. 28), на котором по обе стороны от точки В отло-
жены отрезки BMnBN одинаковой длины b (b = const).
При вращении луча точки М и N описывают кривую, на-
зываемую конхоидой. Составить ее уравнение сна-
чала в полярных координатах, помещая полюс в точку Л
и направляя полярную ось в положительном направле-
нии оси Ох, а затем перейти к данной системе декарто-
вых прямоугольных координат.
709.	Из точки Л(—а\ 0), где а > 0, проведен луч АВ
(рис. 29), на котором по обе стороны от точки В’отло-
жены отрезки ВМ и BN, равные ОВ. При вращении луча
107
точки М и N описывают кривую, называемую строфо-
идой. Составить ее уравнение сначала в полярных ко-
ординатах, помещая полюс в точке А и направляя поляр-
ную ось в положительном направлении оси Ох, а затем
перейти к данной системе декартовых прямоугольных
координат.
710.	Из начала координат проведен луч, пересекаю-
щий данную окружность х2 + у2 = 2ах (а > 0) в точке В
(рис. 30); на луче по обе стороны от точки В отложены
равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной дли-
ны Ь. При вращении луча точки 51 и N описывают кри-
вую, называемую улиткой Паскаля (рис. 30). Со-
ставить ее уравнение сначала в полярных координатах,
совмещая полюс с началом координат и полярную ось
с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной
системе декартовых прямоугольных координат.
711.	Отрезок длины 2а движется так, что его концы
все время находятся на координатных осях. Составить
уравнение траектории основания М перпендикуляра, опу-
щенного из начала координат на отрезок (рис. 31), сна-
чала в полярных координатах, совмещая полюс с нача-
лом координат и полярную ось с положительной полу-
осью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых
прямоугольных координат. Точка 51 описывает кривую,
называемую четырех лепестковой розой.
712.	Отрезок длины а движется так, что его концы
все время находятся на координатных осях (рис. 32). Че-
рез концы отрезка проведены прямые, параллельные
координатным осям, до их взаимного пересечения в точ-
108
кс Р. Составить уравнение траектории основания М пер-
пендикуляра, опущенного из точки Р на отрезок Эта
траектория называется астроидой.
Рис. 31.
Рис. 32.
Указание. Составить сначала параметрические уравнения
астроиды, выбирая параметр f, как указано на рис. 32 (затем исклю-
чить параметр ?).
713.	Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью
х2-j-у2 — ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох. И*
точки С на луч ОВ опущен перпендикуляр СЛ4. Вы*
Рис. зз.
вести уравнение траектории
точки М сначала в по-
лярных координатах, сов-
мещая полюс с началом ко-
ординат и полярную ось с
положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной
системе декартовых прямоугольных координат.
714.	Нить, намотанная на окружность х2 + у- = у2,
разматывается так, что в точке В, где нить отделяется от
окружноси, она остается касательной к ней (рис. 33).
109
Рис. 35.
Найти параметрические уравнения линии, описываемой
концом нити, если начальным положением конца являет-
ся точка A (at 0), где а > 0. Линия, о которой идет речь,
называется эвольвентой круга.
715.	Круг радиуса а катится без скольжения по оси
Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого
круга называется циклоидой (рис. 34). Вывести па-
раметрические уравнения циклои-
ды, принимая в качестве пара-
метра t угол, на который повора-
чивается катящаяся окружность
вокруг своего центра; считать
при этом, что в начальный мо-
мент (/ == 0) точка М находится
в начале координат. Исключить
параметр t из полученных урав-
нений.
716.	Круг радиуса а катится
без скольжения по окружности
х2 4- у2 — а2, оставаясь вне ее.
Траектория некоторой точки М окружности катящегося
круга называется кардиоидой (рис. 35). Вывести па-
раметрические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве
параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвиж-
ной окружности, проведенного в точку касания с по-
движной. Считать при этом, что в начальный момент
,(7 = 0) точка М находится справа на оси Ох. Перейти
к полярным координатам при условии, что направление
полярной оси совпадает с положительным направлением
оси абсцисс, а полюс находится в точке Я. Доказать,
что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля (см,
задачу 710).
717.	Круг радиуса а катится без скольжения по окру-
жности х2.4-«/2 = 62, оставаясь вне ее. Траектория неко-
торой точки М окружности катящегося круга называется
эпициклоидой (рис. 36). Вывести параметрические
уравнения эпициклоиды, выбирая в качестве параметра
1 угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окруж-
ности, проведенного в точку касания с подвижной^ счи-
тать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка Л1
находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида
(см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды.
718.	Круг радиуса а катится без скольжения по окру-
жности х- £у2 — Ь2, оставаясь внутри нее4 Траектория
110
некоторой точки М окружности катящегося круга назы-
вается гипоциклоидой (рис. 37). Вывести'парамет-
рические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве
параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной
окружности, проведенного в точку касания с подвижной;
считать при этом, что в начальный момент (/ == 0) точ-
ка М находится справа на осн Ох. Доказать, что астро-
ида (см задачу 712) есть частный гид гипоциклоиды,
ЧАСТ Ь ВТОРА Я
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Г Л л В А 6
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты
в пространстве
Декартова прямоугольная система координат в пространстве
определяется заданием линейной единицы для измерения длин и
трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных
осей, занумерованных в каком-либо порядке.
Точка пересечения
оси — осями координат.
осей называется началом координат, а сами
Первая координатная ось называется осью
абсцисс, вторая — осью ординат, тре-
тья — осью апликат.
Начало координат обозначается бук-
вой О, оси координат обозначаются со-
ответственно символами Ох, Оу, Ог.
Пусть У, — произвольная точка про-
странства, Л1х, и ЛЬ —ее проекции
на координатные оси (рис. 38),
Координатами точки М в заданной
системе называются числа:
х = 0Л1х, у — ОЛ1У, z = ОЛ1г
(рис. 38), где ОЛ1Х есть величина отрез-
ка ОЛ1Я оси абсцисс. ОЛ1У — величина от-
резка ОЛ1У оси ординат, ОМг — величи-
на отрезка ОМг оси апликат. Число х
у — ординатой, z — апликатой точки М. Сим-
называется абсциссой,
рол Л1(х;#;г) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, г.
Плоскость Оуг разделяет все пространство иа два полупро-
странства; то из них, которое расположено ь положительном на-
правлении оси Ох, называется ближним, другое—дальним. Пло-
скость Oxz также разделяет пространство на два полупространства;
то из них, которое расположено в положительном направлении
оси Оу, называется правым, другое — левым. Наконец, и плоскость
Оху разделяет пространство на два полупространства; то из них,
которое расположено в положительном направлении оси Oz, назы-
вается верхним, другое — нижним,
112
Три плоскости Оху, Oxz и Oyz вместе разделяют пространство
на восемь частей; их называют координатными октантами и нуме-
руют так, как показано на рис. 39.
719.	Построить (в аксонометрической проекции) сле-
дующие точки по их декартовым координатам: А (3;4;6),
В(-5; 3: 1), С(1; -3; -5),
Р(0; -3; 5), Е(-3; -5; 0)
и F(-l; -5; -3).
720.	Найти координаты
проекций точек А (4; 3; 5),
В(-3; 2; 1), С(2; -3; 0) и
£>(0; 0; —3): I) на пло-
скость Оху\ 2) на плоскость
Oxz\ 3) на плоскость Oyz\
4) на ось абсцисс; 5) на ось
ординат; 6) на ось апликат.
721.	Найти координаты
точек, симметричных точ-
кам А (2; 3; 1), В(5; —3; 2),
С(—3; 2; —1) и D(a\ b; с)
относительно: 1) плоскости
Рис. 39.
Оху, 2) плоскости Охг\
3) плоскости Oyz\ 4) оси абсцисс; 5) оси ординат;
6) оси апликат; 7) начала координат.
722. Даны четыре вершины куба: А (—а; — а; —а),
В(а\ —а\ —а)' С{—а\ а\ —а) и £)(а; а; а). Определить
его остальные вершины.
723.	В каких октантах могут быть расположены точ-
ки, координаты которых удовлетворяют одному из сле-
дующих условий: 1) х —- г/ = 0; 2) х 4- г/ = 0; 3) х — z =
= 0; 4) х 4- z == 0; 5) у — г = 0; 6) у 4- z = 0
724.	В каких октантах могут быть расположены точ-
ки, если: 1) ху > 0; 2) xz < 0; 3) yz > 0; 4) xyz > 0;
5) xyz < 0.
725.	Найти центр шара радиуса R = 3, который ка-
сается всех трех координатных плоскостей и расположен:
)) во втором октанте; 2) в пятом октанте; 3) в шестом
октанте; 4) в седьмом октанте; 5) в восьмом октанте.
§ 28.	Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
Расстояние d между двумя точками Mi (xi; гд; zj) и М2(х2; уг\ z2J]
в пространстве определяется формулой
d = K(xs — xj2 4- (1/2 — ¥i)2 4- (*2 — Si)8.
113
Координаты я, у, 2 точки Л!, которая делит отрезок
ограниченный точками Л4. (хи t/i; <ц) и ^2(^2; </2? z2), в отношении %,
определяются по формулам:
Xj 4- Кхг _ ух 4- Ку, _ si 4- Кг,
1 +Л ’ у 1 4-Л ’	1 4- Л '
В частности, при X == 1 имеем координаты середины данного от-
резка:
*1 + *2	___ У\ 4- Г/2	_ 2j 4- z2
х-------- f у_ -	, гет _	,
726.	Даны точки: 4(1; —2; —3), В(2; —3; 0),
С(3; 1; —9), Р(—1; 1; 12). Вычислить расстояние меж-
ду 1) 4 и С; 2) В и D\ 3) С и Z9.
727.	Вычислить расстояния от начала координат О до
точек: 4(4; -2; -4), В (—4? 12? 6), 0(12; -4; 3),
£>(12; 1G; -15).
728.	Доказать, что треугольник с вершинами
4(3; —1; 2), 5(0; —4; 2) и С(—3; 2; 1) равнобедрен-
ный.
729.	Доказать, что треугольник с вершинами
4t(3, —1; 6), 42(—1, 7; —2) и 43(1; —3; 2) прямо-
угольный.
v730. Определить, есть ли тупой угол среди внутренних
углов треугольника Л4»(4; —1; 4), Л12(0: 7; —4),
Л1з(3; 1; -2).
731.	Доказать, что внутренние углы треугольника
Л4(3; —2; 5), N(—2; 1; —3), Р(5; 1j —1) острые.
732.	На оси абсцисс найти точку, расстояние которой
от точки 4(—3; 4; 8) равно 12.
733.	На оси ординат найти точку, равноудаленную от
точек 4(1; —3; 7) и 5(5; 7; —5).
734.	Найти центр С и радиус R шаровой поверхности,
которая проходит через точку Р(4; —I; —1) и касается
всех трех координатных плоскостей.
735.	Даны вершины Mi(3; 2; —5), М2(1; —4; 3) и
Л13(—3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон.
736.	Даны вершины 4(2; —1; 4), В(3; 2; —6),
С (—5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его меди-
аны, проведенной из вершины 4.
737.	Центр тяжести однородного стержня находится
а точке С (Г, — 1; 5), один из его концов есть точка
4(—2; —1; 7), Определить координаты другого конца
стержня.
738.	Даны две вершины 4(2; —3; —5), В( —1; 3; 2)
параллелограмма А В CD и точка пересечения его диаго-
Ш
налей Е(4; — 1; 7). Определить две другие вершины это-
го параллелограмма.
739.	Даны три вершины 4(3; — 4; 7), В(—5; 3; —2)
и С(1$ 2; —3) параллелограмма ABCD. Найти его чет-
вертую вершину D, противоположную В.
740.	Даны три вершины А (3; —1} 2J, В(1; 2; —4) и
С(—1; 1* 2) параллелограмма ABCD. Найти его четвер-
тую вершину D.
741.	Отрезок прямой, ограниченный точками
!А(—1; 8; 3) и 3(9; —7; —2), разделен точками С, D,
£, F на пять равных частей. Найти координаты этих
точек.
742.	Определить координаты концов отрезка, который
точками С(2; 0» 2) и Д(5; —2; 0) разделен на три рав-
ные части.
743.	Даны вершины треугольника 4(1; 2; — 1),
В(2; —1; 3) и С(—-4; 7; 5). Вычислить длину биссек-
трисы его внутреннего угла при вершине В.
744.	Даны вершины треугольника 4(1; — 1; — 3),
В (2; 1; —2) и С (—5; 2; —6). Вычислить длину биссек-
трисы его внутреннего угла при вершине А.
745.	В вершинах тетраэдра 4(хг, ус Zi), 3(.r2; у2; z2),
С{х3; ус, zg), £>(х4; ус, сосредоточены равные массы.
Найти координаты центра тяжести системы этих масс.
746.	В вершинах тетраэдра Aifxi; ус Zi), А2(*2; УС
А3(.гз; Ус *?.), А4(х4; ус г4) сосредоточены массы mi, т2,
т3 и т4. Найти координаты центра тяжести системы этих
масс.
747.	Прямая проходит через две точки МД—1; в; 6)
и М2(3; —6; —2). Найти точки ее пересечения с коорди-
натными плоскостями.
ГЛАВА 7
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
Направленные отрезки принято называть также геометрически-
ми векторами или просто векторами. Вектор как направленный
отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя боль-
шими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии,
что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. На-
ряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой
латинской буквой полужирного шрифта,
которая на чертежах ставится у конца
& стрелки, изображающей вектор (см.
рис. 40, где изображен вектор а с нача-
•***"*^	лом А и конном В). Начало вектора часто
я	будет называться также его точкой прило-
Рис 40	жения.
Векторы называются равными, если
они имеют одинаковые длины, лежат на
параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну
сторону.
Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), назы-
вается его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а|
или а. Если |а| = i, то вектор а называется единичным,
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным
векторам а, называется ортом вектора а и обозначается обычно
символом а°,
Проекцией вектора АВ на ось и называется число, равное ве-
личине отрезка AiBj оси и, где точка Aj является проекцией на
ось и точки А, а В{ — проекцией на эту ось точки В
Проекция вектора АВ на ось и обозначается символом; приАВ.
Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и при-
нято обозначать: пряа
Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль
и угол tp наклона к оси и формулой
прйа — | а | • cos (р.
(1)
Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной
системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, У, Z.
Равенство
а = {А‘; Г; Z}
J16
означает, что числа X, У, 2 являются проекциями вектора на ко-
ординатные оси.
Проекции вектора на координатные оси называют также его
(декартовыми) координатами. Если даны две точки M;(xi; уг, гО
и М2(х2; У2\ Z2), являющиеся соответственно началом и концом век-
тора а, то его координаты X, У, Z определяются по формулам
Л = Х2 — Xi, У “ 4/2 — У\, Z Z2 — 2].
Формула
| а | = VX2 + У2 _|_	(2)
позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Если а, 0, у — углы, которые составляет зектор а с координат-
ными осями (рис. 41), то cos a, cos 0, cosy называются направляю-
щими косинусами вектора а.
Вследствие формулы (1)
Л' = |a|cos а, У = |a|cos 0, Z = |а|cos у.
Отсюда и из формулы (2) следует, что
cos2 а + cos2 0 + cos2 у = 1.
Последнее равенство позволяет определить
один из углов а, 0, у, если известны два
других.
748.	Вычислить модуль вектооа
а = {6; 3; -2}.
749.	Даны две координаты век-
тора X — 4, У =—12. Определить
его третью координату Z при усло-
вии, что | а| = 13.
750. Даны точки j4j3; —1; 2) и В( — 1; 2; 1). Найти
координаты векторов АВ и ВА,
751.	Определить точку .V, с которой совпадает конец
вектора а = {3; — 1; 4}, если его начало совпадает с точ-
кой Л1(1; 2; -3).
752.	Определить начало вектора а = {2; — 3; —1},
если его коней совпадает с точкой (1; —1; 2).
753.	Дан модуль вектора р’=2 и углы а = 45°,
р = 60°, у — 120°. Вычислить проекции вектора о на ко-
ординатные оси.
754.	Вычислить направляющие косинусы вектора а —
= {12; -15; -16}.
755.	Вычислить направляющие косинусы вектораа =
( з , 4	121
“ i 13 ’ 13 1 13J *
756.	Может ли вектор составлять с координатными
осями следующие углы: 1) а — 45°, 0 = 60°, у = 120е;
2) a = 45", 0=135°, у = 60°; 3) a = 90е, 0=150°;
у = 60°?
И7
757.	Может ли вектор составлять с двумя координат-
ными осями следующие углы: 1) а = 30°, (3 = 45°; 2)
= 60°, у = 60°; 3) а = 150°, у = 30°?
758.	Вектор составляет с осями Ох и Oz углы а =120°
и у = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?
759.	Вектор а составляет с координатными осями Ох
и Оу углы а — 60°, р = 120°. Вычислить его координаты
при условии, что | а | =2.
760.	Определить координаты точки /И, если ее радиус-
вектор составляет с координатными осями одинаковые
углы и его модуль равен 3.
§ 30, Линейные операции над векторами
Сумкой а -г b двух векторов а и b называется вектор, кото-
рый идет кз качала вектора а в конец вектора b при условии, что
вектор b приложен к концу вектора а (правило треугольника) По-
строение суммы й + 6 изображено на рис. 42.
Рис. 42.
а
Рис. 43.
Наряду с правилом треугольника часто пользуются (оавносиль-
ным ему) ,п р а в и л о м параллелограмма: если векторы а
и b приведены к общему началу и на них построен параллелограмм,
го сумма a 4- b есть вектор, совпадающий с диагональю этого па-
раллелограмма, идущей из общего на-
чала а и b (рнс. 43). Отсюда сразу сле-
дует, что a -J- b = о -|- а.
Сложение многих векторов произво-
дится при помощи последовательного
применения правила треугольника (см.
рис. 44, где изображено построение сум-
мы четырех векторов a, b, с, d).
Разностью а — Ъ двух векторов а
и & называется вектор, который ° сум-
ме с вектором b составляет вектор а.
Если два вектора а и & приведены к
общему началу, то разность их а — Ь
таемого»)
есть вектор, идущий из конца b («пычи-
к концу а («уменьшаемого»). Два вектора равной дли-
ны, лежащие па одной прямой и направленные в противоположные
стороны, называются взаимнообратными: если один из них обо-
значен символом а, то другой обозначается символом —а. Легко
118
видеть, что а — 6 = а4*(—6). Таким образом, построение разно-
сти равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратно-
го «вычитаемому».
Произведением од (или также аа) вектора а на число а назы-
вается вектор, модуль которого равен произведению модуля век-
тора а на модуль числа а; он параллелен вектору а или лежит
с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор а, если
а —число положительное, и противоположно вектору а, если а —
число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются
линейными операциями над векторами.
Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях
векторов;
I. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме
их проекций на эту же ось:
прк (Я] 4- а? +  • • + ап) — пр[га1 + приа2 + ... + праа*
2. При умножении вектора на число его проекция умножается
«а то же число:
прц (аа) = а пр„а.
В частности, если
a={A’f; У в ZJ, &={.Х2; У2; ZJJ
то
а+ & = {%!+ Х2; У, + Уг; Z( + Z2}
и
= Zj-y,; Z} - Z2}.
Если а = {Х; У; Z}, то для любого числа а
аа — {аХ; аУ; aZ).
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных пря-
мых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух
векторов
Уи ZJ, &-{Ха; У7; Z,}
является пропорциональность их координат;
*2 Х1
Г|
Z2
Zi
Тройка векторов /, /, k называется координатным базисом, если
эти векторы удовлетворяют следующим условиям:
1)	вектор i лежит на оси Ох, вектор / — на оси Оу, вектор
ft —па оси Oz;
2)	каждый из векторов Z, /, 6 направлен на своей оси в поло-
жительную сторону,
3)	векторы i, j, ft — единичные, т. е. I i 1 = 1, ] j | =* 1, |ft 1 — 1,
Каким бы ни был вектор а, он всегда может быть разложен
по базису i, /, kt т, е. может быть представлен в виде:
а ~ Xi 4- Yj + Zk-,
коэффициенты этого разложения являются координатами ьектора а
(т. е. X, Y, Z суть проекции вектора а на координатные оси).
761.	По данным векторам а и b построить каждый
из следующих векторов: 1) а 4	2) а —	3) Ь — а\
4) — а — Ь.
762.	Даны: |а| = 13, |Ь|=19 и |а 4&1 = 24. Вычи-
слить | а — Ъ |.
763.	Даны: | а | — 11, | b | = 23 и | а — b | = 30. Опре-
делить | а 4 b |.
764.	Векторы а и Ъ взаимно перпендикулярны, при-
чем |а| = 5 и | 6 | = 12. Определить |а4д| и |а — Ь\,
765.	Векторы а и b образуют угол ф = 60э, причем
| а | = 5 и 161 = 8. Определить I а 4 b I и | а — 6 |.
766.	Векторы а и b образуют угол $ = 120°, причем
|а| = 3 и |6| =5. Определить |а 4 b| и |а — 6|.
767.	Какому условию должны удовлетворять векторы
а и Ъ, чтобы имели место следующие соотношения:
1) | а+Ъ | = 1 а—b |; 2) | а4& |>| а—Ь |; 3) | а-^b | <| а—Ь
768.	Какому условию должны удовлетворять век-
торы а и ft, чтобы вектор а 4 Ъ делил пополам угол
между векторами а и Ъ.
769.	По данным векторам а и b построить каждый
из следующих лекторов: 1) За; 2) —4 6; 3) 2а 4 4-Ь\
о
4)
770.	В треугольнике ЛВС вектор ДВ = т и вектор
ЛС = л. Построить каждый из следующих векторов:
.. я» + я , п\ т — п , л — гп .ч т 4- п гт
1) —2—’	—2—’ 3) —2—» 4)----------2—• принимая
в качестве масштабной единицы — ] п |, построить также
векторы: 5) | п | т 41 т |п\ 6) | п |т — I т iп.
771.	Точка О является центром тяжести треуголь-
ника ЛВС. Доказать, что О А 4 ОВ 4 ОС = 0.
772.	В правильном пятиугольнике АВС РЕ заданы
векторы, совпадающие с его сторонами: АВ — щ, ВС=п,
CD — р, DE ~ q и ЕА=г. Построить векторы: 1) т—п 4
A-p—q 4 П 2) т 4 2р 4 —г; 3) 2иг4 у п — Зр — q 4 2г.
120
Рис. 45.
773.	В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (рис 45)
заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АВ — т,
AD = n и АА' — р. Построить ка-
ждый из следующих векторов:
1) т + я-hp; 2) m + n + yp;
3)	+	4> т + п — Р>
5)	— т — яЧ-ур-
774.	Три силы М, N и Р, при-
ложенные к одной точке, имеют
взаимно перпендикулярные напра-
вления. Определить величину их
равнодействующей R, если известно, что | М | = 2 кГ,
| У |=10 кГ и |Р| —11 кГ.
775.	Даны два вектора а = {3; —2; 6} и 6={—2; 1; 0}.
Определить проекции на координатные оси следующих
векторов: 1) а 4 Ь; 2) а — Ь; 3) 2а; 4) —Ь; 5) 2a-t~3ft;
6) ±а-Ь.
О
776.	Проверить коллинеарность векторов а =
= {2; —1; 3} и ft —{— 6; 3; —9}. Установить, какой из
них длиннее другого и во сколько раз, как они направ-
лены—в одну или в противоположные стороны.
777.	Определить, при каких значениях а, 3 векторы
а — — 21 -Ь 3/ 4- и & = а£ —6/4-2Й коллинеарны.
778.	Проверить, что четыре точки А (3; —1; 2),
73(1; 2; —1), С(—1; 1; —3), D(3; —5; 3) служат вер-
шинами трапеции.
779.	Даны точки Д(—1; 5; —10) В(5; —7; 8),
С (2; 2; —7) и D(5‘ —4; 2). Проверить, что векторы ~АВ
и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее
другого и во сколько раз, как они направлены — в одну
или в противоположные стороны.
780.	Найти орт вектора а —{6; —2; —3}.
781.	Найти орт вектора а — {3; 4; —12}.
782.	Определить модули суммы и разности векторов
а = {3; -5; 8} и & = {-!; I; -4}.
783.	Дано разложение вектора с по базису i, j, k:c —
= 16г — 15/+ 12fe. Определить разложение по этому
же базису вектора d, параллельного вектору с и
121
противоположного с ним направления, при условии, что
|4| = 75.
784.	Два вектора а = {2; —3; 6} и 6 = {—1; 2; —2}
приложены к одной точке. Определить координаты век-
тора с, направленного по биссектрисе угла между век-
торами а и Ь, при условии, что | с | = 3 р 42.
785.	Векторы 4В = {2; 6; —4} и ЛС = {4; 2; —2}
совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить
координаты векторов, приложенных к вершинам тре-
угольника и совпадающих с его медианами AM, BN, СР.
786*). Доказать, что если р и q — какие угодно не-
коллинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их
плоскости, может быть представлен в виде: а=ар4-рд.
Доказать, что числа аир век-
торами а, р и q определяются
однозначно. (Представление век-
тора а в виде a — ap+fiq назы-
вается разложением его по ба-
^2-—-----" зису р, q; числа аир называют-
0	ся коэффициентами этого разло-
"у* жени я.)
р ..	Доказательство. Приведем
ь	векторы л, р и q к общему началу,
которое обозначим буквой О (рис, 46).
Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведем
прямую, параллельную вектору q Точку пересечения этой прямой
с линией действия вектора р обозначим через Аналогично, про-
водя через точку А прямую, параллельную вектору р, получим
в пересечении с линией действия вектора q точку Ад.
Г1о правилу параллелограмма получим:
а = О1 = ОА^ + ОА^.	(I)
Так как векторы ОАр и р лежат на одной прямой, то вектор ОАр
может быть получен умножением вектора р на некоторое число а
ОАр — ар.	(2)
Аналогично	___
ОАР - рф	(3)
Из равенстз (1). (2) и (3) получаем: а = ар 4- ₽?. Тем самым
возможность требуемого разложения доказана. Остается доказать,
что коэффициенты а и р этого разложения определяются одно-
значно.
*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания
остальных задач. Решение первой из них здесь приводится пол-
ное, ью.
122
Предположим, что вектор а имеет два разложения?
а == ар 4- 0g, а = а'р + 0'дг
и, например, а' ¥= а. Вычитая почленно одно из другого, получаем?
(а' - а) р + (0' - 0) g = О или р -=	 д.
1Л U
Но это равенство означает коллинеарность векторов р и д, которые,
однако, по условию являются неколлинеарными. Следовательно,
неравенство а' а невозможно. Аналогично доказывается, что
невозможно неравенство 0' =£ 0. Таким образом, а' = а, 0' = 0,
т. е. двух различных разложений один и тот же вектор иметь не
может.
787.	На плоскости даны дна вектора р — {2; —3},
«у —{I; 2}. Найти разложение вектора а — (9; 4} по ба-
зису р, q.
788.	На плоскости даны три вектора а = {3; —2},
&=={—2; 1} и с=Д7; —4}. Определить разложение каж-
дого из этих трех векторов, принимая в качестве ба-
зиса два других.
789.	Даны три вектора й =	— 1}, & = {1; —2},
с = {—1; 7}. Определить разложение вектора р = а +
по базису а, Ь.	___
790.	Принимая в качестве базиса векторы АВ — Ъ
и АС — с, совпадающие со сторонами треугольника АВС,
определить разложение векторов, приложенных в вер-
шинах треугольника и совпадающих с его медианами.
791.	На плоскости даны четыре точки Д(1; —2),
В (2; 1), С(3; 2) и Р(—2; 3). Определить разложение
векторов AD, BD, CD и Д£) + BD + CD, принимая в каче-
стве базиса векторы АВ и АС.
792.	Доказать, что если р, q и г —какие угодно
некомпланарные векторы*), то всякий вектор а про-
странства может быть представлен в виде: а = ар +
-|-0g +Доказать, что числа а, р, у векторами а, р,
q и г определяются однозначно. (Представление век-
тора а в виде a — ap-f-pg + yr называется разложе-
нием его по базису р, q, г. Числа а, 0 и у называются
коэффициентами этого разложения.)
793.	Даны три вектора р == {3; —2; 1}, q = {—1; I; —2},
r = {2; I; —3}. Найти разложение вектора с — {11; —6; 5}
по базису р, q, г.
*) Три вектора называются некомпланэрнымя, если после при-
ведения к общему началу они не лежат в одной плоскости.
123
794.	Даны четыре вектора я = {2; 1; 0}, Ь = {1; —1: 2),
с = {2; 2; —1} и d —{3; 7; —7}. Определить разложение
каждого из этих четырех векторов» принимая в качестве
базиса три остальных.
§ 31.	Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между
ними.
Скалярное произведение векторов а, Ъ обозначается симво-
лом аЬ (порядок записи сомножителей безразличен, т е. ab = ba).
Если угол между векторами а, 6 обозначить через ф, то их
скалярное произведение можно выразить формулой
аЬ = | а | И Ь | • cos <р	(1)
Скалярное произведение векторов а. b можно выразить также
формулой
ab s=s | а | • пр , Ь, или аЬ = | Ь ] • npft а
Из формулы (1) следует, что а6>0, если <р — острый угол,
аЙ<0, если угол ф — тупой; аЬ = 0в том и только в том случае,
когда векторы а и & перпендикулярны (в частности, ab = 0, если
а — 0 или & = 0).
Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом
вектора и обозначается символом а2. Из формулы (1) следует, что
скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
а2 = | а |2
Если векторы а и Ь заданы своими координатами:
а = {Х1: У,; 2J, & = {*2; У2; 22},
то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
аб-ад + У^ + Я^
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендику*
лярности векторов:
+ УтУ2 +
Угол ф между векторами
а = {Л1;У1;21} и Ъ = {Х2; У2; Zs)
аЬ
дается формулой со&ф =
или в координатах
СОЯф =
Проекция произвольного вектора S = {X; У; Z} на какую-нибудь
ось и определяется формулой
npw S = Se,
124
где е — единичный вектор, направленный по оси и. Если даны
углы а, р, у, которые ось и составляет с координатными осями,
то е = {cos a; cos Р; cos у} и для вычисления проекции вектора S
может служить формула
при S — X cos а + Y cos ₽ + Z cos у.
2
795.	Векторы а и Ъ образуют угол ф— ~ л; зная, что
|а| = 3, | Ь I = 4, вычислить: 1) аЬ\ 2) а2; 3) 62; 4) (а4-&)2;
5) (За — 26) (а 4-2&); 6) (а - 6)2; 7) (За + 26)2.
796.	Векторы а и & взаимно перпендикулярны; век-
тор с образует с ними углы, равные у; зная, что |а|=
= 3, 1&I-5, | с | = 8, - вычислить: 1) (За — 26)(5 + Зс);
2) (а + b + с)2; 3) (а + 2& - Зс)2.
797.	Доказать справедливость тождества (a -f- &)2 4~
4-(а — &)2 = 2 (а2 4-Ь') и выяснить его геометрический
смысл.
798.	Доказать, что — ab ^ab ^ab; в каких случаях
здесь может иметь место знак равенства?
799.	Считая, что каждый из векторов с, &, с отли-
чен от нуля, установить, при каком их взаимном рас-
положении справедливо равенство: (a&)c = a(frc).
800.	Даны единичные векторы а, b и с, удовлетво-
ряющие условию a + & + f = 0. Вычислить аЬ+Ьс-\-са,
801.	Даны три вектора a, b и с, удовлетворяющие
условию а-|-&-Ь<? = 0. Зная, что |а| = 3, |&|=1
и | с | = 4, вычислить ab 4- Ъс 4- са.
802.	Векторы а, Ь, с попарно образуют друг с дру-
гом углы, каждый из которых равен 60°. Зная, что
|aj = 4, |&| = 2 и |с| = 6, определить модуль вектора
р = a 4" 6 д- с.
803.	Дано, что |a| = 3, | Ь | = 5. Определить, при
каком значении а векторы а 4- red, а — ab будут взаимно
перпендикулярны.
804.	Какому условию должны удовлетворять век-
торы а и 6, чтобы вектор а 4- b был перпендикулярен
к вектору а — Ь.
805.	Доказать, что вектор р = Ь (ас) — с (ab) перпен-
дикулярен к вектору а.
806.	Доказать, что вектор р = 6 — а^- перпенди-
кулярен к вектору а.	___
807.	Даны векторы АВ — b и 4С — с, совпадающие
со сторонами треугольника ЛВС. Найти разложение по
125
базису Ь, с вектора, приложенного к вершине В этого
треугольника и совпадающего с его высотой BD.
808.	ВекторьГа и b образуют угол ф— ; зная, что
|а|== |'3, |6|=1, вычислить угол а между векторами
р=--а~гЬ и q — a — b.
809.	Вычислить тупой угол, образованный медиа-
нами, проведенными из вершин острых углов равно-
бедренного прямоугольного треугольника.
810.	Определить геометрическое место концов пере-
менного вектора х, если его начало находится в дан-
ной точке ,4 и вектор х удовлетворяет условию ха—а,
где а —данный вектор и а—данное число.
811.	Определить геометрическое место концов пере-
менного вектора х, если его начало находится в дан-
ной точке Л и вектор х удовлетворяет условиям ха —а,
*6=0, где а, Ь — данные неколлинеарные векторы и а,
3 — данные числа.
812.	Даны векторы а_—{4; —2; —4}, 6 — {б; —3; 2}.
Вычислить: 1) ab, 2) I а2; 3) VЬ\ 4) (2а — 36) (а + 26);
5) (а + 6)2; 6) (а - 6)2.
813.	Вычислить, какую работу производит сила
/ = {3; —5; 2}, когда ее точка приложения переме-
щается из начала в конец вектора s(2; —5; "-7)*).
814.	Даны точки Л(—1; 3; •—7), В (2; — 1; 5) и
С(0, 1; -5). Вычислить: 1) (2ДВ - СВ) ('2ВС + ВЛ);
2) VaB2; 3) V',1C2;_4) найти координаты векторов
(ЛЯ ЯС) ВС и АВ (АСВС).
815.	Вычислить, какую работу производит сила
f=={3; —2, —5), когда ее точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения Л(2; —3; 5)
в положение В(3; —2; —1).
816.	Даны три силы 2И = {3; —4; 2}, Л/ = {2; 3; —5}
и р = {— 3; —2; 4}, приложенные к одной точке. Вы-
числить, какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямо-
линейно, перемещается из положения Mt(5; 3; —7)
в положение М2(4; —1; —4).
*) Если вектор f изображает силу, точка приложения которой
перемещается из начала в конец вектора $, то работа w этой силы
определяется равенством
W — fs.
126
817.	Даны вершины четырехугольника Л(1; —2; 2),
В(1; 4; 0), С (—4; 1; 1) и Г) (—5; —5; 3). Доказать, что
его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.
818.	Определить, при каком значении а векторы
я = — 3/ д- 2£ и 6 = i -|- 2/ — ak взаимно перпендику-
лярны.
819.	Вычислить косинус угла, образованного векто-
рами а = {2; —4; 4} и Ь = {—-3; 2; 6},
820.	Даны вершины треугольника Д(—1; —2; 4),
В (—4; —2; 0) и С(3; —2; 1). Определить его внутренний
угол при вершине В.
821.	Даны вершины треугольника Л(3; 2; — 3),
В (5; 1; —1) и С(1; —2; 1). Определить его внешний
угол при вершине Л.
822.	Вычислив внутренние углы треугольника
Л(1; 2; 1), В(3; —1; 7), С(7; 4; —2), убедиться, что этот
треугольник равнобедренный.
823.	Вектор х, коллинеарный вектору а = {6; —8; —7,5},
образует острый угол с осью Ох. Зная, что | х | = 50,
найти его координаты.
824.	Найти вектор х, коллинеарный вектору а~
= {2; 1; —1} и удовлетворяющий условию ха — 'З.
82Г. Вектор х, перпендикулярный к векторам а =
— 3i 4- 2/ 4- 2k и b — 182 — 22/ — 5&, образует с осью Оу
тупой угол. Найти его координаты, зная, что 1*1—14.
826.	Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен
к векторам а = {2; 3; — 1} и &={1; —2; 3) и удовле-
творяет условию х(2г — ; 4-Л}—— 6.
827.	Даны два вектора: а = {3; — 1; 5} и Ь — {1; 2; —3}.
Найти вектор х «при условии, что он перпендикулярен
к оси Ох и удовлетворяет условиям: ха = 9, хЬ = — 4,
828.	Даны три вектора: а. == 2« — / 4-3&, b = i —
— 3/4-2fe и с = 3^4" 2/ — 4fc. Найти вектор х, удовле-
творяющий условиям: ха~ — 5, xb~ — 11, хе = 20.
829.	Найти проекцию вектора S = {4; —3; 2} на ось,
составляющую с координатными осями равные острые
углы.	_
830.	Найти проекцию вектора S=[]/2; —3; —б) на
ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz
углы а = 45\ у = 60°, а с осью Оу — острый угол (1.
831.	Даны две точки Л(3; —4; —2), В (2; 5; —2).
Найти проекцию вектора АВ на ось, составляющую
с координатными осями Ох, Оу углы а = 60°, $= 120°,
а с осью Oz — тупой угол у.
127
832.	Вычислить проекцию вектора а = {5; 2; 5} на
ось вектора Ь = {2; —1; 2}.
833.	Даны три вектора: a = 3i —	— k, b = i +
4-4/ — 5k и с — 3i — 4/ 4- 12Ze. Вычислить npr(a-f-6).
834.	Даны три вектора: а — {1; —3; 4}, b = {3‘, —4; 2}
и <? = {—1; 1; 4}. Вычислить пр&+са.
835.	Даны три вектора: а = — 2ijk, b = i + 5j
и с = М 4~ 4/ — 2й. Вычислить прс (За — 2&).
836.	Сила, определяемая вектором Я = {1; —8; —7},
разложена по трем направлениям, одно из которых
задано вектором а = 21 + 2j + k. Найти составляющую
силы 7? в направлении вектора а.
837.	Даны две точки М(—5; 7; —6) и /V (7; —9; 9).
Вычислить проекцию вектора а = {1; —3; 1} на ось век-
тора MN.
838.	Даны точки Я(—2; 3; —4), В(3; 2; 5), С(1; —1; 2),
D (3; 2; —4). Вычислить пр^ДВ.
§ 32.	Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора а на вектор b называется
вектор, обозначаемый символом [ай] и определяемый следующими
тремя условиями:
1)	модуль вектора [ай] равен | а | • | b | sin ф, где ф — угол
между векторами а и 6;
2)	вектор [ай] перпендикулярен к каждому из векторов а и 6;
3)	направление вектора [с&] соответствует «правилу правой
руки». Это означает, что если векторы а, b и [ab] приведены
к общему началу, то вектор [а&] должен быть направлен так, как
направлен средний палец правой руки, большой палец которой на-
правлен по первому сомножителю (т. е, по вектору а), а указатель-
ный — по второму (т. е. по вектору &).
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей,
именно:
[аб] — — 16а].
Модуль векторного произведения [аб] равен площади S парал-
лелограмма, построенного на векторах а и Ь.
Паб] |=S.
Само векторное произведение может быть выражено формулой
[а&] = Se,
где е — орт векторного произведения.
Векторное произведение [аб] обращается в нуль тогда и только
тогда, когда векторы а и b коллинеарны. В частности [аа] = 0.
128
Ерли система координатных осей правая и векторы а м Ь за-
даны в этой системе своими координатами:
в=[Х]5 У)5 ZJ. &=~{Х2; У2; Z2},
то векторное произведение вектора а на вектор Ъ определяется
формулой
или
,„.,г ад
М1=1 ад.
x.zl
XjZ2
Xlrl
Х3У,
[ab] =
I
X'
х2
i л
Л z{
Y3 Z3
839.	Векторы а и Ь образуют угол <р= *-• Зная,
что |а^ = 6, | b | = 5, вычислить | [а&] |.
840.	Даны: |а|=10, |Ь| = 2иа6=12. Вычислить
1 [a*] I.
841.	Даны: |а| = 3, |6| = 26 и [ [а&] | = 72. Вычи-
слить ab.
842.	Векторы а и Ъ взаимно перпендикулярны. Зная,
что | а) == 3, | b I = 4, вычислить:
1) 1[(а + &)(а-&)]|; 2) |[(3а-6)(а-26)]|.
о
843.	Векторы а и Ь образуют угол ф = -:гл. Зная,
что | а |= 1, |&| —2, вычислить:
1) [аб]2; 2) [(2а + *) (а + 2*)Р; 3) [(а + 36) (За - 6)]2.
844.	Какому условию должны удовлетворять век-
торы а, Ь, чтобы векторы а + b и а — & были колли-
неарны?
845.	Доказать тождество [абр + (аб)2 = а~Ь2.
846.	Доказать, что [а6]2<а262; в каком случае
здесь будет знак равенства?
847.	Даны произвольные векторы: р, q, г, п Дока-
зать, что векторы а = [рп], & = [<у/г], с = [гп] компла-
нарны (т. е., будучи приведены к общему началу, рас-
полагаются в одной плоскости).
848.	Векторы а, b и с удовлетворяют условию
а + ^ + с = 0. Доказать, что [аб] = [6с] = [еа].
849.	Векторы a, 6, с и d связаны соотношениями
[a6] = [ctf], [ar] — [bd]. Доказать коллинеарность векто-
ров а — (1 и b — (?.
850.	Даны векторы а —{3; —1; —2} и 6 = {1; 2; — I}.
Найти координаты векторных произведений: 1) [afrl;
2) [(2a ф *) &]; 3) [(2a - 6)(2a + 6)].
5 Д. В. Клетеник
129
851.	Даны точки /1(2; — 1; 2), В(1; 2; —1) и С(3; 2; I).
Найти координаты векторных произведений 1) [Л2?ВС]}
2) [(5С - 2СЛ)СВ].
852.	Сила/ ==-{3; 2; —4} приложена к точке А (2; — 1; 1).
Определить момент этой силы относительно начала
координат*).
853.	Сила Р = {2; —4; 5} приложена к точке
Л10(4; —2; 3). Определить момент этой силы относи-
тельно точки Л(3; 2; — 1).
854.	Сила Q = {3; 4; —2} приложена к точке
С(2; —1; —2). Определить величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно начала коор-
динат.
855.	Сила Р— {2; 2;9} приложена к точке Л (4; 2; —3).
Определить величину и направляющие косинусы мо-
мента этой силы относительно точки С(2; 4; 0).
856.	Даны три силы Л1 —{2; —1; —3}, 2V = {3; 2; — 1}
и Р = {— 4; 1; 3}, приложенные к точке С(— 1; 4; —2).
Определить величину и направляющие косинусы мо-
мента равнодействующей этих сил относительно точки
А (2; 3; -1).
857.	Даны точки А (1; 2; 0), 5(3; 0; —3) и С (5; 2; 6).
Вычислить площадь треугольника АВС.
858.	Даны вершины треугольника Л(1; —1; 2),
В (5; —-6; 2) и С(1; 3; — 1). Вычислить длину его вы-
соты, опущенной из вершины В на сторону ДС.
859.	Вычислить синус угла, образованного векторами
а = {2; -2; 1} и 6 = {2; 3; 6].
860.	Вектор х, перпендикулярный к векторам а==
= {4; —2; —3} и b — {0‘ 1; 3}, образует с осью Оу
тупой угол. Зная, что | х | = 26, найти его коорди-
наты.
861.	Вектор т, перпендикулярный к оси Oz и к век-
тору а = {8; —15; 3}, образует острый угол с осью Ох.
Зная, что |/га 8 = 51, найти его координаты.
862.	Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен
к векторам а = {2; —3; 1} и 6 = {1; —2; 3} и удовле-
творяет условию: х{1 + 2j — 7k) = 10.
*) Если вектор f изображает силу, приложенную к какой-нибудь
точке /И. а вектор а идет из некоторой точки О в точку .41,' то
вектор [д/] представляет собой момент силы f относительно
точки О.
130
863.	Доказать тождество
(Ч + т\ 4- nf) (Z| -h ml + n|) - (JJ2 + m1m2 + njitf =»
e(mjrt2 — /ВД)2 + (^«i “ A «a)2 + Gi^2 ~ ^i)2,
Указание, Воспользоваться тождеством задачи 845.
864.	Даны векторы а = {2; —3; 1), & = {—3; 1; 2} и
с = {1; 2; 3}. Вычислить [[aft] cl и [а[6сЦ.
§ 33. Смешанное произведение трех векторов
Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой
из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку
векторов записывают в порядке нумерации; например, записью, &, с
означает, что вектор а считается первым, b — вторым, с — третьим.
Тройка некомпланарных векторов а, Ъ7 с называется правой,
если составляющие ее секторы, будучи приведены к общему началу,
располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как располо*
жены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если
векторы а, Ъ, с расположены аналогично тому, как расположены
большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка
этих векторов называется левой.
Смешанным произведением трех векторов а, Ь, о называется
число, равное векторному произведению [а&], умноженному ска-
лярно на вектор с, т. е. [об] с.
Имеет место тождество: [лб] с = а [йс], ввиду чего для обо*
значения смешанного произведения fa&] с употребляется более про-
стой символ: abc. Таким образом,
abc = [а&] е, аЬс=*а[Ьс].
Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах а, Ь, с, взятому со знаком плюс, если
тройка abc правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если
векторы а, Ь, с компланарны (и только в этом случае), смешанное
произведение abc разно нулю; иначе говоря, равенство
abc = О
есть необходимое и достаточное условие компланарности векто-
ров а, Ь. с.
Если векторы а, Ь, с заданы своими координатами:
a = (.Yj; Л; Zj), & = (Х2; У2; Z2}, с =	У,; Z3},
то смешанное произведение abc определяется формулой
	Xi Ki
abc =	м СО N tSi сч ео И
Напомним, что система координатных осей предполагается пра-
вой (вместе с тем является правой и тройка векторов I, j, Л).
5*
131.
865с Определить, какой
(правой или левой), если
1)	a = k, b = i, c — j',
3) а = /, b — i, c = k\
5)	a == i + /, b — i — /,
6) a — i + /, b = i — j,
является тройка c, b, с
2)	a~i, b — k, c — j;
4)	a = i 4- f, &==/, c = k\
c = i‘>
c = k.
866.	Векторы a, bt с, образующие правую тройку,
взаимно перпендикулярны. Зная, что |aj = 4, |&] = 2,
|с| = 3, вычислить abc.
867.	Вектор с перпендикулярен к векторам а и Ь,
угол между а и Ъ равен 30э. Зная, что | а | = 6, |&| = 3,
| с | = 3, вычислить аЬс.
868.	Доказать, что | abc |<| а || Ь || с |; в каком случае
здесь может иметь место знак равенства?
869.	Доказать тождество (а-Ь&)(Ь4-с)(с + а) — 2abc.
870.	Доказать тождество ab {с + Ка + ц&) = аЬс, где
X и ц — какие угодно числа.
871,	Доказать, что векторы а, 6, с, удовлетворяющие
условию аа] 4- [be] + [га] = 0, компланарны.
872.	Доказать, что необходимым и достаточным
условием компланарности векторов а, Ь, с является
зависимость аа -г + ус и 0, где по крайней мере одно
из чисел a, (J, у не равно нулю.
873.	Даны три вектора: а —{Г, —1; 3}, Ь = {— 2; 2; 1},
с = {3; —2; 5}. Вычислить аЬс.
874.	Установить, компланарны ли векторы а, Ь. с,
если:
1)	а«{2;	3;-1},	* = {1;	-1; 3},	с = {1;	9; —И);
2)	а = {3;	-2; 1),	& = {2;	1; 2},	с = {3;	-1; -2};
3)	а = {2;	-1; 2},	&=={!;	2; -3},	с = {3;	-4; 7}.
875.	Доказать, что четыре точки А(1; 2; —1),
В(0; 1; 5), С(—1; 2; 1), Z>(2; 1; 3) лежат в одной пло-
скости.
876.	Вычислить объем тетраэдра, вершины которого
находятся в точках /1(2; —1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; — 1)
и D(4; 1; 3).
877.	Даны вершины тетраэдра: А(2; 3; 1), В(4; 1; —2),
С (6; 3: 7), D(—5; —4; 8). Найти длину его высоты,
опущенной из вершины D.
132
878.	Объем тетраэдра о —5, три его вершины на-
ходятся в точках А (2; 1; — 1), В(3; 0; 1), С (2; —1; 3).
Найти координаты четвертой вершины Р, если известно,
что она лежит на оси Оу.
§ 34.	Двойное векторное произведение
Пусть вектор а умножается векторно и а вектор Ь, после чего
полученный вектор I ай) умножается снова векторно на вектор с.
В результате получается так называемое двойное векторное произ-
ведение |[ай| с} (ясно, что [[ай) с] — вектор). Умножая вектор а
векторно на [&с], получим двойное векторное произведение [а (йс]].
Вообще говоря,
([ай] с] ¥= [а (ИГ
Докажем, что имеет место тождество
[|ай] с]«» b (ас) — а (йс).
Доказательство. Введем (декартову прямоугольную) си-
стему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси ко-
ординат специальным образом, а именно: ось Ох направим по век-
тору а, ось Оу поместим в плоскости векторов а и & (считая, что
пекторы а, Ъ приведены к общему началу). В таком случае будем
иметь:
а =	0; 0), Ь = (Х2;  2; 0}, с =» {Хз; У Zj).
Теперь находим:
[ай] = {0; 0; Х1К2)>	1
[[ай] с] = {- XjF аГ 8; Xty2X3; 0). J
С другой стороны,
ас = XLX3; Ь (ас) = {Х1Х2г\’3; Х]У2Х3; 0),
йс = Х2Х3 + У2У3, a (be) = {XtX2X3 + Х^^; 0; 0),
Следовательно,
Ь (ас) - а (Ьс) = {- Х,У2У3; Х,?^ 0).	(2)
Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем:
Пей] с] — Ъ (ас) — а (Ьс),
что и требовалось
879.	Доказать тождество [a [&c]J = b (ас) — с (ab).
880.	Решить задачу 864, используя тождества, дан-
ные в начале этого параграфа, и тождество задачи 879.
881.	Даны вершины треугольника Я (2: —-1; ~3),
В(1; 2; —4) и С(3; —1; —2). Вычислить координаты
вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной
из вершины А на противоположную сторону, при
133
условии, что вектор'Л образует с осью Оу т£М угол ft
что его модуль равен 2]/ЗТ.
882,	Считая, Что каждый из векторов а, 6, с отличен
от нуля, установить, при каком их взаимном располо*
жении справедливо равенство [а [»с]] = [[аб] с].
883.	Доказать тождества:
1)	[а	+ №&]] = 0;
2)	[а b ] [cd] = (ас) (ftd) — (ad) (be);
3)	[ай] [cd] + [ас] [dft] + [ad] [ftc] = 0;
4)	[[aft] [cd |j = c (aftd) — d (abc);
5)	[aft] [ftc] [ca] = (aftc)2;
6)	[a |a [a [aft]]]] = a4ft при условии, что векторы а
и ft взаимно перпендикулярны;
7)	[a [ft [cd]JJ = [ас] (ftd) — [ad] (be);
8)	|a[&[cd]]] = (acd)6-(aft)[cd];
9)	[aft]2 [ас]2 — ([aft] Jac] )2 = a2 (aftc)2;
10)	[[aft] [ftc]] [[ftc] [ca]] [[ca] [aft]] = (aftc)4;
11)	(aft) [cd] + (ac) [dft] + (ad) [ftc] = a (bed);
12) (abc) (adc) =
abd abe
acd ace
884.	Три некомпланарных вектора a, ft и с приве-
дены к общему началу. Доказать, что плоскость, про*
ходящая через концы этих векторов, перпендикулярна
к вектору [aft] + [ftc] 4- [ca].
ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ
§ 35. Уравнение поверхности
Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коорди-
нат) называется такое уравнение с тремя переменными
Р (х, у, г) = О,
которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на
этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки
не лежащей на ней.
885._Даны точки Мj (2; —3; 6), /W2(0; 7; 0), Af3(3; 2; —4),
A4,(2 /2:4; -5), M5(l; -4; -5), «„(2: 6; - /б). Уста-
новить, какие из них лежат на поверхности, определен-
ной уравнением х2 4- у2 + с2 = 49, и какие не лежат на
ней? Какая поверхность определена данным уравнением?
886, На поверхности x2+f’4-22 —9 найти точку,
для которой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2;
2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса
равна 2, апликата равна 2; 4) ордината равна 2, апли-
ката равна 4.
887. Установить, какие геометрические образы опре-
деляются следующими уравнениями в декартовых прямо-
угольных координатах пространства:
1) х = 0; 2) =	3) z = 0; 4) я —2=0;
5) //4-2 = 0; 6) z + 5 = 0; 7) х2 4- у2 4- = 25;
8) (х - 2)2 4- (у 4- З)2 4- (г - 5)2 = 49;
9) х2 + 2^2 4-Зя2 = 0; 10) x24-2//24-3z2 + 5 = 0;
11) х — у —О', 12)x4-z~0; 13) // — z=0; 14) xy==0\
15) xz = 0; 16) yz — 0', 17) xyz = 0', 18) x2 — 4x = 0;
19) xy — y2 = 0; 20) yz + z2 = 0.
135
888. Даны лве точки Г;(—с; 0; 0) и Г2(с; 0; 0).
Вывести уравнение геометрического места точек, сумма
расстояний которых до двух данных точек есть вели-
чина постоянная, равная 2а при условии а > 0, ОС;
а > с.
Решение. Обозначим буквой Л1 произвольную точку про-
странства, буквами х, у, z — ее координаты. Так как точка Af может
занимать любое положение, то х, у и z являются переменными
величинами: их называют текущими координатами.
Точка М лежит па данной поверхности в том и только в том
случае, когда
MFt 4- MF 2 = 2а.
(1)
Это есть'определение поверхности, выраженное символически.
Выразим MFi и MF$ через текущие координаты точки М:
MF, = У(х + с)2 4- у2 4- 22 , MF3 = V(x-c)z + tj2 + 22.
Подставим полученные выражения в равенство (I). Тем самым
мы найдем уравнение
/(х 4- <?)2 + Z/2 4- з2 4- /(х - с)2 4- у2 4- ?2 = 2а,
(2)
которое связывает текущие координаты х, у, г. Это и есть уравне-
ние данной поверхности.
Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной по-
верхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты
такой точки будут удовлетзорять уравнению (2); для каждой точки,
не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться
и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравне-
нию (2). Таким образам, задача решена; дальнейшие выкладки имеют
целью представить уравнение поверхности в более простом виде
Уединим в уравнении (2) первый радикал*
V*(x 4- с)2 4- У2 4- 22 = 2а — К(х — с)2 4- У2 4- z2,
возведем обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки
мы получим:
х2 4- 2сх 4* с2 4- у2 4" г2 =
= 4а2 — 4а V(x — с)2 4" У2 4-х2 4- х2 — 2сх 4- с2 4* У2 4" г2»
пли
aV(х — с)2	у2 + z2 — а- — сх.
Снова, освобождаясь от радикала, найдем:
а2 х2 — 2а2 ех 4- а2 с2 4” а2у2 4- с^г3 = а4 — 2а2 с х 4* с2ха,
или
(а2 — с2) х2 4- а2у'2 4- a2z2 = а2 (а2 — сг).	(3)
или
136
Так как а > с, то а2—с2 > 0; положительное 4йсло а5—с3
обозначим через Ь2. Тогда уравнение (3) примет Ъид
b~x2 -j- а~У~ + Q32a = а2&3
или
Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом враще-
ния. Уравнение (4) называется каноническим уравнением этого
эллипсоида.
880. Вывести уравнение сферы, центр которой на-
ходится в начале координат и радиус которой равен г.
890.	Вывести уравнение сферы, центр которой
С (а; р; у) и радиус которой равен г.
891.	Из точки Р(2; 6; —5) проведены всевозможные
лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить урав-
нение геометрического места их середин.
892.	Из точки А (3; —5; 7) проведены всевозможные
лучи до пересечения с плоскостью Оху. Составить урав-
нение геометрического места их середин.
893.	Из точки С(—3; —5; 9) проведены всевозмож-
ные лучи до пересечения с плоскостью Оуг. Составить
уравнение геометрического места их середин.
894.	Вывести уравнение геометрического места точек,
разность квадратов расстояний которых до точек
(2; 3; —5) и F2(2; —7; —5) есть величина постоянная,
равная 13.
895.	Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма квадратов расстояний которых до двух точек
F\ (— а; 0; 0) и F2 (а; 0; 0) равна постоянной величине 4а2.
896.	Вершины куба суть точки Я (—а\ — а\ — а),
В (а; —а; —а), С(—а; а; —а) и В(а\ а; а). Составить
уравнение геометрического места точек, сумма квадра-
тов расстояний которых до граней этого куба есть
величина постоянная, равная 8а2.
897.	Вывести уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от двух точек М, (1; 2; —3) и (3; 2; 1).
898.	Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма расстояний которых до двух данных точек
F3 (0; 0; —4) и F2(0; 0; 4) есть величина постоянная,
равная 10.
899.	Вывести уравнение геометрического места точек,
разность расстояний которых до двух данных точек
Fj (0; —5; 0) и F2 (0; 5; 0) есть величина постоянная,
равная 6.
137
§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении
трех поверхностей
Линия в пространстве определяется совместным заданием двух
уравнений
F (х, у, г) =0, Ф (х, у, z) = О
как пересечение двух поверхностей F (х, у, г) 0 и Ф(х. у. z) = 0.
ЕсЛя F (х, у, г) = 0, Ф(х, у, = У (х* у, г) = 0 суть уравнения
трех поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно
совместно решить систему:
F (х, У, ?) = 0»
Ф (х, у, z) = О,
1^(х1У> z) = 0.
Каждое решение х, у, z этой системы представляет собой коор-
динаты одной из точек пересечения данных поверхностей.
900.	Даны точки М[ (3; 4; —4), Л12 (—3; 2; 4),
Л43(—-1; —4; 4) и М4(2; 3; —3). Определить, какие
из них лежат на линии
U-l)2+//2 + a2 = 36,
j/ + z = O
и какие не лежат на ней.
901.	Определить, какие из следующих линий проходят
через начало координат:
. ( х2 +г/?4-г2 —2г = 0,
I // = 0;
| (^ — З)2 + (у + I)2 + (г — 2)2 = 25,
} I х + ^ = 0;
J (x~l)2 + (y+2)3 + (z + 2)3 = 9,
I х — z — 0.
902. На линии
найти
точку:
1)	абсцисса которой равна 3;
2)	ордината которой равна 2;
3)	апликата которой равна 8.
138
903. Установить, какие линии определяются сле-
дующими уравнениями:
5)
2)
х + 2 — 0,
^—3 = 0;
х — 5 = 0,
2 + 2 = 0;
) У + 2 = О,
I 2 — 5 = 0;
г — 2 = 0
У =
904.	Составить уравнения линии пересечения пло-
скости Oxz и сферы с центром в начале координат
и радиусом, равным 3.
905.	Составить уравнения линии пересечения сферы,
центр которой находится в начале координат и радиус
равен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Oxz
и лежащей в левом полупространстве на расстоянии
двух единиц от нее.
906.	Составить уравнения линии пересечения пло-
скости Oyz и сферы, центр которой находится в точке
С(5; —2; 1) и радиус равен 13.
907.	Составить уравнения линии пересечения двух
сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр
в начале координат, другая имеет радиус, равный 5,
и центр С(1; —2; 2).
908.	Найти точки пересечения трех поверхностей!
x2 + y2 + z2 = 49, у-3 = 0, 2 + 6 = 0.
909.	Найти точки пересечения трех поверхностей!
х2 + У2 + г2 = 9, х2 + у2 + (2 — 2)2 = 5, у 2 = 0.
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными
одной из координатных осей
Уравнение с двумя переменными вида
F (х, у) = 0
п пространственной системе координат определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными оси Oz. На плоскости
в системе координат с осями Ох и Оу уравнение F (х, у) = 0
139
определяет линяю, именно, направляющую линию рассматривав4
мото цилиндра. Но эта же линия з пространственной системе коор-
динат должна быть задана двумя уравнениями!
F(x, #) = 0,
2 = 0.
Аналогично: уравнение F (х, г) = 0 (в пространстве) определяет
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу,
уравнение F (у, х) = 0 определяет цилиндрическую поверхность
с образующими, параллельными оси Ох.
910, Установить, какие геометрические образы опре-
деляются в пространственной системе координат сле-
дующими уравнениями:
1)^ + г’ = 2б; 2)^ + 4=!; 3) 4-4=1;
4) х2 = 6г; 5) х2 — ху = 0; 6) х2 — г2 =*= 0;
7)г/24-г2=0; 8) х2 + 4^2 + 4 = 0; 9)х2 + г2«2г;
Ю) г/2-f-г2» — г.
911.	Найти уравнение цилиндра, проектирующего
окружность
| х2 + (у4-2)2 + (г~1)2«25,
I.	x2-h #2 +z2« 15
на плоскость: 1) Оху', 2) Охг; 3) Oyz.
912.	Найти уравнение проекции окружности
Г (х + 1 )2 + (у + 2)2 + (г - 2)2 = 36,
I х2 4- (у + 2)2 + (г - 1 )2 = 25
на плоскости 1) Оху, 2) Охг; 3) Oyz.
ГЛАВА 9
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 38.	Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку и имеющей данный
нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется
уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени
определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпсндпкуЛхЧрпый к данной
плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
А(х — х0) 4- В (у — г/о) + <7(« — 20) = О	(1)
определяет плоскость, проходящую через точку *Ио (<*□; уо*»
и имеющую нормальный вектор п==(Л, В- С}.
Раскрывая в упазяении (1) скобки и обозначая число —Ахо”
— Ву0 —Сг0 буквой D, представим его в виде:
Ах + By 4- Cz 4- D = 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точку Л4Д2; 1; —1) и имеет нормальный
вектор п=»{1; —2; 3}.
914.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через начало координат и имеет нормальный век-
тор п = {5; 0; —3}.
915.	Точка Р(2; —1; —1) служит основанием пер-
пендикуляра, опущенного из начала координат на пло-
скость. Составить уравнение этой плоскости.
916.	Даны две точки М[(3; —1; 2) и М2(4; —2; — 1).
Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку All перпендикулярно вектору М1Л12.
141
917.	Составить уравнение плоскости, проходящей че"
рез точку М] (3; 4; —5) параллельно двум векторам
«j={3; I; —1} и а2 = {1; —2; 1}.
918.	Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через точку Л10(х0; #0; z0) параллельно двум векторам
т{\ nJ и а2в{/2; т2*> может быть предста-
влено в следующем виде:
х — х0 у ~~ Уо z — zr.
/1
h
т{
т2
п2
919.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки A4j (2; —1; 3) и Л42(3; 1; 2) параллельно век-
тору а = {3; —1; 4},
920.	Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
щей через точки МДх^ ух\ zj и Л12(х2; у2\ 22) парал-
лельно вектору а = {Z; т\ п), может быть представлено
в следующем виде:
X — Xi у — Уу z — 21
Х2 — Xi у2— ух Z2 — Zt
I т п
921.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки: М|(3; —1; 2), М2(4; — 1; — 1) и
М3(2; 0; 2).
922.	Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через три точки: М, (xf, ye, zj, М2(х2; у2\ z2) и М3(х3; г/3; z3),
может быть представлено в следующем виде:
х — X!
Х2 — X]
Х3 — X]
У — У\
У2- У1
Уз - У\
Z — 21
22-2!
—Z,
923.	Определить координаты какого-нибудь нормаль-
ного вектора каждой из следующих плоскостей. В каж-
дом случае написать общее выражение координат произ-
вольного нормального вектора:
1) 2х — у — 2z 4- 5	0; 2) х 4- 5у — z = 0;
3) З.г — 2у-7 = 0; 4)5у-Зг = 0; 5)х4'2 = 0;
6) у - 3 = 0.
142
924. Установить, какие из следующих пар уравне-
ний определяют параллельные плоскости;
1) 2х —Зу + 52 — 7 = 0,
2) 4х + 2у — 4г+ 5 = 0,
3) х — 3z + 2 = 0,
2х — Зу + 5г + 3 = 0;
2х + у + 2z — I = 0;
2х — 6г — 7 = 0,
925, Установить, какие из следующих пар уравне-
ний определяют перпендикулярные плоскости:
1)	Зх — у — 2г — 5 = О,
2)	2х + Зу — г — 3 = 0,
3)	2х —5у + г = 0,
х + 9у — Зг + 2 = 0;
х — у — г + 5 = 0;
х + 2г — 3 = 0.
920. Определить, при каких значениях I и т сле-
дующие пары уравнений будут определять параллель-
ные плоскости:
I)	2х + Zy + Зг — 5 = 0,
2)	Зх — у + /г ~ 9 = О,
3)	тх + Зу — 2г — 1 = О,
тх — бу — 6г + 2 = 0;
2х + ту + 2г — 3 = 0;
2х — 5у — Zz = 0.
927.	Определить, при каком значении I следующие
пары уравнений будут определять перпендикулярные
плоскости:
1) Зх — 5у + lz — 3 = 0,
2) 5х + у — Зг — 3 = О,
3) 7х — 2у — г = О,
х + Зу + 2г + 5 = 0;
2х + 1у — Зг + 1 = 0;
1х + у — Зг — 1 = 0.
928.	Определить двугранные углы, образованные
пересечением следующих пар плоскостей:
1)	х-у/2 +г-1=0,
2)	Зу — г = О,
3)	6х + 3у — 2г = О,
4) х + 2у + 2г — 3 = О,
х + у]/2 — г+ 3 = 0;
2у + г = 0;
х + 2у + 6г — 12 = 0;
16х+ 12у— 15г- 1=0.
929.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через начало координат параллельно плоскости
5х — Зу + 2г — 3 = 0.
143
- 930. Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точку AIj (3; -—2; —7) параллельно плоско-
сти 2х — Зг 4- 5 = 0.
931.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через начало координат перпендикулярно к двум
плоскостями 2х — у + 3z — 1 . = 0, х 2z/ + z — 0.
932.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точку МД2; —1; 1) перпендикулярно к двум
плоскостям! 2х — z 4- 1 — 0, у — 0.
933.	Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через точку M0(x0; yQ\ z0) перпендикулярно к плоскостям
Aix 4- В{у 4- С]2 4- Di = 0, Л2х 4- В2у 4- С2х 4- О2 = 0, мо-
жет быть представлено в следующем виде:
934.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через две точки Afx(I; —1; —2) и ТИ2(3; 1; 1)
перпендикулярно к плоскости х — 2у 4- 3z — 5 = 0.
935.	Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через две точки МДх^ у у, и М2(х2; у2, z2) перпенди-
кулярно к плоскости Ах 4- By 4- Cz 4- D — 0, может быть
представлено в следующем виде:
х — Xj у —У i z — zx
Х2~ Xi У2~У] 22 —2[
АВС
936.	Установить, что три плоскости х — 2р 4-2 —7=0,
2х 4- У — z 4- 2 = 0, х — Зу 4- 22 — 11 — 0 имеют одну
общую точку, и вычислить ее координаты.
937.	Доказать, что три плоскости 7x4-4*/4-7x4-1 =0.
2х — г/ — 24-2 = 0, х 4- 2р 4- 32 — 1=0 проходят через
одну прямую.
938.	Доказать, что три плоскости 2х — у + Зг —5=0,
3x4-4-2з-1=0, 4х 4- Зу 4- 2* 4- 2 = 0 пересекаются
по трем различным параллельным прямым.
939.	Определить, при каких значениях а и b пло-
скости 2х — 1/4-32 — 1=0,х4-2р—24-^ = 0,х4-й*/ —
— 62+ 10 = 0: 1) имеют одну общую точку; 2) прохо-
дят через одну прямую; 3) пересекаются по трем раз-
личным параллельным прямым.
144
§ 39. Неполные уравнения плоскостей» Уравнение
плоскости «в отрезках»
Каждое уравнение первой степени
4х 4- Зу -f* Ci -Ь D = О
(в декартовых координатах)  определяет плоскость. Если в этом
уравнении отсутствует свободный член (Р = 0), то плоскость про*
ходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из
текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, 5, С ра-
вен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей,
именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой;
если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость прохо-
дит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с те-
кущими координатами (какие-либо два из коэффициентов Л, 5, С
равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных
плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные
с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует сво-
бодный член, то плоскость совпадает с этой координатной пло-
скостью.
Если в уравнении плоскости
Ах + By + С 2 + D — О
ни один из коэффициентов Л, В, Ct D не равен нулю, то это урав-
нение может быть преобразовано к виду
(1)
где
суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координат-
ных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) на-
зывается уравнением плоскости «в отрезках».
940.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит:
1)	через точку Mj(2; — 3; 3) параллельно плоско-
сти Оху\
2)	через точку М2(1; —2; 4) параллельно плоско-
сти Охг;
3)	через точку Л43(—5; 2; —1) параллельно плоско-
сти Oyz.
941.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит:
1)	через	ось	Ох	и	точку	MJ4;	—1; 2);
2)	через	ось	Оу	и	точку	М2(Г,	4; —3);
3)	через	ось	Oz	и	точку	М3(3;	—4; 7).
145
942.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит:
1)	через точки A4t(7; 2; —3) и Л12(5; 6; —4) парал-
лельно оси Ох\
2)	через точки Pj(2; —1; 1) и Р2(3; 1; 2) параллельно
оси Оу;
3)	через точки Q, (3; —2; 5) и Q2(2; 3; 1) параллельно
оси Oz.
943.	Найти точки пересечения плоскости 2х — Зу —
— 4г —24 = 0 с осями координат.
944.	Дано уравнение плоскости г + 2# — Зг — 6 = 0.
Написать для нее уравнение «в отрезках».
945.	Найти отрезки, отсекаемые плоскостью Зх —
— 4//— 24г + 12 = 0 на координатных осях.
946.	Вычислить площадь треугольника, который от-
секает плоскость 5х — 6//4-3z + 120 = 0 от координат-
ного угла Оху.
947.	Вычислить объем пирамиды, ограниченной пло-
скостью 2х — Зу + 6г — 12 = 0 и координатными плоско-
стями.
948.	Плоскость проходит через точку AIj (G; —10; 1)
и отсекает на оси абсцисс отрезок а = —3 и на оси
апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости
уравнение «в отрезках».
949.	Плоскость проходит через точки Afjl; 2; —1) и
М2(—3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок Ь = 3.
Составить для этой плоскости уравнение «в отрез-
ках».
950.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точку ЛЛ(2; —3; —4) и отсекает на коор-
динатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой
величины (считая каждый отрезок направленным из на-
чала координат).
951.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точки Л11(—1; 4; — 1), Л/2(—13; 2; — 10) и
отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля
отрезки одинаковой длины.
952.	Составить уравнения плоскостей, которые про-
ходят через точку (4; 3; 2) и отсекают на коор-
динатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой
длины.
953, Составить уравнение плоскости, отсекающей
на оси Oz отрезок с = —5 и перпендикулярной к век-
тору п = {—2; 1; 3}.
146
954. Составить уравнение плоскости, параллельной
вектору Z = {2; 1; -—1} и отсекающей на координатных
осях Ох и Оу отрезки а = 3, Ь = —2.
955. Составить уравнение плоскости, перпендикуляр-
ной к плоскости 2х ~ 2у 4“ 4г — 5 — 0 и отсекающей
на координатных осях Ох и Оу отрезки а — — 2, Ь—-^
§ 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние
от точки до плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение,
написанное в виде
х cos а + У cos р + z cos у — р = 0,	(1)
где cos а, cos₽, cosy суть направляющие косинусы нормали пло-
скости, р — расстояние до плоскости от начала координат. При
вычислении направляющих косинусов нормали следует считать,
что она направлена от начала координат к плоскости (если же
плоскость проходит через начало координат, то выбор положи-
тельного направления нормали безразличен).
Пусть Л1* — какая угодно точка пространства, d — расстояние
от нее до данной плоскости. Отклонением б точки М* от данной
плоскости называется число 4- d, если точка М* и начало коор-
динат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число — d,
если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М*
лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).
Если точка Л1* имеет координаты х’, у*, 2*, а плоскость задана
нормальным уравнением
х cos а + у cos р -|- z cos у —• р = 0,
то отклонение точки М* от этой плоскости дается формулой
6 = х* cos а 4- У* cos $4-2* cos у — р.
Очевидно, d = | б |.
Общее уравнение плоскости
Ах 4- By + Cz + D — 0
приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий
множитель, определяемый формулой
_______1_______.
11	“ 1Д24-В24-С2’ ’
знак нормирующего множителя берется противоположным знаку
свободного члена нормируемого уравнения.
147
956. Определить, какие из следующих уравнений
плоскостей являются нормальными:
1 \ 1	2	2 е л п\ 2	. I 1 о л
1) ух—у-z/—у z—5=0; 2)	у2 — 3 = 0;
3) ух—yz/+y s+5=0; 4) — ух+у г/—у г — 5 = 0;
5)4х-1г-3 = 0; 6)--^г/+-^г+1=0;
7)4»-#г-1=°; 8)4x-|y+3=o;
9) х- 1=0;	10) г/+ 2 = 0;
П) -z/-2 = 0;	12) г-5 = 0.
957. Привести каждое из следующих уравнений пло-
скостей к нормальному виду:
1) 2х—2//+ 2—18 =0;	2) ух - yt/ + yz + 3 = 0;
3)	4х-6г/-12г-11=0; 4)	- 4х - 4у +	2z + I =0;
5)	5у — 12г + 26	=0;	6)	Зх — 4г/— 1 =0;
7)	у + 2 = 0;	8)	-х + 5 = 0;
9)	-z + 3 = 0;	10)	22- 1=0.
958. Для каждой из следующих плоскостей вычис-
лить углы а, р и у, образуемые нормалью с осями
координат, и расстояние р от начала координат:
1) х + у /2 + 2-10 = 0; 2) X-Z/-2 /2+ 16 = 0;
3) х + 2 — 6 = 0;	4)// — г + 2 = 0;
5) х/3~+г/+10 = 0; 6) 2 —2 = 0; 7)2х+1=0;
8) 2у + I = 0;	9) х — 2г/ + 2г — 6 = 0;
10) 2х + Зг/— 6г + 4 = 0.
959.	Вычислить величину отклонения б и расстояние
d точки от плоскости в каждом из следующих случаев;
1) ЛМ-2; -4; 3),
2) М2(2; -1; -1),
3) М3(1; 2; -3),
4) Л1ДЗ; -6; 7),
5) Л45 (9; 2; -2),
2х — у + 2г + 3 = 0;
16х- 12г/ + 15г-4 = 0;
5х — Зу + г + 4 = 0;
4х — Зг — 1 = 0;
12г/ — 5г + 5 = 0.
148
960.	Вычислить расстояние d от точки Р(—1; 1; —2)
до плоскости, проходящей через три точки Mj(l; —1; 1),
М2(-2; 1; 3) и М3(4; -5; -2).
961.	Определить, лежат ли точка Q(2; —1; 1) и на-
чало координат по одну или по разные стороны отно-
сительно каждой из следующих плоскостей:
1) 5х — Зу + z — 18 = 0;
3) х 4- 5у 4- 12z — 1 = 0;
5) 2х 4- Зу ~ 6z 4- 2 = 0;
2) 2x4-7t/4-3z4-1=0;
4) 2х — у 4- г 4- 11 == 0;
6) Зх — 2у 4* 2г — 7 = 0.
962, Доказать, что плоскость Зх — Ay — 2z 4- 5 = О
пересекает отрезок, ограниченный точками Л1ДЗ; —2; 1)
и ЛМ-2; 5; 2).
963.	Доказать, что плоскость 5х — 2у4-2 — 1=0 не
пересекает отрезка, ограниченного точками Л11 (1; 4; —3)
и М2(2; 5; 0).
964.	В каждом из следующих случаев вычислить
расстояние между параллельными плоскостями:
1) х-2у-2г— 12 = 0,
х — 2у — 2г — 6 = 0;
3) 2х — у 4- 2г 4- 9 = 0,
4х — 2// 4- 4г — 21 = 0;
5) 30х-32г/4-24г — 75 = 0,
15х— 16y4-12z — 25 = 0;
2) 2х —-Зу4-6z—14 = 0>
4х—6у4~ 12z4“2L = 0;
4) 16х4-12у-15г4-50=0,
16х4-12у—15?4-25=0;
С) 6х—18у— 9г—28 = 0,
4х — 12у — 6z — 7 = 0.
965.	Две грани куба лежат на плоскостях 2х — 2у 4-
4- z — 1 = 0, 2х — 2у 4- г 4“ о = 0. Вычислить объем этого
куба.
966.	На оси Оу найти точку, отстоящую от пло-
скости х4-2у — 2г — 2=0 на расстоянии </ = 4.
967.	На оси Oz найти точку, равноудаленную от
точки Л1(1; —2; 0) и от плоскости Зх — 2у 4- 6г — 9 = 0.
968.	На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух
плоскостей: 12х — 16у 4- 15г 4- 1 = 0, 2х 4- 2у—г— 1 =0.
969.	Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонение которых от плоскости 4х — 4у — 2z 4- 3 = 0
равно 2.
970.	Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонение которых от плоскости 6х 4- Зу 4- 2z — 10 = 0
равно —3.
149
971.	Составить уравнения плоскостей, параллельных
плоскости 2х — 2у — z — 3 = 0 и отстоящих от нее на
расстоянии d = 5.
972.	В каждом из следующих случаев составить
уравнение геометрического места точек, равноудаленных
от двух параллельных плоскостей:
1) 4х — у — 2z — 3 = 0,	2) Зх + 2у — z + 3 = О,
4х — у — 2г — 5 -0; Зх + 2у —г—1=0;
3) 5х-3у + г + 3 = 0,
1 Ох - бу + 2г+ 7 = 0.
. 973. В каждом из следующих случаев составить
уравнения плоскостей, которые делят пополам двугран-
ные углы, образованные двумя пересекающимися пло-
скостями:
1) х — Зу + 2г — 5 = 0,	2) ох — 5у — 2г — 3 = 0,
Зх — 2у — z + 3 = 0; х + 7у — 2г + 1 = 0;
3) 2х - у + 5г + 3 = 0,
2х — 1 Оу + 4г — 2 = 0.
974. В каждом из следующих случаев определить,
лежат ли точка М (2; —1: 3) и начало координат в одном,
в смежных или вертикальных двугранных углах, обра-
зованных при пересечении двух плоскостей:
1) 2х — у + Зг — 5 = 0,	2) 2х + Зу — 5г — 15 = 0,
Зх + 2у — г + 3 = 0; 5х — у — Зг — 7 = 0;
3) х + 5у — г + 1 = 0,
2х+ 17у + г + 2 = 0.
975.	В каждом из следующих случаев определить,
лежат ли точки Л1.(2; —1; 1) и ЛГ(1; 2; —3) в одном,
в смежных или вертикальных двугранных углах, обра-
зованных при пересечении двух плоскостей:
1) Зх — у + 2г — 3 = 0,	2) 2х — у + 5г — I = 0,
х — 2у — г + 4 = 0; Зх — 2у + 0г — 1 = 0.
976.	Определить, лежит ли начало координат внутри
острого или тупого угла, образованного двумя пло-
скостями: х — 2у + Зг — 5 = 0, 2х — у — г + 3 = 0.
977.	Определить, лежит ли точка М (3; 2; —1) внутри
острого или тупого угла, образованного двумя плоско-
стями: 5х — у + z + 3 = 0, 4х — Зу + 2г + 5 = 0.
150
978, Составить уравнение плоскости, делящей попо-
лам тот двугранный угол между двумя плоскостями
2х — 14// 4- 6z — I == 0, З.г 4- 5// — 5z + 3 = 0, в котором
лежит начало координат.
979.	Составить уравнение плоскости, делящей попо-
лам тот двугранный угол между двумя плоскостями
2х — у 4~ 2г — 3 = 0, Зх4-— 6z — 1 =0, в котором
лежит точка М (1; 2; —3).
980.	Составить уравнение плоскости, которая делит
пополам острый двугранный угол, образованный двумя
плоскостями: 2х — Зу — 42 — 3 = 0, 4х — Зу — 22—3 = 0.
981.	Составить уравнение плоскости, которая делит
пополам тупой двугранный угол, образованный двумя
плоскостями: Зх — 4у — г + 5 = 0, 4х — Зу 4- г 4-5 = 0»
§ 41. Уравнения прямой
Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совмест-
ным заданием двух уравнений первой степени:
А[Х + В^у 4- Ci? 4-	«О,
.42x + B2y 4- C2z + D2 = 0
при условии, что коэффициенты BJt Сг первого из них не про»
порциональны коэффициентам А2, В2, С2 второго (в противном
случае эти уравнения будут определять параллельные или слив-
шиеся плоскости).
Пусть некоторая прямая а определена уравнениями (I) и а
и 0 — какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда
уравнение
a (4jx 4- Byj + Сгг 4- D,) -ф 0 (+ В2у 4- C2z + Р2) «= 0 (2)
определяет плоскость, проходящую через прямую а.
Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел а, 0)
можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.
Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же
прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) назы-
вается уравнением пучка плоскостей.
Если а 0, то, полагая ==Л, уравнение (2) можно привести
к виду
2^x4- В [У 4-	4- О, 4- X (.4?л 4- В2у 4* C2z 4- D2) =—0.	(3)
В таком виде уравнение пучка плоскостей более употреби-
тельно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно опреде-
лить все плоскости пучка, эа исключением той, которой соответ-
ствует а —0, т. е. за исключением плоскости А2х 4- В2у 4" C2z 4-
ф = 0.
151
982.	Составить уравнения прямых, образованных
пересечением плоскости 5х — 7#4-2z — 3 = 0 с коорди-
натными плоскостями.
983.	Составить уравнения прямой, образованной
пересечением плоскости Зх—z/— 7z4 9 = 0 с плоскостью,
проходящей через ось Ох и точки £(3; 2; —5).
984.	Найти точки пересечения прямой
| 2х 4 У — z — 3 = 0,
I х -Н 4 * " 1=0
с координатными плоскостями.
985.	Доказать, что прямая
2х — Зу 4- 5г — 6=0,
k х + 5у — lz + 10 = 0
пересекает ось Оу.
986.	Определить, при каком значении D прямая
2х -г Зу — z 4- D = 0,
Зх — 2у 4* 2z — 6 = 0
пересекает: I) ось Ох; 2) ось Оу, 3) ось Oz.
987.	Найти соотношения, которым должны удовле
творять коэффициенты уравнений прямой
А[Х 4“ .У 4 C^z 4	— 0,
. Л2х 4- В2у + C2z 4 О2 = 0
для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) оси Ох;
21 оси Оу, 3) оси Oz.
988.	Найти соотношения, которым должны удовле-
творять коэффициенты уравнений прямой
А^х 4- В{у 4- Ctz 4-^ = 0,
Арс 4* В2у 4 C2z 4 On =0
для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс;
2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью
абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала
с осью апликат.
989.	В пучке плоскостей 2х — Зу 4- 2 — 3 4 Л (х4-3^4*
4-2z4-l) = 0 найти плоскость, которая: 1) проходит
через точку Л4|(1; —2;3); 2) параллельна оси Ох; 3) парал-
лельна оси Оу; 4) параллельна оси Oz.
152
990.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через прямую пересечения плоскостей Зх — у 4-
4- 2г4-9 = 0, x-j-z—3=0: 1) и через точку (4; —2; —3);
2) параллельно оси Ох; 3) параллельно осн Оу\ 4) парал-
лельно оси Oz.
991.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей 2х — у 4- Зг—5=0,
х Ч- 2у — z 4- 2 = 0 параллельно вектору Z={2; — 1; —2}.
992.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей 5х — 2у—z—3 = 0,
х + 3# — 2г 4* 5 = 0 параллельно вектору I — {7; 9; 17}.
993.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей Зх—2у -р z--3 = 0,
х — 2г — 0 перпендикулярно плоскости х—2#4-z	5 = 0.
994.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую
5х — # — 2г — 3 = 0,
Зх — 2у — 5г + 2 = 0
перпендикулярно плоскости х4* 19# — 7г — 11 = 0.
995,	Составить уравнение плоскости, которая прохо-
дит через прямую пересечения плоскостей 2х + # —г4-
4-1=0, х + #4-2г4-1=0 параллельно отрезку, огра-
ниченному точками М] (2; 5; —3) и М2(3; —2; 2).
996.	Написать уравнение плоскости, принадлежащей
пучку плоскостей а (3х—4у 4- г+6) 4 р(2х—3#4-z+2) = 0
и равноудаленной от точек (3; —4; —G), М2(1; 2; 2).
997.	Определить, принадлежит ли плоскость 4х—8#+
4-17г —8 = 0 пучку плоскостей а(5х — # + 4г — Г) +
+ 6(2х + 2# — Зг + 2) =0.
998.	Определить, принадлежит ли плоскость 5х —
— 9# — 2г + 12 = 0 пучку плоскостей а(2х—3# 4- г—5) +
4~ Р (х — 2у — г — 7) = 0.
999.	Определить, при каких значениях I и m пло-
скость 5х + /# + 4z + m = 0 принадлежит пучку плоско-
стей а (Зх — 7у 4- г — 3) 4" Р (х — 9# — 2г 4- 5) = 0.
1000.	Написать уравнение плоскости, которая при-
надлежит пучку плоскостей а (х — 3# + 7г + 36) +
4- р(2х + # •— г — 15) = 0 и отстоит от начала координат
на расстоянии р = 3.
1001.	Написать уравнение плоскости, которая при-
надлежит пучку плоскостей а (1 Ох — 8# — 15г + 56) +
4- Р (4х 4- У -г Зг — Н = 0 и отстоит от точки С (3; —2; —3)
на расстоянии d = 7.
153
1002.	Найти уравнение плоскости, которая принад-
лежит пучку плоскостей а (4х 4- 13г/ — 2z — 60) 4“ 3 (4х 4-
4- Зг/ 4- Зг—30) = 0 и отсекает от координатного утла Оху
треугольник с площадью, равной 6 кв. ед.
1003.	Составить уравнения плоскостей, проектирую-
щих прямую
|2х — у 4- 2г — 3 = 0,
. х 4- 2.у — 2—1=0
на координатные плоскости.
1004.	Составить уравнения проекций прямой
| х 4- -У — Зг — 5 = 0,
I 2х — 74“ z 4- 2 = 0
на координатные плоскости.
1003. Составить уравнение плоскости, проектирую-
щей прямую
' Зх 4“ 2z/ — г — 1 = 0,
2х — 3# 4- 2г — 2 = 0
на плоскость х 4-2у 4-Зг — 5 = 0.
1006. Составить уравнения проекции прямой
| 5х — 4# — 2г — 5 = 0,
I х 4~ 2г — 2 = О
на плоскость 2х — у 4- г — 1 =0.
§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические
уравнения прямой. Параметрические
уравнения прямой
Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой
или параллельный ей, называется направляющим вектором этой
прямой.
Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем
обозначается буквой а, его координаты — буквами I, т, п\
а = Ц\ т\ п}.
Если известна одна топка 2ИС (хэ; у0; г0) прямой и направляю-
щий вектор а = {/; т\ п), то прямая может быть определена (двумя)
уравнениями вида;
х — хо у — 7о г — г0
------------ =1 	 Оз 	.
’--------------------------т-п
В таком виде уравнения прямой называются каноническими.
154
(1)
Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные
точки All (хв Уь zi) и М2 (х2; у2; ?2), имеют вид:
-г — *1 = fl /Л _ -1 -	(
х2 — *1	У2 ~ У1 22 — Z, *
Обозначим буквой f каждое из равных отношений в канони’
ческих уравнениях (1); мы получим:
X Х0 у	/ о	2 2q _
/;	т	П
Отсюда
I X = х0 + //,
! У = Ус + т/,
| z = zQ 4- nt.
(3)
Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
Л/о (хо? ус', 20) в направлении вектора а — (/; т; п}. В уравнениях (3)
/ рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, х, у,
2 —как функции от /; при изменении / величины х, у, z меняются
так, что точка М (х; у; z) движется по дайной прямой.
Если параметр t рассматривать как переменное время, а урав-
нения (3) как уравнения движения точки AI, то эти уравнения
будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М.
При / = 0 точка М совпадает с точкой Л1о. Скорость и точки А!
постоянна и определяется формулой
о — Vl2 + т.2 + и7.
1007.	Составить канонические уравнения прямой»
проходящей через точку Mj(2; 0; “3) параллельно:
1) вектору а = {2; —3; 5}; 2) прямой - 7 1 —
3) оси Ох; 4) оси Оу; 5) оси Oz.
1008.	Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки: 1) (1; —2; 1),
(3; 1; -1); 2) (3; -1; 0), (1; 0, -3); 3) (0; -2; 3),
(3; -2; 1); 4) (1; 2; -4), (-1: 2; -4).
1009.	Составить параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку Mt(l; —1; —3) параллельно:
1) вектору а=={2; —3; 4}; 2) прямой '-7— — —у- = —
3) прямой х = 3/—1, у — — 2/-рЗ, z = 5/4-2.
1010.	Составить параметрические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки: 1) (3; —1; 2),
(2; 1; 1); 2) (1; 1; -2), (3; -1; 0); 3) (0; 0; 1), (0; 1; -2),
1011.	Через точки М|(—6; 6; —5) и ЛТ2(12; —6; 1)
проведена прямая. Определить точки пересечения этой
Прямой с координатными плоскостями.
155
1012.	Даны вершины треугольника >4(3; 6; —7),
В (—5; 2; 3) и С(4; —7; —2), Составить параметрические
уравнения его медианы, проведенной из вершины С,
1013. Даны вершины треугольника /1(3; —1; — 1),
В(1; 2; —7) и С (—5; 14; —3). Составить канонические
уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вер*
шине С.
1014.	Даны вершины треугольника А (2; —1; —3),
В (5; 2; --7) и С (—7; 11; 6). Составить канонические
уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине Д.
1015.	Даны вершины треугольника А (1; —2; —4),
В(3; 1; —3) и С(5; 1; —7). Составить параметрические
уравнения его высоты, опущенной из вершины В на
противоположную сторону.
1016.	Дана прямая
2х — Зу 4- 2 — 3 = 0,
х 2у — г т 2 ~ 0.
Вычислить проекции на оси координат какого-нибудь
ее направляющего вектора а. Найти общее выражение
проекций на оси координат произвольного направляю-
щего вектора этой прямой.
1017.	Дана прямая
2х — у 4* Зг + I = 0,
Зх + у — z — 2 = 0.
Найти разложение по базису /, /, k какого-нибудь ее
направляющего вектора а. Выразить в общем виде раз-
ложение по базису i, j, k произвольного направляющего
вектора этой прямой.
1018.	Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку Afj (2; 3; —5) параллельно прямой
3х — у 4- 2z —  = 0,
х 4 Зу — 2z 4 3 = 0.
1019.	Составить канонические уравнения следующих
прямых:
1) ( х — 2у 4- 3? — 4 = 0, 2) |	5x4 # + *«0,
( Зх 4 2у — 5г — 4 = 0;	1,2х 4 Зг/ — 2z 4- 5 = 0;
О,
0.
156
1020.	Составить параметрические уравнения следую-
щих прямых:
I) 2х4-3у — 2 — 4 — 0, 2) f x-f-2^ —z —6 = 0,
Зх — 5// + 2з + 1 — 0; I, 2х — 1/4-24-1=0.
1021.	Доказать параллельность прямых:
। . х 4- 2_z I х 4“ £ 2 = 0,
’	з “ -2 “Т 11	|х	—у —5г	—8 = 0;
2)	х — 2t 4- 5, у = — t 4- 2,	z — t —	7	и
Г	х -f- Зу 4~ 2 4- 2 = 0,
I	х — у — Зг — 2 = 0;
3)	| х 4- У — 32 4- 1 — 0, х + 2у — 5z — I — 0,
lx —у 4- 2 4-3 = 0 11 х — 2х 4-3z — 9 = 0.
1022.	Доказать перпендикулярность прямых:
X __ 1J — I 2
] — —2 ~~~
и
Зх 4- £ — 52 4- 1 — 0,
2x4-3//-8г 4-3 = 0;
2) х=2г 4- 1, у = 3/- 2, г= -Ы + 1
и
2х 4- £ — 4г 4~ 2 = 0,
4х — у — 5z -f- 4 — 0;
Q ( х 4- У — Зг — 1 = О,
‘ 1 I 2х - у - 9z - 2 = О
2х 4- у + 2г 4- 5 = О,
2х — 2у — z 4-2 = 0.
1023.	Найти острый угол между прямыми:
х — 3_______ у + 2 _______ z х + 2 _______________ у — 3 ______ г 4~ 5
I —	~ I	*
1024.	Найти тупой угол между прямыми х = 3^ —2,
У = 0, г = — t 4- 3 и х = 2t — I, у = 0, z = t — 3.
1025.	Определить косинус угла между прямыми:
х — у — 4z — 5 — 0,
2х 4- у — 2z — 4 = 0;
j х — бу — 6z 4-2 =0,
1 2х 4- 2у 4- 9z — 1 = 0.
1026.	Доказать, что прямые, заданные параметри-
ческими уравнениями х = 2/ — 3, у = 3/ — 2, г = — 4^4-6
и х = 14- 5, £ = — 4/ — 1, 2 = ^ — 4, пересекаются.
157
1027.	Даны прямые
х + 2 _ У   ? — 1 х — 3   у ~ 1  ? —
2	—3	4 * I ~~ 4 = 2 ’
при каком значении I они пересекаются?
1028.	Доказать, что условие, при котором две прямые
х — Я] ___ у — А] __ ? — С; tт х_ — а2 __ у — Ь2 __ z — с2
li	т\	12	т2	П;
лежат в одной плоскости, может быть представлено
в следующем виде:
а2 — 01
Ь2 — Л, с2 — с1
ГМ 2 fl2
= 0.
1029.	Составить уравнения прямой, которая проходит
через точку МД—1; 2; —3) перпендикулярно к вектору
а = (6; —2; —3} и пересекает прямую
х — 1   у + 1	z ~ 3
3 = 2 ~ -5 ’
1030.	Составить уравнения прямой, которая проходит
через точку МД—4; —5: 3) и пересекает две прямые
х + I _ у + 3 _ г — 2 х — 2___ у 4- 1 _ z — 1
3 ~ -2 — —J ’	2	—	3	-5 ’
1031.	Составить параметрические уравнения общего
перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями
x = 3t~ 7, у = — 2/+ 4, 2 = 3/+ 4
х = /+ 1,	^ = 2/ —8,	2 = — / —12.
1032.	Даны уравнения движения точки Л-1 (х; у\ z}
х==3-4/, ^ = 5 + 3/, z = -2+12/.
Определить ее скорость о.
1033.	Даны уравнения движения точки М(х; у\ г)
х = 5 —2/, у = —3 + 2/, г = 5—/.
Определить расстояние dt которое пройдет эта точка
за промежуток времени от /j=0 до /2 = 7.
1034.	Составить уравнения движения точки М(х; у\ г),
которая, имея начальное положение М0(3; —1; —5),
158
движется прямолинейно и равномерно в направлении
вектора s = {—2; 6; 3} со скоростью о = 21.
1035.	Составить уравнения движения точки М (х; у; г),
которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла
расстояние от точки Л4, (—7; 12; 5) до точки М2 (9; —4; —3)
за промежуток времени от ^ = 0 до /2 = 4.
1036.	Точка М (х; у', г) движется прямолинейно и равно-
мерно из начального положения Л10(20; —18; —32) в на-
правлении, противоположном вектору $ = {3; —4; —12};
со скоростью и = 26. Составить уравнения движения
точки М и определить точку, с которой она совпадает
в момент времени t — 3.
1037.	Точки М(х; у\ г) и N (х; у; z) движутся прямо-
линейно и равномерно: первая из начального положения
Мо(—5; 4; —5) со скоростью и,и=14 в направлении
вектора $ = {3; —6; 2}, вторая из начального положения
Уо(—5; 16; —6) со скоростью uv=13 в направлении,
противоположном вектору г = {—4; 12; —3}. Составить
уравнения движения каждой из точек и, убедившись,
что их траектории пересекаются, найти:
1)	точку Р пересечения их траекторий;
2)	время, затраченное на движение точки М отЛ40до Р\
3)	время, затраченное на движение точки У от Уо до Р;
4)	длины отрезков Л10Р и NqP.
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению
плоскости и уравнениям прямой
1038.	Доказать, что прямая х = 3t — 2, у — — 4/4-1,
z = 4/ — 5 параллельна плоскости 4х — Зу — 6з — 5 = 0.
1039.	Доказать, что прямая
5х — Зу 4- 2г — 5 — 0,
. 2х — г/ — z — 1—0
лежит в плоскости 4х — Зу 4- 7z — 7 = 0.
1040.	Найти точку пересечения прямой и плоскости:
П х~" 1 — У + 1 — £.
4 I — -2 “ 6 ’
X 4- 3 у — 2 _ г 4- 1
J 3	“ -5 ’
q- х 4- 2 у — 1 г — 3
’ -2 “	3	2 ’
2х 4- Зу 4~ z — 1 = 0;
х — 2у 4- z — 15 = 0;
х 4- 2у — 2z 4- 6 — 0.
159
1041.	Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку М0(2; —4; —1) к середину
отрезка прямой
Зх 4- 4г/ 4- 5г — 26 = 0,
. 3,¥ — Зу — 2г — 5 = 0,
заключенного между плоскостями 5х 4- Зу — 4г 4" 11=0,
5х 4- Зу — 4г — 41 = 0.
1042.	Составить уравнения прямой, проходящей через
точку Л10(2; —3; —5) перпендикулярно R йлоскости
6х — 3// — 5г + 2 = 0.
1043.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Л40(1; —1: —1) перпендикулярно к прямой
х 4- 3 __ у — I __ 2 + 2
2	-3 “ “Г"‘ '
1044.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Af0(l; —2; 1) перпендикулярно к прямой
х — 2у + г — 3 = 0,
х 4- у — 2 4-2 = 0.
1045.	При каком значении тпрямая Т = ^—
и	h‘
У J- 3
параллельна плоскости х — Зг/ 4“ 6г 4- 7 = 0?
1046.	При каком значении С прямая
Зх — 2у 4- z 4~ 3 = 0,
4х — Зу 4- 4г 4-1 = 0
параллельна плоскости 2х — у 4- Сг — 2 = 0?
1047.	При каких значениях Ли D прямая х = 3 4-4^,
г/=1—4/, 2,= — 3 + / лежит в плоскости Дх + 2г/ —
-4г + П = 0?
1048.	При каких значениях А и В плоскость Дх4-
4- By + Зг — 5=0 перпендикулярна к прямой х = 3 + 2/,
у = 5 — Зг, г = — 2 — 2/?
£ км
1049.	При каких значениях I и С прямая --— =
4	_<
4- Cz + 1 = 0?
перпендикулярна к плоскости Зх — 2г/+
1050.	Найти проекцию точки Р(2; —1; 3) на прямую
x — 3t, y = 5t— 7, г = 21 4- 2.
160
1051.	Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 1; 6)
относительно прямой
х — у — 4г + 12 = 0,
. 2х + у — 2г 4-
3 = 0.
1052.	Найти точку Q, симметричную точке Р(2; —5; 7)
относительно прямой, проходящей через точки М1 (5; 4; 6)
и М2(—2; —17; —8).
1053.	Найти проекцию точки Р(5; 2; —1) на пло-
скость 2х — у 4- Зг 4~ 23 — 0.
1054.	Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; —4)
относительно плоскости Зх 4" У — 2z = 0.
1055.	На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма
расстояний которой до точек Л(—1; 2; 5) и В (11;—16; 10)
была бы наименьшей.
1056.	На плоскости Охх найти такую точку Р, раз-
ность расстояний которой до точек (3; 2; —5) и
М2(8; —4; —13) была бы наибольшей.
1057.	На плоскости 2х —3#4-3z—17 = 0 найти та-
кую точку Р, сумма расстояний которой до точек
Л1(3; —4; 7) и Р(—5: —14; 17) была бы наименьшей.
1058.	На плоскости 2х 4- 3t/ — 4z— 15=0 найти такую
точку Р, разность расстояний которой до точек
Л!, (5; 2; —7) и М2(7; —25; 10) была бы наибольшей.
1059.	Точка М(х; у\ z) движется прямолинейно и
равномерно из начального положения ЛГ0(15; —24; —16)
со скоростью v = 12 в направлении вектора s = {—2; 2; 1}.
Убедившись, что траектория точки М пересекает пло-
скость Зх 4~ 4г/4-7z — 17 = 0, найти:
1)	точку Р их пересечения;
2)	время, затраченное на движение точки Л1 от Мо
ДО Р:
3)	длину отрезка М^Р.
1060. Точка М (х; у; z) движется прямолинейно и
равномерно изначального положения М0(28; —30; —27)
со скоростью и =12,5 по перпендикуляру, опушенному
из точки Л10 на плоскость 15х— 16// — 122 4-26 = 0. Со-
ставить уравнения движения точки М. и определить:
1) точку Р пересечения ее траектории с этой пло-
скостью;
2) время, затраченное на движение точки М от Л!о
До Р:
• 3) длину отрезка М0Р.
6 Д. В. Клетеиик	1в1
1061» Точка Л/(г, у\ z) движется прямолинейно и ра-
вномерно из начального положения Л10 (11; —21; 20)
в направлении вектора s = {— 1; 2; —2} со скоро-
стью с* —12. Определить, за какое время она прой-
дет отрезок своей траектории, заключенный между
параллельными плоскостями: 2х + Зу + 5г — 41 = 0,
2х 4- Зу 4- 5z 4- 31 = 0.
1062. Вычислить расстояние d точки Р(1; —1; —2)
от прямой
х 4- 3 _ у 4- 2 _ z — 8
3 в 2	—2 *
1063, Вычислить расстояние d от точки Р(2; 3; — 1)
до следующих прямых:
n х— 5__ у _ ? + 25 .
V 3	~ 2	-2 ’
2) х = ^4- 1, y = t + 2, z = 4/+13;
( 2х — 2у + «4- 3 = 0,
3) | Зх - 2г/4-2z-Ь 17 = 0.
1064, Убедившись, что прямые
] 2х 4-2у — 2 — 10 = 0,	хН-7 _ у-5 _ г-9
I х — y — z — 22 = 0,	3—14
параллельны, вычислить расстояние d между ними.
1065. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Л1Х (1; 2; —3) параллельно прямым
X — I _ у + 1 _ г — 7 х + 5___ г/ — 2_ г + 3
2 — -3 ““	3 ’	3 “ -2 = -1 ’
1066» Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через точку М0(х0; yQ; г01 параллельно прямым
.у — о. __ у-- * ।	z_- < л а2 _ у—
тх п\ *	/2	тч «а *
может быть представлено в следующем виде;
X —х0	У — Уа	2 — 2а	
/1	т\	«1	= 0.
	т2	п2	
162
1067.	Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
щей через точки М1(*ь У\\ zj и M2(x2; у2\ z2) парал-
лельно прямой
х — а__у — Ь __ z — с
I т п *
может быть представлено в следующем виде:
X —X] У — Ух 2 Z\
Х2 — *1 у2~ Ух 22 — Zt
I т п
1068.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую х = у— — 3^4-2, z = 2t— 3 и
точку Л1;(2; —2; 1).
1069.	Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
щей через прямую x~xQ + lt, У = у0+т1, z = zQ + nt
и точку ЛМ*ь //i; Zj), может быть представлено в сле-
дующем виде:
х —Хх У — Ух
*i — Xq ух — у0
I т
Z — Z]
21 — Z0
П
1070.	Доказать, что прямые
х — 1 _у + 2___г-5
2 “ -з — 4 *
х = 3* + 7, 1/ = 2? + 2, z = -2?+l
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой
плоскости.
1071.	Доказать, что если две прямые
х — ал__у — by__ z — Ci х — а? _ у -- bj  г — с2
/1	mi	«j ’	/2	т2 . п2
пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они
лежат, может быть		представлено е	следующем виде:
	х —	У — Ьх 2 — Сх	
	Zi	«1	= 0.
		5 to to	л
1072. Составить уравнение плоскости, проходящей
через две параллельные прямые
х — 2	у 4-	1 _"z — 3 х—1	.7 —	2 z + 3
3 ~	2	-2	»	3	~ 2 " -2	’
G*
163
1073.	Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
шей через две параллельные прямые x = aj + //,
z = C[ + nt и x-a2-\-lt, y — b2-\-mt,
z = c2-l~nt> может быть представлено в следующем
виде:
х — at у — bi z — С!
ЯгQi &2— Ь[ ’С|
I т п
1074.	Найти проекцию точки С(3; —4; —2) на пло-
скость, проходящую через параллельные прямые
х — 5 у — 6__2 + 3 х — 2 у — 3 _ г + 3
—1У~ —	-	,	13	« J — ——.
1075.	Найти точку Q, симметричную точке Р(3;—4;
—6) относительно плоскости, проходящей через Mt (—6;
1; -5), М2(7; -2; -1) и М3(10; -7; 1).
1076.	Найти точку Q, симметричную точке Р(—3; 2; 5)
относительно плоскости, проходящей через прямые
х — 2у + 3? — 5 — 0,
х —	— 4z + 3 = 0;
Зх + У + Зг 4- 7 = 0,
5х — Зу 4“ 2г 4- 5 — 0.
1077.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую хз=3/4- h У = 2^4-3, г —— t — 2 парал-
лельно прямой
2х — у 4- z — 3 — 0,
х + 2// — z —5 —0.
1078.	Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
х — *1 у — г — г
через прямую —= — — параллельно пря-
мой х==х04-^> y — yQ-^rnt, z = zQ-\~nt, может быть
представлено в следующем виде:
X — Xj	У-У1	г — Zi	
1	т	п	= 0.
А	mi		
1079.	Составить уравнение плоскости, проходящей
х — 1 и 4- 2 z — 2
через прямую —перпендикулярно
к плоскости Зх 4" 2// — z — 5 — 0.
164
1080.	Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
щей через прямую x = x04-/t Z/ = Z/o + ^» z — z^^-rtt
перпендикулярно к плоскости Ах 4- By + Cz 4- D « 0,
может быть представлено в следующем виде:
х — Хо
I
Д
у-Уъ
т
В
z — z^
п
С
1081.	Составить канонические уравнения прямой,
которая проходит через точку Л1С(3; — 2; —4) парал«
лельно плоскости Зх — 2у — Зг — 7 = 0 и пересекает
х —2 у + 4 _ г — 1
прямую —5—= 7=2”**—2—*
1082.	Составить параметрические уравнения прямой,
которая проходит параллельно плоскостям Зх4"12у —
— Зг — 5 = 0, Зх — 4z/ 4- 9г 4" 7 = 0 и пересекает пря-
х 4- 5 у — 3 г 4 1 х —3	у+1 >г —2
мне - =	,	_2 =•—— —	•
1083.	Вычислить кратчайшее расстояние между
двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
.. X 4~ 7  у + 4  z 4- 3 . х - 21 у 4- 5   г — 2 t
"	2	4	—2 ’	6	—4	— 1 *
2) х = 2/ —4, у= — -/4-4, z = — 2t — 1;
х = 4/-5, г/= -3/4-5, г = -5/4-5;
пч X 4- 5_ у + 5_ ~ — 1 .
3	2	“* -2 ’
х = 6/4“9, у —— 2t, z = — t +
§ 44. Сфера
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая
центр С(а;р; у) и радиус г, определяется уравнением (х — а)24-
4-(у — Р)-4-(^ — у)2 “ ^2. Сфера радиуса г, центр которой нахо-
дится в начале координат, имеет уравнение х2 4- У2 + Z2 = г2.
1084. Составить уравнение сферы в каждом из сле-
дующих случаев:
1)	сфера имеет центр С (0; 0; 0) и радиус г = 9;
2)	сфера имеет центр С (5; —3; 7) и радиус г = 2;
3)	сфера проходит через начало координат и имеет
центр С (4; —4; —2);
4)	сфера проходит через точку А (2; —1; —3) и имеет
центр. С (3; —2; 1);
5)	точки Д(2; —3; 5) и В (4; 1; —3) являются кон-
цами одного из диаметров сферы;
165
6)	центром сферы является начало координат, ц
плоскость 16х — 15# — 12г + 75 = 0 является ка сате ль*
ной к сфере;
7)	сфера имеет центр С(3; —5; —2) и плоскость
2х — у — Зг4- 11 =0 является касательной к сфере;
8)	сфера проходит через три точки Л1ДЗ; 1; —3),
М2(—2; 4; 1) и М3(—5; 0; 0), а ее центр лежит на пло-
скости 2x4-#—•?4-3 = 0;
9)	сфера проходят через четыре точки:
М,(1; -2; -1), М2(—5; 10; -1),
Af3(4; 1; 11), МД—8;—2, 2).
1085.	Составить уравнение сферы радиуса г = 3,
касающейся плоскости х4~ 2# 4-2г 4-3 = 0 в точке
M,(l; 1; -3).
1086.	Вычислить радиус R сферы, которая касается
плоскостей Зх 4- 2# — 6г — 15 = 0, Зх 4* 2# — 6г 4- 55 = 0.
1087.	Сфера, центр которой лежит на прямой
2х + 4# — z — 7 = 0,
. 4х 4- 5# 4- 2 — 14 = 0,
касается плоскостей х -{- 2# — 2г — 2 = 0, х 4* 2# —
— 2г 4- 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.
1088.	Составить уравнение сферы, касающейся двух
параллельных плоскостей 6х — 3# — 2z — 35 — 0, 6х —
— 3# — 2z 4- 63 = 0, причем одной из них в точке
МД5; -1; -1).
1089.	Составить уравнение сферы с центром С (2, 3;
— 1), которая отсекает от прямой
1 5х — 4# 4- Зг 4 20 = 0,
[Зх —4#4- г —’8 = 0
хорду, имеющую длину, равную 16.
1090.	Определить координаты центра С и радиус г
сферы, заданной одним из следующих уравнений:
1)	(х-3)2 + (//4-2)24-(2-5)2=16;
2)	(x4-1)2+(Z/~3)24-22 = 9;
3)	х2 4- #2 4- г2 — 4х - 2# 4- 2г - 19 = 0;
4)	х2 4- #2 4- г2 — 6г = 0;
5)	х2 4- У2 4- z2 4- 20# = 0.
1091, Составить параметрические уравнения диаметра
сферы х24 #2d"Z2 + 2x —6#4-2—11 =0, перпендику-
лярного к плоскости 5х — # 4- 2г — 17 = 0.
166
1092. Составить канонические уравнения диаметра
гферы х2 + у2 + %2 “ х +	« “* 13 = 0, параллельного
прямой x — 2t—1, // = —3/4-5, z==s4/+ ?•
1093. Установить, как расположена точка Л (2; — 1; 3)
относительно каждой из следующих сфер — внутри, вне
или на поверхности:
1)	(х-3)г + (у + 1)2 + (г-1)2 = 4;
2)	(x+14)2 + (»-ll)2 + (z + 12)2 = 625j
3)	(x-6)2 + (.v-1)2 + (z-2)2 = 25;
4)	х24-у2 + z2-4х+ бу-8z + 22 = 0;
5)	x2 + y2+z2-x + 3y-2z —3 = 0.
1094.	Вычислить кратчайшее расстояние от точки .4
до данной сферы в следующих случаях:
а)	Д(—2; 6; -3), х2 + у2 4- = 4;
б)	Л (9; -4; -3),
х2 + У2 + г2 + 14г - 16// - 24г + 241 = 0;
в)	4(1; -1; 3), х24- у2 + z2 - бх + 4// - 102 - 62 =0.
1095.	Определить, как расположена плоскость отно-
сительно сферы — пересекает ли, касается или прохо-
дит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими
уравнениями:
1)	2 = 3,	х2+//2 + 22 —6х + 2г/—10г + 22 = 0;
2)	у = 1, х2 + У2 + z2 + 4х — 2у — 6z + 14 = 0;
3)	х = 5, х2 4- у2 + z2 — 2х 4- 4у — 2z — 4 = 0.
1096, Определить, как расположена прямая относи-
тельно сферы — пересекает ли, касается или проходит
вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравне-
ниями:
1) х = — 2/4-2, // = 3/ — у, z*=t — 2,
х2 + У2 4- z2 + х - 4т/ — 3z + ~ = 0;
п\ х—5 и__г + 25
'	3	2 *” -2 ’
X2 + у2 + г2 - 4х - Gy -ь 2z - 67 = 0;
. 2х — //4-22—12 = 0,
I 2х — 4у — z 4* 6 = 0,
х2 + у2 4- z2 — 2х 4- 2т/ 4- 4z — 43 = 0
167
.1097. На сфере (х- 1)24-(у 4-2)24-(г-3)2^25
найти точку Mlt ближайшую к плоскости Зх—4аН-19=0,
и вычислить расстояние d от точки Mt до этой плоскости.
1098.	Определить центр С и радиус R окружности
(х - З)2 + {у + 2)2 + (2 - I)2 = 100,
/ 2х — 2у — г + 9 = 0.
1099.	Точки .4(3; —2; 5) и В(—1; 6; —3) являются
концами диаметра окружности, проходящей через точку
С(1; —4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100.	Точка С(1; —1; —2) является центром,окруж-
ности, отсекающей от прямой
2х — у -|- 2с — 12 — 0,
4х — 7р — г 4~ 6 = 0
хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения
этой окружности.
1101.	Составить уравнения окружности, проходящей
через три точки (3; — 1; —2), М2( 1; 1; —2) и М3(—1; 3; 0).
1102.	Даны две сферы
(х -	+ (у - rtj)2 + (z — Р1) = Z?7,
(х — m2f + (У ~ п2)2 4- (г — р2)" =
которые пересекаются по окружности, лежащей в неко-
торой плоскости т. Доказать, что любая сфера, про-
ходящая через окружность пересечения данных сфер,
а также плоскость т могут быть представлены урав-
нением вида
а|(х — /И])' 4- {у — «if 4- (г — pif — /?i] 4-
4- MU — «Ы2 4- (у —	4- (z — p2f — Rz] = 0
при надлежащем выборе чисел а и (3.
1103.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через линию пересечения двух сфер:
2х2 4- 2у- 4- 2z- 4- Зх - 2у 4- z - 5 = 0,
х2 + Z/2 + 22 — х 4- Зг/ — 2г 4- 1=0.
1104.	Составить уравнение сферы, проходящей через
начало координат и окружность
*2 4- F 4- z2 == 25,
2х — Зу 4-	— 5 — 0.
163
1105.	Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность
х2 + у2 + z- - 2х + Зу - 6? - 5 = 0,
5z -Ь 2у — z — 3 — 0
и точку А (2; — 1; 1).
1106.	Составить уравнение сферы, проходящей через
две окружности:
х2 4- г2 = 25
£/ = 2,
х2 4-г2 — 16,
У “ з.
1107.	Составить уравнение касательной плоскости
к сфере х2 + у2 4- z2 — 49 в точке МД6; —3; —2).
1108.	Доказать, что плоскость 2х — бу 4- Зг — 49 — 0
касается сферы х- 4- У' 4- г2 = 49. Вычислить координаты
точки касания.
1109.	При каких значениях а плоскость х 4- у 4- z = а
касается сферы х2 4“ У2 + — 12.
1110.	Составить уравнение касательной плоскости
к сфере (х—3)24-(^—1)24-(^4-2)2=24 в точке Л1, (— 1; 3; 0).
1111.	Точка Л11 (х/, t/г, Zj) лежит на сфере х24-//24-22=г2.
Составить уравнение касательной плоскости к этой
сфере в точке МР
1112.	Вывести условие, при котором плоскость Лх4-
4-Bt/ 4- Cz 4~ Т) == 0 касается сферы х2 4- у2 4- г2 = /?2.
1113.	Точка (хь y}\ zt) лежит на сфере (х — а)2 +
4- (у — Р)2 4- (z ~ у)2 = г2. Составить уравнение касатель*
ной плоскости к этой сфере в точке Alt.
1114.	Через точки пересечения прямой х=3/ —5,
у = 5t — Ц, я—— 4?4-9 и сферы (х 4-2)2 4-(//— I)2 4-
4-(z 4- 5)2 = 49 проведены касательные плоскости к этой
сфере. Составить их уравнения.
1115.	Составить уравнения плоскостей/касательных
к сфере х2 4- У2 4- z2 — 9 и параллельных плоскости х4“
4-2y — 2z+ 15 = 0.
- 1116. Составить уравнения плоскостей, касательных
к сфере (х — З)2 4“ (I/ + 2)2 4“ (г — 1)? = 25 и параллельных
плоскости 4х 4- Зг — 17 = 0.
1117, Составить уравнения плоскостей, касательных
к сфере ха4-*/2+-г2“10х4"2г/4~26г--113=0 и параллель*
иых ппяммм х + 5 w“l 2 +13 х + 7 -v+l г“8
ных прямым —=—--------------~ .	—— —Г~—~•
169
1118.	Доказать, что через прямую
8х — 11г/ 4- 8? — 30 — О,
х — г/ — 2г = О
можно провести две плоскости, касательные к сфере
х2 4“ у2 4“ z2 + 2х— 6г/ + 4з — 15 = 0, и составить их
уравнения.
х 4- R
1119.	Доказать, что через прямую ——=г/4'3 = г+1
Л»
нельзя провести плоскость, касательную к сфере х?4’$24"
4-z2 — 4х 4" 2г/ — 4z 4- 4 = 0.
1120.	Доказать, что через прямую х = 4^4-4, г/ =
«3/4-1, z = /4-l можно провести только одну пло-
скость, касательную к сфере х2 4- У2 4- z2 — 2х 4- 6г/ 4-
4- 2г 4- 8 = 0, и составить ее уравнение.
§ 45.	Уравнения плоскости, прямой и сферы
в векторной символике
В дальнейшем символ М (г) означает, что г есть радиус-вектор
точки М.
1121.	Составить уравнение плоскости а, которая
проходит через точку Л10(г0) и имеет нормальный вектор п.
Решение *). Пусть М (г) — произвольная точка. Она лежит
в плоскости а в том и только в том случае, когда вектор Л1иЛ1
перпендикулярен к я. Признаком перпендикулярности векторов
является равенство нулю их скалярного произведения. Таким обра-
вом, А1йМ ± п в том и только в том случае, когда
—	Л!оЛ4*п₽®О,	(1)
Выразим вектор МйМ через радиусы-векторы его конца и начала:
Л1СЛ! = г — г0.
Отсюда и из (1) находим:
(г - г0) я « 0.	(2)
Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удо-
влетворяет радиус-вектор г точки Л1 в том и только в том случае,
когда М лежит на плоскости а [г называется текущим радиусом-
вектором уравнения (2)].
1122.	Доказать, что уравнение гп 4-^ = 0 определяет
плоскость, перпендикулярную к вектору п. Написать
*) Задачи 1121 и 1129 существенны для правильного понимания
задач этого параграфа. Их решения приводятся в тексте.
170
\равнение этой плоскости в координатах при условии,
что п — {А, В, С}.
1123.	Даны единичный вектор п и число р > 0. До-
казать, что уравнение. гп° — р = 0 определяет плоскость,
перпендикулярную к вектору лп, и что р есть расстояние
от"начала координат до плоскости. Написать уравнение
этой плоскости в координатах при условии, что век-
тон л° образует с координатными осями углы а, Р и у.
1124.	Вычислить расстояние d от точки (rj до пло-
скости га°—-р = 0. Выразить расстояние d также в ко-
ординатах при условии, что ri = {xi; ус zj, п°=*
₽={cosa; cosf}; cosy}.
1125.	Даны две точки (гг) и М2(г2). Составить
уравнение плоскости, которая проходит через точку
перпендикулярно к вектору М]М2. Написать уравнение
этой плоскости также в координатах при условии, что
г]=={х1; ус zi}» Г2в{х2;
1126.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точку A'MrJ параллельно векторам aL и а2.
Написать уравнение этой плоскости также в координа-
тах при условии, что Го = {хо‘, УС, 20}, ai={/i; mp, nJ,
О2 — nlo*, •
1127.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки Mjrj, М2(г2) и М3(г3). Написать урав-
нение этой плоскости также в координатах при условии,
что ri=={xi; ус zj, r2 = fe Уг, г2}, г3 = {хэ; ус, z3}.
1128.	Составить уравнение плоскости, которая про-
ходит через точку Л)о(г0) перпендикулярно к плоскостям:
rrii 4- Л, — 0, гл2-Ь Дг0* Написать уравнение этой
плоскости также в координатах при условии, что г0 ==
Уо', zj,	^11» п2~№2; В2, С2}.
1129.	Доказать, что уравнение |(г-г0)й]-9 опре-
деляет прямую, которая проходит через точку М0(г0)
параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удо-
влетворяет радиус-вектор г точки А'! (г) в том и только
в том случае, когда М лежит на указанной прямой.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку М (г).
Пусть г удовлетвор негаданному уравнению; во правилу вычитания
векторов г —r0=M0Af; так как [(г — г0) о] =» 0, то [.У1сЛ1а]=0;
следовательно, вектор М0Л1 коллинеарен вектору а. Значит, точка М.
действительно лежит на прямой, которая проходит через Мо в на-
правлении вектора а. Обратно, пусть М лежит на этой прямой.
Тогда М0Л1 коллинеарен а Следовательно, [Л40Ма] — 0; но /ИбЛ1==
^г—г0; отсюда |(r —ro)aJ=O. Итак, заданному уравнению
171
удовлетворяет радиус-вектор г точки Л! в том и только в том слу-
чае, когда -М лежит на указанной прямой (г называется текущим
радиус-вектором уравнения).
ИЗО. Доказать, что уравнение [м] = /п определяет
прямую, параллельную вектору а.
1131.	Доказать, что параметрическое уравнение
=r0 4* at, где t — переменный пара метр, определяет пря-
мую, которая проходит через точку M0(r0) (т. е. при
изменении t точка /И (г) движется по указанной прямой).
Написать в координатах канонические уравнения этой
прямой при условии, что г0 = {.г0; у0; 2П}, а = {/; т\ я}.
1132.	Прямая проходит через две точки: A'h (rt) и Af2 (г2\
Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах
1129, ИЗО, 1131.
1133.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Mj (rj перпендикулярно к прямой г = r0 — at.
Написать уравнение этой плоскости также в координатах
при условии, что rjssfjq; ух\ zj, а = {Z; т; п}.
1134.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Л40(г0) параллельно прямым [rai]==mi,
[ra2] ss т2-	«
1135.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Л10(г0) перпендикулярно к плоскостям
гп{ + £>1 = 0, гп2 4- D2 = 0.
1136.	Прямая проходит через точку М0(г0) перпен-
дикулярно к плоскости гп4-£) = 0. Составить ее урав-
нение в параметрическом виде. Написать каноническое
уравнение этой прямой в координатах при условии, что
Л)=={*о; zJ. л = {Д; В; С}.
1137.	Прямая проходит через точку Л10(г()) парал-
лельно плоскостям гщ 4- Dx ~ 0, г«2 + />2=* 0* Составить
се уравнение в параметрическом виде. Написать кано-
ническое уравнение этой прямой в координатах при
условии, что г0={х0;	z0}, л;«{Ав В{\ CJ, п2«{Д2; /?2; С2).
1138.	Вывести условие, при котором прямая г —
«г0-|-д/ лежит на плоскости гп + D = 0. Написать это
условие также в координатах при условии, что г0=*
(.vp; уй; а — {/, tn, ft}, п — {Д, В, С}.
1139.	Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую г = rn4* arf параллельно прямой [пх2]==/п.
1140.	Вывести условие, при котором две прямые
и r==r2 + a2f лежат в одной плоскости.
1141.	Найти радиус-вектор точки пересечения прямой
г «в г0 4- at и плоскости гп 4- В = 0. Вычислить также
172
координаты х, у, z точки пересечения при условии, что
^Q = {Xfii Wpi z0}, flsae {/, mt ri}( n — {Д, В, C}.
1142.	Найти радиус-вектор проекции Mj (rj на пло-
скость rn-f-D==0. Вычислить также координаты х, у, z
этой проекции при условии, что r^fxf, ух\zj, л={Л; В; С}.
1143.	Найти радиус-вектор проекции точки М] (rt) на
прямую г = r0 + et Вычислить также координаты х, у, х
этой'проекции при условии, что r1 = {x1; уу, zj, г0«
«={хо‘» й = {;: т'> «}•
1144.	Вычислить расстояние d точки МДГ]) от пря-
мой r~rQ + at. Выразить расстояние d также в ко-
ординатах при условии, что Г1 =={хь yr, zj, r0={xn; т/0; z0),
а = {1', т\ и}.
1145.	Вычислить кратчайшее расстояние d между
двумя скрещивающимися прямыми: r=“Fj4-ai/ иг —
«г24-а2/. Выразить расстояние d также в координатах
при условии, что
гг ={л:]; Уй zj, г2=={х2; у2, г2},
а, тс, nJ, а2^{12', т2; л2}.
1146.	Доказать, что уравнение (г —г0)2 = Р? опреде-
ляет сферу с центром С(г0) и радиусом, равным /?
(т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-
вектор г точки М в том и только в том случае, когда М
лежит на указанной сфере).
1147.	Найти радиус-векторы точек пересечения прямой
г —at и сферы r2 = R-. Вычислить также координаты
точек пересечения при условии, что а = {/; т; п}.
1148.	Найти радиусы-векторы точек пересечения пря-
мой г = г0 -|- at и сферы (г — г0)2 = Я2- Вычислить также
координаты точек пересечения при условии, что гс==
= {Хо; у0; z0}, a = {Z; т; л}.
1149.	Точка Mi (rt) лежит на сфере (г ——Р'.
Составить уравнение касательной плоскости к этой
сфере в точке М(.
1150.	Составить уравнение сферы, которая имеет
центр С(г{) и касается плоскости rn-hD = 0. Написать
уравнение этой сферы также в координатах при усло-
вии, что ri={xf, у с, zj, л={Д; В; С}.
1151.	Составить уравнения плоскостей, касательных
к сфере	и параллельных плоскости rn-f-D —0.
Написать уравнения этих плоскостей также в коорди-
натах при условии, что /г = {Л; В, С}.
173
1152.	Через точки пересечения прямой + и
сферы (г — Го)2 == Я2 проведены касательные плоскости
к этой сфере. Составить их уравнения. Написать урав-
нения этих плоскостей также в координатах при усло-
вии, что га*={х0; г/0; z0), а = {1\ т; л}.
§ 46. Поверхности второго порядка
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой си-
стеме декартовых прямоугольных координат определяется уравне-
нием
х2 1 у2 । г"
Z>2 7Г -
(О
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Величины л, Ь, с суть полуоси эллипсоида (рис. 47). Если все они
различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-
нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью
вращения. Если, например, а » Ь, то осью вращения будет Ог. При
а — Ь < с эллипсоид вращения называется вытянутым, при а—г—
сжатым. В случае, когда a — b = ct эллипсоид представляет собой
сферу.
Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой
урав-
системе декартовых прямоугольных координат определяются
нениями:
х2 . У2 г2 ,
а2 т с2 - 1.
(2)
х2 J. у2
а2 6г
(3)
Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется одно-
полостным (рис. 48); гиперболоид, определяемый уравнением (3), —
двухполостным (рис. 49); уравнения (2) и (3) называются канониче-
скими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, btc
174
называются полуосями гиперболоида. В случае одпополостного ги-
перболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и Ь}
показаны на рис. 48. В случае двухполостного гиперболоида, задан-
ного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 49.
Гиперболоиды, определяемые уравне-	• _
Рис. 49.
Рис. 48.
Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой
системе декартовых прямоугольных координат определяются урав-
нениями:
(4)
£
Р
£1=9-
7
(5)
где р и q — положительные числа, называемые параметрами пара-
болоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется
эллиптическим (рис. 50); параболоид, определяемый уравнением (5),—
гиперболическим (рис. 51), Уравнения (4) и (5) называют канониче-
скими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда
P = Q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверх-
ностью вращения (вокруг Ог).
Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое назы-
вается равномерным сжатием (или равномерным растяжением).
Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой а. За-
дадим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть Л1~
175
произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости а. Л10--
основание перпендикуляра, опущенного на плоскость а из точки М
Переместим точку М по прямой ЛШ0 в новое положение М' так,
чтобы имело место равенство
MQM' = q -М0М
и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от
плоскости а, где она была первоначально (рис. 52). Точно так же
мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на пло-
скости а; точки, которые расположены на плоскости а, оставим на
своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключе-
нием тех, что лежат на плоскости а, переместятся; при этом рас-
стояние каждой точки от плоскости а изменится в некоторое опре-
деленное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас пе-
ремещение точек пространства
называется его равномерным сжа-
тием к плоскости а; число q носит
название коэффициента сжатия.
Пусть дана некоторая поверх-
ность F; при равномерном сжатии
пространства точки, которые ее со-
ставляют, переместятся и в но-
вых положениях составят поверх-
ность F'. Будем говорить, что
поверхность F' получена из F
в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что
многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического
параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия
из поверхностей вращения.
Пример. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид
х2 , у2 г2
02 + Ь2 + С2
может быть получен из сферы
л2 +	= с2
176
в результате двух последовательных равномерных сжатий прост-
ранства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициен-
том сжатия	и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия
b
^2 а *
Доказательство. Пусть производится равномерное сжатие
пространства к плоскости Оху с коэффициентом qx ™ и пусть
М' (х'; у'; г')—точка, в которую переходит при этом точка М (х; у; 2).
Выразим координаты х', у', г' точки М' через координаты х, у, z
точки М. .Так как прямая ММ' перпендикулярна к плоскости Оху,
т0 х х, yf е=у- С другой стороны, так как расстояние от точки М'
до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости,
С	с
помноженному на число <h=~> то / = —г.
Таким образом, мы получаем искомые выражения:
х = х, У —У,	— ~z,	(6)
или
х = х'. У —у', z = ~z\	(7)
Предположим, что М (х; у, z)~произвольная точка сферы
х2 + у2 + г2 = а2.
Заменим здесь х, у, z их выражениями (7); мы получим:
х,г + /? + -^-/2 = а2,
Следовательно, точка М' (х'; у'", /) лежит на эллипсоиде вращения.
Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к пло-
скости Oxz по формулам:
х' = х", у' =	у", 2Г = 2"\
тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение кото-
рого дано в условии задачи.
Отметим еще, что однополостиый гиперболоид и гиперболиче-
ский параболоид суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из
прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими
указанных поверхностей.
Однополостиый гиперболоид
J77
имеет две системы прямолинейных образующих, которые опреде-
ляются уравнениями:
где аир — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Ги-
перболический параболоид
также имеет две системы прямолинейных образующих, которые
определяются уравнениями:
	«(’Л - \Vp V q 1
Я / X	= „ Vp Vq !	0 1 x , и \ hUzP 1
Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность,
которая описывается движущейся прямой (образующей) при усло-
вии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересе-
кает некоторую определенную линию L. Точка S называется вер-
шиной конуса; линия L — направляющей.
Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется по-
верхность, которая описывается движущейся прямой (образующей)
при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пере-
секает некоторую определенную линию L (направляющую).
1153.	Установить, что плоскость х — 2 = 0 пересекает
х2 » У2 i z2 i	«
эллипсоид ^ + ^2 +т“’* по ЭЛЛППСУ» наити его по-
луоси и вершины.
1154.	Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает
и2 2?
однополостный гиперболоид	4- -у = 1 по гипер-
боле; найти ее полуоси и вершины.
1155.	Установить, что плоскость у 4- 6 = 0 пересекает
гиперболический параболоид у —y«=6z по параболе;
найти ее параметр и вершину.
1156.	Найти уравнения проекций на координатные
плоскости сечения эллиптического параболоида у2 4“ z2=x
плоскостью х 4- 2/у — z = О
1157.	Установить, какая линия является сечением
2^
эллипсоида -- 4- — 4- ^- = 1 плоскостью 2х — Зу 4" 4г—
— 11=0, и найти ее центр.
178
1158.	Установить, какая линия является сечением
гиперболического параболоида -------~~У плоскостью
Зх — Зг/ 4- 4г 4- 2 = 0, и найти ее центр.
1159.	Установить, какие линии определяются сле-
дующими уравнениями:
1)
*2 4-11 — 9?
~ + 6	.
Зх — у + 6г — 14 = 0;
х1 .	____г2  1
4 "1" 9 3G ’
9х — 6 г/ 4“ 2г — 28 = 0,
и найти центр каждой из них.
1160. Установить, при каких
х4-
2)
- - -	= 2г
4
3)
эначениях т плоскость
1=0 пересекает двухполостный гиперболоид
г2=—1 а) по эллипсу, б) по гиперболе.
1161. Установить, при каких значениях т плоскость
х4-т?/ —2 = 0 пересекает эллиптический параболоид
Г?	<,?
-у 4-у =!/ а) по эллипсу, б) по параболе.
1162,	Доказать, что эллиптический параболоид
у 2	^2
~-4-—==2^ имеет одну общую точку с плоскостью
2х — 2у — z — 10 = 0, и найти ее координаты.
1163.	Доказать, что двухполостный гиперболоид
у-4-у	’2о’==-‘ имеет одну общую точку с пло-
скостью Бх 4-2г 4-5 = 0, и найти ее координаты.
«2 р2 ^.2
1164,	Доказать, что эллипсоид ур 4-	4- тг = 1
имеет одну общую точку с плоскостью 4х—Зг/4" 12г —54=0,
и найти ее координаты.
1165,	Определить, при каком значении
х — 2у — 2г 4- in = 0 касается эллипсоида
, z2
т плоскость
) перпендику-
1; —2} и касающейся эллип-
1 9 ““
1166,	Составить уравнение плоскости,
лярной к вектору п = {2; —4.	“
тического параболоида	= 2г.
1167,	Провести касательные плоскости к эллипсоиду
4х2 4-16#2 4-&г2 = 1 параллельно плоскости х — 2у 4-
179
4-2г 4- 17 = 0; вычислить расстояние между найденными
плоскостями.
1168.	Коэффициент равномерного сжатия простран-
ства к плоскости O.yz равен —. Составить уравнение по-
верхности, в которую при таком сжатии преобразуется
сфера х2 + У2 + z2 *= 25.
1169.	Составить уравнение поверхности, в которую
преобразуется эллипсоид	1 при трех по-
следовательных равномерных сжатиях пространства
к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия
к плоскости Оху равен 4» к плоскости Oxz равен
i	о
и к плоскости Оуг равен -у.
1170.	Определить коэффициенты q} и двух после-
довательных равномерных сжатий пространства к коор-
динатным плоскостям Оху, Oxz, которые преобразуют
сферу х2 4- у2 4- z2 = 25 в 'эллипсоид 4у +	+ ^ = 1.
1171.	Составить уравнение поверхности, образовач-
у2 । %2	, л
ной вращением эллипса	4—7SS=B 1» х = 0 вокруг
и С
оси Оу.
Решение*), Пусть Л/ (.г; у, z] — произвольная точка про-
странства, С — основание перпендикуляра, опущенного из точки М
Рис. 53.
на ось Оу (рис. 53). Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу
точка М может быть.переведена в плоскость Оу?-, в^этом располо-
жении обозначим ее Л/ (0; У; Z). Так как СМ — СМ и СМ = Vx'2 4~ 22,
*) Задача 1171 решена здесь как типовая.
180
C.V = I Z ], TO
|Z|-»/r2+?2.
(1)
Кроме того, очевидно, что
Г = У-	(2)
Точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том
и только в том случае, когда N лежит на данном эллипсе, т. е.
когда	г , z>
6’ + с'-
(3)
принимая во внимание равенства (1) и (2), отсюда получаем урав-
нение для координат точки Л1:
У? , х' -*-• т*
Л2 "г с2
(4)
Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том и только
в том случае, когда точка Л1 лежит на рассматриваемой поверхно-
сти вращения. Следовательно, уравнение (4) и есть искомое урав-
нение этой поверхности.
1172,	Составить уравнение поверхности, образован-
ной вращением эллипса	z = 0 вокруг
оси Ох.
1173.	Составить уравнение поверхности, образован-
ной вращением гиперболы —у — - — =• 1, ?/-0 вокруг
L4	С
оси Oz.
1174.	Доказать, что трехосный эллипсоид, опреде-
у 2	у/2	^2
ляемый уравнением	4" — + Лт = 1, может быть по-
лучен в результате вращения эллипса —-И ”== 1, г=0
вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия
пространства к плоскости Оху.
1175.	Доказать, что однополостный гиперболоид,
определяемый уравнением ~тт^-----------?	1, может
Ct и С
быть получен в результате вращения гиперболы
—г. -г 1 f у ж о Е.округ оси Oz и последующего равно-
мерного сжатия пространства к плоскости Охг.
1176.	Доказать, что двухполостный гиперболоид,
tfi 2^	<
определяемый уравнением	— т- = — 1, может
быть получен в результате вращения гиперболы
—-----т-=1, у =₽ 0 вокруг оси Oz и последующего
равномерного сжатия пространства к плоскости Охг.
181
1177.	Доказать, что эллиптический параболоид, опрс-
у 2	ц 2
деляемый уравнением —— 2z, может быть полу-
чен в результате вращения параболы x2 = 2pz, y — Q
вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия про-
странства к плоскости Oxz.
1178.	Составить уравнение поверхности, образован-
ной движением параболы, при условии, что эта пара-
бола все время остается в плоскости, перпендикулярной
к оси Оу, причем ось параболы не меняет своего напра-
вления, а вершина скользит подругой параболе, заданной
уравнениями у2 — — 2qz, х = 0. Подвижная парабола
в одном из своих положений дана уравнениями х2 = 2pz,
г/ = 0.
1179.	Доказать, что уравнение z — xy определяет
гиперболический параболоид.	__
1180.	Найти точки пересечения поверхности и прямой:
1181.	Доказать, что плоскость 2х — 12// — z + 16 = О
пересекает гиперболический параболоид х2 — 4y2 = 2z
по прямолинейным образующим. Составить уравнения
этих прямолинейных образующих.
1182.	Доказать, что плоскость 4х — 5// — 1 Oz — 20 = О
пересекает однополостный гиперболоид	= I
по прямолинейным образующим. Составить уравнения
этих прямолинейных образующих.
1183.	Убедившись, что точка М(1; 3; —1) лежит на
гиперболическом параболоиде 4х2 — z~ = y, составить
уравнения его прямолинейных образующих, проходящих
ч?рез М.
1184.	Составить уравнения прямолинейных образую-
щих однополостного гиперболоида + -----------jy= 1,
параллельных плоскости бх -f- 4у + Зг — 17 = 0.
182
1185.	Убедившись, что точка А (—2; 0; I) лежит па
гиперболическом параболоиде —--q—определить
сстрый угол, образованный его прямолинейными обра-
зующими, проходящими через Л.
' Ц86. Составить уравнение конуса, вершина которого
находится В начале координат, а направляющая дана
j равнениями:
2 = с;	y = t>;
1187.	Доказать, что уравнение 22 = ху определяет
конус с вершиной в начале координат.
1188.	Составить уравнение конуса с вершиной в на-
чале координат, направляющая которого дана уравне-
ниями х- — 2z -f- 1 — 0, у — z + 1 = 0.
1189.	Составить уравнение конуса с вершиной в точке
(0; 0; с), направляющая которого дана уравнениями
*2 и- у2 — 1 з — 0	1
1190.	Составить уравнение конуса, вершина которого
находится в точке (3; -1; —2), а направляющая дана
уравнениями х2 4- у2 — z2 — 1, .г —у-рг = 0.
•1191. Ось Oz является осью круглого конуса
с вершиной в начале координат, точка 4^(3; — 4; 7)
лежит на его поверхности. Составить уравнение этого
конуса.
1192. Ось Оу является осью круглого конуса с верши-
ной в начале координат; его образующие наклонены
под углом в 60° к оси Оу. Составить уравнение этого
конуса.
* < пп тт	х 2 у 4~ 1 z 1	*
♦ 1193. Прямая --5——	"_i является осью
круглого конуса, вершина которого лежит на плоско-
сти Oyz. Составить уравнение этого конуса, зная, что
(5 \
1; 1; —-s') лежит на его поверхности.
1194. Составить уравнение круглого конуса, для ко-
торого оси координат являются образующими.
183
1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
S (5; 0; 0), образующие которого касаются сферы
х~ + У2 + г2 = 9.
И96. Составить уравнение конуса с вершиной в на-
чале координат, образующие которого касаются сферы
(х 4* 2)2 + (у - I)2 4 (2 - З)2 = 9.
1197.	Составить уравнение конуса с вершиной
в точке 5(3; 0; -—1), образующие которого касаются
х2 , у2 . г2 <
эллипсоида----Ь-гт--~ 1.
1198.	Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору Z = {2; —3; 4}, а напра-
вляющая дана уравнениями x2-f-i/2 = 9, г==1.
1199.	Составить уравнение цилиндра, направляющая
которого дана уравнениями х2 — у2 — ?, х 4-j/4-^ = 0,
а образующие перпендикулярны к плоскости направ-
ляющей.
1200.	Цилиндр, образующие которого перпендику-
лярны к плоскости х 4- у — 2z — 5 = 0, описан около
сферы х2 + у2 4- 22 = 1. Составить уравнение этого ци-
линдра.
1201.	Цилиндр, образующие которого параллельны
прямой x»=2f —3, у= —	2 = —2/4-5, описан
около сферы х2 4- У2 4- 22 — 2х 4~ 4г/ 4- 2z —- 3 = 0. Соста-
вить уравнение этого цилиндра.
1202.	Составить уравнение круглого цилиндра, про-
ходящего через точку 5(2; —1; I), если его осью слу-
жит прямая х»3/4*1> У — — 2.t — 2, z^=-t~\-2.
1203.	Составить уравнение цилиндра, описанного
около двух сфер; (х — 2)2 4г — О2 4" %2 ~ 25, х2 4- У2-Ь
+z2 = 25.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Определители второго порядка и система двух
уравнений первой степени с двумя неизвестными
Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел Cj, а2, bi, Ь2:
Число ai52 — называется определителем второго порядка,
соответствующим таблице (1). Этот определитель обозначается сим-
о, &,
О 2	^2
волом
; соответственно имеем:
д,
а?
— а5&2 — а2&Р
(2)
Числа а2, Ь,, Ь? называются элементами определителя. Говорят,
что элементы 0|, 62 лежат на главной диагонали определителя,
о2, &1 — на побочной. Таким образом, определитель второго порядка
равен разности между произведениями элементов, лежащих на
главной и побочной диагоналях. Например,
—3 2
-1 4
= -3.4 - (_I). 2 = -10.
Рассмотрим систему двух уравнений
<*!*+
а2х + b2y = h2
(3)
с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты аь Ьь а2, Ь2 и свобод-
ные члены й2 предположим данными.) Введем обозначения
Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвестных
системы (3), называется определителем этой системы. Определи-
тель &х получается путем замены элементов первого столбца
185
определителя А свободными членами системы (3); определитель Дц
получается из определителя Д при помощи замены свободными
членами системы (3) элементов его второго столбца.
Если Ат^О, то система (3) имеет единственное решение; оно
определяется формулами
Если Д == 0 и при этом хотя бы один из определителей Дх, Ду
отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как го-
ворят, уравнения этой системы несовместимы).
Если же Д = О, ио также Дх = Д# == 0. то система (3) имеет
бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений си-
стемы есть следствие другого).
Пусть в уравнениях системы (3) h} = Л2—0; тогда система (3)
будет иметь вид:
atx + M = 0, я2х + Ьчу =0.	(6)
Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда
имеет нулевое решение: х = 0, у = 0. Если Д#=Э, то это решение
является единственным* если же А = 0, то система (6), кроме ну-
левого, имеет бесконечно много других решений.
1204. Вычислить определители;
5) а
3) 3 6
5 10
7)
а + 1 b — с
a2-}-a ab — ac
cos а —sin а
sin а ‘ cos а
1205. Решить уравнения:
1)
3)
5)
7)
х х + 1
—4 х + 1
4sinx
b
1	4
Зх х Ч- 22
cos8x
sin 8х
— sin 5х
cos 5х
1S6
1206. Решить неравенства:
1)	Зх — 3	2		2)	I	х 4-	•5	
	X	1	>0;		2	X		<0
3)	2х — 2	1	>5;	4)	X	Зх		14.
	7х	2			4	2х		
1207. Найти все
систем уравнений:
1) | Зх — Зу = 13,
I 2х + 7# = 81;
3) 2х — Зу = 6,
4х — Зу = 5;
5) J ах + by = с,
( bx — ay = d\
решения каждой из следующих
2)
Зу — 4х = 1,
Зх 4- 4у = 18;
1208, Определить, при каких значениях а и Ь си-
стема уравнений Зх —<п/=1, 3x + 4y = b 1) имеет
единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет
бесконечно много решений.
1209. Определить, при каком значении а система
однородных уравнений 13х4-2у = 0, 5х 4- ау = О 'имеет
ненулевое решение.
§ 2. Однородная система двух уравнений первой
степени с тремя неизвестными
Пусть дана система двух однородных уравнений
OiX-Г Ъ.у + С12 = 0>
I
а2Х 4- Ь2у + C22 = Q
с тремя неизвестными х, у, z. Введем обозначения:
bi q
&2	^2
дг =
<31
а2
q
«2 С2
Ь2
Если хотя бы одни из определителей Дь Д2, Д3 не равен нули, то
все решения системы (1) будут определяться по формулам
х —Д|/, у — — z = Д3/,
»
I — произвольное число. Каждое отдельное решение получается
при каком-либо определенном значении Л
187
Для практики вычислений полезно заметить, что определители
• Д|, Л2, Д3 получаются при помощи поочередного вычеркивания столб-
цов таблицы:
01 Ь. с(
а2 Ь2 с2
Если все три определителя Ль Л2, Д3 равны нулю, то коэффициенты
уравнений системы (J) пропорциональны. В этом случае одно из
уравнений системы есть следствие другого и система фактически
сводится к одному уравнению. Такая система, естественно, имеет
бесконечно много решений; чтобы получить какое-нибудь из них,
следует двум неизвестным придать произвольно численные значе-
ния, а третье найти из уравнения.
1210. Найти все решения каждой из следующих си-
стем уравнений:
1)
Зх — 2у + 5г = О,
х 4- 2у — Зг = 0;
2 = 0,
6х — 4г/ 4- Зг = 0;
3)
х — Зу 4- 2 = О,
2х — 9 г/ + Зг = 0;
5)
7)
Зх — 2у 4“ 2 = 0,
х 4- 2у — Зг = 0;
х 4- 2г/ — г = 0,
w Зх — Зу 4- 2г = 0;
9) Г х 4- Зу — г = 0,
(5х —Зг/4~ 2 = 0;
11) j ах 4- 2г/ — г = 0,
 2х 4- by — Зг = 0;
4) [ Зх — 2у + 2 = 0,
I х 4- 2г/ — г = 0;
6)	[	2х — у	—	2г = О,
I	х — Зу	4-	2г = 0;
8)	|	Зх — 5г/	4“	2 = 0,
I	х 4- 2г/	—	г = 0;
10)	ах 4- у	4-	г = 0,
х ~ У 4" az — 0;
12) J х —Зг/4~«г = 0,
[ bx 4- 6г/ — г = 0.
§ 3. Определители третьего порядка
Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел Oj, а2, bi,
&2, Cj, с2, С$
Uj	Ci \
а2 &2 с2 .	(1)
Дз	Cj >
Определителем третьего порядка, соответствующим таблице (1)>
называется число, обозначаемое символом
bi с(
Д2 Ь2 с2
Ча Ьз Сз
188
л определяемое равенством
а( bi Ci
а2 Ьц с2
аз Ь5 съ
= а(&2Сэ -f-	4" CjOj^s •“ г^гОз —- а1С2Ь2. (2)
Числа а{, а2, а3, &i, b2i b3, cb c2, Сз называются элементами опре-
делителя. Элементы о:, Ь2, <?3 расположены ла диагонали определи-
теля, называемой главной; элементы аз, b2, Ci составляют его по-
бочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, чтр
первые три слагаемые в правой части равенства (2) представляют
собой произведения элементов определителя, взятых по три так,
как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме
слева.
Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2),
нужно перемножить элементы определителя по три так, как
показано различными пунктирами па той же схеме справа, после
чего у каждого из найденных произведений изменять знак.
В задачах 1211 — 1216 требуется
лители третьего порядка.
вычислить опреде-
1211.	3	-2	1
	—2	1	3
	2	0	-2
1212,	I	2	0
	0	1	3
	5	0	—1
1213.	2	0	5
	1	3	16
	0	-1	10
1214.	2
-1 3
3 2
2 5
1215.	2 1	0	1216.	0 а а
	1 0	3	•	а 0 а
	0 5-1		а а 0
189
§ 4. Свойства определителей
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если все
его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить
столбцом с тем же номером, т. е.
г?!	d|	С]
Й2	^2	^2
Аз	Ьз	С3
Л; О2 Оз
&] bi Ьз
С; Cj Сз
Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк
определителя равносильна умножению его на —1. Например,
fl; bl С[		aL с} bi
а2 b2 с2	ZSX ——	a2 C2 Ь2
сг3 Ьз с3		n3 C3 Ьз
Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых
столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
, Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца
или одной строки определителя на любое число й равносильно
умножению определителя на это число k. Например,
ЙО;
ka2
ka3
bi
Ьз
Ьз
С1
Сз
сз
а5
д2
Дз
bi Ci
b2 с2
Ьз сз
Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или
некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.
Это свойство есть частный случай предыдущего (при й = 0).
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столб-
цов или двух строк определителя пропорциональны, то определи-
тель равен нулю.
(Двойство 7. Если каждый элемент м-го столбца или
л-й строки определителя представляет собой сумму двух слагае-
мых, то определитель может быть представлен в виде суммы
двух определителей, из которых один в п-м столбце, или соответ-
ственно в n-й строке, имеет первые из упомянутых слагаемых, а
другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех
трех определителей одни и те же. Например,
/ ,	-7	,
а, + flj
а2 4- а2	b2
a'i + °з	b3
Свойство 8. Если § элементам некоторого столбца (пли
некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого
столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множи-
ло
тельУ то величина определителя при этом
не изменится. Например,
(Ц + kbt
а2 + kb2
Аз + kb^
bi
^2
b3
Cl
Cs
e3
«1
a2
bi Ci
b2 c2
&з c3
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алге-
браического дополнения и минора. Минором некоторого элемента
называется определитель, получаемый из данного путем вычерки-
вания строки и столбца, на пересечении которых расположен
этот элемент.
Алгебраическое дополнение любого элемента определителя
равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если
сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых рас-
положен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если
это число нечетное.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать
большой буквой того же наименования и тем же номером, что и
буква, которой обозначен сам элемент.
Свойство 9. Определитель
П| 6, с,
с? Ь2 с2
Яз &3 С3
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или
строки) на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
Д = я. Л) + а2А2 + ДзЯз,
Д — bjB] + Ь2В2 + ь$в$,
А — CjCj 4“ с2С2 4“ CjCj,
Д = fliAj 4- Ь|В| 4-
Л агА2 4" Ь2В2 4” c2C2t
А А3Л3 4- 63Я3 4" Сз^з»
В задачах 1217—1222 требуется, не раскрывая опре-
делителей, доказать справедливость равенств.
1217
3
-2
4
3
5
2
3
3
-2
2
3
5
-2
Указание.
Воспользоваться
свойством
8.
1218
-2
—2
3
3
-5
О
-з
8
О
2
191
Указание. Воспользоваться свойством &
1219,
а1
а2
Л! + аа2
^2
61 + а&2
Ci
f2
Cl 4- ас2
Указание. Воспользоваться свойствами 7, 3, 6.
1220.
№>i + yci
Р62 +ус2
ДОз + Усз
61 Ci
62 с2
63 <?з
Указание. Воспользоваться свойствами 7 и 6.
1221.	sin2 a cos2 а cos 2а	9
	sin2p cos2p cos2p	= 0.
	sin2 у cos2 у cos2y	
1222.
О
а
b
—а — b
0 -с
с О
В задачах 1223—1227
делители, пользуясь одним
требуется вычислить
свойством 9.
опре
1223.
1224.	1 17	-7
	-1 13	1
	1 7	1
1225.	2	0	5
	1	3	16
	0	-1	10
1227.
1	1	1
xyz
X" у7- Z2
1226.	1	2	4
	-2	1	-3
	3	-4	2
192
1228. Определители, данные в задачах 1223—1227,
пользуясь свойством 8, преобразовать так, чтобы в ка-
ком-либо столбце (или строке) определителя два элемента
стали равными нулю, а затем вычислить каждый из них,
воспользовавшись свойством 9.
В задачах 1229—1232 требуется вычислить опре-
делители.
1229.	0	а	b
	а	0	а
	b	а	0
1230.	0	sin a	ctga
	sin a	0	sin a
	ctga	sin a	0
1231.	X	У	z	1232.	a	b	c	
	X2	У2	z2		c	a	b	
	X3	У3	z*		b	c	a	
1233. Доказать справедливость равенств:
1)
1 sin а
1 sinP
I sin у
sin2 а
sin2 р
sin2 у
— (sin a — sin p) (sin p — sin y) (sin у — sin a);
2)
tga tgP
fg2a tg2p
1
t£Y
tg2y
sin (a — fl) sin, (fl — y) sin (y — a)
cos2 a cos2 fl cos2 у
1234..Решить уравнения:
1)	1	3	X		2)	3	x —4	
	4	5	-1	= 0;		2	-1	3	= 0.
	2	-1	5			x 4- 10	1 1	
1235. Решить неравенства:
2)
2. *4-2
1 1
5	-3
0.
7 Д. В< Клетеник
193
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными
Рассмотрим систему уравнений
' а]х4-й1у-1-егг = Л1,
a2x+b2y+c2z=hs,
ч a3x + b3y-f-c3z=b3
(О
с неизвестными х, у, г (коэффициенты at, bi........ и свободные
члены й1( fi2, Л3 предположим данными).
Введем обозначения:
	«1	bi	С1
А»		Ь2	с2
	аз	Ьз	сз
	Л1	ьг	Cl
Ах =	Л2	Ьз	С2
	л3	Ьз	Сз
		bl	bi
А,=	п2	b2	
	а.з	Ьз	
*1 q
й2 е2
Ь3 q
«1

Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвест-
ных системы (I), называется определителем данной системы.
Полезно заметить, что определители Ах,	получаются
из определителя А при помощи замены соответственно его первого,
второго и, наконец, третьего столбца — столбцом свободных членов
данной системы.
Если А # 0, то система (1) имеет единственное решение; оно
определяется формулами
х
Л ’
А <J
г=
А->
А ‘
Предположим теперь, что определитель системы равен нулю;
А — 0. Если в случае А —0 хотя бы один из определителей /\х, Др
Аг отличен от нуля, то система (1) совсем не имеет решений.
В случае, когда Д=0 и одновременно АЛ. = 0, Л,^0, Дг = 0,
система (1) также может совсем не иметь' решений; но если
система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она
имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой
трех уравнений первой степени с тремя неизвестными называется
система вида*
qx-f- &Jy4-c1z = 0,
a2x^-b2y+c2z = 0,	(2)
^4-M+^=o.
т. e. система уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет решение: х = 0, у—О,
z = 0; оно называется нулевым. Если А й 0, то это решение
является единственным. Если же Д=?0, то однородная система (2)
имеет бесконечно много ненулевых решений,
194
В задачах 1236—1243 требуется установить, что
системы уравнений имеют единственное решение, и
найти его.
1236.
х + у — г = 36,
х + 2 — у — 13.
у -|- 2 — X — 7.
1237. х + 2г/+ 2 = 4,
Зя — Зу 4- Зг = 1,
. 2х 4- 7у — г = 8.
1238.
’ 2х — 4у + 9г = 28,
7х 4- Зу — 6г = — 1,
 7х 4- 9у — 9г = 5.
1239.
2x4- У~ 5,
х 4“ Зг = 16,
5г/ — г=10.
1240.
1242.
' x±y±z = 36,	1241
2х — Зг = —17,
6х—5г = 7.
х 4- у + 2 — а, 1243.
' X — у 4- 2 = 6,
. X 4- у — г = с. ,
7x4- 2г/4-Зг = 15,
5х— Зг/ + 2г=15,
10х— 11// 4-5г = 36.
' х — у 4- 2 = а,
х 4- У — 2 = Ь,
. у 4- 2 — Х = С.
1244. Найти
все решения системы
х 4- 2у — 4г = 1,
2x4- у — 5z = — 1,
х — у — г = —2.
1245. Найти
1246. Найти
все решения системы
2х — у 4- г = —2,
х 4-2г/4-Зг = — 1,
. х — Зу — 2г = 3.
все решения системы
Зх — у 4- 2г = 5,
2х — у — г = 2,
. 4х — 2 у — 2г = —3.
1247. Определить, при каких значениях а и Ь си-
стема уравнений
Зх — 2у 4- 2 = Ъ,
5х — Зу 4- 9г = 3,
. 2х 4" У + az = —1
7”
195
1)	имеет единственное решение;
2)	не^имеет решений;
3)	имеет бесконечно много решений.
1248. Доказать, что если система уравнений
Apt 4" Ь][г'	d|,
4- Ь2у = с2,
а3х 4- Ь3у = с3
совместна, то
fli Ci
^2 С2
а3 Ь3 с3
1249. Найти все решения системы
2.x 4- У — г = О,
х 4- 2г/ 4- 2 = 0,
. 2х — у 4- Зг = О’
1250, Найти все решения системы
х — у — z = О,
х 4- 4т/ 4- 2г — О,
Зх 4~  У 4~ Зг = 0.
1251. Определить, при каком значении а система
однородных уравнений
Зх — 2г/ 4- г = О,
ах — 14// 4- 15г = О,
г 4- 2// — Зг = О
имеет ненулевое решение.
§ 6. Опреде«1ители четвертого порядка
Все свойства определителей, перечисленные в § 4, относятся
к определителям любого порядка. В настоящем параграфе следует
применить эти свойства для вычисления определителей четвертого
порядка.
196
В задачах	1252—1260 требуется вычислить		опре-	
делители четвертого порядка.				
1252. -3	0	0 0	1253. 2 -1 3	4	
2	2	0 0	0-15	-3	
1	3-10	0	0*5	-3	•
-1	5	3 5	0	0 0	2	
1254. 2 -	-1 1	0	1255» 2 3—3	4	
0	1 2 -1	2 1 -1	2	
3 -	-12	3	6 2	1	0	•
3	1 6	1	2 3	0	—5	
1256.	8	7	2	0	1257» 0 b с d		
-8	2	7 10	b 0 d с		
4	4	4	5	с d 0 b	№	
0	4-3	2	d с Ъ 0		
1258. а b с d		1259. abed		
b a d с		d а b с		
с  с	! а b ’	с d а b	•	
d с b а		b с d а		
1260. 0 -	-а ~Ь —	d		
' а	0 -с -	е		
b	с 0	0 *		
d	е 0	0		
1261. Доказать, что если система уравнений				
	AjX 4- Biy 4- CjZ -j- £)j — 0,			
j	А%х 4*	4" ^2^ 4~ В>2 = 0,			
	Л3х 4* В3у 4“ £з2 4“ -Оз ~ 0»			
	Л4х 4- В4у 4"	4" ^4 0		•	
совместна, то				
	Л в1	с, D,		
	А А	^2	Л		
	A3 В3	С, D3 “°-		
	А в4	с. о.		
197
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
1. См. рис. 54.	2. Указание. Уравнение |х| = 2 экви*
валентно двум уравнениям: х== — 2 и х — 2; соответственно имеем
две точки: /1](—2) и А2 (2) (рис, 55). Уравнение [х — Ц = 3 экви-
валентно двум уравнениям: х — 1 = —3 их— 1=3, откуда нахо»
дим х— — 2 и х = 4 и соответствующие им точки Bt и Д? (рис. 55).
В остальных случаях решения аналогичны. 3. Точки расположены:
1) справа от точки (2); 2) слева
/	от точки М2 (3); включая точку М2;
1—1	3) справа от точки Л13 (12); 4) сле-
flj 0	'?* В?	.. / 3 \
— -—।—с—♦—<>——в а от точки AM —I, включая
X /
точку Л/4; 5) справа от точки
Р ис 55	Z 5 \
Л15 i - - В 6) внутри отрезка, огра-
\ О /
ничейного точками Мв(1) и М2 (3); 7) внутри отрезка, ограни-
ченного точками /И7(—2) и М2(3), включая точки и М2\
8) внутри отрезка, ограниченного точками /1(1) и В (2); 9) вне
отрезка, ограниченного точками Р( — 1) и Q (2); 10) вне отрезка,
ограниченного точками Л (1) и В (2); 11) внутри отрезка, ограничен-
ного точками £*(—1) и Q (2); 12) внутри отрезка, ограниченного
198
точками М (3) и W (5), включая точки Л4 и V; 13) вне отпеткя
ограниченного точками М(3) и (5); 14) вне отрезка, ограничен-’
™Хми ₽ ? £{(74Ь%?,(3,: 15) В«ПР» отрез^, ограНад“о
точками Р\{— 4) и Q( (3), включая точки А и О,
I АВ ~	~ < з -.	-	1. . хр
I АВ
8;2)А6 = -3, АВ
2; 5) А6 = — 2, АВ
= 3; 3) АВ = 4, | АВ |
= 2; 6) АВ - - - '
4. 1) А6 = 8,
4; 4) АВ = 2,
2) 5; 3) 1; 4) -8; 5) -2 н 2; 6) -I „ 5; 7) -б^ТЛ) -Д
6. I) Внутри отрезка, ограниченного точками Л(-1) и 6П)- 2) вне
отрезка, ограниченного точками А (-2) и 6(2); 3) внутри отоезка
ограниченного точками А (-2) и 6(2), включая точки А и В-
4) вне отрезка, ограниченного точками А (-3) и В (3), включая
точки Д и 6; 5) внутри отрезка, ограниченного точками А(— 1)
и 6 (5); 6) внутри отрезка, ограниченного точками А (4) и 6 (6)
вкл^°1аЛ точки Л и 5; 7) вне отрезка, ограниченного точками АГ—П
" ( i' ЯТ ЛТ" А " В; 8) в“е отрмка- ограниченного
точками А (2) и В (4), включая точки Л и В; 9) внутри отоезка
ограниченного точками А (-4) и В (2); 10) вне отрезка, ограни-
ченного точками Л(-31 И В(-1); ||) внутри отр£зка, р
ченного точками Д(— 6)	“	н -
12) вне отрезка,
точки А и 6.
8.	3;
, _ В А _	3
АС ~	4 ’
и В (-4),
ограниченного точками А (— 3) и 6(1), включая
7- О И 2)
. _СВ 1
“ В А ~ 3
включая точки А и В;
5
3 !
, -^--4
л.ч св 4,
. _ С А _	4
АВ 3 *
*1 •+ хг
2
** АС
10.
х =
3) -2;
4) 7; 5)
2) (13).
В(—41).
11. х = -
Т 13.
I) М (-11);
3) 2; 4) 1; 5) -Д1.
о
. ВС 1
Л4~СД~ 4’
9. л = — ~ Х|-.
х2 — х
4; 2) 2;
.12. 1)
4) -2; 5) -
3; 6) 0. 14.
15. (5) и (12). 16. А (7) и
17. См. рис. 56. 18. Ах (2; 0),
Сж (—5; 0), • ОД-3; 0),
£Д-5; 0). 19. ДНО; 2), 6 ДО; 1),
С ДО; -2), ОДО; 1),	£Д0;
20. 1) '(2; -3);	2) (-3;
П (-3; 5); 5) (-4;
1. 1) (1; 2); 2) (-3;
4) (2; 5); 5) (-3;
22. 1) (-3;
•2)*
•2);
•6);
1);
5);
, . -3);
3) (2; — 1); 4) (-5; 3);
-5). 23. 1) (3;2);
3). 24. 1)(—5; -3);
-7). 25. 1) В первой
3)
в первой
второй и
3) (2; -2);
6) (— а; Ь\
2) (-2; 4);	, .
5) (5; 4); 6) (-а;
2) (-2; 5); 3) (4; -
2) (-3; 4); 3) (2; - .
и третьей; 2) во второй и четвертой; Г
4) во второй и четвертой: 5) в первой, О1и1«лп и
6) во второй, третьей и четвертой; 7) в первой, третьей и
8) в первой, второй и третьей. 26. См. рис. 57. 27.
1.	3	\
1»
третьей;
четвертой;
четвертой;
и
~2), (5; 1).
199
(з, 4 Д к -1 Д (3;л-2). 29. С (з; -2 и D f 5; - Н л V
30, ,1;-Д). 31. л(з;-у), в(2;-|-л), С (I; 0), О (б;
£ (3; 2 — л), £(2;л-1). 32. Л/, (3; 0), Л12 (|;	Л43 (?; - 4),
Ah(5: - —	М5(3;я), Л16(1; -L Д 33. (б; М
34. d— /р? + p!-2p1P2COS(92“b1). 35. d^7. 36. 9 (17-4 Кз-) кв. ед.
37. 2(13+6 /2 ) кв. ед. 38.28 У'.З кв. ед.
39. S =-Д:р2 [sin^Qj —92)]- 40. 5 кв. ед.
41. 3 (4 /Т - 1) кв. ед. 42. Л11 (0; 6),
М2 (5: 0), МЭ(УТ; /2), Л1« (5; -5 VT),
Л15 (—4; 4 уТ), Л*Дб/3: -6).
43. Л4, (б; 4У Л12(3; я), М3 -Jк
М<	я), Л/5(2;--Д 44 I) 3;
2) -3,	3) 0;	4) 5;	5) -5;	6) 2.
47. П -V= I, Г = 3; 2) Х=-4, У = -2;
3) Х-1, т/=-7;	4) Х^-5, Г = 3.
48. (3; —2). 49. (—3; 2). 52. 1) .¥ = — 6,
У = б/3;	2) Х = з/з, У = -3;
Рис. 57.
3) Х = УТ, Г = -/2. 53. I) 5; 2) 13; 3) 10. 54. I) cf==2, 0 = 41
О
2) d = 6, 0 ==*-?; 3) d=4, 0 = £ я. 55. I)	0=-4 я;
4	о	4
2) d = 5, 0= arctgy — я; 3) d — 13, 0= я—arctg; 4) d — ^234,
0 = - arctgo. 56. 1) 3; 2) -3.	57. 1) (-9; 3); 2) (-9, -7).
58. 1) (-15; -12); 2) (1; -12). Г.9. -2. 60. -~Т 'к 61. 4.
62. 1) -5; 2) 5. 63. 1) 5; 2) 10; 3) 5; 4) Уб"; 5) 2/Г; 6) 13.
64 137 кв. ед. 65. 34 кв. ед. 66. 8 кв. ед. 67. 13,15. 68. 150 кв. ед.
69. 4УТ. 73 «КЛГгЛТ^з-тупой. 75. * ВАС = 45°, «К ЛВС = 45°,
АСВ == 90°. 76.60°. Указание. Вычислить длины сторон треуголь-
ника, а затем применить теорему косинусов. 77. Л1[(6;0) и М2(—2;0).
78. М, (0: 28) и Л12(0; -2). 79.	(I; 0) и (6; 0). 80. С( (2; 2),
Л =2, С2 (10; 10), £2= 10. 81. CU-3; -5), С2(5;А-5). 82. Л1Э (3; 0;.
83. В (0; 4) и £>(—1; —3). 84. Условию задачи удовлетворяют два
квадрата, симметрично расположенных относительно, стороны АВ.
Вершины одного квадрата суть точки С] (—5; 0), D ( —2; — 4),
вершины другого — С2 (3; 6), В» (6; 2).	85. С (3; — 2), £=10.
86. (1; —2). 87. Q (4; 6). 88. Середины сторон АВ, ВС, АС соот-
ветственно суть (2;—4), (—I; 1), (—2; 2). 89. I) М (1;3); 2) V (4; — 3).
99. (1; -3), (3: I) И (-5; 7).* 91. D (-3; I).	92. (5; -3), (1; -5).
93. £>.(2; 1), D2(—2; 9), D3 (6; —3). Указание. Четвертая вер-
шина параллелограмма может быть противоположной любой из дан-
200
ных. Таким образом, условию задачи удовлетворяют три параллело-
/5	\	14
грамма. 94, 13. 95. (2; —1) и (3; I). 96.	; -2|, 97. -y-V2.
л п	ДС
98. (-11; ~3).	99. 4.	100. Л, =4^-= 2; X? = ~R- =-3;
D С/	С* LJ
X3=J£=»-.l- 101. 4(3;-1) и В (0; 8). Ю2.(3;-1). 103. (4,-5).
/1Сх	*J
104. (—9;0). 105. (0; —3). 106. 1 :3, считая от точки В. 107. ( 1-у; 1 L
\ * /
108. х = *> + **+&, t/ =	+ У3., t09, лц-ЬО), С (0; 2).
□	tJ
lit. (5: 5).	112.	113.	-Ц-а).
114. z- !2Sl±^±P^,	115. (4; 2).
rrt 4- n 4- p	m 4- n-j- p
Указание. Вес однородной проволоки пропорционален ее длине.
116. 1) 14 кв, ед.; 2) 12 кв. ед.; 3) 25 кв. ед, 117. 5. 118. 20 кв. ед,
119. 7,4.	120. Х = -~, У=4~.	121. х = -^г, гг-З-к
11	II	1 /	о
122. (0; —8) или (0; -2).	123. (5; 0) или у? о).	124. (5; 2)
или (2; 2).	125. С, (—7; —3), D, (-6; -4) или С2(17; -3),
/	9 \
£>2 (18; -4).	126. Cj (-2; 12), Dt (-5; 16) или С2 -2; -f ,
I 14 \
О2 — 5; —	127. 1) х —/4-3. ^ = /4-4; 2) х — х— 2,
1/ = /4-1; 3)х = х'-3, у=/ + 5.	128. Д(4;-1), В(0;-4),
С (2; 0). 129. 1) А (0; 0), Я (-3; 2), С (-4; 4); 2) 4 (3; -2), Я (0; 0),
С<-1; 2); 3) А (4; -4), В(1; -2), С (0; 0). 130. 1) (3; 5); 2) £-2; I);
3) № -1); 4)(—5; 0). 131. 1) х =	, у =	;
2) х =
,	; 3) * = -/. у = х'> 4) х~у',
у^-х', 5)* = -/, у = -/. 132. Л(з/3; 1),
С(3;	_	133. 1) Al(FT;2/2), Л’ (-3/2; 2 /2 ),
Р(-/Г; -2/2); 2) Л1(1; -3), .V (5; 1), Р(-1; 3); 3) Л4(-1; 3),
Л’(-5,-1), Р(1:-3); 4) Л1(-3;-1), ЛЧ1;-5), P(3;IJ. 134. 1) GO";
2) —30°.	135. О' (2; -4).	136. *=/4-1, г/ = /-3. 137
137. i = y/4-4/, у = -^х' + ^у'. 138. Л/,(1;5)г,ЛМ2;0),
М3 (16; -5). 139. Л (6; 3), В (0, 0), С (5; -10). 140, 1) О' (3; — 2),
а =90°;	2) O'(-U 3). а -= 180°;	3) О'(5: -3), а = —45°.
141..x = --ji/--~/ + 9, 1/=	142. Л1Д1; 9).
ЛМ4;2), Мз(1;~3), М4(0; 24-/з), Mjl +1% 1). 143. Л1.(0; 5),
М2(3;-0), М,(-1; 0), М4 (0; -6), Мч(/з 1).	144. Л4, (2; 0).
м/1;--?)’M3:H лЧ2;"т),лЧ2;£)’ 145-^(^т 4
201
'*«(*	-Ms (4;_П ")•
146. f (х, у) = 2ах — а2. 147. 1) f(x, у) = 2ах’, 2) f (х, у) =—2ах—аг,
148. f (х, у) = 4х2 + 4у2 + 2а2.	149. f (х, у) = 4х2 + 4у2 _ 4о -
— 4ау + 4а2.	150. f (х, у) = х2 + У2 — 25.	151. f (х, у) =» 2ху — 16.
152. При повороте координатных осей выражение функции не ме-
няется. 153. (3; 1). 154. Такой точки не существует. 155. ±45° или
± 135°. 156. 30°, 120°, -60°, -150°. 157. Точки Afb М4 и Ms ле-
жат на линии; точки М2, М3 и Л1е не лежат на ней. Уравнение
определяет биссектрису второго и четвертого координатных углов
(рис. 58). 158. 1) (0; -б), (0; 5); 2) (-3; -4), (-3; 4); 3) (5; 0);
4) на данной линии такой точки нет; 5) (—4; 3), (4; 3); 6) (0; —5);
7) на данной линии такой точки нет. Уравнение определяет окруж-
ность с центром 0(0; 0) и радиусом 5 (рис. 59). 159. 1) Биссек-
триса первого и третьего координатных углов; 2) биссектриса вто-
рого и четвертого координатных
углов; 3) прямая, параллельная
оси Оу, отсекающая на положи-
тельной полуоси Ох, считая от на-
чала координат, отрезок, равный 2
(рнс. 60); 4) прямая, параллель-
ная оси Оу, отсекающая на отри-
, цательной полуоси Ох, считая от
начала координат, отрезок, рав-
ный 3 (рис. 60); 5) прямая, парал-
лельная оси Ох, отсекающая на
положительной полуоси Оу, считая
от начала координат, отрезок, ра-
вный 5 (рис. 60); 6) прямая, па-
раллельная оси Ох, отсекающая
на отрицательной полуоси Оу,
считая от начала координат, отрезок, равный 2 (рис. 60); 7) прямая,
совпадающая с осью ординат; 8) прямая, совпадающая с осью
абсцисс; 9) линия состоит из двух прямых: биссектрисы первого
и третьего координатных углов и прямой, совпадающей с осью
ординат; 10) линия состоит из двух прямых: биссектрисы второго
202
й четвертого координатных углов и прямой, совпадающей с осью
абсцисс; 11) линия состоит из двух биссектрис координатных углоз
(рис* 61); 12) линия состоит из двух прямых: прямой, совпадающей
Рис. 63.
с осью абсцисс, и прямой, совпадающей с осью ординат; 13) линия
состоит из двух прямых, параллельных оси абсцисс, которые отсе-
кают на оси ординат, считая от начала координат, отрезки, равные 3
и — 3 (рис. 62); 14) линия состоит
из двух прямых, параллельных
оси ’Оу, которые отсекают на
положительной полуоси Ох, считая
от начала координат, отрезки,
равные 3 и 5 (рис. 63); 15) линия
состоит из двух прямых, парал-
лельных осн Ох, которые отсекают
на отрицательной полуоси Оу, счи-
тая от начала координат, отрезки,
равные 1 и 4 (рис. 64); 16) линия
состоит из трех прямых: прямой,
совпадающей с осью абсцисс, и
двух прямых, параллельных оси
ординат, которые отсекают на положительной полуоси абсцисс,
считая от начала координат, отрезки, равные 2 и 5; 17) линия со-
стоит из двух лучей: биссектрис первого и второго координатных
углов (рис. 65): 18) линия состоит из двух лучей: биссектрис
203
первого и четвертого координатных углов (рис. 66, с); 19) линия со-
стоит из двух лучей: биссектрис третьего и четвертого коор-
динатных углов (рис. 66, б)\ 20) линия состоит из двух лучей: бис-
сектрис второго и третьего координатных углов (рис. 66, в);
из
двух лучей, расположенных в верхней полу-
21) линия состоит
плоскости, выходящих из точки (1; 0) и направленных параллельно
биссектрисам координатных углов (рис. 65); 22) линия состоит из
двух лучей, расположенных в верхней полуплоскости, выходящих
из точки (—2; 0) и направленных параллельно биссектрисам коор-
динатных углов (рис. 65); 23) окружность с центром в начале ко-
ординат и -радиусом 4 (рис. 67); 24) окружность с центром Ох (2; 1)
и радиусом 4 (рис. 67); 25) окруж-
ность с центром (—5; 1) и радиу-
сом 3; 26) окружность с центром
(1; 0) и радиусом 2; 27) окруж-
ность с центром (0; — 3) и радиу-
сом I; 28) линия состоит из Одной
точки (3; 0) — вырожденная ли-
ния; 29) линия состоит из одной
точки (0; 0) — вырожденная линия;
30) нет ни одной точки, коор-
динаты которой удовлетворяли
бы данному уравнению («мнимая
линия»); 31) нет ни одной точки,
координаты которой удовлетво-
ряли бы данному уравнению
(«мнимая линия»),. 160. Линии 1);
2) и 4) проходят через начало ко-
ординат. 161. 1) а) (7; 0), (—-7; 0);
б) (0; 7), (0; -7); 2) а) (0; 0), (6; 0); б) (0; 0), (0; -8); 3) а) (-10; 0),
(—2; 0); б) линия с осью Оу не пересекается; 4) линия с коорди-
натными осями не пересекается; 5) а) (0; 0), (12; 0); б) (0; 0),
(0; —16); 6) а) линия с осью Ох не пересекается; б) (0; — 1), (0; —7);
7) линия с координатными осями не пересекается. 162. 1) (2; 2),
(9	4 \
1у;	4) линии
не пересекаются. 163 Точки Л4Ь‘ Л12 и лежат на данной линии;
204
точки Л13 к М5 не лежат на ней. Уравнение определяет окружность
(рис. 68). 164. а) (б;	б) (б; в) (3; 0); г) (зрТ;
прямая, -перпендикулярная к полярной оси и отсекающая на ней
считая от полюса, отрезок, равный 3 (рис. 69). 163. з) (Ь пг];
* - \ /
2; g-1 и 12; — л I; в) 1 V 2; —) и ^У 2 ; яр прямая, рас-
положенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси
Рис. 68.	Рис. 69.
Рис. 71.
и отстоящая от нее на расстоянии 1 (рис. 69). 1G6. 1) Окружность с цен-
тром в полюсе и радиусом 5; 2) луч, выходящий из полюса, наклонен-
ный к полярной оси под утлом (рис. 70); 3) луч, выходящий из по-
люса, наклоненный к полярной оси под углом — — (рис. 70);
4) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней,
считая от полюса, отрезок а = 2; 5) прямая, расположенная в верх-
ней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее
на расстоянии, равном 1; 6) окружность с центром Cj (3; 0) и ра-
диусом 3 (рис. 71); 7) окружность с центром Сг|э; j и радиу-
сом 5 (рис. 71); 8) линия состоит из двух лучей, выходящих из
205
оси под углом Л
6 ’
состоит из концец,
радиусы которых г
полюса, один из которых наклонен к полярной
5
а другой — под углом — л (рис. 71); 9) линия
трических окружностей с центром в полюсе,
определяются по формуле г = (—1)” — + ля, где n — любое целое
положительное число или нуль. 167. Рис. 72 и рис. 73. 168. Рис. 74
и рис. 75. 169. Рис. 76. 170."Отрезок, примыкающий к полюсу, имеет
л
длину, равную —; каждый из остальных отрезков имеет длину,
разную Gn (рис, 77). 171. На пять частей (рис. 78). 172. Р|12: -)
(рис. 79). 173. Q (81; 4) (рис. 80). 174. Прямые х ± у —0^175. Пря-
] ".
179. 1) Прямая х —.	'	'
4) прямая	у — 2	= 0. 180.	Прямые	4ах	± с
182. '	'	*'*	“	‘	*
185.
мые х ±_о = 0. 176. Прямые у ± b — 0. 177. у + 4 — 0. 178 х—5=0.
: — у = 0; 2) прямая х + У — 0; 3) прямая х — 1=0-
‘	'	 = 0. 181. х2 4-У2 = г2,
(х - а)2 4-(У *-= г2. ‘ 183. х2 + р2 = 9, 184. х2 + у2=16.
у 2	»»2
х2 + г/г==а21	186. (х-4)г + </2=16,	187. —	----<
хг W2
--Тб”1-	«89. ^=12х
X2	,	у2	.
--Г-	4-	~ —	1 — эллипс.
2о	9
х2	и2
эллипс.
2
--------г = 1. 197. у2 = 20х — парабола. 193. р cos 0 = 3, 199. 0 = —.
200. tg0=l 201. рsin0 4-5 = 0, р sin 0 — 5 = 0. 202. р = 10 cos 9.
203 Условию задачи удовлетворяют две окружности, уравнения
которых в полярных координатах р + G sin 0 = 0, р — 6 sin 0 = 0.
204. Х“У°8!'
I у = b sin г,
ab sin t
188.
193.
195.
x2
X2
«. а2
У2
b2
194.
196.
25 ’’’ 16
192. у2 = 2рх — парабола.
х2	у2 ,
т------\4- = I — гипербола.
Правая ветвь гиперболы
ab cos t
205. х = г	--------,
V a3sin21 4- b2 cos21
ab cos t
Va2sin21 4- b2 cos2 i
ab sin t
206. x =	-  - ,
} b2 cos21 — a2 sin21
y = i-f 2) x = 2pctg2/,
n *2
1 / x —	,
2p
p , a i	. t
f ctg2—, r/ = pctgy,
x = 2pctg20, 1
- у = 2p ctg 0. j
X2
207.
у = —.. - - - - ...-
),z&2 cos21 — a2 sin21
1/= 2p ctg (; 3) x —
x = R sin 20, |
у = 2/? sin2 0; J
X2 u2
Х2 + у2-а2~Ъ, 3) ^--^-1=0;
x2 4-- 2/?x = 0; G)
210. Точки Aflt Af3 и лежат на данной прямой; точки М2> Мз
и Мв не лежат на ней. 211. 3, —3, 0
-5 и 7. 213. (G; 0), (0; -4). 214. (3; -
С (2; 4). 216. (1: -3), (-2; 5), (Б;-Г
1206
2)
2)
5)
x = 2R cos20,1
у = R sin 20; |
1) x —f/2 = 0;
4) ~_____JU- — 1 = Q-
41 a2	b2	1 U’
20S. 1)
209.
X2
b2
x2 + У2 — %Ry = 0; 7) 2px — y2 = 0.
— би — 12. 212. 1,- — 2, 4,
5). 215. A (2; -1), B(-l; 3),
9) и (8; -17). 217. S - 17 кв. ед.
fl=50
Рис, 79.
Рис. SO,
218.	C,(-l;	4) или	С2(~; - у-).	. 219. С{	(1;	-I) или
С2(-2; -10).	220. 1)	2х-Зу + 9 = 0; 2)	Зх - у = 0;	3)	у + 2 = О;
4)	Зх + 4у — 12 = 0;	б) 2х + у + 5 = 0;	6)	х	+ Зу —2 = 0.
221.	1) £=5,/> = 3; 2) 6 = -^-, & == 2;	3) k = -	b^-L.
□	О	о
4) k—4’ *~0; 5) *=0, б=з* 222, ~4; 2) 4-
223. I) 2х + Зу - 7 = 0; 2) Зх-2у-4 = 0.	224. Зх + 2у = 0,
2х —Зу — 13 = 0. 225. (2; I), (4; 2), (-1; 7), (I; 8). 226. (-2; -1).
227. <2(11; -11).	228. 1) Зх - 2у - 7 = 0; 2) 5х + у - 7 = 0;
ЗУ 8х+ 12г/+ 5 = 0; 4) 5х + 7у + 9 = 0; 5) 6х-30у-7 = 0.
7	3
229. a) k = 7; б) k = в) k -------- 230. 5х - 2у - 33 = Q,
х + 4у — 11=0, 7х + 6у + 33 = 0.	231. 7х - 2у - 12 = 0,
5х + у- 28 = 0, 2х —Зу — 18 = 0. 232. х + у + 1 = 0. 233.2x4-
+ Зу - 13 = 0. 234. 4х + Зу - 11 = 0, х + у + 2 = 0, Зх + 2//—13=0.
235. (3; 4). 236. 4х+ у — 3 = 0. 237. х — 5 = 0.	238. Уравнение
стороны АВ: 2х + у — 8 = 0; ВС: х + 2у — 1 = 0; С А: х — у — 1 = 0.
Уравнение медианы, проведенной из вершины А: х —3 = 0; из
вершины В: х + у — 3=0; из вершины С: у — 0.	239. (—7; 0);
(о:+2у).	242. (1; 3).	243. З'х - 5у + 4 = 0, х + 7у - 16 = 0,
Зх — 5у — 22= 0, х+7г/+ 10 = 0. 244. Уравнения сторон прямоу-
гольника: 2х — бу+ 3 = 0, 2х —5г/ —26 = 0; уравнение его диаго-
нали: 7х — Зу — 33 = 0. 245. 5х + у — 3 = 0 — биссектриса внутрен-
него угла; х — Зу — 11=0 — биссектриса внешнего угла. 246. х+у—
— 8 = 0; Их — у — 28 = 0. Указание. Условйю задачи удовлетво-
ряют две прямые: одна из них проходит через точку Р я середину
отрезка, соединяющего точки Л и В; другая проходит через точку Р
параллельно отрезку АВ. 247. (—12; 5).	248.	(10; —5).
(5	\
-д-; 0|. Указание. Задача может быть решена по сле-
дующей схеме: 1) устанавливаем, что точки М и N расположены
по одну сторону оси абсцисс; 2) находим точку, симметричную одной
из данных точек относительно оси абсцисс, например точку Nlt
симметричную точке N; 3) составляем уравнение прямой, прохо-
дящей через точки М и AG; 4) решая совместно найденное уравне-
ние с уравнением оси абсцисс, получим координаты искомой точки.
250. Р (0; 111	251. р'(2; —1)>	252. Р (2; 5).	253. 1) <р = -£;
4
Л-	Pi
2) <р —ту! 3) ф = 0—прямые параллельные; 4) qp = arctg — -.
Л/	11
254. х — 5у + 3 = 0 или 5х + у — 11=0. 255. Уравнения сторон
квадрата: 4х.+ Зу+1=0, Зх — 4у +32 = 0, 4х + Зу — 24 = 0,
Зх — 4у+ 7 = 0; уравнение его второй диагонали: х + 7 у — 31 = 0.
256. Зх — 4у + 15 = 0, 4х + Зу — 30 = 0, Зх — 4у — 10 = 0, 4х + Зг/—
- 5 = 0. 257. 2х + у—16 = 0, 2х + у+14 = 0, х — 2у — 18 = 0.
258. Зх — у+ 9 = 0, Зх + у + 9 = 0.	259k 29х — 2у + 33 = 0.
262. 1) Зх-7у —27 = 0; 2) х + 9у + 25 = 0; 3) 2х —Зу—13 = 0;
4) х—2=0; 5) у+3=О, 264. Перпендикулярны 1), 3) и 4). 266.''I) <р = 45°;
2) Ф = 60°; 3) <р = 90°. 267.	(6; -6). 268. 4х - у - 13=0, х-5==0,
208
X + 8у + 5 = 0.	269. ВС: Зх + 4у — 22 = 0; С А: 2х — 7у — 5 = 0
СМ Зх + 5у—23 — 0. 270. х + 2у-7 = 0, х—4у -1=0, х—у+2=0.
Указание. Задача может быть решена по следующей схеме:
1. Устанавливаем, что вершина А не лежит ни на одной из данных
прямых. 2. Находим точку пересечения медиан и обозначаем ее
какой-нибудь буквой, например М. 3. На прямой, проходящей через
точки А и М, строим отрезок MD = AM (рис. 81). Затем опреде-
ляем координаты точки D, зная точку М — середину отрезка AD
и один из его концов А. 4. Уста-
навливаем, что четырехугольник
BDCM —параллелограмм (его диа-
гонали взаимно делятся пополам),
составляем уравнения прямых DB
и DC. 5. Вычисляем координаты
точек В и С. 6. Зная координаты
всех вершин треугольника, мы
можем составить уравнения его
сторон. 271. Зх —5у—13 = 0,
8х-Зу+17 = 0, 5х+2у-1=0.
272. 2х—у + 3 = 0, 2х + у—7 = 0,
Если на одной из сторон угла дана
точка А, то точка, симметричная то^ке А относительно биссектрисы
этого угла, будет лежать на другой его стороне. 273. 4х—Зу + 10=0,
7х 4. у - 20 = 0, Зх + 4у — 5 = 0. 274. 4х + 7у - 1 = 0, у - 3 — 0,
4х + Зу—5 = 0. 275. Зх + 7у-5 =0, Зх + 2у-10=0, 9х + 11у+5=0.
276.	х— Зу —23 = 0,	7х + 9у+19 = 0,	4х+Зу+13 = 0,
277. х + у—7 = 0, х + 7у + 5=0, х—8у + 20=0. 278. 2х + 9у—65=0,
бх—7у—25 = 0, 18х + 13у — 4! = 0. 279. х + 2у = 0, 23х + 25у = 0.
289. 8х—у—24 = 0. 283. Зх + у = 0, х—Зу = 0. 284. Зх + 4у—1=0,
7х + 24у —61=0.	285. I) а = -2, 5у-33 = 0: 2) а1 = -3,
к
х _ 56 = 0;	= 3, 5х + 8 = 0; 3) а} = 1, Зх — 8у = 0; а2 = у,
ЗЗх — 56у = 0. 286.	т = 7, п = —2, у + 3-= 0, 287.	т — —4, п = 2,
х —5 = 0. 288. 1)	(5; 6); 2) (3; 2);	3* (1; у);	4) ^2; - ду);
5) f — у; 21. 291.	1)	При а =+ 3:	2) при а = 3	и b Ф 2; 3) при
а = 3 и Л = 2. 292.	1) +=—4,	п ф 2 или т — 4, n=# — 2;
2) т — —4, п = 2 или т =4, п = —2: 3) т — 0, п — любое значе-
7
ние. 293. т = —. 294. Условию задачи удовлетворяют два значе-
ния tn: /И1=0, т2 = 6. 295. I) Пересекаются; 2) не пересекаются;
3) не пересекаются. 298. а = —7. 299 1) у + ~ = 1: 2)	+ у=(;
3>++т =1;.41+++тг=,; 3»-++ + “'	82>-
300. 6 кв. ед. 301. х + у + 4 = 0. 302. х + у — 5 = 0, х — у + 1 = О,
Зх — 2у = 0. 303. Решение. Напишем уравнение искомой прямой
«в отрезках»:
L л. У.
а b
(1)
209
Наша задача — определить значения параметров а и 6. Точка С (I; ])
лежит на искомой прямой, следовательно, ее координаты должны
удовлетворять уравнению (1). Подставим в уравнение (1) вместо
текущих координат координаты точки С; после приведения к общему
знаменателю получим:
а + b = ab.	(2)
Теперь заметим, что площадь треугольника S, отсекаемого прямой
от координатного угла, определяется формулой	+ S
л»
в том случае, когда отрезки а и b одного знака, и —5 в том слу-
чае, когда эти отрезки разных знаков. Согласно условию нашей
задачи будем иметь:
ab = ± 4.	(3)
ab = —4;
Решим систему уравнений (2) и (3):
ab = 4;
тогда получим:^ =2,	— 2: 02 = — 2 + 2 /Г,	--* — Л,
flj== —2 — 2 1 2 , &з = —2 + 2 р 2 , Таким образом, условию задачи
удовлетворяют трй прямые. Подставим в уравнение (1) полученные
4-~ = |	, х___L	в1
2	' —2+2/2	’
_____*_____+ У... г
-2-2/2	— 2 + 2 /Т
После упрощения этих уравнений
получим: х + у — 2 « 0, (l + /Г) к+
+ (| + /Г)у —2==0.‘ 304. Условию
задачи удовлетворяют следующие три
прямые: (/2 + I) х + (/Г- 1)у -
+ 10 = 0, х—у—10 = 0.	305. Зх —
— 2у—12=0,	Зх-8у+24 = 0.
306. х + Зу — 30 = 0, Зх + 4у — 60 = О,
Зх — у — 30 = 0, х — 12у + 60 = 0.
307. Условию задачи удовлетворяют
две прямые, пересекающие соответ-
ственно оси координат в точках (2; 0),
^2xit/i. 309. Прямые 1), 4), 6) и 8) заданы нормальными уравнениями.
4	4	4	3	12
310. 1)4л-4у-2=0; 2) --1 х+-у - 10 = 0; 3) -~х +
u	D	и	О	1О
5	2	1
+ A-j,-l=0;	4) — х—2 = 0; 5)	-	* п
L □
х —
311. I) с = 0, р = 2; 2) а = л, р = 2; 3) а = р — 3; 4) а = —
Ли
р = 3; 5J а —-р р = 3; 6) а = — -р р = /Г; 7) а = — -|д
Л1Л
р=1; 8) d = — 3,p—q'. 9) а = р — я, p=*q. 312. 1)6 = — 3,
d = 3; 2) 6=1, d = 1; 3) 6 = —4, d = 4; 4) 6 = 0, d = 0 — точка Q
лежит на прямой. 313. 1) По одну сторону; 2) по разные стороны;
3) по одну сторону; 4) по одну сторону; 5) по разные стороны.
314. 5 кв. ед. 315. 6 кв. ед. 318. Является выпуклым. 319. Пе яв-
ляется выпуклым. 320. 4, 321. 3. 322. 1) d = 2,5; 2) d = 3; 3) d — 0,5;
4) d = 3,5. 323. 49 кв. ед. 325. В отношении 2 : 3, считая от второй
прямой. 326. Решение. Задача о проведении прямых через точку Р
на расстоянии, равном 5 от топки Q, ранносильна задаче о прове-
дении из точки Р касательных к окружности радиуса 5, с центром
в Q. Вычислим расстояние QP: QP = V (2 — I)2 + (7 — 2)2 = } 26.
Мы видим, что расстояние QP больше радиуса окружности: сле-
довательно, из точки Р можно провести две касательные к этой
окружности. Теперь перейдем к составлению их уравнений. Урав-
нение всякой прямой, проходящей через точку Р, имеет вид
y-7 = fr(x-2)	(П
или kx — у + 7 — 26 = 0, где k — пока неопределенный угловой
коэффициент. Приведем это уравнение к нормальному виду. С этой
целью находим нормирующий множитель р= ±	1н0'
жая уравнение (1) на р, получим искомое нормальное уравнение
бх — у + 7 —	•,£.
Подставляя в левую часть уравнения (2) координаты точки Q,
|6 —2 + 7-26| 1П
имеем: ---------------L = 5. Решая это уравнение, найдем два
1 k2	1
5
значения A: Aj —--62=0. Подставляя найденные значения
Углового коэффициента в уравнение (1), получаем искомые уравнения:
&х + 12у—94 = 0 и у—7 = 0. Задача решена. 327. 7х + 24у—134=0,
х - 2 = 0.	328. Зх + 4у - 13 = 0.	330. 8х — 15у + 9=0
331. Зх — 4у — 25 = 0, Зх —4# + 5 = 0. 332. Условию задачи удо-
влетворяют два квадрата, симметрично расположенных относительно
стороны ЙВ. Уравнения сторон одного из них: 4х+3у —8 = 0,
Ах + 3# + 17 = 0, Зх — 4у — 6 = 0, Зх — 4# + 19 = 0. Уравнения сто-
рон другого: 4х + 3у—8=0, 4х+ Зу — 33 = 0, Зх —4# —6 = 0,
Зх — 4#+ 19 = 0. 333. Условию задачи удовлетворяют два квад-
рата; остальные стороны одного из них лежат на прямых:
Зх + 4у — 11 = 0, 4х — Зу — 23 = 0,, Зх + 4у — 27 = 0; остальные
стороны друг ого — на прямых: Зх + 4у — 11 = 0, 4х —• Зу ~ 23 = 0,
Зх + 4у 4- 5 = 0.	334. Зх + 4у4-6 = 0, Зх-р4у—14 = 0 или
Зх + 4у + 6 = 0, Зл + 4у + 2б = 0.	335. 12х - 5у + 61 = 0,
12х — 5у + 22 = 0 или 12х — 5у + 61=0,	12х — 5у + 100 = 0.
336. Л4(2; 3). 337. 4х + у + 5=0, у-3 = 0. 338. I) Зх - у + 2 = 0;
2) х-2у + 5 = 0; 3) 20х-8у-9 = 0.	339. 1) 4х-4у + 3 = 0,
2х + 2у —7 = 0; 2)4х+1=0, 8у+13 = 0; 3) 14х — 8у — 3 = 0,
64х + 112у — 23 = 0. 340. х — Зу — 5 = 0, Зх + у — 5 = 0. Указа-
ние. Искомые прямые проходят через точку Р перпендикулярно
к биссектрисам углов, образованных двумя данными прямыми.
341. 1) 13 одном углу; 2) в смежных углах; 3) в вертикальных
211
углах. 342. 1) В вертикальных углах; 2) в смежных углах; 3) в од-
ном углу. 343. Внутри треугольника. 344 Вне треугольника.
345.	Острый угол.	346.	Тупой угол. 347. 8х4 4у — 5 =	6'
348.	х4 3у—2 = 0.	349.	Зх — 19 = 0.	350. Юл - 10у - 3 =	о'
351.	7x4 56у-40 — 0.	352. х4у45	= 0.	353. 5(2; -I)'
354.	1> Зх 4 2у - 7 = 0; 2)	2х - у — 0; 3)	у - 2 = 0; 4) х - I =	0:
5) 4x4-Зу- 10=0; 6) Зх - 2у 4 1 = 0. 355. 74х 4- 13у 4 39 = 0
356. х—У- 7 = 0.	357.	7x4- 19// - 2 = 0.	358. х — у 4- 1=0.
359. 4х — 5у 4 22 = 0, 4х 4 У — 18 = 0, 2х — у 4 1 = 0. 360. х—5у4-
413 = 0, 5x4 У 4 13 = 0.	3G1.	5х — г/— 5 = О (ЯС), х — у 4
4 3 = 0 (ЯС), Зх - у-4 =0 (СУ). 362. х - 5у - 7 =0, 5х 4 у 4
4 17 = 0, 10х 4 7у — 13 = 0. 363. 2х 4 У 4 8 = 0, х 4 -У 4 1 = 0.
366. С = —29.	367. а =4 — 2.	368. Уравнения сторон квадрата:
4х 4 Зу — 14 = 0, Зх—4у 4 27 = 0, Зх—4у 4 2=0, 4х 4 Зу 4 11=0;
уравнение его второй диагонали: 7х—у 4 13 = 0. 369. х 4 у 4 5 = 0.
370. х 4 У 4 2 = 0, х — у—4 = 0, Зх 4 у — 0. 371. 2х 4 у — 6 = 0,
9х 4 2у 4 18 = 0.	372. Зх - у 4 1 == 0.	374. Зх - 4у 4 20 = 0,
4х 4 Зу — 15 = 0. 375. х 4 5у - 13 = 0, ох — у 4 13 = 0. 376. Усло-
вию-задачи удовлетворяют две прямые: 7x4 у—9 =0, 2х4у41=0.
377. 5х — 2у — 7 = 0. 378. АС: Зх 4 8у — 7 = 0, BD: 8х—Зу 4 7 — 0.
379.	4х4-у45=0, х—2у—1=0, 2х 4 5у — 11 = 0.	381.
1) psin(fl —0) =р, pslnjy—G =3;	2) р cos (6 — а) = a cos а,
2
6 + у л
О
382. р sin (fl — 6) = pL sin (fl — 9i). 383. p cos (0 — a) = p, cos (0, — a),
0) = a sin fl, p sin i ~ — 6 i = 3.
= -4; 3) p sin (fl
p cos
p sin (6 - 60  I P ~+	385. I) x’+^=9;
384. ------------= 7 .	---- - ~ .
P? sin (Э2 — 0j) V p^4p?-2p2p1 cos (02-0i)
2) (x - 2)« 4 (У 4 3)z = 49; 3) (x-6)2 4 (y4«)2 = 100; 4) (x 4 1)4
4- (y - 2F = 25:	5) (x — I)2 4 (y — 4)2 = 8; R) x24y2=16;
7) (x- I)2 4 (У 4 I)2 = 4; 8) (х-2)24(У~4)2 = 10; 9) (x-I)24
4 y2 = 1; 10) (x — 2)2 4 (у — I)2 = 25. 38t>. (X - 3)2 4 fy 4 D2 = 33.
387 (x - 4)2 4 (У 4 1 )2 = 5 и (x - 2)2 4 (у - 3)2 = 5. 388. (x 4 2)24
4 (y 4 1)2 = 20.	389. (x — 5)? 4 0/4 2)2 = 20 и (х-^?4
•	\ о /
/	°2 V
4 у - • Y I = 20. 390. (x — 1 )2 4 (y 4 2)2 = 16. 391. (x 4 6)® 4
4(w _ ЭР = 50 и (x - 29)2 4 (У 4 2)2 — 800. 392. (x-2)2 4 (y-l)2=5
/	22 V . ( , 31 'r —
" r—r) +r + ~
(z + 8)=+(!/ + 7)> = §
393. (х-2Г+(г<-1)’=^. и
О	Id
(9П9\2
x4~. 4
= 1 H
+ |(/__2: =1.	39G. (x-5)24y2 = 16, (x 4 15)! 4 У2 = 256,
/ ' 35 V' I 40 V /32 V /	35 \2 , [ , 40 V /32 V
Г”"з")	+(у + т) =\t) ‘
397. Уравнения 1), 2), 4), 5), S) и (10) определяют окружности;
1) С (о; —2), R = 5; 2) С (—2; 0), R = 8; 3) уравнение определяет
212
единственную точку (5; —2); 4) С(0;5), £ = 1^5, 5) С (1; —2). /? —5;
6) уравнение не определяет никакого геометрического образа на
плоскости; 7) уравнение определяет единственную точку (—2, I).
8)'С^—~;о),	9) уравнение не определяет никакого гео-
метрического образа на плоскости; 10) ‘ С ^0; —/?=»-!-.
398. 1) Полуокружность радиуса R — 3 с центром в начале коор-
динат, расположенная в верхней полуплоскости (рис. 83); 2) полу-
окружность радиуса Я = 5 с центром в начале координат, располо-
женная в нижней полуплоскости (рис. 84); 3) полуокружность
радиуса = 2 с центром в начале координат, расположенная в левой
Полуплоскости (рис. 85); 4) полуокружность радиуса R — 4 с центром
213
в начале координат, расположенная в правой полуплоскости (рис. 86);
5) полуокружность радиуса J? = 8 с центром С (0; 15), расположен-
ная над прямой у — 15^=0 (рис. 87); 6) полуокружность радиуса
# = 8с центром С (0; 15), расположенная под прямой у — 15 = 0
(рис. 88); 7) полуокружность радиуса /? = 3 с центром С (— 2; 0),
расположенная влево от прямой x-j-2 = 0 (рис. 89); 8) полуокруж-
ность радиуса 7? = 3 с центром С (— 2; 0), расположенная вправо
от прямой х + 2 = 0 (рис. 90); 9) полу окружность радиуса /? = 5
с центром С (f-2; —3), расположенная под прямой у 4- 3 = 0 (рис. 91);
10) полуокружность радиуса /?=7 с центром С (—5; —3), располо-
женная вправо от прямой x-f-5 = 0 (рис. 92). 399. 1) Вне окруж-
ности; 2) на окружности; 3) внутри окружности; 4) ня окружности;
5) внутри окружности. 400. I) х 4- % — 3 = 0; 2) х + 2 = 0;
3) Зх —у-9= 0; 4) у+1=0. 401. 2х-5у + 19=0. 402. а) 7;
б) 17; в) 2. 403. Afj (— 1; 5) и Л42(—2;—2). 404. I) Пересекает
окружность; 2) касается окружности; 3) проходит вне окружности.
40S.-1) |*|<-; 2)4-±4; 3) И>4- 408.
407. 2х + у - 3 —0. 408. Их - 7у-69 = 0. 409. 2/5. 410. 2х-3у +
-1-8 = 0, Зх + 2у — 14 = 0. '412. хг + у2+ 6х-9у-17=0.
413. 13х2 + 13y?-P3x + 71w = 0. 414. 7х-4у = О. 415.2. 416.10.
417. (х+ 3)? + (у — 3)2= 10. 418. х —2у + 5 = 0. 419. Зх - 4у 4-
(7	5 \	г—
j): . d = 2K5. 421. x1x + yJy = /?2.
422. (xj-а)(х-а) +(yi-₽)(у —₽1 = /?2. 423. 45°. 424. 90е.
425.	(а, - а2)2 + (ft - ft)2 = Я2 + /?|.	427. х - 2у - 5 = 0 и
2х — у — 5 = 0. 428. 2х4-у — 8 = 0их — 2у-Ь 11=0. 429. 2х + у—
-5 = 0, х-2у = 0. 430. 90°. 431. х + 2у + 5 = 0. 432. d = 7,5.
433. d = 7. 434. d = /10. 435. 3. 436. 2х + у - I = 0 и 2х + у -Ь
+ 19 = 0. 437. 2х + у - 5 = 0 и 2х+у+5 = 0. 438. р = 27? cos (0- Gj
(рис. 93). 439. 1) p = 2/?cos0 (рис. 94); 2) р=—2/?cosh (рис. 95);
3) p=2£sin$ (рис. 96): 4) р= —2/?sln0 (рис. 97). 440. 1) (2; 6)
И Л-2; 2)	и /?=4: 3) С: "> "	4> (4; -4)11
/? = А; 5) (3; и 2? — 3; G) (4; л| и /? = 4; 7) ^4; - и
Я=4. 441. 1) х2+у2-Зх = 0; 2) х2 + у2 + 4у «= 0; 3) х2 + у2-
— х + у = 0. 442. 1) p=cosG; 2) р = — 3 cos 0; 3) p = 5sin0;
4) р = — sin 0: 5) р = cos 0 4- sin 0.	443. р = 7? sec (0 — 9С,).
4И. ,) f+ f-I; 2) 4 + 4-1; 3) < + 4=1:
*) i+4=;51 та+<=’=«> та+<=1:7> 4+**-
X2 i/2	X2 i/2
™^ + ^ = '= “Я-й+Гв-1-
^ + -^-=1 з) *Li.
9 + 25 2 ’	25 + 169	
»1; 6) ~ +	446. I) 4 и 3;
/ lo
«5- 1>4 + ^=,; 2’
A\ X' Л. I- Hl X2 _L У2
4 64 + 100 ~ ’ 5) 16 + 25
*	R 6 I 1	1
2) 2 и 1; 3) 5 и 1; 4) /15 и ГТ; 5) я 6) - и -±-j 7) 1 и
«О	и D	4
214
8) 1 и 4; 9) ~ и 1; 10) | И 1, 447. 1) 5 и 3; 2) F, (-4: 0).
О О	о
2	9	4 У5
2) Р, (0; -2), Г2(0; 2); 3) е = ^| 4) у = ±	450. —Ч— кв. ед.
451.	. 452. См. рис. 98. 453. ^“3; — " ir 1—3; т£"|* 454. Течки
Д] и Ав лежат на эллипсе; Д2, Л1 и Л8 - внутри эллипса; As. А5|
Д7, Д9 и Aj j — вне эллипса. 455. 1) Половина эллипса + g e 1*
215
расположенная в верхней полуплоскости (рис. 99); 2) половина эл-
липса — 4- ~г= 1, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 100);
у 2,\У
и*
3) половина эллипса= 1, расположенная в левой полу-
о
плоскости (рис. 101), 4) половина эллипса х2 + -~=1, располо-
* J
женняя в правой полуплоскости (рис. 102). 456. 15. 457. 8.
458. 5х 4- 12у 4- 10 = 0, х - 2 = 0. 459. г, = 2,6. г2 = 7,4. 460. 20.
461. 10. 462. (-5; З/з) и (-5; -зКз). 463. ‘-2; -Ц--) и
\	Л/ I
р * 2	468	“ Хо)? 4-	“9o)2 I
467.	е = ~2“.	468.	-7---+-------------= [.
4’ • g t- !6	4/V.	9 -r 4
__	• 2
471.	I) C (3; —l), полуоси 3 и V 5, e =~, уравнения
, о
директрис: 2x — 15 = 0, 2x4-3 = 0; 2) C(—J;2), полуоси 5 и 4,
e = -г-, уравнения директрис: Зх — 22 = 0, Зх + 28 = 0; 3) С (1: —2),
5
полуоси 2 КТ и 4, е = —, уравнения директрис: у—6=0, у4-10=0.
X _ 3)2	( J. 7)2
472.	1) Половина эллипса-—-------Ь’ я------?«1, расположенная
(х 3)2
над прямой у+ 7 = 0 (рис. 103); 2) половина эллипса —:—---------1-
216
(if — IP
4-———ss|, расположенная под прямой if— 1=0 (рис. 104);
‘	** , (г/Н-3)2
3) половина эллипса —-- + ——-—=1 расположенная в левой
(х-4-5)2 (и_______________________________________________I)2
полуплоскости (рис. 105); 4) половина эллипса — ---h —. —=1,
прямой х 4-5 = 0 (рис. 106).
473. 1) (Х .^-- + -€=1; 2) 2x2-2xy + 2t/2-3 = 0; 3)68х« +
1 ОУ	ZO
+ 48хг/+ 82wz - 625 = 9; 4) 11 № + 2ху + 11 */2 — 48х - 48у - 240.
474. 5х2 + 9? + 4х - 18у - 55= 0. 475. 4х’+3{Р+32х - 14у+59=0.
476. 4х2 4- 5у2 + 14х + 40w + 81 = 0. 477. 7х2 - 2ху + 7у2 - 46х +
4--2у + 71=0.	478. 17х2+8х^+23у2 + 30х-40у-175 = 0.
479. х2 + 2у‘ - 6>г + 24//4-31 =0. 480. (4;	(3; 2). 481. (з; 4) -
прямая касается эллипса. 482. Прямая проходит вне эллипса.
483. 1) Прямая пересекает эллипс; 2) проходит вне эллипса;
3) касается эллипса. 484, 1) При 1 т | < 5 — пересекает эллипс;
2) при т — ± 5 — касается эллипса: 3) при | т | > 5 — проходит вне
эллипса. 485. А?а2+&2=^2. 486. •^Т' + Лт"*= 1. 488. Зх+2у-10=0
о*
и Зх + 2г/ + 10 = 0. 489. х-{- у —-5 = 0 п х+г/4-5 = 0. 490. 2х —
-у- 12 = 0, 2х-1/+12=0; d =	491. Af, (-3; 2); d = /13.’
492. х + у —5 = 0 и х4-4//— 10 = 0.	493. 4х—5# — 10 = 0.
494. d = 18. 493.	+	! ил„ +	496. g + =1.
217
499.	Указание. Воспользоваться свойством эллипса
I/O
у2
сформулированным в задаче 498. 500. лг + т-*!. Указание.
ZO тг
Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в задаче 498.
502. 2х+ Ир — 10 =0. Указание. Воспользоваться свойством
эллипса, сформулированным в задаче 501. 503. (3; 2) и (3; —2).
504. R = tmn 505. 10,5 УТ. 506. а = 60е. 507. 46,8. 508. GO"
У m2 4- п2
Х^ У
509. В эллипс, уравнение которого — 7 4- — =я1. 510. х24',уг = э.
|Ь4_>	1 О
х2 , у2 ,	4
6Н’ 16 +7б "" L 512‘
у2 <i2	«2
в«- » -55--Те—'= 2> V-
у2 ,. г	х~	У (. f>\ л
36 в®1, 	36	64 “ ’	144
4	5	’ ' 64	36	*
-Vе I/2	.	*2 у2
16	9	3' 100	576
8)
2)
513./у-=	514.	=
I/2	., о.	Г	У2 . х*
—-|;3) — ---1; 4)
	7\	^1-1
'144	25	’	; 16	9 ~1;
5,6-'>
11 о i-ё—и
5) 4--^-==- 1. 517. 1) а-3, 6 = 2; 2) а = 4, 6 = 1; 3) а = 4,
Ъ = 2, 4) а=1, 6-1; 5) а = у(	6) « = 1, 6 = Ь
7)	л = b= 1.	518. 1)а = 3, д-=4; 2) Л (~5; 0), F2(5;0);
3)	е =4-; 4) у — ± х; 5) х= ± -В-.	Б19. 1) а = 3, & = 4;
2)	Л(0;-5>, Л(0;5); 3) е-А’ 4)»-±4г- 5> V “ * ТГ"
О	и
620. 12 кв. ед. 521. 1) Часть гиперболы ~ —-^-«al, расположен-
ная в верхней полуплоскости (рис. 107); 2) ветвь гиперболы
»2
х? — X_e — 1, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 108);
х2	и2
3)	ветвь гиперболы -тх- — —• «I, расположенная в левой полупло-
1U	чг
218
скости (рис 109); 4) есть гиперболы	— I, расположен-
Z □ 'I
рая в верхней полуплоскости (рис. 110). 522. х — 4 ИГ i/4- 10 = 0
и х _ 10 = 0. 523 Г1 = 2у, г2= 10-1-. 524.8	525.12. 526.(0.
527. 27. 528. (10; 4'j и (10;	529. (-6;4/з) и (-6; — 4УЗ”).
2) х’-^=16; 3)	4)	i- = I или
—sn^-‘:	®33' е = ^'	=
„г х'в	У2 = 1 53fi х* №	в1 540 п	(*~*о)г	(У-УоУ
535~---j? L536- 6O”4O L 54°‘IJ а2----------¥----b
Рис. 110.	Рис. 111.
асимптот: 4х— Зу — 17 = 0, 4х + Зу4-1 = 0; 2) С (—5; 1), а = 8,
Ь = 3, е=«1,25, уравнения директрис: х = — 11,4 и х=1,4, уравне-
ния асимптот: Зх + 4у + 11 => 0 и Зг — 4у-f-19 = 0; 3) С (2; — I),
а = 3, 6 = 4. е=1,25, уравнения директрис; у— — 4,2, у = 2,2,
уравнения асимптот: 4х + ty “ 5 = 0, 4х — Зу — 11 = 0. 542. J j Часть
219
расположенная над прямой
гиперболы
(х -	(u-t t)?	.
9	4
расположенная под прямой у —7=0 (рис. 113); 3) ветвь гиперболы
(х — 9V	(у -|- 2)2
----6----------4---= I’ Располо>кенная в^во от прямом х —9 = 0
(рис. 114); 4) часть гиперболы
(х-5)2 (у + 2)2
----5------- - - - = — 1, раслоло'
У	10
(рис, 115). 543. 1)
(X - 3)2
144
= 1; 2). 24ху + 7у2 — 144 = 0; 3) 2ху + 2х — 2у + 7 = 0.
женн?я влево от прямой х — 5 = 0
25
Тб-’Т"’1' И5'	-'•	5М-
— 24у - 47 = 0. 547. 7х2-6ху -	+ I Sy-17 =0. 548. 91 х2—
— ЮОху -г 1 бу2 — !36х + 86у — 47 = 0. 549. ху — при повороте
старых осей на угол —45ej ху = — -у- при повороте на угол +45°.
*	д
асимптот: х = 0 и у = 0;
550. 1) С (0; 0). а = Ь = уравнения
2) С (0; 0), о = b = 3, уравнения асимптот: х =0 и у = 0, 3) С (0; 0),
(14	? \
Т> “* V *
О	О /
220
(25	\
; 3 —прямая касается гиперболы. 553. Прямая проходит
вне гиперболы. 554. I) Касается гиперболы; 2) пересекает гипер-
болу в двух точках; 3) проходит вне гиперболы. 555. 1) При
т | > 4.5 — пересекает гиперболу; 2) при т — ± 4,5 — касается ги-
перболы; 3) при | т | < 4,5—проходит пне гиперболы. 556. k-a2—b2—/n2.
_ 559. Зх-4у-10 = 0, Зх~4г/+10 —0.
560. 10х — Зу — 32 = 0, 10х — Зу + 32 — 0.
x-t-2z/ + 4 = 0; d = —562, Л1, (-6; 3);
О
563. 5х —Зу—16 = 0, ]3х + 5г/+ 48 = 0.	564. 2х + 5г/ - 16 = 0. 565	+	566. 4--^-=1, 3lL_4"'-.l	567
ТО	45	16	4 5б8 х = — 4, г = 4, у — — 1 и у = \. х2 и2	х2 и2 ™	+—T“L	575 16 575 2х+Нг/ + 6 = 0. Указание. Восполь- зоваться свойством гиперболы, сформулиро- ванным в задаче 574. 577. х2 — г/2 =16. r7o	в 1	579 — —		I 578. J6 9	1.	579. 25	4	1.
580. </=-= 581. q — 2 582.	= 2, q2^ — ,
О	I
583. I) у2 — бх; 2) у2 = — х. 3) х2 = У>
&
4)	х2 = — б//.	584. 1) р = 3; в пра-
вой полуплоскости симметрично оси Ох: 2) р = 2,5: в верхней
полуплоскости симметрично оси Оу; 3) р = 2; в левой полуплоскости
симметрично оси Ох, 4) р — в нижней полуплоскости симме-
£
Рис. 118.
’рично оси Оу. 585 I) г/2 = 4л; 2) у1 = — 9х; 3) х2 = у; 4) х2 = —2у.
586. 40 см. 587. х2 = —12#. 588. 1. Часть параболы у2 = 4х, рас-
положенная в первом координатном углу (рис. 116); 2) часть пара-
болы и2 = — х, расположенная во втором координатном углу
(рис. 117); 3) часть параболы #2 = — 18х, расположенная в третьем
‘	221
координатном углу (рис. 118); 4) часть параболы У2 = 4х,_ располо-
женная в четвертом координатном углу (рис, 119); 5) часть пара-
болы х2 = 5у, расположенная в первом координатном углу (рис. 120);
6) часть параболы х2 = — 25//, расположенная в третьем координатном
углу (рис. 121): 7) часть параболы r2=3y, расположенная во втором
координатном углу (рис. 122); 8) часть параболы хг=—16у, рас-
положенная в четвертом координатном углу (рис. 123). 589. F (6; 0),
х + 6 = 0. 59.1 12. 591. 6. 592. (9, 12). (9; - 12). 593. у2 =-28х.
594.1) (у-Р)2 = 2р (х — а); 2) (у — ₽)2 = —2р (г—а). 595. 1) (х-а)2 =
= 2р(у-Р); 2) (х-а)2 = -2р(у-₽). 596. 1) А (2; 0), р=2,
х- 1 = 0; 2) о\ р = 3, 6х- 13 = 0; 3) а(о; -4), Р = 3,
бу 4- 11«" 0; 4) Д (0; 2)t р == 4 ’ ~ 9 =* °- Б97' 1)Л <“2j 1Ь р в2’
А
222
2) Л (1; 3), д=-; 3) Л (6; -1), р = 3. 598. I) А (-4; 3). р=2;
2) 4(1; 2). р = 2: 3) Л (0; 1), p = J . 599. 1) Часть параболы
\.У—3)?= 1G(х — 1), расположенная под прямой у — 3 = 0 (рис. 124);
2) часть параболы (x-f-4)2= 9 (y-j-5), расположенная вправо от
прямой х 4-4 = 0 (рис. 125); 3) часть параболы (х—2)2 =—2 {у—3),
расположенная влево от прямой х—2 = 0 (рис. 126); 4) часть пара-
болы (&'Ч-5)2 = —3(*4-7),	рас-
положенная под прямой у4-5 = 0
(рис. 127). 600. х —	ff+7.
*Т
601. 4/=уХ2—х4-3. 602. х24-
+ 2ху 4- р2 — 6л- + 2у 4- 9 = 0.
603. F(9; —8). 604. 4x2 — 4xj»4-
4-4-32x4-34^ 4-89 = 0.	605.
(2; I). (—6; 9). 606. (-4; 6) —пря-
мая касается параболы. 607. Пря-
мая и парабола не пересекаются
608. 1) Касается параболы; 2) пе-
ресекает параболу в двух точках:
3) проходит вне параболы. 609. 1) k <	; 2) J?=-^-; 3) k >
610. p = 2bk. 612. улу— р{х4-хг). 613. х4-»4-2 = 0 614. 2х —
— 4,—16=0. 615. d = 2j/l3. 616. Л1, (9; —24); d = 10. 617. Зх-
— ₽4-3 = 0 и Зх—2^4-12 = 0 619. 5х—18^4-25=0 620. d=13^.
621. (6; 12) и (6; -12). 622. (10: /30>, (10; - /30), (2; /б-),
(2; -Кь).
(з— /Тз ,
\	2	:
пользоваться
628. 1) р
623. (2; 1), (—1; 4),
7 —
и
’625. у—18 = 0. Указание. Вос-
свойстном параболы, сформулированным в задаче 624.
5—3 cos 6 ; 2) P = 54-3cosA’ 629*	р==4—5соз0;
9	л .	144	144
2) рЕ= 4—5cos0‘ 630' 1> р —54-13cosfl’ 2) Р--------54-13 cosfi ’
3
631. р = ।__cq—q. 632. 1) Эллипс; 2) парабола; 3) ветвь гиперболы;
4) эллипс; 5) ветвь гиперболы; 6) парабола. 633. 13, 12. 634. 8, 6,
21	29
635. р=— 2с"О50> P = 2c3s 0	636‘ уРавне110Я Директрис: р =
34	16	20
= ~ г~-—3 • Р =— г----а • УРавнения асимптот: р = ъ~ а—-л----а»
5 sin 9 р 5cos9	1 3sin8—4 cos 8
p=g_ ..... 20	637. (б;	(б; — 4V 638- fs;
‘	3 sin 9-|-4 cos 8	\ 4y \ h}	\	3 /
(З; -yj^. 639? 1) nJ; 2) ^p; -2-). (p; “f). 640. p2=
223
= -;----"---64t. p8 = -j----------Г-д---г. 642. р =
I — е2 cos2 0	е cos- 0 — I	sin2 и
643. 8х 4- 25у = 0. 644. 9х — 32у - 73 = 0. 645. х — у =-0, х + 4у = 0.
646.	х + 2у—0,	8х —9г/ = 0. 647. х4-29 = 0,	2х —Зу = 0
654.	2х —59 = 0.	655. 7х + у — 20=0.	656.	х —89 = 0,
2х — у = 0. 657. х —2у = 0. Зх —9 = 0; х-Ь2у = 01 3x4* 9=0.
661. у 4- 2 = 0. 662. 2х — у 4- 1 = 9. 665. Линии 1), 2), 5) и 8) имеют
единственный центр, 3), 7) — не имеют центра, 4, 6) — имеют бес-
конечно много центров. 666. I) (3; —2); 2) (0; —5); 3) (0; 0);
4) (—1;3). 667. I) х-Зу-6=0; 2) 2x4- у -2 = 0; 3) 5х - у 4-
4-4 = 0. 60S. I) Эх2 - 18x9 + 6.9? 4- 2 = 0; 2) 6х2 4* 4ху + у2 - 7 = 0;
3) 4х2 4- 6x9 4- У2 — 5 = 0; 4) 4х2 + 2x9 + ^92 4* 1 = 0. 669. 1) т^4,
п — любое значение; 2) m = 4, л^=6; 3) т = 4, п =6. 670. I) £ = 2;
2) ki~ — 1, fe2=5; 3) при всех fey=2 и удовлетворяющих
неравенствам — 1 </г < 5; 4) прий< —I и при k>5. 671. х2 — 8у2 —
— 4 = 0. 672. х2 4* ху + у2 4- Зу = 0. 673. 1) Эллиптическое уравяе-
ц'~
ние; определяет эллипс-j- 4* “LT'“ U О' (5; —2) —новое начало;
ч/	л
/2 /2
2) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу ’Jg”" g в •;
х'2 92
О (3; —2) — новое начало; 3) эллиптическое уравнение -т- 4“ %- = — I;
не определяет никакого геометрического образа (является уравне-
нием «мнимого эллипса»); 4) гиперболическое уравнение; опре-
деляет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся прямых
4х'2 — 9'' = 0; О'(—1; —1) —новое начало; 5) эллиптическое урав-
нение; определяет вырожденный эллипс (единственную точку)
2х’’4-39 ‘ = 0. 674 ’), .1) Гиперболическое уравнение; определяет
х'2	У'2	1	9
гиперболу -Q------	= 1; tg а = —2, cos а =	, sina =----
У 4	у 5	у 5
х'2	у'2
2)	эллиптическое уравнение; определяет эллипс —т 4“ л = I; а = 45е;
1 о 4
3)	эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс —
единственную точку х‘ 4* 4у'2 = 0; 1g а = 2, сова =гг= sin « = -<=;
V 5 V 5
4)	гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гипер-
9/2
болу — пару пересекающихся прямых х' — у =0; tga = -:-,
3	2
cos a = j у2-* ’ sin a = —-r- ’ эллиптическое уравнение; не опре-
деляет никакого геометрического образа (является уравнением
«мнимого эллипса»); в новых координатах его уравнение имеет в'ид
х2
——р у'2 == — [; a ==» 45е. 675. 1) Гиперболическое; 2) эллиптиче-
ское; 3) параболическое; 4) эллиптическое; 5) параболическое;
6)	гиперболическое. G76. 1) Гиперболическое уравнение; определяет
*) В задачах 674 1) —5) а есть угол от до лож ягельного на-
правления старой оси абсцисс до новой,
224
гиперболу,
путем двух
У = У — 1 и
-	/2	1
уравнение которой приводится к виду х — ^-г- = 1
последовательных преобразований координат: х — х + 2,
, х'— у' _ х' 4- у' . 1ЛО, п,
.?«= — л=—, у ————(рис. 128); 2) эллиптическое
I 2	у 2
уравнение; определяет эллипс, уравнение которого приводится
, х'2 I У'2	1	s	я
к виду 	+ р = 1 путем двух последовательных преобразования
Рис. 130.
х' у' ~
координат: х=-х —1, у—у+1 и х =---------------— — ,у =
(рис. 129);- 3) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу,
х'~ У‘
уравнение которой приводится к виду '--------= I путем двух
последовательных преобразований координат: х = х + 3, у — у — 4
х‘ — 2у'
И X = ----7=“
(рис. 130); 4) гиперболическое урав*
5
8 Д. В. Клегепик
225
пение; определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся
прямых, уравнение которых приводится к виду х'* 2 —4у'2 = 0 путем
двух последовательных преобразований координат: х = ^ —2,
х' 4- Зу' / _	— Зх' 4“ у' 1
у —у и х =—- -г- , у—--------^^-2 -  (рис. 131); 5) эллиптическое
уравнение; не определяет никакого геометрического образа — «мни-
мый эллипс»; его уравнение приводится к виду x_4-2y'Js= — 1
путем двух последовательных преобразований координат: х — х— I,
t	К-' I

У~
у
Рис. 131.
; 6) эллиптическое уравне-
/10
пне; определяет вырожденный
эллипс — единственную точку; его
уравнение приводится к виду 2х,2+
4- Зу'~ =0 путем двух последова-
тельных' преобразований коорди-
х' — и'
нат: х = х, У — у — 2 и х — - у/-—

= 1 — эллипс; 2) 9х2 — 16у2 = 5 —>
гипербола; 3) х2 — 4у2 = 0 — выро-
жденная гипербола — пара пере-
секающихся прямых, уравнения
которых х — 2у = 0, х + 2у = 0;
4)	2х2 + Зу2 — — 1 — «мнимый
эллипс»; уравнение не определяет
никакого геометрического образа;
5) х2 4- 2у2 = 0 —• вырожденный
единственную точку — начало коор-
X2
7)-------у2 = I — гипербола;
1
эллипс; уравнение определяет
х^ и2
динат; 6) — 4- — = 1 — эллипс;
х2
8)	_i_ у2 = । _ зллипс 678 1) 3 и 1; 21 3 и 2; 3, 1 и -g ,	3 я ?.
*479. 1) х — 2, у = 3; 2) х = 3,у •= — 3; 3) х = \ р®» — I; 4) х —2,у = I.
680. 1) 2 и 1; 2) 5 и I; 3) 4 и 2; 4) 1 и 68i 1) х + у--1 =» 0,
Зх + у + I = 0: 2) X - 4у - 2 = 0, Jt - 24- + 2 = 0; 3) х - у = 0,
х —Зу=*0, 41 х + у —3 = 0, х 4- Зу + 3 = 0.	682. 1) Эллипс;
2) гипербола; 3.1 паре пересекающихся прямых (вырожденная гипер-
бола); ’0 уравнение не определяет никакого геометрического образа
(«мнимый эллипс»); 5) точка (вырожденный эллипс). 689. 1) Пара-
болическое уравнение; определяет параболу, уравнение которой
приводится к виду у,:‘=2х" путем двух последовательных прр-
,	„	.	— 4х' + Зу'	— Зх' — 4у'
образовании координат: х —---------=---у —-------------=---— и
о	О
х'= х" — 3, /==/' +2 (рис. 132); 2) параболическое уравнение;
определяет вырожденную параболу — пару параллельных прямых,
уравнение которых приводится к виду х"2 = 1 путем двух последо-
„	Зх' — 2у'	2х' + Зу'
вательных преооразований координат: х~-----, у——-
х =
4
к х' = х" +
!/<=у" (рис. 133); 3) параболическое уравнение;
не определяет никакого геометрического образа; приводится к виду
у"2 4-1=0 путем двух последовательных преобразований координат!
х — Зг у?- ’1 у — 4х + 3У и х = х", у — у" — 4.690. I) у- == 6х —t
м	О	f
парабола; 2) у2 = 25 — вырожденная парабола — пара параллельных
прямых, уравнения которых у — 5 = 0, у 4- 5 = 0; 3) у2 = 0 —выро-
жденная парабола — пара слившихся прямых, совпадающих с осью
абсцисс, 693. 1) (х Н- 2у)2 + 4х + у — 15 = 0; 2) (Зх — у)2 — х +
4-2у- 14 = 0; 3) (5х - 2у )2 + Зх - у + 11 =0; 4) (4х + 2у)2 - 5х+
4- 7у « 0; 5) (Зх - 7г/)2 + Зх - 2у - 24 = 0. 697. 1) 3; 2) 3; 3) /2;
4) j /То. 699. 1) 2х + у - 5 = 0, 2х + у- 1 = 0; 2) 2х - Зу-1 = 0,
2х — Зу -4-11 я0; 3) 5х — у — 3 = 0, 5х — у 4-5 = 0. 700. 1) х —Зу4-
Д-2 =0; 2) Зх + 5у + 7 = 0; 3)4х-2у-9 = 0. 701. (хг + у2)2 —
— 2сг(х: — у2) = а* — с1. 702. (х2 4 у2)2 = 2а2 (х2— у2); рг = 2а2 cos 20.
703. p2 = Ssin2G; (х2 + у2)2 = 2Sxy. 705, Р=“6 и р = —-^-0.
706. (2г — х) у2 = х3. 707. х (а2 + у2) = а3. 708. р = —± ft;
cos а
x2y2-b(x+a)2(x2-ft2) = 0. 709. р = —±atg9; х2[(х+а)2+у2]=а2уг.
710. р = 2а cos 0 ± ft; (х2 + у2 — 2ах)2 = Ь2 (х2 + у2). 711. p=a|sin20];
_2	21	2.
(х2 + у2)’-= 4агх2у2. 712. x = acos3/; у = a sin3 f; х3+у3=а3.
713. р = асоз39; (х2 Ц-у2)» = ах3. 714. х = a (cos t 4-1 sin /);
у = a (sin i — t sm /).	715. x = a(f —sinf), у = a (1 — cos ();
x + I'"у (2a — y) = a arccos —7 .	716. x = a (2 cos i — cos 2/),
у = a (2 sin t — sin 2/); p = 2а (1 — cosO). 717. x — (a -|- b} cos / —
— a cos й- t, у = (a + b) sin / — a sin —/. 718. x = (b—a) cps/4-
, b — a .	,,	. b — a ±
4- a cos-.— t, у = (b — a) sin t — a sin---1
8*
227
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
720. 1) (4; 3; 0), (—3: 2; 0), точка С лежит на плоскости Оху,
следовательно, ее проекция аа эту плоскость с ней совпадает, (0; 0; 0);
2) (4f 0: 5), (—3; 0; i), (2; 0j 0)* точка D лежит на плоскости Oxz,
следовательно, ее проекция на эту плоскость с ней совпадает;
3) (0; 3; 5), (0; 2; 1), {0; —3; 0), точка 2) лежит на плоскости Oyz,
се проекция на эту плоскость о ней совпадает; 4) (4; 0; 0), (—3; 0; 0),
(2; 0; 0), (0; 0; 0); 5) (б; 3; 0), (0; 2; 0), (0; ~3; 0), (0; 0; 0); 6) (0; 0; 5),
(0; 0; I), (0; 0; 0), точка D лежит ва оси апликат, следовательно,
ее проекция на эту ось с ней совпадает. 721, 1) (2; 3; —1)_
(5; - 3; -2), (-3; 2; 1), (а; Ь\ - б); 2) (2; -В; 1), (5; 3; 2), (-3; -2; -(),
(а; - bl е); 3) (-2; 3; 1), (-5; -3; 2), (3: 2; ~ 1). (- а; й; с);
4) (2; -3; -1), (5; 3; -2), (-3; -2; 1), (й> - й: - с); 5) (-2; 3; -I),
(~5;-3;-2), (3;2;1), (- а; й; с); 6) (-2; -3; 1), (-5; 3; 2),
(3; -2; -1), (-а; -й; с); 7) (-2; -3; -1), (-5; 3; -2), (3: -2; 1),
(— а; — й; — г). 722. (о; й; — а), (а; — а; а), (— а\ а\ о), (—а; — а; а),
723, 1) В первом, третьем, пятом и седьмом: 2) во втором, четвер-
том, шестом и восьмом; 3) в первом, четвертом, шестом и седьмом;
4) йо втором, третьем, пятом и восьмом; 5) в первом, втором,
седьмом и восьмом; 6) в третьем, четвертом, пятом и шестом.
224, 1) В первом, третьем, пятом и седьмом; 2) во втором, третьем,
пятом и восьмом; 3) в первом, втором, седьмом и восьмом; 4) в пер-
вом, третьем, шестом и восьмом; 5) во втором, четвертом, пятом и
седьмом. 725. 1) (-3; 3; 3); 2) (3; 3; -3); 3) (-3; 3; -3);
4'1 (-3; -3; -3); 5) (3; -3; -3). 726. 1) 7; 2) 13; 3) 5. 727. ОД = 6,
О В = 14, ОС = 13, OD = 25. 730. MiM3M2 ~ тупой. 732. (5; 0; 0)
й (-II; 0; 0). 733. (0; 2; 0). 734. С (3; —3; —3),/?= 3. 735. (2; -1; - 1),
(—1; —2; 2), (0; 1;-2).	736. 7.	737. х = 4, г/ = —1, 2=3.
738. С (6; 1; 19) и 0(9; -5; 12). 739. О (9; -5; 6). '740, Четвертая
вершина параллелограмма может совпадать с одной из точек:
О> (-3; 4; -4), о? (1; -2; 8), О3 (5; 0: -4). 741. С (1; 5; 2), О (3: 2; 1),
£(5; -l;0),?(7;-4; -1). 742. А (—1; 2; 4), О (8;—4;—2). 743.4/74.
О
*1 4" %2 4" Х3 + Х4
4
744. 4V10.
4
745. х =
_ <7t 4~ У; 4~	* 4
У	4
z —
4
mj 4-	4“	4- rnA	’
ffljZl 4- /П522 + m323 4- /Л124
thi 4~	4~	4" ^4
748. a| = 7.	749. г=±3.
3j 1). 751. jV (4; 1; I). 752. (-1; 2; 3).
12	3
754. cosa = —4, cos|3 =——,
^53	о
746t х =	+ т^2 4- т3х3 4-
4- т^2 4- тзУз 4- wtz/4
'	4- тг 4- и*з 4* п?4	’
747. J2; -3; 0),'(1; 0; 2К_(0; 3; 4).
750. АВ = (-4; 3; -1}, ВА={4;
753. ^ = /Г, У = 1, Z = -l.
16
C0SY==“15
3	4
755. cosa=—, cos₽ ——,
cos V = 4y
1 □
756. I) Может; 2) не может; 3) может. 757. 1) Не может; 2) может;
3) не может. 758. 60е или 120°. 759, a = {l;— I; 1 2} пли
а = {]• -1; —/з}. 760. Mi (/З; /3; /з), М2 (- /3; - /з; - /з).
761. См. рис. 134.	762. |в-6|=22.	_ 763. | а + b [ = 20.
764. |а 4- &| = |а-6| = 13. 765. |а -4- &1 = /129 « 11,4, |а - 6| = 7.
766. ] а 4- Ь j = /T9 ~ 4,4, |л — 6 [ = 7.	767. 1) Векторы а и Ь
228
1
2
должны быть взаимно перпендикулярны; 21 угол между векто-
рами а и & должен быть острым-, 3) угол между векторами а и b
должен быть тупым. 768. [а | * | b]. 769. См. рис. 135. 774. |/?| я 15.
775. 1) (1; -1| 6); 2) {5; -3; 6); 3) {6; -4: 12}: 4) [ I; -^-1 0
г 5	1
5) (0; —2; 12); G) -J 3;-г: 2 . 776. Вектор 6 длиннее
в три раза} они направлены в
’ектора а
стороны.
противоположные
Рис. 135.
777. а = 4, f} = — 1. 779. Вектор АВ в два раза длиннее вектора CD;
они направлены в одну сторону. 780. а0=4 —; — 4-; — тт к
t >	1	7 1
781.	= Yj-J	782’ Н + *1 = б, [а-&|»14.
783. d - 481 + 45/ - 36й. 784. с = (-3; 15; 12}. 785. ЛМ=={3; 4; -3},
В V = {0; -5; 3}, СР = (-3; 1; 0}. 787. а = 2р + 5?. 788. а « 2Ъ + с,
6 = 4- а —— с, с — а — 26. 789. р = 2а — 36. 790. ЛИ =® 4- & -Ь 4- А
В\'= с — Ь,СР = —b — с, где Л4, Л’ и Р — середины сторон
треугольника ЛВС.___791. АР = ИЛ/? — 7 AC, BD — 10/W — 7АС,
UB = 11 ЛВ - 8ЛС, AD + BD + CD = 32ЛВ - 22 4С. 793. с = 2р —
-ЗдЦ-г. 794. d = 2а-36 + с, с = - 2а+3&+</, 6 = 1 а + 1 с-1 d,
о о о
3	1 I
Д =	с -b jd. 795. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) -61; 6) 37; 7) 73.
796. 1) —62; 2) 162; 3) 373, 797. Сумма квадратов диагоналей па-
Иллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 798. — ab = аЬ,
229
когда векторы а и Ь коллинеарны и имеют противоположные на-
правления; аЬ — аЬ, когда векторы'а и Ъ коллинеарны и имеют
одинаковые направления. 799. При условии, что Ь перпендикулярен
к векторам а и с, и также в т&м случае, когда векторы а и с кол-
линеарны. 800. ab + Ьс 4- са = —	801. ab + Ьс + са = — 13.
802. | р [ = 10. 803. а — ± -к 804. | а | = { Ъ |. 807. BD = с — &.
о	с
2	!	4 \
808. а = arccos —т=-. 809. ф = arccos j---,
У7	\ -б/
пендикулярная к оси вектора а и отсекающая
Дичина которого, считая от точки А, равна
810. Плоскость, пер-
ца ней отрезок, ве-
ct
-I—г.	811. Прямая
Пересечения плоскостей, перпендикулярных к осям векторов а и &
Я отсекающих на этих осях отрезки, величины которых, считая от
точки А, равны ттт й “4т* «12- D 22; 2) 6; 3) 7; 4) -200;
5) 129; 6} 41. 813. 17. 814, 1) -524; 2) 13; 3) 3; 4) (4В- ЛС) -ВС =
{-70; 70; -350} и ДВ (ДС • ВС) — {-78; 104; -312}.	815.31.
816. 13. 818. а = —6. 819. сов(р»-Д-. 820, 45°. 821. arccos (— 4 ).
823. х => {-24; 32; 30}.	824. х =
— 6/ + 12*. 826. х = (—3; 3; 3}.
4- 3/ - 2А. 829. /3. 830. —3.
14
835. -И.	836.
О
838. -6 4. 839. Ца&] | « 15.
842. 1) 24; 2) 60.	843. 1) 3; !
= { 1; 1;	825. х = - 41 -
827. х {2; —3; 0}. 828. х = 21 4-
831. -5. 832. 6. 833. -4. 834. 5.
14	7
Y = — ~, Z = ~.	837. 3.
о	О
840. {[аб] | = 16.	841. ab — ± 30.
1 27; 3) 300.	844. Векторы а и b
должны быть коллинеарны. 846. В случае перпендикулярности век-
торов а и Ь. 850. I) {5; 1; 7}; 2) {10; 2; 14}; 3) {20; 4; 28}.
851. 1} {6; -4; 854. 15; cosa =	—6}; 2) {-12; 8; 12}. 852. {2; И; 7}. 853. {-4; 3; 4}. 2	2	11	3 »cos6 =	?=-, cosy = -. 855. 28; cos a = — — , 3	lo	Id	7
cosf} =-----, cosy — —. 8а6. Кбб; cos ст = а— > cos В—-------
7	7	У 66	У 66
7	ч y‘i7
cosy = —	857. 14 кз. ед. 858. 5.	859. sin ср =_______
У 66	21
860. {—6; -24; 8}.	861. т = {45; 24: 0}.	862. ж = {7; 5; 1}.
8б4. Ца&] г] «={-“; 14; -7}; [а |&сП =*{16? 13; 19}. 865. 1) Правая;
2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) векторы Компланарны; 6) левая.
866. abc = 24.	867. abc = ± 27; знак плюс в том случае, когда
тройка векторов а, Ь, с правая, и Минус — когда эта тройка левая.
868. В том случае, когда векторы а, Ь, с взаимно перпендикулярны.
873. abc — 7. 874. I) Компланарны; 2) не компланарны; 3) ком-
планарны. 876. 3 куб. ед. 877. 11. 87§. D, (0; 8; 0), D3 (0; —7;0)$
881. X = — 6, Y = — 8, Z = — 6, §82. Векторы вис должны быть
коллинеарны пли ректор b .должен быть перпендикулярен к век-
торам а к с. §85. Точки Л4;, М2, лежат на поверхности, точки
230
М3, Afg, Afc не лежат на ней. Уравнение определяет сферу с центроц
в начале координат и радиусом, равным 7. 886. 1) (I; 2; 2) и
(1; 2; —2); 2) на данной поверхности нот такой точки; 3) (2; 1; 2) И
(2; — 1; 2); 4) на даннои поверхности нет такой точки. 887. 1) Пло-
скость О.уг, 2) плоскость Охг; 3) плоскость Оху; 4) плоскость, па-
раллельная плоскости Оуг и лежащая в ближнем полупространстве
на расстоянии двух единиц от нее; 5) плоскость, параллельная пло-
скости Охг и лежащая в левом полупространстве на расстоянии
двух единиц от нее; 6) плоскость, параллельная плоскости Оху и
лежащая в нижнем полупространстве на расстоянии пяти единиц
от нее; 7) сфера с центром в начале координат и радиусом, равным 5;
8) сфера с центром (2; —3; 5) и радиусом, равным 7; 9'1 уравнений
определяет единственную точку — начало координат; 10) уравнение
никакого геометрического образа в пространстве не определяем
11) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между пло-
скостями Охг, Oyz и проходит в 1, 3, 5 й 7 октантах; 12) плоскость,
которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Оху,
Oyz и проходит во 2, 3, 5 и 8 октантах; 13) плоскость, которая
делит пополам двугранный угол между плоскостями Оху, Oxz и
проходит в 1, 2, 7 и 8 октантах; 14) плоскости Oxz и Оуг; 15) пло-
скости Оху и Оуг; 16) плоскости Оху и Охг; 17) совокупность всех
трех координатных плоскостей; 18) плоскость Oyz и плоскость, па-
раллельная плоскости Oyz и лежащая е ближнем полупространстве
на расстоянии четырех единиц от нее; 19) плоскость Охг и пло-
скость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями
Oxz, Oyz и проходит в 1, 3, -5 и 7 октантах; 20) плоскость Оху и
плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоско-
стями Оху, Охг и проходит в 3, 4, 5 и 6 октантах. 889. х24- у- + г2 =r2t
890. (х-С«)24-^-р)24*(2-у)2 = г2. 891. л-3-0. 892. 2?-7 = 0.
893. 2х 3 = 0.	894. 20г/ + 53 « 0.	895. х2 4- У2 4* г2 = а2.
»	ft 2	~2
896. х2 Н-у2 + г2 = а2. 897. х т^-0, 898.	= 1.
У У
X2	и2	Z2
899. — — -- 4-—-=— 1.	900. Точки Afb М3 лежат на данной
1 □	У	1 о
линии; точки М2, не лежат на ней. 901. Линии 1) и 3) проходят
через начало координат. 902. 1) (3; 2; 6) и (3; —2; 6) (3; 2; 6) и
(—3; 2; G)*. 3) на данной линии нет такой точки. 903, 1) Ось апликат;
2) ось ординат; 3) ось абсцисс; 4) прямая, проходящая через точку.
(2; 0; 0) параллельно оси Oz; 5) прямая, проходящая через точку.
(—2; 3; 0) параллельно оси Ог; 6) прямая, проходящая через точку.
(5; 0; —2) параллельно оси Оу; 7) прямая, проходящая через точку
(0; —2; 5) параллельно оси Ох; 8) окружность, лежащая па пло-
скости Охг/, с центром в начале координат и радиусом, равным 3;
9) окружность, лежащая на плоскости Охг, с центром в начале
координат и радиусом, равным 7; 10) окружность, лежащая на пло*
скости Oyz, с центром в начале координат и радиусом, равным 5j
11) окружность, лежащая на плоскости г —2 = 0, с центром
в точке (0; 0; 2) и радиусом, равным 4. 904. х2 4- У2 4- г2 = 9. у = 0.
905. х2 + у2 4 -г2 = 25, и 4 2 = 0.	906. (х - о)2 + (у 4- 2)2
4- (г — 1)2==1б9, х = 0, 907. х2 + у2 4- г2 =-36. (х- 1)24- (у 4-2)24*
4- (й — 2)’ = 25. 908. (2; 3; -6), (-2; 3; -6). 909. (1; 2; 2), f — 1;2; 2),
910. 1) Цилиндрическая поверхность с образующими, параллель-
ными оси Оу, имеющая направляющей окружность, которая на
плоскости Oxz определяется уравнением х2 + z2 = 25; 2) цилиндри-
231
ческая поверхность с образующими, параллельными оси Ох, имею-
щая направляющей эллипс, который на плоскости Оуг определяется
уравнением -^- + т7г=1; 3) цилиндрическая поверхность с обра-
25	1 о
зугощимн, параллельными оси Oz, имеющая направляющей гиперболу,
которая на плоскости Оху определяется уравнением -	-=1;
»	10 У
4) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными
оси Оу, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости Охг
определяется уравнением х2 = 6г; 5) цилиндрическая поверхность
с образующими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей
пару прямых, которые на плоскости Оху определяются уравнениями
х ~ 0, х — у=0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух
плоскостей; 6) цилиндрическая поверхность с образующими, парал-
лельными оси Оу, имеющая раправляющей пару прямых, которые
на плоскости Охг определяются уравнениями х — <=0, х + г = 0;
эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 7) ось
абсцисс; 8) уравнение никакого геометрического образа в про-
странстве не определяет; 9) цилиндрическая поверхность с обра-
зующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей окруж-
ность; направляющая на плоскости Охг определяется уравнением
х? + (г — I)2 = 1; 10) цилиндрическая поверхность с образующими,
параллельными оси Ох; направляющая на плоскости Oyz опреде-
/	] \2	]
ляется уравнением г/2 + (г +— 1 = -р 911. 1) х2 +5у2—8у — 12 = 0;
2) 4x2 + 5z2 4-4г-60=0; 3) 2у — г — 2 = 0. 912. I) 8х2 4-4у2 —
- 36 г Н- 16у - 3 = 0, z = 0; 2) 2х - 2г - 7 = 0, у = 0; 3) 4у2 4- 8г2 +
4-16у4~20г —31 = 0, х = 0. 913. х-2у4-3г4-3 = 0. 914. 5х-Зг=0.
Г15. 2х — у - 2 — 6 = 0. 916. х - у — Зг 4-2 = 0. 917. х + 4у + 7г +
4-16 = 0.	919, х-у-2 = 0.	921. Зх 4-Зу 4-г-8 = 0.
923. 1) п = {2;-1;-2}, п = {21; - А; - 21}; 2) п = {1;5;-1),
п = {1; 51; - 1}; 3) п = {3; -2; 0}, п = {31: - 21; 0}; 4) п = {0; 5; -3),
я = {0; 51; - 31};	5)» = {1;0;0}, л = {1;0;0}; G) п = {0,1,0},
д ={0; 2,; 0), где 1 — любое число, не равное нулю. 924. I) к 3) опре-
деляют параллельные плоскости. 925. 1) и 2) определяют перпенди-
2
кулярные плоскости. 926. 1) Z = 3, /п = — 4; 2) 1 = 3. т ——
О
3)	т = ~11. 927. 1) 6; 2) -19; 3) -	928. 1)
О	О	/	о
..	2	2
4) arccos -т-е’ и л — arccos -г=-.
15
2 о. 1	3	я
и -у я; 2) — л и ул; 3) —;
929/4х ~ Зу 4“ 2г — 0. 930. 2х — Зг — 27 = 0. 931. 7х — у - 5г = 0.
932. х 4- 2г — 4 = 0. 934. 4х — у — 2г — 9 = 0. 936. х —-1, у = — 2,
г = 2 939. 1) а=£7; 2)а = 7,6=3; 3) а = 7, 6¥=3. 940. 1) г —3 = 0;
2)У4-2=0;	3) х4-5=0.	941. 1) 2у 4- г = С; 2) Зх 4- z = 0;
3) 4х.4- 3// = 0.	942. 1) у + 4г 4-10 = 0;	2) х - г - 1 = 0;
3) 5x4-У- 13 = 0.	943. (12;0;0),	(0;-8; 0),	(0; 0;-6).
944. £ 4- £ + _£_ = 1. 945, а = - 4, Ъ = 3, с = 4. 946 240 кв. ед.
о о	—2	2
947. 8 куб. ед. 948.	4-	4- f « I- 949.	+ 4 +	= 1-
950. х 4- У 4- z 4- 5 = 0. 951. 2х — 21у 4- 2г 4- 88 = 0, 2х — Зу - 2г 4-
4- 12 = 0, 952. х4-!/+г—9 = 0, х — у—г 4-1=0, х—у 4- 2—3=0,
232
х 4- у — z ~ 5 — 0. 953. 2x — у — Зг — 15 — 0. 954. 2x—Зу 4- г—6=QL
955. x — Зу — 2г 4- 2 = 0. 956. Плоскости 1), 4), 5), 7), 9), И) и 12)
2	2	1
заданы нормальными уравнениями. 957. 1) ~%х—-у 4- ~ г—G— 0;
...	3,6	2	_ Л	2	3	6	11 л.
2) — — х + ~у- — z-3*=0‘,	3) у-х-уг/-у£--у = 01
9011	519	3
4) тН^'/~уг--- = 0; 5) — -j^- г/ 4- г — 2 = 0; 6) ^-х
О	О	О	О	Lulu	О
4	I
7) -у-2 = 0;	8) х-5 = 0;	9) 2-3 = 0:
5	о
10) 2-4 = 0. 958. 1) а = 60е, Р = 45°, у = 60°, р = 5; 2) а = 120°,
0 = 60°, у = 45°, р = 3-, 3) а = 45°, 3 = 90°, у = 45°, р = 3 /Tj
4) а = 90е, р = 135°, у = 45°, р = /7; 5) а = 150°, 0=120°, у =90°,
р = 5; 6) а = 90°, ₽ = 90°, у = 0°, р = 2; 7) а = 180°. 0 = 90°, у = 90°,
р = 4; 8) а==90°, 0=180°, у =90°, р=4> 9) а = arccos 4»
£	z!	и
п 2 2 2
0 = л—arccos—, у = arccos—, р=>2;	10) а = л — arccos -=,
О	и	/
3	6	4
0 = д — arccosу, у = arccos у, р = у, 959, 1) 3 = — 3, J = 3;
2) 6=1, d — 1‘ 3) 6 = 0, rf = 0 — точка Afj лежит на плоскости}
4) 6 = —2, </ = 2; 5) 6= —3, d = 3. 960. d = 4, 9611. 1) По одну
сторону; 2) по одну сторону; 3) по разные стороны; 4) по одну сто*
рпну; 5) по разные стороны; 6) по разные стороны. 964. 1) d=2j
2) d = 3,5: 3) d = 6,5; 4) d= 1; 5) rf = 0,5; 6) d=-|-. 965. 8 куб. ед.
966. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 7; 0) и (0; —5; 0).
967. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 0; —2) и 10; 0;
968. Условию задачи удовлетворяют две точки: (2; 0: 0)
и I ;; 0; 01. 969. 4х - 4у - 2г + 15 = 0. 970. 6х + ЗуЦ-2г + 11 =0.
971. 2х — 2у — г — 18 ~ 0, 2х — 2у — г + 12 = 0.	972. 1) 4х — и —
-2г- 4 = 0; 2) Зх + 2у - г + 1 = 0: 3) 20г - 12г/ + 4г + 13 = 0.
973. I) 4х — 5г/ + г — 2 = 0, 2х 4- у — Зг + 8 = 0; 2) х — Зу — 1 = 0,
Зх г/ — 2г — 1 = 0; 3) Зх — 6г/ 4- 7г 4- 2 = 0, х 4- 4у 4* Зг 4~ 4 = 0.
974. 1) Топка М и начало координат лежат в смежных углах;
2) точка Л1 и начало координат лежат в одном углу; 3) точка Af
и начало координат лежат в вертикальных углах. 975. 1) Точки .И
и Л’ расположены в смежных углах; 2) точки М и /V Расположены
в вертикальных углах. 976. Начало координат лежит внутри острого
угла. 977. Точка Л4 лежит внутри тупого угла. 978. 8х—4г/—4г4-5==0.
979. 23х — у — 4г — 24 = 0. 980. х - у - г-1 = 0. 981. х4-у+2г=0.
982. 5х — 7г/ — 3 = 0, г = 0; 5х 4~ 2г — 3 = 0, у — 0; 7 г/—2г 4-3 = 0,
л = 0.	983. Зх —у— 7г 4-9= 0 Зу 4- 2г = 0.	9S4. (2; — 1; 0),
^iy; о; — j)’ (0;2; “1)*	986, D:=“4> 2) ^ = 9; 3) D = 3-
987. 1) Л1=Л2 = 0, и хотя бы одно из чисел Dlt Ог отлично от
нуля; 2) В1 = 62 = 0, и хотя бы одно из чисел Dif D2 отлично от
233
нуля; 3) Ci = C2e=0. и хотя бы одно из чисел Р2 отлично о-
„ая п А-А. 2) Д__А. Л> Д± -Л. 4) 4
нуля. 988. 1) л? - д2 ’ -	- d2 ’ D2 “ D2 ’ 4 А1^
= /J. = 0, Az ~ Dz = 0; 5) В L = Г)\ = 0, В > =	—	0: 6) С| = D'=0,
C, = D2 = 0.	9S9. 1) 2x4- 15:/ +7г+ 7 = 0; 2) 9//+ Зг-f-5 = 0;
3)‘ Зх + Зг — 2 = 0; 4) Зх — 9у — 7 = 0. 990. 1) 23х—2у+21г—33=0;
2) у + г- 18 = 0; 3) х + г - 3 = 0; 4) 4) х -//+ 15 = 0. 991. 5х +
+ 5г - 8 = 0.	992. а (5х — 2у - г - 3) + р (ху Зу - 2г + 5) = 0.
Указание. Прямая пересечения плоскостей 5х ~ 2г/— г— 3 = 0,
х + Зу — 2г + 5 = 0 параллельна вектору I = {7; 9; 27}, следова-
тельно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, при»
надлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую,
993. 11х — 2г/ — 15г — 3 = 0. 994. а (5х — у — 2г — 3) + 0 (Зх — 2у—
— 5г+2) = 0. Указание. Прямая пересечения плоскостей
5х _ у — 2г — 3 = 0. Зх — 2у — 5г + 2 = 0 перпендикулярна к пло-
скости х+ 19у —7г — 11=0; следовательно, условию задачи будут
удовлетворять псе плоскости, принадлежащие пучку плоскостей,
преходящих через эту прямую. 995. 9х + 7у + 8г + 7 = 0.
996. х — 2у + г — 2 = 0, х — 5р + 4г — 20 = 0.	997. Принадлежит.
998. Не принадлежит. '999. I — — 5, т = — 11.	1000. Зх — 2у +
+ б- + 21= 0, 189х + 28у + 48г — 591 =0. 1001. 2х — Зу - 6г +
+ 19 = 0, Сх — 2у — Зг + 18 = 0.	1002. 4х — Зу + 6г — 12 = О,
12х — 49// + 38г + 84 = 0.	1003. 4х + Зу — 5 = 0, 5х + Зг — 7 = 0.
1904. 7х — у + 1 =0, г = 0; 5х - г — 1 = 0, у = 0; Зу — 7х~ 12=0,
х = 0. 1005. х — Зу + 5г — 3 = 0.	1008. 2х — 4у — 8г + 1 = 0,
= 0. 1007. Dy2=_^. = £+3.. 2) у?—
TS £—2 г/ г + 3 . .. х — 2 у _ г + 3
3	1	’ 0	0 ’	0	~ |	0 1
юоз. 1)	=£r_L.
X у + 2	г-3	„ х+1
3) -=—J—= —-^1 4) —1-- =
— 3/+I	1011, (9;-4; 0),
1012. x = 5г + 4, у = - 11/ -7, z = - 2.
1014.
Ь
у г 4” 3
= 2	-1 J
51 _£Z12. = 2.=.
о 0	1 ’
x-3 _ j/ - 1 __ z .
!	2	— 1	3 *
JLz2- = £±1,	1009. 1) x = 2f + 1, y= -3/ - I, г = 4г-3;
2) x — 2r 4-1. у — 4t — I, z = — 3; 3) x = 3/4-1, y — — 2/— 1,
? = 5i —3. 1010. 1) x = t + 2, y=-~ ' '
w == — t -- 1, 2 = V, 3) X = 0, у = /, 2
(3; 0: -2), (0; 2; -3).
,al3 Л211=«^±_	........ ....................
JJJ3. ]	__	_3	_ 8 •	6	- 1	7	’
1915. x = 3r + 3, p = 151+1, z=19/-3.	1016. e={l;l;3}t
a — (Л; X; ЗЛ), где X — любое число, не равное нулю. 1017. а = — 2i +
+ 11/ + 5Л; а = — 2PJ + 1IX/ + nk, где X — любое число, не равное
х —2 у — 3 z + 5 <Л1Л 1Ч х —2	у+1 z
пулю. 1018. -у— =^—^ = —1019. 1)-^—= ХХ_вж_.
Решение. Полагая, например, «о = °, находим из данной системы:
х0 — 2, ус= — 1; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой:
1; 0). Теперь найдем направляющий вектор. Имеем
-2:3}, п2 = {3; 2; —5}; отсюда а = [nirt;] = {4; 14; 8}, т. е.
I — 4,' /и =14, п = 8. Подставляя найденные значения х0, у0, z0 и
,	X — Хл	у — у о	2 — 2<)
I, т, т в равенства --—— “—-—получим канони-
Mo (2;
Hi = (1
tn
I
231
_	„ х — 2 у 4- ।	2	х—2
ческие уравнения данной прямой: —*-— = —- - —	йли —о”"-3
у 4-1	2 о. х у+1	2—1 х —3	#-2'_з
t=~^7~=4;	^-5“ 12	13 ’ '	1	2 Г
1020. 1) х = I + 1, у = — 71, г = — 19/ —3; 2) х = —/4- 1, #=3/4-2,
2=5/- 1, 1023.60°. 1024. 135е. 1025. cos ф = ±	1027. / = 3.
10». ,£±1U^»‘±’,	im.2L±l_£+6=^.
1031. х = 2/ —5, у = - 3/ 4- 1, « = — 4/. 1032. v = 13. 1033. d = 21.
1034. х = 3 —6/, # = —1 4- I8r, z = — 5 4-9/.	1035. х = - 7 4- 4/,
^=12 — 4/, 2 = 5 — 2/. 1036. х=20—6/, # = -184-8/, z—~324-24/;
(2; 6; 40).	1037. Уравнения движения точки Af: х= — 5 4-6/,
« = 4 — 12/, z = — 5 4- 4/; уравнения движения точки ЛГ: х~~54-4/,
т, = 16 — 12/, 2 = — 64-3/; 1) Р (7; —20; 3); 2) за промежуток вре-
мени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4) Af0P = 28,
прямая, параллельная плоскости;
Ю41	~ ~ — iLzh-i. — '' ~~ -
1 4 '	2	“ 5	3 •
1043. 2х- Зу 4-4г- I =0.
Л'ор = 39.	1040. 1) (2;-3; 6); 2)
8) прямая лежит на плоскости.
х — 2 у 4-3 г 4- 5
,042‘	6	“ -3	-5 *
1044. х+2#4-3z = 0. 1045. /« = — 3. 1046. С = - 2. 1047. А = 3,
I	3
Р = - 23.	1048. /1 = — 3, В = 4	1049. / = - 6, С= -.
1059. (3; —2; 4). Решение. Искомую точку найдем, решая сов-
местно уравнения данной прямой с уравнением плоскости, прове-
денной из точки Р перпендикулярно к этой прямой. Прежде всего
заметим, что направляющий вектор данной прямой {3; 5; 2) будет
являться нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение пло-
скости, которая проходит через точку Р (2; —1; 3) и имеет нормаль-
ный вектор л={3;5;2), будет иметь вид 3 (х — 2) 4- 5 (у 4- 1) 4-
4- 2 (z — 3) = 0 или Зх 4-5# 4-2г — 7 = О. Решая совместно урав-
нения х = 3/, у = 5/ — 7, z — 2t 4- 2, Зх 4- 5# 4- 2г — 7 = 0, найдем
координату искомой проекции: х = 3, у — — 2, z=4. 1051. Q (2; —3; 2).
1052. Q (4; 1; —3).	1053. (1; 4; — 7). Решение, Искомую точку
найдем, решая совместно уравнение данной плоскости с уравне-
ниями прямой, проведенной'из точки Р перпендикулярно к этой
плоскости. Прежде всего заметим, что нормальный вектор данной
плоскости {2; — I; 3} будет являться направляющим вектором искомой
прямой. Параметрические уравнения прямой, которая проходит
через точку Р (5; 2; —1) и имеет направляющий вектор а = {2; —1; 3},
будут иметь вид х=2/4-б, # = -/4-2, г=3/—1. Решая сов-
местно уравнения 2х — у 4- Зг 4- 23 = 0, х = 2/4-б, # = —/4-2.
2 = 3/—1, найдем координаты искомой проекции: х = 1, # = 4,
г = — 7. 1054. Q (—5; 1; 0). 1055. Р (3; —4; 0). Указание. Задача
может быть решена по следующей схеме: 1) устанавливаем, что
Точки А я В расположены по одну сторону от плоскости Ох#;
2) находим точку, симметричную одной из данных точек относи-
тельно плоскости Ох#, например точку симметричную точке В;
3) составляем уравнение прямой, приходящей через точки А и
4) решая совместно найденные уравнения прямой с уравнением
плоскости Ох#, получим координаты искомой точки. 1056, Р (—2; 0; 3).
1057, Р (-2; -2; 5). 1058. Р(-1; 3; -2). 1059. 1) Р (-25; 16: 4);
2) за промежуток времени, равный 5; 3) МоР = 6О. 1060. £=28—7,56
- 30 4- 8/. 2 = - 27 4- 06 I) Р (-2; 2; -3); 2) от 6 = 0 до t2 = 4J
3) МоР = бО. 1061. За промежуток 1ремени, равный 3, 1062. d~7,
nr*	ч х 4- 3 у 4* 2	х —*8
Решение. Выберем на прямой —- какую,
нибудь точку, например М> (—3; —2; 8), будем считать, что напра-
вляющий Вектор прямой а^-{3;2;-2) приложен в точке М.,
Модуль векторного произведения векторов # и М4Р определит
площадь Параллелограмма, построенного на ?Тих векторах; высота
этого параллелограмма, проведенная из вершину Р, будет являться
искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстоя-
ния d имеем формулу d *= -—:—т-^-. Теперь вычислим координаты
___	I	___
вектора ЛЬА зная координаты его конца и начала: MtP = {4; 1; —10).
Найдем
векторное произведение векторов а и MtP: [аМ],Р)
k
-2
___ —10_______________ ______
| [a/MjP] | = JZ182 4- 222 4- 52 — V833 = 71^17. Вычислим модуль
вектора «: | « | =4^9 4- 4 + 4 «= ]Л7. Найдем искомое расстояние:
= 7. 1063. 1) 21; 2) 6; 3) 15. 1064. d=25. 1065. 9x4-Пу 4“
4-5z-16 = 0. 1068. 4х 4*6у + 5г-1 =0. 1070, 2х—16у-13г 4-31 =0.
J072. 6х — 2Пу- 112 4- I «0. 1074. (2;-3;—5). 1075. Q (1; -2; 2),
1076. Q(l; -6; 3). 1077. 13х-14у 4-Hz4-51 =0. 1079. X - «у -
-13г 4- 9 = 0. 1081. --^-4-—=	Ю82. х = 8Z - 3,
о —
3 2
4 1
= — 18Z + 22/ — 5fe. Определим его модуль:
-6 -	9
г/= — 3/— 1, 2 = — 4f 4- 2. 1083. 1) 13; 2) 3; 3) 7. 1084.1)х24-
4-„2 + 22 = S1. 2) (x-5)24-(w4-3)2 + (z-7)2 = 4; 3) (х-4)24-
4-(у 4-4)2 4-(г 4-2)2 = 36;	4) (х - ЗГ + (у + 2)2 4- (г - I)2 = 18;
5) (х-3)2 -+- (у 4- I)2 4- (г-1)2 = 21; 6) х2 4- у2 + г- = 9; 7) (х-3)2 +
4-(у4-5)24 (г4-2)2 = 56;	8) (х - I)2 + (у 4-2)2 + (г - З)2 = 49;
9) (х-Ь2)24-(У-4)24-(2'-5)5=81.	1085. (х - 2)е 4- (у - З)2 4-
4-(z4- 1)2 = 9 и х2 4-(у 4-I)2 4-(г 4-б)2 = 9.	1086. Р = 5.
1087. (х 4- D2 4- {у - 3)2 4- (г - З)2 = к 1088. (х + I)2 4- (у - 2)2 4-
4-(л—1)2 = 49.	1089, (х — 2)3 + (у — З)2 4-(г4-I)2 = 289.
1090, 1) С (3; -2; 3), г = 4; 2) С (-1; 3; 0), г = 3; 3) С (2; 1; -1),
г = 5; 4) С (0; 0; 3), г = 3; 5) С (0; -10; 0), г — 10. 1091. х= 5/- 1.
1	, 3	,1
*"	.7 У “Г Q 4- о
У — — ? + 3, г = 2/ —0,5.	1092. —77—= ——^—«=----------—
2»	о	4
1093. 1) Вне сферы; 2) и 5) на поверхности сферы; 3) и 4) внутри
сферы. 1094. а) 5; б) 21; в) 7. 1095. 1) Плоскость пересекает сферу;
2) плоскость касается сферы; 3) плоскость проходит вне сферы.
1096. 1) Прямая пересекает сферу; 2) прямая проходит вне сферы;
3) прямая касается сферы.	1097. Mi (—2;—2; 7),	=
1098. С (-1J 2; 3), ^ = 8. 1099. (х-1)г4-(у-2)^ +(г-П2 = 36,
2х-г-1=0, 1100. (х- I)24-(У 4- 1)24- (?42)г = «5, 18х-22г/ 4-
4-5г -30-=0.	1101. (х - 2)2 4-У2 4-(г- З)2 = 27, х4-у-2 = 0
ПОЗ, 5х-8г/ + 5г-7 = 0. 1104. х2 + у2 + й2 - 10х + 15у-2ог = 0‘
235
Н05. X?W4-'*6-M3x4-<ty-9z- 14 = 0. HOG. x4(y + 2)2+’z2=41.
107. 6x - 3y - 2z - 49 « 0.	1108. (2; -6; .3).	1109. a=± 6.
1 no’’ 2x — У— *4- 5 = 0. Illi. x{x 4- y.jj 4- 2(2 = r2. 142./V#-n4-
. B2#> + d*B2=DJt И13. UI~aH.r-a)4-(//i-'lW“P) +
_l (21 — у) (г — y) = r2.	1114. 3x — 2y 4- Gz — 11 = 0, 6л 4- Зу 4-
 22_-30«=0.	1115. x4-2y-2z-9 = 0, x 4-2y - 2г + 9 = 0.
1116. 4x 4- 3z—40 = 0, 4x4- 3z 4- 10 = 0, Ш7. 4x 4 Gy 4- 5г—103 = 0,
4x j_ G„ + бг + 205 = 0.	1118. 2x-3y4-4z-10 = 0, 3x - 4y 4-
4. 22 - 10 = 0. 1120. x-y—Z—2 = 0. 1122. Лх4-Ву-|-Ся + П —0.
1123. xcos a+ y cosp + zcosу — P = 0.	1124. й«|г(П° —p|;
== I xj cos a 4- У1 <?os fl 4-«1 cosy —pl. U25. (r2 — rj (r - r,) = 0;
(x2 — Xi)(x — xj 4* {y2 — У1)(у — Уг) 4- (z2 — *1)(г — zj = 0.
х — х0 у — у о z — z0
h
1126. М; (r — r0) = 0;
Hi = 0. 1127. (r2-fJX
X (Г3 — fi)(r - n) = 0;
m2 n2
X — Xi
X; — X;
У —у I
У^ — У\
г —
г2 — zt
= 0.
1128. п{п2 (г — Го) = 0;
X — X(i
Л
л2
х3 — Xi уз — у,
У - Уо z — z0
В, Ci =0.
В2 с2
Z3~Zi
1131.
X — Хр
I
^1ХЛ2^г—И. 1132. [(r-r.Xr.-r.lJ-O, [r(r2-r,)] = (r,r2],
т п
r = ri4-(r2-r.)r.	1133. a(r-ri) = 0; / (х - Х() 4-(у - У() 4-
4-/г(?- 2(1=0. 1134. Л1й3 (г — Го) = 0. 1135. П[Я2 (г — г0) = 0.
1136. г — го 4- nt\	£ ' = ~7Г • 1137, r=s ro + [«in?] /;
х — хд
Bi С,
в2 с?
У Уо Z Zi,
1
2 А?
Л( В.
А2 By
1138. ГсЯ + В = 0, ап = 0;
Ахп Вуо + Cz0 4 D — О, А1 4- Вт 4- Сп = 0. 1139. а-«2 (г — г0)~0.
1140. «(Дг (г2 — ri) = 0.
1141. г0---” + Д
ап
а; х = хо —
Ах2 4- Вуд 4 Czo 4- Г) ,	_ .4 х0 4 Вуо  4г0 -г Г-
А1 А-ВтА-Сп 1 J Уо AI4 Вт + Сп
-4х( +_ В у о_ j- Czx. -I D
Al "4 Вт 4 Сп
1142. Г(--^-4
п2
л;
Лх 4 Ву- 4- CZi -г В л	ЛХ( 4 Ву\ 4* Czj + В п
x=xi 424-£2 + с2 ’ у~	А2 4- В2 4 С2 ’
, ,	Л41 + Byi A-CziArP	11Л, г , (Г] -г0)а
z = zt Л2 4-В2 4-С2 С‘	1143‘ Го"** о2 а’
. [Х( - х0Н 4- (У1 — Уо) т 4- (?1 — г0) п ,	,
Х-Х. +-------------р + ™! + »!-----------*•	+
, (Х( -х0) 1А-(У1 -Ус) m + tei r-zc)p _	.	,
+------------р +^2 +	г = г,+
( г, - х0) i + (а, - Уд) m + (г, Г. z0) п I144 d /((г,-г»)а|1
ГИ	l2 + m2 + n2	’	’ la2
237
d —
— Уч	— Zq
т	п
?
Zj — Zq Xj — Xq
I
n
2
Х1—х0 У1 — Уа
I 71

12 Х2 — Afi
абс. вел.
^2 У2 — Р1

1147.	—~а в
! о |
Rm
У] =	/ 	!“-.
К/2 4- m2 + п2
тг rt|
т2 п2
_____RI_________________Rm_____	_______Rn
)-"/2 4-/Л2 4 „2 ’ *2= tf+^ + n2’ 2"* V724-m2 + «2‘
। R	R	. Rl	.
1I48. ro + _0 Hf„_T_re;X1 = X(, + j7.—
+ -----‘L. ....=.- _, Zi = z0 + f ==f и x2 — хй —
Y I2 4- m2 + n2	T Z2 + m2 + л-
Rl	Rm	Rn
//2 4. m2 + ft2 *	//2 _|_ W2 4. Л2	)/? + m-, + n2’
1149. (r]-r0)(r-r0)=-^.	1150. (r-rL)2 = (^-t-P)2;
1151 —---------Z?=T).
/ (x — x0) + m(y — ynj + n(z — zn)
дг + B‘ + C2
Лх + By + Cz _ n = 0
V'A2 4- B2 4- C2
1152.	- 'r~	~/? = Q>
И
Z fx — x0) + rn (y — t/o) + n (z - гР) ,_ p
1153. 3, V 3; (2; 3; 0),
(2; -3; 0), (2; 0; К3), (2; 0; -/I). 1154. 4, 3; (4; 0: - I).
(—4; 0; —1). 1155. 15; 10; —6;-------1156, Уравнения про-
екции а) на плоскость Oxy: j х2+4хг/4-5//2—x=0, б) на плос-
|	г==0;
кость Охг: J х2 — 2хг 4- о?2 — 4х = 0, в) на плоскость Oyz:
I	У = 0;
J У2 + г2 + 2z/ — z = 0, 1157. Эллипс; (2; —1: 1) — центр этого
I	х = 0.
эллипса. Указание. Центр сечения проектируется в центр проек-
ции. 1158. Гипербола; (1; —1; —2) — центр этой гиперболы.
1159. 1) Эллипс; (—3/2; 1; 13/4) — центр этого эллипса; 2) пара-
238
-4) — центр этой
| < 1. 1161. а) т 0 и
вырожденный эллипс —
: -Ю). 1164. (6; -2; 2).
\ • “ !- 1 =0.
2	X2 U2
„69. Л-+У_ +
72- |+Лк-’‘-
бола: не имеет центра; 3) гипербола; (2; —3;
гиперболы. 1160. a) l<|/n|<V 2; б) \т
гп >—1/4, причем в случае пг = —1/4 —:
точка; б) т = 0. 1162. (9; 5; -2). 1163. (3; 0;
1165. т= ±18. 1166. 2х — у — 2г — 4=0. 1167. х — 2у 4- 2z
2	х2 и- — п
X-2//4-2Z4-	1=0;	f.	1168.	—-4-AJ1
г2	2	4
4-=	1.	1170.	^1—-V-,	Я2=~ёГ'	1
у	о	о
^•2 -4-.	*у2	v2
1173.  А—Л- = 1- И78. — --^- = 2г. Н80. 1) (3; 4; -2)
а2	с2	р	q	'
и (G; —2; 2); 2) (4; —3; 2) —прямая касается поверхности; 3) пря-
мая н. поверхность не имеют общих точек;‘4) прямая лежит на
поверхности. 1181.
2х - 121/ — г 4- *6 = 0,
х 4- 2у — 8 — О-
х у 4- 1 _ 2 — 1
1 ~
2
2х — 12// — г 4- 16 = 0, 1
х — 2у 4- 4 = 0; I
' (2л_Л==п0, «S3-
( у 4- 4 — 0.
_____ L 11Я4 * = У ~~ 3
1 “ 12	2 ' 184‘ 1 ’о '-2’
1	х~	и2	г2
1185. arccos -т=-. 1186. 1) —т +-ту — А-= 0; 2)
1 г	аг	Ь2	с2
**2	<у2	v-2	?j2
3)“ + ^ + \4=0' Н88-	1189. ^- + -£2-
— |г Ту'1' = о. 1190. Зх2 - Зу2 4- 7г2 - бхг/ 4- Юхг - 2yz—4x 4-4г/-
-4г-М = 0. 1191,	1192. х2 - Зу2 4- z2 = 0.
—Э хО *тУ
1182.
у + 2г = О
4	-2 ’
х — 2	у z
3"“^4‘
дА — П-
а2 “ Ь2 с2 “ ’
У2 __
0. 1189.
1193.	35х2 4- 35г/2 - 52г2 - 232хг/ - 116хг 4- 116г/г 4- 232х - 70г/ -
— 116г 4- 35 = 0. 1194. ху 4-хг 4-z/г == 0 —ось конуса проходит
в первом и седьмом октантах: хг/4-хг — г/г = 0 — ось конуса про-
ходит во втором и восьмом октантах; ху — хг — уг = 0 — ось конуса
проходит в третьем и пятом октантах; ху — хг 4- yz — 0 — ось конуса
проходит в четвертом и шестом октантах. 1195. 9х2 — 16у2— 16г2 —
— 90x 4-225 = 0.	1196. х2 4-4у2 — 4г2 4-4х//4-12хг — 6уг= 0.
1197, 4х2 — 15г/2 — 6г2 — 12хг — 36х 4-24г 4-66 = 0. 1198. 16х24-
4- 16у2 4- 13г2 — 16хг 4- 24г/г 4- 1Gх - 24г/ — 26г — 131 = 0.1199. х2 —
— г/2 — 2хг 4- 2г/г 4- х 4- у — 2г = 0. 1200. 5х2 4- 5у2 4“ 2г2 ~~ %ху 4-
4- 4хг 4- 4г/г — 6 = 0.	1201. 5х2 4- 8г/2 4- 5г2 4- 4хг/ 4- 8хг — 4уг +•
4- 6х 4- 24у - бг - 63 = 0. 1202. 5х2 4- 10г/2 4- 13z2 4- 12хг/ - бхг 4*
4- 4г/г 4- 20х 4- 20г/ - 38г 4-3 = 0.	1203. х2 4- 4у2 4- 5г2 — 4ху —
- 125 = 0. 1204. I) 18; 2) 10; 3) 0; 4) —50: 5) 0; 6) х2-х(;
7) 0; 8) 1. 1205. 1)х= 12; 2) х = 2; 3) Xj — —1, х2 =-4; 4) q =-1/6,
х2 = 3/2; 5) xj, 2 = ±2г; 6) Xi =2, х2,3 = —2±7, 7) х = (—1)” р 4-
4- -j п, где п — целое число; 8) х — я (2п 4- 1 )/6, где п — любое
целое число. 1206. 1) х>3; 2) х>—10; 3) х<—3; 4) — 1<х<7.
1207. 1) х=1б, у = 7; 2) х = 2, ^ = 3; 3) система не имеет реше-
ний; 4) система имеет бесконечно много различных решений, каж-
х — 1
дое из которых может быть вычислено по формуле у — —7=“,
239

и вычисляются
be — ad '
У „г t и 1
где численные значения х задаются произвольно
ac+bd
соответствующие значения у, 5) х = -р~—,
6) система не имеет решений. 1208. 1) а^=—2\ 2} а = —2, Ь^2',
3) а = —2, Ь = 2. 1209. а = 10/13. 1210. I) х = -2/, г/ =*7t, z — 4f;
2) х = 2/, у = 3/, z = 0; 3) х = 0, у~Ь г = 3/; 4) х = 0, y = t,
z — 2t; 5) х = 2t, y — 5t, z = 4/; 6) x^ 4t, у ~2t, z — 3t’, 7) x = t,
у ~5t, z = I If, 8) x — St, у = 4t, z = IU; 9i x — 0, у = t, z — 3t;
10) x — (a + 1) t, y~ (1 — a ’ I/, z = — (a+1)/ ири условии, что
— 1 (если а ——1, то любое решение системы состоит из трех
чисел х, у, z, где х, у — какие угодно, а г = х — у)\ 11) х « (Ь — 6) /,
у = (3а — 2) Л z — {ab — 4') t при условии, что а ф 2/3 или 6=#G
! если a «= 2/3 и Ь — 6, то х, у произвольны, а
12) х = 3(! -2a)t у
а 1 /2 или 6	— 2 (если а = 1
а z=_2(3?/ — х)). 1211. —12_._ 1212^29. 1213. 87. 1214. 0.' 1215. -29;
X (г — х). 1229. 2а7Ь. 1230. sin2a. 1231. xyz (х — у) (у — z)\z -
1232. (a + b + с) (a2 + b7 + с2 ~ ab — ас — be). 1234. I) х =
2) х. == —Ю, х2 = 2. 1235. I) х>7/2;2) —6<х<—4. 1236. х = 24-£-,
г/= 21	10. 1237. х = 1, ?/— 1, г = 1. 1238. х = 2, у == 3, г = 4.
z=- Х±2у];
« (ab + I) t, z = 3 (b 4- 2) t при условии, что
1/2 jh b = — 2, то x, у произвольны,
1216. 2a®. “1223. —4. 1224. 180. 1225.87. 1226.0. 1227. (x— y} (y—z) X.
.................... '	x).
3;
1239. x=l, y==3, z = 5. 1240. x=13— , // = 8-^-, z = 14-y.
1241.x = 2, y = -l, г = 1. 1242. х = -Ц^, y =	. z =
£	£	X»
b -l- c a Ц- c
1243. x = —-—. t/=—-—,г= ?. 1244. Система имеет
бесконечно много решений, каждое из которых может быть вычи-
слено по формулам х = 2г — 1, y = z+ 1, где численные значения
г задаются произвольно и вычисляются соответствующие значе-
ния х, у. 1245. Система не имеет решений. 1246. Система не имеет
решений. 1247. 1) a =# — 3; 2) а — —3, b т^1/3; 3) -а = —3, д= 1/3.
1249. Система имеет единственное решение: х = у = г = О. 1250. Си-
стема имеет бесконечно много решений, каждое из которых может
быть вычислено по формулам х = 2t, у — —3t, г = 5/, где численные
значения t задаются произвольно и вычисляются соответствующие
значения х, у, 2. 1251. а — 5. 1252. 30. 1253. —20. 1254. 0. 1255. 48,
1256. 1800. 1257. (& + c + rf)(6-a —rf)(5-c + rf)(6 + c —z/).
1258. (a + b + с +• d) (a + b—c — d) (a — b + c — d) (a — h — с H- dL
1259. (a + ^-b^ + d)(a-& + c-dj [\а-с)г+(Ь-d)2) 1260.(be-cdy.