/
Автор: Цубербиллер О.Н.
Теги: математика аналитическая геометрия геометрия задачи по математике задачи по геометрии
Год: 1961
Текст
О. Н. ЦУ БЕРБИЛЛ ЕР
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия для высших
технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестнадцатому изданию................................ 6
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
Глава I. Положение точки на прямой. Основные формулы .... 9
1. Формулы преобразования координат............................ И
2. Основные формулы........................................... 11
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава II. Координаты точки на плоскости. Основные формулы 16
1. Прямоугольные координаты. Графики.......................... 16
2. Расстояние между двумя точками. Направление отрезка. Площадь
треугольника ................................................. 21
3. Деление отрезка в данном отношении......................... 24
4. Косоугольная система координат............................. 26
5. Полярная система координат................................. 29
6. Проекции. Преобразование координат......................... 31
Глава III. Геометрическое значение уравнений...................... 35
1. Построение кривой по ее уравнению.......................... 35
2. Составление уравнения кривой по ее геометрическим свой-
ствам ........................................................ 38
Глава IV. Прямая линия............................................ 44
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя
прямыми. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в
данном направлении........................................... 44
2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравне-
ние прямой относительно отрезков. Условие, при котором три данные
точки лежат на одной прямой................................... 48
3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой ... 52
4. Общее уравнение прямой. Пересечение двух прямых. Условие
прохождения трех прямых через одну точку. Пучок прямых ... 58
5. Смешанные задачи на прямую................................ 64
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Элементарные свойства кривых второго порядка .... 66
1. Окружность................................................. 66
2. Эллипс..................................................... 74
3. Гипербола.................................................. 80
4. Парабола................................................... 87
5. Полярные уравнения кривых второго порядка.................. 92
Глава VI. Общая теория кривых второго порядка..................... 93
1. Общее уравнение кривой второго порядка. Преобразование этого
уравнения при параллельном перенесении осей координат. Центр
кривой........................................................ 93
2. Условие распадения кривой второго порядка на пару прямых. Ис-
следование общего уравнения второй степени.................... 96
3. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Уравнение каса-
тельной .................................................... 100
4. Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой,
отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, от-
несенной к асимптотам........................................ 104
5. Преобразование уравнения кривой второго порядка с помощью
инвариантов.................................................. 111
6. Полюс и поляра............................................ 114
7. Задачи на фокальные свойства кривых, не отнесенных к главным
направлениям................................................. 117
8. Смешанные задачи.......................................... 119
часть третья
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава VII. Прямоугольные координаты......................... 122
Глава VIII. Геометрическое значение уравнений................. 129
Глава IX. Плоскость........................................... 131
Глава X. Прямая линия в пространстве....................... 138
1. Уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условие пересе-
чения двух прямых в пространстве............................. 138
2. Прямая и плоскость........................................ 143
Глава XI. Сфера............................................ 147
Глава XII. Конус и цилиндр.................................. 149
Глава XIII. Поверхности второго порядка, данные простейшими
уравнениями...................................................... 152
Глава XIV. Общая теория поверхностей второго порядка....... 160
1. Общее уравнение поверхности второго порядка и его преобразо-
вание при переносе начала координат. Центр поверхности. Усло-
вие, при котором уравнение изображает конус или пару плоскостей 160
2. Пересечение поверхности с прямой п с плоскостью. Асимптотиче-
ские направления. Касательная плоскость.................... 164
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
3. Диаметральная плоскость. Главные направления. Исследование
общего уравнения поверхности второго порядка и приведение его
к простейшему виду.............................................. 169
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ
Глава XV. Векторы и действия над ними............................... 174
1. Векторы. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Разложение векторов................. 174
2. Проекции векторов. Скалярное умножение векторов.............. 181
3. Векторное умножение. Смешанное произведение трех векторов.
Двойное векторное произведение ................................. 185
Глава XVI. Применение векторной алгебры в аналитической гео-
метрии ............................................................ 190
1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора. Ко-
ординаты вектора. Действия над векторами, заданными своими
координатами. Основные формулы.................................. 190
2. Геометрическое значение векторных уравнений.................. 197
3. Плоскость.................................................... 201
4. Прямая линия в пространстве.................................. 206
5. Прямая и плоскость........................................... 211
Ответы и указания............................................... 215
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник рассчитан на студентов втузов и педвузов.
В нем, по возможности, использованы задачи из области физики,
механики и других прикладных наук. Обращено внимание на графики,
на механическое образование кривых и поверхностей, дано понятие
о простейших механизмах, в связи с задачами на геометрические
места.
При составлении сборника имелись в виду также заочники и лица,
изучающие математику самостоятельно, вследствие чего в начале
каждой главы даны не только формулы, но и все теоретические
пояснения, необходимые для правильного и сознательного их при-
менения. Типовые задачи решены в тексте, ответы к большинству
задач снабжены указаниями, а иногда и подробными решениями.
Каждая глава начинается с легких примеров, и задачи подобраны
так, чтобы трудность их возрастала постепенно.
Отдельными указаниями, примечаниями и вопросами мы старались
все время напоминать учащимся, что, пользуясь аналитическим
методом, они все же имеют дело с геометрией, что каждому шагу
в аналитических выкладках соответствует геометрическое содер-
жание и каждый полученный результат имеет простое конкретное
толкование.
Материал расположен так, что студенты еще до изучения общей
теории кривых (или поверхностей) второго порядка получают основа-
тельные сведения об их геометрических свойствах. В общей теории
главное внимание обращено на исследование кривых (или поверхно-
стей), т. е. на проработку двух вопросов: как по уравнению кривой
(поверхности) судить о присущих ей свойствах и как судить об
особенностях в ее расположении относительно выбранной системы
координат.
Начиная со второго издания, сборник пополнялся новыми задача-
ми в тех разделах, которые при работе во втузах оказались не-
сколько бедны материалом, а в дальнейшем, — в связи с возраста-
ющими требованиями к молодым специалистам, — сборник перераба-
тывался и пополнялся более трудными задачами.
Для XI и всех последующих изданий была написана новая, чет-
вертая часть, относящаяся к векторной алгебре и ее применению
в геометрии. Введение векторов не затронуло материала первых
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
7
грех частей, что соответствует интересам студентов тех втузов,
в которых векторная алгебра не изучается или изучается отдельно,
после прохождения аналитической геометрии. Для студентов, изу-
чающих векторную алгебру в курсе аналитической геометрии, зна-
комство с векторами естественно приурочить к тому моменту, когда
приступают к изучению геометрии в пространстве. Однако глава XV
содержит материал, не требующий никаких предварительных знаний,
а потому, в интересах смежных дисциплин, его можно проработать
значительно раньше.
§ 1 гл. XVI основывается на гл. VII и должен непосредственно
следовать за нею. К § 2 гл. XVI следует перейти, когда материал
гл. VIII закреплен достаточным количеством упражнений. § 3 гл. XVI
можно прорабатывать параллельно гл. IX, а §§ 4 и 5 — парал-
лельно гл. X.
Задачи гл. XVI не вводят существенно нового геометрического
материала, по дают возможность к задачам одинакового содержания
применять различные методы.
Очень рекомендуется учащимся сопоставлять формулы и уравне-
ния, данные в координатах и векторных обозначениях, сравнивать
ход решений и полученные результаты и переходить от векторных
обозначений к координатным, и обратно, чтобы оценить преимуще-
ства каждого метода при решении того или иного вопроса.
Перед выходом XV издания было тщательно проверено, не со-
держит ли сборник таких научных положений, которые могли бы
быть неправильно поняты студентами младших курсов, как недо-
статочно связанные с конкретными представлениями.
В свое время сборник составлялся на основе классического учеб-
ника профессора Б. К. Млодзеевского, курса профессора А. К. Власова
и других представителей школы геометров Московского универси-
тета, которые строили курс аналитической геометрии, пользуясь
началами проективной геометрии, а потому вводили довольно рано
понятие о несобственных элементах, очень тщательно разъясняя
смысл и значение этого понятия.
Но за последние годы, параллельно блестящему развитию совет-
ской науки, изменился и характер читаемых курсов. С одной сто-
роны, курс аналитической геометрии для студентов-математиков
базируется теперь на аффинно-метрической геометрии и только
в конце курса даются основы проективной геометрии. С другой
стороны, во втузах в общий, чрезвычайно насыщенный, курс матема-
тики оказалось невозможным, включить начала проективной геометрии,
а потому в современных учебниках, составленных специально для вту-
зов, несобственные элементы совершенно исключены.
В связи с этим в XV издании настоящего сборника были изме-
нены теоретические пояснения и изменена редакция всех задач, в ко-
торых раньше упоминались несобственные (бесконечно-удаленные)
элементы.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
После этих изменений оказалось нецелесообразным сохранять
прежнюю классификацию кривых и поверхностей второго порядка,
основанную на особенностях их пересечения с прямой линией. Поэтому
для XVI издания настоящего сборника был переработан и перегруп-
пирован материал, относящийся к общей теории кривых второго поряд-
ка (гл. VI) и к общей теории поверхностей второго порядка (гл. XIV).
Первым вопросом при исследовании кривых второго порядка ставится
вопрос о существовании центра; непосредственно к нему примыкает
рассмотрение и исследование кривых, распавшихся на пару прямых.
Окончательная классификация нераспавшихся кривых связывается с при-
ведением их уравнений к простейшему виду.
Аналогичный план проведен и в общей теории поверхностей вто-
рого порядка. Такое распределение материала больше соответствует
современной постановке преподавания во втузах.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
ГЛАВА I
ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Одпа из главных особенностей метода аналитической геометрии заклю-
чается в употреблении чисел для определения положения геометрических
образов. Числа, определяющие положение геометрических образов, называются
их координатами.
Ограничимся пока рассмотрением точек, расположенных на одной прямой
линии. Чтобы иметь возможность определять положение точек на этой пря-
мой, установим на ней систему координат следующим образом:
е. точку О (черт. 1), по
1) выберем начало координат, т.
отношению к которой определяется положение
остальных точек;
2) выберем единицу длины (е = PQ)
для измерения расстояния рассматриваемой
точки от начала координат;
3) выберем положительное направ-
ление на прямой (на чертеже оно указано
стрелкой), что позволит различать отрезки пря-
мой не только по их абсолютной величине, но и по
положительным или отрицательным в зависимости от
ление от начальной его точки к конечной с положительным направлением пря-
мой или с направлением противоположным (на черт. 2 отрезок ОД — положи-
тельный, ОВ — отрицательный).
После того как система координат на прямой установлена, каждой
точке М этой прямой соответствует одно единственное отвлеченное число,
ОМ .
характеризующее ее положение, —координата х = • , абсолютная ве-
РО.
личина которой дает расстояние точки М от начала координат, измеренное
данной единицей длины, а знак указывает, по какую сторону от начала коор-
4
,м
Pi—g—1/7
Черт. 1.
знаку: отрезок считается
того, совпадает ли направ-
динат расположена точка.
Обратно, каждому числу соответствует одна единственная точка на пря-
мой. Пусть, например, требуется построить точку Л, координата которой
ОД
х = + 3, т. е. -р/у = 3, или ОД = 3-PQ. Точка Д определится однозначно, как
конец отрезка, отложенного вправо от начала координат (черт. 2) и имеющего
длину в 3 единицы масштаба.
Если координата точки В равна —1/2 [отметим это, поместив в скобках
около обозначения точки ее координату: В (— то точку В мы построим,
отложив влево от начала координат половину выбранной единицы PQ (черт. 2).
Построим еще точку С(+ Y2); в данном случае ОС = • PQ; чтобы
10
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
получить отрезок указанной длины, строим квадрат на отрезке PQ, как на сто-
роне: диагональ квадрата а = У2 • PQ; поэтому, отложив равный ей отрезок
в положительном направлении от начала координат, получим точку С (черт. 3).
Когда мы говорим, что дана точка, — это значит, что известна ее коор-
дината; когда по тем или иным условиям требуется найти точку, — это зна-
чит, что нужно вычислить ее координату.
В 0
ч---н
Черт. 2.
Черт. 3.
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответ-
ствие между точками прямой и действительными числами. Этим соответ-
ствием мы можем воспользоваться для графического изображения изменения
какой-нибудь переменной величины. Пусть, например, переменная величина х
принимает последовательно значения, равные членам геометрической прогрес-
сии:
Чь 4t, 1, 2, 4,
эти значения переменного изобразятся на прямой точками:
(+ Vd), А2 (+ Vs), Аз (+ 1), А. (+ 2), Д5 (+ 4), Ао (+ 8), ...
(черт. 4), и мы ясно видим, что переменная величина изменяется скачками
и что каждый раз она получает приращение вдвое большее предыдущего
приращения. Если переменная величина изменялась бы по закону изменения
О А ^2 ^3 Д4
Черт. 4.
членов арифметической прогрессии, например: 1; 1,5; 2; 2,5; 3,..., то мы по-
лучили бы на прямой ряд точек, расположенных на равных расстояниях друг
от друга (черт. 5).
Черт. 5.
Во многих измерительных приборах мы судим об изменении изучаемой
величины по положению точки на прямой. Например, о температуре мы судим
по положению уровня ртутного столба на прямолинейной вертикальной шкале.
В этом случае за начальную точку принято положение уровня ртути при
температуре таяния льда, за положительное направление выбрано направле-
ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
11
ние снизу вверх, и единица длины равна ^юо подъема ртути при переходе
от температуры таяния льда к температуре кипения воды (шкала Цельсия).
Если изменить начало координат, направление на прямой или единицу
длины, то соответствие между точками прямой и числами будет уже иное, —
каждая точка получит новую координату.
1. Формулы преобразования координат
Если перенести начало координат в точку О' (а), то между старой коор-
динатой х любой точки прямой и новой координатой х' той же точки бу-
дет иметь место соотношение:
x = xf + a. (1)
Если принять за положительное направление на прямой направление, про-
тивоположное первоначальному, то координаты всех точек изменят знак, не
меняя своей абсолютной величины:
х = — х'. (2)
Если выбрать новую единицу длины = P'Q\ то координаты одной
и той же точки будут обратно пропорциональны соответствующим едини-
цам, т. е.
х = -~-х'. (3)
2. Основные формулы
Если даны две точки А и В своими координатами и ха, то величина
отрезка АВ вычисляется по формуле:
АВ = х2 — xlf (4)
т. е. величина отрезка равна разности координат его концов, причем из коор-
динаты конечной точки надо вычесть координату начальной точки.
Так как эта формула справедлива при всяком расположении точек-, то
нужно обращать внимание на правильное обозначение отрезков и ставить на
ВА
Черт. 6.
первом месте букву, обозначающую начало отрезка, а на втором — букву,
обозначающую его конец.
Пример. Даны две точки
Л(-3) и В(+4);
тогда (черт. 6).
Д5 = 4 —(— 3) = + 7,
ВА = — 3 — 4 = —7
Если Xi и х2 суть координаты точек Ди В9 то длина отрезка АВ. равна
d = |Xa — Xi
12 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ [1—2
Если на прямой даны две точки A (xt) и В (х2), то всякая третья точка
АС
С (х) делит отрезок АВ в некотором определенном отношении (черт. 7);
мы будем обозначать его буквой X, т. е.
___ АС величина отрезка от начальной точки до делящей
СВ величина отрезка от делящей точки до конечной’
Для вычисления X имеем формулу:
X принимает положительные или отрицательные значения в зависимости от
тою, лежит ли делящая точка С (х) внутри или вне отрезка АВ.
х2-х
О А б'Г---------\в
—I---------1-----------------1---------------э-
Черт. 7.
Если, наоборот, дано отношение X, то координата соответствующей деля-
щей точки С определяется формулой:
В частности, когда X = 1 и АС = СВ, мы имеем:
т. е. координата середины отрезка равна полусумме координат его концов.
Сложным (ангармоническим) отношением четырех точек А, В, С и D назы-
вается отношение двух отношений, в котором точка С делит отрезок АВ и
в котором D делит тот же отрезок АВ. Обозначается это так:
Если (А В CD) = —1, то соответствующие четыре точки называются гар-
моническими.
1. Построить следующие точки:
А (+ 4), В (-2,5), С(-3/з)г
О(+/3), Е(-0, (4) ...), Г(]Л5-1).
2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравне-
ниям:
ч 5х — 2 2х — 1 3x4-4 о л
а) —£---------7----------------d) х — 4х + Зх = 0;
Ь) х2—4 = 0; е) х24-4хЦ-4 = 0;
с) х2 -р х — 6 = 0; f) х2 — х 4- 6 = 0.
3—12]
ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
13
3. Положение точки, равномерно движущейся по прямой, дается
для любого момента t формулой: х = vt -|- с, где v — скорость дви-
жения, с — начальное положение точки. Отметить на чертеже поло-
жение точки в начальный момент и в конце каждой из первых
пяти секунд, если закон движения дан уравнением: х=3£— 7;
проверить, что в равные промежутки времени точка проходит равные
пути.
4. Найти координату точки, симметричной с точкой А (-|- 3),
относительно: а) начала координат; Ь) точки В (— 2); с) точки
с (4-5).
5. Даны точки:
А (4-9), В (4-5), С(—3), D{— 8) и М(х).
Определить координаты этих же точек при условии, что единица
длины будет взята: а) втрое больше первоначальной; Ь) вдвое меньше
первоначальной; с) так, что ё : е — 5 : 2.
6. Зная, что один километр равен 468,7 саж., написать формулу,
пользуясь которой можно делать новые пометки на верстовых стол-
бах, расставленных вдоль железнодорожного пути, при переходе на
метрическую систему измерения j).
7. Составить формулу, определяющую температуру в градусах
Цельсия, если измерение произведено термометром Реомюра.
Примечание. На шкале Реомюра 0° отмечена температура таяния
льда и 80° — температура кипения воды.
8. Каковы будут координаты точек: А (Ц- 6), В (-[- 2), С (0), D (— 2),
—7) и М(х) после того, как начало координат будет перенесено:
а) в точку 01 (-}“ 3); Ь) в точку О2(—5)?
9. В какую точку нужно перенести начало координат, чтобы точка
Д(Ц-7) получила новую координату У = —1?
10. Проверка термометра обнаружила, что ртуть поднимается до
4- 96° при измерении температуры кипения воды и опускается только
до 4-1° при измерении температуры таяния льда. Как вычислять
истинную температуру в градусах Цельсия, пользуясь показаниями
этого термометра?
11. Как преобразовать систему координат, чтобы все точки, коор-
динаты которых х<^ — 7, получили положительные координаты,
а все точки, для которых х — 7, получили координаты отрица-
тельные?
12. Преобразовать систему координат так, чтобы точка А(4~5)
сохранила свою координату, а точки, симметричные по отношению
к ней, обменялись своими координатами.
*) 1 верста содержит 500 сажен.
14
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
(13—17
13. Какое произведено преобразование координат, если первона-
чальная координата х любой точки прямой связана с новой коорди-
натой xf той же точки одним из следующих равенств:
а) х=5У; е) х = — Jy4“^
b) х = — ЗУ; f) х-пх^
с) х = 2хг — 1; g) х — х'-^-а;
d) х =— х' 4~ 3; h) х = пх? -\-cft
14. Преобразовать систему координат так, чтобы точки, имевшие
координаты 3 и -|- 7, получили новые координаты -f- 2 и — 6.
15. При измерении длины бруска деление основной линейки, со-
ответствующее 57 см, совпало с четвертым делением нониуса. Опре-
делить длину бруска (черт. 8).
х
I 234
брусок
57 Основная линейка
2 4
Нониус
Черт. 8.
Примечание. При измерении длин, которые точно не выражаются
в целых единицах основной линейки, употребляется вспомогательная линейка —
нониус. Нониус приставляется к измеряемому предмету так, чтобы составить
его продолжение. Длина нониуса равна девяти единицам основной линейки;
разделен он на 10 равных частей.
16. Найти величины отрезков, определяемых точками Д(—2) и
5(4-5); С(4-3) и Щ—8); £(—1) и 5(—4); 0(0) и G(-|-6); 0(4-6)
и 0(0); ЛГ(—3) и 0(0); М (—5) и 7V(—2). (Первая точка обозна-
чает начало отрезка, вторая — его конец.)
17. Найти координату’ точки Р, зная расстояние ее от данной
точки Q, Пусть, например:
а) 0(4-2) и PQ- — 5; с) 0(—3) и QP= — 1;
b) 0(— 7) и 50 = 4-2; d) 0(4"0 и 0^=4"8-
17*. Если даны любые три точки А, В и С на прямой, то неза-
висимо от их взаимного расположения между величинами отрезков
существует соотношение: АВВС —АС. Проверить справедливость
этого равенства для точек:
а) Д(—3), В (4-5) и С (4-12);
Ь) Л (4-4), В (4-1) и С(4-6);
с) Л (4-3), В (—7) и С (-2);
d) Л (*i), В (Xt) и С (л-3).
IS—25]
ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
15
18. Даны три точки: А(—1), В (4~5), С (4-3). Определить отно-
шение, в котором каждая из этих точек делит отрезок между двумя
другими.
19. Найти точку /И, делящую отрезок между точками А(—1,5)
и В (Ц-7,5) в отношении X, причем X принимает значение 1; 4; —2,5;
0; —1.
20.
отрезок
21.
из них
23,7 и 74,3 см, подвешены грузы
-X-
t--------
А
3
в
ч 200кг
Черт. 9.
(черт. 9). На каком расстоянии
Найти координату точки В, зная, что точка С(—2) делит
между А (~|-3,5) и В(х) в отношении Х = 3/2.
Даны три точки: А(—3), В(4~1) и С(4~2)« Найти к каждой
четвертую гармоническую по отношению к двум остальным.
22. Стержень рычага разделен на сантиметры и миллиметры. В точ-
ках, соответствующих делениям
в 350 и 475 г. Определить точку
стержня, под которую надо под-
вести опору, чтобы рычаг нахо-
дился в равновесии.
23. Горизонтальная балка дли-
ной в 3 м и весом в 80 кг сво-
бодно лежит своими концами на
двух неподвижных опорах А и В
от конца А нужно поместить груз в 200 кг, чтобы давление на
опору В было равно 110 кг?
24. Стержень длиной в 60 см подвешен за концы на двух ве-
ревках. Одна из этих веревок не может выдержать натяжения, превы-
шающего 20 кг» На каком расстоянии от соответствующего конца
стержня можно прикрепить к нему груз в 96 кг?
25. На прямой даны две точки А и В, которые разбивают ее на
три части: отрезок АВ, луч, идущий вправо от В, и луч, идущий
влево от А.
отрезок АВ
перемещается
точек, когда
На той же прямой дана подвижная точка Л4, делящая
в отношении X. Исследовать, как меняется X, когда /И
между А и В, когда Л4 совпадает с одной из этих
неограниченно удаляется вправо от В или влево от А.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА II
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Прямоугольные координаты. Графики
Положение точки на плоскости определяется проще всего по отношению
к так называемой прямоугольной декартовой системе коорди-
нат, которую мы установим следующим образом:
1) выберем две взаимно перпендикулярные прямые — две оси координат:
ось х, или ось абсцисс, и ось у, или ось ординат (черт. 10); точка
их пересечения О называется началом координат;
Черт. 10.
2) на каждой из осей координат выберем положительное направ-
л е н и е;
3) для каждой оси выберем единицу длины (на черт. 10 для обеих
осей взята одна и та же единица e — PQ).
Положение
ляется двумя
ДМ ов
точки М относительно выбранной системы координат опреде-
х л ВМ ОА
координатами: абсциссой * =-ртт-= “р/у и ординатой у =
= ~Pq' ~ -pQ~ * Абсцисса х есть расстояние точки М от оси ординат, взятое
со знаком плюс или минус в зависимости от того, находится ли точка М
вправо или влево от нее. Ордината у равна расстоянию точки М от оси аб-
сцисс, взятому со знаком плюс или минус, смотря по тому, находится ли
точка сверху или снизу от оси абсцисс. На черт. 10 точка М имеет координаты:
х = + Зиу = 4-1. Мы обозначаем это так: М (+ 3; + 1).
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
17
Оси координат делят всю плоскость (черт. 11) на четыре части (четыре квад-
ранта). Координаты точек различных квадрантов имеют различные знаки, а именно:
Квадрант Знак абсциссы Знак ординаты
I 4- 4-
II 4-
III —
IV + —
Точки, расположенные на оси абсцисс, имеют ординаты, равные нулю; точки
оси ординат имеют абсциссы, равные нулю; начало координат имеет обе коорди-
наты, равные нулю.
Если даны значения двух координат, то можно построить одну единствен-
ную точку, имеющую эти координаты. Построим, например, точку Р (— 4; + 2);
с этой целью отложим по оси абсцисс влево от начала координат отрезок ОА,
равный четырем единицам длины (черт. 12); в конце А этого отрезка про-
водим перпендикуляр к оси х и на нем, вверх от точки Л, откладываем две
единицы масштаба; конец этого второго отрезка и будет искомая точка
Р(-4; +2).
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответст-
вие между точками плоскости и парами чисел (x,j). Этим мы можем вос-
пользоваться для графического изображения одновременного изменения дв>х
величин, для наглядного изображения зависимости между ними. Пусть, напри-
мер, требуется графически изобразить зависимость между упругостью насы-
щенного пара и температурой, причем результаты произведенных наблюдений
даны в таблице.
Температура ... — 10° — 5° 0° 4-5’ |4-10’ + 15° | 4-20’
Упругость насы- щенного пара в мм рт. ст.. + 2,0 4-3,1 + 4,6 + 6,6 4-9,1 4-12,7 +17,4
По оси абсцисс откладываем значения независимого переменного, в данном
случае температуры; по оси ординат — значения функции, а именно — упругости
18
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[26—32
насыщенного пара. За единицу длины примем на обеих осях один милли-
метр, т. е. перемещение на 1 мм вправо по оси абсцисс соответствует по-
вышению температуры на 1°, а перемещение на 1 мм вверх по оси ординат —
увеличению давления на 1 мм ртутного столба 1). На черт. 13 отмечено семь
точек:
А, (— 10; + 2,0), Л2 (— 5; + 3,1), ..., Л7 (+ 20; + 17,4),
заменяющих данную таблицу; абсцисса каждой из этих точек дает температур),
ордината — соответствующую упругость насыщенного пара. Так как с измене-
нием температуры упругость меняется плавно, без резких скачков, то, для более
наглядного изображения изменения упругости пара в зависимости от изменения
температуры, полученные точки соединяем плавной кривой, — это и будет гра-
фик упругости насыщенного пара. Эта кривая дает возможность приближенно
определить упругость пара для любой промежуточной температуры; например,
для 8° упругость равна 8 мм, что мы узнаем, измеряя ординату той точки
кривой, которая имеет абсциссу х = 8.
26. Построить следующие точки:
А (+ 2; +7), В (4-3; 0), С (4-1; —4), Д(0; 4-5),
Е(— 1; +2), F(— 4; — 3), G(— 2; 0), /7(0; — 3),
/С(-з‘/8; 4-2*/3), £(4-1/2’; -УЗ"Х w(o; 4-/0
27. Построить точки, координаты которых удовлетворяют урав-
нениям:
(5х-4-2у =—1, ( х2-1--у2 = 25, (у*— 4х = 0,
а) Ь) с) ft
( 2х—_у=14; ( х-\-у — Т, ( х2 — 4_у = 0.
28. Построить точки, абсциссы которых равны: — 4, — 3, — 2,
— 1, 0, -|-1, 4" 2, -|-3 и -|-4, а ординаты определяются из урав-
нения: а)_у = 3х — 5; Ь) у = х\
29. Дана точка М (4~ 3; 2); построить точки, симметричные
с ней относительно оси абсцисс, оси ординат, начала координат.
Определить координаты этих точек.
30. Расстояние между точками Д(—2; -|-5) и М(х,у) равно
трем единицам масштаба. Определить координаты точки Л4, зная, что:
а) А и М лежат на прямой, параллельной оси х; Ь) А и М лежат
на прямой, параллельной оси у.
31. Какое соотношение существует между координатами точки,
лежащей на одной из биссектрис координатного угла?
32. Сторона квадрата равна 1. Определить координаты его вершин,
приняв за оси координат: а) две непараллельные стороны его; Ь) две
диагонали; с) прямые, параллельные сторонам квадрата и пересека-
ющиеся в его центре.
*) Упругость или давление пара измеряется в миллиметрах ртутного
столба.
33—36)
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
19
33. Найти координаты вершин правильного шестиугольника, сто-
рона которого равна а, зная, что начало координат помещено в центре
шестиугольника, а ось абсцисс проходит через две противолежащие
его вершины.
34. Изобразить графически зависимость между средним ростом
и возрастом человека, пользуясь следующими данными:
Возраст в годах Рост в см Возраст в годах Рост в см Возраст в годах Рост в см
0 50 7 111 14 147
1 71 8 116 15 152
2 80 9 122 16 156
3 87 10 128 17 162
4 93 11 133 18 166
5 99 12 137 19 167
6 105 13 142 20 168
35. Изобразить графически зависимость между средней годовой
температурой и высотой местности над уровнем моря. Соответ-
ствующие наблюдения даны в таблице:
А в км г А в км г h в км г
0 + 7,9 6 — 23,7 12 — 54,2
1 + 4,6 7 — 30,8 13 — 54,4
2 + о,1 8 — 38,0 14 — 54,4
3 — 5,0 9 — 44,4 15 — 54,4
4 — 10,7 10 — 49,6
5 — 16,9 11 — 52,8
36. Сведения о возрасте студентов, принятых на первый курс
одного института, даны в следующей таблице:
Возраст в годах 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Число студентов 2 23 85 146 129 62 10 8 6 3 1
Составить график возрастного состава первокурсников этого
института, соединив ломаной линией все полученные точки.
20
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[37—39
37. Составить график железнодорожного движения между
Москвою и Дмитровым по следующему расписанию поездов:
км № 1 № 3 № 5 № 7 № 9
Москва 9.0 14.10 16.39 18.40 20.30
Лианозово 13 9.31 14.37 17.07 21.0
Лобня 2/ 10.14 15.18 17.48 21.53
Икша 46 10.53 15.54 18.24 20.14 22.30
Дмитров 66 11.30 16.29 19.0 20.55 23.05
км № 2 № 4 № 6 № 8 № 10
Дмитров — 3.08 5.18 7.14 17.44 19.34
Икша 20 4.07 5.58 7.56 18.23 20.18
Лобня 39 4.51 6.42 8.41 19.02 21.04
Лианозово 53 5.28 7.19 — 19.40 21.44
Москва 66 5.55 7.45 9.40 20.07 22.11
По составленному графику определить:
а) какие из указанных поездов встречаются и на каком именно
расстоянии от Москвы;
Ь) какие поезда находятся в пути своего следования в полдень
и какие в 8 час. вечера;
с) в котором часу проходят поезда мимо будки на 50-м кило-
метре от Москвы;
d) какие поезда перегоняют и какие поезда попадаются навстречу
пешеходу, вышедшему из Лианозова в 7 часов утра и идущему
в Лобню со скоростью 5 километров в час (на графике отметить
передвижение пешехода).
38. Тело падает с высоты 50 метров под действием силы тя-
жести. Изобразить положение тела в тот момент, когда началось
падение, когда оно закончилось, и промежуточные положения,
вычисленные для каждой */а сек. Полученные точки соединить
плавной кривой.
Указание. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то путь, пройден-
ный падающим телом в t сек., можно вычислить по формуле:
где g^=;9,8 м/сек*.
39. По горизонтальной балке, лежащей на двух опорах А и В,
идет человек. Давление, испытываемое опорой В, меняется в зави-
40]
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
21
симости от положения человека на балке. Изобразить графически
зависимость между этим давлением и расстоянием человека от
другого конца балки А при следующих числовых данных: вес
балки Р = 120 кг, длина ее / = 5 м, вес человека р = 65 кг.
40. Простейший подъемный ворот состоит из барабана и колеса,
вращающихся на общей горизонтальной оси. На барабан намотана
веревка, к концу которой подвешен груз Q, а колесо обмотано
веревкой, за которую тянут, чтобы поднять груз. Сила Р, которую
нужно при этом употребить, вычисляется по формуле:
где г — радиус барабана, — радиус колеса. Изобразить графически
зависимость между силой Р и радиусом колеса R, если г =10 см
и Q=12 кг (вес ведра воды).
2. Расстояние между двумя точками. Направление отрезка.
Площадь треугольника
Если даны две точки своими координатами Л^,^) и B(xSiy2)f то рас-
стояние между ними (черт. 14) вычисляется по формуле:
АВ = У(х2-х^ + (У2-У1)2 , (1)
т. е. длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей
одноименных координат его концов.
В частности, расстояние точки Л4(х,у) от начала координат определяется
по формуле:
ОМ= +у2 .
(2)
Направление отрезка на плоскости определяется углом наклона этого
отрезка к какому-нибудь известному направлению, например к направлению
оси абсцисс.
Угол <р, образованный отрезком АВ с положительным направлением оси
абсцисс (черт. 14), определяется через координаты концов отрезка следующим
22
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[41—46
образом:
. Уз — Vi
tg<P=-V—V--
л2 -------А1
Если даны координаты трех вершин треугольника A (хи у^, В (х2, У %) и
С (х8, у8), то можно вычислить его площадь по формуле:
5 = у {*! (Уъ —у8) + Х2 (у8 — yt) 4- х3 (У! —у2)}
(3)
(4)
или
с__L
5— 2
Х1 У1 1
Хз Уз 1
xt у, 1
(4')
Пользуясь этими формулами, мы можем получить в правой части как
положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от того, будет
ли обход периметра от вершины А к В и к С (черт. 15) соответствовать
положительному вращению (против часовой стрелки) или отрицательному (по
стрелке часов); поэтому, считая, что площадь геометрической фигуры всег-
да 0, мы должны результат вычислений
брать по абсолютной величине.
Признаком того, что три точки лежат
на одной прямой, может служить равенство
нулю
ника,
площади соответствующего треуголь-
т. е.
*1 (У 2 — У г) + *2 (У з — У О +
+ (У1 —У2) == 0
(5)
или
х2
Хз
yt 1
У-2 1
Уз 1
= 0.
(5')
41. Определить расстояние между двумя точками: Д(4~5; -|-2)
и В(+1; —1); С(— 6; +3) и £(0; —5); 0(0; 0) и Р(—3; 4~4);
<?(+9; -7) и /?(+4; +5).
42. Даны вершины треугольника: А(-]-3; -р^), В(—1; —1) и
С(Ц-Н; —6). Определить длину его сторон.
43. Доказать, что треугольник с вершинами А (0; 0), В (-|- 3; О
и С(--р1; +7) пряхмоугольный.
43*. Зная вершины треугольника Р(—2, -р 1), Q(-|-4; и
Ж+Ю; 4-6), проверить, нет ли тупого угла среди внутренних
углов этого треугольника.
44. Определить ординату точки /И, зная, что абсцисса ее равна -р 7,
а расстояние до точки Л/(—1; 4~5) равно 10.
45. На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А (-}- 4; —6)
на расстоянии 5 единиц.
46. На биссектрисах координатных углов найти точки, расстояние
которых от точки Л4(—2; 0) равно 10.
47—59]
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
23
47. Точка, двигаясь прямолинейно, переместилась из положения
А(—1; —3) в положение 23 (-)-4; 4-2). Как велик пройденный
путь и под каким углом к оси абсцисс наклонена траектория
точки?
48. Какой угол образует с осью х прямая, проходящая через
точки 714(0; 4~2) и Д7(—2; -|-4)?
49. Прямая линия проходит через точку А (—|—3; -|~1) и образует
с осью х угол 45°. На этой прямой найти точку, ордината которой
У = -|-4.
50. Определить положение точки, которая, выйдя из А (4-3; 0),
переместилась на 8 единиц длины по прямой, образующей угол 30°
с осью х.
51. На оси х найти точку, равноудаленную от начала координат
й от точки А (4~9; —3).
52. Какому условию должны удовлетворять координаты точки
714 (х, _у), если она одинаково удалена от точек А (4-7; — 3) и
Щ-2; +1)?
52*. Найти центр правильного шестиугольника, зная две смежные
его вершины: А (4-2; 0) и В (4-5; 4"ЗКЗ )•
53. Дан треугольник своими вершинами: А (4-2; —3), Z?(4-l; 4“3)
и С (—6; —4). Определить координаты точки 714, с которой совпа-
дает вершина А, если перегнуть чертеж по прямой ВС.
53*. Зная две противолежащие вершины ромба А (4-8; —3),
С (-J-Ю; 4-11) и длину его стороны АВ— 10, определить коорди-
наты остальных вершин ромба.
54. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек:
А(4-2; 4-2), £(—5, 4-1) и С(4~3; — 5).
55» Найти центр окружности, проходящей через точку А (—4; 4“2)
и касающейся оси абсцисс в точке 73(4-2; 0).
56. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку
(4-2; —1) и касающейся обеих осей координат.
57. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого слу-
жат точки: А(4~4; 4“2), В (4~9; 4"4) и С(-\-7\ 4~6).
57*. Проверив, что точки А(—2; 4-8), В (4-1; 4~5) и С(~Н1; 4-0
могут служить тремя вершинами ромба, вычислить площадь этого
ромба.
58, Вычислить периметр и площадь треугольника по координатам
его вершин: (—2; 4-1), (4“2; —2) и (4"8’> ~Н>).
58*. Вычислить площадь пятиугольника, вершинами которо! о
служат точки; А(—2; 0), В (0; —1), С (-{-2; 0), D (4~3; 4~2) и
Е(-1;4-3).
59. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные то жи:
а) (0; +5), (+2; +1), (-1; +7);
Ь) (+3; -1-1), ( —2; -9), (+«; 4-11);
с) (0; 4-2), (-1, 4-5), (4 3; 4-4).
24
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[60—64
60. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через точки
М (4-5; 4-5) и ДГ(4-1; 4-3),
Определить точку, в которой она пересечет ось х.
Указание. Определить абсциссу искомой точки Р(х; 0) из условия,
что эта точка должна лежать на одной прямой с двумя данными точками.
61. Прямая определена двумя своими точками: А(—1; 4“ 4) и
5(4^2; 4-1)- На этой же прямой найти точку, абсцисса которой
х=4“* 5.
61*. Даны точки: Д(-|-1; 4-3), В (4- 4; 4-7), С(4-2; 4-8)
и Z)(—1; 4-4). Проверить, что четырехугольник ABCD— паралле-
лограмм, и вычислить его высоту, приняв сторону АВ за основание.
3. Деление отрезка в данном отношении
Если даны две точки A (хи yt) и В (х2, у2), то координаты всякой третьей
точки С, лежащей с ними на одной прямой, определяются формулами:
г__Xi4-Xx2 _________У1+Ху2
х — ' '1 и У — ’
(б)
где X обозначает отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, т. е.
АС
X = Каждой точке прямой АВ соответствует определенное значение па-
пи
раметра X, и, обратно, каждому значению X
точка на прямой
В частности,
мы имеем:
соответствует одна единственная
отрезок АВ пополам, то Х = 1, и
АВ.
если точка С (х, у) делит
Xi -|- х2
—т- и У
2
(7)
т. е. координаты
его концов.
середины отрезка равны полусумме одноименных координат
62. Даны две вершины треугольника: А ( 4~ 3; — 7), В (4- 5; 4~ 2)
и С( — 1; 0). Найти середины его сторон.
62*. Вычислить длину медиан треугольника, зная координаты его
вершин: 4(4-3; —2), В(4~5; 4-2) и С(—1; 4-4).
63. Центр тяжести прямого однородного стержня находится в точке
214(4*5; 4" О*, один его конец совпадает с точкой А( — 1; —3).
Определить положение другого конца.
64. Отрезок АВ перемещается так, что концы его все время
остаются на двух неподвижных прямых: конец А скользит по пря-
мой, параллельной оси х и проходящей над ней на расстоянии трех
единиц; конец В скользит по прямой, параллельной оси у и прохо-
дящей слева от нее на расстоянии двух единиц. Определить поло-
жение концов отрезка в тот момент, когда середина отрезка совпа-
дает с точкой М (4~3; 4-1).
65—78] КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости 25
65. Найти вершины треугольника, зная середины его сторон:
Р(4-3; -2), Q(+ 1; 4-6) и /?(— 4; +2).
65*. Точки А (хр, yi) и В (х.2; _у2) служат смежными вершинами
ромба, диагонали которого параллельны осям координат. Как выра-
зить координаты остальных вершин через координаты данных точек?
66. Даны координаты двух смежных вершин параллелограмма
А (-4‘/2; — 7) и В (4- 2; 4~ 6) и точки пересечения диагоналей
Af(4“3; 4-172). Вычислить координаты двух остальных его вершин.
67. Даны три вершины параллелограмма: А (4~ 4; 4~ 2), В (4“ 5;
4-7) и С(—3; 4-4). Найти четвертую вершину D, противолежащую
вершине В.
68. Отрезок между точками Д(4~3; 4~ 2) и ^(4~ 4“ 6) раз-
делен на пять равных частей. Определить координаты точек деления.
69. На луче, выходящем от начала координат и проходящем че-
рез точку Ж (-|~ 4; 4- 3), найти точку Р, расстояние которой от на-
чала координат равно 9.
69*. Прямая линия отсекает на оси X отрезок ОЛ = 4 и на оси
Y отрезок ОВ = 1. Найти координаты основания перпендикуляра,
опущенного из начала координат на данную прямую.
70. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная коорди-
наты его вершин: (4~1; 4~4), (— 5; 0) и (— 2; —1).
71. Как выражаются координаты центра тяжести треугольника1)
через координаты его вершин?
72. Центр тяжести треугольника совпадает с началом координат;
одна из вершин лежит на оси абсцисс на расстоянии а от начала
координат; вторая вершина лежит на оси ординат на расстоянии b
от начала. Найти координаты третьей вершины.
73. Дан треугольник Д(4~4; 4~ 1), #(4“7‘> 4" 5), С(— 4; 4~7)«
Найти точку пересечения биссектрисы угла А с противолежащей
стороной ВС.
74. Два подобных треугольника имеют общую вершину А (4~ 3;
— 6) и при ней общий угол. Найти две другие вершины большего
треугольника, если известны вершины меньшего: В (4“ 6,2; — 3,6) и
С(4~5; 4“ Ц а отношение сходственных сторон равно в/2.
75. Найти точку пересечения общих касательных двух окружно-
стей, центры которых совпадают с точками (4~ 2; 4“ 5) и С2 (4~ 71/з*>
4- ЮУз), а радиусы соответственно равны трем и семи единицам.
76. Определить точку, в которой прямая, соединяющая точки
А (4- 4; 4-1) и В(—2; 4'4), пересекает ось абсцисс.
77. На прямой, соединяющей точки (— 3; 4~5) и (—1; 4“ 2),
найти точку, имеющую абсциссу х = 5.
78. Найти точку пересечения диагоналей АС и BD четырехуголь-
ника: 4(4-3; —2), В(4-3; 4-5), С(0; 4-4), £)(—!; —1).
2) Под центром тяжести треугольника, если нет иных указаний, мы подра-
зумеваем центр тяжести однородной треугольной пластинки.
26
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[79—85
79. В трех точках А (-|- 7; 4~ l1/^), 7?(4~6; 4~7) и С(4~2; 4)
помещены грузы соответственно в 60, 100 и 40 г. Определить центр
тяжести этой системы.
80. Доказать, что если материальная система состоит из п точек
(хь j^i), А2 (х2, _у2), ... , Ап (хп, уп), в которых сосредоточены
массы ть /п2, т3, ... , mni то центр тяжести этой системы опре-
делится следующими формулами:
х _ + х2?п2 +... + хптп
/П1 -|- ^2 + • • • + 1ПП ’
v_ yimi+y^m2 + ^-+ynfnn
у mt + т2 +... 4- тп ‘
80*. В трех точках А (хь уt), В (x2, у2) и С (х3) у.^ сосредото-
чены одинаковые массы. Найти центр тяжести этой системы.
81. Однородная проволока согнута в виде прямого угла со сто-
ронами а и Ь. Найти центр тяжести этой проволоки.
82. Найти координаты центра тяжести проволочного треуголь-
ника, зная, что вершины его помещены в точках А (хъ у), В (х2, у2)
и С(х3, уз). Длины сторон, для краткости, обозначим так: ВС=а,
АС—b, АВ = с.
83. Определить положение центра тяжести симметричной стер-
жневой фермы ADBC (черт. 16), у которой АВ = 6 м, CD = 3 я
и DE = 1 м.
Черт. 17.
84. Найти центр тяжести четырехугольной однородной доски, зная,
что углы доски помещаются в точках: А(4~4; 4~ 4), В(4~5’> 4" 7),
С(4-10; 4-10) и £(4-12; 4-4).
85. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, размеры и
форма которой даны на черт. 17, приняв за оси координат стороны
АВ и АС.
4. Косоугольная система координат
Вместо того, чтобы брать две взаимно перпендикулярные оси координат,
мы можем взять любые две пересекающиеся прямые и определять положение
точек плоскости по отношению к ним. Угол <о между положительным направ-
лением оси х и положительным направлением оси у называется координат-
ным углом (черт. 18).
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
27
Если координатный угол отличен от прямого угла, система координат назы-
вается косоугольной.
Чтобы определить координаты точки
прямые МА и МВ, параллельные осям; тогда
ВМ ОА AM ОВ
~^PQ и оРД^а y=pQ=pQ-
не равны расстояниям этой точки от осей
при условии <о = 60°. За оси координат возь-
60° (черт. 19); на каждой из них
абсцисса х — „—
Косоугольные координаты точки
координат.
Построим точку Р(4-3;—1)
мем две прямые, пересекающиеся под углом
выберем положительное направление и еди-
ницу длины. От начала координат О, вправо
по оси х, откладываем отрезок О А = Зг;
через точку А проводим прямую, парал-
лельную оси у, и на ней откладываем вниз
от точки А отрезок АР, равный единице
длины; конец этого отрезка и будет иско-
мой точкой.
В косоугольной системе координат
приходится вычислять величины всякого
рода (длины, углы, площади) по более
сложным, обобщенным формулам, содер-
жащим координатный угол ю. Расстоя-
ние между двумя точками A (xlf 3^) и
B(xt, ys) будет (черт.
20):
А В = У (Ха — Хх)2 + (у а — yt)* + 2 (х, — Xi) {У а — Уа) • COS <о.
Расстояние точки М (х, у) от начала координат выражается формулой
ОМ = ]Лх2 + у2 + 2ху * cos «о.
Между координатами концов отрезка АВ и углом ср, образованным
отрезком с положительным направлением оси х, существует соотношение:
У2—-3^1 _ Sin ср
х2 —Xi sin (со ~ ср) *
(Г)
(2')
этим
(3')
Преобразовав это равенство, можно получить для вычисления угла ср фор-
мулу:
(у2-—3i)-sin<o
tg ? (-4 — Х1) + (_у2 — yi)- cos<>
(3")
28 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости 186--95
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S = | [*! (Ь —>з) + xs (у, —yt) + хг (yt —^2)] |. (4')
Что же касается формул, характеризующих взаимное расположение точек,
то они остаются без изменения. Условие того, что три точки лежат на одной
прямой, выражается по-прежнему равенством:
(У2 — Уз) + *2 (Уз — У1) + Хз (У 1 —Уа) = 0. (5')
Координаты точки, делящей отрезок между A (*i, Vi) и В (х2, у2) в отно-
шении X, будут:
__ Х1 4" .
~ 1+1 (б’)
v __ + ^2
1 + х J
Если в последующих задачах координатный угол не указан, то предпо-
лагается, что система координат прямоугольная.
86. Построить треугольник, вершины которого даны своими коор-
динатами (—[—3; 4“5), (—4; 4-7) и (-|—5х/2; —З1/^ относительно косо-
угольной системы с углом (о = ^-.
87. Относительно косоугольной системы координат с координат-
ным углом о)=150° дана точка Л4 (4~ 6;-|-4). Определить расстоя-
ния этой точки от осей координат.
88. Определить координаты точки Л4, если расстояния ее от осей
координат содержат соответственно 1 и 1,5 единицы длины. (о = у.
89. Точки А4(—3; —5) и 2V(x, у) симметричны относительно
оси х. Найти координаты точки N при условии, что координатный
угол О) = 60°.
90. Определить координаты вершин правильного шестиугольника,
сторона которого а=\, если за оси координат приняты такие две
смежные его стороны, что вершина, противолежащая началу коорди-
нат, имеет положительные координаты.
91. Вычислить расстояние между двумя точками 7И(4~3; 0),
2V(4~1;—2) ПРИ условии, что о)=120°.
92. Относительно косоугольной системы координат с углом (о = 60°
дан треугольник: А (0; 0) £?(4~7; 4~4), С(—1; 4~б). Вычислить длину
медианы, проведенной из вершины Д.
93. Вычислить длину сторон треугольника А (-{-14; 4~3), В (4~9; —2),
С(Ц-4; 4-1) ПРИ условии, что (о = 2/3к.
94. Относительно косоугольной системы координат с углом со =
= arccos (—3/й) даны две вершины правильного треугольника А (4~2; —2)
и В (-|-7; 4-1). Найти третью его вершину.
95. Определить координатный угол со, зная, что расстояние
между точками Д(4~Ю; —4) и В (4-7;—1) равно 3.
96—102] КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости 29
96. Прямая линия проходит через две точки М (-J-2; -j-3|z2)
и 2V(4"6;—УЛ2). Вычислить длину того отрезка этой прямой, кото-
рый заключен между осями координат, если известно, что со = -^-.
97. Под каким углом к оси х наклонен отрезок, соединяющий
точки Р(—1; 4"4) и +7)? (о = 60°.
98. Известно, что прямая, проходящая через две точки А (Ц-4; -f-1)
и —2; _у), образует равные углы с обеими осями координат. Вы-
числить неизвестную ординату точки В. Система координат — произ-
вольная.
99. На расстоянии З1^ единиц от точки А (Ц-5; -f-2) найти такую
точку 714, чтобы прямая ОМ, соединяющая ее с началом координат,
была наклонена к оси х под углом ср = 30°; (о=120°.
100. Дана окружность с центром в точке С(—7; -f-4) и радиу-
сом /? = 6; найти концы тех диаметров, которые параллельны биссе-
2к
ктрисам координатного угла; (в = -7—
О
101. Определить площадь треугольника, одна из вершин которого
совпадает с началом координат, а две другие — с точками A (-{-3; -f-1)
и £(—1; 4-4); (о=150°.
102. Вычислить координатный угол со, если известно, что площадь
треугольника с вершинами А (—5; —1), В (Ц-З; —2), С(Ц-1; 4-4) равна
11,5 кв. единицы.
5. Полярная система координат
Основными элементами полярной системы координат являются точка и луч,
из нее выходящий, — полюс О и полярная ось Ох (черт. 21).
Положение точки М на плоскости определяется расстоянием этой точки
от полюса — радиусом-вектором р и полярным углом ср, образованным
радиусом-вектором с полярной осью.
Две координаты (р, ср) определяют одну единственную точку. На черт. 22
построена точка А по координатам р = 2,
к
Если мы хотим установить взаимно однозначное соответствие между точ-
ками плоскости и парой координат (р, <р), то достаточно придавать р только
положительные значения, а ср— значения, заключенные между 0 и -|-2гс (поло-
жительные углы получаются вращением луча против часовой стрелки). Если
не придерживаться этих ограничений, то одна и та же точка определяется
координатами (р, у -f- 2пл) или (— р, <р 4“ (2л + 1) л), где п — любое целое число,
30 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (ЮЗ—108
Расстояние между двумя точками A (pb <pi) и В (р2, <р2), данными в поляр-
ных координатах, вычисляется по формуле (черт. 23):
Д5 = ]/гр| + р1 — 2р1Рз • cos (ср2 — <Pi) • О")
103. Построить точки, полярные координаты которых имеют сле-
дующие значения:
104. Как расположены точки, полярные координаты которых удо-
влетворяют одному из следующих уравнений:
а) Р=1; Ь) р = 5; с) р — а; d) <р —е) <p = -J;
f) Ф = у; g) ? = const?
105. Найти полярные координаты точек, симметричных с точками
/ j 71 \ /л 2л \ / 2 7с\ к Я ( \
v>“з; ур ^(р> ?)
а) относительно полюса;
Ь) относительно полярной оси.
106. Определить полярные координаты вершин правильного шести-
угольника, сторона которого равна а, приняв за полюс одну из его
вершин, а за полярную ось — сторону, через нее проходящую.
107. Построить точки, полярные углы которых равны 0°, 15°, 30°,
45°, 60°, 75°, 90°, а соответствующие радиусы-векторы вычисляются
из уравнения p = a«sin 2<р.
Полученные точки соединить плавной кривой.
108. Чтобы уравновесить тело, вес которого равен Р, на на-
клонной плоскости, образующей с горизонтальной плоскостью угол а,
нужно употребить силу Q = P-sina (черт. 24). Сила Q при одном
и том же грузе Р зависит от угла наклона а. Выразить эту зави-
симость графически, пользуясь полярными координатами.
109—114]
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
31
109. Вычислить расстояние между двумя данными точками:
л(2' Й) " " "(6; т);
Е(3^)
ПО. Даны вершины треугольника (в полярных координатах):
А ^5; у), С^З; Проверить, что этот треугольник
правильный.
111. На полярной оси найти точку, отстоящую от точки
А ^4 У~2 ; на 5 единиц.
112. Вывести формулу для вычисления площади треугольника,
одна из вершин которого совпадает с полюсом.
ИЗ. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин которого
помещается в полюсе, а две другие имеют полярные координаты
114. Вычислить площадь треугольника, заданного своими верши-
нами (в полярных координатах):
4;ro);B(12;4Ts)"c(10; ?)
6. Проекции. Преобразование координат
Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущен-
ного из этой точки, на ось, т. е. точка М' (черт. 25).
Проекцией отрезка АВ на ось называется геометрическое место проекций
всех его точек, или, иначе, отрезок оси (А'В'), заключенный между проекциями
концов отрезка.
Черт. 25.
Величина проекции отрезка равна длине проектируемого отрезка, умноженной
на косинус угла между этим отрезком и положительным направлением оси про-
екции
A'B1 = АВ-cos у. (8)
Проекция ломаной равна алгебраической сумме проекций ее звеньев
и равна проекции замыкающего отрезка.
32
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1115—118
Зависимость между полярными координатами (р, <р) точки и прямоугольными
декартовыми координатами (х,у) той же точки, если полюс принят за начало
координат, а полярная ось за ось абсцисс (черт. 26), выражается формулами:
и, обратно,
х = р • cos <?; y = p-sin<?
(9)
(Ю)
Р = Ух’+^;
При переходе от одной декартовой системы координат к другой мы бу-
дем обозначать через х и у координаты точки относительно первоначальной
системы, а через х' и у1 — координаты той же точки относительно новой си-
стемы.
Если перенести начало координат в точку О' (atb) и не менять направле-
ния осей, то
х = х' 4-а; + (11)
Если, не меняя начала, принять за новые оси прямые, образующие со
старой осью абсцисс углы а и 0, то
__ х' • sin (со — «) +У *sin (со — 0)
х~ sin со ’
_ Arising
sin co
Если одновременно произвести оба преобразования, то
xf • sin (со — а) У • sin (<о — 0)
sin со
x'-sin g -|~У «sin 0
sin co
(12)
(13)
В частности, если обе системы координат прямоугольные, то со = -%
о я I
и 0 = + g, и мы имеем
х = х' * cos g — у1 • sin g + о;
у = х' • sin g + у' • cos g + b.
115. Найти прямоугольные координаты точек, которые даны сво-
ими полярными координатами: А ^2; yj, В С^5;
—у У причем ось абсцисс совпадает с полярной осью, а на-
чало координат —с полюсом.
116. Зная прямоугольные координаты точек (-|~ 3; — 4), (— 1; -|~ 1),
(0; (+5; 0), найти их полярные координаты.
117. Координаты всех точек прямой, параллельной оси ординат,
удовлетворяют уравнению: х — а. Какому уравнению удовлетворяют
полярные координаты этих же точек?
118. Полярные координаты всех точек окружности, описанной
около полюса радиусом, равным а, удовлетворяют условию: р = а.
119—126]
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА плоскости
83
Какому условию должны удовлетворять прямоугольные координаты
тех же точек?
119. Сила Р=6кг приложена к точке, совпадающей с началом
координат; направление силы образует с осью абсцисс угол а = 30°.
Определить составляющие этой
силы по осям координат. У
Указание. СилаРизображается
вектором (направленным отрезком),
длина и направление которого соответ-
ствуют величине и направлению силы.
Составляющие силы по двум перпен-
дикулярным направлениям суть векто-
ры, являющиеся проекциями вектора Р д
на заданные направления (черт. 27). -- — » г
120. Определить величину и
направление силы Р, зная, что
ее составляющие по осям х и у
соответственно равны 8 и 6 кг.
121. Даны две точки: А (-1- 3; —7) и 4"®)* Найти вели-
чину проекций отрезка АВ на оси координат.
122. К одной и той же точке приложены три силы Р, Q и S,
причем даны величины их составляющих по обеим координатным осям:
Рл=3, Ру = 8, Qx — 7, Qy = fy Sx = 2, Sy — — 3. Вычислить
равнодействующую В этих сил.
Указание. Воспользоваться тем, что равнодействующая сила изо-
бражается замыкающим отрезком той ломаной, звеньями которой служат сла-
гающие силы.
123. Как преобразуются координаты любой точки М(х,у), если:
а) оставив ось абсцисс без изменения, переменить направление на оси
ординат; Ь) если за ось абсцисс принять прежнюю ось ординат и
за ось ординат — прежнюю ось абсцис? (Координатный угол — произ-
вольный.)
124. Как нужно изменить систему координат, чтобы: а) координаты
любой точки сохранили свою прежнюю абсолютную величину, но из-
менили знаки на обратные; Ь) абсолютная величина абсциссы всякой
точки увеличилась бы втрое, а абсолютная величина ее ординаты
уменьшилась вдвое?
125. Как нужно изменить систему координат, чтобы: а) абсциссы
всех точек увеличились на пять единиц; Ь) чтобы ординаты всех точек
уменьшились на две единицы; с) чтобы одновременно абсциссы всех точек
уменьшились на три единицы, а ординаты увеличились на три единицы?
126. Относительно некоторой системы координат точка А имеет
координаты: х = -\-1 и у = — 5. Вычислить координаты этой же точки
при условии, что начало координат перенесено в одну из следующих
точек: OJ+2; -J-3), Оа(— 4; Ц-7), ОА (+ 3; —9), О4(— 1; —2),
ОД+З; -5).
2 О. Н. Цубербиллер
84 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [127—136
127. Найти расстояние между двумя точками, имеющими одина-
ковые координаты (х — 1 и у — 2) относительно двух различных
прямоугольных систем координат, причем вторая система получается
из первоначальной перенесением начала в точку (У (4~3; 4~4) (без
изменения направления осей).
128. Найти расстояние между точками А (-р 1; 4~2) и Z?(4~ 2; — 1),
причем координаты точки В вычислены относительно новой
системы координат, полученной из прежней перенесением начала
в точку О'(—И + 3).
129. Одна и та же точка имеет относительно двух разных систем
координат координаты (4~ 2; 4~ 5) и (— 3; 4~ 6). Определить коорди-
наты начала каждой из этих систем относительно другой, зная, что
оси их имеют одинаковое направление.
130. Каковы будут координаты трех точек A (-J- 2; —3),
В(—1; 4“ 5) и М(х,у) после того, как прямоугольные оси коорди-
нат, к которым они отнесены, повернуть около начала: а) на пря-
мой угол против часовой стрелки; Ь) на прямой угол по часовой
стрелке; с) на два прямых угла?
131. Относительно прямоугольной системы координат даны точки
А ^4“’И8> — |7т) И Найти координаты тех же точек в пред-
положении, что оси координат заменены биссектрисами координат-
ных углов.
132. Дан квадрат ABCD, сторона которого а=1. За оси коор-
динат выбраны один раз стороны АВ и AD, а другой раз диагонали
АС и BD. Найти зависимость между координатами одной и той же
точки относительно этих двух систем координат.
133. Две стороны прямоугольника AJBCD первоначально совпа-
дали с осями координат (ДВ = 5 и ДО =2). Затем прямоугольник
был передвинут так, что Ьершина Д, совпадавшая раньше с началом
координат, попала в точку Д1(4-4; *—1), а сторона АВ, совпадав-
шая с осью х, оказалась повернутой на угол а = 30°* Определить
новое положение остальных трех вершин.
134. Оси координат первоначально совпадали с катетами С А и СВ
прямоугольного треугольника АВС (СА— 3; С£ = 4). Затем за оси
координат были выбраны: перпендикуляр, опущенный из вершины
прямого угла на гипотенузу, и сама гипотенуза данного треуголь-
ника. Определить координаты вершин относительно этой новой
системы и дать соответствующие формулы преобразования координат.
135. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты
которого равны а. За оси координат приняты катеты СА и СВ\ потом
ось абсцисс оставлена была без изменения, а ось ординат заменена
гипотенузой АВ, Дать формулы преобразования координат при пере-
ходе от одной системы к другой.
136. По отношению к косоугольной системе координат (00 = 60°)
дана точка Л1(—1; 4" 4). Найти координаты этой же точки, при-
137—142] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 35
няв за новые оси координат биссектрисы прежних координатных
углов.
137. Дан ромб, сторона которого а = 2. Оси координат сначала
совпадали с двумя сторонами, угол между которыми со =120°, и за-
тем с его диагоналями. Определить координаты вершин ромба отно-
сительно второй системы и дать соответствующие формулы преобра-
зования координат.
138. Известно, что площадь треугольника, одна из вершин
которого находится в начале координат, выражается через прямоуголь-
ные координаты двух других вершин A (xh и В (х2, >2) следу-
ющим образом: S = 1/2(x1_y2—jiX2). Как выразится площадь того же
треугольника через новые координаты его вершин, если: а) начало
координат перенесено в точку О' (а, Ь), а направление осей осталось
прежним; Ь) начало координат и ось абсцисс остались прежними, но
прямоугольная система заменена косоугольной с координатным углом ю?
139. Координаты ряда точек удовлетворяют уравнению х24~У*~Ь
4- 2х—1 Оу 4" 22 = 0. Какому уравнению будут удовлетворять коор-
динаты тех же точек, если прежняя система координат заменена но-
вой, а именно — начало координат перенесено в точку О' (— 1; 4" 5),
а направление осей не изменилось?
140. Координаты некоторых точек удовлетворяют уравнению
ху-\-Зх — 2у — 6 = 0. Какому уравнению будут удовлетворять коор-
динаты тех же точек после того, как начало координат будет
перенесено в точку (7(4-2; —3)?
140*. Координаты ряда точек удовлетворяют уравнению
х2 4“ 4~ — 5 = 0.
Как выбрать новое начало координат, чтобы новые координаты тех же
точек были связаны уравнением, не содержащим членов первой степени?
141. Прямоугольные координаты ряда точек удовлетворяют урав-
нению у*— х2=а2. Как будет выражена зависимость между коор-
динатами тех же точек, если за оси координат принять биссектрисы
прежнего координатного угла?
142. На какой угол нужно повернуть прямоугольные оси коор-
динат, чтобы уравнение 2х2 — 5ху 4~ 2у* 4~ Зх — 4 = 0 после пре-
образования координат не содержало члена с произведением координат?
ГЛАВА III
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1. Построение кривой по ее уравнению
Одно уравнение, связывающее две переменные величины х и у, имеет
простой геометрический смысл, если рассматривать х и у как координаты
точки на плоскости. Одному уравнению удовлетворяет бесчисленное множество
пар значений (х, у), и каждая такая пара дает определенную точку пло-
скости, — таким образом, существует бесчисленное множество точек, коор-
2*
36
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
динаты которых удовлетворяют одному уравнению. Совокупность этих точек
представляет, вообще говоря, некоторую линию, некоторую кривую, — следова-
тельно, одно уравнение между двумя координатами опреде-
ляет кривую.
Возьмем какое-нибудь уравнение, например
х2 —у — 4 = 0,
и построим соответствующую кривую. С этой целью решим уравнение отно-
сительно уч
у = х3 — 4;
затем, давая х различные значения и вставляя их в преобразованное уравнение,
будем вычислять соответствующие значения у. Полученные результаты вычис-
лений запишем в виде таблички.
У В каждой строке таблицы мы имеем
—1 — 3
пару координат, удовлетворяющих
данному уравнению, т. е. координа-
ты одной из точек кривой.Построим
эти точки (черт. 28) и соединим их
плавной кривой. Эта кривая и
будет искомой линией, изображае-
мой данным уравнением. Если нам
неясно течение кривой между от-
меченными точками, то, давая х
добавочные значения, строим про-
межуточные точки. Например, в
нашем случае полезно вычислить
ординаты, соответствующие
х=±Ч,.
По уравнению кривой мы мо-
жем судить о важнейших ее свой-
ствах. Например, благодаря тому,
что в рассматриваемое уравнение
абсцисса входит только в квад-
рате, — соответствующая кривая
симметрична относительно оси орди-
нат, так как, давая х значения,
равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, мы получим
одно и то же значение для у', иначе говоря, если на кривой лежит
точка (а, #), то на ней должна лежать точка (—a, i), а такие две точки сим-
метричны относительно оси у.
Если мы имеем уравнение, в правой части которого стоит нуль, а левая
часть представляет произведение двух или нескольких сомножителей, то кривая,
определяемая этим уравнением, представляет совокупность двух или нескольких
линий, уравнения которых получим, приравнивая нулю каждый множитель
отдельно. Например, уравнение
(х2+у2 —4) (х— 1) = 0
(1)
представляет две линии:
х2 + у3 — 4 = 0 и х — 1 = 0,
(2)
143—150]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
37
так как координаты, удовлетворяющие одному из уравнений (2), удо-
влетворяют и уравнению (1). Мало того, только те координаты удовлетворяют
уравнению (1), которые удовлетворяют одному
из уравнений (2).
Уравнение х2 + у2 — 4 = 0, или х2 + у* = 4,
представляет окружность с центром в начале
координат и радиусом, равным двум единицам,
потому что квадрат расстояния ее любой точки
от начала (ха+у2) равен 4.
Второе уравнение, х — 1=0, изображает
совокупность всех точек, имеющих абсциссу,
равную единице, т. е. прямую, параллельную
оси у и проходящую с правой стороны от нее
на расстоянии единицы (черт. 29).
Если зависимость между двумя переменны-
ми величинами выражена формулой, т. е. дано
уравнение, их связывающее, то построение соот-
ветствующего графика (см. гл. II, п. 1) сводится
№
Черт. 29.
к построению кривой, определяемой этим уравне-
нием, при условии, что переменные рассматри-
ваются как координаты точки на плоскости.
143. Исследовать, какие
уравнениями:
геометрические образы определяются
1) * —у =0; 6) у = а;
2) х +у =0; 7) (х — 1)(х4-3) = 0;
3) х2 — / = 0; 8) ху=0;
4) х®+У=0; 9) х(х+1)(х — 2) = 0;
5) х* -\-у* = а\ 10) (х-}~а)(у — Ь) = 0.
144. Построить линии, соответствующие уравнениям:
a) 2x-|-3j/=6; b) у = х — 5; с) у = х*;
d) у = (х — I)2 + 2; е) у = х3.
145. Построить кривые, данные следующими уравнениями:
а)хУ=4; Ь)_у = -^-; с) (x’+ l)j/_4х
146. Построить графики тригонометрических функций:
у — sin х; у = cos х; у = tg х.
147. Построить кривую, зная, что полярные координаты ее точек
удовлетворяют уравнению: р = -р (Спираль Архимеда.)
148. Построить
р а л ь.)
149. Построить
150. Построить
кривую: р = у. (Гиперболическая
кривую: р = а (1 — cos ср). (Кардиоида.)
4
кривую: Р= !_cos • (Парабола.)
С II И-*
38
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [151—154
151. Проверить, лежат ли точки Л(0; -j- 5), В(—2; -Ц- 3) и
С(-|- 1; — 1,5) на кривой 2х2— Зху-^у— 5 = 0.
152. Проходит ли кривая: х2-|-4_у2— 2(x-|-j/)— 6 = 0 через
точку (~|—2; —1)?
153. Указать, какие из следующих кривых:
a) x*(2x+j/) — 3/(х + 5) = 4; Ь) (х2 +У)2 — 2 (х — у) = 6х3;
с) Зх’ + бУ’ —7х*—_у-|-4х4-8 = 0; d)-J+y=1; e)ax — by = 0
проходят через начало координат.
154. Какой особенностью должно обладать уравнение кривой,
если она проходит через начало координат?
2. Составление уравнения кривой по ее геометрическим
свойствам
Кривая может быть определена как некоторое геометрическое место точек,
т. е. может быть дано геометрическое свойство, присущее всем точкам кривой,
и только им одним, — свойство, отличающее точки кривой от остальных точек
плоскости. В таком случае возникает вопрос о нахождении уравнения кривой.
Задача сводится к тому, чтобы выразить аналитически тот факт, что все точки
кривой обладают определенным свойством. Но нет надобности рассматривать
все точки кривой: мы можем представить себе, что кривая описана подвижной
динат. От выбора системы
точкой 7И(х, у), и тогда достаточно
будет выразить, что точка М (х, у)
неизменно обладает указанным свой-
ством.
Составим, например, уравнение кри-
вой (овала Кассини), определяемой
как геометрическое место точек, произ-
ведение расстояний которых от двух
данных точек Р и Q есть величина по-
стоянная, равная а3.
Расстояние между данными точка-
ми Р и Q обозначим через 2Ь, Прежде
чем составлять уравнение кривой, нужно
выбрать определенную систему коор-
координат зависит большая или меньшая
сложность искомого уравнения (см. задачи 139—142). В данном случае выбе-
рем за ось абсцисс прямоугольной системы координат прямую, соединяющую
данные две точки Р и Q (чтобы координаты данных точек были как можно
проще); начало координат поместим в середине между ними (равноправность
точек позволяет рассчитывать на симметрию кривой, поэтому мы помещаем
точки Р и Q симметрично относительно оси у). По отношению к установлен-
ной системе (черт. 30) координаты постоянных точек Р и Q будут (—Ь; 0)
и (+ Ъ\ 0). Пусть будет М (х, у) — подвижная точка, описывающая кривую;
в таком случае х и у будут переменные, так называемые текущие
координаты; они могут принимать значения, равные координатам любой
точки кривой. Уравнение кривой мы получим, выразив формулой, что про-
изведение расстояний точки М от двух точек Р и Q равно а2, т. е.
MP-MQ—a\
39
155—159] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
или, выражая отрезки МР и MQ через координаты их концов, получим
У(Х + Z»)2 + у2 • )Л(х — Ь)*+у* = а\
Это и есть уравнение овала Кассини (черт. 31). Остается только упростить
его: освободиться от радикалов, произвести возможные сокращения и пр.:
(х2 + у* + Ь2 + 2bx) (х2 -Ку2 + Z»2 — 2Ьх) = с4;
(х2 4- 4- Ь2)* — 4*2х2 = а4; (х2 4-у2)2 4- 262 (х2 + у2) — 4£2х2 = а4 — Ь\
и окончательно
(х2 4- __ 2Zj2 (х2 — у*) = а* — Ь*.
Если две линии имеют общие точки,
вл.етворять уравнениям обеих линий,
линий можно вычислить, решая сов-
местно уравнения этих линий.
155. Найти геометрическое
место точек, равноудаленных от
двух данных точек Д(-|-2;4-1)
и В(—Г, 4~4). (Составить
уравнение и определить вид
кривой.)
155*. Даны две точки:
М(— 1; +3) и 7V(-|-5; —3).
Составить уравнение прямой
линии, перпендикулярной к от-
резку MN и делящей его в
отношении Х = 2.
то координаты этих точек должны удо-
г. е. координаты точек пересечения двух
156. Определить траекторию точки 2И, которая при своем дви-
жении все время остается вдвое ближе к точке 0), чем
к точке В (-1-4; 0).
157. Требуется разложить силу Р=15 кг на две силы, отноше-
ние которых равно 2:3. Найти геометрическое место вершин сило-
вых треугольников, удовлетворяющих этому условию.
158. Точка движется так, что расстояния ее от двух пересека-
ющихся прямых остаются всё время в постоянном отношении. Напи-
сать уравнение ее траектории.
158*. Составить уравнение геометрического места центров тяже-
сти треугольников, имеющих две общие вершины 0), и
В (-Н>; 0), если третьи их вершины лежат на биссектрисе координат-
ного угла.
159. Найти геометрическое место концов векторов, изображающих
силы, приложенные к точке А и имеющие относительно центра О
момент данной величины Л1. Расстояние центра О до точки прило-
жения сил О А — а.
Указание. Моментом силы Р относительно центра О называется произ-
ведение силы на расстояние прямой, по которой она направлена, от центра.
Решить задачу предварительно в полярных координатах.
40
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[160—165
160. Два стержня вращаются вокруг двух неподвижных точек,
расстояние между которыми равно 2а (черт. 32). При этом враще-
нии стержни остаются все
время перпендикулярными друг к другу.
Найти геометрическое место точек пере-
сечения стержней.
161. Вокруг точек А (а, 0) и В(—а, 0)
вращаются два стержня, причем произве-
дение отрезков, отсекаемых ими на оси
ординат, считая от начала, равно по-
стоянному числу b*bl = ai (черт. 33).
Написать уравнение геометрического места
точек пересечения вращающихся стержней.
161*. Найти геометрическое место вершин всех треугольников,
имеющих общее основание а =12 и равные суммы квадратов двух
других сторон Ь2 + с2 = 100. Решить эту задачу и в общем виде.
162. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний которых от двух данных точек — фокусов эллипса — есть
величина постоянная, равная 2а. Соста-
вить уравнение эллипса, зная, что рас-
стояние между его фокусами равно 2 с.
162*. Составить уравнение гео-
метрического места точек, находя-
щихся от точки А (4"3; 0) вдвое
ближе, чем от прямой х=12.
163. Гиперболой называется
геометрическое место точек, раз-
ность расстояний которых от двух
данных точек (фокусов гиперболы)
есть величина постоянная, равная 2а.
Расстояние между фокусами равно 2с. Написать уравнение гиперболы.
163*. Найти траекторию точки, которая при своем движении
остается все время в полтора раза дальше от точки F (0; -]-6), чем
от прямой j> = 8/3.
164. Параболой называется линия, обладающая тем свойством,
что каждая ее точка находится на одинаковом расстоянии от данной
точки (фокуса) и данной прямой (директрисы). Написать уравнение
параболы, обозначив через р расстояние от фокуса до директрисы.
164*. Составить уравнение геометрического места центров окруж-
ностей, касающихся оси х и проходящих через точку (-|-3; -)-4).
165. Точка М движется так, что для любого момента t ее коор-
динаты могут быть вычислены по формулам:
a) x = 2t, у = -^;
о
b) x = 5t2~ 1, у = 10fa4-4;
с) x = a-cosf, y — a-six\t\
d) x = a-cos£, =
Составить уравнения соответствующих траекторий.
16<i—170|
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
41
166- Шарик скатывается по желобку и, приобретя скорость v,
срывается с него в той точке, где касательная имеет горизонтальное
направление. Определить дальнейшую
траекторию шарика (черт. 34).
Указание. По закону инерции шарик
должен продолжать движение по направлению
касательной с постоянной скоростью v, т. е.
по прошествии t секунд он должен быть на vt
метров правее точки срыва. Но,кроме того, на него
действует сила тяжести, которая заставляет
его. опускаться в вертикальном направлении
с постоянным ускорением g = 9,8 я! сек2, т. е.
по прошествии t секунд он должен находиться
на я ниже, чем
в первоначальный момент. (Сопротивление воздуха в рас-
чет не принимается.)
167. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить траекто-
рию тела, брошенного со скоростью v вверх под углом а к гори-
зонтальному направлению.
168. Решить предыдущую задачу, полагая а = 45°; ^ = 28 м]сек, и
определить, на каком расстоянии упадет тело от исходной
точки.
168*. Две точки, двигаясь равномерно и с одинаковой скоростью,
описывают две взаимно перпендикулярные прямые. Зная начальное
положение подвижных точек, составить уравнение геометрического
места середин отрезков, их соединяющих, в различные моменты дви-
жения.
169. Найти геометрическое место вершин равновеликих прямо-
угольников, две стороны которых лежат на сторонах одного и того
же прямого угла.
Указание. Для вывода уравнения принимаем за оси координат сто-
роны данного прямого угла, а потом преобразовываем уравнение, приняв за
новые оси координат биссектрисы координатных углов.
169*. Прямая перемещается так, что треугольник, образованный
ею с осями координат, меняется, но сохраняет постоянную площадь.
Найти траекторию середины отрезка, отсекаемого осями координат
на этой прямой.
170. Если две одинаковые и достаточно близкие друг к другу
параллельные пластинки погружены в жидкость, то вследствие ка-
пиллярности жидкость поднимается между ними выше уровня в со-
суде (черт. 35, а); эта высота поднятия h обратно пропорциональна
расстоянию d между пластинками, т. е. /г = у, где с — постоянный
множитель, зависящий от поверхностного натяжения и плотности
жидкости. Если в ту же жидкость погрузить пластинки, образующие
42
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[171—174
У
а Ь
Черт. 35.
весьма малый двугранный угол с вертикальным ребром, то жидкость
поднимется между ними (черт. 35, Ь), согласно данной формуле, на раз-
ные высоты. Какую кри-
вую образует край жид-
кости с внутренней сто-
роны каждой пластинки?
171. Лемнискатой
называется частный вид
овала Кассини (см. за-
дачу, разобранную в тек-
сте) при условии, *что
а — Ь. Найти уравнение
лемнискаты в декартовых
и полярных координатах.
Построить лемнискату,
приняв а = 5.
172. Дана прямая Ох
и на расстоянии а от нее
дана точка А (черт. 36). Через эту точку А проведены всевоз-
можные прямые, и на каждой из них от точки В ее пересечения
с основной прямой Ох отложены в обе стороны отрезки постоянной
длины, равные Ь. Таким образом, на каждой из прямых пучка А
выбраны две точки М и Мь Найти уравнение геометрического места
этих точек. Полученная таким образом кривая называется конхои-
дой. Начертить конхоиду для трех случаев: а = Ь и a<ZJ>.
173. Дана прямая Ох и внешняя точка А на расстоянии а от
нее. Вокруг точки А вращается луч АВ, и на нем в обе стороны
от точки В (пересечения его с прямой Ох) отложены переменные по
величине отрезки ВМ — ВМХ = ОВ, где О обозначает основание
перпендикуляра, опущенного из А на основную прямую. При вра-
щении луча АВ точки М и описывают кривую, называемую
строфоидой. Составить уравнение этой кривой и построить ее.
174. Дана окружность, диаметр которой ОА — 2г (черт. 37). Из
конца диаметра О проведена хорда ОВ, и из конца ее В опущен
175—178]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
43
перпендикуляр на диаметр ОД; из основания этого перпендикуляра
С опущен перпендикуляр обратно на хорду ОВ. Какую кривую
опишет основание М этого второго перпендикуляра, когда хорда
ОВ вращается вокруг О?
Указание. Вывести уравнение искомой кривой сначала в полярных
координатах.
О. Вокруг
в перемен-
175. Дана окружность (радиус ее г) и на ней точка
точки О вращается луч, который пересекает окружность
ной точке А. От точки А в поло-
жительном направлении луча откла-
дываем отрезок А7И = АВ, где В —
точка окружности, диаметрально про-
тивоположная точке О. Какую траек-
торию опишет точка М при враще-
нии луча?
176. Дана окружность, диаметр
которой О А == 2г (черт. 38). Водном
конце диаметра проведена касатель-
ная АТ9 а через другой конец О
проведен секущий луч, встречаю-
щий окружность вторично в точке В
и данную касательную в точке С.
На этом луче от его начала О отложен отрезок ОМ, равный от-
резку ВС. При вращении луча вокруг точки О величина отрезка ОМ
меняется, и точка М описывает кривую, называемую циссоидой.
Составить уравнение циссоиды и построить ее.
177. Отрезок АВ неизменной длины 2а скользит своими концами
по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла О на этот
точки, а стержень KL, в него
отрезок опущен перпендику-
ляр ОМ. Найти геометрическое
место оснований этих перпен-
дикуляров.
Указание. Предварительно
вывести уравнение искомой кривой
в полярных координатах.
178. В точке О к пло-
скости чертежа прикреплен
ползун так, что он может
только вращаться вокруг этой
просунутый, может свободно сколь-
зить в нем и вместе с ним вращаться вокруг О (черт. 39). К одной
из точек стержня (А) прикреплен карандаш, и мы регулируем движе-
ние стержня так, чтобы этот карандаш описал окружность, прохо-
дящую через О и имеющую диаметр, равный а. Какую кривую
44 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [179—182
опишет при этом движении любая другая точка М подвижного
стержня?
Указание. Обозначить постоянное расстояние AM через Ъ и вывести
уравнение искомой кривой (улитки Паскаля) сначала в полярных коорди-
натах. Рассмотреть три случая: a b, a = b и а :> b.
179. Прямоугольник, две стороны которого совпадают с осями
координат, деформируется так, что диагональ его сохраняет постоян-
ную величину а. Из вершины прямоугольника, противолежащей на-
чалу координат, опущен перпендикуляр на его диагональ. Основание
этого перпендикуляра описывает при деформации прямоугольника
кривую, называемую астроидой. Составить уравнение астроиды
и вычертить ее.
Указание. Предварительно составим уравнение астроиды в параметри-
ческой форме (см. указание к ответу задачи 165), т. е. выразим обе коорди-
наты подвижной точки через один и тот же параметр, например, через острый
угол, образованный диагональю прямоугольника с осью абсцисс.
180. Циклоидой называется траектория любой точки окруж-
ности, катящейся без скольжения по прямой. Составить параметри-
ческие уравнения циклоиды, приняв за параметр угол поворота ра-
диуса, соединяющего центр катящегося круга с образующей точкой.
181. Показать, что астроида (см. задачу 179) может быть опре-
делена как траектория точки круга, катящегося без скольжения по
внутренней стороне другого круга *), причем радиус катящегося
круга равен четверти радиуса того неподвижного круга, по кото-
рому он катится.
182. Составить параметрические уравнения «развертки
круг а», т. е. траектории конца туго натянутой нити, сматываемой
с неподвижной круглой катушки.
ГЛАВА IV
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол
между двумя прямыми. Уравнение прямой, проходящей
через данную точку в данном направлении
Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат
изображает прямую линию, и, обратно, всякая прямая линия изображается
в декартовых координатах уравнением первой степени.
Прямая линия определяется двумя условиями. Уравнение прямой содер-
жит, кроме текущих координат, два независимых друг от друга параметра.
Чтобы написать уравнение определенной прямой, надо знать числовые значе-
J) Такая кривая называется гипоциклоидой.
183—184]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
45
ния ее параметров. Давая параметрам различные значения, получим различные
прямые на плоскости.
Уравнение прямой, разрешённое относительно ординаты у, имеет вид:
у = kx + Ь.
(1)
Параметр k характеризует направление прямой и называется ее
угловым коэффициентом. В случае
прямоугольной системы координат
оси ординат, считая от начала координат.
Если известны угловые коэффициенты k и к' двух прямых, то угол $
между этими прямыми вычисляется по формуле
ъ*__ъ
<3>
для прямоугольной системы координат и по формуле
tg» =____________________________(ft1-fe); sine,___
S l+(fc' + fc)COSG> + fc'fc v '
для косоугольной системы.
Условие параллельности двух прямых выразится так:
W = k. (4)
Условие перпендикулярности двух прямых:
14-Л'й = 0, или к' = — у, (5)
для прямоугольной системы и
1 + (*' + k) cos со + k'k = 0 (5')
для косоугольной системы координат.
Прямая, проходящая через точку (х\ у') и имеющая угловой коэффици-
ент k, изображается уравнением
У— y' = k(X — X’). (6)
183. Даны две прямые: у = 2х-}-3 и у = — х-|-4. Проверить,
проходят ли они через точки: А (—1; 4-1), В (4-2; —3), С(-|~4;0),
D(4-3; 4-1). ^(4-2; 4-7), ?(+'/* 4-*7з), 0(0; 0).
184. Найти угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый ею
на оси ординат, зная, что прямая проходит через точки Р(4-2; —8)
и Q(—1; 4-7).
46 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (185—196
185. Определить угловой коэффициент и отрезок, отсекаемый на
оси ординат прямой, данной уравнением:
а) 2х—3 = 0; b) — 8 = 0; с) 3x4“ 16 = 0.
186. Построить прямые, данные следующими уравнениями: _у =
= Зх-|-1; у = х — 2; у — — 5х 3; у = — 2х — 1; у = 2х; у = 5.
187. Написать уравнение прямой, проходящей через начало коор-
динат и наклоненной к оси х под углом; а) 45°; Ь) 135°; с) 30°;
d) 180°. Система координат — прямоугольная.
188. Сила Р приложена к началу координат, и составляющие ее
по осям соответственно равны 5 и —Найти уравнение прямой,
по которой направлена сила.
189. Какая линия служит графиком равномерного движения, опре-
деляемого уравнением $ = $04~^?
190. Найти скорость равномерного движения, зная, что график
его пересекает ось абсцисс в точке Л(—®) и ось ординат в
точке В(0; 4-8). Масштаб выбран так, что на оси х единица длины
соответствует одному часу, а на оси у — одному километру.
191. Точка, вышедшая из начала координат, должна одновременно
перемещаться по направлению оси абсцисс с постоянной скоростью
Vt и по направлению оси ординат с постоянной скоростью т>2. Найти
истинную траекторию движущейся точки.
192. Как изменится результат предыдущей задачи, если оба дви-
жения точки Ж по направлению осей — равноускоренные, и постоян-
ные ускорения соответственно равны gv и (Начальная скорость
в обоих движениях равна нулю.)
193. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого
служат осями координат. Длина стороны квадрата равна а.
194. Написать уравнения сторон равнобочной трапеции, зная, что
основания ее соответственно равны 10 и 6, а боковые стороны обра-
зуют с основанием угол в 60°. За оси координат взяты: большее
основание и ось симметрии трапеции.
195. Луч света направлен по прямой j/ = 2/3x— 4; дойдя до оси
абсцисс, он от нее отразился. Определить точку встречи луча с осью
и уравнение отраженного луча. Координатный угол <jo = -^-.
196. Вычислить угол между двумя прямыми:
) |д/ = — 2x4-5; Ь) = — 1ДХ_]_2; с) |j/==5x4~S;
(у = ]/гЗ'Х — 5, у — 7х — 2,
d) г- е) г -
у = — . х 4-1; = х —1/2*
Система координат — прямоугольная.
197—203*] прямая линия 47
197. Относительно прямоугольной системы координат написать
уравнение прямой, которая проходит через начало координат и
а) параллельна прямой у = 4х — 3;
Ь) перпендикулярна прямой _у = 1/2х4“ 1;
с) образует угол в 45° с прямой _у = 2х-)-5;
d) наклонена под углом в 60° к прямой у — х—1.
198. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку
А (-р 3; —1) и параллельна: ,
а) оси абсцисс;
Ь) биссектрисе координатного угла;
с) прямой у — Зх -J- 7.
198*. Составить уравнение прямой, симметричной прямой Зх —
— —0 относительно точки АГ(-|-5; 4" О-
199. По какой линии должна двигаться точка, начальное положе-
ние которой определено координатами (4-3; 4~3), чтобы кратчайшим
путем дойти до прямой у — ^х—1? В какой точке она достигнет
этой прямой и как велик будет пройденный путь? Угол о) = -^-.
200. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (4~2; — 1)
и составляющей с осью х угол, вдвое больший угла, составляемого
с тою же осью прямой у = у-|-у. Угол w = -y.
200*. Проверить, что прямые
j = 3x—1; х — 1у = 7 и x-j-y— 7 = 0
служат сторонами равнобедренного треугольника.
201. Из точки Л (4-6; 4~9) направлен луч под угломк пря-
мой у — 0,4x4- 0,8. Найти уравнение луча, отраженного от этой
прямой. Координатный угол w =
201*. Зная уравнения боковых сторон равнобедренного тре-
угольника
у = 3 и х—-[-4 = 0,
составить уравнение третьей стороны, при условии, что она прохо-
дит через начало координат.
202. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедрен-
ного треугольника, зная уравнение гипотенузы у = Зх 4- 5 и верши-
ну прямого угла (4-4; —1). Угол <d = 90°.
203. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны коор-
динаты вершины острого угла (4-5; 4~7) и уравнение противолежа-
щего катета: 6х 4- 4у — 9 = 0. Составить уравнения двух других
сторон треугольника. Координатный угол а) = -^-.
203*. Составить уравнения сторон квадрата, если даны относи-
тельно прямоугольной системы координат одна из его вершин
Л (4-2;—4) и точка пересечения диагоналей Л1 (4~5; 4”2).
48
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1204—213
204. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—1; —3)
и составляющей с осью х угол: а) 30°; Ь) 60°; с) 90° при ус-
ловии, что (D= 120°.
205. Написать уравнения перпендикуляров, восставленных к осям
координат в точке их пересечения, если известен координатный угол
(о=150°.
206. Относительно косоугольной системы координат с координат-
ным углом со = дана прямая у = — 2х Ц- 5. Вычислить углы, обра-
зованные этой прямой с осями координат.
207. Написать уравнения всех сторон правильного шестиугольника
ABCDEF (черт. 41), если оси координат совпадают со стороной АВ
£ О и диагональю АС, а сторона шестиуголь-
ника равна а.
qs' 208. Вычислить угол между двумя
прямыми: у — — х 4~ 5 и у = — */%х — 7.
Угол (о = -^-.
-''АВ * 209. Определить координатный угол <о,
Черт. 41. если известно, что прямые у = — 2x-j~l
и j = x-|-l образуют угол в 120°.
210. Определить координатный угол о>, зная, что уравнения у =
— 2x-j-3 и у = — 4/5х-4-1 изображают две перпендикулярные друг
к другу прямые.
211. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А (-р5; 0) на прямую у = 3х— 4. Угол и)=120°.
212. Через точку (-J-2; —5) проходит прямая, образующая угол
с прямой 4х — Зу 1 = 0. Составить уравнение этой прямой
при условии, ЧТОО) = -^-.
213. Относительно косоугольной системы координат с углом
<о = -^- дана вершина А(-[-3; -|-2) равностороннего треугольника и
уравнение противолежащей стороны: &х — 2у — 7 = 0. Написать
Уравнения двух других сторон треугольника.
2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Уравнение прямой относительно отрезков.
Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой.
Прямая, проходящая через две данные точки А (хь у^ и В (х2, у2), опреде-
ляется уравнением:
х — х^ У — У1
х2 — Xi У2 — У1 9 ' 7
Угловой коэффициент этой прямой вычисляется по формуле
214—215]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
49
т. е. угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, равен
отношению разности ординат к разности абсцисс этих точек.
Пользуясь определителями, можно еще иначе написать уравнение прямой,
проходящей через две данные точки, а именно:
X у 1
Х1 У1 1
Х2 Уг 1
(7')
Если точка С (х3, j>3) лежит на одной прямой с точками A (х1( yt) и В (х21 j>2),
то ее координаты удовлетворяют уравнению (7) или (7'), т. е. условие того, что
Если, в частности, данные точки
А и В лежат на осях координат, то уравнение (7) примет более простой вид:
где а и Ъ обозначают отрезки, отсекаемые прямой на осях (черт. 42) *).
214. Даны вершины треугольника: Л (4-4; 4~6), В(—4; 0) и
С(—1; —4). Составить уравнения:
а) трех его сторон;
Ь) медианы, проведенной из вершины С;
с) биссектрисы угла В\
d) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
214*. На прямую, проходящую через точки А (—}-1; —2) и
В (0; —7), опущен перпендикуляр из точки D (—3; 4-4). Вычислить
отношение, в котором основание этого перпендикуляра делит отре-
зок АВ.
215. Написать уравнение прямой, соединяющей центр тяжести тре-
угольника АВС с началом координат, причем координаты вершин такие:
(+2; -1), (+4; -]-5) и (-3; +2).
х) Написав определитель в раскрытом виде, мы получим: Xi (у2—Уа) +
+ аг2(у8— Ji) + *e (ji — у2) = 0. (См. гл. II, п. 2, формулу (5).)
2) Сведения, данные в этом параграфе, могут применяться при любом коор-
динатном угле <о. Только в тех задачах, в которых приходится пользоваться
величиной отрезков, углов и площадей, предполагается, что <о = —
50 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [215*—221
215*. На медиане AM треугольника А(0; 2? (4-2; 4~2)>
С(4~4; 4“6) найти такую точку Dt чтобы площадь четырехуголь-
ника ABDC равнялась 14 кв. ед.
216. Даны вершины треугольника: А(—1; 4-2), 23(4-3; —1) и
С(0; 4"4). Через каждую из них провести прямую, параллельную
противолежащей стороне.
216*. На высоте ВН треугольника А(4~3; 4"0, ^(4“5; 4~4),
С (4-1; 4~3) найти точку Р, делящую эту высоту в отношении
X = — 3, и вычислить площадь четырехугольника АВСР.
217. Проверить, что четыре точки А(—2; —2), В(—3; 4~ О»
С (4-7; +7) и £>(4“3; + О служат вершинами трапеции, и со-
ставить уравнения средней линии и диагоналей этой трапеции.
217*. Составить уравнение прямой, проходящей через центр тя-
жести треугольника А (4-3; 4“ 23(4-4; 4“ 5), С (4-2; 0) и
делящей отрезок между точками М (0; 0) и N(-1- 6; 4“ 4) в отноше-
нии X. Решив задачу, объяснить, почему ответ не зависит от число-
вого значения X.
218. Даны вершины двух треугольников АВС и А'В'С', а именно
А (4* 3; 0), В (0; + 3), С (- 2; - 1) и A' (4- б1/,; + 2*/в), В’ (+ 5; + 4),
С' (4* 4; 2). Доказать, что стороны их соответственно параллельны
и что прямые, соединяющие сходственные вершины, пересекаются
в одной точке.
218*. Составить уравнения сторон треугольника, зная две его
вершины А (4-3; 4" 5) и 23(4-6; 4“ О и ТОЧКУ пересечения его
медиан 2И(4-4; 0).
219. Дан центр подобия М(—4; —1) двух подобных и подобно
расположенных треугольников и даны вершины меньшего из них:
А (—3; —2), В (4-2; 0), С(—1; 4“ Составить уравнения сто-
рон второго треугольника, зная, что отношение сходственных сторон
этих треугольников равно трем.
Примечание. В подобных и подобно расположенных треугольниках
сходственные стороны параллельны, а прямые, соединяющие соответственные
вершины, пересекаются в центре подобия.
219*. Составить уравнения катетов прямоугольного треугольника,
площадь которого равна 20 кв. ед., если известно, что его гипоте-
нуза лежит на оси абсцисс, а вершина прямого угла совпадает с
точкой С(—1; 4“ 4).
220. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные
точки:
а) (4-1; +3), (-{-5; 4-7) и (4-10; 4-12);
Ь) (—3; —8), (4-1; —2) и (4-10; 4-12).
221. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной пря-
мой с точками А (— 8; — 6) и В (— 3; — 1) и имеющая абсциссу
х=4-5?
222—232] прямая линия 51
222. Под каким углом к оси х надо направить луч из точки
А (4~ 5; -J" 2), чтобы отраженный луч прошел через точку В (— 1; 4~4)?
те
w —у.
223. Относительно прямоугольной системы координат даны
две точки Л(—3; -|~8) и 5(4~2; 4“ 2). На оси абсцисс найти
такую точку 7И, чтобы ломаная линия АМВ имела наименьшую
длину.
224. Даны две точки; Л(—3; 4~ О и £(4~3; —7). На
оси ординат найти такую точку Л4, чтобы прямые AM и ВМ
были перпендикулярны друг к другу. Система координат прямо-
угольная.
224*. Составить уравнение прямой, делящей пополам отрезок
между точками А (— 3; -|~ 2) и В (-|- 5; — 2) и образующей с отрез-
ком АВ угол вдвое больший, чем с осью х.
225. Диагонали ромба, равные 10 и 4 единицам длины, приняты
за оси координат. Написать уравнения сторон этого ромба.
226. Составить уравнения диагоналей ромба, если две смежные
стороны его приняты за оси координат так, что весь ромб распо-
ложен в третьем координатном угле. Сторона ромба равна а.
227. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат следующими
прямыми: Зх — 2у 4~ 12 = 0; у = 4х — 2; _у = — х 4~ 1 и 5х Ц- 2у -|-
+ 20 = 0.
228. Определить площадь треугольника, заключенного между
осями координат и прямой х4~2у— 6 = 0. Угол (о = у.
228*. Прямая линия, вращаясь вокруг точки В(0; -|-4), пересе-
кает ось абсцисс в подвижной точке М. Написать уравнение прямой
ВМ в тот момент, когда:
а) площадь треугольника ОВМ равна 6 кв. ед.;
Ь) отрезок ВМ = 1\
с) угол ВЛЮ=30°;
d) ВМ перпендикулярна к прямой Зх — 5у 4~ 8 = 0.
229. Через точку М (4~ 4; — 3) провести прямую так, чтобы
площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна трем
квадратным единицам. Угол <о = у.
230. Через точку Р (4- 5; 4“ 2) провести прямую, отсекающую
равные отрезки на осях координат.
231. Через точку Ж (4-3; 4“ 2) провести прямую так, чтобы ее
отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке
пополам.
232. Какая зависимость должна существовать между отрезками
а и Ь9 чтобы прямая -^-4^у=1 была наклонена к оси х под
углом: а) Ь) с) у? Координатный угол w = -^-.
52 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [233—236*
233. Относительно косоугольной системы координат с координат-
ным углом (1) = ^- дана прямая —15 = 0. Найти отрезок
этой прямой, заключенный между осями координат.
234. Через точку М (-|- 6; — 2) провести прямую, образующую
с осями координат равносторонний треугольник. Координатный угол
«о = 60°.
236. Вычислить площадь треугольника, образованного осями ко-
ординат и прямой 4х Зу — 24 = 0, если оэ= '^-.
236. Дана прямая -у -|* у = 1 и ЛУЧ» вращающийся около начала
координат; точку их пересечения обозначим через Р. На луче откла-
дывается от начала координат отрезок ОМ так, чтобы отрезки ОМ и
ОР находились в постоянном отношении X, т. е. = Опреде-
лить геометрическое место точек М.
236*. Прямая линия перемещается так, что сумма отрезков, отсе-
каемых ею на осях координат, сохраняет постоянную величину;
аЦ-# = 9. Найти геометрическое место центров кругов, описанных
около треугольников, образованных подвижной прямой и осями коор-
динат. Координатный угол =
о
3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние Ючки от прямой
Нормальное уравнение прямой имеет следующий вид:
Х-COS а 4-у ‘Sin а—р=0присо = -^- (11)
или, в общем случае:
x-cos a-f-y-cos р— р = 0; (11')
р обозначает длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на дан-
ную прямую (р^О) (черт. 43); а обозначает угол между этим перпендикуля-
ром и положительным направлением оси х;
3 — угол между этим же перпендикуля-
ром и осью у, иначе:
3 = со — а.
Всякое уравнение первой степени
Ах + By + С = 0 может быть приве-
дено к нормальному виду, для чего доста-
точно умножить его на нормирующий
множитель:
М = zt — - при со = ~ (12)
/А2 + В2 2
или, в общем случае (при произвольном со):
у А2 + В2 - 2АВ cos со •
О2')
237]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
53
Нормирующий множитель должен иметь знак, обратный знаку свободного
члена С данного уравнения. Если ю = то параметры соответствующей пря-
мой вычисляются по формулам:
А
cos а = it —------------------------------.
Уа* + в* ’
В
Sin а = ± •
]/Д2 + В2 ’
_____ С
Р~^ Уа^ + В* > }
(13)
а в случае косоугольной системы координат — по формулам:
A sin <о о В sin <о
cos а = zt —г - ......- .= • cos Р = z+z ---- .
]ЛД2 + В2 — 2АВ cos со ’ У Л2 -f- В2 — 2АВ cos <о ’
__ С sin со /14
р = -4- —.. :------------------ (1<
]ЛД2 + В2 — 2ДЯ cosco ’
Расстояние (В) точки М (х',у') от данной прямой равно абсолютной величине
левой части нормального уравнения этой прямой, в которой текущие координаты
заменены координатами точки Л4, т. е. в случае прямоугольной системы:
а = | х'cos аsin а—р|, (14)
а в случае косоугольной системы:
г == | х' COS а 4-у cos Р —р|.
(14')
Если же прямая дана общим уравнением первой степени Ах + By + С = О,
то его нужно предварительно привести к нормальному виду, и искомое рас-
стояние будет: 1 + Г
или
8 _ I <Лх' + Ву’ + с) sin а> I j
I ± УAa + В* — 2АВ cos « I • k ’
Если в формулах (14)—(15') мы отбросим в правых частях знак абсолют-
ной величины, то при вычислениях будем получать число а со знаком плюс
или минус, в зависимости от того, находится ли точка и начало координат
по разные стороны или по одну и ту же сторону от прямой.
237» Относительно прямоугольной системы координат даны урав-
нения нескольких прямых:
а) Зх — 2у4-7 = 0; d) х-}-1/^ —3 = 0;
Ь) ’/Зх-*/,.?-1=0; е)-*713х + в/13^-3 = 0;
с) 3М — *1>У~ 2 = 0; f) х —5 = 0.
Которые из этих прямых представлены нормальными уравнениями?
54 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости 1238—243
238. Привести к нормальному виду уравнения прямых:
4х~ Зу-|- 10 = 0; 5*+ 12_у — 39 = 0; 6х + 8у — 15 = 0;
х — = У— х]/3 =4; x-cos 10° -sin 10°4~4 = 0.
Система координат — прямоугольная.
239. Найти расстояние прямой 9х—12j/—10 = 0 от начала
координат. Угол ш = ув
240. Проверить, что прямые
2х +Убу —15 = 0 и УТ1х —5у4-30 = 0
касаются одного и того же круга с центром в начале координат, и
вычислить радиус этого круга. Угол 0) = -^-.
Указание. Все, касательные отстоят от центра круга на расстоянии,
равном радиусу. Если данные прямые касаются указанного круга, то они должны
находиться на одинаковых расстояниях от начала координат.
241. Через точку 0) провести касательную к окружности
х*-{-у* — §. Угол ад—у.
Решение. Данная окружность имеет центр в начале координат и радиус
г=±=3; следовательно, искомая касательная находится от начала координат на
расстоянии р = 3. Будем искать нормальное уравнение этой прямой; параметр р
уже известен, и уравнение имеет вид: х cos а 4~У sin а — 3 = 0; второй пара-
метр а определяем из того условия, что прямая проходит через точку (4- 5; 0),
и следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой.
Вставляя эти координаты, мы получим: 5 cos а —3 = 0, откуда cos а = ®/б. Опре-
делим последний коэффициент:
Sin а = ± у 1 _(3/Б)3 == ± 4/б.
Задача имеет два решения: 8/бх 4- 4/5у — 3 = 0 и 8/5х — 4/5у — 3 = 0. Это
обстоятельство имеет место потому, что из внешней точки можно провести
две касательные к окружности.
241*. Найти те касательные к окружности — 29, которые
проходят через точку Р(-|-7; —3).
242. Привести к нормальному виду уравнения прямых:
а) х -J- 5у — 4 = 0 при условии, что со = ~-
Ь) 2х4-5]/Зу —7 = 0 » » » i
с) 5х 4- 4- 13 = 0 » » » w =
243. Дано уравнение прямой 6х 3 ]/2_у — 1=0, отнесенной к
косоугольной системе координат с координатным углом о) = -^-. Вы-
244—2511
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
55
числить длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на
прямую, и углы наклона этого перпендикуляра к осям.
244. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки
Р(-|-4; —1) на прямую 12х— 5у—27 = 0. Угол w = y.
245. Найти расстояние точки:
a) Pi (-]- 4; — 2) от прямой 8х — 15у — 11=0;
Ь) ^(Н-2; 4-7) » » 12x4- 5у — 7 = 0;
с) Р3(— 3; 4-5) > » 9х — 12?4- 2 = 0;
d) р4(—3; 4-2) » > 4х— 7^4-26 = 0;
е) (4-8; 4-5) » > Зх — 4у — 15 = 0.
Система координат — прямоугольная.
245*. Из всех прямых, параллельных прямой
У_— 1
3 4
найти те, которые проходят на расстоянии пяти единиц от точки
(+2; 4-3).
246. Найти расстояние точки Р (0; 4“ 5) от прямой у = )/3 х 4* 7,
5л
зная, что <о = -е-.
О
247. Определить координатный угол, если известно, что расстоя-
ние точки Р(—1; 4" 2) от прямой x4*2j> — 6 = 0 равно 3/з-
248. Даны вершины треугольника: А(—*/7; —Vs»)* +3)
и С (4* 2; —1). Вычислить длину его высот. Система координат —
прямоугольная.
249. Дан треугольник: А (4-1; 4“ 2), В (4-3; +?)> С (4~ —13).
Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на
медиану, проведенную из вершины А. Угол о)=-^-.
250. На оси ординат прямоугольной системы координат найти
точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой Зх —
— 4у 4- 12 = 0.
251. На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой
^4-^=1 на расстоянии 8 = а. Угол а) =у.
Решение. Обозначим искомую точку через М (х, 0); приводим уравне-
ние прямой к нормальному виду, предварительно освободив его от знаменате-
Ьх + ау — ab ~
лей: -----' ----= 0; вставив в левую часть этого уравнения координаты
zt уа* + 63
ж< и, Ьх — ab
точки А1, приравниваем ее данному расстоянию а. Тогда мы получим: —рг====
= а. Из этого равенства определяем единственную неизвестную: х ==
= а+:-|- у а2 4 #2. Знак перед радикалом зависит от того, имеют ли отрез-
ки а и Ъ одинаковые или разные знаки.
56 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [252—259
252. Диагонали ромба, длиной в 30 и 16 единиц, приняты за оси
координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами
этого ромба.
253. Через точку Р(—2; 4“О проведена прямая так, что ее
расстояние от точки С (4-3; 4" I) равно 4. Найти угловой коэффициент
этой прямой.
Решение. Уравнение всякой прямой, проходящей через точку Р(—2; 4-1),
имеет вид: у — 1 = k (к 4- 2), или kx —у 4- 2А? 4~ 1 = 0. Требуется определить
параметр k из условия, что прямая проходит на расстоянии четырех единиц
от точки С (4-3; 4- !)• Выражение этого расстояния через неизвестный пара-
метр k мы получим, если приведем уравнение прямой к нормальному виду и
в левую часть его вставим координаты (4-3; -f-1). Таким образом получим:
ЗА? — 14- 2А? 4" 1 . л л, t. л i
---у 1 J— = — 4; решая это уравнение относительно А?, найдем А? = ± 4/3.
253*. На расстоянии 5 единиц от точки С (4-4; 4~3) провести
прямую, отсекающую равные отрезки на осях прямоугольной системы
координат.
254. На расстоянии 5 единиц от начала координат провести пря-
мую так, чтобы она прошла через ту точку прямой 8х -j- 5у — 39 =
= 0, которая имеет абсциссу х —— 2. Угол ш =
254*. Из начала координат провести прямые, проходящие на рас-
стоянии трех единиц от точки /14(4~2]/1Г;
255. Доказать, что прямые Зх—4j4~10 = 0 и — 8у4~15 = 0
параллельны между собой, и найти расстояние между ними. Угол
п
а) — "2 •
Указание. Искомое расстояние d легко определить, зная расстояния
обеих прямых от начала координат, а именно: d = | р ± рх|, верхний или ниж-
ний знак берется в зависимости от того, находится ли начало координат между
прямыми или по одну сторону от обеих прямых.
256. Дана прямая: 12х4~5у— 52 = 0. Найти уравнение прямой,
параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии d = 2. Угол
тс
а) = “2 •
257. Относительно прямоугольной системы координат даны урав-
нения двух параллельных прямых: 4х — бу— 3 = 0 и 2х— Зу-]-7 =
= 0. Составить уравнение прямой, им параллельной и проходящей
посередине между ними.
258. Через начало координат и точку 4“^) проходят две
параллельные прямые. Найти их уравнения, если известно, что расстоя-
ние между этими прямыми равно /5 и координатный угол о) = 90°.
259. Даны две прямые: Зх-|-4у—10 = 0 и 5х—12у-^-26 = 0.
Найти точку, которая находилась бы на расстоянии 8 = 5 как от
той, так и от другой прямой. Угол w=^-.
260—262]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
57
260. Найти центр круга, касающегося двух данных прямых:
Зх— = 0 и Зх-(-Ау = 0, причем радиус круга г = 8.
УГОЛ О)=у.
261. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя
прямыми: 2х — 9у 18 = 0 и 6х -/ 7у — 21=0. Проверить, что
эти биссектрисы перпендику-
лярны друг к другу. Угол
Решение. Искомые биссек-
трисы являются геометрическим
местом точек, равноудаленных от
сторон угла. Таким образом, если
мы возьмем на биссектрисе любую
точку Mi, то ее расстояния dt и da
до двух данных прямых должны
быть равны между собой. Учитывая
пояснение к формулам (14) — (15')
(стр. 53), можно вычислять dt и da
со знаком плюс иди минус в зави-
симости от расположения точек и
прямых. Тогда для всех точек бис-
сектрисы MiMa (черт. 44) di и da будут получаться с одинаковыми знаками,
а для точек биссектрисы М3М4 величины dt и da будут иметь разные знаки.
Обозначив через X и Y текущие координаты биссектрисы, будем иметь;
= ±
2Х—9У+ 18
/85
и
. 6Х+7Г— 21
«з — zt —-----
/85
Уравнение биссектрисы MLM2:
2X—9Y+ 18 _6%+7Г —21
— /85 /85 ’
или, после упрощений: 8Х—2У—3 = 0. Уравнение биссектрисы М3М4:
2%—9У+ 18 6X+7Y — 21
— /85 “ /85
или окончательно: 4X4" 16F—39 = 0. Угловые коэффициенты прямых: &i = 4
и ka = — */4, т. е. они противоположны по знаку и обратны по величине, что
является условием перпендикулярности прямых.
262. Написать уравнения биссектрис углов, образованных пря-
мыми: л-|-7у —6 = 0 и 5х—5у-|-1 = 0. Угол w = y.
58 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости |263—268
263. Вычислить координаты центра круга, вписанного в треуголь-
ник АВС', треугольник дан своими вершинами относительно прямо-
угольной системы координат:
^(+7«; +2М 5(0; +4) и С(—3; -2).
264, Через точку Л4(-|-1; Н~2) надо провести прямую так, чтобы
она прошла на одинаковом расстоянии от точек А (—|—3; -|-3) и
5(+5; +2). Угол ш = у.
265. Даны две точки: А(-|-2; —3) и 5(-|-5; —1). Провести пря-
мую так, чтобы она прошла на расстоянии 6 единиц от точки А и
на расстоянии 4 единиц от точки В. Угол <d = у.
265*. Вычислить площадь треугольника, образованного биссектри-
сами внешних углов треугольника, стороны которого даны: Зх-р
+ 3у— 5 = 0; х—у—1=0; 1х -(-.у-р1 — 0-
266. Точка движется так, что расстояние ее от начала коорди-
нат остается все время вдвое больше расстояния от прямой у = р—.
Найти траекторию движущейся точки. Угол <о =
267. Составить уравнение прямой, параллельной прямой y=*/wx
4-1 и проходящей от точки Р(4~6; —2) на расстоянии 8 = 4.
Угол СО = у.
268. Нужно восстановить границы квадратного участка земли по
трем сохранившимся столбам: одному в центре участка и по одному
на двух противоположных границах. На плане положение столбов
определено координатами: среднего (-{—1; 4~6) и двух боковых:
А(4“5; 4”®) и В(4“3; 0). Составить уравнения прямых, изображаю-
щих искомые границы.
Указание. Чтобы восстановить те границы участка, на которых сохра-
нились столбы, достаточно провести через точки А и В две параллельные пря-
мые, проходящие на одинаковом расстоянии от центра М Две другие границы
будут к ним перпендикулярны и должны проходить на таком же расстоя-
нии от Л4.
4. Общее уравнение прямой. Пересечение двух прямых.
Условие прохождения трех прямых через одну точку.
Пучок прямых
Общее уравнение прямой имеет вид:
АхByС = 0. (16)
Для определения прямой нет надобности знать все три коэффициента А,
Bt С\ достаточно знать два независимых их отношения А: В: С.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
59
Исследование общего уравнения прямой (16):
если » > > С = 0, то прямая проходит через начало координат;
II II II II СЮ©,0 II II рр V "м * V V V * W параллельна оси абсцисс;
совпадает > » ординат; с осью абсцисс; » > ординат.
Если даны две прямые:
Ах 4- By 4- С = 0 и Д'х4-В>4-С'=0, (17)
то угол между ними вычисляется в случае прямоугольной системы координат
по формуле:
.«АВ'-А'В
tg*— АА'-\-ВВ"
(18)
а в случае косоугольной системы — по формуле:
(АВ’— А'В) sinco
tg 8 — А А' + В В' — (АВ' + А'В) cos о>
Условие параллельности прямых для любой системы координат:
А__ В_
А'~В"
(18')
(19)
Условие перпендикулярности прямых:
4? = — или АА' -|- В В' = 0 для ю = (20)
a a z
и
А А' ВВ( — (А В' + А'В) cos со == 0 для любого со. (20г)
Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых (17), надо сов-
местно решить их уравнения.
Решения этих уравнений будут:
ВС' — В'С АВ' — А'В ВС В'С’ I С А СА'—С'А С’Д' (21)
АВ А' В' у АВ' —А'В I АВ |А’В'
„ А , В с
Если -V? 7^ -о?, то прямые имеют определенную точку пересечения. Если
A D
А В ,С
— = 07^7^7, то прямые параллельны и точки их пересечения нет.
А о G
с А В С
Если -j; = о7 = , то прямые совпадают и точка пересечения становится
/х D О
неопределенной.
Чтобы узнать, проходят ли три данные прямые;
Ах +Ву 4-С =0,
А'х +В'у 4-С' =0,
Л"х4-£''у4-С" = 0
(22)
через одну и ту же точку, надо найти точку пересечения двух из них и потом
проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению третьей
60
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (269—271
прямой. Можно пользоваться и готовой формулой, а именно: для того чтобы
прямые (22) проходили через одну точку, нужно, чтобы
АВС
А' В' С1
А" В" С"
= 0.
(23)
Совокупность всех прямых, проходящих через одну и ту же точку, назы-
вается пучком прямых, а их общая точка — центром пучка. Если
х* и у' обозначают координаты центра, то уравнение
А (х — х') + В (у —у') = 0 (24)
определяет любую прямую пучка. Давая отношению А: В определенное значе-
ние, мы выделяем из пучка (24) одну определенную прямую *)•
Центр пучка может быть определен не только своими координатами, но
любыми двумя прямыми, через него проходящими. Если даны две прямые:
Ах Ц- By 4-С =0, |
Л'х + В'.у + С' = 0,/ ' ’
то всякая прямая, проходящая через их точку пересечения, изобразится урав-
нением:
(Лх + ^ + С) + ^(Л’х + В> + С') = 0. (25)
Каждому значению параметра q пучка соответствует определенная прямая
пучка; меняя q, мы получим всевозможные прямые пучка, определенного двумя
основными прямыми (17).
269. Исследовать, как расположены относительно осей координат
прямые Зх —у — 0, Зх —у -|- 1 = 0, 2х -|~ 5 = 0, 4у — 9 = 0, 7х = 0,
х-|-2у = 0, 2x4“3j/ — 6 = 0 и построить их.
Зх I 2 2v____5
270. Дано уравнение первой степени: —-----— = 4. Найти
для соответствующей прямой: а) общее уравнение; Ь) нормальное
уравнение; с) уравнение с угловым коэффициентом и d) уравнение
относительно отрезков. Угол <о = -^-.
271. Не определяя угловых коэффициентов, вычислить угол между
прямыми:
а) 2х-\-у— 5 = 0 и 6х — 2у 4“ 7 = 0 при О) = у ,
Ь) 4х —5у + 7 = = 0 и 9х4-4у —11=0 при 0) = > о
с) х— 2_у —5 = 0 и Зх — 8 = 0 2л при (1) = -х- . 'О *
d) 4х-|-Зу—13 = 0 и22х4-(19)/3 —7) j 4-15 = 0 при О) = у .
1) При неопределенном угловом коэффициенте уравнение у—у’ =
= Л(х — х') представляет пучок с центром (х', у') [гл. IV, п. 1, урав-
нение (6)].
272—282] прямая линия 61
272. Вычислить углы треугольника, стороны которого относительно
прямоугольной системы координат даны уравнениями:
18х4-6у —17==0, 14х —7у4-15 = 0 и 5х4-10у — 9 = 0.
273. Относительно косоугольной системы координат с координат-
ным углом = Дан треугольник Л(—1; 4"2)» +1),
С (-|- 2; —5/2). Вычислить угол между стороной АВ и медианой, про-
веденной из вершины С.
274. Нет ли среди прямых, заданных уравнениями: а) Зх — 2у 4*
4-7 = 0; Ь) 6х —4у —9 = 0; с) 6х4-4у — 5 = 0; d) 2x4-3j/ —
— 6 = 0; е) х —у 4- 8 = 0; f) х 4" У — 12 = 0 и g) — х-\-у — 3 = 0,
параллельных или перпендикулярных прямых? Угол о>=у .
275. Определить координатный угол о>, если известно, что урав-
нения 4х 4- 3 ]/~2у — 5 = 0 и ]^2х —у 4-11=0 изображают пер-
пендикулярные друг другу прямые.
276. При каком значении параметра а уравнения Зах—8j>4“ 13 =
= 0 и (я4^1)х—2ау — 21 = 0 изображают параллельные пря-
мые?
277. При каком значении постоянного а прямые (За 4 2) х 4
4- (1 — 4а)у 4-8 = 0 и (5а — 2) х 4 (4 4 4)у — 7 = 0 окажутся пер-
пендикулярными друг К Другу? Угол О) = у .
278. Через начало координат провести прямую, параллельную пря-
мой 2х — Зу 4-7 = 0.
Решение. Искомая прямая проходит через начало координат, поэтому
ее уравнение не содержит свободного члена и имеет вид Ах 4 By = 0. Иско-
мая прямая параллельна данной; следовательно, коэффициенты в их уравнениях
А В
пропорциональны: -к- =—т —или ^=2Х и В —— ЗХ. Вставляя цолучен-
2 — о
ные значения коэффициентов в уравнение искомой прямой, получим 2Хх — ЗХу = 0,
или 2х — Зу = 0. Так как геометрический смысл уравнения не меняется от ум-
ножения (или деления) всех его членов на одно и то же число, то при состав-
лении уравнения прямой, параллельной данной, можно брать коэффициенты
при координатах не только пропорциональными, но равными соответствующим
коэффициентам данного уравнения.
279. Через начало координат провести прямую параллельно пря-
мой 4х-]~у— 5 = 0.
280. Через точку /14(42;—1) провести прямую, параллельную
прямой 4х — Ту 4-12 = 0.
281. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из начала ко-
ординат на прямую 6х-|-—19 = 0. Угол (о = -~.
282. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А(—5; 4" 2) на прямую 4х—у -1- 3 = 0. Угол о> = ^ .
62
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1283—293*
283. Из точек пересечения прямой ЗхЦ-бу—15=0 с осями
координат восставлены перпендикуляры к этой прямой. Найти их
уравнения. Угол (в = -^- *
284. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
(х',У) и перпендикулярной к прямой xcosa-j-j/ sin а—-/? = 0. Угол
w —Т •
285. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
2х — 13 = 0 при условии, что w = ~ ,
286. Из точки Л4(—1; -р4) опустить перпендикуляр на прямую
5х — Зу -|~ 11 = 0 ПРИ условии, что (в = — ш
287. Найти точки пересечения прямых:
а)8х — Зу — 1 =0, Ь) Зх4-7у—15 = 0, с) 5х — 2_у4~ 13 = 0,
13 = 0; 9x4-21^ — 32 = 0; х4-3_у—11=0.
Предварительно исследовать данные системы уравнений.
288. Даны уравнения сторон треугольника: 5х — Зу — 15 = 0,
х Зу — 3 = 0 и Зх 4~У 4~ = 0* Вычислить координаты его
вершин.
289. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров,
восставленных из середин сторон треугольника, вершинами которого
служат точки А (4~ 2; 4~ 3), В (0; — 3) и С ( 4- 5; — 2). Угол ю = у .
290. Даны вершины четырехугольника: А(—9; 0), В(—3; 4"^Ь
С (4-3; 4- 4) и /)(4-6; —3). Найти точку пересечения его диаго-
налей АС и BD и вычислить угол между ними. Угол о) = у.
291. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравне-
ния двух его сторон: 2х— 5_у—1 = 0, 2х— 5у — 34 = 0 и урав-
нение одной из его диагоналей: х4~3у— 6 = 0. Угол (в = у.
291*. Составить уравнения сторон ромба, зная две противолежа-
щие его вершины А (— 3; 4~ 1), В (+ 4" ?) и площадь ромба
S = 25 кв. ед.
292. Найти точку, симметричную с точкой Q(—2; —9) относи-
тельно прямой 2х4~5_у — 38 = 0. Угол (в = у.
293. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма:
х—у—1=0; х — 2у = 0 и точка пересечения его диагоналей
Л4 (-]- 3; — 1). Написать уравнения двух других сторон параллело-
грамма.
293*. Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин
А(0; —1), точку пересечения диагоналей Л4 (-|- 4; 4" 4) и точку
(4-2; 0) на стороне АВ.
294—301*)
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
63
294. Даны две вершины треугольника Д(—6; 4-2), £?(-]-2; —2)
и точка Н (-|- 1; + 2) пересечения его высот. Вычислить координаты
третьей вершины С, зная, что а> = -^-е
295. Относительно прямоугольной системы координат даны вершины
треугольника: А(—6;— 3), —4; -|-3), С (4-9;-]-2). На внутрен-
ней биссектрисе угла А найти такую точку Л4, чтобы четырехугольник
А ВМС оказался трапецией.
296. Проверить, проходят ли
дующие три прямые:
а) Зх —у — 1=0,
2х — 4-3 = 0,
х— jr 4-7 = 0;
с) Зх—j4“6 = 0,
4х 4~ — 5 = 0,
2х—j4“5 = 0;
через одну и ту же точку еле-
Ь) х4-3у —1=0,
5х4-д/—10 = 0,
Зх — 5д/ — 8 = 0;
d) 5х —3j—15 = 0,
х 4" 5у — 3 = 0,
зх-j- у+ 5=о.
297. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты а и Ь,
чтобы прямые ах4-'4“ 2х —3j/-|-5 = 0hx—1=0 про-
ходили через одну и ту же точку?
298. Треугольник дан уравнениями сторон: х 4“ 2у 4~ 3 = 0; Зх —
— Чу 4- 9 = 0; 5х — 3_у — 11=0. Проверить, что его высоты пересе-
каются в одной точке. Угол w = y.
299. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пере-
сечения прямых 7х —у 4-3 = 0 и Зх 4~ — 4 = 0 и через точку
Д(4-2; -1).
Решение. Всякая прямая, проходящая через точку пересечения двух
данных прямых, изобразится уравнением Чх —у + 3 + q (Зх + 5у — 4) = 0.
Нужно только подобрать значение параметра q так, чтобы прямая прошла
через точку А (4- 2; — 1), т. е. чтобы координаты этой точки удовлетворяли
уравнению прямой; вставляя их в уравнение пучка, получим: 18 — 3^ = 0 или
q = 6. При этом значении параметра мы получим искомую прямую пучка Чх —
—у + 3 + 6(3х + 5у — 4) = 0, или 25х + 29у — 21 =0.
300. Через точку пересечения прямых 2х -|- 5у — 8 = 0 и х —
•— Зу 4- 4 = 0 провести прямую, которая, кроме того,
а) проходит через начало координат;
Ь) параллельна оси абсцисс;
с) параллельна оси ординат;
d) проходит через точку (4-4; 4~3).
301. Через точку пересечения прямых: 2х — 5у —1 = 0 и х~4
4- 4у — 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками
А (4~ 4; — 3) и В (— 1; 4~ 2) в отношении 1 = а/3.
301*. Зная уравнение Зх — 2j/4"6 = 0 одной из сторон угла и
уравнение его биссектрисы х — Зу -]- 5 = 0, составить уравнение
второй стороны угла.
64 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [302—310
302. Не вычисляя координат вершин треугольника, написать урав-
нения прямых, проведенных через эти вершины параллельно проти-
волежащим сторонам. Стороны треугольника даны уравнениями 5х—
— 2у -|- 6 = 0, 4х —у 4-3 = 0 и х 3_у — 7 = 0.
303. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения
его сторон: 2х —у —|- 3 = 0, х 5д/ — 7 = 0 и Зх — 2д/ 6 = 0.
304. В треугольнике АВС известны: сторона АВ: 4х-\-у—12 =
= 0, высота ВН: 5х— 4у—15 = 0 и высота АН: 2x-j-2y— 9 = 0.
Написать уравнения двух других сторон и третьей высоты. Угол w=^-.
305. Найти уравнения прямых, принадлежащих пучку
(x + 2y-7) + ?(3x-j + 5) = 0
и перпендикулярных к каждой из основных прямых пучка. Угол о)=у.
306. Найти прямую, которая принадлежит одновременно двум
пучкам: (х-{-у—l)-f-q(x—1) = 0 и (2х—3_у)-j-tf'O'+ 1) = 0-
307. Даны стороны четырехугольника: х —у = 0, х -f- 3j = 0,
х —у — 4 = 0 и Зх 4~у — 12 = 0; определить его диагонали.
5. Смешанные задачи на прямую
308. Через точку Р(0; 4~ 1) провести прямую так, чтобы ее от-
резок, заключенный между двумя данными прямыми х — 3_уЦ-^6 = 0
и 2х-}-у — 8 = 0, делился в точке Р пополам.
308*. Найти уравнение прямой, зная, что ее отрезок, заключен-
ный между осями координат в первом квадранте, вдвое больше ее
расстояния от начала координат, а площадь треугольника, образован-
ного искомой прямой с осями, равна 4,5 квадратной единицы. Угол
309. Прямая линия перемещается так, что отрезки, отсекаемые
ею на осях координат, сохраняют постоянное отношение a:b = q.
Найти траекторию точки, делящей в отношении X отрезок подвижной
прямой, заключенный между осями координат.
309*. Стороны угла, данные своими уравнениями 2х — 3_у4~1 = 0
и х -j- 4у — 5 = 0, пересечены рядом параллельных прямых: у = 2х -|~
-\-Ь. Найти геометрические места:
а) середин отрезков параллельных прямых, заключенных между
сторонами угла;
Ь) точек, делящих в отношении Х = 3 отрезки параллельных пря-
мых, заключенных между сторонами угла.
310. Найти центр вписанного круга и центр тяжести равнобед-
ренного треугольника, если даны уравнения боковых сторон тре-
угольника: 7х—у — 9 = 0; 5х-|-5у — 35 = 0 и точка М (3; —8),
лежащая на его основании. Угол о) = у.
310*—315) прямая линия 65
310*. В равнобедренном треугольнике известно уравнение осно-
вания х — 2_у4“3 = 0, уравнение одной из боковых сторон 4х —
—у -4 5 = 0 и точка P(-j-1,2; -|-5,6) на другой боковой стороне.
Угол 0) = -^-. Вычислить:
а) расстояние боковой стороны от противолежащей вершины;
Ь) координаты центра тяжести;
с) площадь треугольника.
311. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин А (-3; —4) и уравнения двух высот: 1х—2_у—1=0 и
2х— 1у— 6 = 0. Угол «) = — .
311*. Даны две вершины треугольника А (Ц- 2; — 3) и В (-(- 5; Ц-1),
уравнение стороны ВС: х-^2у— 7 = 0 и медианы AM: 5х—у—
—13 = 0. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С
на сторону АВ, и вычислить ее длину. Угол а) = 4у.
312. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин Д(—4; 2) и уравнения двух медиан: Зх— 2_у 4-2 = 0 и
ЗхЦ-5.у— 12 = 0.
312*. Дан треугольник: А(—4; Ц-2), В{—2; —2), С (-|- 6;—|— 8).
Через концы его медианы AM проведены прямые АР и МР,
соответственно параллельные двум другим медианам. Проверить,
что стороны треугольника АМР равны по длине медианам тре-
угольника АВС. Вычислить отношение площадей треугольников АВС
и АМР.
313. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин А (-2; —4) и уравнения биссектрис двух его углов:
— 2 = 0 и х — 3_у— 6 = 0. Угол а)=-^.
313*. В треугольнике Д(—3; —1), £(-j- 1; —5), С(4~9; Ц-3)
стороны АВ и АС разделены в отношении Х = 3, считая от общей
вершины А. Проверить, что прямые, соединяющие точки деления с
противолежащими вершинами, и медиана AM пересекаются в одной
точке.
314. Прямые Зх-[-4_у — 30 = 0 и Зх—4_у-|~12 = 0 касаются
окружности, радиус которой R = 5. Вычислить площадь четырех-
угольника, образованного этими касательными и радиусами круга,
проведенными в точки касания. Угол ы =
314*. Зная вершины треугольника А (-1- 3; —2), В (-(- 1; 4-5) и
С(—4; Ц- 3), проверить, что высоты его пересекаются в одной точ-
ке, и вычислить площадь треугольника, вершинами которого служат
основания высот данного треугольника АВС. Угол а) = у.
315. Даны уравнения сторон треугольника: 2х — 5у— 2 = 0,
хЦ-j/ — 8 = 0 и 5х — 2у— 5 = 0. Найти внутри треугольника
3 О. Н. Цубербиллер
66 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [315*—317*
такую точку, чтобы прямые, соединяющие ее с вершинами треуголь-
ника, разбивали его на три равновеликих треугольника.
315*. Проверить, что точка пересечения высот треугольника ле-
жит на одной прямой с точкой пересечения его медиан и с центром
описанного круга. Взять, например, треугольник
А(4-5;+8), В(-2; 4-9), С(-4;+5) [<» = т].
316. Относительно полярной системы координат составить урав-
нение прямой, выбрав в качестве ее параметров:
а) длину перпендикуляра р, опущенного из полюса на данную
прямую, и угол а наклона этого перпендикуляра к полярной оси;
Ь) угол 6 наклона прямой к полярной оси и отрезок а, отсекае-
мый прямой на оси, считая от полюса.
316*. Через точку A(pb <pi) проведена прямая, образующая с
полярной осью угол &. Составить уравнение этой прямой.
317. Относительно полярной системы координат составить урав-
нение прямой, проходящей через точки (рь <р0 и (ps, <?2).
317*. Относительно полярной системы координат составить урав-
нения следующих прямых:
а) прямая проходит через полюс и образует с осью угол-^-;
Ь) прямая проходит на расстоянии четырех единиц от полюса и
наклонена к полярной оси под углом —;
с) прямая проходит через точку А ^5; и перпендикулярна оси;
d) прямая проходит через точку В ^2;^ и параллельна поляр-
ной оси;
е) прямая проходит через точку С и образует с осью
угол -J;
f) прямая проходит через точки Р ^5; и Q
ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА !)
L Окружность
Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от
одной и той же точки, называемой ее центром. Если мы обозначим через
а и b координаты центра и через г — радиус окружности, т. е. расстояние
любой ее точки от центра, то нормальное уравнение окружности
Ч В настоящей главе мы будем пользоваться только прямоугольной си-
стемой координат.
318—322] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 67
примет вид:
(х-а)2 + (у--Ь)2 = г2. (1)
В нормальное уравнение окружности входят три параметра: координаты
центра и радиус.
Перенеся начало координат в ее центр, мы получим наиболее простое
уравнение окружности
х*+у* = г2. (2)
Общее уравнение второй степени
Ах2 + By2 + Сху + Dx-±Ey + F = 0 (3)
представляет окружность, если коэффициенты при квадратах координат равны
между собой и если, кроме того, отсутствует член с произведением коорди-
нат, т. е.
Л = ВиС=0. (4)
Чтобы найти точки пересечения окружности (I) и прямой Ах + By 4-
+ С = 0, надо совместно решить эти два уравнения. Исключив из них одну
из координат, например у, мы получим квадратное уравнение относительно
абсциссы точки пересечения; если это квадратное уравнение имеет веществен-
ные и различные корни (подкоренное количество положительное), то окруж-
ность и прямая имеют две различные точки пересечения, — прямая является
секущей; если это квадратное уравнение имеет вещественные, но равные кор-
ни (подкоренное количество равно нулю), то обе точки пересечения сливаются
в одну и прямая касается окружности; если квадратное уравнение имеет мни-
мые корни (подкоренное количество отрицательное), то окружность и прямая
не имеют действительных точек пересечения — прямая проходит вне окруж-
ности.
Если Xi и У1 обозначают координаты какой-нибудь точки окружности, то
касательная к окружности в этой точке имеет уравнение:
(х — а)(Х1 — а) + (^ — г»)(У1 — b) = rs, (5)
ИЛИ
xxi+yyi = r2 (6)
в зависимости от того, определяется ли окружность уравнением (1) или (2).
318. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке:
а) (4~ 2; — 5) и радиус, равный 4; Ь) (— 3; -|- 4) и проходящей
через начало координат; с) (0; 4“^) и проходящей через точку
(+5; —8).
319. Найти уравнение окружности, если известны координаты
концов одного из ее диаметров АВ: Д(4~1; +4) и В(—3; 4~2).
320. На оси абсцисс найти центр окружности, проходящей через
точки А (4- 2; 4" 3) и Z? (4~ 5; 4“ 2), и написать уравнение этой
окружности.
321. Написать уравнение окружности, проходящей через точки
(4-3; 0) и (—1; 4~ 2), зная, что центр ее лежит на прямой
х —У + 2 — 0-
322. Составить уравнение окружности, проходящей через три
данные точки: Х(0; 4~2), 5(4-1; + О и С(4~2; —2).
3*
68 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ IL\ плоскости [323—325
Р е ш е н и е. Уравнение искомой окружности (х — я)2+(У— Ь)2 = г2 со-
держит три параметра с, b и г, которые следует определить. Раскроем в урав-
нении скобки и перенесем все члены в левую часть; тогда уравнение примет
вид: х2 + у2— 2ах— 2Ьу + а2 + Ь2— г2 = 0. Так как, по условию, точки Л,
В и С лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому
уравнению, и, произведя подстановку, мы получим три соотношения, связыва-
ющие искомые параметры:
4 — 4Ь + а2 + Ь2 — г2 = О,
2 — 2а — 2Ь + а2 + Ь2 — г2 = О,
8 — 4а + 4Ь + а2 + Ь2 — г2 = 0.
Чтобы исключить г, вычтем из последнего уравнения сначала первое, по-
том — второе. Получим:
4 — 4а + Sb = 0,
6 — 2а + 6Ь = 0,
откуда а = — 3; b = — 2.
Вставляя полученные значения а и Ъ в первое уравнение, определим г*,
а именно: г2 = 25, и уравнение искомой окружности будет:
(х + 3)2 + О4-2)2 = 25.
Центр искомой окружности можно также определить как точку пересече-
ния перпендикуляров, восставленных из середин двух хорд, например АВ и АС.
323. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника,
вершины которого имеют координаты:
а) (+7; +7), (0; +8) и (-2; +4);
Ь) (0; +4), (+1; +2) и (+3; -2).
324. Как расположены точки: Д(—3; 0), 7?(4~5; 0), С(Ц-4; -f-2),
Z)(4-2; 4-7), £(—4; 4-6), F(4~3; —1), G(—2; 4-3) относитель-
но окружности (х4~ 1)24~(-У — 2)3 = 25?
325. Определить центр и радиус окружности, данной уравнением:
•^2+У — 8x4-бу/4-21=0.
Решение. Данное уравнение представляет окружность, так как отсут-
ствует член с произведением координат и коэффициенты при квадратах коор-
динат равны между собой. Приводим это уравнение к нормальному виду
(х—я)2 + (у — Ь)2 = г2. Для этого собираем отдельно члены, содержащие
абсциссу (ха— 8л), и члены, содержащие ординату (у2 + 6у); потом допол-
няем их до полных квадратов, прибавив к первой группе -|- 16 и ко второй
4- 9, после чего будем иметь сумму двух квадратов: (х — 4)2 -|- (у + З)2. К ле-
вой части уравнения мы прибавили 16 4- 9 — 25; чтобы уравнение осталось рав-
носильным прежнему, прибавим и к правой части 25, что вместе со свободным
членом, перенесенным в правую часть, даст 4, и окончательно уравнение ок-
ружности примет вид: (х — 4)2 + (у З)2 = 4, откуда заключаем, что центр
имеет координаты а = 4, Ь = — 3 и радиус г = 2.
Эту же задачу можно решить иначе, воспользовавшись тем, что в данном
уравнении и в искомом коэффициенты должны быть пропорциональны (оба
уравнения изображают одну и ту же кривую). Раскрыв скобки в нормальнохМ
уравнении и сравнивая коэффициенты, получим:
1 __ 1 _ — 2а__ — 2b__ а2-\-Ь2 — г2
1 “ 1 ~ — 8 “ 6 ““ 21 ’
326—336] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
69
Г-2 = + £2 -• 21 = 4.
Отсюда можно сделать следующее заключение: если в общем уравнении
окружности коэффициенты при квадратах координат равны единице, то коор-
динаты центра равны половинам коэффициентов при первых степенях соответ-
ствующих координат, взятых с обратным знаком, а квадрат радиуса опреде-
ляется по формуле г2 = а2 + Ь2— F, где F—свободный член данного урав-
нения окружности.
326. Привести к нормальному виду уравнения следующих окруж-
ностей:
а) х2 + j2 — 4х = 0; с) х2 ф-_у2 Ц- 2х — 1 Оу 1 = 0;
Ь) *2+У + 6у — 7 = 0; d) 3x2 + 3j/2 — 4х — 6j/— 15 = 0.
327. Исследовать, какие линии изображаются уравнениями:
а) х2-|-_у2 = 0; с) х2-|-_у2-ф- Юх — 4_у-ф"29 = 0;
Ь) x2-|-j/2 =—1; d) х2-|-_у2— 2x4~6j/-|- 14 = 0.
328. Какой вид примет уравнение окружности х2-|-_у2Ц-2х—
— 1 =0, если перенести начало координат в точку Л(— 1; -|-3)
или в точку В (— 4; -ф- 3), и как расположены эти точки относительно
окружности?
329. Как преобразуется уравнение окружности х2-|-УЧ-4х— 12у—
— 9 = 0, если перенести начало координат в ее центр?
330. Какие особенности можно отметить в расположении окруж-
ности относительно осей координат, если некоторые из коэффициен-
тов ее общего уравнения А (х2-\-у*)DxБуF = () обращают-
ся в нуль?
331. Найти точки пересечения каждой из окружностей:
а) (х — 4)2 + (у + 3)2=25; с) х2+_у2 — 4х + 4у Ц- 4 = 0;
Ь) х2+У —6х—10у + 9 = 0; d) (х —5)2 + (j/ —3)2= 1
с осями координат.
332. Составить уравнение окружности, зная, что она касается
оси х в начале координат и пересекает ось у в точке А (0; -ф- 4).
333. Составить уравнение окружности, зная, что она касается
оси у в точке А(0; —3) и имеет радиус г = 2.
334. Окружность касается обеих осей координат и проходит
через точку -]-9). Найти ее уравнение.
335. Написать уравнение окружности, которая касается оси х в точ-
ке (-ф-5; 0) и отсекает на оси у хорду длиной в 10 единиц.
336. Найти центр окружности, радиус которой г = 50, зная, что
окружность отсекает на оси х хорду длиной в 28 единиц и прохо-
дит через точку А (0; -ф- 8).
70 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [337—343
337. Написать уравнение окружности, имеющей центр в точке
7) и касающейся прямой 5х—12у— 24 = 0.
338. Найти точки пересечения окружности х2 Ц-2х — 4у—
— 20 = 0 с прямыми: а) х—у — 4 = 0; Ь) Зх—4_у-|“36 = 0;
с) х—у — 5 = 0.
339. Как расположены прямые: а) х — 2у 4*5 = 0; Ь) 5х— 12_у-|~
Ц—26 = 0; с) Зх — 4у -1- 30 = 0; d) х-\-у—17 = 0 относительно
окружности х2= 36-
340. Дана окружность (х — I)2 4~у* = 4. Через точку А (4- 2; —7?)
требуется провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке
пополам.
341. Написать уравнение касательной к окружности х2-|-.У2 = 5
в точке (4-1; —2).
342. Дана окружность: (х—1)24'(_У— 2)2 = 25. Составить урав-
нение ее касательной в точке (4" 5; 4* 5).
343. В точке (0; 4“^) провести касательную к окружности х24~
4-У —2х—3j/ = 0.
344. Написать уравнения касательных, проведенных из начала
координат к окружности x2-|-j4—10х—4у4“25 = 0.
Решение. Способ 1. Всякая прямая, проходящая через начало
координат, имеет уравнение у = kx; надо подобрать угловой коэффициент
так, чтобы прямая y = kx и данная окружность имели две слившиеся точки
пересечения. Решаем совместно оба уравнения (исключаем у):
х2 + Л2ха — 10х — 4kx 4- 25 = 0,
или
х2 (1 + £2) — 2х (5 + 2k) + 25 = 0.
В случае касания корни этого уравнения должны быть вещественные и рав-
ные; поэтому составляем подкоренное количество и приравниваем его нулю:
20
(5 + 2Л)2 — 25 (1 4 k2) = 0; решив это уравнение, мы найдем: kt = 0 и k% ;
20
уравнения искомых касательных будут: 1) у = 0 и 2) у = —х, или 20х —
— 21 у = 0.
Способ 2. Уравнение данной окружности приводим к нормальному
виду: (х — 5)24-(у — 2)а = 4; тогда уравнение всякой касательной имеет вид:
(х' — 5) (х — 5) 4“ (у' — 2) (у — 2) = 4. Координаты точки касания х' и у'
определяются из двух условий: 1) касательная проходит через начало коорди-
нат, и, следовательно, координаты начала удовлетворяют уравнению касатель-
ной, т. е. — 5 (х' — 5) — 2 (у' — 2) = 4, или 5х' 4- 2у' — 25 = 0; 2) точка при-
косновения лежит на окружности, следовательно, ее координаты (хг, у') удов-
летворяют уравнению окружности, и мы имеем: х'2 4" У'2— 10х'— 4у' 4-
4-25 = 0. Из этих двух уравнений определяем координаты точки каса-
, с , п , 105 , 100 х
ния х1=5, уА=0, х2=-7ГгГ, уа.= -кк- и, вставляя их в общее уравнение каса-
zy zy
тельной, получим уравнения искомых прямых: у = 0 и 20х — 21у = 0.
345. Составить уравнение касательных, проведенных
а) из начала координат к окружности (х — 2)2 4- (У — 4)2 = 2;
Ь) из точки (4-7; 4" О к окружности х24‘У!==25.
346—357] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
71
346. Найти те касательные к окружности х2 -1-у2 = 5, которые
параллельны прямой 2х—_у-|-1=0.
347. Вокруг начала координат описана окружность радиусом
г =12; провести к ней касательную так, чтобы отрезок этой каса-
тельной от точки прикосновения до пересечения с положительной
частью оси х имел длину 7=35.
348. Написать уравнение окружности, проходящей через точку
(4- 1; 4-1) и касающейся прямых 1х 4~.У — 3 = 0 и х-\-1у — 3 = 0.
349. Известно, что прямая 4х— Зу— 38 = 0 касается окруж-
ности (х—I)2 4~ (У 4" 3)2 = 25. Найти точку их прикосновения.
350. Под влиянием некоторой силы точка М двигалась по окруж-
ности (х— 5)24-(j/4-3)2 = 25. Действие силы прервалось в тот мо-
мент, когда точка М совпала с точкой А (4~ 2; 4“ !)• Определить
дальнейшую траекторию подвижной точки.
351. Точка М двигалась по окружности (х — 4)2 4- (у — 8)а = 20,
потом сорвалась с нее, и относительно дальнейшего ее свободного
движения известно, что она пересекла ось х в точке (— 2; 0).
Определить точку окружности, с которой сорвалась движущаяся
точка.
352. Определить угол, под которым видна окружность х24“.У2 =
= 16 из точки (4~8; 0).
352*. Найти геометрическое место точек, из которых данная
окружность х24~.у2 = г2 видна под прямым углом.
353. Написать уравнение линии центров двух окружностей:
х2 4-у* — 6х 4~ %У = 0 и х2 4~У* 4" — 12-У + 1 = 0*
354. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
х24-У=10
и
х2 4-У — 1 Ох — 1 Оу 4-30 = 0.
355. Дана окружность х24~.У2 — 4х — 5 = 0 и точка С (4~ 5; 4~ 4).
Написать уравнение окружности, имеющей центр в точке С и касаю-
щейся данной окружности внешним образом.
У Казание. Если две окружности касаются друг друга внешним
образом, то сумма их радиусов равна расстоянию между центрами.
356. Через точку Л4(4“2; 4-1) провести окружность, касающую-
ся окружности х24-.у2—8х — 4j>4“19 = 0 и имеющую радиус, рав-
ный единице.
357. Под каким углом пересекаются окружности х24-^2=16
и (х —5)24-У = 9?
Указание. Углом, под которым пересекаются окружности, называется
угол между касательными к этим окружностям в одной из точек их пересе-
чения.
72
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[358—364
358. Найти условие, при котором две окружности
(х — а,)I 2 4- (у — btf = rf
И
(x-atf + (y-btf==r\
ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом.
359. Через точку /И (-]— 2; Ц-3) провести окружность, ортого-
нальную к окружности х2-|~У!=1 и имеющую радиус г=3.
360. Найти центры подобия следующих двух окружностей:
—6х4-2у-]-6 = 0 и х2+У + 4х + 3 = 0.
Указание. Центром подобия двух окружностей называется точка,
обладающая тем свойством, что на каждой прямой, через нее проходящей,
отрезки от этой точки до точек пересечения с обеими окружностями пропор-
циональны их радиусам. Каждая пара окружностей имеет два центра подобия:
они делят отрезок между центрами этих окружностей внутренним и внешним
образом в отношении, равном отношению радиусов.
361. Составить уравнение общих касательных двух окружностей
(x_2)24-(_v- 1)2= 1 и (x + 2)2 + (j+1)2 = 9.
Указание. Общие касательные двух окружностей попарно проходят че-
рез их центры подобия. (См. задачу 360.)
362. Найти длину касательной, проведенной из точки М (-{- + 6)
к окружности (х З)2 + (у — 2)2 = 25.
Указание. Если мы перенесем все члены нормального уравнения окруж-
ности (х— а)2 + О' — />)2 = г2 в левую часть, то эта левая часть
U = (х — а)2 + (у — by — г2
и даст квадрат длины касательной, проведенной из точки Л4(х, у) к данной окруж-
ности (черт. 45), или, иначе, даст степень точки Л4(х,у) относительно окружности.
Если точка М (х, у) лежит на окруж-
у ности, то степень ее равна нулю; если
М лежит внутри окружности, то сте-
/ пень ее отрицательная и касательные,
проведенные из этой точки, — мнимые.
I । 363. Вычислить длины касатель-
у у ных, проведенных к окружности
\ / x2-j-y*— 10х 2у -|- 10 = 0 из
следующих точек: Mi (0; — 1),
---------------------—+х м2(+1; -1), /Из(4-2; о) и
°--------------------/идо; 0).
Черт. 45. 364. Найти геометрическое место
точек, обладающих тем свойст-
вом, что касательные, проведенные из них к окружности (х— 5)2Д-
+ (У + 2)2 — 9, имеют одну и ту же длину 7=4.
365—372] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
73
365. Найти геометрическое место точек, степени которых отно-
сительно двух данных окружностей х24~_У2— 8х-|~6_у = 0 и х24~
Ц-_у2—1 Оу = 0 находятся в постоянном отношении: а) Х = 2; Ь) Х =
= 3/2; с) Х= 1.
366. Доказать, что уравнение
(^-a)2 + Q-^_r24-X[(x-a1)2 + (j/-^-rn = 0
представляет пучок окружностей, проходящих через точки пересече-
ния двух основных окружностей (х — а)24-(_У— Ь)*— г2 = 0 и
(х — fli)2 4“ СУ — ^i)2 — ri — 0, что центры всех этих окружностей ле-
жат на одной прямой и значение параметра X равно отношению,
в котором центр соответствующей окружности делит отрезок между
центрами двух основных окружностей.
367. Составить уравнение радикальной оси следующих двух
окружностей:
а) х2 -р.У2 — ^ах — Ыу 4- а2 4- Ь* — г*= О,
х2 4-У — 2^1-* — 2^1 j/ 4" а\ 4~ — ri — °;
Ь) х2д/2— 6х— 4у4-9 = 0>
х2 4-У — 2х 4- 10у 4- 25 = 0;
с) *2 + (.У —1)2 = 5 и (х4-2)24-(_у4-1)2 = 4.
Указание. Радикальная ось двух окружностей есть геометрическое
место точек, имеющих одинаковую степень относительно этих окружностей.
(См. задачу 362.)
368. Доказать, что радикальная ось двух окружностей проходит
через точки их пересечения, перпендикулярна к линии центров и
служит геометрическим местом центров окружностей, ортогональ-
ных к двум данным окружностям.
369. Через точку (—3; 4" 1) провести окружность, имеющую
одну и ту же радикальную ось с двумя данными окружностями:
(х —5)24-j/2 = 5 и x24-(j/— 10)2= 130.
Указание. Искомая окружность принадлежит пучку, определяемому
двумя данными окружностями. (См. задачу 365.)
370. Через точку (4~5; —4) провести окружность, ортогональ-
ную к двум окружностям, заданным уравнениями: (х — З)2—[—_у2 = 24
и х24-СУ 4“ О2—16.
371. Найти радикальный центр трех окружностей: х2Ц-_у2 — 6x4“
4-8у = о, х24->2 —2х—8 = 0 и x24-y24-6j/4-8 = 0.
Указание. Радикальным центром трех окружностей называется точка
пересечения радикальных осей этих окружностей, взятых попарно.
372. Написать уравнение окружности, ортогональной к трем следу-
ющим окружностям х2 4~.У2 4“ х —У — 2 = 0, х2 4“.У2 4" 2х — 3 = 0
и х2 4- У2 4" —1=0.
74
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [373—374
373. Дана окружность, радиус которой г —а. Через одну из ее
точек Р проведены все возможные хорды. Найти геометрическое
место точек, делящих эти хорды в одном и том же отношении X.
374. Стержень скользит по плоскости так, что конец его Q опи-
сывает окружность радиуса а\ сам же он все время проходит через
неподвижную точку Р, не лежащую на окружности. Найти геомет-
рическое место точек, делящих пополам отрезки стержня между точ-
кой Р и концом стержня Q.
2. Эллипс
Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от
двух постоянных точек — фокусов эллипса — есть величина постоянная,
f'gFi = 2с (черт. 46). Простейшее
уравнение эллипса мы получим,
выбрав прямую, соединяющую фо-
кусы, за ось абсцисс и поместив
начало координат в середине между
ними. Тогда уравнение эллипса
примет вид:
д2 £2 — Ь V,
где
г?2 = л2 — с2. (8)
При таком выборе системы
координат оси координат совпадают
с осями симметрии эллипса, а на-
чало координат — с центром сим-
метрии *).
ми (Д1 и Aa, Bi и В2) называются
ми, называются осями эллипса:
большая (фокальная) ось Л2Д1 = 2а и малая ось ВаВг = 2Ь.
Таким образом, параметры а и Ь, входящие в уравнение эллипса (7), рав-
ны его полуосям.
Эксцентриситетом (е) эллипса называется отношение расстояния
(2с) между фокусами к большой оси (2а), т. е.
Точки пересечения эллипса с его
вершинами эллипса.
Отрезки, заключенные между
е =
а ’
(9)
очевидно, что
е< 1.
(Ю)
Расстояния любой точки М(х, у) эллипса до фокусов называются ее
фокальными радиусами-векторами и г2; мы имеем:
Г1 = а — ех, ra~a-\-ext (11)
и по самому определению эллипса:
г1-|~г2==2а, (12)
Ч В дальнейшем будем говорить просто: оси и центр эллипса.
375—377] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
75
т. е. сумма фокальных радиусов-векторов любой точки эллипса равна его боль-
шой оси.
Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой
оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ~ (на черт. 46 прямые CD и
EG). Уравнения директрис следующие:
х = — И х = — (13)
е е 7
Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса (rt или г2) к рас-
стоянию той же точки до соответствующей:) директрисы (б/х или d2) равно
эксцентриситету:
Г1
di
г2
и
d2
(14)
= е
Таким образом, эллипс может быть определен как геометрическое место
точек, отношение расстояний которых от данной точки и данной прямой есть
величина постоянная, меньшая единицы.
Эллипс имеет со всякой прямой две точки пересечения (действительные,
мнимые или сливающиеся).
Если прямая встречает эллипс в двух слившихся точках, то она называет-
ся касательной к эллипсу.
Уравнение касательной к эллипсу
а3 ' ba
(7)
в точке М (Xi, yi) имеет вид
। yyi i
fl2 "Г Ь2 —
(15)
Из всякой точки можно провести к эллипсу две касательные. Если точка
лежит вне эллипса, обе касательные действительные; если точка лежит на эл-
липсе, касательные сливаются; если точка лежит внутри эллипса, обе касатель-
ные мнимые.
37 5., Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что
а) полуоси его соответственно равны 4 и 2;
Ь) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось рав-
на 5;
с) большая полуось равна 10 и эксцентриситет е = 0,8;
V2
d) малая полуось равна 3 и эксцентриситет е —
е) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже
равно 8.
376. Дано уравнение эллипса: 25х2-|-169у* = 4225. Вычислить
длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.
377. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его боль-
шой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого
эллипса.
*) Соответствующими друг другу называются тот фокус и та директриса,
которые расположены по одну сторону от малой оси.
76
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[378—390
X2 V2
378. Дан эллипс своим уравнением: ~9~+ 4 =1- Построить его
фокусы, не вычисляя их координат.
379. Сторона ромба равна 5 и высота 4,8. Через две противоле-
жащие его вершины проходит эллипс, фокусы которого совпадают
с двумя другими вершинами ромба. Составить уравнение эллипса,
приняв диагонали ромба за оси координат.
380. Вершина треугольника, имеющего неподвижное основание,
перемещается так, что периметр треугольника сохраняет постоянную
величину. Найти траекторию вершины при условии, что основание
равно 24 см, а периметр равен 50 см.
381. Построить эллипс, пользуясь его определением.
Указание. Точки эллипса служат вершинами треугольников, имеющих
общее основание (расстояние между фокусами, равное 2с) и данную сумму
двух других сторон (2а).
382. Составить уравнение директрис эллипса, зная, что директрисы
перпендикулярны фокальной оси и пересекают ее в точках, которые
являются четвертыми гармоническими к фокусам относительно вершин.
383. Дан эллипс: Написать уравнения его ди-
ректрис.
384. Прямые х = н- 8 служат директрисами эллипса, малая ось
которого равна 8. Найти уравнение этого эллипса.
385. Определить эксцентриситет эллипса, зная, что
а) малая ось его видна из фокуса под прямым углом;
Ь) расстояние между фокусами равно расстоянию между верши-
нами малой и большой осей;
с) расстояние между директрисами в четыре раза больше рассто-
яния между фокусами.
386. Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение
осей которого равно 299/зоо- Определить эксцентриситет земного ме-
ридиана.
jc2 V2
387. На эллипсе -эд-= 1 найти точку, отстоящую на рас-
стоянии пяти единиц от его малой оси.
388. Эллипс проходит через точки М (Ц- 3; —2) и Л/(— 2 V3;
Составить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.
389. Доказать, что для всякой точки Р(хъ j/j), лежащей внутри
х2 । у2 1 х* , у2 .
эллипса — имеет место неравенство ~г\ 1 > а для
t2 2
всякой внешней точки Q(x%, у2) — неравенство +
390. Определить положение точек: А (+6; —3), В (—2; —J—5)»
С (4-3; —6), D (4- УбЮ; 0), £(—4; 2 ]/б) и Q (4-1; 4-]/2б') отно-
X2 V2
сительно эллипса -то4"-^=1*
48 1 36
391—404] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
77
v2
391. В эллипс -^--(--^-=1 вписан правильный треугольник,
одна из вершин которого совпадает с правой вершиной большой
оси. Найти координаты двух других вершин треугольника.
392. На эллипсе = 1 найти точку, расстояние которой
от правого фокуса в четыре раза больше расстояния от ее левого
фокуса.
V2
393. На эллипсе —= 1 найти точку, для которой произ-
ведение фокальных радиусов-векторов равно квадрату малой полуоси.
394. На эллипсе, один из фокусов которого имеет координаты
(-J-3; 0), взята точка М (4~4; --[—2,4). Найти расстояние этой точки
до соответствующей директрисы, зная, что центр эллипса совпадает
t началом координат.
д-2 v2
395. Найти точки пересечения эллипса = 1 с прямой
2х—у— 9 = 0.
396. Через фокус F(c, 0) эллипса проведена хорда,
перпендикулярная к большой оси. Найти длину этой хорды.
д-2 V2
397. Дан эллипс "4“ э = 1- Найти длину его диаметра1),
направленного по биссектрисе координатного угла.
д-2 V2
398. В эллипс Ц- 1 вписан прямоугольник, две проти-
воположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить
площадь этого прямоугольника.
399. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс
Т £2
400. Дан эллипс -^--[-^-=1. Через точку (4-1; -|-1) провести
хорду, делящуюся в этой точке пополам.
д-2 V2
401. Написать уравнение прямой, касающейся эллипса -jy 4" 12"= 1
в точке (Ц-2; —3).
402. Составить уравнения касательных, проведенных из точки
Д(—6; -]-3) к эллипсу -yg-4~= 1 •
х2 va
403. Найти те касательные к эллипсу -39 4" 24 = 1’ котоРые па-
раллельны прямой 2х—у 17 — 0.
X2 V2
404. Провести к эллипсу 4~-^§-=1 касательные, перпенди-
кулярные к прямой 13х4~12у—115 = 0.
Ч Диаметром эллипса называется всякая хорда, проходящая через
его центр.
78 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости (405—418
405. Известно, что прямая 4х— 5у — 40 = 0 касается эллипса
X2 V2
-^- + -^-=1. Найти точку их прикосновения.
Ov oZ
406. Найти уравнения тех касательных эллипса Зх2 8у2 = 45,
расстояние которых от центра эллипса равно 3.
д;2 у 2
407. Доказать, что касательные к эллипсу прове-
денные в концах одного и того же диаметра, параллельны между
собой; и обратно, если две касательные к эллипсу параллельны, то
точки касания лежат на одном и том же диаметре.
408. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около эллипса
— 1
6 “г з — ‘
409. Найти уравнение той касательной эллипса Ь от-
ношение расстояний которой от двух фокусов равно 9.
410. Доказать, что произведение расстояний любой касательной
эллипса от двух его фокусов есть величина постоянная, равная
квадрату малой полуоси.
411. Вывести условие, при котором прямая ДхЦ-^у ^=0
х2 । у2 4
касается эллипса —=- + -4^- — 1.
а2 1 №
412. Эллипс проходит через точку Р(-[-3; —12/s) и касается
прямой 4x-j-5_y = 25. Написать уравнение этого эллипса и найти
точку, в которой он касается данной прямой. Оси координат совпа-
дают с осями эллипса.
413. Эллипс касается двух прямых: x-]-j/ = 5 и х — 4у = 10.
Найти уравнение этого эллипса при условии, что оси его совпадают
с осями координат.
414. Найти общие касательные к следующим двум эллипсам:
х2 । у2 _ 1 х2 . у2 _ 1
415. Составить уравнения общих касательных двух эллипсов:
-б-+У=1 и т'4_тг=1-
х2 V2
416. Доказать, что касательные к эллипсу -а = l отсекают
на двух касательных, проведенных в концах большой оси, отрезки,
произведение которых есть величина постоянная, равная #2.
417. Доказать, что отрезки касательных к эллипсу-2-~F 1»
заключенные между касательными, проведенными в вершинах боль-
шой оси, видны из фокусов под прямым углом.
418. Найти геометрическое место точек, из которых эллипс
X2 V2
1 виДен под прямым углом.
419—428] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
79
419. Доказать, что всякая касательная к эллипсу образует рав-
ные углы с фокальными радиусами-векторами точки прикосновения.
420. Эллипс с полуосями а и b перемещен так, что центр его
совпал с точкой С(х',У), а оси остались параллельными осям коор-
динат. Какое уравнение изображает эллипс в этом новом положении?
Указание. Нового положения эллипса относительно осей можно достиг-
нуть при неподвижном эллипсе параллельным перемещением осей координат
с переносом начала в точку (—х',— у').
420*. Исследовать кривые, приведя их уравнения к простейшему виду:
а) х2 4-У — 2х 6j/ — 5 = 0;
b) х24-4у24~4х—16у —8 = 0;
с) х2 Ц-ЯР* Ч" — 4 = 0.
421. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр
его находится в точке (4~ 5; 0). Составить уравнение эллипса, зная,
что эксцентриситет его е = 0,8.
422. Эллипс касается оси абсцисс в точке Л(4~7; 0) и оси
ординат в точке В (0; 4" 4). Составить уравнение эллипса, если
известно, что оси его параллельны осям координат.
422*. Исследовать кривую, предварительно повернув оси коор-
динат так, чтобы преобразованное уравнение не содержало члена с
произведением координат:
х2 4~ ху 4~ у* — = °-
423. Эллипс касается оси у в точке (0; 4“ 3) и пересекает ось
х в точках (4~3; 0) и (4-7; 0)» Каково уравнение эллипса, если
оси его параллельны осям координат?
424. Подвижная точка Р описывает окружность х2 4"У5 = г^.
Какова будет траектория другой подвижной точки 7И, которая делит
ординату точки Р в постоянном отношении X?
х^ у®
425. В эллипс 1 вписан треугольник AiAf42, одна
из сторон которого А1А% совпадает с большой осью. Вершина М
движется по эллипсу. Определить траекторию, которую при этом
опишет центр тяжести треугольника А^МА?.
426. Вокруг начала координат вращается стержень ОР = р с
угловой скоростью со, а вокруг Р вращается второй стержень PQ = q
с угловой скоростью — to. Найти траекторию точки Q, зная, что в на-
чальный момент оба стержня совпадали с осью х и точка Р находи-
лась между О и Q. Разобрать случаи, когда p^>qt P<Zq и P = q-
427. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сто-
ронам прямого угла. Взять на отрезке любую точку Л1 и найти
путь, который она описывает при этом скольжении.
428. При условиях предыдущей задачи взять точку М не на
самом отрезке, а на его продолжении и найти траекторию этой
новой точки М.
80
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [429—432
429. На черт. 47 изображен эллиптический циркуль, у которого
с помощью винтов можно менять длину I скользящей линейки АВ
и место прикрепления каран-
даша /14. Как установить циркуль,
чтобы начертить эллипсы:
а)4+4=1<>
ь)^+У=1;
С) х4+У = 25?
430. Даны координаты вер-
шин треугольника АВС: (0; 0),
(+ 2; -]-2) и (—2; 4~2). Точка М
движется так, что сумма квадра-
тов ее расстояний от трех сто-
рон треугольника остается все время постоянной, равной 16. Найти
траекторию точки /И.
431. Найти геометрическое место середин хорд, проведенных из
v2
конца малой полуоси эллипса — = 1.
432. Определить геометрическое место центров окружностей, кото-
рые проходят через точку Л (4-3; 0) и касаются круга х2 4~У2 = 25.
(Сделать чертеж.)
3. Гипербола
Г ипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний кото-
рых от двух постоянных точек — фокусов гиперболы — есть величина посто-
янная, равная 2а.
Расстояние между фокусами = 2 с (черт. 48).
Простейшее уравнение гиперболы
х2
где
Ь2 = с2 — а2, (17)
имеет вид:
|2
Прямая, соединяющая фокусы гиперболы, служит осью абсцисс, и начало
координат выбрано в середине между фокусами; при этом оси координат сов-
падают с осями симметрии гиперболы и начало координат — с ее центром сим-
метрии (оси и центр гиперболы).
Гипербола имеет две действительные вершины (Xi и Л2) на фокальной
оси; отрезок, заключенный между ними, Л2Л1 = 2а, называется действи-
тельной (вещественной) осью гиперболы. Со второй осью гипербола
пересекается в двух мнимых точках (0; ± ib)\ но, условно, действительный
отрезок 2Ь называется мнимой осью гиперболы. Таким образом, пара-
метры а и Ь, входящие в уравнение гиперболы (16), дают длину действитель-
ной и мнимой полуосей гиперболы. Для гиперболы возможны все три случая:
а > bt a — b и a<z Ь,
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
81
Если а = Ь, гипербола называется равносторонней.
Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2а и направлена по оси х, а
действительная ось, длиной 2Ь, совпадает с осью у, то уравнение такой гипер-
болы будет:
1*2 \,2
<18)
Гиперболы (16) и (18) называются сопряженными гиперболами.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния
между фокусами к действительной оси:
е = (19)
и при этом
е>1. (20)
Гипербола (16) состоит из двух ветвей (правой и левой), простирающихся
в бесконечность.
Для точек правой ветви фокальные радиусы-векторы вычисляются по
формулам:
r2 = ex + а\ J
г2 — г1 = 2а. (22)
Для точек левой ветви мы имеем:
г^-ех + а.1
г2 = — ех — a; J
Г1— г2 = 2а. (22*)
Таким образом, разность фокальных радиусов-векторов любой точки гипер-
болы равна действительной оси.
Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к
а
фокальной оси и отстоящие от центра на расстоянии —,
Их уравнения:
82
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Отношение расстояния любой точки гиперболы от фокуса к расстоянию той
же точки от соответствующей директрисы равно эксцентриситету гиперболы:
Таким образом, геометрическое место точек, отношение расстояний которых
от данной точки и данной прямой постоянно, есть гипербола, если только это
постоянное отношение больше единицы.
Асимптоты гиперболы определяются равенствами
Ь
Ь (25)
> —-х. J
Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстоя-
ние ее от одной из асимптот (25) стремится к нулю.
Асимптоты служат диагоналями прямоугольника, центр которого совпадает
с центром гиперболы, а стороны равны и параллельны осям гиперболы (черт. 49).
Прямая линия имеет с гиперболой вообще две общие точки (действитель-
ные, мнимые или сливающиеся), координаты которых мы получим, решая сов-
местно уравнение гиперболы и уравнение прямой. Но если прямая параллельна
одной из асимптот, то она имеет только одну точку пересечения с гиперболой,
так как, исключая одну из текущих координат из уравнения этой прямой и урав-
нения гиперболы, мы получим уравнение только первой степени для определе-
ния другой координаты (старшие члены уничтожатся). Если же прямая совпа-
дает с одной из асимптот, то она совсем не имеет общих точек с гиперболой,
так как уравнения гиперболы и ее асимптоты представляют систему несовместную.
Каждая асимптота совпадает с предельным положением одной из каса-
тельных к гиперболе, когда точка прикосновения неограниченно удаляется по
гиперболе.
Касательная к гиперболе
в точке (хх, у>1) имеет уравнение:
ХХ1 yyt
а* Ь*
(26)
433—440*1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 83
Из каждой точки плоскости можно провести две касательные к гиперболе;
если точка взята на гиперболе, то обе касательные сливаются в одну; точки,
из которых можно провести две действительные и разные касательные, со-
ставляют внешнюю область гиперболы; точки, из которых можно
провести только мнимые касательные, составляют внутреннюю область
гиперболы.
433. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, что
а) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между
фокусами 10;
Ь) вещественная полуось равна 5 и вершины делят расстояния
между центром и фокусами пополам;
с) вещественная ось равна 6 и гипербола проходит через точку
(+9; —4);
d) гипербола проходит через две точки Р(—5; 4“2) и Q (-}-2 У~5,
434. Составить уравнение гиперболы, зная фокусы /ч (—]— 10; 0),
F2(—10; 0) и одну из точек гиперболы 3 ]/б ).
435. Построить гиперболу, основываясь на ее определении.
Указание. Гипербола есть геометрическое место вершин треугольников,
имеющих общее основание (2с) и постоянную разность двух других сторон (2а).
436. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с
эллипсом-jg-*24"= 1 ПРИ условии, что эксцентриситет ее е = 1,25.
437. Написать уравнение гиперболы, проходящей через фокусы
эллипса 7§9' + "j^4 = 1 и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса.
уа
438. Построить фокусы и асимптоты гиперболы —^ = 1.
X2 V2
439. Дана гипербола -д-yg-=l. Требуется:
а) вычислить координаты фокусов;
Ь) вычислить эксцентриситет;
с) написать уравнения асимптот и директрис;
d) написать уравнение сопряженной гиперболы и вычислить ее
эксцентриситет.
439*. Зная уравнения асимптот гиперболы у = х и одну из
ее точек Л4(-]-12; 4-3]/У), составить уравнение гиперболы.
440. Доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами на асимпто-
тах (считая от центра гиперболы), равны действительной полуоси.
Пользуясь этим свойством, построить директрисы гиперболы.
440*. Доказать, что директриса гиперболы проходит через осно-
вание перпендикуляра, опущенного из соответствующего фокуса на
асимптоту гиперболы. Вычислить длину этого перпендикуляра.
84 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [441—450
441. Вычислить полуоси гиперболы, зная, что
а) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между
директрисами равно 6;
Ь) директрисы даны уравнениями х = ± 3]/2 и угол между
асимптотами — прямой;
с) асимптоты даны уравнениями у = н- 2х и фокусы находятся
на расстоянии 5 от центра;
d) асимптоты даны уравнениями у = -1- в/Зх и гипербола проходит
через точку /У(Ц-6; Ц-9).
442. Написать уравнения двух сопряженных гипербол, зная, что
расстояние между директрисами первой из них равно 7,2 и расстоя-
ние между директрисами второй равно 12,8.
442*. Составить уравнение гиперболы, оси симметрии которой совпа-
дают с осями координат, если дана точка пересечения Р(-|- 3, 2; —2,4)
одной из асимптот с одной из директрис этой гиперболы.
443. Определить угол между асимптотами гиперболы, у ко-
торой:
а) эксцентриситет е = 2;
Ь) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между
директрисами.
444. Вычислить эксцентриситет гиперболы при условии, что
а) угол между асимптотами равен 60°;
Ь) угол между асимптотами равен 90°;
с) действительная ось гиперболы видна из фокуса сопряженной
гиперболы под углом в 60°.
445. Дана равносторонняя гипербола х2—_у2=8. Найти софо-
кусную гиперболу, проходящую через точку Л1(—5; 3).
V2
446. На гиперболе-25- — 1 взята точка, абсцисса которой
равна 10 и ордината положительна. Вычислить фокальные радиусы-
векторы этой точки и угол между ними.
447. На гиперболе --^-=1 найти точку, для которой:
а) фокальные радиусы-векторы перпендикулярны друг к другу;
Ь) расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от пра-
вого.
448. Какому условию должен удовлетворять эксцентриситет
х2 у2
гиперболы — ^-=1 для того, чтобы на ее правой ветви сущест-
вовала точка, одинаково удаленная от правого фокуса и от левой
директрисы?
449. Доказать, что произведение расстояний любой точки гипер-
болы до двух асимптот есть величина постоянная.
450. На гиперболе найти точку, которая была бы
в три раза ближе от одной асимптоты, чем от другой.
451—460] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
85
451. Найти точки пересечения гиперболы -gg-— = 1 со сле-
дующими прямыми:
а) х — 5_у = 0; с) х—j/-J-5 = 0;
b) <2х-{-у — 18 = 0; d) ]Л10х — 5уЦ- 15 = 0.
452. Через точку (-|- 2; —5) провести прямые, параллельные
асимптотам гиперболы х1 — 4у2 = 4.
452*. Дана гипербола 9х2—16_у2 = 576. Найти уравнение того
диаметра, длина которого равна 20.
453. Через точку А (-1- 3; —1) провести хорду гиперболы
х2
----у2=1} делящуюся пополам в этой точке.
453*. Доказать, что геометрическое место середин параллельных
X2 V2
хорд гиперболы -------= 1 есть диаметр.
х2 V2
454. Проверить, что оси гиперболы — 2 ~-= 1 являются един-
ственными диаметрами, перпендикулярными к тем хордам, которые
они делят пополам.
454*. Доказать, что стороны любого прямоугольника, вписанного
X2 V2
в гиперболу --3----~- = 1, параллельны ее осям.
455. Найти вершины квадрата, который вписан в гиперболу
X2 У 2
~3— =-=:1, и исследовать, в какие гиперболы возможно вписать
квадрат.
456. Написать уравнение прямой, которая касается гиперболы
X2 V2
------— =1 в точке (-|—5; —4).
457. Провести касательные к гиперболе у — у = 1 через каж-
дую из следующих точек:
(+2; 0), (-4; + 3) и (+5; -1).
X2 V2
458. К данной гиперболе провести касательную:
а) параллельно прямой х У — 7 = 0;
Ь) параллельно прямой х — 2у = 0;
с) перпендикулярно той же прямой х—2_у=0.
X2 V2
459. Можно ли к гиперболе — ^=1 провести касательные
любого направления и если нет, то какое ограничение наложено на
угловые коэффициенты касательных к этой гиперболе?
X2 V8
460. На гиперболе у — у = 1 найти точки, касательные в
которых наклонены к оси абсцисс под углом у.
86 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [461—472
V2
461. К гиперболе —jg=l провести такую касательную, кото-
рая находилась бы на одинаковом расстоянии от центра и от правого
фокуса.
462. Гипербола касается прямойх —у — 2 = 0 вточкеМ(-[- 4;2).
Составить уравнение этой гиперболы.
463. Найти условие, при котором прямая Ах By -j- С= 0 ка-
X3 у2
сается гиперболы
464. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимптот
_у = ±г/2х и уравнение одной из ее касательных: 5х— 6j/ — 8 = 0.
465. Прямой угол перемещается так, что стороны его все вре-
X2 V2
мя касаются гиперболы -2—Найти траекторию его вер-
шины.
х2 у2
466. Из точек пересечения директрис гиперболы —2 —
с ее действительной осью проведены касательные к гиперболе. Найти
их уравнения и определить координаты точек прикосновения.
467. Доказать, что если эллипс и гипербола имеют общие фоку-
сы, то они пересекаются под прямым углом, т. е. касательные, про-
веденные к обеим кривым в точке их пересечения, перпендикулярны
друг к другу.
468. Доказать, что произведение расстояний любой касательной
к гиперболе от двух ее фокусов есть величина постоянная.
469. Доказать, что отрезок любой касательной гиперболы, за-
ключенный между асимптотами, делится в точке прикосновения
пополам.
470. Доказать, что касательные к гиперболе образуют с асимпто-
тами равновеликие треугольники.
470*. Прямая линия перемещается так, что площадь треуголь-
ника, образованного ею с осями координат, сохраняет постоянную
величину S. Найти геометрическое место точек, делящих отрезок
этой прямой, заключенный между осями, в данном отношении К.
471. Найти уравнение гиперболы, зная, что оси ее соответственно
равны 2а и 26, что центр ее помещен в точку (хь j/О и действи-
тельная ось параллельна оси абсцисс.
472. Привести к простейшему виду уравнения гипербол:
а) 9а;2 —25/—18а;—ЮОу —316 = 0;
b) 5а:2 — 6/-]- Юл: — 12у — 31=0;
с) х* — 4/ 6х 5 = 0;
d) Зд:2—/-|-12а: —4j/ —4 = 0;
е) А:2 — 4/ 2а: 4~ 16д/ — 7 = 0;
f) д:2 —/ — 4х 4~ бу — 5 = 0.
Определить положение их центров и величину осей.
472*—479] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА кривых второго порядка 87
472*. Исследовать кривые, предварительно повернув оси коорди-
нат так, чтобы преобразованные уравнения не содержали члена с
произведением координат:
а) х2 4“ ^ХУ + У*—3 = 0;
Ь) Зх24-24ху —4у24-10х = 0;
с) 2х2-|-24ху —5У — 15x+20j/—12 = 0.
473. Центр гиперболы помещен в точку (— 15; 0), один из фо-
кусов совпадает с началом координат. Найти уравнение гиперболы,
если, кроме того, известно, что она отсекает от оси ординат хорду,
длина которой равна 32.
V4 s
474. Через вершину А (а; 0) гиперболы — ^=1 проведены
все возможные хорды. Найти геометрическое место их середин.
475. Найти геометрическое место середин фокальных радиусов-
векторов, проведенных из правого фокуса ко всем точкам гиперболы
Л'2_у2_
а2 Ь2
476. Два стержня, вращаясь в противоположных направлениях
около двух неподвижных точек А и В, образуют все время с пря-
мой АВ углы, дополняющие друг друга до прямого угла. Найти
геометрическое место точек пересечения стержней.
477. Найти геометрическое место точек пересечения перпендику-
х^ v2
ляров, опущенных из фокуса гиперболы — ^=1 на касательные,
с прямыми, соединяющими центр с соответствующими точками при-
косновения.
478. Найти геометрическое место центров кругов, отсекающих
па двух перпендикулярных прямых отрезки данной длины (2а и 2&).
479. Доказать, что геометрическое место центров кругов, каса-
ющихся внешним образом данной окружности и проходящих через
одну и ту же точку, есть гипербола.
4. Парабола
Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от посто-
янной точки — фокуса параболы — и постоянной прямой — директрисы
параболы.
Если за ось абсцисс принять перпендикуляр, опущенный из фокуса на
директрису, а начало координат поместить посредине между фокусом и дирек-
трисой (черт. 50), то уравнение параболы будет:
у2 = 2рх, (27)
где параметр р есть расстояние фокуса от директрисы. Парабола имеет одну
ось симметрии, которая совпадает, при таком выборе системы координат, с
осью х. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат;
второй точки пересечения параболы с ее осью симметрии нет, так как резуль-
88
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
[480—484
тат исключения ординаты из уравнений параболы и ее оси выразится уравне-
нием первой степени. Всякая прямая, параллельная оси х, встречает параболу
также только в одной точке. Прямые любого
другого направления пересекают параболу в
двух точках (действительных или мнимых).
Фокальный радиус-вектор любой точки
параболы равен
d
0
— Р
Черт. 50.
(28)
(29)
г = х + ^-;
согласно определению параболы,
4-.
где d обозначает расстояние точки параболы
от директрисы.
Касательная к параболе
у2 = 2рх (27)
в точке (л^ух) определяется уравнением:
yyi=p(x + x!). (30)
найти точку, фокальный радиус-век-
Черт. 51.
480. Составить уравнение параболы, зная, что
а) расстояние фокуса от вершины равно 3;
Ь) фокус имеет координаты (5; 0), а ось ординат служит дирек-
трисой;
с) парабола симметрична относительно оси х, проходит через
начало координат и через точку 714(4-1; —4);
d) парабола симметрична относительно оси _у, фокус помещается
в точке (0; -ф" 2) и вершина совпадает с началом координат;
е) парабола симметрична относительно оси у, проходит через
начало координат и через точку 714 (-|- 6; — 2).
481. На параболе — 8х
тор которой равен 20.
482. На параболе у*=4,5 х
взята точка /14 (х, у/), находя-
щаяся от директрисы на рас-
стоянии
rf== 9,125.
Вычислить расстояние этой
точки от вершины параболы.
483. Построить параболу,
пользуясь ее определением.
484. Дан прямоугольный
треугольник АВС с катетами
а и Ь. Оба катета разделены
на одинаковое число частей; через точки деления катета а (черт. 51)
проведены прямые, параллельные катету Ъ, а точки деления катета b
соединены прямыми линиями с вершиной противолежащего угла. Найти
485—496) ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 89
геометрическое место точек пересечения прямых, проведенных из
тех точек деления катетов, которые имеют одинаковые номера, если
нумерация на катете а начинается от вершины острого угла, а на
b — от вершины прямого угла.
485. Каким треугольником можно воспользоваться, чтобы, согласно
предыдущей задаче, построить параболу у2 = 5х, и как дополнить
это построение, чтобы получить точки параболы вне треугольника?
486. Найти признак, по которому можно было бы судить о рас-
положении точек, данных своими координатами, относительно пара-
болы у2 = 2рх.
487. Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписан-
ного в параболу у*=<2рх.
488. Найти точки пересечения параболы у2 = 18х со следующими
прямыми:
а) бх-j- у — 6 = 0;
b) 9x — 2j/4-2 = 0;
с) 4х— у -J- 5 = 0;
d) у — 3 = 0.
489. Найти точки пересечения параболы у2=12х с эллипсом
490. Составить уравнение общей хорды параболы у*=18х
и круга (x4-6)24-j/2= 100.
491. Через фокус параболы у* = 2рх проведена хорда, перпен-
дикулярная к ее оси. Определить длину этой хорды.
491*. Составить уравнения сторон треугольника, вписанного
в параболу у* = 8х, зная, что одна из его вершин совпадает с верши-
ной параболы, а точка пересечения высот совпадает с фокусом параболы.
492. Через точку А (—|—2; 1) провести такую хорду параболы
у9==4х, которая делилась бы в данной точке пополам.
493. Через точку —7) провести касательную к пара-
боле = 8х.
494. Дана парабола у* = 4х и касательная к ней х 4~ 8у 4~ 9 = 0.
Найти точку их прикосновения.
495. Доказать, что любая касательная параболы у2 = 2/?х отсе-
кает на отрицательной части оси х отрезок, равный абсциссе
точки прикосновения, а на оси у — отрезок, равный половине орди-
наты точки прикосновения.
496. Дана парабола у2=12х. Провести к ней касательную
а) в точке с абсциссой х=3;
Ь) параллельно прямой Зх —у 4-5 = 0;
с) перпендикулярно прямой 2x-|-j/— 7 = 0;
d) образующую с прямой 4х — 2ву4"9 = 0 угол
90 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [497—506
497. Найти условие, при котором прямая y = kx-[-b касается
параболы у2 = 2рх.
498. Найти кратчайшее расстояние параболы _у2 = 64х от прямой
4х + 3_у + 46 = 0.
499. Вычислить параметр параболы j/2 = 2рх, если известно, что
она касается прямой х — 2у 4“ 5 — 0.
500. Найти общие касательные эллипса 4~ = 1 и параболы
/ = 20/3х.
500*. На параболе _у2=12х взяты три точки, ординаты которых
j/t = 6, Уъ = 2 и у$ — —3. Вычислить отношение площадей двух
треугольников: треугольника с вершинами в указанных точках и
треугольника, образованного касательными в этих точках.
501. Доказать, что любая касательная параболы пересекает дирек-
трису и фокальную хорду, перпендикулярную к оси, в точках,
равноудаленных от фокуса.
502. Доказать, что геометрическое место оснований перпендику-
ляров, опущенных из фокуса параболы на ее касательные, есть
касательная к вершине параболы.
503. Прямой угол скользит так, что стороны его все время
касаются параболы у* — 2рх. Определить траекторию его вершины.
503*. Проверить, что фокус параболы и точки прикосновения
двух касательных к параболе, проведенных из любой точки дирек-
трисы, лежат на одной прямой.
504. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее имеет
координаты (a, Z?), параметр равен р и направление оси симметрии
совпадает:
а) с положительным направлением оси ,х;
Ь) с отрицательным направлением оси х\
с) с положительным направлением оси у,
d) с отрицательным направлением оси у.
505. Какими особенностями должно обладать уравнение второй
степени Дх2 -|- Вху -ф- Су2 ф- Dx -ф- Еу Ц-F — 0, чтобы соответствую-
щая кривая была параболой
а) с осью, параллельной оси х\
Ь) с осью, параллельной оси _у?
506. Определить координады вершины параболы, величину пара-
метра и направление оси, если парабола дана одним из следующих
уравнений:
а) _у2 — 10х — 2у — 19 = 0;
Ь) У — 6х-|-14.у 4'49 = 0;
с) д/24-8х—16 = 0;
d) х2 — 6х — 4у 4- 29 = 0;
е) ^ = Дх24-Вх + С;
f) у == х2 — 8х ф-15;
g) у = х24~6х
506*—518] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
91
506*. Исследовать кривые, предварительно упростив их уравнения
с помощью преобразования координат:
а) 2х2 — 4ху 4- 2у2 — 5y-j-2 = 0;
b) х2 — 2ху 4"-V2 + — 5 = 0.
507. Доказать, что параболы, имеющие общий фокус и совпадающие,
но противоположно направленные оси, пересекаются под прямым углом.
508. Составить уравнение параболы,
симметричной относительно оси х и от-
секающей на этой оси отрезок -\-а и на
оси ординат отрезки ±Ь (черт. 52).
509. Парабола симметрична относи-
тельно оси х, вершина ее помещается
в точке (—5; 0) и на оси ординат
она отсекает хорду, длина которой
/=12. Написать уравнение этой пара-
болы.
510. Составить уравнение параболы,
симметричной относительно оси _у, от-
секающей на оси абсцисс отрезки ± а
и на оси ординат отрезок, равный -[-Ь.
511. Мостовая арка имеет форму
параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки
равен 24 лг, а высота б лг.
512. Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал
дугу параболы и упал на расстоянии 16 лг от начального положения.
Определить параметр параболической траектории, зная, что наиболь-
шая высота, достигнутая камнем, равна 12 я.
513. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму
параболы, параметр которой р — 0,1 я. Определить высоту струи, если
известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 я от места
выхода.
514. Найти геометрическое место середин ординат параболы
у2 — 2рх.
515. Найти геометрическое место середин хорд параболы, про-
ходящих через ее фокус.
516. Прямой угол вращается около своей вершины, совпадающей
с вершиной параболы. Доказать, что при этом движении прямая
линия, соединяющая точки пересечения сторон угла с парабо-
лой, тоже вращается около некоторой точки, лежащей на оси пара-
болы.
517. Найти геометрическое место центров кругов, проходящих
через данную точку и касающихся данной прямой.
518. Найти геометрическое место центров кругов, касающихся
оси ординат и круга х2-[-у2 — 1.
92
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
(519—532
5. Полярные уравнения кривых второго порядка
Б19. Относительно полярной системы координат составить урав-
нение окружности, радиус которой равен а и центр находится:
а) в полюсе, Ь) в точке (а, 0), с) в точке (pn <pi).
520. Относительно полярной системы координат составить урав-
нение эллипса, центр которого совпадает с полюсом и фокальная
ось — с полярной осью.
521. Под каким углом к фокальной оси наклонен тот диаметр
288
16 — 7 cos2cp
эллипса р2
, длина которого равна 10 единицам?
522. Составить уравнение эллипса, приняв его фокальную ось
за полярную ось и поместив полюс:
а) в левом фокусе эллипса;
Ь) в правом фокусе эллипса.
523. Вычислить длину полуосей и расстояние между двумя
фокусами эллипса:
3/2
г 2 — cos ср
524. Составить уравнение гиперболы, центр которой совпадает
с полюсом и действительная ось — с полярной осью.
525. Вычислить угол между асимптотами гиперболы:
526. Составить уравнение гиперболы, приняв ее фокальную ось
за полярную ось и поместив полюс в правом фокусе гиперболы.
527. Составить уравнения асимптот и директрис гиперболы
— 2
Р —' 1 — У 2 cos т
528. Составить уравнение параболы, приняв ее ось за полярную
ось и вершину за полюс.
529. На параболе р = найти
г г sin2 ср
рой равен расстоянию этой же точки от
530. Составить уравнение параболы,
с полюсом и ось которой служит полярной осью.
точку, радиус-вектор кото-
директрисы параболы.
фокус которой совпадает
531. На параболе р = -fjL найти точку
а) с наименьшим радиусом-вектором;
Ь) с радиусом-вектором, равным параметру параболы.
532. Доказать, что произведение перпендикуляров, опущенных
из концов любой фокальной хорды на ось параболы, имеет постоян-
ную величину.
533] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 93
533. Относительно прямоугольной системы координат написагь
простейшие уравнения следующих кривых:
к ____ 25 . __ 9
Р 13—12 cos т ’ С Р 4 — 5 cos ср ’
Ь) р = -77--; d) р = -- 4-----.
3 — 3 cos ср 5 — cos ср
ГЛАВА VI
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Общее уравнение кривой второго порядка. Преобразование
этого уравнения при параллельном перенесении осей координат.
Центр кривой
Общее уравнение кривой второго порядка, т. е. уравнение второй степени
относительно декартовых координат х и у, содержит шесть членов: три члена
второй степени (с квадратами каждой из координат и с их произведением), два
члена первой степени и свободный член. Все коэффициенты этого уравнения
обозначаются буквой а с нижними указателями, зависящими от того, какие
переменные множители входят в состав члена; множителю х соответствует
указатель 1, множителю у— указатель 2, а в членах низших степеней места
недостающих множителей отмечаются указателем 3. Порядок, в котором рас-
положены указатели, не играет роли: а12=а21; «13 = ^31; а23 = а32. Коэффи-
циенты с двумя неодинаковыми указателями имеют еще числовой множитель 2.
Таким образом, общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
flii-*:2 4~ 2д12ху 4~ д22у2-|-2д13х 4~ 2д23у 4"азз=9. (1)
Для определения кривой второго порядка нет надобности знать все шесть
коэффициентов, — достаточно знать пять независимых их отношений. Кривая
второго порядка определяется пятью условиями.
Если, не меняя направления осей координат, перенести начало координат
в любую точку О'(х'; у'), то уравнение кривой (1) преобразуется в следующее:
ДиХ2 4- 2а13ХГ 4- а22 Г2 + 2ЛХ» X 4- 2Fy> Y 4- 2F = 0, (2)
где
2/71 = Оцх'2 4~ 2д12х'у' 4~ Я22У 2 4“ 2а13х' 4~ 2д23у’ 4" дзз, "|
2FX» = 2 (анх'4" ^12^’4~ д1з)> г
2Z7у = 2 (o2iX' 4" а22У' 4“ д2з)> '
т. е. коэффициенты при старших членах не изменяются; коэффициентами при
первых степенях координат будут частные производные от левой части перво-
начального уравнения по соответствующим координатам с заменой текущих
координат координатами нового начала; свободный член представляет всю левую
часть первоначального уравнения, в которой произведена та же замена*
Если кривая (1) обладает центром симметрии и начало координат пере-
несено в этот центр кривой (х0; у0), то преобразованное уравнение не может
содержать членов первой степени и потому примет вид:
4- 2л12ХУ 4- о22Г2 + 2Р> =0. (4)
94
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1534—536
(5)
Так как координаты центра обращают в нуль коэффициенты 2/^ и 2Fyo, то
эти координаты определяются из уравнений:
0ц*о 4~ 012Уо + 018 = 0,
021*0 4” 022У0 4" а23 = 0.
Решив уравнения (5), получим:
<212 01з[
022 <2fi3
___ “12“23 - u22u18__________L
*0 == о । I .
ацаа2 — а 12 «и«н
|012 022|
1^13 0ц]
.. _ 013021---0Ц023 |028 021|
Уо 2 ---- । ।
0Ц022-----<^12 Я11Я12
|021 02г| J
Кривая имеет центр и называется центральной кривой, если система урав-
нений (5) определенная, т. е. b == |^* =£ 0; если уравнения (5) несовместны
(б == 0), кривая не имеет центра в конечной части плоскости, мы называем ее
кривой параболического типа; если, наконец, система (5) неопределенная, кривая
имеет бесчисленное множество центров — целую линию центров, так как любая
точка прямой
0ц* 4“ 012.У 4“ 018 = 0
является центром симметрии кривой.
Вставляя координаты центра в левую часть первоначального уравнения (1)
кривой, мы выразим свободный член преобразованного уравнения (4) через
коэффициенты первоначального уравнения:
2Л =
0Ц012013
021 022 023
081 082 083
|0ц в12|
|021 022|
(6)
А называется дискриминантом кривой, а В называется дискриминантом старших
членов.
Таким образом, уравнение кривой, отнесенной к центру, имеет вид:
а11Х» + 2а1гЛ'У+амУ!+у = 0. (7)
534. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей
через следующие пять точек: (0; 0), (0; —2), (—1; 0), (—2;1)>
(-1; 4-3).
535. Какую кривую второго порядка можно провести через точки:
(0; 0), (0; + 3), (+ 6; 0), (+ 2; + 2) и (- 2; + 1)?
536. Даны четыре точки; (0; 4“ 15), (-|- 3; 0), (-|- 5; 0) и (-|- 2; -|-3).
Провести через них кривую параболического типа.
Указание. Параболическая кривая определяется четырьмя условиями,
потому что между ее коэффициентами должно существовать соотношение
0ц022 — 012 = 9 и, следовательно, уравнение параболической кривой содержит
только четыре независимых параметра.
537—544] общая теория кривых второго порядка 95
537. Какой вид примет уравнение кривой х2 — 4ху 3_у2 — 2х
+ 1=0, если перенести начало координат в точку О1 (-]— 1; 0)?
538. Дана кривая ху— 6х 4“ + + 3 = 0. Найти преобразованное
уравнение этой кривой после переноса начала координат в точку
(-2;+ 6).
539. Найти преобразованное уравнение кривой х24“6х— 8у-р
4-1 = 0, если начало координат будет перенесено в точку (—3; —1).
540. Найти центры следующих кривых:
1) хг—2ху-^-2у*— 4х— бу 4-3=0;
2) Зх2 — 2ху 4* Ъу* 4" Ц- 4у — 4 =0;
3) 2х9 — Зху — _у2 4~ Зх 4" 2.У = 0;
4) х2 — 2ху 4*Уа — 4х — 6_у 4“ 3 = 0;
5) х9 4- 2ху 4~ У* 4- 2х 4- 2j/ — 4 = 0;
6) 2х9 — 4ху 4~ бу9 — 8х 4~ 6 = 0;
7) х9 — 2ху — Зу2 — 4х — 6у4-3 = 0;
8) х2 4- бху 4- 9у2 4- 4х 4- 12у — 5 = 0;
9) 9х9 —6ху4-у94-2х —7 = 0;
10) х9 —4ху-f-4y94-10х —20у4-25=0.
541. При каких значениях параметров а и Ь уравнение
X9 4~ бху 4" ау* 4- Зх 4- #у — 4=о
изображает:
а) центральную кривую;
Ь) кривую параболического типа;
с) кривую с линией центров.
542. Найти центры кривых:
а) 5х9 — Зху 4*у’ 4-4 = 0;
Ь) Зх9 — 2ху4-4 = 0;
с) 7ху — 3 = 0;
d) 9х2—12ху4-4у9—1 = 0;
е) апх9 4- 2а19ху 4- а22у2 4~ а33 = 0.
543. Какой вид примет уравнение кривой
2х9 — бху 4-5у2 — 2х 4-2у — 10 = 0,
если перенести начало координат в ее центр?
544. Пользуясь перенесением начала координат, упростить урав-
нения следующих кривых:
а) 7х2 4~ 4ху 4~ 4у9 — 40х — 32у 4" 5 = 0;
Ь) х9 — 2ху 4- 2х 4- 2у 4- 1 = 0;
с) 6х9 — 4ху 9у9 — 4х — 32у — 6 = 0.
96
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1545—548
545. Составить общее уравнение всех кривых второго порядка,
имеющих один и тот же центр (х0; j/0).
546. Кривая второго порядка проходит через начало координат,
через точки А (0; Ц-1) и В(4~1; 0). Кроме того, известен ее центр
С4-3). Составить уравнение этой кривой.
547. Найти геометрическое место центров кривых
х2 4- 2ху —У — <2 ах 4ау 4“ 1 = °,
где а — переменный параметр.
548. Найти геометрическое место центров всех центральных кри-
вых второго порядка, проходящих через четыре точки: (0; 0), (4~2; 0),
(0; +1) и (+1; +2).
2. Условие распадения кривой второго порядка на пару прямых.
Исследование общего уравнения второй степени
Если левая часть уравнения кривой второго порядка
0Ц%2 4" 2^12 xy G2s№ 4“ 2(213% 4“ 2(2ззУ 4“ 088 — 6
(О
может быть разложена на два линейных множителя:
0Ц*8 4“ 2в12Ху 4“ (222у2 4" 2(213% -|- 2(22зУ (2зз =
— G4i* + &1У + Ci) • (А2х -]- &гУ + С2\
то соответствующая кривая состоит из двух прямых, уравнения которых мы
получим, приравнивая нулю отдельно каждый из линейных множителей. Мы
говорим, что кривая второго порядка распалась на пару прямых.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение (1) представ-
ляло пару прямых, заключается в равенстве нулю дискриминанта кривой,
т. е.
(2ц (212 Я13
А = (221 022 023 == 9.
031 032 033
(8)
Если это условие выполнено, то координаты точки пересечения соответ-
ствующих двух прямых определяются из уравнений:
0ц%+ 012У 4-013 — 9, 1
021* 4 022У 4 ^23 = 9 f
а угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют уравнению:
022^2 4“ 2012^ 4“ 011 == 9.
(9)
(19)
Исследование уравнений (9) и (19) показывает, что среди центральных кри-
вых (&т^9) существуют распавшиеся кривые, состоящие из двух различных
пересекающихся прямых (kt ~4=. k2); при этом не исключена возможность, что
Ь > 0, и угловые коэффициенты прямых оказываются тогда мнимыми; в этом
случае прямые называются мнимыми, но они имеют общую вещественную точку,—
вся кривая стянулась в одну точку.
1) Уравнения (9) равносильны уравнениям (5), определяющим центр кривой;
если кривая распадается на пару пересекающихся прямых, то точка их пере-
сечения является центром кривой.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 97
При выполнении условий А=0 и 6 = 9 кривая распадается на две парал-
лельные прямые (&i = k2) и имеет линию центров (система уравнений (9) ста-
новится неопределенной).
Наконец, возможно, что те параллельные прямые, на которые распалась
кривая, сольются; тогда не только 6 = 0, но и все остальные миноры второго
порядка х) дискриминанта А обращаются в нуль.
Для установления типа нераспадающейся кривой пользуемся изменением
направления осей координат: всегда возможно найти такую прямоугольную
систему координат, чтобы преобразованное уравнение кривой не содержало
члена с произведением координат, т. е. всегда можно подобрать такой угол а
между новой и старой осями абсцисс, чтобы после преобразования координат по
формулам
____ х' sin (со — а) — у1 cos (<о — а)
х ’
__ X' sin а -]-у cos а
У sin <о
новый коэффициент я12 обратился бы в нуль.
Уравнение кривой, отнесенной к центру, примет вид:
«1№+^2уа +4-=°- <н>
Если 6 > 0, уравнение (11) изображает эллипс (действительный или мнимый);
если о < 0 — гиперболу.
Для кривой параболического типа (fl'nflj2 — = 0) одновременно с а\2
обращается в нуль один из коэффициентов а'п и a22i т. е. преобразованное
уравнение будет содержать лишь один член второй степени:
“F 2л18х' -|- Лзз = 9 (12)
или
а2гУ2 “Ь 2л13х' -|“ 2л23.у' “Ь Лзз = 9; (12)
оба эти уравнения изображают параболы, у которых ось симметрии параллельна
одной из осей координат.
Таким образом, при исследовании общего уравнения кривой второго по-
рядка можно пользоваться следующей таблицей:
А угО А =0
8>0 Эллипс (действитель- ный или мнимый) Мнимые прямые, пересекающие- ся в вещественной точке
6=0 Парабола Параллельные прямые (действи- тельные, мнимые или слившиеся)
6<9 Гипербола Действительные пересекающиеся прямые
9 Минорами второго порядка называются те определители второго по-
рядка, которые получаются из А вычеркиванием одного из столбцов и одной
из строк; например, 5 получается вычеркиванием последней строки и послед-
него столбца.
4 О. Н. Цубербиллер
98
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [549—551
549. Исследовать, какие кривые даны следующими уравнениями:
а) х4 — 2ху-[-2у3 — 4х — 6у>-|-3 = 0;
Ь) х9 — 2ху — 2уъ — 4х — бу -j- 3 = 0;
с) х4 — 2ху -руъ — 4х — бу 4- 3 = 0;
d) х9 — 2х_у4*Яу9 — 4х — 6_у4-29 = 0;
е) х9 — 2ху — 2 у4 — 4х — бу----4 = 0.
О
Решение. Возьмем уравнение а); коэффициенты в нем имеют следующие
значения: аи == 1; 012 =—1; 028 = 2; 0t8 = — 2; 028 =— 3; а88 = 3. Составим
из них дискриминант кривой Д, дискриминант старших членов & и вычислим
оба этих определителя:
011 012 013 1 — 1 —2
д = 021 022 023 == — 1 2 —3 СО см 1 II оэ 1 сэ 1 оо 1 со 1 со 1 со II
081 082 038 — 2 —3 3
& = И1 1 012 ] 1 4 = 2—1 = 1.
|аа 1 022 — 1 2 |
Итак, Д т^О и В > 0; следовательно, мы имеем эллипс.
550. Определить вид следующих кривых:
1) х9 4~ ^ху +.У2 + 6х %У — 1=0;
2) Зх9 —2ху4-3у94-4х4~4.у —4 = 0;
3) х9 — 4ху -j- 3j/9 %х— 2у = 0\
4) _у94“5ху — 14х9 = 0;
5) х9 — ху—у2— х—у — 0;
6) х9 4~У2 — 4х — бу = 0;
7) Ух+уу=уу
8) х3 — 4ху 4* 4_у9 4~ 2х — 2у — 1 = 0;
9) 2j/9+ 8x4-12у —3 = 0;
10) 9х4 — бху + _у4 — 6х + 2у = 0;
11) 4х9 — 4ху +.у4 + 4х — 2_у + 1 = 0.
551. Пользуясь разложением левой части уравнения на множители,
выяснить геометрический смысл уравнений:
а) ху — Ьх — ay-\-ab = 0;
Ь) х4 — 2ху + 5х = 0;
с) х9 — 4ху -j- 4_у9 = 0;
d) 9х4 + 30х_у + 25/ = 0;
е) 4х9 — 12ху + 9у9 — 25 = 0.
552—554J ОБЩАЯ ТЕОРИЯ кривых второго порядка
99
552. Проверить, что уравнение у2 — ху — 5х 4~ + 10 = 0
представляет пару прямых, и найти уравнение каждой из этих
прямых.
Решение. Способ 1.
вычисляем их величину:
Прежде всего составляем оба дискриминанта и
°"2 2
1 7
1
2 2
5 7
“Т “2 10
j_
8
0 1 5
1 2 7
5 7 20
== 4 (35 + 35 — 50 — 20) = 0;
О
г = —
Таким образом, уравнение определяет две действительные пересекающиеся
прямые. Найдем точку их пересечения из уравнений (9), которые в нашем
случае после умножения на 2 примут вид:
— у—5 = 0; | у =— 5,
—х + 2у + 7 = 0; J х = —3.
Угловые коэффициенты прямых вычисляются из уравнения (10), которое в
данном случае имеет вид: Zta — Zt = O, откуда ki = 0 и Л2=1. Искомые пря-
мые проходят через точку (—3: —5) и имеют угловые коэффициенты, соот-
ветственно равные 0 и 1; следовательно, их уравнения будут:
у + 5 = 0 и у = х — 2.
Способ 2. Убедившись, что данное уравнение изображает пару прямых,
решаем его относительно ординаты:
у2 — (х — 1)у — 5х + 10 = 0;
2 “ V 4
Отсюда у = х — 2 и у = — 5. Это и будут уравнения искомых прямых. Вто-
рой способ примыкает к непосредственному разложению левой части уравне-
ния на множители.
553. Найти уравнение каждой из двух прямых, совокупность кото-
рых дана уравнением:
а) 21ха4-*У—10у2=0;
Ъ) х2 -j- 2ху У* 4“ 4“ — 4 = 0;
с) у2 — 4ху — 5х2 + 5х — у = 0;
d) 4х2 — 4ху 4~_У2 4“ 1— 6_у 4~ 9 = 0.
554. Доказать, что всякое однородное уравнение второй степени,
т. е. уравнение вида ацХ24~ 2а12ху/4“ а22Уа = 0, изображает пару
прямых, проходящих через начало координат.
4
100 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [555—562
555. Исследовать кривые:
а) 2x24~3xj/ —5_у2 = 0;
Ь) х2 4ху 4~ 4у2 = 0;
с) 10х2 —7х_у4~_у2 = 0;
d) 5х2 — 4ху _у2 = 0.
556. При каком значении параметра а уравнение х2 2ау2 —
— х4~_У = 0 представляет:
а) кривую параболического типа;
Ь) распавшуюся кривую?
557. При каком значении параметра а уравнение x2-j-2axy-^
4-.У3 * * * * * 9—5х— 7j/-j-6 = 0 представляет пару прямых и при каком
значении — кривую параболического типа?
558. Какой вид имеет уравнение распавшейся кривой, если от-
нести ее к центру?
558*. Какое постоянное число надо прибавить к левой части урав-
нения 2х2-{-5ху— 3_у24~ 3x4- 16у — 0, чтобы новое уравнение
представляло совокупность двух прямых?
559. При каких значениях параметров а и b уравнение
х2 4“ 4ху аУ* — Зх 4- Ыу = 0
представляет пару параллельных прямых?
560. Какие кривые определяются уравнением
х2 — 2ху 4- Ху2 — 4х — &у 4- 3 = 0
при различных значениях параметра X?
561. Какой вид имеют кривые, определяемые уравнением
2х2 4- 5ху — 3j/2 — Зх 4- Ху — 2 = 0,
при различных значениях параметра X?
562. Написать уравнение линии второго порядка, проходящей
через точки (0; 0), (0; 4-3), (4~6; 0), (4-2; 4~2) и (4“4; 4“О*
3. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
Уравнение касательной
Координаты точек пересечения кривой второго порядка
flu*2 4“ 4“ Л22.У2 4“ 2Л1зХ 4~ 2дззу 4“ ^зз = 0 (1)
С прямой
Ах 4- By 4- 6=0 (*)
определяют, решая совместно уравнения (1) и (*).
Эта система уравнений должна, вообще говоря, иметь две пары решений,
а потому кривая второго порядка пересекается с прямой в двух точках (дей-
ствительных, мнимых или слившихся). В частности, если эти две точки слива-
ются, прямая называется касательной к кривой в данной точке.
563—567) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 101
Касательная к кривой (1) в точке (х\ у') имеет уравнение:
(flux' + Л12 у' 4“ #1з) х -|- + ^зз) У 4"
4- (лз1Лл 4“ И- азз) = о. (13)
Если данная прямая
Ах 4- By + С = 0
касается кривой (1), то координаты точки прикосновения определяются из
условия пропорциональности коэффициентов уравнения этой прямой и урав-
нения касательной (13):
а11Х' 4- Л12 У* 4* 4^ а22 4" а23 _, ^31ХГ 4" fl32 У' 4" а33 /1ЛХ
А ~ В ~ С { >
Особым случаем пересечения кривой (1) с прямой (*) является тот, когда
при исключении одной из координат из их уравнений мы получим для опреде-
ления другой координаты уравнение не второй, а первой степени (коэффициент
при квадрат,е определяемой координаты обращается в нуль). В этом случае на
конечной части плоскости существует только одна общая точка у кривой (1)
и прямой (*). Мы будем говорить, что они пересекаются лишь в одной
точке. Угловые коэффициенты этих прямых определяются из уравнения
4" “J~ #22&2 == 6.
Если уравнения (1) и (*) несовместны, т. е. не имеют общих конечных реше-
ний, мы говорим, что кривая (1) не имеет ни одной общей точки с прямой (*).
В этом случае при исключении одной из координат из уравнений (1) и (*) в
нуль обращается не только коэффициент при квадрате, но и при первой сте-
пени определяемой координаты.
563. Найти точки пересечения кривой
+ + — 1х — 12у+ 10 = 0
с осями координат.
564. Исследовать, как расположены относительно осей координат
следующие кривые:
а) х14- 4ху — 4х —у 4-4 = 0;
Ь) х* — 4х — у 4-3 = 0;
с) х24-6ху/4-9у2— 18у = 0.
565. Вычислить длину хорды, отсекаемой кривой
2х2 — 4ху 4- 5>2 — 8х + 6 = 0
на оси абсцисс.
566. При каком значении параметра X кривая
2х2 — Зху 4~>2 — 7х 4~ 4~ 4 = 0
отсекает на оси ординат хорду длиной в 3 единицы и при каком
значении X соответствующая кривая касается оси ординат?
567. Найти точки пересечения кривой
х* — 2ху — 3_у2 — 4х — бу 4- 3 = 0
с прямыми:
а) 5х —у — 5 = 0; Ь) х 4- Ъу 4" 2 = Ф
с) х 4- 4у — 1=0; d) х — 3_у = 0.
102 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 1568—579
568. В точках пересечения кривой х2 — 2_у2 — 5х 4~ 4у 4" 6 = 0
с осями координат провести касательные к этой кривой.
669. Написать уравнения касательных к кривой
Зх2 + 2ху Ц- 2j? Ц- Зх — 4у == 0
в ее точках, абсциссы которых равны — 2.
670. Зная уравнение касательной к кривой, данной общим урав-
нением, вывести уравнения касательных к кривым, заданным простей-
шими уравнениями;
х8 J у8 . х8 у8 i о п
+ — ^г = 1; У* = 2/>х; ху = т.
571. Через начало координат провести касательные к кривой
Зх2 4- 7*v 4" +5у +1 = о*
672. Через точку (4-3; 4“ 4) провести касательные к кривой
2х2 — 4ху/4-У — 2x4-бу — 3 = 0.
673. Через точку (—2; 4" 1) провести касательные к кривым
а) Зх9 4" 2х_у 4~ 2у* 4" Зх — 4у = 0;
Ь) 2х9 —ху—у*—15х —Зу4-18 = 0
и выяснить, почему в каждом из этих случаев мы можем провести
только по одной касательной.
574. Среди прямых, касающихся кривой
х2 4“ ху 4-У 4"Зу — з = о,
найти те, которые параллельны оси абсцисс.
576. К данной кривой х*-\-ху 4"У*Н“ %х 4" З.У— 3 = 0 провести
касательные, параллельные прямой Зх 4~ 3_у — 5 = 0, и определить
точки прикосновения этих касательных.
576. Написать уравнение параболы, касающейся оси х в точке
(4-3; 0) и оси у в точке (0; 4~5).
577. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей
через начало координат и касающейся прямой 4х 4~ Зу/ 4- 2 = 0 в
точке (4-1; —2) и прямой х—у—1=0 в точке (0; —1).
578. Написать уравнения прямых, проходящих через начало коор-
динат и встречающих кривую
6х2 — ху —у2 4- 5х — Зу 4" 2 = 0
лишь в одной точке.
679. Через точку (4-2; 0) проведены две прямые, имеющие лишь
по одной общей точке с кривой
Зх2 — 7ху 4- 2у2 4- 6х — 4 у — 5 = 0.
580—586*1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
103
Составить уравнения этих прямых и вычислить угол между ними,
если система координат прямоугольная.
580. Какой угол образуют с осью абсцисс прямые, встречающие
кривую
х2 — 2ху — 4х — бу 3 = 0
лишь в одной точке?
Координатный угол (п = у.
681. При каком значении параметра X кривая
х2 4" ^ХУ —У2 + 5х — 9 = 0
пересекает прямую 2х—j/4^7 = 0 только в одной точке?
682. Какой вид имеет общее уравнение кривой второго порядка,
если ее пересекают лишь в одной точке:
а) прямые, параллельные оси х;
Ь) прямые, параллельные оси у\
с) прямые, параллельные одной из осей координат?
583. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты общего
уравнения кривой второго порядка, если она не имеет ни одной
общей точки:
а) с осью х,
Ь) с осью у,
с) с осями х и у?
684. Кривая второго порядка проходит через точки (0; 0),
(0; (4-2; 4-4) и пересекает лишь в одной точке каждую из
прямых:
Зх—2j/4“l=0 и 2x4-.У — 5 = 0.
Найти уравнение этой кривой.
585. Кривая пересекает каждую из осей координат только в
начале координат. Кроме того, известны две ее точки:
(4-2; -1) и (-2; 4-2).
Составить уравнение этой кривой.
586. Кривая второго порядка имеет центр в точке (0; —1), про-
ходит через точку (4~3; 0) и встречает каждую из прямых
2х — Зу 4~ 1 = 0 и х 4~_у — 5 = 0
лишь в одной точке. Найти уравнение этой кривой.
586*. Найти геометрическое место центров всех кривых второго
порядка, касающихся оси абсцисс в точке (4~2; 0) и оси ординат в
точке (0; 4~0*
104
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
4. Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой,
отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой,
отнесенной к асимптотам
Если в кривой второго порядка провести все хорды одного и того же
направления, то геометрическое место середин этих хорд представит некоторую
прямую, которую называют диаметром, сопряженным данным хордам.
Уравнение диаметра:
(йцХ 4" fli2 У 4" flie) 4“ (tf2i* 4“ ^22 У 4“ ааз) = 0, (15)
или
^4-^ = 0, (15')
где k есть угловой коэффициент сопряженных хорд. Меняя k, т. е. меняя
направление хорд, получим бесчисленное множество диаметров; все они прохо-
дят через центр кривой. У параболы все диаметры параллельны между собой.
Направление хорд и направление сопряженного им диаметра называются
сопряженными направлениями относительно данной кривой. Зависимость между
двумя сопряженными направлениями следующая:
Лц 4“ ^12 (^ 4~ *4“ ^22^^Г 0» (16)
Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра,
из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому. У параболы
сопряженных диаметров нет, так как все диаметры имеют одно и то же направ-
ление.
Главными осями кривой называются диаметры, перпендикулярные к
сопряженным хордам; их направления называются главными направ-
лениями.
В случае прямоугольной системы координат главные направления опреде-
ляются из уравнения:
д12^2 4“ (ди— k — Д12=0, (17)
или
(18)
Ди — а22
где <р — угол между одним из главных направлений и направлением оси х.
В случае косоугольной системы координат имеем:
(Я12-^22 COS СО) № 4" (^11 - ^22) k- (Я12 — flu cos со) = 0. (17')
Всякая кривая второго порядка имеет два главных направления, за исклю-
чением окружности, для которой главные направления неопределенные.
Угловой коэффициент определяется для всех диаметров параболы по
формуле:
или
(19')
если для старших коэффициентов параболы введены обозначения:
аи = а2, а12 = а₽ и а22 = £2.
587] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 105
Главная ось параболы как один из ее диаметров имеет это же направление
и в случае прямоугольных координат она изображается уравнением
Fx + |f> = 0. (20)
Второе главное направление параболы перпендикулярно к ее диаметрам,
но второй главной оси у параболы нет.
Если отнести кривую к двум сопряженным направлениям, т. е. выбрать за
оси координат прямые, имеющие сопряженные направления относительно этой
кривой, то в уравнение кривой не войдет член с произведением координат
(а12 = 0). У параболы, кроме того, исчезнет еще один из старших членов
(0ц = 0 или 022 = 0).
Если центральную кривую отнести к двум сопряженным диаметрам (или
к главным осям), то уравнение ее примет вид:
<*,+os+4=°- (21)
Простейшее уравнение параболы мы получим, поместив начало координат
в вершину, т. е. в точку пересечения параболы с главной осью (я'з =0), выбрав
главную ось за ось абсцисс (0$ =0, 0'о =0 и 0^ = 0) и касательную в вер-
шине (она перпендикулярна к оси) за ось ординат:
<2^ + Кх=0- (22)
При таком же выборе осей координат центральная кривая изобразится
уравнением
а' х2 + а' У2 + 2л' х = 0. (23)
11 1 221 13 v '
Асимптоты кривой можно рассматривать как те ее диаметры, которые сами
себе сопряжены. Угловые коэффициенты асимптот определяются из уравнения
011 “4- 2012£ ^22^2 == (24)
Асимптоты могут быть только у центральных кривых: гипербола имеет
две действительные асимптоты, эллипс — две мнимые; в случае пересекаю-
щихся прямых асимптоты совпадают с этими прямыми.
Если принять асимптоты гиперболы за оси координат, то уравнение этой
гиперболы примет вид:
20;2ху + 0;з==О. (25)
587. Найти два сопряженных диаметра кривой
х2 — 2ху 4" ЯУ2 — 4х — 4~ 3 = 0,
из которых один проходит через начало координат.
Решение. Данная кривая центральная, потому что о^О. Уравнение
всякого ее диаметра будет
(х — у — 2) k (— х 2у — 3) = 0,
где k — угловой коэффициент сопряженного диаметра. Так как искомый
диаметр проходит через начало координат, то свободный член его уравне-
ния должен равняться нулю, т. е. —2 — 3k = 0, откуда k =—2/3. Вставив
это значение параметра в общее уравнение диаметра и преобразовав его,
106
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1588—594
получим: 5х— 7у = 0. Это — уравнение одного из искомых диаметров; его
угловой коэффициент k' = 5/7; следовательно, уравнение сопряженного ему
диаметра будет:
(х-у-2) + */7 (—^ Ц-2у — 3) = 0,
или
2х + Зу — 29 = 0.
588. Через точку (-J-1; —2) проведен диаметр кривой
Зх2 — 2ху4~3у2 4-4x4- 4у — 4 = 0.
Найти уравнение этого диаметра и диаметра, ему сопряженного.
589. Дана кривая
2х24-5ху —3j/24-3x4- 16_у = 0.
Найти ее диаметр, параллельный оси абсцисс, и диаметр, ему сопря-
женный.
590. Найти два сопряженных диаметра кривой
ху —у2 — 2х 4- Зу — 1=0,
из которых один параллелен оси ординат.
591. Дана кривая
Зх2 4- 2ху 4- 2у2 4- Зх — 4у = 0
и один из ее диаметров
х 4- 2д/ — 2 = 0.
Найти диаметр, ему сопряженный.
592. Составить уравнение диаметра кривой
2х2 4~ 4х_у 4- 5_у2 — 8х 4- 6 = 0,
параллельного прямой
2х—_у 4~б = 0.
593. Определить диаметр кривой
6х2 — ху — 2у* 4~ 4у = 0,
образующий угол в 45° с осью абсцисс. Угол о) = -* .
594. Дана кривая:
Зх2 4- 1ху 4- 5_у2 4~ 4х 4" 5у 4“ 1 = 0.
Найти геометрическое место середин ее хорд;
а) параллельных оси х;
Ь) параллельных оси у;
с) параллельных прямой х 4~У + 1 = 0.
595—603] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 107
595. Найти диаметр кривой
5х® — Ъху 4-У — Зх — 5 = 0,
проходящий через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой
х — 2у — 1=0.
596. Найти середину хорды, отсекаемой кривой
2х24-4ху4-3/ — Зх — Зу = О
на прямой
+ —12 = 0.
597. Найти такие сопряженные диаметры кривой
Зх® — бху 4- 5>® — 4х — бу 4- 10 = 0,
которые образуют между собой угол в 45°. Угол (о = у.
598. Найти зависимость между угловыми коэффициентами прямых,
имеющих сопряженные направления относительно:
а) эллипса ^ + ^=1;
Ь) гиперболы -^-=1.
V8
599. Через точку (4-1; —3) провести хорду эллипса -уу4“72 =
= 1, сопряженную диаметру 2х 4~ 5у = 0.
600. Найти направления и длину двух сопряженных диамет-
Xя | у8 .
ров эллипса -g- 4- = 1, из которых один проходит через точку
(4"2; 4~3)-
601. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса
X8 Vя
+ ”2 = 1> из которых один образует угол в 30° с большой
осью.
X8
602. Определить длину тех сопряженных диаметров эллипса 4*
4~^-=1, которые образуют между собою угол у.
Указание. В этой задаче удобно воспользоваться теоремами Аполлония:
ая + = я'2 + Ъ'я и ab = a'^'sin где а и b — полуоси эллипса; а' и —
сопряженные полудиаметры его; ср — угол между этими сопряженными диамет-
рами.
603. Даны размеры двух сопряженных диаметров эллипса 2d = 18
и 2d = 14 и угол между ними ср = arc sin Вычислить длину его осей.
108
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
{604-613
604. Определить угол между двумя сопряженными диаметрами
v2
гиперболы ----у=1, зная, что действительный из этих диаметров
втрое больше действительной оси.
605. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы
х2 у2 . к
-g- — у=1, Угол междУ которыми равняется^-.
606. Дана парабола: х2— бхуЦ-Оу2—12х-|-14у — 7 = 0. Напи-
сать уравнение диаметра этой параболы:
а) проходящего через начало координат; 1
Ь) сопряженного хордам, параллельным оси х;
с) сопряженного хордам, параллельным оси у; п
л I гс a) = v
а) образующего угол zty с сопряженными | 2
хордами; |
е) перпендикулярного к сопряженным хордам. J
607. Найти диаметр параболы у2 — 2рх, сопряженный тем хордам,
которые наклонены под углом в 45° к оси параболы.
608. Написать уравнение диаметра параболы х2 = 6у, сопряжен-
ного с прямой 4х—у— 5 = 0.
609. Найти главные оси кривых:
а) Зх2 Ц- 2ху -|- 3_у2 -|- 6х — 2у— 5 = 0; I
Ь) 5х2 -|- 24х_у — 2_у2 -|- 4х — 1=0; | о) = у.
с) х2 — Зху -|-j/2 -|- 1 = 0. j
610. Каковы будут главные оси распавшейся центральной кривой?
611. Найти ось параболы х2— 2хуу2х— 2у-|“3 = 0.
Решение. Все диаметры данной параболы имеют угловой коэффициент
£ = 1 [см. (19')]. Ось параболы есть диаметр, сопряженный перпендикулярным
хордам, т. е. хордам с угловым коэффициентом k1 = — 1 (система координат
предполагается прямоугольной). Уравнение всякого диаметра этой параболы
будет 2х — 2у + 1 + k(— 2х + 2у — 2) = 0; при k = — 1 мы получим уравне-
ние оси: 4х — 4у 3 = 0.
612. Найти ось симметрии и вершину каждой из следующих пара-
бол:
а) х2 Ц- 4ху Ц- 4у2 — 6х — 2_у 1 = 0;
Ь) 9х2 — 12ху Ц-4_у2 — 8х = 0;
с) ЗУ24-2х —6_у-4-5 = 0.
Указание. Вершина параболы находится как точка пересечения пара-
болы с ее осью.
613. Найти общий диаметр двух кривых:
х2 — ху—у2 — х—у = 0 и х2-±- 2ху -j-y2— x-4-j/ = 0.
614—6181
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
109
614. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей
через начало координат, если известны две пары сопряженных ее диамет-
ров:
х — Зу— 2 = 0, ] 5у 4-3 = 0, 1
г И Z
5х — 5у — 4 = 0 J 2х — у~ 1=0. J
Решение. Угловые коэффициенты сопряженных диаметров удовлетворяют
уравнению: (4+ Л2) + a22kik2 = 0. Угловые коэффициенты данных
диаметров: kr = х/з и Л2 = 1, fcJ=0, = 2; вставляя эти значения в указан-
ное уравнение, получим:
Зап + 4^12 + а22 = 0, 1 — о . _ i . о
Л । Л I ^11 • Z • 1 • -
Лц ^12 — о» J
Координаты центра искомой кривой мы можем определить, решая совместно
уравнения двух диаметров: х0 = -у, У о = —g-. Эти координаты должны удов-
летворять уравнениям: FXq = 0 и Fy = 0, которые в данном случае перепи-
шутся так: 2х0 —у0 + «1з = 0 и — х0 — 2у0 + Дзз = 0; вставим вместо х0 и у0
вычисленные их значения и тогда получим: = —1 ио23=—1. Кроме того,
кривая проходит через начало координат; значит, а33=0, и уравнение кривой
будет:
2х2 — 2ху — 2у2 —2х — 2у — 0, или х2 — ху —у2 — х —у = 0.
615. Две пары прямых:
2х — Зу = 0,
х -|- 2у = 0
х— у = 0,
Зх — 5у = 0
и
служат сопряженными диаметрами кривой второго порядка. Составить
уравнение этой кривой, зная, что она проходит через точку (4~1; 4" О*
616. Выяснить особенности в выборе осей координат, если кривые
даны следующими уравнениями:
а) Зх24-2ху4-у2 —7 = 0; d) х2 —2у24~3 = 0;
b) 5х2-|-Зу24-х—2 = 0; е) Зх2 — 4у2-|-2_уЦ-5 = 0;
с) x2-4-3y24-4x — 5у=0; f) 8х2 — Зу2 4~ 2х —5у 4-1 = 0.
617. Относительно некоторой прямоугольной системы координат
кривая дана уравнением: 2х2—12ху— 7у24~ 8х4"6у = 0. Преобра-
зовать это уравнение, приняв за оси координат главные оси кривой.
618. Отнести к главным осям кривые, данные относительно пря-
моугольной системы координат уравнениями:
а) 9х2 — 4ху 4" 4" 6х — 8у 4~ 2 = 0;
Ь) 32х2 4- бОху 4- 7у2 — 16х — 2у 4- 1 = 0;
с) 2ху 4 Зх —у — 2 = 0;
d> 5х2 4- 4ху 4- 8у2 — 32х — 56у 4- 80 = 0;
е) 5х24~ 12ху — 22х—12у — 19 = 0.
ПО АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА плоскости [619—628
619. Уравнение кривой, отнесенной к двум сопряженным диамет-
рам, составляющим угол у, имеет вид: х2-$-у* = 4. Найти уравнение
той же кривой относительно ее главных осей.
620. Отнести к главным осям кривые:
а) Зх2 —4ху4~4у2 —2х —4_у4~2 = 0; о) = 120°.
Ь) х2 ху у* — 2х — 4у — 12 = 0; w = 60°.
621. Выяснить особенности в выборе осей координат, если пара-
болы даны следующими уравнениями:
а) х2 —2ху+У4-2х —6у = 0; d) х2 —5_у = 0;
Ь) 2х2-|-6х— у— 1 = 0; е) 4у2 —2х —3 = 0.
с) Зх2 —4у4-5 = 0;
622. Привести к простейшему виду уравнение параболы
9x3 + 24xj/ + 16>9 — 40x4-30^ = 0; <o = -J.
623. Привести к простейшему виду уравнения следующих пара-
бол:
а) х24~ 2х_у 4“_У2— 8х4~ 4 = 0; <о = 9О°;
Ь) х24*2х_у— 6x4-2у — 3 = 0; о> = 60°.
с) х2 4~У = 0; <о=120°.
624. Отнести к вершине следующие центральные кривые:
2ху4~3х— у — 2 = 0; х24~2У— 16 = 0 и ^- — ^ = 1.
Во всех трех случаях о) = 90°.
625. Найти асимптоты следующих гипербол:
a) Зх2 4-2ху — j/24-8x4- 10у-|- 14 = 0;
Ь) Зх24- Юху 4-7j/24-4x4-2j/4- 1 = 0;
с) Юху — 2j/24-6x4-4y —21=0;
d) 2х2 —3xj/ —х4-3_у 4-4 = 0.
626. Доказать, что все кривые, уравнения которых отличаются
друг от друга только свободными членами, имеют общие асимптоты.
Найти, например, асимптоты кривых
2х2 4- Зху —2_у2 4- Зх 4- 1 \у 4- X = 0
при различных значениях параметра X.
627. Доказать, что если две кривые имеют общие асимптоты, то
все члены их уравнений, кроме свободных членов, имеют пропорцио-
нальные коэффициенты.
628. Составить общее уравнение для всех кривых, имеющих пря-
мые Ах By С=0 и Л1х4-^1-у4-С1 = 0 своими асимптотами.
629—636]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ш
629. Кривая второго порядка проходит через точку (4~ 1; — 1) и
имеет своими асимптотами две прямые: 2х 3_у — 5 = 0 и 5х 4~
4“ 3_у — 8 = 0. Составить уравнение этой кривой.
630. Составить уравнение кривой, касающейся прямой
4х 4" 5 = 0
и имеющей прямые х—1=0 и 2х——|— 1 = 0 своими асимптотами.
630*. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты об-
щего уравнения гиперболы, если гипербола равносторонняя?
631. Какой вид имеет уравнение гиперболы, если одна из осей
координат или обе оси параллельны асимптотам?
632. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точки
(4-2; 4-1), (-1; -2) и (7а; —74), при условии, что одна из ее
асимптот совпадает с осью абсцисс.
633. Уравнение гиперболы, отнесенной к главным осям, имеет
х^ v8
вид: — ^-=1. Преобразовать это уравнение, приняв асимптоты
гиперболы за новые оси координат.
634. Отнести гиперболу 2ху — 6х -ф- 4у — 1=0 к ее асимп-
тотам.
635: Как преобразуется уравнение гиперболы
2х* — 12ху — 7/ 4- 8х + бу = 0,
если за оси координат принять ее асимптоты? Угол <о=90°.
636., Сколько членов второй степени и какие именно могут войти
в уравнение: а) эллипса; Ь) гиперболы; с) параболы?
5. Преобразование уравнения кривой второго порядка
с помощью инвариантов
Если одна и та же кривая второго порядка, отнесенная к двум различным
произвольно выбранным системам координат с координатными углами со и со',
изображается уравнениями:
Ди-^8 4" 2дцху 4“ Д22У8 4“ 2ацХ 4" 2л28У 4“ Дее = 0 (1)
и
д'и*8 4- 2а'12ху 4- а;2уа 4- 4- 2а;зу 4- a'i3 = 0, (Г)
то имеют место следующие равенства:
Ди 4~ д22 --- 2^12 COS со __ Си 4“ #82 --- 2fl'ia COS со*
sin8 со sin8 со'
ДцД22 Д?2 ДИ fl22 fl12 (27)
sin8 со sin8 со’ >
ДИ Д12 Д18 Дц а1а д18
Д21 Д22 Д28 Д21 а22 Д23
Дв1 Дв2 Д88 Д31 Д32 ^88 (28)
sin8 СО sin8 со' >
112
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1637—638
т. е. существуют выражения, составленные из коэффициентов уравнения кри-
вой и соответствующего координатного угла, которые не меняют своей величины
ни при каком преобразовании декартовых координат. Такие выражения назы-
ваются инвариантами кривой второго порядка. Мы можем пользоваться
тремя вышеприведенными инвариантами;
. __ вц -|- ^22---2^12 COS (о
1 “ sin2 со
*2 ~—о— >
Sin2<o’
Sin2 (О
(26')
(27')
(28')
для упрощения уравнений кривой второго порядка, если только уравнение
кривой после преобразования содержит не более трех коэффициентов.
637. Пользуясь инвариантами, отнести к главным осям кривую
40х2 + 8вху + 25_у2 — 8х — 14у -f- 1 = О,
Л
зная, что 0) = -^.
Решение. Искомое уравнение имеет следующий вид:
ali*2 + a^y2 + = 0, причем ~.
Для прямоугольных систем координат инварианты упрощаются, так как
sin со = sin со' = 1 и cos = cos <о' = О, и мы будем иметь: Ц = + ^22! h =
/8 = Д. Найдем числовое значение этих инвариантов, исходя из данного урав-
нения:
Л = 40 + 25 = 65; /2 = 40-25 — 182 = 676;
h —
40
18
— 4
18—4
25 — 7
— 7 1
= — 676.
Составим теперь выражения этих же инвариантов через коэффициенты пре-
образованного уравнения: 11 = a'n-|- а22\ /2 = ^11^22^ /3 = 0n022fl33- Так как
инварианты не меняют своей величины при преобразовании координат, то мы
можем приравнять между собой найденные для них выражения, содержащие
коэффициенты первоначального и преобразованного уравнения; Ои + Д22=65;
дид22 == 676; я'ц022д8з = — 676. Из этой системы уравнений мы определяем
неизвестные коэффициенты преобразованного уравнения: q'zz =—1;а^ = 13;
^22 =52, и искомое уравнение будет: 13х2 4~52у2 = 1. Таким образом, пользуясь
инвариантами, можно привести уравнение кривой к простейшему виду, не
отыскивая ее центра, осей и не составляя формул преобразования координат.
638. Пользуясь инвариантами, привести к простейшему виду урав-
нения следующих кривых:
а) х2 + 2ху —у2 8х -f- 4у — 8 — 0;
b) 7х2 — 24ху — 38х + 24у 4- 175 = 0;
с) 5х24-8ху + 5./—18х—18_у 4-9 = 0;
d) 5х2 4- 12ху — 22х — 12j — 19 = 0;
е) 6xj4-8j/9—12х —26у4-11 = 0
639-6421
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ИЗ
при условии, что все они отнесены к прямоугольной системе коор-
динат.
639. Пользуясь инвариантами, упростить уравнения следующих
парабол:
а) х* — Чху -|-уа — 10х — 6_у 4" 25 = 0;
Ь) 4ха — 4ху -j-у3 — 2х — 14у -]•- 7 = 0;
с) ха — Чху — х — 2у 3 = 0;
d) 4ха — 4х>4-уа — х — 2 = 0;
640. Упростить уравнения следующих кривых:
а) ха — Зху -|-уа 4-1 = 0; ш = 60°;
b) 2ха-|-2j9 — 2x — 6j 4-1=0; ш = 60°;
с) 4ха — 4ху-\-у*— 4х— 4_у-|~7 = 0; <о=120°.
640*. Отнести к главным осям кривую х*-{-у> — 4, если известно,
К
ЧТО (П = у.
641. Отнести гиперболу 8у*6-хгу—12х— 26_у -]- 11 = 0 к ее
асимптотам, пользуясь инвариантами. Уголо) = -|-.
Решение. Уравнение кривой, отнесенной к асимптотам, имеет вид:
+ йзз = 0.
Нам надо найти два неизвестных коэффициента а'12, azz и новый коорди-
натный угол со', т. е. угол между асимптотами. Найдем числовую величину
инвариантов, пользуясь данным уравнением, при со = 90°, Д = 8, /2 = — 9,
/3 = 81. Выражения этих инвариантов в новых коэффициентах будут:
2д'12 cos со' _ а\1 а[1а'33
1 sin2 со' ’ 2 sin2 <о' 3 sin2 <о'*
Для определения трех величин <ог, я'12 и а'33 имеем три уравнения:
2д12 COS Ср' ___ g Д12 _ Q и _ fl12g33 _ g j
sin2 <о' ’ sin2 <о' sin2 со'
Решив их, получим: tg со' = ±8/4, sin2 со' = 9/25; а33 = — 9 и а'12 = ±°/Б; иско-
мое уравнение будет: zt 13/ьху — 9 = 0. Выбираем направление осей так, чтобы
гипербола была расположена в нормальном угле и вертикальном к нему угле;
тогда после упрощений получим: ху = 5/2.
642. Отнести к асимптотам гиперболы, данные относительно пря-
моугольной системы координат уравнениями:
а) 2х2 + Эху — 2у* — 8х — 11у = 0;
Ь) 4х2Ц-2ху—У + 6х + 2>4-3 = 0;
с) у1 — 2ху — 4х — 2у — 2 = 0.
114
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1643—645
643. Относительно некоторой прямоугольной системы координат
кривая изображается уравнением 5х2 12xj — 22х — 12_у — 19 = 0.
Составить уравнение этой же кривой относительно ее вершины.
Указание. Отнести кривую к вершине — значит принять одну из осей
кривой за ось абсцисс, перенести начало координат в вершину и принять
касательную в вершине за ось ординат.
6. Полюс и поляра
Две точки Р и Q называются полярно-сопряженными относительно
прямая, их соединяющая, пересекает кривую в
двух точках М и N, гармонически разде-
ляющих данные точки Р и Q (черт. 53).
Существует бесчисленное множе-
ство точек, полярно-сопряженных данной
точке Р; их геометрическое место есть
прямая — поляра данной точки (п о л ю-
с а Р). Из двух сопряженных точек каж-
дая лежит на поляре другой.
Поляра точки Р(х', у') имеет урав-
нение:
(«и-*1 + ЯиУ' + «1з) х 4- (a21xf a22yf -|-
+ «аз) У + («зi-x' а22у + «зз) = 0. (29)
кривой второго порядка, если
Если точка Р лежит на кривой,
то ее поляра совпадает с касательной
в этой точке.
Каждая прямая Ах + By + С = 0 имеет определенный полюс относительно
данной кривой второго порядка; координаты этого полюса определяются из
условия пропорциональности коэффициентов уравнения прямой и уравнения по-
ляры:
«И*’ + «1зУ “|" «13 ________ «21-^’ + «23УГ + «28 ______ «31-*Г' -f- аЯ2у' -f- Лзз
А “ В “ С
(30)
Если из двух прямых одна проходит через полюс другой, то и другая про-
ходит через полюс первой. Такие две прямые называются сопряженны ми
относительно данной кривой.
644. Составить уравнение поляры точки Р(4~2; —1) относительно
кривой: х2 4~ §ХУ 4"У* 4“ + ЯУ — 1 = 0.
645. Найти поляру точки:
1) (—3; 4“5) относительно кривой
4х2 4- 2ху —у* 4- 6х 4- %У + 3 = 0;
2) (0; 4-1) относительно кривой 6х2— ху— 2j/2-f-4y=0;
3) (4~1; —2) относительно кривой
2х2 — 4ху + 5У — 8x4-6 = 0;
4) (4-7; 4~5) относительно кривой
х2 — 2ху 4- 2>2 — 4х — бу 4- 3 = 0;
646—650] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 115
5) (0; 0) относительно кривой
х2 — 2ху 2у2 — 4х — бу 4“ 3 = 0;
6) (0; 0) относительно кривой
ап№ 2а12ху а22у9 -J- 2а1з* + 2а2з>’ + азз = 0;
7) (Xj, >i) относительно кривой — 1;
х^ у 2
8) (4“б;+ 3) относительно кривой ----- = 1;
9) (—3; -|-2) относительно кривой у=12х;
10) (4“1> 4“ О относительно кривой
х2 — 4ху 4- Зу2 4~ 2* — 2_у = 0.
646. Вычислить координаты полюса прямой х — бу 4~ 8 = 0 отно-
сительно кривой:
Зх2 — бху 4“ 5.У2 — — бу 4“ Ю = 0.
647. Найти полюс прямой:
1) 18х—17j/ — 41 = 0 относительно кривой
2х2 — ху — 3j/2 — х — — 15 = 0;
2) оси абсцисс относительно кривой
2х2 — 4ху 4- 5у2 — 8 х 4- 6 = 0;
3) 15x4“ 4 = 0 относительно кривой
9х2 —4ху 4-6у24-6х — 8у4-2 = 0;
4) х 4“ Зу 4“ 1 = 0 относительно кривой
Зх2 4“ 7ху 4- 5>2 4- 4х 4- 5> 4- 1 = 0;
5) х—_у4~3 = 0 относительно кривой
2х2 4- 5xj/ — Зу2 4- Зх 4- 1 бу — 5 = 0;
Х^ Vs
6) Зх — 4у—12 = 0 относительно кривой yg4“^-=^>
7) 2x4“ бу — 10 = 0 относительно кривой _у2 = 6х.
648. В точках пересечения кривой х2 — 2ху-{-у2-[-2х— б_у = 0
с прямой Зх—_у4“б = 0 проведены касательные к этой кривой.
Найти точку пересечения касательных.
649. Из точки М(4“3; 4"U проведены две касательные к кри-
вой Зх2 — 2ху 4- 3_у2 4- 4х 4“ 4у — 4 = 0. Найти уравнение хорды,
соединяющей обе точки прикосновения.
650. На прямой 4х-|-Зу—12 = 0 найти точку, полярно-сопря-
женную с началом координат относительно кривой
9х2 4- 24ху 4- 1б>2 — 40х 4- 30> = 0.
116 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [651—661
651. На прямой 4х—j-j-30 = 0 найти точку, полярно-сопряжен-
ную с точкой (4-5; 4-1) относительно кривой
х2 — бху 4- 9у2 — 12х Ц- 14у — 7 =0.
652. Через точку М (0; 4_3) провести прямую, полярно-сопряжен-
ную с прямой х — 3_у Ц- 22 = 0 относительно кривой 2ху — 6х 4~
4- 4у — 1 = 0.
653. Найти условие, при котором две прямые
Ах 4- By 4~ С = 0 и А^х 4- В^у 4~ Ci = о
являются сопряженными относительно кривой
Лц*2 4“ 4"* а2'2У2 4“ 2013-V 4“ ^а2зУ 4“ а33 = 0.
Какой вид примет это условие, когда кривая дана простейшим урав-
нением?
654. Доказать, что поляра точки относительно круга перпенди-
кулярна к прямой, соединяющей эту точку с центром круга.
655. Доказать, что если две точки сопряжены относительно кру-
га х2-]-у* = В* и расположены на одном и том же его ра-
диусе, то расстояния их от центра круга удовлетворяют усло-
вию р-р! = R2.
656. Доказать, что диаметр, делящий хорду пополам, проходит
через полюс этой хорды, т. е. что он ей полярно-сопряжен.
657. Проверить, что поляра любой точки директрисы кривой отно-
сительно этой кривой проходит через ее фокус.
Указание. Уравнение кривой взять в канонической (простейшей) форме.
658. Доказать, что всякие две полярно-сопряженные прямые, про-
ходящие через фокус, перпендикулярны друг к другу.
Указание. Уравнение кривой взять в простейшей форме.
659. Доказать, что поляра любой точки асимптоты гиперболы
параллельна этой асимптоте.
Х^ V2
660. Концы малой оси эллипса + 1 соединены с его
фокусами. Найти полярную фигуру получившегося ромба относительно
этого же эллипса.
Указание. Полярная фигура данного многоугольника составлена из
полюсов его сторон и поляр его вершин.
X2 V2
661. В гиперболу ---j2-= 1 вписан треугольник, вершины
которого даны своими координатами: А (4-4; 4~6), В (4~ 4; —6) и
С(—2; 0). Найти фигуру, полярно-сопряженную с треугольником
относительно этой гиперболы.
662—672]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
117
662. Найти геометрическое место полюсов, касательных к окруж-
х2 у2
ности х24~У2 = 9> относительно эллипса -^-4“ = 1.
1 •z 9*0
663. Найти геометрическое место полюсов, касательных к эллипсу
д-2 у2 у2
— = 1, относительно гиперболы ---------^~= 1 •
664. Если соединить любую точку Р(хь с фокусом эллипса F
й провести через F перпендикуляр к этой прямой (черт. 54), то
этот перпендикуляр, поляра р точки Р
и директриса, соответствующая фокусу F,
пересекутся в одной точке. Доказать эту
теорему аналитически и геометрически.
665. Найти кривую второго по-
рядка, которая имеет центр в точке
Л1(+3/8; 4“Д/а) и по отношению к кото-
рой вершины треугольника О (0; 0),
А(—1; 4-1), В(—'/ь 4-72) служат по-
люсами противолежащих сторон.
666. Относительно кривой второго
порядка ось ординат служит полярой
точки (4~5; 0) и ось абсцисс — поля-
рой точки (0; 4-3). Составить уравнение этой кривой, зная, что
она проходит через точки Af(4~l; 4~2) и 7V (0; 4"3/«)‘
7. Задачи на фокальные свойства кривых, не отнесенных
к главным направлениям !)
667. Составить уравнение параболы, фокус которой находится в
точке (—7з5 —7з) и директриса дана уравнением Зх — Зу 4" 8 = 0.
668. Составить уравнение параболы, зная две ее точки (4~2; 0),
(4-12; 0) и уравнение директрисы 2х—.у 4“ 1 — 0-
669. Составить уравнение кривой второго порядка, зная ее экс-
центриситет е = Уб, фокус F(4~l; 4~О и соответствующую дирек-
трису х4"2,у—1=0.
670. Кривая проходит через точку А (4“7; 0); кроме того, изве-
стен ее фокус F (0; 4~О и директриса х—_у4"3 = 0. Написать
уравнение этой кривой.
671. Найти равностороннюю гиперболу, директриса которой дана
уравнением х 4-J — 1 = 0 и соответствующий фокус — координатами
х = 4-1, j'=4~1-
672. Найти фокусы и директрисы кривой
5х2 — 8ху 4“ бу2 — 12х 4~ Оу = 0.
*) Во всех задачах этого параграфа предполагается, что
118 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (673—683
Указание. Один из способов решения заключается в том, чтобы отне-
сти данную кривую к ее главным осям, определить координаты фокуса по ка-
ноническому уравнению и потом вновь перейти к первоначальной системе коор-
динат. Директрисы определяются как поляры фокусов.
Другой способ позволяет избежать преобразования координат, а именно:
обозначим координаты одного из искомых фокусов через Xi, и уравнение
соответствующей директрисы возьмем в нормальном виде
х cos а -|-у sin а — р = 0;
тогда уравнение кривой может быть представлено так:
(х — Xi)2 + (У ~ У1)2 = е2 (х cos а + у sin а — р)8.
Из условия пропорциональности коэффициентов этого уравнения и данного
уравнения мы определим пять неизвестных: хь уи г, а и р, что дает нам
сразу координаты фокуса и параметры из уравнения директрисы.
673. Найти фокус и директрису параболы
— 24ху 4- 16/ — 16х — 12у — 4 = 0.
674. Гипербола проходит через точку А (4-2; 0) и имеет сле-
дующие фокусы: F1(4-2; 4"3); Fa(4-1; 0)- Составить уравнение этой
гиперболы,
675. Даны фокусы эллипса Fi(4-1; 4-3), F2(—1; 4-2) и одна
из его касательных: х—j>4~4 = 0. Найти уравнение этого эл-
липса.
676. Можно ли найти гиперболу по заданиям предшествующей
задачи?
677. Даны два фокуса кривой Fi(-f-l; 4-1), Fa(—2; —2) и одна
из ее директрис: х 4-У — 1 = 0. Найти уравнение этой кривой.
678. Составить уравнение кривой второго порядка, зная ее экс-
центриситет е = —и координаты двух фокусов: (0; 0) и (—2/в5
У 2
4~4/»)-
679. Вершина параболы совпадает с началом координат, а фокус
находится в точке (-|-1; 4“О* Каково уравнение этой параболы?
680. Составить уравнение параболы, проходящей через точку
А (4-2; 4-1), если известна ее директриса х — 2у— 5 = 0 и ось
симметрии 2х 4-у — 1 = 0.
681. Кривая второго порядка проходит через начало координат,
имеет центр в точке С (4-1; 4“^) и ее директрисой служит прямая
х 4- 2_у — 1 = 0. Найти уравнение кривой.
682. Гипербола имеет фокус в точке (—2; 4-2), и прямые 2х—
—у4- 1 = 0 и х4-2_у — 7 = 0 служат ей асимптотами. Найти урав-
нение гиперболы.
683. Гипербола проходит через точку Д(0; 4“1)> имеет фокус
в начале координат, и прямая х —1=0 служит ей асимптотой.
Найти уравнение этой гиперболы.
684—686*]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
119
8. Смешанные задачи
перпендикуляров; угол
К
Черт. 55.
Стержень RQ вращает-
неподвижной точки Р
684. В точках пересечения осей координат с прямыми, принадле-
жащими одному и тому же пучку, проведены перпендикуляры к
соответствующим осям. Найти геометрическое место точек пересече-
ния этих
ш—т-
684*.
ся около
и подталкивает прямоугольный
треугольник ДСВ, скользящий по
прямой KL (черт. 55). Найти
геометрическое место точек (Ж)
пересечения стержня PQ с про-
должением гипотенузы АВ. Со-
ставить уравнение, исследовать
и вычертить соответствующую
кривую. Привести полученное
685. Плоскость а скользит по неподвижной плоскости р так,
что две ее точки А и В перемещаются по двум перпендикулярным
прямым неподвижной плоскости. Определить и исследовать траекто-
рию любой другой точки С подвижной плоскости (черт. 56).
уравнение к простейшему виду.
686. Доказать, что оси эллипса, описанного точкой С в пред-
шествующей задаче, направлены по прямым ОА’ и OB', соединяю-
щим начало координат с концами того диаметра круга ОАВ, который
проходит через точку С (черт. 57). Найти величину этих осей. Какие
точки подвижной плоскости описывают эллипсы с совпадающими
осями? Какие точки описывают эллипсы с соответственно равными
осями?
686*. Окружность катится без скольжения по внутренней стороне
другой неподвижной окружности, радиус которой вдвое больше
120 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ [687—691
радиуса катящегося круга. Какова траектория любой точки, неизменно
связанной с катящимся кругом?
687. Две стороны СВ = а и СА — Ь треугольника АВС разделе-
ны точками М и N в отношениях X и (считая от общей вершины).
Найти геометрическое место точек пересечения прямых AM и BN
при переменном X.
687*. Найти траекторию центра круга, описанного около тре-
угольника, когда одна из его вершин остается неподвижной, а про-
тиволежащая сторона, не меняя своей длины, скользит по прямой
линии.
688. Шарнирный механизм (черт. 58) состоит из двух подвижных
стержней АВ и CD и неподвижной линейки AL. Стержень АВ при-
креплен шарниром В к стержню CD, причем АВ —СВ, и вращается
около неподвижной точки А. Конец С стержня CD скользит по не-
подвижной линейке AL. Найти траекторию любой точки М стержня CD.
Черт. 59.
689. Найти траекторию любой точки шатуна паровой машины
(черт. 59).
Указание. Эта задача отличается от предыдущей тем, что АВ СВ.
690. Найти геометрическое место точек, симметричных с центром
। у2 1 я
эллипса —^-+^-=1 относительно его касательных; со =-к-.
а2 1 я3 2
691. Доказать, что кривая предыдущей задачи может быть полу-
чена как траектория середины М малого стержня CD шарнирного
антипараллелограмма ABCDf у которого закреплено противоположное
звено АВ (черт. 60),
692—€94] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 121
692. Найти геометрическое место точек, симметричных с центром
к X2 V2 1 w к
гиперболы 1 относительно ее касательных. Угол
693. Доказать, что кривая предыдущей задачи есть траектория
середины большого стержня антипараллелограмма, противоположное
звено которого закреплено.
694. Доказать, что шарнирным механизмом OABCD (черт. 61),
так называемым инверсором, осуществляется прямолинейное движение
точки В,
Пояснение к чертежу: точки О и М неподвижны, около них вра-
щаются стержни ОА, ОС и MD\ все семь стержней соединены
между собой шарнирами. Длина стержней:
ОА = ОС = !\ AB = BC = CD — DA = a; MD = OM = b.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА VII
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Положение геометрических образов в пространстве можно определять по
отношению к прямоугольной системе координат, состоящей из трех взаимно
перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной и той же точке
(начало координат О), и трех плоскостей, попарно их соединяющих (коорди-
натные плоскости). На каждой оси выбирается положительное направление и
единица длины е.
Положение точки М в пространстве (черт. 62) определяется тремя числа-
ми — ее координатами:
абсциссой NM ОА х — = , е е *
ординатой РМ ОВ V = = е е
и аппликатой QM ОС z = — , е е
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
123
Каждая из них дает расстояние точки М от одной из плоскостей координат,
со знаком, указывающим, по какую сторону от этой плоскости расположена точ-
ка, а именно: взята ли она в сторону положительного или отрицательного на-
правления третьей оси (не лежащей в соответствующей координатной пло-
скости).
Три координатные плоскости (черт. 63) делят пространство на восемь ча-
стей (октантов). Координаты точек, расположенных в различных частях, имеют
различные знаки.
Точки, лежащие на координатных плоскостях, имеют одну из координат,
равную нулю; точки, лежащие на осях координат, имеют две координаты,
равные нулю; начало координат имеет все три координаты, равные нулю.
Координата Октант
1 1 11 III IV V VI 1 VII | VIII
Абсцисса. . + — — + + — — +
Ордината . + + — — + + — —
Аппликата. + + + + — — — —
Зная три координаты, можно построить одну-единственную точку. Эта точка
служит концом ломаной линии, которую мы получим, отложив на оси х отрезок ОД,
величина которого равна абсциссе; из конца его параллельно оси у — отрезок ДВ,
величина которого равна ординате,
и из его конца параллельно оси z —
отрезок ВМ, величина которого рав-
на аппликате точки. На черт. 64 по-
строена точка М (—3; 4-2; —1).
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между точками
пространства и тройками чисел (х, у, z). Этим соответствием можно восполь-
зоваться для изображения одновременного изменения трех величин, или, иначе,
для изображения зависимости одной функции от двух независимых переменных.
Так, например, объем v определенной массы газа зависит от температу-
ры t и давления р. Зависимость между этими тремя величинами дается
с / t \
формулой: v = — 1 + -ото- ; но она же может быть изображена геометрически.
Р \ J
Будем откладывать температуру по оси х, давление — по оси у и объем газа —
по оси 2. Выбрать определенную температуру и давление — значит дать опреде-
ленные значения двум координатам х и у, т. е. выбрать точку на плоскости
(ху); выбранным значениям независимых переменных соответствует опреде-
ленный объем газа; это значение функции откладываем на перпендикуляре.
124
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
восставленном к плоскости (ху) в выбранной точке. Меняя температуру и
давление, мы переходим на плоскости (ху) от одной точки к другой и над
каждой из них получим в пространстве точку, аппликата которой равна соот-
ветствующему объему газа. Совокупность всех этих точек в пространстве
даст некоторую поверхность, и по высоте ее точек над плоскостью (ху) мы
судим об изменении объема газа с изменением температуры и давления. Если
мы выберем постоянную температуру (х = const.) и будем менять только дав-
ление, то придется ограничиться рассмотрением тех точек поверхности, кото-
рые лежат в плоскости, параллельной плоскости (yz), — линия пересечения
этой плоскости с поверхностью даст нам график объема газа в зависимости
от давления. Так как зависимость между объемом и давлением при постоян-
ной температуре выражается формулой
vp = const., то линия, изображающая
эту зависимость, — гипербола.
Давая давлению постоянное значе-
ние (у = const.) и меняя температуру,
мы получим в плоскости, параллельной
плоскости (xz), кривую, изображающую
зависимость между объемом газа и тем-
пературой при постоянном давлении.
Зависимость эта выражается формулой
v = Ci + с2£ и соответствующая линия —
прямая.
Итак, поверхность, изображающая
зависимость объема газа от температу-
ры и от давления, пересекается плоско-
стями, параллельными плоскости (xz), по
прямым, а плоскостями, параллельными плоскости (yz), по гиперболам. В пло-
скостях, параллельных плоскости (ху), мы получим линии (прямые), изобража-
ющие зависимость, которая должна существовать между температурой и дав-
лением при сохранении постоянного объема х).
Расстояние (р) точки (Л4) от начала координат называется радиусом-
вектором этой точки, и мы имеем:
р2 = х2 +^2 + z2.
(1)
Координаты точки суть величины проекций ее радиуса-вектора на оси координат:
х = р cos а, у = р cos р, z = р cos 7, (2)
где а, р, 7 обозначают углы между радиусом-вектором и положительным на-
правлением трех осей координат (черт. 65); эти углы связаны соотношением:
cos2 а 4- cos2 р 4" cos2 7 = 1* (3)
Соотношение (3) справедливо для углов, образованных любой прямой с
тремя взаимно перпендикулярными осями.
Расстояние между двумя точками A (xlf yif Zi) и В (х2, у*, z2) вычис-
ляется по формуле
АВ = У(ха - х,)’ 4- (л -^х)8 + (z, - ztf. (4)
Это расстояние рассматривается обыкновенно только по абсолютной ве-
личине.
4 Вышеприведенная поверхность называется гиперболическим параболои-
дом и будет подробно изучена в дальнейшем.
695]
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
125
Направление отрезка АВ характеризуется углами а, р, 7, которые
он образует с положительными направлениями осей координат:
V(х2 - xj2 + (у2 — ytf + (z2 — 21)2 ’
cos р = ,
/(Х2 _ Х1)2 -|_ -у^ _|_ (г, _ г1)2
cos 7 = Zs> г‘ .
/(х2 - х,)2 + (у, - УхУ + (z2 - z,)2
Если направление двух прямых дано углами (а, р, 7) и (а', р', 7'), то угол ср
между ними х) вычисляется по формуле:
COS ср = cos а • COS а' COS Р • COS р' 4“ COS 7 • COS 7’. (о)
Условие перпендикулярности прямых:
COS а.cos а' 4- cos p-cos р' + COS 7*COS 7' = 0. (7)
Если даны две точки A (хь yit Zi) и B(x2t у2, z2), то координаты всякой
третьей точки С прямой АВ определяются формулами:
____ Xi-|-Xx2 ______ _У14-\У2_______„______ Zi 4" ^2
х~ 14-х ’ у~ 14-х ’ 14-х ’
(S)
где X обозначает то отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, т. е.
. АС
Площадь плоской фигуры можно вычислить, зная площадь ее проекции,
а именно: площадь проекции равна проектируемой площади, умноженной на
косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции, или, иначе,
квадрат площади всякой плоской фигуры равен сумме квадратов площадей ее
проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости.
Если, не меняя направления осей, перенести начало координат в точку (У
то координаты любой точки (х, у, z) выразятся через новые координаты
(х', у’, z() той же точки следующим образом:
х = х' 4~ fl, У = У' + b, z = z' 4- с* (9)
Если, не меняя качала координат, изменить направление осей так, чтобы
новые оси образовали со старой осью х углы а, а' и а", со старой осью у
углы р, р' и рм и со старой осью z углы 7, 7' и 7", то
х = X' COS а 4- у* cos а' 4- 2' COS а",
у = х' cos р 4“ У' c°4 s Р' + 2' cos р", > (Ю)
z = х' cos 7 4-у cos 7' 4- cos 7м*
695. Построить точки:
А(4-3; +2; 4-1), 5(4-4; —1; —2), С(—5; 4-3; 4-4),
Л(+1; 4-4;. -3), £(-3; + */,; -1), F(0; 4-5; -2),
G(—1; —3; 0), Н(+2; 0; —1), /С(0; 0; +5), L (—2, —5; + 3).
4 Если две прямые не пересекаются, то углом между ними называется
угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно парал-
лельны данным прямым.
126
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[696—711
696. Куб стоит на плоскости (ху), причем центр его основания
совпадает с началом координат, боковые ребра лежат в координат-
ных плоскостях. Найти координаты вершин куба, зная, что ребро
его равно а,
697. Даны точки: Р(-|- 3; —1; 2) и М(а, Ь, с). Вычислить
координаты точек, симметричных с данными по отношению к плоско-
стям координат, к осям и к началу координат.
698. Как расположены в пространстве точки, для которых:
а) х=у; b) x—y — z?
699. Исследовать (рассмотреть сечения плоскостями, параллель-
ными координатным плоскостям) поверхность, изображающую зависи-
мость между площадью прямоугольника и длиной его сторон.
700. Определить расстояние точки А(-12; —3; -|~4) от начала
координат и от осей координат.
701. В третьем октанте найти точку, зная ее расстояния от трех
осей координат:
dx = 5', ^ = 3]/б? <. = 2/Тз:
702. Найти направление радиуса-вектора точки Р(-|-3; -|-2; 4~6)
и точки Q(a, а, а).
703. Определить величину и направление силы, составляющие
которой по осям координат имеют следующие величины: Х=10,
У =5, 7=10.
704. Прямая образует с двумя осями координат углы в 60°. Под
каким углом наклонена она к третьей оси?
705. Вычислить координаты точки М, зная, что ее радиус-вектор
равен 8 единицам и наклонен к оси х под углом 45°, а к оси z—
под углом в 60°.
706. Найти углы, которые образованы радиусом-вектором точки
А (+ 6; 2; 4" 9) с координатными плоскостями.
707. Какая зависимость существует между косинусами углов,
образованных прямою с тремя координатными плоскостями?
708. Найти зависимость между: а) радиусом-вектором р и его
проекциями на три оси координат (рх, р^, р2); Ь) радиусом-вектором р
и его проекциями на три координатные плоскости (рь р2, р3).
709. Зная направление прямой (cos a, cos £ и cos 7), найти направ-
ление ее проекции на координатную плоскость (ху).
710. Доказать, что если плоскость отсекает на осях координат
отрезки, соответственно равные а, b и с, то длина перпендикуляра
(р), опущенного на эту плоскость из начала координат, удовлетво-
ряет соотношению:
711. Найти расстояние между точками А(—2; 4-1, 4-3) и
В(0; —1; 4-2) и направление прямой, их соединяющей.
712—727]
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
127
712. В точке А(-|-3; Ц-2; -|-7) приложена сила /?=15. Опре-
делить составляющие этой силы по осям и координаты конца вектора,
изображающего силу, зная, что углы между этим вектором и осями
координат удовлетворяют соотношению:
sin а: sin : р : sin -[ = 3 : 4: 5.
713. В точке А(4“2; —1; -(-5) приложена сила /?=11. Зная
две составляющие этой силы АГ = 7 и F=6, определить направле-
ние и конец вектора, ее изображающего.
714. На оси z найти точку, равноудаленную от точек:
А(— 4; 4-1; 4-7) и В(-(-3; 4-5; —2).
715. На координатной плоскости (yz) найти точку, одинаково уда-
ленную от трех данных точек: А (4-3; 4-1; 4~ 2)*> (~h 4; —2;—2)
и С(0; 4-5; 4-1).
716. Шаровая поверхность проходит через начало координат и
через точки: А (4- 4; 0; 0), В (4—1; 4-3; 0) и С(0; 0; —4). Найти
центр и радиус шара.
717. На плоскостях координат найти точки, которые вместе с
началом координат служили бы вершинами правильного тетраэдра с
ребрами, равными единице.
718. Найти угол между прямой, лежащей в плоскости (ху) и
наклоненной к оси х под углом а, и прямой, лежащей в плоскости
(xz) и образующей с осью х угол а'.
719. Найти угол между биссектрисами углов хОу и yOz.
720. Найти угол, образованный вектором, компоненты которого
АГ—10, K=ll, Z=2, и прямой, проходящей через точки Р(0;
— 8; —1) и (?(4-3; —2; 4-1).
721. Найти направление прямой, одновременно перпендикулярной
к оси гик прямой, проходящей через две точки А (4-1; —1; 4“ 4)
и В(— 3; 4-2; 4-4).
722. Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся
в точках А (4- 5; 4-2; 4-6), В (4- 6; 4-4; 4-4), С(-|-4; -|-3; 4-2)
и D(4-3; 4-1; 4“ 4), есть квадрат.
723. Какому условию должны удовлетворять направляющие коси-
нусы трех прямых, лежащих в одной и той же плоскости?
V2
724. Вычислить площадь эллипса ^-4“^8==:1> который является
ортогональной проекцией круга радиуса г — а на плоскость (ху).
725. На осях координат отложены от начала координат отрезки,
соответственно равные 1, 2 и 3; концы этих отрезков соединены пря-
мыми. Определить площадь полученного таким образом треугольника.
726. Вычислить площадь треугольника, вершины которого нахо-
дятся в точках А (— 1; 0; — 1), В (0; 4" 2; — 3) и С(-|- 4; 4“ 4; 4“ О-
727. Проверить, что прямые, соединяющие середины смежных
сторон косого четырехугольника, образуют параллелограмм.
128
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
(728—737
728. Доказать, что прямые, соединяющие середины противопо-
ложных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в
ней пополам.
729. Даны две вершины треугольника: А(—4; —1; -р 2) и
В (4-3; 4" 5; —6). Найти третью вершину С, зная, что середина сто-
роны АС лежит на оси у, а середина стороны ВС—на плоско-
сти (хг).
730. Отрезок АВ разделен на пять равных частей: известна первая
точка деления С(4~3; —5; 4~7) и последняя F(—2; 4“ 4; —8).
Определить координаты концов отрезка и остальных точек де-
ления.
731. Найти центр тяжести тетраэдра, имеющего следующие вер-
шины:
A (xlt уи £j), В (х2, уь z.2),
с (ха, Уз, £3), D (х4, yt, г4).
732. Найти отношение, в котором каждая из плоскостей ко-
ординат делит расстояние между точками Д(4~2; —1; -]~7) и
^(4-4; 4-5; -2).
732*. Проверить, что три данные точки Л (4-1; —5; 4" 3),
В (4~ 5;—1; 4-7) и С (4-6; 0; 4-8) лежат на одной прямой.
733. Даны две прямые: одна из них проходит через точки
Д(—3; 4-5; 4“ 15) и В(0; 0; 4" 7), а другая — через точки
С (4-2; —1; 4-4) и Z)(-|-4; —3; 0). Узнать, пересекаются ли эти
прямые и, если пересекаются, то найти точку пересечения.
734. Узнать, лежат ли в одной плоскости следующие четы-
ре точки: А (4-3; —2; 4-3), В(0; 4-4; 4-9), С (4-2; 0;4~5)и
£>(42; —8; —1).
735. Вершины тетраэдра совпадали с точками А (— 7; 4- 3; — 2),
£(0; 4" 2; 4“ С (4-4; —1; 0) и £)(—1; 0; —3). В результате
некоторого поступательного движения центр тяжести тетраэдра
оказался в точке Л4(4-6; —2; 4~ О- Каковы будут координаты вер-
шин тетраэдра после этого перемещения?
736. Составить формулы преобразования координат, если перво-
начально оси совпадали с тремя ребрами куба, пересекающимися в
одной из его вершин, а потом — с тремя соответственно параллель-
ными ребрами того же куба, проходящими через противолежащую
вершину; направление осей выбрано так, что начало координат каж-
дой из этих систем имеет по отношению к другой системе положи-
тельные координаты.
737. Координаты некоторых точек удовлетворяют уравнению:
Зх2 4-У — <2xz -|- 2х — бу 4z — 5 = 0.
Какому уравнению будут удовлетворять новые координаты тех же
точек, если перенести начало координат в точку О'(4~2; 4“3; 4“7)?
738—739]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
129
738. Как преобразуется уравнение z = xy, если, не меняя оси z,
принять биссектрисы угла хОу за новые оси абсцисс и ординат?
739. Три ребра куба совпадали с положительным направлением
осей координат; затем куб повернули на угол & вокруг диагонали,
проходящей через начало координат, и ребра, совпадавшие с осями,
приняли за соответствующие новые оси координат. Составить фор-
мулы перехода от старой системы координат к новой, если а) &= 120°
и Ь) 0 = 60°.
ГЛАВА VIII
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Если мы имеем уравнение с тремя переменными и будем рассматривать
эти переменные как координаты точки пространства, то совокупность всех
точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, составит неко-
торую поверхность. Иначе: одно уравнение между тремя координатами
изображает поверхность.
Если уравнение содержит только две переменные и мы продолжаем рас-
сматривать их как две координаты точки пространства (например, х и у), то
уравнение представляет цилиндрическую поверхность, образующие
которой параллельны оси недостающей координаты (z). Если мы переменные
этого же уравнения будем рассматривать как координаты точки соответству-
ющей координатной плоскости (т. е. положим z = 0), то уравнение даст нам
направляющую этой цилиндрической поверхности.
Если уравнение содержит только одну координату точки пространства
(например, х), то оно изображает одну или несколько (в зависимости от степени
уравнения) плоскостей, параллельных соответствующей координатной плоско-
сти (yz).
Уравнение представляет совокупность нескольких поверхностей, если левая
часть его, после перенесения в нее всех членов уравнения, разлагается на
множители. Уравнения этих поверхностей получим, приравнивая нулю каждый
сомножитель отдельно.
Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют двум уравнениям,
составляет некоторую линию — линию пересечения соответствующих двух
поверхностей. Итак, два уравнения между тремя координатами изображают
линию.
Если мы имеем уравнения двух поверхностей:
F(x, у,, z) = 0 и /(х, у, z) = 0, (1)
то уравнение
Г (*, У, z) — k • f (х, yt z) = 0 (2)
представляет поверхность, проходящую через линию пересечения данных двух
поверхностей. Меняя значения параметра /г, получим пучок поверхностей.
Линия, изображаемая двумя уравнениями (1), может быть определена любыми
двумя другими поверхностями пучка (2).
Три уравнения между тремя координатами определяют одну или несколько
отдельных точек — точек пересечения трех поверхностей, если только уравне-
ния независимы между собой, т. е. соответствующие поверхности не принад-
лежат одному и тому же пучку.
Поверхности и линии могут быть определены теми геометрическими свой-
ствами, которые присущи их точкам, и тогда возникает задача о составлении
б О. Н. Цубербиллер
130 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (740—748
их уравнений. Нет надобности рассматривать все точки, обладающие извест-
ным свойством; достаточно ввести образующую точку, которая своим движе-
нием описывает соответствующий геометрический образ. Если движение обра-
зующей точки ограничено одним условием, для аналитического выражения
которого достаточно одного уравнения, — соответствующее геометрическое
место точек есть поверхность. Если движение образующей точки ограничено
двумя независимыми друг от друга условиями, могущими быть выраженными
двумя уравнениями, — соответствующая совокупность точек есть линия.
740. Исследовать, какие геометрические образы даны уравнениями:
а) х24-_У24~z2== 1‘> Ь) ха4-У=1; с) ха=1; d) х*—_уа = 0;
е) + = 0 xa-|-J,a = 0; g) ха = 0; h) xyz = 0;
i) У — /Зг =0.
741. Исследовать, какие геометрические образы даны следующими
системами уравнений:
( (х-1)2-(з/ + 4)а4-г4 = 25, (
а> _уД-1==0; с) Z~ 2 •+- 2 ’
1 lx—J = 0;
I t ( Зх2 —з>44-5хг = 0;
b) 9 4 d) г = 0
I X — 2 = 0; 1
742. Найти цилиндр, проектирующий на плоскость (ху) кривую:
| — 9уа бху — 2гх 4“ 24х — Ц- Зг — 63 = 0,
j 2х—3y-±-z — 9.
743. Найти проекцию кривой
( ха + 2а + 3yz — 2х 4- Зг — 3 = 0,
| у — z 4- 1=0
на плоскость (xz).
744. Написать уравнение шаровой поверхности, имеющей центр
в точке С (4-3; —1; 4~6) и радиус R — 7.
745. Найти геометрическое место точек, находящихся на рас-
стоянии четырех единиц от плоскости (yz) и на расстоянии трех
единиц от точки А (4* 5; 4“ 2; — 1).
746. Написать уравнение плоскости, зная, что точки
А(4-4; 0;—3) и В (-]-1; —5; 4~2)
симметричны относительно этой плоскости.
747. Определить траекторию точки, движущейся в плоскости (xz)
так, что ее радиус-вектор все время равен расстоянию ее от точки
А (4-5;-3; 4-1).
748. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от
данной точки и данной плоскости,
749—752]
ПЛОСКОСТЬ
131
749. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний кото-
рых от двух данных точек Р (с, 0; 0) и Q (— с; 0; 0) есть величина
постоянная, равная 2а.
750. Стержень перемещается в пространстве так, что три его
постоянные точки А, В и С (черт. 66) скользят по трем координат-
ным плоскостям. Чем ограничено движение четвертой точки М, про-
извольно выбранной на стержне?
751* Исследовать поверхность предыдущей задачи, рассмотрев
ее сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
7Б2. Составить уравнение поверхности, описанной стержнем,
скользящим по трем ребрам куба, из которых никакие два не лежат
на одной плоскости (черт. 67). Ребро куба равно а.
ГЛАВА IX
ПЛОСКОСТЬ
Всякое уравнение первой степени относительно координат точки простран-
ства
Ax + By + Cz + D^ (1)
изображает плоскость, и, обратно, всякая плоскость может быть представ-
лена уравнением первой степени. Уравнение плоскости содержит три незави-
симых параметра.
Если в уравнении (1) отсутствует свободный член, то плоскость прохо-
дит через начало координат. Если отсутствует член с одной из коорди-
нат, то плоскость параллельна соответствующей оси координат; если одно-
временно отсутствует свободный член и член с одной из координат, то плос-
кость проходит через соответствующую ось. Если отсутствуют члены с двумя
координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая
содержит соответствующие оси. Если отсутствуют члены с двумя координа-
тами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных
плоскостей. Если, наконец, отсутствуют все члены с координатами, а свобод-
ный член отличен от нуля, то уравнение смысла не имеет.
5*
132
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если за параметры принять величины отрезков а, b и с, отсекаемых
плоскостью на осях координат, то уравнение плоскости примет вид:
а 1 b 1 с v 7
Если за параметры принять длину перпендикуляра р, опущенного на
плоскость из начала координат, и направляющие косинусы этого перпендику-
ляра (cos a, cos р, cos 7,), то получим нормальное уравнение плос-
кости:
х • cos a 4-У • cos р + z • cos 7 — р = 0. (3)
Чтобы привести общее уравнение (1) плоскости к нормальному виду, его
нужно помножить на нормирующий множитель:
М = ± —1 ------------ (4)
/Д24-В«4-С2 ’
Знак нормирующего множителя должен быть противоположен знаку сво-
бодного члена уравнения (1).
Расстояние плоскости (1) от начала координат и направляющие косинусы
перпендикуляра к этой плоскости выражаются через коэффициенты ее урав-
нения следующим образом:
Р = ---- — cos а = нн---------------- . -...........
]/*Да + Ва+Са /Да + Ва + Са ’
о /^*
cosр = нн----- ... cos7 = ±z-------.
/Л2 + К2 + С2 /Д2 + S2 + С2 ' I
(5)
Расстояние любой точки Р(х\ у\ z') от плоскости (1) вычисляется по формуле
х_| Ax' + By' + Cz' + D
I /Д2 + В» + С2
(6)
или, если плоскость дана нормальным уравнением, по формуле
& = | х’ cos а 4-у cos Р 4- z' cos 7 — р |, (6')
т. е. расстояние точки от плоскости равно абсолютной величине левой части
нормального уравнения плоскости, в которой текущие координаты заменены
координатами данной точки.
Угол между двумя плоскостями
Ах 4- By 4" Cz + £ = о 1 /7\
д1х4-в1^4-с1г4-г>1 = о Г
определяется следующим образом:
«о । АА14- BBi 4- CCi /п\
cos ср = ± --------—------ 1 —............... W
уд24-В2 + С2 • у Al 4- в\ 4- cl
Условие параллельности плоскостей (7):
х =/=?-• »
Д1 Di Cl
Условие перпендикулярности плоскостей:
/М14-ЯЯ14-СС1=0' 1о)
753]
плоскость
133
Если плоскость определена тремя точками (xb уъ Zi)t (х2, у2, 2£) и
(х8, у8, 28), то уравнение ее примет вид:
X у Z 1
21 1 = 0. (11)
х2 уа *2 1
Хз Уз 28 1
Если четыре точки (хъ ylt *>), (х2, № 22), (х8, у8, z8) и (х4, у4, z4) ле-
жат в одной плоскости, то между их координатами существует следующее
соотношение:
*1 yi Zi 1
Х* У* 1 _0 (12)
л'а yt г, 1
х« yt zt 1
Если эти четыре точки не лежат в одной плоскости, то объем тетраэдра
вершинами которого они служат, вычисляется по формуле:
Х1 yt Z1 1
v=-i Xi yt Zi 1 . (13)
6 Xi yt Zt 1
X4 yt Zt 1
причем знак в правой части выбирается так, чтобы результат получился не-
отрицательным (У ^0).
Уравнение
Ax + By + Cz + D + kiAiX + Biy + CiZ + D,)^^ (14)
где k — переменный параметр, представляет пучок плоскостей, проходящих
через линию пересечения двух основных плоскостей:
Ах -|- By 4е Cz 4~ D = 0 и А^х 4~ В^у 4~ C±z 4~ = 0.
Уравнение
Ax + By + Cz + D + k(A1x^Biy^C1z^-D1) +
+1 (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (15)
представляет, при переменных параметрах k и /, связку плоскостей, т. е. сово-
купность всех плоскостей, проходящих через точку пересечения трех основ-
ных плоскостей:
Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0, AtX 4- Biy 4~ CiZ 4- D4 = 0
и
Д2^ 4- В2у 4- c2z 4- D2 = о.
Связка плоскостей, проходящих через точку (xt; yt* zj, может быть также
представлена уравнением:
А (х - xt) 4- В (у-yJ + dz- zj =0, (16)
где Л, В и С могут принимать любые значения.
753. Проходит ли плоскость 4х —у —|— 3^ —]— 1 = 0 через одну из
следующих точек:
А (-1; +6; -J-3), В(+3; -2; -5),С(0; 4-4; 4-1), 0(4-2; 0; +5),
0(4-2; 4-7; 0), 0(0; 4-1; 0)?
134
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1754—763
754. Подвижная точка, имевшая начальное положение /И0(-|-5;
— 1; перемещается параллельно оси у, Найти точку ее встречи
с плоскостью х — 2у-— Зг 4“ 7 = 0.
755. Доказать, что всякое уравнение первой степени Ах-\*Ву-\-
-\-Cz-{- D = 0 представляет плоскость, основываясь на том, что
если координаты двух точек какой-нибудь прямой удовлетворяют
этому уравнению, то и координаты любой другой точки этой же
прямой удовлетворяют ему.
756. Указать особенности в расположении следующих плоскостей:
а) Зх — 5г 4- 1=0; d) 2х Зу— 7г = 0;
Ь) Ъу — 2 = 0; е) 8у — Зг = 0
с) х-j-y— 5 = 0;
относительно осей координат.
757. Написать уравнение плоскости:
а) параллельной плоскости (xz) и проходящей через точку
(4-2; -5; +3);
Ь) проходящей через ось z и через точку (—3; 4~U —2);
с) параллельной оси х и проходящей через две точки (4~ 4; 0; — 2)
и (4-5; 4-1; 4“ 7).
758. Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат следу-
ющими плоскостями:
а) 2х— Зу — z 4- 12 = 0; d) х — 4г 4- 6 = 0;
Ь) 5x4“-У — Зг—15 = 0; е) 5х— 2y-]-z = 0;
с) х —у 4- z — 1 = 0; f) х — 7 = 0.
759. Построить линии пересечения координатных плоскостей с
плоскостью 5х 4~ 2у — 3z — 10 = 0.
760. Плоскость 3x4~J — — 18 = 0 вместе с координатными
плоскостями образует некоторый тетраэдр. Вычислить ребро куба,
который можно поместить внутри этого тетраэдра так, чтобы три
грани его совпадали с координатными плоскостями, а вершина, про-
тиволежащая началу координат, лежала на данной плоскости.
761. Через точку Р(4~7; —5; 4~ О провести плоскость, кото-
рая отсекала бы на осях координат положительные и равные между
собою отрезки.
762. Три грани тетраэдра, расположенного во втором октанте,
совпадают с координатными плоскостями. Написать уравнение четвер-
той грани, зная длину ребер, ее ограничивающих:
АВ = 6; ВС = К29'; СА = 5.
763. Привести к нормальному виду уравнения следующих пло-
скостей:
а) 2х — §у 4- 6г — 22 = 0;
Ь) 10x4-2^ — 1^4-60 = 0;
с) 6х — бу— lz 4-33 = 0.
764—777]
плоскость
135
764. Вычислить расстояние плоскости 15х—10у-|- 6г—190 = 0
от начала координат.
765. Составить уравнение плоскости, проходящей от начала коор-
динат на расстоянии 6 единиц и отсекающей на осях координат
отрезки, связанные соотношением: а : b : с — 1 : 3 : 2.
766. Определить направляющие косинусы прямой, перпендикуляр-
ной к плоскости 2х—у 4“ 2г 9 = 0.
767. Плоскость отсекает на осях координат следующие отрезки:
а=11, /> = 55, с =10. Вычислить направляющие косинусы прямой,
перпендикулярной к этой плоскости.
768. Найти угол между плоскостью х—y-^‘[/r2z— 5 = 0 и пло-
скостью (yz).
769. Найти точку, симметричную с началом координат относи-
тельно плоскости 6х 4~ 2_у — 9г 4~ 121 = 0.
770. Найти плоскость, зная, что точка Р(4~3; —6; 4" 2) СЛУ“
жит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат
на эту плоскость.
771. Вычислить расстояние
а) точки (4-3; 4-1’, —О от плоскости
22х4-4у — 20г — 45 = 0,
Ь) точки (4-4; 4~3; —2) от плоскости
Зх —~~у 4“ &z 4~ 1 == о,
с) точки (4~2; 0; —*Д) от плоскости
4х — 4j 4“ 2г-j-17 = 0.
772. Вычислить высоту (hs) пирамиды с вершинами S (0; -f- 6; 4),
А (4-3; 4-5; 4-3), В(— 2; -[-11; —5), С(4-1, —1; -j-4).
773. Даны две точки А (4-1; 4“ 3; —2) и 5(4-7; —4; 4“ 4).
Через точку В провести плоскость, перпендикулярную к отрезку АВ.
774. Положение зеркала определяется уравнением 2х — 6_у 4- Зг —
— 42 = 0. С какой точкой должно совпадать зеркальное изображе-
ние точки А (4“ 3; — 7; 4“ 5)?
775. Вычислить углы между следующими плоскостями:
а) 4х — бу 4- Зг — 1 = 0 и х — 4у — г 4~ 9 = 0;
Ь) Зх—j 4-2г-[-15 = 0 и 5x-[-9j/— Зг — 1 = 0;
с) 6х 4“ %У — 4г 4- 17 = 0 и 9х 4~ Зу — 6г — 4 = 0.
776. Через точку М(—5; 4“ 16; 4“ 12) проведены две плоскости:
одна из них содержит ось х, другая — ось у. Вычислить угол между
этими двумя плоскостями.
777. Составить уравнение плоскости:
а) проходящей через точку (—2; 4“ 7; 4~ 3) параллельно пло-
с кости х — 4у -j- 5г — 1 = 0;
136
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
(778—788
Ь) проходящей через начало координат и перпендикулярной к
двум плоскостям:
2х —у 4- 5г 4“ 3 = О и х Зу — z — 7 = 0;
с) проходящей через точки £(0; 0; 4“ 1) и N (+ 3; 0; 0) и обра-
зующей угол в 60° с плоскостью (ху).
778. Через ось z провести плоскость, образующую с плоскостью
2х-\-у— y^z — 7 = 0 угол у.
779. Проверить, что три плоскости 2х— 2y-j-z—3 = 0, Зх —
— 6z 1 = 0 и 4х 4- 5у 4" — 0 попарно перпендикулярны, и со-
ставить формулы преобразования координат, которыми будем пользо-
ваться, если первую плоскость принять за новую плоскость (ху),
вторую — за плоскость (yz) и третью — за плоскость (zx). Направле-
ние же осей выбрано так, чтобы старое начало относительно новой
системы имело положительную абсциссу и отрицательную аппли-
кату.
780. Составить уравнение плоскости, зная ее расстояние от трех
точек А (4-6; 4-1; —1), В(0; 4-5; 4~4) и С(4~5; 4-2; 0), а
именно: dv= 1; d2 = 3; d3 = 0.
781. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугран-
ные углы между плоскостями Зх—y-\-lz — 4 = 0 и 5x4“ Зу—
— 5z 4- 2 = 0.
782. На оси z найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
х 4~ 4у — 3z — 2 = 0
и
5х 4~ -2? 4~ з = 0.
783. Найти центр сферы, вписанной в тетраэдр, ограниченный
плоскостями координат и плоскостью 2х -р Зу — 6г — 4 = 0.
784. Вычислить расстояние между плоскостями:
Их-2у— Юг 4-15 = 0
и
Их-2у— Юг —45 = 0.
785. На расстоянии трех единиц от плоскости Зх — 6_у — 2г
4-14 = 0 провести параллельную ей плоскость.
786. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат и через две точки А(4~3; —2; 4“ 1) и В(4~1> 4“ 4; 0).
787. Известны координаты вершин тетраэдра: А(0; 0; 4-2),
В (4~ 3; 0; 4- 5), С (—|— 1; 4~1> 0) и £)(4~4; 4~1> 4”^)* Составить
уравнения его граней.
788» Вычислить объем тетраэдра, данного в предыдущей за-
даче.
789—796] плоскость 137
789* Проверить, можно ли провести плоскость через следующие
четыре точки:
а) (4-3; 4-1; 0), (0; 4-7; 4-2), (-1; 0; -5)
и (+4*> + 5);
Ь) (4-1; -1; 4-1), (0; 4-2; 4-4), (4-1; 4-3; 4-3)
и (4-4; 0; —3).
790. Найти точку пересечения следующих трех плоскостей:
а) 5х 4- 8у — z — 7 = 0, х 4“ 2_у 4“ ^z — 1=0,
2х — 3_у 4" — 9 = 0;
Ь) х — 4у — 2г 4“ 3 = 0, 3x4-J'4“z— 5 = 0,
— 3x4-12j/4-6z — 7 = 0;
с) 2х—j/4-бг —4 = 0, 2у—13^4-23 = 0,
Зх— z 4- 5 = 0.
791. Проверить, имеют ли общую точку следующие четыре пло*
скости:
а) 5х— z 4- 3 = 0, 2х—у — 4г 4~ 5 = 0, Зу4“2г—1=0,
Зх -J- 4у 4"* — 3 == 0;
Ь) 5х4“2_у — 6 = 0, x-j-J'— Зг = 0, 2х — Зу -|-г 4-8 = 0,
Зх 4- 2г — 1 = 0.
792. Через линию пересечения плоскостей 4х —у 4~ Зг — 1=0
и x-|-5j/ — г 4~ 2 = 0 провести плоскость:
а) проходящую через начало координат;
Ь) проходящую через точку (4~1; 4“ 1 > 4“
с) параллельную оси у;
d) перпендикулярную к плоскости 2х —у 4- 5г — 3 = 0.
793. В пучке, определяемом плоскостями Зх 4~У — 2г — 6 = 0
и х — 2у 4- 5г — 1=0, найти плоскости, перпендикулярные к этим
основным плоскостям.
794. В пучке, определяемом плоскостями 2х 4-У — Зг -|- 2 = 0
и 5х 4- 5у — 4г 4- 3 = 0, найти две перпендикулярные друг к другу
плоскости, из которых одна проходит через точку (4~4; —3; 4“1)-
795. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной к пло-
скости 5х —у 4- Зг — 2 = 0 и пересекающей ее по прямой, лежащей
в плоскости (ху),
796. Через линию пересечения плоскостей
х28у — 2г-|- 17 = 0
и
5х 4- 8у — г 4— 1 = 0
провести плоскости, касающиеся сферы х2 4^3,2_Ь-г'2 = !•
138 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (797—800
797. В пучке х 3_у — 5 4- k (х —у — 2г 4) = 0 найти пло-
скость, отсекающую равные отрезки на осях х и у.
797*. Определить, которая из координатных плоскостей принад-
лежит пучку:
4х —у 2г — 6 -|- k (6х + Зг — 9) = 0?
798. Через линию пересечения плоскостей: х Ц- 5_у Ц- г = 0 и
х — г 4~ 4 = 0 провести плоскость, образующую угол с плоско-
стью х — 4_у— 8г 4~ 12 = 0.
799. При каких значениях параметров А и D плоскости
2x4“.У — г4* 3 = 0, х—3j>4"5 = 0 и Ах-\-у— 2z-\-D = Q
принадлежат одному и тому же пучку?
799*. Проверить, что плоскости Зх — 4у 4“ 5 = 0, х — 2г 4“ 1 = 0
и 2_у— Зг—1=0 принадлежат одному и тому же пучку плоско-
стей.
800. В связке, определяемой плоскостями x-j-y— г 4-2 = 0,
4х — —1=0 и 2х4~_У — 5 = 0, найти плоскость:
а) проходящую через ось абсцисс;
Ь) параллельную плоскости (хг);
с) проходящую через начало координат и через данную точку
^(+Ь +3; 4-2).
ГЛАВА X
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Уравнения прямой. Угол между двумя прямыми.
Условие пересечения двух прямых в пространстве
Прямая линия может быть определена как пересечение двух пло-
скостей; поэтому она изображается совокупностью двух уравнений первой
степени:
Ax + By + Cz + D = 0,\
Alx + B^ + Clz + D^O. f
Эта же прямая может быть изображена уравнениями любых двух пло-
скостей пучка, определяемого плоскостями (1). Особенно удобно выбрать среди
этих плоскостей те, которые проектируют данную прямую на две координат-
ные плоскости; такие плоскости соответственно параллельны двум осям коор-
динат, и уравнение каждой из них содержит только две координаты. Таким
образом, система уравнений прямой (1) может быть приведена к виду:
' = “ + “• } й
у = nz + ь, )
Прямая может быть ойределена двумя своими точками. Если даны коор-
динаты двух точек (xlt yit zt) и (,v2, y2f z2)t то прямая, через них проходя-
щая, изобразится уравнениями:
Х — Хг = У—У1 = 2 — ?! к
Хл — Xi Ji— У1 Zi — ZL
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
139
Введя обозначения: х2 — Xi = m, у2 —yt = n, z2 — zL — pt получим
каноническую форму уравнений прямой:
Х — Х1 = У—У1 = Z — Zi . (4
т п р * ' '
здесь знаменатели /л, п и р пропорциональны направляющим косинусам пря-
мой
т:п:р= cos а: cos ₽: cos у,
и мы имеем:
COS а = ± ——==== ,
ma + л* 2 + р2
cos р — zt п--~ к
У^та + л2 + р2
. р
cos т = zt — ..
|^m2 + n2+pa
(5)
(6)
Знак в формулах (6) может быть выбран по нашему произволу, но во всех
трех формулах должен быть один и тот же. Перемена знака соответствует
изменению положительного направления на прямой.
Угол между двумя прямыми
x — a__y — b__ z — c и x-a^y-b^z-Ci
т п р Л1 pi ' '
вычисляется по формуле:
cos у ± nni-t рр^.=. (8)
Ут» + и’ +ра • Y+ «5 + Р?
Условие параллельности этих прямых:
(9)
пч nt pt
Условие перпендикулярности прямых:
тт^ + ЛЛ1 + ppi = 0.
(Ю)
Большинство задач решается проще, если уравнения прямых имеют канони-
ческую форму (4), и очень важно уметь приводить систему общих уравнений (1)
к этому виду. Это может быть достигнуто следующим образом: исключая из
системы (1) один раз одну координату, другой раз другую, мы переходим к
системе (2), потом находим значения z из обоих уравнений (2) и приравниваем
их между собой:
х — а____у — b__ z о
т п ~~ 1 ’
здесь с = 0 и р = 1.
Можем достигнуть цели и иначе: непосредственно из уравнений (I) вы-
числяем координаты а, b и с какой-нибудь точки прямой 2), а затем вместо
х) а, Ь, с обозначают известные координаты какой-нибудь точки прямой
и написаны здесь вместо уи zt уравнений (4).
2) Одной из координат даем произвольное значение и вычисляем две дру-
гие из данных двух уравнений.
140 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1801
угловых коэффициентов т, п и р берем пропорциональные им величины, вычис-
ленные из пропорции
т: п :р
I ЯС I I СЛ I I А В I
iBiCil : I Ci Лх 1: 1л В. |-
(И)
Если один из знаменателей т, п или р
тель соответствующей дроби надо положить
окажется равным нулю, то числи-
равным нулю, т. е. система
х — а__у — Ъ___z — с
0 п р
— Ь г —с
равносильна системе х — а = 0 и — = —-—
„ х — а у — b z — с
лярна к оси х. Система —— =----------------
; такая прямая перпендику-
равносильна системе х — а =
= 0 и у — # = 0; прямая параллельна оси z.
Если прямая дана одной точкой (а, Ь, с) и направляющими косинусами
cos a, cos 3, cos у, то можно написать нормальную систему уравнений
этой прямой:
х — а __У— Ь
COS a COS Р
Z — с
cos 7 *
(12)
Эти уравнения получаются из (4) умноженйем всех знаменателей на нор-
мирующий множитель ч—-=====,
~ У т* -\-п~+р*
В нормальной системе (12) каждое из трех отношений равно расстоянию
образующей точки (х, у, z) от постоянной точки (a, с). В канонической
системе (4) соответствующие отношения лишь пропорциональны этому рас-
стоянию.
Необходимое и достаточное условие пересечения двух прямых (7) в
пространстве выражается равенством
а — b — с — Ci
(13)
т п р = 0.
«1 pt
801. Указать особенности в расположении следующих прямых:
a) J Ах By Сг — 0,
| Ахх —|— Bty —|— C\Z =
( Ах 4-D =0,
о) <
1 5^ + А = 0;
. ( —|— By —Cz —|— D = 0,
C) 1 ^ + А = 0;
f By +Cz -YD =0,
( Bt у + Ctz + = 0;
. ( Ax 4-Сг =0,
e) 7 '
| Atx “I- CiZ== Oj
} I 5x— 1 =0;
4 ( 5x4-У — Зг — 7 = 0,
l 2х+д/ —Зг—7 = 0.
802—808)
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
141
802. При каком значении свободного члена D прямая
j Зх— y-^^z— 6 = 0,
( х-\-4у— z-\-D = Q
пересекает ось г?
803. При каких значениях коэффициентов В и D прямая
j х — Ъу-^-г — 9 = 0,
( Зх —By -|— z —О === 0
лежит в плоскости (ху)?
804. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в урав-
нениях прямой
j Ах +Ву +Cz +D =0,
( А[Х —В}У —|— C[Z = 0
для того, чтобы прямая
а) была параллельна оси х;
Ь) пересекла ось у;
с) совпала с осью г;
d) была параллельна плоскости (yz);
е) лежала в плоскости (хг);
f) проходила через начало координат?
805. Написать уравнения плоскостей, проектирующих прямую
( 5х-|-8у — Зг-|-9 = 0,
( 2х — 4у -j- z — 1 = 0
на три координатные плоскости.
806. Какими уравнениями изобразятся проекции прямой
| Зх 2у — z 5 = 0,
( х— у — г-j- 1 =0
на координатные плоскости?
807. Определить Следы !) прямой
( 6х4~2у— z— 9 = 0,
| 3x4-2у4-2г—12 = 0
и построить эту прямую.
808. Составить уравнения проекции прямой
j х — 4у 2г — 5 = 0,
[ 3x4- У— г4-2 = 0
на плоскость 2х 4- %у 4“* z — 6 = 0.
*) Следами называются точки пересечения прямой с координатными пло
скостями.
142 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (809—820
809. Составить уравнения прямой, проходящей через начало коор-
динат и через точку (a, Ь, с).
810. Написать уравнения ребер тетраэдра, вершины которого даны
своими координатами: А(0; 0; 4-2), В (4- 4; 0; 4“ 5), С(4~5; 4^3; 0),
D(— 1; 4-4; —2).
811. Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки:
(+3; 0; +1), (0; +2; +4), (+1; + ‘/3; +3).
812. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными
плоскостями (xf, д//, 0) и (х2; 0; г2). Вычислить координаты точки
пересечения этой же прямой с третьей координатной плоскостью.
813. Определить направляющие косинусы прямых
. х—\ _у — 5 _Н2,
4 — — 3 12 ’
м х —-У — 7 — * + 3
' 12 9 20 ‘
814. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
А (4-1; —5; 4~3) и образует с осями координат углы, соответст-
венно равные 60°, 45° и 120°.
815. Определить угол, образованный прямыми:
х— 1___У+ 2___z — 5 х_____у— 3___1
~3~ 6 2 И Т 9“ Г*
816. Вычислить углы, образованные противоположными ребрами
тетраэдра с вершинами: А (4~ 3; —1; 0), В(0; —7; 4-3), С(—2;
4-1; -1), Z)(4~3; 4-2; 4~6).
817. Привести к каноническому виду уравнения прямой
J 2х — Зу — Зг — 9 = 0,
( х — 2^4" z 4" з = о.
818. Вычислить направляющие косинусы прямой
J 5х — бу 4“ 2г 21 = 0,
( х — г 4~ 3 = 0.
819. Определить угол между двумя прямыми
| Зх — 4у— 2г = 0, ( 4х-\-у— 6г — 2 = 0.
( 2х 4- у — 2г = 0 И ( у — Зг 4“ 2 = 0.
820. Через точку (4~ 2; — 5; 4“ 3) провести прямую
а) параллельную оси г;
„х — 1 у — 2 z + 3
Ь) параллельную прямой ——=<—g- =—;
( 2х — у 4~ Зг — 1=0,
с) параллельную прямой < 5х^_4у_ г_7 = 0<
821—827]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
143
821. В плоскости (xz) найти прямую, проходящую через начало
координат и перпендикулярную к прямой
х —2____у + 1__z— 5
3 1 *
822. Проверить, пересекаются ли следующие прямые:
1 ——5 * —6_у+1 _ * .
3' 2 — 1 — 4 3 — —2 — 1 ’
J 4х + z — 1=0, ( Зх -|-У — z + 4 = 0,
J J х —2_у4-3 = 0 И [ y-]~2z — 8 = 0.
823. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
А (-|- 2; 3; +1) на прямую ^г- = .
824. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
х — 5 у — 2 z-\- 1
4 ~ 3 — — 2 *
825. Через точку А (-)- 4; 0; —1) провести прямую так, чтобы
она пересекала две данные прямые:
х— 1__у 4-3____z — 5 х_______у — 2__«4-1
2 4 3 И 5 —1 2 е
826* Из всех прямых, пересекающих две прямые;
х-р у — 5 z х—-10 3^4-7 z
2 3 1И 5 ~ 4 ’“'Т’
найти ту, которая была бы параллельна прямой
x-f-2___у — I _г— 3
8~ — —~ ~ Г~ ’
827. Составить уравнения общего перпендикуляра двух прямых:
х — 1___у — 3__z — 9 х — 3_____у — 1___z— 1
1 “ 2 — 1И— 7 — 2 3 ’
2. Прямая и плоскость
Чтобы найти точку пересечения прямой
(14)
т п р v '
и плоскости
Ax + By + Cz + D = Qt (15)
надо решить совместно эти три уравнения. Решение получится изящнее, если
ввести параметр р, равный трем отношениям (14). Тогда х = /яр 4- я, У = п? +
2 = рр4-с; вставляя эти значения координат в уравнение плоскости (15), по-
лучим значение р и затем уже определим искомые координаты.
144
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
(828—835
(16)
(И)
(18)
Угол между прямой (14) и плоскостью (15) вычисляется по формуле:
Ат + ВпА-Ср
Sin <р = НН .....- ..... г--- ---
/Л2 + Ва + С2 • ]Лиа + п2+р9
Условие параллельности прямой (14) и плоскости (15):
Ат + Вя + Ср = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
т п р*
Условие того, что прямая (14) целиком лежит в плоскости (15), выражается
двумя равенствами:
Аа + Bb + Сс + D = 0, )
лт + 5„ + Ср=о.} <19>
___ 12 V___9 Z —— 1
828. Найти точку пересечения прямой——=—Г~ и
плоскости Зх-]-5у — z — 2 = 0.
829. Найти точку пересечения:
а) прямой х +- = Y- — у и плоскости Зх — 3_у 2z — 5 = 0;
lx х—13 у—1 г.— 4 , ~ _
Ь) прямой —&— — —g— = —з—и плоскости х-\-2у—4г 4-1=0;
с) прямой х и плоскости Зх——5=0.
830. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пере-
сечения плоскости 2х 4-J — Зг 4” 1 = 0 с прямыми - у - = =
__ z-j-1 х — 5 __у — 3___ z-}-4
2 И 2 4 — 6 ‘
831. При каком значении коэффициента А плоскость Дх4~3_у—
— 5г 4- 1 = 0 будет параллельна прямой
х— 1 у + z □
4 — 3 Г
832. При каких значениях коэффициентов А и В плоскость
х ____________________________________________________ 2
Ах 4- 6г — 7 = 0 перпендикулярна к прямой ——=
у + 5_ * + 1?
— — 4 3
833. Из точки (4- 3; — 2; 4~ 4) опустить перпендикуляр на
плоскость 5х 4" Зу — lz 4- 1 = 0.
834. Через начало коррдинат провести плоскость, перпендикуляр-
хЦ-2 у — 3 z— 1
ную к прямой —-— = —= "_2"'
835. Найти проекцию точки А (4~ 4; — 3; 4“ 1) яа плоскость
х 4 Яу — % — 3 = 0.
836—846]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
145
836. Проверить, лежит ли прямая:
а) —тр- = ~ на плоскости 4х4~3_у— г-[-3 = 0;
Ь) Х у~~ = 4- = * на плоскости 5х— 8у — 2z—1=0;
’ 4 7 3
с) * = --~~5 =4~ на плоскости Зх — 2у — 2 -4- 15 = 0.
7 3 4 1 1
837. Написать уравнение плоскости, которая проходит через
точку (-]- 3; 1; — 2) и через прямую
х — 4 у 4-3 z
5 2 Т’
тт X — 2 у — 3 24-1
838. Через прямую —— =—2— провести плоскость,
перпендикулярную к плоскости х 4у — Зг 4“ 7 = 0.
839. Найти проекцию прямой у = —на плоскость
х —у 4~ Зг -|- 8 = 0.
840. Проверить, что прямые
х — 3 __у + 1 __2 — 2 х — 8 _____у—1 _____ z— 6
~5 ~2 ~ И ~"3 1 —2
пересекаются, и написать уравнение плоскости, через них проходящей.
841. Провести плоскость через перпендикуляры, опущенные из
точки (— 3; -J- 2; 4~ 5) на плоскости
4х-\-у— Зг4~13 = 0 их — ty-\-z—11=0.
842. Написать уравнение плоскости, проходящей через следую-
щие две параллельные прямые:
х___у + 2___ z— 1 х— 1 ___ у — 3_ z -\-2
Т 3 5 И ~7 ~3 5 ’
843. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Р(4~4; — 3;4~1) и параллельной прямым:
х __у ___ z _ х + 1 _____У — 3 _ z — 4
“6 Т =3 И 5 ~ 2 '
844. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
х — 3 у4-4 z— 2
—5— =---------------у- и параллельной прямой
2 1 — о
х + 3 __у — 2 ___ z — 1
4 — 7 ~2 •
тт х 4-5 у — 2 z
845. Через прямую —— = ^-j— = -j- провести плоскость, па-
раллельную плоскости х-]-у— г 4“ 15=0.
846. Можно ли через прямую = = провести
плоскость параллельно плоскости 2х 4-У — 7z 4“ 1 = 0?
146
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[847—859
847. Через точку Р(4~ 1;0; 4“ 7) параллельно плоскости Зх—
2z—15 = 0 провести прямую так, чтобы она пересекала прямую
х— 1 у— 3 z
4 2 Т’
848. Найти расстояние точки Р (4- 7; 4- 9; 4* 7) от прямой
х —2____________________у — 1___z
4 — 3 — 2 •
849. На прямой = = найти точку, ближайшую
к точке (4- 3; 4- 2; 4" 6).
( x-[-2y-\-z —1=0)
850. На прямой л ? найти точку,
н (Зх—— 29 = 0 J J
одинаково удаленную от двух данных точек А (4-3; 4- И;4~4) и
В(— 5; — 13; —2).
851. Найти точку, симметричную с точкой Р (4~ 4; 4~3; 4~ Ю)
„ х— 1 у— 2 z — 3
относительно прямой —= —=—5—•
852. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
х — 2 у + 1 z х — 7 у— 1 z — 3
~3 ~~4 Т и 3 ~~4 ~~~~2 •
853. Найти кратчайшее расстояние между двумя не пересекаю-
щимися прямыми:
х — 9__У 4-2__ z х ________у + 7_ z — 2
~~4 "^3" Г И ~=Т —9“ ~2 '
854. Вычислить расстояние между прямыми:
х 4- 3 у — 6 z— 3 х — 4 у 4- 1 г 4~ 7
~4 —3 2 И 8 —3 — 3 *
855. Даны вершины треугольника А (4- 4; 4-1; — 2), В(2;0;0),
С(—2;4-3; — 5). Составить уравнения его высоты, опущенной из
вершины В на противолежащую сторону.
856. Составить уравнения биссектрис угла А треугольника, дан-
ного в задаче 855.
857. Через сторону АВ треугольника задачи 855 провести
плоскость, перпендикулярную к плоскости треугольника.
858. Дан куб, ребро которого равно единице. Вычислить рассто-
яние между вершиной куба и его диагональю, не проходящей через
эту вершину.
859. Проверить, что плоскость, перпендикулярная к диагонали
куба и проходящая через ее середину, пересекает куб по правиль-
ному шестиугольнику.
860]
СФЕРА
147
ГЛАВА XI
СФЕРА
Мы получим уравнение сферической поверхности, выразив ана-
литически тот факт, что образующая точка (х, у, z) находится от постоянной
точки (а, Ь9 с) — центра сферы — на постоянном расстоянии, равном ради) су
Я сферы:
(х - а)2 + (.у — Ь)* + (z - с)2 = /?2, (1)
или
-J-уз _|_ 2з _ 2ах — 2by — 2cz + я2 + + с2 — Я2 = 0. (2)
Уравнение сферы содержит четыре независимых параметра: координаты
центра и радиус. Уравнение это — второй степени, поэтому сфера — поверхность
второго порядка. Уравнение сферы (2) обладает той особенностью, что коэф-
фициенты при квадратах координат равны между собой, а члены с произведе-
ниями координат отсутствуют. Обратно, если уравнение второй степени удовле-
творяет этим двум условиям, то оно изображает сферу, и его можно привести
к виду (1), дополняя до полных квадратов группы членов, содержащие одни и
те же координаты. При этом для 7?2 может получиться положительное, нулевое
или отрицательное значение; в зависимости от этого сфера будет вещественная,
нулевого радиуса (только одна действительная точка) или мнимая.
Если перенести начало координат в центр сферы, то уравнение ее примет
более простой вид:
x^+y^ + z^^. (3)
Со всякой прямой линией сфера имеет две общие точки (действительные
или мнимые); если обе точки пересечения сливаются, то прямая касается сферы,
и тогда расстояние ее от центра сферы равно радиусу.
Со всякой плоскостью сферическая поверхность пересекается по окруж-
ности (действительной или мнимой). Если плоскость находится от центра на
расстоянии, равном радиусу, то линия пересечения обращается в круг нулевого
радиуса (одна действительная точка); плоскость касается сферы, в ней лежат
все прямые, касающиеся сферы в данной точке.
Плоскость, касающаяся сферы (1) в точке (хъ уь Zi), имеет уравнение:
(Xi — а) (х — а) + (yt — b) (у — Ь) + (Zi — c)(z — c) = R*. (4)
Если сфера отнесена к центру, то касательная плоскость изображается
уравнением:
+ УУ1 + = Яа. (5)
Если перенести все члены уравнения сферы (1) в левую часть, то эта ле-
вая часть
S = (х __ fl)2 + (у _ Ьу + (2 _ с)а __
представит степень точки (х, у, z) относительно сферы; иначе, она равна
квадрату длины касательной, проведенной из точки (х, у, z) к сфере.
860. Написать уравнение шаровой поверхности, имеющей центр
в точке:
а) (~|-2;—1;+.3) и радиус /?=6;
Ь) (0; 0; 0) и проходящей через точку (-]- 6; — 2; 3);
с) (-р 1; -j- 4: — 7) и касающейся плоскости 6х Ц- — lz 4* 42 =0;
d) (+ 6; — 8; -j- 3) и касающейся оси z.
148 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (861—870
861. Составить уравнение сферы, описанной около тетраэдра,
одна из вершин которого совпадает с началом координат, а три
другие находятся в точках: А(4~2;0;0), В(0;-|-5;0) иС(0;0;4-3),
862. Найти центр и радиус окружности:
((х — 4)2 + (у — 7)2 + (г 4- 1 )2 = 3 6,
| Ъх-\-у— z — 9 = 0.
863. Составить уравнение шаровой поверхности, зная, что она
проходит через точку (0; — 3;—J— 1) и пересекает плоскость (ху) по
окружности
| х2Ц-У=16,
( г = 0.
864. Найти проекцию окружности
Г (x-3)2 + (j/-7)2-|-(^+l)2 = 25,
( 2х—у — 2z—10 = 0
на плоскость (xz).
865. Определить координаты центра и величину радиуса для
каждой из следующих сфер:
а) —6х + 8_у4-22г+ 10 = 0;
Ь) х* 4~У 4" z* 4" — 4 = 0;
с) х24~У 4- г2 — 6x4-10 = 0;
d) х24-У 4-z2 —4x-j- 12у — 2^4” 41 =0;
е) 36х2 4- 36/ 4- 36г2 — 36х 4- 24у — 72г — 95 = 0.
866. Составить уравнение сферической поверхности, зная, что
она проходит через окружность
( (х — 3)2 + (у — 4)24-г2 = 36,
( 4х 4~ У — z — 9 = 0
и через точку (4- 7; — 3; 4~ 1).
867. Какому соотношению должны удовлетворять коэффициенты
плоскости Ах 4~ By 4- Cz 4- D = 0 для того, чтобы эта плоскость
касалась сферы х2 4~У 4~ z* = R*?
868. В точках пересечения прямой х у1 • = -—-у- = - - и сферы
(х — 2)2 4~ (.У + 1)’ + (z — З)2 = 6 провести касательные плоскости
к этой сфере.
869. Через ось х провести касательные плоскости к сфере
(х4-5)2 4-Су — 8)2 4-(г 4-1)2 = 16.
870. К сфере (х — 4)2 4~У 4~(г — 2)2 = 225 провести касатель-
ные плоскости, параллельные плоскости 10х — 1 \у — 2г 4- 3=0.
871-875]
КОНУС И ЦИЛИНДР
149
871. Написать уравнение сферы, которая касается прямой— =
у + 4 Z — 6 <\ л л \ « х — 4 У4-3
= — = —4—в точке (-[- 1; — 4;-[-6) и прямой—= — =
= в точке (-}- 4; — 3; 2).
872. Написать уравнение сферической поверхности, имеющей центр
в точке С (+ 4; Ц- 5; — 2), зная, что шар х2 -j-j/2 -j-z* — 4х — 12_у
~|- 36 = 0 касается ее с внутренней стороны.
873. Найти геометрическое место точек, имеющих одинаковую
степень относительно двух сфер:
(x-5)’ + (j/-3r + (^+ir = 9;
(х — 7)9 + у* + (z — 2)9 = 16.
874. Найти геометрическое место точек, имеющих одинаковую
степень относительно трех шаровых поверхностей:
х9 4-j» + г9 4- 10х — 2у + 21 = 0;
х9 .У4 + z<t + ^У — 6г 4- 7 = 0;
л-* 4-у _|_г2 2х — 8г 4- 8 = 0.
875. Найти уравнение шаровой поверхности, ортогональной к че-
тырем следующим поверхностям:
х9 4~У* 4- г9 = 9;
(x + 5)2 + (j/-l)2 + (^ + 2)2 = 53;
(х+1)2+У + (г+3)2 = 39;
х2 + 4- 1)2 + (г — 2)2=10.
ГЛАВА XII
КОНУС И ЦИЛИНДР
Конической поверхностью называется поверхность, описываемая
подвижной прямой (образующей), проходящей через постоянную точку (в е р-
шину конуса) и пересекающей некоторую кривую (направляющую).
Если даны координаты вершины конуса (a, bt с) и уравнения направляю-
щей линии:
fi(x,y, z) = 0, •>
fa(x,y, z) = 0, f
то можно составить уравнение конической поверхности следующим образом.
В любой момент своего движения образующая проходит через постоянную
точку (а, Ь, с); ее можно изобразить системой уравнений:
х — а_у — Ь_ г-с‘)
т ~ п ~ 1 • ( ’
где т и п — переменные параметры, значения которых ограничены тем, что
х) Так как направление прямой зависит только от отношений трех угловых
коэффициетов т, п, р, то один из них (не равный нулю) можно считать равным
единице.
150
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
образующая должна пересекать направляющую (1), т. е. по отношению к коор-
динатам (х, у, г) четыре уравнения (1) и (2) должны быть совместны. Исключив
из этик четырех уравнений х, у и г, получим одно уравнение, связывающее
параметры тип:
<р (т, п) = 0. (3)
Исключая т и п из уравнений (2) и (3), получим одно уравнение, которому
удовлетворяют координаты любой точки подвижной образующей, т. е. искомое
уравнение конической поверхности. Проще всего это можно осуществить,
вставляя в (3) вместо m и п их значения из (2), и тогда уравнение конуса мы
получим в следующем виде:
<Р
Z — с )
= 0.
(4)
Если начало координат перенесено на вершину, то уравнение конуса будет
т. е. конус с вершиной в начале координат изображается однородным уравне-
нием. Обратно, всякое однородное уравнение представляет конус, вершина ко-
торого совпадает с началом координат.
Иногда приходится составлять уравнение конической поверхности описан-
ной около некоторой данной поверхности, т. е. состоящей из касательных к этой
поверхности, проходящих через одну и ту же точку; тогда соотношение (3),
связывающее угловые коэффициенты образующей, выводится из условия сопри-
косновения, а именно: при совместном решении уравнения поверхности и урав-
нений образующей должны получиться равные корни.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, опи-
санная прямой (образующей), не меняющей при движении своего направле-
ния и все время пересекающей определенную кривую (направляющую).
Если даны уравнения направляющей линии:
Fi (х, у, z) = 0,
Ъ(х, У, 2)=0
и направление образующей (т;п: 1), то можно составить уравнениецилиндри-
ческой поверхности.
Уравнения образующей мы представим в виде:
х— а у — Ь z
т п 1 ’
(5)
(6)
где т и п — данные угловые коэффициенты, а переменными параметрами яв-
ляются координаты а и b точки пересечения образующей с плоскостью (ху) 9-
Значения этих параметров ограничены условием пересечения прямой (6) с
кривой (5), условием совместности соответствующих уравнений; аналитическое
выражение этого ограничения мы получим, исключив из четырех уравнений (5)
и (6) координаты х, у, z. Тогда будем иметь:
?(а, *) = 0. (7)
Координаты любой точки подвижной образующей, т. е. координаты любой
точки цилиндрической поверхности, должны удовлетворять уравнениям (6) при
соблюдении условия (7); исключив из этих трех уравнений параметры а и Ь,
мы получим искомое уравнение цилиндра:
(х — mz, y — nz)=- 0. (8)
9 Если образующая параллельна этой плоскости, то можно воспользо-
ваться точкой ее пересечения с другой координатной плоскостью.
876—885]
КОНУС И ЦИЛИНДР
151
Если направляющая дана в одной из координатных плоскостей, то этим
самым уже дано нужное нам уравнение (7).
Если требуется составить уравнение цилиндра, описанного около некоторой
поверхности, то соотношение, связывающее переменные параметры образующей,
находится из условия соприкосновения образующей и данной поверхности.
876. Составить уравнение конуса, вершина которого находится
в начале координат, а направляющая дана уравнениями:
( х24-У4-(г —5)2 = 9,
( z = 4.
877. В плоскости (ху) лежит парабола; вершина ее совпадает с
началом координат, ось — с положительным направлением оси х, и
параметр р = 2. Составить уравнение конуса, приняв эту параболу
за направляющую и выбрав вершину в точке (0; 0; +8).
878. Найти уравнение конуса, проектирующего эллипс:
^4-51 = 1
< 25 ‘ 9 ’
х — О
из точки (4-4; 0; —3).
879. Прямая, все время проходящая через точку (0; Ь\ 0), сколь-
зит по гиперболе:
Za _ £а _ 1
- й3—
Написать уравнение конической поверхности, описайной этой прямой.
880. Направляющая конуса дана уравнениями:
| Зх24-6У — г=0,
I -*4"-У 4"2'= ь
а вершина его находится в точке (—3; 0; 0). Составить уравнение
конуса.
881. Найти геометрическое место касательных, проведенных из
начала координат к сфере (х— 5)24-СУ 4~ 1)a4"*2=
882. Составить уравнение круглого конуса, проходящего через
все три координатные оси.
883. Прямая х = ~ = ~ вращается около оси х. Найти урав-
нение описанной ею поверхности.
884. Найти геометрическое место прямых, проходящих через
точку (4-3; 0; 4~5) и образующих с плоскостью (хд>) угол
885. Составить уравнение цилиндра, направляющей которого
( x24"J/2 = 25
служит окружность I z_________0И напРавлеиие образующей дано
отношениями т: п: р = 5; 3:2.
152
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[886—889
886. Найти уравнение цилиндра, зная, что он проходит через
[ (х — 1)*4-О4-3)34-0 — 2)2=25,
кривую I x-j-y z [-2_____0 а °^РазУющая его:
а) параллельна оси х\ Ь) параллельна прямой х=_у, z = c.
[ х = у* 4- А
887. Направляющая цилиндра дана уравнениями: | _
[ X ' ZZ)
а образующая его перпендикулярна к плоскости направляющей. Со-
ставить уравнение цилиндра.
888. Написать уравнение цилиндра, описанного около сферы
= 1, зная, что образующая его составляет равные углы
с тремя осями координат.
889. Даны три параллельные прямые: x—y = z\ x-]-l=J =
= z — 1; х — 1 =_у -|- 1 = z — 2. Найти проходящий через них
круглый цилиндр.
ГЛАВА ХШ
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДАННЫЕ
ПРОСТЕЙШИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Среди поверхностей второго порядка существуют такие, которые имеют
центр симметрии и три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, через
него проходящие. Если выбрать эти плоскости за координатные плоскости, то
в уравнение поверхности не могут войти члены с первыми степенями коорди-
нат и члены с их парными произведениями, так как перемена знака у одной
из координат, у двух из них или у всех трех не должна отразиться на урав-
нении. Таким образом, всякая центральная поверхность, при соот-
ветствующем выборе системы координат, изображается уравнением:
0ц*а-|-02зУа-|-0зз£9 + 044 = О, (О
и, в зависимости от знаков коэффициентов, это уравнение изображает различ-
ные типы поверхностей, а именно:
Г2 V2 22
1) Мнимый ЭЛ ЛИП СОИД + + — I 0» (2)
когда все четыре коэффициента уравнения (1) имеют одинаковые знаки.
Д^З уЗ ^2
2) Действительный эллипсоид ^з~ =
когда знак свободного члена противоположен знаку остальных.
у9 z^
3) Однополостный гиперболоид —-3- = !, W * I
1) Здесь введены следующие обозначения: — = а9; | -- | = />2;
I 0ц I 1022 I
lSil=rt
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
153
когда знак свободного члена противоположен знаку только двух других коэф-
фициентов.
у2 z3
4) Двуполостный гиперболоид -3+^2"— (5)
когда знак свободного члена противоположен знаку только одного из осталь-
ных коэффициентов.
Рассмотрим еще случаи, когда некоторые из коэффициентов обращаются
в нуль:
v-8 v2 ~2
1) Мнимый конус + + т = (6)
' ал 1 Ьл с2
№ У2 22
и действительный конус + ---г = 0, (6')
а3 ‘ о* с3
когда свободный член равен нулю. Вершина конуса служит его центром.
X2 V2
2) Мнимый цилиндр —1» (7)
х2 у2
эллиптический цилиндр 4-^- = 1 (7’)
Сг 1 Ол '
и гиперболический цилиндр —^- = 1, (7Н)
когда коэффициент при одной из координат равен нулю. Цилиндр имеет линию
центров, так называемую ось цилиндра.
X2 V2
3) Пара мнимых п л о с к о с т е й — -|- = 0, (8)
х2
пара мнимых плоскостей ^- =— 1, (8')
х2 у2
пара действительных плоскостей --—^=0 (8")
х2
и пара действительных плоскостей —=1, (8'")
когда два коэффициента обращаются в нуль. Если поверхность распадается
на пару пересекающихся плоскостей, то она имеет линию центров; если поверх-
ность распадается на пару параллельных (или сливающихся) плоскостей, то
она имеет целую плоскость центров.
Остальные поверхности второго порядка не имеют ни центра, ни трех
плоскостей симметрии, и их уравнения не могут быть приведены к виду (1).
Но они имеют две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, и соответ-
ствующим выбором системы координат можно добиться, чтобы их уравнение
содержало только три члена: квадраты двух координат и первую степень
третьей координаты, а именно:
апха + 022.У3 + 2Дз42! = 0. (9)
Здесь придется различать три случая:
1) Эллиптический параболоид
(Ю)
2р 2q 9
когда коэффициенты при квадратах координат имеют одинаковые знаки.
*) Здесь введены обозначения:
154
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
х3 Vs
2) Г и п е р б о л и ч е с к и й параболоид 2 = ^-
2р 2q ’
когда коэффициенты при квадратах координат имеют разные знаки.
X2 V2
3) Параболический цилиндр г = -^- или z = ~.
2р 2q
(11)
(12)
когда один из коэффициентов при квадратах координат равен нулю.
Предположение я34 = 0 приведет к разобранному случаю распадающейся
поверхности.
Поверхности второго порядка пересекаются с прямой, вообще говоря,
в двух точках (действительных или мнимых); если эти точки пересечения сли-
ваются, прямая касается поверхности. Прямые, не имеющие ни одной общей
точки (действительной или мнимой) с поверхностью в конечной части простран-
ства, называются ее асимптотами; все прямые, им параллельные, пересекают
поверхность не более чем в одной точке.
Если прямая имеет с поверхностью более двух общих точек, то она целиком
лежит на поверхности и называется прямолинейной образующей этой
поверхности.
Из нераспадающихся поверхностей второго порядка, кроме цилиндра и
конуса, только однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид имеют
действительные прямолинейные образующие.
j^2 у2 2»2
Гиперболоид jja 4-gr — -g- = 1 имеет две серии прямолинейных образую-
щих, которые определяются уравнениями:
где k и I — произвольные параметры.
Гиперболический параболоид
мых:
х2____
2р <lq
= z содержит тоже две серии пря-
. / х у \
2р V 2<1)
yL + ^y=A = z
____У==1.
V'lp V2q
(14)
Поверхность второго порядка пересекается всякой плоскостью по кривой
второго порядка (действительной или мнимой). Сечения поверхности ее пло-
скостями симметрии называются главными сечениями; вершины и оси
главных сечений называются вершинами и осями поверхности. Сечения
параллельными плоскостями дают подобные кривые. Плоскость, проходящая через
центр, называется ее диаметральной плоскостью.
Касательная плоскость поверхности в данной точке есть геометрическое
место прямых, касающихся поверхности в этой точке. Касательная плоскость
имеет с поверхностью или одну действительную общую точку, как, например,
у сферы, или пересекает поверхность по распавшейся кривой второго порядка;
у конуса и цилиндра эта кривая состоит из двух слившихся прямых, у одно-
полостного гиперболоида и гиперболического параболоида — из двух различных
прямолинейных образующих.
890-8911
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
155
Плоскость, касающаяся поверхности в точке (xu ylt zL\ определяется сле-
дующим образом:
Уравнение поверхности ы S’ ~ с3 ’ а3 ' ~ са ’ Z-2p~2q> Уравнение касательной плоскости •УХ1 , yyt ZZj . а3 1 Ъ3 ~~ са — ’ XXi । yyi zzt_ft а3 1 b3 ~ с3 ’ z + Zl = ^^t р q '
причем комбинация знаков в уравнении касательной плоскости должна быть
та же, что и в уравнении соответствующей поверхности.
Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через
точку прикосновения, называется нормалью к поверхности в данной точке.
Все поверхности второго порядка, кроме гиперболического параболоида,
гиперболических и параболических цилиндров, имеют среди своих плоских се-
чений сечения круговые. Поверхность, если она не является поверхностью
вращения, содержит две серии кругов, расположенных в параллельных плоско-
стях. Точки поверхности, в которых касательные плоскости параллельны кру-
говым сечениям, называются точками округления.
Пучки параллельных плоскостей, дающих в сечении с поверхностью круги,
определяются следующими уравнениями:
Поверхность
Плоскости круговых сечений
Примечания
1) Ь3 — с3 — kit
2) уVa3 — b* —±l/b» — c* = ks.
с
ki и kz — пара-
метры пучков
Т jST *»
890. Найти главные сечения эллипсоида + Ь опреде-
лить его вершины и длину осей.
891. Исследовать сечения эллипсоида ^-+^а-4-"3 = 1 плоско-
стями, параллельными координатным плоскостям.
156
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1892—900
892. Найти отношение осей двух параллельных сечений эллипсо-
X2 I Vs . Z2 - , ч
ида tje+St+ "г= L а именно: сечения плоскостью (хг) и плоско-
го 1 У 4 '
стью, отстоящей от нее на расстоянии двух единиц.
893. По неизменному эллипсу
скользят
две вер-
шины другого эллипса, который перемещается так, что плоскость его
остается все время перпендикулярной к оси д/, а сам он деформи-
руется, сохраняя постоянное отношение осей с: а!). Найти поверх-
ность, описанную этим вторым эллипсом.
894. Найти проекцию на плоскость (х_у) линии пересечения эллип-
X2 V3
соида, 4-z2=l и плоскости х + 4г — 4 = 0.
16 1 4 1 1
895. Найти центр линии пересечения эллипсоида и плоскости,
заданных в предыдущей задаче.
j^2 оЗ 2^2
896. Дан однополостный гиперболоид + —г = 1- Найти ли-
бо 1 1 о 4
нии его пересечения с координатными плоскостями и с плоскостями,
им параллельными и проходящими по обе стороны от них на расстоя-
нии 1, 2, 3, 4 и 5 единиц. Начертить проекции всех этих сечений
на соответствующие координатные плоскости.
897. Исследовать линию пересечения гиперболоида
—г2 —1
9 + 4 Z ~1
с плоскостью 4х — Зу—12г — 6 = 0, пользуясь ее проекциями на
координатные плоскости.
898. Найти плоскости, параллельные координатным плоскостям и
пересекающие двуполостный гиперболоид -g-+ 6~~Т = —* по кри-
вым, оси которых вдвое больше осей соответствующих главных се-
чений гиперболоида.
899. Какие поверхности изображаются уравнениями:
ь)?-У+т=°>
с) _i!+i+^=o
9 16
и какое геометрическое значение имеют параметры а и b в уравне-
нии а)?
900. Найти угол между образующей и осью (вращения) конуса:
у = °-
А) При вычислении отношения осей за первую ось взята та, которая ле-
жит в плоскости неподвижного эллипса.
901—9111
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
157
901. Вычертить главные сечения эллиптического параболоида
z =
4 + 2
и проекции параллельных им сечений на соответствующие коорди-
натные плоскости.
902. Решить предшествующую задачу по отношению к гипербо-
лическому параболоиду z = —jr.
903. В плоскости (yz) дана неподвижная парабола y* = 2qzt и
по ней скользит вершина другой неизменной параболы, параметр
которой равен р и которая перемещается так, что плоскость ее
остается все время перпендикулярной к оси у, а ось ее параллельна
оси г. Найти поверхность, описанную подвижной параболой.
904. Найти точки пересечения поверхности:
ч х8 . у9 . г9 i „ х — 4 у + 6 24-2
а) 1б + т2 + т=1 с ПрЯМ0Й -2- = ^3- = -^2>
X3 . а 29 1 о . Z-----------------6
— g~ = — 1 С прямой X — 3=д/— 1=-------з—;
\Х9.у3 a i „ х — 4 у 4- 3 z — 1
С) Тб+ 9 — Z =1 С ПРЯМОЙ ""4“ = 1Г~ = ~
d) 4г = х*—4у2 с прямой х ~ 2 = -у- = .
X9 V9 Z9
905. Вычислить длину диаметра поверхности 27 ‘2—у= 1,
проходящего через точку (-|- 4; -8Д; + 7»)-
906. Через точку (-{-2; -|- 1; — 1) провести такую хорду поверх-
пости 25 + рэ ч 9"= которая делилась бы в этой точке пополам.
907. Через точку (-[-5; 1; -|-2) провести прямую так, чтобы
она пересекла поверхность — г2 = 1 лишь в одной точке.
908. Найти геометрическое место прямых, проходящих через
центр поверхности второго порядка и не имеющих с ней общих
точек (ни действительных, ни мнимых).
909. Найти геометрическое место прямых, проведенных через вер-
V9 у8
шину параболоида — z так, чтобы, не будучи касательными
к поверхности, они не имели с ней второй точки
910. Найти геометрическое место касательных
Г2 V2 Я2
пересечения.
к поверхности
проведенных из точки (4-5; -f~l; 0)*
911. Найти геометрическое место касательных прямых к поверх-
X9 V8 о
пости —£*=1, образующих равные углы с осями координат.
158
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (912—924
912. Найти прямые, проходящие через точку (4*6; 4-2; 4~8) и
х2 । V2 г3 ..
лежащие целиком на поверхности -д-4" 4—yg=l.
JC3 V2
913. На параболоиде —4 =г найти прямолинейные образую-
щие, параллельные плоскости Зх4~2_у— 4г = 0.
914. Доказать, что прямолинейные образующие однополостного
х X2 . у* Z2 -
гиперболоида ^2 4“проектируются на координатные пло-
скости в касательные к соответствующим главным сечениям.
915. Исследовать, как расположены (в координатных плоскостях)
по отношению к главным сечениям проекции прямолинейных образую-
X2 V2
щих гиперболического параболоида =
916. Доказать, что однополостный гиперболоид вращения может
быть описан прямой, вращающейся около оси, не лежащей с ней
в одной плоскости.
917. Определить поверхность, которую описывает прямая, сколь-
зящая по трем прямым:
X у — 1 2 .
2~ 0 — —1;
X — 2 у 2 т> X у 4- 1 Z
о Т~Т и Т- о ~Т’
из которых никакие две не лежат в одной плоскости.
_ х — 2 у z—1 х у—1 z 4-1
918. По двум прямым ——= 1 =—2— и ^2 = ~ 1 ~'
перемещаются две точки с одинаковой и постоянной скоростью; они
одновременно пересекают плоскость (ху), но в то время как одна
поднимается над этой плоскостью, другая, наоборот, опускается вниз.
Найти поверхность, которую опишет прямая, соединяющая обе по-
движные точки.
919. Составить уравнение поверхности, образованной прямой,
х — 6 у г—1 х у — 8 z + 4
которая скользит по прямым —g— = -<- = —— и
оставаясь все время параллельной плоскости 2х 4~ Зу — 5 = 0.
920. Написать уравнение плоскости, касающейся поверхности
т+т-?=~1 в точке (-6: +2; +6)-
921. В точке (—2; 4“1; —7t) провести нормаль к эллипсоиду
8 ‘ 4 1
922. Найти касательные плоскости эллипсоида 4“Tf4“ Т=
которые были бы параллельны плоскости 2х 4- 2у — Зг == 0.
-м2
923. Найти касательные плоскости параболоида у^4“ 4 ~z> кото-
рые были бы параллельны плоскости х—у — 2г = 0.
х3 у3
924. Найти плоскость, касающуюся конуса -^+3—г =0
в точке (-J-4; —6; 4-4).
925—935J поверхности второго порядка 159
925. Доказать, что нормаль, проведенная в любой точке круглого
xi V® z%
конуса —су —пересекает ось этого конуса.
926. Какому условию должны удовлетворять параметры эллип-
са м2 2®
сои да -т-4-тг-4--* = 1, если он обладает тем свойством, что все его
нормали проходят через начало координат?
927. На эллипсоиде ~24_^r~bfr=l найти точки, нормали в ко-
торых пересекают ось z.
928. Найти касательную плоскость цилиндра 5o4“g2===b зная
отношение а:£ = 5:4 отрезков, отсекаемых ею на осях х и у.
Vs Z*
929. Доказать, что все нормали цилиндра ~ параллельны
одной и той же плоскости.
930. Доказать, что касательные плоскости, проведенные к поверх-
ности второго порядка в концах одного и того же диаметра, парал-
лельны между собой, и, обратно, если две касательные плоскости
одной и той же поверхности параллельны между собой, то точки
прикосновения лежат на одном диаметре.
931. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты пло-
скости Ах By -J- Cz -j- D = 0 для того, чтобы она касалась:
х^ v®
а) центральной поверхности 4"— т — — 1 ’ Ь) параболоида
2р—2Я — г-
х^ v2 z2
932. К однополостному гиперболоиду 3g 4“ у — -j-=l провести
касательные плоскости через каждую из следующих прямых:
х _У+9_ z . ъл 9_х_ у _z + 2
а) 3~ 3 ~ 1» D' — 1 4“ 1» 6— — 3“ 4
и исследовать, как эти прямые расположены относительно гипер-
болоида.
933. Через прямую у = 0; z — 1 провести касательные плоскости
ха । у2 za .
к двуполостному гиперболоиду у 4"^-------Тб =—1 и определить
точки их прикосновения.
934. Как должна быть расположена прямая относительно поверх-
Х^ V2 Z2 Ха V2
ности второго порядка типа 4"^г — = — 1 или 2р — 2q~z
для того, чтобы через нее можно было провести две действитель-
ные и различные касательные плоскости к этой поверхности?
935. Дан гиперболический параболоид и одна из его
касательных плоскостей: 10х — 2у — z — 21=0. Найти уравнения
каждой из тех двух прямых, по которым они пересекаются.
160
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[936—938
936. Найти диаметральные плоскости эллипсоида 1ё§4"25“1“ ie==^
пересекающие его по кругам.
937. Определить радиус кругов, лежащих на однополостном
д-2 4^2
гиперболоиде у 4“ 4---z2=l и касающихся горлового эллипса.
938. Найти точки округления эллиптического параболоида
ГЛАВА XIV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Общее уравнение поверхности второго порядка
и его преобразование при переносе начала координат.
Центр поверхности. Условие, при котором уравнение
изображает конус или пару плоскостей
Общее уравнение поверхности второго порядка, т. е. уравне-
ние второй степени относительно декартовых координат х, у и z, содержит
десять членов: шесть членов второй степени (с квадратами каждой из коорди-
нат и с парными произведениями координат), три члена первой степени и сво-
бодный член. Все коэффициенты этого уравнения обозначаются буквой а
с двумя нижними указателями, зависящими от того, какие переменные
множители входят в состав члена: указатель 1 соответствует множителю х,
указатель 2 — множителю у, указатель 3 — множителю z\ в членах низшей
степени места недостающих множителей отмечаются указателем 4. Коэффициенты
с неодинаковыми указателями имеют еще числовой множитель 2. Таким обра-
зом, общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:
022У2 <W2 2й1аху -J- 2#2зУ£ *4“ 2fl3iZX 4“ 2оцХ 4" 2#24.У 4"
2а342 + = 0. (1)
Если, не меняя направления осей координат, перенести начало координат
в любую точку О' (х'; у'\ z'), то уравнение поверхности (1) преобразуется
в следующее:
а11 № 4" #22Г2 4г а3з^ 4" 2012-АУ 4" 2я2зГ2Г 4" 2anZX 4~
+ 2FxtX+2Fyly + 2FgtZ + 2F' = 0) (2)
где
2F' = 0цХ’2 4~ ^агУ*2 4~ Язз^2 4~ 2ацх'у' 4" 2й2зУ 4“ 2d3lZ,x, 4“
4“ 2ЯцХ' 4" 2я24У’ 4“ 2084^’ 4" fl44i
2/\, = 2 (дцх' 4~ ^12у’ 4" 4"
2Лу = 2 4" fl22y’ 4“ fl232’ 4“ ^24);
2/Vjr = 2 (fl31X' 4" ^82^’ 4" fl38Zr 4" ^84)»
(3)
т. e. коэффициенты старших членов не изменятся, коэффициенты при первых
степенях координат будут равны частным производным от левой части перво-
начального уравнения (1) по соответствующим координатам с заменой текущих
координат координатами нового начала, а свободный член равен всей левой
части первоначального уравнения, в которой произведена та же замена.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
161
Если поверхность второго порядка (1) имеет центр симметрии (х0; у0; z0)
и начало координат будет перенесено в этот центр поверхности, то преобра-
зованное уравнение не будет содержать членов первой степени, а потому при-
мет вид:
OiijY2 4~ 4~ 4~ -J— 4“ 4” 2/?ф = 0. (4)
Таким образом, координаты центра (х0; jv, z0) обращают в нуль коэффи-
циенты Fx^ F?^ FZq и, следовательно, их можно определить из уравнений:
(5)
0ц*о + 012^0 4“ 013^0 4“ 014 = 0;
021-^0 4“ 022.УО 4“ 023^0 4“ Д24 == 0;
<Wo 4“ а32^0 4“ ^38^0 4- aS4 = 0.
Решая уравнения (5), получим:
014 012 018 024 022 023 034 082 033 011 014 013 021 024 028 031 034 0зз 0Ц 012 014 021 022 024 031 032 034 /fi\
Xq 0Ц 012 013 021 022 023 031 032 0зз > Уо — 0ц Д12 013 021 022 023 031 032 033 , го — 011 012 013 021 022 023 031 032 038 • W
Если дискриминант старших членов не равен нулю, т. е.
0Ц Д12 018
Ь =
021 022 023 0»
031 082 033
система уравнений (5) окажется определенной, и поверхность в этом случае
будет иметь единственный центр; мы называем такую поверхность второго
порядка центральной.
Если уравнения (5) несовместны (о = 0), поверхность не имеет центра
в конечной части пространства и называется параболоидом.
Если система уравнений (5) неопределенная, поверхность имеет бесчислен-
ное множество центров: линию центров или плоскость центров в зависимости
от того, будет ли система (5) содержать два независимых уравнения или только
одно.
Вставляя координаты центра в левую часть первоначального уравнения (1)
поверхности, мы сможем выразить свободный член преобразованного уравне-
ния (4) через коэффициенты первоначального уравнения:
0ц а12 Д13 а14
021 022 023 024
031 082 033 034
041 042 048 044
0ц 012 013
021 022 023
081 032 083
О *
Определитель четвертого порядка А называется дискриминантом уравнения
поверхности. Таким образом, поверхность (1), отнесенная к своему центру,
изобразится уравнением:
апХ3 + a2Sra + aJ3Z2 + 2alaXY + 2ai3YZ+2a3lZX + 4 = 0. (7)
6 О. Н» ЦуСербидлер
162
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[939—941
Необходимое условие для того чтобы уравнение (1) изображало конус,
заключается в равенстве нулю дискриминанта уравнения:
А =
Я12 flu
021 #22 023 ^24
#31 °32 #33 #34
041 042 ^43 Л44 I
= 0.
(8)
Если условие (8) выполнено, то координаты вершины конуса могут быть
определены из любых трех уравнений следующей системы:
^цх + Я12.У + 4* ai4 — Ф
«21* + а2ау + 023* + 024 = 0;
4“ О32.У 4" O33Z 4“ O34= 0;
041Х + 042.У 4- O43* 4- ^41 = 0.
(9)
Если уравнения (9) не дают конечных значений для координат вершины, то
мы имеем частный вид конуса — цилиндр.
Если система (9) неопределенная и содержит два независимых уравнения,
то вершина конуса становится неопределенной; за вершину можно принять
любую точку некоторой прямой — конус распадается на пару плоскостей,
пересекающихся по этой прямой; если эти два независимых уравнения ока-
жутся несовместными, то поверхность будет состоять из пары параллельных
плоскостей.
Если, наконец, система (9) содержит только одно независимое уравнение,
конус вырождается в пару слившихся плоскостей.
Если уравнение (1) изображает конус, то вершина его служит центром
поверхности (сравнить уравнения (5) и (9)).
Эллиптический и гиперболический цилиндры имеют линию центров; парабо-
лический цилиндр не имеет ни одного центра в конечной части пространства.
Пара пересекающихся плоскостей имеет линию центров, а пара параллельных
или слившихся плоскостей имеет плоскость центров.
939. Какой вид примет уравнение поверхности
х1 2 3 4 Ц- 2у2 г2 — 4ху 4" Syz — 2zx 1 Ох — 5 = 0,
если перенести начало координат в точку О' (—1; 4"1*> “Ь^)?
940. Найти преобразованное уравнение поверхности
х2 4” 4“ ^ХУ — ^Уг — — 2х — 14- 4г = О,
после того как начало координат будет перенесено в точку
(+3; 0; +1).
941. Найти центр и определить вид каждой из следующих
поверхностей:
1) 4х2 4- 2у2 12г2 — 4ху 4- 8yz + 12гх+ 14х— 1 Оу + 7 = 0;
2) 5х2 4- 9у2 + — 12ху — бгх -|- 12х — 36г = 0;
3) 5х2 — %ху — 4yz 4* 2гх — 4у — 4г 4~ 4 = 0;
4) х2 — 2у* г2 4“ Оуг — 4гх — 8х 4~ Юу = 0;
942—947J
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
163
5) 4х2 -]-.У8 + 9г2 — 4ху — Qyz -j- 12гх 4~ 8х — 4у -J-*
4~ 12г —5 = 0;
6) х« + 4у4-5г24-4ху —12x + 6j> —9 = 0;
7) Зх24~ 2у2-}-tyz — 2гх — 4х — 8г — 8=0;
8) х2 -|- 25_у2 -]- 9г2 — Юху — ЗОуг 4- бгх — 2х — 2у = 0.
942. Как преобразуется уравнение поверхности
х2— 14у24~ Юг2 — 4ху — 24уг4- бгх4~2х4~20у 4“8г— 9 = 0,
если перенести начало координат в центр этой поверхности?
943. Пользуясь перенесением начала координат, упростить урав-
нения следующих центральных поверхностей:
1) х2 4~ 2у9 4- 2г2 4~ 2ху — 2х — 4у — 4г = 0;
2) у2 4" Зху 4" 2уг 4- гх 4- Зх 4- 2^ = 0;
3) х24-2У — га4-2х — 4j/4-2г4-1=0.
944. Проверить, что уравнение
2ха 4* 4уа — г2 — 8ху 4- 8х — 8у 4 = 0
изображает действительный конус, и найти его вершину.
945. При каком значении параметра а уравнение
х2 4~ Зу2 4~ 2ayz 4~ 2гх — 2х — 8у — 2г — 3 = 0
изображает конус?
946. Исследовать, которые из нижеследующих уравнений изо-
бражают конус, цилиндр или пару плоскостей:
1) 9х2 —4уа —91г2 —40уг-|-18гх —36 = 0;
2) х24-2У4-Зг2 — 6г4-3 = 0;
3) 2ха — Зг2 4- 4ху 4- 2yz— 5zx — 8х— 12у17г 4~ 6 = 0;
4) х2 — 5га 4* Зху 4- 2yz — 7х — бу— 2г-}- 10 = 0;
5) х2 2у2 4- 4г2 — 2ху — 4yz 4* 2х — 2у — 4 = 0;
6) х2 4* Зу2 4* 8г2 4~ 2ху 4* 8yz — 4х 8г -|~ 6 = 0.
947. Определить вид поверхностей, заданных следующими одно-
родными уравнениями второй степени:
1) 6ха 4- 9у2 4- г2 4- 8ху — 4гх = 0;
2) 4ха — 2у2 — 12га 4ху 12yz = 0;
3) ха —— 3_у2 4“ 4гх — 2_уг = 0;
4) х2 4у2 4~ г2 — 4ху — 4yz 4- 2гх = 0;
5) 4х2 4- 2у2 4- Юг2 — 4ху — 8yz 4- 12гх = 0.
6»
164
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Пересечение поверхности с прямой и с плоскостью.
Асимптотические направления. Касательная плоскость
Координаты точек пересечения поверхности второго порядка
0цХа + я32>уа + fl33za + 2а12ху + 2a^yz + 2a31zx + 2а14х + 2а^у +
и прямой + 2д34з + д44 = 0 (1)
х — х, = У — У1 z — zt
т п р ' '
определяются из системы трех уравнений (1) и (*), которые, вообще
говоря, имеют два общих решения, а потому поверхность второго
порядка пересекается с прямой в двух точках (действительных или
мнимых). Если прямая (*) имеет с поверхностью (1) более двух общих
точек, то она целиком лежит на поверхности и называется ее прямо-
линейной образующей. Если при совместном решении уравнений (1)
и (*) после исключения двух координат мы получим для определения третьей
координаты уравнение первой степени (коэффициент при квадрате определяемой
координаты обращается в нуль), то прямая имеет с поверхностью лишь одну
общую точку в конечной части пространства; в этом особом случае мы гово-
рим, что прямая имеет асимптотическое направление по отно-
шению к поверхности. Поверхность второго порядка имеет бесчисленное мно-
жество асимптотических направлений (действительных или мнимых). Если из
начала координат провести все прямые асимптотического направления по отно-
шению к поверхности (1), то их геометрическое место окажется конической поверх-
ностью, уравнение которой получим, приравняв нулю старшие члены уравнения (1)
ЯцХа + a2iy* + fl33za + 2ai2xy + 2я23<уг + 2a3izx = 0.
О том, будет ли полученное уравнение представлять действительный или
мнимый конус, или пару плоскостей, можно судить, исследовав сечение этой
поверхности с любой плоскостью, не проходящей через начало координат.
Если провести прямые асимптотического направления через центр поверх-
ности (1), то их уравнения окажутся несовместными с уравнением поверхности,
т. е. эти прямые не будут иметь ни одной общей точки с поверхностью в ко-
нечной части пространства. Такие прямые называются асимптотами по-
верхности. Совокупность всех асимптот поверхности составляет асимпто-
тический конус. Прямая, пересекающая поверхность в двух сливающихся
точках, называется касательной прямой к поверхности, и общая их точка
называется точкой прикосновения. Г еометрическое место прямых, ка-
сающихся поверхности в одной и той же точке, есть плоскость — каса-
тельная плоскость к поверхности в рассматриваемой точке.
Касательная плоскость к поверхности (1) в точке (х'; у'; z') имеет сле-
дующее уравнение:
(Дцх' *4“ #12./ + «13^ + aLl) X + (fl2iXr + ^зУ' + ^23^’ + ^2i)y 4“
4“ («31^ 4“ a$2yf 4“ 4“ #84) Z 4" (Л41-^’ 4“ а1зУ' 4“ Д43^ 4" ^44) = 0. (10)
Касательная плоскость пересекает поверхность по распавшейся кривой
второго порядка х). Всякая другая плоскость пересекает поверхность по нерас-
павшейся кривой второго порядка (действительной или мнимой).
х) Линия пересечения поверхности с касательной плоскостью может рас-
пасться на пару действительных пересекающихся прямых или на пару мнимых
прямых, пересекающихся в действительной точке; в обоих случаях точка пере-
сечения прямых является точкой прикосновения касательной плоскости к по-
верхности. Если же линия пересечения распадается на пару слившихся прямых,
то точка прикосновения остается неопределенной и плоскость касается поверх-
ности по всей прямой (конус и цилиндр).
948—954]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
165
Чтобы исследовать линию пересечения поверхности с плоскостью, удобно
воспользоваться цилиндром, проектирующим эту линию на одну из координат-
ных плоскостей: в зависимости от того, будет ли этот цилиндр эллиптическим,
гиперболическим, параболическим, распавшимся на пару плоскостей или мни-
мым (о чем мы судим по направляющей цилиндра, лежащей в соответствующей
координатной плоскости), — изучаемая кривая будет эллипсом, гиперболой,
параболой, парой прямых или мнимой кривой второго порядка.
948. Найти точки пересечения поверхности
4х2 + 9г2 — 3yz Ьгх — 10х 12г -1- 4 = О
с осями координат.
949. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты об-
щего уравнения поверхности второго порядка для того, чтобы:
а) ось абсцисс касалась поверхности;
Ь) ось абсцисс имела одно из асимптотических направлений отно-
сительно поверхности;
с) ось абсцисс являлась одной из асимптот поверхности;
d) ось абсцисс целиком лежала на поверхности;
е) ось абсцисс не имела действительных точек пересечения с по-
верхностью?
950. Какой вид имеет уравнение поверхности второго порядка,
если эта поверхность
а) проходит через все три оси координат;
Ь) имеет все три оси координат своими асимптотами?
951. Найти точки пересечения поверхности
г’2 ху —yz — 5х = 0
„ х у — 5 z—10
с прямой —j- = —у- = —?—.
952. Найти точки пересечения поверхности
а) 5х2 -|- 9j/2 -|- 9г2 — 12х> — 6zx 12х — 36г = 0
х у z — 4
с прямой -у = у=—j— ;
b) х2 — 2у2 -ф- г2 — 2ху —yz 4гх Зх — 5г = 0
„ х4-3 у z
с прямой —у- = у = у.
953. Найти прямые, проходящие через начало координат и цели-
ком лежащие на поверхности:
у2 Зху 4" ^Уг — zx + Зх Ъу — 0.
954. Найти те прямолинейные образующие поверхности:
х2 — §ХУ + ^Уг — —12 = 0,
которые параллельны прямой:
х — I___у 4-3__ z
2 — ——
166 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [955—961
955. Какому условию должны удовлетворять угловые коэффи-
циенты прямых, имеющих асимптотическое направление относительно
поверхности:
а) апх* -|~ аыУ* 4" аззг2 + 2anxy 2a23yz 4“ 2а31гх 4" 2анх
4- 4“ 4- аА4 = о*
1 ч ха . у2 г2_____, 1.
а2 Ь* с2 —
О =
7 2pi 2?!
956. Которые из следующих
п * — 4 _у + 2 z .
4 6 3 2 ’
9Х X___у —5____z + З ,
' 3 — 1 — 1 ’
3> :
прямых:
4) - \
7 6 — 6 5 ’
х — 0,5 у г
5> -ЛТ- = 22Г = 42>
имеют асимптотическое направление относительно поверхности
х2 — 4ху 4“ §yz 4" — 5 = 0?
957. Существуют ли прямые, имеющие асимптотическое направ-
ление относительно поверхности
х2 4“ fy* — 3z2 — 4ху — zx -|- 5у -|~ 3 = 0
и вместе с тем перпендикулярные к оси г? Существуют ли на этой
поверхности прямолинейные образующие, перпендикулярные к оси г?
958. Составить уравнение поверхности второго порядка, зная
уравнения трех ее прямолинейных образующих:
959. Найти и исследовать геометрическое место прямых, прохо-
дящих через начало координат и имеющих асимптотическое направ-
ление относительно поверхности
2х_у 4“ Уг — zx — 2х 4- — 3z — 2 = 0.
960. Найти прямые, проходящие через начало координат и встре-
чающие поверхность
х2 4- 2у2 4" 4z2 4- 4yz — 2ху 5х — z 3 = 0
лишь в одной точке.
961. Найти прямые, проходящие через точку (+1; —1; 4~3)
и имеющие асимптотическое направление относительно поверхности:
2х2 4-у2 4~ 2ху — Зх -[- <? — 1=0.
962—969] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 167
962. Найти геометрическое место прямых, проходящих через на-
чало координат и имеющих асимптотическое направление относительно
поверхности:
2х2 —у2 — Зг2 — ху 4“ 4yz — zx + §х — Зу 7 — 0.
963. Исследовать конус асимптотических направлений поверхности:
х2 -J- 2у2 — Зг2 2гх — 2yz 4- 4х = 0.
964. Составить уравнение асимптотического конуса для каждой
из следующих поверхностей:
1) х2 4“>2 4" + %ХУ — 2уг 4" ^>zx 4~ — 2г = 0;
2) 9л:2 4- 36/ 4- 4г2 — 72х 4> 24г — 144 = 0;
3) 2х2бу22г2 4~ 8гх — 4х — 8у4~3 = 0.
965. Найти линию пересечения поверхности:
а) Зх2 4“ 4у2 — 5г2 4~ 2ху — Зуг 4~ 5х — 8 = 0
с плоскостью (ху);
Ь) х2 4- Зг2 4- 2ху 4- 4гх 2уг-|- 5х — г — 1=0
с плоскостью (уг);
с) х2 4-J/2 — 2ху 4" $Уг ~\~zx — х 4" Зу — г = 0
с плоскостью (гх).
965*. Составить уравнение поверхности, зная одну из ее точек
Л1(4-2; 0; —1), центр С(0;. 0; —1) и линию ее пересечения с пло-
скостью (ху):
х2 — 4ху — 1=0,
г = 0.
966. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты об-
щего уравнения поверхности второго порядка для того, чтобы по-
верхность касалась координатной плоскости (ху)?
967. Исследовать линию пересечения поверхности
Зу2 4- 4г2 4- 24х 4~ 12у — 72г 4~ 360 = 0
с плоскостью х—у-{-г=1.
968. Определить вид кривой, по которой плоскость 2х—у4~
-}-г = 0 пересекает поверхность:
х2 4- 5у24-г2 4- 2ху 4- 2уг 4“ &?х — 2х 4~ бу 4~ 2г= 0.
969. Исследовать линию пересечения поверхности
а) х2 — Зу2 4- г2 — бху 4- 2уг — Зу 4~ — 1=0
с плоскостью 2х — Зу — г 4- 2 = 0;
Ь) х24-у24-г2 —6х —2у4-9 = 0
с плоскостью х 4“У — 2г — 1=0.
168 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 1970—979
970. Линия пересечения поверхности
х2 — 2у2 z* — — ^zx 4“ ^ХУ — 2х 4~ 8у — 4г — 2 = 0
с некоторой плоскостью имеет центр в начале координат. Найти
уравнение секущей плоскости.
971. Составить уравнение плоскости, касающейся поверхности
5х2 —_у2 4- г2 4- 4ху 4- бгх 4“ 2х 4“ 4У 4“ ^z — 8 = 0
в точке (0; —4; 4-4) и уравнения нормали в этой же точке.
972. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
4х24-5У4-9г2 — 8x4-18г + 12 = 0
в точке ^4~ 1> и исследовать линию пересечения найденной
плоскости с данной поверхностью.
973. Найти те касательные плоскости к поверхности
4х2 4~ бу2 4- 4г2 4~ 4гх — 83/ — 4г 4- 3 = 0,
которые параллельны плоскости х 4- 2_у 4" 7 = 0.
974. На поверхности
х2 4~ бу2 — г2 — 4гх 4~ бх — 20у — 2г — 1=0
найти точки, в которых нормали параллельны оси ординат.
( 4х — 5_у = 0, I
975. Через прямую < __ z провести касательную
плоскость к поверхности
2х2 4- 4- 2г2 — 2ху 4“ Оуг — 4х —у — 2г = 0.
976. Через ось ординат провести касательную плоскость к по-
верхности:
5х2 — 8у2 4~ 5г2 4~ бгх 4~ 4х — 2г = 0.
977. Найти геометрическое место касательных, проведенных из
начала координат к поверхности
х2 4~ 2_у2 4~ 2г2 4- 2х_у — 2х — 4у — 4г 4~ 2 = 0.
978. Найти линию, по которой конус, найденный в предшествую-
щей задаче, касается данной поверхности.
979. Найти геометрическое место прямых, параллельных оси г
и касающихся поверхности
х2 4~ 2,у2 4~ 2г2 4^ 2ху — 2х — 4j/ — 4г 4~ 2 = 0.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
169
3. Диаметральная плоскость. Главные направления.
Исследование общего уравнения поверхности второго порядка
и приведение его к простейшему виду
Если мы рассмотрим все хорды поверхности
#цХ8 4” а2аУа 4~ йзз^2 4“ 4“ 4“ 2я3izx 4~ 2<214х -[*
4“ 2д24У 4“ 2<2з1£ 4“ #44 == 9, (1)
имеющие одно и то же направление (т, #, р), то геометрическое место середин
этих хорд есть плоскость — диаметральная плоскость, сопряженная
данным хордам. Плоскость эта изображается уравнением:
*# (#их 4" 4~ #1з* 4" #и) 4"п (#21* 4" а^У 4" #2з^ 4“ #24) 4~
4" р (#31* 4“ #згу 4" 4“ #34) ~ о,
или, пользуясь сокращенными обозначениями:
mFx + nFy+pFz = 0.
(И)
Меняя направление хорд (т, я, р), мы будем получать различные диамет-
ральные плоскости; все они образуют связку и проходят через центр поверх-
ности.
Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра, из
которых каждый лежит в диаметральной плоскости, сопряженной другому.
Главными направлениями относительно данной поверхности
называются направления хорд, перпендикулярных к сопряженным им диамет-
ральным плоскостям; эти последние называются тогда главными диамет-
ральными плоскостями. Главными осями поверхности называ-
ются диаметры, имеющие главные направления.
Главные направления (/п, п, р) определяются из нижеследующих уравне-
ний:
Oljtn 4- fljg# 4~ #13^ _ #21#* 4~ #22# 4~ ^2зР _ #31#* 4~ #32# 4~ #ЗзР
т — п ~~ р » О )
или, обозначая через S величину этик трех отношений, можно переписать
уравнения (12) следующим образом:
(#и — S) т 4~ #12# 4“ #1зР == 9,
#21#* 4" (#22 - S) П 4" #2зР == 9, ? (13)
#31#* 4“ #32# 4“ (#33 — S) р = 9. ]
Прежде чем вычислять главные направления, приходится определять вели-
чину 5 из следующего так называемого решающего или характе-
ристического уравнения:
#и — s #12 #13
#21 Д22 5 #23 = 9.
#31 #32 #33 5
(14)
Это уравнение третьей степени относительно S и имеет всегда три дей-
ствительных корня *); каждому из них соответствует одно главное направле-
ние поверхности, определяемое из уравнений (13).
Если изменить направление осей координат так, чтобы они стали парал-
лельными главным осям поверхности второго порядка, то в уравнение этой
поверхности не войдут члены с произведениями координат и из старших чле-
нов войдут только члены с квадратами координат.
*) Равные корни получаются только в случае поверхностей вращения.
170
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Таким образом, если уравнение (1) изображает центральную поверхность
(дискриминант старших членов Ь^О), мы можем упростить это уравнение
следующими преобразованиями:
1. Переносим начало координат в центр поверхности; тогда получим:
0цАа "4“ 022.У2 *4“ Яаз^2 *4~ 2OS3J/Z + 2^31^% -f- 2О1аХу -|—&- = 0. (7f)
2. Приняв главные оси поверхности за новые оси координат, получим:
д
+ а22^2 + Сзз г2 + j- = 0, (15)
причем
= Slt = За, ®зз = S3, (16)
т. е. в уравнении центральной поверхности, отнесенной к главным осям, коэф-
фициентами при квадратах координат служат корни решающего уравнения (14),
а свободным членом — отношение дискриминанта уравнения к дискриминанту
старших членов.
Отсюда вытекает способ исследования центральных поверхностей, указан-
ный в следующей таблице.
Si $2 $3 А 5 Тип поверхности
I Все корни решающего урав- нения и отношение дискри- минантов имеют одинаковые знаки + + + + . Мнимый эллипсоид
11 Все корни решающего урав- нения имеют один знак, от- ношение дискриминантов — противоположный знак + + + + . Действительный эллипсоид
ш Знак отношения дискриминан- тов совпадает со знаком только одного корня реша- ющего уравнения + + + + , Однополостный гиперболоид
IV Знак отношения дискрими- нантов совпадает со знаком двух корней решающего уравнения + + + + , Двухполостный гиперболоид
V Корни решающего уравнения имеют одинаковые знаки, дискриминант уравнения равен нулю + + + 0 0 . Мнимый конус
VI Корни решающего уравнения имеют разные знаки, ди- скриминант уравнения равен нулю + + + 0 0 . Действительный конус
980—983] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 171
Если уравнение (1) изображает параболоид (5=0), то один из корней
решающего уравнения равен нулю (S3 = 0); кроме того, переносом начала
координат мы не можем избавиться от всех членов первой степени; поэтому
упрощение уравнения параболоида производится следующим образом: не меняя
начала координат, выбираем оси, параллельные главным направлениям, тогда
уравнение параболоида примет вид:
2Ф = SiX* 4“ S$y2 + 2а'их 4“ 2flg4y 4” 2а342 4" аи = 0. (17)
Оставшимся произволом в выборе начала координат воспользуемся
так, чтобы после переноса начала исчезал свободный член (а44 = 2Ф' = 0)
и члены с первыми степенями абсциссы и ординаты (а44 = Фу =0 и
о'и = Фу = 0).
Тогда уравнение параболоида будет приведено к простейшему виду:
51х24-52.у34-2Ф/г = 0 1). (18)
В зависимости от того, имеют ли корни решающего уравнения Si и Ss
одинаковые или разные знаки, параболоид будет эллиптическим или гипербо-
лическим.
980. Найти диаметральную плоскость поверхности
2х2 + 5у2 + 8г2 + 12^+6гх4-2ху4-8х+ 14j/4- 18г = 0,
сопряженную хордам, параллельным
к х— 5 у 2 4- 1 \
а) прямой —£— = у = ; Ь) оси х\ с) оси у\ а) оси z.
981. Найти тот диаметр поверхности
х2 9у* 2<2?2 4хУ — ^2Х 4“ %yz 8х — 14- 1 — 0,
который проходит через начало координат, и составить уравнение
сопряженной ему диаметральной плоскости.
982. Через начало координат и через точку (4~ 3; 4“ 6; 4“ 2)
проведена диаметральная плоскость поверхности
4х2 4~ бу* 4“ 4“ — 4z 4- 3 = 0.
Составить уравнение этой плоскости и найти угловые коэффициенты
сопряженных ей хорд.
983. Дана поверхность
6х2 4" 9.У2 4" — 4гх 4- &ху — 2у — 3 = 0.
Найти диаметральную плоскость, параллельную плоскости
х 4" %У — г 4- 5 = 0,
и составить уравнение сопряженного ей диаметра.
9 2Ф/ = 2яз4, т. е. при соответствующем переносе начала старшие члены
и член с первой степенью z останутся без изменения, остальные члены исчез-
нут. Для вычисления этого коэффициента можно пользоваться формулой:
172
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[984—993
984. Найти ту диаметральную плоскость поверхности
х2 Зг2 — бху 8х 4- 5 = О,
X + 3 у 2 — 1
которая проходит через прямую—— = ^- = —-—.
985. Найти угол между той диаметральной плоскостью поверх-
ности
Зх2 — 5У 4" 4хУ — + 4х 4~ 2У =
которая проходит через ось у, и хордами, ей сопряженными.
986. Найти общую диаметральную плоскость трех поверхностей
х2 4* У2 + 2,2 — 2х + 4у — 11=0;
ЗУ 4“ 4х_у — 8гх 4~ 6г 4~ 5 = 0;
8х2 — ЗУ 4- 7г2 4- 4ху — 9гх — 15 = 0.
987. Дана поверхность второго порядка
х2 — 2у2 4“ Зг2 4~ 4гх — 6_уг 4“ Зх — 2г 4- 3 = 0
и одна из ее диаметральных плоскостей у — 2^4-9 = 0. Найти диа-
метральную плоскость, которая сопряжена с данной плоскостью и к
ней перпендикулярна.
988. Дана поверхность у2 4~ Зг2 — бгх 4- 12х 4- 5 = 0. Найти
систему трех сопряженных диаметральных плоскостей, из которых
х — 2 у z — 1
одна проходит через прямую —— = у =—— t а другая — через
начало координат.
989. Найти главные направления поверхности
2х2 4~ 2j/2 — 5г2 4~ 2ху — — 4у — 4г 4~ 2 = 0.
990. Найти главные оси поверхности
х2 4~ У 4" — §ху — 2гх 4~ 2уг — 6х 4~ $У — 6г 4~ 9 = CI-
991. Найти главные диаметральные плоскости поверхности
х2 4-У — Зг2 — 6_уг — бгх — 2х_у 4“ + %У 4“ 4г = 0.
992. Какое уравнение будет иметь поверхность
7х2 4~ 6У 4- 5г2 — 4уг — 4ху — 6х —24_у 4“ 13г 4“ 30 = 0,
если отнести ее к главным осям? Дать формулы соответствующего
преобразования координат.
993. Упростить уравнения следующих поверхностей:
1) 6х2 — 2У 4- 6г2 4“ 4гх 4~ 8х — 4_у — 8г 4- 1 = 0;
2) х2 — 2У -j- г2 4- 4ху— 8гх — 4yz— 14х—4_у4~ 14г4-16=0;
994—1000] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 173
3) х2 у2 4" 5г2 — бху 4- 2гх — 2yz — 4х 4~ 8у — 12г 4~ 14 = 0*>
4) 4х2 4" 5уа 4" бг2 — ^ХУ 4" 4уг 4~ 4х 4~ б_у 4~ 4г — 27 = 0;
5) 2х2 4" Ъу* 4~ 2г2 — 2ху — 4zx 4- 2уг 4~ 2х — 10_у — 2г — 1=0.
994. Привести к простейшему виду уравнение поверхности
5х2 sy* 4- 5г2 4-4XJ — Szx 4- 4zy — 27 = 0
и дать соответствующие формулы преобразования координат.
995. Привести к простейшему виду уравнение параболоида
2х2 4-1 Oj/2 — 2г2 4- 12ху + 8_уг 4- 12х 4- 4_у 4- 8г — 1 = 0.
996. Упростить уравнение поверхности
2х2 4- 2у* 4- Зг2 4~ 4ху 4- ^zx 2уг — 4х 4" бу — 2г 4~ 3 = 0.
997. Определить вид поверхности
х2 — 2у* — 4ху — 8zx 4~ бу — 5 = 0.
998. Определить тип следующих поверхностей:
1) Зх24"У — г2 4-бгх — 4у = 0;
2) 2ха 4~У 4" Зг2 — 4_уг 4" 2х — 6г 4" 1 = 0;
3) ха4-2/4-Зг24-2х — 4у — 12г 4-8 = 0;
4) 4х2 — 9г2 + 2гх — 8х — 4у 36г — 32 = 0;
5) 4х2 4" 2У 4" -2'3 — 4ху — 2yz — 2j> 4- — 4 = 0.
999. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково
удаленных от двух пересекающихся прямых:
X ____у — 1 _ Z . X_у — 1 __ Z
з"- 1 т; Т 0"’
Исследовать полученное уравнение.
1000. Найти и исследовать геометрическое место точек, одинаково
f y = z ]
удаленных от оси г и от прямой < _ । } не лежащей с осью г
в одной плоскости.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ
ГЛАВА XV
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1. Векторы. Равенство векторов. Сложение и вычитание
векторов. Умножение вектора на число.
Разложение векторов
Величины, для задания которых достаточно указания их числовых значений,
называются скалярными величинами или просто скалярами*). Приме-
рами скалярных величин могут служить: длина отрезка, угол, площадь, объем,
время, температура, масса, плотность, работа и т. д. Простейшим скаляром
является отвлеченное число. Скаляры обозначаются малыми или большими бук-
вами латинского или греческого алфавита обыкновенного шрифта: at b, т, р,
X, у, Л, S, Г, a, S, . . .
Наряду со скалярами существуют и другие величины, для полной характе-
ристики которых недостаточно задания одних только числовых значений. Напри-
мер, для характеристики перемещения точки нужно знать не только длину, но
и направление перемещения. Для характеристики действия силы мало знать ее
величину, надо еще знать направление, в котором она действует. Такие вели-
чины, как перемещение, сила, скорость, ускорение, напряженность электриче-
ского поля и т. д., требующие для своего задания не только указания число-
вого значения, но и направления в пространстве, называются векторными
величинами или векторами.
Для наглядного изображения векторов служат геометрические век-
торы, т. е. прямолинейные отрезки, имеющие не только определенную длину,
но и определенное направление. В дальнейшем под словом «вектор» мы и будем
подразумевать простейший тип векторных величин — геометрический вектор.
Векторы обозначаются или жирными буквами А, М, а, Ь, или буквами
обыкновенного шрифта, но с черточкой сверху: Л, Л4, а, Ь,... Иногда, так как
вектор есть направленный отрезок, его обозначают двумя буквами (на первом
месте стоит обозначение начала отрезка, на втором — обозначение конца), но тоже
с черточкой сверху: АВ, MN, РО и т. д.
На чертеже векторы изображаются отрезками, снабженными стрелками,
указывающими их направление (черт. 68).
Длина вектора, которая иначе называется модулем, или абсолютной
величиной, или еще скаляром вектора, обозначается той же буквой, что
и вектор, но не жирного шрифта и без черты сверху; иногда для обозначения
модуля вектора берется обозначение самого вектора, помещенное в прямые
2) Название это объясняется тем, что, выбрав единицу измерения, можно
изобразить все значения скалярной величины на одной шкале (скале).
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
175
скобки: длина вектора а обозначается а или | а |; длина вектора АВ обозначается
АВ = | АВ | и т. д.
Если прямые, на которых расположены векторы х), параллельны (или совпа-
дают), то векторы называются коллинеарными. Коллинеарные векторы
могут иметь или одинаковое направление, как, например, а и Ь, или противо-
положные направления, например, а и с (черт. 68).
С
9
Черт. 69.
Два вектора считаются равными, если они удовлетворяют следующим
условиям:
1) векторы имеют одинаковую длину;
2) они коллинеарны и
3) они имеют одинаковое направление.
Таким образом, среди четырех векторов АВ9 ВС, CD и DA, совпадающих
со сторонами квадрата ABCD (черт. 69), нет двух равных векторов.
Из определения равенства векторов следует, что положение начальной
точки вектора (точки приложения) не играет роли9). Параллельное перемеще-
ние не меняет вектора. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы отнести
данные векторы к общему началу, т. е. переместить их, не меняя направления,
так, чтобы совпали начала всех рассматриваемых векторов.
При определении сложения векторов полезно помнить конкретные задачи,
связанные с этим действием. Необходимость сложить два вектора может, на*
пример, возникнуть в связи с отысканием такого одного перемещения точки,
которым можно было бы заменить два данных последовательных перемещения,
или же при отыскании равнодействующей двух данных сил, действующих на
данную точку, и т. д.
Отсюда вытекает для сложения двух векторов а и b «правило
треугольника»: при любой точке А строим вектор АВ = а (черт. 70); в конце
этого вектора строим вектор ВС = Ь. Тогда вектор с = АС, соединяющий
начало первого слагаемого с концом второго, и будет вектором-суммой * 8), что
можно записать так:
АВ + ВС = АС (1)
или
а + Ь = с. (Г)
*) Прямая, на которой лежит вектор, называется его носителем.
2) Такие векторы называются «свободными». В дальнейшем, если не будет
сделано, оговорки, мы будем иметь дело только со свободными векторами.
8) Это правило является естественным обобщением сложения направ-
ленных отрезков, расположенных на одной прямой (коллинеарных век-
торов).
176
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Если дополнить треугольник АВС (черт. 70) до параллелограмма ABCD,
то легко получить известное «правило параллелограмма»: чтобы сложить два
вектора а и Ь, приводим их к общему началу, строим на этих векторах, как на
сторонах, параллелограмм, — тогда диагональ этого параллелограмма, выходя-
щая из той же вершины, является суммой двух данных векторов.
В случае большего числа слагаемых, обобщая правило треугольника, полу-
чаем правило многоугольника: чтобы построить сумму любого числа векторов,
надо из любой точки построить вектор, равный первому слагаемому, из конца
первого слагаемого построить второе слагаемое, из конца второго — третье
и т. д. Вектор, соединяющий начало первого слагаемого с концом последнего,
и будет суммой всех данных векторов, т. е. суммой служит замыкающий вектор
той ломаной линии, звеньями которой служат данные слагаемые векторы (черт. 71).
Если оказалось бы, что конец последнего слагаемого совпадает с началом пер-
вого, то это значит, что вектор-сумма имеет длину, равную нулю. Такой вектор
называется нуль-вектором.
В частности, нулю равна сумма двух векторов, имеющих одинаковую длину,
но противоположные направления:
АЁ4-/М=0 (2)
или
АВ=- ~ВА\ (2')
такие векторы называются равно-противоположными.
Сложение векторов подчиняется основным законам сложения чисел:
1) закону переместительности:
а + b = b + а; (3)
2) закону сочетательности:
(а + Ъ) + с = а + (Ь + с) = а + b +с. (4)
Вычитание векторов вводится как действие, обратное сложению,
т. е. при вычитании требуется по данной сумме двух векторов и одному из
них найти другой слагаемый вектор.
Из черт. 70 непосредственно вытекает правило вычитания: чтобы вычесть
из вектора с (= АС) вектор а (= АВ), надо отнести их к общему началу; тогда
вектор b (= ВС), соединяющий конец вектора-вычитаемого (а) с концом век-
тора-уменьшаемого (с), и будет вектором-разностью;
АС — АВ==ВС, (5)
или
с — а = Ь; (5)
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД ними 177
пользуясь понятием равно-противоположных векторов, находим:
ЛС —ЛВ = ЛС + (—Аё), (6)
с — а = с + (— а), (6')
т. е. чтобы вычесть вектор, достаточно прибавить равно-противоположный ему
вектор.
Рассмотрим еще умножение вектора на скаляр.
Произведение аа, где а — любое число, представляет вектор, коллинеарный
с а и имеющий длину, в а раз большую, чем вектор а. Этот новый вектор
имеет направление или совпадающее с направлением а, или направление, ему
противоположное, в зависимости от того, будет ли а положительным или отри-
цательным числом.
Отдельно рассматривать деление вектора на число не стоит, потому что
это действие сводится к умножению вектора на обратное число; например,
вместо того чтобы разделить вектор на 3, достаточно умножить его на
Умножение вектора на скаляр подчиняется законам умножения чисел:
1) закону переместительности:
аа = аа; (7)
2) закону сочетательности:
а (За) = (at3) а; (8)
3) закону распределительности:
а (а + Ь) = аа + ab, (9)
(a 4- р) а = аа + За. О')
Если произведение равно нулю:
аа — О,
то
или а = О, или а = 0.
Если а и b — два коллинеарных вектора, то всегда можно найти такой
скаляр X, который, будучи помножен на а, дает вектор, равный Ь, т. е.
Ь = Ха. (10)
Иначе это число X можно назвать отношением векторов b и а:
— = X или b : а = X.
а
Говорить об отношении неколлинеарных векторов не имеет смысла.
Условие, необходимое и достаточное для коллинеарности двух векторов
а и Ь, выражается равенством (10) или более общей линейной зависимостью,
их связывающей:
аа + ₽Ь = 0. (И)
Вектор, который при выбранном масштабе имеет длину, равную единице,
называется единичным вектором или ортом. Если дан какой-нибудь
вектор а, то единичный вектор а0 того же направления мы получим, разделив а
на его модуль:
откуда
а = | а | • а0.
178
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[1001—1004
Компланарными векторами называются векторы, расположенные
в одной и той же плоскости или параллельные одной и той же плоскости.
Условием, необходимым и достаточным для компланарности трех векторов
а, b и с, является существование между ними линейной зависимости, т. е.
соотношения
аа + ₽Ь + 7С = 0, (12)
где коэффициенты а, р и 7 не равны нулю одновременно.
Иначе говоря, если мы имеем два неколлинеарных вектора а и Ь, то всякий
третий компланарный им вектор с может быть единственным способом «разло-
жен по векторам а и Ь», т. е. представлен как сумма двух векторов, соответ-
ственно им коллинеарных:
с = Ха + р.Ь. (13)
Если мы имеем три некомпланарных вектора а, b и с, то всякий четвертый
вектор d может быть однозначно разложен по векторам а, b и с, т. е. пред-
ставлен как сумма трех векторов, соответственно им коллинеарных:
d = «а + pb + 7с. (14)
Между любыми четырьмя векторами существует линейная зависимость:
да + pb + 7с + &d = 0,
где а, р, 7 и В не равны нулю одновременно.
1001. В параллелограмме ABCD обозначены: Д£ = а и AD = b.
Выразить через а и b векторы МА, МВ, МС и MD, где М есть
точка пересечения диагоналей параллелограмма.
1002. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах а и Ь,
проверить на чертеже справедливость тождеств:
1) (а + Ь) + (а-Ь) = 2а; 4) | + 4 =
2) (a + b)-(a-b) = 2b; a_b,u_a + b
3) a-J-(b —a) = b; rD — I
6) (a + 4)-(b + |) = l(a-b);
7) (a + 4) + (b + |) = |(a + b).
1003. Какой особенностью
имело место соотношение:
должны обладать векторы а и Ь, чтобы
а) |а + Ь| = |а —Ь|;
Ь) а-|-Ь = А(а — Ь);
d) |a4-b| = |a|-Hb|;
е) |a4-b| = |a| —|b|;
f) |а —Ь| = |аЦ-|Ь|?
1004. Каким условием должны быть связаны векторы р и q, чтобы
вектор р q, делил угол между ними пополам? Предполагается, что
все три вектора отнесены к общему началу.
1005—1015] векторы и действия над ними 179
1005. Какие ограничения должны быть наложены на коэффициенты
аир, чтобы имело место соотношение:
«•- + ₽• 4 = 0,
а 1 г b
где
а =4 0 и b 0.
1006. Три вектора АВ = с, ВС = а и СА = Ь служат сторонами
треугольника. С помощью а, b и с выразить векторы, совпадающие
с медианами треугольника: AM, BN и СР.
1007. В треугольнике предшествующей задачи выразить все
медианы только через два вектора: а и Ь.
1008. Сторона ВС треугольника АВС разделена на пять равных
частей и все точки деления D%, D3, соединены с противоле-
жащей вершиной А. Обозначив стороны АВ —с и ВС = а, найти
выражения для векторов DXA, D%A, DZA, D&A.
1009. Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого
треугольника, в свою очередь могут служить сторонами другого
треугольника.
1010. Зная векторы, служащие сторонами треугольника АВ=с^
ВС = а и СА = Ь, найти векторы, соответственно коллинеарные бис-
сектрисам углов этого треугольника.
1011. Изменится ли сумма компланарных векторов, если все сла-
гаемые векторы будут повернуты в одном и том же направлении на
один и тот же угол?
1012. Доказать, что сумма парных произведений — длины каждой
стороны треугольника на единичный вектор, перпендикулярный к этой
стороне, — равна нулю.
Примечание. Предполагается, что. упомянутые единичные векторы
направлены от соответствующих сторон треугольника или все три во внутрен-
нюю область треугольника, или все три — во внешние области.
1013. Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правиль-
ного треугольника с его вершинами, равна нулю.
1014. Останется ли справедливым утверждение предшествующей
задачи, если треугольник заменить правильным п-угольником?
1015. В правильном шестиугольнике ABCDEF известны АВ = р
и BC = q. ___ ____
а) Выразить через р и q векторы: CD, DE, EF, FA, AC, AD и AE.
b) Найти отношение векторов:
ВС ВС CF АВ
~; -т---------- и ---.
AD EF АВ ВС
180
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[1016—1023
1016. В правильном шестиугольнике ABCDEF даны: ДВ=ш и
АЕ = п. Разложить по этим двум векторам AC, AD, AF и EF.
1017. В ромбе ABCD даны диагонали АС = а и BD = b. Разло-
жить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторо-
нами ромба: ABt BCt CD и DA.
1018. В равнобочной трапеции ABCD известно нижнее основание
АВ = а, боковая сторона AD = b и угол между ними /,А = у.
Разложить по а и b все векторы, составляющие остальные стороны
и диагонали трапеции.
1019. В треугольнике АВС сторона ВС разделена точкой D
в отношении т: л, т. е.
BD т
Разложить вектор AD по векторам АВ = с и АС = Ь.
1020. Дать геометрическое построение разложения вектора а на
два компланарных с ним слагаемых, если известны:
а) длина и направление одного слагаемого;
Ь) направление обоих слагаемых;
с) направление одного и длина другого слагаемого;
d) длина обоих слагаемых.
Исследовать, когда разложение возможно и сколько имеет реше-
ний, если ни одно из слагаемых не параллельно а.
1021. На трех некомпланарных векторах
АВ = р, AZ) = q и АА' = г
построен параллелепипед ABCDA'B'C'D'. Выразить через р, q и г
векторы, совпадающие со всеми остальными ребрами, диагоналями и
диагоналями граней этого параллелепипеда.
1022. В тетраэдре ABCD даны ребра, выходящие из вершины А:
АВ = Ьу АС = с и AD — d.
Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медиану DM
грани BC,D и вектор AQt где Q — центр тяжести грани BCD.
1023. Зная разложения векторов 1, ш и п по трем некомпланар-
ным векторам а, b и с, проверить, будут ли 1, m, п компланарны,
и в случае утвердительного ответа дать линейную зависимость, их
связывающую:
а)1=2а — b — с, m = 2b— с — а, п = 2с— а — Ь;
b) 1 = с, ш = а — b — с, п = а — b 4~ с;
с) 1 = а -|- b с, m = b[c, п = — а Ц- с.
1024—1028]
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
181
1024. Известны разложения двух векторов р и q по трем неком-
планарным векторам а, b и с:
р = сца + + fiC,
q = а.2а -f- р2Ь + 72с.
Какая зависимость должна существовать между коэффициентами
этих разложений, если
a) p = q; Ь) р и q коллинеарны; с) | р | = | q |.
1025. Найти линейную зависимость между данными четырьмя не-
компланарными векторами:
ш = а — ЬЦ-с; р = а-]-Ь;
п = Ь4-у; q = b — с.
1026. Разложить вектор s = а 4“ b 4~ с п0 трем некомпланарным
векторам: tn = a-|-b — 2с, п = а — b и р = 2Ь-{-Зс.
1027. Чтб можно сказать о взаимном расположении четырех век-
торов в пространстве, если они связаны линейной зависимостью aa-f-
4- pb 7е причем
а) а 0, Р # 0, у # О, В # 0;
Ь) а = 0, р^О, у# О, В#0;
с) а = р = О, 7 # О, В ф 0;
d) а = р = 7 = 0, В О?
1028. В разложении вектора с = Ха4_!1Ь по двум неколлинеар-
ным векторам а и b могут ли оба коэффициента разложения к и р.
или один из них равняться нулю?
2. Проекции векторов !). Скалярное умножение векторов
Осью называется прямая, на которой выбрано положительное направле-
ние и единица длины. Ось вполне определяется единичным вектором (ортом).
Проекцией точки М на данную ось называется основание перпен-
дикуляра, опущенного из данной точки М на данную ось 2). ___
Проекцией вектора АВ на ось называется длина вектора А'В', за-
ключенного между проекциями начала и конца вектора АВ, причем длина эта бе-
рется с положительным знаком, когда вектор А 'В1 имеет направление орта оси, и
с отрицательным знаком, когда А'В’ и орт оси имеют противоположные на-
правления.
Проекция вектора на ось есть скаляр.
Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на
косинус угла (<р) между вектором и осью:
пр. АВ = | АВ | • cos ср. (15)
4 В настоящей главе рассматриваются лишь ортогональные проекции.
3) При проектировании пространственных фигур на ось удобнее определять
проекцию точки как точку пересечения оси с плоскостью, проходящей через
данную точку перпендикулярно к оси.
182
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Проекция суммы векторов равна алгебраической сумме проекций слага-
емых векторов:
пр. (а + b + с) = пр. а + ПР- b + пр. с. (16)
Проекция произведения вектора на скаляр равна произведению этого же
скаляра на проекцию вектора:
пр. (аа) = а . пр. а. (17)
Скалярным (внутренним) произведением двух векторов назы-
вается произведение длин этих векторов на косинус угла между ними1).
Чтобы показать, что два вектора перемножаются скалярно, их заключают
в круглые скобки или просто пишут рядом:
(ab) = ab = ab cos (ab). (18)
Если перемножаемые векторы коллинеарны, то
ab = zt ab,
т. е. скалярное произведение коллинеарных векторов равняется произведению
их скаляров, взятому со знаком плюс или минус, в зависимости от того, имеют
ли оба вектора одинаковые или противоположные направления.
Если один из сомножителей является единичным вектором, то скалярное
произведение равно проекции другого сомножителя на направление первого:
ab° = а • 1 . cos (ab°) = пр. 0 а, (19)
ь
т. е. умножение вектора на единичный вектор равносильно проектированию
этого вектора на ось единичного вектора.
Если оба сомножителя являются единичными векторами, то их скалярное
произведение равно косинусу угла между ними:
a°b° = cos (аЧЬ*).
Угол между двумя векторами а и b можно вычислить по формуле:
cos (ab) = , (20)
ао
Скалярное произведение двух равных векторов (так называемый скаляр-
ный квадрат вектора) равно квадрату модуля этого вектора:
аа = (а)9=а2. (21)
Этим можно воспользоваться для вычисления длины вектора:
а = (22)
Квадрат единичного вектора равен единице:
аоа° = (а0)9 = 1. (21')
Скалярное произведение двух векторов может равняться нулю, когда ни
один из сомножителей не равен нулю, а именно, когда перемножаемые векторы
перпендикулярны. Итак,
ab = 0 равносильно а I Ь. (23)
х) Такое составление скаляра по двум данным векторам встречается очень
часто в прикладных науках, например, когда, зная перемещение точки и дей-
ствующую на нее силу, вычисляют работу этой силы.
1029—1036] ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД ними 183
Скалярное произведение двух векторов может быть положительным или
отрицательным числом, в зависимости от того, образуют ли они острый или
тупой угол между собой.
Скалярное умножение подчиняется законам умножения чисел:
1) закону переместительности:
ab = Ьа; (24)
2) закону распределительности:
(а + Ь)с = ас + Ьс; (25)
3) закону сочетательности по отношению к числовому множителю:
(аа) b = a (ab). (26)
Но, вообще говоря,
(аЬ) с а (Ьс), (27)
потому что в левой части неравенства (27) стоит вектор, коллинеарный с с,
а в правой части — вектор, коллинеарный с а.
1029. Зная проекции нескольких векторов на одну и ту же ось:
пр. а = 5, пр. Ь = —3, пр. с = —8 и пр. d = 6,
можно ли заключить, что эти векторы образуют замкнутую ломаную
линию?
1030. Проверить, справедливы ли следующие равенства:
1) аа = а2; 5) a(bb) = a£2;
2) а2а = а3; 6) (а ± Ь)2 = а2 + =Ь 2аЬ;
3) а2а = а3; 7) (а + Ь) (а — Ь) = а2 — Ь\
4) a(ab) = a2b; 8) (ab)2 = a2b2?
1031. Проверить справедливость тождества
(а + Ь)2 + (а — Ь)2 = 2 (а2 + Ь*)
и дать его геометрическое толкование.
1032. Можно ли говорить о скалярном произведении трех векто-
ров? о скалярном кубе вектора? о кубе скаляра вектора?
1033. Выяснить, почему тождество, справедливое для скаляров
а3 — Ь* — (а — Ь) (а2 -j-ab-}- b2),
не имеет места для векторов.
1034. Вычислить скалярное произведение ab, если а=3р — 2q и
b = p-|-4q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные век-
торы.
1035. Найти числовое значение скаляра Зт— 2 (шп)4л2, если
|т| —’/з, |п| = 6 и (гпп) = ~.
О
1036. Упростить выражение
a84-3(ab) —2(bc)+ 1,
184 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (1037—1051
если а = 4т — n, b = m-J-2n, с = 2т— Зп, где /и2 = 4, па=1 и
(тп) = у.
1037. Чему равна сумма ab Ьс са, если а, b и с — три орта,
удовлетворяющих условию
а + Ь + с = 0?
1038. Вычислить скалярное произведение двух векторов pq, зная
их разложение по трем единичным взаимно перпендикулярным векто-
рам а, b и с:
р = За Ц- b — 2с; q = а — 4Ь — 5с.
1039. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не
изменится, если к одному из них прибавить вектор, перпендикуляр-
ный другому сомножителю.
1040. Найти длину вектора а = 3т — 4п, зная, что тип —
взаимно перпендикулярные орты.
1041. Вычислить длину вектора Р = аа 7с, если а, b и
с — данные взаимно перпендикулярные векторы.
1042. Зная, что векторы а, b и с образуют треугольник, т. е.
аb —с = 0, вычислить длину стороны с, считая а и b изве-
стными.
1043. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построен-
ного на векторах A = 5p-|-2q и В = р — 3q, если известно, что
|.p| = 2 /~2, |q| = 3 и (pq) = -J.
1044. К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, дей-
ствующие под углом 120°, причем | Р | = 7 и | Q | = 4. Найти вели-
чину равнодействующей силы R.
1045. Найти равнодействующую пяти компланарных сил, равных
по величине и приложенных к одной и той же точке, зная, что углы
между каждыми двумя последовательными силами равны 72°.
1046. Вычислить угол между векторами a = 3p-|-2q и Ь = р -|-
5q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
1047. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены
медианы из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.
1048. Зная векторы, образующие треугольник: А7? = 2а—6Ь,
SC = a-|-7b и СА = — За — Ь, где а и b — взаимно перпендику-
лярные орты, определить углы этого треугольника.
1049. Зная разложение вектора Q = 6m — 2п-]-Зр по трем пер-
пендикулярным ортам, вычислить длину вектора Q и углы, которые
он образует с каждым из ортов m, п и р.
1050. Обозначив через а и b стороны ромба, выходящие из общей
вершины, доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
1051. Проверить, что векторы р = а(Ьс) — Ь(ас) и с перпенди-
кулярны друг другу.
1052—10571
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
185
1052. Зная, что | а | = 2, | b | = 5 и (ab) = y, определить, при
каком значении коэффициента а векторы р = аа17Ь и q = 3a — b
окажутся перпендикулярными.
1053. Какой угол образуют единичные векторы s и t, если из-
вестно, что векторы р = $ -ф- 2t и q = 5s — 4t взаимно перпендику-
лярны.
1054. Найти проекцию вектора А = 10m -ф- 2п на ось, имеющую
направление вектора В = 5т—12п, где т и п — взаимно перпенди-
кулярные орты. Вычислить углы между осью проекций и единичными
векторами тип.
1055. Зная скалярное произведение (Р) двух векторов и один из
этих векторов (а), можно ли найти другой вектор (х)?
1056. Даны разложения векторов, служащих сторонами треуголь-
ника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: А5 = 5а-ф-2Ь,
ВС — 2а — 4Ь и С А — — 7а -ф- 2Ь. Вычислить длину медианы AM и
высоты AD треугольника АВС.
1057. Зная векторы а и Ь, на которых построен параллелограмм,
выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма,
перпендикулярной к стороне а.
3. Векторное умножение. Смешанное произведение
трех векторов. Двойное векторное произведение
Наряду с умножением двух векторов, приводящим к скаляру, рассмотрим
еще один тип умножения векторов, в результате которого получается вектор.
Такое умножение называется векторным или внешним х).
Векторным произведением двух векторов а и b называется век-
тор с, обладающий следующими свойствами:
1. Длина вектора с равна площади параллелограмма, построенного на век-
торах а и Ь, т. е.
с = а • Ь • sin (ab). (28)
2. Вектор с перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма, т. е. пер-
пендикулярен вектору а и вектору Ь:
ас = 0 и Ьс = 0. (29)
3. Векторы а, b и с, взятые в указанном порядке, составляют правую
тройку векторов * 2).
Это последнее условие значит, что наблюдатель, стоящий на плоскости
векторов а и b так, что направление от его ног к голове совпадает с направ-
лением вектора с, видит кратчайшее вращение от направления а к направле-
нию b совершающимся справа налево, т. е. против часовой стрелки.
х) Целесообразность введения такого умножения подтверждается при ре-
шении целого ряда геометрических и механических проблем (вычисление мо-
мента силы, выражение площадей с помощью векторов и пр.).
2) Можно было бы дать определение векторного произведения, заменив это
условие условием, ему противоположным, т. е. потребовать, чтобы векторы а,
b и с составляли левую тройку. Но раз выбор сделан, надо строго придержи-
ваться соответствующего условия.
186
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Для векторного произведения с вектора а на вектор b вводится обозначе-
ние:
с = [ab] (30)
или
с = а X Ь. (30')
Если перемножаемые векторы взаимно перпендикулярны, то модуль век-
торного произведения равен произведению модулей сомножителей:
| [ab] | = ab, если а I Ь. (31)
Если перемножаемые векторы коллинеарны, sin (ab) = 0 и векторное про-
изведение их равно нулю, т. е.
[ab]=0, (32)
это равносильно а |] b J); в частности,
[аа] = 0. (32')
Свойство переместительности для векторного умножения не сохраняется-,
так как перемена мест сомножителей приводит к перемене знака произведения
или, точнее, вектор-произведение меняет направление на противоположное:
[ab] = — [Ьа]. (33)
Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю сохра-
няется:
a[ab] = [(aa)b] = [a(ab)]. (34)
Свойство распределительности для векторного произведения сохраняется:
[а(Ь + с)] = [ab] + [ас]. (35)
Если векторное произведение двух векторов [ab] умножается скалярно на
третий вектор с, то такое произведение трех векторов называется смешан-
ным (векторно-скалярным) и обозначается так:
[ab]c = c[ab]. (36)
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование — это
скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного
на данных трех векторах. Если векторы а, b и с составляют правую тройку,
их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному
объему; если же тройка а, b и с — левая, смешанное произведение — число
отрицательное, и для получения положительного объема придется переменить
знак на обратный.
Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда эти векторы компланарны, т. е. условие компланарности трех векторов
имеет вид:
[ab]c = 0. (37)
Смешанное произведение обладает тем свойством, что оно не меняется при
круговой перестановке сомножителей и меняет знак при всякой перестановке,
меняющей последовательность сомножителей:
[ab] с = [be] а = [са] Ь = — [Ьа] с = — [ас] b = — [cb] а. (38)
*) Мы не выделяем случая, когда один из сомножителей равен нулю, так
как нуль-вектору можно приписать любое направление.
1058—1067] ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД ними 187
Поэтому смешанное произведение векторов а, b и с иногда обозначают
проще, написав их рядом в той последовательности, в которой производятся
действия:
[ab] с = abc. (39)
Если векторное произведение двух векторов [ab] умножается векторно на
третий вектор с, то такое произведение называется двойным векторным
произведением и обозначается так:
[ [ab] с]. (40)
Двойное векторное произведение не обладает ни свойством переместитель-
ности, ни свойством сочетательности:
[[ab] с] [с [ab]], (41)
[lab] с] # [а [Ъс]|. (42)
Вектор [[ab] с] компланарен векторам а и Ь; поэтому он может быть раз-
ложен по этим векторам. Соответствующая формула разложения двойного век-
торного произведения такая:
[[ab] с] = b (ас) — а (Ьс). (43)
1058. Образуют ли первые три пальца левой руки левую или
правую тройку, если большой и указательный пальцы вытянуты
в плоскости ладони, а средний палец согнут в сторону ладони? Тот
же вопрос решить относительно тех же пальцев правой руки.
1059. Проверить, что при круговой перестановке векторов а, Ь, с
характер тройки (левой или правой) не меняется.
1060. Проверить, что при перестановке двух векторов из трех
данных левая тройка переходит в правую, и обратно.
1061. Проверить, что непрерывным вращением векторов левая
тройка может преобразоваться в правую, лишь перейдя через поло-
жение компланарности.
1062. Упростить произведения [ab], [Ьс] и [са], зная, что а, Ь,
с — взаимно перпендикулярные орты, образующие правую тройку.
1063. Решить задачу 1062 в предположении, что орты а, b и с
образуют левую тройку.
1064. При каком значении коэффициента а векторы
р = аа 5Ь и q = За — b
окажутся коллинеарными, если а и b не коллинеарны?
1065. Доказать, что векторное произведение не изменится, если
к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому
сомножителю.
1066. Показать, что векторное умножение вектора а на перпен-
дикулярный к нему орт п равносильно повороту вектора а на пря-
мой угол по часовой стрелке в плоскости, перпендикулярной орту п.
1067. Разобрать, какое изменение надо сделать в утверждении
предшествующей задачи, если вектор а является множителем, а орт
п — множимым.
188
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[1068—1082
1068. Проверить, что векторное умножение данного вектора а
на вектор b может быть заменено тремя следующими операциями:
1) проектированием вектора а на плоскость, перпендикулярную к Ь;
2) поворотом полученного при проектировании вектора на прямой
угол по часовой стрелке в указанной плоскости;
3) умножением повернутого вектора на модуль множителя Ь.
1069. Если А и В даны, можно ли подобрать X так, чтобы
А = [ВХ]? Всегда ли задача возможна и сколько она имеет решений?
1070. Проверить, что [ab] = [Ьс] — [са], если а, b и с — любые
три вектора, удовлетворяющих условию а -|- b с = 0.
1070*. Доказать компланарность векторов: [ар], [aq] и [аг].
1071. Проверить, имеют ли место в векторной алгебре тождества:
1) [a-f-b, а — Ь] = [а2] — [Ь2]1);
2) [(а ± b)2 ] = [a2] zt 2 [ab]-j-[Ь2];
3) [ab]2 = a2b2.
1072. Векторное произведение [(аЬ) (а — Ь)] преобразовать
в предположении, что а и b не коллинеарны, и дать геометрическое
толкование полученному результату.
1073. Вычислить скаляр а = [ab]2(ab)a.
1074. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-
торах Р = 2А-|-ЗВ и Q = A — 4В, где А и В — единичные взаимно
перпендикулярные векторы.
1075. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-
торах АВ = ш 2п и AD = m — Зп , где т = 5, п = 3 и (mn) = —.
1076. Зная две стороны треугольника А2?=3р—4q и ВС=р-р $4,
вычислить длину его высоты CD при условии, что р и q — перпен-
дикулярные друг другу орты.
1077. Разложить вектор Р = [(За-]-Ь— 2с) (а — b -}- 5с)] по
взаимно перпендикулярным ортам а, Ь, с, образующим правую тройку.
1078. Дан вектор Q = [(3m 4п 5р) (т + 6п + 4р)], где
т, п, р — взаимно перпендикулярные орты, образующие левую тройку.
Вычислить его длину.
1079. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма,
построенного на данных векторах а = 2m п — р и b = гп — Зп Ц- р,
где т, п и р — взаимно перпендикулярные орты.
1080. вычислить проекцию вектора А = 3р—12q-{-4r на ось,
имеющую направление вектора В = [(р — 2г) (р3q — 4г)], если
р, q и г — взаимно перпендикулярные орты.
1081. Доказать, что смешанное произведение трех векторов, из
которых два коллинеарны, равно нулю.
1082. Дать алгебраическое доказательство того, что смешанное
произведение трех компланарных векторов равно нулю.
J) Символ | а2 ] заменяет [аа].
1083—1093*)
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
189
1083. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах Р = А-|-В-|-С, Q = A + B —С и R=A —В-)С.
1084. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на век-
торах:
1) а = р — 3q -[- г, b = 2p4-q — Зг и c = p-|-2q-J-r, где р, q и
г — взаимно перпендикулярные орты;
2) а = 31п4-5п, Ь = ш— 2n, с = 2т4~7п,
где | т| = */«» |п| = 3, (тп)=135°.
1085. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на трех
векторах: А = ЗР + 2Q — 5R, В = Р — Q + 4R и С = Р —3Q4-R,
если за основание взят параллелограмм, построенный на А и В. Кроме
того, известно, что Р, Q и R — взаимно перпендикулярные орты.
1086. Проверить, компланарны ли данные векторы:
1) р = а — 2Ь4-с; q = 3a-[-b— 2с;
г = 7а4-14Ь —13с;
2) p = 2a + b-3c; q = a-4b + c; а- Ь> ^-взаимно пер-
Г_За 1 2b | 2с; пендикулярные орты
3) p = [am]; q = [bm]; г = [ст].
1087. Проверить справедливость равенства
[[ab] c]4-[[bc]a] + [[ca]b] = 0.
1088. Показать, что если А_]_В и А_1_С, то
[А[ВС]] = 0.
1089. Будут ли равносильны следующие два равенства:
а) А = В и <хА= аВ;
Ь) А = В и (АС)= (ВС);
с) А = В и [АС] = [ВС];
d) А = В и А + С = В-]-С?
1090. Доказать компланарность векторов а, Ь, с, зная, что
[ab] + [Ьс] + [са] = 0.
1091. Зная, что с = Ха-|-|4), найти соотношение между векторами
а, b и с, не содержащее коэффициентов К и ji.
1092. Можно ли найти вектор х, одновременно удовлетворяющий
двум уравнениям: ха = а и [xb] = c, где а, Ь, с — данные векторы
и а — данный скаляр?
1093. Найти вектор х, одновременно удовлетворяющий трем ура-
внениям: ха = oi, xb = p и хс = у.
1093*. Проверить, что аф^ a2b! = 0, если существует вектор х,
одновременно удовлетворяющий двум уравнениям: [aiX] = b! и
1а2х] = Ь2.
190
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ГЛАВА XVI
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора.
Координаты вектора. Действия над векторами, заданными
своими координатами. Основные формулы
Положение точки в пространстве может быть определено одним вектором,
который называется радиусом-вектором1) этой точки.
Чтобы осуществить такое определение, необходимо выбрать в пространстве
произвольную точку О, называемую полюсом. Как только полюс О выбран,
каждой точке М соответствует единственный вектор ОМ, связывающий полюс
с этой точкой, и, наоборот, каждому вектору г соответствует единственная
точка — конец вектора г, отнесенного к полюсу (черт. 72). То, что точке М
соответствует радиус-вектор г, записывают так: Л4(г).
Если мы изменим полюс, например за полюс выберем новую точку О' (г0),
то точке М будет соответствовать другой радиус-вектор г', который связан
с прежним радиусом-вектором этой точки г и с радиусом-вектором нового по-
люса г0 следующим образом (черт. 73):
г = г’ + г0 или г' = г — г0. (1)
Если даны 2) две точки А (и) и В (г2), то вектор, их соединяющий, равен
разности радиусов-векторов этих точек:
ЛВ = г2 — П,
(2)
причем из радиуса-вектора конца вектора надо вычесть радиус-вектор начала
(черт. 74).
J) В настоящей главе под словом «радиус-вектор» мы подразумеваем именно
вектор, т. е. отрезок определенной длины и определенного направления, в про-
тивоположность сказанному в гл. II, V и VII, где под радиусом-вектором
подразумевалась лишь длина отрезка.
2) Дать точку — значит дать ее радиус-вектор.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
191
Если даны две точки A (rL) и В (г2), то_радиус-вектор г точки С, делящей
_____
вектор АВ в отношении X (черт. 75), т. е. —— = Х, определяется по формуле:
__1*1 + Хга
1+*
(3)
В частности, радиус-вектор середины (X = 1) век-
тора АВ равен полусумме радиусов-векторов его кон-
цов:
Чтобы связать векторный метод решения задач
с методом координатным и чтобы включить векторы
в число тех геометрических объектов, операции над.
которыми могут быть заменены алгебраическими
вычислениями, рассмотрим их в связи с системой
координат.
Пространственная система координат 2), состоящая
Пространственная система координат 2), состоящая из трех взаимно пер-
пендикулярных осей координат, вполне устанавливается выбором начала коорди-
нат и ортов всех трех осей. Усло-
вимся раз навсегда обозначать орт
оси х через i, орт оси у — через j
и орт оси z — через к. Таким образом,
i, j и к являются взаимно перпендикулярными единичными векторами (черт. 76),
составляющими правую связку, т. е. они удовлетворяют следующим условиям:
Р =1,
(ij)=O,
J2 =1,
(Jk) = O,
ВЧ = i.
ks =1,
(ki) = 0,
[ki] = j.
(5)
(6)
(7)
Любой вектор а может быть разложен по трем некомпланарным векторам
i, J и к. Обозначив коэффициенты этого разложения X, У и Z, получим:
a = A'i+ Fj + Zk.
*) Сопоставляя полученный результат с формулой (8) гл. VII, видим, что
одно векторное равенство заменяет три координатных.
а) Мы ограничиваемся прямоугольными системами координат.
192
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Векторы Xi, У] и Zk называются компонентами вектора а по осям
координат; это — векторы, коллинеарные соответствующим осям; они же служат
ребрами того параллелепипеда, для которого а является диагональю (черт. 77).
Что же касается коэффициентов разложения X, У, Z, то они равны моду-
лям компонентов, взятым с соответствующим знаком; другими словами, они
являются проекциями вектора а на
соответствующие оси координат:
X = np.j
У = np.j
Z=np.k
Иначе их можно
как скалярные произведения вектора
а на орты соответствующих осей:
=
r=aj,
Z = ak.
а»
а,
а.
(9)
рассматривать
(Ю)
Проекции (X, У, Z) вектора а на
три оси координат называются коор-
динатами вектора.
Каждому вектору соответствует
единственная тройка координат благо-
даря однозначности разложения вектора по трем некомпланарным ортам i,
j, к, и, обратно, каждая тройка координат X, У, Z определяет единственный
вектор а, так как из (8) имеем:
| а | = ]/X2 + У2 + Z2,
(И)
т. е. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его коорди-
нат, а из соотношений (10) и (11) получаем возможность определить направле-
ние вектора:
Л о Л
cos а = г ; COS Р = .
z
COS 7 = _ —,
)<X2 + y2 + Z2
(12)
где
а = (ai), ₽ = (aj) и 7 = (ak).
То, что вектор а имеет координаты X, У, Z, обозначается так:
а {X, У, Z}.
Если дано несколько векторов своими координатами:
а1{^, Уъ Zi}, а2 { Х2, У2, ... , ал{Хя, Уя, Zn},
то координаты суммы этих векторов
с == ai а2 +... + ая
равны алгебраическим суммам одноименных координат слагаемых векторов, т. е.
с { Xi + Х2 +... + Хя, У1 + У2 +... + Уя, Zi -f- Z2 4" • • • + %п} • (13)
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
193
Координаты разности двух векторов равны разностям одноименных коорди-
нат этих векторов, т. е. если
a {Xi, Л, Z,}, b{Z2, У2, Z2}
и
с = а —b,
то
с { Xi - x2i Л-n, Z1 — Z2}. (14)
Координаты произведения вектора а { X, У, Z } на скаляр а равны произ-
ведениям координат вектора на тот же скаляр:
аа { аХ, aYt aZ }. (15)
Если даны координаты двух векторов а { Xlt Уь Zx } и b { Х2, У2, Z2 }, то
скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одно-
именных координат:
ab = Х,Х2 + У1Г2 + ZXZ2. (16)
Угол между этими двумя векторами вычисляется по формуле:
cos г = --------------------------------.
Vxi + Yl+Zt.yxi+Y^ + Zl
Условие перпендикулярности двух векторов:
X1X2 + riF2 + Z1Z2=O.
Условие коллинеарности двух векторов
Xi_ Zi
x2~y2~z2*
(17)
(18)
(19)
Если даны координаты двух векторов а { Xi, Ylt Zt } и Ь { Xs, Ys, Z2}, то
координаты их векторного произведения [ab] вычисляются по формулам:
X=Y1Z2— Y,Ztl
Y = ZlXs — Z!Xl,
Z^XiYi — XtYi, .
или, проще, эти координаты являются определителями матрицы
X. Л Zt II
Х2 У2 Z2||
(20)
(21)
составленной из координат данных двух векторов *)•
Можно векторное произведение тех же двух векторов представить с по-
мощью определителей третьего порядка:
[ab] =Zi-|~ У] — Zk =
J k
Yt Z.
Ys Z s
(22)
*) Для получения из этой матрицы координат векторного произведения
надо в ней поочередно вычеркнуть первый, второй и третий столбцы, пере-
менив у среднего определителя знак на противоположный.
7 О. Н. Цубербиллер
194
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Скаляр abc, представляющий смешанное произведение трех данных векто-
ров а { Zt}, b {Х2, У2, Z2} и с{Х8, К8, Z8 }, равняется определи-
телю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:
abc =
Xi Vi
Ха Y а Za ;
Ха Ya Z3
(23)
отсюда вытекает условие компланарности трех векторов:
Xt
X,
Ха
(24)
Чтобы связать координаты вектора с координатами точки, надо иметь
в виду, что координаты точки Л4 (х, у, z) равны координатам ее радиуса-век-
тора ОМ{Х, Yt ZJ, если полюс совпадает с началом координат, т. е.
Ar=x, Y =у, Z = z. (25)
Если вектор АВ задан своими конечными точками А (хьуи Zi) и В (х2,^2, za)t
то координаты этого вектора { X, Y, Z} равны разностям одноименных коор-
динат конца и начала вектора:
Х=ха— Xi, Y = ya—yi, Z=za— zt. (26)
Чтобы перейти от векторной формулы, например от формулы
к соответствующим координатным формулам, можно воспользоваться разложе-
ниями радиусов-векторов по основным ортам i, j, k:
г = xi4-_yj 4~zk; r2 = x,i 4- j>2J 4- z,k.
Вставив эти выражения в данную формулу (3), получим:
xi । уj । &____(xi + ^xs) 1 + СУ1 + \Уя) j + (*i + ^я) к
Принимая во внимание однозначность разложения вектора, можно приравнять
коэффициенты при одинаковых ортах в левой и правой частях равенства (3'):
__ Xf-f-Xxs ____+ \уа
Х~~ 14-Х ’ 1+Х ’
21 + ^2
г- 1+Х •
(3")
Можно было бы при решении этой же задачи применить другой способ,
Г1 Хгд
а именно, спроектировать вектор г = л * последовательно на каждую из
1 А
осей координат, т. е. скалярно помножить обе части равенства (3) последова-
тельно на i, j и к.
При умножении на i получим:
(ri) =
(r.i) + X (r2i)
1+Х
или, принимая во внимание, что
(Гi) = X, (гli) — Xt, (r2i) = х2,
получим:
__Xi + Xx2
1+A-
и T. Д.
1094—1103]
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
195
Примечание. В настоящей главе мы ввели сразу пространственную
систему координат и разложение любого вектора по трем основным ортам;
если все рассматриваемые векторы лежат в одной и той же плоскости (лу),
то их можно было бы разложить по двум компланарным им ортам:
а = Л1+ Fj.
Каждый такой вектор имел бы только две координаты, и все приведенные
формулы соответственно упростились бы.
1094. Зная три вершины параллелограмма АО^), В(г2) и С(г3),
найти четвертую его вершину D, противолежащую В.
1095. Где выбрать полюс, чтобы сумма радиусов-векторов всех
вершин параллелограмма равнялась нулю? Сколько решений имеет
эта задача?
1096. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоле-
жащих ребер тетраэдра, проходят через одну и ту же точку и де-
лятся в ней пополам.
1097. Проверить, что сумма радиусов-векторов вершин тре-
угольника равна нулю, если полюс совпадает с центром тяжести тре-
угольника.
1098. Проверить, что сумма векторов, направленных из центра
тяжести п материальных точек во все эти точки, равна нулю, если
во всех п точках сосредоточены равные массы.
1099. Как записать условие коллинеарности1) трех точек А (г>),
В(г2) и С(г3)?
1099*. Проверить, что точки A (2i 4j + к), В (3i 4* 7j -j- 5k)
и C (4i 4* 10j -|- 9k) лежат на одной прямой.
1100. Что можно утверждать относительно расположения трех
точек А (и), В(г2) и С(г3), если их радиусы-векторы связаны соотно-
шением:
«Г1 + ₽г,-]-7Гз = 0,
причем
а_|_р_|_7 = 0?
1101. Как выразить условие компланарности четырех точех А (гО,
В(г2), С(г3) и Щг4)?
1102. Как выразить площадь треугольника через радиусы-векто-
ры его вершин?
1102*. Проверить, что точки А (14), В(г2) и С(г3) лежат на одной
прямой, если
[r1rs,]4-[rsr3]4-[r3ri] = 0.
1103. Даны вершины треугольника: А(—1; 2; 3), В (5; —3; 4)
и С (2; 1; 6). Разложить векторы, совпадающие с его сторонами, по
основным ортам i, j, k.
’) Точки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой.
7*
196
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[1104—1118
1104. Можно ли решить задачу, обратную задаче 1103, т. е.,
зная разложения сторон треугольника по основным ортам, найти его
вершины?
1105. Зная одну из вершин треугольника Л (2; —5; 3) и векторы,
совпадающие с двумя его сторонами АВ { 4; 1; 2 } и ВС{3; —2; 5},
найти остальные вершины и сторону СА»
1106. Доказать, что четырехугольник, все вершины которого
определены своими радиусами-векторами rt = 51 4~ 2j — k, г2 = i —
—3j-1- 4k, r3 = — 2i-|-j-|-3k и r4 = 2i-|-6j — 2k, есть параллело-
грамм.
1106*. Найти радиусы-векторы вершин четырехугольника задачи
1106 после того, как полюс будет перенесен в вершину С(—21-ф-
+ Л" 3k).
1107. Найти проекцию вектора a = 4m-]-3n — р на ось абсцисс
и компоненту этого же вектора по оси ординат, если щ = 31
-|-5j-8k, n —2i — 4j — 7k и p = 5i + j —4k.
1108. Вычислить скалярное произведение векторов а и b, где
a — 4i 7j 4- 3k и b = 3i —5j4-k.
1108*. Проверить, что треугольник с вершинами А (51 — 4j),
В (3i 4- 2j), С (21 — 5j) — прямоугольный.
1109. Найти длину и направление вектора а = 3ш — 5n Lp>
зная, что m = 4i 4~ 7j 4-3k, n = 14“2j4-k и р = 21 — 3j — k.
1110. Найти вектор Р, зная две его координаты Х=3, Y= — 9
и модуль Р= 12.
1111. Найти единичный вектор а, параллельный вектору А {6;
7; —6}.
1112. Найти единичный вектор р, одновременно перпендикуляр-
ный к вектору а { 3; 6; 8 } и к оси абсцисс.
1113. Даны компоненты трех сил: ax = 5i, ay = 2j, а2 = — 7k;
bx — 3i, bv = 6j, b^ = 4k; cx=12i, Cy = j и c^=15k. Найти вели-
чину и направление равнодействующей силы R.
1114. Зная, что векторы a = ai4~5j — к и b = 3i4-j4"I^ кол-
линеарны, вычислить коэффициенты а и у.
1115. В плоскости (ху) найти вектор Р, перпендикулярный
вектору Q { 5; —3; 4} и имеющий одинаковую с ним длину.
1116. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треуголь-
ника АВ { 2; 1; —2} и ВС {3; 2; 6}, вычислить углы этого тре-
угольника.
1116*. Вычислить площадь треугольника задачи 1116.
1117. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на трех
данных векторах Р { 3; 1; —2}, Q{ — 4; 0; 3} и R{1; 5; —1 }, и
исследовать, образуют ли векторы левую или правую тройку.
1118. Проверить, будут ли компланарны данные три вектора:
а) А { 2; —1; 3 }, В { 1; 4; 2 }, С { 3; 1; —1
b) L { 1; 6; 5}, М { 3; —2; 4}, N {7; —18; 2 }.
1119—1120]
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
197
1119. Исходя из условия компланарности трех векторов АВ {Хъ
Yb Zt}, AC {Х2, У* Z2} и AD {Х3, К3, Z3}, дать условие компла-
нарности четырех точек А (хь уъ гД В (х2, у %, г2), С (х3, y3i z3) и
D (х4, уь г4).
1120. Проверить, что радиус-вектор любой точки прямой, деля-
щей пополам угол между 14 {хь yt} и г2 {х2, _у2}, может быть
представлен формулой:
Г —X
\ П ’ Г2 )
Найти уравнение, связывающее координаты любой точки этой
прямой.
2. Геометрическое значение векторных уравнений
В аналитической геометрии положение точки в пространстве определяется
тремя координатами; поэтому, чтобы задать точку, надо или непосредственно
дать все три ее координаты, или дать три уравнения, из которых можно было
бы их определить. Если дано лишь одно или два уравнения, связывающих про-
странственные координаты точки, то они не могут определить одну-единствен-
ную точку; им удовлетворяют координаты бесчисленного множества точек,
которые заполняют или некоторую поверхность (случай одного уравнения),
или линию (случай двух уравнений). В таком случае мы говорим, что данное
уравнение определяет поверхность, или что система двух уравнений опре-
деляет в пространстве некоторую линию.
Если же воспользоваться векторным определением положения точки, то
для определения точки достаточно знания одного вектора — радиуса-вектора
этой точки, который может быть дан непосредственно или может быть полу-
чен из уравнения. Вопрос о том, определяет ли данное уравнение одну точку
или целую поверхность, или линию, не разрешается в общем виде, как при
координатном методе, а в каждом отдельном случае решается в зависимости
от характера уравнения.
Например, если дано уравнение
(ab) г + За _ 2 [Ьс] — г (ас)
с2 аа . V1)
его можно решить относительно г и получить новое уравнение, равносильное 0
данному:
__ 2с2|Ьс]—За2а
Г a2 (ab) + с2 (ас) *
В правой части этого уравнения указан ряд однозначных действий над
известными векторами; выполнив их, мы получим определенный единственный
вектор, которому по условию должен равняться радиус-вектор искомой точки,
т. е. уравнение (27) определяет единственную точку.
Возьмем другой пример:
аг -|- ab = 0. (28)
9 Что вновь полученное уравнение равносильно данному, следует из того,
что при решении мы пользуемся только двумя операциями: умножением обеих
частей уравнения на один и тот же скаляр и прибавлением к обеим частям
уравнения одного и того же вектора (см. задачу 1089).
198
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Если решить это уравнение относительно г, то окажется, что вектор должен
равняться скаляру, чего, конечно^ быть не может. Поэтому такое уравнение
не определяет ни одной точки, оно никакого смысла не имеет. Исключение
составляет лишь случай, когда данные векторы а и b перпендикулярны, т. е.
(ab) = O; тогда уравнению (28) удовлетворяет радиус-вектор одной-единствен-
ной точки — полюса, если а^О.
Если данное уравнение содержит не самый радиус-вектор искомой точки,
а его длину, как, например, уравнение
г3 = а3, (29)
то и определена может быть лишь одна длина радиуса-вектора, и совершенно
произвольным остается его направление. Такому уравнению удовлетворяют
радиусы-векторы бесчисленного множества точек, в частности, уравнению (29)
удовлетворяют все точки сферической поверхности, имеющей центр в полюсе
и радиус, равный а.
Наиболее типичными уравнениями, определяющими не одну, а бесчислен-
ное множество точек, являются уравнения, в которых искомый радиус-вектор
входит в качестве сомножителя в скалярном или в векторном произведении
(см. задачи 1055 и 1069).
Рассмотрим уравнение
га = 0. (30)
Это уравнение накладывает на радиус-вектор требование, чтобы он был пер-
пендикулярен к данному вектору а. Но таких радиусов-векторов существует
бесчисленное множество, все они расположены в плоскости, проходящей через
полюс перпендикулярно к а. Обратно, если в этой плоскости взять любую
точку, то ее радиус-вектор удовлетворяет поставленному условию. Таким обра-
зом, уравнение (30) определяет плоскость, проходящую через полюс перпенди-
кулярно к вектору а.
Точно так же нетрудно видеть, что геометрическое место точек, радиусы-
векторы которых удовлетворяют уравнению
[га]=О, (31)
есть прямая, проходящая через полюс параллельно вектору а.
Таким образом, геометрическое значение векторного уравнения всецело
зависит от характера этого уравнения.
Важно уметь не только находить геометрический образ, соответствующий
данному уравнению, но и решать обратную задачу — составлять уравнение
данного геометрического места точек.
Составим, например, векторное уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от данных двух точек А (п) и В (г2). Пусть М (г) обозначает
подвижную точку, описывающую данное геометрическое место. Нужно связать
уравнением переменный (текущий) радиус-вектор г точки М с постоянными
данными векторами п и га. По условию задачи векторы ЛМ = г— п и
ВМ = г — га должны иметь одинаковую длину, что можно записать так;
|г — п| = |г — г,|
или
(г —г1)3 = (г —г2)3.
Искомое уравнение составлено, но его можно еще преобразовать:
г’ - 2 (rri) + rl = г’ - 2 (гг2) 4- г», 2 {(гга) - (гг,)} = rj - г?,
г (г, — Г1) — г*~ Га — о, г (Г8 — п) — (га — г,) ( Гг~^Г1) = о,
1121]
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
199
или окончательно:
рд (П_Г1)=О.
J
(32)
Уравнение (32) имеет простое геометрическое толкование: векторы г---—
и г2 —1*1 должны быть перпендикулярны друг другу. Но г2—и = АВ (черт. 78)
есть вектор, соединяющий данные две точки, аг — - + = СМ есть вектор,
соединяющий подвижную точку М с серединой отрезка А В. Таким образом,
все точки, удовлетворяющие уравнению (32), лежат на перпендикулярах, вос-
ставленных к отрезку АВ и проходящих через его середину, т. е. они запол-
няют плоскость, перпендикулярную отрезку АВ и делящую его пополам.
Составим еще уравнение сферической поверхности, имеющей центр в точке
С (Гх) и радиус, длина которого равна а. Любая точка М (г) сферической
поверхности должна обладать тем свойством, что
ее расстояние от центра С равно а, т. е.
| W| = а,
но, так как СЛ1 = г — гь уравнение примет вид:
ИЛИ
= (33)
Это уравнение можно еще преобразовать:
г» —2(гг1) + г? = в»
или
г» — 2(rrj) = e» — г?. (33')
Иногда геометрическое место точек изображается векторным уравнением,
содержащим переменный скалярный параметр.
Например, в задаче 1120 было дано в параметрической форме уравнение
биссектрисы угла между векторами а и Ь, отнесенными к полюсу:
, / а , b \
(34)
Прямую, проходящую через полюс параллельно а, можно представить не
только уравнением (31), но и уравнением
г = Ха.
(ЗГ)
Переход от векторных уравнений к координатным и обратно может быть
осуществлен благодаря зависимости, существующей между координатами (х, yt z)
точки и ее радиусом-вектором г:
x = (ri), y = (rj), z = (rk), (35)
r = xi+jJ4-zk. (36)
1121. Составить векторные уравнения координатных плоскостей
и координатных осей ’).
J) Как в этой задаче, так и всюду в дальнейшем, если не будет оговорок,
предполагается, что полюс совпадает с началом координат.
200
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
(1122—1135
1122. Составить уравнение геометрического места точек, равно-
отстоящих от точек А (1 -|- 5 j — 2k) и В (2i — 3 j -|- Ю-
1123. Зная уравнение геометрического места точек предшеству-
ющей задачи r(i — 8j —|— 3k) = — 8, проверить, принадлежат ли ему
точки, радиусы-векторы которых rt = 15i j — 5k и r2 — 2i 4“ 3j 4“ k.
1124. Составить уравнение сферической поверхности, проходящей
через полюс и имеющей центр в точке C(rt).
1125. Найти центр и радиус сферы:
г2 — 2г (2i 4- j 4- 3k) = 35.
1126. Зная две точки А (rt) и В (г2), найти геометрическое
место точек, из которых данный отрезок АВ виден под прямым
углом.
1127. Проверить, что уравнение
—r(r1 + r2) + (r1r3) = 0
изображает сферическую поверхность. Найти ее центр и радиус.
1128. Какому уравнению удовлетворяют радиусы-векторы всех
точек окружности, лежащей в плоскости (ху), имеющей центр в
точке C(3i) и радиус длиной в 5 единиц?
1129. Найтй геометрическое значение уравнений:
a) ra4-8(rk)4- 12 = 0;
б) г2 — 12 (rj) — 16(rk)= 125.
ИЗО. Зная векторное уравнение сферической поверхности
(г — п)2 = а2,
вывести из него соответствующее координатное уравнение.
1131. Составить уравнение геометрического места точек, облада-
ющих тем свойством, что проекция радиуса-вектора каждой из них
на ось х равна четырем единицам.
Исследовать, как расположены эти точки в пространстве.
1132. Исследовать геометрический смысл уравнений:
а) гj = — 5;
б) rk = 6.
1133. Ограничиваясь рассмотрением точек и векторов, расположен-
ных в одной плоскости, показать, что уравнение
(г —Г1)а = 0
изображает прямую, проходящую через точку А(Г]) перпендикулярно
данному вектору а.
1134. При ограничениях задачи 1133 составить координатное
уравнение прямой (г — rj а = 0, если дано
Г, — и a = 4i-]-Bj.
1135. Дать геометрическое толкование уравнению
[(г —П) а] —0.
1136—11381
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
201
1136. Составить уравнение прямой, проходящей через две дан-
ные точки 4(14) и В(г2).
1137. На плоскости уравнение г2 = а* изображает окружность.
Составить уравнение касательной к ней в любой ее точке А (гД
1138. При ограничениях задачи 1133, зная вершины треугольника
Л(г0, В(г2) и С(г3), написать уравнения:
а) высоты, опущенной из вершины А\
Ь) медианы, проведенной из вершины В\
с) перпендикуляра к стороне ВС, проходящего через ее середину;
d) биссектрисы внутреннего угла А.
3. Плоскость
Всякое уравнение вида:
га = а,
(37)
т. е. уравнение, в котором скалярное произведение текущего радиуса-вектора
(г) на данный вектор (а) приравнивается данному скаляру (а), изображает
плоскость; обратно, всякая плоскость может быть представлена таким
уравнением — общим уравнением плоскости.
Если в уравнении (37) свободный член а = 0, плоскость проходит через
полюс.
В частности, если постоянный множитель в скалярном произведении есть
единичный вектор (п), а свободный член, перенесенный в левую часть уравне-
ния, окажется числом отрицательным, т. е.
гп — р = 0, (38)
где п2 = 1 и р > 0, то уравнение (38) называется нормальным уравнением
плоскости, и входящие в него параметры имеют простой геометрический
смысл: п есть орт, направленный из полюса в сторону плоскости и к ней
перпендикулярный, а р есть расстояние плоскости от полюса.
Чтобы привести уравнение (37) к нормальному виду, нужно перенести
свободный член в левую часть:
(га) — а = 0 (37)
и все члены помножить на один и тот же скаляр — нормирующий множитель:
где а’ есть длина вектора а, взятая со знаком, противоположным знаку сво-
бодного члена уравнения (37'). Тогда получим:
(г-М — А- = 0, (37")
\ a' j а' ' ' '
а а
где —- = п и —г = р.
а' а г
Расстояние Ь любой точки N(rt) от плоскости (38) вычисляется по фор-
муле:
8 = |(г1П)-р| (39)
или, если плоскость дана уравнением (37):
(39)
202
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
т. е. расстояние точки от плоскости равно абсолютной величине левой части
нормального уравнения плоскости, в которой текущий радиус-вектор заменен
радиусом-вектором данной точки.
Если отбросить в правых частях знак абсолютной величины, то зачение В,
вычисленное по формуле (39) или (39'), окажется положительным или отрица-
тельным в зависимости от того, расположены ли данная точка и полюс по
разным сторонам от плоскости или по одной и той же стороне от нее.
Если плоскость задана вектором а, к ней перпендикулярным, и одной из
точек A (rj, то уравнение плоскости имеет вид:
(г —Г1)а = 0. (40)
Уравнение (40) может быть приведено к виду (37):
га = па.
Если плоскость задана двумя параллельными ей векторами а и b и точкой
А (п), на ней лежащей, то уравнение ее следующее:
(г - п) [ab] = 0. (41)
Если плоскость задана двумя точками А (п) и В (га) и одним вектором а,
ей параллельным, уравнение ее имеет вид:
(г-гЛи-п, а] = 0. (42)
Если плоскость задана тремя своими точками Л(п), 2?(га) и С (г8), ее
уравнение будет:
(г — ft) [Г1 — Г 2, г, — г3] — 0 (43)
или после преобразований:
Г ([ ПГ»] + + [Т.П]) = Г1 [Га*-®]* (43')
В частности, если все три точки даны на осях координат A (ai), В (#j) и
С(ск), уравнение плоскости (уравнение в отрезках) примет вид:
rq=l, (44)
где
Если даны две плоскости своими общими уравнениями:
то угол «р между этими плоскостями равен углу между векторами, к ним пер-
пендикулярными, т. е.
ab | fab] |
COS <Р = —г- И Sin ср = ———
т ab т ab
(46)
Условие параллельности плоскостей (45):
[ab] = 0 или а = ХЬ. (47)
Условие перпендикулярности плоскостей:
аЪ = 0. (48)
1139—11461
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
203
Если даны три плоскости:
га = а,
гЬ = 0,
гс = 7,
(49)
то радиус-вектор точки пересечения этих плоскостей можно определить как
вектор, удовлетворяющий одновременно всем трем уравнениям (49) (см. задачу
1093). Для его вычисления можно также воспользоваться формулой:
_ ° [Ьс] + ? [са] + у [ab] f5Q.
abc * v '
1139- Исследовать, нет ли среди нижеприведенных уравнений
плоскостей нормальных уравнений:
1) r(i-}-j-k)-3=0;
2) Г (*/7i - VJ + ’M) - 8 = 0;
3) r(0,8i — 0,6k) = 0;
4) r (?/3i4- + %k) - 25 = 0.
1140. Если дан орт п, построить плоскости
rn = 4; rn -f- 3 = 0; rn = 0.
1141. Если дан орт п, построить плоскости
га = 1 и га -J- 2 = 0,
где а = —‘/an-
il 42. Привести к нормальному виду уравнение плоскости
г (— 14-2j + 3k)4-5 = 0.
1143. Найти расстояние плоскости
r(61 — 7 j — 6k) = 33
от полюса.
1144. Определить расстояние плоскости
г (21 -|- 3j — 6k) — 7 = 0
от полюса и построить ее.
1145. Определить углы, которые образует с основными ортами
перпендикуляр, опущенный из полюса на плоскость
г (514- 3j — 4k) -|- 8 = 0.
1146. Проверить, лежат ли точки А и В, радиусы-векторы кото-
рых Г| { 2; 1; 6} и rs {5; —3; 1}, и точка С(3; —2; 0) на пло-
скости
r(3i 4*5j —2к)-}-1 =0.
204
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
11147—1156
1147. Дана плоскость га = а. Найти основание перпендикуляра,
опущенного из полюса на эту плоскость. Решить эту же задачу,
если плоскость дана своим нормальным уравнением,
1148. Найти точку, симметричную с полюсом относительно пло-
скости
г (I 4- 2j — 2k) — 5 = 0.
11ЛЛ о Г 4 12 3 1
1149. Зная орт п | -уу; -jy;-----|, направленный из полюса
перпендикулярно плоскости, и расстояние плоскости от полюса
р = 4, составить уравнение плоскости и от векторного уравнения
перейти к координатному.
1150. Что представляет собою в векторном обозначении совокуп-
ность первых трех членов нормального уравнения плоскости
х cos а -\-у cos р 4 z cos 7 — /7 = 0
и совокупность переменных членов в общем уравнении плоскости
А х + By + Cz + D = 0 ?
1151. Написать в векторной форме уравнение плоскости
Их — 1у — 9г+15 = 0.
1152. Зная основание P(rj) перпендикуляра, опущенного из по-
люса на плоскость, составить уравнение плоскости.
1153. Вычислить расстояние точки:
a) A (5i 4 j) от плоскости г (4i — 7k) 4 8 = 0;
b) В (2i — j 4 3k) от плоскости г (51 -]- 2 j -|- к) — 7 = 0;
с) С (4к) от плоскости г (2i — 7j — Зк) 12 = 0.
1154. Составить уравнения плоскостей, делящих пополам дву-
гранный угол между данными двумя плоскостями:
ГП1=/71 И ГП2=/72.
1155. Указать особенности в расположении следующих плоско-
стей:
1) г(М + pj + ^к) = 0; 4) r(vk) = p;
2) г (Xi -j-pc j) = а; 5) r(Xi) = O
3) г(4 + ^к) = 0;
и сопоставить полученный результат с исследованием общего урав-
нения плоскости в координатной форме.
1156. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
A (2i — 7j 4 3k) перпендикулярно:
а) орту i;
b) вектору j-J-k;
с) вектору 414 5j — к.
1156*—1170]
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
205
1156*. Через точку Д(51 — 3j —2k) провести плоскость:
а) параллельную координатной плоскости (ху)\
Ь) параллельную плоскости г (31 — 8j-1- к) = 3;
с) проходящую через ось х.
1157. Даны две точки А и В своими радиусами-векторами rt =
= 5i-|-2j — 3k и r2= 31 — 4j —J—к. Через середину отрезка АВ про-
вести плоскость, к нему перпендикулярную.
1158. Через полюс провести плоскость, параллельную двум дан-
ным векторам а = 41 — j —2k и b = 3i -|~ 2j — 5k.
1159. Составить уравнение плоскости, параллельной орту к
и вектору а = 5i Ц- 3 j — 2k, которая проходит через точку
А (21 + 4j — 3k).
1160. Через точки >1 (3Д1 —3 j — */3k) и В (41 5 j Ц- к) провести
плоскость, параллельную вектору a = 6j — к.
1161. Составить уравнение плоскости, проходящей через полюс
и через точки А (51Ц- к) и В (i -|- 2 j — 7к).
1162. Составить уравнение плоскости, зная три ее точки:
Л(1 —3j + 2k), £(5i + j —4k) и С(21-{- 3k).
1163. Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат пло-
скостью:
1) г (Xi-J-[j. jvk) = а; 2) га = а.
1164. Найти плоскость, проходящую через заданную точку А (51 -(-
4-2J4~3k) и отсекающую на осях координат равные положитель-
ные отрезки.
1165. Вычислить углы между следующими плоскостями:
1) г (— 21-1-6J— 10к)= 17 и г (31 — 9j Ц-15к) = 32;
2) r(5i + 5j) = 4 и г(7j -|-к) = 9;
3) г(31 —2j-(-k) = 0 и г(51-Ь7j — к)-[- 8 = 0.
Н66. Через точку A (2i -1- j — 5к) провести плоскость параллельно
плоскости г (31 — 8j4~k)=13.
1167. Вычислить расстояние между плоскостями:
г (21 —[— 3 j — 6k) —|— 14 = 0 и г (2i3 j — 6к) — 35 = 0.
1168. На расстоянии пяти единиц от плоскости с уравнением
г (41 —|—2j — 4к) = 27 провести параллельную ей плоскость.
1169. Через точку А(—3j) провести плоскость, перпендикуляр-
ную к двум данным плоскостям:
г (i + 2j -j- 3k) = 5 и г (31 — 5j + 4k) = 12.
1170. Через полюс провести плоскость, параллельную вектору а
и перпендикулярную к плоскости rb = p.
206
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
11171—1174
1171. Найти точку пересечения трех плоскостей:
r(i + 3j + 5k) = — 8,
r(2i — 4j -J- 7k) = — 27,
г (5i 4- j — 3k)=16.
1172. Показать, что уравнением
г (а + Xb) = а 4- Хр,
где X — переменный параметр, определяется пучок плоскостей, про-
ходящих через линию пересечения двух основных плоскостей
га = а и rb = p.
1173. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
Г1 {2; 5; —3} и через линию пересечения плоскостей
r(3i-H — k) = 5 и r(i4-2k) = (>.
1174. Через линию пересечения плоскостей
га = а и rb = p
провести плоскость, перпендикулярную к плоскости
гс = у.
4. Прямая линия в пространстве
Всякое уравнение вида
[га] = Ь, (51)
т. е. уравнение, в котором векторное произведение текущего радиуса-вектора
на данный вектор (а 0) приравнено другому данному вектору, — если толь-
ко оба данных вектора взаимно перпендикулярны, — изображает прямую
линию, и, обратно, всякая прямая линия может быть представлена таким
уравнением.
Вектор а определяет направление прямой (51), вектор b перпендикуля-
рен к плоскости, проходящей через данную прямую и полюс.
Если в уравнении (51) свободный член £ = 0, прямая проходит через
полюс.
В частности, если постоянный множитель векторного произведения есть
единичный вектор
[rn] = N,
где п2 = 1, или
[гп] —N = 0, (52)
то модуль свободного члена равен расстоянию (р) прямой от полюса
|N|=a
а п есть орт прямой.
Уравнение (52) называется нормальным уравнением прямой.
Чтобы привести общее уравнение прямой (51) к нормальному виду, доста-
точно перенести свободный член в левую часть и разделить все члены на а
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
207
(модуль вектора а), отнеся в векторном произведении этот делитель к самому
вектору а:
<51'>
Расстояние любой точки М(гх) от прямой (52) вычисляется по формуле:
e = |[rin]-N| (53)
или, если прямая дана общим уравнением (51), по формуле:
т. е. расстояние точки от прямой равно модулю левой части нормального урав-
нения прямой, в котором текущий радиус-вектор заменен радиусом-вектором
данной точки.
Если прямая задана одной из своих точек А (гх) и вектором а, ей парал-
лельным, то уравнение прямой имеет вид:
[(Г-п)а]=0 (54)
или
[га] = [па]. (54')
При тех же заданиях можно представить прямую уравнением в парамет-
рической форме:
г = Гх + Ха. (55)
Если прямая задана двумя своими точками A (rj и В (г2), уравнение ее
будет:
[г (г, — rt)] = [rlr,J. (56)
Если прямая определена двумя плоскостями, через нее проходящими:
то ее можно представить также и одним уравнением:
[г [ab]] = ₽a — ab. (58)
Так как в уравнение всякой прямой входит вектор, ей параллельный (на-
правляющий вектор), то задача о вычислении угла между двумя данными пря-
мыми сводится к вычислению угла между их направляющими векторами.
Если даны две параллельные прямые нормальными уравнениями:
[гп] —Г^ = 0и [гп] — N3 = 0,
то расстояние между ними может быть вычислено по формуле: >
| Nx — Na |. (59)
Если даны любые две прямые:
[raj = К и [raj = bs, (60)
то кратчайшее расстояние между ними вычисляется по формуле:
d — । + (а*М I /п 1 ч
llaiaJI ’ (bl)
Условие пересечения двух прямых (60) имеет вид
aiba -j- asbi = 0. (62)
208 основы векторной алгебры 11175—1184
Если прямые (60) пересекаются, то радиус-вектор точки их пересечения
определяется следующим образом:
г=4^ <бз)
DlUa
1175. Вычислить, на каком расстоянии от полюса проходят прямые:
1) [г(3М- 4/Bk)] = 4i+ 12j + 3k;
2) [r(2i + 3j + k)] = i + j-5k;
3) [r (7i — 5 j-j- 8k)] = 0.
1175*. Какие особенности можно отметить относительно взаим-
ного расположения прямых: [га] = Ь и [га] =— Ь?
1176. В плоскости r(2i-[-j — 2k) = 0 найти прямую, проходя-
щую от полюса на расстоянии трех единиц и параллельную вектору
31 —2 j 4-2k.
1177. Написать уравнение плоскости, проходящей через полюс и
через прямую [га] = Ь.
1178. Найти вектор, совпадающий с перпендикуляром, опущен-
ным из полюса на прямую:
1) [га] = Ь; 2) [rn] = N;
3) [г (111 — 2j 4" 10k)] = 2i-4- 16j-4-к.
1179. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из полюса на
прямую:
1) [га] = Ь; 2) [г (21 + j — 3k)] = 51 + 2j + 4k.
1180. Найти основание перпендикуляра, опущенного из полюса
на прямую [ г (j — 3k)] = 5i 4~ 6j 4~ 2k.
1181. Построить прямые:
1) [rk] = i - 4j; 2) [r (j + k)] = 31 + 2j - 2k.
1182. Указать особенности в расположении прямых:
1) [r(ai)] = b; 5) [г (рj + 7k)] = b;
2) [r(?j)] = b; 6) [r (ai-Hk)] = b;
3) [r(7k)] = b; 7) [ra] = al;
4) [r (al + pj)] = b; 8) [ra] = al p j.
1183. Написать общее уравнение прямой, пересекающей: 1) ось х;
2) оси х и у; 3) все три оси координат.
1184. Вычислить расстояние точки:
1) A (4i 4- 3j 4“ Юк) от прямой [г (21 4~ 4j 4~ 5к)] = — 2i 4“ j;
2) В (5i — 6j -j- 8к) от оси абсцисс;
3) С (121 4-5j) от прямой [г (j 2к)] = 0.
1184*—1192*] ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 209
1184*. Проверить, что расстояние данной точки /(и) от прямой
[г — г0, а] = 0 может быть вычислено по формуле:
5 = 1 [Г1 — Го, а] I
а
1185. Зная орт прямой и = 2/7i — 3/7j 4~ 6/?к и одну из ее точек
A (i + 4j — 2k), составить уравнение этой прямой.
1186. Через точку Q(2i-|-j — 3k) провести прямую, параллель-
ную прямой
[r(4i4-3j + k)] = 7i-9j-k.
1187. Составить уравнение прямой, перпендикулярной двум
данным векторам а] и а2 и проходящей через точку А (гД
1187*. Через точку A (i -f- 2j -|- 5k) провести прямую, перпенди-
кулярную двум прямым:
[r(5i4-j4-4k)] = 2i4-2j — 3k и [r(2i + j4-k)] = i + 3j —5k.
1188. От параметрического уравнения прямой
г = 2i 4- j 4- 3k 4- X (4i — j + 2k)
перейти 1) к общему уравнению и 2) к координатным уравнениям.
1189. Зная векторные уравнения следующих прямых:
1) [r(4i4-5j — 6k)] = 0;
2) [(г - 3j + 2k) (21 + 7k)] = 0;
3) [г (21 + 6j — 3k)] = 3i + 2k,
найти их уравнения в координатных обозначениях.
1190. Дать переход от общего векторного уравнения прямой
[r(M + IJ + vk)]=ai + pj+Ik
к каноническим уравнениям вида
X — Xi у —У1 Z — Zi
т п р '
1191. Дать переход от канонических уравнений прямой
X — Xj ___у —yi__ Z — Zj
in п р
к общему уравнению в векторной форме.
1192. Зная канонические уравнения прямой
х — 2 у z 4- 5
з
составить ее векторное уравнение.
1192*. Пользуясь формулой, приведенной в задаче 1184*, дать
в координатных обозначениях формулу расстояния точки А (хь z^
от прямой =
т п р
210 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ [1193—1203
1193. Дан треугольник своими вершинами: rt {0; 2; 1 }, г2 {5; — 1; 4}
и г3 {3; 0; —1}. Составить уравнения его сторон.
1194. Доказать, что условие коллинеарности трех точек А (п),
В(га) и С(г3) может быть написано следующим образом:
[Г1Г«] + [Г2Гз] 4“ [Г3Г1] =
1195. Показать, что площадь треугольника, имеющего вершины
в точках A(rt), В(г2) и С(г3), может быть вычислена по формуле:
•S — у I trir«l + 1г2гз] + [гзП] |.
1196. Найти условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых:
[г (ХД н j + vjk) ] = а,
[г (X2i 4- j 4~ v2k) ] = b.
1197. Составить уравнение прямой, зная две плоскости, через
нее проходящие:
1) г(i + 3 j) = 5 и r(j — 2k) = 2;
2) r(5i-|-3j — 2k)=l и г(i — 2j3k) == 4.
1198. Вычислить угол между прямыми:
1) [r(i + 5j — k)] = 0 и [r(2i —3j —4k)] = 6i4-3k;
2) [ra] = b и [rb] = a.
1199. Даны вершины треугольника ABC: A (i —p 3j — 2k),
В (41 -j- j 4* 5k) и C (6i -j- 3j 4~ Ю. Составить уравнение медианы AM
и вычислить угол, который она образует со стороной ВС.
1200. Проверить, что прямые
[г (214- 6j — 4k) ] =31 + j-h 3k
и
[г (51 15j— 10k) ] = 51 — j + k
параллельны, и найти расстояние между ними.
1201. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А (21 3j 4" к) на прямую:
[r(2i-J + 3k)] = 214-7j + k.
1202. Составить уравнение прямой, проходящей через полюс и
пересекающей две данные прямые: [raj = bi и [га2] = Ь2.
1203. Через точку rt {4; 0; —1} провести прямую так, чтобы
она пересекала две данные прямые:
[г (214- 4 j + 3k) ] = — 2914.7 j 4 10k
и
[r(5i —j‘4" 2k)] = 3i —5j—10k.
1204—1206*]
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
211
1204. Проверить, что прямые задачи 1203 не пересекаются, и
найти кратчайшее расстояние между ними.
1204*. Написать уравнение общего перпендикуляра прямых за-
дачи 1203.
1205. Найти кратчайшее расстояние между прямыми
[г (i + 2j — k)] = — 21i-4- 16j + Ilk
и
[г (—71 + 2 j + 3k) ] = i — 16 j 4- 13k.
1205*. Проверив, что кратчайшее расстояние между прямыми
[г — гь ai] = 0 и [г — г2, а2] = 0 вычисляется по формуле d —
I riata® ~4~ г^а^ат I —»
=1 г г —, дать в координатных обозначениях соответствую-
I 1а1а2] I
щую формулу для прямых
X — Xi у — У1 Z — Z1 X — х2 у —у2 Z — z2
mi П1 Pi Л2 Ра
1206. Проверить, пересекаются ли следующие пары прямых, и,
если пересекаются, найти точку их пересечения:
1) [r(3i-f-j + 4k)] = —81 —4j-|-7k и [г(21 + 5j — к)] = 21-{-
+ j
2) [г (21-]-j4к)] = 2316j — 13к и [г(31 — 2j-f-к)] = —1 —
— 6j — 9к.
1206*. Составить уравнение геометрического места точек, оди-
наково удаленных от двух данных прямых: [rl] ==0 и [г, 1-М] =
= — 1 + j. В полученном уравнении перейти к координатным обо-
значениям.
5. Прямая и плоскость
Чтобы найти точку пересечения прямой
[га] = b (64)
и плоскости
(гА) = а, (65)
надо совместно решить эти два уравнения. Радиус-вектор точки их пересече-
ния может быть вычислен и по формуле:
аа + [АЬ]
Г“ "аА * <66>
Угол между прямой (64) и плоскостью (65) вычисляется следующим обра-
зом:
а А
(67)
или
C0S?=U?An. (67-)
212 основы векторной алгебры [1207—1212
Условие параллельности прямой (64) и плоскости (65)!
аА = 0. (68)
Условие их перпендикулярности:
[аА] = 0
или (69)
А = Ха.
Условие того, что прямая (64) целиком лежит в плоскости (65) выражено
двумя равенствами:
аа + [АЬ] = 0 и аА = 0. (70)
Если прямая дана уравнением [ (г — fi) а] = 0, то это же условие выра-
зится проще:
(ПА) = а и (аА) = 0. (70')
1207. Найти точку пересечения прямой и плоскости
1) [г (41 — 3j 4-к) ] = — 61 — 8j и г (314- 5J — к) = 2;
2) [г(514-j 4-4к) ] = 1 li — 3j — 13к и г(31 — j 4~2к) = 5;
3) [r(2i4-4j4-3k)]=914-3j — Юк и г(31 — 3J42k) = 5;
4) [r(814-2J4-3k)]= —51 —7J4-18к и r(i42j — 4к) = — 1.
1208. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пере-
сечения плоскости г (214 j — Зк) 4— 1 = 0 с прямыми
[г (1 — 5j 4- 2к) ] = 51 — 7j — 20к
и
[г (21 4- 4j — 6к) ] = — 21 4- 2 2 j 4- 14к.
1209. При каком значении коэффициента а плоскость
г (а!3j — 5k) = 1
параллельна прямой
[г (414 3j 4 к) ] = — 21 — j 4 11k?
1210. При каких значениях коэффициентов а и р плоскость
r(al + M + 6k) = 7
перпендикулярна к прямой
[г (21 — 4j 4 3k) ] = — 191 — 8j 4 2k?
1211. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
Г1 {5; 1; 2} на плоскость
г (21 — J44k) = 5.
1212. Написать уравнение перпендикуляра, проведенного из точки
A(rO к плоскости га = а.
1213—1226] ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 213
1213. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки
A (2i 5j -|- 3k) на плоскость r(i-|“k)=l.
1214. Найти проекцию точки Tj {4; —3; 1} на плоскость
r(i + 2j-k) = 3.
1215. Написать уравнение плоскости, проведенной через точку
А(гО перпендикулярно прямой [га] = Ъ.
1216. Через полюс провести плоскость, перпендикулярную пря-
мой [г (i + j — 3k)]=2i — llj — 3k.
1217. Через точку rx {5; 1; 4} провести плоскость так, чтобы
она была параллельна данным прямым: [r(2i4-3j— k)] =i 4~ 5j 4~ l?k
и [r(i — j4-8k)] = 314-llj4-k.
1218. Проходит ли плоскость г (41 4~ 3 j — к) = — 3 через пря-
мую [(г — 1 4-3j 4-2к) (21 — j4-5k)]==0?
1219. Проверить, лежит ли прямая |r (5i 4~ 2j 4“ к)] ——31 — 4j 4-
4~23к на плоскости г (81 — 9j — 22к) = 59.
1220. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную
точку А(п) и данную прямую [(г — г2)а] = 0.
1221. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
A (3i 4- j — 2k) и через прямую
[(г — 414- 3 j) (51 4-2 j 4-к)] = 0.
1222. Через прямую [(г — 21 — 3j 4- к) (51 4~ j 4~ 2к)] = 0 провести
плоскость, перпендикулярную плоскости
r(i4-4j — 3k) = 7.
1223. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
[(г — г4 а] = 0 и перпендикулярной к плоскости гА = а.
1224. Найти проекцию прямой
l(r-4j4-k)(414-3j-2k)] = 0
на плоскость
r(i —j + 3k) + 8 = 0.
1225. Проверить, что прямые
[(г — 314- j — 2k) (51 + 2 j 4- 4k)] = 0
и
[(г — 81 — j — 6k) (31 4- j — 2k)] = 0
пересекаются, и написать уравнение плоскости, через них прохо-
дящей.
1226. Провести плоскость через данные две параллельные прямые
[(r + 2j-k)(7i + 3j4-5k)] = 0
и
[(г — i — 3j -I- 2k) (71 + 3 j + 5kV| = 0.
214 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (1227—1233
1227. Через прямую [(г — 3i 4j — 2к) (2i -f- j — Зк)] = 0 провести
плоскость, параллельную прямой
[(r 5i _ 2 j _ к) (4i-j-7j + 2к)] = 0.
1228. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А (31— j -j- 2k) на прямую
[r(2i4-3j + k)] = -2i-j-|-7k.
1229. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А (п) на прямую [(г — г*) а] = 0.
1230. Найти проекцию точки {7; 9; 7} на прямую
[г( 41 + 3 j 4- 2k) ] = 2i — 4 j + 2k.
1231. Вычислить расстояние точки А (21— j) от прямой
[г (3i + 4j 4- 2k)] = — 101 — 5 j 4- 25k.
1232. Найти точку, симметричную с точкой A (4i 4~ 3j 4~ Юк) отно-
сительно прямой [r(2i4-4j4-5k)] = — 214- j-
1233. Даны вершины треугольника A(414-j— 2k), B(2i) и
С(—214~ 3j — 5k). Составить уравнение высоты, проходящей через
вершину В,
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
1. См. черт. 79. 2- а) х = 4-4; b) Xi = + 2; х2 = —-2; с) х1==-]-2;
xs =— 3; d) Xi = 0; х2 = 3; ха = 1; е) Xi = x2 =— 2; f) уравнение имеет
мнимые корни; построить точки с мнимыми координатами нельзя. 3. См. черт. 80.
Черт. 79.
4. а) Л (— 3); Ь) Л2(— 7); с) Л3(4-7). Указание. Две точки симметричны
относительно третьей, если находятся по разные стороны, но на равных рас-
стояниях от нее. Точка совпадает с симметричной точкой, если повернуть пря-
Черт. 80.
мую в плоскости чертежа около центра симметрии на 180®. 5. а) А (+ 3);
В (+6/»); с (- 1); D (- •/,); М ; Ь) А (+ 18); В (+ 10); С 6); D (- 16);
М(2л); с) А (+3,6); В (+2); С (-1,2); Л (-3,2); 6. x = а,
\ О / 40о/
где а — число верст, х — соответствующее число километров. Формулу можно
5000 . __
значительно упростить, принимая во внимание, что = 1,0667 ...
4ио/
216
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1,0(6) ... = 16/15и следовательно, х^ 1в/15 а. 7. х = 5/+ 8. а) А (+ 3);
В(— 1); С(—3); Г>(-5); Е (—10); М(х — 3); Ь) Л (+11); В (+7); С (+5);
D (+ 3); Е (— 2); М (х + 5). 9. В точку 0' (+8). Указание. Пользуемся
формулой переноса начала координат: х = х’ + а. В данном случае нам из-
вестна первоначальная координата точки (х = + 7) и новая координата
(х'= —1); искомой является координата нового начала а. 10. х = ао/19^—О,
где t — показание термометра, х — истинная температура по шкале Цельсия.
У Казание. Эта задача сводится к составлению формулы перехода от одной
системы координат к другой, причем начало координат переносится в точку
(+ 1) и, кроме того, меняется единица длины; чтобы узнать отношение пер-
воначальной и новой единиц длины, обращаем внимание на температуру кипе-
ния воды: там, где на старой шкале стоит + 96°, должно стоять + 100°. Таким
образом, часть шкалы, заключенная между + 1° и + 96°, т. е. содержащая 95
первоначальных единиц, будет по новой системе содержать 100 единиц. Сле-
довательно, е'/е = в5/1оо = 19/so> и формула указанного двойного преобразования
А=>0 А«=0
om-l doO °omOdo llom7do+±« om-оо do-i
Черт. 81.
будет: f = l*/2ox + 1. Чтобы получить ответ, надо только разрешить это урав-
нение относительно х. 11. Перенести начало координат в точку (—7) и пере-
менить направление. 12. Перенести начало координат в точку (+ 10) и пере-
менить направление. 13. а) изменение масштаба: е' = 5е; Ь) изменение мас-
штаба и направления: е' = 3е; с) перенесение начала координат в точку (—1)
и увеличение масштаба вдвое; d) перенесение начала координат в точку (+3)
и перемена направления; е) перенесение начала координат в точку (+ 5); из-
менение направления и уменьшение масштаба вдвое; f) изменение масштаба:
е' = пе\ g) перенесение начала в точку (+ а)\ h) перенесение начала в точку
(+ а)\ изменение масштаба в отношении e'je = п. Если п > 0, то направление
сохранено; если п < 0, то направление изменено. 14. Начало координат пере-
несено в точку (+ 4); направление изменено и масштаб уменьшен вдвое. Ука-
зание. Удобно воспользоваться общей формулой преобразования координат
х = пх' а (см. задачу 13, h). Вставляя вместо х поочередно значения +3
и + 7 и вместо х' соответственно +2 и — 6, получим два уравнения, из ко-
торых определим п и а. Получим п =— i/2, а = 4, что и приводит к указан-
ному ответу. 15. х0 = 53,4. Указание. Задача решается по формуле х =
= (е'/е) х' + х0. В данном случае: х = 57; х' = 4; е'/е = ®/10; х0 = ? 16. АВ =
= + 7; СР = — 11; ЕЕ = — 3; OG = + 6; GO = — 6; /СО = + 3; MN= + 3.
17- а) Р(+7); Ь) Р(-9); с) Р(—4); d)P(+9). 18. Х1 = 2; Х2 = —3; Х3 =
=— 3/з. 19. а) Л4(+3); b) М (+ 5,7); с) М (+ 13,5); d) точка М совпадает
с А; е) соответствующей точки деления нет. 20. В(—4,2). 21. С'(+7»);
В1 (+32/3); А1 (+ 14/9). Указание. Если точка С делит отрезок АВ в отно-
шении X, то четвертая гармоническая к С относительно А и В делит тот же
отрезок в отношении —X. 22. х^52,8 см (с точностью до 1 мм). У каза-
н и е. Точка опоры должна совпадать с точкой приложения равнодействующей
силы, т. е. должна делить отрезок между точками приложения действующих
сил на части, обратно пропорциональные этим силам. 23. х = 1,05 м. Ука-
зание. На опору В давит половина веса балки, т. е. 40 кг. Значит, от груза
в 200 кг на ее долю должно пасть ПО—40 = 70 кг, а на долю опоры Д—
Знак употребляется как знак приближенного равенства.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
217
остальные 130 кг. Принимаем точку А за начало координат и делим отрезок
АВ в отношении 70:130 = 7: 13. 24. Не ближе чем на расстоянии 47,5 см.
25. См. черт. 81. Значения X написаны под линией. Указание.
. .. . AM АА л п лл 1 АА1
х = 7й/?=Л5 = °- x = w = sF =
.. , AM АВ + ВМ АВ , , ,
М — oq; а = Y77T- =---------= -1-ГЕ7 — 1; А — — 1.
* МВ МВ МВ '
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
26. См. черт. 82, стр. 218. 27. См. черт. 83, стр. 218: а) А (+ 3; —8);
b) Bi (+ 4; + 3) и В2 (+ 3; + 4); с) Ci (0; 0), С2 (+ 4; + 4) и две точки с мни-
мыми координатами. 28. См. табл, и черт. 84, 85, стр. 218—219.29. Mt (+ 3;—2),
AM—3; +2), AM—3; —2). 30. а) М. (+ 1; +5) и А12(—5; +5);
b) AM—2; + 8) и AM—2; +2). 31. х=у или х = —у. 32. а) (0; 0),
(+1; 0), (+1; +1), (0; + 1) или (0; 0), (—1;0), (—!;+!), (0; +1) или
<0; 0), (— 1; 0), (— 1; — 1), (0; — 1) или (0; 0), (+ 1; 0), (+ 1; — 1), (0; — I)
в зависимости от того, какие стороны квадрата принят^ за оси координат; Ь)
(+ V. ]Л2; 0), (0; + V. ^2), (- '/» 0), (0; - */2 У‘2); с) (+ ‘/2; + >/.).
<—*/9;+*/»)> (—*/»;—*/«)>(+‘/si — Vs)-33. (+а; 0), (+‘/sa; + 7»/М
(— 72а; + 7а К3<2»- (~а’ °). (-*/*«; — 7аКЗа) и (+ Ч.а; — >/2}<За).
34. См. черт. 86, стр. 219. 35. См. черт. 87, стр. 219. 36. См. черт. 88,
стр. 219. 37. См. черт. 89, стр. 220: а) №№ 1 и 6 на расстоянии 9 км от
Москвы, №№ 5 и 8, №№ 7 и 10 на расстоянии 45 км, №№ 7 и 8, №№ 9 и
10 на расстоянии 19,5 км. Ь) В полдень нет ни одного поезда в пути, в 20 ча-
сов—№№ 7, 8, 10. с) 3™, 548, 745, 1 1°, 16°, 1815, 18зв, 2003, 2023, 24 d) Встре-
чаются №№ 4 и 6, и ни один не перегоняет. 38. s = +y-; Л = 50 — ;
Гра-
н и е.
x = t, y = h. Момент падения: Л = 0, когда ^^ — 50; t= ^--^3,2.
фик — дуга параболы. См. таблицу и черт. 90. 39. См. черт. 91. Указа
Вес балки Р распределяется равномерно на обе опоры; вес человека р распре-
деляется на опоры обратно пропорционально расстоянию его от этих опор.
Отсюда нетрудно вывести формулу, по которой вычисляется давление на
Р Р
опору В: у = -у +у х. Для числового примера мы имеем график, изобра-
женный на черт. 91: у = 60 + 13х. Этот график есть отрезок прямой между
точками С (0; +60) и £>(+5; + 125). 40. См. черт. 92. Указание. Выра-
о 12 тл
зив длины в дециметрах и силы в килограммах, получим: Р = —. По самому
Р
смыслу задачи Р^ г\ поэтому будем давать Р значения, начиная от 1 дм,
и ограничимся значением 10 дм. Полученный график есть дуга гиперболы.
41. 5;_10; 5; 13. 4^_ЛВ = 5; ВС = 13; С А = 8 У 2. 43. АВ = ]/Тб; АС =
= /50; ВС = У4&, АС* — АВ3 + ВС*. 43*. Угол при вершине Q тупой, так
как РР* > PQ* + QP*. 44. Задача имеет два решения: = + 11; у2 =—1.
45. A4i(0; —3), Л42(0; —9). 46. (+6; +6), (—8; —8), (—8; + 8), (+6; —6).
47. АВ —5^2; ? = 48. <р = ^. 49. В (+ 6; + 4). 50. xt = 3 + 4/3^
у1 = 4, или х2=3 — 4]/"3; у. = — 4. 51. М (4- 5; 0). 52. 18х — 8у = 53.
52*. ЛМ+8; 0) или Л12(—1; Ц-З/З). 53. М (— 5; + 4). Указами е. Опре-
деляем точку М из условий: АВ = МВ и АС = МС. 53*. В (+ 2; + 5) и
218
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Черт. 84.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
219
220
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Черт. 89.
Г’ S h
0 v2 1 I1/2 2 2^2 3 3,2 0 12Л 4,9 11,02 19,6 30,6 44,1 50 50 4879 45,1 38,98 30,4 19,4 5,9 0
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
221
D (+ 16; + 3). 54. М (— 1; — 2). 55. М (+ 2; + Ю). Указание. Центр
лежит на перпендикуляре, проведенном к касательной в точке прикосновения;
отсюда следует, что абсцисса центра равна + 2; ординату мы определяем из
условия: МА = МВ. 56. Существуют два круга, удовлетворяющих условиям
задачи. Их центры: Mi (+ 1; —1) и Л42 (+ 5; —5) и радиусы п = 1, г2 = 5.
57. $ = 1 кв. ед. 57*. АВ = ВС; S = 7 кв. ед. 58. Р = 15 + 5 5; S = 25 кв.
ед. 58*. 12,5 кв. ед. Указание. Для вычисления площади многоугольника
разбиваем его на треугольники. 59. (а) и (Ь) — лежат; (с) — не лежат.
60. (—5; 0). 61. С (+5; —2). 61*. AB = DC и АВ || DC; h = 2,2. Указа-
ние. Для вычисления высоты можно воспользоваться площадью и длиной ос-
нования. 62. М (+4; —2,5), ЛГ(4-2; 4-1), Р(4-1; —3,5). 62*. )/’26, У17 и
У41. 63. В (4- 11; 4- 5). 64. А (4- 8; 4- 3), В (— 2; — 1). Указание. Уело-
вие, что конец А скользит по прямой линии, параллельной оси х, определяет
ординату этой точки (yi = 3); точно так же определена абсцисса точки
#(ха==— 2). Зная середину отрезка АВ, вычислим недостающие координаты
точек А (xt; + 3) и В (— 2; у2). 65. xt = — 2; = — 6; х2 = 8; ys = 2;
х3 = — 6; уй = 10. 65*. С (2х2 — ху, yt) и D (х2; 2yt —jy2) или С’ (ху, 2у2—уч)
и D’ (2xi — Уъ). 66. С (4- Ю,5; +10), D (+ 4; — 3). Указание. Восполь-
зуемся тем свойством, что диагонали параллелограмма делятся при пересече-
нии пополам. Искомые вершины определяются как концы отрезков, у которых
известны начало и середина. 67. D(—4; —1). Указание. Вводим вспомо-
гательную точку, являющуюся пересечением диагоналей (см. задачу 66).
68. Mt (4- 5,4; 4~2,8), М2 (+ 7,8; 4-3,6), (+10,2; 4,4), М4 (4-12,6; +5,2).
Указание. Делим отрезок АВ в четырех разных отношениях: =
Х2 = 2/3; Х3 = 3/2; Х4 = 4/!. 69. Р (+7,2; + 5,4) Указание. ОМ = 5; ОР = 9;
ОР
РМ =— 4; = — 9/4. Точка Р делит отрезок ОМ в отношении Х =—9 4.
. 196 . 112\ w .. х
69*. М (+ ; 4--бу \. Указание. Из подобия треугольников определяем
(16\
X = ^gL 70. (—2; + 1).
Указание. Искомая точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая
-^1 + Х2 + Х3 ^i+ys+Уз \г п
от вершины. 71. х =---!—х—!--; у . Указание. Центр
J о
тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан (см. задачу 70).
72. С(—а; —Ь). Указание. Можно воспользоваться выражениями
для координат центра тяжести треугольника (см. задачу 71). 73. М (+31/3;+ 52/3).
Указание. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую
сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. 74. Bi(+ll; 0);
Ci (+ 8; + 11,5). Указание. Искомые вершины делят отрезки АВ и АС
в отношении X = — 5/3. 75. М (— 2; +1). Указание. Сделать чертеж, про-
вести общие касательные, линию центров, соединить центры кругов с точками
прикосновения Pi и Р2. Из подобия треугольников MCiPi и МС2Р$ следует,
что искомая точка М делит отрезок CiC2 в отношении Х = — 3/7. Данные две
окружности пересекаются, а потому имеют только одну пару общих касатель-
ных. 76. С (+ 6; 0). Указание. Искомая точка лежит на оси абсцисс; сле-
довательно, она имеет ординату, равную нулю. Зная ординату искомой точки
и ординаты двух точек А и В, лежащих с нею на одной прямой, определяем
отношение, в котором эта точка делит отрезок АВ, а зная это отношение,
вычисляем неизвестную абсциссу искомой точки. (Ср. с решением задачи 60.)
77. (+5; — 7). У к а з а н и е. См. задачу 76. 78. М (+ 1; +2). Указание.
Обозначим через X отношение, в котором искомая точка М (х, у) делит диа-
гональ АС. Это отношение может быть выражено или через абсциссы трех
точек А, С и М, или через их ординаты. Приравнивая между собой эти два
выражения для одного и того же отношения X, мы получим уравнение, связы-
222
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
вающее координаты х и у искомой точки. Второе уравнение между этими
неизвестными получим, приравняв два выражения для отношения Аъ в котором
та же точка М делит диагональ BD. 79- М (+ 5,5; + 4,75). У Казани е. Можно
последовательно найти сперва центр тяжести двух материальных точек,
а потом центр тяжести найденной точки и третьей данной точки. 80*.
+ + Сравнить с задачей 71. 81. х=—
\ & 3 3 J 2 (а Ь)
У = л-/ j - , с. Указание. Вершину угла принимаем за начало коор-
z {a -f- и)
__ — Xt (b с)-{-х%(а -4-с) -4- х% (о -4-
динат, а стороны угла за оси. 82. х =---—5—'—1———!———----- 1
~Л (^ + с) +У»0» + с) + ?» («+ »)
За
МЫ
84.
ник
угольника отдельно. Центр тяжести четырехугольника делит расстояние между
2(а + Ь + с)
----------2--------------------• 83. х = 0,>1 >5867. Указание,
ось х принимаем прямую АВ, за ось у — ось симметрии фер-
ЕС. Так как стержни однородные, то вес их пропорционален длине.
х = + 8,2; у = + 6,2. Указание. Диагональю АС делим четырехуголь-
на два треугольника АВС и ADC и находим центр тяжести каждого тре-
найденными точками в отношении, обратном отношению площадей соответст-
вующих треугольников, так как вес треугольников пропорционален их пло-
щади. 85. х = 7; у = 8. 86. См. черт. 93. 87. = 2; d2 = 3. Указание
(см. черт. 94). dt = MP = AM X sin (к — со) = у • sin со = 4 • Vs = 2; d2 = Af(?=
= AL = О A • sin (тс — co) = x • sin co = 6 • Vs = 3. 88. Mi (+ 3;-j- 2), Ma (— 3;+ 2),
MA(— 3; — 2) и М^ (+ 3; — 2). У к а з а н и e. Задача допускает 4 ре-
шения, так как не указано, по какую сторону от осей находится точка.
89. х = —8; j = + 5. 90. (0; 0), (+1; 0), (+2; +1), (+2; + 2),
(4-1; 4-2), (0; +1). 91. <£= 2. 92. ЛЛ4 = 7. 93. ЛВ = 5; ЛС = 2 ]Л21; ВС = 7.
„ / . 9 1 +4|<3 \ _ / . 9 —14-41<3\ v
94. Cil + y; ) или С,и7: 12 —)’ Указание-
Искомая вершина С должна удовлетворять условиям: С А = АВ и СВ = АВ.
95. <о=~. 96. АВ = 5. У Казание. Пользуясь формулой (5), находим точки
А (х; 0) и В (0; у), в которых прямая МЫ пересекает оси координат, а потом
вычисляем расстояние между найденными точками. 97. <р = 30°. 98. у —— 5.
У Казание. Воспользуемся формулой (3'), в которой согласно условию за-
дачи у = со —- 99. Mi (+ 1; + Vs), М2 (+ 9; + 4!/2). Указание. Для на-
хождения искомой точки пользуемся формулами (3') и (Г). 100. AV(— + Ю),
ЛМ—13; —2), Л4,(— 7 + 2]ЛЗ; 4 — 2]/3); М4(— 7 — 2/3; 4 + 2j/iy.
Указание. Все искомые точки находятся на расстоянии 6 единиц от данного
центра С; кроме того, для одного диаметра мы имеем у = <•> — <р, а для дру-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
223
того диаметра = те 4- (<о — ср). 101. S = 3,25 кв. ед. 102. а = 30е или со = 150*.
103. См. черт. 95. 104. а), Ь), с) — на окружностях с центрами в полюсе и
радиусами, соответственно равными 1,5 и a. d), е), f), g)— на лучах, выходя-
щих из полюса и образующих с полярной осью углы в 30е, 60°, 90°, <р.
Черт. 95. Черт. 96.
0° 15е 30° 45° 60° 75е 90°
2? 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
р=а sin2cp 0 а Т а]^3 2 а а УЗ 2 а ~2 0
«И. .) (1; 5), (з; §), , <В » + «); ь) (1; J). (з; £), -J),
(Р; 2к-?). 106. {а- 0), ( а^З; -j), (2а;т)> (а -j), (а; (в; 2).
Примечание. Полюс имеет радиус-вектор, равный нулю, и неопределенную
амплитуду. 107. См. черт. 96 и соответствующую
таблицу. 108. График представляет полуокружность, —«ч.
диаметр которой равен Р (черт. 97). 109. АВ = 1ЛЗ, i \
CD=10, EF^5. 110. АВ *=* ВС — СА — 7. 111. I >
Mi (1; 0) и Af1(7;0).112.S== x/2pi • р2 • sin (у2 — <?!). Р /)
У Казание. Воспользуемся тригонометрической I у I
формулой для площади треугольника: S= | / /
— а'-'ааС .113. S=1 кв. ед. 114. S=
«= 6 (5 у^З — 3) кв. ед. Указание. Сделать чер- Черт. 97.
теж и вычислить искомую площадь, комбинируя F
площади треугольников, имеющих одну вершину
в полюсе, т. е. треугольников OABt ОВС и ОАС. 115. Л(4-1; + Уз),
В(-1; +1), С(0; +5), £»(+Ц^; _»/,). 116. (5; arctg (-‘/8)), ( У^
^2; , (5; 0). 117. р cos ? = а. 110. № 4 У1 = а». 119. Рх = 3]ЛЗ; Ру = 3.
з
720. Р=10 кг\ <p = arctg-^-. 121. npv/l£ —2; пр^ АВ~—1. Указание.
224
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Проекции отрезка на оси равны разностям одноименных координат кон-
цов. Знак проекции зависит от того, совпадает ли ее направление с положи-
тельным или отрицательным направлением оси проекции. 122. У? =13.
123. а) х = х'; у =—у'\ Ь) х~у'\ у = х'. 124. а) Изменить направление на
обеих осях; Ь) на оси х уменьшить единицу масштаба втрое, на оси у уве-
личить единицу вдвое. 125. а) Перенести начало координат в точку О' (—5; 0);
Ь) перенести начало координат в точку О'" (0; + 2); с) перенести начало коор-
динат в точку О" (4-3; —3). 126. (4-5; —8), (4-П; —12), (4-4; 4-4),
(4- 8; — 3), (4- 4; 0). 127. d = 5. 128. d = 0. Точки А и В совпадают. 129. Ко-
ординаты нового начала относительно старой системы: а = -|- 5, Z> =—1. Коор-
динаты старого начала относительно новой системы: а' = — 5, Ъ' = 4-1.
130. а) А (— 3; —2); Я (4-5; 4-1), М(у; — х); Ь) Л (4-3; 4-2), В (— 5; —1),
М(— у; х); с) Д(—2; 4-3), В (4-1; —5), М(—х; —у). 131. А (4- 8/2_; — 5/2);
м (х+_У У~х\ х = (х' — у')У2+1 (Х'+у)]Л2 +1
\ У 2 ’ У 2_/ ’ 2 ’ У 2
133. + (Цз + ЦрЬ /3 + уу, А(3; УЗ—1). Ука-
з а н и е. За новые оси координат принимаем новое положение сторон прямо-
угольника (AiBi и AtDi). Преобразование состоит из переноса начала в точку
(4-4; —1) и поворота осей на угол а = 30°. Формулы этого преобразования
, Уз , 1 , х , 1 , , Уз’ , „
такие: х = хг ------У и У = х ~2~^~У 2----Координаты вер-
шин прямоугольника после перемещения известны относительно новой системы:
(0; 0), Bi (5; 0), С! (4-5; 4" 2) и Dx (0; 4" 2). Нужно только по вышеприве-
денным формулам вычислить координаты этих точек относительно первоначаль-
ной системы координат. Сделать чертеж. 134. А (0; — 0/5), В (0; 4- 18/б),
С(— 12/6; 0); х = —’ДУ + 48/г5, У = 8/s*'+ У + 8“/+- Сделать чер-
Vf у’
теж. 135. х = х-----у = . 136. х'
Y 2 /2
(- 1; 0), (+ 1; 0), (0; + УЗ), (0; - УЗ), х = х'- , л------, ,
У о у о
+ 1.138. a) S = y зО + *г(У8—У) + *»(Х—У)1. где для коор-
динат третьей вершины, совпадавшей раньше с началом координат, введены
следующие обозначения: —а = х'3 и —Ь=Уз< Ь) 5=-^-^ (xly2 —у!х2).
3 1/3 ,5
= —— ; У =* 137.
2 2
_Z__L 1 „ — __L
Уз
139. х'2 4-у2 = 4. 140. х' • у' = 0. 140*. О’ (—3; 4~ 1); преобразованное урав-
нение: х'2 4“ 2х>'—у'2— 7 = 0.141. 2х'-у' = а2. 142. а =-^-, 143. 1) Бис-
сектриса координатного угла; 2) биссектриса второго и четвертого координат-
ных углов; 3) совокупность обеих биссектрис; 4) мнимая кривая с одной только
действительной точкой в начале координат; 5) окружность, имеющая центр
в начале координат, и радиус, равный а; 6) прямая, параллельная оси абсцисс;
7) совокупность двух прямых, параллельных оси у; 8) совокупность двух осей
координат; 9) совокупность трех прямых: оси ординат (х = 0) и двух прямых,
ей параллельных; 16) совокупность двух прямых, из которых одна параллельна
оси ординат (х -j- а = 0), а другая параллельна оси абсцисс (у — b = 0). 144. См.
черт. 98—102 на стр. 225. 145. См. черт. 103—105 на стр. 226. 146. См. черт.
106—108 на стр. 227. 147. См. черт. 109 на стр. 228. 148. См. черт. НО на
стр. 228. 149. См. черт. 111 на стр. 230. 150. См. черт. 112 на стр. 230.
151. Точки А и С лежат на кривой; точка В не лежит на ней. 152. Проходит.
153. Через начало координат проходят кривые (Ь) и (е). 154. Уравнение кри-
вой не должно содержать свободного члена. 155. х—.у 4“ 2 = 0. Прямая,
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
225
d) ^ = (х-1)2 + 2
з) 2х + 3jy = 6
X У
О —< (N 00 1 (N ++++ : I I : +2 + 4/3 + 2/3 0 —2/3 + 8/3 + 10/3
с) у = х2
X У
0 +1 +2 +з —1 —2 —3 +1/2 0 +1 + 8 +27 — 1 — 8 —27 +*1/8
х/а8 О. Н. Цуиербиллер
226
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
а) ху = 4
X У
+1 + 1/2 + 1/4 х —> 0 +2 +з +< +6 +8 —1 ’ —1/2 + 4 + 8 + 16 у —► со +2 + Н/3 +1 +2/3 +1/2 -4* —8
Ь) У= ^2
X У
• 1+1+1+’ 1+1+1+1+ • _ • 4^ Сл5 Ю —* +1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 4 + 9 + 16
Черт. 104.
X У X У
НО +0 —1 —2
-1 +2 —2 —8/5
-2 +8/5
-3 +12/10 +1/2 + 8/5
-4 +16/17 +1/3 + 12/10
• -5 +20/26 + 1/4 + 16/17
Черт. 105.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
227
X 0 £ |со Л ~2 5л 7Г л Зя Т 2л...
У 0 1 2 1 1 2 0 —1 0...
‘48
ю
to
QO
<р (Х2 U7) р (№ 148)
0 */в к/4 */з к/2 2*/3 Зк/4 я 5я/, 4^/, Зл/3 5л/з 2 л 5к/2 Зл 4тс 0 7с/12^0,26 тс/8 0,39 u/e 0,52 тс/4 0,79 тс/з 1,05 Зя/8 ^1,18 тс/2 1,57 Зл/4 2,36 Л ==:3,14 Зл//^4,71 2к “ 6,28 со 12 6 4 3 2 »/. 4/з 1 4/з ’/* 2/з 7з */2 2/з */з 7*
Указание. Если мы будем давать
отрицательные значения полярным коор-
динатам, то получим другую ветвь кривой,
намеченную пунктиром.
При построении нет надобности вы-
числять приближенные значения радиуса-
вектора, — достаточно взять отрезок дли-
ной я и откладывать указанные его доли.
Черт. НО*
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
229
перпендикулярная к АВ и делящая этот отрезок пополам. Указание. Чтобы
составить уравнение искомого геометрического места, выражаем формулой
свойство образующей точки Л4, а именно: АМ = ВМ. Заменяем отрезки их
выражениями через координаты и производим возможные упрощения. 155*. х —
—у = 4. Указание. Находим точку С отрезка MN, через которую прохо-
дит искомая прямая. [Выбрав на MN любой отрезок, для которого точка С
служит серединой, сведем задачу к известному случаю, см. задачу 155.
156. х2+_уа = 4. Окружность с центром в начале координат и радиусом г = 2.
Указание. Образующая точка М (х, у) обладает свойством: АМ = -^-,
157. х2 + у2 + 24х = 180, или, дополнив члены, содержащие абсциссу х, до
полного квадрата, можно переписать это уравнение так: (х-|-12)2+у2 = 324.
Это — окружность с центром в точке (—12; 0) и радиусом г =18. Указа-
н и е. Нужное разложение силы будет достигнуто, если на отрезке Р как на
основании мы построим треугольник, боковые стороны которого относятся между
собой как 2:3. Эти стороны и будут искомые слагающие силы. Но таких тре-
угольников можно построить бесчисленное множество, и исследование облег-
чается, если известно геометрическое место их вершин. За начало координат
принимаем точку приложения силы, а направление ее принимаем за положи-
тельное направление оси абсцисс. Сделать чертеж. 158. у = сх. Прямая, про-
ходящая через точку пересечения данных двух прямых. У Казание. Данные
прямые принимаем за оси координат и решаем задачу в косоугольных коорди-
натах. 158*. х—у — 2 = 0. 159. р sin ср = или у = . Прямая, парал-
лельная оси х, если за ось х принята прямая О А (черт. 113 на стр. 230).
160. Окружность х2 у2 = а2. Прямая АВ принята за ось х, и начало коор-
динат делит отрезок АВ пополам. l8l. х2 +_у2 = а2. Указание. Выражение
для отрезков b и bi находим из рассмотрения подобных треугольников:
Л MNA ~ Л СОА и A BOD~ Л BNM\ b и bt можно выразить как ординаты
точек, делящих отрезки AM и ВМ в таких отношениях, что абсциссы деля-
щих точек равны нулю (черт. 114 на стр. 230). 161*. Окружность х2 +з>2 = 14;
или 4 (х2 +у2) = 2s2 — а2, где s2 = b2 + с2. Указание. За ось х принята
прямая, на которой лежит основание треугольников; начало координат совпа-
j^2 у 2
дает с серединой этого основания. 162. — = 1, где Ь2 = а2 — с2. Ука-
зание. За ось абсцисс принимаем прямую, соединяющую фокусы. Начало
х2 у2
координат выбираем посредине между фокусами. 162*. Эллипс = Ь см-
Зо
X2 у2
задачу 162. 163. = 1, где Ь2 = с2 — а2. Выбор осей тот же, что и в за-
даче 162. 163*. Гипербола —^=1, см. задачу 163. 164. у2 = 2рх. Ука-
зание. За ось х принимаем перпендикуляр, опущенный из фокуса на директ-
рису. Начало координат берем посредине между фокусом и директрисой.
164*. Парабола х2 — 6х — 8у -f- 25 = 0, см. задачу 164. 165. а) бу — х = 0;
у-2 V2
Ь) у = 2х 6; с) ха +j>2 = a2; d) — Указание. Если даны
уравнения движения точки, определяющие ее координаты через промежуточный
параметр (в данном случае через £), то, исключив этот параметр из обоих ура-
внений, получим одно уравнение, связывающее только координаты точки, т. е.
обычное уравнение той кривой, которую описывает точка при своем движении.
Данные уравнения тоже определяют траекторию точки, но только в Параметри-
та
ческой форме. 166. у2 = 2 — х (дуга параболы). Указание. Следует пред-
ставить раньше траекторию в параметрической форме (см. задачу 165).
8 О. Н. Цубербиллер
230
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
231
£
167. у =С тя — пх\ где т = tg а и п = а-у--—. Указание. Состав-
£Х) • cos ®
ляем раньше уравнение траектории в параметрической форме, а именно: опре-
деляем положение, которое должно занимать тело по прошествии t'Пользуемся
указанием, данным в тексте к задаче 166. В данном случае мы получим х =
jp/2 X2
= vt • cos а и у = vt • sin а —(черт. 115). 168. у == х-; d — 80. Вы-
2 oU
чертить эту кривую. 168*. х у = у • (а — Ъ), если траектории подвижных
точек приняты за оси координат, направление движения — за положительное
направление соответствующей оси, а исходные точки обозначены А (а; 0) и
В (0; Ъ). 169. ху = а2, где а2— площадь каждого прямоугольника. После пре-
образования координат получим-^ —Это—гипербола (см. задачу 163).
169*. ху = у, где з —площадь треугольника, см. указание к задаче 169?
170. Гипербола х • у = const, (см. задачу 169). 171. (х2 +^2)2 = 2а2 (х2 —у2)
или р2 = 2а2 cos 2ср. 172. х2 • у2 = (у -|- а)2 (Ь2 —у2). Указание. Чтобы уста-
новить нужное соотношение между текущими координатами (х и у) и данными
параметрами с и Ь, пользуемся подобием треугольников, в которые входят эти
отрезки1)- 173. j(x2+^2) = a(x2—.у2). Указание. Относительно спосо-
бов составления уравнения см. задачу 172.174. р = 2г • cos8 у или (х2 +.У2)2 =
=2гх3.175. Дуги двух окружностей: 1) (х — г)2 + Су — г)2 = 2г2, для у > 0 и 2)
(х — г)2 + (у + г)8 = 2г2, для у < 0. Решение (черт. 116). Согласно опре-
делению кривой: ОМ = О А + AM = О А + АВ, Мы находим следующие выра-
жения для ОМ, ОА и АВ: ОМ= Ух2-^-у29 ОЛ = 2гсо8ф= -------------
/х2+у/2
. п 2гу (+ если <р > G и след, у > 0, )
АВ = zt 2r sin = zt —•- г г • Вставляя
ух2 + ^2|. — если ср <0 и след. у<0 )
полученные выражения отрезков в основное равенство, имеем: У х2 -|-'у2 =
= zt —J==- , или х2 — 2rx zt 2ry = 0. Дополняя группу
У xs 4-.у2 ух2+у2
х) Попробовать составить уравнение в полярных координатах, выбрав за
полярную ось прямую, проходящую через точку А параллельно ОВ. Это урав-
нение вытекает непосредственно из самого определения кривой. Полученный
результат проверить, сделав преобразование координат (переход от полярных
координат к прямоугольным и перенос начала) и получив уравнение, указан-
ное в ответе.
8*
232
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
членов, содержащих абсциссу, и группу членов, содержащих ординату, до пол-
ных квадратов, получим уравнения окружностей, данных в ответе. 176. у3 =
= __. 177. р = а • sin 2ср или (х2 +^2)3 = 4а3х3у3. Кривая представляет
четыре лепестка, сходящихся в начале координат. 178. р = а- cos ср + b или
(х2+^— ах)2 = Ь3 (х2 +.У2). Указание. Кривая будет описана целиком
только тогда, когда А опишет окружность дважды. 179. х2/з +^2/з =а2/з«
Решение (черт. 117). х =.МВ • cos t = BP • cos21 = AB • cos81 = a • cos81\
у = AM sin t = AP • sin21 = AB • sin8 t — a sin81. Таким образом, получены
параметрические уравнения астроиды: х = а • cos31 и у = а • sin81, Исключая
из этих двух уравнений параметр Z, получим уравнение астроиды, указанное
в ответе. 180. х = а(£—sin 2); _у = а(1—cosZ). Решение (черт. 118).
х = О А = О В — АВ = МВ — MP = at — а • sin t = a (t — sin t)\ у = AM =
= ВС — PC = a — a • cos t = a (1 — cos t). 181. Указание (черт. 119). Вер-
шина прямоугольника Р описывает неподвижный круг, радиус которого ОР=а.
Окружность, проходящая через точки Р, М и С, имеет радиус и катится
без скольжения по первой окружности. Чтобы в этом убедиться, достаточно
доказать, что ^MP = ^PD. 182. (черт. 120). х = a (cos t +1 sin /); у —
— — Zcostf). Указание. До сматывания конец нити находится в
точке Q. При сматывании натянутая нить совпадает, с касательной к кругу,
причем длина касательной PM = ^PQ = at. 183. Первая прямая проходит
через точки А, Е и Г; вторая проходит через С, D и F. Точка F является
точкой пересечения обеих прямых. 184. у =— 5x4-2. Указание. Уравне-
ние прямой, содержащее искомые параметры, имеет вид: у — kx -\-Ь. Так как
точки Р и Q лежат на этой прямой, то их координаты должны удовлетворять
ее уравнению. Произведя подстановку, получим два уравнения для определения
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
233
k и Ъ. 185. a) k — 2, ft = 3; b) k = — 5/2, b = 4; с) k = — 8/в, Ь = — 2. У к а-
з а н и е. Нужно разрешить уравнение относительно ординаты, тогда коэффи-
циент при х будет равен угловому коэффициенту, а свободный член равен
искомому отрезку. 186. Указание. Для построения прямой нужно знать две
ее точки. Для предложенных прямых известны координаты точек их пересече-
ния с осью ординат (0; Ь)\ поэтому для каждой прямой достаточно найти еще
1/3"
по одной точке. 187. у = х; у = — х; ,у = -^д—х; ^ = 0. 188. у= — 0,4х.
189. Прямая линия с угловым коэффициентом, равным г/, и отсекающая на оси
ординат отрезок s0. 190. v =16 км/час. Указание. См. задачу 189.
191. у = ^-х. Указание. В любой момент t движущаяся точка будет иметь
абсциссу х = г>1£ и ординату y = v2t. Исключая t из этих двух уравнений, мы
Я2 а /2
получим искомую траекторию. 192. у = х. 193. у = zt х it —Ц— . 194.
_ _ _ & __ _ 2
37 = 0; у = 2 /3; у = /Зх 4-5/3; у = — /Зх 4-5/3.195. xt = + 6; ^ =
= 0; У = — 3/3х + 4. 196. а) Ь) у; с) 0; d) у; е) arctg (—®/4). Ука-
зание. Пользуемся формулой (3) в тексте. 197. а) у = 4х; Ь) у = —-_2х;
с) у~— Зх или y = 1/sx; d) у — — (2+/3)х или у = — (2—/3)х.
198. а) у = —1;Ь)^ = х—4 или у = — х 4- 2; с) у = Зх — 10. 198*. Зх^-
— 2у = 27. 199. у = — 2x4-14; х2 = + 6; у2 = 4- 2; d = 3 /5? Указание.
Искомая траектория — перпендикуляр, опущенный из точки (4-3; -|-8) на дан-
ную прямую. 200. у = 3/4х — 5/2. 201. у = — 8/7х 4- 23h или у = 7/3х — 73/3.
Указание. Так как луч падает на прямую под углом 45°, то отраженный
луч будет перпендикулярен к нему. 201*. ,у = (—1 ± /2) х. 202. .у =— 2x4-
4-7 иву = 1/аХ— 3. Указание. Оба катета проходят через данную точку
(4-4; —1); один из них образует с гипотенузой угол 45° (треугольник равно-
бедренный), другой катет перпендикулярен к первому. 203. Второй катет:
2х — Зу 4- 11 = 0; гипотенуза: х 4- — 40 = 0 или 5х —у — 18 = 0. 203*. Зх4~
4- .у — 2 = 0; х — Зу— 14 = 0; х — Зу 4- 16 = 0 и 3x4- У — 32 = 0. 204. у =
= — б/2; У = х — 2; у = 2х — 1. 205. у = ~^= х (перпендикуляр к оси х);
* у 3
т/"3~
у=-^у-х (перпендикуляр к оси у). 206. Прямая образует с осями х и у
к к
углы ср = ~ и ш — <р = ——. Указание. Пользуемся формулой (3'). Здесь
» = <р; й = 0; k' = — 2; <> = -£-• 207- (АВ) У = &,(ВС) У— — /Зх + в/$
О
(CD) у = -^-х + аУ^, С
(РА) у — — 2^2 х. 208. & = §• 209. « = 60° или <о = 300°. Указание. Поль-
зуемся формулой (3'), которая дана в тексте. 210. <о = 60° или <d = 300o. Ука-
зание. Пользуемся условием перпендикулярности (5'). 211. у = Ч^х—1.
212. 11x4-.у— 17 = 0. 213. х-|-2у —7 = 0 и 2х — 3^ = 0. 214. а) Зх — 4у 4-
4- 12 = 0, 4x4-3^4-16 = 0, 2х — у — 2 = 0; Ъ) 7х—.у 4-3 = 0; с) х + 1у +
4-4 = 0; d) Зх — 4у 4" 12 = 0. Указание. Биссектриса делит противолежа-
щую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; поэтому для
составления уравнения (с) надо найти длину сторон АВ и ВС и разделить сто-
1 АВ ГТ 71
рону АС в отношении Л = . При вычислениях предполагаем, что ю =т>- »
D(> &
(EF) у = — /Зх — о /3;
234
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
214*. 215. у = 2х. 215*. 0(6; 3). 216. Зх + 4_у—16 = 0;
5х + 3> — 1=0; 2х— у — 7 = 0. 216*. р(т’т);5==7Т кв_ ед’
217- ВС || DA\ Зх — 5у4“5 = 0; х—_у = 0; у—1=0. Указание. Чтобы
проверить параллельность двух сторон данного четырехугольника, вычисляем
угловые коэффициенты его сторон по формуле (6). Чтобы составить уравнение
средней линии, вычисляем координаты середин двух непараллельных сторон АВ
и CD. При составлении уравнения диагонали АС мы можем воспользоваться
д. I 3
уравнением (7), данным в тексте; тогда уравнение АС примет вид: —— =
V — 1
= -=^-д—, но равенство этих двух дробей имеет место лишь тогда, когда чи-
слитель второй дроби равен нулю, т. е. у —1=0, так как иначе правая часть
уравнения бесконечно велика, в то время как левая часть принимает конечные
значения. Таким образом, оба написанных уравнения равносильны, и диагональ
BD параллельна оси х, что непосредственно следует из того, что две ее
точки В и D имеют одинаковые ординаты. 217*. 2х — Зу = 0. 218. Указа-
ние. Чтобы проверить, проходят ли три прямые через одну точку, находим
сначала точку пересечения двух из них (решаем совместно их уравнения) и
потом смотрим, удовлетворяют ли найденные координаты уравнению третьей
прямой. 218*. 4х~ЬЗу — 27 = 0 (ДВ); х = 3(ДС); 7х — Зу— 39 = 0 (ВС).
219. (Д7Г) 2х —5у — 18 = 0; (Я'С')х + Эу —20 = 0; (С'Д') Зх —2у — 5 = 0
или (Д"В") 6х — 15^ + 72 = 0; (В"С") х + Зу + 34 = 0; (С"Д") Зх — 2у +
+ 25 = 0. Указание. Чтобы составить уравнения сторон большего треуголь-
ника, вычисляем координаты его вершин. Вершина Д' лежит на прямой МА,
причем расстояние ее от центра подобия М, т. е. отрезок МА', в три раза
больше отрезка МД; другими словами, точка А' делит отрезок МД в отноше-
нии Х =— 3/2. Вершины В' и С делят в том же отношении отрезки МВ и
МС. Второй треугольник симметричен с первым относительно центра подобия,
и его вершины получаются делением отрезков МД, МВ и МС в отношении
Xi =---1", 219*. х — 2у 4-9 = 0, 2х-)-> — 2 = 0 или 2х — у + 6 = 0, х~Ь
4-2у — 7 = 0. 220. а) лежат; Ь) не лежат. 221. у = 7. 222. <р=-^-.Указа-
п и е. Луч должен быть направлен так, что если бы он не отразился от оси х,
то прошел бы через точку В', симметричную с В относительно оси х. Задача
сводится к определению угла между прямой АВ' и осью х. 223. М (+ 1; 0).
Указание. Легко убедиться, что ломаная А МВ, при любом положении точки
М на оси х, имеет одинаковую длину с ломаной AMBi, где Bi — точка, сим-
метричная с точкой В относительно оси х, а эта последняя ломаная имеет
наименьшую длину, когда все три точки Д, М и В{ лежат на одной прямой.
Чтобы решить задачу, надо сначала найти точку пересечения прямой ABi с
осью х. 224. Mt (0; 4- 2) и Л4а (0; — 8). 224*. х — 2_у — 1=0. 225. ± 4- ±
±у = 1. 226. х+^4-а = 0 и х —у = 0. 227. а) а = — 4, b = 6; b) а = 1/2,
b — — 2; с) а=1; b=l; d) д = — 4; b = —10. 228. 8 = 9 кв. ед. 228*. а)
±4х4-3у —12 = 0; Ь) ±4х+ /33^ — 4 ]/33 = 0; с) х —/3> + 4 )<3=0;
d) 5х —Зу —12 = 0. 229. у + ^- = 1 или = — 1. 230. х+у = 7.
231. 1- 232. а) Ь =— д; b) = а; с) & = — а ]/3. Указание.
/? =— -у. 233. Длина d =7. 234. х+.у — 4 = 0. 235. 8=12 кв. ед.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
235
3 =0;
водный член отрицательный. 238. -
0,6х +0,83»— 1,5 = 0;
—у sin 10° —
241*. 5х 4- 2у — 29 = 0 и
= « b)4-,+ LL£
— 5
0;
2
= 1 — прямая, параллельная первоначальной. 236*. Прямая
Ка 1 Ко
х 4-.у = 3. 237. Прямые с), е) и f) даны нормальными уравнениями. Указа-
ние. Нормальное уравнение (при <о == 90°) характеризуется тем, что сумма
квадратов коэффициентов при х и у равна единице (cos2 а 4- sin2 а'= 1) и сво-
4х-3^+10 5 12
— 5 13*"ПЗ
- = 0: — — Х-^-----2 = 0; —х cos 10° —
— |Л5 2 2
4 = 0 или х cos 190° -|-У sin 190° — 4 = 0. 239. р = 2/з- 240. г = 5.
2х — 5у — 29 = 0. 242. а) —— ~|~- =
2 /7 1 2 /7 /7
1 л» \ 5 1 /13 _
----у---— — о* с)-------— х----=г- у--------= 0. 243.
14 У 2 > 2 /13 /13 У 2
р= */.; а = 0; ? = 4 244’ 5 = 2‘ 245‘ а> ® = 3; Ь) 8=4; 8==d) 6 = 0>
т. е. точка Р4 лежит на данной прямой; е) & = — 2,2. 245*. 4х — Зу + 26 = 0
и 4х —3_у —24 = 0. 246. 8 = —1. 247. <о = у. 248. Лл=—; hB =
= 4е/13;Лс = 2. Указание. Чтобы вычислить длину высот, находим абсо-
лютные величины расстояний каждой вершины от противолежащей стороны,
о*
249. b = —т==-. 250. (0; — 12) и М2 (0; + 4/з). 252. d = 142/17. 253*. х +
у 34
4-jV = 7±5 j/2 (две прямые). 254. 4х4~3у — 25 = 0 и 24х— 7у-|“ 125 = 0.
254*. «у zt X = 0. 255. d = 0,5. 256. 12x4-5^ — 26 = 0 и 12x4-5^ — 78=0.
257. 8х — 12у4- 11 = 0. 258. х — 2у=0 и х —2^ 4-5 = 0 или 2х4-у> = 0 и
2x4-jr —5 = 0. 259. М(4-1;4“8). 260. С4 (— й/&; 4- 1Р/4), Са (-15; 4-5/4),
С8(—Б/8; —88/4), С4(4-1Р/8; +6/4)- Указание. Эта задача имеет четыре
решения, так как известны только абсолютные величины расстояний искомой
точки от данных прямых; эти расстояния могут иметь как положительные, так
и отрицательные значения. 262. 4х — 12у 4* 7 = 0 и 6х 4“ %У — 5 = 0. (См. за-
дачу 261.) 263. ЯН0; 4-1), Л1а(— 9; 4-4), М8 (0; —5), М4 (4- 3; 4-4). Ука-
зание. Центр круга, вписанного в треугольник, должен находиться на рав-
ных расстояниях от трех его сторон, т. е. должен лежать на пересечении бис-
сектрис треугольника. Существуют четыре точки, удовлетворяющие условиям
задачи: точка пересечения трех внутренних биссектрис треугольника (Mi) и
точки пересечения внутренней биссектрисы каждого из углов Л, В или С с
внешними биссектрисами двух других' углов (7Иа, Л43 и М4). 264. х 4- 2у — 5 = 0
их — бу4-Н=0. Указание. Всякая прямая, проходящая через точку
Л1 (4- 1; 4“ 2), изобразится уравнением у — 2 = £ (х — 1) или kx —у — k 4-
4-2=0. Расстояние этой прямой от точки А (4- 3; 4“ 3) будет: d4 =
3k —3 — £4-2 D/1C . Л , 5£ —2 — £4-2 п
=-------— и от точки В (4- 5; 4" 2) будет d2 =----------^-—4— . Со-
/14-£а /1 4-£2
гласно условию задачи d4 = zt da, или, пользуясь найденными выражениями
2^_____________________1
этих расстояний: = zt — ——. Отсюда, взяв тот или иной знак,
И4-£2 У 14-£2
мы получим два значения для углового коэффициента £; значит, задаче удо-
влетворяют две прямые, указанные в ответе 4. 265. у — 3 = 0 и 12х — 5у—
!) Можно было бы решить задачу, пользуясь некоторыми геометрическими
соображениями, а именно: нетрудно видеть, что условию задачи удовлетворяют
две прямые, проходящие через точку Л4: одна из них параллельна прямой АВ,
а другая проходит через середину отрезка АВ.
236
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
—117 = 0. Указание. Для искомой прямой выбираем форму уравнения,
разрешенную относительно ординаты: у = kx + b. Из двух условий, что рас-
стояние d}
„ » ' л ' / 2k + 3 + b
этой прямой от точки А равно шести ------ 1 = ч
/5& I 1 I ।
той же прямой от точки В равно четырем —
оба параметра k и Ь. Задача эта должна иметь четыре решения;
и рас-
стояние d2
определяем оба параметра k и Ь. Задача эта должна иметь четыре решения;
геометрически она сводится к нахождению общих касательных к двум окруж-
ностям, имеющим центры в точках А и В и радиусы, соответственно равные
6 и 4; в данном примере только две из этих касательных являются действи-
тельными прямыми, две другие — мнимые прямые; для них мы находим мни-
2
мые значения параметров. 265*. 4 кв. ед. 266. Точка может перемещаться
по двум прямым: у = 0 и у = УЗх. 267. у = 81^х — 2/$. 268. х + 2у — 23 = 0,
х~{-2у— 3 = 0, 2х—у — 6 = 0 и 2х—j>+14 = 0. Указание. Уравнения
первых двух сторон можно составить проще, пользуясь тем, что квадрат есть
фигура, симметричная относительно своего центра; поэтому сторона, проходя-
щая через точку Д, должна вместе с тем пройти и через точку В', симметрич-
ную с В относительно М, 270. а) Зх— 4у—12 = 0; Ь) 8/5х — */ьу — 12/5 = 0;
с) у = 3/4х — Зи d) — -у=1. 271. а) & = -^, если считать, что угол
образован вращением первой прямой против часовой стрелки до совпадения со
второй прямой; Ь) $ = ; с) & = —; d) & = . 272. ~~. 273. & =
2тс
= -у. 274. Прямые а) и Ь) параллельны между собой, к ним обеим перпен-
о
дикулярна прямая d); прямые е) и g) параллельны, к ним перпендикулярна
к
прямая f). 275. <о = —. 276. = 2; а2 = — 2/3. У Казани е. Определяем
неизвестный параметр а из условия пропорциональности коэффициентов при
# + 1 — 2д _
координатах в уравнениях параллельных прямых: —— =—5—. 277. =
За — о
= 0; а2 = 1. 279. 4х + ^ = 0. 280. 4х— Чу—15 = 0. Указание. Восполь-
зуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку: А (х — х') +
+ В (у—у')=0. Что же касается выбора коэффициентов А и В, то соответ-
ствующие указания даны в решении задачи 278. 281. 5х — бу = 0. Решение.
Искомая прямая проходит через начало координат, поэтому свободный член ее
уравнения равен нулю, и уравнение примет вид Ах + By = 0. Из условия пер-
А В
пендикулярности данной и искомой прямой имеем: — = —g-; обозначив эти
отношения через X, получим: А = 5Х и В = — 6Х. Вставляем полученные зна-
чения коэффициентов в уравнение искомой прямой: 5Хх — 6Ху = 0 или 5х —
— 6^ = 0. Таким образом, при составлении уравнения прямой, перпендикуляр-
ной к данной, проще всего за коэффициент при х взять коэффициент при у
в данном уравнении, а за коэффициент при у взять данный коэффициент при
х, причем у одного из этих коэффициентов нужно переменить знак. 282. х +
+ 4jJ— 3 = 0. (См. задачу 281.) 283. 5х — Зу— 25 = 0 и 5х — 3^ + 9 = 0-
284. (х — х') sin а — (у — у) cos а = 0. 285. Чх + 5у = 0. 286. х + Чу — 27 = 0.
287. а) (+2; +5); Ь) прямые параллельны между собой; с) (—1; +4).
288-U+3; 0), (0; — 5) и (—2; + 1). 289. х = 27и; У = — Ъ1и. 290. М(0; +3);
а = arctg (-2). 291. (+3; + 1), (+12; -2), (+810/13; + Зу13),
(+63/i3;—44/1з)« Указание. При решении задачи можно воспользоваться
тем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам.
291*. 2х—11^+ 17 = 0; 2х — ^ + 7 = 0; 2х— 11у/ + 67 = 0 и 2х—.у —3=0.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
237
292. Q' (+ Ю; +21). Указание. Из точки Q опускаем перпендикуляр па
данную прямую и находим точку их пересечения М Эта точка М служит се-
рединой отрезка между данной точкой Q и искомой Q'. 293. х—у — 7 = 0 и
х — 2у — 10 = 0. Указание. Определяем первую вершину А параллелограмма
как точку пересечения двух данных сторон; потом определяем противолежа-
щую вершину С как конец диагонали ДС, у которой известны начало А и
середина М. Искомые стороны проходят через точку С и параллельны двум
данным сторонам параллелограмма. 293*. S = 37н/1з кв. ед. 294. С (+ 2; + 4).
Указание. Вершину С определяем как точку пересечения СИ (она прохо-
дит через Н и перпендикулярна к АВ) и ВС (проходит через В и перпен-
дикулярна к АН). 295. TVfj (—[-2; +5), если ВМ || ДС, или М2 (+ 14; +17),
если АВ || СМ. 296. В первых трех случаях прямые проходят через одну точ-
ку, а в последнем — не проходят. 297. За + 7& + 3 = 0. 300. а) 4х—у = 0;
b) 11.У—16 = 0; с) Их — 4 = 0; d) 17х— 40_у + 52 = 0. Указание.
Пользуемся уравнением пучка прямых: 2х + 5у — 8 + q (х — Зу + 4) = 0.
В первом случае надо подобрать параметр q так, чтобы свободный член обра-
тился в нуль: — 8 + 4q = 0, откуда q = 2. Во втором случае параметр q под-
бирается так, чтобы коэффициент при х обратился в нуль; в третьем случае
надо приравнять нулю коэффициент при ординате у; последний случай — см.
задачу 299. 301. 2х — у — 5 = 0. 301*. 6х + Пу — 15 = 0. 302. х + Зу/ —9 =
= 0; 68х — 1 Чу + 57 = 0; 65х — 26у + 72 = 0. Решение. Уравнение любой
прямой, проходящей через первую вершину, т. е. через точку пересечения пер-
вых двух сторон, будет: 5х — 2у + 6 + <у(4х—у + 3) = 0. Искомая прямая,
проходящая через эту вершину, должна быть параллельна третьей стороне
треугольника; следовательно, коэффициенты при координатах в их уравнениях
5 + 4<? —2 — q
должны быть пропорциональны: ——- =----------, откуда q = — 17/13. Встав-
1 о
ляя найденное значение параметра в уравнение пучка, получим уравнение иско-
мой прямой: х + Зу — 9 = 0. Таким же путем определим уравнения остальных
искомых прямых, проходящих через две другие вершины треугольника.
303. 22х + ЗЗу — 35 = 0, 5х —у + 3 = 0 и 17х + 34_у — 38 = 0. 304. х —у —
— 3 = 0 (ВС); 4х + 5_у — 20 = 0 (АС); Зх—12у/—1=0 (СН). 305. 14х —
— Чу + 32 = 0 и 7х + 21у — 75 = 0. Указание. Уравнения основных пря-
мых пучка мы получим из уравнения этого пучка при следующих значениях
параметра: q = 0 и q = со. 306. 2х — 5^ — 2 = 0. Решение. Первый
способ. Искомая прямая изображается при подходящих значениях парамет-
ров q и q' как уравнением х + .у— 1 + q (х— 1) = 0, так и уравнением 2х—
— Зу + q' (у + 1) = 0. А чтобы два уравнения представляли одну и ту же
прямую, нужно чтобы все коэффициенты этих двух уравнений, включая и сво-
х 1 + q 1 1 + q ..
бодные члены, были пропорциональны, т. е. —. Из этих
двух уравнений определяем q и q'; сравнивая, например, первое и последнее
отношения, мы сразу получим q' = — 2; приравнивая первые два отношения
между собой и заменяя q' найденным значением, получим q = — 7/5. Если мы
вставим в уравнение первого пучка q = — 7/5 или в уравнение второго пучка
q' = — 2, то получим одну и ту же прямую 2х — 5у — 2 = 0, которая и яв-
ляется общей прямой обоих пучков. Второй способ. Обозначив коэффи-
циенты искомой прямой через Д, В, С, можно воспользоваться условием (23)
прохождения трех прямых через одну точку, что приведет к решению двух
АВС
уравнений:
2 —3 0 =0 или
0 1 1
А + С = 0,
ЗА + 2В — 2С = 0
А В
1 1
1 0
С
—1
—1
= 0 и
откуда А: В: С = 2:— 5: — 2. 307. j> = 0; х — 3 = 0 и х — у — 6 = 0.
308. х + 4у — 4 = 0. Указание. Уравнение всякой прямой, проводящей
238
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
через точку Р(0; 4“ 1), имеет вид: y = kx-\- 1. Находим абсциссы точек пере-
7 7
сечения этой прямой с данными прямыми; xt = ----j и х2 = 2' ц_ • Полу-
сумма этих абсцисс должна равняться абсциссе точки Р, т. е. нулю. Из этого
условия определяем угловой коэффициент искомой прямой. 308*. х у — 3 =0.
309. у= — х. Указание. Концы отрезка подвижной прямой, заключенного
между осями, будут: A (bq; 0) и В (0; Ь). Точка М, делящая отрезок АВ в от-
, bq \b ..
ношении л, имеет координаты х = и у = . Исключая из этих
1 -f- К 1 -j- Л
двух равенств переменный параметр Ь, мы получим уравнение искомой траек-
тории. 309*. а) 14х — 43> + 29 = 0; Ь) 2х — 25у + 23 = 0. 310. (7-/5;
3/5—10) и — 3^.310*. й=—^=-;Л4 S=13‘/8кв.ед.
\ о у 1/ 17 у 1Z о у
311. 2х + Чу + 22 = 0; 7% + 2у — 13 = 0; х—./4-2 = 0. 311*. Зх4-4у —
— 15 = 0; Л = 4,4. 312. 2х+у — 8 = 0; х — Зу+10 = 0; х4~4у — 4 = 0.
Указание. Определяем точку М пересечения медиан, потом определяем
конец медианы AM — точку £), как делящую отрезок AM в отношении X =
= — 3. Через точку D проводим прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный
между данными медианами, делился в точке D пополам (см. задачу 308); это
и будет сторона треугольника, противолежащая вершине А. 312*. Si: S2 =
= 4:3.313. х + 7у/ — 6 = 0; х—у — 6 = 0; ЧхАгУ—10 = 0. Указание.
При решении этой задачи можно воспользоваться тем, что стороны угла рас-
положены симметрично относительно его биссектрисы; поэтому стороны АВ и
ВС симметричны относительно биссектрисы угла В(х-\-у— 2 = 0); другими
словами, на стороне ВС лежит точка симметричная с данной вершиной А
относительно прямой x-j-y — 2 = 0; точно так же на стороне ВС лежит еще
точка А2, симметричная с А относительно биссектрисы угла С (х — Зу— 6 =
= 0). Таким образом, мы можем найти две точки и А2 прямой ВС (см. за-
дачу 292); можем, следовательно, составить ее уравнение и определить осталь-
ные вершины треугольника как точки пересечения стороны ВС с данными
биссектрисами углов В и С. 314. Si =18,75 кв. ед. или 82 = 3373 кв. ед.
314*. S = y
61 237
53 53
9 13Z
29 29
121 97
74 74
1,68 кв. ед.
р sin (ft — «р) = a sjn ft. Указание. Для вы-
316. а) р = р sec (ср — а); Ь)
вода этих уравнений сделать чертежи, а потом проверить результат переходом
к прямолинейной системе координат. 316*. р sin (В- — <р) = рх sin (ft — cpi).
p sin (ср — <pi) 1/Гр2-|-р1 — 2ppiCos(y — <pi) .. ~
317. —.. ! 51 r_ . Указание. Это ура-
p2 Sin (cp2 — <P1) j/ p24- p2 _ 2p2P1 COS (cp2 — <Pj)
внение можно получить, пользуясь результатами задачи 316* или непосред-
ственно из чертежа. Во всяком случае выяснить геометрический смысл полу-
ченной пропорции. 317*. а) <р= —; Ь) р = 4 sec Г ср-— I; p = 4sec( <р--^-1;
. 5/ 2 .. . , (п . \ 3 .. 71Лз z
с) Р cos <р — —, d) psin<p=l; е) pcos I —+ <р ; 1) - ?х
X sin J/ р2— Юр cos (<р —ygj 4-25. У каз ан ие. При решении этих
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
239
задач можно воспользоваться результатами задач 316—317. 318. а) (х— 2)а4~
+ (>у + 5)а= 16; Ь) (х + 3)а + Су — 4)2 = 25; с) ха 4-(у — 4)2 = 169.
319. (х-р О2 4“(У— 3)2±=5. Центром служит середина АВ. 320. а = 4- 8Д;
£ = 0; (х —8/8)24-j2 = 85/0. 321. (х — 3)2 + Су — 5)2 = 25. 323. а) (х — 3)а 4-
+ (у — 4)2 = 25 (см. задачу 322); Ь) данные три точки лежат на одной прямой;
поэтому провести через них окружность нельзя. 324. Точки С, Е и F лежат
на окружности; точки А и G лежат внутри окружности; точки В и D лежат
вне окружности. Указание. О положении точки относительно окружности
мы судим по ее расстоянию от центра этой окружности. В зависимости от того,
будет ли это расстояние меньше, равно или больше радиуса, точка лежит
внутри окружности, на ней или вне ее. 325. а = 4; Ь —— 3; г = 2.
326. а) (х — 2)2 +js * * = 4; b) х2 + (у + З)2 = 16; с) (х + I)2 + (у — 5)2 = 25;
(2 \2
х—g-j +(У—1)а = -д-. ^27. а) КрУг нулевого радиуса; имеет только
одну действительную точку, а именно — начало координат. Ь) Мнимый круг;
не имеет ни одной действительной точки, с) Круг нулевого радиуса с действи-
тельной точкой (— 5; + 2). d) Мнимый круг с мнимым радиусом г = — 4.
328. a) х24-Уа = 9; b) х24-.Уа— 6х = 0. Точка А служит центром круга,
точка В лежит на окружности. В обоих случаях, после преобразования, ось х
является диаметром окружности. 329. х3 * + jz2 = 49. 330. Если F = 0, то
окружность проходит через начало координат. Если D — 0 или Е=0, то
окружность симметрична относительно оси ординат или оси абсцисс; т. е. центр
лежит на одной из этих осей. Если А = 0, данное уравнение не изображает
окружность, а потому мы не рассматриваем этот случай. 331. а) Ось абсцисс
пересекает окружность в начале координат и в точке (4-8; 0); ось ординат
пересекает окружность в начале координат и в точке (0; — 6). Ь) Окружность
касается оси абсцисс в точке (4-3; 0) и пересекает ось ординат в точках
(0; 4-9) и (0; 4- !)• с) Окружность касается оси х в точке (4-2; 0) и касается
оси у в точке (0; — 2). d) Окружность не имеет действительных точек пересе-
чения ни с той ни с другой осью. 332. ха4-(У — 2)а = 4. Указание. Так
как окружность касается оси абсцисс в начале координат, то диаметр ее будет
лежать на оси ординат. 333. (х — 2)а 4- Су 4“ З)2 = 4 и (х 4- 2)2 4- (У 4- З)2 = 4.
334. (х — 17)а 4- (у — 17)2 = 17а и (х — 5)а 4- (.У — 5)а = 25. У к а з а н и е. Если
окружность касается обеих осей координат, то центр ее лежит на биссектрисе
координатного угла, и мы имеем а = Ьу кроме того, радиус окружности равен
расстоянию центра от касательной, т. е. от оси х или от ochjz; следовательно,
г = а = Ь, и в данном случае уравнение окружности примет вид: (х — а)2 4-
4“ (У — а)2 = Таким образом, искомое уравнение содержит только один неиз-
вестный параметр а, который мы определим из условия, что окружность про-
ходит через точку А (4- 2; 4" 9). 335. (х — 5)2 4~ (У ± 5 ]Л2)2 = 50. Указа-
ние. Если окружность касается оси х, то абсцисса центра равна абсциссе
точки прикосновения, а ордината центра по абсолютной своей величине равна
радиусу; поэтому уравнение искомой окружности имеет вид: (х — 5)2 4~
4~ СУ it г)2 = г2. Точки пересечения этой окружности с осью ординат (х = 0)
мы получим из уравнения: у2 ± 2гу 4~ 25 = 0. По условию задачи разность
корней этого квадратного уравнения равна 10, т. е. у^—у% = 10 или
2 /*га — 25 = 10; отсюда определяем единственный неизвестный параметр г
уравнения. 336. а = 4- 30; Ъ = 4- 48 или а = — 30; Ъ = 4- 48. 337. (х — 6)2 4е
4“ (У — 7)а = 36. Указание. Радиус окружности равен расстоянию ее центра
от касательной. 338. а) (4* 3; — 1) и (4- 2; — 2); Ь) прямая касается окруж-
ности в точке (— 4; 4- 6); с) действительных точек пересечения нет. 339. Пря-
мые а) и Ь) пересекают окружность; прямая с) касается и d) проходит вне
окружности. Указание. О расположении прямых относительно окружности
мы судим по расстоянию этих прямых от центра. В зависимости от того, будет
ли это расстояние меньше, равно или больше радиуса — прямая пересекает,
касается или проходит вне окружности. 340. 4х — 2у — 9 = 0. Указание.
240
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Радиус, проходящий через данную точку, перпендикулярен к искомой
хорде. 341. х— 2у— 5 = 0. 342. 4х + 3у— 35 = 0. 343. 2х— 3^ + 9 = 0.
Указание. Можно привести данное уравнение окружности к нормальному
виду и воспользоваться общим уравнением касательной. 344. у = 0 и 20х —
— 21_у = 0. 345. а) у — 1х = 0 и х — у = 0; Ь) 4х — Зу — 25 = 0 и Зх +
4jy — 25 = 0 (см. задачу 344). 346. 2х— у ±5 = 0. 347. 12х±35у = 444.
Указание. Уравнение данной окружности известно: х2 + + = 144. Опреде-
лив координаты точки А (черт. 121) из прямоугольного треугольника ОМА,
сведем задачу к проведению касательных к данной окружности из данной точки.
348. (х - 7/2)2 + (У - 7s)2 = 27s и (х - 13/18)2 + (у - 13/18)2 = 25/iс2. 349. (+ 5;
— 6). Указание. Координаты точки прикосновения можно получить, решив
совместно уравнение данной окружности и данной прямой; но можно их
определить иначе, пользуясь общим уравнением касательной к данной окруж-
ности: (х—1)(хх— 1) + (у + 3) (.У1 + 3) = 25. Так как это уравнение и данное
уравнение 4х — Зу — 38 = 0 изображают одну и ту же прямую, то коэффи-
м х Xj — 1 Vi -1“ 3
циенты этих двух уравнении должны быть пропорциональны: —-—=-—4р =
= —-----. Из этих двух уравнений первой степени определяем коорди-
оо
наты точки прикосновения Xi и yt. 350. Зх — 4у — 2 = 0. Указание. Ввиду
прекращения действия силы точка 714 должна продолжать свой путь прямоли-
нейно в том направлении, которое она имела в момент прекращения силы.
Направление движения точки по кривой определяется в любой момент напра-
влением касательной к ней. Следовательно, точка М должна продолжать дви-
жение по касательной к окружности в точке А. 351. (—0,4; +8,8), если
точка 7И двигалась по окружности против часовой стрелки; (+ 6; + 4), если
точка М двигалась в обратном направлении. Указание. Задача сводится
к нахождению точек прикосновения тех касательных к окружности, которые
проходят через точку (—2; 0). (См. задачу 350.) 352. . Указание. Иско-
са
мый угол есть угол между двумя касательными, проведенными из данной точки
к данной окружности. 352*. х2 + J’2 = 2г2. 353. 5х + 2у — 7 = 0. 354. x-j-y —
— 4 = 0. 355. х2+^2 — 10х —8^ + 37 = 0. 356. (х — 2)2 + (у — 2)2 = 1 и
(х — 2,8)2 + (у — 0,4)2 =1. Указание. Точка М лежит вне данной окруж-
ности, и, судя по величине радиусов данной и искомой окружностей, эти две
окружности могут соприкасаться только внешним образом. 357.
358. (а2 — Д1)2 + (Ь2 — Ь^2 = г2 + г|. Указание. Линия центров и радиусы,
направленные в точку пересечения двух ортогональных окружностей, образуют
/ 41 \2
прямоугольный треугольник. 359. (x+l)2 + fy— 3)2 = 9 и (х — jgl +
СЗ \ 2 / | | \
у—Го =9- 360. --^5 и (—7; +1). 361. Внешние касательные
1 оу \ о о /
у — 2 = 0 и 4х — Зу—10 = 0; внутренние касательные: х—1 = 0 и Зх +
+ 4у/ — 5 = 0. 362. t = 4. 363. tt = 3; t2 = 0 (точка 714 лежит на окружности);
/3 = /')/' 6 (точка 7И3 лежит внутри окружности); 10. 364. (х — 5)2 +
+ (у + 2)2 = 25, т. е. окружность концентрическая с данной, имеющая радиус
г2 + 42. 365. а) х2+^2 + 8х — 26у = 0; Ь) х2 + у2 + 16х — 42у = 0 —
окружности, проходящие через точки пересечения данных окружностей;
с) х — 2^ = 0 — прямая, так называемая радикальная ось двух данных окруж-
ностей. 367. a) 2(al — a)x + 2(b1—b)y + a2 — a2 + b2 — b2 — r2 + r2l = 0;
Ъ) 2х + 1у + 8 = 0; с) 4х + 4у + 5 = 0. Указание. Если уравнения двух
окружностей U = 0 и LR = 0 даны в такой форме, что коэффициенты при ква-
дратах координат равны единицам, то уравнение радикальной оси этих окруж-
ностей будет Ui — U = 0. 369. (х — 2)2 + (у — 6)2 = 50. 370. (х — 2)2 +
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
241
+ (У + 6)2 = 13. Указание. Центр искомой окружности лежит на радикаль-
ной оси данных двух окружностей, а радиус равен по длине касательной, кото-
рую можно провести из центра к одной из данных окружностей. 371- (—2; —2).
372. (х + 2)3 + (у — З)2 = 6. Указание. Центр искомой окружности
совпадает с радикальным центром трех данных окружностей, а радиус равен
касательной, проведенной из радикального центра к одной из этих окружностей.
373. Окружность, касающаяся внутренним образом данной окружности в точке Р
и имеющая радиус Р = 1 . 374. Окружность, радиус которой равен
центр ее находится посредине между точкой Р и центром данной окружности.
х2 у2
Точка Р служит центром подобия обеих окружностей. 375. а) Тб+? = 1;
ь>Й+Й=1: d>S+¥=^ e)S+T=1- ”6-2‘ =
= 26: 25=10; е=^; Л(4-12; 0); F2(— 12; 0). 377. ~+^=1. Указа-
1<э 10/
ние. Данные расстояния могут быть выражены через параметры эллипса еле-
X2 V2
дующим образом: а-}-с и а — с. 378. с2 = а2— Ь2 (черт. 122). 379. =
ZD 10
V3
= 1 или 25”Ьд =1> в зависимости от того, проходит ли эллипс через концы
большой или малой диагонали ромба. Указание. Для определения парамет-
ров эллипса мы можем воспользоваться следующими соотношениями (черт. 123):
^2-|-са = 25 и 2£с = 5- 4,8 (площадь ромба). 380. Эллипс с полуосями 13 см
и 5 см. Вершины при основании треугольника служат фокусами этого эллипса.
381. Указание. Мы пользуемся построением треугольника по стороне (2с),
прилежащему углу (<р) и сумме двух других сторон (2а). Если угол <р будет
меняться, вершина М опишет эллипс. Повторяя это построение при различных
значениях угла <р, мы можем получить сколько угодно точек эллипса (черт. 124).
х2 v2 ~\/ 9
382. сх±а2 = 0. 383. х = ±9. 384. 1. 385. а) е =
32 1 10 L
b) e = c)<? = ‘/s. 386. <?=а 0,08. 387. (±5; ±2). 388. ^+^=1.
Указание. Определяем параметры эллипса а3 и Ь3 из того условия, что
координаты данных точек должны удовлетворять его уравнению. 390. Точки А
и Е лежат на эллипсе; В и G — внутри эллипса; точки С и D — вне эллипса.
Указание. См. задачу 389. 391. А (+ 6; 0), В
383- х = zt 9.
242
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
। 6 12|/*3\ т.
С ( ;----— ).Указание. Искомый треугольник симметричен относитель-
но большой оси. Сторона треугольника равна удвоенной ординате вершины В.
392. Л41 -]-3И ^2( — Т’ —""^2 ®еРшины большой
оси. 394. d = 473* Указание. Определяем прежде всего фокальные радиусы-
векторы данной точки; сумма их даст большую ось эллипса; далее определяем
эксцентриситет и искомое расстояние di = ~t 395. Af1==(+3; -3) и
,, ( . 69 . 21 \ „ 2Ь2 241Л2
^2\^~ТЗ’ Тз) • 396. . 397. AfiAlg = —5—.
398. S = 684/т кв. ед. Указание. Стороны всякого прямоугольника, вписан-
ного в эллипс, должны быть параллельны его осям. 399. а* = — —- ---
У а* + *
400. 4х + 9.У — 13 = 0. Указание. Угловой коэффициент хорды, проходящей
через данную точку [у—l = k(x—1)], надо выбрать так, чтобы при совме-
стном решении ее уравнения с уравнением эллипса полусумма корней полу-
ченного квадратного уравнения была равна соответствующей координате данной
(Х\ 4“ Х2 . Vi 4"“ Уз ,\
точки I—g— = 1 или -—= 1 I, в зависимости от того, которую из коор-
динат мы будем исключать при решении системы уравнений. 401. х — 2у—
— 8 = 0. 402. у = 3 и 12х 4“ 7У + 51 = 0. Решение. Способ 1. Можно
взять уравнение любой прямой, проходящей через данную точку [у — 3 =
= k (х 4~ 6)], и подобрать угловой коэффициент так, чтобы при совместном
решении уравнения этой прямой и уравнения эллипса получить равные корни
(приравнять подкоренное количество нулю). Способ 2. Можно воспользо-
„ /ХХ1 . VV1
ваться уравнением касательной к эллипсу —г g 1 и определить коор-
динаты точки прикосновения (хъ у^ из двух условий: во-первых, касательная
проходит через точку Л(—6; 4“3); следовательно, мы имеем —^-4-^тг = 1
ID У
у 2
и, во-вторых, точка прикосновения лежит на данном эллипсе, т. е. у§4~ g ==1*
403. 2х — у ±12 = 0, Указание. Уравнение всякой прямой, параллельной
данной, имеет вид: у = 2х 4- Ь. Нужно только подобрать параметр b из условия
касания. (См. первый способ решения задачи 402.) Можно воспользоваться
уравнением касательной к данному эллипсу ( ’ )» определив коор-
динаты точки прикосновения из условия, что угловой коэффициент должен
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
243
л 7 4X1 л\
равняться 2 ^т. е. — — = 2J и что точка прикосновения лежит на эллипсе
ВТОРОЙ способ решения задачи 402.) 404. 12х—13j> dt
чн 169 = 0. (См. указание к задаче 403.) 405. (+5; —4). Указание. Урав-
нение касательной дано: 4х— 5у — 40 = 0; с другой стороны, всякая каса-
тельная к данному эллипсу изображается уравнением 16xxi -f- 25yyi — 800 = 0.
Если эти два уравнения изображают одну и ту же прямую, то коэффициенты
16xi 25yi 800 ~
их пропорциональны, т. е. —=---е Отсюда определяем точки
прикосновения. Иначе можно было бы их найти, решив совместно уравнение
эллипса и его касательной. 406. Четыре касательные удовлетворяют условию
задачи: ± Зх ± 4у + 15 = 0. 407. Указание. Концы одного и того же диа-
метра симметричны относительно начала координат, т. е. соответственные коор-
динаты их равны по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки.
408. х—jy ± 3 = 0 и х+,у ± 3 = 0. Указание. Вершины всякого описан-
ного около эллипса ромба (в частности, и квадрата) должны лежать на осях
эллипса. Кроме того, стороны квадрата должны отсекать на осях равные отрезки.
409. х±5 = 0. 411. А2а2 + В2Ь2 = С2, 412. Задача имеет два решения:
г2 V2 16 г2 V2
1)&+т=1:(+4:+’/^2>> + Гб=1: <+’/-: +“/ь)- Указание.
Для определения параметров эллипса удобно воспользоваться условием каса-
X2 V2
ния, выведенным в задаче 411. 413. 20"Ь 5 (^м- заДачУ 411.) 414. х +
-1- у чн 3 = 0; х—^±3 = 0. Указание. Удобно применить признак сопри-
косновения прямой и эллипса (см. задачу 411). 415. 2х + У±5 = 0; 2х — у ±
±5 = 0. 418. Окружность х2 + У2 = я2 + Решение. Пусть М (X, Y)
будет одной из искомых точек, тогда обе касательные, проведенные к эллипсу
из этой точки, должны быть перпендикулярны между собой. Уравнение всякой
прямой, проходящей через точку М, будет: у—У=/г(х — X) или kx—у +
+ (У — &Х) = 0. Условие того, что эта прямая касается эллипса, примет вид:
Лааа = (у — kX)\ или после преобразования: № (а2 — X2) + 2XYk +
4- (b2 — Y2)~ 0. Это квадратное уравнение определяет угловые коэффициенты
обеих касательных, проходящих через точку М, но по условию перпендику-
лярности этих касательных произведение корней указанного квадратного урав-
£2 __ уз
нения должно равняться отрицательной единице: kt • ka = — 1 или =
= — 1 (произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену,
деленному на коэффициент при квадрате неизвестного). Мы получили уравнение,
связывающее координаты искомых точек, т. е. уравнение искомого геометриче-
ского места. После элементарных преобразований получим окончательно:
А?4-У2 = в«4-$». 420. 4. (У —У)* — 1. «о*, а) -|-
1 1 а2 1 Ь2 15 1
4-^=1; х. = 1; ,1=-3; а = Ь=ГГ5. Ь) (£^4-^^
Xi= —2, 54 = 1; а = 4, Ь = 2. с) <£+^4.^=!; х,=-4, Л=0;
« = 2^5, 6 = УТО. 421. <£Z15£+£=1 ИЛи<£Г_5?+-^- = 1)в3а-
висимости от того, совпадает ли с осью абсцисс большая или малая ось эл-
липса. 422. -—.-{-И. 7=1. 422*. Эллипс с центром в точке (0,0,)
фокальная ось расположена на прямой у>-|-х = 0; а = 3, # = Уз.
244
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
423. —[-^---^-=1. 424- ^а4~ 7" \з 1в У к а з а н и е. По условию
/7 г । г л. \
\r+v
—X (черт. 125). Определяем ординату у точки М, делящей отрезок QP
в отношении X; ордината начальной точки Q равна нулю, ординату же конеч-
___ х2
уравнение эллипса, указанное в ответе. 425-у—
\3">
ной точки Р определяем из уравнения окружности: у2 = г2 — х2; следова-
Х}Лг2 —х2 п
тельно, у = —-.-г->----. Преобразовав это уравнение, получим окончательное
2 (р+?)2^
4~ У = 1, т. е. эллипс с полуосями p-\-q и р — q, Если p">q, точка Q
описывает эллипс, двигаясь против часовой стрелки; если p<Z q, точка Q пере-
мещается по эллипсу в обратном направлении. Если p = q, то точка Q при
полном обороте стержня ОР опишет дважды отрезок оси х длиною 2(р + ^)-
У Казани е. Определим координаты точки Q по прошествии t" от начала
движения. В это время стержень р (черт. 126) будет наклонен к оси абсцисс
под углом со/, а стержень q под углом —со/. Координаты точки Q определятся
как проекции ломаной OPQ на оси координат. Искомую траекторию мы полу-
чим, исключив t из двух уравнений, определяющих координаты точки Q,
х2 V2
427- Эллипс = 1 или окружность х2 = #2, если точка М совпадает
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
245
с серединой отрезка АВ. Указание. Стороны прямого угла принимаем за
оси координат. Параметрами кривой будут служить расстояния точки М от
X2 V2
концов отрезка АВ (черт. 127), а именно: АМ = а и ВМ = Ь. 428. —4-^2 =
= 1, если через а и b обозначены отрезки скользящего стержня от точки М
до точек пересечения с осью ординат и осью абсцисс. 429. а) / = 5; ЛМ = 3;
b) Z = 5; AM = 4; с) /= 10; АМ==5. 430. Эллипс с центром в точке (0; 4- 1)
и с полуосями а = 1/4 4 и & = 7, направленными параллельно осям коорди-
нат- т + :(4/ =L *32. Указание.
\2/
Точка М (черт. 128) описывает эллипс, фокусами которого служат центр круга
Черт. 129.
и точка Л (4-3; 0). 433. а) b)g-^=l; <=)£-=£ =1;
d) — ^- = 1. 434. ~ — х~=1. 435- Указание (черт. 129). Пользу-
1о о 04 оо
емся построением треугольника по основанию 2с, углу при нем <р и раз-
ности двух других сторон 2а. Повторяя это построение при различных значе-
ниях угла <р, получим точки гиперболы. Левую ветвь гиперболы мы получим,
приняв правый фокус за вершину угла, прилежащего к большей стороне тре-
X2 V2 X2 V2
угольника. 436. yg—25—М4=^‘ У к а 3 а н и е (чеРт-
с есть гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны а и Ь.
439-а a) (4-5; 0), F2(-5; 0); b) с = ^/3; с) у == ± 4/з*, х = ±еМ
d)y^ — ~ = 1; е' = 5/4. 439*. ~ — 7т-= 1. 440. DE и GH суть искомые
1 и ОО У
246
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
директрисы гиперболы
Ъ = 2; Ь) а = 6, b = 6;
— ^=1. 442*.
64 36
442. и
36 64
443. а) а = 120*, Ь)
(черт. 131). 440*. 8 = 5. 441. а) а = 2)/'з,
2У~5; d) « = Ц^,5 = УТ9.
г О Г
X2 у2 у2 X2 .
16 9 ИЛИ 4 256 ~L
9
3?
о
а = 90°. 444. а) е — —
28 1/* 2
445. — ^-=1. 446. г1 = 9, га = 19, tg 0 = —0,97. 447. а) х =
= ±4/б1/<34, y = ztl,8(4 точки); Ъ) х = +9,6, у = ±8/б 1^119 (2 точки).
Указание. Если фокальные радиусы-векторы какой-нибудь точки гиперболы
перпендикулярны друг к другу, то они вместе с отрезком оси, заключенным
между фокусами, образуют прямоугольный треугольник и связаны соотноше-
нием rl + г2 = 4с2. 448. е 1 + 2. Решение. Если на гиперболе суще-
ствует точка, для которой rt = d2, то для нее же, вследствие равенства
г2 > r2 ех + а .
-- = е, будем иметь — = е или-------?— = е\ отсюда определяем абсциссу
«2 1 ^Х d
искомой точки х = • Но все действительные точки гиперболы обладают
тем свойством, что их абсциссы х^а; следовательно, мы должны иметь:
1 4- е
1—1. Решая это неравенство и принимая во внимание, что эксцентриси-
тет гиперболы е>1, получим е^. 1 + ]/2. 449. 51.8г=— Указание.
Это свойство вполне характеризует гиперболу, т. е. гиперболу можно рассма-
тривать как геометрическое место точек, произведение расстояний которых от
двух прямых есть величина постоянная, и прямые эти служат асимптотами
гиперболы. 450. ± — четыре точки. 451. а) (+10, +2)
и (—10; —2); Ь) прямая касается гиперболы_в точке (+ 10; —2); с) действи-
( 151/Тб 9 \
тельных точек пересечения нет; d) I-----; —g- ) и ВТОРОЙ точки пересе-
чения нет, прямая параллельна одной из асимптот. 452. х — 2у—12 = 0 и
ОТВЕТЫ Й УКАЗАНИЯ
247
х + 2у + 8 = 0. 452*. 9х ±. 4 )/^ 34у = 0. Указание. Определяем координаты
концов искомого диаметра из двух условий: эти точки лежат на гиперболе и
находятся на расстоянии 20: 2 = 10 от центра гиперболы. 453. Зх — 4у — 5 = 0.
fa
Указание. См. задачу 400. 453*. у = • х, где k — угловой коэффициент
(ab
ab \ *
-ь — ). Задача возможна, когда Ь>*а. 456. x4-y=L 457. 1) 3x4-
Vb2 — а2/
4- 2у = 6 и Зх — 2у = 6. 2) Только одна касательная Зх + %У + 6 = 0, так как
точка (— 4; 4“ 3) лежит на гиперболе. 3) Действительных касательных провести
к гиперболе через точку (4-5; —1) нельзя, так как эта точка лежит внутри
гиперболы. 458. а) Х4-.У 4-3 = 0 и Х4-.У— 3 = 0; Ь) действительных каса-
тельных в этом направлении нет; с) 2x4-^ 4” )Л54 = 0 и 2x4-.У— ]/~54 = 0.
«а Ь , 8]/“5 । 3]ЛТ5\ ( 8 V 5 3}<15\
1 1 а \ 1 5 ’ 1 5 / \ 5’ 5 /
Указание. Угловой коэффициент всякой касательной к гиперболе имеет вид:
Ь*х' 9х' ___
k = , В данном случае мы имеем — у 3. Из этого уравнения и из
уравнения гиперболы определяем координаты точки прикосновения. 461. 8x4-
+ —20 = 0 и 8х ——20 = 0. 462. у—^= 1. 463. AW —
X2
— В2Ь2 = С2. 464. -у—у2 = 1. Указание. Неизвестные параметры гипер-
болы а и b проще всего определить, воспользовавшись данным угловым коэф-
фициентом асимптоты: Ъ: а = х/з и условием соприкосновения гиперболы и дан-
ной прямой: 25а2— 36^ = 64. (См. задачу 463.) 465. х2-}-у2 = а2— Ь2. В слу-
чае равносторонней гиперболы а —b и искомое геометрическое место точек
сводится к одной лишь точке — центру гиперболы. Если a<zb, то у гиперболы
нет и одной пары перпендикулярных друг к другу касательных. (См. задачи
/ £2 \
418 и 459.) 466. dt сх ± ау = а2\ ( ± с\ ± . 467. Указание. Софо-
х2
кусные кривые могут быть представлены следующими двумя уравнениями: —2—-
ч«2 _у-2 д|3
~С8_Д» ~ 1 и да + да _ са = *• 466. 81 • 82 = — Указание. Знак
минус у искомого произведения объясняется тем, что фокусы гиперболы нахо-
дятся] по разные стороны от любой ее касательной. 470. S = - - s^n у; ср —
угол между асимптотами. 470*. (1 4“ ^)2 • х • У = 2XS уравнение гиперболы,
асимптоты которой совпадают с осями координат. 471. ----—- =
= 1. 4И. а) ~ 1)а — (J + 2>a = i; х. = + 1; ?.= — 2; . = 5 и 3.-3;
Ь)<^-<Ц2£ = 1; Л=_1; Л = Г5=
C}{£±SL-,-=V.X, = -3-^ = <t.a=^„l,= l-ii ^ + ^^ + 2)- =
= . = 2; Л = 2|/3; е) ^-~2)3 _^+1)* = ]; = _ 1;
Z о
Ji == 2; вещественная полуось параллельна оси у и равна уТГ; мнимая полуось
248
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
равна 2 2; f) (х— 2)2 — (у — 3)2 = 0, т. е. пара прямых: x-f-J— 5 = 0 и
х—у + 1 = 0. Указание. Члены, содержащие х, и члены, содержащие у,
дополняем до полных квадратов и, перенеся свободный член направо, делим на
него все члены уравнения. 472*. а) Гипербола с центром в точке (0; 0); дей-
ствительная ось расположена на прямой х — у=0; а=1, £ = Т/^7з. Ь) Гипер-
бола с центром в точке I—I; действительная ось расположена на
/13 д 5/3 . „
~18~ * = —39— * С' Гипербола с центром
ось расположена на прямой 84х — 112у +
К47 (х+15)2 у2
Q2 122" “ Е
прямой 39х — 52jv + 15 = 0; а —
5\ »
; -у)J действительная
+ 125 = 0; а =
в точке
Ь— 28 *
Черт. 132.
Черт. 133.
Указание. В данном случае удобно пользоваться длиной фокальной хорды
(х_±\г
2Ь3 \ 2 / у2
перпендикулярной к действительной оси; / = — . 474. '—ГаД2-----7 \ а = Г
/ Х2 ° W
/ С \2
\ 2 / V2
475. -—TyvF-------'ib2 == 1* Равносторонняя гипербола, вершины которой
W ы
совпадают с точками А и В. Решение. Определяем ординату образующей
точки М из двух треугольников AMN и BMN (черт. 132): у = (х -f- a) tg ср И
у — (х— tf)ctg<p. Из этих двух уравнений исключаем параметр ср (проще всего
перемножить оба уравнения), и тогда получим уравнение искомого геометриче-
ского места: х2—у2 = а2. 477. Директриса гиперболы, соответствующая тому
фокусу, из которого проведены перпендикуляры. 478. Равносторонняя гипер-
бола х2—у2 = а2— Ь2 (черт. 133). 479. Указание. Центр окружности и
данная внешняя точка служат фокусами гиперболы. Радиус данной окружности
равен действительной оси гиперболы. (См. задачу 432.) 480. а) у2 = 12х;
Ь) у2 = 10х — 25; с) у2 = 16х; d) х2 = 8у; е) х2 = — 18у. 481. А (+ 18; + 12)
и В (+ 18; — 12). 482. ОМ = 10. 483. Указание. Мы ищем точки параболы
о2
на прямых, параллельных ее оси (черт. 134). 484. Парабола J'2 = у х.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
249
485. Для указанного построения можно воспользоваться различными прямо-
угольными треугольниками, например равнобедренным с катетами а = й = 5
или треугольником с катетами а = 10 и Ь = 20; а = 15 и b = 45 и т. д., лишь бы
а2
только = 5. Возьмем первый из этих треугольников; тогда для получения
b
точек параболы вне треугольника продолжаем оба катета в обе стороны и про-
должаем наносить на них равные деления; точки деления нумеруем, как ука-
зано на черт. 135. 486. Если точка (хь у^ принадлежит внешней области, то
мы имеем yj — 2pxi > 0. Если точка (хь .yj принадлежит внутренней области,
то yl — 2pxi С 0. Если точка (хъ лежит на параболе, то ее координаты
удовлетворяют уравнению yf — 2pxt = 0. 487. = 4р |/ 3. Указание.
Треугольник расположен симметрично относительно оси параболы; одна из вер-
шин его совпадает с вершиной параболы, а противолежащая сторона перпен-
дикулярна к оси параболы. 488. а) (+ 2; — 6) и (+ Чъ + 3); Ь) прямая ка-
сается параболы в точке (+2/»; + 2); с) действительных точек пересечения
нет; d) (+Vs; +3); прямая параллельна оси симметрии. 483. (+5Л; + ]Л15),
(+ 5/ъ — уТб), и Две мнимые_точки пересечения^ 490. х — 2 = 0. 491. I = 2р.
491*. х—10 = 0; 2х—^|<5 = 0; 2х+^]Лб = 0. 492. 2х — у — 3 = 0.
Указание. См. задачу 400. 493. х + ^ + 2 = 0 и 2х + 5;у + 25 = 0.
494. (+ 9; — 6). Указание. Определяем координаты точки прикосновения
из условия пропорциональности коэффициентов в уравнении данной прямой
х + Зу + 9 = 0 и в уравнении касательной к параболе уух = 2 (х + хг) или
2х—У1У + 2х1 = 0. 496. а) х + .у + 3 = 0 в точке (+3;—6) и х—у + 3 = 0
в точке (+3; +6); Ь) у = Зх+1; с) х — 2у +12 = 0; d) Зх+;у + 1 =0.
497. р = 2bk. 498. | d | = 2. Указание. Если прямая не пересекает пара-
болу, то кратчайшим расстоянием параболы от прямой будет расстояние от
прямой той точки параболы, в которой касательная параллельна данной прямой
(черт. 136). 499. р — ъ!^ У Казание. Выражаем координаты точки прикосно-
вения через неизвестный параметр р (см. задачу 494) и вставляем их в уравне-
ние параболы. Можно также воспользоваться результатом задачи 497.
500. х + Зу + 15 = 0 их — 3>у+15 = 0. Указание. Значения параметров
искомой прямой удобно вычисляются из условия соприкосновения прямой и
кривой. (См. задачи 497 и 411.) 500*. Si: S2 = 2. Площадь вписанного в пара-
болу треугольника вдвое больше площади соответствующего описанного тре-
250
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
угольника. 503. Директриса параболы х = — . 504. а) (у — Ь)2 = 2р(х — о);
Ь) (У — Ь)2 = — 2р (х — а); с) (х — а)9 = 2р(у — b)\ d) (х — а)9 = — 2р (у — Ь).
Решение, а) Переносим начало координат в точку (а, &), не меняя напра-
вления осей (черт. 137). Тогда в новой системе координат уравнение параболы
будет: у'2 = 2рх'. Переходим обратно к прежней системе, по формулам пре-
образования координат: х' = х — а* у'—у— Ь. Уравнение параболы примет
вид: (у — &)2 = 2р (х — а). Это и есть искомое уравнение. 505. а) А = 0 и
В = 0; Ь) С = 0 и В = 0. 505. а) (—2; +0’, Р = 5; ось параллельна оси х;
Ь) (0; — 7); р = 3; ось параллельна оси х; с) (4- 2; 0); р = — 4; направление
оси совпадает с отрицательным направлением оси х; d) (4- 3; 4- 5); р = 2; ось
ч ( В 4АС — В2\ 1 .
----г— ------------- __---- / _ ' - - —; ось параболы
Z/1
х J * 5
параболы параллельна оси у; е) — x-j;
44
параллельна оси у\ f) (4-4; —1); р — 1!^ ось параллельна оси yt g) (—3; — 9);
р = Чъ ось параллельна оси у. Указание. Предварительно преобразовать
данные уравнения и привести их к тому типу уравнений, который разобран
в задаче 504. 505*. а) Парабола с вершиной в точке 1 ; 2j ; с осью, совпа-
т/~2
дающей с прямой 4х — 4у 4" 1 = 0; р == . Ь) Парабола с вершиной в точке
(1; 2); с осью, совпадающей с прямой х—^4-1=0; р =—2. 507. Ука-
зание. Приняв общую ось парабол за ось абсцисс и поместив начало коор-
динат в общем фокусе, получим для рассматриваемых парабол следующие
уравнения: у?9 = 2р х 4~ и yr9 = — 2д^х — . Далее определяем точки
пересечения этих парабол, касательные в найденных точках, и убеждаемся
в перпендикулярности касательных, проведенных к обеим параболам в общих
X у9
их точках. 508. •y4“g>=l- Сравнить с уравнением прямой относительно
отрезков. Указание. Так как ось параболы совпадает с осью х и вершина
расположена в точке (4- а\ 0), то уравнение параболы примет вид: у;2 =
= 2р (х — а) (см. задачу 504). Для определения параметра р воспользуемся тем,
что парабола проходит через точки (0; ± Ь). 509. —-4-^ = 1. (См. зада-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
251
чу 508.) 510. -*4-4-= 1. 511. р = —12. Указание (черт. 138). Восполь-
J ' Or ' Ь
зуемся уравнением параболы относительно отрезков, отсекаемых ею на осях
координат (см. задачу 510). 512. |p| = 22/s. 513. А = 5 м. 514. у?2 = х.
515. Парабола с вершиной в фокусе данной
параболы и с параметром вдвое меньшим.
516. Прямая вращается около точки (2р; 0).
517. Парабола, имеющая данную точку фоку-
сом и данную прямую — директрисою.
518. Две параболы: у2 = zt 2х 41 1. 519. а) р=
= a; b) р = 2а cos ?; с) р2 — 2р!р cos (ср —
Ь2
-?1) = а3-р?. 520- Р2= i_e3COS3i- .
/ 4 \
521. ? = arccos (zt-у-). 522. а) р =
\ о /
Черт. 138.
= -=----------: b) р = ......, где
1 —. е cos? ’ r 1 4-ecos?
Ла
величина р =— называется параметром
* /т
эллипса. 523. а = 21Л 2; Ь = У 6; 2с = 2]Л2. 524. ра = .—-j=- . 525. О=+,
r г 1 1 — е2 cos* ср 3
если через 0 обозначен один из тех углов, внутри которых расположена гипер-
бола. 526. ₽ = -;---. где р = — 527. Уравнения асимптот: р =
г 1 — £ cos ср’ г а г
2 2 У 2
= —7------и <‘ = —1------уравнения директрис: р =--------и
sin^-p—sin(^ —
ЗУ? , ₽_2pcos<p , 5M.
arccos 7з) — две точки, симме-
р со&ср г sin2? 7
тричные относительно полярной оси. 530. р = । _.^os
вершина параболы; b) две точки: и ^р;
у>2 ««3 О уЗ 4i3
533. а) 169 + 25 = !; ь) У* = у х’> с) Те ~ у = !>
523. | М2 | = р2.
X2 V2
d) t+t = l
534. Зх2 + 2ху 4~ 2у2 4" Зх — 4у = 0. Указание. Берем общее уравнение
кривой второго порядка: аих2 4" 2a19xj + амУ2 + 2fli8x -(- 2а28у + 0зз = 0.
Если оно изображает искомую кривую, то ему должны удовлетворять коорди-
наты данных точек. Вставляя в общее уравнение координаты каждой из данных
точек, получим пять условий, связывающих коэффициенты aik; из этих соотноше-
ний определяем отношения пяти коэффициентов к шестому и вставляем их в
общее уравнение, предварительно разделенное на этот шестой коэффициент.
535. х2 + 4ху + 4у* — 6х — 12у = 0. 536. Условиям задачи удовлетворяют две
кривые параболического типа: х2 — 8х — ^4-15 = 0 и 9х2 4- бху 4- У2 —
— 12х — 24у + 135 = 0. 537. х2 — 4ху 4- Зуа — 4у = 0. 538. ху 4- 15 = 0.
539. х2 — 8^ = 0. 540. 1) (4*7; 4-5); 2) (— 1; — 1); 3) (0; 4- 1); 4) центра нет;
кривая параболического типа; 5) кривая имеет целую линию центров: х4_3,+
4-1=0; 6) ^4~ у; + yj ; 7) у; — у j ; 8) линия центров: х + Зу 4»
4-2 = 0; 9) центра нет, крив’ая параболического типа; 10) линия центров:
х — 2.у4-5 = 0. 541. Уравнение представляет центральную кривую, если только
«7^9. Уравнение представляет кривую параболического типа, если д = 9и
Ъ 9. Кривая имеет линию центров: 2х 4- Qy 4“ 3 = 0, если одновременно а = 9
252
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
и £ = 9. Указание. Задача сводится к исследованию той системы двух
( 2х + бу +3 = 0)
уравнений | 2 # О J ’ И3 К0Т0Р0^ 0ПРеДеляются координаты центра.
Ответ зависит от того, будет ли эта система определенная, противоречивая
или неопределенная. 542. Кривые а), Ь), с) имеют центр в начале координат;
кривая d) имеет линию центров: Зх — 2у = 0; кривая е) имеет центр в начале
координат, если 6 + 0, и имеет линию центров а^ха12у = 0, если 6 = 0.
543- 2х2— 6ху + 5у2—11=0. У Казание. Удобно воспользоваться уравне-
нием кривой, отнесенной к центру: 01Хх2 + 2alzxy + а^у2 + у- = 0. Нам надо
будет оставить старшие члены без изменения (2х2 — бху + 5у2), отбросить
члены первой степени, а для нахождения свободного члена достаточно вычис-
лить оба дискриминанта: Д =—11 и 6 = 1. 544. а) 7х2 + 4xjy + 4у2— 83 = 0;
Ь) х2 — 2xjr + 4 = 0; с) 6х2 — 4ху + 9у2 — 40 = 0. 545. ап(х — х0)2 +
+ 2а1а (х — х0) (у — у о) + а22 (У — У о)2 + Язз = 0. У к а з а н и е. Воспользоваться
уравнением кривой, отнесенной к центру (7), и сделать обратный переход к пер-
воначальной системе координат. 546. 5ха — 5xjy + 2у2 — 5х — 2у = 0. 547. Пря-
мая линия Зх+.у = 0. Указание. Составить уравнения для определения
координат центра; исключив из них параметр а, получим уравнение искомого
геометрического места. 548. 4х2 — Зху — 2у2 + 9у — 4 = 0. Указание.
Через данные четыре точки проходит бесчисленное множество кривых линий;
все они изображаются уравнением:
2х2 — 4\ху + (4Х + 1).у2 — 4х — (4Х + 1) J = 0,
где X — переменный параметр. 549- а) эллипс (Д + 0; В > 0); Ь) гипербола
(Д + 0; 6 < 0); с) парабола (Д +0; 6 = 0); d) мнимые прямые, пересекающиеся
в вещественной точке (+ 7; + 5); (Д = 0; 6 >> 0); е) пара действительных пере-
секающихся прямых (Д = 0;6<0). 550. 1) Гипербола (Д = 16; 6 = — 8);
2) эллипс (Д = — 64; 6 = 8); 3) пара пересекающихся действительных прямых
(Д = 0; 6 = —1); 4) пара действительных пересекающихся прямых (Д = 0;
о = — yj ; 5) гипербола ^Д =----i-; 6 =---; 6) эллипс (Д = — 13; 6 = 1);
в случае прямоугольной системы координат это уравнение изображает окруж-
ность; 7) парабола (Д = — 4а2; 6 = 0); 8) парабола (Д =— 1; 6 = 0); 9) пара-
бола (Д = — 32; 6 = 0); 10) пара действительных параллельных прямых (Д=0;
6 = 0); прямые не сливаются, потому что существуют миноры дискриминанта,
022 023
032 033
например:
которые не равны нулю; 11) пара сливающихся
прямых (Д = 0; 6 = 0 и все миноры второго порядка дискриминанта Д равны
нулю). 551. а) Две прямые, параллельные осям координат: х — а = 0 и у — # = 0;
Ь) ось ординат х = 0 и прямая х — 2у + 5 = 0; с) дважды взятая пря-
мая х — 2у = 0; d) дважды взятая прямая Зх + 5у = 0; е) две параллель-
ные прямые: 2х — 3_у + 5 = 0 и 2х — 3_у — 5 = 0. 553. а) Зх — 2у = 0
и 7х + Зу = 0; Ь) х +^+ 1 +т<5=0 и х+^ + 1— |/‘5 = °; с) у — 5х = 0
и x-j-y—1=0; d) 2х—у + 3 = 0; прямые сливаются. 555. а) Пара пря-
мых х—,у=0 и 2х + 5.у = 0; Ь) дважды взятая прямая х + 2у = 0; с) пара
прямых 5х—jy = 0 и 2х — ,у = 0; Ф паРа мнимых прямых, пересекающихся
в начале координат. 556-а) а = 0; Ь) 0 =—Указание. Находим зна-
чения дискриминантов: Д =—|--------1- и 6 = 2а. В первом случае 6 = 0, во
5 5
втором случае Д = 0. 557. а) ах =-~- и а2 = -т-; b) = 1 и а2 =—1.
о ч
558. Однородное уравнение второй степени: апх2 + 2аиху + а^У2 = 0, так
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
253
как свободный член 4- = 0. 558*- а3з =— 5. 559. а = 4;£ =— 3. 560. Урав-
о
нение изображает эллипс при любом значении Х> 1; оно изображает параболу
при единственном значении Х=1; при всех значениях Х<1 уравнение изображает
гиперболу; в частности, когда Х =—24, гипербола распадается на две пересекаю-
щиеся прямые: х — бу — 3= 0 и х + 4у — 1 = 0. 561. При всех значениях пара-
метра X уравнение изображает гиперболу; только при двух значениях Xt=5 и Х2 =
==—12,5 гиперболы вырождаются в пары действительных пересекающихся прямых.
562. Задача неопределенная, так как четыре последние точки лежат на одной
прямой X-j-2y— 6 = 0, и следовательно, искомая кривая распадается на эту
прямую и прямую, проходящую через начало координат. Введя обозначение
— = X, мы можем искомую кривую представить следующим уравнением:
2Хх2 + (4Х + 1) ху + 2у* — 12Хх — бу = 0
или (х + 2у — 6)(2Хх + ,у) = 0. 563. (+5; 0), (+2; 0) и (0; + 5), (0; + 1).
564. а) Кривая касается оси абсцисс в точке (-}- 2; 0) и пересекает ось ор-
динат лишь в одной точке (0; 4- 4); Ь) ось абсцисс пересекает кривую в
точках (4- 3; 0) и (4-1; 0); ось ординат параллельна оси этой параболы
и пересекает ее лишь в одной точке (0; 4- 3); с) кривая проходит через
начало координат и в начале координат касается оси абсцисс; ось ор-
динат она пересекает в начале координат и в точке (0;4~2). 565. Z=2.
566. При X = ± 5 кривая отсекает на оси ординат хорду, равную 3; при
Х = ±4 кривая касается оси ординат. Указание. Задача сводится
к исследованию квадратного уравнения у2 4~ 4" 4 = 0, которое получим из
уравнения кривой, положив х = 0. Для выполнения первого условия нужно,
чтобы разность корней этого квадратного уравнения уа —yL = 3. Для выпол-
нения второго условия нужно, чтобы уа =У1. 567. а) (4-1; 0) и —|-j ;
b) точки пересечения мнимые; с) прямая касается кривой в точке (4- I; 0);
d) 4~4’)’ пРямая пеРесекает кривую лишь в одной точке. 568. 5x4-
4-8^—24 = 0; 5х — Sy — 8 = 0; х — 4у — 2 = 0 и х±4у — 3 = 0. 569. 7x4-
4-4^4-10 = 0 в точке (—2; -|- 1) и Зх — 4у-(-18 = 0 в точке (—2; 4-3).
4- 5_у = 0 и 2х4-^==0- Указание. Определяем координаты точки прикосно-
вения из двух условий: 1) так как касательная проходит через начало коорди-
нат, то свободный член в ее уравнении должен равняться нулю, т. е. я31Х' 4~
4- дз2_У' 4“ °зз = 0, или в нашем случае: 2хг 4-"|"У 4~ 1 =0; 2) координаты точки
прикосновения удовлетворяют уравнению данной кривой. 572. 7х—2у—13 = 0;
х — 3 = 0. 573. а) Точка (—2; 4- 1) лежит на данной кривой, а потому через
нее можно провести только одну касательную, уравнение которой 7х 4~ 4“
4-10=0; Ь) данное уравнение изображает распавшуюся кривую, состоящую
из двух прямых, пересекающихся в точке (4- 3; — 3). Все касательные к этой
кривой, т. е. все прямые, встречающие ее в двух слившихся точках, должны
проходить через точку (4-3; —3); таким образом, через всякую точку можно
провести только одну касательную к данной кривой; исключение составляет
только точка (4- 3; — 3), через которую проходит бесчисленное множество
касательных. Единственная касательная, проходящая через точку (—2; 4~ 1)>
имеет уравнение: 4х 4- 5_у 4“ 3 = 0. 574. у 4- 4 = 0 и Зу — 4 = 0. Указание.
Координаты точки прикосновения определяем из уравнений: Fx'—0 (в уравне-
нии касательной, параллельной оси х, коэффициент при абсциссе равен нулю)
и 2F' = 0 (координаты точки прикосновения удовлетворяют уравнению кривой).
254
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
576. 25х2 ± ЗОху -|- 9у2—150х— 90у + 225 = 0 (две параболы). 577. 6х2 +
+ 3ху—ya-f-2x—у = 0. Указание. Так как искомая кривая проходит
через начало координат, то свободный член ее уравнения равен нулю (я33 = 0).
Из условия касания кривой и прямой 4х + Зу + 2 = 0 в точке (+1; —2)
следует:
011 - 2^12 + Я13 _ 021 - 2032 4“ 023 _ 031-20за
4 ~' 3 ~ 2
Наконец, из того условия, что кривая касается прямой х—у—1=0 в точке
/г» ---012 4“ «13 ---022 4” «23 -- 023 тл
(0; — 1), вытекает:-----------=-----——j-------= - • - . Из этих пяти уравне-
ний определяем отношения коэффициентов искомого уравнения. 576. у = 2х и
у = — Зх. Указание. Угловые коэффициенты искомых прямых определяются
из уравнения: ап 4- 20ц/г 4" «22&2 = 0. 579. Зх — у — 6 = 0 и х— 2у— 2 = 0;
71
<р = -4-. 580. ? = -j-. Указание. Данное уравнение изображает параболу;
все указанные прямые параллельны ее оси симметрии и, следовательно, парал-
3
лельны между собою. 581. Х= —. 582. a) 20i2xy 4" «гаУ3 4" 201з* 4" 4“
4~ «зз == 0 (^i == 0; 0ц = 0); b) 0цХ2 4" 20i2xy 4" 20цХ + 2«23у 4" «зз = 0
(fa = со; 022 = 0); с) 20цху 4” 2«18-* + 2«2зУ + 088 = 0 (&х = 0 и k2 = со;
011 == 0 и 022 = 0). 583. а) 0ц = 0дз = 0; Ъ) 022 = 028 = 0; с) 0ц = 02з == 0jb ===
= 028 = О. 584. 6х2 —ху —2у2 + 4у = 0. 585. ху 4- 4х4- бу = 0. 586. 2х2 —
— ху — Зу2 — х — бу — 15 = 0. 586*. х* — 4у8 — 2х + 4у = 0, т. е. кривая
второго порядка, распавшаяся на две действительные пересекающиеся прямые:
х — 2у = 0 и х + 2у — 2 = 0. Указание. Данным условиям задачи удовле-
творяет бесчисленное множество кривых; все они изображаются уравнением:
х2 4“ 2Хху 4- 4у2 — 4х — 8у + 4 = 0,
при различных значениях параметра X. Далее решаем согласно указанию к за-
даче 547. 588. х4-2У+ 3 = 0 и7х — 5у + 2 =0. 589. у — 1 = 0 и 4х + 5у +
4-3 = 0. 590. х— 1 = 0и х — 2у 4-3 = 0. 591. х4- 1=0. 592. 2х-~у —8 = 0.
593. 49х— 49у + 44 = 0. 594. а) бх + 7у + 4 = 0; b) 7х+1Оу + 5 = 0;
с) х4-Зу4- 1 =0. 595. 17х — 4у — 4 = 0. Указание. Искомый диаметр
сопряжен хордаМд параллельным данной прямой. 596. (— 3; 4-5). Указание.
Искомую точку мы находим как точку пересечения данной прямой и сопря-
женного ей диаметра. 597. Условию задачи удовлетворяют две пары сопря-
женных диаметров: 6х—12у+11=0 и Зх—у — 7 = 0, или 2у — 5 = 0 и
Зх — Зу — 2 = 0. Указание. Угловые коэффициенты искомых диаметров
определяются из двух уравнений: 3 — 3 (k 4- &i) + = 0 (условие сопряжен-
ности относительно данной кривой) и Л* = 1 (угол между диаметрами ра-
1 4- \
<jr \
вен 4). 598. a) kk’ = — b) kk' = \. 599. 2х —у — 5 = 0. 600. *! = */.;
4 / 0* ’ 0d
fa —— 5/i2; 0,2 = 13о/23; ^2 = 13723, где а* и Ь' обозначают длину искомых по-
лудиаметров. 601. <р=120°. 602. 2а' = 4]/2; 2Ь' = 2 /5. 603. 2а = 22; 26=6.
Указание. Пользуемся теоремами Аполлония. 604. <р = arcsin х/7. Указа-
ние. Для гиперболы имеют место следующие соотношения между полуосями
(0, Ь) и сопряженными полудиаметрами (0', by. aa— ba = a'a— b,a и ab = a'b' sin <p.
(Сравнить с теоремами Аполлония для эллипса, приведенными в задаче 602.)
605. у = 2х и у = х/з х или у = — 2х и у = — 7з х. (См. задачу 597).
606. а) х — Зу = 0; Ь) х — Зу 6 = 0; с) Зх — 9у — 7 = 0; d) 5х 15у — 8 = 0
и 5х—15у—19=0; е) 10х — ЗОу — 27 = 0. 607. у —р = 0. 608. х—12 = 0.
609. а) 2х4-2у 4-1 =0 и х—у+ 2 = 0; Ь) 28х +21у + 4 = 0 и ЗЗх —44у —
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
255
— 6 = 0; с) х + .у = 0 и х—у = 0. Указание. Угловые коэффициенты
главных осей могут быть определены из следующего уравнения: al2k2 +
+ 0и — «22) k — «12 = 0. Вставляя угловой коэффициент одной из осей в общее
уравнение диаметра Fx-\- kFy = 0, получим уравнение другой (сопряженной ей)
оси. 610. Главные оси кривой, распавшейся на две пересекающиеся прямые,
совпадают с биссектрисами углов, образованных этими прямыми. 612. а) х +
4-2у—1=0; (+V5; +7б); Ь) 39х-26у-12 = 0; (+18/160; -81Ы
с) у — 1=0; (— 1; 4- 1). 613. 5х + + 2 = 0. Указание. Первая кривая —
центральная, уравнение пучка ее диаметров следующее: 2х—у—1 — k(x-j-
4- 2у 4“ 1) = 0, вторая из данных кривых—парабола угловой коэффициент всех
ее диаметров =------= — 1. Чтобы найти общий диаметр этих двух кривых,
достаточно найти тот диаметр вышеприведенного пучка, который имеет угловой
коэффициент, равный —1. 615. 19ха— 56ху + 43>2— 6=0. 616. а) Начало
координат совпадает с центром кривой; Ъ) ось абсцисс совпадает с одним
из диаметров кривой, а ось ординат параллельна сопряженному диаметру;
с) оси координат параллельны двум сопряженным диаметрам, и кривая
проходит через начало координат; d) оси координат совпадают с двумя сопря-
женными диаметрами; е) ось ординат совпадает с одним из диаметров, а ось
абсцисс параллельна сопряженному диаметру; f) оси координат параллельны
двум сопряженным диаметрам. 617. 10х2 — 5у2 — 1 =0. У Казани е. Переносим
начало координат в центр кривой; тогда уравнение ее будет: 2х2 — 12ху — 1у2 4“
4-1=0. Потом находим направление главных осей кривой из уравнения al2k2 +
+ 0Н — «22) k— а12 = 0, которое в нашем случае будет: 2k2— 3k— 2 = 0.
Определив ^=2и /г2 =— х/2, достаточно будет повернуть оси координат на
угол a = arctg2, чтобы совместить их с главными осями кривой. Соответствую-
_____________________________________________________2/ 2х' 4- V*
щие формулы преобразования координат будут: х = —=+ ну- . ' - -.
у 5 у 5
Пользуясь ими, мы преобразуем уравнение кривой, отнесенной к центру, в иско-
мое уравнение кривой, отнесенной к главным осям. 618. а) 5х2 4~ IQV2 = U
Ь) 13у2 -52x2= 1; с) 2xs —2j3=ll; d) £+^=1; е)
X2 V 2
619- 6-+i=1- Указание. Так как центр кривой совпадает с началом
координат, то для решения задачи достаточно изменить направление осей.
Определяя угловые коэффициенты главных направлений, вычисляя по найденным
угловым коэффициентам углы наклона главных осей к оси абсцисс и составляя
формулы преобразования координат, мы должны помнить, что первоначальная
система координат — косоугольная ^<o = -^-j, Окончательный вид формул пре-
~?У- и у = --—-^У3. 620. а) Эллипс
у^з у^з
8/з х2 + 4у2 = 1; Ь) окружность х2 +_Уа = 16. У Казани е. В задаче Ь) главные
направления неопределенные; за главные оси можно выбрать любые взаимно
перпендикулярные диаметры. 621. а) Парабола проходит через начало коорди-
нат; Ь) ось ординат параллельна оси параболы; с) ось ординат совпадает с диа-
метром, сопряженным хордам, параллельным оси абсцисс; d) начало координат
лежит на параболе, ось ординат совпадает с диаметром, проходящим через эту
точку параболы, а ось абсцисс — с касательной, проведенной в конце диаметра;
е) ось абсцисс совпадает с диаметром, сопряженным хордам, параллельным
оси ординат. 622. у2 = 2х. Указание. Находим угловой коэффициент глав-
ной оси: й=-----^ = — 3/4. Уравнение главной оси получим из уравнения
Р
пучка диаметров: 9х + 12у — 20 + k' (12х + 1 бу + 15) = 0, если положить
1.
образования следующий: х
256
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
k' = — ~ = 4/з- Решая совместно уравнение параболы и уравнение главной оси,
убеждаемся, что вершина параболы совпадает с началом координат, поэтому
для приведения уравнения к простейшему виду достаточно повернуть оси
(3 \
—Соответствующие формулы преобразования
ДдЛ I Зу» __2% * I 4v' _
координат будут: х =---- - , и у =------. 623. а) у2 = 2]Л2 х;
Ь) у2 = 6х; с) у2 = 3/4 У к а з а н и е. а) Находим уравнение главной оси:
x-f-y — 2 = 0; определяем вершину (+1; +1). После перенесения начала
координат в вершину уравнение параболы будет: х2 + 2ху +^2— 4х4~4у = 0.
Дальнейшее преобразование заключается в повороте осей; соответствующие
формулы х = » У = —‘ ПримеРы Ь) и с) решаются по тому же
плану, но принимается во внимание, что первоначальная система координат —
_________________________________ А2
косоугольная. 624. а) у2 = х2 4~ у 2 х; Ь) х2 + 2у2 — 8х = 0; с) у2 = 2 — х +
Ь2
4--х2. Указание, а) Данная кривая — гипербола. Ее главные оси имеют
уравнения: х + з^+1 = 0 и х—у — 2 = 0. На второй оси имеем две действи-
тельные вершины (0; —2) и (4- 1; — 1). Переносим начало координат во вторую
тс
из этих вершин и поворачиваем оси координат на угол а = ~. 625. а) 6х—
-2^4-19 = 0 и 2x4-2у—1 =0; b) 6х + 14у + 11 = 0 и 2х4-2_у — 1=0;
с) 5у 4~ 3 = 0 и 25х — 5у 4" 13 = 0; d) 2х — Зу 4" 1 = 0 и х — 1=0. Указа-
ние. Уравнение асимптоты кривой мы получим из уравнения пучка ее диа-
метров Fx 4~ kF у = 0, вставляя вместо углового коэффициента сопряженных
хорд (k) угловой коэффициент самой асимптоты, определенный из уравнения
4- 2я12/г 4" а22^2 = 0. 626. 2х — ^-|-5 = 0их4“2<у — 1=0 (при всех значе-
ниях X). 627. Указание. Пропорциональность коэффициентов при старших
членах вытекает из условия параллельности асимптот обеих кривых; пропор-
циональность коэффициентов при членах первой степени вытекает из условия
совпадения асимптот. 628. (Ах -f- By -|- С) • (Л1Х 4- Biy + Ci) + X = 0, где X —
произвольный параметр. Указание. При решении этой задачи мы пользуемся,
во-первых, тем, что уравнения кривых, имеющих общие асимптоты, отличаются
только свободными членамй (после умножения на некоторые постоянные мно-
жители; см. задачу 627) и, во-вторых, тем, что совокупность двух прямых есть
частный вид кривой второго порядка (распавшаяся кривая), имеющей эти две
прямые своими асимптотами. 629. 10х2 4~ 12ху 4~ 9У2 — 41х— 39^4*4 = 0.
Указание. Удобно воспользоваться решением задачи 628. 630. 2х2— ху —
— х 4“^ 4“ 5 = 0. 630*. 0ц — 2a12 cos 4- а22 = 0. У к а з а н и е. У равносторон-
ней гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. 631. Отсутствует или
один член с квадратом одной из координат (an = 0 или л22 = 0) или отсут-
ствуют оба члена с квадратами координат (a11 = a22 = 0). 632. 35ху — 34у2—
а2 4- Ь2
— 34у — 2 = 0. 633. ху =-----—. Указание. Так как центр гиперболы
совпадает с началом координат, то преобразование заключается в изменении
направления осей координат; за новые оси выбираем асимптоты, т. е. прямые,
которые образуют с осью абсцисс углы a = arctg^—-yj и a = arctg^-j.
л. z; а(х'А-У')
Соответствующие формулы преобразования будут следующие: х = -—^===г
__Ь(х' — V')
и у — —-===А. 634. 2ху 4-П=0. Указание. Так как в данном уравне-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
257
нии отсутствуют члены с квадратами координат, то оси координат параллельны
асимптотам, и для выполнения указанного преобразования достаточно перенести
начало координат в центр гиперболы, не меняя направления осей. 635. ху = 8/4О.
Указание. Так как формулы преобразования координат при переходе к асим-
птотам получаются довольно сложные, то можно сначала отнести гиперболу
к ее главным осям, а потом уже воспользоваться решением задачи 633.
636. а) В уравнение эллипса могут войти или все три члена второй степени,
или два члена с квадратами координат (когда эллипс отнесен к сопряженным
направлениям). Уравнения эллипса с одним старшим членом быть не может.
Ь) В уравнение гиперболы могут войти или все три старших члена, или два
из них в любой комбинации: оба члена с квадратами координат, если гипербола
отнесена к сопряженным направлениям, или один член с квадратом, а другой —
с произведением координат, если одна из осей координат параллельна асимптоте
гиперболы. Наконец, уравнение гиперболы может содержать один старший
член, а именно, произведение координат, когда обе оси координат параллельны
асимптотам, с) Уравнение параболы содержит или все три старших члена, или
только один член с квадратом одной из координат, когда одна из осей коорди-
нат параллельна оси параболы. 637. 13х2 -f- Ь2у2 = 1. 638. а) х2 —у2 =
Л = 0; /2= —2; /, = 44; Ъ) — ^=1; Л=7;/2 = —144; Г3=— 1442;
с)^ + ^ = 1; А = 10; /2=9; /8== —81; d)^-—^=1; /, = 5; /2 = -36;
[3 = 362; е) Xs —=1; /1 = 8; /2 = — 9; [3 = 81. У к а з а н и е. Как мы ви-
дели при решении задачи 637, а[1-\-а22 = a'lt • а22 = /2 и • а22 • а33 = [3;
поэтому коэффициенты при квадратах текущих координат в упрощенном уравне-
нии центральной кривой могут быть определены как корни следующего уравне-
ния: г2 — hz + h = 0 (характеристическое уравнение), а свободный член
= 639. а) ^3 = 4)/‘Тх; Ь)>г = ^х; с)уг = ^=_ х; d)у» = х.
Указание. Искомое уравнение имеет вид: а22у2 4- 2aJ3x = 0 при со' = .
Для определения двух неизвестных коэффициентов а22 и а'13 пользуемся первым
и третьим инвариантами, так как второй инвариант равен нулю (для параболы
а = 0). Легко составить и общие формулы, которые облегчают вычисления, а
именно: а22 — А и а'13 = ± "|/—Таким образом, упрощенное уравнение
параболы имеет вид: /\у2±21/ —^-х = 0. 640. а) 15х2—у,2 4-3 = 0;
г <1
Ь)у+_у2 = 1; с).у2=]ЛЗх. 640*.у+у=1. 641.х_у = 5/2, 642. а) ху = 1,2;
b) ху = •Kjr'; с) ху = . 643. 9х2 — 4_у2 ± 36х = 0. Указание. Знак
ZD Z
перед последним членом находится в зависимости от того, в которую из двух
вершин гиперболы перенесено начало координат. 644. х 4- Ъу 4- 2 — 0.
645. 1) 4x4- Ту + 1=0; 2) х — 4 = 0; 3) х — 6_у4“1=0; 4) центр кривой
поляры не имеет; 5) 2x4- Зу — 3 = 0; 6) я13х4~ а23у 4-а33 = 0; 7) ^~г + ^г=1;
8) = 1; 9) Зх—у — 9 = 0; 10) поляра неопределенная, так как кривая
распадается на две прямые: х—_у = 0 и х — Зу 4-2 = 0 и точка (+ 1; 4- О
есть точка их пересечения. 646. (4-1; 0). Указание. Координаты полюса
мы находим из условия пропорциональности коэффициентов в уравнении поляры
258
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
точки (Xi, 3^1) относительно данной кривой, а именно: (3X1— 3yi— 2) х—
— (Злл — 5yi + 3) у — (2X1 + Дух — 10) = 0, и в уравнении прямой х — 6_у + 8 — 0.
647- 1) (+5; + 1); 2) (+8/3; —Vs)- Координаты полюса в данном случае опре-
деляются из уравнений: «цХ1 -j- ar2yi 4- «18 = 0 и tXi 4- ar82jvi + ам — 0»
потому что в уравнение поляры (оси х) не входят свободный член и член, со-
держащий абсциссу; 3) (— 2; 0); 4) прямая служит диаметром кривой и полюса
не имеет; 5) полюс неопределенный; за полюс можно принять любую точку пря-
мой 9х— у -|-19 = 0. Кривая распадается на пару прямых, которые вместе с
данной и найденной прямой образуют четыре гармонических луча; 6) (4-4;—3);
7) (—5; —7,5). 648. (—3; +0- Указание. Искомая точка—-полюс дан-
ной прямой. 649. 5x4-^ +2 = 0. Указание» Искомая хорда есть поляра
точки М. 650. (+ 8/3; 2). Указание. Искомая точка есть точка пересечения
данной прямой с полярой начала координат. 651. Каждая точка прямой
4х—jj-|-30 = 0 сопряжена с точкой (+5; +1), так как эта прямая служит
полярой данной точки. 652. х + 5у — 15 = 0. Указание. Искомая прямая
проходит через точки М (0; 4~ 3) и через полюс Р (— 5; 4- 4) данной прямой
X _ Зу 4- 22 = 0. 653.
#и «13 «1з А
«21 Gqq В
«31 #32 #33 С
^4i Bi Ci 0
= 0. Для эллипса, данного каноническим
д-2 у 2
уравнением —р-— 1» 9Т0 условие принимает вид: ЛДл«а В Bib2 = CCi.
У Казани е. Координаты полюса первой прямой должны удовлетворять уравне-
+ °13У1 + Л13 #21-*Л + #32.У1 + #23 #31*1 + #32>,1 + #38 _____
ниям. —..... .-------=-----------я---------=----------7=---------или, оио-
А В С
значая через X величину этих отношений: «цХ1 + #i3jVi + #13 — = 0; «3i*i +
+ #22^1 + #22 — В\ = 0; «31*1 + #82^1 + #зз — СХ = 0. Кроме того, согласно
условию задачи, полюс первой прямой должен лежать на второй прямой, т. е.
те же координаты (xb yj должны еще удовлетворять четвертому уравнению:
HiXi + В1У1 4- Ci =0. Условие совместности этих четырех уравнений и будет
искомым условием. 654. Указание. Чтобы упростить доказательство, выби-
раем прямоугольные координаты и помещаем начало координат в центре круга.
660. Прямоугольник, составленный из двух касательных в вершинах малой оси
(у = ± 4) и двух директрис эллипса (х = ± 10). 661. Треугольник, составленный
из трех касательных к гиперболе 2х—у — 2=0, 2x4-.У— 2 = 0 и *4“2 = 0.
662. Эллипс -g-= 1- Решение. Обозначим через х' и у1 координаты
любой точки окружности; тогда касательная к окружности в этой точке имеет
уравнение xx'-j-yy'— 9 = 0. Ищем полюс (хь y^i) этой прямой относительно
эллипса. Уравнение поляры точки (хи yi) относительно данного эллипса должно
иметь следующий вид: 6Х1Х 4" $У1У — 54 = 0. Таким образом, для одной и той же
прямой (поляры точки Xi, jVi) получили два уравнения; поэтому коэффициенты
этих уравнений будут пропорциональны: , откуда Xi = х' и
У1 = 2/йу'. Координаты полюса (xn jVi) выражены через координаты (х', у')
точки прикосновения поляры к окружности. Чтобы исключить эти вспомога-
тельные координаты (х', у'), воспользуемся тем, что они удовлетворяют уравне-
нию окружности х'а +У2 = 9. Вставляя в это уравнение х'2 = х12 и у'2 =—у%,
получим окончательно =К Это и есть уравнение искомого геометриче-
х2 у2
ского места полюсов. 663. Тот же эллипс —=Ь причем полюсом любой
касательной к эллипсу служит точка того же эллипса, симметричная с точкой
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
259
прикосновения относительно оси абсцисс. 665. х2 + 2ху + Зу9 — 4х — бу 4-1 = 0.
Указание. Из условия, что начало координат служит полюсом прямой 2х 4-
4-Зу—1=0, следует, что ^==^==2^1; условие, что точка (—1; -|-1)
служит полюсом прямой 2x4-У = 9, даст только одно новое уравнение:
— d\ j —|— d io —|— di я — 018 4“ 022 “4“ ^23 /г о /
----11 =-----138 -1 ; кроме того, координаты центра (4- 8/а;
+ */з) должны удовлетворять уравнениям Fx = 0 и Fy = 0, поэтому Зяи 4-
+ Я12 2^18 = 0 и За12 + 022 + 2023 = °- Из полученных пяти однородных
уравнений мы можем определить отношения шести коэффициентов уравнений
искомой кривой. 666. 7х2 4- 2ху — 6х — 1 Оу 4" 15 = 0. 667. х2 4" 2ху 4- У2 —
— 4х-}-8у— 6 = 0. Указание. Парабола есть геометрическое место точек
М (х, у), расстояния которых от фокуса (—1/3; — 2/3) и от директрисы
(Зх — Зу 4- 8 = 0) равны между собой, т. е. (х 4- 7з)2 + (У+2/з)а = ——.
1 о
Преобразовав это уравнение, мы получим искомое уравнение параболы. 668. Усло-
виям задачи удовлетворяют две параболы: х2 4“ 4ху 4- 4у3 — 14х4~ 22у 4-24 = 0,
ха 4- 4ху 4- 4у2 — 14х— 18у 4- 24 = 0.669. 4ху 4~3уа—2у — 1 = 0. У к а з а н и е.
Пользуемся следующим свойством кривых второго порядка: r:d = e. 670. х24-
4-2ху4">2 — 6х — 2у — 7 = 0. 671. ху = 1/2. Указание. Эксцентриситет
равносторонней гиперболы е =1/"2г. 672. /4(4-4; 4~3), /4(0; —1); 2x4-
4- 2у — 15 = 0 и 2х 4- 2_у 4- 3 = 0. 673. F (0; 0); 4х 4- Зу 4- 2 = 0. 674. Зх2 —
— бху — 5_у2 4- 24у — 12 = 0. Указание. Воспользуемся тем, что разность
фокальных радиусов-векторов любой точки гиперболы равна ее действительной
оси. 675. 5х3 — 4ху 4- 8.У2 + Юх — 40у 4-41=0. Указание. Найдем прежде
всего точку прикосновения данной касательной к искомому эллипсу. С этой
целью можно воспользоваться тем, что фокальные радиусы-векторы, проведен-
ные к точке прикосновения, образуют равные углы с касательной, или, иначе
говоря, тем, что радиус-вектор, проведенный в точку прикосновения из одного
фокуса, проходит через точку, симметричную с другим фокусом относительно
касательной. 676. Нельзя, так как оба фокуса /4(4-1; 4"3) и (—1; 4“ 2)
лежат по одну сторону от касательной х — _у4“4 = 0, что возможно только
у эллипса. 677. х2— 6xy4’J'2— 2х— 2у4"5 = 0. Указание. Вычисляем
1 5
расстояния фокусов от данной директрисы и * Так как ПРИ
вычислении 4 и о2 берутся разные знаки, то фокусы расположены по разные сто-
роны от директрисы; следовательно, искомая кривая — гипербола. Учитывая, что
|4| С | оа |, заключаем, что данная директриса сопряжена первому фокусу Fi (4- 1;
4-1). Для составления уравнения кривой надо еще знать или ее эксцентриситет,
или действительную ось; но обе эти величины можно вычислить, зная расстояние
между фокусами и расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.
678. 9ха 4- 4ху> 4" 6уа 4"2х — 4у — 1=0. Указание. Искомая кривая —
эллипс (е с 1). Ее уравнение можно составить, воспользовавшись тем, что сумма
фокальных радиусов-векторов любой ее точки равна большей оси. Большую ось
можно вычислить, зная расстояние между фокусами и эксцентриситет. 679. х2—
— 2ху-[-у2— 8х — 8у = 0. 680. Условию задачи удовлетворяют две параболы:
4х2 4ху 4“ У2 — IQy — 15 = 0 и 4х2 4" 4ху 4“ У2 4" 12х — 34у — 15 = 0.
681. Их2 — 20ху — 4у2 4- 18х 4~ Збу = 0. Указание. Искомая кривая — ги-
пербола; это видно из того, что центр и точка кривой лежат по разные стороны
от данной директрисы. Написав уравнение действительной оси, убеждаемся, что
она проходит через начало координат, т. е. начало координат служит одной из
вершин искомой гиперболы. 682. 4х2 -|- бху — 4у2 — 2бх 4- 1 %У —-39 = 0. Ука-
зание. Центр кривой, уравнение действительной оси и расстояние с от центра
до фокуса находим непосредственно из условий задачи. Для вычисления эксцен-
триситета можно воспользоваться тем, что расстояние фокуса до асимптоты
равно мнимой полуоси Ь, а чтобы составить уравнение директрисы, восполь-
260
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
зуемся тем, что директриса отсекает на асимптотах отрезки, равные действи-
тельной полуоси а. Задачу можно решить проще, заметив, что данные асимптоты
взаимно перпендикулярны, и следовательно, е =]/'2 . Кроме того, легко пока-
зать, что директриса проходит через основание перпендикуляра, опущенного
из фокуса гиперболы на ее асимптоту. Вычислять координаты центра и других
точек нет надобности, если будем пользоваться уравнением пучка прямых.
683. Зх2-{-4ху— 8х— 4у4-4 = 0. 684. ху—у^х — xly = 0i где (xb —
центр пучка прямых. Это — гипербола, центр которой совпадает с центром пучка,
а асимптоты параллельны осям координат. 684*. ау2 + Ьху — л (b + d)y + abd = 0.
Указание. За оси координат принимаем прямую KL и перпендикуляр, опу-
щенный на нее из точки Р. Расстояние точки Р от KL обозначаем через d.
Для составления искомого уравнения рассматриваем две пары подобных тре-
угольников (черт. 139), а именно: Л ОРС Л NMC и Л АВС ъ Л MNB.
Исследование. Искомая кривая есть гипербола (черт. 140). Ось абсцисс
служит одной из ее асимптот. Другая асимптота параллельна гипотенузе по-
движного треугольника . Гипербола пересекает ось ординат в двух
точках: Р(0; d) и Pi (0; b). Центр кривой имеет координаты х0= ;
у0 = 0. Если отнести гиперболу к осям, то уравнение ее будет: (с — а) х2—
— (с-\-а)у2— 2abd = 0; если отнести гиперболу к асимптотам, то уравнение
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
261
ее преобразуется в следующее: ху =-------у- . 685. Ь2х2 4- а2у2— 2ch • ху =
= (pq — h2)2. Указание. За оси координат выбираем перпендикулярные
прямые неподвижной плоскости. Параметрами кривой могут служить: расстоя-
ние h точки С от прямой АВ и отрезки р и 7, отсекаемые перпендикулярохм CD
на этой прямой (черт. 141). Искомая траек-
тория имеет уравнение (р2 4- h2) х2 4-
+ (<72 + h2)y2 - 2h(p + q)xy=(pq-
— Л2)2; обозначая через а, b и с сто-
роны треугольника АВС, получим более
простое уравнение, приведенное в ответе.
Исследование. Всякая точка по-
движной плоскости (С) описывает эллипс
с центром в начале координат, за исклю-
чением точек окружности, для которой
отрезок АВ служит диаметром: эти точки
перемещаются по прямым, проходящим
через начало координат. Если точка С
лежит на одной прямой с точками А и
В (h = 0, а — q и Ъ = р), то оси соот-
ветствующего эллипса совпадают с осями
координат, а полуоси его по величине
равны расстояниям образующей точки от
основных точек В и А (см. задачу 427). Рассматриваемое движение плоскости
называется эллиптическим; механическое его осуществление возможно при по-
средстве эллиптического циркуля (см. задачу 429). 686. Большая полуось равна
-|~4-/72> а меньшая равна —т, где т — расстояние точки С от середины
отрезка АВ. Точки, расположенные на одной и той же прямой, проходящей
через середину отрезка АВ, описывают эллипсы с совпадающими осями. Точки,
одинаково удаленные от середины отрезка
АВ, описывают эллипсы с соответственно
равными осями. У к а з а и и е. При эллипти-
ческом движении плоскости точки А' и В'
скользят по прямым ОА' и OB', и траекто-
рию точки С можно рассматривать как траек-
торию точки отрезка А'В', концы которого
скользят по двум перпендикулярным прямым.
686*. Все точки описывают эллипсы, за ис-
ключением точек катящейся окружности,
которые перемещаются по диаметрам непо-
движного круга. Указание. Указанным
качением одной окружности по другой осу-
ществляется эллиптическое движение плос-
кости. Чтобы в этом убедиться, достаточно
показать, что диаметр AqBq катящегося
круга (черт. 142) скользит своими концами
по двум перпендикулярным диаметрам неподвижного круга (аге А0Р = arc AiP).
687. b2x2а2у2abxy— 2аЬ2х— 2а2Ьу 4- а2Ь2 = 0, если за оси координат
приняты стороны СВ и С А. Искомое геометрическое место — эллипс, касаю-
щийся сторон треугольника СВ и АВ в его вершинах В и А. 687*. Пара-
бола 4х2 — Shy 4- (4Л2 — а2) = 0, где а — основание, h — высота треуголь-
ника. Указание. За ось абсцисс прямоугольной системы координат принята
прямая, по которой скользит основание треугольника; ось ординат проходит
через неподвижную вершину. 688. Дуга эллипса, имеющего центр в точке А;
одна из осей направлена по прямой AL. Величина полуосей: МС и [Л4С—2АВ].
У Казани е. Часть стержня CD, заключенная между неподвижной линейкой AL
262
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
и прямой ДМ (черт. 143), к ней перпендикулярной, имеет постоянную длину,
равную 2АВ. Таким образом, эллиптическое движение плоскости осущест-
вляется, если отрезок ВС постоянной длины скользит одним концом по прямой,
а другим — по окружности, центр которой лежит на той же прямой, а радиус
равен скользящему отрезку. 689. Кривая четвертого порядка:
[(Х2 —Г2 —d2) (/_ 6/)2_|_^2 (/2 ^2)] 2 __
— 4d2 [(/— 4/)2 Г2 _ ^2/2] __ d)2 ___ -у2] — Q,
где г — длина кривошипа, Z — длина шатуна, d — расстояние образующей точки
М от конца шатуна В. Указание. Для составления уравнения удобно выра-
зить координаты образующей точки как проекции ломаной АВМ на оси коорди-
нат. Чтобы исключить из полученных равенств вспомогательные углы, поль-
зуемся тем, что в треугольнике АВС стороны г и Z пропорциональны сину-
сам противолежащих углов. 690. (х2 +^2)2 = 4 (я2х2 -}- Ь2у2). Сделать чертеж.
691. У Казани е. Исследовать траектории точек М, С, D и ввести в рассмотре-
ние ось симметрии антипараллелограмма. 692. (х2 +у2)2 = 4 (а2х2— Ь2у2).
Сделать чертеж. 693. Указание. Точка N (черт. 144) описывает дугу гипер-
болы, фокусами которой служат точки А и В. Ось симметрии NP антипаралле-
лограмма служит касательной к гиперболе в
точке N; по отношению к ней образующая
точка М и центр гиперболы (середина АВ)
суть точки симметричные. 694. Решение.
Так как равнобедренные треугольники АОС,
ADC и АВС имеют общее основание АС,
то три вершины их О, D и В лежат все
время на одной прямой. Далее, замечаем,
что OD • О В = 12 — а2 — const как сте-
пень точки О относительно круга с цент-
ром в А и радиусом а. Точка D описывает
окружность, центр которой М и радиус
MD = Ь; ее уравнение в полярных коорди-
натах (приняв О за полюс и ОМ за поляр-
ную ось) будет: р = 2Ь • cos ср. Траектория
точки В изобразится в полярных координатах следующим уравнением: р =
/2______а2 р____а2
—cos~ (И3 Равенства или в Декартовых координатах
C0S /2___д2
(так как р соз ср == х) будем иметь х = —; т. е. абсцисса есть величина
постоянная; соответствующая линия есть прямая, перпендикулярная к поляр-
ной оси.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
263
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
695. См. черт. 145. 696. 0; 0^, ^0; -
(о; -ф:0). (~ЦЛ»4
(°; —в' б97’ Симметричные относительно начала координат: (— 3;
+ 1; —2) и (—а, —Ь, —с).
Симметричные относительно плоскости Для точки р Для точки М Симметричные относительно оси Для точки р Для точки М
(ЧУ) (уг) (ZX) + 3; — 1; —2 — 3; — 1; -4- 2 + 3; +1; +2 а, Ь, —с — а, Ь, с а, — с X У Z + 3; +1; -2 — 3; —1; — 2 — 3; +1; +2 а, —Ъ,—с — а> ь, —с — а, —Ь, с
698. а) На плоскости, которая делит пополам двугранный угол между плоско-
стями координат xOz и zOy\ b) на пересечении плоскостей, делящих пополам
двугранные углы между (xz) и (zy) и между (ху) и (xz). 699. Аппликаты точек
поверхности вычисляются по формуле: z = ху. Плоскости, параллельные пло-
скости (yz), пересекают поверхность по прямым линиям, пересекающим ось х.
В начальном положении, когда секущая плоскость совпадает с плоскостью (yz),
линия пересечения совпадает с осью ординат; потом, по мере удаления пло-
скости от начала координат, прямая постепенно меняет свое направление и
поворачивается на прямой угол, пока х изменяется от нуля до бесконечности.
Такую же серию прямых мы получаем, пересекая поверхность плоскостями,
264
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
параллельными плоскости (xz). Линии пересечения поверхности плоскостями,
параллельными плоскости (ху), суть ветви равносторонних гипербол, асимптоты
которых параллельны оси х и оси j; оси этих гипербол возрастают по мере
удаления секущей плоскости от плоскости (ху). 700. О А = 13; dx = 5;
dv = 4 /10; dz = 3 /17. 701. M (— 6; —4; +3). 702. cos а = 8/7; cos р = s/7;
/ з
cos 7 = e/7; cos = cos pi = cos 71 = it 703. 7? = 15; a = arccos 2/3;
о
P = arccos 1/3; 7 = arccos 2/3. 704. 45° или 135°. 705. Условиям задачи удовле-
творяют две точки: Mi (+ 4 /”2; + 4; 4) и М2 (+ 4 /~2; — 4; + 4).
2 /Гб 3 /ТЗ /85 к
706. cos<pi = —jy—; cos<pa = —; cos =-yp , причем ^ = y — 7,
<p2 = y — P и <p3 = y — a. 707. cos2 <picos2 T>2 + cos2 <p3 = 2. Указание.
Это соотношение равносильно следующему: sin2 а sin2 р + sin2 7 = 2.
708. a) P1 + pJ + p: = P2; b) р2 + р2 + р2 = 2р2. 709. cosa'=-g^; cosp’ =
= j 7 cos7'=0. 711. AB = 3'f cos a = 2/3, cos p =— 2/3; cos 7 = —73.
712. A"=±:12, К = ± 9, Z = 0. Конец вектора может оказаться при
указанных условиях в четырех различных точках: Bt (+ 15; +11; + 7),
В2 (+15; —7; +7), £3 (— 9; + 11; +7), В4(— 9; —7; +7). Решение.
Определяем прежде всего косинусы углов а, р и 7. Согласно условию задачи
мы имеем: sina = 3X, sinp = 4X и sin7 = 5X. Возвышаем эти равенства
в квадрат и складываем их; тогда мы получим 2 = 50Х2 (см. задачу 707),
откуда X = ± 1/5. Так как положительное направление вращения в простран-
стве не установлено, то мы можем считать, что угол между двумя направлен-
ными прямыми не превышает 180°, а потому ограничимся рассмотрением только
положительного значения X = + Тогда мы получим: sin a = 8/5, sin р = 4/5
и sin 7=1, откуда находим, что cosa = ±4/6, cosp = zt3/5 и cos 7 = 6.
Проектируя силу 7? = 15 на оси координат, получим ее составляющие:
Х=15 • cos а = ± 12, У = ± 9 и Z = 0. Но эти же составляющие равны раз-
ностям одноименных координат концов вектора, изображающего силу т. е.
х2— Xi = ± 12, у2—± 9, z2 — Zi=0. Зная координаты начала вектора
(Xi = 3, yt = 2 и Zi = 7), вычисляем координаты конца, причем при различных
комбинациях знаков получим четыре решения. 713. cosa = 7/n; cos р = c/iT,
cos7 = + e/n; Z=±6; Bt (+ 9; +5; +11), B2 (+ 9; +5; —1). 714. (0; 0;
+ 14/»). 715. A4 (0; +1; —2). 716. (+2; +1; —2); r = 3. Указание.
Определяем центр как точку, равноудаленную от указанных четырех точек.
7i7. + + + o') (-]—V; °; + -+ (°;++;Н—если
\ /2 /2 /’ \ /1 /2/’ \ /2 /2/
тетраэдр расположен в первом октанте. 718. cos ср = cos a * cos a'. 719. ср = 60°.
720. cos ср = 20/2i. 721. cos a = 3/5; cosfi=4/B; cos 7 = 0. Указание.
Вычисляем направляющие косинусы прямой АВ: cos a' = — 4/5; cos р’ = 3/5;
cos7' = 0; направляющие косинусы оси z следующие: cos a" = cos р" = б,
cos7" = l. Если мы обозначим через а, р и 7 углы, образованные искомой
прямой с осями координат, то вследствие условий перпендикулярности их
косинусы удовлетворяют двум условиям: — 4/5 cos a + 3/5 cos р = 0 и 1 • cos 7 = 0.
COS cq cos Pl COS 71
Искомое условие мы получим,
cos a2 cos p2 cos 72 =0. У к а з а н и е.
723.
cos a3 cos р3 cos 7s
выразив аналитически, что существует направление (а, р, 7), перпендикулярное
к каждой из данных прямых (направление перпендикуляра к плоскости, их
содержащей). Условие это выполняется и тогда, когда прямые лежат не в одной,
а в параллельных плоскостях. ,724. ъаЬ\ У Казани е. Оси эллипса являются
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
265
проекциями двух перпендикулярных диаметров круга, из которых один парал-
лелен линии пересечения плоскости круга и плоскости эллипса (проектируется
без изменения своей величины), а другой вместе со своей проекцией (малой
осью эллипса) образует линейный угол <р, равный углу между указанными
плоскостями. Отсюда cos = -у, и мы можем вычислить площадь эллипса как
проекции данного круга. 725. S = 3,5 кв. ед. У к а з а н и е. Пользуемся проек-
циями искомой площади эллипса на три координатные плоскости. 726. S = 9 кв. ед.
У Казание. Предварительно вычисляем площади проекций данного треуголь-
ника на три координатные плоскости. 727. Указание. Найти координаты
середин сторон косого четырехугольника и направление прямых, их соединяю-
щих. 728- Указание. Проверить, что середины отрезков PQ, MN и Л7.
имеют одинаковые координаты, т. е. что они совпадают (черт. 146). 729- С (+ 4;
— 5; —2). 730. А (+14/8; —8; +12); В(п/>, +7; —13) и остальные точки
деления: D (-)-*/»; —2; 4-2); £(—*/»; +1; —3). 731. д-==-у»+Ла+х» + ^;
у = Н~-Уа j g — г» г< ,. указание. Центр тяжести
тетраэдра лежит на прямой, соединяющей любую из вершин тетраэдра с цент-
ром тяжести противолежащей грани, и делит отрезок между этими точками в от-
ношении 3:1. 732- = 7/2; Х2 = Х/Б; Х8= — */2,
733. Данные прямые пересекаются в точке (—3/2;
+ Vai +Н). Решение. Если прямые АВ и CD
пересекаются, то существует точка, лежащая од-
новременно на обеих прямых. Обозначим через X
отношение, в котором искомая точка делит отрезок
АВ, и через р. отношение, в котором она делит
отрезок CD; тогда координаты этой точки могут
быть выражены двояким образом, и, приравнивая
3 2 + 4р /1Ч
эти выражения, мы получим: — (1);
5 — 1 — Зр z 15 + 7Х 4 .
Г+х“ 1 +|х и 1 4-х “(3)- Итак’
если существует точка пересечения данных двух
прямых, то должны существовать два числа X и р,
удовлетворяющих этим трем уравнениям. Деля (1)
на (2), исключаем X и получим: р = — 7/и и 1 = 1.
Эти значения параметров удовлетворяют и послед-
нему уравнению. Вставляя их в выражения иско-
мых координат, вычисляем эти последние. 734. Дан-
ные четыре
кроме того, точки А, В и С лежат на одной прямой.
А
С
В
Черт. 146.
точки лежат в одной плоскости;
Указание. Чтобы
решить эту задачу, достаточно проверить, пересекаются ли прямые АВ и
CD. 735. (0; 0; 0), (+7; — 1; +3), (+11; — 4; +2) и (+6; —3; — 1).
У Казание. Определяем первоначальное положение центра тяжести (см.
задачу 731): х =—1; j==l; z = —1. Задача сводится к такому перенесению
начала координат, при котором точка, имевшая координаты (— 1; +1; — 1),
получит новые координаты (+6; —2; + 1). 736. х = —х’+а;
У==—У + л; 2 = — z'-\-a, где а — ребро куба. 737. Зх2+У— 2zx + 2 = 0.
X2 V2
738. 2 = ~2----2". Указание. Формулы преобразования имеют следующий
вид: х
У
и z = z’. 739. a) x = zf; у = х'; z — y'
Ъ) х = */ъ х'-^у' + 2/8 z'; у = */6 х’ + */9у' - Vs A г^-^х' + Ч* y'+^z’.
Указание. Поворот на 120° есть треть полного оборота; при таком повороте
9 О. И. Цубербиллер
266
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ось абсцисс перейдет в ось ординат, ось ординат — в ось аппликат, и эта
последняя — в ось абсцисс. Поворот на 60° есть половина предыдущего пово-
рота; ось х' образует равные углы с осями х и у (а = р) и лежит в одной
плоскости с осью вращения и осью z; следовательно, T = 2arccosX~, где
1/"3 **
arccos-^-g— есть угол между диагональю куба и его ребром. 740. а) Сфериче-
ская поверхность с центром в начале координат и радиусом /?=1; Ь) круг-
лый цилиндр, ось которого совпадает с осью z; направляющая окружность
имеет радиус г=1; с) две плоскости, параллельные плоскости (уг) и прохо-
дящие по обе стороны от нее на расстоянии, равном единице; d) совокупность
двух плоскостей: х—у = 0 и х + у = 0, делящих двугранный угол между
плоскостями (xz) и (yz) пополам; е) поверхность, имеющая только одну дей-
ствительную точку,— начало координат; f) все действительные точки этой
поверхности лежат на одной прямой — на оси z; g) плоскость (yz), дважды
взятая; h) совокупность всех трех координатных плоскостей: х = 0, у = 0 и
z = 0; i) плоскость, проходящая через ось х и наклоненная к плоскости (ху)
под углом -g-. (Цилиндрическая поверхность, имеющая прямолинейную напра-
вляющую.) 741. а) Окружность, расположенная в плоскости, параллельной пло-
скости (xz); центр ее имеет координаты (+ 1; — 1; 0) и радиус г = 4; Ь) гипер-
бола, плоскость которой параллельна плоскости (yz); центр гиперболы имеет
координаты (+ 2; 0; 0); действительная ось параллельна оси у и равна 6; мни-
мая ось параллельна оси z и равна 4; с) парабола, расположенная в плоскости,
делящей двугранный угол между плоскостями (xz) и (yz) пополам; вершина
параболы совпадает с началом координат, ось параболы совпадает с осью z,
и параметр ее р = 1; d) две прямые, которые лежат в плоскости (ху), проходят
через начало координат и образуют с осью х углы в 60е и 120°. Указание,
с) Исследование кривой затрудняется тем, что плоскость кривой (х = у) не
параллельна ни одной из координатных плоскостей. Устранить это неудобство
можно, преобразовав систему координат, а именно, повернув плоскость (xz)
около оси z на угол 45° до совпадения с плоскостью кривой. 742. Гиперболи-
Х^ V2
ческий цилиндр -д—<-=1. Указание. Уравнение проектирующего цилиндра
мы получим, исключив
| i/4(x-ir + ^ = J; |
z из двух данных уравнений. 743. Эллипс:
1 Казани е. Проекцией кривой на плоскость слу-
жит линия пересечения этой плоскости с цилиндром, проходящим через
эту кривую и имеющим образующие, перпендикулярные к плоскости
проекции. 744. (х — З)2 + (у -|- 1)а + (2 — 6)2 = 49. 745. Окружность:
| (х 5) + (у 2)3 + (z + I)2 == 9, Указание. Точки искомого геометри-
ческого места обладают двумя независимыми друг от друга свойствами; поэтому
это геометрическое место должно быть линией. 746* 6х + 10у—10$-|-5 = 0.
У Казани е. Искомая плоскость является геометрическим местом точек,
равноудаленных от двух данных точек. 747. Прямая линия: { }
748. 2pz = Эта поверхность получается от вращения параболы
ха = 2pz вокруг своей оси и называется параболоидом вращения. У казаки е.
Расстояние данной точки от данной плоскости обозначаем через р. Перпенди-
куляр, опущенный из точки на плоскость, принимаем за ось z. Плоскость (ху)
Х^ V2 Z2
проводим через середину этого перпендикуляра. 749. Ь где
Z>2 = а2 — с2. Указание. Эта поверхность получается от вращения эллипса
"V2
--8- “Ь 1 вокруг фокальной оси и называется эллипсоидом вращения.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
267
750. где д = М4, Ь — МВ и е = Л4£. Указание, Так
а* * о* 1 с2
как точка А находится все время на плоскости (yz), то проекция постоянного
отрезка AM = а на ось абсцисс равна абсциссе точки 7И, т. е. х = а • cos а.
Точно так же проектируем отрезки ВМ = b и СМ = с соответственно на оси
у и z, Для исключения из полученных равенств направляющих косинусов
стержня пользуемся соотношением cos2 а -|- cos2 4" cos2 7 = 1. Полученная
поверхность называется трехосным эллипсоидом. 751. Указание. Возьмем,
например, плоскость, параллельную плоскости (ху), т. е. положим z = h. Решая
ха . у2 , h2
это уравнение совместно с уравнением эллипсоида, получим: 1 — — #
Приводим оба члена в правой части к общему знаменателю и делим все урав-
X2 V2
нение на свободный член: тогда получим: —^ + ^9 ;' «—г^г = 1, или
а2 (с2—Л2) ' о2 (с2—п2)
с2 с2
j» 1. Если ] h ] < с, искомая линия пересе-
cosfl у — a C0S7 г
Vi и zSr а именно: ------=^--------• ----!• =----
’ cos7 z— а1 сова х —
и
(-cVci-hi) ^/са-Л7
чения есть действительный эллипс. Если | h | = с, эллипс распадается на две
мнимые прямые с действительной точкой пересечения. (Если | h | > с, эллипс —
мнимый. 752. у (х + z — a) — xz. Решение. Обозначим через М (х, у, z)
любую точку искомой поверхности. Эта точка обладает тем свойством, что она
лежит на одной прямой с тремя точками, принадлежащими соответственно
трем ребрам куба, а именно: с точками A (a, ylt 0), В (х2, а, а) и С (0, 0, z8).
Иначе условие можно выразить так: прямые МА, МВ и МС имеют одно и
то же направление, или аналитически: соа а: cos^: cos 7 = (х — а): (у—у 1): z =
= (х — х2): (у — а): (z — а) = х iy: (z — zs)^ Из этих пропорций выпишем
только те отношения, которые не содержат промежуточных параметров х2
cos® х п
---а == — * Перемножив
созр1 у
эти равенства, исключим направляющие косинусы стержня и получим уравне-
ние, которому должны удовлетворять координаты любой точки поверхности:
х (у — a) z . „
у (g после упрощений получим уравнение, указанное в ответе.
753- Плоскость проходит через точки А, В, С и F. 754. (+ 5; + 3; + 2).
У Казани е. Так как точка перемещается параллельно оси у, то ее
абсцисса и аппликата остаются неизменными. Задача сводится к нахождению
точки, лежащей на данной плоскости и имеющей х = + 5 и z = 4- 2.
755. Указание. Если обозначить через (хь ylt Zi) и (х2, у2, z2) коор-
динаты точек прямой, удовлетворяющие данному уравнению, то координаты
любой другой точки этой прямой могут быть выражены следующим образом:
Х14~Хх3 .У1 "Ь \Уз - -4- Xz2 ее ч гт
х = — у = < л z= . 756. а) Плоскость параллельна
l-f-Л l-f-Л 1-f-A
оси у\ Ъ) плоскость параллельна плоскости (xz); с) плоскость параллельна
оси z\ d) плоскость проходит через начало координат; е) плоскость проходит
через ось абсцисс. 757. а) у 4- 5 = 0; Ь) х 4- Зу = 0; с) §у — z — 2 = 0.
758. а) —6; 4; 12; Ь) 3; 15; —5; с) 1; —1; 1; d) —6; 00; 8/а (плоскость
параллельна оси у); е) 0; 0; 0; f) 7; со; оо [плоскость параллельна плоскости (уz)j.
759. См. черт. 147. 760. я = 3. Указание. Так как данная плоскость отсе-
кает на осях х и у положительные отрезки, а на оси z — отрицательный, то куб
помещается в пятом октанте, и вершина куба, лежащая на данной плоскости,
имеет координаты х = у = — z = а, где а — искомое ребро куба. 761. х4-.У +
4-г —3 = 0. 762. 762. а) »/н к - »/н у + ‘/и* - 2 = 0;
* 2 1/5 °
9*
268
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
b) — !/sx —2/16^ + “/16z —4 = 0; с) — в/пх + ’/иУ + 7пг — 3 = 0.
164. />= 10. 765. 6х 4* 2у-f-3z ±: 42 = 0. 766. cos а = — 2/8; cos р =-|-Vs»
coS7 = —2/з. 767. cos« = 10/15, cosh = 2/15; cos7 = ll/i6. 768. a = y. Ука-
зание. Искомый угол равен углу между перпендикуляром к данной плоско-
сти и осью х, 769. Р(— 12; —4; 4“ 18). Указание. Искомую точку легко
определить по радиусу-вектору (р = 2р) и направляющим косинусам его, так
как он перпендикулярен к данной плоскости. 770. Зх — бу 4- — 49 = 0.
771. а) б/ = 3/2; b) d = 0, точка лежит на плоскости; с) d = 4. 772. Л5 = 3.
773. 6х —- 7у 4“ 62 — 94 = 0. 774. Д'(+®/7; —18/7; + 11 Указание.
В этой задаче требуется найти точку А\ симметричную с точкой А относи-
тельно данной плоскости. Вычисляем расстояние точки А от этой плоскости;
d = 3; следовательно, AA' = 2d = 6. Направление отрезка АА1 противопо-
ложно направлению перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала ко-
ординат, т. е. точка А и начало координат лежат по разные стороны от
плоскости. Зная величину отрезка, его начало и направление, можно найти его
конец. 775. а) ср = arccos 0,7; b) плоскости перпендикулярны друг к другу;
с) плоскости параллельны между собой. 776. <р = arccos 4/is- 777. а) х— 4j4-
4- 5,г + 15 = 0; b) 2х —у — 2 = 0; с) х ± 26_у 4-32 — 3 = 0. 778. х4 Зу = 0
о а „л 3/5х'4-4/5/4-102'4-9 /5У—22'—2
и Зх — у = 0. 779. х = — -----—— - —1---——; у = ———=-----------;
10 о
— 6 У 5л:' + 2 У~5у' + 5z’ + 7 „ „ , , ,
2 =-----------!——-—!--------*— . Указание. Новые координаты (х',У, 2')
1 э
любой точки (х, у, z) равны расстояниям этой точки до данных плоскостей,
, Зх — 62-4-1 . 4x4-5v4“22 , 2х—2y-j-z— 3
т. е. х =------4----у' =------!—4=4------и 2' =-----=44-----» причем
3 У5 ’ 3 У5 3
знаки выбраны согласно последнему условию. Разрешая эти уравнения отно-
сительно старых координат, получим искомые формулы. 780. х -|- 2у -|- 22 — 9 = 0
или у — 2 = 0. Указание. Удобнее искать нормальное уравнение плоскости.
Для определения четырех параметров: cos a, cos 3, cos 7 и р имеем три изве-
стных расстояния и соотношение между направляющими косинусами прямой.
781. х-\-2у — 62 4-3 = 0 и 4х-|-.у4-2—1=0. Указание. Искомые
плоскости представляют геометрическое место точек, равноудаленных от
данных плоскостей. Для точек одной из искомых плоскостей эти расстоя-
ния берутся с одинаковыми знаками, для точек другой плоскости расстояния
берутся с противоположными знаками. 782. М (0; 0; 4“3), Mi (0; 0; —5/8).
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
269
2у— 2z— 1=0. 797*. Плоскость (xz). 798. х + 20_у -J- lz—12=0
783. М (+ 2/е; + 2/0; — 2/е). Указание. В ответе дан центр той сфе-
ры, которая расположена внутри данного тетраэдра. Существуют другие
сферы, которые тоже касаются граней данного тетраэдра, но расположены
вне его. 784. rf = 4. Указание. Так как начало координат лежит между
данными параллельными плоскостями, то искомое расстояние определяется
как сумма расстояний каждой плоскости от начала координат: rf=pj4-
4- р2 = 1 4- 3 = 4. Иначе искомое расстояние можно получить, вычислив рас-
стояние любой точки одной из плоскостей от другой плоскости. 785. Зх — 6у> —
— 22 4-35 = 0 и Зх — бу — 2z — 7 = 0. 786. 4х — у— 142 = 0. 787. х — Зу —
— 24-2 = 0 (АВС); х — 4у — 24-2 = 0 (ABD); 2х — 8у — 3z -]-6 = 0 (ACD);
2х—Пуг — 32 4-9 = 0 (BCD). 788. V=1/2 куб. ед. 789. а) Нельзя; Ь) можно.
790. а) (4-3; — 1; Q); Ь) точки пересечения всех трех плоскостей нет, так как
I и III плоскости параллельны между собой; с) точка пересечения неопреде-
ленная; все три плоскости проходят через одну и ту же прямую. 791. а) Все
четыре плоскости проходят через одну и ту же точку; Ь) данные плоскости
не имеют общей точки. 792. а) 9х -]- Зу 4- 5z = 0; b) 23х — 32у 4" 262 — 17=0;
с) 21x4-142 — 3 = 0; d) 7х4» 14уг + 5 = 0. Указание. Воспользоваться
уравнением пучка плоскостей. 793. 41х — 19у 4" 522 — 68 = 0 и ЗЗх 4~ 4У —
— 52 — 63 = 0. 794. Зх -j- 4уг — 2 4- 1 = 0 и х — 2у — 52 4- 3 = 0. 795. 15х —
— Зу — 262 — 6 = 0. Указание. Искомая плоскость принадлежит пучку
плоскостей, определяемому данной плоскостью и плоскостью (ху). 796. Зх —
— 4у — 5 = 0 и 387х — 164у — 242 — 421=0. Указание. Плоскости, касаю-
щиеся сферы, проходят на расстоянии, равном радиусу, от центра сферы.
797. 2х ‘ ~ ---- ' ~~ ‘ ~
их-2-|-4 = 0. 799. Д = 13/3; Р = 23/3. 800. а) 2у — 2 = 0;" Ь) у — 3 = 0;
с) Зх—,у=0. 801. а) Прямая проходит через начало координат; Ь) прямая
параллельна оси 2; с) прямая параллельна плоскости (xz); d) прямая парал-
лельна оси х; е) прямая совпадает с осью у; f) прямая перпендикулярна оси х
и пересекает ее; g) прямая лежит на плоскости (yz). 802. D = 3. Указание.
Для выполнения условия задачи нужно, чтобы обе плоскости, определяющие
прямую, пересекали ось z в одной и той же точке. 803. В =— 6; Ь = — 27.
Указание. Если прямая лежит в плоскости (ху), то она пересекает оси
абсцисс и ординат (ср. задачу 802). Можно также воспользоваться тем, что
плоскость (ху) принадлежит пучку плоскостей: х — 2_у 4“ 2 — 94-6 (Зх 4-Ду +
4-2 4-Z)) = 0. 804. а) 4 = 0 и 41 = 0, т. е. обе плоскости параллельны оси х;
В D
Ь) , т. е. обе плоскости пересекают ось у в одной и той же точке
Bi Ui
х = 0, у = — тг = — , 2 = 0; с)С=2) = 0иС1=Р1 = 0, т. е. обе пло-
D Di
В С
скости проходят через ось z; d) . Если прямая параллельна плоско-
сти (yz), то в пучке проходящих через нее плоскостей Ах By-]-Cz-]-D-]-
4- X (AiX 4- Biy 4- Ciz 4- Di) = 0 должна существовать плоскость, параллель-
ная плоскости (yz), т. е. В 4- \Bt = 0 и С 4- XCt = 0 при одном и том же
д С £)
значении X 4; е) - = — = -—, потому что пучок Ах 4- By 4- Cz D 4-
Ci Ui
4- X (AtX 4- Biy 4~ CiZ Di) = 0 содержит плоскость (xz), т. e. при одном и
том же значении X мы имеем: А 4- ХД1 = 0, С 4~ CXj = 0 и D 4~ ХД = 0;
f) D = Di = 0, т. е. обе плоскости проходят через начало координат.
805. Их—4у-)-6=:0; 9х—г+7=0и 36у —llz-|-23=0. 806. { 2X+3j'+2=0-
I —1“ 22 4“ 2 = 0; J 5x — 3z 4— 7 = 0; on_ л / < । *7 к л\ о / । о л iq\
( x = 0j t y = 0. 807. Д(—1;+7,5;0). B(+2; 0; +3)
1) Это же условие мы могли бы получить, пользуясь выражениями для
угловых коэффициентов прямой, данными формулой (11).
270
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
и С (0; 4-5; -f- 1). 808. | 2х + + г_6 = 0 ^казание- Искомая проек-
ция — линия пересечения плоскости проекции (2х + 3jr + z — 6 = 0) с перпен-
дикулярной к ней плоскостью, проходящей через данную
_ЛГЬ .. х у z х z — 2
задачу 792, d). 809,
__ z — 5 .
— 5 ’
х — 5 __ у — 3
— 6 ~ 1
х — 3 __ у __
— 3 2 ~—3
813. a) cosa = 4/i8; cosp = 8/i3;
cos7 = 20/S6. 814. х— 1=^ЦЦ
прямую (см.
, _у = 0; х — 4 = у =
у __ z— 5 ф
— б —7 ’
на одной прямой линии
812. х3 = 0; ^з = —; 23 =--------------.
Х2—Xi ’ Х2—Х1
cos7 = i2/i8; b) cosa = t3/25; cos ? = е/25;
= — (z—3). 815. cosy = 72/77. 816. cpi = cp2==
A = Z = 810. т_______
а Ь с 4 3
х __ у __ z— 2 _ ___У __ г— 2
5"“"3“""” ’ " ~
z
Z— 1
— 2 ’ 4 — 4 ’
811. Данные три точки лежат
х2У1
х— 4
71 х у z-\-3 __
= ср3=-— 817. -о- = -^- = —j—. Указание. При составлении уравнений
Z У □ 1
прямой мы воспользовались точкой (0; 0; —3), лежащей на этой прямой, но
можно было бы взять и другую точку этой же прямой. Что касается угловых
коэффициентов, то они должны быть пропорциональны указанным знаменателям
m : п :р = 9:5: 1. 818. cos a = °/n; cos £ = 7/u; cos 7 = e/u. 819. cos <p = 88/193.
x f x — 2 = 0; .. x — 2 j+5 z — 3 4 x — 2 v4-5 z—3
820- a) b + 5 = 0?)------------------------------------------------------
f 3x -p z = 0;
{ \ = 0; ИЛИ’
822. а) и b) пересекаются,
ные системы уравнений
применить признак прохождения четырех’ плоскостей через одну точку:
А
Д1
Да
Да
искомая прямая проходит через точку Д(+2;+3;+1), то ее
х — 2 у — 3 z — .
имеют вид: ——— = '=~— = —-—. Угловые коэффициенты, или,
отношения, определяем из условия перпендикулярности к данной прямой
~ 3—1
3
е₽+1
— 2 _ j + 5 _z— 3. м
4 —6 — 9 ’ ’ —11 17 — 13 "
х у z
сохраняя каноническую форму: -р = -р- = ——.
Указание. В примере Ь) можно заменить дан-
каноническими уравнениями тех же прямых или
В
в±
в.
Вз
С D
Сх Dt
С2 £?з
Сз Dq
л х — 2 у — 3 z — 1 ..
= 0. 823. —5— = ^—5— = —. Указание.
О о -- 1
3
Так как
уравнения
вернее, их
3
(2/п — п + Зр = 0) и условия пересечения с данной прямой: 2 — 1
т п
У -
= 0
или 8m—lln —9p = 0. 824. ^ = -^ = X. 825- *4 —07---------------=o~•
00 —Zo z/ lo 0/ Oo
x v + 8 z4-9 __
826. -Q- = —4— = —j—. Указание. Угловые коэффициенты прямой изве-
О I 1
стны из условия параллельности: m:n:p = 8:7:l. Из условия пересечения
искомой прямой с двумя данными прямыми нужно определить координаты
(а, Ь, с) какой-нибудь точки искомой прямой. Одну из этих координат можно
взять произвольно; например, можно положить а = 0, т. е. выбрать точку
пересечения прямой с плоскостью (yz)*, тогда из двух условий пересечения
, х—1 у z + 3
можно определить две недостающие координаты b и с. 827. —— = Т=—4 *
Указание. Уравнение искомой прямой содержит четыре неизвестных пара-
метра: два отношения угловых коэффициентов и две координаты какой-нибудь
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
271
точки на прямой (третьей координате можно дать произвольное значение).
Для определения этих параметров имеем четыре уравнения: два выражают
условие перпендикулярности искомой прямой к двум данным, два других выра-
жают условие пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми.
828. (0; 0; — 2). Решение. Обозначим три равных отношения, входящих
х —12 .у —9 z — 1
в уравнения данной прямой, через р, т. е. —— = —g— = —।— = р; тогда
X = 4р -|- 12, = Зр -|- 9 и 2 = р + 1. Вставляя эти значения координат в урав-
нение плоскости, получим: 26р 78 = 0, откуда р = — 3, и окончательно, поль-
зуясь найденными выражениями для координат, имеем: х = 0; у = 0; z = — 2.
829. а) Прямая параллельна плоскости; Ь) точка пересечения неопределенная:
X 3 V I 1 2 —— 2
прямая лежит в плоскости; с) (4-2; 4-3; +0- —§—== __у~ = —।—.
831. Л=—1. 832. Л = 4; В= — 8. 833. e
5 о
— 7 *
834. 4х-|-5у — 2z = 0. 835. (+5; — 1; 0). Указание. Из точки А опускаем
х х — 4 .у 4-3
перпендикуляр на данную плоскость: его уравнения будут: —:— = —х— =
z— 1
— 1 *
Потом ищем точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.
Найденная таким образом точка и есть искомая проекция. 836. а) Лежит;
Ь) и с) не лежат. 837. 8х — 9у — 22z — 59 = 0. 838. Их — Пу — 19z 4-10 = 0.
839. — мо- 8* —22у-|-z — 48 = 0. 841. 5х-|-7у +
+ 92— 44 = 0. 842. 17х — 13у — 16z —10 = 0. 843. 16х—27у + 14z — 159 = 0.
844. 23х — 16у4“ 192 — 153 = 0. 845. х-\-у — z 4- 3 = 0. У Казание. Задача
возможна только потому, что данная прямая параллельна данной плоскости.
846. Нельзя, так как данная прямая пересекает плоскость в конечной точке,
а потому и всякая плоскость, через нее проходящая, пересечет данную пло-
скость. 847. Х g J. 848. d = 1/22. Указание. Через данную
68 /О — Ь7
точку проводим плоскость, перпендикулярную к данной прямой (она изобра-
зится уравнением: 4х 4~ Зу 4“ 2-г — 69 = 0); затем ищем точку пересечения этой
плоскости с данной прямой (4-19; 4~7; 4-4). Расстояние между найденной и
данной точками и будет искомое расстояние точки от прямой. 849. М (4- 3;
— 1; 0). 850. М(4-2; —3; 4-5). 851. (4-2; 4" 9; 4-6). Указание. Проводим
через точку Р плоскость, перпендикулярную к данной прямой, и ищем точку
ее пересечения с этой прямой. Найденная точка есть середина отрезка между
данной точкой Р и искомой точкой. 852. d = 3. Указание. Для решения
задачи достаточно найти расстояние любой точки одной прямой от другой пря-
мой, например расстояние точки (4- 2; — 1; 0) от второй из заданных прямых.
853. d = 7. Указание. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми, не
лежащими в одной плоскости, измеряется длиной их общего перпендикуляра;
но составлять уравнение общего перпендикуляра и находить точки его пере-
сечения с обеими прямыми было бы довольно сложно. Мы достигнем цели проще,
вычислив расстояние между двумя параллельными плоскостями, проведенными
через данные прямые. Достаточно провести через первую прямую плоскость,
параллельную второй прямой, и вычислить расстояние от этой плоскости до
V__9 V z
точки, заданной на второй прямой. 854. d=13. 855. -.= =—гтт-»
74 57 — 110
«56. = = „ £zJ=fcl £+2. lte_22j, + 352_
— 92 = 0. 8S8. d=/Y,. 860. a) (x — 2)2 -j-(y -J- 1)-’ -|- (z — 3)2 = 36;
272
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Ь) х* 2 + .у9 + z3 4 = 49; с) (х—1)2 + (з/ —4)24-(г + 7)2 = 121; d) (х — 6)2+
+ (У + 8)2 + (* “ З)2 = 100. 861. (х - I)2 + (у - >/2)а + (* ~ 3/з)2 = 33А. У к а-
з а н и е. В уравнение искомой сферы (х — а)2 4" (у — ^)2 4“ (2 — с)2 = R2
вставляем по очереди вместо текущих координат координаты вершин тетраэдра,
так как сфера через них проходит. Получим таким образом четыре уравнения
для определения неизвестных параметров си R. 862. (-|- 1; 4~6; 0); г = 5.
Указание. Окружность дана как сечение шара плоскостью; центр этой
окружности мы получим, опустив перпендикуляр из центра сферы на секущую
плоскость и найдя их точку пересечения. Радиус окружности (г) можно вычи-
слить по формуле: г= У R2—d2t где R — радиус сферы, a d— расстояние
центра сферы от секущей плоскости. 863. х2 -|-У2 + + З)2 = 25. Указа-
ние. Центр искомой сферы должен лежать на оси z (на перпендикуляре,
проведенном через центр плоского сечения к плоскости этого сечения). Поэтому
искомое уравнение имеет вид: x2-}-y2-\-(z— c)2=.R2 и содержит только два
параметра: с и R. Положив в этом уравнении 2 = 0, мы получим уравнение
{Г 2 4- V2 I с2 = Z?2,
* ~ ’ Сопоставив
эти уравнения с данными уравнениями той же линии, получим: 7?2 = е2-|-16.
Таким образом, уравнение сферы будет содержать только один неизвестный
параметр (с), который мы сможем определить из условия прохождения сферы через
данную точку (0; —3; +1). 864. Эллипс: { 5xs *+5za—8xz—74x+70z4-274=0;
865. а) (-j-З; —4; —1), R = 4; b) (—1; 4-2; 0), 2? = 3; с) сфера мнимая, так
как R = У— 1; d) /? = 0; только одна действительная точка (4-2; —6; 4“ 0‘»
е) (4-V2; —Vs; 4-1), Я + 2. 866. х24-уа4-22 — 14х—10^4-22 4-7 = 0.
Указание. Искомая сфера принадлежит пучку: x24-y24-22 — 6х— 8у—
— 11 4- ^(4x4-У — z— 9) = 0. Значение параметра X определяем из условия
D2
прохождения сферы через данную точку. 867. Д2 + Ва + С* = -^-. Указа-
н и е. Искомое условие мы получим, выразив аналитически, что расстояние
данной плоскости от центра шара равно радиусу этого шара. 868. х—у 4-
4-22 — 3 = 0 и х—у 4- 22—15 = 0. Объяснить, почему эти две плоскости
параллельны между собой. Указание. При совместном решении уравнений
прямой и сферы удобно ввести параметр р, равный отношениям, взятым Из
уравнений прямой. Найдя точки прикосновения, можно воспользоваться общим
уравнением касательной плоскости к сфере. 869. 3y4~4z = 0 и 5у— 122 = 0.
Указание. Уравнение всякой плоскости, проходящей через ось х, имеет
вид: Ву4~С2 = 0. Надо найти коэффициенты В и С таким образом, чтобы
расстояние этой плоскости от центра сферы (—5; 4“3; —1) было равно
радиусу (4), т. е. отношение этих коэффициентов определится из уравнения:
8б~~ .С„.. = ± 4. 870. 10х — Ну — 2z+ 189 = 0; 1 Ох—Пу —2z—261=0.
У В* + С*
У Казани е. Уравнение искомых плоскостей имеет вид 10х— 11_у — 22 4- D = 0.
Свободный член определяется из условия, что касательная плоскость отстоит
от центра сферы (4; 0; 2) на расстоянии радиуса, т. е. из равенства
40____4 4- п
15. 871. (х 4-5)2 4“ (У — З)2 4-22 = 121. Указание.
/102 —1124-22
Центр искомой сферы находится на пересечении трех плоскостей: двух пло-
скостей, перпендикулярных к касательным и проходящих через соответствен-
ные точки касания, и плоскости, перпендикулярной к хорде (соединяющей две
точки прикосновения) и проходящей через ее середину. 872. (х — 4)2
4- (у — 5)2 4~ (г 4“ 2)2 = 25. Указание. Радиус искомой поверхности равен
радиусу данной сферы, сложенному с расстоянием между их центрами:
R = r-[-d. 873. Радикальная плоскость; 4х — бу 4~ 62 — 11 = 0. 874. Ради-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
273
кальная ось: { __4у 2z 4-1 == О проверить, что радикальная ось трек
шаровых поверхностей перпендикулярна к плоскости их центров. 875. (х—I)2 4~
+ (.У — 4)2-|-(z — 3)2 = 17. Указание. ЦентрОхМ искомой сферы служит
радикальный центр четырех данных поверхностей, т. е. точка, обладающая тем
свойством, что касательные, проведенные из нее ко всем четырем поверхно-
стям, имеют одинаковую длину. Любая из этих касательных будет равна
радиусу искомой сферы. 876- 2xa-j-2ya— z2 = 0. Решение. Так как обра-
зующая искомого конуса проходит через начало координат, то она будет
изображена следующими уравнениями: ~ ~ = -у-, или х — mz
и у = nz.
Исключив х, у и z из этих двух уравнений и из уравнений направляющей,
получим следующее соотношение между угловыми коэффициентами образую-
щей: т2 4- па = 1/2. В это равенство вставим вместо т и п их значения, заим-
х у
ствованные из уравнений образующей: т = — и л=^-; тогда получим иско-
Zx \2 / у \2
мое уравнение конуса: ( — \ “Н~) = Va* 877. 2ya-\-xz— 8х = 0. Указа-
{V2 — 4х
г —q. ’ уравнения образую-
X V
щей примут следующий вид: — = ^- = z— 8. Зависимость между угловыми
коэффициентами образующей следующая: 2па = — т. 878. 18_у2 4- 50z2 + 75хл +
+ 225х — 450 = 0. Указание. Данный эллипс служит направляющей, данная
X* (у___М2 za
точка — вершиной искомого конуса. 879. 4“ •" ja”"-= 3x2 +
4-123j>2 + 23z2—18xj>—22хг+50^4-18х~54у—66z+27 = 0. 881. (у—5х)2 —
— 10 (х2 4-у2 + z2) = 0. Решение. Всякая прямая, проходящая через начало
координат, изобразится уравнениями: х = mz и у = nz. Нам нужно найти зави-
симость, существующую между угловыми коэффициентами т и п прямой, когда
эта прямая касается данной сферы. В случае касания прямая и сфера имеют
две слившиеся точки пересечения, а следовательно, при совместном решении
их уравнений мы должны получить действительные и равные корни; другими
словами, подкоренное количество, которое мы получим при решении квадрат-
ного уравнения, определяющего одну из координат точки пересечения после
исключения двух других, — это подкоренное количество должно равняться нулю.
Составляем его и приравниваем его нулю; тогда получим: (п — 5m)2 —
— 10 (та 4- па 4~ О = 0; это и есть искомое ограничение, наложенное на угло-
вые коэффициенты касательных. Вставляя в это уравнение вместо т и п их
значения из уравнений образующей, получим искомое уравнение конуса.
882. ху -\-xz+yz = 0. Указание. За направляющую искомого конуса
можно принять окружность, пересекающую все три оси и расположенную
в любой плоскости, образующей равные углы с осями координат. Такая окруж-
ность может быть изображена уравнениями: | (^—fl)24_(J'—"fl)a
883. Конус 40(х — 2)2 — 9у2 — 9z2 = 0. Указание. Данная прямая пересе-
кает ось х в точке (4- 2; 0; 0); значит, искомая поверхность есть конус с вер-
шиной в этой точке. Условие, связывающее угловые коэффициенты образующей,
состоит в том, что образующая наклонена под постоянным углом к оси абсцисс.
884. (х — З)2 4-^2 — (z — 5)2 = о. 885. (х — 5/2z)2 4- (у — »/2z)2 = 25. У к а з а-
ние. Уравнения направляющей имеют вид: — z=Z—-- = А. Соотношение,
5 о 2
связывающее параметры а и Ьх следующее: аа 4- Ьа = 25. 885. а) 2уа 4" 2z3 —•
— 12у — Юг — 3 = 0; Ь) (х — у)* Зг2 — 8 (х— у) — 8г — 26 = 0.
274
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
№ V2 я2
896. Сечения однополостного гиперболоида + 4 = 1.
1. Плоскостями, параллельными плоскости xj:
z = 0,
Z = zt 1,
2=±:2,
z = zt3,
2 = ^:4,
z = ± 5,
+ =1-
36^16 ъ
+ =1-
45 ‘20 ’
+ =Р
72^32 '
xL+yl -р
180 80 “ '
Аа_ + ^.= 1
261^116 ь
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
275
276
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
887. (2х + z)2 — 10 (2х + z) + 25у2 = 0. 888. 3 [(х — z)2 4-(y — 2)2—l] —
— (х4-у —2z)2 = 0. 889. (10х —5,у —5z + 2)2 + (—5х+ 10,у —5z+ 11)2 +
+ (5x +бу—lOz 4- 13)2=294. У к а з а н и e. Направляющей цилиндра служит
окружность, лежащая в плоскости,перпендикулярной к данным прямым, и проходя-
щая через точки пересечения этой плоскости с данными прямыми. 890. В плоско-
X2 V2 V2 22
сти (ху) имеем эллипс йб + тб= V в плоскости (yz) имеем эллипс тд + -о-=1;
О\7 1 v 1 О <7
X2 Z2
в плоскости (zx) имеем эллипс 3g4-_g-:=V Эллипсоид имеет шесть действи-
тельных вершин: А (4- 6; 0; 0); Aj. (— 6; 0; 0); В (0; 4~ 4; 0); Bi (0; — 4; 0);
С (0; 0; 4“3); (0; 0; —3). Длина осей: 2а = 12; 2# = 8; 2с = 6. 891. Плоско-
сти, параллельные плоскости (ху), пересекают эллипсоид по окружностям;
плоскости, параллельные другим координатным плоскостям, пересекают его по
эллипсам. Действительные линии пересечения получаются, если секущие пло-
скости находятся от» центра не далее соответствующих вершин. Каждая линия
пересечения подобна параллельному главному сечению—оси их пропорциональны.
Данная поверхность есть эллипсоид вращения; его ось вращения — ось z,
_________________________ х2 V2 Z2
892. а : = с : Ci = 3 : V 5. 893. -у 4- ~ + -г = Ь Указание. Подвижной
а2 ‘ с2
( х2 . z2
эллипс (черт. 148) изображается уравнениями: { (Ха)2 т (кс)2 I (1). Полу-
, I У = d. I
ось кс равна значению z, вычисленному из уравнения неподвижного эллипса
#2__________________________________________________ ^2
при у = d, Произведя вычисления, получим: X2 = ———. Исключив из этого
равенства и из уравнений подвижного эллипса (1) промежуточные параметры d
г r24-2v2__________________________________________________________4х—О*
и X, получим уравнение искомой поверхности. 894. Эллипс: -j “ у z_______
895. (+ 2; 0; -|- Vs). Указание. Центр кривой проектируется в центр ее
проекции. 896. См. черт. 149, 150, 151 и соответствующие таблицы на
стр. 274—275. 897. Искомая линия состоит из пары прямых, пересекающихся
в точке (+ 6; — 2; -|- 2), т. е. данная плоскость касается поверхности в этой
точке. 898. Две плоскости, параллельные плоскости (ху): у = ± ]/~18, и две
плоскости, параллельные плоскости (yz): х = ± У24. Искать плоскости,
удовлетворяющие условиям задачи, среди плоскостей, параллельных плоско-
сти (ху), не приходится, так как соответствующее главное сечение — мнимое.
899. Круглые конусы, оси вращения которых совпадают в примере а) с осью z,
в примере Ь) с осью у и в примере с) с осью х. При этом в первом примере
величина а есть радиус поперечного сечения, проведенного на расстоянии Ъ
от вершины (z = ± Ь, х2 4~У2 = а*)- 900- Т = Указание. Для решения
задачи можно рассмотреть сечение плоскостью (xz) или воспользоваться готовой
а х2 у2
формулой: <р = arctg -у. 903- Эллиптический параболоид z = или гипер-
у2 х2
болический параболоид z = ~ , в зависимости от того, совпадает ли
направление оси подвижной параболы с положительным или отрицательным
направлением оси неподвижной параболы. Указание. Составляем уравнение
подвижной параболы: с этой целью вводим вспомогательный параметр d —
расстояние плоскости подвижной параболы от плоскости (xz). Вершина па-
/ d2\
раболы будет иметь координаты ^0; d; (черт. 152) и уравнения самой
Исключив из этих уравнений
параболы; у = d и
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
277
вспомогательный параметр dt получим уравнение искомой поверхности.
904. а) ЛМ+ 2; —3; 0) и Л12 (0; 0; 4» 2); Ь) Л4 (+ 4; 4- 2; 4- 9) — прямая
касается поверхности; с) прямая лежит целиком на поверхности; d) Mi (4- 4;
+ 1; + 3); прямая параллельна одной из асимптот. 905. 2/= 22. 906. Таких
хорд можно провести бесчисленное множество; все
они лежат в плоскости 288х4“225у— 400z—
— 1201 = 0. Указание. Искомая прямая изобра-
„ „ х—2 у—1 з4-1
зится системой уравнений: = —j—.
Решая их совместно с уравнением данной поверхно-
сти (исключаем координаты х и у) и считаясь с
условием задачи, которое можно выразить равенст-
4" ^2 1
вом —g— = — 1, получим только одно соотноше-
ние: 228m 4- 225л — 400 = 0, которому
удовлетворять угловые коэффициенты
прямой. Исключив эти коэффициенты из полу-
ченного равенства и из уравнений прямой, получим
уравнение геометрического места искомых прямых.
907. Таких прямых можно провести бесчисленное
множество; их геометрическое место есть конус
(х-5)2 ,
У
Черт. 152.
должны
искомой
д*2 уЗ ^3
—9-------1----------(г — 2)г = 0. 908. Для эллипсоида^-+'^4-^-= 1 мы
X2 V2 З2
получим мнимый конус -j 4“ ^з + = т. е* действительных прямых, удов-
j^2 у2
летворяющих условиям задачи, нет. Для обоих гиперболоидов —
Z2 х2 у2
— ^- = dtl получим один и тот же конус 4~^у ~ ~ причем обра-
зующие этого конуса служат асимптотами поверхности. Этот конус называется
асимптотическим. Указание. Из разбора этой задачи следует, что эллип-
соид не имеет действительных асимптот, а гиперболоиды имеют бесчисленное
множество асимптот, — целый асимптотический конус, с вершиной в центре
поверхности. 909. Единственной вершиной обоих параболоидов является
начало координат. Геометрическое место искомых прямых определяется урав-
X8 у2
нением: 2р — Для эллиптического параболоида мы имеем две мни-
мые плоскости, пересекающиеся по оси z, т. е. ось z есть единственная дей-
ствительная прямая, удовлетворяющая условиям задачи. В случае гиперболи-
ческого параболоида мы имеем две действительные плоскости, тоже пересекаю-
щиеся по оси z; каждая из этих плоскостей содержит одну из прямолинейных
. х I У л
образующих, расположенных в плоскости ху, а именно: ~== = и или
-4=------Д= = 0. 910. Конус: 10(х — 5)2 + 20(х — 5)(у — 1) — 34(> — 1)а —
У 2р У 2q
— 55z2 = 0. 911. Цилиндр: 2 (х — z)2 4- 2 (х — z) (у — z) 4~ 4 (у — z)2 — 7 = 0.
х—-6 у—2 z — 8 х —6 у — 2 z — 8 v „
912. — =-5- = -т- и —=2L__ = __. Указание. Эту
задачу можно решить или непосредственно, т. е. решая совместно уравнение
поверхности с уравнениями прямой, проходящей через данную точку, и при-
равнивая нулю все коэффициенты в уравнении, полученном после исключения
двух координат, или пользуясь общими уравнениями прямолинейных образую-
щих. 913. i* = -у- и -“2"“= . Указание. Прямоли-
2
278
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
нейные образующие одной серии определяются уравнениями:
4Г 2
X у ____ 2 л
4
х—2k у — k z т-. .
приводим их к каноническому виду: —— = -=-—— = Параметр k опре-
деляем из условия параллельности с плоскостью Зх + 2у— 4z = 0. 914- Удобно,
написав уравнения этих проекций, воспользоваться условием прикосновения
прямой и кривой второго порядка. 915- Проекции прямолинейных образующих
касаются параболических сечений в плоскостях (xz) и (yz)t а в плоскости (ху)
они составляют пучки прямых, параллельных тем двум прямым, на которые
распадается линия пересечения поверхности и плоскости (ху). 916. Указа-
ние. Для доказательства достаточно показать, что все прямолинейные обра-
зующие гиперболоида вращения составляют равные углы с осью вращения
(с осью г), что кратчайшее расстояние всякой прямолинейной образующей до
оси 2 измеряется по соответствующему радиусу горлового круга (х3
z = 0) и по величине равно этому радиусу. Можно и непосредственно вывести
уравнение поверхности, получающейся от вращения прямой вокруг оси, не
лежащей с ней в одной плоскости. 917. Однополостный гиперболоид:
у 2
-р-р2 — £3=1. Указание. Образующая прямая изображается системой
4 х — а у — b z
уравнений —=—-— = -р. Условие пересечения этой прямой с тремя
данными даст три равенства, связывающих параметры а, т п п. Исключая
четыре параметра из этих трех равенств и двух уравнений образующей, полу-
х8
чим искомую поверхность. 918. Гиперболический параболоид z = -^—у2.
Указание. Найдем точки пересечения обеих траекторий с плоскостью (ху):
(+ 1; —х/а5 0) и (—1; + х/2; 0), и примем их за положение подвижных точек
в начальный момент движения. Пусть, далее, по первой прямой точка подни-
мается (движение точки совпадает с положительным направлением (прямой), а
по второй прямой соответствующая точка опускается вниз (чтобы направление
движения совпало с направлением прямой, переменим знаки угловых коэффи-
циентов у второй прямой на обратные). Тогда уравнения траекторий удобнее
. X—1 y + Vs 2 х4-1 у — 1/* 2
будет переписать так: —= у и ——= -—р-=-=—или
Г == 2р “j- 1,1 ( х = 2р j ~~~ 1,1
в параметрической форме: < jy = р— Vs,? (1) и < у = pi + х/2, ? (2). В этих
( z = 2р J I z == — 2pi J
уравнениях р и pt изображают величины, пропорциональные расстояниям по-
движных точек от их начальных положений. По условию задачи эти расстояния
должны быть равны между собой в любой момент движения; кроме того, мно-
жители пропорциональности для обеих прямых одинаковы а = Т
и — *....- = ДА Z поэтому можно прямо положить р =pi. Пишем теперь
V ml + nl+pl 3/
уравнения прямой, проходящей через обе подвижные точки [координаты этих
точек даны равенствами (1) и (2)]: -—у—1 = ^—= z Исклю-
чим параметр р из этих двух уравнений и тогда получим уравнение искомой
поверхности. 919. Гиперболический параболоид: gg — = ^казание*
„ х—a v—b z — с
образующую прямую > - = - = - — наложено три условия: пересече-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
279
ние с двумя прямыми и параллельность с данной плоскостью. Выразим эти
условия аналитически и из полученных трех уравнений исключим отношения
угловых коэффициентов; тогда мы получим одно соотношение, связывающее
координаты (а, с) любой точки образующей прямой, это и даст нам уравне-
ние искомой поверхности, если заменить а, Ь и с текущими координатами.
920. 4х—12у + 9г —6 = 0. 921. = 922. 2х-\-2у —
— 3zztl2 = 0. Указание. Определяем координаты точки прикосновения из
условия пропорциональности коэффициентов двух уравнений: —НуН—4"==1
и 2х4-2у — Зг -{-D = 0 и из условия, что эти координаты удовлетворяют
уравнению эллипсоида. 923. х —у — 2г — 2~0. Указание. Решив задачу
для параболоида в общем виде, убедиться, что условиям ее может удовлетво-
рять не более одной плоскости. 924. х — 2у — 4z = 0. Указание. Эта пло-
скость касается конуса вдоль всей образующей конуса, проходящей через
данную точку. 925. Указание. Уравнения нормали в любой точке (х\у\ г')
. . х—х' у—у' г —г'
vrvavrn wnrVT ПМТк НЯППГЙМЫ ГЛРТТ VWHTTMM ПППЙ.ЧПМ! ------ = ----—• =----!——•
конуса могут быть написаны следующим образом: '~ ‘=__z^'ci >
X У z
осью конуса служит ось г, т. е. прямая -q- = ^- = -]-, Пересечение этих двух
прямых проверяется по формуле (13) § 1 гл. X. 926. аа = £* = са, т. е. все
три оси эллипсоида равны между собой, и мы имеем шаровую поверхность.
(х = 0,
Ei —— 1 и 4
са ““
‘ J = o.
—+ —= 1.
0« л- с.
928. 4х 4“ 5у ± 40 = 0. Указание. Все касательные плоскости данного
цилиндра должны быть параллельны оси г. 929. Указание. Показать, что
все нормали цилиндра перпендикулярны к его образующим и, следовательно,
параллельны плоскости, к ним перпендикулярной. 931. а) Лааа 4- В3#8 — Саса =
= + £>2; b) A*p + B*q = 2CD. 932. а) х — Зг = 0 и Зх — 2у — Зг — 18 = 0;
прямая пересекает поверхность в двух действительных точках; Ь) действи-
тельных касательных плоскостей провести нельзя; прямая не имеет действи-
тельных точек пересечения с поверхностью; с) х — 2у — Зг — 6 = 0; прямая
касается поверхности и через нее можно провести только одну касательную
плоскость. 933. УТ5 • у — 2г 4-2 = 0 и |/15 • у 4“ 2г — 2 = 0; (0; 4“ 2 УТб;
4-16) и (0; —2 ]/Т5; 4" 16). 934. В случае эллипсоида, двуполостного гипер-
болоида и эллиптического параболоида прямая не должна пересекать поверх-
ности в действительных точках. В случае однополостного гиперболоида и гипер-
болического параболоида прямая должна пересечь поверхность в двух действи-
х—5 у — 4 г — 21 х—5 у — 4
тельных различных точках. 935. —j—~—g— и —j—= “—2~ =
z_____21
= —pj—. Указание. Можно найти проекцию линии их пересечения на
плоскость (ху): 4х2—у2 — 40х 4-8у 4~ 84 = 0 и найти уравнение каждой из
тех прямых, на которые эта линия распадается: 2х—у—6=0 и 2x4-.У—14 = 0.
Каждое из этих уравнений даст плоскость, проектирующую искомую прямую
на плоскость (ху). Каждая из искомых прямых изобразится одним из этих
уравнений и уравнением касательной плоскости. Иначе можно решить эту
задачу, найдя точку прикосновения данной плоскости и поверхности и составив
уравнения прямолинейных образующих, проходящих через найденную точку.
936. 16х±13г = 0. 937. г = —. У к а з а н и е. Плоскости круговых сече-
ний даны уравнениями: у ± Зг = k. Плоскости эти параллельны оси абсцисс.
Круговое сечение может касаться горлового эллипса только тогда, когда оно
280
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
проходит через одну из его вершин, лежащих на оси у, т. е. через точку
(0; 2; 0) или (0; — 2; 0). Соответствующие значения параметра будут: k = ± 2.
Все четыре круга, удовлетворяющих условиям задачи, лежат в плоскостях
у ± Зг = ± 2 и имеют одинаковые радиусы. Мы вычислим этот радиус, найдя
центр соответствующего сечения [проектируем его на плоскость (xz)].
938. (0; — 1; + Vs) и (0; + 1; + Vs). Указание. Плоскости круговых сече-
ний даны уравнениями: у ± z = k. Задача сводится к нахождению точек
параболоида, в которых касательные плоскости параллельны этим плоскостям.
939. + —4х^ + 6уг —2гх + 20у+12г+ 12 = 0. 940. х2 + 5у2 +
+ 4г2 + 4х^ — 2yz— 4zx—1=0. 941. 1) (—1; +-|s центральная
х у z— 2 . _
поверхность, Д 0; 2) линия центров: -у = у = —j—; Д =0; вершины в конеч-
ной части пространства нет; цилиндр; 3) центра в конечной части пространства
/14 1 \
нет, Д^О, данная поверхность — параболоид; 4)
центральная поверхность; 5) плоскость центров: 2х— у 4- 3z + 2 = 0;
система (9) содержит два независимых, но противоречивых уравнения; пара
параллельных плоскостей; 6) поверхность не имеет центра в конечной части
пространства, Д 0, параболоид; 7) (0; + 2; — 2), Д = 0, конус; 8) центра
нет; Д = 0; уравнения, определяющие вершину, несовместны; данная поверх-
ность — параболический цилиндр. 942. х2 — 14у3 Юг2 — 4ху — 24yz +
4-бгх —5 = 0. 943. 1) х2 + 2у2 + 2z2 + 2ху — 4 = 0; 2) y*±3xy + 2yz +
+ xz + 0,8 = 0; 3) х2 + 2у2 — z2 — 1=0. 944. Дискриминант уравнения
поверхности равен нулю; координаты вершины: х = 0; _у=1; z = 0. Что конус
действительный, видно, например, из того, что в пересечении с плоскостью (xz)
{Or2_______________________________________г2-4-8г 4-4 = 0
' ~ у 0 9^5’ а = —
946. 1) Гиперболический цилиндр. Указание. Д = 0; уравнения, из которых
определяют координаты вершины конуса, несовместны; с плоскостью (ху) пересе-
х2 У2
кается по гиперболе: -у —^- = 1. 2) Мнимый конус. Указание. Д = 0, коор-
динаты вершины: х = 0; у = 0; г = 1; в пересечении с плоскостью (ху) имеем
{v-s । 2v2 -4-3 — 0
“ Л ~ 2 __ q’ 3) Пара действительных пересекающихся
плоскостей. Указание. Д = 0; вершиной служит любая точка прямой
х—3 .у-Н z . .
---2”=:7— = "4 » с плоскостью (ХУ), не проходящей через эту прямую,
пересекается по двум действительным прямым: 2х2 + 4ху — 8х — 12у 6 = 0.
4) Действительный конус. Указание. Д = 0; вершина лежит в точке
(+ 2; + 1; 0); с плоскостью (yz) пересекается по нераспавшейся гиперболе.
5) Эллиптический цилиндр; Д = 0, уравнения, из которых определяют вершины ко-
нуса, несовместны; с плоскостью (xz) пересекается по действительному эллипсу
J xa4-4z24-2x —4 = 0,
I ^ = 0-
6) Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой:
- ~2~ = = Т* & пересечении с любой плоскостью, не проходящей через
указанную прямую, получим пару мнимых прямых. 947. 1) Мнимый конус с вер-
шиной в начале координат; 2) две действительные плоскости, пересекающиеся
по прямой: -у- = ; 3) действительный конус с вершиной в начале
координат; 4) пара слившихся плоскостей; 5) пара мнимых плоскостей, Пересе-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
281
кающихся по действительной прямой: х =—у =— z. 948. Ось х пересекает
поверхность в точках (4-2; 0; 0) и Ф 0j ; ось у пересекает поверх-
(3 \
0; 0;----2’1.
949. а) а|4— ana44 = 0; b) an = 0; с) an = a14 = 0; d) ап — а14 = а44 = 0;
е) я?4 — ai 1^44 0. Указание. Задача сводится к исследованию квадратного
уравнения апх2 4~ 2аих 4~ вы = 0, которое мы получим, положив в общем урав-
нении поверхности второго порядка ^ = 0 и 2 = 0. 950. а) ai2xy 4- а^уг +
4- = 0; Ь) 2ах2ху 4- 2a23jyz 4- 2а312Х 4~ аи = 0. Указание. См. задачу
949, случаи d) и с). 951. Mi (4-1; 4" 2; 4“ 3) и М2 (+ 2; —1; —4). Реше-
ние. Обозначим равные отношения, входящие в уравнения прямой, через р:
X у — 5 2—10 . О I К 7 I
—г = —х— = —=— = р; тогда будем иметь: х = — р; у = Зр 4- 5; z = 7р 4-
4- Ю. Вставляя эти значения координат в уравнение поверхности и произведя
возможные упрощения, получим: р2 4~ Зр 4~ 2 = 0, откуда р4 = — 1 и р2 = — 2.
Зная значения р, соответствующие искомым точкам пересечения, вычисляем
координаты этих точек. 952. а) Прямая целиком лежит на поверхности; Ь) пря-
х
мая касается поверхности в точке (—3; 0; 0). 953. Ось z и прямая -—pg- =
v %
= 24 = -д-. Указание. Всякую прямую, проходящую через начало коорди-
нат, можно представить уравнениями х = mzt у = nz, Если прямая целиком
лежит на поверхности, то, исключая из этих уравнений и из уравнения поверх-
ности две координаты х и у, мы должны получить квадратное уравнение отно-
сительно 2, которое удовлетворяется любыми значениями 2, т. е. все коэффи-
циенты этого уравнения должны быть равны нулю. Приравняв нулю все коэффи-
циенты этого уравнения, мы и получим те равенства, из которых определяются
угловые_ коэффициенты искомой прямой. 954. Х = -у- = и
Х-У12 у z
--------= -р = —j-. Указание. Искомую прямую можно представить
х — а у — b 2 п г. о
уравнениями —— = —j— == —[ или иначе: х = а — 22, у = Ь — z. Вставляя
эти значения х и у в уравнение поверхности, мы должны получить тождество.
Из условия, что все коэффициенты полученного равенства должны быть равны
нулю, определяем неизвестные параметры а и Ь. 955. а) аи/п2 4- «22^2 4“ ЯззрМ-
+ 2а^тп + 2аипр + 2аа1рт = 0; Ь) = 0; с) ~ = ± д/~&
и и с ti j
S56. 1), 4), 5) имеют асимптотические направления; 2) и 3) — не имеют.
957. Все прямые, для которых т: п : р = 2: 1 :0. Прямолинейные образую-
х 4- 2 у 2 — 2 х — 4,5 у 2 — 2
щие: —и-----------------------—==Т==-0—' 958‘ xz+yz — 2y = 0.
959. Действительный конус 2ху -j-yz — xz = 0. 960. Одна единственная прямая:
•у = ~2 = • Указание. Соответствующий конус распался на пару мни-
мых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой. 961. Существует
одна действительная прямая, удовлетворяющая условиям задачи: х = 1; у =— 1.
962. Пара плоскостей: 2x4-.у— 32 = 0 и х—y-\-z = Q. 963. Действи-
тельный нераспадающийся конус второго порядка. 964. 1)(х—1)а4~(У — 1)а +
4- {Z 4- I)2 4- 2 (х- 1) 07— 1) - 2(у/- 1) (2+ 1) + 6(х — 1) (2+ 1) = 0; дей-
ствительный конус; 2) мнимый конус: 9 (х — 4)а 4- 36уа 4~ 4 (2 4~ 3)а = 0;
282
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
/ 1 \2 / 2 \2 Г 2 \2
3) действительный конус: (х + -х- -4~ 3 (—5- -Н 2 —о- +
\ / \ \ о у
+4(x4)=о-
965. а) эллипс { Зх» + 4у>+2ху + 5х-8 = 0.
Ь) гипербола { z х = 0’
с) две прямые: { x+^Zq « {
965*. xs4-3zs —4xy + 6z—1=0. 966.
#11 Лц Ли
#21 Лаа Ла4
#41 Л4а Л44
= 0. Указание. Ис-
комое условие равносильно условию распадения на пару прямых линий пе-
ресечения поверхности с плоскостью (ху). 967. Действительный эллипс. Ука-
зание. Составляем уравнение цилиндра, проектирующего изучаемую
кривую на плоскость (yz). С этой целью нужно исключить х из уравнения по-
верхности и секущей плоскости (см. задачу 742). Уравнение цилиндра будет:
Зу* + 4Za + збу — 96z + 384 = 0.
Это же уравнение даст нам направляющую цилиндра в плоскости (yz), если
рассматривать у и z как координаты точки на плоскости (yz). Исследование
уравнения обнаружит, что направляющая есть действительный эллипс; следова-
тельно, цилиндр — эллиптический и изучаемая линия, которую он проектирует,
тоже эллипс. Й8. Гипербола. Указание. Цилиндр, проектирующий кривую
на плоскость (xz), — гиперболический, его уравнение 25х2 4" 8z2 + 32xz 4- 10х4~
4-8z = 0. 969. а) Пара действительных пересекающихся прямых; Ъ) мнимая
кривая второго порядка. Указание, а) Уравнение проектирующего цилин-
дра следующее: 5х2 — 14ху + 10х — 14у 4- 5 = 0; его направляющая распа-
дается на пару действительных пересекающихся прямых (Д = 0, 5<0); Ь) на-
правляющая проектирующего цилиндра — мнимый эллипс; задача может быть
упрощена, если заметить, что данная поверхность — шаровая и секущая пло-
скость находится от центра на расстоянии, большем, чем радиус. 970. х —
— 4у + 2z = 0. Указание. Искомая плоскость есть геометрическое место
хорд поверхности, проходящих через начало координат и делящихся в нем по-
полам. 971. 5х 4- бу -4- 7z — 4 = 0; " • Указание. Поль-
5 0 7
зуемся уравнением касательной плоскости (10), данным в тексте. 972. 3z-f-
4-2 = 0. Линия пересечения — пара мнимых прямых. 973. х4-2у — 2 = 0 и
х 4- 2у = 0. Указание. Всякую касательную плоскость к данной поверх-
ности можно представить уравнением: (4х' 4“ 2z') х 4* (бу’ — 4)у -f- (2х' + 4z' —
— 2) z + (— 4у' — 2z' 4- 3) = 0. Координаты точки прикосновения определяем
из условия параллельности этой плоскости и данной плоскости к 4- 2у 4-7 = 0,
л + 2*'
т. е. из условия пропорциональности коэффициентов их уравнений;-1----=
бу' — 4
= ; 2x'4-4z' — 2 4-0. Кроме того, эти же координаты удовлетворяют
уравнению поверхности. 974. Mi(— 1; 2 +1/~5; + 1)и7И2(— 1; 2 — ]/~5;+ 1).
975. 4х — бу — 2z 4- 2 = 0. Указание. Всякую плоскость, проходящую через
данную прямую, можно представить уравнением: 4х — бу-рМ*—1) = 0; для
решения задачи нужно только найти значение параметра X, при котором эта
плоскость касается поверхности, т. е. при котором коэффициенты ее уравнения
пропорциональны коэффициентам общего уравнения касательной плоскости.
Примечание. Через данную прямую можно провести только одну касатель-
ную плоскость к поверхности, потому что сама эта прямая является касатель-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
283
ной прямой к поверхности. 976. 2х— 2 = 0. Указание. Если касательная
плоскость проходит через ось ординат, то в ее уравнении свободный член и
коэффициент при у должны равняться нулю (— 8у' = 0 и 2х* — z' = 0). Из
этих условий и из уравнения данной поверхности определяем координаты точки
прикосновения искомой плоскости. 977. Конус х2— 4xz— 8j/2 = 0. Указа-
ние. Всякая прямая, проходящая через начало координат, может быть пред-
ставлена уравнениями: x = mz и y=.nz; решая их совместно с уравнением
данной поверхности, получим:
(т2 + 2п* + 2тп + 2) z* — 2 (m 4-2л 4-2)2 4~ 2 = 0.
Для всех прямых, касающихся поверхности, это уравнение должно иметь веще-
ственные и равные корни, т. е. подкоренное количество, полученное при реше-
нии уравнения, должно равняться нулю: — /л8 + 4m 4- 8л = 0. Исключая угло-
вые коэффициенты т и п из этого соотношения и из уравнений прямой, полу-
чим уравнение искомого геометрического места. 978. Эллипс:
J Зх3 4- Яху + 8у8 — 4х— 8_у = 0,
I х 4- 2у> 4- 2г — 2 = 0.
Указание. Чтобы найти геометрическое место точек прикосновения конуса
к поверхности, решаем совместно уравнения образующей конуса (х = mz и
у = nz) и уравнение поверхности. Для определения аппликаты точки прикосно-
вения получим уравнение:
(т2 4- 2л8 4- 2тл 4- 2) я* — 2 (т 4- 2и 4- 2) z 4- 2 = О,
„ т 4" 2л 4- 2
откуда вследствие равенства корней этого уравнения имеем: 2=^ 2|22л24-2~тл'4-~2 *
Исключив из этого уравнения и из уравнений образующей оба параметра т и
л, получим соотношение, связывающее координаты точек прикосновения: х2 4-
4- 2у2 4- 2ху 4* 2z8 — х — 2у — 22 = 0. Итак, искомая линия прикосновения
лежит на первоначальной и на вновь полученной поверхностях, а так как урав-
нения этих поверхностей имеют одинаковые старшие члены, то, вычтя одно
уравнение из другого, получим уравнение плоскости х 4- 2у 4* 2г — 2 = 0, про-
ходящей через ту же линию прикосновения. Таким образом, искомая линия —
плоская, и ее можно рассматривать, как пересечение конуса х2— 4xz— 8yz =
= 0 с плоскостью х + 2у 4~ 2^ — 2 = 0 или как пересечение этой же плоско-
сти с цилиндром, проектирующим изучаемую кривую на одну из плоскостей
координат. 979. Эллиптический цилиндр: х2 4" 2у3 4- 2ху — 2х — 4у = 0. Ука-
зание. Прямые, параллельные оси zt изображаются уравнениями: х = а и
у = Ь. Решая их совместно с уравнением поверхности и пользуясь условием
касания, получим соотношение, которому должны удовлетворять параметры а и
а именно:
d8 4- 2Z>2 4- 2дЬ —- 2d — 4Z> = 0.
Исключив параметры а и b из полученного уравнения и из уравнений обра-
зующей, получим уравнение искомого геометрического места. 980. а) 7х 4-
+ \1у + 19г 4-19 = 0; Ь) 2x4-^4-324-4 = 0; с) х4-5у4-б2 4-7 = 0;
d) 3x4“Оу4-8г4~9 = 0. Указание. Пользуемся уравнением (11), данным
в тексте. Если хорды параллельны оси х, то их угловые коэффициенты сле-
дующие: т=1;п = 0ир = 0, и уравнение сопряженной им плоскости будет
Л# = 0. Уравнения Fv = 0 и Fz = 0 изображают диаметральные плоскости,
сопряженные хордам, параллельным оси у и оси г. 981. х=у^ = г; х — 2у 4-
4-1=0. Указание. Уравнение диаметра мы получим как уравнение пря-
мой, проходящей через начало координат и через центр данной поверхности.
982. 2х — 2у 4- 32 = 0; m: п : р = 1: — 2:4. Указание. Определяем коор-
динаты центра и, зная три точки искомой плоскости, пишем ее уравнение.
Угловые коэффициенты сопряженных хорд определяем из условия проворци-
284
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
к зада-
1 “ 1 ~ 0 ’
Указание. Находим
ональности коэффициентов полученного уравнения и общего уравнения диамет-
ральной плоскости данной поверхности. При решении этой задачи можно вос-
пользоваться уравнением связки диаметральных плоскостей и определить
параметры из условия прохождения плоскости через две данные точки: тогда
х I- Х/я
вычислять координаты центра не нужно. 983. х + Зу? — z — 1=0; =
= -У~18/э =г +//з . 984. 27х — 33_у + 37z + 44 = 0. 98S. cos ? = 23 .
— 1 5 лт т * ><37-21
Указание. Уравнение соответствующей диаметральной плоскости: х — 6z =
= 0; угловые коэффициенты сопряженных хорд: т: п: р = 1: — 2:4. 986. 2х +
4-у? 4-42 = 0. 987. 7х— 28у—142— 8 = 0. Указание. Каждая диамет-
ральная плоскость имеет бесчисленное множество сопряженных диаметральных
плоскостей — все плоскости, проходящие через сопряженный ей диаметр.
988. Зх — 5у— 6 = 0; х — 2 = 0 и 5х—у—10 = 0; см. указание
че 987. 989. mi = Пг = 0, = 1; т2 = п2, р2 = 0; т2 = — и8, р8 = 0. Указ а-
н и е. Корни решающего уравнения следующие: Si = — 5; s2 = 3; s3 = 1. Главные
оси параллельны оси z и биссектрисам угла (ху). 990.
х—+ 1 __________2—1. х—1________у + 1 __z— 1
~ —Г" ~~2“’
центр поверхности (+1; — 1; +1), главные направления и проводим через
центр прямые, имеющие главные направления. Корни решающего уравнения
Si = — 2; s2 = 3; s8 = 6. 991. х — у = 0; х + у — z = 0; Зх + Зу + 6z — 2 = 0.
У Казани е. Находим главные направления: mi =— 1, = 1, pi = 0; т2: п: р2 =
= 1:1: — 1; т8: и3: р8 = 1:1: 2 и пишем уравнения плоскостей, им сопря-
женных. Корни решающего уравнения: Si = 2; s2 = 3; s3 = — 6. 992. х3 4-
+ 2у?а + 3z2 — 2 = 0. Указание. Чтобы составить искомые формулы пре-
образования координат, находим координаты центра: х0 = 1; у?0 = 2; z0 = —1,
т. е. координаты нового начала; затем находим направление новых осей, кото-
рые совпадают с главными направлениями поверхности. Предварительно нахо-
дим корни решающего уравнения: Si = 3; s2 = 6 и s3 = 9; тогда определятся
главные направления: mt: nY: = 1:2:2; т2: п2: р2 = 2:1: — 2 и т8: п3: р8 =
= 2: — 2:1 и углы, образованные новыми осями со старыми, будут тоже
известны: cos а = х/8; cos р = 2/3; cos 7 = 2/3; cos = s/8; cos pt = х/8; cos 71 =
= — 2Аь cos а2 = a/8; cos p2 = — 2/3; cos 72 = x/8. Искомые формулы преобра-
. x'+ 2У + 2z'+ 3 2x'4-У — 2z'+ 6
зования координат будут: х =----!!; у? =-----------------——=-------!—•
О
2х' — 2/4-2' — 3 1Т х а х
z =--------. Чтобы найти упрощенное уравнение, нет надобности поль-
з
зоваться этими формулами. Уравнение центральной поверхности, отнесенной к
главным осям, содержит только члены с квадратами координат и свободный
член, а коэффициенты при старших членах — найденные уже корни решаю-
щего уравнения (si = 3; s2 = 6, s8 = 9); свободный же член находится как от-
ношение дискриминанта уравнения к дискриминанту старших членов. В данном
случае, так как координаты центра уже определены, проще поставить их вместо
текущих координат в левую часть первоначального уравнения, которая после
этой замены будет равна искомому свободному члену (2F'=— 6). Таким об-
разом, искомое уравнение поверхности, отнесенной к главным осям, будет:
Зх2 4- бу?2 4- ^22 — 6 = 0, или, после сокращения на 3, получим: х2 4“ 2у?а 4~
4-З22 — 2 = 0. 993. 1)4х24-8з?2 — 222 —5 = 0(Si = 4; s2 = 8; s8= —2; х0 =
= — 1; у?0 = —1; Zo = 4-1)- 2) х24-/ —222 = 0 (si = s2 = — 3; s3 = 6;
Хо = 1; y?0=I;z0 =—1). 3) 3x24-Qy2 — 22*4“ 6 = 0 (Si=3; sa = 6; s8 =
4=6). 4) 2x’ + 5y2 + 8z2 —32=0 (S! = 2; s2=5; s» = 8; x0= —
l;20 = 0), 5) x2 4-2y?2 —2 = 0 ($1==3; s2 = 6; s3 = 0). Поверх-
3
3
= —2;
— 1; л =
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
285
X у — 1 2
ность имеет целую линию центров: у-=—g— = у. Переносим начало коор-
динат в одну из ее точек, например в точку (0; 1; 0); тогда 2F' = — 6.
994. х2 4-^2 = 3. Указание. Так как данная поверхность есть поверхность
вращения, то только одно главное направление определенное, а именно то,
которое соответствует корню решающего уравнения s = 0. Примем его за
направление новой оси г; тз:пй:р3 = 2: — 1 :2. Два других направления могут
быть взяты произвольно, лишь бы они были перпендикулярны между собой
и перпендикулярны к найденному направлению. Если, например, выбрать
Wt: «1 :pi = 1:0: — 1 и т2: п2: р2 = 1 • 4: 1, то_формулы преобразования при-
Зх’ + у’ _|_ 2 /2? 4у' — у2 г’ — Зх'-|-У+2 /2г’
мут вид: х =----л ,_____'-----, у —-------/----и z —------- ' у.
3 3/2 3/2 3/2
-I X у Z
Начало координат сохраняем, так как линия центров -у = = -у проходит
через начало координат (уравнение не содержит членов первой степени).
162
995. 14№ — 4у2----' = 0. Указание. Корни решающего уравнения:
St = 14; s2 = 4; s3 =0. Главные направления: щ :pi = 2: 4: 1; т2: п2 ’Р% =
= 1: — 1:2; т3: п3: р3 = — 3:1:2. Формулы преобразования направлений осей:
2х' , у' Зг’ 4х' у' ,2’ х' , 2у' ,
—--------ь ----------. ч, —----------г----1----и г —----------1—— -1-
У У 21 ]/б'Г]/'14 “ ]/21П3/б ’
преобразования координат уравнение поверхности примет
48х . 24у 16г . , л _ х
• — 4~ —/==---+ 1 = 0- Далее, выбираем начало коор-
' г 24
динат так, чтобы Fx' — 0, Fy = 0 и 2F' — ОI Fx' = 14.v' 4" ——; Fу = —
А , । 12 ] pi х
— 4у 4—7=|' После переноса начала координат уравнение поверхности бу-
1/ 6 J
’ 16
дет: 14.V2 — 4v2----—- = 0. Задачу можно
/14
стейшее уравнение параболоида имеет вид
уУу /14’
4- . После
У14
вид: 14х2 — 4^2-
решить и проще, зная, что про-
S1X2 + s2y2 ±
996. 2х2 + 5у2 — 5 j/~2 2 = 0. Указание.
—- z = 0.
Si$2
См. указание к задаче 995.
997. Двуполостный гиперболоид. Указание. Вычисляем прежде всего дискри-
минанты уравнения поверхности и старших членов: Д =—16, 8 = 4-32; оба
они отличны от нуля, и, следовательно, данное уравнение изображает цент-
ральную поверхность, не вырождающуюся в конус. Чтобы определить тип
поверхности, обращаемся к решающему уравнению: s3 4* s2— 22s — 32 = 0.
Решать его нет надобности; достаточно определить знаки его корней. С этой
целью можем воспользоваться следующим правилом: если левая часть кубиче-
ского уравнения, имеющего только вещественные корни, расположена по убы-
вающим степеням неизвестного, то число положительных корней уравнения
равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов, а число отрицательных
корней равно числу постоянств знаков в этом ряду. В нашем случае коэф-
фициенты решающего уравнения имеют следующие знаки: 4“ 4----------, т- е- мы
имеем одну перемену знаков (между вторым и третьим коэффициентами) и два
постоянства (между первым и вторым и между третьим и четвертым). Таким
образом, решающее уравнение имеет один положительный и два отрицатель-
/Ь\
ных корня; кроме того, отношение дискриминантов (у I отрицательное, а
286
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
потому данное уравнение, согласно таблице, приведенной в тексте, изображает
двуполостный гиперболоид. 998. 1) Однополостный гиперболоид. Указание.
Поверхность центральная (Д ЬуЬ 0). Решающее уравнение ($3 — 2за — 3s +
4-4=0) имеет два положительных и один отрицательный корень, кроме того,
у < 0. 2) Двуполостный гиперболоид. Указание. Д ф 0; В ф 0; ~ > 0. Ре-
шающее уравнение (s8 — 6s2 + 7s + 2 = 0) имеет два положительных и один
отрицательный корень. 3) Эллипсоид. Указание. Д + 0; В + 0; < 0. Все
о
корни решающего уравнения (s® — 6s2 + 11 s — 6=0) положительные. 4) Ги-
перболический параболоид. Указание. Д О В=0; Si=0; s2 > 0; s3 С 0. 5) Эл-
липтический цилиндр. Указание. Д = 0; В = 0; Si = 0; s2 > 0; s3 > 0.
Можно также воспользоваться пересечением цилиндра с плоскостью (ху), ко-
( 4х2 4- 2у2 — Аху — 2у — 4 = 0;
торое дает действительный эллипс: <
I 2 = 0.
999. 31х2—51,у2+20£2—26хуг+60x2+20^2+ 26х+102^—202 —51=0. Пара
плоскостей, пересекающихся по общему перпендикуляру данных прямых, про-
веденному в точке их пересечения. 1000. Гиперболический параболоид, у2 +
+ 2yz — 22 + 4х — 2=0.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
1001. См. черт. 153. МА= — = ЗЙС = ЦА' MD =
11 - я
=—. 1002. См. черт. 154. 1) из А АСЕ; 2) из A АСЕ; 3) из A ABD; 4) из
параллелограмма ABiMDt; 5) из А МВС; 6) и 7) из A APQ. 1003. a) aj_b;
а + b и а — b можно изобразить диагоналями параллелограмма, построен-
Черт. 153.
кого на векторах а и Ь. Из равенства длин диагоналей параллелограмма сле-
дует, что он прямоугольный. Ь) а и b коллинеарны. Диагонали параллело-
грамма могут быть коллинеарными лишь тогда, когда его стороны колли-
неарны. с) а и b имеют одинаковое направление, так как равны единичные
векторы их направлений. d) а и b коллинеарны и имеют одинаковое направ-
ление. е) и f) а и b коллинеарны, но имеют противоположные направления.
1004. | Р | = I q J ♦ так как диагональ делит угол параллелограмма пополам только в
случае ромба. 1005. а) а =0 = 0, если а и b неколлинеарны; Ь) а = р, если а и b
коллинеарны и имеют противоположные направления; с) а = — 3, если а и b имеют
___________________________________________ д ___ £ ——
одинаковое направление. 1006. См. черт. 155. АЛ4 = с + -2“ или АМ =——»
+ y или СР^ь + у или 1007. АМ =
— _/'ь+4); bn =&+%; юсе. = — (с + W, =
\ £ j л £
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
287
= — (с + а/Ба); DZA = — (с + 8/?а); D^A = — (с + 4/6а). 1009. Указание.
Чтобы три вектора ДЛ4, BN и СР (черт. 155)_ могли служить сторонами тре-
угольника, необходимо, чтобы AM-j- BN -J- СР~ 0. Справедливость этою
Черт. 154.
равенства проверим, выразив каждую из медиан через стороны основного
с b
треугольника а, b и с, помня, что а + Ь + с = 0. 1010. pi = —-------у;
ас Ьа с . b а. с Ь.а
Qi =--------; Г1 = -т---; р2 ==---Ь-v-; q2 =---ь —; г2 =-гН-----; Pi, qi
а с ’ b a* v с 1 b ™ а ' с b 1 а ’ г
и fi имеют направления биссектрис внутренних углов Д, В и С; р2, q2 и га
имеют направления биссектрис одноименных внешних углов треугольника (см.
задачу 1ОО4).1О11. Абсолютная величина суммы не изменится, но вектор-сумма ока-
жется повернутым на тот же угол. Указанный поворот всех слагаемых не повлияет
на сумму лишь в двух случаях: 1) когда угол поворота <*> = 2пп (где п — любое
целое число) и 2) когда сумма равна нулю. 1012. У Казание. Каждое парное
произведение — длины стороны треугольника на единичный перпендикулярный
вектор — есть вектор, длина которого равна длине
соответствующей стороны, а направление — ей _
перпендикулярно. Таким образом, этот вектор мо- 1 v
жет быть получен из вектора, совпадающего со / \
стороной треугольника после поворота на прямой / \
угол (см. задачу 1011.) 1013. Указание. Равен- / \
ство нулю рассматриваемой суммы вытекает проще ГС
всего из того факта, что поворот всех слагаемых \ f
на угол 120° (или 240°) не изменит суммы (см. задачу \ /
1011). 1014. Сумма векторов, соединяющих центр \ /Ч
правильного п-угольника с его вершинами, равна \ г /
нулю, так как не изменится от поворота всех А р а
2л
слагаемых векторов на угол со — ~ (или на угол, цсрт 15g.
ему кратный)._1015. См. черт. 156. a) CD = — Р + q;
~DE — — р; FF — — q; ~FA — р — q; АС = р +_qj_ AD = 2q; А7Ё = 2q — р;
. х ВС 1 ВС . CF о АВ
Ь) = =—1; =rz = — 2. Отношение смысла не имеет, так как
AD 2 EF АВ ___ ВС
эти два вектора неколлинеарны. 1016. АС = 8/t® + х/ап; AD ==^т + п‘» ДЛ=з
= — х/2т + х/2п; ~ЁЁ = — х/2т — х/2п. 1017. АВ = х/2а — Х/2Ь. ВС = х/2а + Х/2Ь;
CD = — + */2b; DA = — >/2а — >/,Ь. 1018. ~ВС - - * а + b; CD " а;
288
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
АС=а—-а + b; ВО = -а + Ь. 1019. AD = —b + —с. 1020. а) и
а т + п ' т+п '
Ь) разложение всегда возможно и имеет единственное решение; с) и d) решений
может быть два, одно или ни одного в зависимости от модулей данных слагаемых.
1021. ВС = В'С' = q; СР = С7ПГ =—р; Ав7 = DC'= р + г; АГУ =ТЗС'===
= g + г; ~лс = А'С = р + q; АСУ = р + q 4- г; jCA = — р — q 4- г; Р7Г =
== — q; А1 В1 = р; ВВ' = СС = РР' = r\ ВА' = СР' = — р + г, РА' = СВ' =
=— q + г; ВР = В'Р' =— Р + q; ВР' = — р + ч + г; РВ'= $ — q + r.
1022. ВС=с—b; CD=d—с; D#=b—d; DM=-~^C—d; XQ=--+^ + <3.
1023. a) 1 + m-J-n = 0; b) 21 + m — n = 0; с) 1, m, n,—некомпланарны.
Указание. Чтобы найти линейную зависимость между 1, m и п, надо из
трех равенств, их определяющих, исключить вспомогательные векторы а, b и с;
если же этого сделать нельзя, векторы 1, ш и п некомпланарны и тогда из
данных равенств можно получить разложения а, b и с по векторам 1, ш и п.
Так, в случае с) мы получим а = 1 — m; b = — 1 + 2ш — п и с = 1 — ш п.
1024. a) ai = а2, 31 = ?2, 71 = Ь) — = . У к а з а н и е. Пользуемся
а2 Рз 7з
условием компланарности векторов: р = Xq; с) соотношения между коэффи-
циентами, не зависящего от выбора основных векторов а, b и с, не суще-
ствует. 1025. Зш + 2п — Зр + 4q = 0. Указание. Искомая линейная зави-
симость получается путем исключения а, b и с из данных четырех равенств.
1026. s = а/5ш + 8А>п + 8/бр. Указание. См. задачу 1025. 1027. а) Могут
быть четыре вектора, из которых никакие два не являются коллинеарными и
никакие три не являются компланарными; если два из данных векторов кол-
линеарны, то все четыре компланарны; если три из них коллинеарны, то кол-,
линеарны все четыре; если три из них компланарны, то компланарны все четыре;
Ь) Ь, с и d компланарны; с) с и d коллинеарны; d) d = 0 — ему можно при-
писать любое направление. 1028. Х=р. = О, если с = 0, Х = 0, и р.^0, если
с и Ь коллинеарны; Х^0 и р. = 0, если с и а коллинеарны. 1029. Нет. Из
условия задачи следует, что вектор а4-Ь4-с 4- d перпендикулярен к оси проек-
ции. 1030. 1) Несправедливо; произведение вектора а на скаляр а не может
равняться скаляру, а представляет вектор, коллинеарный вектор а; 2) спра-
ведливо — на основании правила умножения скаляров; 3) несправедливо (см.
случай 1); 4) несправедливо, если а и b неколлинеарны; 5) справедливо; 6) и
7) справедливы на основании свойств переместительности и распределительности
скалярного умножения; 8) справедливо только для коллинеарных векторов.
1031. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон. 1032. Скалярного произведения трех векторов быть не может, так как
скалярное произведение двух векторов есть скаляр, помножив который на тре-
тий вектор, получим вектор, коллинеарный этому последнему; поэтому и ска-
лярный куб вектора рассматривать нет смысла. Куб скаляра вектора, как и
всякого скаляра, имеет определенный смысл. 1034. аЬ = — 5. Р е ш е н и е. ab =
= (Зр — 2q) (р + 4q) = Зрр + 12pq — 2qp — 8qq = 3 — 8 = — 5, так как по
условию р2 = q* = 1 и pq = qp = O. 1035. 143. 1036. 104. 1037. ab4-bc4~
4- са = — 3/2. Указание. Благодаря условию а 4~ Ь 4- с = 0 мы можем рас-
сматривать эти три вектора как стороны правильного треугольника, а потому угол
между каждыми двумя последовательными векторами равен 120°. 1038. pq = 9.
1040. |а| = 5. Решение. а = ]/"а2 = уг(Зш — 4п)а = )/”9/п2—24(шп)4-16п2 ==
==}/94-16=5.1041. |Р|=]/'ааа24-Р2^4-72с3.1042. | с | = ]Лх2 4-£2 —2ab cos С.
Примечание. Угол (ab) есть внешний угол треугольника; смежный с ним
внутренний угол обозначен С. 1043. ( А 4- В [ = 15; | А — В [ = ]/ 593 я» 24,35.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
289
1044. | R | = |/*37. 1045- Равнодействующая равна нулю (см. задачу 1011).
1046- (ab) = --. Решение, cos (ab) = =»
4 K(3p + 2q)2-K(P + 5q)a
—______*3 . — _- . 1047- cos ср = 4/5. Указание. Выразить предварительно
медианы через катеты. 1048. А = ; В = arccos —— и С = arccos £=— •
Z э о
1049- Q = 7, cos (Qm) = 6/7; cos (Qn) = —2/7; cos (Qp) = 3/7. 1050. Указание.
Достаточно показать, что в случае ромба, т. е. когда | а| = | b |, скалярное
произведение диагоналей равно нулю. 1051. Указание. Вычислить скалярное
к
произведение рс и убедиться, что оно равно нулю. 1052. а = 40. 1053. (st)=
АВ ^ ~
1054. пр.пА = -ъ- = 2; cos (Вт) = 6/ib; cos(Bn) = — 12/i3. 1055. 1) Задача не
имеет решения, если а = 0 и Р^0. 2) Если Р = 0и а = 0, то за х можно
взять любой вектор. 3) Если Р = 0 и а^0, задача имеет бесчисленное множе-
ство решений; за х можно взять любой вектор, перпендикулярный к а. 4) Если
Рт^О и а т^О, то существует бесчисленное множество решений. Среди них
р
есть вектор наименьшей длины (коллинеарный а), именно х = ~а. Все осталь-
ные решения получатся из указанного прибавлением к нему любого вектора
перпендикулярного к а (см. задачу 1039). 1056. | AM | = 6; | AD | = —•
Указание. Надо предварительно выразить вектор-медиану и вектор-высоту
через стороны треугольника, а потом уже через единичные векторы: AM =
= АВ + -г ~ВС и AD = АВ + ’ ВС , где X следует вычислить из условия пер-
_____ ___ ab
пендикулярности AD и ВС. 1057. h = -^ а — Ь. 1058. Первые три пальца
левой руки составляют левую тройку, те же пальцы правой руки — правую
тройку. 1062. [ab]=c; [Ьс] = а; [са] = Ь. 1063. [ab[ = — с; [Ьс] =—а;
[са] = — Ь. 1064. а =— 15. 1067- Изменить направление вращения вектора а.
1069. Задача не имеет решения в двух случаях: 1) когда В = 0 и А7ЕО и
2) когда А и В не перпендикулярны друг к другу. Если же А и В взаимно
перпендикулярны, то существует бесчисленное множество векторов X, удовле-
творяющих условиям задачи. Все они перпендикулярны к А. Среди них есть
вектор ^перпендикулярный к В) наименьшей длины, а именно, его модуль
|Х| =Lj; все остальные решения получатся из указанного вектора прибавле-
нием к нему любого вектора, параллельного вектору В (см. задачу 1065).
1071. Равенства 1) и 2) не верны, так как [ab] 7^ [Ьа]. Равенство 3) справед-
ливо лишь в случае а I Ь. 1072. [(а + Ь) (а — Ь)] — 2 [Ьа]. Это тождество
утверждает, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного
параллелограмма, вдвое больше площади основного параллелограмма. 1073- а =
= а2^2. 1074. | [PQ] | = 11. 1075. 37,5 кв. ед. 1076. CZ) = 3,8. 1077. Р = 3а —
— 17b — 4с. 1078- |Q| = 21. 1079- sin 1080. пр.вА = 6/7, если р, q и
г составляют правую тройку; пр.вА=—6/7, если р, q и г составляют левую тройку.
1082. У Казани е. Если векторы а, b и с компланарны, то при вычислении их
смешанного произведения можно заменить с через а и Ь, т. е. с = аа -р pb.
1083. v = 4 | ([СВ] А) |. 1084. 1) v = 25 куб. ед.; 2)t/ = 0. Указание. Второй
ответ очевиден, так как из разложения соответствующих векторов а, b и с
290
ОТВЕТЫ Я УКАЗАНИЯ
49
видно, что они компланарны. 1085. h = 0 и 3) компланарны; 2) не-
компланарны. 1087. Указание. Воспользоваться формулой разложения двой-
ного векторного произведения. 1089. а) Равенства равносильны, т. е. А = В
следует, что аА = аВ; из аА = аВ следует, что А = В. Другими словами, обе
части векторного равенства можно помножить или разделить на один и тот же
скаляр. Ъ) Из первого равенства вытекает второе, но не обратно. Помножив
равные векторы скалярно на один и тот же вектор, мы получаем равные скаляры,
но равные скалярные произведения нельзя «сократить» на общий множитель,
так как из равенства АС = ВС вытекает лишь, что (А — В)С = 0, т. е.
(А-В)± С. с) Из первого равенства вытекает второе, но не обратно. Помно-
жив равные векторы на один и тот же третий (векторно), получим равные
векторы, но равные векторные произведения нельзя «сокращать» на общий
сомножитель. Из равенства [АС] = [ВС] следует лишь, что (А—В) || С. d) Равен-
ства равносильны. 1090. Указание. Умножить все члены данного вектор-
ного равенства на вектор с (скалярно) и воспользоваться тем, что смешанное
произведение равно нулю, когда два из сомножителей равны. После преобразо-
вания получим [ab] с = 0, а это и есть условие компланарности трех векторов.
1091. [са]Ь = 0. Указание. Полезно, не пользуясь готовыми условиями
компланарности трех векторов, решить задачу, исключив из данного равенства
с = Ха + р.Ь коэффициенты X и у.. Исключение X может быть достигнуто умно-
жением обеих частей равенства векторно на а. Исключение р может быть
достигнуто умножением уже преобразованного равенства на b (скалярно).
1092. х = "аЬ^* Решение. Умножим обе части второго равенства
[xb] = с векторно на a: [[xb] а] = [са]. Разложим двойное векторное произве-
дение Ь(ха)— х(Ьа)=[са]. Заменяя из первого равенства ха = а, получим
ab — х(Ьа)=[са]. Решив это уравнение относительно х, получим вышеприве-
X а [Ьс] + 0 [са] +1 [ab] п
денный ответ. 1093. х = —1— г \ <----——1 .Решение. Из данных трех
[ab] с
уравнений получаем такие скалярные произведения, которые равны нулю:
ха = а • 0
)
xb = 0 ‘а
x(ab — 0а) = 0, т. е. х I ab—0а,
xb==0 •к
(-)
хс = 7 •0
х (0с — “(b) = 0, т. е. х J_ 0с — 7b,
а если х перпендикулярен к двум данным векторам, то он коллинеарен их
векторному произведению: х = X [(ab — 0а) (0с — 7b)] = X -0 {а [Ьс] 4~ 0 [са] 4-
4*7lab]}« Для определения X умножаем обе части скалярно на b и заменяем
xb = 0; тогда получим: 0 = {а [Ьс] Ь4-0 [са] b 4~7 [ab] Ь} = Х02 ([са] Ь), откуда
Х = 5-7;—= г~7г ci т • Вставляя это значение X в полученное выражение
0([ca]b) 0([ab]c) J
для х, получим вышеприведенный ответ. 1094. Г4 = г14~гз — г* 1095. В точке
пересечения диагоналей параллелограмма. (Ответ единственный.) Указание.
При любом выборе полюса для всякого параллелограмма имеем гх 4~ Гз = Га 4- гъ
т. е. Г14~ Гз 4“ гз 4“ г4== 2 (г2 4" гД 1095. У Казани е. Середины всех трех
Г1 4~ Га 4~ Га 4“ 1*4
отрезков имеют один и тот же радиус-вектор г =-------!-----1-------, где гъ
г2, г8 и г4 обозначают радиусы-векторы вершин тетраэдра. 1097. Указание.
Предварительно вывести формулу для радиуса-вектора центра тяжести тре-
Г14“ г2 4“
угольника: г =------ —-, где гъ г2 и г3 — радиусы-векторы вершин при
о
произвольно выбранном полюсе. 1098. Указание. Обозначив через гъ г2,
г8, ..гл радиусы-векторы данных материальных точек (при произвольно вы-
бранном полюсе), предварительно показать, что их центр тяжести определяется
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
291
радиусом-вектором г = 1 ~—!—~. 1099. г2 — п = X (г3 — г£)
или [(г2 — ri)(гг — гi)] =0. Указание. Условие выражает коллинеарность
векторов АВ и АС. 1100. Три точки коллинеарны. 1101. «(га —fi) + P(r3—fi) +
+ 7(г4-П)=О, где а, р и 7 не равны нулю одновременно. 1102. 3 =
= 1/а1[(Гз-Г1)(Г«-Г1)]|. '1102*. Указание. Воспользоваться тем, что пло-
щадь треугольника АВС равна нулю. 1103. АВ = 6i — 5j + к; ВС = — 3i+
+ 4j + 2k; CA = — 3i + j — 3k. 1104. Нельзя, так как векторы, заданные
своими координатами являются свободными векторами. При параллельном пере-
мещении треугольника в пространстве проекции его сторон на оси не меняются.
1105. В (6; —4; 5); С (9;—6; 10); СА { —7; 1;—7}. 1106. Указание,
г2 — п = Гз — г4, т. е. стороны АВ и DC равны и параллельны. 1106*. г{ =
== 71 -4-j — 4k; ri = 3i — 4j + k; г^ = 0; r; = 4i-|-5j — 5k. 1107. npxa=A=13;
a^, = Kj = 7j. 1108. (ab)=—20.1109. J<l54 ; cosa = -^; cosp = -^--;
cos7= -Д=-. 1110. P { 3; — 9; Zt 3/6}. 1111. a{e/lt; ViG — 7и} или a(-«/u;
— 7h: Th}- 1112- P {0; “Vs! 7s} или p {0; </6; -7s}-1113. R {20; 9; 12}; R ==25;
cos a = 20/2|.; cos^e/,5; coS7 = «/ss. 1114. a = 15; 7 = —Vs- 1115. Pi{-p==;
1116. cos/l = ?^X; cos5 = ‘/si;
25
1119.
25 о ( 15 ,
——- ; 0 \ и Р2 J----;
/17 / I /17
q 1/~9 5 __
cos С = . 1116*. S = y|A17 кв. ед. 1117. г> = 6 куб. ед. Векторы Р,
Q и R образуют левую тройку, так как их смешанное произведение есть число
отрицательное. 1118. а) А, В и С некомиланарны; b) L, М и N компланарны.
ха — *1 Уз — У1 z^-z^
х3— Xiy8—«Ух *8— *1 =0. Сравнить полученный результат с ответом
х4 — Xi Уь—У! *4 — *i
У1Х — Х1У . уах— хау л
задачи 1101 и установить связь между ними. 1120. • =::•_- г__—/= 0.
г xf “Ь У[ у х$ -|~ У1
1121. rk = 0— уравнение плоскости (ху); гJ = 0 — уравнение плоскости (xz);
гi = 0 — уравнение плоскости (yz); г = Xk — уравнение оси z; г = Xi — уравне-
ние осих;г = Х]— уравнение оси у. 1122. г (i — 8j + 3k) =— 8. 1123. Первая
точка принадлежит указанному геометрическому месту, а вторая — нет.
1124. г3 — 2 (ггО = 0 или г (г — 2гд) = 0. 1125. Радиус-вектор центра п = 2i +
+ j + 3k; длина радиуса а = 7.1126. г2 — г(гх + г2) + Г1Г2=0.1127. С >
а = г/а | ri — г21. 1128. |~ } • Примечание. Второе уравнение
выражает условие, что все рассматриваемые точки лежат в плоскости (ху); без
этого ограничения одно первое уравнение определит сферу с тем же центром
и радиусом. 1129. а) шаровая поверхность с центром С(—4k) и радиусом
а = 2; Ь) шаровая поверхность с центром Ci (6j 8k) и радиусом a =15.
1130. (х — xv)*~\-(y—yCf-jr^ — z^ — a?. Указание. Для решения задачи
вводим обозначения: г = xi + уj + zk и rt = xxi + + Zik. 1131. ri = 4.
Данное геометрическое место точек есть плоскость, перпендикулярная к оси х
и проходящая через точку А (4; 0; 0). 1132. а) Плоскость, перпендикулярная
оси у и проходящая через точку (0; — 5; 0); Ь) плоскость, перпендикулярная
оси z и проходящая через точку (0; 0; 6). 1134. А(х — xt) + B(y — У1) = 0,
где х и у обозначают координаты текущего радиуса-вектора г. 1135. Прямая,
проходящая через точку А (п) параллельно вектору а. 1136. [(г—п) (га—Г1)] = 0.
1137. ГГ1 = а3. Указание. При выводе этого уравнения пользуемся перпен-
292
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
дикулярностью касательной к радиусу, проведенному в точку касания, и тем,
что данная точка Д (Г1) лежит на окружности. 1138. а) (г — Г1)(г8— г2) = 0;
Ь) [(Г — г2) + Гз — = 0; с) г (r3 — r2) = -^-(r| —r|); d) (г —r,)(Ci +
4- bi) = 0, где Ci — единичный вектор стороны АВ\ Ci = и bi — еди-
1 г2 — Г1 |
ничный вектор стороны С A; bi = 1139. Нормальными уравнениями
I г 1 — Гз |
Черт. 157.
являются уравнения 3) и 4). 1140. См. черт. 157. 1141. См. черт. 158.
1/~ 2 31Л2 2]/" 2
См. черт. 159. 1145. cos (ni) = — ; cos (nJ) =-----; cos (nk) = ——
1146. Точки А и С лежат на данной плоскости, точка В не лежит на ней.
1147. Р ^а^ » во ВТОРОМ случае Р(р • п). Указание. Искомая точка имеет
радиус-вектор, коллинеарный а, т. е. п — Ха. Множитель X вычисляется из
условия, что точка лежит на плоскости. 1148. п = 10/е (i -1- 2j—2k).
1149. г (4/13i 4~ 12/isj — 8/iak) — 4 = 0 или 4/lsx + 12/i8y — 3/nZ — 4 = 0, если
текущий радиус-вектор выразить через текущие координаты; г =? xijjzk.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
293
1150. х cos а 4-3/ cos р + z cos 7 = (гп); Ах + By + Cz = (га), где г {х, yt z},
и { cos a, cos cos 7} и а {Д; В', С}. 1151. г (Hi — 7j — Эк) 4-15 = 0.
к
Черт. 159.
28 4
1152. (г —Г1)Г1 = 0 или ггх — г| = 0. 1153. ох = ——-; &2 = —— ; оз = 0,
у 65 у 30
т. е. точка лежит на плоскости. 1154. г (пх — па) =рх — р2 и г (пх + n2) =pL + ра.
1155. 1) Плоскость проходит через полюс; 2) плоскость парал-
лельна орту к; 3) плоскость проходит через полюс и парал-
лельна i, т. е. проходит через ось х; 4) плоскость перпендику-
лярна орту к; 5) плоскость перпендикулярна орту i и проходит
через полюс, т. е. совпадает с координатной плоскостью (yz).
1156. a) (ri) — 2 = 0, b) (j + k) + 4 = 0; с) г (4i + 5j — k) +
4- 30 = 0. 1156*. a) rk = 0; b) r (3i — 8j + k) = 41; c) r (2j +
-3k)=0. 1157. r (i + 3j — 2k) — 3 = 0. 1153. r (i + 26j +
— llk) = 0. 1159. r(3i — 5j) +14 = 0. 1160. r(24i — 5j —
— 30k) —41=0.1161. r(—2i-t-36j + 10k) = 0. 1162.r(lli —
— 5j4-4k) = 34. 1163. 1) 4; —; —; 2)4; П7-
J 1 1 r X p. v ' ai aj ak
1164. г (i + j + k) = 10. 1165. 1) Плоскости параллельны;
2) <p = arccos 0,7; 3) ?=y. 1166. r(3i—8j+ k)-|-7 = 0.
1167. d = 7. Указание. В данном случае искомое расстоя-
ние определяется по формуле d =pi + pit так как плоскости
лежат по разные стороны от полюса. 1168. г (4i + 2j—4k) = 57 и г (4i + 2j—4k) =
= —3. 1169. r (23i + 5j — 1 Ik) + 15 = 0. 1170. r [ab] =0.1171. r = i + 2j —3k.
1173. r(21i + 4j + 14k) = 20. 1174. rfa — 7u^b)=a— 1175. 1)pt = 13;
\ (pc) / (pc)
2) ps = — ]/"42; 3) p3 = 0. 1175*. Прямые лежат в одной и той же плоскости,
проходящей через полюс, параллельны между собой и расположены на одина-
ковом расстоянии, но по разные стороны от полюса. 1176. [г (3i — 2j + 2k)] =
= ± УТ7 (2i + j — 2k). 1177. rb = 0. 1178. 1) r, = ; 2) r, = [nN]; 3) n =
== —0,72i + 0,04)4-0,8k. 1179. 1) [r [ab]] = 0; 2) [r(10i — 23j — k)] =0.
1180. P(2; —8/a; —x/2) или, пользуясь иной записью: r = 2i — 8/aj— Vak.
1181. См. черт,. 160. У Казани e. Прежде чем строить прямую, надо найти одну
из ее точек, проще всего основание перпендикуляра, опущенного из полюса
на прямую (см. задачу 1180). Для первой прямой: ri = 4i + j. Для второй пря-
мой: ri = — 2i + 8/aj — 8/ak. 1182. 1) Прямая параллельна орту i, т. е. оси х;
2) прямая параллельна орту j, т. е. оси у; 3) прямая параллельна орту к, т. е.
оси z; 4) прямая перпендикулярна орту к, т. е. параллельна плоскости (ху)',
294
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
5) прямая перпендикулярна орту i, т. е. параллельна плоскости (yz); 6) прямая
перпендикулярна орту j, т. е. параллельна плоскости (xz); (7) прямая лежит
в плоскости (yz); 8) прямая лежит в плоскости, проходящей через ось z.
1183. 1) [га]= ?i + 7k; 2) [га] = 7k; 3) [га]=0. 1184. 1) 2) 6а = 10;
3) 58 = 2Т/‘41. 1186. [r(2i —3J+6k)] = 18i—10j— Ilk. 1186» [г(41 + 3j + k)] =
= 101 — 14J —[—2k. 1187. [(r —r1)[aiaa]] = 0. 1187*. [r, 1—j — k] = 3 (i-f-2j—
— k). 1188. 1) [r(4i—j+2k)]=5i + 8j—6k; 2) x=2-)-4X, j=l— X, z=3 + 2X
или „„ n _____________x_>-3_£+2.
4 — 1
V-"M- '44=^'’ 2—»
x+— J— —
3) -77 = "T - — 1TSO. —==---— = -^- еслиv^O. Указание.
2 b —3 A p v ’
Умножая последовательно обе части данного векторного уравнения скалярно
на I, j и к и выразив текущий радиус-вектор через текущие координаты,
получим три уравнения: уу—pz = а, — ух + \z = 3, р-х — Xj = 7. Если v 7^ 0,
первые два уравнения можно переписать в том виде, который дан в ответе.
Третье уравнение является их следствием. 1191» [га] = Ь, где а {т, п, р};
b = [гха] = [(xj4-j + zik)(mi4-nj+pk)|; г {xfy, 2}. 119^ [r (3i + 5j + 2k)] =
7
z
2
2
'—Zq
P __ _______________
Ут2 + п?+р*
1193. [r (5i — 3j 4- 3k)J = 9i 4- 5j — 10k; [r (— 2i + J — 5k)] = i + 17j + 3k;
[r (— 3i + 2j 4- 2k)] = 2i — 3j 4- 6k. 1194. Указание. Пользуемся уравнением
прямой, проходящей через две точки. 1196. Условие параллельности: 4==
Л2
= —= —. Условие перпендикулярности: Х1Ха+р.1ра+>1^а=0.1197. 1) [г(—61-Ь
Р-2 Ъ
4-2j+k)]=2i+j+10k; 2) [г(5i—17j —13k)] = 19f + 14j —11k. 1198. 1) cos<p =
= —2) ? = HW. [r(4i—j-|-5k)] = 13(i—j—k); T=arccos
1200. 5 = 0,9 1201. [r (— 31 — 3j + k)y =s 61— 5J + 3k. Указание.
Можно перенести полюс в данную точку, воспользоваться уравнением перпен-
дикуляра опущенного из полюса на данную прямую (см. задачу 1179), и перейти
обратно к старому полюсу. 1202. [f[biba]]=0. 1203. [г (13i + 37j + 58k)] =
= 371 — 245j Ц- 148k. Указание. Можно воспользоваться задачей 1202 и
указанием к задаче 1201. 1204. о = —. 1204*. [г, lli+HJ—22k] =—33i+
]/ 6
= 25i— 19J + Юк. 1Ш*.
+ 105j + 36k. 1205. а = 2]/21. 1205*. d =
Z—ZQX—х0
р т
х—xQy—уо
т п
Xi — Xi У1—У2
mt nt
ms п0
— Zi I
Pi
P2
-1 /"I rhpi I2 IP1W112 1 I /пл I2'
V |napa I Ip2w21 -r I w2n2|
1206. 1) Пересекаются в точке г{1; —2; 0}; 2) пересекаются в точке г {—3;
5; —3}. 1206*. |[ri]|=pL |[г, i + j] + i— j| или x2 — у2 —2xy—4z + 2=0f
т. e. гиперболический параболоид. 1207. 1) г {0; 0; —2}; 2) г {2; 3; 1}; 3) пря-
мая параллельна плоскости; 4) прямая лежит на плоскости, точка пересечения
неопределенна. 1208. [г (5i — 7j + k)] = 1314- 7i — 16k. 1209. a = — 1.
1210. a = 4, ₽ = —8.1211. [r (2i — j + 4k)] ==6i—16j —7k. 1212. [(r — ri)a] = 0
или [ra] = [rxaj. 1213. A' (5j + k). 1214. r' {5; — 1; 0}, 1215. (r — n) a = 0 или
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 295
ra = fia. 1216. г (i -Ы — Зк) = О. 1217. г (23i — 17J — 5к) = 78.1218. Проходит.
1219- Лежит. 1220. (г — rt) [г2 — гь а] = 0. Указание. Задача равносильна,
составлению уравнения плоскости по двум точкам и параллельному ей вектору а
(см. формулу (42) § 3 настоящей главы). 1221. г(—8i + 9j + 22k) + 59 = 0.
1222- г (—* Hi -4- 17j + 19k) = 10.1223. (г —п) [аА] = 0.1224. [r(7l-|-4J — k)] =
= i —9j —29k. 1225. r (8i — 22j + k) = 48. 1226. r (17i — 13j — 16k) = 10.
1227- r(23i — 16j + 10k) = 153. Указание. Задача сводится к задаче: про-
вести плоскость через данную точку параллельно двум данным векторам.
1228. [г (101—13j + 19k)] = 7i — 37j — 29k. Указание. Проводим через
данную точку Л плоскость, перпендикулярную данной прямой: г(2i-4-3j-bk)=5;
находим точку пересечения ее с данной прямой: В (89/14< — e/uk) и через
две точки А и В проводим искомую прямую. 1229. Удобнее всего искомый
перпендикуляр представлять системой двух уравнений, а именно: уравнением
плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой, и плоскости, про-
ходящей через точку и прямую: (г — Г1)а = 0, (г — П) [г2 — гъ а] = 0.
1230- г'{10; 7; 4}. 1231. § = 3. 1232. A’(2i 4-914-€к). 1233, [г (74i-f-57j —
- 110k)] =220j+ 114k.
Цубербиллер Ольга Николаевна.
Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
Редактор Н. А. Угарова.
Техн, редактор В. Н. Крючкова.
Корректор С. Н. Емельянова.
Печать с матриц. Подписано к печати 21/VI 1961 г.
Бумага 60 X 92716. Физ. печ. л. 18,5. Условн. печ.
л. 18,5. Уч.-изд. л. 21,25. Тираж 100 000 экз.
Цена книги 74 коп. Заказ 383.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народного хозяйства. Управ-
ление полиграфической промышленности. Типогра-
фия № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького.
Ленинград, Гатчинская, 26.